Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
Учебное пособие
Г. А. ГЛАДИЛИНА, А. В. СМИРНОВ
КОМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД
РАСЧЕТА ЦЕПЕЙ ПРИ
СИНУСОИДАЛЬНЫХ
ВОЗДЕЙСТВИЯХ ,
Издательство МГТУ имени Н.Э. Баумана
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. Н.Э. БАУМАНА
Г.А. ГЛАДИЛИНА, А.В.СМИРНОВ
КОМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД
РАСЧЕТА ЦЕПЕЙ
ПРИ СИНУСОИДАЛЬНЫХ
ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Рекомендовано редсоветом МГТУ им. Н.Э. Баумана
в качестве учебного пособия
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2002
УДК 621.3(075.8)
ББК 31.2
Г52
Рецензенты: О.И. Мисеюк, В.И. Пищиков
Гладилина Г.А., Смирнов А.В.
Г52 Комплексный метод расчета цепей при синусоидаль-
ных воздействиях: Учеб, пособие. ~ М.: Изд-во МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 2002.^30 с., ил.
ISBN 5-7038-1930-Х
В учебном пособии кратко изложены основные положения теории и мето-
дов решения задач по разделам курса 'Теоретические основы электротехники’’
(ТОЭ): комплексный метод расчета цепей при синусоидальных воздействиях и
индуктивно связанные цепи. Приведены решения типовых задач.
Пособие предназначено для самостоятельного изучения ряда разделов
курса ТОЭ; может быть использовано студентами и преподавателями при
подготовке и проведении контролируемой самостоятельной работы, а также
при выполнении студентами домашних заданий.
Ил. 13.
УДК 621.3(075.8)
ББК 31.2
ISBN 5-7038-1930-Х
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002
1.СИМВОЛИЧЕСКИЙ (КОМПЛЕКСНЫЙ) МЕТОД
РАСЧЕТА ЦЕПЕЙ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ
ВОЗДЕЙСТВИИ
1.1. Основные понятия
В электротехнических расчетах важное место занимает слу-
чай, когда токи в ветвях и напряжения на отдельных участках
изменяются по синусоидальному (гармоническому) закону, что
обусловлено гармоническим законом изменения входных воз-
действий (напряжений источников ЭДС и токов источников
тока).
Рассмотрим основные характеристики любой гармонической
функции времени, мгновенное значение которой может быть
представлено как
a (t) = Aw sin (со t + уа),
(1.1)
где А/л — наибольшее значение гармонической функции (ампли-
туда функции), размерности амплитуды и самой функции оди-
наковы; (co t а \ра) — мгновенная фаза (часто называемая просто
фазой) функции а(г), рад или град; ц/а — начальная фаза, пред-
ставляющая собой значение мгновенной фазы в начальный мо-
мент времени t = 0, рад или град.
Фаза гармонической функции линейно возрастает во време-
ни; скорость ее изменения с/(со r +	со называют угловой
частотой функции a(z), она измеряется в радианах в секунду,
реже в градусах в секунду. Гармоническая функция а(г) относит-
ся к классу периодических функций, ее значения повторяются
через определенные промежутки времени. Наименьший из этих
промежутков времени Т называют периодом функции з(/}; в со-
ответствии с определением периода имеет место следующее ра-
венство:
а (I) = a (/ ± п Т),
где п — любое целое число.
3
Б Зимину, обршпую периоду Т. т.е. число периодов в едини-
цу времени, называют частоюй гармонической функции а(/):
/= 1/Т.
Основной единицей измерения частоты является герц. Час-
тота гармонической функции / связана с ее угловой частотой
(о соотношением ы = 2 л f На рис. 1 представлен график гар-
монической функции с указанием ее основных характеристик.
Наряду с перечисленными характеристиками гармоническая
функция а(г), как и любая периодическая функция, характеризу-
ется также средним за период, средневыпрямленным и действу-
ющим значениями.
Средним за период значением функции а(/) является значе-
ние определенного интеграла
fa(O&
Интеграл численно равен площади фигуры, заключенной
между кривой а(г) и осью времени в интервале времени от % до
t0 + Т, причем площади фигур, расположенных над осью вре-
мени, берут со знаком плюс, а под осью времени — со знаком
минус. Из математики известно, что значение этого определен-
ного интеграла не зависит от выбора момента начала интегриро-
вания /0, поэтому для упрощения вычислений при определении
4
Аср можно полагать tQ = 0. Для гармонической функции (1.1) за
время, равное ее периоду, площадь, ограниченная положитель-
ной полуволной и осью времени, равна площади между отрица-
тельной полуволной и осью времени, поэтому для этой функции
^ = 0.
Средневыпрямленным значением гармонической функции
называют среднее за период значение модуля функции, т.е.
Аср.в = |
t
G
Значение этого интеграла численно равно площади фигуры,
ограниченной кривой |а (г )| и осью времени за период функции
Т. Так как значение интеграла не зависит от выбора момента
начала интегрирования z0 и, кроме того, можно показать, что
этот интеграл соответствует среднему значению функции а(г) на
положительном полупериоде, то
t + Т	Т/2 - ф /о>
0	а
Асрв = 7 1|а(/)|л = у f Am sin (<в t + va) dt =
(0
2 A	I т/2 - v/«> 2
= TTl"C0S(W'+Va)] I = Я A/n “ °’637 A™ •
CO
Действующим значением функции a(r) называют среднеквад-
ратичное за период значение этой функции
А= \ Д°([а(О]2 Л.
\М V	'о Полагая г0 = 0, получим 1 т 1 Г 2	2	/А. J A sin	2 т £, J [ 1 - cos 2 (ю t + va)] dt = 0
5
Tr $ dt~ Icos 2 (“ z + va)dt-
* o z 1 0
Можно показать, что второй определенный интеграл под ра-
дикалом равен нулю, тогда
А = А,„/-12 « 0.707А,,,.
В соответствии с действующим ГОСТом мгновенные значе-
ния токов, напряжений, токов источников тока, ЭДС источни-
ков напряжений, в том числе являющихся гармоническими
функциями времени, обозначают строчными буквами: / (Г), и (г),
j (г), е (г); действующие значения указанных величин — соответ-
ствующими прописными буквами /, U, 7, £, а амплитудные зна-
чения - такими же прописными буквами, но с индексом т:
Im, Um, Jm, Ет. Размерность средних, средневыпрямленных, дей-
ствующих значений гармонической функции совпадает с раз-
мерностью самой функции, а значит, и с размерностью ее
амплитудного значения. Следует отметить особое значение такой
характеристики гармонической функции, как ее действующее зна-
чение. Так, при протекании синусоидального тока / (/) через ли-
нейный резистивный элемент г в нем за интервал времени,
равный периоду Т функции i (/), выделится энергия
w = Jr [/(Г)]2 dt = rI2T,
'о
где I — действующее значение синусоидального тока i (/).
Если же через тот же резистивный элемент пропустить по-
стоянный ток , то в соответствии с законом Джоуля — Ленца
за время 7’ на резистивном элементе выделится энергия
w = rl_2 Т.
Сравнивая два последних выражения, можно сделать вывод,
что действующее значение I синусоидального тока / (/) численно
равно такому значению постоянного тока при протекании
которого в течение промежутка времени Т выделяется на резис-
тивном элементе г то же количество энергии, что и при проте-
кании через него в течение того же промежутка времени Т
синусоидального тока /(/). Таким образом, в основе определе-
ния действующего значения гармонического тока лежит тепло-
вое воздействие этого тока.
6
По аналогии можно выразить действующие значения других
электротехнических величин. Так как большинство измеритель-
ных приборов и потребителей энергии реагируют именно на
действующие, а не амплитудные значения гармонических токов
и напряжений, принято указывать действующие значения соот-
ветствующих величин.
1.2. Комплексные амплитуды
Рассмотрим комплексную функцию вида
(1-2)
В соответствии с известной из курса математики формулой
Эйлера,
еУ(“ч'“> = cos (со t + уа) + J sin (со t + уа),
где j = лРТ — мнимая единица.
С учетом указанного представления ej(a,+ ч/») будем иметь
А„ е7(т/+	= дт (cos ю t + уа) + /Аот sin (св 1+ ц/а).	(1-3)
Очевидно, что гармоническая функция а(0, определяемая выра-
жением (1.1), представляет собой мнимую часть функции (1.3):
a(0 = /m[Am еЯа, + ^].
(1.4)
Широко используемая в радиотехнике косинусоидальная
гармоническая функция представляет собой действительную
часть функции (1.3):
A cos (со t + ц/) = Re [А ,+ *«)].
т 4 т az L т	л
Возвращаясь к выражению (1.2), отметим, что оно может быть
представлено следующим образом:
где --- А//? eJ ч'- ~ комплексная амплитуда, модулем которой
является вещественная амплитуда функции а(/), а аргументом —
начальная фаза, еуо)/ оператор вращения, на комплексной
плоскости представляет собой вектор единичной длины, враща-
ющийся против часовой стрелки с угловой скоростью о.
Неподвижный вектор, умно-
женный на оператор вращения,
начинает вращаться против часо-
вой стрелки с угловой скоростью
а. Таким образом, А^е^на
комплексной плоскости пред-
ставляет собой вектор длиной
вращающийся против часо-
вой стрелки с угловой скорос-
тью л, а комплексная амплитуда
характеризует начальное положе-
ние этого вектора в момент t — О
(рис. 2).
Так как в линейной элект-
рической цепи частоты всех
токов и напряжений одинаковы
и равны частоте входного воздействия (частоте действующего в
цепи источника энергии), то векторы, соответствующие гармо-
ническим токам и напряжениям на всех участках линейной
цепи, будут Ефащаться в положительном направлении с одной и
той же частотой входного воздействия. При этом, очевидно, вза-
имное положение векторов на комплексной плоскости будет ос-
таваться неизменным и определяться начальными фазами токов
и напряжений.
Таким образом, любой гармонической функции времени а(/)
на комплексной плоскости можно поставить во взаимно-одно-
значное соответствие неподвижный вектор модуль которого
равен амплитуде функции Аш, а аргумент — начальной фазе \ga.
Поскольку амплитудное и действующее значения гармонической
функции связаны известным соотношением А == Ат/^2, гармо-
нической функции а(г) можно поставить также в соответствие и
некоторое комплексное число А = A?v>, называемое комплек-
сом действующего значения функции а(г). На комплексной
плоскости комплексу действующего значения соответствует не-
подвижный вектор, модуль которого равен действующему значе-
нию гармонической функции А, а аргумент тот же, что и у
комплексной амплитуды, т.е. ц/а.
Рассмотрим несколько примеров перехода от мгновенных
значений токов и напряжений к комплексным амплитудам
(комплексам действующих значений) и обратно:
1)	u(t) = 50 sin (о t+ л/4),
Um = 50 e* = 50 (cos +/sin J) = 25 >/2 + у 25 >/2.
Первая форма записи комплексной амплитуды напряжения — по-
казательная, вторая — тригонометрическая и третья — алгебраичес-
кая. Все три формы записи равнозначны, что непосредственно
следует из формулы Эйлера. Выбор конкретной формы записи
диктуется удобством выполнения необходимой математической
операции над комплексными числами: при суммировании наибо-
лее удобна алгебраическая форма записи, при умножении или де-
лении рациональнее показательная форма записи;
2)	i(t) = 2sin® t,
Im = 2eJ0 = 2, I = ~ = Л ;
m	>/2
3)	e (t) = 5 V2 sin (® t - y),
• 5 V2 -j%	. z л .. , ( л')	, .
£=-^=-e 2 = 5cos(- +J 5 sin I- xj = - 5y;
4)	I = 3 + 4j = № + 42 e^arctg3 = 5 eJS3,
i (t) = 5 ^2 sin (® t + 53°);
5)	U =40y = 40e7^,
и (t) = 40 V2 sin (® t + ^);
6)	Em = - 100 = 100 e±J* ,
e (t) = 100 sin (co t ± n).
Из последнего примера можно видеть, что знак минус в вы-
ражении для комплексной амплитуды имеет совершенно иной
смысл, чем в случае постоянных токов, где он свидетельствует
о противоположности направления тока, напряжения или ЭДС,
выбранного перед началом решения задачи При комплексном
представлении гармонических сигналов этот знак свидетельст-
вует о соответствующем расположении вектора на комплексной
плоскости, не. о начальной фазе гармонического сигнала.
9
Вынмно-однозндчное соответствие гармонической функции
времени а(/), называемой оригиналом, и комплексной амплиту-
к.. или комплекса действующего значения А, называемых
комплексными изображениями Функции а(/), обозначают сим-
волом У или например: а (/) У или а (/)<->А . Гармони-
ческие 'гоки, напряжения, токи источников токов, напряжения
источников ЭДС считаются полностью определенными, если
найдены соответствующие им комплексные амплитуды или
комплексы действующих значений.
L3. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме
Вначале установим основные соотношения между линейны-
ми операциями над гармоническими функциями времени и их
комплексными изображениями/
1.	Умножение оригинала на произвольное число К соответ-
ствует умножению изображения на это же число, т.е. если
а(О^->А , тоКа(Г)<->КА .
2.	Комплексное изображение суммы гармонических функций
равно сумме изображений отдельных функций:
а, (П + а2 (О + - + ая (г)4>Ал] + Дт2 + ./ + ктп .
3.	Из первых двух соотношений следует, что линейной ком-
бинации гармонических функций в области оригиналов соответ-
ствует линейная комбинация их комплексных амплитуд:
п	п
Хк,а,(г)«Хк,А.г
i - 1	i = 1
4.	Дифференцированию гармонических функций по времени
соответствует в области изображений умножение их комплекс-
ных амплитуд на J со:
5.	Интегрированию гармонических функций соответствует в
области комплексных изображений деление комплексных амп-
литуд на /со:
10
f	A
/со
- 00
Перечисленные основные свойства операций над гармони-
ческими функциями времени и соответствующими комплексны -
ми изображениями позволяют утверждать, что линейным
операциям над гармоническими функциями в области действи-
тельной переменной соответствуют в области комплексных изо-
бражений линейные операции, причем свойства 4) и 5)
указывают, что операции дифференцирования и интегрирования
в области действительного переменного заменяются в области
комплексных изображений соответственно операциями умноже-
ния и деления.
Последнее обстоятельство позволяет значительно упростить
анализ линейных цепей в установившемся режиме при гармони-
ческих входных воздействиях, так как появляется возможность
заменить систему интегродифференциальных уравнений, описы-
вающих во временной области процессы в линейной цепи в ус-
тановившемся гармоническом режиме, системой алгебраических
уравнений для комплексных амплитуд или комплексов действу-
ющих значений соответствующих токов, напряжений, ЭДС.
Используя свойства 1) — 5), можно сформулировать основ-
ные законы электротехники для установившегося синусоидаль-
ного режима в комплексной форме:
1)	Hr(r) = r(.(/)4^t; = r/r;
dir (t)	•	...
2)	(г) = L :О UL- jco L IL - jxL IL = ZL 1L ,
где ZL = j xL- j co L — комплексное сопротивление индуктивного
элемента;
3)	(/) = -£ J ic (t) dt<r^ Uc~ j ~ ~~ J xc ~	1 с >
где Zc~ - jxc- -	— комплексное сопротивление емкостно-
го элемента;
4)	первый закон Кирхгофа
л	л
Е 4</) = ооЕ 4 = о.
4-1	к*1
	п
Причем правило знаков при составлении уравнений по первому
закону Кирхгофа остается тем же, что и в цепях постоянного
тока;
5)	второй закон Кирхгофа
п	т	п	т
Z ек (0 = S ик (I )<-»£ Ёк = £ йк .
к~\	к~1	Л»1	Л»1
В этом выражении правило знаков также аналогично соот-
ветствующему правилу для постоянных токов и напряжений:
слагаемые в обеих частях равенства берут со знаком плюс в том
случае, если выбранное направление обхода контура совпадает с
положительным направлением падения напряжения или ЭДС, в
противном случае — со знаком минус.
1.4. Комплексные сопротивление и проводимость
Рассмотрим произвольный пассивный линейный двухполюсник,
находящийся под гармоническим воздействием. Пусть напряжение
на зажимах двухполюсника и (/) = Um sin (со / + а входной ток
/ (z) = Iftl sin (со t + Соответствующие комплексные амплитуда —
Um и 1т , Комплексным входным сопротивлением (комплексным
сопротивлением) пассивного двухполюсника называют отношение
комплексной амплитуды напряжения на зажимах двухполюсника к
комплексной амплитуде входного тока: Z= Um/Im. Поскольку
Um = V2 U9 Im = ^2 /.то комплексное сопротивление есть также
~ и Uew* и
Z= — = —7й- = -у е.
I Ie*‘ I
В общем случае комплексное входное сопротивление пассив-
ного участка цепи представляет собой комплексное число, кото-
рое может быть записано в показательной форме:
Z=zey’,
где Um/Im= U/1 — модуль комплексного сопротивления пас-
сивного двухполюсника, который часто называют полным вход-
ным сопротивлением пассивного двухполюсника; <р =	- у, —
аргумент комплексного сопротивления.
12
Если модуль комплексного сопротивления всегда положите-
лен, то в зависимости от фазовых соотношений между напряже-
нием и током аргумент комплексного сопротивления может
быть как больше нуля, так и меньше нуля, а может быть и равен
нулю. Воспользовавшись формулой Эйлера, можно записать вы-
ражение для комплексного сопротивления следующим образом:
Z= z eJф = z cos (р + j z sincp = г 4 /х,
где г = ReZ = z cos <р — активная
составляющая комплексного со-
противления, представляющая
собой на комплексной плоскости
проекцию вектора Z на действи-
тельную ось; х = ImZ = z sinq> —
реактивная составляющая ком-
плексного сопротивления, пред-
ставляющая собой проекцию век-	Рис. 3
тора Z на мнимую ось (рис. 3).
Величину, обратную комплексному входному сопротивлению
пассивного двухполюсника, называют комплексной входной
проводимостью двухполюсника:
V
1 ~ 7~ . - . .
z и и
тп
Комплексная входная проводимость в общем случае также
является комплексным числом, которое можно записать в пока-
зательной форме:
1	1	1 -уФ
= -уе
где у - 1/z- 1т/ Um = I/ U — модуль комплексной входной про-
водимости, который называют полной входной проводимостью
двухполюсника; 0 = - <р — аргумент комплексной входной прово-
димости, 0 = Аргумент комплексной входной проводи-
мости равен по модулю и противоположен по знаку аргументу
комплексного входного сопротивления.
Записав Y = уе/в = у cos 0 -?Jysin 0 = g + j b, получим
g - ReY = у cos 0 — активная составляющая комплексной входной
13
проводимости, проекция вектора Y на
действительную ось; b = 1т У= у sin 0
— реактивная составляющая комплекс-
ной входной проводимости, проекция
вектора Y на мнимую ось (рис. 4).
Используя выражения для ком-
плексного сопротивления z = г + j х и
комплексной проводимости У= g+Jb,
можно установить связь между актив-
ными и реактивными составляющими
этих величин:
1	_ r-jx ~ г _ Jx
r+jx~ r2 + J ~ РТ? Р + Р
откуда
= 8+jb,
Аналогично
1 8~jb g л b
Тогда
_ g	- b
r=7^b2' x=i + b2'
1.5.	Последовательное соединение
Рассмотрим пассивный двухпо-
люсник, представляющий собой
последовательное соединение эле-
ментов г, £ и С, на входе которого
действует гармоническое напряже-
ние и (t) = Um sin (со t + <|/«) (рис. 5).
В соответствии со вторым законом
Кирхгофа для рассматриваемого
двухполюсника мгновенное значе-
ние входного напряжения будет
равно сумме мгновенных значений
напряжений на элементах г, L и С.
u(t) = ur(t) + uL(t) + uc(t).
14
Переходя к комплексам действующих значений соответству-
ющих напряжений, получим
U = Ur+ UL + йс,
где
. U ,.................................. 	j -
eJ\ U = rl, Ut-Z,	U=ZrI=-jxrl=-^-^l.
JJ ’ r 9 L L J	С C J С ф C
Тогда £7 = I(r+ Ja>L - ~~~£) » /[r + J (co L- ~^)]> откуда находим
комплекс действующего значения тока:
й • й
.( т 1 Yz
r+J со L -—7;
где Z = г +j(a> L--7О — комплексное входное сопротивление
со С
пассивного двухполюсника, состоящего из последовательно со-
единенных элементов г, £ и С.
Последнее выражение представляет собой комплексную
форму закона Ома для рассматриваемого пассивного двухполюс-
ника
Представим Z в показательной форме:
/ _	1 Г	<о L - 1/со С
Z « у г2 + (со L- —тО	eJ arctg г = z е
CD С
-----------------------------------
где z=yr + (cd £------— модуль комплексного входного со-
СО Vz
со L - 1 /со С
противления, ср = arctg--------- — его аргумент.
Анализируя выражение для модуля и аргумента комплексно-
го входного сопротивления рассматриваемого пассивного двух-
полюсника, можно отметить, что характер входного
сопротивления зависит от соотношения между индуктивным
Xjr = со L и емкостным хс~~с сопротивлениями. Если
xl > хс > комплексное входное сопротивление имеет активно-
индуктивный характер (0 < <р < л/2), и в этом случае ток отстает
15
по фазе от входного напряжения. Если же хс > xLi то ком-
плексное сопротивление имеет активно-емкостный характер
л
(	< ф < 0) и ток опережает напряжение на входе двухполюс-
ника. Наконец, возможен случай, когда х£ = хс, и тогда ком-
плексное сопротивление будет чисто активным (ф = 0), а ток в
цепи будет совпадать по фазе с входным напряжением. Эти три
случая иллюстрируются векторными диаграммами на комплекс-
ной плоскости (соответственно рис. 6, а, б, в).
Рис. 6
Рис. 7
1.6.	Параллельное соединение
элементов r9 L и С
Возьмем пассивный двухполюс-
ник, включающий те же элементы г,
L и С, но соединенные параллельно.
На входе четырехполюсника также
действует гармоническое напряже-
ние u (t) = Um sin (ш t + (рис. 7).
При параллельном соединении эле-
ментов мгновенное значение тока в
неразветвленной части цепи в соот-
ветствии с первым законом Кирхго-
фа равно сумме мгновенных значений токов в ветвях:
= /ДО + /ДО + /ДО-
Воспользовавшись комплексной формой записи, получим
i=ir + h + 1с,
где I = Y U, I. = У, U, L=YrU;Y , Y, , Yr - комплексные
Г Г L JL	lx v	Г	lx
проводимости соответственно элементов г. L и С; U — ком-
плекс действующего значения входного напряжения; У =
у = ~- = Y =	= j со С. С учетом этого
L ZL j со L с Zc
I* U(Y + Y^Y^U^ + ^+jv c\=uy,
fl v \r J CO L J
где У = У + Yl + Yc = ~	+ 7 co С — комплексная проводи-
мость участка из параллельно соединенных элементов .г, L и С.
Последнее выражение представляет собой комплексную
форму закона Ома для параллельно соединенных элементов г, L
и С. В показательной форме комплексная проводимость запи-
шется в виде
у= JJL + (<о с- JL)2 дагс;г,<ш с~1/0£)
V г*	со L
и, следовательно, модуль комплексной проводимости

а аргумент 0 = arctgr(© С- 1/со L).
Анализ выражений для модуля и аргумента комплексной
проводимости показывает, что характер проводимости зависит
от соотношения между составляющими реактивной проводимос-
ти bL = и bc = со С. Если bc > bL, то комплексная проводи-
мость У имеет активно-емкостный характер (0 < 0 < л/2). Если
17
bL > bc, то комплексная проводимость Y имеет активно-индук-
тивный характер и -тс/2 < 0 < 0. При равенстве индуктивной
Ь, = —и емкостной br = а С проводимостей комплексная
L to L
проводимость имеет чисто активный характер (0 = 0).
Задачи
1.1.	Определить комплексным методом сумму двух токов
/] = 10 sin со t А, = $0cos # + я/4) А.
Решение. Так как представление мгновенного значения тока
/2 в синусоидальной форме Приводит к выражению
я я	3
i2 = 10 sin-(^ + со t + -j) = 10 sin (со t + j ft), комплексные амплиту-
ды токов ’будут соответственно равны:
7ffl) = 1010 А, ^2 = 10еу3/4w 4-/S А»
1т = U = 10 - 5 >12- +j5^~
= ^(10 - 5 V2)2 -ь (5 <2)2 е"** 1®-5'й = 7,65 е jefw А;
следовательно, / = i. + L- 7,65 sin (со t + 67°30) А.
*	Лв
1.2.	К цепи, состоящей из последовательно соединенных г =
= 20 Ом, L = 100 мГн, С = 50 мкФ, приложено напряжение
u(t) = 14,14 sin 377? В. Найти комплексы действующих значе-
ний тока в цепи и напряжений на отдельных элементах цепи.
Решение. Комплекс действующего значения приложенного к
цепи напряжения U =	ej0 = 10 В, а комплекс действующе-
го значения тока в цепи
10
20 + J 377  100- 10
377 • 50 • 10
=---------IP_________О 396еу37°30
20+7(37,7- 53,05)	’
Соответственно комплексы действующих значений напряже-
ний на элементах цепи:
£4=г/=7,92еу37°30 В,
Ul-J&L /= eJ*/2  37,7 • 0,3966 еу37°30 = 14,92 ?127°30 В,
9
йс = (-//со С) 1= еЛ • 53,05 • 0,396 ?37°30 = 21 е‘у52°30 В.
1.3.	Через ветвь, комплексное сопротивление которой
Z^Se-13^ Ом, проходит ток /=^ е"у3° А. Определить ком-
плекс действующего значения напряжения на зажимах ветви и
его мгновенное значение.
Решение: £7=/Z=	еу0<—> w(0 = 50sincor В.
1.4.	К последовательно соединенным элементам г и £ подве-
дено напряжение £7= 100 е^30 В; г - 30 Ом, х£= 40 Ом. Напи-
сать выражение для комплексной мощности £
Решение. Ток на участке цепи
,	о	о
i____И____2 ДОО^” _ 2 ,-п,<
Комплексная мощность цепи
19
)|с	о	о	О
£ = UI = 100 ej 30 • 2 а7'23’13 = 200е753’13 =
= 200 cos 53,13° + у 200 sin 53,13° =
= 120 н-у 160; Р= 120 Вт, Q = 160 ВАр.
1.5.	Катушка индуктивности (L = 5 мГн, г= 5^13 Ом), вклю-
ченнал параллельно с емкостью С = 100 мкФ, находится под на-
пряжением и ~ 100^2 sin 103t. Определить мгновенные значения
всех токов.
Решение. Комплекс действующего значения тока в емкости
находим по закону Ома в комплексной форме:
100
= 10/ А.
Аналогично ток через катушку
Общий ток по первому закону Кирхгофа
/=/с+4 = 5^3 + 5/ А.
Переходя к мгновенным значениям токов, получим
ic(t) = Ю V2 sin(1031+ 90°) A,
iK (O = 10 Л" sin (103 t - 30°) A, i(t) = 10 <2 sin (1031 + 30°) A.
2. ИНДУКТИВНО СВЯЗАННЫЕ ЦЕПИ
ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
2.1.	Основные понятая
Две или несколько катушек называют индуктивно (магнит-
но) связанными, если изменение тока в одной катушке приво-
ди! к появлению ЭДС в других катушках. Это явление
20
наведения ЭДС в катушке при изменении тока в другой катушке
называют явлением взаимоиндукции, а саму ЭДС — ЭДС взаи-
моиндукции. Магнитная связь между катушками характеризует-
ся взаимной индуктивностью катушек М, которая измеряется в
генри (Гн) и определяет потокосцепление второй катушки с
магнитным полем, созданным током в первой катушке:
^2М = М'г
При этом в линейных цепях та же взаимная индуктивность
определяет потокосцепление первой катушки с магнитным
полем, созданным током во второй катушке:
^1м = М/2-
Если ток в первой катушке изменяется во времени, то в
соответствии с законом электромагнитной индукции это приво-
дит к появлению ЭДС самоиндукции в первой катушке L и
ЭДС взаимоиндукции во второй е2 м:
_ _	zi _ г
dt ~ dt ~ dt'
о -	JM'l .,£1
2М -	dt ~ dt ~ М dt '
При наличии переменного во времени тока /2 во второй ка-
тушке в ней будет индуктироваться ЭДС самоиндукции e2i, а в
первой катушке — ЭДС взаимоиндукции е1М:
_ ^21 _ h________j ^2
2£ = dt ~~ dt ~	2 dt'
1M
dViM
dt
d М/, di,
dt
В общем случае как в первой, так и во второй катушках могут
протекать токи /. и /2; результирующие потокосцепления в обеих
катушках у., \|/, будут определяться как их собственными тока-
ми, так и токами в другой катушке:
у, =	± v1M, v2 = W2L ± V2M-
21
При суммировании потокосцеплений само- и взаимоиндукции
(верхние знаки в выражениях) включение катушек называют со-
гласным, для него результирующие ЭДС катушек будут опреде-
ляться выражениями:
dyi d(Lih + Mi2) т dh .. dh
Л -------dt----
dyi	dtLiiz + Mii)	dh dh
=	------dt---= -L2-^-^-3i^e2L + e2M.
Если потокосцешгения взаимоиндукции вычитаются из пото-
косцеплений самоиндукции, включение катушек называют
встречным, и для него результирующие ЭДС кагушек будут сле-
дующими:
d vi d (L\ /1 - Mf2) r dh di2
dy2 d(L2i2-Mh)	dh dh
------dt-----
Согласность (или встречность) включения индуктивно связан-
ных катушек зависит от направления намоток катушек и направ-
ления токов в них. При известном направлении намотки и
заданном направлении токов в катушках характер включения
может быть определен по правилу буравчика (правоходового
винта). При анализе индуктивно связанных цепей катушки изо-
бражают с помощью условных графических обозначений, не отра-
жающих конструктивных особенностей катушек, поэтому на
принципиальных электрических схемах принято указывать одно-
именные выводы (зажимы) катушек. Под одноименными зажима-
ми катушек понимают такие зажимы, при одинаковых
направлениях токов относительно которых потокосцепления само-
индукции и взаимоиндукции складываются, т.е. включение яв-
ляется согласным. Одноименные зажимы на схемах обозначают
одинаковыми значками (точками, звездочками и т.д.).
Степень индуктивной связи между катушками принято оцени-
вать коэффициентом связи кы. который определяется как среднее
геометрическое отношений потокосцеплений взаимоиндукции к
потокосцеплениям самоивдуедии в каждой из катушек:
i '^2M	*2 M 4 I М2 М
м = \' Vii v2i ‘ V Zj. lT ~ v lX ~ 'Vlx '
Значение коэффициента связи лежит в пределах 0 < х;м < 1 ?
что обусловлено наличием в обеих катушках потокосцеплении
рассеяния;
Если в катушках протекают гармонические токи и ь, то от
мгновенных значений результирующих ЭДС в катушках и е2
можно перейти к их изображениям Ех и Е2:
Е} = ~ j со jLj Д Ан
j со МЛ,
E^~-j соД L Т / со МЛ.
2 J 2 2 J 1
При расчетах удобнее оперировать не с ЭДС, а с соответст-
вующими падениями напряжений, тогда падения напряжений
на катушках будут следующими:
Ц = - E’j = j coZj Д ± j о M/2,
IE ~ - E~ - j L ± j co МД .
X	X*	XX	1
Знак плюс — для согласного включения, минус — для встреч-
ного включения катушек. Комплексную величину ZM - j соМ на-
зывают комплексным сопротивлением взаимной индукции, а
величину хм = <оМ, имеющую размерность сопротивления (Ом),
— сопротивлением взаимной индукции. Итак,
Ц =^xu A ±J хм А = А ± ^м А’
Ц =^Х2Д A ±JXM А = ^2L А ± А •
2.2.	Последовательное соединение двух индуктивно связанных
катушек
Рассмотрим участок цеп’ , состоящий из двух последователь-
но соединенных катушек (рис. 8), одноименные зажимы кото-
рых обозначены точками. Для показанного на рисунке
соединения катушек второй закон Кирхгофа в комплексной
форме имеет вид
U + U2 = j ®LX I + joMI+j ®L2I + j coM I = j (л(Д + L2 + 2M)/,
Рис. 8
где /— комплекс действующего значе-
ния протекающего в цепи тока.
Окончательно получим
где L = L, + £. + 2М— эквивалент-
экв 1	2
ная индуктивность участка цепи с
последовательно соединенными ин-
дуктивно связанными катушками,
включенными согласно.
Аналогично можно показать, что
при встречном соединении катушек
(зажимы одной из катушек меняются
местами) эквивалентная индуктив-
ность участка
L =	2М
экв 1	2
2гЗ. Параллельное соединение двух индуктивно связанных
катушек
Рис. 9
Если участок цепи содержит две
параллельно соединенные индуктивно
связанные катушки (рис. 9), находя-
щиеся под воздействием гармоничес-
кого напряжения, то, перейдя к
комплексным изображениям, запи-
шем уравнения электрического рав-
новесия цепи:
U ~ j соД L ± j со М А, (7=
j 1 j j	i*
J co L2 ^2 J ® i i 22=5 4й Д .
Найдем из этих уравнений зависимость между комплексами на-
пряжения и тока на зажимах рассматриваемого участка цепи:
\ Z1Z2-M2
1Д1 + L1 ± 2М
I,
I ~ J (Ъ
L. 1г - М2
где L =	•—- — эквивалентная индуктивность участка
экв £i 4- ь2 ± 2М	7
цепи из двух параллельно соединенных индуктивно связанных
катушек. Верхний знак в последней формуле соответствует со-
гласному включению катушек, нижний — встречному.
Следует отметить, что выражения для эквивалентных индук-
тивностей участков цепей из двух последовательно и параллель-
но соединенных индуктивно связанных катушек, находящихся
под гармоническим воздействием, имеют общий характер и
справедливы для любых видов входных воздействий, а не только
гармонического.
2А Замена индуктивных связей электрическими
При анализе цепей, содержащих индуктивно связанные ка-
тушки, возникает необходимость замены магнитных связей
электрическими, чтобы анализ
цепи мог проводиться известны-
ми методами теории цепей.
Рассмотрим участок цепи,
содержащий две индуктивно
связанные катушки, имеющие
одну общую точку (рис. 10). Для
представленного на рисунке со-
единения катушек и выбранного
направления токов их включе-
ние будет согласным и напряже-
ния на зажимах катушек будут
иметь следующие выражения:
Рис, 10
di, dL dL
ui = L\ "dt + M dt' U" = ~dt + M
dix
dt'
25
гй]
Добавим к первому уравнению и вычтем из него член М
di2
а ко второму и из него - член М тогда после соответствую-
щей группировки членов уравнения примут вид
di, d (i + L)
И1 = (Л-М)^ + М-^-,
dL d (J. + L)
Изменим в одной из катушек, например во второй, направ-.
ление тока, не меняя зажимов катушек; включение катушек ста-
нет встречным, и напряжения на их зажимах
di. dL dL di,
1 x dt dt 2	2 dt dt
Если к первому уравнению добавим и из него вычтем тот же
di,	di,
член М а ко второму и из него — член М то, сгруппиро-
вав члены, получим
di d (i - L)	dL d (L - L)
Так как во втором случае по-
ложительное направление напря-
жения и2 совпадает с
положительным направлением
тока i2, последним двум уравне-
ниям соответствует та же эквива-
лентная электрическая схема
замещения, что и в первом случае
согласного включения катушек
(рис. 11). Аналогично можно по-
Рис. 11
казать, что при присоединении
катушек к общему выводу другой парой одноименных зажимов
независимо от характера включения катушек (согласного или
встречного) и направлений токов эквивалентная электрическая
схема замещения будет такой, как на рис. 11. Таким образом,
при присоединении индуктивно связанных катушек к общему
26
выводу одноименными зажимами в общий вывод катушек на экви-
валентной электрической схеме включается взаимная индуктивность
со знаком плюс (+М) с одновременным вычитанием из индуктив-
ностей катушек взаимной индуктивности: £, - М и L2 - М.
Соответствующие преобразования по замене магнитных свя-
зей электрическими, проведенные для индуктивно связанных
катушек, присоединенных к своему общему выводу разноимен-
ными зажимами (независимо,от характера включения катушек и
направлений токов в них), приводят к эквивалентной схеме за-
мещения, в которой в общий вывод катушек включается -М, а
к индуктивностям катушек добавляется взаимная индуктив-
ность: Z, + М и £3 + М.
Суммируя изложенное, можно сделать вывод, что при замене
индуктивных связей электрическими (выполнении магнитной
развязки) определяющим является способ подключения катушек
к общему выводу. Отметим, что при большом значении коэф-
фициента связи км (близком к единице) возможен случай,
когда Zj < М или Zj < М, тогда Lx - М или Z2 - М будут мень-
ше нуля. Это означает, что эквивалентная электрическая схема
замещения магнитно-связанных катушек является сугубо расчет-
ной, а не физической моделью исходной схемы. Если магнитно-
связанные катушки находятся под гармоническим воздействием,
то при использовании комплексного метода анализа в процессе
составления эквивалентных электрических схем замещения не-
обходимо оперировать комплексными сопротивлениями индук-
тивностей ZL=jo>L и взаимоиндуктивностей ZM=ycoM; тогда
комплексные сопротивления ветвей схемы будут соответственнс
~ ^м>	~ и (см- Рис- 1 !)•
Задачи
2.1. На входе схемы (рис. 12) действует гармоническое на-
пряжение, комплекс действующего значения которого
U= 5 +J 5 В, х£1 = 10 Ом, xL2 - Ю Ом, = 5 Ом, хм = 5 Ом,
ха = 10 Ом, г3 = 5 Ом. Необходимо определить токи в ветвях.
Решение. Так как к общему выводу катушки подключены
одноименными зажимами, после устранения магнитной связи в
третьей ветви схемы последовательно с резистором г3 включает-
ся взаимоиндуктивное сопротивление хм, а в первой и второй
ветвях схемы индуктивные сопротивления станут соответствен-
но равными xLl - хм и xL2 - хм (рис. 13). Комплексное входное
сопротивление всей схемы
27
ч	?У(ХЛ2-Хм)->ХС2](/Хм + Г3)
Z = J (х,, - X..) + г, + —---;—;------—-------=
ВХ 11 М 1 J &L2 - Хм) -JXC2 +JXM + 5
= у(10 - 5) + 5 +
[j (10- 5) -J 10] (J5 ч- 5)
j (10 - 5) - j 10 + j 5 + 5
= 10 Ом.
• К
Ток в первой ветви = -jQ - 0,5 + 0,5 j А, во второй 12 =
 Z3
=	—=-, где Zj и Z3 — комплексные сопротивления соответ-
<2 + Z3
ственно второй и третьей ветвей схемы:
4 = (0,5 + j 0,5)	= j А, 4 = 4-4 = °’5 ~j °’5 А •
Мгновенные значения токов в ветвях будут следующими:
ix (Г) = sin (со t + 45°)А, i2 (t) = ^2 sin (со t + 90°)А,
i3 (t) = sin (at - 45°)A.
28
ОГЛАВЛЕНИЕ
1.	Символический (комплексный) метод расчета цепей
при гармоническом воздействии..........................3
1.1.	Основные понятия.............................3
1.2.	Комплексные амплитуды........................7
1.3.	Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме....... 10
1.4.	Комплексные сопротивление и проводимость..... 12
1.5.	Последовательное соединение элементов г, L н С... Г4
1.6.	Параллельное соединение элементов г, L и С..16
Задачи..............................................18
2.	Индуктивно связанные цепи при гармоническом
воздействии...........................................20
2.1.	Основные понятия............................20
2.2.	Последовательное соединение двух индуктивно
связанных катушек...............................23
2.3.	Параллельное соединение двух индуктивно
связанных катушек...............................24
2.4.	Замена индуктивных связей электрическими....25
Задачи..............................................  27
29