Автор: Васильев А.Н.
Теги: физика математика квантополевая техника реноргруппы теории критического поведения
ISBN: 5-86763-122-2
Год: 1998
Текст
КВАНТОВОПОЛЕВАЯ РЕНОРМГРУППА
В ТЕОРИИ КРИТИЧЕСКОГО
ПОВЕДЕНИЯ
И СТОХАСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКЕ
А. Н. ВАСИЛЬЕВ
Санкт-Петербургский
государственный университет
Издательство
Петербургского института
ядерной физики (ПИЯФ)
Санкт-Петербург, 1998
УДК 530.145
ВАСИЛЬЕВ А. Н. Квантовополевая ренормгруппа
в теории критического поведения и стохастической ди-
динамике. - Издательство ПИЯФ, Санкт-Петербург, 1998.
-774 с. ISBN 5-86763-122-2
Книга посвящена изложению квантовополевой техники ренормгруппы
и ее приложений к различным задачам теории критического поведения и
стохастической динамики. Она рассчитана на специализирующихся по
теоретической физике студентов старших курсов, аспирантов и научных
сотрудников.
Предварительное знакомство с математическим аппаратом квантовой
теории поля не требуется, все нужные сведения приводятся в тексте.
Таблиц 35, Рисунков 6, Библиография 239 назв.
Издание осуществлено при поддержке Российского Фонда Фундаментальных
Исследований (грант N 96-02-30086).
Оригинал-макет подготовлен в программе LATEX2E.
ISBN 5-86763-122-2 © А. Н. Васильев, 1998
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие xiii
Г Л А В А 1 ОСНОВЫ ТЕОРИИ КРИТИЧЕСКОГО
ПОВЕДЕНИЯ 1
п.1 Исторический обзор 1
п.2 Обобщенная однородность 16
п.З Гипотеза подобия (критический скейлинг)в
термодинамике 18
п.4 Модель Изинга, термодинамика ферромагнетика .... 20
п.5 Гипотеза подобия для одноосного ферромагнетика ... 22
п.б Оп-симметричный классический ферромагнетик
Гайзенберга 25
п.7 Классический неидеальный газ: модель и
термодинамика 26
п.8 Термодинамическая гипотеза подобия для критической
точки перехода газ - жидкость 31
п. 9 Гипотеза подобия для корреляционных функций 35
п. 10 Функциональная формулировка 40
п. 11 Точный вариационный принцип для среднего поля ... 42
п. 12 Теория Ландау 46
п.13 Флуктуационная теория критического поведения .... 46
п. 14 Примеры конкретных моделей 50
п. 15 Канонические размерности и каноническая
масштабная инвариантность 53
п. 16 Существенные и несущественные взаимодействия,
логарифмическая размерность 55
п.17 Пример двухмасштабной модели: одноосный
сегнетоэлектрик 59
п. 18 Ультрафиолетовая мультипликативная ренормировка . 61
п. 19 Размерная регуляризация, соотношение между
точными и формальными ответами для
однопетлевых интегралов 66
п.20 Постановка задачи ренормировки в размерной
регуляризации 70
п.21 Явные формулы ренормировки 75
п.22 Вид констант Z в схеме MS (минимальные вычитания) 77
IV
Оглавление
п.23 О связи ИК- и УФ-проблем 78
п. 24 Дифференциальные уравнения РГ 79
п. 25 Выражение РГ-функций через константы ренормировки 81
п. 26 Связи между вычетами полюсов разного порядка по е
в константах Z, представление Z через РГ-функции . . 83
п.27 Связь между ренормированным и затравочным
зарядами 85
п.28 Ренормировка и уравнения РГ при Т <ТС 87
п. 29 Решение линейных уравнений в частных производных . 89
п.ЗО Уравнение РГ для коррелятора ^4-модели в нулевом
поле 92
п.31 Фиксированные точки и их классификация 93
п.32 Инвариантный заряд РГ-уравнения для коррелятора . . 95
п.ЗЗ Критический скейлинг, аномальные критические
размерности, скейлинговая функция коррелятора .... 97
п.34 Условия выхода в критический режим, поправки
к скейлингу 100
п.35 Что суммируется в решении уравнения РГ? 102
п.Зб Алгоритм расчета коэффициентов е-разложений
критических индексов и скейлинговых функций 104
п.37 Результаты расчета е-разложений индексов
Оп-<р4-модели в размерности d = 4 — 2е 105
п.38 Суммирование e-разложений, результаты 108
п.39 РГ-уравнение для Г(а) (уравнение состояния) 112
п.40 Независимость критических индексов и нормирован-
нормированных скейлинговых функций от схемы вычитаний .... 114
п.41 О "ренормгруппе в реальном пространстве" 117
п.42 О многозарядных теориях 121
п.43 Логарифмические поправки при е = 0 123
п.44 Суммирование вкладов д In s при е = О
с помощью уравнений РГ 126
Г Л А В А 2 ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ И ДИАГРАМ-
ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА КВАНТОВОЙ
ТЕОРИИ ПОЛЯ 129
п.1 Справочные формулы 129
п.2 Универсальная диаграммная техника 134
Оглавление
п.З Диаграммные представления функций Грина 139
п.4 Диаграммная техника при спонтанном нарушении
симметрии (т < 0) 143
п.5 1-неприводимые функции Грина 144
п.б Диаграммные представления Г(а) и функций Гп .... 147
п.7 Переход к импульсному представлению 151
п.8 Метод стационарной фазы, петлевое разложение W(A) . 154
п.9 Петлевое разложение Г(а) 156
п.10 Петлевой расчет Г(а) в Оп-^4-модели 157
п.11 Уравнения Швингера 162
п.12 О решениях уравнений движения 164
п.13 Функции Грина с составными операторами 167
п. 14 Сводка определений разных функций Грина 170
п.15 Симметрии, токи, тензор энергии-импульса 171
п.16 Тождества Уорда 176
п. 17 О связи масштабной и конформной инвариантности . . 184
п. 18 Конформные структуры для полных
пропагаторов и тройных вершин 187
п.19 1/п-разложение в О„-^4-модели при Т >ТС 189
п.20 Простой метод построения 1/п-разложения 196
п.21 1/п-разложение функционалов W и Г при А ~ а ~ п1/2 197
п.22 Решение при произвольных А и Т в ведущем
порядке по 1/п 200
п.23 Асимптотика А —> 0, сингулярность продольной
восприимчивости при Т <ТС 203
п.24 Критическое поведение в ведущем порядке по 1/п . . . 204
п.25 Упрощенная полевая модель для расчета
1/п-разложений критических размерностей 207
п. 26 Классический магнетик Гайзенберга и нелинейная
сг-модель 209
п.27 1/п-разложение в нелинейной <г-модели 212
п.28 Обобщения: СРп~х- и матричная <г-модели 214
п.29 1/п-разложение для взаимодействий типа (<р2K 216
п.30 Системы со случайными примесями 217
п.31 Метод реплик для системы с вмороженными
примесями 219
vi Оглавление
Г Л А В А 3 УЛЬТРАФИОЛЕТОВАЯ
РЕНОРМИРОВКА 223
п.1 Предварительные замечания 223
п.2 ПР-графы, классификация теорий по ренормируемости 225
п.З Примитивные и поверхностные расходимости 226
п.4 Ренормировка параметров т, д в однопетлевом
приближении 228
п.5 Разные схемы вычитаний, физический смысл
параметра г 230
п.б Двухпетлевое приближение 233
п. 7 Базовое действие и контрчлены 235
п.8 Операции L, R, R' 237
п.9 Д-операция в форме Боголюбова-Парасюка 241
п. 10 Рекуррентное построение L через операцию
вычитания К 243
п.11 О коммутативности L, R', R с операциями типа дт . .245
п. 12 Сводка основных утверждений теории ренормировки . 247
п. 13 Дополнения к основным утверждениям 249
п. 14 Доказательство основной комбинаторной формулы
для Д-операции 252
п. 15 Вычисление диаграмм в произвольной размерности . . 260
п. 16 Размерная регуляризация и минимальные вычитания . 264
п. 17 Переход к нормированным функциям 266
п. 18 Выражение констант ренормировки через контрчлены
в схеме MS 271
п.19 Переход к безмассовым диаграммам 273
п.20 Результаты расчета констант ренормировки Z в схеме
MS с трехпетлевой точностью для Оп-^>4-модели .... 277
п.21 Техника расчета величин £7 280
п.22 Немультипликативность ренормировки при
аналитической регуляризации 290
п.23 Включение составных операторов 293
п.24 Ренормированный составной оператор 295
п.25 Ренормировка действия и функций Грина расширенной
модели 297
п.26 Структура операторных контрчленов 298
п. 27 Пример расчета операторных контрчленов 301
п.28 Матричная мультипликативная ренормировка
семейств операторов 304
Оглавление vii
п.29 Об УФ-конечности операторов, связанных с ренор-
мированным действием и сохраняющимися токами . . . 307
п.30 Оп-^>4-модель: ренормировка скалярных
операторов с d* = 2, 3,4 310
п.31 Ренормировка сохраняющихся токов 312
п.32 Ренормировка тензорных операторов с d^ = 4 в
Оп-^-модели 314
п.33 Операторное разложение Вильсона для малых
расстояний 315
п.34 Расчет коэффициентов Вильсона в однопетлевом
приближении 321
п. 35 О р, г - разложимости многопетлевых
контрчленов L^j 325
п. 36 Ренормировка для случая спонтанно нарушенной
симметрии 328
Г Л А В А 4 КРИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА 333
п.1 Общая схема РГ-анализа произвольной модели 333
п.2 О„-^?4-модель: константы Z, РГ-функции и
4 — е-разложение индексов 336
п.З Ренормировка и уравнения РГ для ренормированного
функционала Wr(A) с учетом вакуумных петель .... 340
п.4 О„-^4-модель: ренормировка и РГ-уравнение для
свободной энергии 343
п.5 Общее решение неоднородного РГ-уравнения для
свободной энергии ^>4-модели, отношение
амплитуд А+/А- в теплоемкости 344
п.6 РГ-уравнения для составных операторов и
коэффициентов операторного разложения Вильсона . . . 347
п.7 Критические размерности составных операторов .... 350
п.8 Поправочные индексы ш, связанные с ИК-несуществен-
ными составными операторами 355
п.9 Пример: система F — {1, <р2} в 0„-¥>4-модели 356
п. 10 Второй пример: скалярные операторы с rf* = 4 357
п. 11 Использование соотношений п.3.29 при определении
критических размерностей составных операторов .... 360
Vlll
Оглавление
п.12 (Э„-у?4-модель: расчет 1- и 2-петлевых диаграмм
ренормированного коррелятора в симметричной фазе . . 362
п. 13 е-разложение нормированной скейлинговой функции . . 367
п. 14 Анализ асимптотики г —> 0 с помощью операторного
разложения Вильсона 369
п. 15 Голдстоуновские сингулярности при Т < Тс 375
п. 16 Двухзарядная ^4-модель с кубической симметрией . . . 384
п.17 РГ-функции и критические режимы 387
п. 18 Модель Изинга (одноосный магнетик) со случайными
примесями, (е) ^-разложения индексов 390
п. 19 Двухпетлевой расчет е-разложений индексов для
одноосного сегнетоэлектрика 393
п.20 Взаимодействие та<р4 (модифицированное критическое
поведение) 397
п.21 Модель <р6 в размерности d = 3 — 2е 399
п.22 Модель <р4 + <р6 404
п.23 РГ-анализ трикритической асимптотики
в <р4 + ^6-модели 405
п.24 Ренормировка ^>3-модели в размерности d = б — 2е ... 412
п. 25 РГ-уравнения для ^>3-модели с учетом вакуумных
петель 417
п.26 2 + е-разложение в нелинейной <г-модели: мульти-
мультипликативная ренормируемость низкотемпературной
теории возмущений 420
п.27 Расчет констант Z и РГ-функций в однопетлевом
приближении 423
п.28 Голдстоуновская и критическая асимптотики,
2 + е-разложения критических индексов 425
п.29 1/п-разложения критических индексов 0„-<р4- и
(г-моделей 430
п.30 Расчет 1/п-разложений индексов по РГ-функциям
^4-модели 432
п.31 Аналог размерной регуляризации и немультипли-
немультипликативная ренормировка безмассовой <г-модели 433
п.32 Критический скейлинг, расчет критических
размерностей по функциям Грина 438
п.ЗЗ Расчет размерностей полей и составных операторов
по контрчленам диаграмм в первом порядке по 1/п . . . 440
п.34 Примеры 445
Пгллвление ix
п.35 Расчет основных индексов с помощью уравнений
самосогласования для корреляторов 453
п.36 О технике вычисления безмассовых диаграмм 458
п.37 Расчет щ 475
п.38 Обобщение уравнений самосогласования на случай
поправочных индексов 478
п.39 Расчет 1/2 hwi 484
п.40 Расчет щ в сг-модели методом конформного бутстрапа . 487
п.41 О конформной инвариантности в критическом режиме . 496
п.42 Обобщение на случай составных операторов 502
п.43 Примеры 508
п.44 Киральный фазовый переход в модели Гросса - Нэве . . 511
п.45 Двухпетлевой расчет РГ-функций ГН-модели
в размерности 2 + 2е 517
п.46 Мультипликативно-ренормируемая двухзарядная
ГН-модель с (г-полем 524
п.47 Доказательство критической конформной
инвариантности 528
п.48 1/п - разложения критических индексов ГН-модели . . 532
п.49 Использование 1/п-разложений индексов
для расчета РГ-функций 538
Г Л А В А 5 КРИТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА 545
п.1 Стандартная форма уравнений стохастической
динамики 545
п.2 Итерационное решение стохастических уравнений . . . 548
п.З Сведение стохастической задачи к квантовополевой
модели 550
п.4 Некоторые следствия свойств запаздывания 555
п.5 Критерий устойчивости системы в стохасти-
стохастической динамике 556
п.6 Уравнения для одновременных корреляционных
функций поля <р 557
п.7 Уравнение Фоккера-Планка для одновременной
функции распределения поля <р 559
п.8 Соотношение между динамикой и статикой для
стохастического уравнения Ланжевена 560
Оглавление
п.9 Общие принципы построения моделей критической
динамики, межмодовое взаимодействие 563
п. 10 Функции отклика на внешнее поле 566
п. 11 Флуктуационно-диссипационная теорема (FDT) . . . .568
п. 12 Примеры конкретных моделей критической динамики . 570
п.13 О физической интерпретации моделей A—J 573
п. 14 Канонические размерности в динамике 577
п.15 Анализ УФ-расходимостей и контрчленов в динамике . 579
п.16 Модели Аи В 583
п.17 Модель С (медленная теплопроводность): статика . . . 590
п.18 Модель С: динамика 593
п.19 Модель D 597
п.20 Модели F и Е 599
п.21 Модель G 606
п.22 Модель J 609
п.23 Модель Я: определение динамических переменных . . .611
п.24 Модель Я: ИК-несущественность звуковых мод
в режиме ш ~ р4 615
п.25 Модель Я: ренормировка и РГ-анализ
в режиме u> ~ р4 622
п.26 Распространение звука вблизи критической точки . . . 632
Г Л А В А б СТОХАСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
ТУРБУЛЕНТНОСТИ 651
п.1 Явление турбулентности 651
п. 2 Стохастическое уравнение Навье - Стокса. Гипотезы
Колмогорова 653
п.З Выбор коррелятора случайной силы 658
п.4 УФ-расходимости, ренормировка и РГ-уравнения
квантовополевой модели 661
п.5 Общее решение уравнений РГ. ИК-скейлинг при
фиксированных параметрах д0 и щ 665
п.б ИК-скейлинг при фиксированных параметрах W и vq.
Независимость от вязкости и "замораживание" размер-
размерностей при е > 2 670
п.7 Ренормировка составных операторов. Использование
уравнений Швингера и галилеевской инвариантности . . 673
Оглавление xi
п.8 Ренормировка составных операторов в законах
сохранения энергии и импульса 679
п.9 Исследование асимптотики т->0 скейлинговых функций
парного коррелятора скорости с помощью SDE 685
п. 10 Суммирование вкладов опасных операторов <рп и
д£рп в динамическом корреляторе скорости 692
п. 11 Проблема сингулярностей при е —> 2 в безмассовой
модели, е-разложение константы Колмогорова 695
п. 12 Об отклонениях от колмогоровского скейлинга для
составных операторов 701
п. 13 Турбулентное перемешивание скалярной пассивной
примеси 706
п. 14 Стохастическая магнитная гидродинамика (МГД) . . .712
п. 15 Критические размерности в МГД 720
п. 16 Турбулентное динамо в гиротропной МГД 726
п. 17 Критические размерности в режиме динамо 732
п. 18 Двумерная турбулентность 735
п. 19 Ленгмюровская турбулентность плазмы 738
ДОПОЛНЕНИЕ 747
ЛИТЕРАТУРА 751
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 765
ПРЕДИСЛОВИЕ
Цель этой книги - подробное изложение квантовополевой техники
ренормгруппы (РГ) и ее приложений к различным задачам классиче-
классической теории критического поведения и стохастической динамики. Об-
Общей чертой этих задач является наличие некоторой нетривиальной мас-
масштабной инвариантности - "скеилинга" (критический скейлинг в тео-
теории критического поведения, колмогоровский скейлинг в теории турбу-
турбулентности и т.п.), а техника РГ является самым простым и эффектив-
эффективным общим методом для обоснования скеилинга в конкретных моделях
и расчета соответствующих критических показателей - "индексов".
Есть много разных формулировок метода РГ, идейно все они экви-
эквивалентны, но в техническом отношении существенно различаются. В
этой книге излагается квантовополевая версия РГ, являющаяся наибо-
наиболее формализованной и технически эффективной, особенно при расчетах
в высших порядках теории возмущений. Она опирается на хорошо раз-
разработанный в квантовой теории поля аппарат ультрафиолетовой (УФ)
ренормировки, являющийся надежной базой для квантовополевой вер-
версии РГ.
Основные принципы УФ-ренормировки и связанной с ней техники
РГ были разработаны в рамках квантовой теории поля еще в пятиде-
пятидесятых годах. Формализм квантовой теории поля создавался первона-
первоначально как математический аппарат квантовой физики элементарных
частиц. Но впоследствии стало ясно, что этот аппарат сам по себе с
квантовостью не связан и в равной мере пригоден (в "евклидовом ва-
варианте") для различных классических задач со случайными полями.
Это позволило применить развитую в квантовой теории поля технику
(диаграммные представления, функциональное интегрирование и т.п.)
к задачам теории критического поведения, в которых приходится иметь
дело с классическим случайным полем "параметра порядка", а также к
различным задачам стохастической динамики с зависящими от времени
классическими случайными полями.
Все это задачи с бесконечным числом степеней свободы, а полная
информация о системе содержится в бесконечном семействе "функций
Грина" (корреляционные функции исследуемого случайного поля и раз-
различные функции отклика в динамических моделях). О точном решении
в такой ситуации, как правило, говорить не приходится. С практиче-
практической точки зрения интерес представляет обычно асимптотика решения
в той или иной области. В тех задачах, которые будут рассматриваться
в этой книге, речь всегда будет идти об инфракрасной (ИК) асимпто-
Предисловие
тике функций Грина, соответствующей области малых импульсов (или
больших относительных расстояний) и близости к критической точке
по параметрам. Для любой конкретной квантовополевой модели тех-
техника РГ позволяет доказать (или опровергнуть) наличие соответству-
соответствующего ИК-скейлинга и, если скейлинг есть, получить явные формулы
для расчета критических индексов в виде тех или иных е-разложений
по "параметру отклонения от логарифмичности" е (в исходной схеме
К.Вильсона для классической ^>4-модели е = 4 — d, где d - переменная
размерность пространства). Эта техника, первоначально примененная
К.Вильсоном и соавторами (Нобелевская премия 1982 г.) в задачах кри-
критической статики (термодинамика и равновесная статфизика поля па-
параметра порядка), была впоследствии обобщена на критическую дина-
динамику (анализ поведения времен релаксации и различных кинетических
коэффициентов в окрестности критической точки), а затем и на многие
другие родственные задачи, в частности, теорию полимеров, стохасти-
стохастическую теорию турбулентности и магнитную гидродинамику, различ-
различные задачи случайных блужданий. Список таких задач будет, видимо,
и далее расширяться, поэтому знакомство с техникой РГ следует счи-
считать одним из необходимых элементов образования современного фи-
физика - теоретика.
Книга написана на основе курса лекций по квантовополевой технике
РГ, читаемых автором в Санкт-Петербургском государственном уни-
университете для специализирующихся по теоретической физике студен-
студентов старших курсов, и задумана как расширенное учебное пособие и
одновременно справочник по данной тематике. Предварительное зна-
знакомство читателя с техническим аппаратом квантовой теории поля не
требуется, все нужные справочные сведения о функциональной и диа-
диаграммной технике и теории УФ-ренормировки приводятся в главах 2,3.
Есть много книг (например, [44,45,48,49] в списке литературы), в
которых излагаются идеи и техника РГ-подхода в теории критического
поведения. Основная задача и специфика этой книги - детальное описа-
описание технологии расчетов. Поэтому общие идеи всегда поясняются при-
примерами конкретных вычислений с подробным, насколько возможно, объ-
объяснением деталей расчета (например, в главе 3 приведен полный рас-
расчет констант ренормировки ^>4-модели в трехпетлевом приближении).
Это и позволяет считать данную книгу учебным пособием, объясняю-
объясняющим, "как вычислять". Проблемы обоснования рассматриваемых моде-
моделей и сравнения результатов с экспериментом выходят за рамки данной
книги, поэтому, как правило, не обсуждаются.
Вторая цель этой книги - "справочник" - достигается тем, что все
Предисловие xv
конечные результаты расчетов приводятся в унифицированных обозна-
обозначениях с максимально достигнутой на данный момент точностью и с
исправлением всех замеченных опечаток. Это должно помочь читателю
получить интересующую его информацию без обращения к оригиналь-
оригинальным работам.
Еще одна особенность этой книги - гораздо более подробное, чем
обычно, обсуждение задач стохастической динамики (главы 5,6).
Теперь о размещении материала. Книга состоит из шести глав, раз-
разбитых на разделы. В первой главе излагается общая схема РГ-подхода в
теории критического поведения ("статика") без обсуждения конкретной
технологии расчета констант ренормировки. Сюда входят историче-
исторический обзор, феноменология критического скейлинга, общие принципы
построения флуктуационных моделей и их мультипликативной ренор-
ренормировки, вывод уравнений РГ и анализ их общих решений, обоснование
критического скейлинга с помощью РГ-уравнений и описание методики
расчета критических размерностей и скейлинговых функций в форме
5-разложений.
В следующих двух главах приводятся справочные сведения о техни-
техническом аппарате квантовой теории поля, который используется при рас-
расчете констант ренормировки и РГ-функций. В главе 2 формулируются
общие правила функциональной и диаграммной техники квантовой те-
теории поля, приводится вывод уравнений Швингера и тождеств Уорда, а
также методика построения 1/п-разложений. Глава 3 посвящена изло-
изложению теории УФ-ренормировки, при этом особое внимание уделяется
современным техническим приемам (размерная регуляризация, мини-
минимальные вычитания, переход к безмассовым диаграммам), существенно
упрощающим процедуру вычислений. Подробно обсуждаются комбина-
комбинаторика Д-операции, техника расчета контрчленов, матричная мульти-
мультипликативная ренормировка составных операторов и операторное разло-
разложение Вильсона (SDE).
Наибольшая по объему глава 4 содержит материал, конкретизиру-
конкретизирующий и существенно дополняющий изложенную в главе 1 общую схему.
Здесь рассматриваются различные конкретные модели критической ста-
статики с пояснениями деталей расчетов для разных вариантов асимпто-
асимптотических разложений индексов, в частности, 4 — е-, 2 + е- и 1/п- раз-
разложений в стандартной 0п-^>4-модели. Приводится обобщение урав-
уравнений РГ на случай функционалов с вакуумными петлями, подробно
поясняется и иллюстрируется примерами методика вычисления крити-
критических размерностей для семейств смешивающихся при ренормировке
составных операторов. В этой главе излагается также альтернатив-
xvi Предисловие
ная РГ-подходу техника расчета критических размерностей с помощью
различных уравнений самосогласования, включая метод конформного
бутстрапа; в связи с этим обсуждается проблема обоснования крити-
критической конформной инвариантности функций Грина в конкретных мо-
моделях, а также критерии критической конформности составных опера-
операторов. Самостоятельный интерес представляет описание набора специ-
специальных технических приемов расчета вкладов безмассовых диаграмм в
произвольной размерности пространства.
Глава 5 посвящена критической динамике. Сначала обсуждаются
уравнения стохастической динамики общего вида и правила перехода от
них к эквивалентным квантовополевым моделям. Задачам критической
динамики соответствуют уравнения частного вида, а именно, стохасти-
стохастические уравнения Ланжевена с возможными добавками от межмодового
взаимодействия. Формулируются общие принципы построения таких
моделей, приводится стандартный список [153] конкретных динамиче-
динамических моделей A-J, их описание и интерпретация, а затем - РГ-анализ и
результаты расчета динамических индексов для каждой из них. В по-
последнем разделе главы рассматривается проблема взаимодействия зву-
звуковой волны с критическими флуктуациями в окрестности критической
точки перехода жидкость - газ и приводится вывод соответствующего
закона дисперсии (скорость звука и затухание).
В последней главе б обсуждаются динамические задачи "неланже-
веновского" типа, а именно, стохастическая теория турбулентности и
ее обобщения - стохастическая магнитная гидродинамика, турбулент-
турбулентное перемешивание пассивной примеси, ленгмюровская турбулентность
плазмы.
Небольшое "Дополнение" в конце книги содержит краткую справоч-
справочную информацию о некоторых относящихся к ее содержанию новых ре-
результатах.
Книга спланирована так, что для получения самого общего предста-
представления о предмете достаточно прочитать лишь первый раздел главы 1 -
"Исторический обзор". Внимательного чтения всей главы 1 вполне до-
достаточно для основательного ознакомления с общими принципами РГ-
техники и ее приложениями к типичным задачам критической статики.
Тот, кого интересуют подробности и технология конкретных вычисле-
вычислений, должен дойти до главы 4, при этом главы 2,3 для хорошо знако-
знакомого с аппаратом квантовой теории поля читателя можно пропустить,
обращаясь к ним только по мере надобности. Последние главы 5,6 пред-
предназначены для читателей, интересующихся применениями РГ-техники
в динамических задачах.
Предисловие xvii
Поясним теперь порядок ссылок в тексте. Все главы книги разбиты
на разделы ("пункты"), нумерация разделов и формул в пределах каж-
каждой главы сплошная, при отсутствии уточняющего номера всегда под-
подразумеваются ссылки внутри текущей главы. Например, "соотноше-
"соотношения (87),B.15)" - ссылка на формулу (87) данной главы и формулу A5)
из (обязательно другой) главы 2. Аналогично, "п.п.3,4.10" - ссылка
на раздел 3 данной главы и раздел 10 из (другой) главы 4. Следует
также предупредить читателя, что в п.3.15 (т.е. в разделе 15 главы 3)
вводятся нестандартные компактные обозначения для гамма-функций и
их произведений, которые часто используются в дальнейшем без особых
пояснений.
В заключение хочу выразить свою благодарность всем студентам,
аспирантам и сотрудникам отдела теоретической физики Санкт-Петер-
Санкт-Петербургского университета, с которыми мы вместе работали и обсуждали
затронутые в этой книге проблемы. Я благодарен также Ж.Зинн-Жюс-
тэну за многочисленные полезные дискуссии и предоставление исправ-
исправленных данных к таблицам в его книге [45]. Особую признательность
хочу выразить А.С.Степаненко, Н.А.Кивелю и Ф.В.Андрееву, которые
еще в бытность студентами добровольно и бескорыстно взяли на себя
большой труд по компьютерному набору текста. Тогда казалось, что на
издание такой большой и коммерчески заведомо нерентабельной книги
в России нет никакой надежды. Но книга все-таки выходит благодаря
финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследо-
Исследований (РФФИ), которому я приношу свою глубокую благодарность.
Г Л ABA 1
ОСНОВЫ ТЕОРИИ КРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ
Эта глава предназначена для общего ознакомления с современной
теорией критического поведения. В первом разделе излагается ее исто-
история, в следующих - основные понятия и идеи.
п.1 Исторический обзор. Существование критической точки от-
открыл в 1869 году Эндрюс [1] в опытах с С02 {Тс = 304°/<"), - ранее
считалось, что некоторые газы вообще не поддаются сжижению давле-
давлением. Через четыре года Ван-дер-Ваальс в своей докторской диссерта-
диссертации [2] предложил общеизвестное теперь уравнение состояния реального
газа, создав тем самым исторически первую теорию самосогласован-
самосогласованного поля. Аналогичную теорию ферромагнетизма построил в 1907 году
Пьер Вейсс [3]. Впоследствии открывались все новые фазовые переходы,
создавались модели для их описания, поэтому появилась естественная
потребность в систематизации накопившегося материала. В 1933 году
Эренфест предложил классификацию фазовых переходов. Сейчас она
представляется неточной, и практически используется лишь основное
деление на переходы первого рода с конечным скачком параметра по-
порядка (намагниченности ферромагнетика, плотности для перехода газ-
жидкость и т.п.) и переходы второго рода, для которых эта величина
непрерывна. В пространстве D всех внешних параметров, задающих со-
состояние системы, особые точки, в которых происходит переход первого
рода, образуют некоторое многообразие М меньшей размерности (на-
(например, если D двумерно, то М- одномерная линия сосуществования
фаз). При плавном изменении внешних параметров представляющая со-
состояние системы точка движется по некоторой траектории в D; если в
некоторой точке х траектория пересекает многообразие М, то в момент
пересечения происходит переход первого рода с конечным скачком па-
параметра порядка. Величина скачка зависит от положения х внутри М
и стремится к нулю при стремлении х к некоторым граничным точкам
многообразия М, такие точки называют критическими. Если траекто-
Глава 1. Основы теории критического поведения
рия, приходя из области неособых точек, попадает в критическую точку
хс и затем идет по многообразию М, то говорят, что в момент прохода
через хс в системе происходит фазовый переход второго рода. Обычно
это наблюдается при понижении температуры, поэтому в дальнейшем
для краткости будем использовать выражения "выше Тс","ниже Тс" и
"в Тс" как синонимы терминов "до перехода", "после перехода" и "в
момент перехода" = "в критической точке".
Если М - одномерная линия сосуществования фаз, то критической
является обычно точка ее окончания. Но это не общий случай: на-
например, для бозе-газа пространство D четырехмерно (температура, да-
давление и комплексное внешнее поле, термодинамически сопряженное с
параметром порядка), многообразие М - двумерная область на плос-
плоскости температура - давление при нулевом внешнем поле, ее граница
образует целую линию критических точек. Поэтому при понижении
температуры фазовый переход второго рода в сверхтекучее состояние
жидкого гелия происходит не при определенном значении давления, как
для обычного перехода газ - жидкость, а при любом его значении в
некотором интервале.
Из эксперимента известно, что при подходе к критической точке вос-
восприимчивость системы неограниченно возрастает, имеются также ано-
аномалии теплоемкости и других величин. Исследование этих "критиче-
"критических явлений" и составляет предмет теории критического поведения.
Одной из важнейших его особенностей является универсальность:
различные системы демонстрируют приблизительно одинаковое кри-
критическое поведение, например, восприимчивость магнетика расходится
при Т -4 Тс приблизительно так же, как сжимаемость газа, спонтанная
намагниченность ведет себя подобно разности плотностей жидкости и
газа на кривой сосуществования и т.п.. Это привело к появлению по-
понятия класса универсальности, объединяющего системы с одинаковым
критическим поведением. По современным представлениям последнее
определяется лишь общими свойствами системы: размерностью про-
пространства, природой (числом компонент, тензорными свойствами и т.п.)
параметра порядка, симметрией задачи и общим характером взаимо-
взаимодействия (дальнодействие или короткодействие),' но не зависит от его
деталей.
Единая теория критического поведения, естественно объясняющая
универсальность, была сформулирована Ландау в 1937 году [4]. В ней
постулируется, что равновесное значение а0 параметра порядка а можно
находить из условия минимума свободной энергии F, рассматриваемой
как функционал от а и прочих переменных, задающих состояние си-
jjj Исторический обзор
стемы. Вторым постулатом является предположение об аналитичности
F в окрестности критической точки по всем переменным. Поскольку
их отклонения от критических значений всегда можно считать малыми
(непрерывность), в тэйлоровском разложении F по отклонениям нужно
удерживать лишь небольшое (но достаточное для объяснения самого
факта перехода) число первых членов. В итоге явный вид F для задан-
заданного набора переменных и заданной симметрии определяется практиче-
практически однозначно, чем и объясняется универсальность.
Теория Ландау дает вполне определенные предсказания относитель-
относительно сингулярностей различных величин в критической точке: для про-
простейшего перехода второго рода в магнетике или в системе газ - жид-
жидкость она предсказывает конечный скачок теплоемкости, особенность
вида \Т — Tel для восприимчивости (сжимаемости) и (Тс — ТI/2 для
спонтанной намагниченности (разности плотностей рж. — Рт = Ар на
кривой сосуществования). Но впоследствии стало ясно, что эти пред-
предсказания неточны: из выполненного Онзагером в 1942 г. (и опублико-
опубликованного [5] в 1944 г.) точного расчета статсуммы двумерной модели
Изинга в нулевом внешнем поле следует, что теплоемкость в данной
модели имеет логарифмическую особенность вместо конечного скачка;
в 1943 г. Гугенгейм в экспериментах с несколькими газами подтвердил
степенной закон Ар ~ (Тс — Т)'3, но с показателем /? = 1/3 вместо 1/2
по теории Ландау [6].
Интенсивное экспериментальное и теоретическое исследование кри-
критических сингулярностей началось в шестидесятых годах. Довольно
скоро утвердилось мнение, что в подавляющем большинстве случаев
сингулярности действительно степенные, но показатели степеней, назы-
называемые теперь критическими индексами или критическими показате-
показателями, отличаются от канонических значений, предсказываемых теорией
Ландау.
Очень важную роль в создании современной теории критического
поведения сыграла модель Изинга, поэтому остановимся кратко на ее
любопытной истории [7]. Это простейшая модель одноосного класси-
классического ферромагнетика с обменным взаимодействием соседних спинов,
расположенных в узлах заданной пространственной решетки. Она ис-
используется также и для других систем, в частности, решеточного газа
[8] и бинарных сплавов [9]. Правильнее было бы называть ее моделью
Ленца-Изинга, поскольку предложил ее Вильгельм Ленц в 1920 году
[10], а его ученик Эрнст Изинг в 1925 году сумел найти точное решение
для одномерной цепочки спинов [11]. Он был разочарован, не обнару-
обнаружив в решении фазового перехода при конечной температуре. Изинг
Глава 1. Основы теории критического поведения
счел это органическим дефектом модели, так сначала думали и другие
(например, Гайзенберг при построении своей квантовой модели ферро-
ферромагнетизма [12] указывал на то, что классическая модель Изинга не
объясняет фазового перехода). И лишь позднее стало ясно, что дело
не в самой модели, а в одномерности решенной Изингом задачи; в 1936
году Пайерлс привел общеизвестные сейчас аргументы, доказывающие
невозможность фазового перехода в одномерных системах с короткодей-
ствием [13].
Первую точную информацию о фазовом переходе в модели Изинга
получили в 1941 году Крамере и Ванье [14], сумевшие из соображений
симметрии найти точное значение Тс для двумерной квадратной ре-
решетки Изинга, а 28 февраля 1942 года на заседании N.Y.Acad. of Sci.
Ларе Онзагер предъявил свое знаменитое точное решение двумерной
модели - статсумму в нулевом внешнем поле [15]. Детали расчета были
опубликованы лишь через два года [5]. Впоследствии он вычислил спон-
спонтанную намагниченность в той же модели, приведя результат в про-
процессе дискуссии на конференции по фазовым переходам в Корнелльском
университете в августе 1948 года. Формула для спонтанной намагни-
намагниченности была потом опубликована им без вывода в [16] (об истории
см. [17]). Ее вывод Онзагер так никогда и не опубликовал, и лишь че-
четыре года спустя Янг сумел найти свое решение задачи, приведя пол-
полный расчет спонтанной намагниченности [18]. Онзагер [5] использовал
матричный метод, предложенный ранее в работах [19, 20]. Кауфман
усовершенствовала этот метод [21], что позволило ей совместно с Онза-
гером вычислить и парную корреляционную функцию спинов в нулевом
поле [22].
Этим исчерпываются точные результаты для модели Изинга, все
они относятся к двумерной модели в нулевом внешнем поле. Впослед-
Впоследствии они неоднократно воспроизводились различными техническими
методами (ссылки можно найти в [23]), но никаких точных результатов
для трехмерной модели и даже для двумерной с внешним полем полу-
получить не удалось. Тем не менее, критическое поведение трехмерной мо-
модели Изинга считается сейчас достаточно хорошо известным благодаря
разработке эффективных методов экстраполяции высоко- и низкотемпе-
низкотемпературных разложений. Техника построения таких разложений известна
давно (см., например, [24]), но эффективное их использование для ана-
анализа критических сингулярностей требует знания достаточно длинных
отрезков рядов и стало возможным лишь в конце пятидесятых годов
с появлением мощных ЭВМ. На этом пути удалось получить доста-
достаточно надежные и точные оценки критических температур и индексов
п.1 Исторический обзор
для различных пространственных решеток [24]. В некотором смысле
эти результаты даже ценнее экспериментальных, поскольку они отно-
относятся к точно определенной модели, а в реальных экспериментах откло-
отклонения от теоретических предсказаний всегда можно приписать влиянию
примесей, неучтенных взаимодействий и т.п.. Существенную информа-
информацию о критическом поведении дают также машинные расчеты методом
М онте- К ар л о.
Результаты численных расчетов в трехмерной модели Изинга сы-
сыграли очень важную роль. Во-первых, они наглядно подтвердили идею
универсальности: для разных решеток (простая кубическая, объемно-
центрированная, гранецентрированная и др.) полученные значения кри-
критических температур оказались существенно различными, а критиче-
критические индексы - одинаковыми, но при этом иными, чем в двумерной
модели. Во-вторых, именно анализ полученных значений индексов [25]
подсказал идею критического скейлинга (или гипотезы подобия), ле-
лежащую в основе современной теории.
Термодинамическая гипотеза подобия была сформулирована прак-
практически одновременно и независимо в работах Домба и Хантера [25] для
модели Изинга, Вайдома [26] для перехода газ-жидкость, Паташинского
и Покровского [27] для ферромагнитных систем. В терминологии маг-
магнетика суть гипотезы в том, что ответственную за критические син-
сингулярности часть свободной энергии единицы объема можно считать
обобщенной однородной функцией переменных т = Т — Тс и внешнего
поля Л, поэтому все индексы однозначно выражаются через два параме-
параметра - критические размерности переменных г и Л. Поскольку индексов
много, между ними должны существовать вполне определенные связи.
Для известных (см. выше) индексов модели Изинга такие соотношения
связи действительно выполняются, - это наблюдение и было главным
аргументом в пользу термодинамической гипотезы подобия.
Каданов [28] обобщил ее на корреляционные функции и привел эври-
эвристические аргументы, объясняющие механизм возникновения критиче-
критического скейлинга. "Блочное построение" Каданова сыграло впоследствии
важную роль в идеологическом обосновании метода ренормгруппы. Не-
Необходимо также упомянуть более раннюю работу Паташинского и По-
Покровского [29], посвященную фазовому переходу в жидком гелии (сверх-
(сверхтекучесть). Четкой общей формулировки гипотезы подобия там нет,
хотя авторы очень близко подошли к ней, упомянув даже аналогию с
колмогоровским скейлингом в теории турбулентности. В этой работе со-
содержатся также другие важные идеи, вошедшие впоследствии в основы
Глава 1. Основы теории критического поведения
теории: возможность подмены точной микромодели флуктуационной и
"забывание" системой затравочных зарядов в критической области.
После всех этих (и еще многих) работ идея критического скейлинга
стала во второй половине шестидесятых годов общепризнанной. Клас-
Классическая теория Ландау укладывается в рамки термодинамической ги-
гипотезы подобия, но неверно предсказывает критические размерности.
Причина понятна: это типичная теория самосогласованного поля, пре-
пренебрегающая флуктуациями параметра порядка, величина которых воз-
возрастает с приближением к Тс, что наглядно проявляется в критической
опалесценции. Это значит, что вблизи Тс параметр порядка нужно рас-
рассматривать как случайную величину, точнее, как случайное поле, по-
поскольку флуктуации в общем случае будут пространственно-неоднород-
пространственно-неоднородными. С точки зрения математического аппарата, теория классического
случайного поля тождественна квантовой теории поля в евклидовом ва-
варианте, вариационный функционал Ландау на языке теории поля есть
функционал действия модели. Так определенная флуктпуационная по-
полевая модель по современным представлениям полностью эквивалентна
исходной точной микромодели в том (и только в том), что касается
критического поведения. Возможность подмены точной модели флукту-
флуктуационной - один из важнейших постулатов современной теории крити-
критического поведения. Это именно постулат, поскольку возможность такой
подмены (насколько известно автору) ни в одном нетривиальном случае
совершенно строго не доказана. Ценность подмены очевидна: флуктуа-
ционная модель уже содержит идею универсальности (функционал Лан-
Ландау), и в то же время учитывает флуктуации, поскольку оперирует не
со средним значением параметра порядка, а с соответствующим слу-
случайным полем. Необходимость учета флуктуации путем перехода от
простой теории Ландау к соответствующей флуктуационной полевой
модели была осознана давно (см., например, [29]), но сама по себе эта
идея не могла внушать оптимизма. Дело в том, что "существенность
флуктуации" влизи Тс означает, что речь идет о теории поля с сильным
взаимодействием, трудности которой общеизвестны и в физике элемен-
элементарных частиц, пользующейся аналогичным аппаратом, не преодолены
до сих пор. Поэтому столь важен следующий шаг, сделанный Кенне-
Кеннетом Вильсоном в начале семидесятых годов: он заметил, что даже при
сильном взаимодействии можно получать конкретную информацию о
критическом поведении методом ренормгруппы (РГ).
Метод РГ был разработан в релятивистской квантовой теории поля
еще в середине пятидесятых годов. На существование группы ренорми-
ровочных преобразований (РГ), описывающей произвол процедуры уль-
п.1 Исторический обзор
трафиолетовой перенормировки, впервые было указано в работе Штю-
кельберга и Петермана [30] в 1953 году. Независимо в работе Гелл-
Манна и Лоу [31] A954) был предложен простой способ получения с
помощью дифференциального уравнения так называемой "главной ло-
логарифмической асимптотики" в квантовой электродинамике, которая
ранее была вычислена Ландау, Абрикосовым и Халатниковым [32] пря-
прямым суммированием ведущих сингулярностей диаграмм теории возму-
возмущений. Вскоре после этого в работах Боголюбова и Ширкова [33, 34]
было показано, что подход [31] тесно связан с группой ренормировоч-
ных преобразований [30]. В этих работах была построена законченная
общая квантовополевая теория РГ в ее современном понимании, и уже в
первом издании A957) монографии [35] ей посвящена отдельная глава.
С практической точки зрения техника РГ представляет собой эф-
эффективный метод расчета нетривиальной асимптотики функций Грина
в области больших (ультрафиолетовая - УФ) или малых (инфракрас-
(инфракрасная - ИК) импульсов. Асимптотика нетривиальна, если в отдельных
членах ряда теории возмущений появляются особенности по импульсам,
например, "большие логарифмы", компенсирующие малость константы
связи (заряда) д. В такой ситуации для получения искомой асимптотики
нельзя ограничиться никаким конечным порядком теории возмущений,
а нужно суммировать весь ряд. Сразу отметим, что в области малых
импульсов функции Грина могут иметь особенности лишь в моделях с
взаимодействием безмассовых полей. Таковых не было среди реляти-
релятивистских полевых моделей, обсуждавшихся в пятидесятых годах. По-
Поэтому там всегда речь шла о нетривиальной ультрафиолетовой асим-
асимптотике, для ее анализа и создавался первоначально метод РГ.
Поясним проблему подробнее на типичном примере пропагатора (по-
(полевой аналог коррелятора) в релятивистской квантовой электродина-
электродинамике. Он зависит от одного импульса к = \Дг*, а общий член ряда тео-
теории возмущений ведет себя при большом импульсе как gn Pn(z), где д =
1/137 - константа связи, Рп - некоторый полином порядка п от "боль-
"большого логарифма" z = \п(к/ко) с некоторой обезразмеривающей импульс
к константой ко. Ясно, что при достаточно большом импульсе, когда
дъ ~ 1, необходимо суммировать весь ряд теории возмущений. Есте-
Естественным первым приближением является суммирование "главных ло-
логарифмов" (дъ)п, когда в каждом полиноме Рп оставляется лишь вклад
старшей степени zn (это и было сделано в [32]), затем можно учесть
поправку - сумму всех вкладов тжпз, д(дъ)п с потерей одного "большого
логарифма", потом следующую поправку с потерей двух логарифмов и
так далее.
Глава 1. Основы теории критического поведения
Такие суммирования легко выполняются с помощью техники РГ.
Она позволяет получить для функций Грина некоторое линейное диф-
дифференциальное уравнение в частных производных. Называемые РГ-
функциями коэффициенты соответствующего дифференциального РГ-
onepamopa можно вычислять по теории возмущений, но если затем само
уравнение решать точно, то получаемые в итоге ответы для функций
Грина будут представлять собой результат искомого бесконечного сум-
суммирования. Например, вычислив РГ-функции в уравнении для пропа-
гатора в самом низшем нетривиальном порядке теории возмущений и
решив затем точно уравнение с такими РГ-функциями, мы получим для
пропагатора ответ [32], представляющий сумму вкладов всех главных
логарифмов. Увеличив точность вычисления РГ-функций на порядок,
можно найти таким путем первую поправку (см. выше) к главному
логарифмическому приближению и так далее.
Таким образом, техника РГ - весьма эффективный метод суммиро-
суммирования главных логарифмов, - это было установлено в работах [31, 33].
Но почти сразу же было отмечено [35], что подобное суммирование не
всегда имеет смысл, точнее, оно дает правильный ответ только для од-
одной из двух асимптотик (если обе нетривиальны) - либо инфракрасной,
либо ультрафиолетовой. Поясним подробнее: если бы в квантовой элек-
электродинамике электрон был безмассовым, то представление gn Pn(z) для
общего члена ряда теории возмущений было бы верным при всех, а не
только при больших импульсах, и в этом случае мы имели бы "боль-
"большой логарифм" не только при к —>• оо, но и при к —>• 0. Утверждение
состоит в том, что результат суммирования главных логарифмов бу-
будет в этом случае правильно давать лишь одну из двух асимптотик:
либо z —)■ —оо, либо z —)■ +оо. Зная формальный ответ, нетрудно уста-
установить, какую именно: в "неправильной области" ответ обязательно
имеет какую-нибудь патологию, обычно это сингулярность из-за нуля
в знаменателе при конечном значении дъ, за которым ответ приобре-
приобретает неправильный знак. Такая патология есть и в ответе [32] для
больших импульсов, и этот "московский нуль" (термин тех времен) не-
некоторое время активно обсуждался в литературе, пока не стало ясно,
что обсуждать нечего, поскольку ответ вообще не имеет смысла как
ультрафиолетовая асимптотика.
В схеме РГ есть простой способ выяснить область применимости по-
получаемой асимптотики без явного ее вычисления. Одной из РГ-функций
является так называемая ^-функция - коэффициент при производной
dg в РГ-операторе. Это функция заряда (константы связи) д, реально
она вычисляется по теории возмущений в форме ряда по д, и для всех
п.1 Исторический обзор
стандартных релятивистских моделей, включая квантовую электроди-
электродинамику, этот ряд начинается с д2 : /3(д) = /32д2 +/?з£3 + В общей тео-
теории РГ доказывается, что нетривиальные асимптотики функций Грина
связаны с так называемыми фиксированными точками д„ - нулями /?-
функции (т.е. корнями уравнения /3(д) = 0), одной из них всегда явля-
является тривиальная точка д* =0. В зависимости от поведения ^-функции
в окрестности д* различают ИК-притягивающие и УФ-притягивающие
фиксированные точки, данная точка дл определяет только "свою" (в
соответствии с ее типом) асимптотику функций Грина. Те "большие
логарифмы", о которых шла речь выше, связаны с тривиальной фикси-
фиксированной точкой 5* = 0, а ее тип определяется знаком первого коэффи-
коэффициента /?2 в разложении ^-функции. Для квантовой электродинамики
она оказывается ИК-притягивающей (/?2 > 0) и поэтому не определяет
УФ-асимптотику. Выполненные сразу же после создания метода РГ
расчеты показали, что тем же свойством обладают и все другие извест-
известные тогда полевые модели (<£>4, различные взаимодействия типа Юкавы
и т.п.). Будь они безмассовыми, возникла бы задача вычисления не-
нетривиальной ИК-асимптотики и техника РГ была бы тогда идеальным
методом ее решения. Но в физике элементарных частиц такой про-
проблемы не было, поскольку реальные частицы и соответствующие поля
массивны, а две исключительные безмассовые частицы - фотон и ней-
нейтрино - взаимодействуют только с массивными. Для таких моделей
функции Грина аналитичны при малых импульсах, т.е. нет проблемы
ИК-сингулярностей и их суммирования. Поэтому метод РГ создавался
в надежде исследовать с его помощью нетривиальную УФ-асимптотику
функций Грина. Но он оказался непригодным для этой цели, и в итоге
получилось, что около 15 лет мощная техника РГ оставалась практи-
практически без применения.
Ситуация резко изменилась в начале семидесятых годов из-за почти
одновременного появления двух обширных областей применимости тех-
техники РГ: одна из них - высокоэнергетическая релятивистская физика,
прогресс здесь связан с открытием так называемой "ультрафиолето-
"ультрафиолетовой асимптотической свободы" неабелевых калибровочных теорий. Это
новый класс моделей, которых не было в пятидесятых годах, они счи-
считаются сейчас основным кандидатом на роль теории сильного взаимо-
взаимодействия в физике элементарных частиц. В работах [36] было показано,
что для этих моделей первый коэффициент /32 в разложении ^-функции
отрицателен, т.е. имеет другой знак, чем у всех ранее известных ре-
релятивистских моделей. Поэтому точка gt = 0 оказывается теперь УФ-
притягивающей, т.е. определяет УФ-асимптотику функций Грина, -
10 Глава 1. Основы теории критического поведения
в этом и заключается "асимптотическая свобода". Тем самым появи-
появилась возможность использовать метод РГ при исследовании различных
высокоэнергетических процессов, так как высокие энергии связаны с
УФ-асимптотикой.
Вторая область - использование техники РГ в теории критического
поведения. Эта идея принадлежит Кеннету Вильсону [37] A971). Она
оказалась чрезвычайно плодотворной и за несколько лет произвела на-
настоящий переворот в данной области.
Как уже говорилось, флуктуационная теория критического поведе-
поведения эквивалентна евклидовой квантовой теории поля. Непосредственно
критической точке соответствуют безмассовые поля, и нас теперь инте-
интересует нетривиальная ИК-асимптотика функций Грина (в статфизике
они имеют смысл корреляционных функций, в дальнейшем эти термины
считаются синонимами).
Типичные модели статфизики относятся к тому же классу, что и ре-
релятивистские полевые модели, исследовавшиеся с точки зрения РГ при
ее возникновении. Но есть одно важное различие: ввиду отсутствия вре-
времени в равновесной статфизике естественной является размерность про-
пространства d — 3 вместо релятивистской d = 4 ("пространство+время").
Если бы мы пожелали исследовать критическое поведение для таких
моделей не в реальной размерности d = 3, а в абстрактной d = 4, то
не имели бы никаких проблем: функции Грина содержали бы тогда
стандартные логарифмические особенности, которые легко суммирова-
суммировались бы методом РГ. Фактически это и было сделано в работе Ларкина
и Хмельницкого [38] A969), посвященной критическому поведению од-
одноосного сегнетоэлектрика. Это исключительная модель, которая при
d — 3 имеет такое же ИК-поведение, как обычные полевые модели при
d = 4, поэтому квантополевая техника РГ применима здесь непосред-
непосредственно к реальной трехмерной задаче.
Работа [38] - исторически первый конкретный пример использования
техники РГ в теории критического поведения. Но она не оказала замет-
заметного влияния на общий ход ее развития, поскольку рассмотренная в [38]
модель представлялась исключительной, а в стандартных моделях, о
которых говорилось выше, ситуация иная. Они "логарифмичны" при
d = 4, с уменьшением размерности ИК-сингулярности усиливаются,
становясь степенными. С другой стороны, квантовополевая техника РГ
по самому своему происхождению связана с процедурой ультрафиолето-
ультрафиолетовой ренормировки, устраняющей УФ-расходимости. Они существенны
в обычных моделях при d — 4, но практически отсутствуют при d = 3.
Поэтому на первый взгляд кажется, что связанная с процедурой УФ-
я. I Исторический обзор 11
ренормировки квантополевая техника РГ вообще не должна иметь ни-
никакого отношения к реальным трехмерным задачам.
Вывод дифференциальных уравнений РГ для теории критического
поведения в первой работе Вильсона [37] A971) был основан на совер-
совершенно иных соображениях, чем в квантовой теории поля, хотя Вильсон
отмечал наличие формальной аналогии, отсюда и сам термин ренорм-
группа. Он исходил из блочного построения Каданова [28] для модели
Изинга, в котором исходное взаимодействие индивидуальных спинов за-
заменяется взаимодействием укрупненных объектов - "блоков спинов".
Гипотеза Каданова [28], предложенная им для объяснения критического
скейлинга, состоит из двух предположений: 1) вблизи Тс гамильтониан
взаимодействия блоков можно считать по виду таким же, как исходное
микровзаимодействие, только с измененными параметрами; 2) зависи-
зависимость параметров от размера блоков L имеет при L —>■ оо скейлинговую
форму. Вильсон [37] ввел дифференциальные уравнения РГ как ин-
финитезимальную форму преобразований Каданова и показал, что при
достаточно общих предположениях вторая часть гипотезы Каданова -
автоматическое следствие самих уравнений, т.е. общее свойство их ре-
решений. Затем он предложил [39] конкретную вычислительную проце-
процедуру - метод рекуррентных соотношений, продемонстрировав его тех-
технические возможности конкретным численным расчетом индексов для
модели Изинга.
Очевидным слабым местом предложенной схемы было отсутствие
в ней хотя бы формального малого параметра. Поэтому очень важен
следующий шаг, сделанный Вильсоном и Фишером в [40]: они пока-
показали, что такой параметр появляется, если рассматривать задачу в пе-
переменной размерности пространства d = 4 — е, тогда индексы можно
вычислять в форме рядов по г. Введение формального параметра е
обеспечивает внутреннюю самосогласованность всей схемы, в частно-
частности, позволяет классифицировать взаимодействия, разделяя их на ИК-
существенные и ИК-несущественные: все первые нужно учитывать при
анализе критического поведения, все вторые можно отбрасывать, так
как их вклады на языке процедуры Каданова (см. выше) степенным
образом "вымирают" при L —>• оо. В D — г)-схеме получает обоснование
и первая часть гипотезы Каданова: отбрасываемые вклады гамиль-
гамильтониана взаимодействия блоков действительно ИК-несущественны при
малом s.
В следующей работе [41] Вильсон усовершенствовал вычислитель-
вычислительную процедуру, показав, как можно использовать для расчета £-разложе-
ний индексов стандартную технику диаграмм Фейнмана.
12 Глава 1. Основы теории критического поведения
Значение этих работ было осознано немедленно, их идеи и аппарат
сразу же нашли разнообразные приложения, подробное изложение и об-
обзор результатов этого первого этапа развития РГ-теории критического
поведения можно найти в статье [42].
Разработка общей идеологии РГ-подхода на этом этапе фактически
завершилась, но техника продолжала развиваться в сторону большей
формализации и сближения с традиционным аппаратом квантовой те-
теории поля. В конечном итоге было осознано, что все результаты под-
подхода Вильсона можно получать и в рамках прежней квантовополевой
техники РГ, приспособленной для размерности d = 4 — е, причем техни-
технически это самый простой способ расчета, особенно в высших порядках
по е. Важную роль в разработке и пропаганде "квантовополевой вер-
версии" подхода Вильсона сыграли работы французских физиков из Сакле
и их большой обзор [43]. Этот обзор и написанная на его основе книга
[44] долгое время служили основными пособиями по данной тематике,
и лишь позднее появилась гораздо более обширная монография [45].
Поясним кратко схему расчета индексов в рамках квантовополевой
техники РГ. Получаемое в ней дифференциальное уравнение РГ для
корреляционных функций (функций Грина) W в обсуждаемых сейчас
моделях можно записать в виде
=0, ^рг=/*|;+/?(<7)|^-Е"^)е,^:, A)
где g - заряд (константа связи), \i - вспомогательный размерный па-
параметр, называемый ренормировочной массой, е,- - прочие параметры,
характеризующие отклонение от критической точки (Г — Тс, внешнее
поле и т.п.), 7w в A) зависит от изучаемой функции W, а оператор
Х>РГ для всех одинаков. Коэффициент при d/dg в Х>РГ называют /?-
функцией, 7 ~ аномальными размерностями (ji - переменной е,-, jw -
функции W), общий термин - РГ-функции, практически они вычисля-
вычисляются по диаграммам в форме рядов по д. Асимптотические режимы
связаны с фиксированными точками д„, в которых /?(#♦) = 0, тип точки
(ИК или УФ) определяется поведением j3{g) в ее окрестности, для нулей
первого порядка - знаком производной ш = 0'(д*) {ш > 0 соответствует
ИК-типу, ш < 0 - УФ-типу). Как уже говорилось, в размерности d = 4
разложение /?-функции имеет вид j3{g) = /32д2 + /33д3 + . •., причем для
наших моделей fa > 0, что соответствует ИК-типу тривиальной фик-
фиксированной точки 5* = 0. Оказывается, что при d — 4 — е в разложении
/?-функции появляется линейный член: /3(д) — —eg + fag2 + ..., а знаки
коэффициентов /?п с п > 2 остаются прежними (в некоторых расчетных
я. 1 Исторический обзор 13
схемах эти коэффициенты от £ вообще не зависят). Поэтому ^-функция
при малых е ведет себя так, как показано на рис.1, и имеет две фикси-
фиксированные точки: д* = 0 и д* ~ е. Из графика видно, что первая из них
УФ-типа, а вторая - ИК-типа (см. выше), она и определяет в данном
случае искомую ИК-асимптотику корреляционных функций W.
9* д
Рис.1. Поведение ^-функции при d = 4 — е.
Если /^-функция ведет себя так, как показано на рис.1, то независимо
от малости £ можно математически строго доказать, что ведущий член
Wuk асимптотики W в критической области (все импульсы и параме-
параметры е,- малы) удовлетворяет уравнению A), в котором все РГ-функции
заменены их значениями в ИК-притягивающей фиксированной точке
д„ ~ £ (напомним, что /?(#») = 0):
i± - Х>Ы« ^Т + 7w(e.) ] W«k = 0 . B)
Это уравнение - дифференциальная форма условия обобщенной одно-
однородности функции И^ик- При учете обычной (тривиальной) масштаб-
масштабной Инвариантности из B) вытекает существование критического скей-
линга с размерностями
Д [е,.] = d [а] + ъ{дт) , Д[ W } = d [ W } + 7w(<7.) , C)
где A[F] обозначает искомую критическую, a d[F] - каноническую (т.е.
получаемую в теории Ландау) размерность величины F, для импульса
обе принимаются за единицу. Канонические размерности определяются
однозначно по виду функционала Ландау (т.е. действия в полевой фор-
формулировке), а добавки 7E») в C) вычисляются в форме рядов по £: зная
все РГ-функции в форме рядов по д, из уравнения 0(д*) = 0 получают
ряд по £ для 5*i его подстановкой в j(g) получают искомые ряды для
~/{д*), это и будут е-разложения Вильсона. Реально, конечно, можно
14 Глава 1. Основы теории критического поведения
вычислить лишь начальные отрезки рядов, причем сложность расчета
резко возрастает с ростом порядка по е. Для стандартной у>4-модели в
технике Вильсона были вычислены [42] лишь члены порядка еже2 для
основных индексов, максимальное достижение сейчас - е5. При рас-
расчете высших порядков на первый план выдвигаются чисто технические
проблемы, и здесь преимущества квантовополевой формулировки ста-
становятся особенно заметными. Одно из них в том, что в этой схеме все
РГ-функции в форме рядов по g можно вычислять через так называе-
называемые константы ренормировки, которые не зависят от переменных типа
координат или импульсов и поэтому являются гораздо более простыми
объектами, чем сами корреляционные функции, используемые в технике
Вильсона.
По аналогии с 4 — е -разложением для некоторых моделей научились
строить и другие разложения индексов. Например, для Оп-симметрич-
ной <£>4-модели, описывающей классический изотропный ферромагнетик
Гайзенберга с n-компонентным спином, помимо стандартного разложе-
разложения Вильсона по параметру е = 4 — d сейчас умеют также строить
2 + ^-разложения по параметру е = d — 2 и 1/п-разложение по обрат-
обратному числу компонент спина.
Критический скейлинг - следствие показанного на рис.1 поведения
^-функции. При асимптотически малых е оно гарантировано, но для
возможности использования результатов при реальном значении s — 1
нужно верить, что с ростом е показанная на рис.1 картина деформи-
деформируется, но качественно не изменяется, т.е. ИК-точка д* не исчезает.
Доказать это невозможно, зная реально лишь начальный отрезок ряда
по g для /^-функции, поэтому практически это второй основной постулат
(первый - возможность перехода к флуктуационной модели) современ-
современной теории критического поведения. Главное оправдание этих посту-
постулатов - в результатах, в первую очередь качественных. Что касается
численных значений индексов, то надеяться на получение хорошего со-
согласия с экспериментом (настоящим или "машинным") при реальном
г = 1 трудно. Поэтому даже удивительно,что довольно часто они ока-
оказываются неплохими: например, учет двух первых поправок к индек-
индексам Ландау приводит к довольно хорошему согласию с результатами
машинного расчета индексов для трехмерной модели Изинга (в частно-
частности, для индекса восприимчивости j в теории Ландау 7=1, пРи учете
поправок е и е2 получается у = 1.244, точный машинный результат
7 = 1.250 ± 0.003). С некоторого момента учет высших поправок по е
ухудшает результат, т.е. ряды явно асимптотические. С этим научи-
научились довольно успешно бороться путем использования методов сумми-
п.1 Исторический обзор 15
рования (по Паде-Борелю) расходящихся рядов, что стало возможным
благодаря разработке техники расчета асимптотики высоких порядков
[46, 47].
Но главным достижением предложенной Вильсоном схемы являются
не новые числа, а новый взгляд на вещи: РГ-подход объясняет механизм
возникновения критического скейлинга и поправок к каноническим ин-
индексам Ландау, он позволяет обсуждать вопросы выхода на предельную
скейлинговую асимптотику и поправки к ней. Для сложных многоза-
многозарядных моделей он позволяет объяснить иногда весьма нетривиальную
качественную картину критического поведения, влияние на нее случай-
случайных примесей и т.п.; он естественно обобщается на другие типы кри-
критического поведения, например, трикритическое. Будучи развит сна-
сначала в равновесной статфизике ("критическая статика"), он был затем
обобщен на критическую динамику, изучающую сингулярности кине-
кинетических коэффициентов и времен релаксации в критической точке, и
другие родственные задачи: теорию полимеров, задачи протекания и
случайных блужданий различного типа, теорию развитой турбулент-
турбулентности, магнитную гидродинамику турбулентной среды (ссылки по ходу
изложения). Список таких задач будет, видимо, и далее пополняться.
Можно сказать, что РГ-подход представляет собой качественно но-
новый этап в развитии теории критического поведения и родственных за-
задач, создавший новый язык, не менее универсальный, чем старая теории
Ландау, но гораздо более гибкий и обладающий большей "предсказа-
"предсказательной силой". Семидесятые годы ознаменовались бурным развитием
этой области, к началу восьмидесятых ее построение было в общих чер-
чертах завершено и метод РГ стал тем общим языком, на котором теперь
говорят о критическом поведении как теоретики, так и эксперимента-
экспериментаторы; за его введение Вильсону в 1982 г. была присуждена Нобелевская
премия.
В последующие годы развитие теории не остановилось, хотя перешло
в более "спокойную фазу": уточняются полученные ранее результаты,
рассматриваются новые модели по мере их появления, открываются це-
целые новые области применимости РГ-техники, в частности, теория раз-
развитой турбулентности. Можно сказать, что РГ-техника стала одним
из общепризнанных и весьма мощных методов исследования широкого
круга проблем.
Существует много разных вариантов изложения метода РГ, идейно
они эквивалентны, но технически различаются. В данной книге будет
излагаться квантовополевая формулировка как наиболее четкая и фор-
формализованная; она пользуется хорошо разработанным в релятивистской
16 Глава 1. Основы теории критического поведения
теории поля нетривиальным аппаратом ультрафиолетовых перенорми-
перенормировок, что важно при расчете высших порядков по е. Основной техниче-
технический прием - расчет РГ-функций через константы УФ-ренормировки с
использованием размерной регуляризации и наиболее удобной практиче-
практически схемы минимальных вычитаний. Все изложение является строгим в
рамках ^-разложения с формальным малым параметром е и лишь в ко-
конечных выражениях полагается е = 1 (так же и для других вариантов
разложений). Квантовополевая формулировка РГ - самое мощное на
данный момент техническое средство исследования критического пове-
поведения. Но, будучи конечным продуктом длительной эволюции, она уже
не столь прозрачна в идеологическом отношении, как исходная схема
Вильсона. Кратко идеология РГ-подхода пояснялась выше, для более
подробного ознакомления следует обратиться к книгам [42, 48, 49], где
она прекрасно изложена. В этой книге основное внимание сосредоточено
на технике расчетов, которая в высших порядках сама по себе нетриви-
нетривиальна.
Закончив на этом исторический обзор, перейдем к систематическому
изложению основ теории.
п.2 Обобщенная однородность. Это понятие используется при
формулировке гипотезы подобия, поэтому приведем необходимые опре-
определения и сведения. Функцию W(e) числовых переменных е = {ег ... е„}
называют обобщенно-однородной или просто размерной, если 1У(АЛ1 е\,
...,Лл"еп) = XAwW(ei,.. .,еп) для некоторого набора чисел Д и лю-
любого А > 0, или, сокращенно,
W(ex) = AAw W(e) , eiA = Ад'е,-, V* = 1,.. .,n. D)
Параметры Д,- = Де,- = Д[е,] (приводим разные варианты обозначений)
называют размерностями соответствующих переменных е;, a Aw =
A[W] - размерностью функции W. При Aw = 0 функцию W назы-
называют масштабно-инвариантной или просто безразмерной. Размерная
функция W(e) одной переменной е кратна простой степени |е|^ с из-
известным показателем 0 = Д№/Де, а для п переменных W представима
в виде произведения некоторой степени на произвольную скешшнговую
функцию f от п — 1 безразмерных комбинаций аргументов, например,
где 13 = Д^г/Дп, /?,• = Д;/Д„ Vi = 1,2, ...,п— 1. Дифференцируя
равенство D) по А и полагая затем А = 1, получаем эквивалентное D)
п'2 Обобщенная однородность 17
дифференциальное уравнение:
еТ>е - Aw] W(e) = 0 , Ve = e(d/de) = ede F)
с суммированием по всем переменным е.
В термодинамике часто используют преобразования Лежандра функ-
функции по всем или части ее аргументов. Пусть е = {е',е"), где е' - те
переменные, по которым делается преобразование, е" - прочие перемен-
переменные, играющие роль параметров. Преобразование Лежандра функции
W(e) = W(e', е") по переменным е' есть функция Г (а', е"), определенная
соотношениями
Г(о',е") = W(e) - £е(- д1У{е)/де'{ , 0ИГ(е)/0е{ = а\ , G)
причем в формуле для Г считается е' = е'(а', е"), эта зависимость опре-
определена неявно вторыми соотношениями G) (в их правых частях можно
менять знаки и вводить дополнительные коэффициенты, меняя тем са-
самым определение а'). Пары переменных с\, а\ в термодинамике на-
называют взаимно сопряженными (температура - энтропия, давление -
объем, внешнее поле - намагниченность, химический потенциал - плот-
плотность и т.п.), независимой можно считать любую одну из двух перемен-
переменных в каждой паре. Из определения G) легко выводятся соотношения
дТ(а',е") _ , дГ(а',е") _ д\У(е)
е ^
»
да\ ' ' де'1 де
а из G), (8) и равенства 8ik = ——■ = У^ —J~ —-f- следует
/С ф 5 к
-Е
д2Т(а',е") d*W(e) _
да\да>$ de's8e'k ~ ih
т.е. матрицы вторых производных W по е' и Г по а' взаимно обратны
с точностью до знака. Все это понадобится в дальнейшем.
Производные размерной функции по размерным переменным также
размерны, поэтому при размерных W, е' будут размерными и Г, а':
А [а\] = Д [ dW/de't } = A[W] - А [е(] , Д[ Г ] = Д[ W ] . A0)
18 Глава 1. Основы теории критического поведения
Замена А —>• Аа в D) эквивалентна умножению на а всех размерностей Д,
поэтому одну из них можно фиксировать произвольно. Пользуясь этим,
всегда обычно выбирают за единицу размерность импульса 1, тогда
размерность координаты (длины) есть минус единица:
Д[ импульса] = 1 , Д[ координаты] = — 1 . A1)
Этот выбор принимается всюду в данной книге.
В заключение отметим, что свойство обобщенной однородности чув-
чувствительно к выбору переменных и теряется даже при простейшей ли-
линейной замене, если в ней смешиваются переменные разной размерно-
размерности.
п.З Гипотеза подобия (критический скейлинг) в термодина-
термодинамике. В статистической физике термодинамика системы полностью
определяется ее статсуммой Z, рассматриваемой как функция задаю-
задающих состояние системы термодинамических переменных е. Последние
всегда будут предполагаться выбранными так, что в критической точке
все е,- =0. Гипотеза подобия, грубо говоря, есть утверждение о безраз-
мерности Z(e) при правильном выборе переменных е и их размерностей
Д[е].
Эта формулировка нуждается в уточнениях. Прежде всего нужно
подчеркнуть, что речь идет не об обычных (сантиметры, граммы и
т.п.), а о некоторых новых критических размерностях. В обычном
смысле статсумма всегда безразмерна, но это ничего не говорит о ее
зависимости от е, поскольку в Z входят и другие размерные в обычном
смысле параметры модели, считающиеся при изучении термодинамики
фиксированными. При желании все переменные е можно выбрать в
обычном смысле безразмерными, хотя это и не обязательно.
Во-вторых, при изучении фазовых переходов следует рассматривать
систему в термодинамическом пределе бесконечного объема, так как
в конечном объеме V переходы невозможны. Для пространственно-
однородных систем хорошо определенной в пределе V —>• оо величиной
является не сама статсумма, а удельное значение ее логарифма:
W = НтУ-1 In [Zv ] при V -* оо. A2)
Понимая условно гипотезу подобия как утверждение о критической без-
размерности статсуммы, для модели в с?-мерном пространстве из A1),
A2) можно заключить, что W - размерная величина с размерностью
'Термины "импульс" и "волновой вектор" всегда считаем синонимами.
п.З Гипотеза, подобия в термодинамике. 19
A[W] = d, поскольку A[V] = —d согласно A1). Для решеточных моде-
моделей роль V играет полное число узлов, которому приписывается та же
критическая размерность объема —d.
Но и приведенная выше формулировка еще неточна, поскольку утвер-
утверждение гипотезы подобия относится в действительности не ко всей функ-
функции W, а лишь к ее сингулярной части W^ = W—W^r\ ответственной
за критические особенности. Регулярную часть W^r> мы будем опреде-
определять как сумму вкладов всех существующих первых членов тэйлоров-
ского разложения W(e) по е, т.е. тех, для которых соответствующие
частные производные W при е = 0 конечны.
Упрощенная формулировка гипотезы подобия такова: при правиль-
правильном выборе переменных е и их размерностей Д[е] сингулярная часть
W^(e) - обобщенно-однородная функция с размерностью d (см. D)):
W(s\ex) = \d W^{e). A3)
Эта формулировка точная, если речь идет лишь о ведущих критиче-
критических сингулярностях. Но если учитывать и поправки к ним, то гипотезу
подобия нужно понимать как следующее более сложное утверждение от-
относительно асимптотики W^(e\) при А —>• 0:
^) } A4)
с некоторыми неизвестными поправочными индексами 0 < ш\ < и>2
< .... Это значит, что W^(e) - сумма ряда обобщенно-однородных
функций Wn (е) с нарастающими размерностями Д[И-п ] = d + wn,
wo = 0. Утверждение A3) относится лишь к ведущему вкладу Wq ,
который можно выделить из W^ следующим образом: И^ (е) =
lim[A~dH^)(eA)] при А —>• 0. Гипотеза подобия утверждает, что пре-
предел существует, а его обобщенная однородность с размерностью d -
автоматическое следствие определения.
При нашем выборе переменных (е = 0 в критической точке) их раз-
размерности должны быть, очевидно, положительными, чтобы асимпто-
асимптотике A4) сответствовало приближение к критической точке. Поэтому
частные производные W по е достаточно высокого порядка заведомо
расходятся при е —>• 0, так что определенная выше регулярная часть
W^ есть полином по е с Д[мономов] < d = A[Wqf ]. Иногда W^ опре-
определяют как сумму всех аналитических, a W^ - неаналитических вкла-
вкладов W. Это возможно, если известен явный вид неаналитических вкла-
вкладов (и естественно в интерполяционных формулах, используемых при
20 Глава 1. Основы теории критического поведения
обработке эксперимента). Но в общем случае разбиение на аналитиче-
аналитическую и неаналитическую части неоднозначно, поэтому мы предпочли
формально однозначное определение W^ как суммы всех аналитиче-
аналитических вкладов с малыми (< d) размерностями. Аналитические вклады
высокой (> d) размерности включаются в сингулярную часть и играют
в ней роль аналитических поправок Wn с известными шп в A4).
В термодинамике часто удобнее иметь дело не с величиной A2), а с
удельным (на единицу объема) "термодинамическим потенциалом" П:
W = -рп , /? = 1/кТ , A5)
где к - постоянная Больцмана, Т - температура. Для ведущих сингу-
сингулярных вкладов имеем Wq = —/Зсщ\ где /?с = 1/кТс (учет /3 — /?с -
одна из поправок к скейлингу), поэтому с точки зрения простой гипо-
гипотезы подобия A3) величины ЖиП полностью эквивалентны.
В заключение отметим, что гипотеза подобия A3) относится лишь
к наиболее часто встречающемуся случаю степенных критических син-
гулярностей. Она обосновывается (п.1) методом РГ, критические раз-
размерности Д[е] и поправочные индексы и) в схеме РГ вычисляются. Но
это не самая общая ситуация: в некоторых случаях (трикритическая
точка, одноосный сегнетоэлектрик и др.) РГ-анализ показывает, что
поправки к теории Ландау не степенные, а только логарифмические. К
таким системам гипотеза подобия A3), конечно, не относится.
п.4 Модель Изинга, термодинамика ферромагнетика. В мо-
модели Изинга, описывающей одноосный магнетик, каждому узлу г задан-
заданной пространственной решетки сопоставляется классическая случайная
спиновая переменная s,-, принимающая с равной вероятностью два зна-
значения Si = ±1 (говорятспин "вверх" или "вниз") 1 . Гамильтониан зада-
задается как сумма обменного взаимодействия и взаимодействия с внешним
полем h:
Н = -J ^8-8к - hY^Si = Яо6м-/г5, A6)
положительная (для антиферромагнетика отрицательная) константа J
- "обменный интеграл", а суммирование в первом слагаемом произво-
производится по всем парам (гк) ближайших соседей решетки.
Статсумма Z и среднее значение произвольной случайной величины
а определяются общими формулами:
Z = tr [exp(-/?tf) ] , < а > = Z tr [а ехр(-/?Я) ] , A7)
'Знак " " всегда будет использоваться для обозначения случайных величин,
которые нужно отличать от их конкретных реализаций (конфигураций).
п.4 Модель Изинга, термодинамика ферромагнетика, 21
где /? = 1/kT, a tr обозначает суммирование по всем конфигурациям
независимых случайных переменных, в данном случае спинов на ре-
решетке. Из определений легко устанавливается смысл частных произ-
производных удельного логарифма статсуммы W(T,h) (роль V в A2) играет
полное число узлов решетки): dhW = M/kT, dTW = U/kT2, где М =
V~l < S > - намагниченность, U = V~l < Н > - внутренняя энер-
энергия, для всех экстенсивных величин будем подразумевать "в расчете на
узел", лдх = д/дх V ж.
Определение U как удельного среднего Н увязывает статфизику с
термодинамикой. Первое начало термодинамики для магнетика выра-
выражается равенством dU = TdS — Mdh, где S - энтропия, TdS = dQ -
полученное системой тепло, Mdh - совершаемая ею работа. Отсюда
для свободной энергии F = U — TS и функции Г = F + Mh полу-
получаем dF = —SdT — Mdh , dT = —SdT + hdM, тем самым опреде-
определяется смысл частных производных функций U,F,T в их естествен-
естественных переменных: U = U{S,h), F = F(T,h), Г = Г(Г,М). По стат-
сумме непосредственно вычисляется функция П в переменных Т, h,
естественных для свободной энергии F. Покажем, что в данном слу-
случае F = Q(T,h) = — кТ W(T,h). Действительно, из определения Q
в A5) и приведенных выше выражений для частных производных W
нетрудно получить равенство U = П — Тдтп, а из формул термоди-
термодинамики U = F + TS — F — TdTF, так что П и F удовлетворяют од-
одному уравнению. Но отсюда еще не следует П = F, поскольку урав-
уравнение U = F — TdTF определяет F(T,h) no U(T,h) не однозначно, а
лишь с точностью до слагаемого аТ с произвольным не зависящим от
Т коэффициентом а (для разности AF = Fi — F2 двух решений имеем
AF — TdTAF — 0, откуда AF = аТ). Термодинамическое определе-
определение F по U становится однозначным лишь при наложении добавочного
требования, например, S = —drF = 0 при Т = 0 (теорема Нернста).
Из определения П через статсумму нетрудно убедиться, что п указан-
указанному требованию удовлетворяет, уравнению тоже (см. выше), поэтому
можно положить F(T, h) = П(Т, Л) в согласии с теоремой Нернста.
Важными термодинамическими величинами являются также вос-
восприимчивость х = dM/dh (при постоянной температуре - изотер-
изотермическая хт, при постоянной энтропии - адиабатическая Xs ) и тепло-
теплоемкость С = dQ/dT = TdS/dT (при постоянном поле - Сл, при по-
постоянной намагниченности - См). По известной функции F = П(Т, Л)
легко находятся М = -dhF, S - -drF, Хт = -d\F, Ch = -Td%F, в
терминах функции Г (Г, М) (преобразование Лежандра F по К) имеем
h = дмГ, S = -0ТГ, Хт = [ВД, См = -Г0?Г, а. по 17E, А) легко
22
Глава 1. Основы теории критического поведения
найти Xs = —d^U. Равенство h = h(T,M) принято называть уравне-
уравнением состояния магнетика.
п. 5 Гипотеза подобия для одноосного ферромагнетика. Пере-
Переходим к описанию критического поведения магнетика в рамках гипо-
гипотезы подобия. Линией раздела фаз на плоскости Т, h является отрезок
прямой 0 < Т < Тс, h = 0, оканчивающийся в критической точке
Кюри Т = Тс, h = 0. Значение произвольной величины X в критиче-
критической точке будем обозначать через Хс. Ввиду симметрии задачи пра-
правильными переменными естественно считать просто е\ = h, е2 = т =
Т — Тс, их размерности положительны (п.З). Под размерностью лю-
любой величины ниже подразумевается критическая размерность ее веду-
ведущего сингулярного вклада. Свободная энергия имеет регулярную часть
f(r)(e) = Fc — tSc, а ее сингулярная часть F^ = Q^'\ согласно гипотезе
подобия A3) и A5), является обобщенно-однородной функцией с размер-
размерностью d. Отсюда по формулам п.4 и A0) легко находятся приведенные
в табл.1 размерности всех основных величин.
Табл.1. Критические размерности ведущих сингулярных вкладов
различных термодинамических величин для ферромагнетика.
величина
размерность
h Ее,
т = е2
Аг = А2
FJ
d
U,S
d-AT
М
d-Ah
Xi,Xs
d-2Ah
d-2AT
Хотя U - преобразование Лежандра F, их размерности вопреки A0)
не совпадают, так как зто преобразование не по размерной переменной.
Действительно, отделяя в равенстве U = F + TS сингулярные вклады,
получаем U = F^+F^ + {Tc+r){Sc+S^) = F^+{Tc+r)Sc+TcS^ +
F(s) + tS^. Ведущим здесь является сингулярное слагаемое TCS^"' с
размерностью d — Дт < d (по в Xs = —д\ U(S,h) оно вклада не дает,
так как в переменных 5, h не зависит от h, поэтому A[^s] = А[Хт])-
На линиях h = 0 или т — 0 все термодинамические величины -
функции одной переменной. Еще до создания гипотезы подобия счита-
считалось известным,что при подходе к критической точке по этим линиям
они имеют простую степенную асимптотику:
М
Н",
1-7
С
A8)
Обозначения критических показателей традиционные, степень |Л| соот-
соответствует линии т = 0, степень \т\ - линии h = 0 (для М - только при
т < 0, и тогда М — спонтанная намагниченность). Гипотеза подобия
п. 5 Гипотеза подобия для одноосного ферромагнетика
23
оправдывает асимптотики A8) и позволяет по данным табл.1 выразить
все критические показатели через d, Дл и Дт (для одной переменной
показатель - частное размерностей функции и аргумента, см. п.2):
2AT-d d-Ah 2Ah-d
. 0= —I , 7 =
Дг
Дг
A9)
Между ними есть две связи а + 2/3 + -у = 2, 06 = j3 + 7, проверка
которых для независимо определенных (измеренных или вычисленных)
показателей является прямой проверкой термодинамической гипотезы
подобия. В табл.2 для иллюстрации приведены значения критических
показателей (включал индексы ц и i/, которые будут определены в п.9)
для классической теории Ландау и модели Изинга. Для теории Лан-
Ландау (у^-модель) точно известны все показатели, для двумерной модели
Изинга - все, кроме S (значение a = 0 соответствует логарифмической
особенности теплоемкости). Индекс 6 двумерной модели и все показа-
показатели трехмерной получены экстраполяцией высокотемпературных раз-
разложений (п.1). Следует сказать, что общепринятых окончательных зна-
значений критических индексов трехмерной модели Изинга не существует,
- в разных работах приводятся несколько различающиеся данные. Но
эти различия не очень существенны, и чтобы дать о них представле-
представление мы приводим ниже в табл.2 данные из разных источников, включая
обзор Вильсона и Когута [42] и вышедшую позднее монографию [45].
Табл.2. Значения критических индексов в теории Ландау
и в модели Изинга.
показатель
теория Ландау
модель Изинга
(d = 2)
модель Изинга
(d = 3),[42]
то же, другие
источники
а
0
0
0.125
± 0.015
0.105
± 0.010
[45]
13
1/2
1/8
0.312
± 0.003
0.312
± 0.005
[45]
7
1
7/4
1.250
± 0.003
1.2385
± 0.0025
[45]
8
3
=*15
5.15
±0.02
5.00
±0.05
[48]
Ч
0
1/4
0.055
± 0.010
0.041
± 0.010
[44]
V
1/2
1
0.642
± 0.003
0.6305
± 0.0015
[45]
По данным табл.2 можно проверить, что приведенные выше связи между
показателями A9) в теории Ландау и в двумерной модели Изинга с
24 Глава 1. Основы теории критического поведения
S = 15 выполняются точно, а в трехмерной - достаточно хорошо, при
этом ДЛ = 15/8, Дт = 1 для d = 2 и ДЛ = 2.48, Дт 2 1.57 для d = 3.
Вне рассмотренных выше особых линий все величины - функции
двух переменных Л, т. Гипотеза подобия A3) предсказывает для их ве-
ведущих сингулярных вкладов скейлинговую форму типа E), например,
F<'>(ft,r) = \т\* B±(h\r\* ) = |ft|M (r|ft|* )• B0)
Звездочками здесь и далее обозначаются любые известные (по размер-
размерностям) показатели степеней, все они выражаются через индексы A9).
Скейлинговые функции (традиционных обозначений для них нет) в об-
общем случае различны при т > 0 и т < 0. Для А эти области различа-
различаются знаком аргумента, для В нужно вводить две разные функции В±.
Еще один пример — уравнение состояния (sgn(h) = ±1 - знак h):
h(M,r) = |г|* g± (М\т\* ) = sgn(h) \M\* /(г|М|* ). B1)
Гипотеза подобия не определяет вид скейлинговых функций, но сама
скейлинговая форма есть нетривиальное и допускающее эксперимен-
экспериментальную проверку утверждение. Например, из B1) следует, что в "при-
"приведенных переменных" h' = h\r\*, M' = М\т\* уравнение состояния
принимает вид h' — g±(M'), т.е. точки h' и М', полученные при раз-
разных значениях температур, должны укладываться на одну кривую (для
данного знака г). Так и происходит (см. §4 гл.2 в [50] и §6 гл.2 в [49]),
причем кривые для разных знаков г различны, т.е. функции д+ и #_ в
B1) действительно не совпадают.
Обсудим кратко общие свойства скейлинговых функций [26, 49]. Во-
первых, ясно, что скейлинговые функции любых величин могут быть
выражены (заменами переменных, дифференцированием, переходом к
преобразованию Лежандра) через функции А или В± в B0). Во-вторых,
ввиду симметрии задачи они всегда имеют определенную четность по
h, М, в частности, В±(х) в B0) четны, а д± (х) в B1) - нечетны. В-
третьих, для них обычно можно считать известной форму асимптотиче-
асимптотических разложений в нуле и на бесконечности. Эти сведения получаются
переносом на представления типа B0), B1) следующих строго доказан-
доказанных для модели Изинга утверждений: при h ф 0 свободная энергия
аналитична по г в окрестности г = 0, а при т > 0 она аналитична
по h,M [8]. Считая все это верным и в представлениях B0), B1), из
аналитичности по т при h ф 0 заключаем, что функции А(х) и f(x) ана-
литичны по ж в окрестности х = 0, поэтому их асимптотика при х —> 0
- ряды по целым степеням х. С другой стороны, из аналитичности по
п.6 On-симметричный ферромагнетик Гайзенбёрга 25
h, М при т > 0 однозначно определяется вид асимптотических разло-
разложений А(х) й f(x) при х —> +оо: это ряды типа ж* Х^сга(ж*)га, после
подстановки которых в B0) получается ряд по целым четным степеням
h, а в B1) - по целым нечетным степеням М. Отсюда однозначно опре-
определяются обозначенные звездочками в асимптотических разложениях
показатели. Мы их не приводим, так как проще запомнить лежащие
в основе соображения: аналитичность по т при h ф 0 и по h, M при
т > 0. В каждом конкретном случае отсюда легко найти вид нужных
асимптотических разложений. При т < 0 нет простой аналитичности
по Л в нуле, а для М область определения вообще не содержит нуля, по-
поскольку величина \М\ не меньше спонтанной намагниченности Мо(т).
Поэтому точных утверждений о соответствующих асимптотиках нет,
хотя некоторые соображения обсуждаются (см., например, [26, 49]).
Скейлинговые функции типа А(х) в B0) еще не являются универ-
универсальными величинами, так как зависят от выбора единиц измерения h
и т: произвольным растяжениям этих переменных соответствуют пре-
преобразования А(х) —> с\А (с2х) с произвольными константами С\2-
Универсальными характеристиками являются поэтому лишь нор-
нормированные скейлинговые функции, для которых указанный произвол
устранен подходящим нормировочным условием, например, А(х) = 1 +
х + О(х2). Идея универсальности понимается как полное совпадение
критического поведения (в пренебрежении поправками) для систем из
одного класса, т.е. для них должны совпадать не только критические
индексы, но и нормированные скейлинговые функции (напомним, что
все они могут быть выражены через А (х) в B0)). Частным проявлением
универсальности скейлинговых функций является универсальность от-
отношений амплитуд Л+/Л- в законах
X(r,h = 0) = Л±\т\А^Ат. B2)
т-»-±0
Здесь X - любая величина, для которой имеют смысл обе асимптотики
т —> ±0 (например, х и С в A8)). Отметим, что до создания гипо-
гипотезы подобия допускалась возможность различия показателей в B2) при
подходе к Тс с разных сторон. Гипотеза подобия это исключает, экспе-
эксперимент и машинные расчеты подтверждают равенство показателей.
п.6 Ога-симметричный классический ферромагнетик Гайзен-
берга. Гамильтониан этой модели имеет тот же вид A6), но внешнее
поле h и спины узлов s,- считаются теперь n-компонентными векторами,
величины 'ii'ik и /is,- понимаются как скалярные произведения векторов.
26 Глава 1. Основы теории критического поведения
По условию, реализациями случайной переменной s^ являются классиче-
классические векторы Si единичной длины, все их направления равновероятны,
tr в A7) обозначает теперь интеграл по направлениям всех s,-. В част-
частном случае п = 1 получается модель Изинга; когда говорят "модель
Гайзенберга" без уточнения, обычно имеют в виду случай п = 3 для
d = 3, т.е. обычный вектор спина (отметим, что лишь при n = d спин
можно считать вектором относительно пространственных вращений).
Для данной модели остаются справедливыми все общие термодина-
термодинамические соотношения п.4 и общие выводы гипотезы подобия (индексы
и скейлинговые функции зависят, конечно, от п) с тем очевидным из-
изменением, что h и М становятся О„-векторами, а восприимчивость -
тензором Хаь = dMa/dhb- Вследствие 0га-симметрии свободная энергия
F = F(T, \h\) не зависит от направления na = ha/\h\ вектора h, поэтому
Ма = —dF/dha = —F'na и для изотермической восприимчивости имеем
Хаь = dMa/dhb = —F' Eab — nanb)/\h\ — F"nanb, штрихами везде обозна-
обозначены производные F по |Л|. Равенство Хаь — Х±. (&аь — папь) + х\\ папь
определяет продольную (х\\) и поперечную (xi_) восприимчивости. Из
приведенных выше формул следует х±. = ~F'/\h\ = |М|/|Л| и хц =
—F". Первое из этих соотношений показывает, что при фиксированном
т = Т — Тс < 0 поперечная восприимчивость х±. расходится как |Л|-1
при h —> 0, поскольку М имеет конечный предел - спонтанную намаг-
намагниченность. В отличие от х±, поведение хц при h —> 0 из соображений
симметрии однозначно не определяется, ответ зависит от модели. В
простой теории Ландау величина хц ПРИ Л = 0 и т < 0 оказывается
конечной, но более точная флуктуационная теория критического пове-
поведения при 2 < d < 4 предсказывает для х\\ расходимость, хотя и более
слабую, чем для \'j_, а именно, Х|| ~ \h\d^2~2. Этот вопрос будет по-
подробно обсуждаться в гл.4.
По характеру переменных восприимчивости х± и хц такие же, как
и х в одноосной модели, гипотеза подобия позволяет написать для них
стандартные скейлинговые представления (п.5). Как и раньше, имеется
аналитичность по т при h ф 0 и по h при т > 0. При h = 0, т > 0,
система должна быть О„-изотропной, т.е. Хаь ~ &аЬл что означает ра-
равенство восприимчивостей: Xj-@>r) = XlKOjT) для т > 0. Основным
отличием от одноосной модели является обсуждавшееся выше сингу-
сингулярное поведение восприимчивостей при h. —> 0, г < 0.
п.7 Классический неидеальный газ: модель и термодинами-
термодинамика^ Для канонического ансамбля Лг классических одинаковых бесструк-
бесструктурных частиц массы m роль Н в A7) играет гамильтониан
я. 7 Классический газ: модель и термодинамика 27
N
^ B3)
где pi и Xi - случайные импульсы и координаты частиц, v - потенци-
потенциальная энергия. Символ tr в A7) понимается теперь как интеграл по
фазовому пространству N частиц, т.е. по всем р,,Х{ (реализации р,-,ж,)
с мерой dpdx/2irh для каждой одномерной пары и общим коэффициен-
коэффициентом l/N\. Импульсы интегрируются по всему пространству, а коорди-
координаты - по заданной области конечного объема V. Отметим, что коэф-
коэффициент 1/NI необходим для обеспечения конечности предела в A2), а
постоянная Планка h - для обеспечения канонической безразмерности
статсуммы. Наблюдаемые - функции случайных переменных р, х, их
реализации - обычные функции р, х на фазовом пространстве.
Аналогия с магнитными системами видна яснее, если рассматри-
рассматривается большой канонический ансамбль. Тогда N становится дополни-
дополнительной переменной ''конфигураций" и наблюдаемых, tr в A7) включает
суммирование по N. Кроме того, посредством замены Н —> Н — pN в
A7) вводится новая независимая переменная - химический потенциал
/л, случайная величина N в iV-частичном секторе совпадает с N. Для
дальнейшего отметим, что наблюдаемая п(х), представляемая в фа-
фазовом пространстве ./V-частичного сектора функцией n(x;xi.. . жлг) =
^2i—i^{x ~ xi)> имеет смысл плотности числа частиц в точке х. Эта
случайная величина является аналогом спиновой переменной s,- в маг-
магнетиках.
Определения A7) позволяют выразить логарифмические производ-
производные статсуммы по параметрам через средние значения известных на-
наблюдаемых, величина < Н > - внутренняя энергия, чем и устана-
устанавливается соответствие с термодинамикой. Для канонического ансам-
ансамбля получим 5TlnZ =< Н > /кТ2, а для большого канонического
d» In Z =< N > /кТ и дг In Z =< Н - nN > /кТ2.
При изучении фазовых переходов нас интересуют пространственно-
однородные системы в термодинамическом пределе V —> со, Т и ц фик-
фиксированы для большого канонического ансамбля или V —У со, N —>
со, Т и р = N/V фиксированы для канонического. В обоих случаях
In Z ~ V с точностью до несущественных при V —> со поправок. По-
Поэтому зависимость от V везде легко отделяется, конечные формулы все-
всегда можно записать в удельных (на единицу объема) величинах.
Нужно отметить, что в рамках статфизики можно дать и независи-
независимое от термодинамики определение давления р, выразив его через рав-
28 Глава. 1. Основы теории критического поведения
новесные средние значения компонент микроскопического тензора на-
напряжений. Но для энтропии однозначного определения в рамках стат-
статфизики не существует: она определяется лишь с точностью до кратной
N аддитивной постоянной, т.е. с точностью до константы для "энтро-
"энтропии на одну частицу". Добавка типа cN к полной энтропии системы
соответствует добавкам —cTN к ее свободной энергии и — сТ к химиче-
химическому потенциалу (см. ниже), так что все эти величины нельзя считать
однозначно определенными. От выбора конкретной нормировки энтро-
энтропии и связанных с ней величин никакие реально измеримые величины не
зависят, поэтому данный выбор — вопрос удобства. В этом отношении
очевидна аналогия с потенциалами в классической электродинамике:
выбор конкретной нормировки (= "калибровки") потенциалов - также
вопрос удобства, наблюдаемые величины от него не зависят. Поэтому
потенциалы в конкретной калибровке - теоретически вычислимые, но
не измеримые непосредственно величины, и то же самое справедливо
для объектов типа энтропии и связанных с ней величин в статфизике.
Приведем теперь основные термодинамические соотношения в их
связи со статфизикой для обоих ансамблей (канонический ближе к экс-
эксперименту, большой удобнее для теории), условившись отмечать штри-
штрихом относящиеся ко всему объему экстенсивные величины, кроме V и N,
а удельные значения величин обозначать теми же буквами без штриха.
Теплоемкость С" и сжимаемость К определяются соотношениями
С'х = dQ'/dT\x = TdS'/dT\x , Кх = p-'dp/dpU , B4)
где dQ' = TdS' - полученное тепло, S' - энтропия, р- давление, а индекс
"ж" указывает, что считается фиксированным при дифференцировании,
при этом условие N = const всегда подразумевается.
Начнем с канонического ансамбля. Для него N - фиксированный па-
параметр, термодинамические переменные - взаимно сопряженные пары
Т, S1 и р, V, независимой можно считать любую одну из двух пере-
переменных в каждой паре. Основные термодинамические функции - вну-
внутренняя энергия U' с dU' — TdS' — pdV (полученное тепло минус со-
совершенная работа) и ее преобразования Лежандра, из которых мы бу-
будем рассматривать лишь одно - свободную энергию F' = U' — TS' с
dF' — —S'dT — pdV. По виду дифференциала определяются "естествен-
"естественные переменные" данной функции и смысл ее частных производных в
этих переменных, например, F' = F'(T,V), dTF' = —S', dvF' — —p
и т.п..
В статфизике непосредственно вычисляется функция lnZ = —Cl'/kT
в переменных Т, V (см. A2) и A5)). Дифференцируя обе части по Т, с
п. 7 Классический газ: модель и термодинамика 29
учетом приведенного выше соотношения dT In Z = < Н > /кТ2 полу-
получим U1 = П' — Тд-cQ.1. Отсюда следует (см. аналогичное доказательство
для магнетика в п.4), что Q' совпадает со свободной энергией F' с точно-
точностью до линейного по Т слагаемого: F' = П'+ Ta(V; N) с линейным по
V в асимптотике V —> оо, ./V/V = р = const коэффициентом а. Простей-
Простейший выбор ft' = F' приводит к правильному (согласованному со стат-
статфизикой - см. выше) выражению для давления р, так что добавка Та не
должна давать вклада в давление р = — dvF', т.е. коэффициент a(V; N)
не должен зависеть от V в асимптотике V —> оо. При учете его линей-
линейности по V ~ N при V" —> оо отсюда следует равенство F' = Q' — cTN
с некоторой не зависящей от параметров константой "с", что соответ-
соответствует обсуждавшемуся выше произволу S' —> S' + cN в определении
энтропии. Это позволяет постулировать равенство F' = О.' в качестве
определения свободной энергии F', фиксировав тем самым конкретную
нормировку энтропии S' = — dTF' (T,V;N). Именно это определе-
определение свободной энергии и (как следствие) энтропии для канонического
ансамбля является общепринятым и предполагается в дальнейшем. Ве-
Величина F' = £1' вычисляется по статсумме прямо в своих естественных
переменных Т, V, что позволяет вычислять энтропию и давление как
соответствующие частные производные F' = 0!.
В асимптотике V ~ N —У оо можно считать, что Q' = F' = VF(T, p),
где р = N/V. Приравнивая выражения dF' = —S'dT — pdV и d(VF) =
FdV + VdF, с учетом равенств dp/p = -dV/V и р = -dv[ VF{T,p) }
для функции F(T,p) получим:
dF = -SdT + ndp , F- pdpF = -p , B5)
где S = S'/V - удельная энтропия, а ц = dpF по определению.
Удельные теплоемкости С = C'/V и сжимаемости можно выра-
выразить с помощью соотношений B4), B5) через известную по статсумме
функцию F{T,p), а именно, Ср = -Td%F, К? = (p2d2pF)~\ CP =
Ср + TKTR2, Ks. = КтСрС-\ где R = pdpdrF - drF = дтр (Т,р),
второе равенство следует из первого и соотношений B5). Для кано-
канонического ансамбля Ср = Су, так как N фиксировано. Отметим, что
при вычислении dS'/dT в B4) для S' = VS(T, p) нужно знать и dV/dT,
если V ф const. Определение р = N/V при N = const позволяет вы-
выразить dV/dT через dp/dT, а эту производную при заданном условии
легко найти дифференцированием второго равенства B5).
Обсудим теперь кратко аналогичные соотношения для большого ка-
канонического ансамбля. В этом случае через статсумму известны функ-
функции lnZ = -Q'(T,V,n)/kT = -УЩТ,ц)/кТ при V -> оо. По опре-
30 Глава 1. Основы теории критического поведения
делению < Н >= U' и < N >= N, логарифмические производные
статсуммы по Т и ц выражаются через эти средние (см. выше), что
приводит к соотношениям U' = ft' — TdTQ' — цд^' и d^Q' = —N. Пер-
Первое из них показывает, что V - преобразование Лежандра ft' по Т и ц.
Определив S' и р равенством dil'(T, V, ц) = —S'dT — pdV — Ndp, полу-
получим dU' = TdS' — pdV + fidN в согласии с термодинамикой (§24 в [51]).
Это доказывает корректность определения р и S' через ft', причем уже
с некоторой конкретной нормировкой энтропии S'. В данном случае
фиксация нормировки энтропии и свободной энергии осуществляется
самим выборном вида статистического ансамбля, т.е. соотношениями
A7) с Н —> Н — цк. Действительно, обсуждавшемуся выше произволу
F' -> F' — cTN в свободной энергии (т.е. S' -> S' +cN для энтропии) со-
соответствует замена /л = dnF' —> /л — сТ химического потенциала. Такая
замена в обычных соотношениях типа A7) для большого канонического
ансамбля не сводится к простому изменению численных значений его
параметров Т и ц, так что должна интерпретироваться как переход к
некоторому другому (физически эквивалентному) статистическому ан-
ансамблю. Выбрав стандартную форму записи соотношений типа A7) для
большого канонического ансамбля и отождествив входящий в них пара-
параметр ц с химическим потенциалом ц = dN F'(T, V,N), мы тем самым уже
фиксировали нормировку свободной энергии F' и энтропии S'. В этом
отношении большой канонический ансамбль отличается от канониче-
канонического, для которого нормировка F' осуществлялась выбором константы
"с" в определении F'(T, V; N) - ft'(Г, V; N) - cTN (стандартный выбор
с = 0).
Из равенства Q' = VQ(T,fi) и приведенного выше выражения rfft'
для удельного термодинамического потенциала ft(T, /j.) получим:
ЩТ, ц) =-р, dp = SdT + pdn . B6)
Таким образом, определенная в A5) величина ft для большого канониче-
канонического ансамбля есть давление с минусом, а для канонического она имела
смысл удельной свободной энергии F (см. выше). Эквивалентность ан-
ансамблей в термодинамическом пределе означает, в частности, что р в
B5) и B6) - одна и та же величина. Поэтому из B5) следует, что F
и — р связаны преобразованием Лежандра, в естественных переменных
F = F(T,p), p = р(Т,ц). Для большого ансамбля непосредственно по
статсумме вычисляется функция р(Т, /л), прочие величины выражаются
через нее:
п. 8 Гипотеза подобия для перехода газ - жидкость 31
Ср/Т=д2тр -(дтд»рJ/д1Р,
Ср/Т = dip +р~2дгР (дтр dip - 2рдтд^р) , \ B7)
Кг = р~28%р , AV = КТСРС-J •
Непосредственно измеримыми являются величины Т,р,р, а среди
объектов со вторыми производными F или р есть лишь три незави-
независимых измеримых величины, например, /iT, Cp(= Cv) и Ср. Легко
проверить, что обсуждавшийся выше произвол F' —» F' — cNT для пол-
полной свободной энергии или F —> F — срТ для ее удельного значения
не влияет на все эти величины, изменяя лишь нормировку энтропии
и химического потенциала. Для рассмотренных ансамблей с фиксиро-
фиксированной (общепринятой) нормировкой свободной энергии и энтропии эти
величины являются теоретически вычислимыми, но не измеримыми, по-
подобно потенциалам с фиксированной калибровкой в электродинамике.
п.8 Термодинамическая гипотеза подобия для критической
точки перехода газ - жидкость. Формальными аналогами h, M и
удельной свободной энергии F(T, h) магнетика являются для газа /z, p
и —р{Т, ц). Но с точки зрения теории критического поведения аналогия
между h и /i неточная, так как на плоскости Т, ц линия сосуществова-
сосуществования жидкой и газовой фаз ц = Цо(Т), Т <ТС имеет конечный наклон
вблизи точки окончания Тс, цс = цо(Тс). Поэтому точными аналогами
переменных ei = h, e2 = т — Т — Тс магнетика будут теперь некоторые
линейные комбинации (см., например, [49]):
в! = Ац + аАТ, е2 = AT + ЬАц . B8)
Здесь и далее AF = F — Fc для любой величины F (не путать с размер-
размерностью ДР = A[F]), а и 6 в B8) - некоторые числовые коэффициенты.
Линию сосуществования фаз вблизи Тс считаем прямой е\ = 0 (учет
кривизны и возможных нелинейностей в B8) - поправки к скейлингу,
которые обсуждаться и учитываться не будут), параметр а определя-
определяется ее наклоном. Отметим также, что коэффициенты а, 6 в B8) тео-
теоретически вычислимы по статсумме большого канонического ансамбля,
но не измеримы непосредственно (подробнее об этом в конце раздела).
По современным представлениям рассматриваемая система и одно-
одноосный ферромагнетик принадлежат одному классу универсальности,
т.е. их критическое поведение в пренебрежении поправками к скей-
скейлингу одинаково, причем совпадают не только критические индексы,
но и нормированные скейлинговые функции (п.5). Из соответствия
32 Глава 1. Основы теории критического поведения
h, т, F 44- ei, е2, — р тогда следует,что для сингулярной части давления,
определенной соотношением
р{Т,ц) = Рс+ SCAT + PcAfi + р<'\ B9)
справедливо аналогичное B0) представление
^l^ C0)
с той же самой (с точностью до нормировок) скейлинговой функцией
А(х) и теми же значениями критических размерностей А% = Д [е,-]. Мы
конкретизировали в C0) обозначенные звездочками в B0) показатели.
Еще раз напомним, что в утверждениях об эквивалентности речь идет
лишь о ведущих сингулярных вкладах.
Из B8) имеем <9Р = д\ + Ьд2, дт = ад\ + д2, di = д/де,, поэтому из
соотношений B6) и B9) следует
Др= ф + bd2)p{s) , AS = {adi+d^l C1)
Определенные размерности имеют р'5' и е, а величины B7), C1) -
суммы слагаемых разной размерности, и под ДР для таких величин
всегда будет подразумеваться размерность наиболее сингулярного (с
наименьшим Д) слагаемого. Поскольку у нас Ai > Дг (п.5), операция
д\ "более сингулярна", чем д2, она и определяет ведущие вклады. По-
Поэтому величины Ар = р— рс и AS = S — Sc в C1) имеют в указанном
выше смысле одинаковую размерность d — A\ - как у намагниченности
в модели Изинга. Для величин B7) любая из вторых производных р
содержит ведущий сингулярный вклад д\р^ с размерностью магнит-
магнитной восприимчивости d — 2Д!. Это и будет размерностью Ср и Л"т в
B7), но не Ср и A's/ ~ Ср, так как в этих величинах наиболее сингу-
сингулярные вклады ~ dipW взаимно сокращаются. Действительно, из B7)
видно, что Ср пропорциональна комбинации д\р-д2цр — (дтд^р)', ко-
которая приводится к виду A — abJ[dfp ■ д%р — {д\д2рJ] после перехода к
производным di (см. выше), так что имеет определенную размерность
Id — 2А\ — 2Дг. В выражении для Ср она делится на величину д^р
с размерностью (главного вклада) d — 2Ai, размерность частного есть
d— 2Д2. Из выражения B7) для адиабатической сжимаемости A's/ с уче-
учетом равенства размерностей Кт и Ср следует, что эта величина имеет
такую же размерность, как и Ср. Таким образом, Ср(= Cv) и Ks> имеют
размерность теплоемкости в модели Изинга (d — 2Д2), тогда как СР и
Л'т имеют размерность восприимчивости (d — 2Ai).
п. 8 Гипотеза подобия для перехода газ - жидкость 33
Рассмотрим теперь поведение различных величин при подходе к кри-
критической точке по разным прямым в плоскости Т, р. Мы всегда будем
говорить о главном члене асимптотики, пренебрегая поправками, по-
поэтому все обсуждавшиеся выше величины F = {Ар ~ AS, Cp ~ KS',
Кт ~ Ср} можно считать размерными с ДР = {d — Ai,d— 2Д2,с? —
2Ai}, соответственно. Исключив сначала особый случай линии е\ = О,
рассмотрим любую другую прямую, проходящую через критическую
точку. На прямой все отличные от нуля величины е\,в2,АТ, Ар, Ар
взаимно пропорциональны (вклад р'5' в B9) - несущественная поправка)
По условию, е\ ф О и ет ~ е\, поэтому аргумент "ж" скейлинговой функ-
функции в представлениях типа C0) сводится на прямой к степени |ei|* с
положительным показателем * = (Ai — Д2)/Дь так что х* —> 0 при
ei —> 0 и А(х) —> j4@) вследствие аналитичности А(х) в окрестности
нуля (п.5). Это значит, что на любой прямой, кроме е\ — 0, асимпто-
асимптотика точно такая же, как на линии ег = 0, &\ —» 0, и любая размерная
величина F ведет себя как простая степень любой из отличных от нуля
взаимно пропорциональных переменных е\ ~ AT ~ Ар ~ Ар с из-
известным показателем AF = AYIА\. В частном случае прямых AT = 0
(критическая изотерма) и Ар = 0 (критическая изобара) обычно пишут
F ~ |Др|Ар для изотермы и?~ |AT|Af для изобары, в обоих случаях
можно было бы также писать F ~ |Д//|Ар. Показатели AF = AF/Ai
для рассматриваемых величин F — {Ар, Ср, Кт} можно выразить че-
через традиционные индексы A9), в частности, для Ар = р — рс имеем
AF = (d— Ai)/Ai — 1/8, поэтому на изобаре Ар ~ |AT"|1/IE, а на изотерме
Ар ~ lApl1^. Сопоставляя последнюю формулу с A8), иногда говорят,
что Ар - аналог магнитного поля h, но такая терминология может вве-
ввести в заблуждение. Точными аналогами переменных Лиг магнетика
являются t\ и о из B8), на критической изотерме е\ ~ Ар ~ Ар., на
изобаре ei ~ AT ~ Ац, в обоих случаях F ~ \e\ |Af, - эта формулировка
точная и исчерпывающая.
Обсудим теперь исключавшийся до сих пор из рассмотрения особый
случай прямой е\ = 0, аналогичной линии нулевого поля в магнетике.
При AT < 0 это линия сосуществования фаз, при AT > 0 - ее про-
продолжение, все величины ет, AT", Ар, Ар, на ней взаимно пропорцио-
пропорциональны и отличны от нуля (для Ар это следует из конечности наклона
линии сосуществования фаз в плоскости р, Т вблизи точки ее оконча-
окончания). Любая однозначная величина F ведет себя на прямой ei = 0 как
-4±|е2|Ар, показатель AF = ДР/Д2 по обе стороны от Тс одинаков (от-
(отметим, что ввиду взаимной пропорциональности AT и е2 меняют знак
одновременно), амплитудные множители А± могут быть различными.
34 Глава, 1. Основы теории критического поведения
Но теперь при AT < 0 нужно учитывать возможность неоднозначности
величин на линии е\ — О, т.е. различия пределов t\ —> ±0 (скачки на
линии переходов первого рода). Формальное правило простое: четные
по е\ величины на прямой е\ — 0 однозначны, т.е. пределы е\ —> ±0 для
них совпадают, а для нечетных при AT < 0 эти пределы различаются
знаком. При AT > 0 все величины однозначны, поэтому нечетные на
линии е\ = 0, AT > 0 обращаются в нуль.
Из C0) видно, что величина р^ четна, четность любой ее произ-
производной определяется числом нечетных операций д\. Отсюда следует,
что ведушие вклады всех величин B7) четны, т.е. в пренебрежении
поправками величины B7) на линии е\ — 0 однозначны и имеют асим-
асимптотику F = Л±|е2|Ар\ е2 ~ AT ~ Ар ~ Ар с известным показателем
Ар = ДР/Д2 и в общем случав различными по разные стороны от Тс
амплитудными множителями А±.
Величины C1) имеют ведущий нечетный вклад ~ д\р^ с размер-
размерностью d — А\ и поправочный четный ~ 52pW с размерностью d — An,
соответствующими показателями AF являются (d — Д^/Дг — /3 и (d —
Д2)/Д2 = 1 — с в обозначениях A9). Таким образом, на линии е\ = 0
величины Ар и AS при AT > 0 однозначны и имеют асимптотику
Ар = р - рс S бЛ+^а!1"", Д5 = 5 - Sc = A+fa]1'01. При ДГ < 0 они
двузначны, и для двух фаз (жидкость - газ) имеем
рж -ре9*В
рг -Pc^-
C2)
где А± - амплитудные множители в 52р'5', а В - амплитудный мно-
множитель в д\р^ при AT < 0. Вместо ео во всех формулах можно ис-
использовать любую из величин AT, Ар, Ар., что приведет лишь к из-
изменению амплитуд (в частности, ео — A — ab)AT). Если полностью
пренебречь малой четной поправкой, для AT > 0 получим Ар = 0, по-
поэтому в реальном эксперименте с N = const линию е\ — 0 выше Гс
можно приблизительно считать критической изохорой. Отметим, что
аналогичная погрешность есть и в определении прямолинейной изобары
из-за пренебрежения вкладом р^ в B9).
Малая четная поправка существенна при обсуждении вопроса о диа-
диаметре кривой сосуществования фаз в плоскости Т, р, составленной из
графиков рж(Т) и Рг(Т), получаемых подстановкой е2 = A — ab)AT
п. 9 Гипотеза подобия для корреляционных функций 35
в C2). Ее диаметром называют величину р0 = (рж + рг — 2рс)/2, из
C2) имеем ро = 6Л_|A — ab)AT\1~a. Как это, так и другие предсказа-
предсказания гипотезы подобия подтверждаются экспериментом [52] (о диаметре
см.§5.2 в [52]), но для получения количественного согласия приходится
учитывать как аналитические (например, ~ AT в ро), так и связанные
с индексами ш (п.З) неаналитические поправки к ведущим сингулярным
вкладам. Поскольку р0 ~ b (см. выше), экспериментальный факт ро ф О
показывает необходимость b ф О в B8).
Обсудим в заключение вопрос об измеримости коэффициентов а и b
в B8). Величины рс и Ар измеримы, a Sc и AS - нет, так как произволу
S' —> S1 + cN в полной энтропии соответствует 5 —> S + ср в ее удельном
значении и неопределенный параметр с даже в разности ДЗ = S — Sc не
сокращается. Но если бы мы рассмотрели "энтропию на одну частицу"
S = S/p, то для нее было бы S —» S + с, так что разность Д5 = S — Sc
измерима. В линейном приближении AS = р^2 [pcAS — ScAp], поэтому
из соотношений C2) можно получить аналогичные выражения для AS.
Сравнивая амплитуды однотипных вкладов в измеримых величинах Ар
и AS, можно найти apc — Sc и b~lpc —Sc, т.е. эти две комбинации изме-
измеримы (отметим, что по их разности можно найти отношение A — ab)/b).
Нетрудно убедиться, что измеримость величин B7) не добавляет новой
информации о параметрах а,Ь и Sc.
Таким образом, по экспериментальным данным можно получить толь-
только две связи на эти три параметра. Поэтому на уровне феноменологии
один из них (а или Sc ) можно было бы фиксировать произвольно, поло-
положив, например, а = 0. Мы так не сделали, поскольку считаем исходной
микромоделью большой канонический ансамбль, для которого все три
параметра a, b, Sc теоретически вычислимы.
п.9 Гипотеза подобия для корреляционных функций. Пусть
<р(х) - случайное поле параметра порядка, в разных задачах оно имеет
разный смысл, но всегда будет предполагаться определенным так, что
в критической точке < (р{х) >= 0. Для газа <р(х) = п{х) — рс, где п(х)
- случайная плотность числа частиц в точке х (п.7), для решеточных
спиновых моделей (р — поле спина на решетке. Ее удобно воспринимать
геометрически, задавая узлы i их пространственными координатами
Xi, что предполагает введение размерной постоянной решетки (шаг),
играющей роль "минимальной длины". Тогда <р(х) = s(x), где х про-
пробегает дискретное множество ж,- координат узлов, ?(ж,) = s",- - спин
узла г. Для газа и модели Изинга поле ф однокомпонентное, в дру-
других задачах у него могут быть индексы и может быть много полей,
которые также можно различать дополнительными индексами. При за-
36 Глава. 1. Основы теория критического поведения
писи общих определений и формул будет подразумеваться следующее
соглашение: весь набор полей модели обозначается единым символом
ф(х), аргумент х включает все непрерывные и дискретные переменные
(индексы), от которых зависит поле, символ J dx... понимается как
интеграл по всем непрерывным и сумма по всем дискретным компонен-
компонентам х, а 5(х) - как произведение <$-функций для всех непрерывных и
<$-символов Кронекера для всех дискретных компонент х. Такие обо-
обозначения в дальнейшем будем называть универсальными.
Полные корреляционные функции Gn поля ф (квантополевой сино-
синоним - нормированные полные функции Грина) в универсальных обозна-
обозначениях определяются соотношением
Gn(xi...xn) = <ф{х1)...ф{хп)>, Vn> 1 , G0 = l . C3)
Для газа всегда будет подразумеваться усреднение по большому кано-
каноническому ансамблю с заменой Н —> Н — /jN в A7). Функции C3)
симметричны относительно перестановок ж,- и зависят также от всех
параметров модели, при необходимости это будет указываться явно;
на линии сосуществования фаз функции C3) многозначны, вне ее -
однозначны. Для пространственно-однородных систем, в том числе
решеток с периодическими условиями, функции C3) трансляционно-
инвариантны, т.е. < ф[х) > не зависит от пространственных компо-
компонент аргумента х, а старшие функции зависят только от их разностей.
В этом случае < ф(х) > совпадает со своим пространственным средним
и имеет простой термодинамический смысл, например, для магнетика
< ф(х) >= М - намагниченность, для газа < ф(х) >= р— рс. Величина
ф(х) — < ф(х) > - случайное поле флуктуации параметра порядка. Его
среднее значение равно нулю по определению, а среднее от произведения
двух таких полей, совпадающее с
D(x,x') = < ф(х)ф(х') > - < ф(х) >< ф(х') > , C4)
называют парной корреляционной функцией поля флуктуации или про-
просто коррелятором (квантовополевой синоним - пропагатор). Для одно-
однородной системы он зависит лишь от разности координат и тогда просто
связан с термодинамической восприимчивостью. Поясним это на при-
примере модели Изинга. Из определений п.4 имеем dh In Z =< /3S >= /3VМ.
Дифференцируя это равенство по Л, в правой части получим восприим-
восприимчивость dM/dh = Хт, а в левой части производная представленного в
форме A7) среднего < CS > сводится к дисперсии той же величины:
/32[< S2 > - < S >2) = (ЗУхт- Наблюдаемая S = / dx ф(х) - полный
п. 9 Гипотеза подобия для корреляционных функций 37
спин системы (для дискретного х интеграл понимается как сумма), по-
поэтому выражение в квадратной скобке - двукратный интеграл по ж, х'
от коррелятора C4). Ввиду его трансляционной инвариантности после
первого интегрирования по х получим не зависящую от х' константу,
интегрирование по х1 даст тогда множитель V, который в приведенном
выше равенстве сократится, и в итоге получим [ dxD(x,x') = Р~1Хт-
Те же рассуждения для большого канонического ансамбля газа приве-
приведут к равенству J dxD(x, х') — /З р2Кт.
Фурье-образы зависящих только от разности х — х' пространствен-
пространственных координат трансляционно-инвариантных функций типа C4) в про-
пространстве произвольной размерности d всегда будем определять следу-
следующими соотношениями:
F(x,x') = Bn)-d[dkF(k)exp[ik(x-x1)] , C5a)
F(k) = Jd{x - x')F{x, x1) exp[ik{x' - x)] , C56)
различая координатное и импульсное представления лишь аргументами.
Под х,х' в C5) понимаются только rf-мерные пространственные коор-
координаты, к - rf-мерный импульс (волновой вектор), к[х — х') - скаляр-
скалярное произведение векторов. При наличии у полей дискретных индексов
они в C5) подразумеваются, тогда все F - матрицы по этим индексам.
Интегрирование по разности х — х' в C56) можно заменить интегриро-
интегрированием по любой из двух переменных х или х1; от второй переменной
ответ не будет зависеть в силу предполагаемой трансляционной инвари-
инвариантности F(x,x'). Для периодической решетки интегрирование в C5а)
производится по ограниченйой области - первой зоне Бриллюэна, а в
C56) понимается как суммирование по дискретным координатам узлов
решетки.
Очевидная по физическому смыслу положительная определенность
коррелятора C4) эквивалентна положительности его фурье-образа D(k)
(при наличии дискретных индексов - как матрицы), а восприимчивость
(для газа - сжимаемость) выражается, как следует из сказанного выше,
через его значение в нуле:
D{k) > 0 , D{k)\k=0 = Г'хт- C6)
Сформулируем теперь искомое обобщение термодинамической гипо-
гипотезы подобия A3). Оно состоит в том, что поле ф(х) и, как следствие,
все его корреляционные функции C3) признаются размерными величи-
величинами и на равных правах включаются в общую схему гипотезы подобия.
Сразу отметим, что это не приводит к появлению новых критических
38 Глава 1. Основы теория критического поведения
размерностей Д, так как Дг = —1 согласно A1), а размерность поля
Av == Д[у>(а:)] должна совпадать, естественно, с размерностью его сред-
среднего значения, уже известной из термодинамики; размерность функции
C3) - сумма размерностей входящих в нее полей. В дальнейшем для
простоты будем считать поле <р(х) однокомпонентным, х - только про-
пространственной координатой, и будем указывать явно зависимость функ-
функций C3) от термодинамических переменных е. Аналогом A3) будет
тогда следующее утверждение: при А —> 0 и е\ из A3)
GnfA-1*!..^-1*,,^) = \nA*Gn(x1...xn;e). C7)
Замечания. 1) Критическая область соответствует асимптотике
Л —> 0 в левой части C7), т.е. это область малых е (близость к кри-
критической точке) и одновременно больших сравнительно с минимальной
длиной микромодели (шаг решетки, межатомное расстояние для газа и
т.п.) относительных расстояний |ж,- — х^\, или малых импульсов в им-
импульсном представлении. 2) Как и A3), равенство C7) является точным
лишь для ведущего сингулярного вклада в критической области. 3) Для
газа ограничение ведущим членом асимптотики означает пренебреже-
пренебрежение всеми эффектами, связанными с понятием диаметра (п.8). Для их
учета поле <р следовало бы считать суммой слагаемых разной размер-
размерности, но при современной точности эксперимента такие поправки в
корреляционных функциях не обсуждаются [52]. 4) Дискретные пере-
переменные х в решеточных моделях можно заменять непрерывными, так
как в критической области функции C3) ввиду плавности асимптотик
практически не меняются на расстояниях порядка шага решетки. То же
рассуждение в импульсном представлении: нас интересует асимптотика
малых импульсов, а решетка проявляется лишь в обрезании интегралов
по импульсам сверху первой зоной Бриллюэна. 5) Для газа при одно-
однородном внешнем поле потенциальная энергия в B3) пространственно-
изотропна, т.е. инвариантна относительно одновременного одинакового
поворота всех векторов координат. Тем же свойством обладают тогда
и все функции C3), в частности, коррелятор C4) зависит лишь от от-
относительного расстояния г = \х — х'\. Все это верно и для решеточных
спиновых моделей в критической области при правильном выборе коор-
координат х (подробнее в п.2.26).
Из сказанного следует, что в пренебрежении поправками критиче-
критическое поведение коррелятора для газа и одноосного магнетика одинаково.
В дальнейшем для определенности будем говорить о магнетике, счи-
считая его коррелятор однородным и изотропным: D = D(r,r,h). Еще
до создания гипотезы подобия предполагалось, что при h. = 0 и т =
п. 9 Гипотеза подобия для корреляционных функций 39
Т—Тс > 0 критическая асимптотика (малые г, большие г) коррелятора
имеет скейлинговую форму:
D(r,r,h = 0) = Ar2-d-* f(r/rc), гс = г0[(Г-Гс)/Гс]-"~г-" , C8)
где d — размерность пространства, т) тя. v — новые критические показа-
показатели, коэффициенты г*о и А = А(г$) критически безразмерны. По по-
порядку величины го - характерный минимальный размер флуктуации,
коэффициент А нужен для обеспечения правильной канонической раз-
размерности всего выражения. В импульсном представлении имеем
D{k,r,h = 0) = Ak-2+^g{krc) C9)
с гс из C8) и другой скейлинговой функцией.
Поскольку коррелятор должен иметь смысл и непосредственно в кри-
критической точке, скейлинговые функции в C8) и C9) должны иметь ко-
конечный предел при гс —> оо. Для сведения отметим, что коррелятор
C9) при т > О обычно разложим в ряд по целым степеням к2, но в его
разложении по т при к ф О в общем случае присутствуют и дробные
степени (подробно об этом в гл.4).
Параметр гс называют корреляционной длиной (или радиусом кор-
корреляций), г) - индексом Фишера, v - критическим показателем корре-
корреляционной длины, он характеризует скорость ее роста при Т —> Тс.
Из C8) видно, что по порядку величины гс имеет смысл характерного
масштаба изменения функции /. Эксперимент и расчеты показывают,
что при h = О, Т > Тс коррелятор экспоненциально убывает с рас-
расстоянием, т.е. D ~ ехр(—г/гс) при должном выборе параметра г0 в
определении гс. Это значит, что гс - не только характерный масштаб,
но и то действительное расстояние, до которого существенны корреля-
корреляции. В критической точке функция / в C8) становится константой, а
экспоненциальное убывание коррелятора сменяется степенным.
Как уже было сказано, асимптотика C8) предполагалась еше до со-
создания гипотезы подобия, индексы ц и v считались тогда независимыми
критическими показателями. Гипотеза подобия C7) оправдывает асим-
асимптотику C8) и ее обобщения для h ф 0 и т < 0, кроме того, позволяет
выразить 7] и v через размерности Ат и Дд. Действительно, из E) и
A1) следует, что аргумент / в C8) должен быть кратен безразмерной
комбинации г • т1^7, поэтому 1/v — Дг. С другой стороны, из C8) сле-
следует 2 — d — 7] = — 2Д<р, поскольку размерность коррелятора C4) равна
2Дщ. Итого:
Av = d/2 - 1 + 77/2 = d - Ah , Ат = 1/v. D0)
40 Глава 1. Основы теории критического поведения
Напомним, что Д^ = Дм = d — Дд, поскольку размерность поля совпа-
совпадает с размерностью его среднего значения - намагниченности М.
Из формул D0), A9) вытекают соотношения dv — 2 — a, -у — i/B — rj).
По данным таблицы 2 в п.5 можно убедиться, что для модели Изинга
они выполняются, для двумерной - точно, для трехмерной - прибли-
приближенно. Теории Ландау соответствует коррелятор Орнштейна - Цернике
D(k) = (к2+т)~1, для которого77 = 0, и = 1/2 согласно C9). Для такого
v и а = 0 соотношение dv = 2 — а выполняется только в четырехмерном
пространстве. Таким образом, при d ф 4 теория Ландау не согласуется
с предсказаниями гипотезы подобия для корреляционных функций, хотя
всегда укладывается в рамки термодинамической гипотезы подобия (о
причине см. п.15).
п. 10 Функциональная формулировка. Основным аппаратом в
дальнейшем будет функциональная и диаграммная техника квантовой
теории поля, поэтому мы будем часто пользоваться ее терминологией.
Корреляционные функции в теории поля называют функциями Грина
(данного поля), эти понятия в дальнейшем считаются синонимами. В
теории поля различают полные (нормированные и ненормированные),
связные, 1-неприводимые и другие функции Грина. Исходные величины
C3) - это нормированные полные функции, другие будут введены потом;
прилагательное "нормированные" часто будем опускать.
Бесконечную систему функций C3) удобно задавать одним объектом
- производящим функционалом (все общие формулы в универсальных
обозначениях, см. п.9):
G(A) = JT -J...jdxl...dxnGn{xl...xn)A(xx)...A{xn). D1)
Аргумент функционала А(х) - произвольная функция с тем же смы-
смыслом х, как у поля ф(х). Формула D1) - функциональное тэйлоровское
разложение, функции Gn - его "коэффициенты":
Gn{Xl...xn) = SnG{A)/SA(x1)...SA(xn)\A=Q, D2)
они всегда симмеричны относительно перестановок xi .. .хп.
Введем новые величины - связные функции Грина Wn(xi... хп) поля
ф. По определению, они задаются производящим функционалом
W{A) = \nG{A) = Y^WnAnfn\ D3)
n
как коэффициенты аналогичного D1) тэйлоровского разложения Ж(-4),
которое записано в D3) символически. Перепишем D3) в виде G(A) =
п. 10 Функциональная формулировка 41
ехр И^(Л), разложим обе части равенства по Л и приравняем коэффици-
коэффициенты при одинаковых степенях А (что всегда подразумевает симметри-
симметризацию по перестановкам соответствующих аргументов х). В результате
получим: 1 = Gq = expW0, т.е. Wo = 0; Gi(ar) = W\{x)\ G2(x,x') =
W2(x,x') + W1(x)W1{x'); G3{x,x',x") = W3(x,xl,xll) + W1(x)W2(x',x") +
W1{xl)W2{x,x") + Wi{x")W2(x,x') + W1{x)W1{x')W1(x") и так далее.
Из сравнения этих соотношений с C3) и C4) видно, что
W,(x) =< ф(х) > , W2(x,x') = D{x,x') . D4)
Легко проверить, что гипотеза подобия C7) эквивалентна следую-
следующему свойству инвариантности производящих функционалов:
G(Ax,ex) = G(A,e) , W(Ax,ex) = W(A,e) , D5)
Ax(x)= АдA A(Xx), ДА = d- A,, , D6)
где Да = Д[Л(ж)] - критическая размерность А{х). Второе равенство
D5) - следствие первого и D3).
Поясним в заключение физический смысл функционала D1). Под-
Подставив в него функции C3) в форме A7), можно собрать ряд по п, что
даст
G(A) =< ехр(фА) >= Ъ-Чгехр[-0Н + фА] , D7)
<рА = fdx ф(х)А(х) . D8)
Для модели Изинга ф{х) = ?(ж) - поле спина на решетке (тогда х дис-
дискретно). Из сравнения с A6) видно, что добавка фА в показателе D7)
имеет смысл взаимодействия спинов с неоднородным внешним полем
h(x) = /3~1А(х). Для газа ф(х) = п(х) -рс (п.9), а в A7) и D7) подразу-
подразумевается замена Н —> Н — цМ. Из определения п(х) в п.7 следует, что
под знаком tr в JV-частичном секторе фА = YliLi Mxi) ~ Apc- Сумма
имеет смысл взаимодействия N частиц с внешним потенциальным по-
полем \{х) = —0~1А(х) (см.B3)), а вклад Арс = [ dxA(x)pc выносится
из-под знака tr в D7) в виде тривиального множителя ехр(—Арс).
Таким образом, в обоих случаях с точностью до нормировки G(A)
есть статсумма в пропорциональном А(х) неоднородном внешнем поле.
Нормировка определяется условием G@) = 1, т.е. G(A) воспроизво-
воспроизводит лишь зависящий от А множитель в статсумме. В дальнейшем бу-
будем называть А[х) источником, сопряженным с полем параметра по-
порядка ф(х), независимо от конкретного физического смысла этих вели-
величин. Вытекающее из D6) равенство Ду, + ДА = d, выражающее условие
42 Глава 1. Основы теории критического поведения
безразмерности скалярного произведения <рА, иногда называют тене-
теневым соотношением: критические размерности взаимно сопряженных
поля и источника составляют в сумме размерность пространства d.
п. 11 Точный вариационный принцип для среднего поля.
Как отмечалось в п.9, ниже Тс на линии сосуществования фаз корре-
корреляционные функции неоднозначны; типичный пример - спонтанная на-
намагниченность магнетика < ф(х) >= Wi(:c) в нулевом поле, имеющая
произвольное направление. Мы будем работать со связными корреляци-
корреляционными функциями и их производящим функционалом W(A), для опре-
определенности будем говорить о магнетике, но все общие формулы в уни-
универсальных обозначениях (п.9) верны для любых систем. Из сказанного
в п. 10 следует, что величины
WnixL..Xn-А) = SnW(A)/6A(x1)...6A(xn) D9)
имеют смысл связных функций Грина для системы с дополнительным
внешним полем А. В частном случае А(х) = const источник воспро-
воспроизводит однородное внешнее поле. Поэтому будем считать, что в ис-
исходном гамильтониане оно отсутствует, тогда D9) - связные функции
для системы с заданным внешним полем А. При Т < Тс и некотором
"особом" значении А (для магнетика - при А = 0, для газа - при некото-
некотором А(х) — const ф 0) функции D9) многозначны. От неоднозначности
можно избавиться переходом к объекту с более регулярным чем у W(A)
поведением - преобразованию Лежандра Г(а) функционала W по А:
Г(а) = W(A) - aA , a(x) = 5W(A)/5A(x) , E0)
где a A - скалярное произведение типа D8). Функциональные перемен-
переменные .4 и а взаимно сопряжены, независимой можно считать любую из
них. Второе равенство E0) определяет явно ct(A) и неявно А(а), в опре-
определении Г подразумевается подстановка А = А(а), - все это очевидные
обобщения формул п.2. По смыслу а(х) =< <р(х) > (намагниченность)
для системы с внешним полем А. Из E0) следует (см. (8))
/cJa(z) = ~Л(х), E1)
аналогом (9) является равенство
~ J dXа(хNа(х") 5А(х"MА(х>) = 6{Х ~ Х>) ' E2)
аналогом второго равенства (8) является соотношение
6W(A,a)/6a = 6Г(а,а)/6а, E3)
п. 11 Точный вариационный принцип 43
в котором а - любой дополнительный числовой или функциональный
параметр, от которого зависят рассматриваемые функционалы. Вели-
Величины
Г„ (*!...*„; а) = PTiaytaix!).. .6a(xn) E4)
называют, по определению, 1-неприводимыми функциями Грина для си-
системы с заданным значением а или А. если в E4) подразумевается
а = а(А). В обозначениях D4), D9), E4) соотношение E2) можно
записать компактно в виде
-T2W2 = 1 , D = W2 = -Гг j , E5)
понимая все это как равенства линейных операций (правая часть E2)
- ядро единичной операции, D = W2 ~ коррелятор C4) для системы с
внешним полем А). Второе равенство E5) выражает связную функцию
W2 через 1-неприводимую функцию Гг. Из приведенных выше опре-
определений и формул можно выразить через Гп и все старшие связные
функции Wn с тг > 3. Явные формулы в этой главе не понадобятся и
будут приведены в п.2.5.
Задачей теории является вычисление по заданному внешнему полю
А среднего значения а =< ip >— Wi и всех прочих связных функций
Грина Wn с п > 2; полные функции C3) по связным находятся триви-
тривиально. Если функционал Г(а) для модели с нулевым внешним полем
известен (в гл.2 излагается техника прямого вычисления Г(а) для за-
заданной квантовополевой модели), то сформулированная выше задача ре-
решается следующим образом: сначала по заданным Г(а) и А находится
из уравнения E1) искомое а = а(А), затем соотношением E4) определя-
определяются все 1-неприводимые функции Грина - коэффициенты разложения
Г(а) в точке а = ci(A), затем по ним определяются соответствующие
связные функции Грина Wn с п > 2, - для коррелятора Wo = D - соот-
соотношением E5), для старших функций Wn с п > 3 - формулами п.2.5.
Введем величину
Ф(а\А) = Г(а) + аА, E6)
понимая ее как функционал от независимых а и А. Из E1) и E0)
6Ф(а,А)
8а(х)
= 0 , Ф(а,Л)|а_а(л) = W(A) , E7)
а=а(А)
т.е. искомое а(А) - точка стационарности Ф по а при фиксированном
А, а значение Ф в этой точке совпадает с W(A). Если для данного А
44 Глава 1. Основы теории критического поведения
точек стационарности много, то а(А) неоднозначно, но значение Ф во
всех точках а(А) одно и то же (см. ниже).
Неоднозначность возможна лишь в пределе бесконечного объема V,
так как при конечном V функционалы W и Г хорошо определены и
строго выпуклы (выпуклость - знакоопределенность второй вариации,
ее положительность для W(A) легко проверяется из соотношений D3)
и D7), для выпуклого вниз W(A) выпуклость вверх Г (а) следует из
E2)). Для строго выпуклых функционалов соответствие между А и
а взаимооднозначно. При Т < Тс и V —>• со на предельной поверхно-
поверхности W(A) появляются "изломы", а у Г(а) - плоские участки, т.е. вы-
выпуклость Г сохраняется, но становится нестрогой. Тогда функционал
E6) при некотором особом значении А (для магнетика - при А — 0)
имеет много точек стационарности, соответствующих максимуму Ф по
а. Вследствие выпуклости (хотя бы нестрогой) функционала Ф мно-
множество его точек стационарности обязательно выпукло, т.е. вместе с
любыми двумя точками содержит целиком соединяющий их отрезок
прямой. Крайние точки этого множества соответствуют чистым фа-
фазам (жидкость-газ, состояния с определенным направлением спонтан-
спонтанной намагниченности ферромагнетика и т.п.), внутренние точки — их
статистическим смесям. В эксперименте смеси реализуются лишь для
перехода газ-жидкость как двухфазная система (часть объема запол-
заполнена жидкостью, другая - газом). В дальнейшем будем говорить лишь
о чистых фазах, считая особым значение А — 0 (магнетик). Отме-
Отметим, что конструируемые по однозначному функционалу Г(а) функции
Грина (см. выше) в общем случае неоднозначны и зависят от выбора
фазы, поскольку они определяются не только самим функционалом Г(а),
но и выбором конкретной точки стационарности с*о = а(А = 0).
Функционалы W и Г, поэтому и множество О всех точек стационар-
стационарности Г, всегда обладают симметрией задачи в нулевом поле, т.е. Г
и О инвариантны относительно преобразований а —*■ да с произволь-
произвольным д из группы симметрии. Если О состоит из одной точки (Т > Тс),
то она инвариантна, а если О - нетривиальное выпуклое множество
(Т < Гс), то его крайние точки а 6 О неинвариантны, и тогда го-
говорят, что в соответствующей чистой фазе имеет место спонтанное
нарушение симметрии. Если нарушаемая группа симметрии непре-
непрерывна (например, группа вращений для ферромагнетика Гайзенберга),
то в любой чистой фазе с*о G О восприимчивость системы в направле-
направлении группового сдвига с*о —> дао обращается в бесконечность (теорема
Голдстоуна). Действительно, в этом случае доо 6 О при любом д,
т.е. £Г(а)/£а(;с) \а=дао= 0 Vg. Обозначив через 5д ... первую вари-
п. 11 Точный вариационный принцип 45
ацию по д в окрестности д = 1, из сказанного выше заключаем, что
О = Sg{[6T(a)/6a(x)]\a=gao} = j dx'T2(x, x';aoNgao(x') с Г2 из E4).
Запишем полученное равенство компактно в виде Гз^а = 0, понимая
левую часть как действие линейной операции Г2 на "вектор" 6а = 6дао-
Равенство Гэ^а = 0 означает, что 6а - собственный вектор операции Г г
с нулевым собственным значением; он же будет в силу E5) собственным
вектором коррелятора D = Wi (в фазе с*о) с бесконечным собственным
значением. Это и означает бесконечность "восприимчивости в напра-
направлении 6а". Для однородных систем и глобальных (не зависящих от х)
преобразований д величина с*о и ее вариация 6а — 6дао также обычно
однородны, т.е. не зависят от х. Тогда из сказанного выше следует
D(k) |fe-o 6a = оо, где D(k) - коррелятор в импульсном представлении.
Поэтому теорему Голдстоуна формулируют обычно как утверждение о
наличии бесщелевых возбуждений (безмассовых частиц в теории поля) в
системе со спонтанно нарушенной непрерывной симметрией. К модели
Изинга с дискретной симметрией теорема неприложима.
Функционалы W и Г практически можно вычислять лишь в форме
той или иной теории возмущений (например, высокотемпературные раз-
разложения в модели Изинга), причем реально - лишь в конечном порядке.
Получаемые таким путем W и Г всегда разложимы в нуле по своим
аргументам .4, а. На таком языке понятно, чем Г лучше W: разло-
разложимость W(A) по А заведомо исключает возможность неоднозначности
его производных по А при А = О, тогда как разложимость Г(а) по а не
мешает ему иметь много точек стационарности. Она приводит лишь к
потере выпуклости: на поверхности Г(а) вместо плоского участка по-
появляется "яма", существование которой запрещено в строгой теории, но
этот дефект уже не столь важен.
Поэтому естественной для фазовых переходов является вариацион-
вариационная формулировка на языке Г. Она эффективна и практически: для мо-
модели Изинга, например, вычислив Г в низшем нетривиальном порядке
высокотемпературной теории возмущений (вклады нулевого и первого
порядков по параметру разложения /3 = 1/кТ), получим из E1) уравне-
уравнение самосогласованного поля Вейсса. Учет в Г следующих членов разло-
разложения по /3 позволяет последовательно улучшать приближение Вейсса,
уточняя значение Тс [53]. Таким образом, вариационная формулировка
на языке Г даже в конечном порядке теории возмущений позволяет каче-
качественно описать фазовый переход и найти решение в приближении типа
самосогласованного поля с возможностью последовательного уточнения.
Но у такой схемы есть принципиальный недостаток: ввиду разложимо-
разложимости Г по а в любом конечном порядке теории возмущений критические
46 Глава 1. Основы теории критического поведения
индексы оказываются точно такими же, как и в теории Ландау. По-
Поэтому данная схема непригодна для расчета индексов, хотя и позволяет
достигнуть теоретически сколь угодно высокую точность вне окрестно-
окрестности Тс.
п. 12 Теория Ландау. В ней постулируется существование неко-
некоторого "функционала свободной энергии" F(a), из условия минимума
которого находится равновесное среднее параметра порядка а(х) =
< <р(х) >. Предполагается, что этот функционал 1) обладает сим-
симметрией задачи; 2) как правило, локален, т.е. представляется одно-
однократным интегралом по cf-мерному х от плотности энергии - некоторой
функции поля и его производных в точке х (но иногда учитывают и не-
нелокальный вклад дипольных сил); 3) в окрестности критической точки
аналитичен по всем термодинамическим переменным, включая а. Тео-
Теория предназначена лишь для описания критического поведения, поэтому
отклонения всех переменных от их значений в критической точке счи-
считаются малыми, их старшими степенями по сравнению с младшими
пренебрегают, оставляя лишь абсолютно необходимые для описания пе-
перехода вклады. Из таких соображений при учете симметрии явный вид
F.определяется практически однозначно с точностью до констант.
Равенство Ф = —/3F с /3 — 1/кТ и Ф из E6) определяет точный
функционал F, из условия минимума которого находится искомое а при
заданных А и прочих параметрах. Этот F в рамках микромодели вы-
вычисляется (реально — лишь по теории возмущений для Г), тогда как в
теории Ландау вид F просто постулируется. Но для описания крити-
критического поведения разницы между F и F практически нет, так как в
любом конечном порядке теории возмущений F дает те же индексы,что
и F (п.11). Расчет F в микромодели мог бы лишь уточнить значения
констант типа Тс, но теория Ландау (и вообще теория критического по-
поведения) и не претендует на их определение: ее задачей является вычи-
вычисление критических индексов и других универсальных характеристик
критического поведения. Любой аналитический функционал даст те же
индексы, что и функционал Ландау, поэтому получение нетривиальных
индексов в исходной микромодели обязательно требует выхода за рамки
простой теории возмущений для Г. Такие попытки к решительному
успеху не привели, и развитие теории пошло по другому пути: подмена
точной микромодели флуктуационной с последующим использованием
для нее метода ренормгруппы.
п.13 Флуктуадионная теория критического поведения. Тео-
Теория Ландау имеет дело лишь со средним значением а(х) =< <р(х) >
случайного поля <р(х). Но не в этом состоит "пренебрежение флуктуа-
п. 13 Флуктуационная теория критического поведения 47
циями": будь функционал .F(a) точным, мы получили бы из вариацион-
вариационного принципа совершенно точные ответы исходной микромодели с пол-
полным учетом флуктуации поля <р, хотя работали бы при этом только с его
средним значением. Флуктуации должны, видимо, приводить к появле-
появлению неаналитичности в точном F. Поэтому дефектом теории Ландау
является не сам факт работы только со средним значением < <р >= а,
а предположение об аналитичности F(a), - именно в этом состоит пре-
пренебрежение флуктуациями.
Основная идея флуктуационной теории состоит в том, чтобы учесть
их влияние, вернувшись от среднего значения а к самому случайному
полю <р, но с простым функционалом Ландау в качестве гамильтониана
вместо точной микромодели. Усреднение тогда должно производиться
по всем конфигурациям <р(х) случайного поля (р{х) в окрестности его
равновесного среднего, плотность вероятности в пространстве конфи-
конфигураций определяется весовым множителем
р(<р) = ехрЗД , S(<p) =-0cF(<p), E8)
где F(<p) - функционал Ландау, /Зс = 1/кТс. Напомним, что функцио-
функционал Ландау, в отличие от гамильтониана микромодели, предполагается
явно (и аналитически) зависящим от всех существенных термодинами-
термодинамических переменных, включая температуру. Теория предназначена лишь
для описания критического поведения, поэтому в E8) стоит /?с, а не /3 (в
функционале Ландау всегда отбрасываются поправочные вклады). По
той же причине решеточные микросистемы в E8) всегда заменяются
непрерывными.
По аналогии с теорией поля величину S(<p) в показателе E8) будем
называть функционалом действия или просто действием данной модели
и представлять в виде
S(p) = So(<p) + V(<p) , So(<p) = -ipKip/2 , E9)
где So - свободное действие - некоторая квадратичная форма на про-
пространстве полей, которую мы записали в E9) символически, добавка
V(tp) - функционал взаимодействия (или просто "взаимодействие").
Таким образом, флуктуационная теория критического поведения есть
теория классического случайного поля или системы полей (соглашение
в п.9) (р(х) с заданной функцией распределения E8). Статсумма Z
и среднее значение произвольной наблюдаемой (случайной величины)
Q((p) определяются обычными формулами типа A7):
Z = fD<p expS(<p) , < Q(£) > = Z fD<p Q(<p) expS(<p) . F0)
48 Глава, 1. Основы теории критического поведения
В частности, для функций C3) имеем
<?„(*!...*„) = Z-1jD<p<p(xi)...<p{xn) expS(<p) , F1)
а для их производящего функционала
G(A) = Z1 fDip exp[S(<p) + А<р] . F2)
Символ J Dip... в этих формулах обозначает функциональный (конти-
(континуальный) интеграл по бесконечномерному многообразию Еми конфигу-
конфигураций <р(х), которое будет определено ниже.
Соглашение: обозначим через Е линейное пространство быстро убы-
убывающих при |а:| —>■ со функций <р(х), а через ф + Е - многообразие функ-
функций вида ф(х) + (р[х) с фиксированной ф и произвольной <р 6 Е (при
ф (£ Е многообразие ф+Е плоское, но не линейное). Функции из Е будем
называть локализованными, а под "быстрым убыванием" естественно
понимать экспоненциальное: ip 6 Е, если найдется число а > 0, такое,
что <р(х) при |х| —> со убывает не медленнее чем ехр(—а|а;|). Отметим,
что тогда любая функция из -Е имеет аналитический в некотором круге
\к\ < а фурье-образ. Формальный источник в производящих функцио-
функционалах типа D1) всегда будем считать произвольной функцией А 6 Е.
Под точкой максимума (минимума) функционала будет пониматься то
значение <р, при котором он достигает максимума (минимума), все это
точки стационарности. Максимуму действия, согласно E8), соответ-
соответствует минимум энергии в теории Ландау.
Область интегрирования .ЕИн определяется следующими правилами:
Правило 1. В любом интеграле .ЕИн = ф + Е, где ф - точка абсо-
абсолютного максимума показателя интегрируемой экспоненты, а Е Э Е -
некоторое линейное пространство конфигураций, описывающих флук-
флуктуации вблизи нуля.
Пусть ф(х;А) - точка максимума показателя экспоненты в F2),
ф(х; 0) = <ро - точка максимума действия S (считаем его трансляционно-
инвариантным, a ipo - однородным). Для взаимной согласованности
формул F1) и F2) необходимо, чтобы область интегрирования Е„н в
F2) не зависела от А, т.е. ф(х;А) + Е = <ро + Е, что в силу предпола-
предполагаемой линейности Е означает ф(х;А) — <ро 6 Е. По смыслу разность
ф(х;А) — ip0 = w(x; А) есть возмущение, вносимое в положение точки
максимума локализованным источником А. Сказанное поясняет следу-
следующее
Правило 2. Е - минимальное линейное пространство, содержащее
все локализованные функции, а также все возмущения v(a;; А), вносимые
п. 13 Флуктуационная теория критического поведения 49
в положение точки максимума действия произвольным локализованным
источником.
Класс функций v(x; А) зависит от модели, т.е. от вида S. Для всех
разумных моделей возмущение v(x; А) для любого А 6 Е затухает на
бесконечности. Различие между моделями проявляется лишь в скорости
затухания: обычно оно быстрое, и тогда Е = Е (модели с массивными
полями), а иногда только степенное, и тогда Е шире Е (модели с без-
безмассовыми полями). В любом случае справедливо
Правило 3. Для всех <р из области интегрирования <р(сю) = По-
Поименно это простое правило считается обычно определением обла-
области интегрирования ,ЕИН = EKii(ipo). Сформулированные выше правил'а
1,2 фактически лишь поясняют и уточняют это определение, указывая
скорость убывания разности <р(х)—ip0 при |ат| —>■ оо, т.е. скорость выхода
конфигураций <р 6 £'ин(¥'о) на предельную однородную асимптотику <ро-
При спонтанном нарушении симметрии имеется много разных пол-
полностью равноправных точек максимума действия (минимума энергии)
<ро, соответствующих отдельным чистым фазам. Формулы F0)-F2)
имеют смысл для каждой из них, зависимость от выбора фазы содер-
содержится лишь в ,ЕИН = ЕИН(<ро)- Преобразования нарушенной спонтанно
группы симметрии переводят разные (ро (тем самым и разные EWH =
^ин (ро) ) Друг в друга, поэтому статсумма Z и средние значения любых
инвариантных (по нарушенной группе) величин не зависят от выбора
фазы, а средние неинвариантных величин, например, F1) и F2), - за-
зависят (через .Еин)-
Связные и 1-неприводимые функции Грина определяются по про-
производящему функционалу полных функций Грина F2) стандартными
правилами п.п.10,11. При этом в случае спонтанного нарушения сим-
симметрии функционал W(A) зависит от выбора фазы, а соответствующий
Г(а) - не зависит, разным фазам на языке Г соответствует выбор раз-
разных решений уравнения E1) при А = 0,Т < Тс (подробно в гл.2).
По своему математическому аппарату теория классического случай-
случайного поля тождественна квантовой теории поля (евклидовой), там и
была разработана практически техника функционального интегриро-
интегрирования. Подробно она будет излагаться в гл.2, а здесь лишь отметим,
что для свободной теории с квадратичным действием гауссовы функци-
функциональные интегралы вычисляются точно, взаимодействие V в E9) учи-
учитывается затем по теории возмущений. Для описания членов ряда те-
теории возмущений разработана удобная графическая техника диаграмм
Фейнмана.
В таком формализме критическое поведение не описывается пра-
50 Глава 1. Основы теории критического поведения
вильно ни в каком конечном порядке теории возмущений, как было и в
исходной микромодели. Поэтому естественно спросить, в чем же выгода
перехода от точной микромодели к флуктуационной? Ответ состоит
в том, что обычные функционалы Ландау полиномиальны по <р, соот-
соответствующие полевые теории при некоторой размерности пространства
относятся к классу ренормируемых. Это позволяет использовать для
анализа критического поведения квантовополевой аппарат РГ, что не-
невозможно в исходной микромодели.
Следует сказать, что подмена точной модели флуктуационной - наи-
наиболее уязвимое место современной теории критического поведения. Обо-
Обосновывающие эту процедуру аргументы всегда относятся к разряду
правдоподобных рассуждений, а не доказательств. Поэтому главным
из них является фактически указание на разумность и нетривиальность
получаемых таким путем результатов, а также универсальность схемы.
В заключение отметим, что возврату к простой теории Ландау соот-
соответствует приближение стационарной фазы при вычислении интегра-
интегралов F0)—F2), эквивалентное использованию беспетлевого приближе-
приближения Г(а) = S(ai) для функционала Г в формулах п. 11 E(а) - функцио-
функционал действия рассматриваемой модели с заменой <р(х) —> а(х)).
п. 14 Примеры конкретных моделей. 1. Простейшая стандарт-
стандартная <р4 -модель Гинзбурга-Ландау, описывающая фазовый переход вто-
второго рода в любой системе с однокомпонентным параметром порядка
<р = <р(х) и симметрией <р —>• — <р при нулевом внешнем поле h :
S{<p) = Jdx [ -(д<рJ/2 - r<p2/2 - g<p4/24 + h<p] . F3)
Здесь т — Т—Тс, параметр g характеризует "силу взаимодействия флук-
флуктуации" , в теории поля его называют зарядом или константой связи,
(д<рJ = дцр • дцр - квадрат градиента, д{ = d/dxi, по повторяющимся
индексам всегда будет подразумеваться суммирование. Дополнитель-
Дополнительные коэффициенты, включающие множитель (Зе из E8), в F3) не пи-
пишут, так как их всегда можно убрать подходящим растяжением <р, т
и h, т.е. выбором единиц измерения; коэффициенты 1/2 и 1/24 в F3)
оставляются для удобства.
2.Трикритическое поведение. При построении действия F3) пред-
предполагается, что коэффициенты an ^ при (р2 и (р4 в функционале Ландау
зависят только от Т (учет их зависимости от h давал бы несуществен-
несущественные по сравнению с hip в F3) поправки). Критическая температура
определяется тогда условием аг = 0, при этом в общем случае сц Ф О,
и в силу предполагаемой (п. 12) аналитичности а2 ~ г, а4 =const с точ-
точностью до несущественных поправок. Но в некоторых задачах коэффи-
п. 14 Примеры конкретных моделей 51
циенты а реально зависят от двух параметров. Тогда равенство аг = О
при оц > 0 (подробнее в п. 16) определяет целую линию критических
точек на фазовой плоскости параметров. На этой линии может суще-
существовать трикритическая точка, в которой одновременно аг = а4 = 0; в
ее окрестности становится существенным вклад <р6, который тогда до-
добавляется в F3). Трикритическое поведение, т.е. аномальная малость
а4, наблюдается экспериментально во многих системах [54, 55].
З.Оп-<р4-модель. Это Оп-симметричное обобщение модели F3) с п-
компонентным полем <р = {<ра(х),а = 1,..., п} и аналогично для h. Вид
действия F3) сохраняется, если понимать входящие в него величины
следующим образом: (д<рJ = дцра ■ д,(ра, <р2 = <ра<ра, <р4 = (у?2J, htp =
ha<pa. Иногда ip называют n-компонентным вектором спина, а саму
модель - п-компонентным изотропным ферромагнетиком. Но эта тер-
терминология может вводить в заблуждение, поскольку настоящий спин
всегда связан с пространственными вращениями, а выше речь шла об
изотропии в абстрактном пространстве внутренних степеней свободы,
которое в теории поля обычно называют изоспиновым. По группе про-
пространственных вращений поле {<ра} ~ набор п скаляров.
4.Кубическая симметрия. Поле то же, что и в примере 3, но теперь
требуется не полная Оп-симметрия, а лишь кубическая - инвариант-
инвариантность относительно перестановок компонент <р и отражений <ра —>■ — <ра
каждой отдельной компоненты. Все приведенные выше О„-симметрич-
ные формы являются и кубически симметричными, квадратичных по
<р новых инвариантов не существует, а для взаимодействия <р4 возможна
вторая независимая кубически симметричная структура Ylft-
5.Пространственная (вращательная или кубическая) симметрия.
В этом случае число компонент поля п совпадает с размерностью про-
пространства d, а <р и h считаются векторами относительно простран-
пространственных вращений. Именно этот случай соответствует реальным изо-
изотропным магнетикам и сегнетоэлектрикам. Для локальных форм типа
<р2п пространственная симметрия эквивалентна рассмотренной выше
"изоспиновой", поэтому инвариантные формы прежние. Но для (д<рJ
появляются новые инвариантные структуры, а именно, изотропная
(dip,J = ditpi ■ dk№ и кубическая (#i¥?iJ + (до(рпJ + • ■ • + (dn<pnJ- Их
включают в действие при исследовании реальных систем [56].
б.Дипольные силы. Для cf-мерного векторного поля <р, имеющего
смысл плотности дипольного момента (магнитного для магнетиков, элек
трического для сегнетоэлектриков), в реальных системах часто учиты-
учитывают нелокальную энергию дипольного взаимодействия, имеющую вид
constJ J dxdx'ipi(x)R~d[ 8{s — cfn,ns ]<ps(x'), где d - размерность про-
52 Глава 1. Основы теории критического поведения
странства, Ri = я,- — х'{, R = |Д|, щ = Ri/R, const - положительный
коэффициент. Если перейти к преобразованию Фурье
(р{х) = Bir)-d/2Jdk ф(к) exp(ikx) F4)
(индексы у <р подразумеваются), то дипольный вклад в действие запи-
запишется в виде однократного интеграла:
Sam{<p) = const Jdk ft (к) [Su-dkikjk2] ф,(к), F5)
const положительна, <р*(к) = <р(—к) при вещественном <р(х). Нелокаль-
Нелокальность в F5) выражается присутствием к2 в знаменателе. При добавле-
добавлении выражения F5) к действию F3) локальный вклад с 5jS в F5), груп-
группируясь с пр2 = (Т — Tc)ipi5is<ps в F3), приводит лишь к сдвигу Тс —У
Т'с критической температуры. Поэтому общий вид пространственно-
изотропного свободного (квадратичного по <р) действия с учетом ди-
польных сил следующий:
So(f) = -A/2)М #(*) № + тNг, + v2kiks/k2] ф,(к), F6)
где т = Т — Т'с, ъ-v - константа, имеющая смысл параметра дипольной
щели в спектре продольных флуктуации. Если требуется не изотропия,
а только кубическая симметрия, то в F6) можно добавить структуру
~ k25is (здесь без суммирования по г), о которой говорилось в примере 5.
Вторая упоминавшаяся там структура ~ к;к$ несущественна по срав-
сравнению с k{ks/k2 в F6). Инвариантные лишь относительно совместного
вращения векторов к, <р вклады действия иногда называют анизотроп-
анизотропными, имея в виду спиновую анизотропию.
Приведенными примерами пока и ограничимся, другие будут вво-
вводиться позднее по ходу изложения. При желании уточнить размерность
d в моделях типа F3) будем использовать стандартные обозначения
типа (рд, например, <р\ при d ~ 4.
Оп-¥?4-модель с разными значениями п имеет много конкретных при-
приложений в теории критического поведения. При п = 1 она совпадает с
F3) и описывает критическое поведение модели Изинга и других си-
систем из того же класса эквивалентности (критическая точка перехода
жидкость - газ, точка расслоения в бинарных смесях и др.). При п — 3
она описывает изотропный, а при п = 2 - пленарный магнетики Гай-
зенберга (как "ферро", так и "антиферро"), а также (п = 2) переход в
сверхтекучую фазу жидкого Не4. Наконец, формальный предел п —>■ О
используется для описания статистики длинных полимерных цепочек
[45, 57].
п. 15 Канонические размерности
53
п.15 Канонические размерности и каноническая масштаб-
масштабная инвариантность. Всем величинам в функционалах типа F3) мож-
можно приписать некоторые канонические размерности, определив их из
требования безразмерности каждого из вкладов. Каноническую размер-
размерность произвольной величины F будем обозначать через dF или d[F] для
громоздких F. Размерности dF не следует путать с введенными ранее
(п.п.2,3) критическими размерностями АР, - последние неизвестны и
будут вычисляться методом РГ, тогда как значения dF просто опреде-
определяются по виду действия с точностью до общего множителя. Он будет
фиксироваться условием нормировки типа A1): dp = — dx = 1. Тогда
символ dx в F3) имеет в cf-мерном пространстве размерность —d, сим-
символ д - размерность импульса +1, условие безразмерности вклада (д<рJ
в F3) принимает вид 2dv-\-2 — d = О, отсюда находится dv, затем по ней
- размерности всех прочих параметров в F3), результаты приведены в
таблице 3.
Табл.3. Канонические размерности dF величин F для действия
S(<p) — — f dx[(d<pJ/2 + Yln9n<pn/n* ] в d-мерном пространстве.
F
dF
X
-1
д,р
1
cf/2-1
h = -gi
d/2 + 1
T=g2
2
4-d
36
6-2J
9n
n-d{n~ 2)/2
Если для некоторого действия S не удается обеспечить выбором dF
безразмерность всех вкладов, то это значит, что в S мало параметров и
их нужно ввести; если же размерности dF определяются неоднозначно,
то это значит, что есть лишние параметры и их нужно устранить под-
подходящим растяжением полей и переопределением констант.
Безразмерность действия S(<p,e) (<р - набор всех полей, а е - всех
параметров) эквивалентна масштабной инвариантности
S(<px,ex) = S(<p,e), <px(x) =
е,-А =
F7)
с di = d[ei]. Следствием F2) и F7) является инвариантность функцио-
функционала G и его логарифма W (якобиан D<p\/D<p не зависит отрив F2)
сокращается) :
W(Ax,ex) = W(A,e), Ax(x) =
x), dA=d-d9.
F8)
Эти формулы обобщают на случай функционалов введенное в п.2 по-
понятие обобщенной однородности, dv и dA имеют смысл канонических
54 Глава. 1. Основы теории критического поведения
размерностей функциональных аргументов <р(х) и А(х). Правило A0)
обобщается на функционалы следующим образом:
d[ 8Ф/8ф{х) ] = <1[Ф] + d-d+, AФ= 4ф(х) ] , F9)
т.е. каждое вариационное дифференцирование по "размерному аргу-
аргументу" ф(х) увеличивает размерность функционала на d — в,ф. Равен-
Равенства F7), F8) означают безразмерность соответствующих функциона-
функционалов, из безразмерности W(A, e) и определений п. 11 вытекает безразмер-
безразмерность его преобразования Лежандра Г(а,е) по отношению к масштаб-
масштабным преобразованиям с da = d [a(x)] — d— dA = d^. Эти соображения
определяют канонические размерности всех функций Грина - вариаци-
вариационных производных соответствующих безразмерных функционалов:
d [ Wn(Xl . ..*„)] = d [SnW/(SA)n] = n(d- dA) = ndv, \
G0)
d[rn(Xl...xn)] =d[Snr/(Sa)n] = n(d-dci) = n(d-dv). J
Из аналогичного F8) соотношения D5) вытекают аналоги формул G0)
с заменой всех канонических размерностей dF критическими АР. Раз-
Различие между D5) и F8) в том, что переменные е в F8) обозначают
все параметры модели, а в D5) - только "ИК-существенные" внешние
параметры, характеризующие отклонение от критической точки. Обо-
Обозначив последние через е', прочие - е", все вместе е = (е', е") (например,
в F3) е' = (г, h), е" = д), можно сказать, что в F8) преобразуются все
параметры е, а в D5) - только е' при фиксированных е". Поэтому F8)
не влечет D5). Будь все параметры е" канонически безразмерными, из
F8) вытекал бы критический скейлинг D5) с А[е'] = d[e'], то же и для
простой теории Ландау как следствие инвариантности F7) для функци-
функционала Г(а) = 5(а) (см. текст в конце п.13). Наличие дополнительных
параметров е" с d[e"] ф 0 - причина нарушения критического скейлинга
(гипотезы подобия) для корреляционных функций в теории Ландау с
действием F3) (см. текст в конце п.9). В этой модели е" = д, dg = 4 — d
(см. табл. 3), поэтому скейлинг в теории Ландау имеет место лишь при
d = 4, когда dg = 0. Термодинамический скейлинг есть при любом d,
так как переход к термодинамике осуществляется сужением S(<p,e) на
множество однородных полей <р, тогда вклад (dipJ в F3) исчезает, пара-
параметр д становится лишним и устраняется растяжением ip. При выходе
за рамки теории Ландау, соответствующей приближению стационар-
стационарной фазы в интеграле F0) с действием F3), критический скейлинг из
канонической масштабной инвариантности не следует даже при d = 4,
п. 16 Существенные и несущественные взаимодействия 55
поскольку ультрафиолетовые расходимости диаграмм (подробно потом)
вынуждают вводить и включать в е" дополнительный размерный па-
параметр обрезания Л.
п. 16 Существенные и несущественные взаимодействия, ло-
логарифмическая размерность. Свободной частью действия E9) счи-
считается квадратичная форма So(<р) = —<рК<р/2 с некоторой линейной опе-
операцией К (например, в F3) К = —д2 + т или р2 + т в импульсном пред-
представлении). Выше Тс все независимые слагаемые К положительны и
в критической области становятся малыми (расходимость восприимчи-
восприимчивости). Будем считать, что So содержит только обращающиеся в нуль
в критической точке ИК-существенные параметры типа е' с d[e'] > О
(п.15). Это не ограничивает общности, так как параметры типа е",
например, коэффициент при д2 в К, всегда можно убрать из So пере-
переопределением полей и параметров е'.
Допустим, что к So добавлено некоторое взаимодействие W(tp) =
gv(<p) и поставлен вопрос: насколько оно существенно в критической
области по сравнению с So? Ответ прост: в низшем порядке относи-
относительная величина поправки пропорциональна константе связи д, кото-
которая обезразмеривается каким-нибудь параметром из So или импульсом
е, так что безразмерной характеристикой силы взаимодействия явля-
является комбинация д ■ е~^з^е, где dF - канонические размерности.1 Мы
знаем, что de > 0, и что е —у 0 в критической асимптотике (именно здесь
важно, что в 5о, по условию, нет остающихся конечными в критической
асимптотике размерных параметров типа е"), поэтому для dg > 0 отно-
относительная величина поправки при е —у 0 возрастает, а для dg < 0 - убы-
убывает. Взаимодействие с dg > 0 называют ИК-существенным, а с dg < О
- ИК-несущественным. Для первого безразмерный параметр ряда тео-
теории возмущений в критической асимптотике не мал, поэтому весь ряд
нужно как-то суммировать (что и будет делаться методом РГ), вторым
можно пренебречь, если не интересоваться малыми поправками. При
наличии двух и более конкурирующих взаимодействий с dg > 0 нужно
учитывать лишь самое существенное с максимальным по величине dg,
все прочие по сравнению с ним - малые поправки. Если одинаковое
максимальное dg > 0 имеют сразу несколько взаимодействий, то все
они должны учитываться на равных правах в отсутствии запретов по
симметрии.
Величина dg определяется правилами п.15 по виду взаимодействия и
1 Поправка может содержать и параметр УФ-обрезания Л, но это можно игнори-
игнорировать: в п.19 будет показано, что все вклады с Л либо переопределяют параметры
типа Гс, либо ИК-несущественны по сравнению с обсуждаемыми.
56 Глава 1. Основы теории критического поведения
зависит от размерности пространства d, обычно dg с ростом d убывает.
Определение: значение d = d**, при котором dg = О, называют верхней
критической размерностью для данной модели.
Пусть v{<p) = J dxF(x; <р), где F - построенный из поля ip(x) и (в об-
общем случае) его производных локальный моном с определенной канони-
канонической размерностью dF без каких-либо добавочных размерных коэффи-
коэффициентов. Определение: значение d = d*, при котором dv = dF—d — О, на-
называют логарифмическим для данного взаимодействия. Например, для
So из F3) и взаимодействия v(<p) = ip" (здесь и далее ipn = f dxipn(x)) no
данным табл.3 в п.15 получим d* = 2n/(n — 2), в частности, d* =6,4,3
для взаимодействий <р3,<р4, <р6 соответственно. Термин "логарифмиче-
"логарифмическое" употребляется также и для самого взаимодействия или модели в
целом, например, "взаимодействие <р4 логарифмично при d = 4".
Как правило, введенные выше величины d* и d** совпадают. Они
различаются лишь в тех (в реальных задачах экзотических) случаях,
когда по физическим соображениям коэффициент при взаимодействии
содержит некоторую добавочную степень ИК-существенного параме-
параметра. Простой пример - взаимодействие V(<p) = дта<р4 с заданным
показателем а. Логарифмическим для данного взаимодействия ~ (р4
является обычное значение d* = 4, а верхней критической размерно-
размерностью является d** = 4 —2а, поскольку она определяется по размерности
dg = 4 — d — 2а параметра д, а не коэффициента дта в целом.
Рассмотрим в качестве примера модель
S(<p) = -Jdx [ (d<pJ/2 + ао<р2 + a4<p4 + a6<p6 ] , G1)
считая коэффициенты а регулярными функциями двух переменных z =
{z',z"}, где z' - температура, z" - добавочный параметр (давление
в жидких кристаллах, концентрация в растворах и т.п., эксперимен-
экспериментально это часто встречающаяся ситуация [52, 54, 55]). Для устой-
устойчивости необходимо а§ > 0, линия критических точек в пространстве
параметров z определяется условиями ао = 0, сц > 0 (при а^ = 0, а4 < О
ситуация не критическая, так как тогда для малых ао минимум энергии
по (р определяется взаимным соотношением а4 < 0 и о^ > 0, поэтому
"не чувствует" перемены знака аг)- Допустим, что на конце этой линии
имеется трикритическая точка zt, в которой одновременно an = а4 = О,
и нас интересует поведение системы в окрестности Zj. Условия экспери-
эксперимента задают некоторую траекторию z(f) в плоскости переменных z, т
- какой-нибудь параметр на траектории, не обязательно Т — Тс. Допу-
Допустим, что траектория z(r) проходит через трикритическую точку zt, a
параметр т выбран так, что z@) = Zt, тогда величина т характеризует
п. 16 Существенные и несущественные взаимодействия 57
степень близости к zt. По условию, а2 = а4 — 0 при т — О, а относи-
относительная величина а2 и сц при малых г зависит от формы траектории
z(r): если это прямая, то а2 ~ а а ~ т в силу предполагаемой в теории
Ландау аналитичности Д2,4 в переменных z. Но траекторию z (г) можно
выбрать и так (теоретически, реальная возможность в эксперименте -
другой вопрос), что ао и аА будут на ней величинами разного порядка
малости, например, а$ ~ а% с заданным показателем а. Допустим, что
мы идем со стороны азд > 0, и выберем в качестве т сам коэффициент
а2: тогда а2 = т, а4 = д4та, а6 = 5б, где #4,6 - не зависящие от г
положительные константы.
Мы хотим понять, какое из двух взаимодействий в G1) важнее при
такой траектории. По общему правилу (см. выше), это определяется
каноническими размерностями d [g6] = б — Id и d [g4] = 4 — d — 2a (на-
(напомним, что dT =2). Из формул для dg видно, что в реальной размер-
размерности d = 3 при a > 1/2 (в частности, для прямолинейных траекторий
с a = 1) нужно оставить только <р6 - это трикршпическое поведение,
при a < 1/2 - только та(р4, а при a = 1/2 нужно учитывать оба взаи-
взаимодействия.
Все это, конечно, верно лишь в асимптотике, т.е. при достаточно ма-
малых т. В реальной ситуации важны также численные значения параме-
параметров #4,6) и асимптотически несущественное при т —>■ 0 взаимодействие
может долго играть главную роль. Это относится и к траекториям,
пересекающим линию критических точек не в самой трикритической
точке Zj, а где-то рядом. Предельное поведение в этом случае - просто
критическое (<р6 несущественно), но на практике из-за малости коэф-
коэффициента при <р4 поведение системы довольно долго может выглядеть
трикритическим.
Мы пользовались выше общепринятой терминологией, называя по-
поведение трикритическим или критическим, если оно "управляется" вза-
взаимодействием <р6 или ip4, соответственно. Из приведенного анализа сле-
следует, что в классе нетривиальных траекторий подхода к трикритиче-
трикритической точке а2 = т —¥ 0, a4 ~ та —>■ 0 возможны еще два других типа
поведения: комбинированное трикритическое, когда существенны оба
взаимодействия <р6 и та <р4, - оно наблюдается при некотором граничном
значении о = Оо (с*о = 1/2 для d = 3), и модифицированное критиче-
критическое, которое управляется только взаимодействием та<р4 и наблюдается
при a < c*o. Оба эти варианта будут подробно рассмотрены методом
РГ в гл.4. РГ-анализ подтверждает сделанные выше общие заключе-
заключения, и приводит лишь к уточнению граничного значения с*о за счет
учета аномальных размерностей.
58 Глава 1. Основы теории критического поведения
К сказанному выше необходимо добавить еще одно важное уточне-
уточнение. Общие выводы этого раздела были основаны на анализе кано-
канонических размерностей вкладов первого порядка теории возмущений.
В критической области ряды теории возмущений нужно суммировать,
что для заданной модели будет делаться методом РГ и приведет к за-
замене канонических размерностей критическими (п.1). Поэтому точ-
точные оценки относительной существенности различных вкладов должны
основываться не на канонических, а на критических размерностях. Они
различаются (см. соотношения C)) лишь поправками порядка е , где е -
формальный малый параметр типа d* — d, характеризующий отклонение
основного взаимодействия (или взаимодействий) от логарифмичности,
например, е — 4 — d в у?4-модели. Поскольку эти поправки заранее (т.е.
до построения модели и ее РГ-анализа) неизвестны, не должны учиты-
учитываться вклады того же порядка ~ е и в канонических размерностях. Это
значит, что основанное на неравенстве d3l < d32 суждение об относи-
относительной существенности двух взаимодействий является окончательным
и достоверным (при малом б) только тогда, когда данное неравенство
выполняется уже в нулевом порядке по s. Но если значения dg раз-
различаются лишь величинами порядка е, то при построении модели оба
взаимодействия должны считаться одинаково существенными.
Деликатность ситуации состоит в том, что саму величину е можно
точно определить лишь для конкретной модели, а сравнительный ана-
анализ существенности взаимодействий необходим еще на этапе ее построе-
построения. Практически проверку на "точность по б" можно выполнить лишь
задним числом: сначала нужно выбрать модель, отбросив все несуще-
несущественные по каноническим размерностям вклады, затем найти ее лога-
логарифмическую размерность и (тем самым) соответствующий параметр
г, а потом нужно проверить, нет ли среди отброшенных слагаемых ис-
исходного взаимодействия таких, которые которые отличаются по раз-
размерности от учтенных лишь вкладами порядка г или выше. Если та-
такие слагаемые есть, их следует присоединить; окончательные сужде-
суждения об относительной существенности подобных "почти одинаковых по
размерности" вкладов можно будет сделать лишь после РГ-анализа мо-
модели. Они будут достоверными только в рамках ^-разложений, т.е. при
малом е. Их экстраполяция на конечные значения s при незнании точ-
точных критических размерностей всегда будет элементом символа веры и
оправдывается лишь сравнением результатов с экспериментом.
Резюмируем кратко все сказанное: при исследовании критического
поведения исходная модель всегда максимально упрощается путем от-
отбрасывания всех заведомо (т.е. в нулевом порядке по е) ИК-несуществен-
п. 17 Одноосный сегнетоэлектрик 59
ных по сравнению с главными вкладов, которые дают лишь поправки к
скейлингу и сдвигают ("ренормируют") коэффициенты при ИК-сущест-
венных слагаемых. Сдвиг таких параметров, например, Тс и g в F3), не
имеет значения, поскольку подобные параметры вообще не контролиру-
контролируются теорией критического поведения и не влияют на его универсаль-
универсальные характеристики - критические индексы и нормированные скейлин-
говые функции. Сдвиги параметров ИК-существенной части действия
ИК-несущественными вкладами могут, в принципе, нарушать исход-
исходную симметрию ИК-существенной части (и тогда иногда говорят об
"опасных ИК-несущественных операторах"). Но этого не может слу-
случиться, если в ИК-существенную часть с самого начала включены все
допустимые по симметрии вклады, как того требует общая идеология
теории критического поведения.
Следует также отметить, что отбрасывание ИК-несущественных
вкладов не только желательно (как упрощение модели), но и необхо-
необходимо: лишь в такой "правильно построенной" упрощенной модели по-
появляется та корреляция между ИК- и УФ-поведением, которая обеспе-
обеспечивает возможность исследования ИК-асимптотики методом РГ.
Поэтому техника РГ всегда используется именно для таких упро-
упрощенных указанным выше способом моделей, и лишь потом, при жела-
желании, исследуется влияние различных поправочных членов, несуществен-
несущественных на уровне канонических размерностей.
п.17 Пример двухмасштабной модели: одноосный сегнето-
электрик. В одноосном сегнетоэлектрике (или магнетике) cf-мерный
вектор поляризации <pt считается всегда направленным вдоль выделен-
выделенной оси, т.е. <pi = <рщ, где <р - однокомпонентный параметр порядка,
п,- - фиксированный единичный вектор направления. Реалистической
считается [38] стандартная у?4-модель типа F3) с учетом вклада ди-
польных сил, ее свободное действие получается подстановкой ipi = <рщ
в F6):
So(<p) =-\
к?,
ф(к) , G2)
где к" = к» + k~L, продольный импульс &ц - проекция вектора к на ??., а
к± - на ортогональное п подпространство. Параметр дипольной щели
v в G2) считается фиксированным, в отличие от переменной т.
Критической асимптотике соответствует обращение в нуль всех не-
независимых слагаемых операции А' в свободном действии Sb(¥>) =
—ipKip/2 (п.1б). Для функционала F3) это означает к2 —> 0 и г —> О,
а для G2) добавляется условие кг,/к2 —> 0, из которого следует
60
Глава 1. Основы теории критического поведения
k2/k\ —>■ 0. Это означает, что импульсы &ц и к±_ в критической обла-
области следует считать величинами разного порядка малости. Поэтому
в форме к2 = k2L + к?, второе слагаемое является ИК-несущественной
поправкой, которую при анализе ведущих сингулярностей можно от-
отбросить. Получаемый в итоге полный функционал действия можно за-
записать символически в виде
h<P ,
G3)
где д\\ - производная по продольной координате, д\ - поперечная часть
оператора Лапласа д2 = д\ + д2, нужные интегрирования по координа-
координатам х (однократное в локальных слагаемых, двукратное в нелокальном)
подразумеваются. В критической асимптотике к —>■ 0, т —> 0, v =const
все вклады в квадратной скобке G3) должны быть величинами одного
порядка малости (на уровне канонических размерностей). Отсюда сле-
следует, что по порядку величины Атц ~ к\.
Модель G3) двухмасштабна, для любой величины F в ней можно
ввести две независимые канонические размерности: продольную dp и
поперечную dp-, а по ним определить "суммарную" de = dp- + 2dF (та-
(такой вид dp следует из &ц ~ к\). Двухмасштабность - следствие ин-
инвариантности действия G3) относительно двух независимых масштаб-
масштабных преобразований: в первом растягиваются все величины F и про-
продольные координаты при фиксированных поперечных, во втором - ве-
величины F и поперечные координаты при фиксированных продольных,
из них можно составить "суммарное преобразование" с растяжением
я±.яц —>■ As;_l, A2£||. В cf-мерном пространстве одна координата про-
продольная, a d — 1 - поперечные. Размерности всех величин F в G3)
определяются по общим правилам п. 15 из требования безразмерности
(продольной и поперечной отдельно) каждого слагаемого с нормировкой
типа (И), результаты в табл.4.
Табл.4- Канонические размерности величин F в действии G3).
dF =
F
dp
4
d?
+ 2dl
fcj.
1
0
1
h
0
l
2
XL
-1
0
-1
i II
0
-1
-2
(d-3)/2
1/2
(d-l)/2
h
(d+l)/2
1/2
(d + 3)/2
г
2
0
2
2
-1
0
5
3
9
-
-1
-
d
п. 18 Ультрафиолетовая мультипликативная ренормировка, 61
О существенности взаимодействия (п.16) в данном случае следует
судить по суммарной канонической размерности dg = 3 — d (см. табл.4),
т.е. данная модель логарифмична в реальном трехмерном простран-
пространстве. Это позволило Ларкину и Хмельницкому еще в 1969 г. [38] вычи-
вычислить методом РГ ведущую логарифмическую поправку к теории Лан-
Ландау. После создания техники е-разложения Вильсона были выполнены
расчеты критических индексов в размерности d = 3 — е, в первом по-
порядке по е - в [58], во втором - в [59], подробнее об этом в гл.4.
п. 18 Ультрафиолетовая мультипликативная ренормировка.
Мы приступаем к изложению квантовополевой техники РГ, ограничива-
ограничиваясь лишь формулировкой общей схемы, - детали расчетов и пояснения
в следующих главах.
Конкретная модель задается функционалом действия 5, ее функции
Грина вычисляются в форме бесконечных диаграммных рядов теории
возмущений (гл.2), диаграммам соответствуют интегралы по импуль-
импульсам. Если они расходятся в области больших импульсов (как всегда и
будет в любой модели, рассматриваемой в своей логарифмической раз-
размерности), то говорят, что в модели имеются ультрафиолетовые (УФ)
расходимости. Впервые с этой проблемой столкнулись в квантовой те-
теории поля, имеющей дело, как правило, с логарифмическими в размер-
размерности d = 4 моделями. Там и был еще в пятидесятых годах разработан
аппарат ренормировки, устраняющей УФ-расходимости [35] (подробно
в гл.З). Первым шагом является регуляризация модели - любая едино-
единообразная процедура, придающая смысл ответам. Простейшей регуляри-
регуляризацией является обрезание \к\ < Л области интегрирования по импуль-
импульсам в F4). При снятии обрезания (Л —»■ оо) ответы расходятся; задача
состоит в том, чтобы перестроить теорию, не исказив ее физического
смысла и одновременно обеспечив конечность пределов при Л —»■ оо.
Модели, для которых это удается сделать, называют ренормируемыми,
а саму процедуру перестройки - ренормировкой.
Нужно сразу сказать, что в теории критического поведения ситу-
ситуация иная, так как здесь имеется вполне реальное, а не искусственно
вводимое обрезание Л, например, размер первой зоны Бриллюэна для
решетки. В общем случае по порядку величины Л ~ г"^, где rmin -
естественный минимальный размер неоднородностеи поля флуктуации
(шаг решетки, межатомное расстояние для газа и т.п.). Если измерять
расстояния в единицах rmin, то А - фиксированный параметр порядка
единицы. Переходить к пределу Л —>• оо и обеспечивать его существова-
существование здесь не нужно, поэтому нет прямой необходимости ренормировать
модель. Но оказывается, что сама возможность это сделать содержит в
62 Глава 1. Основы теории критического поведения
неявной форме очень ценную информацию об исходной модели с конеч-
конечным Л, - именно она и обеспечивает возможность применения техники
РГ.
В теории ренормировки доказывается, что для некоторого класса мо-
моделей (включая <р\) УФ-расходимости можно полностью устранить пе-
переопределением параметров и мультипликативной ренормировкой поля/
ф{х) -» <pR{x) = Z-^(x) , G4)
где Zv - некоторая безразмерная константа ренормировки поля.1
Предупреждение!!.1: по традиции в G4) обычно пишут Z/2 вместо
Z. Но это неудобно по многим причинам (в частности, потому, что
тогда Zv имеет смысл константы ренормировки не самого поля, а его
коррелятора). Поэтому в данном случае мы предпочитаем пойти на
нарушение традиции, и всегда будем пользоваться формой записи G4),
в которой Zv есть константа ренормировки поля в точном смысле слова.
Из связи G4) между полями <р и <pR вытекает связь
GnR(x!...xn) = Z-nGn(*i...*n) G5)
между соответствующими функциями Грина C3).
Поясним подробнее сформулированное выше утверждение. Исходное
действие S и соответствующие функции Грина называют неренормиро-
ванными, содержащиеся в S параметры - затравочными, весь их набор
будем обозначать через ео- Неренормированные функции в правой ча-
части G5) зависят от параметров е0 и обрезания Л. Упомянутое выше
"переопределение параметров" состоит в переходе от затравочных ео к
некоторым другим ренормированным параметрам е, которые являются
функциями е0 и Л. Соответствие между ео и е предполагается взаи-
взаимооднозначным, т.е. е = е(ео,Л) и ео = ео(е,Л); независимыми можно
считать, по желанию, либо параметры ео, либо е. По договоренности,
независимыми параметрами в ренормированных функциях Грина GnR
'В некоторых моделях с многокомпонентным полем Zv может быть матрицей по
его индексам. Но это относительно редкая ситуация (необходимость смешивания
компонент ip при ренормировке), и в этой главе для простоты мы будем всегда
считать Zv константой. Обобщение на случай матричной Zv тривиально и требует
лишь аккуратности при записи формул. Отметим также, что в моделях типа ips
без симметрии у> -»■ — у> к растяжению G4) иногда добавляют еще и сдвиг ip. Сдвиг
^ при ренормировке всегда можно заменить сдвигом внешнего поля h (подробно в
п.4.24), поэтому без ограничения общности ренормировку у> всегда можно считать
мультипликативной.
я. 18 Ультрафиолетовая мультипликативная ренормировка, 63
считаются е, а ео и Z^ в G5) - некоторые функции е и Л. При таком
понимании равенство G5) в подробной записи имеет вид:
6'nR(xi .. .х„;е,А) = Z~nGn(zi .. .х„; е0, Л) , G6)
ео = €о(е,А), Zv = Zv{e,\). G7)
Определение: модель называют мулътипликатпивно-ренормируемой, ес-
если подходящим выбором функций G7) можно обеспечить УФ-конечность
ренормированных функций G6). Здесь и далее под УФ-конечностью по-
понимается конечность предела при снятии УФ-обрезания, в данном слу-
случае Л —>• со, при фиксированных ренормированных параметрах е.
Все обычные модели теории критического поведения, в том числе и
<р4-модель F3), являются мультипликативно-ренормируемыми в своей
логарифмической размерности. Именно это свойство и будет впослед-
впоследствии обеспечивать возможность использования для них стандартной
техники РГ.
Описанная выше процедура ренормировки неоднозначна: можно по-
разному выбирать регуляризацию, параметры е и вид функций G7),
получая при этом разные УФ-конечные системы функций GnR. Все
они физически эквивалентны, так как справедливо [35] следующее об-
общее утверждение: любые две УФ-конечные системы функций Грина
GnR(- ■.; е, Л) и GnR{...; е, Л) (многоточие - аргументы х\ ... хп), полу-
получаемые разными способами ренормировки из одной системы неренор-
мированных функций, связаны между собой преобразованием конечной
ренормировки
е = е(е,А), GnR(...;e,A) = Z^GnR(.. .;е, Л) G8)
с некоторыми УФ-конечными функциями е = е"(е,Л) и Z^ = Z^(e,A).
Преобразования G8) образуют группу, которую и называют ренорм-
группой (РГ).
УФ-конечность всех величин в соотношениях G8) позволяет перейти
в них к пределу Л —»■ оо. Физическое содержание теории (в частности,
универсальные характеристики критического поведения) не может, оче-
очевидно, зависеть от выбора переменных и нормировки поля. Поэтому
любые две системы функций Грина, связанные преобразованием G8),
физически эквивалентны. В том же смысле при конечном фиксирован-
фиксированном А эквивалентны неренормированные и ренормированные функции,
связанные преобразованием G6). Поэтому ренормпрованные функции
можно использовать для анализа критического поведения с таким же
правом, как исходные неренормированные.
64 Глава 1. Основы теории критического поведения
Формулу ренормировки G5) можно перевести на язык производящих
функционалов D1), D3), E0):
GR(A) = GCL-'A), WR(A) = WCL-'A), TR(a) = T(Zva). G9)
Отсюда для связных и 1-неприводимых функций Грина получаем:
WnR{Xl...xn) = Ъ~п Wn(Xl...xn), (80)
Г„в(х1...х„) = Z£ rn(xi...xn). (81)
Введем также ренормированное действие SR, определив его по из-
известному функционалу GR(A) общими формулами F0) и F2):
[S*(<p)+A<p]
.
SR(tp)
С другой стороны, из соотношений F0),F2) для неренормированной мо-
модели и первого равенства G9) имеем:
S(<p)
Сделав здесь замену <р —f Z^y? переменной интегрирования (якобиан - не
зависящая от (р константа, которая в (83) сокращается) и сравнив полу-
полученное равенство с (82), заключаем, что SR(<p) = 5(Z¥,^?), в подробной
записи
SR{<p;e,...) = S{Zv{e,...)<p;e0{e,...)). (84)
Многоточием обозначены дополнительные аргументы, сейчас это Л.
Согласно определению (82), ренормированные функции Грина для мо-
модели с действием S суть обычные функции Грина для модели с изме-
измененным (ренормированным) действием SR. 1
В общем случае S(<p) содержит линейный по <р вклад hop (форма
типа D8)), интерпретируемый как взаимодействие с затравочным внеш-
1 Соотношение (82) определяет SR по функциям Грина лишь с точностью до про-
произвольной аддитивной постоянной, которая в (82) сокращается. Добавка подходящей
УФ-расходящейся константы к правой части (84) потребуется тогда,когда мы поже-
пожелаем ренормировать не только функции Грина, но и статсумму F0). Это будет по-
подробно обсуждаться в гл.З, а в этой главе мы будем ограничиваться ренормировкой
только функций Грина, для которой достаточно мультипликативной ренормировки
действия (84).
п. 18 Ультрафиолетовая мультипликативная ренормировка. 65
ним полем Л0- Пусть S(ip) = S'(tp) + hQ<p, где S' - неренормирован-
ное действие для модели без внешнего поля. Если функционал S'(tp)
имеет какую-нибудь симметрию, гарантирующую равенство < <р >= О
в отсутствии спонтанного нарушения (например, четность по <р), то
ренормировка S' не будет требовать сдвига ф, или, эквивалентно (см.
примечание на стр.62), внешнего поля. Другими словами, в такой си-
ситуации (а она обычная) отсутствующий в S' вклад внешнего поля не
будет появляться в S'R, т.е. ренормировка S' тоже будет мультиплика-
мультипликативной. В этом случае все проблемы ренормировки для полной модели
S(<p) = S'(<p) + ho<p решаются в рамках модели без внешнего поля: если
для нее определен функционал S'R(ip) = S'(Zv<p), то для полной модели
S*(<p) = S'K{<f) + hip , h0 = h Zk, Zh = Z-\ (85)
где h - ренормированное внешнее поле, считающееся в 5R незави-
независимым УФ-конечным параметром, aZ^- константа ренормировки (р в
G4), одинаковая для S' и S. Формулы (85) для ренормировки h следуют
тогда из общего правила (84) и первого равенства (85).
Для обоснования сказанного выше достаточно заметить, что при
подстановке SR из (85) в соотношение (82) вклад h<p группируется с
Aip, т.е. приводит лишь к УФ-конечному сдвигу А -4- А + h аргу-
аргумента функционала G'R модели без поля. При учете изменения нор-
нормировки (т.е. знаменателя в (82)) точное соотношение связи имеет вид
GR(A) = G'R(A + h)/G'R(h) и гарантирует УФ-конечность GR как след-
следствие УФ-конечности G'R.
Для моделей типа <р4 при нулевом внешнем поле имеется различие
между симметричной (Т > Тс ) и несимметричной (Т < Тс ) фазами.
Впоследствии будет показано (п.28), что для решения всех проблем ре-
ренормировки при любом знаке Т — Тс достаточно научиться ренормиро-
вать модель в симметричной фазе. Все вместе это можно сформули-
сформулировать как следующее правило: в моделях типа £>4 при изучении ре-
ренормировки достаточно рассмотреть модель в симметричной фазе, т.е.
при h = 0 и Т > Тс. Ренормировка внешнего поля определяется затем
общим правилом (85) с константой Zv, определенной для симметричной
фазы.
Это правило непригодно для моделей типа (р3, в которых к растя-
растяжению h в (85) добавляется еще и сдвиг (если хотим сохранить G4)).
Для таких моделей ренормировку следует рассматривать для задачи с
внешним полем; <^3-модель будет подробно обсуждаться в гл.4.
66 Глава 1. Основы теории критического поведения
п.19.Размерная регуляризация, соотношение между точны-
ми и формальными ответами для однопетлевых интегралов.1
В полной мере УФ-расходимости проявляются в логарифмической тео-
теории, т.е. тогда, когда модель рассматривается непосредственно в своей
логарифмической размерности d— d* (п. 16). Размерная регуляризация
осуществляется "г-сдвигом"
d - d* - 2е, е > 0, (86)
(такая запись удобнее d* — e при конкретных расчетах), снятию регуля-
регуляризации соответствует е —>• 0. Все это предполагает умение вычислять
интегралы в произвольной размерности пространства.
Техника таких расчетов подробно излагается в следующих главах,
а здесь ограничимся лишь необходимыми для понимания ренормировки
в размерной регуляризации общими сведениями. Для наглядности при-
приведем в качестве примера несколько простых формул с интегралами по
rf-мерному вектору k, n = k/\k\ - его направление, везде dk = ddk =
rf4
fdn = 2ira/T(a), (87a)
CO
fdk f(\k\) = [2тг«/Г(а)] fds 3d'1 f(s), (876)
fdk f(\k\) ехр(гЧЬ) = Bж)аг1-а fdssa Ja^(sr) f{s), (87b)
0
где kx -скалярное произведение d-мерных векторов, s = \k\, r = \x\, F(z)
- гамма-функция, Ju(z) - функция Бесселя, (87а) - угловой интеграл в
rf-мерном пространстве. Все равенства (87) справедливы для любого
целого d > 1. Их правые части обычно (точнее см. ниже) аналитиче-
аналитически продолжимы по d до определенных во всей плоскости комплексного
переменного d мероморфных функций. Эти продолжения там, где они
существуют, т.е. вне полюсов, и считаются, по определению, значени-
значениями d-мерных интегралов без обрезания для нецелых или комплексных
d.
Рассматривая интегралы с обрезанием А в размерности (86), для
точности формулировок будем пользоваться терминами ^-сходимость
(расходимость) для характеристики поведения при А —> со, а г-сходи-
мостъ (расходимость) - при г —> 0. Сейчас нас интересуют только
'Материал этого раздела сугубо технический и может показаться сложным при
отсутствии опыта вычисления интегралов в произвольной размерности. Читатель
может опустить обоснования, ознакомившись лишь с общими идеями и конкретными
выводами, поскольку они нужны для понимания дальнейшего.
п. 19 Размерная регуляризация 67
УФ-расходимости от области больших импульсов интегрирования к, по-
поэтому всегда будем считать, что в подынтегральных выражениях нет
никаких ИК-сингулярностей при нулевых или при конечных значениях
к.
Рассмотрим подробнее интеграл с обрезанием Л по одному rf-мерному
импульсу к:
I=I(e,d,A) = / dkf(k,e), dI = d+df, (88)
где / - функция с определенной канонической размерностью df, завися-
зависящая от некоторого набора е = {е^} ИК-существенных, т.е. стремящихся
к нулю в критической асимптотике, параметров с de > 0 для каждого
(г, внешние импульсы и т.п.). Будем считать, что функция f(k,e) при
к ф 0 аналитична по совокупности параметров е (в окрестности е = О,
в дальнейшем это всегда подразумевается), что она аналитична по к
для всех или почти всех е ф О (чем обеспечивается отсутствие ИК-
сингулярностей по d в интеграле (88)) и что f{k, 0)^0 (чем исключа-
исключаются функции типа / = е,-/,-(&,е), для которых УФ-сходимость опреде-
определяется свойствами /, а не /). Все эти условия обычно выполняются для
интегралов, соответствующих однопетлевым диаграммам при Т > Тс в
любых квантовополевых моделях. Типичные примеры ''хороших" функ-
функций - /= (к2 + т)а или / = (к2 + п)а[(к - рJ + T-2f. Для первой из
них dj = 2а, е = г, для второй dj = 2а + 2/3, е — {р, т\, гз}, где вектор
р - внешний импульс, при этом параметры аи/? произвольны, а все т
обязательно строго положительны, так как множители типа к2а даже с
положительным показателем степени порождают дополнительные ИК-
сингулярности по d, которые мы условились сейчас не рассматривать.
С помощью формул типа (87) интегралам (88) можно придать смысл
в полуплоскости Red > 0 (это ограничение связано с расходимостью при
\к\ = 0 в интеграле по |А-| из-за множителя l^l^ с Red < 0), а затем
аналитически продолжить и на область Red < 0. Эта процедура по-
подробно поясняется в [60], п.4.2, и мы не будем на ней останавливаться,
так как нас в основном интересует окрестность d* > 0 в (86). Отме-
Отметим только, что при продолжении соотношений (876) на отрицатель-
отрицательные d в одномерном интеграле по \к\ = s появляются полюса в точках
d = 0, —2, —4,..., которые сокращаются полюсами Г(^/2) в знаменателе
коэффициента перед интегралом (а нулей гамма-функция не имеет).
Аналитические свойства интегралов типа (88), соответствующих
диаграммам без ИК-сингулярностей, характеризует следующее приво-
приводимое без доказательства
68 Глава 1. Основы теории критического поведения
Утверждение 1: Интеграл (88) с обрезанием Л хорошо определен
и аналитичен по d в полуплоскости Red > 0 и продолжим до анали-
аналитической во всей плоскости d функции I(e,d, Л). Для этой функции
Птд-юо 1{е, d, Л) = 1{е, d, oo) существует и аналитичен по d в области
Red < — df, т.е. при Redj < 0. Этот предел аналитически продолжим
до определенной во всей плоскости комплексного d мероморфной функ-
функции I$(e,d), имеющей полюса в точках d = —df + dM, где dM > 0 -
канонические размерности всевозможных построенных из параметров
е мономов М, по которым разлагается интеграл /, включая М — 1 с
dM = 0. Определение: мероморфную функцию I$(e,d) будем называть
формальным ответом для интеграла в размерной регуляризации.
Формальный ответ /ф не зависит от Л и существует при всех зна-
значениях d вне полюсов, находящихся в тех точках, для которых dj =
d+ df = dM для какого-нибудь из мономов М.
Для дальнейшего необходимо четко охарактеризовать соотношение
между формальным ответом и точным интегралом (88). Ограничимся
вещественными значениями d с исключением точек d = —df+dM, в кото-
которых /ф не существует. Последнее условие означает dj ф dM VM, в част-
частности, dj ф 0 и позволяет для заданного d однозначно разделить множе-
множество Е всех мономов М на конечное подмножество Е\ = {М : dM < dj}
и бесконечное Е2 = {М : dM > dj}. Проекторы на эти множества будем
обозначать через Pi,2; для них Pi + Ро = 1. Для Л-сходящегося инте-
интеграла (di < 0) множество Е\ пусто, поэтому Е2 = Е, Pi = 0, Ро — I.
По условию, функция / в (88) при к ф 0 разложима по е, т.е.
f(k,e) = 53м6е М ам(к) с коэффициентами ам(к) ~ |Ar|^-^ <:'г^1 =
\k\d'~dM~d. В интеграле (88), по условию, возможны лишь Л-расходимос-
ти от области больших к, а при почленном интегрировании ряда для
/ становится опасной и область малых к —>• 0. По соображениям раз-
размерности ясно, что коэффициенты ам(к) с М £ Е\ интегрируемы при
it = 0, а с М £ £2 ' при к -4- оо. Отсюда следует, что для интеграла
(88) с dj > 0 существует начальный (и только начальный) отрезок тэй-
лоровского разложения по е, получаемый почленным интегрированием
соответствующего отрезка разложения / и состоящий из всех мономов
М € Е\. Поэтому корректны следующие определения:
I{r){e,d,A)= / dkP1f{k,e) = £ MAJHmcm, (89a)
r-/W = / dk(l-P1)f(k,e) , (896)
п.19 Размерная регуляризация 69
dk(l-P1)f(k,e) = £ Л/ Arf'-rfMcM (89в
с не зависящими от е и Л безразмерными коэффициентами см = cM(d).
Будем называть /'г' регулярной, а /(•*' - сингулярной частями / (ана-
(аналоги определений п.З), правую часть (896) будем называть интегралом
с вычитаниями, а величину (89в) - остатком /(*). Из определений
E\t2 следует, что все показатели dj — dM в (89а) положительны, а в
(89в) - отрицательны и что регулярная часть отлична от нуля только
для Л-расходящихся интегралов с dj > 0. Отсюда вытекает
Утверждение 2: Л-расходимости в интеграле (88) имеются лишь
при di > 0 и сосредоточены в его регулярной части (89а), являющейся
начальным отрезком тэилоровского разложения I(e, d, Л) по е и состо-
состоящей из мономов М с dM < dj. При любом dj ф dM VM интеграл с
вычитаниями (896) Л-сходится, т.к. его остаток исчезает при Л —>• оо,
и поэтому существует №(e,d, оо) - интеграл с вычитаниями без об-
обрезания. Остаток Al(s^(e,d, Л) аналитичен по е и содержит лишь мо-
мономы М с dM > dj, ИК-несущественные в критической асимптотике
е -4- 0, Л =const по сравнению с величиной I^(e,d,оо), имеющей раз-
размерность di.
Соотношение между точным и формальным ответами характери-
характеризует
Утверждение 3: для любого d > 0 вне особых точек d = — df + dM
h(e,d) = I^(e,d,ос) = fdk(l-P1)f(k,e) , (90a)
I*{e,d)-AlW(e,d,\) при di < 0 ,
I(e,d,A)=\ (906)
I ^ ^{e,d,\) при dj > 0.
Поясним его, не претендуя на строгость доказательства, которую все-
всегда можно обеспечить для конкретных /. Степени Л в (89) - ана-
аналитические функции d, а легко вычисляемые для конкретных инте-
интегралов коэффициенты см - мероморфные функции d с полюсом в со-
соответствующей точке d = —dj + dM. В зависимости от величины d
данный моном М входит либо в (89а), либо в (89в). В первом слу-
случае коэффициент см определяется (см. выше) интегралом по области
\к\ < Л, во втором - по области \к\ > Л. Важно, что эти на первый
взгляд различные определения приводят к одной и той же мероморф-
ной функции cM[d), - на этом и основано доказательство утверждения
3. Действительно, в области Л-сходимости d < —df интеграла / имеем
70 Глава 1. Основы теории критического поведения
I(e,d,A) = I&(e,d) + Y^MeE Mi\d' dM cM(d), где первое слагаемое -
совпадающий с 1ф по определению интеграл без обрезания, второе -
остаток (89в) с Е2 — Е. Приведенное равенство продолжимо по d непо-
непосредственно на все d ф —dj +dM VM. При этом для d > —dj начальный
отрезок ряда переходит в сумму (89а), а его остаток - в (89в), - это сле-
следует из отмеченного выше свойства коэффициентов cM(d). Тем самым
доказывается равенство (906), из него и определений (89) следует (90а).
Таким образом, для Л-сходящегося интеграла точный ответ (88) от-
отличается от формального только ИК-несущественным остатком А/(*\ а
для Л-расходящегося - еще и регулярным вкладом 1^ГК В любом случае
формальный ответ совпадает с интегралом без обрезания с обеспечи-
обеспечивающими Л-сходимость вычитаниями в подынтегральном выражении
(при dj < 0 они не нужны) и является ведущим при е -4- 0 сингулярным
вкладом точного ответа для интеграла (88). Отметим, что отсутствие
полюсов по d в левой части равенства (906) (утверждение 1) свидетель-
свидетельствует об их взаимном сокращении в правой части: полюса I$(e,d) в
точках d = — df + dM, M £ Е, сокращаются вкладами аналогичных
полюсов коэффициентов cM(d) регулярной части (М € Е\) и остатка
(М € Е2).
В общем случае диаграмме соответствует /-кратный интеграл по
d-мерным импульсам, I называют числом петель в диаграмме. Мы рас-
рассматривали выше лишь однопетлевые интегралы (88), но все сформули-
сформулированные выше выводы относительно структуры расходимостей и ана-
аналитичности по d остаются справедливыми и для любых /-петлевых диа-
диаграмм, если предварительно устранить из них все "подрасходимости"
(расходимости поддиаграмм) некоторой вспомогательной Л'-операцией.
Остающиеся после этого расходимости называют поверхностными, к
ним и относятся сформулированные выше утверждения. Все эти во-
вопросы будут подробно обсуждаться в гл.З при изложении теории ренор-
ренормировки, там же будут и уточнения, касающиеся ИК-сингулярностей.
п.20 Постановка задачи ренормировки в размерной регуля-
регуляризации. Как уже отмечалось, УФ-расходимости заданной модели в
полном объеме проявляются в ее логарифмической размерности d*. В
теории критического поведения нас интересует модель в заданной "ре-
"реальной размерности" dp с конкретным УФ-обрезанием Л ~ ?'"*, (п. 18).
Обычно dp < d*, причем возможны оба варианта: например, в трех-
трехмерных задачах dp — 3, при этом для £>4-модели d" — 4, а для ре-
взаимодействия (п.16) или одноосного сегнетоэлектрика (п.17) d" = 3.
В любом случае модель рассматривают в переменной размерности (86),
полагая в конце е -4- 0, если dp = d*, или е = £,,, если dp < d*.
п.2О Ренормировка, в размерной регуляризации 71
При исследовании расходимостей и ренормировки обычно рассма-
рассматривают диаграммы 1-неприводимых функций E4) в импульсном пред-
представлении для модели без внешнего поля (см. конец п. 18) при Т >ТС,
т.е. в симметричной фазе. В этом случае в E4) a = 0, а Г„ - про-
просто коэффициенты разложения функционала E0) в нуле по а. Роль е
в соответствующих диаграммам интегралах играют параметры типа т
и внешние импульсы р - сопряженные координатам х в E4) перемен-
переменные. В этой главе мы рассматриваем только функции Грина типа C3),
D9) или E4) с п > 1, а в гл.З включим в общую схему и называемые
вакуумными петлями диаграммы свободной энергии Г0) - на излага-
излагаемой ниже общей идеологии это не отразится. Обобщение процедуры
ренормировки на случай Т < Тс, т.е. на фазу со спонтанным наруше-
нарушением симметрии, также обычно не представляет затруднений (п.28), и
всюду в дальнейшем при обсуждении ренормировки, если не оговорено
противное, всегда будет подразумеваться симметричная фаза в нулевом
поле.
При d = d* соответствующие диаграммам Г„ интегралы / имеют
обычно целочисленные размерности di, одинаковые для всех диаграмм
данной функции Гп. Поверхностно расходящимися называют те диа-
диаграммы, для которых d[ > 0 при d = d*, таковыми обычно явля-
являются все диаграммы нескольких первых функций Г„. Диаграммы с
dj = 0 называют логарифмически расходящимися, с dj = 1 - линейно,
с dj = 2 - квадратично, и так далее. Типичный пример - <^4-модапь
при d = d* = 4: в симметричной фазе отличны от нуля лишь четные
функции Гп, все диаграммы Г4 расходятся логарифмически, а Гг - ква-
квадратично.
Малый £-сдвиг (86) уменьшает величину di для /-петлевой диаграм-
диаграммы на 2el Bе на каждый d-мерный импульс интегрирования). Этого
достаточно для обеспечения Л-сходимости тех диаграмм, которые при
е = 0 расходились логарифмически (напомним, что для многопетлевых
диаграмм речь идет о поверхностных расходимостях, см. текст в конце
п. 19). Но малый г-сдвиг не устраняет Л-расходимости полностью, - они
остаются в тех диаграммах, которые при е — 0 расходились линейно или
сильнее. Эти остающиеся А-расходимости сосредоточены в регулярных
вкладах соответствующих диаграммам интегралов и являются полино-
полиномами по ИК-существенным параметрам е (п.19). Следует подчеркнуть,
что в модели с конечным обрезанием Л нет никаких с-расходимостей,
поскольку все ответы аналитичны по d.
Сдвиг (86) обеспечивает выполнение условия dj ф dM VM (п. 19) и
справедливость представлений типа (906). Их левые части и вклады
72 Глава 1. Основы теории критического поведения
/(г) в правых не имеют полюсов по е ~ d — d* (в /'г' есть особенности
по d, но не при d = d*), такие полюса есть в/ф и А/'*', и они взаимно
сокращаются. Полюса по г в ответах появляются при отбрасывании
вкладов Д/(*), что всегда и делается при вычислениях в размерной ре-
регуляризации. Это оправдывается тем, что вклады А/'5' в силу их ана-
аналитичности по е и ИК-несущественности (утверждение 2 в п. 19) играют
лишь роль тривиальных поправочных членов в критической асимпто-
асимптотике.
Поясним подробнее. Согласно общей идеологии теории критического
поведения (п.З), нас интересуют лишь ведущие в критической области
сингулярные вклады и нетривиальные поправки к ним, характеризу-
характеризуемые поправочными критическими индексами ш. В этом смысле ана-
аналитические по е поправки не представляют интереса, так как в общей
феноменологии их присутствие всегда подразумевается, а соответству-
соответствующие индексы однозначно определяются критическими размерностями
Де параметров е. Для расчета ведущих критических сингулярностей
и нетривиальных поправочных членов тривиальные поправки А/'5' не
нужны.
Обсудим теперь регулярные вклады типа /'г' в (906). Нужно сразу
сказать, что регулярные вклады не контролируются флуктуационными
моделями и вообще не относятся к компетенции теории критического
поведения (п.п.ЗД2). Поэтому их имеет смысл обсуждать лишь с точки
зрения внутренней самосогласованности изучаемой модели: она должна
содержать параметры, на ренормировку которых можно было бы "спи-
"списать" все возникающие в ней регулярные вклады. Поясним примером
^>4-модели в размерности d — А — 2е: единственным по типу регуляр-
регулярным членом в диаграммах функций Грина Ггп с п > 1 является не
зависящая от внешнего импульса и т константа в диаграммах Г2, учет
которой приводит лишь к сдвигу Тс (подробнее в п.21). Так же обстоит
дело во всех разумных полевых моделях: Л-расходящиеся регулярные
вклады перенормируют параметры типа Тс, несущественные с точки
зрения теории критического поведения (поясним: Тс - несущественный
параметр, а т = Т — Тс - существенный).
Регулярные члены (906) всегда имеют положительные размерности
и поэтому не могут давать вклада в безразмерную константу ренорми-
ренормировки поля в G4). Они участвуют лишь в ренормировке затравочных
параметров: ео —> е'о — ео + Лео, где Аео - Л-расходящиеся поправки от
регулярных членов. Этот шаг есть К-ренормировка модели: если при-
принять е0 вместо е0 за независимые переменные, положив е0 = ео(ео,Л),
то в выраженных через е0 функциях Грина уже не будет никаких Л-
я.20 Ренормировка, в размерной регуляризации 73
расходимостей, - все они сосредоточатся в формулах, связывающих ео
и е0. Если эти связи касаются лишь несущественных параметров типа
Тс и поэтому нас не интересуют, то данный шаг ренормировки выпол-
выполняется простой заменой ео —»■ е0 в функциях Грина с одновременным
отбрасыванием всех регулярных вкладов при вычислении соответству-
соответствующих диаграммам интегралов, что эквивалентно обеспечивающим Л-
сходимость вычитаниям в подынтегральных выражениях (см. (896)).
На данном этапе при конечном обрезании Л в теории нет никаких
г-расходимостей. Но если на этом остановиться, то не будет использо-
использована основная для дальнейшего информация - мультипликативная ре-
нормируемость модели. Поэтому всегда делается следующий шаг - пе-
переход к пределу Л —>• оо в Л-сходящихся интегралах с вычитаниями,
что эквивалентно отбрасыванию вкладов типа А/E' в (906) (обосно-
(обоснование см. выше). Это значит, что в диаграммах неренормированных
функций Грина используются формальные ответы 1ф для всех интегра-
интегралов одновременно с заменой ео —>• eg, соответствующей учету всех ре-
регулярных вкладов. В формальных ответах есть полюса по е (в точных
они сокращались аналогичными полюсами А/'5'), устранение которых
является целью следующего шага - нетривиальной мультипликативной
е-ренормировки поля и параметров.
Символически полную процедуру ренормировки можно записать сле-
следующим образом:
г Л1 Л-рен. , , „ s-рен. , ^ г7-1~т /л,.
Первый шаг есть тривиальная Л-ренормировка:
Gn{...,ea,A) = G'n(...,e'a{e0,A),A) , (92)
многоточие здесь и далее обозначает координатные или импульсные
аргументы функций Грина C3), зависимость от параметра е из (86)
явно не указывается, но всегда подразумевается. Явная зависимость
от Л в G'n соответствует обрезанию Л-сходящихся интегралов, а все Л-
расходимости сосредоточены в функциях е0 = е£)(ео,Л). Основную для
дальнейшего роль играет второй шаг процедуры (91) - нетривиальная
е-ренормировка, устраняющая полюса по £ в величинах
Gn(...,e'Q)=G'n(...,e'Q,A = ^), e'Q = ео(ео,Л) , (93)
которые считаются, по определению, неренормированными функциями
Грина в процедуре е-ренормировки. Функции (93) зависят от Л лишь
74 Глава 1. Основы теории критического поведения
неявно через е'о = во(ео,Л), а если е'о принимаются за независимые пе-
переменные, зависимость от Л в (93) полностью исчезает. Параметры е^,
как и е0, будем называть затравочными, различая их только по кон-
контексту и отличая от новых ренормированных параметров е, которые
вводятся на втором шаге процедуры (91). Он состоит в переходе от не-
ренормированных функций (93) к новым ренормированным функциям
GnR(...;e) = Z-" Gn(...;e'Q) (94)
с некоторыми функциями Z^ = Z^e), e'o = е'0(е) (г подразумевается),
подбираемыми из условия сокращения в (94) полюсов по е.
Сразу отметим, что запись (94) пригодна лишь тогда, когда в модели
имеются какие-нибудь размерные параметры типа Т — Тс, а в общем
случае для корректного определения ренормированных функций Грина
в них приходится вводить вспомогательный размерный параметр - ре-
нормировочную массу fj. с d^ — 1. Вместо (94) тогда пишут:
GnR(...;e,/i) = Z-nGn(...;e'Q), (95a)
Z4> = Zv(e,n), е{,=е{,(е,/х). (956)
Такая запись пригодна и в отсутствии параметров типа Т — Тс, напри-
например, для <^4-модели, рассматриваемой непосредственно в критической
точке.
Всюду в дальнейшем под ренормировкой будет пониматься второй
шаг процедуры (91) - мультипликативная ренормировка в форме (94)
или (95). Для нее справедливы все общие утверждения и формулы п. 18,
если понимать под УФ-расходимостями полюса по е, а под многоточием
в (84) - зависимость от е и \i. В технике РГ критическое поведение
всегда определяется по асимптотике ренормированных функций Грина,
так как они, с одной стороны, ничем не хуже для этой цели исходных
неренормированных функций, а с другой, - содержат в простой явной
форме (отсутствие полюсов по г) важную информацию о ренормиру-
емости модели. В процессе расчетов параметр е в ренормированных
функциях считается произвольным, и лишь в конечных формулах ему
придается реальное значение е = ер. При ер > 0 в устраняющей полюса
по с ренормировке нет прямой необходимости. Тем не менее, она и в
этом случае делается, так как таким способом вносится нужная инфор-
информация о ренормируемости модели.
Если заранее известно, что первый шаг (91) приводит лишь к изме-
изменению несущественных с точки зрения теории критического поведения
п.21 Явные формулы ренормировки ' 75
величин типа Тс, то в конкретных расчетах его обычно вообще опус-
опускают, принимая следующее соглашение: при вычислении всех соответ-
соответствующих диаграммам интегралов в переменной размерности d исполь-
используются не зависящие от Л формальные ответы, получаемые аналити-
аналитическим продолжением по d или аналогичным параметрам из области
Л-сходимости интеграла. Такой способ вычислений будем называть в
дальнейшем формальной схемой размерной регуляризации или просто
формальной схемой.
Ее использование эквивалентно отбрасыванию в формулахтипа (906)
всех регулярных вкладов и остатков AI^SK Параметры ео и е0 тогда
отождествляются, зависимость от Л вообще исчезает, а УФ-расходимос-
тями считаются только полюса по г. Теряемая при этом информация
о Л-ренормировке ео —>• е0 реальной ценности не представляет, так как
сами флуктуационные модели, как пояснялось в п.12, непригодны для
определения параметров типа Тс.
п.21 Явные формулы ренормировки. Общую идеологию будем
пояснять на примере ^>4-модели F3) с нулевым внешним полем и Т > Тс
в размерности d — 4 — 1г. Исходное действие
S{<p) = -fdx [ {dipJ/2 + та<р2/2 + g^/24] (96)
считаем неренормированным (п.18), его параметры ео ЕЕ {го,<7о} - за-
затравочными, по смыслу го = Т—Тсо, где Тсо - критическая температура
в приближении Ландау. Все канонические размерности известны (п. 15):
d = 4-1e, d\go] = 2e, d[rQ] = 2, dv = l-e. (97)
При изучении ренормировки рассматриваются 1-неприводимые функ-
функции Грина E4) в импульсном представлении, в симметричной фазе от-
отличны от нуля лишь четные функции Гзп- Функция Гт связана соотно-
соотношением E5) с коррелятором D, в импульсном представлении
Г2(р,...) = -D-^p,...), (98)
где р - внешний импульс (в п.9 он обозначался через к), многоточие -
прочие аргументы. Вследствие изотропии скалярные функции в (98)
зависят только от р2. Роль А" в E9) для действия (96) играет операция
—<92 + го, т.е. р2 + tq в импульсном представлении, невозмущенным
коррелятором является обратная величина Dq = А' = (р2 + то).
Поверхностные расходимости (п.20) имеют лишь диаграммы функ-
функций Грина Г4 и Г->, при е — 0 первые расходятся логарифмически
(di = 0), а вторые - квадратично (di — 2). При конечном е величина
76 Глава 1. Основы теории критического поведения
di уменьшается на 2el, где / - число петель в диаграмме, поэтому Л-
расходящиеся регулярные вклады имеются лишь в диаграммах Гг- Они
зависят от параметров е = {р2, то} (обозначения п.19), оба этих параме-
параметра имеют размерность 2, превышающую di = 2 — lei. Поэтому опреде-
определяемый по правилу (89а) регулярный вклад для любой диаграммы Гт
есть не зависящая от параметров е константа ~ д2-2г( (отметим, что
подходящие по размерности вклады ~ \р\ недопустимы из-за их неана-
неаналитичности по е). Учет этих регулярных вкладов диаграмм То приво-
приводит лишь к сдвигу затравочной критической температуры Тсо- Строго
это будет показано в гл.З, а здесь ограничимся пояснениями. Точное (в
рамках модели) значение Тс есть, по определению, то значение Т, при
котором в полном корреляторе D — D(p,go, tq(T), А,е) появляется рас-
расходимость при нулевом импульсе, что в силу (98) эквивалентно условию
Г2(р = 0, до, то(Тс), Л, е) — 0. Это равенство определяет неявно величину
г0 (Тс) = Тс — Тсо = АТС как функцию \,до и г, в теории возмущений -
в форме ряда по <7о:
'(£) 90Л-2~2Ы (99)
(=1
с безразмерными коэффициентами с*. Ясно, что все члены ряда (99)
имеют структуру регулярных вкладов диаграмм Гг и могут порождать-
порождаться только этими вкладами. Нетривиальное утверждение состоит в том,
что никакого другого влияния, кроме сдвига Тс, регулярные вклады не
оказывают, - это легко доказывается в рамках общей теории ренорми-
ренормировки (гл.З). Отметим, что коэффициенты С( в (99) не имеют полюсов
по е, т.е. особенностей по d при d = d*: согласно общим правилам
п. 19, коэффициент q имеет особенность лишь при том значении d, для
которого di — dM, в данном случае di — 2 — 2el, dM — Q.
Таким образом, первый шаг процедуры (91) в обсуждаемой модели
сводится к замене е0 = {то,да} -4- е0 = {то,д'о — до}, т.е.
то=Т-ТсО -» т^=Т-Тс = то-АТс A00)
с АГС из (99).
Переходим теперь ко второму шагу процедуры (91) - нетривиальной
мультипликативной £-ренормировке. При выборе ренормированных па-
параметров е = {т,д} и константы Zv в G4) для ограничения произвола
обычно принимается следующее соглашение: ренормированный заряд д
всегда выбирается безразмерным, а т - с размерностью т0, причем так,
п.22 Вид констант Z в схеме MS (минимальные вычитания) 77
что т = 0 соответствует критической точке:
dg = 0, dT = 2, т=0 <^> Т = ТС. A01)
Кроме того, всегда требуется, чтобы в низшем порядке теории возму-
возмущений выполнялись равенства Zv = 1, т = т0, а параметры g и до
различались бы при этом лишь УФ-конечным множителем, компенси-
компенсирующим различие их канонических размерностей.
Считая все это выполненным, общее правило ренормировки (94)
можно конкретизировать для нашей модели следующим образом:
!р(х) = Zv£R(x), до=дт£Ъд, т'0 = тЪт A02)
с т'о из A00). Называемые константами ренормировки безразмерные
множители Z могут зависеть только от безразмерных параметров д и
е. В теории возмущений все Z - начинающиеся с единицы ряды по д с
зависящими от е коэффициентами, содержащими полюса по г.
Формулы A02) предполагают наличие размерного параметра т и по-
поэтому непригодны непосредственно в критической точке т — 0. В этом
случае переходят к формулировке (95) с дополнительным параметром
\i — ренормировочной массой, и вместо второго равенства A02) пишут
9о — 9№2£Т>д- Для обеспечения непрерывности ренормированных функ-
функций Грина при т -4- 0 параметр /i удобно сохранять и при т > 0. Тогда
вместо A02) полагают
<р(х) = Zv£R(x), go=gfJ,2£Zg, t^ = tZt, A03)
и теперь в общем случае Z = Z(g, А, г) с А = тут.
и.22 Вид констант Z в схеме MS (минимальные вычитания).
Соображения размерности определяют общую структуру формул (ЮЗ),
но никак не фиксируют явный вид функций Z(^,A,e). Согласно основ-
основному утверждению теории ренормировки (п.18), их можно выбрать так,
чтобы устранить из функций Грина все УФ-расходимости, в данном
случае полюса по е. Это главное требование на функции Z, но и оно
не определяет их однозначно. Остающийся произвол фиксируется нало-
наложением каких-либо дополнительных условий, говорят, выбором схемы
вычитаний. Существуют разные схемы (подробно в гл.З), ренормиро-
ванные функции Грина различаются для них лишь УФ-конечной ренор-
ренормировкой G8) и с точки зрения физики эквивалентны (п. 18), поэтому
выбор схемы - вопрос удобства.
Наиболее удобной при вычислениях является предложенная в [61]
схема минимальных вычитаний, сокращенно MS (от Minimal Substrac-
tions), так как в ней даже при т ф 0 все константы Z в A03) не зависят
78 Глава 1. Основы теории критического поведения
от А и имеют в теории возмущений следующий вид:
Z = Т,(9, е) = 1 + ХУ !>-*«»*> A04)
га = 1 k=l
где cnk - не зависящие ни от каких параметров числа. Термин "ми-
"минимальные" выражает тот факт, что е в A04) входит лишь в форме
полюсов, ограничение k < n на их кратность - следствие общей струк-
структуры расходимостей диаграмм, которое будет подробно поясняться в
гл.З.
Независимость констант Z от А в схеме MS резко упрощает вычи-
вычисления в технике РГ и позволяет легко обобщить все построения на
случай Т < Тс, т.е. на фазу со спонтанным нарушением симметрии
(п.28). Важно еще и то, что в данной схеме параметр т имеет простой
физический смысл: он пропорционален т'а — Т — Тс, тогда как в общей
формуле A03) при наличии зависимости от А = туГ2 в ZT связь между
т и температурой сложная.
Поскольку выбор схемы вычитаний - только вопрос удобства, всюду
в этой главе будем считать, если не оговорено противное, что при ре-
ренормировке используется схема MS, поэтому константы Z имеют вид
A04).
п.23 О связи ИК- и УФ-проблем. Основной задачей теории кри-
критического поведения является определение ИК-асимптотики (импульсы
и т стремятся к нулю, параметры g и ft фиксированы) функций Грина.
Решая эту задачу, нельзя ограничиться никаким конечным порядком
теории возмущений даже при очень слабом взаимодействии. Действи-
Действительно, рассмотрим, например, неренормированный коррелятор D при
Т = Тс. Параметр Л в эту величину не входит (поскольку фиксируется
не г0, а Гц = Т — Тс = 0, см. п.20), так что она. зависит только от s, go
и импульса р. В теории возмущений по </о с учетом (97) имеем
£>|т=т, = Do(p) [l + f>op--'Tc»(;)j . A05)
L 71=1 J
где Do(p) = р~2 - нулевое приближение, сп - безразмерные коэффици-
коэффициенты. Параметром разложения в A05) фактически является не до, а
безразмерная комбинация gop~2s, поэтому при сколь угодно малом до
для определения асимптотики р -4- 0 необходимо суммировать весь ряд
A05). В этом и состоит ИК-проблема, т.е. проблема ИК-сингулярностей
(сейчас при р -4- 0, Т — Тс, а в общем случае - при р -» 0, Т -4- Гс). Она.
я. 24 Дифференциальные уравнения РГ 79
гораздо сложнее проблемы УФ-расходимостей, так как не существует
аналога теории УФ-ренормировки, позволяющего в общем случае явно
выделять и суммировать инфракрасные сингулярности.
Но при малом е между этими двумя проблемами есть некоторая
связь. Действительно, из A05) видно, что ИК-сингулярности прир —¥ 0
ослабляются с уменьшением е, и при е — 0 исчезли бы полностью, если
бы в A05) можно было просто положить е = 0. Но этого нельзя сделать
из-за УФ-расходимостей - наличия полюсов по £ в коэффициентах сп.
Таким образом, ИК-проблема сингулярностей при р —>■ 0 для асимпто-
асимптотически малых е как-то связана с УФ-проблемой - наличием полюсов
по е: не будь второй - не было бы и первой.
Сказанное до некоторой степени поясняет, почему аппарат устраня-
устраняющей полюса по е УФ-ренормировки и связанная с ним техника РГ мо-
могут иметь какое-то отношение к решению нетривиальной ИК-проблемы.
Но это верно лишь для "правильно построенных" моделей с отбро-
отброшенными ИК-несущественными вкладами (п. 16), во всяком случае, в
свободной части действия. Поясним примером: если к действию (96)
добавить явно ИК-несущественный вклад ~ (рд4<р (что эквивалентно
добавке слагаемого ~ кА к знаменателю к2 + tq затравочного корреля-
коррелятора), то это не отразится, очевидно, на ведущих ИК-сингулярностях
диаграмм теории возмущений, но полностью изменит их УФ-поведение.
Для такой модели нужная корреляция между ИК- и УФ-поведением на-
нарушится, что сделает невозможным использование стандартной тех-
техники РГ.
п.24 Дифференциальные уравнения РГ. Квантовополевая ре-
нормгруппа (РГ) есть, по определению, множество всех преобразований
УФ-конечной ренормировки G8). Преобразования РГ связывают между
собой разные системы функций Грина, получаемые из одних и тех же
неренормированных разными процедурами ренормировки. В размерной
регуляризации под ренормировкой всегда будет пониматься процедура,
обсуждавшаяся в п.20. Частным проявлением неоднозначности ренор-
ренормировки является произвольность параметра (J. в (95), которой проще
всего воспользоваться для вывода уравнений РГ.
Если в соотношениях (95) менять (л., удерживая фиксированными за-
затравочные параметры ео и обрезание Л (тем самым и е'о = ед(ео,Л)),
то некоторые величины будут оставаться неизменными, а другие - ме-
меняться. Величины первого типа называют ренорминвариантными. К
ним относятся, в частности, сами параметры Л,ео,ед и все то, что че-
через них выражается (например, сдвиг Тс в (99)), а также исходное нере-
нормированное поле (р и любые (полные, связные, 1-неприводимые) его
80 Глава 1. Основы теории критического поведения
функции Грина и их производящие функционалы. Неинвариантными
величинами являются ренормированные параметры, поле ipR и все его
функции Грина. Сразу заметим, что условие т = 0, т.е. Т = Тс, ренор-
минвариантно, хотя сам параметр т неинвариантен.
Ренорминвариантность величины F можно выразить равенством
о
В операции Х>р, по определению, дифференцирование по ц производится
при фиксированных ео и Л, т.е. при фиксированных параметрах е'о в
записи (95). Обозначение Х>р для операции A06) будет употребляться
постоянно во всей книге, как и обозначение Vu = иди для любых опера-
операций с частными производными в ренормированных переменных.
Дифференциальные уравнения РГ пишутся для ренормированных
функций Грина, обычно связных или 1-неприводимых, и выражают
свойство ренорминвариантности соответствующих неренормированных
функций. Например, в A06) можно подставить в качестве F неренор-
мированную полную функцию Gn из (95а) или соответствующую (п.10)
связную функцию Wn(...; е'о), многоточие здесь и далее обозначает ко-
координатные или импульсные аргументы. Представив ее затем, согласно
(80), в виде Wn = Z™ WnK и сократив после выполнения дифференци-
дифференцирования множитель Z^, получим искомое уравнение РГ для ре нормиро-
нормированной СВЯЗНОЙ фуНКЦИИ Wur-
WnR(...;e,v) = 0, iv = D^ln Zv , A07)
где Т>РГ - оператор Т>^ из A06) в переменных е,//:
Vpr = Vp = Х>м + УA>„е)<9е , (Х>м=/*3р) A08)
с суммированием по всем ренормированным параметрам е.
Аналогично из (81) и A06) для 1-неприводимых функций получим:
nR(...;e,/i) = 0. A09)
Уравнения A07), A09) справедливы для любого п > 1. Каждая из этих
бесконечных систем может быть записана в виде одного уравнения для
соответствующего производящего функционала D3) или E0):
2>РГ + 7(^А 1 WH(A;e,iJ.) = 0, (ПО)
п. 25 Выражение РГ-функций через константы ренормировки 81
T>rr-ivVa I Гя(а;е,ц) = 0, A11)
где Х>А и Т>а - функциональные операции:
Выраженные в переменных е, /г (г всегда подразумевается, а обре-
обрезание Л при нашей записи (95) в формулы вообще не входит) коэф-
коэффициенты при производных в операторе A08) и величину ~fv из A07)
называют РГ-функциями. В их определении участвуют затравочные
параметры и константы ренормировки, поэтому можно было бы ожи-
ожидать и появления УФ-расходимостей - полюсов по е. Но легко показать,
что УФ-расходимости в РГ-функциях отсутствуют. Для доказатель-
доказательства достаточно заметить, что равенства A07) с разными п можно при
желании понимать как линейные неоднородные уравнения для опреде-
определения неизвестных РГ-функций по заданным функциям WnR и их про-
производным по е, /г, которые УФ-конечны по определению. Выделив из
бесконечной системы A07) нужное конечное число независимых урав-
уравнений, можно выразить все РГ-функции через известные УФ-конечные
величины (для обращения в нуль при е = 0 определителя получаемой
системы нет никаких причин), поэтому и все РГ-функции должны быть
УФ-конечными. Этот вывод подтверждается, конечно, при явном вы-
вычислении РГ-функций (см. дальше).
Существуют другие формы записи и способы получения уравнений
РГ, приведенный выше элементарный вывод предложен в [62]. По ко-
конечным результатам все варианты уравнений РГ эквивалентны.
п. 25 Выражение РГ-функций через константы ренормиров-
ренормировки. Отмеченная в п.24 возможность выразить РГ-функции через ренор-
мированные функции Грина доказывает УФ-конечность РГ-функций,
но вычислять их практически удобнее через более простые величины -
константы ренормировки Z. Излагаемая ниже схема общая, но для опре-
определенности будем говорить о у>4-модели в размерности d = 4 — '2е (п.21).
Для нее е = {г, д}, ренормировка осуществляется соотношениями A03),
по ним с помощью операции Т>^ из A06) определяются величины
(Зд = 13 = Т>»д , la=V»inZa. A13)
Первую из них принято называть бета-функцией (данного заряда д),
а 7а - аномальной размерностью величины "а" (сейчас а — д,т,(р),
общий термин - РГ-функции, как и для коэффициентов оператора A08).
82 Глава 1. Основы теории критического поведения
Последние просто связаны с функциями (ИЗ): если логарифмировать
равенства A03) для до и т'а, затем подействовать на обе части операцией
Vfi, то левые части обратятся в нуль в силу определения 2>р в A06), а
правые выразятся через величины (ИЗ), что даст
Т>„д = 0 =-дBе + 1я) , Т>»т=-т1т. A14)
Отсюда, в частности, следует, что все РГ-функции A13) также УФ-
конечны.
Из определений (ИЗ) и A14) можно выразить все РГ-функции че-
через константы ренормировки Z. Будем считать, что при ренормировке
используется схема MS (п.22), поэтому константы Z имеют вид A04).
Из A14) следует, что для любой зависящей только от д (зависимость
от е всегда подразумеваем, не указывая явно) функции F справедливы
соотношения
= /38gF(g) = -Bе+ lg)Vg F(g). A15)
Цолагая здесь F = lnZs, с учетом определения ~уд в A13) имеем:
ъ = -Be + lg)Vg\nZg. A16)
Отсюда находим ~(д, затем по ней - /?-функцию из A14):
_ _ 2ед
Р ~ l + 2VnZff ■ (l П
Считая эти величины известными, прочие аномальные размерности в
A13) легко выразить через соответствующие константы Z с помощью
соотношения A15):
1а = 13дд\пЪа = -B£ + 7aJVnZ<- ■ A18)
В общем случае РГ-функции зависят от тех же переменных, что
и константы ренормировки Z, у нас это дне. Но в схеме MS при
учете явного вида A04) констант Z можно показать, что все аномальные
размерности ~/а в действительности от е не зависят. Для доказательства
перепишем представление A04) для трех констант Za в виде
Апа(д)е-п . A19)
п=1
п.26 Связи между вычетами полюсов по е в константах Z 83
Коэффициенты Ana не зависят от е, их разложения по g начинаются с
gn. Подставив A19) в формулы A17) и A18), нетрудно убедиться, что
для всех трех аномальных размерностей получается следующее пред-
представление: 7а = —2DgAia(g)-\- вклады, содержащие только полюса по
е. Последние должны взаимно сократиться в силу известной УФ-конеч-
УФ-конечности РГ-функций 7а 1 поэтому
7а = -2VgAla . A20)
Тем самым показано, что в схеме MS все аномальные размерности 7а
не зависят от г и полностью определяются вычетами Aia(g) в полюсе
первого порядка по е соответствующих констант Za. В теории возму-
возмущений
la(9) = J2lna9n , /3(g) = -'^9 + J2/3ngn A21)
га=1 га=2
с не зависящими ни от каких параметров числовыми коэффициентами
7na, причем из A14) следует /?n+i = --yng.
Из соотношений A14) следует, что оператор A08) в нашем случае
имеет вид
VPr = V^ = Vll + P{g)dg-lT{g)VT A22)
с РГ-функциями A21). Явная зависимость от г содержится лишь в
первом члене ряда A21) для /?-функции.
Выше мы считали, что константы Z зависят только от g и е. Вы-
Выражения РГ-функций через константы ренормировки можно написать
и для общего случая, когда они зависят и от переменной А = тц~2
(п.21). Но эти выражения будут, конечно, более громоздкими, поэтому
в практических расчетах всегда удобнее использовать схему MS. При
этом сначала непосредственно по диаграммам вычисляются константы
ренормировки Z, затем по ним из соотношений A17), A18) вычисля-
вычисляются РГ-функции. Все объекты строятся в форме рядов по j, и ре-
реально можно найти, конечно, лишь начальные отрезки рядов. Техника
расчета констант Z по диаграммам довольно сложна, если не ограни-
ограничиваться низшим нетривиальным порядком теории возмущений. Она
будет подробно излагаться в следующих главах, а в этой главе мы бу-
будем обсуждать следствия РГ-уравнений, предполагая входящие в них
РГ-функции известными.
п.26 Связи между вычетами полюсов разного порядка по е
в константах Z, представление Z через РГ-функции. УФ-конеч-
ность всех РГ-функций 7а обеспечивается взаимным сокращением всех
полюсов по £ в правых частях соотношений A18), что требует вполне
84 Глава 1. Основы теории критического поведения
определенной корреляции между вычетами Апа в разложениях A19).
Логарифмируя их, напишем: lnZa = Yln=i Bna£~n- Коэффициенты
Впа однозначно выражаются через Апа из A19): Bia = Aia, 52a —
А2а — А\а/2, В3а = А3а — AiaA2a + A\a/Z, и так далее. С другой сто-
стороны, из A18) имеем
id A23)
J
Подставляя в левую часть приведенное выше представление In Za и при-
приравнивая коэффициенты при е~п в обеих частях равенства A23) с уче-
учетом известной (п.25) независимости всех ~уа от е, получаем:
VgBna = (-^j Wng~\ n>l, a=g,T,ip. A24)
При n = 1 эти соотношения совпадают со A20) и выражают 7а через
В\а = А\а, а при п > 2 с учетом связи Впа и Апа (см. выше) из A24)
получаем:
VgA2a = Vg(AiJ2)+jalg/4,
A25)
VgA3a = Vg [ АгаА2а - A\JZ ] - 7a7s2/8
и так далее. Знание величин VgAna равносильно знанию самих Апа, по-
поскольку действие операции Vg = gdg на искомый ряд по g для Апа дает
лишь дополнительный множитель m в коэффициент при gm (важно,
что ряды по g для Апа не содержат константы, так как начинаются
с gn согласно A04)). Поэтому с учетом A20) можно сказать, что со-
соотношения A25) последовательно определяют вычеты Апа всех стар-
старших полюсов по е в константах ренормировки A19) через вычеты Aia
в полюсе первого порядка трех констант Za. Это свойство - следствие
УФ-конечности РГ-функций A18), в MS-схеме сводящейся к их полной
независимости от s и являющейся, в свою очередь, следствием ренор-
мируемости рассматриваемой модели.
Из A18) с учетом нормировки Za = 1 при g = 0 следует:
Za(g,e) = exp | 'fdg' 7<.(Л//%')
Из этого соотношения с а = g и A14) получаем:
Zg(g,s) = exp (-fdg' [ 2s/C(g') + l/g' ]| . A27)
п.27 Связь между ренормировянным и затравочным зарядами 85
Таким образом, константа Zg однозначно определяется /^-функцией, а
другие Za - соответствующей 7а и /^-функцией.
п.27 Связь между ренормированным и затравочным заряда-
зарядами. В неренормированной теории естественным масштабным параме-
параметром для всех переменных является УФ-обрезание Л; в частности, обыч-
обычно считается, что go = u\2s с безразмерным коэффициентом и порядка
единицы, если нет каких-либо специальных причин предполагать иное.
В ренормированной теории формальным независимым параметром счи-
считается д, а роль масштабной переменной играет ренормировочная масса
//, вводимая в A03) как произвольный параметр. Второе равенство
A03) при известной функции Ъд(д) (е подразумевается) определяет явно
д0 — go(g,fj.) и неявно д = д(да,ц)- Реально в теории критического по-
поведения известными первичными параметрами модели являются затра-
затравочные переменные и Л, а все ренормированные параметры, в частно-
частности д = д(до,ц), вычисляются через затравочные. Если все делается в
рамках теории возмущений (ряды по д или до), то связи между затра-
затравочными и ренормированными параметрами не накладывают никаких
ограничений на их величины, поэтому в качестве независимых можно
использовать как те, так и другие (п. 18).
Но при выходе за рамки теории возмущений "симметрия" между за-
затравочными и ренормированными параметрами теряется, и тогда пер-
первичными следует считать затравочные (в этом существенное отличие
от постановки задачи в релятивистской квантовой теории поля). Та-
Такой выход обеспечивается, в частности, соотношениями A26), A27):
если подставить в них РГ-функции в некотором конечном порядке тео-
теории возмущений, то получаемые таким путем выражения для Za будут
бесконечными рядами по д, которые следует понимать как результат
некоторого частичного суммирования всего ряда теории возмущений.
Таким путем можно получить информацию о поведении функции
Zg(g), считая известным (п.1) поведение /^-функции в A27). В интере-
интересующих нас моделях первый нетривиальный коэффициент /?2 в разложе-
разложении /^-функции A21) положителен. Поэтому функция [3(д) при малых
е обязательно ведет себя так, как показано на рис.1 в п.1, обращаясь в
нуль в некоторой точке д„ ~ г. Одним из основных постулатов современ-
современной теории критического поведения (п.1) является предположение, что
показанное на рис.1 поведение /^-функции сохраняется и для больших
s, включая реальное значение ер = 1/2 в (86) для у>4-модели. Если это
так, что в дальнейшем предполагается, то из соотношения A27) можно
сделать вполне определенные выводы относительно поведения функции
gZg(g) в интервале д 6 [0,#*], внутри которого /3 < 0. Действительно,
86
Глава 1. Основы теории критического поведения
второе равенство A17), переписанное в виде gdgln(gZg) = — 2е//?, до-
доказывает монотонное возрастание функции gZg(g) в данном интервале,
а из неинтегрируемости особенности при д' = д* в A27) следует, что
дЪд —> оо при д —> д„ — 0. Поведение функции gZg(g) показано на рис.2,
там же приведено и графическое решение вытекающего из A03) урав-
уравнения gofi~2£ = gZg(g) относительно д.
Из графика (рис.2) видно, что для любых значений до и ц решение
д = g(go,fi) с нужными свойствами (разложимость д по до и наобо-
наоборот) существует, единственно и всегда находится в интервале [0,<7„].
Для наглядности приведем получаемое из A27) явное выражение для
Ъд в простейшем однопетплевом приближении для /^-функции, в кото-
котором удерживаются лишь два первых члена ряда A21):
|l —петл. —
2e
l-петл —
9* ~
A28a)
A286)
где <7* = 2е//?2 в данном приближении (считаем /?2 > 0). В точном
выражении A27) особенность при g —> g* —0 будет не простым полюсом,
как в A286), адробной степенью (д*— д)х с показателем А = —2e/j3'(g*).
Рис.2. Поведение функций /?(#) и дЪд(д) в (р4-модели и графическое
решение уравнения gaft~2e — д%д(д) относительно д.
Таким образом, хотя формальные ряды теории возмущений имеют
смысл при любом значении д, естественной областью определения для
ренормированной у>4-модели является интервал 0 < д < д*{е).
п.28 Ренормировка, и уравнения РГ при Т <ТС 87
При е —> 0 этот интервал исчезает, что порождает вопрос о смысле
ренормированной теории при е = 0, т.е. непосредственно в логарифми-
логарифмической размерности. По современным представлениям (см., например,
[60], §7.11) ренормированная у>4-модель с полностью снятыми обрезани-
обрезаниями (Л = оо, е = 0) не существует. Физический смысл при е = 0 имеет
лишь модель с обрезанием Л, конечность которого обеспечивает конеч-
конечность интервала возможных значений ренормированного заряда д. На
практике РГ-уравнениями п.24 пользуются и при е = 0, ссылаясь на
непрерывность по е всех входящих в них величин и физическую эквива-
эквивалентность различных ренормировочных схем (п. 18), позволяющую под-
подменить конечность Л конечностью е. Последняя принимается во внима-
внимание лишь там, где это совершенно необходимо, а именно, в формулах
связи между до и д (чем обеспечивается существование интервала до-
допустимых значений д), тогда как в РГ-функциях и в ренормированных
функциях Грина, тем самым и в РГ-уравнениях, полагают прямо е = 0.
Таким путем из РГ-уравнений типа A07) получают логарифмические
поправки к теории Ландау (см. п.п.43,44). Параметр д входит при этом
лишь в неуниверсальные амплитудные множители, поэтому конкрет-
конкретное значение д роли не играет, важен лишь сам факт существования
некоторой области применимости по д.
п.28 Ренормировка и уравнения РГ при Т < Тс. Для квантово-
полевых моделей типа (96) известны способы (гл.2) прямого вычисле-
вычисления функционала E0) как целого в виде диаграмм, определенных при
любом знаке Т — Тс и разложимых в нуле по а при Т >ТС. Эти разло-
разложения порождают диаграммные представления 1-неприводимых функ-
функций Грина Гп, которые и исследуются при изучении ренормировки: по
соображениям размерности определяются поверхностные расходимости
диаграмм Г„, затем проверяется, что все они устранимы введением
нужных констант Z в формулах типа A03), чем доказывается муль-
мультипликативная ренормируемость модели (гл.З). Если константы Z не
зависят от т ~ Т — Тс (например, в схеме MS), то формулы типа (ЮЗ)
сохраняют смысл и при т < 0. В этом случае справедливо следую-
следующее утверждение (доказательство в гл.З): вычисленные по функциям
Грина Гп в симметричной фазе с т > 0 константы ренормировки Z авто-
автоматически устраняют все УФ-расходимости из диаграмм функционала
Г(а) как целого при любом знаке т, т.е. обеспечивают УФ-конечность
ренормированного функционала
Тн(а;е,ц) = ГA^а;е'о) , A29)
с тем же смыслом всех величин, что и в (95).
88 Глава 1. Основы теории критического поведения
Сказанное выше можно пояснить следующим образом: переход от
диаграмм Гга к диаграммам Т(а) осуществляется суммированием функ-
функционального тэйлоровского разложения по а. Эта операция и последу-
последующее продолжение диаграмм Г(а) на область т < 0 не вносят новых
УФ-расходимостей, поэтому УФ-конечность функций Гга при т > 0 га-
гарантирует УФ-конечность всех диаграмм функционала Т(а) при любом
знаке т.
Функционал Г (а) всегда конструируется по модели без внешнего
поля, и по нему определяются все ее функции Грина: спонтанная намаг-
намагниченность ctQ - точка стационарности Г(а), 1-неприводимые функции
Грина Гга - коэффициенты его разложения по а в данной точке, связные
функции Wn и полные Gn выражаются через Гга известным образом
(п. 11). Функционал Т(а) всегда однозначен, а функции Грина одно-
однозначны лишь при Т > Тс, когда <*о = 0, а при Т <ТС они неоднозначны
и зависят от выбора "чистой фазы", т.е. конкретной точки «о (п.11).
Все эти общие определения и соотношения считаются верными как в не-
ренормированной, так и в ренормированной теории. В процессе постро-
построения функций Грина по функционалу Г(а) новых УФ-расходимостей не
возникает, поэтому УФ-конечность функционала Гн(а) в A29) гаранти-
гарантирует УФ-конечность всех соответствующих функций Грина, т.е. ренор-
ренормированной теории в целом. Отметим, что ИК-сходимость диаграмм
Г(а) при Т <ТС гарантирована лишь в "физической области" |о;| > |с*о|.
Внутри "шара" \а\ < \ао\ точная поверхность Г имеет плоский участок,
т.е. Г(а) = const (п.11). В этой области диаграммное представление
Г(а) неприменимо (и ненужно).
Из связи A29) между функционалами и определений легко показать,
что при Т < Тс для любой чистой фазы
а0 = Zv aoR , rraR = Z£ Г„ Vn > 1 , A30)
т.е. функции Гп ренормируются по тому же правилу (81), как и в случае
Т >ТС. Из явных выражений функций Wn и Gn через Г„ (п.11) следует,
что то же верно для связных и полных функций Грина, т.е. правила
ренормировки G5), (80) остаются верными и при Т < Тс для каждой
из чистых фаз. Отсюда следует, что в схемах типа MS при Т < Тс
все ренормированные функции Грина и соответствующие производящие
функционалы для каждой из чистых фаз удовлетворяют тем же самым
уравнениям РГ, как и при Т >ТС-
До сих пор мы говорили о задаче с нулевым внешним полем, понимая
под Г(о;) функционал модели без поля. Последнее на языке Г вводится
в задачу как независимый функциональный аргумент А(х) в уравнении
я.29 Решение линейных уравнений в частных производных 89
E1), из которого находится a = ot(A). В соответствии с терминологией
п.18 величину А в E1) для неренормированного функционала Г(а) в
A29) следует называть затравочным, а для Гн(о;) - ренормированным
внешним полем, обозначая первое через Ао(х), а второе - через А(х).
Тогда из равенств SF(a)/Sa = — Aq, SFR(a)/Sa = —А и A29) следует
Aq{x) = Z~ А(х) в точной аналогии с (85), как и требуется по смы-
смыслу, поскольку в формализме п.11 величина А(х) в конечных формулах
играет роль внешнего поля h.
п.29 Решение линейных уравнений в частных производных.
В конкретных задачах уравнение РГ всегда приводится к виду (везде
Vt = xdx Уж):
LF(u) = 7(«) , L = -Vs+ J2Qi(u) 8/dei , A31)
где s = u\ - некоторая выделенная масштабная переменная, е,- = щ с
i = 2,..., п — прочие, u = s, e - компактное обозначение для всего набора
переменных, все Qj и 7 заданы (Q\ = —s), F - искомая функция.
Общее решение неоднородного уравнения A31) есть сумма его част-
частного решения и общего решения однородного; последнее - произвольная
функция любого полного набора независимых первых интегралов. Пер-
Первый интеграл - любое решение однородного уравнения, всякая функция
первых интегралов - тоже первый интеграл, независимым считается
тот, который не является функцией прочих. В полном наборе незави-
независимых первых интегралов на единицу меньше, чем переменных у F,
т.е. у нас столько, сколько переменных е. Первые интегралы можно
выбирать по-разному, в наших задачах удобно использовать интегралы
ё,-(и) = <F,(s, e), которые определяются следующим образом:
Lli(s,e) = 0, ё,- (s,e) |s=i= e,- . A32)
Мы будем называть их инвариантными переменными е (инвариантный
заряд, температура и т. п.). Нахождение первых интегралов непосред-
непосредственно из определения A32) - задача той же степени трудности, как
и исходная. Но она сводится к более простой задаче решения системы
обыкновенных дифференциальных характеристических уравнений.
Характеристическими кривыми уравнения A31) называют такие
линии u(t) в пространстве переменных и, на которых dui ~ Qi (u)dt Vi =
1,.. .,п. Коэффициент пропорциональности произволен, он зависит от
выбора параметра t на кривой и будет фиксирован ниже.
90 Глава 1. Основы теории критического поведения
Справедливо утверждение:
LF(u) - 0 «■ FD(t)) = const , A33)
т.е. всякое решение однородного уравнения постоянно (не зависит от t)
на любой характеристической кривой, и обратно, если "на любой".
Определим каноническое семейство характеристических кривых
u(t) =~s(t),e(t) как решение следующей задачи Коши ('Dt =tdt):
Vi§{t) = -S{t)\ S(t) \t=i= s, A34a)
Vt fi(t) = Qi (s(t),f(t)), fi(t) |t=1= a . A346)
Здесь уже фиксирован коэффициент пропорциональности, о котором го-
говорилось выше. Задача Коши A34а) легко решается явно (s = s/t),
решения уравнений A346) - некоторые функции t, зависящие параме-
параметрически от начальных данных м = s, e. В подробной записи
I = f(<; ») = s/t , Ii = f,-(<;e, e) . A35)
Всякое решение F(u) неоднородного уравнения A31) удовлетворяет на
кривых A35) уравнению VtF(u(t)) = -y(u(t)) с условием F(u) = F(u)
при t = 1, что эквивалентно равенству
_
F(u) = F(u(t))
Основным для дальнейшего является следующее утверждение, уста-
устанавливающее связь между первыми интегралами A32) и решениями ха-
характеристической системы A34):
T(t;s) \t=s= I, fi(t;s,e)\t=s= et(s,e) . A37)
Первое равенство очевидно из A35), остальные доказываются несложно:
из A32) и A33) следует, что величины ej(s(<),£■(£)) не зависят от t.
Приравнивая их значения при i = 1 и i = s с учетом начальных данных
для п в A34) и первого равенства A37), получаем:
Ii(s,e) = ei(l,f\t=s) = fi\t=, ■
Второе равенство - следствие нормировки ё, в A32).
Утверждение 1. Пусть F(s,e) - некоторое решение однородного
уравнения LF = 0 с оператором L из A31). Тогда
F(s,e) = F(l,e(s,e)) . A38)
п. 29 Решение линейных уравнений в частных производных 91
Согласно A33), величина F(u(t)) не зависит от t; ее значение при t = 1
- левая часть A38), а при t = s с учетом A37) - правая.
Утверждение 2. Пусть F(st e) - некоторое решение неоднородного
уравнения LF(s,e) = -y(ste). Тогда
F(s,e) = F(l,e(s,e)) - / —-y(s(t';s),e(t';s,e)) . A39)
Для доказательства нужно положить в A36) t = s и учесть A37).
Утверждение 3. Если все функции Qi в A31) с i > 2 не зависят
от s, то первые интегралы A32) являются решениями следующей за-
задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
по переменной s:
Vsei(s,e) = Qi{e(s,e)) , ё,- |J=1= e,- . A40)
Если и 7 B A31) не зависит от s, то
fs ds'
р(„ „\ — pii -pi4 „\\ _ I "/I'pI«' р\\ П4Л
X I д^ С I — X I 1^ CI й) С I I I /\^\1//* \ /
Действительно, при сделанных предположениях переменная s не входит
в задачу Коши A346) (ни в уравнения, ни в начальные данные), поэтому
не войдет и в ее решения: Щ = <Г*(<;е). Тогда в уравнениях A346)
можно сделать замену t —>■ s,T>t —> T*s (важно, что s не входит неявно
через начальные данные), и при учете A37) это превратит A346) в
A40). Равенство A41) при сделанных предположениях - следствие A39)
и A37).
Важным частным случаем является уравнение
-V,+0(g)dg - 2_sA49)Va+ 1(9) *(s,g,a) = 0, A42)
а -*
сводящееся к A31) подстановкой Ф = expF, при этом е = {g,a}, где g
- заряд, a - прочие переменные, Qg = C(g) и Qa = —aAa(g) Va. Эти
функции Q и 7 B A42) от s не зависят, поэтому справедливы соотноше-
соотношения A40), A41). Переменные а в задачу Коши A40) для инвариантного
заряда д~ не входят (ни в уравнения, ни в начальные данные), поэтому
9 = 9~(s,9), Vsg = j3{g), g \s=i= 9 ■ A43)
Это уравнение легко интегрируется:
dx
0Й1
•l Q
92 Глава 1. Основы теории критического поведения
тем самым неявно определяется функция ~§ = ]j{s,g).
Для любой из переменных а из A42) и A40) имеем:
Vsa = -aAa(g) , a |J=1 = a . A45)
Здесь удобно с помощью A43) сделать замену переменной s —> g~:
откуда с учетом начального условия A45) для а находим
a = a(s,g,a) = а ехр[ - J* dx ^^ ] - A47)
Аналогичной заменой s' —> ^E') в A41) для Ф = expF получаем:
A48)
Это выражение с произвольной функцией первых интегралов ФA,^, а)
в правой части есть общее решение уравнения A42).
В наших задачах функция Ф(в, д, а) в A42) обычно имеет и неза-
независимое от A42) определение, например, как сумма вкладов всех диа-
диаграмм ренормированной теории возмущений, и тогда соотношение A48)
следует понимать как вытекающее из A42) свойство данной функции
&(s,g,a).
п.30 Уравнение РГ для коррелятора у>4-модели в нулевом
поле. По соображениям размерности ренормированный коррелятор DR
модели (96) в импульсном представлении имеет вид (обозначения п.21):
DR(p,g,T,fi) = р~2Ф(з,д,2) , s = p/fi, z = т/ц2 , A49)
где р - импульс (везде подразумевается модуль вектора), Ф - некоторая
функция трех канонически безразмерных аргументов. Из D4) и A07)
имеем:
Vpr + 2lv I DR = 0 . A50)
Будем считать, что РГ-функции вычислены в схеме MS (п.25), тогда
РГ-оператор имеет вид A22), а уравнение A50) справедливо для любого
знака т (п.28). Подстановка A49) в A50) приводит к уравнению для Ф,
п.31 Фиксированные точки и их классификация 93
при этом в РГ-операторе A22) £>м -> -Vs - '2VZ, VT -> X>z, и в итоге
получим:
Vs+Cdg-{2 + lT)Vz+ 27J Ф(8,д,2) = 0. A51)
Это уравнение типа A42), так как все РГ-функции зависят только от д
(п.25). Поэтому решение уравнения A51) дается соотношением A48) с
7 = Ь*:
<*(s,g,z) = Фа^Юехр^У^^] , A52)
инвариантный заряд g(s,g) определен соотношением A44), а инвари-
инвариантная переменная z - соотношением A47) с a =z и Аа = 2 +7т- Вклад
двойки в Аа при учете A44) сводится к множителю s~2 в z:
Г Г1 -v (х) 1
z = z(s,g,z) = zs~2exp - / dx -^-^- . A53)
L Jg P\x) J
Представление A52) для функции Ф из A49) есть вытекающее из РГ-
уравнения A50) свойство ренормированного коррелятора, определяе-
определяемого суммой вкладов диаграмм теории возмущений.
п.31 Фиксированные точки и их классификация. Фиксирован-
Фиксированные точки gt (обозначение традиционное) - нули /^-функции, т.е. корни
уравнения /?(#*) = 0. Одним из них всегда является тривиальная точка
gt = 0 (часто ее называют гауссовой), в общем случае есть и другие, на-
например, <7* ~ е на рис.2 для /^-функции у>4-модели. Реально /^-функция
вычисляется в виде начального отрезка ряда по д, ее поведение при д = 1
неизвестно, поэтому приводимые ниже рассуждения - лишь общие со-
соображения о возможных ситуациях. При их анализе в этом разделе мы
будем считать д произвольным независимым параметром ренормиро-
ванной теории, не обращая внимание на полученную для него в п.27
оценку д < д*.
Требование устойчивости системы накладывает обычно некоторое
ограничение на д, например, д > 0 для у>4-модели, и задача рассматри-
рассматривается лишь в этой области устойчивости. Фиксированные точки д„
делят ее на интервалы О, в каждом из которых /^-функция знакопосто-
знакопостоянна. При конечном числе фиксированных точек в общем случае есть
несколько конечных отрезков О и один бесконечный (<7„,оо). Предпола-
Предполагая аналитичность j3[g) в окрестности #*, будем говорить, что данная
точка д* имеет тип [п,+], если в ее окрестности j3[g) = w(g — дт)п с
п > 1 и константой ш > 0, и тип [п, —], если ш < 0.
94 Глава 1. Основы теории критического поведения
Пусть О - тот интервал, в который попадает задаваемое в A43)
значение д. Для д и д~ из О интеграл из A44) существует и при фикси-
фиксированном д определяет In s как однозначную и монотонную (ввиду зна-
копостоянства C в О) функцию переменной д~ G О. Если О - конечный
отрезок, ограниченный двумя фиксированными точками д* (например,
[О,д*] на рис.2), то lns(g~) монотонно пробегает всю ось (—оо,оо), ко-
когда "д пробегает О в нужном направлении. Действительно, из A44)
по известному (см.выше) поведению /^-функции вблизи д„ легко найти
асимптотику lns(#) при д~ —¥ д*, а именно, lns(#) = ш~1\п\д~ — д*\ при
п = 1 и lns(<7) — (g~—g*I~n/w(l — n) при п > 2. Из этих формул следует,
что при д~ -л д* ± 0 величина In s(^) стремится к —оо для точки типа
[2к+1, +], к +оо для точки типа [2fc+1, —], к Too для точки типа [2к, +]
и к ±оо для точки типа [2fc, —]. Если вернуться к исходной постановке,
в которой д~ считается функцией независимой переменной s = р/'ц, то из
сказанного выше следует, что для одной из двух (и известно для какой)
асимптотик Ins —> ±оо соответствующее значение g~(s,g) стремится к
данной <7«. Поведение д~ в ИК-асимптотике s —> 0 для точек разного типа
показано на рис.3
/Л
Рис.3. Поведение инвариантного заряда g~(s,g) при s = p/fi —> О для
фиксированных точек разного типа. Кривые показывают поведение
/^-функции вблизи д*, стрелкой указывается направление движения д~
по оси д при s —> 0. Для s —>■ оо (УФ-асимптотика) направление всех
стрелок следует заменить на обратное.
Точки типа 1 на рис.3 называют ИК-устойчивыми (синонимы: ИК-
притягивающие, УФ-неустойчивые, УФ-отталкивающие), типа 2 - УФ-
устойчивыми (УФ-притягивающие, ИК-неустойчивые, ИК-отталкиваю-
щие), типа 3 - ИК-притягивающими справа и УФ-притягивающими
слева и наоборот для точек типа 4. Смысл такой терминологии понятен
из рис.3. Из монотонности функции In s(g~) в О следует, что для конеч-
конечного отрезка О один из его концов всегда будет ИК-притягивающей фик-
фиксированной точкой для д~ € О, а другой - УФ-притягивающей. При этом
]j(s,g) всегда остается внутри того интервала О, в который попадает
задаваемое в A43) значение д, стремясь к его концам при Ins —> ±оо.
п.32 Инва,риа,нтный заряд РГ-уравнения для коррелятора, 95
Особый случай - неограниченная область О = (д*,оо). Если д, а
поэтому и g~{s,g) попадают в такой интервал, то поведение lns(J) при
д~ —> оо зависит от поведения /3[д) при д —> со. Если оно таково, что
интеграл от функции 1/C(х) в A44) расходится на бесконечности, то ве-
величина g~(s, g) будет однозначно определена соотношением A44) для всех
s > О, как и для конечного интервала О. Но если указанный интеграл
сходится (что всегда и будет при аппроксимации C(д) конечным отрез-
отрезком ряда по д), то область значений функции In s(g~), т.е. область опре-
определения по 5 функции g~(s, g) естественно ограничивается. Формальное
решение дифференциального уравнения A43) обычно можно получить
для всех s, но это решение на границе естественной области определе-
определения по s имеет разрыв, а за границей приобретает неправильный знак
(см., например, поведение по s функции A54) при д > gt). Это формаль-
формальное решение в "незаконной" области физического смысла не имеет хотя
бы уже потому, что из-за разрыва не может считаться в точном смысле
слова решением задачи Коши A4.3), которое должно быть гладким по
определению.
В заключение напомним, что реальное поведение /^-функции при
д — 1 обычно неизвестно, и в такой ситуации выход решения д~ в область
~§ = 1 фактически означает просто выход за границы области примени-
применимости приближения.
п.32 Инвариантный заряд РГ-уравнения для коррелятора.
Под /^-функцией заряда д без уточнения всегда понимается определен-
определенная в A13) величина, а инвариантный заряд для любого уравнения типа
A42) выражается соотношением A44) через C-функцию данного РГ-
уравнения, оцределенную как коэффициент при дд в операторе A42).
Обычно это одна и та же величина, но не всегда: если роль масштаб-
масштабного аргумента s в A42) играет переменная типа s = тц~2 с нетриви-
нетривиальной критической размерностью, то /^-функция уравнения A42) мо-
может отличаться от j3 из A13) дополнительным множителем (пример в
п.39). Этот множитель всегда положителен, поэтому не влияет на по-
положение и тип фиксированных точек (п.31), так что их классификация
однозначно определяется /^-функцией (ИЗ). Но нужно иметь в виду,
что инвариантный заряд g~(s,g) и его аргумент s могут иметь разный
смысл в разных РГ-уравнениях.
Обсудим подробнее инвариантный заряд g~{s,g) для уравнения A51),
в котором s = p/fi, а /^-функция совпадает с определенной в A13) и пред-
представляется рядом A21) с /?2 > 0. Ее поведение (гарантированное при
малых е и предполагаемое при больших вплоть до реального значения
гр = 1/2 в (86)) показано на рис.1 и 2. При вычислении д~ с помощью
96 Глава 1. Основы теории критического поведения
соотношения A44) будем считать, что g (поэтому и g(s,g)) всегда на-
находится внутри первого интервала О = @,<7„), левый конец которого
является УФ-притягивающей, а правый - ИК-притягивающей фикси-
фиксированной точкой (п.п.27,31), так что <7(s, #) —► 9* ~ £ в ИК-асимптотике
s —> 0. Для наглядности приведем легко получаемое из A44) явное
выражение для д~ в однопетлевом приближении A28а) для ,5-функции:
_, > _ '2ед _ дд* , ,..>
9(S'9) ~ 2es*'+fog(l8*') ~ gs* + g(ls*) ' ( '
где gm = 2г//?2 в данном приближении. Легко проверить, что в прибли-
приближении A54) сохраняются все нужные общие свойства (п.31): д~ £ О =
@, д„) Уд € О, д~ —> 0 при s —>■ оо и д~ —> д* при s —>■ 0.
Обсудим теперь на примере A54) условие выхода д~ в критический
режим |J— 5*1 "С д*, который в A54) достигается при
(g*-g)s2€ с д , в = Р/ц. A55)
Отсюда видно, что критический режим для д~ заведомо достижим при
достаточно малом импульсе р. Из A55) может показаться, что выход
в критический режим можно обеспечить при любом р выбором доста-
достаточно большого значения ренормировочнои массы fi, являющейся про-
произвольным параметром (п.21). Это верно, если считать р,д и ц произ-
произвольными независимыми параметрами. Но реальная постановка задачи
иная (п.27): фиксированными должны считаться затравочные параме-
параметры и ц, а д вычисляется по данным до и ц из второго равенства A03).
Подставив в него Zg из (Г286), можно найти связь между до и д в рас-
рассматриваемом приближении. Выразив затем с ее помощью д через до в
A55), нетрудно убедиться, что это неравенство примет тогда "ренор-
минвариантную форму" дл «С дор~2е, т.е. ц уходит.
Это не следствие приближения, а общее свойство: можно показать,
что определенный соотношением A44) с /^-функцией из A13) и s =
p/fi инвариантный заряд g~{s,g) является в действительности некото-
некоторой функцией одной ренорминварпантной (я.24) переменной дар~2* = £■
Действительно, из A03) имеем £ = g2g(g)s~2e, т.е. £ - функция тех же
переменных s, g что и д~. На таких функциях оператор A22) принимает
вид 1>рг = —T^s + /Здд = L. Из очевидной ренорминвариантности вели-
величины £ = дор~2с (п.24) следует, что L£, = 0, т.е. £ - первый интеграл
уравнения LF(s,g) = 0 (п.29). То же верно и для g~{s,g) в силу об-
общего определения A32), а так как у рассматриваемого уравнения лишь
п.33 Критический скейлинг , 97
один независимый первый интеграл (у F всего две переменных), то для
любых двух первых интегралов каждый - функция другого, т.е. у нас
д = /(£) и наоборот (например, в однопетлевом приближении из A28)
и A54) легко показать, что д~ = £#*/(£ + #*)).
Аналогичные соображения справедливы и для других инвариантных
переменных, например, для z в A52): обобщая приведенные выше рас-
рассуждения, можно показать, что все инвариантные переменные A32) с
L = Т>РГ являются некоторыми функциями затравочных параметров и
импульса, т.е. только ренорминвариантных величин (п.24).
п.33 Критический скейлинг, аномальные критические раз-
размерности, скейлинговая функция коррелятора. Вернемся к реше-
решению A52) РГ-уравнения для коррелятора и исследуем его ИК-асимпто-
тику р —>■ 0, т —>■ 0 при фиксированных д и \i. Поведение /^-функции
и инвариантного заряда подробно обсуждалось в п.32. В данном слу-
случае /^-функция имеет нуль первого порядка в ИК-притягивающей точке
<7* ~ г, вблизи которой
/3(д)~ ш{д-д,), ш = 0'(д,)>О. A56)
По смыслу ш - наклон /^-функции в точке д„. В п.34 будет показано, что
эта величина является критическим индексом, определяющим поправки
к скейлингу (п.З).
При s = р/ц —> 0 имеем g~{s,g) —> д„ (п.32), а асимптотику входя-
входящих в A52), A53) интегралов легко найти подстановкой в них -у(х) =
l(9*) + bf(x) ~ l(9*)]- Все РГ-функции считаем регулярными в окрест-
окрестности <7* (в конкретных расчетах это полиномы), тогда в интегралах с
l(x) ~ li9*) нуль /^-функции в знаменателе сокращается нулем числи-
числителя. Такие интегралы регулярны по верхнему пределу д~, и его можно
заменить на д* с ошибкой порядка д — д*. Отдельные вклады с ~/(д*)
легко вычисляются с помощью A44), и в итоге получаем:
<**ЩгТ = 7;Ь + ад + .-, i=r,<p, A57)
g P\E)
где многоточие - несущественные при s —> 0 поправки ~ д~ — д* и
7,- = ц(д,) , с{(д) = J dx щ . A58)
Подстановка A57) в A52) и A53) в пренебрежении поправками дает:
Д)^ , A59а)
98 Глава, 1. Основы теории критического поведения
z= CzzCK , zCK = zs? =тр-2{ц/рУт , A596)
где С - неуниверсальные (зависящие от д) нормировочные множители
СФ = exp[2cv(g)] , Cz = exp[-cT(g)] . A60)
Подстановка выражений A59) в A49) приводит к представлению типа
C9) для ренормированного коррелятора
DR(p,9,r,n) = р-2(р/ц)" СФ /(CzzCK) A61)
с критическими показателями
г, = 27;, i/u = 2 + 7; A62)
и скейлинговой функцией
/(z)= Ц1,д*,ъ) . A63)
Таким образом, из уравнения РГ для коррелятора вытекает суще-
существование критического скейлинга с вычислимыми по РГ-функциям по-
показателями A62). Они связаны с критическими размерностями AVtT
соотношениями D0), которые с учетом A58) и A62) можно переписать
в виде (г = ip, т):
А, = d,- + 7; , 7,- = 7;Ы , A64)
где di - известные (п.15) канонические размерности dv = (d — 2)/2, dT =
2. Добавки 7,* называют критическими аномальными размерностями,
часто говорят просто "аномальные размерности", хотя тот же термин
используется и для РГ-функций ~а(д), смысл обычно ясен из контекста.
По двум независимым критическим размерностям можно найти из
соотношений A9), D0) или их следствий
2а + /? + 7 = 2, /36 = /3 + 7, dv = 2 - а , -у = vB - rj) A65)
все прочие традиционные критические индексы данной модели.
Полной информацией о критическом поведении некоторой величины
является знание всех нужных критических размерностей и нормирован-
нормированной скейлинговой функции (п.5). Последняя, по определению, не зави-
зависит от нормировок, в частности, от множителей с в A61), так что в
нашем случае может быть определена и по функции A63), которую бу-
будем называть приведенной скейлинговой функцией, в отличие от "пол-
"полной функции" с коэффициентами Сф,2 в A61). Уравнение РГ позволяет
л. 33 Критический скейлинг 99
обосновать представление A63) приведенной функции / через исходную
величину, в данном случае, коррелятор A49), что позволяет вычислять
/ в форме е-разложения (п.36). Нужно подчеркнуть, что вытекающее
из уравнения РГ соотношение A63) позволяет найти / лишь с помо-
помощью дополнительной информации - теории возмущений для функции
в правой части A63). Уравнение РГ само по себе явный вид скейлин-
говой функции никогда не определяет, так как в общем решении A48)
уравнения A42) функция первых интегралов в правой части остается
произвольной. Реально в РГ-технике всегда вычисляются именно при-
приведенные скейлинговые функции типа A63), по ним всегда можно найти
универсальные нормированные скейлинговые функции для любых кон-
конкретных условий нормировки.
Полезно отметить, что всю существенную информацию о критиче-
критическом поведении коррелятора можно получить, просто положив д = gt в
РГ-уравнении A51). Тогда в нем исчезнет вклад с C(д), все РГ-функции
Ji(g) превратятся в константы 7»(<7.) = 7; и получится уравнение обоб-
обобщенного подобия типа F), общее решение которого дается соотноше-
соотношениями A59) с Сф = Cz = 1. Потеря этих нормировочных множителей
несущественна (см.выше), так что изложенная выше процедура постро-
построения и анализа первых интегралов фактически нужна лишь для того,
чтобы обосновать следующее общее утверждение: с точностью до несу-
несущественных нормировочных множителей ИК-асимптотика ренормиро-
ванных функций Грина при любом значении g из области притяжения
ИК-устойчивой фиксированной точки дч типа A56) точно такая же, как
при д = д*. Записанное в канонически безразмерных переменных урав-
уравнение РГ становится при д = д* уравнением критического скейлинга
типа F), его решение приводит к представлению типа A63) для при-
приведенной скейлинговой функции, а коэффициенты РГ-оператора опре-
определяют, согласно общему правилу F), критические размерности всех
величин.
Поясним подробнее технику практического использования этого ут-
утверждения. Пусть F - некоторая мультипликативно-ренормируемая ве-
величина: F = ZFFR, где F - неренормированный объект, FR - ренормиро-
ванный, ZF -безразмерная константа ренормировки. Ренорминвариант-
ность F в терминах FR выражается аналогичным A07) РГ-уравнением:
pR = 0 , 7f = lVnZP , A66)
РГ-функция 7f ~ аномальная размерность величины F. Пусть {е,} -
набор всех переменных, от которых зависит FR. Каноническая мае-
100 Глава 1. Основы теория критического поведения
штабная инвариантность выражается тогда уравнением типа F):
FR = О, A67)
в котором di - канонические размерности переменных е*, a dF - размер-
размерность F (одинаковая для F и FR ввиду безразмерности ZF).
Если теперь положить везде g = g*, то и уравнение A66) преобразу-
преобразуется к виду F). Уравнения такого типа описывают скейлинг с растя-
растяжением тех переменных, производные по которым содержатся в опера-
операторе F). Если нас интересуют масштабные преобразования, в которых
некоторая заданная переменная е\ не растягивается, то для получения
нужного уравнения скейлинга вклад с данной Т>{ нужно исключить, ком-
комбинируя имеющиеся уравнения. Для критического скейлинга исключае-
исключаемой переменной является \i. Из соотношений A66) и A67) с g = gt полу-
получается тогда одно уравнение типа F), коэффициенты при остающихся
в нем T>i будут искомыми критическими размерностями переменных е,-,
а аналогичная Aw в F) величина - критической размерностью F.
В качестве примера рассмотрим коррелятор A49). При g = g4 со-
соответствующее РГ-уравнение A50) с оператором A22) и каноническое
масштабное уравнение типа A67) имеют вид:
Г Р„ - i*TVT + 27; 1 DR(p,9*,T,rf = О,
A68а)
2X>T + 2 DR(p,g,,T,/i) = 0, A686)
где учтено, что каноническая размерность величины A49) есть —2. Ис-
Исключив из системы A68) Т>^, получим:
DR(p,gt,r,fi) = 0 . A69)
Это и есть искомое уравнение критического скейлинга, коэффициенты
при Т>р и Т>т - критические размерности соответствующих переменных,
величина —2 + 27^ - критическая размерность DR. Общее решение
системы A68) дается соотношениями A61)—A63) с Сф = Cz = 1.
п. 34 Условия выхода в критический режим, поправки к
скейлингу. При получении асимптотики A59) отбрасывались обозна-
обозначенные многоточием в A57) поправки порядка ^ — 9*- Их асимптотику
при s = p/fi —> 0 легко найти из соотношений A44) и A56):
^(s, д) — дч = const • sw . A70)
п. 34 Поправки к скейлингу 101
Эти малые при s —> О величины входят в показатели экспонент (п.п.ЗО,
33), поэтому имеют смысл "относительных поправок", т.е. соответ-
соответствуют поправочным множителям 1 + const • sw к ведущим вкладам.
Малость относительных поправок A70) обеспечивается только ма-
малостью импульса и не требует малости т. Но для реального выхода
в критический режим требуется не относительная, а абсолютная ма-
малость поправок. Если нет оснований считать ведущий вклад большим,
как, например, для Ф в A59а), то можно полагать, что относительная
малость поправки влечет абсолютную. Иначе обстоит дело с инвари-
инвариантной переменной z в A52): ее ведущий вклад A596) пропорционален
комбинации т ■ р~Лт, которая при р —> О и фиксированном т неограни-
неограниченно возрастает. Если бы мы не знали при этом асимптотики функции
ФA,#, z) при z —> оо, то не имели бы даже права заменить аргумент z
его асимптотическим выражением A596) (простой пример: sin(lOOO) и
sin(lOOl) различаются стопроцентно, хотя относительная поправка в ар-
аргументе лишь 0.001). В нашем конкретном случае такой проблемы нет,
поскольку асимптотика коррелятора при р —>■ 0, г =const известна и
тривиальна: она полностью характеризуется словами "аналитичность
по р2 при фиксированном г".
Нетривиальный критический скейлинг соответствует такой асимп-
асимптотике, в которой аргумент скейлинговой функции A61) оказывается
величиной порядка (или меньше) единицы, что означает одновременную
и взаимно согласованную малость р и т: р —> 0, т ~ рЛт —> 0. Ясно,
что это вполне соответствует общей идеологии критического скейлинга
(п.З).
Обобщением сказанного выше на произвольную модель является сле-
следующее утверждение: нетривиальный критический скейлинг соответ-
соответствует той области значений параметров, в которой инвариантный за-
заряд достаточно близок к фиксированной точке, а все прочие инвариант-
инвариантные переменные являются величинами порядка (или меньше) единицы.
Первое обеспечивается достаточной малостью масштабной переменной,
а второе - согласованной посредством критических размерностей мало-
малостью прочих переменных.
Отметим, что в некоторых моделях переменные типа ~ъ порождаются
не только массовыми параметрами, но и добавочными размерными кон-
константами связи. Для таких ъ асимптотика Ф при z —> оо не тривиальна,
как в рассмотренном выше случае, а, напротив, нетривиальна и неиз-
неизвестна. Фактически z —>■ оо означает, что данное взаимодействие важ-
важнее того, которое было принято за основное, поскольку основной инва-
инвариантный заряд ~д < д* остается конечным. Подробный анализ подобной
102 Глава 1. Основы теории критического поведения
ситуации на конкретном примере модели G1) приводится в гл.4.
Следует также отметить, что критерий выхода в критический ре-
режим сформулирован выше полностью в терминах инвариантных пере-
переменных. Поэтому он ренорминвариантен (т.е. не чувствителен к вы-
выбору произвольного параметра ц) в силу сформулированного в конце
п.32 утверждения.
Вернемся к поправкам к скейлингу. Относительные поправки по-
порядка A70) связаны с неточностью выхода на критическую асимпто-
асимптотику в рамках рассматриваемой модели. Они характеризуются опреде-
определенным в A56) поправочным критическим индексом ш (п.З), который
легко вычисляется в форме е-разложения по известной /^-функции.
Можно рассматривать и поправки другого типа, связанные с неточ-
неточностью самой модели из-за отбрасывания при ее построении всех до-
добавочных взаимодействий, ИК-несущественных по сравнению с основ-
основным (п.16). Соответствующие таким поправкам новые индексы ш (п.З)
также можно вычислять в форме ^-разложений в рамках техники ренор-
ренормировки составных операторов, которая будет излагаться в следующих
главах.
п.35 Что суммируется в решении уравнения РГ? В ренорми-
рованной теории возмущений рассматриваемый объект, например, кор-
коррелятор A49), строится в форме ряда по д, а представление A52), в
критической области влекущее A61), является результатом некоторого
бесконечного пересуммирования вкладов этого ряда. На первый взгляд,
кажется, что при малом гид~б (п-27) нет необходимости в таких сум-
суммированиях ввиду малости параметра разложения д ~ е и отсутствия
полюсов по е в коэффициентах ряда (последнее из-за того, что объект
ренормированный). Но в критической области это в действительности
неверно: расчеты показывают, что в коэффициентах ряда содержатся
множители типа (s~2e — 1)/е (пример - разложение в ряд выражения
A54)), которые УФ-конечны (т.е. конечны в пределе е —> О, s =const)
и являются величинами порядка единицы при s = 1, но становятся ве-
величинами порядка 1/е или больше при | lns| £ 1/г, т.е. при достаточно
малых s. Максимальное число таких "больших" множителей ~ 1/с
в членах ряда теории возмущений никогда не превосходит числа "ма-
"малых7' множителей д ~ г, но может достигать его или отличаться лишь
на фиксированное конечное число.
Это значит, что в области малых s фактически появляется новый
параметр
Z = g(s~2£ - 1)/е > 1 , A71)
все степени которого нужно суммировать при собирании вкладов одного
п.35 Что суммируется в решении уравнения РГ? 103
порядка по е. Такое суммирование и осуществляется представлением
A52), т.е. решением уравнения РГ, позволяющим конструктивно стро-
строить ответ в форме ряда по е даже при наличии множителей A71). Во
избежание недоразумений уточним, что речь идет не об универсальных
(не зависящих от д) е-разложениях, как у индексов, а лишь о классифи-
классификации порядков по е с учетом д ~ е.
Для обоснования сказанного выше рассмотрим сначала интегралы
в A52) и A53). Входящие в них РГ-функции представляются рядами
A21) с коэффициентами уПа — 1, поскольку они не зависят ни от ка-
каких параметров. Поэтому при д ~ е эти ряды являются фактиче-
фактически е-разложениями (неуниверсальными), что позволяет строить ана-
аналогичные разложения для всех конструируемых из них величин. Для /3-
функции, например, при д ~ е низшим порядком по е является однопет-
левое приближение A28а), которому соответствует приближение A54)
для инвариантного заряда. Разложив выражение A54) в ряд теории
возмущений по д, получим геометрическую прогрессию со степенями £,
все члены которой - величины одного порядка по е при £ — 1. Для полу-
получения первой поправки по е к приближению A54) нужно учесть в A44)
как возмущение первую поправку /?з<73 ~ £3 в разложении /^-функции
A21) и так далее.
Суммирование всех степеней параметра A71) необходимо уже в пред-
критической области |lns| = 1/е, где £ = 1. Это еще не критическая
область, так как при £ = 1 отклонение инвариантного заряда A54)
от его предельного значения д* есть величина порядка дч. В критиче-
критической области должно быть \~д — д* | -С дч, что обеспечивается условием
|lns| ^> 1/е, из которого следует |£| ^> 1, поэтому суммирование степе-
степеней £ здесь тем более необходимо.
Рассмотрим теперь скейлинговую функцию ФA,#, z) в A52). В ней
8=1, поэтому множители A71) отсутствуют и опасны лишь аналогич-
аналогичные "большие множители" от возможных сингулярностей по аргументу
z. Для всех обычных моделей типа ip4 такие сингулярности имеются
лишь при z —> 0 или z —> оо и отсутствуют при z = 1. Поэтому в
критической области s « 1, г = 1, т.е. при одновременно малых р и
т ~ рЛт (п.34) обычный ряд теории возмущений по степеням д для Ф,
переходящий в универсальное е-разложение при заменах д —>]}—> д* в
A52) и A63), не будет иметь опасных множителей порядка 1/е в коэф-
коэффициентах ряда.
Суммируем сказанное: решение РГ-уравнения позволяет собрать все
"опасные сингулярности" типа A71) по масштабной переменной, сгруп-
сгруппировав их в инвариантные переменные типа z, g~ с известным простым
104 Глава 1. Основы теории критического поведения
поведением при s —>■ 0. Зависимость от инвариантных переменных са-
самим уравнением РГ никак не определяется, поэтому при появлении в
скейлинговых функциях аналогичных A71) сингулярностей по инвари-
инвариантным переменным типа z их суммирование не относится к компетен-
компетенции РГ.
В некоторых случаях его удается выполнить другими методами: на-
например, сингулярности типа A71) по z при z —>■ 0 скейлинговой функции
в A52) удается просуммировать с помощью техники операторного раз-
разложения Вильсона (о ней в следующих главах).
п. 36 Алгоритм расчета коэффидиентов е-разложений кри-
критических индексов и скейлинговых функций. Эти вопросы фак-
фактически уже обсуждались, поэтому здесь ограничимся лишь кратким
изложением общей схемы на примере у>4-модели.
Расчет индексов для данной мультипликативно-ренормируемой мо-
модели производится следующим образом: сначала непосредственно по
диаграммам вычисляются в форме рядов по g все нужные константы
ренормировки Z, затем по ним в той же форме с помощью соотношений
п.25 вычисляются все РГ-функции. Критический скейлинг с допуска-
допускающими е-разложения критическими индексами имеет место лишь при
наличии у /J-функции ИК-устойчивой фиксированной точки g* ~ e. Ее
координата д* (е) находится тогда в форме ряда по е по известному ряду
A21) для /^-функции, подстановкой е-разложения д* в ряды A21) для
7а (д) получают е-разложения аномальных критических размерностей
7а = Ja(g*), по ним из формул типа A64) находят полные критиче-
критические размерности Да всех основных величин "а" (например, a = <р,т
для у>4-модели). Прочие критические индексы (п.5) находятся по Да
с помощью общих соотношений гипотезы подобия, справедливость ко-
которых гарантирована наличием вытекающего из РГ-уравнения крити-
критического скейлинга. Главный поправочный критический индекс to (п.З)
вычисляется в форме е-разложения по наклону /^-функции в фиксиро-
фиксированной точке (см.A56)). Практически можно вычислить, конечно, лишь
начальные отрезки рядов, причем с ростом порядка вычисления резко
усложняются.
Для приведенных скейлинговых функций типа A63) с-разложение
строится непосредственно из определений: в теории возмущений исход-
исходная функция Ф в A49) вычисляется в виде ряда (для ясности будем
сейчас указывать явно и зависимость от е)
9П Ф„(в,2,е). A72)
п.36 Алгоритм расчета коэффициентов е-разложений 105
Этот ряд при указанных в A63) заменах s —> 1, <7 —> <7. после разло-
разложения всех величин (т.е. 9* и Ф«) по с и группировки вкладов одного
порядка переходит в искомое е-разложение:
в" /„(z) . A73)
п=0
Существенно, что рассматриваемый объект ре нормированный: это га-
гарантирует отсутствие в коэффициентах Ф„ ряда A72) полюсов по е,
которые могли бы компенсировать малость д* ~ £• Поэтому для вычи-
вычисления конечного числа членов е-разложения A73) достаточно такого же
числа первых членов ряда A72), т.е. не требуется никаких бесконечных
суммирований.
Изложенная схема универсальна и опирается на два предположения:
1) мультипликативная ренормируемость модели, 2) существование ИК-
устойчивой фиксированной точки д* ~ е. В моделях типа <р4 с одним
зарядом д фиксированная точка дч ~ е может быть только единствен-
единственной, и выход в соответствующий критический режим при достаточно
малом s всегда гарантирован условием д < дг (п.27). В многозарядных
моделях с несколькими д возможностей гораздо больше, мы обсудим их
подробнее в п.42.
Результаты расчета е-разложений индексов у4-модели приводятся в
следующем разделе, а скейлинговых функций - в гл.4.
п.37 Результаты расчета е-разложений индексов 0п-у4-мо-
дели в размерности d = 4 — 2е. Конкретная технология расчетов бу-
будет подробно излагаться в следующих главах, а здесь приведем для
иллюстрации конечные результаты - все известные на данный момент
коэффициенты г-разложений критических индексов 0п-^4-модели. При
нашей записи (86) 4 — d = 2е, но часто обозначают 4 — d = e, поэтому
для удобства сравнения все е-разложения мы будем приводить в форме
рядов по степеням 4 — d = 2е. В приводимых ниже формулах C(z) ~
дзета-функция Римана, численно <C) S 1.20205, СD) = 1.08232, СE) =
1.03693. Расчеты дают:
V =
4 [-5n4 - 230п3 + 1124п2 + 17920п + 46144-
1о(п + 8)
-384(п + 8)Eп + 22)СC) ] -
106 Глава 1. Основы теории критического поведения
~64( &N f13 + 946 + 2762Оп4 + 121472п3 - 262528п2-
-2912768п - 5655552 - ф)(п + 8I6(п5 + Юп4 + 1220п3-
-ПЗбп2 - 68672п - 171264) + СD)(п + 8K1152Eп + 22)-
-СE)(п + 8J5120Bп2 + 55п + 186)
452п2 + 2672п + 5312 - 96(п + 8)(on + 22)СC)]
8(n + 8LL
+ ^Tfb3 - 398 + 12900n3 + 81552n2 + 219968n + 357120+
32(n + 8)
+1280(n + 8JBn2 + 55n + 186)CE) - 288(n + 8KEn + 22)CD)-
-16(n + 8)Cn4 - 194n3 + 148n3 + 9472n+ 19488)CC)] -
^—пг fan7 ~ H98n6 - 27484n5 - 1055344n4 - 5242112n3-
128(n + 8)81
-5256704n2 + 6999040n - 626688 - CC)(n + 8I6A3n6 - 310n5+
+19004n4 + 102400n3 - 381536n2 - 2792576n - 4240640)-
-C2C)(n + 8J1024Bn4 + 18n3 + 981n2 + 6994n + 11688)+
+CD)(n + 8K48Cn4 - 194n3 + 148n2 + 9472n + 19488)+
+CE)(n + 8J256A55n4 + 3026n3 + 989n2 - 66018n - 130608)-
(„ + 8L6400Bn2 + 55n + 186) + CG)(" + 8K56448A4n2+
• 526)]
,, «.б [5« + 1488п4 + 46616п3 + 419528п2 + 1750080п+
1б(п + 8) L
п.37 Результаты расчета е-разложений индексов 107
+2599552 + 96(п + 8)F3п3 + 548п2 + 1916п + 3872)ф)-
-288(п + 8KEп + 22)СD) + 1920(п + 8JBп2 + 55п + 186)СE)] +
+ 64fn^ 8^^13n? + 7196п6 + 240328п5 + 3760776п4 + 38877056п3+
+223778048п2 + 660389888га+ 752420864- СC)(п + 8I6(9п6-
-1104п5 - 11648п4 - 243864п3 - 2413248п2 - 9603328п - 14734080)-
-С2C)(п + 8J768Fп4 + 107п3 + 1826п2 + 9008п + 8736)-
-СD)(п + 8K288F3п3 + 548п2 + 1916п + 3872)+
+СE)(п + 8J256C05п4 + 7386п3 + 45654п2 + 143212п + 226992)-
-СF)(п + 8L9600Bп2 + 55п + 186) + ф)(" + 8K112896A4п2+
По двум аномальным размерностям )j и )J с помощью соотношений
A65), A9), D0) можно найти все традиционные критические индексы.
Из приведенных выше разложений их можно получить с точностью до
55 включительно, но мы приведем их лишь с точностью до е3 :
«=
3472п + 4800 - 96(п + 8) Eп + 22)СC)] + О(е
1 3Bs) BгK(п+2)Bп+1) B£K(п+2) Го 3
2 ~ 2F+8J + 2(п+8L " + 8(n+8M L^"
848-24(п+8)Eп + 22)СC)]+О(£4) ,
7=
+ 664п2 + 2496п + 3104 - 48(п + 8)Eп + 22)ф)] + О(е4) ,
5= 3+Bе) + 2@^[п2 + 14п + 60]+ $^[пА + 30п3 + 27бп2+
+ 1376п + 3168]+О(е4) ,
"= и^Щ? + ^%^[п2 + 23п+60] + ^|^
1412п2 + 5904п + 8640 - 96(п + 8) Eп + 22)СC)] + О(е4)
108
.Глава 1. Основы теории критического поведения
Вклады порядка s и е2 были получены уже в первой работе Вильсона
[41] A972), вклады порядка s3 во всех индексах и е4 в т/ получены в
работе [63] A973), вклады е4 в остальные индексы - в [64] A979), вклад
е5 в г] - в [65] A981). Позднее в работе [66] A983) были вычислены
вклады е5 и в остальные индексы. В этих работах некоторые пятипет-
левые интегралы оценивались численно. Впоследствии было показано
[67], что все они в действительности могут быть вычислены точно в
виде дзета-функций с рациональными коэффициентами (но для шести
петель это уже не гарантировано). В работе [68] было затем указано на
наличие ошибок в расчетах [66] и даны исправленные ответы, которые
и воспроизведены выше.
п.38 Суммирование е-разложений, результаты. Для наглядной
оценки сходимости е-разложений в табл.5 приведены коэффициенты при
степенях 2е = 4 — d для нескольких индексов Оп-^4-модели с п = 1.
Табл.5. Численные значения коэффициентов при степенях 2е = 4 — d
для некоторых индексов On-tp4-модели при п = 1.
V
7
Ш
1
0
2
1
0
2е
0
-0.3333
0.1667
1
B£J
0.0185
-0.1173
0.0772
-0.63
BеK
0.0187
0.1245
-0.0490
1.62
BеL
-0.0083
-0.3069
0.1436
-5.24
Если сравнить эти числа с результатами (считающимися надеж-
надежными) расчета индексов методом высокотемпературных разложений для
трехмерной модели Изинга (см.табл.2 в п.5), то можно сделать следу-
следующие выводы относительно применимости е-разложений для реальной
задачи с 2е = 1: первые поправки к каноническим размерностям имеют
нужный знак и разумный порядок величины (например, индекс воспри-
восприимчивости 7 с учетом вкладов е и s2 при 2е = 1 почти точно совпадает
с искомым 7 — 1-25), но затем вклады членов е-разложения начинают
возрастать и согласие ухудшается. Поэтому прямое суммирование все
большего числа первых членов е-разложений не имеет смысла.
Такое поведение характерно для расходящихся асимптотических ря-
рядов. Качественно оно вполне понятно: е-разложения строятся по обыч-
обычным рядам теории возмущений, а расходимость последних для взаимо-
я. 38 Суммирование е-разложений, результаты 109
действий типа. gtp2m - хорошо известный факт. Стандартный аргумент:
поведение системы, следовательно, и ответов, должно качественно ме-
меняться при изменении знака д, что исключает возможность абсолютной
сходимости рядов, гарантирующей аналитичность в некотором круге в
плоскости комплексного д.
Считая ряд теории возмущений незаконным разложением некоторой
"хорошей" функции, можно искать какие-нибудь процедуры суммирова-
суммирования формального ряда, которые приводили бы к точному ответу. Широ-
Широкую популярность приобрела процедура суммирования по Борелю, впер-
впервые примененная для расчета критических индексов в работе [69]. Для
использования этой процедуры нужно знать первые члены разложения
искомой величины (чем больше - тем лучше) и асимптотику высоких
порядков для общего члена ряда. Техника расчета такой асимптоти-
асимптотики была предложена в [46]. С ее помощью для е-разложений /(е) =
JZfc /fcBe)fe критических индексов 0„-^4-модели была получена следую-
следующая асимптотика [47]:
А - const • к\(-а)к кь , а = 3/(п + 8) ,
к—юо
где / - различные индексы, п - число компонент поля, константа Ъ равна
3 + п/2 для индекса 77, 4 + п/2 для \Jv и 5 + п/2 для ш.
Процедура борелевского суммирования эквивалентна некоторой пе-
перестройке исходного расходящегося ряда в сходящийся. Оценки типа
A74) нужны при этом для обоснования возможности такой перестройки
и фиксации используемых в ней вспомогательных параметров, а знание
возможно большего числа первых членов ряда - для возможно более
точного вычисления суммы перестроенного сходящегося ряда. Коэффи-
Коэффициенты последнего выражаются через коэффициенты исходного ряда
и вспомогательные подгоночные параметры, подбираемые обычно из
каких-нибудь условий оптимизации при одновременной обработке не-
нескольких рядов. Наличие подгоночных параметров и произвол при их
оптимизации - все это делает процедуру борелевского суммирования
довольно деликатной. Надежность результатов обеспечивается аппро-
бацией используемой процедуры на точно решаемых задачах с извест-
известными ответами, различными проверками на устойчивость и, главное,
одновременной обработкой сразу нескольких рядов.
Мы не будем более подробно останавливаться на технике суммиро-
суммирования, детали можно найти в оригинальных работах и в книге [45].
Вместо этого мы приведем получаемые таким путем результаты в со-
сопоставлении с другими данными. В первой работе [69] суммировались
110
Глава 1. Основы теории критического поведения
ряды непосредственно в размерности d = 3 (см.п.41), суммирование е-
разложений выполнялось в работах [64, 66, 70]. Все приводимые ниже
в этом разделе данные взяты из книги [45] с исправлением указанных
ее автором опечаток в табл.8.
Табл.6. Критические индексы Оп-<р4-модели (d — З), полученные
борелевским суммированием пятипетлевых е-разложений.
п
7
V
Т1
в
и)
0
0
0
0
1,157±
,5880±
,0320 ±
0,003
0.0015
0,0025
, 3035 ± 0.0020
0,82±
0,04
1
1,2390 ±0,0025
0,6310±
0,0375 ±
0,3270±
0,81 ±
0,0015
0,0025
0,0015
0,04
2
1,315±
0.671±
0,040 ±
0,007
0,005
0,003
0,3485 ±0,0035
0,80±
0,04
3
1,390 ±
0,710
0,040
0,368
0,79
±
±
±
±
0,010
0,007
0,003
0,004
0,04
Приведенные в табл.6 данные можно сравнить с результатами, по-
полученными для трехмерных решеточных систем с помощью высокотем-
высокотемпературных разложений (п.1) и другими численными методами такого
типа (табл.7), а также с экспериментальными данными (табл.8).
Табл. 7. Критические индексы трехмерных О^-симметричных
решеточных моделей (высокотемпературные разложения и т.п.).
n
7
и
ct
a
1,
o,
161
592
0
0,
0
±0,
±0,
,25
465
002
003
1,2385
0,6305
0,105
0,312
0,52
1
±
±
±
±
±
0,0025
0.0015
0,010
0,005
0,07
1,33
0,672
0,00
0,60
2
±
±
±
±
0,02
0,007
0,02
0,08
1,
3
38 ±
0,715±
-0
0,
0,
0,
0,
,08±0
38 ±
54 ±
0,
o,
02
020
,04
03
10
л. 38 Суммирование е-разложения, результаты
111
Табл.8. Экспериментальные значения критических индексов для
некоторых конкретных трехмерных систем: бинарные смеси A),
жидкость - газ B), изотропный ферромагнетик C), Нв4 D),
полимеры E).
1
2
3
4
5
1,
1
1
7
236 ± 0,
,23-1,
,4О±О,
008
25
03
0.625 ±0,010
0,625 ±0.006
0,700 - 0, 725
0,672 ±0,001
0,586 ±0,004
li
0,325 ±
0.316-
0,35±
0,005
0,327
0,03
л-
0,110 ±
0,101 -
-0.09-
0,005
0,116
-0,12
-0,013 ±0,003
uJU
0,50 ±0,03
0,50 ±0,03
0,54 ±0,10
В таблице 8 приводятся усредненные экспериментальные значения
индексов для нескольких конкретных систем (d = 3), критическое пове-
поведение которых должно описываться 0„-^4-моделыо: критическая точка
расслоения в бинарных смесях и перехода газ-жидкость (п = 1), изо-
изотропный ферромагнетик (п = 3), переход в сверхтекучую фазу Не4
(п = 2) и аналог индекса v для полимеров (п = 0). Приводятся лишь
те индексы, которые допускают прямое экспериментальное измерение.
Первые две из перечисленных систем принадлежат тому же классу уни-
универсальности, что и модель Изинга. Поэтому индексы для них должны
быть одинаковыми, что и подтверждается экспериментом.
Борелевское суммирование е-разложений индексов Оп-¥>4-модели бы-
было выполнено и для двумерных систем (d = 2). Интерес здесь предста-
представляют лишь случаи п = 0,1, так как при п > 2 индексы должны быть
каноническими (это обосновывается в рамках 2 + е и 1/п-разложений, о
них в гл.4). Отметим, что для двумерных систем с непрерывной груп-
группой симметрии, в частности, для 0„-^4-модели с п > 2, общая теорема
Мермина - Вагнера [71] запрещает переход в фазу с < (р ~>ф 0. Случай
п = 0 в данной модели соответствует полимерам, а п = 1 - двумерной
модели Изинга. Для последней точно известны все основные индексы
(решение Онзагера). Но неаналитические поправки к скейлингу здесь
вообще не обнаружены (во всяком случае, в рассматривавшихся об#
ектах), что не позволяет определить традиционными методами попра-
поправочный индекс и>. Гипотетическое значение и = 4/3 для этой модели
обосновывается в рамках новой техники двумерных конформных тео-
теорий, где предсказывается значение и = 4/(т+1) для семейства моделей
ip2m [d = 2, n = 1, т > 2) [45]. С помощью этой же техники точно опре-
определяются все основные индексы двумерной полимерной задачи (т.е. Оп-
112
Глава 1. Основы теории критического поведения
jp4-модели с п = 0), но индекс ш остается неизвестным (прочие индексы
еще раньше были найдены в [72] путем сведения задачи к кулоновскому
газу). В табл. 9 приводятся результаты для этих двух систем.
Табл.9. Критические индексы двумерной Оп-<р4-модели с п = 0,1,
получаемые борелевским суммированием пятипетлевых
е-разложений, и соответствующие точные значения.
п = 0
тотш
п = 1
точн
7
1.39 ± 0.04
43/32 = 1.34375
1.73 ± 0.06
7/4 = 1.75
;/
0.76 ± 0.03
3/4 = 0.75
0.99 ± 0.04
1
0.21 ± 0.05
5/24 =Г 0.2083
0.26 ± 0.05
1/4 = 0.25
3
0.065 ± 0.01
5/64 = 0.0781
0.120 ± 0.015
1/8=0.125
1.7 ±0.2
?
1.6 ±0.2
4/3 =■ 1.33
(?)
Анализ всей совокупности приведенных данных позволяет сделать
вывод о достаточно хорошем согласии получаемых разными методами
теоретических предсказаний между собой и с экспериментом. Это со-
согласие выглядит еще более впечатляющим, если учесть также система-
систематизированные в книге [45] результаты аналогичных расчетов различ-
различных универсальных отношений амплитуд (п.5) и результаты расчета
критических индексов "в реальной размерности" (п.41). Все вместе это
свидетельствует об эффективности РГ-подхода в целом и о достаточной
надежности техники борелевского суммирования получаемых рядов, ра-
разумеется, при аккуратном с ней обращении.
п.39 РГ-уравнение для Г(а) (уравнение состояния). В качест-
качестве основного примера мы рассматривали РГ-уравнение для коррелятора
в нулевом поле. РГ-анализ можно использовать и для других объектов,
например, для величин, входящих в уравнение состояния. Сразу отме-
отметим, что получаемые с помощью РГ-анализа любого конкретного объ-
объекта критические размерности основных величин характеризуют мо-
модель в целом, т.е. не изменятся при переходе к другому объекту в той же
модели, - новыми величинами будут лишь соответствующие скейлинго-
вые функции. Это объясняется тем, что все РГ-уравнения для конкрет-
конкретных объектов типа A50) являются следствиями единого РГ-уравнения
A10) или его эквивалента A11) для функционалов, содержащих полную
информацию о всех функциях Грина.
Пусть Wr(v4) и Гк(а) - определенные обычным образом (п.11) про-
производящие функционалы ренормированных связных и 1-неприводимых
п.39 РГ-уравнение для Г (а) (уравнение состояния) 113
функций Грина рассматриваемой модели. При их сужении на множе-
множество однородных (не зависящих от х) аргументов А, а из каждого функ-
функционала выделяется множителем бесконечный объем системы V = J dx;
коэффициенты при нем, т.е. удельные значения будем обозначать через
W, Г. В терминологии магнетика числовой параметр А - однородное
внешнее поле, а - намагниченность, WR(v4) - удельное значение лога-
логарифма статсуммы A2), Гк(а) - его преобразование Лежандра по А, а
вытекающее из E1) равенство
dfR {а)/да = -А A75)
принято называть уравнением состояния (п.4). В Оп-симметричной мо-
модели у А и а подразумеваются соответствующие индексы.
Общие уравнения (ПО), (Ш) для функционалов сохраняют свой вид
и для их удельных значений с естественной заменой функциональных
операций A12) обычными Т>А = АдА, Т>а = ада- В частности, из A11)
следует:
^*рг — l^a TR(a,e,(i) = 0. A76)
Все это верно для любой мультипликативно-ренормируемой модели.
Конкретизируем теперь уравнение A76) для у>4-модели, в которой е =
г, #, а оператор Т>РГ имеет вид A22). Канонические размерности всех
величин известны: d[WR] = d[FR] = d по определению, da = dv =
(d/2) - 1, dA=d-dv (п.15). Поэтому:
Гк(а, g, r,fi) = \id Ф(в,5,г), s=t\T2, z = a-\Td* . A77)
Мы обозначаем безразмерные переменные теми же буквами, что и в
A49), но теперь у них другой смысл. Роль основной масштабной пере-
переменной играет теперь вместо импульса температура т. При подстановке
A77) в A76) получаем уравнение для Ф, при этом Т>а —>■ T>z, а в опера-
операторе A22) происходят замены !>,, —> d— 2VS — dvT>z, T>T —>VS. В итоге
для Ф получается уравнение:
л
b(s,g,z) = 0 . A78)
Поделив все на 2 + 7т, придем к уравнению типа A42), при этом роль
/^-функции получаемого уравнения (п.32) будет играть в обозначениях
A78) величина /?/B + 7т)- Поэтому соответствующий инвариантный
заряд A43) определяется теперь соотношением:
= Г dx 2 +7т(ж) , д = д(8,д) , s = т^~2 . A79)
Jg Р(Х)
Ins
Jg
114 Глава!. Основы теории критического поведения
Общее решение уравнения A78) получается из формул п.30 простыми
заменами РГ-функций, его подстановка в A77) и A75) дает РГ-форму
уравнения состояния.
Если нас интересует лишь критический режим, то всю существен-
существенную информацию можно получить, как пояснялось в п.33, простой за-
заменой g —>■ gt в A76). Для tp4 -модели это даст:
= 0. A80)
Добавив уравнение типа F) для канонических размерностей
Г V^ + 2VT + dvVa-d] fR(a,g,,r,fi) = 0 A81)
и затем исключив Т>ц, получим искомое уравнение критического скей-
линга:
Г ATVT + AvVa - d 1 fR(a,<7,, т,ц) = 0 A82)
с прежними критическими размерностями A64). Существенно новой
величиной является лишь аналогичная A63) приведенная скейлинговая
функция для Ф из A77).
При получении критической асимптотики для интегралов в A47),
A48) с помощью соотношений A44) и A57) нужно помнить, что через
j3 и 7 B них обозначались РГ-функции канонического уравнения A42).
Поэтому в 7 и 7* в A57) должны учитываться множители, появляю-
появляющиеся при приведении исходного РГ-уравнения к каноническому виду
A42), например, деление на 2 + 7т в A78).
В заключение отметим, что при малом s в области g ~ s величина
2 + 7т (д) заведомо положительна, поэтому деление на нее в A78) не
меняет координату фиксированной точки дч ~ е и знаки всех величин.
п.40 Независимость критических индексов и нормирован-
ных скейлинговых функций от схемы вычитаний. Как отмеча-
отмечалось в п. 18, ренормированная теория определяется по исходной неод-
неоднозначно; в частности, использование при вычислении констант ренор-
ренормировки разных вычитательных схем (п.22) приводит к разным ренор-
мированным теориям. Но они не независимы и связаны между собой
УФ-конечными ренормировочными преобразованиями типа G8). В фор-
формальной схеме размерной регуляризации без Л (п.20) это будут преобра-
преобразования
е,р) A83)
п.40 Независимость от схемы вычитаний 115
(возможная зависимость от е везде подразумевается) ренормированных
параметров и поля с УФ-конечными, т.е. не содержащими полюсов по
£, функциями е'(е,ц) и Z'(e,/z). На языке производящих функционалов
преобразованиям A83) соответствует
WR{A,e,n)^WR{A,e',y.) = WR(%A,e^) . A84)
При заданных функпиях е', Z'v РГ-уравнение для WR может быть
получено заменами переменных из РГ-уравнения (ПО) для WR и нао-
наоборот. В широком смысле слова (ПО) есть линейное однородное диф-
дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка по
всем переменным, включая функциональный аргумент А, и остается та-
таковым при любых заменах переменных. Для несингулярных замен новое
уравнение эквивалентно старому, т.е. "количество заключенной в нем
информации" не меняется. Но явный вид оператора в (НО) зависит от
выбора схемы вычитаний: в одних он проще, в других - сложнее. Схема
MS (п.22) удобна именно тем, что в ней оператор в (ПО) имеет очень
простой вид: все РГ-функции (ИЗ) зависят только от д, поэтому при
д —у gt в критическом режиме (п.ЗЗ) уравнение (ПО) сразу переходит в
уравнение типа F). При замене A84) форма РГ-уравнения может суще-
существенно усложниться, что затруднит его анализ. Если не ограничивать
произвол замены, то она может, конечно, сказаться ина критических
размерностях. Например, если в у>4-модели положить <p'R = (rfi~2)aipR,
то критическая размерность поля изменится: Av' = Av + aAT. Оче-
Очевидно, что подобные манипуляции не имеют никакого отношения к су-
существу дела, так как изменение критической размерности порождается
просто сингулярностью коэффициента. И вообще, анализ получаемых в
отличных от MS схемах сложных по форме уравнений РГ не имеет смы-
смысла: раз они сводятся заменами переменных к простому РГ-уравнению
схемы MS, получаемая из последнего информация о критическом по-
поведении является объективной и окончательной с точностью до воз-
возможных замен переменных в формулах критического скейлинга. "Пра-
"Правильными" в смысле определений п.З являются те переменные, которые
имеют определенные критические размерности. Поэтому в отсутствии
случайных совпадений размерностей "правильные переменные" опреде-
определяются указанным выше свойством практически однозначно и незави-
независимо от того, какие переменные были использованы сначала. Произвол
сводится лишь к нормировкам типа множителей с в A61) и не отража-
отражается на индексах и нормированных скейлинговых функциях (п.5).
Таким образом, если при вычислениях в рамках схемы MS устано-
установлено, что данная физическая величина имеет определённую критиче-
116 Глава 1. Основы теории критического поведения
скую размерность, то тот же самый результат (наличие определенной
размерности и конкретное ее значение) получится для этой величины и
при вычислениях в любой другой схеме вычитаний. Но следует также
иметь в виду, что иногда одной и той же буквой в разных схемах обо-
обозначаются разные физические величины (например, обозначаемая тра-
традиционно через г величина в схеме MS имеет смысл Т — Тс, а в другой
популярной схеме "вычитаний на нулевых импульсах" она имеет смысл
обратной восприимчивости, подробнее в гл.З). Эти разные величины,
естественно, имеют разные критические размерности.
Поясним эти общие рассуждения подробнее двумя простыми при-
примерами. Рассмотрим сначала УФ-конечную замену заряда g —> g', т.е.
g' = g'(g) и наоборот g = g(g'), возможная зависимость от е подразумева-
подразумевается. При такой замене в РГ-уравнении j(g) —> j{g(g')) = l'{g') и
C{9)dg —> C{g{g'))(dg'/dg)dg> = /У(д')дд'. Для корректности замены
нужна монотонность, поэтому производную дд'/дд будем считать строго
положительной. Тогда очевидно, что фиксированные точки в перемен-
переменных д и д' находятся во взаимооднозначном соответствии, а критиче-
критические аномальные размерности инвариантны: д. ~ g(gi),l'(9i) — l{9*)-
Последнее верно и для индекса ш: с учетом равенства /?(#*) = 0 и полу-
полученного выше выражения для (З'(д') имеем:
,, _ 90* (a')
дд'
Ш =
9'.
дР(д)
дд
= и. A85)
9-
В качестве второго примера рассмотрим произвольную УФ-конечную
(т.е. с УФ-конечными Z) ренормировку:
г
' =тЪ'т{д), <p'R =£*%(g) A86)
с сохранением старого заряда д. Она порождает добавки к аномальным
размерностям A13): ~fa —> 7а + 7а> гДе а = т,<р и
7«Ы = 0(9) dg\nZ'a(g) A87)
согласно A15). В фиксированной точке д = д* величины A87) обраща-
обращаются в нуль, поскольку /?(</„) = 0, а коэффициент при /^-функции в A87)
не может иметь сокращающего нуль /^-функции полюса в силу предпо-
предполагаемой УФ-конечности констант Ъ'а. Действительно, без ограничения
общности их можно считать начинающимися с единицы рядами по д
без полюсов по е в коэффициентах. При д = д» ~ е эти ряды перехо-
переходят в начинающиеся с единицы е-разложения без каких-либо бесконеч-
бесконечных суммирований (ввиду отсутствия комбинации д/е, характерной для
п.41 О "ренормгруппе в реальном пространстве" 117
констант A04)), поэтому в точке д = gt ~ e константы Za(g) не могут
иметь ни нулей (поскольку нет конкурирующих с единицей вкладов), ни
полюсов (поскольку нет бесконечных суммирований). Последнее верно
и для производных dg In Z'a (g).
В этом заключается принципиальное различие между УФ-конечными
константами Ъ'а и УФ-расходящимися константами A04), логарифми-
логарифмические производные которых обязательно имеют полюс при д = д*, со-
сокращающий нуль /^-функции в A18). В наличии полюса проще всего
убедиться из представления A23): знаменатель дроби, согласно A14),
кратен /^-функции, поэтому имеет нуль в точке д = д*, а числитель 7а
не может иметь в ней нуля, поскольку д* зависит от s, а РГ-функции
7а ~ не зависят (п.25). Именно отсутствие нуля в числителе, а не само
представление A23) играет решающую роль: из соотношений A87) вы-
вытекают аналогичные A23) представления и для констант A86), но в них
нуль знаменателя будет обязательно сокращаться нулем числителя.
Здесь нужно подчеркнуть роль ренормируемости модели: при дока-
доказательстве наличия нужного полюса в величинах A23) мы воспользо-
воспользовались выше независимостью РГ-функций 7а от е, но в действительно-
действительности первопричиной является их УФ-конечность, а независимость от £ -
лишь следствие УФ-конечности в схеме MS (п.25). УФ-конечность РГ-
функций, в свою очередь, - следствие УФ-конечности ренормированных
функций Грина (п.24), другими словами, - ренормируемости модели.
Возвращаясь к УФ-конечным преобразованиям A86), заключаем, что
они порождают нетривиальные добавки A87) к РГ-функциям аномаль-
аномальных размерностей, но при д = д* эти добавки исчезают, т.е. критиче-
критические индексы инвариантны. Это верно для любого значения е, следова-
следовательно, и для каждого конкретного порядка г-разложения индексов.
Рассмотренные выше примеры иллюстрируют общее утверждение:
точные критические размерности определенных физических величин и
соответствующие нормированные скейлинговые функции (п.5) - объ-
объективные характеристики изучаемой модели, не зависящие от выбора
схемы вычитаний при ее ренормировке. Объективными являются по-
поэтому и коэффициенты разложений этих величин по любому параме-
параметру, например, обсуждавшиеся ранее с-разложения. Эти коэффициенты
должны совпадать, в какой бы схеме ни производились вычисления, - в
этом одно из главных преимуществ любых регулярных разложений по
параметру.
п.41 О "ренормгруппе в реальном пространстве". Этот часто
встречающийся в литературе термин имеет много разных толкований.
В дальнейшем будем иметь в виду один из вариантов, сводящийся к
118
Глава 1. Основы теории критического поведения
следующей идее: все вычисления в технике РГ выполняются прямо в
реальной размерности (например, dv = 3 для у>4-модели) без какой-либо
апелляции к логарифмической теории и е-разложениям. Константы Z
определяются тогда не из требования устранения УФ-расходимостей
при е —•>■ 0, а из каких-нибудь условий нормировки для ренормированных
функций Грина. В эти условия можно ввести произвольный параметр
ц и получить стандартным способом (п.24) уравнения РГ для ренорми-
ренормированных функций. РГ-функции определяются обычными формулами
A13) и вычисляются в виде рядов по д. По известным начальным от-
отрезкам таких рядов, или, что точнее, по их борелевским суммам (п.38)
координата фиксированной точки </» и величины 7* = i{9*) находятся
численно. Формально все это аналогично изложенной ранее схеме вы-
вычислений с той разницей, что е считается теперь не произвольным па-
параметром, а фиксированным конечным числом. Существенно различие
лишь на последнем этапе: в "с-схеме" решение уравнения /?(</•) = О
относительно д* и расчет величин 7E*) = 7* выполняется итерациями
по е, и лишь в окончательных ответах для 7* осуществляется пере-
переход к реальному конечному значению еР, тогда как в новой "реальной
схеме" подстановка е = ер делается прямо в РГ-функциях, а уравне-
уравнение C{д*) = 0 решается численно. Поскольку РГ-функции известны не
точно, а лишь в виде начальных отрезков рядов по д, эти две процедуры,
очевидно, не эквивалентны.
Конкретные вычисления в "реальной схеме'' могут давать хорошие
количественные результаты. Такие расчеты критических индексов бы-
были выполнены в On-ip4-модели с использованием борелевского суммиро-
суммирования рядов для РГ-функций, которые для d = 3 известны с шестипет-
левой точностью, а для d = 2 - с четырехпетлевой [73]. Результаты
расчета представлены в таблицах 10 и 11, взятых из книги [45].
Табл.10. Критические индексы ip4-модели (п. = 1), получаемые
борелевским суммированием с четырехпетлевой точностью
непосредственно в размерности d = 1.
(р4-МОД.
Изинг
(d=2)
7
1.79 ±0.04
7/4= 1.75
V
0.96 ±0.04
1
Г)
0.18 ±0.04
1/4 = 0.25
и>
1.3 ±0.2
4/3 ?
п.41 О "ренормгруппе в реальном пространстве"
119
Табл. 11. Критические индексы Оп-фА-модели, получаемые
борелевским суммированием с шестипетлевой точностью
непосредственно в размерности d = 3.
п
7
1/
V
0
а
и
ujl/
0
1.1615± 0.0020
0.5880 ±0.0015
0.027 ±0.004
0.302 ±0.0015
0.236 ±0.0045
0.80 ±0.04
0.470 ±0.025
1
1.2405± 0.0015
0.6300 ±0.0015
0.032 ±0.003
0.325 ±0.0015
0.110 ±0.0045
0.79 ±0.03
0.498 ±0.020
2
1.316 ±0.0025
0.6695 ±0.0020
0.033 ±0.004
0.3455 ±0.0020
-0.007 ±0.006
0.78 ±0.025
0.522 ±0.0018
3
1.386 ±0.0040
0.705 ±0.0030
0.033 ±0.004
0.3645 ±0.0025
-0.115 ±0.009
0.78 ±0.02
0.550 ±0.0016
Приведенные в таблицах 10,11 результаты хорошо согласуются с
аналогичными данными в таблицах п.38, т.е. практически схема вполне
работоспособна. Но ее нельзя абсолютизировать, как это иногда де-
делают, утверждая, что нет никакой необходимости в переходе к лога-
логарифмической размерности и проверке мультипликативной ренормируе-
мости модели при е —•>■ 0. Как идеология такая точка зрения не выдер-
выдерживает в действительности серьезной критики. Главным ее дефектом
является потеря в конкретных вычислениях всякого различия между
УФ-конечной и бесконечной ренормировкой. Мы видели (п.40), что в
рамках обычной г-схемы нетривиальные критические аномалии j(g*)
могут порождаться лишь УФ-расходящимися (при е —»■ 0) константами
ренормировки и не меняются при любой конечной ренормировке, по-
поскольку сокращающий нуль /3-функции в фиксированной точке полюс
имеется лишь в логарифмических производных УФ-расходящихся кон-
констант. Но эти производные, как и /3-функция, вычисляются практи-
практически лишь в виде начальных отрезков рядов по д, которые затем в
A18) и A87) почленно перемножаются. В таком приближении полюс,
конечно, не просматривается, теряется также информация о наличии
нуля в одном из сомножителей, если в произведении "полином на по-
полином" отбрасываются "превышающие точность" вклады высоких по-
порядков по д. В г-схеме такой способ действий непротиворечив: ошибки
порядка дп и выше при д —•>■ д* ~ е порождают в ответах ошибки по-
порядка е" и выше, а коэффициенты при всех предшествующих степенях
е определяются достоверно, - на большее эта схема не претендует. Но
в реальной схеме с ер = 1 такой способ действий позволяет, в прин-
принципе, получить любые наперед заданные численные значения критиче-
120 Глава 1. Основы теории критического поведения
ских аномальных размерностей. Например, если умножать "полином
на полином" без отбрасывания в произведении вкладов с формальным
превышением точности по g (при g —)■ 5. — 1 критерия нет), то всегда
получим j(g*) = 0. Если же действовать, как обычно, в духе теории
возмущений, отбрасывая вклады старших (по сравнению с сомножите-
сомножителями ) порядков по д, то в общем случае будет 7E*) Ф 0. но численные
значения этих величин можно как угодно менять, пользуясь произволом
конечной реномировки типа A86). Действительно, при фиксированном
е = ер = 1 и ограничении конечными отрезками рядов добавки A87)
ничем не отличаются от основных выражений A18), что делает второй
сомножитель произведения "полином на полином" фактически совер-
совершенно произвольным. Приведенные выше вполне удовлетворительные
количественные результаты для индексов в "реальной размерности" по-
получаются фактически лишь потому, что расчеты всегда выполняются
в некоторой фиксированной схеме вычитаний (п.22) с определенным на-
набором естественных условий нормировки при определении констант Z.
Указанные в таблицах 10,11 ошибки представляют собой вычислитель-
вычислительные погрешности в рамках фиксированной схемы вычитаний и не учи-
учитывают возможные изменения результатов при изменении самой схемы
("естественность" некоторых нормировочных условий вовсе не означает
их обязательность). Эти изменения, как пояснялось выше, могут быть
сколь угодно большими, поэтому данная техника с естественными нор-
нормировочными условиями при определении констант Z может быть при-
приемлемой как вычислительный метод, но не более.
В заключение еще раз повторим: внутреннюю самосогласованность
РГ-техники обеспечивает лишь введение формального малого параме-
параметра е. Переход к реальному значению еР = 1 в конечных результатах
следует понимать как экстраполяцию. Ключевую роль при этом играет
мультипликативная ренормируемость модели: именно она гарантирует
наличие тех корреляций между вкладами разного порядка по 1/е в кон-
константах ренормировки Z (п.26), которые приводят к появлению полюсов
при д — <7, в их логарифмических производных и, как следствие, к не-
нетривиальным аномалиям 7E*)- С точки зрения теории объективную
ценность представляют лишь не зависящие от произвола конечной ре-
ренормировки величины, в частности, коэффициенты г-разложений (или
аналогичных разложений по другим параметрам) критических индек-
индексов, и результаты суммирования таких рядов. "Объективность" ко-
коэффициентов ^-разложений позволяет сравнивать получаемые для них
разными способами результаты и систематизировать их, накапливая
информацию по мере увеличения точности расчетов с включением все
п. 42 О многозарядных теориях 121
более высоких порядков по г. В отличие от этого, при расчетах в "ре-
"реальной размерности" в принципе невозможно исключить влияние произ-
произвола конечной ренормировки, поскольку фиксация определенной схемы
вычитаний - всего лишь соглашение. В этом отношении е- и т.п. раз-
разложения обладают несомненными преимуществами.
п.42 О многозарядных теориях. Изложенная ранее в основном
на примере у?4-модели РГ-техника приложима к любой мультипликатив-
но-ренормируемой (в своей логарифмической размерности) модели. В
общем случае константы ренормировки Z и, как следствие, РГ-функции
зависят от нескольких зарядов g = {gi...gn]. Но общему правилу A13)
каждому из них сопоставляется своя /^-функция V^gi = A iff)] B фикси-
фиксированной точке gt = {51* - • -gn*} Bce OHI* обращаются в нуль. Эволю-
Эволюционные уравнения A40) для инвариантных зарядов g~i(s,g) принимают
вид
ЗД = Ш , 9i\s=1 = 9i , A88)
(s ч 0 в ИК-асимптотике). Решения уравнений A88) называют фа-
фазовыми траекториями в п-мерном пространстве зарядов, и здесь уже
гораздо больше возможностей, чем в однозарядных моделях. Анало-
Аналогом индекса и в A56) будет теперь набор п собственных значений и>а
матрицы
"ik = dfc(g)/dgk\g=g. ■ A89)
Это вещественная, но в общем случае несимметричная матрица, по-
поэтому среди ее собственных значений могут быть комплексно-сопряжен-
комплексно-сопряженные пары. Фиксированная точка gt является ИК-устойчивой (п.31),
если для нее вещественные части всех uia строго положительны, и УФ-
устойчивой, если все они строго отрицательны; если же часть из них
положительна, а другая - отрицательна, то gt - седловая точка.
В многозарядных теориях фиксированных точек g* ~ s может быть
много, в общем случае - разного типа. Критический скейлинг будет
наблюдаться лишь тогда, когда среди точек д* есть ИК-устойчивые
и определяемая из A88) фазовая траектория с заданными начальными
данными д попадает в область притяжения одной из них. Поведение
~д в окрестности д* определяется линеаризованными уравнениями A88)
2?,Д<;,- = uiikAg~k для отклонений Д<7,- = д~{ — ди- Из анализа их реше-
решений для ИК-устойчивых точек видно, что при и>а > 0 Va траектория
~g(s, д) при s —■>• 0 подходит к #» плавно, а если среди и>а есть комплексно-
сопряженные пары, то д~ приближается к gt по суживающейся спирали.
Такую ИК-устойчивую точку д* называют притягивающим фокусом,
для нее в поправочных членах типа A70) из-за комплексности показа-
122 Глава 1. Основы теории критического поведения
телей появляются характерные осцилляции. Отметим также, что при
заменах g = g(g') аналогом равенства A85) для матрицы A89) будет
преобразование подобия о/ = V~1uV с матрицей Kvs = dgi/dg'k в фик-
фиксированной точке. Собственные значения и>а являются инвариантами
таких преобразований.
Нужно подчеркнуть, что в многозарядной теории даже при наличии
ИК-устойчивых фиксированных точек определяемая из уравнений A88)
траектория с заданными начальными данными g может не попадать в
асимптотике s —>■ 0 ни в одну из них. В этом случае возможны раз-
разные варианты поведения траектории. Чаще всего встречаются следую-
следующие два: 1) выход на границу области устойчивости, 2) уход на беско-
бесконечность в области устойчивости. Поясним: в n-мерном пространстве
зарядов g обычно имеется некоторая естественная область устойчиво-
устойчивости, вне которой система нестабильна (аналог g > 0 для у?4-модели).
Уход траектории g(s,g) при некотором конечном значении s0 за гра-
границу области устойчивости интерпретируется обычно как свидетель-
свидетельство существования фазового перехода первого рода "в момент So" • Та-
Такое истолкование соответствует теории Ландау: при потере устойчиво-
устойчивости минимум энергии системы скачкообразно "проваливается" в — оо
(а в действительности должен стабилизироваться вкладами высших
порядков, которые были отброшены при построении модели как ИК-
несущественные). Здесь может возникнуть вопрос о законности такой
интерпретации для масштабной переменной типа р/ц = s, поскольку
неясно, как понимать "фазовый переход по импульсу". Но проблемы
здесь нет, так как критическому режиму соответствует в действитель-
действительности одновременное и согласованное стремление к нулю всех ИК-
существенных переменных, например, р и г в у>4-модели. Поэтому не-
неважно, какая из них выбрана масштабной: граничному значению s0 при
s = р/ц соответствует определенное значение tq , так что переход всегда
связан с изменением термодинамических параметров.
Что касается второго варианта поведения ~д (уход на бесконечность),
то здесь следует иметь в виду, что само суждение о поведении траек-
траектории делается обычно на основе численного интегрирования уравне-
уравнений A88) в рамках некоторого приближения для /3-функций, теряющего
смысл при больших ~д. В такой ситуации само суждение о поведении
траектории при больших ~д недостоверно, и правильнее было бы ска-
сказать, что мы просто выходим за рамки применимости используемого
приближения. В обоих случаях достоверно лишь то, что при подобном
поведении траектории критического скеилинга не будет.
В заключение отметим, что поведение решений многозарядных урав-
п.43 Логарифмические поправки при 5 = 0 123
нений типа A88) может быть, в принципе, и весьма экзотическим. По
этому поводу упомянем лишь предельные циклы (траектория выходит
на некоторую замкнутую кривую и "крутится" по ней, не приближаясь
к фиксированным точкам) и странные аттракторы (траектория при-
притягивается не точкой, а некоторой областью, внутри которой затем хао-
хаотически мечется). Система уравнений Лоренца, в которой был впервые
обнаружен странный аттрактор, является частным случаем A88) для
трех зарядов g = х, у, z с рх = <г(х — у), /Зу = y—rx + xz, /?z = bz — xy, где
г > 1, 6 > 0, сг > &+ 1 — параметры (у Лоренца <т = 10, Ъ = 8/3, г = 28).
В данной системе три фиксированные точки: @,0,0); (а,а,г — 1) и
(—а, — а, г— 1), где а = л/Ь(г — 1). Первая из них всегда ИК-неустойчива
(седло), две другие при 1 < г < гс = а(<г + Ь+ 3)/(<т — b — 1) (у Лоренца
гс = 24.74) являются ИК-притягивающими фокусами, а при г > гс те-
теряют устойчивость. Тогда и появляется странный аттрактор в точном
смысле слова, но поведение траекторий при t = — In s —■>• +оо становится
нетривиальным уже на подходе к гс [74].
Приведем также пример предельного цикла: система A88) для двух
зарядов g = х,у с (Зх = —х-ау+х(х2 + у2), /Зу = -у + ах + у(х2 +у2).
У нее лишь одна ИК-неустойчивая фиксированная точка @,0) и ИК-
устойчивый предельный цикл х1 + у2 — 1, параметр а имеет смысл
угловой скорости вращения по циклу.
В реальных моделях указанные два варианта "экзотического пове-
поведения" фазовых траекторий пока не наблюдались.
п.43 Логарифмические поправки при е = 0. Критический скей-
линг с нетривиальными индексами следует из РГ-уравнений лишь при
d < d*, а непосредственно в логарифмической размерности d= d* (п. 16),
т.е. при 5 = 0, поправки к теории Ландау будут уже не степенными, а
только логарифмическими. Мы обсудим их, как обычно, на примере у>4-
модели, считая ее определенной при любом значении g (см. обсуждение
вп.27).
Все величины в РГ-уравнениях п.24 УФ-конечны, т.е. не имеют по-
полюсов по е, поэтому продолжимы непосредственно в точку е = 0. При
е — 0 в разложении /^-функции A21) исчезает линейный член (напо-
(напомним, что в схеме MS все прочие коэффициенты рядов A21) от г не зави-
зависят), ИК-устойчивая фиксированная точка перемещается в нуль и ста-
становится точкой типа 3 по классификации п.31, т.е. ИК-притягивающей
справа. Однопетлевое приближение A54) для инвариантного заряда ~§
РГ-уравнения A51) для коррелятора при 5 = 0 переходит в
b A90)
124 Глава 1. Основы теории критического поведения
Отсюда видно, что g убывает как 1/ In s при s —>■ 0, стремясь к фиксиро-
фиксированной точке д* = 0. Этот вывод не связан с конкретным приближением
A28а), так как учет следующих членов разложения /?-функции A21)
даст лишь относительно малые при s —»■ 0 поправки к A90), которые
при желании можно найти явно из определения A44).
Изменение типа фиксированной точки приводит, естественно, к из-
изменению критических асимптотик. Рассмотрим в качестве примера РГ-
уравнение A51) для ренормированного коррелятора A49) у?4-модели.
Все общие соотношения п.30 при s — 0 сохраняются, меняется лишь
асимптотика при s —)■ 0 входящих в A52) и A53) интегралов. В на-
нашей модели при е = 0 разложение A21) РГ-функции ~/т начинается с
g, a jtp и /?-функции - с д2 (вычисления в следующих главах), поэтому
асимптотика интегралов в A52) и A53) различна: при д~ —»■ 0 первый
имеет конечный предел, а во втором есть логарифмическая особенность.
Выделив ее, получаем:
fdx 2lM = [71т//?2] \п(д/д) + сг(9) + ... , A91)
д И\х)
где 7i r и /?2 - первые коэффициенты соответствующих рядов A21),
A92>
а многоточием в A91) и далее обозначаются несущественные при s —■>• 0
поправки порядка д~ ~ 1/lns. В подынтегральном выражении A92)
особенность при х = 0 сокращена, что позволило заменить верхний
предел д~ нулем с ошибкой порядка д~. По тем же соображениям
По известному ряду A72) для функции Ф в ренормированном корре-
корреляторе A49) при е = 0 величина ФA, д~, z) в правой части A52) определя-
определяется в виде ряда по малому параметру ~д ~ 1/ In s. При нашей точности:
ФA,д,г) = Фо(г) + ... , A94)
где Фо(г) = A 4- i)~l - нулевое приближение, соответствующее невоз-
невозмущенному коррелятору £>он. = (р2 + т")- Искомая асимптотика при
s —■>• 0 ренормированного коррелятора получается подстановкой приве-
приведенных выше выражений в общие формулы п.30.
п.43 Логарифмические поправки при е — 0 125
Рассмотрим подробнее поведение коррелятора в частных случаях
г = 0 и р = 0. В первом случае ответ получается сразу же из об-
обсуждавшихся выше формул, так как в них можно просто положить
z ~ z ~ г = 0. Из соотношений A49), A52), A93) и A94) тогда следует,
что с точностью до нормировки ведущий член асимптотики г = 0, р —■>• 0
точно такой же, как для невозмущенного коррелятора с т = 0:
т=0 2 р-~ СФ A + ...), СФ = ехр [23^)] , A95)
р-+0
где многоточие - малые относительные поправки порядка ~д~ ~ 1/lns,
являющиеся аналогом поправок A70) при е > 0. При желании их можно
контролировать, увеличивая точность оценок в A93) и A94).
Рассмотрим теперь асимптотику при т —•>■ 0 коррелятора с нулевым
внешним импульсом, пропорционального, согласно C6), восприимчиво-
восприимчивости х- Формулы п.30 не допускают прямого перехода к случаю р = 0,
поскольку в A49) выделен множитель 1/р2. Вместо A49) положим те-
теперь
DR(p = 0,д, т, ц) = т Ф($,#), s = r/fP, A96)
тогда после подстановки в A50) получим:
-B + 7тJ>, + вдд + 7т + 27v I Ф(«, д) = 0 . A97)
Делением на 2 + 7т это уравнение приводится к форме A42), соот-
соответствующий инвариантный заряд определяется теперь соотношением
A79) и в однопетлевом приближении отличается от выражения A90)
лишь заменой s —> s1/2 (что эквивалентно 02 —> А>/2), поэтому тоже
убывает, как 1/lns при s = тц~2 —> 0. Общее решение уравнения A97)
определяется соотношением A48):
U9~ „. 1Х\ _|_ 2~/. (х) I
<£с > . A98)
Р(х) J
Асимптотика интеграла в показателе подобна A91), аналогичное A94)
разложение функции Ф( 1, ~д) в A98) в данном случае начинается просто с
единицы, так что с точностью до нормировки для искомой асимптотики
восприимчивости окончательно получаем:
т/'^A + ...). A99)
т-+0 т
126 Глава 1. Основы теории критического поведения
Напомним, что g(s,g) ~ 1/ Ins при s = тц 2 —■>• 0.
Таким образом, при е = 0 канонический закон х(т) ~ т~г лишь
"подправляется" некоторой дробной степенью In s — ln(r/^2), тогда как
при с > 0 изменялся сам показатель степени т. В асимптотике A99) по-
показатель степени "поправочного логарифма" определяется первыми ко-
коэффициентами разложений A21) РГ-функций 7т и /?, для О„-у>4-модели
7ir//?2 = — (п + 2)/(п + 8) (вычисления в гл.3,4). Столь же просто из
РГ-уравнения A78) находятся логарифмические поправки в уравнении
состояния A75) при е = 0.
В заключение отметим, что в некоторых моделях 1 разложение РГ-
функции jv начинается не с д2, а с д, и тогда в интегралах типа A93)
и соответствующих асимптотиках A95) также появляются логарифми-
логарифмические вклады.
п.44 Суммирование вкладов д In s при s = 0 с помощью урав-
нений РГ. Рассмотрим в качестве примера уравнение A97), переписав
его в виде
2VSF = [рдд - lTVs] F + 7r + 27„ , F = In Ф . B00)
Будем искать решение в форме ряда теории возмущений: F(s,g) =
gFi(s) + g2F2(s) + ... (ряд для Ф начинается с единицы, поэтому для F
- с нуля). Представив все величины в B00) в виде рядов по д, в част-
частности, рядов A21) для РГ-функций с е — 0, и отобрав последовательно
вклады одного порядка по д, получим бесконечную систему уравнений:
2VSF! = 71т,- '2VaF2 = faFi - 1XtVsFi + 72т + 2~f2v и так далее. Они
легко решаются:
Fx(s) = i
J | B01)
и так далее, параметры с; - произвольные константы интегрирования.
Из анализа этого решения видно, что
ос
F(s,g) = J^9n Pn(lns) , B02)
n=l
где Рп - некоторые полиномы порядка п. Вклады (g\ns)m с любым
т > 0 называют главными логарифмами (ведущими, лидирующими),
'Например, в релятивистской электродинамике или хромодинамике, где роль д
играет квадрат элементарного заряда.
я. 44 Суммирование вкладов gins при е = 0 127
вклады g(g Ins)m - первая поправка, g'2(g\ns)m - вторая, и так далее.
Если параметр g мал, a In s - велик, так что u = g In s ^ 1 ,то в решении
B02) естественно сначала просуммировать вклады всех главных лога-
логарифмов, затем вычислять поправки к ним. Для этого решение уравне-
уравнения B00) следует искать в виде
F(s,g) = 2^gn fn(u) , u=g\ns. B03)
Из процедуры получения выражений B01) видно, что главные лога-
логарифмы во всех порядках по д однозначно определяются первыми коэф-
коэффициентами /?з и 7i r в разложениях A21) соответствующих РГ-функций
G1^ = 0). Для определения первой поправки нужны следующие ко-
коэффициенты /?з, 72т) 72^, а также константа с\ из B01), в следующем
порядке понадобятся очередные коэффициенты РГ-функций и со и так
далее. Отсюда ясно, что сумму всех главных логарифмов, т.е. функцию
/о(ы) в B03), можно найти из упрощенного уравнения B00), учитывая
лишь нужные ведущие члены разложений РГ-функций: 2Vsfo —
p2g2dgfo + 571т с вытекающим из B01) условием /о@) = 0. При дей-
действии на функцию одной переменной и — gins имеем Vs — gdu, g2dg =
диди, поэтому приведенное выше уравнение переписывается в виде B —
/?2«)/о(м) = 71т и с учетом условия в нуле легко решается:
B04)
Р'1
2 - fcu
Для систематического определения поправок нужно сделать замену
переменных s,g —)• u,g в уравнении B00) и затем искать его решение
в форме B03), последовательно отбирая вклады нужного порядка по
д. Следует подчеркнуть, что уже первая поправка gfi(u), в отличие
от /о(и), не определяется однозначно коэффициентами РГ-функций, так
как зависит еще и от константы ci из B01); для определения fc{v) пона-
понадобится также константа с-± и так далее. Действительно, для очередной
функции fn{u) из B00) получается уравнение вида B —,(?2w)/,'(и) = "из~
вестная величина'', константа с„ = /п@) нужна для однозначности ре-
решения. По смыслу с„ есть вклад рассматриваемых неведущих логариф-
логарифмов в том самом низшем порядке простой теории возмущений, в котором
они впервые появляются. По данному вкладу и РГ-функциям уравне-
уравнение РГ восстанавливает неведущие логарифмы рассматриваемого типа
во всех высших порядках простой теории возмущений, - в этом суть
уравнения РГ с данной точки зрения.
128 Глава 1. Основы теории критического поведения
Отметим, что все результаты можно получать и из общего решения
A98) эквивалентного B00) уравнения A97). Все главные логарифмы со-
содержатся в однопетлевом приближении для соответствующего инвари-
инвариантного заряда A79), отличающегося от A90) лишь заменой /?2 —»■ /?г/2.
Поэтому в данном приближении ~g/g = 2/B — p2u), что совпадает с
аргументом логарифма в B04); все главные логарифмы содержатся в
явно выделенной в A99) дробной степени g~/g, что с точностью до обо-
обозначений совпадает с B04). Но уже первую поправку gfi(u) в F = 1пФ
находить из A98) сложно, так как она набирается из нескольких источ-
источников: поправка на /?з в отношении g~/g, вклад порядка ~д в ФA,#), а
также вклад порядка g в константе типа A92).
В рассмотренном выше примере разложение неоднородности в урав-
уравнении для F = 1пФ начиналось с д. Если бы оно начиналось с д2, то
главные логарифмы в решении отсутствовали бы и разложение B03)
начиналось.бы тогда с gfi(u). Так будет, например, в уравнении A51)
для коррелятора при т = 0 (тогда s = р/ц) ввиду отсутствия линейного
по д вклада в 7^ (д) ■ Первый член gfi (u) и в этом случае определяется
только РГ-функциями, так как при т = 0 разложение функции F = In Ф
в простой теории возмущений у>4-модели также начинается с д2, что
дает условие /i@) = 0, позволяющее однозначно определить функцию
/i(m) по коэффициентам/32 и 72^ в разложениях РГ-функций.
На этом мы заканчиваем общее описание идеологии и техники РГ
и вновь вернемся к ней лишь в гл.4 после изложения в главах 2 и 3
необходимого для выполнения конкретных вычислений аппарата.
ГЛАВ А 2
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ И ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА
КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
В этой главе приводятся краткие, но достаточно полные справоч-
справочные сведения о техническом аппарате квантовой теории поля. Термин
"квантовой" употребляется лишь по традиции: излагаемая ниже тех-
техника впервые была разработана именно в квантовой (псевдоевклидовой)
теории поля. Но сама по себе она с квантовостью не связана, и в рав-
равной мере пригодна для теории классического случайного поля, в част-
частности, флуктуационной теории критического поведения. Квантовополе-
вому термину "оператор" соответствует в наших задачах "случайная
величина".
п.1 Справочные формулы. Как пояснялось в п. 1.13, флуктуаци-
онная теория критического поведения есть теория классического слу-
случайного поля (системы полей) <р(х), для которого вес "конфигурации"
(р(х) определяется множителем expS(^), где S(ip) - задающий модель
функционал действия. Сразу отметим, что все общие формулы этой
главы в универсальных обозначениях (п.1.9) справедливы для любого
поля или системы полей.
В основные определения п. 1.13 входят функциональные (контину-
(континуальные) интегралы, поэтому нужно точно сформулировать правила их
вычисления. В традиционном определении таких объектов использу-
используются различные процедуры интерполяции (см., например, [75, 76]), но
при тщательном анализе это порождает массу проблем, связанных с
зависимостью ответов от способа интерполяции. Технически проще по-
положить в основу в качестве постулата следующее формальное правило
вычисления гауссовых интегралов:
fD<p exp [-ipKip/2 + Atp] = det(A727r)~1/2exp [AK^Afi], A)
где Atp - общая линейная форма типа A.48), <рКр - квадратичная
форма, задаваемая некоторой линейной симметричной операцией К на
130 Глава 2. Функциональная и диаграммная техника
полях ip, а К 1 в правой части A) - обратная операция. Без ограниче-
ограничения общности (см.ниже) все линейные операции можно записывать как
интегральные, т.е.
[К<р](х) = (К<р)х = fdx' К(х, х') ф1) , B)
<рК<р = f fdxdx' <р{х) К{х,х') <р(х') . C)
Функцию К(х,х') называют ядром операции К, единичной операции
соответствует ядро 8(х — х'). Симметричность К выражается ра-
равенством К = А'т, где "т" - символ транспонирования операции; для
ядер КТ(х, х') = К(х', х), поэтому симметричность операции А' эквива-
эквивалентна симметричности ее ядра. Из симметричности К следует симме-
симметричность обратной операции К~1 и ее ядра.
Сделаем несколько пояснительных замечаний к формуле A).
1. Если аргумент х - дискретный индекс с конечным числом значе-
значений, то выражения B), C) - обычные конструкции линейной алгебры,
а A) - обычная формула для гауссова интеграла в конечномерном про-
пространстве. Она записана так, что размерность пространства в ответ
явно не входит, поэтому переносится без изменения на бесконечномер-
бесконечномерные функциональные пространства, - это общий принцип получения
подобных формул.
2. Сходимость интеграла в A) обеспечивается положительной опре-
определенностью К, но формулой A) часто пользуются и в иных случаях,
понимая ответ как аналитическое продолжение из области сходимости.
3. Запись B), C) сохраняет смысл и для дифференциальных опера-
операций А', тогда А"(х, х') = Кх8(х — х'), где Кх - заданная симметричная
(для производных дт = —д) дифференциальная операция по аргументу
х, интегрирование в B) снимается, а в C) становится однократным.
В этом на практике обычном случае ядро А имеет смысл функции
Грина линейной задачи Kip = А, А £ Е (Е - пространство быстро
убывающих функций, см. п. 1.13), которая для А' > 0 всегда будет счи-
считаться доопределенной условием v?(°°) = 0- Это условие фиксирует
выбор в общем случае неоднозначной функции Грина.
4. При вычислении интеграла A) делается сдвиг ip —>■ tp -f K~lA,
который при любом А € Е не должен менять пространство интегриро-
интегрирования Епа в A). Поэтому в соответствии с общими правилами п. 1.13
(см. также [53] §6) следует считать, что Е„н = К~1Е, т.е. Е„И есть
множество всех функций вида <р = А' А, А £ Е. Для дифференциаль-
дифференциальных операций А' с неоднозначной функцией Грина Л" в определении
Е„И подразумевается та из них, которую мы хотим получить в правой
п.1 Справочные формулы 131
части A). В наших задачах при К > 0 всегда подразумевается вы-
выбор, указанный выше в замечании 3. Тогда для строго положительных
операций типа К = —д2 + г с т > 0 все функции вида Л' А, А £ Е со-
содержатся в Е, и в этом случае Еия = Е. Но для безмассовых операций
типа А' = — д2 убывание функций tp = А' А, А £ Е на бесконечно-
бесконечности будет в общем случае не быстрым, а лишь степенным. Эти детали
иногда существенны (например, в п.16), но редко. Обычно достаточно
знать, что Еия Э Е и состоит из убывающих на бесконечности функций.
Отметим, что в любом случае форма рК(р хорошо определена (конечна)
для любого tp £ Еяи = К~1Е.
5. По определению, ipK = KT<p, след операции определяется соот-
соотношением trA' = / dx K(x,x), а произведению операций соответствует
свертка их ядер: (LM)(x,x') = J dx" L(x,x")M(x",x'), - все это ана-
аналоги обычных формул линейной алгебры.
6. Для трансляционно-инвариантных (в том числе дифференциаль-
дифференциальных с постоянными коэффициентами) операций ядро К(х,х') зависит
лишь от разности пространственных координат х—х' (при включении в
х дискретных индексов к ним это, конечно, не относится). Если опреде-
определять фурье-образ Л'(&) соотношением A.356), то для дифференциальной
операции он будет простым полиномом по импульсам. Свертке ядер со-
соответствует тогда произведение фурье-образов без добавочного коэффи-
коэффициента, поэтому обратной операции соответствует просто К~1(к). По
дискретным индексам, если они есть, все операции остаются матрич-
матричными.
7. При вычислении определителей произвольных (не обязательно
симметричных) операций можно пользоваться формулами
det(IM) = detl ■ detM, det(Aa) = (detA)a ,
detl/detM = det(IAf~1) = det(A/~1I) = det(I/M) , \ D)
det(A"T) = detA", detA' = exptrlnA .
Для трансляционно-инвариантной операции М
trA/ = V Bn)-d jdktrmuM{k), V = J dx ,
E)
trlnM = V {2ir)-d fdk lndetmm M{k) ,
где x обозначает теперь только rf-мерные пространственные коорди-
координаты, V - бесконечный объем системы, М(к) - фурье-образ A.356) ядра
М, являющийся матрицей по дискретным индексам, если они имеются,
а 1;гИнд и detHM - соответствующие операции по этим индексам.
132 Глава 2. Функциональная и диаграммная техника
8. Производные определителей по параметрам (числовым или функ-
функциональным) вычисляются с помощью равенства
S In det A' = Sti In К = tr(AJA") , F)
где SK - произвольная вариация К.
9. Замене переменной tp —>■ <р' в функциональном интеграле соот-
соответствует якобиан Df/Df' = det[Sip/S<p'], т.е. определитель линейной
операции с ядром 8p(x)/8ip'(x').
10. В формулы теории поля всегда будут входить отношения гауссо-
гауссовых интегралов. Множители 2тг из A) в них сокращаются, и появляются
конструкции типа det (А' - I)/det К = det [А' (А - L)} = det(l - М),
где М = K~lL. Такие величины можно вычислять в форме ряда по М
с помощью последнего соотношения D):
In det(l - М) = tr ln(l - М) = -tr [ М + М2/2 + М3/3 + ... ] . G)
И. В универсальных обозначениях (п.1.9) общая формула A) спра-
справедлива для любых полей и систем полей, в частности, и для комплекс-
комплексных полей ф, ф+ (можно ввести различающий индекс ф = 1рЛ, ф+ = ip2
и затем включить его в х). Для полноты приведем комплексный аналог
A) в обычных обозначениях с учетом всех нормировок:
ехр [-ф+1ф + ф+Л + А+ф] - det[il/27r]-1 exp [А+Ь~лА].
Здесь операция L, в отличие от Л' в A), уже не обязана быть симметрич-
симметричной. Симметричность проявляется лишь при переходе к универсальным
обозначениям с ip = (ф, ф+), т.е. ipi = ф,(р2 = ф+:
(;) (i L) (so *
(по повторяющимся индексам, если не оговорено противное, всегда под-
подразумевается суммирование). Матричная 2 х 2 операция А' в форме (8)
симметрична при любом L.
Приведем несколько полезных справочных формул с вариационными
производными. Вариационное дифференцирование выполняется по
тем же правилам, как и обычное, с учетом основного опреде-
определения 8tp(x)/Sip(x') = 6(х — х') в универсальных обозначениях (п.1.9).
Справедливы следующие соотношения:
FF/6ip) exp(Av?)... = ехр(А<р) F(A + S/SA)..., (9)
п.1 Справочные формулы 133
F{6/6tp) exp(Av?) = F(A) exp(Ap) , A0)
exp(A6/6<p) F(<p) = F(>p + A), A1)
FF/6<p)
в которых Aip и AS/Sip - линейные формы типа A.48). все F - произ-
произвольные функционалы. Многоточие в (9) обозначает произвольное вы-
выражение, на которое действует дифференциальная операция; если оно
не зависит от <р, то равенство (9) переходит в A0). Формула A1) -
компактная запись функционального тэйлоровского разложения по А.
При использовании соотношения A) в теории поля роль квадратич-
квадратичной формы будет играть свободное действие в A.59). Симметричное
ядро операции Д = К~1, называемое сверткой или свободным пропага-
тором (=коррелятором) поля, будет играть роль линии в диаграммах.
Итак:
+ V(P) I SoM = -?А>/2 , Д = Дт = Л' . A3)
Еще одна важная конструкция - дифференциальная операция при-
приведения Pv, определяемая по So(ip) соотношениями
T>v = fjdx dx' [6/6tp(x)] A{x,x') [6/6tp(x')] , A45)
индекс tp уточняет функциональный аргумент, по которому произво-
производится дифференцирование. Формальной заменой А(х) —> 6/Sip(x) из A)
можно получить соотношение (обозначения A3), A4))
cfDip exp[S0(v) + v(W)] = Рф - A5)
в котором с - нормировочная постоянная, определенная равенством
с = fDip exp S0(ip) = detGv/27r)-1/2 . A6)
Из A1) и A5) для произвольного функционала F(ij>) имеем
Рф Г(ф) = cfDip Р(р + ф) exp SoM , A7)
при ip = 0 из A7) следует равенство
|v=0 = cfDip F(p) exp 5оЫ - A8)
134 Глава 2. Функциональная и диаграммная техника
Эти формулы являются основой при вычислении негауссовых функци-
функциональных интегралов. Отметим, что с помощью соотношения A7) лю-
любую формулу с операцией приведения Р можно переписать в виде функ-
функционального интеграла.
п.2 Универсальная диаграммная техника. По заданному дей-
действию определим функционал (обозначения A3), A4))
Н(<р) = Р exp V» , Р = exp(D/2) , Р = Р„ , D = Dv . A9)
Пользуясь квантовополевой терминологией, будем называть Н(<р) функ-
функционалом S-матприцы, 1 а коэффициенты Нп его разложения по <р - S-
матпричными функциями Грина поля (р. Мы опишем сейчас диаграмм-
диаграммное представление Я, а потом покажем, что результаты прямо пере-
переносятся и на интересующие нас функционалы типа A.62). Отметим,
что к виду A9) приводятся также статсуммы классического магнетика
Гайзенберга (и Изинга как частный случай, см. п.26), а также газа
с парными силами (большой канонический ансамбль) в произвольном
неоднородном внешнем поле, которое и играет роль <р в A9) [53].
Разлагая экспоненты A9) в ряды, получаем
оо оо
Н = Y, р v"/nl = X] °m V"/'2™1 "'• • B°)
п~0 n,m=0
Это выражение можно представить в виде суммы вкладов различных
диаграмм с определенными "симметрийными" коэффициентами.
Графом (графиком, диаграммой) называют рисунок, состоящий из
некоторого числа точек (вершин) и соединяющих их линий. В нумеро-
нумерованном графе вершины пронумерованы числами 1,2,..., граф без ну-
нумерации называют свободным. Нумерованный граф однозначно опре-
определяется своей матрицей смежности тг: по определению, матричный
элемент Щк — ^ki равен числу линий, соединяющих (непосредственно)
вершины i и к. Диагональные элементы соответствуют закороченным
линиям, оба конца которых присоединяются к одной вершине. Нумеро-
Нумерованные графы считаются равными, если равны их матрицы смежности;
два нумерованных графа, различающихся только перестановкой номе-
номеров вершин, называются эквивалентными, они соответствуют одному
свободному графу. Два свободных графа равны, если при некотором
способе нумерации равны соответствующие нумерованные графы (тем
*В квантовой теории поля функционал Н(<р) представляет TV-форму S-матрицы: опе-
оператор S-матрицы есть NH(ip), где ц> - оператор свободного поля, N - символ нормального
произведения.
п. 2 Универсальная диаграммная техника 135
самым точно определено понятие ''разных" свободных графов). Груп-
Группой симметрии нумерованного графа называется подгруппа тех пере-
перестановок номеров вершин, которые переводят его в себя, т.е. не меняют
матрицу смежности; порядок (число элементов) этой группы называют
симметрийным числом графа s. Группы симметрии эквивалентных ну-
нумерованных графов изоморфны, поэтому имеют одинаковый порядок.
Отсюда следует, что симметрийное число s является в действительно-
действительности характеристикой свободного графа, не зависящей от способа нуме-
нумерации его вершин. Полное число таких способов в графе с п вершинами
есть п\, соответствующие нумерованные графы разбиваются на классы,
каждый из которых состоит из s одинаковых нумерованных диаграмм.
Поэтому число разных нумерованных диаграмм, соответствующих дан-
данной свободной, равно n\/s. Связным называют граф, в котором, следуя
по линиям, можно из одной вершины попасть в любую другую. Этих
простейших понятий теории графов для дальнейшего достаточно.
Сопоставим выражению V" в B0) граф, состоящий из п изолирован-
изолированных точек (вершин), каждой соответствует один множитель V. Опе-
Операция D при действии на V" соединяет линией Д пары точек всеми
возможными способами, так как каждая из двух производных S/Stp в D
может действовать на любой из множителей V. Поэтому в графическом
представлении величины DmVn в B0) содержатся все без исключения
свободные графы с п вершинами и га линиями, а весь ряд B0) есть
сумма единицы и всех различных свободных диаграмм с любым числом
вершин и линий. Чтобы придать этим словам точный смысл, нужно
сформулировать правило соответствия между графом и аналитическим
выражением, а также указать симметрийный коэффициент при каждом
графике.
Начнем с первого вопроса. Из представления B0) и определения
операции D ясно, что присоединение очередной линии к данной вер-
вершине сопровождается ее дифференцированием по <р. Поэтому вершине
графика, к которой присоединяется га > 0 линий, соответствует вер-
вершинный множитель
B1)
его аргументы х сворачиваются с аргументами присоединяющихся к
данной вершине линий Д.
Сказанное полностью определяет искомое правило соответствия. По-
136 Глава 2. Функциональная и диаграммная техника
ясним его на примере графа B2а):
\ ■ 'О 1
B2)
Концам линий Д соответствуют независимые аргументы х, так что
всего их вдвое больше, чем линий, в нашем примере восемь. Выбрав лю-
любым способом нумерацию, например так, как показано на рисунке B26),
мы определим тем самым аргументы х всех линий Д и всех вершинных
множителей B1), что позволяет сопоставить графу B2а) аналитическое
выражение V f ... /dxx.. .dx8 ДA2)ДC4)ДEб)ДG8)ЦA2)ЦC)К3D58
V2F7). Для краткости мы обозначили A(ik) = A(xi,xk) и аналогично
для вершинных множителей B1), порядок аргументов в них не важен
ввиду их симметричности. Рассмотренный пример достаточно ясно ил-
иллюстрирует общее правило соответствия. Из него также видно, что
вклад несвязной диаграммы всегда равен произведению вкладов всех ее
связных компонент, в нашем примере их три.
Переходя ко второму вопросу, сразу приведем ответ: каждая из сво-
свободных диаграмм входит в B0) с коэффициентом
С = [ 5 ■ 2tr7r Цпц1 Цп1к1 ] . t™ = £ тг« , B3)
где s - симметрийное число данной диаграммы, а тг;а. - элементы ма-
матрицы смежности (см. выше) нумерованной диаграммы, получаемой из
данной свободной введением произвольной нумерации вершин. От вы-
выбора способа нумерации величина B3) не зависит, так как в нее входят
только перестановочные инварианты.
Приведем вывод формулы B3). Для PV" в B0) воспользуемся соот-
соотношением A2):
( [ J] £ J } B4)
<fe J J
PVn = (ехр [ J] D«/2 + £ D,-J } Vi ... Vn
где введено п независимых аргументов (pi, V] = V((pi), D,-fe = Dt,- =
F/8<pi)A(8/8(pk) (учтена симметричность Д), а символ |* в B4) обозна-
обозначает (pi = (р2 = ■. ■ = (рп = Ч> после выполнения дифференцирований.
Представление B4) вводит нумерацию вершин, D,fc -операция '"навеши-
'"навешивания" линии на заданную индексами i < к пару вершин. Записав экс-
экспоненту суммы в B4) как произведение экспонент и разложив каждый
п.2 Универсальная диаграммная техника 137
сомножитель в ряд, представим экспоненту B4) в виде многократной
суммы
П[
B5)
Суммирование производится по всем независимым наборам тг = {тгг^,
г < А'} неотрицательных целых чисел щ/,, каждое из них принимает
все значения от нуля до бесконечности. Ясно, что каждый член суммы
B5) находится во взаимооднозначном соответствии с нумерованной диа-
диаграммой, набор тг задает ее матрицу смежности. Ясно также, что в B5)
входят все возможные нумерованные диаграммы, и что среди них нет
одинаковых, так как каждый независимый набор тг входит один и только
один раз. Поэтому величина B4) - сумма вкладов всевозможных раз-
различных нумерованных диаграмм, коэффициенты при них определяются
указанными в B5) факториалами и двойками, собирающимися в выра-
выражение B3) без 1/s. Поскольку туда входят лишь перестановочные инва-
инварианты, коэффициенты при эквивалентных нумерованных диаграммах
одинаковы. Полагая в B4) после дифференцирования все поля равными,
мы тем самым "стираем" номера вершин и переходим к языку свобод-
свободных графов. При суммировании по разным свободным диаграммам ко-
коэффициенты при них в B0) получаются умножением коэффициентов
при нумерованных диаграммах на полное число различных, но эквива-
эквивалентных нумерованных диаграмм, соответствующих данной свободной.
Оно равно (см. выше) n\/s, при учете коэффициента 1/га! в B0) это и
приводит к формуле B3).
Вытекающее из определений A4) и A9) равенство 28Н/8А(х,х') =
82H/8tp(x)(p(x'} позволяет доказать [53] следующее полезное рекуррент-
рекуррентное соотношение:
C2/Ci = sN [A -+ D2]/ N[D2 -> £>i] . B6)
Здесь C\fi ~ симметрийные коэффициенты B3) при диаграммах D\ о,
таких, что Do получается присоединением одной линии к Di,N[D\ —>
Do] - число эквивалентных способов превращения D\ в D2 присоедине-
присоединением линии, N\D-z —> D{\ - число эквивалентных способов превращения
£>2 в D\ удалением линии, е = 1/2, если присоединяемая линия закоро-
закороченная, и е = 1 в остальных случаях. Приведем примеры: пусть D\ -
цепочка из га- 1 звеньев, £>2 - m-угольник, получаемый соединением
линией концов цепочки, тогда N[D\ —> D2] = 1, Лг[1>2 —> Di] = "*. Еще
один пример: D\ - треугольник, Do - треугольник, одна из сторон ко-
которого сдвоена. Тогда N[Di -> D2] = 3, N[Do -> D\] — 2. В обоих
примерах е = 1.
138 Глава 2. Функциональная и диаграммная техника
Среди графов B0) есть как связные, так и несвязные. Связной
частью имеющего диаграммное представление функционала называют
сумму вкладов всех его связных диаграмм со своими коэффициентами,
т.е. при отборе связной части отбрасываются все несвязные графики и
вклады типа единицы. Для функционала A9) справедливо следующее
утверждение:
In H{ip) = связ.ч. Н((р) . B7)
Фактически это утверждение о коэффициентах при несвязных диаграм-
диаграммах: каждая из них Задается перечислением набора независимых связ-
связных компонент Da и кратностью повторяемости та каждой из них, а
B7) означает, что коэффициент при несвязной диаграмме равен про-
произведению коэффициентов Са всех ее связных компонент (что дает
Па (Са)та), деленному на произведение множителей та!. Это утвер-
утверждение, а с ним и B7), доказывается с помощью соотношения B3) пу-
путем анализа группы симметрии несвязной диаграммы. Более простое
доказательство, не требующее информации о симметрийных коэффици-
коэффициентах, будет приведено в п. 12.
Дополнительные замечания:
1. Из B4) видно, что все диаграммы с закороченными линиями в B0)
можно исключить, заменив в вершинных множителях B1) остальных
диаграмм исходный функционал взаимодействия V((p) приведенным
функционалом взаимодействия V*(ip) = PV(<p)- *
2. Если V - полином по <р, то лишь несколько первых множителей
B1) отличны от нуля, соответственно сокращается число диаграмм.
3. В рассмотренной технике вершине, к которой присоединяется т
линий, соответствует множитель B1) cm независимыми аргументами
х. Но если V локален, т.е. представим однократным интегралом по х
от некоторой функции поля и его производных в точке х (что обычно),
то множители B1) будут содержать J-функции совпадения всех своих
аргументов х, и тогда вершине будет соответствовать фактически один
аргумент х.
В заключение сформулируем кратко основные правила универсаль-
универсальной диаграммной техники:
'В квантовой теории поля V(<p) представляет Sym-форму квантового оператора
взаимодействия V, a Vt(ip) представляет его iV-форму. т.е. V — SymV(<?) = NVm(v),
где (fi — оператор свободного поля, Sym — знак симметризованного, а N — нормального
произведения таких полей. В изложении [35] считается, что взаимодействие всегда
записывается со знаком N, т.е. первичным объектом считается Vm(ip), а не V(ip).
Это позволяет не рассматривать диаграммы с закороченными линиями.
п.З Диаграммные представления функций Грина 139
Правило 1. Любой функционал вида PexpV(<p) с Р = Pv из A4)
представляется в виде суммы единицы и всех свободных графов с сим-
метрийными коэффициентами B3), линией Д и вершинными множите-
множителями B1).
Правило 2. Пусть vn(xi .. .хп) - заданный набор не зависящих от
(р симметричных функций, vn(p" = f .. ■ f dxi.. .dxn vn(xi.. .xn) x
<p(xi) .. .(p(xn). Интеграл G, определенный следующим образом:
G = cfDtp exp f^ vnVn/n\ , с = [Dp exp [ v2p2/2 ] , B8)
. n=0
представляется в виде суммы единицы и всех свободных графов с сим-
метрийнымн коэффициентами B3), линией Д = — v^1 и вершинными
множителями vn с п ф 2. Это следует из правила 1 и представления
G = Р ехр
£
B9)
получаемого из B8) с помощью A8). Отметим, что часть квадратич-
квадратичного вклада Vz<p2 можно, при желании, отнести к взаимодействию, из-
изменив соответственно линию Д и нормировочный множитель с в B8).
Правило 3. Логарифмирование рассматриваемых объектов эквива-
эквивалентно отбору их связных частей.
д.З Диаграммные представления функций Грина. Введенные
в п.1.10 производящие функционалы нормированных полных (G(A)) и
соответствующих связных (И^(Л)) функций Грина на языке функцио-
функциональных интегралов представляются формулами п.1.13. Удобнее рабо-
работать с ненормированными функциями Грина, определив их производя-
производящие функционалы (обозначения G и W не меняем) в отсутствии спон-
спонтанного нарушения симметрии (о нем в п.4) соотношениями
G{A) = exp W(A) = cfDip exp [S(<p) + A<p] C0)
с произвольным функционалом действия A3) и константой с из A6).
Пространство интегрирования в C0) определяется по функционалу дей-
действия общими правилами п.1.13. Различие между функционалами C0)
и A.62) лишь в нормировке: в A.62) интеграл нормировался делением
на точную статсумму Z, а в C0) - на невозмущенную (свободную) Zo.
Поэтому функционал G(A) из C0) отличается от A.62) лишь дополни-
дополнительным числовым множителем Go = G@) = Z/Zq, а в его логарифме
140 Глава 2. Функциональная и диаграммная техника
W(A) появляется дополнительное слагаемое Wo = W(Q) = ln[Z/Z0],
которого не было в A.43). Все прочие коэффициенты Wn с п > 1 тэй-
лоровского разложения по А функционалов 1У(Л) из C0) и A.43) совпа-
совпадают и имеют смысл связных функций Грина рассматриваемой модели
(п. 1.10). Определяемые производящим функционалом C0) ненормиро-
ненормированные полные функции Грина отличаются от нормированных полных
функций A.33) лишь дополнительным множителем Go = Z/Zo-
Интеграл в C0) практически можно вычислять лишь в форме той
или иной теории возмущений, в простейшем случае, - по степеням взаи-
взаимодействия V из A3). Строго говоря, любая теория возмущений может
считаться хорошей лишь тогда, когда возмущение несущественно при
определении по правилам п.1.13 пространства интегрирования в C0).
На практике это часто не так: например, присутствие в V вклада одно-
однородного внешнего поля h приводит к сдвигу равновесного среднего (ро,
определяющего (условием <р(оо) — <р0) пространство интегрирования. В
таких случаях для внутренней самосогласованности при использовании
теории возмущений следует считать, что пространство интегрирования
определяется не точной, а невозмущенной задачей, в частности, свобод-
свободным действием So для теории возмущений по V. Это и будем иметь в
виду, оправдывая возможность использования формул типа A7), A8).
Определяемые по действию A3) функционалы A9) и C0) просто свя-
связаны между собой. Действительно, из соотношений A3), A8) и C0)
имеем
G(A) = Р exp [V(<p) + Ар] \v=0 . C1)
Подставив сюда Р = Pv в форме A4) и пронеся ехрЛу? через Р по
правилу (9), с учетом симметричности Д получим:
G(A) = { exp [ААА/2 + ААF/6<р)] } Р exp V(<p) \v=0 .
Отсюда при учете A1) и A9) находим искомую связь:
G(A) = Н(АА) ехр [ААА/2] , C2)
где АА в аргументе Н - свертка типа B).
Диаграммные представления функционалов C0), C1) определяются
общими правилами п.2: из сопоставления выражений C1) и B9) сле-
следует, что для произвольного действия A3) роль линии в диаграммах
играет Д = К~х, а вершинными множителями в обозначениях B1),
B8) являются величины
vl = А + Vi \v-0 = A + h , vn - Vn \v=0 для п ф 1 . C3)
п.З Диаграммные представления функций Грина 141
Мы опустили аргументы х и обозначили через h коэффициент при ip в
Рассмотрим подробнее в качестве примера модель A.63). При записи
ее функционала действия в форме A3) имеем
= (Р + т)-1 , V(<p) = fdx[-g^(x)/24 + h^(x)}. C4)
Пропагатор Д приведен в импульсном представлении, координатное
ядро А(х,х') определяется по А(к) соотношением A.35а). В диаграм-
диаграммах функционала 5-матрицы A9) вершинные множители B1) для вза-
взаимодействия C4) следующие: Vi(x;<p) = h — g<p3(x)/6; V2{x\, x2; ф) =
2lxz;vi) = -gip(xiN(xi - x2)S(x2 - x3);
х2N(х2 - x3)S(x3 - ж4), и Vn = 0 Vn > 4.
Диаграммы функционалов C0) определяются правилами 2,3 в п.2, ли-
линия Д(ж, х') в них будет та же, что и в диаграммах Н, а из вершинных
множителей C3) отличны от нуля лишь
vi(x) = h+A(x), v4(xi ...x4) = -gS(xi-x2)S(x2-x3)S(x3-x4) , C5)
т.е. в диаграммах будут лишь "одноконцовые" и "четырехконцовые"
вершины. Последним ввиду локальности взаимодействия соответствует
фактически один аргумент х и множитель —д, число таких множителей
- порядок теории возмущений. По правилу 3 в п.2 переход от G к W в
C0) соответствует отбору связных диаграмм. Приведем для иллюстра-
иллюстрации все диаграммы W(A) порядка 1, д, д2 :
+ 1 XJL + |
W(A) = In СИ) = i— + 1 XJL + | ОО + h
Коэффициенты определяются формулой B3), для пояснения укажем сим-
метрийное число s всех графиков C6) в порядке следования: s = 2, 2,1, 24
2,2,2,2,8,2,6,72. По общим правилам п.2 для каждого из графиков
142
Глава 2. Функциональная и диаграммная техника
легко написать соответствующее аналитическое выражение, напри-
например, для второго графика C6) без коэффициента это будет
(-g)fffdxdx'dx" v1(x)A(x,x')A{x',x')A(x',x")v1(x") с щ из C5).
При переходе от функционала W( А) к отдельным связным функциям
Wn(xi.. .хп) = 8п W(A)/SA(x\)...SA(xn) |А=о вариационному диффе-
дифференцированию по А(х) соответствует графически "отрыв" вершинного
множителя vi(x) всеми возможными способами. При этом конец при-
присоединяющейся к данной вершине V\ линии Д становится свободным, а
его координата х - одним из аргументов функции Wn. Эти соображе-
соображения позволяют получать диаграммные разложения любой из функций
Wn по диаграммам C6) функционала И^(Л). Проще всего это делается
при нулевом внешнем поле h, тогда v\[x) = А(х), и функции Wn соот-
соответствуют диаграммы C6) с п одноконцовыми вершинами; из сопоста-
сопоставления с аналогичным A.43) разложением И^А) ясно, что при переходе
к Wn коэффициенты C6) умножаются на п\. Таким образом, при h = О
из C6) получаем:
W-, = 2!
= 4!
а ООО
оо
24 /\ + 16 /\_/\ + 12
о.
C7)
и так далее. Наружным концам внешних линий соответствуют теперь
свободные аргументы х функций Wn(x\ .. .х„), по ним всегда подразу-
подразумевается полная симметризация. Поясним примером: вклад в функцию
W^{xi ...X4) второй диаграммы C7) без коэффициента равен (— gJ x
Sym f J dxdx'A(x1,x)A(x2, х)А2(х,х')А(х',хз)А(х',х4), где Sym обо-
обозначает полную симметризацию по перестановкам х\ .. .х±.
п.4 Диаграммная техника при спонтанном нарушении симметрии 143
Графики Wo, не имеющие свободных аргументов ж, называют ваку-
вакуумными петлями (и при h ф 0). Переход к нормированным функцио-
функционалам A.41), A-43) соответствует в C0) отбрасыванию вклада Wq для
И^(Л) и делению на Go = G@) для G(A), а на языке диаграмм - отбра-
отбрасыванию всех вакуумных петель W(A) и всех графиков G(A), имеющих
хотя бы одну такую петлю в качестве связной компоненты.
п.4 Диаграммная техника при спонтанном нарушении сим-
симметрии (г < 0). Описанная в п.З диаграммная техника для модели
A.63) соответствует простой теории возмущений по степеням д и имеет
смысл лишь при т > 0, когда невозмущенная система с д — 0 стабильна,
а пропагатор C4) положительно определен. Эти свойства нарушаются
при т < 0, поскольку максимум действия A.63), соответствующий ми-
минимуму энергии в теории Ландау (п. 1.13), для h — 0 и г < 0 дости-
достигается не при (р(х) = 0, как в случае т > 0, а при р(х) = ки, где
и = \/—&т/д, /с = ±1. Неоднозначность - следствие симметрии (р —¥ —р
при h = 0. Параметр к нумерует эквивалентные при h = 0 минимумы
энергии, т.е. "чистые фазы" в термодинамике (п.1.11). Теорию возму-
возмущений можно строить для любой из них, определив в соответствии с
общими правилами (п.п.З и 1.13) аналогичные C0) функционалы для
фазы к соотношением
GK{A) = exp WK(A) = с fD<pexp[S(<p)+A<p]
с новой нормировочной константой с (определение A6) при т < 0 в So
теряет смысл), выбор которой уточняется ниже. Сейчас мы говорим о
простой <£>4-модели и определяем пространство интегрирования в C8)
по действию с h = 0 (см. текст после формулы C0)), что указано явно
условием на <р под знаком интеграла.
Заменой <р(х) = Щх) + ки в интеграле C8) получаем
GK(A) = с fDp exp [5K(9?) + A(Jp + ки)] ,
5«(^)= S(<f + Ku) = So(v)+ VK(P) , D0)
к S'o относятся все квадратичные по 1р вклады (ввиду симметрии So
от к не зависит), а к VK - все остальное. В отличие от исходного So,
новый функционал So знакоопределен (поскольку соответствует мини-
минимуму энергии), по нему и определяется обычным соотношением A6)
константа с в C8).
144 Глава 2. Функциональная я диаграммная техника.
Сингулярные при g —¥ 0 вклады S(ku) + Aku в показателе экспо-
экспоненты в C9) выделяются за знак интеграла в виде множителя. После
этого остается взаимодействие обычного типа с формально малыми по
g константами связи (порядка g для ТрА и gu ~ у/д для р3), к нему
применима вся стандартная техника п.З.
Как общая схема изложенный выше формализм пригоден для любых
систем со спонтанным нарушением симметрии, при этом смысл нуме-
нумерующего чистые фазы параметра к зависит от задачи: для простой р4-
модели A.63) к = ±1, для ее 0„-обобщения к — е = {ea} - единичный
вектор направления спонтанной намагниченности, и т.п..
Существенным отличием моделей со спонтанным нарушением не-
непрерывной группы симметрии является наличие при h = 0 и любом
т < 0 безмассовых голдстоуновских мод (п. 1.11), для 0„-<£>4-модели со-
соответствующих поперечным к вектору е компонентам поля <р = {<ра}-
Если параметр сдвига и определять, как это было сделано выше, по
действию с h = 0, а потом рассматривать диаграммы теории возмуще-
возмущений с h ф 0, то из-за безмассовости голдстоуновских мод в диаграммах
появятся ИК-расходимости на малых импульсах (в простой у>4-модели
с п = 1 этой проблемы нет). Для их исключения параметр сдвига
fa = иеа + ра При наличии внешнего поля ha = hea следует находить
из условия стационарности полного действия с учетом h. Для О„-у>4-
модели параметр и и новые т после сдвига для одной продольной и п — 1
поперечных составляющих р будут тогда определяться соотношениями
ти+ди3/6 = h, Гц = -2r + 3h/u, tl = h/u , D1)
где и > 0 - корень первого уравнения D1) с исходным г < 0. соот-
соответствующий абсолютному минимуму энергии с учетом h. При таком
определении параметра сдвига поперечные моды при h■ ф 0 оказываются
массивными (гх = h/u > 0), поэтому ИК-расходимости диаграмм исче-
исчезают. Но они оставляют след в виде голдстоуновских сингулярностей
при h —¥ 0, которые будут подробно обсуждаться в главе 4.
При h = 0 все нумеруемые вектором к = е фазы становятся пол-
полностью равноправными, симметрия задачи сохраняется лишь в форме
WK'(A') = WK(A) и оказывается спонтанно нарушенной в каждом кон-
конкретном решении с фиксированным к. К этим вопросам мы еще вер-
вернемся в п.12.
д.5 1-неприводимые функции Грина. Пусть W(A, h) - функци-
функционал W из C0) для задачи с внешним полем h, которое входит в дей-
действие так, что W(A,h) = W(A + h,Q) (это обычно). Тогда теорию с
п.5 1-иеприводимые функция Грина 145
внешним полем можно изучать по функционалу W(A, 0) = W(A) тео-
теории без поля, просто считая в окончательных формулах сам источник
А (после выполнения дифференцирований по нему) заданным внешним
полем. В частности, величины
Wn = DA W{A) , DA = S/SA D2)
(нужные аргументы х всегда подразумеваются) при п > 0 имеют то-
тогда смысл связных функций Грина теории с внешним полем А, а само
значение И^(Л) есть ln[Z/Z0] (см. п.З) для этой теории.
Пусть Г(а) - определенное в п.1.11 преобразование Лежандра И^(Л)
по А. Напомним, что аи А- взаимно сопряженные переменные, подобно
парам температура - энтропия, давление - объем и т.п. в термодина-
термодинамике, по смыслу а(х) =< <р(х) >= W\{x;A) - первая связная функция
D2) (намагниченность для магнетика). Для Г независимой переменной
считается а, а величины
Г„ = Dna Г(а) , Da = S/Sa D3)
суть, по определению, 1-неприводимые (иногда их называют вершин-
вершинными или сильносвязными) функции Грина теории с данным значением
а. Подчеркнем, что в D2) и D3) речь идет о функциях Грина одной те-
теории, хотя они выражены в разных переменных: для Wn естественной
является переменная А, а для Г„ - а, при этом а = с*(А) и обратно,
независимой можно считать, по желанию, любую из этих двух перемен-
переменных.
Основные соотношения п. 1.11 в обозначениях D2), D3) можно запи-
записать в виде
Г(а) = W(A) -aA, Wx = а , Тг =-А , F2W2 = -1 , D4)
г." •
последнее равенство матричное' : левая часть - произведение линей-
линейных операций с ядрами Гг, Wr2, а правая кратна единичной операции,
подробная запись в A.52). Соотношения D4) позволяют выразить связ-
связные функции D2) через 1-неприводимые D3) и наоборот. Пусть, на-
например, мы хотим выразить Wn{A) (аргументы х\ .. .хп подразумева-
подразумеваются) через а и Г(а). Для двух первых связных функций ответ со-
содержится в D4): Wi = a, W? = — Г^1, по смыслу W% = D - пол-
полный пропагатпор (квантовополевой синоним термина "коррелятор") со-
согласно A.44). Для получения следующих Wn нужно воспользоваться
вытекающим из D2) рекуррентным соотношением И^г+i = DAjyn, вы-
выразив в нем с помощью D4) операцию DA = 6/SA в переменных а:
146
Глава 2. Функциональная и диаграммная техника
DA = [DAa]Da = W?Da — —Г2 1Da, ответ понимается, согласно B), как
действие линейной операции Го 1 на вектор Da. Из полученных равенств
находим W3 = DAW2 = [-Г^О^-Г^1] = [-Г^1]3^. При выводе ис-
использовано определение D3) и следующее правило дифференцирования
обратной матрицы (операции): D^M] = — M~1[DaM]M~1, равен-
равенство матричное. Подействовав еще раз операцией DA = — Г^Б^ на
полученное выражение для И'з, найдем искомое представление для W^
и так далее. Результаты удобно изобразить графически, что одновре-
одновременно позволяет уточнить расположение опускавшихся ранее повсюду
аргументов х:
W& =
W4 =
+ ю
D5)
и так далее. Жирным линиям соответствует полный пропагатор (кор-
(коррелятор) D = Wo = —FJ , внутренним кружкам - 1-неприводимые
функции D3) с п > 3, точкам соединения кружков и линий - пере-
переменные интегрирования х, а наружным концам внешних линий - сво-
свободные аргументы х функций Wn. Поясним примером: 1^A,2,3,4) =
Sym f...fdl'd2'ca'd4' D(l,l')DB,2')D{Z,Z')DD,4') [Г4A', 2', 3',4') +
+3//^5^бТзA',2/,5/)£>E/,6/)ГзF/,3/,4/)], где D = W2, аргументы
Xi,x'; обозначены для краткости через г,»', a Sym - симметризация по
перестановкам 1...4. Отметим, что коэффициенты 3,10,15 в D5) совпа-
совпадают с числом перестановок, необходимых для полной симметризации
соответствующего вклада D5) при учете симметричности функций Г„.
Отметим также, что в теории поля используется еще и понятие ам-
ампутированных функций Грина: это величины, получаемые из связных
функций D5) удалением наружных линий D.
Задачей теории является вычисление статсуммы и функций Wn no
заданному действию S и внешнему полю А. При известном Г (а) ре-
решение строится (п.1.11) следующим образом: искомое среднее значение
поля а =< ф >= Wi находится по заданному А из уравнения Т\(а) =
—А, эквивалентного условию стационарности функционала A.56). Его
значение в точке стационарности а(А) определяет величину И^(А) =
ln[Z/Zo], высшие производные Г по а в этой точке суть функции D3) с
п > 2, по ним из D4) находится полный пропагатор D = W-> = — Г71,
п.6 Диаграммные представления Г(а) и функций Г„ 147
а из D5) - все следующие функции Wn. Эта процедура пригодна и при
спонтанном нарушении симметрии, в этом случае решение вариацион-
вариационной задачи неоднозначно (п. 1.11).
п.6 Диаграммные представления Г (а) и функций Гп. По из-
известному (п.З) диаграммному представлению W(A) и определениям п.5
для любой модели можно явно строить соответствующее диаграммное
разложение Г (а). Но эта прямая процедура сложна, так как требует
графического итерационного решения уравнения a = W\ (А) =
SW(A)/SA относительно А. Есть гораздо более простой способ постро-
построения диаграмм Г по диаграммам W, который мы сейчас изложим.
Определение: 1-неприводимым называется связный граф, остающий-
остающийся связным при разрыве в нем любой одной линии, а 1-н.частпъю функцио
нала - сумма вкладов всех его 1-неприводимых графов со своими коэф-
коэффициентами, приводимые отбрасываются. Ранее функции D3) просто
назывались 1-неприводимыми, а сейчас мы убедимся, что их диаграммы
действительно обладают этим свойством.
Рассмотрим произвольную модель A3) без линейного по (р вклада
во взаимодействии (h = 0). Прежде всего, вычислим функционалы W, Г
в нулевом приближении по V. Интеграл C0) для S = So = —<рК(р/2
гауссов, его вычисление по правилу A) дает И^(Л) = ААА/2 с Д =
А', для него по определениям п.5 легко находится соответствующий
функционал Г(а) = —аД-1а/2 = 5о(о), все это квадратичные формы
типа C). Выделив эти нулевые приближения из W и Г, напишем
W(A) = ААА/2+W(A) , Г(а) = -аА~1а/2 + Г(о) , D6)
где добавки W, Г содержат лишь нетривиальные графы с вершинами
взаимодействия. Основное утверждение, полностью характеризующее
диаграммы Г, формулируется следующим образом:
Г (о) = 1-н. часть W(A = Д-1а) . D7)
Поясним его. Согласно C3), при h = 0 аргумент А играет роль вер-
вершинного множителя i>i одноконцовых вершин в диаграммах И^Л), и
поэтому всегда входит в комбинации АА (свертка типа B)), где Д -
линия, присоединяющаяся к одноконцовой вершине. Условимся изобра-
изображать независимый для Г аргумент а ''хвостиком". При указанной в D7)
замене комбинация АА переходит в а, т.е. графически линии с точками
на конце в диаграммах типа C6) переходят в хвостики а, присоеди-
присоединяющиеся непосредственно к вершинам взаимодействия (исключение -
первый график C6),который поэтому и выделен в D6), остальные соста-
составляют М'(Л)). Среди получаемых таким путем графиков W(A = Д-1а)
148 Глава 2. Функциональная и диаграммная техника
будут как 1-неприводимые, так и приводимые. Согласно D7), послед-
последние нужно отбросить, а первые оставить со своими коэффициентами, -
это и даст Г. Например, для у>4-модели из C6), D6) и D7) получаем
D8)
1-приводимые вклады после замены АА —>• а порождают лишь три по-
последних графика C6). Поясним смысл вкладов D8) двумя примерами:
={-g)fdxa*{x), w-Q^ = (-gff Jdxdx'a(x)A3(x,x')a(x'):
Приведем короткое доказательство утверждения D7) [53]. Считая
независимой переменной а, из D4) и D6) имеем А = —Ti = —ST/Sa =
Д-1а — Fi, где Fi = ST/Sa состоит только из нетривиальных графиков
с вершинами взаимодействия (поскольку тривиальное слагаемое в D6)
выделено). Выразив А таким образом через а и подставив это выраже-
выражение вместе с D6) в основное определение Г = W — aA, после сокращений
получим равенство Г = W+Ti AFi/2. Все графики второго слагаемого в
правой части ввиду нетривиальности блоков Т\ заведомо 1-приводимы,
поэтому при отборе -н. части" в полученном выше равенстве полу-
получаем: 1-н.ч. f(a) =1-н.ч. W{A(a)), где А(а) = А~1а-Тг. Аргумент
А входит в графики W(A) лишь в комбинации А А (см. выше), и при
замене А = А(а) получаем АА = Д [Д-1а — Fi] = а — ДГ^. Учет
вклада ДГ1 в графиках И^(Л(а)) приводит к заведомо 1-приводимым
диаграммам с нетривиальным блоком Fi, соединенным одной линией
Д с остальной частью графика, поэтому при отборе -н. части" его
можно опустить: 1-н.ч. Г(а) =1-н.ч. W(A = Д"а).
Это есть "половина" утверждения D7), вторая получается из урав-
уравнений движения для Г, которые будут рассмотрены позднее в п.п.11,12.
Будет показано (п.12), что итерациями этих уравнений можно постро-
построить все графики Г (а), и при этом самоочевидна 1-неприводимость всех
п.6 Диаграммные представления Г(а) и функций Г„ 149
получаемых при итерациях графиков, что эквивалентно равенству
1-н.ч.Г(а) = Г(а). Все это вместе и есть доказательство утверждения
D7).
Из соотношений C2),B7),D6) и D7) следует:
W(A) = In H(AA) = св.ч. Н(АА) , f (а) = 1-н.ч. Я(а) , D9)
где Н - функционал 5-матрицы A9). Отметим, что отбор -н.части"
во втором равенстве D9) автоматически (по определению 1-неприводи-
мости) включает предварительный отбор связной части.
При переходе к функциям D3) операции Da соответствует графи-
графически отрыв хвостика а всеми возможными способами. Для теории с
данным А функции D3) берутся в точке стационарности с*(А). Для
четного по а функционала Г в отсутствие спонтанного нарушения сим-
симметрии сс@) = 0, и тогда Тп ~ просто коэффициенты разложения Г(а)
в нуле по а. В частности, для у>4-модели при нулевом внешнем поле
(А = 0) и г > 0 из D8) получаем:
E0)
Г4 = X + I "
В отличие от графиков C7), внешним линиям в графиках E0) не сопо-
сопоставляются пропагаторы Д, - эти линии просто указывают места при-
присоединения оторванных хвостиков а, а координаты х соответствующих
вершин - аргументы функций Тп ■ Отрыв двух хвостиков от одной вер-
вершины приводит к появлению J-функции совпадения соответствующих
аргументов х. В подробной записи вклады трех графиков E0) без коэф-
коэффициентов в функцию Г2(х, х') имеютылд(—дN(х—х')А(х,х), (—дJ8(х—
х') /dx"A2(x, х")А(х", х") и (-дJА3(х,х'), а для Г4(ж1 .. .ж4) первый
вклад есть v$ из C5), а второму соответствует (—gJSym[S(xi—X2)S(x3—
x4)A2(xi,x3)].
Равенство D~l — A~l — S для полного пропагатора D = И^ опреде-
определяет величину S, называемую собственной энергией. Из D4) и D6)
D~x =-Г2 = Д-^-Е, £ = f2 = <J2f(a)/<Ja<fo, E1)
что доказывает 1-неприводимость графиков S(a) (но если выразить
а через А, то при А ф 0 неприводимость нарушится). Из E1) имеем
150 Глава 2. Функциональная и диаграммная техника
D = [Д~г - S]~2 = Д + ДЕД + ДЕДЕД + ..., графически
где линия обозначает Д, а блок - S. Соотношение E1) и его эквивалент
D = Д + ДЕ.0 обычно называют уравнениями Дайсона.
Изложенная техника соответствует простой теории возмущений, при-
пригодной лишь для т > 0. При спонтанном нарушении симметрии (г < 0)
можно исходить из модифицированной диаграммной техники для функ-
функционалов WK(A) из C8). В соответствии с общей идеологией вариацион-
вариационного принципа (п. 1.11) преобразование Лежандра Г будет одинаковым
для всех WK(A), т.е. Г не будет зависеть от к: на языке Г параметр к
нумерует разные решения уравнения стационарности, а сам функцио-
функционал Т(а) однозначен. Наиболее удобной практически диаграммной тех-
техникой для Г при наличии спонтанного нарушения симметрии является
петлевое разложение, которое будет рассмотрено в п.9.
■ Приведем в заключение полезное простое правило подсчета симме-
трийных коэффициентов при графиках типа E0) для произвольного мо-
номиального взаимодействия V = —g<pN/Nl. Всем вершинам в этих
графиках сопоставляется тогда множитель —д, а коэффициент С для
произвольной диаграммы Г„ можно найти по формуле
С = п!.С„.П„A/па!). E3)
Индекс а нумерует наружные вершины диаграммы, па - число выходя-
выходящих из вершины а внешних линий, а Сн - симметрийный коэффициент
B3) "редуцированной диаграммы" функционала Н(<р), получаемой мы-
мысленным удалением всех внешних линий из исходного графика Г,,. Пра-
Правило E3) следует из D9) при учете явного вида вершинных множителей
B1) для рассматриваемого взаимодействия (именно от них происходят
множители \/па\ в E3), Yln" = п)-
Правило E3) очевидным образом обобщается на мономиальные вза-
взаимодействия типа V = —gltpf1 /Nil)(tp/N2I) ■ ■ ■ ■ для многокомпонент-
многокомпонентного поля (р = {tpi, tp2, ■ ■ •}• Для полиномиальных взаимодействий с
несколькими мономами (например, д4(р4/4! + дб*р6/6!) правило E3) сле-
следует модифицировать введением учитывающего "перекрестность" до-
дополнительного комбинаторного множителя. В приведенном примере
этот множитель есть (v4 + Vgj'./v^vg!, где V4,6 ~ числа вершин #4,б в
рассматриваемой диаграмме.
я. 7 Переход к импульсному представлению 151
д. 7 Переход к импульсному представлению. Диаграммы вычи-
вычисляются обычно в импульсном представлении, поэтому изложим кратко
общеупотребительные правила перехода от координатного представле-
представления к импульсному. Под х в этом разделе понимаются только rf-мерные
пространственные координаты, дискретные индексы у всех функций
Грина при их наличии у (р всюду подразумеваются.
При однородном (в частности, нулевом) внешнем поле все функции
Грина трансляционно-инвариантны (мы не будем касаться задач типа
перехода жидкость - твердое тело со спонтанным нарушением этой сим-
симметрии), т.е. зависят лишь от разностей координат х. Для объектов
типа A, D = Wi, Г 2 преобразование Фурье определяется тогда соотно-
соотношением A.35). В общем случае фурье-образы таких функций
Fn(pi-.-Pn) — J ...Jdxi...dxn Fn{x1...xn)exp[-i'^Jpsxs] E4)
s
содержат d-мерный J-символ сохранения импульсов:
Fn(Pi ■ ■ -Pn) = C2*)d S[ Y,Ps } Fnp (Pi ...pn). E5)
Здесь Fnp - функция на многообразии YlPs — 0> дополнительным ин-
индексом "р" мы отличаем ее от координатной Fn в E4). Множитель
B-ir)d в E5) выделяется для удобства: при такой нормировке фурье-
образ A.356) функции F2{x,x') совпадает с F2p(k,—k), а вершинному
множителю V4 в C5) соответствует v±p = —g без добавочных коэффи-
коэффициентов. Из E5) и E4) следует, что
Fnp(pi.--Pn) = / ...Jdxi. ..dxn^ Fn(xi .. .a:n)exp [~iJ2spsxs] E6)
без одной
с интегрированием по всем координатам, кроме любой одной (при YlPs —
О от выбора исключенной координаты ответ не зависит). Фурье-образы
E4) связных или 1-неприводимых функций Грина содержат лишь один
J-символ сохранения импульсов, поэтому в соответствующих функциях
Fnp таких (^-символов уже не будет.
Формулы E4) - E6) относятся к случаю п > 1. Для констант FQ типа
связных вакуумных петель (п.З) из каждой диаграммы в трансляционно-
ин вариантных моделях естественно выделяется бесконечный "объем си-
системы" f dx = B7r)dS@). Коэффициент FOp при нем будет точным ана-
аналогом прочих Fnp, т.е. для п = 0 вместо E5) полагаем Fo = FOp f dx.
152 Глава 2. Функциональная и диаграммная техника
При таких определениях для любого п > 0 канонические размерности
введенных функций связаны соотношениями
d[Fn(pi-..Pn)] = d[Fnp(Pl...Pn)]-d = d[Fn{x1...xn)]-nd. E7)
Общие правила перехода к импульсному представлению в диаграм-
диаграммах поясним на примере у>4-модели. Пусть Fn - координатное пред-
представление отдельной диаграммы связной или 1-неприводимой функции
Грина, ее фурье-образ Fn и величина Fnp определены соотношениями
E4), E5), аргументы р называют внешними импульсами, Y2Ps = О-
Явное выражение для Fnp строится по следующим правилам: 1) каж-
каждой линии Д приписывается независимый rf-мерный импульс интег-
интегрирования к, стрелкой указывается (произвольно) его направление;
2) внешние импульсы р3 считаются втекающими в диаграмму в точках
размещения соответствующих свободных координат xs (для диаграмм
C7) это концы внешних линий Д, а для диаграмм E0) импульсы ps вте-
втекают прямо в вершины взаимодействия); 3) каждой вершине, включая
концы внешних линий в C7), сопоставляется J-функция сохранения им-
импульсов: "сумма втекающих = сумме вытекающих"; выделяющаяся при
этом S(J2Ps) отбрасывается, поскольку вычисляется аналогичная Fnp
в E5) величина; 4) каждой линии Д с импульсом к, сопоставляется
множитель A(ki) с &(к) из C4) (в общем случае - фурье-образ A.356)
координатной линии А(х, х')), а каждой вершине взаимодействия - мно-
множитель —</; 5) по всем rf-мерным векторам к{ производится интегриро-
интегрирование, перед интегралом ставится коэффициент Bтг)~л, где / - число
петель, т.е. независимых импульсов интегрирования в диаграмме;
6) полученный ответ полностью симметризуется по всем перестановкам
внешних импульсов р.
При наличии дискретных индексов у полей в линиях и вершинах
диаграмм появляются дополнительные индексные структуры (см. при-
пример 0„-у4-модели в п.10), и симметризация тогда производится по од-
одновременным перестановкам внешних импульсов и соответствующих
индексов.
Поясним правило 5: J-функции сохранения импульсов в вершинах
снимают часть интегрирований по &,• (в частности, сохранение импульса
в наружных одноконцовых вершинах диаграмм C7) приводит к замене
к —¥ р во внешних линиях Д). По определению, / есть число оста-
остающихся независимых импульсов интегрирования. Для связной или 1-
неприводимой диаграммы "число петель / = число линий минус число
вершин (включая концы внешних линий для связных диаграмм C7))
плюс единица", последнее потому, что одна &(YlPs) выделяется мно-
п.7 Переход к импульсному представлению
153
жителем. Приведенный в правиле 5 коэффициент собирается из всех
множителей 2тг от преобразований Фурье и из E5).
Направление внешних импульсов можно произвольно менять, считая
часть из них втекающими в диаграмму, а другие - вытекающими. Это
соответствует изменению знаков в соотношениях E4)-E6), что нужно,
конечно, учитывать при определении симметризации по внешним им-
импульсам. Для объектов типа W2,T2 и т.п. функцию ^2р(р, —р) обычно
обозначают просто F2(p), она совпадает с фурье-образом из A.35). При
наличии однородного внешнего поля h в диаграммах Wn появляются
одноконцовые вершины с множителями vi(x) = h (п.З). В них втекают
нулевые импульсы ввиду однородности h, поэтому нулевыми будут им-
импульсы соответствующих внешних линий Д. В диаграммах Г„(а) с од-
однородным а (ж) = const по соответствующим "хвостикам" (п.6) также
втекают нулевые внешние импульсы.
Приведем для иллюстрации вклады в функции Г„р диаграмм E0),
поясняя выбор расстановки и направлений всех импульсов:
= (-g)Bir)-dfdk A(k)
p-k-q
* =
/ fdkdq A2(k)A(q) ,
E8)
= {-gJ{1iv)-2djjdkdqA(k)A(q)A{p-k-q), E9)
F0)
Рг
A{k)A{Pl +p2 + k) . F1)
Все переменные d-мерные, A(&) = (к2 + т)~г, Sym в F1) "обозначает
обычную симметризацию по перестановкам рг .. .р±. В диаграммах Г„
внешние линии указывают лишь места втекания импульсов ps, а при
переходе к диаграммам связных функций C7) появятся дополнительные
множители A[ps) от каждой внешней линии.
154 Глава 2. Функциональная и диаграммная техника
п.8 Метод стационарной фазы, петлевое разложение
Рассмотрим процедуру вычисления интеграла C0) с действием A3) ме-
методом стационарной фазы. В этом методе ищется точка стационарности
ф показателя интегрируемой экспоненты, у нас - функционала S(p) +
А<р. Соответствующее уравнение стационарности —Кф + 8У(ф)/8ф +
.4 = 0 после сворачивания сД = К~1 принимает вид
ф = Л[А + V,] , где Vn = Уп(ф) = 8пУ(ф)/8фп , F2)
аргументы х в аналогичных B1) величинах Уп{ф) подразумеваются.
Итерационное решение уравнения F2) представляет ф = ф(х;А) беско-
бесконечным рядом беспетлевых диаграмм, которые принято называть дере-
деревьями. Например, для у?4-модели
с линиями Д и вершинными множителями C5). Координата х свобод-
свободного конца левой линии А является аргументом ф(х).
Сделаем сдвиг р —¥ р+ф переменной интегрирования в C0) и затем
разложим показатель 8(<р+ф)+А(<р+ф) в функциональный ряд Тейлора
по новой переменной ip (обозначения B8),F2)):
Ф) + А(<р + ф) =
(8{Ф) + Аф при п = 0
0 при п = 1
-A~l+V2 при га = 2
Vn при п > 2
F4)
аргументы х и нужные интегрирования по ним всюду подразумеваются.
Вклад с п = 1 в сумме F4) отсутствует в силу условия стационарности
Щ =0.
Конфигурации ip в исходном интеграле C0) флуктуируют вблизи ф
(п.1.13), поэтому новая переменная >р после сдвига флуктуирует вблизи
нуля, т.е. для нее всегда <р(оо) = 0.
Таким образом, мы получили для интеграла C0) представление
G(A) = exp W(A) = cfDtp exp [ ^г7„^"/п! ] F5)
п.8 Метод стационарной фазы, петлевое разложение W(A)
155
с интегрированием по убывающим на бесконечности полям (р. Инте-
Интеграл F5) подобен B8), но имеет "неправильную" нормировку: согласно
B8) правильный множитель с для интеграла F5) определяется соотно-
соотношением 1/с = JDip exp [v2<p2/i\- Домножив и разделив правую часть
F5) на этот множитель с и затем логарифмировав равенство, получим
W =
ln(c/c) , W=\n
exp
F6)
По правилам 2,3 из п.2 величина W - сумма всех связных диаграмм со
стандартными, симметрийными коэффициентами, линиями
и вершинными множителями vn с п ф 1, 2 из F4), т.е.
Сдвоенные линии изображают пропагатор F7), графически
Д = = - + .— + —_.— + ... , F9)
точкам соответствует вершинный множитель У2, простым линиям - Д.
Частное с/с известных (см. выше) гауссовых интегралов вычисля-
вычисляется по формулам A6) и D), откуда с учетом F7)
1п(с/с) = - ^ trln [Д/Д ] = - ^ trln [I - AV2] , G0)
графически (обозначения такие же, как в F9))
нф)=\ О +10 + IQ + ■■■ • Gi)
Линии и вершины диаграмм F8) зависят функционально от ф, под-
подстановка ф = ф(А) в виде графиков типа F3) возвращает нас к обычным
диаграммам п.З функционала W = W(A). Будем классифицировать
их по числу петель (п.7): W — W^ + W^ + ..., где W^ - беско-
бесконечная сумма всех обычных /-петлевых диаграмм. Формулы F6), G0)
фактически решают задачу суммирования всех обычных диаграмм с
заданным числом петель. Действительно, подстановка деревьев типа
156 Глава 2. Функциональная и диаграммная техника
F3) в линии и вершины графиков F8) числа петель не меняет, по-
поэтому все беспетлевые диаграммы содержатся в простой точке F8), т.е.
W^ = щ = S(ip) + Аф. Однопетлевой вклад W^ есть 1п(с/с) в F6),
известный из соотношений G0),G1), a W^ с / > 2 - сумма вкладов всех
/-петлевых диаграмм F8). Их число конечно из-за отсутствия в F4) од-
ноконцовой вершины; двухпетлевых диаграмм W, например, всего три
(для любого действия S), все они приведены в F8).
В заключение отметим, что метод стационарной фазы естественно
использовать при вычислении интеграла J D<pexp[NF(tpj] с большим
параметром N. Тогда каждая вершина диаграмм получает множитель
N, а линия - 1/jV, поэтому из связной диаграммы выделяется множи-
множитель 1/N в степени "число линий — число вершин" = /— 1 (см. п.7), где /
- число петель. В этом случае петлевое разложение будет разложением
по 1/N.1
п.9 Петлевое разложение Г(а). Пусть S(ip) - действие вида A3)
для задачи с нулевым внешним полем h, W(A) - соответствующий
функционал из C0), Г(а) - его преобразование Лежандра (п.5). Напом-
Напомним, что в вариационной формулировке роль h играет сам аргумент А
в конечных формулах.
Из D6) и D7) по известному (п.8) петлевому разложению W легко
построить аналогичное разложение Г. Перепишем равенство D7) в виде
Г(о) = 50(о) + 1-н.ч. [W - ААА/2]
G2)
и подставим сюда петлевое разложение W = W^ + W^ + .... По-
Поскольку операция замены А —> Д-1а не меняет числа петель, из G2)
следует
Г@'(а) = 50(а) +1-н.ч. [W{0) - ААА/2] , G3)
A=A~la
Г(;)(а) = 1-н.ч. W(l) , V/>1. G4)
А=А-га
Мы знаем (п.8), что все W^ с I > 1 зависят от А лишь через пе-
переменную ф = ^(^4), представляющуюся графически деревьями типа
F3). Линиям с точкой на конце соответствует в них комбинация А А
(в общем случае A(h + А), но сейчас h — 0). Поэтому из F2) следует,
'В квантовой теории поля S действительно имеет размерность действия и обез-
размеривается множителем N — 1/Й, где % - постоянная Планка. Для таких функ-
функциональных интегралов петлевое разложение соответствует квазиклассическому.
п. 9 Петлевое разложение Г (а) 157
что ф(А = Д 1а) = а плюс 1-приводимые графики. Последние можно
отбросить при подстановке в G4), поскольку они порождают заведомо
приводимые диаграммы. Поэтому из G4) следует
, V / > 1 . G5)
ф=а
В G3) известна (п.8) величина W^ = в(ф)+Аф = (
с ф = ip(A) из F2). Для слагаемого V(ip) остаются справедливыми
все рассуждения, обосновывающие переход от G4) к G5), поэтому его
вклад в Г(°) есть V(ip = а), составляющий вместе с So (а) из G3) полное
действие S(a). После отделения V в квадратной скобке G3) остается
выражение Sa(ip)+Aip — AAA/2 с So(ip) = —фА~гф/2. Подставив в него
ф = А(А + Vi) из F2), нетрудно убедиться, что рассматриваемое выра-
выражение приводится к виду - ViAl/i/2. Соединяющая два блока V\ линия
Д не может сократиться после замены ф —>■ а+деревья (см. выше),
поэтому рассматриваемое выражение состоит только из 1-приводимых
диаграмм и не дает вклада в -н. часть". Итого, в беспетлевом при-
приближении
Г(°>(а) = S(a) . G6)
Формулы G5), G6) дают общее решение поставленной задачи.
Обсудим кратко диаграммные представления Г'''. Мы знаем (п.8),
что однопетлевой вклад И-^1) = 1п(с/с) в F6) представляется 1-неприво-
димыми графиками G1), а прочие W^ с / > 2 - конечные суммы
/-петлевых диаграмм F8) с линиями F7) и вершинными множителями
Vn = У'п(ф) из F2), переходящими в Vn{a) при замене ф -> а в G5).
При отборе -н. части" в G5) приводимые по сдвоенным линиям диа-
диаграммы F8) отбрасываются. Таким образом:
= ln(c/c) = itrln[A/A] = -\ trln[l - AV,} , G7)
G8)
и так далее, причем в линиях А = [Д — V-j] и вершинных мно-
множителях Кг, п > 3 этих диаграмм подразумевается Vn = Vn(a) =
SnV(a)/8an.
п. 10 Петлевой расчет Г(а) в Оп-у4-модели. Рассмотрим в ка-
качестве примера Оп-симметричное обобщение модели A.63) с полем <р =
158 Глава 2. Функциональная и диаграммная техника
{(pa(x), a = 1,..., п} и действием (h = 0)
= Jdx {-ipaKipa/2 - 9(<p2J/24] , К = -д2 + т , G9)
где г = Г —Гсо, Гсо - критическая температура в приближении Ландау,
ip2 = ipaipa, по повторяющимся индексам везде суммирование.
Изложенные ранее общие правила диаграммной техники справед-
справедливы для любой модели, если пользоваться универсальными обозначе-
обозначениями, включая в х все аргументы ip (соглашение п.1.9). В этом разделе
мы будем понимать под х только пространственные координаты, выде-
выделяя индексы явно. При этом нужно помнить, что в обычных свойствах
симметричности подразумеваются перестановки всех аргументов <р, т.е.
координат и индексов одновременно.
Диаграммы Оп-<р4-модели отличаются от диаграмм простой ^-моде-
^-модели только появлением в линиях и вершинах дополнительных индексных
структур:
а = $аЪ, /\ = i; [8ab&cd + &ac8bd + ^ad^bc ] = vabcd , (80)
d с 3
так что yabcdfafbfcfd = (f2J- Симметризация v по индексам необхо-
необходима, поскольку координатный вершинный множитель C5) симметри-
симметричен отдельно.
В диаграммах петлевого разложения Г содержатся вершинные мно-
множители Vn = 8nV(a)/8an. Для нашего взаимодействия V(a) =
—gf dx{a2(x)J/24 все они локальны, т.е. содержат J-символы совпаде-
совпадения всех координат. Опуская их, приведем только индексные структуры
вершинных множителей Vn:
V? = -да2аа/6 , V2ab = -g(a2Sab + 2oeob)/6 ,
yabcd = ^gVabcd
с Vabcd из (80). Положению индексов в формулах (верхние или нижние)
мы не придаем никакого значения, выбирая его только из соображений
удобства записи.
Сдвоенная линия в диаграммах типа G8) изображает пропагатор
Даб- В нашем случае из F7) и (81)
A/Д)аЬ - K6ab +g(a28ab +2aaab)/6 (82)
с К из G9) (в таких обозначениях К в A3) есть матрица 8аьК).
п. 10 Петлевой расчет Г (а) в Оп-<р4 -модели 159
В дальнейшем нам потребуется вычислять вариационные производ-
производные по а различных вкладов Г. Дифференцирование вершин в диа-
диаграммах типа G8) выполняется по правилу 8Vn/8a = V^+i (следствие
определения Vn), линий - по правилу 8А/8а — AV3A (следствие_преды-
дущего соотношения и F7)), a tr In... в G7) - по правилу 8tr In Д/8а —
(следствие формулы F)). Графически для G7) и G8):
= \V£bc{x)Kbc{x,x) = \ _
(83)
8TW/8aa(x) = \
Внешняя линия играет здесь такую же роль, как в диаграммах E0), т.е.
учитывается лишь для определения типа вершины и указывает, что ее
аргументы (в данном случае а, х) являются свободными.
Общая схема расчета связных функций Грина И^„(Л) и величины
W{A) по Г(а) и А подробно излагалась в п.п.5 и 1.11. Обычно вычисля-
вычисляются только различные термодинамические характеристики и полный
пропагатор (коррелятор) D = И^- Намагниченность а (для определен-
определенности будем пользоваться терминологией магнетика) определяется по
заданному однородному внешнему полю А из уравнения стационарно-
стационарности A.51), пропагатор D, восприимчивость х> свободная энергия J- и
теплоемкость С вычисляются по формулам
D = -Г;1 , х - да/ЗА = D(p) |р=0 , j
jF = -{y(^)-lnZo = a^-r(a)-lnZo , i (84)
lnZ0 = -|Ып(Д-72т) , С = -6i*T , J
где Гг - матрица вторых производных Г по а. Все величины в (84)
берутся в точке стационарности а =■ а{А).
Поясним формулу для свободной энергии Т. Для магнетика она вы-
выражается через статсумму Z соотношением (см.п. 1.4) lnZ = — J5!F, [3 —
1/кТ. В теории критического поведения 0 заменяется на /?с = 1/кТс и
становится несущественным нормировочным множителем (как в A.58)).
Поэтому обычно полагают просто J- — — In Z, понимая под J- свободную
энергию в единицах кТс. С такой нормировкой согласовано и опреде-
определение х в (84), отличающееся от A.36) множителем. Далее, из опреде-
определений A.60), A6) и C0) W(A) = lnZ(A) - lnZ0, где Z(A) - статсумма
для системы с внешним полем А, а Zo — с - известная из A6) стат-
статсумма для свободной системы без взаимодействия и поля. Величина
160 Глава 2. Функциональная и диаграммная техника
W(A) выражается через Г(а) первым соотношением D4). Вклад
в (84) естественно группируется с однопетлевым вкладом G7):
^ ^ (85)
Множители 2тг можно опустить, поскольку они дают лишь не завися-
зависящую ни от каких параметров и поэтому несущественную аддитивную
константу. Таким образом, добавка lnZo в (84) устраняет нормиро-
нормировочный множитель А под знаком trln... в G7), что отражается на
теплоемкости, поскольку Д зависит от Г через т = Т — Tcq. Устране-
Устранение Д особенно важно при г < О, когда это плохой объект из-за потери
зн акоопределенности.
Переходим непосредственно к описанию процедуры расчета. Нам по-
понадобятся первая производная Ff = 5T/Saa(x) для подстановки в урав-
уравнение стационарности A.51) и вторая Г<!6 = S2T /6аа(хNаь(у) для опре-
определения пропагатора D — — FJ1. Представляя Г для действия G9) в
форме петлевого разложения, получаем
... =-Д, , (86)
+..., (87)
координатные аргументы опущены, многоточие - вклады графиков с
двумя и более петлями. Однопетлевые диаграммы (87) получены диф-
дифференцированием по а графика (86) по приведенным выше правилам.
В конкретных расчетах внешнее поле А и соответствующая намаг-
намагниченность а (с этого момента под а понимаем не произвольный ар-
аргумент Г, а решение уравнения (86)) обычно считаются однородными.
Тогда в силу симметрии Г все вклады в левой части (86) имеют вид
ааФ(а2), поэтому при А ф О векторы Ana обязательно совпадают по
направлению. Положим:
Аа - Аеа , аа = аеа , Р]'6 = еаеь , Р<4 = Sab - еаеь , (88)
где еа - единичный вектор направления внешнего поля, новые А и а -
модули соответствующих векторов, Р - проекторы, по которым раз-
разлагаются двухзначковые объекты типа D, Д и Г2. Для однородных
а удобно везде переходить к импульсному представлению. В частно-
частности, для линий Д диаграмм (86), (87) из (82) получаем
Даь(р) = (Р2 + г + да2/б) Ра\ + (р2 + т + дсг/2)-1 Ра[ . (89)
п. 10 Петлевой расчет Г(а) в On-ip4-модели 161
Рассмотрим сначала эквивалентное простой теории Ландау беспет-
беспетлевое приближение, получаемое отбрасыванием всех графиков в (86),
(87). В этом приближении D = А, Тс = Гсо, уравнение (86) для од-
однородной задачи в обозначениях (88) принимает вид га + да3/6 = А и
при А ф 0 однозначно определяет а — а(Д Г) (из трех корней кубиче-
кубического уравнения выбирается тот, который соответствует абсолютному
минимуму энергии, см.п.1.13). При А = 0 и г > 0 минимуму энергии
соответствует решение а = 0, а при А — 0 и г < О
оа@,Г) = еа(-6г/«,I/2 , т = Т-Тс <0 (90)
с произвольным направлением спонтанной намагниченности.
Беспетлевое приближение для коррелятора D получается подстанов-
подстановкой а = а(А, Т) в (89), в частности, при нулевом поле
А.Ь(Р)|Т>О = &abtf + T)-1 ,
А.Ь(Р)|Т<О = Р~2Ра\ + (Р2 - ^Г1 РЦь ■
Отсюда для восприимчивости в изотропной фазе имеем х" = Х^ = V7"'
а в анизотропной \L — °°> х" — — 1/2г. Все это обычные формулы
теории Ландау с каноническими значениями критических показателей,
безмассовость поперечных мод в корреляторе (91) - следствие общей
теоремы Голдстоуна (п. 1.11). Добавим только, что отношение ампли-
амплитуд в законе типа A-22) для продольной восприимчивости оказывается
в данном приближении равным 2.
Обсудим теперь кратко технику вычисления поправок к беспетле-
беспетлевому приближению. Уравнение (86) с учетом графиков точно, конечно,
не решается. Но этого и не требуется, так как для практических це-
целей (например, для расчета коэффициентов 4 — г -разложений методом
РГ) достаточно решать уравнение (86) итерациями по числу петель.
Точный смысл этой процедуре можно придать, считая д малым па-
параметром, а - большим, да2 = г и та = А при А ф 0, чтобы все
вклады в беспетлевом уравнении стационарности были одного порядка.
Отметим, что условие да2 = г для спонтанной намагниченности (90)
автоматически выполняется. В таких предположениях вклад петли в
(86) - малая поправка порядка д по сравнению с беспетлевым вкладом,
двухпетлевые графики имеют "малость" порядка д2 и так далее. Здесь
мы обсуждаем только общую схему, конкретные расчеты производятся
в ренормированной теории, роль д играет там безразмерный ренорми-
рованный заряд (гл.1). При использовании результатов для получения
162 Глава 2. Функциональная и диаграммная техника
4 — е-разложений g —>■ g*{e), где g* - фиксированная точка РГ (п. 1.33);
формальная малость g*(s) ~ e оправдывает итерационную процедуру.
При итерациях в уравнении (86) вклады графиков следует предста-
представлять в виде ааФ(а2), приближения делаются в Ф, а общий множитель
aa считается точным. Для получения однопетлевой поправки к а в
функцию Ф(аэ) для однопетлевого графика (86) нужно подставить в
качестве а2 уже известное беспетлевое значение, что эквивалентно из-
известной добавке к т (отметим, что среди прочего это приведет к сдвигу
Тс). Для получения пропагатора в этом приближении в беспетлевом
вкладе (87) нужно учесть полученную из (86) однопетлевую поправку
к а, а в однопетлевых графиках (87) достаточно ограничиться беспет-
беспетлевым приближением для а. На следующем шаге нужно добавить к
(86) двухпетлевые диаграммы из (83) с а в беспетлевом приближении
и учесть однопетлевые поправки к а в однопетлевом графике (86) и
так далее. Принципиально важно, что при такой процедуре линии диа-
диаграмм не теряют положительной определенности даже при Г < Тс, в
отличие от диаграмм простой теории возмущений.
Подобная техника нужна, конечно, только для нетривиальных за-
задач, например, для расчетов в произвольном внешнем поле А ф 0, или
при А = 0, но в анизотропной фазе, когда обычная теория возмущений
неприменима (в последнем случае можно также использовать технику
п.4). Для расчета в нулевом поле при Г > Тс проще пользоваться диа-
диаграммной техникой обычной теории возмущений.
п.11 Уравнения Швингера. В широком смысле слова так назы-
называют любые соотношения, выражающие свойство инвариантности меры
Dip относительно трансляций ip(x) —>■ <р(х)+ш(х) на произвольные фик-
фиксированные функции ш G Е с w(oo) — 0 (п.1.13). Такие трансляции
не меняют область интегрирования, заданную условием <р(оо) = <ро, по-
поэтому величина J Dip F(<p+u>) для любого F не зависит от ш. Равенство
нулю ее первой вариации по w выражается соотношением
jDip 6F(tp)/S<p(x) = 0 . (92)
В частности, для интеграла C0) с F = ехр[5 + Aip] из (92) имеем
jD<p {&S(<p)/S<p{x) + А(х)] ехр [ЗД + А>р] = 0 . (93)
Умножение на ip под знаком интеграла C0) эквивалентно его дифферен-
дифференцированию по А, поэтому (93) можно переписать в виде уравнения
G(A) = 0 . (94)
п.11 Уравнения Швингера. 163
При спонтанном нарушении симметрии (п.4) уравнению (94) удовлетво-
удовлетворяет каждый функционал GK(A), поскольку утверждение (92) справед-
справедливо (см. выше) для любого интеграла типа C8).
Подстановкой G = ехр W из (94) можно получить эквивалентное
уравнение для W(A), а из него по формулам п.5 - для Г(а). Все это
уравнения конечного (для полиномиального действия) порядка в вари-
вариационных производных, эквивалентные бесконечной цепочке зацепляю-
зацепляющихся уравнений для точных функций Грина - коэффициентов разло-
разложения соответствующих функционалов.
Рассмотрим в качестве примера <£>4-модель A.63) с h — 0. Для нее
5S/S<p(x) = — 1\<р(х) — д<р3(х)/6 с К = —д2 + г; после подстановки в
(94) и сворачивания (для удобства) с Д = К~1 получим уравнение
SG(A)/SA(x) = Jdx'A(x,x')[A(x') - (g/6)83/8A3(x')]G(A). Подставив
сюда G = ехр W и сократив экспоненту после выполнения дифференци-
дифференцирований, получим
Wx = 8W/5A - АА - gA[W3 + 3W2Wt + W3]/6 , (95)
где Wn - связные функции D2) теории с внешним полем А, аргументы х
и интегрирования по ним для краткости опущены. Замена И^(Л) —> Г(а)
в (95) легко выполняется с помощью формул п.5: W\ = а становится
независимым функциональным аргументом, А ~ — Fi, W2 = ~Г7Х, а
V/з выражается через Г соотношением D5). В итоге получим:
Г!=Л7£а = -Да-5[^з + За{У2 + а3]/6 . (96)
Мы домножили равенство (95) на Л, перегруппировали вклады и со-
сохранили обозначения И^.з, но теперь предполагаем эти величины вы-
выраженными через Г (см. выше). Изобразим уравнение (95) графически:
"CD =1Г++\^+\¥0)+\-ЖЪ- (97)
Кружок с номером п вместе со своими внешними линиями изображает
связную функцию Wn, затравочная линия Д помечена, локальной че-
четверной вершине соответствует стандартный множитель —</, однокон-
цовой вершине в первом графике - множитель А, координата х свобод-
свободного левого конца линии Д является аргументом функции W\ (x) в левой
части (97).
Равенство (97) - точное соотношение, связывающее три первых функ-
функции Wn теории с внешним полем А. Последовательным дифференциро-
164 Глава, 2. Функциональная и диаграммная техника
ванием по А из (97) получим уравнения для старших функций Wn- Диф-
Дифференцирование превращает Wn в Wn+i и вводит новый независимый
аргумент х, так что при первом дифференцировании из (97) получим
(98)
Уравнения упрощаются в нулевом поле (А — 0) выше Тс, когда из-за
симметрии ip —у —ip все нечетные функции Грина равны нулю. В этом
частном случае уравнение (98) в более удобных графических обозначе-
обозначениях п.5 принимает вид
(99)
где жирная линия обозначает полный пропагатор W2 = D, заштрихо-
заштрихованный кружок - 1-неприводимую четыреххвостку Г4. Умножив обе
части равенства (99) слева на Л, а справа - на D~1, придем к урав-
уравнению Дайсона E1) с собственной энергией
A00)
Это замкнутое выражение для собственной энергии £ в у>4~модели с
нулевым внешним полем и г > 0, когда нет спонтанного нарушения
симметрии <р —>■ —(р. В любой модели соотношения такого типа, кото-
которые также часто называют "уравнениями Швингера", можно получать
прямым суммированием диаграмм теории возмущений. Но их вывод из
общего правила (93) гораздо проще хотя бы уже потому, что не требует
анализа симметрийных коэффициентов. Кроме того, уравнения типа
(95) более общие, так как они содержат в себе бесконечное количество
соотношений типа (99), получаемых из (95) последовательным диффе-
дифференцированием по Л и затем переходом к А = 0.
Приведем в заключение графическую форму уравнения (96):
1 - 1Q + i-f-,
= ST/lc, = -Д-'o+j -^S + 5 ^ + j+ . A01)
где хвостик обозначает а, остальные обозначения те же, что и в соот-
соотношении A00).
п.12 О решениях уравнений движения. Итерациями уравнений
(97), A01) в форме ряда по д можно получить все графики соответству-
соответствующего функционала, кроме вакуумных петель, поскольку данные урав-
п. 12 О решениях уравнений движения 165
нения определяют решение лишь с точностью до произвольной аддитив-
аддитивной постоянной. Для получения всех графиков достаточно добавить к
уравнению Швингера второе уравнение с вариационной производной по
"линии" А(х, х'). Будем считать в So = —<pA~1<p/2 симметричное ядро
А(х,х') независимым функциональным аргументом, конкретное значе-
значение которому придается лишь после выполнения дифференцирования.
Пользуясь правилом дифференцирования обратной операции (см.п.5),
легко показать, что 28Sa/8A{x,y) = (A~1ip)x(A~1ip)y, где каждая из
скобок - свертка типа B). Дифференцируя интеграл в C0) по Д (нор-
(нормировочный множитель с считается фиксированным и не дифференци-
дифференцируется) и вынося получаемую предэкспоненту за знак интеграла в виде
дифференциальной операции (ip —>■ 8/8А), получаем искомое уравнение
связи:
2SG/8A(x,y) = (A-18/8A)x(A~18/8A)y G , A02)
которое стандартными приемами (п. 11) легко переписывается в терми-
терминах W и Г. Уравнение Швингера вместе с уравнением A02) в нужной
форме образуют полную систему уравнений движения. Ее итерацион-
итерационное решение в форме ряда по g воспроизводит все графики изучаемого
функционала.
Уравнения движения полезны при доказательстве утверждений то-
топологического характера типа B7) и D7). Проделав один - два шага
итерационной процедуры, легко понять, что итерации в (97) порождают
только связные диаграммы, а в A01) - только 1-неприводимые. Таким
путем можно найти все графики функционалов W(A) и Г(а), кроме ва-
вакуумных петель W@) и Г@). Последние находятся затем с помощью
уравнения связи A02), переписанного в нужной форме, и сохраняют
свойства связности (для W) или 1-неприводимости (для Г). Явный вид
графиков и коэффициенты при них таким методом находить сложно,
но само нужное топологическое свойство - следствие общей структуры
уравнений, и оно устанавливается элементарно. 1-неприводимость всех
графиков Г со ссылкой на уравнения движения была существенно ис-
использована в п.6 при доказательстве утверждения D7). Приведем ана-
аналогичное по духу доказательство утверждения типа B7) для функцио-
функционалов C0): W — связная часть G. Итак, пусть известно (из уравнений
движения), что все диаграммы W связны, т.е. W — св. часть W. По-
Поскольку G = 1+графики, W = lnG - только графики, следовательно, все
степени Wn с п > 1 - только несвязные графики, т.е. их связные части
равны нулю. Из сказанного и равенства G = exp W = l + W + W2/2+...
следует, что "св.ч.С? = св.ч.И^". Вместе с известным (см. выше) равен-
равенством "VF = св.ч.РУ это и дает искомое соотношение "W = св.ч.С?".
166 Глава, 2. Функциональная и диаграммная техника
Таким образом, использование информации, получаемой из уравне-
уравнений движения, позволяет доказывать утверждения типа B7) без ана-
анализа симметрийных коэффициентов, на котором основано обычное до-
доказательство (п.2).
Уравнения можно итерировать не только по степеням j, но и по
иным параметрам, например, по числу петель. Беспетлевому прибли-
приближению для Г соответствует отбрасывание всех графиков с петлями в
правой части уравнения A01). В следующем порядке учитывается од-
нопетлевая диаграмма A01) с линией в беспетлевом (уже известном)
приближении и так далее. Интегрированием по а соответствующих
вкладов (для однопетлевого - с помощью соотношения F)) из урав-
уравнения A01) нетрудно получить Г^0' и Г^1) (п.9). Но уже следующее
двухпетлевое приближение Г^2) получить таким путем трудно; в дей-
действительности это и не нужно, поскольку петлевые разложения W и Г
уже известны (п.п. 8,9) из иных соображений.
Как подчеркивалось в п.П, каждый функционал WK из C8) также
удовлетворяет уравнениям движения, являясь их аномальным (не пред-
ставимым в форме ряда по целым степеням д) решением. Такие реше-
решения появляются лишь при г < 0, когда нормальное решение (ряд по
д) теряет смысл из-за потери знакоопределенности затравочного про-
пагатора A(k) = (к2 + г). Напомним (см.п.1.9), что положительная
определенность - общее свойство полного пропагатора (коррелятора) D,
и как таковое обязано сохраняться в ведущем порядке его разложения
по любому параметру, в частности, и в затравочном корреляторе Д,
т.е. в нулевом приближении по д. Потеря нужной знакоопределенности
- формальное свидетельство неустойчивости: при г < 0 нормальное ре-
решение соответствует максимуму энергии в теории Ландау, а решения
WK - локальным минимумам, параметр к нумерует (п.4) отдельные чи-
чистые фазы. Они равноправны лишь при нулевом внешнем поле А, а
при А ф 0 "правильным" будет лишь одно из решений с определен-
определенным к(А), соответствующее абсолютному минимуму энергии в теории
Ландау. Отметим, что однородное поле А всегда отличимо от локали-
локализованного (см. определения и правила в п. 1.13) искусственного функ-
функционального аргумента А: хотя формально W{A,h) = W(A + А,0), A
и А однозначно восстанавливаются по данному А = А + А, а именно,
А = Л(оо), и А = А — А.
Равенство W(A,h) — WK(h) (Д ^) определяет (см. выше) правильное
решение И^(Л, К) при всех h ф 0, г < 0, которое получается как бы "скле-
"склеиванием" нужных решений WK(A,h), соответствующих отдельным чи-
чистым фазам. Этот функционал W(A,h) определен при всех h ф 0 и со-
п. 13 Функции Грина, с составными операторами 167
храняет симметрию задачи, в отличие от отдельных WK, как и должно
быть при определении W путем строгого предельного перехода от те-
теории в конечном объеме (п.1.11). Но Л = 0 - особая точка: пределы
W(A, h) при стремлении h к нулю по разным направлениям различны
и совпадают с отдельными решениями 1^(^4,0).
Сказанное полезно лишь для понимания общей картины. Работать
практически с аномальными решениями удобнее в рамках вариационной
формулировки, т.е. в терминах функционала Г, который всегда сохра-
сохраняет симметрию задачи и не зависит от параметра к: разным фазам
на таком языке соответствуют разные точки стационарности единого
функционала Г.
п.13 Функции Грина с составными операторами. Составным
оператором F называют любую локальную конструкцию из поля ip(x) и
его производных, например, ^(х), d{ipn(x), ip(x)d2ip(x) и т.п.. Термин
заимствован из квантовой теории поля, где <р и все, что из него стро-
строится, - действительно операторы в гильбертовом пространстве, у нас же
это случайные величины. Замена ip(x) —> ip(x) превращает случайную
величину F = F{ip) в классический функционал F = F(ip), который
также будем называть составным оператором, различая эти объекты
лишь знаком "~". В подробной записи F = F(x; <р) числовой (х) и функ-
функциональный (ip) аргументы будем часто опускать, или указывать лишь
один из двух.
Пусть Fi(x; ip) - заданный набор составных операторов, i - нумеру-
нумерующий индекс. Аналогичный C0) интеграл
G(A, a) = cjD<p exp [S{<p) + aF(<p) + A<p] A03)
с произвольными "источниками" щ(х) в линейной форме
ai(x)Fi(x;V,) A04)
является производящим функционалом ненормированных полных функ-
функций Грина с любым числом полей (р и операторов F, а сами эти функции
- коэффициенты его разложения по совокупности источников А, а. Пе-
Переход к нормированным функциям < ... > осуществляется делением
функционала A03) на константу Go = С?@,0) (п.З). Определение: бу-
будем считать, что F = 0, если равны нулю все полные функции Грина
< Ftp.. .ip > с одним F и любым числом п > 0 множителей ip. Отме-
Отметим, что тогда будут автоматически обращаться в нуль все функции
Грина с данным F, полями ip и любыми построенными из ip составными
операторами.
168 Глава 2. Функциональная и диаграммная техника.
Диаграммное представление функционала A03) определяется теми
же правилами, что и для C0), при этом вклад aF(ip) считается добав-
добавкой к взаимодействию V(<p). Порождаемые ею добавочные вершины
называют вставками составных операторов. Например, операторам
Fi = ip2(x), F2 = ip3(x), F3 = tp(x)d2ip{x) соответствуют локальные (с
одним х) вершины
/ 1 Г У /Л
■ (Ю5)
Отрезки прямых изображают концы присоединяющихся к данной вер-
вершине линий Д, в F3 двукратным перечеркиванием линии обозначено
действие на нее операции д2 по аргументу х, полусумма - необходи-
необходимая симметризация. В функциях Грина аргумент х вершин A05) явля-
является свободным, в диаграммах функционала A03) он сворачивается с
аргументом соответствующего источника а(х), играющего тогда роль
вершинного множителя (п.2).
Определение: производящим функционалом связных функций Грина
полей и операторов является W(A, a) = \nG(A, а), а 1-неприводимых -
его преобразование Лежандра Г(а, а) по переменной А при фиксирован-
фиксированных а. При замене W —>■ Г в различных соотношениях важную роль
играют равенства типа A.53) с производными по а. Выражения нор-
нормированных полных функций через^ связные для полену и операторов -
обычные (п.1.10), в частности, < F >-< F >св, < Fip >=< Fip >св
+ < F >св< <р >св и т.д.. Отсюда следует, что F = 0, если равны
нулю все связные функции Грина с одним F и любым числом простых
полей ip, т.е. F однозначно задается производящим функционалом та-
таких функций, который мы будем обозначать через WF = WF(x; А). По
определению, для любого п > 0
<F(x)$(xl)...$(xn)>CB= 6"WF(x;A)/SA(x1).. ■8A{xn)\A=:Q . A06)
Это позволяет обобщить понятие составного оператора: поскольку WF
определяет F однозначно, можно считать, что задание любого конкрет-
конкретного функционала WF является определением посредством соотношений
A06) некоторого составного оператора F. Этим F определяется неза-
независимо от его представления через ip, которое может вообще не суще-
существовать.
Из определения W(A, а) (см. выше) следует, что для обычных опера-
операторов F = F(x; ip) роль WF играет логарифмическая производная функ-
функционала A03) по соответствующему источнику а(х) при а = 0. При
п.13 Функции Грина с составными операторами 169
записи таких функционалов удобно пользоваться следующими обозна-
обозначениями:
Тем самым определены символы усреднения < ... > и <С • ■ ■ ^> для
функционалов : первый обозначает функциональное усреднение с весом
exp S(<p), а второй - с весом exp [S(f) + Aip]. Зависимость от А ве-
величин <С • • • ^> явно не указывается, но подразумевается. Напомним,
что символ < ... > для случайных величин обозначает статистическое
усреднение A.17), а первое равенство A076) - следствие определений
A.60).
Из сказанного выше относительно локальных операторов F(x; ip) сле-
следует, что для них WF =<C F(x; <p) ^> в обозначениях A07). В таких же
обозначениях уравнение Швингера (93) можно записать в виде
« и(х; <р)> = -А(х) , где и(х; <р) = 6S(<p)/6<p{x) . A08)
Равенство производящих функционалов WF для двух операторов эквива-
эквивалентно (см. выше) равенству самих операторов. Левая часть равенства
A08) - функционал WF для оператора F = u(x;ip). Правая часть в тер-
терминах ip не интерпретируется, но можно ввести формальный оператор
F = А(х), определив (см. выше) все его функции Грина A06) соот-
соотношением WF(x; A) = А(х). Введение А позволяет записать уравнение
Швингера A08) в форме операторного равенства *
и(х;ф) = -А(х) . A09)
'В квантовой теории поля <р(х) - не случайная величина, а оператор в гильбер-
гильбертовом пространстве. Этот оператор (гайзенберговский) удовлетворяет классиче-
классическому уравнению движения и(х; 5) = О, что легко доказывается с помощью опера-
операторных уравнений движения и коммутационных соотношений для операторов поля
[35]. Тем не менее, и там справедлив аналог соотношения A09). Поясним это. Кор-
Корреляционным функциям случайных величин в статфизике соответствуют в теории
поля функции Грина — вакуумные ожидания Т-произведений, где Т — символ хро-
хронологического упорядочения по времени t, содержащий временные ©-функции типа
0(t - t'). Для операторов вида 9tF с внешними производными по времени i разли-
различают дайсоновские и виковские Т-произведения и соответствующие функции Грина.
В дайсоновское Т-произведение любой оператор входит как целое, а в виковском,
по определению, производные bt из dtF выносятся за знак Т-произведения. Тем
самым они начинают действовать и на временные 0-функции, порождая добавоч-
добавочные вклады, отличающие виковское Т-произведение от дайсоновского. Для равного
нулю составного оператора с внешними производными Э( все дайсоновские функции
170 Глава, 2. Функциональная и диаграммная техника
В заключение отметим, что вытекающее из определений A07) и C0)
соотношение
« F{x;<p) > = ехр(-ЩЛ)) F(x;S/SA) exp W(A) (ПО)
позволяет переписать любое равенство с символами <С ... ^> в форме
уравнения в вариационных производных.
п. 14 Сводка определений разных функций Грина. Соберем в
одном месте набор основных определений и формул. Множество всех
полей модели обозначается единым символом <р{х) (соглашение в п.1.9),
модель задается функционалом действия S(ip) — So(<p) + V(<p) с So(ip) =
—<pKip/2, симметричное ядро операции Д = К~х играет роль линий
в диаграммах теории возмущений, а взаимодействие V определяет их
вершины. Операция приведения Р = Pv вводится соотношением A4),
любая формула с Р может быть переписана на языке функциональных
интегралов с помощью тождества A8).
Бесконечные семейства симметричных функций Грина задаются со-
соответствующими производящими функционалами типа A.41), эта фор-
форма записи разложения общая, но функциональный аргумент может обо-
обозначаться по-разному (A, a, ip и др.). Мы вводили следующие семей-
семейства функций Грина: полные Gn(x\ .. . х„) (аргументы х в дальнейшем
опускаем), связные Wn, 1-неприводимые Г„ и б'-матричные Нп, при
этом еще различали нормированные и ненормированные полные функ-
функции (п.З). Производящий функционал ненормированных полных функ-
функций G(A) определен соотношением C0), переход к нормированным пол-
полным функциям A.33) осуществляется делением его на Go = G@), к связ-
связным -логарифмированием: W{A) =\nG(A). Производящий функцио-
функционал 1-неприводимых функций Г(а) - преобразование Лежандра И^(Л) по
А (п.5), производящий функционал 5-матричных функций Н(<р) опре-
определен в A9). Приведем основные соотношения (см.п.п.3,5), заменив ар-
Грина с его участием равны нулю, но виковские могут при этом быть отличными
от нуля. Функциональные средние с весом ехр5 представляют в квантовой теории
поля виковские, а не дайсоновские функции Грина, так что получаемое в рамках тех-
техники функционального интегрирования соотношение A09) определяет там виковские
функции Грина с оператором и(х;!р). Именно поэтому отличие от нуля его правой
части не противоречит равенству u(x; J) = О. В теории случайного поля таких "па-
"парадоксов" нет, так как нет аналога дайсоновских функций Грина: корреляционные
функции - аналоги виковских функций.
п. 14 Сводка определений разных функций Грина 171
гумент а(х) у Г на <р(х):
Н{<р) = PexpV(<p) , G(A) = Н(АА) ехр [ААА/2] ,
W(A) = In G(A) = св.ч. G(A) , } A11)
GHOPM.(A) = G(A)/G(O) , ВД = 50(^)+ 1-н.ч. Н(<р) .
Диаграммы функций Gn и их связных частей Wn оканчиваются внеш-
внешними линиями Д (п.З), аГ„ и Нп -непосредственно вершинами (п.п.2,6);
ампутацией внешних линий Д в диаграммах Gn получаем диаграммы
Нп, отбирая из них только 1-неприводимые, получаем диаграммы Г„,
- все это вытекает из формул A11).
Все приведенные выше определения и формулы A11) остаются вер-
верными и при включении составных операторов добавкой выражения A04)
к взаимодействию V(ip). Источники а в A04) рассматриваются тогда
как дополнительные функциональные аргументы, тэйлоровские разло-
разложения функционалов пишутся по совокупности всех аргументов. При
определении 1-неприводимых функций с составными операторами пре-
преобразование Лежандра W —>■ Г делается только по аргументам А, ис-
источники а считаются фиксированными параметрами.
п. 15 Симметрии, токи, тензор энергии-импульса. Под х в
этом разделе будем понимать только пространственные d-мерные коор-
координаты, их компоненты будем нумеровать индексами i, k, s, компоненты
поля - индексами а, 6, с, d, компоненты не зависящих от х малых пара-
параметров ш инфинитезимальных преобразований - индексом а. По повто-
повторяющимся индексам всегда подразумевается суммирование, положение
индексов в формулах (верхние или нижние) никакой роли не играет и
определяется лишь соображениями удобства записи.
Пусть <р —> <р' - некоторая группа Ли преобразований вида х
ф) -»■ ip\x) = v(x)v(x') , x' = x'{x), A12)
где v(x) - заданная матрица по индексам поля, х'(х) - заданное пре-
преобразование координат. Для инфинитезимальных преобразований
х'(х)=хш = х + 5шх, ip'(х) = (рш(
A13)
5ш<ра(х) = ша
'Мы рассматриваем A12) как самостоятельную группу, а не как представление
некоторой группы координатных преобразований х —»• х1. Более естественная для
теории представлений запись (р'(х') = v(x)<p(x) сводится к A12) переобозначениями.
172 Глава 2. Функциональная и диаграммная техника
где Та - соответствующие параметрам ша генераторы - некоторые ли-
линейные операции на полях ip. Для заданной группы Та и tf в A13) -
известные величины. Опишем несколько конкретных групп типа A12).
1) Оп-вращенияп-компонентного поля <р = {<ра} ■ <р'(х) = v<p(x), где
г» - ортогональные матрицы вращений в п-мерном ("изоспиновом") про-
пространстве, в A13) SwXi = 0, Suipa(x) — шаь<ръ{х) с произвольной анти-
антисимметричной матрипей ш, а — (cd) с с < d, t1d = О, Т^ = дшаъ/дшсв. =
2) Пространственные вращения набора <р = {<ра} скалярных полей:
ip'a(x) — ipa(x'), x' = vx, где v - ортогональные матрицы вращений
d-мерных координат, в A13) 8ШХ{ = UikX^, Sw<pa(x) = ^ksXsdk^a{x) с
произвольной антисимметричной матрицей и, а = (ks) с k < s, tfs =
x,Sik — XkSis, T^ = 8abd(ukSxsdk)/du)kS = Sab(xsdk - xkds)-
3) Трансляции ip'a(x) = ipa(x'), x' = х+ш параметризуются вектором
wu в A13) a = к, t* = 8ik, T*b = 8аЬдк.
4) Масштабные преобразования f'a(x) = \A<pa(x'), x' = \x с задан-
заданной (не обязательно канонической) размерностью поля Д и произволь-
произвольным А > 0. Для инфинитезимальных преобразований А = 1 + ш, Swxt =
wx{, в A13) индекс а отсутствует, ti = хг- и Таъ — $аь(хкдк + А)-
5) Специальные конформные преобразования набора {<ра} скалярных
полей с заданной размерностью Д параметризуются, как и трансляции,
вектором Ш{ : tp'a(x) = QA<pa(x'), x\ = (а:,- + x2Ui)Q, где Q = A + '2шх +
ш2х2)~г (при этом det[dx'/dx] = Qd). Отсюда для инфинитезимальных
преобразований имеем Swxj = (x2Sis — '2xiXs)u>s, в A13) а = k, t^ =
x2Sik - 2х{Хк и Т*ъ = 6аЬ{х2дк - 2xkxsds - 2Axk).
Конформное преобразование представимо в виде произведения rfa,r,
где tw - обычная трансляция, г - следующее дискретное ( г2 = 1 ). пре-
преобразование конформной инверсии:
<ра(х) -»■ <р'а(х) = х-3\а(х'), х\ = хг/х2 . A14)
Поэтому для конформной инвариантности при наличии трансляционной
достаточно (при произвольной размерности d - и необходимо х) инва-
инвариантности по отношению к инверсии A14).
Выше мы считали {<ра} набором скалярных полей. В общем случае
полей со спином к определенным ранее генераторам пространственных
вращений Tks добавляются спиновые вклады Sis - известные (по типу
1 Исключения составляют некоторые модели в нечетномерных пространствах, для
которых при преобразовании инверсии появляется дополнительный множитель -1,
сокращающийся в комбинации rt^r.
п. 15 Симметрии, токи, тензор энергии-импульса 173
полей) матрицы по индексам a,b с такими же, как у Tks, перестано-
перестановочными соотношениями, а генераторы Т* конформных преобразований
получают тогда добавку 2S*sxs. Соответственно изменяется и вид пре-
преобразования конформной инверсии A14): в случае векторных или тен-
тензорных полей в правую часть равенства A14) добавляется умножение
на матрицу gut — £ja,- — 2х{Хк/х2 по каждому векторному индексу, а для
дираковских rf-мерных спиноров ф,ф добавляется множитель n = ~iini
слева для ф и — п справа для ф, где щ = а:,-/|я|, a 7: - матрицы Дирака с
перестановочным соотношением jijk+lkji = 2£,fc в обсуждаемом сейчас
евклидовом варианте формализма (подробнее в п.4.43).
Закончив на этом описание конкретных групп, вернемся к общему
анализу. В дальнейшем, если не оговорено противное, будем считать
действие S функционалом на пространстве Е хорошо убывающих по-
полей (п. 1.13), чтобы не опасаться внеинтегральных членов в вариации
действия. Тогда вариациям поля в A13) соответствует
&u>S(<p) - fdx ua{x;ip) 8ш<ра(х) , ua(x;ip)~dS((p)/S(pa(x). A15)
При инвариантном действии S интеграл A15) обращается в нуль
для любого (р G Е. Для разумных моделей подынтегральное выра-
выражение в A15) при ip G Е также будет хорошо убывающей функцией.
В такой ситуации справедливо следующее утверждение 1: равенство
J dxF(x) = 0 с некоторой функцией F G Е гарантирует ее представи-
представимость в виде F(x) = diJi(x) с некоторыми "токами" J, G Е. Действи-
Действительно, F(x) G Е имеет аналитический в окрестности нуля фурье-образ
F(k) (п. 1.13). По условию, F@) = 0, а для всех прочих мономов в тэйло-
ровском разложении F(k) no k всегда можно вьщелить один из множите-
множителей к{, получив искомое представление F(k) ~ kiJi(k). Из утверждения
1 применительно к интегралу A15) следует, что при инвариантном от-
относительно преобразований A13) действии 5" существуют токи J", для
которых
иа(х;<р) Т^ь 4>ъ(х) = -diJ?(x;<p) , A16)
минус соответствует традиционной форме записи. Равенство d%Ji = О
называют сохранением тока, утверждение A16) - теорема Нетер: ка-
каждому независимому параметру ша в группе симметрии действия соот-
соответствует сохраняющийся на классических решениях (т.е. тех <р, кото-
которые удовлетворяют классическим уравнениям движения иа(х;<р) — 0)
ток Jf.
Приведенный вывод теоремы Нетер A16) справедлив для любого ин-
инвариантного действия, в том числе и нелокального. В конкретных моде-
моделях подынтегральное выражение в A15) является некоторой линейной
174 Глава 2. Функциональная и диаграммная техника
комбинацией конечного числа локальных составных операторов (п. 13) -
локальных мономов, построенных из поля и его производных. Таковыми
можно тогда считать и все токи в A16), поскольку справедливо следую-
следующее утверждение 2: равенство J dxF(x; ip) = О для некоторой линейной
комбинации F(x;<p) = ^2 caFa(x;<p) конечного числа локальных моно-
мономов Fa гарантирует ее представимость в виде F(x;ip) — diJi(x;ip) с
некоторыми локальными составными операторами Ji(x;<p). Для дока-
доказательства достаточно заметить, чт,о для разных мономе© фурье-образы
Fa(k;ip) независимы при любом к, поэтому равенство F@;ip) — О воз-
возможно лишь при наличии в комбинации F(k; ip) общего множителя к.
Отметим, что для локальных полиномов равенство A16) естественно
продолжается на любые гладкие р(х), что делает утверждение о ''со-
''сохранении тока на решениях" содержательным (в пространстве хорошо
убывающих функций Е классическое уравнение иа{х;<р) = О обычно
имеет только нулевое решение).
Равенство A16) определяет токи лишь с точностью до произволь-
произвольных чисто поперечных добавок J,- с diJ- = 0 Vy. В конкретных моделях
с локальным действием S = J dxL(x) обычно используются определен-
определенные канонические токи, которые строятся по плотности лагранжиана
L(x) — C(<p(x),dip(x)), заданной явно в виде некоторой функции £ от
поля ip(x) и всех его первых (но не высших) производных dip(x). Инва-
Инвариантность действия относительно преобразований A12) обычно обес-
обеспечивается равенством
£(<p'(x),d<p'(x))dx= L'(x)dx = L(x')dx' . A17)
Строго говоря, это не необходимое, а лишь достаточное условие инва-
инвариантности, поскольку к правой части в общем случае можно добавить
произвольное выражение вида (d{<f>i)dx, не дающее вклада в интеграл
по х. Но обычно равенство A17) выполняется; получаемые ниже фор-
формулы для токов справедливы лишь в этом предположении, которое для
конкретных £ и группы всегда легко проверить.
Воспользуемся соотношением A17) для инфинитезимальных преобра-
преобразований A13). Сразу отметим (понадобится ниже), что для них dxu/dx =
1 + di(SuXi) согласно последнему равенству D). Первую вариацию по ш
величины £(<рш(х), 3ipu(x)) можно найти двумя способами: непосред-
непосредственно по вариациям ее аргументов ip(x) и д<р(х), или с помощью
вытекающего из A17) и приведенного выше выражения для dxw/dx
равенства C(ipu(x), д(рш(х)) = L(xu)(dxu/dx) = L(x) + д{[Ь{х)8шх{] с
L(x) — С(<р(х), д<р(х)). Приравнивание получаемых этими двумя спосо-
п. 15 Симметрии, токи, тензор энергии-импульса 175
бами выражений приводит к соотношению A16) с токами
J? = ФгаТ^Ь - Ctf , ф{а = д£/д(дцра) A18)
и иа(х;<р) — 8S(<f)/5<fa(x) = д£/д<ра — di<t>ia в тех же обозначениях.
Токи для конкретных групп получаются подстановкой в A18) из-
известных величин tf и Т"ь. Совокупность четырех токов A18) для транс-
трансляций называют тензором энергии-импульса (терминология теории по-
поля) и обозначают Jk = i)k:
0* = <l>iadkVa-£Sik A19)
Сфга ИЗ A18).
Приведем в тех же обозначениях вид токов A18) и для других опи-
описанных выше групп: для О„-вращений Jfb — фиТ^фд = ф{а<рь ~ фхъфа,
для пространственных вращений Jks = xsdk — х^\ + ф{аТ,^1<рь, для
масштабных преобразований Ji — ХкЩ + Аф^а<ра и для конформных
J* = (x28ks — 2ж/гЖ«)г?* -f 2фга[х,Т,ка1 — Ахк8аь]<рь- Токи приведены для
общего случая полей со спином. Если все поля скалярные, то Т,кз = 0. В
этом случае симметричность тензора A19) по ik является необходимым
и достаточным условием инвариантности плотности лагранжиана £ от-
относительно пространственных вращений. Действительно, из равенств
Ф^адкфа — Фкадгфа с ф{а из A18), понимаемых как система линейных
однородных уравнений в частных производных для £, легко доказать,
что производные djipa для каждой компоненты <ра входят в £ лишь в
виде квадрата градиента, т.е. симметричность дк влечет изотропию £;
обратное очевидно.
Дальнейшая конкретизация формул для токов невозможна без допол-
дополнительной информации об £. Если, как обычно, £ = —di<pa ■ di<pa/2+
вклады без производных, то в приведенных выше формулах ф{а =
д£/д(дцра) — —дг<ра, и тогда, например, для О„-вращений:
Ji" = Padifb - fbdi<fia . A20)
Отметим, что симметричность г)к в этом случае очевидна, и что в про-
прочие токи зависимость от вкладов без производных в £ входит лишь
через ёк.
Определение токов A18) сохраняет смысл и в отсутствии симме-
симметрии, но тогда в левой части A16) появляется добавка, нарушающая
сохранение тока на классических решениях. Для трансляций и про-
пространственных вращений инвариантность нарушается при появлении в
£ дополнительной явной зависимости от х. Каноническая масштабная
176 Глава 2. Функциональная и диаграммная техника
инвариантность A.67) с размерностями полей Д = d^ имеется всегда,
но там одновременно преобразуются как поля, так и все размерные па-
параметры модели. Инвариантность по отношению к масштабным пре-
преобразованиям только самих полей и ее следствие - сохранение соответ-
соответствующего масштабного тока (его называют также "дилатационным"
по английскому термину) - имеются лишь при отсутствии размерных
параметров в действии, например, в безмассовой <р\-моп&пя. Но любая
регуляризация (п. 1.18) с неизбежностью вводит размерные параметры
и поэтому данную симметрию нарушает. Точно так же обстоит дело и
с конформной инвариантностью. Нарушение симметрии, порождаемое
только регуляризацией, в теории поля принято называть аномалией, в
отличие от явного нарушения неинвариантными вкладами S.
Заключительные замечания: 1) симметрия действия влечет суще-
существование сохраняющегося на классических решениях тока, но обрат-
обратное в общем случае неверно. Для сохранения тока на решениях (т.е.
при иа(х;<р) = 0) достаточно равенства <9jJj = caua с произвольными
коэффициентами са. Но симметрия действия следует из этого равен-
равенства лишь при вполне определенных (таких, как в A16)) коэффициентах
са ~ йшфа- 2) В моделях с нескалярными полями канонический тензор
A19) бывает несимметричным по ik, и тогда его обычно 1 симметри-
зуют подходящей добавкой, сохраняющейся на классических решениях,
ссылаясь на естественный произвол в определении понятий энергии и
импульса. Следует иметь в виду, что для получаемого таким путем
симметричного тензора д^ соотношение A16) может не выполняться.
И последнее: в моделях с безмассовыми полями, для которых ка-
каноническая масштабная и конформная симметрии нарушаются лишь
регуляризацией, вместо канонического выражения A19) часто исполь-
используют конформный тензор энергии-импульса г?4- и соответствующий
масштабный ток Ji = г?г-ж^, для которого на классических решениях
di Ji — i9,- = 0. В скалярных моделях типа ^4 величины i)i и Ji отли-
отличаются от соответствующих канонических выражений чисто попереч-
поперечными для любых ip (а не только на решениях) добавками со структурой
(d28ik - didk)(p2 для #f и dk(Xidk - xkdi)<f2 для Ji.
п.16 Тождества Уорда. Так называют различные соотношения,
вытекающие из точной или приближенной симметрии действия. Про-
Простейшие из них - утверждения об инвариантности функций Грина, ко-
которые удобно формулировать на языке соответствующих производящих
функционалов (п. 14). Для линейных по ip преобразований A12) равен-
1 Например, в электродинамике.
п.16 Тождества Уорда 177
ство А'<р' = А<р для формы типа A.48) определяет соответствующее
A12) преобразование источника А —>■ А'. Для инфинитезимальных пре-
преобразований (ИЗ) с 8ш<р = uiTip тогда получим 8ША = — (сиТ)тА =
—АшТ, где "т" - символ транспонирования линейной операции (п.1).
Поэтому инвариантность связных функций Грина относительно пре-
преобразований A12) может быть выражена следующими эквивалентными
соотношениями:
W(A') = W(A) *> d[8uW{A)] /dua =JdxWx[Ta] =0 Va . A21)
Здесь введено полезное для дальнейшего обозначение:
WX[T] = Aa{x) Таь 8W(A)/8Ab{x) , A22)
индекс х у W[T] напоминает о зависимости этой величины от х, функ-
функциональная зависимость от А не указывается, но подразумевается.
Второе равенство A21) - инфинитезимальная форма первого. Со-
Соотношения такого типа называют глобальными тождествами Уорда.
Они выражают свойства инвариантности функционала W(A) относи-
относительно глобальных (т.е. с не зависящими от х параметрами ш) пре-
преобразований типа A12).
Инвариантность A21) гарантирована, если при преобразованиях
A12) в интеграле C0) инвариантны действие S, мера Dip и область
интегрирования Е„н в целом. Последнее условие не выполняется при
спонтанном нарушении рассматриваемой симметрии, и тогда вместо
A21) имеем
WK,{A') = WK(A) , A23)
т.е. групповые преобразования связывают между собой функционалы
WK для разных чистых фаз, а для каждой отдельной фазы с данным к
симметрия нарушена: WK(A') ф WK(A). Дифференцированием соотно-
соотношения A23) по параметрам ша можно получить его инфинитезимальную
форму.
Такой метод (дифференцирование И^(А') по ша) получения глобаль-
глобальных тождеств Уорда удобен для линейных по <р преобразований типа
A12), для которых из равенства А'<р' = А<р легко ввести соответству-
соответствующее <р —>■ <р' преобразование источника А —>■ А'. В общем случае про-
произвольной непрерывной группы, не меняющей область интегрирования
£ин в целом, аналогичные A21) тождества Уорда выводятся следую-
следующим образом: рассматривается произвольное инфинитезимальное пре-
преобразование ip(x) —>■ (рш(х) = (р(х) + 8ш(р(х) и затем утверждается, что
178 Глава 2. Функциональная и диаграммная техника.
ввиду "независимости интеграла от обозначения переменной интегри-
интегрирования" величина J Dipu exp [3(<рш) + A<pu] не зависит от параметров
ш, поэтому ее первая вариация по ы должна быть равной нулю. В обо-
обозначениях A07) это можно записать в виде равенства
< tr [S{6u<p)/6<p] + 8uS{<p) + А8ш<р > = 0 , A24)
где первое слагаемое - вклад якобиана В<рш/В<р = det[8ipu/8<p] = 1 +
ti[8(8u<p)/8<p] с нужной точностью по ш (следствие последнего соотно-
соотношения D)). В частности, для групп A12) с линейной по ip вариацией
A13) (индексы для краткости опускаем)
ti [S(Su(p)/Sip] = tr(wT) = tr(wSymT) , SymT=(T + TT)/2 , A25)
поскольку след линейной операции Т определяется (п.1) лишь ее симме-
симметричной частью SymT.
Если действие и мера инвариантны, то в левой части соотношения
A24) остается только последний вклад. Соответствующее равенство
<С А6ш<р 3>= 0 для вариаций A13) при учете соотношения (ПО) экви-
эквивалентно тождеству У орд а A21).
Из A25) видно, что инвариантность меры для групп типа A12) обес-
обеспечивается антисимметричностью генераторов Т. Поэтому мера Dip
инвариантна относительно трансляций и различных вращений (п. 15),
генераторы которых антисимметричны (напомним, что Зт = —д). Но
для масштабных и конформных преобразований генераторы Т" содер-
содержат нетривиальную симметричную часть (например, для масштабного
генератора Т = А + х^дк с учетом соотношений Зт = — д и (дьхк) = d
находим Тт = Д — dkXk = А — d — хьдк, откуда SymT = Д — d/2 ф 0
при Д ф d/2), поэтому мера Dip относительно этих преобразований
неинвариантна. Для этих групп нетривиальна также интерпретация
величины С ^5 » в A24). К этому вопросу мы вернемся ниже после
обсуждения локальных тождеств У орд а.
Последние отличаются от глобальных тождеств типа A21) отсут-
отсутствием интегрирования по ж, и в конкретных моделях могут быть по-
получены разными способами. Один из них - использование изложен-
изложенного выше при выводе соотношения A24) приема для локального ана-
аналога рассматриваемого преобразования с зависящими от х параметрами
uia(x). Равенство A24) остается в силе, его вариационным дифферен-
дифференцированием по параметрам ша(х) получаются искомые локальные соот-
соотношения
8ша{х)
■С tr [SiS^/Stp] + 8SU(<p) + А6ш<р » = 0 , A26)
п. 16 Тождества, Уорда 179
которые в моделях с инвариантным (глобально) действием и будут иметь
смысл локальных тождеств Уорда.
Для важного частного случая преобразований A12) можно полу-
получить более явную форму соотношений типа A26), причем иным спо-
способом. Воспользуемся вытекающим из общего правила (92) равенством
О = / Dip 6{<рь(х) exp[S((p) + А<р]} /S<pa(x'), которое в обозначениях A07),
A15) принимает вид < 8аь8(х-х') + [иа(х'; ip)+Aa(x')]ipb{x) >= 0. Пре-
Преобразовав вклад с А по правилу (ПО), получим:
< -Sab 8{х - х') - «„(*'; р) <рь(*) > = А.И SW(A)/SAb(x) . A27)
Свернем это равенство с генераторами Т"ь рассматриваемой группы
(обозначения п.15), действующими по переменной х, и затем положим
х' = х. Величина Т£ь 8(х — х') есть ядро (п.1) линейной операции Та,
В диагональный элемент с х' = х, Ь = а дает вклад лишь симметричная
часть SymT= (Т + Тт)/2 операции Т, поэтому из соотношений A27) и
A22) получаем
< -Sym Т?а8(х - х')\х,=х - «„(*;<р)Тй<рь(х) » = Wx[Ta] . A28)
По аналогии с переходом от уравнения A08) к A09), соотношение
A28) также может быть истолковано как равенство составных опера-
операторов. При этом функционал в правой части A28) определяет посред-
посредством соотношения A06) с WF = Wx[Ta] некоторый не выражающийся
явно через <р составной оператор, подобно символу А в правой части
уравнения A09).
Равенство A28) справедливо независимо от симметрии действия.
При ее наличии из соотношений A28) и A16) следует
« -Sym Т:а8(х - *')!*,=, + Si J?(х; <р) » = Wx[Ta] . A29)
Это и есть искомая форма локального тождества Уорда для групп
типа A12). Как и любое получаемое из (92) соотношение, оно остается
справедливым для каждой отдельной чистой фазы при наличии спон-
спонтанного нарушения симметрии (п. 11), в отличие от соответствующего
глобального тождества Уорда, которое для отдельных фаз не выполня-
выполняется (см. выше).
Поясним соотношение между локальными и глобальными тожде-
тождествами Уорда подробнее на примере О„-симметрии. Для нее SymTa =
0, поэтому первое слагаемое в левой части A29) исчезает. При Т >
Тс функциональное интегрирование в C0), A07) производится по про-
пространству Е„н = Е быстро убывающих полей (п.1.13). Такими же бу-
будут тогда и построенные из <р токи A18), что гарантирует отсутствие
180 Глава 2. Функциональная и диаграммная техника
внеинтегральных членов в интеграле по х от дивергенции тока. По-
Поэтому левая часть равенства A29) после интегрирования по х исчезает,
что и приводит к глобальному тождеству Уорда A21).
При спонтанном нарушении симметрии (Т < Тс) функциональное
интегрирование в A07) производится по области Е„н = Е„н(<ро) с <ро =
ки (см. определение C8), а также правило 3 и последующий текст в
п.1.13). Локальное равенство A16) и его следствие A29) выполняются
и в этом случае, но глобальное соотношение A15) теряет смысл, т.к.
для определенного на такой области Е„н функционала S(<p) нельзя рас-
рассматривать выводящие из Еян глобальные преобразования (а локаль-
локальные с исчезающими при |ж| —>■ оо параметрами uia(x) - можно, что
существенно при обосновании соотношений A26)). Поэтому теперь уже
нельзя утверждать, что интеграл по х от дивергенции тока сводится к
вариации действия, следовательно, исчезает ввиду инвариантности по-
последнего. Поскольку этот аргумент теряет силу, указанный интеграл
может быть отличным от нуля из-за неисчезающих внеинтегральных
членов. Так оно в действительности и происходит, и в этом можно убе-
убедиться непосредственно прямой оценкой внеинтегральных членов для
тока A20) с <р £ Еян(<ро)- При этом важен не только сам факт вы-
выхода конфигураций ip{x) G Е„н на однородную асимптотику (ро, но еще
и то, что убывание разностей <р{х) — <ро при |ж| —>■ оо в общем случае
не является быстрым из-за присутствия безмассовых голдстоуновских
флуктуации. Действительно, в рамках теории возмущений для инте-
интеграла C8) и его On-аналога структура Е„н уточняется замечанием 4 в
п.1: в интеграле C8) Е„н = ки + K~lE, где к - единичный вектор на-
направления спонтанной намагниченности <ро = ки, и - ее абсолютная^ве-
личина. в беспетлевом приближении, К - ядро свободного действия So в
C9), К~гЕ - линейное пространство всех функций вида К~1А, A G E.
Вследствие спонтанного нарушения симметрии операция К является
безмассовой (~ в2) для поперечных по отношению к ро = ки направле-
направлений. Поэтому убывание функций <р(х) — у?о = ф(х) G К~гЕ в общем
случае будет не быстрым, а лишь степенным, причем именно таким,
какое нужно для обеспечения конечности внеинтегральных членов при
неограниченном увеличении объема интегрирования в интеграле от ди-
дивергенции тока A20). В импульсном представлении это эквивалентно
конечности предела k{J"(k) при к —>■ 0, которая обеспечивается при-
присутствием в составном операторе J"(A;) (т.е. в функциях Грина с его
участием) голдстоуновских сингулярностей типа hi/к2.
Локальные тождества Уорда с должной модификацией бывают по-
п. 16 Тождества Уорда 181
лезными и при отсутствии симметрии, особенно тогда, когда нару-
нарушающие симметрию вклады действия сравнительно простые. Равен-
Равенство A28) справедливо и в отсутствие симметрии, а вместо A16) тогда
имеем
-«„(*;?) Т«ь <рь{х) = д^Г(х;^) + Na(x;<p) , A30)
где № - добавочные локальные составные операторы, которые поро-
порождаются нарушающими симметрию вкладами действия. Для конкрет-
конкретной модели и группы добавки Na всегда можно найти явно. Нужное ло-
локальное тождество Уорда для явно нарушенной симметрии получается
подстановкой соотношения A30) в A28), т.е. добавкой "нарушающих
симметрию операторов" Na к <9,J" в A29).
Обсудим теперь роль вкладов с £@), которые в дальнейшем для
краткости будем называть 8-членами. Это не зависящие от <р константы,
отличные от нуля лишь для групп с SymTa ф 0 (из перечисленных в
п. 15 - только для масштабной и конформной) и порождаемые, как видно
из A25), неинвариантностью меры Dip относительно данных преобра-
преобразований. Ввиду независимости (^-членов от <р символ -С - • ■ 3> для них
везде можно опустить. Роль этих членов проще всего понять, положив в
A28) -4 = 0 (напомним, что этот функциональный аргумент везде под-
подразумевается). Тогда правая часть этого равенства обратится в нуль
в силу определения A22), а в левой части символ -С • • • ^> перейдет в
усреднение < ... > (см.A07)), и в итоге получим:
< -и„(«; <р) Г«ь <рь[х) > = Sym 2£ S(x - х')\х,=х . A31)
Отсюда ясно, что учет (^-членов в соотношениях типа A28), A29) экви-
эквивалентен вычитанию из нетривиальных составных операторов F(<p) под
знаком <С ... 3> их средних значений - констант < F(ip) >. Это действи-
действительно необходимо, так как правые части этих соотношений исчезают
при А = 0 согласно определению A22).
Обсудим равенство A31) подробнее. Его правая часть не содержит
параметров типа зарядов д, поэтому должна порождаться только вкла-
вкладами нулевого порядка по д в левой части. Их можно проконтролиро-
проконтролировать явно: свободное действие So{<p) = —<рК<р/2 дает в иа = 8S/8<pa
слагаемое —(Kip)a = —Кас<рс, вклад которого в левую часть A31) в ну-
нулевом порядке теории возмущений равен (Кас)х'(Т"ь)х Ась(х',х) \х'=х,
где Ась(х',х) =< фс{х')фь(х) >о - невозмущенный пропагатор, а ин-
индексами х,х' у операций уточняются переменные, на которые они дей-
действуют. Поскольку Д = А' (см. A3)), в полученном выше выражении
{Кас)х'Ась(х',х) = 8аЬ8(х-х'), поэтому оно сводится к Т"а S(x-x') \х>=х
182 Глава 2. Функциональная и диаграммная техника.
и совпадает с правой частью A31) при учете эквивалентности Та и
SymTa для диагональных элементов.
Таким образом, мы убедились прямой проверкой в справедливости
равенства A31). Тем не менее, оно может показаться парадоксальным,
так как при наличии соответствующей симметрии составной оператор
в левой части A31) сводится в силу A16) к дивергенции тока, а его
интеграл по х, свернутый с параметрами ша, - к вариации действия
A15), т.е. в этом случае
< diJfix; <p)>= Sym Т?а6(х - х') \х1=х , A32)
< -SuS{<p) >=■< uafdx diJi{x;ip) > = tr(w SymT) . A33)
Отличие от нуля правой части равенства A33) находится в очевидном
противоречии с предполагаемой симметрией, требующей в SuS((p) = 0.
При этом справедливость локального равенства A32) не вызывает со-
сомнений, поскольку оно эквивалентно проверенному выше явно соотно-
соотношению A31).
Здесь можно было бы сказать, что обсуждаемые выше симметрии
(для определенности будем говорить о масштабной) всегда наруша-
нарушаются регуляризацией. Но проблема остается и в безмассовой свобод-
свободной теории с действием типа S(ip) = —tpK<p/2,K = — д2, которое явно
масштабно-инвариантно (для преобразований с канонической размер-
размерностью Д = dy = dj'2 — 1) и, на первый взгляд, не требует регуляри-
регуляризации. Равенство A16) и его следствие A32) для масштабного тока в
этой теории выполняются, равенство SuS(<p) = — ш J dx djJi(x; ip) также
верно для любого <р G Е„н — К~1Е (см. замечание 4 в п.1). При этом
масштабные преобразования не выводят из этого пространства Е„н, а
убывание при |ж| —>■ оо функций <р(х) G Епи хотя и не является бы-
быстрым ввиду безмассовости А', но все же достаточно для исчезновения
внеинтегральных членов в интеграле от дивергенции тока. Поэтому
использованные выше при обсуждении спонтанного нарушения симме-
симметрии аргументы здесь неприложимы - существование величины 8Ш S(>p)
и ее равенство нулю не вызывают сомнений.
Единственным приемлемым объяснением обсуждаемого парадокса
на формальном уровне является признание некоммутативности в рас-
рассматриваемой ситуации операций усреднения A07) и интегрирования
по х. Именно перестановка этих двух операций при переходе от A32) к
A33) привела к парадоксальному на первый взгляд равенству "среднее
нуля не равно нулю". Правая часть равенства A33) есть в действитель-
действительности не "среднее от интеграла", а "интеграл от среднего", и при таком
понимании никакого противоречия нет.
п. 16 Тождества Уорда 183
При наличии неперестановочных операций всегда возникает вопрос
о порядке действий. Ответ прост, поскольку выбора у нас нет: с по-
помощью диаграммной техники мы умеем вычислять различные функции
Грина, т.е. функциональные средние от произведений полей, и только
потом можем выполнять другие операции типа дифференцирования и
интегрирования по аргументам х этих полей. Другими словами, функ-
функциональное интегрирование (или усреднение A07)) всегда выполняется
первым. Именно так следует интерпретировать в сомнительных слу-
случаях величины типа <С 8uS((p) ^> в A24): для рассматриваемых пре-
преобразований из инвариантности, т.е. из равенства SuS(<fi) = 0, еще не
следует <С SwS(ip) ^>— 0. Правильным соотношением является вытека-
вытекающее из A33) равенство
< SuS(<p) > = < 8uS{<p) > = -tr(w SymT) . A34)
Эта константа сокращает вклад якобиана в A24) (см. A25)), и лишь
при такой интерпретации из соотношения A24) получается, например,
нужное глобальное тождество Уорда для масштабной инвариантности
безмассовой свободной теории.
Сказанное выше позволяет объяснить, например, и такой "пара-
"парадокс": масштабное преобразование в интеграле A6) для безмассовой
свободной теории формально приводит к равенству с'1 = Jc~L, где
константа J ф 1 - якобиан преобразования. Простая ссылка на "несу-
"несуществование" величины A6), в математически строгом смысле, разуме-
разумеется, совершенно правильная, вряд ли может удовлетворить, поскольку
весь опыт работы с такими "несуществующими" объектами убеждает,
что при правильном понимании получаемые формальным путем резуль-
результаты непротиворечивы и внутренне самосогласованны. Считая в дан-
данном случае '"правильным пониманием" равенство A34), нетрудно убе-
убедиться, что полученное выше соотношение в инфинитезимальной форме
сводится к простому тождеству с = с, как и хотелось бы.
Первопричина обсуждавшихся выше проблем весьма проста: даже
в свободной теории рассматриваемые объекты, в частности, функции
Грина составных операторов типа дивергенций токов, содержат степен-
степенные УФ-расходимости, поэтому для корректного определения требуют
регуляризации обрезанием Л, что нарушает симметрию. В точных со-
соотношениях с обрезанием Л не должно быть, конечно, никаких проти-
противоречий, и мы могли бы указать на это с самого начала. Но введение Л
резко усложняет запись формул, поэтому мы и стремились сформули-
сформулировать выше такую интерпретацию получаемых соотношений, которая
позволяла бы избегать формальных противоречий даже беа учета Л. По
184 Глава 2. Функциональней и диаграммная техника
этому поводу отметим также, что при вычислениях в рамках формаль-
формальной схемы размерной регуляризации все £-члены отбрасываются как
регулярные вклады (п. 1.20). В общем случае это константы, влияющие
только на средние значения операторов и нужные для согласования этих
средних значений в получаемых соотношениях.
Возвращаясь в заключение к тождествам Уорда A29), отметим, что
будучи в своей исходной форме равенствами зависящих от А функци-
функционалов (см. определения A07) и A22)), они эквивалентны равенствам
соответствующих составных операторов (аналогично переходу от A08)
к A09)) и всегда могут быть переписаны с помощью соотношения (ПО)
в виде уравнений в вариационных производных для функционала W(-4).
В качестве примера приведем эквивалент A29) для тока О,,-симметрии
A20)
Asab<Aa(x) \ ;-д,- , . , > д{ W(A)+ ' di \ > = О,
t ' 8Ab(x) [8Aa(x) 8Ab(x) 8Aa(x) <L46(a;)JJ
A35)
где Asab - оператор антисимметризации по перестановке индексов а и
6. Уравнение A35) стандартными приемами (см.п.11) может быть пе-
переписано в терминах функционала Г (а).
п. 17 О связи масштабной и конформной инвариантности. В
этом разделе, как и в предыдущих, под масштабной инвариантностью
понимается не симметрия A.67), а инвариантность по отношению к
преобразованиям только полей при фиксированных параметрах. Фор-
Формально такая симметрия с каноническими размерностями полей есть у
любого действия, не содержащего размерных констант. Но УФ-расходи-
мости таких "логарифмических" (п. 1.16) теорий требуют введения ре-
регуляризации (п. 1.18), что всегда ведет к нарушению данной симметрии.
Поэтому ниже речь пойдет не о канонической, а о критической масштаб-
масштабной инвариантности. Это свойство, которым обладают ренормирован-
ные функции Грина теории, рассматриваемой непосредственно в кри-
критической точке (все параметры типа масс равны нулю), и, к тому же,
при д = д*, т.е. в фиксированной точке ренормгруппы; при д Ф д* этим
свойством обладают лишь ИК-асимптотики функций Грина (п. 1.33).
Для этой симметрии роль Д в генераторах масштабных преобразова-
преобразований (п. 15) играет не каноническая, а критическая размерность поля.
Оказывается, что в некоторых моделях (в том числе Оп-<р^) крити-
критическая масштабная инвариантность функций Грина вместе с трансля-
трансляционной и вращательной автоматически влечет конформную. Приводи-
Приводимый ниже вариант доказательства взят из [77]. Все рассматриваемые в
нем объекты (действие и все, что из него строится) относятся к ренор-
п. 17 О связи масштабной и конформной инвариантности 185
мированной теории, поскольку речь идет о свойствах ренормированных
функций Грина, под вращениями всегда понимаются пространствен-
пространственные вращения. Будем считать, что рассматриваемая модель локальна,
инвариантна относительно трансляций и вращений, содержит только
скалярные поля, а значения параметров в ее функционале действия S
(ренормированном, в дальнейшем это не оговариваем) соответствуют
условиям критической масштабной инвариантности, т.е. все параметры
типа масс равны нулю и д = д* (при д ф д* нам пришлось бы говорить
не о самих функциях Грина, а об их ИК-асимптотиках). Строго говоря,
само ренормированное действие S при д — д* плохо определено из-за
сингулярностей констант ренормировки Z в этой точке (п.1.27). Но для
приводимого ниже доказательства это не имеет значения, поскольку в
нем мы будем иметь дело лишь с хорошо определенными объектами - ре-
нормированными функциями Грина полей и составных операторов типа
тензора энергии-импульса. Напомним, что из инвариантности относи-
относительно вращений вытекает симметричность тензора энергии-импульса
A19).
В обозначениях A22) инвариантность функций Грина относительно
группы с генераторами Та выражается равенствами
fdx Wx{Ta] = 0 . A36)
Напомним вид генераторов Та (п. 15) для интересующих нас групп:
трансляции : Tk = dk ; A37а)
пространственные вращения : Tks = xsdk — Xkds; A376)
масштабные преобразования : Т = хкдк + А ; A37в)
конформные: Тк = х2дк — 2xkXsds — 2Ахк ■ A37г)
Везде опущен спиновый вклад (п. 15), поскольку все поля считаем ска-
скалярными. Если их много, то по соответствующему нумерующему ин-
индексу все приведенные генераторы следует считать кратными единич-
единичной матрице.
Мы хотим показать, что иногда три первые симметрии A37) авто-
автоматически влекут четвертую. Воспользуемся тождеством Уорда A29)
для частного случая тензора энергии-импульса J" = дк из A19) (для
него Sym Ta = Sym дк = 0):
< д^Ч > = Wx{dk] . A38)
186 Глава 2. Функциональная и диаграммная техника
При учете этого равенства и симметричности г)к имеем:
< di [xk0$] » = <£ ** ft tf? + tfj » = Wx[xkdk] + < Щ > ,
= Wx[x-dk - 2xkx,dt]- < '2xkd\ > .
Если проинтегрировать эти равенства по ж, то левые части обратятся в
нуль как интегралы от полных производных с точностью до возможных
6-членов (п. 16), и мы получим:
О = fdx { Wx[xkdk] + « 4 »|, } , A39)
О = fdx { Wx[ x2dk - 2xkx.d.] - 2xk < 1?; >|, } . A40)
Знак |» здесь и далее обозначает порождаемое J-членами (п. 16) вычи-
вычитание из оператора F под знаком <С ... ^> его среднего значения, т.е.
константы < F > (отметим, что это не отражается на нетривиальных
связных функциях Грина с данным составным оператором).
Воспользуемся теперь предполагаемой масштабной инвариантностью
функций Грина, которая выражается равенством A36) с генератором
A37в). Из этого равенства при учете A39) получаем:
0 = fdx{ ^[Д] - < i?{ »|, } • A41)
Из соотношения A27) следует, что величина W^fT] с произвольной ло-
локальной линейной операцией Т представима в виде среднего С F >
с некоторым локальным составным оператором F. Следовательно, так
же представимо все подынтегральное выражение в A41), и соответству-
соответствующий ему локальный оператор F в силу утверждения 2 в п. 15 является
дивергенцией некоторого локального тока. Поэтому из соотношения
A41) вытекает равенство
<j?j + ftJi»|, = И/'ЛД] A42)
с некоторым неизвестным локальным (это важно) составным операто-
оператором J,. При подстановке A42) в A40) операции под знаком Wx[...] скла-
складываются в генераторы Тк конформных преобразований A37г), и мы
получаем:
0 = fdx { Ws[Tk] + 2*fc « ftJj >|, } . A43)
Это соотношение в отсутствие слагаемого с J,- и означало бы, согласно
A36), конформную инвариантность функций Грина.
я. 18 Конформные структуры прояагаторов и вершин. 187
Иногда можно показать, что слагаемое с J,- в A43) заведомо не дает
вклада. Так будет тогда, когда векторный локальный составной опера-
оператор Ji с нужной симметрией и канонической размерностью (у <9; Ji Как
у д\ согласно A42)) можно построить лишь в виде градиента 3,-F. То-
Тогда в A43) имеем Xkd,Ji = XkdidjF, и при интегрировании по х этот
вклад исчезнет, так как один множитель х не может компенсировать две
производных, а возможные д"-члены устраняются вычитанием. В этом
случае конформная инвариантность - следствие прочих. Так всегда и
будет в моделях с одним скалярным полем, поскольку при одном поле
локальный вектор можно построить лишь в виде градиента. Но уже
для двух скалярных полей возможны конструкции типа J, — <f\diip2, не
сводящиеся к OiF. В частных случаях, например, в Оп-у4-модели та-
такие конструкции запрещены сделанной выше оговоркой относительно
"нужной симметрии" J,-: величина J,-, подобно "д\ в A42), должна быть
О„-скаляром, т.е. выражением типа <рад{1ра, сводящимся к di{ifafa)-
Поэтому и для этой модели конформная инвариантность - следствие
прочих.
В общем случае это не так, и для исследования свойств симметрии в
критическом режиме необходим анализ дивергенций соответствующих
токов с учетом ренормировок (гл.З). Как правило, для моделей с неска-
нескалярными полями конформной инвариантности в критическом режиме
нет.
п.18 Конформные структуры для полных пропагаторов и
тройных вершин. Оказывается, что четыре симметрии A37) в сово-
совокупности определяют с точностью до нормировок первые три связные
функции Грина. Иногда это используется (пример в гл.4) для расчета
критических размерностей. Как и в п.17, мы будем рассматривать
только скалярные поля, всегда подразумевая под полями <ра(х) и их
функциями Грина ренормированные объекты.
Симметрия функций Грина, относительно рассмотренных в п. 15 пре-
преобразований типа A12) выражается равенством
<<(*l)---^an(*»)> = <V«,(*l).--^»(*n)> - О-44)
Из симметрии относительно трансляций и вращений следует, что
< tpa(x) > не зависит от i, а старшие функции зависят только от
относительных расстояний таь = \ха — хь\. В дальнейшем будем счи-
считать, что < ф >= 0, поскольку этого всегда можно добиться сдвигом
<р. ■—$■ ip+const. Отметим, что в критической точке равенство < ф >= О
всегда считается выполненным (п.1.9), и что оно также следует из мас-
масштабной инвариантности, если критическая размерность Д^ отлична
188 Глава 2. Функциональней! и диаграммная техника
от нуля.
При W\ =< <р >= 0 связные функции й^г.з совпадают с нормиро-
нормированными полными функциями A.33) для двух и трех полей (п.1.10). Из
их инвариантности относительно трансляций, вращений и масштабных
преобразований (п. 15) следует, что в общем случае (об исключениях см.
в конце раздела)
< £i(*i)&M > = А гГ2Л1"Л2 , A45)
ЛЛЛ г23/г12) , A46)
где Да - заданные размерности полей <ра, таь = \ха — %ь\, константа А
и функция / произвольны.
Наложим теперь дополнительное требование инвариантности A44)
и по отношению к конформной инверсии A14) (напомним, что это необ-
необходимое и достаточное условие конформной инвариантности при нали-
наличии трансляционной, см. п. 15). Легко проверить, что при конформной
инверсии координат х —>■ х' = х/\х\2 расстояния таь = \ха — хь\ преобра-
преобразуются по правилу т'аЬ = \х'а — х'ь\ = га{,/|жа||жь| и что из трех расстояний
таь нельзя построить конформно-инвариантную комбинацию. Учитывая
это, нетрудно убедиться, что представление A45) совместно с конформ-
конформной инвариантностью лишь при Дг = Д2, а в A46) функция / при
любых заданных размерностях полей Д„ определяется требованием кон-
конформной инвариантности однозначно с точностью до нормировки [78]:
при Ai = Д2 = Д ,
гГ
< £i(*i)£2(*3)ft(*3) >= А' гДз-Д.-Д3гД»-Д1-ДзгД.-Д3-Дз. A476)
Для четырех и более полей (в отличие от трех) из расстояний гаь
уже можно построить конформно-инвариантные комбинации, а именно,
Tab?cd/Ta'b'Tc'd', где a'b'c'd' - любая перестановка исходного набора ин-
индексов abed. Поэтому требование конформной инвариантности таких
функций определяет их не однозначно, а лишь с точностью до произ-
произвольной функции всех независимых конформных инвариантов (для че-
четырех полей таковых два).
Отметим также, что аналогичные A47) "конформные структуры"
известны и для нескалярных полей (спинорных, векторных, тензорных).
Но воспользоваться ими практически можно лишь тогда, когда сама
п.19 l/n-разложение в Оп-<р4-модели при Т >ТС 189
конформная инвариантность гарантирована, что для моделей с неска-
нескалярными полями скорее исключение, чем правило.
И последнее: формулы A45) - A47) справедливы для общего случая
произвольных размерностей Д. В некоторых особых случаях предпо-
предполагаемая симметрия допускает появление "исключительных структур"
с й-функциями вместо степеней. Для корреляторов A45),A47а) особым
является случай теневого соотношения Ai + Д2 = d, которому соответ-
соответствует конформно-инвариантная исключительная структура 6(х\ — х2).
Для вершин A476) также возможны исключительные структуры типа
S(xi — хо) -г7з2Лз в особом случае Ai + До = d+Дз и S(xi — ж2) -^(жо — жз)
при Д1 + Д2 + Дз = '2d.
п.19 l/n-разложение в 0„-<^4-модели при Т > ТС. В Оп-<р4-моде-
ли G9) каждой внешней линии диаграмм приписывается независимый
свободный индекс, соответствующие индексные структурные множи-
множители для данной диаграммы вычисляются по индексной диаграмме того
же вида с линиями и вершинами (80). Отметим, что любая из диаграмм
Wi по двум внешним индексам аЬ кратна 8аь (сейчас обсуждаем только
симметричную фазу с h = 0, Т > Тс ), а для старших функций имеется
лишь симметрия относительно одновременных перестановок внешних
индексов и соответствующих координат или импульсов.
При вычислении индексных множителей могут появляться свертки
6аа = п, поэтому эти множители для каждой из диаграмм - некото-
некоторые полиномы по п. Вычисление индексных множителей для сложных
диаграмм - чисто техническая, но громоздкая работа, которую все-
всегда можно запрограммировать. Для простых диаграмм вычисления
несложные, при этом удобно воспользоваться следующим представле-
представлением индексного вершинного множителя (80):
X -J[
A48)
Пунктирная "линия взаимодействия" индексов не имеет, сплошным ли-
линиям и тройным вершинам сопоставляется 6аь- Поэтому каждой це-
цепочке сплошных линий соответствует фактически один индекс, сумми-
суммирование по которому в замкнутых циклах сплошных линий дает мно-
множитель п. Приведем простой пример расчета индексной диаграммы с
помощью представления A48):
Q_
190 Глава 2. Функциональная и диаграммная техника
Анализ процедуры вычисления индексных множителей в данной мо-
модели показывает, что в диаграммах всех связных функций Wom порядок
полинома по п (показатель старшей степени п) не превосходит числа
петель / и обязательно достигает его в некоторых диаграммах. От-
Отсюда следует,что VV'om = Ylt9i+m~1Pmi{n), где Pmi(n) - полином по
п порядка / (прочие аргументы подразумеваются), а суммирование по
числу петель / начинается с двух для Wo и с нуля для всех прочих
функций. Поэтому задача о 1/гс-разложении ставится следующим обра-
образом: требуется найти асимптотику п —У оо для всех функций Wom при
g — Х/п, X =const. Главный член асимптотики Wim имеет тогда поря-
порядок п1~т и собирается из всех диаграмм обычной теории возмущений
от вкладов только старших степеней п1 в полиномах Pmi(n). Учет сле-
следующих вкладов дает последовательный ряд поправок по степеням 1/гс.
Оказывается, что эта на первый взгляд трудная задача довольно
легко решается методом функционального интегрирования. Приведем
это решение. Запишем функционал C0) для нашей модели G9) с g =
Х/п в виде
■ G(A) = cfDtp exp[-^aA>a/2-A(^2O24n +Aalpa] , A50)
где К = —О2 + т и т = Т — ТС|). В A50) и далее для краткости не
указываются явно, но подразумеваются нужные интегрирования по ко-
координатам и суммирования по повторяющимся индексам.
Вклад взаимодействия в A50) можно с помощью соотношения A)
представить в виде гауссова интеграла по некоторому вспомогатель-
вспомогательному Оп-скалярному (не имеющему индекса) полю ф = ф(х):
ехр [-Х{<р2J/24п ] = c'fDi' ехр [ Зпф2/2Л - ф<р2/2 ] . A51)
Во избежание недоразумений приведем показатель интегрируемой экс-
экспоненты в подробной записи: f dx[3ml>2(x)/2X — ф(х)(ра(х)(ра(х)/2 ]. Ра-
Растяжением ф коэффициент при ф<р2 в A51) можно менять, мы выбрали
стандартный симметрийный коэффициент 1/2, минус введен для удоб-
удобства. Отметим также, что заменой ф —>■ гф можно обеспечить фор-
формальную сходимость интеграла A51). Но для вывода диаграммной
техники l/n-разложения это несущественно, и мы будем пользоваться
более удобной технически формой записи A51).
Подставив A51) в A50), представим G(A) в виде
G(A) = cc?ffD<pD4> ехр[-ч;а{К + ф)<ра/2 + Зпф2/2Х + Аа<ра]. A52)
п.19 l/n-разложение в Оп-<р4-модели при Т > Тс 191
Вычислив здесь гауссов интеграл по <р по правилу A) с учетом опреде-
определения (п.З) нормировочной константы с в A50), получим
G{A) = c'jDi) exp [ nF{il>) + AaAAa/2 ] . A53)
Здесь и далее
~ ? A54)
Поясним вывод соотношения A53): квадратичная форма по <р в A52)
имеет вид —<pL(p/2 с диагональной блочной матрицей L, имеющей п
одинаковых блоков К на диагонали. Поэтому det L — (det K)n =
expfntr In К] согласно D), а учет нормировочной постоянной с перед ин-
интегралом A50) сводится к замене det А' —>■ det К/ det Л' = det (А'/А').
Напомним, что Л' = — <92 + т, вклад ф в А* = К + ф понимается как
операция умножения на ф(х), в обозначениях п.1 ей соответствует ядро
ф(хN(х — х'). Напомним также, что в слагаемом с ф2 в A54) подразуме-
подразумевается интегрирование по ж, a tr In (A"/A") = tr In A' —tr In Л" по правилам
D).
В показателе A53) явно выделен "большой" параметр п, поэтому
искомое l/n-разложение можно получить вычислением интеграла A53)
методом стационарной фазы (п.8). Слагаемое с Л в A53) не имеет ко-
коэффициента п, поэтому нужно искать точку стационарности V'o только
функционала F(tZ') в показателе A53):
6Р(ф)/5ф(х)\^о = Зф0(х)/\-А(х,х)/2\^о = 0. A55)
Поясним: при вариации ф, согласно F), имеем tftrlnA' = tx(SK/K) =
tr(Ad^>) = f dxA(x, хNф(х) ввиду локальности операции умножения на
ф, поэтому
5tvhi(K +ф)/6ф{х) = А(х,х) , А = 1/~К = (К+ф)'1 . A56)
Будем искать решение уравнения A55) в классе фо =const, так как не
ждем спонтанного нарушения трансляционной инвариантности. Тогда
в A55) можно перейти к импульсному представлению A.35) для Д =
(—З2 + т + V'o), что приведет это уравнение к виду
фо = eW / (*3+t\iM A57)
с интегрированием по d-мерному к. Расходимость интеграла на боль-
больших импульсах при d > 2 требует введения обрезания Л.
192 Глава 2. Функциональная я длагралшная техника
Допустив существование и единственность решения уравнения A57)
(об этом потом), поступаем по общей схеме п.8: делаем в интеграле A53)
сдвиг ф —>■ ф + фо и затем разлагаем показатель в ряд Тэйлора по новой
переменной ф. После такого сдвига
Д = {К+фо + ф)-1 = А-АфА+АфАфА-... , А = {К+фо)-1 . A58)
При вычислении trln... воспользуемся формулами D): tr ln(/\ +Фо+Ф)~
trln(A" + ф0) — tx\a[A{A~x + (/>)] = trln(l + Аф), результат разлагается
в ряд типа G). Отсюда для функционала F из A54) получаем
со
A59)
линейный по ф вклад отсутствует в силу условия стационарности A55).
В результате интеграл A53) представляется в виде
G(A) — с^Офехр[пР(фо) — фА~гф/2 + и(ф)+АаААа/2], A60)
где Д - ряд A58), величина Д = —п[3/А + Д2/2] определяется ква-
квадратичными по ф вкладами A59), а 11(ф) - ряд из A59) без вклада с
к = 2. В подробной записи
Диаграммное представление интеграла A60) определяется правилом
2 в п.2, но для использования соотношения B8) нужно предварительно
домножить и разделить выражение A60) на нормировочный множитель
с", определяемый соотношением A6) для квадратичной по ф формы из
A60). В результате после логарифмирования получим
W(A) = In G(A) = 7 +In [Рфехр\%^0 , A62)
где Р^ - операция приведения A4) с заменой <р —>■ Ф, А —>■ Д^, и
7 = nF(V'o) + Щс'/с") , V = U + AJiLAa/2 . A63)
Подставив известные из общего правила A6) явные выражения для нор-
нормировочных множителей интегралов A51) и AE0), с учетом A54) нахо-
находим
7 = | [ 3VJJ/A - trln((A' + фо)/К)} - ^,г1п(-АД-73п) . A64)
п.19 1/n-разложение в О'п-фА-модели при Т >ТС 193
Все вклады здесь кратны бесконечному объему системы fdx, так как
этот множитель, согласно E), всегда выделяется из trln ... трансляцион-
но-инвариантных операций, а в первом слагаемом A64) интеграл по х
просто подразумевается (см. выше).
Обратимся теперь ко второму слагаемому в правой части A62). Это
стандартная конструкция, легко интерпретируемая в терминах диа-
диаграмм по общим правилам п.2. Изобразим функционал V графически:
— X * X
A65)
Хвостики изображают множители ф, крестики - А, сплошные линии -
матричный пропагатор ДаЬ = 6аьА с Д из A58) для основного поля <ра
(в интеграле A60) его уже нет, но оно оставило след в графических кон-
конструкциях), тройным вершинам соответствуют единичные множители.
В таких обозначениях соотношение A61) принимает вид
= -Зп/А-10. A66)
Свертки индексных множителей 6аь в замкнутых циклах сплошных ли-
линий дают множитель п, поэтому вклады петель в A65) и A66) пропор-
пропорциональны п. Обратная к A61) величина Д^, имеет смысл пропагатора
вспомогательного поля ф, и мы будем изображать его графически штри-
штриховыми линиями. При разложении в ряд ехр V в A62) получим сумму
несвязных диаграмм со связными компонентами из A65) (цепочки и
циклы). Действие на них операции Рф соответствует попарному сво-
сворачиванию хвостиков ф в штриховые линии всеми возможными спосо-
способами, при этом в силу условия ф = 0 в A62) все поля ф должны быть
свернутыми. Логарифмирование в A62) соответствует отбору только
связных диаграмм (п.2). Таким путем получаем диаграммы функцио-
функционала РУ(Л), коэффициенты при A2m/B?tj)! в его разложении - связные
функции Wnm. Графически функция Wim определяется диаграммами,
содержащими '2т крестиков А. Такие диаграммы имеют т цепочек
A65) и любое число циклов. По этим правилам получаем:
+ ■■■;
194 Глава 2. Функциональная и диаграммная техника
W2 = — + • * + k — + ...; W4 = 3 ; + ... A67)
и так далее. Напомним, что сплошные линии в этих диаграммах (у них
подразумеваются индексы) изображают пропагатор основного поля tpa,
штриховые - пропагатор вспомогательного поля ф, тройным вершинам
соответствуют единичные множители и ^'-символы по индексам:
По виду и коэффициентам графики A67) точно такие же, как в те-
теории двух полей ip, ф с взаимодействием ф^р2 /2 (строгое обоснование в
п.20), но не все, так как в сумме A65) нет вкладов однократного и дву-
двукратного циклов. Поскольку в диаграммах A67) нет закороченных и
"размноженных" линий (нескольких однотипных линий, соединяющих
одну пару вершин), все двойки и факториалы в формуле B3) отсут-
отсутствуют, так что коэффициентом при любой диаграмме функционала
Jy(j4) является просто ее обратное симметрийное число. При переходе
к диаграммам функций W^m оно умножается на Bт)!, что и дает при-
приведенные в A67) коэффициенты.
Порядок графика по 1/п определяется следующими простыми со-
соображениями: сплошная линия - величина порядка единицы, штри-
штриховая - порядка 1/п, каждый замкнутый цикл сплошных линий дает
множитель п от суммирования по индексам. Ведущие вклады Wo по-
порядка пи1 сосредоточены в известной из A64) величине 7, графики Wo
имеют порядок 1/п и выше, в A67) приведены все диаграммы порядка
1/п. Ведущий вклад W2 (сплошная линия) - величина порядка 1, пер-
первая поправка ~ 1/п дается двумя графиками A67). Нужно отметить,
что в 1/п-разложении уже с первых шагов число диаграмм нарастает
с ростом порядка гораздо быстрее, чем в обычной теории возмущений:
например, для пропагатора Wn в порядке 1/п всего две приведенных
в A67) диаграммы, а в следующем порядке 1/п2 их уже 20 (найти
эти диаграммы и их коэффициенты - хорошее упражнение). Быстрый
рост числа графиков - одна из основных трудностей при расчете 1/п-
разложений критических показателей в высших порядках (гл.4). Но
важно, что в любом заданном порядке по 1/п число нужных диаграмм
конечно. Поэтому, в принципе, поставленная задача решена, если точка
стационарности фо существует, что выше предполагалось. Отметим,
что обсуждаемое решение соответствует только симметричной фазе с
п.19 l/n-разложение в 0„-^4-модели при Т >ТС 195
< <р >= 0, поскольку внешнее поле в уравнение стационарности A57)
не входит, а интеграл по <р в A52) вычислялся без сдвига <р. Поэтому
исчезновение решения уравнения стационарности A57) при некотором
значении Т соответствует в данном случае переходу в несимметричную
фазу с отличной от нуля спонтанной намагниченностью < !р >. Для
единообразного описания обеих фаз в рамках l/n-разложения удобно,
как обычно, перейти к языку преобразования Лежандра Г (п.21).
Обсудим подробнее уравнение стационарности A57). В нем удобно
перейти от фо к новой переменной £ = т + фо. Она должна быть не-
неотрицательной, так как в импульсном представлении 8аъ(к2 +£)-1 есть
коррелятор поля tpa в ведущем порядке 1/п-разложения (см. выше). На-
Напомним, что коррелятор любой реально наблюдаемой величины должен
быть положительно определенным, и это свойство должно сохраняться
в ведущем порядке любого регулярного разложения (п.1.9). Отметим,
что к искусственно вводимому полю ф подобная аргументация непри-
ложима.
Подставив в A57) £ = r + V;o, т = Т — Тсо [Тсо - критическая темпе-
температура в приближении Ландау), перепишем это уравнение в виде
m A69)
с интегрированием по d-мерному импульсу к. Определенная в A69)
функция /(£) монотонно убывает на полуоси £ > О, исчезая как 1/£ при
£ —> со. Она максимальна при £ = 0, и это ее максимальное значение
1@) для d < 2 бесконечно, а для d > 2 - конечно. Поэтому в первом слу-
случае решение £ = £{Т) уравнения A69) существует при любом значении
Т (оно легко находится графически и единственно ввиду монотонности
функции /(£)), а во втором - только при Т > Тсо — /@) = Тс. Пра-
Правая часть этого неравенства есть значение критической температуры
Тс в ведущем порядке 1/гг-разложения. Исчезновение решения уравне-
уравнения A69) при Т <ТС соответствует переходу в несимметричную фазу с
появлением спонтанной намагниченности (см. выше).
Эти выводы согласуются с известной общей теоремой Мермина -
Вагнера [71], запрещающей фазовый переход с появлением среднего
< <р ~>ф 0 при конечном значении Т в размерности d < 2. В данном от-
отношении предсказания l/n-разложения правильны, и этим оно выгодно
отличается от простой теории Ландау (= приближение самосогласован-
самосогласованного поля = беспетлевое приближение для Г), предсказывающей фазо-
фазовый переход с конечным значением Тс при любой размерности d.
196 Глава 2. Функциональная и диаграммная техника.
п.20 Простой метод построения 1/7г-разложения. Приведен-
Приведенный в п. 19 метод получения диаграммной техники 1/п-разложения мож-
можно существенно упростить. Будем исходить из представления A52) в
терминах теории двух полей. Сделаем в этом интеграле сдвиг ф —>
щ + ф, тогда функционал действия в показателе примет вид
5 = -<ра(К + фо + 4>)<ра/2 + МФ2 + '2фоФ + Ф1)/2\ . A70)
Параметр сдвига ^о определим из условия стационарности A55), кото-
которое перепишем в виде
= \ О •
Суммирование по индексу а в закороченной линии 6ааА(х, х) дает мно-
множитесь п, который в уравнении A55) был сокращен. Определив затем
величину А1 соотношением A66), можно переписать функционал дей-
действия A70) с учетом равенства A71) следующим образом:
5 = 3n^o2/2A-i[^aA-Va+^A^V+^2] + 5wO-^v>Ow A72)
(обозначения A65), хвостики в графиках изображают множители ф).
Если в интеграле типа A52) с действием A72) выполнить интегриро-
интегрирование по <р, получим представление A60) функционала G(A). При этом
содержащиеся в A72) графики сокращают циклы с к = 1,2 в trln ...,
поэтому их и нет в правой части A65).
Если отбросить вклады двух графиков в действии A72), получим
обычную теорию двух полей с заданными пропагаторами и взаимо-
взаимодействием —ф>р2 /2 (плюс несущественная константа), которую в даль-
дальнейшем будем называть "простой моделью Vv2'- Наша модель A72)
отличается от простой лишь устранением части графиков, а именно,
всех тех, которые содержат хотя бы один однократный или двукрат-
двукратный цикл сплошных линий. Фактически это и есть простейшая фор-
формулировка диаграммной техники 1/п-разложения: ''диаграммы модели
ф(р2 с такими-то линиями и без таких-то графиков". Устранение не-
ненужных диаграмм осуществляется графиками A72), которые следует
рассматривать как добавку к взаимодействию, а не к свободной части,
хотя первый из этих графиков линеен, а второй - квадратичен по ф.
В простой модели проблема 1/п-разложения нетривиальна, так как
п.'2О Простой метод построения 1/п-разложения 197
следующие вставки в линии (и только они) не меняют порядка по 1/п:
>_7_; > -(У- A73)
(напомним, что каждый цикл дает множитель п, линия ф имеет поря-
порядок 1/п, линия (р - порядок 1). Число графиков данного порядка по 1/п
в простой модели бесконечно, поскольку любое число вставок A73) не
меняет порядка диаграммы по 1/п. Устранение графиками A72) всех
диаграмм с однократными и двукратными циклами исключает "опас-
"опасные" вставки A73), тем самым автоматически решает проблему 1/п-
разложения.
Окончательный рецепт можно сформулировать следующим образом:
переходим от исходного интеграла A50) к представлению A52) в тер-
терминах двух полей и делаем в нем сдвиг ф —ьфо+ф, подбирая ф0 из усло-
условия сокращения вклада однократного цикла в диаграммах, что эквива-
эквивалентно уравнению стационарности A55). Затем пишем S = S — фЬф +
фЬф, относя —фЬф к свободной части, а фЬф - к взаимодействию, и под-
подбираем ядро L из условия сокращения в диаграммах двукратного цикла.
Обычная диаграммная техника теории двух полей с полученными та-
таким путем нетривиальными пропагаторами и устраненными опасными
циклами и будет искомой диаграммной техникой 1/п-разложения. Этот
рецепт пригоден и для различных обобщений рассматриваемой сейчас
0„-^>4-модели (п.п.27,28).
п.21 l/n-разложение функционалов W и Г при А ~ a ~ п1/2.
До сих пор мы изучали асимптотику п. —> оо при g = A/n, A =const
связных функций Грина W^m модели с взаимодействием ~ gtp4 в нуле-
нулевом внешнем поле. В ведущем порядке W%m ~ nl~m (п. 19), поэтому
при А порядка единицы отдельные вклады в разложении W(A) no A
имеют разный порядок по 1/п. Но при А ~ п1! они становятся вели-
величинами одного порядка, и можно поставить задачу о 1/?ьразложениях
функционала W(A) при А ~ п1/2 и его преобразования Лежандра Г(а)
при а ~ п1'2. Такая постановка задачи нужна для построения реше-
решения в произвольном внешнем поле h ~ п1!'1 (как обычно, h считается
включенным в А) и необходима при Т < Тс, поскольку в 1 /п-разложении
спонтанная намагниченность ао автоматически оказывается величиной
порядка п1!1 (см., например, выражение (90) с д = А/n). Поэтому в
1/7г-разложении естественно считать h ~ п1'2, чтобы поправки к ао от
h имели тот же порядок величины.
Поставленная задача легко решается модификацией формул п. 19.
198 Глава 2. Функциональная и диаграммная техника
При А ~ п1/2 (в дальнейшем это всегда подразумевается) оба слага-
слагаемых в показателе A53) имеют порядок п. Поэтому теперь надо искать
точку стационарности всего показателя, т.е. решение уравнения (обо-
(обозначения A65))
Зпт&о/А = \ О + \ <С " A74)
Все вклады здесь имеют порядок п, при А = 0 соотношение A74) сво-
сводится к эквивалентному A55) уравнению A71). Равенство A74) - урав-
уравнение самосогласования для величины фо, входящей также (см. A68)) и
в линии графиков A74). При разложении показателя экспоненты A53)
в точке стационарности теперь нужно учитывать и вклад слагаемого с
А в А^1. Поэтому вместо A66) теперь получим:
1 = -Зп/А- I Q _ LJ . A75)
Вершинам (точкам) в этих графиках соответствуют свободные аргу-
аргументы х, х', первое слагаемое кратно единичной операции с ядром
S(x — х'). Решение ф0 уравнения A74) и величина A75) становятся те-
теперь функционалами от А и при А(х) ф const неоднородны. Формулы
A62) и A64) с измененными фа и ДТ1 остаются верными, но в A65)
теперь исчезают вклады цепочек с одним и двумя ф: первый уходит в
уравнение стационарности A74), а второй - в ядро A75). Не содержа-
содержащий ф первый член прогрессии A65) войдет аддитивно в W(j4). Таким
образом,
W(A) = -f + ±AaAAa + O(l/n), A76)
где 7 ~ величина A64), Д = (—<9Э + т + фо)~1, а 0A/п) - вклады нетри-
нетривиальных графиков, порождаемых циклами и цепочками A65) с тремя и
более хвостиками ф в каждой. Первые из этих графиков имеют порядок
1/п: это четыре вакуумных петли из A67) и еще 11 диаграмм с "кре-
"крестиками" А, которые читатель может найти самостоятельно в качестве
упражнения.
Формулы A76) и A64) определяют явно вклады порядка п и 1 в
функционале 1У(т4), что позволяет по формулам п.5 найти с той же
точностью его преобразование Лежандра Г(а) при a = SW/SA ~ п1!2.
Результат следующий (вывод ниже):
Г(а) = 7 - \ aa^~laa + 0A/п) . A77)
п.21 1 /п- разложение функционалов W иГ при А ~ a ~ n1'2 199
Входящие сюда величины определяются уравнениями A74), A75) с за-
заменой А —> Д-1аа, превращающей линию с крестиком на конце в неза-
независимый для Г аргумент а:
Ыфо/\ = \ О + | К. ' A78)
д-1 = _3n/A-iQ - LJ, A79)
хвостик здесь обозначает а, а не ф, как в A65). Аналитически:
$пфо{х)/\ = nA{x,x)/2 + a2(x)/2, А'^х^х') = -Ъп5{х - х')/\ -
пА2(х, х')/2 — аа^Д^ат^а^а;') с пропагатором Д из A68). Решение
тро уравнения A78) и ядро A79) являются теперь функционалами от а,
они и подставляются в формулы A64), A77).
Для доказательства соотношения A77) напишем W — W^ +
где И^0' - ведущий вклад порядка п (т.е. квадратичная форма из A76)
плюс первый член в A64)), а W^ - поправка порядка единицы (вто-
(второй член A64)) плюс несущественные для дальнейшего вклады высших
порядков. По определению п.5 имеем аа = 8W/8Aa- Оба вклада W
зависят от А как явно, так и неявно через ф0. По смыслу, W^ - зна-
значение показателя A60) в точке стационарности, поэтому его частная
производная по ф0 равна нулю в силу условия стационарности A74).
Отсюда следует, что при дифференцировании W^ по А нужно учи-
учитывать лишь явную зависимость от А квадратичной формы в A76),
поэтому аа = ААа +SW^/SAa- Решая это уравнение относительно А
итерациями, получаем Аа = A~1aa+SAa. Явный вид поправки 8Аа нам
не понадобится, так как в конечном ответе она сократится (с нужной
точностью по 1/п).
Итак, мы нашли А = А(а, ф0), зависимость от ф0 входит через про-
пагатор Д = (—д2 + т + фо)~1 = А(фо). Подстановка этого выражения
для А в A74) дает уравнение, определяющее неявно ф0 = фо(а) и, тем
самым, А = А(а, фо) = А(а), что и нужно при построении преобразова-
преобразования Лежандра.
Пусть ф0 = Фо{&) ~ решение уравнения A78), получаемого из точ-
точного уравнения A74) подстановкой нулевого приближения Аа = Д-1аа
без учета поправки 5А; пусть Аа = А~1(ф0)аа = Аа(а) - соответ-
соответствующее нулевое приближение для А. Точные величины А(а), фо(а)
отличаются от введенных выше А, ф0 некоторыми поправками 8А, 8фа
порядка 1/п. По определению имеем Г(а) = W(A) — а А = W^ (А, фо) +
о) — а А. В слагаемом W^ аргументы А(а), фо{а) нужны
200 Глава 2. Функциональная л диаграммная техника
лишь в нулевом приближении (учет здесь поправок в аргументах - пре-
превышение точности), так что W^(A, ф0) ~ известная функция а (это
второй член A64) с определяемыми из A78), A79) величинами). Для
ведущего вклада W^(A,4>o) = W^(A + 6А,ф0 + бфо) нужно учиты-
учитывать в первом порядке поправочные члены в аргументах. Поправка бфо
не дает вклада в силу условия стационарности (см. выше), остается
лишь вклад 8А в явной зависимости от А. Явная зависимость от А есть
лишь в квадратичной форме A76), с нужной точностью соответствую-
соответствующая поправка от 8А имеет вид AaA8Aa ~ aa8Aa при учете равенства
Аа — Д-1аа. Эта поправка точно сокращается аналогичным поправоч-
поправочным вкладом в слагаемом —аА преобразования Лежандра (см. выше):
—аА = — сха{Аа + 8Аа) = —ааА~1аа — аа8Аа. Поэтому в рассматри-
рассматриваемом приближении Г(а) = W^(A, ф0) + W^(A, ф0) — ааА~1аа, что
при учете равенства A76) и определений А, ф0 эквивалентно искомым
соотношениям A77)-A79).
п.22 Решение при произвольных А, Т в ведущем порядке
по 1/п. Как и обычное петлевое разложение, диаграммная техника 1/п-
разложения для Г пригодна для расчета термодинамики и корреляци-
корреляционных функций при произвапьных значениях внешнего поля А и тем-
температуры Т. Напомним, что результаты п. 19 относятся лишь к симме-
симметричной фазе с А = О, Т > Тс. Их можно обобщить на случай А ф О
при любом значении Т с помощью изложенной в п.21 техники для W(A),
и затем получить решение для А = О, Т < Тс путем предельного пе-
перехода А —> 0. Но все это проще делать на языке Г(а), как подробно
объяснялось в п. 10 на примере петлевого разложения.
Из явных выражений A77) и A64) можно найти решение не только в
главном порядке по 1/п, но и с первой поправкой. Здесь мы ограничимся
лишь ведущим приближением, в котором
A80)
Для удобства читателя мы напомнили основные обозначения. Напо-
Напомним также, что фо — фо(х;а)- зависящее функционально от а решение
уравнения стационарности A78), сплошные линии во всех диаграммах
обозначают матричные пропагаторы 8аьА поля <ра, а нужные интегри-
интегрирования по координатам везде подразумеваются.
В выражении A80) для Г собраны все вклады порядка п, присут-
Г(«) = -аа(К + фо)аа/2 + п [ЪфЦ\ - tr!n((A" + Фа)/К)} /2 ,
К = -д2 + т , т = Т~Тс0 ,
п.22 Решение при произвольных А, Т в ведущем порядке 201
ствующие в диаграммах с любым числом петепь. Беспетлевое прибли-
приближение G6) для действия G9) входит в A80) целиком, так как при а2 ~
n, g ~ 1/п все вклады G6) имеют порядок п. Расчеты в 1/7г-разложении
выполняются обычно для произвольной размерности 2 < d < 4, нера-
неравенство 2 < d - необходимое условие существования критической точки
с Гс > 0, а (I < 4 - условие нетривиальности критического поведения.
Справочные формулы для d-мерных интегралов см. в гл.З (п.3.15).
Общая схема расчета в терминах Г подробно излагалась в п. 10. Для
расчета нужны первая Г" = 8Т/8аа и вторая ГоЬ = 62Г/6аа6аь вариа-
вариационные производные Г по а. Наш функционал A80) зависит от а как
явно, так и неявно через фо. При первом дифференцировании нужно
учитывать лишь явную зависимость, поскольку частная производная
функционала A80) по ф0 равна нулю в силу уравнения стационарности
A78). Таким образом, вместо соотношений (86) и (87) теперь имеем
Г? = (д2 - £)<*« = -Аа , £ = г + </>о, A81)
Г? = (д2 - фаь - аа 6£/6аь , A82)
аргументы х подразумеваются. Дифференцируя равенство A78) по аь,
получаем:
[Зп/A+i Q] S£/6ab = ab. A83)
Найдя отсюда 6£/8аь и подставив в A82), получим:
rf = {д2 -Wab-<*a [Зп/\+ l- Q у аь . A84)
С этого момента будем понимать под а не произвольный аргумент
функционала Г, а решение уравнения стационарности A81). Для одно-
однородных А, а, £ = г + фо уравнение A81) принимает вид £аа = Аа и
вместе с соотношением A78) образует систему двух уравнений, опреде-
определяющих неявно зависимость £ и а от А и Т. В обозначениях (88), A69)
эта система может быть переписана в виде
£ = А/а, £-Т = 1@ - Тс„ + \А~/Ые . A85)
Из второго уравнения находится величина £ = £(А, Т), затем из первого
находим а = .4/£ = а(А,Т). Графическое решение второго уравнения
A85) показано на рис.4.
202
Глава 2. Функциональная и диаграммная техника
t-T при Т < Тс
- Г при 7 > Тс
Рис.4- Графическое решение второго уравнения A85).
Из графиков рис.4 видно, что при А ф 0 и любом Т решение £(А,Т)
существует, единственно и гладко зависит от А и Т. Различие между
фазами проявляется, как обычно, лишь при А —> 0: если Т > Тс —
Тсо — 1{0), то £(А,Т) при А —> 0 имеет конечный предел - решение
уравнения A69), а если Т < Тс, то £(ДТ) —> 0, что очевидно также
из первого равенства A85). В этом разделе мы ограничимся случаем
АфО.
Соотношения A85). задающие неявно уравнение состояния (п.1.4),
позволяют найти a = a(A,T). Прочие нужные величины вычисляются
затем по формулам (84). Отметим, что учет In Zo в выражении для сво-
свободной энергии в данном случае сводится к устранению нормировочного
множителя К~1 под знаком trln ... в A80). Для обратного коррелятора
D = —Гз (см.(84)) в импульсном представлении из соотношений (88),
A84), A85) получаем
A86)
A87)
где (на- решения системы A85), а П - скалярная петля:
Из A86) для коэффициентов при проекторах (88) в D находим:
A88)
Полагая здесь р = 0, получаем соответствующие восприимчивости:
Xх = Г1 ,
-1
р=0
A89)
п.23 Сингулярность продольной восприимчивости при Т <ТС 203
Напомним, что равенство \L — £ l = ol/A - простое следствие сим-
симметрии (п. 1.6). При А ф 0 приведенные выше формулы определяют
единое решение, гладко зависящее от А и Т.
Строго говоря, обрезание Л в теории должно быть общим, поэтому
должно учитываться и в УФ-сходящихся при 2 < d < 4 интегралах для
петли A87) и разности /(£) —/@) (интеграл с вычитанием) в A69). Но
для малых р <С Л, ^<Л3 зависимостью от Л в таких объектах можно
пренебречь, и тогда по справочным формулам п.3.15 находим:
= С! /~4 , П|р=0 = С2
A90)
Щ) = ^/2
а = c2T2(d/2-l)/T(d-2), c3 = c2/3(rf-2),
T(z) - гамма-функция. Отметим, что при произвольных;), £ петля A87)
даже без обрезания в элементарных функциях не выражается. Формулы
A90) для интегралов без обрезания - точные, а при учете Л они опре-
определяют ведущие вклады в области р <С Л, £ <С Л2.
п.23 Асимптотика А —> 0, сингулярность продольной воспри-
восприимчивости при Т < Тс- Рассмотрим сначала асимптотику А —> 0 в
анизотропной фазе (Т <ТС = Тс0 — /@)). Тогда £ = А/а' -40, ив урав-
уравнениях A85) можно воспользоваться асимптотическим представлением
A90) для
t = А/а , е + Те-Т + Лсз^/2-1 = Ла2/6п. A91)
Отсюда следует, что при малых А
а(А,Т) = a(Q,T) + cA + c'Ad'2-1 +...,
A92)
а@,Т) = [6п(Тс-Т)/\]1'2
с известными из A90) коэффициентами с, с'. Выражение A92) для спон-
спонтанной намагниченности а@, Т) в ведущем порядке по 1/п такое же, как
в приближении самосогласованного поля (90), различие лишь в сдвиге
Тс. Асимптотику А —> 0 продольной восприимчивости х" = да/дА
можно найти дифференцированием первого выражения A92) или под-
подстановкой A90) в A89). Линейный по А вклад A92) дает в х" конс-
константу, соответствующую приближению самосогласованного поля. Но
ведущим при А —> 0 для d < 4 является вклад ~ Adl2~l, порождающий
расходимость х"-
204 Глава 2. Функциональная и диаграммная техника
Таким образом, при А —> О, Т < Тс в ведущем порядке по 1/п
Х±(А)~А-1, ХП(А) ~ А"'*1* , A93)
так что на линии сосуществования фаз А = 0 обе восприимчивости
бесконечны. Напомним (п. 10), что в приближении самосогласованного
поля продольная восприимчивость оставалась конечной.
Корреляторы A88) на линии А = 0, Т <ТС принимают вид
, A94)
о
где а = а@, Т) - спонтанная намагниченность из A92). При малых р <С
Л для nL_0 в A94) можно воспользоваться соответствующей асимпто-
асимптотикой A90.). Для 2 < d < 4 в выражении A94) для Z)U ведущим тогда
является вклад петли П ~ pd~4, что соответствует асимптотике
р-Ю
p-t-0
A95)
Рассмотрим теперь линию т4 = 0, Т > Гс. На ней а = 0, поэтому из
соотношений A86) и A89) имеем:
DL = D» = (pS+O , Xх = X11 = Г1 , A96)
где £ — £(Т) - решение уравнения A69). Коррелятор A96) соответ-
соответствует первому члену 6аьА диаграммного разложения A67) для D = И/*2.
Формулы A96) справедливы при любом Т > Тс, А = 0. По опреде-
определению £(ТС) = 0 (п.19), поэтому £ мало для малых AT = Т — Тс -С Л2,
и тогда в A69) можно воспользоваться асимптотикой A90) для
ДГ = £ + Лс3 ^Z2'1 =>• £(Т) ~ (ДТJ/(й-2) при ДТ -»■ 0 . A97)
Отсюда следует, что восприимчивость A96) расходится при ДГ —> 0
по стандартному степенному закону (п.1.5) \ ~ (АГ)~7 с показателем
7 = 2/(d— 2), в отличие от 7 = 1 в теории Ландау (п.10).
п.24 Критическое поведение в ведущем порядке по 1/п. По-
Полученные в п.п.22,23 формулы свидетельствуют о существовании кри-
критического скеилинга с определенными критическими размерностями ДР
различных величин F (п.1.3). Критическая область есть, по определе-
определению, область малых р, A, AT = Т—Тс и, как следствие, малых а и £ (ве-
(величину F считаем малой, если |^| <С Лй^, где Л - обрезание, d[F] = dF
п.24 Критическое поведение в ведущем порядке по 1/п
205
- каноническая размерность F). В критической области вклад £ в A97)
мал по сравнению с £dl7~l (всегда считаем 2 < d < 4), в соотношениях
A79) и A88) вклад константы мал по сравнению с расходящимся при
£ ~ р —> 0 вкладом петли П. При исследовании ведущих критических
сингулярностеи эти малые поправки нужно отбросить, тогда соотноше-
соотношения A79), A85), A88) примут вид
= А/а , -AT + Лез idl7-1 = Ла2/бп ,
DL =
:)-! . Dll = [p2 + £ + 2а2/пП]
= -пП/2-а2/(р2+О •
-1
A98)
При фиксированных параметрах Л, Л и (как следствие) Тс = ТС(Л,Л)
формулы A98) описывают скейлинг с определенными размерностями
Д, которые легко найти с помощью вытекающих из A98) соотношений
эквивалентности £ ~ А/а, AT ~ £d/2~1 ~ a2, D ~ р2 ~ £, Д ~
П ~ а2р~2 (в данном случае а ~ 6 обозначает равенство критических
размерностей величин а и 6) и стандартного нормировочного условия
A.11). Из приведенных соотношений критические размерности Д всех
входящих в них величин определяются однозначно. По известным раз-
размерностям корреляторов D и Д^. можно затем найти размерности со-
соответствующих полей <р, ф с помощью вытекающего из A.35) общего
соотношения 2Аф = d — A[D], в котором Аф - размерность произволь-
произвольного поля ф(х), a A[D] - размерность его коррелятора в импульсном
представлении.
Получаемые таким путем из A98) сведения о размерностях сумми-
суммированы в табл.12. В ее первой строке перечисляются различные вели-
величины F, во второй - их критические размерности ДР в обсуждаемом
сейчас ведущем порядке 1/п-разложения, в третьей строке для сравне-
сравнения приведены обычные канонические размерности тех же величин для
функционала действия в интеграле A52).
Табл.12. Значения канонических (de) и критических (AF)
размерностей в ведущем порядке по 1/п в Оп-<р4-модели.
F
Др
(п = оо)
dF
Р
1
1
X
-1
-1
Л
0
1
А
0
4-d
Тс
0
2
Т -Тс
d-2
2
а,<р(х)
d/2-l
d/2-l
2
2
П
d-4
d-4
206
Глава 2. Функциональная а диаграммная техника
Подчеркнем различие между dF и ДР: канонический скейлинг (мас-
(масштабная инвариантность) с размерностями dF есть всегда, но это ничего
не говорит о свойствах решений конкретной модели с фиксированными
А и Л, поскольку в A.67) эти параметры также преобразуются. Дру-
Другими словами, каноническая масштабная инвариантность A.67) связы-
связывает между собой решения разных моделей. Приписывая параметрам
Л и Л нулевые критические размерности, мы тем самым считаем их
фиксированными при преобразованиях типа A.4), так что критический
скейлинг с размерностями ДР - свойство решений фиксированной мо-
модели.
По приведенным в табл.12 размерностям ДР и общим формулам
A.19), A.40) (сейчас в них h = А, т = AT = Т - Тс) можно найти
все традиционные критические индексы (п.1.5) в ведущем порядке по
1/п. Результаты суммированы в табл.13.
Табл.13. Критические индексы Оп-<р4-модели в ведущем
порядке по 1/п.
индекс
его значение
при п — оо
а
rf-4
d-2
1
2
7
2
d-2
S
d + 2
d-2
V
0
V
1
d-2
4 d
Мы включили в табл.13 и индекс ш, определяющий ведущую поправку
к критическому скейлингу (п. 1.3). В нашем случае поправками явля-
являются отброшенные вклады £ в первом соотношении A97) и констант (по
сравнению с АП) в A79) и A88). По данным табл.12 легко убедиться,
что критическая размерность ДР любого из этих отброшенных попра-
поправочных членов превышает размерность сохраненного в A98) основного
вклада на одну и ту же величину 4 — d, это превышение и есть индекс
ы (п.1.3).
С помощью техники РГ в гл.1 было показано, что при любом зна-
значении d < 4 в рассматриваемой модели есть критический скейлинг.
Соответствующие критические размерности зависят от d и п. Прак-
Практически их умеют вычислять лишь в форме асимптотических рядов:
4 — е-разложение по параметру 4 — d, о котором подробно говорилось
в гл.1, затем 2 + ^-разложение по параметру d — 2, которое будет обсу-
обсуждаться в гл.4, наконец, 1/п-разложение, о котором идет речь сейчас.
п.25 Упрощенная полевая модель для 1/п-разложения 207
Приведенные в табл. 12 значения ДР - первые члены соответствующих
l/n-разложений, о поправках см.гл.4.
п.25 Упрощенная полевая модель для расчета 1/п-разложе-
ний критических размерностей. В п.п.22-24 мы рассматривали ре-
решение лишь в ведущем порядке по 1/п. В принципе мы знаем в A77)
не только ведущий, но и первый поправочный член, но прямое обобще-
обобщение изложенной ранее техники на высшие порядки по 1/п приводит к
очень громоздким вычислениям. Это неизбежно, если нас интересует
полная информация о критическом поведении, в том числе скейлинговые
функции с учетом всех переменных - импульсов, температуры и внеш-
внешнего поля, поэтому здесь очень мало результатов (о них в гл.4). Но
если нас интересуют лишь критические размерности, расчет можно за-
заметно упростить. Во-первых, не требуется доказывать существование
критического скейлинга, поскольку это уже обосновано методом РГ в
гл.1. Поэтому наличие нужных связей (п.1.5) между различными кри-
критическими индексами гарантировано, и достаточно вычислить лишь
две независимые критические размерности, например, Д^ и Дт, прочие
выражаются через них стандартными формулами гипотезы подобия.
Во-вторых, искомые размерности Д^, и Дт можно находить по функ-
функциям Грина в нулевом поле при Т >^ТС, что гораздо проще, чем расчет
с полем или при Т < Тс. В качестве исходного функционала действия
удобно тогда взять выражение A70), переписав его в виде
S = -<р{-д2 + £ + ф)>р/2 + Зп(£ -Т + Тс0)ф/Х + Зпф2/2\ , A99)
где £ = £(Т) - решение эквивалентного A55) уравнения A69). При
переходе от A70) к A99) мы отбросили несущественную константу
~ ф%, опустили (подразумеваемый) индекс а и подставили А' = —д2 +
г, ф0 = £ — т. В этих формулах т = Т — Тсо, а в дальнейшем будем
обозначать через т величину ДТ = Т — Тс.
Как пояснялось в п.20, для получения диаграммной техники 1/п-
разложения действие A99) нужно переписать в виде
=-|n, B00)
где П - скалярная петля A87), зависящая от Т через £. Вклад —\фЬф
из B00) вместе с последним членом A99) составляет свободное действие
для поля ф, вклад \фЬф в B00) считается добавкой к взаимодействию,
сокращающей вставки двукратных циклов типа A73), однократные со-
сокращаются линейным по ф членом A99).
208 Глава 2. Функциональная и диаграммная техника
Если нас не интересуют поправки к скейлингу, последний член A99)
нужно отбросить, так как мы знаем (п.24), что в критической области
его вклад пренебрежим по сравнению с вкладом петли П. Но даже после
такого упрощения расчет диаграмм в модели A99) довольно сложен.
Он резко упрощается непосредственно в критической точке Т = Тс
из-за того, что основное поле становится тогда безмассовым (£(ТС) = 0).
Такой теории без поправок соответствует действие
5|т=0 = -{дч>J/2-Фч?/2 + }1с4>-фЬ4>/2 + грЬ-ф/2 B01)
с константой hc = 3n(Tco —Тс)/\ и ядром L из B00) при безмассовых
линиях в петле. По ИК-асимптотике коррелятора поля (р в модели B01)
можно найти размерность Av.
Покажем, что в рамках модели B01) можно вычислить и второй нуж-
нужный индекс Ат - критическую размерность параметра г = Т—Тс. Ясно,
что его можно найти по величине дт lnZ |т=0, где Z= / Оф ехр5'(</>) -
статсумма A.60) для модели A99), ф = <р,ф - набор всех ее полей. За-
Зависимость от Т входит в A99) как явно, так и неявно через £. Для
дальнейшего важно, что £ при малых г ведет себя, согласно A97), как
степень г7 с показателем 7 = 2/(d — 2) > 1, поэтому дт£ = 0 при г = 0.
Отсюда следует, что при вычислении производной дт In Z |т=0 неявную
зависимость от г через £ в A99) можно не учитывать, и тогда
дт In Z |г=0 = ~ fdx < ф(х) >|т=о - B02)
А
Мы воспользовались обозначениями A.60) и указали явно подразумева-
подразумеваемое в A99) интегрирование по х. Соотношение B02) с учетом кри-
критической безразмерности статсуммы Z и коэффициента Зп/А позволяет
связать искомую величину Дт = \/v с критической размерностью вспо-
вспомогательного поля ф в модели B01):
AT = l/i/ = d- A^ . B03)
В рамках этой же модели можно вычислить и поправочный крити-
критический индекс w. Он связан с отброшенным в действии B01) последним
вкладом A99), и определяется критической размерностью соответству-
соответствующего ИК-несущественного составного оператора ф (строгое обосно-
обоснование в гл.4):
ш = Д №2(x)]-d . B04)
Таким образом, все нужные критические индексы можно вычислять
непосредственно в безмассовой модели B01).
п.26 Классический магнетик и нелинейная сг-модель 209
Возможно еще одно упрощение, важное в конкретных расчетах. Как
пояснялось в п.20, линейные по ф члены в A99) и B01) точно сокра-
сокращают вставки однократных циклов типа A73). Поэтому ответы не
изменятся, если те и другие одновременно отбросить. В безмассовой
модели B01) однократному циклу соответствует интеграл /@) в A69),
кратный Ad~2. При вычислении в рамках формальной схемы размер-
размерной регуляризации (п.1.20) такие вклады отбрасываются. Тогда нужно
отбрасывать и вклад hcxp в B01), полагая
5|т=0 = -(д<рJ/2-фЬф/2-ф92/2 + фЬр/2 . B05)
Первые два слагаемых образуют So, два последних - взаимодействие V.
В действии B05) нет никаких числовых параметров, а вычисленные для
него по стандартным правилам п. 1.15 канонические размерности полей
dv = d/2 - 1 , d* = 2 B06)
совпадают с соответствующими ДР из табл.12. Отметим, что выте-
вытекающее из B06) равенство 2d[f> + dq = d обеспечивает одновременно
безразмерность вершины ф<р2 и квадратичной формы фЬф, первое оче-
очевидно, а второе следует из определения L в B00).
Конкретные расчеты в рамках модели B05) и их результаты обсу-
обсуждаются в гл.4.
п.26 Классический магнетик Гайзенберга и нелинейная
<г-модель. В модели классического магнетика Гайзенберга каждому
узлу i заданной пространственной решетки сопоставляется случайный
классический n-компонентный вектор спина единичной длины (п.1.6).
Он будет играть роль поля и обозначаться через ip = {<pia}, где i - ре-
решеточный индекс, a — 1,..., п - спиновый, (pf = J2a Ф1а — 1- Гамиль-
Гамильтонианом модели считается следующее выражение (по повторяющимся
индексам суммирование):
Н = -фга ViaiSb fisb/2 - hiaipia = —<р V fi/2 - hip , B07)
где h - внешнее поле, v - симметричная матрица (по парным индексам)
обменного взаимодействия. Для спиново-изотропной модели «;а]S(, =
VjS8ab- В частном случае взаимодействия ближайших соседей пола-
полагают vis = J (константа J - "обменный интеграл", для ферромагне-
ферромагнетика 3 > 0, для антиферромагнетика J < 0), если пара is — ближайшие
соседи решетки, и Vjs = 0 в остальных случаях.
Обозначив через G статсумму в произвольном внешнем поле, имеем
G - tr ехр[-/?Я] = trexp[£A£/2 + Аф], где /? = 1/кТ, А - (lv, A = j3h,
210 Глава 2. Функциональная и диаграммная техника,
a tr обозначает в данном случае интегрирование по направлениям всех
<fi. Умножение на <р под знаком tr эквивалентно дифференцированию
по А, поэтому
G = exp I i ■ J-T&JJ I eXpV ' V = Ь tr ехРЛ^ • B08)
По смыслу функционал V есть логарифм статсуммы без обменного вза-
взаимодействия. Он сводится к сумме по узлам и поэтому может счи-
считаться известным, в частном случае п — 1 (модель Изинга) имеем
V = J3t-lnBc/iA). Выражение B08) является частным случаем A9),
поэтому статсумма допускает стандартное диаграммное представление
п.2 и может быть представлена с помощью соотношения A8) функцио-
функциональным интегралом.
Другим таким представлением является само определение статсуммы:
G ~ fD<p 8{^ - 1) ехр [-рН{<р)\ , B09)
где ip — {tpia} - поле на решетке, Dtp = Y[ia dfia, 5(tp2-l) = J]t-
До сих пор речь шла о точной микромодели. При исследовании
критического поведения спиново-изотропного ферромагнетика перехо-
переходят к непрерывному аналогу B09), заменяя <pia = <pa(xi) на <pa(x), a
квадратичную форму в B07) - на f dx(dipJ. Поясним зто. Для неогра-
неограниченной периодической решетки с трансляционно-инвариантной (т.е.
зависящей только от разности координат узлов) матрицей w,s можно
перейти к импульсному представлению на решетке: cpvcp = J dk cpa(—k)
v(k) ipa{k) с интегрированием по ограниченной области - первой зоне
Бриллюэна (для простой кубической решетки с шагом L это куб \ка\ <
n/L для всех компонент). В случае ферромагнетика максимум функции
v(k) достигается при к = 0, что соответствует пространственной одно-
однородности конфигурации спинов в основном состоянии. Из симметрич-
симметричности матрицы Vis следует четность функции v(k), поэтому в окрест-
окрестности максимума v(k) = v@) — саркакр + .. ., где са/з - положительно-
определенная матрица по пространственным индексам а,/?. Первому
члену и@) соответствует в координатном представлении кратная <J,S
величина, т.е. константа в B07) в силу условия ip] = 1. Поэтому до-
добавкой к гамильтониану B07) подходящей константы (что по существу
не меняет модели) вклад v@) можно убрать. Главным членом разложе-
разложения v(k) становится тогда квадратичная форма по к, вклады старших
степеней к отбрасываются как инфракрасно-несущественные (п.1.16).
Подходящим поворотом и растяжением пространственных координат
п.26 Классический магнетик и нелинейная сг-модель 211
любую положительно-определенную квадратичную форму можно при-
привести к изотропной kaka — к2, чем и объясняется выбор модельного
гамильтониана. Отметим, что пространственная изотропия является
часто следствием симметрии, тогда преобразования координат не тре-
требуется. Для взаимодействия ближайших соседей с одним J (см. выше)
форма будет изотропной для любой решетки с кубической симметрией
(п.1.14), к изотропии также приводит инвариантность относительно по-
поворотов на 60° для плоской треугольной решетки и т.п.. Но изотропия
- не общий случай, простой контрпример - взаимодействие ближайших
соседей на простой кубической решетке с разными значениями обмен-
обменного интеграла J для разных осей. Здесь уже требуется подходящее
растяжение масштабов для восстановления пространственной изотро-
изотропии.
Сказанное поясняет происхождение "унивеРсальности критического
поведения" и одновременно уточняет ее смысл: универсальность про-
проявляется лишь при правильном выборе переменных, в частности, мас-
масштабов по разным осям в приведенном выше примере.
Итак, в полностью изотропной непрерывной модели
Щ<р) = L~dJdx [al?{dvf -hip], B10)
постоянная решетки L "обезразмеривает" величины dx и д, константа
а в B10) - некоторый (в принципе, вычислимый по ujs) безразмер-
безразмерный положительный коэффициент порядка единицы, и, как обычно,
[д(р]2 ~ дцра ■ ditfa, где теперь i - пространственный индекс. При
этом выражение B09) понимается как функциональный интеграл, а 8-
функция - как непрерывное произведение для всех х. По построению, в
теории предполагается УФ-обрезание Л ~ 1/L. Подстановкой выраже-
выражения B10) и растяжением <р можно привести выражение B09) к виду
G ~ $ Dip &{ip2 - cT~l) exp [S(<p) + А<р] , S(<p) = -{dipJ/2 , B11)
где А ~ h, с - положительная константа, интеграл по i в показателе
подразумевается. В теории поля B11) называют нелинейной <т-моделью.
Отметим, что константу в J-функции можно произвольно менять без
изменения показателя экспоненты в B11) подходящим одновременным
растяжением <р, А и х. Но в любом случае для обеспечения канониче-
канонической масштабной инвариантности (п. 1.15) правая часть условия связи
(р2(х) = const должна содержать параметр (у нас это Т), которому
можно было бы приписать каноническую размерность <р2.
Растяжением <р —> ipT~ll2 можно перейти к новому канонически без-
безразмерному полю ip, множитель Т~1 появится тогда перед действием
212 Глава 2. Функциональная и диаграммная техника
(dipJ в показателе. Вычисление получаемого таким путем интеграла
методом стационарной фазы (п.8) естественно приведет к низкотемпе-
низкотемпературной теории возмущений по степеням Т. В рамках данной теории
возмущений можно получать 2 + S-разложения критических индексов
<т-модели (гл.4).
п.27 l/n-разложение в нелинейной <т-модели. Представив 5-
функцию в B11) функциональным интегралом Фурье
6(F) = UJ(F(X)) ~ 1°Ф ехр [ifdx 4>{x)F(x)] = \Вф exptyF , B12)
можно перейти к теории двух полей <р, ф.
Ввиду практической важности соотношения B12) сделаем несколько
пояснительных замечаний по его поводу. Во-первых, оно имеет ясный
смысл в решеточной модели. Во-вторых, равенство 6(F) exp(tF) = 5(F)
позволяет добавлять к гф[х) в B12) произвольную фиксированную веще-
вещественную часть t(x), чем иногда пользуются для обеспечения сходимо-
сходимости получаемых интегралов. И самое главное: если речь идет об утвер-
утверждениях, проверяемых лишь в рамках теории возмущений (перестройка
диаграммных рядов и т.п.), то при манипуляциях с функциональными
интегралами можно вообще не обращать внимания на их сходимость:
все, что мы получим таким способом, будет заведомо правильным на
уровне диаграмм, а на большее в теории поля вообще трудно надеяться.
Важно лишь, чтобы сам ответ имел смысл: в п.4 мы меняли функцио-
функциональный интеграл не потому, что в обычной теории возмущений по g
он плох из-за расходимости при г < 0, а потому, что в данной теории
возмущений плох сам ответ, - в нем нарушена нужная положительная
определенность коррелятора. В качестве примера сошлемся на инте-
интеграл A51): он расходится, но полученные с его помощью результаты
правильны в том смысле, что они точно такие же, какие получаются
прямым суммированием вкладов нужного порядка по 1/п в диаграммах
обычной теории возмущений.
На таком уровне строгости можно делать любые замены перемен-
переменных в функциональных интегралах, в частности, замену гф —>(/'—> сф
в B12) с произвольной константой с. Поэтому в дальнейшем будем счи-
считать верным и равенство
Н?) = 1V№)) ~ 1°^ ехР Шр)], B13)
где ipF - скалярное произведение типа A.48), с - любой числовой коэф-
коэффициент. При использовании соотношения B13) в формулах типа B11)
вклад сфР интерпретируется как добавка к действию, а сф(х) - как
множитель Лагранжа связи F(x) = 0.
п.27 l/n-разложение в нелинейной <т-модели . 213
Возвращаясь к «г-модели B11), заменим константу сТ 1 в (J-функции
на пТ~1 (см. замечание в конце п.26), где п - число компонент поля, так
как задача о l/n-разложении в данной модели содержательна лишь при
(р2 ~ п (см.ниже). Условие ср2 ~ п является аналогом # ~ 1/" в модели
G9). Представив затем связь интегралом типа B13) с коэффициентом
с — —1/2, получим:
G{A) = f D<p 6{<р2 - пГ-1) exp[-(d<pJ/2 + А<р] =
exp [-(a^J/2 - г%2 - nT~l)/2 + A<p] .
В данном случае все нормировочные множители перед интегралами не
зависят от существенных параметров типа Т, поэтому их можно не кон-
контролировать, считая включенными в меру Dp Оф. Интеграл в правой
части B14) аналогичен интегралу A52), мы лишь опустили для крат-
краткости индекс а. Роль К в B14) играет операция А" = — д2 без вклада
с г (который все равно бы свелся к несущественной константе в силу
условия связи). Отметим также, что в действии B14) отсутствует ква-
квадратичный по ф вклад, но зато есть линейный, которого не было в A52).
Искомое 1/гг-разложение для модели B14) в симметричной фазе
(Т > Тс, А порядка единицы) строится точно так же, как и для инте-
интеграла A52): интегрируя по р с помощью соотношения A) (что законно
лишь при Т > Тс, т.е. при отсутствии спонтанной намагниченности),
придем к интегралу типа A53) с пР(ф) = п{фТ~1 — trln(—д2 + ф)]/2
и Д = (—д2 + ф)-1- Поэтому вместо соотношений A71) и A66) теперь
получим:
пТ-г= О- Аф1 = ~1 О- где — = 6аЬ(-д2 + фоГ1 . B15)
Первое равенство есть уравнение стационарности, второе определяет
пропагатор вспомогательного поля ф. Теперь понятен и выбор связи
ip1 ~ n вместо ip2 ~ 1: константа в (J-функции должна иметь порядок
п-в противном случае она не даст вклада в уравнение стационарно-
стационарности B15), его левая часть исчезнет и уравнение вообще не будет иметь
решений.
В обычном предположении однородности решения V'o = £ уравнение
стационарности B15) можно переписать в виде Т~1 = B7г)~^ j dk(k~ +
£)~1 = /(£) с таким же, как в A69), импульсным обрезанием. Решение
£ > 0 существует и единственно для всех Т > Imax = /@), правая часть
этого неравенства есть Тс в ведущем порядке по Х/п.
214 Глава 2. Функциональная и диаграммная техника
В критической точке Т — Тс пропагатор 6ab(k2 + £) х поля <ра ста-
становится безмассовым, а петли в соотношениях A66) и B15) расходятся
как pd~4 при стремлении к нулю внешнего импульса р (считаем d < 4).
Поэтому вклад константы в A66), как уже отмечалось в п.24, оказыва-
оказывается ИК-несущественным по сравнению с вкладом петли. После сдвига
Ф —> Фа + Ф функционалы действия в интегралах A52) и B14) будут
различаться лишь ИК-несущественным слагаемым ~ ф2. Отсюда вы-
вытекает следующее важное утверждение: On-ip4- и нелинейная а-модель
принадлежат- к одному классу универсальности, т.е. имеют одинако-
одинаковое критическое поведение.
Строго говоря, это утверждение обосновано выше лишь в рамках
1/7г-разложения при произвольной размерности пространства, так что
формально допустимы различия во вкладах с тождественно нулевыми
1/гг-разложениями. Но общее мнение сводится к тому, что таких вкла-
вкладов нет и эквивалентность между этими двумя моделями полная, ра-
разумеется, лишь в том, что касается критического поведения. В пользу
такого мнения свидетельствует взаимная согласованность трех типов
разложений критических индексов: 4 —г, 2 + еи1/7г. Коэффициенты
первого из них можно рассчитать только в ^>4-модели (гл.1), второго -
только в <т-модели (гл.4), а третье одинаково для обеих. Результаты
таких расчетов показывают (подробнее в гл.4), что эти три варианта
разложений взаимно согласованы, т.е. получаемые разными способами
коэффициенты двойных разложений по е и \jn совпадают. Поэтому их
действительно можно рассматривать как разные варианты разложений
одних и тех же критических индексов, что согласуется с приведенным
выше утверждением. Еще раз скажем, что утверждение об эквивалент-
эквивалентности касается только критического поведения, в остальном эти две
модели существенно различаются.
Для индексов <т-модели остаются справедливыми соотношения B03)
и B04), причем первое из них доказывается в а-модели даже проще, чем
в п.25. Действительно, очевидно, что добавка слагаемого Ьф к показа-
показателю экспоненты в B14) эквиалентна изменению Т. Отсюда следует,
что при Т = Тс коэффициент h в добавке h-ф играет роль г = Т — Те
с точностью до несущественного множителя. Критические размерно-
размерности h и ф связаны стандартным теневым соотношением (п.1.10), что и
приводит к равенству B03).
п.28 Обобщения: СРп~1- и матричная <т-модели. Одним из про-
простейших обобщений <т-модели является СРп~1- модель [79]. Она описы-
п.28 Обобщения: СРп - я матричная а-модели 215
вается комплексным полем <ра{х), а = 1,..., п со связью
¥>+(*)*>«(*) = пТ-1^ п B16)
и функционалом действия (суммирования по повторяющимся индексам
и нужные интегрирования по х в действии всегда подразумеваются)
S = -(V«^)+ ■ (Vi<Pa) = -(di<pa)+ ■ (diipa) - QiQi/An , B17a)
в котором Vt ~ "ковариантная производная":
Qi = di<pa ■ <p+ - <pa ■ di<pt . B176)
Более сложным обобщением B11) является пхр матричная нелиней-
нелинейная «г-модель [80]. Она описывается комплексным полем <рьа с а = 1,..., п
для нижних индексов и 6 = 1,... ,р для верхних, со связью
(<Р*('))+■¥>!(') = nSbc, n = nT-1 B18)
и функционалом действия
S = -(V.Ve)+(V?Va) = -(U^)+(d,-^)-Q?cQ?74n, B19а)
в котором
Q\c = (di<pba)(<pca)+ - (<рьа)(дцрса)+ . B196)
При р = 1 модель B19) переходит в B17).
Модель B17) инвариантна относительно абелевой группы 17A) ло-
локальных калибровочных преобразований (ipa(x) -4 u(x)<pa(x) с произ-
произвольным фазовым множителем u(x), |u(z)| = 1), а модель B19) имеет
глобальную ^/(п)-симметрию по нижнему индексу поля <р и локаль-
локальную калибровочную £/(р)-симметрию по верхнему индексу (напомним,
что U(m) - стандартное обозначение группы всех унитарных матриц
m х m).
Обе модели допускают построение l/n-разложений с помощью опи-
описанной ранее техники. При этом приходится вводить два вспомога-
вспомогательных поля: эрмитовое скалярное поле ф или фаЬ как множитель
Лагранжа соответствующей связи B16) или B18) и антиэрмитовое век-
векторное поле Bi или ВЬс в представлении
exp [-tx{QiQi)/4n] = const JDB exp tr [пД-Sj + BiQi] , B20)
216 Глава 2. Функциональная и диаграммная техника
(след по верхним индексам для модели B19)), которое нужно исполь-
использовать для преобразования вкладов с Q2 в исходном функциональном
интеграле с действием B17) или B19).:
п.29 l/n-разложение для взаимодействий типа (<р2K. В этом
разделе мы кратко поясним, как можно обобщить изложенную в п. 19
технику на случай произвольного полиномиального по <р2(х) = <ра (х)<ра [х
взаимодействия, например, <р6 = (<р2K и т.п.. Мы видели (п.19), что для
обеспечения корректности задачи о l/n-разложении константу связи д^
при взаимодействии (рА следует считать кратной 1/п. Те же соображе-
соображения доказывают, что константу д^ при взаимодействии <р6 следует тог-
тогда считать кратной 1/п2, константу д$ - кратной 1/п3 и т.д.. В общем
случае такая постановка задачи соответствует функционалу действия
B21)
в котором P(z) - заданный моном или полином по z с не зависящими от
п коэффициентами (мы включили в него и вклад т<р2).
Для получения 1/гг-разложения логарифма аналогичного A50) инте-
интеграла (все несущественные нормировочные множители опускаем)
G(A) = jDip ехр [<рад2<ра/2 - пР(<р2/п) + Аа<ра ] B22)
нужно ввести в него следующее "разложение единицы"
1 = 1Вф 6(ф-<р2/п) = JjD^DiP ехр [ф{гп>-ч?)/2] B23)
с двумя вспомогательными скалярными полями ф(х) и ф(х). Второе из
них является аналогом ф в A52) и вводится как множитель Лагранжа
при представлении функциональной (J-функции из B23) с помощью со-
соотношения типа B13).
Введя разложение единицы B23) под знак интеграла B22) и поме-
поменяв порядок интегрирования, затем можно сделать ввиду наличия 5-
функции замену <р2 /п —*■ ф в аргументе Р, что даст
ехр[<рад2<ра/2-пР(ф~)+ф{пф-<р2)/2+Аа<ра]. B24)
'С точки зрения критического поведения модель B17) со вспомогательными по-
полями эквивалентна скалярной электродинамике, а B19) — скалярной хромодинамике
точно в таком же смысле, в каком <7-модель B11) эквивалентна ^-модели. Для
модели B19) в терминологии хромодинамики р есть число "цветов", an — "арома-
"ароматов" ("flavour"). При большом (сравнительно с р) числе п хромодинамика теряет
свойство ультрафиолетовой асимптотической свободы, поэтому хотелось бы иметь
не 1/п-, а 1/р-разложение. Но его, к сожалению, построить не удается.
п. 30 Системы со случайными примесями 217
Выполнив гауссово интегрирование по <р, получим
G(A) = 1ВфОфехр[-пР(ф)Лфф-^1Щ-д2+ф)ЛАа~ Аа].
2 2 2 (-д +ф)
B25)
Вычисление этого интеграла методом стационарной фазы приводит к
искомому 1/п-разложению. В частном случае взаимодействия <р4 инте-
интеграл по ф в B25) гауссов; взяв его, придем к представлению A53) с
точностью до несущественного сдвига ф.
п.ЗО Системы со случайными примесями. В реальных задачах
часто приходится учитывать влияние случайно распределенных при-
примесей. Пусть <р - основное поле (система полей), ф - поле примеси.
Принято различать ''расплавленные" и "вмороженные" примеси. Пер-
Первые суть те, что находятся в термодинамическом равновесии с прочими
степенями свободы, и тогда ф - просто дополнительное поле, которое
на равных правах включается в общую схему. "Вмороженными" назы-
называют такие примеси, для которых распределение ф не успевает прийти
в термодинамическое равновесие с прочими степенями свободы <р из-за
большого (сравнительно с <р) времени релаксации. Для таких примесей
при вычислении статистических средних по <р конфигурация ф счита-
считается фиксированной, затем ответ усредняется по ф с заданным норми-
нормированным весом р(ф):
Здесь ф = <р,ф - набор всех полей, 5@) = S(<p, Ф) - функционал дей-
действия для tp, зависящий параметрически от ф, символ < ... >ф обозна-
обозначает статистическое (т.е. с весом exp.S1) усреднение по <р при фиксиро-
фиксированном ф, черта сверху - усреднение по ф с заданным нормированным
на единицу весом р(ф), символ < ... > - полное усреднение. Прин-
Принципиального различия между двумя случаями на уровне определения
B26) нет: легко проверить, что правая часть B26) - обычное стати-
статистическое среднее по ф с весом ехр5'(©), где З'(ф) — 3(ф) + 1пр(ф) —
In J Dip ехр 3(ф), при этом J Dd> exp S'(ф) = 1 как следствие условия нор-
нормировки / Вф р(ф) = 1 для р.
Формула B26) однозначно определяет полные функции Грина
< <р...<р >= < <р.. .ip >^ (аргументы х опускаем) и их производя-
производящий функционал G(A) = G(A^), где С(А,ф) - функционал A.62) с
фиксированным ф. Но связные функции определяются при этом не-
неоднозначно: коррелятор, например, можно определить как < <р<р >^ —
218 Глава. 2. Функциональная и диаграммная техника
< <р >ф ■ < <р >ф или как < <р<р >ф — < <р>ф< <р >ф- Первому опреде-
определению соответствует производящий функционал lnG(A,ф), а второму
- lnG(A, ф). Оба определения имеют смысл, но соответствуют разной
постановке эксперимента: если измеряемая .величина выражается непо-
непосредственно через полную функцию < <р(р >ф, то естественно первое
определение, а если через связную < <р<р >у — < <р >ф< <р >ф - то вто-
второе. Практически функции Грина измеряют как "функции отклика"
системы на внешние воздействия. Они выражаются через связные, а не
полные функции (типичный пример - критическая опалесценция, где
по интенсивности рассеяного света измеряется связная функция - кор-
коррелятор флуктуации плотности). Поэтому для вмороженной примеси
принимают второе определение:
W(A) = \пС(А,ф) = W(A, ф) = 1Оф р(ф) W(A, ф) . B27)
По поводу эксперимента добавим, что в реальных условиях усредне-
усреднение по ансамблю всевозможных конфигураций поля ф осуществляется
уже в отдельном измерении при больших (сравнительно с характерным
размером гс флуктуации основного поля (р) размерах образца. Напри-
Например, при рассеянии света каждый отдельный акт процесса происходит
в области размером гс, внутри которой конфигурацию примеси ф(х)
можно считать фиксированной. В полной интенсивности суммируются
вклады рассеяния от разных "элементарных областей", что и приводит
к усреднению по случайным конфигурациям ф.
До сих пор мы говорили о нормированном функционале A-62), кото-
который определяет лишь зависящий от А множитель в статсумме с внеш-
внешним полем А (п. 1.10), а его логарифм определяет зависящую от А часть
свободной энергии Т = —kTinZ (терминология магнетика). Равенство
B27) является определением этой части свободной энергии для системы
с вмороженными примесями. Принимая такое определение для части,
естественно принять его и для целого, т.е. для всей свободной энергии
Т. Последняя определяется равенством Т—То = —kT In G, где G ~ функ-
функционал C0), а То - не зависящая от ф свободная энергия невозмущенной
системы с действием So- Сказанное выше означает, что равенство B27)
следует считать справедливым и для определенных соотношением C0)
ненормированных функционалов G, W.
Обсудим кратко диаграммное представление функционала B27). По
определению, черта в B27) обозначает усреднение по конфигурациям
ф(х) с заданным нормированным весом р(ф). т.е.
ф,...) = 1 Офр(ф)Р(ф,...) , B28)
п.31 Метод реплик для системы с вмороженными примесями 219
где F - произвольный функционал, многоточие - прочие аргументы.
Вес р(ф) в B28) всегда можно представить в виде
р(Ф) = аф сф exp S'(V) , 3'{ф)=-фА-1ф/2 + У(ф) . B29)
Первое слагаемое в показателе - квадратичная по ф часть In р(ф), вклад
У(ф) - все остальное (для гауссового веса отсутствует), множитель Сф
определен по квадратичной части соотношением A6), ац, -дополнитель-
-дополнительный коэффициент, обеспечивающий нормировку на единицу интеграла
от р(ф) (по смыслу с^1 - свободная, a [афСф)~х - точная статсуммы для
"действия" S'(V>) в B29)). Из соотношений B27)-B29) и A8) имеем
W(A) = аф Рф [W(A, ф) ехр У(ф)} \ф=0 . B30)
Поскольку И^А, ф) - обычный функционал из C0) с параметрической
зависимостью от ф, он имеет стандартное диаграммное представление
п.З. Будем условно представлять линии основного поля ip в диаграм-
диаграммах сплошными, а ф - пунктирными, последним сопоставляется Аф из
B29). Величина W(A, ф) - сумма связных графиков сплошных линий,
содержащих "хвостики" примесного поля ф. При действии операции Рф
в B30) эти хвостики попарно сворачиваются всеми возможными спосо-
способами в пунктирные линии Д^,, которые могут соединяться между собой
вершинами взаимодействия У(ф), если вес р(ф) негауссов. В итоге по-
получаем диаграммы, состоящие из сплошных и пунктирных линий, при
этом подграф сплошных линий во всех диаграммах функционала B30)
обязательно будет связным. Общие правила п.п.2,3 полностью опреде-
определяют диаграммы функционала B30) и коэффициенты при них.
п.31 Метод реплик для системы с вмороженными примеся-
ми. Есть другой способ получения диаграммного представления функ-
функционала B27), называемый "методом реплик" [81]. Он основан на про-
простой формуле 1п(а) = д„ап |п=0: позволяющей представить величину
B27) в виде
W(A) = дпС"(А,ф) - B31)
п=0
Согласно определению C0), О(А,ф) = с JDip ехр[3(<р,ф) + А<р], a Gn
- степень этого ''однократного" интеграла, которую можно предста-
представить в виде "n-кратного" интеграла с однотипными множителями. Для
этого введем п-компонентное поле Тр = {Тр~а} и источник А = {Аа} с
а = 1,..., п, и по заданному 3(<р,ф) определим функционал 3(<р,ф) =
ЧТО
Gn(A, ф) = cjDTp ехр[5(^, ф) + А<р] , B32)
220 Глава 2. Функциональная я диаграммная техника
где с = сп, D<p = Y[a D<pa, Aip — A ^2a ipa - линейная форма с источни-
источником частного вида Aa = A Va = 1,..., п. Из соотношений B28), B29)
и B32) имеем
Gn(A,i') = аф сф c$D<j> ехр[5@) + АЩ = аф0 , B33)
где ф = <р,ф, Вф = ВТрВф и
il>). B34)
a-l
Определенный в B33) функционал G и его логарифм W - обычные объ-
объекты типа C0) теории поля ф с действием B34) и имеют поэтому стан-
стандартные диаграммные представления п.З. Подставив выражение B33)
в B31), получим
W(A) = аф (dnW) exp W , W = In G . B35)
Проанализируем зависимость от п диаграмм W, представляя, как
и раньше, линии <р сплошными, а ф - пунктирными. Поле Тр имеет
индекс "а", поле ф его не имеет. Из B34) следует, что линии Тр со-
соответствует множитель 8аь, а во всех вершинах с полями Тр имеется
(J-символ совпадения индексов всех полей Тр. Из-за этих (^-символов ка-
каждому связному подграфу сплошных линий соответствует фактически
один индекс а, суммирование по нему дает множитель п, так как од-
ноконцовые вершинные множители Аа = А (см.выше) не зависят от а.
Таким образом, суммирование по индексам дает множитель ?г от ка-
каждого связного подграфа сплошных линий в диаграмме. Множитель
аф в B35) обеспечивает нормировку веса B29) на единицу, т.е. точно
сокращает все вакуумные петли, состоящие из одних пунктирных ли-
линий (для гауссова, веса их нет вообще). Это значит, что в произведении
афС таких диаграмм нет. Все прочие диаграммы содержат, как ми-
минимум, один подграф сплошных линий, следовательно, множитель п, и
при п = 0 обращаются в нуль. Поэтому равенство B35) упрощается:
W(A) = dn W . B36)
Это и есть окончательный результат. Напомним, что G, W - обыч-
обычные объекты C0) для действия B34) с линейной формой частного вида
п. 31 Метод реплик для системы с вмороженными примесями 221
А ^2 <ра (т.е. без источника поля ф и одинаковым Аа = Л для всех ком-
компонент Тра). Они имеют стандартные диаграммные представления, W
- сумма всех связных графиков со стандартными коэффициентами. Из
сказанного выше следует, что в конечный ответ B36) дают вклад лишь
диаграммы W с одним связным подграфом сплошных линий.
Соотношение B36) полезно также тем, что позволяет без допол-
дополнительных усилий перенести на задачу с вмороженными примесями
различные общие соотношения, установленные для функционалов типа
C0), например, уравнения ренормгруппы в случае мультипликативной
ренормируемости модели B34).
ГЛАВА 3
УЛЬТРАФИОЛЕТОВАЯ РЕНОРМИРОВКА
В этой главе излагается аппарат ультрафиолетовой (УФ) ренор-
ренормировки, используемой в теории поля для выделения и последующего
устранения УФ-расходимостей функций Грина. Возникновение этого
аппарата в конце сороковых - начале пятидесятых годов связано с име-
именами Фейнмана, Дайсона, Швингера и др.. Полное решение проблемы
дано Д-операцией Боголюбова - Парасюка A958), существенные усо-
усовершенствования получены затем в работах Завьялова и др. (> 1965),
Хеппа (> 1966), Циммермана (>1970), Эпштейна и Глазера A973). По-
Полезную при вычислениях аналитическую регуляризацию ввел Спир [82]
A968), еще более ценную размерную регуляризацию - т'Хофт и Вельт-
ман [83] A972), минимальные вычитания- т'Хофт [61] A973), подроб-
подробную библиографию можно найти в книгах [35, 60, 84, 85].
Идеологию УФ-ренормировки и ее отношение к теории критического
поведения мы уже обсуждали в главе 1. В этой главе мы сосредоточимся
на технике, стремясь как можно яснее изложить и иллюстрировать при-
примерами процедуру конкретных вычислений.
Основные утверждения теории ренормировки делятся на две группы:
аналитические и комбинаторные. Громоздкие доказательства утвер-
утверждений первой группы мы приводить не будем, довольствуясь четкой
формулировкой и пояснениями, так как эти вопросы достаточно полно
изложены в указанных выше книгах, а для практической работы знание
доказательств не требуется. Утверждения второй группы (комбинатор-
(комбинаторные) будут доказываться полностью с более активным, чем обычно, ис-
использованием функциональной техники гл.2, позволяющей упростить
формулировки и доказательства. Еще одним отличием от общеприня-
общепринятого изложения будет включение вакуумных петель на равных правах
в общую схему теории ренормировки.
п.1 Предварительные замечания. Начнем с определения важного
для дальнейшего понятия подграфа данной диаграммы. Говоря о диа-
224 Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка
граммах, следует различать свободные (без нумерации), нумерованные
(с нумерадией вершин) и вполне нумерованные (с нумерацией вершин и
линий) графы. Мы будем понимать подграф как поддиаграмму вполне
нумерованной диаграммы, т.е. подграф - некоторый набор вершин и
соединяющих их линий, набор = набор номеров. Подграфы равны, если
равны (т.е. полностью совпадают) соответствующие наборы вершин и
линий, различны - если различны (хоть чем-нибудь) эти наборы, не пе-
пересекаются - если не пересекаются наборы, т.е. нет ни общих вершин,
ни линий. Пустое множество и саму диаграмму как целое подграфами
называть не будем.
Вместе с линией подграф обязательно содержит вершины, к которым
она присоединяется, но в общем случае не обязан вместе с парой вер-
вершин содержать все соединяющие их линии графа. Последнее свойство
имеет место для подграфов частного вида, которые мы будем называть
полными. Полный подграф однозначно задается набором своих вершин,
поскольку все соединяющие данные вершины линии графа включаются
в него по определению.
Наша терминология совпадает с принятой в [60], но отличается от
терминологии [35, 84, 85]: там иная аксиоматика Д-операции, в кото-
которой используются только полные подграфы, называемые в [35] просто
подграфами (неполные там вообще не рассматриваются). Поясним раз-
различие на примере диаграммы B.59): ее подграфами на нашем языке
являются, в частности, две простые вершины (точки), а также три
различных нетривиальных вершинных подграфа (две вершины плюс
любые две из трех внутренних линий), тогда как на языке [35] отлич-
отличных от простых вершин нетривиальных подграфов данная диаграмма
не имеет.
И еще о терминологии. Под размерностью величины F в этой главе
всегда будет пониматься ее каноническая (п. 1.15) размерность dF, она
же d[F] для громоздких F. Под сходимостью (расходимостью) диа-
диаграммы понимается сходимость (расходимость) соответствующего диа-
диаграмме интеграла по импульсам внутренних линий, термин "расходи-
"расходимость" без уточнения всегда обозначает УФ-расходимость, т.е. расхо-
расходимость интеграла в области больших импульсов.
Наличие расходимостей предполагает какую-нибудь регуляризацию,
придающую смысл диаграммам. С технической точки зрения очень
важно, чтобы регуляризация была единообразной для всех диаграмм,
т.е. чтобы регуляризовалась теория в целом. Этому условию удовле-
удовлетворяет простое обрезание Л в A.64), есть, конечно, и другие способы,
например, подходящее изменение линии в диаграммах (т.е. свободного
п.2 ПР-графы, классификация теорий lib
действия), обеспечивающее более быстрое ее убывание на больших им-
импульсах. Особо важную роль в дальнейшем будет играть размерная
регуляризация.
Общую теорию ренормировки будем иллюстрировать на примере <р4-
модели A.63) с нулевым внешним полем и Т > Тс. Ее функционал
действия будем записывать компактно в виде
Sfr) = -(д<рJ/2-т<р?/2-д<р*/24, A)
опуская (подразумеваемое) интегрирование по d-мерному х. Пользу-
Пользуясь квантовополевой терминологией, параметры типа г будем называть
"массовыми", модель с г > 0 - "массивной", а с г = 0 - безмассовой
(= критической в статфизике). Сначала мы рассмотрим ренормировку
модели A) в ее логарифмической размерности d = 4 с обрезанием A (ip\-
модель), затем перейдем к размерной регуляризации d = 4—'2s, позволя-
позволяющей использовать результаты теории ренормировки для реальной (в
наших задачах) размерности d < 4. Ренормировка для случая г < 0, т.е.
для системы со спонтанным нарушением симметрии, рассматривается
в п.36.
п. 2 ПР-графы, классификация теорий по ренормируемости.
Пусть Tn(xi.. .хп) - 1-неприводимые функции Грина в нулевом поле
рассматриваемой в размерности d модели (любой, не обязательно A)),
Г„(р!.. .Рп) = Bтг)" *($>.-) rnp(Pi ---Pn) B)
- их фурье-образы типа B.55). Под Гп без уточнения всюду в этой главе
будем понимать при п > 1 функцию Tnp(pi.. .рп) из соотношения B),
а при п = 0 - определенную в п.2.7 величину ГОр - коэффициент при
объеме V = [ dx в вакуумных петлях. Размерности функций Г„ легко
находятся из соотношений A.70) и B.57):
d[Tn] = d[Tnp(Pl...Pn)] = d-ndv Vn>0. C)
Для простоты мы будем говорить об одном поле <р и одном заряде д,
обобщения тривиальны, не меняется даже внещний вид формул, если
понимать их на языке мультииндексов.
Пусть 7nv = {—g)wInv ~ вклад в Гп отдельной диаграммы с v вер-
вершинами, /пу - ее "импульсный интеграл", т.е. значение диаграммы
без вынесенных явно вершинных множителей — д. Его каноническую
размерность
ш = d[InV] = d[Tn] - vdg = d - ndv — \dg D)
226 Глава, 3. Ультрафиолетовая ренормировка
называют индексом, точнее, формальным УФ-индексом данной диаграм-
диаграммы. При и > 0 подынтегральное выражение 1п\ имеет в числителе с
учетом дифференциалов dk не меныце импульсов, чем в знаменателе, и
если все это импульсы интегрирования к, то интеграл заведомо рас-
расходится при больших к (но w < 0 сходимости не гарантирует, см.
дальше). Прилагательное "формальный" существенно для моделей с
производными в вершинах: иногда (примеры потом) часть этих произ-
производных обязательно выносится из импульсного интеграла в виде мно-
множителя, пропорционального внешним импульсам. Тогда о сходимости
нужно судить по размерности остающегося интеграла, которая и будет
реальным УФ-индексом. В моделях типа A) без производных в верши-
вершинах понятия реального и формального УФ-индексов совпадают.
Определения: поверхностно расходящейся (ПР) называют диаграм-
диаграмму, которая, во-первых, имеет петли, во-вторых, 1-неприводима, в тре-
третьих, имеет неотрицательный реальный УФ-индекс. Модель называют
суперренормируемой, если в ней лишь конечное число таких диаграмм,
ренормируемой - если их число бесконечно, но они присутствуют лишь в
конечном наборе функций Гп, т.е. конечно "число типов" ПР-диаграмм,
и неренормируемой, если бесконечно и число типов ПР-диаграмм.
Напомним, что 1-неприводимые графы обязательно связные (п.2.6).
Если реальный индекс совпадает с формальным и^ > 0, то класс
теории определяется просто знаком dg: поскольку число вершин v в D)
при данном п может расти неограниченно, теория неренормируема при
dg < 0, суперренормируема при dg > 0 и ренормируема при dg = О,
т.е. понятие ренормируемости фактически совпадает в этом случае с
введенным в п. 1.16 понятием логарифмичности. Для конкретной модели
размерности dv<g определяются по виду функционала действия (п. 1.15)
и выражаются через d, например, d^ = d/2 — 1, dg = 4 — d для модели
A). По этим размерностям видно, что ^-модель неренормируема при
d > 4, ренормируема в своей логарифмической размерности d* = 4 и
суперренормируема при 2 < d < 4, а при d < 2 вообще не имеет УФ-
расходимостей. Отметим, что уменьшение d улучшает УФ-сходимость.
поэтому суперренормируемая при некотором d = d0 модель останется
таковой и при любом d < d0 независимо от знака dv.
п.З Примитивные и поверхностные расходимости. Кратность
интеграла по внутренним (d-мерным) импульсам к равна числу петель
в диаграмме. В любой модели сходимость однопетлевого интеграла /
полностью определяется его размерностью d[I] =u: очевидно, что при
w < 0 интеграл сходится, а при ш > 0 - расходится. Его дифферен-
дифференцирование по внешним импульсам р и массовым параметрам т пони-
п.З Примитивные и поверхностные расходимости 227
жает размерность, поэтому производные достаточно высокого порядка
будут сходящимися. Отсюда следует, что "расходящаяся часть" такого
интеграла - полином (поскольку исчезает при дифференцировании) по
р,т с расходящимися коэффициентами. Определяемые таким путем "по
размерности" расходимости будем называть примитивными. Их струк-
структура находится по правилу:
Пр. расх. / = полином Р(р,т) с d [мономов] < d[I] E)
(при d[I] < 0 расходимостей нет). Это частный случай более широ-
широкого класса поверхностных расходимостей, структура которых опреде-
определяется следующим правилом:
Пов. расх. / = полином Р(р) с d [мономов] < d[I] . F)
Зависимость от г коэффициентов полинома F) не конкретизируется,
тогда как в E) она обязательно полиномиальная. Отметим, что расхо-
расходимости типа F) целиком содержатся в начальном отрезке длиной d[I]
тэйлоровского разложения / по р, а типа E) - по совокупности р, г, по-
поскольку полином не дает вклада в старшие коэффициенты рядов. Это
верно для любого выбора точки разложения при условии, что его ко-
коэффициенты имеют смысл. Оговорка существенная: обычно при г > О
разлагать по р в нуле можно, но коэффициенты двойного разложения
по р, т в нуле не существуют из-за ИК-расходимостей, и тогда точку
разложения по р или г нужно смещать. Поэтому полином в E) не мо-
может быть интерпретирован как начальный отрезок разложения в нуле
по совокупности р, т.
Выше было показано, что расходимости однопетлевых диаграмм при-
примитивны, т.е. определяются правилом E). Справедливо общее утвер-
утверждение 1: любая диаграмма без ПР-подграфов имеет только примитив-
примитивные расходимости E).
Забегая вперед, поясним, что для диаграмм у с ПР-подграфами
структура расходимостей становится простой лишь после вычитания
"подрасходимостей", т.е. расходимостей подграфов с помощью некото-
некоторой "й'-операции''. При этом у —»■ R'y ив/ = R'y остаются только
поверхностные расходимости F). Существуют разные схемы вычита-
вычитаний, правило F) для расходимостей R'y справедливо для любой из них,
различие лишь в структуре по г: некоторые схемы сохраняют прими-
примитивность расходимостей, тогда для любой диаграммы у расходимости
R'j имеют структуру E), в иных схемах полиномиальность по г теря-
теряется.
228 Глава, 3. Ультрафиолетовая ренормировка
Для уяснения возникающих проблем на некоторое время сосредото-
сосредоточимся на (р^-модели A) с обрезанием Л. При г > 0 отличны от нуля
лишь четные функции Г2п, функции с п > 3 будем называть "стар-
"старшими". Все размерности известны:
d = 4, dtp = l, dT = 2, dg = 0, d[T2n} = 4 - 2n .
По ним из E) находим структуру примитивных расходимостей:
Пр.расх. Го = сЛ4 + сА'2т + ст2 , 1
Пр.расх. Г2 = сЛ2 + ст + ср2 , I
Пр.расх. Г4 = с , [ ( >
Пр.расх. Г2„ = О V п > 3 , J
где все с - не зависящие от р, т безразмерные коэффициенты - функции
как-нибудь обезразмеренного In Л. Для примера вычислим явно при
d — 4 импульсный интеграл / диаграммы B.58), т.е. интеграл в B.58)
без вершинного множителя — g (угловое интегрирование при d = 4 дает
2тг2):
(8)
Операцией — дт из (8) можно получить аналогичный интеграл / для
вершинной диаграммы B.61) при нулевых внешних импульсах:
, (9)
р = 0 для диаграмм Г4 всегда будет обозначать pi = р2 = Рз = Ра = 0.
Видно, что ответы (8),(9) согласуются с правилом E), но по т не
разлагаются. Поэтому для отделения расходящейся части в виде поли-
полинома по т необходим добавочный размерный параметр типа ренорми-
ровочной массы ц (п.1.20), позволяющий представить 1п(А2/г) в виде
Интеграл / для диаграммы B.60) является произведением выраже-
выражений (8) и (9). Ясно, что его расходящаяся часть уже не будет полиномом
по г, так что утверждение 1 (см. выше) для диаграмм с ПР-подграфами
заведомо неправильно.
п.4 Ренормировка параметров г, g в однопетлевом прибли-
приближении. Модель A) относится к классу мультипликативно-ренормируе-
мых, для которых все расходимости функций Грина Г„ с п ф 0 можно
п.4 Ренормировка т, д в однопетлевом приближении 229
устранить ренормировкой полей и параметров. Расходимости вакуум-
вакуумных петель Го таким путем не устраняются, и мы пока (до п.8) не будем
их рассматривать. Общая идея мультипликативной ренормировки уже
излагалась в гл.1, поэтому напомним ее лишь кратко: исходное дей-
действие модели считается неренормированным, его параметры - затра-
затравочными, с этого момента будем обозначать их {то,до} = во, а вместо
A) будем писать
%>,ео) = -(д<рJ/2-тй<р2/2-дй<рУ24. A0)
Ренормированное действие определяется по неренормированному A0)
общей формулой A.84), а его (т.е. ренормированные) функпии Грина
выражаются через новые ренормированные параметры е — {г, д). Для
ренормированной теории параметры е считаются независимыми пере-
переменными, а затравочные параметры ео и константа ренормировки Z^ -
некоторыми функциями е и обрезания, подлежащими определению из
требования устранения расходимостей в ренормированных функциях
Грина. Все объекты строятся в виде рядов по ренормированному за-
заряду д, в частности,
г0 = г + £У an , д0 = д [l + £>" /?„] , Zv = l + £>" An . A1)
П—l 71 = 1 П = 1
Утверждается, что подходящим выбором коэффициентов этих рядов
можно в каждом порядке по д устранить все расходимости из опре-
определенных соотношением A.81) ренормированных функций FnR = Z"FU
с п ф 0 (напомним, что мы пишем Z^ вместо обычного "ij").
Проверим это утверждение для модели A0) в низших порядках по
д. Из соотношения A.81) и диаграммных представлений п.2.6 имеем:
i Q
A2)
Диаграммами представлены здесь неренормированные функции Г2,4; В(^е
параметры в них затравочные, т.е. вершине соответствует множитель
230 Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка
—до, а линии - затравочный пропагатор До = {к2 + т~о) '. В A2) при-
приведены все 1- и 2-петлевые диаграммы с симметрийными коэффициен-
коэффициентами, внешние импульсы р и симметризация по ним для Г4 подразуме-
подразумеваются.
Все величины строятся в виде рядов по д, порядки удобно класси-
классифицировать по числу петель, мы будем его указывать верхним индек-
индексом у Г. В беспетлевом приближении имеем ео = е, Z^ = 1, Г.,^ =
—р2 — г, F^R = —g, а все старшие функции равны нулю, так как их
разложения начинаются с однопетлевых диаграмм.
В следующий порядок дают вклад одиопетлевые диаграммы с е = ео
(учет в них поправок A1) - превышение точности) и первые поправки
A1) в беспетлевых вкладах A2):
A3)
Здесь и далее через /[7] обозначается импульсный интеграл диаграммы
7, - значение диаграммы с единичными множителями в вершинах и
ренормированным г в линиях.
Однопетлевые диаграммы Гг,4 в A3) имеют лишь примитивные рас-
расходимости G), которые можно, очевидно, сократить в комбинациях A3)
подходящим выбором коэффициентов ai, 0\ т/i \\. Спецификой однопет-
левого приближения в данной модели является отсутствие примитивной
расходимости ~ р2 в Го (однопетлевая диаграмма Гз от р вообще не за-
зависит). Поэтому можно положить А] = 0, т.е. в данном приближении
ренормировка поля не требуется.
п.5 Разные схемы вычитаний, физический смысл парамет-
параметра г. Требование УФ-конечности комбинаций A3) определяет первые
коэффициенты рядов A1) не однозначно, а лишь с точностью до произ-
произвольных конечных добавок. Для однозначности нужны дополнительные
условия, говорят, "выбор схемы вычитаний" (расходящихся частей).
Таких схем много, все они связаны УФ-конечной ренормировкой и с
точки зрения РГ эквивалентны (гл.1), поэтому выбор схемы - вопрос
удобства. В массивной теории (т > 0) часто используется схема вычи-
вычитаний на нулевых импульсах, которая задается нормировочными усло-
условиями
■>
=о = -г, dT2R/dp~ „ = -1, Г4в \р=о = -д , A4)
п.о Разные схемы вычитгший, смысл параметра т 231
т.е. в Топ фиксируются два первых члена разложения по р2 в нуле, а в
F4r - значение в нуле (всех импульсов). Это дает три условия для фик-
фиксации коэффициентов трех рядов A1), в частности, из A3) и A4) следует
Uo. Л' = °- ' A5)
Учет этих величин в A3) эквивалентен вычитаниям из графиков соот-
соответствующих условиям A4) членов тэйлоровских разложений. Отме-
Отметим, что это общее правило для диаграмм с петлями, поскольку бес-
беспетлевое приближение для FnR уже удовлетворяет условиям A4).
Безмассовой является теория с г = 0 (а не с г0 = 0), в ней Тон{р =
0) = 0, но другие два условия A4) не обобщаются непосредственно, по-
поскольку входящие в них величины не существуют из-за ИК-сингулярнос-
тей. Для сдвига из нуля точки разложения по импульсам приходится
вводить дополнительный размерный параметр - ренормировочную массу
ц (на жаргоне - "точка нормировки"). При г — 0 вместо A4) обычно
требуют:
г2к|Р=о = о, дт2п/дР2\^^ = -1, г4а|Р^ = -9 , A6)
где р ~ ц для Г2 обозначает р2 = /л2, а для Г 4 - симметричную точку
в пространстве четырех, в сумме равных нулю, внешних импульсов:
Возвращаясь к массивной теории, будем называть коэффициенты ря-
рядов типа A1) примитивными, если они являются полиномами по т со-
согласованной с правилом E) размерности, т.е. в нашем случае
a = сЛ2 +ст , /3 = с , А = с , A7)
где все с - различные не зависящие от г безразмерные коэффициенты.
Ввиду примитивности расходимостей однопетлевых диаграмм A2) их
всегда можно сократить примитивными коэффициентами qi, /?i, X\.
Это обеспечит впоследствии (подробнее в п.6) примитивность двухпет-
левых поверхностных расходимостей, отсюда - возможность их сокра-
сокращения примитивными вторыми коэффициентами рядов A1) и так далее,
т.е. будет обеспечена примитивность расходимостей и коэффициентов
рядов A1) во всех порядках. Схема A4) не сохраняет примитивности,
так как уже первые коэффициенты A5) - явно известные из (8), (9)
сложные функции г. Для обеспечения структуры A7) в нормировоч-
нормировочных условиях должны фиксироваться коэффициенты разложения не по
232 Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка
р при произвольном г, как в A4), а по совокупности р, т. Разлагать по
совокупности р, т в нуле нельзя из-за ИК-сингулярностей, но это можно
делать, например, в точке {р= 0, г = ц2} ЕЕ *, фиксировав условия
г2а|* = -/Л дтш/дР\ = -1,
A8)
drU = -1, r4RL = -g ■
Их ровно столько, сколько независимых слагаемых в примитивных рас-
ходимостях G) функций Г2,4- Из соотношений A3) и A8) получим
Ai = 0, а а\ и /?i будут теперь нужными отрезками тэилоровских раз-
разложений по г в точке fi1 коэффициентов A5).
До сих пор мы обсуждали <^>|-модель с обрезанием Л. При переходе
к ^ с d = 4 - 2ев практических расчетах обычно используется схема
MS (п.1.22). Она удовлетворяет условиям типа A7), т.е. обеспечивает
примитивность расходимостей во всех порядках.
Обсудим теперь физический смысл параметра г в разных схемах. Он
связан с конечной измеряемой экспериментально величиной - темпера-
температурой Т - посредством первого равенства A1), куда Т входит через
го = а(Т — Тсо), где а - не зависящий от Т коэффициент (в A.63) он
считался включенным в Т), а Тсо - критическая температура в прибли-
приближении Ландау. Напомним, что неренормированное действие A0) имеет
смысл функционала Ландау, приведенный выше вид функции то(Т) -
следствие общих принципов его построения (п.1.12).
Обозначив через а(Т) (прочие аргументы подразумеваются) всю пра-
правую часть первого равенства A1), перепишем его в виде
го(Т) = а(Т-Тс0) = а(т) . A9)
Для заданной схемы вычитаний or (г) - известная (в форме ряда по д)
функция, равенство A9) определяет неявно т — т{Т).
Параметр т всегда выбирается так, что т — 0 соответствует без-
безмассовой теории, т.е. Гэи.(р = 0, т — 0) = 0; с другой стороны, точ-
точное (в рамках модели) значение Тс определяется по неренормированной
функции соотношением Т^(р = 0, Т — Тс) — 0. Ввиду взаимной пропор-
пропорциональности Гт и Гзн = Z"F-2 обращаются в нуль одновременно, т.е.
т(Тс) — 0. Учитывая это, из A9) получаем:
а(Тс-Тс0) = а@) , а(Т-Те) = а(г) - а@) . B0)
Первое равенство определяет сдвиг Тс при выходе за рамки теории Лан-
Ландау (т.е. беспетлевого приближения), а второе - зависимость г от Т—Тс.
я.6 Двухпетлевое приближение 233
Она проста для схем типа A8) или MS, сохраняющих в высших поряд-
порядках примитивность расходимостей: тогда а(т) - линейная функция в
силу A7), поэтому из B0) следует г ~ Т — Тс. Выбрав должным обра-
образом не фиксированный пока коэффициент а в A9), можно считать, что
в таких схемах т — Т — Тс.
В схемах, не сохраняющих примитивность расходимостей. связь г
с Т — Тс более сложная. Например, для схемы A4) в однопетлевом
приближении из (8), A5) и B0) получим а(Т — Тс) — г[1 + cgln(l +
Л2/г)] = г(Л2/г)сэ, где с = 1/32тг2. Расчеты в высших порядках и
РГ-анализ показывают, что в этой схеме ведущий член асимптотики
г —>■ 0 в Т — Тс действительно является некоторой дробной степенью
тх с показателем А = 1+ряд по д. выше мы нашли первый член этого
ряда. В данном случае параметр г просто связан не с температурой, а
с восприимчивостью х, согласно A.36).
п.6 Двухпетлевое приближение. Вернемся к анализу п.4 и рас-
рассмотрим очередное двухпетлевое приближение. Тогда в A2) нужно учи-
учитывать следующие вклады одного порядка по д: 1) двухпетлевые диа-
диаграммы с е0 -> е, 2) уже известные первые поправки A1) в затравочных
параметрах ео однопетлевых диаграмм, 3) пока еще не определенные
вторые поправочные члены рядов A1) в беспетлевых слагаемых A2). В
старших функциях Грина есть лишь вклады No.\. и No.2. Утвержда-
Утверждается, что в старших функциях расходимости сокращаются автоматиче-
автоматически, а в A2) их можно сократить подходящим выбором остававшихся
пока неопределенными вторых коэффициентов рядов A1). Это следует
из основной теоремы об R-операции, она будет потом подробно обсу-
обсуждаться, а сейчас лишь уточним структуру отдельных вкладов, чтобы
пояснить смысл утверждения.
Вклад iVo.l - двухпетлевые диаграммы с ренормнрованными пара-
параметрами. Вклад iVo.2 порождается учетом (сейчас не более чем од-
однократным) первых поправок ~ ai, /?i (считаем Х\ — 0) в вершинных
множителях — да — —g(l.+gfii + ...) и пропагаторах До(&) = (Р+го)" =
(&2 + т + да.1 + - - -) неренормированных однопетлевых диаграмм. В
первом порядке имеем Аа(к) — Л(&) —да\А2(к) +..., т.е. каждая линия
неренормированных диаграмм заменяется на
новой линии соответствует А(к) — (fc2 + г)", точка в ней - ''вставка
единицы". Эти соображения определяют вклад No2 в A2). Вклад No.3
определяется слагаемыми — Ъ2 (р2-\-tq) в I^r и —Z^o в Г^. В них нужно
234 Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка
подставить ряды A1) и отобрать члены нужного порядка по д, что при
Ai = 0 даст -g'2[a2 + 2A2Qr + г)] в Г2д и -д3(/32 + 4А2) в Г4в.. В итоге
для суммы вкладов No.l-No.Z в A2) в нужном порядке по д получим
выражения
о - \9х q + ш + ie] |
B1)
-l OQ-3<Ql-I
где / обозначает "импульсный интеграл": по соглашению, в диаграм-
диаграммах под знаком / вершинам сопоставляются единичные множители, а
линиям -пропагатор Д(&) = (й2 + г)~1 с ренормированным параметром
т.
Если бы все диаграммы B1) имели только поверхностные расходи-
расходимости типа F), т.е. их "расходящиеся части" были бы полиномами
второго порядка по р для Г 2 и нулевого для Г4: то они, очевидно,
устранялись бы в комбинациях B1) подходящим выбором коэффици-
коэффициентов п'2, /?2, Аг- Но в двухпетлевых диаграммах есть ПР-подграфы,
поэтому их расходимости имеют более сложную структуру. Суть основ-
основного утверждения в том. что в сумме вкладов No.l и Л'о.2, т.е. в сумме
2- и 1-петлевых диаграмм, расходимости со сложной структурой вза-
взаимно сокращаются и остаются лишь поверхностные расходимости типа
F). Это значит, что в старших функциях Грина расходимостей вообще
не будет, а в A2) остаются расходимости, устранимые подбором с*2, 3i
и А-2- Так будет и дальше: в сумме очередных /-петлевых диаграмм и
всех поправочных с меньшим числом петель остаются лишь поверхност-
поверхностные расходимости F), устранимые подбором очередных коэффициентов
рядов A1).
Конечный произвол в них фиксируется выбором схемы вычитаний,
от нее зависит структура расходимостей по т. Справедливо следую-
следующее нетривиальное утверждение: в процессе индукции примитивность
(п.5) всех построенных ранее коэффициентов A1) гарантирует прими-
примитивность очередных поверхностных расходимостей и. как следствие,
п. 7 Базовое действие и контрчлены 235
возможность их устранения очередными примитивными коэффициен-
коэффициентами A1). Начальный шаг индукции обеспечивается примитивностью
одиопетлевых расходимостей.
Приняв это на веру, легко понять, почему непримитивность коэф-
коэффициентов A1) приводит к нарушению примитивности расходимостей
в высших порядках. Сравним выражения B1) для двух схем: одной -
с примитивными коэффициентами а\, /Зу, и другой - с новыми а[ —
Qi + Дс*1, 3[ = /?i + Д/?1, содержащими некоторые УФ-конечные непри-
непримитивные добавки Даь ЛД. Пусть А - сумма всех 1- и 2-петлевых
диаграмм B1) в первой схеме, А1 - во второй. Согласно приведенному
выше утверждению, расходимости А примитивны. Покажем, что для
А' это неверно. Действительно, разность А—А' - некоторая комбинация
однопетлевых диаграмм с кратными Д«1 и Д/?1 коэффициентами. Рас-
Расходимости однопетлевых диаграмм примитивны, но они умножаются
на непримитивные конечные коэффициенты Ac*i, &/3\, поэтому расхо-
расходимости А' — .4, а значит и А', заведомо непримитивны.
п.7 Базовое действие и контрчлены. В этом и следующем раз-
разделах излагается общая теория, к у>4-модели мы будем обращаться лишь
в качестве примера.
Пусть S(<p, ео) исходное неренормированное действие, ео - набор его
затравочных параметров, е - их ренормированные аналоги, зависимость
от обрезания Л или ренормировочной массы ц и параметра е из A.86)
в размерной регуляризации явно указываться не будет, но всегда под-
подразумевается. Допустим, что модель мультипликативно-ренормируема
(п.1.18), тогда ее ренормированное действие SR(<p, е) связано с неренор-
мированным соотношением A.84): SR(<p,e) = S(Zvy>,ео), Z^, = Zv,(e),
е0 = ео(е) (мы пока не рассматриваем ренормировку вакуумных петель
и соответствующие вакуумные контрчлены, см. примечание в п. 1.18).
Введем новые понятия: значения величия ео(е) в низшем нетриви-
нетривиальном порядке по ренормированному заряду (например, в нулевом для
го и первом для до в A1)) назовем базовыми параметрами ев — ев(е),
получаемое простой заменой ео —)■ ев из неренормированного действие
SB{tp.e) = S(tp,eB(e)) назовем базовым, а разность SR(<p,e) —SB(<p,e) =
AS(tp, e) - контрчленами.
Поясним эти общие определения на примере у>4-модели. Для нее
ео = {То,9о}, е — {т,9}\ из соотношений A1) и определения ев сле-
следует, что для (р^-моделш с обрезанием Л базовые параметры совпадают
с ренормированными. Но в размерной регуляризации с d = 4 — 2е вме-
вместо A1) имеем (п.1.21) г0 = r+O{g), g0 — УЦ2е + O(g2), т.е. равен-
равенство гв = г сохраняется, но теперь дв = дцЛе, поэтому базовый за-
236 Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка
ряд дв в общем случае будем отличать от ренормированного заряда
д. Базовое действие получается из неренормированного A0) заменой
то -» тв = г, д0 -* дв - др.2', т.е.
SB(p, е) = -(%J/2 - V/2 - 9в<Р4/24 , B2)
а ренормированное - по правилу A.84):
Контрчлены AS((p, e) определяются соотношением
SR((p,e) = 5в(у,е) + Д5(у>,е) , B4)
в данном случае из B2) и B3) получаем AS((p, e) =
5вСзу4/24 с коэффициентами ci = 1-Z2, с2 = r-r0Z2, c3 = l-gZ19o'^%-
Затравочные параметры го, #о везде считаются выраженными через г, д
(для d = 4- формулами (И)) в виде рядов по д, ряды для всех введенных
С{ начинаются с членов первого порядка по д, вклады порядка д1 в этих
рядах соответствуют /-петлевым контрчленам в AS.
Ранее мы вычисляли функции Гпн для данной модели по диаграм-
диаграммам неренормированной теории A0) с последующией подстановкой вы-
выражений A1). Ясно, что те же самые функции Гпн можно было бы
вычислять прямо по диаграммам базовой теории, рассматривая контр-
контрчлены AS в B4) как добавку к базовому взаимодействию: результаты
должны совпасть, поскольку речь идет о функциях Грина одной и той же
(заданной действием SR) модели, представляемых в одинаковой форме
рядов по д. В низшем порядке учитываются лишь беспетлевые вклады
SB, в следующем - однопетлевые диаграммы SB и вклады однопетлевых
(определение см. выше) контрчленов, затем двухпетлевые диаграммы
SB (вклад JVo.l в терминологии п.6), поправки того же порядка по д
от однопетлевых контрчленов (вклад No.2) и от двухпетлевых (вклад
No.Z) и так далее.
Выше мы определили базовое действие и контрчлены, считая пер-
первичным объектом неренормированную модель и предполагая ее муль-
мультипликативную ренормируемость. В общей теории ренормировки, раз-
развитой впервые в релятивистской квантовой теории поля, постановка
задачи иная: задающим модель первичным объектом считается там ба-
базовое действие, контрчлены строятся по нему с помощью устраняющей
УФ-расходимости R-операции (о ней в следующих разделах), ренорми-
ренормированное действие определяется как сумма базового и контрчленов. Это
более общая схема, так как может случиться, что число независимых
п.8 Операции L, R, R' 237
типов контрчленов превышает число полей и параметров в базовом дей-
действии, тогда их нельзя воспроизвести стандартной процедурой муль-
мультипликативной ренормировки неренормированного действия, совпада-
совпадающего по виду с базовым. В релятивистской теории поля это есте-
естественно, так как непосредственно наблюдаемые величины связаны там
всегда с ренормированными параметрами и функциями Грина, неренор-
мированное действие и затравочные параметры, если их можно ввести,
считаются объектами вторичными и ненаблюдаемыми. В теории кри-
критического поведения ситуация иная: здесь неренормированное действие
и его (т.е. затравочные) параметры - первичные объекты, все прочее
- вторично, поэтому применение изложенного в гл.1 стандартного ап-
аппарата РГ возможно лишь при мультипликативной ренормируемости
модели. Но технику вычисления контрчленов и констант ренормировки
в высших порядках по д удобно пояснять в рамках общей теории ренор-
ренормировки, в которой исходным объектом считается базовое действие. К
изложению этой общей теории мы и приступаем.
п.8 Операции L, R, R'. В теории поля доказывается, что добавку
контрчленов к заданному базовому действию SB можно подменить не-
некоторой "Д-операцией'?, действующей на диаграммы базовой теории.
Ниже вводятся нужные для этого определения. Вклады отдельных 1-
неприводимых диаграмм заданной действием SB базовой теории будем
обозначать через у„ или просто j, если уточнение не требуется, при
этом 7п обозначает одновременно и диаграмму (рисунок), и соответ-
соответствующее ей аналитическое выражение - вклад в Г„ = Fnp(pi ■■■Рп)
(п.2) без симметрийного коэффициента. Вакуумные петли 70 рассма-
рассматриваются на равных правах с прочими уп.
L, R, R' определяются как операции на диаграммах (любых, а не
только i-неприводимых) и продолжаются по линейности на их суммы с
симметрийными коэффициентами, т.е. на функции Грина, а через них
на соответствующие производящие функционалы. Сразу заметим, что
свойство L(aj) = aL~/ гарантировано лишь для простого скалярного и
не зависящего ни. от каких параметров множителя а типа симметрий-
симметрийного коэффициента, в иных случаях оно может и не выполняться (уточ-
(уточнения потом).
Первичной является контрчленная операция L: по определению,
£[граф] = контрчлен данного графа - некоторая функция тех же пе-
переменных и той же размерности, что и сам граф. Графы (диаграммы),
которым сопоставляются отличные от нуля контрчлены, будем назы-
называть существенными для L, прочие - несущественными. Всюду в даль-
238 Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка,
нейшем будем считать, что
£[1-приводимый граф] — 0 , B5)
т.е. существенными могут быть лишь 1-неприводимые (не обязательно
все) диаграммы -у. Для задания L нужно указать множество существен-
существенных диаграмм j и величину Lj или правило ее построения для каждой
из них. В дальнейшем R-операция, которая строится по L, будет исполь-
использоваться для устранения УФ-расходимостей, что предполагает опреде-
определенный (хотя и неоднозначно) выбор L. Но формулы этого раздела чи-
чисто комбинаторные и верны для любой удовлетворяющей условию B5)
операции L.
Операции R, R' на произвольной (не обязательно 1-неприводимой)
диаграмме определяются по заданной операции L следующими соотно-
соотношениями [86]:
R=R'-L. B6)
7,7'
Диаграмма мыслится при этом вполне нумерованной (см. п.1), буквами
7, "/',■■■ обозначаются ее существенные подграфы ("сама" - не под-
подграф! ), действие Ly на диаграмму сводится к замене подграфа 7 его
контрчленом Lj, при этом 7 и Lj понимаются как функции внешних по
отношению к ним импульсов интегрирования в диаграмме. Однократ-
Однократное суммирование в B6) проводится по всем различным (для вполне
нумерованной диаграммы) существенным подграфам, двукратное - по
всем различным парам непересекающихся существенных подграфов, за-
затем по тройкам и так далее, для любой конкретной диаграммы ряд обо-
оборвется. Для R-операции в однократную сумму B6) добавляется вклад
самой диаграммы как целого, если она существенна, - в этом все раз-
различие между R и R'. Суммировать в B6) можно и по всем связным
подграфам, операция L сама отберет существенные.
Иллюстрируем правило B6) для R'-операции конкретными приме-
примерами для ^4-модели, считая существенными только ПР-графы 7о,2,4 Gо
подграфами не бывают) и обозначая действие операции L1 в B6) охва-
охватывающим подграф 7 штриховым кружком. Однопетлевые диаграммы
ПР-подграфов не имеют, поэтому на них R' = 1. Для двухпетлевых
диаграмм A2) имеем:
п.8 Операции L, R, R'
239
R?
R'
*<Х> = OQ -Ж
=<Q- xa
Во второй диаграмме B7) есть три различных вершинных подграфа
(см. п.1), их вклады эквивалентны, поэтому оставлен один с коэффи-
коэффициентом 3. Еще несколько примеров, два последних - для вакуумных
петелы
R> ХЗСХХ =сама - лЦСОч - XJOLX -
-хШ
= сама —
240
Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка.
*()()() =
-С УПК ) -
- С ):() С):
к
О-
-ОШ;
{(■
)
);
);:
(
с
:(
):
){■
) i
(
(
)-
); +
);-
B8)
= сама — 3
. v_A_y — сама ~ z Kj^J/ >
= сама-
- 4',
Примеров достаточно для уяснения правила расстановки штриховых
кружков в Л'-операции. Л-операция отличается от В! лишь добавкой в
правую часть со знаком минус самой диаграммы, охваченной как целое
штриховым кружком, если "сама диаграмма" существенна (если нет,
то R= R'):
Действие Л-операции на некоторый объект будем называть его ре-
ренормировкой. Справедливо следующее важное свойство факториза-
факторизации ренормировки: пусть исходная диаграмма (или сумма диаграмм)
представляется в виде произведения АВ, причем сама диаграмма не-
несущественна, а все ее существенные поддиаграммы находятся либо це-
целиком в А, либо в В, и существенные подграфы разных множителей
никогда между собой не пересекаются. Тогда из B6) следует, что
R(AB) = RA ■ RB, т.е. в этом случае ренормировка произведения сво-
сводится к ренормировке сомножителей.
Следствие: Действие Л-операции на полный пропагатор B.52) ба-
базовой теории эквивалентно ренормировке собственной энергии S (сим-
(символически RD(E) — D(ftS)); действие Д-операции на связные функции
эквивалентно ренормировке всех одетых линий и вершин в B.45), а на
п. 9 R-опера.шля в форме Боголюбов а- Пар&сюк а
241
полные - ренормировке всех связных сомножителей.
Отсюда вытекают следующие два утверждения:
Уте ерждение 1. Д-операция коммутирует с операциями отбора связ-
связной и 1-неприводимой частей представляемых диаграммами производя-
производящих функционалов, а также с операцией ампутации внешних линий Д,
превращающей диаграммы полных функций Грина Gn в диаграммы
5-матричных функций Н„ (см. п.2.14).
Утверждение 2. Если R-операция устраняет УФ-расходимости из
какой-нибудь одной системы функций Грина (полных, или связных, или
S-матричных, или 1-неприводимых), то этим автоматически обеспечи-
обеспечивается УФ-конечность и всех прочих функций Грина.
п.9 Д-операдия в форме Боголюбова-Парасюка. В книгах [35,
84, 85] и многих работах используется отличная от R(L) по форме R-
операция Боголюбова-Парасюка, которую мы будем обозначать через
R(L). Формально R (L) и R[L) = R (L) — L определяются тем же пра-
правилом B6), если термин "подграф" понимать в смысле [35], т.е. как под-
подмножество вершин. На нашем языке это означает, что суммирование в
B6) для R (L) производится не по всем, как для R'(L), а только по пол-
полным подграфам (см. определение в п.1). Это разные, но эквивалентные
формы Л-операции: для любой контрчленной операции L можно постро-
построить новую операцию L, такую, что R{L) = R(L), а именно (обозначения
B6)),
Lj =
и
1'
R{L) - R(L)
B9)
с суммированием по всем существенным для L подграфам "(' С -/, содер-
содержащим все вершины ■у. Слагаемое L в B9) выделено лишь потому, что
мы условились (п.1) не называть подграфом "саму диаграмму". Если
диаграмма -{ не имеет существенных для L подграфов (например любая
однопетлевая), то на ней L = L.
Поясним формулу B9) для L примерами, обозначая действие L, как
и в п.8, штриховым кружком, a L - пунктирным:
+ 3
+ б
242
Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка.
000 - Q3Q = '000:
C0)
Поясним также примерами равенство Rj = R(L)j — R(L)j:
R
= о
« 000
-O0D
= 000 - * OGD)
000 -»
"% - ШЗ -
Эти равенства при учете соотношений C0) очевидны. Для доказатель-
доказательства утверждения B9) в общем случае достаточно заметить, что каждое
суммирование по связным вполне нумерованным подграфам в B6) (мы
пишем там сумму по 1-неприводимым подграфам -у лишь потому, что
сразу учитываем условие B5)) можно представить в виде двукратной
суммы: сначала по связным вполне нумерованным подграфам с задан-
заданным набором вершин, затем - по всем вариантам выбора этого набора.
п. JO Рекуррентное построение L через операцию вычитания К 243
Внутреннее суммирование превращает L в L, внешнее эквивалентно
суммированию по полным подграфам.
Мы описали операцию Боголюбова-Парасюка R(L) только ради пол-
полноты изложения, но пользоваться ею не будем. Всюду в дальнейшем
под R-операцией понимается определенная в п.8 операция R(L). Она
удобнее для практических расчетов, в частности, потому, что в схемах
типа MS контрчлены Lj полиномиальны по массовым параметрам г, а
Lf это свойство теряют.
п.10 Рекуррентное построение L через операцию вычитания
А". Для заданного множества существенных диаграмм f соотношение
L-y = nsKp-sR'-f , <* = с?[7]-ближ. целое C1)
(/i - ренормировочная масса) выражает контрчленную операцию L через
более простую операцию вычитания К. Мы привели общую формули-
формулировку, пригодную и для регуляризации типа размерной. Для них, в
отличие от выражений G), канонические размерности d[j] диаграмм 7
отличаются на малую величину S от целочисленных. Множитель /i~s
компенсирует это отклонение, поэтому операция К в C1) всегда дей-
действует на функции с целочисленными размерностями (операции B6)
размерностей не меняют).
Задав произвольно линейную (с той же оговоркой, что и для L в
п.8) операцию Л* на множестве функций нужного типа (подчеркнем:
не диаграмм, а именно функций, так как величины R'j в C1) - не
просто диаграммы), мы определим L по К рекуррентно из C1) и B6).
Это делается обычной индукцией по числу петель: для беспетлевых
диаграмм 7> те- простых точечных вершин, R' = 1 ввиду отсутствия
подграфов, поэтому L~j для них определяется по К из C1); в однопет-
левых 7 подграфы беспетлевые, на них L уже определена, поэтому R'j
определяется из B6). по ней L~/ из C1) и так далее.
В дальнейшем, как обычно, будем считать, что беспетлевые контр-
контрчлены отсутствуют (это не ограничивает общности, поскольку такие
контрчлены лишь переопределяют заряды), поэтому для однопетлевых
диаграмм R' = 1.
Считая перечисление существенных диаграмм частью определения
операции К, можно сказать, что она полностью задает посредством
соотношений C1) и B6) операции L, R, R'. В формальных конструк-
конструкциях Л' произвольна, но если мы хотим добиться устранения расходи-
мостей Л-операцией, К должна быть "правильно построенной". Опре-
Определение: операцию К будем называть правильно построенной, если для
244 Глава. 3. Ультрафиолетовая ренормировка.
нее все ПР-графы существенны, и для любой однопетлевой 1 диаграммы
7 контрчлен L~j — /isK}i~s~f - полином по внешним импульсам, содер-
содержащий всю "расходящуюся часть" ~f, определенную правилом F) для
/ = p~s") (т.е. в R~f = -у — £7 расходимостей нет). Если при этом
L~y имеет структуру E), то операцию К и соответствующие операции
R, L, В! будем называть примитивными.
Расходимости однопетлевых диаграмм примитивны (п.З), поэтому
всегда могут быть устранены примитивной операцией А'. Это наибо-
наиболее экономный способ, так как вычитается лишь то, что необходимо
вычитать. Но можно вычитать больше, чем нужно (меньше нельзя),
поэтому существуют правильно построенные, но не примитивные опе-
операции К. Выбор конкретной операции К есть выбор схемы вычитаний
(п.5). В некоторых схемах К коммутирует с множителями fjts , тогда в
C1) их можно опустить, в иных это не так.
Обычно существенными считаются лишь ПР-графы. хотя это не
обязательно, - класс существенных диаграмм может быть шире. Ва-
Вакуумные петли 7о всегда являются ПР-графами, но подграфами не бы-
бывают, поэтому на ренормировку прочих ~fn не влияют, и могут, по же-
желанию, включаться или не включаться в общую схему. В теории поля
их обычно просто отбрасывают, что можно формально осуществить R-
операцией, положив для диаграмм 7о в C1) К — 1, тогда R-fo = 0
согласно C1) и B6). Но в теории критического поведения вакуумные
петли имеют физический смысл (п.2.3), поэтому 70 желательно ренор-
мировать наравне с прочими -уп.
Приведем несколько примеров конкретных операций К. Напомним,
что р всегда обозначает совокупность всех внешних импульсов, а г -
массовых параметров (dT = 2) внутренних линий. Обозначим через
Ар (р*) операцию отбора всех первых членов до мономов размерно-
размерности п включительно тэйлоровского разложения по р в точке р*, а через
Кр"т(р*,Т*) — аналогичную операцию для разложения по совокупности
р, г. Через них выражаются следующие две операции К, которые для
конкретности приводятся ниже для у>4-модели. Существенными для них
считаются лишь ПР-графы, т.е. диаграммы 7о,з.4, °бе эти операции К с
множителем ц6 в C1) коммутируют, поэтому задаются непосредственно
на функциях R'7n = /n •
1 Точнее, "простейшей": в <£6-модели, например, число петель в ПР-диаграммах
-у всегда четно и простейшими здесь будут двухпетлевые диаграммы (<£6-модель
рассматривается в гл.4).
п. 11 О коммутативности L, R', Re операциями типа дг
245
1. Вычитания на нулевых импульсах:
А'/о = l40)f0 = /о , Kh = 42)/2 . KU = Kf'h , C2)
где Кр = КрП'@). Эта операция соответствует условиям A4) для 72,4
и полному устранению вакуумных петель 70 •
2. Соответствующие условиям A8) примитивные вычитания в точке
р. = 0, г. = f (везде К^) = К^)@,м2), /„ = R'ln):
Л'/о = A-W/o . Л7з = #$/э , А-/4 = А'$/4 • C3)
3. Минимальные вычитания (MS) в любых моделях с регуляризаци-
ями типа размерной (п.1.19). Эта операция К задается на произволь-
произвольных разложимых в ряд Лорана по регуляризатору s функциях /(е\ ...)
(многоточие - прочие аргументы) соотношением
= Е
C4)
т.е. К отбирает только полюса по s, играющие в данной регуляризации
роль УФ-расходимостей. Величины ji~sR'~f = / в C1) - мероморфные
функции е с целочисленными размерностями. Показатель S обычно кра-
кратен е, поэтому множители цд с операцией А" в C4) не коммутируют, и
в данном случае сократить их в C1) нельзя. Класс существенных диа-
диаграмм автоматически определяется из C4) (существенны те, у которых
в / есть полюса по г) и совпадает с классом диаграмм, являющихся
ПР-графами при г = 0.
Операция C2) не примитивна, а C3) и C4) - примитивны, для C3)
это очевидно из определения, а для C4) -нетривиальное свойство схемы
MS (подробнее в п. 16).
п.11 О коммутативности L, R', R с операциями типа дТ.
Пусть V - некоторая линейная операция на диаграммах j, действующая
на их элементы (линии и вершины), например, дт или др - производ-
производные по т или внешним импульсам р, какой-нибудь генератор глобальной
группы симметрии и т.п.. Обшим для них является представимость в
виде V = Yl ^i I r^e г -индекс, нумерующий элементы (линии и вер-
вершины) диаграммы, Х>,- -действие V на отдельный элемент "Г. Если V
действует на некоторые переменные z в элементах ''г'" (г, р, векторные
индексы и т.п.), то для формального выделения £>; можно по аналогии с
B.12) ввести сначала разные z,-, заменяя их единым г уже после выпол-
выполнения операции V по аргументу Z;. Величину XV/ будем представлять
246 Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка.
графически той же вполне нумерованной диаграммой -у с помеченным
каким-нибудь способом элементом "г': (пометка - действие V на данный
элемент). Операции R, R' на T>ij будем определять обычными тополо-
топологическими правилами п.8, не обращая внимания на пометку элемента
при расстановке штриховых кружков, например,
R'
оа = оа -
где мы пометили перечеркиванием одну линию. Сформулированное
правило вместе с C1) полностью определяет все операции п.8 на диа-
диаграммах V-if через операцию вычитания Л", если она определена не
только на функциях ц~6Я'-{ = /, но и на функциях Т>,/. Определения
очевидным образом обобщаются на объекты типа VjVk ... 7 с помет-
пометками нескольких элементов. В приложениях очень полезна следующая
Лемма: если V коммутирует с множителями /л и операцией А' в
C1), т.е. К определена на функциях вида Vf с / = [ГаЯ'7 и
К V f = V К f , C6)
то тогда V коммутирует со всеми операциями L, R', R.
Как обычно, утверждение доказывается индукцией по числу петель
/. Пусть Т = L,R,R? ("любая из"), Т\ - операции на /-петлевых диа-
диаграммах. Допустим (только для упрощения), что Lq = 0, т.е. нет
контрчленов на простые вершины. Тогда R[ — 1, из C1) и условий
леммы имеем LiVif = ViLi'j, т.е. все V, и их сумма D коммути-
коммутируют с операциями L\ и R\ = 1 — L\. Графически коммутативность
с L\ означает, что в диаграммах 'ViR'0*y операции Т>± можно вносить
под знак штриховых кружков, охватывающих однопетлевые подграфы
(п.8), это даст R'2T>ij по определению (см. выше). Тем самым дока-
доказано, что T>i коммутирует с двухпетлевой операцией R'<>, следовательно
(из C1) и условий леммы), с Lo и с Ro = Ж — Li- Тем самым доказано,
что £>,• можно вносить и под знак штриховых кружков, охватывающих
двухпетлевые подграфы, отсюда коммутативность T>i с R'3 и так далее.
Лемма доказана. Она очевидным образом обобщается на произведения
типаХ»2, W и т.п..
Следствие: операция К минимальных вычитаний C4) и соответ-
соответствующие L, R, R' коммутируют с дТ и дР, с генераторами глобальных
симметрии типа Оп и т.п., в общем, с любой операцией V указанного
выше вида, не действующей на переменную е в C4).
п. 12 Сводка, основных утверждений теории ренормировки 247
Операция C2) коммутирует с <9Г, но не коммутирует др (контрпри-
(контрпример: 0 = дрК^2'р3 ф К^2'дрр3 = дрр3), а операция C3) не коммутирует
ни с др, ни с дт.
п. 12 Сводка основных утверждений теории ренормировки.
Приведем для удобства в одном месте весь набор основных утвержде-
утверждений теории ренормировки, включая те, что уже формулировались ра-
ранее. Применительно к регуляризациям типа d = 4 —2s класс ПР-графов
определяется по их размерностям при е = 0, а при ссылках на правила
E), F) имеется в виду, что роль / в них выполняет рассматриваемый
объект с дополнительным множителем ц~8, 6 ~ е, восстанавливающим
целочисленность размерности (подробнее о размерной регуляризации в
п.16). Формулируемые ниже утверждения справедливы для любой по-
полевой модели с локальным взаимодействием, нелокальность в свободном
действии типа вклада дипольных сил (п.1.14) допускается. Итак:
1) Диаграммы -у без ПР-подграфов имеют только примитивные рас-
расходимости со структурой E).
2) Пусть К - любая правильно построенная (п.10) операция вычи-
вычитания, L, R, Л'сконструированы по А". Тогда для любой диаграммы
7, в том числе и с ПР-подграфами, величины R'f имеют лишь поверх-
поверхностные расходимости F), a R-y — R'-y — L-y расходимостей не имеет.
Если при этом операция К примитивна (п.10), то примитивны и расхо-
расходимости в R'-y для всех диаграмм, а также их контрчлены L-y.
3) Применение й-операции к диаграммам базовой теории полностью
эквивалентно добавке к ее действию SB(<p) = So(<p) + V{¥) контрчленов
&S(<p) = -LPexpV(p) = -LYB(p) , C7)
где Рехр V(ip) - функционал 5-матрицы B.19) базовой теории, а Гв(у>) -
связанный с ним последним соотношением B.111) производящий функ-
функционал 1-неприводимых функций Грина. При подстановке B.111) в C7)
подразумевается LSo(f) = 0. Первое равенство C7) более общее (п. 14).
второе - следствие первого и B5).
Общих доказательств аналитических утверждений 1, 2 приводить
не будем, их можно найти в книгах [35, 60, 84, 85]; комбинаторное
утверждение 3 будет доказано в п. 14, а здесь ограничимся пояснени-
пояснениями. Начнем с утверждения 3: оно означает, что переход от исход-
исходной базовой теории с действием 5в(у) к ренормированной теории B4)
с контрчленами C7) эквивалентен применению соответствующей L в
C7) Л-операции к диаграммам базовой теории, т.е. TR(ip) = RTB(ip),
так же и для любых других функций Грина (полных, связных и пр.).
248 Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка.
На примере Гв(у>) поясним подробнее, как понимается действие опе-
операций L, R', R на функционал. Имеем:
гви = rofdx + |
По сравнению с формулами гл.2 изменена запись вакуумного вклада: в
этой главе мы условились (п.2) обозначать Го = Гор, а в гл.2 через Го
обозначался весь вакуумный вклад Topjdx. В интегралах C8) нужно
перейти к импульсному представлению, тогда координатные функции
в C8) заменятся их фурье-образами B); операции L, R!, R действуют
на функции Г„ = rnp(pi ■ ■ .рп), тем самым переносятся на функционал
C8). Полиномиальность LTn по импульсам соответствует локальности
контрчленов, при этом р —¥ id. В принятых нормировках (п.2.7) кон-
константе а в LTn соответствует в LTB (tp) локальный вклад a J dxip" (х)/п\,
а слагаемому ар2 в £Г2 соответствует a J dxip(idJip/2 = a J dx(d(pJ/2,
- все это понадобится впоследствии. Контрчленный функционал C7) -
сумма вкладов от всех существенных для L (п.8) диаграмм, этот класс
включает все ПР-графы, но может быть (выбор А') и шире. Для у>4-
модели все три введенные в п. 10 операции К порождают контрчлены AS
только от ПР-графов, а именно, вакуумный контрчлен вида const/ dx
от LT0, локальные контрчлены ~ (р2 и (dipJ от независимых структур
1 и р2 в LTn и контрчлен ~ ip4 от /,Г4.
Утверждение 3 нетривиально, для его уяснения полезно проделать
следующее упражнение: подействуем операцией R' по правилам B7)
на двухпетлевые диаграммы в B1). Охваченные штриховыми линиями
однопетлевые подграфы B7) заменяются, по определению, соответству-
соответствующими контрчленами, которые в схеме C2) (для простоты) суть зна-
значения данных подграфов при нулевых внешних импульсах и пропорци-
пропорциональны величинам A5). Выразив контрчлены через эти константы c*i
и /?i, можно убедиться, что после приведения подобных членов с учетом
всех симметрийных коэффициентов мы получим в точности однопетле-
однопетлевые вклады B1) с правильными коэффициентами.
Теперь оо утверждениях 1,2. Первое из них означает, что нетриви-
нетривиальные расходимости со сложной структурой в диаграмме -у могут по-
порождаться только ее ПР-подграфами. Они устраняются Л'-операцией,
действие которой на -у эквивалентно учету всех контрчленов на под-
подграфы и, тем самым, к удалению их расходимостей. Если сама f не
является ПР-графом, то в R'-y уже не будет никаких УФ-расходимостей.
Если же 7 ~ ПР-граф, то в R'7 остаются лишь поверхностные расходи-
расходимости "графа как целого" со структурой F), устраняемые последним
п. 13 Дополнения к основным утверждениям 249
вычитанием R-операции: R~f = R'j — L-y, контрчлен L~f порождает оче-
очередной вклад в C7). Если при этом контрчлены всех подграфов при-
примитивны, т.е. полиномиальны не только по импульсам, но и по массам
г, то примитивными будут и расходимости R'~f- Поэтому примитив-
примитивность расходимостей однопетлевых диаграмм (п.З) вместе с примитив-
примитивностью выбранной операции К (п. 10) обеспечивают примитивность всех
поверхностных расходимостей и контрчленов.
Общие доказательства этих утверждений довольно сложны, но для
практической работы важно лишь знать, что они правильны. В кон-
конкретных расчетах (будут потом) величины R'f и Lj приходится вы-
вычислять явно, всякий раз убеждаясь непосредственно в справедливости
сформулированных выше утверждений. В заключение напомним, что
устранение Л-операцией УФ-расходимостей из 1-непривоцимых функ-
функций Грина влечет их устранение из теории в целом (утв.2 в п.8).
п. 13 Дополнения к основным утверждениям.
1. О структуре контрчленов. Вид контрчленов зависит от выбора
операции К, т.е. схемы вычитаний. В принципе, расходимости всегда
можно устранить контрчленами со структурой E), т.е. полиномами
по импульсам и г. Полиномиальность по импульсам соответствует ло-
локальности контрчленов, это общее свойство любой схемы вычитаний
при локальном взаимодействии. Полиномиальность по г - специфиче-
специфическое свойство примитивных (п. 10) операций вычитания типа C3) или
MS, и нарушается в схемах типа C2). В моделях со сложной индексной
структурой (векторные, тензорные поля, производные в вершинах взаи-
взаимодействия и т.п.) при определении структуры примитивных расходи-
расходимостей и соответствующих контрчленов в общем случае нужно учиты-
учитывать в E), F) все без исключения мономы, допустимые по размерности
и симметрии.
2. О нелокальных вкладах. Ввиду локальности контрчленов нело-
нелокальные вклады свободного действия, если они имеются (например, от
дипольных сил), не реноржируются. Здесь и далее термин "не ренор-
мируется" означает совпадение обсуждаемого вклада в базовом и ре-
нормированном действии, т.е. Z = 1 для соответствующей константы
ренормировки.
3. О внешнем поле. Даже при наличии в модели внешнего поля h оно
не может войти в контрчлены в силу свойства B5) и 1-приводимости
всех диаграмм ~/ со вставками h (п.2.3). Поэтому вклад hip в базовом
действии не ренормируется, что соответствует правилу A.85).
4. О симметрии. Если регуляризованная базовая теория обладает
некоторой симметрией (инвариантна), то примитивные расходимости
250 Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка.
E) однопетлевых диаграмм также будут инвариантными. В этом слу-
случае всегда можно выбрать сохраняющую симметрию операцию К (важ-
(важно, чтобы ее "конечная часть" не нарушала инвариантности) и с помо-
помощью утверждений типа леммы п.11 доказать инвариантность всех мно-
многопетлевых контрчленов, следовательно, и ренормированного действия.
Типичный пример - Оп-симметрия модели B.79), которую всегда можно
сохранить контрчленами.
Следует подчеркнуть, что речь идет о симметрии регуляризован-
ной базовой теории, без регуляризации все конструкции теряют смысл.
К формальной симмметрии SB, нарушаемой регуляризацией, сказанное
выше неприложимо. Есть симметрии, для которых вообще не суще-
существует инвариантной регуляризации *, например, масштабная или кон-
конформная инвариантность безмассовой модели A) в размерности d — 4.
Данная инвариантность - следствие отсутствия размерных параметров
в SB, а любая регуляризация их с неизбежностью вводит.
5. 0 неренормируемых теориях. Вводя по правилу C7) контрчлен
на каждый ПР-граф, можно устранить все расходимости из теории не-
независимо от того, ренормируема она или нет (п.2). Различие лишь в
том, что для ренормируемой теории число типов контрчленов (незави-
(независимых мономов по if> и производным) конечно, а для неренормируемой
- бесконечно, поэтому бесконечно и число нормировочных условий, не-
необходимых для фиксации схемы вычитания (нужно одно условие на ка-
каждый независимый контрчлен, например, три условия A4) на три кон-
контрчлена (dipJ, ip2, ip4 стандартной модели). Хотя формально в схеме
MS нормировочные условия вообще не нужны, наличие соответствую-
соответствующих параметров неявно подразумевается и используется при обоснова-
обосновании возможности перехода к формальной схеме (п.1.19) с отбрасыванием
степенных по Л расходимостей.
6. 0 мультипликативности ренормировки. Основой общего форма-
формализма ренормировки считается описанная в п.п.8-12 схема: дана базовая
теория SB с регуляризацией —> анализ ее примитивных расходимостей
—> выбор подходящей операции К —> построение соответствующих
контрчленов AS и ренормированного действия SR — SB + Д5. Если
полученный таким путем функционал SR можно воспроизвести с точно-
точностью до вакуумного контрчлена формулой A.84) с неренормированным
действием S, отличающимся от SB лишь значениями параметров, то мо-
Калибровочная инвариантность квантовой электродинамики сохраняется раз-
размерной регуляризацией, а для киральноя симметрии некоторых квантовополевых
моделей инвариантной регуляризации не сушествует, отсюда "'киральные аномалии"
- нарушение данной симметрии в ренормированной теории.
п. 13 Дополнения к основным утверждениям 251
дель называют мулътипликативно-ренормируемой', в противном случае
говорят, что ренормировка немультипликативна. При обычной записи
действия вакуумный контрчлен никогда не воспроизводится процедурой
мультипликативной ренормировки 1, поэтому выше и сказано "с точно-
точностью до ...". Для мультипликативности ренормировки нужно, чтобы
все появляющиеся в контрчленах независимые структуры уже содер-
содержались бы в исходном SB, причем обязательно с независимыми относи-
относительными коэффициентами. Поясним примерами: модель B2) мульти-
мультипликативно ренормируема, так как ее контрчлены типа (д<рJ, <р2, <р4
уже содержатся в B2) с независимыми коэффициентами. Другой при-
пример: модель SB = —dipa ■ dfa/2 — ripa<pa/2 — g<p2<P2 c двухкомпонентным
полем <р — {<pa,a = 1,2}, по повторяющемуся индексу суммирование.
Свободное действие в 5В изотропно, а взаимодействие V — —gflfl
имеет лишь меньшую кубическую симметрию (п.1.14). По размерно-
размерности модель подобна B2), поэтому подобны и контрчлены: ip2 и (dipJ
от LT2 и <р4 от LF4. Но теперь важна их индексная структура. Для
квадратичных форм кубическая симметрия влечет полную изотропию,
поэтому квадратичные по <р контрчлены совпадают со слагаемыми SB.
Но для контрчлена типа (р4 кубическая симметрия допускает уже две не-
независимые структуры: "чисто кубическую" Vi = ip4 + (р4 и изотропную
у2 = (ip2 + tp2J, исходное взаимодействие V кратно V'i — V2. По первым
графикам легко убедиться, что контрчлен LT4 содержит обе структуры
V'^2 в комбинации, не кратной исходному V, поэтому вершинные контр-
контрчлены не воспроизводятся мультипликативной ренормировкой.
Мультипликативность была бы гарантирована, если бы исходное
взаимодействие V содержало обе структуры Vi_2 с независимыми ко-
коэффициентами. Но есть и другие возможности: если V ~ V^, то модель
изотропна, эту симметрию можно сохранить контрчленами, обеспечив
мультипликативность ренормировки. Она будет мультипликативной и
при V ~ V'i, хотя теперь отсутствие 'чужого" контрчлена \Г2 объясня-
объясняется не симметрией (кубическая симметрия базового V\ не запрещает
изотропную форму V2), а конкретными свойствами диаграмм Г4 (см.
обсуждение индексной структуры в п.2.31). Последний пример показы-
показывает, что формулировка "в общем случае присутствуют все допустимые
по размерности и симметрии контрчлены" подразумевает возможность,
а не необходимость: в конкретной ситуации контрчленов может быть и
меньше.
1Это стало бы возможным при добавлении к S константы со J dx, вакуумный
контрчлен соответствовал бы ренормировке со.
252 Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка.
п.14 Доказательство основной комбинаторной формулы для
Д-операции. Пусть SB(f) = So (у) + У{ф) ~ заданное базовое дей-
действие, H(ip) = PexpV(ip) - соответствующий функционал S-матрицы
B,19), R = ЩЬ) определена соотношением B6) по заданной произ-
произвольно контрчленной операции L, удовлетворяющей более слабому, чем
B5), условию
L [несвязный граф] = L[l] = 0 C9)
(единица - первый член разложения Н). Докажем, что для R — R{L)
RPexpV = Pexp[V-LPexpV] , D0)
т.е. действие Л-операции на S-матричные (поэтому и на прочие) функ-
функции Грина полностью эквивалентно добавке контрчленов C7) к базо-
базовому взаимодействию V (второе равенство C7) - следствие соотноше-
соотношений D0) и B,111) при выполнении более сильного условия B5) для L).
Операцию приведения Р = Р^ B.14) в этом разделе будем записывать
в виде
Р = ехрДТ» , 2Т> = S2/S(pS(p , D1)
относя коэффициент 1/2 к V и опуская (подразумеваемые) аргументы х
ти интегрирования по ним- Запись формул в приводимом ниже доказа-
доказательстве упрощается, если в дополнение к C9) потребовать отсутствие
контрчленов на простые вершины (точки) диаграмм Н:
LV = 0 , LVk = 0 V к , D2)
где Vk - вершинные множители B.21). Второе равенство D2) следует
из первого, т.к. операции L и 5/5ip коммутируют, действуя на раз-
разные переменные; первая - на коэффициентные функции в разложении
функционала, в данном случае V(<p), вторая - на его аргумент (р. Для
устранения расходимостей контрчлены на простые вершины никогда
не нужны, поэтому требование D2) реально всегда выполняется. Для
справедливости утверждения D0) оно не необходимо, и будет исполь-
использоваться лишь на первом этапе доказательства для упрощения записи
формул, потом ограничение D2) снимается.
Переходим непосредственно к доказательству утверждения D0) [87].
Если оно верно, то ввиду произвольности V должно выполняться в ка-
каждом порядке по V. В первом порядке равенство D0) принимает вид
RPV = Р [V-LPV] . D3)
Докажем это. Разлагая Р — exp AV в ряд, имеем
п. 14 Доказательство комбинаторной формулы Л-операцяи 253
m=0
►■ = EiT ■ «*>
Вершине соответствует множитель VmV, т.е. 2 mV2m в обозначениях
B.21). Связными подграфами т-лепесткового графа D4) являются цен-
центральная вершина (точка) и все его s-лепестковые подграфы с 1 < s <
m — 1. Нецересекающихся пар подграфов нет, поэтому действие R-
операции B6) на га-лепестковый граф D4) можно изобразить следую-
следующим образом :
*=i
Штриховым кружком в сумме по s охвачен s-лепестковый подграф, в
последнем вкладе - центральная точка, коэффициент С^ = m\/s\(m —
s)\ есть число эквивалентных, но различных (для вполне нумерованной
диаграммы) s-лепестковых подграфов в m-лепестковом графе.
Допустим сначала, что выполнено условие D2). Тогда вклад по-
последнего члена в правой части D5) равен нулю и это равенство можно
записать символически в виде
т
ЙДга = Ат - JT Csm [LAS] Am~s , D6)
s = l
где [LA3] соответствует контрчлену s-лепесткового подграфа. Для про-
простых взаимодействий типа д J dxipn(x) при выполнении условия D2)
термин "соответствует" можно понимать как ''равняется". Но в бо-
более сложных случаях, например, при наличии производных в вершине,
можно говорить лишь о соответствии, т.к. производные в должной про-
пропорции должны учитываться и в контрчлене [£Д*]. Поясним: в функ-
функционале V(ip) производные распределяются симметрично между всеми
множителями <р, а в диаграммах функционала Н{(р) - между концами
всех присоединяющихся к вершине линий Д и остающимися в вершин-
вершинных множителях B.21) аргументами (р. В этом случае нужно подразу-
подразумевать в D6) наличие производных, равномерно распределенных между
концами всех линий Д. Очевидно, что для комбинаторики это значения
не имеет, и можно пользоваться символическим равенством D6).
254 Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка.
Теперь заметим, что его можно воспроизвести, заменив Л-операцию
D6) дифференциальной операцией R:
RAm = R(dA)Am , Л(<9д) = 1 - ]Г [LAS] dsjs\ , D7)
5=1
где <9д = д/дА - формальное дифференцирование по линии А. Ра-
Равенство D7) верно для любого m > 0, поэтому замену R -> Д(<9д)
можно сделать прямо в левой части D3), а затем пронести операцию
Р = ехрДТ* (важнейший момент!) налево по правилу B.9). В аргу-
аргументе R тогда произойдет замена <9д -> V + <9д -> V, последнее потому,
что справа от R уже не останется символов А. В результате получим
RPV = R(dA)PV = PR(V)V = P[V-U] , D8)
где U - вклад от суммы в D7):
и = \Y1 tiA4 v'/sl \ v - L[p~l\v = LPV ■ D9)
При вычислении U мы вынесли L за знак суммы, после этого она соби-
собирается в Р— 1, последнее равенство D9) следует из D2). Подстановка
D9) в D8) дает искомое равенство D3).
Покажем, что оно остается верным и при снятии ограничения D2),
т.е. при допущении контрчленов на простые вершины (точки). Тогда в
D5) отличен от нуля и последний вклад, а вершинные множители для
точности записи теперь нужно удерживать под знаком L, т.е. вместо
D6) теперь следует писать
R[AmVmV] = AmVmV-J2 Cm [LAsVmV] Am~s . E0)
s-0
Вклад cs = 0 соответствует последнему члену D5). Степени опреде-
определенного в D1) оператора Т> можно выносить из-под знака L (см. текст
после формул D2)). При этом мы будем, по желанию, ставить Vm как
слева, так и справа от V, подразумевая, что в любом случае Vm дей-
действует на V, - на комбинаторику это, очевидно, не влияет. При таком
соглашении соотношение E0) можно переписать в виде
R[AmVmV] = AmVmV- IJ2 [LASV] dsjs\ \ VmAm . E1)
п. 14 Доказательство комбинаторной формулы R-операции 255
Искомая величина RPV получается делением выражения E1) на ml и
суммированием по всем m > О, при этом справа появится оператор
Р = ехрДХ>, его V действует на стоящий слева V. Как и раньше, он
проносится с помощью соотношения B.9) налево через <9д, что приведет
(см. выше) к замене <9д —у V, и в итоге из E1) получим:
оо
RPV = PV - Р^2 [LASV] Vs/s\ . E2)
s=0
Внеся множитель Vs /s\ и суммирование под знак [L ... V] и собрав затем
сумму в Р — ехрДР, придем к искомому равенству D3), доказав тем
самым, что оно верно и без предположения D2). Так будет и дальше:
при доказательстве равенства D0) в высших порядках по V сначала
будем для упрощения записи пользоваться условием D2), позволяющим
выносить V из-под знака L, а затем покажем, что в действительности
оно несущественно.
Мы доказали равенство D0) в первом порядке по V. Переходя к
общему члену ряда ехр V, представим PVn в левой части D0) в форме
B.24):
PVn = P [\\...Уп] |. , P = ехрДХ> = ехр \^AaVa - E3)
a
Левая часть - сумма вкладов всех свободных графов с п вершинами.
Выражение в правой части переводит ответ на язык нумерованных диа-
диаграмм (п.2.2): вершинам приписываются номера i = 1, 2,..., п, вместо
одного <р вводится п различных независимых аргументов у>,; в правой
части E3) Vt = V(tpi), а знак |, указывает, что все у, заменяются на р
после выполнения дифференцирований. Вид операции Р в правой части
E3) точно тот же, что и в соотношении B.24), но теперь мы слегка из-
изменяем форму записи: индекс а = (г < к) нумерует независимые пары
вершин, Да - линия, соединяющая пару a, a T>a - соответствующая
дифференциальная операция, а именно, Т>^ = 82/SipiStpk для пар с г < к
и 2Т>ц = 52/SfiS<pi. Как и в D1), коэффициент 1/2 для диагональных
пар включен в определение Т>ц.
Записав операцию Р в правой части E3) в виде произведения
f|exp AaT>a и разложив каждый сомножитель в ряд (см.п.2.2), получим
PVn = Р[Уг... Vn] U = <Y&mVm/m\ Wi... Vn U ■ E4)
256 Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка
Здесь и далее m = {ma} обозначает мультииндекс - набор всех ma,
сумма по m - многократное суммирование по всем ma, каждое при-
принимает все значения от 0 до оо, факториалы и степени понимаются
следующим образом:
ml ~ Uamal , Am = Y[aK" , Vm = Y[aV™° - E5)
Как пояснялось в п.2.2, каждое слагаемое с данным m в сумме E4) од-
однозначно соответствует некоторой нумерованной диаграмме с п верши-
вершинами, ma - число эквивалентных линий Да, соединяющих пару вершин
а, диагональные тц соответствуют закороченным линиям (m2fc = жц^ в
обозначениях п.2.2).
Рассмотрим действие Д-операции B6) на произвольную диаграмму
в E4), предполагая выполненным условие D2). Оно позволяет не рас-
рассматривать в качестве подграфов простые вершины (точки). Тогда все
существенные подграфы 7,7' i • • •в B6) имеют линии и могут задаваться
аналогичными т мультииндексами s,s',..., а действие Л-операции на
произвольную диаграмму E4) эквивалентно, очевидно, действию диф-
дифференциальной операции
ds+s'/s\s'\-... . E6)
з s,s'
Все факториалы и степени понимаются в смысле E5). Согласно опре-
определению B6), однократное суммирование в E6) следует производить
по всем мультииндексам s, которым соответствуют связные (внутри
себя) блоки линий As под знаком L (As - тот блок, который заменяется
соответствующим контрчленом [LA3]), двукратное - по парам s, s', со-
соответствующим связным (внутри себя) и непересекающимся между со-
собой контрчленным блокам, затем по тройкам и так далее. Следует
также пояснить, что в B6) подразумевается язык вполне нумерован-
нумерованных диаграмм (п.1), а формулы E4), E6) написаны на языке нуме-
нумерованных. Заданному мультииндексом s нумерованному подграфу со-
соответствует много разных, но эквивалентных вполне нумерованных, а
именно, Y[a C^a, гДе каждый из множителей - число способов выбора sa
линий подграфа из та эквивалентных линий Аа в графе. Нужные числа
сочетаний правильно воспроизводятся при действии операций dsAa /sa\
в E6) на множители А™" диаграмм E4).
Подействуем мысленно операцией E6) на выражение P\V\. •. Vn] из
E4). Как и раньше, Р = ехрАР можно пронести с помощью B.9)
налево через операцию E6), что приведет в ней к замене <9д —> Т>:
RPVn = R(8A) P[V± ...Vn]U= PR{V) [Vl.. Vn] \, , E7)
п. 14 Доказательство комбинаторной формулы R-операции 257
где
J2 Yl ']vs+s'
Рассмотрим вклад в E7) однократной суммы E8):
V1...Vn]U . E9)
Если вычислить его по аналогии с D9), т.е. вынести L за знак суммы
и суммировать по всем s ф О, то сумма, как и в D9), соберется в Р — 1,
вклад единицы можно отбросить в силу D2), и мы получим в итоге для
величины E9) ответ LP[V\... Vn] |*. Но он явно неверен, так как в силу
C9) под знаком L в P\V\... Vn] |* фактически останутся вклады лишь
связных диаграмм, т.е. таких, у которых все вершины V\... Vn соеди-
соединены линиями. В исходной сумме E9) (см. выше) это не так: там важна
лишь связность "внутри себя" блока линий As, стоящего под знаком L.
Этот связный внутри себя блок может соединять лишь часть вершин
диаграммы, прочие остаются в E9) изолированными точками. Вынося
L из E9) общим множителем, мы незаконно подменяем требование связ-
связности блока As "внутри себя" более жестким требованием связности
заданной мультииндексом s диаграммы как целого, что и приводит к
неверному ответу (для одной вершины в D9) такой проблемы не было).
Правильное суммирование по всем связным внутри себя блокам As
в E9) можно выполнить следующим образом: выберем произвольно не-
некоторое подмножество v множества всех вершин и назовем v-подграфом
диаграмму, в которой все не входящие в v вершины остаются изолиро-
изолированными точками. Выполним в E9) суммирование по всем s, соответ-
соответствующим v-подграфам, понимая при этом L как операцию, действую-
действующую только на множители v-подграфа. Суммировать тогда можно по
всем без исключения v-подграфам, включая и несвязные внутри v, так
как операция L сама отберет нужные (существенные для I, поэтому в
силу C9) внутри v обязательно связные) диаграммы. В итоге получим
выражение
Г 1 Г 1
F0)
которое нужно затем просуммировать по всем вариантам выбора под-
подмножества вершин v для получения полного ответа E9). Аналогично
можно вычислить и вклады в E7) многократных сумм E8), ведя сум-
суммирование по всем парам v, v', затем по тройкам и так далее непере-
258 Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка
секающихся подмножеств множества п нумерованных вершин. В окон-
окончательных ответах нужно заменить все <р, на <р, а \\ ~ V{<pi) - на
V = V(<p) (см. выше), что соответствует "стиранию" номеров вершин
и переходу к языку свободных графов (напомним, что это указывается
знаком |» в формулах). Тогда выражение F0) перейдет в <3|v| Vn~'v', где
|v| > 1 — число вершин в подмножестве v, a Qk = LPVk. Все выражение
R(V)[V\... Vn] |» в E7) представится тогда в виде
V V,V
Собрав здесь подобные члены и обозначив |v| = к > 1, получим
уП ~ £ CnQkVn~k + £ Cf/QkQklVn-k~k' -... , F2)
к к,к>
где Ск'к ■■■■ - число способов выбора из п элементов (вершин) непересека-
непересекающихся подмножеств из к, к',... элементов. Для одного подмножества
CJI - число сочетаний, можно написать и общую формулу, но для на-
наглядности лучше привести явные выражения для первых п: R[V)V\ |» =
V-Qi; R(V)[\\V2}\* = V'-Qo-IVQx+Qb R{V)[V\V^]U = V3-Q3-
VzV^, = V4-Q4-AVQ3-
и так далее. Коэффициенты имеют смысл числа способов расстановки
штриховых кружков по правилам п.8 на множестве п изолированных то-
точек. Охватывающему к точек кружку соответствует множитель —Qk-,
остающимся вне кружков точкам соответствуют исходные множители
V. Нетрудно заметить (и доказать, написав общую формулу для коэф-
коэффициентов в F2)), что приведенные выше выражения правильно вос-
воспроизводятся следующим общим соотношением:
R{V)[\\ .. .\п] |. = {expf-^Q,- dkv/k\]\ V" , F3)
*=i
в котором <9у = д/dV - символическое дифференцирование по вершине.
Из соотношений E7) и F3) суммированием попе коэффициентом 1/п!
получаем
г °°
-Е
RPexpV = Рехр -> Qk Щ/к\ expV . F4)
п. 14 Доказательство комбинаторной формулы R-операции 259
Множитель ехр V опять можно пронести по правилу B.9) через диф-
дифференциальную операцию в F4), что приведет в ней к замене ду —>
1 +ду —> 1, последнее потому, что справа от дифференциального onepa-
тора уже не останется символов V. В итоге получим:
V-^2Qk/k\\=PexpVK, F5)
fe=i -I
где (учитываем условие C9) и определение Qu. = LPVk)
ОО
VR = V~^2 [LPVk]/H = V-LPexpV . F6)
k=i
Это и есть искомое утверждение D0).
Мы его получили, предполагая выполненным условие D2). Отказ
от него приведет лишь к тому, что к существенным одновершинным
v-подграфам типа D4) добавится и простая точка. На справедливости
приведенного выше доказательства это, очевидно, не отразится, хотя
существенно усложнит запись формул (во-первых, из-за невозможности
вынесения V* из-под знака L, во-вторых, из-за необходимости включения
в Л-операцию E6) одновершинных точечных подграфов, которые нельзя
задать мультииндексом s).
Обсудим в заключение эквивалент соотношения D0) для Л-операции
Боголюбова-Парасюка ЩЬ) (п.9). В аксиоматике [35] считается есте-
естественным рассматривать в квантовой теории поля взаимодействия со
знаком нормального произведения, что приводит к исключению всех
диаграмм с закороченными линиями. На функциональном языке это со-
соответствует следующему изменению формы записи функционала B.19)
(см. замечание 1 в п.2.2):
Я = Рехр [P~lV] , где V = PV . F7)
Первичным объектом в [35] считается не V, а приведенное взаимодей-
взаимодействие V (в п.2.2 оно обозначалось через V*), а Л-операция записывается
в форме R(L) с заданной произвольно L. Аналогом D0) является сле-
следующее доказанное в [84] утверждение (формула F5) на стр.217 в [84]):
VR = V — LH. Если по заданной L определить L соотношением B9),
то R(L) = R{L) - разные формы одной и той же Л-операции. Тогда
из соотношения D0) и определения V имеем VR = PVR = P[V - LH] =
V — PLH, так что для получения утверждения D0) из доказанного в
[84] соотношения VR — V — LH необходимо доказать также равенство
260 Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка
LH = PLH (отметим, что оно не означает L = PL, поскольку контр-
контрчлен Ly для индивидуальной диаграммы у Е H при записи в форме
PLH порождается вкладами как самой у, так и других диаграмм Н).
Нам это не требуется, поскольку мы доказали утверждение D0) неза-
независимо.
п.15 Вычисление диаграмм в произвольной размерности.
Опишем приемы, позволяющие вычислять диаграммы в произвольной
размерности d, в том числе нецелой и комплексной. По сути, это все-
всегда процедура аналитического продолжения: например, известно, что
интеграл по углам в d-мерном пространстве при любом целом d > 1
представим в виде 2nd/2/T(d/2) (F(z) - гамма-функция), тем самым
продолжим на нецелые d. Процедура продолжения подробно обсужда-
обсуждалась в п.1.19. Все приводимые ниже справочные формулы для d-мерных
интегралов являются "формальными ответами" в терминологии п.1.19.
Именно они используются практически при конкретных расчетах в фор-
формальной схеме размерной регуляризации (п. 1.20).
Для удобства читателя приведем в одном месте набор используемых
в дальнейшем обозначений, упрощающих запись громоздких формул с
гамма-функциями:
T{z) = \\z\\, )
} F8)
= \\с1/2-г\\/\\г\\, H(a,i3,y,...)=H(a)H(,3)H(y)... . J
Гамма-функция ||z|| = F(z) и ее логарифмическая производная ф{г) =
r'(z)/r(z) мероморфны и имеют полюса первого порядка в точках ъ—
—п, п = 0,1.2,.... Вычеты в этих полюсах определяются формулами
||-п + Д|| = (-l)n/n! A + ..., ф(-п + А) = -1/Д+..., где Д -малый
параметр. Гамма-функция нулей не имеет. Очень полезно представле-
представление
||z + Д|| = ||z|| ехр {Аф{г) + А2ф'(г)/2 + AV(z)/3! + ...}, F9)
штрихами обозначены производные ф. Справедливы соотношения
z||z|| = ||z+l||, ||г||1-г|| = 7r/sinGrz), -0(z+l) = ф{ъ) + l/z G0)
и их следствия для производных ф. Частные значения:
||п + 1|| = „!, Ц1/2Ц = тг1/2, V(n)(l) = (-l)n+1n!C(n+l),
= -С, ф'(\) = тг2/6,
п. 15 Вычисление диаграмм в произвольной размерности 261
= фA)-2\п2, ф'A/2) = тг2/2, G1)
где С = 0.5772 ..., - постоянная Эйлера, <,"(z) - дзета-функция Римана,
в формулах с фкп> предполагается п > 1.
Приведем несколько полезных справочных формул с интегралами в
произвольной размерности d, везде используются обозначения F8).
Преобразование Фурье произвольной степени:
(•27r)~dJdk k~2Xexp(ikx) = ]
\ G2)
Jdx x~2Xexp(-ikx) = TTdl
Взаимная согласованность прямого и обратного преобразований Фурье
обеспечивается вытекающим из определений F8) соотношением
H{d/2-z) - 1/H{z)e> H(z,d/2-z) = 1. G3)
Несколько полезных однопетлевых интегралов:
(к' + т)~а = (^)-dl2rdl2-a \\a - d/2\\/\\a\\ ., G4)
k-p)-2ak-^ = D7T)-d/2pd-2a-2^H(a,l3,d~a-l3) . G6)
Двухпетлевой интеграл:
Bтг)-м//dkxdk2 (к2 + т)-а(к1 + т)-Р(к1 + к2)-2~< =
„
и /-петлевой с произвольной степенью квадратичной формы:
д . dkLdki
G8)
а- dl/2\\(detv)-d/2
Все переменные к,р,х, k{,ai суть (/-мерные вектора, &i + Ar-2 в G7) и
Аг — р в G6) - суммы векторов, везде dk = ddk, величины кх в G2)
и k{ks, а,{к{, ща$ в G8) - скалярные произведения d-мерных векторов,
262 Глава. 3. Ультрафиолетовая ренормировка
v в G8) - матрица I x I, v 1 - обратная матрица, с - константа, по
повторяющимся индексам в G8) подразумевается суммирование от 1
до /. Основания дробных степеней предполагаются положительными
(это ограничение можно снять, но тогда нужно уточнять и взаимно
согласовывать выбор ветвей), выражения типа кх для векторов всегда
понимаются как (А:2)Л/2.
Приведем также фурье-образ массивной линии:
J (jfe2+m2)« ~
I'yJ
ж
Dтг)<*/2||а|
где А'„(г) = A'_^(z) - функция Макдональда. При нецелом v
(80а)
а при целом п > 0:
A' Bz) ~ -Vf-ir ("~S~1)! +
An(ZZ) - ^ 2_,1 Xi s| zn-2s +
3=0
(806)
Полезно также следующее представление :
(81)
_l_\| _
^—' [ (n + s)! ||s + 1 +г|| s! ||s + n + 1 - е\
переходящее в (806) при е —> 0. При п — 0 первая сумма в соотношениях
(806) и (81) отсутствует.
Все рассматриваемые интегралы хорошо определены (сходятся) в
некоторой области значений параметров - показателей и d, а вне ее по-
понимаются как аналитическое продолжение правой частью из области
сходимости. Практически формулами пользуются всюду, в том числе и
п. 15 Вычисление диаграмм в произвольной размерности 263
вне области сходимости, что соответствует "формальной схеме размер-
размерной регуляризации" (п. 1.20).
Очень полезна также "формула Фейнмана":
4-л, 4-А. _ USA,!! I I врщЩир
(суммы и произведения по всем i = 1,..., п) и соотношение
2 оо
fdu ^ е*Р(~^) . (83)
часто называемое "а-представлением", поскольку переменную интегри-
интегрирования и в (83) обычно обозначают через а.
Приведенные формулы позволяют вычислять диаграммы в произ-
произвольной размерности пространства. Для моделей типа <р4 подынте-
подынтегральное выражение в диаграмме является произведением пропагаторов
Ai = А~ , где А{ - некоторые квадратичные (в общем случае неодно-
неоднородные) формы по импульсам интегрирования. Представив произведе-
произведение множителей А*1 формулой (82) с А,- = 1, можно затем взять инте-
интеграл по импульсам с помощью соотношения G8) (выражение £] А{Щ -
некоторая квадратичная форма по совокупности всех импульсов инте-
интегрирования) . После этого останется лишь интеграл по переменным и с
параметрической зависимостью от d, т.е. выражение, имеющее смысл
при любом значении d. Другой способ: воспользовавшись для всех про-
пропагаторов "а-представлением" (83), придем к гауссову интегралу по
совокупности импульсов, который также можно взять при любом d с
помощью соотношения B.1). Эти приемы легко обобщаются на любые
модели с более сложными пропагаторами и вершинами. Нужные для
этого дополнительные справочные формулы можно получать, в част-
частности, дифференцированием по различным параметрам приведенных
выше интегралов.
При вычислении объектов со свободными векторными индексами от-
ответы выражаются через символ &is и внешние импульсы с индексами.
Поэтому вопрос ''что такое d-мерный вектор при нецелом cf?" практи-
практически не возникает (пояснения по этому поводу см. в [60], гл.4). След
символа Кронекера djs в cf-мерном пространстве определяется соотноше-
соотношением 8ц — SisSsi = d. При этом нужно иметь в виду, что операция ми-
минимальных вычитаний C4) не коммутирует с операцией взятия следа
тензора: например, для d — 4 - 2s имеем 8isK [e~l5si\ ~ £~~16is6si =
d/e = D — 2s)/e ф К [Siae~1Ssi] = К[d/s] = A/e. Этот пример доста-
достаточно ясно иллюстрирует смысл высказанного выше утверждения.
264 Глава 3- Ультрафиолетовая ренормировка
При вычислении интегралов с множителями к{ можно пользоваться
следующими формулами:
fdkf(k*)kiks = Ъ,± f dk f{k*)k2 , f dk f(k2)kiktkikm =
= [SisSlm + SUSlm + Sim5sl] \ Jdk f(P)k4
d(d + 2) J
(84)
и так далее. В общем случае интегралы типа (84) с нечетным числом
множителей к; равны нулю; при четном числе 2п таких множителей в
симметризованном произведении ^-символов будет Bп - 1)!! слагаемых,
а знаменателем коэффициента будет произведение d(d+2)... (d-\-2n — 2).
п. 16 Размерная регуляризация и минимальные вычитания.
Размерной регуляризации A.86) для у>4-модели соответствует d = 4 —
2s. Тогда в неренормированном действии A0) d[r0] = 2, d[g0] = 2s, d^ =
1 - s и из соотношения C) имеем
d[T2n] = 4-2n + 2e(n-l) . (85)
По определению (п.7), размерности базовых параметров в B2) и затра-
затравочных параметров в A0) совпадают. Желая иметь целочисленные
размерности dT = 2, dg = 0 для ренормированных параметров т и д,
полагают тв — т (это уже учтено в B2)) и
дв = дц2с, (d = 4~2s) , (86)
где ц - ренормировочная масса - дополнительный размерный параметр
ренормированной теории с d^ — 1. Как подробно пояснялось в п.1.20,
размерная регуляризация не устраняет степенные по обрезанию Л рас-
расходимости в функциях 1*0,2, но они дают лишь несущественные ''ре-
''регулярные вклады" (см. ниже). При желании эти степенные расхо-
расходимости можно устранить подходящей вспомогательной й-операцией.
На практике их обычно просто игнорируют, принимая следующее со-
соглашение: все вычисления выполняются в рамках формальной схемы
(п.1.20) без обрезания Л, т.е. формулы типа приведенных в п. 15 ис-
используются даже для расходящихся в строгом смысле слова интегралов;
УФ-расходимостями считаются при этом полюса по е.
В размерности d = 4 - 2s показатели степеней Л в аналогичных G)
формулах слегка уменьшаются (на 2sl для диаграммы с / петлями),
оставаясь положительными. Игнорирование таких вкладов в формаль-
формальной схеме эквивалентно потере определяющей только сдвиг Тс констан-
константы в Го и регулярных по т вкладов в вакуумных петлях Го. С точки
п:16 Размерная регуляризация и минимальные вычиталия 265
зрения физики все эти потери несущественны, так как сами флуктуа-
ционные модели теории критического поведения обычно не могут пре-
претендовать на точное определение таких величин (п.1.12).
В качестве примера приведем аналогичные (8), (9) интегралы, ко-
которые легко вычисляются в формальной схеме по правилу G4):
- 1 f dk lll^
f
J
rf^ = "- g;;:;a— • m
При d = 4 — 2e оба интеграла имеют лишь простой полюс по е.
В п.2 мы определяли ПР-графы как диаграммы функций Г с не-
неотрицательными размерностями импульсных интегралов, имея в виду
точную теорию с обрезанием Л. В формальной схеме для расходящихся
в таком смысле интегралов можно иметь конечные ответы, расходи-
расходимости появляются лишь при попадании в полюса по е. Импульсные
интегралы / диаграмм базовой теории зависят от внешних импульсов
р и ренормированных параметров е, имеющих положительные целочи-
целочисленные размерности. Такие интегралы имеют полюса при di = du, где
М - всевозможные построенные из р и е мономы, которые могут вхо-
входить в разложение функции Г (п.1.19). При г = 0 для диаграмм любой
функции Г имеем di = с?[Г] (п.2). Поэтому критерий п.2 для произволь-
произвольной модели в формальной схеме следует заменить следующим: е общем
случае ПР-графами могут быть лишь диаграммы тех функций Г, для
которых
= одно из -м - , (88)
= целое неотрицательное число
Суммирование производится по всем полям ср, входящим в функцию
Г, nv - числа полей данного сорта, dv - их канонические размерности,
е - параметр, характеризующий отклонение от логарифмичности, a dM
- канонические размерности всевозможных мономов М, построенных из
содержащихся в Г внешних импульсов и ренормированных параметров
е с положительными целочисленными размерностями, которые могут
входить в разложение Г. В дальнейшем, как и раньше, будем для кон-
конкретности полагать е — т.
Целочисленность правой части (88) - необходимое, но не достаточное
условие поверхностной расходимости. В некоторых случаях (включая
266 Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка.
все скалярные модели типа рп ) размерности dM мономов М в разложе-
разложении Г могут быть только четными, тогда диаграммы с нечетными поло-
положительными размерностями не расходятся (например, если Г - скаляр и
разлагается по тир2). Есть и еще одна причина формулировки "могут
быть" вместо "являются". Для однопетлевого интеграла / с di = dM
расходимость имеется обязательно, но многопетлевые интегралы могут
сводиться к произведениям более простых. Если в сомножителях нет
расходимостей согласно критерию (88), то их не будет и в произведе-
произведении, хотя нужные условия (88) могут быть при этом выполнены (см.
пример у6-модели в гл.4).
В отсутствие параметра Л структура примитивных расходимостей
E) однопетлевых диаграмм у упрощается:
Пр.расх. / = полином Р(р, т) с с?[мономов] = d[I] , (89)
где / = fi~dy, множитель (г~6 с S ~ е восстанавливает целочисленность
размерности. В отличие от выражения E), в (89) нет мономов младшей
размерности, так как без размерного параметра типа Л их коэффици-
коэффициенты не построить (целые степени ц из конечного числа множителей
(86) в диаграмме сформироваться не могут).
Размерная регуляризация еще не определяет схему вычитаний, можно
пользоваться любой, например, вычитаниями C2) или C3). Самой
удобной при практических расчетах является схема MS с операцией
вычитания C4). Она сохраняет примитивность расходимостей во всех
порядках (п.п.10,12), так что в схеме MS для любой диаграммы у
Расх.ч. В,'у = [х5gv < полином Р(р, т) с с?[мон.] = d[y] - 5 > ,
(90)
где v - число вершин в у. S - отклонение размерности ^[7] от целого
числа (например, S — 2г(п- 1) для диаграмм (85)). Безразмерные коэф-
коэффициенты полинома Р(р, т) зависят только от с и в схеме MS являются
простыми полиномами по 1/е. Опыт показывает, что их порядок не
превышает числа петель в у.
Сформулированные правила общие для разных моделей и разных
регуляризации типа размерной. Они очевидны лишь для однопетле-
однопетлевых диаграмм, а в общем случае нетривиальны и выражают основное
утверждение 2 в п.12 применительно к регуляризациям типа размерной.
Дополнительные пояснения к правилу (90) см. в п.22.
п. 17 Переход к нормированным функциям. С этого момента
будем говорить конкретно о <р4 -модели с ренормировкой в схеме MS.
п. 17 Переход к нормированным функциям 267
Операции L, R, R' удобно перенести на новые нормированные функции
Г и их диаграммы у с целочисленными (см. (85) и (86)) размерностями,
определив их в данной модели (в других иначе) соотношениями
Г2п = (-ЯнI"" Г2П , d[T2n] = 4-2n. (91)
Диаграммы 72п функций Г2п имеют ровно по одному множителю —дв
на петлю при любом п, - это следствие топологических соотношений
/= N — v + 1, 4v = IN + 2п, где / - число петель, v - вершин, N -
внутренних линий, 2п - внешних. Поэтому в диаграммах у множители
—дв удобно приписывать не вершинам, а петлям, так и будем делать.
Операцию L на диаграммах у~ определим соотношением C1) с S = 0 и
К из C4):
Ly = KR'y , (92)
a R и R' - общим правилом B6) с i из (92). Последнее означает, что
множители L-y в B6) действуют теперь на подграфы у, содержащие,
по соглашению, один — дв на петлю. Это уточнение важно, поскольку
множители (86) не коммутируют с операцией минимальных вычитаний
C4), т.е. их нельзя выносить из внутренности "штриховых кружков" в
формулах типа B7), и поэтому нужно точно указывать число множите-
множителей —дв внутри каждого кружка. Ранее в диаграммах у это фиксиро-
фиксировалось правилом "один на вершину", а теперь в диаграммах 'у - "один
на петлю". К обычным операциям L, R, R' на Г2п можно вернуться с
помощью соотношений
Т Г2„ = (-5b)" ГГ2п , Т = любое из L, R, R' . (93)
Это нетривиальные утверждения, а не простые следствия линейности,
поскольку операции MS не коммутируют с умножением на дв. Соотно-
Соотношения (93) справедливы потому, что и в C1) операция KR' фактически
действует на величины у, поскольку они отличаются от ц~ у в C1)
лишь коммутирующими со всеми операциями множителями — д.
Правило (90) для операций на диаграммах у принимает вид:
Расх.ч. Л'7 = д1 Р{р, т) с ^[мономов] — d[y] , (94)
где / - число петель в 7, а безразмерные коэффициенты полиномов
Р(р, т) - полиномы по 1/е порядка / (в частных случаях он может быть
меньше, но не больше). Из (91) и (94) следует:
Расх.ч. R'y0 = сот2 , Расх.ч. R'~y-, = с\т + c-ip2 , \
> (95)
Расх.ч. R'y4 = с3 , Расх.ч. R'y2n = 0Vn>3, J
268 Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка.
где Ci - безразмерные константы - полиномы по 1/е. Удобно ввести
четыре вспомогательные операции Ка и La с а — О,1, 2, 3, определив их
следующими соотношениями:
La = KaR' , Lolo - со , £i72 = ci . ^27s = C2 , L3j4 = c3 (96)
с константами са из (95). Ввиду важности определений (96) повторим
их словами: четыре операции Ка определены на функциях R'jn = fn
с п = 0,2,4, имеющих примитивные расходимости со структурой (95);
по определению, операция Ко отбирает в расходящейся части функ-
функции R'jo = fo(i~) (указываем только нужные аргументы) коэффициент
при г2; операция К\ отбирает в расходящейся части функции R'j, =
/г(г,|J) коэффициент при г, а операция А'э - при р2; наконец, опера-
операция /\з отбирает в функции R'j4 = 1а{т,Р\ ■ ■ -Ра) всю ее расходящуюся
часть - не зависящую от аргументов т, р\.. .р$ константу.
Контрчленная операция (92) на нормированных функциях (91) (и
аналогично на их диаграммах т") выражается через "элементарные" опе-
операции (96) следующим образом:
LT0 = t2[L0T0] , LT2 = r[Lir2]+p2[L2r2],
-
LT4 = [L3T4] , LT2n = 0 V n > 3 ,
где р - внешний импульс в диаграммах Г2- Величины [LaY] - суммы
вкладов [Laj] отдельных диаграмм с симметрийными коэффициентами.
Они имеют следующую структуру:
[Laj] = д х полином по l/s порядка / , (98)
где / - число петель в диаграмме 7- Коэффициенты полиномов (98) -
не зависящие ни от каких параметров числа.
Контрчленный функционал C7) можно выразить через величины
[1/аГ2п] с помощью соотношений (91), (93), (97) и правил перехода от
функций Гп к функционалу (см. текст после формулы C8)):
(99)
ДЗД = -LTB{tp) = -
f4lp4/Al = f dx L~W3[L0T0] -
п. 17 Переход к нормированным функциям 269
Все Гп - функции Грина базовой теории, промежуточные выражения
в (99) записаны символически, нужные интегрирования в них подразу-
подразумеваются, в окончательном локальном выражении интегрирование ука-
указано явно. Вклад с [Z-оГо] - вакуумный контрчлен, который в формулах
п. 1.18 игнорировался, поскольку там мы не рассматривали вакуумные
петли и их ренормировку.
Для расчета РГ-функций нужны константы ренормировки. Они бу-
будут вычисляться через величины [...] в (99), а те - непосредственно
по диаграммам. Поясним кратко общую схему вычислений, подробный
расчет будет приведен позднее. Все рисунки в этом разделе будут обо-
обозначать диаграммы j, их вершинам соответствуют единичные множи-
множители, а -дв приписываются петлям. Величины R'j в [£„7] = [KaR'j]
строятся по правилам п.8. Охваченные штриховыми кружками ПР-
подграфы типа 7 2 а заменяются соответствующими контрчленами, а
именно, вершинный подграф 74 заменяется простой вершиной (точкой)
с коэффициентом [£374] > а собственно-энергетический подграф 72{Щ ~~
контрчленом [Lojn]^2 + r[£i72]' где ^ ~ протекающий через 7-) импульс
интегрирования исходной диаграммы. Графически:
1 = [£з74] X ; *тЩ|-к= *-[ад — + [ад
где 7 ~ охваченный штриховым кружком подграф, для j->(k) точкой
изображена "вставка единицы", а крестиком - множителя к2 (вместо
подграфа 7Э)- Простой вершине в контрчлене A00) соответствует еди-
единичный множитель (но это лишь потому, что мы перешли к диаграм-
диаграммам нормированных функций 7, - для исходных диаграмм j было бы
естественным приписывать вершинному контрчлену в первом соотно-
соотношении A00) стандартный вершинный множитель —дв)-
Величины [...] вычисляются рекуррентно. Для однопетлевых ПР-
графов они находятся прямо из определений (96) с R' = 1 и явных
выражений (87): в соответствии с общим правилом "один на петлю'"
их нужно домножить на — дв = —дц"£, и затем отобрать полюс поев
диаграмме 74 и полюсную часть коэффициента при т в диаграмме tV
Это даст:
[ii Q ] = -[£з О ] =9/1Ъ*2е ,[L2Q]=0.' A01)
270
Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка.
Переходя к двухпетлевым R'~f, конкретизируем отдельные слагае-
слагаемые в правых частях соотношений B7) по правилу A00):
Ц =r[LlQ]Q;
A02)
Входящие сюда однопетлевые коэффициенты [...] уже известны из A01),
поэтому правые части соотношений A02) - известные (предполагается,
что мы умеем вычислять вклады обычных диаграмм) функции внешних
импульсов и т. Операции Ка определены на них соотношениями (96),
поэтому можно вычислить двухпетлевые величины [Lay] — [KaR'j] и
так далее.
Для пояснения приведем еще несколько примеров расшифровки от-
отдельных вкладов в правых частях соотношений B8) для трехпетлевых
п. 18 Выражение констант Z через контрчлены в схеме MS 271
A03)
Напомним, что точкой в линии А{Аг) = (к2 + т)~х изображается вставка
единицы, а крестиком - множителя к2, т.е. линии с точкой сопоста-
сопоставляется величина А2(к), а с крестиком - к2А2(к). Коэффициентами в
правых частях выражений A03) являются одно- и двухпетлевые вели-
величины [...], которые должны быть уже вычислены до перехода к трех-
петлевым диаграммам. Этими общими пояснениями пока ограничимся,
конкретные расчеты будут приведены в п.п.20,21.
В заключение отметим следующее полезное утверждение: если граф
состоит из подграфов А л В, сочлененных одной вершиной (например
первая, третья и пятая диаграммы в B7), первая, вторая и предпослед-
предпоследняя в B8)), то его импульсный интеграл является произведением АВ, и
для нашей й-операции схемы MS
R(AB) = RA-RB, L{AB) = -LA-LB. A04)
В справедливости этого утверждения можно убедиться на простых при-
примерах, общее доказательство предоставляем читателю.
п.18 Выражение констант ренормировки через контрчлены
в схеме MS. По общему правилу B4) сумма базового действия B2) с
9в = д/л~е и контрчленов (99) есть ренормированное действие
SK(<p) = AS^-Z^dpf /2- Z2rip2/2- Z3gBcp4/24 A05)
(как и в B2), интеграл подразумевается) с вакуумным контрчленом
А5вак = Vr2Zof2gB , V = fdx A06)
и константами ренормировки
Zi = 1 + [13Г2] , Z3 = 1 - [ЬзТ4] , A07)
Z2 = 1 + [IiF2] , Zo = 2[Loro] - A08)
272 Глава. 3. Ультрафиолетовая ренормировка
Модель мультипликативно-ренормируема.' с точностью до вакуумного
контрчлена действие A05) получается из A0) преобразованием A.84),
если положить при этом
т0 = тЪг , д0 = gBZg = дуС'Ъд , A09)
Ъх = Z* , Z2 = Ъ\ЪГ , Z3 = Ъ%Ъд . A10)
Для расчета РГ-функций по формулам п. 1.25 нужны константы ренор-
ренормировки поля и параметров. Они вычисляются из соотношений (ПО)
через константы действия A05), а те, в свою очередь, - через вели-
величины [...] непосредственно по диаграммам ~у. Константы Z в схеме MS
не зависят от т (это суммы вкладов типа (98)), поэтому, в принципе,
могут вычисляться при т = 0, - опыт показывает, что это резко упро-
упрощает вычисления. Но операции L\ и Lo в соотношениях A08) теряют
смысл при т = 0 (см. определение (96)). Для обхода этой трудности
можно воспользоваться доказанной в п. 11 коммутативностью операций
<9Т и L в схеме MS (переход к операциям на нормированных функциях
(91) на справедливости доказательства п.11 не сказывается). Из нее, в
частности, вытекают следующие равенства:
dT LT2 = L дтТ2 , д; LTo = L д*Т0 . A11)
Операция дт действует на линии диаграмм у по правилу
дт = — A12)
и понижает на 2 каноническую размерность. Поэтому поверхностные
расходимости диаграмм дтТ2 и д^Т0 такие же, как у вершинных диа-
диаграмм Г4 (логарифмические). Они отбираются определенной в (96) опе-
операцией Z/з = KzR', т.е. L в правых частях соотношений A11) можно
заменить на Ьз- С другой стороны, в левые части равенств A11) входят
величины (97) с известной зависимостью от т (напомним, что множи-
множители [...] в (97) от т не зависят). Поэтому из соотношений (97) и A11)
следует
[Iir3] = [Ь3дгТг] , 2[Loro] = [Хз^Го] . (ИЗ)
Эти формулы очень полезны, так как их правые части вычисляются
гораздо проще, чем искомые объекты в левых частях. Из A08) и A13)
имеем
Z2 = 1 + [LsdTT2] , Zo = [£30?Го] ■ A14)
п. 19 Переход к безмассовым диаграммам 273
Это и будут рабочие формулы для расчета констант ренормировки Zf^o
вместо исходных соотношений A08).
п.19 Переход к безмассовым диаграммам. Все величины [...]
в соотношениях A07) и A14) не зависят от т, поэтому могут вычи-
вычисляться при т = 0. Подчеркнем, что речь идет о вычислении объектов
массивной теории с т > 0. переход к т = 0 в диаграммах - лишь упро-
упрощающий расчеты технический прием (непосредственно в безмассовой
теории сами объекты A08) теряют смысл). В формулы A07), A14) вхо-
входят лишь операции £г,з, определенные (в отличие от Lo,i в (Ю8)) и при
т = 0: напомним (см.(96)), что L^ отбирает коэффициент при р2 в по-
поверхностной расходимости диаграмм 7з (поверхностная расходимость
= собственная = расходимость -й'тг)' а ^з отбирает всю поверхност-
поверхностную расходимость логарифмических диаграмм у4, <9ttV ^?7o- Послед-
Последняя является константой, не зависящей от внешних импульсов и массы
т > 0 или различных масс т; > 0 внутренних линий в общем случае.
Отсюда вытекает важное
Правило 1. При вычислении величины [£зт] = [А'з-й'Т] Для дан-
данной логарифмически расходящейся диаграммы у~ конфигурацию внеш-
внешних импульсов и массы внутренних линий в у~ можно выбирать произ-
произвольно, учитывая лишь следующие ограничения: I) указанный выбор
должен быть одинаковым для всех слагаемых R'y, т.е. он должен одно-
однозначно определяться фиксацией внешних импульсов и масс в исходной
диаграмме у~; 2) ни в одном из слагаемых В!у при данном выборе не
должны появляться ИК-расходимости. При этом можно даже вводить
искусственно дополнительные внешние импульсы, втекающие во вну-
внутренние вершины диаграммы.
Поясним последнее. Вершины исходной диаграммы делятся на вну-
внутренние (вершины интегрирования) и наружные - те, в которые вте-
втекают внешние импульсы. Значение соответствующей диаграмме функ-
функции 7 не изменится, если присоединить к внутренним вершинам доба-
добавочные "внешние выводы", объявив, что по ним втекают нулевые им-
импульсы. По внешнему виду тогда получится диаграмма другой функ-
функции Грина данной (а может быть и другой) модели. Если диаграмма
логарифмическая, то ее поверхностная расходимость от конфигурации
внешних импульсов не зависит. Поэтому при вычислении этой расхо-
расходимости равные нулю внешние импульсы на искусственно добавленных
"выводах" можно, при желании, заменить отличными от нуля. Иногда
этот прием очень полезен. Он позволяет, в частности, отождествить
диаграммы дту2 и ^?7о с вершинными диаграммами 74> если мысленно
присоединить к точке в A12) пару внешних выводов:
274 Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка.
A15)
Отсюда следует очень полезное на практике
Правило 2: величины [1/з<9тГ2] и [L3d~T0} в A14) вычисляются по
тем же вершинным диаграммам 74, что и L3T4 в A07), все различие
лишь в симметрийных коэффициентах.
Свободой выбора конфигурации внешних импульсов (в дальнейшем
для краткости будем говорить ''протечки импульсов") и масс внутрен-
внутренних линий для каждой индивидуальной логарифмически расходящейся
диаграммы можно пользоваться для упрощения вычислений. Легче
всего обычно вычисляются безмассовые диаграммы типа собственно-
энергетических с простой протечкой одного импульса, втекающего в
одну из вершин и вытекающего из другой. К этому и следует стре-
стремиться, следя лишь за тем, чтобы безмассовость линий не приводила
к появлению ИК-расходимостей. Обычно это удается: в п.21 мы при-
приведем полный расчет величин [...] всех диаграмм ^-модели до трех
петель включительно, всего их 13, и лишь одну придется вычислять
с массами. В этой связи отметим, что диаграммы <9Т7~2 и "9? 7 о с ж~
ходной конфигурацией внешних импульсов (в то все они равны нулю,
в 72 простая протечка) не допускают прямого перехода к безмассовым
линиям, так как в них появляется тогда (см. A12)) квадрат безмассо-
безмассового пропагатора А2(Аг) = к, порождающий в размерности d = 4— 2е
ИК-расходимость. Она исчезает, если ввести искусственно ненулевой
внешний импульс, втекающий в '"точку" A12), что возможно при ото-
отождествлении данных диаграмм с вершинными по правилам A15).
Отметим, что в формальной схеме размерной регуляризации (см.
п.1.20 и соглашение в п.16) для ИК-расходящихся интегралов при е ф 0
обычно получаются конечные ответы, в которых ИК-расходимость про-
проявляется также в форме полюсов по е. Эти добавочные "ИК-полюса"
смешиваются с интересующими нас "УФ-полюсами", - в этом и за-
заключается опасность ИК-расходимостей в формальной схеме (а в точной
ИК-расходящиеся интегралы просто не существуют).
Еще одно существенное упрощение при вычислении величин [Z-2.37]
связано с тем, что в принятой (соглашение в п. 16) формальной схеме
расчетов можно пользоваться соотношениями
п. 19 Переход к безмассовым диаграммам 275
= 0. A16)
г=о
Первое из них справедливо с точностью до множителей (ц2/т)€, кото-
которые при вычислении величин [...] разлагаются по г и с множителем
т в A16) конкурировать при г —>■ 0 не могут. В строгой схеме с об-
обрезанием Л (п. 1.20) соотношения A16) выполняются после вычитания
из графиков степенной примитивной расходимости ~ Л2, что соответ-
соответствует переходу в г = Т — Тс к точному значению Тс (п.5).
Подграфы типа A16) порождают множители г, которые не могут
полностью сократиться за счет ИК-сингулярности коэффициента. Дей-
Действительно, вставка п таких подграфов в линию Д(&) = (к2 + т)~1 дает,
с одной стороны, множитель т" от подграфов (все с точностью до гг),
с другой, порождает опасную при т —>■ 0 степень линии Дп+1(&), даю-
дающую при интегрировании по к лишь более слабую ИК-сингулярность
~ т1~". Отсюда следует, что вставка любого числа п > 1 подграфов
типа A16) в одну линию эффективно дает один множитель т. Наличие
такого множителя означает, что диаграмма несущественна под знаком
операций La,з, отбирающих (см.(96)) лишь не зависящие от т расходи-
расходимости. Те же соображения справедливы и для отдельных слагаемых
Д'7 в [1/2,зт] = [А'г.зй'^у], ~ в результате стягиваний в некоторых сла-
слагаемых R'j могут появиться подграфы A16), даже если их не было в
исходной диаграмме 7- Под знаком операций А'г.з такие слагаемые R'j
несущественны из-за наличия в них множителя т. Отсюда вытекает
Правило 3. При вычислении величин [1/27->] и [^374] диаграммы Ч2 4
с подграфами типа A16) и отдельные слагаемые Н'~/24 с такими под-
подграфами учитывать не нужно, т.к. они не дают вклада в вычисляемые
объекты.
Отметим, что в [ЬздтТ2] и [1/з<9?Го] до выполнения дифференциро-
дифференцирований по т нужно учитывать все диаграммы т^ ■>• в том числе и с под-
подграфами A16), так как последние могут исчезнуть при дифференциро-
дифференцировании. Пользоваться правилом 3 для этих объектов можно лишь после
выполнения дифференцирования по г по правилу A12) и последующего
отождествления A15) полученных диаграмм с вершинными. Отметим
также, что сформулированное выше правило 3 можно обосновать и с
помощью второго равенства A04): один из множителей LA или LB в
рассматриваемой ситуации обязательно будет нулевым.
Обычно при вычислении безмассовых интегралов в размерной регу-
276 Глава. 3. Ультрафиолетовая ренормировка
ляризации просто постулируется правило
I = fdkk-2a = 0 (dk = ddk). A17)
Строго говоря, объекты типа A17) всегда появляются лишь вследствие
небрежности изложения, например, при игнорировании степенных по
Л расходимостей в размерной регуляризации с малым параметром е,
т.е. при абсолютизации "формальной схемы" (п.1.20). При строгом
изложении интегралы типа A17) всегда как-нибудь регуляризуются
(обрезание, массы и т.п.), и их точный смысл тогда ясен. Типич-
Типичный пример - обсуждавшиеся выше подграфы типа A16): мы пони-
понимаем их как объекты со вспомогательной й-операцией, устраняющей
степенные по Л расходимости, с последующим переходом к пределу
Л —>■ оо. В отсутствие А положительная размерность интеграла типа
A16) может реализоваться лишь в виде положительной степени г, по-
поэтому интеграл обращается в нуль при т —> 0, - в этом суть утвер-
утверждения A17) для интеграла с существенно положительной размерно-
размерностью dj = d — 2a > 0. Но это обоснование правила A17) непригодно
для случая dj < 0. Появление таких интегралов свидетельствует о
неблагополучии с ИК-расходимостями, с которыми нужно тогда специ-
специально разбираться. Нельзя также бездумно пользоваться постулатом
A17) для интегралов с положительной, но почти нулевой (порядка е)
размерностью: например, так можно прийти к неправильному выводу,
что в безмассовой теории вершинная петля (876) не имеет примитивной
расходимости, поскольку при нулевых внешних импульсах ей соответ-
соответствует интеграл типа A17).
В заключение отметим, что группой авторов, выполнивших самые
трудные 5-петлевые расчеты в у?4-модели, разработана некоторая спе-
специальная техника й*-операции [88], существенно расширяющая воз-
возможности вычислительного аппарата. Она позволяет обойти сформу-
сформулированное в правиле 1 ограничение на выбор протечки импульсов,
запрещающее "ИК-опасные" (приводящие к ИК-расходимостям) про-
протечки. Как уже говорилось, ИК-расходимости опасны потому, что они
также порождают полюса по е, примешивающиеся к вычисляемым УФ-
полюсам. В й*-технике к исследуемому графику сначала применяется
некоторая "инфракрасная й-операция", устраняющая все ИК-полюса по
е, но не искажающая УФ-полюсов. Для графика с такой ИК-операцией
протечку можно выбирать уже совершенно произвольно, не опасаясь
(устраненных) ИК-расходимостей. Полная свобода выбора протечки
импульса весьма полезна при расчете УФ-полюсов, поскольку некото-
некоторые диаграммы интегрируются явно лишь с такой "ИК-опасной" (и
п.20 Результаты расчета, констант Z для <р4-модели
277
поэтому запрещенной правилом 1 протечкой.
Техника й"-операции довольно сложна, а ее эффективность проявля-
проявляется реально лишь в многопетлевых D и 5 петель в у?4~модели) вычи-
вычислениях. Поэтому мы не будем ее использовать в трехпетлевом расчете
в п.21, и не будем обсуждать подробнее, отсылая интересующегося чи-
читателя к работам [88] и имеющимся в них ссылкам.
п.20 Результаты расчета констант ренормировки Z в схеме
MS с трехпетлевой точностью для Оп-у4-модели. Начнем сразу
со сводных таблиц результатов, пояснения к ним приводятся ниже.
Табл.Ц- Вклады диаграмм в константы ренормировки Z схемы MS
для простой (рА-модели с базовым действием SB — —(cfy?J/2—
пр2/2 — gii~s<pA/24 в размерности d = 4 — 2е, и = g/16n2.
Уо
1
9
3
4
6
1
8
9
10
11
12
13
граф 7
О
о
оо
<0
т-
хххх
ххп
KB
(!) 0
[Lai
(-«)'
—и
и2
и2
и2
-U3
-и3
-к3
-и:<
-„■■'
-!C
-к3
-а3
] = (-«)'*{-,
«■»
-l/4f
-1А-2
-(l-f)/2f2
(l-s/2f/V
I/,3
A-5V253
A-95/4)/б52
(l-£-52)/3£3
(l-i-£2)/3£3
(l-3; + 4f2)/6£3
2(C)/5
(l-25+£2)/353
цие
Zo
0
0
1/4
0
0
1/8
0
1/6
0
0
0
0
1/4
1метр1
ЯТ C-,
кон
z,
0
1/6
0
0
1/4
0
0
0
0
0
0
0
0
пшыи коэ
графа
стантах
z2
-1/2
0
-1/4
-1/2
0
-1/8
-1/4
-1/6
-1/4
0
-1
0
-1/4
ффи-
7 в
z3
-3/2
0
-3/4
-3
. 0
-3/8
-3/2
-1/2
-3/2
-3/2
-6
-1
-3/4
278
Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка
Табл.15. Дополнительные структурные множители г~,
диаграмм 7 из табл.14 в On-ipA -модели.
граф
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
МНОЖ1
—
-
nil
—
-
т\
—
-
—
—
-
ггель г7
—
—
—
Tll'2
—
—
—
—
—
—
—
—
в коне
z2
-
г?
-
Г1
Г1Г2
-
rir2
—
гантах
z3
Г2
-
Г4
гз
-
1'7
Г5
rir2
Г5
Гб
Гб
гз
Табл.16. Значения множителей г,-(л) в табл. 15.
1
2
3
4
г;(п)
(п + 2)/3
(" + 8)/9
(отг + 22)/27
(?г2 + 6?г + 20)/27
г
5
6
7
г,-(п)
(Зтг3 + 22тг + 56)/81
(тг2 + 20тг + 60)/81
(тг3 + 8тг2 + 24тг + 48)/81
В таблице 14 приведены все нужные для расчета величин A07), A14)
диаграммы 72,4 Д° трех петель включительно, не имеющие подграфов
п.20 Результаты расчета, констант Z для ^-модели 279
A16) (правило 3 в п.19). Всего таких диаграмм 13, для удобства ссы-
ссылок они в таблице 14 пронумерованы, та же нумерация в табл.15. Кон-
Константы Zi 2,з вычисляются по формуле
Z = 1 + ]Гс7 r7 [La-i\ , [La7] = (-«)'£, , A18)
7
и аналогично для Zo без вклада единицы. Для Z\ суммирование в A18)
производится по собственно-энергетическим графикам j = 72 (в та-
таблице их всего два, а именно, No. 2,5), и тогда в A18) La — Lo. а для
Zo,2,3 ~ по вершинным графикам j = 74; и тогда La = L3- Величина с7 в
A18) - симметрииныи коэффициент графика 7 в вычисляемом объекте,
а именно (см. A07) и A14)), с7 в Zi - коэффициент при данном j = 72
в Г2 (положителен), в 2о - коэффициент при данном j = 74 в 8ТТ2 (от-
(отрицателен из-за минуса в A12)), в Z3 - коэффициент при данном 7 — 74
в Г4 с обратным знаком (отрицателен), в Zo - коэффициент при дан-
данном 7 = 74 в Й^гГо (положителен), при этом диаграммы в дгТо и <9^Го
отождествляются с вершинными по правилу A15). Все эти с7 легко
определяются по известным (гл.2) симметрийным коэффициентам гра-
графиков в функциях Гп и правилу дифференцирования A12), при отборе
графиков следует учитывать правило 3 п.19.
Величины г7 в A18) - приведенные в табл.15 для всех тринадцати
диаграмм табл.14 дополнительные множители от индексных структур
©„-симметричной модели (п.2.10). Все они нормированы условием
г7(?г = 1) = 1 и выражаются через более простые множители г,-(л),
приведенные в табл.16. Поясним кратко способ вычисления г7: каждой
диаграмме 7 в Го2,4 сопоставляется по правилам п.2.10 "индексная диа-
диаграмма'' с линиями и вершинами B.80). После симметризации по внеш-
внешним индексам (в диаграммах 7о их нет, в 72 " два, в 74 ~ четыре, реально
симметризация нужна лишь в 74) индексная диаграмма станет пропор-
пропорциональной соответствующей затравочной структуре B.80), искомое г7
- коэффициент пропорциональности. Операция дт на индексную струк-
структуру не влияет, поэтому множители г7 для графиков <9ГГ2 вычисляются
по графикам Гг, а для графиков <92Го - по графикам Го-
В объекты [La~Y] входят диаграммы 7-> 4 нормированных функций,
имеющие по одному множителю — gB = —gfi2£ на петлю (п. 17). По-
Поэтому из [Laj] можно выделить множитель (—дI, где Z - число петель
в 7- Опыт расчетов показывает, что в данной модели каждый множи-
множитель д естественно сопровождается коэффициентом 1/1б7г2. Поэтому
в соотношении A18) и в таблице 14 из величин [La7i выделен множи-
множитель (—иI с и ЕЕ д/16тг2. Остающееся выражение обозначено через £7
280
Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка.
и приводится в отдельном столбце таблицы 14. По определению, £7
есть обычная величина [Lai] для графиков 7, нормированных условием
б7Г2//2^ на петлю". Расчет этих величин - самая трудная часть за-
задачи, он поясняется в следующем разделе.
п.21 Техника расчета величин £7. В таблице 14 всего 13 диа-
диаграмм. Будем обозначать их в этом разделе через ц, а соответству-
соответствующие величины £7 в контрчленах [Lai\ = (—u)'£7 - через 6 , где
i = 1,..., 13 - порядковый номер диаграммы в таблице. Черту сверху у
7 больше ставить не будем, просто подразумевая правило 6тг2//2£Г на
петлю". В зависимости от контекста i понимается либо как рисунок,
либо как соответствующее аналитическое выражение. Раньше мы обо-
обозначали индексом у 7 тип диаграммы {i2n ~ диаграммы Г2П), а теперь,
чтобы не путать с номером, будем говорить "диаграммы Г 2 " (или Г4) и
писать 7 ^ Гг (или £ Г^- В таких обозначениях 72,5 £ Гг, а все прочие
- диаграммы Г4, для первых £ - полюсная по е часть коэффициента
при р2 в R'j, для вторых - просто полюсная по е часть R'j. Все £,■ от
внешних импульсов и масс внутренних линий не зависят, выбор этих
величин в процессе вычислений - вопрос удобства. Мы будем вычи-
вычислять в безмассовой теории все & за исключением 6з- Величины R'-y
для всех 7 легко находятся по правилам п. 9 с учетом соотношений A00)
и правила 3 в п. 19:
R'n = 71 ; R'12 = 72 ;
R'13 = 73-2671 ; R'14 = 74-si71 ;
R'15 = 75 — 2672 ;
R'l6 = 76 — 3£i73 -
R'l7 = 77-6 G3 + 74) - ■
R'i& = 78 -671 ;
R'i9 = 79 — 26 74 — £371 ;
R'llQ = 7io — 2674 + si7l
R'm = 711-674-£471 ;
R'm = 712 ;
R'113 = 713-673-2.
A19)
Поясним R!is- при г = 0 собственно-энергетический контрчлен A00)
содержит только второе слагаемое, крестик в нем - множитель к2, ко-
который сокращает один безмассовый пропагатор 1/к2, что и превращает
диаграмму 78 со вставкой контрчлена в диаграмму 71 ■
Вычисление величин 7» в A19) как функций масс и внешних импуль-
импульсов (в дальнейшем коротко "расчет диаграмм") - самая трудная часть
всей процедуры. В общем случае нет никакой гарантии, что данная
п.21 Техника, расчета, величии £7 281
диаграмма -у вычисляется до конца, - формулы п. 15 гарантируют лишь
представимость -у конечнократным интегралом по вспомогательным па-
параметрам. Это отнюдь не академическая проблема: даже сравнительно
простая диаграмма 72 при массивных линиях и р ф О доводится лишь до
неберущегося однократного интеграла. Наша задача облегчается тем,
что мы можем произвольно выбирать массы линий и конфигурацию
внешних импульсов, стремясь к максимальному упрощению расчета ■у.
Как правило, безмассовые диаграммы вычисляются проще массивных,
поэтому везде, где это возможно, будем работать с безмассовыми диа-
диаграммами. В них обязательны внешние импульсы, причем желательно,
чтобы их конфигурация в вершинных диаграммах была максимально
простой, иначе f не вычислить. Ниже будет показано, что все диа-
диаграммы таблицы 14, за исключением 71з> можно вычислить до конца
при нулевых массах и простой протечке одного импульса р, втекаю-
втекающего в одну из наружных вершин диаграммы и вытекающего из дру-
другой. При выборе протечки импульса должно соблюдаться правило 1
в п.19. Оно запрещает, например, "вертикальную" протечку импульса
(от правой нижней наружной вершины к правой верхней) в безмассовых
диаграммах 74,7,9, но разрешает "горизонтальную" - от левой наружной
вершины к любой из правых. Для всех наших диаграмм подходящий
выбор протечки существует и будет уточняться в процессе вычислений.
Их удобно проводить в координатном представлении и лишь на по-
последнем шаге переходить к импульсному по формуле B.56). Для про-
простой протечки в нее войдет exp[ip(x" - х')], где х' - координата вершины
втекания, а х" - вытекания импульса р. Будем считать х" исключенной
в B.56) координатой ("без одной" = "без ж""), ответ от нее не зависит,
поэтому положим просто х" ~ О . Тогда искомая величина 7s предста-
представится в виде
7, =Ъ{Р) = jdx^s{x) ехр(-грт) , A20)
где js(x) - "координатная диаграмма' с двумя закрепленными наруж-
наружными вершинами с координатами х" = 0, х' = х, по координатам всех
прочих вершин ■ys(x) - интегрирование. Подчеркнем, что в js(x) на-
наружные вершины диаграмм Г4, в которых нет втекающего или вы-
вытекающего импульса р, ничем не отличаются от внутренних "вершин
интегрирования", т.е. все диаграммы с простой протечкой подобны
собственно-энергетическим графикам Гг. Мы будем сначала вычислять
величины % (ж), а уже по ним - искомые 7s из A20).
Согласно G2), безмассовому пропагатору A(k) = к в размерности
d соответствует в координатном представлении выражение
282 Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка.
A{x',x") = a\x'- x"\-2a = a i *',
A21)
a = ЯA)/4тг^2 , a = d/2-1 .
Всюду используются обозначения F8). Для d = 4— 2с имеем:
а = 1-е, а = #A)/4тг2-£ = ||1-£||/4тг2-е . A22)
Буквами а и а в этом разделе будут обозначаться только величины
A22) и никакие другие. При вычислении безмассовых диаграмм в ко-
координатном представлении удобно изображать множитель \х' — х"\~2Х
линией с индексом Л, соединяющей точки с координатами х' и х", по-
последние обычно явно указываться не будут. В таких обозначениях
A23)
х1+х2 U,У х1+х2+х3
Для степенных линий легко вычисляются и цепочки с интегрирова-
интегрированием по координатам внутренних вершин при закрепленных наружных.
В координатном представлении цепочкам соответствуют свертки сте-
степенных линий, в импульсном они переходят в простые произведения.
Все эти операции не выводят из класса степенных функций и легко
выполняются с помощью формул преобразования Фурье G2). Перейдя
для каждого звена цепочки к импульсному представлению, перемножив
полученные фурье-образы и вернувшись назад к координатному пред-
представлению, нетрудно получить следующие соотношения:
X1 X2 X.+X2-d/2
A24)
.,А2,Аз,3^/2-А1-А2-Аз),
At hy Kn л< ^ А.л + Ля " Q
справедливые для произвольной размерности d и произвольных индек-
индексов Аь А2,... звеньев цепочки.
Большинство наших диаграмм с простой протечкой сводится к ком-
комбинациям цепочек и петель. Величины -ys (x) для них легко вычисляются
с помощью соотношений A23), A24) и сводятся с точностью до извест-
известного множителя к простой линии с некоторым индексом А. Окончатель-
Окончательный ответ A20) вычисляется как преобразование Фурье G2) полученной
п.21 Техника, расчета, величии £7 283
степенной линии. Эту операцию также удобно изображать графически:
, ^/2Я(Л)B/рУ-2\ A25)
к Фурье
где р - протекающий внешний импульс. Сразу отметим, что индекс Л
результирующей линии в A25) легко найти по размерности: из опре-
определений известно, что величина 7(р) для диаграммы Г9„ имеет раз-
размерность 4 — 2п и по одному множителю 1б7г2//2г на петлю, т.е. у ~
P4~2n(fi/pJ^1, где I - число петель в 7- Это и определяет показатель
степени импульса в правой части соотношения A25):
2\-d = 4-2n-2el , Л = Xnl = 4 - п - е{1 + 1) . A26)
Переходя к конкретному расчету величин fs, соберем сначала все
простые множители - степени 2, тг, р и ц. В диаграмме -у £ Ггп с / пе-
петлями имеется N = 2/ + п — 2 внутренних линий и v= / + п — 1 вершин.
Интересующий нас множитель собирается из следующих: 1) 16тг2//2г на
каждую петлю; 2) амплитудный множитель а из A22) на каждую вну-
внутреннюю линию; 3) множитель Tcd'2 на каждую вершину интегрирова-
интегрирования в формулах типа A24), используемых при приведении исходной диа-
диаграммы к простой линии (число таких вершин есть v-2); 4) множители
из A25) с Л из A26). Все вместе это дает [16тг2^2г]' aN 7r<v-1)d/2B/p)d-2A
Выразив здесь N, v, Л через п и / (см.выше), получим выражение
[16TT2fj,2£a2nd^B/pJ']1 ■ [4and'2p-2]n-2. Подставив сюда d = 4 - 2е и
а из A22) с учетом вытекающего из G3) равенства H(a)H(l) = 1, не-
нетрудно привести полученное выражение к виду
fl [p2H(a)]2-n , met = ||1 -5||^DV/r) • A27)
Важно, что в Int нет полюсов по е, - это следует из представления F9)
для гамма-функции ||1 — г\\. Содержащий дробную степень импульса
р множитель te из окончательных ответов для £ уходит (подробнее см.
дальше), вместе с ним уходит и введенный в te коэффициент ||1 — е||2,
поэтому его невыгодно отделять.
Выделив из ожидаемого ответа для диаграммы 7s G Гз„ с / петлями
коэффициент A27) и множитель Н из A25) с Л из A26), получим пред-
представление
Ъ(Р) = t*1 [p2H(a)]2-nH(\nl) qs . A28)
Остающаяся пока неизвестной величина qs есть, по определению, про-
произведение всех множителей Н, появляющихся в процессе приведения
диаграммы 7« в координатном представлении к простой линии.
284
Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка
Переходим к расчету этих величин qs. Для большинства наших диа-
диаграмм они вычисляются несложно с помощью соотношений A23), A24).
Первые диаграммы 71,2 сводятся с помощью A23) к простой линии без
интегрирований, поэтому для них q\ = qi = 1- Следующую диаграмму
7з, а также 76,7 рассматривать вообще не будем, так как они сводятся
к произведениям предыдущих: 73 = 7i> 76 = 7i> 77 = 7174 и для них
= — £\, £б = £i, £7 = —
Для 74 имеем:
в силу второго соотношения A04).
ю
—>■
A29)
Жирными точками показаны места втекания и вытекания внешнего им-
импульса (выбираемая протечка всегда удовлетворяет требованиям пра-
правила 1 в п. 19). Все линии в исходной диаграмме - обычные пропагаторы
A21), за амплитудными множителями не следим, так как все они уже
учтены в коэффициенте при qs в A28). Нас интересуют лишь появляю-
появляющиеся в процессе приведения к простой линии множители Н, составля-
составляющие qs. Петля в исходной диаграмме редуцируется к линии с индексом
2а по правилу A23), множители Н возникают только от интегрирова-
интегрирования верхней цепочки по правилу A24), что и дает приведенный в A29)
коэффициент q4 (всюду используются обозначения F8)).
Аналогично с помощью соотношений A23) и A24) вычисляются
а
75 =
78 =
79 =
710 =
q5 =HBa,2a,d-4a) ;
\
= Н(а, 2а, 2а,
910 = ?9 •
Для приведения к простой линии диаграммы 711 необходимо уже дву-
двукратное интегрирование цепочек. Схема преобразований такова:
2а
7И =
—>■
—>■
A31)
п. 21 Техника, расчета, величин
285
и ей соответствует множитель
qn = H(a,2a,d-3a,a,4a-d/2,3d/2-5a) .
A32)
Три первых аргумента Н происходят от интегрирования первой це-
цепочки с индексами звеньев а, 2а, три последних - от интегрирования
верхней цепочки в последнем графике A31).
Для оставшихся диаграмм имеем:
712 =
713 =
—>■
A33)
Для общей диаграммы такого типа по размерности
i, а5) ,
A34)
где П - числовой коэффициент, зависящий от размерности простран-
пространства d и индексов всех пяти ребер а,-. При произвольных ац коэффици-
коэффициент П нельзя выразить явно через конечное число гамма-функций и их
производных. Но в некоторых частных случаях это возможно, причем
класс таких "вполне интегрируемых" диаграмм довольно широк [89].
В частности, диаграмма A34) интегрируется, если все ребра одного из
треугольников (левого или правого) имеют индекс а = d/2— 1, а два
оставшихся индекса 0 и 7 произвольны:
U(d;a,0,-y,a,a) =
A35)
r.dH(d-2)
H(f),2-f})
Эта формула впервые была получена в [90] путем суммирования бес-
бесконечных рядов по полиномам Гогенбауэра, простой вывод дан в [89]
(подробнее в п.4.36). Диаграмма 712 в A33) - частный случай A35) с
0 = 7 = а = d/2 — 1. Подстановка этих значений 0. j ш d = 4 — 2е в
A35) дает (ird уходит в коэффициент при q в A28))
ЯB ~ 2g) ,
912 = ^пТГж1ЯA-2£:
2е) -
е)
A36)
286 Глава. 3. Ультрафиолетовая ренормировка.
Выразив здесь все Н через гамма-функции (см. таблицу 17 ниже) и
воспользовавшись для них разложением F9), нетрудно убедиться, что
при s —>■ 0 выражение A36) конечно из-за взаимных сокращений внутри
квадратной скобки A36) вкладов порядка 1, е и г2:
д12 = -3V"A) + O(s) = 6£C) + 0(е). A37)
Для расчета £12 поправки порядка г и выше в A37) не нужны.
Итак, мы вычислили в безмассовой теории с простой протечкой од-
одного импульса величины qs в A28) для всех диаграмм 7*1 кроме 713-
Диаграмма типа A34) в 713 имеет индекс 2а на диагонали (см. A33)) и
не относится к классу "вполне интегрируемых", т.е. 713 изложенными
выше приемами не вычисляется. Безмассовая диаграмма 713 вычисля-
вычислялась бы элементарно, если сменить в A33) горизонтальную протечку
импульса на вертикальную, что, в принципе, допустимо при расчете £
(см.правило 1 в п. 19). Но в данном случае это не помогает, так как вер-
вертикальная протечка запрещена другими условиями того же правила:
при таком выборе протечки в безмассовой диаграмме 713' появляются
ИК-расходимости.
Нужные для расчета £13 члены лорановского разложения по z для
безмассовой диаграммы 713 можно найти с помощью специальных при-
приемов, рассчитанных только на е-разложение. Но проще, оставив диа-
диагональные линии диаграммы 71 з в A33) безмассовыми, ввести заменой
к2 —)■ к2 + т массу т в четыре наружных ребра (этого достаточно для
ликвидации ИК-расходимостей во всех слагаемых Я'лз), использовав
т как регуляризатор вместо внешнего импульса. Тогда диаграмма 713
при нулевых внешних импульсах легко вычисляется по формуле G7). В
итоге получается:
индекс г напоминает, что регуляризатором теперь является г, а не
внешний импульс. Согласно правилу 1 в п.19, тогда и все прочие диа-
диаграммы 7 в #713 нужно вычислять с таким же регуляризатором (а ве-
величины £ от его выбора не зависят). В данном случае из A19) с учетом
равенства 73 = 7i имеем
A39)
ними
импульсами. Приведенный для нее в A39) ответ получается просто
где 7i - диаграмма 71 с массивными линиями и нулевыми внешними
п.21 Техника, расчета, величин
287
умножением известного импульсного интеграла (876) на соответствую-
соответствующий одной петле (при нашей нормировке) множитель 1б7г2//2£.
Заключительная часть - расчет по известным ~ys величин
для5 = 2,5;
для прочих
A40)
Напомним, что 72.5 ~ диаграммы Г 2 ( собственно-энергетические); все
прочие - диаграммы Г4 (вершинные), для первых А'2 - операция отбора
полюсов по s в коэффициенте при р2, для вторых A3 ~ операция отбора
полюсов по с в самом выражении, т.е. К из C4).
Расчет величин A40) элементарен, хотя в высших порядках может
быть громоздким: все множители Н в 7s выражаются явно через гамма-
функции (см. F8)), для них используется разложение F9), в полученном
выражении для R'js отбираются нужные полюса по е. Младшие £s
входят коэффициентами в старшие R'js, поэтому расчет величин £s
нужно производить последовательно - от младших к старшим. Для
удобства использования явные выражения через гамма-функции всех
встречающихся в A28) величин H(z) сведены в таблицу 17.
Табл.17. Выражения H[z) через гамма-функции \\z\\ = T(z)
при d = 4- 2е (а = 1 -£, \nl=A-n-s(l + 1)).
10
2s - d - Aa
1 -2s
1 — £ = a
1 + с = d - 3a
1 + 2s = id/2 - ba
2 - 4s = A23 = 6a -
2 - 35 = A22 = 4a - d/2
2 - 2s = A2i = 2a
3 - As = Ai3 = 5a - d/2
3 — 3c = A12 = 3a
Ss\\/3s\\2- As\\
2e\\/2s\\2 - Щ\
/е\\2-2е\\
Мы выделили явно в функциях Н все полюса и нули по s с помощью
соотношений типа ||Д|| = ||1 + ДЦ/Д, |] - 1 + Д|| = ||Д||/(-1 + А) =
288 Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка
Иллюстрируем процедуру расчета £s несколькими примерами. Для
первой диаграммы 71 в соотношении A28) имеем п = 2. / = 1, q\ — 1,
откуда 7i = t£H(\2i), т.е. (см. таблицу 17)
поскольку разложения F9) обеих гамма-функций и te начинаются с еди-
единицы и для данной диаграммы R' = 1. Тот же ответ для £г можно
получить отбором полюса по е в выражении A39) для Л/Г-
Для диаграммы 72 в A28) имеем п — 1, / = 2, д2 = 1. так что
72 = p2t2e H(a, Х\2)- Для нее также R' = I (из-за безмассовости линий с
учетом правила 3 в п. 19), поэтому
Ь = К„, = К ^ ^A_2^||3_3g||1_g||J
Для следующей диаграммы 7з — 7i из (И9) имеем Л77з = 7з —
подстановка сюда известных из A41) величин дает
Операция /i3 отбирает только полюса по g, поэтому при подстановке в
A43) разложений F9) в них нужно учитывать лишь вклады порядка 1
и е в показателях и в разложениях экспонент. Искомое £3 - полюсная
часть выражения (используется явный вид разложений F9) для гамма-
функций в A43)):
б"
В разности экспонент линейные по е члены сокращаются (а с ними и
Int), откуда находим £3 = — 1/е2. Этот ответ можно было бы сразу
получить по правилу A04).
Для следующей диаграммы из A28) имеем 74 = ^2<г#(-^22)</4, вели-
величина д4 известна из A29), все нужные Н приведены в таблице 17, Я'74
известно из A19), 71 и £i - из A41). В итоге:
Я» _ ,2. ||l-2g||l + 2g|| ^ \\1 + £\\ „
74 2g2||l-g||2-2g||2-3g|| е*\\2-2е\\~
'е B1п< + фA) + 5ф{2))] - 2ехр [е (In t + фA) + 2^B))]} =
2€2
п.21 Техника, расчета величин £7 289
Знаком = отмечаются равенства, справедливые лишь с точностью до
интересующих нас полюсных членов, окончательное выражение - иско-
искомое £4, при его получении использовано соотношение G0) для ф.
Итак, мы нашли £s для всех 1- и 2-петлевых диаграмм. Трехпетле-
вые £s вычисляются аналогично, но более громоздко, так как теперь
возможны полюса третьего порядка по е, и тогда в разложениях типа
F9) нужно удерживать и члены порядка е2. Для иллюстрации сте-
степени сложности приведем явный расчет £9. Из A28) и A30) находим
7э = <3еЯ(А2з)?э! выражения Н через гамма-функции берем из таблицы
17, Я'7э известно из A19). В него входят также 7i и 74, явное выраже-
выражение для 74 ~ первое слагаемое в приведенном выше выражении для Д'741
для 7i оно известно из A41). Подстановка известных величин дает
'79 =
A44)
, 1П -9,-111 4-9И1 1П -upli 1
\l-e\\2-2e\\2-U\\ ^ ||2-2е||
Входящие сюда гамма-функции и затем экспоненты нужно теперь
разлагать до членов е2 включительно. Обозначив через F выражение в
квадратной скобке A44). с нужной точностью имеем: F = exp{s[31n£ +
7
В записи показан механизм формирования коэффициентов при ib(z) и
ф' (г): проходим слева - направо сначала числитель дроби в A44), потом
знаменатель, каждый множитель ||z + ne\\ числителя дает слагаемое
п в коэффициент при ф(г) и слагаемое п2 в коэффициент при ф'{г).
От множителей знаменателя вклады берутся с обратным знаком, от
квадратов гамма-функций - удваиваются. Собирая в приведенном выше
выражении подобные члены и приводя все аргументы ф, ф' к единице с
помощью соотношения G0) для Ф и его аналога для ф'. находим: F =
2
+ 13)} + 3 explain* + 30A) + 2) + (е2/2)(-3^'A) + 4)} S
) 8) + (£2/2)[C hit + 9^A) + 8J - 9Ф'{1) + 24] - 3{1 +
e{2lnt + 6^A) + 5) + (е2/2)[B1п* + 6^A) + 5J - 6^'A) + 13]} + 3{1 +
е(Ы + гфA) + 2) + (s2/2)[{\nt + Щ1) + 2J - 3^A) + 4]} = 1 - е - е2.
Это выражение с коэффициентом l/3s3 из A44) и есть ^э. Точно так
же по известным 7* вычисляются и прочие трехпетлевые £s.
290 Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка
Несколько заключительных замечаний:
1. Из сказанного ясно, что нетривиальной операцией является лишь
вычисление самой диаграммы f. В рассмотренном приближении (до
трех петель) все диаграммы в размерности d — 4 — 2е удавалось вычи-
вычислить точно при удачном выборе внешних импульсов или внутренних
масс, но это вовсе не общее правило. Расчеты в <^4-модели доведены
сейчас до пяти петель [67, 68]. При этом многие старшие диаграммы
при произвольном е не вычисляются, но в них удается найти все нуж-
нужные для расчета величин £ полюсные (по г) вклады. Выше пяти петель
даже это не гарантировано.
2. Проверка сокращений содержащих неаналитически внешний им-
импульс величин типа lnt в расходящихся вкладах является фактически
прямой проверкой основной теоремы об й-операции (утверждение 2 в
п. 12) для рассматриваемых графиков. На основании этого утвержде-
утверждения такие вклады, в принципе, можно было бы сразу отбрасывать, но
надежнее их сохранять, - проверка сокращений будет тогда методом
контроля вычислений.
3. В <£>4-модели вместе с \nt сокращаются также все вклады с фA)
и Ф'A)- Первой нетривиальной величиной такого типа, остающейся
в ответах, является вторая производная ф"A) ~ СC). В следующем
четырехпетлевом приближении появятся £D) и СE), в пятипетлевом -
СF) и СG).
4. Таблицу 14 можно использовать для расчета констант ренорми-
ренормировки в любой модели типа <р4 с другой индексной структурой (примеры
в гл.4). Диаграммы 7s и величины £s для них остаются прежними, из-
изменяются лишь структурные множители типа г7 в таблице 15. Их рас-
расчет для любой индексной структуры несложен, во всяком случае, всегда
сводится к программируемым алгоритмам, в отличие от расчета вели-
величин £7. Поэтому в любой модели при вычислении констант ренорми-
ренормировки Z результаты желательно приводить в форме таблицы типа 14.
содержащей данные о вкладах индивидуальных диаграмм. Предста-
Представленные в такой форме результаты тогда можно будет использовать в
любой модели того же типа с произвольной добавочной индексной струк-
структурой.
п. 22 Немультипликативность ренормировки при аналити-
аналитической регуляризации. Безмассовую модель B2) можно регуляри-
зовать сдвигом к2 —>■ к2+2- показателя степени в безмассовом пропа-
гаторе вместо обычного сдвига размерности пространства. Регуля-
Регуляризацию такого типа называют аналитической. Модель рассматрива-
рассматривается тогда прямо при d = 4, базовое действие берется в виде SB((p) =
п.22 Ренормировка, при аналитической регуляризации 291
—<pk2+2eip/2 — дв<р4/24, квадратичное слагаемое в нем записано симво-
символически, точный смысл вполне ясен. По виду действия находятся кано-
канонические размерности (п.1.15): d^ — 1-е, d[gB] = Ae, поэтому полагаем
9в = дцАе с безразмерным ренормированным зарядом д. Для простой
скалярной <^>4-модели (п = 1) тогда имеем:
Г2 = -Р2+2е+72/6 + 75/4+..., Г4 = -ffA»4e+37i/2+ -.. , A45)
где 7s" ~ диаграммы табл.14 в п.20 со своими симметрийными коэф-
коэффициентами (п — 1, поэтому все г7 = 1). К нормированным функ-
функциям (91) переходить не будем, все 7» ~ обычные диаграммы с линиями
A(k) = k~2~2t и множителями — дв = — до4|Г в вершинах. В координат-
координатном представлении линии соответствует прежнее выражение A21), но
теперь в нем d = 4, a = 1— е и a = H(l+s)/ir2A1+€. Все диаграммы A45)
с такими линиями и простой протечкой импульса р легко вычисляются с
помощью формул A23)—A25), результат следующий (обозначения F8) и
« = д/Ш2): 7i = gufi8ep-4€H2{l + s)HB-'2e), 72 = p2«W~6ir#3(l +
е)Я(З-Зе), 75 = -p2«V2^-10£#5(l + s)HB - 2е, 2 - 2е,Ае, 3 - be).
Подставив сюда H(z) = ||2 — z||/||z|| и отобрав полюса гамма-функций,
получим:
-. Э^ „ ри^ „ pufi
71 = 2^ ' 72 = ~ -fe^T- ' Т* = ^5^7 ■ A46)
Равенства приближенные, так как в них приведены лишь вклады стар-
старших полюсов по с, - только они и понадобятся в дальнейшем.
Для устранения полюсов по е в функциях A45) нужно построить под-
подходящую Я-операцию, что эквивалентно учету контрчленов Lj от всех
ПР-графов и подграфов -у. Общим принципом теории ренормировки
является требование локальности (полиномиальности по р) всех контр-
контрчленов, при этом условии в схемах типа MS гарантируется свойство
(90). При учете размерностей функций A45) локальность означает, что
контрчлены должны иметь следующую структуру по переменным ри/i:
Z/7 ~ р2Ц2€ Для 7 £ Гз и Z/7 ~ /44<г Для 7 ^ ^4- Ренормировка при этом
заведемо немультипликативна, так как контрчлены Г2 отличаются по
структуре от затравочного слагаемого ~ р2+2|Г.
Желая сохранить мультипликативность, можно попытаться сокра-
сократить расходимости -у £ Гг нелокальными контрчленами ~ р2+2е, сохра-
сохраняя локальность вершинных контрчленов, поскольку и в 5"B вершина
локальна. Ниже мы убедимся, что поставленная задача невыполнима,
пояснив одновременно смысл утверждения (90).
292 Глава. 3. Ультрафиолетовая ренормировка
Из A46) видно, что первая диаграмма 72 G Г2 имеет простой полюс
по е, который одинаково хорошо устраняется как локальным контрчле-
контрчленом 1/72 = —p2tt2fi2e/бе, так и нелокальным L72 = —«2р2+2'/6е. Рассмо-
Рассмотрим теперь следующую трехпетлевую диаграмму 7s- Для выделения
ее поверхностной расходимости нужно сначала устранить действием
Д'-операции расходимости двух эквивалентных вершинных подграфов:
R'js = 75 — 2£i72 как и в A19). Но теперь 7» ~ обычные (ненормирован-
(ненормированные) диаграммы с множителями —ув = —gfiA€ в вершинах, в том числе
и в контрчленной вершине A00), и поэтому £1 = K[~i\/{—gB)\ с опера-
операцией К из C4). Из выражения A46) для 71 тогда находим £i = —ujie
и
** JL^, A47)
в F приведены лишь вклады порядка 1/е2.
Величина F в A47) имеет размерность 2е. В схеме с локальным
контрчленом мы пытаемся сократить ее расходимости величиной типа
/г£- const, а с нелокальным -р2е- const. Покажем, что первое возможно,
а второе - нет. Действительно, из A47) имеем F = ц2* А = р1еВ, где
А '= <10е/10е2 - t**/6e2, В = <12е/10е2 - ^/бе2 с < = ц/р. Различие
между А и В очевидно: показатели степеней t таковы, что в А вклад
e~l \nt сокращается, а в В - нет, т.е. "расходящаяся часть" А является,
как и нужно, не зависящей от импульса р константой, а для В это не так.
Отсюда следует, что поверхностную расходимость 75 можно устранить
локальным контр членом ~ р2 ц2' и нельзя нелокальным ~ р2+1>£ из-за
появления в ^'расходящейся части" вклада с In/ = ln(///p) во втором слу-
случае. Отметим, что различие между двумя вариантами ренормировки
довольно тонкое, и непригодность одного из них обнаруживается лишь
в трехпетлевом графике 7s; в двухпетлевом приближении, не говоря
уж об однопетлевом, ничего плохого в процедуре мультипликативной
ренормировки с нелокальным контрчленом мы не заметили бы. От-
Отметим также, что и среди всех трехпетлевых диаграмм таблицы 14 в
п. 20 лишь в одной диаграмме 75 обнаруживается "'дефективность" не-
нелокального контрчлена: в поверхностной расходимости диаграммы 78
вклады е Int сокращаются как при локальном, так и при нелокальном
контрчлене подграфа 72 ■
Общий вывод состоит в том, что при построении контрчленов из-
избыточную (над целочисленной) размерность всегда нужно выделять в
виде множителя ц , а не ps , - лишь в этом случае структура поверх-
поверхностных расходимостей в высших порядках остается простой и опреде-
определяется правилом (90).
п.23 Включение составных операторов 293
п. 23 Включение составных операторов. Определения состав-
составных операторов F(x; <p) (аргумент х в дальнейшем будем обычно опус-
опускать) и различных функций Грина с их участием приводились в п.п.2.13
и 2.14. Напомним, что для всех производящих функционалов определе-
определения обычные, но с добавкой формы B.104) к взаимодействию V{<p); мо-
модель с такой добавкой aF(ip) будем называть расширенной. Таким обра-
образом, производящим функционалом 5-матричных функций Грина полей
и операторов является (п.2.14)
Н(<р,а) = Р exp [V{<p) + aFfr)] , A48)
а 1-неприводимых - функционал
Г(у?,а) = S0(f) + 1-н.ч. Р exp [V{<p) + aF{<p)} . A49)
Мы условились (п.2.13) называть составным оператором как случай-
случайную величину F(ip), так и соответствующий классический функцио-
функционал F(<p), различая их лишь знаком "~". Одному и тому же функцио-
функционалу F(<p) могут соответствовать разные случайные величины, так как
при замене <р(х) —> "р{х) поле <р может иметь разный смысл (неренор-
мированное. ренормированное, базовое). Он определяется по смыслу
функционала действия S — So + V в той конструкции (функциональ-
(функциональный интеграл или формулы типа A48), A49)), в которую входит F(<p):
какое S ~ такое и ф. При изучении ренормировки по схеме п.п.8-12 ис-
исходной считается базовая теория, для нее V(<p) в соотношениях A48),
A49) - базовое взаимодействие, aF(ip) - добавка B.104) к нему с задан-
заданными операторами F = {F,-(<£>)}. Соответствующие базовые источники
а = ]п{} всегда будем отождествлять с ренормированными, считая
их независимыми конечными функциональными аргументами ренорми-
рованной и базовой теории. Их затравочные аналоги будут введены
впоследствии.
Поскольку все основные утверждения теории ренормировки форму-
формулируются для произвольного локального взаимодействия, они остаются
справедливыми и для расширенной модели с взаимодействием V -\-aF. В
этом замечании фактически содержится принципиальное решение всех
проблем ренормировки локальных составных операторов, так что все
последующее - лишь уточнения и пояснения.
Первый шаг - анализ размерностей: каждому локальному моному
F(x), построенному из поля <р(х) и его производных, можно припи-
приписать определенную каноническую размерность dF - сумму размерно-
размерностей состаапяющих F полей и производных (например, для (^-модели
294 Глава. 3. Ультрафиолетовая ренормировка
dy = da — 1, тогда dF - полное число полей и производных в F). Раз-
Размерность сопряженного с данным F(x) источника а(х) в форме B.104)
определяется из требования ее безразмерности, что приводит к стан-
стандартному теневому соотношению:
da + dF = d , da = d[a{x)] , dP = d[F(x)] . A50)
Согласно определениям п. 1.16, операторы с dF < d называют ИК-сущест-
венными, а с dP > d - несущественными (для УФ - наоборот). При этом
вопрос о конкуренции вклада aF с исходным взаимодействием V не ста-
ставится, т.е. aF всегда рассматривается как возмущение. Размерности
координатных 1-неприводимых функций Гж = Т(х\ .. .хп) (коэффициен-
(коэффициентов разложения безразмерного функционала A49) по совокупности ис-
источников ip, а) находятся по правилу A.69):
с суммированием по всем входящим в данную функцию полям и опера-
операторам. Все операции п.8 определяются на функциях Г = Tp(pi.. .рп)
(аналоги Г„р из B)), их размерности находятся из соотношений A51) и
B.57):
dr = d[TP] = d~Yld^-Jl(d-d^ ■ A52)
ПР-графы расширенной модели определяются обычным образом (п.п.2,
16) по значениям размерностей A52) в логарифмической теории, т.е.
при £ = 0 в размерной регуляризации. На примере составных опера-
операторов удобно пояснить различие между формальным и реальным УФ-
индексами ш (п.2): в логарифмической теории ЫфОрм = dr, но реальный
индекс может быть меньше. Действительно, пусть F — 'dF'. Тогда
в диаграммах Г с оператором F наружная производная д переходит в
множитель р (внешний импульс), поэтому о сходимости импульсного
интеграла диаграммы нужно судить по размерности F', а не F: при
е = 0
^реальн. — ^г ~ ЧИСЛО ВНеШНИХ ПРОИЗВОДНЫХ 8 . A53)
Множество ПР-графов расширенной модели состоит из всех старых
ПР-диаграмм исходной модели и новых с операторами F. Рассмотрим,
например, ^-модель с одним оператором F в форме aF. Тогда из соот-
соотношения A52) с учетом d^ — X имеем dr = 4 — n^ — D — dP)nP, где п^ F -
числа множителей <р, F в Г. Из формулы для dr следует, что для опера-
оператора F — <р~ (х) с dp = 2 новыми ПР-графами будут все 1-неприводимые
п.24 Ренормированный составной оператор 295
диаграммы < F >, < Ftptp > и < FF > (учтена симметрия <р —>■ —<р);
для F = <р3(х) с dp = 3 новые ПР-графы - 1-неприводимые диаграммы
< F£ >. < F£££ >. < FF >, < FF$$ >. < FFF£ > и < FFFF >;
для F = </г4(лг) или ^>(лг)<92£(лг) с dF = 4 новыми ПР-графами будут все
1-неприводимые диаграммы с п^ < 4 и любым числом множителей F,
тогда как для F — д'2<р2(х) в силу правила A53) они такие же, как для
F = ^{x).
Из формулы A52) видно, что вставка добавочного операторас dF < d
уменьшает dr, а при dP > d - увеличивает, поэтому присутствие в aF
хотя бы одного оператора с dF > d ведет к неренормируемости рас-
расширенной модели по классификации п.2. Но это не мешает устранить
все ее расходимости (см. п. 13) введением нужных контрчленов L-/ на
каждый ПР-граф 7 расширенной модели. При этом для ренормировки
функций Грина с заданным конечным числом составных операторов по-
понадобится лишь конечное число добавочных контрчленов, разумеется,
если исходная модель ренормируема, что всегда будет предполагаться.
Кроме того, для простоты будем считать, что ренормировка расширен-
расширенной модели осуществляется в размерной регуляризации и в схеме MS, -
тогда не будет никаких проблем с фиксацией "ренормировочного произ-
произвола" даже при бесконечном числе контрчленов. Отметим, что условие
B5) в схеме MS выполняется автоматически.
п.24 Ренормированный составной оператор. Пусть A48), A49)
- конструкции базовой теории, Vp.{f) - соответствующее ренормиро-
ванное взаимодействие F6) исходной модели. Определение: состав-
составной оператор F(ip) называют УФ-конечным, если конечен функционал
Поясним это определение. d
1. Из сопоставления с выражением A48) с учетом правила соответ-
соответствия между функционалами и операторами (см. текст после формулы
A49)) ясно, что УФ-конечность указанного в определении функционала
эквивалентна УФ-конечности всех 5-матричных функций Грина с од-
одним оператором F = F(<pR) = F(<p) | _g и любым числом п > 0 множи-
множителей (рк, где <pR = Z~ tp - ренормированный оператор поля из A.74).
. Из определений п.2.14 и утверждения 2 в п.8 следует, что УФ-
конечность системы всех 5-матричных функций Грина с одним F экви-
эквивалентна УФ-конечности любой другой аналогичной (т.е. с одним F =
jF(£>r) и любым числом полей <pR) системы функций Грина - полных,
связных, или 1-неприводимых. Поэтому УФ-конечность F(<p) эквива-
эквивалентна УФ-конечности определённого соотношением B.107а) с S — SR
функционала С F{ip) >.
296 Глаза 3. Ультрафиолетовая ренормировка
3. В силу коммутативности операций Рид (п.2.1) из УФ-конечности
F(f) следует УФ-конечность 8F(ip).
4. Операторы F(<p) = 1 и F(<p) = <р УФ-конечны.
5. УФ-конечность функций Грина с одним F не гарантирует УФ-
конечности функций с двумя и более F.
Пусть F(ip) - интересующий нас локальный моном, aF(tp) - добавка
с одним данным F(ip) к базовому взаимодействию V(<p) в A48), L -
контрчленная операция схемы MS, сопоставляющая каждому ПР-графу
7 расширенной модели контрчлен L-f. Соответствующая .R-операция,
по построению, устраняет все расходимости расширенной модели, т.е.
обеспечивает УФ-конечность всех функций Грина с любым числом по-
полей и операторов. Для 5-матричных функций это означает УФ-конеч-
УФ-конечность функционала RP ехр[V + o.F\. Воспользовавшись общим утвер-
утверждением D0) для расширенной модели, получим
R{L) P exp[V + aF] = Р ехр [V + aF - LPexp{V + aF)] . A54)
Приравнивая коэффициенты при первой степени а, имеем
R{L)
P exp[FexpV] = P i[F - LP{F expV)]exp{V - LPexpV) \ .
Левая часть УФ-конечна по построению, поэтому локальный функцио-
функционал (напомним, что мы не пишем, но подразумеваем у F аргумент х)
[F(<p)]R = F(<p) - LP[F{9) exp V(<p)] A55)
является УФ-конечным составным оператором в смысле приведенного
выше определения. Его называют ренормироеанным оператором F(<p),
а добавку AF = LP[F expV] - операторными контрчленами F(ip).
Из формулы A55) следует, что [dF(if)]R = d[F((p)]R, поскольку опе-
операция 8 коммутирует с Р по определению и с L в силу леммы п.11.
Ясно также, что [<p]R = f, поскольку для оператора F(<p) = <p(x) все
графики под знаком L в A55) 1-приводимы, и на них L = 0 по усло-
условию B5). Предупреждение: оператор [<p]R = if не следует путать с
ренормироеанным полем ipR = Z^x(p из A-74).
Для F = 1 все графики P[FexpV] несвязны и на них L = 0, т.е.
[1]R = 1. Здесь важно, что L определяется как операция на графиках
(п.8), а не на функционалах: величины Р[ехрУ] и Р[1 ехр V] как функ-
функционалы равны, но графически различны, поскольку оператору F = 1
сопоставляется изолированная вершина с единичным множителем.
п.25 Ренормировка расширенной модели 297
п.25 Ренормировка действия и функций Грина расширен-
ной модели. Равенство A54) справедливо, очевидно, и для произволь-
произвольной формы B.104) с любым набором локальных мономов F{(x; <р), а по-
показатель экспоненты в правой части является тогда ренормированным
взаимодействием F6) соответствующей расширенной (добавлением со-
составных операторов) модели:
{V + aF)R = V + aF-LPexp{V + aF) . A56)
Ее базовым действием является функционал 5В = So + V + aF, а ре-
ренормированным - функционал SR = So + (V + aF)K. Из сравнения с
определением A55) видно, что линейные по а вклады A56) группиру-
группируются в ренормированные операторы A55). Поэтому из A56) имеем
S*(<f, a) = SK(<p) + Ei ai №(?)]*
-i Zik <*.-«* LP[Fi(<p)Fk(<p) exp V{<p)] - .-..
Здесь SR(<p) = Sa(<p) + VR(<p) - ренормированное действие исходной мо-
модели, линейные по а вклады включают добавку aF(ip) к базовому дей-
действию и контрчлены от ПР-графов с одним F (которые и превращают
исходные мономы Fi(ip) в соответствующие ренормировалные опера-
операторы A55)), а следующие члены разложения по а в A57) соответствуют
контрчленам от ПР-графов с двумя и более составными операторами F.
Все F{ и ai имеют по одному аргументу ж, интегрирования по ним в A57)
подразумеваются, причем в силу общего свойства локальности контр-
контрчленов все вклады в A57) фактически содержат лишь один интеграл по
х. Для ренормировки "самих F", или, что то же самое, функций Грина с
одним F нужны лишь линейные по а вклады в A57). для ренормировки
функций Грина с двумя F понадобятся дополнительно и квадратичные
по а контрчлены и так далее. Таким образом, для одного. F('~p)
R <F(£)£...£>B = <[F(£R)]R£R...£R> . A58)
Для двух произвольных операторов (локальных мономов) Fi(cp) и F2(ip)
из A57) получаем
R < Fi($)F2($) $. . .$ >в = < [Fi{$k)]k [^2(£r)]r £r-£r > -
A59)
exp V()]\ ? >
и так далее; у всех операторов и отдельных множителей <р подразумева-
подразумеваются независимые аргументы .с. Индексом "в" в левой части равенств
298
Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка
A58), A59) мы напоминаем, что Д-операция действует на диаграммы
функций Грина базовой (не путать с неренормированной) теории.
п.26 Структура операторных контрчленов. Под знаком L
в A55) находится величина
P[F(<p)expV(<p)] = 8H{<p,a)/6a\a=0 ,
A60)
где Н - функционал A48), аргумент х у а и F подразумевается. По
смыслу выражение A60) есть производящий функционал ^-матричных
функций Грина с одним F(ip) и любым числом множителей <р в базовой
теории (т.е. в данном случае <р = <рв), а сами эти функции - коэффи-
коэффициенты разложения функционала A60) по tp. Под знаком контрчленной
операции L в A55) вклад дают лишь 1-неприводимые графики функ-
функционала A60) (согласно B.111), 1-н.часть выражения A60) есть про-
производящий функционал 1-неприводимых функций Грина с одним F и
любым числом полей <р). Поясним вид этих графиков двумя примерами
для ^4-модели:
1-н.ч. Р [<р3(х) exp V(<p)] = <р3{х) + '1<р(х)[графики <р2(х)] +
A62)
Жирной точкой показана вершина составного оператора, ей соответ-
соответствует свободный аргумент х и особый вершинный множитель, для всех
графиков A61),A62) он равен единице. Прочим вершинам и всем ли-
линиям соответствуют стандартные элементы базовой теории, хвостикам
- множители <р, присоединяющиеся непосредственно к вершинам. При-
Приведены все 1-неприводимые графики порядка 1, д и д2 с симметрийными
коэффициентами. Часть графиков A62) получается просто присоедине-
присоединением добавочного хвостика (р к вершине составного оператора в гра-
п.26 Структура операторных контрчленов 299
фиках A61) и утроением коэффициента, в A62) приведены явно лишь
новые диаграммы.
Симметрийные коэффициенты при диаграммах функционала A60)
можно находить, например, с помощью рекуррентной формулы B.26),
используя на промежуточном этапе диаграммную технику типа изло-
изложенной в п.2.2 с вершинными множителями B.21) и их аналогами для
вершины составного оператора F. При использовании соотношения
B-26) в качестве исходной можно взять несвязную диаграмму, состо-
состоящую из изолированных точек, одной из которых сопоставляется мно-
множитель F((p), а всем прочим - V(<p). Ее симметрийный коэффициент
B.23) равен 1/гг!, где п - число вершин V.
Вклад 1-неприводимой диаграммы ~/ с п хвостиками <р в функционал
A60) имеет вид
/ .. .fdxi.. .dxn -)'(x;xi.. .хп) <p(xi) .. .<р(хп) . A63)
При переходе к импульсному представлению будем считать, что в точ-
точках xs из диаграммы вытекают независимые внешние импульсы ps (по
ним симметризация), а в вершину х составного оператора втекает ^ ps.
Аналогом B.56) будет соотношение
г " I
1р{ръ-Рп) = f...fdxi..dxn i(x;xi..xn) ехр г jPp^s -x) . A64)
Величина jp строится прямо по графику согласно обычным правилам
для 1-неприводимых диаграмм 7 (п.2.7), единственное изменение - не-
нестандартный вершинный множитель в вершине составного оператора,
определяемый по виду F.
Вклад в контрчлены A55) дают лишь ПР-графы функционала A60),
которые находятся по размерности (п.23), при этом число хвостиков f в
диаграммах соответствует числу множителей (р в функциях Грина. Та-
Таким образом, ПР-графами являются все диаграммы A61) с 0 и 2 хво-
хвостиками <р (учитывается симметрия <р —>■ — <р) и все диаграммы A62) с
1 и 3 хвостиками (п.23). Контрчленная операция схемы MS определя-
определяется обычным образом (п.10) на функциях A64): действием операции
R! устраняем расходимости ПР-подграфов, умножаем результат на fi~s
(см.C1)) для получения величины с целочисленной размерностью, от-
отбираем в ней операцией C4) полюсную по е часть и домножаем резуль-
результат на fid для восстановления правильной размерности. Полученный
таким путем контр член L-fp будет некоторым полиномом P(pi...pn)
по всем независимым внешним импульсам и т (зависимость от т не
300 Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка
указываем). При переходе от 7? к координатной функции 7 с помо-
помощью обратного преобразования A64) указанный полином переходит в
Р{гдг. -. idn)Y\s $(х, — х) с ds = d/dxs и дает затем при подстановке
в A63) локальный моном Р(—1дг... — idn)<p(xi) . ..<p(xn)\_.., многото-
многоточие обозначает xi = ... = хп = х после выполнения дифференциро-
дифференцирований. Тем самым определяется вклад в контрчлены A55) отдельной
диаграммы функционала A60), затем вклады от всех ПР-графов скла-
складываются с нужными коэффициентами.
Иллюстрируем примерами действие ij'-операции на некоторые диа-
диаграммы A61), A62) (обозначения п.8):
= сама -
Все операции п.8 действуют на коэффициенты при хвостиках f, играю-
играющих в данном случае такую же роль, как внешние линии в 1-неприводи-
мых диаграммах 7, т.е. указывающих лишь места вытекания внешних
импульсов.
Процедура построения операторных контрчленов AF в A55) одно-
однозначно определяет их общую структуру в схеме MS: все контрчлены -
локальные операторные мономы, коэффициенты при них могут содер-
содержать лишь неотрицательные целые степени г и множители ц& с 8 ~ е.
По размерности AF ~ F, поэтому в AF могут входить лишь такие
мономы, которые в логарифмической теории (е = 0) не превосходят
по размерности исходный оператор F. В общем случае в AF содер-
содержатся все мономы, разрешенные по размерности и симметрии. Поясним
примерами для <£>4-модели (d = 4 — 2е, dv = 1 — е, д2 ~ оператор Ла-
Лапласа): А[<р2(х)] = Cl<p2(x)+c2Tfji-2€; A[<p3(x)] = cl<f3{x)+c^Tfi-2slf(x) +
х ip(x)d2(p(x) + с5т2/i~4£, где все с,- - различные безразмерные коэффи-
коэффициенты - суммы выражений типа (98) от всех дающих вклад в данный
коэффициент ПР-графов. Вклад др ■ dip в контрчленах А[<£>4(лг)] отсут-
отсутствует потому, что он выражается алгебраически через уже учтенные
операторы d2ip2(ж) и ip(x)d2<p(x): d2f2(x) = 2[д<р(х)-д(р(х)+(р(х)д2<р(х)].
Обобщение сформулированных правил на другие модели и схемы вы-
п.27 Пример расчета операторных контрчленов
301
читаний очевидно, роль г в коэффициентах могут играть всевозможные
параметры типа масс, а также и Л в схемах с обрезанием. Полино-
миальность контрчленов по г - специфическое свойство примитивных
вычитательных схем типа MS (п.10), для непримитивных вычитаний
типа C2) зависимость от г сложная.
п.27 Пример расчета операторных контрчленов. Для иллюст-
иллюстрации общей техники приведем подробный расчет контрчленов скаляр-
скалярного F = <р2(х) и тензорного F,-a = ц>д{д,ц> локальных операторов в
О„-у>4-модели (по группе Оп оба скаляры, т.е. ц>2 = ipa<pa и анало-
аналогично в Fis) в однопетлевом приближении для Fi, и в двухпетлевом для
<р2. Все контрчлены для оператора (р2 и почти все для у>5,-5,у> можно в
действительности найти другим методом без обращения к диаграммам
(см.п.п.30,32). Но это возможно не для любых операторов, в общем слу-
случае анализ диаграмм необходим, и для его пояснения мы рассмотрим
два указанных оператора в качестве простейших примеров. Приведем
сразу сводную таблицу результатов, пояснения к ней будут даны ниже.
Табл.18. Вклады графиков в контрчлены Оп-скалярных операторов
<р2(х) и (p(x)dids(p(x) в Оп-<р4-модель (дв = дц2€, и =д/1бж2).
No
1
2
3
4
5
6
7
граф 7
О
ОС
4
со
OCX
с7
1
1
2
1
4
1
2
1
4
1
2
1
2
ri
n
ri
Г2
mi
г?
г?
ri
£7 Для F = <р2
TU
- V(*)
0
ти1
£2Яв
- £**(*)
0
Lj для Fi3 = ydidsip
~°" 'л
4£#в
~-4д&] 92{х)
-
-
-
302 Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка
Ренормированный оператор A55) вычисляется по формуле
[F]R = F-Y1 *гг717, A66)
7 -
где Ly - контрчлен отдельной диаграммы 7, с-/ ~ ее симметрийный
коэффициент в функционале A60), г7 - дополнительный структурный
множитель группы О„, который выражается через приведенные в табл-
16 п.20 множители г,-. Сами графики у и коэффициенты с-, для наших
операторов те же, что и в A61), различие между двумя операторами
лишь в вершинных множителях в вершине F: для <р2 этот множитель
равен единице, а для <рдд<р он определяется двумя производными в вер-,
шине и будет приведен ниже.
Для оператора <р~ контрчлен Ly отличен от нуля лишь для графи-
графиков 7 с 0 и 2 хвостиками <р, а для ipddf - с 0, 2 и 4 хвостиками. В
таблице 18 приведены все однопетлевые диаграммы с 0,2,4 хвостиками
и все двухпетлевые с 0,2 хвостиками, первый столбец - порядковый но-
номер диаграммы в таблице, в дальнейшем он используется как индекс
у у. В таблице приведены все нужные для подстановки в A66) вели-
величины, позволяющие найти [9?2]r с двухпетлевой точностью и [<рддф\я
с однопетлевой. Для двухпетлевого расчета [<£><9<9<£>] R потребовалось бы
еще б двухпетлевых диаграмм с четырьмя хвостиками <р, которые не
приведены в табл.18.
Поясним процедуру расчета контрчленов Ly. Для ip2 он несложен:
Ly3,6 = 0 по размерности (для у6 ~ из-за наличия множителя т от под-
подграфа типа (Пб)), коэффициент при <р2(х) в £72,5,7 можно просто взять
из табл.14 в п.20. Контрчлены диаграмм 71,4 пропорциональны г из-за
подграфов типа A16). Их нужно ликвидировать дифференцированием
по г (п.19), что приведет опять к диаграммам табл.14 в п.20, но с не-
недостачей одного множителя — дв, поскольку там был "один на петлю".
Поэтому величина 8TLy — Ьдту (лемма из п. 11) для этих диаграмм
равна соответствующему ответу из табл.14, деленному на множитель
-9в-
Переходим к тензорному оператору <pdids<p, ограничиваясь однопе-
тлевыми диаграммами 7i,2,3- Мы понимаем сейчас под 7 диаграммы
функционала A60), а соответствующую функцию A64) будем обозна-
обозначать через у. Диаграммы у в нашем случае имеют следующую общую
структуру:
ip + fe PJ
п.27 Пример расчета, операторных контрчленов 303
Внешние выводы р\ ■ ■.рп соответствуют хвостикам tp, p = £^р,- - им-
импульс, втекающий в вершину составного оператора, к - циркулирую-
циркулирующий импульс интегрирования. Практически нужно вычислять контр-
контрчлены L'y - полиномы по внешним импульсам и г, порядок полинома
равен размерности d^] при е — 0, для нашего оператора это 4 — nv, где
nv - число хвостиков ip, т.е. внешних выводов pi.. .рц в A67). Три
наших диаграммы 7i,2,3 имеют при е = 0 размерности 4, 2. О, соответ-
соответственно, чем определяется нужная точность разложения по внешним
импульсам при вычислении L-у. Диаграмма 71 от внешних импульсов
не зависит, поэтому L~/i ~ г2, в L~/2 имеются вклады типа г и р2, а
в -L73 ~ только константа. Вычислив контрчлены L~/, искомые опера-
операторные контрчлены Lf с учетом вида и размерностей наших диаграмм
можно затем найти по формулам
j2 = £72
р—гд
■<р2{х) , L-,3 = L%-<p4(x) . A68)
Расчет величин Щ несложен. Нашему оператору <рд%д$<р соответ-
соответствует в диаграммах A67) вершинный множитель v!S = -(?i?«+(?!'?^)/2,
где q = p/2 + к, q' = р/'2 — к, общий минус - от двух множителей i при
замене "9 —>■ г х импульс", а полусумма - необходимая симметризация
дд по двум линиям (п.2.13). После подстановки q и q' в V{s получим
vis = ~PiP,/4- kik$ . A69)
Поэтому для диаграмм 71,3 при нулевых внешних импульсах (см. выше)
и 7э при произвольном р имеем следующие выражения:
In = (-дъГ'ЧОк An(k) (-kiks) ., n = 1,3 , A70)
72 = ~дв fDk А(р/2 + к) А(р/2 - к) vit , A71)
где Vis ~ множитель A69) и везде
Dk = dk/Bn)d , A(q) = (q2 + т)'1 . A72)
При вычислении контрчлена подынтегральное выражение в A71) можно
разлагать по р с точностью до членов порядка р2 включительно. С та-
такой точностью произведение двух А в интеграле A71) можно заменить
выражением
Л2 [1 - р2А/2 + {ркJ А2] , А = А{к) . A73)
304 Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка
Умножив его на вершинный множитель A69) и отбросив ненужные
вклады ~ р4, получим для 72 с нужной точностью выражение
дв jDk {PiPs/4 + kiks[l - р2А/2 + (pkJA2]} A2 ■ A74)
Тензорные интегралы в A70) и A74) сводятся к скалярным с помощью
справочных формул (84). В результате получаются скалярные инте-
интегралы с подынтегральными функциями А2, к4 А4 и к3Ап с п = 1,2,3.
Подстановкой к2 = к2 + т — т они сводятся к линейным комбинациям
интегралов от А™ с п = 0,1,2,3,4. Нас интересуют только полюса
по е, которые имеются лишь в известных из соотношений (87) инте-
интегралах с п = 1,2. В точной схеме следовало бы учитывать и степенные
Л-расходимости в таких интегралах с п = О,1, но в расчетах обычно ис-
используется формальная схема (п.16), в которой все Л-расходимости про-
просто отбрасываются. Обоснование этой процедуры для обычных функ-
функций Грина обсуждалось ранее, а для составных операторов оно сводится
к следующим двум замечаниям: 1) для самосогласованности результа-
результатов вычислительная процедура должна быть единообразной, 2) степен-
степенные Л-расходимости не влияют на критические размерности составных
операторов, вычисление которых и является конечной целью обсуждае-
обсуждаемой сейчас теории ренормировки применительно к нашему кругу задач
(подробнее в гл.4).
Отобрав в полученных выражениях для j полюса по е операцией L
схемы MS (для всех наших графиков R' = Г), найдем величины L^, по
ним из A68) - искомые Lji, результаты приведены в табл.18.
Двухпетлевой расчет контрчленов ipddf довольно сложен техниче-
технически, и мы не будем его приводить. Отметим только, что из-за различия
размерностей <р2 и ipdd<p вид -R'-операции для однотипных по виду гра-
графиков этих двух операторов неодинаков. Например, для
= сама —
A75)
тогда как для <р2 последний вклад в правой части отсутствует.
п.28 Матричная мультипликативная ренормировка се-
семейств операторов. Обозначим через dp для данного оператора F
значение его канонической размерности dF в логарифмической теории,
т.е. при е = 0. По симметрии и по величине dp все локальные мо-
мономы естественно группируются в элементарные наборы, например:
1; (р; (р2; (р3, 82<р; (р4,<р82<р, 32<р2 и так далее для скалярных опера-
операторов у>4-модели (наборы разделены знаком " ; ", а операторы внутри
одного набора - запятой). Контрчлены AF данного монома F состоят
п. 28 Матричная ренормировка семейств операторов 305
из мономов с тем же или меньшим (для <^4-модели - на четное число)
значением dP. Конечное семейство мономов {F{}, смешивающихся при
ренормировке только между собой, будем называть замкнутым. По
определению, такое семейство вместе с любым F{ содержит все мономы,
входящие в его контрчлены AFj. Практически это значит, что оно со-
содержит целиком некоторый элементарный набор с максимальным d^
и все предшествующие с меньшими d* (для <у?4-модели уменьшение на
2,4,...). Для замкнутого семейства соотношение A55) принимает ма-
матричную форму:
[Щ<Р)]* = £* Qik Fk{<p) , где
Qik = Sik - {коэффициент при Fk{f) в LP[Fi(<p)expV(<p)]}.
Именно эта "матрица смешивания" Q вычисляется непосредственно по
диаграммам с составными операторами. Ее элементы зависят от fi и
ренормированных параметров е. Например, для <£>4-модели е — {т.д} и
Qik — Sik + А**т*сц-{д), где Cik - содержащий полюса по е безразмерный
коэффициент, т* - некоторая целая неотрицательная степень г, a fi*
- степень fi с показателем порядка е. Все эти показатели однозначно
определяются по размерностям операторов F: d[fi*T*] = d[F{] — d[Fk]-
Пусть aF в A56) - форма B.104) для нашей системы {Fi}. Пере-
Перепишем формулу A57) для ренормированного действия подробнее, ука-
указывая зависимость от параметров (интегрирование по х в линейных
формах всегда подразумевается):
где многоточие - вклады контрчленов порядка а' и выше.
Исходную модель без aF мы считаем мультипликативно-ренормируе-
мой, т.е. с точностью до вакуумного контрчлена (п.13) для нее SR(f, e,fi)
= S(Zip<p,eo), где S(f,eo) - неренормированное действие, е0 - набор его
затравочных параметров, Z^ - константа ренормировки ноля. Формулу
мультипликативной ренормировки с точностью до членов первого по-
порядка по а можно обобщить и на расширенную модель:
SR((p.a,e,fx) = S(Zv<p, ao,eo) + .-. ■ A78)
Для этого нужно ввести ее неренормированное действие
QiFi{9) , A79)
306 Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка
определив набор затравочных источников ao = {aoi(x)} соотношением
ai(x) Zf , {ao = a Za) A80)
(в скобках - компактная запись) с матрицей констант ренормировки
Kk = Q,-*(Zv)-n* , Z-^Zp , A81)
где Q - матрица смешивания из A76), пк - число множителей <р в мономе
Fk(ifi), и введено обозначение ZP для обратной к Za матрицы (понадо-
(понадобится ниже). Матричные индексы ik у матрицы Zo (и ZP) мы ставим
наверху только из соображений удобства записи.
Из соотношений A76), A80) и A81) вытекает равенство J2i a0iFi(Zv<p
= Yli ai[Fi(<p)]p., которое и доказывает, что функционалы A77) и A79)
действительно связаны соотношением A78).
Из определений A76) и A81) следует, что
F{{Zv<p) = ]Г TFk [Fk(p)]R . A82)
к
Заменой <р —)• ipR = Z ip получим следующий операторный эквивалент
функциональной формулы A82):
^2 A83)
А:
Здесь и далее по определению
F = F{<p)
A84)
где ф - неренормированное поле из A.74), ipR = Ъ^ф - ренормирован-
ное, аргументы х у всех F подразумеваются.
Взаимно-обратные матрицы ZP и Ъа называют матрицами констант
ренормировки операторов F и соответствующих источников а. Само
поле - частный случай системы из одного оператора F(<p) — <р, для него
в A76) Q = 1 (п.24), поэтому из A81) имеем ZF = Zv, как и надо.
Для полных и связных функций Грина из соотношений A83) и A.74)
следует
<Ъ $...$>= TPV J2 Zlk <Ркя $*...?*>, ' A85)
п. 29 Об УФ-конечности некоторых операторов 307
а для 1-неприводимых отсюда (см. п.п.1.18 и 2.13)
Kk < Ък ^н • • • £R >i_H. , A86)
где п - число простых множителей ip, у всех полей и операторов подра-
подразумеваются независимые аргументы х.
Соотношения A78), A80) позволяют включить функциональные ар-
аргументы а в общую схему на равных правах с параметрами е и напи-
написать аналогичные A.110) уравнения РГ для расширенной модели. Все
это будет верным, как и равенство A78), лишь с точностью до чле-
членов первого порядка по а. Но этого вполне достаточно для определения
понятий критических размерностей операторов F и источников а и их
вычисления с помощью стандартной техники РГ (об этом в гл.4).
п. 29 Об УФ-конечности операторов, связанных с ренорми-
рованным действием и сохраняющимися токами. Производящие
функционалы ненормированных полных (G(A)) и связных (И^(Л)) функ-
функций Грина в любой теории (неренормированной, ренормированной, ба-
базовой) определяются общей формулой B.30) с соответствующим дей-
действием, из нее вытекают уравнения Швингера в форме B.94) или B.108).
В универсальных обозначениях (соглашение п. 1.9) запись B.108) при-
пригодна для всех систем, но в этом разделе для большей конкретности
будем указывать дискретные индексы поля явно, полагая <р = {<ра(х)}
и понимая под х уже только пространственные координаты. В таких
обозначениях уравнение Швингера B.108) для ренормированной теории
принимает вид
С uaR(x;<p) > = -Аа(х) , uaR{x;<p) = SSR(<p)/S<pa(x) . A87)
Для однокомпонентного поля индекс а нужно опустить.
Мы будем также использовать соотношение B.127) при х' — х и его
следствия B.128) и B.129). В эти формулы входит функция 6(х' — x) или
ее производные при х' = х. Такие объекты соответствуют чисто степен-
степенным по Л расходимостям, которые мы условились (п. 16) отбрасывать.
Правило: при вычислениях в формальной схеме размерной регуляри-
регуляризации с отбрасыванием степенных по А расходимостей все вклады с
координатными 6@) отбрасываются. С учетом этого соглашения со-
соотношение B.127) при х' = х для ренормированной теории принимает
вид
« uaB.{x\ip)ipb{x) > = -Аа{х) SWR{A)/6Ab(x) , A88)
а из B.128) с учетом определения B.122) получаем
« uaR(x; ip) ТаЬ<рь{х) > = -Аа(х) ТаЬ SWR(A)/6Ab(x) .. A89)
308 Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка
где Таь ~ произвольные (не зависящие от <р) линейные операции на по-
полях. Если это генераторы Т"ь какой-либо группы точной симметрии
ренормированного действия (п.2.15), то равенство A89) переходит в ло-
локальные тождества Уорда B.129):
« diJ?R{x; <р) » = Aa(x) Т?ь 8WR(A)/SAb(x) , A90)
где J?R - канонические нетеровские токи для ренормированного дей-
действия (п.2.15).
Повторяя дословно вывод соотношения B.127) для ренормированной
теории с заменой предэкспоненты <рь(х) произвольным ренормирован-
ным оператором [F(x;ip)]R, получим следующее обобщение равенства
A88):
<uaR(x;<p)[F(x;<p)]R^> = -Aa(x) « [F(x;<p)]R » . A91)
Наконец, еще одну серию полезных соотношений можно получить
дифференцированием равенства B.30) для ренормированной теории по
любому ее числовому параметру Л, что даст (обозначения B.107)):
« d\[SR{<p) +lncR] > = дх WR(A) , A92)
где cR - нормировочный множитель в B.30) для ренормированной тео-
теории. Например, для Оп-^>4-модели из соотношений B.5) и B.16) имеем
где V = / dx - бесконечный объем системы, множитель п появился при
взятии следа по индексам поля в B.5).
Все приведенные соотношения можно было бы написать для любой
теории - неренормированой, ренормированной или базовой. Мы напи-
написали их для ренормированной теории, тогда Wr(j4) есть УФ-конечный
ренормированный функционал, а символ <С • • • 2> обозначает усред-
усреднение B.107а) с S = SR в показателе. Как пояснялось в п.24, УФ-
конечность такого функционала << F(p) ^> эквивалентна УФ-конеч-
УФ-конечности составного оператора F(ip). В нашем случае она гарантирована
УФ-конечностью правых частей всех равенств A87)—A92), вытекающей
из УФ-конечности функционала И^а(А) (применяемые к нему в правых
частях соотношений A88)—A90) и A92) операции не нарушают УФ-
конечности, если Л в A92) - любой из УФ-конечных параметров ре-
ренормированной теории, а Таь в A89) - любая не зависящая от <р УФ-
конечная линейная операция). Отсюда следует, что все стоящие под
п. 29 Об УФ-конечности некоторых операторов 309
знаком <С • • • 3> в левых частях этих равенств составные операторы
УФ-конечны.1
В дальнейшем будем говорить конкретно о схеме MS, в которой раз-
разделение на УФ-конечную и бесконечную части однозначно (бесконечная
содержит только полюса по г, конечная - все неполюсные вклады), а
все контрчлены, в том числе н операторные в A55), состоят только из
УФ-расходящихся вкладов. Поэтому можно утверждать, что в схеме
MS всякий УФ-конечный оператор совпадает со своей иУФ-конечной
частью", получаемой отбрасыванием всех УФ-расходящихся вкладов.
Функционал uaR = 8SR/Stpa есть линейная комбинация неренормирован-
ных локальных мономов. Ясно, что его УФ-конечная часть получается,
во-первых, отбрасыванием всех контрчленных вкладов действия SR, во-
вторых, заменой неренормированных локальных мономов ренормиро-
ванными. Первая операция приводит к замене uaR —> иав = SSb/S<Pu;
где 5В - базовое действие, а вторая - к замене ыов —>■ [ыОв]а- Поэтому
из УФ-конечности всех величин в A87) следует
uaR(x;<p) = SSR(f)/Sfa{x) - [иав{х; <f)]R ■ A94)
Аналогично из УФ-конечности выражений A88)—A91) вытекают равен-
равенства
иав.(х;<р)<рь(х) = [uaB(x-<p)ipb(x)]R , A95)
uaR(x;<p) ТаЬ<рь(х) - [uaB(x;<p)Tab(pb{x)]R , A96)
dtJ?n(x;<p) = ШГв(х\<р)]* , A97)
uaR(x;<p)[F(x;v)]R = [uaB(x;<fi)F(x;^)]R , A98)
где J"B - рассматриваемый сохраняющийся ток (п.2.15) для базовой те-
теории, Таь - в A96) - любая не зависящая от <р УФ-конечная линейная
операция, a F(x; <p) в A98) - любой локальный моном.
Роль Л в A92) может играть ц или любой из ренормированных па-
параметров е. Утверждение об УФ-конечности объекта под знаком
<С ^> справедливо для любого из этих параметров, но простые след-
следствия типа A94) можно получить лишь для Л ф ц. Дело в том, что
fi всегда входит в виде //, поэтому при дифференцировании по fi по-
появляется множитель е, из-за этого в УФ-конечные части дают вклад и
контрчлены с полюсами первого порядка по г. Для прочих параметров
5В квантовой теории поля при замене <р —¥ vr b "or(i; v) получается не просто
УФ-конечный, а равный нулю составной оператор. Правые части равенств A87) —
A90) отличны от нуля только потому, что речь идет о виковских, а не о дайсоновских
функциях Грина (см. примечание в п.2.13).
310 Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка
А = е множители г при дифференцировании не возникают. Поэтому,
как и выше, УФ-к.ч. [<9e£R(<£>)j = [де3в{<р)]к; а из соотношения A92) с
Л = е следует, что deSR((p)+de hcR = "УФ-к.ч. того же" = [deSB{p)]R+
УФ-к.ч.деЫск, где "УФ-к.ч." обозначает "УФ-конечную часть". Со-
Сократив в этом равенстве вклад УФ-к.ч. де lncR. для любого Л = е (но
не fi) получим
Сказанное выше относительно дц поясняет, что справедливое для
любого монома F(x;tp) равенство A98) обобщается на полиномы лишь
в том случае, когда они не имеют множителей е в коэффициентах.
п.ЗО 0„-<£>4-модель: ренормировка скалярных операторов с
dp = 2,3,4. Общие соотношения п.29 иногда позволяют находить опера-
операторные контрчлены без расчета диаграмм с составными операторами.
Ответы тогда выражаются через считающиеся известными константы
ренормировки действия. В качестве примера рассмотрим ренормировку
в Оп-у74-модели системы скалярных операторов, содержащих мономы
(р2(х), <р3(х) и ц>А(х). Аргумент х в дальнейшем опускаем, а по группе
Оп все четные формы считаем скалярами (т.е. <р2 =Е <рп<Ра, У4 — (<р2J и
т.п.), а нечетные - векторами (т.е. <р = <ра, <р3 = Pap2 и т.п.). Базовое
действие модели имеет вид B2), а ренормированное - A05).
При изучении ренормировки каждый из рассматриваемых мономов
нужно сначала дополнить до замкнутой (п.28) системы F = {Fi}. В на-
нашем случае это будут системы {1, <р2}, {<р, 82<р, <р3} и {1, ip2. d2f~, <pdJ<p,
<£>4}. В каждой из них будем нумеровать операторы в порядке следова-
следования, т.е. Fi — 1, F2 = <p2 в первой системе и аналогично в остальных.
Полные сведения о ренормировке системы F содержатся в матрице Q из
A76), по ней из соотношений A81) находятся матрицы Zo и ZF. Все они
обычно треугольны или блочно-треугольны, так как при ренормировке
мономы младшей размерности могут примешиваться к старшим, но не
наоборот.
Из соотношений A76) следует, что знание в явной форме опера-
оператора [Fi(ip)]K эквивалентно определению строки "Г матрицы Q. Если
[Fi(</?)]R = Fi(ip), то соответствующая строка Q тривиальна: единица
на диагонали, прочие - нули. В нашем случае так будет для операторов
1, f и д2<р (напомним, что [8F(tp)]R = d[F(<p)]R).
Рассмотрим систему F = {1, <р2} с 2 х 2 матрицей Q. Ее пер-
первая строка тривиальна (см. выше), для определения второй восполь-
воспользуемся соотношением A99) с е = т. Из (Ю5) находим 2<9rS'R(^) =
/ dx[—Z2<p2(x) + 2g~ 1rZo], второе слагаемое - вклад вакуумного контр-
п.30 On-<р4-модель: ренормировка операторов с d* = 2,3,4 311
члена (Юб). Далее, из A93) имеем 2дтЫск = nfdxA(x,x), где А(х,х)
~ закороченный базовый пропагатор, т.е. выражение (87а). В соотно-
соотношение A99) входит его расходящаяся часть, которая отбирается контр-
контрчленной операцией C1) схемы MS и оказывается равной — т/л,~2£ /16ж2е =
—ru/egB с обычными и = g/Шж2, дв = дц2е. Подстановка получен-
полученных выражений в A99) приводит к равенству f dx[Z2<p2{x) —'2д~1тЪ0 +
пти/едв] = / dx[(p2{x)]K. В рассматриваемой системе нет операторов
вида 8F, вклады которых исчезают при интегрировании по х. Поэтому
в данном случае из равенства интегралов вытекает равенство подынте-
подынтегральных выражений, а именно:
[<P2{x)]r = Z,<p2(x) - 2g-1rZ0 , Zo = Zo - nu/2s . B00)
Тем самым (см. выше) определяется вторая строка матрицы Q: Qi\ =
—2д% 1rZ0, Q22 = Zo. По известной Q из соотношения A81) находятся
взаимно-обратные матрицы Za = Z~l, а именно, Z*1 = 1, Ъ12 = 0, Z21 =
Qn, %а~ = Qi2^p"■ При учете связей (ПО) получаем Za~ = ZaZ~' =
ZT, что естественно, так как в базовое действие расширенной (п.23)
модели источник а(аг) составного оператора <р2(х) входит в комбинации
а(х) — т/2. В безмассовой модели оператор F — ^{х) ренормируется
мультипликативно с ZP = Z~l = Z~l.
Переходим к системе F = {<£>, д2р,<р3}. Первая и вторая строки со-
соответствующей 3x3 матрицы Q тривиальны (см. выше), для опреде-
определения третьей воспользуемся соотношением A94). Подставляя в него
получаемые из B2) и A05) выражения для вариационных производных
и = 8S/8tp, имеем Z1d2f - rZ2<f - дв1з<р3/б = [d2f]R - r[<p]R - дв[<р3]п/6,
откуда с учетом равенств [<p]R = p., [d2<p]R = 82<р находим [^3]R =
^зр3 + 6t^^(Z2 — \)<p-\-?>g~l[\ — Zi)d2<p. Тем самым определена третья
строка матрицы Q: Q31 = 6rg-1{Z2 - 1), Q32 = б^в Н1 ~ zi). <2зз = Z3.
По известной матрице Q из A81) находим все ненулевые матричные эле-
менты Za: Z\l = Zf = Z-\ Zf - QsiZ, Zf = Q32Z;\ Zf = Q33Z'3
(напомним, что Zi = Z^ согласно A10)).
Переходим к системе F = {I,tp2.d2<p2,<pd2tp,<p4}. Первая строка со-
соответствующей 5x5 матрицы Q тривиальна, вторая и третья известны
из соотношения B00) и равенства [92</?2]н = <92[</?2]R. Для определения
четвертой и пятой строки воспользуемся соотношениями A95) и A99)
с е = д. В нашем случае равенство A95) принимает вид Znpd2f —
rZ2<p2 - gBZ3<p4/6 = [p'd2tp]K - т[<р2)к - gB[f4]R/6. Выразив ренорми-
рованные операторы в правой части с помощью соотношения A76) че-
через неренормированные и приравняв коэффициенты при каждом из них
(все они независимы) в обеих частях равенства, получим следующую
312 Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка
систему соотношений
Яаг - rQ2i - gsQ5i/6 = с,- , i = 1,..., 5 , B01)
в которой с,- - известные коэффициенты при Fi(<f>) в левой части: с\ =
0, с2 = -rZ2, сз =0, с4 = Zi, c5 = -gBZ3/6. Величины <3з; в B01)
также известны, поэтому равенство B01) для каждого i есть одно урав-
уравнение на две неизвестных Qm и Q$i. Для получения второго урав-
уравнения воспользуемся соотношением A99) се = д. Константа A93)
от д не зависит, поэтому равенство A99) для действия A05) при-
принимает вид dgfdx{Z0T2/2gB + Z1<pd2<p/2 - rZ2<£>2/2 - gBZz^ J24} =
[dg J dx(-gBip4/24)]R = -fi2e / dx[(p4]R/24, где учтено, что под знаком
интеграла (д(рJ = —(рд2<р. Подчеркнем, что в A99) операция [.. .]R в
правой части выполняется после дд (при обратном порядке действий
дд действовала бы и на зависящие от д контрчлены оператора, у нас
этого нет). В полученном равенстве можно, как и выше, выразить с
помощью A76) ренормированные операторы через неренормированные
и затем приравнять коэффициенты при последних в обеих частях ра-
равенства. Отличие лишь в том, что под знаком интеграла по з: исчезает
вклад оператора F3 = 82<р2, поэтому никакой информации о коэффици-
коэффициентах при нем получить нельзя. Для всех прочих г■ ф 3 из приведенного
выше соотношения получим
-^ Q5i/24 = с'{, гфЪ, B02)
где с\ - известные коэффициенты при Fi(ip) в подынтегральном вы-
выражении в левой части: с\ = fi~2eT2dg(Z0/2g), с'2 = —r93Z2/2, c'4 =
dgZi/2, Cg = —fi2-dg(gZ3)/24. Поэтому из B02) сразу находятся все эле-
элементы Q5i с г ф 3, а затем из B01) - элементы Qa с г ф 3. Для Q43 и
<5бЗ есть лишь одна связь из B01), но нет второго уравнения. Поэтому
для полного определения матрипы Q один из этих двух элементов необ-
необходимо вычислять явно по безмассовым диаграммам составного опера-
оператора F4 или F5, интересуясь при этом лишь примесью F3 в контрчленах.
По графикам видно, что в первом порядке по д к оператору F5 не может
примешиваться F3, т.е. разложение Q53 начинается, как минимум, с д~,
Соотношения п.29 полезны и при анализе ренормировки операторов
высших размерностей. Например, для системы с р6 можно получить
информацию из уравнения A98) с F(<p) = <р3 и из A96) с операцией
Tab = $abd~.
п.31 Ренормировка сохраняющихся токов. Если регуляризован-
ная базовая теории обладает некоторой точной симметрией и последняя
п.31 Ренормировка сохраняющихся токов 313
не нарушается контрчленами (п. 13), то для соответствующих сохра-
сохраняющихся канонических нетеровских токов (п.2.15) справедливо соот-
соотношение A97), которое иногда формулируют как утверждение об от-
отсутствии ренормировки дивергенций сохраняющихся токов. Для самих
токов из A97) следует
J?R(x;<p) = [J?B{x;<p)]R + J?{x;<p), 5,-jf = 0, B03)
где Ji (х; :р) - некоторые поперечные на любых <р (а не только на клас-
классических решениях) составные операторы с той же симметрией и раз-
размерностью, как у токов. Чисто поперечные добавки не дают вклада в
тождества У орда B.129), поэтому в ренормированной теории в прин-
принципе всегда возможно использовать в качестве сохраняющихся токов
УФ-конечные величины [J/^]r вместо канонических J"K. Но сейчас мы
обсуждаем свойства последних.
Явный вид добавки Ji для любого конкретного тока можно найти,
проанализировав ренормировку всех входящих в него локальных моно-
мономов. Иногда можно сразу сказать, что добавки с нужными свойствами
не существует, и тогда в B03) 7* = 0. Так будет, например, для тока
B.120), соответствующего 0га-вращениям в базовой О п-<р4-модели. Ток
Jfpf для ренормированного действия A05) отличается от базового B.120)
лишь дополнительным множителем Z\. Никакого другого поперечного
по индексу г и антисимметричного по ab оператора с размерностью тока
построить нельзя. Поэтому данный ток ренормируется мультиплика-
мультипликативно (не с чем смешиваться), и из УФ-конечности его дивергенции
вытекает УФ-конечность самого тока, т.е.
j£ = ZiiVadm - <Pbdi(pa) = [<Padi<Pb ~ VbdiVaU = [J?b*]r - B04)
Обозначив базовый ток B.120) через F(<p), из B04) заключаем, что дан-
данный оператор ренормируется мультипликативно с Q = Ъ\ в A76). По-
Поэтому из определений A81) с учетом (ПО) имеем Zo = Ъ~у = QZ~2 = 1,
т.е. F — ZFFR с ZF = 1 в обозначениях A83), A84). Именно это равен-
равенство ZP — 1 имеют в виду, когда говорят, что данный сохраняющийся
ток "не ренормируется".
В качестве второго примера рассмотрим канонический тензор энергии-
импульса в той же модели. Для него из A97) следует
+ с (d'2Sik - didk)<p2 + c'5ik , B05)
добавка - общий вид поперечного по индексу г составного оператора с
314 Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка
нужной размерностью и симметрией, сие' — неизвестные коэффици-
коэффициенты. Из определения B.119) для базового действия B2) имеем
3/2+ т<р2/2+ дв<р4/24] B06)
(по группе Оп все вклады скаляры), а для ренормированного A05)
B07)
2^2/2+gBZ3<pA/24-r2Z0/2gB} ,
последнее слагаемое - вклад вакуумного контрчлена A06), отнесенный
к единице объема. Из соотношения B05) можно получить информацию
о ренормировке входящих в B06) тензорных локальных мономов.
п.32 Ренормировка тензорных операторов с d* = 4 в Оп-<рА-
модели. Интересующая нас сейчас система состоит из семи опера-
операторов: пяти рассмотренных в п.ЗО скаляров 1, <р2, д2<р2, <рд'2<р, <р4 с
коэффициентом 5ik и двух новых д{дк<р2 и рд{дк<р- Обозначим домно-
женные на 8це старые операторы, как и раньше, через Fi_5, а в качестве
двух независимых новых возьмем поперечный Fe = {Sikd2 — didk)<p2 и
F-j = (pdidkp- Все мономы в B06) можно выразить с помощью соотно-
соотношений Ьцр ■ дк<р = didk<p2/2 — (pdidk'P, {д<рJ = д2<р2/'2 — <рд2<р через вве-
введенные выше операторы: tf*B = F7+F6/2—F4/2—F3/4:-+TF2/2+gBF5/24.
Представив в такой же форме оператор B07) и подставив все в соотно-
соотношение B05), получим: Z1(FT+Fs/2-F4/2-F3/4)-+TZ2F2/2+gBZ3F5/24-
T2Z0F1/2gB = [F7 + F6/2 - F4/2 - F3/4 + tF2/2 + gBF5/24]R + const • Fs +
const • Fi с неизвестными коэффициентами при Fi^ в правой части.
Выразив, как обычно, ренормированные операторы [F;]R в правой ча-
части равенства через неренормированные с помощью соотношений A76)
и приравняв коэффициенты при неренормированных Fi с г ф 1, б (коэф-
(коэффициенты при ¥\<ъ в B05) остаются неопределенными) в обеих частях
равенства, получим
с" = Q7i + Qei/2-Q4i/2-Q3i/4 + TQ2i/2 + gBQ-oi/241 i^l,6, B08)
где с'- - известные коэффициенты при F; в левой части: с" = rZ2/2, c3' =
-Zi/4, c'i = -Zi/2, 4 = 5bZ3/24: c'i = Zl
Матрица Q в A76) для нашей системы имеет следующий вид (от-
(отличные от нуля известные элементы отмечаем крестиком, неизвестные
-знаком ■'?"):
п. 32 Ренормировка тензорных операторов с d* = 4
315
Q =
1
X
X
0
X
X
0
7
•1
0
X
0
X
X
0
X
3
0
0
X
7
?
0
4
0
0
0
X
X
0
X
0
0
0
0
X
X
0
X
6
0
0
0
0
0
X
о
7
0
0
0
0
0
0
X
B09)
Первый блок 5x5 совпадает с обсуждавшейся в п.30 матрицей для
системы с </?4, шестая строка однозначно определяется ренормировкой
V?2 в B00) (т.е. Q66 = Ъ-2, прочие нули), элементы Qji с г = 2,4,5,7
находятся из B08), в частности, Q-j-j = Ъу. Для Q7i и Qt6 из B08) не
получается никакой информации, a Q73 выражается через Q43 и Q53-
Для этих трех элементов из соотношений B08) и B01) имеем две связи,
так что для полного определения матрицы Q вычислять по диаграммам
нужно один из этих трех элементов, а также Q-ц и Qje-
Контрчлены F7 вычислялись в однопетлевом приближении в каче-
качестве примера в п.27. Из соотношений A66) и A76) по данным табл.18
в п.27 в однопетлевом приближении находим Q71 = пт2и/Аедв., Q73 =
(ra + 2)u/24£, Qia = —(n + '2)u/\8s. Отметим, что из соотношений B01)
и B08) с Q33 = Z2 имеем Q73 = (Z2 - Zi)/4 + 5в<25з/24, что с учетом
Q53 = О(д2) (п.30) позволяет найти вклады порядка д и д2 в Q73 без
расчета диаграмм.
Ввиду блочной треугольное™ матрицы B09) связанные с операто-
операторами ^6,7 критические размерности будут определяться (гл.4) диаго-
диагональными элементами Qee = Z2, и Q77 = Ъ\ (см. выше), для которых
из A81) и (ПО) получаем Zf = Z2Z~2 = Zr и Z7a7 = Q77Z;2 = 1.
Приведенными примерами мы и ограничимся, закончив на этом об-
обсуждение техники ренормировки составных операторов.
п.ЗЗ Операторное разложение Вильсона для малых расстоя-
расстояний. Операторное разложение (=SDE от Short Distance Expansion) -
метод исследования асимптотики £ —>■ 0 для операторов вида
B10)
а в общем случае - для произведения любого числа ренормированных
составных операторов с различными аргументами х, = х + £,• при £ =
{£;} —> 0. В теории критического поведения знание этой асимптотики
дает, в частности, важную дополнительную информацию о поведении
316 Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка
скейлинговых функций, недоступную в обычных рамках е-разложений
(гл.4).
При постановке задачи прежде всего фиксируется желаемая точность
определения асимптотики, т.е. максимальная степень £л учитывае-
учитываемых в ней членов. Все вклады порядка £п с п < N будем называть
^-существенными, а с п > N ~ ^-несущественными. Подчеркнем, что
речь идет лишь о целых степенях £. Дополнительные множители типа
(fi^Y в размерной регуляризации (логарифмы при е = 0) считаются ве-
величинами порядка единицы и должны везде учитываться точно. Усло-
Условию (ц£)е = 1 соответствует формально ц£, ~^> 1, е <С 1, т.е. это область
критического скейлинга (п. 1.35) в рамках е-разложения, а малость £
лишь относительна: г£2 <С 1, р£ <^ 1, где р - любые импульсы, сопря-
сопряженные с отличными от £ координатами в функциях Грина с операто-
оператором типа B10). Для самого оператора в координатном представлении
формально следует считать д£ <С 1 для д = д/дх.
Общие правила будем иллюстрировать на примере оператора B10)
в простой ^4-модели (п = 1) с d = 4 — 2е и схемой MS, исследуя его
асимптотику с точностью до членов £2 включительно, чтобы не огра-
ограничиваться лишь низшим порядком £° = 1. От операторной записи
перейдем в дальнейшем к функциональной (п.2.13), введя
Г^=ф + 0ф-0 ■ B11)
При возвращении К операторам <р —> <рк, что соответствует переносу
функциональных равенств под знак « ... » с S = SR в определении
B.107а).
Переходим к изложению решения поставленной задачи. В общем
случае исходный оператор F% можно разложить в ряд Тэйлора по £,
написав
Ff = Щ + Of , B12)
где Н% ~ начальный отрезок ряда, содержащий все ^-существенные
вклады (длина этого отрезка определяется задаваемой произвольно "точ-
"точностью" tN), - некоторая линейная комбинация неренормированных ло-
локальных мономов, аО{ - остаток ряда. В нашем примере (оператор
B11), точность £2), перемножив ряды <р{х ±£) = [1 ± (£д) + (£9J/2 +
+ .. .]<р(х) и воспользовавшись соотношением д<рдр = дд<р2/2 — <рдд<р,
получим
Щ = [1 - №2№ ?2{х) + Ж <р(х)ддф) . B13)
У символов £ и д = д/дх подразумеваются попарно сворачивающи-
сворачивающиеся векторные индексы, в подробной записи Н^ = <р2 + £i£s [
п. 33 Операторное разложение для малых расстояний 317
dids tp2/2]~ линейная комбинация скалярного <р2 и тензорных дд(р2, <рдд--р
локальных мономов.
Диаграммные представления функционала A60) для всех трех опе-
операторов в B13) одинаковы и совпадают с представлением F% с £ = 0, раз-
различие лишь в вершинных множителях v составного оператора. В нашем
примере B11) это будут диаграммы A61), вершинный множитель v[F^}
при выборе A67) конфигурации импульсов определяется выражением
ехр[г(р/2 + к)(х + £) + i(p/2 - к)(х — £)] = ехр(г'рлг)ехрBг&;). Первая экс-
экспонента стандартная и при переходе к импульсному представлению ис-
исчезает, вторая есть искомый вершинный множитель v[F^\ = expBifc£),
первые члены его ряда по £ составляют i>[J7f-], а остаток - ^[0?]- При
нашей точности
= expB«lfc£) - 1 - 2«'Jfc£ - {2ik(f/2 . B14)
Все расчеты, как обычно, выполняются в импульсном представлении,
в окончательных ответах внешние импульсы переходят в символы id
локальных операторов (п.26). Во избежание недоразумений еще раз ска-
скажем, что приведенные выше v[. ■.] являются вершинными множителями
операторов из B12) для диаграмм в импульсном представлении с кон-
конфигурацией A67). Координатная переменная £ входит в эти вершинные
множители в качестве параметра.
На первый взгляд кажется, что искомая асимптотика дается про-
просто оператором Н^ в B12). Но в действительности это неверно из-за
УФ-расходимостей: при £ ф 0 оператор F^ в левой части B12) УФ-
конечен. но оба слагаемых в правой части имеют расходимости (они
есть в Н{, так как это линейная комбинация локальных мономов, по-
поэтому они должны быть ивО{ для компенсации). Расчеты показы-
показывают (п.34), что из-за УФ-расходимостей в функциях Грина оператора
0% есть ^-существенные вклады, хотя формально О? состоит только из
^-несущественных членов ряда Тэйлора. Отметим (и это важно), что
всюду в дальнейшем О^ рассматривается не как бесконечная сумма, а
как единое выражение, - остаток ряда, и это согласуется с формой за-
записи его вершинного множителя B14).
Согласно гипотезе Вильсона [91], впоследствии строго обоснованной
[92], искомая асимптотика дается вместо B12) соотношением
Щ = Y1 £•■(£. е.Р) №(*;?)]* . B15)
где Ос - некоторый УФ-конечный и ^-несущественный остаточный член,
а Н? - нужный отрезок операторного разложения - линейная комбина-
318 Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка
пия ренормированных локальных мономов с не зависящими от х УФ-
конечными коэффициентами Вильсона Bi(£,e,fi) = 5,(£,#, г,/л), содер-
содержащими только £-существенные вклады (тогда представление B15) од-
однозначно). Набор операторов F,- в B15) определяется по простому пра-
правилу: это минимальная конечная замкнутая система (п.28), содержа-
содержащая все локальные мономы из Не. Количество операторов в системе
{Fi} увеличивается с ростом заказываемой точности за счет последо-
последовательного присоединения операторов с нарастающими каноническими
размерностями. Например, для оператора B13)
{Fi} = { 1, <р\ 5V. --РЬ\, р\ dd<p\ tfdv } , B16)
где 3d - тензорные объекты (индексы подразумеваются), а 82 -оператор
Лапласа. Операторы с d^ = 4 вошли в систему B16) только потому, что
мы решили интересоваться также и поправочными вкладами порядка
£2. Если бы нас интересовали только ведущие вклады порядка единицы
(и ~ £~2 в константе), то в Н% следовало бы ограничиться вкладом
ip2(x), а в системе B16) - двумя первыми мономами.
Приведем для ясности и операторную форму записи соотношения
B15) для нашего примера B10):
*-Z) = Z) Bi^,e,fi)FiR(x) + 6^ , B17)
где е — д,г, точный смысл символов типа FR указан в A84).
Представление B15) обосновывается методами теории ренормировки.
Ренормированные операторы [H^]R и [0%]R определяются общим соотно-
соотношением A55), роль L для Н^ играет основная контрчленная операция,
принятая при ренормировке локальных мономов (у нас MS), а для О^ -
некоторая новая операция L = L^. Она определяется так (точнее ниже),
чтобы обеспечить ^-несущественность и одновременно УФ-конечность
ренормированного оператора [O^]r, который и будет играть роль О| в
B15).
Формальный вывод представления B15) прост: из определения A55)
имеем Щ = [Н^]к + LP[H^ ехр V], Ое = [O?]R + L?P[O?exp V], подста-
подстановкой этих выражений в B12) получим представление типа B15) с
О\ = [Of]R и
Щ = [Я?]а+1Р[Я?ехр7]+Х?Р[О?ехр7] = ^ Bi[Fi{*;<p)]R. B18)
я. 33 Операторное разложение для малых расстояний 319
При должном выборе L{ оператор B18) и будет искомым отрезком раз-
разложения Вильсона, что и отражено вторым равенством в B18), в кото-
котором опушены аргументы коэффициентов В.
Самое главное - построение нужной операции Ь$. Она определя-
определяется как операция на 1-неприводимых графах и подграфах 7 оператора
0£ (т.е. функционала A60) с F = 0%) следующим образом: если ■) -
подграф, не содержащий вершину 0$, то для него L^ = L - основная
контрчленная операция (у нас MS); если же ■) - граф или подграф с вер-
вершиной 0%, то для него L{ = K^R'', где К^ - операция вычитания всех
^-существенных вкладов, т.е.
K-Z /(£> • • •) = ^-существенная часть /(£,...) B19)
(многоточие - прочие аргументы). Это определение - частный случай
C1), поскольку введенная операция коммутирует с множителями //.
По построению, соответствующая (данной L^) Л-операция осуще-
осуществляет вычитания из графиков с 0% всех ^-существенных вкладов,
обеспечивая тем самым £гнесущественность ренормированного опера-
оператора [O^]r- При этом его контрчлены, как и контрчлены Н^, поэтому и
весь оператор B18) состоят только из ^-существенных вкладов. Отме-
Отметим, что эти свойства определяют К% однозначно.
Для введенной операции L% справедливы следующие утверждения:
1) Одновременно с вычитанием всех ^-существенных вкладов проис-
происходит вычитание УФ-расходимостей, т.е. [O^]R УФ-конечен.
2) L{7 / С Для тех и только тех графов и подграфов 7, которые
являются ПР-графами (п.26) хотя бы для одного оператора в Н^ (прак-
(практически определяются по моному старшей размерности).
3) Если в качестве основной используется примитивная вычитатель-
ная операция типа MS (п. 10), то для любого графа или подграфа с вер-
вершиной 0$ контрчлен £^7 = K^R'f - полином по р, т (внешним импуль-
импульсам и внутренним массам), являющийся начальным отрезком нужной
длины тэилоровского разложения в нуле по совокупности р, т функции
/ = R'-/. Полиномиальность контрчленов по т (но не по р) нарушается,
если в качестве основной используется непримитивная вычитательная
операция типа C2). Следствие: если основная операция примитивна (в
частности, MS), то А'^ из B19) можно также определять как операцию
отбора начального отрезка нужной длины тэилоровского разложения в
нуле по совокупности р, т.
Поясним кратко сформулированные выше утверждения. Первое из
них почти очевидно: если А — В + С - сумма выражений, однозначно
320 Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка
различимых по какому-нибудь признаку, то из УФ-конечности А выте-
вытекает УФ-конечность В и С по отдельности. В нашем случае А = F% УФ-
конечен, В = НТ содержит только ^-существенные вклады, а С — О| -
только ^-несущественные. Ясно, что В и С не могут иметь взаимно ком-
компенсирующиеся УФ-расходимости, поскольку компенсация невозможна
из-за различия поведения по £.
Второе утверждение также понятно: ^-существенные вклады в 0$
появляются только из-за УФ-расходимостей, а те, в свою очередь, поро-
порождаются только вычитаемыми членами в вершине B14), т.е. они такие
же, как в Н^. Поэтому £-существенные вклады порождаются лишь теми
7, которые являются ПР-графами хотя бы для одного операторного мо-
монома в Н^.
Теперь об утверждении 3. Оно легко доказывается для однопетле-
однопетлевых диаграмм -у с вершиной 0%: их ^-существенные части K^i = L^j
отличны от нуля лишь при наличии УФ-расходимостей. поэтому исче-
исчезают вместе с ними в производных по р, г достаточно высокого порядка,
следовательно, являются полиномами Р(р,т) со структурой E). Эти
примитивные расходимости, а с ними и все ^-существенные вклады
целиком содержатся (п.З) в начальном отрезке нужной длины тэйло-
ровского разложения по совокупности р, т при любом выборе точки раз-
разложения р*, г», если нужные первые коэффициенты разложения суще-
существуют. Последнее условие для обычных диаграмм запрещало выбор
р„ = г* = О вследствие ИК-расходимостей (п.З). Теперь это становится
возможным, так как вершинные множители типа B14) оператора 0%
имеют нуль достаточно высокого порядка по импульсу интегрирования
к: в общем случае у[О$] ~ kN+1, где N - "заказываемая точность" (у
нас в B14) N = 2). Это ослабляет ИК-сингулярности в интегралах по
к ровно на столько, сколько требуется для существования нужных пер-
первых коэффициентов разложения в нуле по совокупности р, г, следующие
коэффициенты уже не существуют.
Выбор р» = г» = 0 выделен среди прочих отсутствием дополнитель-
дополнительных размерных параметров. Коэффициенты полинома Р(р, т) в этом
случае - степени £, все они ^-существенны по размерности, т.е. в этом
полиноме нет никаких ^-несущественных вкладов, так что он действи-
действительно является ^-существенной частью 7- При любом другом выборе
точки разложения сооответствующии полином будет содержать всю £-
существенную часть, но не совпадать с ней из-за присутствия добавоч-
добавочных ^-несущественных вкладов.
Мы доказали примитивность £.£ на однопетлевых диаграммах 7 и
возможность интерпретации L^-f как начального отрезка нужной длины
п.34 Однопетлевой расчет коэффициентов Вильсона. 321
тэйлоровского разложения в нуле по совокупности р, г, причем главное
здесь - сам факт существования нужных первых коэффициентов такого
разложения. При переходе к многопетлевым диаграммам составной ча-
частью L(_ является основная контрчленная операция L на подграфах без
вершины 0$, поэтому для примитивности L(_ в целом необходима при-
примитивность L. Смысл утверждения 3 в том, что этого и достаточно, т.е.
в этом случае контрчлены L^-f любых многопетлевых диаграмм обла-
обладают такими же свойствами, как однопетлевые. Это аналог основного
утверждения 2 в п.12. Опуская, как обычно, общее доказательство, мы
приведем конкретный расчет коэффициентов Вильсона для оператора
B11) с выбранной точностью (£2) в однопетлевом приближении (п.34)
и дополнительные пояснения (п.35).
В заключение отметим, что операторное разложение (SDE) часто
записывают в виде бесконечного ряда, опуская остаточный член. Та-
Такая форма записи является символической, - строгим должно считаться
представление B15) с остаточным членом, которое можно получить
для сколь угодно высокой заказываемой "точности" £N. С ростом N
система {Fi} пополняется операторами с все более высокими канониче-
каноническими размерностями и одновременно уточняются коэффициенты Виль-
Вильсона В{ при уже .имевшихся ранее операторах из-за увеличения точно-
точности их вычисления (учет более высоких степеней г£2 в </?4-модели). Если
классифицировать вклады подобных разложений не по операторам, а по
степеням переменной £ (считая (/i£)£ — 1), то ответ можно формально
представить бесконечным рядом, поскольку вклады заданного порядка
£п "объективны": будучи полученными из представления B15) с неко-
некоторым N > п, они, очевидно, не изменятся, если мы перейдем к другому
представлению B15) с большей точностью (N1 > N). Другими словами,
увеличение заказываемой точности в представлении B15), позволяя по-
получить новые поправки, не сказывается на уже полученных ранее (при
меньшей точности) вкладах, и лишь в этом смысле можно сопоставить
результату бесконечный ряд.
Ясно, что ведущие члены асимптотики £ -> О порождаются в B15)
вкладами операторов с наименьшими размерностями и младшими (ну-
(нулевыми) степенями г в коэффициентах. Учет операторов с более высо-
высокими размерностями и вкладов с высшими степенями г соответствует
последовательному учету поправок с лишними степенями £.
п.34 Расчет коэффициентов Вильсона в однопетлевом при-
приближении. Как обычно, сразу приведем таблицу результатов, поясне-
пояснения ниже.
322
Глаза 3. Ультрафиолетовая ренормировка
Табл. 19. Вклады однопетлевых диаграмм в операторное разложение
F% = р(х ■+£)<р(х — £) с точностью до £2 включительно
£), t = ^2
No
1
0
3
1Р[Я?ехрГ],
2гя» L J
iL J-6-Gt<- -tfay + f'a2] /
15Р[О£ехрГ],
££^ЬA + £)(S + r?) + [re? )
Искомый отрезок операторного разложения B15) есть
LP
B20)
где индексом f обозначается вклад отдельной диаграммы f в контр-
контрчленные функционалы, с7 - симметрийные коэффициенты. Для опера-
оператора B11) диаграммы -у и коэффициенты с7 те же, что в табл.18 в п.27,
поэтому в табл.19 мы указываем лишь номер диаграммы и ее вклад
в контрчлены Н^ (второй столбец) и 0% (третий столбец). Оператор
[i?{]R в B20) вычислять не требуется: он получается из B13) простой
заменой <р2 —> [s?2]r, <рдд<р —> [<рддф\к.
Поясним процедуру расчета контрчленных вкладов. Для Н^ все про-
просто, так как контрчлены входящих в него локальных операторов ip2 и
^>дд<р уже вычислялись ранее в п.27. Из B13) следует, что £7 Для Н$
есть сумма приведенных в таблице 18 в п.27 контрчленов L~f для F = <р2
и Fis = Lpdids^p с коэффициентами [1 — (£дJ/'2] и 2£,-£, соответственно.
Таким путем для первых трех диаграмм табл.18 п.27 получаются вы-
выражения, приведенные во втором столбце табл.19.
Новый момент - расчет контрчленов L^j для остатка 0%. По об-
общим правилам п.33 для 0$ нужно рассматривать те же диаграммы -у и
с той же точностью разложения по внешним импульсам, как для опе-
оператора максимальной размерности в Н^, в данном случае - как для
оператора Fis — <pdids<p в п.27. Поэтому нужные для расчета величины
7 (значения 7 B импульсном представлении без учета множителей <р)
п.34 Однопетлевой расчет коэффициентов Вильсона 323
для первых трех диаграмм табл.18 получаются из соответствующих
выражений A70), A71) простой заменой вершинного множителя A69)
(в A70) он при р = 0) на множитель B14):
7n = {-9s)n'1fDk An{k) [expB**0 -...], п = 1,3,
; B21)
72 = -9s / Dk A(p/2 + *) А(р/2 - k) [expBifc£) - .. •]
с прежними обозначениями A72), в 72 при этом достаточно ограни-
ограничиться приближением A73) для произведения пропагаторов.
Многоточием в B21) обозначены явно указанные в B14) вычита-
вычитания. Их роль проста: они устраняют из ответов все ^-существенные
аналитические вклады, т.е. £-существенные целые неотрицательные
степени £. Это полезное замечание, оправдывающее следующий про-
простой рецепт вычисления интегралов типа B21): сначала вычисляется
интеграл без учета вычитаний, затем в ответе просто отбрасываются
все ^-существенные аналитические (по £) члены. Последнюю операцию
будем в дальнейшем обозначать символом |Выч-
Введем вспомогательные функции
Qn = fDk An{k) expBi*0 , Q'n = С)п\выч. , B22)
через которые выражаются интегралы B21):
In = ('-<7в)п~1<2п|выч. = {~9s)n~1Q'n ' гс =1,3;
B23)
72 = -<7в [Q2 - (P2/2)Q3 -
выч.
В 72 мы заменили произведение пропагаторов приближенным вы-
выражением A73). Множители к в слагаемом с (ркJ для интеграла без
вычитаний воспроизведены операцией d/dBi£), нужные вычитания вы-
выполняются после вычисления интеграла, т.е.после выполнения диффе-
дифференцирования по £ в B23).
Явное выражение для Qn легко получить из соотношений G9)—(81):
U B24)
m-0 L I
324 Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка
где а, 0 - числовые коэффициенты (обозначения F8))
||2-п-е||п- 1 +е\
B25)
D7гJ-£||п||т+ 1||п + т — 1 + е
||2-гг-е||п- 1 + е||
DтгJ-£||п||т + 1||3 + т - п —
Рпт = ~
Слагаемые B24) с коэффициентами а,/3 будем называть, соответствен-
соответственно, а- и /3-членами; первые аналитичны по т, но неаналитичны по £,
вторые - наоборот, так что разложимость в нуле по г нарушается C-
членами. Отметим также, что функции B24) УФ-конечны: в общем
множителе числителей B25) всегда есть полюс по е, но он компенси-
компенсируется взаимным сокращением при е = 0 а- и /?-членов с одинаковыми
степенями £, а те (и только те) слагаемые B24), у которых нет "пары",
имеют сокращающий полюс "нуль" ~ е в коэффициенте.
Операция |выч. в B22), B23) устраняет все ^-существенные /?-члены,
одновременно обеспечивая существование нужного начального отрезка
разложения в нуле по г:
Q'n = £2п
При малых п (у нас при п < 3) в сумме B26) имеются £-существенные
or-члены и, как следствие, УФ-расходимости из-за нарушения взаимного
баланса а- и /3-членов, обеспечивавшего ранее (см. выше) сокраще-
сокращение УФ-расходимостей. Последующие вычитания £-существенных а-
членов, осуществляемые Д(£^)-операцией, восстановят нарушенный в
B26) баланс, а с ним и УФ-конечность. Эти замечания поясняют общие
рассуждения п.ЗЗ.
Возвратимся к вычислениям. Интересующие нас контрчлены L^j =
Kf-j однопетлевых диаграмм B23) (R1 = 1) получаются, согласно опре-
определению B19), отбором ^-существенной части величин B26). Вычи-
Вычитаниями в них уже удалены все ^-существенные /?-члены, поэтому в
контрчлены Lfj дают вклад лишь ^-существенные ог-члены, а именно,
три первых члена ряда B26) для Qi, два первых члена для Qi и только
самые первые члены для <5з,4- Первый член Q$ становится ^-существен-
^-существенным после двукратного дифференцирования по £ в B23), которое выпол-
выполняется по формуле {рд/д£J£2Х = 2А£2А-4[2(А-1)(р£J+Р2£2] с А = 2+е
п.35 О р, г-разложимости многопетлевых контрчленов L0 325
для первого or-члена Q4. В результате из B23) и B26) получим:
B27)
Контрчлены L{7 находятся затем по формулам A68) с заменой в них
L —> L(_. После подстановки в B27) известных из B25) коэффициентов
а, несложных преобразований и указанных в заголовке табл.19 пере-
переобозначений получим приведенные в ее последнем столбце выражения
контрчленов L^-) для оператора 0^.
Для получения окончательного ответа - коэффициентов Вильсона 5,-
при ренормированных операторах B16) в B20) - нужно подставить в
B20) известные значения с7 (табл.18 в п. 27) и контрчленные вклады
диаграмм (табл.19). Последние содержат неренормированные опера-
операторы B16), которые в нашем однопетлевом приближении следует про-
просто заменить ренормированными, поскольку в данном случае учет по-
поправок был бы превышением точности.
УФ-конечность получаемых однопетлевых коэффициентов В, обеспе-
обеспечивается взаимным сокращением полюсов по е контрчленных вкладов
Н^ и 0% для каждой из трех диаграмм (см. табл. 19). Отметим, что это
специфика однопетлевого приближения. В высших порядках такого со-
сокращения не будет, остающиеся полюсные по е вклады как раз и будут
достраивать до ренормированных неренормированные операторы B16)
в комбинации контрчленов B20).
п.35 О р, г-разложимости многопетлевых контрчленов
Поясним примерами смысл утверждения 3 в п.33 для многопетлевых
диаграмм. Согласно этому утверждению, для произвольной диаграммы
7 с вершиной 0$ и примитивной основной операцией L (например, MS)
^-существенная часть выражения R'-j G - диаграмма 7 в импульсном
представлении с заменой "хвостиков" <р простыми внешними выводами)
не имеет ИК-расходимостей в коэффициентах начального отрезка нуж-
нужной длины тэйлоровского разложения в нуле по совокупности р, т. Для
краткости в дальнейшем это свойство будем называть просто разло-
разложимостью. Поскольку разложимость по р при т > 0 гарантирована,
нетривиальна лишь разложимость по т при нулевых внешних импуль-
импульсах. Наиболее опасен в отношении ИК-расходимостей коэффициент
при старшей степени г, которая определяется заказываемой точностью
(п.ЗЗ).
326
Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка
Разложимость однопетлевых диаграмм обеспечивается подавлением
ИК-сингулярностей вершинным множителем 0% (п.33). Для многопет-
многопетлевых диаграмм механизм устранения ИК-расходимостей нетривиален,
и мы поясним его несколькими примерами для рассматривавшегося ра-
ранее (п.п.33,34) оператора О$ с вершинным множителем B14).
Первый пример:
B28)
=[а-СЖ]о- о-©
От £ зависят лишь множители с вершиной 0%, которая показана жир-
жирной точкой. По определению B19) операции L%, выражение в квадрат-
квадратной скобке в B28) ^-несущественно, поэтому не дает вклада в контрчлен
о ] • СЗ) • B29>
Первый множитель в правой части разложим (для однопетлевых диа-
диаграмм считаем это известным), а разложимость второго обеспечивается
примитивностью основной операции L (в схеме MS второй множитель
кратен г).
Отметим, что для непримитивных вычитаний при нулевых импуль-
импульсах C2) этот второй множитель кратен rl~e, и в этом случае разложи-
разложимость контрчлена B29) теряется.
Еще один пример: при нашей точности (£2 включительно)
= <с
- 2
B30)
внешние линии заменяют здесь хвостики ip. Последний график в правой
части равенства B30) по структуре подобен последнему графику в пра-
правой части B28), так что разложимость его ^-существенной части для
примитивной операции L гарантирована (см. выше).
Рассмотрим поэтому отдельно сумму двух первых графиков в правой
части соотношения B30). Мы хотим показать, что ее ^-существенная
часть при нулевых внешних импульсах разложима в нуле по г до члена
порядка г включительно (при нашей точности), другими словами, как
п.35 О р, т-разложимости многопетлевых контрчленов
327
само выражение, так и его первая производная по г имеют конечный
предел при т —»■ 0. Первое очевидно, поэтому рассмотрим производную
по т. По правилу дифференцирования линии A12) получаем:
a,
- 2
B31)
Мы учли, что линии охваченного штриховым кружком подграфа диф-
дифференцировать не нужно, так как соответствующий контрчлен при на-
нашей точности от г не зависит (отметим, что он известен явно по данным
табл.19 в п.34). Линиям со вставкой точки в графиках B31) соответ-
соответствуют множители (к2 ■+■ т)~2, порождающие опасные при г —> 0 сингу-
сингулярности ~ т~е от области малых импульсов интегрирования к. Зави-
Зависимостью от этого к прочих линий при определении коэффициента при
г~£ можно пренебречь, поэтому сингулярная при г —> 0 часть суммы
двух последних графиков в правой части равенства B31) совпадает с
сингулярной частью выражения
-[а-
р=0
■о
B32)
Это выражение при нулевых внешних импульсах имеет "опасную сингу-
сингулярность" ~ г~£ во втором сомножителе (вершинная петля). Но оно не
дает вклада в контрчлен L^j, так как не имеет £-существенных вкладов
вследствие полного их сокращения внутри квадратной скобки в B32) в
силу определения операции L%.
Остается рассмотреть два первых графика в правой части равенства
B31). Для каждого из них действует стандартный (как в однопетлевых
диаграммах) механизм подавления ИК-сингулярности вершинным мно-
множителем О^ (п.33), поэтому они не могут иметь "опасных сингулярно-
стей" ~ г-£.
Таким образом, мы показали, что ^-существенная часть суммы гра-
графиков в правой части соотношения B31) не имеет вкладов типа т~е,
чем доказывается искомое свойство разложимости контрчлена Ltf рас-
рассмотренной в B30) двухпетлевой диаграммы.
Приведенные примеры иллюстрируют смысл утверждения 3 в п.33,
показывая одновременно, что данное утверждение нетривиально.
328 Глава. 3. Ультрафиолетовая ренормировка.
п.36 Ренормировка для случая спонтанно нарушенной сим-
симметрии. До сих пор мы ограничивались случаем г > О, когда имеют
смысл обычные диаграммы с линиями (к2 + т)~1. При г < 0 они теряют
смысл и ряды теории возмущений нужно перестраивать, что можно сде-
сделать двумя способами: либо сдвигом в правильную точку минимума
энергии в функциональных интегралах (п.2.4), либо переходом к языку
преобразования Лежандра Г с использованием для него петлевого или
другого подходящего (например, 1/п) разложения вместо простой тео-
теории возмущений (п.2.10). Такие приспособленные для случая г < 0 кон-
конструкции и соответствующие ряды будем называть перестроенными.
Для свободной энергии (вакуумные петли) понятие "правильной пере-
перестройки" нуждается в уточнении. Мы обсудим это подробно ниже, а
сначала сформулируем общую идею ренормировки при г < 0.
Поскольку вся изложенная ранее теория ренормировки существенно
использует простые диаграммные разложения, на первый взгляд ка-
кажется, что переход к случаю г < 0, когда эти разложения теряют
смысл, должен приводить к серьезным осложнениям. Так оно и будет в
неудачных схемах вычитаний типа C2), в которых контрчлены могут
содержать, например, In г. Но в примитивных вычитательных схемах
типа MS с полиномиальными по т контрчленами никаких проблем в
действительности нет.
Утверждение: для любой примитивной вычитательной схемы, в
том числе MS, все УФ-расходимости правильно перестроенных для слу-
случая г < 0 конструкций полностью устраняются теми же полиномиаль-
полиномиальными по г контрчленами, как и для случая г > 0, другими словами,
построенные при г > 0 контрчлены пригодны при любом знаке т.
Для доказательства заменим массовый член т f dx <р2(х)/2 в базовом
действии вставкой составного оператора aF = f dx a(x)p2(x)/2 (п.2.13)
и рассмотрим все объекты в виде рядов по а. В импульсном представле-
представлении неоднородность произвольного коэффициента а(х) соответствует
наличию внешних импульсов, втекающих в вершины составного опе-
оператора, что нужно для устранения ИК-расходимостей в членах ряда
по а (поэтому нельзя разлагать просто по константе г). Для устране-
устранения всех УФ-расходимостей безмассовой теории с добавкой aF к ее дей-
действию следует добавить все определяемые формулой A56) контрчлены.
Они будут полиномиальными по а, поскольку из-за ИК-существенности
(dF < d) оператора F = <р2(х)/2 диаграммы с большим числом вставок
aF поверхностных расходимостей не имеют (п.23). Для р4-модели, на-
например, потребуются лишь контрчлены порядка а и а2. После добавки
контрчленов мы получим теорию, в которой все объекты представлены
п. 36 Ренормировка для спонтанно нарушенной симметрии 329
в форме рядов по а с коэффициентами, не имеющими УФ-расходимостей.
Осуществим теперь переход а(х) —> т. При этом могут возникнуть
новые проблемы, но важно, что они уже инфракрасного, а не ультрафи-
ультрафиолетового происхождения. Ввиду полиномиальности по а функционала
действия здесь никаких проблем нет: полиномы по а яереходят в обыч-
обычные полиномиальные по т контрчлены действия, знак г при этом не
имеет никакого значения. Но в ренормированных функциях Грина пе-
переход а(х) —»■ г нетривиален даже в случае т > 0, так как при этом
получаются обычные разложения по г, содержащие нарастающие ИК-
расходимости. Поэтому ряды по а нужно сначала перестроить так,
чтобы не иметь впоследствии ИК-расходимостей при переходе а —»■ т.
В случае г > 0 достаточна перестройка, соответствующая переходу к
обычным массивным линиям. В случае г < 0 нужно иное пересуммиро-
пересуммирование (как в п.2.4, или в линии петлевого разложения для функционала
Г (о;)). Но важно, что в любом случае проблема правильной перестройки
рядов уже не имеет никакого отношения к проблеме УФ-расходимостей:
они отсутствуют в коэффициентах рядов по а и поэтому не появятся в
перестроенных объектах (правильная перестройка есть ИК-, а не УФ-
проблема).
Таким образом, в схемах типа MS можно строить контрчлены обыч-
обычным образом для г > 0 и затем использовать полученные выражения
при любом знаке т. Приведенные выше рассуждения доказывают, что
эти контрчлены будут автоматически устранять все УФ-расходимости
в любых правильно построенных для случая г < О конструкциях.
Уточним теперь смысл термина "правильно построенных". Для
определенных соотношениями типа A.62),A.82) функций Грина без ва-
вакуумных петель "правильная перестройка" при г < 0 сводится лишь к
изменению пространства функционального интегрирования Еин по об-
общим правилам п. 1.13. Поскольку Еин однозначно определяется видом
действия S (правило 3 в п. 1.13), для неренормированной теории ЕКН
будет "ренорминвариантным" в терминологии п.1.24, и это обеспечи-
обеспечивает сохранение вида РГ-уравнений типа A.107) при г < 0. Вклады
вакуумного контрчлена (п.1б) в частном A.82) сокращаются, поэтому
в схемах типа MS все УФ-расходимости функций Грина без вакуум-
вакуумных петель при т < 0 устраняются мультипликативной ренормировкой
A.84) с теми же константами Z, что и при т > 0.
Особый случай представляют вакуумные петли Wq = W(A = 0) для
определенных соотношениями типа B.30) функционалов. При т > 0 УФ-
конечная величина WoR = Wn(A = 0) определяется равенством B.30) с
S = SR и нормировочной константой С = CR из B.16) с ренормирован-
330 Глава 3. Ультрафиолетовая ренормировка.
ным параметром г в операции К = —д2 + т. Например, в О„-^4-модели
для величины lnCR = (l/2)trln(—д2+т) в размерности d = 4 —2е с помо-
помощью второго соотношения B.5) в рамках формальной схемы размерной
регуляризации (п. 16) находим:
Vn f
= ту
dk 1 (i*+ \ Vn\\l + e\\r
щ*ln (i; +r) = 2B*)D*)*- B33)
с точностью до не зависящей от г и поэтому несущественной аддитив-
аддитивной константы (в B33) V = f dx - объем, п - число компонент поля
tp). Дифференцированием по г интеграл в B33) сводится к известному
интегралу (87а), остается взять первообразную по т.
Величина WoR не допускает непосредственного продолжения на слу-
случай т < 0, так как в ее определение входит не только полиномиальное по
т действие SR, но и константа CR, теряющая смысл при т < 0 (в ответе
B33) появляется дробная степень отрицательного числа). Правильным
объектом, допускающим продолжение в область т < 0, является не Wori
а свободная энергия Т = — lnZ, определенная через функциональный
интеграл (см.п.п.1.13 и 2.10) соотношением
ехр(-.£•) = jD<p exp S(<p) B34)
и аналогично для ренормированной теории с заменой 5 на 5а- Из со-
сопоставления определений B.30) и B34) легко найти связь между TR и
вакуумными петлями WoR при г > 0:
TR - -In fD^ exp SR{ip) = -W0R + lnCR . B35)
Для действия SR с вакуумным контрчленом (п.18) величина Wqr в B35)
УФ-конечна, но In CB содержит полиномиальную по т УФ-расходящуюся
часть. Например, для выражения B33) в схеме MS (п.16) имеем
УФ-р.ч. lnCR = - ^£(У , B36)
где A - ренормировочная масса.
Если из выражения B35) вычесть B36), получим УФ-конечную при
г > 0 величину
'к = TR- УФ-р.ч. lnCR = - [WW - УФ-кон.ч. lnCR] =
B37)
= -\afD<p exp [SR(p) + УФ-р.ч. lnCR] ,
я.36 Ренормировка, для спонтанно нарушенной симметрии 331
которая уже допускает продолжение в область т < О, поскольку содер-
содержит лишь полиномиальные по г выражения B36) и SR- Утверждение
состоит в том, что в схемах типа MS УФ-конечность при т > 0 вели-
величины B37) автоматически обеспечивает ее УФ-конечность и при г < 0 с
теми же самыми (как при г > 0) контрчленами. При этом вклад B36) в
показателе экспоненты в B37) следует также понимать как "однопетле-
вой вакуумный контрчлен", сохраняющий вид B36) при любом знаке г,
как и все другие (входящие в SR) контрчлены. Вклад B36) естественно
группируется в B37) с вакуумным контрчленом в SR типа A06); для
0п-<£>4-модели это приводит к замене Zo —»■ ZO с Zo из B00).
Величины Т-ц. и Т'^ различаются лишь регулярным по т вкладом
B36), несущественным при анализе критических сингулярностей ("ре-
("регулярным" как раз потому, что он одинаков для любого знака г). По-
Поэтому именно УФ-конечная величина B37) является тем "правильно по-
построенным" объектом, который можно анализировать с помощью РГ-
техники при исследовании критических сингулярностей свободной энер-
энергии Тъ. и теплоемкости С = —djJ-ц. Критические размерности этих
величин известны (п. 1.3), но с помощью РГ-техники можно вычислять
и другие представляющие интерес величины, например, универсальное
отношение амплитуд в законе типа A.22) для теплоемкости. Из-за при-
присутствия вакуумных контрчленов РГ-уравнения для свободной энергии
B37) отличаются от обычных РГ-уравнений типа A.107) наличием не-
неоднородности; они будут обсуждаться в главе 4.
В заключение отметим, что все локальные соотношения типа урав-
уравнений Швингера (п.29), в том числе и локальные тождества Уорда A90)
(в отличие от глобальных) с инвариантным ренормированным функци-
функционалом действия, справедливы при любом знаке т (п.2.16).
Г Л АВ А4
КРИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА
Статикой принято называть задачи равновесной статфизики и тер-
термодинамики, то есть класс задач без времени, - именно о них шла речь
в главе 1 при изложении техники РГ. В данной главе мы дополним
материал главы 1 и поясним на конкретных примерах методику прак-
практических вычислений. Вопросы обоснования используемых квантово-
полевых моделей и сравнение получаемых результатов с экспериментом
выходят за рамки данной книги, и мы не будем на них останавливаться,
отсылая читателя к соответствующей специальной литературе.
п.1 Общая схема РГ-анализа произвольной модели. Вводимая
из тех или иных физических соображений квантовополевая модель за-
задается своим функционалом действия, а цель ее РГ-анализа - обосно-
обоснование критического скейлинга и (если он есть) расчет универсальных
характеристик критического поведения, то есть критических индексов
и нормированных скейлинговых функций (п. 1.33). Объективную цен-
ценность представляют лишь результаты, не зависящие от произвола ко-
конечной ренормировки, в частности, коэффициенты е-разложений по от-
отклонению d* — d = 2e размерности пространства d от логарифмической
(своей для каждой -модели) размерности d* или соответствующие лога-
логарифмические поправки при е = 0 (п. 1.43). Их расчет в рамках техники
РГ выполняется по стандартной схеме, состоящей из следующих шагов:
1. Определение канонических размерностей всех величин в функ-
функционале действия (п. 1.15), соответствующей логарифмической размер-
размерности d* и максимальное упрощение модели путем отбрасывания всех
ИК-несущественных по сравнению с главным взаимодействий, если та-
таковые имеются (п.1.16). В дальнейшем рассматривается построенная
таким образом упрощенная модель.
2. Определение по соображениям размерности и симметрии струк-
структуры примитивных расходимостей диаграмм всех 1-неприводимых функ-
334 Глава 4. Критическая статика
ций Г„ при d = d* и, тем самым, структуры всех необходимых для их
устранения контрчленов в размерной регуляризации d = d* — 2е. Сте-
Степенные по параметру УФ-обрезания Л расходимости можно при этом
игнорировать, если они приводят лишь к переопределению несуществен-
несущественных с точки зрения теории критического поведения величин типа Тс
(п. 1.20). Это значит, что все вычисления можно производить в рамках
формальной схемы размерной регуляризации.
На данном этапе проводится проверка мультипликативной ренор-
мируемости модели: все получаемые контрчлены, кроме вакуумного,
должны воспроизводиться мультипликативной ренормировкой полей и
переопределением параметров (см. п.3.13, п. 1.18 и примечания в нем).
Дальнейший стандартный РГ-анализ возможен лишь при наличии
мультипликативной ренормируемости. Ее отсутствие означает, что с
точки зрения общей теории критического поведения модель построена
неправильно, - в ней не учтены все допустимые по размерности и сим-
симметрии взаимодействия, которые могут влиять на критическое пове-
поведение системы. Отметим, что и в первоначальной технике рекуррент-
рекуррентных соотношений Вильсона (п.1.1) в процессе итераций также будут по-
появляться все допустимые по размерности и симметрии взаимодействия,
и это аналогично появлению контрчленов при ренормировке.
Таким образом, "хорошая модель" должна быть мультипликативно-
ренормируемой. Если исходная модель не такова, то ее следует рас-
расширить, включив все нужные для обеспечения мультипликативной ре-
ренормируемости взаимодействия. При ее наличии дальнейший порядок
действий следующий:
3. Вывод по общим правилам п.1.24 уравнений РГ для ренормиро-
ванных объектов и получение формул, выражающих РГ-функции через
константы ренормировки Z.
4. Расчет по диаграммам Тп в выбранной схеме вычитаний всех
нужных констант ренормировки Z в форме начальных отрезков рядов
по заряду (или зарядам) д с желаемой точностью.
Технически это самая трудная часть работы, которую можно до-
дополнительно усложнить выбором неудачной схемы вычитаний. Объек-
Объективные результаты от схемы вычитаний не зависят (п.1.40), поэтому
всегда желательно пользоваться наипростейшей. При регуляризациях
типа размерной таковой обычно является схема MS, в ней упрощается
также и вид уравнений РГ.
5. Расчет РГ-функций 0 и 7 (/^-функции всех зарядов и аномальные
размерности 7 всех нужных величин) в форме начальных отрезков ря-
рядов по д по формулам, которые выражают их через вычисленные ранее
п.1 Общая схема РГ-анализа произвольной модели 335
константы ренормировки Z.
6. Расчет по /?-функциям координат фиксированных точек д* и со-
соответствующих индексов ш в форме начальных отрезков е-разложения
и классификация точек <;* по ИК-устойчивости (п. 1.42).
В однозарядных моделях может быть лишь одна фиксированная точ-
точка 5* ~ е, в многозарядных их может быть несколько. Если среди точек
д* нет ИК-устойчивых, то следует сделать вывод, что в данной системе
критического скейлинга не будет. Если же такие точки есть, делается
следующий шаг: .
7. Для каждой ИК-устойчивой точки <;* ~ e вычисляются в форме
начальных отрезков е-разложений все нужные критические аномаль-
аномальные размерности 7E») и соответствующие критические индексы; ре-
результаты затем уточняются, если это возможно, с помощью процедуры
борелевского суммирования (п.1.38).
Тем самым перечисляются все возможные критические режимы и
критические показатели для каждого из них. Если их несколько (что
возможно лишь в многозарядных моделях), то возникает вопрос об обла-
области притяжения каждого из них, то есть об определении множества тех
начальных данных в пространстве зарядов д, старт из которых обеспе-
обеспечивает попадание определенной уравнениями A.188) фазовой траекто-
траектории в данную ИК-устойчивую точку д* в ИК-асимптотике s —> 0.
В сложных моделях реально удается вычислить лишь один - два по-
порядка е-разложения индексов и уяснить общую качественную картину
поведения фазовых траекторий. Только в исключительных случаях
расчеты удается продвинуть дальше; рекорд в. этом смысле принадле-
принадлежит у>4-модели, в которой усилиями многих авторов в течение длитель-
длительного времени удалось довести точность расчетов до е5 включительно
(п.1.37).
Помимо расчета индексов, в рамках РГ-техники можно ставить и
пытаться решать некоторые дополнительные задачи, в частности:
8. Вычисление начальных отрезков е-разложения различных скей-
линговых функций (п. 1.36).
9. Анализ их особенностей вне рамок е-разложения путем совмест-
совместного использования техники РГ и операторного разложения Вильсона
(п.3.33).
10. Анализ ренормировки и вычисление критических размерностей
различных систем составных операторов. Таким путем, в частности,
вычисляются следующие за главными (вычисляемыми по /?-функциям)
поправочные критические индексы ш (п.1.3), соответствующие простей-
336 Глава 4. Критическая статика
шим ИК-несущественным поправкам, отбрасываемым при построении
модели.
Все это будет поясняться в дальнейшем конкретными примерами.
Для некоторых моделей возможны различные варианты теории возму-
шений и соответствующих разложений индексов. Например, для Оп-
|£>4-модели известны три варианта таких разложений: 4 — е, 2 + е и 1/п,
- все они будут рассмотрены в этой главе.
п.2 Оп-у4-модель: константы Z, РГ-функдии и 4 — е-разло-
жение индексов. Техника расчета констант Z в ренормированном
действии C.105) 0„-у>4-модели подробно излагалась в главе 3, вклады
отдельных диаграмм в константы Z и соответствующие структурные
множители группы Оп приведены в таблицах п.3.20. По данным этих
таблиц и общему правилу C.118) находим (d = 4 — 2е):
Z2 = i+2Lri + Jyi? + Jy(l-
1 3«
Z3 = l+-r2 +
l-9g/4 , l-
A)
где и = <//1б7г2, а г,- - известные множители из табл.16 в п.3.20. По
данным таблиц п.3.20 все Z можно найти с трехпетлевой точностью
(и3 включительно), но мы хотим лишь пояснить выкладки и поэтому
ограничились в Z2.3 двухпетлевым приближением.
Переходим теперь к расчету РГ-функций A.113), на этом примере
поясняя вычисления подробно, чтобы не возвращаться к аналогичным
вопросам впоследствии. Прежде всего отметим, что обычно удобно из-
изменить нормировку ренормированного заряда, использовав вместо ис-
исходного д тот параметр u = eg, который проще всего входит в кон-
константы Z, в данном случае и = д/16п2. Величины Т>д = ддд, 0д/д, Рддд
инвариантны относительно замены д —> сд = и. В частности, для нашей
модели из первого соотношения A.114) имеем:
(#А = ДА) . B)
РГ-функции 7о в A.113) выражаются через константы Za, связанные
с константами действия C.105) соотношениями C.110). Из них и A)
п.2 4 — е-разложение в Оп-<р4-модели 337
можно вычислить все Ъа, но технически проще действовать иначе, вводя
для любой константы Z величину 7 = 'Рц lnZ и пользуясь вытекающими
из соотношений C.110) связями:
71 = 27*> . 72 = 7т + 27v , 7з = Ъ + Ь<р • C)
Если не заниматься для контроля вычислений проверкой сокращения
полюсов по е в РГ-функциях 7) их можно просто находить с помощью
соотношений типа A.120), выражая через вычеты А(и) полюсов пер-
первого порядка по £ соответствующих констант Z = 1 + А(и)/е + ■ • ■, а
именно, 7 = T^ii lnZ = — 2T>UA. Для трех первых констант из A) нахо-
находим соответствующие вычеты А\ = — Ai/24 + «3Г1Гг/48 + ..., А2 =
uri/2-u2ri/4+..., А3 = 3ur2/2-3u2r3/2+..., откуда для 7< = -2Х>„Д-
получаем:
7i = u2ri/6-«3rir2/8+. • •; 72 = -uri+Ax-h ..; 73 = -Зиг2+6и2г3+....
D)
Отметим, что при таком способе вычислений не нужны вклады диа-
диаграмм, не содержащих полюсов первого порядка по е, в частности, диа-
диаграмм No.3,6,7 из табл.14 в п.3.20. Отметим также, что при получении
соотношения A.120) использовался явный вид формулы ренормировки
заряда A.103). В других моделях множитель ц может входить в анало-
аналогичную формулу в другой степени, что приведет к следующему видоиз-
видоизменению соотношения A.120):
{5о = 9ЦкеЪд,Ъ =l + A{g)/e + ...}^f = Vli\nZ = -kVgA , E)
где Z - произвольная константа ренормировки типа A.104), а многото-
многоточие - вклады высшего порядка по 1/е. Правило E) будет часто исполь-
использоваться в дальнейшем в различных моделях.
Возвращаясь к ^-модели, из соотношений B),C) и D) находим все
нужные РГ-функции:
и2 и3 5 2
Ъ = Т^Г1 - ТТГ1Г2 + . . • , 7т = "«Г! + -U П + . . . ,
12 16 6
0 = j3u = -2eu + 3u2r2 - 6«3r3 + «3ri/3 + ... .
Мы не приводим fg, так как эта РГ-функция легко восстанавливается
по виду 0 = j3u из соотношения B).
Подставив в F) известные множители из табл.16 в п.3.20, получим
окончательные выражения для РГ-функций Оп-^4-модели. Затем из
338
Глава 4. Критическая статика
уравнения /?(и„) = 0 можно найти начальный отрезок е-разложения ко-
координаты фиксированной точки и* = <7*/16тг2. Точность в F) невелика,
но мы приведем для сведения РГ-функции с максимально достигнутой
сейчас пятипетлевой точностью по исправленным данным [68] (везде
2е = 4 — d, a £(z) - дзета-функция Римана):
7" ~
ц2(п
36
u3{n + 2){n+8)
432
+
1ооо24
-48 СC)(п3 - 6п2 + 64п + 184)+
22752п + 77056-
+1152СD)Eп
7т ~
u(n + 2)
18
ц3(п + 2)Eп-+37)
36
31060+
+48 CC)Cn2 + Юп + 68) + 288 CD)En + 22)] -
- o""t/ f 21rt3 + 45254n2 + 1077l20n+ 3166528+
186624 L
+48 CC)A7n3 + 940n2 + 8208n + 31848)-
-768 C2C)Bn2 + 145n + 582) + 288 CD)(-3n3+
+29n2 + 816n + 2668) + 768 CE)(-5n2 + 14n + 72)+
+9600 CF)Bn2 + 55n + 186)] + ... ,
a_ . n u2(n + 8) u3Cn + 14)
p = pu = —2£tl -{- ■ — '■ -|~
Ga)
G6)
A
£- [З3п2 + 922n + 2960 + 96 CC)En + 22I -
216 L J
я.2 4 — g-разложенле в Оп-(р4-модели
339
U5 ,
-—— -5n3 + 6320n2 + 80456n + 196648+
0888 L
+96 CC)F3n2 + 764n + 2332) - 288 CD)En2 + 62n+
+176) + 1920 CE)Bn2 + 55n + 186)] +
и6 г
+——- I 13n4 + 12578n3 + 808496n2 + 6646336n+
+13177344+ 16 CC)(-9n4 + 1248n3 + 67640n2+ 1 ,- ,
( [(B)
+552280n + 1314336) + 768 C2C)(-6n3 - 59n2 + 446n+
+3264) - 288 CD)F3n3 + 1388n2 + 9532n + 21120)+
+256 CE)C05n3 + 7466n2 + 66986n+ 165084)-
-9600 CF)(n + 8)Bn2 + 55n + 186)+
+112896 CG)A4n2 + 189n + 526)] +... .
В последующих формулах ограничимся четырехпетлевым прибли-
приближением:
"(n + 8) ' v ' (n + 8K '
■ [-33n3 + 110n2 + 1760n + 4544-
'8(n + 8M
-96CC)(n + 8)En + 22)] +
+ ) I- -5n5 - 2670n4 - 5584n3 + 52784n2+
16(n + 8)' l
+309312n + 529792 + 96 CC)F3n4 + 422n3 - 4452n2-
-39432n - 72512) - 288 CD)(n + 8KEn + 22)+
+1920 CE)(n + 8JBn2 + 55n + 186)] + ... .
Gr)
340 Глава. 4. Критическая статика
Для удобства приведем также РГ-функции простой ^4-модели (п = 1):
12 16 + 192
„. ^ = f + Bt,
(8)
По этим данным получаются приведенные в п. 1.37 4 — е-разложения
критических показателей ц = 1*^. \jv = 2 + 7*) w = /?'(«*), по 77 и j/
из соотношений A.165) затем вычисляются все прочие традиционные
индексы.
п.З Ренормировка и уравнения PF для ренормированного
функционала Wr.(.A) с учётом вакуумных петель. В главе 1 мы
не рассматривали вакуумные петли, а под G = exp W понимали опре-
определенный в п. 1.10 производящий функционал нормированных полных
функций Грина A.33), поэтому все РГ-уравнения п.1.24 относились лишь
к функциям Грина с п > 1. Начиная с главы 2, мы перешли к новому
определению B.30), включив в общий формализм и вакуумные петли,
- не имеющие внешних линий связные диаграммы Wo = In Go (п.2.3).
Для устранения их УФ-расходимостей обычной мультипликативной ре-
ренормировки A.84) недостаточно, к правой части A.84) нужно еще доба-
добавить константу А5Вак - вакуумный контрчлен (п.3.13). Тогда из связи
SH(<p) = S(Z<p<p) + А5Вак и определений обычным способом (п. 1.18) вме-
вместо A-79) для нормальной фазы с т > 0 (о переходе к т < 0 будет сказано
в конце раздела) получим следующие соотношения:
GH(A) = {Сп/С) detZ-1 G(Z-1A)exp(A5BaK) , (9а)
Wn{A) = W{Z~1A) + AWo, Г„(а) = r(Zva) + ДWo , (96)
п.З Уравнения РГ с учетом вакуумных петель 341
AWo = Д5вак + 1п(Сн/С) - Ь det Zv , (9в)
где С и Сн - нормировочные множители при соответствующих инте-
интегралах в B.30), a det(Z~1) - якобиан замены переменных <р —>• Z~V,
которую приходится делать при получении соотношения (9а) (см. ана-
аналогичный вывод в п.1.18). Формулы (9) заменяют A.79) при переходе к
новому определению B.30) функционалов G и W. Все добавки в (9) не
зависят от источника А, поэтому не нарушают справедливости соотно-
соотношений A.80) и A.81) с п > 1 и существенны лишь для ренормировки
вакуумных петель Wo = W{A = 0), которые в главе 1 не рассматрива-
рассматривались.
Константы С в (9) определены общим правилом B.16) и вычисля-
вычисляются с помощью соотношений B.4) и B.5). Явное выражение для 1пСн
в 0„-|£>4-модели приведена в C.193) (считаем т > 0), выражение для
In С получается из него заменой т —> то. Аналогично для константы
In det Zip в (9) из B.5) для данной модели имеем:
lndetZ^, = lnZ^,- VnBir)-dfdk , V = Jdx . A0)
Размерная регуляризация d =■ 4 — 2е не устраняет УФ-расходимости
таких интегралов, поэтому в них должно подразумеваться обрезание
1*1 < А.
Если бы ренормировка модели осуществлялась с учетом всех УФ-
расходимостей, в том числе и степенных по Л, то в правых частях со-
соотношений (9) были бы существенны все вклады. Но если, как обычно,
контрчлен Д5вак вычисляется в формальной схеме с отбрасыванием
всех степенных по Л расходимостей (п.п. 1.20 и 3.16), что в дальней-
дальнейшем всегда предполагается, то так же нужно вычислять и все прочие
вклады в (9). Это значит, что чисто степенную по Л величину A0) сле-
следует просто отбросить, а выражения типа C.193) при а = 4 — 2е нужно
понимать как интеграл без обрезания с вычитанием двух первых чле-
членов разложения по г, содержащих степенные по Л расходимости (для
0„-<£>4-модели это приводит к ответу C.233)). Поэтому в дальнейшем
будем считать, что в формулах (9)
AW0=ASBaK + ln(CR/C), A1)
понимая величины типа C.193) так, как указано выше. УФ-расходи-
мостями считаются тогда только полюса по е. В выражении C.233)
полюс имеется лишь в квадратичном по т члене разложения и отби-
отбирается определенной соотношением C.31) контрчленной операцией L
342 Глава 4. Критическая статика
схемы MS, что приводит к выражению C.236) для "УФ-расходящейся
части" 1пСн.
Сделав в (96) замены А —>• Z^A, a —>• Z~xa и затем подействовав
на обе части равенств операцией V^ = VPr из A.106), с учетом соотно-
соотношения (И) и ренорминвариантности всех неренормированных объектов
(п.1.24) получим РГ-уравнения, обобщающие A.110) и A.111) на слу-
случай функционалов WH = WH(A;e,fji), Гн = rH(a;e,/i) с вакуумными
петлями:
[VPr - tvVa] Г„ = Vi , A2а)
K + bCR], A26)
где V = J dx - объем, а £ - новая РГ-функция, УФ-конечность которой
гарантирована УФ-конечностью левых частей равенств A2а). Полагая
А = 0 в первом уравнении A2а), получаем РГ-уравнение VPrWoR = V£
для вакуумных петель WoH = WH(A = 0); его вычитанием из уравне-
уравнений A2а) получим обычные однородные уравнения A.110),A.111) для
нормированных функционалов (обозначавшихся в главе 1 теми же бу-
буквами).
Технически удобнее переписать уравнения A2) в виде
[РРГ + 7^л] WK = V? , р>Рг-7^а] Г; = V? , A3а)
W£ = WR - УФ-к.ч. Ь Сн , Г^ = Гн - УФ-к.ч. Ь Сн , A36)
V? = V» [Д5вак + УФ-расх.ч. Ь Сн] , A3в)
сгруппировав УФ-конечную часть (= "УФ-к.ч.") константы 1пСн с
функционалами, а расходящуюся - с вакуумным контрчленом. Такая
добавка воспроизводит отсутствующий в ASBax однопетлевой вклад.
РГ-функция £' в A3) (явное выражение см. в п.4) всегда имеет такую
же структуру по переменным т и (л, как и контрчлен А5вак, в частно-
частности, она полиномиальна по г в схеме MS, в отличие от более сложной
РГ-функции £ в A2).
Главным преимуществом уравнений A3а) в схемах типа MS явля-
является то, что входящие в них величины W'n и Гд, в отличие от WR
и Гн, непосредственно продолжимы в область т < 0 с сохранением
УФ-конечности и вида всех контрчленов, в том числе и вклада УФ-
расх.ч.1пСн, понимаемого как однопетлевая добавка к ASB3.K. Это было
показано в п.3.36 при обсуждении ренормировки свободной энергии. На-
Напомним основной аргумент: из определения W^ в A36) вытекает анало-
аналогичное C.237) представление
exp W^A) = fD<p exp [SR(<p) + УФ-расх.ч. In CR + A<p ] ,' A4)
п.4 Ренормировка и РГ-уравнение для свободной энергии 34$
которое сохраняет смысл и при т < 0 из-за устранения вклада "УФ-
к.ч.1пСн ". Пространство функционального интегрирования Екн в A4)
определяется общими правилами п. 1.13 по виду действия SR(ip) —
S{Zv<p) + Д5вак.
Таким образом, равенство A4) с должным выбором пространства
интегрирования определяет величину W^A) при любом знаке т. С по-
помощью представления A4) нетрудно убедиться, что функционал W^(yl)
(как и его преобразование Лежандра Гд(а)) и при т < 0 удовлетворяет
тому же РГ-уравнению A3а), как и при т > 0. Для доказательства
существенна лишь связь между S и SH (см. выше) и тот факт, что не-
ренормированная величина J Dip exp [S(<p) + Аф\ является "ренормин-
вариантной" (п.1.24) при любом знаке то ~ т.
п.4 Оп-у>4-модель: ренормировка и РГ-уравнение для свобод-
ной энергии. Как пояснялось в п.3.36, УФ-конечным объектом, не-
непосредственно продолжимым в область т < 0, является определенная
соотношением C.237) величина Т'п, отличающаяся от ренормирован-
ной свободной энергии Тн = — lnZH лишь регулярным по т (и по-
поэтому несущественным для критических сингулярностей) вкладом УФ-
расх.ч.1пСн C.236). Добавим, что определенные согласно C.234) не-
ренормированная {J-) и ренормированная {Fb) величины связаны со-
соотношением J-n = J- — Д5Вак + Id det Zv, так что различаются только
регулярными вкладами и с равным правом могут быть использованы
при анализе критических сингулярностей.
Из сопоставления выражений C.237) и A4) видно, что
Гн = -W^(A = Q) = -W^. A5)
Из A4) и A5) имеем:
Т*ъ = -In fD(p exp [5нЫ + УФ-расх.ч.1пСн] . A6)
Полагая в A36) А — 0, получаем РГ-уравнение для свободной энер-
энергии, справедливое для любого знака т:
VPrT^ = -V? . A7)
В качестве примера конкретизируем A7) на случай О„-у>4-модели без
внешнего поля. Отметим, что обобщение на случай системы во внешнем
поле h ф 0 осуществляется простой заменой W^(A = 0) —> W^(A = h),
тогда в уравнении A3а) нужно произвести замену Т>А —> T>f,.
Явное выражение для УФ-расходящейся части lnCR приведено в
C.236). Нетрудно убедиться, что добавка выражения C.236) в A3в)
344 Глава. 4. Критическая статика
к вакуумному контрчлену C.106) эквивалентна замене в нем Zo —> Zo
с Zo из C.200). В рассматриваемой модели Д5вак и добавка C.236)
кратны T2(i~2e. Поскольку операция V^ (= Т>РГ в ренорм'ированных
переменных) эту зависимость сохраняет, естественно ввести аналогич-
аналогичную прочим 7 новую УФ-конечную РГ-функцию 7о = 70EI определив
ее соотношением:
„ [А5Вак + УФ-расх.ч-. lnCR] = V£' = VrV2E7o(s)/2 A8)
A/2 в правой части для удобства). Подставив сюда выражение C.106)
с заменой в нем Zo —>• Zo (см. выше), с учетом явного вида A.122)
операции Т>ц = Т>РГ и первого соотношения A.114) получим:
7о = r-y^rVV^o) = 5-1[7<,-27r-B£+7<,P<,]ZoE). A9)
Мы воспользовались следующим правилом коммутации для операции
A.122):
ЗДатУ ...] = А«агУ [а - &7г - Фе + Ъ) + £д ... . B0)
Здесь а, 6, с - произвольные показатели, а многоточие - любой добавоч-
добавочный множитель.
Подставив в A9) известные из соотношений A),G) и C.200) вели-
величины, с трехпетлевой точностью получим
Все полюса по е сократились, как и требуется.
Если не контролировать выкладки проверкой этих сокращений, вы-
вычисление 7о можно значительно упростить, оставив в квадратной скобке
A9) лишь вклад —2eVg, а в Zo - только вклады полюсов первого по-
порядка по е. Это эквивалентно аналогичному A.120) соотношению
7о = -УФ-к.ч. [2е dgZ0] , B2)
вытекающему из A9) при учете (известной) зависимости всех величин
от е.
п.5 Общее решение неоднородного РГ-уравнения для сво-
свободной энергии у>4-модели, отношение амплитуд А+/А- в теп-
лоемкости. Для удельного (на единицу объема) значения Тн = J~'nV~1
п.5 Общее решение РГ-уравнения для свободной энергии 345
свободной энергии A6) из соотношений A7),A8) и A.122) получаем сле-
следующее неоднородное РГ-уравнение:
Р>„ + /?а, - 7rPr] K(r,9,li) = - rV~2E7oE)/2 , B3)
справедливое при любом знаке т. Для учета канонической масштабной
инвариантности удобно, как обычно (гл.1), перейти в уравнении B3) к
безразмерным величинам. Свободная энергия безразмерна, а ее удель-
удельное значение У имеет размерность d = 4 — 2е (п. 1.3). Поэтому B3)
можно переписать в виде
К{т,д,1*) = \т\3-Ф{8,д) , s = \r\/(i2, B4а)
[-B + 7г)Х>, +0дд - B - е)Ъ] Ф(а,д) = -sE7o(<?)/2 . B46)
Уравнение B46) получено подстановкой B4а) в B3). Оно отличается
от стандартного уравнения типа A.142) лишь наличием неоднородно-
неоднородности в правой части. Частное решение неоднородного уравнения B46)
можно искать в виде ssb(g). Подстановкой в B46) получим следующее
уравнение для неизвестной функции 6:
[~2е - 27т + 0dg] b{g) = -7о(<7)/2 • B5)
Оно решается явно в квадратурах, можно и по теории возмущений,
когда 6 ищется в форме ряда по д по известным рядам для РГ-функций.
Отметим, что коэффициенты ряда для 6 из B5) находятся однозначно
и содержат полюса по е, хотя решение уравнения B46) в целом должно
быть УФ-конечным в каждом порядке по д.
К частному решению ssb(g) нужно добавить общее решение однород-
однородного уравнения B46) с нулевой правой частью. Делением на 2 + 7т °но
приводится к стандартному виду A.142), соответствующий инвариант-
инвариантный заряд g~{s,g) определяется соотношением A.179), общее решение -
соотношением A.148), причем под Ф в нем нужно понимать только ре-
решение однородного уравнения. При учете неоднородности в B46) фор-
формулировку A.148) общего решения нужно заменить следующей:
*{*,д) = 3Ч(д) + [ФA,д)-Ь(д)]ехр | -B - s)fdx Ъ (*)//?(*) 1 , B6)
где &(<?) - любое решение уравнения B5).
Мы подробно рассмотрели РГ-уравнение B3) только для того, чтобы
показать на конкретном примере роль добавки неоднородности к правой
346 Глава 4. Критическая статика,
части уравнений типа A.142). Если критическую размерность Дт =
2 + 7* переменной т считать уже известной (п.2), то новой информа-
информации о критических индексах мы из B3) не получим. Действительно,
единственным новым моментом по сравнению с анализом гл.1 является
появление добавочных констант в (9) при ренормировке вакуумных пе-
петель. С точки зрения РГ их роль сводится к лишь к порождению не-
неоднородности в уравнении B46) и соответствующего вклада ~ sE в его
общем решении. При подстановке в B4а) этот вклад переходит в г2,
т.е. относится к разряду несущественных (и не контролируемых те-
теорией критического поведения) регулярных членов свободной энергии.
В этом смысле влиянием неоднородности можно пренебречь, и тогда
остается в силе общий анализ гл.1, доказывающий существование кри-
критического скейлинга как следствие РГ-уравнений A.110). Критические
размерности всех нужных величин в нашем случае заранее известны:
Дт = 2+7*, a A[J^] = d = 4—2е из общих соображений (п.1.3). Поэтому
асимптотика сингулярной части функции Fr(t, д, ц) при s = \т\ц~2 —У 0
должна иметь вид |т|'*/Лт, откуда для удельной теплоемкости получаем
Все это можно получить, конечно, и из представления B6), восполь-
воспользовавшись формулой типа A.157) для асимптотики интеграла в пока-
показателе. Но при этом нужно учитывать, что в A.157) предполагается
каноническая форма A.142) РГ-уравнения, переход к которой в B6) осу-
осуществляется делением на 2 + 7т- Поэтому роль 7* в A.157) для инте-
интеграла в показателе B6) будет теперь играть величина 7* /B +7*)> так
что из соотношений B6) и A.157) будет следовать Ф ~ s~B-£)tt/B+7t).
При подстановке в B4а) это дает асимптотику Fn ~ |т|^Лт в согласии
с приведенными выше общими соображениями.
Новой универсальной характеристикой критического поведения, ко-
которую можно вычислить с помощью РГ-представления B6), является
отношение амплитуд А+/А- в законе A.22) для свободной энергии или
(что эквивалентно) теплоемкости С = —d^!Fn. Из B5) и B6) следует,
что
А+ _ 6(g,)-<£+(l,g*) _ 7о*
где Ф+ и Ф_ - значения определенной в B4а) функции Ф для двух знаков
т. Выражение B7) для &(<7») получено подстановкой д = <?» в уравнение
B5), тогда вклад с /?-функцией в нем исчезает.
Функции Ф вычисляются с помощью представления A6). Ряд по д
для Ф+(з,д) начинается с однопетлевого вклада порядка единицы от
п.6 РГ-уравнения для составных операторов 347
УФ-конечной части величины C.233), а для Ф_ (s, g) - с вклада порядка
\jg от слагаемого SH(y>o), появляющегося в A6) при т < 0 от сдвига
ip —У <р + <ро в точку стационарности v?o ~ З'''2 (п-2.4), затем идет
однопетлевая поправка типа C.233) с заменой т —У —2т и п —> 1 (без-
(безмассовые голдстоуновские моды вклада не дают) и так далее. Поэтому
£-разложение Ф+A,<7*) начинается с вклада порядка единицы, а для
Ф_A, <7») и 6E*) - с полюса ~ 1[е. Конкретный расчет с однопетлевой
точностью дает [d = 4 — 2s):
А+/А- = n-2a~2 [l + 2£ + ...], B8)
где а = еD — п)/(п + 8) + ... - индекс теплоемкости (п.1.37), многоточие
- поправки следующего порядка по е.
В заключение отметим, что при вычислении теплоемкости С че-
через коррелятор двух составных операторов [<р2]н неоднородность в РГ-
уравнении будет порождаться контрчленом на пару операторов (п.3.25).
Его можно выразить через вакуумный контрчлен, воспользовавшись
уравнением B3) и связью С = — d2fK.
п.6 РГ-уравнения для составных операторов и коэффициен-
тов операторного разложения Вильсона. В этом разделе мы бу-
будем пользоваться обозначениями и материалом п.3.28. Пусть F =
{Fi{x;tp),i = 1,2,...} - некоторое конечное замкнутое семейство сме-
смешивающихся при ренормировке только между собой локальных моно-
мономов, ао = {aOi (ж)} - набор соответствующих затравочных источников
в неренормированном действии C.179), а = {а,(х)} - связанный с а0
соотношением C.180) набор ренормированных источников. Как поясня-
пояснялось в п.3.28, обобщение РГ-уравнений п.1.24 на случай функций Грина
с одним (но не более) составным оператором и любым числом простых
полей достигается просто включением а0 в общую схему на равных
правах с прочими затравочными параметрами ео. Это значит, что при
дифференцировании в A.106) нужно также считать фиксированными
и источники ао, в уравнении A.110) у WR появляется дополнительный
функциональный аргумент а, а в операторе A.108) - добавка
(ЗД £ ^«k PW*)J й^у • B9)
Здесь и далее по повторяющимся индексам источников и операторов
всегда будет подразумеваться суммирование (в отличие от обозначений
п.3.28). В дальнейшем для краткости будем пользоваться матричными
обозначениями, понимая F, а, а0 как векторы (по индексу г) и записывая
348 Глава 4. Критическая статика
соотношения C.180) и C.183) в виде
ао = аЪп , F = ZFFK , Zp = Ъ~ , C0)
где Ъа и ZF - взаимно-обратные матрицы констант ренормировки па-
параметров а и операторов F. Точный смысл неренормированных (F) и
ренормированных (.FR) операторов указан в C.184). Напомним также,
что Мх = хМт для произвольных матрицы Af и вектора ж.
Аналогичные РГ-функциям A.113) УФ-конечные величины
называют матрицами (РГ-функций) аномальных размерностей источ-
источников а и операторов F, связь 7а = — 7f ~ следствие их определений C1)
и последнего равенства C0).
В оператор B9) входит величина "D^a, которую легко найти, по-
подействовав на обе части первого равенства C0) операцией V^: слева
получим нуль в силу определения Т>^ (см. выше), поэтому 0 = V^a х
Ъа+аТ>цЪа, откуда V^a = —аЪ^Ъа -Z = —ауа согласно C1). Поэтому
искомое обобщение уравнения A.110) на случай производящего функци-
функционала ренормированных связных функций Грина полей и операторов F
можно записать в виде
1 WR{A,a,e,ii) = 0. C2)
Под Х>РГ мы понимаем здесь прежнюю операцию A.108), добавка B9)
выделена явно, нужное интегрирование по х в ней и суммирование по
индексам источников подразумеваются (т.е. wya8/8a - квадратичная
форма с матрицей 7а и "векторами" а и 5/5а). Аналогом A.111) будет
уравнение
\Vpr-afa- 7v:P« rR(a,a,e,/i) = 0,
C3)
получаемое из C2) с помощью соотношений A.50),A.51) и A.53).
Уравнения C2) и C3) не являются строгими, - они справедливы
лишь с точностью до членов первого порядка по а, которым соответ-
соответствуют функции Грина с одним составным оператором и любым числом
простых полей, поскольку лишь с такой точностью справедлива исход-
исходная формула мультипликативной ренормировки C.178). Оговорка "с
п. 6 РГ-уравнения для составных операторов 349
точностью до членов первого порядка по а" всегда будет подразуме-
подразумеваться при записи уравнений типа C2),C3), равно как и вторая ого-
оговорка "за исключением вакуумных петель", чтобы не осложнять про-
простые уравнения типа A.110) введением неоднородности в правую часть
(п.З).
Равенства C2), C3) можно переписать в форме уравнений для со-
соответствующих функций Грина с одним FR и любым числом простых
множителей <рн подобно тому, как уравнения A.110) и A.111) перепи-
переписываются в форме A.107) и A.109). Проще всего это сделать, заметив,
что все РГ-уравнения п.1.24 для связных или полных функций Грина
поля !рк эквивалентны одному уравнению
£>Pr£R = -7vVr C4)
для самого поля <pR (как случайная величина, оно зависит неявно от
всех параметров функционала действия, задающего функцию распре-
распределения). Уравнение C4) выражает свойство ренорминвариантности
Vpip = 0 неренормированного поля (р = ZV^H (п.1.24) и легко получа-
получается при учете соотношения A.108) и определения yv в A.107): Т>РГ(рн =
Vh<Pr = ZyZ^) = фцЪ'1)? = -7VZ~1^ = -7v>£r- Точно так же из
второго равенства C0) и определения 7f в C1) получим
VrrF* = -7рД* , {VrJin = -7р*Я*) , C5)
в скобках приведена более подробная расшифровка. Как и в формулах
п.З.28, матричные индексы гк для удобства пишем сверху, но теперь
опускаем знак суммирования по повторяющемуся индексу.
При действии линейной дифференциальной операции Т>РГ на полную
функцию Грина - среднее значение произведения полей и операторов -
результат есть сумма вкладов от каждого из сомножителей; например,
£>рг < <Ря ■ ■ ■ fin >= -П7у> < fin ■ ■ ■ фк > и аналогично
FiHipR ...£*>= -[niv6ik + YFk] < FkR$R ...£*>, C6)
где n - число множителей <pR, аргументы х, как обычно, везде подра-
подразумеваются. При переходе от полных к связным функциям Грина вид
РГ-уравнений типа C6) не меняется, а при переходе к 1-неприводимым
функциям замене Zv —у Z в формулах ренормировки (см. соотноше-
соотношения A.81) и C.186)) соответствует замена 7у> —>• — 7у в РГ-уравнениях
при сохранениии знака у 7f-' Отметим также, что уравнение C6) обоб-
обобщается непосредственно на случай любого числа множителей Fj. Но
350 Глава 4. Критическая статика
при этом нужно иметь в виду, что для двух и более множителей (в
отличие от одного) величины типа < FHFR(pH...<pR > не совпадают с
соответствующими ренормированными функциями Грина из-за отсут-
отсутствия вкладов контрчленов на пары, тройки и т.д. составных опера-
операторов (см. C.159)). Ввиду локальности контрчленов их вклады исче-
исчезают, если аргументы х у всех операторных множителей различны. По-
Поэтому критическая асимптотика больших (относительных) расстояний
для ренормированных функций Грина с несколькими FH будет точно
такой же, как у простых средних < FRFH<pR...ipH >, т.е. определяется
критическими размерностями сомножителей.
Приведем в заключение вытекающие из C5) РГ-уравнения для коэф-
коэффициентов операторного разложения Вильсона (п.3.33) на примере со-
соотношения C.217). Запишем его компактно в виде <рн<рн = BFH + О^н и
подействуем на обе части равенства линейным оператором Т>РГ. С^ уче-
учетом соотношений C4) и C5) тогда получим T>prB-FH—ByFFH-\-T>PrO^H =
—27v<Pr<Pr — —1~i4>{BFn + Ofr). Отбирая здесь ^-существенные вклады
(оператор Т>РГ не действует на £ и поэтому не влияет на свойства £-
существенности), получаем Т>РГВ ■ FH — ByFFR - 2fvBFR. Ввиду неза-
независимости всех F{H можно приравнять коэффициенты при них в обеих
частях полученного равенства, что дает
B?рГ + 2Ъ) В = tfB, ( {Vpr + 2Ъ) В{ = -$Вк ) • C7)
Это и есть искомое уравнение для коэффициентов Вильсона В,- =
Bi{£, e, ц) в разложении C.217). В скобках, как и в C5), приведена более
подробная его расшифровка.
п.7 Критические размерности составных операторов. Допу-
Допустим, что критическая асимптотика исходной модели определяется ИК-
устойчивой фиксированной точкой <?» и нас интересуют критические
размерности ДР некоторого заданного замкнутого семейства ренорми-
ренормированных составных операторов FH. Отметим, что вопросы существо-
существования и типа точки <?» решаются на уровне /?-функций исходной модели.
Ее расширение путем добавки B.104) к действию на решение указанных
вопросов не влияет, поскольку добавка рассматривается только как воз-
возмущение. Новыми объектами являются лишь новые функции Грина с
составными операторами. Их критическая асимптотика (большие отно-
относительные расстояния или малые импульсы) характеризуется новыми
критическими размерностями, которые и нужно определить.
Как пояснялось в п.1.33, информацию о критическом скейлинге мож-
можно просто получить исключением Т>ц из системы двух уравнений типа
я. 7 Критические размерности составных операторов 351
A.6), первое из которых есть РГ-уравнение при д = д„, а второе вы-
выражает свойство канонической масштабной инвариантности. В общем
случае РГ-оператор A.108) в схемах типа MS имеет вид
Vpr = V» + J2 РШя - J2 Ъ (9)Ve , C8)
9 ефд
где д - один или несколько безразмерных зарядов, е ф д - прочие па-
параметры рассматриваемой модели типа т в A.122). При д = д* вклад
/J-функций исчезает, а уе(д) переходит в уе(д*) = у*, т.е.
ээ< lVe- C9)
В нашем случае из соотношений C5) и C9) при д — д* получаем:
-№■ D0)
Аналогичное по форме каноническое масштабное уравнение для опера-
операторов FH(x) в координатном представлении имеет вид
- Vx + Y,deVe | FH = dFFR , ' D1)
где dejP - канонические размерности соответствующих величин, вклад
Vg отсутствует ввиду безразмерности зарядов, а Т>х = х9х входит с
коэффициентом dx — —1 (п. 1.15). Равенства D0),D1) и все прочие того
же типа справедливы для любого множителя Fp. под знаком < ...>,-
в этом точный смысл подобных уравнений.
Вычитая D0) из D1), получаем искомое уравнение критического
скейлинга:
\J2AeVe | FH = AFFH , D2)
ефд J
в котором Де = de +7e ~ критические размерности параметров е, а
Ар = dF+7;, 7; = 7рЫ. D3)
- матрица критических размерностей операторов i^.
Диагональная матрица dF канонических размерностей г/,- = rf[F,H] =
d[Fj] (при ренормировке они не меняются) в D3) известна, а у* вычи-
вычисляется по ZF или Za = Z из определений C1) и D3). Будь она также
352 Глава 4. Критическая статика
диагональной, уравнение D2) совпадало бы по структуре с A.6), а диа-
диагональные элементы матрицы ДР имели бы тогда смысл критических
размерностей соответствующих операторов FjH. Но в общем случае ма-
матрица 7р оказывается недиагональной (и несимметричной), а ее недиа-
недиагональные элементы - размерными (d[7Ffc] = d{ — d^ ф 0), поэтому они
должны содержать зависимость от размерных переменных ц и е ф д.
Определенными критическими размерностями обладают тогда не сами
операторы Fin, а некоторые их линейные комбинации (" базисные опе-
операторы")
# , D4)
где U - некоторая в общем случае зависящая от параметров е, ц (по-
(поскольку ДР(е, ц) нельзя диагонализовать не зависящим от е, ц преобра-
преобразованием D4)) матрица. Замена FH = U~xF'n в уравнении D2) приводит
к аналогичному уравнению для F^ с новой матрицей
Д'р = UKU^ + Y^^eVeU -U-1 . D5)
ефд
Если найдется U, для которой матрица D5) диагональна, то задача
решена: диагональные элементы Д'р - искомые критические размерно-
размерности операторов D4), а исходные FjR - известные линейные комбинации
FiH = {U'^ikF'kn базисных операторов с разными критическими раз-
размерностями. ИК-асимптотика различных функций Грина с составными
операторами (одним или многими, см. п.б) определяется общими прави-
правилами теории подобия (гл.1) по известным критическим размерностям.
Дальнейшее поясним в следующих разделах конкретными приме-
примерами, а здесь ограничимся несколькими замечаниями общего характера.
1. Без добавочных ограничений на матрицу U в D4) определение
критических размерностей неоднозначно, поскольку, например, умно-
умножением найденных F[n на какие-нибудь степени размерных переменных
е ф д можно построить новые операторы F['n тоже с определенными,
но уже другими критическими размерностями. Это неважно: найдя
явно какую-нибудь систему базисных операторов Р{я, общие множители
из них можно затем удалить, соответственно пересчитав размерности.
Отметим, что множители ц критически безразмерны, поскольку Т>^ в
уравнение D2) не входит.
2. Знание какого-нибудь оператора .F/H эквивалентно определению
соответствующей строки матрицы U в D4).
3. Из-за присутствия второго слагаемого в правой части равенства
я. 7 Критические размерности составных опера/торов 353
D5) критические размерности в общем случае не являются собствен-
собственными значениями матрицы ДР.
4. Система операторов F обычно разбивается на группы с раз-
разными rf* = d[F] \d=d- (п.3.28). Соответствующая матрица ДР является
блочно-треугольной, поскольку старшие мономы (с максимальным dp)
не могут примешиваться при ренормировке к младшим (п.3.28). Считая
критические размерности младших операторов уже известными, для
новых старших операторов их можно тогда определить просто как соб-
собственные значения соответствующего диагонального блока в ДР. Про-
Прочие блоки Др нужны лишь для определения соответствующих базисных
операторов D4).
5. Можно переопределить систему F, домножив неренормирован-
ные мономы на подходящие степени размерных затравочных парамет-
параметров ео ф до (что не нарушит ренорминвариантности), а ренормиро-
ванные - на степени соответствующих ренормированных параметров е,
чтобы добиться совпадения всех величин с?* (в у>4-модели роль таких
параметров е0 и е могут играть только то иг). Для новой системы в
недиагональных элементах ДР останутся лишь множители //, но уже
не будет других параметров е ф д, поэтому не будет и второго вклада
в правой части соотношения D5). В такой формулировке задача сво-
сводится к простой диагонализации матрицы ДР преобразованием подобия,
а критические размерности являются тогда собственными значениями
матрицы Др. Последнее верно, конечно, и в безмассовых моделях из-за
исчезновения примесей младших операторов к старшим.
6. При диагонализации матрицы ДР преобразованием подобия
"UAFU~l — диагональна" в общем случае неортогональные при несим-
несимметричной Др собственные векторы ха матрицы ДР образуют столбцы
матрицы U~x, а биортогональная к ха система уь (хауь = 8аЬ) - иско-
искомые строки матрицы U.
7. Теоретически возможно (хотя в реальных задачах примеров не
знаем), что несимметричную матрицу ДР преобразованием D4) можно
привести не к диагональной, а только к жордановой форме. Тогда в
уравнениях критического скейлинга для F{H обычные степенные реше-
решения исказились бы появлением добавочных логарифмов.
8. В MS-схеме, когда е входит в константы Z лишь в форме полюсов,
вычисление УФ-конечной матрицы 7f = —7а в C1) можно упростить по
аналогии с выводом соотношений A.120). Вычисляя матрицы Zo,f в
форме рядов по д и затем группируя в них вклады одного порядка по
1/е, получим Ъа = 1 + А\а/е + А.2а/е2 + ... и аналогично для ZF = Z.
Не зависящие от е матричные вычеты Апа - ряды по д и могут, в от-
354 Глава 4. Критическая статика
личие от их аналогов в A.119), зависеть также и от прочих параметров
е, ц, например, от т и ц в у4-модели. В схеме MS операция A.108) зави-
зависит явно от е лишь через линейные по е вклады в /?-функциях (п. 1.25),
поэтому при действии операции Х>^ = Х>РГ на не зависящие от е вычеты
Апа можно получить не более одного множителя е. Отсюда следует, что
при вычислении из определения C1) заведомо УФ-конечной (как всякая
РГ-функция) матрицы ~/f = —Т>^Ъа ZF старшие полюса Anajen с п > 2
не могут дать УФ-конечных вкладов в D^Za. Все такие вклады содер-
содержатся в VpAia/e и не меняются, очевидно, при последующем умноже-
умножении на ZF. Таким образом, в схеме MS для любой матричной константы
Ъа = Z = 1 + Aia/s + ... имеем:
7f = -УФ-к.ч. [v^Za] = -УФ-к.ч. [VPr Ala/s] , D6)
где "УФ-к.ч." - операция отбора УФ-конечной части.
В у>4-модели оператор Х>;1 = Т>РГ на функциях от д, т, ц имеет вид
A.122), и при подстановке в D6) в нем нужно сохранять только вклады,
порождающие множитель е, т.е. Т>ц (параметр /< может входить лишь
в форме це) и —2sVg от первого члена в /^-функции A.114). Поэтому из
соотношения D6) для данной модели следует:
7f = -УФ-к.ч. [x^zj = BeVg - V^) ■ [вклады ~ 1/г в ZJ . D7)
Отметим, что операция V^ — 2eVg коммутирует с множителями т и
дв = дц2е, а также с операциями Т>д =. ддд и (i~2cdg, - эти простые
свойства полезны при вычислениях.
Соотношения типа D6),D7) доказывают независимость от £ в схеме
MS всех матриц 7f и значительно упрощают процедуру расчета этих
матриц, особенно для сложных систем.
9. Эквивалентное соотношениям D1) для полей и операторов ка-
каноническое масштабное уравнение на языке функционала WK из C2)
может быть записано следующим образом:
eVe - dvVx - dFVa] WH = 0 , D8)
где VA - операция из A.112), Va - ее аналог с А —»• а и
п.8 Индексы ui, связанные с ИК-несущественными операторами 355
Для нескольких полей и операторов у источников А, а подразумеваются
соответствующие индексы с суммированием по ним во всех операциях.
Аналогом D0) будет уравнение C2) при g — g*, вычитая его из D8),
получаем уравнение критического скейлинга:
л <*
AeVe - AvVh - аДР —
da
= 0 , E0)
в котором учтено вытекающее из C1) равенство 7а = ~7f> a вклад
источников в оператор записан так же, как и в уравнении C2). Если
ввести аналогичную ДР в D3) матрицу критических размерностей ис-
источников Да = da + 7а) то с учетом связи C.150) и равенства 7а = — 7f
можно заключить, что канонические и критические размерности опера-
операторов и соответствующих источников всегда находятся в аналогичном
A.46) теневом соотношении:
da + dF = Да + Др = d, E1)
где daF - диагональные матрицы соответствующих канонических раз-
размерностей, a d понимается как матрица, кратная единичной.
п.8 Поправочные индексы ш, связанные с ИК-несуществен-
ными составными операторами. Как пояснялось в п.1.16, при по-
построении любой флуктуационнои модели критического поведения сна-
сначала всегда отбрасываются все ИК-несущественные вклады в действии,
т.е. все ИК-несущественные составные операторы в принятой теперь
терминологии. Если мы хотим оценить соответствующие поправки к
скейлингу, эти операторы следует добавить к действию в форме B.104)
с однородными источниками а,(х) = const, разумеется, сначала допол-
дополнив их до замкнутой системы. По вычисленной для этих операторов ма^
трице ДР из E1) можно тогда найти матрицу Да критических размерно-
размерностей параметров а, причем определенные размерности А[а'{] = d—А[^/а]
будут иметь те линейные комбинации а\ параметров а, которые соот-
соответствуют базисным операторам D4). Учет возмущения aF в первом
порядке по а приводит к появлению в ответах критически (и кано-
канонически) безразмерных относительных поправочных множителей типа
1 + J2cia'i ' р~А^а'^ + ... с не зависящими от а критически безразмер-
безразмерными (но канонически в общем случае размерными) коэффициентами с,-.
Показатели степеней обезразмеривающего а'{ импульса р (или другого
ИК-существенного параметра с учетом его критической размерности)
и являются, по определению (п.1.3), соответствующими поправочными
356 Глава 4. Критическая статика
индексами:
ы, = -A[a'{) = Aft^-d. E2)
Существенно новыми являются те из них, которые соответствуют
подмножеству старших операторов с максимальными dp (п.7). Для
младших операторов соответствующие параметры а' будут выражени-
выражениями типа а'{ = тх предыдущие а(- (т.е. а^ предыдущей по размерности
системы F), так что соответствующие w,- не являются новыми. В без-
безмассовых моделях "ненужных" wj нет, поскольку младшие операторы к
старшим не примешиваются.
п.9 Пример: система F = {1,у2} в 0„-у>4-модели. Рассмотрим в
качестве простейшего примера систему двух операторов F\ = 1, F2 =
¥>2(я) = ^a(z)^a(z) в О„-у4-модели. Соответствующая 2x2 матрица
констант ренормировки Za была вычислена в п.3.30 (см.текст после фор-
формулы C.200)):
z*1 = 1, г\2 = о, z21 = -гт/г2^-1^ , z22 = zr E3)
E4)
с Zq из C.200). Обратив двумерную матрицу по правилу
a 6
с d
-1
1
d -b
—с а
(ad - be)
найдем ZF = Z~ и затем 7F = —2?^Za-ZF, а именно, 7*1 = 7p2 = 0, 721 =
Gt — X>^)Z21, 722 = —7т при учете определения ут в A.113). Нетриви-
Нетривиальный элемент 721 выражается через РГ-функцию A9), поскольку из
правила B0) следует Gт — £V)Z21 = —t~1X>^(tZ21), а величина rZ21 с
точностью до коэффициента совпадает с выражением под знаком Т>^ в
A9). В итоге получаем:
7,1 = 7р2 = 0 , 721 = 2т/л-2е7о(<7) , 722 = ~7гЫ • E5)
Полагая здесь д = д* и добавляя диагональную матрицу канонических
размерностей d\ = d[l\ = 0, d2 = d[tp2] = 2 — 2e, находим матрицу ДР:
Д^1 = А? = 0 , Д21 = 2r/i-2E7o* , А22 = 2-2£-7т , E6)
где 7* - значения соответствующих РГ-функций в фиксированной точке,
для 7* ~ известные (п.1.37) с пятипетлевой точностью, а для 7о из B1)
и Gг) - с трехпетлевой.
Система D2) в данном случае сводится лишь к одному нетривиаль-
нетривиальному уравнению:
\-Vx + ATVT\ F2R = Al1 + Д2р2£2н . E7)
п.9 Пример: система F = {1, ц>2} в Оп-!р4-модели. 357
Ясно, что базисные операторы D4) нужно сейчас искать в виде
F(H = .Fin = 1, F'2H = -^2н + ст(г~2£, выбрав константу с из условия
Дт2?т(ст^е) = Атст/л~2£ = Д22ст^~2е - Д21, при выполнении кото-
которого для F2n получается однородное уравнение E7) без вклада Д21. С
учетом явного вида матричных элементов E6) и равенства Дт = 2 + 7*
из приведенного выше уравнения находим константу с и соответствую-
соответствующий оператор
F'2n = £2я-г/Г2е7о*/(£ + 7;). E8)
Именно он, а не исходный i*2n = [^н]н> имеет определенную (теневую к
Дт) критическую размерность
Д2 = Д22 = d - Ат = 2 - 2е - т? . E9)
Второй оператор F{R = 1 рассматриваемой системы тривиален, А\ = 0.
Подставив известные значения 7*, получим ^-разложение найденной
константы с в E8). Оно будет начинаться с 1/е, так как получаемое из
B1) £-разложение 7о начинается с константы, а 7* ~ с членов порядка
е. В главном порядке
9/ _ г-21 ^„-2Е п(п+8)
^2я - \9n\n ГЦ 1б7Г2£D _ п) ■
При п — А члены порядка е в знаменателе E8) взаимно сокращаются,
главным становится вклад е2, тогда разложение константы в E8) на-
начнется с 1/е2. Отметим, что полюса по е появляются в результате
диагонализации, в исходной матрице E6) их нет. Невозможность пере-
перехода к пределу е = 0 в данном случае не означает неренормируемость,
а является просто свидетельством смены режима: при е = 0 степенные
асимптотики сменяются логарифмическими.
п. 10 Второй пример: скалярные операторы с d*F = 4. Рассмо-
Рассмотрим теперь в той же модели следующую замкнутую систему операто-
операторов:
F = {1, 92, dV, <pd29, <р4} F1)
с каноническими размерностями dF = {0,2 — 2s,4 — '2e, 4 — 2s,4 — As}. Ее
ренормировка обсуждалась в п.3.30. Соответствующая 5x5 матрица
358
Глава 4. Критическая статика
Ъа (поэтому и все прочие) имеет следующую блочную структуру:
12 3 4 5
Ъа =
1
2
3
4
5
X
X
0
X
X
0
X
0
X
X
0
0
X
?
?
0
0
0
X
X
0
0
0
X
X
F2)
Указаны явно все нулевые элементы, ненулевые известные отмечены
крестиком, а неизвестные - знаком вопроса, показана также разбивка
на блоки младших A,2) и старших C,4,5) операторов. Диагональный
блок 1,2 совпадает с матрицей E3), ренормировка старшего оператора
F$ определяется ренормировкой младшего F2, поэтому элементы 33 и
22 совпадают. Для четвертой и пятой строки элементы матрицы Q
в C.181) для данной системы определяются соотношениями C.201) и
C.202), затем по Q из общего правила C.181) находятся искомые эле-
элементы матрицы Ъа- В результате получим:
; Za — —2т\х g Zo ; Za = Ъа = ZT ;
i-2^3Z0 ; Z5/ = -UtV^Ot1^) ;
2тдЪ-2ддЪ2 ■ Ъ52 = 12т»-2*Ъ~2ддЪ2 ■
?
Ъ? = -
Zf =
Ъ? =
Zf =
Z5a4 =-
■ Z? = Ъ-4дд(д2г)
F3)
со стандартными константами Z (п.3.18) и Zo из C.200). Относительно
элементов 43 и 53 известно, что Z43 зависит только от д (по размерно-
размерности) и Ъьаъ = &ЪАаг/дц2е в силу связи C.201). Само значение Z43 из общих
соображений п.3.30 не определяется (известно лишь, что разложение Z^3
начинается с д3 или выше) и при необходимости должно вычисляться
непосредственно по диаграммам. Для определения критических размер-
размерностей оно не понадобится, но войдет в матрицу U из D4).
Мы хотим по известной Ъа вычислить матрицы 7f = — Т>цЪа ■ ZF и
ДР = dF + 7F- Выкладки несложны, но громоздки, если исходить не-
непосредственно из определения C1) и проверять в процессе вычислений
сокращение полюсов по е в 7f- Гораздо проще вычислять 7f с помощью
п. 10 Второй пример: скалярные операторы с rf* = 4 359
соотношений D7). Мы лишь кратко поясним выкладки и приведем ре-
результаты. Для всех содержащихся в F3) констант Z, с i = 1,2,3, #, г, <р
можно ввести соответствующие РГ-функции 7» = Х>д InZ,(jgr) =
j3dg 1п7,{(д). Все они не зависят от £ и связаны эквивалентными C.110)
соотношениями C), а /? = —дBе + уд) согласно A.114). Из определения
7,- вытекают равенства УФ-к.ч.2>мг,- = 7. и ддЪ{ = 7»Z,//? = —ц/2гд +
старшие полюса по 1/г. С учетом этих соотношений из D7) легко нахо-
находятся искомые элементы y'J11 причем для некоторых вкладов ZJ,* удобнее
пользоваться первым равенством D7), а для других — вторым, что до-
допустимо ввиду линейности соотношений D7). Например, для ZJj5 =
2з + Z~45<93Z3 имеем 7р5 = -УФ-к.ч. Ъ^Ъд + BeVg - Х>Д вклад ~ 1/е
в дддЪг = -7з + 2sVg\9{-~i7i/2sg)} = ~Ъ ~ ^>э7з = ~73 - Vg{lg + 47„).
Для содержащих Zo элементов F3) результат выражается через РГ-
функцию A9). Вычисления упрощаются при учете свойства коммута-
коммутативности операции 2еТ>д—Т>^ в D7) с множителями т, дц2е и операциями
Vg = gdg, A~2едд. В итоге получим:
fl1 =0, 7F21 = 277^70 - 7р22 = 7F33 = ~Ъ ,
<7Уо) , 7Р1 =
F4)
743 = УФ-к.ч.[2£Рзг43] , 7р3 = 674
7р4 = 457^ , 7р4 = 24/'~2г7^ > 745
штрихами обозначены производные по <?, все отсутствующие в F4) эле-
элементы равны нулю. Полагая везде д = д* (в этой точке 73 = ~2е и
<773 = —ft — ~ш согласно A.114) и определению индекса ш в A.156))
и добавляя к 7р диагональную матрицу приведенных в начале раздела
канонических размерностей, получим искомую матрицу ДР. По ней
можно найти критические размерности Д,- и соответствующие базис-
базисные операторы D4), которые имеют данные размерности. Для первых
трех операторов ответы уже фактически известны из результатов п.9:
■Fih = -^ir = 1) -^2н ~ оператор E8) и Р^я = d2F'2^ = ^3r с критиче-
критическими размерностями Д1 = 0, Дг = d — Дт, Д3 = 2 + d — Дт соответ-
соответственно (везде d = 4 — 2е, Ат = 2 + 7* - критическая размерность т).
Для старших операторов 4,5 соответствующие Д<},5 можно найти как
360 Глава 4. Критическая статика
собственные значения 2x2 блока 4,5 в матрице ДР, они оказываются
равными d и d + ш. Размерность Д4 = d имеет оператор
- <7»/i2EiW6 , F5)
а размерность Д5 = d + ш - оператор
(бб)
9=9*
Во избежание недоразумений напомним (п.3.28) определение соответ-
соответствующих F1) ренормированных операторов: F\H = 1, F2n = [^n]n, -^зн
= 92[$1]я, F4B. - [^н^2^н]н, hn = [^]н, аргумент х и свертки по
индексу поля <ра в О„-у4-модели везде подразумеваются. По извест-
известной из F4) матрице ДР можно прямо проверить, что операторы F5)
и F6) действительно удовлетворяют вытекающим из D2) диагональ-
диагональным уравнениям критического скейлинга [— Vx + АТТ>Т]Р-Я = Д.'-РУд с
Д4 = d, Д5 = d + uj.
В заключение отметим, что выражение tF^ имеет такую же кри-
критическую размерность d, как и оператор F5), поэтому может примеши-
примешиваться к нему с произвольным коэффициентом.
п.11 Использование соотношений п.3.29 при определении
критических размерностей составных операторов. В п. 10 мы
действовали по стандартной схеме, но в данном случае вид операторов
F5), F6) и их критические размерности можно было бы найти проще
из приведенных в п.3.29 общих соотношений.
Оператор C.195) в любой модели связан соотношением C.188) с функ-
функционалом WH. В формулах гл.З под WR понимается функционал с ва-
вакуумными петлями, РГ-уравнение для него имеет вид A2). При д = д*
из этого уравнения стандартным способом (п.7) получается аналогич-
аналогичное E0) с добавкой неоднородности уравнение критического скейлинга.
Подействовав на него операцией А(х)8/8А(х), получим аналогичное од-
однородное уравнение для функционала A(x)8Wn(A)/8A(x), входящего в
правую часть равенства C.188). Однородность полученного уравнения
означает, что данный функционал имеет определенную критическую
размерность. Ее легко найти: поскольку вклад неоднородности исче-
исчезает, сам функционал Wh(^4) в конструкции A(x)8Wn(A)/8A(x) можно
считать просто критически безразмерной величиной. Его вариационная
п. 11 Использование соотношений п.3.29 361
производная 8WR(A)/5A(x) имеет тогда размерность d— ДА (п.1.15), при
умножении на А(х) к ней добавляется ДА. Таким образом, при д = д*
выражение в правой части равенства C.188) всегда имеет определен-
определенную критическую размерность d, поэтому ту же размерность должен
иметь и оператор C.195) при д = д„. Нетрудно убедиться, что в нашей
модели этот оператор совпадает с F5).
Второй нетривиальный оператор (бб) связан с выражением dgSn(<p),
которое является интегралом по х от локального оператора. Соотноше-
Соотношение C.192) с Л = д связывает соответствующий составной оператор с
величиной dgWH = dgW^, где W^ - функционал из A3) AпСн и его ко-
конечная часть от д не зависят). Дифференцируя по д уравнение A3а) для
W'n с оператором A.122) и полагая затем д — д*, с учетом определения
7о в A8) получаем:
LdgWi + [идд - iTVT + 7;РА] w; = ^т2/Г2е7о/2 . F7)
Здесь 7' = 9gf для всех у, подстановка д = д* после выполнения диф-
дифференцирований по д везде подразумевается, учтено определение w =
/?'(<?*) и введено обозначение
L = [VPr + 7V2?A] |3=3, = V» - tfVT + %VK F8)
для действующего на W'n в A3) оператора в фиксированной точке. Этот
оператор коммутирует с Т>т и Т>А, поэтому для соответствующих про-
производных из A3) и A8) получаем следующие уравнения:
LVTW'n = Vt2(i-2*7o , LVAW^ = 0 . F9)
Из F7) и F9) следует, что функционал Ф' = (ujdg—/TT>T+'/v,VA)W^ \g=g,
удовлетворяет неоднородному уравнению (L + ш)Ф' = cVr2fi~2£ с из-
известным коэффициентом с = ш*/0/2 — 7o7j- b правой части. Добавкой
подходящей константы к функционалу Ф' неоднородность можно устра-
устранить, построив тем самым функционал Ф с определенной критической
размерностью Д[Ф] = w (напомним, что уравнение критического скей-
линга для Ф получается вычитанием РГ-уравнения (L + ш)Ф = 0 из
канонического масштабного уравнения с с?[Ф] = 0 по аналогии с выво-
выводом уравнения E0), откуда и следует Д[Ф] = ш). Опуская несложные
выкладки, приведем получаемый таким путем результат:
362 Глава 4. Критическая статика
Формулы п.3.29 позволяют сопоставить данному функционалу интеграл
по х от некоторого локального составного оператора, а именно,
Ф = « [ {ыдд - iTVT - %,¥>j^) 5вЫ ]н + const » G1)
с той же константой, что и в G0). Отметим, что под знаком дд и 2>А
различие между WH и W^ из A3) исчезает, а для Т>т из соотношений
A3),C.192) и C.199) с Л = т вытекает равенство VTW'H =<£ [VTSB]n »,
которым мы и воспользовались выше при определении соответствую-
соответствующего функционалу G0) составного оператора в G1).
Мы показали, что оператор под знаком <С • •. 3> в G1) имеет опре-
определенную критическую размерность w, поэтому соответствующее ему
подынтегральное выражение при подстановке в G1) SB = f dx ... имеет
размерность d + ш. В нашей модели оно и будет с точностью до мно-
множителя оператором (бб), но с потерей вклада F3n = д2р2Я, который
исчезает при интегрировании по х. Этот вклад фактически остается
неопределенным и в (бб) без явного вычисления 7р3 по диаграммам.
п. 12 Оп-у4-модель: расчет 1- и 2-петлевых диаграмм ренор-
мированного коррелятора в симметричной фазе. В следующих
разделах мы намерены в качестве примера рассмотреть подробно скей-
линговую функцию коррелятора в симметричной фазе с двухпетлевой
точностью (вклады порядка 1, е и е2). Ее £-разложение строится не-
непосредственно по обычному ряду теории возмущений для ренормиро-
ванного объекта (п. 1.36). Технически удобнее вычислять диаграммы
не самого коррелятора, а связанной с ним соотношением A.98) 1-не-
приводимой функции Ггн = —D^1. Все ее 1- и 2-петлевые диаграммы
приведены в B.50), в нашей модели
Г2н = -р2-т+ Т-Лъ + jRk + ^73 , г = ^ , G2)
где 7; -диаграммы B.50) в порядке следования для простой у>4-модели в
базовой теории (линия (к2 + т)~1, вершинный множитель — дв — —g(i2s),
R - символ Д-операции, г - дополнительные структурные множители
группы Оп (п.3.20). Однопетлевой граф 71 нужно вычислять с учетом
членов нулевого и первого порядка по е, а двухпетлевые диаграммы 72,3
- только нулевого. При вычислениях в этом разделе будем пользоваться
следующими обозначениями:
1'ы=&'а = -с + ш G3)
п. 12 Расчет диаграмм ренормированного коррелятора 363
(везде С = — фA) - постоянная Эйлера), а также обозначениями и спра-
справочными формулами п.3.15.
Расчет диаграмм 71,2 элементарен: импульсный интеграл диаграм-
диаграммы 7i приведен в C.87а), домножением его на —g(t2s получаем 71 =
—ur\\ — 1 + e\\t*, отбором полюса по е находим контрчлен L71 = UT/£i
вычитая его из 7ь получаем ответ:
Д71 = -ит [ || - 1 + е|| f + 1/е] . G4)
Разлагая это выражение по £ с нужной точностью, имеем (ф'A) — тг2/6):
G5)
Для второй диаграммы значение Д72, в соответствии с общим пра-
правилом C.104), является произведением величины G4) и ренормирован-
ной вершинной петли (домноженное на —дц2* выражение C.876) минус
полюс по е), т.е.
Д72 = и\ [ || -l+e\\f + 1/е ] [\\e\\ f-1/e]. G6)
В нулевом порядке по е
i?72 = -ЛаA+«). G7)
Нетривиален лишь расчет диаграммы 7з, причем все сложности свя-
связаны с массивностью линий, - та же безмассовая диаграмма в п.3.21
вычислялась элементарно. Выполнить явно все интегрирования в 7з
при е ф 0 или хотя бы в Д73 при е = 0 до конца не удается, так что
задача состоит в сведении ответа к более простому, желательно од-
однократному интегралу, удобному для исследования различных асимп-
асимптотик. С помощью формул C.82) и C.87) можно представить 7з дву-
двукратным интегралом по параметрам, но его трудно сводить к одно-
однократному. Мы будем прямо вычислять по правилу A.356) фурье-образ
координатной диаграммы, являющейся простым кубом линии с коэффи-
коэффициентом д2цАе. Выражение для линии в координатном представлении
получается из справочной формулы C.79), в которой нужно положить
d = 4 — 2е, a = 1, m = т1!2. Эта величина зависит лишь от модуля
расстояния, поэтому при вычислении фурье-образа можно выполнить
интегрирование по углам с помощью соотношения A.87в). В итоге для
7з(р, т) получается следующее представление однократным интегралом:
7з = тиН2* Q(u) , G8)
364 Глава 4. Критическая статика
Q(u) = 16u-1+rfdx x~1+2s J»Bwx) K3Bx) , v = 1 - e , G9)
где Jv - функция Бесселя, Kv - функция Макдональда. В соответствии
с общей идеологией (п.1.19) интеграл G9) должен пониматься как ана-
аналитическое продолжение по е из области е > 1/2, в которой он хорошо
определен.
Полюса по е порождаются расходимостями интеграла G9) при х — 0.
Разложение функции Kv при малых х известно из C.81):
s=0
(80)
В интеграл G9) входит куб этого выражения. Куб первого слагаемого
(80) плюс утроенное произведение его квадрата на первый член ряда
(80) с s = 0 назовем "сингулярной частью" К3 \а, прочие вклады —
"регулярной частью" К3 |г, так же будем называть соответствующие
вклады в выражения G8) и G9). Все УФ-расходимости сосредоточены
в сингулярном вкладе. В регулярном можно просто перейти к пределу
е = 0, тогда вместо представления (80) имеем (см.C.806) и C.70)):
1 ^ х2з+1
2х Щ^Ту.
Отсюда для регулярной части интеграла G9) при е — 0 получаем:
/°° dr
— Jx{%jx) KfBx)\ , (82)
X 'г
где
К3Bх)\г = К*Bх)-±-±(Ъх+С- \) . (83)
Рассмотрим теперь сингулярный вклад, скомбинировав его с контр-
контрчленами, порождаемыми Д-операцией. При подстановке ряда (80) в
G9) с ограничением сингулярными вкладами (см. выше) почленное
интегрирование можно выполнить с помощью справочной формулы
п. 12 Расчет диаграмм ренормированного коррелятора 365
что приведет в итоге к следующему выражению для сингулярной части
выражения G8):
\\2-e\\2-2e\\
(85)
Контрчлены от подграфов порождаются показанной в C.27) Д'-опера-
цией. В обозначениях этого раздела имеем R'f3 = 7з — З71 • -^7i 1 гДе
I/7i = —u/e - контрчлен вершинной петли. Подставив известное (см.
начало раздела) выражение для 7ь рассмотрим комбинацию
Я'Ъ |. = 7з |, - 3u2r || - 1 + е|| t'/e (86)
с 7з I» из (85). Разложив все гамма-функции по £ с нужной точно-
точностью (как при вычислении трехпетлевых контрчленов в п.3.21), не-
нетрудно найти УФ-расходящуюся часть (полюса по е) выражения (86),
т.е. контрчлен
£7з = и2[-р2/4е + ЗтA - е)/2е2} , (87)
а также вклады нулевого порядка по £ в (86), которые в сумме с регу-
регулярным вкладом (подстановка (82) в G8)) дают искомую величину
Е=0 = и2{р2[1пи,-а/2-П/8] +
(88)
2
Приведенным методом можно было бы найти и следующие члены раз-
разложения Й7з по е, но нам они не понадобятся. Отметим также, что
полученное выше выражение (87) для контрчлена данной массивной
диаграммы согласуется с данными табл.14 в п.3.20.
Нам потребуется в дальнейшем асимптотика функции Qr{ui) в (88)
при малых и больших ш. Асимптотике ш -> оо соответствует разло-
разложение функции (83) по степеням х, получаемое подстановкой в (83) из-
известного ряда (81). Ведущим членам порядка w" соответствуют в (83)
вклады порядка х (все с точностью до логарифмов, которые при исполь-
использовании соотношения (84) воспроизводятся дифференцированием по а).
Отобрав их, получим:
Qr(u) = Зог2 [4 ln2u/ + 3 lnw- 1/4 ] + ....
366 Глава 4. Критическая статика
Вкладам порядка х3, х5 и т.д. в (83) соответствуют обозначенные мно-
многоточием в (89) поправки порядка и~4, ш~6 и т.д.. При желании их
нетрудно найти подстановкой функции (83) с известным из (81) разло-
разложением в интеграл (82) и отбором нужных степеней х.
Сложнее находится асимптотика ш —)■ 0. Само представление (82)
для ее получения неудобно. Проще вернуться к исходному выражению
G9), подставив в него разложение функции Бесселя:
.-^-,(^, = ^-^1 + ... (90)
(нас интересуют лишь эти два члена). Интегрирование в G9) можно
затем выполнить с помощью справочной формулы ([93], стр.403):
x3F2(a1,a2,a3; I - u,a4; 1/4) + [ || - i/||aiJ|ai|HH|/||a + v\\ ]x
X3-F2(c*i, c*2, c*5; 1 + v, a6; 1/4) ,
где c*i = (a + v)/2, a2 = (a - v)/2, a3 = (a - 3^)/2,
a4 = A + a - u)/2, a5 = (a + 3i/)/2, a6 = A + a + u)/2 ,
a 3F2 - гипергеометрическая функция, представимая хорошо сходящимся
однократным рядом. Разложив по £ с нужной точностью все входящие
в ответ величины, от приведенных в (90) вкладов в интеграл G9) по-
получим:
с константами ао = 0.694910244..., ai =: -5.256132 ..., которые нахо-
находятся путем численного суммирования двух сравнительно несложных
однократных рядов. Подставив (91) в G8) и сгруппировав полученное
выражение с контр членами от подграфов (приведены в (86)) и от графа
как целого (87), уберем все полюса по £ и найдем искомую асимптотику
ш ->• 0 функции Qr(u) в (88):
QT(u) = -6 In2 ш + с1+ ш2[с0 -1пш] + ... , )
ш~+ ° . > (92)
с0 = 2.031302412... , о. = 0.5158604... . J
п. 13 б-разложение скейлинговой функции 367
Константы сод просто связаны с аод из (91) (со = ао — С/2 +13/8, с\ =
ai + тг2/4 + ЗС2 — 9С+15/2) и являются учетверенными значениями кон-
констант Qoo и Qoi, введенных в работе [94], в которой была впервые вы-
вычислена скеилинговая функция коррелятора с двухпетлевои точностью
(подробнее об истории в п. 14).
п.13 g-разложение нормированной скейлинговой функции.
Приведенная скеилинговая функция /(z) в выражении A.161) для кри-
критической асимптотики коррелятора определяется соотношениями A.149)
и A.163), которые можно переписать в виде
/(z) = р2 DR |u=u., p^, r=z/l2 , (93)
где гг» - координата фиксированной точки Gг). Непосредственно по
диаграммам G2) вычисляется обратная к (93) функция
A(z) = l//(z) = -р-2Г2н|и=и.,р=^|Г=г;12 . (94)
Подставив сюда известные из G5),G7) и (88) значения графиков с
и —* и* из Gг) и указанными в определении (94) заменами переменных
(для величин G3) при этом ш —у z/2, а —У 1пDтг) — С — lnz), получим
следующее явное выражение для первых членов £-разложения;
<95)
где 0 = 1пDтг) - С, 1(ъ) = zQr(u) |ш=2-1/з. Асимптотики функции I(z)
известны из соотношений (89) и (92):
= 3z2[ln2z-|lnz-i]+O(z3)!
(9б)
= z [ci- ^ln2z| +c0+hnz + O(l/z) . (97)
L Z 1 l
Z-+OO
При p —у 0, r = const ренормированный коррелятор и выражение A.161)
для его критической асимптотики, как и обратные к ним величины,
368 Глава 4. Критическая статика
должны разлагаться в ряды по целым степеням р2. При учете предста-
представления A.161) для Dn аналитичность по р2 функции Г2н = — D^1 в (94)
соответствует асимптотическому разложению
Z) = Z' /in -(- fti Z + »2Z +■■■ (9o)
z—voo
со стандартными критическими индексами у = 1 + О(е), ^ = 1/2 + О (г)
(п. 1.37) и произвольными коэффициентами Л„. Подставив в (98) ин-
индексы и коэффициенты в форме £-разложений (для индексов они из-
известны, для коэффициентов - еще нет), можно сравнить результат с
известной из (97) асимптотикой функции (95), причем точности (97) до-
достаточно для контроля двух первых членов разложения (98). Поясним
подробнее: подставив асимптотику (97) в (95) и отбросив все вклады с
логарифмами, мы должны получить, согласно (98), величину AoZ + Ai,
что позволяет найти £-разложения коэффициентов АОд с точностью до
е2 включительно (оба начинаются с единицы). По этим данным и из-
известным £-разложениям индексов 7 и v из представления (98) можно
затем однозначно предсказать коэффициенты при всех вкладах того же
типа (z и 1) с логарифмами и затем сравнить их с теми коэффициен-
коэффициентами, которые получаются при подстановке (97) в (95). Все нужные
коэффициенты в (95) оказываются правильными, что свидетельствует
о согласованности выражения (95) с асимптотикой (98).
Коэффициенты Аод в (98) меняются при преобразованиях
A(z) -»■ A'(z) = ciA(c2z) (99)
с произвольными множителями ci2, которые соответствуют произволь-
произвольным изменениям единиц измерения поля и различных переменных в его
корреляторе. Поэтому, как уже говорилось (п. 1.33), объективную цен-
ценность представляют лишь нормированные функции, в которых произ-
произвол типа (99) устранен какими-нибудь добавочными условиями норми-
нормировки. В качестве таковых для обсуждаемой сейчас функции обычно
используется условие
Ahodm.(z) = Z7 [1 + Z~ " + A2Z~ "+...] , (ЮО)
z—*-oo
т.е. Анорм_ получается из (98) преобразованием (99), обеспечивающим
тривиальность двух первых коэффициентов Аод. Ясно, что ^-разложение
нормированной функции получается просто отбрасыванием в (95) всех
п. 14 Анализ асимптотики г —у 0 369
аналитических в асимптотике z—у оо поправок порядка z и 1 без лога-
логарифмов к нулевому приближению A0(z) = z + 1 с одновременной под-
подстройкой под представление A00) коэффициента при £2z lnz, что дает
Г r/ v 4-п . 2- га2 + 22п + 52 ,
х < I(z) - с0 - ciz -) —z In z — —z In z
A01)
Отсюда с той же точностью находим £-разложение нормированной скей-
линговой функции самого коррелятора:
, , , ... . .
/„OPM.(Z) = 1/Лнорм.B) =
A02)
2z2ln2
Г Гг/ х 4-п , 2 1 , 7i2z2ln2z 1
X < t]2 i(z)-co-cizH — zhrz -72zlnzH — >
Здесь и далее для сокращения записи через -у/, щ и т.п. обозначены
коэффициенты при BеI в известных (п.1.37) £-разложениях соответ-
соответствующих индексов, в частности,
о п+2 п+2
7i = 2j/i
2(n + 8) ' " 2(n + 8J '
A03)
(n + 2)(n2 + 22n + 52) V ;
72 ~ 4(n + 8K
п.14 Анализ асимптотики т —У 0 с помощью операторного
разложения Вильсона. Рассмотрим теперь случай т —у 0, р — const,
соответствующий в критическом режиме A.161) асимптотике т-р~Лт —у
0 при одновременно малых (в масштабе /i) аргументах р и г (п. 1.34). В
скейлинговых функциях типа (93) это соответствует асимптотике z —у
0, причем в силу пропорциональности z и т в определении (93) степеням
тА в корреляторе DR соответствует zA в /(z) и /hoPm.(z).
В отличие от рассмотренного ранее случая р —У 0, асимптотика
т —у 0 коррелятора _DR уже не будет простым рядом по целым сте-
степеням малой переменной т: помимо таких вкладов, в ней будут при-
присутствовать и дробные степени г, что впервые было отмечено в работе
[95]. Набор соответствующих показателей степеней легко находится
с помощью обсуждавшегося в гл.З операторного разложения Вильсона
370 Глава, 4. Критическая статика
для произведения двух операторов. Ренормированный коррелятор есть
среднее значение оператора C.210). При усреднении вклады всех опе-
операторов с внешними производными д в формулах п.3.33 исчезают (что
соответствует нулевому внешнему импульсу, втекающего в вершину
составного оператора в терминологии п.3.27), малым параметром опе-
операторного разложения становится лишь т£2 в обозначениях п.3.33, т.е.
тр~2 для фурье-образа коррелятора. В схеме MS коэффициенты Bi в
разложении Вильсона C.217) полиномиальны по г, так что все дроб-
дробные степени т в критическом режиме порождаются средними значени-
значениями ренормированных составных операторов FR. Среднее значение ло-
локального составного оператора в нашей модели зависит лишь от одного
ИК-существенного (п. 1.15) параметра т, и если FR имеет определенную
критическую размерность ДР = Д[.РЯ], то в критическом режиме
<FR> = const • тд"/Дг , /104)
где Дт = lfu - критическая размерность температуры.
В разложение C.217) входят ренормированные операторы, которые
являются в общем случае некоторыми линейными комбинациями опера-
операторов с определенными критическими размерностями, в коэффициентах
при них в общем случае присутствуют любые целые степени т. Отсюда
ясно, что асимптотика т —)■ 0 ренормированного коррелятора в крити-
критической области имеет следующий общий вид:
где cnF - не зависящие от т коэффициенты, a J^F ... обозначает сумми-
суммирование по всем входящим в операторное разложение ренормированным
составным операторам с определенными критическими размерностями
ДР. Некоторые из них могут иметь нулевые средние A04), тогда в A05)
соответствующие вклады отсутствуют.
В конкретных расчетах операторы F классифицируются по величине
d* = dp |Е=о (п.3.28) и разбиваются на группы с rf* = 0, 2,4,... (средние
A04) отличны от нуля лишь для операторов с четными значениями dF).
Значения ДР отличаются от rf* лишь поправками порядка е, е2 и т.д.,
так что в идеологии "малого г" ведущие члены асимптотики A05) опре-
определяются вкладами с малыми п и rf*. Конечно, если ^-разложения ДР
не обрываются и неизвестны точно, мы ничего не можем сказать о вели-
величине ДР при конечном е, так что по необходимости вынуждены ограни-
ограничиваться стандартной идеологией "малого г" (п.1.16). По этому поводу
можно лишь добавить, что сам факт существования конечного корре-
коррелятора непосредственно в критической точке (т = 0) можно считать
п. 14 Анализ асимптотики т —У 0 371
аргументом в пользу неотрицательности всех ДР в A05) при реальном
значении 1е = 1 (но и это еще не доказательство, так как при наличии
бесконечного числа отрицательных ДР все расходящиеся при т —у 0
вклады нужно как-то суммировать, и они могут сложиться в конечное
выражение; строго запрещено иметь лишь конечное число отрицатель-
отрицательных ДР в A05)). Реально все расчеты в данной модели опираются на
г-разложения, т.е. не выходят за рамки идеологии "малого е".
Рассмотрим подробнее первые члены асимптотического разложения
A05). Множество значений п + ДР/ДТ с п = 0,1,2,... будем назы-
называть "серией", порождаемой ДР, операторы F будем классифицировать
по величине rf* = 0,2,4,.... Единственными операторами с rf* = 0, 2
являются F = 1,<р2, соответственно.
Обсуждаемый коррелятор 0„-у>4-модели в симметричной фазе кра-
кратен даь по индексам поля. Их можно свернуть, что позволяет ограни-
ограничиться О„-скалярными операторами. Для F\ = 1 имеем ДР = 0, с опе-
оператором F2 = <р2 ассоциирована критическая размерность ДР = d — Ат
(п.9). Этих двух операторов достаточно для определения точных по-
показателей вкладов порядка 1 и т в A05) (под порядком здесь и далее
подразумевается целая степень т без учета поправок ~ е, е2,... в пока-
показателе). Для определения показателей следующих вкладов порядка т2
нужны все операторы с rf* = 4, причем операторы с внешними произ-
производными д несущественны (см. выше), так что нужны лишь операторы
F4 = fad2fa, F5 = (<pa<paJ из рассмотренной в п.10 системы F1) и опе-
оператор Fi = fadidkifa из тензорной системы в п.3.32. С операторами
2*4,5 ассоциированы критические размерности d и d+to, соответственно
(п. 10). Первый из них можно отбросить, поскольку порождаемая им се-
серия п + d/AT целиком содержится в серии п + (d — Дт)/Дт рассмотрен-
рассмотренного ранее оператора <р2 (отметим также, что из соотношения C.188)
вытекает равенство нулю среднего значения оператора такого типа в
любой модели). Критические размерности операторов рассмотренной
в п.3.32 системы мы ранее не обсуждали, но их легко найти: первые
пять те же, что и для системы F1), а размерности операторов Fe.7
определяются просто диагональными элементами блока 6,7 матрицы
C.209) ввиду его треугольности. Соответствующими диагональными
элементами матрицы Za будут Z^6 = ZT и Z7a7 = 1 (п.3.32), откуда на-
находим (п.7) 7Рб = ~1т и -yl7 = 0. Следовательно, для интересующего
нас оператора F-j критическая размерность совпадает с канонической
(ДР = dF = d) и несущественна для дальнейшего по той же причине,
что и для F$.
Таким образом, в рассматриваемом приближении A, г, г2) из опера-
372 Глава 4. Критическая статика
торов с d* = 4 новую серию порождает лишь Fs с ДР = d+ ш, так что
мы имеем три серии, а именно: п от F = 1, п + (d — Дт)/Дт от ip2 и
n + (d + ш)/Ат от F5 = <р4. Для определения асимптотики A05) с точ-
точностью до т2 включительно нужны вклады с п = 0,1,2 в первой серии,
п = 0,1 во второй и только п = 0 в третьей, т.е.
DR т=о А1+ А2т+ A3TX-a+ А4т2+ А5т2~а+ А5т2~а+Ш1/+ ... , A06)
где v = 1/ДТ) а = 2 — dv - индекс теплоемкости из A.19), а все А{
- не зависящие от т амплитудные множители, содержащие в крити-
критической области известные (по известной критической размерности DR)
отрицательные степени импульса.
Ввиду пропорциональности гиг асимптотике A06) соответствует
i+ C2z+ C3z1~a+ C4z2+ C5z2-a+ C5z2~a+uv+ ... , A07)
где Сп - некоторые константы. Подставив в A07) все индексы и коэф-
коэффициенты Сп в форме £-разложений и отобрав вклады порядка 1,6, е2,
можно сравнить результат с асимптотикой z —)■ 0 функции A02), в ко-
которой нужно ограничиться вкладами порядка l,z,z2 с точностью до ло-
логарифмов. Таким путем несложно убедиться в согласованности вы-
выражений A02) и A07), получив информацию о первых коэффициентах
£-разложений констант Сп. Следует подчеркнуть, что это возможно
лишь ввиду знания точных показателей степеней в A07), т.е. информа-
информации, получаемой не из РГ-уравнения для рассматриваемого объекта, а
из других соображений, в данном случае - из операторного разложения
Вильсона.
Результаты такого расчета сводятся к следующему:
00 о
Сп — / . Bг) Сп1 ; Сю = 1 ; Сго = -. ;
Сзо = б/(п - 4) ; С40 = С50 = 0 ; С60 = 1 ;
Си =0;С21 = -С31= (n+2)Gn + 20)/(n+8)D-nJ ;
C4i + Csi + Cei = 0 ; (n - 4)C4i + 2(n + 2)C6i =
= (-п3 - 17п2 + 22п + 392)/2(п + 8J ;
п. 14 Анализ асимптотики г —> О
373
ii + С32 = %Bсо - сх)
= 772Bс1-ЗсО-3/4)
A08)
с % из A03) и константами сОд из (92). Таким образом, для ампли-
амплитуды С\ однозначно определяются все три первых коэффициента е-
разложения, для Сг,з ~ первые два плюс одна связь на третьи коэф-
коэффициенты, для С4,5,б — только первые плюс две связи на вторые и одна
на третьи - большего из двухпетлевого приближения A02) получить
нельзя.
Гораздо более сложный трехпетлевой расчет коэффициентов Ci,2,3
выполнен в работе [96], a Са,ъ,6 ~ в [97]. Приведем без вывода получен-
полученные в этих работах результаты, дополняющие данные A08):
С22 = m [-7Г2Я! - Я2 - (п + 2)Я3 - СC)Я4] /2(п + 8)(п - 4K
+ СC)Я4] /2(п + 8)(n - 4K ,
С13 = m [-4C2 + с0Я5 /4(n + 8J] , C4i = rj2 ,
Сы = -2/(n + 2) , Cei = Цп + б)(п + 14)/2(n + 2)(n + 8J ,
C43 + C53 + Сез = i»[-3ci + 8c3 - 32/5+
A09)
с двумя новыми константами сг = 0,26825496 ..., сз = —0,51401... и
полиномами Ях = (тг + 8J(тг-4J, Я2 Н 2(тг4 + 50п3 + 1332тг2 + 5696п +
7744), Яз = 2(С1-2с0)(тг+8)(тг-4J, Я4 = 48(n+8)(n-4)En+22), Я5 =
тг2 - 56тг - 272, Яб = — 17тг4 + 440п3 + 6756п2 + 18896га + 736. R7 =
192(тг + 2)(тг + 8)Eтг + 22).
Связанные преобразованиями типа (99) величины относятся к од-
одному классу эквивалентности, который характеризуется общими для
всех элементов класса значениями индексов и нормированных скейлин-
говых функций. Преобразования ренормировки также имеют вид (99),
поэтому вычисляемый теоретически ренормированныи коррелятор и из-
измеряемый экспериментально неренормированныи должны иметь одина-
одинаковые универсальные характеристики, что позволяет сравнивать тео-
теорию с экспериментом. При обработке экспериментальных данных кор-
374 Глава 4. Критическая статика
релятор в критической области обычно представляют в виде
D = A t-i д{х) , х = р$ , £ = frr" , (ПО)
где 7, v - стандартные индексы, р - волновой вектор, А - нормировоч-
нормировочный множитель, t = (Т — Тс)/Тс (в отличие от нашего т = Т — Тс), £
- корреляционная длина, д(х) - нормированная условием ^@) = 1 скей-
линговая функция. "Истинная корреляционная длина" £ист определя-
определяется положением полюса коррелятора в комплексной плоскости р2: по-
полюс находится на отрицательной полуоси в некоторой точке р2 = —т2,
равенство т = £~<4 - определение £ист. Но это определение неудобно
практически, поэтому экспериментаторы оперируют обычно с "эффек-
"эффективной корреляционной длиной" £ (различие лишь в нормировке £о),
определяя £2 как коэффициент при р2 в асимптотике р —У 0 функции
1/д(р£) из (ПО), представляющейся рядом по целым степеням х2 = (piJ
(п. 13). Из такого определения £ следует, что
iM*)x=0 i + *2 + ... • (ш)
Это соответствует нашему условию нормировки A00), а функция д(х)
из A10) связана с нашей /HOpM.(z) из A02) соотношением
д{х) = аГ2+"/ноРм.B) . A12)
Поэтому из A07) определяется асимптотика функции д(х) при х —> оо,
изменяется лишь аргумент (z —> х) и показатели степеней при неизмен-
неизменных коэффициентах С„.
Закончим этот раздел краткой исторической справкой. Как уже го-
говорилось, на необходимость присутствия в асимптотике т —>■ 0 неанали-
неаналитических вкладов типа тх~а впервые было указано в работе [95]. При-
Приведенные в A08) двухпетлевые результаты для трех первых коэффи-
коэффициентов С^г.з были получены в работе [94], трехпетлевой расчет Ci,2,3
выполнен в [96], все результаты для С.4,5,6 получены в [97]. Изложенный
в п. 12 новый вариант двухпетлевого расчета удобен для нахождения по-
поправочных членов асимптотики т —у 0, но его трудно обобщить на трех-
петлевые диаграммы Гз- В трехпетлевом расчете [96] результат пред-
представляется двукратным интегралом, для которого сравнительно просто
находятся вклады порядка 1 и г в асимптотике т —> 0, чего достаточно
для определения коэффициентов Ci,2,3- Но уже для следующих членов
порядка т2 расчет очень громоздкий, хотя именно таким путем, за не-
неимением лучшего, были получены результаты [97] для С.4,5,6-
п. 15 Голдстоуновские сингулярности при Т <ТС 375
Скейлинговые функции типа д(х) в (ПО) измеряются в эксперимен-
экспериментах по критическому рассеянию света. Большинство экспериментов вы-
выполнено для бинарных смесей, критическая точка которых относится
к классу эквивалентности модели Изинга и описывается простой v?4-
моделью (га = 1). Только такие эксперименты дают возможность пря-
прямого измерения индекса т) по асимптотике х —> со функции д(х) (см.
соотношение A12)), т.е. t —> 0 в (ПО) (волновой вектор р в экспе-
эксперименте фиксирован). Поскольку экспериментально область больших
х — р£ труднодоступна, при обработке данных важно знание попра-
поправочных членов A07), а также выбор интерполяционной формулы, свя-
связывающей асимптотики функции д(х) при больших и малых х = р£.
Эти вопросы подробно обсуждаются в работе [98] при обработке дан-
данных конкретного эксперимента. Общий обзор данных по этой тематике
и дополнительные ссылки можно найти, например, в книге [52].
В заключение добавим, что в работе [96] вычислены также два следу-
следующих члена (я4 и я6) асимптотики A11) в трехпетлевом приближении.
Коэффициенты при этих поправочных членах оказываются очень ма-
малыми, чем и объясняется практическая пригодность простейшего при-
приближения 1/д(х) — 1 + х2 в области не слишком больших х = (р£), -
факт, хорошо известный из обработки экспериментальных данных.
п.15 Голдстоуновские сингулярности при Т < Тс. В предыду-
предыдущих разделах мы рассматривали скеилинговую функцию коррелятора
О„-<р4-модели в симметричной фазе, характеризующую критическую
асимптотику р —> 0, т ~ рАт —> 0.
В этом разделе мы рассмотрим на примере той же модели систему с
однородным внешним полем h ф 0 при т < 0 в произвольной размерно-
размерности 2 < d < 4 и обсудим голдстоуновскую асимптотику
р->-0, ft~p2->-0, т = const . A13)
Проблема нетривиальна лишь при т < 0 и только для моделей с непре-
непрерывной группой симметрии (га > 2) из-за присутствия в них голдсто-
уновских сингулярностей (п.2.4), порождаемых исчезновением при
h —> 0 массы т|_ ~ h поперечных мод в разложении
сра(х) = <р±(х)+4(х) , $(х) = М*))е„ . A14)
Здесь еа - единичный вектор направления внешнего поля ha = hea (мы
будем пользоваться обозначениями п.п.2.4 и 2.10, в последнем h —> А).
Сформулируем сразу основной результат [99], сводящийся к следу-
следующим двум утверждениям:
376 Глава 4. Критическая статика
1. Голдстоуновская асимптотика A13) всех корреляционных функ-
функций полей A14) Оп-9?4-модели может быть получена подстановкой
4>±(х) = ara(x), <pl{x) = ca(x)ea a[x) = [1 -ж2{х)}1'2 , A15)
где с - некоторый нормировочный множитель, а тг и a - соответственно,
поперечное (к ео) и продольное поля нелинейной On-f-модели (п.2.26):
п2(х) + ст2(х) = 1.
2. При определении ведущего сингулярного вклада асимптотики
A13) полных корреляционных функций полей A14) тг можно считать
свободным полем с коррелятором
< тготг6 > = Р^ь [ср2 + eft] A16)
в импульсном представлении, а для продольного поля а тогда можно
использовать следующее приближение:
<г(х) = [1-jt2(*)]1/2Sc + «t2(*). A17)
Буквами "с" в соотношениях A15)—A17) и в других формулах, этого
раздела обозначаются различные не зависящие от h и р константы. Их
зависимость от прочих параметров типа т подразумевается, так что эти
константы в общем случае могут быть размерными.
Утверждение 1 означает совпадение (с точностью до нормировок)
голдстоуновской асимптотики в у?4- и с-моделях, а утверждение 2, спра-
справедливое только для ведущего сингулярного вклада, есть дальнейшее
упрощение, сводящее задачу к теории свободного поля тг, в которой
нужно вычислять корреляционные функции самого поля и составного
оператора тг2. Первое утверждение справедливо с точностью до попра-
поправочных множителей типа Ri в A18), а второе - с точностью до попра-
поправочных множителей типа R2'-
Ri = 1 + 0{h, hd'2) , R2 = l + Ofah*'2-1) . A18)
Мы указали в A18) лишь ведущие (относительные) регулярные и син-
сингулярные поправки с учетом h ~ р2 в A13), т.е., например, наличие
поправок ~ hdl2~l подразумевает также возможность поправок ~ pd~2
плюс высшие степени.
Сформулированные утверждения справедливы для любой размерно-
размерности 2 < d < 4. В этом интервале значений d поправки порядка hdl2 в
R\ всегда являются "малыми" (меньше, регулярных поправок порядка
h), тогда как величина поправок ~ hd'2~1 в R% зависит от d: вблизи
п. 15 Голдстоуновские сингулярности при Т < Тс 377
d = 4 они малы (~ h1 г для d = 4 — 2s), а вблизи d = 2 становятся
почти сравнимыми с ведущим сингулярным вкладом (дополнительная
малость ~ h* для d = 2 + 2е). В этом смысле утверждение 1 является
более общим, чем утверждение 2: сведение к ст-модели всегда возможно,
а дальнейшее упрощение с-модели с "почти такой же" точностью воз-
возможно лишь для d = 4 — 2е, тогда как для d = 2 + 2е при желании
суммировать все "не очень малые" поправки порядка hn* необходимо
работать с точной а-моделью (п.28). Но для ведущего сингулярного
вклада в полных корреляционных функциях без учета поправок утвер-
утверждение 2 всегда справедливо.
Переходя к доказательству приведенных выше утверждений, рас-
рассмотрим стандартный интеграл типа B.38) для Оп-у?4-модели A.63) во
внешнем поле ha = hea при т < 0 и сделаем в нем замену переменных:
<ра(х) = р(х)та(х), т2(х) = 1, т£ = тса, тп1] = аеа, а2 = 1 —тг2. A19)
По смыслу р{х) - длина тг-мерного вектора ф(х), т(х) - единичный век-
вектор его направления, новыми независимыми переменными считаются р
и тс, а а - функционал от тт.
При замене A19) в интеграле B.38) получаем:
G{A) ~ fDp J{p)fDm 8(m2 - 1) exp[S(/>, m) + р(тА)] , A20)
где J(p) = ПхР"^) - якобиан, 8(т2 - 1) = ПхФ^*) + <**(*) ~ Ч "
функциональная ^-функция, Dm = DirDa и
S(P, m) = -[(dpJ +P2{dmJ + rp2} /2 - gp4/24 + hpa , )
\ A21)
(dmJ = (dirJ + (daJ , (daJ = (irdirJ/(l - тг2) . J
Представление A20) записано по аналогии с обычными d-мерными инте-
интегралами, для которых dx = |x|d~1(i|x| • dn, а угловой интеграл по напра-
направлениям п = х/\х\ ti-мерного вектора х может быть представлен в виде
обычного d-мерного интеграла с ^-функцией, т.е. в виде J dn S(\n\ —
1)... = J dn 28(n2 — 1) Несущественный вклад от произведения
двоек в A20) опущен.
Смысл функциональных ^-функций подробно обсуждался в п.2.27, а
конструкции типа J(p) формально интерпретируются с помощью соот-
соотношения (все интегралыи ^-функции ti-мерные)
Y[J(x) = ехр [6@) Jdx 1п/(*)] , 6@) = 6(х) |х=0 = Bir)-d Jdk , A22)
378 Глава. 4. Критическая статика
получаемого предельным переходом из решеточной аппроксимации. Они
дают кратные Ad добавки к действию, которые служат лишь для ком-
компенсации аналогичных степенных по Л расходимостей в диаграммах
новой теории возмущений, получаемой при нелинейной замене перемен-
переменных в функциональном интеграле. Отметим, что при вычислениях в
формальной схеме размерной регуляризации вклады типа A22) отбра-
отбрасываются вместе с прочими степенными по Л расходимостями (п. 1.20).
При т < 0 функционал A21) имеет соответствующую минимуму
энергии точку стационарности ira(x) — 0, а(х) = 1, р(х) = и, где и -
решение первого уравнения B.41). После сдвига р(х) = и + ~р(х) в эту
точку роль массовых параметров тр>ж для полей р, ж будут играть, со-
соответственно, величины г.. и т±_ из соотношений B.41). В асимптотике
A13) тж = т|_ ~ h —)■ 0, тогда как тр = т.. остается конечной вели-
величиной порядка т, т.е. радиальное поле р в беспетлевом приближении
остается массивным при h = 0. Это свойство не нарушается и при
учете петлевых поправок от взаимодействия полей р~ и ж в A21), по-
поскольку 7г входит в это взаимодействие только в комбинациях EтJ
и her. Наличие двух производных или множителя h ослабляет ИК-
сингулярности собственно-энергетических диаграмм поля р до такой
степени, что эти диаграммы при нулевом внешнем импульсе и h = 0
оказываются конечными, т.е. приводят лишь к конечному сдвигу пара-
параметра тр. По той же причине ведущие сингулярные вклады диаграмм
< р{х) >= и+ < ~р(х) > кратны ftd/2, так что учет их зависимости от h
соответствует поправкам типа множителей Ri из A18).
Выполнив в A20) функциональное интегрирование по р, получим
представление
G(A) ~ jDm 6(m2 - 1) ехрФ(т, А) A23)
с некоторым функционалом Ф в показателе. Из A20) и A21) следует,
что Ф зависит от ти А лишь через посредство трех локальных величин
(дт(х)J = Fi(x), ha(x) = ^г(х) и т(х)А(х) = Fs(x). Ввиду массивно-
массивности поля р зависимость Ф от этих F{ является "аналитической", т.е. Ф
представим в виде функционального тэйлоровского разложения по сте-
степеням самих Fi и их всевозможных производных dFj, ddFi,....
В соответствии с общими принципами построения флуктуационных
моделей (п. 1.16) при оценке ведущих ИК-сингулярностей исследуемой
асимптотики в функционале Ф следует пренебречь всеми заведомо ИК-
несущественными вкладами, в данном случае, - всеми старшими степе-
степенями и всеми производными Fi по сравнению с простейшими линейными
п. 15 Голдстоуновские сингулярности при Т <ТС 379
по Fi вкладами. В таком приближении
Ф(т,А) = cu2(dmJ+ cuha + cu{mA) . A24)
Множители и выделены для обеспечения канонической безразмерности
всех коэффициентов "с", а однократное интегрирование по d-мерному
аргументу х в A24), как обычно, подразумевается. Представление A23)
с показателем A24) эквивалентно ст-модели.
При оценке величины поправок от отброшенных в A24) ИК-несущест-
венных вкладов можно пользоваться стандартными аргументами п. 1.16,
но только после перехода (хотя бы мысленного) к новому полю т(х) =
ит(х), что необходимо для устранения из свободной части действия в
A24) размерного параметра и, остающегося конечным в исследуемой
ИК-асимптотике A13). После такого перехода все локальные мономы
под знаком подразумеваемого в A24) интеграла будут иметь стандарт-
стандартную размерность d, так что пренебрежение их квадратами соответ-
соответствует поправкам с добавочной размерностью pd ~ hdl2, а производ-
производными типа d2F (ввиду скалярности выражений производных не меньше
двух) - поправкам с добавочной размерностью р2 ~ h. Эти соображения
и определяют вид поправочных множителей Ri в A18), характеризую-
характеризующих погрешности от перехода к ст-модели A24).
Мы привели обоснование сформулированного в начале раздела утвер-
утверждения 1: с точностью до поправок типа R\ в A18) голдстоуновская
асимптотика описывается с-моделью. Использованная аргументация
не опирается на конкретный вид взаимодействия <р4, поэтому остается
в силе для произвольного локального и Оп-инвариантного взаимодей-
взаимодействия, например, для (у2K. Она очевидным образом обобщается и
на модели с более сложными (например, матричными) полями и груп-
группами симметрии. Общее утверждение можно сформулировать следу-
следующим образом: для любой локальной модели типа S(ip) = —(dipJ/2 +
V(<p) с инвариантным относительно некоторой непрерывной глобальной
группы g преобразований поля ip (векторного или матричного) функ-
функционалом действия голдстоуновская асимптотика типа A13) в фазе со
спонтанно нарушенной симетрией описывается соответствующей обоб-
обобщенной с-моделью, в которой роль голдстоуновских мод 7г играет базис
в пространстве состояний, получаемых действием локальных группо-
групповых преобразований д(х) на заданный "вектор спонтанной намагничен-
намагниченности" < ср >0. Это пространство локально изоморфно фактор-группе
д/до, где д0 - "малая группа" симметрии в фазе с заданным значением
< ср >0, соответствующим одному из минимумов потенциальной энер-
энергии (для векторного поля <7о есть одномерная подгруппа вращений во-
380 Глава 4. Критическая статика
круг выделенного направления спонтанной намагниченности). Для бо-
более сложных моделей с тензорными (матричными) полями ср структура
многообразия д/ до может быть гораздо более сложной, й это естествен-
естественный способ введения нетривиальных матричных обобщений векторной
о--модели [45]. Локальное инвариантное взаимодействие V(ip) исходной
модели при этом никогда не дает вклада во взаимодействие голдсто-
уновских мод, так что функционал действия любой с-модели всегда по-
порождается только кинетическим членом ~ (dipJ. Отметим, что одно из
матричных обобщений с-модели используется в квантовополевой фор-
формулировке теории локализации Андерсена [100] (см. также обзор [101]
и- работы [102], существенно дополняющие [100]).
Переходим теперь к обсуждению утверждения 2. Оно также обосно-
обосновывается простым анализом размерностей: если подставить в действие
о--модели A24) получаемые из A19), A21) разложения (dmJ и ha по
я-, получим свободный вклад типа c(dWJ + chW2 с h = h/u, W = uir
и безразмерными коэффициентами "с" плюс вклады взаимодействия,
простейшие из которых имеют вид (WdWJ и Лтг4 с точностью до не-
несущественных степеней и, а прочие содержат добавочные множители
тг2. Ясно, что даже простейшие взаимодействия ИК-несущественны
по сравнению со свободными вкладами, так как отличаются от них
лишь добавочными "малыми" множителями W2 с положительной раз-
размерностью с?[тг2] = d — 2 (важно, что нет взаимодействий типа тг2п без
множителей д2 или h, которые могли бы конкурировать со свободным
действием).
Таким образом, все взаимодействия полей тг в функционале A24)
являются ИК-несущественными вкладами. Согласно общей теории
(п. 1.16), такие вклады лишь перенормируют коэффициенты при ИК-
существенных (в нашем случае свободных) вкладах действия и поро-
порождают регулярные (~ h) и сингулярные (~ hd'2~1) поправки к веду-
ведущим сингулярностям исследуемой ИК-асимптотики. Последние опреде-
определяются только ИК-существеннной частью действия, в нашем случае, -
свободным действием cu2(dirJ + cuhn2 поля тт.
Корреляционные функции исходных полей A14) определяются ва-
вариационными производными функционала A23) с показателем A24) по
соответствующим источникам в форме (mA) = irAL + aA^, в частно-
частности, корреляторы D^ и D" полей A14) кратны связным частям средних
< 7Г7Г > и < a a >, соответственно. В ведущем приближении поле ж
можно считать свободным, так что коррелятор D^~ кратен выражению
A16). Для намагниченности < у?" >~< о" > и продольного корреля-
коррелятора Z?", кратного связной части < <т<т >, в разложении а по тг2 можно
п. 15 Голдстоуновские сингулярности при Т <ТС 381
оставить только константу и ж2, учитывая ИК-несущественные стар-
старшие степени ж2 изменением коэффициентов при сохраняемых вкладах и
поправками.
Поясним это подробнее. При вычислении намагниченности < у?" >=
с < а > результат представляется в виде ряда из средних < ж2т(х) >
со свободным полем ж. Для простейшего из них имеем:
<ж2(х)>~ Jdk (cP + ch)'1 = ch.d-2 + chdl2-l+chh.d-A + ... A25)
с безразмерными коэффициентами "с" в правой части равенства. В тер-
терминологии п. 1.18 ее первое слагаемое есть регулярный вклад, второе -
ведущий сингулярный, третье - первая регулярная поправка. Для сво-
свободного поля ж среднее < тг2т(х) > кратно < тг2(х) >т. Любая целая
степень выражения A25) содержит среди прочих и ведущий сингуляр-
сингулярный вклад того же вида (~ hdl2~l), как в самом выражении A25). Это
значит, что ведущая сингулярность набирается от-всех степеней ж2 в
разложении а = [1 — тт2]1/2, но при этом учет вкладов всех старших сте-
степеней тс2 эквивалентен простому изменению коэффициента при первой
степени ж2.
Точно так же обстоит дело и с коррелятором D", который кратен
связной части среднего < аа >. Его ведущий сингулярный вклад опре-
определяется коррелятором < ж2 ж2 > (константа в разложении а по тг2 не
дает вклада в коррелятор), но такого же типа сингулярности присут-
присутствуют и во всех корреляторах < ж2тп2п >, приводя к перенормировке
коэффициента при ж2 в A17).
Сказанное поясняет утверждение 2 применительно к полю а, одно-
одновременно показывая, что константы "с" в A17) не являются простыми
коэффициентами разложения а по ж2. Их значения, при желании, можно
уточнить: например, коэффициент "с" при ж2 в A17) определяется ра-
равенством
| < д2а(х)/джа{х)джь{х) > \h=0 = сРаЬ , A26)
что очевидно из анализа соответствующих диаграмм с помощью из-
изложенной в п.2.2 техники (при дифференцировании следует считать
джа{х)/джъ{х) = Раъ = Sab — еое<,). Аналогичное представление можно
написать и для второй (аддитивной ) константы "с" в правой части со-
соотношения A17). В формальной схеме размерной регуляризации такие
перенормировки коэффициентов, разумеется, отсутствуют.
Суммируя сказанное выше относительно средних с полем а, для
голдстоуновской асимптотики A13) намагниченности а =< у?" > имеем
a{h) 2с<О= с + cft^2-1 + ей + ... , A27)
382 Глава 4. Критическая статика
для продольной восприимчивости
Xn(h) - da/dh - chd/2-2 + c+... , A28)
а для продольного коррелятора в импульсном представлении
£>" (р, h) = с < 7г27г2 >св.ч. = сП(р, Л) + с + ... , A29)
где П(р, h) — простая петля типа B.187) с линиями A16), аддитивная
константа "с" в A29) - ведущая регулярная поправка. Приведенные
асимптотики справедливы для любой размерности 2 < d < 4 с точно-
точностью до поправочных множителей типа R.2 из A18). Из сравнения с
формулами п.2.24 видно, что асимптотики A27)—A29) правильно вос-
воспроизводятся ведущим порядком 1/п-разложения.
Всю совокупность полученных формул для ведущих голдстоуновких
сингулярностей можно интерпретировать как голдстпоуновский скей-
линг (по аналогии с критическим), в котором роль ИК-еущественных
параметров (п. 1.15) играют только h ир~ l/х (но нет), а определенные
"голдстоуновские размерности" Дг[...] имеют переменные р, h и поля
7г(я) и <т{х) - < <г(х) >\h=o = W(x):
Дг[р]=1, Ar[h} = 2, Ar[ir{x)] = d/2-l , Ar[W{x)] = d-2 . A30)
Эти размерности, в отличие от критических, известны точно, как и
нормированные скейлинговые функции простейших корреляторов A16)
и A29). Из соотношений A16) и A17) легко найти явные выражения для
ведущих сингулярностей и всех старших связных функций < a... a >.
Старшие связные функции поля тс в ведущем приближении равны нулю,
нетривиальные вклады в них порождаются лишь (ИК-несущественным)
взаимодействием полей тс. В терминологии п. 1.3 все они являются по-
поправками к скейлингу с дополнительной малостью ~ hdl2~1 и могут
вычисляться в рамках простой теории возмущений для взаимодействия
в ст-модели A24).
Мы рассматривали асимптотику A13) при любом фиксированном
т < 0, поэтому результаты справедливы и в критической области малых
(в масштабе Л) значений т. В этой области голдстоуновская асимпто-
асимптотика должна совмещаться с формулами критического скейлинга, что
дает информацию о соответствующих скейлинговых функциях. Пояс-
Поясним это на простом примере намагниченности a(h, т) в ренормирован-
ной у?4-модели. По соображениям теории подобия в критической области
малых h и т имеем:
/(z) , z = c2h |г|-д*/Дт , A31)
п. 15 Голдстоуновские сингулярности при Т <ТС 383
где AF - критические размерности соответствующих величин (Аа =
Av = d — ДЛ), /(z) - скейлинговая функция, cii2 - неуниверсальные
нормировочные множители (п.1.33), содержащие должные степени ре-
нормировочной массы ц для обеспечения нужных канонических размер-
размерностей. Связанная с произволом о.\^ неоднозначность устраняется, как
обычно, переходом к нормированной скейлинговой функции.
Знание асимптотики A27) при h —> 0, т — const дает информацию
об асимптотике z —)■ 0 скейлинговой функции /(z) в A31): /(z) = с +
czd/2-i _|_ cz .]-__.. Входящие сюда безразмерные константы "с" после
фиксации нормировок можно вычислять в форме 4 — е-разложений.
То же самое можно сформулировать иначе: в критической области
коэффициенты "с" в A27) кратны степеням \т\ с известными по крити-
критическим размерностям показателями.
В заключение несколько слов об истории вопроса. Ключевым мо-
моментом в обосновании голдстоуновской асимптотики является то, что в
пределе h -> 0 радиальное поле р остается массивным даже при учете
его взаимодействия с безмассовыми в этом пределе голдстоуновскими
модами. Поэтому в переменных A19) проблема фактически тривиальна
и решается стандартными аргументами теории Ландау, позволяющими
свести задачу к ст-модели. Впервые все это было четко сформулировано
в работе [99]. К тому же выводу практически одновременно пришли
и авторы [103] на основании сформулированного ими "принципа посто-
постоянства модуля", понимаемого как возможность пренебрежения флукту-
ациями поля р = \tp\. Это соответствует простейшему приближению
стационарной фазы для интеграла по р в A20), что также сразу приво-
приводит к ст-модели, только без учета добавочных перенормировок констант.
Строго говоря, аргументы [103] не вполне корректны, так как, напри-
например, при достаточно сильном у?4-взаимодействии вклады петлевых по-
поправок в < р > сравнимы по величине с беспетлевым приближением,
т.е. флуктуации р в такой ситуации нельзя считать малыми. Они малы
лишь по сравнению с флуктуациями голдстоуновских мод тг, поскольку
те в пределе h —> 0 становятся "бесконечными". Это соответствует
неравенству тр ^> tv ~ h —>■ 0 и термину "массивность р" [99], более
точному, чем "принцип постоянства модуля" [103].
Простая на языке полей A19) проблема голдстоуновских сингуляр-
ностей выглядит весьма сложной, если рассматривать исходную <р4-
модель непосредственно в ее естественных переменных A14). При h — 0
поле у?" в беспетлевом приближении (теория Ландау) имеет конечную
массу Гц из B.41), но при учете петлевых поправок оно становится без-
безмассовым (при h = 0 и р —> 0 петля П в A29) имеет ИК-расходимость
384 Глава 4. Критическая статика
~ pd 4). Поэтому поле у", в отличие от />, нельзя просто исключить
из числа существенных переменных, что делает проблему исследования
голдстоуновских сингулярностей у4-модели непосредственно в терми-
терминах ее полей A14) весьма нетривиальной (в отдельных диаграммах £>Н
появляются более сильные, чем в петле A29), голдстоуновские сингу-
сингулярности, и нужно доказывать их взаимное сокращение). Существует
довольно большое количество работ (см., например, [104] и имеющие-
имеющиеся там ссылки), посвященных попыткам решения данной проблемы в
такой постановке, в частности, путем суммирования голдстоуновских
сингулярностей скейлинговых функций в 4 — е-разложении. Ни в одной
из этих работ, насколько нам известно, так и не удалось получить пол-
полное решение проблемы, т.е. обосновать асимптотики типа A29) во всех
порядках по е. Но этого фактически и не требуется, так как изложен-
изложенные выше результаты [99] полностью решают проблему голдстоунов-
голдстоуновских сингулярностей и заведомо перекрывают все, что можно получить
по этому поводу в рамках 4 — е-разложений.
п. 16 Двухзарядная у4-модель с кубической симметрией. До
сих пор мы обсуждали технику РГ в основном на примере Оп-'Р4-
модели. Рассмотрим теперь одно из ее обобщений - двухзарядную <р4-
модель для n-компонентного поля ср — {уа} с неренормированным дей-
действием
ЗД = -\(д<РJ ~ у<Р2 ~ ^ |>i(M + 92oV2] A32)
с обычными локальными формами {dip2) = dfa • dtpa, f2 == fafa, Vi =
{<p2J и вторым "кубическим" взаимодействием V2 = J2a ft- Данная мо-
модель мультипликативно-ренормируема (п.3.13), аналогом C.105) явля-
является ренормированное действие
о/ \ л о у (fypJ у Tip2 М2Ег7A) т/ ,7B) т/1 п„о\
SR(<p) — A5BaK - ^1 —2 Z2 -5 ~оа^ 3 9lVl + з 92*21 A33)
с обычными формулами ренормировки (п.3.18) для у, г и
Ло = 9ЦРЪ$ , ZW = Zfz~\ «=1,2 A34)
для двух зарядов. Вакуумный контрчлен А5вак в A33) будем считать
определенным соотношением C.106) с #в = giB = gifi2* в знаменателе.
Как уже отмечалось (п.3.21), приведенные в табл.14 в п.3.20 дан-
данные для индивидуальных диаграмм простой у4-модели могут быть ис-
использованы для расчета констант ренормировки и РГ-функций любой
модели типа у4. Специфика модели проявляется лишь в структурных
множителях г7 (п.3.20), расчет которых - элементарная задача по срав-
сравнению с уже выполненным расчетом полюсов по е простой у4-модели.
п.16 Двухзарядная ср^-модель с кубической симметрией 385
В высших порядках он может быть громоздким, тогда его имеет смысл
запрограммировать. Для модели A32) с трехпетлевой точностью его
можно выполнить вручную. Обозначим
щ = gi/l6n2 , u = wi , u2/ui = a , A35)
и будем считать, что множители (—и)' (/ - число петель) из диаграмм
вынесены, как в табл.14 в п.3.20. Дополнительные структурные мно-
множители г7, учитывающие в C.118) отличие рассматриваемой теории от
простой у?4-модели с одним зарядом g — g\, будут тогда определяться
(п.3.20) по индексным диаграммам с линиями 8аь и вершинами
ьаьы = »£L+«-»2L> A36)
где гл1) - обычная О„-симметричная вершина B.80), a vabcd = 8аь8ьс8с4
соответствует V2. Для каждой из диаграмм табл.14 в п.3.20 легко вы-
вычисляется соответствующий индексный граф с линиями 8аь и верши-
вершинами A36). Константы Zo и Ъ2 в табл.14 вычисляются по вершинным
диаграммам 74> отождествляемым с графами c?j?7o и ^т72 (п.3.20), ин-
индексная диаграмма сопоставляется тогда дифференцируемому графику.
Для не имеющих внешних индексов вакуумных петель 70 значение ин-
индексной диаграммы есть некоторая константа "с", для собственно-энер-
собственно-энергетических диаграмм получается с • 5аь, для вершинных после симме-
симметризации по внешним индексам получается линейная комбинация вер-
вершинных множителей cii/1) + c2vB\ все скалярные коэффициенты "с" -
полиномы по п и а из A35). Они и играют роль г7 для констант Zo,!^
и Z^1' в A33), тогда как для Z3 будет г7 = с2/а.
Поясним последнее. Сформулированное правило для вершин выте-
вытекает из общей формулы C.37), из которой в принятых сейчас обозна-
обозначениях следует VR = VB — LT4, где VB - базовое взаимодействие, VR ~
ренормированное, LT^ - вклады вершинных контрчленов. Если все эти
величины являются суммами независимых структур гД1) с коэффициен-
коэффициентами —д%в вУви — дгв^з в ^ri то из приведенной выше формулы имеем:
giB + [Ы4}{ = <7IBZ« , A37)
где [LF4]i - коэффициент при гА1) в вершинных контрчленах. В одноза-
однозарядной модели из A37) вытекает соотношение C.107) для Z3, получае-
получаемое переходом к нормированной функции по правилу C.91): Г4 = — дв?4-
Если же структур г/1) и соответствующих зарядов много и мы выделяем
посредством определения Г4 = — дв^4 один из них, а именно, giB = дв,
то из равенства A37) для любого г — 1,2,... получаем:
Zf = 1 - [£Г4], • giB/giB . A38)
386
Глава 4. Критическая статика
В диаграммах Г4 после выделения множителей {—иI (см. выше) роль
вершин будут играть величины A36). Из равенства A38) следует, что
при определении г7 для вершинных диаграмм -у получаемые по соот-
соответствующему индексному графику с вершинами A36) коэффициенты
Ci при структурах т>М сопровождаются дополнительным множителем
<7iB/</iB. В нашем случае из определений A35) следует, что этот мно-
множитель равен единице для Z3 и 1/а для Z3 , поэтому г-, = с\ в первом
случае и г7 = c2/ot во втором.
Все константы Z модели A33) вычисляются по данным табл.14 в
п.3.20 и общему правилу C.118), только с измененными значениями г7.
Эти новые значения г7 в модели A33) для всех 13 диаграмм табл.14
приведены ниже в табл.20 (для Z0|i2) и в табл.21 (для Z3 )• Нумера-
Нумерация диаграмм и множители ц — г,-(п) везде те же, что и в таблицах
п.3.20. Заголовок типа 8,13 обозначает, что две данные диаграммы
имеют одинаковые г7 для всех Z данной таблицы, а отсутствие какой-
нибудь диаграммы в таблице означает, что она не дает вклада в данные
константы Z.
Табл.20. Структурные множители г7 диаграмм -у из табл.Ц в
константах ренормировки ^од.г модели A33), а = gil$\-
граф
No
1
2
3
4
5
6
7
8.13
9,11
Zo
-
-
П(Г!+О)
-
-
n(r, + аJ
-
-
множитель г7 в коне
Z,
-
П + 2о + а2
-
-
пг2 + о(п + 8)/3 + За2 + а3
-
-
-
-
тантах
1-2
-
(ri + aJ
П + 2о + Q2
-
(ri+aK
r^ + a(n + 2) + «2(n + 8)/3+Q3
r2+a(n + 2) + «2(n+8)/3 + «:!
Г1г2 + о(п + 8)/3 + За2 + а3
п. 17 РГ-функции и критические режимы
387
Табл.21. Структурные множители г7 диаграмм ■у из табл.Ц в
константах ренормировки Щ модели A33), а = 92/91 ■
граф
No
множитель г., в константах
7B)
1
г2 + 2а/3
4/3 +а
4/3+2а +а2
г3 + 4а/3+а2/3
14)/9 + 8а/3+а2
32/27 + 8а/3 + 8а2/3 + а3
7,13
4а(Зп+14) , а2(п+18) , 2
27 + ~9 +
2а
Т
Г1Г2 т
4а(п + 5) , а2 (п + 20) , 2а3
^— т —^ т ~j~
2а
h\
( По*
0
10
, , 4а(п+12) 8а2
И
2аBп + 27) Ца* . а
г6+ ^27 ' + Т+
а(я + 40) | ца» | ^
ц
12
п. 17 РГ-функции и критические режимы. По данным таблиц
п.п.16 и 3.20 и общему правилу C.118) можно вычислить с трехпетлевой
точностью все константы Z модели A33), например,
Zl = 1-2Ы
10п+16
з
2 31
щ 2 + 2 Г • • ■
A39)
и аналогично для прочих Z. В качестве ренормированных зарядов удобно
использовать (п.2) величины щ из A35). При желании контролировать
выкладки проверкой сокращения полюсов по г в РГ-функциях 7и< —
388
Глава 4. Критическая статика.
у их следует вычислять путем решения системы двух линей-
линейных уравнений, получаемых непосредственно из определений ■yUi и $ =
/?и. = Т)цЩ с учетом аналогичного A.115) соотношения V^Ffa) = [flidUl +
/?2<9u2] • F(v), что приведет к аналогам равенства A.116). Если же не
заниматься проверкой сокращения полюсов поев РГ-функциях, то их
можно гораздо проще вычислять, как в п.2, с помощью соотношений
типа E) с заменой в них Т>д на Vu = VUl + PU3. В итоге по известным
константам Z получим:
1 Г п + 2
12 [ 3
71 Н~ О о
+ —г— ufii2 +
Id
2 + 10n+16
о
+ «2
+
1т =
п + 2 5
6 О
A40а)
-[(Зп+14)к2
Зы2-
A406)
Как и в п.2, мы привели 7^ в трехпетлевом приближении, а все прочие
РГ-функции - только в двухпетлевом, 7о не рассматриваем.
Обсудим кратко в рамках е-разложения возможные для данной мо-
модели критические режимы. Они определяются (п. 1.42) ИК-притягиваю-
щими фиксированными точками ы* = {ui*,W2*}, находящимися в обла-
области устойчивости базового взаимодействия (аналог д > 0 в простой <р4-
модели):
и2>0. A41)
Первое из этих неравенств обеспечивает нужную положительность фор-
формы tiiVi + U4V4 Для конфигураций частного вида {<ра} — {у, 0,0,...}, а
п. 17 РГ-функции и критические режимы 389
второе - для {(fa} — {<р, (f, <p,...}. Нетрудно показать, что два усло-
условия A41) вместе гарантируют положительную определенность формы
uiVi + U2V2 для любых конфигураций <р.
Отметим, что в ведущем порядке теории возмущений по ренорми-
рованным зарядам д условие устойчивости типа A41) для неренорми-
рованного и базового взаимодействий эквивалентны, поскольку в таком
приближении Z = 1. Отметим также, что точным критерием устой-
устойчивости является требование правильной выпуклости производящего
функционала 1-неприводимых функций Грина Г(<р) или TR(<p), что экви-
эквивалентно, так как эти два функционала связаны простым растяжением
аргумента A.79). Как любое точное свойство, оно должно выполняться
в ведущем порядке регулярного разложения функционалов по любому
параметру, в частности, разложения по числу петель. В ведущем по-
порядке петлевого разложения ренормированный функционал TR(<p) совпа-
совпадает с базовым действием (вклады контрчленов группируются с петле-
петлевыми поправками), что и оправдывает критерий устойчивости A41).
В общем случае в рамках ^-разложения /?-функции A406) имеют сле-
следующие четыре фиксированные точки (нули /?-функций):
No.l (гауссова) : wi* = и2* = 0 ;
No.2 (гайзенберговская) : wi* = 6s/(n + 8) + ... , иг* = 0 ;
No.Z (изинговская) : щ* = 0 , и2* = 2е/3 + ... ;
NoA (кубическая) : wi, = 2е/п + ... ,
u2* =2e(n-4)/3n+... .
A42)
При п > 1 все они находятся в области устойчивости A41).
Для определения типа этих точек нужно вычислить собственные зна-
значения 2 х 2-матрицы w,fc = dPi/duk в каждой из них (п. 1.42). Такой рас-
расчет показывает, что в низшем порядке по е эти собственные значения
оказываются равными — 2е, —2е для точки No.l, 2е, 2еD — пI{п + 8)
для точки No.2, —2е/3, 2е для точки No.Z и 2е, 2e{n — 4)/3n для точки
NoA. ИК-притягивающими являются те точки, для которых оба соб-
собственных значения положительны (п.1.42), т.е. в нашем случае только
точка No.2 при п < 4 и NoA при п > 4. Для первой из них в критиче-
критическом режиме появляется Оп-симметрия, для второй симметрия остается
лишь кубической. При п = 4 точки No.2 и NoA в однопетлевом при-
приближении A42) сливаются, поэтому для выбора между ними необходим
учет двухпетлевых поправок в /?-функциях A406).
Расположение фиксированных точек и качественное поведение фа-
фазовых траекторий (решений уравнений A.188) для инвариантных за-
зарядов) показано на рис.5 для двух характерных случаев п — 2 < 4 и
390
Глава 4. Критическая статика
п — 6 > 4. Штриховыми линиями показаны границы области устой-
устойчивости A41). Из приведенной на рис.5 картины фазовых траекторий
видно, что не все они попадают в область притяжения ИК-устойчивой
фиксированной точки: некоторые траектории, минуя щ, выходят на
границу области устойчивости A41), что интерпретируется как фазо-
фазовый переход первого рода (п. 1.42).
П = 2 <4 П =* 6> 4
Рис.5. Поведение фазовых траекторий инвариантных зарядов u(s, и)
при s = р/ц -> 0 для модели A33). Штриховые линии показывают гра-
границы области устойчивости A41).
е-разложения критических показателей для данного критического
режима получаются, как обычно, подстановкой координат соответству-
соответствующей ИК-устойчивой фиксированной точки и, в разложения РГ-функций
A40а).
п.18 Модель Изинга (одноосный магнетик) со случайными
примесями, (еI^2-разлоясения индексов. Приведенные в п.17 резуль-
результаты могут быть использованы для анализа критического поведения
одноосного магнетика с вмороженными случайными примесями [105,
106]. Одним из общепринятых способов введения случайных примесей
в гамильтониан модели Изинга A.16) является замена в нем 5* —У %%,
где pi - добавочная случайная переменная, принимающая значения 0
(дефектный пустой узел) или 1 (нормальный занятый узел) с задан-
заданными вероятностями С и 1—С, соответственно. Параметр 0 < С < 1
имеет смысл относительной концентрации дефектов - немагнитных уз-
узлов. Другой способ - введение аналогичной случайной переменной ри,
для каждой из пар (гк) соседних узлов решетки, по которым произ-
производится суммирование в A.16), что соответствует "модели Изинга со
случайными связями".
п.18 Модель Изинга со случайными примесями 391
Задача состоит в том, чтобы исследовать влияние примесей на кри-
критическое поведение системы. В отсутствии примесей оно описывается
простой у;4-моделью (гл.1). В работах [105] показано, что на таком
языке включение примесей любого из двух описанных выше типов при
не слишком высокой их концентрации (ниже так называемого "порога
протекания") эквивалентно добавке к обычному действию у;4-модели
взаимодействия с примесями Vnp_ = ф<р2 = J dx ф(х)<р2(х), где i>(x) -
гауссово случайное поле примеси с < ф >— 0 и коррелятором Аф (х, х') =
< ф{х)ф{х') >= Ло^(ж — х') с затравочной константой Ао > 0, пропор-
пропорциональной концентрации примесей С. Формальное описание примесей
методом реплик (п.2.31) приводит тогда к модели п-компонентного поля
ip = {ipa} с неренормированным действием B.234), в данном случае при-
принимающим вид:
(по повторяющемуся индексу а суммирование подразумевается). Если
нас интересуют лишь функции Грина основного поля tp, во всех функци-
функциональных интегралах можно выполнить гауссово функциональное инте-
интегрирование по ф, что приведет к модели A32) с затравочными зарядами
«Сю ~ — Ао ~ —С < 0, #20 = 9о > 0- Эти неравенства можно перенести
и на базовые параметры соответствующего ренормированного действия
A33) (см. текст после формул A41)):
щ < 0 , и2 > 0 . A44)
Таким образом, критическое поведение одноосного магнетика с вморо-
вмороженными примесями описывается моделью A33) с условиями A44) для
зарядов и п = 0 в конечных формулах по общему правилу метода ре-
реплик (п.2.31). Поскольку эаряд щ ~ gi пропорционален концентрации
примесей (см. выше), условия A44) и A41) сп = 0 совместны при малой
концентрации.
Случай п = 0 для /?-функций A406) особый, т.к. координаты фикси-
фиксированной точки NoA из списка A42) содержат п в знаменателе, так что
при п —у 0 эта точка исчезает, "уходя на бесконечность". Это следствие
случайного вырождения при п = 0 однопетлевых вкладов A406). Пояс-
Поясним подробнее. Координаты фиксированной точки типа NoA с wi* ф 0
и и2* ф 0 определяются из системы уравнений /?,/и,- = 0, i = 1, 2. При
поиске ы* в виде ряда по е эти уравнения в однопетлевом приближе-
приближении при п = 0 принимают вид 2е = 8wi/3 + 2иг, 2е = 4«i + Зи2. Ввиду
392
Глава 4. Критическая статика
взаимной пропорциональности правых частей ("вырождение") искомого
решения с и* ~ е не существует. Но из-за того же вырождения появля-
появляется возможность [106] искать решение системы Д/и,- = 0 для и* в виде
ряда по степеням е1/2, а не е, как обычно. Такое "аномальное" решение
действительно существует. Двухпетлевое приближение A406) с п = 0
позволяет найти явно лишь первые коэффициенты рядов:
= -3(Зе/53I/2
= 4(Зе/53I/2
A45)
Есть и второе решение, отличающееся знаком, но оно нам не понадо-
понадобится (см. ниже). Отметим, что точка A45) находится в квадранте
A44) и формально удовлетворяет условиям A41) с п = 0.
По ^-функциям A406) собственные значения матрицы d/3i/duk в
точке A45) можно найти лишь в первом порядке по (еI/2. Одно из них
в таком приближении оказывается положительным, а второе - нулевым,
так что его знак не определяется. Поэтому для определения типа точки
A45) нужны следующие вклады порядка е, т.е. трехпетлевые поправки
к ^-функциям A406). Трехпетлевой расчет был выполнен в работах
[107] (для него достаточно данных, приведенных в таблицах 14,20,21),
где было показано, что "примесная фиксированная точка" A45) дей-
действительно ИК-устойчива и "притягивает" все фазовые траектории с
начальными данными типа A44). Поэтому именно точка A45) опреде-
определяет критическое поведение примесной модели Изинга. Хотя изотроп-
изотропная точка No.2 в A42) при п = 0 тоже ИК-устойчива, она недостижима
при начальных данных типа A44), как и вторая "аномальная" фиксиро-
фиксированная точка, отличающаяся от A45) знаком. Это видно из показанной
на рис.5 картины фазовых траекторий, поведение которых в квадранте
A44) остается при п = 0 качественно таким же, как при п = 2.
Полученные в работах [107] трехпетлевые результаты для первых
членов (е) ^-разложений критических показателей имеют вид:
lL+a 216 + 63СC)|
106
A46)
ц =-
147-189СC)
л. 19 Расчет индексов для одноосного сегнетоэлектрика
393
где a = F/53I/2, 2е = 4 — d, £(z) - дзета-функция Римана.
При d = 3, т.е. 2е = 1 ряды A46) ведут себя гораздо хуже обычных е-
разложений: поправки больше первых членов и иногда даже меняют их
знаки. Это стимулировало попытки численного расчета индексов дан-
данной модели методом "ренормгруппы в реальном пространстве" (п.1.41),
результаты можно найти в работе [108].
п. 19 Двухпетлевой расчет е-разложений индексов для одно-
осного сегнетоэлектрика. Рассмотрим модель одноосного сегнето-
сегнетоэлектрика (п. 1.17) в размерности d = 3 — 2е, считая одно измерение
продольным, а прочие 2 — 2е - поперечными. Неренормированное дей-
действие A.73) без внешнего поля запишем символически в виде
ад = -
A47)
обозначив для краткости k± = к, k\\ = ui и подставив ^го = ^о-^о,
удобно по соображениям размерности (см. ниже). Канонические раз-
размерности всех величин в A47) для d = 3 — 2е можно определить из
табл.4 в п.1.17. Они приводятся ниже в табл.22, куда включены также
ренормировочная масса ц и все ренормированные параметры, размер-
размерности которых находятся из формул ренормировки.
Табл.22. Канонические размерности полей и параметров
модели (Ц7) для d = 3 - 2е.
F
di
4
dF
k,fi
1
0
1
ш
0
1
2
—е
1/2
1-е
г, т0
2
0
2
v,va
2
-1
0
Ао
2е
0
2£
А
0
0
0
Полностью безразмерный параметр А будет играть в дальнейшем роль
ренормированного заряда.
Анализ расходимостей диаграмм данной модели показывает, что для
нее остаются в силе все основные выводы общей теории ренормировки
(гл.З), если термин "размерность величины F" в них понимать сей-
сейчас как суммарную каноническую размерность d[F] = ^[F] + 2rf"[i;'].
Условием логарифмичности, в частности, является суммарная безраз-
мерность затравочного заряда d[go] — 2е = 0 (отметим, что выделение
из него множителей v или Vo с d[u] = 0 на величину d[go] не влияет).
394 Глава 4. Критическая статика
Из табл.22 видно, что величины <р, т0, Ао при d = 3 — 2е имеют в на-
нашей модели точно такие же суммарные размерности, как аналогичные
величины в простой у?4-модели с d = 4 — 2е. Поэтому, как и раньше,
порождающими контрчлены ПР-графами (гл.З) являются собственно-
энергетические G2) и вершинные G4) диаграммы (вакуумные петли
7о и соответствующие контрчлены рассматривать не будем). Струк-
Структура контрчленов определяется по их размерностям, которые должны
быть точно такими же (обе), как у соответствующих вкладов в дей-
действии A47). По этому поводу следует отметить, что в 72 допустим по
размерностям и контрчлен типа vw наряду с обычными к2 и т. Но такой
контрчлен (который нарушил бы мультипликативность ренормировки)
запрещен очевидной четностью всех диаграмм 72 по переменной ш = к\\.
Существенно новым по сравнению ^4-моделью моментом является
наличие в действии A47) нелокального вклада ~ ш2/к2. Из общей тео-
теории ренормировки известно, что данное слагаемое не должно ренорми-
роваться (т.е. для него Z = 1), поскольку "нелокальных контрчленов не
бывает" (п.3.13).
Из сказанного следует, что в пренебрежении вакуумным контрчле-
контрчленом ренормированное действие для модели A47) имеет вид
Sn{?) = - \ч> [Zi*2 + ^ + Z2t]<p- Z3^ <p4 . A48)
Это соответствует мультипликативной ренормировке действия A47):
ф — $пЪ<р , va = vZu , то - тЪт , Ао = A//2£Za , ]
4 з f (Н9)
Ъ\ = Ъу , 1 = Z^Z^ , Z2 = Zt-Z^ , Z3 = ZaZ^Z^ = ZaZv . J
Полностью безразмерные константы Z в схеме MS зависят только
от ренормированного заряда А (поскольку это единственный полностью
безразмерный ренормированный параметр) и вычисляются по диаграм-
диаграммам базовой теории, получаемой из A48) заменой всех Z единицами.
Константы Z можно вычислять по формулам C.107) и C.114), опреде-
определив нормированные функции Г с целочисленными размерностями ана-
аналогичными C.91) соотношениями Гг = Гг, Г4 = — j/A//2T4. Напомним,
что в формулах п.3.18 через £з обозначается операция, отбирающая по-
поверхностные расходимости (полюса по е в R'j) логарифмических диа-
диаграмм типа 74, а Ь2 отбирает аналогичную расходимость коэффициента
при р2 в квадратично расходящихся диаграммах 72-
При вычислении констант Z удобно, как обычно, перейти к безмас-
безмассовым диаграммам после выполнения дифференцирования по г в соот-
п. 19 Расчет индексов для одноосного сегнетоэлектрика 395
ношении C.114) для Z2 (п.3.19). Из A48) следует, что роль линии в
безмассовых диаграммах базовой теории играет пропагатор A(k,w) =
[к2 + и2ш2к~2\~1, а вершинным множителем является — <7В = —и\ц^г
(один на петлю в диаграммах 7 нормированных функций). Техниче-
Технически удобнее выполнять расчеты в ^^-представлении, сделав одномер-
одномерное преобразование Фурье типа A.35а) по переменной ш приведенного
выше пропагатора, что даст
A(k,t) = B^)"'1ехр [-к2 \t\/u] . A50)
Вид самих диаграмм 7 и их симметрийные коэффициенты с7 в раз-
различных константах Z те же самые, что и в простой ^4-модели, они
приведены в табл.14 в п.3.20.
Поясним расчет величин Щ = KR'j на примере первой диаграммы
7i из таблицы 14. Она расходится логарифмически, поэтому расчет
можно выполнять при любой конфигурации поперечного (р) и продоль-
продольного (ш) внешних импульсов (п.3.19). Удобно взятье = 0, р ф 0, тогда
в ^-представлении для данной диаграммы
7(р) = -v\fi2eBir)-2+2s fdkfdt A(k,t)A{p-k,t) . A51)
Подставив сюда выражения A50) для пропагаторов Д и выполнив ин-
интегрирование по t, придем к интегралу по поперечному импульсу к со
знаменателем к2 + (р — кJ = 2к2 — 2рк +р2. Сдвигом к он приводится
к известному интегралу C.74), в итоге получим:
7(р) = -и D*(л2/Р2У Ы\ , « = V167T • A52)
Отбирая здесь полюс по е, находим KR'j = L37 = ~иЫ-
Сравнительно несложно вычисляются величины £О7 и для двухпе-
тлевых диаграмм No.2,3,4. из табл.14: для линий A50) сначала берутся
все интегралы по переменным t, остающиеся двухпетлевые интегралы
по поперечным импульсам к вычисляются с помощью фейнмановской
параметризации C.82) по справочным формулам п.3.15. Для этих че-
четырех диаграмм (нумерация прежняя) в итоге получается:
1
A53)
L373 = ~u2/e2, Хз74 = -u2(! ~ ae)/2e2 ,
где a = 2/3 + lnD/3), 2е = Ъ — dw.u = А/1бтг. Именно этот параметр
и удобно использовать в дальнейшем в качестве ренормированного за-
заряда.
396
Глава 4. Критическая статика
Подставляя в C.118) величины A53), коэффициенты с7 из табл.14 в
п.3.20 и г7 = 1, получаем:
A54)
Л Ъи Зи2 Зи2
Z3=1 + ^+4^+^A-a£) + --
Отсюда обычным способом (п.2) находим РГ-функции:
7„ =2u2/27 + -.., 7r =-« + au2-4u2/27+..
/? = /?„ = и [-2е + Зк - 6au2 + 2к2/9 + ...].
A55)
Фиксированная точка u* ~ г ИК-устойчива, по РГ-функциям A55) с
учетом явного вида a = 2/3 + 1пD/3) находим
г) = 27; = 4BеJ/243 + ...,
20
A56)
При 2е = 1 формулы A56) используются для двумерных систем с ди-
польными силами, а при е = 0 по известным РГ-функциям A55) и об-
общим правилам п.п. 1.43 и 1.44 можно воспроизвести результаты работы
[38].
Однопетлевой расчет е-разложений для данной модели был выпол-
выполнен в [58], а двухпетлевой - в [59] (с иной схемой вычитаний). В работе
[59] приводятся результаты для Оп-обобщения модели A47), получае-
получаемого заменой <р —у ipa, <pA —у (^?oVaJ- Это ведет лишь к добавлению
известных (из таблиц п.3.20) структурных множителей г7 для вкладов
диаграмм, вместо A56) тогда получается:
Г) =
4(п + 2)
BеJ + ... , l/i/ = 2 - 2е
(г.+ 2)
■mJ)]+-.
A57)
Отметим, что в ответе [59] для 1/v имеется опечатка (там (п + 8J вме-
вместо (п + 8K). Численно первые коэффициенты рядов A56) мало отлича-
отличаются от аналогичных коэффициентов обычных е-разложений в простой
^?4-модели.
п.2О Взаимодействие тац>4 397
п.20 Взаимодействие та(р4 (модифицированное критическое
поведение). Рассмотрим теперь модель типа ip4 с неренормированным
действием [109]:
= -(д<рJ/2 - го^/2 - AoroV/24 . A58)
Возможное происхождение взаимодействий такого типа в реальных за-
задачах обсуждалось в п.1.16. Там же было показано, что для данной мо-
модели верхняя критическая размерность (выше которой взаимодействие
становится ИК-несущественным) равна 4 — 2а = d** и не совпадает с
логарифмической размерностью d* = 4, - это и представляет интерес с
технической точки зрения. При d = 4 — 2е условие ИК-существенности
взаимодействия d < d** эквивалентно а < е, поэтому в идеологии е-
разложения е и а следует считать малыми одного порядка.
Модель A58) эквивалентна простой ^4-модели A.96) с д0 = Аот",
различие лишь в постановке задачи: раньше нас интересовала асимп-
асимптотика г0 —>■ 0, д0 — const, а запись A58) подразумевает т0 —у О, Ао =
const, т.е. до ~ т° ■—>■ 0. Чтобы эта задача была содержательной, под
го в A58) следует, конечно, понимать отклонение от истинной критиче-
критической температуры, обозначавшееся через t'q в п.1.21. Равенство то = т^
обеспечивается автоматически использованием при вычислениях фор-
формальной схемы размерной регуляризации (п.1.20).
Модель A58) можно просто свести к A.96) заменой
V{x) = то°да , х = тьох , а = аA - г)/2е , 6 = а/2е , A59)
преобразующей действие A58) к виду
S(ip) = -(д£J/2-то£2/2-Ао£4/24, то = тос A60)
с показателем с = (е — ot)/e. Условие ИК-существенности взаимодей-
взаимодействия а < е эквивалентно с > 0, что обеспечивает т0 = Тд —у 0 при
т0 —у 0, т.е. обычный критический режим для действия A60). Поэтому
для него должны выполняться все обычные предсказания простой (р4-
модели (гл.1), в частности, формулы критического скейлинга для кор-
коррелятора (как ренормированного, так и неренормированного, различие
лишь в несущественных для дальнейшего нормировках):
< £(х') !р(х") > = 7-2д* /(то гДт) , A61)
где "г = \х' — х"\, /- некоторая скейлинговая функция, а Дт>¥, - обычные
критические размерности у>4-модели. Переписав представление A61) в
398 Глава 4. Критическая статика.
исходных переменных (р, т0, г = \х' — х"\ с помощью соотношений A59)
и A60), получим:
тд0 , A62)
что соответствует критическому скейлингу с новыми размерностями
Д'т = Ат/(с + ЬАт) . A63)
Это и есть искомый ответ. Входящие в него параметры а, 6, с известны
явно (см. выше), a AT}(p - обычные критические размерности простой
^4-модели, известные в форме е-разложений.
Поучительно проанализировать ту же задачу с другой точки зрения,
рассматривая A58) как обычную ^4-модель с до ~ т". Из формул ре-
ренормировки A.103) с т'п = 713 (см. выше) с учетом конечности всех Z при
е ф 0 следует, что в ренормированных переменных теперь имеем д ~ та
вместо обычного д = const. Мы хотим понять, каким образом можно
воспроизвести полученные выше результаты на языке ренормированной
4 с д ~ та.
Это несложно сделать. Рассматривая РГ-уравнения для ренормиро-
ренормированных функций Грина, удобно выбрать в качестве масштабной пере-
переменной s = Tfi~2. Соответствующий инвариантный заряд g~(s,g) будет
тогда определяться соотношением A.179), что в однопетлевом прибли-
приближении приводит к A.154) с заменой s —> s1/2:
g(s,g) li-петл. =9 9* /b*s€ + д{1 -s*)] . A64)
Раньше нас интересовала асимптотика s = тр~2 —У 0, д — const, в
которой имели g~(s,g) —> д*. Теперь же нас интересует случай s —>
0, д ~ sa —у 0, и тогда поведение g~(s,g), как явно видно из выражения
A64) (но может быть обосновано и вне рамок однопетлевого прибли-
приближения), зависит от соотношения между параметрами а и е, а именно:
H(s>9) -* 0 при а > е и g~(s,g) —> д* при а < е. Первый случай соответ-
соответствует асимптотически свободной теории, т.е. ИК-несущественности
взаимодействия, второй - нетривиальному критическому режиму. Это
согласуется с общими выводами п.1.16.
Остается пояснить, каким образом при а < г происходит перестройка
Д —У Д' критических размерностей. Это легко понять, проанализировав
вывод формул критического скейлинга из уравнений РГ в п.1.33. При
д = const определенные в A.158) величины й(</) являются константами,
входящими лишь в несущественные нормировочные множители A.160).
п.21 Модель ip6 в размерности d = 3 — 2е
399
Но если положить g ~ sa —у 0, то в интегралах A.158) для с; появля-
появляется дополнительная логарифмическая особенность ~ Ins от нижнего
предела. Соответствующие добавки ~ Ins в A.157) превращают обыч-
обычные формулы критического скейлинга в новые с показателями A63), -
в этом и состоит механизм перестройки индексов.
п. 21 Модель у6 в размерности d = 3 — 2е. Рассмотрим стан-
стандартную MS-ренормировку простой у6-модели с однокомпонентным ска-
скалярным полем ip(x). Ее неренормированное и базовое действие, а также
канонические размерности всех нужных величин приводятся ниже:
S(<p) = -(дц>J/2-то<р2/2-gotp6/61 ,
A65)
SB(<p) = ~{д<рJ/2 - ту?/2-дв<рв/61, 9b =
A66)
Табл.23. Канонические размерности dP различных величин F
для (р6 -модели в размерности d = 3 — 2s.
F
dP
Ф)
1/2 -e
г, та
2
дв,9о
4е
9
0
/^
1
Г2„
3-п + 2е(п-1)
Из таблицы 23 видно, что неотрицательные размерности при
е — 0 имеют функции 1*0,2,4,6] поэтому все их диаграммы были бы ПР-
графами при ренормировке с обрезанием Л (п.3.2). Но мы воспользуемся
MS-ренормировкой в формальной схеме, в которой ПР-графы определя-
определяются критерием C.88). Входящие в него мономы М - построенные
из импульсов и т скаляры, поэтому имеют целые четные размерности
О, 2,.... Отсюда следует, что диаграммы Го и Г4 с нечетными (при
е = 0) размерностями не относятся к числу ПР-графов, т.е. не по-
порождают контрчленов, - они имеют лишь степенные по Л расходимо-
расходимости, которые игнорируются по соглашению (в схеме с Л это означает
точную компенсацию таких расходимостей соответствующими затра-
затравочными вкладами, которые следовало бы тогда добавить к A65)), но
не содержат полюсов по е. Доэтому контрчлены порождаются только
ПР-графами функций Г2 и Гб, то есть:
A67)
400
Глава 4. Критическая статика
Это соответствует мультипликативной (даже без вакуумного контр-
контрчлена) ренормировке действия A65):
Zi — Z^ , Z2 — Zt-Z^ , Z3 — ZgZ^ ,
Ф = Ф^ч> > ro = rZ'- > #0 = 9M4sZg ■
Константы Z определяются соотношениями типа C.107) и C.114):
Zi =• 1 + [L2f2] , Z2 = 1 + [1з№] ,
Za = 1 - [1зГ6] , Г2 = Г2 , Г6 = -
A68)
A69)
где Г2п = (—<7в)^ п^2Г2п - нормированные функции с целочисленными
размерностями </[Г2п] = 3 — п. Для вычисления Zij2 с точностью до д3
и Z3 до д2 включительно достаточно следующих графиков:
1 2 — ~P —
A70)
+ ?
Для обеих функций Г2]6 в порядках д и д1 приведены все диаграммы, в
порядке д3 - все без закороченных линий, в порядке д4 для Г6 - лишь
часть диаграмм, причем без симметрийных коэффициентов, которые
нам не понадобятся (см. ниже). Все диаграммы A70) имеют четное
число петель и по одному множителю — дв на две петли в нормирован-
нормированных функциях Г26. Результаты расчетов вкладов отдельных диаграмм
суммированы в табл.24, пояснения к ней даются ниже.
п.21 Модель ц>6 в размерности d = 3 — 2е
401
Табл.24- Вклады отдельных диаграмм в константы ренормировки Z
модели A67), d = 3 - 2е, и = g/64-ir2.
No
граф "/
симметрийный коэффи-
коэффициент су в константах
Z3
-5/3
J_
Зе
1/120
-1/24
-5/8
— 1 +4е
-5
-15/8
-5/18
6- 8е
1/72
2-8е
Зе2
-1/36
1 - 12е
Зе2
-1/12
10
2тг2
Зе
-1/48
11
-1/48
Поясним сначала принцип отбора диаграмм. Спецификой данной
модели является отсутствие однопетлевых ПР-графов - все диаграммы
A70) имеют четное число петель. Из-за этого не все они являются
ПР-графами, хотя по размерности одинаковы: если какой-нибудь УФ-
конечный (в формальной схеме) подграф выделяется из диаграммы в
виде множителя, то расходимости могут содержаться лишь в прочих
подграфах, а собственной (поверхностной) расходимости диаграмма как
402 - Глава 4. Критическая статика
целое тогда заведомо не имеет. В этом случае она не является ПР-
графом, т.е. не дает вклада в контрчлены.
В диаграммах A70) такими УФ-конечными сомножителями явля-
являются, в частности, закороченные линии и простые петли типа C.876),
если они факторизуются (в интегралах C.87) при d = 3 — 2е нет полюсов
по г). Поэтому любая диаграмма A70) с такими подграфами (напри-
(например, все четыре первых графика в Гг и диаграммы Гб с коэффициентами
15/4 и 5/16) не входит в число порождающих контрчлены ПР-графов.
Ясно также, что производные по т таких "ненужных" диаграмм Г 2 при
отождествлении их с вершинными (п.3.19) добавкой четырех внешних
выводов в точку C.112) будут также "ненужными" вершинными диа-
диаграммами. Поэтому такие диаграммы Гг можно отбрасывать еще до
дифференцирования по г (в отличие от диаграмм Гг с закороченными
линиями в ^4-модели, которые могут быть ПР-графами).
После отбрасывания ненужных диаграмм A70) остаются лишь при-
приведенные в табл.24 графики, причем четыре последних соответствуют
производным по т двух ПР-графов порядка д3 в IV Они используются
ниже только для расчета Z2 в порядке д3 (константу Z3 в этом порядке
не вычисляем), поэтому их симметрийные коэффициенты в Гб нам не
нужны и не приведены в A70).
Поясним теперь расчет приведенных в табл.24 величин. Все симме-
симметрийные коэффициенты с7 легко находятся по коэффициентам A70) с
учетом соотношений A69) и C.112). Величины £7 проще всего вычи-
вычисляются, как обычно, по безмассовым диаграммам с простой протечкой
одного импульса. При ее выборе следует избегать ИК-расходимостей,
порождаемых парой безмассовых линий с одинаковым импульсом ин-
интегрирования (п.3.19). Поэтому диаграммы No.1,2,4,5,6,7 в табл.24
можно вычислять с горизонтальной протечкой, а во всех прочих следует
обязательно пропускать внешний импульс через вершину с четырьмя
наружными выводами. Точкой втекания этого импульса в диаграммах
No.3, 8,9 будем считать крайнюю левую вершину, в диаграмме No.ll -
нижнюю, тогда все они сводятся к простым цепочкам. Для диаграммы
No.lQ естественный выбор нижней вершины в качестве точки втекания
импульса приводит к трудной диаграмме типа C.134). Поэтому здесь
удобно воспользоваться описанным в п.3.19 приемом, выбрав точкой
втекания импульса крайнюю левую вершину интегрирования (важно,
что диаграмма логарифмическая), тогда и этот граф сразу сводится к
простым цепочкам.
Аналогами формул C.122) и C.128) для произвольной диаграммы
п.21 Модель ip6 в размерности d — Ъ — 2е
403
с / петлями (/ четно, п = 1,3) будут теперь соотношения:
а = 1/2-е , а = Ц1/2-е|| /4тт3/2~' , d = 3- 2е ,
7 = (-и*£||1/2||)'/2 [р2Я(а)]C-">/2 H(Xnl)-q ,
ж2 , Л„, = 3 -п/2 - еA + 1) ,
A71)
где q, как обычно, - произведение только нетривиальных множителей
Н, появляющихся в процессе приведения координатной диаграммы к
простой линии с индексом Л„; (п.3.21). Величины q для всех диаграмм
табл.24 при указанном выше выборе протечки импульса легко вычисля-
вычисляются по формулам C.123) и C.124), в итоге получается:
qi = g2 = 1 , дз = Я(а,4а,</-5а) , д4 = ЯBа,3а,</- 5а) , '
д5 = ЯBа, 2а, d- 4а) , д6 = д7 = ЯCа, За, rf- 6а) ,
д8 = -Вд6 , дэ = -Вд4 , дю = -Вд5 , gn = BHBa,4a,d- 6а) ,
A72)
где В = Я(а, 7а - d/2, Sd/2 - 8а).
Подрасходимости имеются лишь в диаграммах No А, 6, 7,8,9 и только
от вершинных подграфов типа No.l; они устраняются, как обычно, R'-
операцией (п.3.8). Контрчлен диаграммы No.6 можно получить без
вычислений по правилу C.104). Диаграмма No.ll не содержит по-
полюса по г ввиду наличия компенсирующего нуля в цепочке с индек-
индексами звеньев 2а, 4а. Отметим также появление в ответах константы
я-2 ~ ^'A) ~ СB), чего не было в рассмотренных ранее примерах.
По данным таблицы 24 и общему правилу C.118) (сейчас г7 = 1)
находим константы Zi,2 с точностью до u3, a Z3 - до и2 включительно:
= 1 — «2/360е + u3 [l/243e - 1/324е2] + ... ,
Z2 =
Z3 =
+ u3 [5/108e2 - ll/27e - я-2/72е]
u2 [25/9e2 - 75/8e - 15тг2/16е] +
A73)
Отсюда по общим формулам A.113) или, что проще, с помощью соот-
соотношений типа C) и E) (в данном случае с к = 4, поскольку <7В = 9^£)
404
Глава 4. Критическая статика
находим все нужные РГ-функции. Их удобно выражать в терминах
и = д/64тг2, тогда получается:
lv = 7i/2 = «2/90 - 2«3/81 + . •. ,
7т = 72 - 7i = -16u2/45 + u3 [400/81 + тг2/6] + ... ,
/? = 2^ u = u(-4e - 7Э) = -4eu + 20u2/3-
A74)
-u3 [1124/15+ 15эг2/2] + ... .
По этим РГ-функциям находим координату ИК-устойчивой фиксиро-
фиксированной точки и* и соответствующие критические аномальные размер-
размерности (напомним, что d = 3 — 2s):
и, =
27е2[1124/7500 +
7; = £2/250 + е3 [2279/46875 + 27тг2/5000] + ... ,
j* = -16е2/125-е3 [30928/46875+171я-2/1250] +
A75)
По этим данным из соотношений A.162) и A.165) легко найти все про-
прочие индексы. Ояи характеризуют трикритическое поведение описыва-
описываемой моделью A65) системы в размерности d < 3. Непосредственно в
размерности d = 3 по РГ-функциям A74) и общим правилам п.п.1.43 и
1.44 можно найти логарифмические поправки к теории Ландау.
п.22 Модель ip4 + ip6. Рассмотрим обобщение модели A65) с добав-
добавкой ^-взаимодействия:
/2 -
SB(<p) = -{dipJ/2 - V/2 - \рР<р*/24 -
A76)
A77)
Мономы М в C.88) могут теперь содержать и положительные целые
степени ренормированного у>4-заряда А с d\ = 1, поэтому появляются
добгшочные контрчлены LTn от функций Го,4 с нечетными (при е = 0)
размерностями: LY0 — Х3ц~2ес+ \тц~2сс, LY4 = Xfi2ec, где "с" - зави-
зависящие только от д и е различные безразмерные коэффициенты. Контр-
Контрчлен LYq не изменяется, а в LY^ к обычным вкладам ст + ср2 про-
простой ^?6-модели добавится еще с\2. Полиномиальность по А добавочных
контрчленов означает, что они порождаются лишь диаграммами с опре-
определенным числом у>4-вершин при любом числе ^6-вершин. Например,
п.23 РГ-анализ у4 + <р6-модели 405
кратные Л контрчлены £Г4 порождаются диаграммами Г4 с одной (р4-
вершиной, а диаграммы Г4 с двумя и более такими вершинами уже не
будут по размерности ПР-графами.
Добавляя к функционалу A77) все указанные выше контрчлены (ва-
(вакуумный опускаем), приходим к следующему ренормированному дей-
действию:
5R(^)=-Z1(^J/2-(rZ2+A2Z5)^/2-Z4A/i2V4/24-Z3<?/i4V6/6! • A78)
Константы Zli2,3 здесь те же, что и в A67), а новые Z4,5 выражаются
через соответствующие нормированные функции Г (Г2 = Г2, Г4 =
—Л//2еГ4) соотношениями
Z4 = 1-
A2Z5 = [13Г2]
A79)
где L3 - обычная операция отбора поверхностных расходимостей (по-
(полюсов по е в R'j) логарифмических диаграмм, а символ |. указывает,
что в Г2_4 отбираются лишь диаграммы с нужным числом (одной для
Г4 и двумя для Г2) ^4-вершин, причем существенны лишь диаграммы
без закороченных линий (п.21).
В низшем порядке теории возмущений константы A79) определя-
определяются следующими графиками:
Ю + - A80)
и легко вычисляются (как в п.21), что дает
Z4 = 1 + 2и/Зе+... , Z5 = 1/384я-2е + ... , A81)
многоточия - поправки высшего порядка по и = д/64тг2.
Действие A78) получается из A76) стандартной мультипликатив-
мультипликативной ренормировкой, отличающейся от формул A68) лишь изменением
константы ZT —> Z'T и добавкой ренормировки А:
Ао = A/i2£ZA , г0 = тЪт + A2Z = rZ'T , ]
A82)
Z\ = Z4Zj , ZT = Z2Zj , Z = ZsZj . J
п.23 РГ-анализ трикритической асимптотики в у4 + ^-мо-
^-модели. Как пояснялось в п.п.1.14 и 1.16, модель A76) описывает три-
критическое поведение в системах с однокомпонентным параметром по-
порядка <р и симметрией ip -> —ip. Непосредственно трикритической точке
406 Глава 4. Критическая статика.
соответствуют значения т0 = Ао = 0, а трикритической асимптотике -
713 —У 0, Ло —У 0, до = const, так что параметры т0 и Ао существенно
отличаются от до по самой постановке задачи. Относительная малость
го и Ао может быть при этом произвольной, поскольку она определя-
определяется выбором конкретной траектории подхода к трикритической точке,
т.е. условиями эксперимента. В п.1.16 было показано, что в зависимо-
зависимости от относительной малости то и Ао соответствующая асимптотика
может быть либо чисто трикритической (т.е. ^-взаимодействие несу-
несущественно, назовем это для краткости "ситуацией А"), либо модифици-
модифицированной критической (<р6 несущественно - "ситуация В"), либо "комби-
"комбинированной трикритической", когда существенны оба взаимодействия
("ситуация С").
Эти выводы были сделаны в п. 1.16 путем сопоставления только ка-
канонических размерностей. Сейчас мы хотим посмотреть, как они со-
согласуются с РГ-анализом и как уточняются за счет учета порождаемых
ренормировкой аномалий.
При ренормировке в точной схеме с обрезанием Л регулярные вклады
(п. 1.19) привели бы к некоторой перенормировке параметров г, А, в част-
частности, к сдвигу положения трикритической точки, подобно сдвигу Тс в
^4-модели (п. 1.20); такую же роль могут играть и ИК-несущественные
вклады действия. Отбрасывая их при построении модели и пользуясь
при вычислениях формальной схемой (п.п.1.20 и 3.16), мы пренебрегаем
всеми этими несущественными эффектами. Тогда и в ренормированных
переменных трикритической точке соответствуют значения т = А = О,
и нас интересует асимптотика т —у О, А —у 0, д = const в размерно-
размерности d = 3 — 2г (считаем д ~ е ф 0, ц = const, поэтому связь между
затравочными и ренормированными параметрами взаимооднозначна и
несинг улярна).
Переходя к РГ-анализу, по общему правилу A.108) и формулам ре-
ренормировки A68), A82) находим вид РГ-оператора Т>РГ = V^ для мо-
модели A78):
Ррг = Vfl + /3du - {2s + ix)Vx - Ит + A27)dT A83)
с обычным определением A.113) РГ-функций /3 = ,ви = Р^к и 7а для
соответствующих констант Za (сейчас a = д, А, г, <р) и новой "перекрест-
"перекрестной" РГ-функцией
7(«) = Z;1(Vfl-4e-2lx)Z, Ъ„ = VPr . A84)
В низшем порядке по и из соотношений A73),A81) и A82) находим нуж-
нужные константы Z и по ним - РГ-функции (на любых функциях от и
п.23 РГ-алализ ip4 + (р6-модели 407
имеем V/! = f3du = — 4eX>u + ..., поправки в низшем порядке несуще-
несущественны) :
7А(и) = -8и/3 + ... , т(«) = -1/96я-2 + ... . A85)
Прочие РГ-функции известны из формул A74) с более высокой точно-
точностью.
Рассмотрим для конкретности РГ-уравнение A.150) для ренормиро-
ванного коррелятора Dn = Dn(p,u,\,T,n) и перейдем, как обычно, к
безразмерным величинам, положив
Dn = р~2 Ф(«, и, А', г1) , 8 = p/i-1 , Л' = Л/i-1 , т1 = тц-2 . A86)
Для удобства введенные безразмерные параметры Л', т' отличаем от
исходных только штрихом, as- традиционное обозначение для мас-
масштабной переменной.
Подставив выражение A86) в уравнение A.150) с РГ-оператором
A83), получим следующее РГ-уравнение для Ф:
[-Va+j3du-{l + 2e+lx)Vx,-{2+iT)VT>-lX'1dT. + 2l4>\® = 0. A87)
Оно отличается от A.142) наличием перекрестного члена ~ X'2dTi, но
укладывается после перехода к F = 1пФ в общую форму A.131) и удо-
удовлетворяет условиям утверждения 3 в п. 1.29. Поэтому общее решение
уравнения A87) можно записать в виде A.148):
ехр
Т ж ■ (Ш)
Инвариантный заряд u(s,u) определяется соотношением A.144), а две
другие инвариантные переменные - уравнениями A.140), а именно:
Vst = -[ 1 + 2е + 7л(«)] Л , А' |5=1 = А' , A89а)
Var' = -[2 + 1т(п)]т'-у(Щ\12 , r'\s=1 = т' . A896)
Нетрудно написать общее решение этих уравнений: для A89а) оно да-
дается формулой типа A.147), затем при уже найденной функции А (п)
после замены переменных s —у п в A896) получается легко решаемое
линейное неоднородное уравнение для ~¥.
Мы не приводим эти решения, так как нас интересует лишь крити-
критический режим s —у 0, т' —У 0, А' —> 0, u = const. При достаточно малом
408 Глава 4. Критическая статика
s = p/i 1 можно считать u(s, u) = u* и заменить все РГ-функции j(u) в
уравнениях их значениями 7* = т(и*) в ИК-устойчивой фиксированной
точке, что ведет лишь к потере несущественных нормировочных мно-
множителей (п.1.33). В таком приближении из соотношений A.157), A86),
A88) и A89) получаем:
/,г/) , A90а)
Л = \'s-A* , т' = (т1 + аЛ'2) s-At - a\'2s-2A* , A906)
Дл = l + 2e+7l , Ar = 2+7; , а = ~т7* , 6 = 2ДА-Дт . A90в)
Из формул A75) и A85) находим 71 = -8е/5+..., т* = -1/96тг2+..., 7* -
0, после подстановки этих значений в A90в) получаем:
..., а = 5/384тг2е +... . A91)
Формулы A90) описывают комбинированный трикритический скей-
линг, реализующийся при п= и* (что обеспечивается достаточной ма-
малостью s = р/ц) и конечных по порядку величины (п. 1.34) инвариант-
инвариантных переменных A906), что обеспечивается соответствующей малостью
параметров Л' = Х/ц и т' = т/ц2. Точная формулировка соответствую-
соответствующего асимптотического режима состоит в следующем:
р-+0, А~рд*-+0, т + а\2~рАт ->0 . A92)
Из формул A90) следует, что определенные критические размерно-
размерности Да и Дт имеют переменные Л и т + а\2, соответственно, тогда как
сам параметр т - смесь двух вкладов разной размерности.
Это не запрещает, разумеется, рассматривать на фазовой плоско-
плоскости параметров Л, т различные траектории типа т —у 0, Л ~ та —у 0,
соответствующие разным вариантам подхода к трикритическои точке.
В п.1.16 на уровне канонических размерностей было показано, что при
d = 3 случай а > 1/2 соответствует ситуации А (см. выше), слу-
случай а < 1/2 - ситуации В, а а = 1/2 - ситуации С; для d = 3 — 2е
каноническим граничным значением будет а0 = 1/2 + г. Приведенные
выше результаты РГ-анализа для d = 3 — 2е подтверждают эти выводы,
лишь уточняя граничное значение ао = 1/2 за счет учета всех попра-
поправок (канонических и аномальных) порядка е и выше. Соответствие с
утверждениями п. 1.16 наиболее прозрачно в РГ-уравнении для объектов
типа свободной энергии (см. ниже), не содержащих импульсных пере-
переменных, поскольку в п. 1.16 обсуждалось лишь взаимное соотношение
п.23 РГ-анализ ipA + <р6-модели 409
Лиг безотносительно к масштабу импульсов. Тем не менее, нужное
соответствие просматривается и в формулировке A90).
Действительно, рассмотрим в плоскости Л, г траекторию Л —у 0, т ~
Х2~к —у 0, выбрав в качестве основной переменной Л, так как именно
она имеет определенную критическую размерности (см. выше). По-
Поскольку a = 1/B — к), граничному значению а0 = 1/2 в нулевом (по е)
приближении соответствует к0 = 0, ситуации А - к > 0, ситуации В -
к < 0. Подставим т = с\2~к (с - положительная константа) в выраже-
выражение A906) для т' и будем считать, что скорость убывания Л согласована
с импульсом посредством второго соотношения A92) (в противном слу-
случае аргумент Л функции Ф в A90а) будет стремиться либо к нулю, либо
к бесконечности, что сразу приведет к ситуации А или В). Итак, пусть
в выражении A906) для т1 подставлено т = с\2~к с А ~ sAx —у 0. Тогда
нетрудно убедиться, учитывая знаки величин A91), что роль точного
граничного значения ко будет играть величина
2 - 1/а0 = к0 = BДА - ДТ)/ДА = 4е/5 + ... . A93)
Если к > к0, то т1 —у +оо при s —у 0, - так проявляется на языке ре-
решения A90) ситуация А (дополнительные пояснения ниже). Если же
к < ко, то Т' обращается в нуль при некотором конечном значении
А > 0, что соответствует не трикритическому, а просто критическому
поведению, которое полностью управляется <р4-взаимодействием. На-
Наконец, в случае к — к0 величина Т1 изменяется в конечных пределах
при изменении s от единицы до нуля, оставаясь всюду положитель-
положительной при достаточно большом амплитудном коэффициенте "с" в законе
г = сЛ2~к, - это ситуация С. Если же амплитуда "с" мала, то имеет
место перемена знака Т', т.е. ситуация В.
Поучительно обсудить другую форму РГ-уравнения A87), сделав в
нем замену переменной т' —у г*2 = Л'2/г' = Л2/г и рассматривая безраз-
безразмерный параметр г*2 как второй заряд наряду с исходным и = щ. После
такой замены A87) примет вид РГ-уравнения двухзарядной модели для
новой функции Ф = Ф(й, и = г*1, г*2, Л'):
= и , 0i=0 , 02= «гЬт - 4е - 27а + -уи2] .
Все РГ-функции у и 0 = 0i зависят только от ui, от второго заряда
«2 зависит лишь функция 02, причем указанная в A94) зависимость от
г*2 точная. Общее решение уравнения A94) дается формулой A88) с
410 Глава 4. Критическая статика
заменой в ней т1 —У и2, основной инвариантный заряд u = t*i не изменя-
изменяется, а второй определяется уравнением типа A.140): Vsu2 = /32(ui,u2).
После замены ui —у ии (см.выше) это уравнение легко решается:
/%(«!•,и2) = -Ьи2A + аи2) , A95)
U2(s,u) = t2/? = и2/[(I + au2)sb - au2] A96)
с константами а и 6 из A91). Отметим, что первое равенство A96)
точное, поскольку любая функция первых интегралов - также первый
интеграл и любой из них однозначно определяется своими начальными
данными (п. 1.29).
Из формул A91) известно, что параметры а и 6 положительны. От-
Отсюда следует, что тривиальная фиксированная точка и2* = 0 /?-функции
A95) является УФ-притягивающей, а ИК-устойчивая точка и2* ~ е на-
находится в нефизической (при наших определениях и2 = Л2/г, т = сЛ2~к
с положительными с и Л) области и2 < 0.
Но поведение инвариантного заряда A96) в данном случае не опре-
определяется просто фиксированными точками, поскольку нас интересует
не обычный (п.1.31) случай s —у 0, и2 = const, а такая асимптотика, в
которой одновременно с s —у 0 в A96) меняется и начальное значение
и2 = Л2/г в режиме т = с\2~к, Л ~ $Лл —У 0, т.е. и2 ~ skAa .
Это ситуация, аналогичная рассмотренной в п.20. Она не требует
специального анализа, так как первое равенство A96) позволяет связать
искомое поведение п2 в изучаемом режиме с уже обсуждавшимся выше
поведением Т1, а именно: гГ2 —у 0 в ситуации А (к > ко) и п2 —у -f-oo
при некотором конечном значении so в ситуации В (к < ко). Отметим,
что в данном случае суждения о поведении ~п2 остаются достоверными
и в области больших п2, поскольку приведенная в A95) зависимость /32
от и2 точная. Поэтому обычные аргументы относительно недостовер-
недостоверности знания /?-функции в области больших зарядов к данному случаю
не относятся.
Этот поучительный пример наглядно показывает, что поведение ин-
инвариантного заряда u(s, и) может быть весьма нетривиальным и не
подчиняется сформулированным в п.1.31 правилам, если в исследуемой
асимптотике одновременно с s —У 0 меняются и "начальные данные"
и. Например, в ситуации А инвариантный заряд п2 в пределе s —у 0
попадает, в УФ-устойчивую фиксированную точку и2* = 0, хотя мы рас-
рассматриваем ИК-асимптотику.
В заключение обсудим кратко РГ-уравнение для чисто термодина-
термодинамического объекта, не содержащего импульсных переменных, - удель-
п.23 РГ-алализ ip4 + <р6-модели 411
ной свободной энергии Т — nd$(ui,U2, Л'). Для Ф стандартным спосо-
способом получим:
WidUl + /?2аиз - A + 2е + 7аI>а' + А ф = (*) A97)
с РГ-функциями из A94) и несущественной для дальнейшего неоднород-
неоднородностью (*) в правой части, порождаемой вакуумным контрчленом (п.4).
С точностью до неоднородности уравнение A97) приводится к канони-
канонической форме A.142) делением на A+2£+7а ). Естественной масштабной
переменной в A97) является теперь Л' = \/ц. Для новых инвариантных
зарядов п(Х',и), как и раньше, при А' -» О имеем Щ -> щ*, а решение
для п2 после подстановки щ a ult отличается от A96) лишь заменой
а -> Л', 6 -> 6/ДА = 6', т.е.
п2(А>2) = u2/[{l + au2)\'b'-au2] . A98)
Именно в этой форме яснее всего видна связь с анализом п.1.16, по-
поскольку траектории т ~ Х2~к соответствует зависимость u2 ~ Л'", вы-
выражающаяся теперь непосредственно через масштабную переменную в
уравнении A98). Качественное поведение инвариантного заряда A98)
при и2 ~ Л'", Л' -> 0 в трех различных ситуациях остается таким же,
как для заряда A96).
Таким образом, результаты РГ-анализа асимптотики Л ~ та вполне
согласуются с выводами п. 1.16, только уточняют граничное значение
показателя ао = 1/B — Kq), при котором должно наблюдаться комбини-
комбинированное трикритическое поведение с участием обоих взаимодействий.
В ситуации А поведение чисто трикритическое, <р4 в этом случае дает
лишь поправки к скейлингу, а в ситуации В несущественно взаимодей-
взаимодействие <р6. В этом случае полученные на основе модели A76) формулы
не дают конкретных предсказаний, - они лишь указывают, что взаи-
взаимодействие (р4 становится "бесконечно сильнее", чем ip6. Поэтому ip6
нужно просто отбросить, соответствующее модифицированное крити-
критическое поведение определяется тогда формулами п.20. Отметим, что
при d = 3 — 2е критерий а < ао = 1/B — ко) реализации ситуации В со-
совместим при малом е с известным (п.20) условием ИК-существенности
а < D — d)/2 модифицированного у>4-взаимодействия.
В работе [ПО] увеличена на один порядок точность вычисления РГ-
функций A85) и соответствующего граничного значения A93), причем
с обобщением на О„-симметричную модель с произвольным п. Там
412 Глава 4. Критическая статика
получено (d = 3 — 2е):
= 1 = 1 F-я)Bе) (га + 4JB£J
0 B-к0) 2 2(Зга + 22) 1б(Зга + 22K
х [тг2(га3 + 8га2 - 496га - 2888) - 8A9га2 + 508га + 2428)] + ... .,
Ведущий порядок 1/га-разложения в такой модели был рассмотрен в ра-
работе [111].
п.24 Ренормировка у3-модели в размерности d = 6 — 2s. В ре-
реальных задачах обычно используется не простая <р3-модель с одноком-
понентным полем <p(x)t а ее многокомпонентные обобщения типа мо-
модели Поттса. Их константы ренормировки с точностью до структур-
структурных множителей г7 (п.3.20) определяются расходимостями диаграмм
простой у>3-модели. Поэтому имеет смысл рассмотреть ее отдельно с
указанием контрчленных вкладов отдельных диаграмм, что мы и сде-
сделаем в этом разделе. Очевидная нестабильность данной модели (отсут-
(отсутствие абсолютного минимума энергии для функционала Ландау) не ме-
мешает использовать стандартную технику РГ при анализе рядов теории
возмущений. Основным отличием уз3-модели от рассмотренных ранее
является отсутствие симметрии <р —> — <р и соответствующего запрета
на нечетные функции Г„ при нулевом внешнем поле h. Расходимости
функции Fi можно устранить двумя способами: сдвигом самого поля
<р(х) или внешнего поля h, если оно имеется. Первый способ ведет к
нарушению правила A.74), поэтому нежелателен, так как оно исполь-
использовалось при выводе общих уравнений РГ в п. 1.24. Поэтому мы выберем
второй вариант, в котором соотношение A-74) сохраняется, но зато не-
необходимо присутствие внешнего поля в неренормированном и базовом
функционалах действия:
SB(tp) = -{dtpJ/2-T<p2/2-gBtp3/6 + h<p, дв=дцг . B01)
Канонические размерности всех величин, включая определенные обыч-
обычным образом (п.3.2) 1-неприводимые функции Г„, приведены в табл.25.
п.24 Ренормировка <р3-модели в размерности d = 6 — 2е
413
Табл.25. Канонические размерности dF различных величин F
для tp3 -модели в размерности d = б — 2е.
F
dF
Ф)
2-е
т,т0
2
h,h0
А-е
9о,9в
е
9
0
У-
1
г„
б - 2п + е(п - 2)
При анализе УФ-расходимостей можно рассматривать функции Г„
базовой модели B01) с h = 0, поскольку внешнее поле не может входить
в контрчлены (п.3.13). При этом под Г„ в данном случае следует пони-
понимать коэффициенты разложения функционала Т(<р) из B.111) в нуле по
tp, а не в точке стационарности. Все нужные для двухпетлевого расчета
контрчленов диаграммы Г„ с симметрийными коэффициентами приве-
приведены ниже:
0 = & 0 + ... ; Г1 = |
д
+§
B02)
По размерностям (см. табл.25) видно, что ПР-графами в соответ-
соответствии с общим правилом C.88) являются в данной модели диаграммы
функций Г„ с п = 0,1,2,3. Аналогичные C.91) нормированные функ-
функции Г„ с целочисленными размерностями d[Fn] = б — 2га теперь можно
определить соотношением Г„ = (—<7вJ~"Г„, их диаграммы 7 имеют по
два множителя — дв на петлю при любом га, - все это очевидно по раз-
размерности. Очевидна также и структура примитивных расходимостей,
т.е. вид контрчленов в схеме MS: ст3 в Го, ст2 в Г1; ст + ср2 в Г2 и
с в Гз, где все "с" - безразмерные константы. Отсюда с учетом связи
Г„ и Г„ и аналогичных C.93) и C.97) соотношений находим явный вид
контрчленов и соответствующего базовой теории B01) ренормирован-
414 Глава, 4. Критическая статика
ного действия:
B03)
б + 24т2<р/2дв + h<p
с аналогичным C.106) вакуумным контрчленом А5вак = —УЪотг /Qg\ и
константами
Zi = 1 + [L2T2] , Z2 = 1 + [L3dTT2] , Z3 = 1 - [£3Г3] ,
Z4 = [La^Fi] , Zo = [L3d?T0] , Г„ Н (-</вJ-"Г„ .
Входящие сюда операции Ь2,з схемы MS понимаются так же, как в
п.3.18, а диаграммы производных дтГ2, d2Ti,dfT0 отождествляются
с вершинными (п.3.19). Формулы B04) являются аналогами соотноше-
соотношений C.107) и (.3.114). После выполнения дифференцирований по г в них
можно, как обычно, переходить к безмассовым диаграммам.
С точностью до вакуумного контрчлена действие B03) получается
из B00) мультипликативной ренормировкой:
, h0 = hZh ,ЪХ=7?Ч>,
Все константы Z в схеме MS зависят только от д2; для всех, кроме Zo
и Z4, разложения начинаются с единицы. Результаты расчета контр-
контрчленных вкладов отдельных диаграмм в различные константы действия
B03) приведены в табл.26, являющейся точным аналогом табл.14 в
п.3.20.
Поясним кратко процедуру расчета приведенных в табл.26 величин.
Коэффициенты с7 в различных константах B04) легко находятся по
коэффициентам в B02) с учетом правила C.112). Величины [£а7] =
[KaR'i] для диаграмм No.l - 6 вычисляются, как для <р4-модели в
п.3.21, по безмассовым диаграммам с простой протечкой одного им-
импульса, Л'-операция определяется общими правилами п.3.8. Отметим,
что в нашей размерности d = 6 — 2е наличие двух безмассовых линий с
одинаковым импульсом интегрирования еще не ведет к ИК-расходимости
(нужно, как минимум, три). Это позволяет вычислять с горизонтальной
протечкой импульса и диаграмму No.5, тогда она сводится к простым
цепочкам.
п. 24 Ренормировка ip3-модели в размерности d = б — 2е
415
Табл.26. Вклады отдельных диаграмм в константы ренормировки
<р3-модели B08), d = Q-2e, u = д2/64тг3.
No
1
2
3
4
5
6
7
граф 7
О
л
<1>
л
А
А
i
и1
и
и
и2
и2
и2
и2
и2
1аЩ = и'Ь
1
~6е
1
27
1 - 2е/3
12е2
1 — 11е/6
72е2
1-е/2
8е2
1 - 7е/6
24с2
1
4е
симме
Zo
0
0
0
0
3
3/2
-1/2
грийн
В ]
Z,
1/2
0
1/2
1/2
0
0
0
ый коэ<
iOHCTaai
z2
0
-1
0
0
-3
-3/2
-1/2
[>фицие1
тах
z3
0
-1
0
0
-3
-3/2
-1/2
IT C7
z4
0
1
0
0
3
3/2
1/2
Аналогами соотношений C.122) и C.128) для произвольной диаграм-
диаграммы 7 Е Г„ с / петлями и п = 2, 3 являются:
о = 2-е , а = ||2-е|| /4тг3-£ ,
7 = «' *£' [р2Я(а)]3-" Я(А„,) ■ 9 , « = </2/б4тг3 ,
B06)
Как и для уз4-модели (п.3.21), все простые множители (а, д и степени
р,A,2,7г) группируются в комбинацию ultcl \p2H(a)]3~". Коэффициент
q в B06) - произведение только нетривиальных множителей Н, появля-
появляющихся в процессе приведения координатной диаграммы к простой ли-
линии с известным (по размерностям) индексом Xni, множитель H(\ni)
появляется от ее преобразования Фурье C.125).
416 Глава 4. Критическая статика
Для вычисления величин q в диаграммах No. 1,2,4,5,6 с горизон-
горизонтальной протечкой импульса достаточно элементарных формул инте-
интегрирования простых цепочек C.124), в итоге получается </i = 1, 92 =
Я (a, a, d-2a) , q4 = H(a, a, 2a, 3d/2-4a), q5 = H(a, a, d-2a, a, a, 3a-
d/2,2d — 5a) , qe = H(a,a,d— 2a, a, a, 2a, 3d/2 — 4a). Для диаграммы
No.3 множитель q находится из C.135). Сложно вычисляется в коор-
координатном представлении только диаграмма No.l, сводящаяся к графу
C.134) с индексами а четырех внешних ребер и a — 1 на диагонали. Ее
проще вычислять с массами по справочной формуле C.77) точно так
же, как диаграмму No.lZ в табл.14 п.3.20.
Двухпетлевой расчет в схеме MS для у?3-модели был впервые выпол-
выполнен в работе [112]. Отметим, что приведенный в книге [60] на стр.118
со ссылкой на [112] двухпетлевой результат неправилен.
По данным табл.26 и общему правилу C.118) (в данном случае с г7 =
1 и без вкладов единицы для Zo,4) легко вычисляются все константы Z:
Zi = 1 — u/12e + u2 C0 - Ш)/864£2 + ... , ]
\ B07)
Z3 = 1 - u/2e + u C0 - 23г)/9б£2 + ... , J
Z2 = Z3 , Z4 = 1 - Z3 , Zo = Z3 - 1 + u/2e . B08)
Связи B08) - следствия совпадения коэффициентов с7 для разных Z
в табл.26 и являются точными соотношениями для простой уз3-модели.
Действительно, для действия B01) с h = 0 из уравнения типа C.192)
с производной по г и проинтегрированного по х уравнения Швингера
типа C.187) с заменой в них всех ренормированных величин базовыми
нетрудно получить соотношение
двдт [W(A) - InCJ = fdx [т SW(A)/SA(x) - A(x)] B09)
для производящего функционала И^(Л) связных функций Грина базовой
теории. При переходе к его преобразованию Лежандра Г(а) (п.2.5) урав-
уравнение B09) принимает вид двдт [Г(а)—lnCR] = / dx[Ta(x)+SF(a)/Sa(x)]
Из сравнения коэффициентов при степенях а в обеих частях этого ра-
равенства получим некоторые связи между базовыми функциями Г„. Их
учет в соотношениях B04) приводит к равенствам B08).
В общем случае они нарушаются для многокомпонентных обобще-
обобщений уз3-модели из-за появления в диаграммах дополнительных струк-
структурных множителей г7. Данные табл.26 можно использовать для рас-
расчета констант Z любых обобщений простой у3-модели, учитывая лишь
эти дополнительные множители г7.
п.25 РГ-уравнения для <р -модели 417
п.25 РГ-уравнения для у3-модели с учетом вакуумных пе-
петель. РГ-функции /?, 7 определяются через константы Z обычным обра-
образом (п.1.25). Вместо A.114) из соответствующих равенств B05) теперь
получим:
0g = V^g = -eg - дЪ , V^r = -т1т , B10)
а из равенства Z2 = Z3 для констант в B05) следует
7т = 7э+7*> • BП)
В РГ-операторе A.108) слагаемые с дд и дт обычные (как в A.122)), не-
нетривиален лишь вклад \Pfih]dh ввиду нетривиальности ренормировки h
в соотношениях B05). Для вычисления V^h нужно подействовать опе-
операцией Vfn на обе части вытекающего из B05) равенства h0 = /iZ +
Z~1Z47/2<7b, учитывая определения всех РГ-функций и связи B05),
B08) между константами Z. В итоге получим явное выражение для V^h,
подстановка которого в A.108) дает:
ррг = р„ + pgdg - lTVT + [hfv + C7V + ъУ/Ьъ] dh . B12)
Для полноты рассмотрим РГ-уравнение для функционала WR =
ЖВ(Л; д, т, h, fi) с учетом вакуумных петель, которое можно записать в
форме A2) или A3). Сразу отметим, что функционалы WR и WR для
действия B03) зависят от А и h лишь через сумму А + h.
Легко проверить, что добавка расходящейся части 1пСв в A3в) к
вакуумному контрчлену в B03) эквивалентна замене в нем Zo -> Zo —
ujie = Z3 — 1, последнее равенство следует из B08). С учетом этого со-
соотношения, определения РГ-функций и всех связей между константами
Z нетрудно вычислить явно РГ-функцию £' в уравнениях A3). В итоге
получим следующее РГ-уравнение:
[РРГ + lvVA] < = ~Vr\lg + bv)lQgl . B13)
Функционал W^ удовлетворяет также уравнению
{дЛ - rdh) W^ = -fdx [A(x) + h] , B14)
которое получается с помощью изложенной в п.3.29 техники с использо-
использованием соотношений типа C.187) и C.192) с производными по е = т, h.
Уравнение B14) специфично для у?3-модели и является ренормирован-
ным эквивалентом B09) с h ф 0. Общее решение уравнения B14) имеет
вид
К = ^(А + А'. 9, li) ~ fdx [r(A(x) + h)/gB + r3/3^] . B15)
418 Глава, 4. Критическая статика
Второе слагаемое - частное решение неоднородного уранения, первое
- общее решение однородного - неизвестная функция WK его первых
интегралов </, fj., A, h' = h+T2/2gB, два последних группируются в сумму
(см. выше). Суть дела в том, что переменные т и h входят в WR только
через их комбинацию h'.
При замене переменных ц,д, т, h —> ц,д, т, Ь! в операторе B12) исче-
исчезает перекрестный вклад и получается
Ррг = 2>„ + Pgdg - 1tVt + 7V2V , Ы = h + т2/2дв . B16)
Нетрудно проверить, что второе слагаемое B15) - частное решение
уравнения B14) - является также и частным решением неоднородного
РГ-уравнения B13). Поэтому при подстановке B15) в B13) для WR
получается следующее однородное уравнение:
[Vll + /3gdg + i,p(Vhl+VA)]w'fL(A + h',g,ri = 0. B17)
Вклад с Т>т из B16) исчезает, поскольку функционал WR в новых пере-
переменных от т явно не зависит.
Из B15) и B17) следует, что все ренормированные связные функции
Грина WnK, кроме вакуумных петель WOr и "головастика" W\R, зависят
в действительности не от двух термодинамических параметров тик,
а только от одной их комбинации Ы и удовлетворяют РГ-уравнениям
типа A.107):
[Vp+pgdg + JvVv+njv] \УпЛ(...;д,к',р) - 0. B18)
Группировку т и h в один параметр Ы легко объяснить прямо из
вида базового действия B01): сдвигом ip -> <р + const в этом функ-
функционале (меняющим лишь связные функции Wo,i) можно убрать либо
линейный, либо квадратичный вклады и нетрудно убедиться, что коэф-
коэффициент при оставшемся вкладе будет зависеть только от комбинации
h'. Отметим, что вид неоднородности в B15) соответствует устране-
устранению Тф2.
Таким образом, Ы является единственным реальным термодинами-
термодинамическим параметром. Его знак имеет простой смысл: легко проверить,
что при Ы > 0 система B01) метастабильна, а при Ь! < 0 - абсолютно
нестабильна. Точка Ь! = 0, в которой исчезает локальный минимум
энергии (напомним, что действие отличается знаком от функционала
Ландау, см. п.1.12), имеет некоторое сходство с критической точкой
в моделях типа ip4: в обоих случаях это точка смены режимов, хотя,
п.25 РГ-уразнения для (р3-модели 419
разумеется, различных. Поэтому можно ожидать появления особенно-
особенностей функций Грина в ИК-асимптотике h' —> 0, р —> 0. Эти особен-
особенности можно исследовать с помощью стандартной техники РГ, если
/?-функция в B17) имеет соответствующую ИК-устойчивую фиксиро-
фиксированную точку. На самом деле, как мы сейчас убедимся, для простой
(р3-модели в размерности d = б — 2е < б такой точки нет.
Вычислим по константам B07) соответствующие РГ-функции. По-
Поскольку все Z просто зависят от и = </2/647г3, именно эту величину
удобно использовать вместо g в качестве ренормированного заряда. Для
его /?-функции из B10) имеем (d = б — 2е):
/?u = V^u = 1g j3g /64л-3 = -leu - 2ulg , /3gdg =/3udu . B19)
РГ-функции удобно вычислять с помощью соотношений типа C) и E);
для Z= 1 + А(и)/е + ... имеем 7 = Р^ In Z = -VgA = -WUA. Таким
путем из B07) находим 71 = 27^, и 73 = 7g + ^1ч> (связи следуют из фор-
формул B05)), отсюда получаем все нужные РГ-функции в двухпетлевом
приближении:
fv = и/12 + 13и2/432 + ... , 7э = 3u/4 + 125u2/l44 + ... , ]
\ B20)
/?„ = -2еи - 3u2/2 - 125u3/72 + ... . J
Поведение /?-функции показано на рис.б сплошной линией для е > 0
и штриховой для е < 0.
Рис.6. Поведение /?-функции B20) для d < б (сплошная
линия) и d > 6 (штриховая линия).
При £ > 0 ИК-устойчивая точка u* ~ e находится в нефизической
(при вещественном </) области и < 0. Поэтому РГ-техника в данном
случае не дает информации об ИК-асимптотике, предсказывая лишь
УФ-асимптотическую свободу для модели с нормальным знаком и > 0.
420 Глава 4. Критическая статика,
Формально можно рассмотреть задачу с и > 0 в размерности d > б.
РГ-техника предсказывает для нее ИК-асимптотическую свободу и УФ-
скейлинг с нетривиальными размерностями, которые можно вычислять
в форме б + 2£-разложений, - но все это не имеет отношения к тео-
теории критического поведения. Нормальный ИК-скейлинг в размерности
d < б можно получить лишь в у>3-модели с чисто мнимой константой
д (тогда и < 0) или в ее многокомпонентных обобщениях с и > 0 из-
за возможного изменения знака коэффициента при и2 в /?-функции B20)
вследствие появления в диаграммах дополнительных структурных мно-
множителей. В этих случаях из уравнения B18) получаются обычные фор-
формулы критического скейлинга для ИК-асимптотики h' -» 0, р -» 0 и
б — 2г-разложения соответствующих критических показателей. Так бу-
будет, в частности, в модели Поттса, используемой для описания "задачи
протекания" (percolation) [113].
п.26 2 + £-разложение в нелинейной сг-модели: мультиплика-
мультипликативная ренормируемость низкотемпературной теории возму-
возмущений. Неренормированные полные функции Грина сг-модели с га-
компонентным (га > 1) полем ip = {<pa} можно определить произво-
производящим функционалом (п.2.26):
ЩА) = fD<p S(p2 - 1) exp [ ~{dipf/2t0 + Aip], B21)
где t0 - абсолютная температура. Обеспечивающий нормировку
множитель (вакуумные петли не рассматриваем) в B21) и далее всегда
считаем включенным в Dip.
Вычисление интеграла B21) методом стационарной фазы приводит
к низкотемпературной теории возмущений по степеням параметра to,
играющего в данном случае роль затравочного заряда. Под "сг-моделью"
в этих разделах всегда будет подразумеваться модель с данной теорией
возмущений (возможны и другие), подробнее о ней ниже.
Из безразмерности поля <р (следствие связи <р2 = 1) и показателя
экспоненты в B21) следует d[t0] = 2 — d, поэтому логарифмической раз-
размерностью для данной теории возмущений является d* = 2 и мы всегда
будем полагать d = 2 + 2s. В работах [114, 115] с помощью выражаю-
выражающих О„-симметрию тождеств Уорда показано, что сг-модель с данной
теорией возмущений мультипликативно-ренормируема, т.е. все ее УФ-
расходимости (полюса по е) устраняются ренормировкой поля и заряда:
ip = ipKZv, t0 = tBZt, где tB — tpT2t - базовый заряд, /i - ренормировоч-
ная масса (в обозначениях [114] Z = Z, Zt = Zi). Соответствующим
B21) производящим функционалом ренормированных функций Грина
п.26 2 + s-разложение в нелинейной <т-модели 421
является
GK(A) = fD<pS(Z!<p2 -1) exp [-Z2(d<pJ/2tB + А<р ] B22)
p p
с константами Zi = Z^,, Z2 = (Zt)~1Z¥, и<в= t\i~2t.
Изложенная в гл.З общая теория ренормировки относится к слу-
случаю полиномиального действия без связей. Поэтому для пояснения
доказательства [114, 115] удобно воспроизвести связь с помощью О„-
скалярного вспомогательного поля ф(х) (п.2.27), перейдя к локальной
теории двух полей с базовым действием
5В = [-(д<рJ + ф{<р2 - 1)] /2iB , tB = tyT2* . B23)
Низкотемпературная теория возмущений для действия B23) получа-
получается методом стационарной фазы, вклады типа свободного действия
для ф появляются в B23) после сдвига в точку стационарности. К мо-
модели B23) приложима общая теория гл.З, в частности, критерий C.88).
При е — 0 из B23) находим dv = 0, d^ = 2, поэтому в C.88) имеем
d\rn] = 2 — 2п.ф, так что ПР-графами могут быть лишь диаграммы с
Пф = 0,1 при любом Пр. Им соответствуют локальные контрчлены с
двумя символами д или одним ф и любым числом полей <р. На первый
взгляд это означает неренормируемость, поскольку число таких контр-
контрчленов бесконечно, но на самом деле это не так. Действительно, при
учете локальности и О„-симметрии контрчленов (в низкотемператур-
низкотемпературном решении симметрия нарушается спонтанно, но в ренормированном
действии 5R она должна сохраняться, см.п.1.28) совокупность всех вкла-
вкладов с одним ф в 5R должна иметь вид ф/(<р2) = / dxф(x)f(<p2(x)) с неко-
некоторой функцией /(а), в теории возмущений начинающейся с (a— l)/2tB.
Поскольку ф - множитель Лагранжа, такой вклад в Зя соответствует
связи f(ip2{x)) — 0, эквивалентной tp2(x) = с, где с - корень уравне-
уравнения /(с) = 0, в теории возмущений существующий и единственный.
Поэтому 5В фактически не меняется при замене ф/(/р2) на ф(<р2 — с)
или ф(Ъ<р2 — 1) с Z= с, т.е. учет всех контрчленов с ф эквивалентен
мультипликативной ренормировке поля <р в данном слагаемом B23).
Остаются контрчлены с двумя д вместо ф, при анализе которых
можно учитывать связь ip2(x) = с, считая интегрирование по ф уже
выполненным. Нетрудно убедиться, что при >р2(х) = с единственной
независимой локальной О„-скалярной конструкцией с двумя д и любым
числом <р является присутствующая в B23) форма (dtpJ = dipa ■ d<pa-
Поэтому учет этих контрчленов эквивалентен введению множителя Z
при данном вкладе, что и завершает доказательство.
422 Глава 4. Критическая статика
Принятая в [114] форма записи B21) нестандартна (п.1.16) из-за при-
присутствия в свободной части действия размерного общего множителя.
1/2
Поэтому сделаем растяжение ip -» t0' ip, введя
G(A) = fD<p 6[to<p2 - 1] exp [-{dipJ/2 + t-1/2h0<p + A<p] . B24)
Мы добавили вклад затравочного однородного внешнего поля ho в форме,
соответствующей добавке t^hof в (■221), чтобы сохранить обычный
(как в [114]) смысл и размерность параметра h0. В модели B24) поле
<р имеет уже стандартную (п. 1.15) каноническую размерность dv =
d/2 — 1 = е, но теперь d[h0] = 2 вместо теневой к dv.
Ренормированным аналогом B24) при d = 2 + 2е является
GK{A) = fDpSfat^-l] exp[-Z2(d>pJ/2 + te1/2h<p + A<p] , B25)
что соответствует мультипликативной ренормировке:
<Р = <Ря£<р , t0 = tBZt = tfj.-2cZt , h0 = hZh ,
zh = z-H\12, zx = ztz£ , z2 = z\
B26)
Эти константы связаны с Z из B22) соотношениями Zj = Zt, Zv =
Z¥,(Zj)~1/2 . Нетрудно убедиться, что при h = 0 выполняется со-
соотношение GK(A) = GR(tn А), поэтому из УФ-конечности функцио-
функционала B22) и параметра tB вытекает УФ-конечность функционала B25)
с h = 0, которая не нарушается последующим УФ-конечным сдвигом
A->A + tlll2h.
Пусть ha = hea, где h = \h\ > 0. Если от <р перейти обычным образом
к полям <т = уз" (проекция на е) и ж = ipL (проекция на ортогональное е
подпространство, компоненты ж в его базисе будем обозначать через ж*
ci=l,...,n — 1), ренормированное действие в B25) примет вид
. B27)
Вычислению интеграла B25) с Dip = DirDcr методом стационарной
фазы соответствует простое снятие интегрирования по и с помощью
функциональной J-функции. Она определяется как формальное произве-
произведение локальных J-символов по всем точкам х (п.2.27) и с точностью до
несущественного множителя эквивалентна выражению J(irM[cr—<т(тг)] =
B28)
п.27 Однопетпевой расчет констгят Z и РГ-функпий 423
a J(?r) = Y[x c~1(^; т) ~ якобиан замены. Такие конструкции расшифро-
расшифровываются соотношением A22), в нашем случае
J(x) = ехр I 6@) fdx In [Z]*-1 - 7г2(х)] \ . B29)
В итоге интеграл B25) приводится к виду
GK(A) = JDtt J(tt) ехр [Sk(tt) + А*тг* + А°<т(ж)] B30)
с действием 5В, получаемым подстановкой B28) в B27):
Входящие сюда величины, в том числе и константы Z, разлагаются в
ряды по t. Для расчета в конечном порядке по t нужны лишь конечные
отрезки таких рядов, в таком приближении SH имеет обычную полино-
полиномиальную структуру.
Порождаемая множителем B29) добавка к действию содержит S@) ~
Ad, где Л - УФ-обрезание и служит лишь для компенсации аналогичных
степенных по Л УФ-расходимостей в графиках. Если вычисления про-
проводятся в рамках формальной схемы размерной регуляризации (п.1.20),
то все такие вклады нужно просто игнорировать, полагая J = 1.
п.27 Расчет констант Z и РГ-функций в однопетлевом при-
приближении^ После разложения по t и отбрасывания несущественной
константы Zj ' t~lh в B31) остаются лишь вклады с положитель-
положительными степенями t. Свободным действием является нулевое приближе-
приближение 5W = —[(дпJ + /&7г2]/2, соответствующее коррелятору [k2 + h]~1Sis
поля я" с h > 0 вместо т. Для однопетлевого расчета достаточно огра-
ограничиться в B31) приближением
SR = - Z2ExJ/2 - z{/2tnr2/2 - tB[ (дтг2J + hirA] /8 , B32)
учитывая в Z лишь поправки первого порядка по t, которые должны
сократить расходимости однопетлевых диаграмм. Для их определения
достаточно вычислить ренормированную функцию Ггт = —D~l с про-
протекающим импульсом р. Из B32) следует
Г„ = -Z2/ - Z{/2h + £i , B33)
где Ej - вклады однопетлевых собственно-энергетических диаграмм
для взаимодействия в B32). Их удобно представить в виде
424 Глава 4. Критическая статика
£i = - V + h -i—u + I.' 4 +■ A-^ . B34)
Пунктиром изображена "линия взаимодействия" S(x — х'), при которой
подразумевается множитель — tB; замкнутые циклы сплошных х-линий
порождают множитель п — 1 от суммирования по индексам, а перечер-
перечеркиванием концов этих линий в B34) изображено их дифференцирование
по соответствующей координате х. Диаграммам B34) сопоставляется
следующее аналитическое выражение:
Подставив tB = tfj. 2e, d = 2 + 2е и вычислив d-мерные интегралы по
справочным формулам п.3.15, получим:
Ei = и ||1 - е|| (A/4jr/i2)e [(га - 1)А + 2р2] /4е , и = </2тг . B36)
Требуя сокращения полюсов по £ в выражении B33) с Ei из B36), на-
находим первые поправки порядка uje в константах ренормировки: Zi =
1 + u(n - 1)/2е + ... , Z2 = 1 + u/2s + .... Отсюда по формулам B26)
можно найти все прочие константы Z, но проще сразу вычислять ано-
аномальные размерности 7t = P^lnZ,-, пользуясь вытекающими из B26)
связями типа C) и беря и = t/2-к вместо t в качестве ренормированного
заряда. При расчете -у по формулам типа E) в них следует полагать
Т>д = Т>и и к = —2 согласно определению tB = tfi~2s.
Двум независимым константам Z соответствуют две независимые
РГ-функции 7у> и 7t = 7u ■ По ним с учетом формул B26) находятся
u7u , lh = -7v + 7»/2, B37)
а РГ-оператором A.108) теперь является
2)РГ = 2?„ + /?5U - lhVh B38)
(в работе [114] переменная и опять обозначается через t, а независимыми
РГ-функциями считаются W = /?h£ = 7¥>+7u)-
Из полученных выше выражений для Z все РГ-функции можно найти
только в однопетлевом приближении, но мы приведем две независимые
РГ-функции 7<р и Р Gч и 7л выражаются через них соотношениями
п. 28 Голдстоуновская и критическая асимптотики 425
B37)) с максимально достигнутой сейчас четырехпетлевой точностью
(двухпетлевые вклады получены в [114], трехпетлевые - в [116], четы-
рехпетлевые - в [117]):
3uBn-5)+
B39)
2га + 14 + 3C - га)(га + 5)СC)] + ...},
/9 = 2eu - ulu = 2eu - (n~^'u |i2 + \2U+
B40)
+3u2(ra + 2) + u3[-n2 + 22ra - 34 + 18(ra - 3)ф)] + .. /
В работе [114] показано, что при га = 2 первые члены рядов для 7^>
и /? - точные ответы, т.е. -у^, = и/2, -уи = 0, /3 = 2еи. Это объясняется
тем, что при п = 2 возможна параметризация х ~ sin 0, <т ~ cos 0, для
которой EузJ ~ C0J, Z?7T ~ ZH. В этом случае все функции Грина
л- и сг при нулевом внешнем поле (а по ним и РГ-функции) вычисля-
вычисляются точно, поскольку интеграл B30) после разложения по источникам
сводится к гауссовому.
п.28 Голдстоуновская и критическая асимптотики, 2 + £-раз-
ложения критических индексов. Из мультипликативной ренорми-
руемости модели вытекают стандартные уравнения РГ (п.1.24) с опе-
оператором B38), в частности, уравнение A.150) для ренормированного
коррелятора D (индекс V у него опускаем) любого из полей ж, сг. Пе-
Переходя обычным образом к канонически безразмерным переменным
,h,ii) = р~2Ф{з,и,г) , s^pp-1 , z = hfM~2 , B41)
из A.150) и B38) получаем РГ-уравнение для Ф:
■ [-V. + рди - B + lh)V2 + 21ч>] Ф(а,и, г) = 0 . B42)
В особом случае п = 2 ввиду тривиальности РГ-функций (п.27) из урав-
уравнения B42) следует скейлинг с известными и зависящими от и показа-
показателями, в дальнейшем считаем п > 2.
/?-функция B40) при п > 2 и е > 0 ведет себя так, как показано
штриховой линией на рис.б. Она имеет ИК-устойчивую точку и, = 0
и УФ-устойчивую u« ~ е. В отличие от моделей типа >р4 с фиксиро-
фиксированным (при изучении асимптотик) зарядом и ~ д, в данном случае
426 Глава 4. Критическая статика.
и = tji-к является термодинамической переменной - ренормированной
температурой, а значение u, ~ e имеет смысл критической темпера-
температуры, поскольку РГ-уравнения при и = и* предсказывают скейлинг с
нетривиальными показателями, т.е. особенности термодинамических
величин. Аргументы п.1.27 остаются в силе, и из них следует, что
О < и < и, при любом значении затравочной температуры to, т.е. в
данной теории возмущений можно рассматривать только низкотемпе-
низкотемпературную фазу.
Вернемся к уравнению B42). Его решение описывается аналогич-
аналогичными A.152), A.153) формулами:
з, и, z) — ФA,и,г) ехр
Z = ZS
-2
ехр — fdx
B4за)
B436)
Входящий сюда инвариантный заряд и = и(з,и) определен общим пра-
правилом A.144) и в однопетлевом приближении отличается от выражения
A.154) только заменой е —> —е, т.е. u(s, и) = uu*/\u*s~2e + и(\ — s~2e)]
CU»~£.
Как и в п.1.33, формулы B43) можно использовать для анализа
асимптотики s -> 0, z -> 0, и = const, там она соответствовала крити-
критической, а теперь - голдстоуновской: р-»0, /&-»0, и = const. В этом ре-
режиме u(s,u) -> u, = 0, все аномальные размерности 7* = l{u*) в точке
и* — 0 исчезают. Но было бы неверным отсюда заключить, ссылаясь
на формулы A.165), что голдстоуновской асимптотике соответствует
обычный скейлинг с каноническими размерностями, поскольку случай
и, = 0 особый.
Рассмотрим его подробнее, начав с уточнения скорости убывания
п при s = pii~l -> 0. Из A.170) следует, что п ~ sw с ш = /?'@) = 2е
согласно B40), т.е. п ~ з2г -> 0. Оба интеграла в B43) при п -> 0 можно
считать константами с точностью до несущественных для дальнейшего
поправок. Поэтому из B41) и B43) имеем:
D « clP~2 ФоA,% c2hp~2) , B44)
где ci,2 - порождаемые экспонентами в B43) нормировочные множи-
множители, а Ф0A,'и, z) - ведущий член асимптотики и -> 0 функции ФA, и, z)
из B41), определяемый по вкладу низшего порядка теории возмущений
для D.
п.28 Голдстоуновская и критическая асимптотики 427
Представление B44) справедливо для обоих корреляторов Д- и Д,,
но вид Фо для них различен. Для Д- он определяется затравочным
вкладом (р2 + /г), которому соответствует ФоA, u, z) = A + z), что
при подстановке в B44) дает асимптотику
■ £>„ =cip-2(l+ c2hp-2)-1 = ci^ + caA) B45)
в согласии с формулой A16). Коррелятор Д, =< сгсг > для поля B28)
в низшем порядке теории возмущений равен связной части невозму-
невозмущенного среднего (tB/4) < 7г2(х)ж2(х') >. При переходе к импульс-
импульсному представлению это дает Д, = 7rufi~2eU(p,h), где П - простая
петля с невозмущенными х-линиями, т.е. выражение B.187) с заме-
заменой f -> h и дополнительным множителем п — 1 от суммирования по
индексам ж. По размерности П = р~2+2£ fo(hp~2), где /0 - скейлинго-
вая функция простой петли. Поэтому из определения Ф в B41) имеем
Ф0A,и,г) = 7ru/o(z) и при подстановке в B44) с учетом u(s, u) ~ s2e
(см. выше) получаем:
Д, ~ р~2 п Mcihp-2) ~ p-2+2£fo(c2hp~2) . B46)
Добавление множителя С2 в аргумент /о соответствует замене затра-
затравочных 7г-линий петли их голдстоуновской асимптотикой B45), как и
требуется. Полученные формулы согласуются с результатами общего
анализа ведущих голдстоуновских сингулярностей в п. 15. При желании
методом РГ можно находить и поправки к ведущим вкладам с любой
степенью точности.
Обсудим теперь критический режим, который в данном случае упра-
управляется УФ-устойчивой фиксированной точкой u, ~ е, имеющей смысл
критической температуры, и соответствует в B41) асимптотике т =
и, — и -> 0 при любых (а не обязательно малых, как для уз4-модели) зна-
значениях s и z. Такая постановка задачи возможна лишь потому, что сей-
сейчас и - термодинамическая переменная (температура), которую можно
менять в эксперименте, в отличие от и = const в стандартных моделях
типа у>4. В данном случае выход инвариантного заряда в критический
режим u(s, и) = и* обеспечивается не переходом к асимптотике малых
s, как обычно, а просто внешними условиями: u(u,s) -> u» при и -> и,
(т.е. при Т —> Тс) независимо от величины s = рц~1.
Проще всего искомое уравнение критического скейлинга можно по-
получить изложенным в конце п.1.33 методом, рассматривая РГ-уравнение
A.150) с оператором B38) в окрестности u» ~ е. Если просто положить
и = и,, получим уравнение критического скейлинга непосредственно в
428
Глава 4. Критическая статика
точке Т = Тс. Для определения критической размерности Дт = \jv
параметра т = и — и* ~ Гс — Т (сейчас он канонически безразмерен)
нужно сохранить в /3-функции линейный по т вклад. В таком прибли-
приближении уравнение A.150) с оператором B38) принимает вид
= 0.
B47)
Вычитая его из канонического масштабного уравнения [D^ —T>x+2Vh —
2d<p]D = 0 с d<p = d/2 — 1 = s, записанного для функции в координат-
координатном представлении (вид уравнения B47) от представления не зависит),
получаем искомое уравнение критического скейлинга [—Vx + ДТ2>Т +
А/,Х>л — 2AV]D = 0 с критическими размерностями
А* = <*»> +7; , А/. = 2 +7л , Ат = 1/г/ = -/?>,) . B48)
Из выражения B40) для /?-функции вытекает точное соотношение 7u =
2е для и* ~ е, поэтому из второго соотношения B37) следует 7д = £—у£-
С учетом этого равенства из B48) имеем Av+Ah — dv+2+s = 2+2s = d,
т.е. критические размерности <р и h (в отличие от канонических) нахо-
находятся в теневом соотношении, как и нужно, поскольку независимыми
должны быть лишь два критических индекса. Выбирая в качестве
таковых, как обычно, щ = 27* и Дт = 1/г/, по РГ-функциям B39),
B40) можно найти их 2 + £-разложения с точностью до е4 включи-
включительно. Ответы записываются более компактно в терминах переменной
z = 2e/(n -2) = (d- 2)/(ri - 2):
i, = Z - ZZ +
... , B49)
= z
^" 'Z
-4 + 2nz+
+z2[6 - 2ra - ra2 + C - n)(ra + 4)CC)] + .. .1 ,
+z2[-n2 + Un - 3Q - 18C - n)CC)] + ..
D-n)z2
7^H
(n — 2)z
2
+j[n2 - Юга + 18 + 18C - ra)CC)] + ...
B50)
п.28 Голдстоуновская и критическая асимптотики 429
где ц = 2jp, \jv = Дт. Отметим, что в приведенном в книге [45], гл.29
ответе для v есть опечатка.
В [45] приводится также обобщение -у^ на случай произвольной не-
неприводимой тензорной степени ipl основного поля - бесследовой части
тензорного произведения / операторов <ра(х) (для двух множителей это
<Ра(х)<Рь(х) — $аЬ<Р2(х)/п и так далее). Все эти операторы ренормиру-
ются мультипликативно и имеют следующие критические аномальные
размерности [45]:
/2z /(ra + /-
+z2 |б - 2га - га2 + СC)[2G - 2га) - /(га + / - 2)(га - 2)]] + ... 1.
B51)
В полной критической размерности А[у'] (= — 0(u*) B обозначениях
[45]), получаемой добавкой d[ip'] = ldv = Is = /z(ra — 2)/2 к выражению
B51), комбинация /(/ + га — 2) = щ выделяется общим множителем. Та
же комбинация входит и в коэффициент при £C) в B51), поэтому А[р1]
проще всего записывается через а;. Для полноты приведем также РГ-
функцию /7и/2 + 7[¥''] = ~Ci(u) из [45] {~t[tp1} - РГ-функция аномальной
размерности оператора <р1), значение которой в фиксированной точке в
силу равенства 7„ = 2г совпадает с '
3B-о,)СC)] +.-.]}, B52)
где а; = /(га + / —2). Частный случай / = 1 в B51) и B52) соответствует
самому полю (р.
В работе [114] приведены также явные выражения для ренормиро-
ванных корреляторов и уравнение состояния с двухпетлевой точностью.
Главные поправки к скейлингу в данной модели порождаются со-
составными операторами с d* = 4 (для операторов действия dp = 2), а
именно, ((dipJJ, (d,<p ■ dk<pJ, (d2tpJ, к которым примешиваются еще
два нетривиальных оператора с полем <т в знаменателях. Соответству-
Соответствующая 5x5 матрица констант ренормировки в однопетлевом приближе-
приближении была вычислена в работе [115], а в [118] по ней определены соот-
соответствующие индексы ш (п.8). Для наименьшего из них (т.е. главного
поправочного индекса) получено
ш = 2-2еп/(п-2) + ... = 2 - nz + ... . B53)
430
Глава. 4. Критическая статика
п.29 l/n-разложения критических индексов 0„-<р4 и <т-моде-
ли. Техника построения 1/га-разложений для этих двух моделей по-
подробно излагалась в гл.2. Там же было показано (п.2.27), что они имеют
одинаковое критическое поведение, поскольку в 1/га-разложении соот-
соответствующие функционалы действия различаются лишь ИК-несущест-
венным слагаемым. В главе 2 был также приведен полный расчет (кор-
(корреляторы, уравнение состояния, критические индексы) в ведущем (ну-
(нулевом) порядке по 1/га. В частности, по данным табл.13 в п.2.24 имеем
= 0 , 1/0 = l/(d - 2) , w0 = 4 - d .
B54)
Через Щк здесь и далее обозначается коэффициент при 1/пк в 1/га-разло-
жении щ и аналогично для прочих индексов. В B54) и далее приводятся
результаты для двух независимых основных индексов щ и г/, связанных
соотношениями A.162), A.164) и B.203) с критическими размерностями
полей, и для главного поправочного индекса ш, определенного в сг-модели
соотношением B.204), ав у>4-модели -соотношением A.156). Все прочие
основные индексы выражаются через ц и v соотношениями A.165).
В первом порядке по 1/га известны все три индекса (везде использу-
используются обозначения C.68)):
=-4 HB-d/2,d/2-2,d/2-l)/ \\d/2+l\\ ,
=-2(d-l)/(d-2)D-d),
B55a)
B556)
B55в)
Во втором порядке известны только щ и v\
„11 9
m/m =
A-d
2(d4 -
4-d D-dJ
' + 5d2 +-12d - 8)
- 2 - d , B56a)
d(d-2)
Ro+
16
4-d L J
12 16
4-d d-2
где Rq — ij>(d—1
cP(d-2)
-d2 + d-l
B566)
п.29 11п-разложения критических индексов 431
В порядке 1/п3 известен лишь индекс щ. Выражение для 773 в про-
произвольной размерности d очень громоздкое и будет приведено позднее в
п.40. Здесь мы приведем цз вместе с прочими известными коэффициен-
коэффициентами 1/п-разложений только для размерности d = 3:
B57)
771 = 8/Зтг2 , j/i/tji = -4 ,
т/гЦ = -8/3 , v2/r,\ = 56/3 - 9х2/2 ,
щ/ц\ = -797/18 - 61тг2/24 + 9тг2 In 2/2 + 27^"A/2)/8
(численно к = 0.27, щ ¥ -0.195, щ = -1.88).
Величины B55) были вычислены в работах [119], щ для d = 3 - в
[120], для произвольной размерности щ первым вычислил К.Симанзик
(не опубликовано), затем авторы [121] и [89]. Значение v2 для d = 3
вычислено среди прочего в серии четырех статей, завершающейся ра-
работой [122], для произвольной размерности - в [89]. Значение щ для
произвольной размерности (и для d = 3 как частный случай) получено
в работе [123].
Кроме индексов, для данной модели были вычислены в первом по-
порядке по 1/п скейлинговые функции корреляторов [124] и уравнения
состояния [99], а также критические размерности некоторых составных
операторов, которые будут обсуждаться подробнее в п.34, там же и ре-
результаты вычислений.
Аналогичные расчеты индексов для более сложных обобщений не-
нелинейной сг-модели типа рассмотренных в п.2.28 никогда не выходят за
рамки первого порядка по 1/п. В высших порядках известны лишь те
значения 772,3 и г/2 в простейшей cr-модели, о которых мы уже говорили.
Относительная скудость результатов по сравнению с е-разложениями
объясняется чисто техническими трудностями - быстрым ростом чи-
числа диаграмм с ростом порядка по 1/п и их сложностью, поскольку уже
в низших порядках по 1/п встречаются диаграммы с большим числом
петель.
В заключение обсудим связь между 1/п и е-разложениями. 4 — е-
разложения можно строить методом РГ только в у>4-модели, 2 + е -
только в сг-модели, а 1/п-разложения у них совпадают. Ввиду известной
эквивалентности этих двух моделей в критической области все универ-
универсальные характеристики ведущих критических сингулярностей (основ-
(основные критические индексы и нормированные скейлинговые функции)
должны быть у них общими. Это значит, что получаемые разными спо-
способами 4 —£, 2 + £ и l/n-разложения данной физической величины явля-
432 Глава 4. Критическая статика.
ются разными вариантами разложений некоторого единого объекта, за-
зависящего от d и п (разумеется, в предположении отсутствия экспонен-
экспоненциально малых вкладов, которые полностью теряются в степенных раз-
разложениях) . Это утверждение (или гипотеза при учете последнего заме-
замечания) подтверждается прямой проверкой - совпадением коэффициен-
коэффициентов двойных разложений по £ и 1/п, получаемых разными способами:
либо разложением по 1/п известных при любом п первых коэффици-
коэффициентов е-разложений, либо разложением по соответствующему парамет-
параметру 2е D — d или d — 2) известных при любом d первых коэффициентов
1/п-разложений. Получаемые таким путем коэффициенты двойных раз-
разложений всегда совпадают, что, во-первых, подтверждает гипотезу об
отсутствии экспоненциально малых вкладов и, тем самым, - критиче-
критическую эквивалентность моделей, во-вторых, служит методом проверки
вычислений. Возможность такой проверки - одна из причин (помимо
эстетических соображений), по которым желательно вычислять коэф-
коэффициенты l/n-разложений для произвольной размерности d.
Утверждения об эквивалентности моделей и взаимном соответствии
разных вариантов разложений относятся не только к ведущим крити-
критическим сингулярностям, но и к главному (наименьшему по величине)
поправочному критическому индексу ш. В сг-модели ш определяется
размерностью ИК-иесущественного оператора ф2(х), добавка которого
превращает сг-модель в у>4-модель (п.2.27), т.е. "сг-модель + поправки
от ф2(х) = у>4-модель". Полные модели в обеих частях этого симво-
символического равенства включают и главные поправочные члены, а само
равенство означает совпадение моделей с точностью до обсуждаемых
поправок включительно. Это значит, что индекс ш, вычисляемый в <т-
модели из соотношения B.204) по критической размерности оператора
ф2(х), должен совпадать с аналогичным индексом у>4-модели, который
определяется соотношением A.156) по /?-функции, а также с главным
поправочным индексом ш самой сг-модели в 2 + £-разложении (п.28).
п.ЗО Расчет l/n-разложений индексов по РГ-функциям у>4-
модели. Приведенные в п.29 результаты были получены разными ме-
методами. Один из них, самый прямолинейный, - использование стан-
стандартной РГ-техники для Оп-у>4-модели с последующим пересуммиро-
пересуммированием приведенных в п.2 рядов по и = д/16л2 для констант Z и РГ-
функций 7- Для этого в них нужно подставить и = А/n, считая А
новым независимым параметром (зарядом) с /?д = — АB£ + -уд) согласно
B), и затем последовательно отбирать все вклады одного порядка по
1/п. В нулевом порядке задача тривиальна, так как в этом приближе-
приближении 7v> = 0, а 7т и 79 определяются первыми членами соответствующих
п.ЗО Расчет l/n-разложений по РГ-функциям <р4-модели 433
рядов по и. Действительно, в данный порядок дают вклад лишь те диа-
диаграммы, в которых число множителей п в структурных коэффициентах
г7 из табл.15 в п.3.20 достигает числа петель, - это диаграммы iVo.1,3,6
табл.14 в п.3.20, а также их аналоги в высших порядках, и только они.
В силу второго равенства C.104) все эти диаграммы, кроме самой пер-
первой (No.l в таблице), не имеют полюсов первого порядка по е, поэтому
не дают вклада в РГ-функции (см. текст после формулы D)).
Учитывая сказанное выше, по формулам п.2 с заменой и = Х/n в
нулевом порядке по 1/п находим jv = 0, jT = —А/3, /?д = А(—2е +
А/3), откуда А* = бе, 7<£ = 0> 7* = ~2е, ш = 2е, что эквивалентно
соотношениям B54) для d = 4 — 1е (напомним, что в у>4-модели ц =
27;, 1/1/ = Дг = 2 + 7?).
В следующем (первом) порядке по 1/п во всех РГ-функциях уже
нужны бесконечные суммирования. Константы Z и РГ-функции в та-
таком приближении были вычислены в [125], по ним и получены значения
B55) (в п.34 будет приведен более простой расчет). Но уже следующий
порядок 1/п2 получить таким способом практически невозможно из-за
чрезвычайной сложности вычислений. В заключение отметим, что в
данной схеме расчета l/n-разложений под ренормировкой понимается
обычная для у>4-модели процедура устранения полюсов по е ~ 4 — d, - в
других схемах процедура ренормировки иная.
п.31 Аналог размерной регуляризации и немультипликатив-
немультипликативная ренормировка безмассовой сг-модели. Расчеты l/n-разложений
индексов существенно упрощаются, если выполнять их на основе без-
безмассовой (= критической) сг-модели B.201), во-первых, ввиду отсут-
отсутствия в ней ненужных параметров, во-вторых, из-за безмассовости всех
линий диаграмм (расчет безмассовых диаграмм гораздо проще, чем
массивных). Но для выполнения этой программы нужно сначала четко
сформулировать процедуру регуляризации и ренормировки модели
B.201).
Для удобства читателя воспроизведем здесь действие B.201) с пере-
переобозначением (р —> ф для основного поля, чтобы использовать (р = ф,ф
как обозначение для набора всех полей:
iQ B58)
Первые два вклада считаются свободной частью, прочие - взаимодей-
взаимодействием, последний сокращает все диаграммы со вставками простых пе-
петель B.173) в линии ф (п.2.20). Линиям диаграмм модели B58) сопоста-
сопоставляются затравочные пропагаторы (корреляторы) Оф = (—д2)~1, D-ф =
434 Глава 4. Критическая статика
L~1. В координатном представлении
Оф = А х~2а , Д) = В х~213 , B59)
где а, C - канонические размерности полей B.206)
а=аф = dj2-l, /? = dj, = 2 , B60)
А и В - известные амплитудные множители:
А = H(l) /Air*12 , В = -32H(d/2-2,2-d/2) /пН2{1) . B61)
В записи B59) и далее опускается (подразумеваемый) индексный мно-
множитель 6аь пропагатора ф, суммирование по индексам в замкнутых
циклах ^-линий дает множитель п. Выражение для Вф известно из
C.121), D^ = L~l вычисляется с помощью формул преобразования Фу-
Фурье произвольной степени C.72) по известному из определения B58)
ядру L(x) = -nDl(x)/2.
Для придания смысла диаграммам модели B58) ее нужно регуля-
ризовать, поскольку для полей с каноническими размерностями B60)
вершина фф2 в B58) логарифмична при любом значении d, так что лю-
любые диаграммы с вершинными подграфами расходятся. Подчеркнем,
что переменность d в данном случае не обеспечивает регуляризацию, в
отличие от 4 — е или 2 + е схемы. Разумеется, любую модель можно
регуляризовать параметром обрезания Л, но это нежелательно, так как
конкретные расчеты диаграмм с обрезанием чрезмерно сложны и прак-
практически невыполнимы при большом числе петель. Поэтому хотелось
бы иметь другую регуляризацию типа размерной, которая не нарушала
бы безмассовости линий и сохраняла простую степенную форму B59)
соответствующих пропагаторов, что очень важно при вычислениях.
Регуляризацию нужного типа можно осуществить любым малым
сдвигом канонических размерностей B60), нарушающим условие ло-
гарифмичности вершины 2а + /? = d. Практически достаточно [126]
регуляризовать лишь пропагатор вспомогательного поля ф малым "е-
сдвигом" /? —> C-е его канонической размерности, оставив неизменными
размерность и пропагатор основного поля ф:
/?->/?-£, D^ = В х~213 -> ОфгГед = В х-2/3+2е , е > 0 . B62)
Такая регуляризация осуществляется заменой L = DZ1 —>■ Le = D~llreg
ядра квадратичной формы в свободном действии для ф, т.е. во втором
слагаемом B58). В координатном представлении
L(x) = -nDl(x)/2—>Le(x) = CeL(x)x-2* , B63)
п.31 Аналог размерной регуляризации для сг-моделя 435
где С€ - дополнительный амплитудный множитель, переходящий в еди-
единицу при е —> 0 (его явный вид легко найти из определений, но он нам
не понадобится).
Для компенсации сдвига d-ф регуляризацию B63) нужно сопроводить
введением дополнительного множителя // при взаимодействии фф2 в
B58) (ц - ренормировочная масса), а для сохранения сокращений вста-
вставок простых петель последним вкладом B58) перед ним следует поста-
поставить коэффициент [i2e, поскольку в каждой из двух вершин петли те-
теперь появляется множитель цс, оставив прежним ядро L, так как линии
основного поля в петле не регуляризуются. Таким образом, регуляри-
зованный функционал B58) следует записывать в виде
S*(<P) = -\{9ФJ- \фЬ€ф+^фф2 +1-^фЬф B64)
и рассматривать как базовое действие регуляризованнои безмассовой <т-
модели. Регуляризованные диаграммы отличаются от исходных лишь
сдвигом /3 = 2 —> 2 — е "индексов" т/>-линий и дополнительными множи-
множителями // во всех вершинах. В формальной схеме (п.1.20) все регуляри-
регуляризованные диаграммы хорошо определены, а УФ-расходимости проявля-
проявляются в них, как обычно, в форме полюсов по е. Следует подчеркнуть,
что параметр е не имеет теперь никакого отношения к размерности
пространства d, которая остается совершенно произвольной.
Рассмотрим теперь ренормировку модели B64). Согласно общему
правилу C.88) с учетом значений dv в B60), поверхностные расходи-
расходимости могут присутствовать лишь в диаграммах тех 1-неприводимых
функций Г, для которых
d[F] = <1-(<1/2-1)Пф-2пф = 2m , m = 0,l,..., B65)
где Пфф - число соответствующих полей в Г (в данной модели мономы
М в C.88) - строящиеся только из внешних импульсов скаляры,поэтому
dM = 0,2,4,...). Из критерия B65) следует, что в общем случае произ-
произвольной размерности имеются лишь логарифмические поверхностные
расходимости в вершинных диаграммах Гффф и квадратичные в диа-
диаграммах Гфф. Они порождают контрчлены того же типа, как первый и
третий вклады в B64), поэтому ренормированное действие имеет вид
\ \ \ B66)
и содержит лишь две независимые константы ренормировки Z.
436 Глава 4. Критическая статика.
Сказанное не относится к случаю так называемых исключительных
размерностей, которые определяются из того же критерия B65), рас-
рассматриваемого как уравнение на d. В естественный для данной за-
задачи (п.2.19) интервал 2 < d < 4 попадает лишь следующая серия
(т = Пф = 0, Пф = 2s) исключительных размерностей:
d, = 2s/(s-l), s = 3,4,5,... . B67)
При d = d$ возникает дополнительная логарифмическая расходимость
в 1-неприводимой функции типа ф2', требующая введения соответству-
соответствующего О„-скалярного локального контрчлена. В частности, реальная
размерность d = 3 является одной из исключительных, - в ней появля-
появляется добавочная логарифмическая расходимость шестихвостки основ-
основного поля. Отметим, что регуляризация B64) нарушает условие связи
ф2 = const (принимающее вид ф2 = 0 в формальной модели B58) без
размерных параметров), поэтому контрчлены ~ ф2" = (ф2)" нельзя ис-
исключить простой ссылкой на условие связи. Это условие восстанавли-
восстанавливается только в ренормированных функциях Грина после снятия регу-
регуляризации [126].
Все контрчлены и константы Z строятся в виде рядов по 1/п. Их
вид зависит от выбранной операции вычитаний (п.3.10), в частности, в
стандартной схеме MS
оо к
Ренормированные функции Грина определяются как суммы базовых
диаграмм с выбранной (схемой вычитаний) Л-операцией по общим пра-
правилам гл.З. Константы Z в B66) можно выразить через контрчлены
базовых диаграмм соотношениями типа C.107).
Специфической особенностью рассматриваемой сейчас безмассовой
модели является немультипликативность ренормировки: не существует
неренормированного действия без Zz/i, связанного с функционалом
B66) стандартным соотношением мультипликативной ренормировки
A.84), и это тем более верно для исключительных размерностей B67),
требующих введения новых контрчленов ~ ф2$.
Отметим, что при включении аналогичных B66) констант Zi;2 в
формальное действие B58) ренормировка выглядит мультипликатив-
мультипликативной (растяжение двух полей), но без регуляризации все конструкции не
имеют смысла. Регуляризация нарушает точное сокращение двух не-
нелокальных вкладов в B58), в B66) они не ренормируются в согласии с
п. 31 Аналог размерной регуляризации для <т-модели 437
общей теорией (п.3.13), что и приводит к немультипликативности ре-
ренормировки. Ренормировка станет мультипликативной, если ввести в
модель два добавочных параметра, поставив перед нелокальными вкла-
вкладами действия B64) независимые коэффициенты, подробнее об этом в
п.32.
В заключение вернемся к проблеме исключительных размерностей
B67). Необходимость введения нового контрчлена при d = ds есте-
естественно порождает вопрос о непрерывности по d в точках d = d$ ренор-
мированных функций Грина и их различных характеристик, в частно-
частности, критических показателей. Поясним примером: критические раз-
размерности полей для d = 3 можно находить по ренормированным кор-
корреляторам, вычисляемым двумя способами, - либо непосредственно в
размерности d = 3 с дополнительным контрчленом на подграфы типа
ф6, либо же по действию B66) для произвольной неисключительной раз-
размерности d ф 3 с последующим предельным переходом d —> 3. Вопрос в
том, совпадают ли получаемые таким путем результаты?
Предполагаемый ответ состоит в следующем: строгим определением
самих ренормированных функций Грина при d — d, является первая
процедура (d = d$, e —> 0), поскольку для второй (сначала d ф ds, е —> 0,
затем d —> d$) предел d= d$ может и не существовать из-за сингулярно-
стей по d в точках B67). Но эти сингулярности устранимы подходящим
преобразованием УФ-конечной (в смысле отсутствия полюсов по е) ре-
ренормировки, которая не оказывает влияния (п. 1.18) на универсальные
характеристики критического поведения - индексы и нормированные
скейлинговые функции. Такие объекты должны быть поэтому непре-
непрерывными по d в точках B67) и могут вычисляться любым способом,
в том числе и продолжением по d из неисключительных размерностей
на основе действия B66) без добавочных контрчленов. В обоснование
сказанного достаточно заметить, что универсальные характеристики
(только они имеют объективную ценность) не должны зависеть от спо-
способа регуляризации и ренормировки модели и заведомо непрерывны по
d при регуляризации обрезанием (п. 1.19). Отметим также, что УФ-
расходимости от подграфов типа ф2" при d = ds в простейших функ-
функциях Грина (пропагаторах и вершине) появляются лишь в недостижимо
высоких на данный момент порядках по 1/п, так что обсуждаемую про-
проблему пока что можно считать академической. Реально все вычисления
выполняются для произвольной неисключительной размерности, и ре-
результаты не имеют сингулярностей по d в исключительных размерно-
размерностях.
438 Глава 4. Критическая статика
п.32 Критический скейлинг, расчет критических размерно-
размерностей по функциям Грина. Говоря о функциях Грина модели B66),
всюду в дальнейшем будем считать, если не указано противное, что в
них уже выполнен предельный переход е —> 0 (напомним, что е у нас
- всего лишь вспомогательный регуляризатор, в отличие от 4 — е или
2 + £ схемы).
Ренормированные функции Грина безмассовой модели B66) зави-
зависят только от внешних импульсов (или координат) и ренормировочной
массы fj., но не содержат свободного параметра типа ренормированного
заряда д, в отличие от обычных моделей типа у4. По физическому смы-
смыслу они описывают ИК-асимптотику функций Грина О„-у>4- или (экви-
(эквивалентно) (Г-модели в l/n-разложении, поэтому уже сами по себе (а не
только их ИК-асимптотики) должны обладать свойством критической
масштабной инвариантности (критический скейлинг). Это означает, в
частности, что точные корреляторы полей должны иметь ту же форму
B59), только с измененными амплитудами и точными критическими
размерностями полей вместо канонических в качестве показателей а, /?.
Наличие скейлинга в ренормированных функциях очевидно из физи-
физических соображений, но довольно сложно доказывается непосредственно
в рамках самой модели B66), что связано с ее специфическими особен-
особенностями - немультипликативностью ренормировки и отсутствием па-
параметра д. Это не позволяет получить стандартным способом (п. 1.24)
уравнение РГ, из которого в ИК-асимптотике автоматически вытекает
критический скейлинг (п. 1.33). Нельзя также надеяться на получение
каких-нибудь формул, выражающих искомые критические размерности
через константы Z в B66). Дело в том, что формулы такого типа в
обычных моделях всегда содержат не только сами константы Z, но и
их производные по д, а у нас нет такого параметра. В этом отноше-
отношении модель B66) подобна у>4-модели, рассматриваемой только в режиме
критического скейлинга, т.е. в одной точке д = д*, а не при произволь-
произвольном значении д, - при такой постановке и в у>4-модели появились бы
аналогичные проблемы.
Доказательство скейлинга в модели B66) было дано в работе [126] на
основе "расширенной модели", в которой при двух нелокальных вкладах
в B64) и B66) вводятся добавочные независимые коэффициенты и и v.
Модель тогда становится мультипликативно-ренормируемой, и к ней
приложима вся стандартная техника гл.1. На таком языке проблема
в том, что РГ-оператор содержит среди прочего производные по и и
v, поэтому РГ-уравнение для функций Грина расширенной модели не
переходит автоматически при и = v = 1 в уравнение для функций Грина
п.32 Расчет критических размерностей по функциям Грива 439
исходной модели B66). В [126] показано, что для некоторой (отличной
от MS) схемы вычитаний вклады с производными функций Грина по и и
v в точке u = v = 1 исчезают, что и приводит к уравнению критического
скейлинга для функций Грина самой модели B66). Поскольку скейлинг
- универсальное (не зависящее от произвола конечной ренормировки)
свойство - он будет иметь место для любой схемы вычитаний, в том
числе и для схемы MS.
Таким путем доказывается наличие критического скейлинга в мо-
модели B66) и получаются аналогичные формулам п.1.25 явные выраже-
выражения искомых аномальных размерностей через константы ренормировки
Z расширенной модели и их производные по и и v в точке и = v = 1.
Из этих формул производные не выпадают, поэтому для их практиче-
практического использования нужно вычислять константы Z расширенной мо-
модели, причем не в самой удобной (не MS) схеме вычитаний. Бесконеч-
Бесконечных суммирований диаграмм со вставками B.173) в линии ф это не
требует, поскольку достаточно вычислять константы Z лишь с точно-
точностью до первого порядка по отклонениям и и v от единицы, так как в
ответы входят лишь первые производные Z в точке и = v = 1.
Переход к расширенной модели полезен для обоснования скейлинга,
но если считать сам факт его наличия уже так или иначе установлен-
установленным, искомые критические размерности проще вычислять не через кон-
константы Z расширенной модели, а прямо по функциям Грина исходной
модели B66).
Пусть, например, Гн = Гн Гн - некоторая зависящая от одного
внешнего импульса р ренормированная 1-неприводимая функция Грина
(обратный пропагатор или вершина с одним нулевым внешним импуль-
импульсом) с определенной критической размерностью А [Г] = й[Г] + 7*[Г] (ка-
(каноническая плюс аномальная), Гн - ее нулевое (по 1/п) приближение с
критической размерностью d[V]. По построению, l/n-разложение функ-
функции Г начинается с единицы, для нее й[Г] = 0 и Д[Г] = 7* [Г], поэтому
TR(p,») = А (р/мГ'Р1 , (Гн = Г^Гн) . B69)
Умея вычислять (по базовым диаграммам с Л-операцией) функцию Гн
в некотором порядке по 1/п, можно прямо проверить в данном порядке
справедливость представления B69) и найти входящие в него параме-
параметры А и 7* [Г]. Если считать скейлинг доказанным, его проверкой можно
не заниматься, а для определения самих параметров достаточно вычи-
вычислить коэффициенты при нулевой и первой степени логарифма в разло-
разложении Гн по степеням ln(p/fJ.).
440 Глава 4. Критическая статика.
Аналогичное B69) представление можно написать и для функций
Грина типа C.158) с произвольной системой FR = {-Fjr} смешиваю-
смешивающихся при ренормировке составных операторов (п.3.28), конечным про-
продуктом расчета будет матрица 7р их аномальных размерностей в D3).
Для полного описания ренормировки заданной системы операторов при
наличии смешивания желательно вычислить и соответствующую ма-
матрицу Q из C.176). Следует отметить, что немультипликативность
ренормировки модели B66) лишает смысла понятие неренормирован-
ного поля <р и все формулы главы 3 с его участием, в том числе и
стандартные формулы мультипликативной ренормировки C.183) для
смешивающихся составных операторов. Сохраняют смысл лишь те со-
соотношения, в которые входят ренормированные и базовые объекты, в
частности, основное соотношение C.176), определяющее функциональ-
функциональную форму ренормированных операторов.
Изложенный выше прямой метод расчета размерностей пригоден не
только для простой (Т-модели, но и для различных ее обобщений, типа
рассмотренных в п.2.28. Теоретически он позволяет вычислять крити-
критические размерности в любом порядке по 1/п, но практически на таком
пути никогда не удавалось продвинуться выше первого порядка из-за
чисто технических трудностей. Но зато этот метод универсален, в от-
отличие от специальной техники, используемой для расчета высших по-
порядков г] и v в (Т-модели (об этом в следующих разделах).
п.ЗЗ Расчет размерностей полей и составных операторов
по контрчленам диаграмм в первом порядке по 1/п. Обсудим
подробнее методику расчета аномальных размерностей 7* B низшем
(первом) порядке по 1/п. В обычных моделях типа <р* величины -у*
предпочитают вычислять не по функциям Грина, а через константы
ренормировки Z, поскольку это более простые объекты без импульсных
переменных. В модели B66) это невозможно, поэтому приходится иметь
дело с функциями Грина. Но в первом порядке по 1/п такой расчет
оказывается в действительности не сложнее обычных вычислений через
Z, поскольку для получения результатов достаточно найти вычеты в
полюсе по е (в низшем порядке, расходящихся подграфов и старших
полюсов по е не бывает) всех индивидуальных диаграмм, что по объему
работы эквивалентно расчету констант Z.
Поясним это сначала на простом примере функции типа B69). Ее
1/п-разложение начинается с единицы, поэтому
Га = 1 + ^[Т] 1п(р/м) + ^Аг + ОA/п2) B70)
п.33 Расчет размерностей в первом порядке по 1/тг 441
с обычным (п.29) смыслом индекса ". Для индивидуальной базовой
диаграммы 7 £ Г первого порядка по 1/п имеем:
7в = WpJemT[»r/e + •••]. B71)
константа г>7 - вычет в полюсе по е, многоточие - неполюсной вклад,
m-f = 1,2,...- "кратность регуляризатора" - число содержащих регуля-
ризаторы е внутренних ^-линий в у. Множители це содержатся во всех
вершинах у, но частично могут уйти в выделенное нулевое приближе-
приближение Т(°', оставшиеся обезразмеривают множители х2е ~ р~2е регуляри-
зованных ф-лтший B62). Контрчленом LjB диаграммы B71) является
величина v-y/e (схема MS), a RyB = 7"в ~ Ly~B, поэтому
7R = JimifyB = Jim [[/i/pJem^-l] v1/e+... = -2m1v1 Ы(р/ц)+..., B72)
где многоточие - несущественная константа.
Таким образом, логарифмы порождаются только полюсными вкла-
вкладами базовых диаграмм -у, а коэффициент при логарифме в B70) опреде-
определяется вычетами г>7 их полюсов. Складывая выражения B72) с их сим-
метрийными коэффициентами с7 и сравнивая с B70), находим в первом
порядке по 1/п аномальную размерность 7* [Г] — 7Г[Г]/п:
7Т] = ^Х^т^. B73)
7
Это и есть окончательный ответ для функции типа B69). Сумма в B73)
отличается от аналогичной суммы в контрчлене LVB = e~l ]Н с7г>7 доба-
добавочными множителями т-f, поэтому одна по другой не восстанавлива-
восстанавливается. Но при расчете контрчленов все равно приходится вычислять вы-
вычеты v-y индивидуальных диаграмм, кратность регуляризатора пъу для
каждой из них находится элементарно по виду графика, так что рас-
расчет величины B73) по степени сложности эквивалентен расчету контр-
контрчлена.
Рассмотрим теперь произвольную систему смешивающихся при ре-
ренормировке локальных мономов F{ = F{(x;<p). Мы будем пользоваться
стандартными обозначениями гл.З, всегда подразумевая под (р совокуп-
совокупность всех полей рассматриваемой модели, у нас <р = ф,ф- Число полей
Пр понимается тогда как мультииндекс, а выражения типа n^d^ - как
суммы по всем сортам полей. Ввиду отсутствия размерных параметров
смешиваться при ренормировке в нашей модели могут лишь операторы
с каноническими размерностями d,- = d[F{], различающимися только
442 Глава 4. Критическая статика,
величинами порядка е, т.е. с одинаковым значением dF без регуляриза-
регуляризации.
Переходя к выводу матричного аналога соотношения B73), прежде
всего заметим, что важно выбрать удобный исходный объект. Функ-
Функция Гц в B69) была удобна тем, что ее 1/п-разложение начинается с
единицы, поэтому искомая величина 7* однозначно определяется ко-
коэффициентом при логарифме. Аналогичным Г удобным объектом для
составных операторов является определенный соотношением C.160) с
последующим отбором -н. части" производящий функционал Т,(х;(р)
1-неприводимых функций Грина с одним оператором F = Fi(x;(p) и
любым числом простых полей ip, для которого в безмассовой теории
возмущений по 1/п
Г,-В(х; ч>) = Fi(x; <p) + Y; <hH*(x> Ч>) + • • • • B74)
Суммирование производится по всем базовым диаграммам -у порядка
1/п, Су - их симметрийные коэффициенты в функционале C.160), мно-
многоточие - несущественные для дальнейшего вклады высших порядков
по 1/п. Отметим, что в общем случае в функционале C.160), помимо
самого F{, есть и другие 1-неприводимые вклады нулевого порядка, по-
получаемые попарным сворачиванием в закороченные линии входящих в
F, полей. У нас в B74) таких добавок нет, поскольку вклады с закоро-
закороченными безмассовыми линиями считаются равными нулю (п.3.19).
При подстановке выражения B74) в определение Г,-Н(а;; (р) = ЛГ,в(ж; ip)
ренормированного функционала Я-операция сводится к единице на вкла-
вкладе F{ и к 1 — L на вкладах -у (нет расходящихся подграфов), поэтому
L]ttB(x;¥,) + ... . B75)
Операторный контрчлен LjiB(x;<p) любой диаграммы является некото-
некоторой линейной комбинацией мономов F (п.3.28). Для диаграмм первого
порядка по 1/п в схеме MS имеем:
byiB(x;<p) = ^5>*-*«?Л(*;р), B76)
числа vlf - вычеты в полюсе по е, множитель fidi~dk компенсирует
возможное малое (порядка е) различие канонических размерностей опе-
операторов в регуляризованной теории (в B76) нельзя перейти к пределу
п.ЗЗ Расчет размерностей в первом порядке по 1/п 443
Как и раньше, интересующие нас логарифмы в ответах будут поро-
порождаться только полюсными (по е) вкладами диаграмм. Такие вклады
в самих диаграммах fiB(x;<p) отличаются от контрчленов B76) лишь
добавочными множителями (fj.xJsm~', где rrij - такие же, как и в B73),
"кратности регуляризатора". Поясним кратко происхождение множите-
множителей (fix)s. Расчеты операторных контрчленов производятся в импульс-
импульсном представлении (п.3.26), в общем случае при полюсе 1/е имеется
некоторое количество множителей- {ц/рУ и некоторый полином по им-
импульсам. В координатном представлении импульсы из полинома пе-
переходят в символы д и включаются в операторы Fk, в коэффициен-
коэффициентах при них остается лишь "координатный образ" множителей {ц/р)с.
Выбор импульса р в них произволен, так как изменение р порождает
лишь добавки порядка е, в которых полюс по е сокращается. Удобно
выбрать в качестве р импульс, втекающий в вершину составного опе-
оператора (п.3.26), тогда в координатном представлении р переходит в
операцию дифференцирования д = д/дх по координатам х операторов
Fk(x;<p): (ц/рУ —> (fi/d)s. Последнее выражение можно переписать в
виде (fJ.x)s ■ (xd)~s и затем отбросить второй множитель, поскольку он,
в отличие от первого, критически безразмерен и поэтому не порождает
интересующих нас логарифмов, которые "реагируют" на масштабные
преобразования (см. ниже).
Из сказанного выше и соотношения B76) имеем:
[l-Lh;B(x;<p) = -^/•-^[(^J£тт-1]^^(^У)+--- . B77)
£ k
что после подстановки в B75) и перехода к пределу е = 0 дает
к
где многоточие - несущественные вклады без In(fix) и
uik = J]c,m, v\k . B79)
Соотношение B78) при нашей точности A/п в и) можно переписать
компактно в виде
TR{x;<p) = (»xJu F(x;<p) + ... , B80)
понимая Ги^ как векторы по нумерующим индексам i, к, а действую-
действующие на них объекты - как матрицы по этим индексам.
444 Глава 4. Критическая статика
Остается увязать показатель в B80) с искомой матрицей критиче-
критических размерностей AF типа D3). Из уравнения критического скейлинга
D2) (сейчас без вкладов с Ve) для ренормированных составных опера-
операторов и его аналога для простых полей следует, что в терминах ренор-
мированного функционала Tn{x;ip) критический скейлинг выражается
аналогичным A.45) соотношением
Г^А-1*;^) = АДр Гн(*;р) , <рх(х) = Ад- <р(\х) , B81)
в котором А > 0 - произвольный параметр масштабного преобразова-
преобразования, Д^р - критические размерности соответствующих величин (для
F - матрица). Прямой проверкой нетрудно убедиться, что простые мо-
мономы F(x;ip) преобразуются при этом следующим образом:
ЖА*;^) = AdF+"*4 Fi(x;<p) , Д„ = dv + % , B82)
где dVtV - канонические размерности (считаем е = 0, тогда значение
dp для всех F{ одинаково), щ/ - число множителей (р в мономе Ft (для
системы полей - мультийнй^йс, и тогда выражения типа пу^ понима-
понимаются как суммы по всем сортам полей). Для пояснения равенства B82)
отметим, что величина dF — nyd^ равна числу символов д в F{.
Выполним в B80) масштабное преобразование B81), затем восполь-
воспользуемся соотношением B82), а потом - опять представлением B80) (про-
(проблем с некоммутативностью матриц при этом не возникает, поскольку
единственным вкладом нулевого порядка в показателе является кратная
единичной матрица dT, а некоммутативностью вкладов порядка 1/п при
нашей точности можно пренебречь). В итоге получим
Г^А*;^) = AdF+"^-2u Гн(*;р) , B83)
что при сопоставлении с B81) дает искомую связь между матрицами
B79) и D3):
ДР = dF + 7; = dF + nvj;-2u. B84)
При этом nv понимается как диагональная матрица с элементами п^ =
Slk ■ щ, (матричные индексы ставим наверху только для удобства за-
записи), a ritpjy - как сумма вкладов от всех сортов полей. В подробной
расшифровке:
f * >(,*>7;. B85)
я. 34 Примеры 445
Это и есть окончательный ответ, являющийся аналогом B73). Напо-
мним, что щ, - число множителей (р в мономе Fj, (в общем случае
мультииндекс), 7J ~~ аномальные размерности самих полей, матрица и
выражается через контрчленные вклады диаграмм порядка 1/п соот-
соотношением B79).
Для полного описания ренормировки желательно вычислять также
матрицу <5 в соотношении C.176), определяющем функциональную фор-
форму [-£;(£; ¥>)]r ренормированных операторов. Матрица Q неуниверсальна
(зависит от выбора схемы вычитаний), но содержит и некоторую объ-
объективную информацию: по Q видно, какие именно операторы смеши-
смешиваются при ренормировке. В нашем случае из определения C.176) и
соотношений B74) и B76) имеем:
ХУ* *"*(*;¥>) - B86)
к
vl ' Q^ = **■*-«'* B87)
с тем же смыслом всех величин, что и в соотношении B79).
Напомним, что ренормированные составные операторы, критиче-
критические размерности которых обсуждались выше, определяются по функ-
функционалу B86) вторым равенством C.184), первое в нашей модели те-
теряет смысл. Сами критические размерности - собственные значения
матрицы AF, их имеют соответствующие базисные операторы D4), все
это обсуждалось в п.7.
Последнее замечание: поскольку в ответы дают вклад лишь расхо-
расходящиеся диаграммы, суммировать в соотношениях B79) и B87) нужно
только по ПР-графам (п.3.25) функционала C.160), а не по всем его
1-неприводимым диаграммам j первого порядка.
п.34 Примеры. Приведем конкретные примеры расчетов в первом
порядке по 1/п, начав с размерностей самих полей <р = ф,ф. Их можно
находить по двум 1-неприводимым функциям Tvv = —D~l полей ф, ф,
но удобнее по Тфф и вершине Гффф. Из формул критического скейлинга
(п. 1.33) следует, что с точностью до знака аномальная размерность про-
произвольной функции Грина равна сумме аномальных размерностей вхо-
входящих в нее полей, причем для полных или связных функций размер-
размерности полей входят со знаком плюс, а для 1-неприводимых - со знаком
минус. Таким образом:
7*[г] = -Х>„7;, -гЧТфф] = -27;, 7*М = -Н-ъ ■ B88)
446 Глава 4. Критическая статика
Мы привели общую формулу и нужные частные случаи.
В первом порядке по 1/п интересующие нас функции Г модели B64)
представляются диаграммами B89) с указанными коэффициентами (все
единицы):
B89)
Линиям графиков сопоставляются пропагаторы B59) с известными из
B61) амплитудами и "индексами" (терминология п.3.21) а = d/2— 1 для
0-линий и /3-е с C — 2 для регуляризованных ф-линий, во всех вершинах
подразумеваются множители р*. Нулевым приближением Т^°> является
—р2 для Тфф и (Is для Тффф.
Начнем с расчета i*.. Единственный график Тфф в координатном
представлении - простое произведение линий, поэтому весь расчет вы-
выполняется одним преобразованием Фурье по правилу C.72), что дает
(всюду используются обозначения п.3.15):
Г = Тфф = -р2 + n2tAB ж*12 H[a + p- e) B/p)d-2a-2l3+2£ . B90)
Полюс по е содержится в функции Н(а + /? — е) = H(d/2 + 1 — е) =
|| — 1 + е\\ /||d/2+ 1 — е||. Сократив его соответствующим контрчленом
~ р2/е и затем перейдя к пределу е = 0, для ренормированной функции
B90) получим выражение Гн = — р2[1 — 2aln(p/fi)] с коэффициентом
а = Kd/2AB/4\\d/2 + 1||. Сравнение полученного ответа с формулами
B70) и B88) показывает, что а = 71 в нашем приближении. Подставив
в а известные (см. выше) величины, получим результат B55а) для
индекса г\ — 2j^ в порядке 1/п.
Рассмотрим теперь вершинную функцию B89). Ее нетривиальные
диаграммы 71,2 (нумерация в порядке следования) расходятся логариф-
логарифмически, их контрчлены легко вычисляются с вертикальной протечкой
импульса по формулам C.123) - C.125). Амплитудные множители в 71
группируются в комбинацию А2В Е и, а в 72 - в пААВ2 = пи2, где
и = А2В =
= 1Н {d/2-2,2-d/2) =
2ird
После выделения этих амплитуд и одного множителя // остаются ка-
канонически безразмерные графики t"i 2 c единичными амплитудами всех
линий. Расчет можно упростить, пользуясь следующей очень полезной
справочной формулой для определяющего контрчлен полюсного вклада
(в фурье-образе) произвольного логарифмического п-уголъника (Vn > 2)
п. 34 Примеры 447
с индексами ребер а\.. ,ап и единичными амплитудами всех вершин и
линий:
1 — 1
где Д - суммарный малый регуляризатор, многоточие - конечные вкла-
вклады. Условием логарифмичности является первое равенство B92), сум-
суммарный регуляризатор Д складывается из содержащихся в индексах а,-
всех или части ребер отдельных регуляризаторов Д,-. Последние пред-
предполагаются величинами одного порядка и знака с конечными отноше-
отношениями Ai/A , поэтому вкладами Д,- в аргументах Л (...) в B92) при
отборе полюса можно пренебречь. При n-угольнике подразумевается
множитель //2Л, обеспечивающий безразмерность всего выражения. В
безразмерных диаграммах 7 такие множители формируются автомати-
автоматически из должного числа р* в вершинах, роль Д,- играют регуляриза-
торы е всех ф-линий.
Формула B92) справедлива лишь для диаграммы с простым по-
полюсом, т.е. без подрасходимостей. В этом отношении в п-угольнике
опасны лишь ребра с индексом а = d/2 -fro, m = 0,1,2,... (с точ-
точностью до регуляризаторов), таких ребер в B92) не должно быть. И
последнее: при использовании соотношения B92) можно не думать об
ИК-расходимостях и выборе протечки импульса (п.3.19), считая, напри-
например, все внешние импульсы нулевыми, а диаграмму регуляризованной
массами в некоторых линиях.
Первая вершинная диаграмма 71 в B89) - логарифмический тре-
треугольник с Д = е, поэтому ее контрчлен L~jx сразу находится по пра-
правилу B92) с учетом множителя B91): Lil=uKdH(a,a,P)/e\\d/2\\. Вто-
Вторая вершинная диаграмма 72 сводится к логарифмическому квадрату
с Д = 2е однократным интегрированием по правилу C.124) крайней
левой цепочки, в итоге получаем Lrf2 = nu27T2dH(a, a, 0,0,/3, а, За —
d/2)/2e\\d/2\\. Три первых аргумента Н происходят от интегрирова-
интегрирования цепочки со звеньями а, а, четыре последних - от возникающего
квадрата. Подставив известные величины, получим следующие окон-
окончательные выражения для контрчленов Lrj вершинных диаграмм B89)
в стандартных единицах т\\1п\
ёт^: ■ B93)
448 Глава 4. Критическая статика,
Тем самым вычислены вычеты г>7 = 111,2 в соотношении B73) для
данной функции Г, из B89) находим с\ — с^ — 1 для симметрийных
коэффициентов и mi = 1, m2 = 2 для кратностей регуляризаторов
(числа ^~линии)- Подставив все это в соотношение B73), получим
7*[Тффф] = —2г>1 — 4г>2 = dBd — 5)/D — d) в стандартных единицах, что
позволяет найти -у^ из последнего равенства B88) при уже известной
"Л = т)/2. В итоге получаем:
7* ~ 2 п ' ^ ~ D-d)
с 77i из B55а). Ответ B94) для j^ эквивалентен B556) для v\. Для
удобства сравнения приведем в одном месте основные определения и
связи между индексами в теории возмущений по 1/п:
<р = 0, V; <** = d/2 - 1 , d^ - 2; ]
I B95)
Здесь уместно отметить, что критическая размерность Др опреде-
определенной физической величины F есть объективное (однозначное) поня-
понятие, но ее разбиение AF = rfF+7F на канонический и аномальный вклады
неоднозначно, так как в общем случае зависит от выбора теории возму-
возмущений (если определять dF обычным образом как нулевое приближение
AF в данной теории возмущений). Например, для Ат = dT + 7* в обыч-
обычной теории возмущений у>4-модели имеем dT = 2, j* = 0D — d), тогда
как в 1/п-теории возмущений из B95) следует dT = d— 2, 7* = О A/п).
Рассмотрим теперь несколько примеров для составных операторов.
При наших размерностях d^ совпадение dF для двух операторов (необ-
(необходимое условие смешивания при ренормировке) возможно лишь в двух
случаях: 1) операторы связаны простой перегруппировкой символов д
или О„-индексов, например, фд2ф и д2ф2 или фафь и 8аъф2; 2) они свя-
связаны заменой одного множителя ф двумя д, например, ф2 и д2ф.
Для некоторых операторов сразу йидно, что им не с чем смеши-
смешиваться, поэтому ренормировка мультипликативна. Так будет, напри-
например, для обсуждавшегося в п.28 (там фа —>■ (ра) семейства О„-неприводи-
мых симметричных тензоров F = ф1 (первый - само поле фа, второй есть
ФаФь — $аьФ2/п и так Далее, ф1 - условное обозначение). Из-за неприводи-
неприводимости и отсутствия символов д этим операторам не с чем смешиваться.
Это не мешает, разумеется, пользоваться при вычислениях соотноше-
соотношениями п.33, считая все матрицы тривиальными A х 1).
п.34 Примеры 449
Приведем расчет 7*[^']- Порождающими контрчлены ПР-графами
функционала C.160) с оператором F(x; ip) = ф1 в первом порядке по 1/п
являются следующие диаграммы:
Гв(х;<р) - F(x;<p) +\ <f +\ <Ц .
B96)
Они подобны вершинным графикам B89), но теперь внешним линиям
сопоставляются соответствующие (типу линии) множители ip = ф, ф (в
п.3.26 они изображались хвостиками, но можно пользоваться и графи-
графическими обозначениями B96), понимая их должным образом). Жирной
точкой в B96) изображается вершина составного оператора, которой со-
соответствует стандартный вершинный множитель типа B.21), т.е. про-
производная SkF/Stpk, где к - число (в общем случае мультииндекс) при-
присоединяющихся к данной вершине линий (в нашей модели к = кф, кф и
{ё/8<р)к = F/6ф)к*(8/6ф)к*). Различие коэффициентов в B89) и B96)
объясняется тем, что коэффициенты в функциях Грина получаются
из коэффициентов аналогичных графиков в производящем функционале
умножением на п!, где число п (в общем случае мультииндекс) - крат-
кратность однотипных внешних линий (п.2.3).
Для нашего оператора второй график B96) в действительности вкла-
вклада не дает, поскольку ф-линии содержат символ 6аь и включение вер-
вершины F в замкнутый цикл ф-линий порождает свертку по паре индексов
в вершинном множителе, равную нулю в силу неприводимости F.
Таким образом, остается лишь вклад первого графика в B96). Оче-
Очевидно, что индексная структура оператора ф1 в его контрчлене само-
самовоспроизводится, и это позволяет перейти к обычной диаграмме B89),
только с добавочным комбинаторным коэффициентом /(/ — 1) от вер-
вершинного множителя 52ф!/8ф8ф. Для обычного графика с единицей в
вершине F вычет в полюсе г>7 известен из B93), для него т7 = 1 i
с7 = 1/2 в B96), что позволяет сразу найти 1 х 1-матрицу и из соотно-
соотношения B79) и затем искомую величину -у* = -у" [ф1] по правилу B85) с
ripjy = l^j*. — 1/2 в стандартных единицах. В итоге получим следующее
выражение для критической размерности данного оператора:
А[ф'} = 1(А/2 - 1) + ^izM . 2L + ОA/п') . B97)
Этот ответ согласуется (п.29) с известным из B51) выражением для
аномальной размерности данного оператора в 2 + е-разложении (там
ф —у ф). Результат B97) был получен в работе [127] более сложным
450 Глава 4. Критическая статика
методом с использованием операторного разложения Вильсона; там же
приведены результаты аналогичного расчета для некоторого специаль-
специального класса операторов типа ф1 с добавочными символами д.
Рассмотрим теперь семейство операторов F = ф'(х). По соображе-
соображениям размерности можно ожидать появления в контрчленах ф1 множе-
множества других операторов, получаемых из исходного последовательными
заменами ф —> дд, в частности, двух новых независимых операторов
ф1-2д2ф и д2^ф1-1^ ПрИ ОдНОКратной замене. Поэтому в общем случае
расчет контрчленов ф1 - трудная задача из-за большого (и нараста-
нарастающего с ростом /) размера матриц. Но в первом порядке по 1/п все
упрощается, так как в этом порядке, как будет показано ниже, сме-
смешивание ф —> дд отсутствует и ренормировка ф1 оказывается просто
мультипликативной.
Переходя к вычислениям, рассмотрим ПР-графы функционала C.160)
для F = ф1 в модели B64):
(а)- *
. B98)
Здесь приведены все ПР-графы первого порядка по 1/п с симметрий-
ными коэффициентами, обозначения те же, что и в B96), жирная точка
изображает стандартный вершинный множитель, в данном случае
82ф1 /дфдф = 1A — 1)ф'~2. Графики B986) расходятся логарифмически
И порождают мультипликативную ренормировку ф1. За смешивание
ф —> дд в первом порядке отвечает лишь одна диаграмма B98а), ко-
которая по размерности расходится квадратично и соответствует контр-
контрчлену ~ ф'~2д2ф. Но в действительности данный граф контрчлена не
порождает, так как в нем нет полюса по е из-за его "случайного сокра-
сокращения" нулем вычета. Поясним подробнее. Как и в B96), контрчлен
функциональной диаграммы B98а) определяется обычной диаграммой
того же вида, сводящейся по правилу C.134) к простой линии с ин-
индексом За + 2/? — 2е — d = d/2 + 1 — 2е и числовым коэффициентом П.
При наших индексах ребер в графике B98а) этот коэффициент П вы-
вычисляется точно по формуле C.135) и оказывается кратным е (т.е. без
регуляризации П — 0). Поэтому полюс по £ в фурье-образе результиру-
результирующей линии (наличие которого и предсказывается соображениями раз-
размерности) в данном случае сокращается нулем коэффициента П. Таким
образом, диаграмма B98а) контрчлена не порождает, т.е. смешивание
ф —>■ дд в первом порядке отсутствует (но оно может появиться в выс-
высших порядках от новых диаграмм).
п. 34 Примеры 451
Мультипликативная ренормировка F = ф1 в первом порядке по 1/тг
порождается функциональными ПР-графами B986). Их контрчлены,
как и раньше, определяются обычными диаграммами 71,2,з (нумерация
в порядке следования) того же вида с добавочным коэффициентом /(/—1)
от вершины F. Контрчлены Lj обычных диаграмм (сейчас j = 7) с
единицей в вершине F легко вычисляются описанным выше методом
(сведение к логарифмическому тг-угольнику интегрированием простых
цепочек) и в стандартных единицах щ/п оказываются следующими:
4£ , И2- 2{4_d)£ , £7з- 3D -d)e '
Вычеты этих полюсов с добавочным коэффициентом /(/ — 1) суть v1 =
^1,2,3 в соотношении B79), коэффициенты с7 и кратности регуляриза-
торов rrUf диаграмм B986) известны (mi = тг = 2, тз = 3). По этим
данным из B79) находим 1 х 1-матрицу и, по ней из соотношения B85)
с nvj^ = 1-/^ в данном случае и известной из B94) величиной jl на-
находим аномальную размерность рассматриваемого оператора. В итоге
получается следующее выражение для критической размерности:
= л +
D — а) п
Отсюда в частном случае / = 2 можно получить ответ B55в) для по-
поправочного индекса и = А[ф2] — d (и наоборот, по данным B94) и B55в)
и общему виду зависимости от / можно было бы без вычислений полу-
получить результат C00)). Здесь нужно также отметить, что при наличии
примеси д2ф к ф2 в высших порядках величину А[ф2] в выражении
для ш нужно понимать как размерность не самого ф2, а ассоциирован-
ассоциированного с ним оператора D4). Это не отразится на обосновании соотноше-
соотношения B.204), поскольку вклад д2ф исчезает под знаком интеграла по х в
функционале действия.
Результат C00) был получен в работе [128]. Там же рассматрива-
рассматривались следующие по сложности скалярные операторы с ф и двумя д (их
значки свернуты). В качестве независимых операторов такого типа (их
два) можно выбрать ф1д2ф и д2ф1+1, оператор с двумя д на разных
ф сводится к этим. Ренормировка д2ф1+1 определяется ренормировкой
ф1+1, поэтому достаточно ограничиться оператором F = ф1д2ф. При ре-
ренормировке к нему может примешиваться оператор с меньшим числом
ф (смешивание ф —»• дд), порождаемый графиком B98а), два оператора
с тем же числом ф (сам и д2ф1+1) от графиков B986) и оператор ф1+2
452 2^лава 4. Критическая статика
(смешивание дд —} ф) от графиков
Смешивание ф —^ 55 отсутствует и в данном случае: граф B98а) для
нового оператора отличается от рассмотренного ранее лишь возможным
появлением операции д2, действующей на одну из ^-линий в вершине
составного оператора, что приводит к повышению ее индекса на еди-
единицу (т.е. 2 -* 3 без учета регуляризации). Вместо 0, j = 2,2 в C.135)
теперь получается /3, -у = 2,3, но и в этом случае (и вообще в любом
/3,7 = гп, п с целыми п, гп > 2) выражение C.135) для коэффициента П
имеет нуль. Отметим, что это доказательство не обобщается непосред-
непосредственно на операторы с более чем двумя символами д, поэтому вопрос
о смешивании ф -*• дд даже в низшем порядке для них остается откры-
открытым.
У нас его нет, и ввиду треугольности матриц ассоциированная с
F = ф1д2ф новая критическая размерность однозначно определяется со-
соответствующим диагональным элементом, - прочие нужны лишь для
вычисления коэффициентов при примесях д2ф1+1 и ф1+2 в соответству-
соответствующем точном операторе D4), имеющем данную размерность. В ра-
работе [128] был явно вычислен лишь 2 х 2-блок, порождаемый диаграм-
диаграммами B986) (в него входит и нужный диагональный элемент), графики
C01) не вычислялись. Для критической размерности ассоциированного
с ф1д2ф оператора получено следующее выражение (/ > 0):
А[ф'д2ф] =
6D-t
+d2 - 2d- 24 ] - 12(/ + l)(d- 2I • — + O(l/n2) .
) n
C02)
На этом мы закончим обсуждение техники расчетов в модели B66),
добавив в заключение, что для нее остаются в силе общие утверждения
п.п.П и 3.29, позволяющие без вычислений доказывать УФ-конечность
операторов типа 8SR/8<p, <p8SR/8<p и т.п., а также находить их крити-
критические размерности.
Описанная техника с небольшими видоизменениями переносится и
на различные обобщения простой <г-модели, в том числе на СРп~1- и
матричную (Г-модели (п.2.28). В этих двух моделях, помимо вспомога-
вспомогательного скалярного поля ф, есть еще векторное поле В с dB = 1, для
п.35 Уравнения самосогласования для корреляторов 453
них сейчас известны аномальные размерности всех полей [129] и все (два
для СРп~г и четыре для матричной модели) главные поправочные ин-
индексы ш [130], все это только в первом порядке по 1/тг. Такой расчет
в CPn~1 -модели требует вычисления контрчленов еще 23 диаграмм в
дополнение к рассмотренным выше б диаграммам простой сг-модели, в
матричной модели добавляется еще 14 графиков. Данные о вычетах
индивидуальных диаграмм в [130] сведены в таблицу, их можно ис-
использовать в аналогичных расчетах для родственных моделей, подобно
данным табл.14 в п.3.20.
п.35 Расчет основных индексов с помощью уравнений само-
самосогласования для корреляторов. Процедуру расчета 1/тг-разложний
индексов в сг-модели можно существенно упростить, пользуясь уравне-
уравнениями самосогласования разного типа. Простейшие из них - уравнения
самосогласования для точных корреляторов ("одетых линий") D, полу-
получаемые из обычных уравнений Дайсона B.51). Собственная энергия S
представлена там графиками с точными "головастиками" a =< (р >, но
с затравочными линиями и вершинами. Хорошо известно (см., напри-
например, [53]), что S не изменится, если заменить затравочные линии Д "оде-
"одетыми" линиями D, одновременно отбросив все графики с собственно-
энергетическими вставками, - их суммирование и приводит к замене
Д -*• D. Тогда получим уравнение Дайсона в форме
D'1 = Д-1 - S(o, D) , C03)
которое можно понимать как уравнение самосогласования для D. Если
добавитьк C03) уравнение стационарности A.51) с той же перестройкой
А —} D в графиках, получим систему двух уравнений для определения
двух неизвестных a, D. Все это верно для любых моделей, при наличии
нескольких полей равенство C03) следует считать матричным. Фор-
Формальным аппаратом для строгого вывода подобных "скелетных" урав-
уравнений и их обобщений с дополнительным "одеванием" вершин явля-
является техника высших функциональных преобразований Лежандра [53]
(в такой терминологии рассмотренное в п.1.11 преобразование счита-
считается "первым", для одевания линий нужно "второе", тройных вершин
- "третье" и так далее).
При расчете основных индексов (критических размерностей полей)
уравнения C03) пишутся непосредственно для критической (безмассо-
(безмассовой) теории, тогда в них полагают а = 0, а корреляторы D ищут в
виде функций со степенной ИК-асимптотикой. Важную роль при этом
играет идея отбрасывания затравок: обратный затравочный корре-
коррелятор, будучи простым полиномом по импульсу, не может оказывать
454
Глава 4. Критическая статика.
влияния на процедуру согласования искомых дробных степеней ИК-
асимптотики в двух частях равенства C03). Отсюда следует, что при
расчете индексов в критической теории можно положить в C03) a = 0
и опустить вклад "затравки" А, что даст:
D-1 = -Е@,£>) .
C04)
Для (г-модели B58) в простейшем "хартри-фоковском" приближении
уравнения C04) для двух полей <р = ф,ф принимают вид
C05)
Линиям теперь сопоставляются точные корреляторы (пропагаторы) Dv,
вершинам - единица (в уравнениях самосогласования регуляризация
типа B62) не требуется), множители п от замкнутых циклов в C05)
и далее всегда выделяются явно.
Уравнения C05) позволяют очень просто получить результаты B55)
для 771 и v\ (см. дальше). Для увеличения точности на порядок в правые
части C05) нужно добавить все скелетные графики следующего порядка
по 1/тг, а именно:
— n
C06а)
D.
* 2 V^ 2 \!y
C066)
Такой точности достаточно для получения результатов B56).
Интеграл по циркулирующему в петлях C05) импульсу к можно
условно разбить на области больших ("жестких") и малых ("мягких")
к, внешний импульс р в ИК-асимптотике считается малым. Ясно, что
область больших к может дать лишь регулярные вклады (п.1.19) вобла-
сти малых р, так что в процедуре самосогласования дробных степеней
участвует лишь область малых к, в которой сопоставляемые линиям пе-
петель в C05) точные корреляторы можно заменить их ИК-асимптотикой.
Это верно и для старших диаграмм в C06), но с оговоркой "с точностью
до перенормировки вершин". Поясним: вклад от "жестких" импуль-
импульсов интегрирования внутри некоторого вершинного подграфа также бу-
будет регулярным в области мягких внешних (для подграфа) импульсов,
п.35 Уравнения самосогласовалия для корреляторов 455
т.е. константой в ведущем приближении. Замена вершинного подграфа
константой эквивалентна его "стягиванию" (как при построении контр-
контрчленов в п.3.17), что приводит к однопетлевым диаграммам типа C05),
т.е. эффективно к изменению (перенормировке) вершинных множите-
множителей в однопетлевых вкладах C06). После учета такой перенормировки
область жестких импульсов в графиках C06) можно полностью игнори-
игнорировать, подставляя в качестве линий искомую ИК-асимптотику точных
корреляторов.
Сказанное выше поясняет физический смысл перенормировки вер-
вершин, которая понадобится впоследствии, и одновременно является обо-
обоснованием уравнений самосогласования для исходной решеточной ми-
микромодели (п.2.26), в которой скейлинговую форму имеют не сами кор-
корреляторы, а только их ИК-асимптотика (что обычно). Этим точная
микромодель отличается от использованной в п.31 ренормированной по-
полевой модели, которая упрощена до такой степени, что ее точные кор-
корреляторы уже представляют ИК-асимптотику и имеют форму B59). Из
процедуры обоснования уравнений C04) также следует, что ими можно
пользоваться не только в самой критической точке, но и в ее окрестно-
окрестности (малые т > 0 и h = 0 для обеспечения о = 0), в которой точные
корреляторы являются не простыми степенями, а выражениями типа
A.161).
Возвращаясь к уравнениям C05) непосредственно в критической точ-
точке, будем искать их решение в форме B59) с неизвестными амплитудами
и показателями, представляя их в виде
a = d/2 - 1 + 77/2 , р = 2-ti-k. C07)
По смыслу a = Аф и /3 = Аф - искомые критические размерности полей,
к = 7*[Г0до] ~ аномальная размерность вершины в силу последнего
равенства B88). По 77 и к из соотношений B95) и C07) можно найти
индекс v:
l/v = d-P = d-2 + 77 + к. C08)
Будем работать в координатном представлении, тогда правые части
C05) - простые произведения линий B59), а координатное представле-
представление обратных пропагаторов легко найти с помощью формул преобразо-
преобразования Фурье C.72):
D(x) = Ax-^^^D-^x) = A-ipia) x2a~2d )
\ C09)
p(z) = ir-dH(z - d/2, d/2 - z) = *r J
456 Глава 4. Критическая статика
В итоге уравнения C05) с линиями B59) принимают вид
A-lp{a) x2a~2d + АВ х-2а~2Р = 0 ,
х2*3'2* + пА2 х~4а/2 = 0 .
Условием сокращения степеней х является равенство 2а + /? = d, экви-
эквивалентное к = 0 в C07) и соответствующее логарифмичности вершины
фф2. При выполнении этого условия из C10) получаем:
р{а) + и = 0, 2р{/3)/п + и = 0, u = A2B, 2a + /3 = d. C11)
Исключая параметр и, приходим к уравнению для индекса г/ в C07):
р(а) = 2рЦЗ)/п, a = d/2-l + T)/2, /3 = 2-г,. C12)
Для известной из C09) функции р легко проверить, что при т] -*• 0
величина р(/?) =рB) + ОG7) конечна, тогда как р(а) = p(d/2— l + rj/2) =
—r]H(l)\\d/2 + 1|| /2ж^ + О(»72) имеет нуль первого порядка по Г). Это
позволяет найти из C11) и C12) первые коэффициенты 1/га-разложений
для г] и и:
m = -4^B)/ЯA)||й/2+1||, щ = -2рB). C13)
Полученное выражение для гц совпадает с B55а).
Итерациями уравнения C12) можно было бы найти и следующие
коэффициенты 1/тг-разложения т). Но это будут не точные ответы, а
лишь "хартри-фоковские вклады" в старшие т/k, поскольку сами исход-
исходные уравнения C05) приближенные и гарантируют лишь точность 1/п.
Для расчета 772 нужно перейти к уравнениям C06). Подставив линии
B59) с показателями C07) в графики C06), вынесем из них все ампли-
амплитудные множители и известные (по размерности) степени х, обозначив
остающиеся числовые коэффициенты ("значения диаграмм") через Si,2
для двух старших графиков в C06а) и через П^г - в C066). В таких
обозначениях система C06) принимает следующий вид:
р(о) + x2Ku + x4Ku2Si + х6кш/3Е2 = 0 , C14а)
2р{р)/п + х2ки + Л2П1 + x6(Wn2 = 0 . C146)
Достоверны здесь лишь вклады порядка 1/п и 1/п2 (напомним, что и ~
1/тг), только за ними и будем следить, пренебрегая всеми поправками
высшего порядка.
п.35 Уравнения самосогласования для корреляторов 457
На первый взгляд кажется, что для согласования степеней х в C14)
нужно просто положить к = О, как и в уравнениях C10). Но этого
нельзя сделать из-за наличия в S,- и П,- полюсов по к, порождаемых
логарифмическими расходимостями их вершинных (типа фф2) подгра-
подграфов:
£,-(Ч>к) = Ъ(т,)/к+Ц(т,) + ..., Щт,,к) = Ъ(т,)/к+Ц(т,)+..., C15)
где многоточие - поправки порядка к, соответствующие в C14) несу-
несущественным вкладам порядка 1/п3. Явный расчет величин C15) будет
приведен позднее в п.37, а здесь лишь заметим, что совпадение вычетов
К{ в £j и П,- - следствие ренормируемости модели.
Параметр к, определяющий "отклонение отлогарифмичности" вер-
вершины взаимодействия фф2, играет сейчас такую же роль, как регуля-
ризатор г в B64). Полюса по регуляризатору можно устранить, как
обычно, процедурой ренормировки, в данном случае - ренормировки
вершины, заключающейся в замене единичного вершинного множителя
некоторой константой ренормировки Ъд = 1+а/к+... с вычетом а ~ 1/п
и несущественными поправками высшего порядка. В рамках теории
возмущений по 1/п поправки от Zs следует учитывать лишь в однопе-
тлевых вкладах C14) в виде добавочных множителей Z2 = 1 + 2а/к +...
от двух вершин, пренебрегая ими в старших графиках, что даст с уче-
учетом C15)
Р{а)+х2к{1+2а/к)и + х4ки2К1/к+
+ x6Knu3X2//c+x4Ku2Si+x6Kn«3S'2 = 0
и аналогично для C146). При нашей точности A/п2) множителями
хк при Щ в C16) следует просто пренебречь, а в остальных вкладах
достаточно ограничиться приближением хтк =* 1 + m/c In х. Условие
сокращения полюсов по к в C16) имеет вид 2au + u2K\ + nu3K2 = 0
и служит для определения константы а в Ъд. При таком выборе а от
множителей хк в C16) при нашей точности остаются лишь кратные lnx
добавки. Условием их взаимного сокращения является равенство
к = -uA'i - 2nu2K2 , C17)
позволяющее найти кг по вычетам полюсов в C15), а затем v\ из C08).
Забегая вперед (вычисления в п.37), приведем получаемый таким путем
результат для аномальной размерности вершины к = -/* [Тффф] (она уже
вычислялась ранее другим методом в п.34):
К1/т = dBd-5)/D-d), C18)
458
Глава 4. Критическая статика.
соответствующий ответу B556) для v\.
При указанном выше выборе параметров а и к полюса и логарифмы
в двух уравнениях C14) сокращаются одновременно, и мы приходим к
следующей ренормированной версии этих уравнений:
p(a) + u + u2Ei + nu3E'2 = 0 , C19а)
2р(/?)/п + и + u2U[ + nu3W2 = 0 C196)
с гарантированной точностью 1/п2. Вычислив явно "конечные части"
S;, П'- старших графиков C06) (достаточно с ц = 0 при нашей точ-
точности), из уравнений C19) можно найти вторые коэффициенты 1/п-
разложений 772 и иг, что приведет к результату B56а). Детали расчета
поясняются в п.37.
Если бы мы могли увеличить точность еще на один порядок, добавив
в C06) следующие графики, мы смогли бы найти таким путем «2, щ
и Из, а затем v2 из C08). Практически это невозможно из-за чисто
технических трудностей C2 новых, причем более сложных диаграммы),
но щ и 1/2 можно найти другими способами (п.п.39,40).
п.36 О технике вычисления безмассовых диаграмм. В этом
разделе мы приведем несколько новых справочных формул и опишем
технические приемы, полезные при расчетах безмассовых диаграмм.
Везде будут использоваться обозначения и формулы п.3.15, а также сле-
следующие графические обозначения:
= |х-у| , а = "индекс линии", а' = |-а Va;
= {y-x)i\x-y\
-2а
-2а
C20)
= {У ~ x)i(y - х)к\х - у\
и так далее. Для векторных индексов г, к в дальнейшем будут часто
употребляться цифровые обозначения 1,2,..., понимаемые как t'i, 12,...;
координатные аргументы х, у концов линий обычно опускаются.
п.36 О технике вычисления безмассовых диаграмм
459
Формулы "превращения производных в стрелки":
= 2а «^~~Ч ; свертка у
a+l " а
= 4аA-а')
1 2
123
12
123
х .__. - 2(о+2)[
1234
34
■ еще2]х
1234
еще 5] + 4(а+2)(а+3)
C21)
Выражения типа "+ еще ..." обозначают суммирования по всем пол-
полностью симметризованным по индексам вариантам выбора указанных
структур, например, ^12^34+ еще 2 = ^12^34 + «^13^24 + <^14^23-
Формулы обратных преобразований:
_ 1
2(а-2)812 -— ,,
12
123
4(ot-l)(o,-2) ^Г
8(а-1)(а-2)(а-3)'
1234
'13
1234
а-2
34
f
Ос —3
+ еще 5] + 4(а-3)(а-
+ <Ьз Н-
2(а- 4)х
еще 2 ]
C22)
460 Глава 4. Критическая статика,
Операцию "навешивания стрелок", эквивалентную дифференцированию
по импульсам, удобно использовать в координатном представлении для
сведения к логарифмическим диаграмм с линейными, квадратичными
и т.д. расходимостями. В итоге часто получается га-угольник типа
B92) с добавочными символами д на ребрах. Условием его логариф-
мичности является равенство Yl ai + \' число символов д = (п — l)d/2 с
точностью до регуляризаторов, а его полюсная часть получается домно-
жением выражения B92) на соответствующие символам д добавочные
"структурные множители":
- 4/d] , did2d3d4 =» {812S34 + еще 2)[16/d(d+ 2)] ,
C23)
di...d2m =» F12634...82m-li2m+ ...)[{-4)m/d(d+2)...{d + 2rn - 2)]
(в сумме по перестановкам Bm — 1)!! слагаемых). Предполагается,
что все д ориентированы в одном направлении (по или против часовой
стрелки), а их распределение по ребрам не имеет значения. При нечет-
нечетном числе символов д логарифмический тг-угольник полюса не имеет.
Говоря о диаграммах, всегда будем иметь в виду произвольные ска-
скалярные (если не оговорено противное) графы в координатном предста-
представлении с локальными точечными вершинами и единичными амплиту-
амплитудами всех вершин и линий. Выражение для диаграммы -у является
тогда функцией координат х = xi, х2,... всех своих наружных вершин.
Если начало координат помещается в одну из них, ей приписывается
х = 0, такую вершину будем называть базой. Индексом (ind) много-
многоугольника будем называть сумму индексов его ребер, а индексом вер-
вершины - сумму индексов сходящихся в ней линий. Вершину с ind= d
будем называть уникальной (термин введен в [89]), а с ind= d+m (здесь
и далее т = 0,1,2,...)- уникальной в широком смысле. Уникальным
значением индекса линии считается ind= 0 (тогда линия исчезает), в
широком смысле - ind= — m, а для тг-угольника - ind= (n — 2)d/2 и
(п — 2)d/2 — m, соответственно. Уникальной в широком смысле ли-
линии соответствуют целые степени (х — уJ, поэтому такие линии также
можно исключить с помощью соотношения (х — уJ = х2 + у2 — 2ху,
графически:
П>А.П _1^П 0Л—1 г^*^.г
C24)
с произвольным выбором третьей вершины.
Любой граф с двумя наружными вершинами сводится к простой ли-
линии:
п. 36 О технике вычисления безмассовых диаграмм 461
«S3, = П(о) -^ , C25)
где a ~ набор индексов исходного графа, а индекс А результирующей
линии определяется по размерности (А = £а,- — (rf/2) x число вершин
интегрирования). Числовой коэффициент П в C25).будем называть зна-
значением данной диаграммы, а саму диаграмму - интегрируемой, если
П вычисляется явно в терминах известных спецфункций (обычно это
гамма-функции и их производные). Все простые цепочки интегриру-
интегрируемы по правилу C.124), в частности,
^ ._., c rf-«-6, C26)
а для цепочки из п звеньев с индексами oi... о„ будет
П = ir(n-1W2J(o1,o2,...,on,nd/2-So0-
Очень полезным приемом является конформное преобразование с
данной базой произвольного графа: -у(х) -*• f(x') = -у'(х). Здесь х =
х\,Х2т ■ ■- набор координат всех отличных от базы (см. выше) наруж-
наружных вершин, а преобразование - конформная инверсия х -*• х' = х/х2
каждого из этих d-мерных векторов. Сопроводив его аналогичной за-
заменой переменных у -*• у1 координат всех вершин интегрирования и
воспользовавшись равенством \х' — j/|2 = \х — у\2/х2у2, нетрудно убе-
убедиться, что преобразованный граф "у'(х) связан с исходным у(х) следу-
следующим образом: в ■)' любая вершина v оказывается соединенной с базой
линией с индексом
{d — ind[i>], если v — вершина интегрирования, Л
> C27)
—indfu], если v - наружная вершина J
(ind[v] - индекс вершины v в исходном графе), а индексы всех других
линий не изменяются (т.е. одинаковы в -у и У).
Из правила C27) вытекает важное следствие: после конформного
преобразования все уникальные вершины интегрирования отрываются
от базы. Оно позволяет, в частности, легко доказать следующее соот-
соотношение [131] (напомним обозначение а' = d/2 — a V а):
462 Глава 4. Критическая статика
^ C28)
a+b+c=d
связывающее уникальную вершину с уникальным треугольником и фак-
фактически являющееся вместе с C26) основой всех вычислений. Равенство
C28) доказывается следующей цепочкой преобразований:
Первый шаг - конформное преобразование с базой в верхней вершине,
второй - интегрирование простой цепочки (с' = а + Ъ — d/2), третий -
еще одно конформное преобразование, возвращающее к исходному 7(х)'
Аналогичная процедура для уникальной в широком смысле вершины
приводит после первого шага к вертикальной линии с индексом — гп,
которую можно устранить с помощью соотношения C24). В итоге для
а + Ь + с = d+ 1 получается:
= ж^2Н{а,Ь,с)\а'Ь' tf\ + а'с' у\ + Ъ'с' i/\ \ , C29)
а в общем случае:
J2 C{rn1,rn2,rn3) //\ъ C30)
с коэффициентами C(mi, тг, тз) = ||а' + т — mi||6' + т — тгЦс' + тп —
||/т1!т2!тз!.
Полезны также следующие формулы обратных преобразований:
л _ ж
/\ ~ (а'-
C31)
х| (e'-l) ^nJQ- + F'-1) ук^> + (c'-l) ^ |
п. 36 О технике вычисления безмассовых диаграмм
463
для а + Ь + с = d/2 — 1, а в общем случае:
С(т1,т2,т3)
a+b+c=d/2 — m
0<m,-<m
C32)
с коэффициентами C(mi, тг, тз) = ||а' — т + rni\\b' — rn+ m2||c' — т +
Дальнейшее будем иллюстрировать на примере следующей часто
встречающейся при вычислениях диаграммы:
= П
t2 = 02 -f" 03 -f- 05,
/? = ai + o2 + аз + c*4 + ось •
C33)
Уникальными являются значения a = —m для линий, v = d+m для вер-
вершин, t = d/2—m для треугольниов и /? = 3d/2+m для введенного в C33)
"полного индекса" Д. Наличие какой-нибудь уникальности немедленно
ведет к интегрируемости диаграммы (для viti- сведением к цепочкам
с помощью равенства C28), для /? пояснение ниже), например,
v2 = d => П = 7TdH(a3, а4, «5, ai + а3, «г + а4> «1 + a2 ~ as), C34а)
t1=d/2 => П = жаН(а2, а3,
а'2+а3,
-а'з), C346)
/. / /1 /\ /not \
^2) О^З) а4> а2 ' ^З! а1 1 a4J • (oo4bJ
Приведем для справки аналогичные формулы для уникальности в ши-
широком смысле с простейшим превышением на единицу:
v2 = d + 1 =>
П =
+0:30/5@:2
0*2 - а5 -
- о'5)
- «1 - 1I J
C35а)
464
Глава 4. Критическая статика.
i = d/2 - 1 =>
П = irdH(a2, аз, а'2+а4+1, а^+ац-1, а2+а3-а£, а'2+а3+1) х
х
+ а4а5(а3 + ai)(a3 - c*i - 1) + сцаь^ + «4)(«2 - с*4 - 1)],,
= 3d/2 + 1 =>
П = wdH(ai, а2, аз, «4, а'2+аз+1. ai+a'4
^-1) + (o3-o4-l)[o^(oi + o4)(o4-oi-l)
C356)
C35в)
Существует дискретная группа преобразований, позволяющая ме-
менять индексы в графе C33) и пользоваться при вычислениях равен-
равенством
П(о) = С(о) • П(о*) ,
C36)
где a - исходный набор индексов, а* - преобразованный набор, С(а)
- некоторый переводной коэффициент. Во-первых, это обсуждавшиеся
выше конформные преобразования с базой в левой (—»•) или правой (■<—)
наружной вершине, для них С (а) = 1. Еще одно преобразование - пе-
переход к импульсному представлению (ИП): переписав определение П
в C33) для графа в импульсном представлении, можно интерпретиро-
интерпретировать полученное выражение как координатное для диаграммы с изме-
измененными индексами. Далее, существует целая серия операций вставки,
которые строятся следующим образом: с помощью соотношения C26)
разбиваем выбранную линию графа на две "половинки" вставкой точки
и выбираем индекс примыкающей к вершине интегрирования половинки
так, чтобы эта вершина стала уникальной (тогда индекс второй по-
половинки однозначно определяется). Выполнив затем по правилу C28)
интегрирование полученной уникальной вершины, придем к тому же
графу с измененными индексами. Для диаграммы C33) таких преобра-
преобразований шесть, и мы будем обозначать их через /*, 1\ \ Для верхней
вершины (наклон стрелки указывает выбранную для операции вставки
линию) и через \,, J., ,</ для нижней. Еще два преобразования того
же типа получаются присоединением к диаграмме C33) слева (-*•) или
п.36 О технике вычисления безмассовых диаграмм 465
справа («—) добавочной внешней линии с таким индексом, чтобы полу-
получилась уникальная вершина, которая затем интегрируется по правилу
C28).
Перечисленные 11 операций были введены в работе [89] и образуют
полный базис рассматриваемой группы, т.е. их произведениями исчер-
исчерпываются все известные на данный момент преобразования C36) графа
C33) (всего их 1440 [132]). Важный вклад в понимание структуры под-
подгруппы симметрии данной группы (преобразования с С(а) = 1 в C36))
внесли затем авторы работы [133], которые заметили, что симметрия
любой диаграммы типа C25) нагляднее всего проявляется после пере-
перехода к соответствующему логарифмическому вакуумному графу. Это
делается следующим образом: регуляризуем (мысленно) все линии ис-
исходного графа C25) малым сдвигом а,- -*• а,- + А,- индексов его линий с
добавлением нужных степеней ренормировочной массы, компенсирую-
компенсирующих изменение размерности, затем "замкнем" обе части равенства C25)
"опорной линией" с индексом d/2 — А, чтобы получить справа логариф-
логарифмический 2-угольник B92), и отберем в полученном выражении полюс
по суммарному регуляризатору Д. Учитывая, что для 2-угольника в
вычете B92) имеем Я(А, d/2 — А) = 1 в силу C.73), получаем:
J.
^ =П(о) Q, = Il{a)nd/2/A\\d/2\\+... , C37)
d/2-k
где многоточие - неполюсной вклад. Наличие регуляризаторов в линиях
подразумевается, но в вычете полюса их учитывать не нужно.
Таким образом, вычет в полюсе по регуляризатору полученного ло-
логарифмического вакуумного графа оказывается пропорциональным ис-
искомой величине П с не зависящим от индексов графа коэффициентом.
Отсюда вытекает основное утверждение [133]: поскольку все вершины
вакуумного графа равноправны (интегрирование по всем, кроме любой
одной), величина П не должна измениться при любом другом выборе
опорной линии вакуумного графа в левой части равенства C37).
Применительно к нашей диаграмме C33) это означает:
C38)
условие логарифмичности однозначно определяет индекс а$ = Ы/2 — 0
добавляемой опорной линии.
466 Глава, 4. Критическая статика,
Вакуумный граф в C38) является тетраэдром с группой симметрии
из 4! = 24 элементов, представимой в виде 6x4: шесть вариантов вы-
выбора опорной линии х четыре элемента группы симметрии графа C33)
(лево-право, верх-вниз). Естественными параметрами тетраэдра явля-
являются индексы его шести ребер и четырех вершин, что эквивалентно
набору десяти параметров в C33). На таком языке уникальность тре-
треугольника эквивалентна уникальности противолежащей вершины те-
тетраэдра, а полного индекса /3 - уникальности опорной линии.
Исходному графу C33) соответствует выбор в качестве опорной ли-
линии ", а нетривиальным преобразованиям тетраэдра - другие вари-
варианты выбора опорной линии A,2,3,4,5 в табл.27). Величина П от этого
выбора не зависит, так что для данных преобразований в C36) будет
С(а) = 1.
Последнее замечание по этому поводу: обсуждаемые преобразова-
преобразования проще всего формулируются в терминах других десяти параметров
сц, определяемых равенствами а$ = d/4 + щ для шести ребер тетра-
тетраэдра и суммами соответствующих троек а; для четырех его вершин. В
таких переменных все преобразования сводятся к некоторым переста-
перестановкам и отражениям в наборе десяти параметров а,-. Это упрощает
исследование общей структуры данной группы и ее полиномиальных
по набору а{ инвариантов, что очень важно для некоторых расчетов в
4 — е-разложении [132]. Но при расчетах в произвольной размерности
пространства проще пользоваться обычными параметрами C33).
Приведем полезную при вычислениях таблицу преобразований ин-
индексов диаграммы C33), пояснения к ней даются ниже. Таблица заим-
заимствована из работы [89] с добавкой определенных выше пяти нетриви-
нетривиальных преобразований тетраэдра, нумеруемых выбором опорной ли-
линии. По симметрии тетраэдра видно, что к двум введенным выше кон-
конформным преобразованиям можно было бы добавить еще два (по числу
вершин), а к восьми преобразованиям вставки - еще четыре. Мы не
будем вводить их в таблицу, чтобь» не увеличивать ее чрезмерно, по-
поскольку все новые преобразования можно получить как произведения
введенных выше. Это относится и к самим "преобразованиям тетра-
тетраэдра" : например, такое преобразование No.2 можно получить преобра-
преобразованием вставки i, затем \, и затем конформное ■<—.
п. 36 О технике вычисления безмассовых диаграмм
467
Табл.27. Преобразования индексов в соотношении C36) для графа
C33). Уникальные значения индексов: а = —rn, v = d+ rn,
t = d/2 — m, /3 = 3d/2 + m, антиуникальные: a = d/2 + m (УФ),
v = d/2 - rn (ИК), t = d+m (УФ), f3 = d-rn (ИК).
a\
«5
Vi
V2*
*t
t\
3'
коэф
ИП
dj2-ai
d/2-a3
d/2-a4
d/2 -a,
d/2 -a5
3<f/2 -12
3d/2-*,
3<f/2-v,
3d/2-v2
5d/2 - 3
С[ИП]
ПРЕОБР
конформные
C*2
аз
d —v2
a.i
rf — Oi
rf — at
2d-li
h
2d-U
1
«"
ai
<f-v,
<i —v2
a4
аь
d — a2
d — a3
h
2d-fi
2d-t2
1
1
3<f/2 - в
O-l
a4
аз
U/2-U
v2
Sd/2 - v,
h
Zd/2 - o.
1
А ЗОВ А
НИЯ
симметрия тетраэдра
2
"i
U/2-0
<*г
«5
<*4
3d/2-*2
V2
3<f/2 - v.
3<f/2 - a2
1
3
as
a2
U/2-в
a4
"i
3<f/2 - *2
3rf/2 - v2
3d/2-a3
1
4
a\
as
a.i
3d/2 - в
a2
Vl
3d/2 - *,
3d/2 - v,
h
id/2 - a4
1
5
a\
a4
a*
a2
id/2-0
3d/2-*2
3rf/2-*,
3d/2-v2
Ы/2 - v,
3d/2 - a5
1
В первом столбце табл.27 указываются в обозначениях C33) поме-
помеченные звездочками индексы преобразованного графа в правой части
равенства C36), в остальных - их выражения через индексы исходной
диаграммы в левой части. Для всех преобразований указывается также
переводной коэффициент С (а) в C36) (нижняя строка). Таких коэффи-
коэффициентов пять, они выражаются через индексы исходного графа следую-
следующим образом:
C39)
= H(a1,a2,a5,d-v1) ; СЦ] = H(a3,a4,a5,d- v2) ;
СИ = Н{аиa4,a6,t2-d/2)- С[<-] = Н{а2,а3,а6,U-d/2);
С[ИЩ = H{at, a2, a3, a4, а5, а6) , а6 = Ы/2 - /3 .
468
Глава 4. Критическая статика
Продолжение табл.27:
а\
«3
о*
v*
<*
'5
коэф
/•
v, - d/2
Я/2 - <»5
h - Я/2
Я/2 - п2
rf/2 + o.
v2
Я/2 + а%
;)
cm
Т
d/2 - a2
,1/2-а,
v, -rf/2
Я/2 + а,
/J-rf/2
*2
d/2 + v2
C[t]
Преобразования
\
Я/2 - «5
v, - Я/2
из
fi-rf/2
Я/2 - «,
Я/2 + о2
V2
Я/2 + <»4
н
СП]
\
*2-Я/2
Я/2-а5
v, - ill
,112 - о.
d/2 + Oi
ti
rf/2 + ni
Л
СЦ]
вставки точек"
1
«1
d/2 - a4
d/2 - аз
v2 - Я/2
ii - <f/2
rf/2 + n.,
*2
<i/2 + vi
C[l]
U - d/2
a2
у2-Я/2
rf/2 - a5
rf/2 - a4
Vl
Я/2 + оз
«f/2 + Oi
*2
C[l]
—>
<f/2 - a4
«2
d/2 - «,
*i - d/2
V|
V2
rf/2 + a5
;? - <f/2
<</2 +12
CM
d/2 - a.
rf/2 - пг
n4
U - d/2
VI
v2
H - <i/2
rf/2 + ns
rf/2+*,
CM
В заголовке таблицы наряду с уникальными значениями индексов
диаграммы C33) указываются также их антиуникальные значения [89],
соответствующие различным расходимостям подграфов. Для произ-
произвольной диаграммы в координатном представлении УФ-расходимость
данного подграфа -у ассоциируется с процедурой стягивания в одну
точку всех его вершин и соединяющих эти вершины линий, а ИК-расхо-
димость - с процедурой удаления на бесконечность (в том числе друг от
друга) всех вершин -у с "растягиванием" соответствующих линий. Кри-
Критерий наличия соответствующей (УФ или ИК) расходимости в данном
подграфе j с N вершинами формулируется следующим образом:
= Y,ai- Nd/2 = ~т C4°)
= ]Го,- - (N - l)d/2 = гп,
с обычным гп = 0,1,2, В первом выражении C40) суммирование
производится по индексам всех стягиваемых в точку линий (N — 1 там
потому, что все вершины подтягиваются к одной), а во втором - по ин-
п.36 О технике вычисления безмассовых диаграмм 469
дексам всех линий, растягиваемых в процессе разведения вершин. Точ-
Точный смысл использованного выше термина "ассоциируется" состоит в
следующем: при выполнении критерия C40) для некоторого подграфа
7 имеется соответствующая (УФ или ИК) расходимость, порождае-
порождаемая соответствующей (процедуре стягивания или растягивания всех
вершин 7) областью в интеграле по координатам внутренних вершин
графа. Из формул C40), в частности, следует, что антиуникальными
значениями индексов в диаграмме C33) являются a — d/2 + m (УФ),
v = d/2 — m (ИК), t = d+ m (УФ) и C = d — m (ИК), в скобках указан
тип расходимости.
Поскольку антиуникальность влечет расходимость, она никогда не
может быть точной (в отличие от уникальности), а всегда предпола-
предполагает наличие какой-нибудь регуляризации малым сдвигом индексов Д.
Легко проверить, что все перечисленные в табл.27 преобразования со-
сохраняют суммарное число уникальностей и антиуник ал ьностей в диа-
диаграмме C33). Но уникальность при этом может переходить в антиу-
антиуникальность и наоборот, что сопровождается появлением нуля или по-
полюса по регуляризатору Д в переводном коэффициенте С(а) в C36).
Этим можно воспользоваться, например, для сведения задачи расчета
константы и вклада порядка Д в исходной конечной диаграмме к бо-
более простой задаче вычисления полюса и константы в преобразованной
диаграмме с антиуникальностью. В общем случае число членов тэйло-
ровского разложения по регуляризаторам данной конечной диаграммы,
которые можно найти стандартными приемами, определяется числом
уникальностей в диаграмме без регуляризаторов. Поясним: наличие
некоторой уникальности означает, что диаграмма с произвольными ре-
гуляризаторами Д* во всех линиях интегрируется точно при выполне-
выполнении той связи Ylci^i — 0 на регуляризаторы, которая обеспечивает
данную уникальность. Линейные по Д,- вклады определяются тогда с
точностью до слагаемого ^С{А{ с неизвестным коэффициентом. Этот
коэффициент находится, если есть еще одна уникальность, обеспечива-
обеспечивающая интегрируемость при выполнении другой связи J2 с«'^« = 0- Та-
Таким образом, две уникальности позволяют найти полностью линейные
по Д,- вклады, а в квадратичных остается тогда неизвестным только ко-
коэффициент при произведении связей J2ci^« ' Ylck^k, который, в свою
очередь, находится при наличии третьей уникальности и так далее.
Для максимального использования возможностей этого приема для диа-
диаграммы с антиуникальностью ее следует постараться превратить в уни-
уникальность подходящим преобразованием, выделив полюса явно.
Еще один очень полезный технический прием - использование раз-
470
.Глава 4. Критическая статика
личных рекуррентных соотношений, получаемых следующими спосо-
способами [89]: 1) действием операции хдх по координате х какой-нибудь
внешней вершины диаграммы; 2) умножением какой-нибудь вершины
интегрирования с координатой у на константу d = дуу с последующим
интегрированием по частям по у; 3) операцией "вставки точки" (см.
выше) в одну из линий для получения вершины с индексом d + 1, затем
использование соотношения C29), а потом - обратного преобразования
C28) с предварительным отщеплением линии с индексом +1 для полу-
получения уникальных треугольников. Второй прием для вершины с произ-
произвольными индексами и базой наверху приводит к соотношению C41а),
а третий - к C416):
1
(d-a-b-2c)
-А
-Л}}-
C41а)
+
a+b-l-d/2
a-1
a+b-l-d/2
6-1
C416)
Здесь и далее в аналогичных формулах символами ± в правой части
указываются только добавки ±1 к индексам исходной диаграммы. Одна
из трех линий вершины в C41) оказывается выделенной и мы будем
называть ее базовой; ее выбор, разумеется, произволен.
Для диаграммы C33) указанные выше приемы приводят к следу-
следующей полной (с точностью до симметрии "лево-право" и "верх-низ")
системе рекуррентных соотношений:
C42a)
п. 36 О технике вычисления безмассовых диаграмм
471
с21
С31
с23
C42г)
C42д)
C42е)
где fei = 2(d —
a3, &2 = ^ — «l —
= d — a5 —
ci2=(a2+a5-l-d/2)/(a5-l),
cis = (a2 + a5 - 1 - d/2)/(a2 - 1),
C21 = a5(a5 - l)/(ai - l)(a2 - 1),
C22 = (ai + a2 - 1 - d/2)/(ai - 1),
C23 = (ai + a2 - 1 - d/2)/(a2 - 1),
csi = (/? - 1 - d)Cd/2 - ^)/(a! - l)(a4 - 1),
C32 = (a! + a4 - 1 - rf/2)/(ai - 1),
сзз = («i + a4 - 1 - d/2)/(a4 - 1) •
Первое из них получается с помощью операции хдх, следующие два
- использованием соотношения C41а) с двумя топологически неэквива-
неэквивалентными вариантами выбора базовой линии, а три последних - с помо-
помощью соотношения C416). Под рисунками в C42) понимаются значения
соответствующих диаграмм П без общей степени х, для правильного
воспроизведения которой к графикам с неравным числом ±1 следовало
бы добавить внешние (соединяющие наружные вершины) линии с нуж-
нужным индексом ±1.
Приведем несколько примеров использования описанных приемов.
Первый пример - вывод формулы C.135) для диаграммы C33) с ин-
индексами a = d/2 — 1 всех ребер одного из треугольников (будем счи-
считать правого). Обозначим для краткости значение этой диаграммы
через ЧТ(/?, 7), где /? и j - остающиеся произвольными индексы. Ответ
C.135) для ЧТ(/?, 7) впервые был получен в [90] путем суммирования
бесконечных рядов с полиномами Гегенбауэра. Сейчас мы приведем бо-
более простой вывод [89], а именно: сделав преобразование f и потом у/
исходной диаграммы (см.табл.27), получим граф C33) с индексами
472 Глава 4. Критическая статика
v = d — 1 обеих вершин и t \ = d/2 + 1 левого треугольника. Эта диа-
диаграмма не имеет уникальностей, поэтому не интегрируется непосред-
непосредственно. Но если воспользоваться для нее рекуррентным соотношением
C42а), то все графы в правой части окажутся интегрируемыми из-за
уникальности одной из вершин или левого треугольника. Другой спо-
способ: делаем преобразование ИП исходного графа и затем используем
соотношение C41а) для нижней вершины с вертикальной базовой ли-
линией. В итоге получим (все несущественные индексы и коэффициенты
опускаем, a = d/2 — 1):
C43)
Все графы в правой части явно интегрируются (простые цепочки).
Нетрудно получить обобщение формулы ЧТ на случай диаграммы
C33) с индексами аг = а5 = а, аз = а — m n произвольными aj.,4.
Для этого возьмем второй граф C43), кратный обычному ЧТ (т = 0),
и воспользуемся для него соотношением C42а):
* <]> + <!> ♦<!>♦<]>• <344>
Здесь известны все графы, кроме второго в правой части (условно 21"),
тем самым он вычисляется. Повторное использование соотношения
C42а) для вычисленной диаграммы 21" позволит затем найти ана-
аналогичную диаграмму 31" и так далее. Остается заметить, что диа-
диаграмма "lml" преобразованием ИП сводится к искомому обобщению
диаграммы ЧТ.
Пример более сложной диаграммы, которая понадобится в дальней-
дальнейшем (п.39): рассмотрим граф типа Пг в (ЗОбб) в нулевом приближе-
приближении для индексов а, /3 и с заменой индекса /3=2 одной из горизонта-
горизонталей на 2 — А с произвольным А ф — m (это условие отсутствия УФ-
расходимостей в подграфах вершины фф2). Данная диаграмма вы-
вычисляется с помощью следующей цепочки преобразований (везде а =
d/2 — 1, А ф — m произвольно, А' = d/2 — A):
п.36 О технике вычисления безм&ссовых диаграмм
473
2-Х
C45)
Первый шаг - интегрирование левой нижней уникальной вершины с ин-
индексами а, а, 2, второй - указанная в C45) "вставка точки" в горизон-
горизонтальную верхнюю линию, третий - интегрирование правой верхней уни-
уникальной вершины. Для полученного в итоге графа (последний сверху)
затем используется соотношение C41а) для левой верхней вершины с
выбором " в качестве базовой линии. Это приводит к сумме четы-
четырех диаграмм No.l - 4 в правой части C45) (коэффициенты и индексы
основного графа опущены). В каждой из них одна из линий исчезает
(добавка —1 к индексу +1), и все они оказываются интегрируемыми:
диаграммы No.l, 3 после интегрирования цепочки и преобразования /*
из табл.27 сводятся к ЧТA, А'), диаграмма No.2 - свертка простой ли-
линии и графа типа C33), сводящегося к ЧТA, 2 — А) преобразованием /*,
а диаграмма NoA после интегрирования цепочки и преобразования </
сводится к ЧТ(а,2 — А). Получаемый в итоге ответ выглядит следую-
следующим образом (напомним, что a = d/2 — 1, индекс А ф — m произволен,
A' = d/2-\):
V ^
C46)
где -B(z) = V'(z) + i>(dj2 — z). Отметим, что эта функция естественно
возникает при разложении #(z + А) по малому параметру А (следствие
C.69) и определения #(z) = ||z'||/||z||, везде z' = d/2 — z):
#(z + A) = #(z) • exp [-AB(z) - A2C(z)/2 - A3D(z)/Q -...],
B(z) =
z'), C(x) =
г>), D(z) =
C47)
474 Глава 4. Критическая статика,
и так далее. Таким разложением приходится пользоваться, в частно-
частности, при вычислении величин ЧТA,/?), поскольку в общем выражении
C.135) для ЧТ(/?,7) = ЧТG,/?) при j -*■ 1 возникает неопределенность,
которую приходится раскрывать введением регуляризатора А. Приве-
Приведем для справки получаемые таким путем ответы для "особых случаев"
в C.135) (а = d/2 — 1, индекс /? произволен):
ff(U)+ (!-/?)#(/?, 2-
, ЧТA,1) =
C48)
с функциями В и С из C47).
На этом мы закончим краткий обзор технологии расчетов безмас-
безмассовых диаграмм. Резюмировать его можно следующим образом: осно-
основой интегрируемости всегда является какая-нибудь уникальность - диа-
диаграммы с достаточным числом уникальностей интегрируются непосред-
непосредственно. Следующий класс представляют диаграммы, "отстоящие на
шаг от уникальности", т.е. сводящиеся к интегрируемым однократ-
однократным применением рекуррентных соотношений типа C41), C42) и т.п..
К этому классу, в частности, относится диаграмма ЧТ и все те, кото-
которые получаются из нее обсуждавшейся выше группой преобразований.
Затем идут диаграммы, интегрируемые после двукратного применения
формул типа C41) и так далее. В итоге класс интегрируемых диаграмм
оказывается довольно большим, хотя установить интегрируемость дан-
данной конкретной диаграммы часто очень непросто ввиду отсутствия од-
однозначного алгоритма выбора нужной цепочки преобразований. Напри-
Например, ответ C46) был получен в работе [89] только для частного случая
А = а и гораздо более сложным способом, поскольку мы не заметили
тогда более удобную цепочку преобразований C45).
В заключение несколько слов об истории вопроса. Основное соотно-
соотношение C28) для уникальной вершины известно давно и широко исполь-
использовалось уже в ранних работах по конформному бутстрапу (см. п.40 и
ссылки там). Вся совокупность изложенных в этом разделе приемов, за
исключением идеи [133] перехода к вакуумным графам с помощью соот-
соотношения C37), была сформулирована в работе [89] в виде кратких пояс-
пояснений использованных там методов вычисления диаграмм для щ и v2 в
произвольной размерности пространства. Техника [89] была использо-
использована затем Д.И.Казаковым (см. [134] и ссылки там) под общим назва-
названием "метод уникальностей" для расчета контрчленов 4- и 5-петлевых
п.37 Расчет q2 475
диаграмм в у>4-модели. Такие расчеты уже были выполнены ранее в
работах [65, 66], но часть нужных интегралов при этом оценивалась
численно. Автор [134] стремился доказать, что метод уникальностей
позволяет вычислить все нужные интегралы явно в виде комбинаций
дзета-функций С(п) с рациональными коэффициентами. Это оказалось
довольно просто сделать для всех 4-петлевых и почти всех 5-петлевых
диаграмм. Вся проблема в пяти петлях свелась к диаграмме C33) в
размерности d = 4 — 2е с индексами а; = 1 + А» для всех пяти ли-
линий, которую требовалось вычислить с точностью до е4 включительно
в разложении по совокупности всех малых параметров е и Д; ~ е. Из-
Изложенная выше техника позволяла найти ответ лишь с точностью до
е3. Необходимое увеличение точности на порядок было получено в [134]
с помощью нового приема, названного автором "метод функциональ-
функциональных уравнений". Суть его сводится к следующему: один из индек-
индексов диаграммы считается переменной а, и для искомой величины /(а)
стандартными методами получается рекуррентное соотношение типа
"/(а + 1) = /(а)+ известные вклады" (это и есть "функциональное
уравнение"). Если затем обосновать тем или иным способом единствен-
единственность решения, т.е. отсутствие нетривиальных решений однородного
рекуррентного соотношения, то для искомой величины /(а) получим
представление в виде ряда, который иногда удается просуммировать.
Именно так в работе [134] был вычислен вклад порядка е4 (см. выше),
что позволило найти явно самый трудный коэффициент при £G) в пяти-
петлевых РГ-функциях у>4-модели. Результаты [134] для обсуждаемой
диаграммы были затем существенно усовершенствованы в работе [132]
за счет более полного учета структуры группы преобразований данного
графа.
Изложенная в этом разделе техника широко применяется теперь в
различных конкретных расчетах. Одним из ее достоинств, среди про-
прочего, является элегантность формы записи вычислений: все выкладки
изображаются графически в виде цепочки преобразований вообще без
использования знака интеграла, появляющиеся множители последова-
последовательно включаются в "накопитель", в котором формируется ответ.
п.37 Расчет 772- Техника п.36 позволяет вычислить нужные первые
члены разложений C15) для четырех старших графиков C06) даже
при произвольном значении Г], хотя для расчета v\ и щ их достаточно
найти лишь в нулевом приближении г) = 0. Полюса по к порожда-
порождаются логарифмическими УФ-расходимостями (т = 0 в C40)) вершин-
вершинных подграфов фф2. В каждом из наших графиков таких подграфов
два, их УФ-расходимости происходят от двух непересекающихся обла-
476 Глава 4. Критическая статика.
стеи интегрирования, соответствующих стягиванию всех внутренних
вершин либо к правой, либо к левой наружным вершинам. Параметр к
в C07) играет роль регуляризатора А для данных УФ-расходимостей.
При к = 0 основная вершина фф2 с индексами а, а, /? уникальна, что
и является основой всех вычислений. Второе важное для дальнейшего
замечание состоит в следующем: полюсной вклад логарифмической УФ-
расходимости от данного подграфа j не изменится, если любым образом
переместить внутри j точку присоединения к данному подграфу лю-
любой внешней по отношению к нему линии графа. Для доказательства
достаточно заметить, что в разности исходного и нового выражений
появляется добавочный "малый" множитель ~ j/i — j/г (разность коор-
координат точек прикрепления линии), ликвидирующий УФ-расходимость
при стягивании в точку всех вершин подграфа j.
Эти два соображения лежат в основе процедуры расчета, которую
мы поясним на примере самой сложной диаграммы Пг в (ЗОбб). Пере-
Перепишем исходное выражение Пг в виде Пг = А = (А — В — С) + (В + С),
а именно:
{ ( )} {они же} • C49)
Диаграммы В и С имеют 'лишь по одному из двух полюсов каждая
и подобраны так, чтобы в комбинации А — В — С взаимно сократились
оба вершинных полюса исходной диаграммы А (см. замечание выше).
Это позволяет вычислять данную комбинацию при к = 0, пользуясь
уникальностью вершины a,a,/3, что даст один из вкладов в искомую
величину П2 в разложении C15).
Но эта процедура, как и всякий "баланс бесконечностей", требует
известной осторожности. Мы будем поступать следующим образом: за-
заметив, что расходимость появляется только на самом последнем шаге
интегрирования (т.е. при подтягивании всех внутренних вершин к дан-
данной наружной), выделим какую-нибудь одну из внутренних вершин,
обязательно общую для всех трех диаграмм в комбинации А — В — С (в
этом и состоит осторожность), и сначала рассмотрим интеграл по коор-
координатам всех прочих вершин. Этот интеграл для всех трех диаграмм
сходится, поэтому в нем можно безнаказанно менять порядок интегри-
интегрирований и рассматривать вклады А, В, С по отдельности. Для наших
диаграмм C49) эти интегралы при к = 0 легко берутся с помощью со-
соотношения C28), если закрепленной во всех графиках считать левую
нижнюю вершину. Возникающий при интегрировании множитель ока-
п.37 Расчет щ 477
зывается одинаковым для всех трех диаграмм, выражение А — В — С
приводится к комбинации
d/2. _ .d/2. a
C50)
в которой а и 0 - индексы C07) с к = 0. В комбинации C50) оста-
осталось лишь интегрирование по координате закрепленной на первом шаге
вершины, и эту комбинацию можно рассматривать только как целое
(интеграл от суммы вкладов), поскольку каждое отдельное слагаемое
расходится. Но раз мы уверены в конечности выражения C50) в целом,
для его вычисления можно ввести любую другую вспомогательную ре-
регуляризацию, придающую смысл отдельным слагаемым. Проще всего
это сделать малым g-сдвигом индексов обоих звеньев интегрируемых
цепочек, разумеется, одинаковым во всех трех слагаемых C50). Про-
Проинтегрировав цепочки и убедившись во взаимном сокращении всех по-
полюсов по. е в сумме графиков C50), получим в пределе е -*■ 0 искомый
конечный ответ - вклад в П'2 от комбинации А — В — С в C49).
Отметим сходство использованного приема вычитаний А -*■ А — В —
С со стандартной Д'-операцией, устраняющей расходимости подграфов
(п.3.17). Но есть одно очень важное различие: у нас вычитаемые члены
В, С не содержат явно регуляризатора к, и это позволяет положить
его равным нулю во всей комбинации, чего нельзя сделать в обычных
формулах п.3.17 с Л'-операцией (/с - аналог е).
Остается вычислить вклад (В + С) в выражении C49). Он содер-
содержит полюса, поэтому должен вычисляться с к, но это уже возможно,
поскольку данные диаграммы проще исходной. Диаграмма С интегри-
интегрируется сразу, поскольку сводится к цепочкам. Диаграмма В с к ф 0
непосредственно не интегрируется, поэтому опять прибегнем к вычита-
вычитаниям, цоложив В = (В — D) + D, а именно,
+{она же} C51)
и будем считать закрепленной на первом шаге в комбинации В — D
правую нижнюю вершину. Эта УФ-конечная комбинация опять легко
вычисляется при к = 0, а сама диаграмма D в C51) интегрируется с
к ф 0, поскольку сводится к цепочкам. Отобрав в полученных величи-
величинах полюсной (по /с) и конечный вклады, получим искомые величины
C15) для данной диаграммы Пг. Для всех прочих диаграмм (Щ и £1,2)
расчет выполняется так же, только проще, и в итоге получаются еле-
478 Глава 4. Критическая статика.
дующие ответы:
K1=2KdH(a,a,/3)/\\d/2\\;
C52)
i = Кх[В(Р) - B(a)} /2 ; Е'2 = 2#2[В(/?) - В {a)] ;
C53)
П' OV • ТТ'
i. i. ' Л
с а и /? из C12), Р = d/2 - /? и функцией B(z) из C47). По вычетам
C52) с ?7 = 0 из уравнения C17) получается результат C18), а по EJ-
и П(- из уравнений C19) получается выражение B56а) для щ; из этих
уравнений можно также найти и U2-
Последнее замечание по поводу изложенной схемы расчета. Труд-
Трудности с вычислением диаграммы В (см. выше) естественно приводят
к мысли, что было бы удобнее при вычитаниях в C49) использовать
вместо В явно интегрируемую симметричную "С" диаграмму. Но в
этой новой комбинации А — В — С не удается вычислить интегралы по
координатам всех вершин, кроме одной выделенной, при условии, что
эта выделенная вершина одна и та же для всех трех графиков. Если же
в трех диаграммах выделять разные вершины, то получится конечный,
но неверный ответ, что неудивительно, поскольку такой способ дей-
действий эквивалентен незаконной перестановке порядка интегрирований
в расходящихся интегралах.
п.38 Обобщение уравнений самосогласования на случай по-
поправочных индексов. До сих пор мы использовали уравнения самосо-
самосогласования C04) как метод расчета ведущих членов ИК-асимптотики
корреляторов непосредственно в критической теории, поэтому искали
степенные решения типа B59). Те же уравнения можно использовать и
для анализа различных возмущений простых степенных решений B59).
Такие возмущения могут быть связаны, во-первых, с ИК-несуществен-
ными поправками к скеилингу непосредственно в критической точке, во-
вторых, с малыми отклонениями по г ЕЕ Т — Тс > 0 от этой точки (п.35).
Роль числовых параметров для возмущений первого типа играют коэф-
коэффициенты а при ИК-несущественных операторах F в поправках к дей-
действию (п.8), а для возмущений второго типа - параметр г > 0, харак-
характеризующий отклонение от критической точки при h = 0 (это условие
необходимо для сохранения вида уравнений C04)).
Обозначим всю совокупность этих параметров через е и будем счи-
считать их выбранными так, что каждый из них имеет определенную кри-
критическую размерность Ае. Для параметров первой группы Ае < 0,
п. 38 Обобщение на случай поправочных индексов 479
величины и> — — Ае - соответствующие поправочные индексы E2), для
второй группы Ае > 0. Каждый из параметров е является "пространст-
"пространственно-однородным источником" для некоторого составного оператора F
с определенной критической размерностью AF, связанной с Ае теневым
соотношением AF + Ае = d. Ввиду однородности е из класса возмож-
возможных F выпадают все операторы типа 3F' с внешними производными;
кроме того, мы будем ограничиваться в дальнейшем только скаляр-
скалярными параметрами, исключая тем самым из'рассмотрения возможные
возмущения векторными, тензорными и т.п. операторами. Наконец,
здесь же уместно заметить, что в 1/п-разложении возмущение корре-
коррелятора данным составным оператором F может проявляться не сразу,
а только в достаточно высоком порядке по 1/п. Например, добавка к
действию оператора типа F = фд2тф возмутит коррелятор D$ уже в
ведущем порядке по 1/п, но операторы F с четырьмя и более полями
ф в этом порядке влияния на Иф не оказывают, поскольку диаграммы
Бф со вставкой таких F обязательно содержат равную нулю закорочен-
закороченную безмассовую линию. Оператор с четырьмя ф может возмутить Оф
лишь в следующем за ведущим приближении, с шестью ф - в следую-
следующем за ним и так далее. Те же соображения относятся и к операторам
с несколькими полями ф: в ведущем порядке возмутить корреляторы
могут лишь операторы с двумя ф, в частности, оператор ф2, опреде-
определяющий главный поправочный индекс и в B95). Все эти соображения
могут иметь значение при интерпретации результатов.
Из сказанного выше следует, что малое возмущение чисто степен-
степенного решения для корреляторов может быть записано в виде
Dv(x;e) e=Q £(я;0){1 + £еСе-е-яДе + ...} C54)
с коэффициентами се, не содержащими критически размерных величин.
В поправке C54) явно выделены только "первичные возмущения", ли-
линейные по соответствующим параметрам е, а многоточием обозначены
всевозможные "вторичные возмущения" (произведения первичных) и,
в общем случае, вклады с дробными степенями е. Для параметра г
присутствие таких вкладов очевидно из соотношения A05): указанным
там степеням г соответствуют в поправочном множителе C54) обезраз-
меренные заменой г -± г • хАт вклады [г • агЛт]" т ~ аглр1+пЛт с
произвольным п = 0,1,... и размерностями AF всех составных опера-
операторов, дающих вклад в асимптотику A05). Вклады с п = 0 дают в
C54) поправки ~ агЛр, показатели которых являются теневыми по от-
отношению к показателям Де = d — AF линейных по соответствующим
параметрам е вкладов C54).
480 Глава 4. Критическая статика.
Будем искать возмущенное решение уравнений C04) в виде
Вф = А-аг-2а[1 + Л'аг2А] , D+ = В ■ х~20[\ + В'х2Х] , C55)
считая поправочные вклады малыми и выполняя все выкладки лишь
с точностью до первого порядка по поправочным амплитудам А', В'.
В таком приближении все эффекты различных возмущений в C54) ад-
аддитивны и независимы, что позволяет ограничиться в C55) лишь од-
одним возмущением. Идея самосогласования в данном случае выражает
требование согласованности рассматриваемого возмущения с основным
решением, и это требование должно определить возможные значения
показателя 2А в C55). Ясно, что решений должно быть много и разные
значения 2А соответствуют разным возмущениям в C54). Но не всем:
в линейном приближении C55) заведомо должны теряться "вторичные
возмущения" (произведения первичных), так что получаемые из урав-
уравнений самосогласования различные решения для параметра 2А должны
соответствовать либо показателям первичных возмущений C54), либо,
возможно (см.выше), теневым к ним значениям ДР:
{2А} = {Ae = rf-AF,AF} . C56)
Идентифицировать различные решения как "размерность такого-то па-
параметра" или "такого-то оператора" можно только по нулевому (по 1/п)
приближению. Это соображение заставляет ожидать появления труд-
трудностей, причем не только в интерпретации, но и в формулировке самих
уравнений в случае вырожденных в нулевом приближении возмущений,
т.е. при наличии нескольких операторов F с различными ДР, совпа-
совпадающими в нулевом приближении. Так всегда и будет для любых си-
систем операторов высоких размерностей с нетривиальным смешиванием
при ренормировке, и нужно сразу сказать, что для таких систем обсу-
обсуждаемый сейчас метод расчета размерностей никогда не применялся,
и вообще неясно, как его обобщить на этот случай. Какое-то обобще-
обобщение, вероятно, должно существовать, но этот вопрос остается откры-
открытым. По этому поводу добавим только, что исключение операторов
типа dF (см. выше) существенно ограничивает их количество и, как
следствие, возможности смешивания. Например, в классе скаляров с
двумя ф и любым числом символов д остается лишь семейство операто-
операторов F = фд2тф, каждый из которых однозначно идентифицируется по
канонической размерности. Но проблема смешивания ф -*■ дд (п.34) все
равно остается.
Конкретно нас будут интересовать лишь следующие два решения,
связанные с индексами i/ии:
п.38 Обобщение яа случай поправочных индексов 481
2А= l/i/ = Ат = d-Аф = А[ф2] = d-2 + 0(l/n) , X0 = d/2-l; C57a)
2А = -u>= d-A[if>2] = d-4 + 0(l/n) , A0 = d/2-2. C576)
Мы привели также интерпретацию этих значений 2А в терминах C56),
равенство А[^2] = d — Аф - следствие одного из уравнений Швингера
типа C.187) для модели B66) (из уравнения с производной по ф следует
[Ф2]к ~ Аф, а размерность источника Аф - теневая к размерности поля ф
и в силу B95) совпадает с размерностью параметра г). Таким образом,
в 1/п-разложении А[ф2] = Ат, тогда как в 4 —е-схеме тот же оператор в
безмассовой теории имел теневую к г размерность А[^2] = d—AT. Этот
пример показывает, что критическая размерность данного составного
оператора, в отличие от размерностей параметров (см. замечание после
формул B95)), не является объективной величиной, так как зависит от
выбора теории возмущений. Это неудивительно, так как символу типа
ф2 в разных схемах соответствуют разные случайные величины F = ф2
ввиду различия в них самого случайного поля ф.
Показатели C57) однозначно идентифицируются по их нулевым при-
приближениям Ао, т.е. для них нет проблемы смешивания (ввиду исключе-
исключения д2ф, см. выше). Ясно также, что поправки с показателями C57)
могут быть "первичными возмущениями" в C54) (вклады с е = г, а,
где а - коэффициент при ф2 в добавке к действию B66)), так что со-
соответствующие значения должны присутствовать в наборе возможных
решений для поправочного показателя 2А в C55).
Переходя к вычислениям, прежде всего приведем легко получаемую с
помощью соотношений C.72) формулу обращения для коррелятора типа
C55) с точностью до первого порядка по А':
D(x)=Ax~2a [1 + А'аг2А] =>
C58)
D-1(x)=A-1p(a)x2a-2d[l-A'q(a,X)x2X]
с функцией р(а) из C09) и новой функцией
q{z, A) = #(z - A, z + А - d/2, d-z, d/2 - z) . C59)
В этом разделе мы рассмотрим уравнения C04) в простейшем "харт-
ри-фоковском" приближении C05). Подставив в графики C05) линии
C55) и воспользовавшись для обратных корреляторов в левых частях
соотношением C58), в линейном приближении после сокращения общей
482 Глада 4. Критическая статика
степени х получим следующую систему:
+ B')x2X] = 0, )
\ C60)
со связью для основных индексов и константой и из C11). Считая
выполненными уравнения C11), обеспечивающие сокращение основных
вкладов в C60), условие сокращения поправочных вкладов можно запи-
записать в виде системы уравнений:
q(a,X)A' + A' + B' = 0, ?(/?, \)В' + 2А' = 0 . C61)
Условием ее разрешимости является равенство
[l + q(a,\)]q(P,\) = 2, C62)
при выполнении которого из C61) находится отношение В'/А', а об-
общий множитель остается произвольным. При уже известных (из C12))
основных индексах а и /3 равенство C62) есть искомое уравнение для
определения возможных значений поправочного индекса 2А в простей-
простейшем приближении C05).
В работе [89] рассматривалось только одно решение C57а), здесь мы
обсудим уравнение C62) подробнее. Из определений C59) и C.68) легко
проверить, что для любых z,A справедливы равенства
q(z,0) = 1, g(z,A) = q(z,X'), A' = d/2 - А . C63)
Из первого следует, что А = 0 является одним из решений уравнения
C62), а второе показывает, что данное уравнение и, как следствие, мно-
множество его решений инвариантны по отношению к теневому преобразо-
преобразованию
2А-Ч-2А' = d-2X . C64)
Сразу отметим, что данная симметрия сохраняется и при учете стар-
старших графиков C06) в поправочных уравнениях (п.39). Из нее следует,
что вместе с любым решением 2А теневое к нему значение d — 2А также
является решением в согласии с указанной в C56) общей структурой
множества решений.
Можно отметить связь этого свойства с асимптотикой A06). В нее
входят степени г с показателями 1,1 — а, 2 — а, 2 — а + u>v, где а = 2 — dv
- индекс теплоемкости. Переход к поправкам C54) осуществляется за-
заменой т -ь т ■ хЛт с Ат = 1/и, поэтому указанным степеням г соот-
соответствуют в C54) вклады аг2А с показателями 2А = ljv, A — a)/v =
п. 38 Обобщение яа случай поправочных индексов 483
d — 1/u, B - a)/v = d, B — a + wi/)/i/ = d + w. Первый из них есть
индекс C57а), второй - теневой к нему, третий - теневой к извест-
известному (см.выше) решению 2А = 0, последний - теневой к C576). Таким
образом, все приведенные в A06) дробные степени г естественно про-
проявляются вместе с аналитическим вкладом ~ г в решении уравнений
самосогласования для поправочного индекса 2А.
Обсудим кратко множество всех решений уравнения C62) для пока-
показателя 2А в рамках 1/п-разложения. Входящие в C59) функции #(z) =
||<i/2—z||/||z|| (определения в п.3.15) имеют полюса в точках z E d/2+m и
нули при z = — т, здесь и далее т = 0,1,2, Отсюда следует, что для
нашего нулевого приближения ао = d/2—l, /?о = 2 множитель H(d — a)
в q(a, А) имеет полюс по отклонению а — а0 = 8а, поэтому для выполне-
выполнения равенства C62) необходимо наличие компенсирующего нуля либо в
той же функции q(a,X) = qi, либо в q(/3,X) = qi- Отсюда определяются
возможные значения нулевого приближения 2Ао: первому случаю соот-
соответствуют значения 2Ао = 2 — 2т и теневые к ним (назовем это "серией
А"), второму - значения 2Ао = 4 +2т и теневые к ним ("серия Б"). Для
серии А следует еще различать случаи m = 0,1 и m > 2: в первом из
них функция q\ имеет один полюс ~ 1/5а и один нуль ~ (<5а + <5А), что
позволяет найти отношение Ai /ац соответствующих первых коэффици-
коэффициентов 1/п-разложения (для всех конечных множителей Н без нулей и
полюсов достаточно ограничиться известным нулевым приближением,
для серии А все множители Я в qi конечны). Для второго случая (т > 2
в серии А) в функции q\ появляется еще один полюс ~ 1/Eа — 5Х), по-
поэтому нуль в 5а + 8Х должен быть второго порядка по 1/п. Отсюда
сразу следует Ai = — ац, затем можно найти и отношение {а2 + Аг)/»^
Напомним,что 2а* = щ VAr в силу C07), но в данном случае под г]2
следует понимать не точное выражение B56а), а лишь получаемый из
уравнения C12) "хартри-фоковский вклад" в г]2 = 2аг-
Таким образом, для решений серии А BАо = 2 — 2т и теневые к
ним) с m = 0,1 индекс А можно найти из уравнения C62) с точностью
до первого порядка по 1/п, а для m > 2 - до второго. Решение с m = 1
на самом деле точное BАо = 2А = 0, см. выше), а решение с m = 0
является теневым к определяющему индекс v показателю C57а), так
что по Ai для данного решения можно получить результат B556) для V\.
Следует подчеркнуть, что при расчете v через индекс /3 из соотношения
C08) для получения той же точности потребовался бы учет старших
графиков (п.35), т.е. расчет v как поправочного индекса технически
проще.
Остальные решения с m > 2 серии А являются, судя по нулевому
484 Глава. 4. Критическая статика
приближению 2Ао = 2 — 2m, теневыми к размерностям AF операторов
F = фд2тф. Но для них есть проблема смешивания ф —> дд (п.34),
поэтому однозначная интерпретация невозможна, хотя сами решения
для А можно найти с точностью до 1/п2 включительно.
Обсудим теперь решения серии Б с 2Ао = 4 + 2т и теневые к ним,
сюда входит и показатель C576) как теневой к решению с 2Ао = 4.
Для всех решений этой серии множитель q\ = q{a,X) в уравнении C62)
имеет полюс ~ 1/Sa, a q2 = q(/3,X) - нуль ~ EХ — 8/3) = 8Х + 28а
(учтена связь C11) между а и /3), что позволяет найти из уравнения
C62) отношение Ai/ari.
Но этот результат для Ai в действительности будет неправильным,
так как ввиду аномальной малости коэффициента q2 ~ 1/п (в отличие
от #2 ~ 1 Для серии А) в слагаемом q2B' второго уравнения C61) с ним
становятся сопоставимыми по величине поправки от не учитываемых в
C61) старших графиков C06). Это касается лишь коэффициента при В'
во втором уравнении C61), т.е. поправок от ф-линий в старших графи-
графиках C066). Учет этих поправок позволяет найти правильное значение
Ai для решений серии Б, в частности, значение B55в) для ш\, подробнее
в следующем разделе.
п.39 Расчет v2 шш\. Рассмотрим уравнения для поправочных ин-
индексов с учетом старших графиков Ej.,2 в C06а) и П^г в C066). При
подстановке в них линий C55) хартри-фоковские вклады в уравнениях
C16) модифицируются так же, как в уравнениях C60), а каждый из
четырех старших графиков породит в линейном приближении соответ-
соответствующие поправочные вклады, например,
; -*■ bj + X [A Ъ{А + В Ъ{В\ C65)
и аналогично для П{. Величины типа Е,-А представляются в виде суммы
диаграмм, получаемых из исходного графика Ej вставкой всеми воз-
возможными способами поправочного множителя аг2Л в ^-линии (что экви-
эквивалентно уменьшению на А основного индекса), а для £,в - в У'-линии.
Например,
SiA = 2-<J>- + -<£>- , Sib = 2-<J>- , C66)
где крестиком отмечено "возмущение линии", сводящееся к уменьше-
уменьшению ее индекса на величину А, а топологически эквивалентные вари-
варианты "вставки возмущений" учтены коэффициентами. Четыре стар-
старших графика C06) порождают в общей сложности 13 поправочных диа-
диаграмм типа C66).
д.39 Расчет v% иы\ 485
Каждый из четырех старших графиков C06) имел по два одинако-
одинаковых полюса по "индексу вершины" к от левого и правого вершинных
подграфов (п. 35). Возмущение ~ аг2Л любой линии внутри данного вер-
вершинного подграфа ликвидирует его УФ-расходимость и соответству-
соответствующий полюс по к, поэтому, например, в диаграмме £1в и в первом
графике Sia в C66) остается только один полюс от правого вершин-
вершинного подграфа, а во второй диаграмме EiA - ни одного. Элементарный
подсчет числа остающихся в поправочных диаграммах полюсов пока-
показывает, что они скоррелированы с полюсами основных диаграмм C15)
следующим образом:
SiA = Kt/K + jyiA + ... , Е,-в = Ъ/к + Цв + ... , )
C67)
niA = 2к{/к + п'и + ..., п,в = п;в + .... J
Здесь Ki - известные из C52) вычеты полюсов в C15), величины типа
Е|А, как и в C15), обозначают не зависящие от к конечные части диа-
диаграмм (в данном случае поправочных), а многоточия - несущественные
поправки порядка к.
Добавив в уравнения C14) все поправочные вклады, нетрудно убе-
убедиться, что в силу связей между вычетами в C15) и C67) все полюса
по к и кратные шаг вклады в основных и поправочных уравнениях со-
сокращаются одновременно при указанном в п.35 выборе константы ре-
ренормировки вершины Z и индекса /с. В итоге получается следующая
ренормированная система поправочных уравнений:
= 0, )
} C68)
А>[2и+иЩА+пиЩА]+В'[-2р(РЫ/3,\)/п+и2П'1в+пиЩв} = 0.J
Требование равенства нулю определителя этой системы при известных
из C17) и C19) основных индексах а,/3 и и есть искомое уравнение для
определения поправочного индекса А.
Это уравнение можно решать итерациями по 1/п с произвольно вы-
выбранным нулевым приближением. Для решения C57а) все коэффиценты
при А' и В' в C68) имеют нормальный порядок величины (ведущие
вклады ~ 1/п плюс поправки ~ 1/п2), вклады всех старших графиков
достаточно вычислять в нулевом приближении по 1/п, тогда "поправоч-
"поправочная" ф-линия исчезает в силу равенства Ао = а0 = d/2 — 1. В таком при-
приближении все нужные диаграммы достаточно просто интегрируются с
помощью изложенных в п.36 приемов, самой трудной оказывается диа-
диаграмма Пгв) ответ для нее можно получить подстановкой А — d/2 — 1
486 Глава, 4. Критическая статика
в C46) (в [89] эта диаграмма вычислялась более сложным способом).
Конечным продуктом такого расчета является полученное в работе [89]
значение B5бб) для v^ в произвольной размерности d.
При расчете w\ через поправочный индекс C576) величина
p{P)q(f3, Х)/п в C68) имеет, как уже отмечалось в п.38, аномальную ма-
малость ~ 1/п2 (а не 1/п, как в случае индекса v), тогда как вклады стар-
старших графиков в П'1в и П'2в в данный коэффициент сохраняют нормаль-
нормальный для них порядок величины ~ 1/п2. Поэтому все эти вклады одного
порядка необходимо учитывать вместе уже при вычислении первого ко-
коэффициента u>i = —2Ai. Вкладами всех других старших графиков в
C68) при этом можно пренебречь, но нельзя игнорировать известный
из C18) вклад «i в аргументе /? = 2 — ц — к функции #(/?, А). Отметим,
что нужные для такого расчета значения старших графиков
П1в = --<*>" , П2в = 2-<| |>- C69)
не имеют УФ-расходимостей (поэтому П,-в = П^в) и могут вычисляться
в нулевом приближении по 1/п (а = d/2 — 1, /? = 2, А = d/2 — 2).
Значение Пгв можно получить из C46) подстановкой А — d/2 — 2. От-
Ответ C46) симметричен относительно преобразования C64), такую же
симметрию имеет и диаграмма Щв в C69). Это позволяет заменить
значение А = d/2 — 2 на А = 2, что делает расчет диаграмм C69) триви-
тривиальным, поскольку для А = 2 возмущение ф-линии приводит к ее исчез-
исчезновению, и тогда диаграммы C69) сводятся к простым цепочкам. Та-
Такой расчет wi был выполнен в дипломной работе Ю.Р.Хонконена (ЛГУ,
1980 г., не опубликовано).
Увеличение точности на порядок, т.е. расчет и3 или и>2 таким мето-
методом требует подключения в C06) следующих графиков и практически
невыполним из-за технических трудностей. Не удается также обобщить
подобную технику (кроме расчета rjx) на более сложные модели типа
(jpn-i (П-2.28), поэтому для них все результаты ограничиваются пер-
первым порядком по 1/п и их проще получать изложенным в п.34 методом.
Техника уравнений самосогласования для пропагаторов была с успехом
использована в квантовополевой модели Гросса-Нэве [135] и ее аналогах.
Это модели с фермионами, которым соответствуют в классическом ва-
варианте антикоммутирующие грассмановы переменные. Поэтому они не
имеют прямого отношения к теории критического поведения реальных
классических систем. Но они представляют интерес для физики элемен-
элементарных частиц и могут служить хорошей иллюстрацией возможностей
обсуждаемой техники (подробнее о ГН-модели в п.п.44-49).
п.40 Расчет г]3 в cr-мсдели методом конформного бутстрапа. 487
п.40 Расчет ?7з в <т-модели методом конформного бутстрапа.
Выполненный в 1982 г. расчет ?7з в <т-модели [123] в течение десяти-
десятилетия оставался единственным результатом в порядке 1/п3, и лишь в
1993 г. появился второй - аналогичный расчет ?7з Для модели Гросса-
Нэве [136, 137]. Эти результаты были получены с помощью скелет-
скелетных уравнений самосогласования "конформного бутстрапа" с одеванием
не только линий, но и тройных вершин типа фф2. При этом суще-
существенно используется известная конформная инвариантность безмассо-
безмассовой <г-модели (п.2.17), вместе с прочими симметриями определяющая с
точностью до параметров явный вид одетых линий и тройных вершин
(п.2.18). Метод пригоден для любых безмассовых моделей с конформ-
конформной симметрией и только тройными (но не выше) затравочными верши-
вершинами, в том числе и для нашей модели B58). Во избежание недоразу-
недоразумений нужно уточнить, что под конформной симметрией модели всегда
понимается конформная инвариантность всех функций Грина ее полей
(п.2.18), но эта симметрия не переносится автоматически на масштабно-
инвариантные функции Грина с составными операторами.
Поясним технику конформного бутстрапа на простейшем примере
безмассовой у>3-модели с одним скалярным полем ip(x) (п.24). Хорошо
известно (см., например, [53]), что в моделях такого типа полная вер-
вершина A-неприводимая треххвостка) представима в виде суммы затра-
затравочной вершины и всех скелетных 3-неприводимых графиков с одетыми
линиями и вершинами и стандартными симметрийными коэффициен-
коэффициентами; 3-неприводимыми называются графики, не содержащие нетриви-
нетривиальных 2- и 3- (т.е. собственно-энергетических и вершинных) поддиа-
поддиаграмм. Соответствующее равенство изображено графически в C70), а
вытекающее из него представление для собственной энергии Е в урав-
уравнении Дайсона B.51) - в соотношении C71):
Е =
C70)
C71)
Здесь и далее опускаются (подразумеваемые) симметрийные коэффи-
коэффициенты, в частности, 1/2 при графиках S; заштрихованным блоком с
тремя внешними выводами (кружком или треугольником в зависимости
от удобства) изображается полная вершина, точкой - затравочная, все
488
Глава 4. Критическая статика
внутренние линии графиков одетые, внешние ампутированы. Второе
равенство C70) является определением заштрихованного прямоуголь-
прямоугольника (-блока") в виде известной бесконечной суммы скелетных диа-
диаграмм со стандартными коэффициентами.
В общем случае вершинное уравнение типа C70) вместе с урав-
уравнением Дайсона B.51) и уравнением стационарности A.51) в нужной
форме образуют систему трех уравнений для определения трех неиз-
неизвестных - вершины Г, пропагатора D и среднего < (р >= а. Непосред-
Непосредственно в критической (безмассовой) теории полагают а — 0 и оста-
оставляют лишь пропагаторное и вершинное уравнения. Метод конформ-
конформного бутстрапа сводится к идее отбрасывания в них всех затравочных
вкладов, что приводит к "уравнениям самосогласования" для ДиГ:
D
-1
= -S =
C72)
Их решения ищутся в виде конформно-инвариантных структур типа
B.147), а именно,
D(x) = А х
-2а
Г(ап,аг2,аг3) = С-г
12
-2Oi3 -2a23
L 1 q inq
C73)
C74)
с r,-fc = \xi — Xk\ и неизвестными амплитудами и показателями. Мы при-
привели в C73) общий вид 1-неприводимой вершины Г, соответствующей
полной функции B.1476) с тремя произвольными размерностями полей
а», через которые выражаются три показателя в Г. Графически:
D = А „ ; Г ~ ау\*
Индексом а линии D является размерность соответствующего поля,
вершине Г соответствует лишь сам "конформный треугольник" в C74),
индексы трех его ребер щк однозначно определяются требованием уни-
уникальности (п. 36) всех вершин после присоединения к ним внешних ли-
линий с заданными индексами а{. В частном случае простой <р3-модели
имеем:
+ a13 +Я23 =
D = А
Г =
= С ■
C75)
п. 40 Расчет щ в <т-модели методом конформного бутстрапа. 489
При подстановке этих величин в уравнения C72) общая структура всех
выражений самовоспроизводится и в итоге получаются простые алге-
алгебраические уравнения для содержащихся в C75) числовых параметров.
Поясним это, начав с вершинного уравнения C72). Входящий в
него -блок" понимается как известная из C70) сумма неприводимых
скелетных графиков. Подстановка в них элементов C75) приводит к
обычным диаграммам со степенными линиями и локальными тройными
вершинами. Определение: произвольный 1-неприводимый граф будем
называть конформным, если все его внутренние вершины уникальны.
По построению, правая часть вершинного уравнения C72) есть сумма
конформных вершинных диаграмм. Основой метода конформного бут-
бутстрапа является следующее простое утверждение: всякий конформный
вершинный граф совпадает с точностью до множителя с простым
конформным треугольником типа C74), заданным индексами трех
внешних линий (последние однозначно восстанавливаются требованием
уникальности трех наружных вершин после присоединения к ним внеш-
внешних линий). Доказательство этого утверждения элементарно: сделав
конформное преобразование исходной диаграммы с базой в одной из
трех ее наружных вершин, получим граф, в котором все внутренние
вершины оторвутся от базы (п.36). В нем нетривиален только один
блок типа C25), соединяющий две другие наружные вершины. Он сво-
сводится к простой линии, поэтому сам вершинный граф - к треуголь-
треугольнику; повторное конформное преобразование приводит к вершинному
треугольнику типа C74).
Из сказанного следует, что любая диаграмма в правой части вер-
вершинного уравнения C72), следовательно, и сумма всех этих диаграмм
совпадают с точностью до числового множителя с исходной вершиной
C75) в левой части. Поэтому имеет смысл равенство
-4i =^-4> У = V(a,u), u = C2A3, C76)
являющееся определением вершинной функции V. Она зависит от од-
одной комбинации амплитуд и = С2А3 и от индекса а, зависимость от
размерности пространства of не указывается явно, но везде подразуме-
подразумевается. В таких обозначениях вершинное уравнение C72) сводится к
алгебраическому равенству V(a, и) = 1, что дает одно уравнение на две
неизвестных а, и. Сама функция V(a, и) считается при этом известной
из ее определения C76) через сумму графиков в C70). Вычислить ее
реально можно, конечно, только приближенно по первым графикам.
490
Глава 4. Критическая статика
Вторую связь на две неизвестных a, u можно получить из пропа-
гаторного уравнения самосогласования в C72). Но оно содержит не-
неопределенность типа 0 • оо, которую нужно предварительно раскрыть.
Действительно, с одной стороны, два графика в выражении C72) для S
должны взаимно сокращаться в силу вершинного уравнения C72) (то
же самое другими словами: согласно первому равенству C71), собствен-
собственная энергия £ пропорциональна затравочной вершине, которая в вер-
вершинном уравнении C72) полагается равной нулю). С другой стороны,
при подстановке в любой из скелетных графиков выражения C72) для £
элементов C75) получается конформная диаграмма с УФ-расходимостя-
ми от двух логарифмических вершинных подграфов, соответствующих
стягиваниям всех внутренних вершин к одной из наружных. Отметим,
что само представление C71) для £ является точным, неопределенность
О ■ оо в нем возникает лишь при отбрасывании затравочной вершины и
подстановке конформных структур C75), поэтому ее нужно раскрыть
до перехода к пределу нулевой затравочной вершины.
Чтобы это сделать, уравнение C72) переписывают в виде
Графически (обозначения C20), база в левой вершине):
C77)
C78)
Воспользовавшись очевидными (из определения линии со стрелкой в
C20)) равенствами
C79)
можно привести соотношение C78) к виду
Действительно, при подстановке C79) в C78) пары первых и вторых
п. 40 Расчет щ в <т-модели методом конформного бутстрапа
491
графиков C79) в силу точного вершинного уравнения C70) складыва-
складываются в комбинацию
= 0,
C81)
равную нулю вследствие равенства типа Xi8(x) = 0, вытекающего из
предполагаемой локальности затравочной вершины и отсутствия в ней
символов д (простое взаимодействие <р3). Остаются лишь вклады по-
последних графиков в C79), что и превращает представление C78) в
C80). Оно выгодно отличается от C78) отсутствием УФ-расходимостей
при подстановке структур C75) из-за введения дополнительных мно-
множителей Х{ (линии со стрелкой), устраняющих логарифмические УФ-
расходимости от стягиваний как левого, так и правого вершинного под-
подграфа (тот же механизм, что и для графиков C69)).
Из соотношений C09), C77) и C80) получаем искомую форму пропа-
гаторного уравнения без неопределенности 0 ■ оо (на линии со стрелкой
подразумевается свободный векторный индекс):
d-a
C82)
Равенство C82) вместе с вершинным уравнением C72) уже можно
использовать для конкретных расчетов, ограничившись каким-нибудь
приближением для входящего в них -блока". Но гораздо удобнее
воспользоваться предложенной в работе [138] модификацией уравнения
C82), позволяющей ограничиться лишь вычислением вершинной функ-
функции V с некоторой "г-регуляризацией". Для этого нужно ввести регу-
ляризованную вершину Г£ и регуляризованную вершинную функцию Vs:
гг = А = с •°-е
а
а + 2е
а-е
а
щ
= v€
C83)
Введенная регуляризация сохраняет уникальность вершин конформного
треугольника, поэтому все вершинные графики остаются конформными.
В определяющих V£ диаграммах регуляризации подвергается лишь один
вершинный треугольник, непосредственно примыкающий к регуляри-
зуемой внешней линии; индексы всех других линий и все амплитудные
множители не изменяются.
492
Глава. 4. Критическая статика
Величины C83) используются для упрощения правой части C82)
следующим образом: поскольку в графиках C82) нет расходимостей,
они регулярны по индексам своих внешних линий в окрестности их
канонических значений, поэтому справедлива следующая цепочка пре-
преобразований:
C84)
£-+0
При выводе использованы определения V и Ve в C76) и C83).
Из вершинного уравнения C72) следует V — 1, поэтому последний
график C84) при подстановке в C82) сокращает одну из диаграмм, и в
итоге получаем:
= lira [ Vt - V ]
£-+0
C85)
Подставив сюда треугольники C75) и C83), получим один граф, и в нем
нужно вычислить только вычет в полюсе по е, который порождается
стягиванием всех внутренних вершин к левой наружной. Такой расчет
легко выполняется с помощью изложенных в п.36 приемов, искомый
вычет для графика с единичными амплитудами сводится к диаграмме
в левой части C85) с коэффициентом
S(a) = w2dH(a,a,a,d/2+a-a)/-\\d/2\\, Ba + a = d) , C86)
а все амплитуды и (до сих пор опускавшийся) симметрийный коэффи-
коэффициент 1/2 собираются в множитель и/2 в правой части. В итоге полная
система уравнений конформного бутстрапа для у3-модели принимает
следующий вид:
V{a,u;e)\s=0= 1 , C87а)
2р(а) = uS{a) dV{a,u;e)/de\€=0
C876)
п.40 Расчет гK в a-модели методом конформного бутстрапа
493
с функциями р из C09), S из C86) я Vc = V{a, u;e) из C83).
Для практического использования уравнений C87) нужно вычислять
по диаграммам только регуляризованную вершинную функцию Vc, при-
причем лишь с точностью до членов первого порядка по регуляризатору
г. Итерациями уравнений C87) можно находить в у>3-модели коэффи-
коэффициенты б + 2г-разложения критической размерности поля Д^ = a =
d/2-l+r)/2 (п.25).
Изложенная на примере у3-модели техника легко обобщается и на <т-
модель B58), позволяя вычислять итерациями уравнений конформного
бутстрапа коэффициенты l/n-разложений критических размерностей
a = Аф и /3 = Аф. Решения для корреляторов (одетых линий) ищутся в
форме B59), вершина фф2 представляется конформным треугольником
C88), здесь же показана его регуляризация (индексы ребер а, 6 выража-
выражаются через а, /3 условиями уникальности la + /3 = d, a + b + a = d, во
втором треугольнике указаны лишь добавки от регуляризаторов):
C88)
Из-за наличия двух полей приходится вводить два независимых регу-
ляризатора гиг', а регуляризованную вершинную функцию Vc,c' опре-
определять вместо C83) соотношением
C89)
В определяющих Vc,c- диаграммах, как обычно, регуляризуются лишь
конформные треугольники, непосредственно примыкающие к регуляри-
зуемым внешним линиям (сейчас два: один с е, другой - с г'), индексы
прочих вершинных треугольников и всех внутренних линий не изменя-
изменяются. Для расчета размерностей а, /3 с точностью до 1/п3 в a (т.е. 773)
и 1/п2 в /3 (т.е. v<i) необходимо учесть в определении вершинной функ-
функции следующие девять диаграмм (вершинные конформные треуголь-
треугольники для компактности показываем просто жирными точками):
494
Глава. 4. Критическая статика
V ~с( = и
+
C90)
+
+ \п2иА
--4ХГ
где и = С2А2В (А и В - амплитуды линий B59), С - амплитуда вер-
вершины). В предыдущем порядке A/п2 в а и 1/тг в /3) потребовались бы
только два первых графика. Аналогичная C87) полная система урав-
уравнений конформного бутстрапа для определения двух индексов а, /3 и
амплитудной комбинации и = С2А2 В по регуляризованной вершинной
функции Vc<c> = V(a,P,u;e,e') выглядит в данной модели следующим
образом:
V{a,p,u;e,e')\€=€.=0= 1 ,
p(a) =uS(a, /3) dV(a, /3, u; e, e')/de> |£=t,=0 , ► C91)
2P{j3)/n = и S{a,j3) dV{a,/3,u;s,e')/ds |£=£,=0 d
с обычными функциями р из C09) и аналогичной C86) величиной
5(а,/3) = ir2dH(a,a,a,a,l3,b,d/2+b-p)/\\d/2\\. C92)
Детали расчета гK с помощью уравнений C91) можно найти в работе
[123], результат для произвольной размерности пространства d = 2jx
(в порядке исключения используем здесь обозначение [123] /i = d/2)
п.40 Расчет г)з в а-модели методом конформного бутстрала
495
выглядит следующим образом:
Ц = 3/i2aD/i-5)/(/iM3/2/32+
- 3J[3S0Si - S2 - S3]/3/?3 + ^70 + 26/Л-
+8/i2 - 177//? + 67//32 + 58//33 - 16//34 + 9/a + I/a2 + l//i2+
+B[66 + 14/i + 4/i2 - 187//? + 102//32 + 16//33 + 2/a + 3//i] +
C93)
-64//32 - 48//33 + 32//34] + 54[14 + 8/Л- 8/i2 - 30//3] +
+ £S3[-45 - 13/i - 2/i2 + 136//? - 108//32 + 32//33]} ,
где /i = d/2, а = ц-\, j3 = 2 - ц, В = 5B - /i) - 5B), 50 = 5B -
-C(l), 54 = CB - ц) с функциями 5,С, D из C47).
В ответ C93) входит величина 1(ц = d/2), которая не выража-
выражается явно через гамма-функции и их производные и определяется со-
соотношением П(/1, Д) = II(/i,0)[l + М(ц) + О(Д2)], где П(/*, Д) - зна-
значение диаграммы C33) с единичными амплитудами и индексами ре-
ребер с*! = с*4 = 1, «2 = ^з = /i — 1, as = /i — 1 + Д в размер-
размерности d = 2/i. При Д — 0 эта величина есть ЧТA,1) из C48), но
уже следующий линейный по Д вклад в произвольной размерности вы-
вычислить явно с помощью стандартной техники не удается. Молено
найти лишь конкретное значение /(/* = 3/2) — 3^"A/2)/2тг2 + 2In2,
позволяющее получить из C93) приведенное в B57) значение rjz/rjf для
d = 3 (у/'A/2) = —14(дЗ)), а также первые коэффициенты е-разложений
1(ц = 1 + е) =-2/Зе + 0 + О(г), 1(ц = 2-е) = 0 + О(е), которые нужны
для проверки согласованности ответа C93) с 2+е- и А —е- разложениями
(подробнее об 1(ц = 1 + е) см. в п.49).
В записи C93) исправлена имеющаяся в ответе [123] для произволь-
произвольной размерности опечатка в показателе степени /3 = 2 — ц в знаменателе
второго вклада.
Очевидными достоинствами метода конформного бутстрапа явля-
являются, во-первых, сокращение количества диаграмм (для расчета щ в
технике п.34 потребовалось бы 36 диаграмм, тогда как в C90) их всего
9), во-вторых, отсутствие в них УФ-расходимостей, поэтому нет надоб-
496 Глава. 4. Критическая статика
ности в ренормировке. Но он пригоден только для моделей с гаранти-
гарантированной конформной инвариантностью в критическом режиме (т.е. в
фиксированной точке ренормгруппы) и только с тройными затравоч-
затравочными вершинами. На данный момент A997 г.) его удалось исполь-
использовать практически только в простой <т-модели, о которой говорилось
выше, и в модели Гросса-Нэве, которая будет подробно рассмотрена
позднее (п.44). С чисто технической точки зрения расчет rj3 является,
видимо, пределом возможностей данного (других тем более) метода, -
следующий порядок 1/п4 явно недоступен без каких-нибудь кардиналь-
кардинальных усовершенствований техники расчета.
п.41 О конформной инвариантности в критическом режиме.
В этом разделе мы дополним материал п.2.17, пользуясь сведениями гл .3
о теории ренормировки составных операторов. Задача ставится сле-
следующим образом: дана некоторая мультипликативно-ренормируемая
локальная модель для произвольной системы полей <р (не обязательно
скалярных) с нетривиальной фиксированной точкой ренормгруппы д*,
в которой имеет место критический скейлинг и, как следствие, крити-
критическая масштабная инвариантность функций Грина полей в безмассо-
безмассовой модели. Мы хотим узнать, будут ли эти масштабно-инвариантные
функции Грина также и конформно-инвариантными.
Исходной точкой анализа являются тождества Уорда B.130) для
масштабных и конформных преобразований с каноническими размерно-
размерностями полей в ренормированной безмассовой модели (т.е. Д = dv, S =
SR, W = WR во всех формулах п.п.2.15 и 2.16), а именно,
)Таф) = -Na(x), C94)
где J" - канонические токи, определяемые формулами п.2.15 по задан-
заданному функционалу SR(<p), Ta - генераторы группы, Na(x) - соответ-
ствущий нарушающий оператор. Для наших групп в общем случае
полей со спином и с произвольной размерностью А генераторы имеют
следующий вид (п.2.15):
Та = Т = xd + А (масштабные) , C95а)
Т" =Тк = х2дк ~2xk(xd)-2xkA + 21Eksxs (конформные), C956)
где £** - спиновая часть генератора вращений - некоторые матрицы,
действующие на (подразумеваемые) у полей и источников индексы, ко-
которые мы не будем указывать явно. Напомним, что в рассматриваемом
евклидовом формализме нет различия между верхними и нижними ин-
индексами и мы размещаем их в формулах, руководствуясь только сообра-
соображениями единообразия и удобства записи.
п.41 О конформной инвариантности в критическом режиме 497
Размерность Д в генераторах C95) задается произвольно, в исход-
исходных тождествах C94), по условию, рассматриваются канонические пре-
преобразования с Д = dv в генераторах C95) и в соответствующих токах.
Из тождества C94) вытекает локальное соотношение B.129) с добавкой
Na(x) к дивергенции тока; интегрируя его по ж с учетом определения
B.122) для W — WR в нашем случае, получаем:
V%WK{A) = Jdx < Na(x) » , V* = Jdx A(x)Ta8/8A{x) C96)
(несущественный в размерной регуляризации вклад с £@) опущен). Ра-
Равенство C96) без Na означало бы наличие соответствующей симметрии
связных (поэтому и всех прочих) функций Грина. Но канонические мас-
масштабная и конформная симметрии всегда нарушаются регуляризацией
(п.2.15), т.е. в нашем случае вклад Na(x) в C96) обязательно присут-
присутствует.
Для анализа следствий соотношения C96) в критическом режиме
обязательно нужно (см.ниже) выразить Na(x) в терминах ренормиро-
ванных составных операторов и затем положить д = д* в коэффициен-
коэффициентах. Масштабный оператор Na = N имеет каноническую размерность
d[N] = d и в его разложении по ренормированным могут присутство-
присутствовать среди прочих УФ-конечные (п.3.29) составные операторы
ip(x)8SJl(<p)/8<p(x) = [<p{x)8SB(<p)/8(p(x)]R . C97)
Их вклад в масштабном уравнении C96) эквивалентен в силу равен-
равенства C.188) сдвигу канонической размерности dv в генераторах C95а).
Если мы заранее уверены в наличии критической масштабной инвари-
инвариантности с размерностями Д^, = d^ + f^ (что предполагается), то сдвиг
dv -4- Av должен быть единственным эффектом нарушения соответ-
соответствующей канонической симметрии. Это значит, что для масштабного
оператора Na = N, выраженного через ренормированные, при д = д*
должно выполняться представление
N(*) = Е% 4>{*)&SK(<p)l8<p{x) + Y.9F' (g=gt) C98)
с суммированием по всем сортам полей в первом слагаемом и любыми
операторами типа 8F во втором. Наличие внешней производной - не-
необходимое условие исчезновения вклада данного оператора в уравнении
C96) при интегрировании по х. Отметим, что точный смысл оператору
C97) при д = д* придается правой частью этого равенства, - в левую
498 Глава 4, Критическая статика
входят константы Z, имеющие при д = д* сингулярность (п.1.27). Та-
Такие же сингулярности содержатся неявно и в неренормированных ло-
локальных мономах, - именно поэтому для расшифровки смысла любого
составного оператора при д = д* его необходимо выразить через ренор-
мированные.
Из сравнения двух генераторов C95) видно, что критическая кон-
конформная инвариантность с размерностями Д^ = dv + 7^ будет иметь
место тогда и только тогда, когда для конформного оператора Na = Nk
при д = д* будет выполняться представление
Nk(x) = -2xk J>; <p(zNSR{(p)/8(p{x) + ^8F , (д = д.). C99)
v
Справедливость соотношения C98) гарантирована наличием (пред-
(предполагаемой) критической масштабной инвариантности (обычно она пря-
прямо следует из РГ-уравнения при д = д*, см.п. 1.33), а доказательство
соответствующей конформной симметрии эквивалентно доказательству
представления C99). В любой конкретной модели операторы N и N
можно построить явно из определения C94); проанализировав ренор-
ренормировку всех входящих в них мономов, можно затем прямо проверить
справедливость представления C99). Но иногда ответ можно получить
без вычислений из общих соображений, как это было сделано в п.2.17
для чисто скалярных теорий. Сейчас мы опишем более широкий класс
моделей, для которых можно доказать, что критическая конформная
симметрия - автоматическое следствие масштабной.
Пусть SR(ip) = JdxC(x), где С(х) = Со(х) + V(x) - ренормиро-
ванная плотность лагранжиана, Со - ее свободная часть, V - взаи-
взаимодействие. В этом разделе мы будем понимать под Со все квадра-
квадратичные по полям вклады С (в обычной терминологии все контрчлены,
включая квадратичные, относят к взаимодействию), а под V - старшие
степени. Предположим, что: 1) действие SR(<p) локально и обладает
обычными (трансляционной и вращательной) симметриями, 2) его ква-
квадратичная часть So(<p) = f dxCo(x) является масштабно- и конформно-
инвариантной относительно преобразований с каноническими размер-
размерностями dv, 3) взаимодействие V(x) содержит лишь сами поля ip(x) и
не содержит их производных д<р(х). Ясно, что все это верно для многих
мультипликативно-ренормируемых безмассовых моделей.
При указанных предположениях нетрудно доказать наличие следу-
следующей простой связи между масштабным (JV) и конформным (Nk) на-
нарушающими операторами в тождествах Уорда:
Nk{x) = -2xk N(x) . D00)
п. 41 О конформной инвариантности в критическом режиме 499
Для доказательства достаточно заметить, что при наших предположе-
предположениях операторы N и Nk порождаются лишь взаимодействием V, а за
его вкладами в левую часть равенств C94) легко проследить, пользу-
пользуясь приведенными в тексте после формул B.119) явными выражениями
для токов, а именно: вклад V в производную дС/д{дцра) = ф{а равен
нулю, он равен — У8ц, в тензоре энергии-импульса dk, — Va:; в масштаб-
масштабном токе J,-, (—х28ц, + 2xiXj,)V в конформном токе Jk и dV/d<pa в ва-
вариационной производной 8SR(<p)/8tpa(x) = uaH(x;ip) (в формулах этого
раздела мы условились опускать индексы типа "а", просто подразуме-
подразумевая при надобности их наличие). Подставляя эти выражения в левые
части соответствующих тождеств C94) с Д = dv в генераторах C95),
нетрудно получить следующие явные выражения для нарушающих опе-
операторов:
N(x) = di [-Vxi] + [dV/d<p] Tip = ~dV + dv[dV/dtp] <p , D01)
Nk(x) = di[(
\ D02)
= -2xkN{x) + 2xs[dV/d<p] k J
При выводе учтен явный вид генераторов C95) с Д — dv и предполага-
предполагаемое (см.выше) отсутствие производных dip во взаимодействии V. Если
V содержит лишь один моном, то из соотношения D01) следует N ~ V;
в общем случае N - некоторая линейная комбинация всех составляющих
V мономов с коэффициентами порядка е ~ (d* — d), поскольку в лога-
логарифмической размерности d = d* взаимодействие также канонически
масштабно-инвариантно ввиду безразмерности всех зарядов (п. 1.16).
Последний член в правой части равенства D02) кратен вариации
взаимодействия V при чисто спиновом вращении и при наших предпо-
предположениях (локальность + вращательная инвариантность + отсутствие
производных во взаимодействии) должен обращаться в нуль в силу со-
соответствующей инвариантности V, что и приводит к искомому соотно-
соотношению D00).
Рассмотрим теперь его следствия. В общем случае независимых опе-
операторов типа C97) несколько (столько, сколько полей в системе <р) и их
удобно использовать в качестве части базисных элементов полной си-
системы (включающей все независимые мономы с симметрией С, и о?* = d*,
где о?* - значение cfF в логарифмической размерности d = d*) ренормиро-
ванных составных операторов, по которым разлагается N(x). В общем
500 Глава. 4. Критическая статика
случае в этом разложении есть вклады трех типов, условно А, В, С:
Первая сумма (А) содержит все операторы C97), две другие - все про-
прочие независимые операторы с нужной симметрией и размерностью, либо
без внешних производных (вклад В), либо с таковыми (вклад С). [При-
[Пример: в простой у>4-модели есть один оператор C97), один вклад [<p4]R
типа В и один d2[ip2]R типа С]. Различные коэффициенты а, 6, с в D03)
зависят от заряда (или зарядов) д, от параметра е ~ of* — d и от ре-
нормировочной массы \i через множители \f, но заведомо не содержат
явной зависимости от х в интересующем нас случае операторов типа
D01). Отметим также, что коэффициенты типа а и 6 должны быть УФ-
конечными вследствие очевидной УФ-конечности левой части равенства
C96).
Из критической масштабной инвариантности вытекает представле-
представление C98), что при сопоставлении с D03) означает:
«М = % > 6Ы = 0 , ' D04)
значения с(<7*) не определяются. В конкретных моделях коэффициенты
при операторах в разложении D03) находятся по матрице констант ре-
ренормировки замкнутой системы (п.3.28), содержащей все мономы С Ко-
Коэффициенты типа а и 6 (но не с, подобно Z43 в п. 10) можно выразить при
этом через константы ренормировки действия (п.3.30), коэффициенты
b оказываются кратными /3-функциям, a av - аномальными размерно-
размерностями полей 7</>, что и обеспечивает выполнение равенств D04).
Переходим теперь к оператору Nk. Поскольку внешние множители
Хк не влияют на ренормировку, из D00) следует, что аналогичное D03)
представление для Nk (x) получается просто умножением на — 2х/, обеих
частей равенства D03). Соотношения D04) тогда гарантируют, что
члены типа А в разложении Nk имеют нужную форму C99), а поро-
порождаемые членами типа В в D03) вклады в Nk при д = (/* исчезают.
Несущественны также и вклады типа С с двумя и более внешними про-
производными д: после умножения на х/, они становятся операторами типа
8F в C99), изчезающими при интегрировании по х в тождестве C96).
Отсюда следует, что нарушение критической конформной симме-
симметрии при наличии масштабной может порождаться лишь опасными
вкладами типа дкОь(х) в D03) с одной и только одной внешней произ-
производной д. В интеграле по х производная "компенсируется" множителем
п.41 О конформной инвариантности в критическом режиме 501
Хк, поэтому такой оператор не дает вклада в масштабное тождество
Уорда C96), но дает вклад в конформное. Таким образом, в общем
случае конформное тождество Уорда C96) при д = д* имеет вид
VkAWR(A) = с{д>) fdx « Ок(х) » , (д= д.) D05)
с некоторым локальным оператором Ок без явной зависимости от х (ибо
ее нет в D03)) и некоторым числовым коэффициентом с(д*). Если в
Ок несколько мономов, в качестве с(д) можно взять коэффициент при
любом из них. Все величины в D05) УФ-конечны ввиду очевидной УФ-
конечности левой части, а в генераторах Та = Тк, входящих в опреде-
определение C96) операции 2?" = Т>А, теперь подразумеваются точные крити-
критические размерности Д,р.
Выражение в левой части равенства D05) имеет определенную (и
совпадающую с канонической) критическую размерность — 1, так как
функционал WR(A) под знаком V" можно считать безразмерным (п.11),
а конформная операция Т>кА понижает размерность на единицу. В рас-
рассматриваемой безмассовой модели все коэффициенты в соотношении
D03), поэтому и c(gt) в D05), могут содержать лишь критически без-
безразмерные множители // (п.7). Поэтому при с(д+) ф 0 оператор Ок в
D05) должен иметь вполне определенную критическую размерность, а
именно:
А[Ок] = d-1, d*[Ok] = d* - 1 , D06)
где d*[F] - значение d[F] = o?F в логарифмической размерности d*.
Второе равенство D06) следует из первого в нулевом приближении по
е ~ d* — d и служит для предварительного отбора возможных канди-
кандидатов на роль мономов в Ок- Если такие мономы существуют и из
них можно построить линейную комбинацию Ок без внешней производ-
производной и с заданной критической размерностью D06), то в D05) возможно
с(д*) ф 0, т.е. конформная симметрия тогда может быть нарушенной.
Но если оператора Ок с нужными свойствами не существует, то в D05)
обязательно с{д*) = 0 и в этом случае конформная симметрия гаранти-
гарантирована.
Иногда из элементарных соображений очевидно, что в разложении
D03) не может быть опасных вкладов дк Ок с нужными свойствами. Так
будет, например, в любых моделях с одним скалярным полем, так как в
этом случае скалярный оператор с внешней производной можно постро-
построить лишь в виде d2F, - в этом суть доказательства п.2.17 на данном
языке. Еще один важный класс - безмассовые модели со спинорными
(или спинорными + скалярными) полями без производных во взаимо-
взаимодействии. Простейшим примером является С^-симметричная модель
502 Глава 4. Критическая статика
Гросса-Нэве, которую мы рассмотрим в п.44. На этом примере удобно
также пояснить специфику спинорных полей и моделей с зарядовой сим-
симметрией, в которых опасные вклады могут порождаться и некоторыми
комбинациями операторов типа C97).
п.42 Обобщение на случай составных операторов. Пусть
F(y) - некоторый ренормированный локальный составной оператор с
определенной канонической и критической (при д = gt) размерностью
(в подробной записи F(y) = ]Г\ с,(г) ■ jicni ■ [Af,(y; <p)]R - некоторая ли-
линейная комбинация ренормированных локальных мономов Mi, см. п.7).
Пусть <§С F(y) 3> - соответствующий функционал B.107а), т.е. среднее
значение F(<p) с весом ехр[5(у>) + Aip]) с ренормированным действием
S — SR в показателе экспоненты (в этом разделе индекс 'V у опера-
операторов и действия будем опускать, чтобы не загромождать формулы).
Напомним (п.2.13), что величина «С F(y) 2>= WF(y;A) является про-
производящим функционалом ренормированных связных функций Грина с
одним оператором F и любым числом простых полей <р и этот функ-
функционал при д — д* имеет определенную критическую размерность ДР в
следующем смысле:
WF(A-V,AA) = \^W{y;A) , Ax{x)~\d-A-A{\x) . D07)
Инвариантность соответствующих функций Грина относительно кри-
критических (т.е. с Д = Д^, в генераторах C95)) масштабных или кон-
конформных преобразований выражается равенством
\Р1 + ГЛ < F{y) » = 0 D08)
с операцией 2?" из C96) и заданным (размерностью и спином) генерато-
генератором Т", действующим на аргумент "у" оператора F (букву "ж" хотим
сохранить как аргумент в C94)). Из уравнения Швингера
0 = SDip 8{F(y; <p) ■ Таф) ехр [ЗД + Ар] } /8ф) D09)
обычным образом (п.3.29) с отбрасыванием вклада с £@) после инте-
интегрирования по х получаем соотношение
£>л < F(y) » + « F{y)8aS + 8aF{y) » = 0 . D10)
Здесь и далее через 8аф для любого функционала ф((р) обозначается
величина
8аф = fdx [8ф(<р)/8<р(х)] Г>(х) , D11)
п. 42 Обобщение на случай составных операторов 503
т.е. коэффициент при соответствующем инфинитезимальном параметре
u)a (см. формулы B.213)) в вариации ф, порождаемой вариацией его
функционального аргумента <р. Переписав соотношение D10) в виде
[VaA + TFa] С F(y) » = < T?F(y) - 5aF(y) - F{yMaS > D12)
и сопоставив с D08), заключаем, что доказательство наличия крити-
критической симметрии с генераторами Та эквивалентно доказательству ис-
исчезновения правой части равенства D12) при д — д*. Постановка за-
задачи прежняя (п.41): предполагая критическую масштабную инвари-
инвариантность функционала <$С F(y) 3>, хотим узнать, будет ли иметь место
соответствующая конформная симметрия. Вопрос имеет смысл лишь
тогда, когда для функций Грина простых полей данная симметрия име-
имеется. Поэтому будем считать, что все сформулированные в п.41 пред-
предположения относительно модели выполнены и что в разложении D03)
при д = д* нет опасных вкладов типа дкОк- При наличии конформной
инвариантности функционала <^ F ^ оператор F условимся называть
конформным.
Как и раньше, ответ на поставленный вопрос дает анализ соответ-
соответствующих тождеств Уорда C94). Умножив обе части равенства C94)
на F(y) и проинтегрировав по х, получим:
F(yNaS\K!M = -JdxF(y) Na(x) , D13)
знак |кан напоминает, что здесь рассматриваются преобразования с ка-
каноническими размерностями.
Для масштабного уравнения оператор Na = N в D13) следует пред-
представить в форме D03). Вклады типа А из D03) переносятся в левую
часть равенства D13) и перестраивают в ней канонические размерности
в критические, при этом величина 8aS |Кан переходит в полную вариа-
вариацию 8aS, входящую в соотношение D12). Среди вкладов типа С в D03),
по предположению (см.выше), нет опасных, а все прочие (с двумя и бо-
более внешними производными) несущественны, поскольку они исчезают
при интегрировании по х как в масштабном, так и в конформном урав-
уравнении D13). Поэтому после перестройки SaS |кан~>• £aS в правой части
равенства D13) остаются лишь вклады типа В (например, один опера-
оператор [у4]в. в у4-модели), так что это равенство может быть переписано
в виде
F(y)8aS = -JdxF(y).Na(x)\B,
D14)
N |в = £,• b,[M,]R , Nk \B = -2xkN\E
IB '
504 Глава 4. Критическая статика.
где iVa|B - вклады в Na = {N,Nk} только членов типа В из D03).
Мы указали выше и явный вид этих операторов: в общем случае N\B -
некоторая линейная комбинация ренормированных локальных мономов
Mi = М{(х;<р) без внешних производных с зависящими от д,е и ц (че-
(через ц€) коэффициентами 6,- = bi(g;fi,s); конформный оператор связан с
масштабным соотношением D00). Исследуемый оператор F(y) также
понимается как линейная комбинация F — Y^ ca[Ma]R ренормированных
локальных мономов с зависящими только от е и ц (через цс) коэффи-
коэффициентами са = са[е,ц). Все коэффициенты бис УФ-конечны, т.е. не
имеют полюсов по е.
Мы уточняем все это потому, что операция вычитаний C.34) стан-
стандартной схемы MS не коммутирует с умножением на зависящие от
е коэффициенты и это требует четкой фиксации порядка действий при
работе с полиномами. По соглашению (гл.З), все ренормировочные опе-
операции схемы MS для составных операторов первоначально определя-
определяются на простых мономах и обобщаются на полиномы по линейности,
т.е. символ Ecj-^j]r. всегда понимается как ^c,[M,]R и аналогично
для всех других ренормировочных операций.
В правую часть первого равенства D14) входит двойная сумма ]Г] cabi
[Ма]в. ■ [Mj]д. Все ее коэффициенты 6,- = &i(</;/*,£) в точке д* исчезают
в силу соотношений D04). Но это еще не означает исчезновение всего
выражения, так как в него входят произведения ренормированных опе-
операторов, не являющиеся УФ-конечными объектами (п.3.25). Из общего
правила C.159) и определения B.107) следует, что под знаком «С ... 3>
для любых двух локальных мономов с разными аргументами х, у спра-
справедливо равенство < {[Ma]R • [М,Ы >=< {...} >R + < п.к.{...} ».
Первое слагаемое - УФ-конечный "полностью ренормированный вклад"
(результат действия Д-операции на функционал <§С Ма ■ Mi 3> базо-
базовой теории), второе - содержащий все УФ-расходимости вклад локаль-
локального (кратного функции 8(х — у) или ее производным) оператора пар-
парных контрчленов. В подробной записи п.к.{[Ма(у; <p)]R ■ [Mi(x;<p)]R} =
LP{Ma(y;ip) ■ Mi(x;ip)exTpV(ip)} в обозначениях C.159). В схеме MS
разделение на "полностью ренормированное среднее" и "парные контр-
контрчлены" однозначно: для простых мономов (но не полиномов!) первое
слагаемое содержит всю УФ-конечную часть, а второе - только полюса
по е. Отметим, что такая классификация возможна лишь до перехода
в точку д = д*, так как при д = д* ~ е всякое различие между УФ-
конечными и бесконечными вкладами теряется.
При подстановке первого равенства D14) в соотношение D12) по-
появляется выражение ]£ саЪ{ С {[Afa]R ■ [M,-]R} >= Х^С<А[< {...} >R
п. 42 Обобщение на случай составных операторов 505
+ «С п.к.{...} 3>]. Вклады полностью ренормированных средних в
точке д* исчезают из-за обращения в нуль коэффициентов 6,-. Но в пар-
парных контрчленах, как и в обычных константах ренормировки Z, могут
присутствовать сингулярности в точке д = д* (п.1.27), сокращающие
нуль коэффициентов 6, так что в общем случае эти вклады в точке gt
не исчезают.
Общий вид парных контрчленов можно записать по-разному. Для
нас удобно следующее представление масштабных контрчленов в D14)
(конформные получаются простым домножением на —
n.K.{F(y) ■ N(x) |B} = [i>(°>(y) + Pll\y)d/dxk +...}8(x-y), D15)
где р(*'(у) - некоторые локальные составные операторы из поля <р(у)
и его производных без явной зависимости от у (у них подразумеваются
все индексы F, если таковые имеются), многоточие — несущественные
для дальнейшего вклады с двумя и более производными по аргументу
х. Каноническая размерность контрчленов D15) равна сумме размер-
размерностей операторов в левой части. Масштабный оператор N |в в D15)
имеет размерность of, совпадающую с размерностью ^-функции в правой
части, поэтому d[P^] = dF — s. В общем случае в р(*) могут входить
все мономы Mcd*M = (i*-sz заданной индексной структурой и сим-
симметрией; коэффициенты при них - функции д,е и fi (через цг), в общем
случае содержащие как УФ-расходящиеся, так и УФ-конечные вклады
(последние - только при наличии е в коэффициентах сомножителей ле-
левой части равенства D15)).
При подстановке выражения D15) в D14) с учетом связи D00) при
д = gt (тогда остаются лишь вклады парных контрчленов) получаем:
c _ / -Р{О)(У) (масштабные) , \
S ~ I 2УкРЩу)-2Р£\у) (конформные) . / D16)
"Нормальные" вклады с р(°) имеют стандартную корреляцию типа
D00), вклад рМ является "опасным" в терминологии п.41.
Рассмотрим входящий в правую часть равенства D12) оператор при
д = д*. Он представляется в виде суммы канонического вклада
[T?F(y) - 6°F(y)] |кан D17)
и всех порождаемых ренормировкой аномалий, а именно,
506 Глава. 4. Критическая статика
для масштабного уравнения и
-2yk7;F(y)+7;fdx [SF(y)/Sv(x)] 2хк,р(х)-2укР^(у) + 2Р^(у) D19)
для конформного (учтен явный вид генераторов C95) с точными раз-
размерностями и соотношения D16)). Условимся называть оператор кано-
канонически масштабным (конформным), если соответствующая величина
D17) обращается в нуль. Это значит, что каноническое преобразова-
преобразование (масштабное или конформное) аргумента ip порождает правильное
(с суммарной размерностью) преобразование функционала F(<p) как це-
целого. Канонически масштабным является любой локальный моном и
любая их линейная комбинация, не содержащая размерных параметров
в коэффициентах, а конформным - не любой, поскольку операция диф-
дифференцирования обычно портит конформность. Например, в классе ска-
скалярных операторов у>4-модели канонически конформными являются лю-
любые мономы, построенные из множителей ip и д2<р (оператор Лапласа д2
не нарушает канонической конформности тогда и только тогда, когда
он действует на объект с канонической размерностью поля о^), тогда
как мономы типа d2ip2 или ipd4ip (<94 = д2д2) не конформны.
В рамках стандартной расчетной схемы £-разложения необходимым
условием исчезновения правой части равенства D12) при g = g* явля-
является ее равенство нулю в нулевом приближении по е. Ренормированный
оператор F с определенной критической размерностью является обычно
некоторой линейной комбинацией ренормированных мономов с множи-
множителями цс в коэффициентах (п.7). При конечном е эти множители нару-
нарушают даже каноническую масштабность, но при £ = 0 она восстанавли-
восстанавливается. Поэтому критическая масштабная инвариантность (имеющаяся
по предположению) гарантирует обращение в нуль, во-первых, соответ-
соответствующего выражения D17) в нулевом приближении по е, во-вторых, -
суммы вкладов порядка е из этого выражения и аномалий D18). Сразу
отметим, что аналогичная сумма в конформных уравнениях, не будь в
них опасных вкладов, получалась бы из масштабной простым домно-
жением на —2ук, следовательно, исчезала бы автоматически. Поэтому
нарушение конформной инвариантности при наличии масштабной мо-
может иметь только две причины: 1) отсутствие канонической конформ-
конформности в нулевом приближении по s (т.е. в логарифмической теории);
2) опасные вклады в конформных соотношениях.
Если действует первая причина, то ответ ясен, - о точной конформ-
конформности тогда не может быть и речи. Поэтому предположим, что рас-
рассматриваемый оператор канонически конформен при е — О, и обсудим
вторую причину - опасные вклады. Таковыми являются вклады Р^ в
п. 42 Обобщение на случал составных операторов 507
D19), но не только они: если оператор F содержит производные dtp, дд<р
и т.п. (что обычно), то аналогичные опасные вклады порождаются и
конформной вариацией 5kF, в частности, вторым слагаемым D19) и
поправками порядка s в конформном выражении D17). Поясним это
примером канонически конформного оператора F = <рд2<р: в его вариа-
umSkF(y) =fdx[8F(y)/8v(x)]Tk<p(x) = Тк<р(у)-д2<р(у)+<р(у).д2Тк<р(у)
производные д2 действуют не только на множители <р(у) (что дает "нор-
"нормальные вклады"), но и на содержащиеся явно в генераторах C95) ко-
координатные аргументы, сейчас это "у". Для нас важна (см. выше)
не вся вариация 5к<р = Тк<р, а лишь ее часть, порождаемая канониче-
каноническими вкладами порядка е в D17) и аномалией у^ в точной критической
размерности. В эту часть 5kip аргумент "у" входит только линейно
(см.C95)), поэтому всегда исчезает при дифференцировании. Отсюда
следует, что порождаемые 8к F опасные вклады имеют точно такую же
общую структуру, как и вклады контрчленов Рк в D19), - это не со-
содержащие явно аргумента "у" локальные операторы с дополнительным
(по сравнению с F) векторным индексом "к" и канонической размерно-
размерностью dF — 1.
Собирая вместе все опасные вклады, общее соотношение D12) при
g = g* для канонически конформного при е = 0 оператора можно запи-
записать в аналогичной D05) форме:
[DkA + Тк] « F(y) » = c(gt) « Ok(y) » , (д = д.) , D20)
где Ok - опасный оператор, с = с(д;ц,е) - некоторый скалярный число-
числовой коэффициент. Если F - не скаляр и имеет свои индексы, то все они
добавляются ив Ok.
Левая часть равенства D20) УФ-конечна и имеет определенные кано-
каноническую и критическую размерности (в смысле D07) для функционала
<§С F 3>, операции Т>\ и Тк понижают размерность на единицу). Как и в
соотношении D05), коэффициент c(gt) в D20) критически безразмерен.
Поэтому при с(д*) ф 0, т.е. при нарушении критической конформной
симметрии, из D20) следует
Д[0*] = ДР-1, d*[Ok] = d*F-l. D21)
Если для данного F оператора Ok с нужными свойствами не суще-
существует, то коэффициент с(д*) в D20) обязательно должен обращаться в
нуль, т.е. данный оператор F конформен.
Таким образом, нарушение критической конформности для канони-
канонически конформного при s = 0 оператора с определенной критической
508 Глава. 4. Критическая статика.
размерностью возможно только тогда, когда из заданной (общей струк-
структурой и величиной о?*) конечной системы ренормированных мономов
можно построить линейную комбинацию Ok с известной размерностью
D21), — в противном случае коэффициенты с(д; ц,е) при каждом из этих
мономов в исходном точном выражении для правой части равенства
D12) должны обращаться в нуль при д = д*. Отметим, что для опе-
операторов типа F — 5fc[-F^]R с внешней производной и определенным зна-
значением ДР всегда можно ожидать нарушения конформности, поскольку
для них в D20) всегда возможен выбор Ok = [-F^]* т.е. оператор Ok с
нужными свойствами для таких F заведомо существует.
п.43 Примеры. При анализе следствий соотношения D20) удобно
пользоваться следующей терминологией: операторы, критические раз-
размерности которых различаются на целое число, считаются принадлежа-
принадлежащими одному "семейству родственников", внутри которого операторы с
большей размерностью считаются "потомками" операторов с меньшей
размерностью (например, 8F - "потомок" F, а сам F - "предок" 8F).
Поскольку размерности всех операторов положительны (в £-схеме), в
каждом семействе есть "родоначальник" - оператор с наименьшей раз-
размерностью. В нашем случае из D21) следует, что оператор Ok ~ бли-
ближайший предок F. Для любого родоначальника из-за отсутствия пред-
предков правая часть равенства D20) должна обращаться в нуль (с(д*) = 0),
т.е. всякий родоначальник конформен, разумеется, если он канонически
конформен в логарифмической теории.
Таким образом, конформность - не столь уж редкое свойство: она
может нарушаться из-за аномалий только при наличии ближайшего
предка с добавочным векторным индексом.
Поясним сказанное на примере скалярных операторов простой без-
безмассовой у4-модели. Независимые мономы классифицируются по вели-
величине о££ = dF \€-o (= целое число) и по этому признаку группируются
в наборы ip; ip2; ip3,d2ip; tp4,tpd2<p,d2<p2 и т.д.. Мультипликативно-
реномируемые операторы ip и <р2 заведомо конформны как родоначаль-
родоначальники семейств с независимыми размерностями А[<р] = Д^ и Д[у>2] =
of— Дг (п.9). В следующих наборах erf* > 3 определенные критические
размерности имеют уже не просто ренормированные мономы, а некото-
некоторые их линейные комбинации, вычисляемые по соответствующим ма-
матрицам констант ренормировки (п.7). Не все они нетривиальны в том
смысле, что порождают новые критические размерности, так как среди
них встречаются, во-первых, явные потомки операторов меньшей раз-
размерности (например, d2ip или d2tp2), во-вторых, особые операторы вида
F = V ■ U с U = 8S/6<p и произвольным УФ-конечным сомножителем V
п.43 Примеры 509
младшей (по сравнению с F) размерности. В силу соотношения C.191)
такой оператор УФ-конечен (напомним, что сейчас S = SR) и имеет
определенную размерность, равную простой сумме размерностей сомно-
сомножителей A[V] и A[U] ~ АА = d— Av, разумеется, если в качестве V взят
оператор с определенной размерностью. Характерным признаком таких
операторов, вытекающим из того же соотношения C.191), является обя-
обязательное присутствие в функциях Грина < F(y)<p(xi)<p(x2) ■ ■ ■ > каких-
нибудь координатных ^-символов 8(y—Xi). Поэтому особым операторам,
если они конформны, соответствуют особые конформные структуры с
^-символами, о которых говорилось в конце п.2.18. Отметим, что по
этому признаку (наличие ^-функций) особыми следует считать и опе-
операторы с множителями dU, d2U,..., так как производные всегда можно
перебросить на второй сомножитель или оператор в целом (например,
V-dU = d[VU] -dV-U, Vd2U = d2[VU] + d2V ■ U - 2d[dV ■ U], причем
все слагаемые правой части имеют определенные и одинаковые крити-
критические размерности). Отметим также, что для особых операторов типа
V ■ U парные контрчлены D15) можно выразить через константы ре-
ренормировки операторов V и N\B путем анализа УФ-расходимостей в
аналогичном D09) уравнении Швингера с производной 5/5(р(у) и мно-
множителем V(y) ■ N\B (x) в предэкспоненте.
После отделения особых операторов и явных потомков предыдущих
в наборе с данным d*F остаются независимые нетривиальные опера-
операторы, которые могут порождать новые критические размерности. То-
Тогда они являются родоначальниками новых семейств, следовательно
(см. выше), обязательно конформными при наличии канонической кон-
конформности при г = 0. Таких операторов немного, в чем можно убе-
убедиться путем анализа первых наборов. В наборе <р3, д2<р с d* = 3 их
вообще нет, так как полный базис операторов с определенными крити-
критическими размерностями образуют здесь особый оператор U = 8S/S<p и
явный потомок д2<р. В следующем наборе с d* = 4 в полном базисе три
оператора: потомок 52[y>2]R, особый (р ■ U и один нетривиальный опера-
оператор F6) в критическом режиме (г = 0, g = </*). Последний ассоциирован
с <р4 и имеет критическую размерность d + w с новым индексом ш (п.10).
Поэтому он является родоначальником нового семейства, как и особый
оператор <р ■ U с критической размерностью А[<р -U] = d (п.11). Особый
оператор построен из канонически конформных мономов <рд2ц> (= F^)
и <р4 (= Fs), а в операторе F6) есть и примесь канонически некон-
неконформного монома д2(р2 (= F3), в скобках мы указали обозначения п.9.
Но коэффициент при мономе F3 в операторе F6) при g = g* является
величиной порядка е, поскольку разложение РГ-функции 7f3E) начи-
510 Глава. 4. Критическая статика
нается с д3 или выше (см.п.10 и п.3.30). Поэтому при е = 0 оба обсу-
обсуждаемых оператора канонически конформны, следовательно, являются
критически конформными при любом е как родоначальники семейств.
Третий базисный оператор 52[y>2]R рассматриваемой системы заведомо
неконформен, поскольку не имеет даже канонической конформности при
£ = 0.
На этом примере можно пояснить сформулированный в тексте после
формул D21) общий рецепт. По структуре и канонической размерности
единственным кандидатом на роль Ok в D20) для скаляров с d*v — 4
является оператор Ok — dk[<f2]n- Но по полной размерности (правило
D21)) он подходит только для заведомо неконформного оператора F —
d2[<p2]R. Отсюда следует, что для двух других операторов с d* = 4
коэффициент с = с(д; ц, е) при данном мономе в правой части равенства
D12) должен иметь нуль при д = д+ (а исчезновение всех других вкладов
гарантировано критической масштабной инвариантностью).
Приведенные выше соображения позволяют доказывать критическую
конформность без весьма трудоемкого явного расчета парных контрчле-
контрчленов D15). Но для справки отметим, что некоторую информацию об этих
контрчленах для обсуждаемых операторов можно получить путем от-
отбора УФ-расходящихся вкладов в уравнениях типа D09) с операцией
S/6(p(y) и подходящей предэкспонентой, а также их аналогов с произ-
производной дд вместо 5/8>р (подобно выкладкам в п.11).
В заключение рассмотрим еще один пример - набор скаляров с d* =
б. В качестве независимых можно взять следующую полную систему
из семи мономов: <р6, <р3д2<р, д2<р4, д2<р ■ д2<р, д4<р2, <рд4<р, д2[<рд2<р].
Из соответствующих ренормированных мономов строится полный ба-
базис ренормированных операторов с определенными критическими раз-
размерностями. В него входят, во-первых, три потомка d2F рассмотрен-
рассмотренных ранее операторов с d* = 4, во-вторых, еще три независимых особых
оператора U ■ U, д2<р ■ U и <р ■ d2U (д<р ■ dU зависим) с размерностями
AF = Id — 2А^,, d + 2, d + 2, соответственно. Из этих шести опе-
операторов канонически конформными при е = 0 являются лишь особые
U • U и д2<р ■ U. Проверка точной конформности для них требует ана-
анализа векторных операторов с d* = 5, что мы предоставляем читателю
в качестве хорошего упражнения. Но независимо от ответа на данный
вопрос в полном базисе остается место только для одного нетривиаль-
нетривиального оператора. Он, видимо, ассоциирован су6 и порождает очередной
новый независимый индекс, поэтому должен быть конформным.
Обобщая все эти наблюдения, можно предположить, что в любом
наборе скаляров с данным d* имеется не более одного нетривиального
п. 44 Киральный фазовый переход в модели Гросса-Нэве 511
оператора. Каждый из них порождает новое семейство (если исключить
возможность случайного совпадения размерностей при любом е) и явля-
является поэтому конформным оператором, разумеется, при наличии кано-
канонической конформности в логарифмической теории. Основную массу
образуют при этом особые операторы и потомки предыдущих, боль-
большинство из которых неконформны.
п.44 Киральный фазовый переход в модели Гросса-Нэве.
I/N-симметричная модель Гросса-Нэве [139] описывает систему N экзем-
экземпляров комплексных d-мерных дираковских спинорных полей <р =
{Фа,Фа,a = 1,...,N}. Подобно (т-модели (п.26), она логарифмична
в размерности d* = 2, а ее ренормированное действие в размерности
d = 2 + 2s имеет вид
SR{<p) = Ъфдф + Ъ'дв(ффJ/2, дв = др-* , D22)
интегрирование похи нужные суммирования по "изотопическому" ин-
индексу "а" и дираковским индексам спиноров фа, фа везде подразумева-
подразумеваются. В форму d = jidi входят дираковские 7-матрицы с коммутаци-
коммутационным соотношением
Hlk+lkli = 28ik D23)
в рассматриваемом евклидовом варианте формализма.
Приведем сначала краткие справочные сведения о d-мерных спино-
спинорах ф,ф- Они описывают поле со спином 1/2. Сформулированные в
п.2.15 общие правила включения спиновых вкладов Tlks в генераторы
вращений Tks и конформных преобразований Тн (добавка Hks к Tks и
2a;sSfcs кГ1) верны и для спиноров, если понимать их в универсальных
обозначениях с единым полем <р = {ф, ф} и с должным выбором блоч-
блочной B х 2) матрицы T,ks, а именно: T,ks<p = Ин${ф,ф} = {а/,$ф, —фо-ks},
где aks = {islk — 7fc7«)/4 ~ спиновая часть генератора вращений для ф
(еще раз напомним, что в евклидовом формализме нет различия между
верхними и нижними индексами). Это значит, что при записи фор-
формул для ф и ф по отдельности роль Tlks для ф играет матрица aks,
действующая на ф слева, а для ф - матрица — (T/.s, действующая справа
(перенос матрицы слева - направо эквивалентен ее транспонированию).
Определение B.114) операции конформной инверсии г с г2 = 1 модифи-
модифицируется для спиноров домножением на матрицу п(х) для ф слева и
на — п(х) для ф справа, где п(х) = щл, л,- = ж,-/|а;|. Специальные
конформные преобразования определяются стандартным соотношением
itwr через инверсию г и обычные трансляции tw на вектор ш и выража-
выражаются формулами п.2.15 с добавочным умножением на Q1I2{1 + xQ) для
ф слева и на Q1/2^ +Qx) для ф справа.
512 Глава 4. Критическая статика
Спиноры ф и ф являются элементами некоторого комплексного ли-
линейного пространства, в котором действуют матрицы j. Размерность
этого пространства, т.е. значение trl для единичной операции на нем,
для целого четного d и следующего за ним нечетного обычно определя-
определяется правилом trl = 2dl2 для четного d (это минимальная размерность,
для которой можно построить матрицы со свойствами D23)), в частно-
частности, trl = 2,2,4 для d = 2,3,4, соответственно. Это выражение для trl
не имеет однозначного или хотя бы просто естественного продолжения
на произвольные значения d (в отличие от векторного поля, для кото-
которого всегда полагают trl = 8ц = d). Поэтому в расчетах со спинорами
с переменным d величины trl следует сохранять как целое без явной
расшифровки через d.
И последнее: согласно общим принципам квантовой теории, поля
с полуцелым спином соответствуют частицам со статистикой Ферми.
Поэтому на классическом уровне, в частности, в функционале действия
и других функциональных конструкциях величины ф,ф и сопряженные
к ним источники А, А следует считать не обычными функциями, а грас-
смановыми переменными. Это значит, что все множители ф,ф,А,А ан-
Тикоммутируют как между собой, так и с символами 8/5ф, 8/8ф, S/8A,
5/8А. Это вынуждает различать левые (8 /8...) и правые (8 /8...)
производные: первые, по определению, действуют на выражение слева,
вторые - справа по обычным правилам дифференцирования с допол-
дополнительным учетом антикоммутативности. В диаграммах Фейнмана
фермионность полей приводит к единственной модификации - появле-
появлению добавочного множителя —1 от каждой замкнутой петли фермион-
ных линий. Общие правила функционального интегрирования остаются
в силе и для грассмановых переменных с небольшими видоизменени-
видоизменениями из-за антикоммутативности полей. В частности, основная формула
гауссового интегрирования для грассмановых переменных ф,ф,А,А, а
именно,
$ОфОф ехр [-фЬф + Аф + фА] = const ■ det L ■ exp \AL~lA] D24)
отличается от аналогичного выражения в п.2.1 лишь заменой L —> L~l
под знаком det (отсюда и происходит правило "—1 на замкнутую ферми-
онную петлю"). На грассмановы поля обобщаются и все прочие общие
формулы гл-2, нужно только теперь следить за порядком написания ан-
тикоммутирующих множителей и выбором типа (левые - правые) про-
производных.
Вернемся к модели D22). Соответствующее неренормированное (S)
и базовое (SB) действие воспроизводятся по SK очевидным образом.
п. 44 Киральный фазовый переход в модели Гросса,-Нэве 513
Функции Грина определяются обычными формулами п. 1.13, но теперь с
грассмановыми полями и источниками. Такая постановка задачи, при-
принятая в большинстве работ по данной модели, соответствует некото-
некоторой абстрактной классической статфизике с грассмановыми перемен-
переменными. Заряд g в D22) имеет тогда смысл температуры (в классической
статфизике исходно S = — энергия /кТ, параметр кТ устраняется за-
затем из свободной части растяжением полей и тогда появляется в виде
множителя при взаимодействии). Поскольку классических грассмано-
вых систем в природе не существует, реалистическим прообразом рас-
рассматриваемой задачи следует считать аналогичную квантовую систему
безмассовых фермионов с нулевой энергией Ферми и локальным парным
взаимодействием. В квантовой задаче следовало бы работать с темпера-
температурными (мацубаровскими) функциями Грина, у которых другие пред-
представления функциональными интегралами (см., например, [53]); тем-
температура в них входит иначе, а сила взаимодействия характеризуется
вторым независимым параметром д.
В такой системе возможны фазовые переходы разных типов. В даль-
дальнейшем мы будем интересоваться так называемым киральным перехо-
переходом второго рода, выражающимся в спонтанном появлении аномального
скалярного среднего < ф(х)ф(х) >, т.е. массы фермиона, поскольку
безмассовость гарантирует равенство < ф(х)ф(х) >= 0 (обычно в этом
случае говорят о спонтанном нарушении дискретной 75"симметрии, но
для d-мерной задачи такая терминология не очень подходит ввиду от-
отсутствия естественного определения матрицы 75 в произвольной раз-
размерности). Для фермионов возможен также переход в сверхпроводя-
сверхпроводящую фазу, выражающийся в спонтанном появлении запрещенных гло-
глобальной калибровочной симметрией аномальных корреляторов < фф >
и < ф ф >. Поэтому детальный анализ такой квантовой системы -
отдельная сложная задача, которой мы не будем заниматься, ограничи-
ограничиваясь в дальнейшем лишь изучением кирального фазового перехода в
рамках классической модели D22) и отождествляя заряд g > 0 в D22)
с температурой.
Из-за билинейности по полям аномального среднего < фф > сам
факт наличия такого перехода не просматривается на уровне беспетле-
беспетлевого приближения, т.е. непосредственно по виду действия D22) (в кван-
квантовой теории поля такую ситуацию часто называют "динамическим на-
нарушением симметрии"). Проще всего обнаружить его в ведущем по-
порядке 1/п-разложения (везде п = iVtrl),.которое строится по стандарт-
стандартной схеме (п.2.19) введением вспомогательного скалярного поля а(х) и
переходом к теории трех полей <р = ф,ф,а с неренормированным дей-
514 Глава 4. Критическая статика
ствием
S(<p) = фдф-<т2/2до + фф(т D25)
и обычным условием до ~ 1/п в 1/л-разложении. Интегрирование по a
возвращает к исходной (неренормированной) модели D22), а интегриро-
интегрирование по ф, ф по правилу D24) приводит к интегралу по а с показателем
S(a) = Ntr\n(d + ст) — <т2/2<7о- При д0 ~ 1/п оба вклада имеют поря-
порядок п, поэтому вычисление интеграла по а методом стационарной фазы
(п.2.19) автоматически дает искомое 1/п-разложение.
Легко проверить, что при всех отрицательных и малых положитель-
положительных значениях затравочной температуры до уравнение для пространст-
пространственно-однородной точки стационарности а0 (=< а > в ведущем порядке
по 1/п) имеет лишь тривиальное решение <т0 = 0. С ростом до при не-
некотором критическом значении дос нормальное решение теряет устой-
устойчивость (что проявляется в нарушении положительной определенности
коррелятора < F(x)F(y) > для составного оператора F(x) = ф(х)ф(х)),
но тогда появляется вырожденное по знаку устойчивое нетривиальное
решение <то = iconst ф 0. Из D25) видно, что после сдвига а —> а + ао
в точку стационарности пропагатором фермионного поля в таком при-
приближении оказывается величина < фф >= —[5 + гПэф] с эффективной
массой тЭф = со =< сг >, являющейся аналогом спонтанной намагни-
намагниченности в (т-модели.
Стандартный РГ-анализ (подробнее в следующих разделах) показы-
показывает, что в окрестности точки перехода имеется обычный критический
скейлинг с определенными критическими размерностями ДР = A[F]
различных величин F. Основной интерес представляют размерности
поля ф (если не указано противное, размерности ф и ф всегда считаются
одинаковыми) и ренормированных параметров - "температуры" т =
д—дс и массы фермиона, традиционные обозначения Ат = 1/v, 27^, = i)-
Для массы следует различать "первичную массу" m - параметр, вво-
вводимый в исходное действие D22) или D25) заменой д —> д + m (в ренор-
мированной версии д —> д + гпо с mo = mZm), и полную "эффективную"
массу тпЭф, формирующуюся (в том числе и спонтанно) в фермионном
пропагаторе. В окрестности критической точки т = 0, m = 0 вели-
величина тЭф является функцией m и т. В критической области все эти
параметры малы и имеют определенные размерности, при этом размер-
размерности m и тЭф не совпадают и всегда связаны теневым соотношением
Д[т] + Д[тЭф] = d (пояснения ниже).
Все критические размерности можно вычислять в форме 2 + £-разло-
жений по ГН-модели D22), 1/л-разложений - по модели D25) и 4 — е-
п. 44 Киральный фазовый переход в модели Гросса-Нэве 515
разложений - по предложенному в работе [140] "партнеру" ГН-модели с
тем же самым ИК-поведением, получаемому добавкой к действию D25)
ИК-несущественных в l/n-разложении (см. ниже) вкладов ~ (daJ и
<т4. Этот партнер и ГН-модель находятся точно в таком же соотноше-
соотношении, как Оп-<р4- и (т-модели или аналогичные пары "СРп~1-модель -
скалярная электродинамика", "матричная <т-модель - скалярная хромо-
динамика" (п.2.28).
ГН-модель по своим свойствам является точным аналогом нелиней-
нелинейной (т-модели: у нее тот же смысл параметра g (температура), такое
же поведение /3-функции с фиксированной точкой gt = gc УФ-типа (ре-
нормированная критическая температура), выход в критический режим
здесь также обеспечивается внешним условием g —»• gc = gt, а не пере-
переходом к асимптотике малых импульсов при фиксированном g ф дс, как
в "нормальных" моделях типа <р4 (п.28). В рамках этой модели вычи-
вычисляются 2 + £-разложения различных критических индексов с помощью
следующих соотношений:
D26)
с обычным обозначением 7f = If id*) Для любых величин F. Выраже-
Выражение D26) для Дг обосновывается так же, как аналогичное соотноше-
соотношение B48). Для тЭф ведущий сингулярный вклад в безмассовой модели
D22) определяется величиной < ip(x)ip(x) >, оператор фф в этой модели
ренормируется мультипликативно и поэтому имеет определенную раз-
размерность А[фф]. Она находится в теневом соотношении к размерности
"первичной массы" m в массивном обобщении модели D22), поэтому
величину Aj^^j можно вычислять и через аномальную размерность 7т
по соответствующей константе ренормировки Zm (конкретный расчет
в следующем разделе).
1/п-разложения тех же самых критических размерностей можно вы-
вычислять по модели D25) или, что удобнее, по ее максимально упрощен-
упрощенной полностью безмассовой версии (аналог модели B.205), подробно об-
обсуждавшейся в п.31):
dm = l, Аф = ; ;
Ат = dm + j*m = d-A[H>] , А[тэф] = А[фф] ,
S{<p) = фдф + ффа- ^crLa+^aLa, L = ф . D27)
516 Глада. 4. Критическая статика
Описанная в п.31 процедура регуляризации типа размерной и доказа-
доказательство ренормируемости в l/n-разложении для произвольной размер-
размерности d обобщаются на модель D27) непосредственно. Размерности раз-
различных величин в l/n-разложении определяются следующими соотно-
соотношениями:
D28)
Поясним эти формулы. Каноническая размерность da = 1 в 1/п-разложе-
нии определяется из требования безразмерности взаимодействия ффа.
Квадратичный по а вклад в D25) является сейчас ИК-существенным и
аналогичен линейному по вспомогательному полю вкладу в B.199). При
вычислениях с регуляризацией типа размерной значение этого вклада
в самой критической точке дос можно отбросить (подобно вкладу Ь,сф
в B.201)), оставив лишь кратную та2 поправку. Это и приводит к
выражению D28) для Дт, являющемуся аналогом соотношения B.203).
Ведущий сингулярный вклад в тЭф дает в данной модели величина
< а >, откуда и следует выражение D28) для Д[тЭф]. Формулу для
Дт можно пояснить следующим образом: добавку первичной массы m
при замене Ь —> Ь + m в D25) можно устранить сдвигом а —»• а — тп,
превращающим массовую вставку гпфф в линейный по а вклад ha с
h = тп/до = т/две- Остается добавить, что размерности параметра
h ~ m и поля а находятся в теневом соотношении. Второе равенство
для Дт в D28) доказывается точно так же, как и его аналог в C57), с
помощью уравнения Швингера C.187) с 8/8а для ренормированной мо-
модели D27) (получим [фф]п = —Аа, размерность источника Аа - теневая
к Д<г). Во избежание недоразумений отметим, что различие выражений
для Дт в D26) и D28) не является противоречием, поскольку один и
тот же оператор F = фф в 1/п- и 2+£-схемах имеет разные критические
размерности (см .обсуждение аналогичной проблемы для оператора ф2 в
формулах C57)).
4—г-разложения критических размерностей строятся по модели [140],
неренормированное действие которой с регуляризацией типа размерной
(позволяющей отбрасывать вклад а2 непосредственно в самой критиче-
критической точке) может быть записано в виде
S(<p) = ф[§+ 90(т]ф - {д(тJ/2 - тоа2/2 - \0а4/24 . D29)
При оценке по каноническим размерностям D28) вклады (даJ и а4 в
D29) ИК-несущественны и могут быть отброшены, что возвращает с
п.45 Двухпетлевой расчет РГ-функций ГН-модели 517
точностью до обозначений к действию D25) и тем самым доказывает
(п.2.27) в рамках 1/п-разложения тождественность критического пове-
поведения для моделей D22) и D29). В обычной теории возмущений по за-
зарядам д, А величина da в модели D29) определяется вкладом {daJ, т.е.
da — d/2—l. При такой оценке размерностей оба взаимодействия в D29)
логарифмичны при d* = 4, модель мультипликативно-ренормируема
при d = 4—2г. Однопетлевой расчет [140] показывает, что ее /9-функции
имеют ИК-притягивающую фиксированную точку {<7*, А,} ~ е. Это по-
позволяет вычислять 4 — £-разложения критических размерностей основ-
основных величин F = ф, <т, т по обычным формулам:
АР = dp+ 7?, AФ = (d-l)/2, da = (d-2)/2, dT = 2 D30)
через соответствующие РГ-функции 7f-
В заключение приведем результаты двухпетлевого расчета [141] раз-
размерностей D26) для d = 2 + 2s (пояснения в следующем разделе):
D31)
Ym = 2(п -1)[е/(п- 2) + £2/(п-
Дт = 1/v = 2s- 4s2/(n - 2) + ...
и однопетлевого расчета [140] размерностей D30) в ренормированной
модели D29) для d = 4 — 2s:
\ D32)
7* = 2-[5 6 B 132 + 36I/2]/3( 6) J
многоточие везде обозначает поправки следующего порядка по е. Мы
добавили в D31) ответ для величины 7т (см.п-45), которая в работе
[141] не вычислялась, и выразили все величины через универсальный па-
параметр n = Ntxl (в ответах [141] подставлено конкретное значение trl =
2, а в [140] - trl = 4, что усложняет сравнение с 1/л-разложениями).
Данные о l/n-разложениях индексов будут приведены в п.48.
п.45 Двухпетлевой расчет РГ-функций ГН-модели в раз-
мерности 2 + 2s. Расчет стандартный, поэтому мы опишем его лишь
кратко, но для общности рассмотрим массивный аналог модели D22) в
размерности d = 2 + 2s с учетом вакуумных петель:
SK{<p) = Ъ0т2ц2с+ф{Ъхд+Ъ2т}ф+Ъгдв($фJ/2 , дв = д^2* . D33)
518 Глава 4. Критическая статика
При всех вкладах подразумевается символ f dx ..., поэтому множитель
V = / dx при вакуумном контрчлене с Zo опущен. Все константы
Ъ— Ъ(д\е) безразмерны и в схеме MS (которой мы всегда пользуемся)
представляются рядами типа A.104) без вклада единицы для Zo. Мо-
Модель D33) мультипликативно-ренормируема (пояснения ниже) по об-
общему правилу A.84) с константами Ъф — Z— для полей (р = ф,ф и то =
mZm, 9o = 9в7д для параметров, причем Zi = Z^, Z2 = ZmZ^,, Z3 =
ЪдЪф. При вычислениях технически удобнее работать с диаграммами
модели типа D25) с тремя полями <р = ф,ф,а, взяв в качестве ее базо-
базового действия функционал
SB(tp) = ф[д-\-гп]ф — a /2-\-\вфф(т , Ав ее gB — A/f~e D34)
(А^ = <7В, А2 = д). Добавив сюда все нужные контрчлены, получим:
2/2 Л
с безразмерными константами 7ц = Z,(A,e), в Z0|5,6 нет вклада еди-
единицы. Два последних слагаемых в D35) нарушают мультипликатив-
мультипликативность ренормировки этой модели. В чисто фермионном секторе (т.е.
после интегрирования поев интеграле с весом exp S^y) и только фер-
мионными источниками) модель D35) переходит в мультипликативно-
ренормируемую модель D33) с константами
Z2 = Z2 + AZ3
D36)
l2 1 l2 [
Z3 = Z5 + Z3 Z4 , Zo = Zo + -Z3 Z6 . j
Эти формулы позволяют вычислять искомые константы Z модели D33)
по контрчленам ПР-графов базовой теории D34). Как обычно, техни-
технически проще всего выполнять расчеты в безмассовой модели, но для
этого нужно сначала избавиться от связанных с массой констант Zo,2,6-
Это можно сделать обычным способом (п.3.19), выразив их через произ-
производные по массе подходящих 1-неприводимых функций Грина Г модели
D34) с последующим переходом к m = 0. Но в данном случае есть бо-
более простой путь: константы Zo,2,6 модели D35) можно выразить чисто
алгебраически через прочие Z, воспользовавшись соотношением типа
п.45 Двухпетлевой расчет РГ-функций ГН-модели 519
C.194) с производной по и и соотношением C.199) с производной по
параметру е = т. В данном случае In CR = —tr lnE + m)+ const и
УФ-расх.чЛпСн = Vnm2fi2s/8же с множителями V = f dx и п = iVtrl,
последний - от суммирования по изотопическим и спинорным индексам.
В итоге получим следующие два соотношения:
ЪА\вфф-%а+ Ъет^ = [\вфф-<г]н = Хв[фф]к-а, D37)
, D38)
содержащие информацию о ренормировке системы смешивающихся опе-
операторов 1 = Fi,a = Р2,фф = F3 в модели D35). При записи второго
равенства D37) учтено соотношение [<p]r — f Vy> (п.3.24), а при выводе
соотношения D38) из C.199) учитывается отсутствие в рассматривае-
рассматриваемой системе операторов типа dF с внешней производной, - это позво-
позволяет в данном случае убрать знак интегрирования по х в равенстве
C.199) (см. аналогичный вывод соотношений C.200) в п.3.30). При-
Приравняв получаемые из D37) и D38) выражения для [фф]п и сравнив в
них коэффициенты при трех независимых операторах -Fi,2,3, получим
следующие равенства:
го + п/8тг£ = A-Z3)/2A2, Z2 = Z4 , Z6 = A-Z3)/A, D39)
выражающие три "нежелательные" константы Zo,2,6 через прочие кон-
константы Z, которые можно вычислять уже непосредственно в рамках
безмассовой модели D34), что и требовалось. Здесь уместно отметить,
что немультипликативность ренормировки модели не лишает смысла
формулы типа C.176) для системы составных операторов, но не позво-
позволяет перейти от матрицы смешивания Q к матрицам Ъа — Z и затем
к 7f = ~la по формулам C.181) и C1) ввиду неопределенности величин
Zv в рассматриваемой ситуации.
Контрчлены в D35) выражаются общим правилом C.37) через со-
содержащие ПР-графы 1-неприводимые функции Грина Г базовой теории
D34). В частном случае безмассовой модели имеем:
) = SB(<p) - LTB(<p) = SB(<p) - 1\Щфф+
1 1— Г
2 °?сс° + Щ^М + ^ ЩфффЩ .
где L - контрчленная операция (п.3.8), Г - соответствующие 1-неприво-
1-неприводимые (по всем полям <р = ф,ф,а) функции Грина безмассовой базовой
модели D34). Определив безразмерные "нормированные функции" Г
соотношениями
520
Глава. 4. Критическая статика
ТФФ~ д' Тфф
V — 9 Л2 Г
фффф в*- ф ф
р_ — \ Г— V 9 Л Г
■ффа в ффа ' фффф в*- ф
из сопоставления выражений D35) и D40) получаем следующие равен-
равенства:
f , Z4 = 1-Zf^, Z5 = -ЬГ^фф, D42)
выражающие искомые константы Z через контрчлены нормированных
графов безмассовой теории D34).
Для двухпетлевого расчета нужны следующие диаграммы:
Гфф = «Р +
— п
р о
-фффф — *
D43а)
D436)
D43в)
+ еще 5 +
... 1. D43г)
Мы привели и затравочные вклады в импульсном представлении (р —>•
гр), к которому нужно переходить на последнем этапе расчета контр-
контрчленов, а все предыдущие шаги удобно выполнять, как обычно, в коор-
координатном представлении.
В графиках D43) ^-линиям соответствуют пропагаторы < фф >=
—д~1, (т-линии 8(х — х') порождают "стягивания" диаграмм, в каждой
вершине подразумевается множитель Лв = \p.~s, все симмметрийные
коэффициенты и множители —п = —iVtrl (минус - из-за фермионно-
сти полей) от суммирования по индексам в ^-циклах выделены явно. В
D43а) отсутствует однопетлевой граф, поскольку стягивание ст-линией
концов безмассовой ^-линии порождает равный нулю безмассовый под-
подграф типа C.116). По той же причине отсутствуют диаграммы со
вставками таких подграфов во внутренние V-линии. Под "они же со
вставками" в D43г) подразумеваются две первые диаграммы со всевоз-
всевозможными вставками однопетлевых подграфов D43б,443в), а последний
п.45 Двухпетлевойрасчет РГ-функций ГН-мсццели
521
граф D43г) + "еще пять" - сумма по 3! = б перестановкам точек при-
присоединения концов трех (т-линий к нижней ф-линии (тогда на верхней
^-линии аналогичная симметризация возникает автоматически). От-
Отметим, что диаграммами типа D43) можно пользоваться и в модели
D33), изображая ее взаимодействие и-линией по аналогии с предста-
представлением B.148). Но при этом следует иметь в виду, что понятия 1-
неприводимости в моделях D33) и D34) различны, поскольку по та-
таким искусственным "линиям взаимодействия" неприводимость не тре-
требуется, в отличие от <т- линий модели D34). Поэтому функция Г-г-т-^.
модели D33) содержала бы и 1-приводимые по а-линиям диаграммы,
которых нет в D43г).
Результаты расчета приведем, как обычно, в виде таблицы.
Табл.28. Вклады диаграмм в константы ренормировки Z безмассовой
модели D35), и = g/Ьж, д = Л2, л = Ntrl, d=2 + 2e.
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
граф 7
-о-
Л
^^
■о-
Л+Л
А
У ?' | + еще 5
контрчлен
и/в
и/е
-и2/2е
~и2/2е
-и>/е2
-и2/2е2
-и2/2е2
-и2/2е2
-и2/г
коэфф
z,
0
0
1
—п
0
0
0
0
0
ициент
z3
—тг
0
0
0
—тг
0
0
0
0
в конст
Z4
0
-1
0
0
0
-1
п
-2
0
антах
%
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
Поясняя данные таблицы, прежде всего следует сказать, что запись
522 Глава. 4. Критическая статика
четырехфермионных контрчленов в виде (ффJ во всех формулах осно-
основана на предположении, что диаграммы D43г) имеют именно такие
расходимости, т.е. LY-z—фф ~ 1 ® 1 по индексной структуре (сомножи-
(сомножители в А® В соответствуют двум сплошным ^-линиям графиков D43г) и
контрчленам вида фАф-фВф). Из анализа размерностей это не следует,
так как ввиду безразмерности 7-матриц по размерности допустимы и
контрчлены со структурой л ® 7», 7«7fc ® Hlk и т.п..Такие добавочные
структуры в контрчленах отдельных графиков действительно возни-
возникают: например, для каждой из двух однопетлевых диаграмм D43г)
расходимости имеют структуру 7» ® 7«> поскольку в этих графиках на
каждой из двух сплошных линий имеется лишь по одному множителю
7- Но эти "нестандартные" расходимости двух однопетлевых графи-
графиков D43г) взаимно сокращаются, то же будет и для данных "диаграмм
со вставками", поскольку совокупность всех вставок не нарушает той
симметрии (суммирование по перестановкам концов сг-линий), на кото-
которой основаны сокращения. В двухпетлевых графиках (No.9 в таблице)
на каждой из сплошных ф-линий находится по две 7-матрицы, поэтому
отдельные диаграммы могут иметь расходимости со структурой 1 ® 1
или л!к®1Пк- При суммировании по всем 3! = б перестановкам концов
сг-линий расходимости второго типа взаимно сокращаются и остаются
лишь нужные контрчлены со структурой 1 <g> 1. Утверждение о муль-
мультипликативной ренормируемости модели D33) основано на предполо-
предположении, что такой же механизм взаимных сокращений "ненужных рас-
ходимостей" будет действовать и в высших порядках (хотя, насколько
нам известно, для произвольной размерности d = 2 + 2е в общем виде
это не было строго доказано). Сказанное выше объясняет отсутствие
в таблице 28 однопетлевых диаграмм D43г), а также группировку гра-
графиков в No.Q, 9 (без группировки в отдельных диаграммах No.Q были
бы четырехфермионные под расходимости, а в сумме двух графиков их
нет).
В остальном расчет производится по уже неоднократно излагавшейся
стандартной схеме в координатном представлении с переходом к им-
импульсному на последнем этапе. Безмассовый фермионный пропагатор
< фф >= —д~1 = —д ■ д~2 в координатном представлении получается
действием операции д = 7.5,- на скалярную линию C.121), что дает
<фф > = а-7.
п.45 Двухпетлевой расчет РГ-функций ГН-модели 523
в графических обозначениях C20) и с параметрами a,a из C.121). В
произвольной размерности d след произведения нечетного числа 7-мат-
риц считается равным нулю, а для четного числа однозначно определя-
определяется условием циклической инвариантности и соотношением D23), что
дает
tr[7i72] = trl-*i2 , 1 „_
> D45)
trfrl727374] = trl -[^12^34+^14^23-^13^24] J
и так далее с 1 = h, и т.п.. Дополнительные полезные справочные
формулы с фермионными линиями будут приведены позднее в п.48, для
расчета контрчленов всех диаграмм табл.28 сказанного выше доста-
достаточно. Все они вычисляются элементарно с простой протечкой одного
импульса (п.3.21), т.е. редуцируются к простым линиям. Для диаграмм
IV, D43а) эта линия спинорная, выделение из нее множителя —д при
переходе к нормированному графику (см.D41)) также удобно выполнять
в координатном представлении (п.36), тогда переход к импульсному на
последнем шаге делается уже для простой скалярной линии по правилу
C.125). С учетом группировки в No.Q расходящимися подграфами в
наших диаграммах являются лишь графики No. 1,2, соответствующие
подрасходимости устраняются стандартной операцией R' в L = KR'
(п.3.21).
Умножая контрчлены отдельных диаграмм на коэффициенты из со-
соответствующего столбца табл.28 и складывая полученные величины,
находим нужные константы Z безмассовой модели D35) в двухпетлевом
приближении (ы = g/^ж, д = Л2, d — 2 + 2s):
Zi = 1 + u2(n - l)/2e + ...; Z3 = 1 - un/s + v?n/e2 + ...;
Z4 = 1 - u/s + u2C - n)/2s2 + ...; Z5 = u2/s + ... .
Через них по формулам D36) и D39) находим константы Z исходной
ГН-модели D33):
D47)
Zo = un{n- 1)/8тг£2 + ... ; Zi = 1 +u2{n -
Z2 = l + u(n-l)/£ + u2(n-l)Bn-3)/2£2 + ... ;
Z3 = l+U(n-2)/£ + U2/£ + U2(n-2J/£2 + ... .
Выбирая в качестве удобной зарядовой переменной ы = д/4ж, из со-
соотношений D47) по стандартной схеме (п.2) находим РГ-функции J^,m,g
524 -Глава 4. Критическая статика,
и 0 = 0и = Т>ци = leu — wyg (для полноты мы приведем их с добавкой
вычисленных в работах [142] - [144] трехпетлевых вкладов):
D48)
u) = u2{n-l)-u3{n-l){n-2) + ... ;
7m(«) = Щп - 1) - 2u2(n - 1) - 2н3(п - 1)Bп - 3) + ... ;
0{u) = u[2e-jg{u)] = 2eu-2u2(n-2) + 4u3{n-2) +
+ 2u4{n-2){n-7) + ...,
а также "вакуумную РГ-функцию" jo(u), определенную аналогичным
A8) соотношением
2>„ [А5вак+ УФ-р.чЛпСа] = VmVe7o(«) D49)
с Д5вак = VZom2fj,2t и УФ-р.ч. lnCR = Vnm2fj,2€/Ые в данном случае:
7о (u) = m-
} D50)
= [2с - 27m + 0du}{Zo + п/8тг£) = п/4тг + 0 + О (и2) . J
Из соотношений D48) легко получаются приведенные в D31) значе-
значения критических показателей в УФ-устойчивой (как в ст-модели) фикси-
фиксированной точке и. = е/(п - 2) + 2е2/{п - 2J + £3(п + 1)/(п - 2K + ...
/9-функции D48).
п.46 Мультипликативно-ренормируемая двухзарядная ГН-
модель с G-полем. Ввиду немультипликативности ренормировки поле
а в модели D35) не имеет определенной критической размерности, в от-
отличие от поля ф, наличие размерности у которого гарантировано воз-
возможностью перехода к мультипликативно-реномируемой модели D33).
Это не позволяет отождествлять поля и в моделях D27) и D35), что за-
затрудняет сравнение 2 + е- и l/n-разложений; кроме того, мы не можем
воспользоваться моделью D35) как базой при анализе критической кон-
конформной инвариантности функций Грина всех полей <р — ф,ф,<т (п.41).
Мультипликативность ренормировки нарушается двумя последними
контрчленами в действии D35), поэтому ее можно восстановить введе-
введением в базовый функционал D34) вкладов однородного внешнего поля
ha и (ффJ как второго независимого взаимодействия. Такой двухзаряд-
ной теории в размерности d — 2 +2s соответствуют следующие функци-
функционалы неренормированного (S), базового (SB) и ренормированного (SR)
п. 46 Двухзарядная ГН-мщель с а-полем 525
действия:
= ф[д + то]ф - а212 + \оффа + д20{ффJ/2 + hoa, D51)
'2 + ha, D52)
SR{<p) = Z0m2fi2s + ЩЛ+ 22Ш]ф - Z3a2/2 + }
— — — — — Г
+ ЪА\вффа + Ъ5д2в{ффJ/2 + Ъ6ц€та + ha )
1 /2
с независимыми затравочными параметрами mo,ho,\o = д10 ,д2о и их
базовыми и ренормированными аналогами (Лв = \ц~€,<jr,-B = gifi~2s)-
Все константы Z в D53) - некоторые функции двух безразмерных ре-
нормированных зарядов д = {д\ = Л2, <72}, вклад ha не ренормируется
согласно общему правилу (см. п.3.13 и анализ у>3-модели в п.24). Ясно,
что ренормированое действие D53) связано с неренормированным D51)
стандартным соотношением мультипликативной реномировки A.84) с
константами Zv = {Ъф = Ъ-^,Ъа} для полей и mo = mZm, Ло = AbZa,
2 \
gto = giaZgiJ^gx = za)> ^o = Zff [h + Ъ6т^] для параметров, и эти
константы Z для полей и параметров однозначно выражаются через
константы Z в D53).
С другой стороны, нетрудно показать, что все константы Z,- можно
выразить через четыре константы Z массивной ГН-модели D33). Дей-
Действительно, если ограничиться только фермионным сектором, выпол-
выполнив интегрирование по а в базовой теории D52), придем к "эффективной
ГН-модели" D33) с параметрами
т = m + h\B , д = gi + g2 D54)
и с добавкой к ее действию константы Vh2/2 + \п[Св./Сн], последний
вклад- из-за различия нормировочных множителей CR ~ detE+m)~1 в
функционалах типа B.30) для сравниваемых моделей. УФ-расходимости
этой "эффективной ГН-модели" устраняются контрчленами D33)
с параметрами D54) и добавкой известной (п.45) константы
-УФ-р.чЛг^Сд/Сд] = Vnfi2t{m2 — т2)/8же к вакуумному контрчлену
в D33) для устранения расходимостей добавляемой аддитивной кон-
константы. Ввиду УФ-конечности при одинаковой схеме вычитаний (MS)
совокупность контрчленов этой "эффективной ГН-модели" должна со-
совпадать с контрчленами исходной модели D53) с исключенным (инте-
526 -Глава 4. Критическая статика
грированием) полем а. Отсюда следует:
Zq/П U, + ^>[ZiC7 + £i2Tfl
= ^2 + ~г(-2--2)+ ) D55)
1,
2'
Ъ2тп]ф + -Ъ3дв(ффJ
(как и в D33), множитель V = f dx при вакуумных вкладах опущен).
Приравнивая коэффициенты при независимых структурах в обеих
частях равенства D55), после несложных преобразований получим сле-
следующие семь уравнений:
Zi = Zi, Z3 = 1 + 20i (Zo + п/&же), Z2 = Z4 = Z2Z3,
' D56)
AZ6 = 1 - Z3 = 20i (Zo + п/8тг£), 0iZg XZ^ + 02Z5 = 0Z3
@1 = А2), позволяющих выразить все семь констант Z = Z@i, 02) через
четыре константы Z = Z@) модели D33) с д = д\ + д2. Отметим, что
для модели D53) остаются в силе уравнения D37), D38) и их следствия
D39) с простой заменой Z, —> Zi, но три связи типа D39) будут теперь
автоматическими следствиями равенств D56).
Из них с помощью формул типа E) нетрудно найти связь между
РГ-функциями моделей D53) и D33). Опуская несложные выкладки,
приведем лишь получаемые таким путем выражения для аномальных
размерностей полей 7V = 2^ In Zv и /9-функций /?,■ = V^gi двух за-
зарядов модели D53) через РГ-функции модели D33): т^ = 1ф> la =
-0170, 0i = 201 [е - 7m + 0i7o], 0i + 02 = 0д- Удобно сделать замену
переменных {01,02} —> {giyu}, взяв вместо 02 в качестве второй неза-
независимой переменной заряд и = д/4ж = (дх + д2)/Аж "эффективной ГН-
модели", являющийся аргументом ее РГ-функций D48). В терминах
новых переменных u,0i приведенные выше соотношения в подробной
записи примут следующий вид:
D57)
)] D58)
с известными РГ-функциями D48),D50). В рамках £-разложения j3-
функции D58) имеют нетривиальную фиксированную точку и = и„, 0i =
п.46 Двухзарядная ГН-мщель с а-полем 527
i« с прежним (п.45) значением и* = £г,/47г и
= 7^Ь£ = 4reCn2)
7о("«) п(п-2)
При п > 2 эта точка находится в физической области д\ £Е Л2 > 0 (что
важно при сравнении с l/n-разложениями) и является ИК-притягиваю-
щей по переменной дх (поскольку 7о("») > 0), тогда как по переменной
и мы имеем обычную для ГН-модели фиксированную точку УФ-типа.
Поэтому выход в критический режим обеспечен лишь тогда, когда ГН-
заряд и - параметр типа температуры и асимптотика и —> ы, зада-
задается внешними условиями ("постановкой эксперимента"). В отличие
от и, второй заряд gi может быть произвольным, а соответствующий
инвариантный заряд будет стремиться к <7i, в ИК-асимптотике по им-
импульсам и массовым параметрам т, h (п.1.34). Таким образом, кри-
критическая масштабная инвариантность функций Грина всех трех полей
tp = -0, -0, <т будет иметь место в безмассовой (т = 0, h = 0) модели D53)
в асимптотике и —> ы, по ГН-заряду и = (gi + <72)/4яг и р —> 0 по всем
импульсам при любом значении второго заряда д\ = Л2, или же при
любых значениях импульсов непосредственно в фиксированной точке
и = и*, <7i = git по двум зарядам. Соответствующие критические ано-
аномальные размерности полей 7^ суть значения известных РГ-функций
D57) в фиксированной точке. Для ^-поля отсюда получается обычная
размерность ГН-модели, а для (отсутствующего в ГН-модели) ст-поля с
учетом его канонической размерности da = d/2 = 1 + е в функционале
D53) из соотношений D57) и D58) находим:
Аа = da + % = 1 + 2г-7^ = d-Am. D60)
Таким образом, величина Aa в модели D53) является теневой к раз-
размерности массы Дт в модели D33) и поэтому совпадает с критической
размерностью AfV'V'] составного оператора [фф\н в ГН-модели. Соотно-
Соотношение D60) позволяет вычислять 2 + £-разложение той же самой вели-
величины Д^, 1/n-разложение которой вычисляется на основе модели D27)
в произвольной размерности d, а 4 — е—разложение - в модели D29). Все
эти разложения, естественно, оказываются взаимно согласованными.
В заключении отметим, что критическому режиму для чисто фер-
мионных функций Грина модели D53) соответствует не одна точка
(как для набора всех функций Грина), а целая плоскость в четырех-
четырехмерном пространстве ее параметров, определенная условиями критич-
критичности т = 0, д = д* Для параметров D54) "эффективной ГН-модели".
528 Глава 4. Критическая статика
Добавим также, что хотя нас сейчас интересуют только безмассовые
критические режимы, переход к массивным аналогам необходим для
получения искомых связей D56) между константами ренормировки рас-
рассматриваемых моделей.
п.47 Доказательство критической конформной инвариант-
инвариантности. В этом разделе мы покажем, что в критическом режиме функ-
функции Грина полей как чисто фермионной модели D22), так и модели
D53) с полем с являются конформно-инвариантными с обычными (т.е.
совпадающими с масштабными и одинаковыми для ф и ф) критиче-
критическими конформными размерностями полей [145]. Напомним, что под
"критическим режимом" сейчас понимается безмассовая модель, рас-
рассматриваемая непосредственно в фиксированной точке д = д* по заря-
зарядам независимо от типа этой точки.
Рассмотрим сначала модель D22). Она удовлетворяет всем пере-
перечисленным в п.41 требованиям (мультипликативная ренормируемость,
наличие фиксированной точки д* и критического скейлинга с опреде-
определенными размерностями полей, каноническая конформная инвариант-
инвариантность свободной части действия и отсутствие производных во взаимо-
взаимодействии) , поэтому для нее справедливы все общие соотношения и вы-
выводы п.41, в том числе и основное соотношение D00). Антикоммута-
Антикоммутативность переменных требует лишь аккуратной расшифровки формул.
В частности, выражение d^ldV/dipjip в D01) следует понимать теперь
как d-^r ■ ф[д\?/дф] + d^ ■ [дУ/дф]ф, что для взаимодействия V из D22)
в обычном предположении равенства размерностей d^ — <% = (d — l)/2
дает:
N = {Ыф - d)V = [d - 2)V , V = Ъ'9в{ффJ/2 . D61)
Здесь уместно отметить, что по формальным правилам п. 1.15 для
действия D22) с независимыми полями ф тз.ф можно найти лишь сумму
их канонических размерностей, а не каждую по отдельности. Так же бу-
будет и с аномалиями при ренормировке, поскольку по диаграммам всегда
вычисляется только произведение Ъф -7гг. Но в реальных задачах поля ф
и ф не независимы, а связаны некоторой операцией сопряжения, поэтому
естественно требовать равенства их размерностей. Отметим также,
что квадратичная часть действия D22) конформно-инвариантна лишь
относительно преобразований с одинаковыми размерностями йф = d^r.
Рассмотрим теперь представление D03) для оператора D61). В дан-
данном случае в правую часть равенства D03) могут входить все незави-
независимые £/м-симметричные скаляры с d* = 2. Базис этого набора состоит
(в предположении внутренней замкнутости ГН-модели, см.п.45) из трех
п.47 Критическая конформная инвариантность ГН-модели 529
ренормированных мономов [фдф]н, д[ф~/ф]н и [(ФФJ]я, двум полям ф, ф
соответствуют два независимых оператора типа C97), а именно,
Ф I SSJS^\ = Ъфдф+двЪ'{ффJ = [фдф]я+дв[{ффJ]п ,
D62)
ф = -Ъдф ■ ^+gBZ''(ффJ = -[дф ■ 1Ф]я+дв[(ФФJ
Они порождают два вклада типа А в разложении D03), в качестве тре-
третьего независимого базисного элемента можно взять оператор [{ффJ]л
типа В, так что в данном случае в разложении D03) вообще нет от-
отдельных слагаемых типа С с внешними производными. Но проблема
"опасных вкладов" ~ dkOk все равно существует, так как их роль те-
теперь играет разность двух операторов D62), равная
Ъд^ф) = dtyrf]* • D63)
Поэтому оператор [ф-/кФ]я с канонической размерностью d—1 является
кандидатом на роль О к в D05). Он подходит и по критерию D06), по-
поскольку является мультипликативно-ренормируемым (не с чем смеши-
смешиваться) каноническим сохраняющимся током для группы глобальных
калибровочных преобразований ф{х)^- ехр(ги)ф(х), ф{х)^ ехр(—ги>)ф(х),
следовательно (п.3.31), не имеет аномальной размерности.
Опасный вклад D63) присутствует в разложении D03) при g = g*
тогда и только тогда, когда коэффициенты а(д„) при двух операторах
D62) не совпадают, что в силу первого соотношения D04) означало
бы ~у*[ф] ф ")*[ф\- В широком смысле слова конформная симметрия при
этом сохраняется, а нарушение заключается лишь в "расщеплении" кон-
конформных критических размерностей полей фиф. Отметим, что такое
расщепление добавкой ± const к аномальным размерностям никак не
проявилось бы ни в масштабном тождестве Уорда, ни в РГ-уравнениях
для функций Грина с одинаковым числом полей ф и ф, поскольку туда
входит лишь сумма их аномальных размерностей.
Но этот умозрительно красивый эффект расщепления размерностей
в действительности невозможен, как мы сейчас убедимся. Простейшим
аргументом является указание на зарядовую симметрию теории, озна-
означающую, грубо говоря, полное равноправие полей фиф. Пояснить
это можно на простом примере комплексной ip4-модели с полями <р, <р и
взаимодействием V ~ (<р<рJ, где аналогом опасного вклада D63) будет
дивергенция калибровочного тока д{<р -д<р—д>р -р}. Этот оператор нече-
нечетен относительного дискретного преобразования зарядового сопряжения
530 Глава 4. Критическая статика.
+
<р «-> <р, поэтому не может примешиваться при ренормировке к четному
оператору N ~ V ~ (ffJ- Для дираковских спиноров зарядовому со-
сопряжению соответствует преобразование {ф, ф} -> {ф' = Сф, ф =
—фС~1} с некоторой матрицей С, подбираемой так, чтобы обеспечить
зарядовую инвариантность действия D22) с учетом антикоммутативно-
антикоммутативности полей (в свободной части это соответствует условию С-1цС = —~ij
для конкретного представления 7-матриц, а взаимодействие в D22) ин-
инвариантно автоматически в силу равенства ф ф' = фф VC). При таком
преобразовании операторы D62) переходят друг в друга, поэтому их
разность С-нечетна и не может примешиваться при ренормировке к С-
четному оператору D61), все это как и в скалярной модели. Но есть
одна тонкость: в скалярном случае преобразование зарядового сопря-
жения <р <-> <р хорошо определено в произвольной размерности а, тогда
как в спинорном явное представление матрицы С через дираковские ма-
матрицы 7t легко построить лишь в целой четной размерности day него
нет естественного продолжения на произвольные d (та же проблема,
что и для матрицы 75, определяемой в целой четной размерности как
произведение всех матриц 7« с точностью до множителя). Поэтому при
расчетах с переменным d (d = 2+ 2е в модели D22) или 1/п-разложения
в произвольной размерности d) может оставаться сомнение в законности
ссылки на зарядовую симметрию для запрета опасного вклада D63).
Но этот запрет можно обосновать иначе без использования зарядо-
зарядовой симметрии. Для спинорного поля (как для скалярного и в отличие
от векторного) обычные симметрии (трансляционная + вращательная
+ масштабная) без конформной фиксируют с точностью до нормировки
вид безмассового пропагатора (упоминавшиеся в п.2.18 "исключитель-
"исключительные структуры" не рассматриваем):
<ф{у)ф{2)>= А-п-\х\~2а , D64)
где х = у — z, л,- = ж,-/|ж|, 2а = А[ф] + А[ф] - сумма критических раз-
размерностей полей, А - амплитудный множитель. Выполнив конформную
инверсию полей (п.44) с произвольными (неизвестными) размерностями
А[ф] и А[^], нетрудно убедиться, что выражение в правой части равен-
равенства D64) будет конформно-инвариантным тогда и только тогда, когда
А[ф] = А[ф]. Поскольку конформная инвариантность в широком смы-
смысле (с неизвестными А[ф] и А[^]) уже была установлена, приведенное
рассуждение доказывает необходимость равенства конформных крити-
критических размерностей, т.е. невозможность их расщепления.
Таким образом, функции Грина полей ф, ф модели D22) в критиче-
критическом режиме являются конформно-инвариантными в обычном смысле
п.47 Критическая конформная инвариантность ГН-модели 531
слова, т.е. инвариантны относительно преобразований с одинаковыми
и совпадающими с масштабными критическими конформными размер-
размерностями полей ф, ф.
Чтобы воспользоваться конформной симметрией при расчете 1/л-
разложений критических индексов в рамках модели D27), необходимо
обобщить доказательство на функции Грина всех полей ip = ф,ф, (т. Мы
не можем это сделать в самой модели D27), так как ее ренормировка
весьма специфична (п.31), а наше доказательство (п.41) предполагает
стандартную схему мультипликативной ренормировки с зарядом (или
зарядами) д, фиксированной точкой д* и каким-нибудь е-разложением.
Всем этим требованиям удовлетворяет безмассовая двухзарядная мо-
модель D53), и мы воспользуемся ею для доказательства критической кон-
конформной симметрии.
Здесь нужно подчеркнуть, что критическая симметрия - объектив-
объективное и поэтому не зависящее от выбора теории возмущений B+2е, 4 —2е
или 1/п) свойство функций Грина, так что, будучи доказанным в рам-
рамках какой-нибудь одной из этих схем, оно может считаться установлен-
установленным и для любой другой. Разумеется, речь идет лишь о разных ва-
вариантах разложений для моделей с одинаковым критическим поведе-
поведением (что в нашем случае известно) и о функциях Грина одинаковых
с точностью до нормировок величин, причем последние должны иметь
определенные критические размерности, по которым они и идентифи-
идентифицируются.
Итак, рассмотрим безмассовую (т = 0, h = 0) двухзарядную модель
D53). Добавочный вклад ~ а2 в ее свободном действии также канони-
канонически конформен (с da = сГ/2), поэтому данная модель удовлетворяет
всем перечисленным в п.41 требованиям. В разложении D03) к трем
фермионным мономам (см. начало раздела) добавляются теперь опера-
операторы [<72]R и [фф<т]н. Это не приводит к появлению отличных от D63)
новых "опасных" линейных комбинаций с одной внешней производной,
поэтому приведенное выше для чисто фермионной модели D22) дока-
доказательство критической конформности переносится на модель D53) без
изменений: функции Грина всех трех полей <р = ф,ф,<г модели D53) в
критическом режиме являются конформно-инвариантными. Утвержде-
Утверждение справедливо и для функций Грина полей ренормированных моделей
D27) и D29), поскольку все они имеют одинаковое критическое поведе-
поведение (п.44) и одинаковый смысл вспомогательного поля а (как величины
с определенной и поэтому одинаковой для всех этих моделей критиче-
критической размерностью А„).
Для дальнейшего (п.48) необходимо также отметить, что во всех
532 Глава 4. Критическая статика
этих моделях существует скалярный составной оператор F с критиче-
критической размерностью АР = d — Дт = d — 1/v и он критически конформен
как родоначальник нового (ассоциированного с Дт) семейства (п.43).
Явный вид этого оператора зависит от модели: в моделях D27) и D29)
F = [<r2]R, а в модели D53) F есть некоторая линейная комбинация пяти
ренормированных мономов с dp = d* = 2, ассоциированная с одним из
двух ее индексов ы для системы /^-функций D58). Поясним подробнее:
обобщая рассуждения п. 11 на безмассовую модель с произвольными по-
полями ip и зарядами д = {gi}, нетрудно убедиться, что семейство опера-
операторов F = {Fi}, определенных соотношениями
= fdxFi{x) D65)
R g=g.
с d% = d/dgi и uiik = dfii/dgk, удовлетворяет уравнениям критического
скейлинга типа D2) с матрицей критических размерностей ДР = d + w.
Собственными значениями матрицы ш являются индексы wa, соответ-
соответствующие базисные операторы D4) имеют размерности d + wa, a =
1,2,... и являются аналогами оператора F6) для у>4-модели. В на-
нашей модели D53) полная система скаляров с dp = of = 2 состоит
из пяти мономов (см. выше), и из них строятся три оператора типа
C97) с ДР = d для трех полей <р = ф, ф, а и два оператора типа F6) с
Др = d + uja, соответствующих двум зарядам и,д\ системы /^-функций
D58). В данном случае матрицам треугольна и ее собственными значе-
значениями о?а являются просто соответствующие диагональные элементы,
а именно, dP(u)/du |,= —Дт для заряда и (см. соотношения D26)) и
df3gi(u,gi)/dgi\*= 2e — 2-/^ для заряда д\. С первым из них ассоцииро-
ассоциирован интересующий нас оператор, причем в силу треугольности матрицы
и он является просто соответствующим заряду и оператором типа D65).
Наличие конформного оператора с критической размерностью ДР =
d — Дт - необходимое условие для возможности вычисления этой раз-
размерности методом конформного бутстрапа.
п.48 1/л-разложения критических индексов ГН-модели. Рас-
Расчеты 1/л-разложений проще всего выполнять в рамках полностью без-
безмассовой модели D27) с должной регуляризацией и ренормировкой (п.31)
При этом можно пользоваться любым из изложенных ранее на примере
(т-модели технических методов, в том числе и наиболее мощным - мето-
методом конформного бутстрапа, учитывая доказанную (п.47) критическую
конформную инвариантность ГН-модели. Введем следующую парамет-
п. 48 1/тг-разложения критических индексов ГН-модели
533
ризацию для трех независимых показателей в D28):
■уф = т)/2 , 7^ = -V - к , Ат = 1/у = 2Л D66)
и приведем все известные на данный момент A996 г.) результаты для
коэффициентов разложений типа z = z0 + zx/n + z2/n2 + ... с п = N ■ trl
трех независимых индексов z = rj, к, Л:
щ = -2Ц2/1-111/111-/1Ц/1-111/111/1+111,
= и/а > Ах/т?! = 1 -2^ ,
2 + 4/1C - 2/i)[CB - /i) -
+52 [-8а2 - 16а - 6 - 8/а - 10//? + 4//?2 - 2//i]+
+/iC(l)[6a - 29 + 22//?] + 8а2 - 10 + 14/а - 5/а2+
+ Вх [6/ц - 6 - 4ц - 28/а - 40/а2 - 14/а3] + 2/^г2 - 6-
-4/1 - 9/а + 3/а2 + 12/а3 + 5/а4} ,
где /1 = d/2, « = /1-1,^ = 2-/1, Вх = 5A - /i) - 5A), 52 =
5B — /*) — 5A), 5(z) и C(z) - обозначения C47), а 1{ц) в т?3 - та же
534 Глава 4. Критическая статейка
величина, что и в C93), не выражающаяся явно через гамма-функции
и их производные. Вклады первого порядка по 1/л вычислялись мно-
многими авторами и разными способами (иногда даже с прямой проверкой
скейлинга, в которой, собственно, нет необходимости, поскольку обосно-
обосновывающие наличие скейлинга аргументы п.2.25 остаются в силе и для
ГН-модели). Значение 772 вычислено в работе [135] с помощью пропага-
торных уравнений самосогласования, 773 и «2 получены в [136], Аг — в
[146] методом конформного бутстрапа и независимо в работах [137, 147].
В двойном разложении по е и 1/л все ответы D67) согласуются с из-
известными из D31) и D32) данными 2 + е- и 4 — е-разложений.
Поясним наиболее сложные расчеты [136, 146], обращая основное
внимание на специфику работы со спинорными объектами. Спинор-
ные пропагаторы типа D44) удобно изображать, пользуясь следующим
графическим обозначением (см. также C20)):
(у-х).\у-х\-2а = 7,- <фь = ^„ , D68)
" а
указываемое у линии число называем ее индексом. Замкнутые циклы
спинорных линий порождают след произведения 7-матриц, который вы-
вычисляется по правилам D45). Цепочки со спинорными и обычными
звеньями интегрируются по формулам (обозначения C.68)):
D69а)
а+l Ь a(d —1 — а — Ъ) a+b+\-d/2
а+\ 6+1 ab a+b+l-d/2
единичная матрица по спинорным индексам в правой части равенства
D696) подразумевается. Аналогом основного правила интегрирования
уникальной вершины C28) будет теперь следующее соотношение:
D70)
аЬ
с'
a+b+c-d-\
где z' = d/2 — z Vz, а условие уникальности указано под графиком.
В конкретных вычислениях удобно пользоваться следующей параме-
параметризацией индексов пропагаторов:
11,48 1/п-разложения критических индексов ГН-модели
535
„
Величина 2Д = /с в обозначениях D66) имеет смысл критической раз-
размерности основной вершины ффа (п.35), при Д = 0 и любом т) локальная
вершина ффа уникальна в силу равенства 2а + j3 = d — 1 для индек-
индексов D71). Скалярный пропагатор Ga обращается по правилу C09), его
аналог для спинорного пропагатора удобно записывать в виде
D72)
с функцией p(z) из C09).
Полная основная вершина < ффс > и скалярная вершина < Faa >
с составным оператором F = с2 в обозначениях D71) и ДР = 2Л (это
теневое к 2Л из D66) значение) представляются с точностью до ампли-
амплитудных множителей следующими конформными треугольниками:
I р-2Д I 2Я.
1 Р-^/^ДР-гД
где z' = d/2 — z Vz. Регуляризаторы е, е' вводятся в основную вер-
вершину по правилу C88). Аналогичные C91) уравнения конформного
бутстрапа записываются через регуляризованную вершинную функцию
V = V(a, Д, и; е, е') следующим образом:
V |е=е'=0 = 1 ,
Рф(а) = us [dV/de'] \t=tl=0 ,
р(/?-2Д)/п = us [dV/ds] \t=tl=0
D74)
с функциями p^(z) из D72), p(z) из C09), стандартной амплитудной
комбинацией и = ~\2С2В {А и В - амплитуды пропагаторов D71), С -
амплитудный множитель в основной вершине D73)) и величиной
s = 7r2dtf (а, а, /?-2Д, а+Д, а+Д, /?-Д,
. D75)
Для расчета размерности Д^, с точностью до 1/п3 включительно и од-
одновременно Дсг с точностью до 1/п2 (т.е. tj3 и «г) в аналогичном C90)
536 Глава. 4. Критическая статика.
выражении для регуляризованной вершинной функции V в уравнениях
D74) необходимо учесть следующие диаграммы:
t t
A 2 Л
.D76)
Обозначения те же, что и в C90), т.е. полные вершины в графиках изо-
изображены просто жирными точками. Суммирование по всем индексам в
замкнутых циклах ^-линий дает множители — N -trl = — п (минус из-за
фермионности поля), в D76) они выделены явно вместе с амплитудными
комбинациями и и симметрийными коэффициентами. Для расчета щ и
«1 нужен лишь самый первый ("младший") график D76), следующие
нужны для вычисления щ и «2, детали расчета можно найти в [136]. От-
Отметим, что при той же точности по 1/п в D76) меньше графиков, чем в
аналогичном выражении C90) из-за исключения диаграмм с нечетными
циклами •0-линий (такой цикл содержит равный нулю след произведе-
произведения нечетного числа 7-матриц). Выигрыш от уменьшения числа диа-
диаграмм перевешивает проигрыш от усложнения их линий (спинорность),
поэтому в целом расчеты высших порядков в ГН-модели оказываются
проще, чем в <т-модели.
Именно это и позволило вычислить в ГН-модели также и "поправоч-
"поправочный индекс" Дт = 1/v = d — A[a2] в порядке 1/п2 [146]. Отметим, что
на данный момент A996) это единственный пример расчета в высшем
(старше первого) порядке по 1/п критической размерности составного
оператора (аналогичный Дт в D28) индекс и в B95) для простой <т-
модели известен лишь в первом порядке по 1/п). Все прочие известные
результаты в высших порядках относятся только к размерностям самих
полей. Возможно, что именно поэтому в ответе D67) для А2 впервые
нарушается эмпирическое правило z^ = Arji с не содержащим простых
гамма-функций коэффициентом А: из D67) имеем Л2 = Ат]\ + Вщ в тех
же обозначениях.
Расчет размерности А[<т2] в [146] выполнен методом конформного
бутстрапа для вершины < Faa > с оператором F = с1. Изложен-
Изложенная в п.40 техника обобщается непосредственно на вершину типа
< F<p<p > если, во-первых, она конформна, во-вторых, оператор F со-
содержит только два поля <р. Первое нужно для представимости данной
вершины подходящим конформным треугольником, а второе - для со-
сохранения общей структуры вершинных уравнений типа C70),C72) и
возможности пересуммирования всех входящих в них диаграмм в ске-
скелетные графики с одетыми линиями и тройными (но не выше) верши-
вершинами. Оператор F = о2 в ГН-модели удовлетворяет всем этим требо-
п.48 1 /n-разложения критических индексов ГН-мсщели
537
ваниям, поэтому вершина < Fcrcr > (будем называть ее "поправочной")
удовлетворяет аналогичным C72),C76) уравнениям конформного бут-
бутстрапа:
= V
V = 1.
D77)
Выражение с заштрихованным 4-блоком понимается как сумма непри-
неприводимых скелетных диаграмм с одетыми основными и одной (верхней)
поправочной вершинами. Второе равенство в D77) является аналогич-
аналогичным C76) определением соответствующей вершинной функции V. Она
зависит от всех параметров, в том числе и от искомой критической раз-
размерности ДР = 2А, прочие размерности и величина и считаются уже
известными с нужной точностью из решения уравнений D74). Отме-
Отметим, что неприводимость среди прочего подразумевает отсутствие не-
нетривиальных вершинных подграфов не только для основной, но и для
поправочной вершины. Поэтому заштрихованный 4-блок в D77) явля-
является ядром Бете-Солпитера, не содержащим горизонтальных 2-сечений
по с-линиям (но аналогичные 2-сечения по ^-линиям допустимы). От-
Отметим также, что точное вершинное уравнение отличается от первого
равенства D77) только добавкой вклада затравочной вершины < Fcrcr >
в правую часть.
Для расчета размерности Др = Д[<т2] = 2А с точностью до 1/л2
включительно в определении D77) вершинной функции V необходимо
учесть следующие графики:
1 1 I
V
— —пи'
1
'JxJ- 2n
t I
1
— 2ли31-'-2-
- 2пы3!
4nV
V Г~Г"Г1
i, t t, j
.1
D78)
+ 8n2u4
Верхней жирной точке в графиках D78) соответствует поправочный
конформный треугольник D73) с неизвестным (искомым) значением ин-
538 Глаза 4. Критическая статика
декса 2 А, всем прочим - основные треугольники D73), два первых гра-
графика в D78) "младшие", следующие семь - "старшие", никакой регу-
регуляризации параметрами е,е' не требуется.
Алгебраическое вершинное уравнение VBA) = 1 должно иметь много
решений, соответствующих различным операторам F. Конкретное ре-
решение можно строить итерациями по 1/п, отправляясь от заданного
нулевого приближения. Решению 2А = А[с2] соответствует нулевое
приближение 2Ло = 2 (каноническая размерность оператора F = с2 в
1/п-разложении). Если подставить в графики D78) треугольники D73)
и выполнить конформное преобразование с базой в самой верхней вер-
вершине (п.36), нетрудно убедиться, что любой из графиков D78), следова-
следовательно, и функция VBA) в целом, инвариантны относительно теневого
преобразования C64). Это означает, что множество всех решений для
искомой размерности 2А имеет общую структуру C56), в частности,
теневое к А[а2] значение искомого индекса Ат = 1/u = d — А[а2] в
D28) обязательно является одним из возможных решений вершинного
уравнения VB\) = 1 для F = а2. Именно его нам и нужно строить,
отправляясь от нулевого приближения Ао = d/2 — 1. Отметим, что пе-
переход от Ао = 1 к Ао = d/2 — 1 приводит к существенным упрощениям
при расчете диаграмм, подробности можно найти в работе [146].
п.49 Использование 1/п-разложений индексов для расчета
РГ-функций. Результаты расчета коэффициентов 1/п-разложений кри-
критических индексов D67) можно использовать для вычисления РГ-функ-
РГ-функций D48). Основная идея проста: получаемые разными способами ко-
коэффициенты двойных разложений критических индексов по е и 1/п
должны совпадать. При этом важно, что в схеме MS все нетривиальные
коэффициенты рядов D48) не зависят от е и являются полиномами по
п известного порядка. Например, для /J-функции D48) имеем:
оо
/?(«) = 2£ы-2ы2(п-2)+£У+1Р(_1Gг) , D79)
1-2
где / - число петель, Pjt(n) - полином по п порядка к.
Поясним основную идею на примере индекса \/v = 2А, который
выражается через /^-функцию D48) известным из D26) соотношением
2А= —/?'(ы,). Поскольку ы, ~ 1/п, коэффициент Ао в 1/п-разложении А
определяется лишь двумя первыми слагаемыми D79), коэффициент Aj
дает информацию обо всех вкладах типа u2(un)m в D79), коэффициент
Аг - о вкладах типа u3(un)m и так далее. Таким образом, по Aj можно
найти коэффициент при старшей степени nl~l всех полиномов в D79),
по Ai и Аг - коэффициенты при nl~l и п'~2 и так далее.
я.49 Использование 1/л-разложений для расчета РГ-функций 539
Рассмотрим конкретный пример: допустим, что мы знаем лишь об-
общую структуру u3(an+b) двухпетлевого вклада в D79), но не знаем зна-
значений коэффициентов а и Ъ. Тогда по двухпетлевой /^-функции /?(ы) =
2еы — 2ы2(л — 2) + u3(an + b) можно найти значение 2Л = —/?'(ы.) =
2е + £2/(п) + O(s3), причем функция /(л), следовательно, и все коэффи-
коэффициенты ее l/n-разложения /(л) = /i/л+ /г/ + -.. однозначно выража-
выражаются через искомые параметры а и Ъ. С другой стороны, те же самые
величины fxt2 можно найти, разложив по 2е = d—2 с нужной точностью
(е2) известные из D67) функции А12(с?). Приравняв получаемые двумя
способами выражения для Д^, можно выразить искомые коэффициенты
а, Ь через известные величины \\t2, т.е. полностью найти двухпетлевой
вклад в D79).
Если бы мы знали и следующий коэффициент l/n-разложения Лз, то
могли бы тем же способом полностью найти трехпетлевой вклад в /?-
функции и так далее. Считая затем /^-функцию уже известной с нужной
точностью, по коэффициентам 1/л-разложений индексов ц и к в D67)
тем же методом можно получать информацию об РГ-функциях -уф и jm
в D48).
С чисто практической точки зрения приведенный выше конкрет-
конкретный пример не самый удачный, так как расчет коэффициентов 1/л-
разложений Хх и Аг технически сложнее, чем прямое вычисление двух-
двухпетлевого вклада в /^-функцию. Но есть дополнительные соображения,
усиливающие мощность указанного приема. Например, если мы учтем,
что из всех полиномов в D79) должен выделяется множитель п — 2 [142],
то вместо an+b можем писать а (л — 2), и это позволит полностью найти
двухпетлевой вклад по А!, а трехпетлевой - по Aj и А2 , т.е. увеличить
на порядок точность расчета. Еще более эффективно использование
данных D67) для расчета РГ-функций -(ф(и) и jm(u) в D48) при учете
обязательного выделения из этих двух РГ-функций множителя л — 1
[142, 148]. Такой расчет по данным D67) был выполнен с пятипетлевой
точностью в работе [148]. Его результаты сводятся к следующему:
1ф(и) = и2(л-1)-Ы3(л-1)(л-2) + Ы4(л-1)[л2-7л + 7]+
{Зл3[-2ф) - 1] + 2л2[-ЗСC) + 17] +
m(u) = 2и(л-1)-2и2(л-1)-2и3(л-1)Bл-3)+
2и4[(л - 1)/3] |л2[-6СC) + 5] + л[90СC) + 23] + с2}
540
Глава 4. Критическая статика,
u5[{n - 1)/3]{Зп3[-6СC) - 5] + n2[-81CD) + 264СC) + 169]+
+ПС3 + I
р{и) = 2еи - 2и2{п - 2) + 4u3(n - 2) + 2и\п - 2)(п - 7) +
г ч D8°)
+ 4и5[(п - 2)/3]{-п2 - п[66СC) + 19] + с5 } +
+ и6[(п - 2)/3]{Зп3[-2СC) + 1] + п2[261СD) - 168СC) - 83]+
+лс6 + сЛ ,
где ci,...,cr - остающиеся неизвестными коэффициенты. Отметим,
что в ответе [148] есть опечатка в трехпетлевом вкладе для 7т (там
поставлен множитель п — 2 вместо правильного п — 1).
В работе [148] приведены также результаты аналогичного пятипет-
левого расчета по данным 1/л-разложений индексов РГ-функций B39),
B40) нелинейной о--модели:
7» =... + Ы5[(п-2)/192]{бп3[ЗСD) + 4СC) + 2]- '
-п2[54СC) + 5] - п[315СD) + 1764<СC) + 307] +
f3{u) = ... + и6[{п - 2)/96]{Зп3[2СC) - 1] -
+ п2[81СD) + 144СC) - 11] + пс2 + с3} ,
где многоточием обозначены известные из B39), B40) четырехпет левые
выражения, a c\t2,3 ~ остающиеся неизвестными в пятипетлевых вкла-
вкладах коэффициенты.
Для пятипетлевого расчета ~(ф в D80) и D81) нужно знать е-разложе-
ние входящей в ответы C93),D67) для щ функции 1{ц), ц = d/2 =
1 +е с точностью до членов ~ е2 включительно. Это разложение имеет
следующий вид:
D81)
1A +е) = -
--- • D82)
Первые два члена получены в работе [89] с помощью изложенной в п.36
техники, следующие вычислены в [149] путем суммирования бесконеч-
бесконечных рядов с полиномами Гегенбауэра. В приложении к работе [148] для
п. 49 Использование l/n-разложений для расчета, РГ-функций 541
функции I(fi) получено следующее рекуррентное соотношение:
1 Г„ . 1 1 L 1
W =
тН + U +
D83)
<*2СA).
все обозначения те же, что и в D67). Для ц = 1 + е коэффициент при
I(fi + 1) = 7B + е) = О(е) [89] в D83) является величиной порядка е3,
поэтому из соотношения D83) можно найти 7A + е) с точностью до е3
включительно без каких-либо бесконечных суммирований.
Соотношение D83) было получено в [148] с помощью предложенного
в работе [150] нового технического приема, позволяющего выразить зна-
значение произвольной безмассовой диаграммы в размерности d через ко-
конечную сумму аналогичных диаграмм с измененными индексами линий
в размерности d — 2. Применительно к диаграмме типа C33) с про-
произвольными индексами ребер предложенный в [150] прием приводит к
следующему соотношению:
{граф C33) в размерности d} = [rc2/(d - 3)(d - 4)]х
х {тот же граф в размерности d — 2 } с добавкой
в подынтегральное выражение множителя
Q = -ф|14|2 | 1
|г2]
- г|г
|г]
rf r| -
, _2r2_2 , -2r2_2
+rlr2r3 + rlr2r4
-2r2_2
rlr3r4
-2r2_2
r2r3r4~
D84)
-4_2 _2_4 _4_2 _2_4
~rlr3 "" rlr3 - r2r4 - r2r4 )
в котором г? - квадрат длины соответствующего ребра тетраэдра в
обозначениях C38). Выражение в правой части равенства D84) явля-
является суммой диаграмм с различными добавками трех —1 к индексам ис-
исходного графа, при этом множители г| соответствуют несущественной
внешней линии в графе C33). Если в исходной диаграмме много линий
с индексами +1, то многие слагаемые в правой части D84) либо исче-
исчезают, либо интегрируются точно, и тогда из соотношения D84) можно
получить полезную информацию. Именно так обстоит дело с диаграм-
диаграммой II(/i, Д), через которую определяется функция I(fi) (см. текст после
формулы C93) в п.40). С помощью рассмотренных в п.36 преобразо-
преобразований можно привести Щр,, Д) к диаграмме C33) с индексами ребер
542 Глава 4. Критическая статяка
oil = с*2 = о-з = осц — 1) ot5 = fi—1 — Аи затем воспользоваться для нее
соотношением D84).
Закончив на этом обсуждение ГН-модели, в заключение сделаем два
замечания. Первое из них сводится к следующему: все, что говорилось
о ГН-модели в 2 + £-схеме, основано на предположении о ее мульти-
мультипликативной ренормируемости в нецелой размерности d = 2 + 2е. Это
нетривиальное предположение, так как алгебра 7-матриц в нецелой раз-
размерности бесконечномерна, поэтому существует бесконечное число не-
независимых четырехфермионных вершин, которые, в принципе, могли
бы порождаться основным взаимодействием (ффJ ГН-модели в каче-
качестве контрчленов. Поясним подробнее: в нецелой размерности d для -/-
матриц можно пользоваться только основным коммутационным соотно-
соотношением D23). Оно позволяет привести любое произведение 7-матриц (в
нецелой размерности было бы правильнее называть их -символами",
но мы будем пользоваться традиционным термином) к линейной комби-
комбинации полностью антисимметризованных (As) произведений
7lr!..-.=As[7,.1-...-7U. D85)
В любой целой размерности d все структуры D85) с л > d исчезают, но
в нецелой размерности все они должны считаться отличными от нуля
независимыми величинами, образующими полный базис в пространстве
действующих на спиноры ф матриц. Поэтому в нецелой размерности
можно построить бесконечное число независимых UN-симметричных че-
четырехфермионных взаимодействий
Vn = ФitLj -fotlij D86)
(по повторяющимся индексам г^... in суммирование). Все вершины
D86) логарифмичны в размерности d = 2, поэтому в 2 + £-схеме могут
смешиваться при ренормировке, т.е. любая из них может порождать
другие в качестве контрчленов. В целой размерности d = 2 отличны
от нуля лишь три первых взаимодействия D86), вершина Vq соответ-
соответствует ГН-модели, V\ - модели Тирринга, Уг - псевдоскалярный ана-
аналог ГН-модели. ГН-модель в размерности d = 2 с регуляризацией об-
обрезанием обладает специфической [^-симметрией, гарантирующей ее
мультипликативную ренормируемость. Но при d = 2+2e этот аргумент
теряет силу, поэтому нет гарантии, что ГН-взаимодействие Vo не поро-
порождает старшие вершины D86) в качестве контрчленов. Прямой расчет
показывает [142, 144], что с точностью до трех петель включительно
этого не происходит. Анализ ренормировки ГН-модели в п.п.45,46 был
п.49 Использование l/n-разложений для расчета РГ-функций 543
основан на предположении, что ГН-взаимодействие Vq не генерирует
старших вершин D86) и в высших порядках теории возмущений. Но
это всего лишь предположение, так как общего доказательства мульти-
мультипликативной ренормируемости ГН-модели в 2 +£-схеме не существует.
Если в высших порядках теории возмущений ГН-взаимодействие Vo
генерирует старшие вершины D86), то ГН-модель в 2 + е-схеме нельзя
считать внутренне замкнутой. В такой ситуации мультипликативно-
ренормируемой будет лишь "полная четырехфермионная модель" [151],
включающая все вершины D86) с независимыми коэффициентами (за-
(зарядами). В этом случае уже нельзя говорить об "РГ-функциях ГН-
модели в 2 + е-схеме", но понятие + е-разложений критических ин-
индексов ГН-модели" сохраняет смысл, так как данному критическому ре-
режиму соответствует одна из фиксированных точек в бесконечномерном
пространстве зарядов полной модели [152]. Отметим, что все эти про-
проблемы порождаются спецификой четырехфермионного взаимодействия:
в моделях с тройными вершинами типа ффсг в D27) появление контр-
контрчленов со старшими (л > d) структурами D85) невозможно (не с чем
свернуть много антисимметризованных индексов). Поэтому в 1/л-раз-
ложении внутренняя замкнутость ГН-модели гарантирована.
И последнее замечание по поводу кирального фазового перехода в
ГН-модели. Мы имеем здесь дело с обычным переходом второго рода со
скалярным параметром порядка <р(х) =< ф(х)ф(х) > и с симметрией
ip —> — ip. Возникает вопрос: почему же данный переход не описывается
простой <р4-моделью в соответствии с теорией Ландау? Ответ состоит в
следующем: стандартная теория Ландау относится лишь к микромоде-
микромоделям с короткодействием, что на полевом языке соответствует массивно-
массивности первичных микрополей, тогда как в нашем случае микрополя ф, ф
безмассовые. Этот конкретный пример показывает, что к микромоде-
микромоделям с дальнодействием стандартные аргументы теории Ландау непри-
ложимы, и в этом случае критическое поведение системы определяется
самой микромоделью, а не ее "феноменологическим образом".
Г Л ABA 5
КРИТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
Под динамикой в широком смысле понимаются любые задачи с вре-
временем, в стохастической динамике речь идет о случайных величинах и
их статистических характеристиках. В реальной ситуации стохастич-
ность порождается внутренними причинами - хаотическими соударени-
соударениями молекул из-за теплового броуновского движения, спонтанным воз-
возникновением и взаимодействием вихрей в турбулентном потоке и т.п..
На современном этапе математически строгое описание таких процессов
сложно или вообще невозможно. Поэтому стохастичность обычно моде-
моделируют феноменологически путем введения в динамические уравнения
некоторого "шума" - случайных сил или других случайных параметров
с простым (обычно гауссовым) распределением. Гауссово распределе-
распределение задается коррелятором шума, который подбирается из каких-либо
физических соображений. Так, в частности, конструируются модели
критической динамики, задачей которой является изучение критиче-
критических сингулярностеи времен релаксации и различных кинетических ко-
коэффициентов. Критическая динамика основана на стохастических урав-
уравнениях частного вида, называемых уравнениями Ланжевена. Шум здесь
соответствует тепловым флуктуациям, а его коррелятор однозначно
определяется требованием взаимной согласованности динамики и ста-
статики.
В этой главе мы приведем сначала общую информацию об уравне-
уравнениях стохастической динамики и об их сведении к квантовополевым
моделям, а затем обсудим подробнее на конкретных примерах модели
критической динамики. Другие стохастические задачи не ланжевенов-
ского типа (турбулентность и т.п.) будут рассмотрены в следующей
главе.
п.1 Стандартная форма уравнений стохастической динами-
динамики. Все общие формулы будем записывать, как; обычно, в универсаль-
универсальных обозначениях (п.1.9), т.е. будем обозначать через <р(х) весь набор
546 Глава 5. Критическая динамика
полей рассматриваемой задачи, х = {t, х}, где t - время, х - все прочие
переменные - пространственные координаты и индексы, если последние
не указаны явно. В таких обозначениях стандартная задача стохасти-
стохастической динамики формулируется следующим образом:
ЗМх) = U(x]<p) + Ti(x) , < т}{х)т}(х') > = D(x,x') , A)
где <р(х) - искомое поле (система полей), U[x; <p) - заданный ^-локальный
(т.е. зависящий лишь от полей ip и их производных в один момент вре-
времени t) функционал, не содержащий производных ip по времени, fj(x) ~
случайная внешняя сила (термин условный), а т)(х) в уравнении для <р
- любая ее конкретная реализация. Для fj предполагается гауссово рас-
распределение с нулевым средним < fj(x) >= 0 и заданным коррелятором
D. Все слагаемые в первом уравнении A) зависят от одного аргумента
х = t, х, который в дальнейшем часто будем опускать.
Задача A) доопределяется условием запаздывания и рассматрива-
рассматривается либо на полуоси t > 0 с заданными начальными данными для <р
при t — О (задача Коши), либо на всей оси времени с заданной (обычно
просто нулевой) асимптотикой при t —> —оо. Второй вариант техни-
технически проще, и всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, мы
будем иметь в виду задачу A) на всей оси времени с нулевым условием
для ip при t -> — оо, а также при |х| -> оо в любой плоскости t = const.
Такую постановку задачи будем называть стандартной.
Указанные условия обеспечивают существование и единственность
решения <р{х;г)) для любой конкретной реализации ц € Е (п. 1.13), тем
самым определяется случайная величина f{x\rj) = <p(x). Вычисляе-
Вычисляемыми объектами являются корреляционные функции A.33) поля ip, a
также функции отклика на внешнюю силу, т.е. величины
< 8т [pfo). ..£(*„)] /5г}(х[). ..8rj(x'J > . B)
Все эти объекты будем называть функциями Грина. Простейшей из
величин B) является функция линейного отклика
< 5£{х)/5г){х') > . C)
Символ < ... > обозначает усреднение по гауссовому распределению
шума г}(х), на функциональном языке - усреднение по конфигурациям
т)(х) с весом exp[—T]D~1T]/2]. Отметим, что в определениях B),C) вари-
вариационное дифференцирование по случайной силе г}(х) можно заменить
дифференцированием по аналогичной неслучайной силе f(x), вводимой
аддитивно в U(x; ip), поскольку ф тогда будет зависеть лишь от суммы
я. 1 Стандартная форма уравнений стохастической динамики 547
f(x) + ?}{х)- Отметим также, что при стандартной постановке задачи
и трансляционно-инвариантных величинах U и D все функции Грина
также будут трансляционно-инвариантными, т.е. будут зависеть лишь
от разностей временных и пространственных координат, а одновремен-
одновременные функции не будут тогда зависеть от общего для всех аргументов
Х{ времени t. Этим стандартная постановка выгодно отличается от
задачи Коши, для которой трансляционная инвариантность восстана-
восстанавливается только в асимптотике t —> +00, когда система "забывает"
начальные данные.
Функции отклика обладают свойствами запаздывания, вытекающи-
вытекающими из естественного требования причинности: решение <р уравнения A)
в момент времени t не может зависеть от значения силы т) в будущие
моменты времени. Отсюда следует, что функции B) отличны от нуля
лишь тогда, когда любое из времен f мажорируется каким-нибудь вре-
временем t, в частности, функция C) отлична от нуля лишь при t >t'.
Частным случаем A) является стохастическое уравнение Ланже-
вена, описывающее простейшие варианты динамики для системы с за-
заданным статическим действием Sst(<p) - функционалом от не содержа-
содержащего времени поля ip(х) (напомним, что в предыдущих главах речь шла
только о статических объектах и там мы писали просто S и х вместо
теперешних Sst и х):
dtf(x) = a [SSst(ip)/S<p(x)} |v(xHv(r) +ч(х) , Dа)
< T)(x)rj(x') > — la S(x - x') . D6)
Входящий сюда кинетический коэффициент Онзагера а - не зависящая
от <р симметричная линейная операция, действующая только на аргу-
аргумент х (обычно это просто числовой коэффициент или матрица по ин-
индексам <р, либо аналогичный объект с дополнительным оператором Ла-
Лапласа). В выражении D6) для коррелятора8(х — х') = 6(t—t')S(x — x'), a
операция а действует на один из двух (неважно какой ввиду симметрич-
симметричности ^-функции) аргументов х или х'. Конкретный выбор коррелятора
D6) определяется требованием взаимной согласованности динамики и
статики (подробно в п.8).
Общая задача A) отличается от D) произвольностью коррелятора
D и функционала U, который может и не сводиться к вариационной
производной какого бы-то ни было функционала.
В заключение приведем несколько примеров. Простейшие модели
А и В критической динамики в терминологии [153] описываются урав-
уравнениями D) со статическим действием у>4-модели для поля параметра
548 Глава 5. Критическая динамика
порядка <р и коэффициентом Онзагера a = const для модели А или
a = const • д2 для модели В.
Простейшим примером задачи D) является уравнение, описывающее
броуновскую диффузию (случайные блуждания частицы):
dtn{t) = Tfi(t) , < $(*)»№(*') > = 2а Sik 6{t-t') . E)
В этом примере <р(х) = Xi(t) - с?-мерные координаты частицы в момент
времени t, функционал U равен нулю, а константа а имеет смысл ко-
коэффициента диффузии.
Последний пример - стохастическое уравнение Навье-Стокса для не-
несжимаемой жидкости (газа), лежащее в основе одного из традиционных
подходов в теории развитой турбулентности [154]:
vm-И = v d2>pi{x) -diP(x) + гц(х), Vi = dt + (<pd). F)
Здесь fi(x) - удовлетворяющее условию поперечности df = dkfk = 0
(несжимаемость) векторное поле скорости, v ~ коэффициент вязкости, р
- давление в расчете на единицу массы, случайная сила rj также пред-
предполагается поперечной. Операция Vi ~ галилеевски ковариантная про-
производная, уравнение (б) принимает вид A) после переноса вклада нели-
нелинейности (<pd)fi в правую часть. Чисто продольный вклад давления dip
в (б) сокращает продольную часть величины {(pd)fi. Поэтому давление
можно исключить, отбросяв вклад dip и одновременно поставив перед
(<рд)<р; поперечный проектор. В такой форме (б) становится уравнением
для одного поля <р. Оно укладывается в общие рамки задачи A), но не
сводится к уравнению Ланжевена Dа).
п.2 Итерационное решение стохастических уравнений. В об-
общем случае функционал U в правой части A) содержит вклад неслучай-
неслучайной силы /, линейную по <р "свободную часть" L<p с некоторой операцией
L и вклад нелинейностей п(<р):
U(tp) = L<p + n{<p)+f. G)
Линейная задача A) решается точно, нелинейности n[ip) можно учесть
по теории возмущений, итерируя уравнение A). Для этого его удобно
переписать в интегральной форме:
Ч> = Ai2[f + V+n(p)), A12 = (dt - L)-1 , (8)
где Aj2 = Дч2{х,х') ~ запаздывающая функция Грина линейной опе-
операции dt — Ь (запаздывание означает, что Д^ж, х') = 0 при t < t' в
аргументах х = t, х и х' = ?, х').
п.2 Итерационное решение стохастических уравнений 549
Рассмотрим в качестве простого примера случай локальной квадра-
квадратичной нелинейности:
n{x-ip) = VW/2, (9)
где v - вершинный множитель, играющий роль константы связи (в об-
общем случае v - трехзначковый объект по индексам поля <р, если таковые
имеются). Уравнение (8) с нелинейностью (9) и / = 0 (обобщение на
случай / ф 0 тривиально) перепишем графически в виде
A0)
обозначив <р хвостиком, г] - крестиком, Д^ж, х') - линией, перечеркну-
перечеркнутый конец которой соответствует аргументу х'; точке соединения трех
графических элементов (линий или хвостиков) сопоставляется вершин-
вершинный множитель v.
Итерации уравнения A0) приводят к представлению <р(х) в виде бес-
бесконечной суммы "деревьев":
+ \ —К +••• (И)
с корнем в точке х и крестиками fj на концах всех ветвей.
Корреляционные функции типа A.33) получаются перемножением
деревьев A1) для всех множителей <р и последующим усреднением по
rj, что соответствует графически сворачиванию пар крестиков в кор-
корреляторы D всеми возможными способами. Эта операция приводит к
появлению нового графического элемента
A2)
("пружинка" изображает D), имеющего смысл невозмущенного корре-
коррелятора < (pip >o, который будем изображать простой линией без пере-
перечеркиваний. Все крестики fj должны быть свернуты в корреляторы D,
диаграммы с нечетным числом крестиков при усреднении дают нулевые
вклады.
550
Глава 5. Критическая динамика
В итоге корреляционные функции <р представляются диаграммами
типа феинмановских с тройными вершинами взаимодействия и линиями
двух сортов: Д12 и Дц. Точно так же из A1) и определения B) строятся
диаграммные представления функций отклика, вариационному диффе-
дифференцированию по 5; соответствует графически отрыв крестика всеми
возможными способами с появлением свободного аргумента х' на конце
соответствующей линии. Приведем для примера получаемые таким пу-
путем первые диаграммы коррелятора < (рф > и функции отклика C):
< фф > =
< ёф/ёт] > =
+
A3)
Эта диаграммная техника была впервые введена и подробно проанали-
проанализирована для уравнения Навье-Стокса (б) Уайльдом [155], для общей
задачи A) это было сделано позднее в работе [156].
п.З Сведение стохастической задачи к квантовополевой мо-
модели. По виду графики A3) можно отождествить с фейнмановскими,
если допустить существование в дополнение к ф второго поля ф' с ну-
нулевым затравочным коррелятором < ф'ф' >0= 0 и интерпретировать
линию Д12 как затравочный, а функцию отклика C) - как точный
коррелят§р < фф' >; тройной вершине соответствует взаимодействие
V — ip'wpip/2. Ясно, что в A3) входят все диаграммы такой квантово-
квантовополевой модели без закороченных линий Д^ =< фф' >o и никаких дру-
других, так что для полного доказательства эквивалентности следовало
бы убедиться лишь в совпадении симметрийных коэффициентов. Мы
не будем этим заниматься, так как существует общее доказательство
эквивалентности любой стохастической задачи A) некоторой квантово-
квантовополевой модели с удвоенным числом полей [157, 158].
Приступая к его изложению (следуя [159]), обозначим через Тр =
lp(x;rj) решение уравнения A) и через G(a) - производящий функци-
функционал корреляционных функций поля <р. Ясно, что при фиксированном г]
п.З Сведение стохастической задачи к квантовополевой модели 551
будет G(a; 77) = exp(aip), а после усреднения получим:
Па)
G{a) ~ jDr, ехр [-ЧД
где а(х) - источник, alp - стандартная линейная форма типа A.48).
Воспользуемся в A4) тождеством
ехр (аЩ = fDip S(ip — Тр) ехр (ар) A5)
с функциональной J-функцией S((p — lp) = Y[x 5[р{х) — ф{х)]. Поскольку
Тр - единственное решение уравнения A) (обеспечивающие единствен-
единственность начальные или асимптотические условия подразумеваются вклю-
включенными в определение области интегрирования по <р в A5)), два равен-
равенства в A6а) эквивалентны и поэтому справедливо соотношение A66),
являющееся аналогом хорошо известного для конечномерных объектов
тождества:
r) = 0 , A6а)
S(tp -Тр) = det М ■ 6[Q(<p, ту)] , М = SQ/Sip . A66)
Напомним, что у Q и (р подразумеваются аргументы х, поэтому М =
М(х, х') = SQ(x)/S<p(x') и det M понимается как определитель линейной
интегральной операции с ядром М(х,х') (п.2.1).
Воспользуемся теперь тождеством типа B.213), представив J-функ-
цию в правой части равенства A66) интегралом по вспомогательному
полю ip' такой же природы, как Q и <р (т.е. с тем же набором индексов,
свойствами поперечности при их наличии и т.п.):
ехр WQfari)) , A7)
все нормировочные множители считаются включенными в D(p'. Вос-
Воспользовавшись в A4) соотношениями A5)—A7), придем к интегралу по
г), <р, <р'. Подставив в него явное выражение A6а) для Q и взяв гауссов
интеграл по г], получим:
G(a) = JfDipDip' detM ехр [<p'D<p'/2+ <p'(-dtp + U(<p)) + aip] . A8)
Рассмотрим подробнее detM = det[SQ/Sip]. Из представления G) и
определений Q в A6а) и Д12 в (8) имеем
М = Mo + Mi , M0 = -dt + L = -Д^1 , Mi H Sn(<p)/6<p , A9)
552 Глава. 5. Критическая динамика
поэтому det М = det Mo det[l — Д12М1]. Первый множитель - не зави-
зависящая от полей и поэтому несущественная константа, для второго по
правилу B.7) получаем:
In det[l - A12Mi] = -tr [A12Mi + Ai2MiAi2Mi/2 + ...] =
B0)
поскольку все многократные замкнутые циклы с запаздывающей (т.е.
кратной d(t — t')) линией А\2(х, х') дают нулевые вклады. Здесь важно,
что вершинные множители М\ этих циклов не содержат, по предполо-
предположению (п.1), производных dt, которые могли бы привести к стягива-
стягиваниям циклов в точку за счет превращения ^-функций в J-символы при
действии операции dt ■
Однократному циклу B0) соответствует выражение
JJdxdx'Ai2{x,x')Mi(x',x) с ядром М\{х',х) = S(t' — t)Mi(x',x), по-
поскольку определенная в A9) величина Mi = М\{х', х) = 6п(х'; <p)/S<p(x)
обязательно содержит множитель 6(t' —t) ввиду предполагаемой (п.1)
^-локальности функционала G). Отсюда следует, что в однократный
цикл B0) входит функция Ai2(x,x') с совпадающими временами t =
t'. Это неопределенная величина, поскольку Ai2 содержит множите-
множителем разрывную функцию 9(t — t'). Более точно, из определения (dt —
L)Ai2(x, x') = S(x-x') (операция L действует на переменную х) и усло-
условия запаздывания вытекает представление
А12{х,х') = 9{t-t')R{x,x') , R(x,x')\t=t' = <*(x-x'), B1)
где R(x,x') - удовлетворяющее указанному в B1) условию решение од-
однородного уравнения (dt — L)R(x,x') = 0 по переменной х. Из B1)
однозначно определяются пределы Ai2(«, х') при t ->■ t' ± 0:
Ai2{x, x') \t=f+o = S{x - х') , А12(х, х1) |t=ti_0 = 0 , B2)
а само значение Д12 при t = t' остается неопределенным.
Обычно подобные величины доопределяют полусуммой пределов:
9{t-t') \t=f = \ , А12{х,х') \t=t. = iJ(x-x') B3)
и при таком доопределении
detM = const -exp [— \jdx Mi (ж, ж)] , B4)
п.З Сведение стохастической задачи к квантовополевой модели 553
где Ml - коэффициент при временной J-функции в ядре Mi (см.выше).
Именно такое доопределение detM принимается обычно.
В этой книге мы принимаем другую точку зрения [159], а именно,
следующее соглашение: в выражении B0) для det M и во всех фейнма-
новских графиках однократный цикл с закороченной линией Д12 доопре-
доопределяется нулем, т.е. вторым из пределов B2). Тогда det M в интеграле
A8) становится несущественной константой, которую можно отбросить.
Это простейшее и естественное доопределение. Действительно, как
отмечалось в начале этого раздела, непосредственно при итерациях урав-
уравнения A) графики с закороченными линиями Д12 вообще не появля-
появляются. Но они возникают среди прочих при построении фейнмановских
диаграмм по стандартным правилам (гл.2) для интеграла A8), и един-
единственным назначением det M в A8) является точное сокращение таких
ненужных диаграмм (что имеет место, разумеется, лишь при одинако-
одинаковом доопределении закороченной линии Д12 в графиках и в det M). Про-
Простейшим (хотя, конечно, не единственным) способом обеспечения этих
сокращений является доопределение нулем закороченной линии Д12 во
всех этих объектах. Оно и принимается в дальнейшем в этой книге.
Тогда det M в A8) отбрасывается как несущественная константа,
и окончательный результат формулируется в виде следующего утвер-
утверждения: любая стохастическая задача A) полностью эквивалентна
квантовополевой модели с удвоенным числом полей ф = <р,<р' и функ-
функционалом действия
S{<j>) = <p'D<p'/2 + <pf[-dt<p+U{<p)]. B5)
Нужные интегрирования по ж и суммирования по индексам, как обычно,
подразумеваются.
Эквивалентность означает, что функции Грина стохастической за-
задачи суть обычные функции Грина квантовополевой модели B5), т.е.
определяются производящим функционалом
G(A) = \Оф exp [S(<f>) + Аф] B6)
с Оф = DipD(f' и Аф = aip+a'ip'. Обеспечивающий нормировку C@) = 1
множитель считается включенным в Бф.
Источник а' = а'(х) вспомогательного поля (р' в B6) играет роль не-
неслучайной внешней силы, поэтому вариационным дифференцированием
по совокупности источников а, а' = А воспроизводятся как корреляци-
корреляционные функции поля <р типа A.33), так и все функции отклика B).
Поэтому в дальнейшем мы не будем вводить слагаемое / в G) - роль
554
Глава 5. Критическая динамика
/ играет значение источника а1 в конечных формулах. Тогда из G) и
B5) имеем:
S(<j>) = tp'Dip'/2 + <p'[—dt<p + L<p+ n((p)] . B7)
Квадратичные по полям вклады составляют свободное действие So (ф),
вклад нелинейности <р'п((р) - взаимодействие У(ф) в обозначениях B.13).
Фейнмановские графики определяются по действию B7) стандартными
правилами гл.2. Роль линий в диаграммах играют элементы 2x2-
матрицы Д = А' затравочных корреляторов, в матричной записи
считаем <р = ф\, <р' = <^2. Матрица К находится путем симметриза-
симметризации типа B.8) квадратичных по ф вкладов действия B7):
1
О , (dt-Ly
dt-L, -D
B8)
Для таких блочных матриц с симметричной операцией Р = Рт и любой
Q
-Q-xPQ-lT , Q-1
что для Д = AT с К из B8) дает:
Ai2 = Д^ = (dt - L)-1 , Д]
О
Д22 = 0 ,
B9)
C0)
Агк\Х)Х ) ^ <С фгХ^^ФкХ^ ) ^0 Ф\ ^ Ф j *г2 — ^Р
в согласии с введенными ранее обозначениями. Поскольку функция А.\2
выбирается запаздывающей, транспонированная величина Д21 = Д^2
будет опережающей, а симметричный коррелятор Дц = Д^ содержит
оба (запаздывающий и опережающий) вклада. В силу равенства Д22 =
0 поле <р' ЕЕ ф2 может сворачиваться в диаграммах только с полем
Взаимодействию в B7) соответствует вершина с одним полем р' и
двумя или более (если п((р) ~ моном по <р) полями <р.
Всевозможные граничные или асимптотические условия на <р задачи
A), а также условия, обеспечивающие выбор нужной (запаздывающей)
функции Грина (dt — L)'1 (см. замечания в п.2.1), подразумеваются
включенными в. определение области функционального интегрирования
по ф в B6).
Сведение стохастической задачи A) к квантовополевой модели B5)
позволяет использовать весь технический аппарат и терминологию гл.2,
что и будет делаться в дальнейшем без добавочных пояснений.
п.4 Некоторые следствия свойств запаздывания 555
п.4 Некоторые следствия свойств запаздывания. Из перечис-
перечисленных в конце предыдущего раздела общих свойств линий и вершин
моделей типа B5) вытекает несколько простых, но важных следствий.
Утверждение 1. Любая 1-неприводимая или 5-матричная (п.2.2)
диаграмма с внешними линиями только основного поля (р дает нулевой
вклад из-за присутствия в ней замкнутого цикла опережающих функций
A2i.
Доказательство. Рассмотрим любую внешнюю вершину такой диа-
диаграммы. В ней есть одно поле <р', которое, по условию, не относится
к внешней линии (в них только <р по предположению), поэтому обя-
обязательно сворачивается с полем <р из какой-нибудь другой вершины в
опережающую линию Агь Переходим по этой линии ко второй вер-
вершине, там тоже есть поле <р\ которое также обязательно сворачивается
с <р из другой вершины, идем туда, и так далее. Ясно, что при таком
построении мы обязательно когда-нибудь вернемся в одну из тех вер-
вершин, где уже были, получив тем самым равный нулю замкнутый цикл
опережающих функций Дгь Это построение доказывает также и
Утверждение 2. Любая диаграмма связной функции Грина только
полей (р' (без (р), а также все вакуумные петли в модели B5) дают
нулевые вклады. Действительно, диаграммы связных функций полей
ip' сводятся к рассмотренным ранее 5-матричным диаграммам полей
ip ампутацией затравочных внешних линий < ip'ip >, а на вакуумные
петли приведенное выше построение обобщается непосредственно.
Для одновременных функций Грина к аналогичному результату при-
приводит не только возврат в одну из уже посещенных ранее вершин в
предыдущем построении, но и выход в любую другую внешнюю вер-
вершину, поскольку она имеет, по условию, то же время, что и началь-
начальная, и это эквивалентно появлению замкнутого цикла временных 9-
функций. Поэтому нулевыми будут вклады всех тех диаграмм, для ко-
которых можно хотя бы начать указанное построение, что обеспечивается
наличием хотя бы одного внешнего аргумента <р для 1-неприводимых и
S-матричных функций или хотя бы одного поля <р' в связных функциях.
Отсюда следует
Утверждение 3. Все нетривиальные (отличные от затравочной)
диаграммы одновременных 1-неприводимых или 5-матричных функций
хотя бы с одной внешней линией <р или связных функций хотя бы с од-
одним полем <р' дают нулевые вклады. В частности, всегда < <р' >= О,
поэтому функция отклика < <р<р' > совпадает со своей связной частью
(= коррелятором).
Оговорка относительно тривиальных затравочных вкладов относит-
556 Глава. 5. Критическая динамика
ся лишь к функциям типа < <р<р' >: для связной функции < <р<р' >
затравочным вкладом является Ai2, что соответствует затравочному
вкладу — Д^1 = —dt + L для 1-неприводимой функции < (р'(р >iH, -
только эти вклады остаются при совпадении времен в соответствующих
точных функциях Грина.
Отсюда следует, что для функции отклика C), т.е. точной связной
функции < <р!р' >, предельные значения при t ->• t' = ±0 те же, что и у
ее затравочного вклада B2):
Вместо предела t — t' — 0 мы напомнили точное свойство запаздывания
функции отклика (п.1).
Замечание: из вида предела при t = t' + 0 в B2) следует, что опреде-
определенная как запаздывающая функция Грина линейной асимптотической
задачи (п.1) величина Д^ж, х') является одновременно функцией Грина
задачи Коши с начальными данными в момент t', т.е. свертка Д12 с
начальными данными есть искомое решение задачи Коши.
п.5 Критерий устойчивости системы в стохастической ди-
динамике. В статике критерием устойчивости системы в теории Ландау
являлось требование существования абсолютного минимума энергии,
т.е. максимума функционала действия (п. 1.13); в точной теории дей-
действие S((p) в приведенной формулировке следует заменить функциона-
функционалом Т((р) (п.2.9), для которого действие является нулевым приближе-
приближением по числу петель.
Но этот критерий относится лишь к реальным полям <р и необяза-
необязателен для различных вспомогательных полей, вводимых искусственно
как множители Лагранжа и т.п. (см.п.п.2.19 и 2.27).
Уже отсюда ясно, что статический критерий устойчивости непри-
неприложим к модели B5), содержащей нефизическое вспомогательное поле
ip' (выступающее в A7) как множитель Лагранжа), без которого кван-
товополевая переформулировка задачи A) невозможна.
В стохастической динамике критерий устойчивости системы доста-
достаточно просто формулируется лишь для малых возмущений (аналог ло-
локального минимума энергии) в терминах функции отклика как требо-
требование ее исчезновения в пределе t — t1 ->■ 00:
< <p{x)fi{x') > -)• 0 при t -1' -)• +00 . C2)
Физически это соответствует требованию затухания всех малых возму-
п.6 Уравнения для одновременных корреляционных функций 557
щений, поскольку функция отклика, по определению, является коэффи-
коэффициентом линейной реакции системы на возмущение внешней силой.
Для корректности процедуры итераций уравнения A) (тем самым
и диаграммной техники) необходима устойчивость как точной, так и
свободной (линейной) задачи. Последняя обеспечивается условием
Ai2(z, х') ->• 0 при *-*'->• +оо & Re L < 0 , C3)
где ReL - вещественная часть линейной операции i в G), (8).
Все сказанное выше справедливо как для стандартной постановки
(п.1), так и для задачи Коши с начальными данными. В первом случае
в силу трансляционной инвариантности функций Грина двухаргумент-
ные величины типа C) зависят лишь от разности х — х'. Преобразо-
Преобразование Фурье таких функций при i-мерном х всегда будет определяться
аналогичными A.35) соотношениями:
F(x, х') = {2'K)~d~1JdbjJdk F(u, k) exp [-iw(t-t') + ik(x - x')] , C4a)
F{uj, k) = Jdtfdx F{x, x1) exp [iu(t - t') - ik{x - x')] , C46)
где w - частота, k - волновой вектор (= "импульс" в терминологии пре-
предыдущих глав). Как и в A.35), интеграл по х = t,x в C46) можно
заменить интегралом по х' или по разности х — х'.
Критерий устойчивости C2) для трансляционно-инвариантной функ-
функции отклика в терминах ее фурье-образа F(w, k) выралсается требова-
требованием аналитичности по ш в верхней полуплоскости, что для затравоч-
затравочной функции Д12 эквивалентно условию на L в C3).
п.6 Уравнения для одновременных корреляционных функ-
функций поля у. Переменную t в этом разделе будем выделять и указывать
явно в виде индекса, рассматривая ее как фиксированный параметр, в
отличие от переменной х (координаты и индексы), считающейся аргу-
аргументом функций.
Рассмотрим семейство одновременных корреляционных функций ос-
основного поля <р(х) = ^(i,x) = £>s(x) и их производящий функционал
gt{&), где a = а(х) - не зависящий от времени источник для поля у>г(х).
Справедливо следующее утверждение: если коррелятор D в A) имеет
вид _
D(x,x') = 6{t~t')IJ{x,x') C5)
с произвольным симметричным ядром D, то функционал gt{a) удовле-
удовлетворяет уравнению
dtgt{a) = a [U(<p) \v=s/sa + \Щ 9t(a) . C6)
558 Глава 5. Критическая динамика.
Выражение в квадратной скобке C6) и множитель а перед ней имеют
по одному аргументу х, которые сворачиваются между собой (интегри-
(интегрирование по координатам и суммирование по индексам).
Уравнение C6) выполняется как для стандартной постановки (асимп-
(асимптотическая задача на всей оси времени), так и для задачи Коши. В
первом случае из C5) вытекает трансляционная инвариантность по вре-
времени всех функций Грина и, как следствие, независимость от t одновре-
одновременных функций и их производящего функционала gt (a), поэтому обе
части равенства C6) в этом случае должны обращаться в нуль. От-
Отметим, что трансляционная инвариантность по времени нарушается,
в частности, при появлении в ядре D в C5) явной зависимости от t.
Все формулы данного раздела на этот (реально экзотический) случай
обобщаются непосредственно заменой £>(х,х') ->■ £>г(х,х') = D(t;x,x').
Доказательство [159]. Из A4) имеем:
(а) = const fDr) exp [—r)D~1r)/2 + aipt] , C7)
где 7pt - зависящее функционально от rj решение уравнения A) в момент
t, алрг = f dx a{x)lpt(x) и, в силу равенства C5),
3t
цО-^ц = fdtffdxdx' ^(x)(P)-1(x,x')%(x') . C8)
Дифференцируя равенство C7) по t, с учетом A) получаем:
dtgt{a) = < adtVt » = < a [Ufa) + rjt] > , C9)
через <С^> здесь и далее обозначается выражение в правой части C7)
с дополнительным множителем F под знаком интеграла.
Воспользуемся теперь уравнением Швингера (п.2.11) для интеграла
C7): 0 = fDr] Sexp[.. .]/Srjti(x'). При учете соотношения C8) тогда
получим:
1(x/>x")fft'(x") + fdx а(х)<^(х)/<Мх') » = 0 . D0)
Мы хотим положить здесь t = t'. Вариационная производная
S^pt(x)/Srjt'(x') - частный случай функции отклика для системы с фик-
фиксированным значением ц. Поэтому она имеет обычные свойства функ-
функций отклика, в частности, скачок при t = t' с указанными в C1) преде-
пределами при t —> t' ± 0. В данном случае необходимо (обоснование ниже)
доопределение типа B3):
п. 7 Уравнение Фоккера-Планка, 559
Подставив в равенство D0) с t = t' выражение D1) и свернув результат
с ядром £>(х,х') по аргументу х', получим:
< —77* + Da/2 » = 0 , D2)
в подробной записи <^С —»7t(x) + f dx' £>(х, х')а(х')/2 3> = 0.
Равенство D2) позволяет заменить щ в C9) выражением Da/2. Если
еще учесть, что умножение на Щ под знаком интеграла C7) эквива-
эквивалентно его дифференцированию по а, то из C9) сразу получим искомое
уравнение C6).
В случае задачи Коши A) с заданным начальным значением ро(х)
при t = 0 уравнение C6) дополняется начальными данными до{а) =
exp(aipo), а зависимость gt{a) от t исчезает лишь в асимптотике
t —>■ +оо. Отметим, что выбор отличного от линейной экспоненты на-
начального значения до{о) позволяет воспроизвести задачу Коши со стоха-
стохастическими начальными данными. Для стандартной постановки (п.1)
функционал gt{a) не зависит от t, что естественно, поскольку асимп-
асимптотическую задачу можно понимать как задачу Коши с начальными
данными при t = — сю, поэтому к любому конечному моменту t стацио-
стационарность "успевает установиться".
Поясним теперь выбор доопределения D1). Подставив в уравнение
C6) функционал U в форме G), можно искать стационарное (не завися-
зависящее от времени) решение для д(а) итерациями по степеням нелинейно-
нелинейности п(<р). Результат можно представить в форме некоторой новой (не
фейнмановской) диаграммной техники. Тот же самый результат дол-
должен получаться непосредственно из диаграмм п.2 для корреляционных
функций, если положить в них все внешние времена равными и выпол-
выполнить явно интегрирования по временам всех внутренних вершин. Про-
Проверка показывает, что получаемые этими двумя способами выражения
для д(а) действительно совпадают, чем фактически и оправдывается
в общем случае использование при выводе уравнения C6) на первый
взгляд произвольного доопределения B3). Его можно также проконтро-
проконтролировать на частном примере точно решаемой свободной задачи.
п.7 Уравнение Фоккера-Планка для одновременной функ-
функции распределения поля <р. Утверждение C6) молено переформули-
переформулировать в виде уравнения для одновременной функции распределения
Pt(f) конфигураций <р(х) случайного поля y>s(x), определив ее следу-
следующим образом:
gt(a) = fD<p Pt(<p) exp (a<p) , <p = <p(x) , a = a(x) . D3)
Ясно, что действие операции S/Sa на интеграл D3) эквивалентно умно-
умножению подынтегрального выражения на (р, а умножение на а эквива-
560 Глава 5. Критическая динамика.
лентно дифференцированию по <р экспоненты в D3) и переходит в опе-
операцию —5/5(р после переноса производной на Pt {(p) интегрированием по
частям. Указанные замены S/Sa —> <p, a —>■ —8/8<р позволяют сразу
же переписать C6) в виде следующего уравнения Фоккера-Планка для
функции распределения:
\±]}Ш = О. D4)
В стационарном случае (стандартная задача) Pt(f) не зависит от t, и
тогда вклад dt в D4) исчезает.
Рассмотрим в качестве простейшего примера задачу E). В этом
случае <р(х) = {г,-} - не зависящий от х вектор координат блуждающей
частицы, U = О, D = 2aSik согласно E) и A), поэтому D4) - обычное
уравнение диффузии:
[dt - ad2] Pt(x) = 0, D5)
где д2 - оператор Лапласа, а - коэффициент диффузии, и мы заменили
аргумент г функции Pt более привычным х. Стандартная постановка
задачи для уравнения D5) не имеет смысла ввиду отсутствия стацио-
стационарных решений, совместных с естественным условием нормировки
/dxPt(x) = 1. D6)
Для этой системы и ее различных обобщений всегда ставится задача
Коши с начальными данными
Р0(х) = *(х) , D7)
что соответствует старту блуждающей частицы при t = 0 из начала
координат. Из уравнения D5) вытекает стационарность интеграла в
D6), поэтому выполнение условия нормировки D6) при любом t > О
обеспечивается его выполнением при t = 0. Отметим также, что для
решения уравнения D5) с начальными данными D7) величина
0(*-*')Pt_t»(x-x') D8)
является запаздывающей функцией Грина линейной операции в уравне-
уравнении D5).
п.8 Соотношение между динамикой и статикой для стохас-
стохастического уравнения Ланжевена. Справедливо утверждение: пусть
коррелятор в A) имеет вид C5), a U представим в виде
п.8 Соотношение между динамикой и статикой 561
где S3t {(р) - некоторый не содержащий времени (= "статический") функ-
функционал от (р(х) (указанная явно в Dа) замена <р(х) ->■ <р(х) при переходе
от статических объектов к динамическим в D9) и аналогичных форму-
формулах всегда подразумевается). Тогда уравнение D4) имеет стационарное
решение
Pt(<p) = const -exp Sst{if) , E0)
единственное в рамках теории возмущений.
Действительно, при подстановке D9) и E0) в уравнение D4) вклад
dt исчезает, линейная операция D/2 выделяется общим множителем и
уравнение удовлетворяется в силу равенства
«Ы = 0. E!)
<Mx)
В рамках теории возмущений одновременные корреляционные функ-
функции, поэтому и соответствующая функция распределения Р(р) в D3),
определяются однозначно (п.1). Константа в E0) фиксируется условием
нормировки gt@) — 1 интеграла в D3), вытекающим из определения
9t{a).
Ясно, что стационарное решение возможно лишь для стандартной
постановки, но не для задачи Коши с отличными от функционала E0)
начальными данными.
Следствие: для стохастической задачи Ланжевена D) функционал
E0) является стационарным решением соответствующего уравнения
Фоккера-Планка D4). Действительно, необходимое условие C5) для
коррелятора D6) выполнено, причем D — 2а, что для уравнения Dа)
соответствует условию D9).
Смысл этих утверждений прост: для задачи D) в стандартной по-
постановке одновременные динамические корреляционные функции не за-
зависят от времени и совпадают со статическими функциями для равно-
равновесного распределения E0) с заданным в Dа) статическим действием.
В этом и состоит условие согласованности динамики и статики для
задачи D). Фактически именно оно и определяет выбор коррелятора
шума в форме D6). В случае задачи Коши равновесное распределение
E0) реализуется, конечно, лишь в асимптотике t —> +°°, когда исче-
исчезает зависимость от времени и от начальных данных (в предположении
устойчивости системы).
Приведенное выше доказательство согласованности динамики и ста-
статики обобщается и на одновременные корреляционные функции с лю-
любыми локальными составными операторами F (<р), построенными только
562 Глава 5. Критическая динамика
из полей <р. [Для доказательства нужно сделать замены a<pt —>■ a<pt +
bF(ipt) в C7) и ар ->• cup + bF(<p) в D3), где b = {6(х)} - добавоч-
добавочные источники составных операторов. Это приведет к замене a ->■
а + bSF(<p)/S(f \v=s/sa обоих множителей а в C6), а уравнение Фоккера
- Планка D4) и его стационарное решение E0) останутся прежними.]
Как уже говорилось, даже при выполнении условия C5) общая за-
задача A) не всегда сводится к D), поскольку статический функционал
(D)'1!/^) не всегда может быть представлен, как в D), в виде чьей-
то вариационной производной (подобно тому, как не всякое векторное
поле является чьим-нибудь градиентом), - контрпримером может по-
послужить, например, уравнение Навье-Стокса F). Разумеется, и в этом
случае можно строить стационарное решение Р(<р) уравнения D4) ите-
итерациями по нелинейности, назвав затем величину In P(<p) равновесным
статическим действием для данной динамической задачи. Но это будет
объект той же степени сложности, что и сами функции Грина, поэтому
практически такая процедура не используется.
Уравнение D) описывает простейшую чисто релаксационную дина-
динамику системы с заданной статикой: максимуму действия Sst(<p), т.е.
минимуму энергии в теории Ландау, соответствует некоторая равно-
равновесная конфигурация (р0 = const (п. 1.13), регулярный вклад в правой
части уравнения Dа) можно истолковать как "силу", возвращающую
систему в равновесное состояние, а вклад случайной силы г)(ж) - те-
тепловые флуктуации. В простейшем линейном приближении без учета
шума из уравнения Dа) следует
dt6£(t,k) = - a(k) ■ А'1 (к) -8ip{t,k) , E2)
где 6<p(t, к) - фурье-компонента флуктуации Sip(x) = ip(x) — щ с импуль-
импульсом (= волновым вектором) к, а(к) - фурье-образ коэффициента Онза-
гера а в D) и Д = -S2Sst(<p)/Sip2 \ip=Vo - обратный коррелятор поля
<р в приближении Ландау (п.1.12). Если <р - поле параметра порядка, то
значение А(к = 0) имеет смысл статической восприимчивости (п.1.9).
В критической точке она расходится, что ведет к аномальной малости
коэффициента в правой части равенства E2) для малых к. Опреде-
Определение: мягкой модой называют любую величину, крупномасштабные
флуктуации которой медленно релаксируют, т.е. в импульсном пред-
представлении скорость релаксации флуктуации с заданным волновым век-
вектором к стремится к нулю при к —У 0.
Из сказанного выше следует, что поле параметра порядка непосред-
непосредственно в критической точке всегда является мягкой модой. Мягкими
модами являются также, причем независимо от близости к Тс, плотно-
п. 9 Общие принципы, межмодовое взаимодействие 563
сти р(х) = p(t,x) любых сохраняющихся величин, поскольку из закона
сохранения
dtfdxp(x) = 0 E3)
для фурье-образа р получаем dtp{t, к = 0) = 0, что соответствует опре-
определению мягкой моды. Примерами сохраняющихся величин являются
любые генераторы непрерывной группы симметрии системы (например,
все три компоненты полного спина для изотропного ферромагнетика
Гайзенберга), полные энергия, импульс, масса жидкости или газа и
т.п.. Уже из этих примеров видно, что в некоторых случаях (плотность
газа, спин для изотропного ферромагнетика) само поле параметра по-
порядка является плотностью сохраняющейся величины, т.е. удовлетво-
удовлетворяет условию типа E3). Тогда оно должно быть мягкой модой даже
вдали от Тс, что может быть обеспечено лишь малостью при малых к
коэффициента Онзагера 5(fc) в соотношении E2),т.е. условием 5@) = 0.
Этим оправдывается следующее простое правило выбора коэффициента
Онзагера:
dtfdx <р(х) = 0 => a(k) = const ■ к2 , E4а)
dtfdx <р(х) ф 0 => a(k) = const . E46)
Для пояснения добавим, что в общем случае а(к) предполагается ре-
регулярной в нуле функцией к2, а в критической области (малые к) всегда
можно ограничиться лишь ведущим членом ее асимптотики при к —> 0.
Если параметр порядка (в общем случае компонента поля в левой ча-
части уравнения Dа)) не сохраняется, т.е. не удовлетворяет условию типа
E3), то для нее всегда считается а(к) = 5@) = const. При наличии со-
сохранения необходимо (см. выше) равенство 5@) = 0, поэтому ведущим
является следующий член разложения по к2, что соответствует пра-
правилу E4). Для многокомпонентного поля <р коэффициент а является в
общем случае матрицей по индексам, тогда правило E4) относится к ее
строкам.
п. 9 Общие принципы построения моделей критической ди-
динамики, межмодовое взаимодействие. В критической статике мы
имели дело лишь с полем параметра порядка. В динамике все гораздо
сложнее, так как во многих случаях при построении реалистических мо-
моделей необходимо учитывать взаимодействие поля параметра порядка
с другими мягкими модами (типичный пример - учет движения среды
при описании динамики перехода газ-жидкость). Обоснование конкрет-
конкретных динамических моделей - отдельная задача, которой посвящена об-
обширная литература, ссылки можно найти в обзорах [153, 160]. Эти
564 Глава 5. Критическая динамика.
вопросы выходят за рамки данной книги, и мы обсудим здесь лишь не-
некоторые общие принципы построения моделей критической динамики,
а затем поясним их конкретными примерами. С этого момента, го-
говоря о динамических уравнениях, всегда будем иметь в виду только
стандартную постановку задачи на всей оси времени с трансляционно-
инвариантными функциями Грина (п.1).
Анализ начинается с выделения всех существенных для динамики
параметра порядка мягких мод, их набор и есть в общем случае мно-
многокомпонентное поле <р = {<ра} — {ф, ■ ■.}. Через ф здесь и далее обо-
обозначается поле параметра порядка, многоточие - прочие существенные
мягкие моды, если они имеются. Считается, что взаимодействие мяг-
мягких мод можно описать гидродинамическими уравнениями типа A), при
этом шум эффективно воспроизводит жесткие (мелкомасштабные и бы-
быстро осциллирующие) вклады. В критической динамике функционал U
в правой части уравнения A) всегда содержит явно указанный в Dа)
релаксационный (диссипативный) вклад, определяемый заданным ста-
статическим действием для системы полей ip, плюс в общем случае не-
некоторые недиссипативные (обратимые во времени) взаимодействия, не
влияющие на равновесную функцию распределения E0). Такие взаимо-
взаимодействия принято называть межмодовой связью ("streamings terms"), a
весь этот формализм - теорией взаимодействующих мод ("mode cou-
coupling theories"). Первый пример межмодовой связи был рассмотрен в
работе [161], общая теория построена в работах Каданова и Свифта
[162] и Кавасаки [163]. Введенное в этих работах обобщение задачи
D) на случай системы полей (р = {<ра} имеет вид (по повторяющимся
индексам всегда суммирование)
f]a, < ЫФь(х') >= 2ааЬ6(х - х1), E5)
где ааь = otja - коэффициенты Онзагера, а в (Заь - некоторые новые
коэффициенты межмодовой связи со свойствами:
РаЬ = -PL , <У/?«б(х;^)/^в(х) = 0 E6)
(символ транспонирования "т" относится к возможным операциям типа
д в коэффициентах ааь и /Заь, т.е. в целом а = аТ, /3 = -/?т).
Поясним подробнее эти свойства и общий вид коэффициентов /Заь-
Как и ааь, это некоторые статические (т.е. не содержащие явно t и dt)
локальные и трансляпионно-инвариантные (т.е. не содержащие явной
зависимости от х) линейные операции на полях (р(х) и других объектах
п.9 Общие принципы, межмодовое взаимодействие 565
аналогичной природы (как в уравнении E5)). Но в этих коэффици-
коэффициентах, в отличие от ааь, допускается локальная зависимость от полей
<р{х.) и их (т.е. только пространственных) производных, тем самым и
неявная (через поле) зависимость от х. При подстановке в динамиче-
динамические конструкции во всех статических объектах подразумевается замена
<р(х.) —> <р(х), вводящая неявную (через поле) зависимость и от вре-
времени t. Это относится и к коэффициентам /?, поэтому для них имеют
смысл обе формы записи: статическая /Заь = /?аь(х; ip) и динамическая
/?аб = (Заь{х;<р) с полем ip = <р{х) в первом случае и ip = ip(x) во вто-
втором. Выбор между ними в конкретных формулах всегда ясен по кон-
контексту. Во втором соотношении E6) использована статическая форма
записи, из нее автоматически следует динамический аналог с заменой
х ->■ х, (р(х) ->■ <р{х). Вариационная производная в E6) кратна <У@), но
само равенство E6) должно выполняться не в силу правила £@) = 0,
постулируемого только в схеме размерной регуляризации, а вследствие
общей структуры и свойств симметрии коэффициентов C (см. примеры
вп.12).
Уравнение Фоккера-Планка D4) для задачи E5) имеет вид
dt + w.
Его стационарным решением является тот же, что и при /3 = 0, функ-
функционал E0) в силу равенства
S£M}"{v) = o E8)
(мы указали явно подразумеваемое в D4) интегрирование по х), спра-
справедливость которого обеспечивается двумя условиями E6).
Таким образом, межмодовое взаимодействие в E5) не оказывает ни-
никакого влияния на статическое равновесное распределение, задаваемое
функционалом Sst(ip). В этом смысле динамика "менее универсальна",
чем статика, поскольку при одном статическом действии можно иметь
много разных динамических моделей с разной межмодовой связью. В
конкретных моделях (п.12) коэффициенты /?аЬ определяются по виду
преобразований симметрии, генераторами которых являются дополни-
дополнительные мягкие моды.
Следует также отметить, что в статике мы имели дело лишь с полем
параметра порядка ф и соответствующим действием Sst(ip), а в дина-
динамике функционал Sst(<p) при наличии добавочных мягких мод является
566 Глава. 5. Критическая динамика
некоторым обобщением Sst(ip). Это обобщение, разумеется, не должно
искажать известное по Sst(ip) равновесное распределение для ф, -допу-
-допустима лишь ренормировка входящих в него параметров, не влияющая на
универсальные характеристики критической статики. Это требование
существенно ограничивает возможный вид взаимодействия поля пара-
параметра порядка ф с добавочными мягкими модами в Sst(<p) и заведомо
выполняется при отсутствии такого взаимодействия.
Помимо основных условий E6), обеспечивающих отсутствие влия-
влияния на статику межмодового взаимодействия, последнее в конкретных
моделях всегда удовлетворяет условию ^-обратимости. Это значит, что
динамическое уравнение E5) с чисто межмодовой правой частью (т.е.
без шума и вклада с а) инвариантно относительно операции отражения
времени. Последней соответствует некоторое преобразование полей:
<р{х) -»■ <рт(х) = 1?{Тх) , I2 = 1, Tx = T{t,x} = {-t,x} . E9)
Задающая представление дискретной операции Г-отражения матрица
/ = 1~х обычно (но не всегда) просто диагональна, и тогда ее диаго-
диагональные элементы еа = ±1 определяют 2-четность соответствующей
полевой компоненты (ра ■ При Т-отражении E9) все времена и операция
dt в динамическом уравнении E5) меняют знак, в конкретных моделях
функционал S3t (<p) на полях >р(х) всегда инвариантен относительно за-
замены (р(х) ->• 1<р(х), поэтому его вариационная производная преобра-
преобразуется транспонированной матрицей П. Т-инвариантность (обрати-
(обратимость) межмодового взаимодействия означает, что оно преобразуется
точно так же, как производная dt<p в левой части E5), т.е. матрицей —/,
тогда как диссипативный вклад с коэффициентами ааь преобразуется
матрицей /, поэтому меняет знак относительно dt(f. Все это обеспечи-
обеспечивается следующими свойствами матриц а и /? = /?(х; <р) (статическая
версия) в уравнении E5):
1аГ = а, 1/3(х;1<р)Г = -/?(х;р). F0)
В конкретных моделях (см. п. 12) эти свойства всегда выполняются.
Приведем в заключение соответствующий задаче E5) функционал
действия B5):
-dtlp+(a + /3)°-^-\ F1)
с подразумеваемыми нужными интегрированиями и суммированиями.
п. 10 Функции отклика на внешнее поле. Стационарному внеш-
внешнему полю /г(х) соответствует вклад h(p = J dx h(x)(p(x) в статическом
п. 10 Функции отклика, на внешнее поле 567
действии. Для определения динамических функций отклика на внеш-
внешнее поле h его следует считать зависящим также и от времени, вводя в
задачу посредством замены
Sst (р) -). 5"' (<р) + fdx h(x)<p(x) , F2)
которой в действии F1) соответствует замена
•hip, ip = <p'(a + [3) = (a — /3)<p' F3)
(напомним, что матрица а симметрична, а /3 - антисимметрична). Ди-
Динамические функции отклика величины < <р > на поле h определяются
следующим образом:
| F4)
= fD<f> <р{хIр{х[). ..Щх'п) exp J
Аналогично можно ввести более сложные функции отклика на внешнее
поле любых корреляторов < <р{х{) • • .<р(хп) >.
При отсутствии межмодовой связи (/? = 0) сопряженное с h(x) в F3)
поле Тр~(х) отличается от <р'(х) лишь не зависящим от полей ф множи-
множителем а, и тогда величины F4) просто связаны с введенными в п.1
функциями отклика на внешнюю силу < tp(x)ip'(х[).. .ip'(x'n) >. Но в
общем случае при /?(^) ф 0 поле Тр в F3) - составной оператор, и тогда
различие между этими двумя типами функций отклика существенно.
Из определений очевидно, что функции B) и F4) обладают одина-
одинаковыми свойствами запаздывания (п.1). Для функций F4) справедливо
также следующее важное соотношение:
f...fdi'1...dtlnR(x;xl1...x'n) =<£(x)£(xi)...£(x;)>,t . F5)
Для доказательства рассмотрим частный случай стационарного внеш-
внешнего поля h(x) = h'(x). Тогда его добавка в F2) ведет лишь к изменению
статического действия добавкой h'(p = f dx h'(x)ip(x). Для стандартной
задачи динамическое среднее одного поля < <р{х) > всегда совпадает со
статическим (п.8), поэтому при любом ft'(x):
< tp{x) > = $D(j> (p(x) exp [£(</>) + hip] =
F6)
568 Глава 5. Критическая динамика
(нужные нормировочные множители считаются включенными в Бф и
Dip). Ясно, что коэффициенты тэйлоровского разложения по h'(x) ста-
статического функционального интеграла в F6) суть статические корре-
корреляционные функции в правой части равенства F5). С другой стороны,
те же коэффициенты для динамического функционального интеграла в
F6) с линейной формой hip = f dx h'(x)lp(x) = f dx h'(x) f dt ip(t,x) -
левые части F5) согласно определению F4), что и требовалось дока-
доказать.
Равенство F5) означает, что динамические функции отклика F4) с
нулевыми внешними частотами совпадают со статическими корреляци-
корреляционными функциями. Это утверждение оказывается очень полезным (по-
(подобно тождествам Уорда) при доказательстве различных связей между
константами ренормировки в конкретных моделях [158].
п.11 Флуктуационно-диссипационная теорема (FDT).TaKHa-
зывают следующее равенство (см., например, [164]), связывающее про-
простейшую из функций отклика F4) R(x; x') с динамическим коррелято-
коррелятором < <р(х)<р(х') >= С(х,х') (возможные индексы считаются включен-
включенными в аргумент х):
R{x;x') = -9{t-t') dtC(x,x') , F7)
или, эквивалентно (при учете запаздывания R и симметричности С),
R{x;x')-R{x';x) = -dtC{x,x') . F8)
Для получения соотношения F8) из F7) нужно вычесть из F7) ана-
аналогичное равенство с перестановкой х <-> х' и последующей заменой
dt> ->■ — dt, возможной в силу трансляционной инвариантности функций
Грина; обратный переход от F8) к F7) очевиден при учете свойства
запаздывания функции R. В импульсно-частотном представлении C4)
равенство F8) принимает вид
R(uj, к) - Rt{-uj, -к) = iuj С{ш, к) , F9)
символ транспонирования относится здесь лишь к матричным индек-
индексам.
Доказательство. При /»^0с учетом соотношений F3) имеем
ф) exp [Sfo) + у/(а + 0)h] , G0)
где 3(ф) - функционал F1). Согласно определению F4), функция от-
отклика R(x; x') есть вариационная производная выражения G0) по h(x')
п. И Флуктуационно-диссипационная теорема (FDT) 569
при h = 0. Если дифференцировать сам интеграл в G0), получим для
R представление типа F4). Ту же самую величину можно представить
иначе, если дифференцировать по h после взятия гауссового интеграла
по if1 в G0). Тогда получим
-2Щх;х') = cfDtp ф) А(х') exp S(<p) = <&<р{х)А{х') » , G1)
где с = det[— а/тг]'2 - несущественная константа, <^ ... ^> - удобное
для дальнейшего обозначение интегрирования по <р с весом cexpS(tp) и
S = -Fa-1F/4, F = -dt<p+{a + P)[6Sst/S<p], G2a)
А = Fa-X{a + I3) = A - /to)*1 = -dt<p + В , G26)
В = a[6Sst/6<p] + /За-1^ - 0[6Sst/6<p] ) . G2в)
Величины <р, F,A, В нужно воспринимать как векторы по индексам <р,
величины а, а,/? - действующие на них справа или слева матрицы
(перенос матрицы слева направо или наоборот сопровождается ее транс-
транспонированием, ат = а, /?т = —/?), S(ip) в G2а) - квадратичная форма
с ядром а, нужные аргументы х и интегрирования по ним везде под-
подразумеваются .
Было показано (п.9), что при Т-отражении E9) величины dt<p и
/3[6Sst/Sip] преобразуются матрицей —/, а <р и a[SSst/6<p] - матрицей
/. Величины первого типа будем называть "/-нечетными", а второго
— "/-четными". С помощью соотношений F0) нетрудно убедиться, что
все вклады в выражении G2в) для В являются /-четными (отметим,
что при подстановке F из G2а) в выражение G26) происходит взаимное
сокращение двух /-нечетных вкладов). В обозначениях G1), G2) имеем
-2Д(ат; ат') = « ф)[-д*ф') + В(х')] > , G3)
причем вклады с dt>ip(x') и В(х') имеют разную /-четность.
Покажем теперь, что действие S(ip) в G1) Г-четно, т.е. инвариантно
относительно Т-отражения E9). В квадратичной форме Fa~lF в вы-
выражении G2а) для S "вектор" F есть сумма /-четного и /-нечетного
вкладов. Из первого равенства F0) следует, что в форме Fa~xF произ-
произведения вкладов F с одинаковой /-четностью дают Т-четный вклад в S.
Поэтому Т-нечетный вклад может порождаться только перекрестным
членом формы Fa~xF, кратным выражению
570 Глава 5. Критическая динамика
Оба вклада в правой части равны нулю: второй - в силу антисимме-
антисимметричности матрицы /?, а первый сводится к интегралу от полной произ-
производной. Действительно, в подробной записи (см. D)) этот вклад имеет
вид -fdx dt<p(xNSst{<p)/S<p(x) |,= -fdi dtL(t), где Щ = Sst{<p) |„ а
знак |* везде обозначает замену ip(x) ->■ <р(х).
Таким образом, действие S(<p) Т-инвариантно, поэтому инвариантны
и все средние <SC ... ^> с весом expS(<p), в частности,
< 1р{х)[-дьчр{х') + В(х')] » = / «С ^(хЩхрСх1) + ВСх1)] » Г , G5)
где ~х = Тх, х' = Тх' и учтены известные (см.выше) свойства /-четности
всех величин (равенство G5) матричное).
Учтем теперь свойство запаздывания функции отклика, из которого
следует, что правая часть равенства G3) исчезает при t <t', т.е.
< <p(x)dt«p{x') » = < <р{х)В(х') » при t < t' . G6)
Возьмем в G5) t > t', тогда в правой части будет t < t и для нее
можно воспользоваться соотношением G6). Оно позволяет заменить
всю правую часть равенства G5) удвоенным вкладом ее первого сла-
слагаемого, совпадающим с вкладом первого слагаемого в левой части
G5) вследствие Т-инвариантности. Таким образом, при t > t' имеем
С <p(x)[-dt«p{x') + В{х')] >= -2 <£ <p(x)dt'<p{x') », что с учетом за-
запаздывания, трансляционной инвариантности по времени и соотноше-
соотношения G3) эквивалентно искомому равенству F7).
Точно так же доказывается следующее обобщение FD-теоремы F7):
< М(х) ■ Щх') ■ N(x') >= 0{t-1') < М{х) ■ dt'<p{x') ■ N(x') > , G7)
где 1р = <р'{а + /?) из F3), а М и N - любые построенные только из по-
полей <р (без ip') и их производных локальные составные операторы любой
тензорной природы по индексам полей (свободным или с любыми сверт-
свертками), имеющие определенную /-четность. Последнее нужно лишь для
обеспечения взаимной пропорциональности правых частей аналогичных
G3),G5) соотношений для объектов в G7). Равенство F7) - частный
случай G7) с вектором М = <р и N = 1. Еще один пример - соотношение
B70) в п.26, в котором М - скаляр, а N ~ нетривиальный вектор, свер-
свернутый по индексам с <р{х') в левой и с <р(х') в правой частях равенства
G7).
п. 12 Примеры конкретных моделей критической динамики.
В этом разделе мы приведем стандартный список [153] конкретных ди-
динамических моделей. Все они соответствуют статической Оп-|£>4-модели
п. 12 Примеры конкретных моделей 571
с разными значениями п для поля параметра порядка, их физический
смысл поясняется в п. 13. В этой главе мы условились обозначать поле
параметра порядка через ф (а через <р - набор всех полей), поэтому
статическое действие тила A.63) для ф(х) будем записывать в виде
S"(ifr) = -(дфJ/2 - тф2/2-^(ф2J/24 Gg)
с подразумеваемым интегрированием по J-мерной координате х и нуж-
нужными суммированиями по Оп-индексам ф при их наличии (п. 1.14), так
же и в других статических функционалах. Заряд g из A.63) мы обозна-
обозначили в G8) через vi, добавочные параметры взаимодействия в различ-
различных моделях будем обозначать для единообразия через V2, v3,.... Все
это вещественные константы, как и параметры А > 0 в различных ко-
коэффициентах Онзагера а, которые будут вводиться ниже.
Все модели олисываются стандартными уравнениями E5), поэтому
при их формулировке мы будем указывать лишь набор полей <р, вид
Sst(<p) и коэффициентов ааь и /?аь, а также вид матрицы / в E9). Если
не оговорено противное, все поля следует считать вещественными, а ф
- n-компонентным, понимая G8) как Оп-симметричную модель. Для
коэффициентов ааь = aj, и /?„{, = —/?^а всегда будет приводиться лишь
одно из этих значений (второе по симметрии), для недиагональных ко-
коэффициентов будем также использовать обозначения ааь = <х[<ра,<рь] и
/?аЬ = /3[<ра,<Рь] с конкретной расшифровкой компонент фа^фъ- Исполь-
Использование обозначения аа всегда подразумевает, что для данной компо-
компоненты if а соответствующая строка матрицы а диагональна (т.е. ааь =
&а$аь)- Все не указываемые явно коэффициенты ааь и /?аь, кроме получа-
получаемых перестановкой аЬ —у Ьа, следует считать равными нулю. Термин
"сохраняется" для поля всегда понимается просто как сокращение от
"является плотностью сохраняющейся величины" (п.8).
Переходим к описанию конкретных моделей [153]. Первые четыре
модели A-D - чисто релаксационные (/Заь — 0), А и В - простейшие, С
и D - их усложнения.
Модель А. В ней ip = ф (только поле параметра порядка) со стати-
статическим действием G8) и а^ = \ф (здесь и далее Ха = const > 0 Va).
Модель В. То же, что и модель А, но теперь a$ — —Хфд2.
Модель С. В ней <р = {ф, пг}, где m - добавочное однокомпонентное
сохраняющееся поле,
S'*(<p) = S'*A>) - m2/2 - у2тф2/2 , аф = Хф , ат = -\тд2 . G9)
Модель D. То же, что и модель С, но с a$ = —Хфд2.
В моделях В и D поле ф сохраняется, в А и С - нет. Матрица / в one-
572 Глава 5. Критическая динамика
рации Т-отражения E9) определяется соотношением 1ф = Вфф для мо-
моделей А, В ж 1{ф, гп} = {бфф, гп} для моделей С и D, причем 2-четность
Еф = ±1 не фиксируется.
Все следующие модели содержат межмодовое взаимодействие.
Модель Н. В ней <р = {ф,]}, где ф - однокомпонентное скалярное, а
j = {j{} - поперечное (dij, = 0) векторное поле, оба поля сохраняются,
- j2/2, <хф = -Хфд2 , aj =-\jd2 , )
\ (80)
13[Ф,к] = J
В правой части уравнения E5) для j подразумевается отбор поперечной
части соответствующим проектором Р1 (в импульсном представлении
рЛ = Si, — kjk,/k2). Отметим, что при подстановке в уравнения типа
E7) этот проектор можно опустить, так как в вариационной производ-
производной любого функционала по поперечному полю поперечная часть отби-
отбирается автоматически (так же и в функционале F1) с поперечным /).
Шум г] в уравнении для j и его коррелятор также считаются попереч-
поперечными.
+
Модель F. В ней <р = {ф,ф,т} с комплексными N-компонентными
+
полями ф,ф, т - сохраняющееся вещественное поле,
Sst(<p) = -дф -дф-тфф-ч^ф фJ/А - гп2/2 - v2m фф,
/3[ф, ф] = zv3, /3[ф, гп] = гу4ф , /3[ф, т] = -{
а[ф,ф] = Хф , ат — —\тд2 , 1{ф,ф,т} = {гф,-гф,т}
(81)
(см. соглашения перед описанием моделей).
Модель Е. - Частный случай модели F с v2 = V3 = 0.
Модель G. В ней ip = {ф, гп} с вещественными полями ф = {фа, а —
1,2,3}, т={та,а =1,2,3},
Sst {<р) = S" {ф) - т2/2 , a^ = Хф, C{фа, ть] = у2еаьсфс, )
\ (82)
ат = -Хтд2, Р[та, ть] = v2sabcirnc, 1{ф, т} = {-ф, -т}, J
где еаьс - полностью антисимметричный тензор с е^г = 1- Отме-
Отметим, что порождаемое коэффициентами C[та,тъ] межмодовое взаимо-
взаимодействие дает вклад лишь при введении по общему правилу F3) сопря-
сопряженного с т внешнего поля h.
п. 13 О физической интерпретации моделей A-J 573
Модель J. В ней <р = {ф} = {фа, а = 1, 2, 3} с S" из G8) и
= {-ф} . (83)
Этим исчерпывается список [153], содержащий наиболее изученные
модели, хотя этот список, конечно, было бы нетрудно пополнить. Физи-
Физический смысл перечисленных моделей мы обсудим в п. 13, а здесь лишь
отметим, что модель Н используется для описания критической дина-
динамики перехода жидкость-газ и точки расслоения в бинарных смесях.
Все прочие модели используются для магнетиков разного типа, а мо-
модель F - еще и для описания перехода в сверхтекучую фазу Не4-
Нетрудно проверить, что для всех перечисленных моделей общие
соотношения E6),F0) выполняются, причем второе равенство E6) -
из-за взаимных сокращений вкладов при суммировании по индексу а, а
в Я-модели - в силу равенства djS(O) = 0. Отметим, что оно следует
из симметрии относительно пространственных вращений, а не из фор-
формального правила 6@) = 0 в размерной регуляризации (см. текст после
формул E6)).
п. 13 О физической интерпретации моделей A—J. Обсудим
кратко (подробнее в [153]) некоторые возможные приложения перечи-
перечисленных моделей и физический смысл входящих в них величин. Для
моделей A—D мы ограничимся магнитными системами, хотя у них есть
и другие приложения [153].
Возможными кандидатами на роль сохраняющихся величин для маг-
магнитных систем являются полная энергия спинов Е = J dx Е(х) и генера-
генераторы спиновых вращений - компоненты полного спина Sa — / dx Sa (x).
В реальной ситуации спины обмениваются энергией не только между
собой, но и с другими степенями свободы, например, с колебаниями ре-
решетки (фононами). Если первый процесс значительно быстрее второго,
то Е можно считать сохраняющейся величиной, а Е(х) - существен-
существенной мягкой модой, описывающей флуктуации температуры. Второй
предельный случай - быстрый обмен энергией между спинами и дру-
другими степенями свободы с большой термической проводимостью. То-
Тогда спины находятся как бы в термостате с единой для всего образца
температурой Т. Первой ситуации соответствуют модели типа С с
тп(х) = Е(х), второй - модели без сохранения энергии, т.е. без учета
Е(х) и с единым параметром т — Т — Тс.
Генераторы Sa сохраняются при наличии соответствующей враща-
вращательной симметрии (речь идет о спиновых вращениях, см.п. 1.14). В об-
общем случае магнетик Гайзенберга с трехкомпонентным вектором спина
характеризуется значениями трех обменных интегралов Ja в соответ-
574 .Глава 5. Критическая динамика
ствующем обобщении гамильтониана A.16). При Ji = J2 = J3 ("изо-
("изотропный магнетик") все три компоненты Sa сохраняются, при J\ = J2 =
J± ф J^ ("одноосный" или же "планарный" магнетик) есть лишь осе-
осевая симметрия с сохранением S3, а. для трех различных Ja ("анизотроп-
("анизотропный магнетик") сохраняющихся генераторов Sa нет. Для неизотроп-
неизотропного магнетика спины всегда упорядочиваются в том направлении (или
направлениях), которое соответствует максимальному по абсолютной
величине значению Ja, при этом случай Jmax > 0 соответствует фер-
ферромагнитному, a Jmax < 0 - антиферромагнитному упорядочению. По-
Поэтому анизотропный магнетик всегда имеет одну "легкую ось" и экви-
эквивалентен изинговскому [153], а при J\ = Ji = Jх. Ф ^з возможны два
случая: |^7зI > \Jx\ ~ упорядочение вдоль "легкой оси 3" (одноосный
магнетик) и IJ3I < |J_l| - упорядочение в "легкой плоскости 1-2" (пла-
(планарный магнетик). Для планарного магнетика вместо вещественного
двухкомпонентного параметра порядка ф\^ обычно используют ком-
+
плексную пару ф = ф\ + гфъ, ф— ф\ — гф-i и различают симметричный
и асимметричный магнетики: в первом случае есть добавочная симме-
симметрия относительно поворота на 180° вокруг любой оси в плоскости 1,2
(например, {51,52,5з} -У {Si,— S2,— S3}), во втором такой симметрии
нет.
Параметром порядка ф для ферромагнетика является намагничен-
намагниченность ф(х) =< S(x) >, сохраняющаяся при наличии соответствующей
симметрии. Для простейшего антиферромагнетика с двумя подрешет-
ками А, В параметром порядка, по определению, является разность на-
магниченностей подрешеток, т.е. поле ф(х) =< SA(x) — SB(x) > ("stag-
("staggered magnetization"). Эта величина не связана ни с какой симметрией
и поэтому никогда не сохраняется, в отличие от суммарной намагничен-
намагниченности < SA(x)+SB(x) >=< S(x) >= m(x), сохраняющейся при наличии
спиновой изотропии и тогда играющей роль добавочной мягкой моды.
Сведения о полях и моделях магнетиков с различной симметрией
[153] суммированы в табл.29.
Межмодовая связь между компонентами полей {ф, m} ~ <р для пе-
перечисленных в табл.29 моделей с точки зрения физики соответствует
учету ларморовской прецессии спинов [153]. Для межмодовой связи та-
такого типа коэффициенты /?а{, в соответствующих уравнениях E5) от-
отличны от нуля лишь для сохраняющихся компонент <рь{х) =< Sb(x) >,
и тогда
W]~Sb<Pa, (84)
где SbF - вариация величины F при инфинитезимальном преобразова-
п. 13 О физической интерпретации моделей A-J
575
нии с сохраняющимся генератором f dx <рь(х) (= Sb в данном случае).
Выражение в правой части (84) в литературе по критической динамике
часто называют "скобкой Пуассона" величин ipa(x) и f dx <рь{%)- Для
одноосного антиферро.магнетика (см.табл.29) параметр порядка ф ин-
инвариантен относительно вращений вокруг оси 3. Поэтому межмодовая
связь между w и m отсутствует, динамика данной системы описывается
простой моделью А (без сохранения энергии).
Табл.29. Динамические модели без сохранения энергии для магнети-
магнетиков (Ф - "ферро", АФ - "антиферро") с разной симметрией: изотроп-
изотропного, одноосного, планарного (симметричного и асимметричного) и
анизотропного. Аргументы х у всех полей подразумеваются, выде-
выделенной всегда считается ось ", if) - поле параметра порядка, т -
добавочные мягкие моды.
Система
Лнизотр. Ф
Анизотр. АФ
Одноосный Ф
Одноосный АФ
сим.
План. Ф
асим.
сим.
План. АФ
асим.
Изотр. Ф
Изотр. АФ
Модель
А(п = 1)
А(п = 1)
В(п = 1)
А(п = 1)
Е
F
Е
F
J
G
Сохран. поля
-
-
■ф =< §3 >
т=<§3>
(не взаим.)
га =< S3 >
m=<§3>
Фа =< Sa >,
0=1,2,3
та =< Sa >,
а= 1,2,3
Несохран. поля
ф =< §3 >
-
,;. —s са ов >.
у — ч. •-'з ~ •-'З -*■
Фа =< Sa >,
а = 1,2 или
ф = ф\ +1Ф2,
+
ф=ф1- 1ф2
а = 1,2 или
ф = фх +г>2,
+
Ц>= щ - гфч
-
^=<5аА-5ав>,
а- 1,2,3
Особый случай - межмодовая связь между ф и ф в модели F. Она
576 Глава 5. Критическая динамика
не связана с какой-либо вращательной симметрией и формально экви-
эквивалентна мнимым добавкам ±гуз к вещественному коэффициенту Онза-
гера а[ф, ф] = Хф в уравнениях E5) для фиф. Но в действительности
мнимые добавки нельзя присоединить к а, а следует рассматривать от-
отдельно как межмодовую связь, поскольку комплексность матрицы ааь
+
для пары ф, ф нарушила бы ее симметричность, что недопустимо в силу
соотношения D6) (коррелятор всегда симметричен).
+
Дополнительную межмодовую связь ф с ф в модели F вводят лишь
потому, что такие вклады появляются в качестве контр членов при ре-
ренормировке (подробнее в п.20), если в действии (81) V2 ф 0. Для симме-
симметричного планарного магнетика добавочная симметрия относительно
преобразования {ф,ф,т} ->• {ф,ф,-т} (см.выше) запрещает вклад
т|^|2 в статическом действии и, как следствие, обеспечивает веще-
вещественность ренормировки коэффициента Онзагера. Поэтому в модели
Е одновременно с v2 = 0 в (81) полагают и Уз = 0.
До сих пор мы обсуждали модели магнетиков "в термостате", т.е.
с постоянной по всему образцу температурой Т. Обобщение на случай
сохранения энергии Е рассматривается лишь для простейших моделей
A is. В: для них вводится добавочное поле т{х) =< Е{х) > — const,
описывающее флуктуации температуры, статическое действие берется
в форме G9), динамика описывается чисто релаксационными уравнени-
уравнениями D) без межмодовой связи (/Заь = 0)- Тогда модель А переходит в С,
а модель В - в D.
Модель F используется также для описания критической динамики
перехода от нормальной к сверхтекучей жидкости в Не4. В этом случае
+
ф,ф - комплексный параметр порядка (средние бозонных операторов
поля ф и ф+), сохраняющееся поле т(х) - некоторая линейная комбина-
комбинация энергии и плотности, эффективно описывающая флуктуации тем-
+
пературы, а межмодовая связь ф и ф с т (внешне точно такая же, как
для магнетика) в данном случае соответствует физически учету точ-
точного соотношения Джозефсона [153], связывающего фазу комплексного
параметра порядка с химическим потенциалом.
Из перечисленных в п. 12 моделей не имеет отношения к магнетикам
только модель Н, используемая для описания критической динамики
перехода газ-жидкость, а также критической точки расслоения в би-
бинарных смесях. Для перехода газ-жидкость роль ф в модели Н играет
некоторая линейная комбинация величин A.31) (подробнее в п.23), а
поле j имеет смысл поперечной части вектора плотности импульса, оба
п. 14 Канонические размерности в динамике 577
поля сохраняются. Поперечность j связана с ИК-несущественностью
для критической динамики продольных (звуковых) мод [153], позволя-
позволяющей при описании движения среды пренебрегать ее сжимаемостью,
хотя она и расходится в критической точке. Межмодовая связь (80)
между ф и j соответствует правилу (84), поскольку импульс - генератор
пространственных трансляций. Легко проверить, что учет межмодовой
связи (80) в уравнении E5) для ф эквивалентен замене в нем простой
производной dt на галилеевски ковариантную производную:
dt -4 Vt = 9t + v2(j0) = dt + {vd) . (85)
Такая замена - стандартный способ учета движения среды, вектор v =
V2j ~ ее скорость, в данном случае он поперечен, что соответствует не-
несжимаемости. Вводя межмодовую связь заменой (85) в релаксационном
уравнении типа D) для ф и интерпретируя дф как /3[ij>,j] (все с точ-
точностью до множителей), по известной производной SSst/Sj ~ j можно
найти зависимость Sst от j, а затем с учетом антисимметрии /? опреде-
определить вклад межмодовой связи ф с j в уравнении для j. Таким образом,
стандартные динамические уравнения модели Н выводятся из доста-
достаточно простых соображений.
Для обеспечения точной галилеевской инвариантности модели за-
замену (85) следовало бы сделать и в уравнении для j, что привело бы
к введению добавочной межмодовой связи между разными компонен-
компонентами вектора j. Но это добавочное взаимодействие оказывается ИК-
несущественным, поэтому его обычно не учитывают. По тем же со-
соображениям в действительности следовало бы отбрасывать и саму про-
производную dtj в уравнении для j (подробнее в п.24), так что приведенная
в п. 12 традиционная формулировка данной модели с точки зрения об-
общих принципов построения флуктуационных моделей (п. 1.16) не вполне
корректна, поскольку в ней сохранен ИК-несущественный вклад. Мо-
Модель Н будет рассмотрена подробно в п.п.23-25.
п.14 Канонические размерности в динамике. Функционал дей-
действия F1) для всех динамических моделей инвариантен относительно
двух независимых масштабных преобразований: в одном растягива-
растягиваются все величины F и времена (частоты), в другом - величины F и
координаты (импульсы). Поэтому для любой величины F можно ввести
две независимые канонические размерности: импульсную dpF и частот-
частотную dp (или dp[F],du[F] для громоздких F). Они находятся (п. 1.15)
из требования безразмерности (импульсной и частотной отдельно) ка-
каждого слагаемого в функционале действия. Таким путем нетрудно убе-
убедиться, что импульсные размерности dp[F] всех величин F (полей и па-
578
Глава 5. Критическая динамика
раметров), входящих в статическое действие Sst (<p), совпадают с обыч-
обычными статическими размерностями dst[F], а их частотные размерности
равны нулю:
dp[F] = dst[F] ,
= О V F€Sst(<p) .
(86)
Это верно, в частности, для всех компонент основного поля ipa, что при
учете обобщенного на случай х = t,x правила A.69) и требуемой без-
размерности всех вкладов действия F1) позволяет найти размерности
вспомогательных полей <р'а и коэффициентов ааь, /Заь- Результаты для
задачи с i-мерным х суммированы в таблице 30.
Табл.30. Импульсные и частотные канонические размерности
различных величин F в динамическом действии F1).
F
d?
d%
Р
1
0
X
-1
0
ш
0
1
t
0
-1
<Ра{х)
dSt[pa]
0
<р'а(х)
d-d'tfoa]
0
<ХаЬ, /ЗаЬ
dStWa} + dst[<pb] - d
1
В большинстве динамических моделей (все, кроме моделей D и Н
из списка в п. 12) старшая степень д в операции L из G) одинакова
для всех компонент <ра. Это значит, что при Т = Тс операции д и
dt в линеаризованных динамических уравнениях входят в определенной
комбинации dt + const ■ д ш, одинаковой для всех компонент <ра [du = 2
для моделей A, C,F,E,G и dw = 4 для моделей В, J). Тогда действие
F1) будет также инвариантным относительно некоторого "суммарного"
масштабного преобразования, в котором одновременно и согласованно
[t ~ |х| ш) растягиваются все времена и координаты (или частоты и
импульсы). Соответствующие "суммарные канонические размерности"
dp = d[F] любых величин F определяются тогда соотношением
aF = а'р + аш ■ dp , (w ~ р ш) . (87)
Наличие однозначно определенной "суммарной размерности частоты"
dw является естественным, более того, необходимым требованием, если
речь идет о критическом скейлинге. Последнему соответствует асимп-
асимптотика типа A.14) с одновременным и взаимно согласованным стрем-
стремлением к нулю всех ИК-существенных параметров е. В динамике в их
п. 15 Анализ УФ-расходимостей и контрчленов в динамике 579
число входят ш и р, и если ИК-скейлинг - общее свойство изучаемой мо-
модели, то взаимная относительная малость ш ~ р ш в ИК-асимптотике
должна быть вполне определенной и одинаковой для любого относяще-
относящегося к данной модели объекта. Ренормгруппа потом лишь уточнит по-
показатели, приведя к замене канонической размерности dw критической
Аш = &w + О{е) (Аш = z - традиционное обозначение данного крити-
критического индекса в динамике), но в нулевом приближении по е величина
Аш — <%ш должна фиксироваться изначально.
В этом отношении особый случай представляют модели D и Н, у
которых в уравнение для основного поля параметра порядка ф вхо-
входит комбинация dt + const ■ <94, а в уравнение для второго поля -
dt + const ■ д2. В такой ситуации выбор между двумя возможностями
(ш ~ р4 или ш ~ р2) неоднозначен и фактически является просто одним
из элементов постановки задачи. Все конкретные расчеты для этих мо-
моделей соответствуют условию ш ~ р4, т.е. нетривиальной динамике для
■ф. Но тогда во втором уравнении вклад dt ~ ш ~ р4 оказывается ИК-
несущественным по сравнению с d2 ~ р2 и его следует просто отбросить
как ИК-несущественную поправку, что соответствует пренебрежению
запаздыванием для второго поля. Более подробно эти модели рассма-
рассматриваются в п.п. 19,25.
Именно суммарная размерность (87) играет в динамике такую же
роль как обычная (импульсная) размерность в статике при анализе УФ-
расходимостей диаграмм и вида соответствующих контрчленов.
п. 15 Анализ УФ-расходимостей и контрчленов в динамике.
Мы будем говорить лишь о "правильно построенных" динамических
моделях с однозначно определенной суммарной размерностью частоты
dw и всех прочих величин (87). Для правильно построенной модели сво-
свободная часть действия не должна содержать таких параметров с отлич-
отличной от нуля суммарной размерностью, которые остаются конечными в
исследуемой ИК-асимптотике. Только в этом случае справедливы про-
простые правила п. 1.16, позволяющие судить об ИК-существенности раз-
различных слагаемых взаимодействия по размерности соответствующих
коэффициентов. При переходе от статических формулировок к динами-
динамическим термин "размерность" следует всегда понимать как "суммарная
размерность". В частности, логарифмическая размерность простран-
пространства d* для любого монома во взаимодействии определяется условием
суммарной безразмерности коэффициента при нем. В правильно по-
построенной модели все учитываемые слагаемые взаимодействия должны
становиться логарифмическими одновременно^ все ИК-несущественные
вклады действия, в том числе и в его свободной части, должны быть
580 .Глава 5. Критическая динамика
отброшены. Отметим, что это не только желательно как способ упро-
упрощения модели, но и необходимо для появления той корреляции между
ИК- и УФ-сингулярностями (п.1.23), которая и обеспечивает в конеч-
конечном счете возможность исследования ИК-асимптотики с помощью РГ-
техники (подробнее в п.25 при обсуждении модели Н).
Все перечисленные в п. 12 модели являются "правильно построен-
построенными" в указанном выше смысле, кроме моделей D и Н, требующих
упрощения. Все они, за исключением модели J, логарифмичны при
d = 4 и будут поэтому рассматриваться в размерности d = 4 — 2е (мо-
(модель J логарифмична при d = 6). Как и в статике, вычисления проще
всего производить в рамках формальной схемы размерной регуляриза-
регуляризации без обрезания А (п.1.20), используя при ренормировке схему MS,
что в дальнейшем и будет всегда предполагаться.
Для правильно построенной динамической модели остаются в силе
все основные положения общей теории ренормировки (гл.З), если тер-
термин "размерность" понимать теперь как суммарную каноническую раз-
размерность (87). Канонические размерности 1-неприводимых функций Г
с Пф (мультииндекс) полями ф = <р,<р' определяются аналогичными C.3)
соотношениями:
№
с суммированием по всем компонентам ф в данной функции Г. Роль
формального УФ-индекса (п.3.2) играет величина
d*r = dr\£=0 . (89)
Но о наличии поверхностных расходимостеи следует судить по реаль-
реальному УФ-индексу 6г (п.3.2), который в динамических моделях часто
меньше формального из-за вынесения "множителей" д на внешние ли-
линии вспомогательных полей <р' в диаграммах Г (и на поля <р' в соот-
соответствующих контрчленах). Согласно общим правилам (п.3.16), диа-
диаграммы данной функции Г содержат поверхностные расходимости и по-
порождают соответствующие контрчлены только тогда, когда 8? - целое
неотрицательное число. Совокупная суммарная размерность символов
д и dt в контрчлене (плюс внешних полей h при их наличии) равна вели-
величине (89), при этом считается d[d] = 1, d[dt] = dw. Отметим, что число
символов dt в контрчлене нельзя определить по частотной размерности
^Р (88), так как в теории всегда имеются параметры с нулевой суммар-
п. 15 Анализ УФ-расхццимостей и контрчленов в динамике 581
ной, но ненулевой частотной размерностью, домножением на которые
можно менять dtp без изменения суммарной размерности dr-
При определении вида контрчленов следует учитывать, как и в ста-
статике, свойства симметрии задачи, а также тот факт, что в динамике
все диаграммы вакуумных петель и функций Г только основных полей
<р (без <р') равны нулю из-за присутствия в них замкнутых циклов за-
запаздывающих функций (п.4). Поэтому, естественно, они не порождают
контрчленов.
В моделях критической динамики очень важную информацию о кон-
константах ренормировки можно также получать из FD-теоремы (п.11) и
общих принципов соответствия между динамикой и статикой (п.п.8,9).
Если неренормированный и базовый функционалы действия модели име-
имеют стандартную форму F1), то одновременные динамические функции
Грина основных полей <р определяются распределением E0) с соответ-
соответствующим (неренормированным или базовым) функционалом Sst в по-
показателе. Если заданы базовые функции и схема ренормировки (у нас
MS), то тем самым однозначно определены соответствующие ренорми-
рованные функции Грина, так что они определяются тем же распределе-
распределением E0) с известным функционалом S^ в показателе. Это значит, что
функционал exp S^ обязательно должен быть стационарным решением
уравнения Фоккера-Планка D4) для ренормированной динамической мо-
модели при одинаковой (MS) в динамике и статике схеме ренормировки.
Отсюда можно получать информацию о динамическом ренормирован-
ном функционале SR.
Для всех обсуждавшихся в п. 12 моделей функционал Sst ренорми-
руется мультипликативно. Если бы мы были уверены в мультиплика-
мультипликативности ренормировки и соответствующей динамической модели, то
из сказанного выше сразу следовало бы, что для всех входящих в 5s*
величин динамические и статические константы Z в схеме MS совпа-
совпадают:
ZF = Z'* 4FeSst(<p) (90)
(а в общем случае различаются лишь некоторой УФ-конечной ренорми-
ренормировкой). Обычно в динамических моделях стандартный анализ размер-
размерностей позволяет легко доказать лишь то, что все контрчлены можно
воспроизвести введением различных констант Z при слагаемых базо-
базового действия. Но число этих констант обычно превышает число полей
и параметров, поэтому мультипликативность ренормировки заранее не-
неочевидна. В такой ситуации именно сформулированное выше утвержде-
утверждение о связи с ренормированной статикой позволяет доказать наличие
тех связей между динамическими константами ренормировки Z, кото-
582 Глава 5. Критическая динамика
рые обеспечивают мультипликативную ренормируемость модели (дру-
(другой способ - детальный анализ различных функций отклика [158]).
Поясним подробнее. Допустим, что неренормированный и базовый
функционалы действия имеют стандартную форму F1), а ренормиро-
ванное действие SR представимо в виде
ЗД) = <pfa1 if/ + <p'[-Zdt<p + A(<p)} , (91)
где А - некоторый вектор, а а' и Z - матрицы по индексам полей <р, <р'.
Обычно по соображениям размерности очевидно, что а' и А содержат
те же вклады, что и в базовом действии, только с добавочными коэф-
коэффициентами Z при них. Чтобы получить уравнение Фоккера-Планка
типа D4) для ренормированной теории необходимо сначала привести
функционал (91) к каноническому виду B5). Это можно сделать растя-
растяжением <р' —у <p'Z~ ~ Z~lTipl вспомогательных полей, которое (как и
любые растяжения коэффициентов а,/3 в F1)) не влияет, очевидно, на
одновременное распределение полей <р. Тогда выражение (91) примет
вид <p'Z~1a'Z~lTip' + <p'[—dt<p + Z~1A(ip)], откуда следует, что для ренор-
ренормированной теории выполняется обычное уравнение Фоккера-Планка
D4) с U(<p) = Z~1J4(iys) и D = 2Z~1a'Z~lT. Мы знаем (см. выше),
что это уравнение должно иметь стационарным решением функционал
PR(ip) ~ exp Sr* (i£>), то есть должно выполняться равенство
a Z — exp Or (ip) > = 0 . (9/)
В подробной записи
dXj-^—[Ba(<p) exp 5'*(^)] = 0 (93)
(напомним, что по повторяющимся индексам всегда подразумевается
суммирование), где
В(ф) = Z~lA{v) - Z^a'Z'^ 536я'(<р)/5<р . (94)
Вектор 5 локален, т.е. зависит только от полей <р и их производных
в одной точке х, той самой, по которой производится интегрирование
в (93). Поэтому при выполнении вариационного дифференцирования
в (93) все вклады от производных В будут кратны £@), а вклады от
производных экспоненты такого множителя не содержат. Поскольку
вклады этих двух типов явно независимы, равенство (93) сводится к
двум уравнениям:
fdX6Ba(<p)/6<pa = 0 , (95а)
п.16 Модели А и В 583
jd*Ba{ip)-8S%{ip)/6ipa = 0. (956)
С помощью этих соотношений для конкретных моделей можно полу-
получать информацию о константах ренормировки в SR, позволяющую дока-
доказать мультипликативность ренормировки динамической модели и, как
следствие, равенства (90). Таким путем достаточно легко доказывается
мультипликативная ренормируемость всех перечисленных в п. 12 моде-
моделей, кроме моделей D и Н, требующих предварительного упрощения.
В заключение остановимся на ренормировке вкладов с внешним по-
полем h в мультипликативно-ренормируемых динамических моделях. В
статике h входит в неренормированное действие в виде <pho, а в базовое
и ренормированное - в виде <ph, откуда для константы ренормировки
ho = hZh получается соотношение A.85): Z'h ■ Z3J = 1. В динамике
вклад h в базовое действие типа F1) имеет вид <р'(а + /?)Л, и только
при /? = 0, т.е. в моделях A,B,C,D без межмодовой связи, вклад <p'ah
не ренормируется, как и в статике (напомним, что коэффициент а от
полей не зависит, в отличие от 0). Отсюда для этих моделей (с учетом
равенств (90) для F = <p,h) получается соотношение
zv,z« = (zj*)-1 = z;< = zv, (96)
связывающее константы ренормировки вспомогательных полей <р' и со-
соответствующих коэффициентов Онзагера а.
При наличии межмодовой связи с зависимостью от полей <р в ко-
коэффициентах /? аргументы п.3.13 теряют силу и в общем случае при
слагаемых ip'ah и <p'/3h в ренормированном действии появляются раз-
различные нетривиальные коэффициенты Z.
п.16 Модели А и В. Поскольку это первый и простейший пример,
мы рассмотрим его достаточно подробно, чтобы не повторяться впо-
впоследствии. Всюду в дальнейшем предполагается, что при вычислении
констант ренормировки используется стандартная схема MS.
Неренормированное действие F1) модели А (п. 12) запишем в виде
\ (97)
ho)] J
с неренормированным статическим действием типа G8), в которое до-
добавлен вклад внешнего поля ho:
(98)
584
Глава 5. Критическая динамика
Поля ф = ф, ф' считаются «-компонентными, взаимодействие - изотроп-
изотропным, необходимые суммирования по индексам полей и интегрирования
по d-мерному х в статических ипох = <,хв динамических функциона-
функционалах везде подразумеваются, Ао в (97) - неренормированный коэффици-
коэффициент Онзагера. Из (97) видно, что в данной модели dt ~ д2, т.е. dw = 2
в определении (87). Канонические размерности полей ф и параметров
ео = Ао, то,go, h0 модели А, а также их ренормированных аналогов при-
приведены в табл.31.
Табл.31. Канонические размерности полей и параметров модели А.
F
d%
d%
dF
Р,д
i
0
1
0
1
2
Ф
d/2-l
0
d/2-l
i>',h,ho
d/2 + l
0
d/2+l
A,Ao
-2
1
0
T, To
2
0
2
9o
4-d
0
4-d
9
0
0
0
1
0
1
Из табл.31 видно, что данная модель логарифмична в размерности
d* = 4 (находится из условия суммарной безразмерности коэффициента
Ао<7о при взаимодействии в (97)). Поэтому в дальнейшем будем считать
d = 4 — 2е и записывать соответствующее (97) базовое действие в виде
где дв = дц2€ - базовый заряд, ц - ренормировочная масса, {А, т, д, h} =
е - ренормированные параметры.
Необходимые для устранения УФ-расходимостей (полюсов по е) контр-
контрчлены базовой теории (99) определяются по реальному УФ-индексу 6г
диаграмм 1-неприводимых функций Г. В рассматриваемой модели он
совпадает с формальным индексом (89), и по данным таблицы 31 полу-
получаем:
#г = ^г — б — Пф — Ъпц,1 , A00)
где Пфф! - числа полей ф, ф' в данной функции Г. При определении вида
контрчленов необходимо также учитывать, во-первых, что все функции
Г с n^i = 0 исчезают (п.4), во-вторых, что контрчлены не могут зави-
зависеть от внешнего поля h (п.3.13) и поэтому должны обладать симме-
симметрией ф, ф' ->• —ф, —ф' модели с h = 0. Таким образом, они могут поро-
порождаться лишь функциями Г с Пф> ф 0 и четным значением щ + щ>. Из
п.16 Модели А и В 585
этих соображений и соотношения A00) следует, что контрчлены модели
(99) порождаются лишь 1-неприводимыми функциями Г типа < ф'ф >
(dp = 2, возможные контрчлены ф'дгф, ф'д2ф, ф'тф), затем < ф'ффф >
(dp = 0, контрчлен ф'ф3) и функцией < ф'ф' > (dp = 0, контрчлен
ф'ф'). Таким образом, все контрчлены имеют вид слагаемых (99), сле-
следовательно, могут воспроизводиться введением в (99) соответствующих
констант ренормировки Z:
БЛ(ф) = ZiA^V' + ф'[-Ъ2дгф + \{г3д2ф-ЪАтф-Ъъдвф3/6+ft)] . A01)
Все константы Z полностью (импульсно и частотно) безразмерны и не
могут содержать h и /л (схема MS), поэтому могут зависеть лишь от
полностью безразмерного ренормированного заряда д.
Модель мультипликативно-ренормируема, поскольку функционал
A01) можно получить из (97) стандартной процедурой мультипли-
мультипликативной ренормировки: 5а(^>, е,ц) = 5Bфф,ео(е,ц)), где 2фф =
ф>ф'} - ренормировка полей и
Ao = AZa , то = tZt , go = g[i~€Zg , ho = hZ/, (Ю2)
- ренормировка параметров, при этом в действии A01)
7 7 7
2 — ^1^'^1ф , -£<3 —
A03)
По расходимостям диаграмм Г в модели (99) можно вычислить кон-
константы Z в A01), по ним из соотношений A03) можно найти константы
ренормировки полей и параметров.
Но такой полный расчет в действительности не нужен, поскольку
из мультипликативной ренормируемости статической и динамической
моделей вытекают равенства (90) и (96), в данном случае,
ZF = Z? V F = ф,r,g,h, Zsh* ■ Ъ% = 1 , Z^ZA = Z^ . A04)
Таким образом, в динамике достаточно вычислить лишь одну новую
константу ренормировки Za, что можно сделать либо через Zi в A01)
по диаграммам 1-неприводимой функции < ф'ф' >, либо через Z2 по
диаграммам < ф'ф > (константы Z3,4,5 чисто статические). Расчеты,
как обычно, проще выполнять в безмассовой теории, поскольку в схеме
MS константы Z от т не зависят. Детали трехпетлевого расчета можно
найти в работе [165], краткие пояснения даются ниже.
586 Глава 5. Критическая динамика
РГ-функции аномальной размерности 7а любой величины "а" (поля
или параметра) и /^-функции зарядов (у нас одного) g определяются
по соответствующим константам ренормировки Ъа общими соотноше-
соотношениями A.113), РГ-уравнение для ренормированных связных функций
Грина WnR имеет стандартную форму A.107), A.108). В нашей модели
все РГ-функции известны из статики (п.4.2), кроме
7л = 2VnZA = /3gdg\nZx , 7*' = -УФ-JX (Ю5)
(второе равенство следует из последнего соотношения A04)), а РГ-урав-
РГ-уравнение A.107) при учете формул ренормировки A02) и определений A.113)
записывается следующим образом:
= 0, £>РГ = Т>„ = Vli + pada-YJ4aVa A06)
с суммированием (в данном случае) по параметрам а = А, г, Л. Его об-
общее решение можно исследовать точно так же, как и в статике (гл.1),
переходя к функциям от полностью (импульсно и частотно) безразмер-
безразмерных аргументов. Наличие ИК-притягивающей фиксированной точки
д* ~ е для /^-функции в A06) (известно из статики) гарантирует ИК-
скейлинг для асимптотики малых ui,p,r,h при фиксированных /л и А.
Если нас интересуют только уравнения критического скейлинга для
асимптотики Wn& |ик функции Wna, то их проще всего получить из-
изложенным в п. 1.33 методом, комбинируя РГ-уравнение A06) с д = д*
(тогда вклад с /^-функцией исчезает и уа (д) ->■ *)а (#*) = 7о) с ДВУМЯ
(импульсным и частотным) масштабными уравнениями типа A.6). Для
функций WnR в координатном представлении (тогда размерность WnR
равна простой сумме размерностей входящих в нее полей) эти два урав-
уравнения в общем случае записываются в виде
'Vna(t,x.,e,n) = 0 , A07a)
\-Vt + J2 d"eVe - ]T>4di) WnR(t,x, e, p) = 0 A076)
(t - совокупность всех времен, х - всех координат, е - всех ренорми-
рованных параметров). В нашей модели ф = ф,ф', б = X,T,g,h, все
размерности известны из табл. 31. Чтобы получить уравнение крити-
критического скейлинга для Wn& |ик нужно исключить из системы трех урав-
уравнений A07а), A076) и A06) с д = д* операции Т>^ и Т>\, поскольку пара-
параметры fi и А считаются фиксированными в исследуемой асимптотике.
п. 16 Модели А и В 587
Такая процедура всегда приводит к уравнению критического скейлинга
следующего вида:
[-Рх-Д^ + ^ДЛ-^п^] WnR{t,x,e,M)\KK = 0 A08)
а ф
(a — T,h для модели А), в котором
Аш = -At = -[dpx + j*x]/crx = z A09)
- критическая размерность частоты (Аш = z - традиционное обозначе-
обозначение данного критического индекса), прочие ДР - критические размер-
размерности соответствующих величин F, определяемые соотношением
дР = < + дш< + 7;. (по)
Для удобства ссылок мы привели в (НО) общую формулу, для наших
величин F = т,Ь.,ф,ф' вклад с Аш в A10) исчезает из-за равенства нулю
dp\ Критические размерности Др присутствующих в статике величин
F = т,Ь,ф совпадают с их статическими значениями ДР = if + у*.
Новыми для динамики в модели А являются лишь следующие размер-
размерности:
ъ = Аш = 2-у*х , Аф, = ^,+7* -7* , (Ш)
второе равенство следует из соотношений (НО) и A05), первое - из A09)
и данных табл.31. Отметим, что критическая размерность Аф + Д^< =
d + 2^ — 7л ренормированной функции отклика < фф' > отличается
от размерности d правой части нормировочного условия C1). Но про-
противоречия здесь нет, так как критическому скейлингу соответствует
область больших t, x с возможным последующим предельным переходом
At/x2 —>• 0 внутри этой области, где вклад J-функции из C1) исчезает.
Отметим также, что при пересчете критических размерностей от коор-
координатного представления к импульсно-частотному следует учитывать,
что символ dx в интегралах Фурье имеет критическую размерность — d,
а символ dt - размерность At = —Аш.
Таким образом, новой аномальной размерностью в динамике явля-
является только величина 7л- Однопетлевые диаграммы не дают вклада в
Ъ\, поэтому е-разложение 7л начинается с е2, сейчас в нем известны
вклады порядка е2 и е3. Результаты расчета 7л обычно представляют
в виде
7л* = -R-r,, z = 2 + Rr,, A12)
где ц = 2jl - известный статический индекс (п.1.37). Ответ приводится
для коэффициента R в A12), который в двух первых порядках Aие)
588 Глава, 5. Критическая динамика
оказывается не зависящим от числа компонент поля п. Результат для
d = 4 — 2е имеет следующий вид:
R = 0,7621 A- 2е-0,1885 +...)• (ИЗ)
Первый коэффициент 61пD/3) — 1 = 0,7621 был вычислен в работе [166],
второй - в [165]. Ранее в [167] второй член вычислялся с помощью до-
довольно сложной техники, отличной от изложенной в данной главе (тогда
она еще не была разработана). Принципиально расчет [167] правилен,
но в его заключительной части допущена ошибка в вычислениях, и в
итоге вместо числа 0,1885 в [167] было получено число 1,687. Именно
этот результат [167] воспроизведен в обзоре [153], где также ошибочно
утверждается, что он согласуется с известным [166] низшим (нулевым)
порядком 1/п-разложения для R в произвольной размерности d (для т\
см. D.255а)):
R =
d-B(d/2-l,d/2-i)
__
8fdx[x{2-x))d/2-2
о
- 1
ОA/п), A14)
где B(a,b) = ||а||6||/||а + 6|| (в обзоре [153] результат [166] приведен с
опечаткой). В действительности именно выражение (ИЗ) согласуется
со A14).
Для R вычислен также [168] и первый член 2+е-разложения, которое
начинается с вклада порядка е (для ц см. D.250)):
R = [l-lnD/3)](d-2) + ... . A15)
Этим исчерпываются известные на данный момент сведения о динами-
динамическом индексе A12) данной модели.
Поясним кратко технику вычислений. Диаграммные представления
функций Г строятся по обычным правилам Фейнмана (п.З). Линиям
диаграмм модели (99) в импульсно-частотном представлении соответ-
соответствуют пропагаторы (множитель 8аь по индексам опускаем)
<фф>>=<ф'ф>т = . \ , <фф>= Dk A16)
с Sk = X{k2 + т), Dk = 2A в данном случае, а вершинам тр'ффф - мно-
множители —Хдв = —Адц2£. Расчеты можно производить и в t, ^-представ-
п. 16 Модели А и В 589
лении, в котором
<фф' > = 9(t - *') exp[-ek(t -1')} ,
(П7)
<фф>= В± exp[-e*|i-i'|].
Тогда для каждой диаграммы рассматриваются все возможные "вре-
"временные версии", т.е. варианты упорядочения соответствующих верши-
вершинам времен U. Для конкретной версии интегрирование по временам
выполняется по простым правилам, начиная с наименьшего из времен,
затем следующего и так далее. Число слагаемых равно числу возмож-
возможных временных версий с учетом свойств запаздывания линий < фф' >.
Это обычный метод расчета, поскольку технически он проще, чем ин-
интегрирование по циркулирующим внутренним частотам. Полезно от-
отметить, что в динамических моделях сумма вкладов диаграмм с раз-
различными вариантами расстановки "перечеркиваний" на концах линий
(п.2) и различных временных версий для каждой из них обычно выгля-
выглядит гораздо проще, чем отдельные слагаемые.
В целом расчеты в динамике сложнее, чем в статике. Выполнен-
Выполненное в работах [165, 167] вычисление вклада ~ е3 в 7л для модели А -
единственный (насколько известно автору) трехпетлевой расчет в кри-
критической динамике, все прочие не выходят за уровень двух петель (если
только не сводятся к статике). Трехпетлевой расчет [165] был выпол-
выполнен по изложенной в данной главе стандартной схеме для безмассовой
модели в координатном представлении t, x для пропагаторов, в двух пе-
петлях нужно вычислять три диаграммы, в трех - еще четыре. В работе
[165] по динамической модели вычислялись четыре (без Z4) константы
ренормировки в A01) и явно проверялись соотношения A04). Резуль-
Результаты представлены в виде таблицы вкладов индивидуальных диаграмм
в каждую из констант ренормировки (подобно табл.14 в п.3.20), по-
поэтому их можно использовать для различных обобщений модели А с
более сложной индексной структурой полей. Отметим, что динамиче-
динамические константы Z уже в двух петлях содержат вклады типа 1пD/3) (что
необычно для статики), а в трех петлях появляются различные дилога-
рифмы (интеграл Спенса).
Модель В. Она отличается от модели А заменой Ао —>■ — Ход2 в (97)
и, соответственно, А —>■ — A32 в (99). Поэтому теперь будет dt ~ д4, т.е.
dw = 4 и <РХ = — 4, d" = 1, d\ = 0, все прочие размерности в табл.31
не изменяются. Модель логарифмична в той же размерности d* = 4,
вместо соотношения A00) получим с?г = 8 — n^ — Zn^i. Но реальный ин-
индекс £г будет теперь меньше формального, так как для взаимодействия
590 Глава 5. Критическая динамика
ф'д2ф3 ~ д2ф' ■ ф3 на каждую внешнюю линию ф' функции Г будет
выделяться "множитель" З2, поэтому 6г = с?г — 2n^<. Аналогичный вы-
выполненному для модели А анализ контрчленов показывает, что и для
модели В их можно воспроизвести такими же, как в A01), константами
Z с сохранением всех соотношений A02) - A04), причем Zi = Z2 = 1
из-за отсутствия соответствующих расходимостей ввиду уменьшения
реального индекса. Из этих соотношений и A03) следует 2$< = Z^1 и
Ъ\ = Z^, т.е. в данном случае все динамические константы Z выража-
выражаются через статические. Окончательные выражения для критических
размерностей получаются из общих соотношений A09),A10) с учетом
новых (см. выше) значений <РХ и d":
2 = ДШ = 4-27; = 4-ть Ar = dpr-1;. A18)
Отметим, что в данном случае критическая размерность А.^+А.^1 функ-
функции отклика < фф' > оказывается канонической (= d), в отличие от
модели А.
п.17 Модель С (медленная теплопроводность): статика.
Начнем с анализа статики данной модели, взяв в качестве неренормиро-
ванного и соответствующего базового статического действия для полей
ip = ф,гп в размерности d = 4 — 2е безмассовую версию G9) с добавкой
вкладов внешнего поля tph = фЬф + mhm:
= -{дфJ/2- WY24 + 92отф2/2 -m2/2 + ^o , A19)
? *2 - m2/2 + iph , A20)
где ало и 520 - затравочные, а #1в = д\^с и #2в = д^ц€ - соответствую-
соответствующие базовые заряды. Стандартный анализ расходимостей (с учетом их
независимости от h) показывает, что их можно полностью устранить
введением в A20) четырех констант Z:
5**(V) = -Z1(^J/2-Z25lB^V24 + Z352Bm^2/2-Z4m2/2 + v?/i . A21)
Это соответствует мультипликативной ренормировке S^(<p,e,fi) =
Sst(Z,pip,eo) модели A19) cZ^ = 2фф,2тт для полей та дм = giB2gi (i =
1,2), ho = hZh, ZA=Z¥, (ip = ф,т) для параметров е = 01,02, h^,hm.
Если бы мы добавили в A20) "массовый вклад" — тф2/2, то это при-
привело бы к появлению в A21) еще трех констант Z, во-первых, от ренор-
ренормировки данного вклада, во-вторых, от дополнительного вакуумного
контрчлена ~ т2ц~2е, в-третьих, от контрчлена ~ ттц~с, соответству-
соответствующего сдвигу внешнего поля hm. Но эти три новые константы Z в
п. 17 Модель С: статика 591
действительности не независимы и должны выражаться через четыре
константы в A21), поскольку сдвигом m —>■ m+ const вклад —тф2/2 в ба-
базовом действии можно убрать, получив в итоге безмассовый функционал
A20) с заменой hm —>■ hm — т/д%в (плюс аддитивная константа). Сдвиг
m отражается только на вакуумных петлях и на среднем < m >. По-
Поэтому из сказанного выше следует, что все прочие функции Грина для
массивного обобщения модели A20) будут в действительности зависеть
не от параметров т и hm по отдельности, а только от одной их комби-
комбинации hm — т/#2в> и только эта комбинация будет иметь определенную
(теневую к т) критическую размерность. В этом отношении ситуация
аналогична у>3-модели, подробно рассмотренной в гл.4. По указанным
причинам введение массового вклада в A20) нецелесообразно, так как
приводит лишь к неоправданным усложнениям без получения новой ин-
информации.
Четыре константы Z в A21) можно выразить через известные че-
четыре константы ренормировки простой у>4-модели из C.105). Доказа-
Доказательство этого утверждения выполняется по уже использовавшейся в
п.4.46 схеме, поэтому мы изложим его кратко. Рассмотрим произво-
производящий функционал B.30) с источником tpA = фА^ только поля ф для
модели A20) и выполним в нем гауссово интегрирование по полю т.
Легко проверить, что в показателе экспоненты оставшегося интеграла
по ф получится базовое действие простой у>4-модели с параметрами
т = -g2Bhm , д = gi-3g% , дв = 9Ц2е A22)
и добавкой аддитивной константы ln[C/CT] + Jdx h^/2, где С - связан-
связанный с полем ф нормировочный множитель в B.30) для исходной модели
A20), а Ст - аналогичный множитель для ip4 -модели с параметрами
A22). Эти множители определяются общим правилом B.16) с К = —д2
для С и К = —З2 + т для Ст, величина — 1п[С/Ст] совпадает с правой
частью соотношения C.233).
УФ-расходимости полученной <р4-модели с параметрами A22) устра-
устраняются известными константами ренормировки из C.105) и дополни-
дополнительным вычитанием УФ-расходящейся части вклада \п[С/Ст], что эк-
эквивалентно добавке выражения C.236) к действию C.105). Такая до-
добавка, как известно (п.4.4), приводит к замене Zo —>■ Zo = Zo —ng/32тг2е
в вакуумном контрчлене C.106).
С другой стороны, то же самое ренормированное действие для поля
ф должно получиться, если выполнить интегрирование по m в функци-
функционале B.30) с действием A21) в показателе (при этом также появится
аддитивная добавка 1п[С/Ст]). Приравнивая получаемые этими двумя
592 Глава 5. Критическая динамика
способами выражения для S^ (ф) (вклад 1п[С/Ст] сокращается), придем
к равенству
/2 -
из которого с учетом A22) следует:
35|Z4 Z
3
-1
Z2 = Z4 Z3 , Zo5| = g(Z4 - 1)
Тем самым зависящие от двух зарядов 51,2 константы A21) выражаются
через известные константы Zi^.3 и Zo простой у>4-модели, зависящие
только от одного заряда g = 51 — 3#| •
Пользуясь соотношениями типа A.120), нетрудно показать, что связи
A23) между константами ренормировки приводят к следующим свя-
связям между соответствующими РГ-функциями A.113): -у^ = 1ф > lm =
52(-£-7S2) =52(-е-7т+527о/2), в которых 7^, T,g -известные (п.4.2)
РГ-функции простой у>4-модели (-уф = -у^ в обозначениях п.4.2), 70 ~ ее
вакуумная РГ-функция D.19). В модели A21) удобно сделать замену
переменных, перейдя от зарядов #1,2 к паре д,д% с новой РГ-функцией
/Зд = V^g = j3gi — 6д20д2 для заряда д из A22). В этих переменных при-
приведенные выше РГ-функции модели A21) принимают следующий вид:
\ A24)
= 1ф {9) , lm (9, 92) = -5270 ( J
т.е. /?-функция заряда д в модели A21) совпадает с обычной /?-функцией
простой ip4-модели.
В рамках £-разложения /?-функции A24) имеют на плоскости д,д\
четыре фиксированных точки, ИК-притягивающими могут быть лишь
следующие две:
No.l : {д, ~ е, д\, = 0} , No.2 : {5* ~ е, д\* = 2(е + 7;)/7^} - A25)
где 5* ~ £ ~ координата ИК-притягивающей точки простой у>4-модели,
7а = 7аE*)- Точкам A25) соответствуют два возможных критических
п.18 Модель С: динамика. 593
режима: в первом взаимодействие полей ф и т выключается, во втором
оно существенно. Выбор между ними определяется знаками поправоч-
поправочных индексов ыа (п.1.42). Поскольку матрица dfli/dgk A.189) для пары
зарядов 5,52 с /?-функциями A24) треугольна, ее собственными зна-
значениями ша являются просто диагональные элементы ыд = d/3g(g)/dg
при д = д* и ыдз = — е — 7* + 3<7|*7о/2- Первое из них положительно
(п.1.33), а второе принимает значение — (е + -у*) в точке No.l и 2(г + 7*)
в точке No.2, так что одна из этих двух точек обязательно является
ИК-притягивающей. Выбор определяется знаком величины £ + 7* > ко~
торая выражается соотношениями A.19) и A.40) через традиционные
критические индексы у>4-модели:
е + ГТ = а/2//, A26)
где а = 2 — du - индекс теплоемкости, 1/г/ = Дт = 2 + 7* ~ критическая
размерность температуры т. При а < 0 реализуется режим No.l, а при
а > 0 - режим No.2.
Из A24) следует, что аномальная размерность поля ф в обоих ре-
режимах та же, что и в у?4-модели G^, = jl = rj/2), а для поля m имеем
7т = 0 в точке No.l и 7т = ~(£ + 7*) = —a/2is в точке No.2. Поэтому
критическая размерность Am = dm +7m поля m в режиме No.l совпа-
совпадает с его канонической размерностью dm = d/2 = 2 — е. В режиме
No.2 имеем Ат = 2-е — (s + j*) = d — АТ, т.е. в этом случае величина
Дт является теневой к Дт, следовательно, совпадает с размерностью
составного оператора у>2 в у>4-модели (п.4.9).
Выбор между двумя режимами определяется знаком индекса тепло-
теплоемкости а в (р4-модели. В рамках 4 — е-разложения он известен до
вкладов порядка еъ включительно, явное выражение для трех первых
членов ряда приведено в п. 1.37. Из этого выражения видно, что вели-
величина а меняет знак при некотором граничном значении пс = nc(d): при
п > пс имеем а < 0, т.е. реализуется режим No.l, а при п < пс - режим
No.2. Для d = 4 — 2е из выражения для а в двух первых порядках полу-
получается nc(<f) = 4 — 8s + По некоторым оценкам псC) = 1,8 [153], и
если это так, то для реальной размерности d = 3 нетривиальный крити-
критический режим реализуется только для однокомпонентного поля (п — 1),
а для любого п > 2 взаимодействие ф с m в критическом режиме ока-
оказывается несущественным.
п.18 Модель С: динамика. Неренормированное действие динами-
динамической модели С (п.12) запишем в виде
594 Глава 5. Критическая динамика.
- AOmm'<92m' + m'[-dtm - X0md2Hm] ,
где Xoip с ip = ф, m - затравочные коэффициенты Онзагера и
Н^ = 5Sst{ip)/8<p A28)
- компактное обозначение для вариационных производных статического
действия, в данном случае, - функционала A19). Базовое действие
SB(ip) получается из A27) заменой затравочных параметров XOtp их ре-
нормированными аналогами А^,, a Sat(<p) в A28) - базовым функциона-
функционалом A20). В данной модели для обоих полей dt ~ A32, поэтому
йш = 2, cP[Av] = -2, <f [Av] = 1, d[Xv] = 0, tp = r/>,m . A29)
В дальнейшем вместо ХфгГП будем использовать обозначения
Хф = Х,Хт = иХ A30)
и аналогично для затравочных параметров. Полностью безразмерный
параметр и = Хт/Хф входит в динамические константы ренормировки,
поэтому будет играть роль третьего заряда (в дополнение к статиче-
статическим 51,2) динамической модели.
При d = 4 суммарные размерности (87) полей ф,ф',т,т' равны
1,3,2,2, соответственно, поэтому для формального индекса расходимо-
расходимости (89) получаем d^ = б—Пф— Зп^,/—2пт—2пт/. Но реальный индекс с^г
будет меньше формального, так как из вида вершины т'д2ф2 ~ д^т'-ф2
в A27) следует, что на каждую внешнюю линию поля т' в диаграммах
1-неприводимых функций Г и в соответствующих контрчленах выде-
выделяется операция З2, поэтому 6Г = d^ — 2nm/. Отсюда следует, что
диаграммы 1-неприводимой функции < т'т' > контрчленов не поро-
порождают (£г = —2), т.е. вклад ~ т'д2т' в базовом действии не ренор-
мируется. По той же причине диаграммы < т'т > могут порождать
лишь контрчлены типа т'д^т, но не порождают контрчленов m'dtm
той же размерности. Ввиду отсутствия межмодовой связи вклады с
внешним полем h также не ренормируются (п. 15) и параметры h не мо-
могут входить в контрчлены, которые должны поэтому обладать симме-
симметрией ф, ф' —>■ —ф, —ф' задачи с h = 0. С учетом всех этих соображений
и значения с^г нетрудно убедиться, что все возможные контрчлены ди-
динамической модели имеют вид слагаемых базового действия, поэтому
п.18 Модель С: динамика 595
воспроизводятся введением нужных констант ренормировки. В подроб-
подробной записи в обозначениях A20),A30) имеем:
} A31)
' + m'[-dtm - Au<92(-Z6m + 27д2вф2/2 + Am)] . J
Если бы ренормировка была мультипликативной, то мы имели бы:
A32)
Z5 = ^ф'Ъ\1тЪфЪд2, 1 = Ъ\ЪиЪт, = Zm/Zm,
Z7 =
Нетрудно убедиться, что эти соотношения могут выполняться тогда
и только тогда, когда между константами A31) имеется одна связь, а
именно,
ZiZ7 = Z2Z5 , A33)
так что мультипликативность ренормировки A31) неочевидна.
Но она имеет место, в чем можно убедиться с помощью соотноше-
соотношений (93)-(95). Отождествляя выражения (91) и A31), видим, что в
данном случае Z и а' в (91) - диагональные матрицы с элементами
Z$ = Z2, Zm = 1, а!ф = AZi, a'm = — Xud2, а для "вектора" Аа с а = ф, т
из A31) получаем Аф = \{г3д2ф - Z45ib^3/6 + Zьg1пmф + h^), Am =
—Aw32(—Z6m+Z752B^'2/2 + /jm). Подставив эти величины и S£ из A21)
в определение (94) и потом в соотношения (95), нетрудно убедиться, что
последние могут выполняться только при Вф = Вт = 0. Отсюда (при
учете явного вида Аф>т и определения (94)) вытекает мультиплика-
мультипликативность ренормировки и, как следствие, справедливость соотношений
A32), A33), равенств (90) для величин F = ф,т,д1,д2,Ь,^,кт, а также
соотношений (96), в данном случае принимающих вид
Z^'Za = Z^ , Zm'ZxZu = Zm . A34)
Первое из них эквивалентно равенству Z\ = Z2 для констант в A31), а
второе автоматически следует из (уже доказанных) соотношений A32).
Из четырех констант ренормировки отсутствующих в статике ве-
величин ф',т',\,и существенно новой является только Z\, а все прочие
выражаются через Z\ и статические константы вытекающими из A32)
и A34) соотношениями
, Zm' = Z , Zu = Z^Z^1 . A35)
596 Глава 5. Критическая динамика
Отсюда для аномальных размерностей A.113) получаем:
1Ф1 = 7t/> - 7л , 7т' = -7т , 7« = 27т - 7л ■ A36)
Оператор VPr в стандартном РГ-уравнении A06) теперь имеет вид
VPr =Vli + Y;Pada-Y.~l«v« A37)
с суммированием по а = и, А, Л и со статическими /?-функциями для
зарядов 5i,2 или 5,52 в обозначениях A24). Вычисления показывают
(двухпетлевой расчет выполнен в [169]), что константа Ъ\ зависит не
только от статических зарядов, но и от введенного в A30) параметра
и. В однопетлевом приближении
ZA = 1 + 5|/1бтг2£A + «) + ... . A38)
Поэтому параметр и в динамике играет роль третьего заряда, а соот-
соответствующий вклад в A37) определяет его /?-функцию:
-1UVU = ДА , & = -и7и = иGа - 27т) ■ A39)
В однопетлевом приближении из A38),A24) (в п. 17 статические РГ-
функции обозначались через /?,7) и явного выражения D.21) для 7о по-
получаем:
*<».».."> = шИ- Т?;] ■ A40)
Координаты фиксированных точек трехзарядного {g,g2,u) оператора
A37) для статических зарядов g,g2 известны из A25). В случае реа-
реализации режима No.l (п > nc(d), а < 0, д2* = 0) взаимодействие полей
ф и m в критическом режиме выключается, поэтому динамика поля ф
в модели С будет такой же, как и в модели А, а динамика тп - свобод-
свободной. Если же реализуется режим No.2 (п < nc(d), а > 0, #2* ф 0), то
/?-функция A40) нетривиальна и имеет три возможных фиксированных
точки:
и. = 0 {А), и. = со (В) , и. = 2/п -1 + О(е) (С) A41)
("режимы 2А,2В,2С"). Матрицам A.189) в переменных g,g2,u тре-
треугольна, поэтому ИК-устойчивость точек A41) определяется знаком
производной дри/ди = ши (чтобы обнаружить и исследовать на устой-
устойчивость точку и, = оо, нужно сделать замену переменной и —>■ и' = 1/и
п.19 Модель D 597
в A39)). Из A40) следует, что точка А будет ИК-притягивающей при
п > 2, точка С - при п < 2, а точка 5 (в переменных д, #2, и' = 1/и) не-
неустойчива при любом п > 0. Из оценки величины nc(d), определяющей
границу области а > 0 (п. 17), представляется правдоподобным, что для
реальной размерности d = 3 лишь значение п = 1 обеспечивает стати-
статический режим .ЛГо.2 с 52* ф 0. Для п = 1 в динамике ИК-устойчивой
будет точка Сси, ^ 0. Значение 7л в этой точке выражается через
статические показатели в силу равенства нулю /?-функций A24),A39) и
соотношения A24) для jm = jm:
7л| = 27^ = Silo = -Це + Ъ) = -ос/и . A42)
Отсюда по общему правилу A09) с учетом соотношений A29) находится
критическая размерность частоты (индекс z):
г = Дш = 2-7л = 2 + a/j/. A43)
Таким образом, в нетривиальном критическом режиме 1С с #2* ф
0, «„ ф 0 все динамические индексы выражаются соотношениями A36),
A42) через известные статические показатели у>4-модели.
п.19 Модель D. Она отличается от модели С заменой А,/, —>■ — А^,52
в A27) и в соответствующем базовом действии. Тогда в уравнение для
ф войдет комбинация dt + Хфд4, а в уравнении для т получим dt — Am32,
так что выбор суммарной размерности частоты dw неоднозначен. В
принципе, можно рассматривать оба варианта: ш ~ р4 или и> ~ р2 (с
точностью до поправок порядка е и выше в показателях). Для каждого
из этих двух вариантов те или иные слагаемые базового действия будут
ИК-несущественными. В литературе обсуждался лишь случай ш ~ р4
(т.е. du = 4), соответствующий полноценной динамике для поля па-
параметра порядка ф. В этом случае вклад dt ~ р4 в уравнении для т
оказывается несущественным по сравнению с вкладом Хт З2 ~ р2 и при
анализе ведущих членов искомой ИК-асимптотики р—>-0, w~p4—>-0
его следует отбросить. В итоге приходим к динамической модели с ба-
базовым действием
A44)
где Н* - вариационные производные A28) базового действия A20). Вме-
Вместо A29) теперь имеем <#>[А,/,] = -4, dP[\m] = -2, of[A^] = du[Xm] = 1,
598 Глава 5. Критическая динамика
откуда для суммарных размерностей (87) с йы = 4 получаем:
с1[Хф] = 0 , d[Xm] = 2 . A45)
Второе равенство A45) не позволяет считать действие A44) "правильно
построенным" (п. 15), поскольку его свободная часть содержит параметр
Хт, который остается конечным в исследуемой ИК-асимптотике и имеет
отличную от нуля суммарную размерность d[Xm] = 2. Из-за этого об
ИК-существенности различных слагаемых взаимодействия в A44) нель-
нельзя судить, как обычно (п. 1.16), просто по размерности коэффициентов
при них.
От параметра Хт в свободной части A44) можно избавиться ра-
растяжением полей т —>■ Аш т, т' —>■ Ат т'. Тогда взаимодействие
A44) примет вид суммы трех слагаемых u\V\ + uiVi + U3V3 с мономами
Vi - ф'д2ф3/6, У2 = -ф'д2(тф), У3 = -т'д2ф2/2 и коэффициентами
«1 = Хфд\в, w2 = А,/,Ат1/2#2в, «з = xU292n- При d = 4 эти коэффи-
коэффициенты имеют суммарные размерности 0, —1, 1, соответственно, т.е.
первое взаимодействие оказывается логарифмическим, второе - менее,
а третье - более ИК-существенным. Если действовать формально по
правилам п.1.16, то следовало бы оставить лишь самое существенное
взаимодействие Уз и отбросить "более слабые" Vi^.
Но в данном случае так поступать нельзя, если нас интересует ди-
динамика полей ф,ф' (что согласуется и с постановкой задачи ш ~ р4).
Действительно, если сохранить лишь взаимодействие Уз, то все диа-
диаграммы функций Грина полей ф, ф' просто исчезнут, так как их нельзя
построить без вершин Vj.,2, причем на каждую вершину V3 B этих диа-
диаграммах обязательно приходится, как минимум, одна вершина У2- По-
Поскольку размерности —1 и 1 коэффициентов щ и «з при вершинах V-z и
Уз взаимно сокращаются, ясно, что наиболее существенными будут диа-
диаграммы с одинаковым числом вершин V-> и Уз при произвольном числе
вершин V\. Все эти диаграммы в размерности d = 4 логарифмические,
а все прочие по сравнению с ними ИК-несущественны из-за присутствия
дополнительных вершин Vi и соответствующих множителей «2-
Отбор существенных диаграмм произойдет автоматически, если в
функциональном интеграле B6) с весом ехр5в(<^) и 5В(<^) из A44) вы-
выполнить гауссово интегрирование по полям га, т'. Это даст добавку
1') - Х*д1в(фд2ф')(ф2 + 2hm/g2B) A46)
к функционалу действия полей ф, ф' модели В. Нелокальное первое
слагаемое A46) порождается двумя вершинами типа У2 и является ИК-
несущественной поправкой, которую следует отбросить. Кратное ф3д2ф'
п.2О Модели F и Е 599
локальное слагаемое A46) порождается интерференцией V-j и Уз- Оно
совпадает по виду с взаимодействием V\, так что приводит лишь к из-
изменению коэффициента при нем, а вклад с hm в A46) воспроизводит
массовую вставку ~ тф2 в модели В. Отсюда следует, что динамика
полей ф, ф' в модели D оказывается точно такой же, как и в модели В
(п. 16), т.е. в этом случае взаимодействие полей ф и m в критическом
режиме оказывается несущественным.
п.20 Модели F и Е. В качестве неренормированного статического
действия модели F будем использовать безмассовую версию (81) с до-
добавкой вклада внешнего поля hm:
Sat(tp) = -дф -дф - дю(ффJ/6 + д20тфф - т2/2 + mhOm A47)
с вещественным однокомпонентным полем т, комплексным ЛГ-компо-
нентным полем ф, у и £/ц-симметричным взаимодействием. Модель
A47) эквивалентна вещественной О„-симметричной модели A19) с п =
2N и с той же нормировкой для зарядов 01,2 (именно поэтому в A47)
поставлен коэффициент 1/6 вместо естественного симметрийного коэф-
коэффициента 1/4). Реальной задаче для сверхтекучего Не4 соответствует
N = 1, т.е. п — 2. Из-за наличия межмодовой связи соотношения типа
(96) для моделей F, Е не выполняются, поэтому мы и не стали вводить
в A47) весь набор внешних полей h^.
Неренормированное динамическое действие модели F запишем в виде
+ ■+
2Хаф ф' ф'+ ф' [-
+ф'[-дгф +АО0A - гЬ0)Нф - i\o^g3o фНт] - ХОтгп'д2т'+
+m'[-dtm - \0д2Н + 1Х{ФН
A48)
где Ао^, - положительные параметры с размерностями A29), &о и дзо —
вещественные параметры, соответствующие межмодовой связи, и Н^ с
<р — ф,т - производные A28) действия A47), Нф ~ аналогичная про-
изводная по ф. В дальнейшем для Х0(р и их ренормированных аналогов
будем использовать обозначения A30). Тогда соответствующее A48)
базовое действие в подробной записи имеет следующий вид:
SB(<£) = 2А ф'ф'+ ф' [-дгф + АA + 1Ъ){д2ф - д1вф(ф1Р)/3 +
+д-2Втф) + г\дзвФ{—™ + 52в ФФ + hm) ] + к.с. - A W<92m'+
600 Глава 5. Критическая динамика
+m'[-dtm - Xud2{-m + 52в фф + hm) + 1Хд3пд{фдф - фдф)} , A49)
где 51в = Я1Ц2с, 92в = 92^, 9зв = 9з1*€ ~ базовые заряды (d = 4 - 2е),
51,2,з - ренормированные, а "+к.с." здесь и далее обозначает добавку
комплексно-сопряженного предыдущему выражения.
+ +
Суммарные размерности полей ф, ф, ф',ф',тп, гп' и параметра hm при
d = 4 равны, соответственно, 1,1,3,3,2,2,2, поэтому для формального ин-
индекса (89) получаем d^ = б — Пф — п+ — Zn^i — 3n+ — 2nm — 2nm/. Но
Ф Ф'
реальный индекс £г меньше формального, так как из вида вершин с т'
в A49) следует, что в диаграммах 1-неприводимых функций Г на ка-
каждую внешнюю линию т' (и на поле гп' в соответствующих контрчле-
контрчленах) выделяется, как минимум, один символ д, поэтому 6г = d^ — nmi.
Учитывая это, нетрудно убедиться, что все нужные контрчлены имеют
вид различных слагаемых действия A49), причем вклад m'dtm не ре-
нормируется, как и в модели С, а вклад т'д2т' теперь может ренорми-
роваться (в модели С на каждую внешнюю линию т' выделялось два
символа д, а в A49) - два или один).
Соотношения (95), как обычно, можно использовать для доказатель-
доказательства мультипликативности ренормировки. В функционале A49) есть
подобные члены, поэтому не имеет смысла воспроизводить контрчлены
введением независимых констант Z при каждом слагаемом A49). Но из
сказанного выше о структуре контрчленов следует, что ренормирован-
ное действие во всяком случае представимо в виде
5R(<^) = 2ZiA ф'ф'+ ф'[-г2дгф+Аф}+к.с.-г3\ит'д2т'+т'{~д1т+Ат1
A50)
где Ар - некоторые линейные комбинации
а=1 а=5
известных мономов {Ма} = д2ф, ф(фф), тф, фкт, д2т, д2(фф), d2hm,
гд{ф дф—фдф ) (нумерация в порядке следования). Из формальной веще-
вещественности действия A49), которая должна сохраняться и после ренор-
ренормировки, следует, что константы Zi,3 и коэффициенты аа в Ат должны
быть вещественными, а Ъч и коэффициенты аа в Аф могут быть ком-
комплексными.
Отождествляя выражения A50) и (91), можно записать соотношения
п.2О Модели F и Е 601
(95) для нашей системы полей tp = ф,ф,т следующим образом:
$<Ьс[6Вф/8ф+ к.с. + 8Вт/8т] = 0, A52)
$й*[ВфЩ+ к.с. +ВтН*] = 0, A53)
где #£ - величины A28) с заменой Sst(ip) ->■ S£(<p) и
* = -- -- A54)
с теми же Ма и теми же свойствами вещественности коэффициентов Ьа,
как и у аа в A51). Для величин Н* имеем:
= с1д2ф+с2(фф)ф+с3тф , }
A55)
Н* = 6S«/6m = J
с известными (по виду S^(ip)) вещественными коэффициентами с„.
Подставив выражения A55) и A54) с конкретными (см. выше) мо-
мономами Ма в уравнение A53), нетрудно убедиться, что оно может вы-
выполняться только при 65 = &б = &7 = 0, произвольном вещественном Ь$
и чисто мнимых 6i - Ь4) удовлетворяющих соотношениям
ci&4 = ib& , ci&2 — С261 = г'сзбв > С1^з — С361 = гС4бв • A56)
Эти соотношения оставляют произвольными два из пяти отличных от
нуля коэффициентов Ь, например, вещественный 6s и чисто мнимый Ь\.
Введя параметризацию &i = iaci, 6g = fci с произвольными веществен-
вещественными аи/?, для решения са/0, /? = 0 из A54) - A56) получим:
Вф = {а[С1д2ф + с2ф(ф ф) + с3тф] = *оЯ5, 5т = 0 , A57)
а для решения с а = 0, /? ^ 0 аналогично
Вф = г/3[с3ф(ф ф) + с4тф + фкт] = i/ЗфН* ,
+ + ++
5т = грсгд{фдф-фдф) = */?№#$-tf## .
Общее решение для Bv есть сумма выражений A57) и A58) (уравнение
A52) для него выполняется автоматически), по известным Bv из A54)
602 Глава 5. Критическая динамика.
находим величины Av в A50):
Аф = AZi Ъ2~1Н% + Z2[ i
Am = -2
Такой вид Ay и доказывает искомую мультипликативность ренорми-
ренормировки: легко проверить, что функционал A50) с А^ из A59) получается
из неренормированного действия A48) стандартной мультипликатив-
мультипликативной ренормировкой всех полей и параметров (ео = eZe для е = A, u, b, hm
и gto = 5>bZSj для трех зарядов д, все эти Z вещественны), причем в со-
соответствии со статикой, т.е. с выполнением общих соотношений (90)
для величин F = i>,m,hm,gi,g2- При этом константы Z и параметры
а, /? в A59) выражаются через константы мультипликативной ренор-
ренормировки соотношениями Zi = Za|Z,/,<|2, Z2 =Z,/,<Z,/,, Z3 = ZaZuZ^,/, a =
A6ZAZbZ-2, /? = A^bZaZ^Z и
Zm<Zm = 1 A60)
из-за отсутствия ренормировки вклада m'dtm в A50). Таким образом,
новыми для динамики являются лишь константы ренормировки пара-
параметров А, и, Ь, дз и поля ф', причем только Z,/,/ может быть комплексной.
Внешнее поле hm в статических функционалах должно считаться
статическим (не зависит от t), и лишь для этого случая справедливо
приведенное выше доказательство мультипликативной ренормируемо-
сти. Но в динамических объектах типа A49) hm можно считать про-
произвольной функцией х = t,x, и доказательство обобщается непосред-
непосредственно на этот случай: раз мы убедились (по соображениям размер-
размерности и реальному индексу), что все контрчлены динамической модели
A49) с произвольным hm имеют вид слагаемых A49), следовательно,
не содержат dthm, динамическая модель с произвольным hm должна
ренормироваться теми же контрчленами (или константами Z), как и
для статического hm.
Между динамическими константами Z модели F есть еще одна связь,
а именно,
ZAZS3 = Zm . A61)
Для доказательства рассмотрим преобразование полей ф —>■ фа:
фа = е{аф , ф'а = e''V , ma = m , m'a = m' , A62)
где а = aB) - произвольная вещественная функция, зависящая только
■+ +
от времени (формулы преобразования для ф ,ф' получаются из A62)
п.2О Модели F и Е 603
комплексным сопряжением). Из A49) и A62) видно, что преобразование
ф —>■ фа в A49) эквивалентно сдвигу hm —>■ кт — дьа/Хдзв внешнего поля
hm. Для неренормированного динамического функционала аналогично:
8{фа,Кт) = S^Mm-dta/Xagsa) A63)
(указываем зависимость только от существенных величин). Поскольку
мультипликативность ренормировки уже доказана, можно утверждать,
что оба слагаемых выражения hom — с^а/Ао^зо ренормируются одним и
тем же множителем Z, что при учете связи Z/,m = Z^,1 (эти константы
статические) эквивалентно равенству A61). Отметим, что преобразова-
преобразование A63) в общем случае выводит из класса статических hm, но это не-
несущественно в силу сделанного выше замечания относительно возмож-
возможности перехода к произвольным hm. Из класса статических hm можно
было бы и не выходить, ограничившись в A63) функциями a(t) = at
с произвольным вещественным коэффициентом а, чего достаточно для
доказательства соотношения A61).
Явные вычисления показывают [158], что динамические константы
ренормировки содержат степени отношения gl/u, поэтому и в РГ-функ-
циях будут "генерационные вклады" с и в знаменателях. Более удоб-
удобными для РГ-анализа являются используемые в [158] переменные
/ = 5|/8тг2« , w = 1/« A64)
и аналогично для затравочных величин. Из A64) следует Zw = Z~ , Zf =
Zg3Zw, поэтому соотношение A61) в переменных A64) принимает вид
Z/ = ZTOZ^ Zw и влечет равенство
7/ = 27m+7w-27x A65)
для соответствующих аномальных размерностей 7а = V^lxiZa- Дина-
Динамические константы Z модели F являются рядами по степеням зарядов
5i i 9ъ и /• Коэффициенты этих рядов зависят от параметров w и Ь,
так что в РГ-уравнениях они также играют роль зарядов. /?-функции
зарядов 5i,2 статические (п.17), а для трех новых имеем:
pt = /[-2е-7/] , Av = -w7w , ft = -Ьъ A66)
с 7/ из A65).
Модель Е — частный случай модели F с #2 = 6 = 0. Она обладает
дополнительной симметрией относительно дискретного преобразования
+ +
ф'Н-ф , ф' «->■ ф' , m,m',hm «->■ —m,-m',-hm . A67)
604 Глава 5. Критическая динамика
Вклады с 52 и Ь в A49) нечетны относительно преобразования A67), а
все прочие - четны, так что при отсутствии нечетных вкладов в базовом
действии они не будут порождаться ренормировкой (сохранение симмет-
симметрии). Для модели Е выполняются все общие соотношения модели F и
дополнительно (известно из статики)
Zm = 1 => jm = 0 . A68)
Для динамических /^-функций модели Е из A65), A66) и A68) имеем:
ps = / [-2е - 7w + 27л] , Av = -w7w - A69)
Отметим, что для модели Е преобразование A62) полей ф,ф' в ба-
базовом действии, сопровожденное преобразованием та — т — dta/Хдзв,
т'а = т' полей т,т', эквивалентно сдвигу Ат> —>■ Ami + dfa/Хдзв
источника Ami поля т' в производящем функционале типа B6). Это
позволяет написать соответствующие тождества Уорда (п.2.16), из ко-
которых также следует, в частности, равенство A61). Но на модель F
этот прием не обобщается, в отличие от использованного выше соотно-
соотношения A63).
Обсудим теперь кратко возможные критические режимы, начав с
модели Е. Двухпетлевой расчет для этой модели в схеме MS выполнен
в работе [158]. В однопетлевом приближении получено (п = 2N)
0f = f [-2e + //A + w) + fn/4] , /?w = w [fn/4 - f/(l + w)] , A70)
довольно громоздкие явные выражения двухпетлевых /?-функций A69)
содержатся в формулах 3.26-3.30 работы [158] (в обозначениях [158]
7л = — Vr, 7w = Va — Vr i приводятся величины гуг и г)л при произвольном
значении п = 2N). Результаты РГ-анализа [158] сводятся к следую-
следующему: соответствующая модели А фиксированная точка с /* = 0 ИК-
неустойчива, так как для нее ассоциированный с зарядом / индекс u>j
оказывается отрицательным. Для точек с /* ф 0 возможны варианты
w* = со, w* =0, w, = const ф 0. Точка с w* = со всегда неустойчива, а
из прочих ИК-устойчивой является одна из двух: при малых п < nc(d)
это точка с w* ф 0 ("dynamic scaling fixed point"), а при п > nc(d) -
точка с w, = 0 ("weak scaling fixed point"). Для граничного значения
nc(d) в [158] получено (d = 4 — 2е):
nc(d) = 4 - 2е [19 lnD/3) - 11/3] + О(г2) . A71)
Для динамической фиксированной точки с /* ф 0, w, ф 0 из A69) имеем
7w = 0' 7л = £' поэтому для индекса z = Дш из общего соотношения
п.2О Модели F и Е 605
A09) с учетом A29) получаем точное выражение:
z = 2 - 7л = 2 -е = d/2 ( /. ф О, w, ф О, п< nc{d) ) . A72)
Для второго режима w* = 0, 7w Ф 0> поэтому из A69) имеем 7л =
е + 7w/2j так что в этом случае индекс z нетривиален:
z = 2 - 71 = d/2 - 7;/2 ( Л ^ 0, w. = 0, п > nc{d) ) . A73)
Случаю Не4 соответствует N = 1, т.е. п = 2. Для п — 2, d = 4 — 2г
ассоциированные с зарядами /,w индексы w оказываются равными [158]
uf = 2е - 0,230 • BгJ + ... , ы„ = 2г/4 - 0,139 • BгJ + ... A74)
для точки A72) и
ы/ = 2£-0,12б-BгJ + ... , ww = -2е/3 + 0,214- BгJ + ... A75)
для точки A73). При малых е ИК-устойчивым для п = 2 является ди-
динамический режим A72). Но, как отмечено в [158], ввиду численной ма-
малости коэффициентов £-разложений A74),A75) в ww нельзя исключить
возможность того, что для реальной размерности d = 3 Bе =1) знак
точного ww может быть другим, чем у вклада низшего порядка по е (та
же проблема, что и для знака индекса теплоемкости а). В такой ситу-
ситуации при п = 2, d = 3 будет реализовываться режим A73).
Перейдем теперь к модели F, которая для Не4 считается более реа-
реалистической. В ней есть два статических заряда с /?-функциями A24)
и три динамических с /?-функциями A66) и 7/ из A65). В зависимости
от знака индекса теплоемкости а в статике реализуется один из двух
режимов A25), для них 7m = —a/2i/, где 2 Е тах@,а) (п.17). Для
динамических фиксированных точек с /* ^0, w* ф 0 и любым 6* из
A65) и A66) имеем 7w = 0. 7л = £ + 1т = £ ~ 5/2г/, поэтому
z = 2-7л = d/2 + a/2u , 5 = max@,a), ( /. ф 0, w, ф 0 ) . A76)
Этот индекс z отличается от A72) только при а > 0, когда ^2* ф 0- Судя
по низшему порядку ^-разложения для а, именно этот вариант реализу-
реализуется для п = 2. Но из экспериментальных данных для Не4 (п = 2, d = 3)
известно, что a = —0.02 [153], и в этом случае основными кандида-
кандидатами на роль ИК-устойчивых точек модели F являются фиксированные
точки A72),A73) модели Е с д%* = 6* = 0 для добавочных зарядов.
606 Глава 5. Критическая динамика
Положительность ассоциированного с 31 индекса ш обеспечивается то-
тогда неравенством а < 0 (п.17), а для индекса и>ь она проверена явным
вычислением [158]: при #2* = 6* = 0 получено
ыь = 3Bг)/4 - 0,299 ■ BsJ + ... A77)
для режима A72) и
ыь = 2B£)/3 - 0,159 • BеJ + ... A78)
для режима A73).
Таким образом, для Не4 (п = 2) в реальной размерности d = 3 ИК-
притягивающими фиксированными точками модели F являются соот-
соответствующие модели Е точки A72) или A73) с #2* = Ь* — 0 для допол-
дополнительных зарядов. Если судить по низшему порядку г-разложения ww,
устойчивым следует считать динамический режим A72) с точно извест-
известным индексом z = d/2. Но не исключено, что при реальном значении
d = 3 устойчивым будет другой режим A73) с нетривиальным индексом
Z.
Более подробную информацию о двухпетлевых расчетах в модели F
и сравнении их результатов с экспериментальными данными для Не4
можно найти в работе [170].
п. 21 Модель G. Она описывает два вещественных трехкомпонент-
ных поля ip = {фа, "^а> а = 1, 2,3} с изотропным статическим действием
без взаимодействия ф и т. В качестве Sst(<p) будем использовать без-
безмассовый функционал
Sst(<p) = -(<ЭД2/2-W724-m72 + m/i0 A79)
с добавкой вклада затравочного внешнего поля /го = hom (без Ло^,).
Тогда неренормированным динамическим действием для данной модели
следует считать (п. 12) функционал
A80)
с производными A28) функционала A79) по полям tp = {4>a,ma} и раз-
размерностями A29) параметров А. Все взаимодействия в A80) логариф-
мичны при d = 4. В обозначениях A30) соответствующее функционалу
A80) базовое действие в подробной записи имеет следующий вид:
-Xomm'ad2m'a + m'a[-dtma -
п.21 Модель G 607
сФь{-тс + ftc)] - Xum'ad2m'a + m'a[-dtma-
-Хид2(-тпа + fto)
A81)
где #1в = дщ2е, 52в = 9ip€ ~ базовые заряды (d = 4 — 2s). В данной
модели есть два различных межмодовых взаимодействия [ф с тп и тп с
т), но константы связи при них в неренормированном и базовом дей-
действии положены одинаковыми согласно общему правилу (84). Вторая
межмодовая связь (последнее слагаемое в A81)) дает вклад только при
ft фО.
Анализ ренормировки модели A81) производится по уже изложен-
изложенной подробно для модели F общей схеме, поэтому мы опишем его лишь
кратко, обращая внимание только на специфические для модели G про-
проблемы. При d = 4 суммарные размерности (87) полей ф,ф',т,т' и
параметра ft равны, соответственно, 1,3,2,2,2, отсюда для формального
индекса (89) (dw = 2, d = 4) получаем dp = б — п^ — Зп^/ — 2пт — 2nm/.
Как и в модели F, реальный индекс 6р меньше формального, так как
в тройной вершине с т' в A81) на поле т' также выделяется "множи-
"множитель" д: под знаком интеграла по х
т'аеаьсфьд2фс = т'аеаЬсдг{фьд{фс) = -<9,-т'о • гаьсфьдгфс . A82)
Поэтому 6r = dp — nmi, и стандартный анализ расходимостей функ-
функций Г по их размерностям и реальному индексу показывает, что все
нужные контрчлены модели G имеют вид различных слагаемых A81),
причем вклад m'dtm не ренормируется, как и в модели F. Используя
эту информацию, с помощью общих соотношений (95) можно затем по-
показать, что ренормированное действие 5R(^) получается из неренорми-
рованного стандартной ренормировкой статического действия и допол-
дополнительной мультипликативной ренормировкой вспомогательных полей
ф' ,т', констант Xv и коэффициентов при двух межмодовых связях.
Если бы эти коэффициенты в базовом действии были независимы
(разные заряды), то сказанное выше означало бы доказательство согла-
согласованной со статикой мультипликативной ренормируемости модели. Но
в A81) эти коэффициенты положены равными, так что из сказанного
выше вытекает лишь мультипликативная ренормируемость модели G
без внешнего поля ft, когда вклад второй межмодовой связи исчезает.
608 Глава 5. Критическая динамика
Чтобы обойти эту трудность, рассмотрим обобщение модели G, в ко-
котором при второй межмодовой связи (последнее слагаемое A81)) вместо
#2в поставлен множитель #зв = 9з^г с третьим независимым ренорми-
рованным зарядом gz • Такая модель уже заведомо будет мультиплика-
мультипликативно-ренормируемой, причем все ее константы ренормировки, за ис-
исключением Ъдз, будут зависеть лишь от исходных зарядов #1,2, по-
поскольку они могут быть вычислены в модели без внешнего поля.
Рассмотрим теперь частный случай ft = h(t) для этой обобщенной
ренормированной модели (см. текст после формулы A60) в п.20). Ввиду
ее мультипликативной ренормируемости можно утверждать, что
ЗДЛ) = ЗДО) + .„.
(looj
При получении равенства A83) из A81) учтены соотношения
Zm = Z~h l = 1 , Zm, = 1 , A84)
первые следуют из статики, последнее - из первых и отсутствия ренор-
ренормировки вклада m'dtm в A81).
Вклад £ц(^,0) для обобщенной модели тот же самый, что и для
исходной, и получается из неренормированного действия A80) с ft = 0
согласованной со статикой мультипликативной ренормировкой.
Рассмотрим теперь поворот ф —>■ Иф полей ф = ф,ф' ,m,m' орто-
ортогональной (UT = U~1) и зависящей только от времени УФ-конечной
матрицей U(t). Из мультипликативной ренормируемости модели A81)
с ft = 0 и соотношений A84) следует, что при таком повороте
5я(^,0) = 5к{Ф^)-^Г^Ф'а{итд1и)аьфь-т1а{итд1и)аьть . A85)
При ft = h(t) функционал A83) обеспечивает УФ-конечность функций
Грина при любых #2,з, в частности, и при дз = дъ, но мы пока не знаем,
совпадают ли при этом константы Z32 и Zg3 • Чтобы ответить на этот
вопрос, положим в A83) дз = gi и сравним полученное выражение с
функционалом A85), который также обеспечивает УФ-конечность функ-
функций Грина для любой УФ-конечной ортогональной матрицы U(t). Если
сопоставить U(t) ренормированное внешнее поле h(t) посредством соот-
соотношения
-(UTdtU)ab = Xgistabchc A86)
п-22 Модель J 609
(или явно ftc = —£abc{U'rdtU)ab/2\g2B), то можно сказать, что с точно-
точностью до констант ренормировки функционал A85) имеет точно такой же
вид, как и функционал A83) с gi = дз- Далее, поскольку оба эти функ-
функционала обеспечивают УФ-конечность функций Грина, они должны раз-
различаться в общем случае только УФ-конечной ренормировкой, а в на-
нашей схеме MS - просто совпадать (так как УФ-конечность отношения
любых двух констант вида A.104) возможна только при их равенстве).
Поэтому из сказанного выше вытекают соотношения
1 = ZAZ32 = ZAZ33 I - A87)
133=32
Второе равенство доказывает мультипликативную ренормируемость ис-
исходной модели G с одинаковыми константами дз = gi при двух межмо-
довых взаимодействиях, а первое влечет связь 7а + 7дэ = О ^пя соответ-
соответствующих аномальных размерностей. Отсюда для Д-функции динами-
динамического заряда 52 получаем:
Рд, = 92{-£-Ъ,) = Ы-£ + 1\) ■ A88)
Поэтому в нетривиальной фиксированной точке с д%* Ф 0 имеем 7л = £>
что приводит к такому же, как в модели Е, ответу A72) для динами-
динамического индекса: z в Аш = d/2.
п.22 Модель J. В ней лишь одно вещественное поле <р = {фа, а =
1,2,3} с обычным изотропным статическим действием у?4-модели, ко-
которое мы будем считать безмассовым, но с добавкой вклада внешнего
поля ft. Тогда неренормированным динамическим действием для дан-
данной модели (п. 12) будет функционал
5@) = -ХоФ'ад2ф1а + ф'а[-д1фа-Ход2Нфа + Ход2о£аЬсФьН^} A89)
с обычным обозначением A28): Нфа = 8Sst/Зфа = д2фа—дюфаф2/6+fta.
В данной модели dt ~ д4, поэтому в (87) <1Ш = 4. С точки зрения раз-
размерностей модель A89) отличается от рассмотренных ранее, поэтому
приведем для удобства читателя таблицу размерностей ее полей и па-
параметров, которые легко находятся по изложенным в п. 14 общим пра-
правилам.
610
Глава 5. Критическая динамика
Табл.32. Канонические размерности полей и параметров модели J
в произвольной размерности пространства d.
F
ft
d%
dp
ф(х)
d/2-
0
d/2-
1
1
Ф'М
d/2 + 1
0
d/2 + 1
Ao
-4
1
0
<
4
4
710
-d
0
-d
3
3
520
-d/2
0
-d/2
По данным таблицы 32 видно, что межмодовая связь становится ло-
логарифмической при d — 6, тогда как статическое ф4-взаимодействие
логарифмично при d = 4. При d > 2 оно ИК-несущественно по сравне-
сравнению с межмодовым и при анализе ведущих членов ИК-асимптотики его
нужно отбросить (п. 1.16), - в этом отличие модели J от рассмотренных
ранее.
Таким образом, стандартная РГ-техника позволяет исследовать мо-
модель J в размерности d = 6 — 2е с отбрасыванием ИК-несущественного
статического ^-взаимодействия, т.е. со свободной статикой для поля
ф. Тогда базовым действием следует считать функционал
= -ХФ'ад2ф'а+
ha)
К)}
A90)
с единственным базовым зарядом #2в = д^у? для d = 6 — 2s.
При d = 6 суммарные размерности полей ф, ф' и параметра ft равны,
соответственно, 2,4,4, так что для индекса (89) с учетом du = 4, d = 6
получаем dp = 10 — 2пф — 4пф>, а ^г = dp — n^- по тем же причинам,
как и для модели G. Отсюда, как обычно, следует, что все нужные
контрчлены имеют вид различных слагаемых A90) и что вклад ф'дьф
не ренормируется, как и в модели G. Учитывая эту информацию, с
помощью соотношений (95) нетрудно затем доказать мультипликатив-
мультипликативность ренормировки динамической модели, причем
Пф — tih — i , пф' — i . (laij
Первые равенства известны из (свободной) статики, последнее - след-
следствие первых и отсутствия ренормировки вклада ф'дгф в A90).
Затем точно так же, как и для модели G, с помощью преобразования
ф —>■ иф с произвольной ортогональной и зависящей только от времени
матрицей U(t) легко показать, что коэффициент А#2в при межмодовой
п. 23 Модель Я: определение динамических переменных 611
связи в A90) не ренормируется. Это приводит к первому равенству
A87) и его следствию 7а = £ аля нетривиальной фиксированной точки
с 52* Ф 0- Но теперь е = F — d)/1 (в отличие от е — D — d)/1 для
модели G), и другие (см. табл. 32) размерности параметра А, поэтому
из общего соотношения A09) для модели J получается [164]:
z = Аш = 4- 7л = 4- е = d/2+l . A92)
В работе [164], кроме самой модели J, рассмотрена также ее модифи-
модификация с заменой —АоЗ2 —> Ао в A89). В этом случае ИК-несущественным
становится межмодовое взаимодействие и все сводится к модели А.
п. 23 Модель Я: определение динамических переменных.
Модель Я (п. 12) служит для описания динамики в окрестности кри-
критической точки перехода газ-жидкость и других систем из того же
класса универсальности, в частности, критической точки расслоения
в бинарных смесях. Для определенности мы будем говорить о крити-
критической точке перехода газ-жидкость и обсудим в этом разделе выбор
переменных динамической флуктуационной модели.
Исходной фундаментальной микротеорией жидкости можно считать
неравновесную статистическую физику системы взаимодействующих
классических частиц. В рамках этой теории корректно определены
случайные поля F(x) = Н(х), pi(x), п(х), - объемные плотности сох-
сохраняющихся величин: энергии, импульса и числа частиц. Их средние
значения < ... > по равновесному распределению - известные термо-
термодинамические величины: < Я (х) >= U - внутренняя энергия еди-
единицы объема, < п(х) >= р - плотность числа частиц и < pi(x) >= 0
для импульса. Согласно общим принципам теории Ландау (п. 1.12),
отклонения AF(x) = F(x) — Fc случайных полей F(x) от их равно-
равновесных средних значений в критической точке < F(x) >c= Fc можно
считать "малыми" в критической области величинами, старшими сте-
степенями которых можно пренебрегать по сравнению с младшими (а в
термодинамике с ними можно обращаться как с дифференциалами).
Тогда по исходным полям Н(х) — Uc = AU(x) и п(х) — рс = А'р(х)
с помощью термодинамического соотношения AU = TAS + цАр =
TCAS + /j.cAp можно определить аналогичное случайное поле для эн-
энтропии (единицы объема) AS(x) = Т(Г1[Д?7B;) — ficAf>(x)], а вместо
импульса pi (x) можно ввести с той же точностью случайное поле ско-
скорости: V{(x) = pi(x)/Mpc, где М - масса частицы. Хотя поле v, в от-
отличие от импульса р, не является точно сохраняющейся величиной, из
определений следует, что различием между ними в критической обла-
области можно пренебречь, т.е. все связанные с этим различием поправки
612 Глава 5. Критическая динамика
должны бытьИК-несущественными. Последующий строгий анализ, ра-
разумеется, подтвердит это утверждение.
Поля AS(x), Af>(x) и Vi(x) образуют полный базис фигурирующих в
динамике переменных. Отметим, что при их построении через первич-
первичные плотности сохраняющихся величин использовались только линей-
линейные соотношения с конечными в критической точке коэффициентами,
причем с пренебрежением поправками в этих коэффициентах ввиду их
заведомой ИК-несущественности. Определенные таким образом вели-
величины AF(x) нельзя отождествлять с термодинамическими флуктуаци-
ями (подробнее об этом будет сказано в конце раздела).
Равновесные средние < А~р(х) > и < AS(x) > - известные из ста-
статики величины A.31). Каждая из них содержит ведущий сингулярный
вклад ~ dip^ и менее сингулярный ~ д^р^ с критическими размер-
размерностями d — Дд = Av и d — Ат = А [у2], соответственно, где ДР - кри-
критические размерности простой (п = 1) у?4-модели (Дд = А\, Ат = Дг в
обозначениях п.1.8). Из соотношений A.31) следует, что выделенными
линейными комбинациями величин Ар(х) и AS(x) являются те, равно-
равновесные средние которых имеют определенные критические размерности
д\р^ и d2p(s\ а именно,
ф(х) = const [Ap(x) - bAS(x)] , A93а)
m(x) = const [AS(x) - aAp(x)] , A936)
где а и 6 - коэффициенты из A.28). Поле ф является параметром по-
порядка у?4-модели в точном смысле слова (теперь ip —>■ ф), а поле m пред-
представляется в ней составным оператором ф2. Если мы хотим считать
эти величины независимыми, то их следует отождествлять с соответ-
соответствующими полями модели С (п. 17); пропорциональность m ~ ф2 будет
тогда следствием одного из уравнений Швингера (п.2.11) для этой мо-
модели. Когда параметром порядка в статике называлась (п. 1.9) просто
величина Af>(x), делалась оговорка "с точностью до ведущих сингуляр-
сингулярных вкладов". С той же точностью параметром порядка можно было бы
считать и AS(x) или любую линейную комбинацию AS(x) и Af>(x), в
среднем значении которой не сокращается ведущий сингулярный вклад
dip(s). Он является средним значением случайной величины A93а), ко-
которую поэтому и следует считать основным полем ^>4-модели, т.е. ее
"параметром порядка" в точном смысле слова.
Определение A93а) параметра порядка ф не совпадает с принимае-
принимаемым обычно определением [153, 171], основанным на уравнениях клас-
классической гидродинамики идеальной (т.е. с пренебрежением эффектами
п.23 Модель Н: определение динамических переменных 613
теплопроводности и вязкости) жидкости. Согласно уравнениям гидро-
гидродинамики [172], объемные плотности числа частиц р(х) и энтропии S(x)
(но не энергии) удовлетворяют однотипным уравнениям непрерывности
9tF + 8i{viF) = О, F = p,S. Отсюда для разностей AF(x) = F(x) - Fc
имеем:
8tAF + FcdiVi + di(viAF) = 0, F = p, S . A94)
С точки зрения гидродинамики выделенную роль играет та комбина-
комбинация Ар и AS, которая в линейном (по совокупности "малых" перемен-
переменных Ар, AS и v,) приближении отщепляется от продольной (~ 5,v,)
части поля скорости, связанной со звуковыми колебаниями. Из уравне-
уравнений A94) следует, что эта комбинация имеет вид
const [S^AS{x) - pZlAP{x)} , A95)
т.е. с принятой точностью пропорциональна величине AF для F = S/p
- энтропии на одну частицу (или единицу массы). Именно комбинация
A95) считается обычно полем параметра порядка ф в модели Я, причем
для описания статики этого поля используется обычная ^>4-модель.
Такое описание может быть только приближенным, так как поле
A95) является в действительности смесью двух полей A93), имеющих
разные критические размерности. Поэтому мы будем считать основ-
основными полями величины A93), каждая из которых имеет определенную
критическую размерность. Последнее важнее, чем отщепление от уц,
которое в действительности существенной роли не играет (см. ниже).
Статикаполей A93) описывается моделью С (п. 17) с однокомпонентным
полем ф, которая автоматически обеспечивает правильные критические
размерности (Av и Д[у?2] в терминологии <р4-моделт) для этих полей.
Нужные канонические размерности (d/2 — 1 для ф и d/2 для т) обеспе-
обеспечиваются выбором нормировочных множителей в A93) в виде подходя-
подходящих степеней параметра обрезания Л = г~ \п, где rm;n - минимальный
характерный размер для данной задачи - межатомное расстояние.
Неуниверсальные коэффициенты а и Ь в A93) определены соотно-
соотношениями A.28). По смыслу а = —dfi/dT в конечной точке кривой со-
сосуществования Д^ + аДТ = t\ = 0. Как пояснялось в п.1.8, прямо-
прямолинейное продолжение этой кривой в область Т > Тс в пренебрежении
поправками соответствует линии р = const и (одновременно) S = const,
поэтому можно считать, что а = —d/i/dT\p=const — —d/J./dT\s=const (все
производные берутся в пределе Т —>■ Тс + 0). С помощью соотноше-
соотношений п. 1.8 легко проверить, что с той же точностью а = dS/dp |p=Const ■
Именно это выражение для коэффициента а через производную при
614 Глава 5. Критическая динамика
постоянном давлении р обычно используется при определении "второй
диффузионной моды" A936). Напомним, что коэффициенты а и b для
большого канонического ансамбля теоретически вычислимы, но не из-
измеримы экспериментально из-за естественного произвола в определении
энтропии (см. текст в конце п. 1.8).
Уравнения гидродинамики идеальной жидкости для полей ф, m по-
получаются из их определений A93) и уравнений A94):
дгф = -фод{У{ — д{(у{ф) , dtm = -moc>;v,-— 3,-(v,-m) , A96)
где фо и то - некоторые константы. Добавив вклады затухания и шу-
шумов и интерпретируя слагаемые с v как межмодовую связь, нетрудно
достроить уравнения A96) до полной флуктуационной модели всех трех
полей ф,т,у. Это будет сделано в следующем разделе. Там же будет
показано, что наличие "сцепления" между ф и v\\ в A96) (которого не
было бы для поля A95)) в действительности проблем не порождает, так
как приводит лишь к некоторой перенормировке коэффициента Онза-
гера в стохастическом уравнении для ф. Тем самым теряет силу основ-
основной аргумент в пользу выбора именно величины A95) в качестве поля
параметра порядка. Поэтому предпочтительным становится выбор пе-
переменных A93), поскольку именно эти комбинации имеют определенные
критические размерности.
В заключение еще раз скажем, что флуктуационные поля типа AF(x)
для F = S, р нельзя отождествлять с термодинамическими флуктуаци-
ями 6F(x) = F(x)— < F(x) > соответствующих величин. Для флук-
флуктуации, по определению, < 6F(x) >= 0 при любом значении внешних
параметров Ти/j, тогда как средние < AF(x) > для флуктуационных
полей - нетривиальные величины типа A.31). Есть и еще одно важ-
важное различие. В общей теории термодинамических флуктуации [51] все
величины F считаются равноправными и для любой из них (включая
Т и fi) можно определить соответствующую величину 8F(x) в виде
линейной комбинации "первичных" величин SU(x) и S~p(x). Коэффи-
Коэффициенты этих линейных комбинаций вычисляются по формулам равно-
равновесной термодинамики и в общем случае содержат критические сингу-
сингулярности. Но при построении полей флуктуационных моделей наличие
сингулярностей в коэффициентах недопустимо, ибо они должны поро-
порождаться впоследствии в рамках самой модели за счет взаимодействия
ее полей, а не вноситься "руками" в определение последних. Поэтому
допустимыми кандидатами на роль флуктуационных полей могут быть
лишь такие величины AF = aAU + РАр, у которых хотя бы один из
коэффициентов а,/? остается конечным в критической точке, причем
п. 24 Модель Н: ЯК-несущественность звуковых мод 615
малыми поправками а — ас, /3 — j3c в этих коэффициентах можно (как
ИК-несущественными) и даже нужно (чтобы не внести вместе с ними
критические сингулярности) пренебрегать. При таком подходе харак-
характерное для теории флуктуации равноправие между различными тер-
термодинамическими величинами теряется: например, для давления р в
A.29) величина Ар в пренебрежении поправкой от р^ содержит только
регулярные по Т, \i в критической области вклады Ар = SCAT + рс^^,
тогда как для Ар и AS ведущими являются сингулярные составляю-
составляющие A.31). Поэтому Ар нельзя использовать в качестве поля параметра
порядка, а Ар и AS - можно. Все эти общие соображения учитывались
выше при определении полей динамической флуктуационной модели.
п.24 Модель Н: ИК-несущественность звуковых мод в ре-
жиме ш ~ р4. В Я-модели [153, 171] фигурируют лишь поле параметра
порядка ф и поперечная часть vj_ поля скорости, так как для динамики
этих полей их взаимодействие со "звуковыми модами" m и уц является
несущественным. В данном разделе мы приведем формальное доказа-
доказательство этого утверждения, основанное на стандартном (п.п.15 и 1.16)
анализе канонических размерностей.
Начнем с описания "полной флуктуационной модели" для системы
полей ф,тп,у. Как уже говорилось в п.23, статику полей фит есте-
естественно описывать моделью типа С (п.17), а учет скорости v.сводится к
добавке вклада кинетической энергии ~ v2. Поэтому неренормирован-
ным статическим действием будем считать функционал
Sst(<p) = -(дф)У2-тоф2/2-д1Оф4/24-т2/2+д2отф2/2-ауУ2. A97)
Параметр а = Мрс/кТс введен в A97) для того, чтобы сохранить обыч-
обычный физический смысл и размерности поля скорости v.
Напомним (п. 1.8), что при описании критической точки перехода
жидкость-газ с помощью ^>4-модели аналогами обычных переменных
h и т для магнетика являются определенные соотношениями A.28) ве-
величины ei и б2- Используя функционал A97) без вклада внешнего поля
Иф, мы тем самым полагаем h = t\ = О, что при Т > Тс приближенно
соответствует линии критической изохоры (п. 1.8). На этой линии вто-
вторая переменная e-i из A.28) оказывается пропорциональной величине
AT = Т-Тснт, т.е. коэффициент при ф2 в A97) можно считать, как
обычно, затравочным значением этой переменной.
В идеальной жидкости гидродинамика полей ф, m описывается урав-
уравнениями A96), к которым нужно добавить гидродинамическое уравне-
уравнение [172] для скорости: dt(pvi) + dkTik = 0, где р~ = Мр - массовая
плотность среды, Tik - тензор натяжений, содержащий среди прочего
616 Глава 5. Критическая динамика
вклад давления pSik и "кинетический член" />v,Vfc. В нашей задаче вид
Tik однозначно определяется общими принципами построения моделей
критической динамики (п.9). Действительно, если интерпретировать
вклады с v в A96) как межмодовую связь полей ф и m с v, то по прави-
правилам п.9 легко найти соответствующие вклады в уравнении для v:
dtVi + (vfcflfc)v,- = а~1(фа + ф)дгНф + a (mo + m)diHm , A98)
где Ну - производные A28) функционала A97). Обеспечивающее га-
лилеевскую инвариантность слагаемое (vd)v в левой части уравнения
A98) порождается кинетическим вкладом />v,vfc в T,fc. Если бы поле
скорости v было чисто поперечным (несжимаемость), то вклад (vd)v
(точнее, его "поперечная часть") не нарушал бы согласия со статикой
A97), так как мог бы быть интерпретирован как межмодовое взаимодей-
взаимодействие между компонентами v. Добавки от продольной части v в (vd)v
нарушают согласованность со статикой A97) и в этом смысле являются
"плохими". Но впоследствии будет показано, что вклад (vd)v в действи-
действительности является ИК-несущественным, т.е. при анализе критической
асимптотики может быть отброшен, и все связанные с ним проблемы ис-
исчезают. [ В принципе, нетрудно изменить модель так, чтобы обеспечить
полную согласованность со статикой. Для этого нужно изменить ста-
статическое действие A97) заменой приближенного выражения /)cv2 точ-
точным />v2, изменив соответственно вклады межмодового взаимодействия
в правой части уравнения A98) (что проще всего сделать в перемен-
переменных AS, Ар), а вместо вклада (vd)v в левой части A98) добавить в
правую часть межмодовое взаимодействие между компонентами v с ко-
коэффициентами /?[v»-, Vfc] ~ p~^(dkVi — di\'k). Но при этом все отличия от
простого уравнения A98) будут только ИК-несущественными поправ-
поправками, которыми в критической области можно пренебречь. Поэтому в
дальнейшем мы будем исходить из уравнений A96), A98).]
К уравнениям A96),A98) нужно добавить скоррелированные между
собой, согласно D), вклады диссипации и шумов. Обозначим для крат-
краткости:
{ф, т, v||, vj.}={^a, a =1,2,3,4} A99)
и обсудим возможный общий вид 4 х 4-матрицы коэффициентов Онза-
гера ааь- Он определяется с учетом следующих соображений: 1) ма-
матрица а должна быть симметричной и положительно-определенной;
2) поперечное векторное поле vj_ = y?4 не может смешиваться с прочими,
поэтому c*4a = 0Va= 1,2,3;3) поскольку все наши поля порождаются
сохраняющимися величинами (п.23), все нетривиальные элементы аоь
п. 24 Модель Н: ИК-несущественность звуковых мод 617
должны содержать хотя бы один "множитель" д (п.8). Отсюда с уче-
учетом индексной структуры и положительной определенности матрицы
а следует, что все четыре диагональных элемента ааа и недиагональ-
недиагональный c*i2 следует считать кратными З2, а элементы а а3са= 1,2-
кратными (как минимум) d2dj. Поясним последнее: допустимый по
индексной структуре вариант ааз ~ 3,- ( т.е. ~ р,- в импульсном пред-
представлении) противоречил бы в асимптотике р —>■ 0 неравенству Коши-
Буняковского а23 < &аа «зз ~ Р4, вытекающему из положительной опре-
определенности матрицы а.
Суммируя сказанное выше, можно ввести следующую параметриза-
параметризацию элементов матрицы а в обозначениях A99):
ааа = -
V а , а12 = -Ai2<92 , аа3 = -Хазд2д{ , а = 1,2, B00)
где все А - числовые коэффициенты.
Есть и еще одно важное соображение относительно возможного вида
матрицы а. Если бы вместо полей ф, пг в качестве переменных ис-
использовались исходные AS и Ар, то вклады от диссипации следовало
бы ожидать в уравнениях для энтропии (теплопроводность) и скоро-
скорости (вязкость), но их не должно быть в уравнении для плотности, по-
поскольку уравнение непрерывности A94) для р (в отличие от S) - точное
и не содержит вкладов от диссипации даже для неидеальной жидкости.
Это значит, что в таких переменных мы имели бы арр = 0, поэтому и
aps = apv = 0 вследствие положительной определенности матрицы а.
Тогда отличными от нуля могли бы быть лишь элемент ass, два (про-
(продольный и поперечный) элемента типа avv и один элемент типа asv. Пе-
Переход к переменным ф, m соответствует некоторому линейному преобра-
преобразованию полей ip —>■ Lip, при котором a —>■ LaLT, что легко проверить с
помощью соотношений D). Поэтому из сказанного выше относительно
структуры матрицы а в переменных S, p, v вытекают вполне определен-
определенные связи для элементов новой матрицы а в переменных ф, m, v. Легко
проверить, что эти связи в обозначениях A99) имеют следующий вид:
= «12/0:22 = ai3/a23 = -^11/^21 , B01)
где Ьц - коэффициент при AS в A93а), а L2i - в A93б). Связи B01)
эквивалентны аналогичным соотношениям на коэффициенты А в B00).
Из B01), в частности, следует, что три элемента ац, а\2 и а2г взаимно
пропорциональны и могут быть равными нулю только одновременно.
618
Глава 5. Критическая динамика
Добавив к уравнениям A96), A98) вклады диссипации и шумов с ко-
коэффициентами Онзагера B00), по общим правилам п.8 получим следу-
следующий функционал действия F1) для полей ф = <р,<р' с <р = ф,т, уц , vj_:
5@) = -Хпф'д2ф' - Х22т'д2т' - Азз^З^, - X44v'Ld2v'L-
-2Х12ф'д2т' - 2Х13ф'д2(ду\\) - 2A23m'52Evf|) + ф'[-д(ф-
—Хцд2Нф — Х\2д2Нт + аХ\3д2{дч\\) — д(уф) — Фо(ду\\)] +
+т/[-5(т-А2252Ят-А1252Я^ + аА2з52Eу||)-шоEу||)- \ B02)
—d(vm)] + v||[— 3tV|| + аАзз32Уц - Xi3d(d2H^) —
Мы привели это громоздкое полное выражение для 5@), а теперь
хотим доказать, что большинство слагаемых B02) в действительности
ИК-несущественно и может быть отброшено. В конечном счете эта
процедура упрощения модели B02) приведет к полному исключению
звуковых мод т, v\\ и к обычной формулировке (п. 12) модели Н.
Переходим к доказательству этого утверждения. Чтобы судить об
относительной ИК-существенности различных слагаемых B02), необхо-
необходимо сначала точно определить понятие суммарной размерности (87),
т.е. фиксировать размерность частоты <1Ш. Из A97) и B02) видно,
что при Т = Тс в динамическое уравнение для ф входит комбинация
dt + const - д4, а в уравнения для полей т и v входит dt + const • д2.
Поэтому выбор величины <1Ш неоднозначен и в такой ситуации должен
пониматься просто как один из элементов точной постановки асимпто-
асимптотической задачи (п.14).
Общепринятым для модели Н является выбор ш ~ р4 (с1ш = 4), со-
соответствующий полноценной динамике для поля параметра порядка ф.
Он и принимается в дальнейшем, как и выбор d = 4 — 2s размерности
пространства, поскольку оба статических взаимодействия в A97), как
и межмодовое взаимодействие ф с v в B02), логарифмичны при d = 4.
Нужные для дальнейшего сведения о суммарных размерностях (87) вхо-
входящих в B02) величин при du = 4, d = 4 приведены в табл.33.
п. 24 Модель Н: ИК-несущественность звуковых мод
619
Табл.33. Суммарные размерности dF величин F в функционале B02)
при d = 4, йш = 4.
F
dr
Ф, «Уо
1
т, та
2
V
3
1*ф
3
ят
2
а
-2
Аи
0
Ai2, Ахз
1
А22. А23
2
А33, А44
4
По данным табл. 33 видно, что числовые коэффициенты при различ-
различных слагаемых B02) имеют разные суммарные размерности, поэтому
некоторые из них заведомо могут быть отброшены как ИК-несуществен-
ные. Но эта процедура требует определенной аккуратности, поэтому
мы рассмотрим ее достаточно подробно. [Отметим, что речь идет о раз-
размерностях только таких коэффициентов, которые остаются конечными
в исследуемой ИК-асимптотике (при этом, например, вклады ~ (дфJ и
~ тф2 считаются "соразмерными"), причем важно также, что поля (р -
не смеси, а величины с определенными критическими размерностями.]
Выполним в B02) следующие растяжения вспомогательных полей:
{ ф', m1, vf|, v'j. } -* { ф1, т„ 1m') m^av1^ av'L } , B03)
а после этого сделаем еше и сдвиг полей (новых) ш' и vji:
rri
m' -
- \п)дф' .
B04)
Нетрудно проверить, что после этих двух преобразований функционал
действия B02) примет следующий вид:
£■(</>) = 5о(^) + У(ф) , B05)
где У(ф) - сумма различных слагаемых с отрицательными размерно-
размерностями коэффициентов и
5О@) = -Х'иФ'д2ф1 - a2X4Av'Ld2v'L + ф1[-д1ф - Х'пд2Нф- }
-д(уф)] + тЧ-т^Х^Нт - flv,|] + у[^дНт] +
+у'х[а2А4452ух + фдН^ + тдНт] ,
где Х'ц = Хц — 2aAi2 + о; А22 , & = Фагл^ .
B06)
Допустим, что нас интересуют только ведущие сингулярные вклады
в режиме и ~ р4 функций Грина полей ф. ф', vx, v'j_ в модели B05). Не-
Нетрудно убедиться, что эти функции Грина корректно определены и в
620 Глава 5. Критическая динамика
модели B06) (подробнее ниже), поэтому можно ставить вопрос об ИК-
существенности вклада У(ф) в B05). Этот вопрос решается очень про-
просто с помощью стандартных соображений размерности п. 1.16: по дан-
данным табл.33 видно, что все коэффициенты в функционале B06) имеют
нулевые суммарные размерности, а функционал У(ф), как уже говори-
говорилось, состоит из слагаемых с отрицательными размерностями коэффи-
коэффициентов. Отсюда сразу следует, что вклад V(<j>) в B05) является ИК-
несущественным по сравнению с £о(^>) и может быть отброшен, так как
дает лишь поправки к ведущим сингулярностям в обсуждаемом режиме.
Отметим, что после растяжения B03) в функционале B02) оста-
остаются два слагаемых с положительными размерностями коэффициентов,
а именно, —Хх^ф'д^Нт и — фоф'(дуц), которые формально даже "более
существенны", чем слагаемые 5о(^>). Для устранения этих "опасных"
слагаемых и делается дополнительный сдвиг B04). После него в дей-
действии остаются лишь вклады с нулевыми и отрицательными размер-
размерностями коэффициентов, первые сгруппированы в 5о(^>), а вторые - в
У(ф). Отметим также, что сцепление поля ф с уц (ф0 ф 0) приводит
лишь к указанной в B06) ренормировке Ац —>■ А'п коэффициента Онза-
гера для поля ф.
Рассмотрим теперь подробнее упрощенную модель B06). По виду
функционала B06) нетрудно заметить, что это теория со связями, в ко-
которой часть полей можно исключить. Действительно, интегрирование
по v[| и т' в производящем функционале B6) с действием B06) и без ис-
источников для звуковых мод порождает две функциональные rf-функции,
соответствующие связям дНт — 0, Svy = 0. Эти связи при учете стан-
стандартного требования убывания полей при |х| —>■ оо (п.1) и явного вида
производной A28) функционала A97) по т эквивалентны следующим
более простым соотношениям:
Нт = -т + д2оф2/2 = 0 , v,, = 0 . B07)
Связь дНт = 0 -«■ Нт = 0 порождается интегрированием по vf,, после
выполнения которого все другие вклады с Нт в B06) можно отбросить,
и тогда последующее интегрирование по т' дает вторую связь B07). С
математической точки зрения поля vf, и т' в модели B06) выступают
как множители Лагранжа.
Связям B07) соответствуют функциональные ^-функции, которые
"снимают" интегрирования по полям уц и т: поле уц следует про-
просто положить равным нулю, а т выразить через ф с помощью пер-
первого равенства B07). Тем самым т исключается и из вариационной
производной Нф действия A97). Легко проверить, что эта операция
п. 24 Модель Н: ИК-несущественность звуковых мод 621
эквивалентна исключению m в самом функционале A97) и приводит к
стандартному статическому действию простой т/^-модели с перенорми-
перенормировкой дю —>■ #ю — 3#!о константы связи при ^-взаимодействии.
Доказательство возможности замены полной модели B02) на упро-
упрощенную модель B06) в обсуждаемом режиме выглядело бы прозрачнее
непосредственно на языке стохастических уравнений E5) для системы
полей A99). Относительную ИК-существенность различных вкладов в
этих уравнениях также можно оценивать просто по размерностям со-
соответствующих числовых коэффициентов. В уравнениях для m и v\\
нужно удерживать лишь самые существенные вклады (это слагаемые
с то) и первые поправки к ним, т.е. вклады с коэффициентами на еди-
единицу меньшей (по сравнению с главными) размерности. Прочими вкла-
вкладами в этих уравнениях, в том числе dtm и dtV\\, можно пренебречь.
После этого из уравнений для m и уц молено найти величины 8Н,П и
3v||, а затем подставить их в уравнения для ф и vj_- В этих уравнениях
останутся тогда лишь вклады с нулевыми и отрицательными размер-
размерностями коэффициентов. Отбросив последние как ИК-несущественные,
мы и придем к модели B06). При этом произойдет указанная в B06)
ренормировка Ац —>■ А'п коэффициента Онзагера, которой на языке сто-
стохастических уравнений соответствует ренормировка т}\ —>■ г)[ = гц — агJ
случайной силы гц.
Единственным техническим неудобством на таком языке является
проблема оценки относительной ИК-существенности вкладов со слу-
случайными силами т]а, особенно при учете недиагональности их корре-
корреляторов. В принципе, эта проблема легко решается путем выделения
из г)а множителей Хаа (т.е. подстановкой r/a ~ Xaa"rja), которые сле-
следует рассматривать как "числовые коэффициенты" на равных правах
с прочими. Но при пояснениях здесь все равно было бы трудно обой-
обойтись без обращения к языку функционала действия и к аргументации
п. 1.16. Именно поэтому мы и предпочли использовать этот язык с са-
самого начала, в какой-то степени жертвуя простотой ради единообразия
и точности формулировок.
Окончательный вывод состоит в следующем: при анализе ведущих
членов ИК-асимптотики функций Грина полей i>,i>',v±,v'L в режиме
ш ~ р4 можно полностью пренебречь их взаимодействием со звуковыми
модами V|| и т. Это приводит к обычной .//-модели (п. 12) с поперечным
полем скорости v, причем вклад dtv в уравнении для скорости в данном
режиме также следует считать ИК-несущественным. Эта модель будет
подробно рассмотрена в следующем разделе.
622 Глава 5. Критическая динамика
п.25 Модель Н: ренормировка и РГ-анализ в режиме w ~ р4.
Пренебрегая взаимодействием со звуковыми модами (п.24), в качестве
неренормированного статического действия полей <р = {Ф,у = vj_} мож-
можно использовать функционал
Sst(<p) = -(di>J/2-Tai>2/2-g10i>4/24-av2/2 = Sst(T[>)-av2/2. B08)
Коэффициент а ренормироваться не будет, поэтому может считаться
УФ-конечным ренормированным параметром, прочие - затравочными.
Для базового и ренормированного статического действия имеем:
S?(<P) = SW)-av2/2, 5'* И = 5*'(^)-ау2/2, B09)
где S* (V") и Зъ{Ф) ~ известные функционалы простой ^>4-модели.
Согласованное со статикой B08) неренормированное динамическое
действие модели Н будем записывать в виде
= -Хоф'д2ф'+ ф'[-д{ф-Ход2Нф-удф]- )
B10)
+ v'[-adtv W J
где Я^, - производная A28) функционала B08), а константы Ао и #20 свя-
связаны с параметрами в B06) соотношениями Ао = A'n, Ajj^1 = a2A44-
По смыслу Ао и щ = (аАо52о)-1 ~ затравочные коэффициенты теплопро-
теплопроводности и вязкости, 520 ~ затравочный заряд межмодового взаимодей-
взаимодействия, 5ю в B08) - статический заряд. Векторные поля v, v' считаются
поперечными, поэтому дополнительной вставки поперечного проектора
при слагаемом фдН^ в B10) не требуется.
Соответствующее B10) базовое действие в подробной записи имеет
следующий вид (d = 4 — 2s):
= -\ф'д2ф' + ф'[-дгф - Хд2(д2ф -тф- д1вф3/6)- )
B11)
-удф] ^ ^ J
где giB = дц^е с г = 1,2- базовые заряды, А, г, а и 51,2 - ренормирован-
ные параметры. В слагаемом у'фдН^ от производной A28) статиче-
статического базового действия остается лишь вклад д2ф ввиду поперечности
поля v'. Канонические размерности полей и параметров модели Н при
d = 4 — 2е, du = 4 приведены в табл.34.
п. 25 Модель Н: ренормировка и РГ-анализ
623
Табл.34- Канонические размерности полей и параметров
модели Н при d = 4 — 2е, dw = 4.
F
d?
dF
1-е
0
0
3-е
v, v'
-1
1
3
а
6-2г
-2
-2-2г
А, Ао
-4
1
0
#10,520
2£
0
2£
91,92
0
0
0
Ренормировка осуществляется применением /J-операции схемы MS к
диаграммам базовой теории B11), при этом вклад —av'dtv понимается
как вставка ИК-несущественного составного оператора, а ренормиро-
ванное действие представляется в форме ряда по степеням а (п.3.26).
По общему правилу C.157) имеем:
q (±\ с*( ) {л.\ г Iр\ ,л ( (*)ло^
где SR (ф) - вклады нулевого порядка по a, [v'3tv]R - ренормирован-
ный составной оператор, многоточие - поправки порядка а2 и выше от
контрчленов диаграмм со вставками двух или более таких операторов.
Условимся называть "Но-моделью" динамическую теорию с а = 0.
Именно ее ренормировку мы хотим изучить, поскольку вклад опера-
оператора v'dtv дает лишь поправки к ведущим ИК-сингулярностям функций
Грина. Мы сохранили его только потому, что хотим воспользоваться
соотношениями (95) для получения дополнительной информации о ре-
нормированном действии Яо-модели SR (ф) (вывод соотношений (95)
возможен лишь при наличии в действии вкладов с dt<p для всех по-
полей). Кроме того, добавку —av'dtv с последующим предельным перехо-
переходом а —>■ 0 необходимо также использовать и для корректного доопреде-
доопределения диаграмм Яо-модели в тех случаях, когда прямая подстановка в
них пропагаторов с а = 0 приводит к неопределенности.
Рассмотрим ренормировку Яо-модели B11) с а = 0, т.е. вклад
5r (ф) в B12). По данным табл.34 для формального индекса расходи-
расходимости (89) 1-неприводимых диаграмм Г модели B11) с а = 0 получаем:
= 8 — Пф —
Но реальный индекс Sp меньше формального, а именно,
B13)
B14)
624 Глава 5. Критическая динамика
поскольку во всех вершинах действия B11) (следовательно, и в контр-
контрчленах) на поля ip' = ф', v' выделяется, как минимум, один "множи-
"множитель" д. Действительно, для статического взаимодействия ~ ф'д^ф3 =
д^ф' ■ ф3 это очевидно, а для двух вершин межмодовой связи с уче-
учетом поперечности полей v,V под знаком J dx... имеем: —ф'удф =
-Ф'УЛФ = %ф' ■ У{ф И У'фд(д2ф) ЕЕ У'{фдгдкдкф = -У'АФ ■ дкдкф =
dkv't • д{ф ■ дкФ + у\дкд{ф • дкф, последнее слагаемое исчезает в силу ра-
равенства v'iдкдiф • дкФ = у'^(дкФ ■ дкф)/2- Поэтому соответствующие
трем вершинам в B11) функционалы взаимодействия можно записать
следующим образом:
ф3/6 , )
\ B15)
-ф'удф = дгф'-щф, у'фд(д2ф) = dkv'i ■ д{ф ■ дкф , J
что и доказывает равенство B14).
По индексам B13),B14) и общим правилам п.15 нетрудно устано-
установить, что все нужные для устранения УФ-расходимостей -ffo-модели
B11) с а = 0 контрчлены имеют вид слагаемых базового действия, при-
причем вклад ф'дгф не ренормируется, так как в силу соотношения B14)
поля ip' должны входить в контрчлены только в виде dip1. Дополнитель-
Дополнительную информацию о ренормировке дает галилеевская инвариантность
-ffo-модели B11), обеспеченная тем, что символ dt входит в нее лишь в
форме ковариантной производной Vt = dt + vd, а поля v в прочих вкла-
вкладах - только под знаком д. То же самое должно быть справедливым
и для ренормированного действия Sr (ф), поскольку симметрия сохра-
сохраняется MS-ренормировкой. Поэтому из отсутствия контрчлена ~ ф'дгф
следует, что не должно быть и контрчлена ~ ф'удф. Все прочие по
симметрии и индексам B13),B14) допустимы, поэтому ренормирован-
ное динамическое действие Я0-модели должно иметь следующий вид:
\ B16)
-удф] - ZsA-^VdV + v'tZeA-^^v + 27фд(д2ф)} J
с некоторыми константами Zi- Z7.
Нам хотелось бы доказать, что действие B16) получается из Hq-
модели B10) стандартной и согласованой со статикой для поля ф проце-
процедурой мультипликативной ренормировки полей и параметров. Заранее
это неочевидно, так как в функционале B16) "слишком много" констант
Z: легко проверить, что для мультипликативности ренормировки B16)
п.25 Модель Н: ренормировка и РГ-анализ 625
необходимо (и достаточно), чтобы между этими константами была связь
ZiZ6Z7 = Z2Z5 . B17)
Аналогичные проблемы были и в рассматривавшихся ранее моделях,
и они всегда решались достаточно просто с помощью соотношений (95),
выражающих условия согласованности ренормированнои динамики и
статики. Так же мы собираемся поступить и в данном случае, но те-
теперь дело осложняется из-за отсутствия в -ffo-модели вклада с dtv, без
которого нельзя обычным образом (п.7) получить нужные уравнения
Фоккера - Планка. Поэтому нам придется рассматривать полную Н-
модель B11) и ее ренормировку с точностью до линейных по а вкладов
включительно. Ренормированный составной оператор [v'dtv]R в B12)
определяется соотношением C.176):
ад , B18)
где Fk (ф) с к = 1,2,3,...- различные составные операторы, которые мо-
могут примешиваться к v'dtv = Fi((f>) при ренормировке, Qu, - элементы
соответствующей матрицы смешивания C.176).
Чтобы воспользоваться соотношениями (95) для функционала B12),
необходимо сначала убедиться, что он допускает представление (91) с
точностью до линейных по а членов включительно, а для этого нужно
иметь информацию об операторах jFfe(^) в B18). Конечно, задача упро-
упростилась бы, если бы мы знали, что оператор F\ 5 v'ftv ренормируется
без смешивания или вообще не ренормируется. Но эта проблема пока не
исследована. Поэтому при определении вида операторов Fk (ф), которые
могут примешиваться при ренормировке к jF\(</>) = v'dtv, мы можем
руководствоваться лишь следующими общими соображениями:
1) поскольку в действие входят операторы под знаком f dx..., можно
не рассматривать операторы типа dF, dtF с внешними производными,
считая их "эквивалентными нулю".
2) Все 1-неприводимые диаграммы со вставкой одного оператора jF\
и внешними линиями только полей <р = ф,у равны нулю из-за присут-
присутствия в них замкнутых циклов запаздывающих линий (п.4). Поэтому
такие диграммы не порождают операторных контрчленов, так что лю-
любой из них должен содержать, как минимум, один множитель ip' = ф', v'.
3) Из вида вершин B15) следует, что любой множитель tp1 в контр-
контрчленах должен входить вместе с д, т.е. в виде д<р'.
626 Глава 5. Критическая динамика
4) Все контрчлены должны обладать симметрией ф,ф' —>■ —ф,—ф'
модели B11), т.е. общее число множителей ф и ф' в них должно быть
четным.
Если бы вместо v'dtv мы взяли в качестве Fi галилеево-инвариант-
ный оператор v' Vt v c 4t = dt + vd (это вполне естественно, судя по
виду уравнения A98)), то могли бы дополнительно утверждать, что все
его операторные контрчлены также должны быть галилеево-инвариант-
ными, т.е. содержать производную dt только в комбинации s?t = dt +
vd, а прочие множители v - только под знаком д. Это упростило бы
анализ, уменьшив число возможных контрчленов. Но для дальнейшего
это упрощение несущественно, и мы будем считать, что jF\ = v'dtv,
пользуясь лишь приведенными выше утверждениями 1-4.
Из них (с учетом размерностей d* = 1,3,3,3 для полей ф, ф', v, v' и
1,4,2 для символов d,dt,r) следует, что контрчленами F\ могут быть
только операторы вида dp1 ■ dp' с дополнительными множителями раз-
размерности 2 (варианты: г, два ф, два д, ф и д) или операторы вида dp'
с дополнительными множителями размерности 6. Среди них контрчле-
контрчленов с двумя или более dt быть не может, а с одним dt допустим лишь
контрчлен ~ дф' ■ дtдф ~ ф' ■ д2д1ф- Сам оператор F\ = v'dtv контрчле-
контрчленом быть не может из-за отсутствия в нем действующего на v' символа
д, поэтому в B18) Qn = 1 и Qn = 0 Vz ф 1.
Этот краткий качественный анализ показывает, какие именно опе-
операторы Fk могут примешиваться при ренормировке к F\ = v'dtv. Для
нас сейчас важно лишь то, что коэффициент при F\ не ренормируется
(Qn = 1) и что функционал B12) с точностью до линейных по а вкла-
вкладов после подстановки в него выражения B18) для [Fi((f))]R оказывается
представимым в форме (91), а именно,
B19)
Входящие сюда величины {a',Z, Л} = X представляются в виде
Х^\ где Х(°1 - определяемое из B16) нулевое приближение, Х^ - по-
поправки порядка а. При этом Z = 1 + Z^1' с z'1^ = const • д2, матрица
а' для полей ip, v в нулевом порядке по а диагональна, а в первом мо-
может содержать перекрестный член a'^v и, что более необычно, - явную
зависимость от поля ф.
С последней проблемой мы еще не сталкивались, поскольку всегда
считалось, что матрица коэффициентов Онзагера ааь (в отличие от ко-
коэффициентов межмодовых связей /Заь) не содержит зависимости от полей
р. На языке стохастической задачи D) допущение зависимости а от
ц> представляется, конечно, довольно странным. Но если эта зависи-
ст.25 Модель Н: ренормировка я РГ-анализ 627
мость проявляется лишь в поправочных членах какой-либо итерацион-
итерационной процедуры (у нас - разложения по степеням параметра а), то задачу
с a = a{ip) можно сформулировать корректно. На языке функциональ-
функционального интеграла B6) обобщение на случай действия типа F1) с a = a(ip)
вообще не порождает принципиальных проблем.
Но возникает вопрос: останется ли в этом случае справедливым
уравнение Фоккера - Планка E7), необходимое для получения соотноше-
соотношений (95)? Ответ утвердительный: проанализировав процедуру вывода
уравнения E7), можно показать, что оно остается верным и при завися-
зависящих от ip коэффициентах а. Проще всего это сделать, воспользовавшись
приведенным в приложении к работе [159] альтернативным вариантом
вывода уравнения C6), из которого следует E7).
Таким образом, уравнение E7) и его следствия (95) справедливы и
для функционала B19) с точностью до линейных по а вкладов включи-
включительно. Дальнейшее просто: построив по функционалу B19) соответ-
соответствующие величины (94), подставив их в уравнение (956) и отобрав в
нем вклады нулевого порядка по а, нетрудно убедиться, что функцио-
функционал B19) при а = 0 должен иметь следующий вид:
ф'[-д{ф +афН*- /Зчдф] + v'[-av рфдН*\
где /3 - произвольный коэффициент, Я^ - производная A28) ренорми-
рованного функционала B09). Отождествляя выражения B16) и B20),
заключаем, что в B20) а^ = — ZjAd2, av = —ZsA^1^2, /3 = 1, а в
B16) Z5 = Z6, ZiZ7 = Z2 в согласии с B17).
Полученное для функционала B16) представление B20) доказывает,
что ренормировка Яо-модели мультипликативна, согласована со ста-
статикой, поля v и v' не ренормируются, а ренормировка ф' определяется
ренормировкой ф:
Для констант Z в B16) имеем:
2з = ZaZt, Z4 = .. oi v. ,
B22)
Для вывода представления B20) важна лишь сама возможность на-
написать для функционала B12) уравнения (95) и явный вид вкладов ну-
нулевого порядка по а в этих уравнениях, который определяется лишь
628 Глава 5. Критическая динамика
слагаемым Sr (ф) и коэффициентом — aQn = —а при Fi = v'$tv в
B12). Если бы мы рассмотрели и линейные по а вклады в уравне-
уравнениях (95), то получили бы некоторую информацию о ренормировке со-
составного оператора F\ в B18). Суть ее в том, что вклады примесей к
F\ = v'dtv в B12) не должны нарушать согласованности с ренормиро-
ванной статикой, т.е. должны сводиться лишь к некоторому изменению
коэффициентов aab и /Заь плюс возможное растяжение поля ф' множите-
множителем типа Z из B19). Это позволило бы, конечно, существенно сократить
число неизвестных коэффициентов в B18). Но полной информации о
ренормировке оператора Fx таким путем получить нельзя, хотя ассоци-
ассоциированную с ним критическую размерность можно найти точно в силу
равенств Qn = 1, Qxl = OVf ф 1 (см. выше) для матрицы смешивания
Q в B18) и соотношений B21) для полей v, v'.
Возвращаясь к i/o-модели, из соотношений B21) и B22) заключаем,
что ее новыми динамическими константами ренормировки являются
только Ъ\ и Zg2. Их можно вычислять через подходящие константы
B22) по расходимостям 1-неприводимых диаграмм базовой модели B11)
в пределе а —> 0. Линиям полей ф, ф' в этих диаграммах соответствуют
пропагаторы A16), A17) сек = Xk2(k2 + r), Dk — IXk2 в данном случае,
а линиям полей v,v' вш, ^-представлении - пропагаторы
< vv' >=< v'v >T= /f* ^ , < w >= 2A?lfe' |2РХ B23)
гшд + кг | — Vj5 + кг\г
с параметром S = аХд^в -> 0 (по смыслу 6~l = tj - коэффициент
вязкости) и поперечным проектором Р1- по индексам полей: Р^(к) =
6{s — k{ks/k2. В t, ^-представлении пропагаторам B23) соответствуют
<vv' > = РЧ-1\д2вв{г-?) exp ) )
B24)
<w>= РЧ^ H1*2!'!] J
В пределе 6 — 0 выражения B23) принимают вид
< w' > = РХ\д2вк~2 , < w > = 2Рх\д2вк~2 , B25)
чему в t, ^-представлении формально соответствует
<vv'>= Px\g2Bk-26(t-t') , <vv>= 2PxXg2Bk-26(t-t') . B26)
Хотя нас интересует именно предельная Я0-модель с 6 = 0, прямую
подстановку линий B25) или B26) можно безбоязненно выполнять не
п.25 Модель Н: ренормировка и РГ-аналт 629
во всех диаграммах: в некоторых из них такая подстановка ведет к не-
неопределенности, которую тогда следует раскрывать подстановкой вы-
выражений B23) или B24) с последующим предельным переходом S -> 0.
Такие пределы всегда существуют и определены однозначно.
Константы Ъ\ и Zff2 можно вычислить, например, по УФ-расходимос-
тям диаграмм 1-неприводимых функций отклика Т°,^(ш,р) базовой те-
теории B11) с а = 0:
ГЗч, = к" - £Р + Щ'Ф > ?v'v = Р1- [-^~192вР2 + Sy'y] , B27)
где ер = Хр2 (р2 + т), a Sv/V - суммы соответствующих 1-неприводимых
диаграмм. Однопетлевые вклады межмодового взаимодействия пред-
представляются следующими диаграммами:
£v'v= ~\_J"- B28)
Пропагаторы полей ф, ф' изображены здесь сплошными линиями, полей
v,v' - штриховыми, перечеркнутым концам линий соответствуют поля
ip' = ф',w' согласно обозначениям п.2. При подстановке в B28) про-
пагаторов B23) для полей v,v' получаются следующие выражения для
вкладов межмодового взаимодействия в £v<v(o;,p):
dk
/dk
B
Lv'v - A=1) У B^p [д2 + г}[-ш + ек+ед] ' [Ш>
где q = p — к, d - размерность пространства, бк ~ обычное (как в B27))
обозначение. Отметим, что S для векторного поля обозначает скаляр-
скалярный коэффициент при поперечном проекторе в B27) и что из всех вели-
величин Sv'v обязательно выделяется множитель р2.
При d — 4 интеграл в B30) содержит логарифмическую УФ-расходи-
мость, переходящую в полюс по £ в размерной регуляризации d = 4 — 2е.
Но интеграл B29) при d = 4 и 6 ф 0 сходится. УФ-расходимость
и соответствующий полюс по е появляются в нем только при 6 — 0,
т.е. только после предельного перехода к Яо-модели. Этот конкрет-
конкретный пример хорошо иллюстрирует общее утверждение: отбрасывание
ИК-несущественных вкладов действия не только возможно, но и необхо-
необходимо, если мы хотим использовать стандартную РГ-технику, основан-
основанную на корреляциях между ИК- и УФ- сингулярностями (см. п.п.1.16 и
1.23).
630 Глава 5. Критическая динамика
По динамическим константам ренормировки Za с a = Л, д2 находятся
соответствующие аномальные размерности ~fa = £>р In Za и /^-функция
второго заряда A.117) (для д\ она чисто статическая и известна из
D.8)). Двухпетлевой расчет был выполнен в работе [171]. Ее резуль-
результаты в наших обозначениях при интерпретации в рамках схемы MS
можно записать следующим образом (d = 4 — 2е):
0,160 • ч\ + «?/6 + -.., 19М = —19«3/12—
-0,206 - «1 - «f/6 + .... /ЗдМ=Я2[-2е-
где щ = #,/16тг2, г = 1, 2. Две /^-функции зарядов д = #1]2 имеют ИК-
притягивающую фиксированную точку с координатами
uu = 2е/3 + ... , «2* = 12Bе)/19 - 0,0635 • BеJ + ... B32)
(величина «i* известна из D.8), «2* находится из B31)), в которой
7л = 18Bе)/19 — 0,013 - BеJ + ... . B33)
Уравнения критического скейлинга в .До-модели имеют стандарт-
стандартную форму A08). Из общих соотношений A09) и (ПО) с учетом B21)
и данных табл.34 находятся критические размерности ДР для частоты
о» и всех полей:
z = Аш = 4 - 71 , Д ф = с1ф + -1*ф ,
B34)
Аф< = Aф1 - 7^ , Av = Av> = -1 + Аш ,
где йф = d/2 — 1, rf^,/ = d/1 + 1 - канонические размерности этих полей,
7^ = 7//2 - обычный статический индекс простой ^»4-модели. В обозна-
обозначениях работы [171] 2«2 = /, 7а = ^А+ту и ~7g2 = 4—^ = х^+хх+г). Ко-
Коэффициенты при вкладах ~«5в B31) получены из приведенных в [171]
£-разложений величин /*, хд и zjf. Результаты двухпетлевого расчета
для Я-модели приведены также в работе [158], но они явно содержат
опечатки (даже в знаках при однопетлевых вкладах) и не согласуются
с результатами [171]; тем не менее, при обработке экспериментальных
данных используются приведенные в [158] значения для двух поправоч-
поправочных индексов ujf и ww, которые в [171] не вычислялись.
В заключение рассмотрим критические размерности "эффективных
коэффициентов" теплопроводности (Аэф) и вязкости (»?эф). Это важные
физические характеристики системы [153], которые можно определить
п.25 Модель Я: ренормировка, и РГ-аналнз 631
по ренормированным функциям отклика B27) Яо-модели с a = 0 следу-
следующими соотношениями:
2 | B35)
где хф ~ статическая восприимчивость простой ^4-модели, а под Г*„
понимается скалярный множитель - коэффициент при поперечном про-
проекторе по индексам.
Определение Аэф в B35) эквивалентно приближенному представле-
представлению Г^ = %ш — Кф(т)р2ХфХ(т) в области малых (сравнительно с т) р
и w. Для получения соотношения B35) для 7уЭф необходимо учесть ли-
линейные по а поправки к Я0-модели. Они дадут, во-первых, добавку гош
к ее функции Г*у, во-вторых, кратные ар2 поправки к T*,v, которыми
можно пренебречь как ИК-несущественными. Выражение iaco -f Гу/у
при малых (сравнительно с г и ш) волновых векторах р приближенно
заменяется на a[iu> — р27уЭф(г,ш)], что и приводит к определению B35).
Подчеркнем, что в соотношения B35) входят ренормированные функ-
функции Яо-модели с а — 0. Ее функция r*v, в отличие от Г^, не содержит
вклада типа iw и кратна р2. Это и позволяет определить величину т)Эф
при w ф 0, что неестественно для АЭф.
Величины B35) имеют определенные критические размерности, ко-
которые легко найти из следующих соображений: ренормированные функ-
функции отклика < ipip' > Яо-модели в координатном представлении имеют
размерности Д^ + Av>, к этому добавляется — d — Аш при переходе к
ш, р-представлению и общий знак минус при переходе к 1-неприводимым
функциям типа B27). Поэтому
£,„ (ш,р)] = d + Aw - Av - Д„, . B36)
Отсюда с учетом соотношений B34) и Д[х^>] = V ~ 2 для статической
восприимчивости находим критические размерности величин B35):
Д[Аэф] = z + Tj-4, Д[т7эф] = d-z, {г = Аш), B37)
(в обозначениях [171] Д[Аэф] = — х\, Д[»7эф] = —щ)- Поэтому в крити-
критическом режиме с точностью до несущественных множителей имеем:
Аэф(г) ~ е4-" , vMr,co) ~ e~d /Кг) , B38)
где £ ~ t~v с \jv = Дг - корреляционная длина, / - некоторая скей-
линговая функция от критически безразмерного аргумента,
632
Глава 5. Критическая динамика
На этом мы закончим обсуждение модели Я, более подробную ин-
информацию можно найти в работах [153, 158, 171].
п.26 Распространение звука вблизи критической точки. В
простейшем приближении, пригодном вдали от критической точки для
достаточно низких (сравнительно с молекулярными) частот, звуковые
волны описываются с помощью уравнений гидродинамики идеальной
жидкости [172]:
dtF + ft (Fv,-) = 0 , F = S,р , />[ftv,- + (vd)v,-] + ftp = 0 , B39)
в которых S и р - объемные плотности энтропии и массы, р - давле-
давление. Величины F = S,p,p представляются в виде Fo + SF, все SF и v
считаются малыми, уравнения B39) по ним линеаризуются, что дает:
ftSF + Fodi-vi = 0 , F = S,p,
i +
= 0 .
B40)
Решения для SF и v ищутся в виде плоских волн ~ ехр[—iwt + г&х],
поэтому из B40) следует vx = 0 и SS' = 0, где S' = S/р - энтропия
единицы массы (для нее из B40) получается dtSS' = 0, что влечет 6S' =
0 для волны). Линейная связь между 6р и 6р находится из соотношений
равновесной термодинамики: 6р(х) = aSp(x), где a = dp/dp при 5" =
const. Тогда уравнения B40) сводятся к следующим:
adtSp
Vi — 0 , podtv,- + ftSp = 0 .
B41)
Это линейная система уравнений типа L8 = 0 для пары полей 8 = Sp,
с 2 х 2-матрицей
L =
adt , pod
д , podt
—гаи
ipQk
ik , —i
B42)
(вторая запись - импульсно-частотное представление). Из условия det L
= 0 для оператора B42) находится закон дисперсии (связь шик) для
звуковых волн:
det L = 0 => со = ск , с = a — (dp/dp) |s<=COnst
B43)
где с - скорость звука, определяемая последним соотношением B43).
Входящая в это соотношение производная пропорциональна адиабати-
адиабатической сжимаемости К3> = p~l(dp/dp) |S'=const (см. A-24)) и может
быть выражена через теплоемкости Ср, Ср = Cv и изотермическую
сжимаемость Кт = p~l(dp/dp) |T=COnst согласно A.27):
с-2 = рК5, = РКТСРС;1 . B44)
ст.26 Распространение звука, вблизи критической точки 633
Кратко изложенная выше теория хорошо работает вдали от крити-
критической точки. Ее можно уточнить, учтя влияние теплопроводности и
вязкости, приводящее к появлению слабого затухания звуковых волн.
Вблизи критической точки становится существенным взаимодействие
звука с критическими флуктуациями, т.е. мы приходим к задаче о
распространении волны в среде со случайными параметрами - "шу-
"шумом" . Из анализа п.24 следует, что роль такого шума играют случай-
случайные поля ф и vx, поскольку флуктуации полей га и уц являются ИК-
несущественными. Более точно, поле га содержит "флуктуационную
часть", которая выражается через ф первым равенством B07) и, тем
самым, исключается. При анализе проблемы распространения звука
в рамках полной модели B02) или эквивалентных ей стохастических
уравнений E5) следует поэтому считать, что
га = т + Sm, га = д2оФ /2 , B45)
где т - определяемая первым равенством B07) "флуктуационная часть",
a Sm - добавочная "звуковая составляющая", являющаяся аналогом Sp
в уравнениях B41).
Влияние флуктуации на звуковую волну проявляется явно в соот-
соотношении B44), так как входящие в его правую часть величины имеют
критические сингулярности. Допустим, что эксперимент ставится при
Г > Гс для определенного количества вещества, заключенного в фикси-
фиксированном объеме. Тогда подход к Тс осуществляется по линии крити-
критической изохоры (чем оправдывается, в частности, использование функ-
функционала B08) без вклада h-ф), а степень близости к Тс определяется
параметром т = Т — Тс. Известно (п. 1.8), что величины Кт и Ср в B44)
имеют одинаковую критическую сингулярность ~ г" (как у магнит-
магнитной восприимчивости), а Ср имеет более слабую сингулярность ~ т~а.
Сингулярности А'т и Ср в B44) взаимно сокращаются, поэтому
с ~ Ср ~ т~а , B46)
где а - критический индекс теплоемкости простой </>4-модели. Из B46)
следует, что скорость звука стремится к нулю как та!-2 при т -> 0.
Сингулярность B46) - результат взаимодействия звуковой волны с кри-
критическими флуктуациями и должна объясняться соответствующей те-
теорией.
В основу такой теории можно положить простую модификацию упро-
упрощенной версии B06) полной флуктуационной модели B02). Модифи-
Модификация состоит в том, что в коэффициентах при га' и vfi сохраняются
634 Глава 5. Критическая динамика
вклады с dtm и $4уц. Ранее они отбрасывались как ИК-несущественные
для критической динамики полей ф и vx, но для описания звука они не-
необходимы. Тогда интегрирование по га' и v'.. вместо простых связей
B07) приведет к звуковым уравнениям:
mo1dtm + mo1\22d2Hm + dv\\ = 0 , ]
\ B47)
га0 1adtv\\ - dHm = 0 , J
в которых га = m + <$га и Нт = —га + m — — 6т согласно B07) и B45)
(коэффициенты при dtm и д(уц появились из-за растяжения B03) при
переходе от функционала B02) к B06)).
Слагаемое с А22 в B47) определяет затухание волны из-за эффектов
теплопроводности (в п.24 пояснялось, что параметры Au,Ai2,A22 про-
пропорциональны Ass для энтропии, т.е. коэффициенту теплопроводности).
Эти эффекты, как и влияние уже отброшенного в B06) слагаемого с
продольной вязкостью, в дальнейшем учитываться не будут, поскольку
они несущественны по сравнению с интересующими нас эффектами от
взаимодействия волны с критическими флуктуациями.
Будем для конкретности считать, что звуковая волна порождается
слабыми по интенсивности внешними гармоническими (~ ехр(—kot))
источниками J = Jm,Jv, добавленными в уравнения для полей га и
V||. Эти источники порождают звуковую волну с заданной частотой
ш = w3B, представляющую все поле уц и "звуковую составляющую" 6т
поля га в B45). Добавив эти источники в правые части уравнений B47),
подставив в них га из B45), Нт = —6т и отбросив вклад затухания с
А22, получим:
2) + д\1] = Jm , )
B48)
га0 1a^*v|| + дEт) = Jv . J
Взаимодействие звуковой волны с критическими флуктуациями опре-
определяется вкладом ~ ф2. Без него уравнения B48) являются аналогичной
B41) линейной системой:
Ьов = J , O = em,v\\ , Lq = . B49)
го"*
Условие det Lo = 0 приводит к стандартному закону дисперсии:
ш = сок , Cq = агац2 , B50)
п.26 Распространение звука вблизи критической точки 635
константа со - скорость звука в данном приближении.
Теперь нужно учесть влияние возмущения ~ ф2 в уравнениях B48).
При оценке этого влияния необходимо иметь в виду очень важное каче-
качественное различие между звуковыми [9 = 6m,v^) и флуктуанионными
(ip = ф, vx) полями. Для последних характерным размером при г -> О
является корреляционная длина £ ~ т~", характерным импульсом (вол-
(волновым вектором) - величина к<рл = £-1 ~ г", характерной частотой
- величина Шф„ ~ fc^ ~ rz", где z = Дш - критическая размерность
частоты в модели Я. Качественные оценки естественно делать про-
просто по каноническим размерностям, т.е. без учета аномалий. Тогда
v — \/2, г — 4 и при т -> 0 получаем кфл ~ г1/2 и шфл ~ к^л ~ г2.
Для звуковых полей 9 = Jra,V|| частоту ш3в можно выбирать произ-
произвольно, если она определяется внешним источником. С точки зрения
эксперимента интерес представляет широкая область частот, в кото-
которой шзв может быть как много меньше, так и много больше характерной
флуктуационной частоты ШфЛ [173]. Поэтому при качественной оценке
их можно считать величинами одного порядка: w3B ~ и><рл ~ г2. От-
Отсюда для характерных волновых векторов звуковых полей получается
&зв = с^о^в ~ т2, что при т -> 0 приводит к неравенству кзв <§; кф_ч.
Таким образом, при качественных оценках можно считать, что
о>зв ~ о;фл ~ г2 , кзв ~ г2 « кфл ~ г1/2 B51)
при т -> 0. По смыслу А;зв = А~вг - обратная длина звуковой волны,
а кфл = £-1 - обратная корреляционная длина, так что неравенство
B51) эквивалентно Азв 3> ^- Это означает, что длина звуковой волны
много больше характерного размера флуктуации £. Поэтому при оценке
обратного влияния звуковых полей 9 на флуктуационные поля Я-модели
поля 9 можно рассматривать как "почти пространственно-однородные"
(хотя скорость их изменения сопоставима с аналогичной величиной для
флуктуационных полей). Неравенство Азв 3> £ выполняется во всей
достижимой экспериментально области значений ызв и г, причем далее
тогда, когда шзв превышает Шфл на три - четыре порядка [173].
Вернемся к уравнениям B48). Входящую в них величину ф2 нужно
рассматривать как соответствующее случайное поле Я-модели B10),
"слегка возмущенной" влиянием на нее звуковых полей. Это возмуще-
возмущение слабое (так как звуковые поля определяются источниками в B48) и
поэтому могуть считаться сколь угодно малыми), но полностью прене-
пренебречь им нельзя. Действительно, если бы мы поступили таким образом,
то должны были бы считать ф в B48) случайным полем невозмущен-
невозмущенной Я-модели. Оно не зависит от звуковых полей, так что вклад с ф2 в
636 Глава 5. Критическая динамика
B48) был бы тогда лишь "случайной добавкой" к внешнему источнику
Jm- В уравнениях B49) тогда изменились бы только источники, а вид
оператора Lo и закон дисперсии B50) остались бы прежними.
Таким образом, учет влияния звуковых полей в на Я-модель B10)
необходим. Соответствующее возмущение легко найти, пересмотрев
заново процедуру перехода от модели B06) к B10) с учетом внесенных
теперь в B06) изменений. Они сводятся к тому, что вместо простых
связей B07) мы имеем теперь звуковые уравнения B48). Их решениями
являются величины в = dm, уц, считавшиеся ранее равными нулю. Та-
Таким образом, мы должны теперь учесть вклад уц ф 0 и добавку 8т к
полю т в тех слагаемых B06), которые соответствуют Я-модели B10).
Это приведет, во-первых, к добавке от уц в д(мф), во-вторых, к замене
Нт — 0 на Нт = —8т, в-третьих, к появлению добавки порядка 8т
в вариационной производной Нф действия A97). Из A97) видно, что
Нф содержит вклад д2о'тф, поэтому добавкой к Нф является величина
д2оф8т. Учитывая все эти добавки, для функционала действия возму-
возмущенной Я-модели получаем:
= S{<f>)+8S{ci>) , B52)
где 3(ф) - невозмущенное действие, а
(zoo)
+ ^[д2офд{ф8т)-д2Оф2д{8т)/2]
- добавка от влияния звуковых полей. Во избежание недоразумений
уточним, что в этом разделе через (/20 обозначается второй заряд в A97).
В Я-модели B08),B10) этот параметр вообще не фигурирует, так как
при отсутствии звуковых полей взаимодействие ф ств A97) приводило
только к ренормировке дю -> #io — 3gl0 (п.24) и вся эта комбинация
обозначена через дю в B08). Параметр д2о в B10) является зарядом
межмодового взаимодействия и никакого отношения к д2а из A97) не
имеет. Для коэффициента Л в B53) использовано обозначение B10)
(Ао = А'пвBО6)).
Мы привели в B53) полное выражение для 83(ф), но фактически в
нем существенно только первое слагаемое. Действительно, нас инте-
интересует лишь регулярная гармоническая составляющая звуковых полей
8, которая порождается вкладом гармонических внешних источников
в уравнениях B48). Кроме нее, решение этих уравнений содержит и
"флуктуанионную добавку", которая порождается вкладом ~ ф2 невоз-
невозмущенной модели Я, играющим роль добавочного (и не гармонического)
я.26 Распространение звука вблизи критической точки 637
случайного источника. Эта аддитивная "флуктуационная добавка" в 9
нас не интересует (п.24), и ее следует просто исключить, выполнив в
уравнениях B48) вычитание из точной случайной величины ф2 ее "ну-
"нулевого приближения", т.е. той же величины в невозмущенной модели
Я.
Считая это сделанным, под уц и 6т в B53) можно понимать лишь
малые гармонические составляющие этих полей. В силу неравенства
-^зв 3> £ (см. выше) эти величины в рамках модели Я молено рас-
рассматривать как "почти пространственно-однородные", поэтому можно
пренебрегать их градиентами. В таком приближении в правой части
равенства B53) исчезают два последних вклада, а в первом выражение
д2(ф6т) можно заменить на д2ф-6т. Эта добавка к действию Я-модели
соответствует сдвигу температуры т —> т — g20&m с пренебрежением
поправками от градиента Sm. Поскольку в окрестности критической
точки параметр г - малая величина, малые добавки ~ бтп к ней суще-
существенны. Этим данное слагаемое B53) отличается от вклада ~ д(м\\ф),
который в пренебрежении градиентом #уц является лишь малой поправ-
поправкой у^дф к "не малой" величине \±дф в Я-модели.
Из сказанного следует, что в рассматриваемой задаче точное выра-
выражение B53) можно заменить на
6Б{ф) = -Ход2оф'д2ф ■ 5т . B54)
Здесь учитывается лишь эффект сдвига г, соответствующий гармо-
гармоническим колебаниям температуры в звуковой волне из-за процессов
адиабатического расширения и сжатия [172]. Он и является основным
механизмом взаимодействия волны с критическими флуктуациями.
Влияние малой добавки B54) к действию Я-модели на случайную
величину ф2 в B48) можно оценить очень просто: невозмущенной ве-
величине ф2 соответствует функциональное усреднение с весом ехрЗ(ф),
а точной - усреднение с весом ехр[.?(^) + ^5(|/>)] = [1 + SS((f))] exp S((f)).
поэтому
ф2{х)\ ^ф2{х) + ф2{хM8{ф) B55)
1точн.
с полями невозмущенной Я-модели в правой части.
Подставив выражение B55) с 6S[<p) из B54) в B48) и отбросив не-
несущественную для нашей задачи (см. выше) флуктуационную добавку
638 Глава, 5. Критическая динамика
-ф2 к источнику Jm, получим следующую систему уравнений:
B56)
m-1adtvn(x)+dSm(x)=J4(z), A' = g20/2 .
Здесь указано явно подразумеваемое во всех формулах типа B54) инте-
интегрирование по х = t, х.
Мы пришли к известной задаче о распространении волны в среде
со случайными параметрами ("шумом"): в компактной форме система
уравнений B56) для звуковых полей 8 = 6т, уц записывается в виде
LB = J , L = Lo-V , B57)
где Lq - невозмущенный оператор B49), V - возмущение, содержащее
случайные поля ф,ф' с заданной (iJ-моделью B10)) функцией распре-
распределения. Задача B57) доопределяется естественным условием запазды-
запаздывания. Нас интересует усредненное по распределению шума решение
в — L~lJ задачи B57), т.е. величина <9>=<G> J, G = L. По
смыслу <G>=<L~l> - "полный пропагатор" волны. Его можно вы-
вычислять по теории возмущений, усредняя по распределению шума вели-
величину G = L-1 = (Lo-V)-1 = G0+GoVGo+GoVG0VGo+. ..cG0 = Lul.
Результат можно представить диаграммами типа фейнмановских, для
полного пропагатора будет выполняться уравнение Дайсона:
-: = U - Е ,
B58)
Е = <V> + <VG0V> - <V> Go V
в котором S - сумма 1-неприводимых "собственно-энергетических" гра-
графиков. Искомый закон дисперсии находится путем решения уравнения
det <G>~1 = det [Lo - E] = 0 B59)
в импульсно-частотном представлении.
Отметим, что задачу нетрудно переформулировать в виде квантово-
полевой модели, представив искомую величину <G> функциональным
интегралом:
<G(x, х')> ~ ^ВфВдВв1 9(х)в'{х') ехр [-049 + 5(^)] . B60)
Гауссово интегрирование по независимым полям в, в' дает величину
L~l(x,x') = G(x,x'), последующее интегрирование по полям шума ф
п.26 Распространение звука вблизи критической точки 639
с заданным весом expS(<j>) (у нас 5(^) - действие Я-модели B10)) со-
соответствует усреднению по заданному распределению шума. Пред-
Представление B60) позволяет отождествить искомую величину < G > с
функцией Грина <9{х)в'[х')> квантовополевой модели с набором по-
полей 9, 8', ф, функционалом действия которой является показатель экспо-
экспоненты в B60). Поэтому при вычислении <G> и Е можно пользоваться
стандартной (гл.2) фейнмановской диаграммной техникой.
В нашем случае все проще, так как в B58) можно ограничиться
простейшим приближением S =< V >. Этот вклад определяется Я-
моделью, а все следующие дают лишь ИК-несущественные поправки
от взаимодействия полей Я-модели со звуковыми модами (п.24). Это
можно проверить явно оценкой вкладов второго порядка по V в выра-
выражении B58) для S, представив их соответствующими фейнмановскими
графиками. УФ-расходящиеся (что естественно для ИК-несущественных
вставок) интегралы по импульсам внутренней звуковой линии в этих
графиках можно обрезать на флуктуационных масштабах &фл ~ г1/2,
тогда ИК-несущественность данных вкладов становится очевидной.
Таким образом, в нашей задаче с точностью до ИК-несущественных
поправок
<G>~: = <G-J> = <L> , B61)
т.е. усреднять по распределению шума молено сам оператор L в B56),
а не величину G — L~x.
После усреднения < ... > вклад возмущения V в уравнениях B56)
представится в виде
im^A'dtfdz1 R(z,z') Sm(x') , B62)
где R(x, x') - коррелятор двух составных операторов Я-модели:
\ B63)
F(z) = [ф2(х)~ <ф2(х)>] /2 , F'(x) = -ХоФ'(х)д2ф(х) J
Вычитание константы <^2(х)> из оператора ф2(х) допустимо потому,
что он входит в B56) в виде дгф2(х), коэффициенты в операторы F и
F' введены для удобства.
В импульсно-частотном представлении свертка в B62) переходит в
произведение R(co, k)Sm(wt к), где ш и к - параметры звуковой волны.
Поскольку коррелятор R(w,k) определяется Я-моделыо, "естественным
масштабом" для его аргументов о; и А; являются соответствующие ве-
величины и>фЛ и &фл из B51). Поэтому неравенство B51) для волновых
640 Глава 5. Критическая динамика
векторов позволяет пренебречь зависимостью функции R(u>, к) от к, по-
положив в ней к = 0. В таком приближении интеграл в B62) заменяется
выражением
Jdt' R(t,t') Sm(t',x) , где R(t,t') = Jdx1 R(x,x') . B64)
Выражение B62) в приближении B64) в из, ^-представлении принимает
вид — 2iurnigl A' R(coNm(co, к), поэтому для оператора L в B56) имеем:
. B65)
ik , — шат0 1
Отсюда получаем, согласно B59), закон дисперсии:
к2 = из2 [со2 + A0R{lj)] , Ao=2A'co2 B66)
с константами с^2 из B50) и А' из B56).
При заданной частоте из решение дисперсионного уравнения B66)
для к = \к\ ищется в виде к = изс~1 + га, отсюда находятся поло-
положительные параметры с (скорость звука) и а (коэффициент затуха-
затухания). Обычно вместо а приводится безразмерная величина ад = аАзв =
2жса/из - затухание на длине волны Азв- В реальных условиях a <g со /с,
и тогда из B66) следует:
с~2{со) = Со2 + Ло ReR{oj) , ах{ш)с~2{и) = тгАо ImR(u) - B67)
Напомним, что R(co) - фурье-образ коррелятора R(t,t') из B64). По
физическому смыслу этот коррелятор является функцией отклика вели-
величины <F(x)> на зависящую только от времени вариацию температуры
Sr(t') в Я-модели (с точностью до знака). Функция R(t,t') не имеет S-
образной особенности при t = t', поэтому ее фурье-образ R{u) исчезает
при из -> оо, так что из B67) имеем:
Д(оо) = 0 , с(оо) = со , аЛ(оо) = 0 . B68)
Таким образом, константа со имеет смысл предельной скорости звука
при из —> оо. Отметим, что эта величина не зависит от г, в отличие от
с@). С точки зрения теории критического поведения параметры со и Ао
в соотношениях B67) - не зависящие от г неуниверсальные константы.
В правую часть второго равенства B67) параметр со не входит, а из
первого его можно исключить вычитанием величины с~2(оо) = Cq~ .
ст. 26 Распространение звука вблизи критической точки 641
Функцию отклика R(t,t') можно выразить через коррелятор
D(t,t') = fdx! <F(x)F{x')> B69)
двух операторов F из B63), воспользовавшись FD-теоремой G7) для
Я-модели B10). При этом нужно учитывать, что формулировка G7)
соответствует стандартной записи действия F1) с единичными коэф-
коэффициентами при всех dtp, тогда как в B10) введен коэффициент а при
dt'v- Убрав его растяжением v' —> a~1v', для коэффициентов а и /3 в
G7) получим осфф — —Ход2, avv = —щд2, /ЗфУ = —fiVip = а~хдф. Взяв в
качестве М в G7) оператор F из B63), а в качестве N - вектор (ф,0),
получим ipN = <p'(a + /3)N — ф'аффф + у'^чфф — -\оф'д2ф — а~х\'фдф.
Последний вклад исчезает под знаком / с/х'..., поэтому из FD-теоремы
G7) вытекает соотношение
R(t, t') = 9{t - t')Jdx.' <Р{х)ф{х')д{,ф{х')> = 9(t - t')dt,D{t, t') , B70)
связывающее функцию R из B64) с коррелятором B69).
Равенство B70) можно переписать в виде
R(t,t') = 6(t-t')Dst+dt.Dret(t,t') ,
) = С, Z7et(M')=0(*-
Согласно общим принципам соответствия между динамикой и статикой
(п.8), коррелятор D(t, t) не зависит от t и совпадает с соответствующим
статическим объектом, в данном случае имеющим смысл теплоемкости
С = Cv в простой ^>4-модели. В частотном представлении равенство
B71) принимает следующий вид:
R{w) = Dst + iu>Dret(w) , Dst = С . B72)
Соотношения B67),B68),B72) являются окончательными ответами
для закона дисперсии в рассматриваемой задаче. Входящие в них функ-
функции R, D вычисляются в Я-модели B10) и зависят от всех ее параме-
параметров.
Нас интересует критическая область, т.е. ИК-асимптотика т —> 0,
со ~ г2 —» 0 полученных выражений. Ее можно исследовать в рамках
ренормированной Ио-модели (п.25), так как переход от неренормиро-
ванных величин к ренормированным в соотношениях B67) приводит
лишь к изменению неуниверсальных параметров _4о и со- Определен-
Определенный в B63) оператор F в статике ренормируется мультипликативно
642 Глава, 5. Критическая динамика
(т.е. F = ZFFR) с ZF = ZT (п.4.9), поскольку вычитание величины
<ф2> в B63) устраняет примесь константы при ренормировке. Из об-
общих принципов соответствия между динамикой и статикой следует, что
точно так же F ренормируется и в динамической .flo-модели. Для опе-
оператора F' ~ ф'д2ф под знаком Jdx... справедливы те же соображения
относительно ренормировки, как и для рассмотренного в п.25 оператора
v'dtv. Из них следует, что оператор F' в Яо-модели также ренормиру-
ренормируется мультипликативно (не с чем смешиваться), а из соотношений B71)
с t ф t' тогда вытекает равенство констант ренормировки F и F':
Zp< = ZF = ZT . B73)
Отметим, что константа ZF< для оператора F' в B63) является произ-
произведением Z\ и константы ренормировки самого монома ф'д2ф.
Ренормировка функций Грина с двумя составными операторами
осуществляется по правилу C.159) и в общем случае, помимо замены
F —>• FR, требует введения аддитивного контрчлена "на пару операто-
операторов" (п.3.25). По соображениям размерности (при обобщении соотно-
соотношения C.152) на динамику под d,p:F нужно понимать суммарные раз-
размерности, a d нужно везде заменить на d + dw) нетрудно установить,
что для коррелятора B69) в динамике "контрчлена на пару" не требу-
требуется, поэтому DR{w) = Z~2D{w) и аналогично для Dret(w) в B72). Но
для аналогичного статического объекта Dst = С "контрчлен на пару"
нужен, и именно он порождает неоднородность в РГ-уравнении для ре-
ренормированнои теплоемкости CR (п.4.5). Из соотношений B72) и B73)
тогда следует, что "контрчлен на пару" нужен и для функции отклика
R(oj) и что он точно такой же, как и для теплоемкости С, поэтому точно
такой же будет и неоднородность в РГ-уравнении для ренормированнои
функции отклика RR{w).
Сказанное выше можно суммировать следующим образом:
rj — 2 /ч , д >о г> rj—2 п , д /ч j-\vet rj — 2 pjret (^iiл \
r — ZiF О + iAO , riR — aF rl -f- ZAO , UR — Zip L) , yZl'i.)
где АС - "контрчлен на пару" в теплоемкости - не зависящая от о; и
г константа, содержащая полюса по е. С помощью второго равенства
B74) можно переписать соотношения B67) в терминах ренормирован-
ных величин, что приведет лишь к замене со,Ао —>■ cR,AR неунивер-
неуниверсальных параметров:
= с~2 + ARReRR(w) , а\(ш)с~2(ш) = TrARImRR(w) ,
B75)
= Cq2-A0ZfAC, Ar =
п.26 Распространение звука вблизи критической точки 643
Из соотношений B74) следует, что ренормированная функция от-
отклика RR удовлетворяет такому же РГ-уравнению, как и теплоемкость
CR, различие лишь в конкретной расшифровке операции V^ = Т>РГ.
Если бы в B74) не было вкладов АС, то это уравнение для любой из
трех величин XR в B74) имело бы вид [VPr + 2yF]XR = 0 с 7f = — 7т
согласно B73). Добавка АС приводит к появлению неоднородности
[Х>РГ + 27f]AC в правой части РГ-уравнения, одинаковой для RR и
CR. Эту добавку можно найти, подействовав операцией —д2 на пра-
правую часть РГ-уравнения D.23) для свободной энергии J-R, поскольку
CR = —b\TR (п.4.5). В итоге получаем [Т>РГ + 27f]AC = /<~2г7о(<7), где
7о — определенная соотношением D.19) вакуумная РГ-функция, g = <7i
в обозначениях Я-модели.
Таким образом, РГ-уравнение для ренормированной функции от-
отклика RR — Rr(cj, т, \,g,/i) в #о-модели имеет следующий вид:
[£>РГ - 27т] RR = Ц~2£Ю , T>rv = &,> + pdg - 7rX>T - 7лХ>л B76)
с суммированием по двум зарядам g = g\t2 в слагаемом (Здд. Отметим,
что РГ-функции /?i, 7т, 7о зависят только от статического заряда <7i, a
/?2 и 7л ~ от обоих зарядов д. Отметим также, что контрчлен АС имеет
вид АС = H~2sb(gi) и является частным решением РГ-уравнения B76)
(см. текст выше), откуда для функции 6(<7i) получаем:
[-2е- 27r +Pidgi] Ъ{дх) = 7o(Sfi) • B77)
Общее решение уравнения B76) можно исследовать точно так же,
как это было сделано для свободной энергии в п.4.5. Сначала нужно
перейти к функции от канонически безразмерных переменных, положив,
например,
Яя = т-*ф{8,уг,д) , з = т/ц2 , w = co/2Xfi4 B78)
(введение добавочного коэффициента 1/2 в определение w удобно при
вычислениях). Подстановка B78) в B76) приводит к уравнению
[-B + 7rJ>. + ^j-D-7AJ>w-B-eOr]^(e,w1ff) = s£7o • B79)
Его решение аналогично D.26), только с двумя инвариантными заря-
зарядами ~д = 5i>^2 и дополнительным аргументом w у функции ф:
B80)
644 Глава 5. Критическая динамика
В качестве частного решения неоднородного уравнения B79) исполь-
использована функция ssb(g\) с 6(<7i) из B77), пропорциональная контрчлену
АС = H~2sb(g\). Инвариантные переменные #, w в B80) определяются
как решения соответствующей задачи Коши типа A.140) (отметим, что
для приведения к стандартному виду уравнение B79) нужно поделить
на 2 -f 7т)> в частности,
2>sw = -w[4-7A(ff)]/[2 + 7r(ff)] , W|,=i = w. B81)
В критическом режиме ~g -> g,, тогда экспонента в B80) переходит
в c\Sa, а решение уравнения B81) принимает асимптотическую форму
w — C2~wsb, где Cj2 ~ некоторые неуниверсальные амплитудные множи-
множители (п.1.33), a = -B-еO*/Ат, Ь = -Дш/Дт и Дт = 2 + 7*. А" =
4 — 7л ~ критические размерности переменных г и о». Поэтому из
B78) и B80) получается следующее представление для искомой ИК-
асимптотики функции RR{w) (прочие аргументы подразумеваются):
ДяИ|ик = A*~2'%i)+/*~2'«~V1//(C2W)> W = ws— , B82)
в котором 1/v = Ат, г = Дш, a = 1 — dv — 2(е + 7*)/B + 7*) ~ крити-
критический индекс теплоемкости в статической ■04-модели, аргументы s,w
определены в B78). Константа с\ и скейлинговая функция /'(w) в B82)
определяются соотношениями с[ = —6*cj, /'(w) = 1 — 6~г^>A, w, 5*)> т.е.
/'(w) = 1-6,-V ДнКгЛ*,/*) |,,,T=,2_2wA,4 • B83)
Входящую сюда константу 6» = 6Ei*) можно найти из уравнения B77),
положив в нем <7i = <7i*:
Ъ* = -7o72(£ + 7r*) = -vill<*. B84)
В терминологии п.1.33 /'(w) в B82) есть "приведенная скейлинговая
функция" (обозначение /(w) мы хотим сохранить для "нормированной
скейлинговой функции", которая будет введена ниже). Критически без-
безразмерный аргумент C2W скейлинговой функции в B82) пропорционален
величине ш/ш$л с шфл ~ \цА{т//j,2)™. Корреляционная длина £ в тех же
обозначениях пропорциональна (r/yu2)~", так что Шфл ~ £~z.
Из соотношений B68),B72) и B74) следует, что RR(Q) = CR, RR{oo) -
АС, поэтому из B75) имеем с~2(оо) = с^2 в согласии с B68), а для ве-
величины с~2@) получается ожидаемая особенность B46). Отметим, что
константа i?R(oo) = AC совпадает с первым вкладом в правой части
B82), поэтому второй вклад обязан исчезать в пределе w ~ о» —> оо.
п. 26 Распространение звука вблизи критической точки 645
При сравнении с экспериментом вместо т = Т — Тс удобнее исполь-
использовать переменную t = (Г — Тс)/Тс. Неуниверсальные аддитивные кон-
константы можно исключить, сделав в первом уравнении B75) вычитание
величины с~2(оо) = с^2. Тогда из соотношений B75), B82) с учетом
равенства АС = /<~2£6(<7i) получим:
Fifat) = [с-2И - с-2(оо)] ta = Re f'(<U) ,
F2{co,t) = ах{ш)с-2{ш) ta = Trim j'{п) ,
T'(w)=C1/'(C2w) , п = шГ™, t = (T-Tc)/Te J
B85)
с универсальной функцией /'(w) из B83) и некоторыми неуниверсаль-
неуниверсальными амплитудными множителями С1|2.
Из представления B85) следует, что измеримые экспериментально
величины Fijfa, t) зависят в действительности не от двух переменных
ш и t, а только от одной их комбинации lJ = со t~™ с точностью до
ИК-несущественных поправок. В этом и состоит основное утвержде-
утверждение теории динамического скейлинга применительно к рассматривае-
рассматриваемой задаче, и оно подтверждается экспериментальными данными [173].
В экспериментах с разными и и< для одного вещества константы C\ti
в B85) являются фиксированными, но они могут меняться (в отличие
от функции /'(w)) при переходе к другому веществу, - в этом и состоит
их неуниверсальность.
Обсудим теперь свойства скейлинговой функции /' (w), определенной
соотношением B83). Анализируя диаграммы ренормированной функ-
функции отклика RR{u) в Яо-модели (п.25), нетрудно убедиться, что эта
величина вещественна для чисто мнимых значений частоты о» на верх-
верхней полуоси (со = ix, х > 0) и что ImRR(w) > 0 при ш > 0. Кроме того,
легко проверить, что для функции RR{u) при т > 0 существуют два пер-
первых члена тэйлоровского разложения в нуле по ш (т.е. вклады порядка
1иш), а при о» > 0 существует первый член разложения в нуле по г
(следующие члены обсуждаемых разложений не существуют из-за ИК-
расходимостей в коэффициентах). При учете связи B82) между RR{u)
и скейлинговой функцией /'(w) из сказанного выше следует, что для
/'(w) существуют два первых члена разложения в нуле по w и что эта
функция при w-» оо имеет асимптотику ~ w~a/z". Учитывая дополни-
дополнительно отмеченные выше свойства вещественности и положительности,
646 Глава 5. Критическая динамика
заключаем, что для этой функции
/'(w) = B' + iC'v + ..., /'(w) = А'{-т)-° + ..., <r = a/zv, B86)
w->0 w->oo
где А',В' ,С' - некоторые положительные коэффициенты, многоточие -
поправки порядка ш2+о(г) при малых w и w/2^) при больших (в
£-разложении поправки 0(е) в показателях переходят в логарифмы w).
Ввиду неопределенности амплитудных множителей Ci|2 в соотноше-
соотношениях B85) входящую в них скейлинговую функцию /'(w) можно заме-
заменить любой другой функцией /(w) = bif'faw) с произвольными по-
положительными константами Ь\^- Этим произволом можно воспользо-
воспользоваться для замены /'(w) на "нормированную скейлинговую функцию"
/(w), для которой фиксируются два из трех коэффициентов А, В, С
в аналогичной B86) асимптотике (отметим, что удачный выбор нор-
нормировки существенно упрощает вид /(w) в конкретных вычислениях).
При расчете в схеме MS удобным оказывается [174] выбор нормировки
В — 1, С = a/zz/ = а в аналогичной B86) асимптотике /(w), третий
коэффициент А остается неизвестным и подлежит вычислению.
Таким образом, для нормированной скейлинговой функции /(w)
имеем:
/(w) = Ъх /'F2w) , B87а)
/(w) = l + i<rw+..., f(w) = Л(-г"ш)-а + ... , a = a/zv. B876)
Первое из соотношений B876) при известной функции /'(w) определяет
коэффициенты 6^2 в B87а).
Исходя из определений B83),B87), нормированную скейлинговую
функцию /(w) можно вычислять в форме ^-разложения по диаграммам
ренормированной функции отклика RR(co):
/(w) = 1 + 2е /i(w) + BгJ /2(w) + ... B88)
для d = 4—2е. Коэффициент /i(w) определяется однопетлевой диаграм-
диаграммой функции отклика, которой в базовой теории B11) соответствует
выражение
/dk \k2
B^р [к* + т][-гш
Вычислив этот интеграл и сократив имеющийся в нем полюс по е добав-
добавкой выражения типа const -/j,~2£/e ("контрчлен на пару"), можно затем
п.26 Распространение звука вблизи критической точки 647
яерейти к пределу е = О, что даст однопетлевое приближение для ре-
нормированной функции i?R(o)) при е = 0. Этого достаточно для вы-
вычисления из B83),B87) величины /i(w) в разложении B88) (в низшем
порядке a = 2е/б, v = 1/2, 7о = 1/16тг2, b~l = -2е • 16тг2/3). Расчет
дает:
i{i^^[ii4]} (M0)
где х = —«w, Д = A — 4а;I/2, а фазы логарифмов определяются стан-
стандартным правилом lnz = In |z[ -f «argz, —тг < argz < тг, argz = 0
для z > 0. Функция B90) имеет асимптотики /i(w) = —ж/12 + ...
при w—> 0 и /i(w) = B — 1пж)/12 + ... при w—> со. Это согласуется
с точными асимптотическими формулами B876) в данном порядке е-
разложения и дает А = 1 + 2е/б + - •. (в первых двух порядках <т =
a/zv = Bе/12)[1 - 2е • 479/1026 +...]).
Однопетлевой расчет скейлинговой функции был выполнен в [175],
двухпетлевой - в [174]. Полученное в [174] выражение для функции
/2(w) в разложении B88) содержит несколько однократных интегралов
от комплексных функций. Мы приведем здесь лишь выражение для
коэффициента А в B876) с двухпетлевой точностью [174]:
2е BеJ Г 89 , 7267] л/ 3,
A = 1 + y + Lf[i567r-3078j+O(£)
(численно А = 1 + 0.1667-Bе)— 0.108б-BеJ+...). Отметим, что переход
к нормированной функции B87а) полностью устраняет присутствую-
присутствующие в /'(w) многочисленные вклады с постоянной Эйлера и 1пDтг), чем
достигается значительное упрощение вида /(w).
При сравнении с экспериментом в первом соотношении B85) обычно
делается вычитание на нулевой частоте, так как величина с@) легче
извлекается из экспериментальных данных, чем константа с(оо) = cq.
Заменяя /'(w) в B85) нормированной функцией /(w) (что меняет лишь
неизвестные коэффициенты C\j>), получаем:
[c-2@,*)-c-2(u;,*)]*a = ClRe [I - f(C2w)] , )
B92)
ax{u>, t)c~2{u,t) ta = ) J
Обозначения те же, что и в B85), только сейчас для ясности мы указали
явно присутствующую в скорости звука и затухании зависимость от
температуры t = (Т — Тс)/Тс.
648 Глава, 5- Критическая динамика
Левые части F\t2 соотношений B92) известны из экспериментальных
данных. Эти данные удобно изображать точками на плоскости, откла-
откладывая по оси X величину lnw, а по оси У - In F{. Из B92) следует, что
для одного вещества получаемые таким путем при разных значениях
о), t точки должны ложиться на одну кривую и что возможное измене-
изменение коэффициентов С\^ при переходе к другому веществу ведет лишь к
параллельному переносу этой кривой вдоль осей, причем одинаковому
для F\ и i^- Отсюда следует, что не меняющаяся при параллельном пе-
переносе "форма" этих кривых для обеих величин F\2 определяется лишь
видом скейлинговой функции /(w). Это и позволяет сравнивать теорию
с экспериментом.
Но ясно заранее, что при подстановке в B92) некоторой прибли-
приближенной функции /(w) надеяться на согласие с экспериментом можно
только тогда, когда эта приближенная функция качественно правильно
воспроизводит асимптотики B876). Использовать в качестве прибли-
приближенного выражения для / просто начальный отрезок ее е-разложения
B88) нельзя, так как в нем неправильно воспроизводится асимптотика
при w—> оо: дробная степень переменной w заменяется логарифмами.
Поэтому необходима та или иная дополнительная процедура "экспонен-
цирования логарифмов", позволяющая перестроить начальный отрезок
е-разложения /(w) в другое приближенное выражение с качественно
правильными асимптотиками.
Это можно сделать разными способами. Здесь мы изложим метод,
используемый в работах [174, 175]. Метод [175] состоит в выделении
из функции /(w) в виде множителя некоторой простой функции с пра-
правильными асимптотиками и с регулярным поведением в промежуточной
области. Конкретно в работах [174, 175] используется представление
/(w) = (l-iw)-a /i(w) B93)
с показателем а из B876). Из B93) и B876) имеем:
A(w) = 1 + 0 •tw+...) A(w) = А + ... B94)
с константой А из B876), известной из B91) с двухпетлевой точностью.
Обозначением 0 ■ «w в B94) подчеркивается отсутствие линейного по w
вклада в h(w) при w—> 0.
По известному с некоторой точностью е-разложению /(w) можно по-
построить с той же точностью аналогичное B88) ^-разложение функции
/*(w), определенной соотношением B93). В работах [174, 175] в качестве
я. 26 Распространение звука вблизи критической точки 649
приближенного выражения для /(w) в B92) используется функция B93)
с известным начальным отрезком е-разложения h(w). При сравнении с
экспериментом показатели а в B92) и а в B93) берутся из экспери-
экспериментальных данных для трехмерной задачи (а = 0.11, v = 0.63, z =
3.07, cr = а/zz/ = 0.057). Но для функции h(w) достоверно извест-
известными можно считать лишь вычисленные первые члены ее е-разложения.
Анализ показывает [174], что в однопетлевом приближении для h име-
имеется заметное расхождение с экспериментом в промежуточной области.
Учет двухпетлевой поправки существенно улучшает ситуацию и де-
делает согласие с экспериментом вполне удовлетворительным. Отметим,
что в работе [175] хорошее согласие с экспериментом было получено
уже в однопетлевом приближении. Но фактически это было достиг-
достигнуто лишь за счет незаконного "превышения точности" в е-разложении
h = 1 + 2ehi + ... функции h: коэффициент 2е при однопетлевом вкладе
в h был заменен в [175] выражением Sa/v = 2е + ... с подстановкой экс-
экспериментального значения ia/v == 0.5 вместо 2е = 1 для трехмерной
задачи. Оказывается, что такая подмена приблизительно воспроизво-
воспроизводит влияние двухпетлевой поправки при точном вычислении, улучшая
согласие с экспериментом [174]. Но ясно, что превышение точности е-
разложения в функции h - некорректная операция и что учет двухпетле-
двухпетлевой поправки к приближению [175] привел бы к добавочному изменению,
ухудшающему результаты.
На этом мы закончим обсуждение проблемы распространения звука
вблизи критической точки перехода жидкость-газ. Дополнительную
информацию об этой задаче и ее аналогах в других моделях критической
динамики можно найти в работах [176] (феноменология), [177, 178, 179]
(модель Н и другие), [180] (модель F, Не4), [181] (модели С и F), [182]
(модель А).
В заключение предупредим читателя, что приведенный в п.п.23-26
материал заметно отличается от его традиционного изложения. Это
относится уже к исходной проблеме выбора динамических переменных
Я-модели (п.23), роли вкладов с dtv (п.24), к технике доказательства
мультипликативной ренормируемости (п.25) и вывода основных урав-
уравнений B92) ,>;т1я звуковой волны. Отметим, что в [175] этот вывод не
вполне корректен, наше изложение ближе к [177], но с существенными
изменениями. Все эти изменения касаются только "идеологии" и тех-
техники доказательств утверждений общего характера и не сказываются
на результатах конкретных вычислений универсальных величин - кри-
критических индексов и нормированных скейлинговых функций.
Г Л АВ А б
СТОХАСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
В этой главе излагаются основные результаты, полученные в
стохастической теории турбулентности и в родственных задачах с
помощью техники РГ. Более подробное изложение этих вопросов
можно найти в цитируемых в тексте работах и в книге [183].
п.1 Явление турбулентности. Это физическое явление всем
хорошо знакомо. Типичный пример - течение жидкости по трубе
с заданным перепадом давления Ар на ее концах: при малом Ар
течение плавное ("ламинарное"), затем с ростом Ар при переходе
через некоторое "пороговое" значение ДрПор плавное течение теряет
устойчивость и в жидкости появляются хаотические завихрения, ин-
интенсивность которых возрастает с ростом Ар. Одновременно услож-
усложняется структура потока жидкости: характерным размером впервые
появляющихся вблизи порога вихрей является некоторый "внешний
масштаб" системы Lmax (в нашем примере - диаметр трубы), с ро-
ростом Ар эти первичные крупномасштабные вихри дробятся на все
более мелкие. Режиму "развитой турбулентности" соответствует
Ар 3> Дрпор. Тогда в системе одновременно присутствуют турбу-
турбулентные вихри всевозможных размеров от внешнего масштаба Lmax
до "диссипационной длины" Ьт[„, для которой становится суще-
существенным затухание вихрей из-за вязкого трения. В стационарном
режиме вся энергия, которая поступает в систему от создающего гра-
градиент давления внешнего источника, в конечном итоге превращается
в тепло из-за диссипации энергии для мелкомасштабных вихрей.
В общем случае роль Ар/Арпор играет безразмерный параметр
- число Рейнольдса Re = uLmax/v, где и - характерная средняя ско-
скорость течения, Lmax - внешний масштаб, v - кинематическая вяз-
вязкость среды.
652 Глава 6. Стохастическая теория турбулентности
При наличии турбулентности полное поле скорости v(a;) предста-
представляется в виде суммы v(x) = u(x) + ф{х), где и(х) - плавная "лами-
"ламинарная" составляющая скорости, ф[х) - сравнительно малая стоха-
стохастическая (= "пульсационная") составляющая. Предметом исследо-
исследования в теории турбулентности являются статистические характе-
характеристики случайного поля <р(х), т.е. его корреляционные функции
и различные функции отклика (п.5.1). Вблизи порога, когда число
Рейнольдса Re лишь слегка превышает пороговое значение RenOp,
структура впервые появляющихся турбулентных вихрей с характер-
характерным размером Lmax определяется всей геометрией задачи (соответ-
(соответствующая теория излагается в [172], глава 3), т.е. в этой ситуации
турбулентность "помнит детали глобального устройства системы".
Задачи такого типа можно решать только индивидуально для ка-
каждой конкретной системы.
Существенные упрощения можно ожидать лишь в случае "раз-
"развитой турбулентности", когда Re^> RenOp и -^max S> -^min • Тогда
существует четко выраженный инерционный интервал расстояний
^тах > i > Lm\n, и можно говорить о корреляционных функциях
поля <р(х) на таких масштабах. В нашем примере течения в трубе
для наглядности можно представить себе мысленно вырезанный в
жидкости объем с размером L <C Lmax, внутри которого размещены
датчики, непрерывно регистрирующие мгновенные значения скоро-
скорости течения в нескольких точках. Поскольку характерным масшта-
масштабом для плавной составляющей скорости и(х) является величина
-^тах, внутри области с размером L <C Lmax можно считать и(х) =
const. Таким образом, при изучении структуры турбулентного по-
потока на таких масштабах можно игнорировать его нетривиальное
"глобальное устройство", считая среднюю скорость и(х) некоторой
константой. Эту константу можно устранить переходом к сопут-
сопутствующей системе отсчета с помощью подходящего галилеевского
преобразования. Это и приведет к задаче об однородной изотроп-
изотропной развитой турбулентности, в которой все поле скорости отожде-
отождествляется с его стохастической (пульсационной) составляющей <р(х),
а источником поступления энергии считаются первичные крупномас-
крупномасштабные вихри.
При переходе к сопутствующей системе v(x) = v(f,x) —>■ v(t,x —
ut) — и = $(t,-x. — ut), т.е. с точки зрения однородной и изотропной
задачи закрепленный в данной точке х движущегося потока датчик
п.2 Уравнение Навье-Стокса, гипотезы Колмогорова, 653
регистрирует мгновенные значения случайной величины <p(t,x— ui).
При обработке эксперимента считается, что явной зависимостью
этой величины от t можно пренебречь по сравнению с зависимостью
через аргумент х — ut, так как скорость сноса и много больше харак-
характерной скорости пульсаций. Поэтому измерение коррелятора значе-
значений ф для одного датчика в моменты времени t и t + At (с усредне-
усреднением по i) интерпретируется как измерение статического (одновре-
(одновременного) коррелятора для однородной и изотропной турбулентности
для расстояния г = и At.
Развитая турбулентность экспериментально наблюдается как для
жидкостей, так и для газов (турбулентность в атмосфере или в аэро-
аэродинамических трубах) и подчиняется единым закономерностям. По-
Поскольку характерная скорость турбулентных пульсаций в реальных
условиях гораздо меньше скорости звука, при описании турбулент-
турбулентности можно пренебречь сжимаемостью среды, т.е. векторное поле
скорости можно считать поперечным.
п.2 Стохастическое уравнение Навье-Стокса. Гипотезы
Колмогорова. Считается общепризнанным [154], что в качестве
микромодели однородной изотропной развитой турбулентности не-
несжимаемой жидкости (газа) можно использовать стохастическое
уравнение Навье-Стокса E.6):
Vm(x) = щд2^{х) - diP{x) + тц(х) , Vt=dt + (<fd) , A)
где <р - поперечное (следствие несжимаемости) векторное поле ско-
скорости (д<р = dk<fik = 0), vq - кинематический коэффициент вязкости,
р(ж) и t](x) - давление и поперечная внешняя случайная сила в рас-
расчете на единицу массы, Vt - галиеево-ковариантная производная.
Для г) предполагается гауссово распределение с нулевым средним и
заданным коррелятором <rji(x)rjs(x')> = Dj3(x, x') следующего вида:
Dit(x,x') = 8{t-t'){2ir)-dfdk Pu(k) N{k) exp iJb(x-x'), B)
где P,s(k) = Sis ~ kiks/k2 - поперечный проектор, d - размерность
пространства х (и k), N[k) - некоторая "функция накачки", завися-
зависящая от |&| и от параметров модели.
Таким образом, мы имеем дело с частным случаем задачи E.1)
и всегда будем рассматривать ее в стандартной постановке (п.5.1),
т.е. на всей оси времени с условием запаздывания для уравнения A)
654 Глава, 6. Стохастическая теория турбулентности
и с нулевыми условиями для (р на бесконечности. Поле <р в A) имеет
смысл пульсационной составляющей скорости, поскольку речь идет
об описании однородной изотропной турбулентности.
Случайная сила ц в уравнении A) феноменологически модели-
моделирует стохастичность (которая в реальных условиях должна возни-
возникать спонтанно как следствие неустойчивости ламинарного течения)
и одновременно - накачку энергии в систему от взаимодействия с
крупномасштабными вихрями. Средняя мощность накачки энергии
W (количество энергии, поступающее за единицу времени на еди-
единицу массы) связана с функцией N{k) в B) соотношением
W = [(<f-l)/2B7r)d] Jdk N(k) C)
(доказательство в п.8).
Физическая картина однородной изотропной развитой турбулент-
турбулентности состоит в следующем: энергия внешнего источника (в урав-
уравнении A) моделируемого случайной силой rf) поступает в систему
от крупномасштабных движений (вихрей) с характерным размером
imax = 1/m (определенный этим соотношением параметр m будем
называть "массой"). Затем она переносится по спектру ("дробление
вихрей") из-за нелинейности в уравнении A) и в итоге начинает ак-
активно диссипировать на масштабах Lm\n = 1/Л ("диссипационная
длина"), на которых становится существенной роль вязкости. Не-
Независимыми можно считать параметры W, vq и m = L^x, все про-
прочие параметры выражаются через них по соображениям размерности
(m ~ L'1, W ~ L2T~3, vQ ~ 1?Т-Х, где L - длина, Т - время), для
нижних границ - через пару W и т, а для верхних - через пару W и
г/о, в частности, Л = W1'4^ ' . Развитая турбулентность характе-
характеризуется большим (порядка 104 - 106) значением числа Рейнольдса
Re = (Л/mL/3 и, как следствие, наличием широкого "инерционного
интервала", определенного неравенствами m<i< А для импуль-
импульсов (=волновых чисел) и wmjn = W1' 3m2'3 <ш<^ wmax = ^оЛ2 для
частот.
Основные положения феноменологической теории Колмогорова -
Обухова были сформулированы [184] в виде двух гипотез. Первую из
них впоследствии пришлось модифицировать в сторону ослабления.
Поэтому мы приведем сначала первоначальный вариант (см. [154],
§21) с обозначением 1', а потом после необходимых пояснений - более
точную современную версию гипотезы 1.
п.2 Уравнение Навье-Стокса, гипотезы Колмогорова 655
Гипотеза 1' [154]: в области к 3> т, ш ^> wmjn = Wll3m2l3
распределение фурье-компонент <р{ш, к) случайной скорости (р(х) =
(p(t,x) зависит от полной мощности накачки W, но не зависит от
"деталей ее устройства", в том числе и от конкретного значения
Гипотеза 2 [154]: в области к <С Л, ш <С wmax = i/оЛ2 это рас-
распределение не зависит от коэффициента вязкости щ.
Из гипотезы 2, в частности, следует, что в ее области приме-
применимости динамический коррелятор <<р<р> в ш, ^-представлении для
tf-мерной задачи имеет вид
<&•&> = Pis W1'3 ATd-4/3 f{Wk2/u3,m/k) , D)
где PiS - поперечный проектор, / - некоторая (остающаяся неиз-
неизвестной) скейлинговая функция двух независимых безразмерных ар-
аргументов.
В инерционном интервале, где выполнены условия обеих гипо-
гипотез, второй аргумент функции / в D) мал, а первый удовлетворяет
неравенствам (к/ЛJ -С У/к2/ш3 •< (к/тJ, т.е. фактически про-
произволен. Согласно гипотезе 1', в этой области должна исчезать за-
зависимость от т, другими словами, функция / в D) должна иметь
конечный предел при стремлении к нулю ее второго аргумента т/к.
Но уже давно известно, что это неправильно: из-за кинематического
эффекта переноса турбулентных вихрей как целого крупномасштаб-
крупномасштабными движениями с к ~ т [185] в общем случае предел т/к ->0в
динамических объектах не существует. Более правдоподобной фор-
формулировкой является следующее утверждение:
Гипотеза 1: в области к 3> т конечный предел при т/к —>• О
существует для одновременной функции распределения простран-
пространственных фурье-компонент <p(t,k) случайного поля скорости y>(f,x).
Для статического парного коррелятора из гипотезы 2 в ее области
применимости вытекает следующее представление:
E)
Dst{k) = k-d(W/kJ'3 f(m/k)
(в D),E) и далее используется одна и та же буква / для обозначения
различных скейлинговых функций).
656 Глава 6. Стохастическая теория турбулентности
Из гипотезы 1 вытекает существование конечного предела /@)
функции f(m/k) в E) при m/k —¥ 0. Величина /@) просто связана
с известной константой Колмогорова (см. п. 11). Представление E)
справедливо для всех ^<Л, т.е. как в инерционном интервале, где
функцию f(m/k) можно заменить константой /@), так и в "энер-
госодержащей области накачки" k Z т, где функция f(m/k) обяза-
обязательно должна быть нетривиальной (см. ниже). В "диссипативной
области" к £ Л у функции / в E) появится дополнительный аргу-
аргумент к/Л, а зависимость от т/к тогда должна исчезать согласно
гипотезе 1.
Вычислив преобразование Фурье функции Dst из E), получим:
Dst{v) = {Wxfl3 f{rm) F)
с областью применимости г ^> 1/Л.
С точки зрения гипотезы 2 представления E) и F) полностью
эквивалентны, но в отношении гипотезы 1 это не так: для коорди-
координатного представления F), в отличие от импульсного, уже нельзя
утверждать, что функция f{mx) имеет конечный предел при т —>■ 0,
т.е. сводится к константе в инерционном интервале. Дело в том,
что из-за сильной сингулярности в нуле выделенной явно в E) сте-
степени к существование фурье-образа (гарантированное по физичес-
физическому смыслу) может обеспечиваться только за счет подавления сте-
степенной сингулярности функцией f{m/k) в E). Отсюда следует, что
при малых к эта функция должна быть нетривиальной, и ее зависи-
зависимостью от аргумента т/к при вычислении фурье-образа ни в коем
случае нельзя пренебречь. Это вносит существенную зависимость
от т в D3t(r) при любых значениях г, в том числе и в инерционном
интервале Л <С г <^ го". Но здесь она может проявляться только
в форме аддитивной константы D3t(v = 0), так как для разности
D3t{r)—DJt(r = 0) степенная сингулярность функции E) подавляется
(при естественном предположении аналитичности функции f(m/k)
по к в окрестности к = 0), поэтому предел т —>■ 0 в инерционном
интервале для этой разности должен существовать.
Отсюда следует, что с точностью до исчезающих при т —>• 0
поправок выражение F) в инерционном интервале Л -С г -С т~1
имеет вид
D3t{i) = Cx{W/mJl3 -C2{WiJ/3 , G)
п.2 Уравнение Навье-Стокса, гипотезы Колмогорова 657
где первое слагаемое есть D3t(j = 0), второе - разность D3t(i) —
Dst(r = 0), a Ci,2 - безразмерные положительные константы.
Представления типа D),E) можно написать для любых корреля-
корреляционных функций поля <р. Они вытекают только из гипотезы 2 и
в совокупности означают наличие ИК-скейлинга (поскольку условия
гипотезы 2 не предполагают ограничения снизу на частоты и им-
импульсы) с вполне определенными "колмогоровскими" размерностями
ДР = A[F] всех ИК-существенных величин F = {(р = <р(х), m, t ~
ы, г ~ k~1} при несущественных (фиксированных при растяже-
растяжениях) параметрах W и и0:
Av = -1/3, At = -Дш = -2/3, Ак = -Дг = Ат = 1 . (8)
Гипотезы Колмогорова являются феноменологическими и в основ-
основном подтверждаются экспериментом (подробнее об этом в п. 12). За-
Задачей микротеории является их обоснование, и эта задача в полном
объеме еще не решена. Определенные успехи достигнуты лишь в
обосновании гипотезы 2, т.е. ИК-скейлинга в теории турбулент-
турбулентности. В этом отношении очевидна аналогия с теорией критиче-
критического поведения, поэтому ИК-скейлинг удается обосновать с помо-
помощью стандартной техники РГ при определенных предположениях о
виде коррелятора случайной силы в уравнении A). Гипотеза 1 на
языке РГ есть некоторое утверждение о поведении при т —> 0 скей-
линговых функций, входящих в РГ-представления для статических
объектов. В теории турбулентности, как и в теории критического
поведения, такие вопросы не относятся к компетенции метода РГ
в прямом смысле слова, так как явный вид скейлинговых функций
самими уравнениями РГ не определяется (см. п.1.33).
Аналогом т в теории критического поведения является параметр
т — Т — Тс, а стандартным методом исследования сингулярностей
скейлинговых функций при г —> 0 (см. п.4.14) является техника SDE
- операторное разложение Вильсона. Эту технику можно использо-
использовать и в РГ-теории турбулентности. Но нужно сразу же подчеркнуть
различие между этими двумя задачами: в теории критического по-
поведения мы на основании опыта заранее уверены в существовании
безмассовой (Г = Тс) теории с т = 0, поэтому предполагаем, что
разложения типа D.105) содержат только константу и поправочные
вклады с положительными степенями т. Это, конечно, гарантиро-
гарантировано в рамках е-разложения, но для реального значения е = 4—d — 1,
658 Глава 6. Стохастическая теория турбулентности
строго говоря, мы не знаем знаков критических размерностей ДР
всех операторов, так как не умееем вычислять их точно. Факти-
Фактически проблема знаков AF там просто не обсуждается. Она стала
бы актуальной, если бы кто-нибудь смог предъявить хотя бы один
"опасный" оператор F с точно известной и строго отрицательной
размерностью ДР < 0 для реального значения е = 1. Вклад такого
оператора в разложение D.105) содержал бы отрицательную степень
г, и тогда возник бы вопрос, как это совместимо с существованием
конечного предела при г —»■ 0. В теории критического поведения
эта проблема академическая, так как размерности ДР практически
можно вычислять лишь в форме начальных отрезков £-разложений,
что не позволяет достоверно судить об их знаках при е = 1.
Но в РГ-теории турбулентности эта проблема отнюдь не ака-
академическая, так как здесь для некоторых операторов критические
размерности можно вычислить точно, и среди них есть опасные опе-
операторы с ДР < 0, порождающие в скейлинговой функции вклады с
отрицательными степенями параметра т. В такой ситуации обес-
обеспечить конечность предела при т —>■ 0 можно только при наличии
бесконечного числа таких вкладов за счет какой-нибудь процедуры
их суммирования. Но практически на таком пути сделаны лишь
первые шаги. Эти вопросы будут подробно обсуждаться позднее в
п.п.9,10, а здесь мы хотели лишь подчеркнуть, что с точки зрения
РГ-техники между гипотезами 1 и 2 Колмогорова имеется весьма
существенное различие.
п.З Выбор коррелятора случайной силы. В критической ди-
динамике вид коррелятора случайной силы в уравнениях Ланжевена
типа E.4) однозначно определяется требованием взаимной согласо-
согласованности динамики и статики. Стохастическое уравнение Навье-
Стокса A) не относится к этому классу, поэтому здесь нет однознач-
однозначного правила выбора этого коррелятора. В РГ-теории турбулентно-
турбулентности его выбирают, руководствуясь, с одной стороны, физическими
соображениями, с другой, - чисто техническими. Физические со-
соображения состоят в том, что реалистическая для данной задачи
накачка должна быть инфракрасной, т.е. основной вклад в интеграл
C) должен порождаться областью малых импульсов k ~ m (накачка
энергии крупномасштабными вихрями). С другой стороны, для ис-
использования стандартной квантовополевой техники РГ важно, чтобы
функция накачки N(k) в B) имела степенную асимптотику при боль-
п.З Выбор коррелятора случайной силы 659
ших к. Последнему условию удовлетворяет, в частности, используе-
используемая в работах [186, 187] функция
N(k) = D0k4-d{k2 + m2)-s , (9)
где е > 0 - независимый параметр модели. В РГ-теории турбулент-
турбулентности этот параметр, никак не связанный с размерностью простран-
пространства d, играет такую же роль, как величина d* — d в моделях теории
критического поведения (см. п. 1.19). Другими словами, величина
е в (9) характеризует "степень отклонения от логарифмичности".
Модель становится логарифмической при е — 0 (подробно в п.4), а
реалистической (т.е. инфракрасной) накачка (9) становится только
при е > 2. В области 0 < е < 2 накачка (9) является ультрафиолето-
ультрафиолетовой. Интеграл C) для УФ-накачки расходится на больших к, тогда в
нем подразумевается обрезание к < Л, интеграл набирается на мас-
масштабах к ~ Л, и в этом случае W ~ А4~2е, в отличие от W ~ т4~2е
для е > 2.
В большинстве работ по РГ-теории турбулентности используется
более простая чисто степенная функция накачки
N(k) = Do k4~d-2e , A0)
соответствующая т — 0 в (9). Такой выбор допустим, если интере-
интересоваться лишь проблемой обоснования ИК-скейлинга и соответству-
соответствующими критическими размерностями (которые при любой накачке
не должны зависеть отга), а прочие объекты типа скейлинговых
функций вычислять по диаграммам только в форме е-разложений.
Тогда переход к задаче с т = 0 непротиворечив, так как коэффици-
коэффициенты е-разложений диаграмм имеют конечные пределы при т —ь 0.
Но это, конечно, нельзя считать доказательством гипотезы 1 Колмо-
Колмогорова, так как для конечных е в реальной области ИК-накачки е > 2
предел т —> 0 может не существовать (простой пример - функция
т2~£: при т —> 0 коэффициенты ее е-разложения исчезают, а сама
она для е > 2 расходится). Поэтому гипотезу 1 можно обсуждать
лишь в моделях типа (9) с параметром т и обязательно вне рамок
е-разложения.
Но если не касаться этих вопросов, то можно пользоваться мак-
максимально упрощенной моделью A0). Для нее "реальным" считается
значение ер = 2, соответствующее границе области ИК-накачки в
660 Глава, 6. Стохастическая теория турбулентности
(9): для е > 2 интеграл в C) с функцией накачки A0) не существует
из-за ИК-расходимости, а при е < 2 накачка является ультрафио-
ультрафиолетовой. Отметим, что при е — 2 параметр Dq в A0) приобретает
размерность W. Отметим также, что идеализированной накачке бес-
бесконечно большими вихрями соответствует N(k) ~ £(&), а функцию
Ak~d с подходящим выбором амплитудного коэффициента А можно
считать степенной моделью tf-мерной ^-функции (подробнее в п. 11).
Более реалистической является, конечно, модель накачки (9) или
ее обобщение
N(k) = Do к4-*'2* h{m/k) , Л@) = 1 A1)
с произвольной "достаточно хорошей" (в частности, аналитической
по гп2 в окрестности нуля) функцией h, обеспечивающей сходимость
интеграла C) при малых к и нормированной на единицу в области
к 3> т, где выражение A1) переходит в A0). Функция (9) - частный
случай A1) с конкретным выбором функции h.
Предположение о степенном поведении N(k) при больших к - фак-
фактически единственное уязвимое для критики положение РГ-теории
турбулентности. В его оправдание можно сказать, что физические
соображения требуют, чтобы накачка энергии была инфракрасной,
но вовсе не запрещают ей иметь "хвост" в области к 3> т. Важно
лишь то, чтобы этот "хвост" не давал заметного вклада в интеграл
C), что для функции (9) выполнено при любом е > 2. Степень к
с произвольным показателем - вполне естественная модель "хвоста"
для положительной и убывающей с ростом к функции. Любая другая
гипотеза, например, финитность функции N[k) или ее экспоненци-
экспоненциальное убывание нуждаются в обосновании не менее, чем гипотеза
"степенного хвоста". В точной теории накачка энергии должна поро-
порождаться взаимодействием между пульсадионнои и плавной составля-
составляющими скорости, поэтому ее характеристики для конкретной задачи
(например, для течения в трубе с заданным перепадом давления на
концах) должны, в принципе, поддаваться вычислению. Но закон-
законченной общей теории такого типа пока не существует, а в рамках
стохастической задачи A), являющейся всего лишь некоторой упро-
упрощенной феноменологической версией этой (гипотетической) строгой
теории, конкретный выбор функции накачки N(k) можно оправды-
оправдывать только общими соображениями и результатами. По этому по-
поводу отметим, что и в общепризнанной сейчас РГ-теории критиче-
п.4 УФ-расходимости, ренормировка, РГ-уравнения 661
ского поведения возможность подмены исходной точной микромодели
(например, жидкости) некоторой упрощенной (и только поэтому под-
поддающейся РГ-анализу) "флуктуационной моделью" также является
просто постулатом и оправдывается лишь результатами.
Большинство результатов в РГ-теории турбулентности получено
в рамках е-разложения для модели A0) с m — 0. В некоторых ра-
работах использовалась модель (9), их результаты обобщаются непо-
непосредственно и на модель A1) с произвольной функцией h, конкрети-
конкретизирующей "глобальную структуру накачки". Относящиеся к инер-
инерционному интервалу результаты от выбора конкретной функции h в
A1) вообще не зависят.
Для моделей типа A1), в отличие от A0), можно поставить и пы-
пытаться решить интересную "проблему замораживания": поскольку
выбор конкретного значения е в области е > 2 можно считать одной
из "деталей устройства" ИК-накачки, хотелось бы показать, что от-
относящиеся к инерционному интервалу результаты от этого выбора не
зависят согласно гипотезе 1 Колмогорова. Для критических размер-
размерностей это удается сделать [187]: зависящие от е в области 0 < е < 2
критические размерности достигают колмогоровских значений при
е = 2 и не изменяются при дальнейшем возрастании е (подробнее в
п.6). Такое "замораживание размерностей" в области е > 2 согла-
согласуется с гипотезой 1 Колмогорова, хотя, конечно, и не доказывает
ее в полном объеме, тале как остается нерешенной трудная проблема
определения зависимости корреляционных функций от параметра m
в инерционном интервале.
п. 4 УФ-расходимости, ренормировка и РГ-уравнения
квантовополевой модели. Согласно общим правилам п.5.3, стоха-
стохастическая задача A) эквивалентна квантовополевой модели для двух
векторных поперечных полей ф = ip, (p1 с функционалом действия
E.25), в данном случае
ЗД = tpfDv'/i + <p'[-dt<p + щд2у - {<pd)<p ] , A2)
где D - коррелятор случайной силы B). Вклад с dp из A) исчезает
в A2) из-за поперечности поля ц>'.
Соответствующая функционалу действия A2) диаграммная тех-
техника определяется общими правилами п.5.3. Линиям диаграмм со-
соответствуют затравочные пропагаторы E.30). Для модели A2) в
662 Глава 6. Стохастическая теория турбулентности
ш, ^-представлении
<<pft>o = <$'$>Z = Pi (-iu + щк2)-1 , )
} A3)
■ <$ip>o = Р± N(k)/ \-ш + щк2\2 , <$'<р'>о = 0 , J
где Р± - поперечный проектор по векторным индексам полей, N(k) -
функция накачки из B). Для вершины взаимодействия в A2) произ-
производную под знаком J dx ... можно перебросить на вспомогательное
поле <р':
У(ф) = -<p'(ipd)(p = -fifkdkfi = dk<p'i ■ <fk<pi ■ A4)
Переписав этот функционал в виде tp\viks'PktPs/'^, находим соответ-
соответствующий вершинный множитель:
Viks = -i \pkSis + psSik] , A5)
где р - импульс, втекающий в вершину через поле (р'.
При подстановке в A2) функции накачки типа A0) или A1) удобно
выделить из нее явно амплитудный множитель Dq, введя обозначе-
обозначения:
N(k) = Do n(k) , Do = g0^ , A6)
где п(к) = k4~d~2£ для накачки A0) или k4~d~2£h(m/k) для накачки
A1) и ее конкретного варианта (9). Второе равенство A6) опре-
определяет новый параметр #о, который играет в данной задаче роль
затравочного заряда.
Подстановка A6) в A2) приводит к функционалу
S(<£) = 9о^о<р'п<р'/2 + <р' \-dtV + "(Л - {9d)tp } , A7)
имеющему смысл неренормированного действия данной модели.
Обсудим теперь ее ренормировку. УФ-расходимости в данной мо-
модели проявляются, как обычно, в форме полюсов по е, но теперь роль
е играет входящий в функцию п{к) ~ k4~d~2£ параметр, не связан-
связанный с размерностью пространства d. Структура УФ-расходимостей
и необходимых для их устранения контрчленов определяется общими
правилами п.п.5.14 и 5.15 по каноническим размерностям 1-неприво-
димых функций Грина Г. Из A7) видно, что в данном случае в E.87)
п.4 УФ-расхсщимости, ренормировка, РГ-ура,внения
663
имеем du = 2. Канонические размерности всех полей и параметров
модели A7), а также их ренормированных аналогов (без индекса "О")
приведены в таблице 35.
Табл.35. Канонические размерности полей и параметров модели
A7) с накачкой n[k) ~ kA~d~2t при произвольной размерности
пространства d.
F
dl
d%
dF
<p(x)
-1
1
1
d+1
-1
d-l
A,m,fj,
1
0
1
v,vQ
-2
1
0
W
-2
3
4
9o
2e
0
2e
9
0
0
0
Из положительности размерности d[g0] = 2е затравочного заряда
следует, что мы имеем дело с ИК-проблемой типа A.105) для любого
значения е > 0, в том числе и для области 2 > е > 0, где накачка
является ультрафиолетовой (п.З).
Соответствующее функционалу A7) базовое действие имеет вид
SB(<f>) = gv3fi2e(р'пр'/2 -f 9?'[—<9t9? + vd2<p — (fd)ip ] , A8)
где g,v - ренормированные параметры, /z - ренормировочная масса.
Как обычно, будем считать, что при ренормировке модели A8) ис-
используется стандартная схема MS, сохраняющая симметрию (в част-
частности, галилееву инвариантность) базовой теории.
Формальный индекс расходимости диаграмм dp определяется со-
соотношениями E.88),E.89) с du = 2 в данном случае. По данным
таблицы 35 видно, что в данной модели величина dr от е не зависит,
поэтому
dp = dr = d+2-n4>-{d-l)n4>< , A9)
где Пф - числа полей ф = (р,<р' в данной функции Г. Но реальный
индекс расходимости <5р меньше формального, так как из вида вер-
вершины A4) следует, что на каждую внешнюю линию (р' в функциях
Г (и на поля (р' в соответствующих контрчленах) обязательно выде-
выделяется символ д, поэтому
«г = dp — nv' . B0J
664 Глава 6. Стохастическая теория турбулентности
По индексам A9),B0) и общим правилам п.5.15 нетрудно убе-
убедиться, что при d > 2 контрчлены в данной модели могут поро-
порождаться лишь УФ-расходимостями 1-неприводимых функций типа
< <р'<р >1н (^г = 2, 5Г = 1) и < tp'tptp >lH (dp = 1, tfp = 0) и
эти контрчлены обязаны содержать, как минимум, один символ д.
Отсюда следует, что диаграммы < tp'tp >jH могут порождать кон-
контрчлен ~ <p'd2tp, но не порождают контрчленов ~ tp'dttp той же раз-
размерности, а вершинные диаграммы < tp'tptp >iH при учете попереч-
ности всех полей могут порождать лишь кратные вершине A4) кон-
контрчлены if/[tpd)tp. Но эти разрешенные по размерности вершинные
контрчлены в действительности отсутствуют вследствие галилеевои
инвариантности модели A8), которая требует, чтобы операция dt
входила и в контрчлены только в виде ковариантной производной
Vt = dt + {<рд). Поэтому из отсутствия контрчлена ~ tp'dttp следует
и отсутствие контрчлена ~ tp'(tpd)tp.
Сказанное выше относилось к случаю d > 2. В особом случае
d = 2 появляется добавочная поверхностная расходимость в функции
< <р'<р' >1Н (dp = 2, Sr = 0), порождающая локальный (в отличие
от соответствующего вклада в A8)) контрчлен ~ tp'd2tp'. Двумерная
задача будет рассматриваться отдельно в п.18, а пока всегда будем
считать d > 2.
Тогда необходим единственный контрчлен ~ tp'd2tp. Добавляя
его к функционалу A8), получаем ренормированное действие
SB(</>) = gi/3fi2ttp'ntp'/2-f tp' [—dftp-\-Zvvd2tp — (tpd)tp ] , B1)
где Zv — полностью безразмерная константа ренормировки, которая
может зависеть лишь от единственного полностью безразмерного па-
параметра g (при этом зависимость от d и е всегда подразумевается).
Ренормированное действие B1) получается из неренормирован-
ного A7) стандартной процедурой мультипликативной ренормиров-
ренормировки, в данном случае даже без ренормировки полей ф и параметра т
в функции накачки типа A1):
Zq = 1, mo = mZm, z/o = vZv, go — gfi eZg, Zm = 1, Zg = Zv . B2)
Равенство Zm = 1 и связь между Zg и Zv в B2) следуют из от-
отсутствия ренормировки нелокального вклада коррелятора случай-
случайной силы в B1). Можно сказать, что в данной модели "аномально
п.5 ИК-скейлинг при фиксированных параметрах д0 и vq 665
мало" расходимостей: единственной независимой константой ренор-
ренормировки является Ъ„.
Аномальные размерности fa различных величин "а" и /?-функция
заряда д определяются общими соотношениями A.113). В данном
случае из B2) и A.114) имеем:
1Ф = 0, 7т = 0, 7э = -37*, Р = $(-2е + Ь») • B3)
РГ-уравнения для связных функций Грина имеют стандартную форму
A.107) с РГ-оператором
VPr = V» + j3dg - 1VVV . B4)
Однопетлевой расчет в схеме MS дает [159]:
2 , a = Cd/4{d + 2) , B5)
где Cd = [d- l)Sd/{2w)d, Sd = 2wd?2/\\d/2\\ - «f-мерный угловой
интеграл A.87а). Для реальной трехмерной задачи [d = 3) имеем
a = 1/20тг2..
Вычислив по константе B5) соответствующую РГ-функцию A.113)
li> (проще всего это сделать с помощью соотношения A.120)), с уче-
учетом последнего равенства B3) получим:
7кЫ = ад+... , Р{$) = -2ед + Зад2 + ... , B6)
где многоточие - поправки высшего порядка по д. Положительность
коэффициента а в B6) обеспечивает существование ИК-притягиваю-
щей фиксированной точки в физической области д > 0 и, как след-
следствие, соответствующего ИК-скейлинга. Этот режим мы обсудим
подробнее в следующем разделе.
п.5 Общее решение уравнений РГ. ИК-скейлинг при
фиксированных параметрах д0 и Уд. Рассмотрим для конкрет-
конкретности решение уравнения РГ A.107) в модели B1) с накачкой типа
A1) на примере парного коррелятора скорости D =< (ptp > при
d > 2. Ввиду отсутствия ренормировки полей (п.4) их связные ренор-
мированные функции Грина WnH совпадают с неренормированными
функциями Wn, все различие лишь в выборе переменных и формы
теории возмущений (по д или по до). В ренормированных перемен-
переменных динамический коррелятор D = W2 зависит от к, ш, д, v, m, /z.
666 Глава 6. Стохастическая теория турбулентности
По соображениям размерности имеем (поперечный проектор по век-
векторным индексам везде опускаем):
D = v k~d R{s,g,z,u) , s = k/ц, z = ш/vk2, u = m/k , B7)
где R - функция полностью безразмерных аргументов. Коррелятор
D = W2 удовлетворяет РГ-уравнению A.107) суф =0, согласно B3),
и с оператором 2>РГ из B4):
VPr D = 0 , VPr = Z>M + /Здд - lvVv . B8)
Согласно общему правилу A.138), решение B8) имеет вид
D = v k~d R(l,g,z,u) , z = w/vh? , « = u = m/k , B9)
где g~, V, п - соответствующие д, v, u инвариантные перемен-
переменные (п. 1.29), т.е. зависящие от масштабного параметра s = k/fi
первые интегралы однородного уравнения типа A.132) с оператором
L = VPr из B8), нормированные при s = 1 на д, v, u, соответственно.
Равенство U = и, = m/k следует из отсутствия вклада Vm в РГ-
операторе B8) из-за отсутствия ренормировки параметра m в B2).
Для доказательства представления B9) достаточно заметить, что
его правая часть заведомо удовлетворяет РГ-уравнению B8) в силу
определения инвариантных переменных (п.1.29) и совпадаете D при
s = 1 по условиям их нормировки. Полезно также напомнить, что за-
зависимость функции ДA,7/, z, п) от инвариантных переменных самим
РГ-уравнением B8) не определяется. Функцию R в B7) можно вы-
вычислять практически лишь по диаграммам коррелятора D в форме
ряда по д.
Аналогом B9) для статического (одновременного) коррелятора
D3t = {2n)-1fduD = v2k2~d R{s,g,u) C0)
является представление (сразу учитываем равенство п = и)
Dst = V2k2~d R{l,g,u) . C1)
Подстановка B7) в B8) приводит к стандартному РГ-уравнению
типа A.142) для функции R, что позволяет воспользоваться общими
п.5 ИК-скейлинг при фиксированных параметрах до я щ 667
соотношениями A.144),A.147) для определения инвариантных пере-
переменных д~ = J(s,д) и ~п = V(s, д, и) в B9): ~д~ определяется соотноше-
соотношением A.144), а для Fполучается
v = и exp [-/«fe |^] = (^3/^2£I/3 = (9а»3а/9к2Г/3 ■ C2)
Второе равенство C2) следует из первого и связей B3) между РГ-
функциями, а третье - из второго и формул ренормировки параме-
параметров B2). Инвариантный заряд д~ в однопетлевом приближении B6)
имеет вид A.154) с д* = 2е/3а.
Формулы A.144) и C2) выражают инвариантные переменные ё =
{§i^} через ренормированные параметры е = {g,v} и масштабную
переменную s = k/fi: ё = ~ё(е, s) и обратно, е = е(ё, s). Иногда удобно
выразить ё через импульс к и затравочные параметры ео = {^о, ^о}
(возможность это сделать обосновывалась в п. 1.32). В нашем случае
с учетом характера зависимостей в соотношениях B2),A.144),C2) и
соображений размерности ясно, что док~2е = ^i(J), ^о = J^2(J) с
некоторыми, пока неизвестными, функциями jP1J. Подставляя в пер-
первое из этих соотношений выражение B2) для #о, получаем док~2е =
F\(g) = s~2s дЯд(д), откуда с учетом нормировки д~ = д при s = 1
находим jPi (g) = gZg(g). Аналогично из равенства uq = VFi (g~) и фор-
формулы ренормировки ио в B2) получим F2(g) = %v(g)- Таким образом,
искомые связи между инвариантными и затравочными переменными
имеют следующий вид:
док~2е = gZg(g) , щ = VZu{g) . C3)
Константу Ъд можно выразить через /?-функцию B3) соотношением
A.127), Ъи выражается через Zg последним равенством B2). По-
Поведение функции дЪд(д) показано графически на рис.2 в п.1.27, все
комментарии по этому поводу те же, как и для теории критического
поведения (п.1.27). В однопетлевом приближении Zg(g) = д*/{д* —д)
согласно A.128), отсюда для инвариантных переменных ё с помощью
соотношений C3) нетрудно получить следующие однопетлевые пред-
представления:
9=9* [l + 9*l9bk-2Tl , v = »о [1+9ок~2£/9*}1/3 , C4)
не содержащие ренормировочной массы /z.
668 Глава, 6. Стохастическая теория турбулентности
Рассмотрим теперь ИК-асимптотику k —t 0, w —>■ О, m —> 0 ренор-
мированных функций Грина при фиксированных параметрах д, u, fi
(что эквивалентно фиксации д0 и uq при учете формул ренормировки
B2)). Согласно общим правилам п. 1.33, для получения ведущих чле-
членов искомой асимптотики нужно просто заменить все инвариантные
переменные ё в РГ-представлениях типа B9),C1) их асимптотиче-
асимптотическими выражениями, которые мы будем обозначать через ё«. В на-
нашем случае Tj» = 9* = const - координата ИК-притягивающей фик-
фиксированной точки, а ~п+ - нетривиальная функция, которая легко на-
находится из соотношений C2):
v* = Уо^/дЛ2*}1'3 = (Do/9*I/3 k-2*'3 . C5)
Параметры до и i/0 в этом выражении группируются в полный ам-
амплитудный множитель Do = gov3 Функции накачки A6).
Для корреляторов D и Dst в таком режиме из РГ-представлений
B9),C1) получаем:
D = 77» k~d /(z.,«) , z. = u>/Vtk2 , /(z,«) = R(l,g*,z, u) , C6a)
D" = v\ k2~d /(«) , /(«) = R(l,g*,u) . C66)
Это обычные формулы критического скейлинга (п.1.33) с завися-
зависящими от е критическими размерностями AF ИК-существенных в
данном режиме величин, т.е. полей и переменных k,u,m при несу-
несущественных (фиксированных при растяжениях) параметрах д, v,fx.
"Приведенные скейлинговые функции" / в C6) (терминология
п.1.33) выражаются через соответствующие функции R, которые
можно вычислять практически только в форме рядов типа A.172)
по диаграммам ренормированного коррелятора B7) или C0). Под-
Подстановка таких рядов в определения C6) функций / приводит к е-
разложениям типа A.173), в данном случае,
оо оо
f(z,u) = £V /„(z,«) , /(«) = J>" /„(«) . C7)
п=1 п=1
В низшем (первом) порядке ренормированной теории возмущений
для модели A1) имеем:
D = \-1ш + иЩ2 ' D = 2 • C8)
п.5 ИК-скейлинг при фиксированных параметрах до и uq 669
Первое из этих соотношений получено подстановкой в соответству-
соответствующий затравочный коррелятор A3) функции A1) с последующей за-
заменой затравочных параметров базовыми (уо —)■ v, go —l gf*?s), a
второе — интегрированием первого по и> согласно C0). Из соотно-
соотношений C8) нетрудно найти первые члены рядов C7). Отметим, что
все коэффициенты /п этих рядов оказываются конечными в пределе
u = m/k —t 0 в согласии с гипотезой 1' Колмогорова (хотя это не
является ее доказательством, см. обсуждение этого вопроса в п.З).
В работах по теории турбулентности вместо статического корре-
коррелятора C0) часто рассматривают "спектр пульсационной энергии"
Е(к), связанный с функцией Dst(k) следующим простым соотноше-
соотношением:
Е{к) = Cd kd-x Dst(k)/2 C9)
с константой Cd из B5). Его РГ-представление получается автома-
автоматически из C1). В низшем порядке с помощью C8) находим:
Е(к) = CdgV2 к h{u)/A . D0)
Отсюда с учетом равенства д* = 2е/3а в приближении B6) для ИК-
асимптотики функции D0) получаем:
Е(к) ~ (CdA)J/3 [ e{d+ 2)/24] ^3 к1-4*'3 А(«) . D1)
При сужении на инерционный интервал и = т/к <§; 1 функция h(u)
во всех этих формулах переходит в /г@) = 1 согласно условию в A1).
Аналогичные C6) ИК-представления можно написать для любых
функций Грина. Систематический метод получения уравнений кри-
критического скейлинга и определения соответствующих критических
размерностей в динамике был изложен в п.5.16 (см. текст между
формулами E.106) и E.110)). Все различие лишь в том, что те-
теперь роль параметра А играет и. Общие уравнения критического
скейлинга имеют вид E.108) с a = m в данной модели, критическая
размерность частоты определяется соотношением E.109) с заменой
А —>■ v (что дает Аш = 2 — 7^), а размерности полей и параметра т
определяются соотношениями E.110). В эти формулы войдет вели-
величина */* = fu(g*), которая по виду /^-функции B3) находится точно
без вычисления диаграмм (это следствие связи между константами
Ъд и Ъ„ в B2)):
it = 2£/3 . D2)
670 Глава. 6. Стохастическая теория турбулентности
Из D2) и данных таблицы 35 по формулам E.110) и E.109) с \ -t u
получаются следующие точные (без поправок ~ е2 и выше) выраже-
выражения для критических размерностей:
Av, = l-2e/3, Av< = d-A4>, Аи = -At = 2-2е/3, Am = 1 D3)
с обычной нормировкой А/. = 1. При сопоставлении выражений
D3) с формулами C6) необходимо учитывать, что в координатном
представлении критическая размерность коррелятора равна простой
сумме размерностей входящих в него полей, а в импульсном
A[D(u>, k)} = 2Av-Aw-d, A[Dst(k)} = 2AV - d . D4)
Учитывая эти соотношения, легко проверить, что формулы C6) со-
соответствуют ИК-скейлингу с критическими размерностями D3).
Еще раз скажем, что выражения D3) являются точными, т.е. не
имеют никаких поправок порядка е2 или выше. При е = 2 критиче-
критические размерности D3) совпадают с колмогоровскими размерностями
(8), - это и считается основным достижением данной модели. Этот
результат был впервые получен в работе [186] и воспроизводился
впоследствии многими авторами.
Для безмассовой модели накачки A0) е = 2 является единственно
возможным "реальным", значением (п.З). Но для более реалистиче-
реалистической модели A1) или ее частного случая (9) ИК-накачке соответ-
соответствует вся область е > 2 (см. обсуждение в п.З). При е > 2 размер-
размерности D3) не совпадают с колмогоровскими, что может показаться
полным поражением РГ-теории турбулентности в ее попытках объ-
объяснить хотя бы частично (без гипотезы 1) колмогоровский скейлинг.
На самом деле это не так, решение проблемы излагается в следую-
следующем разделе.
п. 6 ИК-скейлинг при фиксированных параметрах W и
I/O- Независимость от вязкости и "замораживание" размер-
ностей при е > 2. Полученные в п.5 выражения D3) для крити-
критических размерностей соответствуют ИК-скейлингу при фиксирован-
фиксированных значениях до и i/0, или g,v,[i в ренормированных переменных.
Для моделей теории критического поведения задача именно так все-
всегда и ставится, поэтому формулы типа D3) являются там оконча-
окончательными ответами (но там ряды по е обычно не обрываются). В
теории Колмогорова - Обухова (п.2) постановка задачи иная, так
п.6 ИК-скейлинг при фиксированных W и uq 671
как здесь идет речь о скейлинге при фиксированных значениях па-
параметров W и 1/0- Мощность накачки W связана с параметром
Do = до^о = 5Я2г в A1)) A6) соотношением C), и для получения
окончательных ответов в терминах теории Колмогорова - Обухова
необходимо выразить до через W.
Чтобы это сделать, возьмем для определенности модель накачки
(9) и вычислим интеграл C) с обрезанием Л = (W/u3I!4. Это даст
[1871-.
w=
4B -е) |/ ' 1-е 1-е
D5)
с константой d из B5). Число Рейнольдса Re = (Л/отL'3 для раз-
развитой турбулентности очень велико, поэтому из D5) следует, что
г, з „г г»,л х ~ / ciWA при2>£>0, . .
D0 = 9о»3о = W Д(А, от, е) = | ^ т2е_4 при £ > 2 ( D6)
где ci = 4B — e)/Cd, c2 = ci(l — е). Определение точной функ-
функции Д(Л,от,£) в D6) очевидно из сопоставления с D5), в частности,
В(Л,от,2) = 2[Cd \n{h.jm)]~1 при е = 2. Простые приближения D6)
пригодны вне переходной области вблизи е = 2. Ее ширина неве-
невелика (порядка 1/lnRe), поэтому в дальнейшем будем считать при-
приближения D6) верными всюду вплоть до е = 2. Мы получили их
для конкретной модели (9), но представление D6) справедливо, оче-
очевидно, для любой модели типа A1): от выбора конкретной функции
h в A1) зависят лишь несущественные для дальнейшего значения
коэффициентов ci|2 в D6) и явный вид функции В(А, от,е) в узкой
переходной области вблизи е = 2.
Как уже говорилось, в теории Колмогорова - Обухова фиксиро-
фиксированными (и в этом смысле критически безразмерными) считаются
параметры i/0 и W, следовательно, и их функция Л = {W/vqIIa, то-
тогда как от - размерный параметр с Ат = 1. Из представления D6)
видно, что при 2 > е > 0 параметры Do и до в "колмогоровском ре-
режиме" критически безразмерны, а при е > 2 они приобретают крити-
критическую размерность 2е — 4 в силу соотношений Do ~ до ~ W от2е.
Таким образом, в колмогоровском режиме фиксированных vo и W
имеем:
при 2 > е > 0 ,
ПрИ£>2.
672 Глава 6. Стохастическая теория турбулентности
Выражения D3) для критических размерностей ДР были получены
в предположении безразмерности параметров до ~ Do, поэтому для
колмогоровского режима они справедливы только в области 2 > е > 0.
При е > 2 эти параметры приобретают нетривиальную размерность
D7), и ее учет в соотношениях C5) и C6а) приводит к изменению
AF —>• Ар критических размерностей частоты и поля ip:
A'u = Aw + Apo]/3 , А; = Av + A[D0}/3 . D8)
Отметим, что основную роль играет здесь изменение размерности
частоты, из-за которого изменяются и все прочие размерности со-
согласно общему правилу E.110). Из него следует, что при переходе
к колмогоровскому режиму связь D3) между размерностями полей ip
и <р' сохраняется (Av + Avi = A'v + A'v, = d), а размерность пара-
параметра m остается канонической. Размерность А^, определяется по
виду аргумента z* в C6а) с учетом соотношений C5) и D7).
Подставив в D8) выражения D3) и D7), нетрудно убедиться, что
в области е > 2 размерности D8) не зависят от е и совпадают с
их значениями при е = 2, т.е. с колмогоровскими размерностями
(8). В этом и состоит утверждение о "замораживании" размерно-
размерностей в колмогоровском режиме [187]. Оно согласуется с гипотезой
1 Колмогорова в том смысле, что размерности характеризуют по-
поведение функций Грина и в инерционном интервале, где не должно
быть зависимости от "деталей устройства накачки" (п.2), а выбор
конкретного значения е > 2 в области ИК-накачки может считаться
одной из таких "деталей".
Представление D6) позволяет доказать еще одно важное утвер-
утверждение, а именно, независимость ИК-асимптотик функций Грина в
колмогоровском режиме от коэффициента вязкости i/q в области ИК-
накачки е > 2. Действительно, из формул типа C6) следует, что
параметры до и i/q входят в ИК-асимптотику только через величину
V* из C5) и группируются в ней в комбинацию Da = до^о ■ ^ кол"
могоровском режиме при е > 2, согласно D6), имеем Do ~ Wm2s~4,
т.е. в этом случае в Do нет зависимости от uQ- Это и доказывает
сформулированное выше утверждение, т.е. гипотезу 2 Колмогорова
в области ИК-накачки е > 2 [187]. Отметим, что в области УФ-
накачки 2 > е > 0 эта гипотеза заведомо несправедлива, так как
здесь остается зависимость от коэффициента вязкости fo через па-
параметр Л = (W/i/qI'4 в D6). Отметим также, что из гипотезы 2
л. 7 Ренормировка составных операторов 673
автоматически вытекает наличие ИК-скейлинга с колмогоровскими
размерностями (8). Поэтому приведенный выше вывод формул D8)
фактически нужен лишь как пояснение механизма замораживалия
критических размерностей.
Таким образом, стандартный РГ-анализ в теории турбулентно-
турбулентности позволяет доказать гипотезу 2 Колмогорова и, как следствие,
наличие ИК-скейлинга с колмогоровскими размерностями (8) для
всей области (реалистической) ИК-накачки е > 2. Основной нере-
нерешенной проблемой является обоснование гипотезы 1 Колмогорова,
а в более широкой постановке - выяснение зависимости скейлинго-
вых функций в представлениях типа C6) от аргумента и = т/к.
Стандартным методом исследования таких проблем в теории крити-
критического поведения является техника SDE (п.4.14), опирающаяся на
теорию ренормировки составных операторов. Аналогичную технику
естественно пытаться использовать и в РГ-теории турбулентности.
п.7 Ренормировка составных операторов. Использование
уравнений Швингера и галилеевской инвариантности. Об-
Общая теория ренормировки составных операторов в критической ста-
статике подробно излагалась в гл.З. Все ее основные положения оста-
остаются справедливыми и для динамических моделей, если под "кано-
"канонической размерностью" dF во всех формулах гл.З понимать теперь
суммарную каноническую размерность E.87), а размерность про-
пространства d в соотношении C.152) заменить на d + dw с dw = 2 в
нашей модели:
dr = d+2--£ф<1ф--£„(<!+2 - dr) . D9)
Размерность dF = d[F] любого построенного из полей ф = ip,ip' и их
производных локального монома F равна сумме размерностей соста-
составляющих его полей и производных, т. е. величин
dv = l, dv,=d-l, d[8] = 1 , d[dt] = 2 E0)
согласно данным табл. 35 для нашей модели. Параметр е в E0) не
входит, поэтому в данной модели значения dF от е не зависят, а ве-
величина D9) совпадает с формальным индексом расходимости E.89)
для 1-неприводимой функции Г с любым числом полей ф и составных
операторов F. Напомним (п.3.23), что поверхностные расходимости
присутствуют лишь в тех функциях Г, для которых реальный индекс
674 Глава 6- Стохастическая теория турбулентности
расходимости C.153) (следовательно, и dp) -целое неотрицательное
число.
При обсуждении ренормировки составных операторов мы всегда
будем иметь в виду стандартную для теории критического поведе-
поведения постановку задачи с до = const (а не с W — const в колмогоров-
ском режиме) и стандартную схему вычитаний MS. В такой схеме
элементы матрицы смешивания Q в C.176) могут содержать лишь
целые степени параметра от2 (аналог г). В безмассовой модели A0)
смешиваться при ренормировке могут только мономы F; с одинако-
одинаковым значением dF, а в моделях типа A1) к ним могут примешиваться
и "младшие мономы" с размерностью dF — 2, dF — 4 и так далее
(п.3.28). Для d-мерной задачи с произвольным (например, иррацио-
иррациональным) значением d ввиду исключительности значения dvi — d — I
в E0) смешиваться при ренормировке могут лишь мономы с оди-
одинаковым числом полей ip'. С точки зрения физики основной интерес
представляют операторы без <р', всегда имеющие целочисленные раз-
размерности dP = 0,1,2,.... В целой размерности d = 3 (особый случай
d = 2 оставляем до п. 18) имеем dvi = 2, поэтому, в принципе, воз-
возможно смешивание мономов с разным числом полей <р'. Но и в этом
случае операторы с ip' обычно не подмешиваются к операторам без
ip' из-за того, что каждая внешняя линия ip' в диаграмме Г умень-
уменьшает на единицу ее реальный индекс расходимости C.153) согласно
A4).
Соответствующие данному классическому моному F неренорми-
рованный (F) и ренормированный (FR) составные операторы опре-
определяются соотношениями C.184) с<р—^фиХф = 1в нашей модели.
Матрица ренормировки ZF для замкнутого (п.3.28) семейства опера-
операторов F = {F{} и соответствующая матрица аномальных размерно-
размерностей 7f определяются соотношениями C.181),C.183) и D.31):
Fi = ЕЛ" Ркк , 7f = -Z-1^ ZF . E1)
Ввиду отсутствия ренормировки полей в данной модели из C.181)
следует, что Z = Q - матрица смешивания.
Уравнение критического скейлинга (п.4.7) для замкнутого семей-
семейства ренормированных операторов FR = {FiR} является аналогом
D.42) в динамическом варианте E.108), т.е. в нашем случае
[-Dx + AtVt + AmVm } FR(x) = AF FR(x) , E2)
п.7 Ренормировка, составных операторов 675
где А(>т - критические размерности D3), а АР - аналогичная E.110)
матрица критических размерностей системы операторов FR = {FiR}:
ДР = <+Aw< + 7; = ЙР-7Х+7;, (Аш=2-11). E3)
Равенство Аш = 2 —у* получено из E.109) с заменой А —>■ j/. Отме-
Отметим, что диагональные элементы матрицы E3) без учета 7р имеют
смысл суммы критических размерностей составляющих данный опе-
оператор полей и производных (А[д] = 1, A[dt] = Au), -у* = 7f(#*) ~
добавка от ренормировки операторов. Отметим также, что правило
E3) для AF справедливо не только для составных операторов, но и
для простых полей и параметров.
Определенными критическими размерностями обладают те ли-
линейные комбинации D.44) ренормированных операторов
FU = ZkUik.hu, E4)
для которых матрица D.45) (в данном случае с е = от) диагональна.
Ее диагональные элементы - критические размерности Af-F/jJ "ба-
"базисных операторов" E4). В безмассовой модели эти размерности
являются просто собственными значениями матрицы AF (подробнее
в п.4.7).
В дальнейшем будем считать, что все диагональные элементы
Цц матрицы U в E4) равны единице. Это дополнительное условие
устраняет произвол (п.4.7) в определении матрицы U при отсутствии
случайного вырождения. Тогда соответствие F{ —>■ F-R однозначно,
что позволяет ввести понятие ассоциированного с данным Fi базис-
базисного оператора F-R и соответствующей ассоциированной критиче-
критической размерности:
Aas[F{} = A[FU} . E5)
Этот удобный термин будет часто использоваться в дальнейшем.
Информацию о ренормировке составных операторов можно ино-
иногда получать без вычисления диаграмм с помощью уравнений Швин-
гера (п.3.29) и тождеств Уорда для галилеевых преобразований. В
частности, из соотношений C.187) и C.188) имеем:
x) » = -AL,(x) , E6a)
676 Глава 6. Стохастическая теория турбулентности
х) » = -А^(х) 6WH(A)/6Ai(p(x) , E66)
где 5R(<^) - ренормированное действие B1), А(х) - соответствую-
соответствующие источники в линейной форме Аф = A'v<pi + А^,(р\. Напомним
(см. текст после формулы E.26) в п.5.3), что источник Av' можно
интерпретировать как "неслучайную внешнюю силу".
Правые части равенств E6) УФ-конечны (п.3.29) и имеют опреде-
определенные критические размерности (п.4.11). Поэтому такими же свой-
свойствами должны обладать и составные операторы под знаком <С ... 3>
в левых частях равенств E6): это УФ-конечные операторы с опре-
определенными и притом известными (по виду правых частей) критиче-
критическими размерностями. Отсюда можно также получить информацию
о матрицах ренормировки ZF содержащихся в данных операторах
локальных мономов (подробнее в п.8). Отметим, что при обобще-
обобщении "теневых соотношений" типа A.46), D.51) на динамику в них
нужно сделать замену d —t d+ du для канонических размерностей и
d —>■ d -f Лш для критических.
Полезную информацию о ренормировке составных операторов
можно также получать с помощью тождеств Уорда для галилеевых
преобразований ф(х) -ь фу(х) с произвольной переменной скоростью
v = {v;(t)}, достаточно хорошо убывающей при \t\ —>■ оо:
<Ру(х) = <p(x4)-v(t) , ip'v{x) = <р'(ху) ,
х = (*,х) , xv = (t,x + «(<)) , u(t) = J dt' v(t') . f E7)
-oo
Строгой галилеевой инвариантностью будем называть равенства
типа Н(ф) = Н(фу) для функционалов и F(x;<f>v) = F(xv;<f>) для со-
составных операторов, если они выполняются для произвольного пре-
преобразования E7), а просто галилеевой инвариантностью - те же
свойства, но выполняющиеся только для обычных преобразований с
v = const, и = vt. Например, функционал B1) инвариантен, но не
строго, так как для него 5r(<^v) =<Sii(^)+^'dtV. Инвариантность для
составных операторов означает, что преобразование полей E7) при-
приводит лишь к изменению аргумента х без появления кратных v, 9jVh
т.п. добавок. Строго инвариантными являются лишь операторы, по-
построенные из строго инвариантных сомножителей ip', dip и их кова-
риантных (д и Vt) производных, например, dip-dtp, ip'd2ip,
л. 7 Ренормировка составных операторов 677
Сомножитель V^y? инвариантен, но не строго, а "сомножители" <р и
dt неинвариантны.
В компактных обозначениях F(x;<j)) = F(x), Р(х;фу) = Fv(x) в
общем случае имеем:
Fv{x) = i?(arv) + X)v*i?*(arv) + --- , E8)
где многоточие обозначает возможные вклады с dtv. Нарушающая
галилееву инвариантность добавка в E8) - некоторый полином по
скорости v(t) и ее производным, коэффициенты Fk - локальные опе-
операторы меньшей (сравнительно с F) размерности, у них подразу-
подразумеваются векторные индексы, которые сворачиваются с индексами
множителей v. Для любого конкретного оператора jP нетрудно на-
написать полное выражение E8), в нем всегда будет конечное число
слагаемых.
В работе [188] с помощью тождеств Уорда показано, что операция
ренормировки F —>■ [F]R C.155) стандартной схемы MS перестано-
перестановочна с преобразованием E7):
(№)k)v = [Fy(x)]K = №v)]R + £v*[i^v)]R + ... , E9а)
k>i
(контрчлены F(x))v = контрчлены (Fv(x)) . E9б)
Второе равенство E9) следует из первого и определения C.155) ре-
нормированного оператора: [F]R = F + контрчлены F.
Из соотношений E9) можно сразу получить несколько полезных
следствий:
1. Для любого (строго) галилеево-инвариантного оператора jP со-
соответствующий ренормированный оператор [jP]r и сумма всех контр-
контрчленов также (строго) инвариантны. Таким образом, ассоцииро-
ассоциированные с галилеево-инвариантными операторами критические раз-
размерности E5) полностью определяются смешиванием инвариантных
операторов только между собой: к инвариантным операторам неин-
неинвариантные примешиваться при ренормировке не могут.
2. Если jP неинвариантен, но нарушающие галилееву инвариант-
инвариантность вклады в Fv УФ-конечны, то все его контрчлены инвариантны,
т.е. [F]R = F + инвариантные контрчлены (пример: jP = <рд2<р, для
него Fv = F — vd2<p, добавка —vd2tp УФ-конечна).
678 Глава 6. Стохастическая теория турбулентности
3. Оператор типа <р" (векторные индексы свободные или с лю-
любыми свертками) не может примешиваться при ренормировке ни к
самому себе, ни к какому другому оператору F той же размерности
dp = п. Действительно, если в контрчленах F есть <рп, то в левой
части равенства E96) обязательно будет вклад ~ v". Но в правой
части этого равенства такого вклада быть не может: при dF = п
оператор F содержит не более чем п полей ip, и если их меньше п,
то в Fv заведомо нет вклада ~ v", а если F = <р", то вклад ~ vn
в Fv присутствует, но исчезает при отборе контрчленов в силу УФ-
конечности. Полученное противоречие доказывает искомое утвер-
утверждение. Из него следует, что ассоциированная с оператором типа <рп
критическая размерность E5) не имеет поправок от7р, т.е. является
простой суммой критических размерностей сомножителей [187]:
Aaa[pn] = nAv = мA-2е/3) F0)
согласно D3).
Из процедуры вывода соотношения F0) видно, что оно объяс-
объясняется "исключительностью" монома <р" в системе всех мономов с
данным dv = п: в преобразовании E8) для F = ip" присутствует
УФ-конечный вклад ~ v", который не может порождаться ника-
никаким другим мономом F с той же размерностью dF = п. Поэтому
доказательство обобщается непосредственно и на любые другие ис-
исключительные в том же смысле мономы F: если в Fv для данного F
присутствует УФ-конечный вклад, который не может порождаться
никаким другим мономом с той же размерностью dF, то данный мо-
моном F не может быть контрчленом, т.е. не может примешиваться
при ренормировке ни к одному из мономов с тем же dF, в том числе
и к самому себе. Если данный моном F выбран в качестве одного
из элементов неренормированного базиса, то соответствующие ма-
матрицы ZP и Ар будут блочно-треугольными с ZPP = 1 на диагонали
для данного оператора. Поэтому ассоциированная с ним критическая
размерность E5) будет равна простой сумме критических размерно-
размерностей сомножителей.
Примером такого исключительного оператора может послужить
любой моном F, построенный из р символов dt и п множителей
<р (условно F = Sfv5") c конкретным набором (свободных или со
свертками) векторных индексов. Для него в Fv присутствует ис-
п.8 Ренормировка операторов в тензоре энергии-импульса 679
ключительный вклад ~ Sfv", поэтому [189]:
= мA - 2е/3) + рB - 2е/3) . F1)
Вместо д%<р" в качестве элементов неренормированного базиса с рав-
равным правом можно выбрать полиномы, получаемые заменой символа
dt на ковариантную производную V( (что более удобно из соображе-
соображений галилеевой симметрии). Правило F1) останется справедливым
и для таких операторов. Отметим, что критические размерности
D3) двух слагаемых операции V( = dt + (fd) одинаковы и равны
Из сказанного выше следует, что равенства F0),F1) являются
частными случаями следующего общего соотношения:
Д°* [исключительного F] = J2 А [сомножителей F] , F2)
вытекающего из E9). Общее правило F2) имеет и другие приложе-
приложения, например, для обсуждавшихся в [186] операторов jP = y?'(Vty?)",
которые также являются исключительными.
В заключение добавим, что в общем случае подстановкой E1) в
E9) можно получать связи между матрицами ZF исходной системы
операторов jP и аналогичными матрицами для более простой си-
системы операторов меньшей размерности Fk в E8).
п.8 Ренормировка составных операторов в законах сохра-
нения энергии и импульса. Соотношения E6), переписанные в
форме B.109), эквивалентны следующим равенствам для составных
операторов (случайных величин), выражающим законы сохранения
энергии и импульса [190]:
Ъ<р{ + д,Пи = Disft+A^ , F3a)
8tE + 8^ = Wdis + $iDis£s + щА%, , F36)
где D - коррелятор B) для действия B1) и
П,-, = p8iS + <рцр$ - vo(di<ps + dsipi) , F4a)
Si = рщ - vaipa{di<ps + д,щ) + y?i¥?2/2 , F46)
diips -ds<pi) F4b)
680 Глава 6. Стохастическая теория турбулентности
с i/a = vZv согласно B2) (при этом в B1) gi/3fi2e = до^о = А))- Вклад
с нелокальным составным оператором
р = -d-2[dids{9i9s)}, F5)
имеющим смысл давления, появился в F3) потому, что ввиду попе-
речности поля <р' результат формального дифференцирования функ-
функционала B1) по <р' в E6) нужно свернуть с поперечным проектором
is i$ i $f •
Соотношения F3) выражают законы сохранения энергии и им-
импульса (все величины в расчете на единицу массы): tpf - плотность
импульса, Е = <р2/2 - плотность энергии, П,-, - тензор напряжений,
S{ - вектор плотности потока энергии, Wdis - скорость диссипации
энергии, правые части соотношений F3) содержат вклад "неслучай-
"неслучайной внешней силы" Av/ и вклад случайной силы с ее коррелятором
B). Подчеркнем, что F3) - равенства самих случайных величин
(что указано явно знаком "Л"), а не просто их средних значений.
Приведенное в C) выражение для мощности накачки энергии W
получается усреднением соответствующего вклада в F36):
W = < фОф' > = fdx' Dis(x,x') < ipi(x)<p's{x') > . F6)
Учитывая E-образность по времени коррелятора B) и его симметрич-
симметричность по t,t', функцию отклика < (рф' > в F6) нужно доопределить
при t = t' полусуммой пределов E.31) (с дополнительным попереч-
поперечным проектором по векторным индексам), что и приведет при под-
подстановке в F6) к соотношению C).
Корреляционные функции составных операторов, в принципе, из-
измеримы экспериментально, причем реальными наблюдаемыми явля-
являются конструкции типа F4), построенные из неренормированных
мономов и затравочных параметров. В частности, есть экспери-
экспериментальные данные о статическом парном корреляторе оператора
диссипации F4в), свидетельствующие о наличии ИК-скейлинга с
критической размерностью Д[И^] = 0 в колмогоровском режиме
(подробнее в п. 12). Эта размерность очень сильно отличается от
канонического значения rf[PVdis] = 4, что должно быть результатом
порождаемой ренормировкой "аномалии" типа вкладов порядка е в
D3) от аномальной размерности -у*.
п.8 Ренормировка, операторов в тензоре энергии-импульса 681
Первый вопрос, который возникает при теоретическом исследо-
исследовании операторов типа F4), состоит в том, имеет ли вообще дан-
данный оператор F определенную критическую размерность A[F]? Во-
Вопрос нетривиален, так как определенными размерностями обладают
только базисные операторы E4), а неренормированные операторы F
и их ренормированные аналоги FH являются в общем случае неко-
некоторыми линейными комбинациями операторов E4) с разными кри-
критическими размерностями. Поэтому любой конкретный оператор F,
за редкими исключениями, вообще нельзя рассматривать отдельно:
для разложения его по базису E4) последний необходимо сначала
построить, а для этого необходимо проанализировать ренормировку
всей той замкнутой системы операторов, в которую входит исходный
F.
Такой анализ для всех входящих в F4) мономов был выполнен
в работе [190] в схеме MS для безмассовой модели A0). Отметим,
что "безмассовость" устраняет примеси младших операторов к стар-
старшим, но не искажает критические размерности последних, поскольку
они однозначно определяются блоком "старшие - старшие" (п.4.7).
В работе [190] показано, что все операторы в F3) УФ-конечны и
имеют определенные критические размерности, равные
pi] = A[dsUis] = А[А%,} = Д„ + Аш = 3 - 4е/3 F7а)
для слагаемых F3а) и
A[dtE] = A[diSi] = A[Wdis] = 2Д,, + Дш=4-2е F76)
для слагаемых F36). При этом сами операторы Е — <р2/2 и П,-4
УФ-конечны и имеют размерности
А[Е] = А[ПЬ] = 2Д^ = 2 - 4е/3 , F8)
а определенный соотношением F46) вектор плотности потока энер-
энергии Si есть сумма УФ-конечного вклада с размерностью 3 — 2е и
добавки ad2ifi с другой размерностью 2 + Av = 3 — 2е/3 и УФ-
расходящимся коэффициентом а. Ввиду поперечности этой добавки
она не дает вклада в уравнение F36) и поэтому может быть просто
отброшена, что сводится к физически допустимому переопределению
плотности потока энергии S;.
682 Глава 6. Стохастическая теория турбулентности
Поясним на этом примере технику работы с составными операто-
операторами. Начнем со скаляра F(x) = <р2{х) = 2Е(х) с dF = 2. В безмассо-
безмассовой модели нет других скаляров с dF = 2, к себе он примешиваться не
может (следствие 3 соотношений E9)), поэтому данный оператор не
ренормируется (т.е. в C.155) [F]H = F, а.в C.184) F = FR ввиду от-
отсутствия ренормировки полей) и имеет определенную критическую
размерность A[F] = 2AV в соответствии с правилом F0).
Рассмотрим теперь уравнение F3а). В нем заведомо УФ-конечны
и поэтому не ренормируются все вклады, кроме dsllis, следовательно,
этот вклад также должен быть УФ-конечным. Поскольку ренорми-
ренормировка любого оператора типа 8F осуществляется ренормировкой са-
самого F (п.3.24), достаточно рассмотреть 3x3 матрицу ренормировки
E1) для трех входящих в F4а) симметричных тензорных операторов
с dF = 2:
Fi = dnps + д3<р{ , F2 = <pi<fs , F3 = p 6is . F9)
Последний нелокален, но нужен, поскольку он входит в F4а). Со-
Согласно общему правилу локальности контрчленов (гл.З), нелокаль-
нелокальные операторы типа .Рз в F9) контрчленами быть не могут, т.е. не
могут примешиваться при ренормировке ни к каким другим операто-
операторам, в том числе и к самим себе (но к нелокальным операторам могут
примешиваться локальные). По размерности и индексной структуре
в F9) допустим и оператор (р28{„, но он не ренормируется (см. выше)
и к другим операторам F9) не примешивается (следствие 3 соотно-
соотношений E9)), поэтому полностью отщепляется.
В системе F9) кратный простому полю <р оператор Fi не ренор-
ренормируется (т.е. F\ = -Fir, что влечет равенства 2ц = 1, Zi2 = Z13 = 0
для элементов Z,fc = Zpfc матрицы ZF в E1)), а для операторов -Р2|з
имеем: F2 = Z2iFlR + Z22-F2r, F3 = Z31FlR + Z32F2R + F3r (нело-
(нелокальный оператор .Рз в контрчлены не входит). Константы Z в
этих соотношениях связаны между собой, поскольку из F5) и F9)
имеем .Рз = — Р"-Р2 с точностью до £,-,, что влечет равенство F3r =
—P^F2r, так как внешние множители типа продольного проектора
рД = д{да/д2 не влияют на ренормировку (п.3.24). Отсюда полу-
получаем: F3j= Z3iFir+Z32^2r+^3R = -P11^ = -Р11 [Z2iFir+Z22F2r] =
—Z22PH.P2R = Z22.P3r, поскольку вклад F\K под знаком Р" исчезает
ввиду поперечности поля (р. Приравнивая коэффициенты при опера-
операторах -Р,в в полученном равенстве, находим Z31 = Z32 = 0, Z22 = 1.
п. 8 Ренормировка, операторов в тензоре энергии-импульса.
683
Остающийся пока неизвестным элемент Z21 можно найти из требо-
требования УФ-конечности (см. выше) дивергенции дП = д [F3 + F2 —
vZvF{\ = д [F3r + Z21-F1R + F2R - uZvFlR]. Три оператора dFiR не-
независимы, поэтому коэффициент при каждом из них должен быть
УФ-конечным, следовательно, он должен совпадать со своей "УФ-
конечной частью" (п.4.7). Для коэффициента при dF\R отсюда по-
получаем Z2i — vZv = —v, т.е. Z21 = v [Zu — 1]. Мы учли, что в схеме
MS константы типа Zv и диагональные элементы любой матрицы ZF
имеют вид A.104), так что их "УФ-конечная часть" равна единице,
а все недиагональные элементы ZF состоят только из полюсов по е,
поэтому УФ-конечной части не имеют.
Таким образом, для системы F9) матрицы ZF и 7f в E1) можно
найти полностью без вычисления диаграмм:
zF =
i/(Z
1
V
0
1),
1
о,
1,
о,
0
0
1
7f =
0
о
о, о
о, о
0 , 0
G0)
с РГ-функцией -fv из B3). Затем по известным (см. табл. 35 в п.4)
каноническим размерностям dF = 2,2, 2 и dF = 1,2, 2 операторов F9)
строится матрица критических размерностей E3) и диагонализую-
щая ее матрица U в E4):
2-70,
0 ,
0
2-
0
2-
, и =
1
-V
0
, o,
, 1,
, o,
0
0
1
, G1)
где -у* — 1е)Ъ согласно D2). Ввиду треугольности матрицы AF
искомыми критическими размерностями являются в данном случае
ее диагональные элементы, и этими размерностями обладают со-
соответствующие базисные операторы E4), т.е. F[R = Fia, F^r =
^2r — "^ir, ^3r = ^3r в нашем случае. Представленный первона-
первоначально через неренормированные операторы F9) тензор F4а) можно
выразить с помощью соотношения E1) с известной из G0) матрицей
ZF через рено]эмированные операторы, а затем - через базисные опе-
операторы E4): П = Fz+h-vZvFy = Fsr+^-I^ir+^r-^Fir =
F2R + FlR. В ответ вошли два оператора F(R с одинаковой (см. выше)
критической размерностью A[F] = 2 — 27^ = 2 — 4е/3.
684 Глава 6. Стохастическая теория турбулентности
Мы привели подробный анализ ренормировки сравнительно про-
простой системы F9) в качестве примера, более сложные системы рас-
рассматриваются аналогично [190]. Для анализа вектора F46) нужно
исследовать замкнутую систему из следующих шести векторных опе-
операторов с dF — 3;
F = {Ъп, в2?;, дцр2, да{<рт), <f\i, P9i) , G2)
аналогичная система для скаляров в F36) состоит из семи операто-
операторов с dF = 4:
F = {dtp2, «9V, U0.(vw). ft(w^), ^V, V4, diipn) } . G3)
По размерности к системе G3) следовало бы добавить нелокальный
оператор (pD<p' из F36), а в частном случае d = 3 - еще и опера-
оператор <p'tp', имеющий при d = 3 ту же размерность dF = 4. Но эти
два оператора не ренормируются и не примешиваются к операторам
системы G3) [159], поэтому их можно не учитывать.
В работе [190] показано, что с помощью уравнений Швингера и
тождеств Уорда для галилеевых преобразований 6x6 матрицу ре-
ренормировки ZF для системы G2) можно найти с точностью до двух,
а аналогичную 7x7 матрицу для системы G3) - с точностью до
трех остающихся неизвестными матричных элементов. Все прочие
нетривиальные элементы этих матриц выражаются через константу
Ъц. Важно, что остающиеся неизвестными матричные элементы ZF
не влияют на критические размерности и несущественны при ана-
анализе вкладов в уравнении F36) в терминах ренормированных опера-
операторов. Искомые критические размерности базисных операторов E4)
для системы G2) оказываются равными 3 — у*, 3 — 2у1 (трехкратно
вырождено) и 3 — 3-у* (двукратно вырождено), а для семейства G3)
получается 4 — 27^ (двукратно), 4 — 3*/* (четырехкратно) и 4 — 47^ с
7* из D2) [190].
С точки зрения эксперимента (подробнее в п. 12) наибольший ин-
интерес в F3) представляет оператор диссипации F4в). Он явля-
является строго галилеево-инвариантным и представляется в виде неко-
некоторой линейной комбинации неренормированных операторов F{ для
системы G3) (нумерация F{ в порядке следования в G3)), а после
ренормировки сводится к одному из базисных операторов E4) для
п.9 исследование асимптотики m —>■ 0 с ломощью SDi? 685
этой системы [190]:
Wdis = uo[F5 -F3- Л/] [5R fan. Л*/] ^R ,
— G4)
A[W«.] = 4 - 2е .
При "реальном" для безмассовой модели (п.З) значении е = 2 имеем
A[W*"*] = 0, что согласуется с экспериментальными данными для
статического парного коррелятора оператора диссипации (см. соот-
соотношения A00) и их обсуждение в п.12).
п.9 Исследование асимптотики т->0 скейлинговых функ-
функций парного коррелятора скорости с помощью SDE. РГ-пред-
ставления C6) с F» из C5) описывают ведущие вклады ИК-асимпто-
тики А; —>■ 0, от ~ k —t 0, ш~ кА" —>■ 0 парного коррелятора скорости
(динамического и статического) модели B1) при произвольном фик-
фиксированном значении параметра и = т/к. Инерционному интервалу
соответствует дополнительное условие и = от/к < 1, и нас инте-
интересует зависимость корреляторов от от именно в этой области для
колмогоровского режима с W = const (п. 6).
Согласно гипотезе 1 Колмогорова (п.2), статический коррелятор
в этой области не должен зависеть от т, т.е. выражение C66) в
таком режиме должно иметь конечный предел при от —>■ 0- Из C5)
и C66) тогда следует, что в комбинации DQ f(u) с Z?o из D6) при
и = т/к —>■ 0 должна исчезать зависимость от т, поэтому скейлин-
говая функция f(u) статического коррелятора C66) должна иметь
следующие асимптотики:
fl-Л / const = Я°) при 2 > е > 0 , , ,
f{u) u^o \ const - и4B-)/з при е > 2 G5)
Строго говоря, вся теория Колмогорова относится лишь к случаю
реалистической ИК-накачки е > 2. Соотношение G5) для 2 > е > 0
следует рассматривать как естественное обобщение гипотезы 1 на
область УФ-накачки [187].
Необходимо подчеркнуть, что явный вид определенных через R
в C6) скейлинговых функций f(z,u) и f(u) не зависит от выбора
асимптотического режима ("колмогоровский" с W — const или "обыч-
"обычный критический" с до — const). Зависимость от этого выбора вхо-
входит в выражения C6) только через общие множители F, и вид ар-
аргумента zf» в C6а) из-за изменения смысла параметра Dq в C5): для
686 Глава 6. Стохастическая теория турбулентности
обычного критического режима Do = const, а для колмогоровского
эта величина определяется соотношениями D6). Поэтому вытека-
вытекающее из гипотезы 1 утверждение G5) об асимптотике f(u) должно
быть ее объективным (и подлежащим доказательству) свойством, не
зависящим от выбора режима, так что его можно выбирать произ-
произвольно при исследовании функции f(u). Всюду в дальнейшем при
обсуждении этих вопросов мы будем иметь в виду обычный крити-
критический режим с да — const, так как именно он более удобен при ис-
использовании техники SDE (см. ниже). В таком режиме критические
размерности основных величин определяются соотношениями D3)
при любом е > 0. Отметим также, что все изложение техники ре-
ренормировки составных операторов в п.п.7,8 соответствовало именно
этому режиму с д0 = const, стандартному для теории критического
поведения. В принципе, нетрудно проконтролировать, как изменя-
изменяются критические размерности составных операторов при переходе
от обычного режима (до = const) к колмогоровскому (W = const).
Но это нам не понадобится, и мы не будем на этом останавливаться,
отсылая читателя за более подробными сведениями к работе [191] и
книге [183].
Как уже говорилось, в теории критического поведения стандарт-
стандартным методом исследования асимптотики скеилинговых функций при
г —>■ 0 (г - аналог от2) является использование техники SDE, эти во-
вопросы подробно обсуждались в п.4.14. Аналогом SDE-соотношения
C.217) в динамике можно считать следующее формальное (с беско-
бесконечным суммированием и без учета остаточного члена — см. по этому
поводу замечание в конце п.3.33) представление:
£(*0£Ы = EF BF(x,m2) К(х') , G6)
в котором х = xi — Х2, х' = (х\ + Х2)/2. Индекс V у полей !р
в левой части G6) опущен ввиду отсутствия ренормировки полей в
нашей модели. Напомним (п.3-33), что соотношения типа G6) опи-
описывают асимптотику х —>■ 0 при фиксированном значении х', в дина-
динамике х = (t,x) и х' = B',х'). Суммирование в G6) производится по
различным локальным составным операторам jP (точнее ниже), F^ —
ассоциированные с jP базисные операторы E4) с определенными кри-
критическими размерностями ДР, BF - соответствующие УФ-конечные
коэффициенты Вильсона. Для обычного критического режима (#0 =
п.9 Исследование асимптотики тчОс помощью SDE 687
const) с фиксированными значениями ренормированных переменных
g, v, fi величины JBF в схеме MS представляются в форме рядов по д
с регулярными по т2 (аналог т) коэффициентами (п.3.33). Именно
это свойство регулярности по т2 является основным преимуществом
выбора обычного критического режима: в колмогоровском режиме
(W = const) при е > 2 в коэффициентах BF появилась бы нетриви-
нетривиальная неаналитическая зависимость от m через параметры д(т) и
i/(m) в силу соотношений B2) и D6).
Согласно общим принципам построения разложений типа G6)
(п.3.33), в его правую часть в общем случае входят все те операторы
jP, которые могут примешиваться при ренормировке к локальным
мономам, присутствующим в формальном тэйлоровском разложении
по х левой части G6). Последние строятся только из полей <р и
их производных, поэтому в общем случае произвольной размерности
d > 2 к ним не могут примешиваться операторы с полями <р' (п. 7).
Таким образом, можно считать, что в SDE-представление G6) вхо-
входят лишь построенные из полей у? и их производных операторы F
без полей ip'.
Динамический коррелятор получается усреднением равенства G6):
< Цхх)Цх2) > = Ер BF(x,m2) < F^(x') > . G7)
Средние значения локальных операторов < F^(x') > не зависят от
х' в силу трансляционной инвариантности. Их ведущие вклады в
ИК-асимптотике т —>■ 0 представляются аналогичным D.104) соот-
соотношением:
< F^(x') > = const ■ тЛр , G8)
где AF - критическая размерность данного оператора (в G8) учтено
равенство Ат = 1). Подстановка G8) в G7) приводит к аналогич-
аналогичному D.105) соотношению
< £(*i)£M > = Е~=о Ер <W ■ ™2п+Др , G9)
определяющему зависимость динамического коррелятора от параме-
параметра т.
В обычном критическом режиме, который сейчас и имеется в
виду, зависимость от т входит в корреляторы C6) только через
688 Глава 6. Стохастическая теория турбулентности
аргумент и = т/к. Поэтому соотношение G9) определяет асимпто-
асимптотику и —ь 0 скейлинговых функций / в C6):
(so)
с измененными коэффициентами cnF. Многоточие в (80) обозначает
прочие аргументы скейлинговой функции, например, аргумент z для
динамического коррелятора.
В разложение G6) входят всевозможные локальные операторы,
построенные из полей у? и их производных, в том числе и тензорные,
тогда у F^ и В? подразумеваются соответствующие индексы, кото-
которые сворачиваются между собой. Кроме этого, в G6) присутствуют
два свободных векторных индекса полей ip. Поскольку структура
корреляторов C6) по этим индексам известна (поперечный проек-
проектор), при вычислении скейлинговых функций данные индексы можно
свернуть, и тогда все вклады в правой части G6) станут скаляр-
скалярными.
В коррелятор G7) дают вклад только те операторы F^, для ко-
которых средние значения G8) отличны от нуля. Тем самым сразу
исключаются все операторы типа dF с внешними производными д,
средние значения которых равны'нулю в силу трансляционной ин-
инвариантности. По той же причине исключаются все отличные от
скаляров неприводимые тензорные операторы (из-за трансляционной
инвариантности средние значения G8) могут зависеть от векторных
индексов только через символы Sik и поэтому не могут быть непри-
неприводимыми) .
Таким образом, в терминах неприводимых представлений в со-
соотношение (80) для скейлинговых функций корреляторов C6) могут
давать вклад только скалярные операторы F без внешних производ-
производных д.
Еще более серьезные ограничения на операторы F в G6) воз-
возникают при переходе к статическому коррелятору C66). В работе
[192] показано, что свернутое по индексам выражение <pi(xi)ipi(x2) —
[y?2(a;i)]R/2 — [^2(a;2)]R/2 при t\ = t2 является строго галилеево -
инвариантным объектом и в его SDE-представление G6) дают вклад
только строго галилеево-инвариантные операторы F. После усред-
усреднения < ... > вычитаемые члены ~ < [y?2(a;)]R > становятся не
п.9 Исследование асимптотики m->Oc помощью SDE 689
зависящими от координат константами, представляющими первый
член в правой части соотношения G):
<!р(х1Щх2)> |tl=t3 = const + £ 5F(x,m2) <^(ar')> • (81)
строго
гал.инв.р
При переходе к импульсному представлению C66) константу в пра-
правой части (81) можно отбросить (формально ей соответствует вклад
~ S(k), исчезающий при к ф 0). Поэтому для скейлинговой функ-
функции f(u) статического коррелятора C66) из соотношений (80) и (81)
имеем:
/(«) =0 £n=o £ cnF ■ и^* (82)
"-*•" строго
гал.инв.р
с суммированием по всем строго галилеево-инвариантным скаляр-
скалярным операторам с отличными от нуля средними G8).
В рамках е-разложения AF = dF + О(е), поэтому операторы F
естественно классифицируются по величине dF. Для скалярных опе-
операторов без <р' имеем (п.7) dv = 0,2,4,... (скаляров с нечетным dF
не существует). Простейшим из них является F = 1 с dF = 0, затем
следуют операторы с dv = 2, dF = 4 и так далее.
При переходе к SDE-представлению (82) скейлинговой функции
статического коррелятора остаются вклады только строго галилеево-
инвариантных скаляров без внешних производных. В низших раз-
размерностях таких операторов немного: это тривиальный оператор
F = 1 с dv — 0, инвариантных скаляров с dF = 2 вообще не суще-
существует, а в классе скаляров с dF = 4 строго галилеево-инвариантным
является только оператор диссипации F4в) с точно известной из
F76) размерностью AF — А — 1е. В классе галилеево-инвариантных
скаляров без внешних производных с dF = 6 есть лишь два незави-
независимых оператора, а именно,
ттт ^^ д д д гр ^^ д2 д2 /'о.о\
J71 ^^ (/,* (^jU • Gi *P * * t/jt ^ * -ь^ ~"~ С/ ^2 * С/ у?» • i О О I
Все прочие инвариантные скаляры с той же размерностью dF = 6
сводятся к линейным комбинациям операторов (83) с точностью до
(несущественных в (82)) вкладов с внешними производными д. Рас-
Расчет ассоциированных с операторами (83) критических размерностей
690 Глава б. Стохастическая теория турбулентности
А,- был выполнен в работе [189], где было получено
Ai = 6-2е, А2 = 6-8е/7+О(е2) . (84)
Первое из этих значений точное, а второе - результат однопетлевого
приближения. Для дальнейшего важно, что на границе е = 2 области
ИК-накачки обе размерности (84) положительны.
Из сказанного выше для скейлинговой функции статического кор-
коррелятора вытекает аналогичное D.107) представление
f(u) = С1+С2и2+СзиЧС4и4~2£+С5и6+С6иА1+С7иА>+... , (85)
где А,' - размерности (84), а многоточие обозначает вклады порядка
Us+O(e) и выше Коэффициенты С,- в (85) можно вычислять в форме
е-разложений точно так же, как это делалось в п.4.14 (отметим, что
в нашей модели B1) все е-разложения С, начинаются с вкладов по-
порядка е или выше).
В теории критического поведения (п.4.14) исследование аналогич-
аналогичной асимптотики т —>■ 0 на этом этапе и заканчивается, так как там,
во-первых, нет причин сомневаться в положительности всех показа-
показателей степеней в соотношениях типа (80),(82), во-вторых, нет воз-
возможности достоверно судить об их знаках, зная практически лишь
начальные отрезки (не обрывающихся) е-разложений.
В теории турбулентности ситуация иная, в частности, потому,
что здесь критические размерности некоторых составных операто-
операторов можно найти точно и видно, что с ростом е они становятся от-
отрицательными. Операторы с размерностями AF < 0 и их вклады в
SDE будем называть опасными. Таким операторам соответствуют в
(80),(82) вклады с отрицательными степенями параметра и = т/к,
расходящиеся при т —>■ 0.
Из соотношений F0) и F1) следует, что все операторы типа <рп
становятся опасными при е > 3/2, а операторы типа Щ<рп - при
е > 3Bр + »)/2(р + п) = ео, граница ео при 2р < п также нахо-
находится еще в области УФ-накачки е < 2. Все эти операторы не явля-
являются строго галилеево-инвариантными даже после замены dt —> Vt
(п.7), поэтому не могут давать вкладов в представление (82) для ста-
статического коррелятора. Первый нетривиальный вклад в (82) поро-
порождается строго инвариантным оператором диссипации F4в) с точно
п.9 Исследование асимптотики m —> 0 с помощью SDE 691
известной из F76) критической размерностью AF = 4 — 2е, кото-
который становится опасным при переходе через границу области ИК-
накачки е — 2. С ростом е будут появляться новые опасные опера-
операторы, например, F\ из (83) с Ai из (84) станет опасным при е > 3.
В работе [193] было высказано (но не доказано строго) предположе-
предположение, что аналогичное F0) равенство выполняется и для оператора
диссипации F4в), и тогда все его степени при е > 2 являются опас-
опасными операторами. Но это предположение [193] неправдоподобно,
если судить по результатам работы [194], в которой среди прочего
показано, что квадрат оператора диссипации обязательно смешива-
смешивается при ренормировке с другими операторами той же канонической
размерности.
Согласно G5), в области УФ-накачки 2 > е > 0 скейлинговая
функция статического коррелятора f(u) должна иметь конечный пре-
предел при u = m/k —»■ 0, и это согласуется с тем фактом, что никем
пока еще не предъявлен строго галилеево-инвариантныи скалярный
оператор с точно известной критической размерностью, который ста-
становился бы опасным при е < 2. Конечно, это еще не доказывает ги-
гипотезу 1 Колмогорова для данной области, но и не противоречит ей:
если бы такой оператор был предъявлен, мы столкнулись бы с кон-
конкретной трудной проблемой (а пока можем просто ее игнорировать,
как это фактически и делается в теории критического поведения).
Но в области ИК-накачки аналогичная проблема актуальна, так
как нам известен строго инвариантный скалярный оператор дисси-
диссипации G4) с AF = 4 — 2е, который становится опасным сразу же
после перехода границы области ИК-накачки е = 2. Поскольку по-
показатель 4B — е)/3 выделенной явно в G5) степени и не может быть
критической размерностью AF никакого оператора (так как все они
при е = 0 должны быть целочисленными), обосновать эквивалентное
гипотезе 1 Колмогорова представление G5) в области ИК-накачки
е > 2 можно надеяться только с помощью какой-нибудь процедуры
суммирования бесконечного числа вкладов различных опасных опе-
операторов. Пример такой процедуры приводится в следующем разделе.
В заключение добавим, что при переходе от обычного критиче-
критического режима к колмогоровскому (W = const) изменились бы размер-
размерности AF в G8), а в ИК-асимптотике коэфициентов Вильсона BF по-
появились бы добавочные общие множители т~ с дробными степенями
т. Эти два эффекта взаимно компенсируют друг друга, так что
692 Глава 6. -Стохастическая теория турбулентности
общая степень m для любого слагаемого в правой части G7) оста-
остается прежней. Окончательная форма SDE-представлений (80),(82) с
обычными (а не колмогоровскими) критическими размерностями AF
не изменяется, что естественно, так как вид скейлинговых функций
от выбора режима вообще не зависит (см. начало этого раздела).
п.10 Суммирование вкладов опасных операторов ipn и
i9f <pn в динамическом корреляторе скорости. Суммирование
вкладов всех операторов типа ipn было выполнено в работе [187]
с помощью одного из вариантов "инфракрасной теории возмуще-
возмущений" (ИКТВ) (см., например, [23]). Использованная в [187] формули-
формулировка ИКТВ основана на разбиении полей в функциональном инте-
интеграле на мягкие (= длинноволновые) и жесткие (= коротковолновые)
компоненты [23] с последующим пренебрежением пространственно-
временной неоднородностью мягкого поля. Для динамического кор-
коррелятора в инерционном интервале суммирование вкладов всех опе-
операторов типа <рп в G9) приводит к следующему выражению (мы из-
излагаем результаты [187] в более поздней усовершенствованной фор-
формулировке [196]):
^ < №)п > Bi(x) + ... , (86)
п=0
где В\ - коэффициент Вильсона при первом операторе F^ = 1 в G6),
х = (t,x), х' = (i',x'), <рд = п(х')д{ с д{ = д/ди-i. Операции д{ в
(86) действуют только на функцию В\ (х), и их можно вынести из-под
знака усреднения <...>, где тогда останется лишь произведение п
полей ф(х') со свободными векторными индексами. Это произведе-
произведение является неренормированным мономом и содержит вклад соот-
соответствующего ассоциированного оператора с единичным коэффици-
коэффициентом (следствие соотношений E9)). Только этот "опасный" вклад с
размерностью F0) нас сейчас и интересует, так как примеси других
ренормированных операторов несущественны по размерности [187].
Равенство (86) можно переписать компактно в виде
<£(ari)£(ar2)>=«£i(*,x + v*):»> (87)
где символ <С ...)§> обозначает усреднение по распределению не
зависящей от х случайной величины (а не поля) v, заданному соот-
п. 10 Суммирование вкладов опасных операторов 693
ношениями
< v... v » = < ip(x'). ..Цх1) > = const • тпД- + ... (88)
со свободными векторными индексами у п множителей ?ир. Опре-
Определенные первым равенством (88) моменты случайной величины v
отличны от нуля лишь для четного числа множителей п и по вектор-
векторным индексам кратны симметризованному произведению (J-символов
(индексная структура в (88) опущена). Второе равенство (88) пред-
представляет ведущий член ИК-асимптотики т —>■ 0, который порожда-
порождается ассоциированным с <рп опасным оператором с размерностью
F0), а многоточие - несущественные (менее сингулярные) поправки
от возможных примесей других операторов с символами д и мень-
меньшим числом полей <р.
Представление типа (87) для динамического коррелятора < ipip >
и его аналог для функции отклика < (р(р' > были получены в [187] в
пренебрежении взаимодействием жестких составляющих полей. Это
соответствует низшему порядку теории возмущений для функции
В\ (t, х) в (87) и ее аналога для < ipip' >. В таком приближении эти
функции совпадают с соответствующими затравочными пропагато-
рами A3) с1/о = 1>, так что в ш, ^-представлении имеем [187]:
4>' (89а)
При отборе ведущих сингулярностеи аналитической зависимостью
от т2 функции накачки типа A1) в (896) можно пренебречь, что
соответствует переходу к безмассовой модели A0). Отметим, что
представление (89а) для функции отклика < ipip1 > было получено
другим методом в [195].
Соотношения (87), (89) представляют результат суммирования
вкладов всех опасных операторов типа ipn в SDE-представлениях.
Они содержат (через моменты (88) случайной величины v) нетри-
нетривиальную зависимость от параметра т. Но при переходе к стати-
статическому коррелятору < ipip > с t\ = ti эта зависимость исчезает:
на языке представления (87) данному случаю соответствует t = 0, а
694 Глава. 6. Стохастическая теория турбулентности
на языке соотношения (896) - интегрирование по частоте ш, при ко-
котором исчезает зависимость от ее сдвига на величину vk. Поэтому
в статический коррелятор < tptp > опасные операторы типа <рп не
дают вклада, как и должно быть из общих соображений (п.9).
Обобщение (87) простейшего приближения (896) с точной функ-
функцией Bi было получено в работах [196]. В них было показано, что
соотношения типа (86) - (88) можно получить и без использования
ИКТВ только с помощью операторного разложения (SDE), причем
для самого произведения <р!р, а не только для его среднего значе-
значения < ip(p >. Одним из важных преимуществ такого подхода явля-
является возможность избавиться от искусственного параметра ИКТВ
- разделительного импульса к*, разграничивающего области "мяг-
"мягких" (к < &,) и "жестких" (к > к*) импульсов. Отметим также, что
техника SDE (гл.З) содержит конструктивный рецепт вычисления
коэффициентов Вильсона, в частности, функции В\ в соотношении
(87).
Существенное обобщение соотношений (86) - (88) было получено
в работе [189], где были просуммированы не только вклады всех
операторов типа <рп, как в (87), но еще и вклады всех операторов
типа 5f tpn, которые также могут быть опасными уже в области УФ-
накачки е < 2 (п.9). При этом величина vt с t = t\ — t2 в (87)
заменяется интегралом по интервалу [ti,h] от некоторой зависящей
от времени "случайной скорости" v(i) с известным распределением
типа (88) (различные времена t у полей ср при одинаковой простран-
пространственной координате х). Важно, что при t\ = t2 этот интеграл
исчезает, как и выражение vt в (87), т.е. новые опасные операторы
типа 5f <pn также не дают вклада в статический коррелятор.
Но в динамических объектах нетривиальная зависимость от m
через распределение случайной величины v или v(t) остается, т.е. ги-
гипотеза 1 Колмогорова на динамические объекты не обобщается. От-
Отметим также, что представления типа (89) хорошо известны в рам-
рамках техники уравнений самосогласования для функций Грина дан-
данной модели (см., например, работы [195, 197, 198]) и имеют простую
физическую интерпретацию [185]: они описывают кинематический
эффект переноса турбулентных вихрей как целого крупномасштаб-
крупномасштабным полем v. Новым моментом в подходе [187] и последующих работ
того же направления является совмещение этой простой физической
идеи (= ИКТВ) с элементами техники РГ и SDE.
п. 11 е-разложение константы Колмогорова 695
На основании результатов анализа операторов младших размер-
размерностей можно предположить (хотя и без надежды на строгое дока-
доказательство), что в области УФ-накачки 2 > е > 0 нет отличных от
ipn и dfipn опасных операторов. Если это так, то из результатов
п.п.9,10 вытекает справедливость гипотезы 1 Колмогорова G5) для
статического коррелятора в данной области. При переходе к реа-
реалистической области ИК-накачки е > 2 появляется новый опасный
оператор диссипации F4в) и не видно явно выраженных бесконечных
серий опасных операторов, которые можно было бы пытаться сумми-
суммировать. Поэтому проблема обоснования гипотезы Колмогорова G5)
для данной области остается открытой.
Но нужно сказать, что чисто теоретическое решение этой про-
проблемы в рамках техники РГ и SDE в принципе невозможно (так как
невозможно исследовать все составные операторы), и главное слово
здесь будет, видимо, принадлежать эксперименту. Обычно в экспе-
экспериментах по турбулентности контролируется лишь зависимость от
расстояния или импульса (см.п.12), тогда как для проверки гипотезы
1 желательно иметь прямые экспериментальные данные о зависимо-
зависимости разных величин от внешнего масштаба Lmax = m при фикси-
фиксированных прочих параметрах. Такие данные могли бы дать ответы
на многие вопросы, недоступные чисто теоретическому анализу.
п.11 Проблема сингулярностей при е —>■ 2 в безмассовой
модели, е-разложение константы Колмогорова. Если не касать-
касаться обсуждавшихся в п.п.9,10 трудных проблем определения зависи-
зависимости скейлинговых функций от параметра т, можно пользоваться
упрощенной безмассовой моделью накачки A0), пригодной для рас-
расчета не зависящих от т величин типа критических размерностей.
Именно для этой модели выполнено большинство работ по РГ-теории
турбулентности и ее обобщениям.
Как пояснялось в п.З, данную модель можно рассматривать лишь
в области е < 2, а "реалистической ИК-накачке" соответствует пре-
предел е —ь 2 из данной области. При таком подходе появляются неко-
некоторые специфические проблемы, которые мы сейчас поясним.
Из соотношения D5) с т = 0 следует, что при е —>■ 2 — О
А, = 4B - е)С^ W А2''4 (90)
с константой d из B5). Из-за появления в (90) множителя 2-е
функция накачки A0) с Do из (90) в пределе е —> 2 — 0 при фик-
696 Глава 6. Стохастическая теория турбулентности
сированных W и Л = {Wuq3)xIa исчезает для любого к ф 0, хотя
интеграл C) для нее остается конечным. Это значит, что в таком
пределе выражение A0) фактически сводится к d-мерной импульсной
^-функции, а именно (при учете явного вида d в B5)),
N(k) —> S(k)-2Biv)d/(d-l) (91)
согласно известному степенному представлению ^-функции:
8(к) = lira Bw)~dfdk (Лаг)-Д exp(ikx) =
(92)
с d-мерными аргументами к, х. Отметим, что именно функция
N(k) ~ 8(к) считается обычно естественной моделью накачки "бес-
"бесконечно большими вихрями" (гп = 0), соответствующей теории Кол-
Колмогорова для однородной изотропной развитой турбулентности. Из
сказанного выше следует, что функцию A0) с амплитудой (90) в пре-
пределе е —ь 2 — 0 можно считать степенным эквивалентом ^-образной
накачки.
Как уже говорилось в п.6, параметр Dq входит в асимптотические
представления типа C6) только через выражение C5) для асимпто-
1 /3
тики инвариантной вязкости F* ~ Do . Поэтому в статических объ-
объектах F типа C66) вся зависимость от Z?o выделяется в виде общего
множителя F? ~ Dq , где п = d" - частотная размерность данного
объекта F (статические скейлинговые функции и их аргументы от
Do не зависят). Поскольку Do ~ B — е) согласно соотношению (90),
для существования конечного предела при е —> 2 — 0 соответствую-
соответствующие статические скейлинговые функции / должны иметь особенно-
особенности ~ B — е)""/3 для компенсации "нулей" ~ B — е)"/3 от общего
амплитудного множителя Dq .
Строгое доказательство наличия таких особенностей - сложная
нерешенная проблема теории, имеющая, видимо, некоторое родство
с проблемой обоснования гипотезы 1 Колмогорова для массивной
модели. Исходя из этой гипотезы, можно полагать, что конечный
п.11 е-разложение константы Колмогорова, 697
предел при е —> 2 — 0 в безмассовой модели должен существовать
для всех строго галилеево-инвариантных статических объектов, по-
поскольку предельная функция (91) соответствует накачке бесконечно
большими вихрями (т = 0). Отметим также, что проблема особен-
особенностей скейлинговых функций при е —>■ 2 — 0 имеет место только в
безмассовой модели A0): при переходе к ее массивному обобщению
типа (9) величина Do в пределе е —>■ 2 — 0 становится отличной от
нуля (см. текст после соотношения D6)).
Сказанное выше имеет отношение к проблеме вычисления кон-
константы Колмогорова Ск в рамках е-разложения. Она определяется
по наблюдаемому спектру пульсационной энергии C9): по данным
экспериментов этот спектр в инерционном интервале имеет вид
E(k) = CK W2'3 к~5'3 , (93)
безразмерный коэффициент Ск называют константой Колмогорова.
В разных экспериментах для константы Ск получаются различные
значения от 1,3 до 2,7 (обзор экспериментальных данных и ссылки
можно найти в работе [199], см. также [200]). Общепризнанного убе-
убедительного объяснения причины столь большого разброса значений
Ск для разных экспериментов не существует. Иногда его пытаются
связать с возможным влиянием эффектов анизотропии, в той или
иной степени всегда присутствующих в реальном эксперименте. Но
не исключено, что столь большой разброс значений Ск - прямое сви-
свидетельство несправедливости гипотезы 1 Колмогорова в том смысле,
что даже для статического коррелятора в инерционном интервале
сохраняется зависимость от "формы функции накачки", например,
от величины параметра е в (9) в области е > 2. Напомним, что
форма функции накачки и ее масштаб m - всего лишь некоторые
"феноменологические эквиваленты" параметров реальной задачи в
терминах абстрактной "однородной изотропной развитой турбулент-
турбулентности" , так что обе эти характеристики могут быть различными в
различных конкретных экспериментах.
Поэтому расчет константы Ск в законе (93) возможен только для
конкретного выбора функции накачки и только в той области, где
можно обосновать сам закон (93). Он справедлив лишь для реальной
задачи с ИК-накачкой, т.е. для области е > 2 при накачке типа (9).
Но в этой области мы не можем обосновать соотношение (93), так как
в ней проблема определения зависимости от m остается нерешенной
698 Глава 6. Стохастическая теория турбулентности
(п.п.9,10). Существование конечного предела при m —>■ 0 для спектра
C9) можно считать достаточно обоснованным (п. 10) лишь в области
УФ-накачки 0 < е < 2, поэтому расчет реальной константы Ск в (93)
можно выполнить только с помощью предельного перехода е —>■ 2 из
этой области. Она включает малые е, поэтому в ней константу Ск
можно вычислять в форме е-разложения. Такой расчет в низшем
порядке е-разложения был выполнен в работе [187] и будет приведен
ниже.
Сделаем предварительно несколько замечаний общего характера.
Прежде всего, нужно отметить, что в теории критического поведения
амплитудные множители типа Ск в (93) считаются неуниверсаль-
неуниверсальными константами (в частности, из-за неопределенности нормировки
поля параметра порядка) и поэтому вообще никогда не вычисляются,
- там всегда интересуются только не зависящими от нормировок
универсальными отношениями амплитуд. В теории турбулентности
ситуация иная, так как здесь поле ср имеет непосредственный фи-
физический смысл и не ренормируется, поэтому константы типа Ск в
(93) измеримы экспериментально.
Есть и еще одно важное различие между этими двумя классами
задач. Обычные флуктуационные модели теории критического пове-
поведения являются заведомо приближенными, так как при их построе-
построении отбрасываются все ИК-несущественные вклады в функционале
действия (п. 1.16). Такие вклады играют двоякую роль: во-первых,
они порождают поправки к скейлингу с соответствующими попра-
поправочными индексами <*>; (п.4.8), во-вторых, их учет приводит к изме-
изменению коэффициентов при ИК-существенных вкладах, т.е. числовых
параметров основной модели. Последнее обстоятельство - еще одна
причина, по которой расчет неуниверсальных констант через пара-
параметры основной модели в теории критического поведения не имеет
смысла.
В стохастической теории турбулентности A) исходное уравнение
Навье-Стокса по существу также является феноменологическим, и
в нем также следует допускать возможность присутствия поправоч-
поправочных членов в правой части. Эти поправки не должны, конечно, на-
нарушать симметрию задачи (галилееву инвариантность) и должны
быть ИК-несущественными по канонической размерности, т.е. со-
содержать большее (по сравнению с основными вкладами) число "мно-
"множителей" tp и (или) д.
п. 11 £-разложение константы Колмогорова 699
Формально здесь полная аналогия с теорией критического пове-
поведения, но в действительности есть очень важное различие: там име-
имеется только один характерный УФ-масштаб Л (и он же параметр
обрезания в интегралах), так что затравочные коэффициенты при
всех вкладах в действие обезразмериваются одной и той же величи-
величиной Л. Поэтому влияние ИК-несущественных поправок на коэффи-
коэффициенты при ИК-существенных вкладах (т.е. на параметры основной
модели) может быть весьма значительным, и объективную ценность
могут иметь только те результаты, которые не зависят от конкрет-
конкретных числовых значений этих параметров. Такими объективными
результатами как раз и являются универсальные характеристики
критического поведения - индексы и нормированные скейлинговые
функции.
В стохастической теории турбулентности есть УФ-масштаб Л =
(WVQ3I/4 - обратная диссипационная длина (и он же - параметр
обрезания в УФ-расходящихся интегралах). Но этот параметр Л не
может быть характерным масштабом для коэффициентов при попра-
поправочных вкладах в самом уравнениии Навье-Стокса. Эти поправки
не связаны с интенсивностью накачки энергии и должны, очевидно,
определяться только микроструктурой среды. Поэтому характер-
характерным параметром для них должен быть "микромасштаб" Л^~ = го
- среднее межмолекулярное расстояние. Таким образом, здесь мы
имеем два УФ-масштаба Л и Ло, причем по физическому смыслу
Ло 3> Л, так как размер даже самых малых турбулентных вихрей
должен быть много больше межмолекулярного расстояния. Из-за
этого в теории турбулентности косвенное влияние возможных попра-
поправок на коэффициенты при основных вкладах оказывается подавлен-
подавленным. В этом смысле модель A) может считаться "более микроскопи-
микроскопической" , чем обычные флуктуационные модели теории критического
поведения: входящий в A) коэффициент и0 можно отождествлять с
измеряемой экспериментально кинематической вязкостью, а поле ip -
с наблюдаемой пульсационной составляющей скорости.
И последнее замечание по поводу поправок: их влияние оценива-
оценивается обычно по каноническим размерностям, но в действительности
оно определяется соответствующими точными критическими раз-
размерностями (п.4.8). Поэтому, в принципе, возможно, что с ростом е
какой-нибудь ИК-несущественный по канонической размерности по-
поправочный оператор может стать ИК-существенным по точной раз-
700 Глава 6. Стохастическая теория турбулентности
мерности еще до достижения "реального значения" ер. Это означало
бы, что исходная модель без учета данной поправки не допускает экс-
экстраполяции от малых е вплоть до нужного значения ер. В теории
критического поведения возможность такой экстраполяции фактиче-
фактически просто постулируется, так как точные размерности неизвестны,
а предсказания основанной на этом постулате теории обычно согла-
согласуются с экспериментом.
В теории турбулентности критические размерности некоторых
составных операторов можно найти точно, поэтому обсуждаемая про-
проблема (отмеченная уже в работе [186]) является более актуальной.
По этому поводу можно сказать лишь следующее: до сих пор ни-
никем не предъявлен галилеево-инвариантныи поправочный оператор с
точно известной критической размерностью, который был бы "опас-
"опасным" в указанном выше смысле, т.е. становился бы ИК-существен-
ным еще до достижения границы области реальной ИК-накачки е —
2. Подчеркнем, что речь может идти только об операторах с точно
известной критической размерностью: любые суждения на уровне
первого порядка по е при наличии неизвестных следующих вкладов
порядка е2 и выше заведомо некорректны.
Вернемся к расчету константы Колмогорова [187] для безмассо-
безмассовой модели A0). Из соотношений C5), C66), C9) и (90) имеем
E(k) = CK(e) W2'3 АГ5/3 (Л/АгL(£-2)/3 , (94)
где CK(s) - аналог константы Ск в (93) для произвольного е < 2:
Ск(е) = (Ж*/?.I'3 B-еJ'3 f(s) (95)
с константой Cd из B5) и функцией f(e) = f(u = 0, ё) из C66) (сейчас
мы указали явно и зависимость от е). Принимая гипотезу о конеч-
конечности произведения B — еJ'3/(е) при е —у 2 (см. начало раздела)
и разлагая его в ряд по е, приходим к следующему е-разложению
константы Ск(е) в (94):
Ск(е) = е1/3 ЕГ=о спеп. ( (96)
В низшем порядке из C66) и C8) имеем f(e) = д*/2, где д„ = 2е/3а с
константой а из B6). Поэтому из (95) в таком приближении находим
Ск(е) = 2[(d + 2)s/3}1^, (97)
п. 12 Об отклонениях от колмогоровского скейлинга, 701
что при о!=3и£ = 2 дает численно Ск = 3 [187].
Выражение (97) является первым членом е-разложения (96), и его
расхождение с экспериментом неудивительно, так как нет никаких
видимых причин для численной малости поправок в (96) при реаль-
реальном значении е = 2.
В связи с е-разложением (96) возникает еще одна проблема. При
его выводе использовалось соотношение (90), полученное путем вы-
вычисления интеграла C) с обрезанием k < А для безмассовой накачки
A0). Для УФ-расходящегося при малых е интеграла C) обрезание на
импульсах порядка Л естественно, но при этом речь идет, конечно,
только о порядке величины, а не о ее точном значении. Поэтому
ничто не мешает сделать в соотношении (90) и (как следствие) в
(94) замену Л —> 6Л с произвольным коэффициентом b порядка еди-
единицы. Это приведет к появлению добавочного множителя 64(£~2)/3 в
правой части соотношения (95). Такой множитель не изменяет "фи-
"физического значения" константы Колмогорова Сю определяемого как
предел Ск(е) при е —> 2, но он существенно влияет на коэффициенты
е-разложения (96).
Из сказанного следует, что однозначного определения е-разложе-
ния константы Колмогорова Ск вообще не существует, и в любых
расчетах такого типа необходимо сначала четко фиксировать опре-
определение величины Ск(е) - продолжения "физической константы" Ск
на всю область 0 < е < 2. В нашем случае таким определением
является соотношение (94), приводящее к результату (97) в низшем
порядке е-разложения. Более близкое к эксперименту значение Ск в
низшем порядке теории возмущений было получено в работах [201]-
[203], подробные комментарии по этому поводу можно найти в [183].
п.12 Об отклонениях от колмогоровского скейлинга для
составных операторов. Большое количество работ посвящено об-
обсуждению экспериментальных данных для следующих статических
функций Грина с составными операторами:
)Г > |tl=t3 = Dn , (98a)
< W*,(*i) Wdis(x2) > \tl=ta = Dw , (986)
где Wais(x) - оператор диссипации F4в), а щ в (98а) - продольная
относительно направления вектора xi —хг компонента поля скорости
(в реальных экспериментах </?|| = (<pn), xi = хг + «г, где n = u/\u\
702 Глава 6. Стохастическая теория турбулентности
- единичный вектор направления средней скорости потока и и г =
|xi—X2I). Отметим, что величины (98) галилеево-инвариантны и что
в конструкции (98а) по построению исключены вклады типа первого
слагаемого в правой части G).
Величины (98) могут зависеть только от расстояния г = |xi —
X2I и от параметров модели. Если в духе теории Колмогорова (п.2)
предположить, что в инерционном интервале остается зависимость
только от г и от полной мощности накачки W, то для этой области
по известным каноническим размерностям величин (98) получим:
Dn = const (Wr)n/? , Dw = const W2 . (99)
Эксперимент подтверждает степенную зависимость от г величин (98)
в инерционном интервале, но измеряемые показатели степеней г не-
немного отличаются от предсказываемых соотношениями (99).
В связи с этим необходимо подчеркнуть, что практически в экспе-
экспериментах измеряется только показатель степени г, и отличие этого
показателя от предсказаний правильных по каноническим размерно-
размерностям формул (99) порождает важную проблему: каким именно па-
параметром (т или Л) обезразмериваются наблюдаемые эксперимен-
экспериментально добавочные степени г? Наилучшим решением этой проблемы
было бы, конечно, ее прямое экспериментальное исследование. К со-
сожалению, экспериментальное определение зависимости от параме-
параметров типа m или Л в теории турбулентности - очень трудная в тех-
техническом отношении задача, и таких данных (насколько известно
автору) не существует. В такой ситуации нельзя дать надежного
однозначного ответа на поставленный вопрос. Но на основании раз-
различных качественных соображений модельного характера обычно
считается (см., например, [154]), что обезразмеривающим параме-
параметром для "лишних" (сравнительно с (99)) степеней г должен быть
внешний масштаб гп'1, а не диссипационная длина Л. Поэтому
результаты экспериментального измерения величин (98) в инерци-
инерционном интервале обычно представляются следующим образом:
Dn = const (Wr)n/3 (mr)9" , Dw = const W2 (гаг)-" , A00)
где qn и /i - показатели, характеризующие степень отклонения от
законов (99). По экспериментальным данным ц — 0,20±0,05 [204], в
п. 12 Об отклонениях от колмогоровского скейлинга, 703
этой же работе приведен также график зависимости qn от п для чет-
четных п в интервале от 2 до 18. Экспериментально значение q^ прак-
практически неотличимо от нуля, а равенство qs = 0 считается точным
на основании соображений, связанных с уравнением баланса энергии
[154]. Для п > 4 показатели qn отрицательны и возрастают по абсо-
абсолютной величине с ростом п, поэтому расхождения между законами
(99) и A00) для Dn становятся вполне заметными.
Эти расхождения принято называть "отклонениями от колмого-
ровского скейлинга", но такую терминологию нельзя признать впол-
вполне корректной. Строго говоря, из гипотез 1 и 2 Колмогорова в том
виде, как они были сформулированы в п.2, вообще нельзя без допол-
дополнительных предположений сделать определенные выводы о поведе-
поведении функций Грина с составными операторами.
Поясним подробнее: в этих гипотезах идет речь о свойствах функ-
функции распределения фурье-компонент ip(t, к) случайного поля скоро-
скорости <p(t, х) в области к 3> тп для гипотезы 1 (назовем эти компо-
компоненты "m-жесткими") и в области к <С Л для гипотезы 2 (такие
компоненты назовем "Л-мягкими"). Те компоненты ip(t,k), которые
являются одновременно и "Л-мягкими" и "m-жесткими", соответ-
соответствуют инерционному интервалу. Случайное поле <р(х) как целое
содержит вклады как "Л-мягких", так и "m-жестких" компонент.
Поэтому в любых построенных из <р(х) локальных составных опе-
операторах типа ip2(x), ip(x)d2ip(x) и т.п. присутствуют всевозможные
комбинации указанных двух составляющих. В такой ситуации из ги-
гипотез Колмогорова относительно функции распределения компонент
tp(t, к) нельзя сделать никаких выводов о свойствах функций Грина
с составными операторами, ибо для "смешанных конструкций" ни
одна из двух гипотез неприложима. Суждения о функциях Грина с
составными операторами на основе гипотез Колмогорова можно сде-
сделать только при наличии добавочных соображений типа следующих:
"основной вклад в данный оператор дают только Л-мягкие компо-
компоненты, следовательно, к нему приложима гипотеза 2 о независимо-
независимости от fo". Именно так обстоит дело с функциями Грина (98а), так
как по их скелетным диаграммным представлениям с одетыми лини-
линиями видно, что ввиду отрицательности колмогоровской размерности
(8) поля tp основной вклад в операторы типа <рп набирается от обла-
области малых импульсов, где работают только Л-мягкие компоненты.
Отметим, что это соображение оправдывает использование именно
704 Глава 6. Стохастическая теория турбулентности
m в качестве обезразмеривающего параметра в первом соотношении
A00). Но даже в такой сравнительно благоприятной ситуации речь
может идти о применимости только одной из двух гипотез Колмо-
Колмогорова, а не обеих сразу. Последнее стало бы возможным только
тогда, когда можно было бы строго обосновать, что в данный опера-
оператор основной вклад дают лишь компоненты ip(t,k) из инерционного
интервала. Трудно представить, как это можно сделать, и в любом
случае очевидно, что это невозможно без дополнительных соображе-
соображений, выходящих за рамки самих гипотез Колмогорова относительно
распределения компонент ip(t,k). Отметим, что для оператора дис-
диссипации F4в) такой (гипотетический) механизм обоснования колмо-
горовского скейлинга (99) заведомо невозможен, так как он привел
бы к обоснованию скейлинга для самой операторной конструкции в
F4в) без общего множителя v$. Это прямо противоречило бы гипо-
гипотезе (99), из которой следует, что для данной операторной конструк-
конструкции коррелятор в инерционном интервале должен иметь вид const x
х Uq W2, т.е. явно зависеть от vq. Добавим, что вследствие баланса
энергии среднее значение оператора F4в) совпадает с мощностью
накачки W и не зависит от uq, хотя в самом операторе F4в) есть
такой множитель.
Общий вывод состоит в том, что из обычных гипотез Колмо-
Колмогорова (п.2) не вытекают непосредственно представления типа (99)
для составных операторов. Поэтому соотношения (99) нужно пони-
понимать не как следствие, а как обобщение (причем предполагаемое, а
не доказанное) обычных гипотез Колмогорова.
Более надежной теоретической базой при обсуждении поведения
величин (98) в области ИК-асимптотики Лг 2> 1 (в том числе и
в инерционном интервале) является изложенная ранее РГ-техника
для составных операторов. Известно (п.8), что Шцг - оператор
с определенной критической размерностью G4), поэтому A[.DW] =
2A[Wrfjs] = 2D — 2е) с "колмогоровским значением" A[DW] = 0 при
£• = 2. Для Dn усредняемой в (98а) величиной является некоторая
линейная комбинация выражений типа ipk(xi)ipri~h(x2). Любой не-
ренормированный моном ipP (х) можно разложить по полному набору
соответствующих базисных операторов E4), среди которых будет и
ассоциированный с if? оператор с критической размерностью рА^, со-
согласно F0). Этот вклад и является ведущим в ИК-асимптотике (он
п. 12 Об отклонениях от колмогоровского скейлинга, 705
становится опасным при е > 3/2), все прочие - ИК-несущественные
поправки, которыми можно пренебречь. Из сказанного следует, что
ведущий в ЙК-асимптотике вклад в Dn имеет критическую размер-
размерность A[-Dn] = nAv = n(l — 2е/3), достигающую колмогоровского
значения A[-Dn] = —"/3 при е = 2.
Можно показать [191], что при переходе от обычного критиче-
критического режима к колмогоровскому (п.6) критические размерности об-
обсуждаемых составных операторов (ассоциированного с ipn и опера-
оператора диссипации) замораживаются на их колмогоровских значениях
во всей области ИК-накачки е > 2 и что в этой области исчезает за-
зависимость от uq (тем самым и от параметра обрезания Л=( Wvq3) 1;^4).
Поэтому из сказанного выше следует, что в этой области РГ-анализ
позволяет получить для ведущих вкладов ИК-асимптотики величин
(98) следующие представления:
Д, = (Wt)"'3 /n(mr) , Dw = W2 /w(mr) A01)
с неизвестными скейлинговыми функциями /n,w(w)-
На примере соотношений A00),A01) удобно еще раз пояснить
различие между критическими размерностями в обычном (г^о и до
фиксированы) и колмогоровском (i/q и W фиксированы) критических
режимах. Для обоих режимов переменные гит растягиваются при
масштабных преобразованиях (т —> Am, г —> А г), т.е. считаются
критически размерными, а их произведение тх - критически безраз-
безразмерным. Поэтому критические размерности величин A01) определя-
определяются лишь явно выделенными множителями (Wr)"/3 для Dn и W2
для Dw. В колмогоровском режиме параметр W при растяжениях
m и г считается фиксированным, т.е. критически безразмерным,
поэтому в данном режиме A[Ai] = — n/3, A[.DW] = 0. В обычном
критическом режиме фиксированным считается параметр <7о> и то-
тогда из D6) в области ИК-накачки имеем W ~ m4~2e, т.е. в данном
режиме W (следовательно, и Л = (Wi/q I'4) является критически
размерным параметром. При учете размерности W в данном режиме
имеем A[Ai] = "A - 2е/3), A[DW] = 2D - 2s) в согласии с форму-
формулами F0) и G4). Подчеркнем, что все приведенные выше формулы
для критических размерностей являются точными. Добавочные сте-
степени тт в соотношениях A00) на размерности не влияют, так как
в любом режиме являются критически безразмерными (но если бы
706 Глава 6. Стохастическая теория турбулентности
вместо степеней тт туда входили бы степени Лг, то они давали бы
вклад в критические размерности).
Напомним, что в экспериментах определяются не сами размер-
размерности, а только показатели степеней г. Поэтому судить о размер-
размерностях по экспериментальным данным можно только тогда, когда
известен параметр (т или Л), обезразмеривающий часть степеней г.
Если таким параметром является т, как в соотношениях A00), то
"наивные" колмогоровские размерности оказываются точными. Для
ИК-накачки (е > 2) РГ-анализ приводит к представлениям A01), т.е.
однозначно свидетельствует в пользу выбора именно m в качестве
обезразмеривающего добавочные степени г параметра.
Представления A01) справедливы для всей области ИК-асимпто-
тики Лг 3> 1, инерционному интервалу соответствует дополнитель-
дополнительное условие тпх -С 1. Поэтому для получения из A01) конкретных
предсказаний для инерционного интервала необходимо знать веду-
ведущие члены асимптотики mi —> 0 скейлинговых функций /n,w(mr)-
Экспериментальные данные для инерционного интервала предста-
представляются соотношениями A00). Из них следует, что ведущие члены
искомой асимптотики имеют следующий вид:
fnlmi) = const (mr)9" , /w(mr) = const (mr)"/1 . A02)
Эта асимптотика получена из экспериментальных данных. Ее те-
теоретическое обоснование - трудная нерешенная проблема, подобная
проблеме обоснования гипотезы 1 Колмогорова. Существует много
работ, авторы которых пытаются обосновать теоретически соотно-
соотношения A00) и вычислить входящие в них показатели qn и ц. Обзор
и критический анализ этих работ можно найти в [183]. Отметим
также работы [205, 206], в которых обсуждаются связи между раз-
разными функциями Dn и анализируются экспериментальные данные
не только для инерционного интервала, но и для области диссипа-
диссипации.
п.13 Турбулентное перемешивание скалярной пассивной
примеси. В данной задаче рассматривается пара полей <р, в, где <р -
обычное поперечное векторное поле скорости, удовлетворяющее сто-
стохастическому уравнению A), а в - добавочное скалярное "поле при-
п. 13 Турбулентное перемешивание пассивной примеси 707
меси", удовлетворяющее уравнению
Vt0 = v'0d26 , i/0 = uqi/o A03)
с обычной ковариантной производной Vt из A). В простейшем слу-
случае, который мы сейчас рассматриваем, собственный шум в уравне-
уравнение для в не вводится. Примесь называют "пассивной", поскольку
введение добавочного поля в никак не влияет на стохастическую за-
задачу A),B) для поля скорости (р.
Поле в может иметь разный физический смысл, например, это
может быть концентрация примесных частиц в турбулентной атмо-
атмосфере, или поле температуры в задачах теплопереноса и т.п.. В
первом случае параметр v'o - молекулярный коэффициент диффузии,
во втором - коэффициент температуропроводности. Для определен-
определенности мы будем пользоваться терминологией первой задачи. Вместо
пары коэффициентов i/0 из A) и i/'o из A03) удобнее использовать
пару i/o,uo, где u0 = u'o/vo - введенный в A03) безразмерный пара-
параметр (обратное число Прандтля). В дальнейшем он будет играть
роль второго затравочного заряда в дополнение к до из A7).
По общим правилам п.5.3 стохастическая задача A), B), A03)
эквивалентна квантовополевой модели для системы полей ф = ip, (рг, в,
в' с неренормированным действием
= S((p, <p') + 6'[-dt6 + и0и0д2в - {<рд)в ] , A04)
в котором S(tp,<p') - функционал A7) для задачи без примеси. В
модели A04) появляется добавочная тройная вершина типа 8'ip8, a
примесным полям в, в' соответствуют аналогичные A3) затравочные
пропагаторы
< 9в' >0 = < в'в >1 = [-ш + щщ} ,
A05)
<99>0 = < в'в1 >0 = 0 .
Равенство < в в' >о = 0 вытекает из общего правила E.30), а
< вв >о = 0 - следствие отсутствия шума в уравнении A03). Диа-
Диаграммы с линиями A05) новых полей в, в' не дают вклада в функции
Грина старых полей ip, ip', которые остаются такими же, как в мо-
модели без примеси.
708 Глава 6. Стохастическая теория турбулентности
Соответствующее A04) базовое действие имеет вид
ЗД) = SB(<p, <p') + 9'{-dt9 + uvd26 - {<рд)9 ] , A06)
где SB(<p,<p') - функционал A8), и - соответствующий «о ренорми-
рованный параметр.
Канонические размерности входящих в SB(<p, <p') полей и параме-
параметров известны из данных таблицы 35, новые параметры и0 и и для
задачи с примесью полностью (т.е. импульсно и частотно) безраз-
безразмерны, а для новых полей 9, 9' из A06) можно найти лишь кано-
канонические размерности произведения 99', а не каждого из полей по
отдельности:
сР[99'] = d[99'] = d, d?[99'] = 0. A07)
Но этого и достаточно, так как в данной модели отличны от нуля
только функции Грина с одинаковым числом полей 9 и 9'. Проще
всего в этом убедиться, заметив, что функционал A06) инвариантен
относительно преобразования 9 —>• Ъ9, 9' —>■ Ъ~19' с произвольной
константой Ь.
Эти функции Грина имеют простой физический смысл. Для за-
задачи о турбулентном перемешивании примеси простейшая функция
отклика < 9(х)9'{х') > с х = tf,x и х' = t',id имеет смысл функ-
функции распределения по координате х в момент времени t примес-
примесной частицы, имевшей в момент t' < t координату х' (см. заме-
замечание в конце п.5.4). Старшие функции Грина такого типа свя-
связаны с аналогичными многочастичными функциями распределения
pn(xi.. .хп;х[ ...х'п) [154] соотношениями
<9(х1)...9(хп)9'(Х'1)...9'(х'п)> = £ pn(xi...xn;x'1...x'n) A08)
перест.
с суммированием по всем п! перестановкам аргументов х\...хп
(или х[.. .х'п, что эквивалентно).
Анализ УФ-расходимостей и контрчленов для модели A06) вы-
выполняется по изложенным в п.5.15 стандартным правилам. Для фор-
формального индекса расходимости E.89) 1-неприводимых диаграмм Г
с одинаковым числом п« = пв> полей 9 и 9' с учетом A07) и данных
таблицы 35 имеем:
dr =-d+2-nip-(d-l)nip,-dne . A09)
п. 13 Турбулентное перемешивание пассивной примеси 709
Но реальный индекс расходимости 6г, как обычно, меньше формаль-
формального индекса dr = d^. Это связано, во-первых, с тем, что в основной
вершине A4) производную д всегда можно перебросить на поле <р',
что приводит к уменьшению реального индекса на величину n^i со-
согласно B0). Во-вторых, в примесной вершине 8'(<рд)9 функционала
A06) производную д при желании всегда можно перебросить и на
множитель 9' ввиду поперечности поля <р. Отсюда следует, что сим-
символ д выносится на внешние линии как полей в, так и полей в', и это
уменьшает реальный индекс на величину пе + Щ'. Из сказанного с
учетом равенства щ = щ/ имеем;
Sr = dr-nvi-2ne . . (ПО)
С помощью соотношений A09) и A10) нетрудно убедиться, что в
общем случае произвольной размерности d > 2 для устранения УФ-
расходимостей нужны лишь контрчлены типа <р'д2(р и в'д2в. Первый
из них должен быть точно таким же, как и для модели без примеси,
поэтому
S*D) = SR(<p,<p')+9'[-dt8 + Z2uvd29-{<pd)9], A11)
где SR((p, (p1) - функционал B1). Ренормированное действие A11) по-
получается из неренормированного функционала A04) ренормировкой
параметров B2) и дополнительно
к0 = uZu , Z2 = ZUZV , A12)
причем без ренормировки полей (Ъф — 1), как и в модели A7).
Однопетлевой расчет Z2 в схеме MS дает [207]:
Z2 = 1 - gaa/eu(u + 1) + ... , a = 2(d + 2)/d A13)
с коэффициентом а из B5). Константы ренормировки Z,, и Ъд —
Z~3 остаются такими же, как в модели без примеси, поскольку ее
введение на функциях Грина полей <р, <р' не сказывается (см. выше).
РГ-уравнение для нашей модели имеет обычную форму E.106)
с7^ = 0иа = и,г/в данном случае. Поскольку параметр и вхо-
входит в константу A13), он также должен считаться зарядом, а вклад
—7«^« = —и1иди в РГ-операторе типа E.106) должен пониматься
как /?„#„:
At = -И7« . 7» = % lnZ« • A14)
710 Глава 6. Стохастическая теория турбулентности
Однопетлевые выражения для РГ-функций 7i/ и /Зд известны из B6),
а для j3u из соотношений A13) и A14) следует
Д, = ag[u-a/{u+l)] + ... A15)
с константами а из B5) и а из A13).
Таким образом, мы имеем дело с двухзарядной моделью с заря-
зарядами д = gi, u = g2- Ее РГ-оператор имеет вид
с суммированием по указанным двум зарядам в слагаемом с flgdg.
Возможные критические режимы определяются фиксированными
точками системы /?-функций B6) и A15), тип конкретной точки опре-
определяется по общим правилам п.1.42. По физическому смыслу нас
интересуют лишь точки из области gi = д > О, д2 = и > 0. Не-
Нетрудно убедиться, что в рамках е-разложения /^-функции B6),A15)
имеют в данной области только одну ИК-притягивающую точку с
координ атами
ди =д* = 2е/3а+... , Д2, = и. = [A+4с*I/2 - 1]/2+... , A17)
где д* - нетривиальная фиксированная точка /?-функции B6) (та же,
что и для модели без примеси), а и» - положительный корень урав-
уравнения и(и+ 1) = а. Подставив в A17) известное из A13) выражение
для а, для d = 3 численно получим и» = 1,393. Можно показать, что
все фазовые траектории (решения задачи Коши A.188)) с естествен-
естественными начальными данными из полосы 0 < д < д* (п.1.27) и и > О
в ИК-асимптотике s = k/'ц —>■ 0 попадают в фиксированную точку
A17).
Поправочные индексы ш,- определяются как собственные значе-
значения матрицы A.189). В нашем случае эта матрица треугольна, по-
поэтому собственными значениями являются просто ее диагональные
элементы шц = d/3g(g)/dg и ш2г = д/Зи(д,и)/ди в фиксированной
точке. В однопетлевом приближении из B6) и A15) имеем:
wii = 2е , ш22 = 2еBи* + 1)/3(и, + 1) A18)
с и» из A17). Положительность индексов A18) свидетельствует об
ИК-устойчивости фиксированной точки A17).
п. 13 Турбулентное перемешивание пассивной примеси 711
Общими решениями уравнений РГ являются аналогичные C6)
РГ-представления функций Грина, но теперь с двумя зарядами д, и
(последний не нужно путать с переменной и = т/к из C6)). В ИК-
асимптотике к//л —>■ 0 инвариантный заряд п стремится к фикси-
фиксированной точке A17), т.е. "эффективное число Прандтля" (г/) в
ИК-режиме становится вполне определенной величиной, не завися-
зависящей от затравочного значения данного параметра.
Критические размерности ДР = A[F] различных величин F (по-
(полей и параметров) определяются общим правилом E3). Равенства
D2) и D3) сохраняются, а для новых полей 9, 9' ввиду отсутствия их
ренормировки Gв = 7»' = 0) из соотношений E3) и A07) получаем:
А[9#] = d{66'] = d , A19)
т.е. размерность произведения 99' остается канонической.
Следствием соотношения A19) является известный "закон четы-
четырех третей" Ричардсона [154, §24], характеризующий скорость рас-
плывания облака примесных частиц в турбулентной среде (напри-
(например, в атмосфере). Действительно, если поле 9{t,x) - концентрация
примесных частиц, то среднеквадратичный радиус R в момент вре-
времени t > 0 облака таких частиц, стартовавших в момент f = 0 из
начала координат х' = 0, определяется следующим образом:
В2 = /dxx2<0(*,xH'(O,O) > . A20)
Учитывая равенство A19) и нормировку Д[х] = —1, из соотношения
A20) получаем Д[Я2] = -2, поэтому A[dR2/dt] = -2 - At = -4/3
при колмогоровском значении (8) размерности Д( = —2/3 (е = 2).
Отсюда следует, что по размерности
dR2/dt ~ Я4/3 , A21)
в чем и состоит закон Ричардсона.
Изложенный выше РГ-анализ модели A03) был выполнен в ра-
работе [207], впоследствии он был воспроизведен и дополнен (в част-
частности, явными формулами для инвариантного заряда п в однопет-
левом приближении) в работах [201] - [203]. В работах [203, 208]
рассматривалось обобщение модели A03) с отличным от нуля кор-
коррелятором < 99 > (в модели A03) этот коррелятор равен нулю).
712 Глава 6. Стохастическая теория турбулентности
В работе [203] считалось, что коррелятор < вв уф 0 появляется
вследствие нестационарности задачи, но формально проще получить
< вв Уф 0 введением нового "шума" в уравнение A03) [183]. В ста-
статический коррелятор < вв У и соответствующий "спектр" типа C9)
входит аналогичный Ск из (93) амплитудный множитель, называе-
называемый "константойБатчелора" Сва- В работах [203, 208] вычислялось
отношение Ск/Сва, но используемый авторами этих работ техниче-
технический аппарат отличается от стандартной квантовополевой техники
РГ, которая излагается в этой книге. Расчет отношения Ск/Сва в
рамках этой техники приведен в [183].
В работе [209] рассматривалось обобщение задачи A03) на случай
"химически активной" скалярной примеси [154, §14.5]. Тогда в пра-
правую часть уравнения A03) вводится, во-первых, собственный шум,
во-вторых, нелинейность ~ вп с целочисленным показателем п > 1.
В работе [209] показано, что такал модель является мультипликатив-
мультипликативно- ренормируемой только при некоторых значениях размерности про-
пространства d и показателя п. Изложение результатов этой работы и
комментарии к ним можно найти в [183].
п.14 Стохастическая магнитная гидродинамика (МГД).
В данной задаче рассматривается электрически нейтральнал в целом
проводящал турбулентная среда, состоящая из заряженных частиц.
Их движение порождает токи и, как следствие, магнитное поле, кото-
которое, в свою очередь, оказывает воздействие на движение заряженных
частиц. В стохастической задаче соответствующая система уравне-
уравнений имеет следующий вид [210, 211]:
{ - diP + {вд)в{ + rif , A22а)
2{ + {вд)п + г)в{ A226)
с ковариантной производной Vt из A). В уравнениях A22) ip - обыч-
обычное поперечное векторное поле скорости, р-давление, йг=5,/DтгрI'2,
uouq = v'u — с2/4тгсг, где с - скорость света, р - плотность среды, и
- ее проводимость, щ1 - "магнитное число Прандтля", В, - попе-
поперечное (в силу уравнений Максвелла) векторное поле магнитной ин-
индукции. Соотношение A226) без вклада случайной силы получается
из уравнений Максвелла дВ = 0, rotE + c~ldtB = 0, rotB = 4nj/c
(без учета тока смещения) и закона Ома j = <т(Е + [<р х В]/с) для
проводящей движущейся среды [210]. Слагаемое (вд)в{ в правой ча-
части уравнения A22а) - вклад силы Лоренца ~ [j х В] ~ [rotB x В] =
п. 14 Стохастическая магнитная гидродинамика 713
(Вд)В — д(В2 /2), последнее слагаемое отнесено к давлению. Попе-
Поперечная случайная сила щ из A) обозначена в A22а) через ц?, ана-
аналогичный вклад т}9 в правой части уравнения A226) имеет смысл
ротора случайного тока. Поле скорости у>,- и соответствующий ему
шум T]f являются истинными векторами, а 0,- и r)f - псевдовекторами.
РГ-анализ стохастической задачи A22) впервые был выполнен в
работе [211] в рамках техники реккурсионных соотношений Вильсона
(п. 1.1). Ниже приводится эквивалентная квантовополевая формули-
формулировка [212].
По общему правилу E.25) стохастической задаче A22) соответ-
соответствует квантовополевая модель для системы четырех поперечных
векторных полей ф = (р, 9, (р', 9' с неренормированным функционалом
действия
//2 + 6'Dee9'/2 + <p'Dve9' + <p'[-dt<p
-(<pd)<p + (9d)9] + 9'[-dt9 + uouod29 - (<pd)9 + {9d)<p\ .
Новый параметр uq в A23) полностью безразмерен, а новые поля 9
и 9' имеют такие же канонические размерности, как поля <р и ip',
соответственно (см. табл. 35 в п.4).
В работах [211,212] рассматривалась безмассовая модель с накач-
накачкой типа A0). Матрица корреляторов случайных сил для реальной
трехмерной задачи задается тогда в общем случае [212] следующим
образом:
A24)
где Pis = 6is — kiks/k2 - поперечный проектор, eism - полностью
антисимметричный псевдотензор с £123 = 1. все константы Do - ам-
амплитудные множители, положительный коэффициент се в показате-
показателях степеней в A24) - дополнительный параметр теории. Эти по-
показатели подобраны так, чтобы порождаемые тремя корреляторами
A24) взаимодействия становились логарифмическими одновременно
при е = 0 (в противном случае некоторые из вкладов можно было бы
отбросить как ИК-несущественные). Требование одновременной ло-
гарифмичности порождаемых тремя корреляторами взаимодействий
714 Глава 6. Стохастическая теория турбулентности
определяет показатели степеней к в A24) с точностью до исчезающих
при е = 0 поправок. Принятая в [211, 212] форма записи A24) соот-
соответствует простейшему предположению линейности этих поправок
по параметру е.
Индексная структура корреляторов A24) определяется требова-
требованиями поперечности всех полей и сохранения пространственной чет-
четности: поскольку шум rjf - истинный вектор, a rjf - псевдовектор,
диагональные корреляторы D4"p и Dee должны быть истинными тен-
тензорами, а смешанный коррелятор D*6 - псевдотензором. Отметим,
что форма eismkm автоматически поперечна по индексам i, s.
При вычислениях в духе размерной регуляризации символами Sjs
и Sism можно формально пользоваться и для произвольной размер-
размерности пространства d, но в окончательных ответах символ e,sm, в
отличие от Sis. имеет смысл только для реальной размерности d = 3.
В другом важном случае целочисленной размерности d = 2 попереч-
поперечного по обоим индексам псевдотензора вообще не существует, по-
поэтому смешанный коррелятор D*9 следует тогда считать равным
нулю. В работе [211] смешанный коррелятор не вводился, общий
случай A24) был рассмотрен в [212]. В этих работах рассматрива-
рассматривалась и двумерная задача, но везде с ошибками: в [212] возникаю-
возникающий при d = 2 добавочный контрчлен типа ip'ip' ошибочно считался
мультипликативным, а в [211] он вообще игнорировался. Поэтому
в дальнейшем будем ограничиваться случаем d > 2, имея в виду
приложения к реальной задаче с d = 3.
Для амплитудных множителей корреляторов A24) будем исполь-
использовать аналогичное A6) представление:
Dt = 9ov$ , Dl = д'п4 , D? = р [D^D^2 , \р\ < 1 . A25)
Тем самым определяются два затравочных заряда до, д'ои полностью
безразмерный параметр р. Неравенство \р\ < 1 в A25) - необходи-
необходимое условие положительной определенности матрицы корреляторов
A24).
Диаграммная техника для модели A23) определяется стандарт-
стандартными правилами п.5.3. В диаграммах будут вершины трех типов
<р'<рр, <р'вв, в'(рв и пять отличных от нуля линий (пропагаторов)
типа tptp', 99', <р<р, 99, <р9, причем три последних пропорциональны
корреляторам A24). Единственным псевдотензором среди них будет
пропагатор < (р9 >.
п. 14 Стохастическая магнитная гидродинамика 715
Переходим теперь к анализу ренормировки модели A23). По об-
общим правилам п.5.14 можно найти канонические размерности затра-
затравочных зарядов в амплитудах A25):
d\g0] = 2е , %У = 2ае , d"[g0] = <*"Ьо] = 0 . A26)
Поэтому базовое действие 5В (ф) получается из неренормированного
функционала A23) следующей заменой всех затравочных параметров
базовыми: щ ->• и, щ -* и, до -> дц2е, д'о -> д'Ц2<Х£. Ренормиро-
ванное действие Зп{ф) получается добавкой к базовому всех необ-
необходимых контрчленов, последние определяются по общим правилам
п.5.15. Для формального индекса E.89) в модели A23) имеем (напо-
(напомним, что канонические размерности полей (р и в одинаковы)
dr = <*г = d + 2-rip- (d- i)nvi - пв - (d - 1)пв' . A27)
Но реальный индекс 6г, как обычно, меньше формального:
6Г = dr - nv, - щ, , A28)
поскольку в любой из вершин действия A23) на поля <р', в' всегда
можно вынести "множитель" д вследствие поперечности всех полей.
По индексам A27),A28) и общим правилам п.5.15 заключаем, что
контрчлены в модели A23) для d > 2 могут порождаться лишь 1-
неприводимыми функциями Грина < ip'ip >1н, < 9'в >1н, < (р'в >1н,
< b'ip >iH (для всех dr = 2, ^г = 1) и вершинными функциями
< 0'06 >1Н (для всех dr = 1, £г = 0), причем вспомогательные
поля ф',8' могут входить в контрчлены только в виде д(р' и дв'.
Поэтому все собственно-энергетические контрчлены обязательно со-
содержат два символа д, а все вершинные контрчлены - один символ
8, производная dt в контрчлены входить не может. Отметим, что
для d = 2 появились бы добавочные контрчлены от функций Грина
типа < ip'ip' >ih и < в'в' >1н.
Многие из разрешенных по размерности контрчленов в действи-
действительности отсутствуют, чем и обеспечивается мультипликативная
ренормируемость рассматриваемой модели. Переходя к доказатель-
доказательству этого утверждения, разделим все функции Грина на "четные" и
716 Глава, 6. Стохастическая теория турбулентности
"нечетные" в соответствии с числом входящих в них псевдовектор-
псевдовекторных полей вив'. Ясно, что все четные функции должны быть ис-
истинными тензорами, а нечетные - псевдотензорами, и что единствен-
единственным нечетным слагаемым в действии A23) является вклад смешан-
смешанного коррелятора D*9, порождающий "нечетную" линию <рв. Чет-
Четные функции Грина могут содержать только четное число линий
<рв, а нечетные - нечетное число таких линий, поэтому в отсутствие
смешанного коррелятора D*9 все нечетные функции Грина должны
быть равны нулю. Но даже при наличии коррелятора D4"9 нечетные
1-неприводимые функции Грина типа <р'в, 8'ip, <р'<рв, e'ipip, в'вв не
могут порождать контрчленов при расчете в формальной схеме раз-
размерной регуляризации без параметра обрезания Л (п. 1.20), так как
в этой схеме все контрчлены должны быть полиномами по импульсу
(или символу д), а полиномиальных по импульсу псевдотензорных
структур с нужной размерностью без Л построить невозможно.
Таким образом, контрчлены могут порождаться только четными
1-неприводимыми функциями типа <р'<р, 8'8,<p'<pip, ip'98, 8'<p8, т.е.
объектами того же вида, как и слагаемые функционала A23). По-
Поскольку поля <р', в' могут входить в контрчлены только вместе с сим-
символом д (см. выше), 1-неприводимые функции типа (р'<р и в'в могут
порождать лишь контрчлены ~ <р'д2<р и в'д2в, но не могут поро-
порождать контрчленов ~ f'dtf и 6'dtO-
Рассмотрим теперь вершинные контрчлены. Учитывая попереч-
ность всех полей, нетрудно убедиться, что содержащий один сим-
символ д контрчлен вершины <р'<р<р обязательно должен иметь вид
~ ip'(ipd)ip, контрчлен вершины <р'9в пропорционален ip'(9dN, а для
вершины в'ipв возможны два контрчлена, а именно, в'((рд)в и в'(вд)(р.
Два из четырех перечисленных вершинных контрчленов запрещены
требованием галилеевой инвариантности: из него следует, что ввиду
отсутствия контрчленов ~ <p'dt<p и в'дьв (см.выше) не может быть и
вершинных контрчленов ~ ip'(<pd)<p и 8'(<рд)8, в которых (<рд) груп-
группируется с dt в ковариантную производную Vt.
Из двух оставшихся вершинных контрчленов ~ ip'(9d)9 и в'(вд)<р
второй в действительности также запрещен [212]. Он порождается
вершиной типа в'<рв, которой в исходном функционале A23) соответ-
соответствует выражение в'(8д)<р — 8'(<рд)9 = 9\vi,me,ipm с вершинным мно-
множителем Vism = Simds —Sisdm, выделенным свойством поперечности
= 0 по индексу i поля в'. Это свойство поперечности сохраня-
п. 14 Стохастическая магнитная гидродинамика, 717
ется и в любой диаграмме вершины в'(рв (обращается в нуль свертка
д с примыкающей к внешней линии в' затравочной вершиной), следо-
следовательно, оно сохраняется и в "расходящейся части" этих диаграмм.
Поэтому контрчлены данной вершины должны группироваться в
кратную затравочному вкладу комбинацию 8'(8д)<р — 9'(<рд)8, так
что из отсутствия одного из этих двух слагаемых (следствие гали-
леевой инвариантности) вытекает и отсутствие второго.
Таким образом, для ренормировки соответствующей A23) базо-
базовой модели нужны лишь три контрчлена типа <р'д2<р, в'д2в, ip'(9d)8.
Поэтому ренормированный функционал действия имеет следующий
вид:
-{<рд)<р + Ъ3(вд)в] +6'[-dt6 + Ъ2иид2в - (<рдN + (вд)<р]
с заменой всех затравочных параметров в амплитудах A25) их ба-
базовыми аналогами: D% = gov3 -> дц2еу3, DeQ = g'uv3 -> д'ц2аеи3.
Параметр р в смешанном корреляторе не ренормируется (ро = р)-
Функционал A29) получается из A23) стандартной мультипли-
мультипликативной ренормировкой полей и параметров: ф —V Ъфф и
i/0 = »Ъ„, «о = uZu, до = gfi2eZg, д'о = д'ц2ае7,д1, Л
-1 A30)
Ъ\ — Ъи, 7i2 = Z|/Zu, Z3 — Ze, Z$i — Ze , Zv — Z^i — 1. J
Поля в, в1 в данной модели ренормируются, в отличие от полей tp, tp'.
По общему правилу (п.3.13) соответствующие корреляторам A24)
нелокальные слагаемые действия не ренормируются, т.е. имеют оди-
одинаковый вид в базовом и в ренормированном действии. Отсюда сле-
следует, что амплитудные множители D* и Dq в A25), переходящие
в базовом действии в g/j.2£i/3 и g'fi2a£i/3 соответственно, остаются
такими же и в ренормированном действии A29), поэтому (с учетом
gQvl = g^u2, g'M=g'^v2. A31)
Тем самым константы ренормировки зарядов в A30) выражаются
через другие константы Z следующими соотношениями:
= v
= v в1 =
718 Глава 6. Стохастическая теория турбулентности
Как уже говорилось, входящий в смешанный коррелятор A25) пара-
параметр р не ренормируется (формально ро = pZp, Ър = 1).
Из соотношений A30),A32) следует, что константы ренормировки
полей и параметров связаны с Zi^.3 из A29) следующим образом:
= Zi, Zu = Z2ZX , Zg — Zx , Zgi = Z3Z^ ,
A33)
Отсюда для соответствующих РГ-функций fa = 2?/i lnZa получаем:
Ъ = 7i» 7« = 72 - 71» 7д = -37ь 7а' = 7з - З71, )
> A34)
7» = -7»' = 7з/2, 7v = 7v>' = 0 • J
Роль ренормированных зарядов в данной модели играют параме-
параметры д,д' и и, им соответствуют три /^-функции типа A.113):
/Зд = 5(-2e+37i) , /V =/(-2ае+371-7з) , /?« = "G1-72) • A35)
Однопетлевой расчет констант Zi,2,3 в A29) для произвольной
размерности d > 2 дает [212]:
A36)
- g'(d2 + d- A)/ABaeu2
Z2 = l- j(rf + 2)(rf-l)/2Beu(u+l)-
- /(d + 2)(rf- 3)/2Baeu2(u + 1) + ...,
Z3 = 1 + g/Beu -g'/Baeu2 + ...
с константой В = 2d(d+2)BTr)d/Sd = d(d+2)DTr)d/2\\d/2\\. Параметр
p из A25) в выражения A36) не входит, так как определяющие эти
константы диаграммы 1-неприводимых функций типа <p'ip, в'в и <р'89
в однопетлевом приближении не содержат псевдотензорных линий (рв
[212]. Но в высших порядках теории возмущений зависимость от р
в константах A36) может появиться.
В константы A36) и в соответствующие РГ-функции входят от-
отношения gju и д'/и2. Их можно устранить, перейдя отд я д' к новым
зарядам:
Я1 = д/Ви , д2 = д'/Ви2 , A37)
п. 14 Стохастическая магнитная гидродинамика
719
для которых из A34) и A35) получаем:
-7з), /?« = «G1-72)-
A38)
С этого момента будем ограничиваться лишь случаем реальной
размерности d = 3. В новых переменных A37) для d = 3 по кон-
константам A36) получаются следующие выражения для однопетлевых
РГ-функций 7,- = Т>р inZ,- [212]:
7i =
, 72 = l(W(u
73 = -2
A39)
Подставив эти выражения в A38), получим однопетлевые /?-функции
для d = 3:
852
1)] ,
= 52 [-2ore +
2g2 +
1)] .
1)]
A40)
A41)
Система /?-функций A40) имеет следующие фиксированные точки:
1) линия 51* = 52* = 0 с произвольным и, ;
2) 52* = и* = 0, 51* = ^/5 ;
3) 51* = и* = 0, 52* = ore ;
4) 52* = 0, 51* = 2е/9г/„ г/, = [D3/3I/2 - 1]/2 = 1,393 ;
5) ut = 0, 51* = еD<* - 1)/39, 52* = е(П - 5а)/39 ;
6) 51* = <«, + 1)/15, 52* = е[Ю - Зи,(и, + 1)]/60 ,
где и, для точки iVo.6 - положительный корень уравнения Зг/2 + 7и +
54 = 60а с параметром а из A24), существующий при a > 0,9.
Вычислив по /?-функциям A40) матрицу A.189), легко проверить,
что из перечисленных выше фиксированных точек ИК-устойчивыми
могут быть лишь точки No.3 и No А, названные в [211], соответ-
соответственно, "магнитной" и "кинетической". Магнитная точка JVo.3
720 Глава 6- Стохастическая теория турбулентности
ИК-устойчива при любом a > 0,25, а кинетическая точка NoA -
при любом a < 1,16. В промежуточной области 0,25 < a < 1,16
ИК-устойчивы обе эти точки. В такой ситуации выбор между двумя
возможными критическими режимами зависит от конкретных зна-
значений начальных данных в уравнениях типа A.188) для системы
/?-функций A40), и в этом смысле критическое поведение неунивер-
неуниверсально. Попытка исследовать области притяжения магнитной и ки-
кинетической фиксированных точек для реального (см. ниже) случая
a = 1 в корреляторах A24) была предпринята в работе [213]. Но в
ней игнорировалась необходимость ренормировки вершины (р'вв (по-
(поскольку авторы ошибочно посчитали ее "эффектом высшего порядка
по зарядам"), поэтому результаты [213] нельзя считать вполне до-
достоверными.
В заключение обсудим кратко проблему выбора "реального зна-
значения" параметра а в корреляторах A24). В этом разделе мы рас-
рассматривали, следуя работам [211, 212], безмассовую задачу с накач-
накачкой типа A0) и с произвольными положительными параметрами е
и а в A24). В действительности безмассовая модель имеет смысл
лишь в области 0 < е < 2 с "реальным" значением е = 2, кото-
которое соответствует (^-образной накачке (91). Но тогда естественно
требовать, чтобы и коррелятор Dee в A24) при е = 2 переходил в
о-образную ИК-накачку типа (91), что возможно лишь при a = 1.
Поэтому в безмассовой модели естественными "реальными" значе-
значениями параметров е и а следует считать е = 2 , or = 1. Отметим,
что в массивной модели типа (9) накачка энергии коррелятором D99
была бы инфракрасной при любом a > 0 для достаточно большого
значения е > 0. Но модели такого типа в стохастической магнитной
гидродинамике не рассматривались.
п.15 Критические размерности в МГД. Если вычислять
критические размерности Ар различных величин F по стандарт-
стандартному правилу E3), то по известным каноническим размерностям с
учетом соотношений A34) для d = 3 получим:
ДШ = -Д,=2-7Г, Д„ = 1-тГ, Ав = 1-71+7з/2,
А^ + Av> = Ав + Ав> = d = 3 .
В кинетическом режиме (точка NoA в списке A41)) из A38) имеем
■у* = 72 = 2е/3 (точные значения), а для 7з из A39) в однопетлевом
п. 15 Критические размерности в МГЦ 721
приближении находим 73 = —4е/9и» |..,си»= 1,393. Для величин
F = ш, <р, ip' это дает прежние ответы D3), а для поля в из A42)
получаем
Ав = 1 - 2е/3 - 2е/9и, + ... . A43)
Многоточие везде обозначает поправки порядка е2, е3 и так далее.
В магнитной фиксированной точке (No.3 из списка A41)) в одно-
петлевом приближении A39) имеем:
7? = 4<*е + ... , 72* = 0 + .: • , 7з = 2<*е+ ■ ■ • A44)
с параметром a из A24). В нормальной ситуации искомые значе-
значения ДР для магнитного режима должны получаться подстановкой
величин A44) в соотношения A42).
Именно такой вывод относительно критических размерностей в
двух возможных ИК-режимах был сделан в работе [212]. Но в дей-
действительности этот вывод неправилен (что было отмечено в [214]),
так как здесь мы имеем дело с особым случаем д* = 0 для некоторых
зарядов. Отметим, что с подобной проблемой мы уже имели дело
в п.4.28 при обсуждении голдстоуновской асимптотики коррелятора
А,.
Поясним подробнее суть данной проблемы для рассматриваемой
модели. Пусть FR = WnR - произвольная ренормированная связная
функция Грина с Пф полями ф = <р, <р', в, в' и 7р = *£1пф1ф ~ ее
аномальная размерность (напомним, что в данной модели поля в и
в' ренормируются). Функция Fn удовлетворяет стандартному РГ-
уравнению E.106), в данном случае с a = v и с суммированием по
трем зарядам д = {gi, #2> u = #з} в слагаемом j3gdg. Удобно перейти
к канонически безразмерным переменным, введя аналогичное B7)
представление
Fn = **•!/* .R(k/ii,L;/vk2,g,...), к/ц = 8, A45)
в котором dp и d" - соответствующие канонические размерности
функции FR, g - набор всех безразмерных ренормированных заря-
зарядов. В общем случае функция FR зависит от нескольких импульсов
и частот. Любые из них можно взять в качестве к и ш в A45), а
у функции R будут тогда дополнительные аргументы типа kj/к, и
u>i/u>s. В A45) они обозначены многоточием и для дальнейшего не-
несущественны.
722 Глава 6. Стохастическая теория турбулентности
Если подставить FR в форме A45) в РГ-уравнение типа E.106),
то по изложенным в п. 1.29 общим правилам получим следующее РГ-
представление для FR:
FR = kd* ■ (F)<# • Щ1,ш/пк2, д,...) • %p , A46)
в котором V и J - соответствующие инвариантные переменные, а
Д-ур - порождаемый ренормировкой полей добавочный множитель
A47)
Его вид определяется соотношением A.141) с^ = 1пДи7 = ~7р в
данном случае.
В ИК-асимптотике s = к/ц —>■ 0 имеем J —>■ gt , V —>• F» (см. п.5),
а в множителе A47) 7р —*■ 7pj поэтому
Щр -4- const • (k/ц)* , 7; = ъЫ ■ A48)
Отсюда при добавочном предположении конечности скейлинговой
функции R в A46) (т.е. конечности ее аргументов и функции R
как целого) получаются стандартные формулы E3) для критических
размерностей.
Конечность скейлинговой функции позволяет считать ее крити-
критически безразмерной величиной в ИК-режиме. Это нормальная ситу-
ситуация, характерная для большинства задач такого типа (напомним,
что именно из требования конечности аргумента w/Vk2 скейлинго-
скейлинговой функции определяется относительная скорость убывания пере-
переменных ш и к в ИК-асимптотике). Но для ИК-режимов в модели
A29) предположение о конечности скейлинговой функции R в A46)
для некоторых функций Грина не выполняется, что и приводит к
нарушению справедливости правила E3). Ниже мы рассмотрим от-
отдельно два возможных ИК-режима [183].
1. Кинетический режим. В нем #2* = 0, а проблема состоит
в том, что для исчезающих при д2 = 0 функций Грина с пв > пв>
функция R в A46) содержит общие множители J2 —>■ 0. В частности,
для ренормированного коррелятора FR =< 99 >R из функции R в
A45) выделяется один множитель д2- Введя для нее обозначение R =
g2R, для функции R в A46) в ИК-асимптотике s = к//л-*0 получаем
п. 15 Критические размерности в МГЦ 723
(указываем явно лишь существенную для дальнейшего зависимость
от зарядов):
R = g2R(g1,g2,u)~s"*-R(git,Q,ut) , A49)
где Ш2 - поправочный индекс (п. 1.42), характеризующий скорость
убывания при s —>■ 0 инвариантного заряда J2 —*■ 52* = 0. По /?-
функциям A38) с учетом соотношений 7* = 72 = 2^/3 для кинетиче-
кинетической фиксированной точки нетрудно показать, что в данном случае
= dgjg,\g. = 2e-2ae-1l . A50)
Таким образом, в кинетическом режиме скейлинговая функция
R в A46) для ренормированного коррелятора < 99 >R оказывается
критически размерной величиной с A[R] = ш2, что соответствует
добавке ш2/2 к критической размерности поля 9.
Обозначив измененные с учетом этой'добавки критические раз-
размерности через ДР) из соотношений A42) и сказанного выше полу-
получаем:
Ав = Д9 + Ш2/2 = 1-2е/3 + еA-а) , Ae + Ae> = d = 3 . A51)
Отметим, что ответы A51) точные, т.е. не имеют поправок порядка
е2 и выше, поскольку вклад 7з в A51) сокращается.
Размерность поля 9 в A51) определена по виду коррелятора
< 99 >R. Но можно показать, что полученный таким путем ре-
результат универсален, т.е. для всех функций Грина в кинетическом
режиме есть ИК-скейлинг с критическими размерностями ДР, сов-
совпадающими с прежними размерностями D3) для F = ш, (р, (р' и с
новыми размерностями A51) для полей 9 и 9'. Для доказательства
нужно сделать в функционале A29) замену переменных ф(х) —>■ ф(х),
перейдя к новым полям 9,9' [214]:
9(х) = 9{х)-д-112 , 9'(х) = 9\х)-д\'2 A52)
без изменения полей ip и ip' (<р = <р, <р' = <р'). Нетрудно показать,
что для новых полей ф аномальная размерность 7f b РГ-уравнении
E.106) получает добавку (п$ — пв')^д2/2д2, что в рассматриваемом
724 Глава 6. Стохастическая теория турбулентности
ИК-режиме эквивалентно добавке ±шг/2 к критическим размерно-
размерностям полей вив'. Остается добавить, что теперь критические раз-
размерности всех основных величин можно вычислять по обычному пра-
правилу E3), поскольку "проблема нуля в Д-функциях" после замены
A52) исчезает. Действительно, при такой замене заряд #2 перехо-
переходит из пропагаторов в вершину <р'вв, так что при вычислении ИК-
асимятотики в режиме J2 —>■ 0 этой вершиной можно просто пре-
пренебречь. Важно, что все функции Грина новых полей ф при этом
остаются конечными, а магнитное поле играет тогда роль простой
пассивной примеси. Отметим также, что при "реальных значениях"
£• = 2, a = 1 исправленные критические размерности A51), в отли-
отличие от исходных Ав и Ав' в A42), совпадают с соответствующими
колмогоровскими размерностями (8) для полей ip и <р'.
2.Магнитный режим. В этом режиме и, = 0, #1* = 0, #2* ф О,
а инвариантные переменные п и д~1 убывают при s = к/ц —>■ 0 по
степенным законам
п ~ зШи -+ 0 , Jx ~ 5Ш1 ->■ 0 A53)
с показателями
ши = 7t~72 =4ш- + ... , Ш1 =-2е+27t-7г = -2е+8ае+... . A54)
При д\ =0, 52 Ф 0, и ф 0 функции Грина с нечетным зна-
значением суммы п$ + пв' исчезают (отметим, что они могут поро-
порождаться только диаграммами с участием смешанного коррелятора
(рв), а все прочие функции Грина при этом остаются конечными.
Исключив пока особый случай нечетного числа п$ + щ< из рассмо-
рассмотрения, заключаем, что для прочих функций Грина "проблемы нуля
при Jx —>■ ди = 0" в скейлинговых функциях не существует. Но в
магнитной фиксированной точке остается вторая "проблема особен-
особенностей при п —>■ и, = 0" (в отличие от зарядов #1,2, параметр и может
оказаться и в знаменателях, поэтому теперь приходится говорить не
о "нулях", а об "особенностях" скейлинговых функций). Для дина-
динамических функций Грина в переменных A37) эта проблема решается
[214] с помощью аналогичной A52) замены переменных ф(х) —>■ ф(х)
в функционале A29):
<р(х) = и $(х) , <р'{х) = р'(х) ,
в(х) = и1'2 в(х) , в'(х) = и'1'2 в'(х) ,
п.15 Критические размерности в МГЦ 725
где х = (£,х), х = (ut,x). После замены A55) в функционале A29)
параметр и войдет лишь в виде множителя при слагаемых ip'dtip и
(р'((рд)!р. Поэтому в асимптотике A53) эти вклады действия исче-
исчезают, но оставшихся достаточно для обеспечения конечности пре-
предела п = О, <7i = 0 для всех динамических функций Грина с чет-
четным значением числа n$ + ngi. Отсюда следует, что для этих объ-
объектов скейлинговые функции в РГ-представлениях остаются конеч-
конечными, так что критические размерности можно находить по изло-
изложенной в п.5.16 общей схеме, комбинируя РГ-уравнение с масштаб-
масштабными. Легко проверить, что для функций Грина новых полей ф
при замене A55) в РГ-уравнении типа E.106) появляется добавка
[Dt + П(р + ne/2 — ngi/2] 0и/и к оператору 2>РГ. В рассматриваемом
ИК-режиме имеем /Зи/и —> ши = 7i —72, и это приводит при комбини-
комбинировании РГ-уравнения с масштабными (п.5.16) к следующим новым
значениям критических размерностей [214] (d = 3):
Аш = -Д» = 2-7
Ae = l-as
с 7* из A44). Отметим, что критические размерности связанных
преобразованием A55) полей ф и ф совпадают, поскольку множители
и в A55) критически безразмерны.
Таким образом, для динамических функций Грина полей ф с чет-
четным значением щ+пв' в магнитном режиме имеет место ИК-скейлинг
с критическими размерностями A56). Это автоматически влечет
аналогичное свойство и для статических корреляционных функций
полей 1р и в, но только тогда, когда эти объекты в предельной те-
теории с и = #1 = 0 существуют, т.е. тогда, когда интегралы по
частотам от соответствующих динамических функций в предельной
теории с и = #1 — 0 оказываются сходящимися. В рассматриваемой
модели это условие выполняется для всех статических объектов, за
исключением корреляционных функций (pip и £>£>£>. Для них инте-
интегралы по частотам при и = 0 расходятся, что означает появление
дополнительной особенности по и в статической скейлинговой функ-
функции.
Эта проблема для статического коррелятора (pip была подробно
726 Глава 6. Стохастическая теория турбулентности
исследована в работе [211], где было показано, что
при a > i/з ,
при a K {/г A57)
Наиболее реалистическому (см. замечание в конце п. 14) значению
a = 1 соответствует первый из двух вариантов A57). Отметим, что
в [211] использовалась старая техника реккурсионных соотношений
Вильсона (п. 1.1) и рассматривались только парные корреляторы (pip
и вв, а не ИК-скейлинг как общее свойство всех функций Грина.
Обоснование асимптотики A57) на принятом в данной книге языке
можно найти в [183].
В нормальной ситуации при наличии скейлинга с размерностями
Аф для полей ф их статические корреляторы должны вести себя сле-
следующим образом:
<Ш>,t ~ к-"+2АФ . A58)
В рассматриваемом режиме правило A58) соблюдается для корреля-
коррелятора вв, но не соблюдается для коррелятора (pip, т.е. в данном случае
нет универсального ИК-скейлинга с определенными размерностями
полей и параметров для всех функций Грина.
Этот вывод подтверждается и анализом ИК-асимптотики дина-
динамических функций Грина с нечетным значением rig ■+- пе1, которые
до сих пор исключались из рассмотрения. Такие функции исчезают
при исчезновении смешанного коррелятора A24), поэтому все они
должны содержать, как минимум, один дополнительный множитель
#]/ . В рассматриваемом ИК-режиме это приводит к появлению до-
дополнительной "малости" ~ QjiI''2 ~ вШ1'2 по сравнению с рассмот-
рассмотренными ранее функциями Грина, и это также есть нарушение уни-
универсальности.
Изложенный выше РГ-анализ ИК-асимптотики для магнитной
фиксированной точки полезен в методическом отношении. Он по-
показывает, что в нетривиальных моделях следствием стандартных
РГ-уравнений в ИК-асимптотике может быть не только обычный
универсальный ИК-скейлинг, но и гораздо более сложные варианты
поведения функций Грина. В этом смысле РГ-техника существенно
богаче простой идеи критического скейлинга.
п.16 Турбулентное динамо в гиротропной МГД. Турбу-
Турбулентным динамо в МГД называют [215] эффект генерации крупно-
п. 16 Турбулентное динамо в гиротропной МГД 727
масштабного магнитного поля за счет энергии турбулентного дви-
движения среды. Такой эффект может, иметь место только при наличии
"гиротропности", т.е. при несохранении пространственной четно-
четности.
В гиротропной МГД корреляторы шумов т) в уравнениях A22)
задаются в виде суммы тензорного и псевдотензорного вкладов [216,
217], в частности (d = 3),
£>Г = Щ к1-2' [Pit + ipeitmkm/k] A59)
вместо чисто тензорной структуры в A24). Вещественный пара-
параметр р в A59) характеризует величину гиротропности, требование
положительной определенности коррелятора ГУЙЧ> накладывает огра-
ограничение \р\ < 1.
Гиротропная стохастическая гидродинамика с коррелятором типа
A59) впервые была рассмотрена в работе [216] в рамках РГ-техники
реккурсионных соотношений Вильсона. В этой работе было пока-
показано, что в обычной (без магнитного поля) гидродинамике введе-
введение гиротропности не нарушает ИК-устойчивости критического ре-
режима и не меняет значений критических размерностей D3) основных
величин, поэтому сказывается только на явном виде скейлинговых
функций. Для гиротропной МГД в [216] была обнаружена генера-
генерация "роторных членов" (см. ниже), приводящая к неустойчивости
системы. Отсюда в [216] был сделан вывод о неприменимости РГ-
техники в данном случае. Но в действительности это не так: позднее
в работе [217] было показано, что возникновение крупномасштабного
магнитного поля (т.е. явление динамо) стабилизирует систему и по-
позволяет выполнить стандартный РГ-анализ модели в новом устой-
устойчивом режиме. Эффект динамо объясняется в [217] обычным меха-
механизмом спонтанного нарушения симметрии: нормальное решение с
< в(х) >= 0 оказывается неустойчивым и стабилизируется за счет
появления пространственно-однородного среднего магнитного поля
<0>=С/О.
Переходим теперь к более подробному изложению результатов
работы [217]. В ней рассматривается модель A22) без магнитного
шума (rf = 0) и с коррелятором A59) для шума rf. Анализ пока-
показывает, что введение гиротропии не нарушает мультипликативной
ренормируемости модели при вычислениях в формальной схеме без
728 Глава 6. Стохастическая теория турбулентности
обрезания Л (п.1.20). Отсюда следует, что ренормированное дей-
действие имеет обычную форму A29), только теперь без вкладов с Dee
и 1Ув из-за отсутствия магнитного шума:
<p'[-dt<p + Ъхид2ч>- (ipd)ip+
+%з(вд)в] + в'[-дгв + Z2uvd4 - {ч>дN + (вд)(р]
с обычной подстановкой Dq = gai/$ = if/*2* в амплитуде корреля-
коррелятора A59). Входящий в него параметр гиротропии не ренормиру-
ется: ро = Р-
Для нормального решения, которое представляется диаграммами
теории возмущений в модели A60), все корреляторы < в >, < вв >,
< ввв > ... с любым числом полей в оказываются равными нулю
из-за отсутствия пропагатора вв. Но это нормальное решение в дей-
действительности неустойчивее что доказывается путем анализа функ-
функций отклика < ipip' > и < вв' > в модели A60).
Напомним (п.5.5), что в динамических моделях критерием устой-
устойчивости является требование затухания всех малых возмущений, ко-
которое обеспечивается "правильным поведением" функций отклика:
все их полюса по ш должны находиться в нижней полуплоскости.
Функции отклика в модели A60) можно представить соотноше-
соотношениями
<вв>>= [(-iu>+Z2
в которых Р — поперечный проектор, а матрицы Т^ ^ для полей ф =
р, в - вклады 1-неприводимых собственно-энергетических диаграмм
с линиями и вершинами модели A60). В простейшем однопетлевом
приближении
A62)
Индексы на концах линий уточняют тип пропагаторов и вершин, за-
заряд g входит множителем в линии ipip. Отметим, что все вклады
п. 16 Турбулентное динамо в гиротропной МГЦ 729
в A61) поперечны по векторным индексам, а символ "—1" должен
пониматься как "обращение на подпространстве" поперечных век-
векторов.
Устойчивость в нулевом приближении обеспечивается правиль-
правильным знаком затравочных слагаемых ~ vk2 в A61). Поправки от
диаграмм A62) содержат множитель д, который в теории возму-
возмущений считается малым параметром, и не имеют (как показывает
явный расчет) особенностей по переменным шик, которые могли
бы компенсировать малость д. Поэтому, на первый взгляд, кажется,
что поправки от графиков И^ * не могут конкурировать при малом
д с затравочными вкладами и, тем самым, не могут приводить к
нарушению устойчивости.
Это верно, но только с одним исключением: если в разложении
Т,^ ^(w,k) пои и к имеется линейное по к слагаемое, то его вклад
~ дк при к —> 0 будет главнее вклада "затравки" ~ vk2 незави-
независимо от величины д, и тогда для малых к устойчивость может нару-
нарушаться. Очевидно, что это невозможно при отсутствии гиротропии,
поскольку не существует линейного по к и поперечного по векторным
индексам истинного тензора. Но при введении гиротропии требова-
требование "истинности" снимается (несохранение пространственной чет-
четности), и тогда в матрице E,s допустим вклад ~ ieismkm с веще-
вещественным коэффициентом. В координатном представлении таким
вкладам соответствуют добавки ~ гогф к правым частям динамиче-
динамических уравнений типа A22), которые в дальнейшем будут называться
"роторными членами".
Появление роторных членов вЕ^ заведомо ведет к неустойчи-
неустойчивости при малых к, поскольку матрица i£ismkm имеет собственные
значения ±|Аг|, т.е. не является знакоопределенной.
Поэтому важно знать, присутствуют ли в Е^ роторные члены.
Выполненный в работе [217] расчет диаграмм A62) для модели A60)
с коррелятором A59) показывает, что в £*" *" роторных членов нет,
а в £* * они присутствуют, а именно:
"(-) L
где p - параметр гиротропии из A59), Л - УФ-обрезание. Поскольку
ренормированный заряд д должен считаться величиной порядка £
(п.1.27), зависимостью от е других множителей в A63) в низшем
730 Глава 6. Стохастическая теория турбулентности
порядке £-разложения можно пренебречь - их учет в однопетлевом
приближении был бы превышением точности.
Необходимо подчеркнуть, что выражение A63) в терминологии
п.1.19 является регулярным вкладом и было бы полностью потеряно,
если бы вычисления производились в рамках формальной схемы без
обрезания Л. Как подробно пояснялось в п.1.20, регулярными вкла-
вкладами можно пренебрегать тогда, когда они приводят лишь к пере-
перенормировке несущественных параметров типа Тс. Но в нашем случае
ситуация иная, так как в исходных уравнениях A22) нет затравоч-
затравочных роторных членов. Поэтому их появление при включении взаи-
взаимодействия - объективный фактЛ свидетельствующий о неустойчи-
неустойчивости нормального решения с < 0(х) >= 0 по отношению к флукту-
ациям магнитного поля в.
Эта неустойчивость проявляется в области малых импульсов к
и "максимальна" при к —> 0, т.е. для пространственно-однородных
флуктуации поля в. Поэтому естественно предположить, что си-
система стабилизируется за счет появления отличного от нуля прост-
пространственно-однородного среднего поля < 0,-(х) >= Ci ф О подобно
тому, как ферромагнетик ниже Тс стабилизируется за счет появле-
появления спонтанной намагниченности.
Для проверки этого предположения необходимо сделать в A60)
сдвиг в(х) —У в(х) + С и затем убедиться, что выбором подходящего
значения С можно добиться исчезновения неустойчивости. Такой
расчет в однопетлевом приближении был сделан в работе [217]. Там
было показано, что после сдвига линейные по импульсу к вклады в
£*" *" не появляются, авЕ" такие вклады приобретают следующий
вид:
■**} - <164>
где n,- = Ci/\C\ - единичный вектор направления спонтанного поля
С,-. Ответ A64) приведен в низшем порядке £-разложения с прене-
пренебрежением поправками по е (см. текст после формулы A63)).
Из A64) видно, что сдвиг 0,(z) -¥ 9((х) + С,- порождает вместе
с роторным членом второй линейный по к вклад, который в [217]
назван "экзотическим". Он также важнее вклада ~ vk2 при малых
к, поэтому также мог бы порождать неустойчивость. Будь это так,
п. 16 Турбулентное динамо в гиротропной МГЦ 731
стабилизация путем сдвига в стала бы невозможной, поскольку оба
вклада в A64) выбором С устранить нельзя. Но в [217] показано, что
"экзотический" вклад неустойчивости не порождает, так что в этом
отношении опасны только "роторные вклады". Их можно сократить
в A64) выбором
\С\ = SvAu^/Sw A65)
(самое важное здесь то, что знак при \С\ в A64) оказывается "хоро-
"хорошим", т.е. допускающим сокращение роторных членов).
Соотношение A65) определяет в однопетлевом приближении аб-
абсолютную величину \С\ возникающего спонтанно однородного маг-
магнитного поля ("эффект динамо"). Его направление остается совер-
совершенно произвольным, как и должно быть в задаче со спонтанным на-
нарушением симметрии. При численной оценке параметры i/ииъ A65)
можно заменить их затравочными значениями, а Л - обратной дисси-
пационной длиной. Следует также учесть, что вектор < #.(ж) >= С,-
отличается от магнитной индукции 5,- известным множителем (см.
пояснения к уравнениям A22)).
Важным свойством решения A65) является отсутствие в нем па-
параметра р: спонтанное поле С остается конечным при сколь угодно
слабой гиротропии, хотя без нее оно бы вообще не могло появляться.
Поэтому можно сказать, что гиротропия нужна лишь для "включе-
"включения механизма" спонтанного нарушения симметрии, а ее численная
величина роли не играет. В этом смысле гиротропия в данной за-
задаче играет такую же роль, как внешнее магнитное поле для ферро-
ферромагнетика. Поэтому можно полагать, руководствуясь общей идеей
"квазисредних" [218], что "эффект динамо" в МГД должен иметь
место и при отсутствии гиротропии.
При выполнении условия устойчивости A65) в выражении A64)
остается только линейный по к "экзотический" вклад. В работе [217]
исследовано его влияние на структуру длинноволновых возбуждений
линеаризованных уравнений A22) в режиме "динамо", т.е. со сдви-
сдвигом в{ —>■ в{ + С{. В линейном приближении без учета вязкости и
экзотического члена решениями этих уравнений являются две обыч-
обычные моды альфеновских волн [210, §69]. Учет экзотического члена
приводит к тому, что в одной из этих двух мод (поляризованной ор-
ортогонально вектору направления спонтанного поля) появляется ли-
линейный рост со временем. Формально это также неустойчивость, но
732 Глава 6. Стохастическая теория турбулентности
только очень слабая (по сравнению с обычным экспоненциальным
ростом), поэтому она исчезает при учете экспоненциального затуха-
затухания ~ expf—i/k2t] за счет вязкости.
п. 17 Критические размерности в режиме динамо. Рассмо-
Рассмотрим теперь проблему совмещения эффекта динамо и РГ-техники
[183, 217].
Процедуру ренормировки соответствующей A60) неренормиро-
ванной модели можно разделить на два этапа. Первый из них есть
"Л-ренормировка" (п.1.20). В данном случае она сводится к вычи-
вычитанию из всех неренормированных диаграмм Е9 в степенных по Л
регулярных вкладов типа A63) (в других диаграммах регулярных
вкладов нет) и заменой всех этих вкладов эквивалентной явной добав-
добавкой роторного члена v^h^e'rote к неренормированному функционалу
действия. Таким путем по диаграммам вычисляется новый затра-
затравочный параметр Ло- Он имеет размерность импульса и в теории
возмущений представляется в виде аналогичного A.99) ряда
Ло = Л £(<7оЛ-2Т сп(и0,р,е) , A66)
п=1
содержащего только затравочные параметры и обрезание Л. Первый
член ряда A66) определяется соотношением A63): Ci = р/6ж2A +
Таким путем мы приходим к неренормиррванной теории с добав-
добавкой к действию затравочного роторного члена i/oho9'rote и с под-
подразумеваемым вычитанием регулярных вкладов из всех диаграмм.
Последнее означает, что теперь все диаграммы можно вычислять в
рамках формальной схемы без обрезания Л и тогда в них появляются
полюса по г (п. 1.20). Эти полюса устраняются стандартной проце-
процедурой мультипликативной £-ренормировки, эквивалентной введению
трех указанных в A60) констант Z и еще одной новой константы
Z4 = Zj/Zft при роторном члене, через которую определяется кон-
константа ренормировки нового параметра ho'. Ло = AZ/,. При этом
важно, что в формальной схеме типа MS размерный параметр Л не
может входить в константы ренормировки Z. Поэтому добавка ро-
роторного члена не влияет на вычисляемые без его участия в рамках
формальной схемы три константы Z в A60). Эта добавка приводит
лишь к появлению новой константы ренормировки Z/,, без которой в
п. 17 Критические размерности в режиме динамо 733
окончательных РГ-уравнениях можно обойтись (см. ниже). Безраз-
Безразмерный параметр гиротропии р в константы Z входить может, но в
однопетлевом приближении этого не происходит.
Для функций Грина полученной таким путем ренормированной
модели справедливы обычные РГ-уравнения типа E.106) с добавкой
вклада —fh^h к оператору Т>РГ от новой переменной Л. При этом
имеются в виду ренормированные функции Грина для нормального
решения с нулевыми средними < 6 >, < 66 >, ...ис порождающим
неустойчивость УФ-конечным (вследствие ренормировки) роторным
вкладом в функции отклика < 66' >. Этот вклад устраняется "эф-
"эффектом динамо" - подходящим сдвигом 6 -л 6 + С магнитного поля
6. Эту процедуру можно выполнить как до £-ренормировки, получив
тем самым некоторое выражение Со = Со (Ло, 9о, "о, «о, Р, в) для нере-
нормированного спонтанного поля Со, так и после £-ренормировки,
что даст аналогичную связь С = C{h,g,i/,u, р, ц,е) для ренормиро-
ванных параметров. Отметим, что обрезание Л в эти формулы явно
не входит (но входит неявно через Ло согласно A66)), поскольку все
расчеты после Л-ренормировки выполняются уже в рамках формаль-
формальной схемы п. 1.20. Отметим также, что в Со отсутствует зависимость
от ренормировочный массы ц, т.е. величина Со ренорминвариантна
(как и должно быть по ее физическому смыслу), а в ренормированной
версии связь между параметрами С и Л УФ-конечна (нет полюсов по
е), поскольку она определяется только через ренормированные вели-
величины.
Ренормированные функции Грина в режиме динамо можно полу-
получить сдвигом аргумента 6(х) —> 6(х) + С в производящем функцио-
функционале Гв(<£) 1-неприводимых ренормированных функций Грина исход-
исходной теории без сдвига. Поскольку сдвиг на УФ-конечную величину
в УФ-конечном функционале Гв(<^) не нарушает УФ-конечности объ-
объекта, ясно, что параметр сдвига должен ренормироваться той же
самой константой Z, что и поле 6:
Со = С Ъс , Zc = Ъв . A67)
После сдвига в ренормированные функции Грина войдет и вели-
величина С, но ее не нужно считать новой переменной, поскольку она
выражается через Л и прочие параметры модели. Отсюда ясно, что
при выборе Л в качестве независимой переменной переход к режиму
= 7*>' = 0, 7» = -79' = 7з/2, Ъ - 79
734 Глава 6. Стохастическая теория турбулентности
динамо сдвигом в вообще не должен менять вида тех РГ-уравнений
для функций Грина, о которых говорилось выше.
Но в режиме динамо появляется другая возможность: теперь
в качестве независимой переменной можно взять С вместо Л, что
приведет к замене —7fc£>ft —^ —fcDc в операторе Т>РГ. Преимуще-
Преимущество такого выбора состоит в том, что теперь вместо РГ-функции
■ул = Т>ц In Zft, для нахождения которой нужно вычислять новую кон-
константу Zft, в РГ-уравнение войдет известная из A67) РГ-функция
7с = 79- Тогда все нужные для записи РГ-уравнений величины
выражаются через три константы ренормировки Z модели A60) с
коррелятором A59). Соотношения A33) - A35) при этом сохраня-
сохраняются (но теперь д' = 0), поэтому в РГ-уравнениях типа E.106) для
ренормированных связных функций Грина в режиме динамо имеем
A68)
с /^-функциями из A35).
Константы ренормировки Z в A60) могут зависеть и от параме-
параметра гиротропии р в A59). В однопетлевом приближении зависимость
от р еще не появляется, поэтому три константы в A60) совпадают
с выражениями A36) при д' = 0 для модели без гиротропии. Но в
любом случае из-за отсутствия ренормировки полей ip, ip' и сохране-
сохранения связи Ъд — Z~3 в A33) будут сохраняться и выражения D3) для
критических размерностей величин ui,ip,ip'.
Из РГ-уравнений E.106) с РРГ из A68) для функций Грина в
режиме динамо вытекают обычные РГ-представления типа A46) с
добавочной инвариантной переменной С. В рассматриваемой сейчас
модели [217] без магнитного шума (д' = 0) возможен только кинети-
кинетический ИК-режим (п.15). При этом обсуждавшаяся в п.15 "проблема
нулей ~ #2 в Д-функциях" теперь отсутствует, так что критические
размерности можно вычислять по стандартному правилу E3). Дело
в том, что теперь мы рассматриваем модель с ^2 = 0 в обозначе-
обозначениях п. 15. В режиме динамо множители д2 в R-функциях заменя-
заменяются множителями \С\2, которые с самого начала считаются кри-
критически размерными величинами (в отличие от заряда д2, который
становится критически размерной величиной только в особом случае
п. 18 Двумерная турбулентность 735
<72* = 0). Поэтому критические размерности в режиме динамо опре-
определяются обычными соотношениями A42) для кинетической фикси-
фиксированной точки, к которым теперь следует добавить вытекающее из
A67) равенство Дс = А». Как пояснялось в п. 15, из соотношений
A42) вытекают обычные формулы D3) для критических размерно-
размерностей ДР величин F = w,(p,ip' и выражение A43) для Ае = Ас. Срав-
Сравнивая величины Av и Ае (напомним, что канонические размерности
полей ip и 9 одинаковы), заключаем, что в режиме динамо
Ae = Ae = Av+ 7e , ll = 7з/2 = -2е/9«, + ... A69)
са, = 1,393.
Основной качественный результат приведенного выше РГ-анали-
РГ-анализа [217] состоит в том, что магнитные величины в и С, в отличие от
скорости <р, имеют при реальном е = 2 отличные от колмогоровского
значения Д^ = —1/3 критические размерности из-за добавки 7J от
нетривиальной ренормировки поля в. Такая возможность обычно
не учитывается в работах, посвященных обобщению колмогоровской
феноменологии на режим турбулентного динамо (см., например, [219]).
п.18 Двумерная турбулентность. Вернемся к основной сто-
стохастической задаче A) и обсудим, следуя работе [220], исключав-
исключавшийся до сих пор из рассмотрения случай двумерной турбулентно-
турбулентности (d = 2).
Как пояснялось в п.4, при d — 2 появляется добавочная квадра-
квадратичная расходимость в 1-неприводимой функции типа ip'ip', которая
требует введения добавочного локального контрчлена ~ tp'd2tp'. В
некоторых работах (например, в [212, 221]) эту добавочную расхо-
расходимость ошибочно пытались устранить введением новой константы
ренормировки Z при нелокальном слагаемом действия ~ ip'Dp' (а в
[211] она вообще игнорировалась). Но это неправильно: хотя в про-
простейшем однопетлевом приближении устранить расходимость таким
способом действительно можно, в высших порядках так не будет,
поскольку такая процедура противоречит фундаментальному прин-
принципу локальности контрчленов, на котором основана вся теория УФ-
ренормировки (гл.З).
В работе [220] рассматривалось обобщение двумерной задачи с
переменной размерностью пространства d — 2 + 2Д. Произвольный
параметр Д рассматривается как второй регуляризатор в дополне-
дополнение к е из A0). Логарифмической теории соответствуют значения
736 Глава, 6. Стохастическая теория турбулентности
е — О, Д = О (т.е. d — 2), а "реальная теория" получается экс-
экстраполяцией от логарифмической к "реальным значениям" ер = 2 и
заданному Ар по прямой Д ~ е. Непосредственно двумерной задаче
соответствует частный случай Д = 0, но выбором подходящего ко-
коэффициента пропорциональности а на луче Д = as можно получить
при ер = 2 любое наперед заданное значение "реальной размерности"
dp = 2 + 2asp, в том числе и dp = 3. В такой постановке задача рас-
рассматривалась в работах [220, 221], но в [221] ренормировка вклада
~ ip'tp' ошибочно предполагалась мультипликативной. Эта ошибка
была исправлена в работе [220], результаты которой кратко излага-
излагаются ниже. Более подробное обсуждение всех этих вопросов можно
найти в книге [183].
В [220] рассматривается модификация модели A2) с безмассовой
накачкой типа A0) в размерности d — 2 + 2Д. Модификация состоит
в том, что к обычной функции накачки A6) с подстановкой в нее
d = 2 + 2Д добавляется кратное к2 локальное слагаемое:
N(k) = <7о^2~2Л~2£ +9>о & . <*Ы = 2е, d[g'o] = -2Д . A70)
Добавка ~ к2 нужна для обеспечения мультипликативности ренор-
ренормировки, так как такой вклад появляется в качестве контрчлена. Ко-
Коэффициент д'о при ней играет рюль второго затравочного заряда (его
суммарная каноническая размерность указана в A70)), а его "реаль-
"реальным значением" для исходной модели A0) в теории турбулентности
следует считать д'о = 0, чтобы иметь ИК-накачку при е — 2.
УФ-расходимостями базовой теории являются теперь полюса по
совокупности регуляризаторов е и Д, которые нужно формально рас-
рассматривать как величины одного порядка малости. В [220] показано,
что для ренормировки данной модели нужны лишь контрчлены типа
ip'd2ip и ip'd2ip', поэтому ренормированное действие имеет вид
ip'/2 )
\ A71)
Ядро D квадратичной формы ip'Dp' в A71) записано символически,
точный смысл введенных обозначений ясен из контекста. Константы
ренормировки Z в A71) являются функциями двух безразмерных ре-
нормированных зарядов д,д' и двух регуляризаторов £ и Д.
п. 18 Двумерная турбулентность 737
Согласно теории аналитической ренормировки с несколькими ре-
гуляризаторами [222], подходящим выбором констант Z в A71) можно
добиться устранения из функций Грина всех УФ-расходимостей, т.е.
полюсов по совокупности малых параметров £ и Д. Более точно, это
означает, что для этих функций конечный предел при одновремен-
одновременном стремлении е и Д к нулю, во-первых, существует, во-вторых,
не зависит от отношения А/е, т.е. от "способа стремления к нулю"
регуляризаторов.
Действие A71) получается из неренормированного функционала
A2) с накачкой A70) мультипликативной ренормировкой параме-
параметров без ренормировки полей:
Отсюда для РГ-функций получаем:
7^^ A/j А/ -■■■ ^_ 4*V.* А/ ■ -■■■ А/л ,^_ {А/. А/ ^^ А/ ■ ^^ f|
v — 71, 1д — i, ig' — 72 i> 7*> — 7*>' — и,
A73)
= д[-2е + 37i], . /?9' = ^'[2Д - 72 + 37i].
Однопетлевой расчет констант Z дает [220]:
A74)
Z2 = l — i
По этим константам вычисляются аномальные размерности 7« —
7i = (д+д')/32ж + ..., 72 = (д+д'J/Шд'+.... A75)
Их подстановка в A73) дает все искомые РГ-функции в однопетлевом
приближении.
Анализ полученных таким путем /?-функций показывает [220],
что они имеют следующие три фиксированные точки:
1.0, = g't = 0 ;
2. д* = 0 , g'jZ2ir = -А ; } A76)
738 Глава 6. Стохастическая теория турбулентности
Точка No.2 названа в [220] "тепловой", a JVo.3 - "колмогоровской".
Стандартный анализ (п. 1.42) показывает, что точка No.l явля-
является ИК-притягивающей в квадранте е < 0, Д > 0, точка No.2
- в секторе Д < 0, 2е + ЗД < 0, а точка No.3 - в секторе е >
0, 2е + ЗД > 0. Границы между этими областями являются "ли-
"линиями кроссовера", на которых происходит смена ИК-режима из-за
смены "управляющей" данным режимом фиксированной точки.
Для теории турбулентности интерес представляет лишь область
е > 0 и Д > 0 (т.е. d > 2), в которой ИК-устойчивой является лишь
колмогоровская точка Ыо.Ъ из списка A76). Из соотношений A73)
видно, что в этой точке остается справедливым точное равенство
D2) и, как следствие, выражения D3) для критических размерностей
основных величин. В этом и заключается главный результат работы
[220]: появление новой УФ-расходимости при d — 2 не сказывается
на формулах D3) для критических размерностей (напомним, что при
е = 2 они принимают колмогоровские значения (8)).
п.19 Ленгмюровская турбулентность плазмы. Как физиче-
физическое явление, ленгмюровская турбулентность плазмы существенно
отличается от обычной развитой турбулентности жидкости или газа.
Но это интересная стохастическая задача с нетривиальной пробле-
проблемой ИК-асимптотики (особенности диэлектрической проницаемости
вблизи ленгмюровской частоты для малых волновых векторов), ко-
которая также поддается исследованию с помощью стандартной тех-
техники РГ.
Опишем кратко постановку задачи. В простейшей модели плазма
рассматривается как смесь двух газов: электронов ("е") и ионов
("г") с зарядами е < 0 для электронов и — е > 0 для ионов, с мас-
массами me <C rrii, с равновесными температурами Те 3> Tj и равно-
равновесными концентрациями пе = п,-. В плазме возможны колебания
двух типов: низкочастотные ионно-звуковые волны с обычным за-
законом дисперсии ш(к) = ск, где с = (Те/m,I'2 - скорость звука,
и высокочастотные ленгмюровские колебания с законом дисперсии
ш2(к) = ш|[1 + Зг^Аг2], где ше ~ ленгмюровская частота, ге - дебаев-
ский радиус (ш^ = 4тге2пе/те, г2 = Те/теш%). Взаимодействие этих
волн описывается уравнениями Захарова [223] (подробнее см. ниже),
и большинство работ по этой тематике посвящено исследованию кон-
конкретных решений этих уравнений (солитоны, "коллапс ленгмюров-
ских волн" и т.п. [223] - [225]).
п. 19 Ленгмюровская турбулентность плазмы 739
Нас интересует сейчас другая постановка задачи [226], а именно,
стохастические свойства стационарного режима. В реальных усло-
условиях система получает энергию от какого-нибудь внешнего источ-
источника (например, накачка энергии внешним резонансным полем). За-
Затем эта энергия перераспределяется между различными степенями
свободы с помощью всевозможных механизмов их взаимодействия и
в конечном итоге диссипирует в тепло. Все эти сложные процессы
можно пытаться моделировать, как обычно, введением подходящего
случайного шума, а вместе с ним и диссипации (которой также нет в
исходных уравнениях Захарова), поскольку в стационарном режиме
поступление энергии в систему и ее потеря должны взаимно компен-
компенсироваться. В такой постановке задача была впервые рассмотрена в
работе [226], ниже излагается уточненная версия [227].
Начнем с формулировки основных уравнений. Волновым про-
процессам соответствуют малые отклонения от равновесных значений
плотностей 6щ = 9, 6пе = 0 + в'. Вклад в представляет сохра-
сохраняющие электронейтральность ионно-звуковые волны, в' - ленгмю-
ровские колебания плотности заряда. Последние удобно характе-
характеризовать создаваемым ими продольным электрическим полем Es =
—д$ф с потенциалом ф, который определяется уравнением Пуассона:
д2ф = — Air ев'. Взаимодействие этих волн описывается уравнениями
Захарова [223] с добавкой [226] "случайного шума" E'toch, который
также должен считаться продольным вектором:
L Es = ш2е [п-Н Е, + E$toc% L = -д2 - ш\{\ - Зт2ед2), A77)
[df - с2д2] в = т-хд2 [^78тг] . A78)
Вклад ~ Е2 - "высокочастотное давление", создаваемое ленгмюров-
скими колебаниями, а черта над Е2 здесь и далее обозначает усред-
усреднение по быстрым осцилляциям. Без учета вкладов шума и нелиней-
ностей уравнение A77) описывает высокочастотные ленгмюровские
колебания, а уравнение A78) - низкочастотные звуковые волны.
Для выделения быстрых осцилляции решение уравнения A77)
представляют в виде
Е= - шет112 [<р exp(-iwet) + <p exp(iwei)] A79)
и аналогично для случайного поля Estoch. Взаимно сопряженные
комплексные векторные амплитуды ip, ip считаются медленно меня-
740 Глава 6. Стохастическая теория турбулентности
ющимися по сравнению с экспонентами в A79). Поэтому их вто-
вторыми производными по времени при подстановке в A77) пренебре-
пренебрегают и приравнивают отдельно коэффициенты при каждой из двух
быстрых гармоник, а в уравнении A78) делается подстановка Е2 =
гпеш2 ipip/2. После таких преобразований уравнения A77),A78) при-
приобретают следующий вид:
[ idt + uo{d2 - \хв) ] <р = weipstoch/2 , A80)
[д?-с2д2]в = \2d2(vtp) , A81)
где i/o — ЗшеГе/2, Ai = \/Ъпех\, X2 — тешЦХЪжгщ - известные кон-
константы, a ipstoclt - соответствующий коэффициент в аналогичном
A79) представлении Estoch. Решение уравнения A80) доопределя-
доопределяется естественным условием запаздывания, что эквивалентно введе-
введению бесконечно малой мнимой добавки —гО в параметр uq.
Искомой ИК-асимптотике соответствует область малых к и ш в
уравнении A80), т.е. к = 0 и ш2 = ш2 в A77). В этой области урав-
уравнение A81) можно существенно упростить, отбросив в нем вклад
д? ~ ш2, так как из A80) вытекает ш ~ к2, и поэтому слагаемое
с д2 ~ ш2 ~ к4 в A81) несущественно при к —> 0 по сравнению с
д2 ~ к2. С точки зрения физики это означает пренебрежение за-
запаздыванием ионно-звуковых волн, что законно, если их скорость
существенно превышает "характерную скорость" ш/к в уравнении
A80). Закон дисперсии ш ~ к2 в этом уравнении гарантирует нуж-
нужную малость ш/к для достаточно малых значений к.
В таком "статическом" приближении уравнение A81) решается
точно: в = —c~2\2ipip. Подстановка этого решения в A80) приводит
к стандартной стохастической задаче типа E.1):
[idt + v0{d2+g'Qvv)}4> = г], r, = cjelpstoeh/2 A82)
с параметрами i/o = Зыет1/2, д'о = 1/48япет4.
Для завершения постановки задачи остается задать коррелятор
D{,(x,x') =< jfi(x)rfs(x') > случайной силы г) в уравнении A82). Он
выбирается [226, 227] в виде обычного "белого шума":
Dis(x,x') = с'0РЦб(х-х') , A83)
п. 19 Ленгмюровская турбулентность плазмы 741
где Cq - некоторая положительная константа, PJ'S = д{д$/д2 - про-
продольный проектор.
По физическим соображениям было бы правильнее считать шум
г) сосредоточенным в некоторой полосе частот в окрестности нуля,
что в уравнении A77) соответствует окрестности ленгмюровской ча-
частоты (резонансная накачка). Интересующие нас ИК-сингулярности
определяются именно этой областью. Внутри нее белый шум A83)
совпадает с "правильным", поэтому можно надеяться, что подмена
второго первым не должна сказываться на ведущих ИК-сингулярнос-
тях.
Введя посредством шума накачку энергии, необходимо ввести и
пропорциональную ей диссипацию. Это делается [226, 227] перехо-
переходом к комплексному параметру i/q = аоA — Шо) с нужным знаком
щ > 0. Определяющий интенсивность накачки множитель с0 в
A83) следует при этом считать пропорциональным мнимой части
uo: Cq = 2aouoQ, где Q - некоторый положительный безразмерный
коэффициент. Этот коэффициент можно полностью устранить под-
подходящим растяжением величин <р и г) в уравнении A82). При таком
растяжении Cq -л c'0/Q = с0, д'о -¥ g'0Q = д0, так что мы приходим к
задаче с параметрами
ио = аоA - шо), со = -11т и0 — 2аоио, до — #осо/со • A84)
Измененной такпм образом стохастической задаче A82) соответ-
соответствует по общим правилам п.5.3 квантовополевая модель с неренор-
мированным функционалом действия
в{ф) = со?'?' - v' [idt + vo{d2 + go$f)} f + к.с. . A85)
Символом " + к.с. " здесь и далее обозначается добавка комплексно-
сопряженных вкладов. Модель A85) описывает систему четырех
комплексных полей ф — ip,ip,ip',ip', все они - продольные векторы.
Наиболее интересной физической величиной в данной задаче явля-
является продольная дпэлектрическая проницаемость £ц(ш,&). Она вы-
выражается соотношением
^ A86)
через функцию линейного отклика (п.5.1) модели A85) (сделанные
742 -Глава 6. Стохастическая теория турбулентности
при переходе к A85) растяжения ip и г] на этой функции не отража-
отражаются):
A87)
Нулевое приближение Wo для функции отклика совпадает с соот-
соответствующим затравочным пропагатором для действия A85). Оно
легко находится по изложенным в п.5.3 общим правилам:
W0[u,k) - [ui-uok2]'1 ■ A88)
Отсюда видно, что в ИК-асимптотике к -Л О, ш -Л О функция от-
отклика W(w,k) расходится. Из A86) тогда следует, что величина
£ц(ш, 0) стремится к нулю при ш -ь ±ше, поэтому
ejj [ш + we, *) = ч>е W{ui, к)/2 A89)
в окрестности ленгмюровской частоты ше (т.е. при малых ш и к в
A89)) и, аналогично, £пг{ш — Ше, к) S ше W*{— ш, к)/2 в окрестности
-Ше-
Таким образом, задачей теории является исследование ИК-асимп-
тотики малых ш и к для функции отклика W(w, к) в A89). Для
решения этой задачи можно, как обычно, воспользоваться техникой
РГ. Канонические размерности полей и параметров в функционале
A85) легко находятся по общим правилам п.5.14, для затравочного
заряда #о при этом получается d[go] — 4 — d. Поэтому модель A85)
логарифмична при d = 4, так что ее естественно рассматривать в
размерной регуляризации d = 4—2е с обычной ренормировкой в схеме
MS.
Выполненный в работе [227] по изложенным в п.5.15 стандартным
правилам анализ УФ-расходимостей показал, что модель A85) не
является мультипликативно-ренормируемой: наряду с затравочной
структурой (ipV)(w>) = p'tfiPsPs в качестве контрчлена появля-
ется вторая вершинная структура, аименно, (р ip)(ipip) = <p {(рцрзРз-
Поэтому для обеспечения мультипликативности ренормировки мо-
модели (что необходимо для использования стандартной РГ-техники)
к исходному взаимодействию в A85) нужно добавить возникающую
в качестве контрчлена новую структуру с независимым коэффици-
коэффициентом, играющим роль второго затравочного заряда. Отметим, что
п. 19 Ленгмюровская турбулентность плазмы 743
новый вершинный контрчлен появляется уже в простейшем однопет-
левом приближении. Это не было учтено в работе [226], в которой
данная стохастическая задача была впервые рассмотрена.
Введя в A85) второе взаимодействие, получим:
ЗД = oppp[t + o}p+ |
с //о и со из A84) и двумя затравочными зарядами #;о с одинаковыми
каноническими размерностями d[gi0] = 4 — d = 2е, г = 1,2.
Ренормированным аналогом A90), содержащим все нужные контр-
контрчлены, является функционал [227]
SR{<f>) = Zictp'ip'-ip'[Z2idt + Z3i'd2}v+ к.с- 1
к.с. /
с безразмерными ренормированными зарядами git2 и ренормирован-
ными аналогами параметров A84): v — аA — in), с = —2 Im v = 2аи.
Расчет показывает, что при комплексном v константа Ъ\ в A91)
вещественна, а все прочие константы Z комплексны. Поэтому для
обеспечения мультипликативности ренормировки заряды в A90) и
A91) в общем случае также должны считаться комплексными вели-
величинами. В работе [227] используется следующая параметризация:
v = аA-ш) , gk = 16ira($£+ »«$£') , *=1,2 A92)
с вещественными д'к и д%.
При комплексных дк и v очевидно, что действие A91) получается
из A90) стандартной процедурой мультипликативной ренормировки
полей и параметров, поэтому к данной модели приложима вся обыч-
обычная техника РГ. В терминах вещественных переменных роль зарядов
(т.е. параметров, от которых зависят константы Z) играют д'к, д'к' ж
и из A92), т.е. данная модель пятизарядна. Единственным независи-
независимым "параметром типа массы" в действии A91) является а = -Re v в
A92) (напомним, что коэффициент с в A91) выражается равенством
с= 2аи через а и и).
В работе [226] вычислены только однопетлевые /3-функции без
учета второго взаимодействия, а в [227] - однопетлевые /3-функции
744 Глава, 6. Стохастическая теория турбулентности
всех указанных выше пяти зарядов, а также двухпетлевые аномаль-
аномальные размерности 7р параметра о и всех полей ф (однопетлевые диа-
диаграммы в эти 7р вклада не дают).
Анализ полученных /3-функций показал [227], что они имеют пять
фиксированных точек. Но ИК-устойчивой может быть лишь одна из
них, а именно, ИК-притягивающий фокус (п. 1.42) с координатами
g'lt = 0,458-Be), g'{m = 0,763-Bв), g'2t = -1,431-ре), & = -0,702-
Bе), и» = 1,737 для d — 4 — 2е. Для аномальных размерностей 7р
параметра о и полей ф в этой фиксированной точке получено:
7* = 0,0804.BвJ + ..., 7;=-0,3211-BвJ+..., ]
\ A93)
^ = [0,2874-0,0935-i ]-BeJ + .... J
Аналогичные величины для полей ср, ср' получаются из соответству-
соответствующих выражений A93) комплексным сопряжением.
Компьютерный анализ уравнений A.188) для данной пятизаряд-
пятизарядной модели показал, что при выборе начальных данных в соответ-
соответствии с исходными уравнениями Захарова (i/gi>0, д2 = 0, 0<и <С1)
фазовая траектория попадает в ИК-притягивающую точку, хотя при
других начальных данных она может уходить на бесконечность. Та-
Таким образом, при "реалистических" начальных данных критический
режим действительно достигается. Он является "диссипативным" в
терминологии работ [223] - [225], и никаких других режимов в дан-
данной стохастической задаче быть не может ввиду отсутствия других
ИК-притягивающих точек.
С помощью соотношения A89) легко показать, что для обсужда-
обсуждаемого критического режима функция £||(ш,Аг) в ИК-асимптотике
ш -Л ше, к -Л 0 имеет скейлинговую форму:
£||(w, к) = к2 ■ е-»-*-* • /(£) , £ = (w - w.) • s</ak2 , A94)
где s = k/fi, 7w = 7^ + 7и' ~ критическая аномальная размерность
функции отклика A87) (чертой сверху над -у*, обозначено комплекс-
комплексное сопряжение), а /(£) - некоторая скейлинговая функция от ука-
указанного в A94) аргумента. Равенство £ = const определяет закон
дисперсии ленгмюровских колебаний в ИК-асимптотике малых к:
ш-ше = const -к2'1' . A95)
п. 19 Ленгмюровская турбулентность плазмы 745
Для трехмерной задачи с 2е = 4 — d — 1 в низшем порядке е-
разложения из A93) имеем:
7* = 0,0804 , 7w = -0,0337 + 0,0935 ■ г . A96)
Судя по этим цифрам, поправки от аномальных размерностей коли-
количественно невелики. Но комплексность величины 7w B A94) должна
приводить к нетривиальному качественному эффекту: появлению ос-
осцилляции диэлектрической проницаемости ец в области малых к.
Соотношения A94) и A95) можно считать основными результа-
результатами РГ-анализа данной стохастической задачи. Более подробное ее
обсуждение можно найти в работах [226, 227].
ДОПОЛНЕНИЕ
Здесь приводятся краткие справочные сведения о некоторых но-
новых результатах, имеющих отношение к материалу этой книги. В
заголовках указывается только номер раздела (или разделов), к ко-
которым относится предлагаемая информация.
п.п.4.29,4.39. Недавно вычислена [228] величина шг в нелиней-
нелинейной (Т-модели (тем самым и в 0п-<£>4-модели), т.е. коэффициент при
1/п2 в 1/п-разложении ее поправочного индекса и>.
п.п.4.33,4.34. В работе [229] получено обобщение соотношений
типа D.273) и D.285) на случай второго порядка по 1/п. Это позво-
позволило найти вклады ~ 1/п2 в критические размерности D.297) для
оператора ф1 [229] и D.300) для оператора ф1 [230], последний ре-
результат получен с использованием уже известного [228] значения ш2
в нелинейной сг-модели (частный случай 1 = 2).
п.4.36. Нетривиальные новые технические приемы расчета мно-
многопетлевых безмассовых диаграмм можно найти в работах [228, 231,
232].
п.п.4.45,4.49. Вопрос о внутренней замкнутости ГН-модели в
2 4-е - схеме сейчас решен, причем негативно: в работе [233] прямым
вычислением показано, что ГН-взаимодействие Vq уже в трехпет-
левом приближении порождает новый вершинный контрчлен типа
Vz из D.486) (это не было замечено авторами предшествующих ра-
работ [142, 144], в которых вычислялась трехпетлевая /^-функция ГН-
модели). Таким образом, ГН-модель с одним взаимодействием Vo в
2 4- е-схеме не является мультипликативно-ренормируемои и должна
рассматриваться в рамках "полной четырехфермйонной модели" [151],
включающей все вершины D.486) (см. п.4.49). Критическому ре-
режиму ГН-модели соответствует одна из фиксированных точек этой
полной модели [152], поэтому понятия критических индексов ГН-
748 Дополнение
модели и их 2 + е-разложений сохраняют смысл, в отличие от по-
понятий "РГ-функций ГН-модели". Отметим также, что приведен-
приведенное в п.4.47 доказательство критической конформной инвариантно-
инвариантности переносится без изменения на функции Грина полной модели в
ее "ГН-фиксированной точке", поскольку все добавочные взаимодей-
взаимодействия D.486) не являются опасными операторами в смысле опреде-
определения п.4.41.
п.5.25. Считающиеся классическими и общепризнанными ре-
результаты двухпетлевого расчета основных критических индексов Я-
модели в [171] и двух поправочных индексов ui в [158] в действитель-
действительности содержат численные погрешности (напомним, что в п.5.25 мы
приводили результаты работы [171], пересчитанные по ее данным
в терминах схемы MS, хотя в самой работе [171] использовалась от-
отличная от MS схема вычислений). Аккуратный расчет двухпетлевых
вкладов Я-модели в схеме MS [234] приводит к следующим измене-
изменениям коэффициентов при вкладах ~ и\ в РГ-функциях E.231) и,
соответственно, при вкладах ~ BеJ в выражениях E.232) и E.233):
0.160 ->■ 0.007789 в 7А, -0.206 ->■ -0.05987 в 792, -0.0635 ->■ -0.02678
в иг* и —0.013 —> —0.018544 в 7а ■ Самое важное - поправка в
7д, так как эта величина связана соотношением E.234) с не зави-
зависящим от схемы вычитаний критическим индексом z = Дш, че-
через который выражаются традиционные показатели х\ и х^- [171]:
ха = 4 — z — г), xjj- = z — d. Обсуждаемые изменения касаются также
универсальной амплитудной "константы Кавасаки" R [171], которая
не рассматривалась в п.5.25, и двух поправочных индексов ш/ и ww
[158]. В обозначениях п.5.25 индекс u>f = <9/?92/<9<72|3» вычисляется
по известной /^-функции E.231) заряда #2, а для введенной в [158]
величины u>w в [234] показано, что этот индекс однозначно выража-
выражается через z соотношением ww = 2z — d—2. Получаемые таким путем
коэффициенты при двухпетлевых вкладах в эти индексы заметно от-
отличаются от приведенных в работе [158]: для'й = 4— 2е по данным
[234] w/ = 2e+BeJ -0.005364, ww = 2-17Be)/19+BeJ 0.0371, тогда
как в [158] 0.005364 ->■ 0.121 в uif и 0.0371 ->■ 0.163 в ww. В работе [234]
также показано, что двух поправочных индексов [158] недостаточно
для описания поправок к скейлингу, так как ww является всего лишь
одним из серии поправочных индексов ui = 2 + О(е), порождаемой
семейством всех тех операторов, с которыми может смешиваться
Дополнение 749
при ренормировке ИК-несущественный оператор Ft = v'<9tv в функ-
функционале E.210).
п.п.6.9,6.12,6.13. В теории турбулентности в последнее время
большое внимание (см. работы [235-238] и ссылки в них) привле-
привлекает модель Крейчнана [239], описывающая перемешивание пассив-
пассивной скалярной примеси (поле в) случайным полем скорости v с про-
простым гауссовым распределением, коррелятор которого считается 6-
образным по времени. Модель определяется обычным стохастиче-
стохастическим уравнением F.103) с добавкой собственного шума щ с кор-
коррелятором < щщ >= S(t — t')f(Mr) в t,х-представлении ( M~l -
соответствующий "внешний масштаб", /@) = const). Отличие от
рассмотренной в п.6.13 задачи состоит в том, что там случайное
поле скорости v в ковариантной производной Vt = &t + [уд) счита-
считалось определенным стохастическим уравнением Навье - Стокса F.1),
тогда как в модели Крейчнана для него предполагается простое гаус-
гауссово распределение с заданным ^-образным по времени коррелятором
< щд, >= S(t — t')Pi, ■ Cok~d~e (t, Ar-представление), где P,-s - попе-
поперечный проектор по векторным индексам полей v, Co - амплитудный
множитель, е - произвольный параметр. Формально его "реальным
значением" можно считать ер = 4/3, что соответствует ер = 2 в ди-
динамическом корреляторе F.36а) при и) = 0 (^-образность по времени)
для безмассовой модели в предположении, что она существует.
В данной задаче изучаются корреляторы типа F.98) для поля
в и оператора диссипации W<j;s = дв • дв, а также их обобщения -
статические корреляторы < FnFm > для величин Fn = W2is - сте-
степеней оператора диссипации. Для всех этих объектов получаются
представления типа F.100) с допускающими вычисление показате-
показателями qn, fi и аналогами fi для корреляторов < FnFm >, - именно в
этом и состоит главное отличие данной задачи от аналогичной про-
проблемы в теории турбулентности. В терминологии п.6.9 это связано
с тем, что в модели Крейчнана для величин типа F.98) в рамках
е-разложения существует один "главный опасный оператор" с мини-
минимальным значением ДР < 0, который и определяет ведущий вклад
асимптотики Мг —>■ 0 в выражениях F.102), т.е. здесь нет трудной
проблемы суммирования вкладов бесконечных серий "опасных опе-
операторов". Для величин < [в{х1)—в[х2)]2п > таким главным опасным
оператором является Fn , а для величин < Fn(xi)Fm(a;2) > - опера-
оператор Fn+m, поэтому показатели в соотношениях типа F.100) для этих
750 Дополнение
объектов определяются критическими размерностями Д„ = A^fFn]
ассоциированных с Fn операторов (см. F.55)). Величины Д„ были
вычислены в работах [235] в первом порядке по е, а в работах [236]
- в первом порядке по 1/d. Все это было сделано без использования
аппарата РГ с помощью специфических для данной модели прие-
приемов. Стандартная техника РГ и SDE (п.6.9) была применена для
этой задачи в работе [238], в которой были вычислены критические
размерности Д„ с точностью до е2 включительно.
ЛИТЕРАТУРА
Г Л А В А 1.
1. Andrews Т., Phil.Trans.Roy.Soc,159, 575 A869).
2. Van der Waals J.D., Ph.D.Thesis, University of Leiden A873).
3. Weiss P., Journ.de Phys.D),6, 661 A907).
4. Ландау Л.Д., ЖЭТФ,7,19 A937); 7, 627 A937); 7,1232 A937).
5. Onsager L., Phys.Rev., 65, 117 A944).
6. Guggenheim E.A., Journ.Chem.Phys., 13, 253 A943).
7. Brush S.G., Rev.Mod.Phys., 39, 883 A967).
8. Lee T.D., Yang C.N., Phys.Rev., 87, 410 A952).
9. DombC., Adv.Phys., 9, 149 A960).
10. Lentz W., Z.Physik, 21, 613 A920).
11. Ising E., Z.Physik, 31, 253 A925),
12. Heisenberg W., Z.Physik, 49, 619 A928).
13. Peierls R., Proc.Cambridge Phil.Soc, 32, 477 A936).
14. Kramers H.A., Wannier G.H., Phys.Rev., 60, 263 A941).
15. Shedlorsky Т., Montroll E., J.Math.Phys., 4, 145 A963).
16. Onsager L., Nuovo Cim. (Suppl.), 6, 261 A949).
17. Montroll E.W., Potts R.B., Ward J.C., J.Math.Phys., 4, 308 A963).
18. Yang C.N., Phys.Rev., 85, 808 A952).
19. Kramers H.A., Wannier G.H., Phys.Rev., 60, 252 A941).
20. Montroll E., J.Chem.Phys., 9, 706 A941).
21. Kaufman В., Phys.Rev., 76, 1232 A949).
752 Литература
22. Kaufman В., Onsager L., Phys.Rev., 76, 1244 A949).
23. Попов В.Н., Континуальные интегралы в квантовой теории поля
и статистической физике, М., Атомиздат A976).
24. Фишер М., Природа критического состояния, М., Мир A968).
25. Domb С, Hunter D.L., Proc.Phys.Soc, 86, 1147 A965).
26. WidomB., J.Chem.Phys., 43, 3892 A965); 43, 3898 A965).
27. Паташинский А.З., Покровский В.Л., ЖЭТФ, 50, 439 A966).
28. Kadanoff L.P., Physics, 2, 263 A966).
29. Паташинский А.З., Покровский В.Л., ЖЭТФ, 46, 994 A964).
30. Stueckelberg E., Petermann A., Helv.Phys.Acta, 26, 499 A953).
31. Gell-Mann M., Low F.E., Phys.Rev., 95, 1300 A954).
32. Ландау Л.Д., Абрикосов А.А., Халатников И.М., ДАН СССР, 95,773
A954); 95,1117 A954); 96,261 A954).
33. Боголюбов Н.Н.,Ширков Д.В., ДАН СССР, 103, 203 A955); 103,
391 A955).
34. Ширков Д.В., ДАН СССР, 105, 972 A955).
35. Боголюбов Н.Н.,Ширков Д.В., Введение в теорию квантованных
полей, М., Наука A957, 1973, 1976, 1984).
36. Gross D.J., Wilczek F., Phys.Rev.Lett., 30, 1343 A973); Politzer
H.D., Phys.Rev.Lett., 30, 1346 A973).
37. Wilson K.G., Phys.Rev., B4, 3174 A971).
38. Ларкин А.И., Хмельницкий Д.Е., ЖЭТФ, 56, 2087 A969).
39. Wilson K.G., Phys.Rev., B4, 3184 A971).
40. Wilson K.G., Fisher M.E., Phys.Rev.Lett., 28, 240 A972).
41. Wilson K.G., Phys.Rev.Lett., 28, 548 A972).
42. Wilson K.G., Kogut J.B., Phys.Rep., 12C, 75 A974).
Литература, 753
43. Brezin E., Le Guillou J.C., Zinn-Justin J., Field Theoretical Approach
to Critical Phenomena. In: Phase Transitions and Critical Phenom-
Phenomena, vol.6, C. Domb and M.S.Green eds., Academic Press, London
A976).
44. Amit D.J., Field Theory, the Renormalization Group, and Critical
Phenomena, N.Y., McGraw-Hill A978).
45. Zinn-Justin J., Quantum Field Theory and Critical Phenomena, Claren-
Clarendon Press, Oxford A989, 1993).
46. Липатов Л.Н., ЖЭТФ, 72, 411 A977).
47. Brezin E., Le Guillou J.C., Zinn-Justin J., Phys.Rev., D15, 1544
A977).
48. Ma Ш., Современная теория критических явлений, М., Мир A980).
49. Паташинский А.З., Покровский В.Л., Флуктуационная теория фа-
фазовых переходов, М., Наука A982).
50. Стэнли Г., Фазовые переходы и критические явления, М.,Мир A973)
51. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М., Статистическая физика, часть 1 C-е
изд.), М., Наука A976).
52. Анисимов М.А., Критические явления в жидкостях и жидких кри-
кристаллах, М., Наука A987).
53. Васильев А.Н., Функциональные методы в квантовой теории поля
и статистике, Изд-во ЛГУ, Ленинград A976).
54. Анисимов М.А., Городецкий Е.Е., Запрудский В.М., УФН, 133,
103 A981).
55. Lawrie I.D., Sarbach S., Theory of Tricritical Points. In: Phase Tran-
Transitions and Critical Phenomena, vol.9, С Domb and J.L.Lebowitz
eds., Academic Press, London A984).
56. Aharony A., Fisher M.E., Phys.Rev., B8, 3323 A973).
57. De Gennes P.G., Phys.Lett., 38A, 339 A972).
58. Aharony A., Phys.Rev., B8, 3363 A973).
59. Brezin E., Zinn-Justin J., Phys.Rev., B13, 251 A976).
754 Литература
60. Коллинз Дж., Перенормировка, М., Мир A988).
61. t'Hooft G., Nucl.Phys., В61, 455 A973).
62. Di Castro C, Lett.Nuovo Cim., 5, 69 A972).
63. Brezin E., Le Guillou J.C., Zinn-Justin J., Nickel B.G., Phys.Lett.,
44A, 227 A973).
64. Владимиров А.А., Казаков Д.И.,Тарасов О.В., ЖЭТФ, 77, 1035
A979).
65. Chetyrkin K.G., Kataev A.L., Tkachov F.V., Phys.Lett., B99, 147
A981); B101, 457(E) A981).
66. Gorishny S.S., Larin S.A., Tkachov F.V., Phys.Lett., A101, 120 A984).
67. Kazakov D.I., Phys.Lett., B133, 406 A983).
68. Kleinert H., Neu J., Shulte-Frohlinde V., Chetyrkin K.G., Larin S.A.,
Phys.Lett., B272, 39 A991); Erratum: B319, 545 A993).
69. Le Guillou J.C., Zinn-Justin J., Phys.Rev.Lett., 39, 95 A977).
70. Le Guillou J.C., Zinn-Justin J., J.Physique Lett.(Paris), 46, L137
A985); J.Physique (Paris), 48, 19 A987); 50, 1365 A989); Bervillier
C, Phys.Rev., B34, 8141 A986).
71. Mermin N.D., Wagner H., Phys.Rev.Lett., 17, 1133 A966).
72. Nienhuis В., Phys.Rev.Lett., 49, 1062 A982).
73. Baker G.A., Nickel B.G., Meiron D.I., Phys.Rev., B17, 1365 A978).
74. Yorke J., Yorke E., J.Stat.Phys., 21, 263 A979).
Г Л А В А 2.
75. Фейнман Р., Хибс А., Квантовая механика и интегралы по траек-
траекториям, М., Мир A968).
76. Березин Ф.А., ТМФ, б, 194 A971).
77. Васильев А.Н., Перекалин М.М., Письмак Ю.М., ТМФ, 55, 323
A983).
Литература 755
78. Поляков A.M., Письма ЖЭТФ, 12, 538 A970).
79. Jevicki А., Nud.Ph.ys., В127, 125 A977); Lusher M., Ph.ys.Lett.,
78В, 465 A978); Perelomov A.M., Phys.Rep., 146, 135 A987).
80. Захаров В.Е., Михайлов А.В., ЖЭТФ, 74, 1953 A978); Brezin E.,
Itzykson С, Zinn-Justin J., Zuber J.-B., Phys.Lett., 82B.442 A979).
81. Emery V.J., Phys.Rev., Bll, 3397 A975); Edwards S.F., Anderson
P.W., Journ. of Phys., F5, 965 A975).
Г Л А В А 3.
82. Speer E.R., J.Math.Phys., 9, 1404 A968).
83. t'Hooft G., Veltman M., Nucl.Phys., B44, 189 A972).
84. Завьялов О.И., Перенормированные диаграммы Фейнмана, М., На-
Наука A979).
85. Нерр К., Theorie de la Renormalisation, Springer-Verlag, Berlin A969);
пер.: Хепп К., Теория перенормировок, М., Наука A974).
86. Владимиров А.А., ТМФ, 43, 210 A980).
87. Васильев А.Н., ТМФ, 81, 336 A989).
88. ChetyrkinK.G.,TkachovF.V., Phys.Lett., 114В, 340 A982); Chetyrkin
K.G., Smirnov V.A,, Phys.Lett., 144B, 419 A984); Смирнов В.А.,
Четыркин К.Г., ТМФ, 63, 208 A985).
89. Васильев А.Н., Письмак Ю.М., Хонконен Ю.Р., ТМФ, 47, 291
A981).
90. Четыркин К.Г., Ткачев Ф.В., Новый подход к вычислению много-
многопетлевых феинмановских интегралов, Препринт П-0118, М., ИЯИ
АН СССР A979); см. также: Chetyrkin K.G., Kataev A.L.,
Tkachov F.V., Nucl. Phys., B174, 345 A980).
91. Wilson K.G., Phys.Rev., 179, 1499 A969); D3.1818 A971).
92. Zimmermann W.,Ann.Phys., 77, 536 A973); 77,570 A973).
756 Литература.
Г Л А В А 4.
93. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И., Интегралы и ряды.
Специальные функции, М., Наука A983).
94. Fisher M.E., Aharony A., Phys.Rev., BIO, 2818 A974).
95. Fisher M.E., Langer J.S., Phys.Rev.Lett., 20, 665 A968).
96. Bray A.J., Phys.Rev., B14, 1428 A976).
97. Антонов Н.В., Васильев А.Н., Степаненко А.С, ТМФ, 88, 149
A991).
98. Chang R.F., Burstyn H., Sengers J.V., Phys.Rev., A19, 866 A979).
99. Brezin E., Wallace D.J., Phys.Rev., B7, 1967 A973).
100. Wegner F., ZPhys., B35, 207 A979); Schafer L., Wegner F., Z.Phys.,
B38, 113 A980); HikamiS., Progr.Theor.Phys.Suppl., 84, 120 A985).
101. Lee P.A., RamakrishnanT.V., Rev.Mod.Phys., 57, 287 A985).
102. Ефетов К.Б., Ларкин А.И., Хмельницкий Д.Е., ЖЭТФ, 79, 1120
A980); Кравцов В.Е., Лернер И.В., ЖЭТФ, 88, 1281 A985).
103. Паташинский А.З., Покровский В.Л., ЖЭТФ, 64, 1445 A973).
104. Налимов М.Ю., ТМФ, 80, 212 A989).
105. Harris A.B., Lubensky T.C., Phys.Rev.Lett., 33, 1540 A974); Luben-
sky T.C., Phys.Rev., B9, 3573 A975).
106. Хмельницкий Д.Е., ЖЭТФ, 68, 1960 A975).
107. Шалаев Б.Н., ЖЭТФ, 73, 2301 A977); Jayaprakash С, Katz H.J.,
Phys.Rev., B16.3987 A977).
108. Соколов А.И., Шалаев Б.Н., ФТТ, 23, 2058 A981).
109. Васильев А.Н., Борин В.Ф., Налимов М.Ю., ТМФ, 91, 168 A992).
110. Lewis A.L., Adams F.M., Phys.Rev., B18, 5099 A978).
111. Lawrie T.D., Nucl.Phys., B257 [FS14], 29 A985).
Литература, 757
112. Macfarlane A.J., Woo G., Nucl.Phys., B77, 91 A974); Erratum: B86,
548 A975).
113. Wu F.Y., Rev.Mod.Phys., 54, 235 A982).
114. Brezin E., Zinn-Justin J., Phys.Rev., B14, 3110 A976).
115. Brezin E., Le Guillou J.C., Zinn-Justin J., Phys.Rev., D14, 2615
A976).
116. Hikami S., Brezin E., J.Phys.A: Math.Gen., 11, 1141 A978).
117. Hikami S., Nucl.Phys., B215 (FS7), 555 A983); Bernreuther W.,
Wegner F.J., Phys.Rev.Lett., 57, 1383 A986); Wegner F., Nucl.Phys.,
B316, 663 A989).
118. Brezin E., Le Guillou J.C., Zinn-Justin J., Phys.Rev., B14, 4976
A976).
119. Ma S.K., Phys.Rev., A7, 2172 A973); A10, 1818 A974).
120. Abe R., Progr.Theor.Phys., 49, 1877 A973).
121. Kondor I., Temesvari Т., J.Physique Lett.(Paris), 39, L99 A978);
Kondor I., Temesvari Т., Herenyi L., Phys.Rev., B22, 1451 A980).
122. Okabe Y., Oku M., Progr.Theor.Phys., 60, 1277 A978).
123. Васильев А.Н.,Письмак Ю.М., Хонконен Ю.Р., ТМФ, 50,195 A982).
124. Fisher M.E., Aharony A., Phys.Rev.Lett., 31, 1238 A973); Aharony
A., Phys.Rev., BIO, 2834 A974); Abe R., HikamiS., Progr.Theor.Phys.
51, 1041 A974).
125. Ma S.K., Rev.Mod.Phys., 45, 589 A973); Wilson K.G., Phys.Rev.,
D7, 2911 A973).
126. Васильев А.Н., Налимов М.Ю., ТМФ, 55, 163 A983).
127. Ruhl W., Lang К., Z.Phys., C51, 127 A991).
128. Васильев А.Н., Степаненко A.C., ТМФ, 95, 160 A993).
129. Hikami S., Progr.Theor.Phys., 62, 226 A979); 64, 1425 A980).
130. Васильев А.Н., Налимов М.Ю., ТМФ, 56, 15 A983); Васильев А.Н.,
Налимов М.Ю., Хонконен Ю.Р., ТМФ, 58, 169 A984).
758 Литература
131. D'Eramo M., Peliti L., Parisi G., Lett.Nuovo Cim., 26, 878 A971).
132. Broadhurst D.J., Z.Phys., C32, 249 A986).
133. Горишный С.Г., Исаев А.П., ТМФ, 62, 345 A985).
134. Казаков Д.И., ТМФ, 62, 127 A985).
135. Gracey J.A., Int.J.Mod.Phys., A6, 395 A991); Erratum: A6, 2775
A991).
136. Васильев А.Н., Деркачев С.Э., Кивель Н.А., Степаненко А.С,
ТМФ, 94, 179 A993).
137. Gracey J.A., Int.J.Mod.Phys., A9, 727 A994).
138. Parisi G., Lett.Nuovo Cim., 4, 777 A972).
139. Gross D., Neveu A., Phys.Rev., D10, 3235 A974).
140. Zinn-Justin J., Nucl.Phys., B367, 105 A991).
141. Wetzel W., Phys.Lett., B153, 297 A985).
142. Luperini C, Rossi P., Ann. of Phys., 212, 371 A991).
143. Gracey J.A., Nucl.Phys., B341, 403 A990).
144. Gracey J.A., Nucl.Phys., B367, 657 A991).
145. Васильев А.Н., Деркачев С.Э., Кивель Н.А., Степаненко А.С,
ТМФ, 92, 486 A992).
146. Васильев А.Н., Степаненко А.С., ТМФ, 97, 364 A993).
147. Gracey J.A., Int.J.Mod.Phys., A9, 567 A994).
148. Kivel N.A., Stepanenko A.S., Vasil'ev A.N., Nucl.Phys., B424 (FS),
619 A994).
149. Bernreuther W., Wegner F., Phys.Rev.Lett., 57, 1383 A986); Gracey
J.A., Phys.Lett., B262, 49 A991).
150. Derkachov S.E., Honkonen J., Pis'mak Yu.M., J.Phys., A23, 5563
A990).
151. Bondi A., Curci G., Paffuti G., Rossi P., Ann.Phys., 199, 268 A990).
Литература. 759
152. Васильев А.Н., Вязовский М.И., Деркачев С.Э.,КивельН.А., ТМФ,
107, 27 A996); 107, 359 A996).
Г Л А В А 5.
153. Hohenberg P.C, Halperin B.I., Rev.Mod.Phys., 49, 435 A977).
154. Монин А.С, Яглом A.M., Статистическая гидромеханика, ч.2, М.,
Наука A967, 1996).
155. Wyld H.W., Ann.Phys., 14, 143 A961).
156. Martin P.C, Siggia E.D., Rose H.A., Phys.Rev., A8, 423 A973).
157. Janssen H.K., Z.Phys., B23, 377 A976).
158. De Dominicis C, Peliti L., Phys.Rev., B18, 353 A978).
159. Аджемян Л.Ц., Васильев А.Н., Письмак Ю.М., ТМФ, 57, 268 A983).
160. Dohm V., J.Low Temp.Phys., 69, 51 A987).
161. Fixman M., J.Chem.Phys., 36, 310 A962).
162. Kadanoff L.P., Swift J., Phys.Rev., 166, 89 A968).
163. Kawasaki K.,J.Phys.Chem.Solids, 28, 1277 A967); Ann.Phys.(N.Y.),
61,1 A970).
164. Bausch R., Janssen H.K., Wagner H., Z.Phys., B24, 113 A976).
165. Антонов Н.В., Васильев А.Н., ТМФ, 60, 59 A984).
166. Halperin B.I., Hohenberg P.C, MaS., Phys.Rev.Lett., 29,1548 A972).
167. De Dominicis C.Brezin E., Zinn-Justin J., Phys.Rev., B12, 4945
A975).
168. De Dominicis C, Ma S., Peliti L., Phys.Rev., B15, 4313 A977).
169. Halperin B.I., Hohenberg P.C, Ma S., Phys.Rev., B13, 4119 A976).
170. Dohm V., Phys.Rev., B44, 2697 A991).
171. Siggia E.D., Halperin B.I., Hohenberg P.C, Phys.Rev., B13, 2110
A976).
760 Литература,
172. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М., Гидродинамика, М., Наука A986).
173. Roe D., Wallace В., Meyer H., J.Low Temp.Phys., 16, 51 A974); Roe
D., Meyer H., J.Low Temp.Phys., 30, 91 A978).
174. Adzhemyan L.Ts., Vasiljev A.N., Serdukov A.V., Int.J.Mod.Phys, B12,
1255 A998); Аджемян Л.Ц., Васильев А. Н., Сердюков А. В., ЖЭТФ,
114, вып.5A1) A998).
175. Kroll D.M., Ruhland J.M., Phys.Lett., 80A, 45 A980).
176. Ferrel R.A., Bhattacharjee J.K., Phys.Lett., 86A, 109 A981); 88A,
77 A982); Phys.Rev., A31, 1788 A985); Ferrel R.A., Mirhoshen В.,
Bhattacharjee J.K., Phys.Rev., B35, 4662 A987).
177. Dengler R., Schwabl F., Europhys.Lett., 4, 1233 A987).
178. Dengler R., Schwabl F., Z.Phys., B69, 327 A987).
179. Folk R., Moser G., Phys.Rev.Lett., 75, 2706 A995).
180. Pankert J., Dohm V., Phys.Rev., B40, 10842 A989); B40, 10856
A989).
181. Drossel В., Schwabl F., Z.Phys., B91, 93 A993); Erratum: B95, 141
A994).
182. Schorgg A.M., Schwabl F., Phys.Rev., B49, 11682 A994).
Г Л А В А 6.
183. Adzhemyan L.Ts., Antonov N.V., Vasiliev A. N., Field Theoretic Renor-
malization Group in Fully Developed Turbulence, Gordon and Breach
Science Publishers, A998).
184. Колмогоров А.Н., ДАН СССР, 30, 299 A941); Обухов A.M., ДАН
СССР, 32, 22 A941).
185. Kraichnan R.H., Phys.Fluids, 7,1723 A964); 8, 575 A965); 9,1728,1884
A966).
186. De Dominicis С, Martin P.С, Phys.Rev., A19, 419 A979).
187. Аджемян Л.Ц., Антонов Н.В., Васильев А.Н., ЖЭТФ, 95, 1272
A989).
Литература 761
188. Антонов Н.В., Вестник СПбГУ, Сер.Физика,химия, Вып. 4, 6
A992).
189. Аджемян Л.Ц., Антонов Н.В., Ким Т.Л., ТМФ, 100, 382 A994).
190. Аджемян Л.Ц., Васильев А.Н., Гнатич М., ТМФ, 74, 180 A988).
191. Антонов Н.В.,Васильев А.Н., ТМФ, 110, 122 A997).
192. Антонов Н.В., Вестник СПбГУ, Сер.Физика,химия, Вып. 3, 3
A992).
193. Yakhot V., She Z.-S., Orszag S.A., Phys.Fluids, Al B), 289 A989).
194. Антонов Н.В., Борисенок СВ., Гирина В.И., ТМФ, 106, 92 A996).
195. Белиничер В.И., Львов B.C., ЖЭТФ, 93, 533 A987).
196. Антонов Н.В., Зап.научн.семин.ЛОМИ, 169,18 A988); 189,15 A991).
197. L'vov V.S., Phys.Rep., 207, 1 A991).
198. Моисеев СС, Тур А.В., Яновский В.В., ДАН СССР, 279, 96 A984).
199. Яглом A.M., Изв.АН СССР, Физ. атмосферы и океана, 17, 1235
A981).
200. Кузнецов В.Р., Прасковский А.А., Сабельников В.А., Изв.АН СССР,
Сер.МЖГ, 6, 51 A988).
201. Yakhot V., Orszag S.A., Phys.Rev.Lett., 57, 1722 A986).
202. Yakhot V., Orszag S.A., Journ.Sci.Comp., 1, 3 A986).
203. Dannevik W.P., Yakhot V., Orszag S.A., Phys.Fluids, 30, 2021 A987).
204. Anselmet F., Gagne Y., Hopfinger E., Antonia R.A., J.Fluid.Mech.,
140, 63 A984).
205. Benzi R., Ciliberto S., Tripiccione R., Baudet C, Massaioli F., Sued
S., Phys.Rev., E48, 29 A993).
206. Stolovitzky G., Sreenivasan K.R., Phys.Rev., E48, 33 A993).
207. Аджемян Л.Ц., Васильев А.Н., Гнатич М., ТМФ, 58, 72 A984).
208. Yakhot V., Orszag S.A., Phys.Fluids, 30 A), 3 A987).
762 Литература
209. Гнатич М., ТМФ, 83, 374 A990).
210. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М., Электродинамика сплошных сред, М.,
Наука A980).
211. Fournier J.-D., Sulem P.-L., Pouquet A., J.Phys., A15, 1393 A982).
212. Аджемян Л.Ц., Васильев А.Н., Гнатич М., ТМФ, 64, 196 A985).
213. Camargo S.J., Tasso H., Phys.Fluids, B4 E), 1199 A992).
214. Adzhemyan L.Ts., Hnatich M., Horvath D., Stehlik M., J.Mod.Phys.,
B9, 3401 A995).
215. Вайнштейн СИ., Зельдович Я.Б., Рузмайкин А.А., Турбулентное
динамо в астрофизике, М., Наука A980); Вайнштейн СИ., Маг-
Магнитные поля в космосе, М., Наука A983); Моффат Г., Возбуждение
магнитного поля в проводящей среде, М., Мир A980).
216. Pouquet A., Fournier J.-D., Sulem P.-L., J.Phys.Lett. (Paris), 39L,
199 A978).
217. Аджемян Л.Ц., Васильев А.Н., Гнатич М., ТМФ, 72, 369 A987).
218. Боголюбов Н.Н., Квазисредние в задачах статистической меха-
механики, Препринт Д-788, Дубна, ОИЯИ A961).
219. Kraichnan R.H., Phys.Fluids, 8, 1385 A965).
220. Honkonen J., Nalimov M.Yu., Z.Phys., B99, 297 A996).
221. Ronis D., Phys.Rev., A36, 3322 A987).
222. Speer E.R., Annals of Math.Stud., 62, N.Y., Tokyo A969).
223. Захаров В.Е., ЖЭТФ, 62, 1745 A972).
224. Захаров В.Е., Коллапс и самофокусировка ленгмюровских волн.
В сб.: Основы физики плазмы, т.2, М., Энергоатомиздат A984).
225. Дьяченко А.И., Захаров В.Е., Рубенчик А.И., Сагдеев Р.З.,
Швец В.В., Письма ЖЭТФ, 44, 504 A986).
226. Pelletier G., J.Plasma Phys., 24, 421 A980).
Литература 763
227. Аджемян Л.Ц., Васильев А.Н., Гнатич М., Письмак Ю.М., ТМФ,
78, 368 A989).
ДОПОЛНЕНИЕ
228. Broadhurst D.J., Gracey J.A., Kreimer D., Z.Phys., C75, 559 A997).
229. Derkachov S.E., Manashov A.N., Nucl.Phys. B522, 301 A998).
230. Derkachov S.E., Manashov A.N., Phys.Rev.Lett., 79, 1423 A997).
231. Broadhurst D.J., Kreimer D., Int.J.Mod.Phys., C6, 519 A995).
232. Kreimer D., Phys.Lett., B354, 117 A995).
233. Васильев А.Н., Вязовский М.И., ТМФ, 113, 85 A997).
234. Аджемян Л.Ц., Васильев А.Н., Кабриц Ю.С, Компаниец М.В.,
направлено в ТМФ.
235. Gawedski К., Kupiainen A.,- Phys.Rev.Lett., 75, 3834 A995); Bernard
D., Gawedski K., Kupiainen A., Phys.Rev., E54, 2564 A996).
236. Chertkov M., Falkovich G., Lebedev V., Phys.Rev., E52, 4924 A995);
Chertkov M., Falkovich G., Phys.Rev.Lett., 76, 2706 A996).
237. Kraichnan R.H., Phys.Rev.Lett., 72, 1016 A994); 78, 4922 A997).
238. Adzhemyan L.Ts., Antonov N.V., Vasiliev A.N., Phys.Rev., E58, 1828
A998).
239. Kraichnan R.H., Phys.Fluids, 11, 945 A968).
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Альфеновские волны
в МГД, 731
Ампутированные функции
Грина, 146
Аналитическая регуляриза-
регуляризация, 290
Аномальные размерности, 12,81
Аномальные размерности 7р Для
составных операторов, 348
Антиуникальные значения
индексов графа, 468
Антиферромагнетик, 574
Асимптотика высоких
порядков, 109
Асимптотическая свобода
неабелевых калибровочных
теорий, 9
Ассоциированная с оператором F
критическая размерность, 675
Базисные операторы F^, 352
Базовое действие, 235
Базовые параметры, 235
Беспетлевое приближение
функционала (а), 157
Блочное построение
Каданова, 5,11
Большой канонический ансамбль
для классического газа, 27
Борелевское суммирование, 109
Быстро убывающие функции, 48
/^-функция заряда, 8,12,81
/^-функция: однопетлевое при-
приближение, 86
/^-функция РГ-уравнения, 95
Вакуумная РГ-функция 70, 344
Вакуумные петли, 71,143
Вакуумный контрчлен, 271
Вариационное дифференцирова-
дифференцирование, 132
Верхняя критическая размер-
размерность пространства, 56
Вершинная функция V в технике
конформного бутстрапа, 490
Вершинные множители S-мат-
ричного графа, 135
Вклады ^-существенные
(SDE), 316
Внешний масштаб Ьтах в тео-
теории турбулентности, 651,654
Восприимчивость магне-
магнетика, 21,26,36
Вполне нумерованный граф, 224
Временные версии диа-
диаграмм, 589
Вставки составных опера-
операторов, 168
Выпуклость функционала, 44
Высокочастотное давление, 739
Вычитания на нулевых
импульсах, 230,245
Галилеева инвариантность one-
766
раторов и функционалов, 676
Галилеево-ковариантная про-
производная Vt> 577,653
Гауссов интеграл для грас-
смановых переменных, 512
Гауссов функциональный
интеграл, 129
Гипотеза подобия, 5,18,35
Гипотеза 1 Колмогорова, 655,685
Гипотеза 1' Колмогорова, 655
Гипотеза 2 Колмогорова, 655
Главные логарифмы, 7,126
Голдстоуновские моды, 144
Голдстоуновские сингуляр-
сингулярности, 375
Голдстоуновский скейлинг, 382
Грассмановые переменные, 512
Граф 1-неприводимый, 147
Граф 3-неприводимый, 487
Группа преобразований ин-
индексов графа, 464
Группа симметрии графа, 135
Двухмасштабные модели, 60,577
Дебаевский радиус, 738
Деревья, 154
Детерминант линейной
операции, 131
Диаграмма ЧТ(/3,7), 472,474
Диаграммная техника
Уайльда, 550
Диаметр кривой сосущество-
сосуществования, 34
Дипольные силы, 51,59
Диссипативная область, 656
Диссипационная длина, 651,654
Диэлектрическая проница-
проницаемость в плазме, 742,744
г-разложение, 11,13
£-разложение скеилинговои
функции, 105
£-ренормировка, 73
Задача протекания, 420
Закон дисперсии для звуковых
волн, 632,640
Закон дисперсии для ленгмюров-
ских колебаний, 738,744
Закон 4/3 Ричардсона, 711
Закороченная линия, 134
Замкнутый набор составных
операторов, 305
Зарядовое сопряжение, 530
Затравочные параметры, 62
ИК-несущественное взаимодей-
взаимодействие, 11, 55
ИК-притягивающая фиксирован-
фиксированная точка, 9,12,94,121
ИК-притягивающий фокус, 121
ИК-скейлинг в теории турбу-
турбулентности, 657
ИК-существенное взаимодей-
взаимодействие, 11,55
ИК-существенные парамет-
параметры, 54
Импульсная каноническая
размерность в динамике,- 577
Инвариантные переменные, 89
Инвариантный заряд, 91
Индекс вершины, 460
Индекс линии, 458
Индекс многоугольника, 460
Индекс Фишера, 39
Индексные диаграммы
О„-р4-модели, 189,279
Индексные структурные множи-
множители 0„-у>4-модели, 189,279
Инерционный интервал, 652,654
767
Интеграл с вычитаниями, 69
Интегрируемая диаграм-
диаграмма, 285,461
Инфракрасная теория возмуще-
возмущений (ИКТВ), 692
Ионно-звуковые волны в
плазме, 738
Исключительные конформные
структуры, 189
Исключительные операторы, 678
Исключительные размерности
пространства в (Т-модели, 436
Канонически конформный
оператор, 506
Канонически масштабный
оператор, 506
Канонические размерности, 13,53
Канонические размерности
составных операторов, 293
Канонические токи, 174
Канонический ансамбль для
классического газа, 26
Кинематический коэффициент
вязкости, 653
Кинетический режим в
МГД, 719,722
Классический ферромагнетик
Гайзенберга, 25
Классы универсальности, 2
Колмогоровские размерности, 657
Колмогоровский режим, 671,685
Комбинированное трикрити-
ческое поведение, 57,406
Константа Батчелора, 712
Константа Колмогорова, 695
Константа ренормировки
поля, 62
Константы ренормировки Z, 77
Контрчленная операция L, 237
Контрчлены, 235,247
Контрчлены ПР-графов с двумя
и более операторами, 297
Конформная инверсия, 172
Конформная инверсия для
спиноров, 173,511
Конформное преобразование
графа, 461
Конформные преобразования
полей, 172
Конформные структуры, 187,488
Конформный бутстрап, 487
Конформный граф, 489
Конформный оператор, 503
Конформный тензор энергии-
импульса, 176
Конформный треугольник, 488
Коррелятор, 36
Коррелятор Орнштейна-
Цернике, 40
Корреляторы степеней
скорости, 701
Корреляционная длина, 39
Корреляционные функции в
динамике, 546
Коэффициент диффу-
диффузии, 548, 560
Коэффициент затухания
звуковых волн, 640
Коэффициенты Вильсона
(SDE), 318
Коэффициенты межмодовой
связи /?, 564
Коэффициенты Онзагера
а, 547,563
Критическая изобара, 33
Критическая изотерма, 33
Критическая изохора, 34
Критическая область, 38
Критическая размерность
768
частоты Аш, 587
Критические аномальные
размерности, 98
Критические индексы: резуль-
результаты расчета, 110,112,118
Критические индексы a,/3,j,S, 22
Критические индексы ц и и, 39
Критические показатели, 3
Критические размер-
размерности, 13,18,100
Критические размерности
в динамике, 587
Критические размерности
в режиме динамо, 732
Критические размерности
в теории турбулентности, 670
Критические размерности АР
для составных операторов, 351
Критические точки, 1
Критический скейлинг, 5,13,18,97
Кубическая симметрия, 51
Ленгмюровская частота, 738
Ленгмюровские колебания
в плазме, 738
Линии кроссовера, 738
Линия сосуществования фаз, 1
Логарифмическая размерность
пространства с/, ,56
Логарифмически расходящиеся
диаграммы, 71,273
Логарифмический п-угольник, 446
Логарифмическое взаимодей-
взаимодействие, 56
Локализованные функции, 48
Л-ренормировка, 73
Магнетики, 574
Магнитный режим
в МГД, 719,724
Масса т в теории турбулент-
турбулентности, 654
Масштабные преобразова-
преобразования, 172
Масштабные уравнения в дина-
динамике, 586
Матрица смежности нумерован-
нумерованного графа, 134
Матрица смешивания Q, 305
Матрицы Дирака у, 173,512,542
Матрицы ренормировки
Ъа и ZP, 306
Матричная (Т-модель, 214,452
Межмодовая связь, 564
Метод реплик, 219
Метод стационарной фазы, 154
Метод уникальностей, 474
Минимальная длина, 35
Минимальные вычитания
(MS-схема), 77,245
Множитель Лагранжа связи, 212
Модель Гросса - Нэве (ГН), 511
Модель Изинга, 3,4,5,20
Модель Изинга со случайными
примесями, 390
Модель Поттса, 420
Модель СРп~\ 214,452
Модель Но, 623
Модель <р3, 412
Модель у4, 50
Модель ip4 + ip6, 404
Модель <р6, 399
Модифицированное критическое
поведение, 57,397
Мощность накачки энергии
W, 654,680
Мультипликативно-ренормируе-
мые модели, 63,251
Мягкие моды, 562
769
Нарушающий симметрию
оператор N, 181,496
Нелинейная G-модель, 211,420
Ненормированные полные
функции Грина, 139
Неренормированные функции
Грина, 62
Неренормированный функционал
действия, 62
Неренормируемые модели, 226
Нормированная скейлинговая
функция, 25
Нормированные диаграммы 7, 267
Нормированные полные
функции Грина, 36,40
Нумерованный граф, 134
Области ИК- и УФ- накачки, 659
Область накачки энергии в
теории турбулентности, 656
Область устойчивости, 93,122
Область функционального
интегрирования Е„н , 48,130
Обобщенная однородность
функции, 16
Одноосный сегнетоэлект-
рик, 59,393
Опасные операторы с
ДР < 0, 658,690
Оператор диссипации Wdis, 679
Оператор парных контр-
контрчленов, 504
Операторное разложение
Вильсона (SDE), 315
Операторные контрчлены, 296
Операторы F и FR (определе-
(определение), 306
Операция вычитания К, 243
Операция приведения Р^,, 133
Операция Х>„, 80
Операции L,R,R' на диаграм-
диаграммах у, 267
Операции £о,1,2,з, на диаграм-
диаграммах у, 268
Операция Г-отражения, 566
Остаток интеграла, 69
Остаточный член О| (SDE), 317
Параметр гиротропии р, 727
Параметр отклонения от
• логарифмичности, 58
Параметр порядка, 1
Парный коррелятор оператора
диссипации, 701
Первые интегралы дифференци-
дифференциального уравнения, 89
Петлевое разложение функци-
функционала W{A), 154
Поверхностно расходящиеся
диаграммы, 71,226
Поверхностные УФ-расходи-
мости диаграмм, 71,227
Подграф, 224
Показатели qn и ц в теории
турбулентности, 702
Полимеры: у>4-модель с п = 0, 52
Полная четырехфермионная
модель в 2 + с-схеме, 543
Полные корреляционные
функции, 36
Полный подграф, 224
Полный пропагатор, 145
Поправочные индексы
ы, 19,97,355
ПР-графы, 226,265
Предельный цикл, 123
Преобразование Лежандра
числовое, 17
Преобразование Лежандра Г (а)
770
функционала W(A), 42
Приведенная скейлинговая
функция, 98
Приведенный функционал
взаимодействия, 138
Примитивные вычитания, 244,245
Примитивные расходимости, 227
Примитивные расходимости
в схеме MS, 266
Принцип постоянства модуля, 383
Производные по грассмановым
переменным, 512
Производящие функционалы
функций Грина, 40
Пропагатор, 36
Пульсационная составляющая
скорости, 652
Размерная регуляризация, 66
РГ-оператор, 8,12,80
РГ-уравнение, 12,79
РГ-уравнения для составных
операторов, 347
РГ-функции, 8,12,81
Реальная размерность
пространства dp , 70
Реальный УФ-индекс
в динамике, 580
Реальный УФ-индекс расходи-
расходимости, 226,294
Регуляризация, 61,224
Регуляризованная вершинная
функция в ГН-модели, 535
Регуляризованная вершинная
функция К, 491
Регулярная часть интеграла, 69
Регулярная часть логарифма
статсуммы, 19
Рекуррентное соотношение для
симметрийных коэффициен-
коэффициентов, 137
Рекуррентные соотношения
Вильсона, 11
Рекуррентные соотношения для
графов, 470
Ренормгруппа, 63
Ренорминвариантные величи-
величины, 79
Ренормированные парамет-
параметры, 62
Ренормированные функции
Грина, 62
Ренормированный заряд, 76
Ренормированный составной
оператор, 296
Ренормированный функционал
действия, 64
Ренормировочная масса fi, 12,74
Ренормируемые модели, 61,226
Роторные члены в МГД, 729
Л-операция, 237
Л-операция Боголюбова-
Параснжа, 241
Д'-операция, 227,237
Л*-операция, 276
Сверхтекучесть: у4-модель
с п = 2, 52
Свободная энергия в теории
Ландау, 2,46
Свободная энергия в
0п-^4-модели, 159,330,343
Свободная энергия газа, 28
Свободная энергия магне-
магнетика, 21
Свободное действие, 47
Свободный граф, 134
Свободный (затравочный)
пропагатор, 133
Связная часть функционала, 138
771
Связные функции Грина, 40
Связный граф, 135
Сдвиг Гс, 72,76
Сжимаемость газа, 28
Симметрийное число графа, 135
Симметрийные коэффициенты
графиков Г„, 150
Симметрийные коэффициенты
S-матричных графов, 136
Симметричность операции, 130
Сингулярная часть интеграла, 69
Сингулярная часть логарифма
статсуммы, 19
Скейлинговая функция, 16,24
Скорость звука, 632,640
След линейной операции, 131
Случайные примеси, 217
Собственная энергия, 149
Составной оператор, 167
Сохранение тока, 173
Спектр пульсационной
энергии, 669,697 _
Спиноры d-мерные ф,ф, 511
Спонтанное нарушение сим-
симметрии, 44,143
Статистические смеси, 44
Статсумма, 18,47
Стохастическое уравнение
Ланжевена, 547
Стохастическое уравнение
Навье - Стокса, 548,653
Странный аттрактор, 123
Суммарная каноническая
размерность, 61,578
Суммарная каноническая
размерность в динамике, 578
Суммарная размерность
частоты dw, 578
Суперренормируемые моде-
модели, 226
Схема вычитаний, 77,230
Теневое соотношение для
размерностей, 42,294,355
Тензор энергии-импульса, 175
Тензор энергии-импульса ренор-
мированной у4-модели, 313
Теорема Голдстоуна, 44
Теорема Мермина - Вагнера, 195
Теорема Нернста, 21
Теорема Нетер, 173
Теория взаимодействующих
мод, 564
Теория критического поведения
Ландау, 2,46
Теплоемкость, 21,28
Термодинамически сопряженные
переменные, 17
Термодинамический потенци-
потенциал, 20
Термодинамический предел, 18
Тождества Уорда глобаль-
глобальные, 177
Тождества Уорда локаль-
локальные, 179
Транспонирование операции, 130
Трикритическая точка, 56
Трикритическое поведе-
поведение, 50,57,406
Турбулентное динамо, 726,732
^-обратимость, 566
Удельное значение логарифма
статсуммы, 18
Универсальные обозначения, 36
Универсальные отношения
амплитуд,25
Уникальная вершина, 460
Уникальная вершина в
ГН-модели, 534
772
Уникальные значения индексов
графа, 460,463
Уникальный треугольник, 462
Уравнение броуновской диф-
диффузии, 548
Уравнение Дайсона, 150
Уравнение диффузии, 560
Уравнение состояния магне-
магнетика, 22,112
Уравнение Фоккера - Планка, 559
Уравнения Захарова, 738
Уравнения критического
скейлинга в динамике, 587
Уравнения самосогласования
для корреляторов, 453
Уравнения самосогласования
для поправочных индексов, 478
Уравнения Швингера, 162
УФ-конечная ренормировка, 63
УФ-конечная часть составного
оператора, 309
УФ-конечный составной
оператор, 295
УФ-притягивающая фикси-
фиксированная точка, 9,12,94
УФ-расходимости, 61
УФ-ренормировка, 61
Фазовые переходы, 1
Фазовые траектории, 121
Факторизация ренормировки, 240
Фиксированные точки, 9,12,93
Флуктуационно-диссипационная
теорема (FDT), 568
Флуктуационные модели, 6,46
Формальная схема вычислений, 75
Формальный ответ интеграла, 68
Формальный УФ-индекс в
динамике, 580
Формальный УФ-индекс
расходимости, 226,580
Функции Грина поля, 40
Функции Грина 1-неприводи-
мые, 43,144
Функции Грина S-мат-
ричные, 134
Функции отклика в дина-
динамике, 546
Функции отклика на внешнее
поле, 566
Функции ||г|| и H(z),
определение, 260
Функционал взаимодействия, 47
Функционал действия, 47
Функционал S-матрицы, 134
Функционал, -н. часть", 147
Функция Грина линейной
задачи, 130
Функция накачки N(k), 653,659
Функция 1((л), 495,540
Химически активная
примесь, 712
Химический потенциал, 27
Частотная каноническая
размерность в динамике, 577
Число петель £, 152
Число Прандтля, 707,712
Число Рейнольдса, 651,654
Чистые фазы, 44,143
Экзотические члены в МГД, 730
Энтропия газа, 28
Эффективная корреляционная
длина, 374
Эффективный коэффициент
вязкости 77, 630
Эффективный коэффициент
теплопроводности АЭф, 630
773
Ядро линейной операции, 130
Якобиан функциональной
замены переменных, 132