/
Автор: Мустафаев А.А.
Теги: подземное строительство земляные работы фундаменты строительство тоннелей строительство проектирование фундаментов механика грунтов издательство высшая школа
ISBN: 5-06-000156-3
Год: 1989
Текст
А.А.Мустафаев
ФУНДАМЕНТЫ
НА ПРОСАДОЧНЫХ
И НАБУХАЮЩИХ
ГРУНТАХ
А. А. Мустафаев
Доктор технических наук, профессор
ФУНДАМЕНТЫ
НА ПРОСАДОЧНЫХ
И НАБУХАЮЩИХ
ГРУНТАХ
Допущено
Государственным комитетом СССР
по народному образованию
в качестве учебного пособия
для студентов строительных специальностей
высших учебных заведений
Москва
«Высшая школа-
1989
ББК 38.58
М91
УДК 624.159.1
Мустафаев А. А.
М91 Фундаменты на просадочных и набухающих грунтах:
Учеб, пособие для студентов строит, спец, вузов. — М.:
Высш, шк.» 1989. — 590 с.: ил.
ISBN 5-06-000156-3
В пособии на базе новейших экспериментальных и теоретических иссле-
дований излагается современная методика расчета фундаментов зданий н со-
оружений на просадочных и набухающих грунтах.
Приведены сведения о физико-механических свойствах, закономерностях
фильтрации и деформируемости просадочных и набухающих грунтов. Даны
решения характерных численных примеров.
3304000000(4309000000)—513
М 001(01)—89 ,5“89
ББК 38.58
6С1
Рецензенты:
кафедра «Механика грунтов, основания и фундаменты»
Московский инженерно-строительный институт им. В. В. Куйбышева
(зав. кафедрой д-р техн, наук, проф. С. Б. Ухов);
д-р техн, наук, проф. К. Е. Егоров (лаборатория механики грунтов
НИИОСП Госстроя СССР)
м3304000000(4309000000)—513 ОЛ
М---------------------------15—89
001(01)—89
ISBN 5-06-000156-3
© А. А. Мустафаев, 1989
ПРЕДИСЛОВИЕ
В природе существует определенный класс горных пород, деформированное
состояние которых в силу особого строения их структур и свойств может быть
вызвано не только действием внешней нагрузки, но и вследствие изменения их
физического состояния под влиянием увлажнения. Такие грунты принято назы-
мать структурно-неустойчивыми; характерными разновидностями их являются
лессовые просадочные и глинистые набухающие грунты.
Просадка и набухание — две разнозначные деформации различных по свое-
му составу и строению горных пород, вызванные их увлажнением. Просадка
происходит в лессах и лессовидных суглинках и представляет собой большие
по величине и неравномерные по характеру деформации, сопровождаемые
уменьшением увлажненного объема породы и существенным изменением их
физико-механических показателей.
При набухании в отличие от процесса просадки происходит расширение
объема, приводящее также к большим неравномерным деформациям глинистого
грунта, обладающего особым минералогическим составом.
Просадка и 'набухание грунтов в основаниях зданий и сооружений могут
привести к снижению их надежности и долговечности. Указанные деформации
нередко становятся причиной аварий зданий и сооружений. Ликвидация опас-
ных последствий этих деформаций и обеспечение эксплуатационной пригодности
построенных сооружений требуют больших трудовых и денежных затрат. Ошиб-
ки же, допускаемые при возведении фундаментов, приводят либо к излишним
неоправданным затратам, либо к разрушению отдельных зданий и сооружений.
Эти грунты, доставляющие большие хлопоты проектировщикам-строителям,
широко распространены у нас во многих районах очередного и перспективного
строительства. Встречаются они на различных континентах, особенно в арид-
ных зонах. Чтобы строить на этих грунтах, необходимо прогнозировать разви-
тие деформаций во времени, назначать в проекте различные инженерные меро-
приятия, снижающие вредные последствия деформаций просадки и набухания.
Строителям приходится сталкиваться с вопросами деформирования и разруше-
ния просадочных и набухающих грунтов при их увлажнении. Все это свиде-
тельствует о громадной экономической значимости вопросов, связанных с со-
вершенствованием методов проектирования и строительства зданий и сооруже-
ний на просадочных и набухающих грунтах.
Теоретической основой данной проблемы является рассмотрение инфильтра-
ционного движения воды и вызываемых этим движением просадочных и набу-
хающих деформаций. Инфильтрационное движение и просадочно-набухающее
деформирование грунтов представляют собой два сложнейших нестационарных
процесса, к тому же взаимно зависимых.
В настоящее время отсутствует даже строгая постановка данной проблемы,
решение которой необходимо для построения специального раздела механики
грунтов, рассматривающего прочность и деформируемость просадочных и набу-
хающих грунтов. Рассматриваемую задачу можно решить лишь методами меха-
ники грунтов с привлечением математического аппарата механики сплошной
деформируемой среды.
Доминирующее значение для исследования процессов просадки и набуха-
ния имеют результаты прямого эксперимента. Именно они служат отправной
точкой для создания расчетных схем и критериев пригодности их на конечной
стадии исследования.
3
Следует, однако, помнить, что если теория целиком зависит от направляю-
щего контроля, то и эксперимент, для того чтобы быть эффективным, никогда
не может обойтись без аналитического руководства.
В монографии автора «Основы механики просадочных грунтов» (Стройиз-
дат, 1978) впервые была дана математическая формулировка задачи о просадке,
исходя из указанной выше концепции. В этой работе процесс просадки рас-
сматривался как следствие взаимодействия двух неустановившихся, непрерыв-
ных полей влажности и деформации грунта. Однако математические трудности,,
возникающие при решении этой проблемы, становятся настолько значительными,
что инженерное решение может быть получено только после значительного
упрощения.
В книге «Расчет оснований и фундаментов на просадочных грунтах» («Выс-
шая школа», 1979) приводятся разработанные автором методы прогноза про-
цесса просадки и расчет ленточных фундаментов зданий и сооружений на
основании этой теории.
Основной целью данной книги является последовательное и систематическое
рассмотрение с единой по возможности точки зрения теории процессов просадки
и набухания и на ее основе развитие методов расчета оснований и фундамен-
тов на воздействие этих деформаций.
В настоящей книге кратко изложено современное состояние теории расчета
оснований и фундаментов на просадочных и набухающих грунтах, включая ре-
зультаты более чем 35-летней деятельности автора и его учеников в области
механики структурно-неустойчивых грунтов и инженерных расчетов оснований
и фундаментов на этих грунтах. Важные результаты этих исследований были
опубликованы в Трудах Международных конгрессов и симпозиумов (Хайфа —
1967, Мехико—1969, Бухарест—1971, Мадрид— 1972, Москва— 1973, Стам-
бул— 1975, Канпур— 1977, Таиланд— 1977, Токио— 1977, Варна— 1980', Ден-
вер— 1980, Стокгольм — 1981, Хельсинки— 1983, Будапешт— 1984, Аделаи-
да—1984, Сан-Франциско— 1985, Рио-де-Жанейро— 1985, Дели—1987, Лон-
дон — 1988 и др.).
За последнее время в области строительства на структурно-неустойчивых
грунтах накоплен богатый опыт и огромный экспериментальный материал, основ-
ные представления о явлениях просадки и набухания во многих отношениях
пересматривались, методы строительства усовершенствовались. Несмотря на
определенные успехи в области фундаментостроения на этих грунтах, имеет
место существенное отставание его научной базы — механики просадочных и
набухающих грунтов. Не разработаны расчетные модели просадочных и набу-
хающих грунтов и окончательно не установлена возможность достоверного опи-
сания напряженно-деформированного состояния этих грунтов методами мехас
ники сплошной деформируемой среды.
Применяемые в настоящее время в теории просадки и набухания методы
расчета, основанные на так называемых полуэмпирических теориях, не являют-
ся универсальными. Неуниверсальными оказываются также и заимствованные
из опыта эмпирические константы, отражающие влияние различных в явной
форме не учитываемых факторов.
Эти общие соображения, а также подбор материала для книги и все ее
построение отражают научное направление автора. При изложении автор стре-
мился к более полному анализу физической сущности явлений, к облегчению
усвоения и использования материала и в связи с этим к доведению его до рас-
четных результатов. Из-за ограниченного объема книги некоторые вопросы, де-
тально разработанные в доступной широкому кругу читателей литературе, изло-
жены в книге сжато, а иногда и опущены. Здесь подробно рассмотрены резуль-
таты исследований, полученные автором и его учениками.
Автор благодарен проф. К. Е. Егорову и специалистам кафедры механики
грунтов, оснований и фундаментов МИСИ им. В. В. Куйбышева, возглавляемой
д-ром техн, наук, проф. С. Б. Уховым, за сделанные ими ценные замечания при
рецензировании рукописи.
Автор
ОСНОВНЫЕ УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
а —коэффициент сжимаемости грунта;
£ —сила сцепления;
X —среднее значение характеристики;
р —плотность;
п —пористость грунта;
е —коэффициент пористости грунта;
U/ —влажность природная;
IFp —влажность на границе пластичности (раскатывания);
— влажность на границе текучести;
W'rp — конечная (установившаяся) влажность;
1^«лг — влажность, соответствующая полному водонасыщению;
U7»/ — начальная просадочная влажность;
W'.w — влажность набухания;
— влажность на пределе усадки;
Sr —степень влажности;
Y — удельный вес;
— удельный вес частиц грунта;
Tfd — удельный вес сухого грунта;
— удельный вес грунта в водонасыщенном состоянии;
Тш — удельный вес воды;
Pai —начальное просадочное давление;
Р,и — давление набухания;
в — относительная деформация;
elt —относительная просадочность;
—относительное набухание;
е1Л —относительная линейная усадка;
e,z —относительное суффозионное сжатие;
с — удельное сцепление;
ср — угол внутреннего трения;
Е —модуль деформации;
£ —коэффициент бокового расширения грунта;
/р —число пластичности грунта;
v — коэффициент Пуассона;
ст — коэффициент консолидации;
k —коэффициент водопроницаемости;
Тс —средний коэффициент водопроницаемости;
Лф —коэффициент фильтрации;
Лф —средний коэффициент фильтрации;
F — сила, расчетное значение силы;
N —сила, нормальная к подошве фундамента;
G —собственный вес фундамента;
q — равномерно-распределенная вертикальная нагрузка;
Р — среднее давление под подошвой фундамента;
о —нормальное напряжение;
т — касательное напряжение;
р — расчетное сопротивление грунта основания (предел линейной зависимо-
сти «нагрузка — осадка»);
5
Уп — верхняя граница области просадки от действия собственного веса
грунта;
• S — осадка основания;
— средняя осадка основания;
Ss/ — просадка;
hsw — подъем основания при набухании грунта;
— суффозионная осадка;
AS —разность осадок (просадок);
b — ширина подошвы фундамента;
I —длина подошвы фундамента;
А — площадь подошвы фундамента;
Л —средняя площадь;
L —длина здания;
d,da —глубина заложения фундамента соответственно от уровня планировки»
от поверхности природного рельефа;
db —глубина подвала от уровня планировки;
h —толщина слоя грунта;
Нс — глубина сжимаемой толщи;
Н —толщина линейно-диформируемого слоя;
hsi —толщина зоны просадки;
hsi,p —то же, от внешней нагрузки;
hsi,q — то же, от собственного веса грунта;
Hsw —толщина зоны набухания;
Hsh —то же, усадки;
WL — уровень подземных вод;
FL — отметка подошвы фундамента.
ВВЕДЕНИЕ
Фундаментостроение занимает важное место в строительстве
нашей огромной страны, имеющей самые разнообразные и часто
весьма сложные грунтовые условия. В связи с этим особую ак-
туальность приобретают вопросы усовершенствования и дальней-
шего развития методов проектирования и строительства зданий
и сооружений на структурно-неустойчивых, в частности на проса-
дочных лессовых и набухающих глинистых грунтах.
Начало систематического изучения явления просадки и строи-
тельных свойств лессовых грунтов относится к тридцатым годам
нашего столетия, к годам первой и второй пятилеток, когда в
стране развернулось строительство крупнейших промышленных
предприятий в районах распространения лессовых грунтов. Это —
Запорожсталь, Азовсталь, Днепросталь, Днепропетровский метал-
лургический комбинат, Криворожский и Кузнецкий металлургиче-
ские заводы, Никопольский трубный завод, Чирчикстрой и др.
В эти годы возникла необходимость в разработку норм и техни-
ческих условий по проектированию и строительству зданий и со-
оружений на просадочных грунтах.
Первые нормативные документы, в составлении которых при-
нимали участие Н. М. Герсеванов, Ю. М. Абелев, Р. А. Токарь
и Д. Е. Польшин, вышли вначале 30-х годов. В 1931 г. под руко-
водством Ю. М. Абелева был издан проект «Временных инструк-
ций по проектированию и возведению гражданских и промышлен-
ных сооружений на лессовых грунтах». Результаты эксперимен-
тальных исследований, проведенных во ВНИИОСП им.
II. М. Герсеванова (бывший ВИОС) и Всеукраинским институ-
том сооружений, легли в основу изданных в 1939 г. «Технических
условий по проектированию и возведению промышленных и граж-
данских сооружений на макропористых грунтах». В этом доку-
менте впервые в мировой литературе вопросы строительства со-
оружений увязывались со строительными свойствами грунтов.
В 1948 г. вышли Нормы проектирования оснований, которые со-
держали специальный раздел, посвященный вопросам проектиро-
вания на лессовых просадочных грунтах. С 1956 г. вошли в дей-
ствие специальные нормы и технические условия по проектирова-
нию и строительству на просадочных грунтах (НиТУ—137—56),
где были сформулированы важные инженерные рекомендации по
многим вопросам строительства на лессовых просадочных грун-
тах. В 1962 г. вышли новые Строительные нормы и правила, от-
ражающие особенности проектирования и строительства на лес-
совых просадочных грунтах СССР (СНиП П-Б.2—62). Проведен-
ные в НИИ оснований им. Н. М. Герсеванова под руководством
7
В. И. Крутова многолетние исследования легли в основу выпу-
щенного Госстроем ныне действующего СНиП 2.02.01—83.
Становление и развитие самостоятельной науки о строитель-
стве на просадочных грунтах у нас в стране принадлежит проф.
Ю. М. Абелеву. Дальнейшее развитие этой важнейшей отрасли
строительной науки нашло отражение в трудах М. Ю. Абелева,
М. Н. Гольдштейна, В. Н. Голубкова, А. А. Григорян, С. Н. Кле-
пикова, В. И. Крутова, И. М. Литвинова, Г. М. Ломизе,
А. А. Мустафаева, А. П. Пшеничкина, 3. Г. Тер-Мартиросяна,
Р. А. Токаря, Н. А. Цытовича и др.
Ценные исследования по созданию теории расчета инженер-
ных конструкций на просадочных грунтах проводятся под руко-
водством С. Н. Клепикова в НИИСКе Госстроя СССР (г. Киев).
Новые перспективные направления исследования, базирующие-
ся на вероятностном подходе к изучению работы лёссовых грун-
тов и их просадочных деформаций, проводятся А. П. Пшенички-
ным.
За последние годы механика просадочных грунтов и методы
проектирования и строительства на этих грунтах сформировались
в самостоятельную и весьма перспективную отрасль строительной
науки.
Хотя проблемы строительства на набухающих грунтах по
сложности и значимости не уступают проблемам просадочных
грунтов, крупномасштабные полевые и лабораторные эксперимен-
ты в этой области для разработки методов строительства нача-
лись всего лишь с 1959 г. в НИИОСПе под руководством
Е. А. Сорочана.
Большой вклад в изучение процесса набухания глинистых
грунтов внесли В. П. Ананьев, Р. Грим, Г. Громко, Н. Я. Денисов,
И. М. Горькова, Р. С. Зиангиров, Р. Миленц, М. Кинг, Е. М. Сер-
геев, Ф. Чен, В. Г. Чинихина и др.
По предложению Е. А. Сорочана впервые в СНиП П-Б.1—62
в классе глинистых грунтов набухающие грунты были выделены
в самостоятельную группу. В дальнейшем в СНиП II-15—63 и
2.02.01—83 были включены целые разделы об особенностях про*
ектирования оснований зданий и сооружений, возводимых на на*
бухающих грунтах.
Особенность проектирования зданий и сооружений на набуха-
ющих грунтах, так же как и на просадочных, состоит в осуще-
ствлении в каждом случае строительства в зависимости от типа
сооружения и ожидаемой величины набухания основания соот-
ветствующих инженерных мероприятий, исключающих вредное
воздействие этих деформаций на конструкции фундаментов и над-
земного строения.
При такой постановке задачи отпадает необходимость расчета
фундаментных конструкций на воздействие набухания грунтов
основания. Поэтому, естественно, методы расчета конструкций
8
фундаментов на воздействие неравномерных набухающих дефор-
маций грунтов основания разработаны недостаточно. Между тем,
так же как и на просадочных грунтах, фундаменты зданий и со-
оружений, строящихся на набухающих грунтах, должны рассчи-
тываться на воздействие деформаций набухания, так как пол-
ностью устранить эти деформации не всегда возможно и эконо-
мично нецелесообразно.
В последние годы под руководством автора его учениками
Г. Д. Чигниевым, А. П. Ерганджиевым, Ф. Г. Габибовым, Руби
Махмуд Мохамед Эль-Ханси, Д. П. Чираговым, Исса Коусом в
Азербайджанском инженерно-строительном институте разработа-
ны теория и методы инженерных расчетов фундаментов на нерав-
номерные воздействия набухания грунтов основания, важнейшие
результаты которых вошли в настоящую книгу.
За рубежом в этом направлении проводились исследования
Р. Давсоном, С. Ригби, Дж. Саласомом, Р. Литтоном, К- Мейе-
ром, Уолшем, Н. Наякой, Р. Христинсеном и др. Многие пробле-
мы фундаментостроения на просадочных и набухающих грунтах
пока еще остаются нерешенными.
В настоящей книге впервые сделана попытка совместного рас-
смотрения проблемы механики просадочных и набухающих грун-
тов и методы расчета фундаментов на этих грунтах, исходя из
общих принципов и методов механики сплошной деформируемой
среды. Такой обобщенный подход освещения вопросов теории
просадки и набухания представляется наиболее перспективным,
отражающим более комплексно и всесторонне реальный характер
природных процессов, протекающих хотя и в различных грун-
тах — лёссовых и глинистых, но под влиянием общих факторов —
влаги и напряженного состояния среды.
Конечно, изложить столь сложные и обширные вопросы, свя-
занные с этими проблемами, при ограниченности объема книги
не представилось возможным. Автор старался дать формулировки
только основных, наиболее важных закономерностей и зависимо-
стей и на их основе разработать в первом приближении строи-
тельную механику просадочных и набухающих грунтов и строя-
щихся на них фундаментов зданий и сооружений. Поэтому книга
не претендует на исчерпывающий охват всех проблем механики
названных грунтов и фундаментостроения на них, а лишь поды-
тоживает и обобщает результаты более тридцатипятилетних экс-
периментальных и теоретических исследований автора, его учени-
ков, советских и зарубежных ученых.
Автору представляется, что изучение поставленных в книге
новых задач и полученых решений будет способствовать повыше-
нию качества подготовки инженеров-строителей, научных работ-
ников и даст возможность использовать достигнутые результаты
в практике проектирования, инженерных расчетов и строительст-
ва в условиях просадочных и набухающих грунтов.
9
РАЗДЕЛ I
ФУНДАМЕНТЫ НА ПРОСАДОЧНЫХ ГРУНТАХ
Глава 1
ПРИРОДА, СОСТАВ, ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИЕ
И ПРОСАДОЧНЫЕ СВОЙСТВА ЛЕССОВЫХ ГРУНТОВ
1.1. Природные особенности лессовых просадочных
грунтов .
Среди глинистых грунтов континентального происхождения
четвертичного периода особое место занимают лессовые и лессо-
видные породы, отличающиеся своеобразным составом и свойст-
вами. Своими особыми, не встречающимися у других глинистых
грунтов, просадочными свойствами они издавна привлекали к се-
бе большое внимание ученых, инженеров-геологов и строителей.
Покрывая значительную часть суши всего земного шара (бо-
лее 2,5%), эти породы широко распространены в Южной и осо-
бенно в Северной Америке, занимая большие площади в бассей-
нах рек Миссисипи и Миссури. Встречаются они и в восточной,
южной частях Новой Зеландии и в Северной Африке. В Европе
лёссы и лёссовидные суглинки встречаются в северной и восточ-
ной частях Франции, средней части Центральной Европы, у под-
ножья Альпийских гор и в понижениях, связанных с верхним,
нижним и средним течением Дуная. В пределах Восточно-Евро-
пейской равнины эти породы распространены от Польши до По-
волжья. Наиболее характерные лёссовые породы встречаются на
огромной территории Северного Китая, а также в Монголии и
северной части Индии.
На территории нашей страны лёссовые грунты занимают при-
мерно 35% площади европейской части и около 7% —азиатской.
На Украине они охватывают свыше 70% всей территории рес-
публики (В. Ф. Краев, 1966). На Северном Кавказе и в Закав-
казских республиках эти породы встречаются в районах орошае-
мого земледелия, а также промышленного и жилищного строи-
тельства.
Многие районы Азербайджана, преимущественно западные и
северо-восточные, остро нуждающиеся в орошении, заняты лессо-
10
выми и лессовидными породами, обладающими способностью
давать значительные просадочные деформации.
Лессовыми и лессовидными породами заняты более 25% об-
щей территории центральной и южной частей Средней Азии
(Г. А. Мавлянов, 1958), а также значительные площади в запад-
ной части Западно-Сибирской низменности (В. Т. Трофимов,
1966).
Изучением лессовых грунтов занимались видные русские уче-
ные Л. С. Берг, И. П. Герасимов, К. И. Лисицын, В. А. Обру-
чев, А. П. Павлов, Б. Б. Полынов, П. А. Тутковский, И. И. Тро-
фимов и др., которые создали ряд оригинальных теорий о проис-
хождении этих грунтов: эоловую, водно-ледниковую, пролюви-
альную, делювиальную, аллювиальную, почвенно-аллювиальную
и др. Среди указанных теорий большим распространением поль-
зуются эоловая, водно-ледниковая и пролювиальная гипотезы.
Сторонники эолового происхождения лессовых грунтов
(П. А. Тутковский, В. А. Обручев и др.) объясняют образование
их на водоразделах в результате накопления на этих территори-
ях пылеватых частиц, приносимых ветром из прилегающих пус-
тынь. При этом они основываются на том, что размер частиц в
лессе соответствует размеру пылеватой частицы, переносимой
ветром, и считают просадочными только лессовые грунты эоло-
вого происхождения, отлагавшиеся в условиях резкого недостатка
воды.
Авторы других теорий происхождения лессовых грунтов нахо-
дят связь в их образовании и сходство с делювиальными отло-
жениями на склонах, равнинных областях и постепенным перехо-
дом от делювия горных областей к лессовым грунтам предгорий
(делювиальная теория); с распространением лессов с границами
оледенений (водно-ледниковая); приуроченностью лессовых грун-
тов к долинам рек и их террасам (аллювиальная теория); с ха-
рактером залегания и текстурой лессовых грунтов с породами, из
которых они образовались (почвенно-элювиальная теория), и
др. Несмотря на. ряд вышепредложенных теорий, нет единого
мнения о происхождении лёссовых просадочных грунтов.
Проблемой лессов и лессовидных пород центральной и южной
частей Средней Азии, включая их происхождение, разновидности
генетических типов и особенности их физико-механических
свойств, занимались Г. А. Мавлянов и его предшественники. Ими
было доказано, что просадочные свойства лессовых пород форми-
руются только в особых геоморфологических, геологических и
гидрогеологических условиях.
Лессовые породы, как правило, занимают покровное положе-
ние, залегая на самых различных геоморфологических элементах.
Подстилаются лессовые породы разнообразными по возрасту и
литологии отложениями; мощность их колеблется до нескольких
II
десятков метров, а в отдельных случаях достигает даже 100 м и
более.
Для северного Кавказа, Средней Азии, Закавказья и других
районов нашей страны характерно недоуплотненное состояние
лессовых грунтов эолового, делювиального и пролювиального про-
исхождения.
Характерными внешними признаками лессовых пород являют-
ся видимая невооруженным глазом пористость (макроструктура),
обусловленная наличием тонких, более или менее вертикальных
канальцев; способность держаться вертикальными обрывами зна-
чительной высоты в открытых местах, подвергающихся действию
атмосферных осадков; быстрая размокаемость в воде; отсутствие
мелкой слоистости; светлая окраска в сухом состоянии; наличие
ходов мелких животных — кротовин, заполненных черноземом и
идущих на значительную глубину.
Лессовые грунты, достаточно прочные в естественных услови-
ях, при увлажнении под действием веса здания и сооружения, а
иногда и только от действия собственного веса дают дополни-
тельную деформацию, называемую просадкой.
Просадка в лессовых грунтах представляет собой неравномер-
ные большие деформации преимущественно вертикального харак-
тера, происходящие вследствие существенного изменения физико-
механических свойств грунта под влиянием воздействия влаги в
условиях определенного напряженного состояния. Условиями воз-
никновения просадочных деформаций в лессовых грунтах явля-
ются: высокая пористость (более 45%) и в особенности специ-
фический ее характер (обилие макропустот), свойственный лес-
совым грунтам с относительно глубоким залеганием уровня под-
земных вод, обусловленных ограниченным количеством осадков
в условиях засушливого климата; наличие уплотняющего на-
пряжения, под действием которого деформация увлажняемого
массива лессового грунта приобретает просадочный характер;
проникновение в грунт в течение определенного периода времени
слабоминерализованной воды в количестве, обеспечивающем со-
здание в промачиваемом массиве достаточно увлажненной зоны
с влажностью, отвечающей данному виду грунта и его напряжен-
ному состоянию; своеобразный гранулометрический состав, ха-
рактеризуемый преобладанием пылеватых (обычно /более 50%)
и незначительным содержанием глинистых фракций (до 20%);
сравнительно большая, особенно в вертикальном направлении,
водопроницаемость, обеспечивающая достаточно быстрое проник-
новение влаги в глубь толщи; наличие водорастворимых солей
(хлоридов, сульфатов и карбонатов), покрывающих трубчатые
пустоты лессовых грунтов, а также насыщение кальцием погло-
щающего комплекса грунта, обусловливающим коагуляцию мел-
ких частиц в агрегаты, способствующие повышению фильтраци-
онных свойств лессовых грунтов.
12
Следствием просадочных деформаций являются: уплотнение
грунта за счет сближения частиц грунтового скелета, выражаю-
щегося в уменьшении пористости и соответственном увеличении
•средней плотности, приводящей к последовательному появлению
вертикальных трещин и опусканию увлажненных участков; при-
обретение грунтом более устойчивой структуры по сравнению с
естественным его состоянием; обеднение просевшей части масси-
ва водорастворимыми солями.
Факторами, обусловливающими, как правило, величину про-
садки, в условиях природного напряженного состояния, являют-
ся: начальная пористость просадочной толщи лессового грунта,
характер, продолжительность и размеры источника увлажнения
толщи грунта.
1.2. Состав и структура лессовых просадочных
грунтов
Твердая составляющая лессовых грунтов состоит из частиц
различных минералов разной крупности и формы, соединенных
между собой связями различного происхождения, характера и
прочности.
Минералогический состав лессовых пород представлен боль-
шим числом минералов (около 50), из которых главными породо-
образующими являются около 15, а остальные относятся к акцес-
сорным (тяжелым) и глинистым минералам.
Глинистую часть (фракции .менее 0,005 мм) лессовых грунтов
в основном представляют глинистые минералы, среди которых
главную роль, с точки зрения определения просадочности, игра-
ют монтмориллонит, каолинит, нонтронит, гидрослюда. По про-
центному содержанию глинистых минералов лессовые породы
подразделяют на монтмориллонитовые, монтмориллонито-каоли-
нитовые и монтмориллонито-гидрослюдистые. Состав и различные
соотношения глинистых минералов характеризуют в некоторой
степени просадочность лессовых пород. Глинистые минералы по-
разному взаимодействуют с» поровыми растворами и водой, обла-
дают различной гидрофильностью, в результате чего одни из них
способствуют возникновению и развитию просадки грунта (као-
лонит, гидрослюда и др.), другие же сопротивляются этому про-
цессу, проявляя при этом свои специфические набухающие свой-
ства (монтмориллонит, нонтронит, гидрослюда и др.).
Минералы же песчано-алевритовой части (фракции 0,1...
0,005 мм) инертны по отношению к воде, поэтому их свойства су-
щественной роли в процессе просадки не играют. Среди породо-
образующих минералов в крупной фракции большим содержани-
ем отличаются кварц, полевые шпаты, карбонаты и изредка
»слюда.
Встречаются лессовые породы, содержащие слюдистые мине-
ралы в количестве, превышающем 30...50% (мусковит, бионит),
гипс — не более 5% и другие обломки минералов: глауконит,
бурый железняк, опал, халцедон, мукрофана и обломки раковин
моллюсков.
Минералогический состав крупной фракции лессовых пород,
являющейся во многих случаях инертной к воде, не оказывает
существенного влияния на многие инженерно-геологические про-
цессы, происходящие при замачивании этих пород. Наиболее ак-
тивную роль в этих процессах играют глинистые и тонкодисперс-
ные частицы. Эти минеральные частицы обладают высокой удель-
ной прверхностью, благодаря чему лессовая порода приобретает
способность к набуханию, усадке, просадке, меняет механические
свойства, такие, как сжимаемость, сопротивление сдвигу и др.
Лессовые породы отличаются также полиминеральным составом
во фракции менее 0,005 мм с преобладанием кварца, гидрослю-
ды, кальцита, монтмориллонита и каолинита, содержащихся в
больших количествах во многих генетических типах лессовых по-
род.
Гранулометрический состав лессовых пород характеризуется
высоким содержанием (обычно более 50%) пылеватых (0,05...
...0,005 мм) частиц и незначительным содержанием глинистых и
тонкодисперсных частиц размером меиее 0,005 мм.
Высокая пылеватость лессовых пород, пользуясь данными гра-
нулометрического анализа, рассматривается многими исследова-
телями как один из основных показателей, определяющих проса-
дочность породы.
Пылеватые фракции при замачивании, как правило, не про-
являют набухающих свойств, так как представлены в основном
кварцевыми частицами угловатой формы, а иногда пылеватошпа-
товыми.
Данные многих анализов гранулометрического состава лессо-
вых пород различных районов СССР показывают на преобладаю-
щее содержание в них крупнопылеватых фракций размером 0,05...
...0,01 мм с наибольшей подвижностью п-ри увлажнении.
Следует отметить, что агрегатность мелкопылеватых и глини-
стых частиц, содержащихся в лессовой породе, придает породе-
различную степень просадочности, по-разному может проявляться
при замачивании ее водой в зависимости от характера разруше-
ния агрегатов.
Количественное и качественное содержание агрегатов (водо-
устойчивых и водонеустойчивых) находится в определенной связи
с условиями возникновения процесса пептизации лессовых пород
при их увлажнении и определяет степень изменчивости прочности
и устойчивости ее после увлажнения.
Химический состав лессовых пород определяется валовым
составом минеральных частиц в большей массе и отдельно по
14
фракциям водорастворимыми соединениями, составом поглощен-
ных оснований, а также характером реакций суспензии.
В лессовых породах содержатся также гумусовые соединения
в количестве от 0,1 до 0,9%, присутствие которых является ре-
зультатом микробиологического, процесса и, вероятно, причиной
•образования микроагрегатов тонких фракций.
Водные вытяжки лессовых пород разных районов содержат
в различных соотношениях следующие водорастворимые соли:
карбонаты и хлориды натрия, карбонаты кальция и магния, суль-
фаты. кальция. Для лессовых пород наиболее характерны карбо-
наты щелочных земель, в первую очередь карбонаты кальция,
принимающие большое участие в формировании прочности сухих
лессовых пород (В. А. Приклонский, 1952). Плохая раствори-
мость карбоната кальция обеспечивает длительное сохранение его
в породе, но по мере увеличения в поровых растворах растворен-
ного диоксида углерода увеличивает содержание водораствори-
мых карбонатов.
Для лессовых пород Средней Азии, по данным С. В. Быстро-
ва, В. И. Батыгина, Ф. И. Воронова, Ф. Л. Андрухина,
В. И. Архангельского, В. Д. Дмитриева и других ученых, харак-
терны карбонатно-сульфатно-хлоридный, сульфатно-карбонатно-
хлоридный и сульфатно-хлоридно-карбонатный типы, а для лес-
совых пород Северного Кавказа — хлоридно-сульфатно-карбонат-
ный тип засоления. Водорастворимые соли в проявленных проса-
дочных лессовых породах, как правило, содержатся в большем
количестве (1,67%), чем в непроявленных (0,40%).
Гипс и известь, являясь цементирующим веществом между
составляющими минеральными частицами, придают лессовой по-
роде прочность и устойчивость. Растворение их вызывает нару-
шение связности, но слабая растворяемость этих солей в воде,
заметно не отражаясь на просадочном процессе в первой его
•стадии, может оказывать существенное влияние вследствие дли-
тельного процесса растворения и вымыва солей из этих грунтов.
Связность лессовых грунтов может быть наряду с другими
факторами объяснена цементацией соли вследствие их кристал-
лизации при выпадении в твердый осадок. Появление кристалли-
зационных связей между частицами грунта уменьшает роль свя-
заной воды за счет увеличения контактов между частицами, так
как в местах контактов связаная вода исчезает. Кристаллы со-
лей и в скелете просадочных лёссовых пород могут играть роль
самостоятельных механических элементов, у непросадочных же
они занимают пустоты между плотно прилегающими частицами,
поэтому их роль пассивна. Влияние водорастворимых солей на
просадочный процесс для лессовых грунтов различных регионов
неодинаково.
Просадочные свойства лессовых грунтов тесно связаны со
•структурными их особенностями. А. К- Ларионов выделяет сле-
15
дующие типы структур: зернистый, зернисто-агрегатный и агрега-
тивный. Зернистая структура характеризуется малым содержани-
ем глинистых частиц в породе, создающих контактовый цемент
между частицами, недостаточный для образования и роста агре-
гатов, а агрегативная представлена глинистыми и другими агре-
гатами, обладающими различной прочностью в зависимости от
того, какими из глинистых минералов или солей качественно и
количественно они образованы. С увеличением содержания монт-
мориллонита, бейделлита и монтмориллонитовой гидрослюды
прочность агрегатов в лессовой породе возрастает. В результате
воздействия воды на агрегаты лессовой породы некоторая часть,
этих агрегатов, образованных водорастворимыми солями, колло-
идами, коагуляционными частицами, распадается на составляю-
щие их минеральные зерна, повышая просадочность, размывае-
мость и другие свойства, а часть, образованная склеиванием час-
тиц гумусовыми коллоидами, остается устойчивой по отношению»
к воде даже прй многократной обработке.
Кроме того, в лессовой породе в достаточном количестве име-
ются карбонаты, оксиды железа, кремния и других соединений^
являющиеся для частиц цементирующими веществами- Агрегаты,,
образованные этими веществами, являются достаточно водопроч-
ными.
Исследования Н. Я. Денисова, Н. И. Трофимова, Н. И. Криге-
ра и А. К. Ларионова позволили выделить по устойчивости к во-
де следующие типы агрегатов: неводостойкий, образованный в
результате коагуляции, цементации легкорастворимыми солями и
обратимо высохшими коллоидами; водостойкий, образованный гу-
мусовыми коллоидами и цементацией сравнительно слабораство-
римыми в воде соединениями (гипсом); водопрочный, образован-
ный коллоидно-химическим путем; высоководопрочный, образо-
ванный цементацией частиц кремнеземом, оксидами железа и др.
В лессовых породах встречаются все названные типы, но только»
в различных количественных соотношениях. Просадочные свойст-
ва и размокаемость лессового грунта тесно связаны с преоблада-
нием неводостойких агрегатов, чем больше их в грунте, тем боль-
ше его просадочность и выше размокаемость в воде.
Следует отметить высокую активность глинистых и тонкодис-
персных частиц в лессовой породе. Эти частицы, обладающие зна-
чительной удельной поверхностью, устремляются к поверхности
более крупных частиц и адсорбируются на них, способствуя об-
разованию агрегатов или созданию на поверхностях кластоген-
ных зерен глинистой пленки определенной толщины, придающей
зернам большую подвижность при гидратации. По мнению'
И. В. Попова, глинистые частицы дают структурные связи, ха-
рактеризующиеся различной прочностью в зависимости от влаж-
ности породы.
16
Для просадочных лессовых пород (по В. П. Ананьеву) харак-
терно содержание агрегатов размером менее 0,25 мм.
Кристаллизационные связи, образованные водорастворимыми
слоями и карбонатными солями, являются более прочными при
низких влажностях, но при полном водонасыщении и длительном
воздействии воды ослабевают и исчезают.
В формировании просадочных свойств лессовых пород боль-
шая роль принадлежит порам и пустотам, являющимся наряду с
гранулометрическим составом основной структурной характерис-
тикой ' просадочности лессовой породы. В лессовой породе форма
и размер пор не одинаковы и претерпевают различные изменения
под влиянием их факторов. Все поры и пустоты в лессовой поро-
де А. К. Ларионовым классифицированы на следующие виды:
пористость, отвечающая максимальной объемной гигроскопич-
ности; межчастичные поры, которые подразделяются на подтипы:
междуагрегатные, поры между зернами (пылеватыми и песчаны-
ми), поры между агрегатами и зернами; макропоры, трещины;,
червеходы и замкнутые пустоты органического происхождения;
корнеходы травянистой и древесной растительности; кротовины
(ходы землероев); крупные пустоты с у ффозионно-карстового про-
исхождения.
Пористость, отвечающая максимальной объемной гигроско-
пичности, представлена порами между коллоидно-дисперсными
частицами, занятыми молекулярно-связаной пленочной гигроско-
пической влагой и межпакетными промежутками в минералах
группы монтмориллонита. Эта пористость из-за малого содержа-
ния в породе указанных частиц не принимает участия в процессах
уплотнения и просадки.
Межчастичные поры, имеющие размер от 0,002 до 0,5 мм, обра-
зуют в лессовой породе сообщающуюся систему. Эти поры в об-
щем объеме пор занимают важное место, составляя от 13 до35%,
и связаны с дополнительной осадкой лессовой породы после сма-
чивания их водой. По мнению Н. Я. Денисова, содержание этих
пор наиболее характерно для лессовых недоуплотненных пород
гидрослюдисто-каолинитового и гидрослюдисто-кварцевого соста-
ва и заметно уменьшается при их замачивании.
Для лессовых пород характерно значительное содержание
макропор, видимых невооруженным глазом, которые делятся на
два типа (А. К. Ларионов, 1959): макропоры, имеющие размер от
0,002 до 0,5 мм (межчастичные поры) и макропоры размером бо-
лее 0,5 мм, имеющие чаще всего вид вертикальных канальцев
округлого сечения, внутренняя полость которых покрыта карбонат-
ными, гумусовыми цементирующими пленками с плотной упаков-
кой частиц, прилегающих к стенкам этих макропор. Реже встре-
чаются макропоры щелевидной формы, на стенках которых высту-
пают рыхлосвязанные частицы слабосцементированные и недоуп-
лотненные. Встречаются также неправильной округлой формы
17
макропоры со средней плотностью упаковки минеральных частиц,
прилегающих к их стенкам. По отношению к воде водонеустой-
чивыми являются неправильные щелевидные макропоры с рыхлы-
ми стенками. При действии воды они быстро разрушаются.
Ю. М. Абелев, Е. Г. Борисова связывают просадочность лес-
совых пород с содержанием в них макропор, считая основной При-
чиной просадочности оплывание макропор при замачивании лес-
совой породы. Однако Н. Я. Денисов и В. А. Приклонский счита-
ют, что макропоры в лессовых породах при действии воды не
разрушаются, и поэтому дополнительные осадки сооружений по-
являются и прй возведении их на лессовидных суглинках, лишен-
ных крупных пор. Таким образом, согласно Н. Я. Денисову, уп7
лотнение происходит не столько в результате исчезновения ма-
кропор, сколько за счет общего понижения пористости
недоуплотненных пород в процессе их приближения к состоянию
истинного соответствия пористости давлению.
Большая ррль в определении общей пористости лессовой по-
роды принадлежит также трещинам, червеходам, кротовинам и
другим пустотам. Образование их в породе связано с органичес-
ким миром, существующим в толще этих пород, а также с раз-
личными физико-химическими явлениями и процессами, происхо-
дящими в них (выветривание, просадочность, набухание и усад-
ка, кристаллизация солей, явление оползня и т. д.).
1.3. Физико-механические характеристики
лессовых просадочных грунтов
Лессовые грунты характеризуются следующими физико-меха-
ническими показателями.
Пористость лессовых грунтов колеблется обычно от 40 др
<60%. "Меньшие значения характерны для непросадочных и про-
севших грунтов, большие — для просадочных.
Значительная по сравнению с обычными грунтами, пористость
лессовых грунтов обусловливается конкретными условиями их
генезиса и существования, а также склонностью этих грунтов к
просадкам при увлажнении. Так, на водоразделах в более засуш-
ливых районах, где распространены лессовые грунты, дающие
при увлажнении просадку от действия только своего собственно-
го веса, сравнительно постоянная по глубине пористость имеет
высокие значения (более 46%). После просадки общая пористость
вследствие уплотнения грунта по мере сближения частиц умень-
шается. По данным Ф. И. Воронова, изменение пористости грун-
тов канала Новый Джун в результате трехлетнего замачивания
происходило в пределах от 8,75 до 19,5% (табл. 1.1).
По данным наших полевых опытов, в результате трехмесяч-
ного непрерывного увлажнения дна котлованов, уменьшение по-
18
ристости лессовых грунтов Мингечаура (Азербайджан) составило
11,11%, а Шихлов —3,8%.
Удельный вес частиц лессовых грунтов, зависящий от состава
слагающих их минералов, колеблется в пределах 26,0...27,5 кН/м3.
На основании 1000 определений из разных районов СССР
А. К. Ларионов, В. А. Приклонский и В. П. Ананьев указывают
колебания удельного веса частиц лессовых грунтов в пределах
25,4...28,4 кН/м3. Эти пределы, по данным Ю. М. Абелева, рав-
ны 25,2...27,8 кН/м3, а Ф. Л. Андрухина — 26,6...27,1 кН/м3.
Присутствие в составе лессовых грунтов минералов акцессо-
ров, слюд или минералов из групп оксидов и гидроксидов железа
Таблица 1.1
Слой грунта от поверхности зем- ли, м Пористость, %' Изменения по- ристости, %
на дне ка- нала за пределами зоны просадки
0...2 41,3 47,7 13,4
2...4 42,0 48,1 12,7
4...6 41,4 47,9 13,5
6...8 41,1 51,1 19,5
8...10 44,2 48,7 9,24
10...12 43,8 48,0 8,75
12...23 42,3 46,8 9,62
повышает значения удельного веса частиц до 27,5...28,0 кН/м3.
Понижение удельного веса частиц обычно обусловливается содер-
жанием в грунте гипса, гумуса, а также примесей водораствори-
мых солей.
Удельный вес лессовых грунтов, зависящий от минерального
состава, структуры и содержания в них воды, колеблется от
13,3 до 20,3 кН/м3.
В некоторых случаях по удельному весу можно отличить про-
садочную разновидность лессового грунта от непросадочной. По
данным Г. И. Архангельского и В. Л. Дмитриева, на просевшем
массиве лессовой толщи и непосредственной близости от источ-
ника увлажнения (канала) значения удельного веса отмечались
выше 14,7 кН/м3. Ориентировочные пределы изменения удельного
веса частиц лессового грунта и его удельного веса некоторых
районов СССР приведены в табл. 1.2.
Природная влажность лессовых грунтов в зависимости от
климатических, геоморфологических и гидрогеологических усло-
вий колеблется в широких пределах. В районах глубокого залега-
ния подземных вод, водораздельных пространствах высоких скло-
нов или при подстилании лессовых толщ дренирующими слоями,
а также в областях недостаточного увлажнения естественная
влажность этих грунтов, как правило, невелика (12... 14%). Ха-
19
рактер изменения естественной влажности по глубине существен-
но зависит от наличия подстилающего водоупорного слоя. В слу-
чае отсутствия последнего или достаточно глубокого его залега-
ния наблюдается относительное постоянство значения влажности
по глубине толщи. Наличие же водоупорного слоя может привес-
ти к образованию трех последовательных зон — сезонного колеба-
ния, относительно постоянной влажности и постепенного перехода
от капиллярной каймы до полного насыщения грунта водой.
Во многих случаях в толще лессовых грунтов удается выде-
лить две зоны (Н. И. Кригер, 1965): верхнюю («живую»), в ко-
Таблица 1.2
Районы е Vs. кН/мЗ V, кН/мЗ % *7л 'р- У. * «я со
Украина 36...58 26,6... 27,1 14,2... 18,5 21...34 15...20 6... 14 2,7... 15,0
Средняя Азия 39...59 26,8... 28,0 12,1... 18,3 25...30 17...20 5.. .10 3,0... 15,0
Северный Кав- каз 39...55 26,7... 27,4 15,8... 19,2 28...44 14...26 14...18 1,0... 15,3
Ростовская об- ласть 38...56 26,7... 27,2 14,0... 19,3 24...40 12...24 12...20 1,6... 13,0
Сибирь 41...58 26,3... 27,6 12,5... 18,2 21...34 12...20 9.. .14 1,0... 5,0
Азербайджан 42...57 26,7... 27,7 13,5... 18,3 23...42 15...28 8.. .14 2,2... 14,8
торой естественная влажность сезонно изменяется, и нижнюю
(«мертвый горизонт»), куда сезонное промачивание не доходит.
Поэтому толща лессовых грунтов в этих условиях приобретает
двухъярусное строение — верхний горизонт в условиях природно-
го напряженного состояния, являющийся непросадочным, и ниж-
ний, состоящий из недоуплотненных просадочных грунтов.
Степень просадочности лессовой толщи существенно зависит
от естественной влажности: чем меньше природная влажность
грунта, тем больше степень его просадочности. По данным
Н. Я. Денисова, во многих случаях естественная влажность лес-
совых просадочных грунтов меньше их максимальной молекуляр-
ной влагоемкости.
Пластичность лессовых грунтов, в большой степени зависящая
от дисперсности, минералогического состава, формы и упругости
его частиц и особенно от. структуры, по значениям довольно раз-
нообразна. Между тем во многих случаях.по пределам пластич-
ности можно различить просадочную разновидность лессовых грун-
тов от непросадочной. Так, согласно исследованиям Н. Я. Дени-
сова, просадочные лессовидные суглинки обладают более
20
низкими значениями пределов и числа пластичности, чем непро-
гадочные. Согласно исследованиям Ф. Л. Андрухина, значения
числа пластичности у разных типов лессовидных грунтов Сред-
ней Азии невелики и мало различаются между собой (0,344-
। 0,038). Большей пластичностью обладают, как правило, тяже-
лые лессовидные суглинки (юг Украины), по числу пластичности
которые являются лессовидными глинами, обладающими тяжелым
механическим составом. Пределы пластичности лессовых грунтов
могут служить характеристикой для оценки величины «начальной
просадочной влажности» (влажность, при которой и выше кото-
рой при заданном значении уплотняющей нагрузки возникает де-
формация просадки). Так, по мнению В. И. Батыгина, при дости-
жении значения влажности границы текучести уничтожается ка-
жущееся сцепление и грунт, удерживаемый лишь силами
внутреннего трения, приобретает способность двигаться вниз и в
сторону.
По данным Ф. И. Воронова, оптимальная весовая влажность
при просадках близка к нижнему пределу пластичности.
Сопротивление уплотнению лессовых грунтов естественной
влажности значительно. Получаемая в этих условиях осадка лес-
сового грунта, как правило, очень невелика. При естественной
влажности и ненарушенном состоянии лессовые грунты обладают
достаточно хорошей несущей способностью и малой деформируе-
мостью. Компрессионные свойства лессовых грунтов при естест-
венной влажности качественно не отличаются от обычных мало-
сжимаемых связных грунтов. Согласно исследованиям Ф. Л. Ан-
друхина, сжимаемость просадочных лессовых грунтов относи-
тельно больше, чем непросадочных (табл. 1.3).
Таблица 1.3
Вид грунта Коэффициент сжимаемости т^, МПа-1, при давлении, МПа
0,05 0,1 0,2 0,4 0,8 1,6
Просадочный Непросадочный | 1,82 1 1,16 1,40 0,80 0,61 0,50 | 0,42 1 0,30 0.27 0,20 1 0,12 1 0,10
Значительно более прочные структурные связи лессовых грун-
тов, обусловленные как водно-коллоидными, так и цементацион-
ными связями, маловодостойки, поэтому эти грунты, так же как
мерзлые и илистые, относятся к структурно-неустойчивым.
При увеличении влажности прочность этих грунтов вследствие
разрушения структуры резко снижается и они приобретают свой-
ства сильно сжиматься под уплотняющей нагрузкой. Об этом
свидетельствуют данные Ю. М. Абелева для значения модуля де-
формации, полученные им путем испытания лессовых грунтов
пробными статическими нагрузками (табл. 1.4).
21
Таблица 1.4
Интервал влажно- сти, % Интервал пористо- сти, % Модуль деформа- ции, МПа
Лесс
10...17 | 47...48 | 22,5. . 32,0
Лессовидный суглинок
6...8 46...48 22,0.. .28,0
8...14 47...49 19,0.. .22,0
12...18 43...45 10,0.. .40,0
22...25 45...48 8,0... .1,5
25...30 40...45 7,0... .1,3
Влияние воды на структуру лессовых грунтов имеет в основ-
ном адсорбционный характер и обусловливается проникновением
молекул воды в места контактов частиц и проявлением их рас-
клинивающего действия. Вследствие этого сложного физико-
механического взаимодействия грунт при определенном значении
уплотняющего давления претерпевает значительную деформацию^
называемую просадкой. Поэтому просадочные грунты имеют весь-
ма характерные компрессионные кривые; при постоянном значе-
Рис. 1.1. Характер компрес-
сионной кривой для проса-
дочных грунтов
Рис. 1.2. Кривые зависимо-
сти «зменения пористости
просадочных грунтов от
уплотняющей нагрузки:
/—2 — для водонасыщенного со-
стояния; 3—4 — для маловлаж-
ного состояния
нии уплотняющей нагрузки под влиянием увлажнения резко скач-
кообразно изменяется их коэффициент пористости, что указывает
на коренное изменение их структуры (рис. 1.1).
Как видно из рис. 1.1, на компрессионной кривой можно раз-
22
Рис. 1.3. Кривые изменения упругой
(б) <и пластической (А) частей общей
деформации просадочного грунта в
зависимости от влажности при раз-
личных значениях уплотняющей на-
грузки
больше, чем ординаты кривой
личить три характерных участка: 1) начальный участок ab, соот-
ветствующий сжатию грунта в ненарушенном состоянии, имеет
небольшой наклон к оси давлений, что показывает на незначи-
тельную сжимаемость лессовых грунтов в природном состоянии;
2) участок Ьс характеризует просадку грунта, при которой про-
исходит резкое уменьшение коэффициента пористости на величи-
ну Де, которая возрастает с увеличением уплотняющей нагрузки
по криволинейному закону; 3) участок cd характеризуется боль-
шим по сравнению с первым изменением коэффициента пористос-
ти грунта, что указывает на увеличившуюся сжимаемость лессо-
вых грунтов при нарушении их
природной структуры.
В водонасыщенном состоя-
нии, как было отмечено выше,
уплотняемость лессовых грунтов
улучшается, поэтому зависи-
мость изменения пористости
грунта от уплотняющей нагруз-
ки представляет собой непре-
рывную кривую, крутизна кото-
рой с увеличением нагрузки
плавно уменьшается (рис. 1.2,
кривая 1—2). Указанная зависи-
мость для маловлажных лессо-
вых грунтов имеет совершенно
другой характер (Н. Я. Деиисов)
(кривая 3—4). Значения порис-
тости при любом диапазоне из-
менения уплотняющей нагрузки
1—2. При некотором значении нагрузки о2 обе кривые, характе-
ризующие уплотнение лессового грунта в различном состоянии,
сливаются. При значениях нагрузки возможно набухание
грунта и поэтому отрезок кривой 1—2 до значения нагрузки аг
проходит выше отрезка кривой 3—4.
Разность ординат двух кривых, по Н. Я. Денисову, характе-
ризует степень просадочности грунта при интервале изменения
уплотняющей нагрузки от щ до Ог-
Поскольку влажность меняет физическое состояние лессовых
грунтов, эти грунты в зависимости от влажности под нагрузкой
могут получать упругое, пластическое и вязкое состояния. На
рис. 1.3 представлены кривые изменения упругой и пластической
частей общей деформации просадочного грунта при различных
значениях уплотняющей нагрузки и влажности грунта. На осях
ординат соответственно отложены процентное отношение упругих
деформаций к общей б и абсолютное значение пластических де-
формаций Д. Как видно из кривых рис. 1.3, при одних и тех же
значениях уплотняющей нагрузки с увеличением влажности грун-
23
тл в соответствии с уменьшением упругой части общей деформа-
ции возрастает пластическая деформация. При коэффициенте во-
донасыщения, равном 0,63...0,65 и о=0,1 МПа, упругие дефор-
мации составляют 4,5% от общей деформации просадочного
грунта.
Сопротивление сдвигу лессовых грунтов, так же как и сопро-
тивление сжатию, определяется их физическим состоянием при
естественной влажности и плотности. Указанные грунты имеют
высокие показатели сопротивления сдвигу, увлажнение существен-
но снижает это сопротивление. Прочность лессовых грунтов, по
мнению Н. Я. Денисова, обусловливается как взаимодействием
г, МПа
Рис. 1.4. Закономерности из-
менения сопротивления
сдвигу просадочного грунта
в зависимости от влажно-
сти при различных значе-
ниях уплотняющей нагрузки
сил молекулярного притяжения частиц,,
так и цементирующим влиянием пленок
углекислой извести и гипса, обволаки-
вающих частицы пород.
В прочности лессовых грунтов су-
щественную роль играет вторая часть
сцепления, весьма чутко реагирующая
на изменение влажностного режима
грунта. Существенное падение прочнос-
ти лессовых грунтов наблюдается в на-
чальном участке интервала изменения
влажности. На рис. 1.4 представлены
закономерности изменения сопротивле-
ния сдвигу просадочных грунтов Минге-
чаура в зависимости от влажности при
различных значениях уплотняющей на-
грузки. Как видно из кривых рис. 1.4„
сопротивление сдвигу грунта при разли-
чных значениях уплотняющей нагрузки
резко снижается в интервале изменения
влажности от 6 до 24%. Дальнейшее
повышение влажности не так существен-
но влияет на прочностные характеристи-
ки грунта.
Значения прочностных характеристик лессовых грунтов (угол
внутреннего трения и сила сцепления) в зависимости от их плот-
ности — влажности может изменяться в широких диапазонах.
Для высушенных образцов просадочных грунтов (U7=3... 7%)
Значение силы сцепления может достигать 0,25...0,3 МПа; угол
внутреннего трения грунта при этих влажностях изменяется от
33 до 40%. При повышении влажности грунта до полного водона-
сыщения значение силы сцепления может уменьшиться в 10 раз,
а угол внутреннего трения в 1,5 раза.
Характерно, что после завершения процесса просадки значе-
ния прочностных показателей повышаются. При этом значение
силы сцепления возрастает во времени медленно; угол же внут-
24
реннего трения практически приближается к своему первоначаль-
ному значению.
Водопроницаемость лессовых грунтов сравнительно большая
и она обусловливается наличием крупных пор и малым содержа-
нием глинистых частиц. Постоянное значение коэффициента филь-
трации для лессовых грунтов может иметь место после полного
завершения в них просадочного процесса, т. е. для уплотненного
состояния. В начальном периоде увлажнения значение водопрони-
цаемости грунта ввиду трехфазного его состояния сравнительно
низкое. В процессе же возникновения и развития просадки вслед-
ствие существенного изменения физического состояния грунта' во-
допроницаемость также не остается постоянной. Поэтому о ста-
бильном коэффициенте фильтрации для просадочных лессовых
грунтов можно говорить лишь при водонасыщенном их состоянии,
и полном завершении деформации, просадки.
Так, по данным Г. И. Туркина, скорость фильтрации в проса-
дочных грунтах Средней Азии (Вахшстрой) в первые дни увлаж-
нения составляла 0,0145, через 5 дн — 0,004, а через 16 дн —
0,0035 мм/с. Водопроницаемость просадочных лессовых грунтов
канала Новый Джун (под Ташкентом), по данным Е. А. Зама-
рина, оказалась в 2,6...4,5 раза меныце, чем скорость просачива-
ния через смоченную поверхность опытного шурфа к концу
6... 12-часового наблюдения. Согласно нашим полевым опытам,
коэффициент водопроницаемости в начале увлажнения для про-
садочных грунтов Мингечаура установлен равным 0,3 м/сут.
После трехмесячного непрерывного увлажнения толщи этих грун-
тов значение указанного коэффициента было определено равным
0,036 м/сут.
Для некоторых разновидностей просадочных грунтов Украины
Ю. М. Абелевым установлено значение коэффициента фильтрации
0,864 м/сут. Согласно полевым опытам Ф. Л. Андрухина, коэффи-
циент фильтрации для просадочных непроявленных грунтов равен
0,212, для просадочных проявленных — 0,069 и для непросадоч-
ных грунтов на просадочных массивах — 0,017 м/сут.
Наличие в просадочных лессовых грунтах макропор и верти-
кальных цилиндрических пустот обусловливает их фильтрацион-
ную анизотропию, водопроницаемость в вертикальном направле-
нии больше, чем в горизонтальном. После просадки ввиду раз-
рушения структуры грунта при увлажнении наблюдается тенден-
ция к выравниванию коэффициента фильтрации по двум
направлениям. По данным лабораторных опытов Ю. М. Абелева,
коэффициент фильтрации для просадочных грунтов в вертикаль-
ном направлении колеблется от 0,3X10 до 0,16X10 см/с, а в го-
ризонтальном — от 0,1 X 10 до 0,8 X 10 см/с.
По специально разработанной методике А. А. Мустафаевым
проводились исследования фильтрационной анизотропии проса-
дочной толщи грунтов Мингечаура. Значения коэффициента
25
Таблица 1.5
Значения коэффициентов фильтрации, см/ч, при глубине от поверхности
земли, см
Продолжи- тельность на- блюдения. ч 200 400 600 800 1000
kx кУ kx kx “у kx кУ kx кУ
20 3,20 3,62 1,82 3,42 2,12 7,12 1,96 6,43 2,14 3,32
40 2,82 4,75 2,24 4,75 1,91 6,41 2,13 5,76 2,41 7,16
60 2,52 3,92 1,75 3,42 1,82 5,32 2,41 5,54 1,88 6,46
80 2,64 5,16 2,02 4,42 2,12 4,93 2,35 4,96 1,98 4,36
100 3,21 6,18 1,96 3,98 2,46 5,12 1,89 5,48 2,45 5,14
120 2,56 5,46 2,22 5,32 2,62 5,74 2,04 4,86 1,96 4,88
140 2,81 4,98 2,34 6,12 1,94 6,43 2,02 2,45 2,12 6,78
Средние значения 2,84 4,87 2,05 4,53 | 2,10 5,87 2,01 5,07 2,13 5,44
фильтрации по горизонтальному (kqx) и вертикальному (kpy) на-
правлениям для пяти характерных слоев 10-метровой толщи грун-
та, по данным этих исследований, приведены в табл. 1.5.
Как видно из таблицы, среднее значение коэффициента филь-
трации для всех горизонтов в вертикальном направлении в 1,7...
2,8 раза больше, чем в горизонтальном, что свидетельствует о
наличии фильтрационной анизотропии в лессовых просадочных
грунтах.
Просадочность лессовых грунтов характеризуется относитель-
ной просадочностью е$/, которая представляет собой относитель-
ное уплотнение под влиянием замачивания и определяется по
формуле
___ Л—h' е0 — ej be jx
al hQ ~ Ц-е0 ~ 14-е0 ’ U 4
где h — высота образца грунта, обжатого без возможности боко-
вого расширения нагрузкой Р; h' — то же, после воздействия за-
мачивания при неизменном давлении на грунт; h0 — высота того
же образца грунта природной влажности, обжатого давлением,
равным природному без возможности бокового расширения.
Испытания на прочность, как правило, производят в компрес-
сионных приборах на образцах грунта ненарушенной структуры.
Существует несколько методов определения относительной проса-
дочности лессовых грунтов. Наиболее широко применяемыми из
них являются методы одной и двух кривых.
По методу одной крив ой испытываемый образец грунта
природного сложения и влажности предварительно обжимают в
компрессионном приборе при заданной нагрузке до получения
26
условной стабилизации деформации. Затем при этом давлении за-
мачивают грунт, ведут контроль за его деформациями и по по-
лученным данным по формуле (1.1) подсчитывают относительную
просадочность. Обычно опыты ведут при различных значениях
уплотняющей нагрузки, и по результатам этих опытов представ-
ляется возможным построить кривую зависимости e$/=f(P).
Метод двух кривых основан на одномерном параллель-
ном испытании в компрессионных приборах двух образцов грун-
та, отобранных из одного монолита. Один образец испытывают в
состоянии природной влажности путем нагружения его приклады-
ваемыми отдельными ступенями нагрузки, а другой насыщают во-
дой и затем нагружают ступенями до определенного значения
уплотняющей нагрузки. По результатам каждого испытания
строят компрессионные кривые. Разности ординат этих кривых
определяют изменение коэффициента пористости грунта и позво-
ляют вычислить по формуле (1.1) относительную просадочность
при различных давлениях.
Существует также комбинированный метод опреде-
ления просадочности, представляющий собой сочетание методов
одной и двух кривых (В. И. Крутов).
Каждый из указанных методов определения относительной
просадки обладает недостатками и не всегда дает одинаковые
результаты. Метод одной кривой в некоторой мере отражает ус-
ловия работы основания в процессе эксплуатации здания и со-
оружения. Метод двух кривых характерен для предварительно
увлажненного основания и выгодно отличается от метода одной
кривой, так как требует для испытания меньшего количества об-
разцов. Для просадочных грунтов Украины, по данным
Л. М. Дранникова, существенной разницы в результатах методов
одной и двух кривых не наблюдается. Для грунтов Ростовской
области наиболее достоверные результаты дает метод одной
кривой (В. П. Ананьев, В. Е. Волянин и др.).
Относительная просадочность лессовых грунтов существенно
зависит от их плотности и влажности, с увеличением которых она
уменьшается. Значение относительной просадочности при изме-
нении уплотняющего давления не остается постоянным, а возрас-
тает с его увеличением. При умеренных значениях нагрузки эта
зависимость, согласно Н. А. Цытовичу, может быть аппроксими-
рована линейной функцией:
e.i^o + OoP, (1-2)
где Ао — коэффициент просадки лессовых грунтов; а0 — коэффи-
циент, характеризующий относительную сжимаемость грунтов в
процессе просадки. Значения коэффициентов Ао и а0 определяют
по результатам испытания двух одинаковых образцов на проса-
дочность. Однако анализ результатов многочисленных испытаний
показывает, что кривая esi=f(P) имеет криволинейный характер
27
и достаточно удовлетворительно описывается степенной функ-
цией.
При увлажнении толщи лессовых грунтов относительная их
просадочность существенно снижается. По данным наших полевых
опытов, в результате трехмесячного непрерывного увлажнения от-
носительная просадочность грунтов в пределах четырехметрового
слоя снизилась на 99,4%. На этом положении основывается ши-
роко применяемый в практике строительства метод предваритель-
ного замачивания толщи лессовых грунтов для ликвидации ее
просадочности.
1.4. Природа, сущность и характер протекания
просадочных деформаций
Явление просадочности в лессовых грунтах с незапамятных
времен) известно народам Востока, жизнь которых основана на
орошении широко распространенных в Средней Азии лессовых
почв. Первые сведения о просадочных явлениях в лессовых грун-
тах появились в литературе в 1892 г. в работе Ю. Андреева. Вто-
рой печатной работой о просадочных явлениях при замачивании
лессовых грунтов Средней Азии была статья горного инженера
А. Штукенберга. В последующем физико-механические и химиче-
ские свойства просадочных лессовых грунтов нашли отражение
в работах Б. А. Пышкина и Н. А. Димо.
Несмотря на наличие многочисленных исследований, посвя-
щенных изучению причин возникновения просадочного явления в
лессовых грунтах, на сегодняшний день полностью не установлен
механизм просадочных деформаций в лессовых грунтах. Сущест-
вующие теоретические предпосылки из-за недостаточной изучен-
ности взаимосвязи комплекса факторов, определяющих законо-
мерности механики просадочных деформаций, также не позволя-
ют разработать теоретически обоснованные методы прогнозирова-
ния процесса просадки для каждого случая проектирования ув-
лажняемых оснований зданий и сооружений.
Одним из первых предположений, объяснивших механизм про-
цесса просадки в лессовых грунтах, была солевая гипотеза,,
предложенная Б. Б. Полыновым и С. В. Быстровым. Основной
причиной просадочности изученных ими лессов Северного Кавка-
за они считали выщелачивание солей, происходящее при их ув-
лажнении. Б. А. Замарин, М. М. Решеткин, А. Г. Глоголев^
Г. А. Мавлянов просадочность лессовых грунтов связывают с вы-
сокой пористостью и присутствием в них водорастворимых солей.
Большинство гипотез, объясняющих сущность явления проса-
дочности, сводится к тому, что причиной сил сцепления в лессо-
вых грунтах являются разного рода водорастворимые соли, ко-
торые играют роль цемента между отдельными частицами грун-
тового скелета и обеспечивают кажущуюся связность грунта при
28
естественной ее влажности. Таким образом, согласно этой кон-
цепции, причиной образования просадки при увлажнении толщи
лессовых грунтов является растворение цементирующих солей.
В упрек этой гипотезе исследователи часто ставят то, что в боль-
шинстве случаев просадочные лессовые грунты мало засолены и
влияние выщелачивания на образование просадки должно быть
незначительным. Кроме того, среди непросадочных пород часто
встречаются грунты с более высокой общей засоленностью, чем
просадочные, однако деформации просадки в них не прояв-
ляются.
Так, Б. Б. Полынов в результате исследования грунтов Мало-
Карабахского и Терских каналов приходит к выводу, что высокая
пористость грунтов не обязательно служит признаком способнос-
ти последних давать просадку. Просадка возможна при наличии
пе только высокой пористости, но и одновременного значительно-
го содержания легко растворимых в воде солей и особенно суль-
фатов, причем для потери устойчивости толщи требуется не вы-
мывание солей, а лишь их растворение. Согласно Ф. И. Воронову,
структурная прочность лессовых грунтов обусловливается в ос-
новном гипсом и известью, растворение которых при увлажнении
приводит к нарушению природной устойчивости толщи грунта.
Однако, учитывая сравнительно слабую растворимость в воде
этих солей, делается заключение, что растворение и вымыв солей
из грунта влияют на развитие просадочных деформаций по про-
шествии достаточно больших промежутков времени. Одним из ос-
новных показателей свойств пород лессовой группы, согласно
Ф. Л. Андрухину, является водорастворимый комплекс, который
позволяет в какой-то степени прогнозировать поведение эффектив-
ных частиц. При количестве водорастворимого комплекса в пробе
более 0,3% по плотному остатку водной вытяжки эффективные
частицы могут переходить в состояние коагуляции и вызывать
этим дополнительные осадки.
Г. И. Архангельский полагает, что наличие в лессе своеобраз-
но распределенных разного рода водорастворимых солей придает
ему отличительный от обычных грунтов характер скальной и по-
лускальной породы, выдвигая солевую часть на роль цемента
скелета активного элемента грунта.
Согласно Ф. П. Саваренскому, в понятие лессовидных грунтов
пходит ряд их видов с наличием солей, как водостойких, так и
легко растворимых. В зависимости от того или иного количества
поды, вида и состояния солей изменяется и их влияние на про-
цесс деформации грунта природной влажности и при дополни-
тельном увлажнении. В результате длительного наблюдения за
содержанием солей в грунтовом потоке и воде деривационного
канала одной из Среднеазиатских ГЭС, построенных на лессо-
ных грунтах, А. Н. Глазь приходит к выводу, что степень мине-
рализации воды по пути фильтрации из канала через подстила-
29
ющие слои грунта непрерывно возрастает, обогащаясь за счет
растворения сульфатов. Этим наблюдением было установлено, что
влияние выщелачивания солей на деформируемость лессовых
грунтов в процессе фильтрации является весьма значительными
зависит от содержания, распределения и качества солей в грунте.
Л. П. Розов считает, что значение водорастворимых солей в
лросадочных грунтах может быть двояким: кристаллы, образую-
щиеся при кристаллизации солей, могут раздвигать частицы грун-
та и тем самым как бы разрыхлять его; кристаллы солей могут
находиться не только в порах грунта, но и являться элементами
его скелета.
В последнем случае замачивание грунта водой и растворение
кристаллов неизбежно нарушают прочность строения твердых
частиц, из его архитектоники как бы выбиваются отдельные кир-
пичи, толща грунта теряет устойчивость и начинает оседать. При
этом выщелачивание солей из грунта вовсе не обязательно, нуж-
но только их растворение. В том случае, когда кристаллы солей
находятся только в порах грунта, растворение и даже выщелачи-
вание их никакой деформации не должно вызывать. В самом де-
ле, как показывают результаты соответствующих опытов, прямой
связи между количеством солей в лессовом грунте и их просадоч-
ностью обычно не наблюдается.
Более детальные исследования просадочности лессовых грун-
тов в связи с различным содержанием в них водорастворимых со-
лей установили явное несоответствие между величиной просадоч-
ности и количеством содержащихся в них водорастворимых со-
лей. Н. Я. Денисов и А. М. Дранников, критикуя солевую гипо-
тезу, доказывали, что соли вследствие их цементирующего дейст-
вия могут снижать просадочность лессовых пород, но растворение
их при увлажнении не может служить причиной возникновения
в них значительных по величине и неравномерных по характеру
дополнительных деформаций. Н. Я. Денисов на примерах май-
копских, юрских, хвалынских глин, обладающих большой порис-
тостью и наличием крупных пор, указал на то, что просадочность
связана с высокой пористостью, но одной только высокой порис-
тостью не может быть объяснено возникновение просадочности
породы, так как наличие макропор характерно также и для дру-
гих глинистых просадочных пород. Кроме того, согласно
Н. Я. Денисову, макропоры не только не оплывают, способствуя
просадке породы, а наоборот, многие из них остаются в породе
устойчивыми элементами строения после проявления просадки.
Были попытки также объяснить причину возникновения просад-
ки лессовых грунтов вследствие исчезновения менисков воды
между частицами при их насыщении водой согласно капилляр-
ной теории К. Терцаги.
Ф. Л. Андрухин, С. М. Юсупова и И. Д. Седлецкий, изучая
просадочность лессовых пород Приташкентского района, обратили
30
внимание на качественное и количественное содержание коллои-
дов, задерживающих процесс просадки. Придавая большое зна-
чение минералогическому составу тонких коллоидных фракций
они пришли к выводу, что если в тонкой фракции породы преоб-
ладают минералы типа монтмориллонита, то порода не способна
к просадке из-за высокой набухаемости этих минеральных час-
ти. Если же. преобладает каолинит, то она предрасположена к
просадке.
В механизме возникновения просадки Ю. М. Абелев большое
шачение придает гидродинамическим давлениям фильтрационного
потока. Между тем, как показывают многочисленные наблюдения
н натурные опыты, просадка при увлажнении толщи лессовых
грунтов возникает при неполной насыщенности их водой. В этих
условиях, очевидно, фактор гидродинамического воздействия
фильтрационного потока на структуру грунта должен проявлять-
ся не в полной мере. Более обоснованная, интерпретация процес-
са просадки дана Н. Я. Денисовым. Согласно этой теории, проч-
ность лессовых грунтов в естественном состоянии обусловлена в
основном углекислым и сернокислым кальцием, создающим сцеп-
ление упрочнения путем цементирующего влияния пленок этих
солей, обволакивающих частицы грунта. Сцепление упрочнения
между частицами и их агрегатами является маловодостойким,
поэтому под действием влаги оно существенно снижается, созда-
ния благоприятные условия для отрыва одних структурных эле-
ментов от других, т. е. «распыления» грунта. Природа распилива-
ющего влияния влаги при этом объясняется как расклинивающим
воздействием тонких пленок воды (по Б. В. Дерягину), так и ра-
створяющим. Расклинивающее и снижающее трение тонких пле-
нок воды проявляется потому, что частицам лессовых грунтов и
природному цементу, объединяющему их в агрегаты, присуща
। пдрофильность.
По мнению А. К- Ларионова, просадка возникает под дейст-
вием воды в результате разрушения структуры лессовой породы
и взаимосвязана с составом структурными особенностями и ря-
дом физических и механических свойств породы, что свидетельст-
вует о многогранности этого явления.
Известно, что просадка лессовой породы возникает в резуль-
тате ее увлажнения, но прекращается не сразу после насыщения
гг водой, а продолжается длительное время, что связано с мед-
ленным характером разрушения водостойких агрегатов. Дли-
тельность распада водостойких агрегатов зависит от многих фак-
торов: движения, состава грунтовой воды, цементирующих ве-
ществ в составе водостойких агрегатов и др. Длительность и ко-
нечное значение просадки зависят также от количества содержа-
щихся водостойких агрегатов, от наличия в них различных
типов коллоидных связей и цементации карбонами и другими
солями.
31
Исследованиями А. Л. Рубинштейна установлено наличие
третьей стадии просадки в лессовой породе (дополнительного
уплотнения породы, возникающего при наличии соответствующих
скоростей движения подземных вод) —суффозионной просадки.
Просадочные деформации в увлажняемых лессовых грунтах
могут возникать как в условиях природного напряженного состоя-
ния, так под действием внешней нагрузки от веса здания и соору-
жения.
В первом случае нагрузки, вызывающие деформацию просад-
ки, являются объемными (распределенными по всему объему де-
формируемой среды), а во втором — поверхностными (действую-
щими на поверхности грунтового основания). Поскольку эффект
от действия объемных сил неизбежно проявляется одновременно
с влиянием на основание поверхностных нагрузок, принято счи-
тать, что просадка во втором случае возникает от совместного
действия собственного веса грунта и внешней нагрузки. Характер
распределения объемных и поверхностных нагрузок по глубине
основания совершенно различен: если уплотняющие напряжения
от действия собственного веса грунта, вызывающие просадки,
с глубиной возрастают, то эти же напряжения от веса здания и
сооружений рассеиваются. Кроме того, необходимо учесть, что
если каждый вид лессового грунта, дающий при увлажнении до-
полнительную осадку в основаниях здания и сооружения, спосо-
бен проявлять просадку от действия только собственного веса
грунта, то, наоборот, грунты, просадочные в природных условиях,
неизбежно получают дополнительную осадку при действии внеш-
ней нагрузки. Поэтому деформации лессовых грунтов от действия
только его собственного веса Н. Я. Денисов рекомендует называть
просадкой, а от действия веса здания или сооружений — допол-
нительной осадкой. Рассмотрим характер этих двух видов дефор-
маций в лессовых грунтах.
Просадка под действием собственного веса грунта проявляется
только в определенных условиях залегания толщи лессовых грун-
тов. Многочисленными наблюдениями и опытом строительства
установлено, что ограниченное количество осадков, глубокое за-
легание подземных вод и значительная толща однородных лессо-
вых грунтов приводят к возникновению просадки от действия соб-
ственного веса грунта. Существует определенная связь просадки
с глубиной залегания подземных вод, с увеличением которой ин-
тенсивность просадочных деформаций возрастает. На основании
анализа данных многочисленных исследований по изучению про-
садки на ирригационных системах Голодной степи В. Ф. Була-
евский установил определенную зависимость между величиной
просадки и уровнем подземных вод. Возникают просадки в боль-
шинстве случаев сразу же после увлажнения грунта — иногда че-
рез несколько дней, а иногда через несколько месяцев — продол-
жаются в течение нескольких лет. Наиболее интенсивно просадка
32
развивается в течение первого года, и в это время она создает
серьезную опасность для эксплуатации сооружений. Наиболее
характерно проявляет себя просадка при пропуске воды по каналу
н замачивании котлованов путем оседания их дна, достигающего
иногда 3 м, и прилегающих к нему участков на расстоянии от
10 до 200 м. Это оседание, как правило, сопровождается нару-
шением целостности массива, который распадается на ряд тер-
рас, разделенных зияющими трещинами.
На рис. 1.5 представлены схемы процесса образования проса-
дочных трещин при увлажне-
нии опытного котлована.
На рис. 1.5, а просадочная в)
трещина а уже открылась и за-
крылась, трещина b открылась,
л трещина с начала открывать-
ся. Грунтовый массив над ув-
лажненной зоной между трещи-
нами b и с работает как самое-
тоятельный блок. Фронт увлаж-
нения успел пройти в нижнюю
часть трещины b и, не доходя
до зоны под основанием трещи-
ны с, повернулся вниз. Блок
между трещинами b и с ввиду
неполного и неравномерного ув-
лажнения основания не пол-
ностью им поддерживается. Рис j 5 Схемы
процесса образова-
на рис. 1.5,0 по мере продвиже- ния просадочных трещин при увлаж-
няя фронта увлажнения вследст- нении опытного котлована
вне просадки увлажненной зоны
происходит вращение блоков, поэтому трещина b закрывается и
открывается трещина с. Таким образом, с открытием новых про-
садочных трещин вдали от источника увлажнения старые трещи-
ны постепенно закрываются. Дневная поверхность блоков слегка
наклоняется к источнику увлажнения. В плане просадочные тре-
щины, изгибаясь, охватывают все стороны котлована, располага-
ясь концентрично несколькими рядами террас оседания. На ка-
налах трещины большей частью идут параллельно и по обеим его
сторонам. Обычно просадочные и непросадочные участки вдоль
канала чередуются друг с другом, поэтому образование проса-
дочных трещин носит очаговый характер. Террасы оседания, за-
ключенные между трещинами, образуют обычно несколько эл-
липсов, вложенных друг в друга и вытянутых вдоль оси канала.
Длина этих эллипсов оседания на отдельных каналах достигает
нескольких десятков метров. Ширина просадочных трещин повер-
ху достигает нескольких дециметров. Книзу трещины сужаются,
причем на глубине они искривляются в сторону источника ув-
33
лажнения; максимальная их глубина, доступная промерам, иног-
да достигает 15... 20 м. Террасы, расположенные между трещина-
ми, смещаются относительно друг друга на 0,5... 1,0 м.
Просадки грунтов особое осложнение вызывали при эксплуа-
тации оросительных каналов Голодной степи, бассейна р. Сур-
хан-Дарьи Приташкентского района, Ферганской котловины и
других каналов Таджикистана и Киргизии. Серьезные затрудне-
ния возникали на Северном Кавказе в связи с просадкой грунтов
на Мало-Кабардинской, Терской оросительных системах, Терско-
Кумском и ряде других каналов, которые после нескольких поли-
вов настолько сильно деформировались, что прекратилась пода-
ча воды на орошаемые земли. В Азербайджане из-за просадки
грунтов на Шихлинском, Самур-Дивичинском, Верхне-Карабах-
ском и других каналах создавались чрезвычайно тяжелые условия
для дальнейшей нормальной их эксплуатации. Немалые осложне-
ния вызывали просадки грунтов на ирригационных объектах Ру-
мынии. Просадка от действия собственного веса грунта может
вызывать серьезные повреждения и на других инженерных соору-
жениях, таких, как шоссейные дороги, строения, высоковольтные
линии электропередач, нефте- и газопроводы и т. д.
Протекание просадки во времени при напряженном состоянии
грунта от внешней нагрузки несколько отличается от характера
описанной выше деформации. Если основание фундамента, по-
лучившее полную стабилизацию осадки от действия веса соору-
жения, увлажнить небольшим количеством воды, то в нем через
несколько часов наступают быстро протекающие вертикальные
деформации грунта. Продолжительность этих деформаций, как
правило, не превышает 1...2 сут, т. е. значительно меньше, чем
период развития просадки от действия собственного веса грунта.
После завершения просадки деформация увлажненного основания
по характеру не отличается от исходной его деформации. Дефор-
мация основания при увлажнении происходит в основном за счет
уплотнения грунта непосредственно под штампом, выпор грунта
основания при этом, как правило, не происходит. Опыты показы-
вают, что при больших осадках штампа всегда наблюдается об-
разование вокруг него вертикальных стенок.
На рис. 1.6 представлены характерные графики протекания
осадки основания во времени для опытных штампов А = 5000 см2
при о=0,2 МПа (кривая /), а также А =6000 см2 при а=
=0,15 МПа (кривая 2), построенные по данным натурных опытов
Ю. М. Абелева. Кривая 1 построена для случая искусственно
увлажненного основания после стабилизации его природной осад-
ки от передаваемой штампом нагрузки. Как видно из этого гра-
фика (/), просадка, т. е. резкое увеличение осадки, начинается
спустя несколько часов после начала увлажнения и протекает
очень быстро. Изменение осадки во времени в период увлажне-
ния основания, как видно из рисунка, носит провальный харак-
34
тер. Скорость просадки, как показывают опыты пробными на-
грузками с замачиванием, зависит от степени просадочности грун-
тов основания и может изменяться от 5 до 25 м/сут.
На рис. 1.6 кривая 2 построена для предварительно увлажнен-
ного основания. Основание до установки опытного фундамента
предварительно увлажнялось в течение 7 сут, и его влажность
достигла 30%. Несмотря на повышенную влажность грунта ос-
нования, последующее его увлажнение через 32 ч повысило осад-
ку с 4,8 до 44 мм. Однако при этом осадка фундамента протекала
во времени довольно плавно до момента повторного увлажнения.
Кроме того, как видно, предвари-
тельное и последующее увлажне-
ния грунта совершенно различно
влияют на осадку опытного фунда-
мента. Если в первом случае име-
ет место сравнительно большая и
вполне устойчивая величина осад-
ки фундамента, то при последую-
щем увлажнении основания осадка
фундамента возрастает независимо
от первоначального состояния вла-
жности грунта.
Для изучения вопроса о фазах
деформации лессовых просадочных
грунтов под нагрузкой фундамен-
тов В. И. Крутовым были проведе-
ны натурные экспериментальные
исследования. Анализ результатов
этих исследований показал, что в
Рис. 1.6. Графики протекания
осадки основания во времени, по-
строенные для искусственно ув-
лажненного (кривая /) чи пред-
варительно увлажненного (кри-
вая 2) основания
общем случае деформация грунта
и водонасыщенном состоянии характеризуется четырьмя фазами.
Первая фаза — допросадочное уплотнение — ничем не отличается
от деформации обычного грунта и происходит при устойчивой
структуре грунта вследствие уменьшения объема его пор. Вторая
фаза деформации представляет просадку и происходит с резким
увеличением осадки, сопровождающейся нарушением структуры
1рунта и более плотной его укладкой. Значение модуля деформа-
ции по сравнению с первой фазой уменьшается в 2... 10 раз.
Третья фаза — послепросадочное уплотнение — характеризуется
резким уменьшением степени нарастания деформаций и по суще-
ству ничем не отличается от характера деформации грунта в пер-
вой фазе. Четвертая и пятая фазы деформации характеризуются
формированием под фундаментом уплотненного ядра и образова-
нием непрерывных поверхностей скольжения, приводящих при
дальнейшем увеличении нагрузки к потере устойчивости основа-
ния.
Таким образом, для просадочных грунтов характерны две су-
35
щественно отличающиеся между собой фазы деформации: пер-
вая — просадочное уплотнение грунта естественного сложения и
влажности, вторая — просадка. При этом следует учесть, что де-
формация просадки по своим последствиям эквивалентна разру-
шению грунта, поэтому при расчетах возникновение ее в основа-
ниях не должно допускаться.
Характер проявления и скорость развития просадочных дефор-
маций оказывают большое влияние на деформации различных
конструкций зданий и сооружений. Случайное увлажнение основа-
ния может вызвать серьезные аварии здания и сооружения и при-
вести их к состоянию полной непригодности для дальнейшей экс-
плуатации. Увлажнение основания, в большинстве случаев нося-
щее случайный и местный характер (утечка воды из различных
трубопроводов), вызывает неравномерные просадки фундаментов,
при которых могут возникнуть деформации зданий и сооружений
в виде отдельных трещин в стенах, отклонений стен от вертикали
и перекосов оконных проемов.
Устойчивость и эксплуатационная пригодность зданий и соору-
жений на просадочных грунтах достигается комплексом меропри-
ятий, применяемых в зависимости от типа грунтовых условий,
возможной просадки, ее неравномерности, вероятности замачива-
ния и чувствительности конструкций к неравномерным осадкам
основания.
Устранение просадочных свойств грунтов основания может
осуществляться уплотнением грунтов тяжелыми трамбовками,
устройством грунтовой подушки из местных глинистых грунтов,
глубинным уплотнением грунтовыми сваями, предварительным
замачиванием грунтов основания и другими проверенными спосо-
бами.
1.5. Принятая методика прогноза просадки
Расчет величины ожидаемой просадки как от действия собст-
венного веса грунта, так и от веса здания и сооружения принято
производить по формуле
^9i — S ев1,ЛЛв1.«- 0-3)
i=l
Для применения формулы (1.3) просадочная толща в соответ-
ствии с литологическим разрезом разбивается на отдельные слои
hi. Зная для каждого слоя значения относительной просадочности
грунта Esi,i при полном водонасыщении и действующем на этом
слое давления Л, по формуле (1.3) производят суммирование в
пределах всей просадочной толщи, начиная с глубины, на кото-
рой e$z=0,01 (при расчете просадки от действия собственного ве-
са грунта), или от подошвы фундамента (при расчете просадки
от действия веса сооружения) до среднегодового уровня подзем-
36
пых вод или до кровли слоя грунта с относительной просадоч-
ностью es/<0,0L Распределение уплотняющего давления по глу-
бине в основаниях сооружений определяют соответствующими ре-
шениями теорий линейно деформируемой среды (теории упругос-
ти). Коэффициент условий работы ksi, корректирующий услов-
ность методики лабораторных испытаний грунтов на просадоч-
иость и учитывающий особенности просадки грунтов от нагрузки,
согласно СНиП 2.02. 01—83 принимается: для фундаментов ши-
риной от 12 м и более k5i=\\ для ленточных фундаментов шири-
ной до 3 м и прямоугольных шириной до 5 м включительно по
формуле
Лви = О,5+1,5(Р-РвМ)/Ро,
где Р, Psi,i — соответственно среднее давление по подошве фунда-
мента и начальное просадочное давление i-го слоя; Ро=Ю0 —
давление, кПа.
Приведенная выше расчетная формула не всегда приводит к
достоверным результатам. Основная причина этого заключается
и том, что компрессионные испытания не способны моделировать
процесс просадки и поэтому, как правило, дают неправильное
(часто заниженное) представление о значениях дополнительных
осадок, сооружений, получаемых вследствие увлажнения их ос-
нований. Поэтому попытки уточнения этого несоответствия путем
введения коэффициента условий работы основания и дифференци-
ации его значения в зависимости от размеров фундаментов и дав-
ления на грунт не приводят к достаточно удовлетворительным и
теоретически обоснованным результатам.
Грунтовые условия строительных площадок в зависимости от
позможности проявления просадки грунта под действием его
собственного веса при замачивании подразделяют на два типа:
I тип, для которых просадка от собственного веса грунта практи-
чески отсутствует (Ssi<5 см); II тип, для которых возможна про-
садка от собственного веса грунта (S$z>5 см).
Тип грунтовых условий можно определить двумя методами.
Первый, упрощенный метод применяют для отдельных зданий и
сооружений, проектируемых в пределах застроенных территорий.
По этому методу ожидаемую величину просадки от собственного
urea грунта определяют по формуле (1.3). Основным, наиболее
достоверным методом определения типа грунтовых условий явля-
ется опытное замачивание в полевых условиях участков грунтов,
которое производят в котловане с размерами сторон, равными
толщине просадочного слоя, но не менее 204-20 м. Увлажнение
грунта производят при постоянном слое воды (30...50 см) до пол-
ного промачивания всей толщи просадочных грунтов и стабилиза-
ции просадки (если в течение двух недель деформация не пре-
нышает 1 см в неделю). По результатам наблюдения за переме-
щениями поверхностных марок строится график поверхностной
37
деформации грунтовой толщи во времени, а стабилизированная
величина деформации на этом графике определяет величину ожи-
даемой просадки.
Глава 2
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОЦЕССОВ УВЛАЖНЕНИЯ
И ПРОСАДКИ ЛЕССОВЫХ ГРУНТОВ
2.1. О физической природе явления просадки
Основываясь на полевых и лабораторных экспериментальных
исследованиях по динамике просадочных деформаций в лессовых
грунтах, можно несколько яснее представить механизм этого яв-
ления и дать хотя бы в первом приближении математическое опи-
сание некоторых закономерностей процесса просадки. Безусловно
при этом возникает необходимость исходить из ряда упрощаю-
щих, в известной степени идеализирующих предположений, как
это обычно принимается при математических описаниях различ-
ного рода явлений.
Прежде всего необходимо выяснить характер протекания про-
цесса просадки во времени, условия его наступления и стабили-
зации, а также роль в этом процессе связной и капиллярной
влаги и сплошного фильтрационного потока. Несмотря на имею-
щиеся опытные данные, полученные в разнообразных природных
условиях, единый ответ на все эти вопросы пока еще отсутствует.
По мнению Н. Я. Денисова, прочность лессовых грунтов обус-
ловлена двумя видами сцепления. Первичное сцепление происхо-
дит под действием сил молекулярного притяжения между части-
цами грунта и зависит только от состава и плотности породы.
В связи с малой природной плотностью лессовых пород первичное
сцепление имеет весьма незначительную роль в их устойчивости
и лишь замедляет процесс просадки, так как при уплотнении за-
мачиваемой толщи происходит сближение отдельных частиц грун-
та и увеличение числа связей между ними. Сцепление второго ви-
да, которое Н. Я. Денисов называет сцеплением упрочнения,
обусловлено цементирующим действием пленом углекислой из-
вести, гипса и других солей, обволакивающих частицы грунта.
Сцепление упрочнения играет решающую роль в устойчивости
лессовых пород, так как оно быстро меняется с изменением дав-
ления, влажности, температуры и других внешних факторов.
Н. А. Цытович лессовые грунты относит к структурно-неустой-
чивым, связность которых обусловливается как водно-коллоидны-
ми, так и цементационными связями. Неводостойкость водно-кол-
лоидных и цементационных связей лессовых грунтов, по мнению
38
II. А. Цытовича, является причиной разрушения их структуры
при замачивании под нагрузкой.
Таким образом просадочность толщи замачиваемого лессового
грунта можно объяснить потерей связности структуры грунта
вследствие уменьшения вод но-коллоидных и разрушения цемента-
ционных связей. В процессе нарушения устойчивости толщи грун-
та при замачивании, очевидно, должны иметь место также умень-
шение капиллярной связности по мере насыщения грунта влагой,
действие гидродинамического давления фильтрационного потока
на грунтовый каркас, расклинивающее действие пленочной влаги
и др.
Следует остановиться на одной важной особенности просадоч-
ного процесса. Известно, что просадка в лессовых грунтах как в
условиях природного напряженного состояния, так и в основаниях
зданий и сооружений может возникать сразу же после замачива-
ния, спустя несколько дней, а также по истечении нескольких ме-
сяцев с момента пуска воды. При этом характерно, что абсолют-
ное значение просадки тем меньше, чем позже наступает просад-
ка. Возможны также случаи, когда просадки появляются в тече-
ние продолжительного периода с малым приращением деформа-
ции. Во всех этих условиях проявления просадки существенным
фактором в механизме нарушения структурной устойчивости грун-
та, по-видимому, является особеннность физико-химического влия-
ния воды, разрушающей пленку цементирующих веществ в струк-
туре грунта. В зависимости от темпа ослабления цементационных
связей определяется момент наступления разрушения структур-
ной прочности грунта, а следовательно, в период возникновения,
развития и стабилизации просадочных процессов.
Механизм возникновения процесса просадки при непрерывном
замачивании толщи лессовых грунтов из котлована или из канала
произвольного очертания поперечного сечения может быть описан
по следующей схеме. Сначала должна двигаться связная влага,
за ней капиллярная, движение которой перерастает в фильтраци-
онный поток.
Возможны следующие гипотезы, объясняющие влияние филь-
трационной влаги на динамику просадочных деформаций. В боль-
шинстве случаев просадочная деформация может возникать при
наличии в толще лессовых грунтов связной и капиллярной вла-
ги, т. е. до наступления сплошного фильтрационного потока.
В других случаях просадочное явление хорошо объясняется вли-
янием сплошного фильтрационного потока. Каждая из этих двух
гипотез соответствующим образом может быть обоснована натур-
ными наблюдениями.
Для наглядной иллюстрации наших рассуждений все виды про-
садочных лессовых пород условно разделим на два класса.
К первому классу можно отнести лессовые грунты, структур-
ная прочность которых, определяемая неводостойким сцеплением
39
упрочнения, обусловлена быстро растворимой в воде цементацией
частиц различными химическими соединениями и водно-коллоид-
ными вяжущими веществами. В таких лессовых грунтах для су-
щественного снижения прочности цементирующих пленок и пол-
ного разрушения структуры грунта под влиянием силы тяжести
вышележащих слоев достаточно проникания в толщу инфильтра-
ционной влаги в объеме, необходимом для наличия в грунте связ-
ной и капиллярной влаги.
Механизм влияния влаги на цементирующие пленки можно
объяснить как расклинивающим действием проникшей в микро-
трещины пленок воды (по Б. В. Дерягину), так и растворяющим.
Вследствие гидрофильности частиц лессовых грунтов и объединя-
ющих их в агрегаты цементирующих веществ расклинивающее
влияние влаги происходит сразу же при увлажнении толщи. Рас-
творяющее же влияние влаги имеет, как правило, затяжной ха-
рактер. Процесс этот может происходить даже при постоянном
количестве влаги в диффузионной области из-за недостатка насы-
щения влаги слоями данного состава и в зависимости от площади
поверхности, на которой происходит реакция растворения. Посколь-
ку растворяющее влияние влаги может происходить при постоянном
уплотняющем давлении и постоянном количестве влаги, деформа-
ция лессового грунта может иметь реологическую природу. Оче-
видно, в этом случае интенсивность процесса просадки будет за-
висеть не только от уплотняющего давления и количества влаги,
но и от степени дисперсности содержащихся в грунте водораство-
римых частиц, а также от условий их контакта с практически
нерастворимым скелетом грунта.
Таким образом в просадочных лессовых грунтах первого клас-
са нарушение структурной прочности несколько опережает стадию
наступления сплошного фильтрационного потока. При этом не
следует отрицать роль сплошного фильтрационного потока в об-
разовании дополнительной деформации грунта. Двигаясь следом
за фронтом нарушения структуры, сплошной фильтрационный
поток может производить добавочные разрушения каркаса струк-
туры грунта, возможно даже большие, так как он вносит новые
порции воды и тем самым способствует коренному изменению
агрегатного состояния замачиваемой толщи.
Ко второму классу можно отнести лессовые грунты, структур-
ная прочность которых определяется цементационными связями,
возникающими вследствие кристаллизации в грунтах тех или иных
водостойких солей и вяжущих веществ, для растворения которых
необходимо большое количество воды. Наличие связной и капил-
лярной влаги в грунте вносит некоторые изменения в структуру
замачиваемой толщи грунта, несколько расслабляя цементирую-
щие элементы, водные и водно-коллоидные оболочки, а также
уменьшая общее сцепление грунта, но не нарушает его структур-
ной прочности и не вызывает развития просадочных явлений. Для
40
('ушественного изменения прочности грунта необходимы достаточ-
ная продолжительность процесса взаимодействия влаги со скеле-
том грунта и поступление дополнительных порций влаги, что и
будет иметь место при появлении сплошного фильтрационного
потока.
Таким образом для лессовых грунтов второго класса сущест-
венное нарушение устойчивости толщи, сопровождающееся проса-
дочными явлениями^ наступит несколько позднее момента образо-
вания сплошного фильтрационного потока.
При указанной классификации лессовых грунтов четкой грани-
цы, разделяющей оба класса, очевидно, не должно существовать
и переход из класса в класс совершается непрерывно. Если начало
образования сплошного фильтрационного потока в некотором
увлажненном слое грунта достаточной толщины обозначить /0,
а время наступления просадочных деформаций в этом слое tn, то
для первого класса лессовых грунтов будем иметь для
второго класса — to<tn. Непрерывность перехода от одного клас-
са лессовых грунтов к другому означает существование случая,
когда to = tn.
Динамика просадочного процесса для каждого класса лессовых
грунтов будет иметь свои особенности и закономерности. Выясним
эти особенности для грунтов первого класса.
Представим себе, что в момент возникновения просадочных
процессов просачивание влаги из поверхности грунта приостанов-
лено. Тогда в грунте останется ровно столько влаги, сколько ее
требуется для связного и капиллярного заполнения пор слоя грун-
та, охватывающего очаги образования просадки. Будет ли расши-
ряться в таком случае деформированная зона грунта? Вероятно,
это расширение окажется незначительным, так как не будет до-
бавочного поступления влаги, и поэтому развитие деформации во
времени будет носить реологический характер.
Вследствие этого развитие деформированной зоны грунта —
зоны просадки — зависит от поступления дополнительного количе-
ства воды из вышележащих слоев.
Влага, необходимая для связного и капиллярного заполнения
пор вышележащих слоев грунта, в период прекращения замачива-
ния будет находиться в равновесном состоянии. Тогда движение
воды из верхних слоев грунта к нижним возможно лишь при на-
личии градиента потенциала влаги, другими словами, при наличии
избыточной влаги. Но в избытке вода будет в том случае, когда
она перемещается сверху вниз не под действием адсорбционных
и капиллярных сил, а под действием гравитационных сил.
Известно, что в природных условиях возможность опускания
влаги на большую глубину лессовых грунтов вследствие испаре-
ния может отсутствовать, о чем и говорит сохранение просадочных
свойств грунтов, начиная с некоторой глубины. Следовательно,
необходимый избыток воды в толще увлажняемого грунта может
41
быть в случае гравитационного движения влаги от постоянно дей-
ствующего источника увлажнения. Только сплошной фильтрацион-
ный поток может обеспечить транспортирование в нижележащие
слои грунта то количество воды, которое необходимо для дальней-
шего проникания связной, а за ней и капиллярной влаги. Возни-
кает не менее важный вопрос. До какого момента времени может
продолжаться такое продвижение влаги, будет ли оно бесконеч-
ным или когда-то наступит стабилизация этого процесса? Прежде
чем ответить на этот вопрос, выясним следующее.
С течением времени замачивания деформированная зона грун-
та, так называемая зона поражения, развиваясь, будет занимать
все большую область. В пределах области поражения произойдут
уплотнение грунта, а также суффозионные явления, приводящие
к коренному изменению его структуры. Эти изменения все больше
будут затруднять продвижение фильтрационного потока, в резуль-
тате чего с течением времени вглубь будут проникать все меньшие
и меньшие порции влаги. Поэтому нижележащие горизонты будут
испытывать относительно меньшее уплотнение, чем вышележащие
горизонты увлажненного грунта. Боковые участки увлажненной
зоны, к которым влага проникает лишь в небольшом количестве
(меньшем, чем критическое), не будут деформироваться..
В серединных участках, в особенности в тех, где влага продол-
жительное время содержалась в количестве, обеспечивающем
наибольшую интенсивность процесса просадки, уплотнение грунта
с течением времени будет затухать. Процесс затухания деформа-
ции грунта будет происходить вследствие проникания структурных
элементов в имеющиеся между ними пустоты. Нижние горизонты
увлажняемой толщи будут испытывать деформации главным об-
разом за счет уплотнения по вертикали, в верхних же, где напря-
жения от собственного веса грунта невелики, значительная доля
общей деформации грунта будет падать на горизонтальные (бо-
ковые) уплотнения. Толща грунта, залегающая между уровнем
подземных вод и дном канала (котлована), лишь после смыкания
просачивающегося сверху фильтрационного потока влаги с зер-
калом подземных вод будет постепенно насыщаться (в направле-
нии снизу вверх) до полной влагоемкости.
Для освещения интересующего нас вопроса рассмотрим два
случая: когда мощность просадочного слоя грунта весьма велика
и когда она невелика. В первом случае можно ожидать, что ста-
билизация фильтрационного движения влаги никогда не наступит,
так как, каким бы ни было время Т, к этому моменту фильтраци-
онный поток проникает на глубину Л, а связная и капиллярная
влага — на еще большую глубину. Поскольку поступающий филь-
трационный поток расходуется только на связную и капиллярную
влагу, после момента Т пройдет еще некоторое время, чтобы на-
копилось соответствующее количество воды, необходимое для
продолжения процесса просадки. Накопление воды в глубоких
42
слоях будет происходить очень медленно, а нарушения, произво-
димые ею в структуре этих слоев, будут настолько малыми, что
ими можно пренебречь. Тогда момент Т можно считать условным
периодом стабилизации просадочных деформаций.
Во втором случае картина проще. После достижения фронтом
связной и капиллярной влаги уровня подземных вод произойдет
постепенное насыщение небольшой толщи лессового грунта водой.
11ериод образования сплошного фильтрационного потока в этом
случае будет значительно меньше. И если нагрузка от полностью
увлажненных вышележащих слоев грунта будет меньше, чем не-
обходимо для возникновения структурных деформаций грунта,
образование процесса просадки от собственного. веса грунта мо-
жет быть полностью исключено.
В качестве подстилающего слоя во втором рассматриваемом
случае может быть непросадочный грунт. Увлажняемая толща
может находиться в трехфазном состоянии и ее просадочность
проявится лишь при дополнительном напряженном состоянии от
действия поверхностных нагрузок. Таким образом, несмотря на
незначительную мощность просадочного слоя грунта, процесс про-
садки от действия внешней нагрузки и в этом случае может про-
текать при неполной насыщенности грунта водой. Период наступ-
ления стабилизации процесса просадки в зависимости от свойств
просадочного и подстилающего грунтов, а также от условий зама-
чивания (геометрических размеров источника увлажнения, высоты
слоя воды и т. д.) бывает меньше или больше периода образова-
ния в просадочном слое грунта сплошного фильтрационного потока.
Влияние мощности просадочного слоя на характер процессов
просадки можно проанализировать также с учетом типа лессовых
грунтов по просадочности.
В лессовых грунтах первого типа, у которых просадка от соб-
ственного веса практически отсутствует, просадочный слой имеет
небольшую мощность, поэтому изучение просадочного процесса
должно быть построено на закономерностях сплошного фильтра-
ционного потока. Однако следует учесть, что увлажнение основа-
ний жилых зданий, а также промышленных сооружений в период
эксплуатации является случайным фактором, имеющим влияние
и течение непродолжительного периода времени. Поэтому вряд ли
и этих условиях в основаниях сооружений может образоваться
сплошной фильтрационный поток. Очевидно в этом случае при
расчете оснований будет представлять интерес закономерность
фильтрации связной влаги.
В лессовых грунтах второго типа, у которых возможна просад-
ка от собственного веса, просадочный слой имеет значительные
мощности. Лессовые грунты второго типа находят самое широкое
распространение в засушливых районах и существенно отличаются
своими специфическими особенностями. Изучение просадочного
процесса для грунтов этого типа должно быть построено на явле-
43
нии неустановившейся фильтрации при неполной насыщенности
грунта. Существенное значение здесь приобретает закономерность
движения связной (адсорбированной, по Н. А. Цытовичу) влаги.
На самом деле, в процессе замачивания, как это наблюдается в
практике, поры лессового грунта по глубине насыщаются нерав-
номерно. Сначала его частицы обволакиваются тонкой пленкой
влаги, вытягивая ее из вышележащих слоев грунта, затем по мере
притока воды с поверхности грунта толщина пленок увеличивает-
ся. Вышележащие частицы грунта покрыты более толстыми плен-
ками, чем нижележащие. Вследствие этого удерживающее дейст-
вие адсорбционных сил у верхних частиц становится меньше, чем
притягивающее действие нижних. В результате на поверхностях
соприкосновения между частицами появляется разность потенциа-
лов, обусловливающая передачу избыточной влаги верхними час-
тицами нижним, т. е. наблюдается стремление к выравниванию
влажности, которое более или менее быстро прекращается без
постоянно действующего источника увлажнения.
В начальный период формирования области смачивания про-
движение влаги в вертикальном направлении будет совершаться
с относительной большей скоростью, чем в горизонтальных на-
правлениях. Вследствие значительной мощности просадочной тол-
щи лессового грунта и безнапорного характера фильтрационного
потока с течением времени разница в значениях градиента влаги
в горизонтальном и вертикальном направлениях будет настолько
значительной, что влияние гравитации не сможет ее компенсиро-
вать. Поэтому в рассматриваемом случае будут наблюдаться зна-
чительные скорости распространения влаги в стороны от источ-
ника влаги. Влияние влаги на глубине смачиваемой толщи будет
зависеть также и от геометрических размеров источ-
ника увлажнения. Чем больше ширина котлована, тем глубже
будет распространяться смачивание грунта, способствуя тем са-
мым интенсивному развитию просадки. При сравнительно узких
котлованах относительно большая часть влаги будет расходовать-
ся на боковое растекание и поэтому просадка будет проявляться
менее интенсивно.
В естественных условиях влага в лессовых грунтах второго
типа находится в пленочном состоянии и ее количество, как пра-
вило, значительно ниже максимальной молекулярной влагоемко-
сти. Просадка в этих грунтах в условиях природного напряженно-
го состояния обычно наступает при влажности, близкой к макси-
мальной молекулярной влагоемкости, и происходит в узком
интервале изменения влажности. В отличие от рассматриваемых
выше условий При изучении просадочных процессов в основаниях
сооружений влажностный режим грунта должен рассматриваться
в зависимости от напряженного состояния оснований. На самом
деле, влажность, при которой возникает просадка («критическая»
влажность), зависит от действующего в рассматриваемой точке
44
основания напряжения. Чем больше сжимающее напряжение, тем
меньше должно быть количество влаги, необходимой для возник-
новения просадки. Следовательно, в пределах активной зоны
основания при различных мощностях просадочного слоя грунта
процесс просадки должен быть рассмотрен в зависимости от зна-
чений влажности, далеко не достигающих полной влагоемкости
грунта.
2.2. Возможные постановки задач о просадке
В настоящее время принято считать, что просадка лессовых
грунтов в условиях природного напряженного состояния и в осно-
нпниях сооружений проявляется в результате их доуплотнения
при увлажнении, т. е. деформации увлажненных лессовых грунтов
рассматриваются как необратимый процесс перехода их из недо-
Vплотненного в состояние нормальной плотности. Процесс этот
происходит при определенном напряженном состоянии грунта, но-
сит динамический характер и имеет вполне определенные законо-
мерности. Известно, что основным фактором, вызывающим про-
садочные явления в лессовых грунтах, является инфильтрационная
влага. Поэтому исследование динамики просадочного процесса
требует прежде всего выяснения закономерностей фильтрационно-
го движения влаги в лессовых грунтах при трехфазном их состоя-
нии. Ввиду наличия просадочного процесса фильтрационное дви-
жение в лессовых грунтах значительно усложняется. Наряду с
влиянием деформации среды на поле влажности имеет место и
обратное воздействие поля влажности на поле смещения частиц
деформируемого грунта. Оба процесса — фильтрация и просад-
ка — определяются неустановившимися непрерывными полями
влажности и деформации грунта. Задачу, рассматривающую влия-
ние этих двух неустановившихся полей, можно сформулировать,
кик задачу о просадке лессовых грунтов, и ее решение возможно
в следующих вариантах.
1. Путем определения поля влажности в лессовых грунтах при
тданном характере их увлажнения без учета деформации про-
садки и последующем установлении на основе экспериментальной
И1ВИСИМ0СТИ, определяющей связи просадки с влажностью грунта,
1акономерностей изменения просадки в увлажняемой толще грун-
ia. Такое решение является приближенным, но точность получен-
ных результатов вполне достаточна для инженерной практики.
2. На основе соответствующей механической модели, наиболее
реально отражающей физические особенности лессового грунта;
его деформирование при увлажнении рассматривается как реоло-
гический процесс в грунтовой среде, представляемый, как сжимае-
мое упругопластичновязкое упрочняющееся тело. На основе такой
реологической модели исходя из уравнения движения сплошной
среды можно составить дифференциальное уравнение просадочно-
го процесса, решение которого определит закономерности дефор-
45
мирования лессовых грунтов при их увлажнении. Это решение
более сложное, но и более точное.
3. Учитывая, что в процессе просадки взаимодействуют одно-
временно многие факторы, можно отказаться от описания сово-
купности явлений каким-нибудь одним уравнением, и, отделяя
главные закономерности и связи от второстепенных, решить зада-
чу по частям. В конечном счете задача сводится к решению систе-
мы уравнений, содержащих некоторые неизвестные функции про-
странства и времени, определяющие закономерности просадочного
процесса в целом.
В соответствии с первым вариантом решения задачи о просадке
рассмотрим вначале теорию инфильтрационного движения влаги
в лессовых грунтах без учета в них просадочного процесса. Такая
теория может быть построена на основании закономерностей не-
установившейся фильтрации при неполном насыщении грунта.
2.3. Закономерности движения влаги в грунтах
при неполном их водонасыщении
При неполном водонасыщении пор грунта водой происходит
движение связной и свободной влаги. Передвижению связной вла-
ги способствуют главным образом сорбционные силы, определяе-
мые градиентом влажности, а также термокапиллярная, термоос-
мотическая и солевая диффузии. Механизм движения связной
влаги в грунтах достаточно хорошо описывается уравнением пере-
носа поглощенного вещества в коллоидных капиллярно-пористых
телах, предложенным А. В. Лыковым. Исследования кинетики
высыхания глинистых грунтов и некоторых видов почв, проведен-
ные Ф. Е. Колясевым и М. К. Мельниковым, подтверждают спра-
ведливость уравнения А. В. Лыкова для движения связной влаги-
По мнению А. А. Роде, влага в почвогрунтах может находиться
под влиянием сил, имеющих различную природу: гравитационных,
сорбционных (источником которых является поверхностная энер-
гия твердых частиц почвогрунта), капиллярных (менисковых,
имеющих тот же источник, но отличающихся от сорбционных сил
некоторыми особенностями) и осмотических (источником которых
являются силы взаимного притяжения, возникающие между моле-
кулами воды, с одной стороны, и молекулами растворенных ве-
ществ, с другой). Величина этих сил зависит от концентрации
почвенного раствора. Статика и динамика влаги в почвогрунтах
определяются совокупностью действия указанных сил. Полный
потенциал, зависящий от совокупности действия силовых полей,,
в этом случае подразделяется на отдельные слагаемые, соответст-
вующие каждому силовому полю.
Свободная влага в грунте в основном перемещается под дей-
ствием гравитационных сил. Однако скопления свободной влаги
в грунтах ограничены менисками, имеющими различную кривизну.
46
и следовательно, и различное капиллярное давление. Поэтому по-
ведение свободной воды в грунтах определяется совместным дей-
ствием гравитационных и капиллярных сил. С течением времени
увеличивающаяся влажность ведет к взаимному уравновешиванию
капиллярных сил, и под действием гравитационных сил создаются
нисходящие токи фильтрующейся воды. Кроме того, под действием
гил упругости водяного пара в грунтах может происходить испа-
рение свободной влаги и последующее движение ее в газообразной
форме. Обычно принято считать, что в начальный период увлаж-
нения грунта наблюдается инфильтрация, переходящая по мере
стабилизации расхода в фильтрацию, закономерности которой
описываются классическим уравнением Дарси. Однако фильтра-
ционное движение, подчиняющееся закону Дарси, происходит лишь
в случае, когда поры грунта заполнены водой и число Рейнольдса
имеет значение меньше критического. Оба эти фактора весьма
существенны для описания закономерностей движения в первой
стадии фильтрации из каналов.
Согласно У. Г. Гарднеру, ненасыщенный поток имеет две су-
щественно отличительные особенности. Во-первых, влага вслед-
ствие притяжения воды твердыми поверхностями передвигается
от участков с толстыми водными пленками к участкам с тонкими
пленками, поэтому движущая сила достигает наибольшего значе-
ния на границе влажных и сухих участков, т. е. вблизи фронта
смачивания. Гравитационная сила в этом потоке ничтожно мала
но сравнению с силами, возникающими между твердым телом
«вблизи его поверхности и граничащей с ним жидкостью, но с те-
чением времени по мере увеличения толщины водной пленки она
возрастает.
Вторая особенность ненасыщенного потока заключается в том,
что площадь его поперечного сечения мала по сравнению со
сплошным фильтрационным потоком.
При сплошном потоке влага движется через все поровое про-
странство и поэтому проницаемость грунта зависит главным об-
разом от размеров и конфигурации пор. В ненасыщенном же грун-
те проницаемость зависит в основном от степени его влажности.
При низкой влажности фактор проницаемости значительно сни-
жается, с увеличением же влажности величина потока, отнесенная
к единице движущей силы, приближается к той величине, которая
могла бы быть достигнута, если бы поток при той же движущей
силе полностью заполнял поры грунта водой. Следовательно, чем
толще пленка воды на поверхности частицы грунта, тем большее
количество влаги способно передвигаться через грунт. В связи с
»тим в отличие от сплошного фильтрационного потока грунты с
крупными порами при низкой влажности характеризуются нич-
тожно малой водопроницаемостью.
Изучению передвижения влаги в грунте с учетом разнообразия
состояний воды и грунта посвящено значительное число работ.
47
Не останавливаясь подробно на описании сущности явления ин-
фильтрации, которое с достаточной полнотой приводится в работах
А. Н. Костикова, В. В. Дерягина, Н. А. Качинского, Н. Ф. Созыки-
на, Г. А. Алексеева, С. И. Долгова, А. И. Будаговского, Н. Ф. Бе-
фани и других ученых, отметим, что для зависимости скорости
впитывания от различных факторов предложен ряд теоретических
и эмпирических формул, но ни одна из них не отражает пол-
ностью влияния всех факторов.
Свободная фильтрация воды из канала в стадии насыщения
грунта несколько отличается от обычно рассматриваемого впиты-
вания воды в почву, поэтому имеющиеся формулы для скорости
впитывания не могут быть применены для вычисления фильтра-
ционных потерь из каналов. Для изучения явления фильтрации в
стадии насыщения грунта могут быть полезными решения В. В. Ве-
дерникова, П. Я. Полубариновой-Кочиной, Н. Н. Веригина,,
С. Ф. Аверьянова. Формула С. Ф. Аверьянова отличается от со-
ответствующих формул В. В. Ведерникова и П. Я. Полубариновой-
Кочиной тем, что учитывает изменение влажности по глубине и
капиллярные силы (кроме гравитационных) во всей зоне опуска-
ющейся влаги.
Первая теория фильтрации была построена на основе гипотезы
«капиллярных трубок», заменяющих пористую среду пучком па-
раллельных цилиндрических капилляров. Согласно наблюдениям
в почвогрунтах существуют капиллярные и некапиллярные поры.
Капиллярные поры обусловливают водоудерживающую способ-
ность грунта при медленном насыщении, некапиллярные содержат
воздух и способствуют быстрому просачиванию влаги в грунт.
Эта так называемая капиллярная теория приводила к понятию
фиктивного радиуса групповых капилляров, что усложняло расче-
ты и не отражало действительной картины движения влаги при
различной степени увлажнения. Несостоятельность капиллярной
теории при объяснении закономерностей движения почвенной вла-
ги показана в работе В. В. Дерягина.
Э. Букингем и несколько позднее У. Гарднер, не создавая
специальной модели грунтовых пор, исследовали возможные ана-
логи между движением воды в грунтах и распространением элек-
тричества или тепла в проводнике. Это позволило им установить
диффузионный характер распространения влажности в пористой
среде.
За рубежом в начале нашего столетия У. Гарднер, Л. Ричардс,
И. Чайлдс и другие ученые проводили исследования, в которых:
передвижение влаги в грунтах также описывалось уравнением-
диффузии. Коэффициент диффузии, характеризующий влагопро-
водность грунтовой среды, принимался постоянным, вследствие-
чего результаты теоретических исследований не всегда соответст-
вовали данным натурных наблюдений. И. Чайлдс и Н. Коллиз-
Джордж, принимая давление однозначной функцией насыщения
48
грунта на основе закона Дарси, свели задачу к уравнению пара-
болического типа с переменным коэффициентом диффузии. Не-
сколько позднее А. Клут занимался решением этого уравнения.
Американский ученый Дж. Р. Филипп, исходя из разработанного
нм численного метода, занимался решением уравнения распрост-
ранения влаги в дифференциальной форме, а также изучением
закономерностей этого процесса.
Новейшая теория, движения влаги в грунтах освещена в рабо-
тах Н. Н. Веригина, И. И. Кулабуховой, П. Я. Полубариновой-
Кочиной, В. И. Пеньковского, а также в работах зарубежных уче-
ных. Эта теория построена на предположении неполной насыщен-
ности грунта влагой; коэффициент водопроницаемости принима-
ется функцией насыщения грунта (движение воздуха не учиты-
нается).
Эксперименты И. Чайлдса и Н. Коллиз-Джорджа подтвердили
применимость закона Дарси для ненасыщенной грунтовой среды.
Однако возникало сомнение в том, что закон Дарси окажется
справедливым для систем с быстро изменяющимся градиентом
потенциала. На самом деле, в начальном небольшом промежутке
времени (в период инфильтрации) число Рейнольдса может пре-
высить критическое значение и закон Дарси перестанет действо-
вать. Значение этого промежутка пока еще не установлено, но по-
скольку оно мало, вряд ли его учет может внести существенное
изменение в общий ход динамики распространения влаги. Кроме
юго, закон Дарси по существу опирается на модель, изображаю-
щую упорядоченное строение пористой среды. Между тем грунто-
вая среда в естественном сложении не упорядочена, и поэтому
закономерности движения влаги в ней могут быть установлены
методами статистической механики. Такая попытка впервые была
предпринята в работе М. Губберта, основанной на предположе-
нии, что скорость микроскопического течения каждой жидкой час-
тицы пропорциональна действующей силе. Сравнительно элемен-
тарное приложение статистики к задачам фильтрации было
сделано И. Чайлдсом и Н. Коллиз-Джорджем, исходя из подсчета
возможности соединения двух пор с различных размеров и влия-
ния каждой поры на проницаемость.
Почти в этот же период А. Тауб, исходя из функции распре-
деления Максвелла — Больцмана вывел уравнение для газов,
в котором плотность, давление и скорость были определены в со-
ответствии с кинетической теорией. Частица по этом теории трак-
|уется, как подчиняющаяся процессу Маркова, а макроскопиче-
ские величины (плотность, скорость, давление) представляются
удовлетворяющими классическим уравнениям в частных произ-
водных, описывающим течение жидкостей в пористой среде. По-
добным же образом А. Е. Шейдеггер применил статистику неупо-
рядоченных явлений (аналогично теории броуновского движения
Эйнштейна) к движению жидкостей через пористую среду. Диф-
49
ференциальное уравнение движения, согласно этой теории, уда-
лось выразить через вероятностную функцию распределения для
каждой точки жидкости. Хотя статические теории в некоторой
мере и отражают особенности пористой среды, не всегда представ-
ляется возможным получить по ним практически приемлемые
решения задач в области фильтрации.
2.4. Обобщенный закон Дарси.
Уравнение насыщенности грунта
Закон Дарси, если принять скорость микроскопического тече-
ния пропорциональной градиенту напора, дает очень хорошее
представление о фильтрационном движении для малых скоростей.
Однако весьма затруднительно дать точные границы его приме-
нения, несмотря на наличие различных критериев, определяющих
критическое значение числа Рейнольдса.
Следует отметить, что применение закона Дарси при количе-
ственном рассмотрении явления фильтрации на базе фундамен-
тальных экспериментов имеет строгое обоснование. Простота ана-
литических формулировок закона Дарси и вытекающих нз него
заключений о гармоничности функции потенциала скоростей и
функции тока позволяет использовать его для весьма различных
задач в области фильтрации. Однако коэффициент фильтрации
по классическому закону Дарси определяется для однофазной
системы и не учитывает наличия воздуха в поровом пространстве
грунта, а следовательно, и отмеченные выше особенности движе-
ния влаги при неполной насыщенности грунта.
Известно, что в природных условиях грунт представляет собой
трехфазную дисперсную систему, состоящую из твердой, жидкой
и газообразной фаз. Исследования показывают, что водопроницае-
мость такой системы значительно зависит от степени заполнения
порового пространства воздухом.
Закономерности движения влаги в трехфазной системе грунта
б изотермических условиях описываются уравнением, аналогичным
классическому уравнению Дарси, но отличающимся от него двумя
важными особенностями. Прежде всего постоянный для данного
вида и состояния грунта коэффициент фильтрации заменяется по-
нятием коэффициент водопроницаемости грунта, который сущест-
венно зависит от влажности грунта. Вторая особенность заключа-
ется в том, что движущая сила, выраженная обычно в виде суммы
потенциалов гравитации и давления, выводится из потенциалов
гравитационных и сорбционных сил.
Обе указанные особенности движения влаги при неполной на-
сыщенности грунта водой математически находят свое отражение
в обобщенном уравнении Дарсн:
<2Л>
50
При небольшой влажности грунта, как было отмечено выше,,
потенциал гравитации по сравнению с потенциалом капиллярно-
сорбционных сил получается незначительным и поэтому им можно
пренебречь. Тогда уравнение (2.1) примет вид
(2.2)
Согласно экспериментальным исследованиям, проведенным
Л. В. Лыковым, У. Г. Гарднером и С. Л. Роулинсом, а также
предложениям, сделанным И. Чайлдсом и Н. Коллиз-Джорджем,
капиллярно-сорбционные силы адекватно отображаются влажно-
стью грунта, поэтому
дф _ dip dW
lty~dW ду 1
н уравнение (2.2) может быть представлено в виде
Если внести обозначение
D(W) = k^,
то можно установить, что скорость движения влаги пропорцио-
нальна градиенту влажности:
v=-D(W)-^-. (2.3)
Следует, однако, указать на некоторую аномалию последнего
такона. Так, по данным В. Стейпля и Дж. Легена, при одной и
той же влажности водонепроницаемость грунта может возрастать
с его уплотнением. При испарении влаги наблюдается уменьшение
влажности грунта по всей глубине смоченного слоя при градиенте
влажности, равном нулю. Согласно экспериментальным исследо-
ваниям А. А. Роде, Я. Рубина и других ученых, влага может про-
двигаться также и в сторону большей влажности. Б. Н. Мичурин
и И. А. Лытаева, используя эквивалентность градиента толщины
сорбционного слоя влаги градиенту сорбционного потенциала,
преобразовали уравнение (2.3) к виду
dh _ Do ( h~hs \"3’5 Г 3,5 \ / dh \2
dt ~ So I h0-hs ) I dy* h-h8 )\ dy ) 1
где h — фактическая толщина сорбционного слоя влаги в данный
момент; hs — толщина сорбционного слоя, при которой прекраща-
ется передвижение влаги в жидком виде; Ло — то же, при полном
насыщении пор водой.
51
Уравнение одновременного распространения влаги получается
из уравнения неразрывности потока
dW | dv _0
Ot ' ду ~и’
если подставить в него выражение скорости фильтрации из фор-
мулы (2.3):
Преобразованием Больцмана <b(W)=yVt уравнение (2.4) мо-
жет быть сведено к обыкновенному дифференциальному урав-
нению:
^•]4-ф(>П-^-=0.
Это уравнение при известной величине D(W) может быть ре-
шено численно путем повторных операций на клавишной счетной
машине.
Описанная выше теория передвижения влаги, называемая
сбычно теорией инфильтрации, используется, как правило, при
решении задач прогнозирования водного режима почв.
При решении задач в области фильтрации компоненты скоро-
сти движения свободной влаги обычно представляется в виде
vx=^-k^-; V (2.5)
х дх ’ V ду ’ ' '
где h=(PK—y)/iw.
Коэффициент водопроницаемости грунта теоретически был ис-
следован Л. (2. Лейбензоном, С. Ф. Аверьяновым и А. И. Буда-
говским. Исходя из движения газированной жидкости в идеаль-
ном грунте, состоящем из шарообразных частиц одинакового раз-
мера, Л. С. Лейбензоном для коэффициента водопроницаемости
установлена формула
k = кф [(W - й)/(п - и)]1, (2.6)
где значения показателя i колеблются от 3,3 до 4.
Исходя из формулы X. С. Слихтера и Дж. Козена, Л. С. Лей-
бензоном была получена зависимость типа (2.6):
4 = (2.7)
Сравнение формулы (2.7) с опытными данными Р. Вайскофа
и X. Ботсета позволило Л. С. Лейбензону установить значение
i «3,67.
Исследования, проведенные Р. Мюллером и Ф. Ричардом, по-
казали удовлетворительность уравнения (2.6) при описании дви-
жения влаги в капиллярной зоне. По данным Н. Н. Биндемана и
52
Л 11. Будаговского при значениях показателя i=34-4 формула
(2 6) дает удовлетворительные результаты и для зоны пленочной
и ни и. Исходя из анализа ламинарного движения вязкой жидкости
и цилиндрической трубке при частичном ее заполнении связаной и
свободной влагой, С. Ф. Аверьянов установил значение 3,56.
Л И. Будаговский на основе экспериментов с почвами, имеющими
•ч 1сственную и нарушенную структуру, определил i=4. Учитывая
। модные результаты, полученные различными авторами, коэффи-
циент водопроницаемости грунта в дальнейшем будем принимать
А: = (а4-ЬИ93*5в,
|дс
Компоненты скорости фильтрации в соответствии с формулами
(2 5) определяются выражениями
Исходя из представлений капиллярной физики о связи радиу-
сов капиллярных менисков, образующихся между частицами по-
ристой среды, рядом исследователей были предложены различные
н’оретические зависимости для PK=f(W), большинство из которых
даст гиперболы со слабо изогнутой вертикальной ветвью. Экспе-
риментальные зависимости капиллярного давления от влажности
для разных пористых тел показывают, что в пределах наиболее
цнжного для практики диапазона водонасыщения кривая функции
весьма близка к прямой. В соответствии со сказанным
II. Н. Веригин предлагает следующую формулу:
Рь=-а+рИ; (2.8)
где Рк<0; а>0; 0>О— постоянные, определяемые эксперимен-
тильно.
С учетом формулы (2.8) обобщенный закон Дарси получит та-
кой вид:
Ui=-(a + W)3.56-£-^-;
vy=-(a+bW)w (2.9)
Придавая функции Pn = f(W) гиперболический характер,
С. Ф. Аверьянов предлагает следующую формулу:
р = р*и
к w •
53
Компоненты скорости фильтрации при этом определяют по
формулам:
где
А= c-3/w^-
Таким образом, согласно обобщенному закону Дарси, компо-
ненты скорости фильтрации выражаются через градиент влажно-
сти. Следует отметить, что использование обобщенною закона
Дарси при решении задач в области фильтрации ведет к нелиней-
ным дифференциальным уравнениям, решение которых невозмож-
но без каких-либо упрощающих предположений.
Н. Н. Веригин рассматривает совместное движение свободной
и связаной влаги в грунте, которое описывается двумя дифферен-
циальными уравнениями
<2Ю>
'2">
где У7М — молекулярная влагоемкость грунта.
Уравнение (2.10) при 7 = 0 совпадает с уравнением движения
влаги в микропористых телах, предложенным А. В. Лыковым,.
Оно не содержит функцию W(yt t) и поэтому при заданных на-
чальных и граничных условиях может быть проинтегрировано не-
зависимо от уравнения (2.11). Подставляя решение (2.10) в урав-
нение (2.11), получим нелинейное уравнение с переменными
коэффициентами. Задача при этом сводится к интегрированию
полученного уравнения при заданных начальных и граничных
условиях для функции W(y,t). Принимая, так же как в анало-
гичных задачах теории теплопроводности, весьма быстрый переход
свободной влаги в связаную (т. е. 7 = 00), Н. Н. Веригин сводит
задачу к интегрированию уравнения движения свободной влаги:
Легко можно заметить, что выражение в квадратных скобках
уравнения (2.12), согласно обобщенному закону Дарси (2.9),
представляет собой скорость вертикально просачивающейся влаги.
Учитывая это, уравнение (2.12) можно представить в виде
-тг+-г-=о- (2.13)
dt 1 ду ' '
54
Это соотношение выражает условие неразрывности одномерно-
го движения фильтрационного потока при неполной насыщенности
грунта.
Из обобщенного закона Дарси имеем
k-dh —_к дРк 1 к
ду Уш ду +
С учетом того, что Рк=—а4-{ИР, получим
Р=__₽_А*«1+А.
Уш ду •
Обозначая ££/7»=/), из выражения (2.13) получим уравнение
Л. Клута, подробно исследованное Дж. Филиппом:
_?* (2 14)
dt ду \ ду ) ду * 1
Таким образом оба уравнения (А. Клута и Н. Н. Веригина)
получаются из условия неразрывности фильтрационного потока
(2.13), согласно которому изменение массы жидкости, вытекаю-
щей в единицу времени из некоторой замкнутой области, изменяет
влажность в точках внутри области. Это условие для трехмерного
движения имеет следующий вид:
(2.15)
dt 1 дх 1 ду 1 dz '
Определяя компоненты скорости фильтрации в форме обобщен-
ного закона Дарси, И. И. Кулабухова и П. Я. Полубаринова-Ко-
чина, исходя из условия (2.15), получают уравнение насыщенности
грунта в следующем виде:
ГА м.1+ » ГА^Ш2_-|+4-ГА^_-]_ «. (2.16)
dt дх L дх J 1 ду L ду J 1 dz L dz J ду ’ '
где
/W—Л=Лф(-^Ег-)‘=(<»+Ж)‘. (2.17)
Для случая одномерного движения уравнение (2.16) совпадает
с уравнением А. Клута.
В работе Я. Рубина рассматривается случай одномерной ин-
фильтрации атмосферных осадков в однородных ненасыщенных
грунтах. Падающие дождевые капли принимают очень малыми;
давление воздуха в грунте — постоянным, равным атмосферному*
Сиойства грунта предполагаются такими, при которых движение
потока подчиняется закону Дарси вида
р,= -Х(Я)(-^-1), (2.18)
где К.(Н)—гидравлическая проводимость грунта.
55
Из условия неразрывности движения потока получаем следую-
щее уравнение насыщенности грунта:
|2,9)
Это уравнение содержит две неизвестные функции W(y9t) и
Используем следующее преобразование А. Клута:
к М -^-=к W ^r^-=D W ’ (2-20)
где D(W)— функция К[Н(№)] и дН(W)/(dW).
Согласно формуле (2.20), уравнение (2.19) представляется в
виде
^=^_{П(ИЛ)^_Я[Я(ИЭ1}. (2.21)
В последнем уравнении неизвестной является только одна
функция W(y, t). Решение, полученное с помощью таких уравне-
ний, автор называет ^-базисным приближением.
К левой части уравнения (2.19) может быть применено преоб-
разование Л. Ричардса
dw _ dw дН _с (Гг. дН
dt дН dt Ь di ’
(2.22)
В результате такого преобразования уравнение (2.19) прини-
мает вид
С(Я)=-^-=-^-[Я(Я)^~Я(Я)]. (2.23)
В уравнении (2.23) искомой является лишь одна неизвестная
функция H(y, t),
И наконец, в третьем преобразовании, которое было примене-
но Я. Рубиным в теории инфильтрации атмосферных осадков, вво-
дится новая переменная v:
н
v=v(ff) = -L j K(h)dh-, (2.24)
Hmax
H
v= J k(h)dh, (2.25)
Hmax
где h — переменные, зависящие от напора воды в пористой среде.
Подстановка преобразований (2.24) и (2.25) в уравнение
(2.19) дает
(2.26)
56
еде
y(v)= Z(v) = —
' ' v dv ' ' v dv
В уравнении (2.26) неизвестной является только одна функция
»(у, 0.
В работе Я. Рубина уравнение насыщенности грунта для двух-
мерных задач представлено в виде
^=4- [«-^]+4 [К (Н-у) . (2.27)
Используя преобразование Кирхгофа, при горизонтальной ин-
фильтрации можно ввести новую переменную v:
v=v(fc)=4 5 K(p)dp-,v= J K(p)dp. (2.28)
ftmax Лшах
Применяя последнее преобразование, уравнение (2.26) полу-
чим в виде
<2-29)
<2-30>
2.5. Методы решения уравнения насыщенности
грунта
Для приближенного изучения движения влаги с учетом грави-
тпционных и капиллярных сил Н. Н. Веригин принимает следую-
щее допущение:
1 дрк А .
----^-=Д = const.
Vw ду
Тогда уравнение (2.12) получит вид
dt ~~ (п-Г)« W ду ’
Это уравнение было применено Н. Н. Веригиным для изучения
движения влаги при орошении почвы дождеванием. Граничные
условия рассматриваемой задачи приняты следующие:
на поверхности почвы
v (°’ о = iyi (°’ =const;
на границе смачивания
= А + Д)*» ууi-l п А
dt (n-U)t ™ v ’ 4
57
Для распределения влажности по глубине методом анализа
размерностей получено следующее выражение:
W = И\а1 - (W,at - И\) (2.32)
Влажность на границе смачивания
w г г (»-£/)« -|1/«-1)
1 L *<t>(n-A)rJ
Глубина впитывания влаги
Следовательно, с увеличением начальной влажности грунта
скорость перемещения границы смачивания возрастает, а насы-
щенность в зоне смачивания уменьшается. К этому же выводу
приходит Дж. Филипп, исходя из полученного им уравнения
(2.U).
В работах И. И. Кулабуховой и П. Я- Полубариновой-Кочиной
рассмотрены одно- и двухмерные задачи в области фильтрации,
для линеаризации уравнений которых был применен способ мало-
го параметра. Согласно этому методу, уравнение (2.16) представ-
ляется в виде ряда по степеням некоторого малого параметра X:
W (х, у, zt t) = U0(x, у, z, У, 2, i) 4-X2Z72 (ж, у, z, i)»
(2.33)
где Vq — постоянная; Ui — функция, удовлетворяющая уравнению
dUr / Wi I d2Ut , d*Ux \ J dUr .
dt ду* ' дх* "Г dz* / 1 ду ’
здесь
X = (a+W0)if (С70); Z = df (а +bU0)'-'.
Эту задачу рекомендуется решать в первом приближении,
ограничиваясь лишь первыми двумя членами:
W(x, у, z. t) — U0(xr yt z, t)4-Wt(х, у, z. t). (2.34)
Оценка точности принятого приближения в работе не дается.
Однако предполагается, что в большинстве случаев значения па-
раметра X невелики, поэтому полученное решение не должно зна-
чительно отличаться от решения нелинейного уравнения.
Для определения одномерной фильтрации, соответствующей
первой стадии неустановившейся фильтрации из широкого канала,
сначала требуется решить уравнение
Wi . диг /9 35)
~дГ~~^~ду*—l~aT
58
при следующих начальных и граничных условиях:
W, t) = W8at1 W (у, O) = Wo.
Из этих условий, согласно формуле (2.34), уравнение насыщен-
ности будет
W=W0 + (W9al-W0)Ui. (2.36)
Применяя преобразование Лапласа, получим
tv+ [exp (2g) erfc (-l=-+K?)+erfc(_L^-т)] ,
(2.37)
где
oo
2 f
exp (25) = e2S; erfc x = — \ e~P* dp\
/л J
T = J^_. .Jy_
4X ’ 6 2X •
Расход просачивающейся воды определяется выражением
(f)= г_£1 (_ PL)+J^.erfc(—Ц^)].
/л L /л F\ 4Х / * 2 1 2/x^J
При различных значениях времени некоторые члены становят-
ся пренебрежимо малыми по сравнению с другими, поэтому реко-
мендуются упрощенные формулы:
При t малом
при t большом q(t) =l(Wsat-Wo).
Постановку рассматриваемой задачи можно упростить. Если
к уравнение (2.35) подставить
£7i = exp(-^-+^-)^(V. О.
уравнение сведется к однородному уравнению теплопроводности:
9U _ у д*и'
dt ду* •
Начальные и граничные условия для функции U(yt t) получат
такой вид:
и (у, 0) = 0; и (0, t) = exp(-g-).
Последнюю задачу легко можно решить методом Фурье или
Грина.
Физическая картина распределения влаги, как это подробно
освещалось ранее, должна описываться таким уравнением, по ко-
59
Рис. 2.1. Распределение
влажности в грунте
торому можно определить нижнюю границу смачивания, разделя-
ющую зону насыщения и область с естественной влажностью, т. е_
фронт смачивания. На самом деле, при фильтрации вода не зани-
мает мгновенно всю толщу грунта под каналом. Наибольшая на-
сыщенность наблюдается в верхней части грунта и убывает книзу,
достигая минимума (естественной влажности) на фронте смачи-
вания. Уравнение же (2.37) дает распределение влажности, начи-
ная от поверхности грунта и вглубь до бесконечности. Если мы
будем искать границу смачивания, на
которой должно выполняться условие
W=Wo, то обнаружим, что она, соглас-
но формуле (2.37), удалена в бесконеч-
ность.
На рис. 2.1 представлена схема дей-
ствительной картины распределения
влажности в грунте, полученной при
решении (2.37). Кривая 1 характеризует
фактическую картину распределения
влажности до глубины смачивания у0.
Кривая 2 дает распределение влажнос-
ти, нижняя граница которой уходит в
бесконечность.
Если взять IF=A + Wo, получим уже
конечную глубину у0. Очевидно, положе-
ние этой глубины зависит от выбора
А>0. Поскольку А выбирают произ-
вольно, граница смачивания, согласно
(2.37), может оказаться неопределен-
ной. Некоторыми авторами величина А принималась равной 0,01
(WSat-W0).
Решения И. И. Кулабуховой и П. Я. Полубариновой-Кочиной
неудобны тем, что в окончательных формулах фигурирует неиз-
вестная величина которая может быть найдена только при
наличии зависимости PK=f(W). Зависимость давления от влаж-
ности может быть установлена на основании имеющихся экспери-
ментальных материалов, тогда решение И. И. Кулабуховой и
Полубариновой-Кочиной приобретает определенную ценность для
практических расчетов.
Если исходить из линейного закона изменения давления от
влажности, как это рекомендует Н. Н. Веригин, то неизвестная,
величина f'(W)= — Рк'(№) в уравнении (2.37) теряет свой смысл,
так как она не зависит от влажности. Таким образом, линейная
аппроксимация изменения давления от влажности, достаточно
хорошо согласующаяся с данными опытов, вносит неопределен-
ность в решение (2.37). Если же исходить из более точной аппрок-
симации зависимости Рк от U7, то получим гиперболу с изогнутой
60
вертикальной ветвью. В этом случае неизвестная величина f'(W)
it (2.37) получит соответствующее значение и само решение ста-
нет определенным.
Дж. Филипп, исходя из уравнения А. Клута (2.14), рассматри-
вает вертикальное просачивание свободной влаги под действием
гравитационных и капиллярных сил, описываемое уравнением
9W _ д (D dw \ дкф
dt ~ ду \ D ду ) ~д^~ • (2,38>
Уравнение (2.38) решается Дж. Филиппом для полубесконеч-
ной области при следующих начальных и граничных условиях:
= при f=0, #>0; W=Wsat при /^0, у=0.
Вначале рассматривается уравнение
~ (2.39>
St ду! \ дух / ' '
с условиями W=W0 при / = 0, i/i>0; W=Wsat при />0, f/i = 0.
С помощью подстановки уравнение (2.39) приводится
к виду
___<р dlT _ d I п dW \
2 * dip d<p \ U dtp / ‘
Умножая обе части этого равенства на dy/(dW), получаем
2 dW \ U d<p ) ’
। и куда
w
S <₽<W=-2D^.
Последнее уравнение с условием W=Wsat, Ф=0 легко решает-
П1 прямым интегрированием. Решение уравнения (2.39) У1 =
-f/i(U7, t) принимается как первое приближение к решению урав-
нения (2.38) Y=y(W, t).
Уравнения (2.38) и (2.39) можно представить в таком виде:
dY __ д (п dw \ дКф ,
dt ~ dW \ и ду ) д№ ’
—— } (2.40)
dt dW \ dyt I" V '
Вычитая из второго выражения (2.40) первое, получаем:
dY0 _ д ( Ddw dF0 \ । дкф .
dt dw\ dyt ду dW 1
Yn = Y— Yt: -У° — dY°-‘ (2.41)
° 11 dY ~ дуг 1 V '
ЭУо — Гл / dW V gyo 1 I dk*
dt ~ dW L I dyi J dW J ‘ dW ’
61
Подстановка x=Yot-,f* приводит к обыкновенному дифферент
циальному уравнению:
<2-42)
где
pw=p(-^-)2; ф(иэ=У|<-,/2.
Функции p(W) и <p(IF) определяются в результате решения
формулы (2.40).
Интегрирование уравнения (2.42) дает
J XdW=p-^+(^-k), (2.43)
W,
где k — значение Лф при W—Wo.
Уравнение (2.43) интегрируется при условии IF=IFo и х = 0-
Повторяя изложенную процедуру, можно получить новые функ-
ции, подобные <р(№) и p(W), совокупность которых представля-
ет решение задачи (2.38). Окончательное решение Дж. Филипп
дает в виде ряда:
Y = <р (W) № + X (Ю t + ф (W) ... +/т (И7) Г/2. (2.44)
В начальный период инфильтрации распределение влажности
определяется в основном функцией <р(IF), которая характеризует
проницаемость почвы и, по определению Дж. Филиппа, называется
поглотительной способностью грунта.
Общее количество жидкости, смачивающей полосу грунта еди-
ничной ширины:
Wsat
(? = J ydw+knt. (2.45)
w
Расход просачивающейся воды или скорость инфильтрации
определится выражением
^sat Wsat
5 ф(И')<*И' + Л„+ ( X(W)dW +
Wo W.
WSat
+4<V2 J *(HW+... (2.46)-
Wo
В начале инфильтрации первый член ряда (2.44) имеет доми-’
нирующее значение, глубина смачивания возрастает пропорцио-
нально t',a, а скорость инфильтрации уменьшается пропорциональ-
62
no t~h. В этот период градиент потенциала гравитации по сравне-
нию с градиентом потенциала капиллярности ничтожно мал,
поэтому профиль влажности не отличается от абсорбции в гори-
зонтальном слое. С течением времени очертания профиля влаж-
ности медленно изменяются, имея в поверхностных слоях более
равномерный характер. С углублением профиль влажности стано-
вится более крутым и постепенно опускается вниз с постоянно
снижающейся скоростью. В последующих стадиях инфильтрации
постоянный профиль влажности в верхних горизонтах движется
нниз со скоростью (kn—k)/(Wsat—№о). При этом скорость ин-
фильтрации постепенно уменьшается и достигает значения k.
Результаты своих исследований Дж. Филипп сравнивал с экс-
периментами Г. Ботмана и И. Колмана, а также Р. Мюллера и
Ф. Ричарда. Сравнение дало хорошие результаты. Б. Ботман и
II. Колман установили пять различных зон в профиле влажности
при инфильтрации: первая, самая верхняя, зона насыщения (су-
ществует в любом случае инфильтрации); вторая — переходная
вона (происходит резкое уменьшение влажности); третья — пере-
д«точная зона (изменение влажности по глубине в любой момент
времени незначительно); четвертая — зона смачивания (быстрое
уменьшение влажности); пятая — фронт смачивания (предел про-
никания влаги в грунт). Все эти зоны в эпюре влажности хорошо
объясняются Дж. Филиппом. Исключение составляет переходная
.юна, наличие которой Дж. Филипп объясняет существованием не-
глубокой области, в которой потенциал капиллярности не является
однозначной функцией влажности, а зависит от расстояния до
поверхности грунта.
Кроме указанных выше методов существуют также численные
методы, успешно использованные в работах Я. Рубина (1966—
1968). Рассмотрим возможность решения уравнения двухмерной
п|дачи насыщения грунта численным методом Я. Рубина (1968).
Пнчальные и граничные условия для горизонтальной инфильтра-
ции принимаются следующие:
h = hB, 0<z^oo, t = 0; (2.47)
h = hQ—у, x = 0, i>0; (2.48)
h= hB, x = oo, 0 у D, t 0; (2.49)
-|^=—0s£xs£oo, у = 0 или y=D, t>0, (2.50)
где h0 — напор на поверхности грунта, hB — начальный напор;
Л — постоянная величина.
Для изучения плоского потока в ненасыщенных грунтах
Я Рубином был использован переменно-направленный конечно-
ризиостный метод, который основан на модифицированной схеме,
предложенной А. А. Самарским. При использовании способа
63
экстраполяции, в одномерной задаче введены некоторые допол-
нения.
Уравнение (2.29) преобразуется в конечно-разностные уравне-
ния вида:
y(vi2;+0'5) =дМр+*+д„\?;_ z (v?;+0-5) (2.51)
у (vJr1,5) v ?г+=дх\#+1+д^г2 - z (v^+l-5)^+2.
(2.52)
Здесь
V” = (vw+i-VL,-t)/(2Ay);
Ajv" = Kj+i - 2vS + v^_,)/(A^);
Д»М = «+ ij - 2vS + v” 1,,)/(Дх2).
где m равно 2л, или 2л +1,5, или 2л4-2.
Граничные условия для уравнений (2.51) и (2.52) берутся из
условий (2.47).. .(2.50) в следующем виде:
= v (Л) = v 1(; — 1) &г]; (2.53)
v7-ij = v(M; (2.54)
Vi!o = v"2 + (2Ду/0 Лф (v^i); (2.55)
vJJ = VM-2 - (2ДуМ) Лф (<?/_,), (2.56)
где т равно 2л+1, или 2л + 2 соответственно для формул (2.51)
и (2.52).
Применение численного метода к процессу инфильтрации со-
стоит из последовательных операций:
а) система уравнений (2.53) и (2.54) решается при значениях
t=2 и л=0, уравнение (2.52) — при / = 2, 3, ..., /—2;
б) повторяется, пункт «а» при /=2, 3, .... /—2, и из формул
(2.55) и (2.56) вычисляются значения v*.o2n+1, vi,/2n+1 при i—
= 2, 3, ..., I—2;
в) система уравнений (2.55) и (2.56) решается при значениях
i=2 и л=0, уравнение (2.52)— при / = 2, 3, ..., /—2;
г) повторяется пункт «в» при i=3, 4, ...» I—2, и из формул
(2.53) и (2.54) вычисляются значения v,/2n+2 и v/-i,/2n+2 при /=
= 2, 3 7—2;
д) повторяются пункты «а»—<г» в том же порядке для увели-
ченных значений л столько раз, сколько это необходимо для по-
лучения требуемого времени инфильтрации.
64
2.6. О некоторых упрощенных приемах решения
уравнения насыщенности грунта
Остановимся на некоторых возможностях приближенного ин-
тегрирования уравнения насыщенности грунта. Для одномерной
задачи уравнение (2.16) принимает вид
Г/г d/(W) ~|_дк_
dt ду L ду J ду ’
Используя для капиллярного давления формулу Н. Н. Вериги-
на (2.8), можно записать
° (2.57)
р dt ду L ду J ду ' '
Рассмотрим возможные приемы приближенного интегрирова-
ния этого уравнения.
Коэффициент водопроницаемости k в интервале изменения от
естественной влажности до полной влагоемкости заменим линей-
ной функцией
к = (а + bWy « А + BW. (2.58)
Такую замену, согласно методу наименьших квадратов, можно
свести к определению постоянных Л и В из условия
wsat
/т= j ((a + 6»7)‘-(4 + BHr)l2dWr = min, (2.59)
w,
которое для определения неизвестных дает систему уравнений:
= Г ((а+ЬИЭ‘-(Л+ВИ0]ТГа1Г=0;
W.at
= S [(в+ЬИ')‘-(Л+ВИЭ1И'ЛИ'=0.
Wo
После интегрирования эта система получит следующий вид:
la+i>H*+H~o)U1 - А (W,at “ Жо) - в (w,at ~ =0;
[а + b (W8ai — jy0)<+* _ а la+b(W8at — W0)^1 _
b(i+2) ь «+1
-4-Л (W,at-W^-iB(W,at-Woy = 0.
65
Решая последнюю систему относительно постоянных А и В,
получим
А = Af [а+ Ь (У,д<-(i+2)-6G + 1) к+Ь .
b (»+l) (i+ 2) (Ж.а1-Жв)«
Я _ 12 («4-1) (Wsat-W^-N [«+ ь
b 04-1) 04-2)
где Af=4(rMf—Го)+6; У=12а(/+2)—6(i+2) (Waat—Wt).
Уравнение насыщенности (2.57) с учетом функции (2.58) будет
иметь вид
^-^-=В (-^-\2+(A+BW)^-—в^- .
р dt \ ду / ' 41 7 ду* ду
Рассмотрим возможность интегрирования последнего уравне-
ния путем отбрасывания квадратичного члена. Получим
^°”=(A+BW)^-B^. (2.60)
Начальные н граничные условия для рассматриваемого уравне-
ния примем в виде W=VF0 при 1—Q и W=Waat при у=0.
Нелинейное уравнение (2.60) можно решить методом малого
параметра.
Искомую функцию W(y, t) представим в виде ряда по степеням
некоторого малого параметра X:
W(yt t) = Ue(yt 0 + ШЛу, t) + MU2(y, 04-....
Линейная функция A-^-BW будет иметь вид
A + BW = A±B[U0(yr 04-М/1(у,0 4-ХЧ72(у, 04-..] =
= [Л 4-ВЦ» (у, (у. 04-^2(У, 04-.. ]В.
Подставляя последние выражения в уравнение (2.60) и огра-
ничиваясь лишь первыми двумя членами в предположении
(7о(у, 0 = const, получим
Тв> —(Л+ВиЧ — —В
-р аг—(А+ви,) ф о ду
Решение полученного линейного уравнения не представляет
особых трудностей. Так, применяя преобразование Лапласа, мож-
но получить
Vi(y, 0 = 4[exp(2E)erfc(-^+yi)+erfe 1^)],
t By .____________
где f— 2{A+BU0) • ifwtA+BUJ '
66
Возвращаясь.к искомой функции W(y,t), связанной с U\(y>t)
лпвисимостъю
W(y, t)^UQ^Wdy>
из граничного и начального условия задачи находим
^о = ^о; *=W\ot-^0-
Следовательно,
w(y, 0.
В случае, когда гравитационные силы имеют доминирующие
.чпачения, уравнение насыщенности (2.57) можно представить в
виде
Уи> 0W __ дк
Р dt — ду
ИЛИ
^^-=ib(a+bWy-'^- . (2.61)
Уравнение (2.61) при а=0 совпадает с уравнением движения
свободной влаги Н. Н. Веригина (2.31), полученным им при допу-
щении =A=const, но с другими коэффициентами.
Решение уравнения (2.61) также можно построить методом
малого параметра. Представляя уравнение (2.61) в виде ряда
W(y, 0 = Фо(У» 0 + аФ1(У, 04-«2<Pz(i/» 0= •••,
получим
(а +ЫГ)Ь1 = {а +& [<р0 (у. t) + a^(yt 04-а2ф2(£/, 0 + .. Jf"1 =«
= (а + &<р0/-‘ + а-1)&(а + 6ф0)1-2аф1(у, 0+ ... (2.62)
Подставляя это выражение в уравнение (2.61) и ограничиваясь
лишь первыми двумя свободными членами и коэффициентом при
первой степени а, а также принимая функцию фо(*Л 0 = const, на-
ходим
Yw d<Pi
Р dt
ib(a + bVe)'-'^-.
Если обозначить С = 1б(а+6ф(/-,р/'уш, получим уравнение
д<Р1 ________Г д<Р1
dt — ду '
(2.63)
Согласно (2.62), выражение насыщенности грунта примет вид
W(y, 0 = И'о + (И'ва<-И'о)Ф1(!/, 0. (2.64)
67
Определив из последнего выражения функцию <pi (у, f) и под-
ставив ее в уравнение (2.63), получим уравнение
2!L=_cw. (2.65)
dt ду '
Линейное уравнение (2.65) решить несложно. Так, методом
Фурье это решение можно искать в виде
W(y, t)=T(t)Y(y), (2.66)
где T(t) — неизвестная функция, зависящая только от t; Y(y) —
функция, зависящая только от у.
Подставив формулу (2.66) в уравнение (2.65) и разделив пе-
ременные, получим
У (у) ,
T{t) — и У (у) —
Из этого равенства следует
Г (I) - КТ (0 = 0; CY' (у) + KY (у) = 0.
Обыкновенные дифференциальные уравнения имеют вид
7(0 = ^; Y(y) = e~Wc.
Согласно формуле (2.66), уравнение (2.65) запишем в виде
W(y, t) = Cexp[K(t — y/p)\.
Применяем начальные и граничные условия:
W = W9at при i = 0, £/= 0;
= при t = t0, у = 1.
Подчиняя последнее уравнение принятым условиям, оконча-
тельно записываем
W(y, 0 = »r.atexp[T^?(*-i)ln1^7]. (2.67)
2.7. Одномерное неустановившееся движение
сплошного фильтрационного потока
(задача В. В. Ведерникова — П.Я. Полубариновой-Кочиной)
Рассмотрим случай вертикального просачивания воды в грунт
из котлована (достаточно широкого канала) под постоянным на-
пором И. Уравнение неустановившейся фильтрации для рассмат-
риваемого случая имеет вид
I __1__г_„_£г .
dt * и ду ро ду ° Аф и
68
Вводя вместо vv скорость фильтрации v, согласно соотношению
— v, получим
n dt р0 ду кф
Инерционным членом можно пренебречь. Тогда из по-
следнего уравнения вытекает справедливость классического зако-
IHI Дарси и для случая неустановившегося движения влаги:
v=-k^. (2.68)
Пусть в момент времени t вода просочилась на глубину у0. Так
кик, согласно уравнению неразрывности одновременного движе-
нии, скорость фильтрации зависит только от времени, то h есть
линейная функция у:
h = a(t)y + b(t).
При г/=0
Л(0) = &(0=Я;
при Y=y0, считая атмосферное давление равным нулю,
Л (Уо) = — feK - У о = ЗДо+Ь,
где hK=—(Рк/pg)—высота капиллярного поднятия в рассматри-
iincMOM грунте.
•I* dh Лк-р i/оЧ- Н
I<нда а =—=-----к_г»о_т2— .
d* Уо
Заменяя v=n~%f- для определения глубины у о получим еле-
дующее уравнение:
at Уо
Интегрирование этого уравнения при начальном условии
i/<> (0) =0 дает
<2-та>
После некоторого упрощения имеем
(2.71)
69
Произведем формальное сравнение последнего решения с реше-
нием Дж. Филиппа (2.44). Легко заметить, что оба решения со-
впадают, если принять
<Р(»Г)=|/Л2^(Я + ЛВ),
Таким образом, несмотря на различие исходных уравнений, за-
кономерность изменения фронта смачивания во времени в обоих
решениях одинакова. Имеется только количественное различие,
определяемое постоянными множителями. В начальный период
(в период инфильтрации) фронт смачивания может быть установ-
лен приближенным выражением
У о = j/ 2-^-(Я+М t‘/2 = a y-t.
Скорость инфильтрации
- а
исм = ------------------------7=~
м 2
в начале проникания влаги в грунт бесконечно большая, с тече-
нием времени асимптотически затухает.
Уравнение (2.69) позволяет решать ряд нестационарных за-
дач, отличающихся от рассмотренной начальными и граничными
условиями.
При заданном постоянном расходе имеем балансовое соотно-
шение
(2.72)
Q-H(t)-j-ny0.
Тогда уравнение (2.69) будет иметь вид
п йУо ________________п Q+hK + (i—n) у9
ас Уо
При начальном условии yQ (0) =0
(2 73>
При непрерывной подаче постоянного расхода воды q в котло-
ван имеем балансовое соотношение
qt = H(t)+ny0.
Уравнение (2.69) примет вид
И dVo __ к + + —п)у0 ;
dt 7,
Уо
70
При начальцом условии </о(О) =0:
(Лт—y0)«+o.s (ВТ + p)0.s-a = A<***B»*-*hJq,
где T=t+Mg; A = Д-_|-±»в
2п * г 4л® 1 п ’
В= — 1 _^Ф
2пГГ 4п2^~9»
2.8. Дифференциальное уравнение процесса увлажнения
лессовых грунтов (без учета просадки)
Для изучения процесса увлажнения толщи лессовых грунтов
необходимо найти функцию, определяющую закономерности рас-
пространения влаги. Функция эта определяется, если удастся со-
ставить дифференциальное уравнение, достаточно хорошо описы-
вающее процессы движения связной и капиллярной влаги в грунте
В лессовых грунтах второго типа (по просадочности), имеющих
однородную толщу значительной мощности, распространение влаги
происходит при неполной насыщенности грунта, и преобладающее
значение для этой среды имеет связная влага.
Ограниченное количество осадков, глубокое залегание подзем-
ных вод и сравнительно высокая влагоемкость, характерные для
районов распространения лессовых грунтов, обусловливают, как
правило, низкую естественную влажность этих грунтов. По данным
Н. Я- Денисова средняя величина естественной влажности лессо-
видных суглинков района Терской оросительной системы на глу-
бине от 1 до 14 м не превышает 10%, района Мало-Кабардинской
оросительной системы до глубины 17 м—10,8%. По данным
Ф. А. Андрухина, среднее значение влажности просадочных, но не
просевших лессов Нового Джуна до глубины 10 м составляла
6,8%, просевших лессов—12,9%. Грунты, не предрасположенные
к просадкам, обладают значительно большей влажностью (21,2—
22,5%). Распределение естественной влажности по глубине лес-
совых грунтов обычно более или менее равномерное.
Имеющиеся в литературе данные показывают, что в естествен-
ных условиях влага в лессовых грунтах находится в пленочном
виде, н ее величина, как правило, значительно ниже максимальной
молекулярной влагоемкости.
Для раскрытия механизма взаимодействия лессового грунта с
водой Н. Я- Денисов силу молекулярного притяжения характери-
зует отношением естественной влажности к максимальной моле-
кулярной влагоемкости. Очевидно, чем ближе это отношение к
единице, тем в большей степени использованы силы молекулярно-
го притяжения и тем не менее возможна адсорбция при поступ-
лении влаги извне. Отношение Wo/№M, по подсчетам Н. Я. Дени-
сова, для лессовых грунтов многих оросительных систем (Терская,
Мало-Кабардинская, Алханчуртская и др.) не превышает 0,7.
Как показывают многочисленные опыты и натурные наблюде-
ния, первая стадия фильтрации из каналов или из водоемов в лес-
совых грунтах носит явно неустановившийся характер и происхо-
дит при неполной водонасыщенности грунта. Заполнение пор
грунта водой происходит далеко не -полностью даже в непосредст-
венной близости от дна каналов. В работах Н. Я. Денисова,
Н. А. Осташева и других исследователей показано, что степень
заполнения пор грунта водой при свободной фильтрации плавно
уменьшается по глубине от максимального значения (0,7... 0,75)
до характерного для естественного состояния. Анализируя
явление фильтрации, Н. Я. Денисов приходит к выводу, что в
связи с неполным заполнением грунта водой даже на расстоянии
от источника увлажнения, измеряемом десятками сантиметров, на-
блюдается главным образом безнапорное движение воды и проис-
ходит оно независимо от высоты столба воды в канале. Так, для
каналов Терской оросительной системы при ширине их по дну
1...1.5 м и высоте слоя воды до 1 м мощность зоны напорного дви-
жения не превышает 0,5 м. Вне пределов этой зоны фильтрация
происходит по законам, отличным от обычных. По данным
Г. И. Архангельского и В. Л. Дмитриева, граница зоны напорного
движения под каналами в лессах Средней Азии определяется по-
луэллипсом, малой осью которого является ширина канала от уре-
за до уреза, а большой полуосью служит отрезок вертикали от
зеркала воды в канале до границы напорной зоны в грунте. По ис-
следованиям С. П. Тромбачева, величины установившегося расхо-
да воды в лессах Средней Азии при отличающейся в 2...3 раза вы-
соте слоя воды в канале были практически одинаковы. Г. А. Алек-
сеев определил, что в лессах Мало-Кабардинской оросительной
системы повышение напора воды в канале от 0,5 до 1,5 м практи-
чески не изменяет величину расхода. Исследования Г. Н. Вино-
градовой показали, что объем воды, профильтровавшейся через
единицу смоченной поверхности лессового грунта Голодной степи,
при напоре воды до 1,5 <м практически не зависит от напора. По ре-
зультатам полевых опытов удельный фильтрационный расход в ха-
рактерных лессовых грунтах Азербайджана изменяется пропорцио-
нально у/ и практически не зависит от высоты столба воды в ка-
нале.
Исследованиями, проведенными Л. Г. Балаевым на действую-
щих ирригационных каналах Вахшской оросительной системы, бы-
ло установлено, что массив лессового грунта ,под средними и мел-
кими каналами увлажняется далеко не до полного водонасыщения.
Вся толща грунта под каналами имеет влажность, близкую по
72
Рис. 2.2. Линии равных влаж-
ностей и эпюра влажности по
глубине для канала Вахшской
оросительной системы (по
Л. Г. Балаеву) при Q<p=
=2 м3/с
значению к наименьшей влагоемкости (21%)- Непосредственно под
каналом в 2...3-метровом слое влажность увеличивается до 28...
29%. Л. Г. Балаев установил, что в зоне активного развития про-
садочных процессов увлажнение происходит также не до полного
насыщения (рис. 2.2). Таким образом, при глубоком залегании во-
доупора в лессовых грунтах сплошной фильтрационный поток, за-
полняющий все поры грунта, ^практически не существует.
Если в обычных грунтах неустано-
пившийся характер фильтрационного
движения наблюдается только в на-
чальные периоды, то в просадочных
лессовых грунтах в большинстве
случаев это движение может продол-
жаться в течение всего времени дей-
ствия источника увлажнения.
Наиболее удовлетворительное объ-
яснение особенностей фильтрации из
канала дает С. Ф. Аверьянов. Первую
стадию фильтрации, представляющую
наибольший интерес для динамики
просадки, он называет стадией сма-
чивания грунта. Эта стадия характе-
ризуется впитыванием воды из кана-
лам в сухой грунт и полным разобще-
нием опускающегося из канала филь-
трационного потока и бассейна под-
земных вод. Применение к этой ста-
дии законов неустаповившегося дви-
жения подземных вод неравномерно,
так как область движения вследствие неполного насыщения и дей-
ствия сил поверхностного натяжения не занята сплошным фильт-
рационным потоком. В характерных лессовых грунтах, имеющих
большие мощности и малую естественную влажность, фильтрация
из канала, как правило, не выходит из первой стадии. Поэтому
движение влаги имеет неустановившийся инфильтрационный ха-
рактер и основывается главным образом на пленочном движении.
В этом процессе капиллярный потенциал становится значительно
больше потенциала поля тяжести.
На этой основе для описания явления фильтрации в лессовых
грунтах Н. А. Осташевым были использованы закономерности не-
стационарного режима потока. Аналогичная зависимость была
установлена Г. И. Покровским и Н. А. Наседкиным, исходя из
статистических закономерностей. Для обоснования исходных пред-
посылок Н. А. Осташев провел на никопольской строительной пло-
щадке эксперименты в большом объеме. Результаты проведенных
и лабораторных условиях опытов (без учета влияния веса фильт-
рующейся воды) позволили ему установить, что глубина увлаж-
73
ценной зоны у0 и количество профильтровавшейся воды Q изме-
няются пропорционально у/, т. е. yo=a]/t, Q — ^/t.
Большинство исследователей считает, что просадка в лессовых
грунтах наступает при влажности, равной максимальной молеку-
лярной влагоемкости грунта. Как видно из рис. 2.3, вся основная
деформация лессового грунта происходит при изменении влажно-
сти от естественной до значения, при котором происходит инфильт-
рация. При влажности, равной максимальной молекулярной влаго-
емкости, начинается просадка, причем основная часть просадки
возникает при инфильтрации. Поэтому повышение влагоемкости
грунта в процессе увлажнения до полной влагоемкости может вы-
звать лишь незначительное увели-
чение просадки. В основаниях же
сооружений просадка может насту-
пать даже при влажностях, мень-
ших максимальной молекулярной
влагоемкости, поскольку увеличи-
вается напряженное состояние
грунта.
Чу W* к/
£
Таким образом для большинст-
ва практически важных задач изу-
*5
Рис. 2.3. Влияние влажности на чение процесса увлажнения лессо-
деформацию лессового грунта вых грунтов представляет интерес
(по Н. Я- Денисову)
в узком интервале изменения
влажности.
Последнее обстоятельство позволяет предложить способ лине-
аризации уравнения насыщенности грунта (2.16), сравнительно
легко сводящий задачи об увлажнении лессовых грунтов к ин-
тегрированию однородного уравнения Фурье. Этот метод аналоги-
чен первому способу линеаризации уравнения Буссинеска, полу-
чившего широкое применение при решении нелинейных задач в
области фильтрации.
Следуя Н. Н. Веригину, примем, что капиллярное давление за-
висит только от насыщенности грунта и однозначно определяется
линейной функцией (2.8). Подставляя формулу (2.8) в уравнение
(2.16), получим
Уи> dw _ д
Р dt дх
Для линеаризации уравнения (2.74) коэффициент водопрони-
цаемости заменим некоторым средним его значением.
По данным Н. Я. Денисова, интервал изменения влажности
лесса, представляющий практический интерес, колеблется в пре-
делах: 9,8... 14% для Терской оросительной системы; 10,8... 16%
для Мало-Кабардинской оросительной системы; 11...18 % для Ал-
ханчурской долины и др. По данным Л. Г. Балаева, вся толща
просадочного лессового грунта под действующими каналами Сред-
74
ней Азии после стабилизации процесса просадки имеет влажность,
близкую к наименьшей влагоемкости, т. е. 21%.
Таким образом, осреднение значения коэффициента водопро-
ницаемости может быть произведено в пределах изменения влаж-
ности от естественной до значения, несколько превышающего мак*
симальную молекулярную влагоемкость грунта, т. е. mWM
Тогда осредненное значение коэффициента водопроницаемости бу-
дет равно
mWM
Следовательно, для сравнительно низкого значения естествен-
ной влажности и небольшого диапазона его изменения при ин-
фильтрации осреднение значения коэффициента водопроницаемо-
сти не должно вносить существенной погрешности в ход процесса
увлажнения толщи лессовых грунтов.
Итак, подставляя осредненное значение коэффициента водо-
проницаемости в уравнение (2.74), получим
(2.7б)
dt lw \ дх* дУ2 1 дх* I ' '
Аналогично коэффициенту пьезопроводности (по В. Н. Щелка-
чеву, 1949) назовем выражение -Ё-Е=6 коэффициентом влагопро-
водности грунта, размерность которого, очевидно, будет L2T-1.
Коэффициент 0 является также аналогом коэффициента потен-
циал ап роводности в уравнении переноса вещества в капиллярно-
пористых коллоидных телах, предложенном А. В. Лыковым (1968).
Очевидно, точность предложенного способа линеаризации, так
же как и в методе малого параметра, зависит от разности —
Чем меньше эта разность, тем точнее будет решение линеа-
ризованного уравнения.
Уравнение (2.76), как известно, допускает также диффузион-
ное истолкование. В этом случае функция насыщенности W (х, у,
z, t) представляет собой концентрацию диффундирующего веще-
ства, а 0 — коэффициент диффузии. Решения уравнения (2.76)
позволяют довольно наглядно проанализировать весь процесс рас-
пространения влаги в лессовых грунтах.
Процесс распространения влаги в лессовых грунтах аналогич-
но теории теплопроводности в твердых телах может быть разде-
лен на три стадии. Первая — стадия неупорядоченного режима ха-
рактеризуется большой ролью начального распределения влажно-
сти. Всякая неравномерность естественной влажности грунта отра-
жается на распределении влажности в последующие моменты вре-
75
мени. Вторая стадия может быть названа регулярным режимом,
в течение которого зависимость влажности от времени описывает-
ся простой экспонентой. Распределение влажности в любой мо-
мент времени не зависит от начального распределения. Третья ста-
дия соответствует стационарному состоянию, при котором влаж-
ность во всех точках области фильтрации равна влажности ис-
точника увлажнения.
В заключение в отличие от формулы С. Ф. Аверьянова дадим
новое выражение для коэффициента фильтрации ненасыщенного
грунта, которое в значительной степени может сократить матема-
тические выкладки, связанные с изучением проблемы процесса
увлажнения. Известно, что при увлажнении грунта в пределах
глубины контура смачивания образуется профиль влажности, со-
гласно которому потенциал капиллярного давления по мере
уменьшения влажности по глубине увеличивается. При макси-
мальной влажности, соответствующей полной влагоемкости грун-
та, капиллярная сила равна нулю. Влага перемещается от низше-
го капиллярного потенциала к высшему, т. е. от большей влажно-
сти к меньшей, аналогично передаче тепла в области отрицатель-
ных температур. В соответствии с изложенным коэффициент
фильтрации ненасыщенного грунта может быть выражен формулой
*Ф.н=Л<ПоЧ (2.77)
где п0— эмпирически подбираемый коэффициент.
2.9. Одномерное увлажнение толщи
лессовых грунтов
Рассмотрим задачу о непрерывном замачивании однородной
толщи лессового грунта с постоянной по глубине естественной
влажностью Wo из котлована, имеющего размеры в плане не ме-
нее мощности увлажняемого грунта. В этих условиях фильтрация
в толще грунта может быть рассмотрена как одномерная. Урав-
нение (2.76) для указанного случая увлажнения будет
^=6^. (2.78)
dt ду2 ' '
В течение большого периода времени влияние водного режима,
заданного на границе, в отдаленной от поверхности грунта обла-
сти будет сказываться весьма слабо, и влажность в этой области
определится в основном начальным ее распределением. Для этого
случая, очевидно, точный учет глубины залегания водоупора не
будет иметь значения. Мощность замачиваемого грунта будем счи-
тать бесконечной, и для уравнения (2.78) ставим задачу Коши о
распределении влажности на полубесконечной прямой при следу-
ющих начальных и граничных условиях:
W(y, О) = Жо; Ж (О, t) = W8at. (2.79)
76
Однако вероятна постановка и другого типа задачи, когда
можно пренебречь точным учетом начальных условий. Влияние
начальных условий на распространение влажности по глубине
ослабевает с течением времени. Если интересующий нас момент
достаточно удален от начального, то влажность грунта практиче-
ски определится граничными условиями. Такие задачи, как извест-
но, сводятся к краевым задачам без начальных условий.
Решение уравнения (2.78), подчиняющееся условиям (2.79),
легко строится методом Фурье или Грина:
W(y, 4) = 1Г0 + (^.о<-1Г0)[1-Ф(т^=-)]. (2.80)
Расход просачивающейся в грунт воды в единицу времени
ч w=4- Sw (у'dy = • (2-81)
Выражение (Weat—Wo) fO/л представляет собой скорость ин-
фильтрации в конце первой единицы времени. Полученное выра-
жение для расхода аналогично формуле средней скорости проса-
чивания А. Н. Костикова (1960) г7=&/7-® и при значении а=0,5
полностью совпадает с ней.
Определим приближенное выражение для фронта смачивания,
исходя из формулы (2.80). Интеграл вероятности, содержащийся
в решении (2.80), представим в виде
—7= / у \2h~l
2 Kot ОО | ---- ) оо
S 2 (-п>ит^)(*-1)Г= -2 2 ад2*-*’
О Л=1 fc=l
(—l)fc
где 4л(в/)л-о,Б (2Л—1) (Л—1)! ’
Тогда выражение (2.80) будет иметь вид
И^(у, /) = ^0 + (Ж8оГ-РУ0) 1 +
(2.82)
На границе смачивания, очевидно, должно соблюдаться усло-
вие
VF(y0, 0=^
или
(1 + -7- 2 а*У?»-‘| = 0.
77
Поскольку
w,at-wo^o,
to
1 + "j7T 2^ 4* (e0»-».‘ (2*-l) (fc—1)! = (2’83^
Легко можно показать, что корни этого уравнения имеют вид
!/0 = Л/ё4, (2.84)
где А — положительное или отрицательное число.
В самом деле, подставляя формулу (2.84) в формулу (2.83),
получим
/л । V ( —ПМ8*-1 _п /QQra
4 + 2j 4Ь(2Л-1)(Л-1)! (2'85'
h=l
Последний ряд, согласно теореме Лейбница, сходится. Реше-
ние уравнения (2.85) для конечной суммы ряда может быть по-
строено с помощью формулы Виетта. При этом наибольшие по
значению и положительные по знаку корни могут быть установ-
лены правилом Декарта.
Если ограничиться четырьмя членами разложения и восполь-
зоваться корнем уравнения (2.85) Л = 2,37, то фронт смачивания
определится выражением
J/0 = a/t, (2.86)
где а = 2,37/6. (2.87)
Для скорости продвижения фронта смачивания получим фор-
мулу
р=^-=1,185 /• (2.88)
Таким образом, вначале скорость продвижения франта смачи-
вания очень велика, а с течением времени быстро уменьшается.
В соответствии с установленным фронтом смачивания для рас-
пределения влажности получим следующую приближенную фор-
мулу:
W — W Wsat-W0 . W8at-W0 3 W8at-W_0__ 5
aat /лОг у 12 /л (0t)3/2 у 160 /л (6t>6/2
(2.89)
Очевидно, значение у в этом выражении должно изменяться в
пределах O^z/^2,37 уе/. Количество просачивающейся в грунт
78
воды и скорость инфильтрации определяется такими выраже-
ниями:
2.37 Vet
q(t)= J W(y, t)dy=-.(i,6WB+0,78 W,at) Vol;
0
2.37 Vol
₽ (*)=4- ! w (y’ z) dy=<°’8vr«+0’39 Ve7t.
0
Вычисления показывают, что формула (2.89) достаточно точно
аппроксимирует решение линеаризованного уравнения (2.78) для
одномерного увлажнения лессовых грунтов.
2.10. Экспериментальный метод определения
коэффициента влагопроводности
Полученная выше формула для фронта смачивания позволяет
предложить метод экспериментального определения коэффициента
влагопроводности грунта.
Рассматривая задачу в рамках одномерной фильтрации, проис-
ходящей три замачивании длинной полосы достаточно большой ши-
рины Ь, можно составить балансовое соотношение. Пусть к неко-
торому моменту времени б-i количество поглощенной грунтом во-
ды, отнесенное к 1 м полосы, установлено замером и равно:
(?«-! = nbya,i-i-
Для следующего момента времени tt
Qi = nbyOti.
Таким образом, за промежуток времени ^t—ti—i фильтрую-
щая вода проникает на глубину
д„ _ _ Qt— Qi-1
лУо~Уо,1—Уо.1-1-----------•
С другой стороны,
А//0 = а —а
Тогда
Откуда
а ’ (2.90)
79
С учетом зависимости (2.87) имеем
6 = 0,18 [
_______________ I2
nb { Уti — Уti-i J
(2.91)
Размерность а, очевидно, будет LT-1/2, а коэффициент влаго
проводности L2T~\
По известному значению коэффициента влагопроводности оп-
ределяем его среднее значение:
(2.92)
2.11. Двухмерное увлажнение толщи
лессовых грунтов
Рассмотрим процесс увлажнения однородной толщи лессового
грунта достаточно большой мощности из длинного, относительно
узкого котлована. В этом случае для задачи распространения вла-
ги можно написать уравнение
Т=^)(^-+^) (2.93>
при определенных начальных и граничных условиях.
Точное решение задачи для уравнения (2.93) при условиях,,
отражающих физическую картину явления, чрезвычайно сложно.
Дело в том, что как при одномерной, так и при двухмерной ин-
фильтрации фактическая картина процесса требует постановки
краевой задачи для областей с подвижными границами. Однако
область инфильтрации, которая деформируется с течением време-
ни, заранее нам неизвестна. Поэтому решению должно предшест-
вовать определение закона изменения границ области инфильтра-
ции, что само по себе представляет немалую трудность.
Уравнение (2.93) введением зависимой переменной
t
т= j е (t) dt
о
может быть сведено к виду
dw __ d2w aw
дт дх2 ду2
Решение последнего уравнения можно построить исходя из ме-
тода Фурье или Грина. Для решения поставленной задачи будем
исходить из приближенной картины явления. Сначала эту задачу
сведем к стационарной, принимая в каждый фиксированный мо-
мент времени движение установившимся, а границы области
фильтрации, относительно которой будут сделаны те или иные
предположения, перемещающимися. Возможность такой постанов-
80
ки основывается на том, что изменение влажности грунта во вре-
мени происходит значительно медленнее, чем в пространстве. Эта
концепция составляет основу известного метода последовательной
смены стационарных состояний, широко применяемого при реше-
нии нестационарных задач фильтрации.
Итак, трактовка неустановившейся фильтрации как совокуп-
ность мгновенных установившихся процессов позволяет заменить
параболическое уравнение (2.93) эллиптическим:
o*w . W _0
дх* “t" ду*
(2.94>
Для уравнения (2.94) ставим первую краевую задачу, т. е. за-
дачу Дирихле об отыскании гармонической функции в полуплос-
кости, принимающей на границе заданные значения. Вначале при-
мем, что влажность грунтов в пределах горизонтальной проекции
ложа котлована (—60; +&о) поддерживается постоянной и рав-
ной Wsat. Решение задачи Дирихле для полуплоскости примени-
тельно к нашему случаю может быть представлено в виде
W(x, у) = ± ( И'ХУ,—
-Do
Раскрыв интеграл, получим
W (х, у) = (arctg ^=1+arctg A±S). (2.95)
Последнее выражение дает картину распределения влажности
в грунте, когда источник увлажнения расположен на горизонталь-
ном участке (—60; +&о) границы полуплоскости. В том случае,
когда источником увлажнения служит котлован произвольного
очертания поперечного сечения, можно также воспользоваться ре-
шением (2.95), если принять за форму котлована одну из кривых
равных влажностей.
После несложного преобразования уравнения (2.95) можно
написать
± 2bQyctgmn — у2, (2.96)
гдет=1—W/W8at.
Уравнение (2.96) определяет кривую равных влажностей. Если
влажность приравнять к естественной влажности грунта, т. е.
то оно определит фронт смачивания.
На рис. 2.4 представлены кривые равных влажностей, построй
енные по формулам (2.95) и (2.96).
Для сравнения на рис. 2.5 представлены кривые равных влаж-
ностей и эпюра влажности, построенные Л. Г. Балаевым на осно-
81
ве данных, полученных им для действующего оросительного кана-
ла Средней Азии. Аналогичные кривые получены также Г. Н. Ви-
ноградовой для лесса Голодной степи и Н. Я. Денисовым для лес-
са Северного Кавказа.
Имея характеристики установившейся фильтрации, перейдем к
рассмотрению неустановившейся фильтрации на основе метода
смены стационарных состояний. Примем, что в области, лежащей
достаточно близко к оси Оу, движение влаги мало отличается от
Рис. 2.4. Ливии равных влаж-
иостей и эпюра влажности по
глубине
Рис. 2.5. Линии равных
влажвостей и эпюра
влажности по глубине
для канала Средней
Азии (по Л. Г. Балаеву)
при Сф=9 л/с
одномерного. Поэтому в выделенной вдоль этой оси достаточно
узкой полосе распределения влажности с некоторой погрешно-
стью установим решением одномерной задачи (2.80). Согласно
этой зависимости, фронт смачивания определяется выражением
(2.86).
Таким образом, имеем дополнительное условие при х=0:
у = у<, = а/«.
Тогда уравнение (2.96) получит вид
ft2 — 2&oay7ctgmn — a2t = 0, (2.97)
откуда * = ё tffn (*+V1 + tg2 (2-98)
Согласно последней формуле для каждого вида грунта можно
установить положение изолиний влажности, соответствующее за-
82
данному моменту времени замачивания. Из уравнения (2.97) име-
ем
CtgZ7Ul =
bj-аЧ
2Ь0® V~t
feg—5,62 6/
4,74Ь0 /в? ’
Подставив это значение в формулу (2.96), получим уравнение
изолиний влажности в зависимости от времени
х= * (2^)
Порядок вычисления влажности состоит в следующем. Для за-
данного момента времени по формуле (2.99) устанавливается гра-
ница области фильтрации. Распределение влажности в пределах
этой области, согласно допуще-
нию метода последовательной
смены стационарных состояний,
определяется выражением (2.95).
Таким образом, уравнение (2.95)
определяет влажность в области
инфильтрации, ограниченной кри-
вой, выражаемой уравнением
(2.99).
Попытаемся решить постав-
ленную задачу модифицирован-
ным методом смены стационар-
ных состояний. По этому мето-
ду количество просачивающейся
в грунт воды за элементарный
промежуток времени может быть рИс. 2.6. К расчету расхода воды
определено изменением площа- на инфильтрацию
ди, занятой жидкостью за этот
промежуток времени. Исходя из полученных выше результатов,
вычислим расход на инфильтрацию при замачивании толщи лес-
совых грунтов. Пусть к моменту времени t влага, проникшая в
грунт, занимает площадь A(t), ограниченную изолинией влаж-
ности ^=/11^0 (рис. 2.6). Количество влаги в рассматриваемой
области определится выражением
?=»гинф(0^-л(о.
где НРинфСО—средняя величина влажности в пределах рассмат-
риваемой области инфильтрации;
^и„ф(0=-$ W. y)dA.
А (О
(2.100}
83
Фильтрационный расход
=4г=^- O-Ф <о4г+л W -^ИФ(О ]. (2.101)
Определим в формуле (2.101) каждое слагаемое в отдельности,
рассматривая изменение области инфильтрации во времени. В мо-
мент времени t область инфильтрации
Л (t) = 2
-1/о(П Ь.
( Х(у, t) dy — J f(x) dx
- 0 0
где f(x) — функция, определяющая форму поперечного сечения
рассматриваемого русла канала.
Через некоторое время Д/ влага распространится в пределах
области, ограниченной изолинией влажности ^2=п2^о, площадь
которой
[VoU+ДО ь.
J {у, t+M)dy-\f(x)dx
о о
Изменение площади области, занятой влагой, за время Д/ бу-
дет
1/о«+Д«) Vo(0
ДЛ(0 = 2 $ X(y,t+bt)dy- J Х(у, 0 dy .
L о о-1
Преобразуем это выражение:
A4(t) = 2 ? Х(у, t+&t)dy+ J Х(у, t + M)dy —
L о v.(O
у.(О Vo(0
— ( Х(у, t)dy =21 $ [Х(у. «4-Д«)-Х(1/, t)]dy +
о J I о
+ j X&t + ^dy .
1/о(О J
Применяя ко второму интегралу теорему о среднем значении,
получим
v.(t)
4-ДЛ(Г)= J AtX(y, t)dy+X{y0(t)-e[y„{t + M)-y0(t)]t+
О
+ At] Ау0 (t),
где &tX(y, t)=X(y, /+ДО—X(y, f); 0 — положительное число(
значение которого лежит в интервале 0^0^ 1.
84
Разделив обе части полученного равенства на Д/ и перейдя к
пределу Д/—Ч), получим
v.(t)
о
(2.102)
Определение средней влажности, согласно формуле (2.100),
сводится к вычислению двойного интеграла:
Vo(O Х(!/.О
^инФ(^)=аЬг S S W(X' У)ЛХ<1У' (2Л03)
Ло 0
где W(x,y)— функция, определяющая распределение влаги в пре-
делах области A(t) при стационарном режиме [формула (2.95)];
х(у, О— уравнение контура смачивания [формула (2.99)]; y0(t)—
глубина смачивания [формула (2.86)].
Средняя влажность, согласно выражению (2.103), не выража-
ется через элементарные функции, поэтому для ее определения
применяем следующий приближенный прием. Предположим, что в
области, лежащей достаточно близко к оси Оу, фильтрация несу-
щественно отличается от одномерной. Следуя этому допущению,
среднее значение влажности в пределах области фильтрации оп-
ределяем из выражения
, Т 1
«Ьг $ ‘’«"-iSTTsrv х
Ле
2,37
Ло
Используя разложение интеграла вероятности
y*h~l
4* (в*)*-0*6 (2Л—1) (Л—1)!
после интегрирования получим
w =w 2(W8at-W0) у, 2,37«*(ео*_Ч2*
CP 8at /л (2,37Ло) ’ &k(2k—1) (fc-l)| (Щ)*"0.* ’
(2.104)
Вычисления показывают, что средняя влажность с течением
.времени изменяется несущественно, поэтому выражение фильтра-
85
ционного расхода (2.101) значительно упрощается и принимав!
следующий вид:
Так как /J =0, то
q(t) = 2Wcv^\ ^dy.
о
Используя выражение (2.99), находим
q(t) = 2Wcd T<i b«+,5.62et C ---- ydg —
₽ Tw 9,48</6t J / 6g—5,6261
V ’ 2,37 /Й v v
Раскрытие интеграла дает
bp (fr?+ 5.6260 | frg-31,580*t*
9,48* '
ь;-5,б2ш arctg
7{0=жор^[.
X (arctg
22,4761*
2,37/® )]•
На основании полученной формулы приближенно можно опре-
делить расход на инфильтрацию в процессе двухмерного увлаж-
нения лессовых грунтов.
2.12. Дифференциальное уравнение процесса увлажнения
лессовых грунтов (с учетом просадки)
Рассмотрим увлажнение толщи просадочного грунта из котло-
вана достаточно большой ширины поперечного сечения произволь-
ного очертания, определяемого уравнением y=f(x). Грунт на всем
протяжении котлована принимаем однородным. В этом случае в
различных поперечных сечениях котлована картина замачивания и
просадки будет одна и та же, поэтому поставленная задача может
быть рассмотрена как одномерное увлажнение толщи просадоч-
ного грунта.
При выводе уравнения будем исходить из соотношения водно-
го баланса. Если пренебречь иопарением влаги, то в каждый мо-
мент времени объем поступающей в котлован воды должен быть
равен объему воды, ушедшему на инфильтрацию, плюс объем во-
ды, заполнивший пространство, освободившейся при просадке.
На расстоянии хот оси симметрии канала выделим полосу шири-
ной Дх, настолько малой, что изменением всех величин по х внут-
ри Дх можно пренебречь (рис. 2.7). Пусть для увлажнения грунта
в котлован подан расход воды Q(t). Часть этого расхода, прихо-
86
дящуюся на выделенную полосу, обозначим через AQ. Момент на-
чала увлажнения принимаем за нулевой. Просадочные явления в
толще замачиваемого грунта, как правило, обнаруживаются не
мгновенно после появления в котловане воды, а по истечении не-
которого промежутка времени /о. К моменту to горизонт воды в
котловане изменится на Яо=Я(/о). к моменту 7>7о в основании
выделенной полосы произойдет про-
садка на величину 5(0» горизонт во-
ды в котловане изменится на Я(0-
Следовательно, общий напор воды в
котловане станет равным 77(7)+5(7).
Форма деформированного поперечно-
го сечения котлована определится
уравнением y=f(x)+S(x, 0» в на рас-
сматриваемом участке русла котлова-
на ^=const+5(0, так как х здесь
зафиксирован. Рассмотрим малое
приращение времени А/. За этот про-
межуток времени просадка получит
приращение А5, в выделенной поло-
се прибавится вода в количестве
AQA7, глубина ее в котловане изме-
нится на А77, а из основания полосы
в грунт профильтруется влага в ко-
личестве АФ. В результате получим
балансовое соотношение
Рис. 2.7. К выводу урав-
нения процесса увлажнения
А(?А7 = АЯАх + А5Ах + АФ. (2.105) толщи пР°садочных Г₽УНТОВ
Величина AQ может быть представлена в виде
Определим объем воды, ушедшей на инфильтрацию к моменту
времени t>t0. Если к моменту t инфильтрационный поток проник
на глубину yo(t) и осредненная в пределах этой глубины порис-
тость грунта равна n(t), то объем воды, содержащийся в грунте,
будет yo(t)n(t).
Таким образом, к моменту времени t количество просачиваю-
щейся воды
ф(0=Уо(0"(0 А*.
Для момента t+M
Ф (t+Д0 = у„ (t + Д0 п (t+At) Дг.
Приращение функции Ф (0 определится выражением
ЛФ=Ф (t+ДО - Ф (0 = 1й> 0+ДО п («+АО - Уо (0 » (01А*-
87
С учетом -последнего равенства балансовое соотношение (2.105)
примет вид
ДяД* = ДЯДя + ДЯДя + [!/о (* + ДО п (* + ДО — Уо (0 п (01 д*-
Разделив обе части этого равенства на ДхД/ и перейдя к преде-
лу при Д£—И), получим
Q (0 _ dH (х, t) dS (ж, t) . d<D (0
b0 (0 dt *+" dt * dt 1
где
d<b (0 _ 1- yoG+AOnU+AO-yo(On(O
Л Д*
Легко можно установить, что
В окончательном виде балансовое соотношение будет
dS(x, t) _ Q(t) dH (х, t) ( . dyQ(t) , . dn(t)
Tt — MO di W ~t Уо W~di~-
Если теперь отказаться от фиксированности выбранной поло-
сы, т. е. считать х переменным, то
9S(x, 0 __ Q(t) dH(x, t) dy0(x, t) ( . dn{x, t)
di ~ b„(t) di n(x, t) y0(x, l) gt
(2.106)
Уравнение (2.106) связывает функции, характеризующие изме-
нения, происходящие на дневной поверхности грунта при просадке
и инфильтрационное движение в толще увлажняемого грунта.
Рассмотрим возможные случаи увлажнения. Увлажнение тол-
щи просадочного грунта ведется с сохранением постоянного уров-
ня воды в котловане (Н = const).
Уравнение баланса
« (*. 0 (А О • (2-107)
Увлажнение толщи просадочного грунта ведется при постоян-
ном напоре воды в котловане, т. е.
9S (ж, 0 ! дН (х, 0 __п
dt ‘ dt “U*
В этом случае вся подаваемая на увлажнение вода идет на ин-
фильтрацию, поэтому
(X, t) а-*^+у0 (X, t) . (2.108)
88
Увлажнение толщи просадочного грунта ведется периодически
=0J:
ад(х, «) = _он_£ Ч—П(Х, t) ° —у„ (х, t) Ч . (2.109)
Рассмотрим увлажнение просадочного грунта в условиях плос-
кой задачи, исходя из характера изменения области движения
инфильтрационной влаги. Будем считать, что лри просадке фильт-
рационное движение носит неустановившийся характер и проис-
ходит при неполном насыщении грунта, а фронт продвижения ин-
фильтрационной влаги при шросадке совпадает с некоторой кривой
равных влажностей.
В процессе просадки (/>/0) русло котлована определится
уравнением
1/ = /(^)+5(х, t).
В произвольный момент времени t площадь, занятая фильтра-
ционной влагой (см. рис. 2.7),
Уо(0 ь0
J Х(у, t)dy-[[f(x+S(x, t)-S(bOl t)]dx.
S(b0,t) о
В момент времени Н-Д/
у.«+Д1) Ьо+ДЬ.
— A(t + bt) = j Х(у, t+M)dy- J [f(x) +
5(Ь0+ДЬо.<+ДО 0
+ 5(А «+Д1)-5(Ьо+ДЬо, t+At)l<fc-
Приращение площади области инфильтрации за момент време-
ни Ы будет
1 1 А У'Ю+Ьу
T&A=TA(t + bt)-±A(t) = J X(y,t + bt)dy-
S(b0,t)+AS
Ьо+ДЬо
— J lf(x)+S(x, t + At)-S(b0+Ma, t + At)]dx-
0
b0
— J X(y, t)dy+ f (/(x) + S(x, t)-S(b0, t)]dx.
S(b0, t) Q
89
Последнее выражение можно представить в виде
ТДЛ = J Д.Х(у, t)dy+ С Х(у, t+M)dy—
S(b., t)+AS
S(be,t)+AS Ьо+ЛЬ»
— J Х(У, t)dy— J [f(x)+S(x, t+&f)_
8(b0, t) b,
b.
— S (b0 4- A60, t + At)] dx — J [AS (x, t) — As (&0, t)] dx,
о
где A.Xfy, t)=X(y, t+bt)-X(y, t).
Применяя теорему о среднем значении интеграла, получим
1 Т
ТАЛ= J AtX(y, t)dy + X(y0 + e^y0, t+At)Ajf0-
S(be, O+AS
b.
-X[S(60, t) + 02AS, t]As-J [AS(z, t)-AS(60, t)]dz-
o
b0+Abe
- $ l/(x)+5(x, <4-ДО-5(60+Д6о, *+Д*)1<Ь;
be
здесь 0^01^1; O^02^l.
Разделив каждую часть этого равенства на At и перейдя к
пределу при At—*0, получим
1Ш)
= 5 -b-dy+XlVo, X(S(^, t)<l X
S(b., 0
b.
x (21101
0
Для получения приближенного результата можно допустить,
что кривые равных влажностей в процессе просадки определяются
уравнением (2.99).
Возможен следующий частный случай. Увлажнение толщи про-
садочного грунта производится при неизменной ширине зеркала
воды в котловане. В этом случае b0(t) = b0=const, а следователь*
но, dbQldt)=G. Тогда
1 дА (I) f дХ п , хг z dffo v г с /1. (^о*
-2-дГ'= J -оГдУ+х(Уо> t)-ar-X[S(bb1 t), t]—-------------
о
о
90
В рассматриваемом случае, как показывают полевые опыты,
просадка в пределах русла котлована получается равномерной,
«следствие чего можно допустить S(x, t) =S(b0, t).
Тогда для изменения области инфильтрации получим выраже-
ние
УТ= J t)*g—X[S(b0, (2.111)
S(bo, t)
Подставляя в формулу (2.106)
. .V ду (ж, t) . . дп (ж, 0 , ..
п di Ь У о di —
и учитывая уравнение (2.110), окончательно получим
{Ьо Vo(t)
О SI(b0, о
-Х(у0, t)-^-+XlS(bt, t)t] ° } -
dS{x. t) . Q(t) dH(x,t)_(}
dt ‘ bQ(t) dt ~
Полученное уравнение является обобщением уравнения про-
цесса увлажнения толщи просадочных грунтов (2.106).
2.13. Уравнение неразрывности просадочных
деформаций
Рассмотрим увлажнение толщи просадочного грунта достаточ-
ной мощности из котлована с произвольным очертанием попереч-
ного сечения. Как и раньше, будем полагать, что просадочные де-
формации появляются не с момента замачивания, а по истечении
некоторого времени t=to. За это время вода из котлована успева-
ет свободно просочиться на некоторую глубину, вызвав ослабле-
ние структурной и капиллярной связности грунта. Под действием
собственного веса замачиваемая толща в пределах некоторой глу-
бины h=h(x, t) уплотняется, повышается концентрация частиц
грунта и агрегатов частиц, которые в результате перемещения со-
средоточиваются в пределах меньшего объема. Дневная поверх-
ность грунта получает просадку на величину S=S(xJ t). Для общ-
ности задачи будем полагать, что в процессе просадки имеются
также суффозионные явления, приводящие к коренному изменению
структуры грунта. В результате этих явлений образуется предел
глубины h=h(x,t) области нарушенной структуры — зоны пора-
91
Рис. 2.8. К выводу урав-
нения неразрывности
просадочных деформа-
ций
жения. С течением времени эта область увеличивается, происхо-
дит постепенное понижение фильтрационной способности увлаж-
няемого грунта и при некотором значении t=T наступает стаби-
лизация просадочных деформаций. Для вывода интересующей нас
зависимости воспользуемся результатами описанных выше явле-
ний, не касаясь самих изменений и протекания их во времени.
Грунтовая среда состоит из природных пористых минерально-
дисперсных частиц, которые соединены между собой теми или
иными цементационными связями. Скелет
грунта представляет собой основную несу-
щую систему, обладающую значительной
по сравнению со связями жесткостью. Под
скелетом лессового грунта понимается со-
вокупность твердых частиц грунта, связ-
ной воды и кристаллов солей, располагаю-
щихся на поверхности порового простран-
ства в виде тонких слоев или дисперсно
распределенных в массе нерастворимого
материала в виде отдельных частиц. Рас-
сматриваемая деформация увлажняемого
грунта по своей природе имеет пластичес-
кий характер, так как вследствие повыше-
ния влажности прочностные параметры
грунта существенно . уменьшаются, что
приводит при уплотняющих напряжениях
от действия собственного веса к относи-
тельному смещению разделенных между
собой структурных элементов. Физические
причины, обусловливающие характер тех или иных видов де-
формаций грунтов, могут существовать в многообразном сочета-
нии, но во всех случаях деформации рассматриваемой грунтовой
среды, объем скелета грунта и нерастворимых при увлажнении
веществ на основе закона уплотнения должен остаться неиз-
менным.
Выделим в увлажняемой толще грунта вертикальную полосу
шириной настолько малой, что величины, связанные с Ней, можно
считать независящими от х (рис. 2.8). Пусть к моменту времени
в пределах глубины h=h(x, t) произошли деформация уплот-
нения грунта и изменение его структуры. Дневная поверхность
грунта получит просадку на величину S8i = S(x, t). Пористость
грунта естественно считать зависящей не только от времени t, но
и от глубины рассматриваемой толщи у. Предположим, что в рас-
сматриваемый момент времени увлажняющая вода имеет концент-
рацию твердых частиц a(t) и скорость проникания в грунт v(x, t).
Теперь рассмотрим, как изменяются все эти величины по про-
шествии малого промежутка времени Д/, т. е. к моменту
Просадки дневной поверхности грунта увеличатся на величину
92
f\S(x, t), уплотненная зона проникнет в глубину на величину
hh(x, t), коэффициент пористости на глубине у изменится на
ке(у, О, объем частиц, проникших в грунт, будет a(t)v(x,
Составим балансовое соотношение для частиц грунта, содержа-
щихся в рассматриваемой полосе. Объем частиц грунта в момент
времени t в столбиках высотой h(x, t) и &h(x, t) соответственно
равен
8+h S+h S+h+hh
Г &xdy _________f • C bidy _________ bxbt
J 0 ~ J l+« (У, 0 ’ J 1 + ~~ l-|-e0 ’
8 8 8+h
В момент времени f-f-Af эти объемы приобретают значения
S+h s+h+hh
Г dy. А ( dy
J 1+*(у» O+MiM) ’ J 1-Но+Му, *) ’
8+68 s+h
Из условия сохранения объема скелета грунта постоянным по-
лучим
•>Ь*+ S трст+т£г=
S
S+h S+h+Ah
С ____dy________। Г ____dy___
J 1+*(У» *)+Де(У, 0 ‘ J 1 + е04-Де(у, 0 ’
S+AS S+h
(2.113)
Как было отмечено выше, деформация в рассматриваемой сре-
де возможна также вследствие увеличения пористости грунта под
влиянием растворения и вымыва кристаллов солей. Обозначим
концентрацию растворимых и вымываемых фильтрацией веществ
в единичном объеме грунта через t), а их естественное значе-
ние— через по(</)- Тогда дополнительное изменение объема грунта
за промежуток времени Ы будет
S+h S+h+Ah
J Дят) (у, t)dy+ J ЛяЦоОл t + &t)dy =
S S+h
8+h+hh S+AS
= &r J tfc(y) dy + j %\(y, t)dy—
L s+h S
S+h S+h+Ah
— J М(У. t)dy— J t) (y, t^t-M)dy
8+&S S+h
где 0 =n(& Н"ДО— П(У» 0-
93
С учетом явления суффозии балансовое соотношение (2.113)
примет вид
S+Л 8+Л
a(t)v(x, /)Д«+ J j 14-е (»,.<)+Де (у, О +
8 S+ДЛ
S+Л+ДЛ 8+Д8 S+Л+ДЛ
+ $ 1+е. j&o, о + S ’Ку, t)dy+ $ По(у)<»у-
S+Л S S+h
S+h 8+h+Ah.
— J M(y, 0 dy— J t)(y, t+&t)dy. (2.114)
S+AS S+h
Представим первый интеграл в правой части последнего ра-
венства в виде
S+h s+h
[ ________dy__________ С dy г 1-I
J O + MlG 0 J ! + «(!/, О MlM) •
s+дя S+AS L1+l + e(y, t) J
Разлагая в подынтегральном выражении множитель в квадрат-
ной скобке в ряд Маклорена и ограничиваясь ввиду малости от-
делу, t)
ношения t -|- е(у /) первыми двумя членами этого разложения,
лолучим
S+h S+h S+h
( _________dy_________ C dy Г Де (у, t) ,
J Ц-е(у, О + Де(у, t) J 14-е (у, t) ) [14-е (у, t)]« У’
S+AS 8+Д8 S+AS
(2.115)
Поступая аналогично со вторым интегралом в правой части
равенства (2.114), будем иметь
8+Л+ДЛ S+Л+ДЛ
5 ! + «<,+Ле (У, О =ТЙ7 (1 + е0)« Дв^’ ^ЛУ' <2Л16>
S+h S+h
С учетом формул (2.115) и (2.116) балансовое соотношение
(2.114) примет вид
S+h S+h S+h
a(t)v(x, t)At+ J и-,*,, r) = J Н-eG/, t) — J (l+e<(y,.O),<iy—
8 8+Д8 8+Д8
S+Л+ДЛ S+AS S+Л+ДЛ
— (14! )8 J &e(y,t)dy+ J ri (y, t)dy+ J ^(yjdy-
S+h S S+h
S+h 8+h+Ah
— J А?)(У, t)dy— J т](У, t+&t)dy.
S+AS S+h
94
Применяя к интегралам
F+Л 8+88 S+h+bh 8+h+bh
5 1+X,O; S t)dy’ S "oto)dy, J T)(JZ, t + &t)dv
в 8 s+k 8+h
теорему о среднем значении, получим
S+Л
a(t)v(x, t)M+ 1+e (5+ei45i t) =— j -р^^Др-dj,-
8+88
8+h+8h 8+h
— (l+\.ji~ J ^to, t)dy- j bt4(y, t)dy+
8+h 8+88
+ Ло (8 + АЛ+Ч (5-f-O3A5, t) A5—t) (S-\~h-f- 04Ah, t-|-At) Ah,
где Оь 02, Оз, 04—(положительные числа, значения которых лежат
в интервале от нуля до единицы.
Разделив обе части последнего равенства на А/, перейдем к
пределу при А/—М). Принимая во внимание, что
e(S+04AS, t); Ъ(8 + Ь + е2М)-+ъ(8+ h);
Tl(5+03AS, 0; T)(S+h+04Ah, t),
будем иметь
8+h
a(f)p(x’ *) + l-|-e(S, t) = $ |l + eto, OP -'ft0 +
8
8+h
+ч.и+ч^+ч(5. 5 -45^*-
8
-n(S+h,
Учитывая, "что для любого момента времени т)(5+Л,/) —
=t)o(S-Hi), последнее выражение можно представить в виде
8+h
LTFe(5,o'“n( ’ 'J W Л "Г
+ ЙЛ(Х-) } ° (0р (^. *)•
Если принять во внимание, что
1 Му, *) . *1<>. О » Г_ (и п * 1
[!+«(,, <))« dt dt «L1'*’ ' 1+«(у, *)_Г
и обозначить
1+/(у, ц'—ЛСУ» 0 = Ч>(«, л).
95
окончательно получим следующее уравнение:
S+h
dS(x, t) _ 1 f аФ(ет T]) J a(t)v(x, t) /9147V
dt ~ <p(e, T]) J dt ау Ф(е, П) ’ (2Л1/)
s
Полученная зависимость связывает скорость просадки поверх-
ности грунта с изменением коэффициента пористости и концент-
рацией растворимых веществ по глубине и во времени и может
быть названа уравнением неразрывности просадочных деформа-
ций в лессовых грунтах.
Рассмотрим частные случаи. Пусть вода, используемая для
увлажнения толщи грунта, не содержит твердых фракций. Дефор-
мацию грунта, вызванную суффозией, примем незначительной по
сравнению с деформацией уплотнения. Тогда т] (yOt t) =a(t) =0,
и уравнение (2.117) примет вид
S+h
015 [1+е; dy. {2.118)
S
Таким образом, в этом случае скорость просадки дневной по-
верхности увлажненного грунта целиком определяется характером
изменения коэффициента пористости по глубине и во времени.
Среднее значение коэффициента пористости по глубине уплотнен-
ной зоны определится формулой
S+h
S е{у’ t)dy- (2119)
s
Если заменить в уравнении (2.118) функцию е(у, /) средним
ее значением по выражению (2.119), получим
dS(t) h(t) de (t) Q
di ' 1(i) dt
откуда dS (t)=-h (t) ^-^y .
Последняя формула, полученная из уравнения неразрывности
просадочных деформаций, представляет собой известную в меха-
нике грунтов зависимость между изменением коэффициента порис-
тости и абсолютной деформацией грунта.
2.14. Фронт смачивания при просадке
Полученное выше уравнение увлажнения толщи просадочных
грунтов (2.118) содержит функцию yo(t), определяющую глубину
проникания фильтрационной влаги в процессе просадки. Опреде-
ление этой функции, как будет показано далее, даже при некото-
96
рых упрощающих задачу предположениях, представляет большую
математическую трудность. При просадке инфильтрация влаги
происходит в грунтовой среде с переменной плоскостью. Основная
деформация лессового грунта в условиях природного напряжен-
ного состояния наблюдается в нижних горизонтах увлажняемой
толщи. Верхние же слои грунта деформируются вследствие про-
садки нижележащих слоев. В верхних горизонтах наблюдается
суффозионные явления, приводящие к коренному изменению
структуры увлажняемого грунта. В зоне, расположенной непосред-
ственно под каналом, происходит послепросадочная деформация
(деформация третьего вида).
А. Л. Рубинштейн зону послепросадочной деформации называ-
ет первой зоной, зону основной деформации грунта (просадки) —
второй зоной. С течением времени граница между указанными
двумя зонами постепенно передвигается вниз. Число зон под ка-
налом, характеризующих различные деформации грунта при
увлажнении, по А. Л. Рубинштейну, не исчерпывается указанными
выше зонами: под второй следует третья, а за ней — четвертая.
Для изучения динамики процессов просадки нас будут инте-
ресовать закономерности продвижения влаги только в двух верх-
них зонах, так как их деформации являются следствием взаимо-
действия инфильтрации влаги с увлажненным грунтом. Деформа-
ция грунта в третьей и четвертой зонах относятся к обычному виду
осадки под действием уплотняющего воздействия вышележащих
слоев грунта и не связаны с продвижением влаги непосредственно
в этих зонах. При глубоком залегании грунтовых вод инфильтра-
ционная влага может даже не достигнуть третьей и четвертой зон
в течение всей продолжительности просадочного процесса.
Таким образом, рассматриваемый вопрос приближенно можно
свести к задаче неустановившейся фильтрации в двухслойном де-
формируемом грунте с подвижной границей между слоями.
Есть основания полагать, что переход через границу указан-
ных слоев, которые, по существу, отличаются лишь природой де-
формации грунта, осуществляется непрерывно. Другими словами,
в пределах уплотняющей зоны — зоны поражения охватывающей
оба слоя — изменение характеристики грунта по глубине и во вре-
мени происходит непрерывно. Тогда двухслойную среду можно
условно заменить одним слоем с переменной во времени глуби-
ной h(t), характеризующей в полученных выше уравнениях глуби-
ну зоны поражения. Нижней границей этой зоны является непо-
врежденный просадкой грунт с естественными характеристиками,
простирающийся до глубины водоупора или до непросадочного
подстилающего слоя грунта. Характеристики грунта в зоне пора-
жения (коэффициент фильтрации и пористость) с течением време-
ни изменяются. Имеющиеся экспериментальные данные освещают
характер изменения коэффициента фильтрации и пористости толь-
ко после стабилизации просадочных деформаций. Характер же
97
функций ^ф=Лф(х, у, t)\ п=п(х, у, t) в процессе просадки пока еще
не установлен. В первом приближении примем, что величины &ф и
п характеризуются некоторыми осредненными значениями.
Рассмотрим случай одномерной фильтрации. Пусть производит*
ся увлажнение толщи просадочного грунта значительной мощно-
Рис. 2.9. К расчету
франта смачивания при
просадке
сти из котлована достаточной ширины по-
перечного сечения при постоянном напоре
воды h—H (рис. 2.9). Примем, что S(/o)e
=Л=(/О)=0 в момент времени
К моменту tQ<d<.T вода, просачиваясь из
котлована на глубину ^о—вызывает
просадку дневной поверхности грунта на
величину S=S(t). Соответствующий ей
уплотненный слой толщиной h=h(t) имеет
осредненные значения пористости и ко-
эффициента фильтрации.
Условие неразрывности фильтрационно-
го потока для рассматриваемого случая
примет вид диУ1(ду) =0. Отсюда вытекает,
что скорости фильтрации v=hvy для обоих
слоев равны и зависят только от времени.
Следовательно, функция потенциала ско-
ростей, содержащая время как параметр,
должна удовлетворять уравнению Лапла-
са по у, т. е.
ф(!/) = И)+6(0-
Соответственно этому для верхнего уплотненного слоя
Ф1 (У) — Уи (0+^i (0»
для нижнего неуплотненного слоя
ф2(!/) = !Н0 + М0-
На границе слоев y=S(t)+h(t) из условия непрерывности из-
менения давления в потоке имеем
[S(0+fe(Q]p(0+M0 = [3 (0+* (01^(0+МО (2.120)
*Ф1 кФ»
На поверхности грунта в момент времени t0^t^T
Ф1(!/) = р(0 5 (0 + &i(0= -Аф1[Я-5(0Ь (2.121)
а на границе, куда успела просочиться вода к этому моменту:
Ф2 (У) = » (0 у0 (0+b2 (t) = кф, [hk + у0 (0 - S (0], (2.122)
где hK — высота капиллярного поднятия влаги.
98
Исключая из соотношений (2.120)...(2.122) функции bi(t) и
b2(t), получим уравнение относительно глубины промачивания:
дУр ^ф2_________Уо + Я hK_______________
dt ~ па Уо-5(О + Л(О(Лфа/Аф1 -1) *
(2.123)
Для t^t0 из условия задачи S(t0)=h(t0) =0 и &ф1=&ф2.
При этом уравнение (2.123) переходит в уравнение П. Я. Полу-
бариновой-Кочиной:
dyo __ УоЧ~^Ч~^к
dt п2 у0
описывающее фильтрацию в однослойном грунте.
После стабилизации просадочных деформаций, т. е. при t^T,
S=S(T) = const и h=h(T)—const, уравнение (2.123) переходит в
уравнение П. Я. Полубариновой-Кочиной, описывающее фильтра-
цию в двухслойном грунте.
В уравнении (2.123) произведем замену переменной t = ~р— т,
Ч>2
тогда
dy0 _ кФ2 dy0
dt n2 dx
и, следовательно,
dyp Уо + ^ + ^к
После еще одной замены #о(т) =Щт)—Н—hK
получим
du и
Обозначив
приведем последнее выражение к уравнению Абеля второго рода:
dU _ и
dx *
99
После подстановки С/+^(т) = 1/[<р(т)] последнее уравнение
переходит в уравнение Абеля первого рода:
<р' (т) - W (т) <рЗ (Т) + ц + w (т)1 ф2 (Т) == 0. (2.124)
Примем ф(т)=т](£),
где J (1 + W' (т)] dr. (2.125)
Тогда
ф' (0 = -|-= -И + W' (т)] Т)' ©,
и уравнение (2.124) получит вид
п'©+1-^чз©-ч2©=о. (2-126)
Далее подстановка
=яг <2Л27)
приводит выражение (2.126) к уравнению
t« (,\ _ ИЧт)___ (2.128)
’ г>[1 + И"(2)) ’
откуда
Ч © = Ф (т) = « (т) dz ’
2) г>(1+и"(тЗГ+
и (т) = —1-г = __w (т\ - _z ( ,----zC—W (т);
<р(т) ZJ 2z [1 + w, (г)| ' h
Так как то
W’ (Т) = dtF w> / As. t) .
11 dt dt Лф2 ( na /
Далее
W * ) = h (t) (I) - S (0 - H - hKt
откуда
100
Окончательно для фронта смачивания при просадке получим
следующее решение:
г 1)—МО-я-Лх .
~Z
-zC-h(t) (-jjL-1 ) + S(t). (2.129)
Для определения функции yn(t) в каждом частном случае не-
обходимо иметь связь между z и t. Определяя из уравнения
(2.128) функцию £ = <pi(z), а из выражения (2.125) £ = Фг
искомую связь получим из равенства
Как указывалось выше, при полученное решение для за-
дачи неустановившейся фильтрации в однослойном грунте долж-
но совпадать с известным решением П. Я. Полубариновой-Кочи-
ной, а при t^T решением той же задачи в двухслойном грунте:
Г* /?Ф2 И "I in /14-—1 = —
я+Лк L1 иф1 ) H+hK Jin Г 1Я+Лк+^ / "а(Я+М*
(2.130)
Рассмотрим первый случай. При из условия задачи
S(t0)=h(tQ) =0 и /гфх = ^фа. Тогда выражение (2.129) примет вид:
»о(О = г J Jl±!*dz-zC=-zC-H-hK. (2.131)
Из соотношения (2.125) получим
g=_pT=—k-^-t, (2.132)
а из уравнения (2.128), которое для рассматриваемого случая за-
пишется в виде £,,==—(H+hK)lz2, имеем
Г = [(Я+М/2]4-С,
отсюда
Е = (Я + hK) In z + zC+ (\. (2.133)
Приравнивая правые части зависимостей (2.132) и (2.133) на-
ходим
-^-г=-(Я+лн) lnz-zC-G-
101
С другой стороны, в выражении (2.131) z= (#оЧ-ЯЧ-Лк)/(—С),
тогда
t = - (Н4-hK) In y°+/f+fe« +%+я+ hK-Ct
или
1П У»+Я+Аи + 1 -= „ля+л 1 • (2-134)
Я + "к---------------------------------------— С Я + Лк "к)
Так как при /=0 (следовательно, и g=—(k$%t)ln=Q) #о=0,
а г= (Я4-Лк)/(—С), то из зависимости С^(Н+ЬК) = 1—1п(Я+
4-Лк)/(—С) и уравнение (2.134) примет вид
—Л»____In /1 + »» ) = W
Я+Ак * I Я+Лк I n,fH+hi '
Полученное выражение полностью совпадает с известным ре-
шением П. Я. Полубариновой-Кочиной (1952).
Теперь рассмотрим второй случай. При t=T имеем S(T) =
=const=S; h(T) = const=h; Выражение (2,129) будет
иметь вид y^—zC—H—h^ откуда z= (у0Ч-ЯЧ-Лк)/’(—Q-
С другой стороны, из соотношений (2.125) и (2.128)
-^-=Гл (4^— 1)-5-Я-Лк] Inz-zC-C,,
n2 L \ Лф1 / J
отсюда с учетом выражения для г получим
¥’ = [й (^г—1) — — Ак] 1п ±!±17^+и>+Я+Лк_С‘-
Из условия рассмотренной П. Я. Полубариновой-Кочиной за-
дачи yo=h при £=0. Поэтому
с,= у+лк-[л (-Jj—1) -£-Я-Лк] In <>+"±Ак.
Окончательно получим
Vo~h___Г л *Ф1 ' 1 Уо+Я+^к ______ кф**
Я-f-^K L Я4-Лк J ЯЧ-АкЧ-Л ^(ЯЧ-Лк) ’
совпадающее с решением (2.130).
При увлажнении грунта с постоянным во времени расходом
воды q, приходящимся на единицу площади, решение рассматри-
102
паемой задачи получено в виде
».(0=Л----------------------г Ф> t ---------?-
— (-ТГ3-—i)h(t)+S(t)-zC. (2.135)
\ «Ф1 '
В частном случае при t<to из условия задачи S(t)=h(t)=O и
&Ф1 =ЛФ> последнее выражение переходит в известное решение
П. Я. Полубариновой-Кочиной для аналогичной задачи фильтра-
ции в однослойном грунте.
2.15. Распространение влаги при просадке
Рассмотрим случай, когда вследствие уплотняемости замачи-
ваемого грунта коэффициент его влагопроницаемости с течением
времени уменьшается. При одномерной задаче процесс увлажне-
ния может быть описан уравнением теплопроводности с перемен-
ным коэффициентом:
-^-=0(t)-^-. (2.136)
где 0(f)— осредненное по глубине и изменяющееся во времени
значение коэффициента влагопроводности увлажняемой толщи
грунта.
Решим уравнение (2.136) при начальном W(yt 0) =ИГ0 и гра-
ничном №(0, 0 =W8at условиях. Следуя Л. С. Лейбензону, вво-
дим новую переменную:
t
J 0(0 dt. (2.137)
о
Тогда
и уравнение (2.136) будет иметь вид
dw __ d'w
дч ду1
Начальное и граничное условия задачи останутся прежними,
так как при f=0 переменная т также равна нулю.
Решение сформулированной задачи
W(y, t) = W9+(W,at-We) (2.138)
103
где
V
2W
ф(—7=-) = -т=- ( e-p’dp.
' 2 /т I /л J *
До сих пор мы не делали каких-либо предположений в отноше-
нии функции Q(t). Рассмотрим случай, когда осредненное по глу-
бине значение влагопроводности грунта с течением времени умень-
шается по экспоненциальному закону:
О (t) = 0К + (0О — 0к) exp (— at),
где а — постоянная, характеризующая темп уменьшения коэффи-
циента влагопроводности грунта в процессе просадки.
Из соотношения (2.137) имеем
т = 0Kt + -е° д6*1 [о — exp (— at)].
Согласно последнему выражению, в решении (2.138) т долж-
но быть выражено через t. Расход просачивающейся в грунт воды
в единицу времени
оо
<7(0 = ^-5 W(y,t)dy%.
О
Так как
-L^w (у, t) dy = T‘/2;
о *
= 0к + (©о — 0к) ехР ( — “0.
то
q (t) = 6к+(0.-ек) exp (-at) '
0к* + ia-“ex₽ <af)i
Выясним закономерности распространения влаги в процессе
просадки прн следующих допущениях. Мощность увлажняемой
толщи грунта бесконечна. Следствием просадки является образо-
вание в увлажняемой толще двух слоев грунта, верхний из кото-
рых— деформирующийся во времени, а нижний — подстилающий,
природного сложения, со смещающейся во времени границей меж-
ду ними.
Коэффициент влагопроводности в пределах верхней зоны (зоны
поражения) принимаем непрерывно изменяющимся как по глуби-
не, так и во времени. Для изменения коэффициента влагопровод-
104
мости просадочного грунта во времени применяем более обобщен-
ную формулу, достаточно удовлетворительно согласующуюся с ре-
зультатами натурных опытов:
0(O = eo€xp(at-^2), (2.139)
где
Формула (2.139) определяет изменение во времени осредненно-
14) в пределах верхнего деформируемого слоя грунта значения ко-
эффициента влагопроводности, т. е.
5(0+Л(П
ёо^=-Д7Г S 6^.0^.
S(t)
Действительная картина изменения коэффициента влагопровод-
пости грунта как во времени, так и по глубине, очевидно, должна
определяться из решения следующего интегрального уравнения:
S(t)+h(t)
J 0(У, t)dy=h(t)%(t).
S(t)
Итак, поставленную задачу математически можно сформулиро-
нать следующим образом:
при G<y<h(t)
dWi п . /о 4/ПЧ
-a^=eo(0-jj5-; (2.140)
при h(t)<y<°o
—дГ~ (2.141)
(0, t) = Waat = const; W2 (y, 0) = Wo— const;
при
^ = [Л(«), И = ИМН0» *] = И^ = const, (2.142)
где Wsi—постоянное значение влажности грунта на границе двух
слоев, при которой возникает просадка (начальная влажность).
Решение поставленной задачи представим в таком виде:
W1(j/,T)=A + B1erf(T^=.);
105
где Д|, Аг, Bi, Вг — пока неопределенные постоянные.
Из условия (2.140) Условие (2.141) дает
A2+Bi=W0.
Из условия (2.142) имеем
*+" " - в>+в' ’л ЬиН
Последние условия должны удовлетворяться при любых произ-
вольно выбранных значениях т, t, а это возможно лишь при вы*
полнении соотношений
= const = а; hy=- = const = 0.
Vt Vt
Постоянные аир связаны между собой следующим образом:
а =, f
Р * J 6 (t) dt * (0 *
Из полученных двух уравнений имеем
о _ w9i-waat . я w„-w0
‘= -(1) ’ 2“ ег1(^)-! •
Распределение влажности в пределах верхнего деформируемо-
го слоя определится выражением
^(y,x) = ^o,+^^-erf(^).
(2.143)
Во втором, не подверженном просадке, слое для раопределения
влажности имеем решение
7Д-, ["•(iw)-*]- <2Ш>
1'2 /V
Рассматриваемая задача по своей постановке аналогична за-
даче о температурном поле в оттаивающем грунте. Впервые в
простейшем виде она была решена Ляме и Клапейроном, рассмат-
ривающими затвердевание расплавленного земного шара. В свя-
зи с исследованием замерзания Полярного моря И. Стефан (1889)
получил решение в более строгой постановке. Л. €. Лейбензоном
(1939) предложены приближенные методы для решения задачи
И. Стефана.
106
2.16. Приближенный метод решения нестационарных
задач увлажнения толщи просадочных грунтов
Рассмотрим задачу о непрерывном замачивании из длинного
узкого котлована однородной толщи просадочного грунта с посто-
янной по глубине естественной влажностью. В этих условиях, оче-
видно, фильтрация и просадка могут быть рассмотрены двухмер-
ными. Пусть в результате наблюдения в полевых условиях за из-
менением потери воды на фильтрацию из котлована установлены
значения этой величины Q(tj), отнесенные к длине котлована,
в различные периоды времени замачивания. К произвольному мо-
менту времени tj в процессе просадки вода из котлована просо-
чится на некоторую глубину y(tj) и в вертикальной плоскости
займет площадь A(tj). При этом линия равных влажностей (изо-
линия) определится функцией W(x, у, tj) или y(W, х, tj). Количе-
ство воды в рассматриваемой области определится следующим вы-
ражением:
q = W (t) A (t),
где
= W(x,y)dA.
A(t)
Эту задачу можно сформулировать следующим образом.
По экспериментально найденным значениям фильтрационной по-
тери требуется построить изолинии влажности в просадочном
грунте в процессе его замачив-ания. Особенность рассматриваемой
задачи заключается в том, что значение и характер функции, под-
лежащей определению, не устанавливаются непосредственно из
опыта. Из наблюдений могут быть определены лишь некоторые
значения фильтрационной потери, являющейся функцией неизве-
стной влажности грунта. Таким образом, искомую функцию
W(x, у, tj) при заданных граничных условиях мы заменяем при-
ближенным аналитическим выражением W(x, у, tj) и подбираем
его так, чтобы оно наилучшим образом аппроксимировало эту
функцию, т. е. чтобы уклонение от истинного значения функции
было наименьшим. Аппроксимирующей функции влажности
№(х, У, tj), очевидно, будет соответствовать приближенное значе-
ние потери воды на инфильтрацию, определяемое выражением
<?(*>) = $$ W (х, у, t})dA.
A(t)
При решении поставленной задачи возникают вопросы, связан-
ные с выбором формы аппроксимирующей функции и способа ее
приближения, от которых зависит быстрота процесса сходимости
результата. Наиболее удобной формой выражения аппроксимиру-
ют
ющей функции является представление функции влажности в ви-
де ряда
оо
ту (х, у, tj) = 2 (*, у» О»
t=i
i= 1, 2, 3, ..., л,
где а,— неопределенные постоянные параметры, варьируемые в со-
ответствии с принятым способом приближения так, чтобы весь ряд
в целом наилучшим образом аппроксимировал функцию распрост-
ранения влаги в грунте; <pt (х, у, t) — «подходящие» функции, наи-
лучшим образом изображающие в совокупности функцию распро-
странения влажности.
Что касается способа приближения, то для данной задачи наи-
более эффективным оказался метод «наименьших квадратов».
Итак, поставленную задачу математически можно сформулиро-
вать в виде
фп = 2 [<2 (*/) — $$ 2 aiVt(x^ У< t)<14]2 = min. (2.145)
;-t Л(1) 4=1
Определение неизвестных параметров, согласно условию
(2.145), сводится к решению системы линейных уравнений:
-^2-=0; -^-=0;
даг да2 дап
Применимость изложенного метода к решению практических
задач покажем решением одномерных задач увлажнения.
Рассмотрим задачу о непрерывном замачивании однородной
толщи просадочного грунта с постоянной по глубине влажностью
№0 из котлована, имеющего размеры в плане не менее мощности
увлажняемого грунта. В этих условиях задачи фильтрация и про-
садка могут быть рассмотрены как одномерные. Потери воды на
фильтрацию из котлована в различные моменты времени замачи-
вания, отнесенные к его площади, обозначим через Q(fy) (рис.
2.10). К произвольному моменту времени tj в процессе просадки
вода из котлована просочится на глубину yo(tj) и образует про-
филь влажности, определяемый функцией W(y, tj) или y(W, tj)
(рис. 2.10). Аппроксимирующей функции влажности y(W, tj), оче-
видно, будет соответствовать приближенное значение потери воды
на инфильтрацию, определяемое выражением
<?(t) = J y(W,t)dW.
о
108
Тогда для одномерного увлажнения задача математически
[•формулируется в виде
т W8at~W<> п
Фп=2[<?(*,)- $ 2 aIVi(W',*,)<W]2 = min. (2.146)
5=1 0 1=1
Аппроксимирующую функцию влажности примем в виде
у (1У, t) = 2 (W, t) = 2 [1 - ( й>,о7-^)2Т *‘/2- <2Л47)
1=1 1=1 ва 0
Функция (2.147) удовлетворяет граничным условиям задачи.
В самом деле, при y=Q имеем W=W8at—т. е. на поверхности
грунта приращение влажности равно разности между полной вла-
Рис. 2.10. Зависимости количества профильтровавшейся
воды от времени (а) и изменения влажности от глуби-
ны (б)
гоемкостью и естественной влажностью грунта. На фронте смачи-
вания приращение влажности грунта, очевидно, должно
равняться нулю, т. е. при i/(0, t)=y0(t) мы должны иметь №=0.
Из выражения (2.147) имеем
Уо (0 = М1/2 4- a2t + a3t3/2 + ... + апГ/2 + ... (2.148)
Разложение (2.148) полностью совпадает с решением (2.71)
II. Я. Полубариновой-Кочиной, полученным ею для фронта смачи-
вания в случае одномерного неустановившегося сплошного фильт-
рационного потока. Такая же закономерность для фронта смачи-
вания [см. формулу (2.44)] получена Дж. Филиппом (1957).
109
Подставляя выражение (2.147) в условие (2.146), получим
т Wsat-Wo п
J 2 •[’- hdW] «"""} =
3 =1 О 1=1
= min.
Обозначая
Wsol-Wo
5 [*- (<2Jie>
и
будем иметь
ф„ = S К? (Ъ) - + а2-М> + • • • + anJntj'2)? = min- (2-150)
j=l
Введя обозначение 0f/2=x/m, приравниваем нулю производные
от суммы (2.150) по каждому из параметров а». В результате
получим систему п линейных уравнений относительно позволя-
ющих найти все искомые параметры разложения в формуле
(2.147):
2 1С? (^) — 1ТЛ + а2^ 2^12 + • • • + flnAiT/n)l ^jnJn ~ 0*
j=l
Введем обозначения
Aln = Jn 3 W В, = S Q(tj) (2.151)
и получим следующую систему линейных алегебраических урав-
нений:
-41101+ ^i2fl2 + ^1з°з+ • • • +-41пап = Вр
^21ai + -4г2а2 + -4гЗаЗ + • • • + -^2пап = ^2» /п л
-4nifli + -4п2а2 + -4пзаз + • • • + Аппап = Вп.
Определив постоянные параметры а,- из системы (2.152), по
выражению (2.147) устанавливаем окончательную эпюру распро-
странения влаги по глубине и времени. Функция, аппроксимирую-
щая опытные значения фильтрационной потери, выразится через
параметры а/ в виде
weat-w0 п
ОТ)- S
= (И-d..- И'о) (4 -L a2t + 1|а3«з/2+ ...) . (2.153)
\ v 1U оо /
110
При решении практических задач иногда может возникнуть не-
обходимость в представлении функции влажности через у и t:
W = W(yt t).
Покажем возможность построения такого решения. Удельная
потеря на фильтрацию в этом случае будет связана с функцией
влажности зависимостью
<2(b)=$ W(y,tJ)dy.
о
Для определения неизвестных параметров а/ можно написать
m VoCtj)
Фп S [<2 («/) - J W (у, tj} dj,]2 = min, (2.154)
>=1 о
где т — число выполненных в опыте измерений.
Аппроксимирующая функция
w (у, t) = W,ot - (W,at - Wo) S A (y/y„)k
k=i
должна удовлетворять следующим очевидным условиям:
W (0, 0 = Wtat; W [у0 (0, Л = Wo.
Первое условие удовлетворяется тождественно, а второе дает
И'о = И',а|-(И'.а,-И'о) S А.
А=1
откуда 214^= 1.
Л-1
Известно, что
(л+*1)| =1.
тогда Ак = •
Функция влажности окончательно примет вид
W(y, t) = Wral-{W.at-W0)^lj^r(^y. (2.155)
Подставляя зависимость (2.155) в условие (2.154) и введя
обозначение
та-ттт-
h—l
111
получим
Ф„=2 [<?(«>)-^!/o(*;)l2=min- <2Л56)
5=1
Подставляя ряд (2.148) в условие (2.156), находим
Ф„ = S К? («у) - Mh (а1г'/2+ «Л + • • • + a„t"/2)l = min. (2.157)
5=1
Удовлетворение условия (2.157) приводит к системе линейных
уравнений -относительно постоянных
5=1
(2.158)
Решая полученную систему (2.158), устанавливаем значения
постоянных aif а следовательно, н функции (2.148), определяющей
фронт смачивания при инфильтрации. Функция влажности по из-
вестным фронтам смачивания определится зависимостью (2.155).
Изложенный выше метод можно применять и для случая
увлажнения неоднородных (многослойных) грунтов. Рассмотрим
непрерывное замачивание толщи грунта, сложенной из k однород-
ных слоев. Аппроксимирующая функция влажности для рассмат-
риваемой толщины грунта
y(W, t)= S (2.159)
где k=\, 2, 3... — номер слоя грунта.
Начальные и граничные условия задачи примем следующие:
на повер»хности толщи грунта у = 0 влажность равна полному во-
донасыщению, т. е. W=W3at—W0; на фронте смачивания y=y0(t) =
приращение влажности Д№=0.
Если известна продолжительность процесса инфильтрации в
каждом слое грунта, т. е. для первого слоя грунта с фильт-
рационной потерей Q(7a), для второго слоя t=tficQ(tfi) и для fc-го
слоя / = /ncQ(7n), то, согласно выражениям (2.159) и (2.155),
Фк =2, 1*2 (0)-W'lity2 + aWI2tj +...+ аГ1п^12)]2 = min.
Определив минимумы функций
Ф1 К1’, ...,ОЙ>|;
ф, К". а» В • •Фк [а<А), а<*\ ..
112
получим ^-систему, в которой каждый слой будет иметь систему
уравнений с п неизвестными параметрами. Введем прежние обо-
значения:
а. 3.....П а ,3. ...» Ч
= 2 = 2 Q (М */»
7=1 1=1
где
T17=tJ/2; i=l, 2,
1,2, .. ., а
7 = 1, 2, .. ...р
1, 2, .. ., Т].
Для первого слоя грунта получим следующую систему для оп-
ределения неизвестных параметров аг.
Л‘йа<2°+ • • • +Д?Х1) = ^>;
для второго слоя
+ ... + А%№> = В?;
ДЛЯ &-ГО слоя
АГМ" + А®<№ +...+ = В<?>.
Решение каждой полученной системы дает значение неизвест-
ных параметров а» для каждого слоя грунта. Подставляя получен-
ные значения в уравнение (2.159}, получим закономерность рас-
пространения влаги в каждом слое увлажняемой толщи грунта.
Результаты измерений опытных данных всегда выражаются
дискретными множествами значений Q(tj), расположение которых
и координатной системе дает сложную зависимость. Согласно тео-
реме Вейерштрассе, к любой непрерывной функции можно на ко-
нечном интервале сколь угодно приблизиться параболами л-го по-
рядка. Теоретически предполагается, что через любые точки с ко-
ординатами Qj и tj всегда можно провести кривую, аналитически
выражаемую полиномом степени п. Однако практически подобный
путь не всегда приводит к цели, так как случайное расположение
точек на графике является отображением статистического распре-
деления результатов опыта. Опираясь же на предлагаемые методы
приближения, можно сгладить незакономерное расположение то-
чек и наилучшим образом выразить общий характер зависимости
Qj от tj.
Принцип используемого метода приближения лежит в основе
квадратичных приближений. Предположим, что требуется найти
полином, если число наблюдений (j=m) равно установленной сте-
пени полинома (i = m). Аппроксимирующий полином, как прави-
ло, вычисляется по интерполяционному полиному Лагранжа, что,
ИЗ
естественно, связано с очень тяжелыми выкладками и далеко не
всегда обеспечивает хорошее приближение функции интерполяци*
онным полиномом. Для .получения полинома меньшей степени, чем
число наблюдений, использованный нами метод квадратичного
приближения дает хорошие результаты.
Рассмотрим возможность уточнения построенного приближе-
ния. При определении коэффициента а,- из условия (2.146) поли-
ном (2.147) удовлетворяется не всегда точно и поэтому имеем,
Wsat-^
= J у (РУ, tj) dW,
о
где Ф, — отклонение измеренных величин Q(tj) от вычисленных
значений J y(W, tj)dW.
Среднее квадратичное отклонение определится выражением
Г к
о
Для оценки ошибки приближения (грубые или наилучшие)
можно вести сумму квадратов отклонений а. Очевидно, если най-
денные неизвестные параметры а/ определены неточно, то
m
a= S Ф*.
Среднее значение суммы квадратов отклонений
с=£=4зф’- <2Л6°)
5=1
При этом степень многочлена повышается до тех пор, пока от-
ношение (2.160) не становится близким к нулю.
Сущность изложенного метода продемонстрируем решением
характерного численного примера
Ц Пример 2.1. Рассмотрим полевые опыты, проведенные Е. Н. Сквалецким
в Гарауте на характерных лессовых грунтах юго-запада Таджикистана. Увлаж-
нение толщи грунта производилось из котлована размером в плане 54X24 м
и течение 70 сут. Физическая характеристика грунтов следующая: природная
влажность до глубины 14 м—3%, до глубины 21 м—10%; пористость с по-
верхности грунта до глубины 21 м — 52%, а с глубины 21 м —42%; удельный
вес сухого грунта 12,5... 15,3 кН/м3; максимальная молекулярная влагоем-
кость 16... 18%.
Мощность толщи -просадочных лессов составляет 28 м. Столб воды в котло-
ване при увлажнении поддерживался постоянным (0,8 м). Просадка началась
через сутки после подачи воды, и общая величина ее составила 69 см. Анализ
данных влажности показал, что просадка началась при влажности, близкой
114
Таблица 2.1
Число изме- рений tf. сут Q«y), м Число изме- рений tj, сут Q(/p, m
1 1 0,3 5 7 1,47
2 2 0,7 6 9 1,72
3 5 1,06 7 14 1,8
4 6 1,32 8 22 2,6
к значению максимальной молекулярной влагоемкости грунта. Полная влагоем-
кость грунта №вв«=0,4, а естественная влажность (средняя по глубине) Wo=
—0,05. Результаты подсчета замеренных в опыте удельных фильтрационных
потерь сведены в табл. 2.1.
Решим задачу, ограничиваясь тремя членами ряда (2.147). Число замерен-
ных в опытах фильтрационных расходов равно 8. Тогда л=3 (i=l, 2, 3); т=3
(/=1. 2, .... 8).
Согласно зависимости (2.149), имеем:
Л=4 ("'«at - "'о) = 0.233; /,=("'.at - И'о) = 0,187;
16
^=-35-(^ва*-РУ0) = °,16.
Постоянные Ац и Bi согласно выражениям (2.151), имеют такие значения*
8
^11=^1 S Л (*11*11+ *21*124~ ••-4“*81*18) =
;=1
= 0,233 (*!-+-1а+ ... + *8) = 0,233 (1+ 2+5+64-7+9+14+ 22) = 15,4;
8
Аз = А S ТЛ*2 = Л (*12*21 4~ *22*22 *4* • • • 4“*82*2в) =
= 0,187 (t?+^+ ... + ф = 163,52;
8
Аз = ^3 2 *>3*3j — А (*13*314- *23*324“ • • • 4“ *83*3в) =
>=1
= 0,16 (*?+ti+ ... + tg) = 2370,72;
8
^12 = -G 2 ТЛ*Л — А (*12*11 + *22*21 + • • • 4" *82*81) “
3=1
= 0,187 (r^+1|/2+ ... + #2) = 43,064;
8
А1=А 2 *J1*2> = А (*Ц*214“ *21*22“!“ 4~*81*28)==
= 0,233 g!/2+ 4/24- • • • 4- tj/2) == 53,83;
8
Аз ~ A 2 */3*>l = A (*13*114- *33*214- • • • 4“ *83*81) =
3=i
= 0,16 (t?+ fg+ ... +«») = 140,2;
115
8
Aji=Il 2 ТЛТ7»=^1 (Т11Т18+ТЯ1Тм+ • • - + T81T83) —
>=1
= 0,233 (*?+ «5+ ... + tf) = 204,4;
8
Аю—19 2 Tj3T/a = ^8 (TisTi«+Ti3Tii+ •• •4-'t88Tea) =
>1
= 0,16 (1У*+ |‘/S+ ... + 4/«)=550;
8
An=I9 2 ТЛТ?3= ^з(Т1аТ1з+ТМТ8з+ •••+Т82Т8з) =
>=1
= 0,187 «;/2+ • -. + t$/a) = 641,66;
8
Bj= 2 Q (0) тл=^ Ui) tm+ • • -+C M T8i=
1
=q (G) <;'•+<? (<») *\l2+ •••+<*«») «;/*=o,3.ii/«+o,7-2,/>+
4-1,06-5,/*+1,32-в1/>+1,47-71/,+1,72-91/*+1,8-141/2+ 2,6.221/, = 34,9;
8
Ba= 2 С(*;)ТЛ=С(*1)Т124~С(*я)Т2з+ •••+CU8)T83 =
= Q (ti) «1+ <?a (*a) M-.. • + Q a8) h= 123,1;
8
B9= 2 Q (0) = C Tia+^ (Ч) тзз+ • • • +(? (*e) T88==
j=l
=Q (h) <J/2+Q (ti) t^+...+Q (t,) ?,'• = 468,1.
Подставляя вычисленные значения постоянных Ац и Вц в систему (2.152),
относительно неизвестных параметров аь а2, а3, получим следующую систему
уравнений:
15,4^4- 43,064аа+140,2аэ = 34,9;
53,83ах+163,52^4- 550аа = 123,1;
204,4дх 4- 641,660,4- 2370,72аа = 468,1.
Решая последнюю систему, имеем: Oi=2; а2=0,07; а3=—0,0003.
Окончательно получим
t(w, 0=2[i_(-srJLlir)2]1'‘ f+0.07[1 -()212
L \ vvaat—Wq / J L \ Wgat — Wo / J
-0,0003 [1_(—а^_Жо)2]3^. (2.161)
Изменение удельной фильтрационной потери во времени
weot-w0
^(0= J V(W, f)dlT=(ir8at-iro)(l,33f1/a4-0,03t-0,00013i3/2). (2.162)
о
Фронт смачивания согласно ряду (2.148)
у о (t) 2?/а 4- 0,07t—0,0003t8/». (2.163)
116
Рис. 2.11. Кривые изменения профиля
влажности по глубине и во времени, по-
строенные по двум (-----------) и по трем
(-------) членам ряда (2.161)
о
5
10
15
20
Рис. 2.12. Кривые изменения фронта смачива-
ния во времени, шостроенные по двум
(-------) и по трем (---------) членам ряда
(2.163)
Легко заметить, что при малых и больших значениях времени некоторые
члены в формулах (2.161) ... (2.163) становятся пренебережимо малыми по
сравнению с другими. Поэтому в практических расчетах достаточно ограни-
читься двумя членами в разложении (2.147). Тогда расчетные формулы при-
мут вид:
Q (0=(И',о1-И'<1) (аг1) ; (2-165)
Уо (<)=«i*1/a+<4*- (2 166)
При-малых значениях /, когда движением влаги в основном управляют ад-
сорбционные силы, доминирующее значение имеют первые члены в формулах
(2.164) ... (2.166). По мере увеличения значений капиллярных и гравитационных
сил, влияние вторых членов в формулах (2.164) ... (2.166) становится ощутимым
(рис. 2.11 и 2.12).
Как видно из рис. 2.11, влажность грунта в пределах зоны распространения
инфильтрационного потока непостоянна по глубине и во времени. Степень за-
полнения пор водой убывает в направлении движения инфильтрационного пото-
ка. Влияние третьего члена в формулах (2.161) и (2.163) сказывается, начиная
с /="5 сут. При этом ограничение двумя членами в выражении (2.163) дает на
глубине фронта смачивания погрешность 2%. Наибольшая погрешность при
определении фронта смачивания (4%) достигается при /=22 сут.
Вычисление показывает, что на величину фильтрационной потеря существен-
ное влияние оказывает первый член в формуле (2Л65). Второй член начинает
оказывать влияние, начиная с /=5 сут. При этом первый член дает погрешность
1.7%, с учетом же второго члена погрешность составляет 4,24%.
Глава 3
ЗАКОНОМЕРНОСТИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ЛЕССОВЫХ ГРУНТОВ
В УСЛОВИЯХ ПРИРОДНОГО НАПРЯЖЕННОГО
состояния
3.1. Закономерности динамики просадки
Сложность и многообразие факторов, вызывающих и способст-
вующих развитию просадочных деформаций в лессовых грунтах,,
приводят к необходимости проведения экспериментов, выясняю-
щих качественные закономерности процесса просадки в природ-
ных условиях. Современные лабораторные эксперименты даже в
надлежащей постановке и методике их проведения не способны
раскрыть природу естественного процесса просадки в лессовых
грунтах, так как они соответствуют большей частью весьма упро-
щенным расчетным моделям, выдвинутым классической механи-
кой грунтов. Поэтому одним из наиболее эффективных видов экс-
периментальных исследований процесса просадки в условиях при-
родного напряженного состояния грунта являются опыты по дли-
тельному увлажнению толщи лессовых грунтов в полевых усло-
виях.
118
Ниже на основании проведенного автором натурного опыта
приводятся закономерности динамики просадки грунтов в услови-
ях природного напряженного состояния (А. А. Мустафаев «Основы
механики просадочных грунтов», Стройиздат, 1978). Опытный уча-
сток был выбран в наиболее характерных просадочных грунтах
Азербайджана — на нижнем склоне Боз-дага в правобережном го-
ловном участке Верхне-Карабахского канала в районе Мингечау-
ра. В районе опытного участка залегает покровная толща проса-
дочных лессовидных суглинков, мощность которых достигает
30...35 м.
Рис. 3.1. Графики изменения просадки и скорости
просадки во времени
Грунты опытного участка характеризуются следующими дан-
ными: естественная влажность 4,5... 18,7%; удельный вес 14,5...
17,1 кН/м3; удельный вес частиц 27,4...27,6 кН/м3, пористость 46...
50%; число пластичности 6...8,31%; угол внутреннего трения 23...
27°; сцепление 0,082...0,136 МПа.
Для проведения полевых экспериментальных исследований был
вырыт котлован размером в плане 30 X 30 м. Глубина котлована
была установлена равная 1 м. Для наблюдения за динамикой про-
садочных деформаций в период непрерывного увлажнения толщи
грунта на его поверхности и на характерных глубинах были уста-*
новлены контрольные поверхностные и глубинные марки. Установ-
ка поверхностных марок для измерения абсолютной просадки за-
мачиваемой толщи и глубинных марок для изучения послойной де-
формации толщи, а также методика выполненных по ним перио-
дических наблюдений осуществлялись в соответствии с рекомен-
дацией Института по уплотнению просадочных грунтов предвари-
тельным замачиванием (НИИоснований, М., Стройиздат, 1965).
На рис. 3.1 построены графики изменения абсолютной просад-
ки и скорости просадки увлажненной толщи грунтов опытного
участка. Как видно из графиков, во всем периоде непрерывного
119
увлажнения абсолютная просадка толщи монотонно возрастает,
и условная стабилизация ее достигается после трех месяцев, т. е.
к концу 96-х суток. Кривая изменения просадки толщи грунта во
времени с достаточной степенью точности аппроксимируется фор-
мулой
Закономерность изменения скорости просадки, см/сут, с неко-
торым приближением описывается формулой
г; = 2,77с-0»07*.
а)
Рис. 3.2. График зависимости измене-
ния просадки отдельных слоев ув-
лажняемой толщи грунтов во време-
ни (а) и схема расположения глу-
бинных марок (б)
Результаты обработки данных наблюдения по глубинным мар-
кам представлены на рис. 3.2 в виде зависимостей изменения про-
садки отдельных слоев увлажненной толщи грунтов опытного уча-
стка во времени. Как видно из
рис. 3.2, наибольшая и интенсив-
ная просадка в толще наблюда-
ется на глубине 5 м от поверх-
ностй грунта. Наименьшая же
просадка отмечается на самой
отдаленной от поверхности мар-
ке, т. е. на глубине 11 м от по-
верхности. Разность просадки
поверхности грунта в месте рас-
положения первой глубинной
марки и ее деформации на всем
протяжении процесса увлажне-
ния отмечалась равной нулю.
Последнее позволяет полагать,
что в пределах верхнего слоя
грунта мощностью 4 м происхо-
дит параллельное смещение
грунта вниз без деформации про-
садки. Просадка грунта от дей-
ствия собственного веса, по-ви-
димому, начиналась между глу-
бинами 4 и 5 м. В среднем глу-
бину, начиная с которой возникала просадка грунтов опытного
участка, можно принять равной 450 см.
По данным периодической нивелировки поверхностных марок,
на рис. 3.3 построены деформации поверхности грунта по двум
взаимно перпендикулярным створам, проходящим через центр кот-
лована. На этом рисунке для каждого периода нивелировки по-
строены соответствующие кривые деформированной поверхности
грунта. Как видно из рис. 3.3, в начальный период увлажнения
(до 16 сут) поверхность грунта опускается вниз сравнительно ин-
тенсивно и с течением времени по мере наступления периода ста-
120
Рис. 3.3. Динамика просадки поперечных сечений опытного котлована
билизации просадки в различных точках поверхности грунта по-
степенно затухают.
В пределах дна котлована в течение всего периода увлажне-
ния отмечается относительно равномерная просадка. С удалением
от кромки котлована просадка поверхности грунта постепенно за-
тухает и примерно на расстоянии 46,5...49,2 м от оси котлована не
наблюдается.
Полученные данные по просадкам поверхности грунта и вели-
чинам горизонтального уплотнения и разуплотнения были сопо-
ставлены с расчетными рекомендациями СНиП 2.02.01—83, со-
гласно которым изменение просадки поверхности грунта от соб-
121
ственного веса достаточно хорошо описывается уравнением коси-
нусоиды, имеющим вид
5г1.в = ^(Ц-соз^),
где S8i,g — максимальная просадка поверхности грунта от собст-
венного веса грунта; г — расчетная длина криволинейного участка
поверхности грунта, определяемая по формуле
г = Я (O,5 + Yc(jtg0),
где Я—просадочная толща; 7^ — коэффициент, учитывающий
увеличение распространения воды в стороны вследствие различ-
ной фильтрационной способности отдельных слоев и прослоек, из-
меняющийся от 1 до 2; р — угол распространения увлажнения в
Таблица 3.1
Глубина от по- верхности зем- ли. м Удельный вес грунта в естест- венном состоя- нии, кН/м* Удельный вес грунта в водо- насыщенном СО- СТОЯНИИ,! кН/м* Уплотняющее давление, МПа Относительная просадка
2,0 14,50 18,66 0,0373 0,0105
4,5 15,30 19,21 0,0848 0,0133
7,0 14,80 18,70 0,1323 0,0192
9,0 15,20 18,96 0,1700 0,0201
12.0 16,00 19,23 0,2279 0,0242
16,0 15,80 19,10 0,3041 0,0213
20,0 17,10 19,24 0,4808 0,0234
26,0 17,50 18,88 0,4948 0,0220
стороны от увлажняемой площади; для лессовидных супесей и лес-
сов р=35°, а для лессовидных суглинков 0=50°.
Принимая для рассматриваемых опытов р=35°, 7^= 1,5 и Н=
=30 м, получим г=30 (0,5+1,5 tg 35°) =46,5 м. Последняя величи-
на совпадает с данными опыта по первому створу и на 5,8% мень-
ше, чем расстояние, полученное по второму створу котлована.
Уравнение изменения просадки поверхности грунта окончательно
имеет вид
Sei,8==~2~ (1+COS'46£") *
На рис. 3.3, согласно последней формуле, для обоих створов
котлована построены кривые изменения просадки поверхности
грунта, достаточно хорошо аппроксимирующие опытные данные
(сплошные линии).
Произведем расчет ожидаемой абсолютной просадки грунтов
опытного участка по формуле (1.3). Просадочную толщу разбива-
ем на отдельные слои в соответствии с литологическим разрезом.
Коэффициент условий работы при подсчете просадки от собствен-
122
ного веса грунта- принимаем равным единице. Для определения от-
носительной просадочности при каждом действующем посередине
рассматриваемых слоев давлений строят графики зависимости
^Ч(Р)-
В табл. 3.1 приведены значения расчетных величин для подсче-
та просадки толщи грунтов опытного участка. Используя данные
табл. 3.1 для возможной просадки грунтов опытного участка, по-
лучим следующее значение S:
i=8
£ = S e8l, ihi*
i=i
По результатам полевых опытов для условно-стабилизирован-
ной просадки получено значение, равное 76 см. Таким образом,
сравнение опытной величины просадки с расчетной показывает,
что формула из СНиП 2.02.01—83 дает на 20,8% заниженное зна-
чение просадки.
Рис. 3.4. Закономерности изменения фильтраци-
онного расхода и количества поданной в котло-
ван воды Qo во времени
На рис. 3.4 построены закономерности изменения количества
поданной в котлован воды Qo по мере ее впитывания, а также кри-
вая изменения фильтрационного расхода воды из котлована Q#
в процессе протекания просадки. Как видно из кривых рис. 3.4, по
истечении 24 сут непрерывного увлажнения отмечается тенденция
к стабилизации инфильтрационного расхода воды из котлована.
Поэтому весь процесс инфильтрационного движения влаги в тол-
ще грунта в данном случае условно может разделиться на два
периода: период интенсивного поглощения воды из котлована
грунтом и период умеренной фильтрации, в течение которого коли-
123
чество профильтровавшейся воды почти пропорционально умень-
шается со временем. Закономерности первого периода фильтрации
с достаточной точностью описываются уравнениями:
Qo — atb = 800i0»76 м; = aot~bo = 725i"0»53 м3/сут.
Второй период инфильтрации приближенно описывается урав-
нениями:
<2о = <2о+ Со (* - *о) = 7400 +18,75 (t -24) м;
— Сф — В (t —t0) = 95 — 1,88 (t — 24) м3/сут.
Количество воды, затраченное на увлажнение толщи грунтов
опытного участка, определяется выражением
to т
(? = J aot~b<>dt + J - Do (t - i0)] dt,
0 t0
где T — период условной стабилизации просадки увлажняемой
толщи (Т=92 сут).
После раскрытия интегралов для определения количества во-
ды, необходимого для увлажнения толщи лессового грунта, полу-
чим формулу
Согласно этой формуле для грунтов опытного участка будем
иметь Q=9360 м3. Для 1 м2 котлована количество потребной воды
определится значением q = Q/A = 9360/ (30 X 30) = 10,4 м. В опытах
же на 1 м3 площади котлована было.подано 10 м3 воды, что сви-
детельствует о достоверности приведенной расчетной формулы.
3.2. Закономерности инфильтрации в процессе просадки
Для установления закономерностей процессов фильтрации и
просадки в течение ряда лет проводились специальные экспери-
ментальные исследования в двух отличающихся между собой ха-
рактерных просадочных лессовых грунтах Азербайджана (в зоне
Верхне-Карабахского и Шихлинского каналов) (А. А. Мустафаев
«Основы механики просадочных грунтов», Стройиздат, 1978).
Среднее значение коэффициента фильтрации, определяемое по
формуле k$=ykxky, по данным лабораторных опытов, колеблется
в пределах для грунтов Мингечаура 0,5... 1,5 см/ч, для грунтов
Шихлы — 2,0...3,6 см/ч. Коэффициент влагопроводности, по дан-
ным полевых замеров для грунтов Мингечаура, равен 2,88 м2/сут.
Подземные воды на обоих опытных участках залегают на глубине
25...30 м. Характеристика грунтов опытных участков приведена в
табл. 3.2.
124
Таблица 3.2
Показатели Опытный участок
Мннгечаур Шихла
Природная влажность, % Удельный вес частиц, кН/м3 Удельный вес, кН/м3 Удельный вес сухого грунта, кН/м3 Пористость, % Угол внутреннего трения, град Сила сцепления, МПа Влажность, % на границе: текучести пластичности Относительная просадочность 4,2...8,1 27,4...27,6 14,5...15,6 13,9...14,8 46...50 31...33 0,07...0,293 22,7...26,3 17,1...19,2 0,108...0,177 9,3...17,2 27,1...27,3 13,2...13,6 11,6...12,2 55...57,22 26°30°'...31°40' 0,04...0,83 37...48,5 21,9...28,6... 0,111...0,177
Увлажнение толщи грунтовоопытных участков производили из
траншей трапецеидального поперечного сечения. Геометрические
характеристики траншей обоих опытных участков приведены в
табл. 3.3.
Таблица 3.3
Серия опытов Ns траншей Характеристики траншей
2&о. см h, см 24„. см т п L, м
1 300 100 20 1.4 1,5 15
I 2 400 100 50 1,75 2,0 15
3 60 100 10 2,5 3,0 15
1 180 60 14 1,39 1,5 15
2 270 90 20 1,39 1,5 15
П 3 360 120 26,8 1,39 1,5 15
4 450 150 33,4 1,39 1,5 15
5 540 180 40 1,39 1,5 15
1 324 100 50 1,37 Г,62 15
III 2 324 100 50 1,37 1,62 15
IV 1 420 100 120 1,5 2,1 28
Форму русла опытных траншей выбирали в соответствии с име-
ющимся готовым теоретическим решением задачи свободной уста-
новившейся фильтрации. Таким характерным сечением траншей
оказалось русло, описываемое уравнением
4= 2<L-zP.) агСсоз4-1/1 - (4)2, (3.1)
Л Я Л г \ Л /
для которого указанная фильтрационная задача решена Н. Н. Пав-
ловским (1936) (рис. 3.5).
125
Рис. 3.5. Теоретический (---------) и
практический (------) профили русла
(<по Н. Н. Павловскому)
Ввиду трудности выполне-
ния криволинейного очерта-
ния русла в полевых условиях
оно заменялось «сопряжен-
ной» ему трапецеидальной
формой по методике, предло-
женной Н. Н. Павловским, со-
гласно которой размеры тра-
пецеидального сечения опре-
деляются соотношениями:
тп = 0,720о + 0,298;
Ьн = О,2736о—0,298/i.
Площадь живого сечения русла и «сопряженного» ему трапе-
цеидального сечения определяется выражением
А =2 [ 2-(1+Ы-----(3.2)
Обработка результатов проведенных опытов позволила вы-
явить ряд закономерностей, которые приводятся ниже.
Рис. 3.6. График зависимости коли-
чества профильтровавшейся воды от
продолжительности замачивания для
траншей с различными значениями Ро.
Рис. 3.7. График зависимости коли-
чества профильтровавшейся воды от
продолжительности замачивания для
траншей с различными глубинами
наполнения (для грунтов Минге-
чаура)
Первая серия опытов проводилась в Мингечауре в течение трех
месяцев. Увлажнение было непрерывным, снижение высоты слоя
воды в траншее допускалось в пределах 10... 15 см. Результаты
этих опытов представлены на рис. 3.6. На вертикальной оси отло-
жено количество воды Оф, профильтровавшейся через 1 м2 смо-
126
ченной поверхности русла x0L, на горизонтальной — продолжи-
тельность замачивания t в сутки. Шкала времени — неравномер-
ная: yt Разрывы в графиках, соответствующие периоду 65...80сут,
вызваны непродолжительными перерывами в замачивании. Распо-
ложение опытных точек устанавливает пропорциональность вели-
чины потери на инфильтрацию корню квадратному от времени,,
т. е. с увеличением ширины сечения канала поверху удельная по-
теря на инфильтра-
цию падает. Таким об-
разом, чем шире ка-
нал, тем меньше отно-
сительная потеря на
инфильтрацию, что
соответствует извест-
ному в практике ирри-
гации положению о
том, что большие ка-
налы теряют воду от-
носительно меньше,
чем малые.
Вторая серия опы-
тов. При постоянном
значении параметров
0о исследовались тран-
шеи с различными глу-
бинами. Поскольку,
согласно формуле
(3.2), при постоянном
значении 0О площадь
поперечного сечения
траншеи зависит толь-
Рис. 3.8. Зависимость количества профильтровав-
шейся воды от продолжительности замачивания
для траншей с различными глубинами наполне-
ния (для грунтов Шихлы)
ко от их глубины А, эта серия опытов позволила выявить также
влияние площади поперечного сечения канала на величину фильт-
рационной потери из него.
Вторая серия опытов проводилась в Мингечауре и в Шихлах
в течение трех месяцев. Увлажнение было непрерывное при по-
стоянной глубине наполнения, равной глубине опытных траншей.
Снижение слоя воды в траншеях допускалось в пределах 10... 15 см.
Результаты опытов в четырех траншеях, проведенных в грунтах
Мингечаура, представлены на рис. 3.7. Обозначения координатных
осей прежние. Расположение опытных точек также подтверждает
установленную в первой серии опытов пропорциональность поте-
ри на инфильтрацию корню квадратному от времени. На рис. 3.8
показаны результаты опытов, проведенных в грунтах Шихлы. Как
видно из расположения опытных точек, установленная зависи-
мость для инфильтрации и здесь остается в силе, несмотря на су-
щественные различия грунтовых условий обоих опытных участков.
127
Из второй серии опытов можно сделать вывод, что в условиях
свободной неустановившейся фильтрации объем воды, профильт-
ровавшейся через единицу смоченной поверхности лессового грун-
та, практически не зависит от высоты столба воды в канале*.
Таким образом, проведенные опыты показывают, что в лессо-
вых грунтах в условиях глубокого залегания подземных вод сво-
бодная неустановившаяся фильтрация из каналов носит инфильт-
рационный характер. При этом преобладает пленочное движение,
которое, как всякое явление переноса, с достаточной степенью
точности может быть описано уравнением параболического типа.
Исходя из этого положения для определения потери на ин-
фильтрацию на единицу длины русла в процессе развития просад-
ки рекомендуется следующая формула (А. А. Мустафаев, 1965):
<?Ф = 2,8хо₽о-1,11 (1,6ю0+ 0,78<i>aot)
Расход на инфильтрацию определяют по формуле
Q(t) = 1.4ХД-1Л1 (1,6<оо+ 0,78<oso<) V%t.
Обе формулы дают результаты, хорошо согласующиеся с дан-
ными, полученными в двух отличающихся между собой характер-
ных просадочных лессовых грунтах.
3.3. Влияние геометрии источника увлажнения
на динамику просадки
Деформации увлажненной толщи лессовых грунтов в условиях
природного напряженного состояния возникают лишь по истечении
времени, необходимого для проникновения влаги на определенную
глубину, чтобы могли вступать в силу законы, ведущие к просадке.
В процессе развития просадочных деформаций, как показывают
результаты проведенных полевых опытов, существенную роль игра-
ют геометрические размеры источника увлажнения. Просадка как
в пределах русла, так и во всей увлажняемой толще развивается,
как правило, симметрично относительно вертикальной оси симмет-
рии поперечного сечения канала (котлована). Дно канала дефор-
мируется путем вертикального опускания, оставаясь горизонталь-
ным во всем периоде увлажнения. Эпюра просадки по смоченному
периметру опытных траншей получается аналогичной эпюре при-
веденной скорости фильтрации, определяемой для опытных тран-
* Следует отметить, что вывод о независимости свободной фильтрации
в лессовых грунтах от напора воды в канале получен также Н. Я- Денисовым,
Г. И. Архангельским, В. Л. Дмитриевым, Н. А. Осташевым и др. Закономер-
ности инфильтрационного движения в просадочных лессовых грунтах в поле-
вых условиях исследовались также Е. А. Замариным, П. И. Бутовым, Г. И. Тур-
киным.
128
шей по формуле Н. И. Павловского:
/ = v(fc = l) = —1 (3.3)
У 1+р2-2р-|-
где р=я/[2(1+₽0)].
Приведенная скорость, или скорость установившейся фильтра-
ции для исследованного Н. И. Павловским русла [см. (3.1)], при
коэффициенте фильтрации, равном единице, представляет также
значение градиента фильтрационного потока, подчиняющегося за-
кону Дарси. Значение этого градиента на дне русла канала, со-
гласно формуле (3.3), находят из выражения
/д = /(у = Л) = 1/(1-р).
В поверхностной точке русла канала значение градиента фильт-
рации вычисляют по формуле
/п=/(у=0) = 1//Т+7г-
На рис. 3.9, по данным проведенных полевых опытов, постро-
ен график изменения отношения градиентов фильтрации в донной
Рис. 3.9. График изменения отношения 1лЦп в зависимости от полуширины
зеркала воды и глубины канала
и поверхностной точках (/д//п) в зависимости от ширины зеркала
воды в траншеях первого опыта (при h = const). Для просадочных
грунтов Мингечаура эта зависимость аппроксимирована уравне-
нием прямой вида
/д//п = 5,23 — 0,5776о.
129
Отношение же стабилизированных просадок в рассматривае-
мых точках русла траншей данного опыта в среднем получилось
равным 1,154. Составим соотношение
/д . 5Д _ 5,23 0,577 ,
/п ’ Sn ~ 1,154 1,154
откуда
•Уд _ 1 /д
4,532 — O,5feo 77 ’
или
^д _ 1 /4 (fe0+A)a+na^
*Уп 4,532 — 0,5feo 2(£>о~}~/г) — Jih
На рис. 3.9, по данным второго опыта (при 0О=const), также
построен график изменения отношения /д//п в зависимости от глу-
бины траншей для просадочных грунтов обоих опытных участков
Как видно из рис. 3.9, график последней зависимости может быть
аппроксимирован уравнением прямой вида
/д//п = 3,183 - 3,624 ~ 3,404.
Отношение же просадок в донной и поверхностной точках всех
траншей рассматриваемого опыта, согласно данным проведенных
полевых опытов, в среднем равно 1,111. Тогда
-^5. : -^-=0,326,
или
= 0,326 4s- = 0,326 1/| ЛТ
Динамика просадочных процессов существенно зависит от гео-
метрических размеров источника увлажнений. Проведенная серия
полевых опытов с различными размерами поперечного сечения
русла траншей позволила выявить влияние геометрии источника
увлажнения на закономерности изменения просадки толщи во вре-
мени.
Учитывая, что величина и интенсивность просадки определяют-
ся в основном количеством профильтровавшейся из русла канала
влаги, в качестве параметра, характеризующего геометрию ис-
точника увлажнения, введен в рассмотрение смоченный периметр
опытных траншей, определяемый из выражения
Хо - Ъи + 2/1 /1+т* = О,2736о - 0.298Л+
+ 2/г /1,088 + 0,530,• + 4,ЗО0о.
На рис. 3.10 построены кривые изменения просадки дна тран-
шей второго опыта во времени для каждого значения их смочен-
130
кого периметра для грунтов обоих опытных участков. Как видно
из построенных кривых, независимо от вида грунта и значения
смоченного периметра русла траншей интенсивное развитие про-
садки наблюдается в течение первого месяца непрерывного зама-
чивания, В дальнейшем скорость просадки постепенно затухает н
к четвертому месяцу увлажнения в обоих грунтовых условиях не-
зависимо от значения смо-
ченного периметра наступа-
ет период условной стаби-
лизации просадочных де-
формаций.
Закономерность изме-
нения просадки во времени
достаточно удовлетвори-
тельно описывается уравне-
нием
= (3.4)
Параметр р характери-
зует изменение во времени
— 1 1 1
р_ То In '
где То — устанавливаемый
из опыта по непрерывному
увлажнению толщи лессо-
вого грунта произвольный
период протекания процес-
Рис. 3.10. Кривые изменения просадки дна
траншей во времени при различных зна-
чениях их смоченного периметра для грун-
тов Мингечаура (-----------) и Шихлы
(-------):
/ —h-60 см, Хо-219 см; 2 —h-90 см, х-328 см;
3-/1-120 см, Хо-438 см; 4-/1-180 см, Хо-658 см
са просадки, в течение которого достигается определенная вели-
чина просадки St0.
Характерно, что чем больше смоченный периметр русла тран-
шей, тем больше величина и скорость развития просадки
(рис. 3.11).
3.4. Взаимосвязь просадки с инфильтрацией
Закономерности процесса просадки в условиях природного на-
пряженного состояния лессовых грунтов в определенной мере
обусловливаются развитием контура смачивания и изменением
дискретных значений влажности грунта в различных точках обла-
сти увлажнения. Поэтому естественно ожидать, что закономер-
ность изменения просадки во времени должна быть связана как с
геометрией источника, так и с режимом процесса инфильтрации.
Проведенные в полевых условиях экспериментальные исследова-
ния позволили выявить указанную взаимосвязь для двух харак-
терных видов просадочных грунтов Азербайджана. На рис. 3.12,
131
Рис. 3.11. График изменения просад-
ки для опытных траншей в зависи-
мости от значения их смоченного пе-
риметра:
/ — грунты Мингечаура; 2 — грунты Шнхлы
по результатам второго опыта (табл. 3.3), построены кривые из-
менения просадки дна опытных траншей с постоянными парамет-
ми 0о, а также расхода воды на инфильтрацию (фильтрационный
расход) во времени. Как видно из кривых рис. 3.12, характер раз-
вития просадочных деформаций во времени вполне соответствует
характеру изменения фильтрационного расхода. Чем больше глу-
бина, а следовательно, согласно формуле (3.2), и площадь живо-
го сечения тра/ншеи, тем больше количество профильтровавшейся в
грунт воды и шире области смачивания. Поэтому с увеличением
глубины траншеи возрастают
также величина и скорость про-
садки.
Просадочные деформации на-
иболее слабо проявляются у
мелких траншей, и период ста-
билизации просадки наступает
для них сравнительно быстро.
В глубоких траншеях условная
стабилизация просадки наступа-
ет на четвертом месяце непре-
рывного замачивания. Харак-
терно, что в глубоких траншеях
период наиболее интенсивной
просадки меньше, чем в мелких,
но сама интенсивность более
значительна.
Фильтрационный расход, так
же как и просадка, существенно
зависит от глубины опытных траншей. Для мелких траншей этот
расход сравнительно незначителен и к середине третьего месяца
непрерывного замачивания приобретает установившийся харак-
тер, а в глубоких — с течением времени быстро падает и к концу
третьего месяца приближается к соответствующим расходам в
мелких траншеях. Период интенсивных просадочных деформа-
ций соответствует начальному периоду инфильтрационного движе-
ния. Уменьшение скорости просадочных деформаций соответству-
ет периоду стабилизации фильтрационного расхода.
Во всех случаях интенсивное развитие просадочных деформа-
ций влечет за собой столь же интенсивное падение соответствую-
щих фильтрационных расходов. Последующее же затухание про-
садочных деформаций приводит к выравниванию величины фильт-
рационного расхода.
На рис. 3.13, по данным второго опыта, построены графики за-
висимости фильтрационного расхода от величины просадки дна
траншей. Как видно из этих графиков, для траншей обоих опыт-
ных участков наблюдается линейный характер зависимости фильт-
рационного расхода от величины просадки. Семейство прямых на
132
Рис. 3.12. Кривые изменения просадки дна опытных
траншей и расхода воды на инфильтрацию во времени
для грунтов Мингечаура (------) и Шихлы (-------):
/—/1-60 см; 2 —/г-90 см; 3 — h-120 см; 4 — h-180 см
рис. 3.13 определяется уравнением
<?(0-С(0)~Л5(0, (3.5)
где Q(0) — начальное значение фильтрационного расхода до воз-
никновения процесса просадки, зависящее от свойств замачивае-
мого грунта и размеров траншей, м2/сут; Q(t) и S(t) —соответст-
венно фильтрационный расход, м2/сут, и абсолютная просадка дна
траншей, м, к произвольному моменту времени непрерывного за-
мачивания; А — постоянный для каждого вида просадочного грун-
та коэффициент, характеризующий скорость изменения фильтра-
ционных свойств увлажняемой толщи в зависимости от темпа раз-
вития в нем просадочных деформаций, м/сут. Чем больше этот
коэффициент, тем меньше степень просадочности толщи лессово-
го грунта. Для просадочных грунтов Мингечаура Д = 1,3... 1,8 м/сут,
а для грунтов Шихлы — 3...3,5 м/сут.
133
Рис. 3.13. Графики зависимости фильтра-
ционного расхода от величины просадки дна
траншей для грунтов Мингечаура (-------)
и Шихлы (------):
/г—60 см; 2 —h=90 см; 3 — А-120 см; 4 —/г-150 см; S
Л—180 см
Рис. 3.14. Графики зависимости коэффи-
циента фильтрации от абсолютной просад-
ки для грунтов с различной относитель-
ной просадочностью:
1 -es/=306 10-«; 2 —е4/=116-10-3; 3 — zsl=
=981 • 10-3; 4 — esl =851 • 10-«; 5-551-10-*
Для выявления зависимости фильтрационных свойств (коэф-
фициента фильтрации) от просадки на компрессионно-фильтраци-
онном приборе были исследованы образцы лессовых грунтов одно-
10 из строительных объектов г. Нахичевани (Аз. ССР). По резуль-
татам этих исследований на рис. 3.14 построены графики зависи-
мости коэффициента фильтрации от абсолютной просадки для пя-
ти характерных образцов лессовых грунтов с различными значе-
ниями относительной просадочности (при а=0,3 МПа). Как вид-
но из этих графиков, коэффициент,
фильтрации существенно уменьшает-
ся с увеличением абсолютной просад-
ки лессового грунта. Характерно от-
мстить, что, так же как и в натурных
условиях, чем меньше относительная
просадочность лессового грунта, ' тем
резче уменьшается его коэффициент
фильтрации.
Взаимосвязь просадки с влажно-
стью исследовалась также Р. Ж. Бал-
ли, Л. Г. Балаевым и др. Исследова-
ния Л. Г. Балаева, проведенные на
просадочных грунтах Бахшской оро-
сительной системы Таджикистана,
позволили ему предложить следую-
щую эмпирическую формулу для из-
менения относительной просадки в
зависимости от влажности грунта:
w—w0
W8ai-W0 *
Рис. 3.15. Кривые зависимости
(3.6) просадки от влажности по дан-
ным Р. Ж. Балли (---------------) и
Л. Г. Балаева (-------)
На рис. 3.15 представлены кривые зависимости просадки от
влажности, построенные по данным Р. Ж. Балли и Л. Г. Балае-
ва. Закономерности esi=f(W), а также имеющиеся эксперимен-
тальные данные показывают, что наиболее достоверные результа-
ты может дать нелинейная связь между относительной просадоч-
ностью и влажностью грунта, имеющая вид
\ гУ sat — W о
(3-7)
где i0 — экспериментально определяемая постоянная, зависящая
только от вида просадочности грунта. Методика определения зна-
чения постоянной для каждого вида грунта может быть принята
следующая.
135
В компрессионных приборах по обычной методике проводятся
испытания по определению относительной просадочности при неко-
торых характерных значениях влажности в интервале W0<W<
<Wsat. Полученные из испытания данные наносятся на логариф-
му_____________________________МУ
мическую сетку In esI (И7) — In - 0——Аппроксимируя положе-
ние опытных точек наклонно расположенной прямой, значения па-
раметра t’o определяются тангенсом угла наклона этой прямой к го-
ризонтальной оси, а значения es/ при этом устанавливаются отрез-
ком а, отсекаемым указанной прямой от вертикальной оси.
3.5. Влияние режима увлажнения
на закономерности инфильтрации и просадки
Для изучения влияния характера увлажнения на закономерно-
сти процесса инфильтрации и просадки на Мингечаурском опыт-
ном участке были нарезаны две траншеи одинаковой формы и гео-
метрических размеров. Основные характеристики траншей опы-
та III приведены в табл. 3.3. Наполнение одной траншеи проводи-
ли непрерывно в течение всего периода увлажнения с сохранени-
ем высоты слоя воды (80 ...90 см) постоянной. Вторую же траншею
наполняли водой периодически после того, как находящаяся в ней
вода полностью просачивалась в грунт. Увлажнение обеих тран-
шей производили до наступления условной их просадки — около
четырех месяцев. Результаты этих опытов представлены на рис.
3.16 в виде кривых зависимостей изменения фильтрационного рас-
хода и просадки дна опытных траншей во времени для каждого
вида увлажнения. Как видно из кривых зависимостей Q9=f(t),
существенное снижение фильтрационного расхода как при непре-
рывном, так и при периодическом увлажнении происходит в тече-
ние первого месяца. По истечении этого периода величина потери
воды на инфильтрацию постепенно выравнивается, а к сотым сут-
кам отмечается тенденция к стабилизации этой величины.
Характерно, что на протяжении всего опыта потеря воды на
инфильтрацию при непрерывном увлажнении больше, чем при
периодическом. Это обстоятельство свидетельствует о существен-
ном влиянии смоченного периметра русла на величину потери во-
ды на инфильтрацию. В соответствии с закономерностями измене-
ния фильтрационного расхода происходит изменение просадки во
времени. С начала же процесса просадка получается большей при
непрерывном увлажнении, чем при периодическом. Однако с тече-
нием времени приращение величины во времени при непрерывном
увлажнении происходит более интенсивно, чем при периодическом.
В период же наступления условной стабилизации просадки абсо-
лютная деформация толщи как при непрерывном, так и при перио-
дическом увлажнении практически не совпадает.
136
Таким образом, развитие просадки во времени при периодиче-
ском увлажнении носит затяжной характер, так как для этого
расходуется меньшее количество воды, чем при непрерывном за-
мачивании. Количество воды, ушедшее на увлажнение, определит-
ся площадью ограниченной осью времени и соответствующей кри-
вой изменения фильтрационного расхода. Поэтому конечная воз-
можная просадка толщи
лессовых грунтов при пе-
риодическом увлажнении
достигается расходом
значительно меньшего
количества воды, чем при
непрерывном.
В течение первых
15...20 сут уменьшение
фильтрационного расхода
протекает чрезвычайно
интенсивно, и в соответ-
ствии с этим изменением
просадочное явление раз-
вивается интенсивно так-
же и в этом периоде. Ин-
тенсивность процесса ин-
фильтрации и просадки,
как видно из кривых рис.
Рис. 3.16. Кривые зависимости изменения
фильтрационного расхода и просадки дна
опытных траншей во времени при непрерыв-
ном (-------) и периодическом (------) за-
мачивании
3.16, в обоих видах увлажнения по ис-
течении указанного периода времени постепенно падает и только
па третьем месяце увлажнения появляются признаки стабилиза-
ции обоих процессов.
3.6. Критериальные соотношения процессов
инфильтрации и просадки
Как было показано выше, в условиях природного напряженного
состояния динамика просадочных процессов определяется не толь-
ко свойствами лессовых грунтов, но и геометрией поперечного се-
чения канала (траншеи или котлована), продолжительностью
увлажнения, а также режимом инфильтрации. Зависимость меж-
ду перечисленными факторами может быть представлена в виде
$sl (0 / Ги F * С? (0 "1 /о о\
S,i(T) —/[₽»> Fh' T ’ Q (Г) J • ' • >
Зависимость (3.8) была изучена по данным описанных выше
полевых опытов. Для каждого вида траншей были подсчитаны
безразмерные отношения, входящие в зависимость (3.8). При об-
работке опытных данных представляло интерес выявление харак-
тера изменения произведения безразмерных отношений
SsM Q(t)
SsdT) Q(T)
137
в зависимости от отношения t/T (рис. 3.17). Аналогичная зависи-
мость была выявлена также для грунтов Шихлинского опытного
участка. Как видно из рис. 3.17, независимо от форм, размеров и
режима увлажнения траншей зависимость между величинами
С (О 4-(Т у к
V и t/T с достаточной степенью точности может быть ап-
и) Q (Г)
проксимирована прямой.
Рис. 3.17. Функциональная зависимость:
/ — I серия, траншея 1; 2 —то же. травшея 2; 3 — то же.
траншея 3; 4—II серия, траншея 1; 5— то же, траншея 2;
6 — то же, траншея 3; 7 — то же, траншея 4; 8 — то же,
траншея 5; 9—III серия, траншея 1; 10— то же, траншея 2;
11 — IV серия, траншея 1
Выявленная из опытов зависимость позволяет составить для
динамики просадочных деформаций в лессовых грунтах следую-
щее критериальное уравнение:
Т Sal(t) Q(t)
t S.i(T) Q(T)
=const.
(3.9)
Зависимость (3.9), установленная натурными опытами в ха-
рактерных грунтовых условиях при изменении почти всех факто-
ров, определяющих динамику просадок, позволяет сделать вывод,
что произведение трех безразмерных отношений для любого вида
просадочного лессового грунта должно оставаться постоянным.
138
Уравнение (3.9) можно представить в виде
м = -------------------------------= const’
Физическая интерпретация полученного уравнения такова: от-
ношение произведения средней скорости просадки и количества
поданной на увлажнение воды в любой момент времени к произ-
Рис. 3.18. Функциональная зависимость Ssi(t)/S(T) +
/ — I серия, траншея 1; 2 — то же, траншея 2; 3—то же, тран-
шея 3; 4 — II серия, траншея I; 5 — то же, траншея 2; 6 — то
же, траншея 5; 7 — то же, траншея 3; в — то же, траншея 4;
9 — III серия, траншея 1; 10 — то же, траншея 2
ведению средней в течение всего процесса скорости просадки и
количества суммарно-поданной воды для данного вида лессового
грунта есть величина постоянная. Очевидно параметр М всегда
больше единицы, и лишь в момент времени, когда достигается
полная стабилизация просадки, т. е. при t = T, М для всех видов
лессового грунта достигает предельного значения, равного еди-
нице.
В период течения процесса просадки, т. е. когда ОС^Г, зна-
чение параметра М для грунтов Мингечаура равно 1,12, а для
грунтов Шихлы — 2,1. Графическое изображение зависимости вида
s., WSal (Г) +Q(t)/Q (Г) = <р (t/T), (3.10)
по данным полевых опытов представлено на рис. 3.18. Как видно
из этого рисунка, функциональная зависимость (3.10) для всех
139
проведенных опытов может быть аппроксимирована некоторой
осредненной параболической кривой, описываемой уравнением
WSal (Г) +Q (t)IQ (Г) = 2 (t/T)n, (3.11)
где п—постоянная, зависящая от свойства замачиваемой толщи
лессового грунта, значение которой для периода 0<f<T меняет-
ся в незначительных пределах. Для грунтов Минтечаура п=0,597,
для Шихлы п=0,542.
Глава 4
РЕОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
ПРОСАДОЧНЫХ ГРУНТОВ
4.1. Основные физические предпосылки механики
сплошной среды
Сложность и многообразие свойств лессовых грунтов заставля-
ет при построении теории напряженно-деформированного их со-
стояния прибегать к схематизации возникающих в них просадоч-
ных явлений. Известно, что при исследовании различных физиче-
ских явлений выделяются основные факторы, отражающие приро-
ду рассматриваемого явления, и устанавливаются допущения, со-
ответствующие принятому идеализированному представлению.
Идеализированное представление механических свойств реальных
тел представляет собой расчетную схему и достаточно хорошо ил-
люстрируется различными моделями. Применительно к грунтам,
например, широко используются модели двух- и трехкомпонентной
земляной среды, линейно-деформируемой среды, модель кельвино-
ва тела в теории уплотнения грунтовой массы и др.
В механике сплошных сред реальные тела также идеализиру-
ют, приписывая им свойства упругости, пластичности, вязкости
и др., хотя с точки зрения механики континиума упругость и
внутреннее трение представляют собой предельные аппроксимации
свойств физических тел. Реальные же свойства тел находятся
между этими предельными случаями. Упругие и вязкостные свой-
ства, проявляющиеся в определенной степени у всех физических
тел, объединяются теорией наследственных сред и реологий. Тем
самым, как теория наследственных сред, так и реология, учитыва-
ющая в явной форме временную сторону изменения напряжений и
деформаций, могут рассматриваться как механика реальных
свойств оплошных сред.
Стремление к наиболее полному описанию механических
свойств реальных тел приводит к рассмотрению так называемых
сложных сред. Модели сложных сред представляют реальные те-
ла, одновременно обладающие несколькими физическими свойст-
во
вами — упруговязкая, упругопластическая, вязкопластическая, вяз-
коупругопластическая и др.
Основной гипотезой механики сплошных сред является поня-
тие о сплошном строении реальных тел, позволяющее предста-
вить их как сплошную деформируемую среду. Эта гипотеза при-
меняется в одинаковой степени к твердым, жидким и газообраз-
ным телам. Следовательно, реальное тело независимо от его агре-
гатного состояния определяется как сплошная деформируемая
среда, мерой подвижности которой служит скорость перемещения
я скорость деформации частиц.
Кроме того, наряду с указанной гипотезой имеет место также
гипотеза о непрерывности распределения скоростей и плотности
частиц в исследуемых телах. Обе эти гипотезы лежат в основе
классической гидродинамики, изучающей движение сплошных де-
формируемых сред.
В механике грунтов для применения той или иной расчетной
схемы также исходят из гипотезы о сплошном заполнении части-
цами грунта какого-либо объема рассматриваемой земляной сре-
ды. При этом гипотеза о непрерывном распределении скоростей и
плотностей частиц также остается в силе для предотвращения
разрыва сплошности грунтовой среды. Таким образом, законы
классической гидродинамики должны выполняться и при описа-
нии равновесного состояния движущейся грунтовой среды. Одна-
ко в классической гидродинамике, выражаемой уравнениями На-
вье— Стокса, не учитывается максвелловская релаксационная
упругость на сдвиг, так же как и объемная вязкость.
С другой стороны, в классической теории упругости аморфных
тел, выражаемой уравнениями Коши, не учитывается ни сдвиго-
вая, ни объемная вязкость. Необходимость ревизии классической
•гидродинамики и теории упругости для их объединения в единую,
более общую теорию <твердожидких> тел впервые отмечалась
Я. И. Френкелем. Создание этой теории становится реальным, ес-
ли исходить из непрерывности процесса перехода из жидкого со-
стояния в твердое. Исключение при этом может составить случай,
когда этот процесс связан с кристаллизацией. Так как между жид-
костями и твердыми аморфными телами существует лишь коли-
чественное различие, характеризуемое величиной времени релак-
сации, необходимо разыскать обобщенные уравнения движения
реальных тел, учитывающие как упругие, так и вязкие свойства
последних. Нас, в основном, будет интересовать описание нерав-
номерных процессов деформации, когда требуется учитывать раз-
витие деформации во времени. На самом деле, лессовая грунтовая
среда в условиях .природного напряженного состояния ведет себя
как упругая и закономерности ее достаточно хорошо описываются
уравнениями линейнодеформируемой среды. В случае же наруше-
ния равновесия при увлажнении этой среды каждая ее точка по-
.лучает определенные смещения, среда приобретает напряженное
141
состояние, нарастающее со скоростью деформации. От вязкой жид-
кости лессовая среда в этих условиях будет отличаться пластиче-
ским течением.
Механизм возникновения структурных (пластических) дефор-
маций в лессовых просадочных грунтах при их увлажнении обу-
словливается совершенно различными и чрезвычайно многообраз-
ными факторами, связанными с взаимодействием влаги с внутрен-
ними связями (молекулярными, водно-коллоидными и цементаци-
онными) этих грунтов в условиях определенного напряженного со-
стояния. Следствием этих сложных физико-химических, механиче-
ских и других процессов является возникновение и развитие в
этих грунтах интенсивных реологических процессов — нарастания
пластических деформаций во времени при неизменной нагрузке.
Поэтому исходя из физико-химической механики явления просад-
ки в широком смысле могут быть классифицированы как реоло-
гический неравновесный процесс, связанный с изменением во вре-
мени напряженно-деформированного состояния структурно-не-
устойчивых1 при замачивании лессовых грунтов.
Механизм возникновения и развития просадочных деформаций
в лессовых грунтах связан с процессом разрушения цементацион-
ных связей между отдельными его частицами в результате дейст-
вия влаги. В наиболее общей постановке взаимодействие влаги со
структурными связями лессовых грунтов может быть освещено,
исходя из возможных форм связей влаги с твердыми цементиру-
ющими веществами в строении их структуры.
Исходя из принципа изучения интенсивности энергии связи,
П. А. Ребиндером предложена наиболее общая классификация
форм связи влаги с твердыми телами, согласно которой все фор-
мы связи делятся на три большие группы: химическая, физико-хи-
мическая и физико-механическая.
Наиболее существенную роль в механизме просадочных про-
цессов имеет, по-видимому, физико-химическая связь влаги с це-
ментирующими веществами в строении, структуре лессовых грун-
тов. Физические основы взаимодействия влаги со структурой лес1-
совых грунтов достаточно удовлетворительно могут быть объ-
яснены согласно теории А. В. Лыкова (Теория сушки, М—Л.,
1950), разработанной им для объяснения закономерностей про-
цесса сушки.
4.2. Реологическая природа процесса просадки
Просадочные деформации в лессовых грунтах ранее рассматри-
вались нами как следствие взаимодействия двух нестационарных
процессов — инфильтрации влаги и смешения структурных элемен-
тов деформируемого грунта. Динамика просадочного процесса при
такой постановке задачи -однозначно определяется динамикой на-
сыщения толщи грунта инфильтрационной влагой. Принимается,
142
что просадка зависит от влажности грунта, а степень влажности —
от продолжительности увлажнения. Между тем, как показывают
эксперименты и натурные наблюдения, процесс просадки развива-
ется во времени в более медленном темпе, чем процесс инфильтра-
ции, и не всегда начинается с момента поступления влаги в грунт.
Стабилизация же этого процесса, как правило, наступает по исте-
чении достаточного времени после прекращения увлажнения тол-
щи грунта. Происходит как бы запаздывание внутриобъемных
процессов в агрегатах грунтовых частиц относительно быстрого
продвижения фронта увлажнения.
Таким образом, механизм возникновения структурных деформа-
ций в просадочных лессовых грунтах при их увлажнении обуслов-
ливается взаимодействием влаги с межчастичными связями и внут-
рикристаллическими изменениями минеральных частиц этих грун-
тов в условиях определенного напряженного состояния. Следствием
этих сложных физико-химических, механических и других процес-
сов является возникновение и развитие в этих грунтах реологиче-
ских процессов — нарастания пластических деформаций во времени
при постоянной влажности и нагрузке (явление ползучести). Для
проверки правомерности принятой предпосылки были проведены
эксперименты, позволяющие получить семейства кривых просадки
при постоянных напряжениях, кривых изменения напряжений при
постоянных значениях деформаций просадки (релаксации), а так-
же зависимости напряжений от деформации для определенных
значений времени. Все указанные графики были построены при
различных и постоянных в течение всего опыта влажностях (от ес-
тественной до водонасыщенного состояния) и уплотняющих давле-
ниях, наблюдение за изменением деформации просадочных грун-
тов в компрессионных приборах велись в течение 100 сут; по их
результатам строились графики изменения относительной просад-
ки во времени для каждой серии опытов.
На рис. 4.1 в правой части нанесены кривые изменения относи-
тельной просадки во времени t при различной уплотняющей на-
грузке о; в левой — кривые зависимости относительной просадки
от напряжения, соответствующие разным периодам t ползучести.
Как видно из рис. 4.1, особенностью кривых ползучести является
наличие в них двух участков. Первый участок соответствует дефор-
мациям с уменьшающейся скоростью; по аналогии с классической
теорией ползучести он может быть назван неустановившейся ста-
дией просадки. Деформация грунта в течение первой стадии обу-
словливается структурно-необратимыми явлениями, вызванными
взаимодействием влаги с внутренними связями и имеет только
пластическую природу. Вторая стадия характеризуется медленно
затухающим пластично-вязким течением, вызываемым физико-хи-
мическими процессами внутри кристаллического пространства
минеральных частиц грунта. Скорость течения процесса на этой ста-
дии может быть принята практически постоянной ввиду незначи-
143
тельности изменения по сравнению с продолжительностью процес-
са. Продолжительность первой стадии по сравнению со второй не-
значительна. Удельная роль каждой стадии деформации, так же
как и в классической теории ползучести, зависит от нагрузки»
влажности, <вида и свойств просадочного грунта.
Полученные из эксперимента кривые просадки в широком ди-
апазоне времени при всех исследованных значениях влажности
оказались подобными. Поэтому все кривые семейства es/=f(O мо-
гут быть получены из одной кривой этого же семейства умножени-
Рис. 4.1. Ползучесть лессовых грунтов при просадке (при влажности, равной
пределу раскатывания)
ем ее ординаты на некоторую величину, являющуюся функцией
уплотняющей нагрузки.
Таким образом, явления просадки, связанные с физико-хими-
ческими процессами, вызывающими развитие деформаций во вре-
мени при постоянных напряжении и влажности грунта, могут
быть классифицированы как реологические неравновесные процес-
сы. Подобная трактовка механики просадки позволяет предпри-
нять попытки описать напряженно-деформированное состояние
увлажняемых лессовых грунтов закономерностями теории наслед-
ственных сред и реологией.
Использование теории наследственных сред и реологии, учиты-
вающих в явной форме временную сторону изменения напряжений
и деформаций, вызывает определенное затруднение при построе-
нии так называемой функции наследственности. Индивидуальные-
свойства просадочных грунтов оказывают сильное влияние не толь-
ко на входящие в функцию наследственности постоянные, но и на
вид самой функции. Решение задачи на основе этой теории возмож-
но, по-видимому, следующим образом. Во-первых,, можно попы-
таться раскрыть вид функции наследственности, исходя из микро-
механики деформации, успешно использованной С. С. Вяловым при
создании физической теории деформации глинистых грунтов во*
144
времени. Вторым вариантом построения функции наследственности
просадочных грунтов может быть проведение экспериментальных
наблюдений над характером деформации этой среды в различных
условиях напряженного состояния и влажностного режима. Нако-
нец, для установления зависимости между просадкой, напряжени-
ем и временем на основе соответствующих экспериментов можно
высказать предположение о характере функциональной зависимо-
сти между основными переменными, определяющими ход протека-
ния процесса. Этот последний путь открывает большие возможно-
сти применения существующей технической теории ползучести для
описания неравномерных процессов деформации увлажняемых
лессовых грунтов в основаниях зданий и сооружений.
Наиболее удобной для исследуемого процесса оказалась общая
трактовка теории старения, предложенная Ю. Н. Работновым
(1948), согласно которой можно принять, что для просадочного
грунта между деформацией, напряжением и временем при постоян-
ной влажности существует постоянная зависимость Ф(е610=0-
В соответствии с этой теорией зависимость просадки от напря-
жения и времени можно представить в виде произведения двух
функций, из которых одна ср (о)—функция только напряжения,
а другая ф(/) —только времени:
е (о, t) = ф (о) ф (t).
Законы неравновесного во времени процесса деформации были
аппроксимированы степенной зависимостью
где а и т — коэффициенты для рассматриваемого лёссового грун-
та, характеризующие физическую особенность процесса просадки.
Такого вида зависимость широко применяется для различных
грунтов (С. С. Вялов, М. Н. Гольдштейн и др.) и подтверждается
опытами.
Изучение закономерностей изменения реологических парамет-
ров а и т от влажности показало, что кривые функций ф(/) при
различных значениях влажности также подобны, и поэтому
ф(0 = а(ИЭ tm.
Функция a(W) —имеет вид
а(ИЭ=Ч+ 01)
где ао — реологический параметр просадочного грунта при естест-
венной влажности Woctn — то же, при полной влагоемкости Wn.
Зависимость между напряжением и деформациями, как видно
из рис. 4.1, в каждом периоде деформации представляется криво-
линейной; с увеличением уплотняющего напряжения относитель-
14и
ная просадка монотонно возрастает. При малых значениях уплот-
няющей нагрузки (до 0,2 МПа) зависимость о—esi может быть
.аппроксимирована линейной функцией. Для функций <р (а) в широ-
ком диапазоне изменения напряжений хорошее согласование с ре-
зультатами эксперимента дает следующее аналитическое представ,
ление:
<р(а) = (1 — ап/ав); а>аи,
где Он — порог просадки, т. е. значение уплотняющего напряжения,
ниже которого для данного вида и состояния лессового грунта про-
садка исключается.
Параметры деформируемости просадочного грунта 0 также за-
висят от влажности и с достаточной степенью точности могут быть
-аппроксимированы линейной функцией
На рис. 4.2 представлены кривые изменения напряжений при
некоторых постоянных значениях относительной просадки. Из этих
кривых видно, что при просадке происходит явление релаксации,
т. е. расслаблений во времени напряжений, необходимых для под-
Рис. 4.2. Изменение напряже-
ний при постоянных значениях
относительной просадки:
J—e,f-2-10-s; 2 — «,,-6-10-*; 3 —
еж1-8»10-’
держания некоторой постоянной про-
садки, причем существенное снижение
напряжения происходит в первой, не-
установившейся стадии просадки.
Согласно теории старения, для про-
гнозирования изменения одномерных
деформаций просадки в основаниях
зданий и сооружений во времени мож-
но написать общее выражение
я
S,i (t) = J ф (а) (О dy. (4.3)
Здесь интенсивность внешней на-
грузки принимается постоянной, а рас-
основаниях, согласно теории линейно-
пределение напряжений в
вязкого тела, неизменным во времени и отвечающим упругомгно-
венной задаче теории линейно деформированных тел.
Динамика процесса просадки может быть установлена по вы-
ражению (4.3), если будет известно распределение влажности
грунта по глубине и во времени, так как функции ср (а) и ф(/),
согласно формулам (4.1) и (4.2), зависят от влажности грунта.
Первое приемлемое на практике приближение для определения
функции влажности при одномерном увлажнении просадочных
грунтов может быть основано на рассмотрении процесса распро-
странения влаги без учета влияния деформации этих грунтов. Та-
146
кая постановка сводит задачу к нелинейному уравнению параболи-
ческого типа (2.16), решить которое можно только приближенны-
ми методами.
Раскрыть интеграл в выражении (4.3) с использованием при-
ближенных решений указанного нелинейного уравнения не пред-
ставляется возможным. Приближенные же приемы интегрирова-
ния выражения (4.3) с использованием этих решений не позволя-
ют получить компактную расчетную формулу, обеспечивающую
достаточную для практики общность и точность. Поэтому для по-
лучения инженерных решений весь процесс просадки можно услов-
но разделить на период увлажнения толщи грунта и период после
увлажнения. В течение первого периода переменную по глубине
и во времени влажность грунта можно осреднить в пределах ее
изменения_от начальной до полной и значения реологических па-
раметров a (W) и 0(№) принять соответствующими этой осреднен-
ной влажности грунта Р7ср, т. е.
wsat_
°(ТУср)= „ J а(И0<ПР;
И'eat w о J
Wo
Wsat
Wo
Причину возникновения и развития просадочных деформаций
в этом периоде можно объяснить разрушением цементационных
связей между отдельными частицами грунта в результате дейст-
вия влаги. В наиболее Общей постановке взаимодействие влаги со
структурными связями лессовых грунтов может быть освещено ис-
ходя из возможных форм связей влаги с твердыми цементирую-
щими веществами в строении их структуры. На основе принципа
изучения интенсивности энергии связи П. А. Ребиндером предло-
жена наиболее общая классификация форм связи влаги с тверды-
ми телами, согласно которой все формы связи делятся на три
большие группы: химическую, физико-химическую и физико-меха-
ническую. Наиболее существенную роль в механизме просадочных
процессов в первом периоде, по-видимому, имеет физико-механиче-
ская связь влаги. Физические основы взаимодействия влаги со
структурой грунта достаточно удовлетворительно могут быть объ-
яснены теорией А. В. Ликова (1968), разработанной им для объ-
яснения закономерностей процесса сушки.
В течение второго периода профиль влажности характеризуется
относительно постоянным по глубине значением, равным Wsat*
и поэтому реологические параметры_а(№) и (Г(1Р) в расчете можно
принять соответственно a(IFSat) и (}(№sat)- В течение этого пери-
ода просадка развивается вследствие растворяющего влиянияпро-
никшей внутрь минеральных частиц влаги и распыления агрега-
147
тов. Процесс распада минеральных частиц грунта и их агрегатов
происходит в силовых полях, образующихся между заряженными
грунтовыми частицами, окружающей их влагой и поглощенными
ионами, вследствие адсорбции молекул воды молекулами внеш-
ней и внутренней поверхностей коллоидных частиц. Все это оказы-
вает существенное влияние на свойства грунта; влага, являясь по-
низителем твердости грунта, оказывает пластифицирующее влия-
ние и тем самым способствует развитию реологических процессов.
Существенную роль в этом периоде играет физико-химическая
связь влаги с минеральными частицами грунта.
Принятое допущение об условном разделении всего процесса
просадки на два периода в значительной степени упрощает мате-
матическую сторону задачи и позволяет на основе выражения
(4.3) установить приближенные расчетные формулы для прогнози-
рования одномерного процесса просадки в основаниях зданий и
сооружений.
4.3. Обработка результатов опыта
теорией линейной наследственной ползучести
Для построения теории деформирования лессовых грунтов при
просадке предполагаем заданным закон изменения во времени
деформации, т. е. исходным материалом для нас явились семейст-
ва кривых ползучести, построенные при постоянных для данной
серии опытов влажностях и уплотняющих давлениях.
Согласно линейной теории наследственной ползучести измене-
ние деформации во времени описывается интегральным уравнени-
ем, составной частью которого является выражение ядра ползуче-
сти. По существу, построение кривых ползучести сводится прежде
всего к определению на основании результатов опыта вида и па-
раметров ядра ползучести.
Согласно наследственной теории ползучести,
t
e«'(t)=E~[aW+ J *(*-’)’(’)*] (4.4)
о
ядро интегрального уравнения (4.4), характеризующее с точ-
ностью до постоянного множителя £мгн скорость ползучести грун-
та при постоянном единичном напряжении, определяется выраже-
нием
Как видно из последнего выражения, для определения функции
достаточно по кривым ползучести определить скорость деформи-
рования и отнести ее к действующему напряжению^
148
Если известно изменение деформации во времени, то из урав-
нения (4.4) определяют изменение напряженного состояния:
О (0 =£мгн[е,| (t) — j R (t — т) е,| (т) dt].
О
(4-5)
Принимая здесь е^(т) =6 = const и продифференцировав обе
части по /, получим
Следовательно, резольвента ядра ползучести, характеризующая
скорость изменяющегося во времени напряжения, необходимого
для поддержания постоянной единичной деформации, также может
быть получена из эксперимента.
Рис. 4.3. Графики изменения скорости деформирования лессового
грунта при просадке
На рис. 4.3 по кривым ползучести построены графики измене-
ния скорости деформирования лессовых грунтов при просадке (от-
несенные к действующим напряжениям) при постоянной влажно-
сти (W=7%). Аналогичные кривые были построены также при
различных значениях влажности лёссового грунта.
Как видно из построенных семейств кривых, скорость деформа-
ции лессовых грунтов при просадке в начальный период (при t =
= 0) бесконечно велика и с течением времени асимптотически при-
ближаются к осям времени.
149
Рассмотрим некоторые виды ядра ползучести. Пусть ядро пол-
зучести имеет экспоненциальный вид:
k(t — т) = 6е-в1</-'с>, (4.6)
где б, 61 — параметры ползучести.
Если в (4.4) принять о(т) =o = const и k(t—т) =бе_в1</“4 то
получим
•<">-^[«+£<1— М]. <4.7>
Резольвентой ядра (4.6) служит функция
R(t— т) = бе-<«+в1>«-’>.
Изменение напряжений при постоянной деформации, согласно
(4.5),
а(0 = Я„А,[1 _-^-(1-е-(в+в1И)]. (4.8)
Таким образом, чтобы экспоненциальное ядро ползучести было
справедливо для просадочных лессовых грунтов, то наши опытные
кривые изменения деформаций и напряжения во времени должны
подчиняться соответственно формулам (4.7) и (4.8).
Из выражений (4.7) и (4.8) легко можно установить, что ско-
рости деформации и напряжений при /=0, согласно экспоненци-
альному ядру ползучести, имеют конечное значение. Между тем,
как видно из семейства кривых на рис. 4.3, это положение не под-
тверждается опытными данными. В начальный период времени
(при / = 0) скорость деформирования лессовых грунтов при просад-
ке бесконечно велика. Указанная особенность поведения лессовых
грунтов при просадке достаточно удовлетворительно характеризу-
ется степенным ядром типа Абеля:
£(г-т) = 6(/ — т)-а°д
где б, ао — постоянные, причем 0<а0<1.
Если принять в (4.4) а(т) =o=const и k(t—т)=б(/—т)-а°.
то получим
6п(0=-ё£-Г1+-АГ (4.9)
^мгн L 1 — 0-0 J
Согласно полученному закону деформирования (4.9), при /=0
имеем: бл(0) =6 : £мгн; скорость деформирования будет
(4.10)
Согласно (4.10) при / = 0 получаем -^-=0, а при t -► оо будем
</бя п
иметь —>0, что подтверждается приведенными выше результа-
тами экспериментальных исследований.
150
Для использования полученной выше формулы деформирова-
ния (4.9) необходимо иметь методику определения входящих в нее
параметров. Для этой цели мы предлагаем использовать следую-
щую методику.
Прологарифмировав обе части выражения (4.10), получим
In = In -=Д— 6—а0 In t.
Ut "МГН
График этой функции на логарифмической сетке представлен
на рис. 4.4.
Как видно из (4.4), кривая (4.10) на логарифмической сетке
координат выпрямляется. При этом тангенс угла наклона получен-
ной прямой определяет значение параметра ао, а отрезок, отсекае-
мый этой прямой от оси ординат, позволяет вычислить значение
параметра б.
Естественно, что значение этих параметров будет зависеть от
влажности — плотности грунта и других условий, в которых про-
водятся опыты.
Обработка результатов опыта теории на основании линейной
наследственной ползучести проводилась в определенной последо-
вательности.
Имея экспериментальные кривые ползучести для просадочного
грунта прн различных влажностях, были определены скорость из-
менения деформаций в различные периоды времени. Разделив эти
значения скорости изменения деформации на постоянное во время
всего опыта уплотняющее давление б (0,1; 0,3; 0,5; 0,7 МПа), были
построены семейства кривых яДра ползучести (см. рис. 4.3).
Используя приведенную выше методику, на логарифмической
сетке координат определяли значения реологических параметров
лессового грунта. Эти параметры были определены для всех ис-
пользованных в опытах значений уплотняющих давлений б (0,1;
0,3; 0,5; 0,7 МПа) и влажности грунта W (10, 15, 20, 25, 30 и 35%).
В табл. 4.1 приведены значения реологических параметров лес-
сового грунта. По найденным значениям реологических парамет-
ров б н ао по формуле (4.9) вычисляли деформацию просадки
в различные периоды времени н построили семейства кривых пол-
зучести для принятых в опытах значений влажности грунта.
На рис. 4.5 представлены опытные точки и построенные по
формуле (4.9) теоретические кривые ползучести (просадки) для
различных значений уплотняющих давлений. Как видно из рисун-
ка, формула линейной теории наследственной ползучести достаточ-
но удовлетворительно описывает явления просэдкн (ползучести)
в лессовых грунтах, происходящей при постоянных явлениях
и влажностях. В табл. 4.2 приведены максимальные погрешности,
получаемые при аппроксимировании опытных значений просадки
по формуле (4.9).
151
Int •
Рис. 4.4. Выпрямление кривой за-
висимости esi=f(P) на логариф-
мической сетке координат
постоянном давлении 0,1 МПа и различных
влажностях
Рис. 4.5. Теоретические и опытные кривые ползу-
чести при естественной влажности грунта
(^=7%)
Рис. 4.7. Теоретические и опытные кривые ре-
лаксации напряжений при просадке для влаж-
ности грунта 7%
Таблица 4.1
Значения реологических параметров лёссового грунта при уплотняющем
давлении, МПа
W’. % 0,1 0,3 0,5 0.6 0,7
0, сут'1 а0 б, сут-1 в б, сут~1 ао В в С & в
7 I 4,67 0,8303 0,221 0,9206 0,0755 0,901 0,05833 0,8846 0,04967 0,908
10 0,315 0,786 0,256 0,776 0,1422 0,7319 — 0,1188 1,7677
15 0,982 0,8065 0,1138 0,8676 0,1 0,8562 0,102 0,851
20 1,0716 0,755 0,115 0,960 0,05 0,943 — —- 0,0380 0,9127
25 0,65 0,9425 0,0407 0,934 0,037 0,9291 — — 0,075 0,0922
30 0,54 0,978 0,0306 0,9623 0,0245 0,97 — — 0,0165 0,97
36 0,7 10,9722 0,0226 0,973 0,0101 0,976 — 0,015 0,937
Таблица 4.2
W, % Погрешности при уплотняющем давлении, МПа
0,1 о.з 0,5 0,6 0,7
7 4,4 0,2 1,8 1,3 1,17
10 2,1 0,2 15 — 0,2
15 2,3 2,8 5,6 —. 15
20 9,8 3,8 0,5 — 0,8
25 2,2 1,3 3,6 — 6,5
30 9,0 0,7 0,6 — 0,2
35 5,1 0,6 1,56 — 0,3
Как видно из данных табл. 4.2, максимальная, погрешность фор-
мулы (4.9) не превышает 15%.
На рис. 4.6 по формуле (4.9) построены кривые изменения от-
носительной просадки во времени при различных влажностях грун-
та для трех характерных значений уплотняющих давлений. На этих
же рисунках нанесены опытные точки. Как видно из рисунка, фор-
мула (4.9) и в этом случае достаточно удовлетворительно описы-
вает явления просадки (ползучести) в лессовых грунтах.
В табл. 4.3 приведены значения реологических параметров для
кривых ползучести, построенных для различных влажностей грун-
та при трех значениях уплотняющего давления.
Согласно кривым ползучести были построены кривые релакса-
ции напряжений при просадке. Для этой цели из кривых ползуче-
сти, построенных для различных уплотняющих напряжений, прово-
дились горизонтальные прямые на расстоянии, соответствующем
определенным значениям деформации от оси абсцисс. Точки пере-
сечения этих прямых с кривыми ползучести определяют величину
153
напряжений для определенных значений времени. Полученные та-
ким образом результаты переносятся в координаты о—t и строятся
кривые релаксации напряжений.
На рис. 4.7 нанесены опытные точки, определяющие характер
релаксаций уплотняющих давлений при различных влажностях
грунта. На этом же рисунке на основании теоретических кривых
ползучести построены кривые релаксации уплотняющих напряже-
ний при соответствующих влажностях грунта. Как видно из приве-
денных на рис. 4.7 графиков, принятый закон деформирования лес-
сового грунта при просадке (4.8) приводит к достаточно удовлетво-
Таблица 4.3
U”, % Реологические параметры при уплотняющем давлении. МПа
0.1 0.5 0.7
б, сут^1 ао б, сут^1 ао 6, сут^’ Оо
10 0,73 0,77 1,8 0,76 2,8 0,8343
15 0,46 0,78 0,060 0,80 0,33 0,8800
20 0,376 0,70 0,0525 0,80 0,11 0,8352
25 0,20 0,78 0,0525 0,80 0,07 0,8571
30 0,073 0,75 0,051 0,800 0,05667 0,8462
35 0,0575 0,70 0,0510 0,800 0,045 0,8800
рительным результатам для релаксации уплотняющих напряжений.
Максимальная погрешность при этом не превышает 10%.
Кривые релаксации напряжений позволяют построить кривые
резольвенты ядра ползучести, представляя их как скорости изме-
няющихся во времени уплотняющих напряжений, необходимых для
поддержания постоянных относительных просадок. На рис. 4.7 по-
строены кривые резольвенты ядра ползучести при различных влаж-
ностях грунта и нанесены опытные точки. Как видно из рис. 4.7,
закономерности изменения резольвенты принятого ядра ползучести
полностью совпадают с опытными данными при всех рассмотрен-
ных значениях влажности грунта. Следовательно, опытные данные
позволяют установить полную согласованность между принятым
видом ядра ползучести и его резольвентой.
4.4 Реологические модели просадочного грунта
При исследовании различных физико-механических явлений,
как правило, выделяются основные факторы, отражающие приро-
ду рассматриваемого явления, и устанавливаются допущения, со-
ответствующие принятому идеализированному представлению.
Идеализация механических свойств реальных тел приводит к рас-
четным схемам и достаточно хорошо иллюстрируется различными
моделями. Применительно к грунтам, например, широко использу-
ются модели двух- и трехкомпонентной земляной среды, линейно
154
деформируемой среды, модель кельвинова тела в теории уплотне-
ния грунтовой массы, модель упруговязкопластичного тела в меха-
нике мерзлых грунтов и др.
Реологическая модель лессового грунта впервые предложена
Н. Я. Денисовым для объяснения сущности предложенного им
механизма просадочного процесса. Модель Н. Я. Денисова
(рис. 4.8) состоит из пружины с достаточно высоким модулем де-
формации и заполненного вязкой жидкостью цилиндра, в котором
находится поршень, имеющий отверстия. В на-
чальном положении поршень припаян к стен-
кам цилиндра, что обеспечивает его непо-
движность до тех пор, пока пайка не разру-
шена. Упругие свойства породы отражаются
пружиной. Сопротивление перемещения час-
тиц грунта в процессе деформации моделиру-
ется сопротивлением, встречающим поршень
при его перемещении в цилиндре с вязкой
жидкостью. Сцепление упрочнения моделиру-
ется пайкой. Деформации пружины, незначи-
тельные из-за высокого модуля, соответству-
ют упругим деформациям лессового грунта.
Структурные деформации уплотнения иллюст-
рируются поведением модели лишь после
того, как будет устранено влияние пайки и
осуществится пептизация частиц грунта под
воздействием химических, физических и дру-
гих процессов.
Рассмотрим работу модели под действием
силы Р, которая постепенно возрастает. Пока
Рис. 4.8. Реологиче-
ская модель проса-
дочного грунта (по
Н. Я. Денисову):
/ — пружина; 2 — пайка;
3 — поршень; 4 — ци-
линдр
значение этой силы
недостаточно для разрушения пайки и преодоления сопротивления
вязкой жидкости, поршень не двигается. После разрушения пайки
усилия, появляющиеся в поршне, намного превышают сопротивле-
ние вязкой жидкости, поэтому поршень резко переходит из состоя-
ния покоя в неустойчивое состояние. Такое состояние характерно
для грунта в момент разрушения его структуры. Поршень переме-
щается до тех пор, пока возрастающее (из-за уменьшения разме-
ров отверстий в поршне) сопротивление вязкой жидкости и появ-
ление новой пайки не приводит к восстановлению сцепления упроч-
нения, т. е. возникновению агрегации частиц. Состояние истинного
соответствия пористости давлению, по Н. Я. Денисову, отражается
таким положением модели, при котором влияние силы Р пол-
ностью уравновешивается давлением поршня.
Отметим ряд недостатков рассматриваемой модели, из-за кото-
рых она недостаточно объективно отражает механику просадочно-
го процесса. Прежде всего следует отметить, что указанная мо-
дель после устранения пайки, т. е. сцепления упрочнения, ведет
себя, по существу, как упруговязкая релаксирующая среда Мак-
155
свелла, а описание процесса просадки одним только уравнением
состояния этой среды не искажает существо деформации лессовых
грунтов при увлажнении. Кроме того, сопротивление трения при
структурных деформациях отражается в этой модели только тече-
нием вязкой жидкости, что также не может полностью характери-
зовать состояние движущегося грунта, испытывающего также
и сухое трение по Кулону.
Устойчивость увлажняемого лессового грунта в условиях при-
родного напряженного состояния моделируется одной пайкой —
сцеплением упрочнения, между тем прочность лессового грунта
обусловливается и первичным сцеплением, создаваемым взаимо-
действием сил молекулярного притяжения частиц грунта. Далее
устранение пайки, т. е. сцепление упрочнения, в рассматриваемой
модели происходит мгновенно, что мало соответствует природе
длительного процесса взаимодействия влаги с лессовыми грунта-
ми при их увлажнении. Кроме перечисленных недостатков, рас-
сматриваемая модель не отражает особенностей деформируемо-
сти увлажняемых лессовых грунтов под действием объемных сил,
т. е. от действия собственного веса грунта. Для составления урав-
нения просадочного процесса, очевидно, необходимо дать модели
не только описание, но и математические выражения, сформулиро-
ванные для напряженно-деформируемого состояния среды. При
этом должны быть четко выделены те элементы среды, которые
наиболее реально отражают поведение рассматриваемого грунта
при неравновесных процессах деформации.
Для построения модели просадочного грунта будем исходить
из следующих возможных допущений. Процесс просадки предста-
вим как одномерное течение структурных элементов в пределах
некоторой области замачивания. Будем считать, что в пределах об-
ласти течения разрыв сплошности среды не происходит. Другими
словами, будем рассматривать явление просадки в пределах «ак-
тивной зоны» увлажняемого грунта. Кроме того, предположим, что
степень распыления структуры грунта, приводящая непосредствен-
но к образованию в грунте структурных (пластических) деформа-
ций, зависит только от количества влаги и не зависит от измене-
ния направления ее движения в грунте. Последнее допущение по-
зволяет исходить при построении уравнения просадочного явления
из одномерного инфильтрационного движения влаги.
Предлагаемая реологическая модель просадочного процесса
(рис. 4.9) состоит из ряда параллельно расположенных пружин <
последовательно соединенных через жесткий блок с поршнем, дви-
жущимся в цилиндре с вязкой жидкостью, и с ползуном, находя-
щимся между двумя направляющими, которые прижимаются
к криволинейной поверхности ползуна с помощью двух пружин 2,
создавая сухое трение и сцепление.
Вначале, до возникновения процесса просадки, модель находит-
ся в равновесии и характеризует неуплотненное состояние лессово-
156
го грунта. Упругие свойства грунта при этом отражаются верти-
кально и горизонтально расположенными пружинами 4 и 2. Гори-
зонтальные пружины обеспечивают, по Кулону, сопротивление
сдвигу в вертикальных сечениях грунта. Трение, создаваемое вяз-
кой жидкостью, проявляется только после нарушения равновесия
системы. При смазке (увлажнении) поверхностей соприкосновения
между направляющими и ползуном происходит постепенное нару-
шение равновесия системы. Ползун под действием исходного натя-
жения пружин 4 постепенно опускается вниз. Вертикальное пере-
мещение ползуна с помощью горизонтально расположенного блока
полностью передается поршню. Та-
ким образом, происходит нарушение
равновесия всей системы; в работу 5
включаются упругие, вязкие и плас- р----
тические сопротивления. При этом —iL *
отношение приращения сил натяже- о Ёй—
ния вертикальных и горизонтальных 1 Ё~р-1
пружин, характеризующее значение ^*7
коэффициента бокового давления
увлажняемого грунта, с течением
времени, увеличиваясь, приближа- рис. 4.9. Реологическая модель про-
стея к единице. До прямолинейного садочного грунта (по А. А. Мус-
участка поверхности ползуна умень- тафаеву):
шение сопротивления сдвигу обу-
словливается двумя факторами: сни- 7-цилиндр
жением силы трения и сцепления
при смазке (увлажнение) поверхности ползуна и уменьшением на-
пряжения в вертикально расположенных сечениях грунта. В мо-
мент, когда направляющие перейдут на прямолинейные участки
поверхности ползуна, наступит равновесие всей системы. Сила
натяжения вертикальных пружин полностью уравновесится сопро-
тивлением трения, вязкого в цилиндре и сухого на поверхности пол-
зуна. Последнее положение модели полностью отражает состояние
лессового грунта в -период истинного соответствия пористости дав-
лению. Динамика перемещения ползуна, очевидно, должна соот-
ветствовать характеру изменения просадки во времени. Для согла-
сования этих процессов форма криволинейной поверхности ползу-
на подбирается в соответствии с законом изменения просадки во
времени.
4.5. Дифференциальные уравнения процесса
просадки
Основываясь на предложенной реологической модели просадоч-
ного грунта, ниже приводится вывод дифференциальных уравне-
ний, описывающих процесс деформации в увлажняемом лессовом
грунте в условиях природного напряженного состояния. Независи-
157
мо от дисперсности и раздробленности рассматриваемую грунто-
вую толщу будем представлять как сплошную деформируемую
среду, мерой подвижности которой служат скорость перемещения
и скорость деформации частиц. Для описания равновесного состоя-
ния рассматриваемой сплошной среды могут быть использованы
уравнения как гидродинамики, так и теории упругости. Однако
следует помнить, что классическая гидродинамика, выражаемая
уравнениями Навье — Стокса, не учитывает максвелловской релак-
сационной упругости на сдвиг и объемной вязкости. С другой сто-
роны, в классической теории упругости аморфных тел, выражаемой
уравнениями Коши, не учитывается ни сдвиговая, ни объемная
вязкость. Необходимость объединения классической гидродинамики
и теории упругости в единую более общую теорию твердожидких
тел впервые отмечалась Я. И. Френкелем. В самом деле, если
учесть, что между жидкостями и твердыми аморфными телами су-
ществует лишь количественное различие, характеризуемое време-
нем релаксации, то можно построить обобщенные уравнения дви-
жения реальных тел, учитывающие как упругие, так и вязкие свой-
ства последних.
Просадочные грунты в условиях природного напряженного со-
стояния и естественной влажности ведут себя как упругие и зако-
номерности деформируемости их достаточно хорошо описываются
уравнениями линейно деформируемой среды. В случае же увлаж-
нения равновесие среды нарушается, и каждая ее частица получа-
ет определенные смещения, в результате чего среда приобретает
дополнительное напряженное состояние, нарастающее со ско-
ростью деформации. От вязкой жидкости рассматриваемая среда
в этих условиях отличается наличием сопротивления пластическо-
му течению.
Просадочный грунт будем рассматривать как сжимаемое упру-
говязкопластичное тело с квазиоднородной и квазиизотропной не-
прерывной структурой. Уравнения состояния среды, согласно вы-
бранной модели, могут быть записаны в таком виде:
а = оп4-ав=оу; е = еу4-ев; еп = ев, (4.11)
где индексы «у», «в» и «п» при напряжениях и деформациях обо-
значают соответственно упругий, вязкий и пластичный элементы.
Напряжения упругого элемента, согласно обобщенному закону
Гука (1937), для одномерной задачи описываются уравнениями:
avv = 2^ + = (X + 2р.)
tvxv = Oj;
напряжения вязкого элемента, согласно обобщенному закону
158
11ьютона, — уравнениями:
aJ=_p« + 3/4Fll^!L;
тху = О,
где PQx = PQy — составляющие давления от собственного веса грун-
та, не зависящие от скорости деформаций:
^ox = T^Voy = 7ZVYd(l + PF)y=E(^)Td(l+W9l/;
^=To!/ = Yd (1 + Ю у.
Для упрощения задачи коэффициент бокового давления грунта
и процесс просадки примем равным единице. Напряжение пластич-
ного элемента определим, согласно закону Кулона, применяемому
в теории предельного равновесия грунтовой среды:
on = (oj + a0) /,
где Ох — нормальное напряжение, действующее в вертикальных
площадках грунта; о0— напряжение, эквивалентное связности
грунта (oof=C).
Нормальное напряжение, действующее в вертикальных площад-
ках грунта, будет обусловлено упругими и вязкими силами, т. е.
-л+ч-2А.н-%-‘
Результирующее напряженное состояние, согласно форму-
ле (4.11),
а = С - Td (1 + & = Il + W {yt t)l + bfey + г/8щ (2 - f) . (4.12)
В последнем выражении характеристики грунта f, С, X, ц явля-
ются функциями влажности и, следовательно, зависят от времени
и глубины расположения рассматриваемой точки. Для составления
дифференциального уравнения состояния движущейся грунтовой
среды будем исходить из обычмой эйлеровской формы уравнений
гидродинамики. Для одномерной задачи с учетом действия объем-
ных сил получим
(4.13)
dt 1 8 ду 1 р ду ' '
Это выражение, исходное для вывода интересующей нас зави-
симости, полностью совпадает с уравнением состояния движущейся
сыпучей среды, использованным Г. А. Гениевым. При статическом
состоянии грунтовой среды выражение (4.13) совпадает с диффе-
ренциальным уравнением равновесия линейно деформируемой сре-
159
ды. В момент стабилизации просадки, когда скорости деформаций
остаются неизменными как во времени, так и в пространстве, вы-
ражение (4.13) опять переходит в дифференциальное уравнение
равновесия упругой среды.
т, dS dS
Используя известные соотношения vs = еУ=~ду~ и учитывая
выражение (4.12), уравнение (4.13) представляем в виде
d*S . dS d*S _у 1 g
dt* “Г dt dy dt “ ' Ys(l-u)(l + IV) X
x[-g—ts(1-u)(1+/)(H-W)-Vs(1-u)x
X У (1 + И0 v~Vs (1 -u)y (1 +/)
(4.14)
В объемную силу должна быть включена сила давления фильт-
рационного потока. Исходя из обобщенного закона Дарси, по-
дучим
lz = To + * 1 * *f4’=Ts(l-“)(l+W7) + ^-^
Выразим скорость фильтрации через влажность:
j dh
v = — к—,
dy ’
где
h = —у; РЛ(ИЭ = а-₽ИЛ.
Тогда скорость фильтрации определится выражением
JL=1 Р
к yw дУ
Для объемной силы имеем
y=Vs:(i-U)(i+vv)+Vw-₽^.
Подставив последнее выражение в уравнение (4.14), оконча-
тельно получим
d*S . dS d*S . . d*S , z TX7\ d*S I z, w\ d*S I
dt* “1“ dt dy dt ~t~a8 ^U' dy* dt “Ьаг дУ dt 6 ’ ' dy*
+ M«. W) -g-+a4 (у, ИЭ-^+аДи,
+ аг (У. Ю - at (u, W) = 0, (4.15)
«IGO
где
"i(“. W,) = tw+ts(1 — ы)(1+Ю;
а2(у, Ю = £ (i + f + y-^) ;
W)=- Т8(1_4,та i +
«7 (“, W) = 3ts(1-“)(1+w) «7 м (2—
«8 («. Ю = 3Ts(i-4(i+w') И (2 — /) •
Уравнение (4.15) содержит три неизвестные функции S'(y,t)9
W(y,t), u(y,t). В качестве одного из дополнительных уравнений,
связывающего искомые функции, примем условие неразрывности
деформируемой среды
4*+2_(р _£.)=();
dt 1 ду \r dt / ’
ИЛИ
dS । d2S . dS dS
dt “TP dydt ' dt dt ~U’
Так как p = Ys/g(l—и) (1 + №), то
d2 S . 1 dW 1 du ./ 1 dW 1 duh dS _n
dydt “Г i + W dt 1 — и dt "• ( 1+W dy 1 — и dy ) dt ~U*
(4.16)
Для получения замкнутой системы уравнений просадки необхо-
димо составить дополнительно еще одно уравнение относительно
неизвестных функций S(yt t) и 1Г,(г/, t).
4.6. Замыкающее уравнение
Ввиду чрезвычайной сложности явления фильтрации в процессе
просадки вывести в общем виде дифференциальное уравнение для
распространения влаги в деформируемых лессовых грунтах не
представляется возможным. Поэтому можно использовать прибли-
женные приемы.
Просадочный процесс в условиях природного напряженного со-
стояния, как правило, возникает при значительных мощностях од-
нородной толщи лессовых грунтов. В этих условиях, как было
подробно освещено в предыдущих главах, явление фильтрации как
при просадке, так и после ее стабилизации происходит при непол-
ной насыщенности грунта. Поэтому влиянием просадки увлажняе-
мой толщи грунта на фильтрационный режим с некоторым допуще-
нием можно пренебречь, и за основу решения задачи принять не-
161
стационарный фильтрационный режим увлажнения в недеформи-
руемой однородной и изотропной среде. Тогда для установления
закономерностей распространения влаги может быть использова-
но линеаризованное уравнение насыщенности грунта (2.76).
Некоторую поправку вносит изменяемость в процессе просад-
ки коэффициент влагопроводности грунта. В самом деле, если счи-
тать, что функция 0(f) в уравнении (2.78) определяет переменное
во времени осредненное в пределах деформируемой зоны значение
коэффициента влагопроводности грунта, то уравнение (2.93) может
быть использовано для приближенного определения закономерно-
стей распространения влаги в деформируемой при увлажнении
толще лессовых грунтов. Перемещение частиц фильтрующей грун-
товой среды можно учесть следующим образом. Пусть каждому
положению частицы грунта в определенный момент времени соот-
ветствует некоторая влажность W. Тогда совокупность значе-
ний W образует некоторое поле и при движении частиц грунта W
будет изменяться как в силу нестационарное™ поля (локальное
изменение ТГ), так и вследствие перемещения частиц с течением
времени из одного пункта поля в другой (конвективное измене-
ние IT). Полная индивидуальная (субстанциональная) производ-
ная во времени от W будет складываться из локальной производ-
ной dWjdt и конвективной производной
dW dx dW dy
dx dt dy dt *
Следовательно, для субстанциональной производной от скаляр-
ной функции W будем иметь
3W.dWdx.dW dy
dt dx dt * dy dt ’
dx du
где производные и определяют проекции скорости смеще-
ния отдельных частиц грунта на координатные оси и являются ком-
понентами скорости деформации, т. е.
dx . а' _ dy
~dt' ^~df
S\
Окончательно получим
dW С' dW _C' dW A (t\ I d*W 4- d*W )
-7f+5^+^-v-0 w •
Последнее уравнение полностью совпадает с уравнением кон-
вективного теплообмена Фурье—Кирхгофа.
Следующий возможный путь получения уравнения распростра-
нения влаги в деформируемой грунтовой среде может быть основан
на использовании уравнения неразрывности ненасыщенного грунта,
162
которое для одномерной задачи можно представить в виде
dw ________dv_
dt ду
(4.17)
Используя соотношение между влажностью грунта и его коэф-
фициентом водонасыщения
W = ^- IW\
Ys
преобразуем уравнение (4.17)
в т+Аг 4=-. (4.18)
dt 1 w dt yw dy ' '
Фильтрация при неполном насыщении грунта определяется
обобщенным законом Дарси:
1 Р > dW
и = кф--— к& ,
Ф YW ф дУ
С учетом осредненного значения коэффициента водопроницае-
мости, определяемого выражением (2.75):
v=k_J-k ™ к-е
yw dy ду
откуда уравнение неразрывности примет вид
(4.19)
dt 1 w dt yw ду9 ' 7
Изменение коэффициента пористости грунта в зависимости от
напряженного состояния последнего дается компрессионной кривой
е=е(о). По Н. М. Герсеванову, обычно принимают е=е(<&). При
практических расчетах, учитывая относительно небольшой диапа-
зон изменения напряжений в скелете грунта, обычно эта зависи-
мость принимается линейной:
«=—^-0+4. (4.20)
Для одномерной задачи
е = е0— ас. (4.21)
Свойства лессовых грунтов при их увлажнении подвергаются
существенным изменениям, поэтому естественно полагать, что ко-
эффициент уплотнения в рассматриваемом случае должен быть
функцией влажности, т. е.
е = е0-а(ТГ)о. (4.22)
Из этого уравнения следует, что
(4.23)
6*
163
С учетом выражений (4.22) и (4.23) уравнение (4.19) примет
вид
г /т»7\ 1 т да (IV) т /жжг\ дх ys
[е0-a (W) a] -^—Iwg—±-1— Iwa (PF) =-&- в .
Подставляя значение коэффициента водонасыщении грунта, по-
лучим
[е0-a(W)о] ^—WG-^p—Wa(W)^-=ys/yvWaale-^-. (4.24)
Представим выражение (4.12) в виде
а = С-Т8(1-и)У(1+/)(1 + Ю+Х/-^-+ а/аИ1(2-/)^-,
(4.25)
откуда
тг=4г-тв(1-и)4(1+И7)^-+(1+/)^г]+
+ Те (1 + /) у (1 + W) ^+± (₽/) 4+
+ ’/»Hi (2—/) (М1(2 —/)] -
Подставляя последнее выражение в уравнение (4.24), для рас-
пространения влаги в процессе просадки окончательно получим
[е0-а (PF)a] ±W_-Wa(PF) {-£—to(1- «О X
X У [(1 + IF) 4+(1 + /) 4] + Ye d+ /) У (1 + W) % +
+4W)<+’^.(2-n ^ +
+%A[Hl(2_/)]4fr} = ^lFJO(e^-. (4.26)
Уравнения (4.15), (4.16) и (4.26) составляют замкнутую систе-
му уравнений просадочного процесса
4.7. Начальные и граничные условия
процесса просадки
Начальные условия для решения сформулированной выше зада-
чи при О</^/о могут быть заданы:
5 = 5(у, t) = 0; е = е(у, t) = e09
W = W(y, t)~W0(y, t). (4.27)
164
Функция W0(y, t) представляет собой распределение влажности
в грунте до возникновения просадочных процессов и определяется
решением параболического уравнения с постоянным коэффициен-
том влагопроводности замачиваемого грунта 0О:
Wo_ fl JWo_
dt — 0 ду*
при следующих начальных и граничных условиях: W(y, О) = №о»
W(0, t) = Wsat.
В момент стабилизации просадочных процессов скорости про*
садочных деформаций в любой точке грунта должны равняться
нулю, т. е. S'(y, 7)=0. Распределение влажности при этом носит
неустановившийся характер и определяется решением параболиче-
ского уравнения с постоянным коэффициентом влагопроводности
грунта 0Л:
dw _ fl d*W
dt ~ U° dy* ’
При следующих начальных и граничных условиях:
W (у, 7) = Wo (у, Г); W (5 (О, Т] =
Если момент стабилизации просадочных процессов совпадает
с периодом образования в толще замачиваемого грунта установив-
шегося фильтрационного потока, то в этом случае в области
фильтрации будет постоянная влажность, равная предельной вла-
гоемкости грунта. Краевые условия представляют собой значения
искомых функций на границах деформируемой области. На по-
верхности грунта в условиях природного напряженного состояния
в процессе просадки нормальная составляющая напряжения
должна равняться нулю, т. е. o(S(0, /), /]=0, или с учетом (4.25)
1С-?,(1-и)(1+/)У(1+иэ+л/-§-+
+i/su1(2-/)^rl =0. (4.28)
I 8П \ // QyQt |v==S(0, f)
Кроме того, на поверхности грунта в течение всего процесса
просадки влажность может быть принята постоянной и равной
предельной влагоемкости грунта, т. е. Wsat- В любой точке актив-
ной зоны, т. е. зоны просадки, при деформации выполняется усло-
вие предельного равновесия. Согласно закону Кулона, напряжение
пластического элемента определяется выражением
ап = а,/ + С = С - Vd (14- V) fy + А/ г/,И/ .
С другой стороны, из уравнения состояния модели (4.11) имеем
ап=а*-а1> = (А+2И) -g-+?d(l
165
Тогда условие предельного равновесия движущейся среды
-2И (ИО] -g— 2/а(л (Ю [f_(W)-21 g^-=0. (4.29)
Кроме указанных условий можно предположить, что величина
просадки, начиная с определенной глубины у>уи, с удалением от
поверхности грунта затухает до нуля, т. е. S(y-*~co, t) = 0. Реше-
ние системы уравнений (4.15), (4.16) и (4.26) при указанных выше
условиях представляет большую математическую трудность. Ос-
новная трудность заключается в том, что как сама система, так и
граничные условия являются нелинейными. Кроме того, из-за пере-
менности характеристик грунта при просадке система основных
уравнений имеет чрезвычайно сложный вид.
Общего метода построения решений сформулированной задачи,
по-видимому, не существует. По этой причине изучать исследуемое
явление можно приближенными путями.
Заранее задаться законом распределения влажности в процессе
деформации движущейся грунтовой среды, отвечающим некоторо-
му среднему значению изменяющегося во времени поля влажности.
Такая постановка в некоторой степени может быть обоснована
тем, что распределение влажности в лессовых грунтах, как это не-
однократно отмечалось выше, происходит при неполном насыще-
нии грунта водой вплоть до наступления периода стабилизации
просадки. Вследствие этого дискретные значения влажности в те-
чение всего периода просадочного процесса, по-видимому, подвер-
гаются несущественным изменениям. При этом вид третьего замы-
кающего систему уравнения (4.26) значительно упростится и за
основу определения закономерностей распространения влаги
можно принять параболическое уравнение (2.93).
Прибегнуть к приближенным методам, позволяющим в той или
иной мере упростить полученную систему уравнений. Возможно-
сти использования всякого рода упрощений полученных уравнений
весьма широки. Одним из упрощающих предположений может слу-
жить постоянство значений характеристик грунта в процессе про-
садки, или вернее, осреднение их. Действительно, пр« некоторых
осредненных значениях характеристик С, f, ц, а система уравнений
(4.15), (4.16) и (4.26) примет такой вид:
. ds d2S . z IIZ4 d*s . . TJZ4 _
dt2 dt dydt -Ьа8(и» Ю dy2dt^~a^^U' X
* W)^-+aa(u, IV) = 0;
d'*S । 1 dW 1 du । / 1 dW 1 du \ dS __Q.
dydt । dt i — u dt "Ц i-l-W dy ~~ i — u dy / dt ~~ ’
(4.30)
166
«. - w ^r~w° [ -ъ V - “) У V +o тг+
+т8(1+/)У(1+Ю-^-+х/^+/>-§-Н
+ ’4н.(2-/)^]-^^б^=о,
где
М«> Ю = ^(1+/)-Тиг“Т8(1-и)(1+1У).
Кроме того, если считать, что течение грунта при просадке про-
исходит медленно, то членами, квадратичными относительно ско-
рости просадки, можно пренебречь так же, как это делается
в теории медленного течения вязкой жидкости. Можно также ис-
пользовать при этом метод Озеена, сводящего задачу движения
вязкой жидкости к обобщенному уравнению Стокса, частично учи-
тывающему и квадратичные члены инерции. Система уравнений
(4.30) при предположении медленного течения просадки примет
следующий вид:
W)^+a2(y,W)^ + a3(u,W)=0-,
d*S 1 dW 1 ди . j 1 dW i du \ dS
dy dt + l-j-W dt 1 — и dt • ( 14-W dy i — u dt / dt
-%f-+
+vs a+/) hi+ю >+*/ ^-+/4- >+
Использование подобных путей для решения сформулирован-
ной задачи о просадке и выявление эффективных способов реше-
ния конкретных задач, имеющих практический интерес, является
предметом специального исследования. Наша же цель заключает-
ся в том, чтобы при определенных упрощающих предположениях
и при максимальном абстрагировании исследуемого явления в пер-
вом приближении математически сформулировать задачу о проса-
дочном процессе. Надежность исходных предположений, а следо-
вательно, и законность математической постановки такой задачи,
безусловно определится при решении практических задач и сопо-
ставлении полученных результатов с опытными данными.
167
4.8. Метод анализа уравнений для установления
критериев подобия процесса просадки
Установим критерий подобия исходя из анализа полученной
замкнутой системы дифференциальных уравнений просадочного
процесса. Для этого рассмотрим два подобных между собой про-
цесса просадки, протекающих в лессовом грунте. Все величины,
относящиеся к первому из них, будем отмечать индексом 1, а ко
второму — индексом 2. Тогда для первого процесса имеем сле-
дующие уравнения:
уравнение динамического равновесия (4.15)
aa5i dSr __ Toi । Ywi I___1_ ^i j Т0У1 ^/1 I
dt* * dtx dy dti Pi "I- 'Г Pi dy! pi dyt
I ^1/1 j______dS 1 d (M/i) _ Toi _T01/1 1 У1 &xi 1
Pi дУ2 ' Pi дУ1 дУ1 Pi Pi Pi дУ1 '
I У1/1 ^Toi
Pi дУ1 3 Pi 3^4 Р15У1^1 '
1__4 gggj дЦ1 2/ /j daSi dRi 2/ Pi a2Pi g/i
3pi дуг dtr dy! 3 Pl dy! dtr dyt 3 px dy dt! dyr
уравнение сплошности (4.16)
уравнение распространения влаги (4.26)
км—“1 (W^t) ffil ~—
- Wtat (Wt) {-g—Ts< (i - «,) /. [(i + iv,) -|£+( i + /,) +
+ у«(1+/1)У1(1+Ю^-+а,/1^г+^гх
x Vi >+ 24h (2 - /1) X
Введем в рассмотрение безразмерные отношения (масштабные
множители) для: глубины (включая ординату у) fh = h2/hi’, просад-
ки fs=S2/Sf, времени Л = ^/Л; плотности грунта fP==p2/pi; коэффи-
циента проницаемости fk=k2[kx\ скорость фильтрации =
удельного веса грунта Ао = 702/701; удельного веса воды fyw=
= 7га/7Г1; удельного веса частиц грунта — силы сцепле-
ния грунта fc = c2lc\\ коэффициента трения грунта //=/г//1; коэффи-
циента сжимаемости грунта fa—a,dct\\ коэффициента Ляме =
=X2Ai; динамической вязкости /ц=Ц2/ць влажности грунта fr=
168
пористости грунта fn=n2/nl\ коэффициента пористости
грунта Д>0 = £02/201; коэффициента влагопроводности грунта fe =
62/61; уплотняющего давления fa= 02/01.
Для второго просадочного процесса, происходящего в модели,
система основных уравнений при использовании масштабных мно-
жителей получит следующий вид:
уравнение динамического равновесия
Js dsr __ fvfvw I fa 1 dCfa .
ft dtl f?ffc dh dVidti Шр *iPi * \fpfh pi дуг
I YoiPi d/1 I flfafs W1 d*Sr t
' fp Pi fptl Pi dy* '
I 1stiff 1 dSi dXj/j I fy0 yi У1/1 dyoi 1
' fpfn1 Pi дУ1 дУ1 ' /р pi дух • fp pi 0И '
f fpfs Pi 03Si 2/ fpfsff Pifi d3pj_____________________4 fJn d*St dPl _
3 fpflft Pi дУ12дЧ. 8 fsfRft Pi dy*dtx 3pi fpPhfidytdtt дУ1
2/ A fat stp d*S dPi 2/ Pi v
3 Pi fpflfa дУ1д1г дУ1 'з Р1 A
у tptstf d*St dft .
fpfl dyidtl дУ1 1
(4.31)
уравнение сплошности
fp_ 2Pl 1 Jpf£__L / _£Si\ 0. (4.32)
ft fhft дУ1 dtl / u’ k '
уравнение распространения влаги
^eofw _ dWi fafafw /тт/ \ dWi
~ ~дГг-------------Tt-- 1 (Ж,) Q1 ~~dfa--
Msfa WtOi _fwfaWlat (JV,) X
x fvsfhfnySiytnl+
+ fvgfhfwystytWt—fvgfhfwys^tUtW,) X
X Tt — f'tsfhfnfsiytnt +
+ fvgfhffySiytft — fvsfhfnffys^tni x
* ft '^"~§i^~~\'T(fvsfhye1yi-i-fvsfhffysiyi X
x /1 + /vs/h/wTSi£flWZt -|- fysfhfjfw X
169
Y V U f W дП1 I _L_
I fkftfs & (^>1/1) I 4 / fa/a d9Sj ___________
fhft °h дУ1 * '* fhf2 И1 дУ1 dt2
____2/ fvfffa ,. / 03^l 1 4/ fyJs dHl 0*$! 2/ v
8 fhf2t Midyidt^ '* fhf* dh dyidh '»X
у fffpfs f d2^! _________ 2/ fyjffe Ofl d8$i ________
fhf2t H Oh dV1dtl '3 fhf2 Pi dil dyidtj —
___Ys1Wrn101 a»py1
“ АЛ vW1 ~^T‘
(4.33)
Вторая система уравнений полностью соответствует первой»
вплоть до произведения масштабных множителей.
Для совместимости обеих систем должны удовлетворяться сле-
дующие условия:
из уравнения (4.31)
fs___ _ ^Vo _ fvflw __ fa . fkfaff ___
fl ~ f2tfh fp ihfp ~ fpfh fpfi ~
_____ __ fyj» ____ flfpfa _ ,
fp fpflft fpf2h fpPh ’
из уравнения (4.32)
fp fpfs .
ft fhft ’
из уравнения (4.33)
ft ft ft f wf af у hf nff fw^nffgfl ft " fwf afy^hfnff
ft ft fwfafyjh f^of afyj n ft “ f wfafy^fhfn
ft ft fwfafkfffs fwfafpfs ft — fwfaty^hf/fn
ftfh fhftTuJo . fwfafMs _ 4 ft — fwfo
M fyw fk ’
Подставив в полученные условия значения масштабных мно-
жителей и составляя всевозможные комбинации равенства, полу-
чим 47 условий. Исключив повторяющиеся из них, будем иметь сле-
по
дующие восемь критериев подобия:
1) 5/ft = idem;
2) ср = idem;
3) Лр£/уюа==1(1ет;
4) C/(yoh) = idem;
5) lf/p, = idem;
6) PK/n = idem;
7) a/C=idem;
8) o/X=idem.
(4.34)
Процесс в натуре будет подобен процессу в модели, если симп-
лексы (4.34) инвариантны, т. е. имеют одинаковые значения для
модели и для натуры:
4) Sn/hn — SJh^\ 5) р,ц = р,м;
2) <Рн=ФМ; 6)
317^1 ’ <‘-ЗД
-Х 8>»А-«Л.
При изучении просадочного процесса можно выявить в услови-
ях модели проявления таких свойств грунта, как упругость, плас-
тичность, вязкость и др. Лучше всего эти свойства проявляются
в том случае, когда материал модели идентичен материалу нату-
ры. Моделирование возможно и на эквивалентных материалах, но
моделирующий материал должен быть подобран так, чтобы сохра-
нились основные свойства материала натуры. При моделировании
на эквивалентных материалах необходимо в каждом случае ме-
нять значения показателей свойств грунтов в соответствии с общи-
ми масштабными изменениями модели.
Покажем, что просадочный процесс в лессовых грунтах, проис-
ходящий в условиях природного напряженного состояния при со-
хранении свойств грунта постоянными, в обычных условиях не мо-
делируется. На самом деле, имеем:
фн = Фм» Тон = Том; ан —
Сн = С*м» Рн “ Рм> Р-Н = Рм»
Хн = А,м; TwH = Т^м; ~ ^м>
И7н = жм; TsH = TsM; ен = ем.
= = вм;
Из условия 4 в (4.35) hH = hM. Тогда из условия 1 получим SH =
= SM и поэтому условие 3 даст /н=*м, т. е. модель должна совпа-
дать с натурой.
Таким образом, при сохранении свойств лессового грунта изу-
чение просадочного процесса возможно только в натурных усло-
виях. Действительно, в условиях природного напряженного состоя-
171
ния просадочный процесс в лессовых грунтах протекает в гравита-
ционном силовом поле. Очевидно, в этих условиях моделирования
просадочного процесса можно достигнуть только при изменении
свойств исследуемого грунта в модели. При сохранении же
свойств грунта эксперименты должны проводиться не в гравита-
ционном, а в создаваемом по принципу известного центробежного
моделирования модельном силовом поле, позволяющем выбрать
масштаб моделирования сил независимо от линейного масштаба
модели.
Проанализируем полученные критерии (4.35) в условиях цент-
робежного моделирования.
Из условия 1 имеем:
Sn = hHSu/hK=lSM, (4.36)
т. е. просадка в натуре может быть получена путем умножения
просадки в модели на геометрический масштаб моделирования.
Условия 2 и 6 при сохранении свойств грунта удовлетворяются
тождественно. Условия 7 и 8 приводят к тождественным равенст-
вам. Из условия 4 получаем
Z = hnt hu — уом/Тон»
откуда уом—Л^он, т. е. объемный вес грунта в модели должен пре-
вышать натурное значение во столько раз, во сколько модель мень-
ше действительного размера. Последнее условие, как известно,
тождественно обеспечивается в центробежном силовом поле. Из ус-
ловия 5 имеем т. е. время в модели равно времени в натуре,
что также согласуется с теорией центробежного моделирования,
в соответствии с которой при деформации грунта, происходящей
за счет сжатия воздуха, масштаб времени получается равным еди-
нице. Тогда условие 3 примет вид
SH/SM = (А:мрм/рм): (/снрн/рн)- (4.37)
Из теории фильтрации известно, что объемная сила сопротив-
ления, действующая в каждой точке фильтрационного потока и на-
правленная противоположно направлению скорости фильтрации,
А= — gv/k9
откуда
Ajp/n = pgM = y0/A
Если в соотношении (4.37) подставить последнее равенство, то
получим
SH/SM — (?0мМм) ’• (уонМн)«
Так как то сила сопротивления фильтрационному по-
току в модели и натуре будет иметь одно и то же значение, т. е.
172
Лм=?А„. Тогда будем иметь
5Н/~ ^Он = ^Тон/У Он =
Как видно из этого выражения, условие 3 по смыслу совпадает
с условием 1, т. е. представляет собой условие геометрического по-
добия деформации.
Таким образом, выявленные из анализа системы дифференци-
альных уравнений просадочного процесса критериев физического
подобия полностью удовлетворяются в условиях центробежного
силового поля.
4.9. Метод анализа размерностей для установления
критериев подобия процесса просадки
Рассмотрим возможность построения критериев подобия проса-
дочного процесса, исходя из л-теоремы. Согласно этой теореме,
всякое уравнение, связывающее между собой физические величины,
среди которых п величин обладают независимыми размерностями,
может быть преобразовано к уравнению, связывающему М—л без-
размерных комплексов и симплексов, составленных из этих вели-
чин. Для применения этой теоремы составим перечень всех этих
величин (вместе с их размерностями), которые являются сущест-
венными для процесса просадки.
Пусть требуется установить критерий подобия для просадочного
процесса, протекающего в однородной толще лессового грунта
в условиях природного напряженного состояния. Рассмотрим слу-
чай одномерного замачивания толщи грунта из котлована, имею-
щего в плане достаточно большие по сравнению с мощностью
грунта размеры. Скорость фильтрации при замачивании толщи
грунта, очевидно, будет функцией глубины и времени. Кроме того,
эта величина будет связана с граничными значениями напора
(уровнем воды в котловане).
Введем в рассмотрение среднюю скорость фильтрации в толще
грунта, определяемую выражением
н т
vo=~jt $ J ^dt-
о о
Примем, что прочность рассматриваемой толщи Н в основном
определяется сцеплением упрочнения, характеризуемым постоян-
ным значением силы сцепления Со. На основании имеющихся в ли-
тературе опытных данных и наблюдений примем, что в процессе
просадки определяющими факторами (параметрами) являются
мощность толщи грунта, средняя скорость фильтрации в толще,
сила сцепления и время протекания процесса t. Введем новые раз-
мерные параметры, от которых зависит просадочный процесс:
влажность толщи WT, ее вес go и пористость Ао-
173
Влажность толщи представляет собой объем воды, содержа-
щийся в замачиваемом объеме грунта АН:
Wf = W —АН.
yw
Вес толщи грунта — вес замачиваемой толщи грунта в естест-
венном состоянии:
£о = ЯА/(1 4-e0) = Ys-
Пористость толщи, объем пор в рассматриваемой толщи грунта
в естественном состоянии:
п0 = е0/ (i+e0)=HA.
Сведем все постоянные и переменные параметры в табл. 4.4.
Таблица 4А
Параметры Обозначение Размерность Единица измерения
Мощность просадочной толщи Н L M
Удельное сцепление Со QF~2 МПа
Средняя скорость фильтрации LT~' м/сут
Влажность толщи wT L3 м3
Вес толщи go Q кН
Пористость толщи По L3 сут
Время протекания процесса t T м3
Абсолютная просадка толщи S L ; м
Решение рассматриваемой задачи следует дать в безразмерных
переменных, к которым предъявляется только одно требование:
они должны представлять собой произведение степеней размерных
величин, существенных для процесса просадки. Согласно методу
анализа размерностей, не высказываем никаких предположений
ни относительно числа этих переменных, ни относительно их функ-
циональных связей друг с другом. В соответствии с основным до-
пущением этого метода между всеми величинами должна сущест-
вовать степенная функциональная зависимость.
Безразмерные переменные имеют вид
SuHkv^W^oC-nyot^
где символами w, k, т, п, q, х, yt z обозначены неизвестные нам*
пока еще степени. Если теперь в этом выражении заменить каж-
дую из величин соответствующей ей размерностью, то для размер-
ности самой переменной получим
LuLh [L3]™ Q* [<2L"2]X \L3]y Tz.
Условием безразмерное™ всего выражения в целом является?
равенство нулю суммы показателей степени при каждом из симво-
174
«лов первичных величин. По числу первичных величин, которое от-
вечает рассматриваемой проблеме, получим три уравнения для оп-
ределения восьми показателей:
для длины L: и+Л + т+Зл—2х+3«/=0;
для времени Т: z—m = 0;
для веса Q: g+x=0.
Таким образом, число показателей, для которых значения мо-
гут быть выбраны произвольно, равно 8—3 = 5. Пусть это будет,
например, п, л, q, у, z. Тогда остальные показатели k и т, х опре-
деляются через них. Решая полученную систему уравнения относи-
тельно Л, т, х, находим х=—q\ m=z\ k — —2q—Зу—Зп—z—и.
Если теперь вновь вернуться к самим величинам, то безразмер-
ная переменная примет' следующий вид:
5иН'м-3У-3п-^ии^^С-^пУ1{.
Свободой выбора значений л, л, q, yt z распорядимся таким об-
разом, что будем поочередно приравнивать одно из них единице,
а остальные — нулю:
для u=l n = q=y = z = 0, S/H—IIi;
для л=1 n = q = y = z — О, для Р7ГШ3 = П2;
для 9=1 u = h = y = z=O, g0/C0H2 = TI3]
для j/=l u = n = g = z = O, л0/Я3 = П4
для z = l u=n=q = y = O, v0t/H = n5.
Итак, искомая функциональная зависимость должна связывать
пять безразмерных комплексов Пь П2, П3, П4, П5
П, = 81Н = /(П21 П3, П4, П5).
Полученный результат отвечает общему принципу л-теоремы,
так как число критериев получается равным М—п (где М=8 —
размерные величины по табл. 4.4; л=3 — основные единицы). Про-
анализируем полученные критерии подобия.
Первый критерий П1=£//7 определяет геометрическое подобие
между натурой и моделью
S„/Hn=SJHUl
'Откуда
5н/5м = Ян/Ям=г; SH = Z5M.
Второй критерий, объединяющий физические и геометрические
величины увлажняемой толщи грунта:
П WT — _w W
2 Я3 Я3 ~*
Из этого выражения видно, что для данного вида и состоянйя
лессового грунта процесс просадки, зависящий от значения пара-
175
метра П2, определяется также отношением горизонтальных и вер-
тикальных (в разрезе) увлажняемых площадей. Последнее поло-
жение хорошо согласуется с имеющимися в литературе опытными
данными и натурными наблюдениями. Для подобия процесса в на-
туре и в модели, очевидно, должно выполняться условие
или
__ *VdH^H _ Td-^м
yWHH* ~W”yWMH'M'
Если геометрический масштаб моделирования равен Z, то
Тогда
Yu>H Tu>M
При моделировании с сохранением свойств грунта постоянны-
ми №н=№м и 7»н = 7»м, поэтому 7dH = 7dM. Таким образом, при мо-
делировании процесса просадки с сохранением свойств грунта по-
стоянными, второй критерий удовлетворяется тождественно.
Третий критерий объединяет физические и механические пара-
метры, а также геометрические размеры увлажняемой области
грунта
——— НА
П = g° = 1 —
3 Со№ С0Яа С0(1 + е0) Н’
В этот параметр в отличие от второго входят сила сцепления и
коэффициент пористости лессового грунта, которые, как известно,,
имеют также решающее значение в процессе просадки.
Для подобия процесса просадки в натуре и модели должно вы-
полняться условие
П? = П?
или
Тан_________ Там______^м
Gm О+вон) Ян СОМ(1~Ьеом) Ям
Если моделирование выполняется с сохранением свойств грун-
та постоянным, то последнее условие, т. е. третий, критерий, вы-
полняется тождественно, так как
Аы = ^-А„; Hk=±Hh.
176
Четвертый критерий
nt = -^-=7-r- НАШ3 --------------------------
4 Я3 1_|_во 14-е0 /уз
также при сохранении свойств грунта постоянными удовлетворя-
ется тождественно, так как
«он Аи __ еом Аи/12_________ еом Ан
14-«он Щ 14-«ом Н212 “14-«ом •
Пятый критерий определяет равенство
Рок<к/Ян = -^- ,
ям
откуда
/ __ Р0Н 4 ____ 1 Гон +
77—гн— ‘
v0M Нц < ^ом
Если при проведении опытов в модели скорость фильтрации
в образце грунта ненарушенной структуры будет равна натурному
значению этой величины, то процесс просадки в модели ускорится
н Z раз. Если же опыт проводится в центробежном силовом поле,
то скорость фильтрации в модели ускорится в Z2 раз, т. е. ^ом =
= ZuOh. Поэтому =
Таким образом, в этом случае процесс просадки ускоряется
в Z2 раз. Если полагать, что просадка толщи лессовых грунтов от
действия собственного веса в натуре может продолжаться в тече-
ние одного года, то в центробежных машинах, допускающих мас-
штабы моделирования порядка 100, этот процесс, сохраняя физиче-
ское подобие, может быть осуществлен в течение /м = 100~2-360Х
Х24«1 ч.
Последнее обстоятельство достаточно наглядно показывает
преимущество использования центробежного способа для модели-
рования процесса просадки.
4.10. Экспериментальные исследования процесса
просадки в центробежном силовом поле
Исходя из приведенных выше теоретических соображений были
проведены экспериментальные исследования по моделированию
деформации увлажняемых лессовых грунтов в центробежном сило-
вом поле. Для этой цели аналогично принципиальной конструк-
тивной схеме малогабаритной центрифуги ВНИИ ВОДГЕО по
специально разработанным чертежам была изготовлена центров
бежная машина. Задача исследования заключалась в моделирова-
нии процесса просадки в однородной толще лессового грунта вто-
рого типа по просадочности мощностью И=30 м от действия толь-
ко собственного веса грунта. Предполагалось, что замачивание
177
толщи рассматриваемого грунта осуществляется периодически из
котлована, имеющего в плане размеры 30X30 м. Весь цикл увлаж-
нения толщи грунта разделен на периоды, которые определяются
продолжительностью фильтрации имеющейся в котловане воды
в грунт. Подача в котлован каждой порции воды в количестве
30X30X1=900 м3 повторяется после достижения условной стаби-
лизации деформации толщи грунта от предыдущего периода
увлажнения. Процесс увлажнения продолжается до момента на-
ступления полной стабилизации деформации толщи.
Моделирование процессов увлажнения и просадки в центрифуге
производили в такой же последовательности. Вначале определяли
необходимое для увлажнения образца грунта в модели в течение
первого периода количество воды q, соответствующее натурному
значению Q = 900 м3, т. е. (? = Q//3=333 см3. Масштаб моделирова-
ния I при принятой в опытах частоте вращения центрифуги
= 1000 mihh"1 находили по формуле
где R — расстояние от оси вращения до центра тяжести модели.
Грунты, подвергающиеся исследованию, отбирали в виде моно-
.литов из шурфов опытного участка, расположенного в районе Мин-
гечаура. Увлажнение и замеры деформаций исследуемых образцов
грунта в каретке центрифуги осуществляли по специально разра-
ботанной методике. На основе проведенных замеров деформации
грунта в модели были построены графики изменения деформации
грунта в течение каждого периода и всего цикла увлажнения
вплоть до наступления стабилизации. В конце опыта, т. е. после
стабилизации деформаций, были определены физико-механические
параметры уплотненных в каретке центрифуги грунтов. В табл. 4.5
приведены изменения физико-механических характеристик исследо-
ванных образцов просадочного грунта при центробежном уплот-
нении.
Таблица 4.6
Параметры Значение параметров
до опыта после опыта изменение. %
Влажность 8,51 22,3 162
Коэффициент водонасыщения 0,28 0,74 157
Удельный вес, кН/м3 16,2 19 17,3
Удельный вес сухого грунта, кН/м3 14,9 15,5 4
Пористость, % 45 42,8 5
Коэффициент пористости 0,818 0,748 8,5
Удельное сцепление, МПа 0,087 0,019 80
Угол внутреннего трения, град 30 26 13,3
178
Как видно из табл. 4.5, в процессе увлажнения просадочный
грунт в центробежном силовом поле подвергается уплотнению.
Уплотняющая нагрузка под действием центробежной силы 5656 Н
была определена равной 0,38 МПа. Несмотря на компрессионное
уплотнение грунта в модели, прочностные его показатели под.
влиянием увлажнения уменьшаются: удельное сцепление на 80%
а угол внутреннего трения на 13,3%. Эти данные полностью согла-
суются с результатами лабораторных и натурных опытов.
Уплотненные грунты в модели подвергались вторичным испы-
таниям на просадочность по стандартной методике двух кривых.
Полученные значения относительной
просадочности грунта при различных вели-
чинах уплотняющей нагрузки сравнива-
лись с соответствующими исходными дан-
ными. Как видно из рис. 4.10, относитель-
ная просадочность грунта в результате
центробежного уплотнения снижается в
пределах 41...89%, причем степень умень-
шения относительной просадочности зави-
сит от уплотняющей нагрузки. При давле-
ниях до 0,2 МПа степень уменьшения от-
носительной просадочности грунта моно-
тонно возрастает от 42 до 83%. При даль-
нейшем увеличении уплотняющей нагрузки
степень снижения относительной просадоч-
ности сохраняет постоянное значение, рав-
ное 82...84 %.
Рис. 4.10. Изменение от-
носительной просадки от
уплотненного в центри-
фуге грунта /при различ-
ных значениях уплотняю-
щих нагрузок
На рис. 4.11, по данным опытов в модели и натуре, построены
кривые изменения деформации лессовых грунтов во времени. Не-
которое расхождение в характере изменения просадки во времени
в натуре и модели объясняется различием осуществленного в опы-
тах процесса увлажнения грунтов, увлажнение толщи грунта в на-
туре происходило непрерывно с сохранением постоянного слоя"
воды в котловане, а в модели — периодически с подачей воды оп-
ределенными порциями.
С известным допущением кривые изменения просадки во вре-
мени в натуре и модели могут быть приняты подобными. Тогда
уравнения, описывающие динамику деформации лессового грунта
в натуре и модели, согласно формуле (3.4), могут быть представ-
лены в виде
5(н = 5Л.н(1-е-₽«н'н);
-е-₽»м'м). ( • >
Из уравнения (4.38)
-^ = ($«/^-1;
_е-₽ом'м=(51м/5ки)_1. (4.39)
179
Из условия подобия кривых изменения деформации во времени
в натуре и в модели вытекает равенство
<5 Гн/*$к.н = *$*м/ *$к.м*
Тогда из зависимостей (4.39) получим
е~₽он*н — ером4м,
откуда рон^н — РОм^м
или
— Ром^м/рон- ! (4.40)
Параметр ро для натурной и модельной кривой получит соответ-
ствующие значения
_ 1 , 1 ________________________1 1
Р°Н Гон 1—*^Т0Н/^К.Н ’ °М Том 1—^том/^к.м
Отношение параметров р0 с учетом подобия кривых просадки
во времени
Ром/ Рон = Т Он/Т Ом-
Подставляя последнее выражение в равенство (4.40), для
масштаба времени получим
tH = TOHtJTOu. (4.41)
Согласно рис. 4.11, стабилизация деформации грунта, равная
6,97 мм, достигается в модели в течение /м=60 мин. В натуре
эта деформация, очевидно, будет соответствовать деформации
толщи SH = /SM = 300-6,97 = 2091 мм = 2,09Н. Определим продолжи-
Рис. 4.11. Изменение про-
садки лессового грунта во
времени:
/ — опыты в модели; 2 — опыты
в натуре
тельность периода, в течение которого в
натуре (в рассматриваемой толще грун-
та) может быть достигнута просадка
SH = 2,09 м. На кривой (рис. 4.10) про-
извольному моменту времени замачива-
ния толщи ГОн = 27 сут соответствует
просадка, равная 60 см. На модели рас-
сматриваемому периоду замачивания
будет соответствовать деформация SM =
= 60:300 = 0,2 см. Деформация модели,
равной 0,2 см, соответствует период за-
мачивания Г0м = 9,5 мин. Тогда продол-
жительность процесса просадки в нату-
ре по формуле (4.41)
. 27 60 __ . rn
*н ~ 9,5/ (60-24) 60Т24- ~ 170,53 СУТ*
Таким образом, для того чтобы в на-
180
туре 30-метровая толща лессового грунта получила абсолютную
деформацию, равную 2,09 м, необходимо замачивать эту толщу в
течение 5,68 мес.
В полевых условиях 30-метровая толща исследованных грунтов
увлажнялась в течение 92 сут и при этом абсолютная просадка
была равна 73 см.
Полученная в модели в условиях центробежного силового поля
абсолютная деформация однородной 30-метровой толщи лессового
грунта, очевидно, состоит не только из просадки. Модель в карет-
ке центрифуги по мере постепенного насыщения водой подверга-
ется различным видам деформации. В начальный период, когда
грунт в модели находится в трехфазном состоянии, деформация
носит просадочный характер. В водонасыщенном же состоянии бу-
дет иметь место консолидационное уплотнение грунта в модели.
Наконец, при постоянной влажности грунта могут наблюдаться
реологические процессы за счет как ползучести скелета, так и из-
менения внутри кристаллического строения отдельных минераль-
ных частиц грунта. Очевидно, разным периодам опыта будут со-
ответствовать различные состояния грунта <в модели, а следова-
тельно, и масштабы времени. В небольшом начальном периоде
деформация грунта в модели будет происходить за счет сжатия
и выдавливания содержащегося в грунте воздуха. В этот период
время в модели равно времени в натуре, и, следовательно, мас-
штаб времени будет равняться единице. В дальнейшем, когда
грунт в модели будет деформироваться за счет перемещения воды
и твердых частиц грунта, скорость в модели будет равна скорости
в натуре, а это приведет к тому, что время в модели окажется
в I раз меньше, чем в натуре. В период же фильтрационной кон-
солидации в модели процесс деформации ускорится в /2 раз.
Из теории консолидации известно, что продолжительность сжатия
двух слоев различной толщины (Н и Л), но из одного и того же
грунта прямо пропорциональны квадратам толщины этих слоев,
т. е.
откуда
«н = (Я2/Л)/^=/2«м.
В общем случае в зависимости от количества содержащейся
в грунте воды масштаб времени при центробежном моделировании
будет различным. Очевидно, для точного расчета времени в моде-
ли необходимо знать количество содержащегося в грунте воздуха.
Для установления масштабов времени при центробежном модели-
ровании можно воспользоваться кривой £ = /}(/), выделив на ней
начало и конец фильтрационной консолидации. Если обозначить
через /"ф и /кф соответственно начало и конец фильтрационной кон-
солидации и через tc продолжительность всего процесса в модели,
181
в течение которого достигается стабилизация деформации грунта,
то в интервале времени деформация грунта будет обу-
словлена просадкой, при будет наблюдаться фильтра-
ционная консолидация грунта, а при — вторичная консо-
лидация.
Для установления значений /нф и /кф могут быть использованы
приближенные методы Д. Тейлора (1960) и А. Казагранда. Со-
гласно методу Д. Тейлора, начало фильтрационной консолидации
определяется по начальному участку кривой S = построенной
в координатах S и у/. Продолжая прямолинейный участок кривой
уплотнения до оси осадок, получают точку, соответствующую на-
чалу фильтрационного уплотнения. Конец фильтрационного уплот-
нения, по А. Казагранде, можно определять по той же кривой, по-
строенной в полулогарифмической системе координат, путем на-
хождения точки пересечения нижнего участка кривой, уплотнения
и последнего участка кривой, соответствующего вторичной консо-
лидации.
Глава 5
ИНЖЕНЕРНЫЕ МЕТОДЫ ПРОГНОЗА ПРОСАДКИ
5.1. Зависимость между относительной просадкой
и уплотняющим напряжением
Деформативные свойства просадочных грунтов в наиболее об-
щем виде могут характеризоваться зависимостью между интенсив-
ностью напряжения
а( = -р=- /(а, — а2)2 + (а2 — а3)2 + (а3 — а,)2
и интенсивностью деформации
е( = - ff- V(<ч-е2)2 + (е2 -е3)2 + (е3— е,)2,
т. е. Zi=q(oi).
Как показывают многочисленные лабораторные и натурные ис-
следования, напряженно-деформируемое состояние увлажняемых
лёссовых грунтов достаточно удовлетворительно описывается за-
кономерностями нелинейно деформируемой среды.
Наиболее достоверными может оказаться степенной закон де-
формации
е, = ₽аГ. (5.1)
В частном случае, когда просадка может быть представлена
как одномерная деформация, о2 = оз = 0; Oi = Oi = a; Е2=е3=—ve;
£i=ei = e.
182
Тогда закон деформации примет вид
e = 0om. (5.2)
Одной из актуальных задач механики просадочных грунтов яв-
ляется установление закономерностей деформации лессовых грун-
тов при их просадке в условиях пространственного напряженного
состояния.
Представляет интерес зависимость между тремя инвариантами
тензора напряжения
А — ^2 = ^1^2 4“ ^2^3 “Ь ^3^1» ^3 =
и относительной просадкой лессовых грунтов
Л=/1(0; /2=/2(0; /з=/з(0.
В физическом отношении наиболее наглядна зависимость меж-
ду относительной просадкой и следующими функциями, получен-
ными от комбинации трех инвариантов тензора напряжения:
а) характеризующая влияние нормального среднего напря-
жения
Zj =3(тср,
где
<^ср=(а14-а2+а3)/3;
б) характеризующая влияние октаэдрического касательного
напряжения
4 = */,(- /;+3/2) = - ’/2т’„ = ЦЙ (а, - а3)2;
То«т=*/, V(a,-a2)2+ (ffj_ а3)2+ (а3-О1)2;
vi — параметр Лодэ:
v (о«—ел) 4- (Pt - р8) _ 2р,—ел - .
1 °i—°8 Pi—Рз ’
в) характеризующая влияние параметра Лодэ:
г
з- (34-V*)8/» •
Влияние промежуточного главного напряжения (а1<О2<0з)
на деформируемость увлажняемых лессовых грунтов может быть
изучена с помощью параметра Хабиба (характеризующего относи-
тельную величину промежуточного главного напряжения):
*=(<*2 —ai)/ (ai —аз)»
где О^х^1-
183
При х=0 Ог = Оз имеем условие трехмерного сжатия, а при х=
01 = 02 — условие трехмерного расширения. Все испытания прово-
дятся при постоянном значении параметра х- Исследования по ука-
занной программе, очевидно, могут быть проведены в специальной
приборе, позволяющем приложить к образцам грунта при различ-
ных по величине напряжениях, т. е. О1#=о2¥^Оз-
Такой прибор, позволяющий испытать образцы грунта в виде
толстостенного полого цилиндра, сконструирован на кафедре ме-
ханики грунтов, оснований и фундаментов Азербайджанского ин-
женерно-строительно-
го института.
. На рис. 5.1 пред-
ставлены результаты
компрессионного ис-
пытания методом
«двух кривых» харак-
терных просадочных
грунтов трех районов
Азербайджана (Сум-
гаита, Казаха и Шир-
вана). Нелинейная с
начала нагружения за-
висимость e=f (о), изо-
браженная на рис.
5.1 в виде монотонно
возрастающих кривых,
может быть с доста-
точной степенью точ-
ности аппроксимиро-
Рис. 5.1. Зависимость относительной просадки от вана степенной функ-
уплотняющего напряжения для лессовых грунтов циеи (5.2).
Сумгаита (----), Казаха (----) и Ширва- Параметры (Зит,
на ( ) определяемые по дан-
ным компрессионных
испытаний, характеризуют деформативность лессовых грунтов
при их увлажнении в широком диапазоне изменения уплотняю-
щей нагрузки: [3 соответствует обратному значению модуля об-
щей деформации грунта; т — отвлеченное число. Зависимость
(5.2) является обобщенной, так как из нее, как частный случай,
ггри (3= 1/Е0=const и т=1 вытекает широко применяемая в
настоящее время в механике грунтов линейная зависимость
между общими деформациями и напряжениями для обычных
непросадочных грунтов:
с = е0=о/Е0.
Сравнение последней зависимости с формулой (5.2) приводит
к уравнению
E0 = ai-^/pt
184
которое также применяется в механике грунтов, когда приходится
учитывать зависимость модуля общей деформации от напряженно-
го состояния грунта.
Определение параметров 0 и т производится чрезвычайно про-
сто: достаточно нанести точки, соответствующие измеренным
и компрессионных испытаниях значениям е при заданных значени-
ях о в логарифмических координатах, и провести через них пря-
мую. Тангенс угла наклона этой прямой определяет значения па-
раметра т, а отрезок, отсекаемый
Проведенные в компрессион-
ном приборе опыты показывают,
что значения параметров 0 и т
зависят от степени просадочнос-
II! лессовых грунтов: чем боль-
ше степень просадочности, тем
больше и значение этих пара-
метров. Если условно за харак-
теристику степени просадочнос-
III грунта принять относитель-
ную просадочность при уплот-
няющем давлении, равном 0,3
МПа, то зависимость значений
р и т от е изобразится в виде
кривых, построенных на рис. 5.2.
Зависимость (5.2) может гру-
бо исказить экспериментально
Рис. 5.2. Зависимость параметров
нелинейной деформируемости лессо-
вых грунтов от относительной про-
садки
полученную диаграмму при ма-
лых деформациях. Действитель-
но, как следует из соотношения
(5.2), при 0</п<1 производная
от деформации по напряжениям
и начале координат равна бесконечности, в то время как в дейст-
вительности она численно равна обратному значению модуля уп-
ругих деформаций грунта. Однако для описания просадочных де-
формаций, возникающих только при определенных значениях уп-
лотняющей нагрузки, указанная особенность не должна вызывать
принципиальных осложнений.
5.2. Функция влажности при одномерном увлажнении
толщи лессовых грунтов
Распространение влаги в грунте в период от начала замачива-
ния до возникновения просадки определяется закономерностями
обычного инфильтрационного движения воды в недеформируемой
пористой среде. Процесс же протекания просадки и ее стабилиза-
ция, очевидно, будут определяться неустановившимся фильтраци-
онным режимом с учетом изменяющейся во времени деформации
185
0Л
Рис. 5.3. Профили влажно-
сти, построенные по фор-
муле (5.3)
Рис. 5.4. Профили
влажности, построен-
ные по методам
Дж. Филиппа (-----)
и И. И. Кулабухо-
вой (----------)
увлажняемой среды. Однако здесь также можно исходить из
предположений, упрощающих задачу. Просадочная деформация
в условиях природного напряженного состояния, как правило, воз-
никает при значительных мощностях лессовых грунтов. В этих
условиях, как показывают многочисленные полевые опыты и наб-
людения, фильтрация как при просадке, так и после ее стабилиза-
ции происходит при неполной насыщенности грунта. Поэтому влия-
нием просадки увлажняемой толщи грунта на фильтрационный
режим с некоторым допущением можно пренебречь и решать
задачу с учетом допущения о нестационарном фильтрационном
режиме увлажнения в недеформируемой однородной и изотропной
пористой среде.
Учет влияния просадки на фильтрационный режим в принципе
возможен, однако это может привести к тому, что даже в простей-
ших задачах возникает необходимость проведения большой вычис-
186
лительной работы и, кроме того, получаемые при этом решения не
будут обладать достаточной общностью. С другой стороны, прове-
денные до настоящего времени исследования процесса просадки
позволяют считать, что расчеты на основе предположения о неиз-
менности параметров деформируемости увлажняемой среды дают
достаточно удовлетворительную сходимость с результатами натур-
ных наблюдений.
Анализируя имеющиеся в литературе экспериментальные дан-
ные о характере распределения влажности при инфильтрации,
а также теоретические закономерности процесса увлажнения толщи
лессовых грунтов, распределение влажности при одномерном дви-
жении с достаточной точностью можно аппроксимировать функ-
цией
w (у, t)=wo+ (W,at- W„) cos , (5.3)
где y^yo(t).
Функция (5.3) обеспечивает выполнение следующих граничных
условий: на поверхности замачиваемого грунта влажность равна
полной влагоемкости, т. е. №i(0, t) = Wsat, а на фронте смачива-
ния— естественной влажности, т. е. W (уо, t) = W0. Для наглядности
на рис. 5.3 по формуле (5.3) построены профили влажности при
следующих значениях параметров: Wo=O,2; Wsat=0,4\ 0=
-2,4 м2/сут. Для сравнения на рис. 5.4 показаны профили влажно-
сти, полученные исходя из решения нелинейного уравнения насы-
щенности (2.38) приближенными методами Дж. Филиппа (1957)
н И. И. Кулабуховой (1959). В расчете использованы следующие
данные: Wo = O,2; Wsat = 0,4; £7 = 0,04. Безразмерные координаты £
и т на рис. 5.4 определяются соотношениями:
t _Tw[l-(CWsat)3]
6 “ PUU
PuU(n-U)*S
4w [1- (CZ/P^eat)3! Лф
5.3. Начальное давление просадки
Исследованиями многих специалистов установлено, что проса-
дочная деформация в увлажняемых лессовых грунтах возникает
лишь при определенном значении действующего уплотняющего
давления. Это давление принято называть начальным. Для данно-
го вида и состояния просадочного грунта начальное давление яв-
ляется постоянным и служит расчетной характеристикой для про-
гнозирования ожидаемой деформации увлажняемых оснований.
Для грунтов различных районов СССР начальное давление из-
меняется в широких пределах — от 0,02 до 0,2 МПа. Для лессовых
грунтов второго типа по просадочности начальное давление значи-
тельно меньше, чем для грунтов первого типа. Например, для
187
грунтов отдельных районов Средней Азии и Закавказья 0,02...
0,05 МПа.
В настоящее время начальное давление определяется по весьма
упрощенной схеме — по кривой зависимости относительной просад-
ки грунта от действующего сжимающего напряжения. Эта кривая
как правило, строится по данным компрессионного испытания об-
разцов грунта на просадочность по методу «двух кривых». Началь-
ное давление определяют при условии, согласно которому к про-
садкам относится относительная деформация лессового грунта
е^0,01 при фактическом давлении. Тогда, если исходить из зави-
симости (5.2), можно записать:
P8i = (0,01/p)V^. (5.4)
Характерная кривая зависимости относительной просадки от
уплотняющего давления представлена на рис. 5.5. Начальное дав-
ление определяется по этой кривой как уплотняющее давление,
соответствующее относительной просадке грунта, равной 1%. Об-
работка многочисленных кривых зависимос-
Рис. 5.5. Зависимость
относительной про-
тей е—о показывает, что значение Psi практи-
чески совпадает с пределом пропорциональ-
ности, т. е. с краевой критической нагрузкой,
определяющей границы первой фазы напря-
женного состояния основания. Уравнение
кривой зависимости е—о можно записать в
форме, предложенной А. А. Ильюшиным.
Для этого представим относительную просад-
ку е, соответствующую некоторой величине о
в виде разности отрезков АВ и АС (см._ рис.
5.5). Первый отрезок в выбранном масштабе
равен условной деформации, соответствую-
щей идеально упругому поведению грунта, а
второй отражает ту часть этой деформации,
садки от уплотняю- на которую она понижается за счет пласти-
щего давления ческих свойств грунта, обусловленных в дан-
ном случае просадочной природной деформа-
цией. Последняя может быть представлена в виде -^-оф, где <р —
безразмерная функция деформации грунта, изменяющаяся в пре-
делах 0<ф<1. Тогда
8 = о(1—ф)/£.
(5.5)
Очевидно, при напряжениях, меньших начального давления про-
садки, функция ср равна нулю.
В формуле (5.4) относительная деформация грунта в размере
1% является условной. Известно, что грунты, не обладающие про-
садочными свойствами, при определенных условиях могут дать
188
относительную Деформацию более 1%. Известно также, что дефор-
мация лессовых грунтов при их увлажнении по своей природе яв-
ляется пластической деформацией, так как при просадке происхо-
дит нарушение агрегатов грунта и полное разделение минеральных
частиц между собой. Поэтому просадка может возникать лишь
в том случае, когда напряже-
ния, действующие в связях
между структурными элемен-
тами, будут больше, чем стру-
ктурная прочность. Кроме
того, как показывают экспе-
рименты, параметры деформи-
руемости р и т .в формуле
(5.4) остаются постоянными
лишь для данного состояния
грунта. Закономерность умень-
шения параметров р и т с
увеличением влажности грун-
та, установленная по резуль-
татам экспериментальных ис-
следований С. К. Алиева
(1968), представлена на рис.
5.6, из которого видно, что в
практически важных диапазо-
Рис. 5.6. Зависимость параметров нели-
нейной деформации лессовых грунтов
от их влажности
пах изменения влажности грунта зависимости р(№) и m(W) мо-
гут быть аппроксимированы следующими линейными уравнения-
ми:
Р (Ю = Р (^,) - Р(И^-7Р^аа,) (W - Wo);
” sat — "О
m(W) = m (Жо) - (W- w0);
™ sat— "о
где P(.lFo), —значения параметров p и m при естественной
влажности грунта; P(W\af), m(WSat)—то же, при полном водона-
сыщении грунта.
На основании приведенных зависимостей формула начального
давления может быть установлена следующим образом. В услови-
ях природного напряженного состояния в увлажняемых лессовых
грунтах просадка возникает под действием уплотняющего дав-
ления
а=То(ЮУ = Т«(1-ЬЮ!/.
Относительная деформация увлажняемого слоя грунта, распо-
ложенного на произвольной глубине у, согласно формуле (5.2)».
будет
в-РСИ'Шаа + ЮуГ"0.
189
Если условно к просадке отнести относительную деформацию
увлажняемого грунта, равную 0,01, то, очевидно, значение уплот-
няющего напряжения от собственного веса грунта, способное вы-
зывать эту деформацию, должно действовать на определенной глу-
бине 1/п-
Влажность грунта в пределах глубины смачивания 0<#<
<W) в процессе увлажнения, согласно зависимости (5.3), пере-
менна. Среднюю влажность грунта при увлажнении в пределах
этой глубины обозначим через ТГср. Тогда можно записать
0,01 = Р (И%) [(Vd (1 + И%) уп]’"<"4
откуда
„ _ 1 Г 0,01 -|Vm<’vcp>
Уп Tdd+lFcp) L Р(И'ср) J • ( ’
Последняя формула определяет верхнюю границу области про-
садки увлажняемых лессовых грунтов в условиях природного на-
пряженного состояния. Начальное давление в этих условиях опре-
делится формулой
d /л । и/ \ Г °»01 7Ч
Pal Yd (1 + И^ср) Уп |_ р (ррср) J • (5-7)
Средняя влажность грунта при увлажнении в пределах глубины
смачивания
1/0(О
5 [^o+^.-^cos^Ljdy.
о
Раскрывая последний интеграл и производя несложное преоб-
разование, получим
и% = И^о+4 (Wsat - W„). (5.8)
Если исходить из наличия линейной зависимости между отно-
сительной деформацией увлажняемого грунта и действующим на-
пряжением в пределах небольшой по сравнению с мощностью про-
садочного грунта Н глубины уП, то полученные формулы значи-
тельно упростятся:
верхняя граница области просадки
0,01
1/п Г 2 ~| ’
VdJ Р(^ср)
где
To = Td(l+W'o);
190
начальное давление
Рв< = О,О1/[Р(РГср)].
Если учесть, что связь между параметром 0 и модулем общей
деформации грунта при т—\ представляется в виде Ео=1/₽, то
получим
Рв/ = 0,01Ео(И%). (5.9)
Таким образом, начальное давление в ориентировочных расче-
тах просадки от собственного веса грунта может быть принято
равным 1% от значения общего модуля деформации, устанавли-
ваемого компрессионными испытаниями при некоторой средней
влажности грунта, определяемой по формуле (5.9).
Начальное давление в основаниях зданий и сооружений может
быть определено следующим образом. Пусть распределение уплот-
няющего давления по оси сооружения от действия внешней нагруз-
ки и собственного веса грунта определяется выражением
О» = Ф (У) + Уо (.Уо + <*»)• (5.10)
Функция ф(^) характеризует закономерность изменения давле-
ния от внешней нагрузки по глубине в зависимости от формы,
размеров и жесткости фундамента и определяется соответствую-
щими решениями теории упругости. Так, согласно решению
К. Е. Егорова, для жесткого ленточного фундамента с шириной
подошвы 2а
ф(У) = 2
1+2(у/а)» .
+ ’
для круглого жесткого штампа с радиусом R [49]
ф(!/)=0,5
1+3 (у/Д)*
v/R (1 + (»/Я)’Р
для гибкого фундамента шириной 2а, по решению Г. В. Колосова,.
<р (у) = 2 arctg у + +‘2’у’ •
На нижней границе, непосредственно примыкающей к подош-
ве фундамента — зоне просадки, должно выполняться условие
^-Ф(»)+%(у+ап)=р„. (5.И)
Решая последнее уравнение относительно у установим глуби-
ну y=ha, определяющую нижнюю границу области просадки от
совместного действия веса сооружения и собственного веса грун-
та. Подставляя найденное значение ha в уравнение (5.10), полу-
191
чим формулу начального давления для любого случая загружения
основания
P,i = Ф (М + у0 (hs + dn).
(5.12)
Уравнение (5.11) относительно у удобнее решить графическим
способом. Для этого в определенном масштабе, начиная с подош-
вы фундамента, строится график функ-
ции (рис. 5.7)
f (у) = Ф (у) + То (у + d„).
^-4
В этом же масштабе на расстоянии
Psi проводится параллельно оси симмет-
рии фундамента вертикальная линия.
Ордината точки пересечения кривой
f(y) с вертикальной линией дает реше-
ние уравнения (5.11).
Для определения начального давле-
ния В. И. Крутовым и И. В. Тарасовым
Рис. 5.7. К графическому в полевых и лабораторных условиях бы-
методу решения уравнения ли проведены экспериментальные иссле-
(5.11)
дования, согласно которым величина
начального давления в условиях при-
родного напряженного состояния оказалась в 2,5 раза больше,
чем под штампом. Причины расхождения в величинах начально-
го давления, определяемого при просадке грунта от собственного
веса и по результатам испытаний штампами и в компрессионных
приборах, объясняется перемещением грунта при просадке в
стороны и развитием зон пластических деформаций под подошвой
штампа. Однако начальное давление является расчетной харак-
теристикой для данного вида и состояния просадочного грунта и
поэтому должно зависеть от деформативных параметров грунта,
а не от формы и размеров подошвы фундамента.
5.4. Начальная влажность просадки
Многочисленные эксперименты показывают, что каждому зна-
чению действующего в толще грунта давлению соответствует оп-
ределенная влажность, при которой возможно возникновение про-
садочной деформации грунта. Такая влажность лессового грунта
была названа критической влажностью. Следует отметить, что по-
нятие критической, т. е. начальной, влажности для лессовых грун-
тов не новое. Так, по мнению В. И. Батыгина, при достижении
влажностью нижней границы текучести уничтожается кажущееся
сцепление и грунт, удерживаемый лишь силами внутреннего тре-
ния, приобретает способность двигаться вниз и в стороны. По
данным Ф. И. Воронова, оптимальная весовая влажность при про-
192
садках лессовых грунтов Средней Азии близка к нижнему преде-
лу пластичности. По данным Ю. М. Абелева, влажность лессовид-
ных суглинков после окончания дополнительных осадок, вызван-
ных увлажнением, в Кузнецке нередко не превышала 25%, а в
Бобриках составляла даже 18,6%, что далеко не соответствует
полной влагоемкости. Н. Я. Денисов (1951) приводит данные, со-
гласно которым увеличение деформаций глинистых пород проис-
ходит при повышении влажности по сравнению с некоторой крити-
ческой величиной, примерно равной максимальной молекулярной
влагоемкости. В лессовых же грунтах, как показывают полевые
наблюдения, деформации начинаются при влажности, намного
меньшей полной влагоемкости. Для районов Терско-Кумской и
Мало-Кабардинской оросительных систем, по данным Н. Я. Дени-
сова, влажность грунта, при которой возникала просадка, близка,
а иногда несколько ниже максимальной молекулярной влагоем-
кости.
К более убедительному заключению приходит Б. И. Черный
при исследовании /просадочных деформаций в основаниях крупно-
панельных жилых домов в г. Грозном. По его данным просадка в
лессовых грунтах г. Грозного проявляется при определенной
влажности, зависящей от напряженного состояния грунта.
Согласно исследованиям В. И. Крутова, начальная (критиче-
ская) влажность тесно связана с начальным просадочным давле-
нием, и обычно применяемое понятие начального давления пред-
ставляет собой минимальное давление на грунт при максимальном
значении начальной влажности. Для определения начальной влаж-
ности В. И. Крутовым разработаны лабораторные и полевые ме-
тоды, основанные на 4...6 испытаниях грунта при различных влаж-
ностях. За критерий начальной влажности по результатам лабо-
раторных испытаний принимается относительная просадочность,
равная 1%, а по полевым испытаниям — предел пропорциально-
сти на графике зависимости осадка от давления, представляющий
собой давление на грунт, при котором начальная влажность рав-
няется влажности испытываемого грунта.
Как видно из приведенного обзора, для построения расчетных
формул необходимо установить взаимосвязь между характерными
значениями уплотняющего давления и влажностью грунта, опре-
деляющую условия возникновения просадочных деформаций в
увлажняемых основаниях зданий и сооружений. Очевидно, рас-
клинивающее и растворяющее влияние тонких пленок влаги, до-
статочное для отрыва одних структурных элементов от других под
действием напряжения, проявляется при вполне определенном зна-
чении влажности грунта. Автором было установлено, что если при
естественной влажности лессового грунта постепенное увеличение
интенсивности передаваемой на основание полосовой равномерно
распределенной нагрузки до 0,3 МПа не вызывает состояния пре-
дельного равновесия ни в одной из точек основания, то в резуль-
193
тате увлажнения основания пластическая деформация грунта (про-
садка) наступает при каждой ступени рассматриваемой нагрузки
(0,2 и 0,3 МПа). При этом естественно, что чем больше давление,
действующее в рассматриваемой точке основания, тем меньшая
влажность необходима для возникновения просадки. Таким обра-
зом, каждому значению действующего в точках основания давле-
ния соответствует вполне определенная влажность, при которой
возможно пластическое состояние грунта, т. е. просадочная де-
формация. Формула начальной влажности выводится исходя из
обобщенного условия прочности Мора:
sin <р (И7) =
в?-о2 + [1-Е(ИЭ1<ус(Ю_____
°?+<4+[1+SWlос(ИЭ+2с(W) ctg <р(ИЭ
(5.13)
где щ*, аг*, Ос — соответственно главные напряжения от действия
внешней нагрузки и собственного веса грунта.
Сцепление, коэффициенты трения и бокового давления лессо-
вых грунтов изменяются с увеличением влажности грунта. Эти
изменения, как будет показано в § 6.1, с достаточной точностью
могут быть аппроксимированы линейными функциями:
с (W) = Со- (W - Ж,) = С„ - bW;
tg]<p(IF) = / W = /о-(W-Wo) = f„-aW; (5.14)
Е W = Ео“ ^о) = Ь+kW.
Подставляя формулу (5.14) в условие (5.13), после несложно-
го преобразования получим уравнение для определения началь-
ной влажности
4РУ3 + BW* + CW+D = 0.
Решение этого уравнения, согласно формуле Кардана, имеет
вид
Wnl = U + V - В/(ЗА), (5.15)
где
С = 3/—V=V-9-y92+ps;
_ зле-в» . _ в» вс . D
Р 9Л« ’ 4 27Л8 6Л« ’ 2А *
Постоянные А, В, С, D зависят от значений прочностных пара-
метров грунта при естественной влажности (Со, /о, go) и при пол-
ной водойасыщенности грунта (Сп, fn, gn), а также от значений,
194
действующих в рассматриваемой точке главных напряжений:
А = 2а2кас (o’ + o’4-ас) 4- 4abkcc + 2а2кое (o’—o’ 4- ос);
В = (o’ + o’ + ос) [a2 (o’ + о? 4- ос) + 2а2^ос — iakfоас 4- 4<х6] 4-
+ (o’—o’ 4- ас) [2а2Ь,ос — 4akfoac—a2 (o’— o’ + ос)) +
+ 4ос (аЬ^—аЛСо-ЬЛ/о-О.гб^) 4-462; (5.16)
С=2 (o’ 4- o’ 4- ос) [kftac — afB (o’ 4- o’ 4- oc)—2at^>ac — 2aCa—2bf„] 4-
4- 2 (o’—o’ 4- oc) |fcoc 4- a/0 (o’—o’ 4- oc)—2af^,oc 4- Л/JoJ —
- MC04aC&pc - 46/^0., 4- 4kCofoac - 2kfJ&}-,
D = 2 (o’ 4- o’ 4- oc) [Jo 4- frc 4- 2C„/0 4- 0,5/2(0? 4- o’ 4- ac)J -
_ (a? _ o’ 4- oc) (2/2Ь,ас — 2^0 c —(o’ — o’4-oc)(14-/2)]4-
4-4C*4-4C0/(feoe.
Рассмотрим следующие частные случаи.
Напряженное состояние основания от действия собственного
веса грунта по сравнению с напряжением от внешней нагрузки
незначительно. В этом случае ос=0, поэтому:
4 = 4, =0;
В = Bi = 2 (о? + о?) [4ad 4- a2 (a? 4- a*)] — a2 (и? — of)2 4- 4d2;
C = Ci = - 2 (o? 4- aj) [2aC0 4- 2&/0-a/0 (o? 4- nJ)] 4- 2a/0 (о?-<Ф2-8ЬС0;
£>=P1=(o’4-o?)|4C0/04-/02(a?4-a?)l-(a?-a?)I/:4-(a?-a?)] 4-4C.
Начальная влажность
^•'=—+ (517)
Просадочный процесс протекает в условиях природного напря-
женного состояния. В этом случае О19=О29=0» следовательно:
А = А2 = какас (Ь 4- аос);
В = В2 = 4(гс (ab — 2akfОос 4- а2^ас 4- ab^ — akCo—O,25k2ac—bkfo) 4- 460;
С= С2-4а» (aC0 + bftt + аС^ +bf&-kCef0) 4-
4- 2ol (к - 4- 2Л/0 - 2а/0Ь>) -
D = Dt = 4аса0/0 (14- 5о) 4- nJ (4ЬЛ ~ S+2Ь> —1) + 4С2-
Начальная влажность
Wel = U+V-B2/(3A2).
На основании полученных расчетных формул решим числен-
ный пример.
fl Пример 5.1. Рассмотрим напряженное состояние увлажняемого основания,
обусловленное весом здания и собственным весом грунта. Нагрузка по подошве
195
ленточного фундамента шириной 2а=200 см — равномерно распределенная с ин-
тенсивностью 9=0,3 МПа. Главные напряжения от действия внешней нагрузки
°?,2= */. (Ох+о») ± */, f(Сх-ов)а+4т«1,.
Компоненты напряженного состояния по В. А. Флорину для рассматривае-
мого случая загружения основания определяем по формулам:
/arctg +arctg -2±* U___________2agy(x«-y«-a») .
x л I 8 у 8 у /т я1(з.,+|/1_а>),+4д,р>) .
_ Я / а—ж . * а-±-х \ 2аау (х2— у2—а2}
У зГ (arc g —у +аГС g у ) л[(х2 —у2а2)24-4а2у2] ’
kaqxy2
Хху~ л[(х2+р2-а2)24-4а2р2] ’
По результатам соответствующих лабораторных опытов для грунтов осно-
вания установлены следующие значения расчетных показателей
Со=0,085 МПа; /о=О,65; Wo=O,l;
Сп=0,005 МПа; /п=0,25; Weaf = 0,38;
£=0,4; £п = 0,8; yd = 14,7 кН/м2.
Постоянные Со7о и £о по формуле (5.14) имеют значения Со=0,1136 МПа;
7о=0,743; £=0,257; 6=0,286 МПа; а=1,43; 6=4,43.
Определим начальную влажность в трех точках по оси симметрии основа-
ния, расположенных на расстояниях 100, 200 и 300 см от поверхности грунта.
Для первой точки (6=100 см)
А=0,0977 МПа2; В=0,885 МПа2; С=0,830 МПа2; D=0,1108 МПа2.
Начальная влажность в рассматриваемой точке, согласно формуле (5.15),
равна 16,2%.
Для второй точки (6=200 см)
А=0,1163 МПа2; В=0,5605 МПа2; С=—0,5704 МПа2; D=0,0847 МПа2.
Начальная влажность равна 18%.
Для третьей точки (6=280 см)
Л=0,19175 МПа2; В=0,4572 МПа2; С=—0,5 МПа2; D=0,089 МПа2.
Начальная влажность равна 23%.
Для сравнения вычислим значения начальной влажности в тех же рассмат-
риваемых точках основания для первого рассмотренного выше частного случая,
когда напряжение от собственного веса грунта по сравнению с напряжением от
внешней нагрузки незначительно.
Для первой точки (6=200 см)
В=0,963 МПа2; С,=—8528 МПа2; Di = 0,1197 МПа2; IFs/=17,3%.
Для второй точки (6=200 см)
Bi = 0,6984 МПа2; Ct=—0,557 МПа2; £>1 = 0,0786 МПа2; IF,t=19%.
Для третьей точки (6=280 см)
Bi=*0,5137 МПа2; Ci=—0,457 МПа2; Di=0,0855 МПа2; W,t=27%.
Как видно из примера, с удалением от загруженной поверхно-
сти основания необходимая для возникновения просадки влаж-
ность грунта постепенно увеличивается.
Расчеты показывают, что при действии только собственного
веса грунта начальная (критическая) влажность практически
остается постоянной, следовательно, в условиях природного на-
пряженного состояния ее можно определять в точках приложения
начального давления, т. е. на вполне определенном расстоянии от
196
поверхности грунта. Начальную влажность на этой глубине для
упрощения задачи примем равной влажности на нижней границе
пластичности, т. е. пределу раскатывания по Аттербергу. При этой
влажности грунт, как известно, приобретает пластическое состоя-
ние и поэтому под действием определенного уплотняющего на-
пряжения (равного начальному давлению) создается условие для
смещения вышележащих слоев грунта вертикально вниз. Таким
образом, возникновение просадки помимо характеристики дефор-
мируемости становится зависящим также от дисперсности и ми-
нералогического состава грунта, формы и упругости его частиц и
особенно от структуры. Нарушение связей между частицами, как
известно, может происходить вследствие как механического воз-
действия на грунт—изменения его напряженного состояния, так
и изменения физического состояния грунта — плотности, влажно-
сти, сцепления. Именно изменение физического состояния и слу-
жит причиной нарушения прочности лессового грунта при увлаж-
нении.
Таким образом, при инженерных расчетах просадку можно
представить как течение пластической массы грунта под действи-
ем его собственного веса в вертикальном направлении. Области
этих деформаций оконтуриваются характерными значениями дей-
ствующего давления и влажности грунта.
5.5. Условия возникновения просадки
Исходя из установленных выше расчетных величин, рассмот-
рим условия возникновения просадки лессового грунта в природ-
ном напряженном состоянии. Пусть производится непрерывное
замачивание толщи лессового грунта второго типа по просадоч-
ности. Профиль влажности, определяемый при одномерном дви-
жении инфильтрационной влаги по формуле (5.3), представлен
на рис. 5.8. На поверхности грунт мгновенно насыщается водой
до полной влагоемкости Wsat. На фронте смачивания, определяе-
мом расстоянием уо, влажность грунта равна естественной влаж-
ности Wo. Уплотняющее давление, необходимое для возникновения
просадки (начальное давление), действует на расстоянии уп от
поверхности грунта. Очевидно, в начальный период замачивания,
когда фронт смачивания еще не достиг глубины приложения на-
чального давления (Уо<Уп), в замачиваемой толще не будет усло-
вий для возникновения просадки. Деформация увлажняемой тол-
щи возникает лишь тогда, когда фронт смачивания спустится не-
сколько ниже глубины приложения начального давления и влаж-
ность грунта на этой глубине окажется равной начальной влаж-
ности, т. е. влажности на нижней границе пластичности увлаж-
няемого грунта Wp
W(ynt t0) = Wp.
197
В развернутом виде последнее равенство будет иметь вид
И'.+ОР.а.-И'о)COS = Wp
Или
,00 пуп _ Wp-W0
2y0(t) ~W8at-W(
(5.18)
оп-
Рис. 5.8.
ределения
Расчетная схема для
периода возникновения
просадки
Это выражение определяет условие возникновения просадки в
лессовых грунтах в природном напряженном состоянии. Согласно
равенству (5.18), как будет показано далее, можно определить пе-
риоды возникновения t0 и стабилизации Т просадочного процесса.
Начиная с момента времени
t0 по мере продвижения фронта
смачивания будет продвигаться
также и фронт просадки, так
как в нижележащих горизонтах
влажность грунта достигает не-
обходимого для просадки значе-
ния. С течением времени уплот-
няющие давления, действующие
на нижней границе области про-
садки (l/nfM, !/п(/з) и т. д.), в
соответствии с увеличением вы-
соты опускающихся столбиков
грунта и их влажности будут не-
прерывно повышаться, а следо-
вательно, и величина получае-
мой в этом процессе просадки
будет также непрерывно увели-
чиваться. Процесс просадки
будет продолжаться до тех пор,
пока на подошве увлажненной
толщи лессового грунта влаж-
ность не достигает значения на-
влажности. Очевидно, этот момент не будет соответство-
поскольку увлаж-
чальной
вать периоду полной стабилизации просадки,
ненный ма-ссив под действием собственного веса получит еще не-
которую дополнительную деформацию вследствие ползучести
скелета грунта. Кроме того, вследствие увлажнения толщи грун-
та до полного водонасыщении, просадка получит дополнительное
приращение. Однако продолжительность деформации просадки в
этом периоде по сравнению с периодом условной стабилизации
основной части просадки, возникающей в процессе насыщения
толщи грунта, будет незначительна.
198
5.6. Прогноз периодов возникновения
и стабилизации просадки.
Изменение просадки во времени
На основании сформулированного условия (5.18) определим
периоды возникновения и стабилизации просадочного процесса в
условиях природного напряженного состояния грунта. Глубина
приложения начального давления определится выражением
2у0 (t) Wp Wo
^ = -VJ-arccos w^=w, •
С другой стороны, эта же глубина, по формуле (5.6),
1 Г 0,01 -]V",<wcp>
Уп~ Tdd + ^cp) L PdVcp) J
Сравнивая два эти выражения, получим
2Ур (I) __ Pel
«<P(W) ” To(Wcp) ’
(5.19)
где
дог __Wq
Ф = arccos ^eat___________jy0 * Vo (^cp) ~ Td ^Tcp)*
Решая выражение (5.19) относительно t/o(O, имеем
2/о(О = 2,37У^=^^гЧ>(ИЭ,
откуда
^0=22^6 <5-2°>
Полученная формула в рамках точности принятой расчетной
схемы определяет период возникновения просадочного процесса
при непрерывном увлажнении однородной толщи лессового
грунта.
Условие для периода стабилизации просадки можно сформули-
ровать в виде
И7 (Я, T) = WP.
Это выражение означает, что стабилизация просадочного про-
цесса наступает в момент времени Т, когда на подошве просадоч-
ного слоя мощностью Н влажность грунта достигает своего кри-
тического значения Wp. Это условие в развернутом виде запишет-
ся так:
We+(W,at~ WJ COS = Wp.
199
Из этого равенства получим
2,37Ver=-^-4,(W),
откуда
г=(5.21)
Формула (5.21) определяет период условной стабилизации про-
садочного процесса при непрерывном увлажнении однородной
толщи лессового грунта. К вопросу определения периода стабили-
зации просадочных процессов мы вернемся после установления за-
кономерностей изменения деформации увлажняемой толщи во вре-
мени.
Применяемость полученных формул продемонстрируем на кон-
кретном численном примере.
И Пример 5.2. Требуется определить периоды 'возникновения и стабилизации
просадочного процесса в однородной толще лессового грунта мощностью Н=
=30 м в условиях непрерывного его увлажнения. Для увлажненного грунта
известны следующие данные:
^0 = 0,1; 1Гва« = 0,4; Wp = 0,2-, 0 = 1,5 м8/сут; yd= 12,5 кН/м8.
Средняя влажность грунта определяется по формуле (5.8)
Wcp = и'о + V (W,at - w.) = о,1 + (0,4- 0,1) = 0,29.
Параметры Рит, вычисленные по данным компрессионных испытаний на
просадочность, при влажности грунта VFCP=O,29 имеют значение
P0Pcp) = O,254 МПа-М; т(ТГср) = 1,2.
Начальное давление находится по формуле (5.7):
_ Г 0,01 0,011 \V‘-2 ППЙЯМП.
₽-‘=Lw^rJ =0,068 МПа.
Верхняя граница области просадки находится по формуле (5.6):
1 Г 0,01 у/С^ср* 1
Уа ~ Td(H-W'cp) L ₽ (И'ср) J “ 0,000125 (1+0,29) Х
x(S-)V1’2=--
Для определения параметров динамики просадки — начала возникновения
и периода условной стабилизации — предварительно вычислим:
•Р (И7) = И'р-И'о
агссоз -==---------
1
0,2—0,1
агссоз
2,55
л ’
200
Период возникновения просадочного процесса определяется по формуле
(5.20)
t ________Р2з1 - __
°' 22,480 Tj(l + Wcp)a ф
л2 0,68я 2,55я
22,480-15000 0,00125я(14-0,29)я ля ’4 СуТ>
Период условной стабилизации просадки определяется по формуле (5.21)
_ ляЯя _ ля-30я 2,55я ...
Т 22,480 ф 22,48-1,5 . ля ~174 сут-
Далее рассмотрим изменение просадки во времени. Для выво-
да расчетной формулы примем, что это изменение в условиях при-
родного напряженного состояния происходит в соответствии с раз-
витием контура смачивания и изменением дискретных значений
влажности грунта в пределах этой области.
Пусть из котлована достаточной ширины непрерывно увлажня-
ется однородная толща лессового грунта второго типа по проса-
дочности. На глубине у ниже горизонта действия начального дав-
ления просадочности уп выделим элементарный слой увлажненно-
го грунта высотой dy. Относительная просадка рассматриваемого
слоя грунта при отсутствии боковых деформаций определится вы-
ражением
Согласно имеющимся в литературе данным, функция
может быть аппроксимирована в-виде
где р, m, i0 — опытные коэффициенты, определяемые по данным
соответствующих компрессионных испытаний.
Абсолютную просадку увлажненного слоя грунта ниже гори-
зонта начального давления можно определить по формуле
v0(O v0(O
( Ady = AIyo(O-J'n]=5(t)= ( \**d
J •> 'к**'eat—И'о /
В условиях природного напряженного состояния уплотняющая
нагрузка, вызывающая просадку,
= То (^с₽) У = Td (1 + И%) у.
Тогда изменение просадки во времени будет:
Vo
s(t) = $ Р (И'ср) [То (И%) y]m(WW dy.
201
Подставляя переменную по глубине и во времени влажность
из формулы (5.3) в подынтегральное выражение и производя не-
сложное преобразование, для изменения просадки во времени по-
лучим общее выражение
£(«)=$₽ (И%) [То (И%) y]m<Wc₽'cos« dy. (5.22)
Уп
Полученный интеграл в выражении динамики просадки при
io=l приводится в квадратуру только при четных значениях па-
раметр^ m(WCp). При произвольно вещественном значении пара-
метра m(Wcp) интеграл в выражении (5.22) при i0=l раскрывает-
ся только приближенными методами.
Применяя разложение подынтегральной функции с°8{° 2у
в ряды Маклорена и производя почленное интегрирование в фор-
муле (5.22), после несложного преобразования получим
s (t) = Р (И%) Л ( ^-) , (5.23)
где
. 3+m_ 3+m
р ( Уп У0 ул io** y0 уп I
Ч у0 / 14-т (2у0)221 3+m •
I *о (З^о—2) л Ур_____Уп____I
"Г (2у0)<4! 54-т "Г"’
Формула просадки в предположении линейной зависимости
между относительной просадкой и влажностью грунта получится
из выражения (5.23) как частный случай, если принять пара-
метр io = l:
s (t) = р (»FCP) F2 { , (5.24)
где
1+т „3+т „3+т
р ( Уп )— у° Уд_______________л у° ~~Уд I
2 \ Уо ' 14-™ (2у0)22! 34-тп "г
. „5+т „5+т
। л* Уо ~УП ।
’ (2у0)*4! 5+т ’ * *
По полученным формулам решим пример.
И Пример 5.3. Требуется определить изменение абсолютной просадки однород-
ной толщи лессового грунта второго типа <при непрерывном его увлажнении.
Известно: /7=30 м; VF0=Orl; W,at=0,4; IFcp=0^9; lo(^ep) = 16,6 кН/м3; 0-
= 1,5 м2/сут.
202
Параметры нелинейной деформируемости грунта при средней влажности по
данным компрессионных испытаний установлены равными: ₽(TFcp) =0,15 МПа-0-*2;
т(№СР)=0,92.
Параметр io=2,5 согласно методике, изложенной в гл. 3.
Изменение величины просадки во времени, м, вычислим по двум расчетным
формулам:
по формуле (5.23)
Г «3,92 _ 3,92 5,92 5,92J
л-(0=0,0286 0,521 (4,в2—0,314—------j-5-Ь 0,434 -т-5—1 м;
l »о »; J
по формуле (5.24)
[3,92 3,92 „5,92 5,92 -1
0,521 (yJ>92-»i,e2)-0,785—-j-5-Ь0,597 —-° - и.
Уо Уо J
Результаты вычисления просадки сведем в табл. 5.1.
Таблица 5.1
t, сут 5(0, см t, чсут S(O. СМ
по формуле (5.23) Во формуле по формуле 46.23) по формуле 1(5.24)
10 5,08 3,72 150 85,8 65
30 16,6 12,6 160 90,6 69,5
50 30,6 22,2 170 94,8 75,8
80 48,6 35,1 174 96 76,6
100 58,1 43,4 180 98 77,1
130 74,1 57,7
Условно стабилизированная величина просадки
S„, , = $ ₽ (W\ot) [Vo (W,al) y^^dy.
Vn
Раскрывая последний интеграл, получим
_ Р(И'.а<[Уо(И'.а.)Г(ИЛ,а(> Г1 _ / Уп_\
*•’’* l + mOV^f) Н L1 I И I
(5.25)
При больших мощностях просадочного слоя грунта (Я>20 м)
формулу (5.25) можно представить в виде
с PlH'.aOlVodr.af))^’0'’ Я1+",(И'.а«) /5 961
S‘l-‘---------l + n.(lV.a.) Н (5>26)
Формула (5.25) для условно стабилизированной просадки при
№СР=О,29 дает следующее значение:
ЗООО^-22 [1 - (-^Г92] =101 СМ.
203
Ранее период стабилизации просадки был установлен условно
исходя из условия насыщения подошвы просадочного слоя грунта
водой до нижней границы пластичности—/предела раскатывания.
Однако вопрос установления стабилизации просадочного процесса
должен решаться более обоснованно исходя из закономерности
изменения просадки во времени.
Приведем вывод формулы для определения периода условной
стабилизации просадочного процесса при непрерывном замачива-
нии однородной толщи лессового грунта в условиях природного
напряженного состояния.
Максимально возможная (предельная) просадка увлажняемой
толщи грунта, очевидно, будет достигнута при полном его водо-
насыщении и определится выражением
н
s„. в = J ₽ (Wsat) (То (И\«) Ит(И''а,) dy. (5.27)
Vn
Математические выкладки значительно упростятся, если исхо-
дить из предположения о наличии линейной зависимости между
относительной просадкой и действующим напряжением. В прин-
ципе изложенную ниже методику можно распространить также
для случая нелинейной связи между просадкой и напряжением.
Итак, если исходить из значения параметра m(W8at) = 1, то после
раскрытия интеграла в выражении (5.27) получим
S„, в = ~ (И',а<)2Т(’ (И',О°- (Я2—Уп)- (5.28)
В процессе же увлажнения изменение просадки будет обуслов-
лено насыщением грунта водой по мере продвижения фронта сма-
чивания:
Уо
S.t (t) = j ₽ (IVCP) Yo (IVCP) у cos dy.
Уп
Раскрыв последний интеграл и произведя несложные преобра-
зования, получим
S., («) =Р (и%) % (И%)М- Fn (^-) , (5.29)
где
F0(J!s-)=1 —соз-^2- —— sin-^s-.
\ Уо / ‘Л 2^0 Уд %Уо
Условие, при котором переменное во времени значение просад-
ки достигнет своей конечной величины, запишется в виде равенст-
ва S8i(t)=Saitg или в развернутом виде
т.аот,(ж,а<) (Я2—j/j)=р ( jvcp) Ve (жср) al г, (is.).
204
Если учесть, что значения параметров 0 и при средней влаж-
ности и полном водонасыщении несущественно различаются меж-
ду собой, то последнее равенство можно представить в виде
1 —cos t0 —sin t0 — At*, (5.30)
где
‘•-%-
Решить уравнение (5.30) относительно t0 можно только приб-
лиженным способом. Используем графический метод решения это-
го уравнения. Для этого введем обозначения:
Ф1=1—cos70—^-sin/0; ф2 = А?;.
Уравнение (5.30) с помощью введенных обозначений примет
вид
<р1 = <р2. (5.31)
Для нахождения корня уравнения (5.31) строится кривая
функции ф2 для характерных значений отношения Н/уп и ф| в за-
висимости от параметра t0- Абсциссы точек пересечения кривых ф2
с кривой определят искомые значения параметра to (рис. 5.9).
С помощью кривых на рис. 5.9 для каждого случая расчета лег-
ко определяется значение параметра Fo. Согласно найденному зна-
чению параметра t0 период стабилизации просадки определится
из соотношения nyn/2yo=to выражением
Т = 4-(-5^)2. (5.32)
е \ 4,74«0 / ' '
Пример 6.4. Требуется определить период условной стабилизации просадки
при тех же данных, что и в примере 5.3.
В рассматриваемом случае Н/уа=\0, поэтому из рис. 5.9 точку пересечения
кривых <р2 и ф1 определим значением параметра to=O,l 1 по формуле (5.32)
_ 1 / 3,14 3,19 \2
Т~ 1,5 ( 4,74-0,11 I ~246 сут’
Из рис. 5.9 видно, что значение функции ф1 при интересующих
нас значениях параметра to не подвергается существенному изме-
нению. Среднее значение функции ф1=0,333.
Таким образом, если исходить из ее среднего значения, будем
иметь
- (-^3- )2 = 0,333,
п \ 2у0 / * ’
откуда
уа=а У Т = яУп .
"° ' /о.зззл/ця/^^-и
205
Решая последнее уравнение относительно Т, получим
т^-[1~0/о/Н)21- (533)
Для больших мощностей просадочного слоя грунта (Я=20м)
формулу (5.33) можно представить в виде
Т=лЯ2/7,380. (5.34)
5.7. Прогноз динамики просадки с учетом
«арочного эффекта»
При определении деформации толщи просадочного грунта мы
исходили из линейного закона изменения уплотняющего напряже-
ния по глубине. Однако при увлажнении отдельные слои грунта
будут полностью испытывать вес вышележащих слоев. Уплотнение
нижних слоев существенно изменит природное распределение дав-
ления по вертикали. Бу-
дет наблюдаться карти-
на, аналогичная напря-
женному состоянию в
нарушенном массиве при
податливости кровли гор-
ных выработок, создаю-
щей «арочный эффект».
На самом деле, при
просадке в нижних слоях
происходит нарушение
природного напряженно-
го состояния увлажняе-
мого грунта. Вследствие
неравномерности верти-
кальных смещений в
грунте развиваются ре-
активные касательные
напряжения, стремящие-
ся удержать массив в
равновесии. Эти напря-
жения уменьшают вес
опускающейся части и
Рис. 5.9. Кривые функций <pi=(pi(ro) и
фз(*о) для численного решения уравне-
ния (5.31)
увеличивают напряжения в примыкающих неподвижных участ-
ках породы. В результате происходит образование разгружаю-
щего свода.
Попытки учета «арочного эффекта» при расчете просадки
увлажняемых лессовых грунтов в условиях природного напряжен-
ного состояния сделаны в работах А. А. Григорян, Ю. К. Ивано-
ва, В. И. Крутова и др.
Н. Я. Денисов выделяет две зоны под каналом.: активную и
пассивную. В активной зоне происходит инфильтрация, которая
206
вызывает увеличение влажности пород, сопровождающееся их
уплотнением. Пассивная зона находится вне (выше и сбоку) об-
ласти распространения инфильтрационного потока и сохраняет
естественную влажность. Пассивная зона играет роль нагрузки
по отношению к толще пород повышенной влажности. Опускание
ее при просадках Н. Я. Денисов отождествляет с обрушением
пород в горные выработки. В результате уплотнения под давле-
нием пассивной зоны объем лесса повышенной влажности умень-
шается. Это сопровождается соответствующим опусканием пас-
сивной зоны толщи, ко-
торое распространяется
по аналогии с обрушени-
ем в горные выработки
под некоторым углом,
принимаемым Н. Я- Де-
нисовым равным 60°. Ис-
пользуя указанную схе-
му явления, можно вы-
вести формулу для при-
ближенного определения
просадки.
Пусть к моменту вре-
мени />/о область, за-
нятая просадкой, оконту-
рена изолинией 1, 2, !'
(активная зона на рис.
5.10). Тогда просадка в
плоскости А—А вызовет
Рис. 5.10. Расчетная схема для учета «ароч-
ного эффекта» при определении просадки
опускание вышележащих слоев грунта. Вследствие их смещения
общее давление на осевую полосу уменьшится на величину верти-
кальной составляющей сопротивления сдвигу, действующего на
границе двух зон. Неравномерность смещения грунта приведет к
образованию криволинейных поверхностей скольжения 2, 3 и 2,
3'. Поверхность грунта в пределах зоны, ограниченной точками
3,3', переместится вертикально вниз. Вывод уравнения поверх-
ности скольжения чрезвычайно сложен. При ориентировочных ра-
счетах угол наклона поверхностей скольжения может быть при-
нят а=45°+<р/2. В практике упрощенных расчетов обычно счита-
ют, что поверхности скольжения являются вертикальными плос-
костями kik2—П1П2. Результаты расчетов, согласно этой гипотезе,
обычно хорошо согласуются с имеющимися экспериментальными
данными. Распределение давления по вертикали в пределах ак-
тивной зоны устанавливается формулой
o’=Wf(Tc“t)[1-hi'{_ • <5-35>
где b — полуширина смещающейся горизонтальной полосы.
207
Преобразуем формулу (5.35) для рассматриваемого случая.
Прежде всего примем, что грунт в активной зоне находится в пре-
дельном равновесии. Следовательно, -коэффициент бокового давле-
ния в формуле (5.35) можно принять равным единице. Для вычис-
ления уплотняющего давления по формуле (5.35) необходимо оп-
ределить полуширину смещающейся полосы, для чего криволиней-
ные поверхности скольжения 2, 3 и 2, 3' заменим плоскостями
Л13 и k\3'. Примем, что плоскости скольжения касаются границы
активной зоны и составляют с плоскостью А—А угол а=45°+<р/2.
Тогда плоскость обрушения
(5.36)
где функция F(x, y)=Q определяет границу активной зоны; хь
У! — координаты точки касания.
Изолинии влажности, т. е. границы активной зоны, могут быть
определены уравнением (2.99)
откуда получим
dF -о» ьоа-5>62е* » ^-Уоа
дх 1х' ду -2У+ 2>37уё* Уъ ‘
Уравнение (5.36) примет вид
xxt + (yi — B)y — x' — yt(yl — B) = 0, (5.37)
где
B=(yl-bW(2y0).
Из сравнения полученного уравнения с общим уравнением пря^
•мой следует
tg (45° + <р/2) = xi/(yi — В); х0 = yi ctg (45° + <р/2) 4- хп
где х0 определяет границу распространения просадочных дефор-
маций на поверхности грунта.
Решая уравнение для х0 и tg(45°4-<p/2) относительно Xj и
получим
х = *ptg (45°+ф/2) —в .
1 tg (45° + ф/2) + ctg (45°+Ф/2) ’
у x04-Btg(45°+<p/2)
tg (45° +ф/2) + ctg (45°+Ф/2) ’
Величину х0 определим из условия нахождения точки касания
М(хи 1/J на границе активной зоны:
xj + 2Вх0 ctg (45° 4- ф/2) — В2 _ dj [ 14- ctg (45° 4- ф/2)] = О,
208
откуда
*0 = gctg(45° + y/2) + ^+^2) . (5.38)
С другой стороны, из рис. 5.10 видно, что
*0 = Ь"ЬУо ctg (45° + ф/2). (5.39)
Из формул (5.38) и (5.39) находим полуширину перемещаю-
щейся полосы:
6 = ^Ltg^+^ (5.40)
Ширина зоны просадки на поверхности грунта
L = z0 — b0 = у о ctg (45° 4- ф/2) + Ь — Ьо.
Согласно последней формуле, произведены вычисления шири-
ны зон просадки на поверхности грунта к моменту ее условной
стабилизации (через 80 сут) для траншей Мингечаурского опыт-
ного участка: для траншеи 3 (опыт I)—23 м; для траншеи 1
(опыт II) —26 м; для траншеи 5 (опыт III) —34 м.
Полученная из расчета ширина зон просадки оказалась в пре-
делах опытных величин.
После установления закономерностей изменения уплотняющего
давления по глубине можно перейти к расчету просадки увлаж-
няемой толщи. Предположим, что в пределах активной зоны грунт
полностью насыщен водой. Относительная деформация
Просадка в пределах активной зоны
V0(O !
Для вычисления последнего интеграла необходимо знать зако-
номерности изменения параметров нелинейной деформируемости
грунта р и т по глубине увлажняемой толщи. Рассмотрим случай,
когда просадочные свойства увлажняемого грунта по глубине ме-
няются незначительно, и, следовательно, функции Р = Р(#) и т—
= т(у) могут быть аппроксимированы прямой, параллельной
оси у. Примем, что параметры р и т в выражении (5.41) являют-
ся некоторыми осредненными по глубине значениями. Тогда
*о<‘) 1
Уп
209
Представим подынтегральную функцию в виде биномиального
ряда и, ограничиваясь тремя его последовательными членами, по-
сле интегрирования получим
S = А {1,82 Vet - уп + [exp ( /St tg <р ) -
-ехр (--у- tg ф)] + го,,4(*7<Го) ь [ехр(—Vet tgф)-
_еХр(— J’^pnig'p)]} , (5.42)
где
л о Ьт° / с \™о
^ = ₽o-^(Yo-t) •
Сравнение расчетного значения просадки, вычисленного по фор-
муле (5.42), с опытными значениями, полученными в грунтах Мин-
гечаура, показывает достаточную согласованность между ними.
5.8. Прогноз конечной просадки в условиях
природного напряженного состояния
В условиях природного напряженного состояния деформацию
просадки будем рассматривать одномерной, происходящей в усло-
виях компрессии, т. е. при отсутствии бокового расширения грун-
та. Такая деформация будет наблюдаться при увлажнении толщи
лессового грунта из котлована, имеющего размеры в плане не ме-
нее мощности просадочного слоя грунта. На глубине у ниже гори-
зонта действия начального давления просадочности уа выделим
элементарный слой увлажняемого грунта высотой dy. Относитель-
ная просадка рассматриваемого грунта
р _ &dy
в‘~ dv
РоО”1»,
тде ₽о и то — параметры нелинейной деформируемости рассмат-
риваемого грунта в водоиасыщенном состоянии.
Конечная абсолютная просадка всей толщи лессового грунта
мощностью Н в условиях непрерывного увлажнения
н н
J Д dy = J poomo dy
Vb уп
или
н
Д(Я—Уп)=£,1э= J h^dy.
Уи
210
В условиях природного напряженного состояния изменение
уплотняющей нагрузки по глубине без учета «арочного эффекта»
при просадке можно определить по обычно применяемой в меха-
нике грунтов формуле о = ^оу. Тогда
S.i.g=\ Ь>Шт°йу- (5-43)
Уп
При однородной толще лессового грунта, когда значения пара-
метров нелинейной деформируемости 0о и т0 по глубине могут
быть приняты постоянными, имеем
»«)
При неоднородном лессовом грунте, когда расчетные пара-
метры изменяются по глубине, в расчет можно ввести средневзве-
шенные значения этих параметров:
2 S mojhj _ S Yojfy
₽о=-Ч—; —; Vo-^Ч—. (5.45)
S h} hj 2 hi
j=i j=l >=i
Конечную просадку характерных лессовых грунтов, имеющих
больщие мощности (Я>20 м), можно определить по приближен-
ной формуле
S (5.46)
1 + т0
Для прогнозирования конечной величины просадки неоднород-
ных слоисто сложенных лессовых грунтов значительной мощности
можно использовать формулу
(5.47)
где п — количество неоднородных слоев грунта; hj — толщина этих
слоев.
5.9. Проверка достоверности расчетных формул
по результатам натурных опытов
Для проверки достоверности разработанных инженерных мето-
дов прогнозирования просадки в полевых условиях были проведе-
ны специальные экспериментальные исследования, результаты ко-
торых изложены в § 3.1. По результатам этих исследований опре-
211
Таблица 5.2
№ слоя Мощность слоя Яр см Параметры деформируемости
Ро. МПа-^о Л10
1 300 0,325 1,17
2 300 0,164 1,163
3 200 0,14 1,15
4 200 0,112 1,136
5 400 0,08 1,098
6 400 0,066 1,062
7 400 0,062 1,026
8 800 0,046 0,991
делим ожидаемое значение абсолютной просадки грунтов опытно-
го участка. Значения параметров нелинейной деформируемости
грунтов каждого слоя толщи опытного участка, подсчитанные по
данным табл. 3.1, сводим в табл. 5.2. Вычислим значения пара-
метров деформируемой толщи грунтов опытного участка по фор-
мулам (5.45):
о _ 300(0,325+ 0,164)4-200(0,144-0,112) ,
Ро 300+ 300+ 200+ 200+ 400+ 400+ 400+ 800 ’
. 400(0,08+ 0,066+ 0,062)+ 800-0,046 „ МПа-то.
300+ 300+ 200+ 200+ 400+ 400+ 400 + 800 “
_ 300 (1,17+1,163) + 200 (1,15+1,136) f
Ш° 300+ 300+ 200+ 200+ 400+ 400+ 400+ 800 «
, 400 (1,098 + 1,062+1,026) +800-0,991 , Л7
"> 300+ 300+ 200+ 200+ 400+ 400+ 400+ 800 “
Среднее значение удельного веса грунта в водонасыщенном со-
стоянии в пределах верхних двух слоев толщи
у0 = 0,5 (18,66 +19,21) = 18,94 кН/м3.
Подставляя значения параметров в формулу (5.6), для верх-
ней границы области просадки получим
1 /0,01 \i/mo 1 / 0,01 \ 1/1,07
у0 ' Ро ) 0,0001894 ( 0,106 ) —580 см.
Таким образом, согласно рекомендуемой формуле, просадка в
грунтах опытного участка возникает, начиная с глубины 500 см.
По данным же отметок глубинных марок, как было выявлено вы-
ше, эта глубина ориентировочно составляет 450 см. Начальное
давление просадки для грунтов опытного участка находится по
формуле (5.7):
212
Следовательно, абсолютная просадка толщи грунтов опытного
участка по рекомендуемой формуле (5.26) составит
S,t = 30001+1,07 = 98,5 см.
Сравнивая полученное значение просадки с опытным, можно
заметить, что в отличие от существующей рекомендуемая формула
(5.26) дает завышенное на 22,8% значение просадки, т. е. дает
прогноз просадки с определенным запасом.
5.10. Прогноз конечной просадки
в основаниях зданий и сооружений
Расчет просадки в основаниях зданий и сооружений в общем
случае должен производиться с учетом действия трех нормаль-
ных составляющих давлений. Однако для упрощения, так же как
и при расчете осадки фундаментов, можно исходить из одномер-
ной задачи уплотнения грунтов при просадке. Очевидно, условия
применимости такого расчета должны быть оценены в зависимо-
сти от отношения ширины подошвы фундамента к 'мощности про-
садочного слоя грунта. Если площадь сооружения достаточно ве-
лика, а мощность просадочного слоя грунта незначительна, то без
существенной погрешности для прогнозирования величины ожи-
даемой просадки можно исходить из зависимости (5.2) между от-
носительной просадкой и уплотняющей нагрузкой. При такой по-
становке задачи расчет, по существу, сводится к определению ожи-
даемой деформации основания сооружения при отсутствии боко-
вого расширения грунта. Следует отметить, что влияние боково-
го расширения грунта при просадке в силу специфической особен-
ности природы этой деформации значительно меньше, чем при рас-
чете осадки обычного непросадочного грунта.
Итак, исходя из нелинейной деформируемости лессового грун-
та при просадке, общее выражение просадки 'можно представить
в виде
hs
S,i.g = J №mdy,
о
где h8— расстояние от подошвы фундамента до нижней границы
области просадки.
Просадка в основаниях, сложенных лессовыми грунтами пер-
вого типа по просадочности, возникает в области, непосредственно
примыкающей к подошве фундамента в пределах dn^y^h8 (рис.
5.11). Для определения нижней границы области просадки исход-
ной зависимости может служить формула для распределения до-
полнительной нагрузки в основаниях зданий и сооружений:
Оу = а (Ру — Р6) = а(у) (Ру — yQdn), (5.48)
где а(у)—коэффициент, характеризующий изменение дополни-
213
Рис. 5.11. Расчетная схема для
определения нижней границы
области просадки в основаниях
зданий
тельного давления в грунте по оси.
сооружения и учитывающий форму]
подошвы фундамента; Ро — среднее'
фактическое давление на грунт под,
подошвой фундамента от норматив-
ных нагрузок, не превышающее нор-
мативного давления для неувлажнен-
ного состояния рассматриваемого ос-
нования.
С учетом действия собственного
веса грунта формула (5.48) примет
вид
= (Ро—Т(А) + То(У—4)- (5.49)
Учитывая, что мощность зоны про-
садки по сравнению с мощностью
сжимаемой толщи основания (актив*
ной зоны), «невелика, криволинейную
эпюру распределения внешнего дав-
ления в пределах этой зоны заменяем прямолинейной (см. рис.
5.11). Коэффициент рассеивания давления в грунте основания
где ал0 — значение коэффициента а на нижней границе сжимае-
мой толщи; ho — глубина сжимаемой толщи, определяемая для
лессового основания, так же как для обычного непросадочного
грунта.
Формула (5.49) с учетом принятого допущения будет иметь вид
= (ро—Yod„) (1 — 1 у) + То (У + <*»)•
На нижней границе области просадки (y=h8) суммарное дав-
ление от внешней нагрузки и собственного веса грунта должно
равняться начальному давлению, т. е.
(Ру- To<*n) ( 1 - h. ) + То (Л. + d„) = Рг1.
Решая последее уравнение относительно h8t получим
h ____________Ь___________Гр WL V/ml
e (Po-Todn)(l-aho)-Yo^o L° \ Р ) J*
Согласно существующей методике
аЛо (Ро То^п)= О,2уоЛ.о,
откуда ah0=0,2Yoho/(P0—Wn).
214
С учетом последнего выражения формула для определения ниж-
ней границы области просадки окончательно принимает вид
Ив формулы (5.50) видно, что если удельное давление по по-
дошве фундамента принято равным начальному давлению, то про-
садка в основании будет отсутствовать, так как получим ha=Q.
Поэтому для грунтовых условий первого типа по просадочности
одним из эффективных мероприятий может служить уменьшение
удельного давления по подошве фундамента. Площадь подошвы
фундамента при этом определится формулой
У №
где ZN* — сумма вертикальных нормативных нагрузок, включая
вес фундамента.
Зная нижнюю границу области просадки, согласно выражению
hs
se = j р [(Ро-уМ (1 - У ) +То (У + dy,
О
можно установить формулу для прогнозирования ожидаемой про-
садки в основаниях зданий и сооружений.
Раскрывая интеграл в последнем выражении, в предположении
постоянства параметров нелинейной деформируемости грунта в
пределах небольшой зоны просадки после несложного преобразо-
вания получим
С ____ ________Р^О_________ у
^sbg-(l + m)l(Po_Todn)_l,2YAol Х
х {Ро+т-[^о+ 1,2тЛ fe.]>+m} . (5.52)
Для прогнозирования общей величины ожидаемой деформации
основания, сложенного лессовыми грунтами, необходимо предва-
рительно выявить возможность проявления в основании просадки
от действия собственного веса грунта, просадки от действия веса'
сооружения, обычной осадки и определить границы областей этих
деформаций. Для этой цели предложен следующий графический
метод. По формуле (5.48) в зависимости от формы и размеров по-
дошвы фундамента строится эпюра распределения уплотняющей
нагрузки по глубине от действия веса сооружения (рис. 5.12, кри-
вая 1—2). Затем на этом же чертеже строится эпюра распределе-
ния уплотняющего напряжения от действия собственного веса
грунта (прямая 0—3). Суммируя соответствующие ординаты обеих
эпюр, получаем результирующую эпюру распределения напряже-
ний по глубине основания от совместного действия веса сооруже-
215
ния и собственного веса грунта (кривая 4—5). Далее, по данным
соответствующих компрессионных испытаний, определяются зна-
чения параметров нелинейной деформируемости грунтов основа-
ния, согласно которым по формуле (5.7) вычисляется начальное
давление. На расстоянии Pai проводится параллельная оси Оу ли-
ния начального давления (прямая 6—7). Пересечение линии на-
чального давления с результирующей эпюрой уплотняющей на-
грузки определяют три характерные зоны деформации грунтов ос-
нования: I — зона просадки от совместного действия веса соору-
Рис. 5.12. Графическое по-
строение для определения
различных областей просад-
ки в основаниях зданий
Рис. 5.13. Границы различ-
ных областей просадки в ос-
новании
жения и собственного веса грунта; простирается от подошвы фун-
дамента до первой точки пересечения линии начального давления
с результирующей эпюрой нагрузки; II — зона, в которой практи-
чески отсутствует деформация просадки (пассивная зона); нахо-
дится между двумя границами пересечения линии начального
давления с результирующей эпюрой нагрузки; III — зона просад-
ки от действия только собственного веса грунта и в отдельных слу-
чаях также от внешней нагрузки.
Следует отметить, что наличие перечисленных видов деформа-
ции лессового грунта в основании впервые экспериментально было
установлено В. И. Крутовым. Дальнейшему развитию методики
расчета оснований зданий и сооружений на просадочных грунтах
на основе нелинейной зависимости деформируемости грунта была
посвящена диссертация С. К. Алиева. Согласно изложенной вы-
ше методике, решены характерные примеры расчета деформации
увлажняемых лессовых грунтов в основаниях зданий и соору-
жений.
216
Ц Пример 5.5. Требуется .рассчитать возможную величину деформации лессо-
вого основания прямоугольного фундамента при увлажнении. В основании фун-
дамента с размером подошвы 2x2 ми глубиной заложения dn=l м залегает
25-метровая однородная толща лессового грунта. Суммарная вертикальная
нормативная сила (с учетом веса фундамента), передаваемая на основание, рав-
на 400 кН. Удельный вес грунта однородной толщи основания равен 15,1 кН/м9.
Параметры нелинейной деформируемости: 0=0,249 МПа-1*26; т=1,25.
Начальное давление находится по формуле (5.4)
₽.<=(Т),/и=(»1/,,25=°’076 МП“-
Верхняя граница области просадки
1 / 0,01 \l/m 1 г 0,01 \ 1/1,25 спо
То ( ₽ ' ~ 0,000151 ( 0,249 / ~503 СМ>
Ожидаемую просадку от действия только собственного веса грунта опреде-
ляют по формуле (5.46)
S,i g= /У Я1*т= Q'024^’001511'86 25001*1,26 = 145,6 см.
81,8 14-т 1 14-1,25
Нижняя граница сжимаемой толщи, определяемая по СНиП 2.02.01—83, на-
ходится на глубине Ло=330 см. Нижнюю границу области просадки от совмест-
ного действия веса здания и собственного веса грунта вначале определим гра-
фическим способом. Построим эпюры уплотняющей нагрузки от собственного
веса грунта, от внешней нагрузки и суммарную результирующую эпюру
(рис. 5.13). Проведенная параллельно оси Оу вертикальная линия начального
давления пересекает суммарную эпюру напряжения в двух точках: верхняя точ-
ка определяет положения нижней горизонтальной границы области просадки от
совместного действия веса здания и собственного веса грунта: hs=175 см, ниж-
няя точка — положение нижней границы пассивной зоны. Поскольку нижняя
граница сжимаемой толщи проходит ниже нижней границы пассивной зоны, то
в пределах полосы толщиной 330—(175+125) =30 см под действием собственно-
го веса грунта и давления от здания может наблюдаться просадка. Обозначим
величину этой деформации грунта через Sc", а деформацию просадки в преде-
лах первой зоны через S/. Тогда суммарная величина просадки определится
в виде SC=SC,+SC". Значения просадки в пределах первой зоны находим по
формуле (5.52)
0,0249-330
(1-|_1,25) (1,2-0,00151-330— 0,849) Х
Г/., 1,2-0,00151-330— 0,849 \1+1,25-1
х Ц1+ —ззо------1----175) J=4’°см*
Величина Sc"=0,41 см.
Общая ожидаемая деформация основания
2 5 = 145,64-4,04-0,41 = 150 см.
5.11. Закономерности просадки в основаниях
жестких фундаментов
Для установления характера деформирования лессовых грун-
тов при непрерывном их увлажнении в основании фундаментов в
лаборатории механики грунтов АзПи было проведено экспери-
ментальное исследование (С. К. Алиев, 1967). Монолит характер-
217
ного просадочного грунта размерами 60X60X100 см испытывался в
зеркальном лотке путем приложения к его поверхности через же-
сткий штамп постоянной нагрузки, равной 0,3 МПа. Для измере-
ния деформации в дискретных точках основания в узлах его квад-
ратной сетки пробуривали горизонтальные отверстия, в которые
вплотную вдавливались чувствительные к деформациям алюми-
ниевые стержни (рис. 5.14). После стабилизации осадки основа-
ние штампа непрерывно увлажняли в течение 36 сут.
Измерением направления и величины смещения головки глу-
бинных мерок в различных точках основания устанавливались за-
кономерности динамики просадки в процессе непрерывного увлаж-
нения основания. На рис. 5.15 представлены кривые изменения
просадки и скорости просадки штампа во времени. Как видно из
этих кривых, просадка в основании жидкого штампа возникает
сразу же после увлажнения и интенсивно растет в начальный пе-
риод деформации.
Условная стабилизация просадки основания была достигнута
на 30-е сутки, в течение которых происходило постепенное погло-
щение грунтом основания воды. После этого периода процесс де-
формирования основания должен был проходить в результате пол-
зучести грунта при постоянной его влажности. Период стабилиза-
ции просадки в опытах оказался в 2,14 раза больше, чем период
стабилизации осадки основания до увлажнения. Стабилизирован-
ная величина просадки основания размером 122 мм оказалась в
7 раз больше осадки неувлажненного основания.
218
В отличие от лриродного напряженного состояния в начале де-
формированию подвергаются верхние зоны основания и с тече-
нием времени по мере распространения влаги вниз в работу во-
влекаются нижележащие слои увлажненного грунта. Просадке
подвергаются при этом не только грунты, находящиеся непосред-
ственно под подошвой штампа, а также и прилежащие к ним зоны.
Примерно на расстоянии 0,6а от края штампа просадки по-
верхности основания практически исчезают. В течение первых пя-
ти суток непрерывного увлажнения просадки марок первой гори-
Рис. 5.15. Кривые изменения просадки и скорости
просадки штампа во времени
зонтали составляли в среднем 46%, второй — 40, третьей — 36 и
четвертой — 30% от своих стабилизированных величин.
Таким образом, под действием поверхностной нагрузки фронт
просадки развивается сверху вниз в соответствии с закономерно-
стью увлажнения. При этом верхние слои грунта, где имеет место
концентрация напряжений вследствие жесткости штампа, облада-
ют повышенной влажностью. Высокая влажность и повышенная
напряженность создают необходимое условие для возникновения
пластической деформации грунта, т. е. просадки. По мере насыще-
ния основания водой в соответствии с эпюрой влажности фронт
просадки продвигается вниз, приближаясь к своей конечной гра-
нице, установленной в опыте в размере За.
В полевых опытах В. И. Крутова при просадке лессовых осно-
ваний наблюдается также некоторая концентрация деформации
сжатия в верхней части грунта по сравнению с расчетными вели-
чинами и, как следствие этого, уменьшение сжимаемой толщи.
На рис. 5.16 построены кривые просадки на каждом горизон-
те в различные периоды деформирования основания. В непосред-
ственной близости к подошве штампа горизонтальные перемеще-
ния грунта равны нулю, а вертикальные в точках с одинаковым
219
заглублением равны, что объясняется влиянием сил трения по по-
дошве и жесткостью штампа. Смещение точек, расположенных на
вертикалях, проходящих через прилегающие к штампу зоны, мень-
ше, чем в точках на осях, проходящих в пределах подошвы штам-
па, что объясняется поддерживающим действием окружающего
грунта.
Горизонт-1
5-1 Л-2 3-1 2г-1 f-1 0-1 1-1 2-1 3-1 Л-1 5-Г
Горизонт-2
5-2 Л'-2 3-2 2'~2 г-2 0-2 1-2 2-2 3-2 Л-2 5-2
1 2 3 Л 5 6 *5Л,ММ
\ Горизонт-3
5’-3 Л-3 3L3 2-V г-3 0-3 1~3 2~3 3~3 Л-3 5-3
Горизонт-Л
5-Л Л-Л З'-Л 2-Л Г-Л 0-Л 1-Л 2-Л 3~Л Л-Л 5-Л
Рис. 5.16. Кривые изменения просадки во времени в различных
горизонтах основания:
1 — суток; 2 — /—10 сут; 3 — /=15 сут; 4 — /-20 сут; 5 — t—25 сут;
6 — /—30 сут
На рис. 5.16 приведены линии равных просадок в основании в
различные периоды его непрерывного увлажнения. При просадке
помимо вертикальных перемещений наблюдаются также горизон-
тальные перемещения грунта, причем сравнительно больше боко-
вые деформации грунта наблюдаются в углах загруженного штам-
па и составляют всего лишь 15% от величины просадок. Харак-
терно, что если при осадке неувлажненного основания боковые
перемещения грунта составляют 0,3...0,5 от вертикальных осадок,
то при просадке соотношение между этими перемещениями полу-
чается 0,12...0,15. На рис. 5.17 приведены линии равных горизон-
220
Рве. 5Л7. Линии равных горизонтальных перемещений грум
та основания в различные периоды увлажнения
тальных 'перемещений грунта основания в различные периоды
увлажнения.
Таким образом, как видно из приведенных данных, просадка
в основаниях жестких фундаментов в начальный период проявля-
ет себя как быстро протекающий процесс деформирования и про-
исходит в основном в вертикальном направлении. В этом процессе
развитие деформации во времени в основном сопровождается на-
сыщением грунта в основании водой.
Боковые перемещения грунта при просадке имеют незначи-
тельную величину, поэтому рассмотренные просадки в основаниях
сооружений в виде одномерной деформации не должны вносить,
существенную погрешность в получаемые результаты. По-видимо-
му, величину погрешности, вызываемой влиянием боковых пере-
мещений, следует ставить в зависимость от степени просадочности
лессовых грунтов: чем больше степень просадочности, тем меньше
должно быть и боковое перемещение грунта.
221
Интересно отметить, что расхождение между фактическими и
расчетными значениями просадки наблюдается также в условиях
природного напряженного состояния грунта, так как просадку при-
нято рассматривать в пределах первой фазы деформации грунта в
основании, т. е. как деформацию уплотнения, тогда как она по
своей природе имеет явно пластический характер. Естественно,
что компрессионные приборы не способны моделировать работу
грунта в последней фазе деформации — в фазе прогрессирующего
течения грунта. Таким образом, если просадка будет рассмотрена
как пластическая деформация грунта, то степень погрешности,
получаемой при компрессионных испытаниях, можно связать со
степенью просадочности изучаемых грунтов: чем больше степень
просадочности грунта, тем большая погрешность должна полу-
читься в результате компрессионных испытаний.
Как показывают результаты сравнения расчетов с натурными
данными, компрессионные испытания, как правило, дают занижен-
ное представление о величинах просадки лессовых грунтов в ос-
нованиях сооружений. Объяснение этого несоответствия принято
искать во влиянии бокового уплотнения грунта в основании. Изу-
чению поведения просадочных грунтов в основаниях сооружений
посвящены многочисленные исследования (А. Лотоцкий, А. А. Гри-
горьян, В. Н. Голубков, Н. Н. Фролов, В. 3. Любимов, В. И. Кру-
тов, И. В. Финаев, И. Е. Раевский и др.).
Глава 6
ПРОЧНОСТЬ И НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ
ПРОСАДОЧНЫХ ГРУНТОВ
6.1. Параметры прочности просадочных грунтов
Как показывают экспериментальные исследования (А. А. Мус-
тафаев, С. К. Алиев и др.), параметры прочности просадочных
лессовых грунтов — сцепление, угол внутреннего трения и коэф-
фициент бокового давления являются однозначными функциями
влажности грунта.
Для установления этих функциональных зависимостей в лабо-
раторных условиях были проведены экспериментальные исследо-
вания (А. А. Мустафаев «Основы механики просадочных грун-
тов». М., Стройиздат, 1978) ряда характерных просадочных грун-
тов Азербайджана на срезном приборе и стабилометре. Результа-
ты этих опытов для трех разновидностей просадочных грунтов
представлены на рис. 6.1. Как видно из этого рисунка, значения
силы сцепления и угла внутреннего трения грунта с увеличением
влажности падают. Причем сила сцепления уменьшается сущест-
венно. Это объясняется тем, что прочность лессовых грунтов в
222
значительной , мере определяется сцеплением, угол же внутренне-
го трения в связи с малой природной плотностью этих грунтов иг-
рает незначительную роль в прочности их структуры.
Не менее важной характеристикой для исследования напря-
женно-деформированного состояния грунтов является коэффи-
циент бокового давления. Особо важное значение этот параметр
имеет для просадочных грунтов.
Рис. 6.1. Закономерности изменения силы сцепления,
угла внутреннего трения и коэффициента бакового дав-
ления просадочных грунтов в зависимости от влаж-
ности:
/ — грунты Мннгечаура; 2 — то же Казаха; 3 — то же Сумгаита
Как видно из рис. 6.1, с увеличением влажности просадочных
грунтов коэффициент их бокового давления монотонно возрастает.
В самом деле, характеристика бокового давления как постоянной
величины свойственна только определенному физическому состоя-
нию грунта и выражает его поперечную деформируемость. С уве-
личением влажности лессового грунта структура его нарушается
и приобретает пластическое состояние, и при этих условиях со-
здается возможность возникновения просадки, приводящей к об-
разованию сил трения по вертикальным плоскостям. Поэтому уве-
личение коэффициента бокового давления при насыщении грунта
водой показывает соответствующее повышение горизонтальной
составляющей давления в грунте. Увеличение же значений попе-
223
речных сжимающих напряжений является следствием возрастания
склонности лессового грунта к боковым перемещениям по мере
насыщения их водой.
Согласно рис. 6.1 в практически важных диапазонах измене-
ния влажности лессовых грунтов зависимость силы сцепления, уг-
ла внутреннего трения и коэффициента бокового давления от их
влажности может быть аппроксимирована линейными функциями
(5.14):
C(W) = Со~ (W- IVO);
tg <Р (Ю = / (Ю «= 7,- J7A (W-Wo);
rv sat— гу о
Следует отметить, что изменение прочностных параметров лес-
совых грунтов при их насыщении водой отличается от изменения
их в обычных грунтах как в количественном, так и в качественном
отношении.
В количественном отношении изменение значения силы сцепле-
ния и угла внутреннего трения лессовых грунтов при повышении
их влажности характеризуются следующими данными. По резуль-
татам полевых экспериментальных исследований (А. А. Мустафа-
ев, 1961), при непрерывном трехмесячном увлажнении толщи про-
садочных грунтов Мингечаура сила сцепления их уменьшается на
9О...98%, а угол внутреннего трения — на 1О...38%. По данным же
лабораторных опытов, установлено, что с повышением влажности
просадочного грунта на 16% сила сцепления его падает на 92%,
а угол внутреннего трения — на 36%. По данным лабораторных
исследований С. А. Алиева (1968), при увеличении влажности про-
садочных грунтов в 3,5 раза, если сила сцепления их уменьшается
в 10 раз, значение угла внутреннего трения падает всего лишь в
1,5 раза. По данным Г. П. Агалина, при повышении влажности
лесса Чирчикстроя на 8% сила сцепления его падает на 83%,
а угол внутреннего трения — на 14%.
Таким образом, из приведенных данных вытекает, что при
увлажнении просадочных грунтов существенному изменению под-
вергается сила сцепления, в основном обусловливающая проч-
ность этих грунтов; угол же внутреннего трения играет незначи-
тельную роль в устойчивости лессовых грунтов. В обычных же
непросадочных связных грунтах влияние влажности на значения
параметров прочности имеет другую особенность. По данным экс-
периментальных исследований Н. Н. Маслова, в глинистых грун-
тах повышение влажности существенно (60...80%) снижает значе-
ние угла внутреннего трения. Сила же сцепления, так же как и
угол внутреннего трения лессовых грунтов, уменьшается незначи-
тельно.
224
6.2. Критерий просадочности лессовых грунтов
Характерной особенностью лессовых грунтов, склонных к про-
садкам, является малая водостойкость связей, обусловливающих
структурную прочность этих грунтов, т. е. сцепление упрочнения
между частицами и их агрегатами. Поэтому для построения кри-
терия просадочности, отражающего специфическую особенность
лессовых грунтов, целесообразно исходить из количественных отно-
шений, изменяющихся при увлажнении параметров, характеризую-
щих структурные прочности этих грунтов. Структурные деформа-
ции лессовых грунтов, представляющие относительные смещения
разных структурных элементов этих грунтов, возможны лишь тог-
да, когда действующее в рассматриваемом элементарном объеме
увлажняемого грунта давление достигнет размеров, достаточных
для отрыва одних структурных элементов от других. Поэтому вы-
бор критерия просадочности лессовых грунтов, естественно, при-
водит к установлению количественных соотношений, исходя из
прочностных параметров, определяющих потенциальные возмож-
ности возникновения просадочных процессов в рассматриваемых
грунтах. Такая постановка задачи дает возможность представить
критерий просадочности лессовых грунтов в виде соотношения
ГГ _ ° (И^о) _ СоСМ?Фо __ Cot-g<Pn /с
° or(^eat) <7nCtg<pn Cntg(p0 ’ V '
Если исходить из подкрепляемого опытами допущения о несу-
щественности изменения угла внутреннего трения лессовых грун-
тов при их увлажнении по сравнению с изменением силы сцепле-
ния, то критерий (6.1) можно представить в виде
Пс = С0/Сп. (6.2)
Таким образом, согласно выполнению экспериментальное ис-
следовамие, порядок изменения прочности лессовых просадочных
грунтов в процессе их увлажнения может быть охарактеризован
следующими безразмерными Критериями:
ТТ ° W . ТТ С (ITp)
° a(ITeat) ’ C(Waat)-
В табл. 6.1 на основании анализа опытных данных различных
авторов приведены вычисленные значения критериев По, Пс.
Как видно из данных табл. 6.1, во всех рассматриваемых грун-
тах значения критериев П, и Пс больше единицы, причем чем
больше просадочность лессовых грунтов, тем больше и величины
этих критериев. В опытах X- А. Аскарова и В. И. Крутова срав-
нительно низкие значения критериев По и Пс объясняются повы-
шенным значением исходной влажности и небольшим диапазоном
изменения влажности исследованных ими грунтов.
225
Таблица 6.1
Опыты Серия опы- Тов Пс Пс
Мустафаева 1 6,970 12,76
2 24,30 33,60
3 11,50 15,80
Алиева 1 7,518 24,00
Сулейманова 1 8,090 23,80
Агалина 1 10,698 10,50
Аскарова 1 3,034 1,660
Крутова 1 1,509 2,99
2 2,064 3,41
3 2,974 4,68
В табл. 6.2 приведены значения указанных параметров, вычис-
ленные для исследованных Н. Н. Масловым глинистых грунтов.
Сравнивая данные табл. 6.1 и 6.2, можно заметить, что во всех
случаях значения критерия По для просадочных грунтов больше
единицы, а для нелросадочных — меньше единицы. Величина кри-
терия Пс, как показывает сравнение результатов многочисленных
натурных и лабораторных опытов, растет с увеличением относи-
тельной шросадочности лессовых грунтов.
Таблица 6 2 Водонеустойчивая природа ‘ структуры лессовых грунтов ха-
Содержание фракций 0.005 мм, % по рактеризуется в основном пара- Пс метром По величина которого
23 25 19 лажнении совых rpyi 0,219 0,637 0,485 существен н 1ТОВ можно ПрИ ДаппиМ 1рИ.эИЧССКиМ VUC1 (JM- 1,562 нии грунта зависит от действия 1’193 всех видов сил связанности, 1,215 обычно называемого сцеплением грунта. Этот параметр при ув- о снижается. Поэтому просадочность лес- оценить безразмерным критерием Пс, ха-
рактеризующим степень снижения структурного сцепления этих
грунтов в процессе их увлажнения.
По величине критерия Пс рекомендуется следующая классифи-
кация лессовых грунтов: I — структурно-устойчивые при замачи-
вании, если Пс<2; II — структурно-неустойчивые при замачива-
нии, если Пс>'2.
По величине критерия просадочности структурно-неустойчивые
лессовые грунты при замачивании могут быть подразделены на
слабопросадочные при Пс=2...5; среднепросадочные при Пг=5...
10; сильнопросадочные при Пс>10. Указанные критерии остаются
справедливыми и в случае неоднородной толщи лессовых грунтов,
в пределах которой величина силы сцепления изменяется сущест-
венно. В этом случае значение критерия просадочности может
226
быть установлено отношением
nc=CcP(W'0)/Ccp(»Vsal),
Sc<W>)ft; 2 ct (И'.о,) ht
где Сср(ТГ0) = -Ы_---------; еср (Ж.о<) =
S hi
3hi
где п — число характерных слоев рассматриваемой толщи грунта
толщиной h, в пределах которых изменяется значение силы сцеп-
ления грунта.
6.3. Прочность просадочных грунтов
Просадка лессовых грунтов, как известно, возникает в ре-
зультате действия на основание нагрузки, оказывающейся пре-
дельной вследствие существенного снижения показателей прочно-
сти этих грунтов при увлажнении. Поэтому просадочная деформа-
ция должна рассматриваться как следствие разрушения лессовых
грунтов в результате изменения их физического состояния и рас-
чет основания, сложенного этими грунтами, помимо расчета по
деформациям в некоторых случаях следует производить также и
по условию прочности. Попытаемся интерпретировать условие
возникновения просадочных деформаций на увлажняемых лессо-
вых основаниях, исходя из теории прочности Мора.
Рассмотрим случай, когда основание из просадочного лессово-
го грунта загружено некоторой распределенной нагрузкой, интен-
сивность которой значительно меньше начальной критической на-
грузки, соответствующей окончанию фазы уплотнения и являю-
щейся совершенно безопасной для основания. Очевидно при этой
чагрузке в точках основания ни по одной площадке не будет до-
стигнуто состояние предельного равновесия грунта. Графически
рассматриваемое состояние грунта, согласно теории прочности
Мора, будет характеризоваться тем, что ни один из кругов напря-
жений не будет касаться прямой предельного сопротивления грун-
та сдвигу (рис. 6.2).
Пусть теперь при рассматриваемом напряженном состоянии
основания производится его увлажнение непрерывной подачей во-
ды. Прежде всего увлажнение будет сказываться на величинах
силы сцепления С и угла внутреннего трения ф в различных точ-
ках основания, так как эти показатели грунта являются однознач-
ной функцией влажности. При непрерывном поле фильтрационно-
го потока параметры Со и ф0 в различных точках основания бу-
дут изменяться непрерывно Как по величине, так и по времени.
В соответствии с этим изменением прямая сопротивления сдвигу
для увлажненного грунта, занимая последовательный ряд поло-
227
жений, постепенно будет приближаться к соответствующим кру-
гам напряжений. При этом определенная часть результирующего
напряжения, отвечающая действию собственного веса грунта,
в процессе увлажнения также изменится. Этого изменения следует
ожидать вследствие увеличения как удельного веса, так и коэффи-
циентов бокового давления грунта.
В соответствии с этим каждому положению прямой сопротив-
ления сдвигу грунта будет соответствовать определенный круг на-
Рис. 6.2. Графическая интерпретация теории
прочности Мора для деформации просадки
пряжений в рассматриваемой точке основания. Однако в процес-
се увлажнения изменения напряжений по сравнению с изменени-
ем сопротивления сдвигу грунта в рассматриваемой точке основа-
ния будут незначительными. Поэтому при некотором значении
влажности грунта Wai прочностные его параметры достигнут оп-
ределенных значений Сп, <рп, при которых прямая сопротивления
грунта сдвигу в некоторой точке основания коснется соответству-
ющего круга напряжения. При этом грунт в рассматриваемой точ-
ке в отличие от обычного понятия о предельном состоянии будет
иметь структурно-неустойчивое равновесие, после чего наступит
процесс пластической деформации, который следует рассматри-
вать как просадочную деформацию лессовой среды. Дальнейшее
увеличение влажности в этой точке вызовет непрерывное нараста-
ние соответствующей деформации пластического течения. Таким
образом, в отличие от обычного представления о предельном со-
стоянии грунта пластическая природа просадочных деформаций
обусловливается не увеличением напряжений в грунте при неиз-
менных его характеристиках прочности, а существенным уменьше-
228
нием значений этих характеристик вследствие изменения физиче-
ского состояния среды.
По мере насыщения грунта водой в соответствии с фронтом
распространения влаги все большая область загруженного основа-
ния будет подвергаться пластическому течению, т. е. просадочным
деформациям. Очевидно, в более напряженных областях основания
просадка наступит при меньшем значении влажности и, следова-
тельно, раньше, чем в менее напряженных областях, где просадка
возникает при большем значении влажности грунта и несколько
позже. Таким образом, просадочные деформации лессовых грун-
тов следует рассматривать не в пределах первой фазы как дефор-
мацию уплотнения, а в последующей фазе — фазе прогрессирую-
щего течения грунта. При этом можно исходить из следующего
допущения. Ввиду того, что пластическому течению должно пред-
шествовать состояние равновесия на границе между упругим и
пластическим поведением грунта, то просадку можно рассматри-
вать как состояние структурно-неустойчивого равновесия грунта и
всю область просадки считать областью, охваченной этим состоя-
нием. Исходя из этого, условие возникновения просадочных де-
формаций в лессовых основаниях, согласно формуле (5.13), мо-
жет быть выражено в виде
Как видно, известное условие предельного равновесия сыпучей
среды, вытекающее из теории прочности Мора, приобретает при
этом обобщенный вид и по существу становится условием воз-
никновения просадочных деформаций в увлажняемых лессовых
основаниях. Условие (6.3) довольно наглядно вскрывает природу
просадочных деформаций в увлажняемых лессовых основаниях.
При наличии закономерности изменения прочностных параметров
лессовых грунтов от влажности условие (6.3) позволяет для каж-
дого случая загружения основания установить размеры и очер-
тания областей, занятых просадочными процессами, величину
влажности грунта, при которой возможно возникновение просад-
ки, величину безопасной нагрузки на основание и т. д.
6.4. Несущая способность просадочных
грунтов
Существующие методы расчета устойчивости и прочности грун-
товой среды в основном построены на основе теории прочности
Мора, согласно которой разрушение грунта наступает при некото-
ром определенном соотношении между главными напряжениями
и значениями прочностных параметров грунта. Теория эта позво-
ляет оценить несущую способность основания в зависимости от
очертания и размеров областей предельного напряженного со-
229
стояния, а также дает возможность определить величину безопас-
ных нагрузок для данного вида грунта основания в условиях его
загружения. Именно по этому пути развивалась теория расчета
основания на протяжении многих лет (работы О. К. Фрелиха,
Н. П. Пузыревского, Н. М. Герсеванова, В. А. Флорина, С. П. Ше-
ляпина, П. И. Морозова и др.).
Решение вопроса прочности и на его основе несущей способ-
ности просадочных лессовых грунтов, .позволяющего разработать
принципы расчета оснований по первому предельному состоянию,
в первом приближении возможно на основе обобщенного условия
предельного равновесия (6.3). Просадочные грунты при этом, как
и обычные, могут быть рассмотрены как сплошная квазиоднород-
ная — изотропная среда, характеристики деформируемости кото-
рой зависят от влажности грунта. Просадку, согласно условию
(6.3), возможно интерпретировать как пластическую деформа-
цию, возникающую в отличие от обычных грунтов при умеренных
значениях действующих на основание напряжений в результате
существенного снижения прочностных параметров лессового грун-
та под влиянием фактора увлажнения.
Существенное падение прочности лессовых грунтов, происхо-
дящее при повышении их влажности, безусловно должно отра-
жаться на условиях общей устойчивости основания. Поэтому за-
кономерности изменения прочностных показателей лессовых грун-
тов в зависимости от влажности позволяют установить максималь-
ное значение безопасной нагрузки, при котором увлажнение грун-
тов не вызывает существенных дополнительных деформаций осно-
вания.
Для основания из обычных непросадочных грунтов совершенно
безопасным давлением является начальная критическая нагрузка,
определяемая по формуле Н. П. Пузыревского:
р _ л (yfe+Cctgy) , , /g z\
кр- ctg<p+(p-n/2
Формула (6.4) может быть обобщена для расчета лессовых ос-
нований, если исходить из пластической природы просадочных
деформаций и закономерностей изменения прочностных парамет-
ров грунта в зависимости от влажности.
В самом деле, если в формуле критической нагрузки в соот-
ветствии с полученными из экспериментов данными учесть пере-
менность силы сцепления и угла внутреннего трения лессовых
грунтов, то можно установить существенное снижение несущей
способности лессовых оснований в процессе насыщения их водой.
На рис. 6.3, по данным экспериментальных исследований (см. рис.
6.1), для трех видов просадочных грунтов (Мингечаур, Казах,
Сумгаит) построены кривые изменения значений начальной крити-
ческой нагрузки, определяемые по формуле (6.4), по мере увели-
чения влажности грунтов основания. Как видно из этих кривых,
230
несущая способность лессовых оснований существенно зависит от
влажности грунта, поэтому при оценке несущей способности этих
грунтов в основаниях зданий и сооружений необходимо исходить
из определенной характерной величины влажности грунта. Одним
из таких расчетных показателей для просадочных грунтов, как
было отмечено ранее, является начальная влажность («критиче-
ская влажность>). Поэтому можно было бы рекомендовать значе-
ния прочностных параметров, входящих в формулу критических
нагрузок, установить со-
ответствующими началь-
ной влажности. Однако,
как было показано вы-
ше, начальная влаж-
ность зависит от напря-
женного состояния грун-
та в основании, следова-
тельно, и от интенсивнос-
ти действующих на осно-
вание нагрузок и разме-
ров фундамента. По
этой причине при опре-
делении прочностных па-
раметров лессового грун-
та начальная влажность
должна быть установле-
на в соответствии с оп-
Рис. 6.3. Графики изменения значения началь-
ной критической нагрузки для трех характер-
ных разновидностей просадочных грунтов (ус-
ловные обозначения см. на рис. 6.1)
ределенным характер-
ным давлением в основа-
ниях сооружений. Таким
давлением для лессовых
оснований является на-
чальное давление просадочности. Поскольку начальное давление
соответствует наименьшей величине действующего в области про-
садки напряжения, то этому давлению будет соответствовать на-
ибольшая из возможных величин ожидаемой влажности грунта.
Таким образом, если принимать, что с наступлением просадоч-
ных деформаций в основаниях предел пропорциональности между
деформациями и напряжениями под фундаментом нарушается, то
формула критической нагрузки для расчета несущей способности
лессовых оснований может быть представлена в виде
р _ я tv (Wei) h+C {Wai) ctg <p (lFaf)] I zuz
Гкр“ ctg(p(^)+<P(We/)-Ji/2
(6-5)
Изложенная методика расчета будет справедлива для грунто-
вых условий первого типа, для которых просадка грунта от соб-
ственного веса практически отсутствует. В случае второго типа
лессового грунта расчет оснований по первому предельному со-
231
стоянию будет иметь значение, если просадочность основания от
собственного веса грунта предварительно будет устранена одним
из существующих способов.
Покажем изложенную методику расчета на конкретном чис-
ленном примере.
В Пример 6.1. Пусть в основании здания залегает однородная 25-метровая тол-
ща просадочного лессового грунта. Просадочность основания от собственного
веса грунта устранена методом предварительного замачивания. Ширина подо-
швы ленточного фундамента 2а=200 см, глубина его заложения </я=100 см.
Для характеристики грунта основания известны следующие данные:
0 = 0,769 МПа-1.8; т=1,8; у =15,4 кН/м3; Со = 0,085 МПа; Сп=0,005 МПа;
/о = О,65; /п=0,25; VFset = 0,38; W0 = 0,10; ^ = 0,40; gn = 0,80.
Начальное давление по формуле (5.4) будет равно
Р8( = (0,01/1,0836)‘/‘-8 = 0,092 МПа.
На рис. 6.4 построена эпюра распределения напряжения по глубине от
внешней нагрузки (кривая /). На этом же чертеже строится график распреде-
ния напряжений от собственного веса грунта
На рис. 6.4 построена эпюра распределения напряжения
Рис. 6.4. К примеру расче-
та 6.1
aiMna
ния напряжений от <
(прямая 2). Суммируя соответствующие ордина-
ты этих эпюр, получаем результирующую эпюру
распределения напряжений от совместного дейст-
вия обеих нагрузок (кривая 3). Глубину зоны
просадки определяем на расстоянии Уп=164 см
от подошвы фундамента. На этой глубине напря-
жения от внешней нагрузки <7=0,1 МПа будут
равны:
оу = о^=0,05 МПа; ох=о® = 0,01.
Напряжение от собственного веса грунта на
этой глубине равно OiT=0,0405 МПа. Постоян-
ные Л, В, С, D, входящие в формулу начальной
влажности, при принятых характеристиках проч-
ности грунта по формуле (5.16) будут равны:
4=0,1359 МПа2, В=0,389 МПа2, С=—0,40885
МПа2, D=0,8557 МПа2.
Начальная влажность по формуле (5.15) рав-
на 1Гв/=0,31. При этой влажности сила сцепле-
ния, угол внутреннего трения и удельный вес
рассматриваемого грунта основания, согласно установленной экспериментальной
зависимости (см. рис. 6.1), равны:
С (Wai) = 0,010 МПа; <р (И^) = 14°42';
У (Wai) = Yd (1 + Wei) = 14,7 (1 + 0,31) = 19,3 кН/м3.
Подставляя эти значения в формулу (6.5) для критической нагрузки, по-
лучим:
Ркр = 3)14 (0’^;о” + P’sV3’78-~ + 0,00193-100 = 0,092 МПа.
О, /оО-|- U,ZO — 1,0/
Как видно из полученного результата, начальная критическая нагрузка по
величине практически совпадает с начальным давлением, поэтому последняя
нагрузка является совершенно безопасной для просадочного основания.
232
6.5. О принципе «наложения» в расчетах
просадки
В увлажняемых лессовых грунтах следует выделять две раз-
личные по своему характеру деформации, а именно, просадку,
протекающую в условиях природного напряженного состояния
грунта, и дополнительную осадку, возникающую под воздействи-
ем внешней нагрузки от сооружения.
Очевидно, лессовые грунты первого типа по просадочности
в силу завершения необходимых геологических процессов, способ-
ствующих образованию недоуплотненного состояния породы, в ус-
ловиях возрастающего с глубиной уплотняющего давления не бу-
дут способны проявлять при ув-
лажнении просадочные деформа-
ции. Деформация этих грунтов
при увлажнении возможна лишь
под действием дополнительной
внешней нагрузки, вызывающей
в толще грунта затухающую по
глубине уплотняющую нагрузку.
В то же время лессовые грунты
второго типа, дающие просадки
под действием только собствен-
ного веса грунта, одновременно
будут склонны к проявлению и
дополнительной осадки.
Для более строгого обоснова-
ния принципов расчета следует
выяснить возможность примене-
ния принципа «независимости
действия сил» при определении
суммарной величины деформа-
ции основания от просадки и
дополнительной осадки. Для это-
го рассмотрим возможные рас-
четные схемы: просадку от дей-
ствия собственного веса грунта
(рис. 6.5, а), дополнительную
осадку от действия только веса
сооружения (рис. 6.5, б) и сум-
марную деформацию основания от просадки и дополнительной
осадки (рис. 6.5, в).
На рис. 6.5 для каждого случая загружения толщи грунта
представлены также зависимости между относительной просадкой
и действующей уплотняющей нагрузкой. В силу нелинейности за-
висимости e,si—а, очевидно, сумма деформации от действия каждой
нагрузки в отдельности — e,ei(0rp)4-e"ef(aq) не будет равна дефор-
Рис. 6.5. Расчетные схемы просадки
233
мации от совместного действия веса сооружения од и собственного
веса грунта оГр, т. е.
(°гр + °q) е«/ (агр) 4“ esl (<^)«
При просадке, как было показано выше, происходит разруше-
ние грунта, поэтому зависимость между деформациями и напря-
жениями значительно уклоняется от закона прямой пропорцио-
нальности. Поэтому на основании принятого степенного закона де-
формирования (5.2) будем иметь
ец (огр) = раГр; е'.1(а,)=Ра^; ев! (агр + а,) = 0 (агр + а,)”1. (6.6)
Согласно принципу независимости действия сил, должно со-
блюдаться равенство
(огр 4- о,) — e9i (огр) 4- eJi (од).
Используя формулу (6.6), будем иметь
(«п>+а,)">=(оГ1,)”>+(о,Г
Последнее равенство может выполняться только при условии
т=\. Тогда приведенные в формуле (6.6) нелинейные связи об-
ращаются в законы прямой пропорциональности.
Следовательно, применение принципа «наложения» в расчетах
просадки возможно, если связь между относительной просадкой и
уплотняющим давлением представлена в виде линейной функции.
6.6. Принцип «эквивалентности»
Рассмотрим однородную толщу просадочного лессового грунта
достаточной мощности в условиях природного напряженного со-
стояния и естественной влажности. В этих условиях, согласно тео-
рии прочности Мора, из всех кругов напряжений ни один не явля-
ется касательным к линии предельного сопротивления сдвигу грун-
та, т. е. грунт находится в состоянии упругого равновесия.
Проанализируем возможные случаи, когда рассматриваемая
среда только под действием собственного веса грунта может пере-
ходить в состояние предельного равновесия. Для этого, согласно
теории предельного равновесия, в условиях плоской задачи для
компонентов напряженного состояния среды ах, и тху необхо-
димо найти такие выражения, которые тождественно удовлетво-
ряли бы двум дифференциальным уравнениям равновесия оплош-
ной среды и одному алгебраическому уравнению предельного рав-
новесия грунтовой среды. Математическая формулировка задачи
при этом имеет такой вид:
fa + ду “0* дх ду~~У’ а1/)24-4тЖ1/ —
= (ах 4- 4- 2о0)2 sin2 ф. (6.7)
234
Уравнения равновесия и предельного равновесия удовлетвори-
ются тождественно, если компоненты напряженного состояния
представлены в следующем виде:
ох = о (1 — sin ф cos 260) — о0;
оу = о (1 + sin <р cos 260) — о0;
т:ху = 0 3111^ sin 260, (6.8)
где o = 0,5(oi4-o2)+оо (оо— угол наклона большего главного на-
пряжения к вертикальной оси Оу).
Так как поверхность грунта горизонтальная и единственной
действующей нагрузкой является собственный вес грунта, то мож-
но считать, что компоненты напряженного состояния не должны
зависеть от координаты х. Тогда уравнения равновесия (6.7) при-
мут вид
дтху Л доу
ду ~ * ду
Решение последних двух уравнений, удовлетворяющих гранич-
ным условиям задачи ау(*/=0)=0, xxy(y=Q) =0, имеет вид
= ^ = 0- (6.9)
Равенство нулю касательной составляющей напряжения в
(6.8) приводит к уравнению
о sin <р sin 260 = 0,
откуда следует, что угол 60 равен нулю, или ±л/2. Это означает,
что в рассматриваемом случае направление большего главного на-
пряжения 01 либо вертикально, либо горизонтально. Так как хху =
=0, то, очевидно, для случая бо=О ov=oi и ож=а2. Формулы (6.8)
при этом примут вид
= <т (1 — sin ф) —сг0; о2 = о (1 + sin ф) — о0, (6.10)
откуда
1 . . ч , Ту+<*о
о = -тг (^i + + оп = .
2 ' 1 2,1 0 1 — sm <p
Тогда в соответствии с формулой (6.10) окончательное решение
рассматриваемой задачи примет такой вид:
<Т1 = w; = («о + уу) itany “а°- (б-11)
Формулы (6.11), впервые полученные Ренкиным, характеризу-
ют пассивное предельное состояние грунтовой среды. Согласно
этому решению, начальное упругое напряженное состояние грун-
тового массива может перейти в предельное пластическое напря-
женное состояние равномерным уплотнением всей массы грунта в
235
горизонтальном направлении. При этих условиях напряжение по
вертикальным граням грунтовой призмы возрастает до тех пор,
пока не будет достигнуто предельное соотношение главных напря-
жений, в то время как напряжения по поверхности основания
этой призмы остаются без изменения. Напряжения, вызывающие
начало пластического течения, должны быть тождественны напря-
жениям, необходимым для сохранения состояния текучести, так
что дальнейшее сжатие грунта не будет оказывать никакого влия-
ния на его напряженное состояние.
Перейдем теперь к рассмотрению последствий увлажнения тол-
щи просадочных лессовых грунтов. Прежде всего отметим, что по-
лученное решение (6.11) можно использовать, если естественные
условия работы грунтовой среды хотя бы приближенно будут со-
ответствовать предположению, положенному в основу ренкинской
теории предельного равновесия. Если в обычных непросадочных
грунтах, согласно этой теории, сжатие всей массы грунта в гори-
зонтальном направлении, вызывающее пластическое его состоя-
ние, является наперед заданным, то в увлажняемых лессовых грун-
тах, как будет показано ниже, это состояние грунта вызывается
неизбежно физическим процессом — увлажнением.
Как известно, процесс увлажнения толщи просадочных грун-
тов сопровождается образованием трещин, наибольшая ширина
которых получается на поверхности грунта и по мере углубления
вниз постепенно убывает. Образование трещин при просадке
Е. А. Замарин и М. М. Решеткин объясняют боковым сжатием
грунта в пределах верхней зоны увлажняемой толщи. По мнению
Ф. И. Воронова и В. Л. Дмитриева, течение просадок в различ-
ных горизонтах увлажняемого массива отличается своеобразием,
заключающимся в том, что нижние горизонты промачиваемого
грунта испытывают деформацию главным образом за счет уплот-
нения по вертикали, в верхних же горизонтах, где давление от
собственного веса невелико, значительная доля общей деформации
(до 40...50%), как показывает учет ширины трещин, падает на
горизонтальное (боковое) уплотнение грунта. По мнению Г. А. Ар-
хангельского, наличие трещин отрыва, которые являются харак-
терным видимым результатом просадочных процессов, также объ-
ясняется боковым сжатием увлажняемого грунта. По мнению
Н. Я- Денисова, трещины при просадке образуются вследствие бо-
кового сжатия грунта в пределах верхней зоны увлажняемого мас-
сива. По мнению А. М. Гельфандбейн и Л. А. Гелис, при увлаж-
нении оснований, сложенных лессовыми грунтами, наряду с вер-
тикальными просадками грунтов имеют место деформации в го-
ризонтальном направлении, проявление которых объясняется при-
родой деформирования грунтового массива, равновесное состояние
которого нарушено в результате возникновения замоченной зоны.
Таким образом, в процессе увлажнения лессовых просадочных
грунтов неизбежно происходит боковое их сжатие.
236
В связи с этим характерно напомнить результаты эксперимен-
тальных исследований по изучению коэффициента бокового давле-
ния увлажняемых лессовых грунтов, изложенных выше. Как вид-
но из графика рис. 6.1, коэффициент бокового давления лессового
грунта при его увлажнении непрерывно возрастает, т. е. следст-
вием увлажнения просадочных грунтов является боковое сжатие
их за счет увеличения горизонтальной составляющей напряжения.
Как видно из приведенных данных, процесс увлажнения тол-
щи просадочных грунтов по своим последствиям эквивалентен пе-
реводу лессового грунта в состояние пластического течения. Так
как пластическому течению всегда предшествует предельное со-
стояние, т. е. состояние равновесия на границе между упругим и
пластическим поведением грунта, то можно считать, что влияние
процесса увлажнения толщи просадочных грунтов эквивалентно
переводу грунта к пассивному ренкинскому состоянию предельно-
го равновесия.
6.7. Графическая интерпретация принципа
«эквивалентности».
Формула эквивалентной нагрузки
В предыдущем параграфе было показано, что процесс увлаж-
нения толщи просадочных лессовых грунтов по своим последстви-
ям эквивалентен загружению его дополнительной нагрузкой. Сле-
дуя Н. Я. Денисову, дадим графическую интерпретацию последст-
вия увлажнения просадочного грунта в основании зданий и соору-
жений. Пусть зависимость осадки от давления для лессового про-
садочного грунта естественной влажности и плотности изобража-
ется кривой 1 на рис. 6.6. Расчетная нагрузка по подошве фун-
дамента для рассматриваемого основания принята равной R, чему
и соответствует осадка грунта основания Si природного сложения
и влажности. В результате увлажнения основание получит допол-
нительную осадку S2 и произойдет потеря прочности грунта, вы-
зывающая принципиальное изменение его условий работы в осно-
вании. Поэтому для увлажненного состояния лессового грунта за-
висимость между осадкой и давлением представится кривой 2.
Кривая 2 соответственно иллюстрирует зависимость осадки от
давления для тех же условий опыта, что и кривая /, только
при более высокой влажности грунта. Если расчетная нагрузка
в соответствии с кривой 1 характеризует допустимый период при-
менимости модели линейно деформируемой среды, то эта же на-
грузка для увлажненного состояния грунта соответствует началу
последней фазы деформации грунта в основании — фазе прогрес-
сирующего течения (по Н. А. Цытовичу).
Таким образом, увлажнение лессового грунта в основании по
своим последствиям эквивалентно такому увеличению давления
ма лессовый грунт в условиях его естественной влажности, кото-
237
рое переводит основание в состояние разрушения. Поэтому в боль-
шинстве случаев в грунтовых условиях как I типа по просадочно-
сти, так и II отпадает необходимость проводить расчет по де-
формациям. В этих случаях применение различных способов уст-
ранения просадочности лессовых грунтов оснований оказывается
более эффективным.
Известно, что методы расчета оснований во второй и третьей
фазах деформации грунта (ото Н. М. Герсеванову) пока еще от-
сутствуют, поэтому определение эквивалентной нагрузки для каж-
дого вида лессового грунта основания и его загруЖения представ-
Рис. 6.6. Графическая интер-
претация «принцип эквивалент-
ляет чрезвычайно сложную задачу.
Определение этой нагрузки связано с
применением теории больших упругих
деформаций и нелинейной механики
сплошной среды или же других рас-
четных моделей работы грунта в ос-
новании. В самом деле, если исходить
из общепринятой трактовки явления
просадки, то оно должно быть рас-
смотрено как деформация «самоуп-
лотнения», характеризуемая уменЬ-
шением скорости деформации с тече-
нием времени и наличием линейной
ности» зависимости между напряжением и
общими деформациями грунта. В дей-
ствительности, как было выяснено выше, процесс просадки в лес-
совых грунтах должен быть рассмотрен как пластическое течение
в пределах определенного контура увлажнения грунта. При такой
интерпретации деформации просадки закономерность ее, очевид-
но, должна быть установлена теорией пластического течения или
же в наиболее общей постановке, исходя из соответствующих ре-
ологических моделей сплошной среды (М. Рейнер, 1965). Однако
для малых дополнительных осадок лессовых грунтов представля-
ется возможным, исходя из математического аппарата теории уп-
ругости, вывести формулу для эквивалентной нагрузки.
Рассмотрим основание сооружения сложенным однородной
толщей лессового грунта в двух состояниях — увлажненном и не-
увлажненном. Увлажненное состояние рассматриваемого основа-
ния назовем основным, неувлажненное — эквивалентным. Для эк-
вивалентного состояния основания нагрузки по подошве фунда-
мента 01 выбрана значительно меньше начальной критической на-
грузки Ок, т. е. предела пропорциональности (рис. 6.6).
В результате увлажнения вследствие просадки в основании
произойдет дополнительная осадка, величина которой на поверх-
ности грунта определится некоторой непрерывной функцией Sei,P —
=SsitP(x) (рис. 6.7, а — основная система). Рассмотрим состояние
этого же грунта в основании до его увлажнения под действием не-
238
которой неизвестной пока нам непрерывной поверхностной нагруз-
ки <7(т]) (рис. 6.7,6 — эквивалентная система). Функцию, опреде-
ляющую осадку поверхности рассматриваемого грунта в эквива-
лентной системе под действием нагрузки <7(т]), обозначим через
Ssi,p(x). Сформулируем следующую задачу. Требуется найти для
эквивалентной системы распределенную в пределах конечного
участка 2а поверхностную нагрузку q(tj), способную вызвать
осадку поверхности грунта, равную по величине и тождественную
по характеру дополнительной осадке рассматриваемого лессового
грунта в его основной системе, т. е. S8itP(x)=S8i,PQ(x). Рассмат-
риваемая задача равносильна определению некоторой поверхност-
Рис. 6.7. Расчетная схема для определения эквивалентной на-
грузки
ной нагрузки Сэк для неувлажненного лессового грунта, однознач-
но отвечающей дополнительной осадке этого же грунта в резуль-
тате увлажнения. Рассматриваемую задачу сводим к решению
второй основной задачи теории упругости для полуплоскости, т. е.
к определению напряженного состояния упругой полуплоскости
при заданных на его границе компонентах смещения.
Согласно методу Н. И. Мусхелишвили, задача сводится к
отысканию двух аналитических функций <p(z) и ф(г) комплексно-
го переменного z=x+iy. Компоненты напряженного состояния
при этом определяются через эти функции по формулам:
ох 4- = 2 [<р' (z) + у' (z) ] *= 4 Re ф' (z);
= 2 [гф* (z) + ф' (z)]. (6.12)
Неизвестные функции ф(г) и ф(г) выражаются интегралом типа
Коши и определяются исходя из заданных выражений горизон-
тальных gi и вертикальных g2 компонентов смещения на границе
полуплоскости:
—а
+а
*(«)=-£- 5(6.13)
239
где х — постоянная, выражается через пуассоново отношение v
равенствами: в случае плоской деформации х = 3—4v, в случае
обобщенного плоского напряженного состояния х=(3—v)/(l—v).
Пусть поверхность грунта в основании в результате деформа-
ции в пределах от —а до -j-а получила неравномерную верти-
кальную осадку, изменяющуюся от S8i,p0 до Ssz,pi по линейному
Рис. 6.8. Расчетная схема для определения
эквивалентной нагрузки при неравномерной
осадке основания
закону (рис. 6.8). Тогда компоненты перемещения поверхности
грунта определятся выражениями:
Л ^sl, po~^~^sl, pi . ^sl,pi— $ al, ро л .
Л=0; g2 =-----------—Ч-----—— t = A+Bt.
Подставляя последние значения gi и g2 в формулу (6.13) и
произведя интегрирование для искомых функций, получим:
-4H2aB+(4+2B)liwr}~£G’ <614>
Я> (*) = —£ {2аВ + (В+ zB) Inzq>' (z)-pG (6.15)
ИЛИ
Ф (z) = x (z) — zip' (z) — p (G — G),
откуда
ф' (z) = (x— 1) q/ (z) — гф* (z). (6.16)
Производные функции ф(г) из формулы (6.14) определятся
выражениями:
ф' (Z)---н- (в In2=2-+.?£#+Лв>) ;
v ' лх I z+® * z2 —a2 J *
of (z\ = —(_ B zM+zBM
* ' ' ЛХ I z2—a2 (z2 —e2)2 J •
240
Тогда из формулы (6.16) будем иметь
*•(‘>-^{[^-<«-•>'”-55-?-
— (A+ZB) [(X— 1) Z2“2"+ (Z2_a2)a ]}*
Используя выражение y'(z) из основной формулы (6.12), бу-
дем иметь
°* + о» = 4 Re ф' (z) --= —Re [в 1п-|=^~+ •
Используя в последнем выражении замену переменных
z + a = pte~iei; с —a = p2e“i02; z2— a2 = p4p2e“i(ei+e2),
будем иметь
a, + о, = —^ (В In [(А + *B) cos (©, + ©2) -
ПЛ к ра М1Г2
— у В sin (©jв2)]}. (6.17)
Аналогичным способом находим
а,—о*+2йжр = 2 [z<p" +Я>' (z)] = 2 [(х — 1) <p' (z)—2iy<f" (z)l =
=* 1~ {-^7lcos (в‘+ ®2) +1 sin (в‘+ ®2)] ~
-(^нл+хв-цв) [cos 2 (е +е}+г sin 2 (в + ©2)1 j _
Р1Р2 J
ЛИ^П.{в[1п^_+/(в1+02)]+
+ 2а(Л+хВ+.уВ) [cog (Qi + 02j i sjn (0, +©2)]} .
Сравнивая в этом выражении действительные и мнимые части,
получим
<г _ 8apy f D cos(0!4-02)
[(x2-yg)B+xX]cos2(01 + 02) - (M + 2yxB)sm2(e1+e2)
P?P^
M*-1! e2) Д | 2a|M + xB)sin(61+02)4-yBcos(01 + e2)J J ;
Оu-<jx = f_B2j£-(Qi + Q2) i
лх 1 р1Рг I
I 1 (*а - ya) B+а:Л] sin 2 (0t + 02) + (yA + 2xyB) cos 2 (0, -J- 0t) 1
^Pi J
__(в In -£1- 4- -2д Кл+дВ)cos (31 -I- e2) - У В sin (0,4-08)1) А
лх I p2 --------------j’ (o-loj
241
Решая последнее уравнение с уравнением (6.17) совместно, оп-
ределяем компоненты нормального напряжения:
сх = ^{(х-3)В1п^-+
. 2д[(х —3) (А 4-хВ) соэ (0ц 4-0а) — (х —7) уВ sin (0x4-0,)]_
PiPa
8ау {[(а*—У8) В4-жЛ] sin 2 (0i4-0a)+ (уА-Ь 2хуВ) cos 2 (0t+0а)) }.
а„=-----M(x + l)Bln-£i-+
у лх V ' ' ра 1
2д[(ж+1) (Л + жВ)со8(01Ч-0а) —(x+5)yBsin(01+0a)] __________
~Г PiPa
&»У {[(**—У») В-]-хА\ sin 2 (0,+е,)+(УЛ+ 2лгуВ) cos 2 (0х+0а)} | (6 20)
По найденным формулам (6.18) ...(6.20) определяют напряжен-
ное состояние основания, вызываемого заданной деформацией
его поверхности.
Выразим полученные формулы напряжений в декартовой си-
стеме координат. Для этого воспользуемся соотношениями:
Р? = У + (х—а)2; р; = У2, + (* 4- а)2;
sin 04 =---. —р-- =-; cos 04 =—. х~а ;
Vy8+(*~«)8 Vy84-(*~®)8
sin 02 =---------р —; cos 02 = — ж+д
/у’+(*+а)8 2 Уу’+(х+а)«
Тогда полученные формулы напряжения примут такой внд:
* лх 1 2 П1П (х+а)«+уЗ
t 2д 1(х—3) (Л+жВ) (ж«—у«—(х—7) жу« (х«—у*—о1) В] J
' (х*4-уя-а«)«+4а«у«
___ЪЩ {(y^+2xyB) [(жя—у»—а8)*—4ж*у«]—4жу (х»_у«—g«) [(ж8 — у*) B-j-xA)})
' ————j[(х«+у«—a«)»-|>4a«y»]» J a
(6.21)
o ______H_ в ln (*-*)’+у8 I -
. 2а[(х4-1)(Л+^Д)(х8 — у8—д8)—2(х+5)ху»В1
' (^84-у8—д8)8+4д8у8
___КуЛ-f-2хуВ) 1(х8—у8—д8)8—4х8у8]—4ху (х8—у8—Д8) К^8—У8) В-4- хА]} 1
К*84-У8—д»)84-4д8у«]8 -----j ;
(6.22)
242
_ 8дру ( о г2 —у2—а2__________
лх I (х2+у2-аа)2+4а2у2
[(х2 — уа) В+ хА] [(х2 — уа —л2)2 — 4х2у21 + 4ху {уА + 2хуВ) (ха—уа—да)
~ [(х2+у2-д2) + 4аау2Р J
р (х-1) f ....... 2ду , 2д [уВ (ха—уа—да) —2ху (44-хВ)]
-----V* НРС 1g хг+уЪ_аъ~Г (ха4-уа-Да)а+4а2!/а J’
(6.23)
Рассмотрим частный случай, когда осадка поверхности грунта
в эквивалентной системе в пределах загруженного участка рав-
номерная и равна S8i,P. Такая деформация поверхности грунта по
характеру соответствует природе дополнительной осадки лессово-
го грунта под центрально загруженным фундаментом. Решение
рассматриваемой задачи для этого случая получится из формул
(6.21)...(6.23), если принять В=0; A=SeI>p. Тогда будем иметь:
2pbS.t,p г д._у._д.
а*~ пк V* ' (*»+у,-о»)’+4а«у«
(J» — у»—а»)» (х«—а»+Зу»)—4д»у» (Зд«+ у*—За») j .
[(х2+уа-д2)а+4д2уа]а
о______2н^«1.р Г, . 2) »»-у«-а»
ПК V + ' (^ + у’-а*)«+4а‘у«
(х»-у»-а»)« (x»-a»+3y«)-4j»y« (Зда4-уя —За8)'
[(*2+у2-а2)2-4аауа]а
4pSei, ра г Ху
“* л { (xa-J-y2—a2)a-f-4a2ya
ху (х2— у* — да) (Зх2—Зда-}-5уа)— 4хауа
(6.24)
x [(ха + у2-аа)а + 4аау2]2
Таким образом, в результате решения поставленной задачи
приходим к заключению, что осадка поверхности грунта на опре-
деленную величину вызывает в нем соответствующее напряженное
состояние. На поверхности грунта, согласно полученным решениям
(6.24), имеем условия:
,.,Ь.0)_0; .,(,-0)—Ji» .
X =
Заменяя коэффициенты х и ц известными выражениями,
x=A±^-=3-4v,
для граничного значения нормального напряжения получим фор-
мулу
„ П\ ~ 4Е0(1 —v)1 Ssi.p*
Qy УУ—^f — Пэк — л (3 —4v) (1 + v) да-х2 '
(6.25)
243
Минимальное значение эквивалентной нагрузки имеет место
при х=0и определяется значением
~ 4E0(l-v) „
Оэк“ Jia(3-4v)(l + v) sl'p'
Согласно формуле (6.25), так же как и по решению М. Садов-
ского, с приближением к краям загруженного участка давления
резко возрастают и на самих краях (при х = а) принимают беско-
нечно большие значения. В действительности реальный грунт не
может принять таких больших давлений и в нем образуются плас-
тические деформации.
Уточним значения эквивалентной нагрузки с учетом реальной
возможности грунта. Согласно теории пластичности грунтов, дав-
ления под краем фундамента не могут превысить величину
(Прандтль, 1920).
О = (ydn + С ctg ф) е" ф—С ctg ф. (6.26)
Следовательно, значения эквивалентной нагрузки, определяе-
мой по формуле (6.25), в пределах загруженного участка (от —а
до +а) могут изменяться от а°эк до а. Определим расстояние от
центра загруженного участка %о> начиная с которого значение эк-
вивалентной нагрузки не превышает предельное сопротивление
грунта, определяемое по формуле (6.26). Для этого запишем
условие
4£0 (1—у) s8i, ра _ —
л (3-4у) (1 + у) a2-xg
откуда
х0 —
4аЕ0(1-у)5вГ,р
az-----------------—
л (3—4у) (1 + v) a
(6.27)
Очевидно, что при дополнительной осадке увлажняемого осно-
вания, равной
« ла(3-4у)(14-У) -
S-l.P~ 4£0(l-v)
минимальное значение эквивалентной нагрузки а°эк будет равно
предельному сопротивлению грунта о.
Равнодействующая эквивалентной нагрузки с учетом произве-
денного уточнения ее эпюры определится выражением
1 С °— , 2Sei, рЕ0 (1— у) a-j-x0 /ft OQ\
a9K = —— \ a dx = —75—. . a ,—r— In —!——. (6.28)
эк 2x0 J эк л (3—4v) (1 +v) z0 a—x0 4 '
-*o
Имея формулу эквивалентной нагрузки, расчет по второму пре-
дельному состоянию увлажняемых оснований, сложенных из про-
244
садочного лессового грунта первого типа, можно свести к расчету
осадки того же грунта оснований без учета возможного его увлаж-
нения. Пусть ожидаемая просадка основания по формуле (5.52)
определена равной Ssi,P. Этой дополнительной от увлажнения де-
формации по формуле (6.28) будет соответствовать определенное
значение эквивалентной нагрузки оэк. Тогда условие расчета осно-
вания по второму предельному состоянию можно представить
в виде
(6.29)
где R — расчетное сопротивление рассматриваемого основания без
учета его увлажнения, определяемое по СНиП 2.02.01—83.
Ширину подошвы ленточного фундамента под стену при цент-
ральном нагружении, согласно последнему условию, ориентиро-
вочно можно определить по формуле
У №
2а = -ль —j-r-----г « 1, (6.30)
I [R—dn (yep—у) —аэк] ' '
где / — длина участка стены, в пределах которого подсчитаны
вертикальные осевые нормативные нагрузки (обычно 1=1 м);
уСр — средний удельный вес материала фундамента и грунта, рас-
положенного под уступами фундамента (обычно уср=20 кН/м3).
Если значения среднего давления по подошве фундамента и эк-
вивалентной нагрузки таковы, что условие >(6.29) выполняется, то
расчет просадочного основания по второму предельному состоянию
возможно вести так же, как для основания, сложенного из обычно-
го непросадочного грунта.
В случае удовлетворения неравенства (6.29), здания и соору-
жения возводятся без дополнительных мероприятий, как на обыч-
ных непросадочных грунтах. В случае же невыполнения этого не-
равенства применяют различные мероприятия для частичного
устранения просадочности основания или для предотвращения их
образования (подготовка основания, водозащитные и конструктив-
ные мероприятия). Выбор способа устранения просадочных свойств
оснований производят по результатам технико-экономического ана-
лиза в зависимости от ожидаемой просадки, характера и назначе-
ния проектируемого здания или сооружения.
Глава 7
ПРОГНОЗ ПРОСАДКИ ПРИ ПОДЪЕМЕ УРОВНЯ
ПОДЗЕМНЫХ ВОД
7.1 Состояние вопроса
Естественно сложившиеся благоприятные гидрогеологические
усло!вия осваиваемой строительством или эксплуатируемой терри-
тории часто нарушаются в результате строительной и хозяйствен-
ной деятельности человека. Удобные для строительства и эксплуа-
тации территории с относительно глубоким залеганием подземных
вод в результате этой деятельности подтопляются. Такое искусст-
венное подтопление городов и промышленных предприятий чаще
всего происходит на территориях, сложенных слабопроницаемыми
лессовыми просадочными грунтами, нашедшими широкое распро-
странение на огромных территориях нашей страны, и, как правило,
в районах наиболее интенсивного строительства. Искусствен-
ное подтопление территории может возникать вследствие наруше-
ния естественных условий аэрации при возведении зданий, асфаль-
тировании территории, поливке зеленых насаждений, утечек воды
из системы водопровода, канализации, теплофикации, устройстве
бассейнов и т. п. Изменение гидрогеологических условий на за-
строенных площадках часто происходит под влиянием вновь созда-
ваемых водохранилищ.
Во всех этих случаях происходит подъем уровня подземных
вод и зоны капиллярного поднятия, приводящий к увлажнению
лессового грунта, а следовательно, и к возникновению неравно-
мерных просадочных деформаций. При этом деформации грунта
могут охватить большие территории, включая застроенные и не-
застроенные участки. Особую опасность для устойчивости и долго-
вечности зданий и сооружений вызывает местный куполообразный
подъем уровня грунтовых вод, при котором степень неравномерно-
сти развития просадок поверхности грунта резко возрастает. Ука-
занные явления приводят к возникновению и развитию во времени
в основаниях зданий и сооружений неравномерных по характеру
деформаций, нередко приводящих к аварийным ситуациям.
Несмотря на актуальность этой проблемы, методы прогноза
просадки лессовых грунтов при увлажнении ик толщи снизу за
счет подъема уровня подземных вод до сих пор не разработаны.
Отсутствуют также конкретные рекомендации в действующих нор-
мативных документах по расчету просадки в этих случаях увлаж-
нения лессовых грунтов. Использование же методов прогноза про-
садки при замачивании толщи лессовых грунтов сверху из внеш-
них источников и инфильтрационной влагой для рассматриваемого
случая становится невозможным в связи с принципиальным раз-
личием условий возникновения, закономерности развития во време-
на
ни и получаемой при этом конечной деформации грунтов осно-
ваний.
В связи с этим возникает необходимость в разработке методов
прогноза просадки лессовых грунтов при увлажнении их толщи
снизу за счет подъема уровня подземных вод.
Экспериментальные исследования просадки при подъеме уров-
ня подземных вод в различных регионах проводились В. И. Круто-
вым. Теоретические исследования этого вопроса, позволившие раз-
работать инженерные методы прогноза просадки при подъеме
уровня подземных вод как в условиях природного напряженного
состояния грунта, так и в основаниях сооружений, проводились ав-
тором совместно с Э. П. Пашаевым. Ниже приводятся основные
результаты этих исследований.
7.2. Аналитическое описание изменения очертаний
бугра подземных вод во времени
Уравнение деформированного бугра грунтовых вод определяет-
ся решением соответствующей задачи подземной гидродинамики
для неоднородногоо уравнения теплопроводности, полученной Бус-
синеском:
дн 2 д*Н . .z Л ..
~аГ=а ~йг+1(х' (7Л)
где д2 = -^-; f[x, О»
здесь f(x, t)—функция источника; k — коэффициент фильтрации;
Л— средняя или начальная глубина потока; п — активная порис-
тость грунта; ю(х, /)=е—с—разность между инфильтрацией
и испарением. Так, если начальная форма бугра грунтовых вод
определяется функцией
Н(х, 0) = А ехр (— сиг2),
то решение уравнения (7.1), полученное П. Я. Полубариновой-Ко-
чиной, имеет вид
И= (1+4ал‘/)«/« еХр ( — 14-4<иЛ ) •
Для нас представляет интерес случай, когда в начальный момент
времени поверхность грунтовых вод является горизонтальной
плоскостью. В дальнейшем в пределах полосы —/<х</ в резуль-
тате подпитывания грунтовых вод происходит куполообразный
подъем его уровня.
Неравномерная просадка на дневной поверхности грунта оче-
видно будет вызвана при крутом бугре грунтовых вод. Форма
бугра грунтовых вод может быть установлена наблюдением над
уровнем грунтовых вод или использованием соответствующего тео-
247
ретического решения. Следует при этом отметить, что причины»
вызывающие подъем уровня грунтовых вод, могут быть совершенно
различными и в большинстве случаев трудно предвидимыми.
В самом деле, утечка воды из водопроводных и канализацион-
ных магистралей, вызывающая подъем уровня грунтовых вод, яв-
ляется случайным фактором. Расположение бугра грунтовых вод»
динамика его деформации во времени и в пространстве могут быть
самыми различными и поэтому определение фактической схемы
увлажнения основания для каждого частного случая затруднитель-
но. В связи с этим целесообразно иметь схему для бугра грунтовых
вод, которая соответствовала бы характеру деформации лессовых
грунтов в самых неблагоприятных условиях увлажнения. Поэтому
в качестве расчетной мы будем брать для бугра такую кривую, ко-
торая по оси его симметрии круто падает, затем стремится к не-
возмущенному уровню.
Попробуем описать аналитической функцией простейшую кине-
матическую модель сводового поднятия уровня подземных вод.
Рассмотрим плоскую задачу. Будем считать, что сводовое подня-
тие уровня подземных вод имеет постоянную ширину и бесконечно
большую длину. Распределение интенсивности движений во всех
поперечных сечениях поднятия примем одинаковым. Следователь-
но, в этих условиях можно ограничиться рассмотрением развития
профиля поднятия в одном сечении. Функция, описывающая изме-
нения профиля поднятия уровня подземных вод, будет зависеть от
расстояния х и от времени t и поэтому представим ее в виде //=
— H(x,t). Простейшей функцией двух переменных является произ-
ведение двух функций, каждая из которых зависит только от од-
ной переменной:
Я = Х(х)Т(0, (7.2)
где X (х) зависит только от расстояния х, Т (t) — только от вре-
мени /.
Поскольку функция X (х) должна описывать форму свода, по-
ложим, что она симметрична относительно оси высоты Я, совме-
щаемой Осью поднятия и обращается в нуль в обеих границах под-
нятия, при х=/ и х= — I (рис. 7.1).
В теоретическом представлении оба конца кривой свода асимп-
тотически приближаются к нулю. При местном подъеме уровня
подземных вод вполне оправдано ограничиться йересечением по-
верхности свода с природным уровнем подземных вод на конечных
расстояниях ±1. Будем считать, что Х(х) является косинусо-
идальная функция
X(x)=cosi®. (7.3)
Функцию Т (0 определим, исходя из существующих представле-
ний о сравнительно быстром вначале, а затем постепенно зату-
248
хающем росте стрелы свода при местном поднятии уровня подзем-
ных вод. Такой ход поднятия может быть описан экспоненциаль-
ной функцией:
ТЦ) = В0(1-е-^ (7.4)
где Но — полная высота поднятия уровня подземных вод, достигае-
мая при /—>оо; п0 — логарифмический декремент затухания подня-
тия во времени; чем больше По, тем меньше времени требуется, что-
бы поднятие достигло заданной высоты Н и наоборот. Подставляя
Рис. 7.1. Динамика купола подземной воды
(7.3) и (7.4) в (7.2), получим математическую модель роста сво-
дового поднятия уровня подземных вод:
Н (X, t) = Яо (1 - cos — X. (7.5)
Придавая в уравнении (7.5) времени t постоянные значения
4?» /з,/п, будем получать уравнения очертаний профиля
в соответствующие моменты:
Н — Н(х, Н=Н(х, f2); H = H(xt t3). (7.6)
Вычерчивая графики каждой из функций (7.6), получим семей-
ство косинусоидальных кривых, изображенное на рис. 7.1. После-
довательно придавая постоянные значения расстоянию х=*ь *2»
х3,..., хп и оставляя переменным время /, получим систему урав-
нений:
Я=Я(^, 0; Я = Я(х2, 0; Я = Я(х3, 0. (7.7)
Каждое из этих уравнений описывает зависимость высота от вре-
мени для какой-либо одной точки профиля бугра. Но взятые вме-
сте, они дают представление о развитии профиля в целом. Для
скорости роста сводового поднятия, описываемого уравнением
(7.5), получим выражение
V = -^=n0ff0e-"o<cos^. (7.8)
249
Как видно из полученной формулы (7.8), скорость поднятия
свода подземных вод изменяется в поперечном направлении по
косинусоидальному закону, как и величина его поднятия, и затуха-
ет во времени по экспоненциальному закону. Максимальная ско-
рость поднятия бугра подземной воды имеет место на оси его сим-
метрии, т. е. при х=0:
(7-9)
Как видно из (7.9), поднятие бугра происходит с переменной
скоростью: сравнительно быстро вначале, а затем постепенно зату-
Рис. 7.2. К определению скорости
фильтрации подземного потока
хающим ростом. Представляет ин-
терес получить формулу для ско-
рости движения потока подземных
вод, обладающего куполообразным
подъемом уровня.
Согласно Дюпюи, в произволь-
ном вертикальном сечении подзем-
ного потока АВ скорость фильтра-
ции определяется зависимостью
(рис. 7.2):
vt=-kI=-k-%- , (7.10)
где k — коэффициент фильтрации
грунта.
Используя выражение (7.5), согласно (7.10), для скорости дви-
жения подземного потока получим
p* = -^-(l-e-"«‘)sin-^-- (7-11)
Как видно из полученной формулы, иа поверхности бугра под-
земного потока (х=0) скорость фильтрации равна нулю. Макси-
мальное значение скорости движения потока достигается на рас-
стоянии х=/, где поверхность бугра пересекается природным уров-
нем подземной воды:
= (7-12)
Согласно (7.12), максимальная скорость фильтрации с течени-
ем времени возрастает, так как при этом происходит постепенный
подъем бугра подземной воды.
Попытаемся дать математическую интерпретацию построенной
функции Н(х, t), определяющей динамику бугра подземного пото-
ка. Согласно гидравлической теории движения грунтовых вод, ди-
намика бугра описывается линейным неоднородным уравнением
теплопроводности (7.1). Выясним возможность удовлетворения по-
строенной нами функции (7.5) дифференциальному уравнению за-
250
дачи (7.1). Если подставить в уравнение (7.1) первую производную
по времени и вторую производную по х от функции (7.5), то для
функции источника получим выражение
/(*, О = -^-Яо(1-е-"»') + поЯое-"»‘.
Если учесть в последнем выражении (7.9) и (7.12), то получим
= (7.13)
Согласно последнему выражению, функция источника в нашей
задаче выражена через максимальную скорость поднятия бугра
(Утах) и максимальную скорость движения подземного потока
(Уфтах). Полученные результаты показывают, что построенная
нами функция (7.5) для динамики бугра подземного потока явля-
ется строгим решением дифференциального уравнения задачи (7.1),
если функция источника определяется выражением (7.13). Во всех
остальных случаях построенная нами функция (7.5) является при-
ближенной, отвечающей естественным начальным и граничным ус-
ловиям, а также удобной для применения в инженерных расчетах
аналитической записи изменения бугра в зависимости от времени
в различных точках исследуемой области подземного потока.
7.3. Влияние просадки на природное напряженное
состояние лессового грунта
Перемещения грунта при его просадке, вызванной подъемом
уровня подземных вод, во многом схожи со сдвигами грунта, про-
исходящими при подработке территории. Аналогичное явление про-
исходит при строительстве тоннелей метрополитена неглубокого
заложения. Определим распределение уплотняющих напряжений
в однородной толще лессового грунта, возникающее при его про-
садке, вызванной подъемом подземной воды.
Пусть на глубине Н вследствие увлажнения грунта в пределах
горизонтальной площадки 2Ь обеспечено необходимое условие для
возникновения просадки от действия собственного веса грунта
(рис. 7.3). Тогда просадка в рассматриваемой плоскости вызовет
опускание вышележащих слоев грунта. Область, в пределах кото-
рой произойдет нарушение устойчивости груйта, ограничена дву-
мя симметрично расположенными наклонными плоскостями сколь-
жения AAi и BBi. Согласно теории предельного равновесия, угол
наклона плоскостей скольжения к горизонту примем равным
45°-Нр/2. Вследствие смещения грунта вниз в пределах области
AjABBiAi общее давление на осевую полосу уменьшится на вели-
чину вертикальных составляющих сопротивления сдвигу грунта,
действующих на наклонных плоскостях скольжения.
251
Рис. 7.3. Расчетная схема для опреде-
ления уплотняющего давления при про-
садке от действия собственного веса
грунта:
1 — зона просадки
Составим дифференциальное уравнение равновесия грунта, на-
ходящегося между двумя плоскими поверхностями скольжения АА\
и ВВ\. Грунт, ограниченный снизу перемещающейся горизонталь-
ной площадкой АВ с боков наклонными поверхностями скольже-
ния AAi и BBj и сверху свободной от внешней нагрузки горизон-
тальной плоскостью находится в предельном равновесии.
Выделим элементарный
слой грунта толщиной dz, ра-
сположенный на глубине z
от поверхности грунта. Расчет
будем производить на 1м
длины по оси г, направленной
перпендикулярно плоскости
чертежа.
На выделенный элемент
грунта будут действовать сле-
дующие давления:
а) от собственного веса
слоя грунта
[ dy (х — dx) 4- -i- dx dy ] у;
б) среднее вертикальное
давление грунта, расположен-
ного над слоем о2;
в) среднее вертикальное
давление грунта, приложенное
к слою снизу о24-б/о2;
г) предельное сопротивле-
ние грунта на единицу пло-
щади скольжения та = С+
+ Оа tg(p.
Проектируя указанные давления на ось z и отбрасывая беско-
нечно малые величины второго порядка, получим
uzdx—х duz — иа • ctg а • dz — та dz 4- yxdx. (7.14)
Из рис. 7.3 находим х=Ь+[Н—z]ctga. Откуда dx=—ctga-dz.
Нормальное напряжение по наклонной плоскости определяется
известным выражением
оа = ах. cos2 а 4- ох • sin2 а 4- тхх • sin 2а.
В природном напряженном состоянии грунта, находящегося за
пределами плоскости скольжения txz=0; £ = ц/(1—ц) = 1. Поэто-
му oa=ox = Gz=yz; Ta = C+7ztg<p. Подставляя в (7.14) выраже-
ние х, dx, оа и Та, получим дифференциальное уравнение:
-^-+<p(Z)cI=F(2), (7.15)
252
где
<P(Z) = _£^____; F(z)=y- Ух(с^а+^у)+С
' L — z-ctga \ / г £ —z-ctga
Полученное уравнение (7.15) представляет собой неоднородное
линейное уравнение первого порядка с переменным коэффициен-
том <p(z). Рассматриваемое уравнение (7.15) допускает интегри-
рующий множитель
z ч I <p(z) dz
H=H(z) = eJ * .
Общее решение уравнения (7.15) с помощью последнего мно-
жителя возможно представить в виде
CTl=w[S J?(z)f‘(z)dz+P]- (716)
Для получения выражения множителя p(z) раскроем интеграл
J Ф (z) dz = J ь+ Д ct8B dz = - In (6 + (Я— z) ctg a].
Тогда
u(z) = J *<г)Л=_--- ‘---------- 1 ,--.
7 b -I- (H—z) ctg a L — z-ctga
Имея выражение интегрирующего множителя, можно присту-
пить к раскрытию интеграла, содержащегося в (7.16) в квадрат-
ных скобках,
С F (z) р (z) dz = ( , 1 , Гу---V*(°tgtt+tg<P+C) -I dz =
J \ / J L — z-ctga |_r L — z-ctga J
С 1
=-y-tgaln (L—z-ctga) — c.tgg £_„ctgct-
— (ctga + tgф) у• tg2a [ (Ь—ctg a)].
Подставляя последнее выражение в (7.16), можно написать об-
щее решение полученного дифференциального уравнения:
oz (г) = — (Л—z- Ctg а) {у tg a In (L—z • ctg a) + +
4-(ctga+tgq>)y.tg*a[ £_fct8a 4-ln(L—z-ctga)]+P|. (7.17)
Для определения значения постоянного интегрирования D сле-
дует составить граничное условие рассматриваемой задачи. По-
скольку поверхность грунта свободна от внешней нагрузки, будем
иметь при. z=0 ог=0. Учитывая последнее условие в (7.17), по-
лучим
p = Y.tga InL-4- -|-y-tg2a(ctga4- tg(p) (14-lnL). (7,18)
253
Полученная формула (7.17) удовлетворяет следующим гранич-
ным условиям. На поверхности грунта, как и следовало ожидать,
вг=0. На глубине z=Ht т. е. на смещающейся горизонтальной
полосе АВ:
az (Я) = — уЪ • tg a In Ь — С • ctg а — (ctg а 4- tg ф) у • tg2 а х
X (L-|-61n& —fcy-tgalnL-------^-C-ctga —
— yd - tg2 a (ctg a + tg <p) (1 + In L). (7.19)
Полученная формула (7.17) определяет характер изменения
среднего по горизонтальным сечениям грунта уплотняющего давле-
ния по глубине. В пределах выбранного горизонтального сечения
значение давления меняется; по оси Oz оно получает максималь-
ное значение и на контакте с плоскостями скольжения достигает
минимального значения, равного природному напряженному со-
стоянию грунта, т. е. ao=yz. В пределах рассматриваемого гори-
зонтального сечения шириной а0> изменение уплотняющей нагрузки
определим функцией
oz (х) = О6 + (0тах — о») cos •
Тогда среднее давление
a ао
az(x) = -^- ( az(x)dx = -^~ ( О0 + (атах — ^тш)cosdx.
“о J “о J "“О
О о
Раскрывая интеграл, получим
Oz (z) = сто+ V — ao)-
Откуда максимальное значение уплотняющей нагрузки, действую-
щей по оси Ozt определится выражением
Omax=4-Oz(z)-^Oo- (7-20)
Как видно из выражения (7.20), максимальные значения уплот-
няющих давлений определяются разностью двух- слагаемых: пер-
вого, зависящего от размера смещающейся полосы, глубины ее
расположения, положения поверхностей скольжения и прочностных
характеристик грунта, и второго, зависящего только от природного
напряженного состояния грунта. Поскольку обе составляющие мак-
симального уплотняющего давления зависят от расстояния z, то
можно полагать, что на определенной глубине в толще грунта, на-
ходящегося между двумя поверхностями скольжения, значение
этого давления равняется нулю. Положение этого горизонта опре-
делится из условия
(«о) = °о = O,363yzo.
254
Последнее уравнение с учетом выражения (7.17) можно пред-
ставить в виде
In (L-Vctga) -Мг-ма -£_^ctg-. (7.21)
где
2 —
м _ С • ctg a -J- Ly • tg« a (ctg a+tg <p) .
1 Y*tga4-y.tg»a (ctga-f-tg<P) *
=_________ D__________________.
2 T-tga4-y.tg»a(ctga-btg<p) ’
M =____________O,363y_________
3 Y-tga4-v-tg»a(ctg4-tg<p) •
Решение уравнения (7.21) определяет расстояние от дневной
поверхности грунта z0, где максимальное уплотняющее давление,
действующее по оси Oz, меняет свой знак. Решение уравнения
(7.21) в зависимости от значений входящих в него параметров
удобно построить графическим способом. Для этого уравнения
(7.21) можно представить в виде
(Zo) — ^2 (Zo)’
где
ф1 (zo) = Ь [L — 20 • ctg (45° + <р/2)];
ф (7 \ ________Ml—— _ м м _________________________—
2W“ L_Zo.ctg(45o+<p/2) 1V12 1V1* L-z0.ctg(45o4-<p/2) ’
Если построить семейство кривых функций <D](z0) и ф2(г0)для
различных входящих в них параметров (L, у, <р, С), то абсциссы
точек пересечения этих кривых определят значения искомой глуби-
ны, на которой уплотняющее давление достигает нулевого зна-
чения.
На рис. 7.4 показан характер изменения максимального уплот-
няющего давления по глубине проседающей толщи грунта.
Характер эпюры, показанный на рис. 7.4, аналогичен случаю
перемещения грунта между двумя вертикальными параллельными
стенками. Как показано К- Терцаги и Н. А. Цытовичем, если высо-
та вертикальной стенки больше глубины, на которой давление ме-
няет свой знак, то в нижней части стенки смещение грунта не вы-
зывает общего сдвига засыпки по стенкам, Так как все засыпки
уравновешиваются силами трения по стенкам. Поэтому в нижней
части засыпки возникает вследствие «арочного эффекта» несущий
свод грунта. Последнее явление имеет место также в горных выра-
ботках, расположенных на достаточной глубине от поверхности
грунта.
255
7.4. Расчетная схема для равномерного подъема
уровня подземных вод
Рассмотрим случай, когда просадка грунтов основания возмож-
на лишь вследствие подъема уровня подземных вод. Последний мо-
жет происходить на значительной площади вследствие утечек на
соседних сооружениях технологических и сточных вод, фильтрации
воды от расположенных поблизости водохранилищ, орошения на
окружающей территории и влияния других факторов. При этом
происходит подъем зоны капиллярного повышения влажности,
в пределах которой степень влажности изменяется от полного во-
донасыщения до природной.
Расчет просадки будем производить, исходя из неустановивше-
гося режима поднятия уровня подземных вод. Такая постановка
позволит установить соответствующие расчетные формулы, опре-
деляющие изменения просадки во времени. Будем рассматривать
неустановившуюся и конечную стабилизированную просадку в от-
дельности для природного на-
пряженного состояния грунта
и в основаниях сооружений.
Кроме того, в отличие от
замачивания грунтов сверху
из внешних источников при
подъеме уровня подземных
вод будем различать двухста-
дийный характер развития
просадки. В первой стадии
просадка в основаниях соору-
жений происходит вследствие
Рис. 7.4. Характер изменения уплотняю- увлажнения грунта в области
щего давления по глубине при просадке между нижней границей ак-
от действия собственного веса грунта тивной зоны и поверхностью
капиллярной каймы. Во вто-
рой стадии вследствие вторжения подземного потока в активную
зону просадка происходит в пределах этой зоны основания.
Принятая расчетная схема представлена на рис. 7.5. Согласно
этой схеме, на глубине Нс находится нижняя граница сжимаемой
толщи основания. Эта граница определяется без учета просадоч-
ных свойств грунтов основания согласно рекомендации СНиП
2.02.01—83. Для определения нижней границы сжимаемой толщи
в основаниях прямоугольных фундаментов может быть использова-
на также эмпирическая формула Яку:
Я«=2Ч1-^)
(7.22)
где bt а — соответственно ширина и длина подошвы фундамента.
Для ленточных фундаментов можно принять а->-оо, тогда, соглас-
но формуле (7.22), получим На=2Ь.
256
Уровень подземных вод, согласно принятой расчетной схеме,
находится на определенном расстоянии Hw от нижней границы
сжимаемой толщи. Предполагается, что от подошвы фундамента
до поверхности подземных вод залегает однородный лессовый
грунт первого типа по просадочности. Подъем поверхности под-
земных вод осуществляется постепенно снизу вверх, подчиняясь
закономерностям подземной гидродинамики. При этом происходит
увлажнение слоя лессового грунта, находящегося между нижней
Рис. 7.5. Расчетная схема для прогноза просадки
в основаниях сооружений при подъеме уровня под-
земных вод:
1 — капиллярная кайма
границей сжимаемой толщи и поверхностью капиллярной каймы.
По истечении определенного периода времени поверхность капил-
лярной каймы достигает нижней границы сжимаемой толщи. В те-
чение этого периода времени грунты в пределах рассматриваемого
слоя увлажняются и при этом существенно снижаются их проч-
ностные и деформативные характеристики. Просадка на нижней
границе сжимаемой толщи возникает в том случае, если влаж-
ность грунта здесь окажется равной начальной просадочной влаж-
ности Wsi- К моменту насыщения грунта на нижней границе сжи-
маемой толщи до начальной влажности фронт капиллярной влаги
окажется в пределах активной зоны. Таким образом, просадка на
подошве активной зоны возникнет лишь тогда, когда фронт ка-
пиллярной влаги окажется выше этого горизонта и влажность
грунта здесь будет равна начальной влажности просадки.
На нижней границе сжимаемой толщи уплотняющее давление
состоит из равномерно распределенной нагрузки PZ=^HC от дейст-
257
вия собственного веса грунта и симметричной относительно оси Ог
неравномерно распределенной нагрузки ог(Яо) от действия веса
сооружения, определяемой согласно решению теории упругости:
P-ydn Г . Ы2—х . . Ь/2+х bz{x*—z*-b*/4) Т
[arctg z ЬаГС tg z (xe-f-zi —bi/4)«4-6«z* J •
(7.23)
Принимая здесь z=HQt получим значение уплотняющего давления
на нижней границе сжимаемой толщи:
°, (Я.) = [ arctg -^^+
, arete ь'2+* - ЬЯа(»«-Я»д-Ь«/4) I (7 24)
-t- arctg На (х«+- ъ*/4) + ьаЯ« J * V
Для дальнейших необходимых выкладок удобно функцию (7.24)
аппроксимировать экспоненциальной функцией. Потребуем, чтобы
кривая, определяющая уплотняющее давление от веса сооружения
на нижней границе сжимаемой толщи, проходила через две задан-
ные точки. Первую точку берем на оси Oz. Здесь, согласно (7.24),
имеем
_ P-ydn Г b . ЪНа{Н* + ЬЩ 1
°0 ~ х L g 2Я«а ‘ {На — Ь’/4) + J ’
Вторую точку берем на расстоянии х=6/2 от оси Oz. В этой
точке уплотняющее давление, согласно (7.24), равно
a=-^[arctg^+^].
Используя для ленточных фундаментов На = 2Ь, последние вы-
ражения можно представить в виде
о0= 0,305 (Р- ydn); й = 0,277 (Р -ydn). (7.25)
Кривую, проходящую через указанные точки, можно описать
экспоненциальной функцией:
аг = о0е-а,х|, (7.26)
где а = ^-In-^=0,1906 4-. (7.27)
Процесс увлажнения лессовых грунтов при подъеме уровня под-
земных вод начинается под влиянием влаги, находящейся в капил-
лярной зоне (кайме). Движение сплошного фильтрационного по-
тока при этом происходит в зоне аэрации, и поэтому переход
влажности грунта в этой зоне от полного водонасыщения до ес-
тественной влажности осуществляется в пределах высоты капил-
лярного поднятия — капиллярной каймы. Начальная просадочная
влажность грунта, под влиянием которой при подъеме уровня
258
подземных вод возникают структурные деформации лессового
грунта, находится в пределах капиллярной каймы. Поэтому для
обоснованного построения расчетной схемы несколько подробно
остановимся на фильтрационном режиме капиллярной каймы.
На границе фаз вода — воздух действуют капиллярные силы,
обусловливающие разность между давлениями в жидкости (Р) и
в воздухе (Рв):
Р-Рв = Рк(Ю,
причем обычно PK(W) определяется с помощью полуэмпириче-
ских формул. Давление воздуха можно считать постоянным, пола-
гая Рв = 0. Чем меньше влажность грунта, тем больше капиллярное
давление. При очень малой насыщенности пор водой она адсорби-
руется на поверхности твердых частиц — образуется прочно свя-
заная вода. При увеличении влажности грунта появляются слои
рыхло связанной влаги, при еще большей насыщенности она дела-
ется, наконец, способней двигаться под влиянием силы тяжести.
Как показывают эксперименты, зависимость капиллярного давле-
ния от влажности грунта при малых ее значениях носит гиперболо-
образный характер. Формула С. Ф. Аверьянова имеет вид:
рк (ИЭ -----w » (7.28)
где Ро — давление при влажности Wo связаной воды; Wsat — пол-
ная влагоемкость, т. е. влагоемкость, соответствующая атмосфер-
ному давлению Р = 0. В пределах большого диапазона изменения
влажности грунта Н. Н. Веригин рекомендует линейную функцию:
РК(ИЭ=-a-h₽JV (Рк<0; а, р>0), (7.29)
где а, р — постоянные, определяемые экспериментально.
Анализ экспериментальных данных дает основание формулу
распределения влажности представить в виде (А. А. Мустафаев.
«Основы механики просадочных грунтов», Стройиздат, 1978)
W (z, t) = W„ + (И\а( - 1У0) cos , (7.30)
где Y0(i)—фронт смачивания, определяемый выражением Уо(О =
= 2,37yet
Следуя С. Ф. Аверьянову, можно условно принять, что эпюра
распределения влажности аналогична эпюре влажности при ка-
пиллярном насыщении. Исходя из этого допущения, в пределах
высоты капиллярного поднятия, изменение влажности грунта мож-
но определить по формуле (7.30). На рис. 7.6 показана эпюра
влажности грунта в пределах капиллярной каймы, построенной по
формуле
W?(2) = W?o + (W?.<.«-W'o)cos^-. (7.31)
259
С. Ф. Аверьянов предлагает гиперболический закон изменения
влажности грунта в пределах капиллярной каймы
<7.32>
Используя формулы (7.31) и (7.32), можно определить высоту
от уровня грунтовых вод, где влажность грунта становится равной
начальной просадочной влажности Ws[. Подставляя в (7.31) z=
= hsit W(hsi) = Wsi и решая полученное уравнение относительно hsh
получим
Д„ = ^-агссо8-^Д-. (7.33)
Формула С. Ф. Аверьянова (7.32) для определения hsi дает вы-
ражение
hi_h i-(Wsi!Wsaty (7 34.
l-{w.!Wsaty ’
Полученные формулы (7.33) и (7.34) могут быть использованы
для составления условия -возникновения просадки при подъеме
уровня грунтовых вод.
Образование в лессовом грунте начальной влажности не явля-
ется обязательным условием для возникновения просадки. При
этой характерной влажности к лессовому грунту должно быть при-
ложено начальное просадочное
давление — минимальное значе-
ние уплотняющего напряжения,
при котором проявляются про-
садочные свойства грунта.
В самом деле, как показыва-
ют результаты опытов, уплотне-
ние лессовых грунтов протекает
наиболее интенсивно, когда вли-
яние воды и давление проявля-
ются одновременно. Поступление
влаги до действия нагрузки не
приводит к сколько-нибудь рез-
кому увеличению, осадки при
Рис. 7.6. Эпюра влажности грунта
в пределах капиллярной каймы
нагружении.
Как видно из расчетной схемы (см. рис. 7.5), на нижней грани-
це сжимаемой толщи значение уплотняющего давления изменяется
согласно формуле (7.24). На оси симметрии фундамента (при
х = 0) суммарное уплотняющее давление имеет максимальное зна-
чение, и с удалением от этой оси его значение монотонно убывает.
На подошве активной зоны вдоль оси Ох отыщем значение уплот-
няющего давления, равное начальному ‘просадочному давлению Pst.
Используя формулу (7.26), можно составить условие
yHc=aQe a‘a = Pst.
(7.35)
260
Решая последнее уравнение относительно /п, находим расстоя-
ние, в пределах которого при необходимой влажности грунта воз-
можно возникновение просадки
=4-1п 1п • <7-36)
Полученная формула (7.36) будет справедлива, если Psi^>^Hc.
Невыполнение последнего неравенства будет означать, что возник-
новение просадки следует ожидать в горизонтах, расположенных
несколько выше, чем нижняя граница сжимаемой толщи.
Таким образом, как видно из рис. 7.5, на подошве активной
зоны возникновение просадки следует ожидать в пределах участка
2/п. За пределами этого участка, хотя влажность грунта может
достигать величины начальной просадочной, но из-за недостаточно-
сти уплотняющей нагрузки в этих зонах возникновение просадки
мало вероятно.
Итак, согласно принятой расчетной схеме, при подъеме уровня
подземных вод просадка в основаниях здания и сооружения в от-
личие от замачивания грунтов сверху из внешних источников воз-
никает на определенной глубине. Просадка, нижних слоев грунта
существенно изменит напряженное состояние активной зоны. При
этом изменится также природное распределение давления по вер-
тикали от действия собственного веса грунта. Будет наблюдаться
картина, аналогичная напряженному состоянию в нарушенном мас-
сиве при податливости кровли горных выработок, создающей
«арочный эффект». Вследствие неравномерности вертикальных сме-
щений в грунте будут развиваться реактивные касательные напря-
жения, стремящиеся удержать массив в равновесии. Эти напряже-
ния должны уменьшать вес опускающейся части и увеличивать
напряжения в примыкающих неподвижных участках грунта. В ре-
зультате произойдет образование разгружающего свода. Учет
«арочного эффекта» при расчете просадки лессовых грунтов в ус-
ловиях природного напряженного состояния осуществлен в рабо-
тах А. А. Григоряна, Ю. К. Иванова, В. И. Крутова, В. П. Дьяко-
нова, А. А. Мустафаева.
Итак, просадка ib пределах участка от —1п до + /п вызовет
опускание вышележащих слоев грунта. Неравномерность смещения
грунтов приведет к образованию криволинейных поверхностей
скольжения АВ и А\ВХ. Поверхность грунта в пределах зоны, огра-
ниченной точками Bi, В, переместится вертикально вниз.
Следует отметить, что просадка грунтов основания при равно-
мерном подъеме подземных вод будет протекать более или менее
равномерно и одновременно в пределах довольно больших площа-
дей. В связи с этим опускание поверхности земли будет происхо-
дить без возникновения крупных трещин. Просадка зданий и соо-
ружений будет также' протекать равномерно со значительно мень-
шей вероятностью появления трещин, чем при просадках, вызван-
261
ных местным замачиванием. Указанное обстоятельство хорошо
согласовывается с принятой расчетной схемой. Как видно из
рис. 7.5, в подошве активной зоны, где ожидается возникновение
просадки, уплотняющее давление по горизонтальной плоскости
распределяется несколько равномерно. Куполообразная часть эпю-
ры уплотняющей нагрузки здесь имеет место лишь в пределах
участка — £/2<х<6/2. Поэтому, естественно, опускающийся над
этой равномерной эпюрой давления массив на поверхности грунта
получит относительно равномерную просадку.
Поверхность скольжения принимаем за граничную поверхность
области, занятой просадочной деформацией грунта. Поэтому во
всех точках, лежащих на этой поверхности, суммарное уплотняю-
щее давление от действия собственного веса грунта и веса соору-
жения должно равняться начальному просадочному давлению.
Уравнением этой поверхности служит равенство:
Р— У&п Г . Ь/2—х . Ъ/2-\-х .
—^агс tg ------------р arctg -------(_
. М*2-*2—*>а/4) “In
“Г (a;2_|_z2_62/4)2_|_fcaz2 J — yz.
В инженерных расчетах криволинейные поверхности скольже-
ния можно заменить плоскостями АВ и A\Bi и угол наклона этих
плоскостей, согласно теории предельного равновесия грунтов, при-
нять равным 45°+<р/2. Тогда ширина поверхностной зоны на по-
верхности грунта, охваченного просадкой, будет равна
L = /п 4- Нс ctg (45° + ф/2).
Используя выражение (7.36), получим
L = 5,246ЫП °’^5(Р~/п) +Яе ctg (45» + ф/2). (7.37)
Как видно из полученной формулы (7.37), ширина зоны просад-
ки на поверхности грунта растет пропорционально с увеличением
ширины подошвы фундамента. Расстояние L [(формула (7.37)]
зависит от ширины фундамента и глубины сжимаемой толщи НС9
которая, в свою очередь, возрастает пропорционально с увеличе-
нием ширины подошвы фундамента Ь.
7.5. Расчетная схема для местного куполообразного
подъема уровня грунтовых вод
В практике эксплуатации зданий и сооружений часто встреча-
ются случаи, когда после возведения объекта происходит сущест-
венное повышение влажности грунта оснований сооружений с об-
разованием местного куполообразного подъема уровня подземных
вод. Подобная ситуация возникает вследствие утечки производст-
венных вод из коммуникаций водопроводных и канализационных
262
магистралей и различных емкостей, при создании новых водохра-
нилищ. При местном куполообразном подъеме уровня грунтовых
вод степень неравномерности развития просадок поверхности грун-
та резко возрастает.
Как показывают исследования, проведенные В. И. Крутовым,
степень неравномерности просадок грунтов при равномерном подъ-
еме уровня грунтовых вод составляет лишь до 1,5... 2 мм на! м
длины и в 20...40 раз меньше, чем при замачивании просадочных
грунтов сверху, когда она может доходить до 50... 70 мм на 1 м.
При местном куполообразном подъеме уровня грунтовых вод,
а также и при замачивании сверху, неравномерность просадки обу-
словливается неравномерным в плане подъемом уровня подземных
вод и взаимодействием увлажненного и неувлажненного массивов
грунта. В результате этого взаимодействия за счет сил трения
и сцепления происходит зависание увлажненного грунта, располо-
женного у краев области подъема уровня грунтовых вод, перерас-
пределение вертикальных давлений от собственного веса грунта
и соответственно снижение возможных величин просадок в преде-
лах наиболее увлажненной части массива. Согласно натурным
экспериментам В. И. Крутова, в этом случае кривая просадки по-
верхности грунта имеет вид такой же, как и при замачивании
сверху, и может быть описана уравнением косинусоиды:
S.t, gM = ± « (1 + <=08 -у- ) , (7.38)
где
г = hsi, р (0,5 + тэ tg р), (7.39)
Ssi,g — максимальная просадка грунта от собственного веса; х —
расстояние от начала горизонтального участка просадки до точки,
в которой определяется величина просадки; г — расчетная длина
криволинейного участка просадки; — коэффициент, учитываю-
щий возможное увеличение угла распространения влаги в стороны
вследствие слоистости грунтов основания; р — угол распростране-
ния воды в стороны от источника замачивания — для супесей —
35°, а для суглинков — 50°.
Для построения профиля мульды просадки в каждом конкрет-
ном случае расчета, необходимо располагать величиной макси-
мальной просадки дневной поверхности Ssi,g и расстоянием г,
в пределах которого происходит уменьшение просадки от макси-
мального значения до нуля, а также характером изменения про-
садки в пределах участка г. Кроме формулы (7.38), рекомендуе-
мой СНиП 2.02.01—83, могут быть использованы также следую-
щие формулы (рис. 7.7):
5SI.gU) = 5s,.g(l- WF; (7.40)
S,1,g(x) = S8i.gexp^— ~^г) , (7-^)
263
Рис. 7.7. Характер деформации днев-
ной поверхности при просадке от
действия собственного веса грунта
ема бугра Но определяется из
вие
хорошо согласующиеся с натур-
ными данными, полученными
при строительстве метрополитена.
На рис. 7.8 представлена рас-
четная схема для случая местного
куполообразного подъема уров-
ня подземных вод.
Поверхность бугра подземных
вод должна быть оконтурена ка-
пиллярной каймой, в пределах
которой влажность грунта изме-
няется от полной влагоемкости
(на поверхности бугра) до ес-
тественной (на поверхности ка-
пиллярной каймы). Стрела подъ-
условия действия на этой высоте
начального просадочного давления.
Если исходить из упрощенной эпюры уплотняющего давления
от действия собственного веса грунта, то можно составить усло-
Т1Яв-(Я0 + Л81)| = Ра„ (7.42)
откуда
я0=!т(Яв-л,()-Л1]/т,
(7.43)
где hsi определяют по формулам (7.33) или (7.34).
Таким образом, согласно принятой расчетной схеме, на высоте
Ho+hsi грунт обладает начальной просадочной влажностью и здесь
действует начальное просадочное давление. Выше этого гори-
зонта давление от собствен-
ного веса грунта будет мень-
ше, чем начальное просадоч-
ное давление.
Поэтому, согласно при-
нятым представлениям о воз-
никновении структурных
деформаций грунта, просад-
ка выше этого горизонта не
должна происходить. Нару-
шение прочности грунта за
счет растворения и размяг-
чения природных связей
между отдельными его час-
тицами и структурными аг-
Рис. 7.8. Расчетная схема просадки от дей-
ствия собственного веса грунта при подъе-
ме уровня подземных вод
регатами в рассматривае-
мом горизонте и получае-
мая при этом просадка ана-
264
логично обрушению в горных выработках постепенно будет переда-
ваться на верхние неувлажненные горизонты.
Вследствие вертикального смещения грунта общее давление
на осевую полосу уменьшится на величину вертикальной состав-
ляющей сопротивления сдвигу. Неравномерность вертикального
смещения грунта приведет к образованию криволинейных поверх-
ностей скольжения AAi и ВВХ. Поверхность грунта в пределах
зоны, ограниченной точками А\ВЪ переместится вертикально вниз.
Для упрощения задачи криволинейные поверхности скольжения
могут быть заменены наклонными плоскостями AAi и ВВ\.
В состоянии предельного равновесия поверхности скольжения
наклоняются под углом ± (45°+<р/2) к направлению площадки, на
которую действует наибольшее главное напряжение. Поэтому угол
наклона плоскостей скольжения AAt и ВВХ к горизонту можно при-
нять равным 45°+ф/2.
7.6. Условия «вторжения» подземного потока
в активную зону оснований
В определенных условиях причиной дополнительной осадки ос-
нования зданий и сооружений может служить «вторжение» подзем-
ного потока в активную зону. Установим условие, при выполнении
которого возможно возникновение просадки основания зданий
и сооружений при подъеме уровня подземных вод. Для этой цели,
согласно изложенной в гл. 5 методике, определяем зоны различ-
ных деформаций лессового грунта в основании фундамента с задан-
ной формой и размерами подошвы (рис. 7.9).
Пересечение линии начального давления с результирующей
эпюрой уплотняющей нагрузки определяет три характерные зоны
деформации основания: I — зона просадки от совместного дейст-
вия веса сооружения и собственного веса грунта; II — зона, в ко-
торой отсутствует деформация просадки; III—зона просадки от
действия только собственного веса грунта и в отдельных случаях
также от внешней нагрузки.
Подъем уровня подземной воды вначале вызовет увлажнение
лессового грунта в третьей зоне и здесь, поскольку результирующее
уплотняющее давление больше начального давления, произойдет
просадка грунтов основания.
Движение подземного потока в пределах второй зоны не вы-
зовет просадку основания, так как здесь, хотя влажность грунта
и достигнет начальной влажности просадки, но суммарное давле-
ние меньше начального давления. И наконец, при «вторжении»
бугра подземного потока в первую зону, где суммарное давление
больше начального давления, произойдет просадка основания от
совместного действия собственного веса грунта и внешней на-
грузки.
265
Рис. 7.9. Графический способ оп-
ределения различных зон дефор-
мации грунта в основаниях со-
оружений при подъеме уровня
подземных вод
Нижняя граница первой зоны
деформации основания может быть
определена аналитическим спосо-
бом, если изменения уплотняющей
нагрузки в пределах активной зо-
ны аппроксимировать линейной
функцией:
где На — глубина сжимаемой тол-
щи (активной зоны), определяемая
для просадочного основания так
же, как для обычного непросадоч-
ного грунта; aHfl — значение коэф-
фициента а на нижней границе
сжимаемой толщи;
п _ 0,2у(Яа + ^п)
На P0—Jdn
На нижней границе первой зо-
ны деформации должно выпол-
няться условие:
У (Л, + dn) + (Р„- ydn) (1 - h,) = Р„.
Решая последнее уравнение относительно hSt получим
h>= (Ро—vd„)- 1,2Тяа-о,2Та„ (р»—рчУ
Подставляя здесь выражение толщины активной зоны На из фор-
мулы (7.22) после необходимого преобразования, получим
b(2a — b) (P0-Paf)______
2л (Pfl—Y^n)—2,4уЬ (2л — b) — 0,4ydna '
(7.45)
Для ленточных фундаментов формула (7.45) принимает вид
26 (Р,-Р„) (7 46)
h> (PQ-yd„)-2,iyb-O,2ydn •
Определим условия возникновения просадки при «вторжении»
бугра подземной воды в различные зоны деформации основания.
Условие «вторжения» бугра подземной воды в активную зону
определится неравенством
Яв-(Яа +<*п)<Я0 (1 -Г’Л).
Решая последнее неравенство относительно Го, определим про-
должительность времени, после которого возможно «вторжение»
266
бугра подземных вод в активную зону
In "°--------------.
по -«о i'"a-r£*n — "в
(7.47)
Подставляя выражение активной зоны из (7.22), последнюю
формулу можно представить в виде
Та^— InlT7i—гг-. (7.48)
по (^о4~^п — //в)а-|-Ь(2а—Ь)
Для ленточных фундаментов последняя формула принимает вид
Т In__________—5_____
п0 Я0+^4-2д-Яв ’
(7-49)
Составим условие «вторжения» бугра подземных вод в первую
зону деформации основания
Яь-(^ + ^)^Я0(1-е-^1).
Решая последнее неравенство относительно Ть определим про-
должительность времени, после которого возможно «вторжение»
бугра подземных вод в первую зону деформации основания:
т in___________Яр______
ПО Яо + Лз + dn —Яв ’
(7.50)
где hs — толщина первой зоны деформации основания, находящего-
ся непосредственно под подошвой фундамента, определяемая по
формулам (7.45) или (7.46).
7.7. Прогноз просадки в условиях природного
напряженного состояния лессового грунта
Рассмотрим два характерных случая подъема уровня подзем-
ных вод.
Равномерный подъем. Пусть в природных условиях, т. е. в мо-
мент времени /=0, на расстоянии Нв от поверхности грунта распо-
ложено зеркало подземной воды (рис. 7.10). Над зеркалом подзем-
ной воды находится зона капиллярного повышения влажности
грунта, т. е. капиллярная кайма высотой hK. Предполагается, что
в капиллярной кайме грунт утратил просадочные свойства. В пре-
делах глубины Нв—hK залегает однородный лессовый грунт, обла-
дающий свойством просадочности.
Пусть в результате строительной или хозяйственной деятельно-
сти человека удобная для строительства и эксплуатации рассмат-
риваемая территория с относительно глубоким залеганием подзем-
ной воды подтопляется. Причины подтопления рассматриваемой
территории могут быть совершенно различные — ухудшение ес-
тественных условий стока ливневых и талых вод, несоблюдение
требований нормальной эксплуатации временных водных комму-
267
никаций и водосборников на территориях действующих промыш-
ленных предприятий в процессе строительства и во время эксплуа-
тации различных объектов, утечка воды из водопроводных и кана-
лизационных магистралей, создание новых водохранилищ и строи-
тельство различных гидротехнических сооружений и др. Во всех
перечисленных случаях, приводящих к равномерному подъему
уровня подземных вод на рассматриваемом массиве, конечная ста-
билизированная ее высота расположения от природной отметки
определяется расстоянием Но.
Рис. 7.10. Расчетная схема просадки
от действия собственного веса грунта
при равномерном подъеме уровня
подземных вод
Изменение уровня подземной
воды во времени происходит со-
гласно принятому нами закону
(7.4). '
В условиях природного на-
пряженного состояния деформа-
цию просадки будем рассматри-
вать одномерной, происходящей
в условиях компрессионного уп-
лотнения, т. е. при отсутствии
бокового расширения грунта. В
этих условиях связь между от-
носительной просадкой и уплот-
няющим давлением определяет-
ся формулой (5.2)
eeI = PPm.
На глубине г ниже горизонта действия начального просадочного
давления zn выделим элементарный слой увлажненного подземной
водой грунта высотой dz. Относительная просадка рассматривае-
мого слоя определится выражением
где ро, w0— параметры нелинейной деформируемости грунта в во-
донасыщенном состоянии. Увлажнение грунта произойдет сплош-
ным подземным потоком и влажностью капиллярной каймы в пре-
делах высоты hsi. Конечная абсолютная просадка увлажненной
к моменту времени t толщи лессового грунта определится выра-
жением
«в
5(0 = J poPmodz.
В условиях природного напряженного состояния изменение уп-
лотняющей нагрузки по глубине без учета «арочного эффекта»
268
можно определить по обычной формуле P — y^z. Тогда
«в
S(t) = j Pb(YoZ)m«dz.
Нв-Н (О
Принимая параметры р0, ^о, 7о по глубине постоянными, из по-
следнего выражения можно установить:
5(о=^я^[Н1-45г)1+тТ <7-51)
Подставляя из (7.4) выражение Hi(t) в (7.51) для прогнозирова-
ния изменения просадки во времени, получим расчетную формулу
RnvmoH1+mo
------11- *Р<01+т«], (7.52)
1 г т0
где Ч> (0 = 1 -тц (1~е~П°‘'>- (7.53)
Полученная формула удовлетворяет следующим начальным усло-
виям: при / = 0 <р(0) = 1 и поэтому, согласно (7.52), имеем S(0)=0;
при /->оо мы должны получить конечную стабилизированную про-
садку. Согласно (7.53), имеем
ф(^->оо) = 1-Н0/Яв.
Если учесть последнее выражение в (7.52), для конечной стаби-
лизированной просадки получим
Приведенные выше формулы (7.52) и (7.54) были получены,
исходя из нелинейного закона деформирования лессового грунта
при просадке. Если исходить из линейного закона деформирова-
ния, что подтверждается опытами при небольших значениях уплот-
няющей нагрузки, порядка 0,2... 0,25 МПа, то мы должны в фор-
мулах (7.52) и (7.54) принять т0=1. В результате получим расчет-
ные формулы:
для изменения просадки во времени
S (0 = 0,5 [ 1 — <р (О2]; (7.55)
для конечной просадки
SK=O,5V№B[1-(1-^)2]. (7.56)
Куполообразный подъем. Пусть в естественных условиях до воз-
можного подтопления территории уровень подземной воды залега-
ет на расстоянии Нв от поверхности однородного лессового грунта
269
второго типа по просадочности. В результате нарушения гидрогео-
логического режима происходит местный куполообразный подьем
уровня подземной воды (рис. 7.11).
Изменение сводового поднятия уровня подземной воды во вре-
мени и в горизонтальном направлении определяем функцией (7.5).
Рис. 7.11. Расчетная схема просадки
от действия собственного веса грунта
при неравномерном подъеме уровня
подземных вод
= 7о[Яв-Я(х, /)]; Р2(х)=7о#в.
В результате подъема уровня
подземной воды происходит ув-
лажнение лессового грунта, что
приводит к появлению и разви-
тию во времени просадочных де-
формаций под действием собст-
венного беса грунта. Установим
закономерности изменения про-
садки во времени и в зависимос-
ти от расстояния по горизонта-
льной плоскости. Для этого на
расстоянии х от оси Oz в пре-
делах увлажненной зоны грунта
выделим элементарную полосу
шириной dx. Уплотняющее дав-
ление от действия собственного
веса грунта на верхней и ниж-
ней границах этой полосы соот-
ветственно будут равны Р[(х) =
Среднее значение уплотняющего
давления, действующего на рассматриваемый слой грунта, равно
Лр (х) = 4- LPi (X) + р2 (X)] = 4- то [2ЯВ-н (X, t)J. (7.57)
Абсолютная просадка рассматриваемого слоя грунта
S(x, t) = e8lH(x, t)=$0P%(x)H(x, t).
Подставляя выражения (7.5) и (7.57) получим
S (х, 0 = рояо (О,5уо)”- [2ЯВ _(1 _е-п.|) cos
X (1 — е~п^) cos .
(7.58)
Согласно полученной формуле (7.58), максимальное значение
просадки имеет место на оси симметрии свода подземной воды,
т. е. при х=0
5тах(О = ₽оЯ(О15т„)т«[2Яо-Я„(1-е-".')]^ (1—(7.59).
Стабилизированное значение просадки определяют из послед-
него выражения, т. е. при t -> со
Smax = рояо (О^То)”1" (2ЯВ - (7.60)
270
На расстоянии I от оси Oz подъем уровня подземной воды не
происходит и поэтому здесь, согласно, (7.58), просадка равна нулю.
Полученная формула (7.58) удовлетворяет следующим начальным
условиям: при /=0 увлажнение грунта подъемом уровня подземной
воды не происходит и поэтому, согласно формуле (7.58), просадка
во всех точках, расположенных в интервале O^x^Z, равна нулю.
С течением времени по мере увеличения t происходит развитие
увлажненной зоны и в соответствии с этим увеличивается проса*
дочная деформация. При /—>оо достигается конечная стабилизиро-
ванная величина просадки. Принимая в (7.58)/—оо, получим фор-
мулу для прогнозирования стабилизированной просадки по гори-
зонтальной плоскости:
SK(х) = РоЯо (О,5То)— [2Я„-Я0 cos ^]го* cos . (7.61)
Полученные формулы значительно упрощаются, если исходить
из линейного закона деформирования грунта при просадке. В са-
мом деле, принимая в (7.58) т0=}, для прогнозирования просад-
ки во времени и в горизонтальном направлении получим формулу
S (х, t) = 0,5^6^ [2Я„ - Я, (1 -e-^cos (1 - е--<) cos .
(7.62)
При этом изменение просадки по оси свода подземной воды во
времени составит
Smax W = 0,5 ТороЯо [2ЯВ — Яо (1 - е-п.9] (1 - (7.63)
Стабилизированное значение просадки на своде подземной воды
прогнозируется формулой
Smax - О,5ТороЯо (2ЯВ—Яо). (7.64)
Изменение стабилизированной величины просадки по направ-
лению оси Ох
5к(х) = О,5ТороЯо [2Яв-Я0со8 ^-]cos^ . (7.65)
7.8. Прогноз просадки в основаниях сооружений
В основаниях сооружений, как было отмечено выше, будем раз-
личать две стадии возникновения и развития просадки. Рассмот-
рим каждую стадию в отдельности.
Прогноз просадки в первой фазе ее развития. Рассмотрим два
характерных случая подъема уровня подземных вод: равномерный
и куполообразный.
1. Равномерный подъем. На рис. 7.12 представлена расчетная
схема для случая равномерного подъема уровня подземной воды
27!
^ = tfee’“x
!1!!Н!^
э! .
в первой фазе развития просад-
ки, когда увлажнение грунта
происходит ниже подошвы ак-
Ттивной зоны основания. Относи-
тельная просадка слоя грунта
толщиной dz, находящегося на
расстоянии z от подошвы актив-
zSEIZZcL - н°й зоны
I/ Adi
ш
8„=^-=₽оР--
Абсолютная просадка увлаж-
ненного слбя грунта толщиной
/7(0
Tz
Рис. 7.12. Расчетная схема для -пер-
вой фазы развития просадки в ос-
нованиях сооружений -при равномер-
ном подъеме уровня подземных вод
(0 = J (О dz.
нв-нс-[н0 (О+лв<1
(7.66)
Уплотняющее давление P(z)
будет складываться из суммы
в рассматриваемом слое грунта
давлений от собственного веса грунта (равномерно распределен-
ная нагрузка интенсивностью Ргр = ^Нс и веса сооружения аг).
Последнее давление по оси Oz, согласно формуле (7.23), изменя-
ется по криволинейному закону:
5
МО, z) = J4r^/2arctg_S7
bz T
р-(4)Т+Ч’ (7-67)
На нижней границе сжимаемой толщи значение этого давления
принимается равным
ог(0, Яа) = 0,2у/7с = 0,2у(Яа +<7П).
На поверхности подземной воды, т. е. на расстоянии z—HB—dn, со-
гласно (7.67), имеем
МО, =
X parctg2(tfJ^dn)-^
b(tfB-d„) [ (Яв-<fn)s +-
(4 (Яв-<?)
Криволинейную эпюру oz в пределах деформируемого слоя
грунта Нв—Нс заменим прямолинейной
oz = A — Bz, (7.69)
где Л = ах(0, Я„), В=-g*(0’ Я0>-аг (» Я„-<гп) .
в — Л с
272
Суммарное давление от собственного веса грунта и веса соору-
жения по оси Oz
P(z) = y (Яс + Z) + А - Bz. (7.70)
Подставляя (7.70) в (7.66) и произведя интегрирование, после не-
сложных преобразований для прогноза изменения просадки во
времени получим формулу
С (f\ _ ____________Ро (ЯВ Яс)______________ v
(1 + ^о)(7и(^в-Яс)-о2(0,Яа) + о2(0,Яв-йп) Х
X {iToffe + oz (0, нв — dn)]1*S * 7"» — [то (Я. — Н (()) + а2 (0, Яа) —
----------Oz (0, яв-дп) (Я„-Яс- fl (t)]1+и°} , (7.71)
где H(t) —H(t) +hs[V'>. Следует учесть, что при / = 0 H(0)=hQsi
в пределах слоя hQstt находящегося в пределах природной капил-
лярной каймы, грунт считается утратившим просадочные свойства.
В формуле_ (7.71)_ функция Н (t) определяется известным нам
выражением Я(/)=Я0(1—e~not).
Как видно из полученной формулы J7.71), когда подъем уров-
ня подземной воды не происходит, т. е. Н (t) =0, просадка рассмат-
риваемого слоя (Нв—Нс) получается равной нулю. Просадка в пер-
вой фазе ее развития завершается тогда, когда вся зона грунта,
находящаяся ниже активной зоны, полностью увлажняется. В этом
случае Н (/) становится равным (Нв—Нс). Принимая последнее ра-
венство в (7.71), получим значение просадки, соответствующее за-
вершению первой стадии развития просадки:
c/ai __________________Ро (Яв Яс)______________
k4 (14-^о) I То(Яв-Яс)-0г(О, Я«) + о2(0, HB-dn)
Х{[ТоЯв4-а2(0, Яв-<)]1+то»-(То^с+о2(0, Яа)Г+™»}. (7.72)
Если исходить из линейного закона деформирования грунта, то
в приведенных выше формулах (7.71) и (7.72) мы должны принять
т0=1. Тогда получим
Q (f\_____________Ро (ЯВ Яс)_____________ v
° 2 [уо (HB-Hc)-oz (0,Яа) + о2 (0, Яв-<гп)1 Х
X {[ТоЯа + Ог (0, Нв - dn)P-[То (Яв-Н (()) + Ог (0, Яа) -
а2(°. 7/а)-аг(0, Яв-dn) (Яв _ яс - я (t)]2) ; (7.73)
Н В -“С J
S <Яв—Яс)_____________ х
V4 2 [То (Яв-Яс)-а2 (0, Яа)+Ог (0, HB-dn)] Х
X {[ТоЯв + о2(0, Яв-^пЕ-[?0Яс4-о2(0, Яа)Р}. (7.74)
2. Куполообразный подъем. Расчетная схема для куполообраз-
ного подъема уровня подземных вод представлена на рис. 7.13.
273
I!!!!!!!!'!!!!!!!!!!!1
<%'W
нгст
Ряс. 7.13. Расчетная схема для пер-
вой фазы развития просадки в осно-
ваниях сооружений при неравномер-
Согласно принятой расчетной
схеме, на нижней границе сжи-
—► маемой толщи действует равно-
мерно распределенная
от собственного веса
интенсивностью ^Нс и неравно-
мерно распределенная
нагрузка
грунта с
*6 ’ мерно распределенная нагрузка
ог от внешней нагрузки (веса
сооружений). Следовательно, вы-
деленный на расстоянии х от
оси Oz вертикальный элемент
увлажненного грунта будет ис-
пытывать уплотняющее напря-
жение от совместного действия
указанных двух нагрузок:
P(z) = Prp(z) + Pcoop(z). (7.75)
Первое слагаемое этой
ном (подъеме уровня подземных вод суммы определится известным
выражением Prp = 7(#c+z). Вто-
рое слагаемое представляет собой вертикальное составляю-
щее нормального напряжения в однородной полуплоскости от дей-
ствия на ее поверхности бесконечно простирающейся по обе сто-
роны от оси Oz неравномерно распределенной нагрузки:
а, = о()е-“1='1 = 0,2ТЯсе 0,,’0в » |х|.
(7.76)
Определение указанного напряжения не представляет особой
трудности, если исходить, в частности, от общего решения плоской
задачи теории упругости для полуплоскости, полученного В. А. Фло-
риным. Выкладки значительно упрощаются, если заменить нерав-
номерно распределенную нагрузку (7.76) с ее равнодействующей
в пределах достаточной для точности расчета длины 21:
1 2i -0,1906 4-х
осв = j 0,2уЯсе dx.
о
После раскрытия интеграла для среднего значения давления по-
лучим выражение
оер = 0,52^^-(1-е-«.зв>2'/Ь). (7.77)
Таким образом, неравномерно распределенную поверхностную
нагрузку <уг на участке —2/^x^+2Z заменили равномерно рас-
пределенной нагрузкой ozc₽. Такая замена, согласно принципу Сен-
Венана, не должна отражаться на напряженном состоянии эле-
мента грунта, достаточно удаленного от границы полуплоскости.
274
Итак, уплотняющее напряжение от действия внешней нагрузки
в любой точке рассматриваемой области определится выражением
/’соор(х) =о2с₽. Тогда, согласно (7.75), будем иметь
Среднее значение уплотняющего давления в пределах рассмат-
риваемого вертикального слоя
^ср = ~2~ (То (Яс + Яв) 2о®р -f- yoz].
Подставляя здесь z= (Нв—Нс)—Н,(х, /), получим
РсР(^) = ТоЯв+^₽-4-ТоЯ(1. 0. (7-78)
где Н(х, = + — е-".«)со8-^-=Я0(1 — cos -^-.
Абсолютная просадка рассматриваемого вертикального столби-
ка грунта, согласно (5.2),
S (*, 0 = ЬВД Н {х. 0. (7.79)
Подставляя выражения (7.78) и (7.5), получим
5 (х, 0 = (х, 0 [?ОЯВ - О,5ТоЯ (х, 0 + <£РГ°. (7.80)
Формула (7.80) удовлетворяет следующим начальным услови-
ям: при /=0 просадка во всех точках, расположенных в основании
купола подземных вод, равняется нулю, так как начало процесса
увлажнения грунта отсчитывается от момента подъема уровня под-
земных вод. С течением времени происходит развитие увлажненной
зоны и в соответствии с этим увеличиваются просадочные дефор-
мации. При / —>-оо достигается конечная стабилизированная вели-
чина просадки:
5к(х) = РоЯсоз-^- [?0Я„_0,5ТоЯ0соз^+а^р]т*. (7.81)
Максимальная стабилизированная просадка будет иметь место
на оси симметрии свода подземной воды, т. е. при х=0
№1 « Р0Я0 [у0Яв - О,5ТоЯо + (£РГ. (7.82)
Полученные формулы значительно упрощаются, если исходить
из линейного закона деформирования грунта при просадке. При-
нимая в (7.80) т0= 1 для прогноза просадки во времени, получим
формулу
5 (х, 0 = роЯ (х, 0 [?ОЯВ - О,5ТоЯ (х, 0 + <£р]. (7.83)
Конечную стабилизированную величину просадки в различных
точках основания купола подземных вод при этом определят по
275
формуле
5К (х) = PqHqCos[у0Нв — О,5уоЯо cos с^рJ . (7,84)
Максимальную стабилизированную просадку вычисляют по
формуле
«ах (X) = poffo [у0Яв - О,5?оЯо + (£₽]. (7.85)
Прогноз просадки во второй фазе ее развития. Вторая фаза
развития просадки возникает после «вторжения» подземного пото-
ка в активную зону основания. В этой фазе также будем рассмат-
ривать два характерных случая подъема уровня подземной воды.
1. Равномерный подъем. На рис. 7.14 представлена расчетная
схема для случая равномерного подъема уровня подземной воды.
Относительная просадка слоя грунта толщиной dz, находящегося
на расстоянии z от подошвы фундамента, определится выраже-
нием
Просадка во второй фазе возникает как только уровень подзем-
ной воды окажется в пределах активной зоны основания. Поэтому
начальным условием для второй фазы просадки будет при /=0,
Я(0)=0, т. е. когда уровень подземной воды окажется ниже актив-
ной зоны на расстоянии hsi.
Абсолютная просадка увлажненного слоя грунта толщиной
П (/) определится выражением
На
S(t) = $ f>0P™°(z)dz. (7.86)
Уплотняющее давление в рассматриваемом слое грунта будет
складываться из суммы давлений от собственного веса грунта
и веса сооружения
P(z) = Prp(z)+Pc(z), (7.87)
где Prp(z)=y0(z+dn).
Криволинейную эпюру уплотняющего давления от веса соору-
жения заменяем прямолинейной. Граничные значения этого давле-
ния нам известны:
Рс (0) = PQ = р - Т(А; Рс <На) = О,2ТоЯс = О,2уо (На + dn).
276
Рис. 7.14. Расчетная схема для вто-
рой фазы развития просадки в осно-
ваниях сооружений при равномерном
подъеме уровня подземных вод
Рис. 7.15. Расчетная схема для
второй фазы развития просадки
в основаниях сооружений при не-
равномерном подъеме уровня под-
земных вод
Этим условиям удовлетворяет линейная функция
РС(1) = А,-В^ (7.88)
где A{ = P—^odn\ В{= [(Р—iodn)— О^оНс]/На.
Суммарное давление, согласно (7.87), определится выражением
P(z) = N, + M^ (7.89)
где М = Р; М1 = 7о-[(/>-7о^п)-0,27о//с]/Яа.
Подставляя (7.89) в (7.86) и выполнив интегрирование, по-
лучим
S(t) = (1+m.) [Т.яоЛр-Т<«п)+О.2тоЯс) {[Р + Vo (На +
+ 0,2Яс) - (Р - ?„</„)] *+"• - [ Р + То (На- Н (г)) -
(P-Vdn)-0.2Votfc (Я„-Я (1)],+т°} . (7.90)
Максимальная просадка основания получится в том случае,
когда вся активная зона будет увлажняться. В этом случае Н (t) =
= На. Подставляя последнее равенство в (7.90), будем иметь
S________________$°На______________у
к~ (Ц-^о) [ТоЯа--(Р-ydn) 4"0,2уоЯс] Х
X {[Р+ Уо(^а+0>2Яс)-(Р-Тб/п]1+-о_р1+7по}> (7 91)
Если исходить из линейного закона деформирования грунта при
просадке, то в формулах (7.90) и (7.91) мы должны принять
277
m0= 1. Тогда
s<‘>- .м.-Лнм {|Я-т.<я.4-о.2я.)-|Р-тд.)1-
-[р+Vo(Яо— Я (t))- (Р~тД,,)яа0’2уЯс- (Иа-И(I))]2} ; (7.92)
с____________№_____________х
к- 2 lytHa-(P-ydn)+0,2y^c х
X {(Р+То:(Я0+0,2Яс)-(Р-Т<гп)Р-Р2}. (7.93)
2. Куполообразный подъем уровня подземных вод. Расчетная
схемЗ для куполообразного подъема уровня подземных вод во вто-
рой стадии развития просадки представлена на рис. 7.15. Абсолют-
ная просадка вертикальной полосы, находящейся на расстоянии х
от оси симметрии фундамента, определится выражением
S (я, 0 = (z) Н (х, t). (7.94)
Уплотняющее давление в рассматриваемой полосе грунта опре-
деляется суммой средних давлений от собственного веса грунта
и внешней нагрузки:
Р (z) « Рср (z) = (z) + Рсср (z), (7.95)
где PrPcp(z) =^(dn+Ha)—^^H\x, t).
В точках, расположенных в основании купола подземной воды,
т. е. на нижней границе сжимаемой толщи, нормальное давление
от внешней нагрузки принимаем постоянным и определяем по фор-
муле (7.77)
<Я>=0,52 (1—е-о.зв121/ь).
Нормальное давление от внешней нагрузки в точках, располо-
женных на поверхности купола подземной воды, определяем по
формуле (7.23), если принять z=Ha—Н (xt t):
аг (х} На—Н (х, t) = --~7dn Гarctg-b/2—x-arct -------------
' л V На-Н(х, о ~ в Ha — H(xt t)
Ъ (На —~Й (х, Q) [х» - (Яа — Я (х, 0)* - Ь«/4] |
[*а+(Яа-Я (х, t)a-bW+ ba (Яо —Я(х, 0)” *
Среднее значение уплотняющего давления от веса сооружения
в пределах высоты рассматриваемой полосы
На-Н(х, t))]. (7.96)
Суммарное давление, согласно (7.95), определится выражением
Р (z) ~ Рср (z) = Yo (dn + На) + о,5 [<£р - у0Й (Z, 01 +
+0,5ojx, Ha—H(Xl t)].
278
Подставляя последнее выражение в (7.94), для прогноза изме-
нения просадки во времени в различных точках основания купола
подземных вод получим
<$(х,1)=₽вЯ(х, 0[у<К+Яо) + 0,5(арр-т0Я(х, t)) +
+0,5а,(х, Ha-H(xt t))f. (7.97)
Полученная формула отвечает следующим начальным усло-
виям: при /=0 Я(х, 0)=ft°s/, т. е. уровень подземной воды совпа-
дает с нижней границей активной зоны, поэтому просадка грунтов
в активной зоне во второй стадии не возникает. Максимальная
просадка имеет место на оси симметрии купола подземной воды,
т. е. при я=0
SnnW-MW (То (а„+яо)+0,5(ар₽-%Я(<)) +
+ 0,5а, (0, ЯО-Я(1))Г’. (7.98)
При / —► оо и поэтому достигается конечная просадка
основания
Л = MG (То (dn + На) + 0,5 (0? - УоНа) + 0,5ах (0, 0)]т’. (7.99)
Линейная деформируемость грунтов основания при их просадке
приводит полученные формулы к виду
S (X, t) = РоЯ (X, Г) [То (dn + Яо) + 0,5 (арр - ТаЯ (х, <)) +
+ 0,5а,(х, На—Н(х, «))]; _ (7.100)
5та*(0 = ₽оЯ(1) lVo (йп+Яо)+0,5 (о?₽-ТоЯ (t)) +
+ 0,5а,(0,Яа-Я(/))]; (7.101)
SK=М« (То (dn + Я„) + 0,5 (а? - т0Яа) + 0,5а, (0, 0)). (7.102)
| Пример 7.1. Пусть требуется прогнозировать изменение просадки толщи од-
нородного лессового грунта во времени при равномерном и неравномерном подъ-
еме уровня подземной воды. Расчет производим при нелинейном и линейном за-
конах деформирования грунта при его просадке. Известны следующие данные:
параметры нелинейной деформируемости грунта по данным компрессионных ис-
пытаний установлены равными /ло=0,82; Ро=ОД2 МПа-0'82. Удельный вес грунта
в водонасыщенном состоянии 7о= 18 кН/м3; естественная влажность грунта
1Уо=0,10; полная влагоемкость Wlat=0,30', начальная просадочная влажность
1^ж/=0,20; высота капиллярного поднятия hK=2 м. Исходный уровень подземной
воды от поверхности грунта Яи=30 м; логарифмический декремент затухания
поднятия уровня подземной воды по данным наблюдения в одиночной сква-
жине Ло=0,07 1/год; полная высота поднятия уровня подземной воды Но=
= 13,75 м. Высота капиллярной каймы по формуле (7.34) будет равна
1 -(0,20/0,30)»
*' 1 —(0,10/0,30)» — 1-‘!эм-
1. Равномерный подъем уровня подземной воды. По формуле (7.52) опре-
деляем изменения просадки во времени
с 0,012-0,0018°’82-30001 + °’82
“ 14-0,82
U.....ср (Г)1 + 0,8 21 —78,85 fl -<р(01,82].
279
Значения функции <р(/) в период стабилизации просадки (I—►«>) согласно
(7.53) равно:
<р (« -> сю) = 1 _ 15/30 = 0,5.
Конечная, стабилизированная просадка по формуле (7.54) равна Зи = 0,012.0,00180g.30001+02 В табл. 7.1 представлены значения функции ф(0 и соответствующие им
просадки в течение 150 лет. Таблица 7.2
Таблица 7.1
t, годы ф(О S(0. см /, годы •<р(0 S(t), см
0 1 0 0 1 0
10 0,74830 32,34 10 0,74830 42,78
20 0,62330 45,49 20 0,62330 59,44
30 0,56120 51,29 30 0,56120 66,59
50 0,51510 55,27 50 0,51510 71,41
100 0,50050 56,48 100 0,50050 72,85
150 0,50003 56,52 150 0,50003 72,89
Исходя из линейного закона деформирования грунта, изменение просадки во
времени определяем по формуле (7.35):
5 (t) = 0,5 0,0018-0,012-30002 [1—ф(«)1+0’82] = 78,85 [1-ф (О1’82].
Конечную стабилизированную просадку при этом находим по формуле >(7.56)
5к = 0,5-0,0018-0,012-30002 [1 —(1 — 1500/3000)2] = 72,9 см.
В табл. 7.2 приведены значения функции ф(0 и соответствующие им про-
садки в течение 150 лет.
Как видно из данных таблиц 7.1 и 7.2, нелинейный закон деформирования
грунта по сравнению с линейным снижает конечную просадку на 22,5%.
2. Неравномерный подъем уровня подземной воды. Изменение просадки во
времени при куполообразном подъеме уровня подземной воды при нелинейном
законе деформирования грунта прогнозируем по формуле (7.58)
S(x, () = 0,012(0,5-0.0018)0'82-150o[2-3000—1500(l-e-°-07‘) cos-5pJ0’82 X
x (1 — e"0-07') cos -^-=0,0572 Г6000—1500 (1 — e°-07‘) cos -^-1°’82 X
Z* L Zi I
X (1 — e"°’°7*)-cos-7^-.
Конечную стабилизированную просадку в различных расстояниях от оси
симметрии купола подземной воды определяют по формуле (7.61)
5„(х)=0,012-1500(0,5-0,0018)°'82 [2-3000-1500-cos-^-J"’82 . cos -^ =
=0,572 ( 6000—1500-cos-^- )°'82-cos
\ Z4 /
280
Таблица 7.3
t, годы S(x, t), см
х=0 Х-//2 Х=1
0 0,00 0,00 0,00
10 32,34 23,67 0,00
20 45,56 33,99 0,00
30 51,39 38,77 0,00
50 55,42 42,17 0,00
100 56,63 43,01 0,00
150 56,66 43,22 0,00
В табл. 7.3 приведены значения просадки в трех характерных расстояниях
в течение 150 лет.
Изменения просадки во времени и в пространстве при линейном законе де-
формирования грунта определяют по формуле (7.62).
S(x, 0 = 0,5-0,012-0,0018-1500 [г-3000—1500(1 — e"0,07')-cos-^-] X
X(l-e-°’07‘).cos^-=0,0162[6000-1500(l-e-0-07').cos-^-]x
Xd-e-^-cos-^ .
Конечное, стабилизированное значение просадки на различных расстояниях
от оси симметрии купола подземной воды определяем по формуле (7.65)
]лх
СО8"2Г=
= 0,0162 ^6000—1500-cos-^-
В табл. 7.4 приведены значения просадки на трех характерных расстояниях
в течение 150 лет.
5К (х) = 0,5-0,012-0,0018-1500 2-3000 - 1500-cos-^-
лх
cos-27-
Таблица 7.4
t, годы S(x, t), см
х-*0 x-Z/2 X—/
0 0,00 0,00 0,00
10 42,77 31,50 0,00
20 59,44 44,88 0,00
30 66,58 50,96 0,00
50 71,41 55,23 0,00
100 72,85 56,42 0,00
150 72,89 56,53 0,00
281
Как видно из данных таблиц 7.3 и 7.4, нелинейный закон деформирования
грунта по сравнению с линейным снижает конечную просадку на 22,3%.
На рис. 7.16, по данным таблиц 7.3 и 7.4, построены просадки дневной по-
верхности грунта в различные периоды времени при нелинейном и линейном
законах деформирования грунта.
Пример 7.2. Требуется прогнозировать изменение просадки однородной тол-
щи лессового грунта при подъеме уровня подземной воды в основании ленточ-
ного фундамента. Характеристики грунта принимаем такими же, как и в пре-
дыдущем примере. Исходный уровень подземной воды от поверхности грунта
Но—8 м; ширина подошвы фундамента b=2 м; дополнительное давление по по-
Рис. 7.16. Динамика просадки дневной поверхности при-
линейном и нелинейном законах деформирования грунта
для неравномерного подъема уровня подземной воды
(к примеру 7.1):
/—/-10 лет; 2 -/-20 лет; 3 — /-30 лет; -/ — /-50 лет; 5 —/-
-100 лет; 6 — /—150 лет
дошве фундамента Р—Tfdn=0,2 МПа. Нижняя граница сжимаемой толщи в ос-
новании фундамента, согласно формуле (7.22), установлена равной На=2Ь=*
=2-2=4 м. Глубина заложения фундамента d„=l м. Тогда Яс=4+1=5 м.
Изменение просадки во времени будем прогнозировать в двух стадиях ее раз-
вития: при нелинейном и линейном законах деформирования грунта.
1. Прогноз развития просадки в первой фазе при равномерном подъеме
уровня подземной воды. Первая фаза просадки начинается при увлажнении
слоев грунта, расположенных ниже зоны и завершается, когда предельный уро-
вень подземной воды достигает высоты Яо=1»75 м. Высоту капиллярной каймы,
по-прежнему, принимаем равной йк=2 м; Л41=1,25 м; Яо= 1,75+1,25=3 м.
Изменение просадки в первой фазе ее развития, согласно нелинейному за-
кону деформирования грунта, прогнозируем по формуле (7.71). Предваритель-
но по формуле (7.68) устанавливаем значения уплотняющего давления на глу-
бине расположения природного уровня подземной воды и на нижней границе
сжимаемой толщи
2 Г 200
°z (0, Яв—dn) = [2arctg 2 (800—100) +
200(800-100) [(800-100)«+200«/4] -| (0 0359
+[(800-100)«+2002/4]а+200«(800-100)2 _|“0’359 кг/см <°’0359 МПа)-
oz (0, Яо) = 0,2-0,0018 (400-Ь 100) = 0,18 кг/см® (0,018 МПа).
282
По формуле i(7.71) будем иметь
«(Л = ‘__________0,014(800-400)__________х
'’ (1 + 0,86) [0,0018 (800 — 500) — 0,18 + 0.359Г
X {(0,0018-800 + 0,359)».••—^0,0018(800—Я(1))+0,18—
~-^~°^9 <800-500-Я(«))1>,И) =4,19(2,98—(1,799 — 0,00239Я(«))*.»(,
OUU““" OW I J
где
Я (1) = Я, (!-»-"•«) = (Я0+Л„)(1-е-"»‘) =
= (1,75+1,25) (1 — е“°*07<) = 3 (1 —е-0*07().
В табл. 7.5 приведены значения функции Я(/) и соответствующие им про-
садки в течение 150 лет.
Таблица 7.5
1. годы 5(0. см
0 0 0
10 151,02 4,25
20 226,02 6,06
30 263,25 6,87
50 290,94 7,46
100 299,40 7,60
150 299,70 7,63
Таблица 7.6
t, годы ЖО 5(0. см
0 0,00 0,00
10 151,02 4,56
20 226,02 6,44
30 263,25 7,28
50 290,94 7,86
100 299,40 7,94
150 299,70 8,04
Конечная стабилизированная просадка определится формулой (7.71), если
здесь принять t—•><», что приводит к равенству И(t)=H0=H0+hsi= 1,75+1,25=
= 3 м. Имеем:
0,014(800-400)
дк (1 + 0,86) [0,0018 (800 — 500) —0,18 + 0,359] Х
X {(0,0018-800+ 0,359]*.«« - (0,0018 (800 - 300)+0,18-
(800- 500- 300)».»} = 7,63 см.
О1Л/ 1 OvU J
Линейный закон деформирования грунта, согласно формуле (7.73), для из-
менения просадки во времени дает значение:
__ 0,5-0,014 (800 — 400)
w [0,0018(800— 500) —0,18 + 0,359]
X {(0,0018-800 + 0,359)»—{о,0018 (800-Я (1)) + 0,18—
- (800 — 500—Я (0)~|2| =3,89(3,24—[1,799— 0,00239Я (1)]»}.
OUv — OUU J J
В табл. 7.6 приведены значения функции ff(t) и соответствующие им просадки
в течение 150 лет.
283
Рис. 7.17. Динамика просадки основа-
ния фундамента в первой фазе при ли-
нейном и нелинейном законах деформи-
рования грунта для равномерного -подъ-
ема уровня подземной воды (к приме-
ру 7.2) (условные обозначения см. на
•рис. 7.16)
формуле (7.77) определяем среднее знач<
границе сжимаемой толщи
Конечную стабилизированную
просадку в линейной постановке за-
дачи устанавливаем последней фор-
мулой, принимая здесь t—►«>, что
приводит к равенству Я (0 = 3 м.
Имеем SK=3,89 [3,24-1,799—
—0,00239-300)2]=8,05 см.
Как видно из полученных резуль-
татов, нелинейная связь просадки
с давлением по сравнению с линей-
ной уменьшает конечную просадку
на 5,2 %. На рис. 7.17 по приведен-
ным выше результатам построены
графики просадки основания в раз-
личные периоды его увлажнения при
нелинейном и линейном законах де-
формирования грунта.
2. Прогноз развития просадки
в первой фазе при неравномерном
подъеме уровня подземной воды. Из-
менения просадки во времени и в
пространстве при нелинейном законе
деформирования прогнозируем по
формуле (7.80). Предварительно по
ie уплотняющего давления на нижней
сСР = 0,52 «'^ОО-200 (1_е-0.3612 1000/200) = од5 кг/см, (0 015 МПа).
По формуле (7.80) будем иметь S(x, t) =0,014Н(х, t) [0,0018-800—0,5Х
Х0,0018Я(х, 0+0,15]°-86=0,014Я(х, /)[1,5904—0,0009Я(х, Z)]0-86.
Результаты расчета по последней формуле приведены в табл. 7.7.
Таблица 7.7
t, годы S(x, Г), см
х=О Х-//2 x-Z
0 0,00 0,00 0,00
10 2,92 2,11 0,00
20 4,19 3,07 0,00
30 4,78 3,52 0,00
50 5,20 3,85 0.00
100 5,30 3,95 0,00
150 5,32 3,96 0,00
Конечную стабилизированную просадку определяем по формуле (7.81) г
SK (х) = 0,014-300-cos 10,0018-800—0,5-0,0018 300-cos0,15)°’86.
44 \ 44 /
По этой формуле имеем SK(x=0)=5,34 см; SK(x=//2)=3,96 см; SK(x=Z) =
=0,00.
284
Прогноз просадки при линейном законе деформирования грунта осущест-
вляем по формуле (7.83):
S (х, 0 = О,О14Я(х, /) [0,0018-800—0,5-0,0018#(z, f) + 0,15] =
= 0,014# (z, /) [1,5904— 0,000,9# (z, 0].
Результаты вычисления приведены в табл. 7.8.
Таблица 7.8
t, годы S(x, t), см
х-<0 х-Ц2 X-Z
0 0,00 0,00 0,00
10 3,08 2,23 0,00
20 4,19 3,24 0,00
30 4,99 3,71 0,00
50 5,41 4,04 0,00
100 5,52 4,13 0,00
150 5,54 4,14 0,00
Стабилизированное значение просадки при этом определяем по формуле
SK (z) = 0,014#0-cos-^- ( 1,5904— 0,0009#о-cos .
\ £1 /
По этой формуле имеем: SK(x=0) = 5,54 см; SK(x=//2) =4,15 см;
5к(л==/)=0,00.
Как видно из полученных результатов нелинейный закон деформирования
грунта, по сравнению с линейным, уменьшает значение конечной просадки
7,0
5,см
Рис. 7Л8. Динамика просадки основания фундамента
в первой фазе при линейном и нелинейном законах
деформирования грунта для неравномерного подъема
уровня подземной воды (к примеру 7.2) (условные
обозначения см. на рис. 7.16)
на 3,6%. На рис. 7.18 построена динамика просадки дневной поверхности при
линейном и нелинейном законах деформирования грунта для неравномерного
подъема уровня, подземной воды в первой фазе развития просадки.
3. Прогноз развития просадки по второй фазе при равномерном подъеме
уровня подземной воды. Динамику просадки при нелинейном законе деформи-
285
рования грунта прогнозируем по формуле (7.90)
15 { ) — (14- 0,86) (0,0018 • 400 — 2 4- о,2 • 0,0018 • 500) х
X |[2,184-0,0018 (4004-0,2-500)—2]1+0’86 — [2,18 —0,0018 (4ОО—.#(0) —
_.2~0»2-С^0018-500 —(^))J1+o»86j_2^737[1^^^^
— (1,084-0,00275# (0)1,8вЬ
В табл. 7.9 приведены результаты расчета, полученные по последнему вы- ражению.
Таблица 7.9 Таблица 7.10
t, годы ЖО S(f). см t, годы Я«) S(o. СМ
0 0,00 0,00 0 0,00 0,00
10 201,36 3,70 10 201,36 3,83
20 301,36 5,95 20 301,36 6,31
30 351,00 7,20 30 351,00 7,69
50 387,92 8,20 50 387,92 8,78
100 399,00 8,49 100 399,00 8,97
150 399,60 8,50 150 399,60 9,13
Для определения конечной стабилизированной просадки функцию H-(t) сле-
Лует брать равной Но- Тогда расчетная формула примет вид
SK = —2,737 [1,1539—(1,084-0,00275-400)1’86] = 8,5 см.
Прогноз динамики просадки при линейном законе деформирования грунта
осуществляем по формуле (7.92)
5 «> = 2(0,0018.400°^2+Т2-0,0018+00) {[WO.OOIS (400+ 0,2.500)-2р-
— [2,18 - 0,0018 (400-77(*))- 2-°,2-0^:>18-500 (400- Я («)) ]2 } =
= —2,55 [1,1664—(1,08+ 0,00275Я (<))»],
Результаты расчета, полученные по последнему выражению, приведены
в табл. 7.10.
Для получения значения конечной просадки в последней формуле следует
принять H(t)—H0. Тогда <SK=—2,55(1,1664—(1,08+0,00275-400)2] =9,14 см.
Нелинейный закон деформирования грунта по сравнению с линейным в этом
случае снижает значение конечной просадки на 7%.
4. Прогноз развития просадки во второй фазе при неравномерном подъеме
уровня подземной воды. Изменение просадки во времени и в пространстве при
нелинейном законе деформирования грунта в этом случае прогнозируем по
формуле (7.97):
S(x, 0 = 0,014# (х, 0(0,0018(1004-400)4-0,5 [0,15—0,0018# (я, 0]4-
+ 0,5а,[х, На-Н(х, О]}0,86.
286
Значения oz[x, На—Н(х, /)] вычисляют по формуле:
°z.lxi На—Н (х, <)]=,/.-• farctg-- —Х--parctg----Iztf----
3,14 1 ® 400-Я (х, 0 4004-Я (х, 0
2 [400—Я (х, 01 |ха —[400—Я (х, ОР—у}
^ха4-[400 —Я (х, 0]2—^-}4-22[400—Я(х, 0]а
Результаты приведены в табл. 7.11.
Таблица 7.1 Т
t, ГОДЫ Щх, t) oz[x, На-Н(х, П]. МПа S(x. t), см
Х=0 х=//2 х=1 х=0 х=//2 х=1 х^О x=f/2 х=/
0 0,00 0,00 0,00 0,0306 0,0306 0,0306 0,00 0,00 0,00
10 201,36 142,38 0,00 0,0550 0,0420 0,0306 2,99 2,94 0,00
20 301,36 213,09 0,00 0,0801 0,0540 0,0306 4,59 3,08 0,00
30 351,00 248,19 0,00 0,0960 0,0640 0,0306 5,5 3,61 0,00
50 387,92 274,30 0,00 0,0982 0,0750 0,0306 5,97 4,08 0,00
100 399,00 282,14 0,00 0,0999 0,0752 0,0306 6,08 4,22 0,00
150 399,60 282,70 0,00 1,000 0,0755 0,0306 6,15 4,29 0,00-
Для получения конечной, стабилизированной просадки в последней форму-
ле следует принять Я(х,t)=H0=H0+hsi. Имеем
5К (х) = 0,014-400.cos [0,9 - 0,5 ( 0,154-0,0018-400-cos ) +
— ”10,86 лх
4- 0,5oz (х, Яа — яо) J • cos .
Согласно последнему выражению, получаем SK(x=0)=6,15 см; SK(x=//2) =
-4,29 см; Sk(x=/)=0,00.
Прогноз динамики просадки при линейном законе деформирования произво-
дим по формуле (7.100):
S(x, 0 = 0,0014-400(1 —е-0107')cos{б,9+0,5 [о,15-
-0,0018-400(l-e-0't”,)cos-^-] + 0.5Ozk. Нл-Н(х, «)]} =
= 0,64(1-е-“-07<)cos (о,9+0,5 [о,15-
-0,72(1-е-°-07‘)cos-^4+0,50,[ж, На-Н(х, 1))}.
287
Таблица 7.12
i, годы Я(х, О ог[х, На—Н(х, 01. МПа S(x, t), см
х=0 Х=Ц2 Х=1 х=0 х=1/2 х=1 х=0 x=Z/2 Х=/
0 0,0 0,0 0,00 0,0306 0,0306 0,0306 0,00 0,00 0,00'
10 201,36 142,38 0,00 0,0550 0,0420 0,0306 3,01 2,10 0,00
20 301,36 213,09 0,00 0,0801 0,0540 0,0306 4,66 3,14 0,00
30 351,00 248,19 0,00 0,0962 0,0640 0,0306 5,60 3,72 0,00
50 387,92 274,30 0,00 0,0983 0,0750 0,0306 6,07 4,23 0,00
100 399,00 282,14 0,00 0,0999 0,0752 0,0306 6,21 4,31 0,00
150 399,60 282,70 0,00 1,0000 0,0755 0,0306 6,23 4,34 0,00
Для получения стабилизированного значения просадки в последней формуле
следует принять Я(х, t)=H0+hsi=HQ. Тогда
5К (х) = 0,014Я0-cos{о,9+0,5 ( 0,15-0,0018Яо.cos -^г) +
+ 0,5о2 [х, Яа-Я (х)]} = 0,014-400-cos х
X [о,9+0,5 (о,15 - 0,0018-400-cos ) + 0,5oz] .
По этой формуле получаем SK(x=0)=6,24 см; SK(x=Z/2)=4,34 см; SK(x=Z) =
=0,00. Результаты вычисления приведены в табл. 7.12. Согласно полученным ре-
зультатам, нелинейный закон деформирования грунта, по сравнению с линей-
ным, в рассматриваемом случае снижает конечную просадку всего лишь
на 1,4%.
На рис. 7.19 построена динамика просадки дневной поверхности при линей-
ном и нелинейном законах деформирования грунта.
'5, см
Рис. 7.19. Динамика просадки основания по второй
фазе при линейном и нелинейном законах деформиро-
вания грунта для неравномерного подъема уровня под-
земной воды (к примеру 7.2) (условные обозначения
ом. на рис. 7.16)
288
Глава 8
РАСЧЕТ ФУНДАМЕНТОВ НА ПРОСАДОЧНЫХ ГРУНТАХ
8.1. О модели местных упругих деформаций
грунтов основания
Для определения напряженно-деформируемого состояния осно-
ваний сооружений, как правило, используют расчетные модели,
схематически описывающие природные механические свойства грун-
товой среды. Необходимость учета свойств грунтовых оснований,
зависящих не только от условий их естественного залегания, но и
от напряженного состояния, привела исследователей к созданию
большого количества различных моделей грунтового основания.
Наиболее простым и широко распространенным методом, опре-
деляющим взаимодействие конструкции с грунтом, является метод
местных упругих деформаций. Этот метод базируется на гипотезе
Фусса — Винклера, согласно которой осадка грунтового основания
происходит только в точке приложения силы и величина этой осад-
ки у(х) прямо «пропорциональна интенсивности нагрузки в этой
точке, т. е.
Р (х) =Ькау (х), (8.1)
где b — ширина соприкасающейся с грунтом конструкции; ks —
коэффициент пропорциональности, называемым коэффициентом
постели.
Зависимости (8.1) отвечает модель основания, образованного
вертикальными, не связанными между собой упругими пружина-
ми, осадка которых строго пропорциональна приходящемуся на них
давлению.
Модель Фусса — Винклера долгое время подвергалась жесткой
критике, которая, однако, не сопровождалась соответствующими
экспериментальными подтверждениями. Основным недостатком
указанной модели считалось отсутствие в ней распределительной
способности, а также переменность значения коэффициента посте-
ли для каждого вида грунтового основания и его загружения. Для
устранения присущих модели Фусса — Винклера недостатков
в дальнейшем взамен ее была предложена модель однородного
упругого полупространства, механические свойства которого опи-
сываются модулем деформации и коэффициентом Пуассона.
Были предложены и другие модели: модель с ядрами Б. Г. Ко-
ренева, модель И. И. Черкасова, модель грунта с возрастающим по
глубине модулем деформации Г. К. Клейна, раздельно учитываю-
щая упругие и остаточные деформации грунта «мембранная» мо-
дель М. М. Филоненко-Бородича, модель сжимаемого слоя конеч-
ной толщины В. 3. Власова, модель с двумя коэффициентами по-
стели П. Л. Пастернака и др.
289
Каждая механическая модель грунта имеет определенную об-
ласть применения. Так, для несвязных песчаных грунтов, обладаю-
щих малой распределительной способностью, наиболее приемлемой
моделью является винклеровское основание, т. е. гипотеза коэффи-
циента постели. При правильном выборе численного значения ко-
эффициента постели грунта и учете в необходимых случаях его
переменности результаты расчета конструкций с использованием
этой модели соответствуют опытным данным. Такой вывод можно
сделать, анализируя результаты экспериментальных исследований,
проведенных у нас в Советском Союзе и за рубежом. Это в первую
очередь многочисленные опыты Л. И. Манвелова, Э. С. Бартоше-
вича, исследования И. И. Черкасова, опыты Ф. С. Кадыш,
Е. К- Массальского и др.
Л. И. Манвеловым, Э. С. Бартошевичем проведены обширные
экспериментальные исследования, результаты которых позволяют
с достаточной надежностью принять в качестве расчетной модели
винклеровское основание. Указанные эксперименты показали, что
деформация поверхности грунта за пределами загруженной части
быстро затухает, следовательно, грунты обладают весьма малой
распределительной способностью. Модель упругого полупростран-
ства не подтверждалась результатами указанных экспериментов,
так как сильно преувеличивала распределительную способность
грунта. Результаты обработки материалов полевых и лаборатор-
ных исследований грунтов, как правило, также приводили к необ-
ходимости использования именно винклеровской модели, и лишь
в случаях скального основания оправдывалось применение модели
однородного упругого полупространства.
Исследования действительной работы балок, лежащих на на-
сыпном песке, уплотненном илистом грунте и на других различных
грунтовых основаниях, также подтвердили правильность вывода
о приемлемости модели Винклера для практических расчетов.
Таким образом, применение модели Фусса — Винклера тем бо-
лее оправдано, чем меньше связность грунта, размеры и заглубле-
ние сооружения, а также чем больше средняя интенсивность на-
грузки, передаваемой от сооружения на его основание. Установле-
но, что эта модель лучше отражает реальную картину в случае
илистых, торфяных, мелкозернистых водонасыщенных песков. Для
других песчаных оснований эта модель в случае малых опорных
площадей и значительных нагрузок приводит к результатам, су-
щественно отличающимся от теории упругости.
Наиболее достоверные результаты по сравнению с другими эта
модель дает при расчете конструкций на просадочных грунтах.
Многочисленные опыты и натурные наблюдения показывают, что
в случае увлажнения лессовых грунтов в основаниях зданий и соо-
ружений просадка происходит в основном в несущем столбе
грунта и за пределами фундамента величина деформации грунта,
как правило, незначительна. Поэтому распределительная способ-
290
ность увлажняемых лессовых оснований еще ниже, чем у естест-
венных оснований. Однако в модели Фусса — Винклера, оставляя
общую форму зависимости между реактивным давлением грунта
и осадкой в виде выражения (8.1), следует принимать коэффици-
ент постели переменным.
Зависимость (8.1) при этом следует рассматривать как услов-
ную расчетную формулу, дающую значение поверхностного напря-
жения по основанию через осадку. По существу, коэффициент по-
стели должен характеризовать упругое сжатие всего слоя грунта,
являющегося основанием для сооружения. Введение переменного
коэффициента постели устраняет недостатки модели Фусса — Вин-
клера; экспериментальные значения перемещений балки и изги-
бающих моментов при надлежащем выборе коэффициента посте-
ли и его изменчивости по длине балки совпадают с теоретиче-
скими.
В дальнейшем мы будем исходить из модели Фусса — Винкле-
ра, но с переменными коэффициентами жесткости основания, опре-
деляемыми по формуле
k(x) = P(x)/S(x), (8.2)
где Р(х)—удельное давление на подошве фундамента от веса
сооружения; S(x)—возможная осадка поверхности грунта в пре-
делах плана здания от действия удельного давления.
По мнению С. Н. Клепикова, для достижения лучшего при-
ближения к действительности коэффициент жесткости оснований
модели (8.1) должен определяться как отношение среднего расчет-
ного давления Pt в точке i фундамента к осадке основания St
в этой точке. Тогда для конкретного грунтового условия коэффи-
циент жесткости получается характеристикой не только физиче-
ских свойств грунта, но и переменной, отражающей деформатив-
ность основания (постели) только под конкретным фундаментом.
Представляет определенный интерес также модель С. А. Рив-
кина, являющаяся некоторым обобщением модели Фусса — Вин-
клера
Р (х) = к(х) у (х).
В этой модели переменный коэффициент постели определяется
выражением
к(х) = &{14-Рехр[—а(1— | х/l |)]}, (8.3)
где k — расчетный параметр, измеряемый так же, как и коэффици-
ент постели, характеризующий сопротивление грунта осадке без
учета краевого эффекта; р и а — безразмерные параметры, харак-
теризующие влияние краевого эффекта на величину и распределе-
ние реактивных давлений по подошве балки.
Рассматриваемая модель позволяет, варьируя значения пара-
метров р и а, получить в частных случаях существующие модели
291
грунтовых оснований. Так, при 0 = 0 модель (8.3) переходит в мо-
дель Фусса — Винклера с постоянным коэффициентом постели; при
0 = 5,5 и а =10 она переходит в модель упругого полупространства
и, наконец, при 0 = 5,5 и а>10 получается модель упругого слоя
конечной толщины.
Как показывают соответствующие расчеты' (А. А. Мустафаев,
М. А. Абдуллаев, 1974), представляет определенное удобство ап-
проксимирование функции (8.3) квадратичным полиномом вида
Л(г) = Л(1 + Р)-(1-е-а)х + -^-(1-е-“)г2. (8.4)
Перспектива применения метода местных упругих деформаций
в теориях расчета конструкций на упругом основании расширяется
еще в связи с одним обстоятельством. Современная теория расчета
инженерных конструкций на упругом основании в условиях пло-
ской задачи основывается на фундаментальном решении Фламана
для действия равномерно распределенной полосовой нагрузки на
поверхности упругого полупространства. Между тем, как стало из-
вестно (М. И. Горбунов-Посадов, 1972), формула Фламана обла-
дает парадоксальной особенностью: при значительном отходе от
нагрузки граница полуплоскости не только оседает, а, наоборот,
деформируется вверх, причем эти деформации возрастают до бес-
конечности при бесконечном отходе от нагрузки. Таким образом,
решение Фламана полностью противоречит поведению грунта в на-
туре, где его осадка быстро затухает даже вблизи от конструкций.
Кроме того, для удовлетворения граничных условий контактных
задач перемещения границы полуплоскости, согласно этому реше-
нию, должны быть затухающими на бесконечности. Несмотря на
эти серьезные недостатки, решение Фламана долгое время широко
использовалось при разработке теории расчета конструкций на
упругом основании.
8.2. Закономерности изменения хлесткости
увлажняемых просадочных грунтов
в основаниях зданий и сооружений
Замачивание просадочных грунтов в основании промышленных
и гражданских зданий является случайным фактором. Расположе-
ние источников замачивания и глубина промачивания грунта при
этом могут быть самыми различными, поэтому определение фак-
тической схемы деформации основания для каждого частного слу-
чая затруднительно. В связи с этим целесообразно иметь расчет-
ные схемы деформации просадочных грунтов для общих случаев,
которые соответствовали бы характеру деформации лессовых грун-
тов при просадке и самым неблагоприятным условиям замачива-
ния. Так как в настоящее время практически невозможно учесть
все факторы, влияющие на эти показатели, на основе эксперимен-
292
тальных данных исследователями созданы различные расчетные
схемы для описания закономерностей изменения жесткости про-
садочных грунтов в .основаниях зданий и сооружений. В этих схе-
мах эпюры и соответствующие формулы изменения жесткости
просадочных грунтов предлагаются в зависимости от характера
увлажнения оснований. Так, для случая, когда увлажнение проис-
ходит с торца здания, элюры коэффициента жесткости основания
могут быть совершенно различными. Однако во всех случаях в со-
ответствии с характером увлажнения значения коэффициента жест-
кости основания с приближением от середины к торцу здания по-
степенно уменьшаются.
Указания по проектированию (СН 321—65) рекомендуют вести
расчет конструкций крупнопанельных жилых зданий, возводимых
на просадочных грунтах, так же,
как и для обычных сжимаемых по-
сле предварительного устранения
просадочности этих грунтов раз-
личными приемами. Однако пол-
ностью устранить просадочность
лессовых грунтов не всегда воз-
можно, и в этих случаях рекомен-
дуется принимать условную расчет-
ную схему влияния просадок лес-
О
кМ
совых грунтов в виде снижения же- р.ис. 8.1. Изменение жесткости ос-
сткостных характеристик основа- кования по СН 339—65
ния на участке длины здания pZ
согласно рис. 8.1. Величина pZ зависит от полной ожидаемой про-
садки лессовых грунтов, а также от наличия или отсутствия уп-
лотненной грунтовой подушки под фундаментами и при наличии
последней рекомендуется в размере pZ = 8,59. В случае же отсут-
ствия грунтовой подушки Ю. М. Абелев (СН 339—65) предлага-
ет принять pZ= 12,5 5.
Формула изменения коэффициента жесткости основания име-
ет вид
при O^x^pZ k(x) =A»ox/(pZ);
(8.5)
при pZ^x^Z k(x)=k^
тдё k0 — средняя жесткостная характеристика основания, опреде-
ляемая по рекомендации Б. А. Косицына выражением
*о=р=(2-Л)/(2
где Р — приведенная нагрузка на основание на 1 м длины; А* —
площадь фундамента i-й стены; 5» — осадка f-го фундамента от
приходящейся на него нагрузки.
Как видно, формула (8.5) дает линейный закон изменения ко-
эффициента жесткости увлажняемого основания, что значительно
упрощает математические выкладки при решении задачи. Однако
293
нелинейный закон для &(х) более реально характеризует совмест-
ную работу увлажняемого просадочного основания со зданием.
И. А. Розенфельд, Д. Л. Рохлин, А. Б. Зуб для рассматривае-
мого случая рекомендуют принимать изменение k(x) на участке
увлажнения по длине контакта по закону кубической параболы,
а в пределах неувлажненного участка — в виде квадратичной пара-
болы (рис. 8.2), т. е.
при O^x^pZ
г./гч О,66Ло[1+4(Р-О,5)«] .
' j “ (РО3
при pZ^x^Z
к (х) = O,66fco (14- 4/Z2 (х — Z/2)2],
(8-6)
где ko — жесткостная характеристика грунта основания для лен-
точных фундаментов
Л0=(Е0 /А)/[(1- v30)MJ,
где Ео— модуль деформации грунта; А — площадь фундаментов от-
сека здания; к0— коэффициент формы подошвы.
Рис. 8.2. Изменение жесткости ос-
нования по И. А. Розенфельду,
Д. Л. Рохлину, А. Б. Зуб
Характеристику р, учитываю-
щую длину участка возможного ув-
лажнения, авторы рекомендуют
определять по формулам: при от-
сутствии под фундаментами уплот-
ненной грунтовой подушки р =
= 12,5 S/1, при наличии грунтовой
подушки р=8,8 S/1.
Формулы (8.6) отличаются сло-
жностью и поэтому вызывают бо-
льшое неудобство при интегрирова-
нии дифференциального уравнения
задачи.
Д. Н. Соболев предлагает при-
нять изменение коэффициента жесткости основания по кососим-
метричному относительно середины здания закону (рис. 8.3),
т. е.
fc (п) = -~2+а) + - V1* (П3-3>|), (8.7)
где k0 — расчетный коэффициент пропорциональности, определяе-
мый выражением &о=^16фпр (ki — коэффициент пропорционально-
сти, 6фп₽ — приведенная ширина фундамента); а — коэффициент,
характеризующий неоднородность основания по длине здания, оп-
ределяемый по результатам статистической обработки данных на-
турных замеров изменчивости модулей деформаций грунта и наб-
людений за осадками построенных зданий; r] = x/Z.
294
Формула (8.7) по структуре близка к формуле }(8.6), но более
удобна для использования при интегрировании дифференциального
уравнения задачи. Кроме того, коэффициент а, входящий в эту
формулу, может принимать любые положительные значения, и, та-
ким образом, с помощью принятого закона (8.7) могут быть обсле-
дованы все возможные случаи кососимметричного изменения жест-
кости основания.
. Для просадочных грунтов I типа для случая увлажнения осно-
вания с торца здания изменение коэффициента жесткости основа-
Рис. 8.4. Изменение жесткости осно-
вания для грунтов I типа по
В. И. Крутову
Рис. 8.3. Изменение жесткости ос-
нования по Д. Н. Соболеву
ния по длине здания В. И. Крутовым задается в следующем виде
(рис. 8.4):
при
к(х) = кй [1 — (1— a)cos;
при
М*) = *о, (8.8)
где k0 — коэффициент средней жесткости основания: к^—тсР1^9
здесь Р— средняя равномерно распределенная нагрузка на осно-
вание от здания; £ — средняя осадка здания; тс — коэффициент
для просадочных грунтов I типа
шс=(Ц-а1)/2а1,
где си — степень изменчивости сжимаемости основания
ai = (5+S?t)/S,
где S — средняя осадка здания на просадочном грунте естественной
влажности; S*s/ — возможная просадка грунта в пределах дефор-
мируемой зоны от наиболее нагруженного фундамента.
295
В случае просадочных грунтов II типа коэффициент основания
определяют по формулам:
при rp^l тс=1/ац; ,я
при rp<l mc= 1—(rp/ai) (l—Z/ап), ' ’ '
где ап — коэффициент изменчивости сжимаемости просадочных
грунтов II типа:
ац= 1 4-епр/еос,
£пр — средняя относительная деформация грунта при просадке
от собственного веса; еос— средняя относительная деформация
грунта при уплотнении его в пределах деформируемой зоны; /ПР —
полудлина здания; гр— расчетная длина криволинейного участка
Рис. 8.6. Изменение жесткости осно-
вания 'по С. А. Ханалиеву
Рис. 8.5. Изменение жесткости осно-
вания для грунтов II типа по
В. И. Крутову
просадки от собственного веса; 0— коэффициент, характеризующий
степень изменчивости сжимаемости основания,
₽=(а1-1)/(а1+1),
1\ — полудлина участка локального ослабления жесткости осно-
вания
Z, = 2 УЁПк.
Для просадочных грунтов II типа изменение коэффициента
жесткости основания по длине здания от собственного веса в «Ре-
комендациях по унификации проектирования жилых зданий в осо-
бых грунтовых условиях» (Киев, НИИСК Госстроя УССР, 1972)
предлагается рассматривать в виде (рис. 8.5)
т. _ 9,8 Ее , . _ 0,8EB zq jqk
/C1“blg4a'’ "2“Hg4<x'’
где Ее и Ев — модули деформации лессового грунта соответственно
в естественном и увлажненном состояниях; b — ширина подошвы
рассчитываемого фундамента, см; а' — отношение длины подошвы
ленточного фундамента к его ширине (а'^5).
296
Формулы (8.8) и (8.10) построены по результатам эксперимен-
тальных исследований и поэтому могут считаться более обоснован-
ными. Однако применение их при расчете стен крупнопанельных
жилых зданий связано с определенными затруднениями, так как
рассматриваемая задача должна решаться дважды с использова-
нием выражения k(x) по формулам (8.8) и (8.10), что приводит
к лишним вычислительным работам.
На основе экспериментальных данных можно рекомендовать бо-
лее обобщенную формулу вида (С. А. Ханалиев, 1973) (рис. 8.6)
к(Х) = аик0 + М!=.“п) х2 (8.11)
Последняя формула, как видно, учитывает нелинейный закон
изменения k(x), более реально описывающий действительную ра-
боту увлажняемого основания. Кроме того, как будет показано
ниже, она более удобна для интегрирования уравнения изгиба стен
и 'позволяет одновременно учитывать деформации увлажняемого
лессового основания как от внешней нагрузки, так и от собствен-
ного веса грунта.
Анализируя изложенное, можно прийти к заключению, что в том
случае, когда увлажнение происходит с торца здания, наиболее
приемлемыми для изменения коэффициента жесткости увлажняе-
мых лессовых оснований являются формулы (8.5), (8.7) и (8.11).
Рассмотрим теперь предложенные различными авторами фор-
мулы коэффициента жесткости увлажняемых лессовых оснований,
когда .случайное увлажнение основания может происходить в сере-
дине здания.
П. П. Шагин предлагает определять коэффициент жесткости ос-
нования в рассматриваемом случае относительно общей ширины
подошв фундаментов в поперечном сечении здания и коэффициента
упругого сжатия грунта Сг, т. е.
fc(x) = A: = Sb4,Cz, (8.12)
причем k уменьшается от концов системы к ее середине в а раз
(рис. 8.7).
На основе построенных эпюр при а=6, а=3 и а=2 автор при-
ходит к мнению, что распределение k отвечает последовательному
переходу от слабых грунтов к малосжимаемым, причем при срав-
нительно небольших значениях показателя порядка 7... 8 изги-
бающие моменты и поперечные силы приближаются к пределам,
которые принимаются за максимально возможные усилия в сов-
местной работе основания и всего здания на слабых грунтах. Одна-
ко значения показателя изменчивости коэффициента жесткости а
автором принимаются произвольно, что не может обеспечить
требуемую точность вычислений.
На рис. 8.8 показана эпюра k(x), предложенная Б. А. Косицы-
ным. Как и в случае увлажнения основания с торца здания, пред-
297
лагается определить k(x) по формуле (8.5). Характерная особен-
ность увлажнения основания по середине здания заключается
в том, что эпюра k(x) при этом принимается симметричной относи-
тельно центра здания, причем значение k(x) в центре увлажнения
равно нулю, а далее в пределах длины pZ изменяется по линейному
ШШПЛ
Ди
и__L
Рис. 8.7. Изменение жесткости осно-
вания по П. П. Шагину
кШ /
Рис. 8.8. Изменение жесткости осно-
вания по Б. А. Касицыну
закону. За пределами увлажненных участков значение k(x) оста-
ется постоянным и равным k0=const.
И. А. Розенфельд, Д. Л. Рохлин и А. Б. Зуб для рассматривае-
мого случая увлажнения оснований предлагают в центре увлажне-
ния принять */(х)=0, на участке увлажнения по длине здания —
изменяющимся по закону кубической параболы, а в пределах не-
Рис. 8.10. Изменение жесткости ос-
нования по В. И. Лишаку, А. В. Врон-
скому
Рис. 8.9. Изменение жесткости ос-
нования по И. А. Розенфельду,
Д. Л. Рохлину, А. Б. Зуб
увлажненного участка — в виде квадратичной параболы (рис. 8.9),
т. е.
при О^х^р/
к (х) == 0,66*О (1 + 4р2) x3/(PZ)3;
при р/^х^ (//2—р/)
*(x) = O,66*o(l + 4x2/Z2).
(8.13)
298
В. И. Лишак, А. В. Вронский рекомендуют принимать k(x)
в зоне увлажнения по закону косинусоиды, а в неувлажненном
участке здания — постоянным (рис. 8.10), т. е.
при (а—0^хг^(а + 0
при х^ (а—I), х^ (а+1)
к(х0) = к0. (8.14)
В. И. Крутов, как и в первом случае увлажнения основания
с торца здания, предлагает k(x) определять, исходя из принципа
Рис. 8.12. Изменение жесткости
основания от собственного веса
грунта по В. И. Крутову
Рис. 8.11. Изменение жесткости
основания от внешней нагруз-
ки по В. И. Крутову
независимости действия сил от внешней нагрузки и от собственно-
го веса, соответственно по формулам (рис. 8.11 и 8.12):
при О^.х^.1'
fc(x) = fc0[l-(l-a)cos^.];
при (l—l') k(x) =k0
Как видно из рис. 8.11, при действии внешней нагрузки эпюра
к(х) симметрична относительно середины здания, причем в зоне
увлажнения k(x) принят изменяющимся по косинусоиде, а на не-
увлажненном участке — постоянным, равным ko. В случае, когда
просадка основания происходит только от собственного веса грун-
та, эпюра k(x) прямолинейна (рис. 8.12), т. е. в зоне увлажнения
постоянна и равна k2. Более обобщенная формула для определения
коэффициента жесткости увлажняемого лессового основания может
быть представлена в виде (рис. 8.13)
к (х) = а0 + atx + а2х2, (8.16)
где aQ=k0; ai = 2^0(ct—1)//; a2=Jz0(}—a)/l2.
299
Легко можно заметить, что формула '(8.16) полностью совпада-
ет с видоизмененной нами моделью С. А. Ривкина, формула (8.4),
если принять:
а0=М1+₽);
«2
Таким образом, формула (8.16) пригодна не только для увлаж-
няемых просадочных, но и для обычных связных грунтов, и поэто-
му она может быть использована в расчетах конструкций на
сплошном упругом основании.
Рис. 8.14. Изменение жесткости ос-
нования по Б. А. Косицыну
Рис. 8.13. Изменение жесткости
основания по С. А. Ханалиеву
В заключение рассмотрим различные формулы коэффициента
жесткости увлажняемых просадочных грунтов, когда случайное
увлажнение основания происходит с обоих торцов здания.
Более удобную формулу для расчета стен крупнопанельных
жилых зданий для этого случая предлагает Б. А. Косицын
(рис. 8.14):
при —(/—₽/) (/—₽/)
к (х) = к0 = const;
при —(I—pZ)^x^Z
к(х) = к0 — кох/1. (8.17)
Формула Б. А. Косицына, Д. Н. Соболева для рассматриваемо-
го случая увлажнения основания имеет вид (рис. 8.15):
к(х) = к[ - (1 — а) (х/1)2 +11, (8.18)
где а — коэффициент изменчивости сжимаемости основания, при-
нимаемый для случая прогиба здания a=Emin/Emax', для случая
выгиба здания а = Етах/Етщ\ k — жесткостная характеристика ос-
нования в сечениях x=±Z;
к = 3/с0/(1 + 2а);
300
Етах И fmin — ЗНЭЧеНИЯ МОДуЛЯ
деформации, основания в преде-
лах контура здания; k0 — сред-
няя жесткостная характеристи-
ка, определяемая по формуле
(8.17).
Как видно из приведенного
обзора, жесткость просадочных
грунтов в основаниях зданий и У4
сооружений в зависимости от
расположения источника увлаж- Рис. 8.15. Изменение жесткости ос-
нения может изменяться как по нования по Б. А. Косицыну и
характеру, так и по величине н- СоболевУ
в широких пределах. Общая
формула, характеризующая изменение жесткости просадочных
грунтов с учетом их типа, особенности увлажнения и загружения
оснований, отсутствует и, пожалуй, не может существовать. По-
этому задача расчета здания сводится к обоснованному выбору
наиболее вероятной картины изменения жесткости основания при
их случайном увлажнении и определении на ее основе напряжен-
но-деформированного состояния несущих конструкций.
8.3. Дифференциальное уравнение
поперечного изгиба ленточных фундаментов
на просадочных грунтах первого типа
Пусть ленточный фундамент переменного по длине поперечного
сечения несет поперечную нагрузку интенсивностью q (х), сосредо-
точенные силы М, а также пары сил с моментами действующие
в вертикальной плоскости симметрии конструкции (рис. 8.16). Из-
гибная жесткость фундамента характеризуется функцией Е1(х),
х
Рис. 8.16. Расчетная схема по методу упругих дефор-
маций
301
которая может быть как непрерывной по всей длине фундамента,
так и кусочно-непрерывной, сохраняющей постоянное значение
в пределах определенных участков конструкции.
Рассматриваемый фундамент может быть и полосой, выделен-
ной из балочной плиты, работающей в условиях плоской деформа-
ции. В этом случае изгибная жесткость конструкции будет харак-
теризоваться цилиндрической ее жесткостью
D(x) = EI„(x)!(l
где /п(х)—переменный момент инерции поперечного сечения по-
лосы; go — пуассоново отношение материала полосы.
Основание рассматриваемого фундамента сложено однородным
лессовым грунтом первого типа по просадочности.
Взаимодействие фундамента с грунтом основания будем опре-
делять согласно методу местных упругих деформаций. Коэффици-
ент жесткости грунтового основания примем также переменным,
любым образом изменяющимся по длине фундамента. Будем счи-
тать, что высота сечения фундамента достаточно мала по сравне-
нию с ее длиной, чем создаются условия для применения гипотезы
плоских сечений. Обозначая через М изгибающий момент от внеш-
них поперечных нагрузок, согласно принятым на рис. 8.16 осям
координат, изгибающий момент в любом сечении фундамента на
расстоянии х от ее левого конца будет равен
Л/(Х)=М+ J
о
Перерезывающая сила и интенсивность нагрузки соответствен-
но определяется выражениями
<?(х)=
О
dW (х) dQ (х) . . , , . .
где Q — перерезывающая сила от внешней поперечной нагруз-
ки q(x).
Уравнение изогнутой оси фундамента представится в виде
откуда
^[EI(x)^] + k(x)y = q(x). (8.19)
Интегрирование уравнения (8.19) в квадратурах невозможно,
так как его общее решение не получается выражен'ным через
302
элементарные функции, поэтому для решения этого уравнения
можно применить только приближенные методы.
Одним из наиболее часто применяемых методов интегрирования
дифференциальных уравнений подобного типа является метод раз-
ложения искомого решения в бесконечные степенные ряды (ряд
Тейлора).
Для интегрирования уравнения ' (8.19) могут быть успешно ис-
пользованы вариационные методы Лагранжа — Ритца и Бубнова —
Галеркина. Могут быть применены также численные методы инте-
грирования дифференциальных уравнений, средн которых следует
отметить методы Адамса, Штермера, Рунге-Кутта и др.
Ниже в отличие от вышеупомянутых методов излагается при-
ближенный метод, позволяющий построить общее решение полу-
ченного дифференциального уравнения для всевозможных случаев
изменения жесткости грунтового основания и конструкции фунда-
мента в быстросходящихся степенных рядах.
8.4. Построение общего решения задачи
Построим общее .решение уравнения (8.19) методом последова-
тельных приближений (А. А. Мустафаев, 1962).
Примем следующие краевые условия:
у(О) = у«; у' (О) = ео;
[EI (х) у" (х)]х=0 = - м„-, [EI (х) О’ (х)]^о = - <2о-
Уравнение (8.19) представим в виде
ТЕГ [ (О пе^г-] = — к (х) У СО + Ч СО-
Произведя интегрирование этого уравнения в пределах от 0 до х,
получим в общем виде выражение для перерезывающей силы:
£ [EI W да- ]=-?(*)=$ ч.м -
о
х
— J k(x,)y(xt)dxl — Qo.
О
Для определения изгибающего момента последнее уравнение
еще раз интегрируем в тех же пределах:
d2y(x) _ М(х)_______'_lo(x}dx -
ЕЦх)~ Е/(х) J
о
X Xt X Xi
“ EI(x) J J (^2) EI (?) J J (Хг) У (Хъ) &х2
0 0. оо
__Q *'_______АГ»
Vo EI (x) ЕЦх) *
303
Интегрируя последнее уравнение в пределах от 0 до х, получим
выражение для угла поворота сечения фундамента
О 0 0
= S El S J £/ («х) j S k(X3)y(X3)dx3dx2 —
О 0 0 0 0 0
-М-^-М:£к+е°-
о о
Упругая линия фундамента определится выражением
</(x)-!/o+©oX-Mo J J
0 0 2
Г Г х2 dx2 dxj
J J El (x2)
0 0
Г C ^X2 dxl Г f
J J El (x2) J J
0 0 0 0
X dx, dx3- J ( J J к (x4) у (x4) X
0 0 0 0
X dx^ dx3.
Введя обозначение
УоЮ-Уо+еИ-мв $ $ ^--Co $ ? ^>4
0 0 0 0
x xt x, x3
+ 55 ’EI^x1} S S (xi)dxi dx3t
J J (a:2) j j
0 0 0 0
уравнение деформированной оси фундамента представим в виде
X xt xt х,
У (*) = Уо (х) — j £ j 5 к У dx^ dx*- <8-201
0 0 2 о о
Функцию уо(х) в дальнейшем будем называть краевой, так как
она содержит в себе четыре начальных параметра у0, 0О> Мо и Qo>
характеризующих краевые условия рассматриваемых задач. Два
из этих четырех параметров всегда равны нулю. Так, для фунда-
мента со свободным левым концом имеем jMo = Qo = O, для закреп-
304
ленных i/o = 6o=0 и для опертых уо=Мо=О. Оставшиеся два пара-
метра определяются из условия на правом конечном сечении фун-
дамента.
Решение полученного интегрального уравнения (8.20) строим
методом последовательного приближения. В качестве нулевого при-
ближения примем краевую функцию уо(х). Подставляя в правой
части уравнения *(8.20) .вместо t/(x2) У(х4) функцию ya(x4)t полу-
чим первое приближение в виде
X X, X, х,
!/i (*) = Уо (х) — $ J $ $ к (х4) у„ (х4) dXi dx3.
0 0 0 0
Заменяя уъ(х4) на у\(х4) и поступая так дальше, получим пос-
ледовательность функций у\(х), уг(х)г ..., yi(x), ..., таких, что
X X, X, X,
У1<.х) = уа(х)— $ j д**^1 S J k(xl)yt_l(xi)dxldx3.
0 0 0 0
Быстрота сходимости построенного решения в каждом конкрет-
ном случае, очевидно, будет зависеть от вида краевой функции
уо(х) и может быть оценена в зависимости от характера функций
Е1(х) и k(x) известными способами.
Вынося в i-м приближении параметры t/0, ©о, Mo, Qo за скобки,,
решение рассматриваемой краевой задачи можно представить
в виде
Vi (*) = УоЛ (х) 4- в0В (х) - М0С (х) - Q0D (х) + Ф (х). (8.21)
Здесь функции А(х), В(х), D(x), Ф(х) определяются выраже-
ниями:
Л,(х) = 1 + S (“ 1)"П"ф(х)к(х);
П=1
(х) = х == 2 (~ 1)пПп-1(р (х) к (х) П0<р (х) хк (х);
71=1
С, (х) = П0<р (х) + 2 (—1)" П”ф (х) к (х) Поф(х);
П=1
Р1(х)=Похф(х)+ S (-1)пПпф(х)Л(х)Похф(х);
п—1
Ф, (х) - S (- 1)п ПП+,Ф (х) к (х) Пф (х) q (х), (8.22)
п=-1
305
где По, П — линейные интегральные операторы над функциями
чЮк№=-ЁГё)к{х'>'’
П0Ч> (х) = J J ф (х2) dx2 dx,;
О о
nofc(x)=J J к(х2)<1х2<1х1;
П<р (х) к (х) = Поф (х) По& (х) =
X X, X, X,
= J J <Р (Хг) ^2 dxi J J к (**) ^4 dx3’
0 0 0 0
П”ф (х) к (х) = Поф (х) По£ (х) ... Поф (х) П0Лг (х) =
= Пф (х) ... Пф (х) к (х).
Построенное решение (8.21) в каждом конкретном случае расче-
та получается в виде быстро сходящихся степенных рядов, огра-
ничение двумя или, максимум, тремя членами которых, как пра-
вило, приводит к удовлетворительным результатам. Следует отме-
тить, что полученные решения могут называться приближенными
лишь условно, так как с их помощью можно достигнуть любой
точности расчета. Однако при увеличении длины интервала изме-
нения х, на протяжении которого разыскивается решение, может
ухудшаться сходимость приближений для больших значений х.
В этих случаях эффективность изложенного метода расчета
может быть обеспечена применением метода подвижного начала.
Из построенного общего решения (8.21) как частные случаи мож-
но получить решение следующих задач.
Жесткость фундаментной балки и грунтод ее основания, а так-
же интенсивность внешней нагрузки всюду постоянные, т. е. ф(х) =
= 1/£/(*) = 1/Е/=const; k(x) = K(x)b(x) = kbp = k = const; q(x) =
= q0 — const.
Функции A(x), B(x), C(x), D(x) и Ф(х), входящие в решение
(8.21), в этом случае определяют по формулам:
306
cw-4+3 <-»-(4)'та
n=l
Д(®)- 6| + 2 ( !)"( El ) (4n+3)|
ФИ = 2(-1Г‘(4-Г1да- №
n=l
Жесткость фундамента постоянная, а коэффициент жесткости
грунтового основания является некоторой функцией в пределах
всей длины балки. В этом случае функции А(х), В(х), С(х), D(x)
и Ф(х), входящие в решение (8.21), определяют по формулам:
оо X X, X, X,
Д(х) = 1+2 ( — 1)”(тг)"[ J J J J A(x4)dx4dx3dz2<fct]" ;
7U31 0 0 0 0
B(x) = x-^yi (~"1)П(“^г)П[ J J J J k(xJ dx^dx3dx2dx^ *X
nal 0000
X X, X, X,
X J J J J я4Л (z4) dxk dx3 dx2 dx^
0000
. 00 x x, x, xs
CW = 4+4-S(-1)n(4-)"[5 5 $ k(xt) dxidx3dx2dxl~^,~t X
0 0 0 0
n=i
X X, X, X,
xj J J J x\k (z4) dxkdx3dx2dx^
0000
OO X X, X, X,
£’з(®) = 4'+42 1>В(4/)В[5 J S ^k(xt)dxidx3dxzdxty~' x
n=l 0000
X X, X, X»
S S S dX,t ^Хз dX2
0000
X xt X, X,
X к (^4) dx^ dx3 dx2 dx^ J 5 ^k (^4) dx^ dx3 dx2 , (8.24)
0000
307
Решение (8.21) дает возможность произвести деформационный
расчет фундаментной балки постоянной жесткости как при непре-
рывных, так и при ступенчато-прерывных законах изменения коэф-
фициента жесткости грунтового основания. Задача при этом
сводится или к обычному многократному интегрированию непре-
рывных, или же многократному интегрированию ступенчато-пре-
рывной функции k(x). Многократное интегрирование непрерывной
функции k(x) при любых
Л0ж15кн/м ее явных формах изменения
яиинниинйг
Рис. 8.17. К примеру расчета 8.1
(линейных или же нели-
нейных) не будет представ-
лять математической труд-
ности, поскольку при этом
окончательные выражения
функций Аз(х), Вз(х),
С3(х), D3(x) и Ф3(х) полу-
чаются из выражения
(8.22) путем вычисления
обычных многократных ин-
тегралов. В случае же сту-
пенчато-прерывного закона
изменения коэффициента
жесткости грунтового осно-
вания удобнее всего ис-
пользовать математический
аппарат теории функцио-
нальных прерывателей Н.
М. Герсеванова.
Решение рассматривае-
мой задачи для различных
видов функции k(x) приводится в книге автора А. А. Мустафае-
ва («Расчет оснований и фундаментов на просадочных грунтах».
М., Высшая школа, 1979).
| Пример 8.1. Пусть требуется построить эпюры реактивного давления, изги-
бающих моментов и перерезывающих сил для железобетонного ленточного фун-
дамента (рис. 8.17), подверженного по всему пролету равномерно распределен-
ной нагрузке <7о=О,О15 МПа. Основание фундамента сложено из однородной
толщи лессового грунта первого типа по просадочности. Размеры фундамента
имеют толщину Л=0,20 м, 6 = 1 ми /=6 м. Коэффициент жесткости грунтов ос-
нования в естественном состоянии имеет значение /?о=10 МПа/м. Тогда
?о=О,015-1 МПам=15 кН м; k=\-100=10 МПа;
£=14-103МПа; /= 1-0,203/12 = 66-10-5 м4;
Е7=14Ю3-6610~5=9,24 МПа м4;
а=^к/(1Е1)= /10/(9,24-6) = 0,71 м~>.
В качестве расчетной схемы, эквивалентной воздействию просадок, примем
изменение жесткости основания от нуля в начальном левом сечении фундамента
(вблизи очага увлажнения) и далее по линейному закону до естественного
308
значения на правом конечном его сечении, т. е.
... к0Ь к
k^=slXe=T х‘
Из условия задачи имеем Afo=Qo=O; оставшиеся два начальных параметра
Уо и Qo определяем из условия Ely"(h=EIu"^(l)=Q.
Согласно (8.21) и (8.24), имеем: Е/у"(0 =0,827985 £о—7,716 0о—0,04045=0;
Е//" (/)=5,83915 уо+3,8026 60—0,062112=0.
Решая совместно последнюю систему, получим: уо= 1318-10~8 м; 0о=
=—0,3828-10-2.
Формулы реактивного давления, изгибающих моментов и перерезывающих
сил имеют вид:
п/ . . / чГ / 1-®? . 1-6*1° 6.Ц.«5» . \ ,
Р(х) = Л(х)|_Уо( —+—-----------—
, во / Х1 2х° , 2-7xJ* 2-7-12x1® , \ ,
+ a t II 61 + 11! 16! ± • J-h
, g0 /4 5х® j 5-10x1* 5-10-15x1® , .
' а*Еу hl 9! + 14! 19! * • *
\ VI Г »/ I 1*6х| б-llxj3 \ .
м (Х)= -EI ( —^L+—L-------------± ... ) +
, Со®* / 2х* f 2-7х® 2-7-12x1* . \ ,
а I 4! * 9Г“ 14! ± * / +
90а* / х« 5х’ , 5-10x1® 5-10-15x1’ \q .
t" а*Еу I 21 7! ‘ 12! 17! ± ” JJ ’
(?0а3 Г 2х? 2-7х« 2-7-12х}3 \
“Г а L 3! ‘ 8! 13! ±
, № ( *1 5х® , 5-10x1* 5-10-15х}в ,
+ а'Еу ( 1! 6! ' 11! 16! ±”JJ’
Вычисленные значения Р(х), М(х) и Q(x) в четырех характерных сечениях
фундамента даны в табл. 8.1.
Таблица 8.1
х, м Р(х), кН/м Л1(х), кН-м Q(x), кН
0,0 0,000 0,000 0,000
2,0 20,314 —8,987 —2,365
4,0 15,033 —5,193 4,250
6,0 1,330 0,000 0,000
На рис. 8.17, по данным табл. 8.1, построены эпюры реактивного давления,
изгибающих моментов и перерезывающих сил.
0 Пример 8.2. Произведем расчет ленточного фундамента для прерывного за-
кона изменения жесткости грунтов основания. Длина фундамента /=28,4 м.
Изгибная его жесткость Е/=3104 МН-м2 (З Ю4 МПа); нагрузка на фундамент
309
oie
нхэояхээж эинэнэиеи BaoHBaaodaj BiraiBHHdadu oJdHHOdoiooHVo оптом
-ou □ мнннвохэот кэхэвхэо aaifBtf в ‘Лномве Амонцэнии* ou иэхэинэиеи ихэвь
цоиэкнжвеаА XBiroVodu а ‘винКоис! ей ончтиа mbmi ‘винваонэо олонэвнжв1гаХ ихэ
-омхээж вхнэипиффеои эинэнэмеи gpg 3Hd вн BHaifHBxotfadu вхнэмвтгнАф вмэхэ
квнхаьэва Si‘o=d *и S3‘fr=S‘0 S‘8=/d etfJox ‘уд‘8=^ ‘8Г8 '^d онэвшоэ
4BMtfB3odu BDianiranodu wodoiox вн ‘вххэвнА bhhit^ h g*o=S BHHBd ‘эииТГохэн
ДОткиАахээтАэ ou ивнивхинэНои ‘винвеонэо BMtfBDOdu bbhitou квиэвНижо
(BLIW Ofr) jW/HW Ofr=°? иия
-ЭЖО1ГЭ олоннэехээхээ винваонэо aoinAdj ихэоххээж хнэипиффеох к/ця <з\1=Ь
g g BiahOBd AdawHdu X 8Г8 3Hd
основания можно представить в виде:
«-*.)•
Согласно свойствам одностороннего прерывателя Гр/ при х<$1 Гр/=О; при
л>р/ Гр/=1.
Задачу решаем на основе формулы (8.21), которая в данном случае при-
нимает вид:
. У1 (х) = УоА (х) + брВ (х) 4- Ф (х).
Неизвестные начальные параметры определяем из условий
Мх (Z) = - EI [Уо4* (Z) 4- ©оВ' (0 4- Ф* (О J = 0;
Qx (Z) = -EI [(Z)4-0o^w (04-Ф" (01 = 0-
Выражения функций Л (ж), В(х), Ф(х) определяют из (8.24) путем много-
кратного интегрирования прерывной, функции «(х). Значения вторых и третьих
производных, полученных таким образом функцией А(х), В(х), Ф(х) при х=1
равны:
А" (1)=- 2,4438; A" (Z) = -1,9826;
В" (Z) = — 33,294; В* (Z) = — 40,146;
Ф* (Z) = 1290; Ф’ (Z) = 313,5.
Подставляя последние значения в приведенную выше систему уравнений
и решая ее, определяем начальные параметры уо=О,ОЗО7 м; в0=—0,00133 рад.
Формулы для определения осадки, изгибающих моментов, перерезывающих
сил и интенсивности реактивных давлений грунта принимают такой вид:
у (х) = 0,0307Л (х)—0,00133В (х) 4- 23,8 • 10-®ФДх);
М (х) = —ЗЛО7 [0,03074* (х)—0,00133В* (х) 4-23,8 • 10-®Ф* (х)[;
Q (х)= — ЗЛО7 [0,03074* (х) —0,00133В* (х)4-23,8Л0"®Ф* (х)[;
Р (х) = Л (х) [0,03074 (х) —0,00133В (х) 4-23,8 Л0“®Ф (х)].
По этим формулам на рис. 8.18 построены эпюры осадок, изгибающих мо-
ментов, перерезывающих сил и -реактивного давления грунта основания. Для
сравнения на этих же эпюрах пунктирной линией представлены результаты рас-
чета рассматриваемой задачи, полученные Б. А. Косицыным и Д. Н. Соболе-
вым вариационным методом Лагранжа — Ритца.
Как видно из эпюр рис. 8.18, предложенный метод расчета по сравнению
с вариационным методом Лагранжа дает экономичные результаты, так как рас-
четные усилия в конструкции фундамента получаются на 7... 10% меньше.
8.5. Дифференциальное уравнение
продольно-поперечного изгиба ленточных фундаментов
на просадочных грунтах второго типа
Рассмотрим гибкий ленточный фундамент с переменной по дли-
не изгибной жесткостью, лежащей на лессовом грунте второго ти-
па по просадочности, подверженный действию произвольных по-
перечных нагрузок.
Рассматриваемый фундамент может быть и полосой, выделен-
ной из балочной плиты, работающей в условиях плоской деформа-
ции.
311
Пусть в результате замачивания грунтов основания происходит
искривление данной поверхности и вследствие этого появляются
неравномерные вертикальные и горизонтальные перемещения
грунта по контактной поверхности подошвы фундамента. Как из-
вестно, взаимодействие неравномерных горизонтальных переме-
щений грунтов основания с фундаментной конструкцией повлечет
за собой возникновение в ней дополнительных горизонтальных
усилий, суммарное значение которых может быть заменено про-
дольной силой N, приложенной на концевых сечениях фундамента.
Значение этой силы определяется методами, изложенными в нор-
мативных документах, разработанными С. Н. Клепиковым,
В. Н. Крутовым и др.
Для получения уравнения изогнутой оси -фундамента исполь-
зуем известную зависимость:
Е1 (х) у" (х) = - М (х). (8.25)
Если взаимодействие фундамента с грунтом основания опреде-
ляется, исходя из модели местных упругих деформаций с перемен-
ным коэффициентом жесткости, то изгибающий момент в произ-
вольном сечении фундамента определится выражением
М (х) = М + [к © у (х —ЙЙ+ N (у-j/o),
О
где М — изгибающий момент от внешних поперечных нагрузок;
N — продольная сила, вызванная горизонтальными перемещения-
ми грунтов оснований, приложена на концевых сечениях фунда-
мента. Используя известные зависимости:
^- = Q+ $ k^ydl + N^--
О
d2M (х) _ dQ (х) _ , • d2»
dx2 “’ dx Q(X) + k(x)(y—S)+N t
уравнение (8.25) можно представить в виде
[ EI(*) -В] + N + k (х) (У-S) = q {х) (8.26)
или
+feWJ/+A’-B = 9(x), (8.27)
где
?(*) = <? (я) 4-/с (я) 5.
312
Как видно из полученного уравнения (8.27), просадка грунтов
основания по подошве фундамента, согласно принятой модели,
заменена некоторой эквивалентной внешней распределенной на-
грузкой qd(x)=k(x)S(x), направленной, так же как и действую-
щая на фундамент заданная нагрузка q(x), сверху вниз.
Характер распределения эквивалентной нагрузки q3(x) такой
же, как у просадки грунтов основания на контактной плоскости
фундамента.
Дифференциальное уравнение (8.27) написано для случая, когда
начало координатных осей фундамента, расположенного на левом
его концевом сечении, и центр источника замачивания совпадают.
Если центр источника замачивания основания расположен в про-
извольном от начала координат расстоянии, тогда уравнение зада-
чи примет вид
[ EI (х) -g-] + к (х) у+ N = q (х) 4- к (х) 5(х- р). (8.29)
Введем в расчет безразмерные коэффициенты т]=х//; с=$Ц.
В этих координатах уравнение (8.29) примет вид
[ EI(л) ^-] = ql^-PN^- + Ы'к (л) [S (Л-с) ~У (ч)1- (8.30)
Граничные условия задачи примем в виде
у (п)/ч=о = уу' (n)Ai=o = в01 = ©о'-
Е1 (Л) У\ 01) 1п=о = -[EI (л) У" (л)к=о = -Qol3 = -во. (8.31)
где у о, 0о» Мо, Qo — начальные параметры задачи, определяющие
соответственно прогиб, угол поворота, изгибающий момент и пере-
резывающую силу в начальном (ц=0) сечении фундамента.
8.6. Построение общего решения задачи
Последовательно интегрируя уравнение (8.30) в пределах от 0
до ц и выражая неизвестные произвольные постоянные через на-
чальные параметры, дифференциальное уравнение задачи сводим
к следующему интегральному уравнению
У (ч) = »о (»)) — 6/4 J J ( к у dl]i Лэ —
0 0 0 0
П Т),
-z4 JlnSWn., (8-32)
о о
313
где
_ _ ___ J| Ч i _ Ч 41
У о 01) — Уо+во1] — J j ’EZ(m) 0о ( ( "ЁЦп ) ^,kdl1i +
оо оо
4 1)1 4i п»
+ S S £/(t^) j j 0('П4)^гк^Т]з +
0 0 0 0
4 1)1 1). ih
J J Jy J J к (т]4) S с)^тк^т1з- (8.33)
oo oo
Здесь Mq=(Mq~Nya)l2.
Общее решение полученного интегрального уравнения (8.32)
строим изложенным выше методом последовательного приближе-
ния. В качестве нулевого приближения примем краевую функцию
у0(т]), определяемую выражением (8.33).
Подставляя в правую часть уравнения (8.32) вместо £/(т]2) и
//(т]4) соответственно функции y0(i]2) и уо(ти)> получим решение
задачи в первом приближении
У1W) = У о (п) — J j J J * d’13 —
oo 2 о 0
n 1)1 -
о 0
Заменяя y0(iB) и !/о(т]2) соответственно на ух (т]4) и 1/1(112) и посту-
пая так дальше, получим последовательность функций 1/1(1])»
£/2(п)> •• */п(т]) •••» таких, что
1) П1
J/n(n) = »o(n)-W‘j j 4т5г
о о
41 Т)з
о о
-ZW
Уп-1 (Лг)
EI (т]2)
di]2 dr^
Составляя в развернутом виде л-е приближение и вынося со-
держащиеся в каждом приближении начальные параметры за
скобки, общее решение рассматриваемой задачи можно предста-
вить в виде
Уп (Л) = УоУш 01)+воУ2п (П) — МоУзп (П) — воУьп 01) + Уьп (п)» (8-34)
где */1п(т])> ^2п(т])» «/зп(т])> У*» (п) — линейно независимые частные
решения дифференциального уравнения (8.30) без его правой ча-
сти £/5л(т])—частное решение неоднородного уравнения (8.30).
314
Эти решения определяются рекуррентным соотношением
Ут (л) = Ъ (л) + 3 ( -1)“ (Non +NK)a Vt (I]), (8.35)
а=1
где / — номер функции (/=1, 2, 3, 4, 5); л —число приближений.
Л Л1
7t(n) = l;F2(n) = 4;ys(n)=j
О о
Л Л1
F4(ti)=j
о о
Vs (t))=S! w И19 (т)4) 11+к (гь) blis (r> -c)1 dri3
0 0 0 0
л Л1 Л Л1 Л. Л»
N°»=l2N 5 5 те N*=5 S те J 5 *(T14)bl*d*d*-
0 0 0 0 0 0
(8.36)
Производные v-порядка функций ^п(ц) определяются рекур-
рентной формулой
Ут 01) = vi (П) + 3 (-1)“ (Non + NK)V (Non + ^к)“- *F, (I)).
а=1
Производя последовательное дифференцирование (8.34), полу-
чим расчетные формулы для определения угла поворота, изгибаю-
щего момента и перерезывающей силы в произвольном сечении
фундамента:
6 (л) = Уо/tn (л) + 6о92п (Л) — М#зп (л)—0ОЙ4П (Л) + J/'зп (л);
М (л) = — Е1 (л) In (л) + ®oi/2n (л) —~МоУзп (1)) —
—Qoy\n (г\)+у"т (л)];
<2 (л) = - EI (п) [</оУ1п (л) + ЪоУгп (л) - ^о!/зп (л) - Й»4п(л) +/"5п(л)1-
8.7. Расчет ленточных фундаментов
на просадочных грунтах второго типа
На основании полученного общего решения (8.34) произведем
расчет ленточного фундамента с постоянной по длине изгибной
жесткостью £/(ц) =EI=const, загруженной равномерно распреде-
ленной внешней нагрузкой (т]) =^о = const. Решение подобных
задач в более общей постановке выполнено Ф. X. Алекперовым
(1984). Основание фундамента сложено однородным лессовым
315
грунтом второго типа по просадочности. Коэффициент жесткости
основания принимаем постоянным /г(т]) =&=const. Источник ув-
лажнения располагаем под левым торцевым сечением фундамента.
Поэтому здесь, т. е. при х=0, имеет место максимальная просад-
ка основания. Просадку поверхности грунта определяем степенной
функцией
Sgl = т0 + И*!#2 + ^2х4’
Неизвестные параметры т0, mit т2 определяем из условия сим-
метричности и непрерывности кривой просадки дневной поверх-
ности
при х=0 Ss/(0) =SsiMt S'si(0) =0; /о 37ч
при x=±r Ssl(±r) =0. 1 }
После определения постоянных то, mt, т2 уравнение просадки
принимает вид
Ssi (x) = $Jf (1 - -1_хг+-±.хь) . (8.38)
Если источник увлажнения основания, где достигается максималь-
ная просадка поверхности грунта, расположена на произвольном
расстоянии р от начала координат, то уравнение деформирован-
ной поверхности грунта в безразмерных координатах т)=х//;
С=$Ц\ а = гЦ примет вид
S.I(n) = ^[l-^-(’l-C)2+^r (n-Q4] (8.39)
Дифференциальное уравнение рассматриваемой задачи (8.29)
в этом случае принимает вид
EIylN (х)+Ny" (х) + коу (х) — q (х), (8.40)
где
9W = fco^[l--^(x-p)2+^r(x-p)‘]+9o.
Общее решение уравнения (8.40) имеет вид
у (х) = Ai ch ах • cos 0я + Аг ch ах • sin 0х + Д3 sh ах • sin 0л: -р
+ ^4shax-cos0a: + /(x), (8.41)
где Дь А2, Д3, Д4 — произвольные постоянные, определяемые из
краевых условий задачи; f(x) — частное решение неоднородного
уравнения (8.40); а=± [0,5(6—1)],/2; 0 = ±[O,5(6 + v)’/2. $г =
= W(£/); 1 = N/(2EI).
Частное решение уравнения (8.40) ищем в виде
/ (х) = а, (х—р)4 + а2 (х — р)3 + а3 (х—р)2 + а4 (х— р) 4- а5.
Определив значение неизвестных параметров а2, а3, a4t а5 мето-
316
дом неопределенных коэффициентов
л — 4 ям- л — о Го ;V । 3,5 . л
ai—3^S-t’ аз--2-^г|_8-^+—
оМ г Л
o= = 2-^r[^V2-7r16E/+ ^-16+^]+^-,
а2 = а4 = О,
для частного решения получаем выражение
^)=2Й4н*-р)4-(84+<*о)<*-р2)+
+16^-164+4v2+>]+f.
Принимая краевые условия задачи в виде
y(0) = W у'(О) = 0„; у'(0)=-^-; Jf (0) = 60
и пользуясь решением (8.41), для определения значения произ-
вольных постоянных получим систему уравнений
А+/(0) = Уо;
аЛэ+М4 = 6о-/'(О);
-ТА + 2а₽Л2=-^о-Г(О);
(а3-Зар2) А~(Р3-3₽а2) А= -Qo-NGB-f"(0).
Решая эту систему, получим
A=j/o=/(O);
А = (- м-г (0)+ж - т/ (0)];
А3 =-JL- [60о- (6- 2у) /' (0) + Г (0) + &1;
А = [6©о- Q,- (2у + 6) /' (0)-Г (0)1,
где
Mo = Mol(Eiy, QB=Q<J(EI),
/(О) = 2^[4-^ + 16-^Г-16^-+4^+
+4 4 р‘+(8 4+^г Л«) р2]-V:
г (0) = 2^- [8 Р3-16 -£-4*о]:
рм
f(0) = —32-^г-Р
31Г
Окончательное общее решение уравнения (8.40) будет иметь
вид:
У (х) = У0У1 (х) + у воу2 (*) - МоУз (х) — 2^Г Уь (х> + /(*)• <8-42>
где
У1 (х) = dt (z) + -Ар- d2 (z); у2 (х) = j d4 (*) + "4 d*
y3(x)=~d2(x); yi(x)>=jdt(x)--£-d3(x);
f(x) = - f (0) dt (x) - ^p- 1т/ (0)+/" (0)1 dt (x) + -2ST Г (0) -
- (6 - 2?) f (0)1 d3 (x) - -гр- 1Г (0) + (2V + 6) /' (0)1 dt (x) + / (x).
(8.43)
Здесь d|(x) = chax-cos d2(x) =sh ax-sin px; d3(x) = sh ax-cos 0x;
d4fx)=chax-sin 0x.
Для свободно лежащего фундамента (Af0=Qo=0) значения
изгибающих моментов и перерезывающих сил определятся из
уравнений
М (x) = £/{j,op;(x) +-Jp^ (x)]+y0o[-^-d;(x) +
+f^(x)]+/(x)};
Q (x) = El {Vo [d- (x) + d2 (x)] +1 ©o [4- (*) +
+pi"(x)]+/”(x)},
где
d’i (x) — — ydt (z) — 2ap d2 (z); d"2 (z) = — у d2 (x) + 2a0 d, (z);
d", (x) = — у d3 (z) — 2a₽ dt (z); d[ (z) = — ydt (z) + 2оф d3 (x);
d- (z) = (a3 - 3ap2) d3 (x) + (P3 - 3a3P) d4 (x);
d^ (x) = (a3—3aP2) d4 (z)- (P3-За3?) d3 (z);
C (x) = (a3 - 3aP3) d, (z) + (p3 - 3a2P) d2 (z);
d't" (x) == (a2 —3qP2) d2 (z) — (P3—3a2p) dt (z);
Г (z) = - f (0) d; (z) - [ yf (0) + Г (0)] d[ (z) + [Г (0) -
- (6- 2V) /' (0)] dj (z) --X- (/»(0) + (2V + 6) /' (0)] d; (z) + f (z);
318
Г (х) = _ f (0) d-; (X) - [yf (0)+f" (0)1 d-; (X)+
+-^6 ir <°> -(б ~ 2?> f (°>J d> W - -£б 1Г (0) +
+ (2т+6)Г(0)]<(х)+/"(х).
Здесь
^)=2-S-18 £ (*-p)2-16-£—;
f(x) = 32^-(x-p).
Оценка влияния горизонтальных перемещений грунтов основа-
ния при просадке на величину внутренних усилий в изгибаемом
фундаменте представляет определенный интерес. Для этой цели
необходимо сравнить решение рассматриваемой задачи с учетом
и без учета действия продольной силы N, вызванной влиянием го-
ризонтальных перемещений грунтов основания. Поэтому пред-
ставляет интерес получение решения задачи поперечного изгиба
ленточных фундаментов на деформированном при просадке осно-
вании, т. е. при ЛГ=О.
В рассматриваемом случае, когда все параметры задачи посто-
янные, уравнение изгиба фундамента принимает вид
у1У СО + 4а4^ (я) = ф (я) + 4a4S (х — р)» (8.44)
где
4а4 _ кЬ — z feo . № ? (*)
40 “ EI 4Е/ ’ Ч\х)— EI •
Общее решение уравнения (8.44) состоит из общего решения
однородного уравнения
y1N (х) + 4a4i/ (х) = 0 (8.45)
и частного решения неоднородного уравнения (8.44). Общее ре-
шение однородного уравнения (8.45) с использованием фундамен-
тальных функций А. Н. Крылова можно представить в виде
у (х) = D.A (х) + D2B (х) 4- D3C (х) + DJ) (х), (8.46)
где £>i, £>2, £>з. D4 — постоянные интегрирования, определяемые из
граничных условий задачи:
= D2=~в0; D3= — JpEi »
А(х), В(х), С(х), D(x) — четыре линейно независимых интеграла
однородного уравнения (8.45), определяемые функциями
319
A. H. Крылова:
А (х) = cos cur • ch our; В (x) — у (sin cur ch cur + cos our sh cur);
C(x) = ^ sin ax • sh our; (x) = -|- (sin our • ch cur — cos ax • sh our). (8.47)
Частное решение неоднородного уравнения (8.44) имеет вид
Фа (я — Р) = £/.a3 J [1 зТа Й —Р)2 + "з^- (£ — Р)4] х
О
xD(x-E)dg + -^5- J D(x-$dl.
О
Произведя интегрирование, получим
Фв (х - р) = Sil {1 - А (х) - [ (х - р)2 - р2Л (X) -
_2рВ(1)_|си]+±{(х-р)‘+(^-р‘)Л(х)-
-sH-vpO**)-
_ J_ рС (х) + А р (х)]}} +^- Ц - Л (х)].
Окончательно общее решение задачи для фундамента со свобод-
ными концами принимает вид
у (х) = уиА (х) + А е0В (х) + Ф8 (х — р). (8.48)
Внутренние усилия в произвольном сечении фундамента определят-
ся выражениями:
М (х) = EI [4azy0C (x) + 4aB0D (х)-Фв(х-р). (8.49)
Q (х) = EI [4а^0В (х) + 4а20оС (х) - Фз (х - р)], (8.50)
где
Фз (х - р) = 4SJJ {а=€ (х) - [ 1 + 2а2р2С (х) - А (х) - 4арР (х) ]+
+-з£- {3 (х~ Р)2- (£—Р‘)“2С ~
—^-х (ЗарЛ (х) - 6В (х) + (х)]} } -J-4 А- а2С (х);
Фз (г—Р) = {а3В (х) —А- [а3ргВ (х) - 2а2рС (х) + 2aD (х) ] -|-
+~зГ~ {6Р‘)“зв(х)+
+ 2р [ЗЛ (х) — 2а2р2С (х) + барО (х)]} } + 4 а3В (х). (8.51)
320
Таким образом, сравнивая результаты соответствующих расче-
тов, выполненных по формулам (8.44) и (8.50), в каждом конкрет-
ном случае можно оценить влияние горизонтальных перемещений
грунтов основания на внутренние усилия в изгибаемом фунда-
менте.
Для реализации изложенного выше метода расчета Ф. X. Алек-
перовым на алгоритмическом языке «ФОРТРАН-IV» была состав-
лена программа для ЭЦВМ типа «ЕС 10—20», позволяющая про-
извести расчет ленточных фундаментов (балочных плит) с посто-
янными жесткостями конструкции и грунтов основания для случаев,
когда фундамент по всей длине подвержен действию равномер-
но распределенной нагрузки, сосредоточенных сил, моментов и
дополнительных усилий, возникающих от неравномерных верти-
кальных и горизонтальных перемещений грунтов основания. Сог-
ласно указанной программе для ленточного фундамента (/= 10 м,
Л = 0,4 м; Ь=1,0 м), подверженного действию по всей длине равно-
мерно распределенной нагрузки (?о = 200 кН/м, Ф. X. Алекперовым
была проведена серия расчетов. Просадку дневной поверхности
грунта определяли по формуле (8.38). Варианты расчетных соче-
таний просадки грунтов основания от собственного веса 5Пр.гр и
полудлины криволинейных участков просадочных воронок г были
приняты в соответствии с рекомендациями «Инструкции по проек-
тированию бескаркасных жилых домов, строящихся на просадоч-
ных грунтах с применением комплекса мероприятий (РСН 297—
78). (Госстрой УССР, Киев, 1978).
В табл. 8.2 приведены расчетные значения 5Пр.гр и г, а также
соответствующие им суммарные величины горизонтальных усилий
/V, подсчитанные по указанной «Инструкции».
Таблица 8.2
^пр.гр’ м 0,1 0,25 0,50 0,75 1,0
Г, М 13,5 20 26 29,5 32
N, кН 50,4 231,6 439,5 468,0 468,0
В первой серии расчетов значения просадки 5пр.гр и полудлина
криволинейного участка просадочной воронки г принимались по-
стоянными (5Пр.гр = 0,25 м; г=20 м), менялось расстояние от источ-
ника увлажнения до левого торцевого сечения фундамента (р =
= —10; —8; —6 м; ... +6; +8 м).
Анализ результатов выполненных расчетов показал, что мак-
симальные значения изгибающего момента и перерезывающей си-
лы Afmax = 312 кНм; Qmax = 97 кН возникают в теле фундамента
в случаях, когда источник увлажнения расположен под центром
фундамента и на расстоянии 10 м от его левого торца (Afmax =
321
И."/»/,» ЮгкНи\ НЮкН/м
THHHHWIHHE
г-и,вм .ггГ-тгг~'Ф л'
У(*1,«
Рис. 8.19. Эпюры расчетных усилий
----333 кН-MJ Qmax —
= — 130 кН). В интер-
вале значений величи-
ны р примерно от
—4,0 до —0,7 м харак-
тер распределения
внутренних усилий в
теле фундамента из-
меняется: эпюра изги-
бающих моментов ста-
новится двузначной, а
эпюра перерезываю-
щих сил постепенно
приобретает ярко вы-
раженную форму (рис.
8.19).
Изменение распо-
ложения источника за-
мачивания неодноз-
начно влияет иа рас-
четные усилия, возни-
кающие в фундаменте.
Поэтому для практи-
ческих расчетов не-
обходимо рассматри-
вать различные соче-
тания расположения
источников увлажне-
ния, способные при-
вести к неблагоприят-
ной для работы фунда-
мента ситуации.
Для оценки влия-
ния горизонтальных перемещений поверхности основания при про-
садке грунта от собственного веса была выполнена вторая серия
расчетов для различных значений величины Snp.rp (5пр.гр=0,1; 0,25;
0,5 и 0,75 м) при фиксированном расстоянии от источника увлаж-
нения до левого начального сечения фундамента (р = 5,0 м).
Для изучения влияния просадки 5Пр.гр и расположения источни-
ка увлажнения р на максимальные значения расчетных усилий в
фундаменте была произведена третья серия вычислений.
На рис. 8.20 по результатам этого расчета построены кривые
зависимости максимального изгибающего момента от просадки
при различных расстояниях расположения источника увлажнения
от левого торцевого сечения фундамента.
Как видно из этого рисунка, с увеличением расчетного значения
просадки Snprp в случаях, когда р = —2,0... +8,0 м, величины изги-
322
500
000
300
too
too
о
-too
-too
-зоо
Рис. 8.20. Зависимость максимально-
го изгибающего момента от просадки
при различных расстояниях располо-
жения источника увлажнения
бающих моментов и перерезывающих сил монотонно возрастают.
При этом увеличение просадки на 0,25 м приводит к возрастанию
изгибающего момента и перере-
зывающих сил в среднем на
25 ...30%. По мере удаления ис-
точника увлажнения от левого
торцевого сечения фундамента
(р = — 4,0; —6,0 и —10,0 м), ха-
рактер указанных кривых изме-
няется. Так, в случаях, когда
5пр.гр = 0,25 м, в фундаменте воз-
никают расчетные усилия проти-
воположного знака. Наибольшие
значения положительных момен-
тов и поперечных сил возникают
при центральном увлажнении
грунтов основания (р = 5,0 м) и
При Snp.rp=l,0 м.
Таким образом, среди рас-
сматриваемых схем увлажнения
наиболее невыгодными для рабо-
ты фундамента являются случаи,
когда правый торец фундамента
совпадает с правой конечной
точкой длины криволинейного
участка просадочной воронки и
источник увлажнения находится
под центром фундамента.
Для установления зависимос-
ти между контактными давлени-
ями, изгибающими моментами, перерезывающими силами и ко-
эффициентом жесткости просадочного основания при различных
расположениях источников увлажнения и фиксированном расчет-
ном значении просадки (Snp.rp=0,25 м) была проведена четвертая
серия расчетов. Согласно этим расчетам, значения контактных
давлений и внутренних усилий в фундаменте возрастают почти
линейно с увеличением жесткости основания. Увеличение парамет-
ра k0 на 10% приводит к повышению реактивного давления гр»унта
по подошве фундамента в среднем на 1,0%, изгибающих моментов
и перерезывающих сил соответственно на 1,65 и 4,0%, что позво-
ляет сделать вывод о том, что изменения жесткости основания
незначительно сказываются на значениях расчетных усилий в
фундаменте.
Как показывают расчеты, увеличение изгибной жесткости фун-
дамента на 10% приводит к возрастанию максимальных значений
изгибающих моментов в среднем на 7,5%, поперечных сил на
5,7%, контактных давлений на 1,0%.
323
РАЗДЕЛ II
ФУНДАМЕНТЫ НА НАБУХАЮЩИХ ГРУНТАХ
Глава 9
ПРИРОДА НАБУХАЮЩИХ ГЛИНИСТЫХ ГРУНТОВ
И ЗАКОНОМЕРНОСТИ ИХ ДЕФОРМИРОВАНИЯ
9.1. Природа и механизм процесса
набухания глинистых грунтов
Деформация зданий и сооружений вследствие набухания и
усадки глинистых грунтов оснований издавна привлекала внима-
ние строителей. Как показывает строительная практика, недо-
оценка деформаций набухания и усадки глинистых грунтов в ос-
нованиях приводит к преждевременным повреждениям конструк-
ций зданий и сооружений вследствие неравномерных и длительных
деформаций грунтов их оснований.
Проблемы вспучивания грунтов основания в строительстве
возникают в том случае, если глинистый грунт под фундаментом
из-за уменьшения уплотняющих давлений или увеличения содер-
жания влаги в грунте начинает набухать. В сухие периоды года
за счет уменьшения влагосодержания они высыхают и растрескива-
ются, в результате чего уменьшаются прочность и несущая спо-
собность грунта под фундаментом. Вместе с тем высыхание
грунтов и следующая за этим усадка их уплотняет, в результате
чего улучшаются прочностные и деформативные свойства. Увели-
чение содержания влаги в глинистом грунте, приводящее к его
набуханию, может происходить не только из атмосферы, но также
за счет накопления влаги под водонепроницаемым экраном,
предупреждающим испарение влаги из грунта. Здания и сооруже-
ния, построенные на на*бухающе-усадочных глинистых грунтах
из-за сезонных изменений влажности и вызванных этим неравно-
мерных перемещений грунта, часто подвергаются трещинообразо-
ванию, а в некоторых случаях и разрушению.
Особенно сильно подвергаются этим недопустимым деформа-
циям здания и сооружения, передающие незначительное давление
на основание, сложенное набухающе-усадочными грунтами. Ука-
занные обстоятельства подтверждаются многочисленными при-
мерами, из которых наиболее показательными могут служить сле-
дующие объекты.
324
Здание, заводоуправления Центрального ремонтно-механического завода
(ЦРМЗ) в г. Волжском, запроектированное без учета набухающих свойств
грунтов основания. Основанием для фундаментов завода служили хвалынские
шоколадные набухающие глины мощностью 4... 4,5 м. В результате изменения
режима испарения на застроенной территории влажность в верхнем слое глин
под зданиями ЦРМЗ возросла по сравнению с первоначальной на 15... 20%,
тогда как на открытой территории между зданиями эта разница не превышала
5... 6%. Уже через 3 мес после ввода объекта в эксплуатацию появились
первые деформации здания. К сентябрю раскрытие трещин достигло 30 мм,
а с октябре появились трещины в кирпичных колоннах внутри здания. Дефор-
мации здания продолжались вплоть до осуществления необходимых усилитель-
ных мероприятий, после чего была обеспечена его дальнейшая эксплуатация.
В блоке цехов № 1 ЦРМЗ трещины появились сразу же с начала его эксплуа-
тации. Деформации образовались на всех наружных и внутренних стенах, фун-
даментах; величина раскрытия трещин достигла 20 мм и проходили они, как
правило, через оконные и дверные проемы. В результате неравномерного подъ-
ема оснований произошли наклон стен и смещение перекрытий, вследствие чего
здание пришло в аварийное состояние.
Комплекс жилых домов поселка Краснооктябрьский в г. Волжском. Двух-
этажные кирпичные дома на ленточных фундаментах через 3 мес после заселе-
ния 'вследствие набухания грунтов основания получили значительные деформа-
ции. В стенах появились трещины шириной до 30 мм, сборные железобетонные
элементы раскрылись по швам и переместились на опорных площадках. В одной
из комнат вертикальная деформация пола составила 50 см. В связи с аварий-
ным состоянием домов жильцы из них были переселены.
Подобные случаи недопустимых деформаций сооружений на набухающих
глинистых грунтах наблюдались и на территории Азербайджанской ССР. Так,
в результате утечки воды на некоторых участках трассы 2-го Баку-Шолларского
водопровода, проходящего в набухающих глинах апшеронского возраста, про-
изошло поднятие водопровода с образованием трещин и местных разрушений.
Аналогичная ситуация складывалась со зданием перекачечной станции бывшего
нефтепровода Баку — Батуми. В результате неравномерных деформаций апше-
ронских глин значительные повреждения получили несущие конструкции под-
земных резервуаров в районе села Хурдалан.
Деформации набухания глинистых грунтов, приведшие к прекращению
эксплуатации объекта, имели место на Самур-Давичинском канале.
Вышеприведенные примеры, конечно, далеко не единственные.
Можно привести ряд случаев из зарубежной практики строитель-
ства и эксплуатации зданий и сооружений, когда деформация на-
бухания грунтов основания приводила к аварийным ситуациям.
Известны случаи деформаций зданий и сооружений в результате
усадки оснований. Примером таких деформаций является крен
дымовых труб и технологических печей, построенных на хвалын-
ских глинах в южной части г. Волгограда. Наклон всех этих соо-
ружений произошел в сторону наиболее нагревавшихся грунтов,
в процессе эксплуатации деформированных сооружений, находив-
шихся под воздействием температур от 50 до 90°C. Следствием
этого явилась неравномерная усадка оснований.
Набухание глинистых грунтов при взаимодействии с водой
носит сложный физико-механический и физико-химический харак-
тер. Физическая природа и механизм процесса набухания гли-
нистых грунтов нашли отражение в исследованиях Н. М. Герсева-
нова, Г. И. Покровского, А. М. Белоусова, В. Д. Ломтадзе,
325
Б. Ф. Рельтова, В. А. Приклонского, Е. М. Сергеева, Н. Я. Денисо-
ва, П. А. Ребиндера, Б. В. Дерягина, Е. А. Сорочана, В. П. Ананье-
ва, А. А. Мустафаева, Г. Д. Чигниева и др. Анализируя эти иссле-
дования, можно выделить две основные гипотезы, объясняющие
явление набухания глинистых грунтов: физико-механическую и
физико-химическую. К физико-механической гипотезе принадле-
жит капиллярная теория Терцаги — Герсеванова, согласно которой
проникновение воды между частицами грунта становится возмож-
ным после того, как исчезают вогнутые мениски на границе
вода — воздух в капиллярах, т. е. после снятия капиллярного
давления. Силы поверхностного натяжения, действующие между
капиллярными стенками и водой, образуют вогнутые мениски
воды, прижимающие частицы грунта друг к другу и искривляющие
их вогнутостью в сторону капилляров, а в самой жидкости разви-
вается отрицательное капиллярное давление. Передвижение воды
внутри капилляров происходит под этим давлением до тех пор,
пока гидростатическое давление столба жидкости не уравновесит
значение капиллярного давления. После чего происходит выпрям-
ление изогнутых глинистых минеральных частиц и связанное с
этим объемное увеличение породы — набухание. Капиллярные си-
лы способствуют сокращению объема грунта вследствие сжимаю-
щего грунт капиллярного давления, что происходит в глинистом
грунте при неполном заполнении пор, когда поглощенная грунтом
влага сосредотачивается в основном в капиллярных порах, и она
удерживает частицы в изогнутом состоянии. При неполном погло-
щении грунтом влаги ее передвижение происходит не только ка-
пиллярными силами, действующими между капиллярными стенка-
ми и водяным паром над вогнутыми менисками воды в капиллярах,
но также это связано с осмотическими и адсорбционными силами,
действующими в других порах грунта. Капиллярное давление и
высоту капиллярного поднятия определяют по формулам:
Рк = 2ажг cos 0о/г; (9.1)
где 0о — краевой угол смачивания; г — радиус капилляра; ажг—
поверхностное натяжение на границе раздела жидкой и газовой
фаз грунта; g— ускорение свободного падения; рж и рг—плот-
ность жидкости и газа.
Из формул (9.1) и (9.2) видно, что высота капиллярного под-
нятия увеличивается с возрастанием поверхностного натяжения
жидкости и уменьшением краевого угла смачивания, который за-
висит от минералогического состава грунта и определяется в ос-
новном поверхностными явлениями на глинистых частицах грунта,
а также с уменьшением радиуса капилляра и разности в плотно-
стях жидкой и газовой фаз грунта.
326
Силы поверхностного натяжения, действующие между стенка-
ми капилляров и водой, прижимают частицы грунта друг к другу,
искривляя их вогнутостью в сторону капилляров, и удерживают
эти частицы в изогнутом состоянии. После замачивания в резуль-
тате устранения капиллярного давления происходит выпрямление
изогнутых глинистых минеральных частиц и связанное с этим объ-
емное увеличение породы — набухание.
Согласно Р. Е. Минзу, после снятия капиллярного давления
при увлажнении глинистого грунта возникают упругие силы, выз-
ванные натяжением поровой воды к поверхности выпрямившихся
частиц, что приводит к набуханию грунта.
По мнению Н. М. Герсеванова, проникание воды между гли-
нистыми частицами после снятия капиллярного давления происхо-
дит под влиянием гидродинамического давления, направленного
внутрь глинистого грунта.
Поддерживая капиллярную теорию, Г. И. Покровский, исходя
из условия равенства работы при набухании и смачивании, полу-
чил формулу для определения среднего давления набухания
РСр = Атю/(гДГ),
где А, п — коэффициенты; о—поверхностное натяжение; г — ради-
ус частицы; ДУ—приращение объема.
Формула Г. И. Покровского справедлива для случая свободного
набухания глинистого грунта при увлажнении, а при набухании
под высоким давлением это давление, так же как энергия смачи-
вания, имеет малые значения.
Второе направление исходит из физико-химического характера
взаимодействия глинистых частиц с водой. Согласно этой гипоте-
зе, набухание грунта при увлажнении рассматривается в связи со
способностью поверхности глинистых частиц адсорбировать воду
в связи с осмотическими давлениями, обусловленными влиянием
старения кристаллических решеток, обменного комплекса в поро-
вом и замачивающем растворах.
В процессе увеличения давления и температуры в глинистой
породе ввиду значительного уменьшения количества связаной
воды как на поверхности грунтовых частиц, так и внутри кристал-
лической решетки образуется дополнительная энергия, которая
сохраняется благодаря физико-химическому закреплению грунта
путем упрочнения структурных связей, их цементации и перехода
глинистой породы в новое переуплотненное состояние с более
высокой прочностью.
Исследованиями А. А. Мустафаева, Г. Д. Чигниева установле-
но, что механизм возникновения структурных деформаций в набу-
хающих грунтах обусловлен многообразными факторами, связан-
ными не только с взаимодействием влаги с межчастичными связя-
ми, но и внутрикристаллическими изменениями минеральных
частиц этих грунтов в условиях определенного напряженного со-
327
стояния. Следствием этих сложных процессов является возникно-
вение и развитие в этих грунтах реологического процесса нараста-
ния пластических деформаций набухания во времени при посто-
янной влажности и нагрузке.
В общем случае процесс набухания, происходящий при непре-
рывном увлажнении толщи глинистых грунтов, представляется
состоящим из двух совместно происходящих нестационарных про-
цессов. Первый является следствием всасывания влаги в поры
грунта и возникновением в его скелете отрицательных растягива-
ющих эффективных давлений. В этом процессе начало возникно-
вения деформации набухания и момент наступления его стабили-
зации принимаются совпадающими соответственно с началом
фильтрации и прекращением поступления воды в толщу грунта.
Величина же объемной деформации грунта, являющейся следстви-
ем механического раздвижения глинистых частиц за счет увеличе-
ния толщины водной пленки, становится в прямую зависимость от
объема участвующей в этом процессе воды. Второй процесс явля-
ется следствием впитывания воды в сами минеральные агрегаты,
плотность которых выше средней плотности грунта. В этом процес-
се развитие деформации во времени происходит в более медленном
темпе, чем процесс фильтрации, и объем грунта от набухания мо-
жет быть больше объема воды, поступающей в грунт при его
увлажнении. Набухание в этом процессе начинается не всегда
с момента увлажнения толщи грунта и его стабилизация, как пра-
вило, наступает по истечении достаточного времени после
прекращения фильтрации. Происходит как бы запаздывание внут-
риобъемных процессов в агрегатах грунтовых частиц относительно
быстрого продвижения фронта увлажнения. Следствием этого
сложного процесса является возникновение и развитие в глини-
стых грунтах реологических процессов — нарастания деформаций
набухания во времени при постоянных влажности и напряжении
(явление ползучести).
А. М. Белоусов, используя уравнение сорбции, предлагает фор-
мулу для определения объема грунтовой массы при ее увлажне-
нии. При этом он считает, что при увлажнении сухого грунта про-
исходит образование мономолекулярного слоя вокруг составляю-
щих частиц, а размер и природа каждой частицы определяют
поведение грунта при взаимодействии с водой.
Согласно исследованиям В. Д. Ломтадзе, физико-механические
свойства горных пород и их генезис связаны через литогенез,
т. е. через процессы обезвоживания и уплотнения, которые проте-
кают непрерывно и стадийно. В. Д. Ломтадзе выделяет свободное
уплотнение, замедленное уплотнение и полную консолидацию, как
три стадии уплотнения пород.
Закономерности формирования набухающих свойств глинистых
пород, происходящих в условиях непрерывного опускания земной
коры при повышенной скорости осадконакопления, подтверждают
328
схему, предложенную В. Д. Ломтадзе. В этих условиях наблюда-
ется закономерное изменение плотности, влажности и деформируе-
мости по глубине и при этом ведущим процессом формирования
свойств пород считаются процессы обезвоживания и уплотнения.
Помимо гравитационного уплотнения и обезвоживания в породах
могут происходить геохимические преобразования, которые приво-
дят к упрочнению грунтов, повышению их водостойкости, дефор-
мируемости.
Согласно М. Н. Гольдштейну, Н. Я. Денисову, В. А. Флорину,
при повышении давления и температуры в глинистом грунте
происходит такое сближение составляющих его мельчайших твер-
дых частиц, что в результате этого преодолевается сопротивление,
оказываемое отталкивающими силами, возникающими между
одноименными зарядами диффузных слоев сближаемых частиц.
При этом между грунтовыми частицами возникают силы взаимно-
го притяжения, обусловленные силами молекулярного взаимодей-
ствия. Эти силы проявляются сильнее, когда твердые частицы
сближены на расстоянии, меньшем чем двойная толщина диффуз-
ного слоя.
Б. Ф. Рельтов утверждает, что капиллярная теория не в со-
стоянии всесторонне объяснить механизм процесса набухания.
Основную причину, по его мнению, следует искать не в капилляр-
ном давлении, а в «подвижности грунтовой массы», обусловленной
образованием по поверхности минеральных частиц гидратных
оболочек, действующих подобно смазке.
В. А. Приклонский в своих исследованиях указывает, что
набухание глинистых грунтов, возникающих при взаимодействии
с водой, является результатом осмотических явлений, обусловлен-
ных разностью в концентрации солей в поровом растворе и в
фильтрационной влаге. Оно происходит, когда концентрация солей
в замачиваемой воде меньше концентрации их в поровом растворе,
в результате чего на поверхностях частиц происходит утолщение
гидратно-ионных слоев.
Такого же мнения придерживается Е. М. Сергеев, отмечая
осмотический характер набухания и усадки в глинистых грунтах.
При взаимодействии с водой высокодисперсные минеральные
частицы грунтов приобретают строение, характерное для колло-
идных мицелл. Ионы, входящие в состав мицелл, участвуют в об-
менных реакциях с ионами водных растворов (с ионами как поро-
вых растворов, так и замачиваемой воды). Исследования природы
обменных реакций показали, что ионы обмениваются не только
на внешних поверхностях минеральных частиц, но и в межслоевом
пространстве внутрикристаллических решеток некоторых глини-
стых минеральных частиц. Е. М. Сергеев отмечает также возмож-
ность внутрикристаллического набухания минерала монтморилло-
нита. Вследствие подвижного характера кристаллической решетки
этого минерала для обменных реакций оказывается доступной не
329
только внешняя поверхность, но и все внутренние поверхности
структурных слоев. Величина емкости обмена для монтмориллони-
та, включая экстра- и интрамицеллярный обмен, составляет 80...
150 мг-экв на 100 г навески.
Набухание глинистых грунтов, согласно Н. Я. Денисову, свя-
зано как с явлением адсорбции воды на поверхности частиц, так
и с физико-химическими явлениями. Он указывает, что изменение
объема грунта при взаимодействии с водой связано как со способ-
ностью воды адсорбироваться на поверхности частиц, так и всту-
пать в химические реакции взаимодействия с некоторыми вещест-
вами, находящимися в грунте. Набухание при этом происходит
лишь в переуплотненных грунтах при условии устранения влияния
сцепления упрочнения под воздействием давления, высушивания
и других факторов, приводящих к появлению микротрещин в гли-
нистом грунте.
Согласно исследованиям академика П. А. Ребиндера, замачи-
вающая вода, адсорбированный слой которой на поверхности
глинистых частиц постепенно увеличивается по мере возрастания
влажности грунта, оказывает расклинивающее воздействие, в ре-
зультате чего происходит набухание грунта. Расклинивающая
способность воды проявляется тогда, когда силы адсорбции пре-
обладают над напряжениями в контактах глинистых частиц.
Процесс набухания и усадки глинистых грунтов Б. В. Дерягин
объясняет проявлением расклинивающего давления на контактах
водных пленок вокруг минеральных частиц. Согласно Б. В. Деря-
гину, процесс набухания продолжается до тех пор, пока не исчез-
нет расклинивающее давление, при котором происходит образова-
ние вокруг * минеральных частиц водных оболочек предельной
толщины.
Правильность этой гипотезы была подтверждена Б. Ф. Рельто-
вым. Причину усадки глинистого грунта Б. Ф. Рельтов видит в
уменьшении толщины водных пленок за счет испарения влаги из
гидратных оболочек вокруг частиц грунта. Согласно многолетним
исследованиям Е. А. Сорочана, в процессе набухания и усадки
глинистого грунта происходит притяжение молекул воды внешней
и внутренней поверхностью частиц, а также вытеснение адсорби-
рованных молекул газа, и при образовании монослоя возникают
расклинивающие и капиллярные давления. По мере увлажнения
и гидратации частиц капиллярное давление уменьшается, а гид-
ратация обменных катионов развивает осмотическое давление,
оказывающее такое же действие, как и расклинивающее давление
водных оболочек.
Явление набухания глинистых грунтов с позиций капиллярной
теории находит объяснение в исследовании Г. Дингозова. Соглас-
но Г. Дингозову, первопричиной явления набухания являются
всасывающие силы, которые появляются при снятии капиллярного
330
давления при замачивании, направленные внутрь образца и равные
по величине гидростатическому давлению.
Многочисленными исследованиями установлено, что особенно-
стью поверхностного слоя является неравенство нулю равнодей-
ствующей сил ионов, расположенных на поверхности раздела фаз
в отличие от молекул, находящихся во внутренних слоях. Благо-
даря некомпенсированности отрицательного заряда на поверхно-
сти глинистых частиц возникает свободное силовое поле, способ-
ное притягивать или отталкивать другие молекулы, например мо-
лекулы воды. При соприкосновении глинистых частиц с водой,
имеющей на фазовой границе свое собственное силовое поле,
происходит концентрация и притяжение молекул — адсорбция
воды.
Адсорбция, происходящая под действием межмолекулярных
сил взаимодействия твердой части грунта и жидкости, приводит
к уменьшению свободной энергии поверхности. Межмолекулярные
силы взаимодействия подразделяются на электростатические, дис-
персионные и индукционные.
Электростатические силы взаимодействия увеличиваются при
адсорбции полярных молекул на поверхности, имеющей ионы од-
ного знака, например ионы водорода или гидроксила, как это
имеет место в монтмориллоните и каолините. В этом случае по-
лярные молекулы воды будут соединяться с гидроксилом или
молекулой кислорода с помощью водородной связи. Дисперсион-
ные силы взаимодействия возникают между любыми молекулами
или атомами и обусловлены образованием в молекулах мгновен-
ных диполей. Индукционные силы возникают при поляризации
дипольной молекулой другой молекулы, в которой они индуциру-
ют постоянный дипольный момент.
Под воздействием рассмотренных сил поверхность твердой
частицы покрывается монослоем молекул воды. Этот первый слой
молекул воды, адсорбированных на поверхности твердой частицы
с ее наружной стороны, будет иметь заряд, аналогичный заряду
поверхности твердой частицы, и, следовательно, будет воздейство-
вать на близко расположенные другие молекулы воды. Послед-
ние образуют так называемую диффузную оболочку, внешняя
граница которой определяется соотношением осмотических давле-
ний в диффузном слое и окружающем растворе солей свободной
воды. Упорядочение структуры воды поверхностью глинистых
частиц распространяется на расстояние до 60 А и по мере удале-
ния от поверхности становится менее правильным.
При этом процессе многослойной адсорбции вокруг твердой
фазы грунта образуются гидратные оболочки, которые стремятся
раздвинуть грунтовые частицы. Раздвижение частиц происходит
в местах контакта грунтовых частиц и обусловливается появлени-
ем «расклинивающего эффекта» тонких пленок воды, о котором
говорилось выше.
331
По мнению многих исследователей, набухающие свойства гли-
нистых грунтов в большой степени зависят от их минералогиче-
ского состава и дисперсности. Высокой способностью к набуханию
обладают минералы группы монтмориллонита, в значительно
меньшей степени — минералы группы каолинита. Эти минералы
(каолинит, галлуазит) обладают прочной неподвижной решеткой,
в которой расстояние между пакетами не меняется при увлажне-
нии. Значительно меньшая способность каолинита к набуханию
объясняется особенностями строения его кристаллической решет-
ки. У каолинита соприкасающиеся слои двух смежных пакетов
различны. Кристаллическая решетка минерала каолинита образо-
вана слоями, состоящими из одной тетраэдрической и одной окта-
эдрической сетки, сложенной с одной стороны поверхности кисло-
родами, а с другой — гидроксилами. При таком наложении слоев
между ними возникают водородные связи и за счет этого образу-
ются жесткие структуры с неизменным межпакетным расстояни-
ем. Кроме того, в структуре каолинита весьма слабо развиты
изоморфные замещения внутри слоев (пакетов), поэтому основной
активной поверхностью у него являются места разрыва связей
Si—О—Si, ОН—А1—ОН (краевые участки кристаллов), а также
внешние базальные плоскости. Ввиду этих особенностей каолинит
менее гидрофилен, т. е. обладает значительно меньшей способно-
стью связывать воду.
В отличие от каолинитовой группы в минералах группы монт-
мориллонита (монтмориллонит, иллит, бейделит) решетка
подвижная, при увлажнении она способна раздвигаться вплоть до
распада минерала на элементарные кристаллические ячейки с
соответствующим увеличением удельной поверхности.
Кристаллические строения у минералов монтмориллонитовой
группы сложены также слоями, состоящими из двух тетраэдри-
ческих сеток, между которыми расположена октаэдрическая сетка.
Отличительной особенностью строения монтмориллонита является
то, что соседние слои обращены друг к другу с аналогичной
кислородной поверхностью, вследствие чего -связь между ними
слабая. Молекулы воды и других полярных жидкостей свободно
входят между слоями и раздвигают их в направлении, перпенди-
кулярном слоистости структуры, тем самым снижают молекуляр-
ное взаимодействие между соседними слоями.
Для решетки монтмориллонита характерна высокая способ-
ность внутреннего замещения одних элементов другими меньшей
валентности, в результате чего в решетке остаются некомпенсиро-
ванные валентности, которые увеличивают адсорбционную способ-
ность подобных минералов. Адсорбционная способность обуслов-
ливает чрезвычайную изменчивость свойств минералов группы
монтмориллонита в зависимости от состава водного раствора,
определяющего состав внешних ионов. Молекулы воды очень лег-
ко проникают в кристаллическую решетку и также легко удаля-
332
ются из нее, изменяя объем минерала. При этом расстояние меж-
ду элементарными пакетами монтмориллонита может увеличи-
ваться в десятки раз, что вызывает сильное набухание монтморил-
лонитовых глин.
При взаимодействии монтмориллонита с водой ее молекулы
не могут проникать внутрь пакетов, отдельные части которых, как
и каолинита, прочно связаны друг с другом, но могут проникать
между смежными пакетами, связь которых у монтмориллонита
ослаблена. При этом пакеты раздвигаются на большее или мень-
шее расстояние в зависимости от количества поглощенной воды.
Расширение решетки облегчается тем, что между соприкасающи-
мися слоями смежных пакетов, образованных одноименно заря-
женными атомами кислорода, существуют отталкивающие силы.
За рубежом изучению механизма набухания глинистых грун-
тов посвящены исследования Г. Спозито, Г. Кассиф — А. Бен-Ша-
ла, Г. Айтчисона, П. Лоц, Д. Андерсона, X. Сида, Р. Янга, Б. Уар-
кентина, К. Санкарано, В. Рао, Н. Найака, Р. Кристиансена и др.
9.2. Закономерности инфильтрационного поглощения влаги
в глинистых грунтах
Механизм возникновения и развития деформаций набухания
и усадки в глинистых грунтах обусловлен многообразными фак-
торами, связанными не только с взаимодействием влаги с меж-
частичными связями, но и внутрикристаллическими изменениями
частиц этих грунтов. В общем случае процесс набухания, происхо-
дящий при непрерывном увлажнении глинистых грунтов, состоит
из двух совместно происходящих нестационарных процессов.
Первый является следствием всасывания влаги в поры грунта и
возникновением в его скелете отрицательных растягивающих дав-
лений. В этом процессе начало возникновения набухания и момент
наступления его стабилизации совпадают соответственно с нача-
лом и прекращением инфильтрационного поглощения влаги.
Величина объемной деформации грунта, являющейся следствием
механического раздвижения глинистых частиц за счет увеличения
толщины водной пленки, ставится в прямую зависимость от объе-
ма участвующей в этом процессе воды. Второй процесс является
следствием впитывания влаги в сами минеральные агрегаты.
В этом процессе развитие деформации грунта происходит в более
медленном темпе, чем процесс инфильтрации влаги. Здесь объем-
ная деформация грунта может быть значительно больше объема
влаги, поступающей в грунт при его увлажнении. Стабилизация
деформации набухания наступает по истечении достаточного вре-
мени после прекращения инфильтрационного поглощения влаги
грунтом. Следствием этих сложных физико-механических процес-
сов является возникновение и развитие в глинистых грунтах
реологического процесса, т. е. нарастание деформаций набухания
333
во времени при постоянной влажности и напряжениях. Приведен-
ные выше соображения, по-видимому, остаются справедливыми и
для деформации усадки, возникающей и развивающейся во времени
при нестационарном режиме изменения влажности грунта. Учиты-
вая, что основным фактором, вызывающим деформации набуха-
ния в глинистых грунтах, является процесс поглощения влаги„
остановимся несколько подробно на существующих теориях ин-
фильтрационного движения воды.
Скорость впитывания, скорость потока и передвижение фронта
смачивания в грунтах зависят прежде всего от характера пори-
стости и природы органических и минеральных частиц, окружаю-
щих поры. Если поверхности частиц смачиваются плохо, как это
бывает в присутствии некоторых органических остатков, инфильт-
рация может существенно замедляться. Если поверхность частиц,
смачивается хорошо, то скорость передвижения влаги в значитель-
ной степени зависит только от размера пор и их распределения по
размеру, особенно в случае слоистости грунта. Сила тяжести
оказывает влияние в течение длительного периода, в то время как
на начальных стадиях инфильтрации ею можно пренебречь.
На скорость инфильтрации влаги большое влияние оказывает
влажность грунта. Скорость впитывания в начальные моменты
бывает обычно относительно более высокой, но по мере насыще-
ния грунта влагой постепенно уменьшается. Снижение скорости
впитывания зависит от постепенного заполнения пор грунта влагой
(в особенности более крупных пор). Кроме того, по мере увеличе-
ния влажности грунта наблюдается набухание коллоидных частиц,,
разрушение некоторых структурных включений и других явлений,
которые влекут за собой сужение грунтовых пор.
Изменение коэффициента впитывания в процессе насыщения,
грунта влагой А. Н. Костяков выражает формулой
kt^k0/t\
где ko—начальный (при /=1 сут) коэффициент впитывания, свя-
занный с коэффициентом фильтрации Дарси выражением
k0 = kgT\
где Т — время, в течение которого при просачивании воды в грунт-
устанавливается постоянный расход воды, т. е. явление впитыва-
ния переходит в явление фильтрации.
Другая формула, дающая лучшую сходимость с данными-
наблюдений, была предложена Н. Ф. Созыкиным
kt = kg -f- кй1Ц
С. С. Морозов предложил несколько другую формулу:
kt = knB\
где В — некоторая постоянная величина, обычно меньшая едини-
334
•цы; N — количество впитавшейся в грунт влаги. В интегральной
форме уравнение А. Н. Костянова, как показал Т. Кузник, имеет
вид
i = atb,
где i—количество влаги, впитавшейся в грунт за время t а=1—а,
•b = W(l-a).
По мнению Д. Филиппа, лучшее совпадение с эксперименталь-
ными данными дает уравнение типа
i = 4fti/2+4f.
В этом уравнении первый член учитывает влияние всасывающего
давления — «сорбтивность> грунта, второй член — силы тяжести.
Для малых промежутков времени вторым членом можно пренеб-
речь, а для больших промежутков первый член имеет относительно
малое значение.
Р. Литтон указывает на необходимость учета процесса <увлаж-
нения — всасывания» в течение определенного периода, связи
между увлажнением грунта и увеличением его объема, изменения
характеристики деформируемости грунта и способности его
взаимодействовать с сооружением. Когда вода (или тепло) про-
никает в твердое вещество, объем его меняется, но внутреннего
напряжения влаги не возникает, так как на влагу давит вес твер-
дой породы. В этих условиях объем воды изменяется намного
меньше. Объем грунта вследствие увеличения объема воды (или
объема тепла) может быть различным по разным направлениям
из-за анизотропного (кристаллического) состава грунта.
Проницаемость глины определяется рядом свойств поровой
-жидкости и геометрическими свойствами пористой среды.' Поровая
жидкость включает воду в адсорбированной, жидкой и паровой
•фазе и воздух.
В 1930 г. П. Нуттинг пришел к выводу, что проницаемость
при линейном течении через пористую среду зависит от вязкости
текущей жидкости; он ввел понятие удельной проницаемости грун-
та, которой пользуются инженеры-нефтяники.
В гражданском строительстве используют следующую форму-
лу проницаемости:
где 7, р — соответственно плотность и вязкость жидкости; ks —
удельная проницаемость среды.
У. Гарднер рекомендует следующую формулу:
ь_ д
|т|" + Ь ’
где а/Ь — проницаемость насыщенного грунта; |т|—абсолютная
величина всасывания, вызванная движением воды; п — параметр,
зависящий от размера частиц грунта.
335
Формула Гарднера хорошо отражает процесс «проницае-
мость— всасывание», однако не учитывает геометрических изме-
нений грунта.
3. Бауэр обработал огромное количество опытов с грунтами в
трехфазном состоянии и результаты их сравнил с существующими
формулами.
Всасывание грунта относится к макроскопическим его свойст-
вам и указывает на интенсивность, с которой образец грунта при-
тягивает воду. Всасывание есть результат взаимодействия сил
притяжения и отталкивания изменяющихся частиц грунта и поляр-
ных молекул воды, вместе с силами поверхностного натяжения в
воде, потенциалом раствора, зависящего от растворенных ионов,
и гравитационного потенциала.
По мнению М. Н. Гольдштейна, всякий грунт при влажности,
меньшей некоторого предела, находясь в контакте со свободной
водой, впитывает в свои поры определенное количество этой во-
ды. Это явление называют всасыванием, а соответствующие си-
лы— силами всасывания. Явление впитывания воды грунтом
представляет собой в общем случае результат сочетания осмоти-
ческих, капиллярных и гидратационно-связывающих эффектов.
В зависимости от минералогического и гранулометрического соста-
вов грунта может преобладать тот или иной вид всасывания и
соответственно различают осмотическое, капиллярное и пленочное
всасывание воды в грунт. Пленочное всасывание всегда сопровож-
дается увеличением объема грунта — его набуханием. Всасыва-
ние грунта можно рассматривать как величину, состоящую иэ
матрического (каркасного) и осмотического всасывания или вса-
сывания раствора. Матрическое всасывание есть отрицательное
монометрическое давление, которое поддерживает грунтовую воду
в состоянии равновесия посредством пористой мембраны с грун-
товой водой внутри образца грунта. Это явление известно как
капиллярное всасывание, осмотическое всасывание или всасыва-
ние растворенного вещества.
Всасывание грунта h обычно принимается идентичным отрица-
тельному поровому давлению воды а„; h=—о,,. В соответствии с
этим давлением всасывание грунта можно заменить поровым
давлением воды. Всасывание можно определить по формуле
mg 100
где R— универсальная газовая постоянная; Т — абсолютная тем-
пература; m — грамм-молекулярная масса воды (wacca 1 моля
воды); g— ускорение свободного падения; Н — относительная
влажность, %- Всасывающая сила, согласно последней формуле,,
равняется нулю, когда относительная влажность равняется 100%.
и постепенно увеличивается с уменьшением влажности грунта
336
Обычно эта сила выражается в г/см на грамм воды, или просто как
единица энергии в см.
Проницаемость набухающих глин по данным полевых опытов
составляет порядка 10-6 см/с и изменяется в зависимости от всасы-
вающей силы. Для определения проницаемости неводонасыщенных,
глин В. Гарднером предложена формула
ь ____?____
° l-f-а | h |n ’
где ko — проницаемость водонасыщенного грунта; а и п — фильт-
рационные характеристики грунта. Значения этих параметров, по
данным Р. Литтона, изменяются в пределах fc0 = 2-10-6... 4,5Х
ХЮ-7 см/с; а=10-9; л=1... 3. Обычно скорость фильтрационного
потока в направлении i выражается формулой
(9-3)
где kn — тензор проницаемости; V — потенциал потока
+ (9.4)
Согласно последнему выражению, потенциал потока состоит из-
всасывания h, гравитационного потенциала х и потенциала пере-
грузки, причем последние два почти взаимно уничтожают друг
друга при набухании и усиливают друг друга при усадке.
В любом случае последние два слагаемых суммы, как правило,
настолько малы по сравнению с всасывающей силой, что всасы-
вание можно рассматривать как единственный движущий потенци-
ал. Если на протяжении профиля установившейся влажности не
происходит набухания и усадки грунта, то скорость фильтрацион-
ного потока, согласно выражениям (9.3) и (9.4), примет вид
Согласно модели Силвана, Андрея, требуемая энергия, необ-
ходимая для передвижения единицы веса воды из занимаемой ею
позиции (вокруг минералов), представляет собой суммарную
энергию. Всасывание в этой модели отождествляется с силой в
сжатой пружине.
Чем больше удельная поверхность грунта, тем больше удельная
энергия, а чем больше удельная энергия, тем больше всасывание
воды в грунт капиллярами. Более четкое объяснение дано Г. Айт-
чисономг который графически иллюстрирует объем количественных
всасываний на разных расстояниях от поверхности глинистых
минералов. Поведение глин при набухании и усадке он связывает
с отрицательным давлением поровой воды.
Проведенные нами экспериментальные исследования расширя-
ют представление о механизме всасывания влаги в глинистых
337
грунтах в процессе их набухания и усадки. Представляют опреде-
ленный интерес установленные нами закономерности инфильтра-
ции при различных значениях уплотняющих давлений. Согласно
полученным из эксперимента данным, на характер зависимости
инфильтрационного всасывания влаги грунтом влияет интенсив-
ность деформаций набухания и усадки, величина уплотняющих
давлений, а также цикл увлажнения и
ЪР’О
9Р-0,гнла
скрипа
оЩлпа
Рис. 9.1. Зависимость скорости поглощения вла-
ги в глинистых грунтах при различных значениях
уплотняющих давлений (для первого цикла)
высушивания глинистого
грунта. На рис. 9.1
представлена законо-
мерность изменения
скорости всасывания
глинистым грунтом
влаги в процессе его
набухания для перво-
го цикла увлажне-
ния — высушивания.
Как видно из этого
рисунка, скорость ин-
фильтрационного впи-
тывания влаги в гли-
нистых грунтах дости-
гает своего максималь-
ного значения в тече-
ние первых суток про-
цесса набухания. Со
временем скорость впи-
тывания существенно
'замедляется и посте-
пенно приближается к
нулю в течение несколь-
ких суток. Скорость
впитывания влаги за-
висит от начальной влажности, гранулометрического и минерало-
гического составов грунта, а также и от уплотняющего давления.
Как видно из рисунка, значение уплотняющего давления сущест-
венно влияет на скорость инфильтрационного впитывания влаги.
Максимальная скорость имеет место при свободном набухании
грунта. С увеличением уплотняющей нагрузки скорость инфиль-
трационного впитывания постепенно уменьшается. Это объясня-
ется тем, что пористость грунта под действием уплотняющего
давления уменьшается, вследствие чего поглотительная способ-
ность также снижается.
Установленная из опыта закономерность изменения скорости
впитывания влаги в процессе набухания грунта может быть ап-
проксимирована функцией
(9.5)
338
где k0 и а — параметры набухающего грунта, характеризующие
изменение скорости инфильтрационного впитывания влаги в про-
цессе его деформирования. Согласно формуле (9.5), параметр ko
представляет собой скорость впитывания влаги при /=1 сут. Зна-
чение параметра а для каждого вида грунта можно определить
путем выпрямления кривых рис. 9.1 на логарифмической сетке
координат.
Справедливость принятого степенного закона инфильтрации
(9.5) проверена путем нанесения опытных точек на логарифмиче-
Таблица 9.1
Уплотняющее давление, МПа Значения параметра а при циклах на- бухания
I 11 Ш
0 3,49 3,2 3,2
0,1 3,3 3,3 3,2
0,2 3,3 3,4 3,3
0,3 3,1 3,4 3,4
0,4 3,1 3,49 3,45
0,5 2,74 3,49 3,49
скую сетку координат и расположением этих точек вблизи одной
общей наклонной прямой. Построив эти прямые, вычислили значе-
ния параметра а для каждого цикла набухания грунта.
В табл. 9.1 приведены значения а для различных циклов набу-
хания грунта. Как видно из данных табл. 9.1, значение а для ряда
циклов набухания грунта практически не зависит от уплотняющего
давления.
На рис. 9.2 построены кривые изменения параметра k0 в зави-
симости от уплотняющего
давления для трех циклов
набухания грунта. Как вид-
но из этих графиков, с уве-
личением уплотняющего
давления значение парамет-
ра k0 монотонно уменьша-
ется. В первом цикле набу-
хания значение параметра
k0 в исследованном диапа-
зоне изменения уплотняю-
щего давления меньше, чем
во втором и третьем циклах
набухания. Закономерность
изменения параметра k0 в
зависимости от Р для вто-
рого и третьего циклов
Рис. 9.2. Изменение коэффициента филь-
трации в зависимости от уплотняющих
давлений
339
набухания практически совпадают. Для первого цикла законо-
мерность изменения параметра k0 от уплотняющего давления мо-
жет быть аппроксимирована линейной функцией:
^0 = ai—(9.6)
Подставляя (9.6) в (9.5) для изменения скорости инфильтра-
ционного впитывания влаги в процессе набухания грунта, получим
v=(al — blP)t~ai. (9.7)
Согласно опытным данным имеем: а{ =0,264 смсут®-1; а2 =
=0,71 см;сут“_ 1 МПа-1; а3=0,72 см-сут®-1 МПа-1; 61=0,528 смХ
Хсут®-1 МПа-1; 62=1,42 смсут®-1 МПа-1; 63=1,44 смХ
Хсут®-1 МПа”1.
Использованная в опытах экспериментальная установка позво-
лила определить влажность грунта в процессе его увлажнения и
Рис. 9.3. Изменение влажности грунта во времени в процессе набу-
хания и усадки при различных значениях уплотняющих давлений
(условные обозначения см. на рис. 9.1)
высушивания с учетом влияния различных уплотняющих давлений.
На рис. 9.3 представлены графики изменения влажности грунта
во времени для трех циклов его увлажнения — высушивания при
различных уплотняющих нагрузках. Естественная влажность
грунта была равна 14%, высушивание производилось до влажно-
сти 1,4... 2%.
Количественные характеристики изменения влажности глини-
стого грунта в процессе его набухания и усадки позволяют прийти
к следующим заключениям.
340
В процессе увлажнения влажность глинистых грунтов в соот-
ветствии со скоростью инфильтрационного впитывания влаги возра-
стает в течение нескольких часов. Затем процесс насыщения грун-
та влагой быстро стабилизируется и дальнейшее развитие дефор-
мации набухания происходит при некоторых стабилизированных
значениях влажности грунта.
При увеличении влажности грунта, сопровождаемом развитием
процесса набухания, коэффициент пористости грунта увеличива-
ется. Процесс уменьшения влажности грунта, вызывающий в нем
усадочные деформации, приводит к резкому уменьшению коэффи-
циента пористости грунта, который достигает своего максималь-
ного значения в первом цикле увлажнения — усадки. Во втором
и третьем циклах предел изменения коэффициента пористости
грунта отличается несущественно.
В соответствии с изменением пористости грунта в процессе его
набухания и усадки происходит изменение плотности: при набу-
хании плотность грунта уменьшается, а при усадке увеличивается.
Изменение плотности грунта в процессе второго и третьего циклов
набухания — усадки несущественно. Плотность грунта достигает
своего максимального значения во втором и третьем циклах на-
бухания — усадки. В процессе усадки плотность увеличивается
постепенно и достигает своего максимального значения, прибли-
жающегося к плотности твердых частиц грунта. Эта плотность во
всех циклах набухания — усадки почти одинакова. С увеличением
интенсивности внешней нагрузки в процессе набухания предел
изменения влажности грунта уменьшается. В процессе усадки
внешняя нагрузка не влияет на конечную величину плотности
грунта.
В процессе набухания плотность сухого грунта уменьшается, а
при усадке увеличивается. На изменение плотности сухого грун-
та в процессе его набухания оказывает влияние интенсивность
внешней нагрузки. В процессе усадки плотность сухого грунта
практически не изменяется. Предел изменения плотности сухого
грунта во втором и третьем циклах в процессе усадки практически
одинаков.
Пределы изменения влажности глинистого грунта в процессе
его набухания — усадки во втором и третьем циклах при всех
исследованных значениях уплотняющей нагрузки практически оди-
наковы. Небольшое изменение влажности грунта во втором и
и третьем циклах набухания — усадки приводит к незначительно-
му изменению их коэффициента пористости, плотности и удельного
веса сухого грунта.
С увеличением интенсивности внешней нагрузки уменьшение
коэффициента пористости грунта снижает его поглотительную
способность. В соответствии с этим происходит уменьшение коли-
чества впитывающейся в грунт влаги, что приводит к уменьшению
влажности его набухания.
Экспериментальные кривые изменения влажности грунта во
времени при различных циклах увлажнения — высушивания могут
быть описаны аналитической функцией с помощью гармонического
анализа, т. е. применением рядов Фурье. Эти ряды, как известно,
находят применение всякий раз, когда исследуется какой-либо
периодический процесс. Если дана некоторая экспериментальная
кривая, то гармонический анализ позволяет разложить ее на от-
дельные гармоники, ординаты которых, складываясь, дают рас-
сматриваемую кривую. Покажем как производится гармонический
анализ в рассматриваемом случае, когда искомая функция UZ=
= f(t) задана графически (см. рис. 9.3). Выделив период рассмат-
риваемой функции Г, мы можем всегда привести его к 2л путем
введения замены x = 2nt!T. Положим, что период от 0 до 2л разде-
лен на k равных частей точками t0, Z2. 1*- Из опыта известны
соответственные значения функций Wo. W\, ТГ2, ...» U7K. Требуется
представить искомую функцию в виде полинома
W (О = о0 4- «1 cos t + а2 cos 2t 4- ... ап cos nt 4- sin t-f-
4- b2 sin 2t 4- ... 4- bn sin nt. (9.8)
Для заданных значений t\, t2, .... /к выражение (9.8) дает
W (^) = a04-fli cos ^4-02^08 2^4- ... 4- an cos ntK 4-
4- Ь^ sin ti 4-62 sin 4- • • • + ^n sin ntx
1У (t2) = o0 4- at cos t24- a2 cos 2t2 4- ... 4- an cos nt2 4-
4-frj sin t2+b2 sin 2f24~ .. • 4-bn sin nt2
1У (tK)« a0 4- a4 cos tk 4- a2 cos 2tK 4- • • • 4- a„ cos ntK 4-
4-bi sin $k + sin 2fK 4- ... 4- sin ntK.
Неизвестные коэффициенты a0. Oi, 02, •» flni 61, b2,... bn подбира-
ются так, чтобы сумма квадратов отклонений заданной функции
от значений, принимаемых W(x) для соответственных аргументов,
была наименьшей. Мы должны искать минимум* выражения
и = - W (Г,)12 4- (И^- W (УF4- .. • 4- - W (Q]2.
Из этого условия получаем систему линейных уравнений:
1Ж,—и-«,)) ^£*1-+^,-+ • • •
ivv,-w «,)] • •
342
IW'.-H'G.)) -М+П^-ИЧ*,)] -^+ • • •
...+11Гк-и,(<«)]^7!!1=0;
рр.-иф,)) M-+HF,-Иф,)]
Решая полученную систему, находим значения неизвестных
коэффициентов Оо, ап, Ьп:
ао=4-2 "7. «п=4 2 wj cos ntJ< *>•=4 2 w>sin nt>-
3=1 j=i j=i
Согласно теории рядов Фурье, любая функция W(t), удовлет-
воряющая условиям Дирихле в промежутке значений t от 0 до
2л, может быть представлена в виде
W (0 = Ао + S cos и sin *0»
t=i
где
2л 2л
Л = 4г J В( = 4г J W(t)3initdt;
о о
2л
At = -i- J W (/) сое it dt.
и
9.3. Закономерности деформирования
глинистых грунтов при набухании и усадке
Правильное прогнозирование поведения набухающих грунтов
в основаниях сооружений и учет закономерностей их деформиро-
вания при расчете и проектировании фундаментов зданий и соору-
жений является актуальной проблемой, над которой в течение ря-
да лет работают ученые во многих странах мира. Особо следует
отметить многолетние исследования, проведенные в НИИ основа-
ний и подземных сооружений им. Н. М. Герсеванова под руковод-
ством Е. А. Сорочана, позволившие разработать методы и принци-
пы проектирования оснований зданий и сооружений на набухаю-
щих грунтах, нашедшие отражение в действующих строительных
нормах. Результаты исследований изложены в книге «Строительст-
во на набухающих грунтах» (Стройиздат, 1974).
343
Несмотря на определенные достижения, до настоящего времени
теория, удовлетворительно объясняющая сложнейшую природу
набухания и усадки глинистых грунтов, окончательно не разрабо-
тана.
Недостаточно исследованы вопросы взаимодействия различ-
ных факторов, роль отдельных факторов при набухании и усадке
глинистых грунтов с различным минералогическим составом, от-
сутствует единая методика определения параметров набухания и
усадки, неясны многие аспекты усадочного трещинообразования
и т. д.
Многие исследователи при изучении процесса набухания вы-
явили зависимости последнего от ряда физических свойств грун-
тов. Отмечается зависимость набухания от гранулометрического
состава грунта, а точнее от содержания в нем глинистых фракций
(Л. В. Передельский, В. П. Ананьев). Эта зависимость линейная.
Но эта закономерность имеет место только в пределах конкретных
регионально-генетических типов пород.
Зависит набухание и от начальной влажности грунта; чем
больше в нем влаги, тем меньше при прочих равных условиях его
набухание. Обратно пропорциональная зависимость между относи-
тельным набуханием и давлением набухания с одной стороны и
влагоемкостью с другой, описана многими авторами, занимавши-
мися исследованиями набухающих грунтов.
Я. С. Метерский, Е. А. Сорочан и другие отмечали возрастание
относительного набухания при увеличении влажности на пределах
текучести и раскатывания.
Н. Я. Денисов, В. П. Ананьев, Е. А. Сорочан и многие другие
установили, что с увеличением плотности грунта возрастает его
набухание. Эта зависимость линейная. При увеличении плотности
грунта в нем возрастает количество твердых частиц и, следова-
тельно, смачиваемая поверхность его твердой фазы.
Е. А. Сорочан ввел понятие «начальная плотность набухания»,
при которой и ниже которой набухание не развивается.
Зависимость набухания от плотности обусловливается пористо-
стью. Ясно, что эта зависимость является обратно пропорциональ-
ной. При прочих равных условиях наиболее подвержены набуха-
нию грунты с малыми значениями пористости. Отмечается набу-
хание (свободное и при малых давлениях) сильно пористых лессо-
вых грунтов (Кура-Араксинская впадина и другие регионы).
Зависимость относительного набухания от давления носит криво-
линейный характер: с увеличением давления уменьшается относи-
тельное набухание и особенно интенсивно это уменьшение наблю-
дается на первых этапах сжатия грунта (до 0,05...0,1 МПа).
Слоистые глинистые грунты характеризуются четко выражен-
ной анизотропией по проявлению набухания. Оно развивается
интенсивнее в направлении, перпендикулярном слоистости пород,
чем в направлении, параллельном ей (И. С. Башинджагян, 1959;
344
Ж. Е. Рогаткина, 1967 и др.). Этот структурный фактор резко
проявляется в дислоцированных глинах (Я. С. Метерский, 1970).
На набухание грунтов, особенно при изучении их в массиве,
влияет их трещиноватость, густота и направление. Трещины явля-
ются путями проникновения воды в толщу грунта, они увеличива-
ют поверхность соприкосновения грунта с водой и тем самым ин-
тенсифицируют процесс набухания. С другой стороны трещины
компенсируют перемещения набухающего грунта. Например, при
наличии в грунте системы горизонтальных трещин вертикальные
перемещения основания будут меньше, чем в грунтах, не имеющих
трещин, или имеющих трещины вертикальной ориентации. Для
оценки влияния трещиноватости грунта важен характер заполне-
ния трещин (являются ли они зияющими или же заполнены
фильтрующей породой). Зависит набухание и от структурной связ-
ности грунтов. Грунты ненарушенной структуры при прочих рав-
ных условиях обычно набухают меньше, чем грунты нарушенной
структуры.
Деформация набухания и усадки в глинистых грунтах представ-
ляет собой две взаимно противоположные стороны одного и того
же процесса, протекающего в основаниях зданий и сооружений
при различных значениях уплотняющей нагрузки. Поэтому мето-
дика попеременного увлажнения и высушивания глинистых грунтов
под действием статических нагрузок дополняет и расширяет воз-
можности общепринятых методов исследования и позволяет в ла-
бораторных условиях моделировать природные условия работы
глинистого грунта в основаниях сооружений.
В зависимости от количества выпадающих осадков, условий
поверхностного стока и испарения, физических и, в частности,
фильтрационных свойств грунта, а также условий движения грун-
товых вод общий эффект перераспределения влаги в глинистых
грунтах оснований может оказаться существенно различным.
Если строительство осуществляется в северных районах, где вод-
ный баланс положительный (т. е. величина осадков больше испа-
рения), грунты основания могут находиться в переувлажненном
состоянии. По мере же движения на юг или юго-восток водный
баланс становится все более и более отрицательным (т. е. коли-
чество осадков становится меньшим, чем величина испарения) и
соответственно этому естественная влажность грунтов основания
постепенно уменьшается. Кроме того, в заданном районе строи-
тельства изменение влажности грунтов основания в течение года
может носить периодический характер; в осенние, зимние и весен-
ние периоды года происходит увлажнение, а в летние — высыхание
грунтов основания. В соответствии с указанными изменениями
режима влажности в глинистых грунтах основания периодически
возникают деформации набухания и усадки. Поэтому закономер-
ности периодического изменения (монотонное возрастание и убы-
вание) влажности глинистых грунтов являются одним из основ-
345
ных факторов, вызывающих деформацию набухания и усадки
в основаниях сооружений.
Исходя из изложенного, возникает необходимость исследова-
ния закономерности деформирования глинистых грунтов под дей-
ствием различных по величине уплотняющих нагрузок при непре-
рывном увеличении и убывании влажности грунта. Эти законо-
мерности наиболее реально отражают деформирование глинистых
грунтов в основаниях сооружений при их набухании и усадке.
Проведенные исследования (Ж. Е. Рогаткина, А. М. Монюшко,
С. А. Лапицкого, Л. В. Передельского, В. П. Ананьева, Т. К- Арте-
менко, В. Д. Казарновского, Ю. М. Львовича, В. И. Осипова^
Нгуен Нгок Бих, Н. А. Румянцева и др.) носят в основном инже-
нерно-геологический характер и большей частью выявляют качест-
венную характеристику деформаций набухания и усадки. Что же
касается установления количественных показателей и расчетных
зависимостей деформирования глинистых грунтов при набухании
и усадке, а также разработки методов расчета этих деформаций
в основаниях сооружений, то в этом направлении имеющиеся ре-
зультаты исследований не полностью отвечают запросам строи-
тельной практики. Отсутствует расчетная модель поведения
набухающих грунтов в основаниях сооружений при цикличном
изменении их влажности. Окончательно не разработана методика
расчета различных конструкций фундаментов на воздействия на-
бухания и усадки грунтов основания.
Другим, немаловажным аспектом исследуемой проблемы явля-
ется следующее. Под влиянием набухания и усадки грунтов осно-
вания в конструкциях надземного строения и их фундаментах
возникают дополнительные расчетные усилия. Существующие
принципы проектирования фундаментов на набухающих грунтах
основываются на применении различных инженерных мероприя-
тий, исключающих (снижающих) появление указанных дополни-
тельных усилий в конструкциях фундаментов. При такой постанов-
ке задачи очевидно отпадает необходимость расчета фундамент-
ных конструкций на воздействие набухания и усадки грунтов
основания. Поэтому, естественно, методы статического расчета
конструкций фундаментов на воздействие набухающих деформа-
ций разработаны недостаточно.
В последнее время появился ряд исследований (Сорочан Е. А.,
В. П. Дьяконов, В. С. Сажин, А. Д. Шилова, А. А. Мустафаев,
А. С. Ерганджиев, Ф. Г. Габибов, Эль-Ханси Руби), в которых
рекомендуется различная методика расчета гибких ленточных
фундаментов на воздействие набухания грунтов основания. Эти
методы основываются на моделях, не полностью отражающих взаи-
модействие фундаментных конструкций с набухающими грунтами
основания. Не учитывается также такой важный фактор, как
характер распределения влаги в набухающих грунтах по подошве
гибких фундаментов.
346
За рубежом большой популярностью пользуются методы рас-
чета Р. Литтона, Р. Доусона, С. Декана, С. Ригби и других,
которые, однако, не полностью учитывают взаимодействие кон-
струкции фундаментов с деформированным при набухании осно-
ванием и не всегда являются эффективными для инженерных
расчетов. Следует отметить также, что до настоящего времени
методика расчета фундаментов на воздействие усадки грунтов
основания не разработана.
Все изложенное обусловливает актуальность дальнейшего изу-
чения закономерностей деформирования набухающих глинистых
грунтов при непрерывном (цикличном) увеличении и уменьшении
их влажности и разработки на основе этих закономерностей новых
эффективных методов расчета фундаментов зданий и сооружений
на воздействие неравномерных деформаций набухания и усадки
грунтов основания.
Закономерности деформирования глинистых грунтов при цик-
личном влажностном режиме исследовались Абу Джбара Муха-
мед Хусейн в лаборатории механики грунтов Азербайджанского
инженерно-строительного института.
Проведение этих исследований было связано с созданием спе-
циальной экспериментальной установки, позволяющей осуществить
непрерывное увеличение и уменьшение влажности набухающих
грунтов при постоянно действующих значениях уплотняющих на-
грузок. Ставилась задача процесс увлажнения — высушивания
грунта осуществлять периодически в течение нескольких циклов.
В результате представилась возможность установить закономерно-
сти деформирования глинистых грунтов при их набухании и усад-
ке в зависимости от влажности и уплотняющей нагрузки для ряда
последовательных циклов увлажнения — высушивания грунта.
Для указанного ряда циклов построены: закономерности измене-
ния влажности глинистого грунта во времени и соответствующие
этим закономерностям кривые изменения относительных деформа-
ций набухания и усадки при различных значениях уплотняющей
нагрузки (зависимость относительного набухания от относительной
усадки, закономерности изменения относительного набухания и
усадки, а также отношения этих деформаций в зависимости от
значения уплотняющих нагрузок и другие новые закономерности,
необходимые для практики фундаментостроения.
Установленные из эксперимента закономерности деформирова-
ния глинистых грунтов при периодическом изменении их влажно-
сти были положены в основу разработанной методики расчета
ленточных фундаментов на воздействие неравномерных деформа-
ций набухания и усадки. Ниже приводятся основные результаты
этих исследований.
На рис. 9.4 и 9.5 представлены закономерности развития
деформаций набухания и усадки глинистого грунта при непрерыв-
ном увеличении и уменьшении его влажности при отсутствии
347
внешней нагрузки и величине Р = 0,4 МПа для трех последова-
тельных циклов увлажнения — высушивания; аналогичные зако-
номерности были построены для Р=0,1; 0,2; 0,3 и 0,5 МПа. Как
видно из этих рисунков, интенсивность развития набухания боль-
ше, чем усадочных деформаций; существенное увеличение дефор-
маций набухания происходит в течение первых суток, а затем
постепенно стабилизируется. Характерная особенность этих зако-
номерностей состоит в том, что величина набухания во втором и
третьем циклах увлажнения — высушивания оказалась больше»
Рис. 9.4. Изменение деформаций набухания и усадки во вре-
мени при различных циклах увлажнения — высушивания
грунта
чем в первом цикле. Исключение составляет свободная деформа-
ция грунта без внешней нагрузки. Следует также отметить, что с
увеличением числа циклов увлажнения — высушивания деформа-
ция набухания несколько повышается. Этим закономерностям не
подчиняется усадочная деформация грунта. Период развития этих
деформаций во времени значительно больше, чем деформация
набухания. Стабилизация усадочных деформаций достигается в
течение 10 ...14 сут. С увеличением интенсивности внешней нагруз-
ки период стабилизации деформации усадки постепенно уменьша-
ется. Важная особенность усадочных деформаций состоит в том,
что с увеличением числа циклов увлажнения — высушивания эти
деформации убывают. Конечная стабилизированная усадочная
деформация во втором и третьем циклах увлажнения — высуши-
вания получается практически равной.
В условиях отсутствия внешней нагрузки (см. рис. 9.4) в пер-
вом цикле деформация набухания в течение первых шести часов
достигает более половины конечной стабилизированной величины.
Половина конечной стабилизированной величины усадочных
деформаций при этом была достигнута в течение 90 ч.
348
Приведенные количественные характеристики процесса набуха-
ния и усадки позволяют прийти к следующему заключению.
На конечную стабилизированную величину набухающих и
усадочных деформаций глинистых грунтов существенное влияние
оказывает интенсивность внешней нагрузки. С увеличением внеш-
ней нагрузки в соответствии со снижением поглотительной спо-
собности грунта уменьшается также величина набухающих и уса-
дочных деформаций.
времени при различных циклах увлажнения — высушива-
ния грунта
На интенсивность и величину конечной деформации набухания
существенное влияние оказывает поглотительная способность
грунта. Первое время грунт интенсивно поглощает почти все коли-
чество воды и в соответствии с этим сравнительно быстро дости-
гается конечная максимальная деформация набухания. Конечная
величина набухающих и усадочных деформаций в основном зави-
сит от начальной влажности грунта; чем больше диапазон измене-
ния влажности, тем больше величина набухающих и усадочных
деформаций грунта.
Диапазон изменения влажности грунта во втором и третьем
циклах увлажнения — высушивания по сравнению с первым цик-
лом одинаков. В соответствии с этим в этих циклах достигается
одинаковый диапазон изменения набухающих и усадочных дефор-
маций. Следовательно, конечная величина набухающих и усадоч-
ных деформаций зависит от диапазона изменения влажности грун-
та; чем больше этот диапазон, тем больше набухающие и усадоч-
ные деформации. Величина набухающих деформаций зависит так-
же от усадочных деформаций; чем больше последняя, тем больше
набухающие деформации грунта.
349
Во всех циклах увлажнения — высушивания усадочные дефор-
мации грунта в большом интервале времени возрастают линейно.
Криволинейный характер изменения усадочных деформаций во
времени наблюдается лишь с приближением к периоду стабилиза-
ции этих деформаций.
Оба процесса — набухание и усадка — обладают реологической
природой. В процессе развития деформации набухания грунт пре-
кращает поглощать воду. Между тем деформация набухания
продолжает расти, а в процессе усадки деформация грунта пре-
кращается в то время как влага продолжает испаряться с образца
грунта.
Закономерности изменения набухающих и усадочных деформа-
ций во времени при различных циклах увлажнения — высушивания
могут быть аппроксимированы степенными функциями
estu = а11А; esh=—(9.9)
где ан ayt рн» Ру — соответственно параметры нелинейной дефор-
мируемости грунта в процессе набухания и усадки. Значения этих
параметров определяются путем выпрямления кривых (9.9) на
логарифмической сетке координат. Для каждого цикла увлажне-
ния— высушивания значения указанных параметров остаются по-
стоянными; меняются лишь при переходе от одного цикла к друго-
му. Для усадочных деформаций значения параметров av, для
всех исследованных циклов могут быть приняты постоянными.
Кроме того, для этих деформаций в большом интервале изменения
времени значение параметра может быть принято равным еди-
нице.
В. И. Осипов, Нгуен Нгок Бих, Н. А. Румянцева уста-
новили, что относительное свободное набухание и давление набу-
хания глин при их циклическом увлажнении и высушивании
возрастает по экспоненте — с увеличением количества циклов и
достигает своего максимального значения при каком-то цикле,
после которого эти характеристики не изменяются. Количество
циклов, необходимых для достижения максимальной набухаемо-
сти, увеличивается с ростом структурных связей грунтов. Однако
в природе часто встречаются условия, при которых переменно
увлажняется и подсушивается вся толща грунтов или ее часть.
Это может вызываться сменой дождливых периодов сухими, транс-
пирацией влаги растениями, техногенными и другими причинами.
Поэтому первый цикл попеременного увлажнения и подсушивания
грунтов не обязательно начинается при испытании грунтов в лабо-
ратории; он мог протекать и в толще грунта, задолго до отбора
образцов. Это ограничивает применение особенностей динамики
набухания при циклическом замачивании и подсушивании грунтов,
описанной перечисленными выше авторами.
На рис. 9.6 и 9.7 представлены закономерности изменения
набухающих и усадочных деформаций глинистых грунтов в за-
350
писимости от влажности грунта при двух характерных значениях
уплотняющей нагрузки Р = 0 и Р = 0,4 МПа для трех последова-
тельных циклов увлажнения — высушивания. Аналогичные кривые
были построены для Р=0,1; 0,2; 0,3 и 0,5 МПа.
Как показывают опыты, конечные значения набухающих и уса-
дочных деформаций существенно зависят от диапазона изменения
влажности грунта. На величину набухающих и усадочных дефор-
Рис. 9.6. Изменение относительных
деформаций набухания и усадки
грунта в зависимости от влажности
Рис. 9.7. Изменение относительных
деформаций набухания и усадки
в зависимости от влажности
маций при непрерывном повышении и уменьшении влажности
грунта существенное влияние оказывает также величина уплотня-
ющих давлений. При нагрузке 0,1 МПа увеличение влажности
грунта от 0,14 до 0,24 и ее уменьшение в этом же диапазоне вызы-
вало в нем на 44% больше усадочных деформаций, чем набухаю-
щие.
В первом цикле диапазон изменения влажности грунта в про-
цессе усадки был на 55% больше, чем в процессе набухания.
Поэтому усадочная деформация в этом цикле получилась на 44%
больше, чем набухающая.
Установленные из эксперимента закономерности показывают^
что изменения деформации набухания в зависимости от влажно-
сти в пределах одного цикла увлажнения — высушивания доста-
точно удовлетворительно описываются экспоненциальным законом
esul = 1 — е"“н<",~ин) , (9.10)
351
где ТГН — начальная (исходная) влажность грунта; ан — параметр,
зависящий от свойства и состояния грунта;
“**= И'.и.-И'н *П l_e«w ’ <9Л 1)
конечная влажность грунта; eKsw — соответствующая этой
влажности относительная деформация набухания.
Для процесса усадки имеем
esh^i-e-ay(w'w^\ (9.12)
где
= И'н-И'.л ,П j-e" ’ <913>
5Л
еквЛ_ соответствующая начальной влажности грунта относнтель-
ная деформация усадки.
Полученные из эксперимента данные позволили выявить зако-
номерности изменения деформации набухания в зависимости от
Рис 9 8 Изменение деформации набухания в зависимости
от уплотняющих давлений (условные обозначения см. на
J рис. У.о)
„оиия пои различных циклах увлажнения — вы-
уплотняющего давле построены кривые изменения относитель-
сушивания. На рис. _ трех исследованных циклов увлаж-
ных деформации наоу видно из этих кривых, во всем интер-
нения — высушивания. давления величина деформации
вале изменения упл оказалась меньше, чем во втором и
набухания в первом ц 6 ясняется тем, что диапазон изменения
третьем циклах. Зто втором и третьем циклах был
влажности грунта во
352
больше, чем в первом цикле. Характерная особен-
ность кривых рис. 9.8 состоит в том, что с увеличением
уплотняющего давления относительная деформация грунта моно-
тонно уменьшается. Причем существенное уменьшение деформации
грунта во всех трех циклах увлажнения — высушивания происхо-
дит в начальном небольшом диапазоне изменения уплотняющего
давления от 0 до 0,1 МПа.
Так, при нагрузке 0,1 МПа деформация грунта в первом цикле
была на 82% меньше, чем при свободном набухании. При увели;
чении нагрузки от 0,1 до 0,2 МПа деформация снижается лишь
на 29%.
Характерно также, что закономерности изменения относитель-
ных деформаций грунта от уплотняющих давлений во втором и
третьем циклах практически совпадают. Кроме того, в отличие от
механики обычных структурно-устойчивых грунтов нелинейная
связь между деформацией и давлением наблюдается в начальном
небольшом диапазоне изменения давления от 0 до 0,3 МПа. После
этого значения давления уменьшение деформации происходит по
линейному закону. Последнее обстоятельство позволяет методом
экстраполяции установить значения порога набухания. Используя
эту методику, для первого цикла увлажнения — высушивания зна-
чение порога набухания было установлено равным 0,66 МПа; для
второго и третьего цикла значения порога набухания получились
совпадающими, равными 0,7 МПа.
Как видно из приведенных данных, повторное увлажнение и
высушивание грунта повышает порог его набухания на неболь-
шую величину (6%).
В широком диапазоне изменения уплотняющих давлений нели-
нейная зависимость между относительным набуханием и уплот-
няющим давлением может быть аппроксимирована функцией
e5U, = £S(l-P/P^r°, (9.14)
где еон — относительное свободное набухание (при Р=0); Psw^-
начальное давление набухания («порог набухания»); /п0 — пара-
метр, характеризующий нелинейную деформируемость грунта при
набухании.
Значение параметра то для первого цикла оказалось равным
т0=1,21. Для второго и третьего циклов значения этого парамет-
ра совпадают и получаются равными то=1,О7. Как видно из этих
данных, повторное увлажнение и высушивание глинистого грунта
ослабляет нелинейный характер изменения его деформации набу-
хания с увеличением уплотняющей нагрузки. Значение параметра
т0 при этом уменьшается на 11%. В инженерных расчетах нели-
нейная зависимость деформирования может привести к большим
математическим осложнениям. Поэтому для таких расчетов вполне
оправдано значение параметра mQ принять равным единице и тем
353
самым физический закон деформирования набухающего грунта
представить в виде линейной функции
e,w = eo-~-P. (9.15)
* 8W
Е. А. Сорочан, Н. А. Цытович, 3. Г. Терд-Мартиросян на основе
анализа многочисленных испытаний набухающих глин в лабора-
торных и полевых условиях рекомендуют следующую зависимость:
= в1г)»
где mv — коэффициент относительной сжимаемости, зависящий от
исходной плотности — влажности.
На рис. 9.9 построены кривые изменения относительных дефор-
маций усадки в зависимости от значения уплотняющего давления
для трех циклов увлажнения — высушивания.
Как видно из этих графиков, во всем диапазоне изменения
уплотняющей нагрузки значение усадки
Рис. 9.9. Изменение деформации усадки в за-
висимости от уплотняющих давлений (услов-
ные обозначения см. на рис. 9.6)
в первом цикле оказалось
больше, чем во втором и
третьем циклах. Особен-
ность деформирования
грунта при усадке та-
кая же, как при его на-
бухании. Изменение от-
носительной деформации
усадки в зависимости от
уплотняющей нагрузки
так же. как и при набу-
хании, происходит по
криволинейному закону.
Существенное снижение
значения деформации
при этом происходит в
начальном небольшом
диапазоне изменения
давления от 0 до 0,2
МПа. Начиная от давле-
ния 0,2 МПа, наблюда-
ется тенденция к линей-
ному закону деформирования. Как видно из рис. 9.9, закономер-
ность деформирования грунта при его усадке во всем диапазоне
изменения уплотняющего давления так же, как и при набухании
во втором и третьем циклах, практически совпадают. Характер-
ная особенность деформирования грунта при усадке состоит в
том, что с увеличением уплотняющего давления деформация при-
ближается к некоторому конечному значению. Это наблюдается
во всех трех циклах увлажнения—высушивания грунта.
354
Представленные на рис. 9.9 закономерности позволяют прийти
к заключению, что после определенного значения уплотняющей
нагрузки изменение усадочных деформаций грунта не происходит.
Значение этого давления для данного вида набухающего грунта
и его состояния является постоянной величиной.
Закономерности изменения усадочных деформаций в зависи-
мости от уплотняющего давления удобно описать функцией
= <=!' + (е? - еХ) (1 - P/Ptf". (9.16)
При линейном законе деформирования значение параметра
принимается равным единице и поэтому функция (9.16) прини-
мает вид
e5.=eS----(9-17)
В литературе существует понятие «влажность усадки», введен-
ное М. И. Гольдштейном. При этой величине влажности усадочная
деформация грунта больше не происходит. Понятие «давление
усадки», при котором прекращается усадочная деформация грунта,
по-видимому, вводится нами впервые. Значение «давления — усад-
ки», как видно из рис. 9.9, в первом цикле увлажнения — высуши-
вания меньше, чем в последующих циклах. Для первого цикла
увлажнения — высушивания оно равно 0,6 МПа, для второго и
третьего цикла — 0,65 МПа. Соответствующая этим давлениям
относительная усадка для первого цикла равна 0,019, для второго
и третьего цикла — 0,006.
Как видно из приведенных данных, повторное увлажнение —
высушивание глинистого грунта увеличивает значение для него
«давления — усадки» на 8% и соответственно этому снижается
предельное значение усадки на 68%.
Полученные из эксперимента данные позволили выявить взаи-
мосвязь между набухающей и усадочной деформациями грунта
при различных значениях уплотняющих давлений. На рис. 9.10
построены закономерности изменения относительной усадки в за-
висимости от относительного набухания при различных значениях
уплотняющего давления для трех циклов увлажнения — высушива-
ния грунта. Как видно из этого рисунка, указанная закономер-
ность для всех циклов носит линейный характер: чем больше
деформация набухания грунта, тем больше и его усадочная дефор-
мация. Для второго и третьего циклов опытные точки практически
совпадают. Значения деформации усадки в первом цикле значи-
тельно больше, чем в последующих циклах увлажнения — высуши-
вания грунта. Это объясняется тем, что изменение влажности
грунта в первом цикле усадки происходило больше, чем в процессе
набухания.
355
Как видно из построенных на рис. 9.10 графиков, зависимость
между относительной усадкой и относительным набуханием в мо-
мент стабилизации этих деформаций при всех исследованных
значениях уплотняющих давлений подчиняется линейному закону.
Характерно, что указанная линейная зависимость имеет место
при всех исследованных циклах увлажнения — высушивания. По-
видимому, после второго цикла увлажнения — высушивания во
всех возможных повторных циклах изменения влажностного режи-
Рис. 9.10. Зависимость между относительными усадкой
и набуханием при различных циклах увлажнения —
высушивания грунта (условные обозначения см. на
рис. 9.6)
ма глинистых грунтов, указанная зависимость остается неизменен-
ной. Исследованная зависимость в диапазоне изменения относи-
тельного набухания от 0,0042 до 0,0176 подчиняется следующему
уравнению:
(9.18)
Значения параметров Ьо и bi для второго и третьего циклов увлаж-
нения— высушивания получились почти равными 6о = О,ОО68;
61 = 1,05. Для первого цикла увлажнения — высушивания значения
этих параметров установлены равными 6о=О,ОО2 и 61=0,94.
Как видно из приведенных данных, значение параметра 60
для первого цикла увлажнения — высушивания на 66% больше,
чем во втором и третьем циклах, а параметр 61 на 10% меньше,
чем во втором и третьем циклах.
Изменение отношения £8W/eSh при непрерывном увеличении и
уменьшении влажности глинистых грунтов под действием различ-
ных значений уплотняющих давлений показано на рис. 9.11.
356
Как видно из графиков рис. 9.11, в первом цикле увлажнения —
высушивания грунта, отношение еяи./еял уменьшается с увеличени-
ем значения уплотняющего давления. Изменение отношения
еяи,/евл в первом цикле носит криволинейный характер и при «поро-
ге набухания», равным Р = 0,66 МПа, это отношение становится
равным нулю.
Как видно из графиков рис. 9.11, в первом цикле увлажнения —
няющего давления (при свободном набухании и усадке). Для ис-
следованных грунтов [е8и7е$л]о=0,734. Значение параметра р0»
найденное путем выпрямления кривой зависимости (9.17) на ло-
гарифмической сетке координат, установлено равным 0,84.
Интересный результат получается для второго и третьего цик-
лов увлажнения — высушивания. Согласно рис. 9.11, отношение
относительных деформаций набухания и усадки в этих циклах не
зависит от уплотняющего давления и в широком диапазоне изме-
нения давления остается постоянным. Опытные точки в этих цик-
лах во всем интервале изменения уплотняющего давления практи-
чески совпадают. Поэтому для второго и третьего циклов можно
составить выражение
Zswfesh = А = const.
(9.20)
Значения постоянной А для второго и третьего циклов увлаж-
нения — высушивания представлены в табл. 9.2.
Как видно из данных табл. 9.2, значения постоянной А для
второго и третьего циклов практически совпадают.
357
Значения постоянной А в пределах точности проведенных
опытов может быть принято равным единице. Отсюда следует,
что после первого цикла увлажнения — высушивания грунта отно-
сительная деформация набухания, независимо от значения уплот-
няющего давления, может быть принята равной относительной де-
формации усадки.
При замачивании набухающих грунтов, согласно исследовани-
ям В. Ф. Чепик, их прочностные показатели снижаются в 10... 20
раз в зависимости от степени естественного упрочнения. В экспе-
риментах А. Н. Токина и С. Н. Егорова угол внутреннего трения
грунта при набухании снижался до 2%,
0,01 МПа. Ж. Е. Рогаткина в
Таблица 9.2
Р, МПа Значения А прн циклах
втором третьем
0,00 1,00 0,996
0,10 1,010 1,00
0,20 0,990 1,03
0,30 0,980 0,998
0,40 0,988 1,02
0,50 1,00 1,12
а сцепление — до
своих исследованиях, проведенных
в районе озера Баскунчак над
хвалынскими глинами, алевро-
литовыми глинами районов
Средней Азии, глинистыми по-
родами Сабайского месторожде-
ния, пришла к выводу, что при
набухании сопротивление грунта
сдвигу свыше 10% исследован-
ных образцов практически сни-
жалось до нуля.
Аналогичные результаты по-
лучены в исследованиях Н. С.
Реутовой, И. С. Бачаровой,
Н. А. Окниной, проведенных на майкопских
В. М. Громовой и
глинах в Ставрополе, которые после стабилизации деформаций
набухания практически полностью теряли свою прочность.
Согласно Е. А. Сорочану, снижение прочностных характеристик
при набухании происходит у всех набухающих, глин. Эти показате-
ли для сарматских глин изучались автором по следующей методи-
ке. Часть образцов природного сложения и влажности испытыва-
лись на медленный и быстрый сдвиг. Пятнадцать образцов грунта
подвергались предварительному замачиванию без нагрузки до
проявления полного набухания, а затем осуществлялся быстрый
сдвиг. Такое же количество образцов замачивали уже под нагруз-
кой и после достижения ими деформации полного набухания
подвергали испытаниям по схем*е медленного сдвига. В результате
этих экспериментов было установлено, что при набухании угол
внутреннего трения грунта уменьшается в 2 раза, а сцепления в
4,5 раза при быстром сдвиге и соответственно в 1,5 и 1,8 раза при
медленном сдвиге.
По Н. А. Цытовичу, при набухании грунта угол внутреннего
трения его уменьшается незначительно, а сцепление в 15 раз. Та-
ким образом, результаты проведенных экспериментальных иссле-
дований показывают, что прочностные свойства глинистых грун-
тов при набухании значительно снижаются.
358
Глава 10
ПРОГНОЗ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
ГЛИНИСТЫХ ГРУНТОВ ПРИ ИХ НАБУХАНИИ
10.1. Математическая формулировка задачи
о напряженно-деформированном состоянии
набухающих грунтов
В существующих исследованиях прогноз явлений набухания
и усадки в глинистых грунтах основывается на ожидаемом в них
изменении объема влаги. Деформация грунта при этом может
быть прогнозирована также исходя из изменения силы всасывания.
Существуют теории набухания, основанные на совместном рас-
смотрении изменений силы всасывания и содержания влаги в
глинистых грунтах.
Однако объемная деформация грунта зависит не только от
того, насколько изменяется содержание в нем воды, но также и
от приложенного к грунту давления, и от его исходной влажности.
Прогнозирование одномерной деформации набухания глинистых
грунтов основывается на ряде допущений. Предполагается равно-
мерное набухание грунта, согласно которому выбранный для рас-
смотрения столб грунта является типичным для всей деформируе-
мой массы основания. Другим предположением является отсутст-
вие деформации сдвига между отдельными частицами
набухающего грунта. Последнее допущение при неравномерном
распределении влажности грунта приводит к существенным по-
грешностям. Прогноз деформации поверхности глинистого грунта
с расширяющейся решеткой может быть построен на следующих
допущениях. Можно исходить из диффузионного движения влаги,
описываемого указанным выше дифференциальным уравнением,
и предположить, что между смежными грунтовыми частицами от-
сутствует сцепление. Возможно также, при известном заданном
законе распределения влажности грунта, использование математи-
ческого аппарата теории упругости.
Как установлено Б. Ричардсом, совместное рассмотрение двух
теорий — теории упругости и диффузии — приводит к более удов-
летворительным результатам. При такой постановке задачи диф-
фузия влажности зависит от напряженного состояния грунта, а
напряженно-деформируемое его состояние, в свою очередь, от
количества диффузионной влаги. Математическая формулировка
такую задачу приводит к следующим шести уравнениям, образую-
щим единую замкнутую систему:
уравнение равновесия
>-+^+р^+4(хЛ)=о:
359
уравнение, связывающее компоненты напряжений с компонентами
деформации,
уравнение, связывающее компоненты деформации с компонен-
тами перемещений,
сх
_ Уху —
ди
дх
dv
1 ! ди ду \
~2 ('дГ ’ ~д^)
уравнение инфильтрации (обобщенный закон Дарси)
уравнение неразрывности движения инфильтрационного пото-
ка
4»+(.£*. + фс) = 0;
dt 1 \ дх 1 ду / *
уравнение уплотнения ненасыщенного водой грунта
dh 1 dh д ( ди . dv
dt а dO dt \ дх ду ) ’
где а — отношение изменения объемного содержания воды 0 к из-
менению общего объема; р, pw — соответственно плотность грунта
и воды; v — пауссоновое отношение.
Решение сформулированной задачи, как правило, осуществля-
ется численными методами (методами конечных разностей и конеч-
ных элементов) с использованием ЭВМ (Р. С. Санду, С. Т. Хванг,
Н. Р. Моргенштерн, Д. В. Муррей и др.).
Рассматриваемая задача Р. С. Санду решается с использовани-
ем общих вариационных принципов. С. Т. Хванг, Н. Р. Морген-
штерн и Д. В. Муррей применяют вариационный метод Галеркина.
Несколько иной подход использует Б. Ричардс. Общая задача,
рассматривающая совместное влияние двух полей — поля влажно-
сти и поля напряжений, разбивается на две самостоятельные зада-
чи. Для каждого момента времени из уравнения диффузии уста-
навливают поле влажности, а из уравнения упругости соответст-
вующее этой влажности напряженно-деформированное состояние
360
грунта. Объемную деформацию грунта в этом методе определяют
по закону Хенкеля:
kvlv= До/34- аЛтосГ,
где TOCf — октаэдрическое касательное напряжение
тое,=4 У (а< — <т2)г+(®г - °э)2+(<Ъ - о,)2,
®=4" (а«+=4~ +°2+аз);
а — коэффициент порового давления, изменяющийся в пределах от
0,5 для обычных затвердевших до 0,1 для набухающих глин.
Эквивалентное изменение силы всасывания определяют по фор-
муле
ДЛ = ^-^-(-^-+аДТ«е<)-
В настоящее время еще окончательно не разработаны точные
методы прогноза возможной величины подъема фундаментов с
учетом закономерностей деформации массива при набухании и
усадке грунтов оснований.
3. Г. Тер-Мартиросян для описания напряженно-деформиро-
ванного состояния набухающих грунтов разработал температурно-
влажностную аналогию. Согласно этой аналогии процесс набуха-
ния в глинистом грунте отождествляется процессу температурного
расширения деформируемой среды. Эта аналогия не является
строго обоснованной, поскольку каждый из указанных процессов
описывается различными аналитическими зависимостями. Кроме
того, как отмечает автор этого метода, в отличие от температуры
влажность грунта может изменяться лишь в конечном интервале —
от естественного состояния до полного водонасыщения. Следует
добавить также, что в отличие от температурного поля изменение
влажности грунта в указанном диапазоне определяется гравита-
ционным полем. Общие уравнения для влажностного напряженно-
го состояния по аналогии с теорией термоупругости представляют-
ся в таком виде:
ех—PAW = [ах — g (а, + а,)|; уху=-g- тХ(/;
е, — PAIV =-g- [а9 — g (ах + О',)); ууг=~ ту1;
е, — рЛИ'=-g- [а, — р (а, + а,)); уХ1 = ~ т„;
е=4-(1-2р)<т+30ДИ',
где AU7 — приращение влажности по сравнению с начальной
AlF=WrK—Wo (WK — конечная и W'o—начальная естественная
361
влажность грунта); 0 — коэффициент расширения (или усадки)
грунта при изменении влажности
р = Л/(1+г0),
где k — эмпирический коэффициент, зависящий от величины на-
пряжений и вида грунта. Для набухающих глинистых грунтов
Л=1. Математическая постановка рассматриваемой задачи значи-
тельно упрощается, если ввести в рассмотрение потенциал пере-
мещений влагоупругости
dw dw dw
дх ду dz
Первое уравнение задачи в перемещениях при этом принима-
ет вид
(10.1)
Определив вид функции Ч7 из последнего уравнения с помо-
щью соотношений (10.1), вычисляют компоненты перемещений.
Зная их, по обобщенному закону Гука
____ Е (ди । ди \
Tjri/ 2 (1 -f-р) \ дх “Г ду / ’
°,=ТОГ [ w + + н)
определяют компоненты напряженного состояния набухающего
при увлажнении грунта.
10.2. Принятая методика прогноза деформации оснований,
сложенных набухающими грунтами
На основании многолетних исследований, проведенных в НИИ
оснований и подземных сооружений им. Н. М. Герсеванова,
Е. А. Сорочаном, и анализа обобщения имеющегося опыта строи-
тельства и эксплуатации зданий и сооружений на набухающих
грунтах в 1983 г. был разработан ныне действующий СНиП
2.02.01—83.
Расчет оснований и фундаментов зданий и сооружений на
набухающих грунтах, согласно требованиям СНиПа, производят
по второму предельному состоянию — по деформациям, а при не-
обходимости и по первому — по несущей способности. При расчете
по предельным состояниям прогнозируемые деформации и несу-
щую способность основания сопоставляют с предельно допустимы-
ми и минимальной необходимой несущей способностью грунтов
основания, которые определены с учетом особенностей конструк-
362
ции надземного строения, методов их возведения и некоторых
других факторов.
Согласно указанному СНиПу, подъем основания фундаментов
при набухании грунта, происходящем вследствие его замачивания,
определяют по формуле
п
= S Rsw, ikikfiw, f,
i=i
где hi — толщина i-ro слоя грунта; kgWti— коэффициент условий
работы, принимаемый равным 0,8 при суммарном давлении
0,05 МПа и 0,6 при давлении 0,3 МПа; esir>i— относительное
набухание грунта i-ro слоя, определяемое при инфильтрации влаги
по формуле
= (^«at hn)lhn,
где Ляа/ — высота образца грунта после его свободного набухания
в условиях невозможности бокового расширения в результате
замачивания до полного водонасыщения; hn — высота образца
грунта природной влажности и плотности обжатого без возможно-
сти бокового расширения суммарным вертикальным давлением на
рассматриваемой глубине. При экранировании поверхности и из-
менении водно-теплового режима относительное набухание нахо-
дим по формуле
где Wo — начальная влажность грунта; е0—начальный коэффици-
ент пористости; k — коэффициент, принимаемый равным 2 (при
отсутствии экспериментальных данных).
Суммарное давление в середине рассматриваемого слоя опре-
деляют по формуле
°z, tot ~°z, y+°z,g+ °z,adi
где o2,p — давление от нагрузки фундамента; otig — давление от
собственного веса грунта; o2>ad — дополнительное вертикальное
давление, вызванное влиянием веса неувлажненной части масси-
ва, расположенной за пределами площади замачивания
<Jz.ad = kgv (z-|-dn),
где ^—коэффициент, принимаемый по таблице СНиПа в зависи-
мости от отношения длины к ширине замачиваемой площади и
относительной глубины расположения рассматриваемого слоя;
г — расстояние от подошвы фундамента до середины рассматри-
ваемого слоя; dn — глубина заложения подошвы фундамента от
планировочной отметки.
363
Величину осадки основания в результате высыхания набухаю-
щего грунта определяют по формуле
п
idn^shi
i=i
где е,л— относительная линейная усадка Z-го слоя грунта при
изменении его влажности от возможного наибольшего значения
до наименьшего при действии давления, равного сумме природ-
ного и дополнительного давления от фундамента; ЛвЛ= 1,3 — коэф-
фициент условий работы грунта при усадке.
Как *видно из представленных выше расчетных положений,
прогноз подъема основания фундаментов на набухающих грунтах,
согласно рекомендациям СНиП 2.02.01—83, производится исходя
из величины одномерной вертикальной деформации грунта, опре-
деляемой путем их компрессионного испытания. В этих условиях,
как известно, деформация набухания развивается без возможно-
сти бокового расширения грунта; в расчет вводится только верти-
кальное уплотняющее давление. Влияние трех компонентов нор-
мального давления на величину набухающих деформаций не учи-
тывается. Глинистые грунты в большинстве случаев имеют
фильтрационную анизотропию и соответственно этому их дефор-
мация набухания по трем координатным направлениям получается
различной. Эта важная особенность поведения глинистых грунтов
п основаниях сооружений также не учитывается в рекомендациях
СНиПа. Кроме того, деформация набухания глинистых грунтов
представляет собой развивающийся во времени процесс, поэтому
скорость этих деформаций существенно может отразиться на ра-
боте несущих конструкций надземного строения. Учет этого
важного обстоятельства при прогнозировании деформаций основа-
ний зданий и сооружений из набухающих грунтов, не нашедший
своего отражения в рекомендациях СНиПа, является также суще-
ственным фактором.
10.3. Другие рекомендации для прогноза набухания
в основаниях сооружений
Определенный интерес представляет исследование В. С. Сажи-
на о модели основания из набухающего грунта, представляющей
собой систему предварительно сжатых пружин, достаточно хорошо
отражающую деформационность указанного основания. Модель
предполагает прямо пропорциональную зависимость между упру-
гой восстанавливающей силой пружины и ее деформациями в
любом диапазоне изменения нагрузок. При небольших нагрузках,
передаваемых на грунт, значение вертикальной деформации осно-
364
вания при набухании, по В. С. Сажину можно определить по фор-
муле
^sw ~ (РО —
где Ро — давление на грунт, при котором подъем основания не про-
исходит; Р— давление, при котором определяется подъем основа-
ния; со — коэффициент, учитывающий влияние ширины фундамен-
та, его глубины заложения и мощности увлажненного грунта на
величину подъема основания, определяемый с учетом линейной
зависимости по формуле:
c0-(P2-PiV(Ssw-SswX
t и — значения подъема основания соответственно при дав-
лениях Р| и Р2.
Для давлений, превышающих 0,05 МПа, автор приводит выра-
жение для определения относительного набухания, учитывающее
изменение давления Р, тип набухающего грунта и способ получе-
ния зависимости Esw=f(P), т. е.
etw = a<AB0 + P),
где а0 и Во—параметры, зависящие от типа грунта в функции
^suf(P). Значение абсолютной деформации набухания элементар-
ного слоя грунта толщиной dz, выделенного из основания на глу-
бине z от уровня подошвы фундамента, имеющего ширину В,
можно определить следующим образом:
Д = ceu>(P) dz,
где esl(;— относительное набухание грунта при давлении Р=Р\ +
~+Ръ Pi—давление от собственного веса грунта
Л = У + z),
где у— удельный вес увлажненного набухающего грунта мощно-
стью Н; dn— глубина заложения подошвы фундамента; Р2 — До-
полнительное давление
при z^.b
P2=(l-0Az/b) (P'9-ydn);
при z>b
P2 = 0,Wz(P'o-ydn).
Относительное набухание в соответствии с исследованиями
Р. И. Злочевской определено по формулам
при
(/’) = (a0/Y)IV(2d + /)j;
365
при b<z^H
F <p\ = -2o_ z
' Y z2 + b1Z-hc ’
где a= 1—0,4/6(P'o/l—^n); f= (Р'о+Во)/7; bi = dn-¥ Bo/^.
Подъем основания легко определить по выражению
= J eitt- (Р) dz,
(Н)
которое с учетом коэффициента условия работы т = 0,4[1+(3—
—Л)///] и интегрированием в соответствующих пределах представ-
лено В. С. Сажиным в таком виде:
при Д = 4с—6]2>0
Ssli. = m^-[ln |/
//g+M/4-g fei
b24-fe1fe4-c j/д
х, . 2(// —Ь) /А । 1 1 / л . j Ъ \Л
-• arctg д_(2//+(,,1(26-1-6!) + d ln(l + d i )J;
при Д<0
5„г = т-Ь.[1п|Л
Н-- М/ + с
№+ЬхЪ-тс
Ьх
2 /-=Д
X ,п (2// + 1.._/_Д)(26 + 6.+ |^) 1 / 6 )
(2// + д1-/-А)(2Ь4-^1-г / — A) d \ //
На основании приведенных выражений В. С. Сажина предло-
жена формула для определения давления набухающего грунта на
подошву фундамента, учитывающая совместную работу грунта ос-
нования и сооружения:
в W = Р0е-(ах2>- Соу. (10.2)
Представляет особый интерес и работа Н. А. Цытовича и
3. Г. Тер-Мартиросяна, чьи исследования посвящены вопросу рас-
чета деформирования поверхности набухающего грунта. Рассмат-
ривалось местное поверхностное увлажнение по радиусу г и уста-
новлено стационарное поле влажностей UZ, удовлетворяющее
уравнению
—к ——4-—)
\ (>Г2 ' 2 дг Г dz2 ) ™
решение которого позволяет определить компоненты напряжений
с помощью функций Бесселя первого рода.
В случае плоской задачи, когда на поверхности грунтового
полупространства вдоль полосы шириной 26 при устанавливаемом
режиме влагопереноса влажность увеличивается на величину ДР7
и единственное, отличное от нуля, напряжение будет действовать
366
в плоскости, перпендикулярной этой полосе:
1 о E^w . v
—— (ф,—ф2),
где <pi(2 = arctg[(x±b)/z], а величина подъема основания
S,w (X, z) = j [рдж (х, z) - Jg- аи (х, z)] dx,
О
где AIF(x, z) = (Д W/л) (<pi—ф2).
С учетом приведенных выражений формула для определения
подъема поверхности основания в случае плоской задачи примет
вид
5 = -^-рДИЛ[(х + Ь) In(х+6)2 — (х—Ь) In (х—Ь)г].
В расчетах фундаментов на дополнительное воздействие от
набухания существенное значение имеет величина конечного на-
бухания грунта Uq=S6W, которую можно определить по формуле
н
s.w=\ e.w(P)dy, (10.3)
Лн
где еа1г(Р) —относительное набухание, зависящее от действующего
в грунте напряжения Р, изменяющегося по глубине; Ан — верхняя
граница области набухания; Н— мощность набухающего грунта.
Как было установлено выше, зависимость относительного набу-
хания от уплотняющего давления хорошо аппроксимируется фор-
мулой (9.14):
e.w (Р) = (! — P/Psw)^-
С учетом линейной связи относительного набухания и напря-
жения имеет место формула
e.w(P)=e;—/г-Р. (10.4)
Г 8W
На основании анализа данных, приведенных в табл. 1 прило-
жения 2 СНиП 2.02.01—83, В.В. Рощиным предложена компакт-
ная формула для определения уплотняющего давления по глубине
основания прямоугольных фундаментов
a (z) = Ро ехр [—|-(т + т)]’ (10-5)
где Pq=Pq—^dn\ Pq — среднее значение давления по подошве фун-
дамента; f — удельный вес грунта, расположенного выше подошвы
фундамента; dn— глубина заложения подошвы фундамента; b
и I — соответственно меньший и больший размеры прямоугольной
подошвы фундамента.
367
Подставляя (10.4) в выражение (10.3) и учитывая зависимость
(10.5), получим
н
S,w=io\ {1 - pJ7[Y(dn + z)+Poe-zZ2(l/i,-1/,>l} dy.
Лн
Раскрывая последний интеграл и производя необходимые пре-
образования, получим выражение для подъема прямоугольного
фундамента при набухании грунтов основания:
S.U, = е. {(Я - Л„) —pL (Я - h„) [d„(Н + Лн) ] +
п _ 2 ' b U
*0 е
P,W 0,5 (1/6+1/0
[i (4+T)jj.
(10.6)
Для ленточных фундаментов (/-►с/э) формула (10.6) принимает
вид
s.w = е." {(Я-Лн) —(Я- Л„) [d„ + ± (Я + Л„)] +
+ 2 -^-бе-(и/2Ь) (1 _,<«-»„>/»)) . (Ю.7)
“ sw J
Для квадратных фундаментов — согласно (10.6), имеем
= ^(Я-Лн) [<*п+4-(Я+Лн)] +
4—Ье-и/ь [1 — г.<"-Лн>/ь)1 (10.8)
*8W J
Для круглых фундаментов (Ь=0,886 d) последняя формула
принимает вид
SB = e? {(Я —Яи)—J- (H-hJ [dn + 4 (Я + Лп)]+
+ 0,886 ф- de-'-12»"/11 {1 -• >2в<«,10 9)
? 8W J
10.4. Определение зон деформации
в основаниях зданий и сооружений
Согласно исследованиям Е. А. Сорочана, в процессе изменения
напряженного состояния грунт в загруженном массиве проходит
различные фазы деформаций. В период возведения фундамента
если внешнее давление превышает прочность структурных связей
грунта (Р>РСТр), основание может претерпевать осадку. Увлаж-
нение основания приводит к тому, что грунты вступают во вторую
фазу деформаций — фазу набухания, при условии P<P,W. Однако,.
368
если действующее давление превысит давление набухания
(Р>РЯГ), возможна дополнительная осадка фундамента.
Под воздействием давления в массиве при набухании грунта
могут иметь место следующие характерные зоны деформаций
(рис. 10.1, а—в): зона уплотнения /, нейтральная зона //, зона
набухания ///.
При отсутствии внешнего давления в массиве формируется
только зона набухания, величина которой зависит от действующе-
го давления, размеров и формы фундаментов. Схема распределе-
ния давления в основа-
нии фундамента при на-
бухании приведена на
рис. 10.2.
На расстоянии z от
подошвы фундамента
действует некоторое на-
пряжение, равное сумме
напряжений от действия
собственного веса грунта
Рб(>) (рис. 10.2, прямая
3—4), фундамента Рф(г)
(кривая 1—2) и до-
а1 Подъем
Р Подъем
Подъем
Рис. 10.1. Различные зоны деформации
массива набухающего грунта по Е. А. Со-
рома ну
полнительного напряжения РДОп(<г) (прямая 5—6), вызываемого
влиянием веса неувлажненной части массива, расположенной за
пределами площади замачивания:
Рсу„(г)=РБ(2) + />ф(г) +
РдОП (z).
(10.10)
Действующее на определенном расстоянии z от подошвы фун-
дамента дополнительное напряжение можно определить по фор-
муле
РДоп = тну (z + dn),
где тв—коэффициент, зависящий от отношения длины L к шири-
не В замачиваемой площади и относительной глубины расположе-
ния рассматриваемого слоя (z-f-dn)/B; 7—удельный вес грунта;
dn — глубина заложения фундамента от планировочной отметки.
Тогда для зоны набухания будет справедливо следующее усло-
вие:
Рв U) +Рф (z) + РД0П (z)^Psw. (10.11)
Распределение уплотняющих давлений в основании от дейст-
вия фундамента определяем по формуле (10.5):
Рф (z) = (Ро — ydn) e-(V2)(i/b+i/D.
Тогда выражение (10.11) можно представить в виде
Реум W = у (z + dn) + (Ро- Ydn) е-(z/2)( 1/ъ+ i/о _|_ dn) < Psa7
(Ро - Ydn) e‘(e/2)( 1/ь+1/0 < PSw - dny (1 + mH) - yz (1 4- ти). (10-12)
369
Обозначая AO=PSW—dniil + m*)-, B = P0—^dn\ с = 7(1 + тн),
получим
(10.13)
Рис. 10.2. Расчетная схема для про-
гноза подъема фундамента на набухаю-
щем грунте
g-u/zxi/b+i//)^ z
в в
Решая неравенство (10.13) относительно z, можно определить
границы зоны набухания.
Решаем неравенство (10.13) графическим методом. Левая
часть неравенства представляет собой показательную функцию,
графиком которой является кривая, проходящая через точку М
(0; 1) и асимптотически приближающуюся к оси z. Правая часть
выражения (10.13) представляет собой уравнение прямой. Абсцис-
сы точек пересечения графиков указанных функций представляют
собой расстояние от подошвы фундамента до верхней и нижней
границ зоны набухания (рис. 10.3).
Как видно из рис. 10.3, до определенной глубины z суммарное
напряжение от действия собственного веса грунта и фундамента
превышает давление набухания, вследствие чего в пределах дан-
ного слоя может формиро-
ваться зона уплотнения. В
слое, имеющем высоту, рав-
ную (zOH—А)в), суммарное на-
пряжение Рсум(г) не компен-
сирует давление набухания,
что приводит к формированию
в нем зоны набухания. Если
мощность набухающих грун-
тов меньше полученной вели-
чины zA то граница зоны на-
бухания, естественно, будет
определяться расстоянием от
подошвы фундамента до по-
дошвы слоя набухающих
грунтов. На рис. 10.4 показан
случай, когда зона набухания
в основании фундамента
отсутствует (Рсум (z) >
Таким образом, при изменении напряженного состояния на-
блюдается различный характер деформаций грунта в основании
фундамента — уплотнение или разуплотнение, т. е. в процессе ра-
боты грунт проходит различные фазы деформаций. Границы зон
деформаций, как видно из рис. 10.3 и 10.4, зависят от действую-
щего давления и размеров фундамента. С увеличением внешнего
давления высота зоны набухания будет уменьшаться.
Для определения зон деформаций в основании из набухающих
грунтов может быть применен также графический метод. По фор-
370
муле \( 10.5) в зависимости от формы и размеров подошвы фунда-
мента\ строится эпюра распределения напряжений по глубине от
действия веса сооружения (см. рис. 10.2, кривая 1—2). Затем на
этом же чертеже в выбранном масштабе строится эпюра распре-
деления уплотняющего напряжения от действия собственного веса
грунта (прямая 3—4) и дополнительного напряжения, вызываемо-
ю влиянием веса неувлажненной части массива (прямая 5—6).
Суммируя соответствующие ординаты этих эпюр, получим резуль-
тирующую эпюру распределения напряжений по глубине основа-
ния от совместного действия веса сооружения, собственного веса
Рис. 10.3. Графическое реше-
ние уравнения (10.13) для оп-
ределения границ зоны набу-
хания грунтов основания
Рис. 10.4. Графическое ре-
шение уравнения (10.13)
для случая отсутствия гра-
ниц зоны набухания грун-
тов основания
грунта и веса неувлажненной части массива (кривая 7—8). На
расстоянии Psw проводится параллельная oz линия давления на-
бухания (прямая 9—10). Точки пересечения линии давления набу-
хания с результирующей эпюрой уплотняющих напряжений будут
соответствовать границам зон деформаций в основании сооруже-
ния. В частности, на рис. 10.2 можно наблюдать три зоны харак-
терных деформаций.
Первая зона — зона уплотнения (при Рсум>^стр) от совмест-
ного действия веса сооружения и собственного веса грунта, про-
стирается от подошвы фундамента до первой точки пересечения
линии давления набухания с результирующей эпюрой напряжений.
Вторая зона — зона, в которой давление набухания не компен-
сируется уплотняющим напряжением от совместного действия веса
сооружения, собственного веса грунта и веса неувлажненной части
массива (активная зона). Она находится между двумя точками
пересечения линии давления набухания с результирующей эпю-
рой.
Третья зона — зона уплотнения, зависящая в основном от дей-
ствия собственного веса грунта, веса неувлажненной части масси-
ва и в отдельных случаях также от действия веса сооружения.
371
Формулы (10.6...10.9) (в отличие от СНиПа) содержат такие
важные характеристики грунта, как свободное набухание, «порог»
набухания, границы набухающего слоя, а также размеры и сред-
нее давление по подошве фундамента.
Эмпирические связи для прогнозирования набухания или на-
бухающего давления грунтов за рубежом определяют следующим
образом (1970). Согласно исследованиям Сида и Эла (1962), для
данного типа глинистого минерала потенциал набухания грунта
€я,с (процентная вертикальная деформация под действием
1,0 фунт/дюйм2; 1 фунт = 4,015Н, 1 дюйм = 2,54 см) может быть
выражен в виде
еви, = Ы2’44с3’44,
где £^3,6X10-5— постоянная величина; А~1Р1с — активность гли-
ны; с — содержание глины.
Потенциал набухания грунтов может быть получен также из
соотношения
esw = kMl^i,
где М — постоянная величина, равная 60 — для природных и 100 —
для неприродных грунтов.
Ранганазом и Сатьянарайан для определения потенциала набу-
хания предложили уравнение вида
e.u,= m1(s/)2-67,
где mi — постоянная величина, равная 41,13 для природных грун-
тов; si— коэффициент усадки, %.
Коморник и Дэвид выполнили ряд опытов по определению на-
бухающего давления на образцах грунта - природного сложения
и на основании этих опытов получили следующую зависимость:
log Р = 2,132 4- 0,0208W\ + 0,000665Vd - 0,02691V,
где Р — давление набухания, кг/см2; WL— предел текучести; р—
плотность сухого образца грунтов, кг/см3; IV— содержание влаги.
Эти опыты были проведены на образцах грунта, уплотненных до
такой степени, чтобы содержание влаги в них почти соответствова-
ло оптимальному, а плотность, в свою очередь, соответствовала
плотности, используемой в опытах. Уплотнение образцов грунта
проводилось в специально созданной форме, разделенной на три
части. Часть образца грунта, помещенного в отделение, располо-
женное в центре формы, высотой 1 дюйм, была использована для
определения потенциала набухания и давления набухания. Образ-
цы исследованных грунтов имели возможность набухать в верти-
кальном направлении под дополнительной нагрузкой, равной
1 фунт/дюйм. В другом опыте, проведенном для определения дав-
ления набухания, вспучивание в образце было ограничено. С этой
372
целью был использован кольцевой динамометр, позволяющий
измерить вертикальное давление, действующее на образец грунта.
На основе этих опытов авторы получили формулу
Р= 3,5817-10’2 (/р),Л2 (e/WQ + 3,7912,
где Р — прогнозируемая величина давления набухания, фунт/
дюйм2, с первоначальным содержанием влаги в образце Wrt
esw = 2,29- IO"2 (/р)1’45 (e/U7()+6,38,
где еяц; — прогнозируемая величина потенциального набухания,
%, при начальном содержании влаги в образце Wi.
10.5. О характере деформаций
поверхности набухающих грунтов оснований
Рис. 10.5. Подъем поверхности
набухающего массива вследствие
экранирования и -местного увлаж-
нения
от водопроводной, канализа-
Как показывают натурные опыты и наблюдения, гладкая гори-
зонтальная поверхность глинистых грунтов при набухании получа-
ет выпуклую форму. Очертания получаемой при этом деформиро-
ванной поверхности зависят от многих факторов, основными из
которых являются координаты точечного источника увлажнения,
продолжительности увлажнения ос-
нования и характеристики набуха-
ющих грунтов. Прогнозирование
деформированной поверхности ос-
нования при расчете фундаментов
на набухающих грунтах имеет
важное значение. Величина и ха-
рактер распределения расчетных
усилий в теле гибких фундаментов
существенно зависят от формы де-
формации при набухании их осно-
ваний. Равномерный подъем грун-
тов основания не вызывает допол-
нительных усилий в теле фунда-
ментов. Наибольшую опасность
для прочности фундаментных кон-
струкций представляет куполооб-
разная модель основания от точеч-
ных источников увлажнения (утечка
ционной сети и других коммуникаций), приводящих к неравно-
мерным деформациям в несущих конструкциях надфундаментных
строений. Анализ натурных наблюдений показывает, что харак-
тер изгиба железобетонных фундаментов на набухающих грун-
тах очень напоминает форму выпуклого профиля поверхности ос-
нования, получаемую при отсутствии внешних нагрузок. Поэтому
вопросы прогнозирования деформации незагруженной поверхнос-
373
ти основания при набухании стали предметом специальных иссле-
дований советских и зарубежных ученых.
Исследования деформирования поверхности грунтового масси-
ва при его экранировании, проведенные Н. А. Цытовичем и
3. Г. Тер-Мартиросяном, показали, что если при местном поверх-
ностном увлажнении на поверхности грунтового полупространства
внутри круга радиусом гх влажность повышена по отношении»
к окружающей среде на величину ATF, то вдоль полосы шириной
26 единственное отличное от нуля напряжение будет (рис. 10.5):
й E&W г . *+& . х — ь л а ему /ш ш к
а, = р —j— [arctg —----arctg —^—J = Р (У, - ¥2).
Величина подъема основания в любой точке массива при этой
определяется выражением
S,w(x, z) = j [pAtV (x, z)—-£-aB(x, z)]dr,
o
где
л»»// v AIV / . x -J- b z—• b \ / nr iff \
XW(x, z) = —— (arctg—X-arctg—(4'1-4'2).
Jl \ A Z / JI
ра источника замачивания.
/ — экспериментальная; 2 — расчетная при а-
-0.125 м-‘
Уравнение деформации поверхности основания в случае плос-
кой задачи принимает вид
5 = PAJT ((х + b) In (x + d)2 - (x - b) In (x - 6)2].
Из последнего выражения видно, что плоская до увлажнения
поверхность массива в результате экранирования и местного ув-
лажнения претерпевает подъем, резко уменьшающийся к краям
экрана.
Лотковые испытания Г. Я. Карапетова, проведенные под руко-
водством 3. Г. Тер-Мартиросяна, также свидетельствуют о том,,
что при местном увлажнении
поверхность грунта испытыва-
ет неравномерный подъем,
имеющий максимальное зна-
чение в середине и составляю-
щий на краю 0,7 части от
максимального подъема в се-
редине.
Экспериментами В. С. Са-
жина, проведенными в г. Кер-
чи, установлено, что с удале-
нием от источника замачива-
ния подъем основания моно-
тонно уменьшается. Замачи-
вание грунтов в этих экспери-
374
ментах производилось в течение 16 мес из котлована размером
5X5 м, на дне которого были пробурены скважины глубиной 8 м.
Эпюра подъема поверхности, построенная по результатам этих
опытов, изображена на рис. 10.6. Зависимость величины подъема
поверхности от расстояния до источника замачивания В. С. Са-
жин аппроксимирует следующей функцией:
S8W (z) = 50exp[ — (az)2],
где 5sa(x)— подъем основания на расстоянии х от центра источ-
ника замачивания; 50 — подъем основания в центре источника зама-
чивания; а—коэффициент, зависящий от размеров источника за-
мачивания.
За рубежом формы деформирования поверхности основания
при его набухании изучались в полевых и лабораторных условиях.
При экранировании поверхности набухающих глинистых грунтов
в Южной Африке непроницаемым пластиковым листом диаметром
7,5 м наблюдался ее неравномерный подъем — максимальное пе-
ремещение поверхности происходило под центральной частью эк-
рана и резко уменьшалось к его краям (рис. 10.7).
Многочисленные полевые исследования поврежденных фунда-
ментных конструкций, проведенные Р. Литтоном и К. Майером в
Техасе, а также неко-
торые другие исследо- L
вания показали, что I - ____________7,5м______
профиль, приведенный ** ’* jL
на рис. 10.7, в общем $ ’ 6 ~ ------
характеризует преоб- - XX
ладающии вид дефор- | ~ —
мации поверхности ос- -7 -
_______ ____ _______ _1_________।_।_।_।_।_।_।_।_।_।_।_।_।_।_1_—
—|—|---i__l—1—1—I---1—1--» I I I I I I
5,6 2.4 1,2 0 1,2 2,4 5,6
Радиальное расстояние, м
нования при набуха-
нии.
В результате сезон-
ного изменения ВЛ аж- Рис. 10.7. Профиль поверхности грунтового мас-
кости глинистых грун-
сива при его набухании
тов в основании фун-
даментов могут быть различные виды деформации. Экспери-
ментальные исследования, проведенные в полевых условиях, ука-
зывают на два основных варианта деформации грунтового осно-
вания — набухание в центре и набухание по краям фундамента.
Процесс формирования возвышенности под центром гибкого во-
донепроницаемого экрана изображен на рис. 10.8.
Если поверхность набухающего грунта экранировать в период
засушливого времени года (рис. 10.8, б), то при наступлении
влажного сезона из-за увеличения влажностного режима в грун-
тах будет наблюдаться подъем поверхности основания (рис.
10.8, в). Во время первого засушливого сезона после экранирова-
375
Платные цслоИс
w 7/S /7/ Суше условия
ния поверхности количество
выпадающих осадков не
ij компенсирует испарения,
Пя" вследствие чего открытая
поверхность будет претер-
певать осадку, тогда как
основание из-за невозмож-
ности испарения будет про-
должать свое движение
вверх под краями фунда-
мента (рис. 10.8, г). В даль-
нейшем его края будут из-
гибаться вовнутрь, пока ос-
нование не примет централь-
но-деформированное сос-
тояние (рис. 10.8, е).
Поверхность деформиро-
ванного основания в зави-
симости от времени года
будет продолжать свое
движение то вверх, то вниз,
заставляя лежащий на нем
фундамент изгибаться на
небольшом расстоянии I
от его края.
Аналогичные результа-
ты были получены некото-
рыми другими специалис-
тами (Уорде, Джонсон)
полевые эксперименты ко-
торых показали, что на су-
хом глинистом основании в
результате его экранирования первоначально формируется зона
краевой деформации набухания, но к концу 1-го года после уста-
новки фундамента образуется поверхность куполообразной фор-
мы под его центральной частью.
Если же основание фундамента представлено глинистым грун-
том в водонасыщенном состоянии, то фильтрация влаги происхо-
дит от центра фундамента к его краям и поэтому процесс набуха-
ния основания возникает под краем фундамента (рис. 10.9).
Для решения контактных задач фундаментостроения важно
знать очертания поверхности основания в результате деформации
набухания. Профиль деформированной поверхности при этом сле-
дует определять, как изменяющееся по длине фундамента расстоя-
ние от его подошвы до поверхности бугра набухания. В результа-
те обработки натурных наблюдений и экспериментальных данных
Р. Литтон пришел к заключению, что форму деформированной
Рис. 10.8. Процесс формирования возйк,
шенности под центром гибкого водонеПр’
ницаемого экрана: ₽0‘
а — сезонное перемещение открытого грунта- ж
плита, помещенная на сухой участок грунта- «***
середина первою-влажного сезона после размеш*
ния плиты; г —середина первого сухого сезом
после размещения плиты; д — середина втопогп
влажного сезона после размещения плиты; е °
длительные условия бугра "
376
поверхности глинистого грунта при его набухании («бугор» набу-
хания) можно характеризовать уравнением вида (рис. 10.10):
И/(т) = схт, (10.14)
где W— расстояние от подошвы изгибаемого фундамента до по-
верхности бугра набухания; с — постоянная, зависящая от харак-
теристики набухающего грунта; х— произвольное расстояние от
наивысшей точки горба набухания вдоль фундамента; т — пока-
затель степени, изменяющийся в пределах от 2 до 8. С увеличени-
ем показателя т длина консольной части фундамента на каждом
его конце уменьшается, что приводит к снижению расчетного
1L
Рис. 10.10. Характер бугра набуха-
ния по Р. Литтону
Рис. 10.9. Схема движения влаги
и образования бугров при набу-
хании
значения изгибающего момента и, следовательно, размеров попе-
речного сечения фундамента. Р. Литтон рекомендует показатель
т определять отношением m = Llzn, где L — длина фундамента,
— глубина активной зоны глинистого грунта. В условиях набу-
хающих грунтов Аделаиды (Южная Австралия), по данным
Р. Литтона, показатель т колеблется от 2 до 8. Как показывают
результаты выполненных Р. Литтоном расчетов, максимальный
изгибающий момент в конструкциях гибких фундаментов возника-
ет при т = 2.
Глава 11
РАСЧЕТ ФУНДАМЕНТОВ НА НАБУХАЮЩИХ ГРУНТАХ
СОГЛАСНО МОДЕЛИ МЕСТНЫХ УПРУГИХ ДЕФОРМАЦИЙ
11.1. Состояние вопроса
Проблемами расчета фундаментных конструкций на неравно-
мерные деформации набухания глинистых грунтов основания за
рубежом активно занимаются в течение последних нескольких де-
вятилетий. Первыми исследованиями, направленными на выясне-
ние взаимодействия фундамента с деформированным в процессе
набухания основанием, были полевые испытания, проведенные в
377
США в штате Техас и в Южной Африке. Наблюдения за полно-
масштабными фундаментами велись на протяжении нескольких
лет и многие из них были опубликованы. Независимо от этого
проводились исследования форм деформирования основания с уче-
том множества факторов, влияющих на изменения влажности
грунта.
Первые опубликованные методы расчета фундаментов на на-
бухающих грунтах были основаны на натурных наблюдениях и
экспериментах. Эти эмпирические методы, построенные на вероят-
ном механизме деформации основания, при котором в фундаменте
возникают максималь-
Рис. 11.1. Расчетные схемы набухания грунта по
подошве фундаментов:
1 — равномерное давление грунта
ные значения внутрен-
них усилий и проги-
бов, обладают рядом
существенных недос-
татков, так как не
учитывают взаимодей-
ствия конструкции
фундаментов с дефор-
мированным основа-
нием и поэтому не
претендуют на доста-
точную точность.
Наиболее приемле-
мый эмпирический ме-
тод расчета фундамен-
тов на набухающих
грунтах был представ-
лен в 1959, 1962 и
1968 годах Американской комиссией по исследованиям в области
строительства (Building Research Advisary Board «BRAB»). Со-
гласно этой методике, расчет производится с учетом наихудшего
возможного варианта расположения по подошве фундамента оча-
гов набухания, реактивное давление грунтов основания при этом
принимается равномерно распределенным. В сущности, методика
BRAB дает расчетные значения изгибающего момента, перерезы-
вающей силы и прогиба для простой балки на двух опорах в
случае набухания грунтов основания под концами фундамента и
для консольной балки для набухания под центром фундамента.
Причем в обоих случаях набухания грунтов основания нагрузки
на фундамент принимаются равномерно распределенными (рис.
11.1, а, б). Формулы для определения максимальных значений из-
гибающего момента, перерезывающей силы и прогиба соответст-
венно имеют вид: 1
М = wLxL2IS (1 — с); Q = wLiLI% (1 — с)
или (2 = 4M/L; y = M£2/(12K/)J или El = ML/12(y/L)>
378
где с — коэффициент опоры, представляющий собой долю площа-
ди подошвы фундамента, взаимодействующую с набухающим
грунтом основания; Е1 — изгибная жесткость.
Внутренние усилия и прогиб могут быть вычислены также с
помощью простых формул:
в случае набухания грунтов основания под обоими концами:
М = kql2/8‘, Q = kqll<2\ y=5Kql4384,
в случае набухания грунтов под центром:
у--=8Kql*/88^
где q — внешняя равномерно распределенная нагрузка; К—эмпи-
рический коэффициент, корректирующий значения расчетных вели-
чин; I — длина фундамента.
В табл. 11.1 представлено изменение значения корректирующе-
го коэффициента, установленное по наблюдениям.
Таблица 11.1
Расчетные величины Набухание под обоими конца- ми фундамента Набухание под серединой фундамента
(1959) г. (1962 г.) | (1968 г.) (1959 г.) (1962 г.) (1968 г.)
Изгибающий момент Перерезывающая си- ла Прогиб 0,67 0,67 0...0.5 0...0.5 0...0.32 0...0,4 0...0,4 0... ...0,3232 0...0.67 0...0,67 0...0,5 0...0.5 0...0,533 О...О,4 0...0,4 0...0,592
В этих же работах предлагается методика определения значе-
ния коэффициента К в зависимости от числа пластичности глини-
стого грунта и коэффициента опоры с. Коэффициент опоры зави-
сит от числа пластичности грунта и климатического коэффициен-
та с1С, который для условий США был получен с учетом: количест-
ва ежегодно выпадающих осадков; степени равномерности и рас-
пределения осадков; количества случаев выпадения осадков;
продолжительности каждого случая; количества выпавших осад-
ков в каждом отдельном случае.
Паркер и Минз предложили определять величину си- с учетом
продолжительности засушливого периода года (рис. 11.2, а).
Зная значения коэффициента с1Г, по графику рис. 11.2, в опре-
деляют коэффициент опоры с.
Эмпирический метод BRAB достаточно прост для использова-
ния инженерами-проектировщиками, но, однако, обладает сущест-
венными недостатками. Главные из этих недостатков — увеличение
погрешности в расчетных величинах размеров фундаментов и
неучет фактического взаимодействия фундаментной конструкции
с деформированным основанием.
Наиболее универсальный и достаточно обоснованный метод
379
расчета ленточных фундаментов и плиты на набухающих грунтах
разработан Р. Литтоном. Согласно Р. Литтону, расчет фундамент-
ной плиты на набухающих грунтах сводится к решению уравнения:
D^y-V [GhV (у - UZ)J + к (у - W) = Р, (11.1)
v=2L_j_2L. 2 °2 I
v дхг ' ду* ' v дх* ' дх2 ду* ‘ ду* ’
D=EII(\—vo2)—цилиндрическая жесткость плиты; k — модуль
грунтового основания, фунт/дюйм3 (Н/мЗ); у — прогиб плиты;
Р — равномерно распределенная нагрузка на плиту, фунт/дюйм*
(Н/.м2); U7—функция, описывающая поверхность бугра набуха-
ния.
Расчет ленточных фундаментов, согласно этой теории, сводится
к решению уравнения:
( E1 ) - £ [GhB £ - ^)] + КВ О' -- = * <11 -2)
где Е/—изгибная жесткость фундамента; В — эффективная ширина
i)
Рис. 11.2. Графическое определение кли-
матического коэффициента и коэффициента
опоры
фундамента, через которую
происходит передача на-
грузки на грунты основа-
ния; G — эффективный мо-
дуль сдвига грунта; h— эф-
фективная глубина, в пре-
делах которой происходит
сопротивление грунта на
сдвиг; q — равномерно рас-
пределенная внешняя на-
грузка.
При создании своей ме-
тодики расчета Р. Литтон
исходил из двухпараметро-
вой модели основания (мо-
дель П. Л. Пастернака,
В. 3. Власова, Н. Н. Ле-
онтьева) (рис. 11.3,в). Со-
гласно этой модели, меха-
нические свойства основа-
ния характеризуются двумя
параметрами: коэффициен-
том сжатия К, связываю-
щим интенсивность верти-
кальной реакции грунта с
его* осадкой как в модели
Винклера, и модулем сдви-
га грунта G.
380
А
Рис. 11.3. Расчетные модели набухающего
грунта:
а — балка на бугре; б — модель Винклера; в —
двухпараметровая модель основания; 1 — балка;
2 — бугор; 3 — жесткое основание
В исследованиях Р. Лит-
тон рассматривает два ха-
рактерных случая набуха-
ния грунтов основания фун-
даментов — под концевыми
сечениями и под центром.
На рис. 11.4 для этих ха-
рактерных случаев набу-
хания грунтов основания
показан характер эпюр из-
гибающих моментов, пере-
резывающих сил, прогиба и
реактивного давления.
При разработке методи-
ки расчета фундаментов на
набухающих грунтах Р. Лит-
тон делает допущение о
линейной деформируемос-
ти грунтов основания. Кро-
ме того, коэффиицент же-
сткости основания К, мо-
дуль сдвига грунта G,
жесткость конструкции фу-
ндамента El, D и величина
внешней нагрузки q принимаются постоянными по всей длине
фундамента.
Коэффициент жесткости основания К, согласно Р. Литтону,
определяется в зависимости от принимаемого характера дефор-
мации основания при набухании. Согласно линейной зависимости
между набуханием и внешним давлением, коэффициент К пред-
ставляет собой тангенс угла наклона прямой к оси дефицита на-
бухания (рис. 11.5).
Если все коэффициенты приведенных дифференциальных урав-
нений постоянные или могут быть приняты за таковые» то можно
найти аналитические выражения, удовлетворяющие этим уравне-
ниям. Другими словами, рассматриваемые задачи в этом случае
решаются в замкнутом виде.
Если же жесткость грунта и фундамента непостоянны, тогда
для решений этих уравнений рекомендуется применять приближен-
ные методы — метод конечных разностей или конечных элементов.
Дифференциальные уравнения, где КВ и GhB равны нулю,
применяют в тех случаях, когда конструкция фундамента не кон-
тактируется с грунтом основания.
Для условия набухания под концами и под серединой фунда-
ментов, а также для различной траектории деформирования осно-
вания составлены программы для решения исходного дифференци-
ального уравнения на ЭВМ и построены соответствующие номо-
381
Нагрузка
Изгибающий
момент
Леререзыбающ он
сила
Прогиб
' Z---------о
Репктибное давление
Рис. 11.4. Эпюры изгибающих моментов, перерезываю-
щих сил, прогиба и реактивного давления основания
для двух характерных случаев набухания грунта:
а — вспучивание по краям; б — то же, в центре
граммы для определения максимальных изгибающих моментов,
перерезывающих сил и прогибов.
Для жесткой конструкции фундамента все производные от у
по х равны нулю, и уравнение (11.2) в этом случае принимает
вид
Для расчета жестких фундаментов Р. Литтон рекомендует
такую последовательность.
1. Определяют момент А10 в предположении, когда грунт и фун-
даментная балка жесткие.
2. Вводят поправку Мс в значении найденного момента, учиты-
вающего сжимаемость грунтов основания:
Л/1=МО-МС, Мс = с(7Т/8),
где Т — общая нагрузка на фундаментную балку; L — длина фун-
дамента; с — коэффициент опоры
_ т+1 Г (т4-1)Г -11/(1+"*)
С~ m-f-2 L тЛ/Wm J
382
т — показатель в уравнении бугра набухания; Wm — максималь-
ное ожидаемое относительное перемещение грунта; Т/А — среднее
давление на фундамент.
3. Определяют перерезывающую силу
Q = 1MJL.
4. Находят относительный прогиб фундамента
где Ее — модуль упругости бетона; / — момент инерции поперечно-
го сечения фундамента.
Для расчета фундамент-
ной плиты принимают такую
последовательность.
1. Вычисляют момент Mi
по обоим направлениям пли-
ты — длинном и коротком.
2. Определяют расчетное
значение момента в каждом
направлении:
в длинном направлении
но не меньше, чем ML=MiX
X (1,5—с);
в коротком направлении
Мв = ЛЛ[1+0,9(1,2-с) х
X (ЫЬ,- 1)].
Рис. 11.5. Определение коэффициента
жесткости основания набухающего
грунта
Согласно Р. Литтону, существуют два пути анализа взаимодей-
ствия грунта и фундамента. Один из них называется суперпозици-
ей, а другой — точным анализом взаимодействия. Метод суперпо-
зиции прогнозирует окончательный вид поверхности набухающего
грунта без нагрузки, с помощью чего вычисляют взаимодействие
перекрывающего изгибаемого элемента фундамента с деформиро-
ванной поверхностью основания.
Второй метод включает в себя взаимодействие грунта и фун-
дамента во времени. Согласно рис. 11.6, максимальный момент в
рассматриваемой жесткой балке, по Р. Литтону (1973),
i
M^+^-^(dx), (11.3)
о
где g— реактивное давление грунтового основания
t
О
383
где К — переменная во времени жесткость грунтового основания
K(t) = Krn.
п — показатель релаксации грунта основания, изменяющийся в
пределах от 0,25 до 1; К — величина k в единицу времени.
Интегрирование уравнения (11.3) позволяет определить выра-
жение максимального момента М и коэффициента опоры c(t)
где
C(t)==ctv/m{v§[v, 1 —n)]r’/m};
с = KWLIT (2zi/m/L)m+2; Mo = РЫ2 -f- gL2/8,
P(S, t) =Г(5)-Г(0/Г(5 + 0—(J-функция; Г(5)—^-функция; P—
нагрузка, действующая по краям фундамента; q — внешняя равно-
мерная нагрузка; T=2P+R-\-qL.
Расстояние от подошвы фундамента до поверхности бугра на-
бухания
IV (х, t) = Wm(t)(2x/L)m.
Прогиб фундамента
у(х, t) — Wm(t)(2/L)m(r‘ — xm).
Максимальное относительное смещение
где W—величина в единицу времени; q — показатель скоро-
сти набухания, изменяющийся между 0 и 1,0.
За рубежом кроме метода Р. Литтона применяют также метод
Уолша (1978). По результатам выполненных расчетов для набу-
хающих грунтов Уолш предлагает
Рис. 11.6. Жесткая балка на вязко-уп-
ругом бугре (по модели Винклера)
4 типа фундаментных плит:
1) тонкая плита толщиной
100 мм с легкими балками по
краям; 2) легкая плита, тол-
щиной 100 мм с жестким
креплением балок, находя-
щихся на расстоянии от 3 до
4 м с глубиной заложения
0,4 м; 3) жестко укрепленная
плита похожая на 2-й тип, но
с еще более укрепленными
балками, более глубокого за-
ложения; 4) подвешенная
плита на фундаменты глубо-
384
кого заложения: плита опирается прямо на стенки, а ленточный
фундамент по краям покоится на сваях глубокого заложения.
Если известен тип грунта основания и ожидаемое относитель-
ное смещение Wm, то из табл. 11.2 можно выбрать соответствую-
щий тип фундаментной плиты.
Уолш несколько изменяет вид бугра набухания, принятый
Р. Литтоном, что изображено на рис. 11.7. Он рассматривает
Таблица 11.2
Тип грунта
Гравий и песок
Ил
Глина или глини-
стый ил
Торфяные грунты
Ожидаемое относитель-
ное смещение
Рекомендуе-
мый тип
плиты
Стабильное 10 мм 1
То же 1
Среднее 25 мм 2
Нестабильное 25 мм 3
случай, когда фундаментная плита нежесткая и может взаимодей-
ствовать с бугром набухания (рис. 11.8).
Уолш использует тот же самый тип модели основания, что
и Р. Литтон, но с измененной формой бугра набухания. Дифферен-
циальное уравнение задачи Уолш решает методом конечных эле-
ментов.
Несколько в иной постановке задача расчета ленточных фун-
даментов на набухающих грунтах решается А. П. Ерганджиевым.
Модель взаимодействия на-
бухающих грунтов с фун-
даментом в этих исследова-
ниях принимается по Винк-
леру, а форма бугра на-
бухания по Р. Литтону. В
результате задача сводится
к решению дифференциаль-
ного уравнения изгиба фун-
дамента на сплошном ос-
новании с переменной же-
сткостью, в правую часть
которого помимо заданной
внешней нагрузки входит
Рис. 11.7. Вид бугра по Уолшу:
а — набухание в центре; б — то же, по коаям;
/ — пролеты плиты; 2— парабола; 3 — общее на-
бухание
дополнительная эквивален-
тная нагрузка, отражаю-
щая воздействие набухания
грунтов основания на кон-
385
струкции изгибаемого фундамента. Сформулированая задача ре-
шается специально разработанным методом последовательных
приближений. А. П. Ергаджиевым составлена программа для ре-
ализации разработанного им метода с применением ЭВМ. Решен-
ные им с помощью ЭВМ характерные численные примеры позво-
грун-
Рис. 11.8. Взаимодействие между плитой и
том:
лили дать количественную оценку влияния характера расположе-
ния по подошве фундамента источника увлажнения, жесткости
набухающих грунтов оснований на величину расчетных усилий в
изгибаемых конструкциях ленточных фундаментов.
Эль Ханси Руби разработана методика расчета ленточных фун-
даментов на набухающих грунтах с учетом реологической особен-
ности деформирования
грунтов основания. В
этой методике измене-
ние напряженно-дефор-
мированного состоя-
ния глинистых грун-
тов при их набухании
описывается линейной
теорией наследствен-
ной ползучести с яд-
ром типа Абеля.
Создание матема-
тической модели вза-
а —набухание в центре; б — то же. по краям ИМОДСЙСТВИЯ фуНДЗ-
ментной конструкции
с основанием, деформированным в процессе набухания, усложня-
ется необходимостью решения задач о совместной деформации
фундамента и основания, поверхность которого при этих дефор-
мациях приобретает криволинейные очертания. Кроме того, до-
статочно точное предсказание расположения очага возможного
увлажнения грунтов оснований крайне затруднительно, так как в
большинстве случаев оно носит случайный характер. Поэтому
при выборе математической модели изгиба фундамента на осно-
вании из набухающего грунта необходимо исходить из вероятно-
го механизма деформации, создающего наиболее невыгодные ус-
ловия для работы конструкции.
Для составления расчетных схем Р. Литтон рекомендует два
варианта расположения очагов набухания. Согласно его экспери-
ментальным исследованиям, в теле фундаментов при этом возни-
кают наиневыгоднейшие сочетания внутренних усилий и прогиба.
Первый вариант представляет собой очаги набухания, расположен-
ные под концами фундамента и вызывающие в нем максимальный
положительный момент (рис. 11.9, а). Во втором варианте очаги
набухания расположены под центром фундамента и вызывают
максимальный отрицательный момент, как в консольной балке
(рис. 11.9, б).
386
Рис. 11.9. Расчетная схема ленточного фундамента для случаев
набухания грунтов основания под центром (а) и под торцевыми
сечениями (б)
На рис. 11.10 схематично изображен балочный фундамент,
взаимодействующий с деформированным при набухании основа-
нием.
Согласно экспериментальным данным Р. Литтона, поверхность
основания фундаментов при его набухании рекомендуется задавать
уравнением
S = c(x-ay\
величине
фунда-
грунт под
внешней на-
c. для на-
грунтов
Рис. 11.10. Характер поведения ленточного фун-
дамента, расположенного на бугре набухания
грунтов основания
Согласно модели местных упругих деформаций, реактивное дав-
ление Р(х) в каждой точке контакта подошвы фундамента с осно-
ванием будет пропор-
ционально
вдавливания
мента в
действием
грузки, т.
бухающих
принцип Фусса—Винк-
лера примет следую-
щий вид:
Р (х) — к [Y (х) — S (х)],
где S(x)—ордината
траектории набухания
в данной точке осно-
вания; У(х) — прогиб фундамента в этой точке.
Раскрыв скобки в последнем выражении, получим
P(x) = kY (x)-kS(x)
или, принимая параболическую траекторию деформирования ос-
нования, будем иметь выражение распределения реактивного дав-
ления по подошве фундамента
Р (х) = kY (х) = кс(х — а)т.
(11.4)
Последний член выражения (11.4) возможно рассматривать
как некоторую эквивалентную нагрузку, учитывающую воздейст-
387
вие на фундамент неравномерной деформации набухания и изме-
няющуюся в соответствии с характером деформирования поверх-
ности основания при его увлажнении. Меняя в (11.4) значение а,
получим различные случаи расположения очагов набухания по по-
дошве фундамента, а следовательно, и характера распределения
внешней эквивалентной нагрузки. При а = 0 очаг набухания рас-
положен под левым начальным сечением фундамента (рис.
11.11, а); при а = 1 имеем набухание под правым конечным сечени-
ем фундамента (рис. 11.11, б); при a = 0,5Z набухание основания
Рис. 11.11. Эпюры эквивалентного давления для различ-
ных случаев расположения «бугра» набухания под по-
дошвой фундамента
происходит по середине подошвы фундамента (рис. 11.11, в);
меняя как угодно величину а, получим случаи расположения оча-
гов набухания в любой точке подошвы фундамента (рис. 11.11г).
Решение задачи для случая одновременного набухания в обоих
концевых сечениях фундамента можно получить методом нало-
жения решения для случая а = 0.
11.2. О коэффициенте жесткости
набухающих грунтов основания
Расчет ленточных фундаментов на набухающих грунтах, сог-
ласно модели местных упругих деформаций, вызывает необходи-
мость определения коэффициента жесткости этих грунтов в осно-
ваниях. Эта модель базируется на гипотезе Фусса—Винклера,
согласно которой осадка основания происходит только в точке
приложения сил, и величина этой осадки прямо пропорциональна
интенсивности нагрузки в этой точке:
P(x) = bkS(x),
где b — ширина соприкасающейся с грунтом конструкции; k —
коэффициент жесткости грунта основания (коэффициент постели).
388
Основным недостатком рассматриваемой модели является от-
сутствие в ней распределительной способности, а также постоян-
ство коэффициента постели для каждого вида основания и его
загружения. Однако, как показали результаты натурных экспери-
ментальных исследований Л. И. Манвелова, Э. С. Бартошевича,
деформация поверхности грунта за пределами загруженной части
основания быстро затухает, следовательно, грунты обладают ма-
лой распределительной способностью. Модель упругого полупро-
странства не подтверждалась этими экспериментами, так как
сильно преувеличивала распределительную способность грунта.
Исследования действительной работы балок, лежащих на
насыпном песке, уплотненном илистом грунте и на других струк-
турно-неустойчивых грунтах, подтвердили также приемлемость
модели Винклера для практических расчетов. Модель местных уп-
ругих деформаций нашла дальнейшее развитие в трудах С. Н. Кле-
пикова. Оставляя общую форму зависимости между реактивным
давлением грунта и осадкой, С. Н. Клепиков рекомендует прини-
мать коэффициент постели переменным. Введение переменного
коэффициента жесткости оснований устраняет недостатки модели
Фусса—Винклера; экспериментальное значение прогиба фунда-
мента и изгибающих моментов при надлежащем выборе коэффи-
циента постели и его изменчивости по длине фундамента практи-
чески совпадают с теоретическими.
Вопросы определения коэффициента постели для набухающих
глинистых грунтов оснований освещены в работах Р. Литтона и
К. Мейера. Согласно этим исследованиям, набухающие глины об-
ладают незначительной упругой деформацией и поэтому ее перво-
начальным значением в расчетах можно пренебречь. Рекоменду-
ется в расчетах ввести значения длительного коэффициента
сжимаемости грунта. Значения коэффициента сжимаемости (по-
стели) для деформации набухания и усадки глинистых грунтов
будут различными. При набухании контакт подошвы фундамента
с грунтом происходит на самых высоких точках деформированной
поверхности основания, где грунт оказывается более влажным,
чем когда на него укладывался фундамент. При усадке происходит
оседание основания под фундаментом и при этом в самых высоких
его точках влажность грунта изменяется незначительно.
Для определения значения коэффициента жесткости грунтов
основания при набухании Р. Литтоном разработана специальная
методика. Согласно этой методике, значения коэффициента k
рекомендуется брать из графика зависимости «дефицита» набуха-
ния от уплотняющего давления. На рис. 11.12 представлены типич-
ные кривые этой зависимости. Кривая 1 построена для глины
толщиной 4,5 м с числом пластичности, равным 35, и естественной
влажностью, на 3% превышающей предел пластичности. Кривая
2 построена Р. Литтоном для глины г. Аделаида (Южная Австра-
лия). Согласно методике Р. Литтона, если свободное набухание
389
поверхности грунта равно So, то при значении уплотняющего дав-
ления а деформация набухания определится значением So—Sn.
Тогда коэффициент жесткости набухающего грунта основания
составит aSH. По этой методике для кривой 1 £ = 0,02313 МПа, а
для кривой 2 £=0,04047 МПа.
Характерно отметить, что для двух видов глинистых грунтов
тот, который обладает меньшим потенциальным набуханием, при-
водит к значительному изги-
бающему моменту в ленточ-
ном фундаменте. Влияние ко-
эффициента жесткости набу-
хающих грунтов на значения
расчетных усилий в ленточ-
ном фундаменте изучалось
Р. Литтоном. Рассматривались
два характерных случая на-
бухания грунтов основания —
под серединой пролета фунда-
мента и под торцевыми его
сечениями.
№
Нюхание, ст Дефицит махания, см
Рис. 11.12. График зависимости «дефи-
цита» набухания от уплотняющего дав-
ления
В табл. 11.3 даны измене-
ния (в %) изгибающих моментов и перерезывающих сил в лен-
точном фундаменте длиной 9,14 м, подверженного равномерно-
распределенной нагрузки при увеличении значения КВ на 100%.
Как видно из таблицы, при незначительной возвышенности
(2,54 см) происходит относительно большое изменение значений
М и Q. С увеличением возвышенности (5,08 и 7,62) это изменение
несущественно. Однако даже при этих деформациях набухания
относительный прогиб фундаментов получается в пределах допу-
стимых значений.
Таблица 11.3
Расчетные усилия Набухание под центром фундамента Набухание под торцевым сечением фундамента
Высота подъема, см
[2,54 5,08 7,62 2,54 5,08 7,62
м Q 20,7 32,0 10,0 I 19,1 | 6,1 | 14,3 10,5 20,6 5,0 13,0 2,8 9,6
Для определения коэффициента жесткости набухающих грун-
тов оснований Р. Литтон рекомендует формулу
к = /Л»
где /к—модуль грунтового основания; £0 — среднее значение мо-
дуля грунтового основания. Значение /к определяется из графика
3 90
рис. 11.13, а в зависимости от максимального изменения содержа-
ния влаги в грунте основания. Значение берется из графика
рис. 11.13, б в зависимости от среднего давления на фундамент и
глубины набухающего грунта в активной зоне основания h.
Определение коэффициента постели по результатам штамповых
испытаний имеет ряд недостатков, так как на значение этого ко-
эффициента оказывают влияние размеры штампа, его деформация,
нелинейность зависимости «нагрузка — осадка». Для снижения
Максимальное изменение Среднее давление на р^ндонен/лУГа
содерманич влаги
Рис. 11.13. Графическое определение модуля и
среднего значения модуля грунтового основания
влияния на результаты определения коэффициента постели ука-
занных факторов Дж. Боуэлз рекомендует проводить испытания
со штампами разных размеров, нагружая их последовательным
штабелированием, укладывая нагрузочные плиты друг на друга,
начиная с плит больших размеров и кончая плитами меньших
размеров, что увеличивает общую жесткость штампа. Нагрузки,
прикладываемые к штампу, должны соответствовать напряженно-
му состоянию оснований фундаментов.
Существенное влияние на значение коэффициента постели ока-
зывает различие в размерах штампа и фундамента. К- Терцаги
для квадратного фундамента на глинистом грунте на основании
штамповых испытаний, размерами штампа 300X300 мм для опре-
деления коэффициента постели для фундамента рекомендует
формулу
*в/ = 3,281В*вЬ
(И-5)
где ksi — коэффициент постели для штампа; В — ширина фунда-
мента.
391
Для квадратных фундаментов на песчаных грунтах
Л8/ = [(3,313+ 1)/(6,6В)Р kai. (11.6)
Коэффициент постели для прямоугольных фундаментов с раз-
мерами в плане ВХтВ (т = а1В) определяют по формуле
ksf = [(m+ 0,5)/(l,5m)J ksi. (11.7)
Формула (11.7) справедлива для случаев, когда /гву>0,667 ksi.
Существуют и другие способы определения коэффициента по-
стели, исключающие проведение штамповых испытаний. Так,
А. Весик рекомендует определять коэффициент постели на осно-
ве трехосных испытаний грунтов. В соответствии с его методикой
вначале определяют коэффициент
^ = 0,65*5/^^, (11.8)
где Es и Ef — соответственно модули деформации грунта и упруго-
сти материала фундамента; lf—момент инерции фундамента;
v — коэффициент Пауссона.
Затем определяют искомый коэффициент постели
k3 — k'JB. (11.9)
Принимая во внимание, что
0,65 ,2/(Ё»ДЁ^ « 1,
формула (11.9) упрощается и имеет вид
ks = Esl(\-^)(MB). (11.10)
Дж. Боуэлз рекомендует определять коэффициент постели по
несущей способности грунта, т. е.
ks = 120qai (11.11)
где qa — допускаемое значение несущей способности грунта.
Приведенные формулы дают достаточно хорошие, удовлетво-
ряющие практику, значения коэффициента постели. Кроме того,
следует отметить, что изменение значения на 100... 200% приводит
к изменению внутренних усилий фундамента всего лишь на
15... 25%. Даже в случае, когда приходится иметь дело с очень гиб-
кими фундаментами нефте- и зернохранилищ, согласно расчетам
австралийского ученого М. Арнольда, значение k практически не
меняется.
11.3. Математическая постановка задачи расчета
ленточных фундаментов на набухающих грунтах
Разработка эффективного метода расчета фундаментных кон-
струкций, возводимых на набухающих грунтах, усложняется необ-
ходимостью решения задачи о совместной деформации фундамен-
392
быть самыми различными, поэтому
Рис. 11.14. Расчетная схема фундамента при
центральном увлажнении основания
та и основания, поверхность которого при увлажнении приобретает
криволинейные очертания, и выбора расчетной модели и схем, наи-
более реально отражающих взаимодействие подземной конструк-
ции с основанием. Для составления таких схем Р. Литтон предла-
гает два варианта расположения очагов набухания, при которых,
согласно экспериментальным данным, в конструкциях фундамен-
тов возникают наивыгоднейшие сочетания изгибающих моментов,
перерезывающих сил и прогиба.
Действительно, увлажнение грунтов основания в подавляющем
большинстве случаев строительной практики является случайным
фактором. Расположение очагов замачивания и глубина увлажне-
ния массива при этом могут
определение фактичес-
кой схемы деформации,
а следовательно, и фун-
дамента, для каждого
частного случая затруд-
нительно. В связи с этим
целесообразно иметь рас-
четные схемы взаимо-
действия фундамента с
деформированным осно-
ванием для общих слу-
чаев, которые соответст-
вовали. бы вероятному
характеру деформации
основания и самому неблагоприятному его увлажнению, создаю-
щему наихудшие условия для работы конструкций фундаментов.
Как свидетельствуют некоторые исследования, аналогичный ха-
рактер деформации основание имеет как при экранировании его
поверхности, так и при воздействии климатических факторов.
На основе длительных экспериментальных исследований, полу-
ченных Р. Литтоном в результате наблюдений за характером де-
формирования земляной поверхности в естественных и лаборатор-
ных условиях, траектория искривления поверхности основания при
набухании хорошо аппроксимируется выражением
5 = с (х— а)т.
(11.12)
Прогнозируя по любому из известных в литературе способов
величину ординаты траектории в двух точках под фундаментом и
применяя к ней аппроксимирующую функцию (11.12), можно по-
лучить очертание деформированной поверхности набухающего
основания под подошвой фундамента. Максимальный изгибающий
момент в теле фундамента достигается, когда т = 2.
Расчетная схема взаимодействия гибкого фундамента с дефор-
мированным при центральном увлажнении основанием изображе-
на на рис. 11.14. Ленточный фундамент рассматривается как гиб-
393
кая балка с переменной по длине изгибной жесткостью Е1(х),
которая может быть как непрерывной по всей длине фундамента,
так и кусочно-непрерывной, сохраняющей постоянное значение в
пределах определенных участков конструкции.
Рассматриваемый фундамент может быть и полосой, выделен-
ной из балочной плиты, работающей в условиях плоской деформа-
ции. В этом случае изгибная жесткость конструкции будет харак-
теризоваться ее цилиндрической жесткостью: t
где —переменный момент инерции поперечного сечения по-
лосы; vo — пуассоновское отношение материала полосы.
Взаимодействие фундамента с грунтом основания будем опре-
делять согласно методу местных упругих деформаций. Коэффици-
ент жесткости грунтового основания также примем переменным,
изменяющимся по длине фундамента. Будем считать, что высота
сечения фундамента достаточно мала по сравнению с ее длиной,
чем создаются условия для применения гипотезы плоских сечений.
Поверхность основания фундаментов при его набухании будем
описывать с помощью выражения (11.12), принимая т = 2.
Согласно модели местных упругих деформаций с переменным
коэффициентом жесткости основания, расчет балочных фундамен-
тов с переменной жесткостью на набухающих грунтах будет сво-
диться к решению уравнения:
-%Г [е/ (х) -£г] + к (X) Ь (у-S) = Ч (х), (11.13)
где Е1(х)— переменная по длине изгибная жесткость фундамен-
та; у — прогиб фундамента; k(x)— коэффициент упругости основа-
ния (коэффициент постели); b — ширина фундамента; S — орди-
ната траектории деформирования поверхности основания; q(x) —
внешняя нагрузка на фундамент.
Выражение (11.13) представляет собой дифференциальное
уравнение поперечного изгиба балочного фундамента на сплош-
ном деформированном в процессе набухания грунтовом основании,
подчиняющемся модели местных упругих деформаций. Уравнение
(11.13) относится к обыкновенным неоднородным линейным диф-
ференциальным уравнениям с переменными коэффициентами Е1(х)
и k(x), которые в зависимости от характера изменения жесткости
фундамента и коэффициента жесткости грунта в основании могут
быть как непрерывными, так и ступенчато-прерывными функциями.
Уравнение (11.13) с учетом (11.12) приведем к следующему
виду:
-^г[е/(х) -^-]+Л(х)Ьу(х) = 9(х)+Л(х)6с(х-вГ. (11.14)
394
Как видно из уравнения (11.14), неравномерная деформация
глинистых грунтов основания в процессе их набухания можно за-
менить действием на фундамент эквивалентной внешней нагрузки:
Р (х) = к (х) Ьс (х — а)т, (11.15)
направленной так же, как и внешняя нагрузка q(x), сверху вниз
и изменяющейся в соответствии с криволинейной формой поверх-
ности грунтов основания при их набухании.
В безразмерных координатах t] = x:Z уравнение (11.15) примет
такой вид:
Р (л) = к (п) ЬРсГ (т] — а)т, (11.16)
где a=a/Z. Меняя в (11.15) значение а, получим различные случаи
расположения очагов набухания по подошве фундамента, а сле-
довательно, и характера распределения внешней эквивалентной
нагрузки. При а=0,5 очаг набухания расположен по середине
подошвы фундамента; при а=0 имеем набухание под левым на-
чальным сечением фундамента. Решение задачи для случая одно-
временного набухания грунтов основания в обоих концевых сече-
ниях фундамента получается методом наложения решения для
случая а = 0.
Таким образом, рассматриваемую задачу можно свести к зада-
че об изгибе балочного фундамента, нагруженного некоторой
эквивалентной нагрузкой, изменяющейся в соответствии с формой
поверхности грунта при набухании, на недеформированном основа-
нии (рис. 11.15).
Наиневыгоднейшие сочетания внутренних усилий и прогиба в
теле фундамента возникают при его взаимодействии с основанием,
деформирующимся по траектории квадратной параболы, тогда
выражение для эквивалентной нагрузки в этом случае будет иметь
вид
р (т|) = к (Т]) ЬРсР (т] — ос)2.
Уравнение (11.14) в безразмерных координатах примет вид
[я/ (л) + к (П) Ы*У (>1) =
= Ч (п) + к (Г)) ЬГ'сГ (Т] - а)т. (11.17)
Интегрирование уравнения (11.17) в квадратурах невозможно,
так как его общее решение не получается выраженным через эле-
ментарные функции, поэтому для решения указанного уравнения
можно применить только приближенные методы.
Одним из наиболее часто применяемых методов интегрирова-
ния дифференциальных уравнений подобного типа является метод
разложения искомого решения в бесконечные степенные ряды Тей-
лора.
395
к(^)Ь1*с(г-л)г
Рис. 11.15. Эквивалентная расчетная схема ба-
лочного фундамента на набухающих грунтах
Для интегрирования уравнения (11.17) могут быть успешно
использованы вариационные методы Лагранжа — Ритца, Бубно-
ва— Галеркина и др. Могут быть применены также численные
методы интегрирования дифференциальных уравнений, среди ко-
торых следует отметить методы Адамса, Штермера, Рунге—Кутта
и др.
Ниже в отличие от вышеупомянутых методов излагается пост-
роение общего решения уравнения (11.17) методом последова-
тельного приближе-
ния, позволяющим эф-
фективно решать не-
которые краевые за-
дачи строительной ме-
ханики, связанные с
расчетами балочных
фундаментов на ста-
тическую нагрузку,
описываемые обыкно-
венными линейными
дифференциальными
уравнениями с пере-
менными коэффици-
ентами.
Закон изменения
функции жесткости
основания фундамен-
та в каждом случае
может задаваться в
соответствии с харак-
тером увлажнения набухающих грунтов оснований. Для построе-
ния решения рассматриваемых задач к уравнению (11.17) мы
должны присовокупить соответствующие начальные и граничные
условия. Граничными условиями, состоящими из двух геометри-
ческих (прогиб и угол поворота сечения) и двух статических (из-
гибающий момент и перерезывающая сила) условий, в каждом
конкретном случае расчета задаются, исходя из конструктивных
особенностей концевых сечений фундаментов.
Выразим граничные условия рассматриваемой задачи через на-
чальные параметры
у (0)=у0; у' (0)=е0; ш (О) у" (0) = -м0;
[Я/(п)Пп)К)=о = ~Qv ё0 = 60/; 7Й0 = 7И0/2; Q^Qol\ (11.18)
где i/о» Оо, Л40 и Qo — значения прогиба, угла поворота, изгибаю-
щего момента и перерезывающей силы в крайнем левом сечении
фундамента (т]=0).
396
11.4. Построение общего решения
сформулированной задачи
Известно, что в тех случаях, когда краевые задачи сводятся
к дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами,
представляется целесообразным перейти к соответствующим ин-
тегральным уравнениям. Идея такого перехода тесно связана с
применением методов последовательных приближений для диф-
ференциальных уравнений.
Для решения некоторых краевых задач строительной механики
нами был разработан, специальный метод последовательных приб-
лижений, который нашел свое применение при расчете фундамен-
тов на просадочных и набухающих грунтах. Метод является пря-
мым, так как при построении общего решения задачи относительно
переменных коэффициентов никаких ограничений не ставится.
В общем решении эти коэффициенты попадают под кратные инте-
гралы. При непрерывных по всей длине фундамента законах из-
менения этих коэффициентов квадратура выполняется обычным
способом, а при прерывных законах для выполнения повторных
квадратур используется математический аппарат функциональ-
ных прерывателей Н. М. Герсеванова. (Герсеванов Н. М. «Функ-
циональные прерыватели и их применение в строительной механи-
ке». Сб. ВИОС, № 2., М., Стройиздат, 1934). Решение получается
в виде быстро сходящихся степенных рядов, ограничение двумя
или, максимум, тремя членами которых приводит к вполне удов-
летворительным результатам.
Уравнение (11.15) представим в виде
-gr [я/ 01) = д (ч) I* + к (п) Ы‘$ (п) - к (п) ы-у (л). (11.19)
Для сведения полученного уравнения к интегральному выпол-
ним интегрирование обеих частей уравнений (11.19) в пределах
от 0 до 1]. Используя условие [Е/(т])1/"(т])]'п=о=—Qo, получим
в общем виде выражение для перерезывающей силы:
i[^i)^]=-<W =
ч ч ч
= z‘ J ? (’ll)d ’ll + Z4ft 5 k 5 (’ll) Л11 — w‘ j k (n) У (’ll) ‘Z’li — <Ai-
oo и
Для определения изгибающего момента последнее уравнение
еще раз интегрируем в.тех же пределах, и, используя граничное
условие £/(0)у"(0)=—Л/о для определения постоянной интегри-
397
рования, получим
EI (D = - Л/ (TJ) Р = Р $ 5 9 <*>«> *Ь <*П. +
О о
+ 6Z‘ $ J *(’1г)-$(’)2)<*’1г<4 —W‘ \ *(П2)»(т12)<*Пг<Ь)1 — УоЧ — Мл.
О О 0 0
Разделив обе части последнего выражения на Е/(т]) и произ-
ведя его интегрирование в пределах от 0 до ц, получим выражение
для угла поворота сечения балки:
= 6 (г)) I = I* \ g^. j \ <? (Пз) *)з *1г *11 +
о о о
Л Л1 Лг Л
+ «‘ ) W S J ^-S^d^d^-bl^ -^х
ООО о
х j* J * (Пг) У (Пэ) dn3rfn2 - V J ХЛ?О J (1120)
0 0 о о
И наконец, после интегрирования уравнения (11.20) в тех же
пределах получим уравнение изогнутой оси балки:
!/(П) = УоН-ео,1 —\ \ ЕЦх^) \ ПЕ/П(п«?1 +
0 0 оо
л Л1 Л2 Лз л Л1
+ *J \ >йг \ \ X
0 0 0 0 оо
Л2 Лз ’’’/?/? Г2
X \’ qMdrbd^-bl' \ \ ) А К)!/(П«)^*)з-
о о ООО о
Введем следующее обозначение:
л л л л
!/о(’1) = Ио + ^оП--,/о \ \ j ’жлт^1' +
о о он
’ ” ”3 Пз ? ’I1 J„ n? 1’ _
+ i i *('h)-S(ru)*h*h+ \ j \ J
0 0 W 0 b 0 0 0 0
где Е(т]) =й(т])Ь/4, ^(tj)
398
Тогда уравнение деформированной оси примет вид
Ч 41 Па чз
5 j j $ (11.21)
ио 0 0
Функцию уо(п) в дальнейшем будем называть краевой, так как
она содержит в себе четыре начальных параметра у0, 0О, Мо и QOt
характеризующих краевые условия рассматриваемой задачи. По-
скольку два из этих четырех параметров всегда равные нулю, то
составляются условия для определения лишь двух оставшихся
параметров. Так, для фундамента со свободным концом имеем
Alo=Qo=0, для закрепленного */о=0о=О и для опертого г/о=
= Мо=0. Оставшиеся два параметра определяются из условия на
правом конечном сечении фундамента.
Решение полученного интегрального уравнения (11.21) строим
методом последовательных приближений. Для построения последо-
вательного приближения в качестве аппроксимирующей функции
для поперечного изгиба, т. е. нулевого приближения, примем крае-
вую функцию уо(л) •
Подставляя в правой части уравнения (11.21) вместо £/(т>)
функцию уо(т)«)’ получим первое приближение
Я 41 42 Чз
J/i(n)=Fo(n)— J J ТЩм $ J k(iu)y,(ih)di^di\t.
0 0 0 0
Заменяя yo(ib) на Уi(л*) и поступая так дальше, получим
последовательность функций (ц), г/2(л)» • У«(л)» • таких, что
Ч ’ll Чз Чз
У. (п) = Уо (П) — J J gj оЦ) И * dT)t d1'
0 0 0 0
Быстрота сходимости построенного решения в каждом конкрет-
ном случае, очевидно, будет зависеть от вида краевой функции
j/o(n) и может быть оценена в зависимости от характера функций
£/(г]) и k(tj) известными способами.
Вынося в i-м приближении параметры z/0, Оо, Мо и Qo за скобки,
общее решение уравнения (11.22), удовлетворяющее краевым ус-
ловиям (11.21), получим в виде
Уп (’1) = УвУч> (’1) + (П) - Млузп (>]) — Qoyw (t]) + yin (n), (11.22)
где п — номер приближения; j/i„(n). №>(i]), {/зл(т)). i'sUn) —
линейно независимые решения уравнения (11.21), называемые нор-
мальными фундаментальными функциями уравнения деформиро-
ванной оси фундамента на набухающих грунтах.
399
Выражения для фундаментальных функций можно получить
помощью рекуррентной формулы:
У<п(’)) = т1+2 (“ПхГть (11.23)
V=1
где i—номер фундаментальной функции; п — число приближений
(л= 1, 2, 3, ...» оо); т = 1 при £= 1; т = т] при 1 = 2;
4 41
т=$ 5 ттйг = По п₽и z = 3:
о и
пт пт
0 0 0 0
X J J |? (Т)4 + a (’iJSO'l’JH’k dTh =
о о
42 4з
=* По J (? (»]4) + к (гц) S (Т)4)] <1Пз ПРИ ‘ = 5‘>
О о
Пк—интегральный оператор над функциями Е/(т}) и Л(ц)
4 4 42 4з 42 4з
П|1= S S '17 fn,) 5 j J к (i)4) dri4 d’13-
0 0 0 0 0 0
Необходимые для определения значений углов поворота, изги-
бающих моментов и перерезывающих сил первые три производные
функции yin (i]) определяют по рекуррентной формуле
</£’ (п) = тГ+ 2 (-1)’П<">ПГЧ, (11.24)
v=i
где jV — порядок производной (N= 1, 2, 3).
На основании построенного приближенного решения (11.22)
составим уравнения деформированной оси балочных фундаментов
с переменной по длине изгибной жесткостью, лежащих на увлаж-
ненных набухающих грунтах. Для составления такого уравнения
решение (11.22) приспосабливается к заданным четырем гранич-
ным условиям рассматриваемых задач. При этом два из четырех
начальных параметра будут равняться нулю. Поэтому решение
(11.22) в каждом конкретном случае расчета будет содержать
только два начальных параметра. Значения этих оставшихся на-
чальных параметров определяться из условий на правом конечном
сечении фундамента решением относительно этих неизвестных
параметров системы линейных уравнений первой степени.
400
Рассмотрим балочные фундаменты с различными краевыми ус-
ловиями.
Балочные фундаменты со свободными концами. В этом случае
два начальных параметра из четырех будут равняться нулю: Мо =
= Qo = O и решение (11.22) примет вид
Уп (ч) = УоУт (ч) + &0У2П (ч) + Уъп (ч)- (11.25)
Для определения двух оставшихся неизвестных начальных па-
раметров напишем условия на правом конечном сеченни фунда-
мента Уп"(л=О=0^ !/п"(т]= О =0. откуда получим систему двух
линейных уравнений с двумя неизвестными:
№/1п(ч==1) + 9о/2п(ч=1) = — /5„(ч = 1); ...
_ (11.26)
УоУ1п (Ч = В + вУг'п (Ч = 1) = — Уь'п (Ч = 1)-
Составим определители данной системы:
D_ |/in (ч = 1) !*2п(ч=1)|
|У1п(Ч = 1) »2Й(Ч=1)|-
= yin (Ч = 1) J/2n (Ч = 1) — yin (Ч = 1) »2п (Ч = О'»
I -У'5Л(Ч=1) /2п(Ч=1)|
I—У5п(Ч=1) J/2n(4=l)l
= — Уьп (ч = 1) У2п (Ч = 1) + Уьп (Ч = !) 02п (ч = В»
для решения которой напишем ее определители:
|»2п(Ч = 1) —»4п(Ч = 1)|
~|й„(Ч=1) -/<п(ч = 1)Г
= У2« (Ч = О Уьп (4= 1) — Угп (Ч = 1) yin (Ч = 1);
D I — 05п(Ч=1) — Лп(Ч=1)|
«» |-/s,.(4=l) ~yin (4-1)1
= ySn (ч = 1) yin (ч = В—yin (ч = 1) yin (ч= i);
п =|»2п(Ч=1) —»5П(Ч=1)|
_|/2„(Ч=1) -Р5п(Ч=1)Г
= ySn (4= 1)»2>. (ч=1)--»2п(Ч=1)1/5п(ч=1)-
Используя формулы Крамена, определим неизвестные в и
Zj__________ У±п (Ч = 1) Уьп (Ч -- 1) Usn (Ч = 1) У*п (Л ~ .
°- /•* «2»(Ч=- l)j/i'n(4 = l) — »;и(Ч=1)Д.п(Ч = 1) ’
= (%/у,
__^0. У.» (4= 1) Угп (4= 0 — Угп (ч= 1) Уьп (4 = 1) .
V° » Игп (ч- 1) Vin (Ч - (n — Ofjn (4= 1) ’
Q^Qo/l3,
401
где значения фундаментальных функций у2п\ У in, уьп и их вторые
производные определяются по формулам (11.23) и (11.25).
Балочные фундаменты с заделанными концами. В данном слу-
чае уо=0о=О, тогда решение (11.22) будет иметь вид
Уп 01) = — ^оУзп (п).
Для определения неизвестных начальных параметров Л10 и Qo
напишем условие на правом конечном сечении фундамента </п(п =
= l)=t/'n(i]=l)=0, откуда получаем систему уравнений
—Д>Узп(п=1)—V®V4n(n = i)= — j/sn(n=i);
— Л/о!/з„ (1) = 1) — Q<n\n (4 = 1) = — у'ьп (ч = 1).
Определители системы имеют вид
п = | — »3..(’1=1)-»4п(П = 1) I
“ | — Узп (ч = 1) — J/in(n=l)|~
= Узп (Ч = 1) У in (Ч = 1) — у'зп (Ч = 1) »4П (ч = !);
__ I — Уьп (4 = 1) —»4п(Ч=1)|_
!/5„(Ч = 1) — Vi„ (4=1)1 “
= Уьп (ч = 1)»4»(ч= 1)—!б»(ч= 1)г/4п(ч = 1);
D =1 — Уз"(,,=-Ум(Ч=1)|_
*’"”1 — !бп(Ч=1) — Уьп (Ч=1)Г
= ft» (Ч = 1) Уьп (Ч = 1) — у’зп (ч = 1) Уьп (Ч = 1).
откуда получим
дУ „ _ У5п(Ч=<)У4п(Ч=1) — yin (П=1)У4П (ч- п .
0 узп(ч=|)у;п (п^п-Узп(п^-1)У4Г|(п-|) ’
it 9
7j _ РОо __ Узп (4= 1) Уьп (п - 1)-Узп (4=1) Узп 1) . п _ 7} из
Vo D Узп(Ч=-1)у;п(П-1)-у;п(П-"1)У4п(Ч-1) ’ Vo Vo ’
где фундаментальные функции y3nt y4nt yin и их первые производ-
ные определяются по формулам (11.23) и (11.25).
11.5. Изгиб балочного фундамента
на набухающих грунтах под действием
равномерно распределенной нагрузки
Рассмотрим частный случай, когда фундамент имеет постоян-
ную по длине изгибную жесткость Е/о, нагружен равномерно рас-
пределенной нагрузкой q0 и взаимодействует с основанием, сло-
402
Ленным набухающими грунтами с постоянным коэффициентом по-
смели Ё(т]) =Ш4 = const. Траекторию деформированого основа-
ния будем описывать выражением (11.12), которое через безраз-
мерную абсциссу относительно левого начального сечения фунда-
мента при т = 2 примет вид
5 = с/2(т]-а)2. (11.27>
Выражения нормальных фундаментальных функций, согласно
рекуррентной формуле (11.23), будут иметь такой вид:
n v 4
у.»(л)=1+2 (-1)’4йг:
Л v 4v+l
У2о(л)=Л+1 (-1) -4v+i) ;
V—1
, . 1 „ I V , ..V 4',Btv+2
Узп (л) 2 ( 1) (4v-|-2)! ’
V—1
У.п(л) = Р2 (-1Г-^г^ + Л'+,е/22 (_l)vx
Г 2л4у+6 2antv+5 . a4|*v+* -|
* L (4t) + 6)! (4v-f- 5)! (4v + 4)I J • lll.ZOJ
где
A _ kobl* B _ 1 . _ qol*
EIo ' EI0 ’ и~~ЁЦ'
Рассмотрим случай, когда источник увлажнения основания рас-
положен под серединой подошвы фундамента. Если фундамент
имеет свободные концы, уравнение его изогнутой оси, согласно
решениям (11.25) и (11.28), будет иметь вид
Уп (л) = уоу,„ (л) + eoJ/2„ (n)+уЪп (л) = у» [ 1 + 2 (— 1) ]+
+64'+2(-<>^Й^]+в£<-1|’^л-+
403
Продифференцировав полученное выражение (11.29), по п п
лучим уравнение углов поворота ’
вп 01) = УоУ^п (П) + ео/гл(п)-Ь1/5п (П) = Уо2 (—*)v
+^[i+2(-D^]+ni^4v +
v=l v=0
+ >Г+1сРУ ( »vr2tl<v'b5 2°“itv+4 I a’’l4v+3 1
+ ZZ L(4v + 5)! (4v+4)I ^WRjrJ- (11.30)
Изгибающий момент в любом сечении фундамента будет опп
делиться выражением ре"
мп (П) = — -^г- У" W = ~ W + М*(1,) + у*п (<1)| =
=-^Ь2(-ч^+ёо2(-1)'®^+
v=i v=i
+f>i(-ovSS-+
v=o
Л.л'+'с1г У Г - ja,|*v+3 1 g,4tv+'-B (11-31)
4-Д cl [ (4v + 4)! (4v-{-3)! ’ (4v4~2)! JJ V
v=0
Уравнение перерезывающих сил в любом сечении фундамента
имеет вид
(?п(л)~ р° У^ 01) р° li/ol/hi (л) +Ь0У2п.(ч) -Ь/эп (л)1 —
= -^(»-2(-V-g^+
у —I) 1 •' \ * I '
404
Реактивное давление по подошве фундамента есть функция
величины Ь/(т])— S(n)] и определится выражением
= S(n)) = V{»o[l + 2 +
V=1
+ ё.[п+2 (-1Г^-]+РЗ (-!)'•
v+1 v=0
(- nvF2,)4v+e 2a4<v+5 I
+ Л cl ( 1) L(4v+6)! (4v+5)l +
v=o
+ ^Пг]-^2(П-а)2}. (П.ЗЗ)
Решение задачи для случая одновременного набухания основа-
ния под концами фундамента можно получить рассматривая вви-
ду симметричности загружения одну его половину, заменив влия-
ние отброшенной части действием изгибающего момента и пере-
Рис. 11.16. Расчетная схема для случая одновременного
набухания основания под торцами фундамента
резывающей силы в начальном сечении оставшейся половины
фундамента (рис. 11.16).
В данном случае будем иметь на левом конце рассматривае-
мой половины балки 8o = Qo=0, и решение (11.12) примет вид
Уп (ч) = Win (ч) — М„у3п (Т)) + у5п (п) • (11.34)
Неизвестные у0 и Мо определим из условий на правом конце
У'„(п=1)=/"яЬ) = 1)=0:
УоУ1п (Ч = 1) — М0уз„ (Ч = 1) + Уьп (n = 1) = 0;
УоУ1п (Ч = 1) — Моу'зп (Ч = 1) + Уьп (ч = 1) = 0.
405
Решая полученную систему двух однородных уравнений, полу-
чим следующие формулы для определения начальных параметров
задачи:
__ Уьп (Л ~ 1) Узп (Л ~ Уьп (Л — О Узп (Л ~ 1) .
Узп(л = 1)у'1п —y;'n(n = l)yin (n = l) ’
дж __ Уьп (П =1) У1П (п = 1) ~ Уьп (*] = 1) У in (*] = D .
° Узп (п = 1) у\п (И = 1) — У|п (п 1) Узп (Л 1) ’
A/0 = M0/Z2.
Используя выражения (11.28), получим уравнение изогнутой
оси рассматриваемой половины фундамента в рекуррентном виде:
Уп (’1) = УоУт (ч) - Моузп (1)) + Узп (ч) = Уо [1 + S (— ] -
V=1
-va[±B+S (-1Г
V=i v—О
+ (H.35)
v=0
Уравнение углов поворота
вп (П) == УоУ\п (П) “ Moy'3n (n) + Уьп (П) = Уо 2 ( — !)V 7^21)1-
s (- 0v2(-ir^g-+
+ 4V+I Z2,_i v Г 2Л4^5 2at)tv+t a»n4v+:l I m 3(5v
+ л ci ( 1) [_(4v_|_5)! (4v + 4}! -t (4v-| 3)’J- (n-*5b)
Уравнение изгибающих моментов
мП М = —^г- Уп (п) = —^г- (п) — МзУз!, (п) + y"sn (ч)) =
=--(-Dv^g^-j»7.s (-i)vJSr-+
V=1 V=1
+DvS (- +А'+1с1г 2 (-1)" x
ч r_244Y+t . a^tv+2-|| ,1137)
L(4v-H)! (4v + 3)! (4v+2)! Jj ’ (i1-*5'/
406
Уравнение перерезывающих сил
С. <41 =--тг- 0." <Ч) = + (>])! =
= -4Н>.2 <-0-^2-+
V=1 V=1
п jv 4v+1
+OS (-i)vx
Г 2n4v+3 2aq1H2 11 /» t orv
Z'L(4v+3)1 (4v+2)I ^'(4v+i)! Jp (11.4»)
Уравнение реактивного давления основания
Pn(n)=Vl»n(n)-<S(n)]=W {i/.[i+2 (-ifjgjl]-
v=l v=0
+ Av+icl2y ( nvf2,1<V+8 2an4v+5 a*i)*v+* ~n H1
+ A cl 2j ( 1) L(4v+6H (4v+5)l +'(4v+4)l J)’ I11-39)
v=0
11.6. Примеры расчета балочных фундаментов
На основании полученного теоретического решения рассмат-
риваемой задачи выполнены численные примеры расчета ленточ-
ных фундаментов на набухающих грунтах при различных случаях
расположения бугра набухания поверхности основания.
Для расчета разработана соответствующая программа для
ЭВМ типа «ЕС-1030». С помощью этой программы с четырьмя
приближениями можно вычислить прогибы и внутренние усилия в
изгибаемом фундаменте, подверженном по всему пролету воздей-
ствию равномерно распределенной нагрузки. Рассмотрены случаи,
когда возможность увлажнения набухающих грунтов основания
полностью отсутствует; несимметричное торцевое и симметричные,
под серединой и под обоими концами фундамента увлажнения
основания, а также когда очаг набухания находится в любой точ-
ке подошвы фундамента.
Расчеты выполнены для случая постоянной изгибной жесткости
фундамента, хотя рассмотрение фундаментов с переменной жест-
костью не представляет серьезных затруднений. Все расчеты сде-
ланы для случая постоянной жесткости грунтового основания.
Расчет балочного фундамента при естественном состоянии на-
бухающих грунтов основания. Рассмотрен случай, когда возмож-
407
HHIHHHHin
Рис. 11.17. Расчетная схема при естественном со-
стоянии набухающих грунтов основания
ность увлажнения на-
бухающих грунтов ос-
нования балочного
фундамента полно-
стью устранена с по-
мощью специальных
водозащитных меро-
приятий. В таких ус-
ловиях вероятность по-
явления под подошвой
фундамента очагов набухания полностью исключается, и основа-
ние ведет себя как обычное структурно-устойчивое при увлажне-
нии (рис. 11.17).
В рассматриваемом случае дифференциальное уравнение изо-
гнутой оси фундамента (11.17) примет вид
[ EI (т)) ] + к (п) ы-у (>1) = q(n) 1‘. (11.40)
Решение дифференциального уравнения (11.40) построено для
частного случая балочного фундамента со свободными концами с
постоянной по всей длине изгибной жесткостью, нагруженного
равномерно распределенной нагрузкой и взаимодействующего с
основанием, имеющим постоянный коэффициент постели.
С помощью разработанной программы решены следующие
примеры.
Й Пример 11.1. Железобетонный ленточный фундамент, имеющий 6 = 200 см;
=20 см; /=600 см, взаимодействует с основанием, сложенным из однородной
толщи набухающего глинистого грунта с коэффициентом жесткости =
= 104 кН/м3. Фундамент подвержен по всему пролету воздействию равномерно
распределения нагрузки 7о=15 кН/м3 (см. рис. 11.17).
В соответствии с разработанной программой, на ЭВМ «ЕС-1030» получены
следующие значения прогибов, углов поворота, изгибающих моментов и перере-
зывающих сил: у (т]) = 0,0015 M = const; в(г])=0; М(т))=0, Q(n)=0. что нахо-
дится в полном соответствии с гипотезой Фусса — Винклера.
И Пример 11.2. Пусть требуется построить эпюры прогибов, изгибающих мо-
давления основания для железобе-
тонного фундамента (рис. 11.18),
подверженного по всему пролету
воздействию равномерно распре-
деленной нагрузки <7о=1б кН/м.
Основание фундамента сложено
из однородной толщи набухаю-
щего глинистого грунта. Ленточ-
ный фундамент имеет следующие
размеры: 6=100 см; Л = 20 см;
£ = 600 см. Коэффициент жестко-
сти грунтов основания принимаем
постоянным по длине фундамен-
та, равны 10 МПа/м, или 60=
= 1 • 104 кН/м3. Модуль упругости
материала фундамента равен
ментов, перерезывающих сил и реактивного
пнн
^15кН/м
•ь
009м
7,5
(У 0,9
Рис.
при
11.18. Расчетная схема фундамента
срединном увлажнении его основания
408
£'=14-103 МПа; момент инерции
поперечного сечения фундамента
Jo= 1 0,203/12 = 66-10-5 м<; Е/о=
= 14- 1Ю3-66 10-5 = 9,24 МПа-м<=
= 9240 кН/м2
В результате увлажнения
лроизошло набухание грунтов под
серединой фундамента. Пусть
под его конечным сечением про-
гнозируемая величина ординаты
траектории набухания S = 0,09 м
Уравнение траектории деформиро-
вания основания, согласно
(11.27) при т)=1 примет вид
36<( 1—0,5)2=0,09, откуда с=0,09 =
= 0,01 м-'.
Таким образом, уравнение
деформированной поверхности
набухающего основания примет
вид S=10 2-62(п — 0.5)2.
Согласно формулам (11.29),
(11.31), (11.32) по разработанной
для ЭВМ «ЕС-1030» программе
вычислены значения прогибов, из-
гибающих моментов и перерезы-
вающих сил и на рис. 11.19, а—в
по данным построены эпюры.
Ввиду симметричности загру-
жения фундамента, численные
значения расчетных величин по-
казаны лишь для первой полови-
ны фундамента. На рис. 11.19, г
по формуле (11.3) построена
эпюра реактивного давления грун-
тов основания. Как видно из этой
эпюры, соприкосновение фунда-
Рис И 19. Эпюры расчетных значений из-
гибающих моментов, перерезывающих сил
и реактивного давления
мента с грунтовым основанием ло
происходит только в пределах участка АВ. Величину этого участка АВ при же-
лании можно определить методом проб и ошибок. За пределами участка АВ
фундамент изгибается как консольная балка.
Таким образом, при центральном набухании грунтов основания в середине
фундамента возникает максимальный отрицательный момент, что согласуется
с результатами, приведенными в работах Р. Литтона.
В Пример 11.3. Пусть в результате увлажнения произошло набухание грунтов
основания под левым начальным сечением фундамента, подвергнутого воздейст-
вию равномерно распределенной нагрузки <7о=15 кН/м (рис. 11.20). Характе-
ристики фундамента и основания такие же, как и в примере 11.2. Принимая
в выражении (11.27) а=0, получим уравнение, траекторию деформированного
основания S=c/2-i)2 или S= 10 2-62т]2.
На рис. 11.21,а—в изображены эпюры, построенные по вычисленным с по-
мощью разработанной программы значениям прогибов, изгибающих моментов
и перерезывающих сил.
Расчет фундамента для случая, когда очаг набухания расположен под пра-
вым конечным сечением фундамента, можно произвести если в уравнении
(11.27) принять а=1. ’
Пример 11.4. Пусть в результате увлажнения произошло одновременное на-
бухание грунтов основания под концами фундамента полвеоженного по всему
пролету воздействию равномерно распределенной’ нагрузки ?о=15 кН/м
409
I= 6,0 м
4-1 iiiiiliiiiii
Рис. 11.20. Расчетная схема фундамента при торцевом
увлажнении его основания
(рис. 11.22). Характеристики основания и фундамента такие же, как и в преды-
дущих примерах.
Для рассматриваемоА правой половины фундамента получим уравнение,
аппроксимирующее траекторию деформированного основания, как для случая
набухания основания под правым конечным сечением фундамента, т. е. при
а=1 и с=10-2 м_|:
S (П) = cl* (т) -1)« = 10-2.32 (Т| -1)2.
На рис. 11.23, а—г изображены эпюры прогибов, изгибающих моментов.
перерезывающих сил и реактивного
Рис. 11.21. Эпюры прогибов,
изгибающих моментов и пере-
резывающих сил
давления основания, построенные в соответ-
ствии с результатами расчета, полученными
с помощью разработанной для ЭВМ про-
граммы.
Как видно из этих эпюр, при увлажне-
нии основания под концами фундамента
максимальное значение прогиба достигает-
ся в центральном сечении. В этом же се-
чении, так же как при набухании под сере-
диной фундамента, возникает максимальный
изгибающий момент, однако в этом случае
противоположного знака.
Выполненные на ЭВМ численные расче-
ты гибких ленточных фундаментов на на-
бухающих грунтах при различных показате-
лях жесткости основания, изгибной жестко-
сти фундаментов, а также в зависимости
1*6,0 и
Ц1*5,0м it ЩЧ'Ои
0,09м
Рис. 11.22. Расчетная схема фундамента
при одновременном увлажнении основания
под его торцами
40*15кН/м
410
ют места расположения источника
увлажнения по подошве фунда-
мента, позволили дать количест-
венную оценку влияния назван-
ных факторов на напряженно-де-
формированное состояние фунда-
ментных конструкций. Размеры
фундамента, нагруженного по все-
му пролету равномерно распреде-
ленной нагрузкой ^о=15 кН/м,
приняты следующими: Ь=1,0 м,
Л=0,20 м, /=6,0 м. Жесткость на-
бухающих грунтов основания по-
стоянная по длине фундамента
(Ло=104 кН/м3). Криволинейная
траектория набухания основания
характеризуется показателем с=
= Ю"2 м-'.
На рис. 11.24 по результатам
этих расчетов построены эпюры
прогибов при различном располо-
жении «бугра» набухания по по-
дошве ленточного фундамента.
Как видно из этого рисунка,
в случае набухания грунта в
центре подошвы (а=0,5) фунда-
мент изгибается симметрично от-
носительно центральной оси.
€ приближением «бугра» набуха-
ния к торцевому сечению фунда-
мента характер его изгиба стано-
вится существенно неравномер-
ным. Характер изгиба фундамента
в зависимости от расположения
очага увлажнения вызывает соот-
ветствующие изменения расчетных
внутренних усилий.
На рис. 11.25 построены кри- прпепезываттра
вые изменения максимального изгибающего момен грунтов осмппяи Ы
в зависимости от места расположения «бугра» наб^а“яиИЯРгп^тЛ ^ Я
по подошве фундамента. С приближением «бугра» набу левому
торцевому сечению фундамента расчетные усилия постепенн уменьшаются.
Отсюда следует, что наихудшей расчетной схемой балочных гибких фундаментов
на набухающих грунтах является случай расположения очага набухания грунтов
основания в центре подошвы фундамента. Представляет определенный интерес
выявить влияние жесткости набухающих грунтов основания на характер изгиба
фундамента при различных случаях расположения «бугра» набухания.
Эпюры изгибающих моментов и перерезывающих сил для случая набухания
под центром подошвы фундамента изображены, соответственно, на рисун-
ках 11.26 и 11.27, а для случая одновременного набухания под торцевыми сече-
ниями—на рисунках 11.28, 11.29. Как видно из этих эпюр, с увеличением жест-
кости грунтов основания изгибающие моменты и перерезывающие силы зна-
чительно возрастают. При увеличении коэффициента постели k0 в 7 раз при
центральном набухании максимальные внутренние усилия возрастают в 2,2 ра-
за. Однако при одновременном набухании грунтов под торцами фундамента
эта закономерность не сохраняется — в том же диапазоне изменения жесткости
грунтового основания максимальные внутренние усилия увеличиваются соответ-
ственно В 2,7 И В 3,7 раз. /кличива
411
Рис. 11.24. Характер изгиба ленточ- Рис. 11.25. Кривые изменения мак-
ного фундамента при различном рас- симального изгибающего момента и
положении «бугра» набухания грун- перерезывающей силы в зависимости
тов основания от расположения «бугра» набухания
грунтов основания
Анализ результатов расчета, полученных для данных двух схем увлажне-
ния основания и изображенных на рис. 11.30 для центрального набухания и
на рис. 11.31 для набухания под торцами фундамента, показал, что при малых
значениях коэффициента постели максимальные внутренние усилия в обоих
случаях изменяются примерно одинаково. Однако при дальнейшем увеличении
жесткости основания внутренние усилия в фундаменте растут значительно
быстрее при набухании под торцевыми сечениями фундамента. При Ао= 14-103,
абсолютное значение максимального изгибающего момента в случае набухания
под торцами фундамента на 25%, а перерезывающей силы на 80% выше, чем
при центральном набухании.
Сравнение расчетных данных, полученных для двух схем набухания грун-
тов основания, свидетельствует о том, что набухание под торцевыми сечениям»
Рис. 11.26. Графики изменения из-
гибающего момента в зависимо-
сти от жесткости грунтов основа-
ния для случая их набухания под
центром фундамента
Рис. 11.27. Графики изменения
перерезывающей силы в зависи-
мости от жесткости грунтов осно-
вания для случая их набухания
под центром фундамента
412
Рис. 11.28. Графики изменения изги-
бающего момента в зависимости от
жесткости грунтов основания для
случая одновременного набухания их
грунтов под торцевыми сечениями
фундамента
-ieo -
Рис. 11.29. Графики изменения
перерезывающей силы в зависи-
мости от жесткости грунтов ос-
нования для случая одновремен-
ного набухания их грунтов под
торцевыми сечениями фундамента
Рис. 11.30. Графики изменения мак-
симального изгибающего момента и
перерезывающей силы в зависимости
от жесткости грунтов основания для
случая их центрального набухания
Рис. 11.31. Графики изменения мак-
симального изгибающего момента и
перерезывающей силы в зависимости
от жесткости грунтов основания для
случая их одновременного набухания
под торцевыми сечениями фунда-
мента
фундамента оказывает большее влияние на изменение расчетных внутренних
усилий, и это влияние оказывается тем больше, чем выше изгибная жесткость
фундамента и жесткость грунтов основания.
Набухание под серединой подошвы фундамента и одновременное набухание
под его торцевыми сечениями создают наиболее невыгодные условия для рабо-
ты фундамента, в первом случае при этом достигается максимальный отрица-
тельный момент, а во втором — максимальный положительный, что необходимо
учитывать при конструировании ленточных фундаментов на набухающих
грунтах.
11.7. Расчетная модель воздействия деформаций
набухания и усадки на гибкие
ленточные фундаменты
Установленные из эксперимента физические законы деформи-
рования глинистых грунтов оснований при их набухании и усадке
позволяют разработать модель для расчета ленточных фундамен-
тов на воздействие этих деформаций. Зависимость между относи-
тельной деформацией набухания и давлением определяется функ-
цией (9.14)
e3W = ^(A-P/PSw)mn’
Для относительных деформаций усадки была получена формула
(9.16)
г.А = е? + (е|!-е1)(1-Р/7’!!)т’.
Абсолютная деформация набухания и усадки глинистого грунта
основания толщиной Н определяется по формулам:
S„ = SH0(l-P/Psw)m"-, (11.41)
Ssh = si + (5g - 5i!) (1 - P/Pgr. (11.42)
Рассмотрим работу гибкого ленточного фундамента, загружен-
ного произвольной внешней нагрузкой. Основание рассматривае-
мого фундамента сложено глинистым грунтом, обладающим де-
формациями набухания и усадки. Контактное давление по подош-
ве фундамента устанавливается методами теории расчета конст-
рукции на оплошном упругом основании.
Согласно методу И. А. Симвулиди («Расчет инженерных конст-
рукций на упругом основании». М., 1973), контактное давление по
подошве ленточного фундамента, установленное согласно модели
упругой полуплоскости, выражается формулой
где L — длина фундамента; а0, ait а2, а3 — известные параметры,
которые зависят от жесткости фундамента, его длины модуля де-
формации грунтов основания, характера внешней нагрузки и от ее
расположения. Значения указанных параметров табулированы, что
414
облегчает выполнение необходимых расчетов. Поскольку контакт-
ное давление по подошве фундамента определяем, исходя из моде-
ли линейно деформируемой среды, деформации набухания « усад-
ки грунтов основания рассматриваемого фундамента также долж-
ны быть установлены линейными функциональными зависимо-
стями:
S,w(x) = Р(х); (11.43)
‘str
Sv— Sv
Sshx = Si---*-^P(x). (11.44)
*0
Для определения реактивного давления грунтовоснования при
их набухании рекомендуем формулу
<7Н (х) = кнЬ [у (х) - (x)h (11.45)
где kH — коэффициент жесткости набухания грунтов основания;
b — ширина подошвы фундамента; у(х) — прогиб фундамента;
S*w(x) — функция, определяющая расстояние от подошвы фунда-
мента до выпуклой поверхности основания;
(х) - Ж,х - 5SW (х), (11.46)
S.su,max максимальная абсолютная деформация набухания
грунтов основания, соответствующая минимальному значению кон-
тактных давлений.
Аналогичную формулу можно рекомендовать для воздействия
деформации усадки грунтов основания
q4x) = k!/b[y(x)~Sah(x)t (11.47)
где ky — коэффициент жесткости грунтов основания при их усадке.
Согласно расчетным моделям (11.45), (11.47), контактные давле-
ния при набухании и усадке принимаются пропорционально раз-
ности прогиба фундамента и деформациям грунтов основания.
11.8. Математическая формулировка
задачи расчета ленточных фундаментов
на воздействие набухания и усадки
грунтов основания
Рассмотрим гибкий ленточный фундамент постоянной по дли-
не I изгибной жесткости EI, подверженный воздействию произволь-
ных внешних нагрузок q(x). Рассматриваемый фундамент может
быть и полосой, выделенной из балочной плиты, работающей в
условиях плоской деформации. В этом случае изгибная жесткость
конструкции будет характеризоваться ее цилиндрической жест-
костью D = Elnj\—цо2, где Е, ц0— соответственно модуль упругости
415
и пуассоновское отношение материала полосы; /п — момент инер-
ции поперечного сечения полосы. Грунты основания фундамента
глинистые, обладающие при увлажнении набухающими и усадоч-
ными деформациями. Взаимодействие фундамента с грунтом ос-
нования при его набухании и усадке будем определять согласно
рекомендуемой модели
?(я) = /^Сг)-ФСг)]. (11.48)
Для деформации набухания k = kHt а функция Ofx)=Sewmax—Ssw(x)
для деформации усадки k = kv\ Ф(х) =Ssh(x).
Дифференциальное уравнение изгиба рассматриваемого фун-
дамента будет иметь вид
Е1-?^ + кЬ[у(х)-Ф(х)] = д(х). (11.49)
Последнее уравнение можно представить в виде
Е1~^ + кЬу(х) = Ч(х) + кЪФ(х). (11.50)
Как видно из уравнения (11.50), неравномерная деформация
глинистых грунтов основания в процессе их набухания и усадки,
согласно предложенной модели, заменена действием на фундамент
эквивалентной внешней нагрузки
дэк(х)=г.кЬФ(х), (11.51)
направленной так же, как и внешняя нагрузка q(x), сверху.вниз
и изменяющаяся в соответствии с криволинейной формой поверх-
ности грунтов основания при их набухании и усадке. Уравнение
(11.50) представим в виде
^>-+4d‘j/(^) = -gr%W, (11-52)
где
d=j/ д<>(.х) = д(х) + кЬФ(х).
Расчет значительно упрощается, если ввести в рассмотрение без-
размерную абсциссу т], связанную с х отношением т] = ах. Тогда
последовательные производные функции у(х) по х и по т] будут
связаны между собой соотношениями:
dy(x) _ dy(t]) . dt] __ a dy(x]) .
dx dr] dx dt] »
d2y (z) _ d*y (tj) dx\ _ d*y (tp .
dx* ~ dr] “ dx ~a ~ dT)2 ’
<Fy И _ n3 d3y (tj) . d*y (x) __ d*y (tp
dx3 dt)3 ’ dx* ~a dt)4 *
416
Уравнение (11.52) в новых переменных примет вид
т • (11.53)
Граничные условия задачи
У (0) = !/о; У' (0) = Ely" (0) = - Мо; Ely"1 (0) = - Qo, (11.54)
где уо, 6о. Mo, Qo — начальные параметры задачи, определяющие
прогиб, угол поворота, изгибающий момент и перерезывающую си-
лу в начальном (т] = 0) сечении фундамента.
11.9. Построение общего решения
сформулированной задачи
Сформулированная задача об изгибе ленточного фундамента на
набухающем и оседающем при усадке грунтов основании сводится
к решению линейного неоднородно дифференциального уравнения
четвертого порядка (11.53). Общее решение этого уравнения со-
стоит из общего решения однородного уравнения
-М- + 4аМп) = 0 (11.55)
и частного решения неоднородного уравнения (11.53). Общее ре-
шение однородного уравнения (11.55), выраженное через фунда-
ментальные функции А. Н. Крылова («О расчете балок, лежащих
на упругом основании», изд. АН СССР, Л., 1931) у\ (т)), 1/2(л)»
Уз(т])> 1Мл)» можно представить в виде
У (л) = ^yi (т]) 4- Ву2 ft) + Су3 (т]) -j- Dyk (т]), (11.56)
где
У1 (Л) = ch т) cos т); у2 (т)) = (ch т] sin т] 4- sh т] cos т]);
1 1
Уз (Л) = sh Л sin tj; yk (т]) = (ch т] sin т] — sh т] cos т]).
Функции А. Н. Крылова удовлетворяют особым условиям Ко-
ши; это выражено тем, что они образуют так называемую единич-
ную матрицу:
!/i(0)=l !/2(0) = 0 !/3(0)=0 i/4(0)=0
!/1(О)=о 14(0)=1 !/;(О)=о !/;(О)=о
Й(0) = 0 !/И0)=0 !/;(0)=1 /4(0) = 0
1/7(0)=0 у7(0)=0 1/7’(О) = о !/;(0) = 1
Используя эту матрицу и краевые условия (11.54), определяем
постоянные интегрирования А, В, С, D:
417
Тогда общее решение однородного уравнения (11.55) примет вид
J/(n)=JWi(n)+-7eoi/’l(tl)—-^-Ып)—Л(п)- (11.57)
Функции обладают еще одним замечательным свойст-
вом: при последовательных производных они с точностью до по-
стоянного коэффициента повторяются:
ю(п)=—4Mn); »!(’))=—4»з(п); у'(п)=—!/}v0))=—«Мп);
У2 (ч) = !/»(’!); Уг(п)=— 4у4(п); «/г(п)= — 4у3(п); yjv(n)= —4уг(п);
у'з(’))=Уз(’1); уз (п)=Уз (ч); Уз(п)= — ^*(п); tfjv(n)= — 4»з(п);
/*(»1)=Уз(п); у*(п)=У2(п); у* (п)=у* (п); уГ(п)= — 4Мп)-
Указанные свойства функции А. Н. Крылова устраняют основ-
ные трудности задачи математического характера. Во-первых, от-
сутствует необходимость в составлении условия сопряжения меж-
ду отдельными участками фундамента благодаря наличию особо-
го вида частного решения уравнения (11.53) для любого типа пре-
рывной нагрузки и, во-вторых, так как единичная матрица обра-
щается в нуль, .при любом типе закрепления фундамента в на-
чальном сечении (при т]=0), из четырех неизвестных начальных
параметров два всегда обращаются в нуль.
Частное решение неоднородного уравнения (11.53), следуя
А. Н. Крылову, составим в виде
Лп)=4 5 (п—Е) <7о(Е) (1158>
о
Напишем общее решение задачи для свободно лежащих фунда-
ментов (Afo = Qo=0)
У (ч) = У0У1 (п) + 4 в«Уг (В) + 4 J 6) Л (5) <%• (41 -59)
О
Эпюры реактивного давления, изгибающих моментов и перерезы-
вающих сил строят по формулам
Р(п)=Ш(п)-Ф(п)1;
<2 (П) = - a3EI . (11.6°)
Таким образом, рассматриваемая задача в каждом частном
случае воздействия деформаций набухания и усадки грунтов осно-
вания сводится к раскрытию выражения частного решения (11.58),
согласно способу, разработанному А. Н. Крыловым.
418
Глава 12
РАСЧЕТ ФУНДАМЕНТОВ НА НАБУХАЮЩИХ ГРУНТАХ,
СОГЛАСНО МОДЕЛИ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ НАГРУЗОК
12.1. Модель эквивалентных нагрузок
Имеющиеся в литературе в недостаточном количестве теоре-
тические и экспериментальные исследования не дают возможно-
сти проанализировать эффективность и надежность использования
тех или иных моделей набухающих глинистых грунтов, отражаю-
щих взаимодействие конструкции фундаментов с деформирован-
ным основанием. Как было отмечено выше, для указанных расче-
тов в настоящее время за рубежом применяются в основном мо-
дели типа Винклера и Пастернака.
Эти модели приводят задачу к решению сложных дифференци-
альных уравнений, не всегда допускающих построение их решения
в замкнутом виде. Следует отметить, что в настоящее время тео-
рия расчета инженерных конструкций на упругом основании в до-
статочной степени разработана (методы Б. Н. Жемочкина,
М. И. Горбунова-Посадова, И. А. Симвулиди и др.), составлены
таблицы, позволяющие довольно быстро с допустимой точностью
определить расчетные величины в конструкциях фундаментов. По-
этому нам представляется, что для усовершенствования и разви-
тия методов расчета фундаментов на набухающих грунтах не сле-
дует идти по пути уточнения и усложнения дифференциальных
уравнений задачи, построение решений которых будет связано с
большими математическими трудностями. Гораздо удобнее и це-
лесообразнее основываться на физические модели воздействия не-
равномерных деформаций набухания глинистых грунтов основа-
ний на конструкции фундаментов. Аналогично расчетам строитель-
ных конструкций на сейсмические воздействия при известной вели-
чине и характере распределения дополнительного давления набу-
хания для расчета фундаментных конструкций можно будет успеш-
но использовать имеющиеся методы строительной механики. Итак,
попытаемся построить функцию Ри(х), определяющую величину и
характер распределения давления набухания, в зависимости от ха-
рактеристики глинистого грунта и расположения источника увлаж-
нения основания по подошве ленточного фундамента. Это давление
в дальнейшем мы будем называть эквивалентным, поскольку оно
наряду с внешней активной нагрузкой, приложено к фундаменту
как внешняя распределенная нагрузка*.
* Метод эквивалентных нагрузок подробно исследован в кандидатской дис-
сертации Габибова Ф. Г. «Закономерности деформирования набухающих глини-
стых грунтов и расчет фундаментов на этих грунтах при различных сочетаниях
источников увлажнения», Баку, Изд. АзИСИ, 1985.
419
Исходными предпосылками для определения эквивалентной на-
грузки будут служить: а) установленный из экспериментов физи-
ческий закон деформирования глинистых грунтов -при их набуха-
нии, выражающий связь между относительным набуханием и
уплотняющим давлением zaw=f(P)\ б) геометрическое уравнение,
описывающее деформацию поверхности набухающего глинистого
грунта основания ленточного фундамента при его локальном
увлажнении и=<р(х).
Возникновение контактных давлений на уровне подошвы лен-
точного фундамента Р(х) обусловлено действием на него внешней
активной нагрузки q(x) и влиянием сил набухания, вызванных
случайным увлажнением некоторого пространства глинистого грун-
та основания. Воздействие активной нагрузки q(x) приводит к по-
явлению части контактного давления Pv(x), от действия которого
поверхность грунта получает вертикальные деформации v(x).
Увлажнение глинистого грунта основания приводит к выпучиванию
поверхности грунта и(х) вследствие деформации набухания.
Из однозначной зависимости Eaw = f(P), заданной набухающей
деформацией ловерхности грунта и(х), мы можем установить со-
ответствующее значение уплотняющих давлений Р*(х). Это экви-
валентное дополнительное давление Рк(х) будет другой частью
контактного давления Р(х). Причем, в случае набухания грунта,
направления действия этих частей общего контактного давления
Р(х) будут противоположны. Если положительное давление Pv(x)
приводит к появлению положительных деформаций v(x), то отри-
цательные деформации поверхности грунта и(х) должны вызвать
давление Рн(х) с отрицательным знаком.
Приведенные рассуждения позволяют предположить, что
р(х)=р„(х)-рк(Х):
Уравнение изгиба ленточного фундамента на набухающих
грунтах, согласно принятой модели, примет вид
EI +1 р° (*) - р«
Откуда
£Z-^- + P„(x) = 9(x) + Ph(z). (12.1)
Как видно из полученного уравнения (12.1), влияние воздействия
неравномерных деформаций набухания грунтов основания, со-
гласно рассматриваемой модели «эквивалентных нагрузок», про-
является как внешняя распределенная нагрузка, направленная,
так же как и внешняя активная нагрузка q(x), сверху вниз.
Дополнительное давление Рн(х), входящее в уравнение (12.1)
в качестве внешней нагрузки, заранее известно. Характер и вели-
чина этого давления, как было отмечено выше, зависят от траекто-
420
рии деформированной поверхности глинистого грунта при набуха-
нии и характеристики деформируемости этого грунта.
Если известны форма деформированной поверхности глинисто-
го набухающего основания и зависимость между коэффициентом
относительно набухания и уплотняющим давлением, то можно по-
лучить формулу дополнительного давления. Действительно, на ос-
новании (9.14) имеем
/>=P,w|l-(e5lt/e0)J,/mo. (12.2)
С другой стороны,
eaw = SliW/H1 (12.3)
где Ssw—абсолютная деформация набухания; Н — мощность на-
бухающего слоя грунта в основаниях сооружений.
л*
777 777 Ж 777 777 777777f77 777 777^7 777 7
Рис. 12.1. Траектория поверхности набухания грун-
та по Р. Литтону
С учетом (12.3) формула (12.2) примет вид
Р = Psw |1 - (12.4)
В соответствии с рис. 12.1 и уравнением поверхности набухаю-
щего грунта по Р. Литтону имеем
Ssw — uQ — rxm.
Тогда формула (12.3) примет вид
PH(x) = p = Ps„[l_(JtZ^l),/"w. (12.5)
Последнее выражение определяет искомое дополнительное дав-
ление, отвечающее заданной деформированной поверхности осно-
вания.
Для расчета ленточных фундаментов удобнее записать выра-
жение (12.5) относительно вертикальной оси у, проходящей по
левому торцевому сечению фундамента при условии, что вершина
горба набухания находится от оси у на расстоянии Ъ (рис. 12.2).
Тогда формула дополнительного давления окончательно примет
вид
PaW = P.W [1 - ( (12.6)
421
В частном случае, когда очаг увлажнения находится под сере-
диной фундамента, т. е. при 6/L/2, из (12.6) получим
Рк(х) = Psw [1 - ( Цо~г(егоя£/2),П ) 1/т°] • (12.7)
При нахождении очага увлажнения под левым торцевым сече-
нием фундамента, т. е. при 6 = 0, выражение (12.6) примет вид
р„ (х) = Psu, [1 - ц°~„т ]1/,Л,>. (12.8)
При.6 = £, т. е., когда увлажнение происходит под правым кон-
цевым сечением фундамента, имеем
р„ (х) = рт [1 - ( Ц,,~'е((|я~М'П • (12.9)
С учетом линейной зависимости (10.4) формула дополнитель-
ного давления примет вид
ри(х) = P.U, [1 - Ц°~Г.(»-',)'Л 1 • (12.10)
L j
В чдстных случаях, когда увлажнение грунтового основания
происходит под левым торцом фундамента, в середине и под пра-
вым концевым сечением фундамента, формула дополнительного
давления принимает вид:
при 6=0 P„(x) = P.Jl- UTwm ]’ (12-И)
L еоп j
при 6=£/2 Ри(х)=Р.юГ1 ц»-г<*-£/2)” 1; (12-12)
i_ j
при b = L PH(X) = PSW[1- (12.13)
[_ C-Q/I _J
В полученных формулах (12.6)... (12.13) в дальнейшем показа-
тель степени т в соответствии с результатами экспериментальных
Рис. 12.2. Расчетная схема для произ-
вольного расположения бугра набуха-
ния
исследований Р. Литтона бу-
дем принимать равным двум.
Следует отметить, что не-
достатком рассматриваемой
модели является то, что фор-
ма деформированной поверх-
ности основания принимается
не зависящей от контактного
давления. Этот недостаток
вытекает из модели Р. Литто-
на, согласно которой форма
горба набухания в основаниях
фундамента принимается та-
кой же, как и при свободном
набухании грунтов основания.
Такое допущение, основанное
422
на результатах натурных наблюдений, приводит к определенным
запасам прочности фундаментных конструкций. Предложенная
§ 11.7. расчетная модель свободна от этого недостатка, так как
она определяет форму деформированной поверхности основания
в зависимости от эпюры контактного давления.
12.2. Расчетные схемы ленточных фундаментов
на набухающих грунтах при различных случаях
расположения источника увлажнения основания
Согласно сформулированному нами уравнению (12.1), допол-
нительное давление от воздействия набухания грунтов основания
представляет собой распределенную внешнюю нагрузку, прило-
женную на ленточные фундаменты на участках влияния бугра на-
бухания грунтов основания. Поэтому, естественно, в зависимости
от расположения источника увлажнения на ленточные фундамен-
ты могут воздействовать набухания грунтов основания в виде не-
прерывных или прерывных распределенных внешних нагрузок.
Формулу дополнительного давления (12.6) во всех рассматривае-
мых случаях увлажнения основания можно представить в виде
Рп И = Psw -Psw[U0-r(z- b)m] Vmo,
где
Psw = Psw (eoJ7)Vmo.
Следует отметить, что задача расчета ленточного фундамента,
лежащего на сплошном упругом основании, как правило, решает-
ся в линейной постановке. Грунты основания при этом рассмат-
риваются как сплошная однородная линейно деформируемая сре-
да. Напряженно-деформированное его состояние определяется с
использованием решений плоской задачи теории упругости. Поэто-
му связь между деформацией набухания и уплотняющим давле-
нием следует искать в линейном виде. Такая постановка доста-
точно хорошо согласуется с результатами экспериментальных ис-
следований.
Итак, принимая значение параметра то=1, для дополнитель-
ного давления получим формулу
Ря (z) = Psw — Psw (U0 — r(z — 6)”*].
Принимая в соответствии с исследованиями Р. Литтона ш=2,
а также ио = гоН, получим
PH(z)=Pswr(z-by. (12.14)
Вначале рассмотрим общий случай, когда увлажнение грунтов
основания происходит двумя источниками увлажнения, располо-
423
Рис. 12.3. Расчетная схема для одновременного
двухочагового увлажнения основания:
1 — источник увлажнения
женными на произво-
льных расстояниях Ь\
и Ь2 от левого торце-
вого сечения ленточно-
го фундамента (рис.
12.3).
Увлажнение осно-
вания двумя источни-
ками, расположенны-
ми под двумя торцами
фундамента, вызовет
набухание грунтов и
соответственно де-
формацию его по-
верхности в виде двух
«горбов» (рис. 12.4).
Учет приведенной «двугорбой» поверхности основания в расчетах
ленточных фундаментов на набухающих грунтах в некоторых
случаях необходим, так как в конструкциях зданий и сооружений
в этом случае могут возникнуть максимальные дополнительные
напряжения.
На рис. 12.4 изображено «двугорбое» основание, искривление
поверхности которого вызвано увлажнением грунтов в районах
под обоими торцами фундамента. Как видно из этого рисунка.
Рис. 12.4. Расчетная схема для «двугорбого» неперекре-
щивающегося основания:
1 — положение поверхности грунта до увлажнения
траектория деформированной поверхности сложная и состоит в
общем случае из ветвей двух неравных парабол Ui = ri(x—Ьх)2;
и2=г2(х—Ь2)2 и горизонтального участка Ь3Ь4.
Соответствующие дополнительные давления от воздействия на-
бухания, согласно формуле (12.14),
Ли (2) = P8wir (z—64)2; Рн2 (z) = Psw2r2 (z - Ь2)2,
где
Pswi — РiWi (б()^0 Лига — Paw2
424
Точку пересечения грузовой параболы и\ = Г\(х—bi)2 и прямой
y = uOi или значение Ьл находят по формуле
= + (12.15)
Точку пересечения грузовой параболы и2 = г2(х—b2)2 с прямой
у=и02 или значение Ь< определяют по формуле
= (12.16)
Таким образом, как видно из рис. 12.5, поставленная задача
расчета ленточного фундамента, расположенного на «двугорбом»
основании, сведена к расчету заданного фундамента на плоском
Рис. 12.5. Эквивалентная расчетная схема для
«двугорбого» неперскрещивающегося основания
основании. Воздействия набухания грунтов основания заменены
двумя эквивалентными дополнительными давлениями, представ-
ляющими собой две распределенные по параболическому закону
прорывные внешние нагрузки.
В частном случае, когда параболы, очерчивающие деформиро-
ванную поверхность основания, пересекаются над или на уровне
положения поверхности основания до набухания (рис. 12.6), абс-
Рис. 12.G. Расчетная схема для пересекающегося «двугор-
бого» основания:
1 — положение поверхности грунта до увлажнения
425
цнссу их общей точки находят по формуле
<ь, - 4Л/Г,)+1/ (ь, - ь, -у-)2 - (1 —i) (ц - ь;)
Ь. =--------------—5---------, (12.17)
где b2>bi.
В том случае, когда Г| = г2 = г (рис. 12.7), формула для опреде-
ления положения точки пересечения парабол имеет вид
^ = (6г + ^)/2; 62>6*. (12.18)
В частном случае, когда набухание происходит под торцами
фундамента, т. е. при bi=0, b2=L, точка пересечения функций
Рис. 12.7. Расчетная схема симметричного пересекаю-
щегося «двугорбого» основания
Ря1(г) и Ря2(г), определяющих дополнительные нагрузки от набу-
хания грунтов основания, будет д5=£/2 (рис. 12.8). Дополнитель-
ные давления от воздействия набухания в этом случае определя-
ются функциями:
PUl (z) = Р„ (е Л Г1 rz2 - Ptwrz^
(z) = p„ (fЛГ1 r(z- LY = Ptwr (z - LY.
На основании полученных общих формул можно рассмотреть
расчетные схемы ленточных фундаментов на набухающих грунтах
Рис. 12.8. Эквивалентная расчетная схема для симмет-
ричного пересекающегося «двугорбого» основания:
/ — источник увлажнения
426
при различных случаях расположения источника увлажнения ос-
нований.
1. Набухание грунтов оснований происходит вследствие их
увлажнения от точечного источника, расположенного на произ-
вольном расстоянии от левого торцевого сечения фундамента
(рис. 12.9).
Рис. 12.9. Эквивалентная расчетная схема для произ-
вольного одноочагового увлажнения основания
В этом случае имеем fi=r; PSw1 = Р —Рsw\ Ь\ — Ь. Выраже-
ние дополнительного давления принимает вид
Pn(z)=-P!Wr(z-by^Psw(E0H)-ir(z-by, O^z^L (12.19)
Воздействие набухания грунтов основания на фундамент в
рассматриваемом случае представляется в виде непрерывно изме-
няющегося по всей длине фундамента, согласно (12.19) распреде-
ленной нагрузке.
2. Набухание грунтов основания происходит вследствие их
увлажнения от двух точечных источников, расположенных под
торцевыми сечениями фундамента (рис. 12.10).
♦У
Рис. 12.10. Эквивалентная расчетная схема для
одновременного неперскрещиваюшегося двухоча-
гового торцевого увлажнении основании
427
Рис. 12.11. Эквивалентная расчетная схема для
одновременного неперекрещивающегося увлажне-
ния основания под левым торцом и серединой
фундамента
Предполагается,
что ввиду значитель-
ности пролета фунда-
мента по сравнению с
областью распростра-
нения влаги набуха-
ние поверхности грун-
та происходит в виде
непересекающихся
двух горбов. В соот-
ветствии с характером
набухания основания
дополнительное давле-
ние получается в виде
двух прерывных расп-
ределенных нарузок. Имеем &i=0; b2 = L\ b3=/=b4
7,H1(z) = Pslcrz2; 0^z<63;
РН2 (z) = psu.2r (z-L)2; 64<z<L.
(12.20)
3. Набухание грунтов основания происходит вследствие их
увлажнения от двух точечных источников, расположенных под ле-
вым торцевым сечением и серединой фундамента (рис. 12.11). Де-
формация основания происходит в виде двух непересекающихся
горбов набухания.
В этом случае имеем: bi=0; b2 = L/2\ b3^=b4. Формулы допол-
нительных нагрузок принимают вид
РН1 (z) = 7<u.1rz2; 0^z<fe3;
M) = /W(z-£/2)2;
(12.21)
4. Набухание грунтов основания происходит вследствие их
увлажнения от двух точечных источников, расположенных под се-
рединой и правым торцевым сечением фундамента (рис. 12.12).
В этом случае имеем: b\ = L!2\ b2 = L; b3^b4. Формулы допол-
нительных нагрузок принимают вид
PHl(z) = 7>eW1r(z-L/2)2; 0^z<63;
Ph2(z) = Ps.cZ(z-L)2; 6<^z<^L.
(12.22)
5. Набухание грунтов основания происходит вследствие их
увлажнения от двух точечных источников, расположенных под
торцевыми сечениями фундамента (рис. 12.13). Деформация осно-
вания происходит в виде двух пересекающихся горбов набухания.
428
Рис. 12.12. Эквивалентная расчетная схема для од-
новременного увлажнения основания под правым
торцом и серединой фундамента
В этом случае имеем: bi=0; b2 = L\ Ьз = Ь4 = Ь5. Дополнитель-
ные нагрузки определяют по формулам:
РИ1(г) = Р,Ш1г^-, 0^z<b5;
(12.23)
^НгС2)—^sw2r2 (Z — ^)2»
Рис. 12.13. Эквивалентная расчетная схема для одно-
временного перекрещивающегося двухочагового торце-
вого увлажнения основания
6. Набухание грунтов основания происходит вследствие их
увлажнения от двух точечных источников, расположенных под ле-
вым торцевым сечением и серединой фундамента (рис. 12.14). Де-
формация основания происходит в виде двух пересекающихся гор-
бов набухания.
429
Рис. 12.14. Эквивалентная расчетная схема для одно-
временного перекрещивающегося увлажнения основания
под левым торцом и серединой фундамента
В этом случае имеем: &i=0; b2=LI2\ b3 = bA = b5. Формулы до-
полнительных нагрузок принимают вид
0<z<65;
Ph1(2)=PswZ2(z-W; 65<z^L. * ’ ’
7. Набухание грунтов основания происходит вследствие их
увлажнения от двух точечных источников, расположенных под се-
рединой и правым торцевым сечением фундамента (рис. 12.15).
временного перекрещивающегося увлажнения основа-
ния под правым торцом и серединой фундамента
Деформация основания происходит в виде двух пересекающихся
горбов набухания.
В этом случае имеем: dj = L/2; b2 = L; Ь3 — Ь^ = ЬЪ, Формулы до-
полнительных нагрузок имеют вид
Ли («) = Р.»^ (z- L/2)’; 0<z<64;
P»2(t) = P^r2(z-Ly; b^z^L.
(12.25)
430
12.3. Выбор метода расчета
После того как найдено воздействие набухания грунтов осно-
вания на конструкции ленточных фундаментов, задача их расчета
не вызывает принципиального затруднения. В самом деле, как
видно из представленных выше расчетных схем, предлагаемая мо-
дель позволяет свести задачу расчета фундаментов на набухающих
грунтах к решению эквивалентной ей задачи изгиба конструкции
на оплошном грунтовом основании, подверженной помимо внеш-
них активных нагрузок дополнительному воздействию набухания
грунтов основания. Эквивалентная задача может быть решена од-
ним из существующих методов расчета конструкции на упругом
основании.
В настоящее время наибольшее применение в практике проек-
тирования гибких фундаментов находят два метода: метод мест-
ных упругих деформаций, учитывающий только осадки в месте
приложения нагрузки, и метод общих упругих деформаций, учиты-
вающий ие только местные, но и общие (вне загруженной поверх-
ности) деформации грунта. Анализ этих двух методов с выявлени-
ем области их применения, точности расчетов и их недостатков
достаточно подробно освещен в существующей литературе (Гор-
бунов-Посадов М. И., Маликова Т. А. «Расчет конструкций на
упругом основании» М., Стр ой изд ат, 1973).
Поэтому, не останавливаясь на анализе этих методов, пока-
жем возможность применения их в задачах расчета ленточных
фундаментов иа набухающих грунтах. Расчет фундаментов будем
вести только на воздействие деформации набухания. Линейная
постановка задачи изгиба фундаментов и деформации грунтов их
основания позволяют методом суперпозиции (наложения) сло-
жить соответствующие расчетные усилия, возникающие в фунда-
менте от действия внешней активной нагрузки и деформации на-
бухания грунтов основания.
1. Рассмотрим расчет ленточных фундаментов на воздействие
набухания согласно методу местных упругих деформаций. Уравне-
ние (12.1) в этом случае принимает вид
Введением безразмерной абсциссы
’1=У -йгх=ах-
Уравнение, приведенное выше, можно представить в виде
J!?g!!L = 4j,(1))=4pi|(n). (12.26)
Общее решение уравнения (12.26) методом А. Н. Крылова
4«О расчете балок на упругом основании», изд. АН СССР, 1931)
431
можно представить в виде
У (п) = И>Ф| (п) + -^ ф2 (п) -
—^фз(’1)-£75Гф.(’1)+Ф(П), (12.27)
где у0, 0О, Мо» Qo — начальные параметры задачи, определяющие
прогиб, угол поворота, изгибающий момент и перерезывающую си-
лу в начальном сечении (т]=0) фундамента; Ф1(т]), Ф2(т])*
Фз(л)» Фч(п)—частные решения уравнения (12.26) без правой
части (при.Рн(п) =0), определяемые функциями А. Н. Крылова:
Ф1 (Л) = ch n cos ту, Ф2 (л) = (ch т| sin Tj -f- sh ij cos Tj);
ф3 (rj) = A. sh sin Tj; Ф4 (Tj) = -i- (ch Tj sin Tj -f- sh T) cos Tj).
Частное решение неоднородного уравнения (12.26) определяет-
ся в зависимости от вида функции Рн(т]) интегралом
ф (п)=4 ? Ф‘ - г><*>dt- (12.28)
о
Особенность рассматриваемого метода расчета заключается в
том, что здесь отсутствует необходимость в составлении условия
сопряжения между отдельными участками фундамента благодаря
наличию формулы частного решения (12.28) для любого типа пре-
рывной нагрузки. Кроме того, из четырех начальных параметров
два всегда известны. Так, при свободном конце фундамента Мо =
= Qo=0, оставшиеся два параметра уо и 0О определяются исходя
из условий опирания фундамента на правом противоположном
конце:
Уо = Г » 1фз (£) Ф' - Ф‘ <£>
ch L-l-cos L — 2
, (Фз (Г)ф'(Г)-Ф.(£)ф-(£)1.
“ сп Л-|-соз L — 2
(12.29)
где L=aL.
Формулы реактивного давления, изгибающих моментов и пе~
ререзывающих сил в этом случае имеют такой вид:
₽(П) = *[!/оФ,(ч) + 4!-фг(’1) + ф(т1)] :
М (п) = -£/а2 [4у0Фэ (П) + Ф, (п) - Ф*(Ч)] ; (12.30)
Q (П) = - Е/а3 [ 4^Фг (П) + Фз (П) - Ф’ (П)] -
432
Согласно рассматриваемому методу расчета остается раскрыть
выражение частного решения (12.28) для отдельных случаев воз-
действия набухания грунтов основания, используя для этого пред-
ставленные выше расчетные схемы.
2. Рассмотрим расчет ленточных фундаментов на воздействие
набухания согласно методу общих упругих деформаций. Уравне-
ние задачи (12.1) в этом случае сохраняет общий вид:
E7yiv + pp(x) = PH(x). (12.31)
Задача сводится к определению реактивного давления Pv(x)9
приводящего к удовлетворению равенства прогибов фундамента
у=!/0+е0х-^х2_^_хз_|__|_ $ lPii(t)-pc(t)](x-tydtt
и осадок основания, определяемый из решения Фламана:
1
S = 2(У J Л. (*)1п (*-*„)& + <:.
О
Согласно методу М. И. Горбунова-Посадова, реактивное давле-
ние представляется в виде полинома л-й степени:
Pv (х) = а0 + ^х а2х2 + а3х3 4-.. . + апхп.
Неизвестные коэффициенты ап определяются из равенства
y(x) = S(x) (условия контактности) и двух условий равновесия
статики. Решая полученную при этом линейную систему уравне-
ний с п неизвестными коэффициентами, определяется неизвестная
функция реактивного давления.
В методе И. А. Симвулиди реактивное давление принимается в
виде особой алгебраической функции третьей степени:
Р, (*) = <*<> +2 £-(г-£/2) +
+ 4-Ь- (х-£/2)2 + 8-^-(x-L/2)’. (12.32)
Интегрирование уравнения (12.31) с учетом последней функ-
ции приводит к восьми неизвестным постоянным, для определения
которых кроме двух условий равновесия и двух граничных усло-
вий используются четыре условия контактности фундамента с ос-
нованием: равенство прогибов фундамента и осадок основания
(по Фламану) на левом его концевом сечении, равенство ординат
тех же кривых в середине фундамента, равенство площадей, об-
разованных прогибами обеих линий деформаций, равенство треть-
их производных обеих функций в середине фундамента.
В результате решения системы восьми уравнений с восемью
неизвестными И. А. Симвулиди получил простые выражения для
параметров реактивного давления а0, Оь ^2, Аз, причем, в случае
433
симметричных внешних нагрузок, параметры at и обращаются
в нуль. Обзор существующих методов решения рассматриваемой
контактной задачи дается в специальной литературе (например,
Б. Г. Коренев «Конструкции, лежащие на упругом основании».—
Строительная механика в СССР—1917—1967 гг., М., 1969) и
поэтому на нем мы не будем останавливаться. Общую оценку обо-
им изложенным выше методам расчета нам хотелось бы дать сло-
вами В. А. Флорина: «Оба представления (модели) имеют в на-
стоящее время при современном уровне знаний право на суще-
ствование, но каждое из них имеет свою область применимости и
их ие следует противопоставлять».
12.4. Переход от условных эпюр к реальным
Согласно рассматриваемой модели, задача расчета ленточных
фундаментов на воздействие деформации набухания сводится к
расчету заданного фундамента на сплошном упругом основании,
подверженного помимо внешней нагрузки д(х) еще на дополни-
тельную эквивалентную нагрузку Р»(х). Уравнение задачи, соглас-
но модели местных упругих деформаций, принимает вид
Wv 4- ку = q (ж) + Рл (ж). (12.33)
Методом суперпозиции последнюю задачу можно разбить на две
задачи:
ElyV+кУ^Рл(Х);
Е1у2У + куг = ч(х).
Имея решение yifx) и уъ(х), строится общее решение рассмат-
риваемой задачи:
У W =
Задачу, решаемую нами по указанной методике, будем назы-
вать эквивалентной. Решение эквивалентной задачи позволяет по-
строить условные эпюры расчетных усилий. Покажем, что при пе-
реходе от условных эпюр к реальным, изгибающие моменты и пе-
ререзывающие силы в сечениях фундамента остаются неизменны-
ми; при этом происходит изменение лишь эпюры контактных дав-
лений.
Уравнение (12.33) представим в виде
EIyw+Iky - Р„ (х)| = д (х). (12.34)
Согласно (12.14), для симметричного бугра набухания имеем
₽«(*) = »«* = -£- гх*= гг\
434
Если принять k = oH/S0l то последнее выражение примет вид
Ри (x) = krz2 — k\V (х).
Тогда уравнение (12.34) примет вид
£Zy,v + A:[y- W(x)l = g(x). (12.35)
Полученное уравнение (12.35) описывает изгиб ленточного фунда-
мента на деформированном винклеровском основании и поэтому
можно считать, что рассматриваемая модель эквивалентной на-
грузки приводит задачу к известному дифференциальному урав-
нению.
Уравнение (12.35) в более общей постановке в безразмерных,
координатах принимает вид
<’’)§•] + = Ч (n) + к (П) rZ‘+m 01 -а)"- (12.36)
Как видно из уравнения (12.36), неравномерная деформация
глинистых грунтов основания в процессе их набухания заменена
действием на фундамент эквивалентной внешней нагрузки:
/>н(П) = Л(П) г/4+тп(т) —а)та,
направленной так же, как и внешняя нагрузка ^(rj)» сверху вниз
и изменяющейся в соответствии с криволинейной поверхностью
основания.
Если представить уравнение (12.35) в виде
Ely™ + ку = q (х) + kW (х) = q (х) 4- Р„ (х),
то получим рассматриваемую нами постановку задачи, позволяю-
щую заменить наличие в основании фундамента бугра набухания
эквивалентно внешней нагрузкой
Как видно из (12.34), контактное давление набухающего грун-
та основания в заданной расчетной схеме, равное
РКИ=ку-Р„(х)= -1Ри(х)-ку], (12.37)
определяется с учетом величины прогиба фундамента.
Подставляя в (12.37) ky = P(x)-\-q(x), получим формулу для
перехода от условных эпюр контактных давлений к реальным эпю-
рам:
Р* (х) = Р (х) + q (х) - Рп (х), (12.38)
где Р(х) — контактное давление от действия эквивалентной на-
грузки Р»(х).
Выражение (12.38) позволяет составить условия контактности
фундамента с основанием:
P(x)+q W-
435
Для того чтобы левый конец фундамента не отрывался от грунта
основания, необходимо выполнить условие:
для правого конца фундамента условие контактности будем
иметь вид
P(Z)+g>PH(Z);
изгибающий момент в реальной расчетной схеме
Л/£с) = - J ?(т))1]Л]+ J А<(ч)Ч*) = — $ ?(4>4d4 +
0 0 о
+ ( U>(’l)+9(’l)~ Л<(ч))Ч'/Ч = ( Р(ч)Ч*)—( Рн (ч) Ч *Г.
О 0 0
для перерезывающих сил будем иметь
<?(*)=$ <?(ч)<*4 — J Рх (ч) Л) =
о о
хх хх
— J $ 1^(ч) + 9(ч) — ^«(4)1*1= $ ЛЛчИч — J ₽(ч)*Ь
0 0 0 0
Как видно из полученных результатов, выражение изгибаю-
щих моментов и перерезывающих сил для условной и реальной
расчетной схем полностью совпадает.
Легко можно показать, что по методу общих упругих деформа-
ций для перехода от условных эпюр контактных давлений к ре-
альным эпюрам имеем формулу
РГал (*) = р« И -Рн (х), (12.39)
где Ркч рн — контактное давление в условной расчетной схеме от
воздействия заданной внешней нагрузки q(x) и эквивалентной на-
грузки Рн(х).
Выражение изгибающих моментов и перерезывающих сил для
условий расчетной схемы имеют такой вид:
X X X
<?(*) = — $ ч (ч) <*ч— $ рк (ч) <*ч + $ ркРн (ч)d (ч);
0 0 о
М (х) = — J (п) Ч <*Ч — J Р« (ч) Ч <*Ч + $ Р* ₽" (ч) ч d4-
0 0 о
436
Если (12.39) определить Рк(х) и подставить его в последние
выражения, то получим
X X
9(x) = JpSc“,(r))dn-Jg(n)d’i;
О о
х х
м (х)= J PSeaj,(n)n<i’)— J 9(n) П rfn-
О о
Как видно из модели общих упругих деформаций, эпюры М(х)
и Q(x) в условной и реальной расчетных схемах остаются неиз-
менными.
В самом деЛе, для условной расчетной схемы имеем
i i i
j 9 (П) *1+ $ Рн 01) dTl = J Р" Р“ (П) *1-
ио о
Если учесть выражение (12.39), то лолучим
i i
$ ?(>!)*)=$ РГал 01)^.
о о
12.5. Расчет ленточных фундаментов
методом местных упругих деформаций
Расчет ленточных фундаментов на воздействие набухания
грунтов основания, согласно формулам (12.29), мы свели к опре-
делению частного решения (12.28) для каждого случая увлажне-
ния основания. В соответствии с выявленными расчетными схе-
мами получим расчетные формулы для характерных случаев
увлажнения грунтов основания. Все дальнейшие выкладки будем
вести в безразмерной абсциссе ц, поэтому все абсолютные абсцис-
сы z, b, L будем преобразовывать в относительные абсциссы по
выражению т] = ах и обозначать их буквами z, 5, L.
Увлажнение основания одним точечным источником, располо-
женным на произвольном расстоянии от левого торцевого сечения
фундамента (расчетная схема 1 на рис. 12.10). Дополнительное
давление, согласно (12.19), по всему пролету распределено непре-
рывно, поэтому частное решение (12.28) будет иметь вид
я
ф (п)=4 $ф‘(n - z) Рк (]) dz=
о
я
= -j^T J ф" (П — z) (z — b)2 dz. (12.40)
о
437
Последний интеграл берем интегрированием по частям, полагая
u = (z —d)2; du = 2(z — b)dz\
dvv =Ф4 (т] — z) dz-, г = Ф, (т]~ z)/4.
Поэтому
п
J Ф* (Л — 2) (z — b)2 dz =
о
= { (I-Ь?Ф, (n-z) | -1 J O,(n-2)U-6)dz =
О о
=4-(’|-ь)г-4-*гф1(’1)-4- J Ф|(ч-2)(«-ч*.
о
Применяя к последнему интегралу еще раз формулу интегри-
рования по частям, получим
J Ф,(т) —z)(z—5)* = Ф,(»])—ЙМп).
О
Тогда
J Ф4(п-1)(2-5)М2 = 1 (n_ft)2 _|ь2ф1(п)_|[ф3(п)_бф2(п)1.
О
Подставляя это значение в (12.32), будем иметь
ф (Л) = 1(Л - Ч2 - *2Ф| (Л) - 2Ф3 (Л) 4- 21Ф2 (л)Ь (12.41 >
Формулы изгибающих моментов и перерезывающих сил для
рассматриваемого случая набухания грунтов основания, согласно
(12.29), имеют вид
л/ (П) = - iEIa2 [ ( у„-bg b2) Ф3 (п) + ( ) +
+^ГФ< ОО jjd •
Q <Л) = -4£Za’ [ ) Ф2 (П) +
+ (^+^*)Фз('1)-^гФ4(’1)]. (12.42)
Если источник увлажнения основания находится под левым
торцевым сечением фундамента (5=0), то последние формулы
примут вид
М (п)---4Л/а^[УоФ3 (Т)) + Ф4 (tj) + ф, (п) _^] ;
Q (П) = - [%Фг (П) + Фэ (п) - Ф* (П)] • (12.43)
Если источник увлажнения основания находится под середи-
ной фундамента (Б = Л/2), то будем иметь
Л/(Л)= —ЬЕ1аг [(»«--^гЬ2) Ф,(П) +(-г+%1Х)Ф‘ ГО-
— p»vL ф4 (тй —p‘w.- 1.
2д«Л 1 2а«Л J ’
<?(п) --4£/а’[(Уо-^1*) Ф, (Л)+
- (®,+%£1)ф»<П)-(12.44)
Увлажнение основания двумя точечными источниками, распо-
ложенными на произвольных расстояниях от левого торцевого се-
чения фундамента (см. рис. 12.5 и 12.6). Как видно из рис. 12.6,
в рассматриваемом случае фундамент загружен двумя прерывны-
ми нагрузками:
Р^ & = (z~b)\ 0<1<6з;
Рн, («) = (z - Ъ)\ Г4< z< Г.
Поэтому весь пролет фундамента разделяем на три участка:
при Рн, (z) = PwjF, (z—6t)2;
при d3^z^d4 Рн(2) = 0;
при bk<zL P„t (z) = Psvft (z—bt)2.
Получаем следующие выражения частного решения:
при 0^z^63 РИ| (z) = P»wSi (z~b^\
Ф^=^Т?-Г J Ф«(П-7)(Г-Г.)*<6-
и
=1(11 ~ *«)2- W М - 2Ф’ W+2Ь,Ф2 (п))- (12.45)
439
При 53^z^b, PBj(z)=O, поэтому
5 - _ _ г" ? р г,
Ф« = 4Р-Г‘ ( Ф4(ч-г)А..(г)& = $ + j=-^i-x
о о Ьэ
X 1(й3_ь,)2_б;ф, (Ь3)-2Ф3 (Ь3) + 2Ь,Ф2 (Ь3)]. (12.46)
При 54^z^L Рн,(г) =Pswt^(z—5s)2-
кф (ч) = f = j’+ j‘ + f 1&-6,)2- ь;Ф, (b3) -
’ JO 0 bl b
2Ф3 (b3) + 2Ь,Ф3 (b3)] + [4 (П - M2 - 4 & ~ ^>2 x
X Ф, (4 - b4) + 4 (b4 - b2) Ф3 (ч - b4) —i- Ф3 (ч - b4)]. (12.47)
Полученное решение является наиболее общим, и из него, как
частный случай, можно получить решение следующих задач:
1. Источник увлажнения расположен под двумя торцевыми се-
чениями фундамента (см. рис. 12.15).
Принимая в (12.45), (12.46) и (12.47) 61 = 0; Б2 = £ для частных
решений получим следующие выражения:
для первого участка (О^х^Бз)
ф(п)=-пй£|’1г-2Ф3(л));
для второго участка (Ьз^г^Ьч)
ф(п)=-^^Й-2Фэ(б3));
для третьего участка (b^z^L)
ф м- 2фз [4-<t»—z>2—
--1- (bt - L)z<D, (Я - b.) + 4 6 - Z) ф2 (П - £) - 4 ф3 01 - W ] •
Формулы изгибающих моментов и перерезывающих сил будут
иметь такой вид
для первого участка
Л7(Л) = 4Е/аз{!,()Ф3(Л) +4ф4 (л) + 2-^А (1 -Ф, (п)]} ;
(? (Ч) = 4£/а3 [ у0Фг (л) + 4 ф3 (П) + 8 Ф4 (ч) ] ;
440
для второго участка
^(П) = (?(Т1) = О;
для третьего участка
М (п) = 4Е1а2 {i/оФз (Л) +-& Ф4 (П) +-^g- [-L 1) +
+ (\ -1) Ф3 (I)-64) - 2Д - Z) Ф4 (п - 64) - -у (П - £) ]} ’
Q (Л) = 4£/аг {у0Ф2 (П) + ±» ф3 (Л) + 4^- [ 4+
+ (64 - L) Ф2 (п-А) - 2 6 _ L) Ф3 (n-bj + 2Ф4 (»] -й4)]} •
2. Если в рассматриваемом случае увлажнения основания «гор-
бы» набухания пересекаются на расстоянии 55=Z/2, то, согласно
рис. 12.9, на фундаменте будем иметь два участка: O^z^Ss и
^s^z^L. В этом случае (fe4 = 0; 52 = L; Б3 = 54 = Б5 = ь/2) будем
иметь:
для первого участка (O^z^L/2)
ф(п) = -^£чп2-2ф3(п)1;
для второго участка (L/2^z^L)
ф(’1)=-^[4Х2-2<1М4)]+т[4-(ч-1)2-
-^^ф.(п-4)-4^ф2(’1-4)-^фИ”-4)-
3. Увлажнение основания происходит двумя источниками, один
из которых расположен под левым торцевым сечением фундамен-
та, а другой — под его серединой (см. рис. 12.12). В этом случае
имеем: Z>i=0; 52 = Z/2.
Частные решения (12.44]... (12.46) будут иметь такой вид:
для первого участка О^г^Бз
Ф(п) = ^Г-И2-2фзШ
для второго участка Бз^г^Ь4
Ф(п)=-^г-1^-2Фз(бз)1;
для третьего участка 54^z^L
ф(п)=^-^-2Ф3(б-3)1+^А[4(п-4)2_
—)2 ф, (ч - м+4 (*‘~4)ф* (ч - -1ф’ - ч1 •
441
В соответствии с полученными выражениями частных решений
легко составить формулы изгибающих моментов и перерезываю-
щих сил для каждого участка фундамента. Согласно решениям
(12.45) ...(12.47) можно получить расчетные формулы для всевоз-
можных случаев воздействия набухания глинистых грунтов осно-
вания на ленточные фундаменты.
12.6. Расчет ленточных фундаментов
методом общих упругих деформаций
Одним из эффективных методов расчета инженерных конст-
рукций на упругом основании является метод И. А. Симвулиди,
основанный на модели общих упругих деформаций. Простота и
замкнутость аналитических представлений, теоретическая обосно-
ванность и наличие составленных автором многочисленных вспо-
могательных таблиц позволили широко применять этот метод в
практике проектирования фундаментов. Основная идея метода
была изложена выше. Ниже приводятся основные расчетные зави-
симости автора, необходимые для расчета ленточных фундаментов
на воздействие набухания грунтов основания.
В соответствии с методом И. А. Симвулиди для расчета лен-
точных фундаментов на воздействие набухания грунтов основа-
ния необходимо найти выражения вспомогательных членов Лн, Сн»
Лн, Вн, Эти вспомогательные члены только от действия на
фундамент дополнительной нагрузки определяются по формулам:
L
Ая=±\ P„(z)dz-, (12.48)
О
L
C„=-^ P„(z)dz-, (12.49)
О
L
кя = —±- J PH(z)(L—z) dz-, (12.50)
о
L/2
W* = 4A PH(z)^^dz-, (12.51)
Lt J О!
о
L/2
Вн=MS * <12-52>
о
L/2
Nu=4 [ S p« &dz+*»] • (1253>
442
Неизвестные параметры а0, Oj, а2 и а3 реактивного давления
(12.32) с помощью указанных вспомогательных членов А. И. Сим*
вулиди определяют по формулам:
__ (8252 — 34а) А„ —13 440Вна .
а°~~ 13 440+ 29а ;
_ Г (5188+ 63а) Аи +13 440Вна 3 .
13 440+29а
„ оГ (ZCH-AiHlZeO-aJ-SA^a T
L 2048+a J ’
а3 = 10 |(2С" ~ +4JV"g ]. (12.54)
Эпюры контактных давлений Pv, изгибающих моментов Мн и
перерезывающих сил QH от воздействия деформации набухания
грунтов основания можно определить по формулам:
Л. = «О + + (^ - Ь/2) + (* - L/2)2+-^ U- ^2)3; (12.55)
л/" = ^ (10<»i-5at+3Oj)+ [-й.(ж-£)_А (10a,+&»,)-*+ +
Ъ («-4Г
‘ L 3! ' 4! ’ L3 51
— J Р„ (z) (г — z) dz; (12.56)
о
QK= [^- (2х— А)-^ (10a,+3a3-A:„)] + + (*~2р^ +
+-5£ (l~f/2>< - J Р« (*) *• (12.57)
0
Подставляя в_( 12.55)... (12.57) выражение дополнительного
давления Рн(г)=Рв»г(2—^)2 и произведя интегрирование, полу-
чим расчетные формулы для изгибающего момента и перерезыва-
ющих сил в случае увлажнения основания одним точечным источ-
ником, расположенным на расстоянии b от левого торцевого сече-
ния фундамента:
Л/н(^)=='24О — 5a2+3a3) + —
-^«а.,+3.,>-*.!-+а.
+ (,2.58)
443
(?„ (X) = [ -Й. (2х — L)(10а, + За3) -
• 2ах (*--£/2)3 j 8af (ж-£/2)3 . 48а3 (*-£/2)<
L 21 ' £2 31 ' £3 4!
-xPau,r(-^x2-bx + b^. (12.59)
Вспомогательные члены в рассматриваемом случае расположе-
ния источника увлажнения определяют по формулам:
A„ = P,wr(^-^-bL + ^y,
CK = P.wr\±L2—|-&L+-l-62) .
Лн= -LP,wr(±&-±- bL + ±-&\;
\ О Lt
^=^М^>£2-4-6£+62);
V^MlT i2-T6i+62)+4-§r-^:
N„=±P,wr(±L2 —^ЬЬ + Ь2) + ^.. (12.60)
Формулы (12.58) и (12.59) позволяют рассмотреть различные
случаи расположения источника увлажнения грунтов основания.
1. Увлажнение грунтов основания происходит источником, рас-
положенным под левым торцевым сечением фундамента (6=0).
В этом случае формулы (12.58) и (12.59) 'принимают такой вид:
М„.(х) = (10а, — 5аг + За3) +
+ [-^(x-L)-A(l°a, + 3a3)-*H]x+^
+> _р^х. (12.61)
<?н(х)= [£ (2x-L)-^](10a, + 3a3)-fcB+^-^^-+
+ -> (,-W: + ^=LW_pswrx3 1_'j . (12.62)
2. Увлажнение грунтов основания происходит источником, рас-
положенным под серединой фундамента b = L/2. Расчетные форму-
лы в этом случае принимают следующий вид:
Мн(х)==~2^0 §а2 + За3) + [“2’ 120 х
х (.<)«. +W-».]. + S.<£=e+a Ji=«!.+>x
444
<2н (*) = [-^-(2х-Л)-А (10а, + 3аэ)-*н]+
f 2oi (х—L/2)2 , 8л, (х — LI2)9 , 48л3 (x-L/2)<
' 4L 2! L2 3! ' L9 4!
-хР.„г(-р—l-Lx-h-l-C2). (12.64)
3. Увлажнение грунтов основания происходит источником, рас-
положенным под правым торцевым сечением фундамента (b = L).
В этом случае расчетные формулы, согласно (12.58) и. (12.59)
принимают вид
= (10а,-5а2 + За,)+ (х-£)-^ (10а,+Заэ)-Л„] х +
, 2а, (ж-Ь/2)’1 , 8а, (а-Л/2)« , 48а, (х — Z./2)»
"г L 31 + £» 4! "I" £’ 51
-xzptwr^x2-^.Lx + ^.L^ ; (12.65)
(?„ (х) = (2х- L) -± (Юа, + За,)- Лм]+
. 2ai (х—L/2)2 , 8а2 (х— L/2)3 . 48а3 (х—L/2)4
“г [L: 2! ' L2 31 ‘ L3 4!
-IPswr(4-x2-^ + i2). (12.66)
Можно рассмотреть более общий случай, когда грунты основа-
ния увлажняются двумя источниками в районах торцевых сечений
фундамента. В этом случае увлажнение основания вызывает на-
бухание грунтов и соответственно деформацию его поверхности в
виде двух «горбов» (см. рис. 12.5): Согласно принятой нами мо-
дели рассматриваемую задачу можно свести к расчету фундамен-
та на плоском основании, нагруженного двумя дополнительными
давлениями, представляющими собой две распределенные по па-
раболическому закону прерывные внешние нагрузки от воздейст-
вия набухания грунтов основания.
Вспомогательные члены формулы И. А. Симвулиди в этом,,
наиболее общем случае расчета определяют по формулам:
L L L
А„ = 4-[ J Р«. (*) dz- j Ри, (z) + j Р„, (z) dz]. (12.67)
о ь, b4
L L L
Сн=ту [ J p«. (z) Z dz — J PH, (z) z dz + j Pn, (z) z dz; (12.68)
0 ba £
445
WH
j А.» (z) X
0
J (z) (L — z) dz— \ PHl (z) (L — z) dz-f-
b.
L
+ J phs(z)(L — z) dzl;
b4 J
0 0 J »
(L/2—z)> , O.SZ. L/2 (112—zp , 1
X 31 dz+ Г ( Ph,(z)W2 *> <fc ;
0 J 31 J
Вя=т>[ 5 р".(г)~7|Z)* dz~\ p«'^—4Г
0 b,
(12.69)
(12.70)
±^dz +
Nn =
b<
I pO,5L Ч2 0 5LL/2
17L Г J T ( PBl(z)dz +
° t 0 J
ь.
(12.71)
(12.72)
bi
Выражения NMt Вн и Ц7Н содержат двусторонние прерыватели
H. М.. Герсеванова Гь. Подробные сведения об этих функциях мож-
но получить в книге И. А. Симвулиди («Расчет инженерных конст-
рукций на упругом основании>, Высшая школа, М., 1973). Здесь,
напомним, важнейшие свойства односторонних Га и двусторонних
Гаь прерывателей: ГОЬ = ГО—Г6 при х<а; и x<Zbt Го=0 и Гь=0.
Поэтому при x<Za или Гаь = 0 при х>а, но х<Ь, Гаь = 1-
Значения изгибающих моментов и перерезывающих сил опре-
деляют по формулам:
= ^0 (10а‘ - 5“2+3“з) + [-у -£) -
L лп 1 \ Л- 1 -г I ।
~'120 (10“‘+ ™3’ ~ к" J Т- 31 г
, 8а. (х-Ь/2)‘ । 48as z-L/2
+ “ЕГ 41 г £» 51
446
P„,(z)(x—z)dz+rb, J Ря, (*)(* —z)dz—
f»9
— Г», j />«,(г)(х-«)^; (12-73)
Qb(x} — (2x—L)—j^(10a,+3es)—‘ 2/
+^гчя' j^-r. j ₽„(.)*+
0
+4 J А.. (г) dz-Г». J Ря, (Z) dz. (12.74)
b, b4
В приведенных выше выражениях:
Рщ (z)=P,wl [1- ~~~] = Р*“г‘ <*“ Ь^' <1275>
РпД^Р,^ [1- <12-76>
Вспомогательные коэффициенты Лн, Си> Лн. 1ГН, Вн, ЛГи от
дополнительного давления при пересекающихся горбах набухания
(см. рис. 12.6) определяют по формулам:
L\ L L
Лн=-г [!Ри| <г> di~ SРя*(z) dt+ $ р-2 <*>di]: (12-77>
О J Ь» ь.
L L L
CB = ±[J PB1(z)zdz-| Phi(z)zdz+ J Pe2(z)zdz; (12.78>
L OJ b» b.
L L
*н=—PB1«(L-Z)dz+
0 bk
+ ( Ли (*)(£-*)&]. (12.79>
ь»
.л L,!^,
и'.-^fr P..W-M Л-Т S '>..<.>г¥г^+
О ьж
J y2
+ °rL j Р.г(2) ±£-/2з7Х),&]; (12.80)
447
L L
B«=-MS PHl(z)-^^dz +
0 b*
L
+ JPH2(z)^^-dz] + ^-W'H; (12.81)
t>5
, r0,5L LL2 0,bLLl2
№ = 4- Г \ ^Hi(z)dz- Г ( PHi(z)dz +
L ° 0 0 bl
0,5L Ч2 -. .
+ Г Pn2(z)dz] + ^. (12.82)
В частном случае, когда набухание грунтов основания происхо-
дит одновременно под торцами фундамента, т. е. при Ь|=0, b2=L
точка пересечения функций Рн^г) и Ph2(z), определяющих до-
полнительные нагрузки от набухания грунтов оснований, т. е.
/>5=1/2 (см. рис. 12.10), rx = r2 = rt Uoi = Wo2 = «o, вспомогательные
коэффициенты находят по формулам:
^н = "г[ 5 Pn\.(z)dz— J PHi(z)dz+ J Ph2(z)</z];
0 L/2 L/2
(12.83)
€„ = ^5 [ J PH1(z)zdz- J PH1(z)dz+ J Phz(z)z<1z]; (12.84)
0 L/2 L/?
L L
Л„=-4-[$ PKi\(z)(L-z)dz- j PKl(z)(L-z)dz +
0 L/2
+ J PM(z)(L-z)dz] ; (12.85)
L/2
L/2
W„ = Г T ( PH1 (z) (Ь/2з72)- dz] ; (12.86)
L’ L n J J
0
= PHi(z)'^^-dz- j Л1(*)(Цг1‘*г +
0 L/2
+ J Л.2 (z) <12-87)
L/2
л » L/2
*B = H f ) P„iVdz]+±. (12.88)
448
Подставляя в (12.67)...(12.72) выражения (12.75), (12.76), по-
A = psu,n (4- i2-zA + 6;)-^-,[(i.-b1)3-(63-M3]+
+ -^Ч(£-Ь2)3-(64-62)з] ; (12.89)
с..=(4Li —тb~-LZ+4b*L2 -4^+4W -
-4^+-^ (4ч-4м:+4ь-ь4 (12-9°>
кн = - 4 р-.п (4 £Ьз - +ь?“з - 4+
+46'6’ - 4ьгм)+7>^ (4Ll - 4ь-'3+4 ь*ьг -
щ+ьгьъ\-ьул, +4ь;_-2-м>?+4ед)]. (12.91)
iv..=4 ['Т 7^,(4 /^'-4^+4 б;_
-4 £36,6»+4'£2i,^ - 4 7*.ь;+4 w+4£3 *
х 6?63 - 4 £з&?б»+4 £6^6’ _ 4 б;б; + Т р,иггг х
Х ( 384-60 L*~ 384-5 М--5+з846Л‘— 24 £,3fc« + 4 Х
X 6J - 4 Щ + 4 Ь’ + 4 £’626J - 4 £»626J + А £ х
х ьгь\ —j- б2&; - 4 7’^4+4 -
-4£ед+4б»б:)]; (12 92)
ви=-^ р,ш,г. (4 L3b*+4 i2fc3- 4£ь;+
+ 4 6; - £46,6» + А £36,6’ - 3£26,6‘ + А £6,6» -
— 4 btb* + £‘6;63 - 2£’6»6» + 2£2616» - £6? х
Х fc> + ТГ•^э)“Ь^«ичгг (21-24-5 3-24-5 +
+4^- £»61 - 4 £»б: + £36; - 4 £гЬ; + 4 £6; _
—4 Ь\+i’62fe,3 + 3£2626; - 4 LbJ>\ +
♦49
+-1 - л»б?б4+2£зб|б;—2£гб;&;+1лггь\ —
-4-^)]+^-^: <12-93>
ЛГН= 4-[Т^(6,-61)3+ Т Psw2r2(-^ L>-±- Р6г +
+ 4-6;£-4-(64 - 62)з] + ^- (12.94)
Изгибающие моменты и перерезывающие силы
м« (X) = (10а, - 5аг + За3) + [£ (х - L) - х
Х(10а1-?За3)-Ли]х + ^1 X
(х-Л/2)‘ . *48аэ (ж-£/2)‘
Х 41 5!
- ГоЛ. wlr, ( ± х'‘ —4 + 4 b‘X* ) + ГЬзР»uZ i X
х (4- 4- 6>i3+4 b‘x2) - rb^w,rt (4- -
- btxbi+6?x63 __L 6;+4 6,6; - 4 6J6;) -
- r64pSU)!r2 (414 - 4 b*x3+4 b>2)+Г6‘ x
x p.w2r2 (4 ift4 - b2xbt.+a —rь*+4 w - -j- 6^): <12-95)
Q„ (x) =x [4 (2x-£) -- (Юа, + За3) -*„] +
, 2ax (x-L/2)2 , 8a2 (x-L/2)3 , 48a3
' L 2! ' 3! ' LA
(x — L/2)* _p p (x—b)3 ipp _ bi 1 P r (д—fci)_
XX 1 0rswlr 1 Ji ‘ 1 (И sur 1 з 1ли3*зшг1 з
-n3Pswlr, (,>3-Ь,)3-Г64Р,ю2г2 ^b^. + rbiP,w2r^ (12.96)
Ha основании полученных общих формул можно рассмотреть
расчеты ленточных фундаментов на набухающих грунтах при про-
извольном расположении источников увлажнения.
1. Набухание грунтов основания происходит под двумя торце-
выми сечениями фундамента при непересекающихся горбах на-
бухания. В этом случае (&i=0, b2 = L, b3^b4) формулы (12.93)
и (12.94) принимают вид
м« <х>=й (10а< - 5“2+За’>+[ т (х -д) - (4 <10а‘+Звз) _ Чх+
450
, 2а, (т-Ы2Г , 8ог (z-£/2)< , 48a3 (x-L'2)s r 7, r J_Ha.
* L 3! "* £’ 4! ' £? 51 10 •’*“ ‘ 12
+-jV x‘ - n^r> (-гж6’_460_
- гг>4р5Ю1гг (x‘ - 4 4i3 - 4 vi2 -ГЬ^Г> X
X ( -L xb3-I.xb3 + ZAr64 - -1-6;+ Lb3—t L*bty (12.97)
<4. (x) = [•£ (2x - L) - A (10a, + 3a3) - *„] +
. ‘2at ^(х — Ь'2Г- 1 8g2 (x — L 2)3 , 48a, v,
"* L 2! “> ЛЛ 3! ’ L3 z4
-Г63Р,№,г,-^-Г64Р5Ц.2г., (Х"Л>Д +r\Pjlt.2r2 №,3Л>-. (12.98)
2. Набухание грунтов основания происходит под левым торце-
вым сечением и серединой фундамента при непересекающихся
горбах набухания. В этом случае (6i=0, b2~LI2t b^b4) форму-
лы (12.94) и (12.95) принимают такой вид:
A/„W=^(10at-5a2 + 3a3) + [^(z + £)-^X
Х(10й1 + Заз)-Л11]х + -?21- (j-[/2-g- + -^- х
(х-£/2)* 48а3 (х-£/2Р__г
а 4| ’ £=» 5! 0
X Pswirl ~^2 ^3^5141^1 ~^2 ^^3^swlri
Х ( “У х^3 “*iV ^3 ) “ ("12 3~~2 х3~*“ Т Т х2 )
-rbtpsw2r2(-Lxb:;—^xbi+'^-xb4—1-ь; +-|~ ь3--^-^-ь1);
(12.99)
Q к(х) = [^ (2х-£)-т^(10О1+Заз)-Ан]+
। 2О1 (X-Z./2)» . 8as (X-L/2)’ , 48а3 (х-£/2)‘
“Г L 21 "I" £» 31 ’ £» 4|
— Г0Ряи}1гj -з-*4’Г63Р51Г1гj -3—rb3PsWiri х
X Г64РЙ,2Г2 (j-~L/-)3 +Г64Рв1Г2г2 -^~£/2)3. (12.100)
451
3. Набухание грунтов основания происходит под серединой и
правым торцевым сечением фундамента при непересекающихся
горбах набухания. В этом случае (^i = £/2; b? = L; b3=£bA) форму-
лы (12.95) и (12.96) принимают следующий вид:
Мп (X) = (1 Оа, - 5а, + За3) + [ (х - L) - X
X (10а,+ 3в,)-(r~f/2)3 X
(rr—Ь/2)< . 48a, (x-£/2)> Гр /1 «_
X 4! ' L3 5! 1 iri ( 12 x
3 F ж3“*“2” ~ l2) + ( "f2 X* 3 2” l3 +
+44 *2) -iv.u.r, (4- ^-41бз+4 ^з-
-46 * * *‘+44fc3—г46з)-Г6‘р-г*(4
—+ lx’+4£2x2)+г*Ли^2 (4 xb> -
— Lxb’ + L’xfc, —i- b* +-|- Lb3,—z-Mty (12.101)
& (x) = [^ (2x-£)-4 (10a, + 3a3) - fcH]+
, 2a, (z-L/2)‘ , 8a, (x-L/2)3 । 48a,
' L 21 »“ L2 3! r|" L3 A
(x-L/2)3 , r p „ L3
3j t-lo^ouVi 3 8
(63-L/2)3 rA p „
3-----------3-----1 °3r swir 1
__га ~p r (X~~L)3 , p (bj — L)3
1 eu>2*2 3 1 u^*&w2* 2 3
2 Г P r
-------1 o^ewi'i
+rfr3P,u,1r, (l~£/2)3
(12.102)
4. Набухание грунтов основания происходит под двумя торце-
выми сечениями фундамента при пересекающихся горбах набу-
хания. В этом случае (bi=0, b2 = L, b3 = b4 = bb) формулы (12.92)
и (12.93) принимают такой вид:
AfH(^)=-^o (10at — 5a2 + 3a3) + [-у- (х—L) —
-4(10а, + 3а3)-Лн]х + 4 -4^-+
. 8а, (х-Л/2)* . 48а, (х-£/2)4 5 г „
+ “Г------41------------я------lo^swinX
452
X ^I‘ + rZ'5/’«ulrl(lVI‘-----Гг6»+-ГЬ‘) —
(4 *‘+4- Лж’-4- №2-4-х
X xbl + Lxbl - L2xbb + 4- ь; —4 Lb} + 4 L2bl) ’• (12.103)
<?» (х) = [ 4 (2х - Л) - (10а, + За,) - *-] +
, 2Д1 (x-L/2)3 , '8а2 (x-L/2)3 L 48а3
+ ----------2!------------3! Г Ь3 Х
X V-UW _ г>р,мГ1 J1 + ГЬ,Р,„Г, х
б. Набухание грунтов основания происходит под левым торце-
вым сечением и серединой фундамента при пересекающихся гор-
бах набухания. В этом случае (6i=0, b2 = L/2, b3 = bA=b5) форму-
лы (12.93) и (12.94) принимают вид:
(х) = (10а4 — 5а2 + За3)+ —
L ,лг. , q . , -I . 2ах (х—£/2)3 . 8а2 ..
120 (10fll ^аз) J я 4 Ь £2 Л
(х-£/2)« , 48а3 (х-£/2)3 р р _ 1 4,
Х 4! ' L3 5! 1 o^suiiri 12 Х "Т*
+ niP,wiri (х‘ ~ "Г xb* + ~Т Ь* ) — Г6»^>“’2гг X
x(iBl1 г ^-хЬ1+~2хЬ1—
-£а+4-*:-4- 4^+4- ь>)’ <12105>
Q» (Ж) = [ 4 (2х - L) - ± (10я, + За,) - Л„ ]+
1 2at (х —£/2)3 , 8а2 (x-L/2)3 j 48аэ „
' L 2! ' L3 3! ' £3 Х
х :(J~4/2)< - Г0Р,ш1г, 4 + Г65Р,и1г, { 4—у ) -
(12.106)
6. Набухание грунтов основания происходит под серединой и
правым торцевым сечением фундамента при пересекающихся гор-
бах набухания. В этом случае (&i = L/2, b2=L, Ь3 = Ь4=Ь5) форму-
лы (12.94) и (12.95) принимают вид:
453
Мн 24о/^й* 5о2+ 3<гэ)-|-120 Х
X (10а1+За3)-Лн] х + ^- -<^-^2>1+-^ -—4/2)< +
, 48а, (x-L/2)5 г ,7 /1,..±АгЗх
+ ^3---й---Го/^.гД —Z4- з 21 +
+44x2)+r^-r>(4i4-4 4х3+4х
х vх2 - 4-хЬ°+4 хЬ* —тхЬъ+
+46* ~ 4 4*»+4 46*)— Гб5^’ш2Гг х
х (414 —тLx3+4L2x2 —г xb*+Lxb‘ ~
-L^b5 + ±bl-^-Lbl + -^L^)-, (12.107)
Q«.(x) = [4 (2х -£) _ А (Юа, +За3) - *..] +
, 2а, (x-L/2)* , 8а, (х-£/2)’ , 48а,’ (x-t/2)« г ,7
+ -£---21--+ Т-----31--+ “Z7----41 0 sw 1 Х
Г (х —L/2)3! Ь31,Гр Г(х-Л/2)’ (8,-А,/2)3 _ _ р
X L--§-----8^ J + 1 Л/* [-§-------§ 1 b.^su>/2 -.
X [ <*7£)3 j ,
(12.108)
Как видно из приведенных выше формул, разработанная мо-
дель «дополнительных давлений» позволяет вести расчеты ленточ-
ных гибких (железобетонных) фундаментов на все возможные
случаи набухания грунтов основания при их увлажнении и выбрать
из них, в каждом конкретном случае расчета, наиболее неблаго-
приятную схему деформирования оснований, приводящую к воз-
никновению в конструкциях фундамента максимальных расчетных
усилий.
12.7. Примеры расчета гибких ленточных фундаментов
на воздействие набухания
Ниже, на основании изложенных выше методов, приводятся
численные расчеты ленточных фундаментов на воздействие набу-
хания при двух характерных случаях увлажнения грунтов основа-
ния, под левым торцевым сечением и по середине фундамента.
Расчеты произведены методами местных и общих упругих дефор-
маций.
454
Расчет по методу местных упругих деформаций. Размеры фун-
дамента L = 6 м, 60=1 м, Л=0,14 м. Показатель гибкости а при
модуле общей деформации грунтов основания Ео=2О МПа по фор-
муле a=nEobL3/(EI) получается равным а=300.
Соответствующая изгибная жесткость фундамента будет EI—
= 45 216 кНм2. Коэффициент жесткости набухающих глинистых
грунтов основания по данным Р. Литтона принимаем равным
£0 = 2-Ю4 кН/м3; £ = Ы>о=2-104 кН/м2.
Величина а
а ='Ук/(4ЁГ) = */20000/4-45 216... .
Значение «порога» набухания по данным компрессионных ис-
пытаний РЛ1с=0,29 МПа. Максимальное свободное набухание
грунтов основания цо = 0,4 м. Параметр кривой поверхности набу-
хания Н=0,011 м-1. Тогда:
w = Psul — = 7,975 » 8 кН/м‘.
sw и0
В Пример 12.1. Набухание грунтов основания под левым торцевым сечением
фундамента.
Частное решение рассматриваемой задачи получаем из (12.41), принимая
Производные функции будут
ф' (П) = 2 1ч -ф, (п)Г. ф' (1) = 2 (1 - ф, (Л)];
Ф"(’1) = 8-^1Ф4(11).
Начальные параметры находим по формуле (12.29)
* = ch.6,912/cos 6,912-2 'Ф’ <6'912> Ф' <6-9'2)-Ф« (6.912) Ф" (6.912)1 =
= —0,00125 м;
V= ch 6,912/cos <6-912> (6.912)-Ф, (6,912) Ф’ (6,912)) =
= —0,002595 м.
Формулы реактивного давления, изгибающих моментов и перерезывающих
сил (12.30) примут такой вид:
Р (т]) = — 2,5Qj (П) + 5,19Ф2 (т)) + 2000Ф (т]);
М (т]) = ~',5Ф3 (п)-F 15,5716ф4 (т])-1500,158Ф' (tj);
Q (П) = -4,32Ф2 (т])4-8,9692Фз (tj)- 864,091Фт (tj).
Значения расчетных усилий в пяти характерных сечениях фундамента при-
ведены в табл. 12.1.
По данным табл. 12.1, на рис. 12.16 построены эпюры реактив-
ного Давления, изгибающих моментов и перерезывающих сил.
455
Рис. 12.16. Эпюры реактивного давления, из-
гибающих моментов и перерезывающих сил
для случая набухания грунтов под левым тор-
цевым сечением фундамента:
1 — эпюра условная; 2 — то же, реальная
Рис. 12.17. Эпюры реактивного давления, изги-
бающих моментов и перерезывающих сил для
случая набухания основания под серединой фун-
дамента:
1 — эпюра условная; 2 — то же. реальная
Таблица 12.1
X П Pv кН/м М(п). кН М Q(n). кН
0,000 0,000 —25,000 0,000 0,000
1,493 0,860 21,198 — 19,200 —12,271
3,003 1,730 81,923 —25,923 —0,268
4,496 2,590 165,020 —15,298 —11,965
6,000 3,456 263,924 0,000 0,000
Эпюра реактивного давления построена для реальной (пунктир-
ная линия) по формуле (12.38) и условной (сплошная линия) рас-
четной схемам.
В Пример 12.2. Набухание грунтов основания под серединой фундамента.
Дополнительная нагрузка в безразмерных координатах
рп Ю = Р,и>г/№) (n-aL/2)K
Частное решение в рассматриваемом случае определится формулой (12.41),
если принять Ъ=Ы2=аЕ/2:
Ф(т]) ^0,0012[(т]) —1,728)2 —2,9860,(1])4-3,456Ф2 (tj) —2Ф3 (т])Ь
Производные этой функции будут:
Ф' (л) = 0,0012 [2 (л — 1J28) 4-11,944Ф4 (tj) + 3,456ФХ (т]) - 2Ф2 (п)Г,
ф* (П) = 0,0012 [24- 11,944Ф3 (т]) — 13,824Ф4 (л) — 2ФХ (п)];
Ф'" (т]) -0,0012 [И,944Ф2 (т])-13,824Ф3(т])4-8Ф4 (т])1-
По формуле (12.29) определяем начальные параметры:
у0= 0,00798 [Ф3 (6,912) Ф"—Ф4(6,912)‘Ф4(6,912)Ф"' (6,912)1 = 0,00233 м;
-**«-=0,00798 [Ф3 (6,912) Ф" (6,912) — Ф2 (6,912) Ф* (6,912)1 = 0,001546 м.
а
Формулы реактивного давления, изгибающих моментов и перерезывающих
сил (12.30) принимают такой вид:
р (Л) = 4,66Ф,(т]) - 3,092Ф2 (п) 4- 2,000Ф (П);
М (т]) = 13,9815Ф3 (п) -9,277Ф4 (П) - 1500,1583Ф" (п);
Q (т]) = 8,0533Ф2 (т])-5,3435Ф3 (л)-864,0912Ф'" (т))-
Значения расчетных усилий в пяти характерных сечениях фун-
дамента приведены в табл. 12.2. По данным табл. 12.2, на рис.
Таблица 12.2
X п Р(П). кН/м Л1(т]). кН-м Q(ti). кН
0,000 0,000 46,600 0,000 0,000
1,493 0,860 21,573 —14,366 — 12,291
3,003 1,730 11,028 —25,050 6,000
4,496 2,590 21,573 — 14,366 12,291
6,00 3,456 46,600 0,000 0,000
457
Рис. 12.18. Эпюры реактивного давления, изгибающих
моментов и перерезывающих сил для случая набухания
грунтов под левым торцевым сечением фундамента
12.17 построены эпюры реактивного давления, изгибающих мо-
ментов и перерезывающих сил.
Расчет по методу общих упругих деформаций. Ниже, на осно-
вании метода И. А. Симвулиди. приводятся численные расчеты
ленточного железобетонного фундамента на глинистом набухаю-
щем грунте при наиболее опасном для конструкции фундамента
расположения источника увлажнения, — под левым торцевым се-
чением и под серединой фундамента.
Пример 12.3. Набухание грунтов основания под левым торцевым сеченнем
фундамента.
Рассмотрим балочный фундамент, нагруженный равномерно распределенной
нагрузкой и расположенный на глинистом набухающем основании с очагом
увлажнения под левым его торцевым сеченнем. Пусть требуется построить
эпюры реактивного давления изгибающего момента и перерезывающих сил.
458
Характеристики грунта и
основания принимаем таки-
ми же, как и в предыдущих
двух примерах.
Дополнительно давле-
ние от воздействия набуха-
ния грунтов основания:
/>нМ = -^ г (»-»)«=
uo
=Р, wr(zr— bj- <DZ2 = 0,8z2.
Вспомогательные члены
в рассматриваемом случае
набухания грунтов основа-
ния, согласно формулам
(12.60), будут равны: Ли =
•=9,6; Сн = 7,2; Ли = -14,4;
№. = 0,001; Вя=0,04; ЛГН =
=—1,2.
По формулам (12.54)
вычисляем параметры реак-
тивного давления: а0=
= 64,07 кН/м; а2 = 95,78
кН/м; О| = 96,3 кН/м; а3=
= 78,5 кН/м.
Далее по формулам
(12.55), (12.58) и (12.59)
вычисляем значения реак-
тивного давления Рн, изги-
бающих моментов /Мн и пе-
ререзывающих сил QH от
действия на фундамент сил
набухания и строим соот-
ветствующие эпюры (рис.
12.18). Расчет рассматри-
ваемого фундамента на дей-
ствие равномерно распреде-
ленной внешней нагрузки
дается в книге И. А. Сим-
Рис. 12 19. Эпюры реактивного давления, изги-
бающих моментов и перерезывающих сил для
случая набухания грунтов под серединой фунда-
мента:
/ — эпюра условная; 2 — то же, реальная
вулиди («Расчет инженер-
ных конструкций на упругом основании». М., 1978, пример П-6).
Эпюры реактивного давления, изгибающих моментов и перерезывающих
сил от совместного действия на фундамент равномерно распределенной внеш-
ней нагрузки и дополнительного давления от набухания грунтов основания
представлены на рис. 12.19.
Как видно из приведенных на рис. 12.10 результирующих эпюр, набухание
грунтового основания под левым торцевым сечением ленточного фундамента
п рассматриваемом случае приводит к увеличению контактных давлений, момен-
тов и перерезывающих сил. Так, значение максимального изгибающего момента
при этом увеличивается на 35%, а наибольшая перерезывающая сила — на 56%.
Й Пример 12.4. Набухание грунтов основания под серединой фундамента.
Для рассматриваемого ленточного фундамента и набухающего грунта осно-
вания построим эпюры реактивного давления, изгибающих моментов и перере-
зывающих сил для случая расположения точечного источника под серединой
фундамента.
В этом случае bi —3 м; u — r(z—3); P„(z) —(o(z—3)2 = 0,8(г—З)2.
Вспомогательные члены в этом случае расчета, вычисленные по формулам
459
Рис. 12.20. Суммарные эпюры реактивного дав-
ления, изгибающих моментов и перерезывающих
сил для случая набухания грунтов под левым
ториевым ссченим фундамента
Эпюра Мх,кНм
Рис. 12.21. Суммарные эпюры реактивного дав-
ления, изгибающих моментов и перерезывающих
сил для случая набухания грунтов под серединой
фундамента:
I — эпюра условная; 2 — то же, реальная
(12.60), имеют значения: Лн=2,40; Сн=1,20; £„=—7,20; 1Гн=0,013; Вп = —0,006;
С„ = 0.
Параметры реактивного давления, вычисленные по формуле (12.54), будут:
со = 8,95 кН/м; а2=45,16 кН/м; ai=0.
Далее по формулам (12.55), (12.63) и (12.64) вычисляем значения реак-
тивного давления Ри, изгибающих моментов Мм и перерезывающих сил (?и от
воздействия на фундамент сил набухания грунта основания и строим соответ-
ствующие эпюры (рис. 12.20).
Суммарные значения реактивного давления, изгибающих моментов и пере-
резывающих сил от совместного действия на фундамент равномерно распре-
деленной нагрузки и дополнительного давления от набухания грунтов основа-
ния определяем сложением соответствующих ординат одноименных эпюр
(рис. 12.21). Здесь эпюра реактивного давления для реальной расчетной схемы
показана пунктирной линией, а для условной — сплошной.
Как видно из приведенных на рис. 12.21 результирующих эпюр, набухание
грунтов основания под центром подошвы ленточного фундамента в рассматри-
ваемом случае увлажнения основания приводит к уменьшению значений внут-
ренних усилий Qx и Мх. Так, значение максимального изгибающего момента
при этом уменьшается на 60%, а наибольшей перерезывающей силы — на 62%.
На основании результатов приведенных численных примеров
можно сделать вывод о том, что расположение очага набухания
неоднозначно влияет на изменение контактных давлений и внут-
ренних усилий в конструкциях ленточных фундаментов.
Воздействие на подошву фундамента набухающих грунтов ос-
нования может привести как к увеличению, так и к уменьшению
максимальных значений изгибавших моментов и перерезывающих
•сил. Поэтому в практических расчетах следует рассматривать все
возможные варианты расположения очагов увлажнения основа-
ния, приводящих к максимальным внутренним усилиям в конст-
рукциях фундаментов.
Глава 13
РЕОЛОГИЯ НАБУХАЮЩИХ ГРУНТОВ
13.1. Постановка экспериментальных исследований
по изучению реологической особенности
деформирования глинистых грунтов при их набухании
Деформации набухания в глинистых грунтах, связанные с фи-
зико-механическими и химическими процессами, происходящими
как внутри порового пространства, так и в кристаллическом строе-
нии минеральных частиц, могут быть классифицированы как рео-
логические неравновесные процессы. Деформация набухания, как
будет показано ниже, представляет собой нестационарный про-
цесс, развивающийся во времени. Существенное влияние на этот
процесс оказывает вид и свойства влаги. В зависимости от содер-
жания влаги в грунте и величины сил взаимодействия с минераль-
ными частицами, определяемых главным образом гидрофильно-
стью минеральных частиц, величина и скорость деформации набу-
хания в глинистых грунтах могут быть весьма различными. Как
461
известно, минеральные частицы грунтов заряжены отрицательно,
а молекулы воды представляют диполи, заряженные положительно
на одном (атом кислорода) и отрицательно на другом (два атома
водорода) конце. При соприкосновении твердой минеральной час-
тицы с водой возникают электромолекулярные силы взаимодейст-
вия, которые притягивают диполи воды к поверхности минераль-
ных частиц с огромной силой. При этом, чем больше удельная по-
верхность частиц, тем большее количество молекул воды будет на-
ходиться в связанном состоянии. В этом процессе существенное
значение имеет минералогический состав глинистых частиц. Так,
известно, что кристаллы монтмориллонита, из которых состоят
монтмориллонитовые глины, обладают подвижной кристалличе-
ской решеткой, способной при соответствующих условиях втяги-
вать внутрь кристаллов молекулы воды и значительно набухать,
увеличиваясь в объеме.
Реологические процессы в глинистых грунтах впервые экспери-
ментально изучались на кафедре механики грунтов АзИСИ
Г. Д. Чигниевым. В дальнейшем эти исследования продолжал
здесь Руби Эль Ханси.
В этих исследованиях, проведенных под руководством А. А. Мус-
тафаева, основными задачами являлось установление: закономер-
ностей деформации набухания и усадки глинистых грунтов во
времени как в условиях отсутствия внешней нагрузки, так и под
действием различных внешних нагрузок; зависимости между
уплотняющим давлением и начальной влажностью в пределах из-
менения последней от естественной до полного водонасыщения;
зависимости между относительной усадкой и влажностью при тех
же пределах изменения влажности грунта; зависимости между на-
пряжениями и деформациями для определенных значений време-
ни; зависимостей относительного набухания и относительной усад-
ки от времени при различных значениях влажности грунта, посто-
янной в течение всего опыта; зависимости объемного набухания
грунта и количества поданной на увлажнение воды, степени и ха-
рактера обратимости процессов набухания и усадки во времени
при длительных циклах переменного увлажнениями высушивания
грунта; установление структурных изменений в грунте в процессе
набухания.
В результате проведенных опытов представилась возможность
построить семейства кривых набухания при постоянных значениях
уплотняющих напряжений (кривые ползучести), кривые изменения
напряжений при постоянных значениях относительных деформаций
набухания, кривые зависимости уплотняющих напряжений от
деформаций набухания для характерных значений времени де-
формирования грунта (изохронные кривые ползучести) и другие
важные закономерности деформации набухания глинистых грун-
тов. Деформируемость исследованных грунтов изучалась в комп-
рессионных приборах типа «Гидропроект» на цилиндрических об-
462
разцах ненарушенной структуры площадью основания 40 см2 и
высотой 35 мм. В компрессионных приборах образцы исследован-
ных грунтов предварительно уплотнялись под действием заданных
внешних нагрузок до полной стабилизации деформации и затем с
помощью специального приспособления грунтам подавалось рас-
четное количество воды, которое сохранилось постоянным в тече-
ние всего опыта путем герметического покрытия приборов резино-
выми оболочками. Наблюдения за изменением деформации ис-
следованных грунтов велись в течение 100 сут. В эксперименталь-
ных исследованиях были использованы образцы ненарушенной
структуры набухающего глинистого грунта хвалынского возраста,
отобранные с различных глубин на территории Волгоградского
нефтеперерабатывающего завода. Образцы грунта, взятые из мо-
нолитов, были подвергнуты минералогическому анализу и обыч-
ным физико-механическим анализам по существующим стандарт-
ным методикам. Для определения минералогического состава ис-
следованных глин было произведено разделение их на глинистые и
пылеватые фракции методом отмучивания по Сабанину. Минерало-
гический состав глинистой и пылеватой фракций образцов был
изучен иммерсионным методом. По результатам этих исследова-
ний в минералогическом составе исследованных грунтов преобла-
дает монтмориллонит — 50...60%, в относительно малом количест-
ве содержится каолинита 15... 17%. В пылеватой фракции превали-
рующим минералом является кварц. В солевом составе, установ-
ленном химическим анализом водных вытяжек, в наибольшем со-
ставе встречаются анионы SO/' (до 15,13 мг-экв на 100 г абсолют-
но сухого грунта). Из катионов наиболее часто встречаются Са++
(до 14,58 мг-экв), Mg4"1’ (до 15,52 мг-экв).
Физико-механический состав исследованных грунтов характе-
ризуется следующими данными.
Наименование характеристик
Естественная влажность. %
Удельный вес частиц. кН/м3
Удельный вес, кН/м3
Удельный вес сухого грунта. кН/м3
Пористость, %
Пределы пластичности, %:
граница текучести
» раскатывания
число пластичности
Гранулометрический состав (0.001 мм),
%
Пределы изме-
нения значений
характеристик
8.,.12
26.8...28,1
16.8...20,1
13,5...16.3
35...48.5
30...75
13...55
25...42
30...45
В результате выполненных экспериментальных исследований
'были получены в необходимом объеме данные, позволяющие пу-
тем их соответствующей обработки установить закономерности
реологического процесса в набухающих глинистых грунтах.
463
13.2. Обработка результатов опытов согласно теории
старения
Согласно результатам выполненных экспериментов, деформа-
ция набухания в глинистых грунтах, развивающаяся во времени
при постоянной влажности и давлении, может быть классифициро-
вана как явление ползучести. Подобная трактовка механики набу-
хания позволяет предпринять попытки описать напряженно-дефор-
мированное состояние увлажняемых глинистых грунтов закономер-
ностями технической теории ползучести. Наиболее удобной для
описания закономерностей деформирования набухающих грунтов-
может оказаться общая трактовка теории старения, предложен-
ная Ю. Н. Работновым. Следует отметить, что теория старения,,
предложенная впервые Зондербергом в 1936 г., справедлива для
неизменяющегося во времени значения уплотняющих напряжений.
При переменном давлении эта теория не дает правильных резуль-
татов, поскольку не учитывает предысторию деформирования. Со-
гласно теории старения, деформация в данный момент определя-
ется лишь значением напряжения в этот же момент времени. Со-
гласно этой теории можно принять, что между деформацией на-
бухания, уплотняющим напряжением и временем при постоянной
влажности грунта существует зависимость вида:
Ф(е5и., Р, /) = ().
Теория Ю. Н. Работнова основана на рассмотрении изохрон-
ных кривых ползучести, т. е. семейства диаграмм «напряжение —
деформация», параметром которых служит- время. Если указан-
ные кривые окажутся подобными, то в соответствии с этой теори-
ей зависимость относительного набухания от уплотняющих напря-
жений и времени можно представить в виде произведения двух
функций, из которых одна ф(Р)—функция только напряжения,
а другая W(/) —только времени:
esu (/\ = (13.1).
Функцию ползучести Чт(0 принимают такой, чтобы Чг0=1; сле-
довательно, функция eSw(P, О)=ср(Р) описывает изохронную кри-
вую P = f(esw) Для мгновенной деформации.
Напряженно-деформированное состояние грунта, согласно тео-
рии старения, явно зависит от времени и поэтому она может быть
использована лишь для тех случаев, для которых получены ее
уравнения состояния. Согласно Ю. Н. Работнову, на теорию ста-
рения можно смотреть как на рабочую гипотезу, пригодную толь-
ко для инженерных расчетов. Проанализируем некоторые резуль-
таты выполненных опытов, согласно теории старения.
На рис. 13.1 представлены кривые изменения относительного
набухания во времени при различных постоянных значениях
уплотняющих давлений. В левой части этого рисунка показана»
464
P-0
Р*0,2ИПа
0,4
0,04
0,02
0,0
1.2
1,6
0,42
0,40
0,12
010
0,00
кривая зависимости относительного набухания от напряжения при
/ = 96 сут. Процесс деформирования грунта при набухании при
постоянных значениях давлений и влажности, как видно из пред-
ставленных на рис. 13.1 кривых, проявляется во времени анало-
гично явлению ползучести. Кроме того, этот процесс при всех зна-
чениях уплотняющих давлений протекает весьма интенсивно в-
течение первых 5...8 сут. Начиная с 10... 15 сут процесс набухания
носит затухающий характер. В этом длительном процессе для на-
бухания характерным является то, что накопление остаточных,,
необратимых структурных деформаций в грунте не завершается
после прекращения
увлажнения грунта, а
продолжает расти с
определенной затуха-
ющей скоростью. При-
чем здесь в отличие от
классической теории
ползучести, выделяют-
ся только два харак-
терных участка кри-
вых изменения дефор- л ................. г
мации набухания ВОPMAz /л Ц d <♦ 0 * 16 24 52 W 40 56 61 72 00 Ы 96 tcy/rr
времени. Первый учас-
ток характеризуется
уменьшающейся ско-
ростью набухания и по
аналогии с классичес-
кой теорией ползучести
стадией набухания; на втором участке имеет место практически
постоянная скорость набухания и поэтому здесь процесс деформи-
рования может быть назван установившейся стадией набухания.
На рис. 13.2 кривые зависимости e.«w=f(O перенесены на ко-
ординатную систему, где на оси абсцисс отложены корни квад-
ратные от времени, т. е. esw = 4z(y/). Из полученных графиков это-
го рисунка отчетливо видны указанные выше стадии деформиро-
вания глинистого грунта при набухании.
Согласно семействам кривых рис. 13.1, законы неравновесного
во времени процесса деформирования глинистых грунтов при на-
бухании хорошо аппроксимируются степенной зависимостью.
Рис. 13.1. Изменение относительного набухания
во времени при различных значениях уплотняю-
щего давления
может быть названа неустановившейся
(13.2>
где а и 3 — реологические параметры глинистого грунта, харак-
теризующие физическую особенность процесса набухания.
На рис. 13.3 по результатам опыта построены кривые измене-
ния относительного набухания глинистого грунта при полном во-
донасыщении (№\аГ = 38о/о) во времени при двух характерных зна-
чениях уплотняющих давлений Р = 0,2 и 0,8 МПа.
465
Реологические пара-
метры для исследован-
ных грунтов установлены
равными при Р*=0,2МПа
а = 38Х10-4 сут ₽ =
= 99,54Х10-2; Ари Р =
= 0,8 МПа а = 24Х10~4
сут р = 99,77х!0-2.
Представляет опре-
деленный интерес изуче-
ние влияния влажности
Рис. 13.2. Зависимости относительного набу- ГЛИНИСТОГО грунта на
хания от квадратного корня времени процесс его деформиро-
вания при набухании.
Для этой цели на рис. 13.4 представлены кривые зависимости от-
носительного набухания во времени при различных значениях
влажности грунта. На левой части этого рисунка показана выяв-
ленная из опыта линейная зависимость относительного набухания
грунта от его влажности. Как видно из графиков рис. 13.4, чем
больше исходная влажность грунта, тем больше величина и ин-
тенсивность деформации набухания.
На рис. 13.5 представлены кривые изменения относительного
набухания от уплотняющих давлений для пяти различных глинис-
тых грунтов при постоянной влажности, равной полному водо-
насыщению. Как видно из графиков этого рисунка, относительное
набухание с увеличением уплотняющего давления монотонно
уменьшается по криволинейной зависимости. Построенные кривые
отсекают от осн ординат отрезок, равный свободному набуханию
е0« а на оси абсцисс — отрезок, соответствующий давлению на
грунт, при котором относительное набухание равно нулю, т. е. по-
рогу набухания РSW-
Рис. 13.3. Изменение относительного набухания грунта
во времени
466
Рис. 13.4. Зависимость относительного набухания во времени при
различных значениях влажности грунта
Рис. 13.5. Изменение относительного набухания грунта от
уплотняющих давлений при различных значениях его
влажности
Для математического описания полученных экспериментальных
кривых на рис. 13.5 может быть использована формула (9.14):
Esu=e0(l-P/PsW)m°.
Значения параметра т0 для исследованных хвалынских глин ока-
зались равными 2,3 ... 2,6.
Как видно из рис. 13.5, криволинейность зависимости esar=f(P)
существенна в небольшом диапазоне изменения уплотняющих дав-
лений (0...0.4 МПа). При давлениях >0,4 МПа значение пара-
467
метра т0 может быть приближенно принято равным единице.
Тогда зависимость esw—Р опишется формулой (10.4):
W = «0 ( Р!PS U?) •
На рис. 13.6 опытные зависимости набухания от времени при
различных значениях уплотняющей нагрузки построены на лога-
рифмической сетке координат. Как видно из графиков этого ри-
сунка, все кривые семейства esw = f(/) на логарифмической сетке
Рис. 13.6. Зависимость набухания грунта во
времени при различных уплотняющих давле-
ниях в логарифмических координатах
координат оказались параллельными, поэтому они могут быть по-
лучены из одной кривой этого семейства умножением ее ординаты
на некоторую величину, являющуюся функцией уплотняющей на-
грузки, т. е.
е.и = “(₽) «"•
Параметры этой зависимости определяют непосредственно из
графика In zsw — In t соответственно отрезкам, отсекаемым прямой
на оси ординат и тангенсом угла наклона этой прямой к оси
абсцисс.
На рис. 13.7 представлены кривые изменения напряжений при
некоторых постоянных значениях относительного набухания. Как
видно из рисунка, в процессе набухания поддержание некоторой
постоянной деформации происходит вследствие увеличения во вре-
мени напряжений. Причем существенное возрастание напряжения
происходит в первой, неустановившейся стадии набухания.
468
Согласно теории старения, для прогнозирования изменения од-
номерных деформаций набухания в основаниях зданий и соору-
жений можно написать общее выражение:
н
$„,(«)=$
о
Здесь интенсивность внешней нагрузки принимается постоянной,
а распределение напряжений в основаниях, согласно теории ли-
нейно-вязкого тела, — неизменным во времени и отвечающим
Рис.. 13.7. Изменение напряжений во времени при по-
стоянных значениях относительного набухания
упругомгновенной задаче теории линейно деформируемых тел
(Н. X. Арутюнян, 1952).
Конечная абсолютная деформация набухания в основаниях со-
оружений может быть определена исходя из зависимости (9.14)
Лп
= J (13.3)
О
Здесь верхний предел интеграла Лр представляет собой рас-
четную границу зоны набухания (расстояние от подошвы фунда-
мента до слоя грунта, где суммарное давление равно порогу на-
бухания). В общем случае при расчете деформации набухания в
основаниях сооружений может быть три характерных случая:
а) величина порога набухания в пределах набухающего слоя
грунта больше, чем суммарное уплотняющее давление в основании
от веса сооружения и от собственного веса грунта. В этом случае
деформация набухания возникает в пределах всей набухающей
толщи грунта, начиная от подошвы фундамента и поэтому в (13.3)
следует принять h9 = Hn\ б) суммарное давление, начиная с опре-
469
деленной глубины от подошвы фундамента меньше, чем величина
порога набухания, и поэтому деформация набухания возникает,
начиная с этой глубины; в) в пределах набухающего слоя грунта
отмечается три слоя: первый — прилегающий непосредственно к
подошве фундамента, где значение порога набухания меньше сум-
марного давления (здесь отсутствует набухание), второй — под-
стилающий первый слой, в пределах которого имеет место дефор-
мация набухания, и, наконец, третий — залегающий между вторым
слоем и подошвой набухающей толщи грунта основания, где также
имеет место деформация набухания.
13.3. Обработка результатов опытов согласно
теории линейной наследственной ползучести
Для построения теории деформирования глинистых грунтов при
набухании считаем заданным закон изменения во времени дефор-
мации, т. е. исходным опытным материалом являются семейства
кривых ползучести — набухания, построенные при постоянных для
данной серии опытов влажностях и уплотняющих давлениях.
Реологическую природу деформации набухания будем рассмат-
ривать исходя из,линейной теории наследственной ползучести
Л. Больцмана — В. Вольтерра. Эта теория основана на положе-
нии, что деформация в данный момент времени зависит не только-
от напряжения в этот же момент, но и от истории предшествующе-
го деформирования. При этом учет предшествующих деформаций
производится на основе принципа суперпозиции. Поэтому, соглас-
но линейной теории наследственной ползучести, изменение дефор-
мации во времени выражается интегральным уравнением. По-
строение кривых ползучести, согласно этой теории, сводится
прежде всего к определению из опыта вида и параметров ядра
ползучести.
Впервые В. А. Флориным было предложено деформацию пол-
зучести грунтов описать теорией линейной наследственной ползу-
чести Г. Н. Маслова — Н. X. Арутюняна, базирующейся на интег-
ральных уравнениях Л. Больцмана — В. Вольтерра. Многочислен-
ными экспериментальными исследованиями С. Р. Месчяна
(«Ползучесть глинистых грунтов». Изд. АН Арм. СССР, 1967)
удалось показать, что грунты при одномерном уплотнении подчи-
няются закономерностям деформирования линейной наследствен-
ной теории ползучести. Дальнейшее развитие этой теории приме-
нительно к мерзлым грунтам дано в работах С. С. Вялова. Теория
наследственной ползучести отличается общностью и включает в
себя, как частные случаи, все теории, основанные на реологических
моделях. В последнее время эта теория приобрела большое зна-
чение благодаря фундаментальным работам Ю. Н. Работнова,
Н. X. Арутюняна, С. С. Вялова, М. Н. Розовского, Ю. К. Зарец-
кого и др.
470
Согласно наследственной теории ползучести, изменение отно-
сительного набухания во времени можно представить в виде
t
е’“(0=i <‘) +$*(*- *)р ю л] • (13.4)
о
Ядро интегрального уравнения (13.4) k(t—х), характеризую-
щее с точностью до постоянного множителя Емгн скорость ползу-
чести грунта при постоянном единичном напряжении, определяют
по формуле
Параметр ЕМгн представляет собой мгновенный модуль дефор-
мирования, определяемый по диаграмме напряжение — относи-
тельное набухание для момента / = 0.
Как видно из последнего выражения, для определения функции
k(t) достаточно по кривым набухания определить скорость дефор-
мирования грунта и отнести ее к действующему напряжению.
Если известно изменение деформации набухания во времени,
то из уравнения (13.4) можно определить изменение напряженно-
го состояния:
Р (0 — Еигн (0 — (R (t — х) (х) dxj ,
о
(13.5)
где R(t—т)—функция называемая резольвентой ядра ползучести.
Принимая здесь esw(x) =esw(/) = const и продифференцировав
обе части по /, получим
EwnR (0 = —- •
Следовательно, резольвента ядра ползучести /?(/), характери-
зующая скорость изменяющегося во времени напряжения, необ-
ходимого для поддержания постоянной единичной деформации,
также может быть получена из эксперимента.
На рис. 13.8 по кривым набухания построены графики измене-
ния скорости деформирования глинистого грунта при набухании.
Как видно из построенных семейств кривых, скорость дефор-
мации глинистого грунта при набухании в начальный период (при
/ = 0) бесконечно велика и с течением времени асимптотически
приближается к осям времени.
Рассмотрим некоторые виды ядра ползучести. Пусть ядро пол-
зучести имеет экспоненциальный вид:
к (t — т) — 6е-в*(/
(13.6)
где о, 61 — параметры ползучести.
471
Если принять в (13.4) P(t) = Р(т) = const и k(t—т) =6e“ei(/_T),
то получим:
(137>
Резольвентой ядра (13.5) служит функция
Изменение напряжений при постоянной деформации, согласно
(13.5),
• />(П = £мгнеац.[1-бД- (1-(13.8)
Таким образом, чтобы экспоненциальное ядро ползучести было
справедливо для набухающих глинистых грунтов, то опытные кри-
вые изменения деформации и напряжений во времени должны
Рис. 13.8. Изменение скорости деформи-
рования глинистых грунтов при их на-
бухании
подчиняться соответствен-
но формулам (13.7) и
(13.8).
Реологические парамет-
ры экспоненциального ядра
6 и 61 могут быть определе-
ны по следующей методике.
Из (13.7) скорость де-
формации равна
— р - о.г
dt ЕМГн '
Откуда
^мгн <*£з»г _.
Р dt ~ое
при / = 0 имеем
^МГИ df Д w I _ £
Р dt Ь=о“°-
Следовательно, параметр 6 может быть определен из графика
скорости набухания в начальный момент времени умножением ее
на £*мгн/Р.
Зная 6, всегда можно определить значение параметра 6ь
1 £мгисв1г (°°) Р
Согласно изложенной методике, значение параметров 6 и 6г
при Р = 0,2 МПа равны 6 = 0,032; 61 = 0,0842.
Из выражений (13.7) и (13.8) легко можно установить, что
скорости деформации и напряжений при / = 0, согласно экспонен-
циальному ядру ползучести, имеет конечное значение. Между тем,
472
как видно из семейств кривых рис. 13.8, это положение не под-
тверждается опытными данными. В начальный период времени
(при / = 0) согласно этим кривым, скорость деформирования гли-
нистых грунтов при набухании бесконечно велика.
На рис. 13.9 по формуле (13.7) построена теоретическая кри-
вая изменения относительного набухания исследованного грунта
во времени при Р = 0,2 МПа.
На этот рисунок нанесены
также опытные точки. Как 1
видно из рисунка, экспонен-
циальное ядро недостаточно
описывает начальную стадию
набухания, составляющую для
рассматриваемого образца
грунта 24 сут. Использование
агрегата экспоненциальных
функций, например
k (t — т) = 6е-б'(*_г> + 62е“б’<г"г),
0,14
0,12
0,10
0,00
0,06
004
0,02
° 0 16 14 52 40 40 56 64 12 00 80 96 t*ym
улучшая результат, неоправ-
данно увеличивает число рео-
логических параметров 6,
6з, поэтому целесообразна
обработка опытных данных с
помощью степенного ядра тип*
Л(«-т) =
Рис. 13.9. Теоретическая кривая изме-
нения относительного набухания иссле-
дованного грунта во времени при давле-
нии 0,2 МПа
Абеля:
a (t— т)-р,
где а, р — постоянные, причем 0<£< 1.
Если принять в (13.4) Р(/) =Р(т) =const и k(t—т)=а(/—т)_₽,
то получим
Согласно закону деформирования (13.9), при / = 0 имеем
£sw(0) = Р/ЕМТН\ скорость деформирования будет
Согласно (13.10), при / = 0 получаем dbSwldt = oot а при /->оо
будем иметь desw/dt^0, что подтверждается приведенными выше
результатами опыта.
Для использования полученной выше формулы набухания
(13.9) необходимо иметь методику определения входящих в нее
реологических параметров. Для этой цели может быть использо-
вана следующая методика. Прологарифмировав обе части выра-
жения (13.10), получим
In = In а - 0 In t.
dt
473
Как видно из последнего выражения, степенной закон измене-
ния скорости набухания (13.10) на логарифмической сетке коор-
динат выпрямляется. На рис. 13.10 по результатам опыта на ло-
гарифмической сетке координат построена зависимость изменения
скорости набухания во времени. Как видно из рисунка, опытные
точки на логарифмической сетке координат сгущаются вокруг на-
клонных прямых линий, что является подтверждением справедли-
вости зависимости (13.10) для
tn деформации набухания. Тан-
м * гене угла наклона полученной
III I I I I I 1111 I 11111 ПРИ этом прямой определяет
значение параметра р, а от-
X”» резок, отсекаемый этой пря-
мой, от оси ординат, позволя-
Рис. 13.10. Зависимость изменения ско-
рости набухания во времени на лога-
рифмической сетке координат
ет вычислить значение пара-
метра а. Естественно, что зна-
чение этих параметров будет
зависеть от влажности— плот-
ности грунта и других усло-
вий, в которых проводятся
опыты.
Обработка результатов
проведенных опытов теорией
линейной наследственной пол-
зучести проводилась нами в
такой последовательности.
По экспериментальным
кривым изменения относитель-
ного набухания во времени
определялись скорости изме-
нения деформаций в различ-
ные периоды времени при
различных значениях уплотняющих давлений. Разделив получен-
ные значения скорости изменения набухания на постоянное во
время всего опыта уплотняющее давление Р (0,2; 0,4; 0,8;. 1,2;
1,6 МПа), мы получили семейства кривых изменения ядра пол-
зучести во времени. Перенося полученные из опытов значения ско-
рости набухания в различные периоды времени на логарифмиче-
скую сетку, согласно изложенной выше методике, определялись
реологические параметры для исследованных образцов грунтов.
Эти параметры были определены для всех использованиых'В опы-
тах значений уплотняющих давлений (0,2; 0,4; 0,8; 1,2; 1,6 МПа)
и влажности грунта (со = 20%).
В табл. 13.2 приведены значения реологических параметров
для исследованных в опытах трех видов глинистого грунта.
По найденным значениям реологических параметров по форму-
ле (13.9) вычисляли относительную деформацию набухания в раз-
474
Таблица 13.2
Уплотняю- щие давле- ния, МПа Грунт А Грунт В Грунт С
Р а, сут-1 Р а. сут-’ Р а. сут^1
0,2 0,9209 0,02093 0,7605 0,0095 0,8106 0,02703
0,4 0,9425 0,0533 0,7868 0,0294 0,8478 0,301
0,8 0,9422 0,09898 0,8282 0,0428 0,8392 0,03931
1,2 0,9611 0,0437 0,9134 0,0207 0.93301 0,0307
1,6 0,8991 0,02712 0,9806 0,0168 0,95223 0,0542
личные периоды времени и по результатам этих вычислений
строили семейства кривых ползучести для различных значений
уплотняющих давлений. На рис. 13.11 представлены указанные
кривые для одного вида набухающего грунта. Аналогичные кри-
вые были построены также для двух исследованных грунтов. На
эти же кривые были нанесены опытные точки. В левой части этих
рисунков на основании кривых набухания построены зависимости
между относительным набуханием и уплотняющим давлением.
Как видно из кривых рис. 13.11, формула линейной теории на-
следственной ползучести достаточно удовлетворительно описывает
Рис. 13.11. Теоретические (------) и опытные (О, Д, ф, А)
зависимости изменения относительного набухания во времени
при различных значениях уплотняющих нагрузок (грунт А)
явление набухания в глинистых грунтах. Опытные точки на про-
тяжении всего периода набухания лежат на теоретических кривых,
что является убедительным подтверждением реологической при-
роды деформации набухания в глинистых грунтах.
В табл. 13.3 приведены максимальные погрешности, получен-
ные при аппроксимировании опытных значений набухания форму-
лой линейной наследственной ползучести (13.9). Как видно из
данных табл. 13.3, максимальная погрешность формулы (13.9)
только лишь в одном значении уплотняющего давления для одного
из трех видов исследованных грунтов не превышает 11%.
475
Таблица 13.3
МПа Грунт А Грунт В Грунт <
0,2 5,6 0,63 6,2
0,4 — 5,8 8,07
0,8 — 0,33 6,2
1,2 11,0 0,80 7,8
1,6 5,6 0,56 11,0
На рис. 13.12 по формуле (13.2) при постоянном значении уп-
лотняющего давления, равном 0,1 МПа, построены кривые изме-
нения относительного набухания во времени при различных влаж-
ностях грунта. На этих же рисунках нанесены опытные точки.
На основании кривых набухания в левой части этих рисунков
построены опытные и теоретические зависимости изменения отно-
сительного набухания от влажности грунта при / = 48 сут.
Рис. 13.12. Теоретические (-) и опытные (О, Д, ф, А)
зависимости изменения относительного набухания во времени
при постоянных значениях нагрузки и переменной влажности
(грунт С)
Как видно из рис. 13.12, формула линейной наследственной
ползучести (13.9) при различных значениях влажности грунта так-
же достаточно удовлетворительно описывает развитие деформации
набухания в глинистых грунтах.
В табл. 13.4 приведены значения реологических параметров ис-
следованных грунтов в зависимости от их влажности.
Согласно кривым изменения относительно набухания во време-
ни (кривые ползучести) были построены кривые изменения уплот-
няющих напряжений в процессе набухания. Для этой цели из
кривых набухания, построенных для различных уплотняющих на-
пряжений, проводились горизонтальные прямые на расстоянии,
соответствующем определенным значениям, деформации от оси
абсцисс. Точки пересечения этих прямых с кривыми набухания
476
Таблица 13.4
Грунт А
Грунт В
Грунт С
14
16
18
20
0,8160
0,7922
0,7464
0,75398
0,3258
0,2196
0,1045
0,07401
17
19
21
23
0,7035
0,5771
0,5456
0,6362
0,14904
0,0831
0,0725
0,0469
12
14
16
18
0,9100
0,8912
0,82703
0,77536
0,3904
0,2877
0,13383
0,07954
определяют значения уплотняющих напряжений для определенных,
значений времени.
На рис. 13.13 показаны построенные таким образом кривые из-
менения уплотняющих давлений во времени для одного из иссле-
дованных грунтов. На эти же кривые изменения уплотняющих
давлений нанесены опытные точки. Аналогичные кривые были по-
строены также и для двух исследованных грунтов (грунты Ан В).
Рис. 13.13. Теоретические (----- ) и опытные (О, Д,
Ф. А) кривые изменения напряжения при постоянных
значениях относительной деформации набухания
(грунт В)
Как видно из приведенных на рис. 13.13 графиков, принятый закон
деформированного глинистого грунта при набухании (13.9) при-
водит к достаточно удовлетворительным результатам для измене-
ния уплотняющих напряжений.
Кривые изменения напряжений позволяют построить кривые
резольвенты ядра ползучести, представляя их как скорости изме-
няющихся во времени уплотняющих напряжений, необходимых
для поддержания постоянных относительных деформаций набуха-
ния. На рис. 13.14, по данным рис. 13.13, построены кривые ре-
зольвенты ядра ползучести для одного вида набухающего глинис-
477
того грунта. На эти же построенные кривые нанесены опытные
точки.
Как видно из рис. 13.14, закономерности изменения резольвен-
ты принятого степенного ядра ползучести полностью согласовы-
ваются с опытными данными при всех рассмотренных значениях
влажности грунта. Следовательно, опытные данные позволяют
установить полную согласованность между принятым видом ядра
ползучести и его резольвентой.
Рис. 13.14. Изохронные кривые набухания для раз-
личных периодов деформации:
1 —/-0; 2—/-8 сут; 3 — /=40 сут; 4 — Г=96 сут
Следует отметить, что между ядром ползучести и резольвентой
имеется аналитическая связь. Так, для рассматриваемого ядра
типа Абеля в средах, обладающих релаксацией напряжений, ре-
зольвенту определяют по формуле
D ____т\ _ Х V (________ 4 \п Т)Л( А*
T'~U_T)0 1 ГЦп } 1)(1-Р)1
' 71=0
(13.11)
где Г(х)—гамма-функция; х = аГ(1—р).
Поскольку линейная теория наследственной ползучести доста-
точно хорошо описывает реологию глинистых грунтов, то необхо-
димость экспериментального определения резольвенты отпадает.
Резольвенту можно определять аналитически по известному ядру
ползучести.
13.4. Обработка результатов опытов согласно
теории нелинейной наследственной ползучести
Как показывают результаты выполненных экспериментальных
исследований, связь между уплотняющим давлением и относитель-
ной деформацией набухания нелинейна. Нелинейный характер де-
478
формации глинистых грунтов в процессе их набухания особенно
заметен в начальной неустановившейся стадии. На рис. 13.14 по
результатам выполненных опытов построены изохронные кривые
набухания для различных периодов деформации. Как видно из
этих кривых, связь между уплотняющей нагрузкой и относитель-
ной деформацией набухания при различных характерных периодах
деформации носит нелинейный характер. Для описания реологи-
ческих процессов в набухающих грунтах можно использовать урав-
Рис. 13.15. Изохронные кривые набухания для раз-
личных периодов деформации на логарифмической
сетке координат (условные обозначения см. на
рис. 13.14)
нения теории нелинейной наследственной ползучести, предложен-
ные Ю. Н. Работновым. Учет нелинейной зависимости между на-
пряжением и деформацией по Ю. Н. Работнову достигается
введением в уравнения (13.4) и (13.5) не самих деформаций и
напряжений, а их функций <p(esw) или F(P), характеризующих
связь между Р и esu>. При этом в зависимости от вида семейства
кривых Р—Esw могут иметь место три случая, подробно рассмот-
ренные С. С. Вяловым (1962).
Представляет интерес случай, когда все кривые Р—eSw для
любого 0^/<оо являются взаимоподобными, т. е. могут быть
перестроены одна в другую путем умножения ординат на некото-
рый коэффициент. На рис. 13.15 опытные точки рис. 13.14 нанесе-
ны на логарифмическую точку ординат. Как видно из рисунка,
криволинейная зависимость Р—esw на логарифмической сетке ко-
ординат выпрямляется, что свидетельствует о наличии степенной
зависимости между Р и e5W. В этом случае семейства изохронных
479
кривых ползучести можно описать функцией
P = A(0es"wm, (13.12)
где А (0—коэффициент деформации, МПа, имеющий свое значе-
ние для каждой кривой, т. е. зависящий от времени. Для исследо-
ванных грунтов значение этого коэффициента колеблется от 1,30
до 1,8 МПа. Постоянный параметр т при этом имеет значение
т = 0,713. На рис. 13.16, а построена кривая изменения коэффици-
ента А от времени. Как и следовало ожидать, эта зависимость
нелинейна. Хорошая выпрямляемость экспериментальной кривой
А—t в логарифмических координатах (рис. 13.16,6) свидетельст-
вует о том, что зависимость между Ли/ может быть представлена
степенной функцией
A(t)=a0 + atb. (13.13)
Значения показателей а и b для исследованных грунтов получены
равными а0 = 1,3 МПа; а = 0,21 МПасут-*; 6 = 0,173. Если взаимо-
подобность изохронных кривых ползучести на основании экспери-
мента доказана, то, согласно теории Ю. Н. Работнова, изменение
деформации набухания во времени при постоянном значении
уплотняющих напряжений можно представить в виде
t
<F[esu.(t)l = /’o(l+ J Л(/)*].
о
Последнее уравнение, следуя С. С. Вялову, можно записать в виде
4>(e.w) = Poll + 5(01. (1314)
t
где S(t) = Jk(t)dt — функция ползучести (мера ползучести),
о
Между функциями S(t) и k(t) существует связь:
S(0 = ( АГ(0^ = -4т7Г-1=------
' ' J v' a0+atb
jt(t) = Дт^- = Л(0) 4-Г^77г1=—‘-—г--
1 dt v 7 dt L A(t) J 0 [a0+a*bl2
Подставляя в (13.14) вместо <pesw = aoesw~m и последнее выра-
жение меры ползучести 3(/), мы получим принятый закон дефор-
мирования глинистых грунтов при их набухании (13.12).
На реологические процессы в глинистых набухающих грунтах
оказывает влияние их влажность. Учет влияния этого фактора
при расчетах можно осуществить путем выражения параметров
реологических уравнений как функций влажности. В частности,
коэффициент деформации набухающего грунта Л(/) в (13.12)
480
в этом случае должен быть представлен в виде A (t, W). Поэтому
зависимость (13.13) в рассматриваемом случае будет равна
A(t, W) = a0(lP) + a(Jf)fb.
Аналогично мерзлым грунтам, показатель степени b в послед-
нем уравнении можно рассматривать не зависящим от влажности
грунта. Однако последнее
обстоятельство требует уто- а)
мнения на основании экспе-
риментальных данных.
В процессе набухания
независимо от действия
внешних сил вследствие
протекания в грунте физи-
ко-химических процессов
происходит изменение его
свойства, которое прежде
всего отражается на моду-
ле деформации грунта.
Мгновенный модуль дефор-
мирования в теории наслед-
ственной ползучести Емгн
становится условно-мгно-
венным, поскольку его ве-
личина изменяется во вре-
мени ЕМгн(О- Инвариант-
ность во времени уравнения
ползучести в этом случае
нарушается. Оно выражает-
ся в том, что ядро ползуче-
Рис. 13.16. Кривые изменения коэффициен-
та А во времени в обычной (а) и логариф-
мической (б) системах координат
сти уже не становится функ-
цией разности аргумента
(t—т), а начало отсчета вре-
мени непроизвольно. Мо-
мент загружения грунта может и не совпадать с нулем оси
времени, а соответствует некоторому «возрасту» грунта. Ха-
рактерным представителем «стареющего» материала явля-
ется бетон, который после своего изготовления твердеет в течение
довольно длительного периода. Если изменение свойства матери-
ала происходит все время в сторону уменьшения его способности
деформироваться во времени, то это изменение свойств принято
называть старением материала. Старение материала часто со-
провождается уменьшением его мгновенной (упругой) деформа-
тивности, т. е. увеличением жесткости.
Учет «старения» в теории линейной наследственной ползучести
впервые был осуществлен Н. X. Арутюняном, согласно которому
481
уравнение набухающего грунта можно представить в виде
t
«>» W = -Ё-Чтг Гр (') + U (t, t) (г) л! ,
^мгн L J J
где Ti — момент начала набухания грунта.
При неизменяющихся во времени значениях уплотняющих дав-
лений P{t)=P0 и Т1 = т будем иметь
t
е.-(/)=-?Ай-Г1 + k(t, т)л].
fcMiu U) L J J
Ядро ползучести в рассматриваемом случае записывается в виде
-£„„(/) A[_L_+C(Z,T)],
где С(/, т)—мера ползучести (набухания) глинистого грунта,
характеризующая его физические свойства, связанные со ста-
рением.
Для учета старения набухающего грунта и наследственности
его деформации, следуя Н. X. Арутюняну, закон изменения меры
ползучести представляем в виде
С (t, т) = (р (т) (1 — e-vo-’)),
где ф(т) =Со+А|/т, Со — предельная мера ползучести при /-►оо.
Численные значения параметров Со, 7 можно подобрать так,
чтобы получить близкое совпадение с экспериментальными кри-
выми набухания.
Для количественной оценки изменения свойств набухающих
грунтов во времени, происходящих независимо от действия внеш-
них нагрузок, в лабораторных условиях нами были проведены спе-
циальные исследования. В компрессионных приборах типа «Гидро-
проект» образцы характерных набухающих грунтов предваритель-
но уплотнялись под действием заданных внешних нагрузок
Р = 0,2 МПа (первая серия) и Р = 0,8 МПа (вторая серия) до
полной стабилизации деформации. Затем под действием этих на-
пряжений грунты непрерывно увлажнялись. Физико-механические
характеристики исследованных грунтов представлены ниже.
Пределы изменения
Наименование характеристик значений характе-
ристик
Естественная влажность, %
Удельный вес, кН/м3
Удельный вес сухого грунта. кН/м3
Удельный вес частиц. кН/м3
Коэффициент пористости
Пределы пластичности; %:
граница текучести
граница раскатывания
число пластичности
Модуль общей деформации. /МПа
6,41...6,74
19,42...19,83
18,25...18,58
27,48
О,479...О,506
70
31...33
37,0...39.0
43.72...46,24
482
По величине измеренных в опытах относительных деформаций
строили кривые изменения набухания во времени. На рис. 13.3
представлены эти кривые для двух значений уплотняющих давле-
ний. Характерной особенностью построенных кривых набухания
является крутой подъем этих кривых при t близком к моменту
мгновенного приложения постоянной нагрузки / = 0, что соответст-
вует большой скорости набухания в начальный период деформи-
рования грунта. В качестве из-
меняющейся характеристики де-
формируемости глинистых грун-
тов в процессе их набухания
приняты модуль общей деформа-
ции Ео и коэффициент сжимае-
мости т0. Значения этих пара-
метров в различные периоды на-
бухания устанавливались путем
компрессионных испытаний изо-
лированных из опыта (через
каждые 15 сут) образцов иссле-
дованного грунта. По результа-
там этих испытаний на рис. 13.17
построены кривые изменения ко-
эффициента сжатия (рис. 13.17,
а) и модуль деформации глинис-
того грунта (рис. 13.17, б) в про-
цессе набухания для двух серий
проведенных опытов.
Как видно из этих кривых,
исследованные характеристики
Рис. 13.17. Кривые изменения пара-
метров деформируемости грунта во
времени
глинистых грунтов в процессе
набухания изменяются. Наибо-
лее существенное изменение мо-
дуля деформации (на 80%) и
соответствующего коэффициента сжатия при этом происходит в
стадии неустановившегося набухания, длившегося в проведенных
опытах /о=15 сут. Начиная с этого периода />/0, скорость изме-
нения модуля деформации практически становится равной нулю
и ее установившееся значение получается равным Ек. Установлен-
ная из эксперимента закономерность позволяет для изменения
модуля деформации глинистых грунтов при их набухании пред-
ложить следующую формулу:
Емгн (т) — ^мгн^ а °»
(13.15)
где
<z = In
Емгн
Емгн (*о)
483
Для исследованных грунтов формула (13.15) принимает вид
Ямгн (Т) = 44в-°-°987т. (13.16)
Проведем связь между модулем деформации и коэффициентом
постели. Сравнивая осадку жесткого квадратного штампа (аха)
5 = 0,88 4^ Ра
^МГН
и осадку по гипотезе Винклера S=P/k, получим следующее со-
отношение между коэффициентом постели и модулем дефор-
мации:
Принимая для ползучего грунта пуассоново отношение неиз-
менным и используя выражение (13.15) для изменения коэффици-
ента постели глинистого грунта при набухании, получим формулу
= (13.17)
где
«МГН Лиги.
Следует отметить, что изменение пуассонова отношения, в об-
щем невелики; множитель же (1—v02) изменяется в еще меньшей
степени. Как указывает С. С. Вялов, при 0,30^vo^0,5 значение
(1—v02) изменяется в пределах 0,91 до 0,75. Поэтому в инженер-
ных расчетах можно принять v0 = const, что подтверждается опыт-
ными данными.
Согласно (13.17), коэффициент постели глинистого грунта при
набухании с течением времени монотонно уменьшается от макси-
мального начального (мгновенного) значения до минимального
КОНеЧНОГО ^мгн(^о).
13.5. Исходные предпосылки для прогноза деформации
набухания в основаниях сооружений
Для прогнозирования деформации поверхности основания, сло-
женного набухающими грунтами, в соответствии с результатами
проведенных опытов следует различать два вида деформации это-
го грунта. Первый вид деформации представляет собой мгновен-
ный вертикальный подъем поверхности загруженного основания,
возникающий непосредственно после его увлажнения. Для опре-
деления этих деформаций напряженное состояние набухающего
глинистого грунта основания может быть принято таким же, как
484
для определения конечных установившихся деформаций, исполь-
зуя соответствующие решения теории линейно деформируемой сре-
ды (теории упругости). Расчетные параметры глинистого грунта
следует принять для мгновенного его набухания таким, как мгно-
венный модуль деформации, мгновенный коэффициент постели
и др. Второй вид деформации глинистого грунта — постепенно на-
растающие во времени деформации набухания, обусловленные
реологическим процессом, протекающим в этих грунтах при по-
стоянной их влажности и уплотняющего давления.
Выше на основании экспериментальных данных была показана
возможность описания этих деформаций глинистых грунтов зако-
номерностями теории ползучести. Напряженное состояние ползу-
чей среды подробно исследовано Н. X. Арутюняном, В. А. Флори-
ным, С. С. Вяловым и др.
Согласно теореме Н. X. Арутюняна, если мера ползучести рас-
сматриваемой среды при одноосном напряженном состоянии про-
порциональна мере ползучести при чистом сдвиге, то система на-
пряжений в ползучей среде тождественно совпадает с системой
напряжений, соответствующей упругомгновенной задаче. Из этой
теоремы следует, что влияние ползучести сказывается только на
величину деформации рассматриваемой среды, если пуассоново
отношение (коэффициент поперечного сжатия) для упругой и пол-
зучей деформаций тождественно равны. Кроме того, согласно
сформулированной Н. X. Арутюняном теоремы, если напряженное
состояние тела меняется по линейному закону, то напряжение в
рассматриваемом теле с учетом ползучести совпадает с напряже-
ниями теории упругости для этого же тела и при различных зна-
чениях пауссонова отношения. В. А. Флориным исследовано усло-
вие неизменности напряженного состояния ползучей среды,
вызванное постоянными во времени поверхностными нагрузками.
Необходимым и достаточным условием при этом оказалось по-
стоянство пуассонова отношения; использование решений теории
упругости для .определения напряженного состояния ползучей
среды допустимо лишь при неизменности во времени коэффициен-
та Пуассона.
При этих условиях напряженное состояние ползучей среды сов-
падает с напряженным состоянием упругой среды с теми же гра-
ничными условиями. Было показано также, что напряженное
состояние ползучей среды совпадает с соответствующими реше-
ниями теории упругости не только при неизменных, но и при из-
меняющихся во времени граничных условиях. При этом напряже-
ния в каждый момент времени совпадают с напряжениями упру-
гой среды при соответствующих рассматриваемому моменту
времени граничных условиях, т. е. с напряжениями соответствую-
щей упругомгновенной задачи. Согласно формулировке Н. X. Ару-
тюняна, под упругомгновенной задачей подразумевается задача
теории упругости о напряженном состоянии идеального упругого
485
тела с упругими коэффициентами, зависящими от времени как
параметр. Исходя из приведенных выше положений, В. А. Флори-
ным указана методика определения осадок поверхности основания
с учетом ползучести грунта. Согласно этой методике, если к по-
верхности основания приложена какая-либо вертикальная нагруз-
ка, то осадка, вызванная ползучестью, может быть найдена обыч-
ными способами, применяемыми при расчетах осадки оснований
без учета ползучести.
Исходя из этих предпосылок, выражения изменения набухания
основания на рассматриваемом створе можно представить в виде
ht
Sxrr (<) =J z)dz, (13.18)
hi
где Л|, Л2 — соответственно нижняя и верхняя границы области
основания, в пределах которых возможно возникновение деформа-
ции набухания.
Результаты приведенных выше экспериментальных исследова-
ний показывают, что связь между уплотняющим давлением и от-
носительным набуханием глинистых грунтов подчиняется нелиней-
ному закону (см. рис. 13.14). Причем эта нелинейность сущест-
венна в небольшом периоде неустановившегося набухания грунта.
В силу этого обстоятельства для прогнозирования деформации
набухания в основаниях фундаментов возникает необходимость в
использовании аналитических решений для соответствующих не-
линейных задач, определяющих напряженное состояние грунта с
учетом их ползучести. Однако возможность получения замкнутых
аналитических -решений для нелинейно ’деформируемой среды
весьма ограничена. Поэтому для построения методики инженер-
ных расчетов, как правило, используют простейшие приближенные
приемы.
С. С. Вяловым предложены различные приближенные приемы
для учета нелинейной деформируемости грунтов при прогнозе их
осадки. Один из таких приемов, позволяющих в первом прибли-
жении учесть нелинейную деформируемость грунтов, состоит в
том, что распределение напряжений в основании принимается ис-
ходя из соответствующего решения теории упругости, а зависи-
мость этих напряжений от деформации грунта представляется
нелинейной.
Другим немаловажным вопросом для построения методики ин-
женерных расчетов является возможность использования замкну-
тых решений теории упругости для различных видов нагрузок от
фундаментов зданий и сооружений. Следует отметить, что эти
решения из-за сложности, не всегда удобные для выполнения над
ними необходимых математических операций. Реализация выра-
жений (13.18) путем выполнения интегрирования становится удоб-
ной и приводит к простым выражениям лишь в том случае, если
486
подынтегральная функция, характеризующая распределение уп-
лотняющих давлений по глубине оснований, приводится к квад-
ратурам. В противном случае возникает необходимость в замене
подынтегральной функции аппроксимирующей или же в исполь-
зовании приближенных приемов интегрирования. Задача особенно
осложняется в случае решения пространственных задач, когда
напряженное состояние основания описывается весьма сложными
выражениями. Поэтому возникает необходимость в использовании
довольно простых, удобных и вместе с тем достаточно точных
выражений для описания закономерности изменения уплотняющих
давлений по глубине основания. В литературе существуют раз-
личные приближенные формулы для определения напряженного
состояния в основаниях фундаментов, имеющих различные очер-
тания подошвы. Наиболее компактной и обеспечивающей доста-
точную для практики точность расчета зависимостью является
предложенная В. В. Рощиным формула распределения уплотняю-
щего давления под серединой прямоугольного фундамента (10.5).
При выводе расчетных формул мы будет использовать форму-
лу (10.5), так как она довольно проста при интегрировании и по-
зволяет получить необходимое решение задачи в замкнутом виде
для прямоугольного, квадратного и ленточного фундаментов.
13.6. Прогноз изменения набухания
в основаниях сооружений
Согласно (13.4), для изменения относительного набухания во
времени имеем формулу
где
W) = i + i^p
Если подставить последнее выражение в (13.18), то получим
Л, h,
S,w (О = J е.„ (z, t) dz = J V (0 dz, (13.19)
Л. h,
где P(z)—изменение уплотняющих давлений по глубине основа-
ния в рассматриваемой расчетной вертикали.
Так как деформация набухания описывается линейной теорией
наследственной ползучести, то, согласно теореме Н. X. Арутюняна,
напряженное состояние ползучей среды принимаем совпадающим
с напряженным состоянием теории упругости. Деформация набу-
хания при этом представляется зависящей от реологических
свойств глинистых грунтов основания. Распределение уплотняю-
487
щих давлений в линейно деформируемых основаниях прямоуголь-
ных фундаментов (bxl) определяем по формуле (10.5).
Уплотняющее давление в основном будет вызвано действием
веса сооружения Рг и собственным весом грунта Ргр:
Р (г) = Л₽ + Рг = То (dn +z) + Ро exp [ -0,5z (-£-+4 )] • (13.20)
Подставляя последнее выражение в (13.19), выполняя интег-
рирование, после необходимых преобразований для прогнозирова-
ния изменения подъема фундаментов во времени получим формулу
5,и,(0=^[1 + Т^р-‘,’₽)Ч'. (13.21)
Скорость набухания
Vsu,(t) = -^-4rfP. (13.22)
где Ч7 — параметр, зависящий от формы, размеров, глубины за-
ложения фундамента и границы зон деформации набухания грун-
тов основания. Для прямоугольных фундаментов:
м — hV , > , ч . 2Р0Ы
У = То 2 + То<*п (Л2 —Л|) + -5^ГХ
X [ехр (—0,5Л,(-|-4-4-))—ехр( -0,5Л2(-|-+Ц-))].
Для ленточных фундаментов( (/->оо)
Y = То + То d„ (h2 - М + 2bP„ х
X [exp (—0,5^) —exp (—0,5^8-)].
Для квадратных фундаментов (b = l)
Ч = То + То dn (ht -hl) + 2ЬР0 х
X [exp ( -0,5^-)-exp ( -0,5-£-)].
В случае неоднородного глинистого грунта основания в рас-
чет можно ввести средневзвешенные значения их параметров по
формулам:
2 aihi
- 1=1
а=—-----------
S hl
где п — число слоев, на которое разбита толщина набухающих
488
грунтов; а/, 0/, fox — соответственно реологические параметры и
удельный вес i-ro слоя; Л, — толщина t-го слоя набухающего
грунта.
Верхняя Л1 и нижняя Л2 границы области деформации набуха-
ния при прогнозировании динамики набухания определяют из ре-
шения неравенства:
Pz + Prp^PsW.
(13.23)
Неравенство (13.23) можно представить в виде
2»
(13.24)
где
у. = P.W - т (rf„ + X); = Ро е-хр ( - 0,5z (4-+4 ).
Рис. 13.18. Графический способ определения гра-
ниц области набухания в основаниях соору-
жений
Решение неравенства (13.24) в каждом случае расчета удобно
производить графическим способом.
На рис. 13.18 показаны графические построения для определе-
ния границы области набухания в основаниях сооружений. Со-
гласно этой методике
в зависимости от зна-
чений удельного дав-
ления по подошве
фундамента Ро и поро-
га набухания P*w в
основаниях сооруже-
ний могут иметь место
различные случаи. Ес-
ли порог набухания
для грунтов основания
окажется меньше сум-
марного давления от
веса сооружения и от
собственного веса гру-
нта, то подъем фунда-
мента от набухания
не произойдет. Если
же порог набухания
для грунтов и основа-
ния будет больше сум-
марного уплотняюще-
го давления, то в основаниях могут образоваться области деформа-
ции набухания. Для определения границы этой области может
быть использован знакомый нам графический прием. По формуле
(10.5) в зависимости от формы и размеров подошвы фундамента
строится эпюра распределения уплотняющей нагрузки по глубине
от действия веса сооружения. Затем на этом же чертеже стро-
48»
ится эпюра распределения уплотняющего напряжения от действия
собственного веса грунта. Суммируя соответствующие ординаты
обеих эпюр, получаем результирующую эпюру распределения на-
пряжений по глубине основания от совместного действия веса
сооружения и собственного веса грунта.
Далее, по данным соответствующих компрессионных испыта-
ний, определяется значение порога набухания для грунтов осно-
вания. На расстоянии Psw проводится параллельная оси Oz линия
порога набухания. Пересечение линии порога набухания с резуль-
тирующей эпюрой уплотняющей нагрузки определяет три харак-
терные зону деформации грунтов основания:
I зона — в которой практически отсутствует деформация набу-
хания, простирается от подошвы фундамента до первой точки пе-
ресечения линии порога набухания с результирующей эпюрой дав-
ления;
II зона набухания при совместном действии веса сооружения
и собственного веса грунта, находится между двумя границами
пересечения линии порога набухания с результирующей эпюрой
нагрузки;
III зона — нейтральная, в которой отсутствует деформация на-
бухания, так как в пределах этой зоны, начинающейся от второй
точки пересечения линии порога набухания с результирующей
эпюрой, всюду суммарное давление от веса сооружения и собст-
венного веса грунта может оказаться больше порога набухания.
На рис. 13.18 показаны графики Ч'г (сплошная функция) и
Чг| (пунктирная линия). Точка пересечения этих графиков опре-
деляет верхнюю границу области набухания Ль
В инженерных расчетах часто возникает необходимость про-
гнозировать период наступления условной стабилизации деформа-
ции набухания Тст. Этот период, как правило, устанавливается по
заданной скорости деформации Vsa,. Из выражения (13.22) будем
иметь
<13-25>
Формула (13.25) позволяет в зависимости от формы, размеров
фундамента, реологических параметров грунтов его основания и
заданной величины скорости деформации прогнозировать период
наступления условной стабилизации процесса подъема фундамен-
тов на набухающих грунтах.
Конечная условно стабилизированная величина подъема фун-
даментов составит
+ (13.26)
Как видно из формулы (13.26), полная величина подъема фун-
даментов складывается из двух частей: мгновенной деформацией
490
набухания грунтов основания Ssa>MrH= Ч'/Р'о и деформацией этих
грунтов, вызванной реологическим процессом:
5.Т л=-Дг (V,u.)(₽’*)/Р ( ),/В- (13.27)
13.7. Решение примеров по предлагаемой
методике
Пусть требуется прогнозировать изменение деформации набу-
хания глинистого грунта в основаниях прямоугольного, квадрат-
ного и ленточного фундаментов. В основаниях рассматриваемых
фундаментов залегает однородная толща набухающей глины мощ-
ностью 8 м. Характеристики грунта основания известны: Ео =
= 8,2 МПа; 70=18 кН/м3; Psw=0,35 МПа; 0 = 0,942; а=
= 0,0533 сут-1. Прямоугольный фундамент имеет размеры подош-
вы /=10 м; Ь = 6 м; квадратный /=Ь = 5 м, ленточный Ь=1,5 м.
Глубина заложения фун-
дамента dn=l,5 м; допол-
нительное давление по по-
дошве фундамента Ро —
Рис. 13.19. Графическое решение неравен-
ства (13.24) для прямоугольного фунда-
мента
= 0,373 МПа.
Для выполнения расче-
та по рекомендуемым фор-
мулам прежде всего необ-
ходимо найти границы об-
ласти деформации набуха-
ния в основаниях рассмат-
риваемых фундаментов. Эти
границы определяют из ре-
шения неравенства (13.24).
На рисунках 13.9... 13.21
показаны графические ре-
шения неравенства (13.24)
для прямоугольного, квад-
ратного и ленточного фун-
даментов. Для этого на
этих рисунках построены графики функции 4*2 для каждого вида
фундамента и график функции Ч^, исходя из характеристики
грунтов основания. Пересечения прямых 4хi с кривой опреде-
ляют положения верхней границы области набухания в основани-
ях рассматриваемых фундаментов. Таким способом получено: для
прямоугольного фундамента А| = 2,15 м; для квадратногоh\= 1,15 м
и для ленточного /ij=0,47; h2 во всех случаях расчета равно 8 м.
Следует отметить, что при значении порога набухания Рла> =
= 0,45 МПа нижняя граница области набухания получается такой
же, как и при Рха, = 0,35 МПа, т. е. Л2 = 8 м, а /11 = 0. Кроме того,
расчетом установлено, что если в основании прямоугольного фун-
491
дамента залегает глини-
стый грунт с порогом на-
бухания РЯИ) = 0,25 МПа,
то подъем этого фунда-
мента не произойдет.
Аналогичные результаты
получены для квадратно-
го фундамента при
РЛИ) = О,2О МПа и ленточ-
ного при Pstt) = 0,15 МПа.
Как видно из получен-
ных результатов, с уве-
личением ширины подо-
швы фундамента возрас-
тает также глубина рас-
положения верхней гра-
ницы области набухания.
В табл. 13.5 представ-
лены вычисленные по
формуле (13.21) измене-
ния набухания во време-
ни в основаниях рас-
сматриваемых фунда-
ментов при двух значе-
ниях порога набухания.
На рисунках 13.22 и
13.23 по данным табл.
13.5 построены графики
изменения подъема пря-
моугольных квадратных
и ленточных фундамен-
тов, вызванных набуха-
нием грунтов их основа-
ния в течение 100 сут.
Как видно нз этих
графиков, интенсивный
подъем фундаментов про-
исходит в течение нес-
кольких дней после ув-
лажнения основания. Да-
лее с течением времени
интенсивность деформа-
ции набухания монотон-
но затухает. При равных
дополнительных давле-
ниях по подошве фунда-
ментов их подъем от на-
492
Напухание, см
Рис. 13.22. Графики изменения подъема прямо-
угольных (/), квадратных (2) и ленточных (5)
фундаментов в течение 100 сут при давлении на-
бухания 0,35 МПа
55
*
*
•о 90 fa
ных
ТОВ
nV»3M0yr^*ZH7;)Hения “ДЬ-
набХн^о75ЖаДа“
Таблица 13. Б
Время, сут Подъем фундаментов, см, при Paw, равном, МПа
0,35 0.45
Прямоуголь- ного Квадратного Ленточного Прямоуголь- ного Квадратного Ленточного
0 22,32 22,61 20,20 32,00 27,8 22,40
5 45,01 45,49 40,73 64,50 56,07 45,17
10 45,94 46,54 41,58 65,86 57,22 46,10
20 46,90 47,51 42,45 67,20 58,41 47,07
30 47,48 48,10 42,97 68,07 59*14 47,65
40 47,90 48,52 43,35 68,70 59,66 48,07
50 48,23 48,86 43,65 69,14 60,07 48,40
60 48,50 49,13 43,89 69,54 60,41 48,67
70 48,73 49,36 44,10 69,87 60,69 48,91
80 48,94 49,57 44,29 70,16 60,95 49,11
90 49,12 49,76 44,45 70,42 61,18 49,29*
100 49,28 49,92 44,60 70,66 61,38 49,46
бухания грунтов основания растет с увеличением площади по-
дошвы фундамента.
Период наступления условной стабилизации набухания в осно-
ваниях сооружений возрастает также с увеличением площади по-
дошвы фундамента. По формуле (13.25), при HsW=10“4 м/сут
стабилизации подъема прямоугольного фундамента в рассматри-
ваемом примере достигается в течение 160 сут, квадратного
162 сут и ленточного 144 сут. В соответствии с этими периодами*
по формуле (13.26) конечный стабилизированный подъем прямо-
угольного фундамента получается равным Sswk/TCt = 49,85 см. Для
квадратного и ленточного фундаментов по этой формуле соответ-
ственно имеем 50,52 см и 44,97 см. Реологическая деформация
грунтов основания прямоугольного фундамента составляет 44,77%.
от общей деформации. В основаниях квадратного и ленточного-
фундаментов это отношение равно соответственно 44,75 и 44,92%-
Глава 14
РАСЧЕТ ФУНДАМЕНТОВ НА НАБУХАЮЩИХ. ГРУНТАХ
С УЧЕТОМ РЕОЛОГИЧЕСКОЙ ОСОБЕННОСТИ
ИХ ДЕФОРМИРОВАНИЯ
14.1. Еще раз о теории наследственной реологии
В гл. 13 по результатам проведенных опытов было показано*
что деформация набухания в глинистых грунтах представляет со-
бой реологический процесс и закономерности этого процесса до-
статочно удовлетворительно описываются линейной, теорией на-
494
следственной ползучести. В связи с этим возникает необходимость
в разработке теории расчета гибких фундаментов на набухающих
грунтах с учетом реологической особенности деформирования
грунтов основания. Поэтому остановимся несколько подробно на
теории наследственной реологии. Законы упругости и внутреннего
трения, с точки зрения механики континиума, представляют собой
предельные аппроксимации свойств физических тел. Реальные
свойства находятся между этими предельными случаями. Упругие
и вязкостные свойства, проявляющиеся в определенной степени
у всех физических тел, объединяются теорией наследственной рео-
логии. Эта теория, учитывающая в явной форме временную сто-
рону процессов изменения напряжений и деформаций, может рас-
сматриваться как механика реальных свойств сплошных сред.
Наиболее общий подход к решению задачи о реальных свойст-
вах тел по отношению к процессу деформирования принадлежит
Больцману и Вольтерру. Основная идея указанных авторов со-
стоит в следующем. Напряженное состояние в данный момент
времени определяется не только деформацией, существующей в
этот момент, но и всей предшествующей историей деформирования
т*ела. Чтобы ее учесть, можно первоначально рассмотреть два
•следующих друг за другом процесса деформирования. Пусть в
момент времени т существует деформация е(т), предыдущая про-
должительность которой равна Ат. Тогда при последующем де-
формировании напряжение, существующее в момент t и равное
о(0, меньше определяемого законом упругости на величину, за-
висящую от предшествующей деформации е(т) таким образом, что
о (0 = Ее (0 — Я (t — т) е (т) Ат,
где Е— модуль деформирования; о и е — напряжение и дефор-
мация либо равномерного всестороннего сжатия, либо сдвига
(соответственно возможности разложения произвольной малой
деформации на равномерное всестороннее сжатие и сдвиги);
./?(/—т)— функция наследственности.
Естественно, что для сжатия и для сдвига как /?(/—т), так и
Е различны. Поскольку влияние предшествуемой деформации
убывает с течением времени, R(t—т) должна быть монотонно
убывающей функцией. Эта функция представляет собой характе-
ристику деформируемой среды по отношению к рассматриваемому
типу деформации и является обобщением представления физиче-
ских свойств через материальные константы, фигурирующие при
описании процессов с помощью дифференциальных уравнений.
Согласно представлению Больцмана, имеет место суперпозиция
деформаций, испытанных средой в различные моменты времени.
•Следовательно, при непрерывном деформировании будет иметь
зиесто соотношение
t
о(Х) = £[е(/)- $ Я(t-т)е(т)</т]. (14.1)
— оо
495
Последнее уравнение учитывает всю историю деформирования
среды на данный момент времени /.
Если резольвенту ядра интегрального уравнения (14.1) обо-
значить через R(t—т), то выражение деформации запишется сле-
дующим образом:
t
e(t) = -^[a(/)+ J A(t-T)o(T)dz]. (14.2)
Определение вида функций R и k представляет собой само-
стоятельную задачу, к решению которой можно подойти с двух
точек зрения.
Во-первых, можно пытаться раскрыть вид функции наследст-
венности, исходя из микромеханики деформации, успешно исполь-
зованной С. С. Вяловым при создании физической теории дефор-
мирования глинистых грунтов во времени.
Вторым возможным путем построения функции наследственно-
сти для лёссовых просадочных грунтов может быть проведение
экспериментальных наблюдений над характером деформирования
этой среды и различных условиях их напряженного состояния.
Этот путь позволит надлежащим подбором вида функции наслед-
ственности наиболее удачным образом отразить процесс деформи-
рования увлажненных лёссовых грунтов при постоянном их на-
пряженном состоянии.
Поскольку R должна быть монотонно убывающей функцией,
то для нее можно принять:
/?(( —т) = Ле-а(<-х), (14.3)
где А и а — характеристические постоянные материала.
Подставляя (14.3) в (14.1) и заменяя нижний предел интегра-
ла на нуль, т. е. отсчитывая время от момента первой деформа-
ции, получим
t
o(0 = Ee(0 — J Ле-®<*-т>е(т)(/т. (14.4)
о
Дифференцируя это соотношение по /, которое рассматрива-
ется как параметр, придем к следующему линейному реологиче-
скому дифференциальному уравнению
о (0 = Ее (0 — ао (0 + а (Е—Л/а) е (0Г (14,5)
где точкой обозначены производные по времени.
Вводя обозначения
Е=Е«; а =1/0; Е = Л/а = Е0, (14.6)
последнее уравнение запишем в виде
о (0 = Еоое (0 - 1 /6 [о (0 - Еое (0|. (14.7)
496
Исследование этого уравнения было сделано А. Ю. Ишлинским
и А. Р. Ржаницыным. Если деформация фиксирована, т. е. е = 0„
то решение уравнения (14.7) имеет вид
a(O = £oe + [°(O)-£oe]e (14.8)
Следовательно, напряжение релаксирует к равновесному зна-
чению
о(оо) = Е0е, (14.9)
которое достигается через бесконечно большой промежуток вре-
мени.
Постоянная 0 имеет размерность времени и является време-
нем релаксации напряжения. Уравнение (14.9) говорит о том, что
Ео имеет смысл модуля упругости, отвечающего данному виду де-
формации при медленном деформировании.
Представление функции наследственности в виде экспоненци-
альной функции не является наилучшим во всех случаях. Больц-
маном была показана непригодность экспоненциальной функции
наследственности для расчета рассеяния энергии при колебатель-
ных процессах в твердых телах. Им же была предложена функция
наследственности обратно пропорциональная времени. Она была
использована Б. В. Дерягиным при расчете затухания упругих
волн в твердых телах на основе построения им общей теории рас-
пространения малых возмущений в наследственной среде. На ос-
новании анализа большого экспериментального материала, отно-
сящегося к твердым телам, предлагались и иные выражения для
R(t—т), лучше описывающие свойства последних Для грунтовой,
среды различные виды ядра ползучести подробно освещены в ра-
боте С. С. Вялова («Реологические основы механики грунтов»
М., 1978).
В дальнейшем уравнение состояния теории наследственной
реологии (ползучести) мы будем использовать в таком виде:
t
е(0 = {[а(1)ф(«-т)Л]; (14.10)
и
t
o(t) = £o[e(0- J Я(/ —r)dr]; (1.11)
0
где Eq — мгновенный модуль деформирования: k(t—т)—ядра
ползучести; R(t—т)—резольвента ядра ползучести.
Экспоненциальное ядро
к (t — т) = 6 exp [ — (t — t)J.
497
Согласно (14.10), при постоянном напряжении о0 приходим к
следующему закону деформирования:
е (0 = о0/Е0 {1 + 6/6, [1 - ехр (- 6,01}- (14.12)
Откуда конечная стабилизированная деформация равна
е (t = оо) = 60/Е0(1 +6/6,).
Конечный установившийся модуль деформации
Еоо(Г = оо) = Е0/(1+6/6,).
Резольвентой экспоненциального ядра служит функция
Я (t - т) = 6 ехр 1-(« + б.) U + т) J.
Скорость деформирования при ползучести, согласно (14.12),
е'(0 = ->6,е-»-'. (14.13)
£-0
В начальном периоде деформирования (/ = 0) согласно (14.13)
к' (* = 0) = о06,/Е0.
С течением времени скорость деформирования монотонно па-
дает до нуля.
Однако многочисленные эксперименты по ползучести грунтов
и строительных материалов не подтверждают полученную на ос-
нове экспоненциального ядра особенность деформирования. На-
чальная скорость ползучести для лёссовых- просадочных грунтов
получается бесконечной величиной. Такая особенность деформи-
рования присуща любому виду грунтов.
Одна из положительных особенностей наследственной теории
реологии состоит в том, что ядро ползучести может быть выбрано
в соответствии с экспериментом. Кроме того, как показано
А. Р. Ржаницыным, если кривая изменения скорости деформации
асимптотически приближается к осям, то уравнение состояния
рассматриваемого тела не может быть получено в дифференциаль-
ной форме.
Наиболее удовлетворительные данные для грунта дает степен-
ное ядро типа Абеля:
A(f-T)-6(f-T)’a°r (14.14)
где 6, ао — реологические параметры грунта.
Как показали результаты экспериментальных исследований
С. С. Вялова (для мерзлых грунтов) и Ж. С. Ержанова (для гор-
ных пород), ядро типа Абеля приводит к достаточно удовлетвори-
тельным результатам.
498
Изменение деформации во времени при постоянном напряже-
нии, согласно (14.14) и (14.10), определяется функцией
е<0 = ^-(1+Г^<1-а’). (14.15)
Релаксация напряжений, характеризуемых ядрами попзучести
типа Абеля, подчиняется уравнению (14.11) с резольвентой
R (t — т) -=_-— У. (— 1)п . хП^~т)п(1 а,) (14 16)
V ’ (t-т)а» } Г [(пЦ-1) (1—а0)1 ’
' ' -п=0
где Г (х)—гамма-функция; х=бГ(1—ао).
Используя аппроксимацию М. И. Розовского, предложенную
для улучшения сходимости ряда (14.16), на основании (14.11) для
релаксации напряжений Ю. К. Зарецким («Теория консолидации
грунтов», М., 1967) получена формула
а (0 ~ Еоео ехр [ -?6Г (1 -а0) ?'“•). (14.17)
Согласно (14.17), при релаксации напряжения падают от зна-
чения Оо=£о^о при f = 0 до нуля при / = ОО.
Экспериментальные исследования С. Р. Месчяна показали, что
закон наложения, являющийся основой теории наследственной
реологии, полностью подтверждается для многих видов глинистых
грунтов при деформации уплотнения и сдвига. Следует отметить,,
что для грунтовых сред интегральное уравнение состояния впер-
вые было применено В. А. Флориным при решении одномерной
задачи уплотнения грунтов.
Теория наследственной ползучести в последнее время стала
наиболее популярной среди других теорий благодаря фундамен-
тальным работам Ю. Н. Работнова, А. Р. Ржаницына, Н. X. Ару-
тюняна, М. И. Розовского, И. И. Гольденблата и др. Эта теория*
в механике грунтов широко исследована многими авторами
(С. Р. Месчяном, С. С. Вяловым, 3. Г. Тер-Мартиросяном и др.)
для решения отдельных задач и составления уравнений по дан-
ным экспериментов.
14.2. Уравнение изгиба ленточных фундаментов
на набухающих грунтах
Разработка эффективного метода расчета фундаментных кон-
струкций, возводимых на набухающих грунтах, усложняется не-
обходимостью решения задачи о совместной деформации фунда-
мента и основания, поверхность которого при увлажнении приоб-
ретает криволинейные очертания. Р. Литтоном (1970) эта задача
подробно исследована для статической постановки без учета рео-
логической особенности деформирования грунтов основания. Меж-
ду тем, как было показано в гл. 3, набухание глинистых грунтов
499
представляет собой реологический процесс и поэтому расчет фун-
даментов на этих грунтах должен производиться с учетом этой
особенности деформирования грунтов основания.
Рассмотрим совместно дифференциальное уравнение изогнутой
оси упругого ленточного фундамента и реологическое уравнение
грунта его основания. Ленточный фундамент рассматриваем как
балку с постоянной по длине изгибной жесткостью Е1. Фундамент
может быть полосой, выделенной из балочной плиты, работающей
в условиях плоской деформации. В этом случае изгибная жест-
кость конструкции будет характеризоваться ее цилиндрической
жесткостью:
Р = £/„/(1-н2).
Фундамент состоит из однородного материала, подчиняющегося
общему линейному закону деформирования. Распределение про-
дольных деформаций фундамента по высоте его сечения принима-
ем подчиняющимся закону плоских сечений. Известно, что в каж-
дом из перечисленных ниже случаев закон плоских сечений будет
справедлив независимо от физических свойств материала фунда-
мента: когда размеры сечения фундамента малы по сравнению с
его длиной, когда продольная сила и изгибающий момент вдоль
длины стержня остаются постоянными или же изменяются доста-
точно медленно и, наконец, когда можно пренебречь деформация-
ми сдвига и удлинениями в поперечном направлении. Под воздей-
ствием набухания грунтов основания и внешних поперечных на-
грузок первоначально прямая ось фундамента после изгиба
искривляется. При допускаемых относительных прогибах фунда-
мента угол наклона, т. е. тангенс угла, составляемого касательной
в какой-нибудь точке упругой линии фундамента с горизонталь-
ной осью, получается весьма незначительным. Поэтому изгиб
фундамента будет описываться известным дифференциальным
уравнением:
О 0, (14.18)
где qo(x)—не изменяющаяся во времени внешняя поперечная
нагрузка веса сооружения; о(х, t)—реакция набухающего грунта
основания, обладающего реологической особенностью. Реологиче-
ское уравнение набухающего грунта основания фундамента мы
получим, исходя из интегрального уравнения состояния. Результа-
ты изложенных в гл. 13 экспериментальных исследований показа-
ли, что закон наложения, являющийся основой линейной теории
наследственной ползучести, полностью подтверждаются для гли-
нистых грунтов при их деформации набухания. Поэтому контакт-
ное давление набухающего грунта основания в уравнении (14.18)
будет определено нами, исходя из наследственной теории ползу-
чести с учетом искривления поверхности основания, вызванной
деформацией набухания.
500
Контактное давление по подошве фундамента о(х, /) прини-
маем изменяющимся по длине фундамента и по времени. Для
набухающего основания оно равно
<j(z, t) = k(x, t)(/(z, 01»
где k(x, t)—переменный по длине фундамента и по времени ко-
эффициент жесткости грунтового основания (коэффициент посте-
ли). В силу реологической особенности деформирования основа-
ния, подчиняющейся линейной теории наследственной ползучести,
последнее выражение можно представить в виде
t
k(i, t)[y(x, — |)] = а(х, 0+J °(х> x)A0(t —(14.19)
о
Решая дифференциальное уравнение изгиба фундамента
(14.18) относительно контактного давления, получим
с (z, O = go(x) — EI
О
дх*
Подставляя последнее выражение в (14.19), получим интегро-
дифференциальное уравнение, описывающее изгиб ленточных фун-
даментов на набухающих грунтах с учетом реологической особен-
ности их деформирования:
у(х, t)=W(x, М*-т)Л]-
о
(14.20)
Для деформации набухания, как было установлено в гл. 13
результатами экспериментальных исследований, к наиболее до-
стоверным результатам приводит ядро типа Абеля:
Если учесть последнее выражение в уравнении (14.20), то
у(х. t)~W(x, o + +
j (<- т)-1*т) dz], (14.21)
В частном случае, когда фундамент расположен на грунтовом ос-
новании, лишенном реологических свойств, уравнение (14.21) при-
501
нимает вид
EI ^П-+*И1»(^)-^(х)1 = 9о(х). (14.22)
Уравнение (14.22) можно представить в виде
£Z 4^+k(x}y(x)=gtix)+k(x)w (Х) (14.23)
Из уравнения (14.23) следует, что воздействие деформации
набухания грунтов основания на конструкции рассматриваемого
фундамента, эквивалентно его загружению, помимо заданной
внешней активной нагрузки qo(x)t дополнительной, изменяющейся
по длине фундамента распределенной нагрузкой интенсивностью
q3=k(x)W(x). Характер распределения и величина этой дополни-
тельной нагрузки определяются положением бугра набухания на
контактной поверхности и интенсивностью деформации основания.
Исходя из этой расчетной модели, А. П. Ерганджиевым разрабо-
тана методика расчета ленточных фундаментов на воздействие
набухания.
Уравнение рассматриваемой задачи (14.21) представляет со-
бой неоднородное интегродифференциальное уравнение четвертого
порядка с переменным коэффициентом. Построение общего реше-
ния этого уравнения в замкнутом виде невозможно, поэтому впол-
не оправдано применение приближенных методов решения.
Для математической формулировки рассматриваемой задачи
следует присовокупить к полученному уравнению (14.21) соответ-
ствующие начальные и граничные условия. Граничными условия-
ми, состоящими из двух геометрических (прогиб и угол поворота
сечения фундамента) и двух статических (изгибающий момент и
перерезывающая сила), задаются в каждом случае расчета, исхо-
дя из конструктивных особенностей закрепления концевых сечений
фундаментов. Мы будем исходить из следующих однородных
краевых условий:
у (0, 0 = Уо (0; у' (0, 0 = е0 (0;
Ely’ (0, t) = - Mo (0; Ely" (0, t = — Qo (0.
где yo(t), 6о(О» Afo(O и Qo(t)—начальные параметры рассмат-
риваемой задачи, определяющие прогиб, угол поворота, изгибаю-
щий момент и перерезывающую силу в начальном сечении фун-
дамента.
Начальные условия задачи задаются в виде
У (0, 0) = у0; у' (0, 0) = 0О; Ely" (0, 0) = - М0; Ely- (0, 0) = - Qo.
(14.24)
Как показывают результаты экспериментальных исследований,
в начальный момент времени (при / = 0) происходит мгновенное
502
набухание глинистых грунтов. Получаемая при этом деформация
основания фундамента, согласно (13.21), равна
W (х, 0) = (¥/Е0) (2/Ь)т (х - Ь)т,
где Ч1* — согласно принятому ранее обозначению является пара-
метром, зависящим от формы, размеров подошвы и глубины за-
ложения фундамента и дополнительного давления.
14.3. Построение общего решения
сформулированной задачи
На основании уравнения (14.20) рассмотрим изгиб ленточного
фундамента при двух крайних случаях деформирования набухаю
щих грунтов оснований:
1. При / = 0; у(х,0)=у(х); Л(х,0)=Л(х)
t
J М«-’)Л = 0; W(x, 0)=~(2!L)n(x-b)n.
о °
Уравнение задачи в этом случае принимает вид
EI W = «.4"J *(х) (2/b)m (х - ЬГ.
2. При /->оо; у(х, оо)=у,(х); Л(Х, оо) =Лдл (х)
lim
t-*oo
t.
J k0 (t — t) dx -> 0;
о
W(xt oo) = SH (Л?т) (2/£)m (x —6)m.
Уравнение задачи для этого предельного случая будет иметь вид
+ кал(Х)yt (Х) = (х) + (х) Sh (Т т)(2/Л)П(х_Ь)т
Как видно из приведенных уравнений, форма изгиба фундамен-
та в рассматриваемых двух предельных случаях не зависит от
времени и определяется характерами реактивных давлений и дей-
ствующих на фундамент внешних нагрузок.
Решение задачи для мгновенного набухания. При мгновенном
набухании грунтов основания фундамент, помимо внешней рас-
пределенной нагрузки (?о(х), испытывает дополнительное воз-
действие
9доп (х) = к (х) W (х, 0) = 4- * (X) (2/L)” (X - ЬГ .
В момент наступления условной стабилизации деформации на-
пухания дополнительную нагрузку на фундамент определяют по
-формуле
9доп (х) - Адл (х) 5Н (Ген) (2/£)" (х - Ь)т.
503
Решение рассматриваемой задачи, т. е. уравнение изогнутой
оси фундамента для указанных выше предельных случаев, можно
получить методом последовательных приближений.
Задача значительно упрощается, если, следуя Р. Литтону, ко-
эффициент постели набухающего грунта основания принять по-
стоянным. Тогда уравнение задачи для мгновенного набухания
примет вид
EJ Щ£~+кУ (*) = 9о (-с) + kW (х, 0)
ИЛИ
^L-1-Wy = ?0 (X), (14.25)
где
а = ^кКЕГ\ q^x) = qQ (х) + kW (х, 0).
Введем в рассмотрение безразмерную абсциссу т>, связанную
с х отношением т] = ах.
Уравнение (14.25) в новом переменном примет вид:
-^-+^(П) = 4?<,(Г)). (14.26)
Общее решение неоднородного уравнения (14.26) состоит из
общего решения однородного уравнения
-^-+4!/(п) = 0 (14.27)
и частного решения неоднородного уравнения (14.26). Общее ре-
шение однородного уравнения (14.27), выраженное через фунда-
ментальные функции А. Н. Крылова (1949) £/i(ti)» </г(п)» УзМ^
у4 (п)» имеет вид
У 01) = ЛУ1 (П) + вУъ (П) -г О/з(П)+ Dy,* (п), (14.28)
где
У\ (п) = ch n cos 1); у2 (n) = V2 (ch т) sin т] + sh т] cos т)); у2 (т]) =
= V2 sh т) sin ц; y4(n)= 1/4(chnsintl_"shncosn)» А, В, С, D по-
стоянные интегрирования, определяемые из граничных условий
(14.24):
А = j/o*» в = — ^о» = —-ЁТдг ^о*» в = £7^5" Qq'
Частное решение неоднородного уравнения (14.26), составлен-
ного на основании правила Коши, имеет вид
Ф 01) = V j У* (п — 5) 9о © (14.29)
о
504
Тогда общее решение задачи изгиба свободно лежащих на набу-
хающих грунтах ленточных фундаментов (Af0 = Qo = 0) примет вид
ч
(п) =!/«!/«+ + v J 04 01 —Й9о (£)«£• (14.30)
о
Эпюры реактивного давления, изгибающих моментов и пере-
резывающих сил строят по формулам (11.60):
р 01) = к [у (71) - w (Г))];
<?(х)=-Е/а’-М-. (14.31)
Согласно полученному выражению (14.30), рассматриваемая
задача в каждом частном случае воздействия набухания на фун-
дамент сводится к раскрытию интеграла (14.29).
Решение задачи для изменяющегося во времени набухания,
методом последовательных приближений. Решение полученного
интегродифференциального уравнения задачи (14.20) можно
строить различными приближенными методами — методом итера-
ций, применением квадратурных формул (Гаусса, Чебышева
и др.), заменой ядра вырожденным, методом Бубнова — Галерки-
на и наименьших квадратов и др. Покажем возможность построе-
ния рассматриваемого уравнения методом последовательных при-
ближений.
Подставив вместо у(х, t) в правой части уравнения (14.21)
производную непрерывную функцию <р (х, t), получим первое при-
ближение:
у,(х. 0 = 1Г(х,1) + 7^г[1 +
ЕГ ^Ф (*, О EI п С *4Ф (*» т) V-р ,
Л(х, о дх* к(х, t) aJ dz* V ' ат’
о
Заменяя <p(x,t) на yi(x,t) и поступая так далее, получим по-
следовательность непрерывных функций <р(х, /), yi(xt f); у2 (x,t),
Уп (*, t) таких, что
„п(х, t)=w(x, 1)+^[1 +
д4Уп-х
к (z, t) дх*
EI Г
*(*, о a J
о
^п-.(х.г) (t_T)-PdT-
Если уп (х, t) сходится равномерно к предельной функции
i/(x,f), когда п неограниченно возрастает, то предельная функция
будет решением рассматриваемого уравнения, а уп(х, t)—после-
505
довательным приближением этого решения. В теории интеграль-
ных уравнений доказывается (И. И. Привалов «Интегральные
уравнения», М.— Л., 1935), что предельная функция y(xt t) не
зависит от функции <р(х,/), с которой строится приближение. Вид
начальной функции (нулевое приближение) влияет на быстроту
сходимости построенного приближенного решения. Для получения
довольно быстро сходящихся решений в качестве начальной функ-
ции можно принять решение (14.30), определяющую форму изгиба
свободно лежащего ленточного фундамента на мгновенно набу-
хающем грунтовом основании.
Решение задачи для изменяющегося во времени набухания с
использованием теоремы о среднем значении интеграла. Рассмот-
рим определенный интеграл с переменным верхним пределом:
t
J / (z, т) V (т) dx.
о
Пусть функция f(xt т) непрерывна. Функция V(x), интегри-
руемая в промежутке (0, /), и, кроме того, во всем этом проме-
жутке не меняет знак. Тогда, согласно теореме о среднем значении
интеграла, на рассматриваемом промежутке (0, t) существует хотя
бы одна точка /о (О^/о^О» Для которой
t t
J / (z, т) Y (т) dx = dx = f (z, t0) J ¥ (т) dx.
о о
Применяя эту теорему к интегралу, в правой части уравнения
(14.20) будем иметь
у(х, t) = W(x, t) + -^- [1 +
EI д*у (х, /) EI д*(х, t0) a t_e
к0 дх* к0 дх* 1—р '
Дальнейшее упрощение полученного уравнения производим, исхо-
дя из установленного опытами характера протекания деформации
набухания во времени. В экспериментальной части наших иссле-
дований было показано, что процесс набухания глинистых грунтов
возникает мгновенно и интенсивное развитие его происходит в не-
большом промежутке изменения времени Введем в рас-
смотрение следующие обозначения:
-^!L=f(x, 0; = /(х, <„).
Тогда можно составить равенство
f(x, t) = f(x, /о) + т(«о).
где при t0-*t 7о(^о)->0. Незначительность периода интенсивного
506
развития процесса набухания по сравнению с длительностью раз-
вития этих деформаций во времени позволяет принять приближен-
ное равенство
/(х, <o)s/(x,0
либо равносильно
д*у(х, t0) д*у (х, 0
дх* дх* *
Если учесть последнее приближенное равенство в уравнении
<14.20), то получим
El 1У (*. t)-W (х, 01 = 9. (X), (14.32)
где
ь" ________ко______
Уравнение рассматриваемой задачи в безразмерной абсциссе
примет вид
~ +4у(п’ °==9(’1’ °’ (1433)
где
9<П. +тгр <1-₽] + ^(п, 0.
Как видно, теорема о среднем значении интеграла и принятое
выше допущение позволили свести решение интегродифференцио-
нального уравнения (14.20) к решению линейного неоднородного
дифференциального уравнения с переменным коэффициентом
(14.38). При этом искомая функция, определяющая изогнутую
ось фундамента, оказалась зависящей от времени как параметр.
Общее решение уравнения (14.33) для свободно лежащих фунда-
ментов определяется выражением:
ч
У (П? O = !/o!/i(n)+-^- + + J 1/4(П —В)?® <%•
(14.34)
На основании полученного решения (14.34) ниже приводится
методика расчета ленточных фундаментов на неравномерное воз-
действие деформации набухания грунтов основания при различных
случаях расположения источника увлажнения.
507
14.4. Расчет ленточных фундаментов
на различные воздействия набухания
грунтов основания
Полученное решение (14.34) позволяет вести расчет ленточных
фундаментов на набухающих грунтах с учетом реологических осо-
бенностей их деформирования. При этом для каждого случая воз-
действия на фундамент деформации набухания следует раскрыть
интеграл, содержащийся в частном решении (14.34).
Из всех возможных случаев расположения бугра набухания по
подошве фундамента, следуя Р. Литтону (1970), мы будем рас-
сматривать следующие два характерных.
Случай 1. Купол свода набухания грунтов основания распо-
ложен в центре пролета фундамента. На фундамент действует
сплошная равномерно распределенная нагрузка (рис. 14.1).
Имеем:
g(t), t) = -^+W(n, t); IV(n,
k0 v ь0 /
Ijq==clL^ bQ=ab.
Тогда
g(t]) = ai —а2(п) + агг)2.
где
J, = а, +аф' =4^+45н (/) ( )2
о2 = 2а260;
а1 = 4q0/k0i а2 — (0 ( ) •
Частное решение (14.29) примет вид
ч
Ф(п)= J У* 01-Э (а1-а2? + а2?2)^.
о
Раскрыв интеграл, получим-
Ф(л) = (а,/4) [1 - у, (Т])1 - (о2/4) tn -Уг (п)] + (а3/4) tf-2y3СП>1-
Вторые и третьи производные этой функции определяются выра-
жениями:
Ф*(П) = °|У»(’1) — а2У4(т)) + в2/2[1 —У1 (1)1;
Ф* (ч) = «1У2 (ч) — <Мз (ч) + 2а^4 (ч)-
Уравнения прогиба, реактивного давления, изгибающих моментов
508
и перерезывающих сил, согласно (14.38), определяются выраже-
ниями:
У (ч) = УоУ, (ч) + -7Г У г (ч) + 4 {<411 — У, (П>) ~ аг 1ч - Уг (п)1 +
+ аг [т]2—2у3(т))]};
Р (Ч) = *о {УоУг (Ч) + Уг (Ч) + 41^1 (* - У1 (Ч) - аг (г) - уг (ч)) +
+ (ч2 - 2ft (ч))1—-Sh (0 (-Д-)2 (ч—Ьо)2};
м (х)= — Е1а2 { —40,2/3 (ч) —4-^гМч)+<416(4)—
—as04 (Ч) + (1 - 01 (Ч))} ;
Q (х) — — EIа3 { —40002 (ч) — 4 03 <Т]) +- <402 (ч) — «203 (ч) +
+ 2OJ04 (ч)}-
Случай 2. Куполы свода набухания грунтов основания распо-
ложены под концевыми сечениями фундаментов. На фундамент
Рис. 14.2. Расчетная схема для
одновременного набухания ос-
нования под обоими торцами
фундамента
Рис. 14.1. Расчетная схема для цент-
рального набухания грунта основания
действует сплошная равномерно распределенная нагрузка
(рис. 14.2).
В связи с прерывностью внешней нагрузки, следуя А. Н. Кры-
лову, фундамент разделяем на два участка:
а) при 0^т]=^/2; Ьо = О; gi(r], t) =ai + a2T)2-
Поэтому частное решение принимает вид
ф1 (ч) = J 04 (ч — Е) (ai + агЕ2) <*£•
о
509
Раскрыв интеграл, получим
Ф1 01) = “?411 —Hi (n)l + о2/4 [if-2у3(т])1.
Вторые и третье производные этой функции определяются выра-
жен ия ми
Ф; (П) = «d/з (П) + а2/2 (1 - У1 (т])]; Ф/ (т]) = а{у2 (П) + 2а2у, (т]);
б) при Х/2^т]^Х; Ьо = £о; 91(т]) =д1—fl2T]+a2T)2-
Выражение частного решения в рассматриваемом случае примет
вид
\
2 П
Ф2(П)= J У» 01-£)(«,+"Л2) <Л + $ !/4 01 —£)(“! —02£+аЛ2)<&
0 -L
2
Раскрыв интеграл, получим
Ф201) = У. (’l-г)(4L“т+я8)_^, (*1) -т +
+Л (’>-4) -Т~Уз 01)-t-+-£—а± 11+-?- п2-
Вторые и третьи производные последней функции определяют-
ся выражениями:
ф: = Уз(’1—4) (—а1 + а1 — -5-аг)+а,4/зOn)—
ф;'=у2(.1)—4) (—ai+ai — 4а2)"^Уг^а1“
— Уз ( п—4 ) аг + 2а^‘ М-
Неизвестные параметры у0 и 6о определяют из постороннего ре-
шения следующей системы уравнений:
4уоуэ (aL) + 4 yt (aL) = Ф" (aL);
Ау„уг (aL) + 4 Уз (“£) = ф”
Откуда имеем:
__ у9 {aL) Ф" (aL) - У4 (aL) Ф” (aL) .
Уо ^\yl(aL)-yt(aL) ’
А у3 (ар ФТ (aL) - yt (aL) Фя (aL)
°“ ^[у\(аР-у2(ару4(ар] ’
510
Формулы изгибающих моментов и перерезывающих сил имеют
вид:
м(Г], о = _£га2Г4!/()г/з(п)+4А У4(П)-Ф'(п)1;
г е -Г <14-35)
Q (1), о = - EYa* [4</о!/2 01) + 4 у3 (П) _ Ф- (Т))].
14.5. Решение численных примеров
Пусть требуется построить эпюры прогибов, изгибающих мо-
ментов, перерезывающих сил и реактивного давления для ленточ-
ного железобетонного фундамента. Внешняя нагрузка равномерно
распределенная д0=15 кН/м. Основание сложено из однородной
толщи набухающего глинистого грунта толщиной 8,0 м; dn=l,0 м;
7о=18 кН/м3. Фундамент имеет размеры: Ь = 100 см; £ = 600 см.
Коэффициент жесткости грунтов основания по длине фундамента
постоянный *о=ЬЮ4 кН/м3. Для фундамента и его основания
имеем: £Ф=14хЮ3 МПа; £0 = 8,2 МПа; /0 = 1 0,203/12 =
Таблица 14.1
/, сут X, см У, СМ U', см //—W, см кН/м М, кН-м Q, «н
0 0 7,232 9,14 — 1,908 — 190,8 0 0
0 75 4,878 5.141 —0,263 —26,3 —40,13 —86,31
0 150 2,777 2,285 0,492 49,2 — 107,72 —84,66
0 225 1.316 0,571 0,745 74,5 — 158,44 —47,31
0 300 0,794 0 0.794 79,4 — 176,39 0,02
0 375 1,316 0,571 0,745 74,5 — 158,37 47,35
0 450 2,802 2,285 0,517 51,7 — 110, 18 84,68
0 525 4,876 5,141 —0,265 —26,5 —40,10 86,28
0 600 7,236 9,14- — 1,904 — 190,4 0 0
10 0 10,392 14,074 —3,682 —239,091 0 0
10 75 7,220 7,917 —0,697 —45,260 —52,62 — 114,59
10 150 4,370 3,519 0,851 55,260 — 114,82 — 117,38
10 225 2,365 0,880 1,485 96,428 —215,55 —68,66
10 300 1,651 0 1,651 107,208 —241,84 —0,05
10 375 2,393 0.880 1,513 98,247 —219,51 63,40
10 450 4.399 3,519 0,880 57,143 — 147,71 116,08
10 525 7,264 7,917 —0,653 —42,403 —54,47 115,58
10 600 10,391 14,074 —3,683 —239,156 0 0
75 0 10,791 14,788 —3,997 —247,033 0 0
75 75 7,525 8,318 —0,793 —49,011 —53,41 — 117,12
75 150 4,595 3,697 0,898 55,501 —147.67 — 121,33
75 225 2,553 0,924 1,629 100,680 —221,19 —71,55
75 300 1,810 0 1.810 111,867 —248,94 0,020
75 375 2,546 0,924 1,622 100,247 —221,73 70,70
75 450 4,594 3,697 0,897 55,439 — 147,65 121,33
75 525 7,523 8,318 —0,795 —49,135 —53,27 117,13
75 600 10,791 14,788 —3,997 —247,033 0 0
511
= 66-10-5 м4; Еф/о= 14-103-66-10-5 = 9,24 МПа-м4=9240 кН/м2.
Реологические параметры грунта равны а=0,031 сут-1; [J = 0,933.
Давление набухания Psw = 0,35 МПа.
S Пример 14.1. Рассмотрим случай, когда набухание грунта основания произо-
шло под серединой фундамента (fr=0,5). Изменение набухания во времени по
формуле (13.21) составит
$„ (1) = 9,14 (1 + <0,0.7 ) = 9,14 (1 + 0,462/°.°*7).
\ и, ио/ /
Период стабилизации набухания, по формуле (13.25), при [ин]=510-5 м/сут:
„ Г 9,14 0,031 “11/0,933
Гсга-1 100 5-10"5 J СуТ’
Тогда набухание при трех характерных значениях времени /=0, 10, 75 сут.
будет £и=9,14 см; SH( 10) = 14,074 см; SH(75) = 14,788 см.
Рис. 14.4. Эпюра реактивного давле-
ния грунта i(k примеру 14.1)
/ — балка; 2 — грунт
Рис. 14.3. Эпюра прогиба гибкого
фундамента (к примеру 14.1)
В табл. 14.1 приведены значения прогиба, реактивного давления, изгибаю-
щих моментов и перерезывающих сйл в указанные периоды времени, подсчитан-
ные по приведенным формулам На основании данных таблицы, на рис. 14.3...
14.5 построены эпюры прогибов, реактивного давления, изгибающих моментов
и перерезывающих сил.
Как видно из построенных эпюр, в случае расположения бугра набухания
под центром пролета фундамента в нем возникает максимальный отрицатель-
ный изгибающий момент (248,94 кН м). В мгновенном набухании достигается
70,8% максимального изгибающего момента. Соприкосновение подошвы фунда-
мента с набухающей поверхностью грунта основания происходит в пределах
определенного участка, составляющего в рассматриваемом примере 65% про-
лета фундамента. Торцевые участки фундамента длиной 0,175L (при /=75 сут),
отрываясь от набухающей поверхности основания, работают как консольная бал-
512
Рис. 14.5. Эпюры перерезывающих сил и
изгибающих моментов (к примеру 14.1)
Рис. 14.6. Эпюры изгиба фундамента н
реактивного давления грунта (к приме-
ру 14.2)
ка. Выявленная особенность деформирования железобетонного фундамента
должна служить основой при его конструировании (армировании).
Ц Пример 14.2. Рассмотрим случай, когда набухание грунта основания проис-
ходит одновременно под обоими торцевыми сечениями фундамента (Ь = 0 и
b~L). Расчетная формула набухания в данном случае сохраняет прежний вид.
Расчет прогиба, реактивного давления, изгибающих моментов и перерезы-
вающих сил производим по приведенным выше решениям, полученным для рас-
сматриваемого случая набухания. Результаты выполненных по этим формулам
расчетов для трех характерных периодов набухания грунта основания /=0; 10;
75 сут приведены в табл. 14.2.
Согласно данным табл. 14.2, на рисунках 14.6... 14.8 построены эпюры
прогиба и реактивного давления при / = 75 сут, а также изгибающих моментов
и перерезывающих сил для трех различных периодов набухания грунта осно-
513
вания. Как видно из построенных эпюр, в случае одновременного набухания
грунта под торцевыми сечениями ленточного фундамента характер его работы
существенно отличается от рассмотренного выше случая набухания основания
под серединой подошвы фундамента. В данном случае фундамент работает как
двухпролетная балка на сплошном грунтовом основании. Под центральной
частью пролета фундамента симметрично расположена «зона отрыва», состав-
Таблица 14.2
/, сут к, см У, см W, см у-\Х', см P=k0(y-~V), кН/м М, кНм Q. кН
0 о’ -0,266 0 -0,266 -26,6 0 0
0 18,75 — — — — — —3,058
0 37,5 — — — — —0,892 0,203
0 75 1,609 0,571 1,038 103,8 3,179 24,92
0 150 3,448 2,285 1.163 116,3 51,068 104,02
0 225 4,938 5,141 —0,203 -20,3 148,721 139,42
0 300 5,550 9,14 —3,59 —359 216,942 0,0255
0 375 4,938 5,141 —0,203 —20,3 148,686 — 139,26
0 450 3,446 2,285 1,161 116.1 48,659 —103,93
0 525 1,609 0,571 1,038 103,8 3,219 —24,69
0 562,5 — — — 0,763 —0.119
0 581,25 — — — — 3,68
0 600 —0,264 0 -0,264 —26,4 0 0
10 0 0,165 0 0.165 10,715 0 0
10 75 2,784 0,88 1,904 123,65 12,55 47,82
10 150 5,277 3,519 1,758 114,16 82,60 136,59
10 225 7,300 7,917 —0,617 —40,07 200,74 163,64:
10 300 8,076 14,074 —5,998 —389,51 279,46 0,088
10 375 7,223 7,917 —0,694 —45,07 200,66 —163,64:
10 450 5,301 3,519 1,782 115,72 80,47 —135,09
10 525 2,785 0,88 1,905 123,71 12,25 —47,85
10 600 0,169 0 0,169 .10,97 0 0
75 0 0,276 0 0,276 17,06 0 0
75 75 2,972 0,924 2,048 126,57 13,68 50,54
75 150 5,554 3,697 1,857 114,76 85,36 139,05
75 225 7,603 8,318 —0,715 —44,19 206,86 164,43
75 300 8,408 14,788 -6,38 —394,284 252,27 0,007
75 375 7,600 8,318 —0,718 —44,37 206,83 —164,69
75 450 5,556 3,697 1.859 114,89 85,68. —138,86.
75 525 2,974 0,924 2,05 126,69 13,88 —53,30
75 600 0,279 0 0,279 17,24 0 0
ляющая 35% длины фундамента. Вдавливание фундамента в грунты основания
происходит одновременно в двух участках длиной по 0.325L, расположенных
в районах торцевых сечений фундамента. В рассматриваемом случае набухания
грунта основания во всех сечениях фундамента возникает лишь положительный'
изгибающий момент. Максимальное значение изгибающего момента
(285,27 кН м) при наступлении условной стабилизации набухания (/=75 сут)
получается в 1,31 раза больше его значения при мгновенном набухании. Кроме
того, при одновременном набухании грунта основания под торцевыми сечения*
мн фундамента максимальный изгибающий момент получается на 14,6% больше,,
чем при набухании основания под центром пролета фундамента. Сравнивая оба
рассмотренные в примерах случая набухания грунта основания, можно прийти
к заключению, что случай одновременного набухания грунтов основания под
514
Рис. 14.7. Эпюра перерезывающих
сил (к примеру 14.2)
Рис. 14.8. Эпюры изгибающих момен-
тов (к примеру 14.2)
торцевыми сечениями фундамента приводит к наиболее характерной расчетной
схеме, отражающей наиневыгоднейшую работу конструкции ленточных фунда-
ментов на набухающих грунтах, что согласуется с результатами исследований
Р. Литтона (1970).
Глава 15
ВЛИЯНИЕ НАБУХАНИЯ ГРУНТОВ ОСНОВАНИЯ
НА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
ОДИНОЧНЫХ СВАЙ
15.1. Необходимые для расчета зависимости
Как было установлено ранее, криволинейная зависимость меж-
ду величинами относительного набухания esw и давлением набу-
хания Psw довольно точно аппроксимируется степенной зависимо-
стью (15.1)
^311' ~ £q (1 (15.1)
где Ог, tot — суммарное вертикальное напряжение на глубине г.
515
В линейной постановке формула (15.1) принимает такой вид
(рис. 15.1):
= е0 (1 — oz. tot/Psw). (15.2)
На расстоянии z от поверхности грунта действует некоторое
напряжение, равное сумме напряжений от действия собственного
веса грунта сваи огс и дополнительного вертикального давле-
ния Oz,adt вызванного влиянием веса неувлажненной части масси-
ва грунта за пределами площади зама-
чивания
°z. tot — Qzg + °zC H~Tz, ad- (15.3)
Рис. 15.1. Зависимость от-
носительного набухания от
уплотняющей нагрузки при
линейном законе деформи-
рования грунта
Характер распределения сжимающих
напряжений в основании от действия
ствола свай довольно точно может быть
аппроксимирован с помощью формулы
венгерского ученого Д. Пати, получен-
ной им путем интегрирования формулы
Р. Миндлина, полученной для действия
сосредоточенной силы, приложенной
внутри линейно деформируемого полу-
пространства:
az.c = a/. (15.4)
где а — коэффициент, принимаемый по табл. 15.1 в зависимости
от отношения Lz/rz и г/гс (Lz— длина участка сваи выше рас-
сматриваемой точки, через которую передается давление на грунт;
гс — радиус сваи; г — расстояние от оси сваи до рассматриваемой
точки). Для упрощения расчета принимаем допущение Б. И. Дал-
матова, Ф. К. Лапшина, согласно которому коэффициент а при-
нимается зависящим только от отношения г/гс
а = 1,148 (г/гс)-» 237. (15.5)
Для точек, лежащих на поверхности сваи, г = гс значение а
будет а = 1,148.
С учетом последнего значения а формула (15.4) принимает вид
о2С= 1,148/, (15.6)
где /— интенсивность сил трения грунта по боковой поверхности
Таблица 15.1
'/'с
1 2 3 4 6
5 1,121 0,429 0,237 0,150 0,099 0,082
10 1,147 0,461 0,286 0,202 0.150 0,118
20 1,150 0,469 0,298 0,218 0.171 0,140
30 1,151 0,471 0,300 0,221 0,173 0,143
516
сваи. Для определения значения силы f Г. П. Таланов, П. П. Лы-
чев рекомендуют формулу
f = 3/\(2A-z)/(2nD£3);
где Р—критическая нагрузка на сваю; L — длина сваи; D —
диаметр сваи.
15.2. Определение зоны набухания
вокруг висячих свай
Для прогнозирования общего значения ожидаемой деформации
основания, сложенного набухающими грунтами, необходимо вы-
явить возможность проявления в основании набухания. Для этой
цели можно использовать следующий графический метод.
По формуле (15.6) в зависимости от размера сваи строят
эпюру распределения сжимающих напряжений огс при г = гс под
действием вертикальной нагрузки (рис. 15.2, кривая 1—2). Затем
па этом же чертеже строится эпю-
ра от действия собственного веса
грунта o2g (прямая /—«?), а также
эпюра дополнительного напряже-
ния Cz.ad (прямая 4—5), вызванно-
го влиянием веса неувлажпепной
части массива грунта за пределами
площади замачивания, определяе-
мого по формуле
= + (15-7)
где kg — коэффициент, принимае-
мый согласно указаниям СНиП
2.02.01—83 в зависимости от отно-
шения длины к ширине В* за-
мачиваемой площади и относитель-
ной глубины расположения рас-
сматриваемого слоя f —
удельный вес грунта; d — глубина
заложения фундамента от планиро-
вочной отметки.
Рис. 15.2. Расчетная схема для
определения зоны набухания во-
круг висячей сваи
(15.8)
В нашем случае d = 0 и поэтому формула (15.7) принимает вид
Ot.ad = kgyZ.
Суммируя соответствующие ординаты обеих эпюр, получаем
результирующие эпюры распределения напряжений по глубине
основания (кривые 1—6). На расстоянии P5W параллельно оси Oz
проводим линию давления набухания (прямые 7—8). Пересечение
линий давления набухания с результирующей эпюрой уплотняю-
щей нагрузки определяет в общем случае две характерные зоны
517
деформирования грунтов основания: I зона — набухания, II зо-
на — уплотнения.
Тогда для зоны набухания будет справедливо следующее ус-
ловие:
O2g 4“ &ZC 4" °Z. ad
(15.9)
Подставляя выражения, входящие в последнее неравенство на-
пряжений, после несложных преобразований для определения
нижней границы первой зоны получим уравнение:
z2 —a1z + a2 = 0, (15.10)
где
_ 2nDL3y(i4-/cg) . »л. а _ 2лОЬ3 „ И5 1Й
3-1,148Р I а2 3-1,148Р 1 sw’ (10.11)
Решая полученное уравнение (15.10) относительно z, можно
определить нижнюю границу зоны набухания z0:
zo = zi.2 = ^-±|/a?-4a2. (15.12)
15.3. Определение ожидаемой величины подъема грунта
вокруг одиночных висячих свай
Эксперименты, проведенные Е. А. Сорочаном, показывают, что
грунт вокруг сваи при набухании перемещается неравномерно:
наименьший подъем происходит около сваи, с возрастанием рас-
стояния от сваи подъем грунта увеличивается. Наибольшая вели-
чина изгиба — набухания грунта — наблюдается в момент моби-
лизации максимальных сил выпора. Максимальная разница в
подъеме поверхности грунта около сваи и на значительном рас-
стоянии от нее составляет 20 мм. На расстоянии примерно
20... 40 см от сваи изгиб грунта не наблюдается.
Зная границы активной зоны набухания примыкающей сваи,
для определения величины подъема поверхности грунта около сваи
можно воспользоваться следующим выражением:
ZQ
Wo = J eswdz. (15.13)
о
Подставляя в (15.2) выражение (15.3), после некоторых преобра-
зований получим
esw = e0(l—
где
Y(l+*g) । 3-1.148Р . , _ 31.148Р
Psw “• JtDL2Psw ’ °2 >2nDL3P8W '
(15.14)
(15.15)
518
Подставляя в (15.13) выражение (15.14), производя интегри-
рование в пределах границ зоны набухания, для определения
ожидаемой величины подъема поверхности вокруг сваи получим
формулу
U'o = eoZ()--^z:+-^. (15.16)
Изменение вертикального перемещения набухающих грунтов
на контактной поверхности сваи определим выражением
где т — безразмерный параметр, зависящий от свойств грунта,
полученный при полевых испытаниях, или
W (z) = PVO(1 +62zT. (15.17)
Использование степенной зависимости (15.17) приводит к боль-
шим математическим трудностям, поэтому в качестве первого
приближения может быть использована линейная зависимость
W (z) = Wo (1 - btz + b2z2). (15.18)
15.4. Три характерных случая расположения
набухающего слоя грунта
Согласно полученному уравнению (15.18), подъем грунта по
глубине от воздействия набухания грунтов основания W(z) пред-
ставляет собой распределенную нагрузку, приложенную к свае на
участках подъема набухающего слоя грунта.
Формулу (15.18) во всех рассматриваемых случаях увлажне-
ния основания представим относительно новой системы координат
с началом у торца сваи
Ж (z) = Wo lb3 + (bt - 2b2L) z +62z2J, (15.19)
где
Ьз=1— btL + bzL2.
В зависимости от длины сваи и мощности набухающего слоя
грунта могут быть следующие случаи.
Случай /, когда мощность слоя набухающих грунтов больше,
чем длина сваи L (рис. 15.3).
Случай 2, когда свая прорезает два слоя: первый набухаю-
щий Hsw и второй подстилающий ненабухающий слой h. В этом
случае подъем грунта вокруг сваи возникнет в первом слое, а во
втором подстилающем слое возникнет сила торможения, т. е. бу-
дет отсутствовать подъем сваи (рис. 15.4). Зона набухания в рас-
сматриваемом случае будет меньше или равна высоте слоя набу-
519
Рис. 15.3. Расчетная схема для случая, когда
мощность слоя набухающего грунта больше, чем
хания (zo>//sw). Из-
менение подъема грун-
та по глубине опреде-
ляется формулой
(15.19).
Случай 3, когда
свая прорезает два
слоя: первый ненабу-
хающий слой h и вто-
рой набухающий слой
Hsw. В этом случае
действие веса вышеле-
жащего первого нена-
бухающего слоя грун-
та можно заменить
•длина сваи равномерно распреде-
ленной НаГруЗКОЙ Oad =
= 7оЛ, приложенной к поверхности подстилающего набухающего
слоя грунта (рис. 15.5).
Нижняя граница зоны набухания в рассматриваемом случае
будет располагаться на глубине:
где
о__ 2nDLi^ .-ту ,.
аг ;3-1,148Р sW Yo^)-
Величина подъема поверхности грунта вокруг сваи на кровле
набухающего слоя, согласно (15.14),
где
гп+Л zo+Л zo+h
FK0 = e0 J dz — b\^ J zdz + &°E0 J z2dz,
А Л Л
3 1,148P
0 T(14-fcg)+ я^з- 31Л48Р
Psw-y^ 1 2~ 2nDL4PsW-yoh) •
Раскрывая интегралы и производя необходимое преобразова-
ние, получим формулу
И^о = Wo---1(2о + Л)2- А2] + К2о + Л)3-Л’]. (15.21)
Изменение вертикального перемещения грунта в набухающем
слое, согласно рис. 15.6,
W (z) = JV0 [6° + (6? - 2b°L) z + ^2], (15.22)
где
b^l—b^L+WL2.
520
Рис. 15.4. Расчетная схема для слу-
чая, когда свая прорезает два слоя
грунта — верхний набухающий и
нижний подстилающий ненабухаю-
щий
Рис. 15.6. Характер изменения верти-
кального перемещения грунта по по-
верхности сваи в двухслойном основа-
нии
Рис. 15.5. Расчетная схема для случая, когда свая проре-
зает два слоя грунта — верхний ненабухающий и нижний
подстилающий набухающий
Подставляя в последнее выражение z = L—Л, получим верти-
кальное перемещение набухающего слоя на контактной плоскости
между двумя слоями, равное UZ=U70.
15.5. Дифференциальное уравнение вертикально
загруженных одиночных свай
в глинистых набухающих грунтах
Для вывода дифференциального уравнения, описывающего из-
менения напряжения и перемещения в одиночных жестких сваях,
достаточно рассмотреть условия сжадия вертикально загруженно-
521
го бруса длиной L, имеющего цилиндрическую форму, с площадью
поперечного сечения F. Расположим начало координат на нижнем
конце сваи и направим положительную ось Oz по оси сваи вверх
(рис. 15.7).
Под действием внешней вертикальной силы Р каждое попереч-
сечение бруса получит вертикальное перемещение и (г), кото-
будет различно для разных сечений. Относительное растяже-
и сжатие (деформация) в каждом
ное
рое
кие
Рис. 15.7. Расчетная схема для вывода диффе-
ренциального уравнения вертикально загру-
женных свай
сечении бруса будет выра-
жаться величиной du/
/(dz), а соответственное
напряжение определится
с du
величиной о = Е-^~. где
Е — модуль упругости
материала бруса.
Сопротивление грунта
по боковой поверхности
бруса определится выра-
жением
<7(z) = G[IV(z)-u(z)J,
где G — модуль, харак-
теризующий сопротивле-
ние сдвигу грунта по
периметру бруса, кг/см3;
U/ (z) — изменение подъ-
ема грунта вокруг сваи
при набухании по глуби-
не.
Сопротивление бруса мы определяем в виде объемной силы,
приложенной к его материалу, причем величина ее, приходящаяся
на единицу объема, очевидно, будет равна aq(z)/F, где а — пери-
метр бруса. Для рассмотрения равновесия элементарного кубика
aq (г) г ,
мы должны ввести в уравнение силу у • Fdz или aq(z)dz, на-
правленную положительно.
Сила собственного веса бруса Qo на расстоянии z дает при-
рост этой силы для элементарного кубика, равный —^cF dz, где
7о — удельный вес материала сваи.
Для вывода дифференциального уравнения рассмотрим усло-
вия равновесия элементарного кубика, выделенного из бруса на
расстоянии z от нижнего его конца, высотой dz и площадью по-
перечного сечения F (см. рис. 15.7).
В двух поверхностях (нижней и верхней) возникают напряже-
но « ~
ния о и о +—-fa-dz, бесконечно мало отличающиеся друг от друга,
а следовательно, на кубик будет действовать сила, равная их
-522
разности
( dz'jF-aF+aq(z')dz + Qo — ycFdz—Qo = O.
Откуда после сокращения получим
F-^ dz-j-ag (z) dz — ycF dz = 0.
Подставляя выражение о и q(z) в последнее равенство, по-
лучим
EF J^L+aGlIV(z)_u(z)1_VcF==o. (15.23)
Последнее дифференциальное уравнение, описывающее изме-
нения напряжений и перемещений в одиночных жестких сваях,
несущих вертикальную осевую нагрузку в набухающих грунтах,
приводится в работах американского ученого Р. Л. Литтона.
Решение полученного дифференциального уравнения (15.23)
мы будем строить для первого случая инженерно-геологического
разреза оснований, когда мощность набухающего грунта больше,
чем длина сваи. В этом и в остальных двух ранее рассмотренных
случаях инженерно-геологического строения основания функция
W'(z), определяющая подъем набухающего грунта по боковой по-
верхности сваи в пределах длины сваи, является прерывной функ-
цией. Поэтому для интегрирования уравнения (15.23) вся длина
сваи должна быть разделена на две части (см. рис. 15.3). Первая
часть находится в пределах L—zc^z^L, где на сваю по боковой
поверхности оказывает влияние подъем грунта. Для этой части
сваи будет справедливо уравнение:
EF -Т1 + G,a 11V (z) - и, (z)) - ycF = 0. (15.24)
Нижняя, вторая часть сваи, в пределах участка O^Cz^cL—Zo сво-
бодна от влияния набухания грунта и поэтому уравнение задачи
будет иметь вид
££jq^_G2aU2(z)_VcF = o. (15.25)
В выражения вертикальных перемещений сечения сваи войдут по-
стоянные интегрирования, вдвое больше, чем число участков. Для
определения этих постоянных надо написать четыре уравнения.
Эти уравнения всегда можно составить, рассматривая условия на
двух торцевых сечениях сваи (при z = 0 и z=L), а также условия
в сечении раздела между первым и вторым участками, где пере-
мещения и относительные деформации каждого участка сваи в
силу неразрывности деформации должны быть равны.
523
15.6. Построение решения для первого
участка сваи
Уравнение (15.24) с учетом (15.19) после некоторых преобра-
зований приведем к виду
Afu.iz^S + Qz + I'zZ, (15.26)
где
Gia
~ЁЁ ’
G\d
у у Г тич-^ч-1^—
Б => =-£- AW [1-----------—
1.09626Р
^SW
/УЪ" Г SW
Q = — - 2b2L) = - A2W<
0,54813/*
DLPaw J ’
1,09626/*
DL4>aw
L 4
Общее решение неоднородного уравнения (15.26) состоит из
суммы частного решения этого уравнения tfi.o(z) и общего реше-
ния й1 (z) соответствующего однородного уравнения
d2ul (z)/(dz2)—Ailul (z) = 0. (15.27)
Общее решение однородного уравнения (15.27) будем искать в
виде
u1 (z) - С,е~А^ 4- С2еА*. (15.28)
Частное решение неоднородного уравнения (15.26) имеет вид
ЧЬ-4г22-2Чг <15-29>
Общий интеграл неоднородного уравнения (15.26) будет опре-
деляться суммой
u, (z) = й, (z) + u,. „ (z) = cte-А>‘ + С2еА>*—-z — z2 — 2 •
(15.30)
15.7. Построение решения для второго
участка сваи
Дифференциальное уравнение (15.25) можно представить в
виде
d2u2 (z)/(dz2)~A22u2 (z) = ус/Е, (15.31)
где
А 22 = 62а/ (EF); А=|С2а/ (EF).
524
Общее решение неоднородного уравнения (15.31) представля-
ем как сумму частного решения этого уравнения п2,о и общего
решения u2(z) соответствующего однородного уравнения:
d2u2 (z)/(dz2)—A22u2 (z) = 0. (15.32)
Общее решение последнего уравнения по-прежнему ищем в
виде
й2 (z) = С3е~А* + СкеА*. (15.33)
Частное решение неоднородного уравнения (15.31) принимаем
в виде
u2,oW=-TcW). (15.34)
Общий интеграл неоднородного уравнения (15.31) примет вид
«2 (z) = и2 (z) 4- U2t 0 (z) = С3е~A«z -h C4eA«z — ус/(А22Е). (15.35)
15.8. Определение постоянных интегрирования
Для определения четырех постоянных интегрирования имеем
следующие четыре условия.
1. На верхнем сечении сваи относительная деформация опре-
делится выражением
dui (z) I _ —Р
dz |z -L EF *
Используя решение (15.30), будем иметь
dui I _______г A e~AtL 4-С A eA*L_-___2 1 / — Р
dz |z=L -j-C2Aie A2 1 a\* FE •
Откуда
C‘ = T^(a-A‘eA,L-^- + (15.36)
2. Для нижнего сечения свай можно составить условие:
du2 (z) I __Д
dz |z=o E ’
где R — сопротивление грунта под концом сваи, принимаемое по
таблицам СНиПа, в зависимости от глубины забивки, вида и со-
стояния грунта. Значение R можно определить также по формуле
Г. П. Таланова — П. П. Лычева:
Л = 1’1482^Г- <15-37)
Используя решение (15.35), будем иметь
I = _ 4 с + с 4, = .
dz |г=0 2 3 14- Е
525
Откуда
= + (15.38)
3. На границе двух участков вертикальные перемещения сече-
ний сваи будут равны:
М1 (z) lz=L-z, = U2 lz=L-z0*
Используя решения (15.30) и (15.35), получим уравнение
С|е-л.а-х.> + СгеА^-"> _ (L _ Zo) - -L (L _ Zo)2 _ 2 X=
= C3e-AAi--t.> + .
Подставляя найденные значения постоянных С( и С4 для оп-
ределения С2 и Сз, будем иметь уравнение
-Т- (C*A>‘A'L-%-%L + -nr) ^-(£-2о)-
(15.39)
где
4. На границе двух участков относительные перемещения так-
же будут равны:
dui (z) I ____ dut(z) I
dz |z=L-ze dz |z=L-z0*
Используя выражения (15.30) и (15.35), получим уравнение
- С.Л.е-'1-'1-'-» +C2AieA.u--v _2 X (£,_z») =
= - C3A2eA^-z0} + ckA2eA^L~^.
Подставляя найденные значения постоянных Ci и С4, получим
уравнение, содержащее неизвестные постоянные С2 и С3:
- Y, (сгА,е^-^—2+ +С2Л^.«-.)-Х_
-2^(L-z0)= -С3А,е-А^-.:.)+ел,(ь-.-.> (лгСэ+4) . (15.40)
526
Решая совместно уравнения (15.39) и (15.40), определяем по-
стоянные С2 и С3. Для этого из уравнения (15.39) находим С2:
+ 2 -I- L + 2 (L -20) + 2АгС3 sh Аг (L - z0) + £ . (15.41)
Подставляя последнее выражение в (15.40) и решая получен-
ное при этом уравнение относительно С3, получим выражение
Сз Г. *2 ch Л2 (L —z0) —|/t2 sh Л2 (£ —z„)| <J2 {^г [ “ (л» + 2 Л»" — 7Ё )
+^+2^-<£-zo)+4eA-<I-2-,]+i-(-^-2^-L+^)-
ZJ~ Xf zo)2~2 A{ £^7 eA,<t‘X’> +2^»} ’
(15.42)
„ w Y1eA'L+eA-(L-J»>
Определив из последнего уравнения С3, подставив его в урав-
нение (15.41), находим С2. Постоянные Ci и С4 определяются
выражениями (15.36) и (15.38) с помощью найденных значений
С2 и С3. Зная постоянные G и С2, по выражению (15.30) опре-
деляем перемещения первой части сваи в пределах L—z0^z^zL.
Перемещения второй части сваи, находящейся в пределах
O^z^L—z0, определяются решением (15.35) с помощью найден-
ных значений постоянных С3 и С4.
15.9. Свая в неоднородной грунтовой среде
Выше было получено решение для работы вертикально загру-
женных свай в однородном набухающем грунте. Расчетная схема
этой задачи показана на рис. 15.3 и названа случаем 1. Случай 2
и случай 3 относятся к более общим и часто встречаемым в строи-
тельной практике инженерно-геологическим строениям основания.
Рассмотрим эти случаи в отдельности.
Случай 2. Свая прорезает два слоя грунта — верхний набу-
хающий толщиной Hsw и нижний ненабухающий толщиной h (см.
рис. 15.4). Для составления дифференциального уравнения дефор-
мации сваи, так же как и в случае 1, сваю разбивают на две ча-
сти— (L—zo)^z^L и O^z^L—Zo и для каждого участка со-
ставляют уравнение задачи. Решение для первого верхнего участка
будет полностью совпадать с полученным для случая 1 решением
(15.30). Для второго нижнего участка решение будет иметь вид
527
(15.35), только с разницей значения постоянного aG2. Здесь сле-
дует в (15.35) принять
<"G2=4(G;+Gr)fl, (15.43)
где aGz0 — среднее значение интенсивности сил трения на боко-
вой поверхности сваи в набухающем слое, находящемся на ниж-
ней границе зоны набухания в пределах участка от h до L—л0;
zjG200 — среднее значение интенсивности сил трения второго не-
набухающего слоя грунта по боковой поверхности свай.
Случай 3. Свая прорезает два слоя грунта. Мощность первого
верхнего ненабухающего слоя Л, а нижнего (второго) набухаю-
щего слоя Hsw (см. рис. 15.6). В этом случае сваю разбивают на
три участка и для каждого участка составляют дифференциальное
уравнение деформации.
Для первого участка, находящегося в пределах L—h^.z^.L,
уравнение задачи имеет вид
EF+ G°a (W'o-«I (*)) - FVo = 0. (15.44)
Для второго участка, находящегося в пределах L—(й + г0)^
^z^L—Л,
EF +G°2a <*) - "г U)1 = 0- (15.45)
Для третьего участка, находящегося в пределах 0<z^L—
— (Л + zo),
d^L_G»aU3(z)_FYc = o. (15.46)
Построим решение составленных для каждого участка сваи
дифференциальных уравнений.
Уравнение (15.44) представим в виде
(Put (z)/(dz^) - AG, Uh (2) = тс/£- Aj, 11Го- (15.47)
где
45. (= G?a/EE; 40., = /G»a/(EE).
Общий интеграл неоднородного уравнения (15.47) имеет вид
u, (2) = С.е-4»- + С2ел«- + И’о—. (15.48)
Уравнение (15.45) с учетом (15.22) после некоторых преобра-
зований приводится к виду
<Pu2 (z)/(dz2) - 4S. -,иг (z) = Ь’о + QjZ 4- roz2, (15.49)
528
где
Ло, 2=G°a/(EF); Ло, 2 = V G°a/(EF)-
Яо = ^-Д2^=^_
= -4.2^
, ь ' 1.09626Р -1
Т( + «)+ 2Л, 0.54813Р
1------------------£+dZ^7J:
«о =-^0.2^0(61-26^) =
0.09626Р 1
Т<1+ «) + р£» 1.09626Р I
P.w - То* DL* (P,w-у„К) J ’
Г л2 и/Ло 42И'.-0,54813Р
Г„ = - Л0, 2^2 = - -£>£»(Р,Ш_Т(,Л) •
Общий интеграл неоднородного уравнения (15.49):
u2(z) = C3e Ао.^+С4еАо.И__§!_
л0, 2
-9-0 2 — Г° Z2 — 2 Г°
Л2 2 A2 Z 2 А4 *
О, 2 л0, 2 А0,2
(15.50)
Дифференциальное уравнение (15.46) представляем в виде
d2u3 (z)/(dz2) - А\и3 (z) = Vc/E, (15.51)
где 4; = G3a/(£F); Л3= VG3a!(EF).
Общий интеграл неоднородного уравнения (15.51):
и3 (z) = С5е-** + Све^-ус/(ЕА1). (15.52)
В результате интегрирования трех дифференциальных уравне-
ний второго порядка мы получили шесть произвольных постоян-
ных, значения которых подлежат определению из следующих
краевых условий:
1. На верхнем торцевом сечении сваи имеем условие:
dU1 (z) | ___Р_
dz lz=L~ EF •
Используя решение (15.48), получим
^«|1_ь=_С,Л,1е-А..1ь+С^.)еА..*Ь.
Тогда будем иметь
- ga,. ,е-А». i£+с2Д>. Z»',г+тё=°- <15-53’
2. На границе первого и второго участков из условия нераз-
рывности перемещений сваи можно составить условие
Ui (£) 1х=£-Л = и2 (z) lz=*L-h-
529
Используя полученные решения (15.48) и (15.50), из послед-
него равенства относительно искомых постоянных, получим урав-
нение
С<л». + С2ело. _ CieA°- *(L~h>+ Wo-
“772-------------^(L-h)+-g-(L-hy + 2-b- = 0. (15.54)
^Л0, 1 Я0, 2 Я2,0 А2,0 Л0, 2
3. На границе первого и второго участков сваи относительные
деформации равны:
dUi (z) I ___ du2 (z) I
dz |z=L-h dz |z=L-h *
Дифференцируя решение (15.48) и (15.50) no z, из последнего
равенства получим уравнение
- СИо. < *<b-h)+С2А„, ,ел«. »<ь-«+С,Д0.2е- л». -
- С4Л0, 2ель »«-*> + -5s-2 -J*- (L _ h)=0. (15.55)
Л0,1 Ag2
4. На границе второго и третьего участков сваи перемещения
равны:
и2 (z) lz=L-(h+z0) = и3 (z) lz=L-(A+z0)*
Используя полученные для второго (15.50) и третьего (15.52)
участков решения, из последнего равенства относительно искомых
постоянных получим уравнение
С3е~ Ло. 21Ь-(Л+г0)] + С4<И0> a[L-(h+z0)] _ с^е~ A3[L-(A+z) _ ^[L-^+z)] _
^|£-(fc+2e)I-^-[£-(fc+z)I2-2 * * 5 6l^+lF=0-
(J, 2 2,0 Л2,0 0,2 ^ 3
(15.56)
5. На границе второго и третьего участков сваи относительные
деформации равны
duz (z) I __ du3 (z) I
dz lz=L-(/i+z0) dz |z=L—(h+zc) ’
- С3Л0.2е-ло. + С4Д0> 2A. + C543e-Aa[I-<h+zo’l _
-C,X3ex»lL-<',+zo>J--2-b- [£-(/i+zo)) = O. (15.57)
Л0,2 Л0,2
6. Для нижнего свободного сечения сваи можно составить
условие
^3(z) I
dz |z=0 Е
530
Используя решение (15.52), из последнего условия получим
уравнение
С5Л3 - СвЛ3 + RIE = 0. (15.58)
Таким образом имеем шесть уравнений [(15.53).. .(15.58)], со-
держащих шесть неизвестных постоянных интегрирования. Решая
эту систему, можно определить значение всех постоянных интег-
рирования. Далее, подставляя постоянные Ci и С2 в (15.48), по-
лучаем формулу для определения перемещения в первом участке
сваи, находящемся в пределах L—h^Zz^zh. С помощью постоян-
ных Сэ и С4 по формуле (15.50) определяем перемещения на
втором участке сваи, находящемся в пределах L—(h+z0) ^Zz^Z
^zL—h. Постоянные Сб и Св позволяют по формуле (15.52) опре-
делить перемещения на третьем участке сваи, находящемся в
пределах O^z^L—(h+z0).
15.10. Предельная нагрузка на сваю
Как известно, сопротивление сваи вертикальной нагрузке оп;
ределяется как наименьшая из величин, вычисляемых по условию
прочности материала сваи и по условию прочности грунта, удер-
живающего сваю. По условию прочности материала свая рассчи-
тывается на осевое вертикальное усилие как центрально-сжатый
стержень. Имея полученные выше решения, можно определить
предельную сжимающую силу из условия предельно допускаемой
осадки сваи.
u2(z)U^-5dp, (15.59)
где u2(z) |г=о — вертикальное перемещение сваи в плоскости его
острия; Sup — предельно допускаемая осадка свайного фунда-
мента.
Используя решение (15.35), получим
u2(z) L=o = C3 + C4-Vc/(AIK). (15.60)
Подставляя здесь значение постоянного С4 из (15.38), будем
иметь
и2 (2) |г=0 = 2СЭ + 4-^, (15.61)
где С3 — определяют из выражения (15.42). С учетом последнего
выражения, неравенство (15.59) примет вид
2С3 4- RIE -Тс/(А22Е)< -5пр. (15.62)
Подставляя в последнем выражении значение С3 из (15.42),
получим неравенство для определения предельного значения при-
ложенной к свае внешней нагрузки, при котором осадка его не
531
превышает предельно допустимого значения:
ch Л2 (Z - z„)-[ Л2 sh Л2 (Л - х,)] Та Х
х{^[-% (-° -2^£_^)+^.+ 2^(£-2о) + *И.«-«.>]+
-2^~A-^<t-i-,+A}+4-A^-5-
Определение из неравенства (15.63) непосредственно значения
Р связано с большими математическими трудностями, так как
искомая величина содержится также в выражениях zOt й, Г и Б.
Поэтому неравенство (15.63) удобно решить последовательным
приближением. Для этого вначале в качестве первого грубого
приближения задаемся произвольным значением Р и проверяем
удовлетворение неравенства (15.63) при этом значении Я Обе
части неравенства должны отличаться между собой несуществен-
но. Во втором и третьем приближениях, как. правило, достигается
необходимый результат.
15.11. Определение напряжений по длине сваи
Перемещение одиночных жестких свай в глинистых набухаю-
щих грунтах позволяет определить распределение сжимающих
напряжений по длине сваи. Нормальное напряжение в поперечных
сечениях сваи, согласно закону Гука, определится выражением
a(z) = £cec = £^-..
Для первой части сваи, находящейся в пределах L—z0^z^L,
используя решение (15.30), можно составить выражение:
4-a1(z) = ^-= 2^-z. (15.64)
Для определения положения сечения, в котором нормальное
напряжение достигнет экстремального значения, следует решить
уравнение относительно z:
= A\Cte~^ + А\Сге^ -2^ = 0. (15.65)
Максимальное значение нормального напряжения на первом
участке сваи составит
a., max = Е Г - A£ie-^+А2Сге^-- 2 i z].
532
В пределах второго участка (O^z^L—z0) сваи нормальное
напряжение будет равно
а2 (2) = Е^- = [-AiC!fi-A*+ A2CteA^] Е. (15.66)
Экстремальное значение этого напряжения достигается на глу-
бине z, определяемое из уравнения
С3е~А* + С3еА* = 0. (15.67)
Решая последнее уравнение относительно z, получим
Подставляя в уравнение (15.66) z=z, получим экстремальное
значение нормального напряжения на втором участке сваи:
^2, max = АъЕ №зе A,z C\eA*z].
Прочность сваи будет обеспечена в том случае, если найденные
максимальные нормальные напряжения окажутся меньше, чем
предельное сопротивление материала сваи:
^тах^^пр* (15.68)
15.12. Определение положения нейтральной
точки
Набухание грунта сопровождается развитием сил выпора, стре-
мящихся поднять сваю. Если силы выпора превышают силы, пре-
пятствующие этому, происходит подъем
сваи. Величина подъема зависит от вер-
тикальной нагрузки на сваю и снижает-
ся с ее повышением.
При набухании грунта по длине свай
образуются две зоны с разными направ-
лениями касательных сил: активная зо-
на, где подъем грунта W(z) больше, чем
подъем сваи u(z); зона торможения, где
подъем грунта W (z) меньше, чем подъ-
ем сваи u(z).
Нейтральная точка перемещается по
высоте сваи и изменяет соотношение
между активной зоной и зоной торможе-
ния. В нейтральной точке достигается
равенство W(z) =u(z). Ниже этой точки
формируется зона торможения, где каса-
Рис. 15.8. Графический спо-
соб определения положения
нейтральной точки
533
тельные силы по поверхности сваи препятствуют его подъему. На
верхнем участке сваи действуют напряжения, которые могут пре-
вышать давление набухания.
Рассмотрим условие определения положения нейтральной точ-
ки для первого приведенного выше случая расположения набуха-
ющего слоя грунта вокруг сваи (15.3). Для определения положе-
ния нейтральной точки в этом случае следует найти точку пере-
сечения графиков двух функций u(z) и W(z), определяющих
изменение подъема грунта W(z) [(по формуле (15.19)] и верти-
кальных перемещений сечений ствола сваи на первом (верхнем)
его участке U\(z) [(формула (15.30), рис. 15.8]. Приравнивая
функции (15.19) и (15.30), получим уравнение
- [ Wo (b - 2b2L) + £] 2ней1 - ( ТУ„Ь2 - ) 4ейт +
+ С,е-А^т + С2ел^ = Wab3 + ^-+^- • (15.69)
Решая полученное уравнение (15.69) относительно гнейт, най-
дем положение нейтральной точки.
15.13. Определение силы выпора
Согласно экспериментальным исследованиям Е. А. Сорочана,
силы выпора, возникающие вокруг сваи, зависят от свойств грун-
та и его длины; с увеличением длины сваи возрастают суммарные
и касательные силы выпора; максимальные касательные силы
выпора составляют для свай длиной более 1,5 м 0,86...0,99 сум-
марных сил выпора, а минимальные — 0,75...0,98; с увеличени-
ем длины свай преобладающими являются касательные силы,
а нормальные силы практически не влияют на работу свай.
Сила выпора действует в зоне, где перемещение грунта боль-
ше, чем перемещение свай (в пределах зоны), находящейся выше
нейтральной точки). Выражение для определения этой силы мож-
но представить в виде
T — G^a $ [W(z)-Ui(z)}dz. (15.70)
2нейт
Подставляя в (15.70) выражения функции W(z) [формула
(15.19)]: и ui(z) [формула (15.30)], произведя интегрирование,
после необходимых преобразований для определения силы выпора
получим
Т=Gta [ (1У063++ 2 ) (L - zHeBT +1 [ wo (b, - 2b2L) + -g-] X
X (12-4ейт) +у (62 + ^г) (Ь’-^ейт) + ^-(е-Л-£—еА,1«»йт)-
(15.71)
534
15.14. Решение численных примеров
по рекомендуемым формулам
Ц Пример 15.1. Пусть требуется определить мощность зоны набухания вокруг
круглой железобетонной сваи при 1=10 м, гс=15 см. Здание имеет размеры
в плане 24X48 м. Вертикальная нагрузка на сваю 350 кН. Свая прорезает одно-
родную толщу набухающей глины толщиной 15 м. Удельный вес набухающего
грунта 7=21 кН/м3. Давление набухания по лабораторным данным Psw=
=0,20 МПа.
В процессе эксплуатации возможно увлажнение грунта водой в пределах
всего здания. Отношение сторон замачиваемой площади Lw/Bw=48/24=2, а зна-
чение коэффициента kg в пределах всей длины сваи (O^z^lO м), согласно
СНиП 2.02.01—83, равно нулю, так как при z=10, z/Bw=l0/24=0,417< 0,5.
Для определения нижней границы зоны набухания по формуле (15.11) пред-
варительно вычисляем значения коэффициентов и а2:
л _2-3,14-0,30.10».21 м.
1------3-1,148-350 1-2-10 - 52,83895 м,
в’=г^тпй^’°-20-10’=312’752
Тогда по формуле (15.12) будем иметь
z„ = z1,s-52-8389 ± у (52,8389)* - 4-312,752.
Из последнего выражения находим
z0 = z12= 26,4195 ± 19,6274.
Нижняя граница зоны набухания будет равна
zo = 6,7921 ~ 6,80 м.
На рис. 15.9. искомая граница определена графическим способом. Для этой
цели построена эпюра напряжений от действия собственного веса грунта и вер-
тикальной нагрузки, действующей на сваю, а также суммарная результирующая
эпюра. Проводя параллельно оси сваи вертикальную линию давления набуха-
ния, находим точку пересечения результирующей эпюры с этой линией. Эта точ-
ка получается на глубине zo=6,80 м.
Пример 15.2. Для одиночной сваи, рассмотренной в предыдущем примере,
требуется определить величину подъема грунта вокруг свай в результате за-
мачивания всей толщи набухающих грунтов основания. Согласно лабораторным
испытаниям, свободное набухание установлено равным ®о=9%.
(15.16).
Прини-
Подъем поверхности грунта вокруг сваи определяем .по формуле
Предварительно по формуле (15.15) вычисляем коэффициенты bi и Ь2.
мая kg=0, получим:
ь 2,1-10-»
61 =--------
3-1,148.35000
2,00 "И 3,14-10-1000».2,0 -1*6895*10"3 см”1;
3 1,148.35000
2.3,14 30-1000».2,0 - 3’1974*10" см" •
По формуле (15.16) будем иметь:
Ж.=0.09-680- 1.в8854<Ь».0,09 3.1974-10^-Q^
z 3
см.
2
535
Рис. 15.9. Определение положения
нейтральной точки графическим
способом (к примеру 15.1)
Рис. 15.10. Эпюра изменения
вертикального перемещения
грунта по глубине (к приме-
ру 15.2)
Изменения вертикального перемещения грунта на контактной поверхности
сваи определяем по формуле (15.18). Принимая kg=0, получим:
W (z) = 29,06 (1 — 1,6895 • 10-3z+ 3,19742• l(Hz«).
Согласно последнему выражению, на рис. 15.10 построена эпюра изменения
вертикального перемещения грунта по глубине.
И Пример 15.3. Для одиночной сваи, рассмотренной в .примере 15.1, требуется
построить эпюры изменения вертикальных перемещений и нормальных напря-
жений. Известны следующие данные: подъем поверхности грунта вокруг сваи
и^о=60, см; мощность набухающего слоя /7SW=15 м, средняя 'интенсивность си-
лы трения на боковой поверхности нижней части сваи G2a=0,03 МПа, значение
коэффициента G^l.6 кг/см3= 1.6Х104 кН/м3, удельный вес материала сваи
Тс=25 кН/м3. Модуль упругости материала сваи £=14хЮ3 МПа.
Рассматриваемый пример относится к расчетной схеме для случая 1
(HSw>L). Это значит, что уравнение перемещения сваи разделяется на два
уравнения: первое уравнение дает решение в пределах зоны набухания
(3,20 m^z^IO м). Описывается это перемещение формулой (15.30). Второе
уравнение определяет изменение перемещения сваи в пределах нижней его части
(0^z^3,20 м) и описывается формулой (15.35).
Чтобы определить постоянные в формулах (15.30) и (15.35) предварительно
определяем следующие (параметры:
»?= ^l'534'10- см~2"» ><1=1.2344.10-= си-*;
3,032‘10~* СМ’2; Х==5'506.10-» см-*;
536
= 1,6895-10-3 см-1;
*2=
2 1 КГ3 ! 3-1,148^500
z.i ф 344.30.10002
2,0
3-1,148-3500
2-3,14-30-10003-2,0 - 3’200*10" см"1!
&з=1 — 1,6895 -10-3-10004- 3,200 -10"’ -1000» = — 0,36974;
Б = ПИТ-1 ’534'10-8 ’6’° < - 0,36974) = 3,400.1О-® см-1;
Й = — 1,534 - 10-е. 6,0 (1,6895 - IO"3 - 2 - 3<2о-10-’-1000) = - 96 -10-« см"«;
Г = —1,534-10-в-6,0-3,20-10"’= —2,9234-10-12 см“2;
е1,2344-10-3-1000
1,2344-10-3 (1000—680) = 2’3150;
2,315в1,2344. IO"8- 10004 е1,2344-10-3(1000-680)
цг __ ___________________. _
2 1,2344-10-3 (—2,315е1,2344’10"3’ 1000_|_е1,2344- Ю-з(Ю00-680)) “
= —1181,772 см.
Давление под торцом сваи определяем по формуле (15.37)
Л°1’Ш-2.3,и-^.10> °0’64 «г/<=“’=0.«* МПа.
Значение постоянного С3 определяем по формуле (15.42):
_ 8-17064 , nQ
Сз 2-1,001302 4,08
Значение постоянных С2, С4 и С» определяем соответственно по формулам
(15.41), (15.38) и (15.36): С2=-2,10 см; С4=4,16 мм; С,=4,41 см.
Подставляя найденные значения G и С2 в формулу (15.30), получим функ-
цию вертикального перемещения сваи в пределах 3,20 m^z^IO м.
u, (z) = 4,41e-1,2344'10-32 —2,10е1,2344'10”3г4~
4- 6,3 - 10-3z4-1,920 • 10“ez2 4- 0,2878. (15.72)
Подставляя постоянные С3 и С< в формулу (15.35), получим функцию вер-
тикального перемещения сваи в пределах 0^z^3,20 м.
Uj(z) = 4,08e-6'50el0‘bz+4,16e5>506 10‘6z-5,89. (15.73)
На рис. 15.11 по найденным функциям (15.72) и (15.73) построена эпюра
вертикальных перемещений сваи.
Напряжение по длине первой части сваи, находящейся в пределах 3,20
s^z^lO м, определится формулой:
о -£ — 5,445-10“3е_ 1,2344 ‘1О-Зг — 2,592-10-Зе1,2344 ’ 10"3z 4-
dz
4-3,837-10“ez-|-6,3-10-з) 14,0-Ю3. (15.74>
Напряжение для второй части сваи, находящейся в пределах 0^z^3,20 м,
определяем по формуле
о = Е -dUt-Q- = (— 2,246 - 10“4е“ 5*506 •10-62 Д- 2,292.10"4е5•5 06 ’ 1 °"6z) 14 • 103.
dt
(15.75)
537
Рис. 15.11. Эпюра верти-
кального перемещения се-
чений свай по глубине (к
примеру 15.3)
Рис. 15.12. Эпюра нормальных напряжений
в поперечных сечениях свай i(k приме-
ру 15.3)
На рис. 15.12 по формулам (15.74) и i(15.75) построена эпюра нормальных
напряжений по -длине сваи.
В Пример 15.4. Для одиночной сваи, рассмотренной в примерах 15.1 и 15.3,
требуется определить положение нейтральной точки и силу выпора грунта,
действующую на сваю.
Для определения положения нейтральной точки предварительно вычисляем
значения параметров, подставляя данные в формулу (15.69). После некоторых
преобразований получим
— l,609-10-ez+6-10-13z2+4,41e~1’2344 10-3z — 2,10?’2344 ’ 10"3х = —2,5.
Решая последнее уравнение относительно 2, находим
хНейт = 625 см = 6,25 м.
Полученный результат показывает, что в рассматриваемом случае верти-
кальное перемещение свай равно вертикальным перемещениям грунта во-
круг нее.
Силу выпора грунта вычисляем по формуле (15.71):
Г = 94,248-1,6 2,50625(1000 — 625)-1,609-IO-® [ 100°8~6252 J_|_
t а 4Л-13 Г 10003 —6253 1 , 4-410 /л-1,2344-Ю'З-1000
+ 1U L 3 1,2344-10-3 (
„-1,2344.10-3.625> , 2»10 z .1.2344-10—3-1000 1,2 3 44 • 10“3-625ч\__
)+ 1,2344-1(Р-(С J
= 92553,014 кг=925,53 кН.
Щ Пример 15.5. Пусть требуется определить предельную сжимающую силу для
одиночной железобетонной сваи размерами: £=10 м; гс=15 см. Модуль упруго-
сти материала сваи £=14Х103 МПа, удельный вес материала сваи ус =
=25 кН/м3. Здание имеет размеры в плане 24X48 м. Основанием сваи служат
набухающие грунты толщиной 15 м. Удельный вес набухающего грунта f =
=21 кН/м3. Давление набухания по лабораторным данным Psw=Q,2Q МПа.
538
Высота зоны набухания, как было установлено при этих данных в примере 15.1,
zo=6,80 м, значение модуля Gi=l,6X104 кН/м3; среднее значение интенсивности
сил трения на боковой поверхности сваи ниже зоны набухания aG2=0,030 МПа.
Подъем поверхности вокруг сваи И7о=6,00 см. Допускаемая осадка сваи Snp=
=7,00 см.
В процессе эксплуатации возможно увлажнение грунта в пределах всего
здания. Отношение сторон замачиваемой площади Lw/Bw=48/24=2, а значение
коэффициента kg в пределах всей длины сваи (O^z^lO м), согласно
СНиП 2.02.01—83, равно нулю, так как при z=10, z/Bw= 10/24=0,417< 0,5.
Предельную сжимающую силу определяем по формуле (15.63). Предвари-
тельно вычисляем значения параметров, входящих в эту формулу. Значение
предельной нагрузки определяем по неравенству (15.63) методом последова-
тельных приближений. В первом приближении принимаем Р=1000 кН.
4 RO.QA 9АЯ
Л«= Л см"2'’ Л = 1,2344.10-3 см-i;
14’1и*-70о,оЭо
О 40
Л« = ЛП^^858’ = 3’0315'1°"в СМ"2; А*=5’506-10-6 см“1'»
2,1-IO"3 4-
3-1,148’100 000
3,14-30’10003
2,0
= 2,8771-10-3 см-i;
—
3-1,148’100000
2 • 3,14 • 30-1000-32,0
= 9,1355-10-’ см-i;
Ь3 = 1 — 2,8771 • IO-3. ЮОО+9,1355 • 10"’. 10002 = _ 0,96355;
2 5.10-3
Б = - J/ X-----1,534’10-».6,0 (—0,96355) = 8,827• 10"» см"1;
14-10*
Q= —1,534’10-»’6,0(2,8771.10-3 —2-9,135.10-’’1000)= —9,60-IO-» см"2;
Г= —1,534’10-».6,0-9,1355-10-’= —8,352-10-12 см"2;
е1,2344-10-3.1000
1,2344-10-3 (ЮОО-680) = 2’3150’
2-315е1,2344’ 10”3‘1000 | е1,2344 • 10'3(1000-680)
^2= 1,2344’10-3 (_ 2,315е1,2344‘1о"3' Ю00_|_ е1,2344 • 10-3(1000-680)^ =
= —1181,756 см-1.
Подставляя полученные данные в выражение (15.63), получим S=—0,188<
<—Snp. Это означает, что под действием нагрузки на сваю, равной 1000 кН,
расчетная осадка меньше, чем допускаемая. Во втором приближении принимаем
Р=1500 кН. Это значение приводит неравенство (15.63) к виду S=—2,488<
<—Snp. В третьем приближении принимаем Р=2400 кН; согласно (15.63) полу-
чим удовлетворяющее нас неравенство S=—6,735<—7,0. Согласно полученному
в третьем приближении результату, предельную нагрузку принимаем 2400 кН.
15.15. Продольно-поперечный изгиб одиночных
гибких свай в набухающих грунтах
Вопросы расчета одиночных гибких свай на воздействие про-
дольных и поперечных сил в обычных структурно-устойчивых
грунтах рассмотрены во многих литературных источниках, а в на-
бухающих грунтах эта в значительной мере сложная задача в на-
539
Рис. 15.13. Расчетная схема гибких свай
в набухающих грунтах:
1 — подошва набухающего слоя грунта
стоящей книге ставится впервые. Ниже дается математическая
формулировка этой задачи в наиболее общей постановке и мето-
дика построения ее решения.
Рассмотрим случай, когда одиночная гибкая висячая свая с
постоянной по высоте жесткостью на уровне поверхности набуха-
ющего глинистого грунта подвергается воздействию продольной
Ро, горизонтальной Qo сил и сосредоточенного момента Мо
(рис. 15.13). Мощность набухающего грунта больше длины рас-
сматриваемой сваи. При
увлажнении грунта вокруг
сваи появляются две гори-
зонтально расположенные
зоны: зона набухания, рас-
положенная в пределах
слоя и зона нена-
бухающего слоя грунта,
расположенная ниже глу-
бины z0. Начиная с глуби-
ны z0, давление в грунте
меньше «порога набухания»
и поэтому деформация на-
бухания проявляется в пре-
делах слоя 0^x^zo. Рас-
стояние Zo определяется по
формуле (15.12). В преде-
лах этого слоя на сваю дей-
ствует переменная по глу-
бине продольная сила набу-
хания, которая без учета
вертикального перемещения
сваи может быть представ-
лена в виде
?®=^(0, (15.76)
где а — периметр сваи.
Используя принятый выше закон изменения подъема грунта
вокруг сваи (15.18), формулу (15.76) можно представить в виде
(15.77)
Кроме силы набухания на сваю действует горизонтальный от-
пор грунта, изменяющийся по глубине, согласно модели Винклера,
пропорционально горизонтальным перемещениям сваи:
Р (х) = к(х)у (х). (15.78)
Перемещенный по глубине коэффициент жесткости грунтового ос-
нования k(x) зависит от многих факторов, и поэтому представить
эту функцию в общем виде для всех встречающихся в практике
540
случаев расчета пока еще не представляется возможным. В лите-
ратуре встречаются различные предложения по данному вопросу.
Так, в рекомендациях по расчету фундаментов глубокого заложе-
ния — опор мостов ЦНИИС рекомендует использовать формулу
к (х) = iribx,
где т — коэффициент, зависящий от свойства грунта, т/м4. В ра-
боте И. В. Урбана коэффициент постели принимается нарастаю-
щим с глубиной по линейному закону
к (х) = khxlh,
где kh — коэффициент постели в горизонтальном направлении на
глубине h. Линейный закон изменения для k(x) принимается так-
же в работах К. Хаяси, М. И. Архангельского и М. Г. Мамед-
алиева, А. Н. Снитко и др. Исходя из опытных данных, на участ-
ке сваи от поверхности грунта до первой нулевой точки В. В. Ми-
ронов рекомендует принять
к (х) => к0 (x/h0)n; (п < 1),
где k0 — коэффициент постели на глубине Ло, определяющий по-
ложение первой нулевой точки; п — экспериментально определяе-
мый коэффициент, характеризующий степень развития в грунте
пластических деформаций.
На основании опытных данных Риффат (1935) рекомендует
принимать
k(x) = kh(l — e~&x),
где 0 — опытно определяемый коэффициент (0 = 0,02). Таким об-
разом, согласно принятой расчетной схеме (рис. 15.13), расчет
рассматриваемой сваи статически тождествен расчету балки, сво-
бодно лежащей на сплошном упругом основании переменной со-
противляемости, находящейся под действием приложенных на
одном из ее концов поперечной нагрузки Qo, момента Мо и про-
дольной силы Ро.
Изгибающий момент в произвольном сечении сваи, согласно
рис. 15.13,
х
М (х) = Мо + <2оХ + Р„ [ у0 - у (х) ] - J Р © (х - 5) -
о
X
-J
о
Перерезывающая сила будет иметь вид
<2 (*> = т = <?« - ро $ Р (0 J 9 © М (0 - У (Х)14} •
о о
541
Раскроем выражение
g©iw-y(*)]3=g(*)n(0--j lq®d$^-y(x)q(x).
° о
Согласно рис. 15.13, имеем ц(| = х)=£/(л) и поэтому оконча-
тельно получим
17 { 5 <7©[П©-!/(х))<£=_С lg©<©^_
о о
С учетом последнего равенства выражение перерезывающей
силы примет вид
Q (х)=<2о - Р^~ j Р © + ( [9 © <© d-^.
О о
Интенсивность нагрузки от грунта по боковой поверхности
равна
О
где P(x)=k(x)y(x).
Используя известное выражение
Е1^-^р(х),
можно получить дифференциальное уравнение рассматриваемой
задачи:
Е/ Р» - к & У <*> +£ { U ® -^} • (15.79)
о
Используя (15.77), введем обозначения
F0 (*) = £ $ <7 © ^ = 9 (*) = aGW« (* ~ М + V2);
О
Фо (х) = $ q © = $ aGTV0 (1 - ь,£ W2) =
О о
= aGW,, (х - у Ь,х2 + у fe2i3) .
Для функции k(x)t следуя И. В. Урбану, К. Хаяси, А. Н. Снит-
ко, К. С. Завриеву, А. Я. Серебро, О. В. Каменскому, Л. К. Гинз-
542
бургу и другим, примем линейный закон изменения
к (х) — kbxlL.
Тогда уравнение (15.79) примет вид
EI Р.- Фо - ^0 (*) + к(х)у (X) = 0. (15.80)
В уравнении (15.80) влияние набухания грунта на изгиб сваи
отражается с помощью функций ф0(х) и F0(x). Если в (15.80)
принять фо(х) =Го(х) =0, то мы получим известное уравнение
продольно-поперечного изгиба сваи в обычных ненабухающих
грунтах. Уравнение рассматриваемой задачи (15.80) имеет чрезвы-
чайно сложный вид, так как содержит переменные коэффициенты
Фо(х), Fq(x) и Jfe(x), поэтому интегрирование его в квадратурах
невозможно. Общее решение
этого уравнения не получает-
ся выраженным через элемен-
тарные функции и поэтому его
решение возможно построить
лишь приближенными метода-
ми (разложение решения в
степенные ряды, вариацион-
ные методы Лагранжа — Рит-
ца, Бубнова — Галеркина, чис-
ленные методы Адамса, Штер-
мера, Рунге—Кутта и др.).
Решение полученного уравне-
ния мы будем строить разра-
ботанным нами и широко при-
мененным выше методом по-
следовательных приближений.
Для сформулирования рас-
сматриваемой задачи напи-
шем краевые условия, кото-
рые должны удовлетворить ис-
комое решение. Для свобод-
ных верхних и нижних концов
сваи имеем условия:
у(О)=уо; у'(0)=в»;
£ZJf(0) = Mo; Ely" (O) = Q0-,
EIy"(L) = EW(E)-^- (15.81)
Рис. 15.14. Расчетная схема свай по
методу «расчленения»:
/ — подошва набухающего слоя грунта
Как видно из принятой расчетной схемы (рис. 15.14), давление
набухания приложено к свае как прерывная нагрузка, поскольку
она действует не в пределах всей высоты конструкции, а лишь на
участке 0^x^z0. Это обстоятельство значительно усложняет ре-
543
шение рассматриваемой задачи. В этих случаях следует исходить
из метода «расчленения», широко применяемого в строительной
механике. На глубине z0 свая разрезается на две части: верхнюю
длиной Li, воспринимающую помимо внешних нагрузок Qo, М&,
две непрерывно изменяющиеся в пределах нагрузки —
от набухания q(%) и отпора грунта P(g). Нижняя часть сваи
длиной L2 воспринимает лишь горизонтальный отпор грунта, из-
меняющийся в пределах участка 0^x^L2 непрерывно по закону
трапеции. Силы взаимодействия двух рассматриваемых участков
сваи нд их границе в месте разреза x=L\ заменяемы неизвестны-
ми — поперечной силой Qфt продольной Nc и изгибающим момен-
том Л4С. Эти неизвестные силы определяются*из условия непрерыв-
ности изогнутой оси сваи в приведенном сечении. Каждая выде-
ленная часть сваи имеет свое дифференциальное уравнение:
а) для верхней части имеем
грт (х) । гп „ (х) г _ dyi(x) . , х .. . л
Ы dx* "1“ I* о Фо С3')] *0Х fa Г «Г, 1/1 \Х)—и,
(15.82)
б) для нижней части, располагая начало координат в верхнем
разрезанном сечении сваи, на участке 0^x^L2 = Li—z0 уравне-
ние задачи имеет вид
EI^L + Nc^^+(kLl у2(х) =0. (15.83)
Совместное рассмотрение двух дифференциальных уравнений
(15.82) и (15.83) приведет к определению восьми произвольных
постоянных интегрирования, для которых необходимо составить
восемь условий. Два из этих условия составляются для сечения
сваи на уровне поверхности грунта:
Ely; (0) = мо; Ely-; (0) = (?0 ~ РА. (15.84)
Из условия непрерывности изогнутой оси сваи в сечении x=L\
имеем четыре условия:
У1(Ь1) = У2(0); !/'1(Л) = Й(0); Е1^ (L.) = Е1У; (0}= ЛГС;
Ely; (LJ = Ely; (0) = Qc. (15.85)
Недостающие два краевых условия можно составить для сечения
сваи на уровне свободной ее пяты
EIy2 (L2) = 0; Ely; (L2) = 0. (15.86)
Таким образом, как видно из постановки задачи, мы должны
заняться самостоятельно решением каждого из. полученных диф-
ференциальных уравнений (15.82) и (15.83).
544
15.16. Случай действия на сваю
только горизонтальной нагрузки
Рассмотрим случай, когда на высоте h от поверхности набу-
хающего грунта на сваю действует горизонтальная нагрузка Qo
(рис. 15.15,а). Действие этой силы можно заменить поперечной
Qo и моментной Mo — Qoh нагрузками, приложенными на сваю на
уровне поверхности грунта (рис. 15.15,6). В подземной части рас-
сматриваемая конструкция представляет собой гибкий стержень
в упругой среде, подверженной помимо внешних нагрузок Qo и
Mq воздействию вертикаль-
ного давления набухания
изменяющегося в пре-
делах глубины O^X^Z0 по
линейному закону
д© = аСЖ0(1-^), (15.87)
где
6| = 7(1 +kt)IP SW-
Выражение (15.87) по-
лучается из (15.18), прини-
мая здесь Ро=О» т. е. Ь2 =
= 0. Глубина распростране-
ния этой линейно изменяю-
щейся нагрузки от поверх-
ности грунта определится
из неравенства (15.9); если
принять здесь Ро=О:
z9 = P.w/(y + kg). (15.88)
Рис. 15.15. Схема загружения свай гори-
зонтальной нагрузкой (с) и сведение го-
ризонтальной нагрузки к поверхност-
ным (б)
Кроме этой прерывной нагрузки, согласно модели Винклера,,
на боковую поверхность сваи действует отпор грунта Р(£) =
— k (5)У&)- Изменение коэффициента жесткости грунта по глу-
бине по-прежнему принимаем по линейному закону. На рис. 15.16
представлена схема, согласно которой расчет рассматриваемой
конструкции сводится к решению двух уравнений:
а) на участке O^x^Zzo
EI (х) + К(х) у, (х) = 0, (15.89)
где
<р” - $ aGW„ (1 -b£) dg = aGW, (х-±Ь^) ;
о
9(g)dg]=?(x)=aCir0(l-6Ix); kt (х) = kL, -±- ;
о
545
Рис. 15.16. Расчетная схема поперечного изгиба свай в на-
бухающих грунтах:
/ — подошва набухающего слоя грунта
б) на участке
EI + *2 (Х) = 0> (15-90)
где к2 (х) — кт -|-х.'
Решение представленных выше уравнений (15.89) и (15.90),
имеющих переменные коэффициенты, будем строить приближен-
ным способом — методом последовательных приближений. Для
применения этого метода к уравнению (15.89) предварительно ре-
шим вспомогательную задачу — поперечный изгиб сваи без учета
влияния давления набухания окружающего грунта.
15.17. Поперечный изгиб сваи без учета
влияния давления набухания
Дифференциальное уравнение рассматриваемой задачи
(рис. 15.17) получается из уравнения (15.89), если здесь принять
фо° (х) =F0°(x) =0 и ki (х) =k (x) =kLx/L:
(15.91)
546
Последовательным интегрированием последнего уравнения, че-
тырежды используя краевые условия t/(0)=t/o; /(О)=0о;
EIy"(fi) =Мо; EIy"'(fi) =Qo, приводим это уравнение к интег-
ральному
—^7 J J J J (Z‘) (**) dxl dx2 dx3 dxi-
0 0 0 0
(15.92)
Решение последнего интегрального уравнения строим методом
последовательного приближения. Как было показано ранее, до-
статочно удовлетворительную сходимость можно получить, если
в качестве нулевого приближения принять
Уо(х)=Уо + 0ох + -^х2+^х3. (15.93)
Подставляя в правую часть уравнения (15.92) вместо yfa)
функцию Уо(х), получим первое приближение yi(x). Заменяя
Уо(х) на yi(x) и поступая так дальше, получим последователь-
ность функций уо(я), i/i(я), ..., yi(Xi),... таких, что
X X, X, хэ
У1(х) — Уо(х)—-J J j J ktlxjyt-^xjdxtdxzdxsdxb-
0 0 0 0
Вынося в i-м приближении начальные параметры уо, 6о, Af0 иг
Qo за скобки, общее решение рассматриваемой краевой задачи
можно представить в виде
У1 («)=УоФ,(х)+ еоФ2(х)+^-Ф3(*) +-$ТфЛх'1> <15-94)
где
<D1(x) = l+2(-i)n(^)"_gr[l,6, 11, 16 ... (5п —4)];
П=1
Ф!И-.+ 2(-.1)"(А)-^12. 7,12.17... (Sn-3)I;
71—1
®,W-^+a<-1)-(^)-i^,ie.8,13, IS ... (5л — 2)1:
Л=1
Ф4 (X) = х3 + 2 (-1)" (Ji- )n_£JL [24, 9, 14, 19 ... (5n — 1)J.
п—1
(15.95)
547
Рис. 15.17. Расчетная схема попереч-
ного изгиба свай без учета влияния
набухания
Построенное решение (15.94)
содержит два неизвестных пара-
метра £/0 и Для определения
этих параметров имеем два усло-
вия: EIy"(L)=O\ EIy,ffy(L) =0.
Подчиняя решение (15.94)
этим условиям, получим систему
из двух линейных уравнений, от-
носительно искомых параметров
Уо и 0о, решение которой приво-
дит к формулам:
Уо ф;(£)Ф7(£)-ф;(Л)фг(£) 1
@ №(L)+CML)
° ф;(£)ф;"(£)-ф;(£)фГ(Ь)’
(15.96)
где
С1=^ф;(£)+^-ф;(£);
Изгибающий момент, перерезывающие силы и реактивное давле-
ние определяют по соответствующим формулам:
М(х)=£7^#;
Р(х) = к(х)у,(х). (15.97)
Полученное решение (15.94), как видно из (15.95), выражено
через знакочередующиеся степенные сходящиеся ряды и на прак-
тике можно ограничиться лишь конечными их членами. При этом
погрешность расчета может быть оценена согласно правилу
Д’Аламбера: ошибка будет меньше первого из членов ряда, ко-
торые откинуты. Согласно полученным формулам решим харак-
терный численный пример.
Я Пример 15.6. Пусть требуется построить эпюры изогнутой оси, реактивного
давления, изгибающего момента и перерезывающих сил для одиночной висячей
железобетонной сваи круглого сечения, подверженной действию на уровне по-
верхности грунта горизонтальной силы Qo=150 кН и сосредоточенного момен-
та Мо=ЗО кН-м. Основание сложено из однородной толщи глинистого грунта,
не обладающего набухающим свойством. Длина сваи £=10 м; диаметр D=
=45 см; модуль упругости Е=14 103 МПа. Коэффициент постели грунта у пяти
свай принимаем равным Л£=104 кН/м2. Изгибная жесткость сваи Е1=ЕяD*/64—
=28 180 кН-м2.
Параметр, характеризующий отношение жесткости грунта к жесткости сваи,
определится значением: Ar/(£7L) = 104/(28180-10) =0,0355 м~5. Неизвестные на-
548
Таблица 15.2
х, м УДх). к Р(х), кН/м Af(x), кН/м QU), кН
0,0 0,1025 0,00 30,00 150,000
1,0 0,0674 67,40 166,033 110,588
2,0 0,0382 76,40 239,307 34,798
3,0 0,0170 51,00 239,283 —30,528
4,0 0,0043 17,20 188,917 —64,513
5,0 —0,0018 — 9,00 120,716 —67,532
6,0 —0,0036 —21,60 60,361 —51,170
7,0 —0,0031 —21,70 20,464 —28,725
8,0 —0,0019 —15,20 1,878 —9,423
9,0 —0,0006 — 5,40 —0,851 1,027
10,0 0,0007 7,00 0,000 0,000
чальные параметры уо и 0О определяем из условия равенства нулю изгибающе-
го момента и перерезывающих сил на нижнем свободном торцевом сечении
сваи:
Е1у\ (£) = 8,35230i/0 +10,783О48о—0,46303 = 0;
Е1у\" (£) = 7,52396у0+2О,550о — 0,02235 = 0.
Решая последнюю систему относительно у0 и во, получим: уо=0,1025 м;
во——0,0364 рад. Расчет производим по формулам (15.97), ограничиваясь в ря-
дах (15.95) пятью последними членами.
В табл. 15.2 приведены результаты расчета.
На рис. 15.18, по данным табл. 15.2, построены эпюры прогибов, реактивного
давления, изгибающего момента и перерезывающих сил для рассматриваемой
сваи.
х
Рис. 15.18. Эпюры расчетных величин к примеру 15.6
М(х) кН м
30,00
Q(x), пн
150,00 —7
110,586 —/
34t198 7
30,598
64,515
61,552
51,110
28,725
9,425
\l.021
10
549
15.18. Поперечный изгиб сваи
ниже набухающего слоя грунта
В § 15.15 было показано, что задача о поперечном изгибе оди-
ночной сваи в набухающем слое грунта, согласно принятой на
рис. 15.14 расчетной схеме, разбивается на две самостоятельные
задачи. Первая задача, представляющая собой поперечный изгиб
в пределах набухающего слоя грунта, сводится к решению урав-
нения (15.89), а вторая, определяющая изгиб конструкции ниже
слоя zq^.x^.L без учета влияния деформации набухания, к реше-
нию уравнения (15.90). Полученные решения этих задач, согласно
методу «расчленения», склеиваются в
мысленно разъединенном конструкцией
сечении, и в результате получается об-
щее решение рассматриваемой задачи
для всей конструкции сваи.
777—777^777
Займемся решением краевой задачи
для уравнения (15.90) (рис. 15.19)
+ (х}уг (Х}=01 (15.98)
где k2(x) = kLl + (kL—kLl)x/L2
Краевые условия рассматриваемой
задачи имеют вид
EZy'(0) = Mc; EIy';(0)=Qc; (15.99)
Ely; (L2) = 0; Ely; (L2) = 0. (15.100)
Рис. 15,19. Расчетная схема
поперечного изгиба свай Указанное выше математическое ослож-
ниже набухающего слоя некие возникает также при решении
грунта
рассматриваемой краевой задачи и по-
этому прибегаем к нашему методу по-
следовательного приближения. После
четырехкратного интегрирования уравнения (15.98) приходим к
интегральному уравнению
У г (х) = У о2 + 002* + -^ X2 + х3 -
кт Г / \ л , — к г (•
~ ~Ё1~ ь J У2 (*) dx ЁПТ k J Xyz W dx^
(15.101)
В последнем выражении для краткости введены следующие
обозначения:
X X Xt Xt Xj
5 У2 (2'4) dxt dx2 d%3 dx^.
550
В качестве нулевого приближения по-прежнему принимаем функ-
цию
Уо, 2 (х) ~ У о. г + ®о. 2х + х2 4- *с3.
Подставляя в правую часть уравнения (15.101) У2(х) =у0,2(х),
получим решение задачи в первом приближении:
kL Г
У?., 1 (Х) =У0, 2 (х) 4 J У о, 2 (Х) dx*-
о
&Х— kL f
ЁТЁГ xy3,2(x)dx'‘.
о
Заменяя в (15.101) у2(х) на у2Л(х) и поступая так дальше,
получим последовательность функций у2,\(х), у2г2(х)...у2,п(х)
таких, что
kL f kL-kr Г
У 2, п (х) — У о, 2 (х) ~Ё1~ 4 J У 2, п-i (х) dx*-EIL2 1 4 j *г^2, n-1
о 2 о
Последнее решение удобнее всего представить в виде
Уг.п(х}=у0ЛЕ1(х) + %,гЕг(х) +^.E3(x) + ^rEi(x). (15.102)
де
Et (х) = Eit 4 (х) + Elt 2 (х) = Фь 4 (х) + Eit 2 (х);
&2 (Х) ~ ^2, 1 (Z) + ^2. 2 (Х) = Фг, 1 (Х) + ^2. 2 (Z)*» . - .
Е3 (х) = Е3,4 (х) + Е3,2 (х) = Ф3,4 (х) + Е3,2 (х); Л
^4 (х) = Eit ! (х) + /?4, 2 (х) = Ф4, 4 (х) + Е^ 2 (х) .
Функции ф|,1(х) определяют формулами (15.95), заменив
здесь L на L2 и кь = кь—. В самом деле, трапецеидальное бо-
ковое давление грунта на сваю, представленное на рис. 15.19,
можно представить состоящим из суммы двух нагрузок — прямо-
угольной с интенсивностью Р\(х) =kLyy2(x) и треугольной —
PM = Хуг(Х).
Для определения функции Eii2(x) имеем степенные, знакоче-
551
редующиеся ряды (А. А. Мустафаев, 1979):
со
х-1 / лг \П
^,2(x)=i + 2 (-1)"^) 0^-;
71=1
оо
(fcr \n x4n+1
"Ё/") (4п-4-1)! ’
Л=1
п—1
\W 6х4П+3
^4,2 (х)=х3+ 2 (—1) (~ёт) (4п+3)Г
71=1
(15.104)
15.19. Поперечный изгиб сваи
в набухающем слое грунта
Перейдем к решению более сложной задачи, связанной с по-
перечным изгибом верхней части рассматриваемой сваи длиной Li,
находящейся в пределах участка O^x^zo в набухающем слое
грунта. Уравнение задачи здесь имеет вид (15.89)
EI (*) - к +** & &=°’ (15-105>
где <ро° (х) =а6^0(х—М72); F0°[x) =.aGW0(\—blX)- kx(x) =
=kLix/Lx.
Решение уравнения (15.105), как было отмечено неоднократно,
чрезвычайно сложно в связи с содержащимися в нем переменны-
ми коэффициентами <р0°(х), Fo°(x) и k\(x). Строить его решение
возможно лишь приближенно, используя для этого различные чис-
ленные методы: решение обыкновенных дифференциальных урав-
нений (использование рядов Тейлора, методы Пикара, Рунге —
Кутта, Адамса, Милна и др.). Как показал предварительный ана-
лиз, использованный выше способ последовательного приближе-
ния, когда в качестве нулевого приближения принимается функция
t/o(x), определяемая выражением (15.93), недостаточно эффекти-
вен. В теории интегральных уравнений (И. И. Привалов «Интег-
ральные уравнения», М.— Л., 1935) излагается приложение из-
вестного метода итераций к уравнениям Фредгольма. Здесь дока-
зывается, что искомая предельная функция не зависит от вида
функции, с которой строится последовательное приближение. По-
следовательные приближения в методе Пикара определяются с
552
помощью рекуррентной формулы:
у(х, к)—у(х, 0)4- J f[x, у(х, к — l)]dz,
х0
где у(х, k) — вектор функций на fc-м шаге итерации, у(х, 0)—век-
тор функций на нулевом шаге итерации. На практике полагают
вектор у(х, 0) равным вектору начальных условий. При числен-
ной реализации метода Пикара, для fc-го шага итерации находят
значения функции y(xitk) при равноотстоящих значениях аргу-
мента
a;f=x04-ife, г = 0» N, т. е.
xt __
у(хь к) = у(х01 0)+ j f[x, ytxt), k — l[dx.
Xo
Суть использованного нами выше метода последовательных при-
ближений еще раз покажем на простейшем дифференциальном
уравнении.
Если требуется построить решение дифференциального урав-
нения первого порядка dy/(dx) =f(x, у) с начальным условием
у(х0), то, интегрируя его в пределах от х0 до х, приходим к ин-
тегральному уравнению
х
у(х) = У (х0) + J / (А У) dx. (15.106)
*0
Заменяя в подынтегральном выражении неизвестную функцию
у(х) данным значением t/(x0), получаем первое приближение
X
Vi (х) = У (*о) + $ / [*> У (°)Idx-
х0
Далее, подставляя в равенство (15.106) вместо неизвестной функ-
ции у(х) найденную функцию t/i(x), будем иметь второе прибли-
жение:
х
У г (х) = У (.хо) + J / [*. У1 (*)]dx-
Х9
Вообще все дальнейшие приближения строят по формуле
х
Уп (*) = У (*b) + J /11. !/n-i (®И dx-
х0
(п = 1, 2, ...)
553
Ниже для построения общего решения рассматриваемой краевой
задачи для уравнения (15.105) в отличие от указанного выше
метода, мы будем использовать принципиально новый способ по-
строения последовательного приближения, обеспечивающий его
достаточную сходимость. Четырехкратное интегрирование диффе-
ренциального уравнения (15.105) в пределах от 0 до х приводит
задачу к соответствующему интегральному уравнению:
J/H(x)= С <Р°(х)^Д^‘ +J Fo(x)Jy^Ldx^
о о
х
-J A1(I)J,I(x)dx‘ + j,H4-©“a; + ^-x2 + ^I3i (15.107)
о
где ф°(х)=<Ро° (*)/(£/); Го(х)=Л>°(*)/(£/); F,(x) =ki(x)/(EI).
Здесь над параметрами у0 и 80, а также функции yi(x) буква
«н» означает, что эти величины определяются с учетом деформа-
ции набухания грунта. Для построения общего решения уравнения
(15.107) методом последовательного приближения в качестве
нулевого приближения мы подберем более подходящую функцию,
значительно ускоряющую процесс приближения к конечной иско-
мой функции. Такая функция может служить уравнением изогну-
той оси рассматриваемой сваи с линейно изменяющимися в пре-
делах рассматриваемого участка O^x^zo коэффициентом посте-
ли, без учета влияния давления набухания. Решение этой задачи,
построенное нами методом последовательных приближений, при-
водится в формуле (15.94). Здесь в функциях Ф,(х) следует
принять L = Li и kL = kLx. Итак, принимая в правой части интег-
рального уравнения (15.107) равенство
yt (я)=у, (*)=г/оФ< И+еоФ2 (*)+^7 фз w + W ф4 И.
получим решение рассматриваемой задачи в первом приближении:
л/
у« , (X) = Л, (х) + ел,, (X) У3,, (X) +
+-^V4,1(x) + j/S + 0oa:. (15.108)
где
XX X
= — ( к (х) Oi (х) dx4 + 4 j Г° (х) ф; (х) dx4 -ь 4 J ф° (х) Ф; (х) dx4;
оо о
X X X
= —Л(х)Ф2(х)йх44-4 j F° (х) ф; (х) dx4 ч- 4 J ф° (х) ф; (х) dx4;
ООО
554
Y31l(4 =
= x2 — J *(x)<X>3(x)dx4+4J F0(z)<D;(x)dr‘ + tj ф° (x) Ф'(x) dx*;
0 o 0
^.,(4=
XX X
— x3 —. ( к (x) Ф4 (x) dxk + ( F° (x) Ф' (x) dxk -f- ( <p° (x) Ф" (x) dxl.
4 J 4 J 4 J
0 0 0
Здесь и в дальнейшем всюду штрихи «ад функциями ф/(х),
означают производные их по х.
Внося в правую часть (15.107) первое приближение (15.108),
получим решение задачи во втором приближении:
У?, 2 (4 = Уо^. 2 (4 + e0Y,, 2 (х) 2 (4 +
+Д 2 (4 -ь У? У». 2 (4 + 2 (4. (15.109)
где
У,., (4 =
х _ * х
=—4 J к (х) , (х) dx' + 4 С Г° (х) 4fi,, (х) dx* + 4 J <р° (х) Ч'”1,, (х) dx*;
о о о
? х х
= — 4} к (х) ^2.1 (4 dxi + 4 j F° (х) V'i, i (х) dx* + 4 J ф» (х) Ч'г. i(x)dx*;
о о о
Т3.2(х) = х2-
Л _ Х Х
— 4) k(x)4r3'l(x)dx<‘+ (/-о(х) Y'3,l(x)dx‘+ ( (х) 'Гэ. t (х) dx*;
О о О
У4.2(х)=хЗ-
? X х
— 4J *(4^*.i(4dx*+ ( F»(x)4'; ,1(x)dx* + 4J ф° (4 i (x) dx*;
2 0 о
^5,2 (4 = 1-
х X X
— 4 J к (х) Vs,, (х) dx* + f £0 (г) У' J (X) dx* + ( ф° (х) Ч^, 1 (х) dx*;
О о О
’F.,2(x) = x-
С - х г
—4) H4’Fe,1(x)dx*+ С f»(x)Ti i(x)dx*+ ( <tP(x)4Te,l(x)dx'-,
О о О
555
Подставляя в правую часть уравнения (15.107) вместо иско-
мой функции (х) выражение (15.109), получим решение рас-
сматриваемой краевой задачи во втором приближении. Таким об-
разом, возможно построить л-е приближение задачи, которое
можно представить в виде
У" n («) = У'^. » (*) + 0о'Р». » (*) + Ъ, п (*) +
+ Т4. n (х)+Л п (*)+6Х. П (*). (15.110)
где
X
п (я) == — 4 J ^1» П“1 (Х) +
0
+ ( F°(x)’F'1.„_i(x)dx* + J <P0(x)'r1.n..1(x)dx‘;
о о
n'W = — * J * (ж) Ys. n-i (*) +
о
X г
+ 4 J F° (х) 4^2. 1 (x)'dxi + 4 $ <р<> (х) V”2. , (х) dx*;
о 0
Т8, п (х) = х’ - 4 J к (х) Уз, п_, (х) dx* +
о
х *
-f-( F0 (х) Тз, „_1 (x)dx* + 4 j «f® (х)Чгз>п_| (х) dx*;
0 о
*W'I,*.n-i(x)dx‘ +
о
х i
+ 4J F0(x)4f,4tn-i(a:)dx4-b4J ф° (s) (х) dx^r
О о
Yfc»(x)-l-4$ A(x)'F5,n-l(x)dx‘ +
О
+J F?(x)¥8,„_1(x)dx‘ + 4j <р®(х)Пп-1(^)<1хЧ
556
X
W) = *~ Д Л(х)¥.,„м(х)<1х‘ +
4 J
0
x x
+s J Я (X) П ! (x) dx4 + Д <p« (X) (X) dx‘.
о 0
Выражения функций T/,n(*) для двух последовательных прибли-
жений (л=1,2), полученных после раскрытия кратных интегралов
для принятых законов изменения коэффициента постели и функ-
ций Г°(^), <р°(х), приведены в приложении.
15.20. Определение неизвестных начальных
параметров задачи
В построенных нами двух решениях (15.102) для нижней, от-
сеченной части сваи и для верхней ее части (15.110), работающей
в набухающем слое грунта, содержится десять неизвестных пара-
метров — #о0о, -Mo, Qo, #он, 0он, #о,2, 0о»2, Мс и Qc. Четыре первых
из них #о, 0о, Af0> Qo представляют собой горизонтальное переме-
щение, угол поворота, изгибающий момент и перерезывающую
силу на верхнем сечении сваи, находящемся на поверхности грун-
та. Два из этих параметров Мо и Qo — заданные внешние нагруз-
ки; два остальных #0 и 0О находим по формулам (15.96). Для
определения оставшихся шести параметров #он, 0он, #0,2, 0о,2, Afc
и Qc мы должны составить в необходимом количестве краевые-
условия.
Два из этих условий мы составляем, исходя из равенства нулю
изгибающего момента и перерезывающей силы на свободном
нижнем торцевом сечении сваи, используя выражение (15.102),
у». 2е; (х=l2)+е0, 2е; (х=л2)+ег2 (х=lj+ir, (х=l2)=о-.
у„. 2е; (х=l2)+е0. 2е2 (х=Lt)+^- е2 (х=л2) +
+-^£7(х = Л2) = 0. (15.111).
Последняя система из двух уравнений содержит четыре неиз-
вестных параметра #0,2, 0о,2, Afc и Qc.
Используя полученное для верхнего участка сваи решение
(15.110), можно составить выражения для прогиба, угла поворо-
та, изгибающего момента и перерезывающей силы на границе
55Г
двух участков (x=Li);
У1. п (х = L1)=у0^1. п (х=Л,) + ©о^. п (х=£() + -^ ¥3. „ (X=L,) +
+’Г*, п (х = £,) + п {х = £1) + екТв п (ж = £ );
6“ п (х = L.) = у Ж. „ (х = £1)+еЖг, „ (х = Lt) + т3, „ (х=Л,) +
+ $Г ¥‘-" <х = ^1) + п (х = £,) 4- e^' _ п (х = £,);
М“ „ (х = £,) = EI [у0^,п (х = L,) + 0ОП „ (х = £,) -j-
"Ь 2ЁТ n (x = Li) + ^4, п (X = L,) 4- J/Hijr" п (х = £1) 4-
+ 0№б,п(* = £1)];
<?!, „ (X = L,) = EI [^’РГ. n (х = £,) + ©о^г. п (х = £,) 4-
+-Й/ уз.« (х = ^4.п (х = £,) 4-!/?Пп(х = £,) 4-
+ ©№в,п(х = £,)].
Из условия непрерывности изогнутой оси сваи на границе двух
участков имеем
У\,п(х — Z/4)—Уо, 2» ®1,п(х — ^1)—®0, 2’ ^1,п(х — -^1)—
Q\,n(x = Li)^Qc:
Используя эти равенства в уравнениях (15.111), получим сис-
тему из двух линейных уравнений для определения неизвестных
параметров уон, 0он
ЛУ? + ^10о+С1 = О;
Л2у« + В20? + С2 = О.
Решая последнюю систему, получим
н ВгС2—В2С\ е хлн — AiC2
Уо - 1 " А^-А^! 1
(15.112)
(15.113)
A, =Ei(x=L2) V5, п (х = L,) +Ег (х = L2) V'5, „ (х = £,) 4-
+| Е, (х = £2) П „ (х = L.) 4- 4 Е\ (х = L2) ¥5, „ (х = £,);
Bi = E'l(x=L2) У,, n (x=L,) + = b2) У'e, „ (x = b,) 4-
+T E"3 (*=£’)¥ ••* (* = b,) 4-1 (x = b2) ^e. n (x = M);
С, = E[ (x = L2) [y„Vt П (l = L{) + вл n (x=b,) +
4-^ 'Fj. n (x = b.) +& fUxb L1)] +E; (x = £s) x
X [j/o’F'i. n (x = b,) + в0У 2, n (x=£,)+^JL У'3. „ (x = bt) +
^4-n <x = £<)] Ч-у £з (x = L2) [ f/o’F'i. n (x *= b4) +
+ ©оП n (x = Ь.)+Пп (x = b,) + П „ (x = b.)] 4-
4-1 r4 (x = L2) [у0УТ,п (x = b.) + eoy~n (l=£,) +^L. x
X П „ (X = b,) + „ (X = £,)] ;
A2 = ВТ (X = b2) ys. n (x = Lt) +EZ (X = b2) T'5.n (X = b,) +
4-1 E"3 (x = b2) У?,„ (x = b,) 4-1 (x = b2) П „ (x = bt).
В2=£7(х = Ь2)Ув,п(х = Ь1)4-£7(х = Ь2)У^,„(х = Ь1)4-
4-1еЗ(х = Ь2)У6.„(х = Ь1)4-1£7(х = Ь2)Пп(х = Ь1);
C2 = E1(x = L2) [jzX. n (x=b,) 4- е0У2, „ (x = b,) 4-
+-^T ^з. П (x = b,) 4-^- y4, „ (x = b.) ] 4- £2 (X = b2) x
X [yon n (X = b.) 4- e0y-2, „ (X=b, 4- Уз, n (X = b,) 4-
4--^- Пn(x = b,)]4-l E3 (x = b2) [jfoVi.„ (X = Lt) 4-
4-6оПп(* = £1)+^Кп(х = Ь1)4-^Пп(х = Ь1)]4-
4-1 El (X = b2) [yon n (X = Lt) 4- ^2. n (x = £i) +
4-^7 Пп (x=bi) + -^1 (X = bl)].
Определив все начальные параметры задачи по формулам.
(15.102) и (15.110), производим полный деформационный расчет
одиночных гибких свай в набухающих грунтах. Приведенные
в этой главе результаты получены аспирантом автора Коусса Иса
Деб (АзИСИ, 1986—1988 гг.).
559
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Подводя итог вышеизложенному, можно отметить, что на сегодняшний день
не установлены гидродинамические основы, расчетные модели и строгая мате-
матическая формулировка процессов просадки и набухания грунтов. Существую-
щие методы и принципы прогноза этих деформаций, нашедшие отражение в мно-
гочисленных работах советских и зарубежных ученых, частично включенных
в нормативные документы, ограничиваются лишь определением конечной ста-
билизированной величины просадки и набухания. Предыстория этих процессов,
имеющих характерные особенности, зависящих от множества физико-механиче-
ских факторов и определяющих конечную величину деформаций, при этом не
учитывается. Естественно, такой формальный подход нельзя считать правиль-
ным, и поэтому он не может привести к достоверным результатам. Следует
также учесть, что любая прогнозируемая величина и изменение ее во времени
определяется прежде всего видом дифференциального уравнения, которому под-
чиняется данный процесс. Ни у нас в Союзе, ни за рубежом до сих пор не
получены дифференциальные уравнения процесса просадки и процесса набуха-
ния. Поэтому в математической постановке мы можем, во всяком случае в пер-
вом приближении, ограничиться исследованием только ведущих процессов и
факторов, отбросив второстепенные. Этого принципа придерживался автор при
написании настоящей книги. Мы рассмотрели упрощенную, детерминированную
модель формирования процессов просадки и набухания, представляя ее как
взаимодействие неустановившегося инфильтрационного потока и неустановив-
шегося деформирования лессовых и глинистых грунтов.
Как было показано в книге, .даже для такой простейшей модели решение
проблемы просадки и набухания нередко встречает непреодолимые математиче-
ские трудности.
Прослеживая историческое развитие науки о просадке и набухании, можно
заметить прежде всего экспериментальный характер проведенных исследований,
обилие натурных данных об этих явлениях и попытки описания этих результа-
тов математическим аппаратом функционального анализа. Подобный полуэмпи-
рический подход к этой проблеме без строгого математического анализа процес-
сов просадки и набухания в лессовых и глинистых грунтах и физических моде-
лей, приводящих к всеобъемлющей теории, является лишь первым грубым при-
ближением к решению задач фундаментостроения на этих грунтах. Эти, безус-
ловно, полезные результаты могут служить отправной точкой для дальнейших
глубоких и всесторонних исследований для создания стройной теории механики
просадочных и набухающих грунтов. Нельзя считать нормальным, что совре-
менные методы прогноза просадки и набухания, нашедшие широкое применение
в инженерных расчетах моделирования этих сложных процессов в компрессион-
ных приборах. Естественно получаемые при этом расхождения этих испытаний
с натурными данными уточняются искусственно — введением в расчет эмпири-
ческих поправочных коэффициентов. Между тем, правомочность переноса ре-
зультатов модельных испытаний на натуру должна определяться условиями мо-
делирования. Приборы, в которых ставятся модельные испытания, должны об-
ладать всеми возможностями для полного раскрытия в исследованных грунтах
560
просадочных и набухающих деформаций. Только лишь в этом случае резуль-
таты модельных опытов могут быть перенесены на натуру с использованием
критериев подобия моделируемых процессов.
Аналитическая теория просадки и набухания должна быть расширена. Она
должна базироваться на единой реологической модели, наиболее реально отра-
жающей изменение напряженно-деформированного состояния лессовых и гли-
нистых грунтов во времени, составлении на основе этой модели системы диффе-
ренциальных уравнений, описывающих механизм взаимодействия фильтрацион-
ной влаги структурой и межчастичными связями просадочных и набухающих
грунтов.
Следует отметить, что механизм возникновения и развития просадочных и
набухающих деформаций в лессовых и глинистых грунтах до сих пор оконча-
тельно не установлен; физическая теория этих процессов находит свое выраже-
ние в различных гипотезах.
В книге показано, что теория линейной наследственной ползучести Л. Больц-
мана — В. Вольтерра с достаточной для практики точностью описывает законо-
мерности деформирования глинистых грунтов при их набухании. Установлено
также, что ядро типа Абеля интегрального уравнения теории линейной наслед-
ственной ползучести хорошо аппроксимирует процесс набухания в широком
интервале изменения уплотняющих давлений и влажности грунта. Такая интер-
претация явления набухания, подкрепленная опытами, является новой и откры-
вает большие возможности для разработки инженерных методов прогноза этих
деформаций в основаниях зданий и сооружений, исходя из других, более обос-
нованных расчетных предпосылок.
Следует отметить, что явление инфильтрационного движения потока жид-
кости в недеформируемой грунтовой среде носит сложный характер и поэтому
установление закономерностей и параметров этого нестационарного процесса,
как показано в трудах С. Ф. Аверьянова, П. Я. Полубариновой-Кочиной,
Н. Н. Веригина, И. И. Кулабуховой, В. И. Веньковокого, Дж. Филиппа, А. Клу-
та, Я. Руби, Л. Ричардса, Г. Гарднера и других, связано с большими матема-
тическими трудностями. В просадочных и набухающих грунтах в связи с из-
менением во времени их структуры этот процесс в значительной мере усложня-
ется.
Наряду с влиянием деформации среды на поле влажности имеет место и
обратное воздействие поля влажности на поле смещения частиц просадочного
и набухающего грунтов в процессе их деформ|ирова1ния.
Наличие однозначной связи просадки и набухания с влажностью грунта,
с одной стороны, и этих деформаций с влагопроводностью грунтов — с другой,
создают непрерывную взаимосвязь деформаций с влажностью в течение всего
процесса деформирования лессовых и глинистых грунтов при их непрерывном
увлажнении.
Оба процесса — фильтрация и деформация — определяются неустановивши-
мися непрерывными полями влажности и смещениями частиц грунта. Задача,
рассматривающая взаимное влияние этих двух неустановившихся полей, по су-
ществу может быть сформулирована как задача просадки и набухания в лес-
совых и глинистых грунтах.
В условиях природного напряжённого состояния и естественной влажности
просадочные и набухающие грунты ведут себя как упругие тела, и закономер-
ности их деформируемости достаточно удовлетворительно описываются уравне-
ниями линейно деформируемой среды. В случае увлажнения равновесие грунта
нарушается, каждая его частица получает определенное смещение и среда при-
обретает дополнительное напряженное состояние, нарастающее со скоростью
деформации. Независимо от дисперсности и раздробленности, лессовые и глини-
стые грунты, испытывающие просадочные и набухающие деформации, мы можем
представить как сплошную деформируемую среду, мерой подвижности которой
служат скорость перемещения и скорость деформации частиц грунта.
Подобная интерпретация деформации просадки и набухания позволяет для
их математического описания использовать уравнения динамики сплошной сре-
561
ды в напряжениях, играющие основную роль при выводе всевозможных частных
уравнений динамики жидкости и газа.
Использование уравнения динамики сплошной среды позволяет установить
не только закономерности деформирования грунта во времени, а также и крите-
риев подобия исследуемых процессов, являющихся научной базой эксперимен-
тальных исследований в области просадочных и набухающих деформаций.
Если известны уравнения состояния среды, т. е. физический закон, опреде-
ляющий связь между тензором напряжений и тензором деформации или скоро*
сти деформации, то, исходя из уравнения динамики сплошной среды, можно
получить дифференциальное уравнение этой деформированной среды.
Известно, что в механике сплошных сред изучаются задачи, связанные
с классическими телами, такими, как абсолютно твердой Эвклида, упругое тело
Гука, идеальная жидкость Паскаля, вязкая жидкость Ньютона и пластическое
тело Треска-Сен-Венана (или Прандтля — Кулона). Каждое из указанных тел
имеет реологическую модель и соответствующее уравнение состояния.
Перечисленные среды отражают только отдельные, наиболее существенные
для рассматриваемых явлений физические свойства реальных тел и потому их
называют простейшими.
Стремление наиболее полно описать механические свойства реальных тел,
приводит к рассмотрению сложных сред, одновременно обладающих тремя фун-
даментальными свойствами — упругостью, вязкостью и пластичностью.
Для построения модели сред, обладающих сложными реологическими свой-
ствами, параллельно или последовательно соединяются механические модели
простых тел, определяющие их упругость, вязкость и пластичность. Таким об-
разом, представляются реальные тела, одновременно обладающие несколькими
физическими свойствами: упруговязкне, упругопластические, вязкоупругопластн-
ческие и др.
Лессовые грунты в процессе просадки в первом приближении можно пред-
ставить как сжимаемое упруговязкопластическое тело с квазиоднородной и ква-
зиизотропной непрерывной структурой. Такая реологическая модель с помощью
уравнения динамики сплошной среды позволит построить поле скоростей сме-
щающихся частиц лессового грунта при просадке.
Для количественной оценки явления просадки необходима аналитическая
связь между изменяющимися деформациями, напряжениями, скоростями дефор-
мации и временем. Такую связь возможно установить на основе различных тео-
рий ползучести, применяемых в реологии грунтов. Поэтому возникла необходи-
мость экспериментального подтверждения возможности описания закономерно-
стей деформирования лессовых грунтов соответствующими формулами теории
ползучести.
Было установлено, что на количественную характеристику изменения на-
пряженно-деформированного состояния просадочных грунтов существенно влия-
ет последовательность их загружения и увлажнения. Увлажнение предваритель-
но загруженного лессового грунта постоянной порцией влаги вызывает в нем
изменяющиеся во времени просадочные деформации. Чем больше при этом ко-
личество поданной на увлажнение грунта влаги, тем больше и интенсивнее про-
текают во времени просадочные деформации. Величина и скорость просадочных
деформаций при равных количествах поданной на увлажнение влаги существен-
но возрастают с увеличением интенсивности уплотняющих давлений. Наиболь-
шая деформация просадки достигается при определенных соотношениях уплот-
няющего давления и влажности грунта. Чем больше при этом интенсивность
уплотняющих давлений, тем меньше количество влаги, необходимое для воз-
никновения максимальных деформаций просадки. И, наоборот, чем меньше уп-
лотняющие давления, тем больше потребное количество влаги.
Загружение просадочного грунта постоянной нагрузкой без последующего
его увлажнения вызывает в нем деформацию ползучести. Величина и интенсив-
ность развития во времени этих деформаций существенно зависят от исходной,
естественной влажности грунта. Чем больше эта влажность, тем больше и ин-
тенсивнее протекают в нем ползучие деформации.
Предварительное увлажнение лессового грунта различной порцией воды
562
снижает просадки, но не исключает возникновение и развитие в этих грунтах
реологических процессов.
Деформация просаДки может происходить при постоянной влажности грун-
та, достаточной для ослабления и разрушения цементационных связей между
отдельными его частицами. Влага в процессе возникновения и развития просад-
ки оказывает физическое влияние, а не механическое. Для возникновения про-
садки необходима дополнительная, сверхъестественная порция влаги. Чем больше
этой влаги, тем больше и просадочная деформация. Таким образом, явления
просадки, связанные с физико-химическими процессами, вызывающими разви-
тие деформаций лессовых грунтов во времени при постоянных значениях уплот-
няющих давлений и влажности грунта, может быть классифицировано как рео-
логический неравновесный процесс. Подобная трактовка механики просадки от-
крывает большие возможности для описания напряженно-деформированного
состояния увлажняемых лессовых просадочных грунтов закономерностями тео-
рии наследственных сред и реологией, что и было осуществлено в настоящих
исследованиях.
Было установлено, что индивидуальные свойства лессовых грунтов и харак-
тер протекающих в этих грунтах деформаций оказывают существенное влияние
на значения входящих в функцию наследственности реологических параметров.
Следует при этом отметить, что это влияние оказалось количественным, а не
качественным. Последнее обстоятельство позволило сохранить общую теорию
наследственных сред для математического описания закономерностей деформи-
рования лессовых грунтов при просадке и ползучести, хотя природа этих де-
формаций существенно отличается между собой.
Различие в механике просадки и ползучести лессовых грунтов в широком
диапазоне изменения уплотняющих давлений и влажности грунта обнаруживает-
ся лишь количественно. Ядро интегрального уравнения теории наследственной
ползучести (типа Абеля) для просадки и ползучести имеет общее аналитическое
представление, отличающееся лишь значениями реологических параметров.
Согласно этой теории, были получены соответствующие формулы для прогноза
просадочных и ползучих деформаций в основаниях сооружений.
Задача дальнейших исследований в области теории расчета инженерных кон-
струкций на просадочных и набухающих грунтах состоит в разработке новых,
более совершенных моделей взаимодействия деформирующихся при увлажнении
оснований и подошвой фундаментов. Применяемая в настоящее время модель
«переменный коэффициент постели», является недостаточно обоснованной, так
как не учитывает характер просадки контактной плоскости жесткости фунда-
мента и конструктивной особенности надфундаментного строения. Аналогичное
положение обстоит с теорией расчета фундаментов на набухающих грунтах;
форма бугра контактной поверхности, согласно теории Л. Литтона, принимается
не зависящей от контактных давлений, что существенно повышает экспери-
ментальные значения расчетных усилий в сечениях фундамента и приводит
в итоге не к экономичным результатам. Большие перспективы открываются
в области теории расчета железобетонных плитных фундаментов на просадоч-
ных и набухающих грунтах. Методы расчета этих широко применяемых фунда-
ментов до настоящего времени у нас почти не разрабатывались, хотя необходи-
мость в этой практически важной области фундаментостроения весьма большая.
Существенным пробелом в области теории и практики расчетов фундаментов
является отсутствие методов и принципов оценки устойчивости жестких фунда-
ментов на просадочных и набухающих грунтах.
В заключение мы имели возможность остановиться на некоторых важных
и нерешенных проблемах механики просадочных и набухающих грунтов. Безус-
ловно, механика этих грунтов не исчерпывается отмеченными проблемами и
охватывает довольно большой, разнообразный и сложный круг вопросов, разре-
шение которых на данном этапе возможно вызовет немалые трудности.
Между тем, уже в начальной стадии формирования основ механики проса-
дочных и набухающих грунтов с учетом научного обобщения накопившегося
экспериментального материала, отчетливых физических представлений и точных
теоретических концепций, можно достигнуть определенных успехов.
ПРИЛОЖЕНИЕ
ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ Wi.tt(x)
ДЛЯ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПРИБЛИЖЕНИИ
I. Первое приближение
п=1
х1в...(Ьп-«>| + ^{2<-0-(-Йг)"тоИ-6.11 X
X 16 ... <S, -4)1 - 4, 2 (-1)" Ц.6.Ц.И...
n=l
...(5n_4)+^{S (-!)"( j^)n (5b~!>;7 (1-6 11 • 16 ...
71=1
...(5n-4)]-4i; (_ir(^)\5"<gj))f" Ц.6.11.16...
n=l
... (bn—4)1}:
T21<x) EIL 6| 2j ( ( EIL J (5n+6)l 12 ' X
n=l
x <’-<=-3>i+S(t+ 2 <-‘Н-Й7)’та12-’ x
71=1
X 12.17 ... (5«-3)J-frl^. {4+ 2 (-1)" ШП (5П(Й?)Г x
n=l
X I2.7.12.17...)5„_3)]}+4HS (-O-h^rrar X
71=1
564
Х12.7.12.17... (5п-3)1_42^-1)"(^)П-5пХ+5С * Х
X(2-7--12-17 ... (5n—3)jJ ;
w ,,-х2_ ** У ( j\nl kL \"+» (5n+3)z»"« (fi я
T3i(x) * EIL 7| 2j ( 1) \EIL) (5n+7)l l”‘8X
71= 1
X13-18 ...(5„-2)] + ^ {-^-+2 <-1)n(-^)n X
n=l
x -(& I6-8-13-18 ... (5n—2))} -6, {2^-+ J (-1)"X
71= 1
х(М(5иУ ‘ t6-8-13-18...(5n-2))}+^f-^+2 (~1)"X
X ШП• • • (b-2)l}-^{^+
+ 2 (-В” (-^Г " n t?(5nW~:' 16-8-13-18.,.(5n-2)]};
71=1
V - тЗ - V / wl kL \”+« (5n+4)x»"*«
*41te) — X EIL 8) ZJ 1 1) EIL ) (5n+8)l X
n=l
x [24-9-14-19.,.(5n-l)J +^{^+2 (-l)n(^hr)nx
n=l
X 124.9.14.19 ... (5»-!)!}-^ {^+S (-1)" X
x (^r^Fi24-9-14-19- (5»-i>i}+4;W+
+ -S < - D" Нтг Г (5П(51+б7 124 • 9 -14 - 19 - - - (5n - l)j} -
MCTF. f6-6x’ , v , дчп/ kL \n (5n+2)(5n+3)x*"« ,oz o 4/i4/
EI ( 71 + 2И *' к EIL I (5n+7)l l^-»-14X
X 19 ... (5n—1)]J;
565
II. Второе приближение
w , _/ , у . <хп/ p+2(5n+l)(5n+6)x»"^»
*м(х> EIL I 101 + Zj ( — 1) \fILI (5n+10)l X
71 = 1
71= 1
x [1.6.11.16... (5n-4)]-A 2 (-l)n(-^)n+>5-n-('g9f" X
XI1.6.11.16...(5n-41-^{2(-ir(^r‘S=^^X
x[1.6.11.16...(5n-4)J-2 (_1)"(^)"+1 5n(5n-^(^+5)l5,1>,x
71=1
X [1.6.11.16 .. . (5n-4)l}-^{-^-4+ 2(-<)"x
x Шп+1 •6 •11 •16 • • • -4”}+ (^)2 x
x{S • •• (5n-4)1 -6‘2 x
71=1 71=1
x(-D’1(M<w‘1-6-11-16-(5"-4»} + (^)2{Sx
71=1
x (- *)Ш<5n -6-11 •16 - (5n~4)1~ -^g,(-1)n x
X (1-6 • и • 16 ... (5n - 4)j} + btx
f kL 5»» | у . ,.nl \n+i (5n+l)(5n+5)^» „ .
X I EIL 91 + ” 1 EIL I (5n + 9)l [1-0-H X
71=1
x 16 ... < Sn—4))J-Ъ. {2 (-.)(
71=1
x [1.6.11.16...)(5n-4)] + 61 2 (-1)" 5п(ХЕ-У‘ 11-6-11 X
n=l
566
X 16 ... (5n—4)]+ 3 (-1)" ()” (5п-1()5(п5^>-1,и^ И-6.и. 16...
71=1
<5»-4>l+4 2 (-O’ (^Г "-6*
71=1
x 11.16...(5n-4)l}-^{>^-+ S x
71=1
x |<.6.И.<в...(5._4)|)+(^)г{2 (-.r x
n«l
x >16 •11 •16 • •• <5” - 4>' - ^1, X
x < - в" ()"5n УДГ’ 11 •6 •11 •16 • • (5” -4)|} +
+(^)2 {2 (-1)” (^)n (5п+ХгвУ—t1-6-11-16 -
71=1
... (5n—4)] -42 (_1Г(_2х_)" 5n(5n+g,(;^<)ltn- U-6 X
71=1
x 11.16 ... (5n—4)]J + A 4^ {> + 2 (-1)" x
X (5n + l)(5n + 4H5n + 5)x^.[b6.ii.i6 . .. (5n_4)]J-4(у x
x{gi(-l)n(-^-)’1 (5n+2SVJ>":' I1'6'11'16 ••• (5n-4)| +
+42 ^(fe+(^L--tbe.ll.l6 ...(5n-
71=1
Z\11 / aGWo I— 4 V»/ *Ь V <5w —*) (5n-J-3) (5n-f-4) Xbn>7
2 \ EI ) EIL ) (5«+7)! X
71=1
X Ц.6.Ц.16 ... (5n-4)l+4 2
x 5B(5n-l) (5n+^5n+3)5222 ,6.и. 16 (5n_4)J|.
567
w _ / V 2-7*u _ V / nn/ *L \"+2(5n + 2)(5n+7)x’"+u
“(jc) ( EIL ) 11( Zl V 1> ( EIL I (5n + ll)l X
71=1
X [2.7.12.17... (5«—3)1 — {-!£- +2 (-1)"(-^)Л+,Х
x >2-7-12’17 • • ’ <5" - 3>0 + b^+
+ S (-п"(^)"+,(5п+1^а^10»2-7-12-17-<5”-3»}-
71=1
-^{2 <-<>-(7ЙгГ' S,'XV"'
71=1
-3)1-4 2 5п<5"+д6)^10 [2.7.12.17 ...
71=1
(Sn aGtV° Г *L 2*» , у . nn/ kL V-H(5n + 2)*»-*«
...(&П d)]| ElL yEIL gi + 2j ( 1) (eIl) (5n + 9)l X
71=1
X [2.7.12... (5n- 3)1} + (^)2 {4+2 (-l)"(^r)nx
X^rl2.7.12.17...(5„-3)1}-q^HV+2(-l)"X
x (^r ^u+г ‘2-7-12-17 • • • <5« - 3>o+йч2 x
x{S (-1)n{^)n-g4[2.7.12.17...(5n-3)l-42i(-l)nX
хЙ)п5п(ХЧ9)Г^7-12-<7--<5”-3)1}^
x 4г + Д < - 1>n (~ёТГ Г‘ (5ПаУ6) [2- 7.12.17 ... (5Л -
-3)]}-М^)2{^+21(-1)"(^)"^Й^12.7х
х12.17...(5п-з)]} + ь;(4^)2{-*^-+2 (-1)п(Чг)"х
568
х{2 <-*>" (-nr)' 5'V+‘*.r' I2'7-*2-” - -1>| -
71=1
-42 5"5''4I25»8"’" I2-7-12 *7 <5”-
71=1
оч,1 , aGW„ ( 2kL Ъх» v / <хп/ kL \n+1 (5n + 2)(5n + 5)z»»»v
“^J"1 Ё1~ \~Ё7Г~дГ ' 1 \EILl (5п+9)| Л
71=1
Xl2.7.12.17...(5n-3)]} + (^-)2{-^-+S (-1)п(т^)"х
X 12.7.12-17 ... (5п - ЗЛ} - Г(^-)2 НГ+
+ 2 (-^(-етг)" (5в+?5‘+У**’’*' t2-7.12-17...(5n-3)}} +
71=1
+(^)2{s (~ьп(^г)п 5n(XW~-12-7-12-17 ••• <5n-
71=1
- 3)1 —b± 2 (- l)n ( )" 5п(5п+(5^У4)18,>" 12-7.12.17...
71=1
• • (5-3)1} - i < - О" (Г X
x (Sn+ZXSn+^g + B)^1. (2 7 n _ 3)]j + x
v I aGW0 \2Г 3-4xe . 5Л , n„ / kL \n (5n + 3) (5n + 4) x5n+8 7
X \ EI J t 8! “r 2j V \ EIL ) (5n + 8)! ' X
71=1
x 12-17...(5Л-3)]-4(^)2 {±£4-2 {-l)"(-^)"x
71=1
x{2 <-1>-(-йг)~ 5"5'+ZT.;‘"""‘ i2-7-12-17 <5—
71=1
569
ox. bi v» / kL \n 5л (5/1-h 1) (5n + 4) (5n + 5) ж5П+® ю 7 49v
“3)1------2 Л С”1) \~eTl~ } ---------------------(5^+9)!-------------U-/.1ZX
X 17 ... (5n—3))} ;
W _-2 6x7 1/ kL \2 6-8x» 1 V / 4\n( kL \w+2
*32(«) —1 EIL 7! +( EIL ) 12! ’ I EIL / * X
n=l
+ S <-’> (тп~)"‘ H - <S”-2»}+
n«i
, t aGW, ( kL 2-2-7x“ , v , / kL 1-+J (5n+2)(5n+7)x‘"«‘„
+®‘ ТГ \.~EIL ill Г ' 'I EIL ) (5n + H)t X
n=l
X |6.8.13.18 ... (5n - 2)]} - -Ц^- + S (-1)" X
X (£l Г (5"+X5a.)l,W< I6'8'13’18 ' • • С*-2)«}+^X
/ kL 2-2-7x« , £ , kL чл+l (5n+l) (5n+2) (5n-j-7) **"♦“ IR o ,o v
Х\ЁП HI + 2j (—1) (ё7Г) --------------(5n+ll)l------[b-813 X
n=l
x 18 ... (5n - 2)I} + {±£L _ -L _ 2 (_lfx
x Ш"+1 >6-8-13-18 • • • <5-2”}+(x
X {^-+S (-1)" (-^-)“ 16.8.13.18 ... (5n - 2)1}-
n=l
n=i
X18 ... (5„ - 2И} + (-^y {±£- + s (-1)“ (-&У x
x 16.8.13.18 ... (5„ - 2))} -±(^Y {^+
570
+ S (5n+1(5n+t)l)lt"" 16-8.13.18 ... (5n-2)]}_
n=l
K aGW0 f 2-2x* kL 6-7zn , 4 чП / kL y»+l
Di EI I 61 EIL 11! ' 1; \ EIL /
»"-ад}+Мт?4-)‘ {т+
n«=l
xp±T+i ,6.8.13.18...
n=l
• • - <5» - 2)1} + M)2 {-' >“ + S <- «• (-lir)" X
X I»-8- <3« • - 2»} - £ №)’x
Г2-2-6х« i V , n„/ kL (5n+1) (5n+ 2) (5n-f- 6) x»"*«« ,e Q .
Xt 10| t-Zj ' — 1> 1 EIL I (5n+10)l P-OX
n=l
X 13.18 ... (5„ - 2))} + ^ {±^-^ <^-2 (-1)" x
x{-^ + 2 (-1)"(^)В-Щ^|6.8.13.18...(5»-2)J-
n=l
k I aGW, \2 f 2-2-51» , v z <v. / *t 1" (5n + 2) (5n + 5)x»”*» „
t 91 Г 2) (-!) \-ЁП71 ------(5n+9)l----X
n=l
XI6-8-13-18 ... (5n - 2)]} + (-^)2 { +2 (—l)nX
X ( £777 Г (5^Х+4>хЬП<е|6-8-13-18 ... (5«-2))-A ()2x
у f 2-2.5х» . nl kL (5n + 1) (5n + 2) (5n + 5) x‘"« _
xl 9i tZj (-i) (-Ё7Г) ---------------(5^+^i----------,b’sx
571
Х13.18... (5л-2)1}-^ (_lf х
х !5"^-3>(5;+X+-"l I6-8-13-18 • • • <5л - 2«}+
i bi / aGW0 \2 f 1.4.5z» , V / 4\n( *L \n (5n-H) (5n-f-5) хьп*’ v
'~\'~ЁТ~) 19! г Zl ( I eIL ) (5л+9)1 X
X [6.8.13.18 ... (5n-2)|}~(4?^)2 {2'2^fa“+i (-1)" X
x <5"+2>^;g,+5)^ (6.8.13.18 ... (Z‘-2))} +
+^(^)3 {1±5^+g (_1)П(^)П Еп+ШуЗ) (5n +
+4) x‘n+‘ [6 • 8 • 13 • 18 ... (5n — 2)1} - )2 { 2 2;ц " +
+ 3 (_!)-(_*£_)" (5"+ П(5”+;><5;+^>(5"+6)^“ [6.8.13-18...
... (5n-2)1};
w _ Tj_ kL 24jg , / ' kL \2 24-9x13 / _ 4 у» / kL An+2 v
*42u>—x EJL 8I +( EIL J i3i 2j ( 1) \eil) X
x №±^+^|И.9.14.19... p, j;;,+{_£_x
x - <5"-
n=l
— П11—Л aG>y» f 3-6-8Х» , у „I IkL \"+»(5n+3) (5n+8)..
1,1 j °* EI VEIL 121 + 2j ( 1) \EILI (5n+12)l X
n=l
X.-«42i.9-H.19...(S^-l)l) + ^-{-fc +S <-<Гх
Х(&Г' <5"+m]-'''’ l«'9-<^-4 - (5»~1)|}-^х
f kt, S.6-8*»» 1 £ . _ .. „ I kL 1"+1 (5n + 2) (5л+3) (5n+8) i>"*»
I EIL 121 ‘Г Zl 1 4 \ EIL ) (5n+12)l A
n«l
572
Х124.9.14.19...(5п-1))} + 4^{^-^Т-
-2 (-^"(^тгГ1 ^(Бп+ГГ1 124-9-14-19 ••• (5*- П1}4-
71=1
+(^)2{^+2(-1)"(^)^ 124.9.14.19,.. .(5л-
71=1
-ш}-М^)2{т+2 (-*)”№-)"
71=1
XI24-9-.4-19 ... (5л — 1))} + )’ {-^—1 2 (-0"Х
x{AF+s<-i>-(fe)'g'+rX~""iM-9-li-13--<5"-1)i)-
n=i
. «СЖ0 f 3 fc* _ kL 24-81» / kL у+» v
°* EI t 71 EIL 121 ' *' I EIL I X
x 'S-+S^t?-"”‘ 124 » « >9 <=. -1 (4^)‘X
х{^Г+2 <-<>-(^r)' l5a,T (24-9-.4. ,9... (5л-
n=i
-.»}+(5,^)!{itp+2 (-.г(А)’|5-+311У"“х
71=1
X (24-9-14-19 ... (5n-1)1} - bt ()2 { 2y + £ (-1)" x
Х(^Г)" <5n + ;Stf (24-9.14-19 ... (Sn-oO+^X
xz I I2 f 6-6.7Х» , Z_nn/ kL l»(5n + 2)(5n+3)(5n + 7)x‘"«*
X 1 EI ) t HI I" 21 1 \ EIL I (5n + ll)f X
X |M.9.«.,9 ... (5x - I,,} + 4^ (1^. - _
573
n+1 (5* 4- 4) (5n -j- 7) x»n+ii
(5^+iijj-----124-9.i4.jp ... (5n-l)|J +
j-3-5z9
91
x 19 . /е ,
1)]1 —61/_2£5A.\2r3.6.6j.l0 -
*-£*±3)(5 1 EI ' *~isr'+S (-1)n(-ezr) x
(SMTCjj----------------(24.9.14.19 ... (5n _ jjj) . x
1 91 +2 (-1)"(4* У (5n + 2)(5n + 5)l,n+.
n=f ' \ EIL ) (24-9.14-19...
6-6-6x‘O • t kr \n
10! H~ 2 ETL ) X
•(5П"1)(}^Л_/ aGW.
J 2 \~ЁГ
24-7-8Z»»
ElL 12!
— I24-9.14.19 ... (5n-l)]}—
co 7
S ( — 1 \n ( \n+1 (5n4~ 4) (5n4~ 7) (Sn 4~8)
n=! \~eTl ) (5*4-12)7
x 124.9.14 1Q ~
4» ... (5n-l)]l__i./ оСТГ, \2 f 2.3.5-6x'« . у z_ipx
k, . 1 2 \ EI ) t 1OT ryl
X ' ~ЁТГ) ” -^L+5>(5n + 6)1>я.1. ”, fc«
(5n + W)i (24-9.14-19 ... (on — 1)Г) +— x
х(^)г{Ц^+2
n=1 f \ EIL] (5*4-H)l
124 9-14.19 ..(5n—!))]__ 21_l «GW'. \2 J2-8-6-5X1* L V ( — 1)"X
x (-sfe-nt n 4Z 5n _ 1,44.
(5«4~ 11)!—----------------------[24-9-14-19 ... P"
-M_8£G1£o_12 r 6-6.6.7^11 “ , kL \n^
I 2EI ) {—ГП^+У (_1)" Mfe-) X
<8—01} =
^52(x) = 1-hL x* .
w I EIL 51 ’
V«2(ri = x-ЁТГ^—L- aGW* I ** —b —]
EIL -5Г-+—Л. ( -^-f. 5t )
ЛИТЕРАТУРА
Абелев Ю. М., Абелев М. Ю. Основы проектирования и строительства на про-
садочных макропористых грунтах. — М.: Стройиздат, 1968.
Крутов В. И. Расчет фундаментов на просадочных грунтах. — М.: Стройиз-
дат, 1972.
Мустафаев А. А. Основы механики грунтов. — М.: Стройиздат, 1978.
Мустафаев А. А. Расчет оснований и фундаментов на просадочных грун-
тах. —М.: Высшая школа, 1979.
Сорочан Е. А. Строительство сооружений на набухающих грунтах, —М.;
Стройиздат, 1974.
ИМЕННОП УКАЗАТЕЛЬ
Абелев Ю.М. 18, 21, 193 Абу Джбара Мухамед Хусейн 347 Аверьянов С. Ф. 48, 53 Айтчисон Г. 337 Алексеев Г. А. 48 Алекперов Ф. X. 3, 21 Алиев С. К. 189. 216 Ананьев В. П. 27, 344 Андреев Ю. 28 Андрухин Ф. Л. 15, 21 Арнольд М. 392 Арутюнян Н. X. 469, 470, 481, 485 Архангельский Г. И. 15, 72, 128, 541 Аскаров X. А. 225 Горбунов-Посадов М. И. 419, 431 Громова В. М. 358 Далматов Б. И. 516 Денисов Н. Я- 16, 30, 155, 330 Дерягин Б. В. 48, 330 Джонсон 376 Дингозов Г. 330 Дмитриев В. Л. 15, 128 Долгов С. И. 48 Дранников А. М. 27, 30 Дэвнд 372
Балаев Л. Г. 73. 135 Балли Р. Ж. 135 Батыгин В. И. 15, 192 Бартошевич Э. С. 389 Бауэр 3. 336 Башинджагян И. С. 344 Белоусов А. М. 328 Биндеман Н. Н. 52 Бочарова И. С. 358 Боуэлз Дж. 391, 392 Будаговский А. И. 53 Булаевский В. Ф. 32 Бутов П. И. 128 Быстров С. В. 28 Егоров К. Е. 191 Ерганджиев А. П. 385, 502 Ержанов Ж. С. 498 Жемочкин Б. Н. 419 Замарин Е. А. 128 Зарецкий Ю. К. 476, 499? Злочевская Р. И. 365 Зондерберг 464 Иванов Ю. К. 206 Ильюшин А. А. 188 Ишлинский А. Ю. 497
Веригин Н. Н. 49, 53 Весик А. 392 Воронов Ф. И. 15, 21, 29. 192 Вялов С. С. 144, 470, 487 Карапетов Г. Я. 374 Казагранд А. 182 Клепиков С. Н. 389 Коренев Б. Г. 434
Гарднер У. 47, 335—337 Гениев Г. А. 159 Герсеванов Н. М. 163, 327, 397. 446 Глаголев А. Г. 28 Глазь А. Н. 29 Гольдштейн М. Н. 145, 329, 336, 355 Коморник 372 Костяков А. Н. 48. 334. 335 Коусса Иса Деб 559 Краев В. Ф. 10 Крхтов В. И. 192. 206, 225 Крылов А. Н. 417, 431. 504 Кулабухова И. И. 49, 187
576
Ларионов А. К. 15, 17, 31
Лапшин Ф. К. 516
Леонтьев Н. Н. 380
Литтон Р. 335, 377. 386, 455. 504
Ломтадзе В. Д. 328, 329
Лыков А. В. 142
Лычев П. П. 517, 525
Мавлянов Г. А. 11, 28
Майер К. 375, 379
Маликова Т. А. 431
Мамедалиев М. Г. 541
Манвелов Л. И. 389
Маслов Н. Н. 226, 470
Месчян С. Р. 470, 499
Метерский Я. С. 344
Минзу Р. Е. 327
Миндлин Р. 516
Миронов В. В. 541
Моргенштерн Н. Р. 360
Муррей Д. В. 360
Мустафаев А. А. 119, 124, 327, 462,
552
Нгуен Нгок Бих 350
Нуттинг П. 335
Руби Эль Ханси 386, 462
Рубнн Я. 55
Рубинштейн А. Л. 97
Румянцева Н. А. 350
Саваренский Ф. П. 29
Сажин В. С. 364, 375
Санду Р. С. 360
Седлецкий И. Д. 30
Сергеев Е. М. 329
Сид 372
Симвулиди И. А. 414, 433, 445, 459
Сквалецкий Е. Н. 114
Снитко А. Н. 541
Созыкин Н. Ф. 334, 462, 534
Сорочан Е. А. 330, 343, 358
Таланов Г. П. 517, 525
Тарасов И. В. 192
Тейлор Д. 182
Тер-Мартиросян 3. Г. 354, 366, 374
Терцаги К. 391, 591
Токарь Р. А. 8
Токин А. Н. 358
Трофимов И. И. 11, 16
Туркин Г. И. 128
Тутковский П. А. II
Обручев В. А. 11
Окнина Н. А. 358
Осипов В. И. 350
Осташев Н. А. 128
Уолш 384, 385
Урбан И. В. 541
Павловский Н. Н. 125, 129
Паркер 379
Пастернак П. Л. 380, 419
Пати Д. 516
Передельский Л. В. 344
Полубаринова-Кочина П. Я- 99, 247
Покровский Г. И. 327
Полынов Б. Б. 28, 29
Привалов И. И. 506, 552
Пышкнн Б. А. 28
Работнов Ю. Н. 145, 464, 470, 479
Ребиндер П. А. 142, 147, 330
Рельтов Б. Ф. 329, 330
Реутова Н. С. 358
Ржаницын А. Р. 497, 498
Риффат 541
Ричардс Б. 359, 360
Розовский М. Н. 470, 499
Рогаткина Ж. Е. 345, 358
Рощин В. В. 367, 487
Филипп Д. 109. 187, 335
Флорин В. А. 196, 329, 434, 470, 499
Френкель Я. И. 141, 158
Хаяси К. 541
Хванг С. Т. 360
Чепик В. Ф. 358
Черный Б. И. 193
Чигниев Г. Д. 327, 462
Шагин П. П. 297
Шейдеггер А. Е. 49
Штукенберг А. 28
Щелкачев В. Н. 75
Эл 372
Юсупова С. М. 20
предметный указатель
Адсорбция 330, 331 Арочный эффект 206, 211, 255, 261 Закон экспоненциальный 250 — Хенкеля 361 Зона активная 206 — живая 20
Бугор набухания 377, 382, 407 — набухания 370 — пассивная 206 — поражения 42
Вариационные методы Лагранжа — Ритца 303 Бубнова — Галеркнна 303 Влажность 23, 24 — природная 19 — усадки 355 Вода связная 15 Водопроницаемость 25 Всасывание 335...337 — матрнческое 336 — осмотическое 336 — пленочное 336 — различных деформаций грунта 265 Изгибная жесткость 393, 400 Инвариант тензора напряжения 183 Кажущаяся связность грунта 28 Капиллярная кайма 258, 264 Капиллярно-сорбционные силы 51 Капиллярная теория Герцагн — Гер- севаиова 326 Классификация лёссовых грунтов 226
Гидрофильность 31 Гипотеза механики сплошных сред 141 Градиент фильтрации 129 Гранулометрический состав пород 15, Грунтовая среда 92 Горизонтальные перемещения грун* тов 321 Компрессионные кривые 22 Контур смачивания 201 Коэффициент бокового давления 222, 237 — влагопроводности грунта 75. 79. 162 — водонасыщення 24 — жесткости 388. 390 — сжимаемости 389 — пористости 96, 341 — постели 289, 291, 484, 541
Давление усадки 355 — уплотняющее 367 — эквивалентное 429 Деформация абсолютная 414, 421 — местная упругая 455 — общая упругая 458 — Пуассона 289 — условий работы 37 — фильтрации 25, 334 Кристаллизационные связи 17 Кристаллическая решетка 330...332, 334
— пластическая 24 Динамика процессов просадки 97 Макропоры 17. 25 Межчастичные поры 17
Закон Дарси 47, 360 — косинусоидальный 250 — кубической параболы 298 «Мертвый горизонт» 20 Минералогический состав пород 13, 31
578
Минклеровское основание 290
Метод местных упругих деформаций
2^89
— двух кривых 27
— Одной кривой 26
— комбинированный 27
— последовательных приближений
ИЗ. 553, 554
— предварительного замачивания
толши грунтов 28
— Тейлора Д. 182
— Уолша 384
— Фурье 77
Модель Андрея 337
— Сильвана 337
— Фурса — Винклера 289,- 291
Набухание грунтов 324...333
— свободное 368, 372
Начальная критическая нагрузка 230
Начальное давление просадочности
231
Осадка 21
— дополнительная 32, 232
Параметр Хабиба 183
Пластичность грунтов 20
Ползучесть 328, 464
Поровая жидкость 334
Пористость грунта 12, 18, 344
Потенциал потока 337
Поры набухания 349, 357, 372
— капиллярные 48
— некапиллярные 48
Правило Декарта 78
— Коши 504
Принцип Сен-Венана 274
Проницаемость 47, 337
Просадка 12, 22, 32
— от собственного веса грунта 32
— суффозионная 31, 32
Просадочность грунта 26, 37, 185
— относительная 26, 27, 37
Равнодействующая эквивалентной на-
грузки 244
Расчет ожидаемой просадки 36
Расчетные формулы для изменения
просадки во времени 269
---------- конечной просадки 269
Резольвента ядра ползучести 149. 471,
497
Ряд Маклорена 94, 202
— Тейлора 303
Свободно установившаяся фильтра-
ция 125
Связность лёссовых грунтов 15
Сжимаемость грунта 21
Силы дисперсионные 331
— индукционные 331
— сцепления 28
— электростатические 331
Скелет грунта 92
Скорость впитывания 334
— просадки 35
Состояние грунта увлажненное 238
---неувлажненное 238
Сопротивление сдвигу 24
— уплотнению 21
Стадия смачивания грунта 73
Степенной закон деформации 182
Степень просадочности 20
Структурная прочность грунтов 29
Суффозионные явления 42
Сцепление грунтов 222
Теорема Лейбница 78
— о среднем значении интеграла 9ОГ
93
Теория Больцмана — Вольтерра 470,.
495
— Вейштрассе 113
— Лыкова 142
— прочности Мора 227, 229, 234
— упругости 37, 258
— центробежного моделирования 172
Тип грунтовых условий 37
Угол внутреннего трения 222, 358
Удельный вес грунта 19
--- частиц 19
Удельная проницаемость грунтов 334
Уплотнение допросадочное 35
— консолидационное 181
— послепросадочное 35
Уравнение Абеля 99, 100
— динамического равновесия 168
— Лапласа 98
— распространения влаги 168
— сплошности 168
Усадка 330
Условная стабилизация набухания 490
Фаза прогрессирующего течения 237
Фазы деформации грунта 36
Физико-механическая гипотеза набу-
хания глинистых грунтов 326
Фильтрационная анизотропия 25
579
Фильтрационный поток 42. 47
— расход 84
Формула Виетта 78
— Кардана 194
— Мустафаева 128
— Павловского 129
— Покровского 327
— Таланова — Лычева 525
Функция наследственности 144
Химический состав пород 14
Центробежное моделирование 181
Число Рейнольдса 47, 49
Эквивалентная задача 434
— нагрузка 244
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................................................... 3
Основные условные обозначения 5
Введение.............................................................. 7
Раздел I. Фундаменты на просадочных грунтах...................10
Глава 1. Природа, состав, физико-механические и просадочные свойства
лессовых грунтов..............................................10
1.1. Природные особенности лессовых просадочных грунтов ... 10
1.2. Состав и структура лессовых просадочных грунтов .... 13
1.3. Физико-механические характеристики лессовых просадочных грун-
тов ..............................................................18
1.4. Природа, сущность и характер протекания просадочных деформа-
ций ..............................................................28
1.5. Принятая методика прогноза просадки..........................36
Глава 2. Теоретические основы процессов увлажнения и просадки лессовых
грунтов................................................................38
2.1. О физической природе явления просадки........................38
2.2. Возможные постановки задач о просадке........................45
2.3. Закономерности движения влаги в грунтах при неполном их во-
доиасыщении...................................................... 46
2.4. Обобщенный закон Дарси. Уравнение насыщенности грунта 50
2.5. Методы решения уравнения насыщенности грунта .... 57
2.6. О некоторых упрощенных приемах решения уравнения насыщен-
ности грунта......................................................65
2.7. Одномерное неустановившееся движение сплошного фильтрацион-
ного потока (задача В. В. Ведерникова — П. Я. Полубариновой-
Кочиной)......................................................68
2.8. Дифференциальное уравнение процесса увлажнения лессовых
грунтов (без учета просадки) ................................ 71
2.9. Одномерное увлажнение толщи лессовых грунтов................76
2.10. Экспериментальный метод определения коэффициента влагопро-
водности .........................................................79
2.11. Двухмерное увлажнение толщи лессовых грунтов .... 80
2.12. Дифференциальное уравнение процесса увлажнения лессовых
грунтов (с учетом просадки) ...................................... 86
2.13. Уравнение неразрывности просадочных деформаций .... 91
2.14. Фронт смачивания при просадке...............................96
2.15. Распространение влаги при просадке.........................103
2.16. Приближенный метод решения нестационарных задач увлажнения
толщи просадочных грунтов........................................107
Глава 3. Закономерности деформирования лессовых грунтов в условиях
природного напряженного состояния...............................118
581
3.1. Закономерности динамики просадки...........................118
3.2. Закономерности инфильтрации в процессе просадки 124
3.3. Влияние геометрии источника увлажнения на динамику просадки 128
3.4. Взаимосвязь просадки с инфильтрацией........................131
3.5. Влияние режима увлажнения на закономерности инфильтрации н
просадки........................................................136
3.6. Критериальные соотношения процессов инфильтрации и просадки 137
Глава 4. Реологические основы механики просадочных грунтов 140
4.1. Основные физические предпосылки механики сплошной среды 140
4.2. Реологическая природа процесса просадки.................142
4.3. Обработка результатов опыта теорией линейной наследственной
ползучести...................................................148
4.4. Реологические модели просадочного грунта................154
4.5. Дифференциальные уравнения процесса просадки............157
4.6. Замыкающее уравнение....................................161
4.7. Начальные и граничные условия процесса просадки 161
4.8. Метод анализа уравнений для установления критериев подобия
процесса просадки...........................................168
4.9. Метод анализа размерностей для установления критериев подобия
процесса просадки...........................................173
4.10. Экспериментальные исследования процесса просадки в центробеж-
ном силовом поле.................................................. 177
Глава 5. Инженерные методы прогноза просадки...................182
5.1. Зависимость между относительной просадкой и уплотняющим на-
пряжением ........................................................182
5.2. Функция влажности при одномерном увлажнении толщн лес-
совых грунтов 185
5.3. Начальное давление просадки.............................187
5.4. Начальная влажность просадки............................192
5.5. Условия возникновения просадки..........................197
5.6. Прогноз периодов возникновения и стабилизации просадки. Изме-
нение просадки во времени 199
5.7. Прогноз динамики просадки с учетом «арочного эффекта» 206
5.8. Прогноз конечной просадки в условиях природного напряженного
состояния......................................................... 210
5.9. Проверка достоверности расчетных формул по результатам на-
турных опытов 211
5.10. Прогноз конечной просадки в основаниях зданий и сооружений 213
5.11. Закономерности просадки в основаниях жестких фундаментов 217
Глава 6. Прочность и несущая способность просадочных грунтов 22?
6.1. Параметры прочности просадочных грунтов......................... 222
6.2. Критерий просадочности лессовых грунтов......................... 225
6.3. Прочность просадочных грунтов................................., 227
6.4. Несущая способность просадочных грунтов.......................* 229
6.5. О принципе «наложения» в расчетах просадки...................233
6.6. Принцип «эквивалентности»......................................234
6.7. Графическая интерпретация принципа «эквивалентности». Формула
эквивалентной нагрузки ............................................ 237
Глава 7. Прогноз просадки при подъеме уровня подземных вод 246
7.1. Состояние вопроса............................................246
7.2. Аналитическое описание изменения очертаний бугра подземных вод
во времени.......................................................247
7.3. Влияние просадки на природное напряженное состояние лессового
грунта...........................................................251
7.4. Расчетная схема для равномерного подъема уровня подземных вод 256
582
7.5. Расчетная схема для местного куполообразного подъема уровня
грунтовых вод....................................................262
7.6. Условия «вторжения» подземного потока в активную зону основа-
ний ..................................................... ..... 265
7.7. Прогноз просадки в условиях природного напряженного состояния
лессового грунта.................................................267
7.8. Прогноз просадки в основаниях сооружений.....................27!
Глава 8. Расчет фундаментов на просадочных грунтах 289
8.1. О модели местных упругих деформаций грунтов основания 289
8.2. Закономерности изменения жесткости увлажняемых просадочных
грунтов в основаниях зданий н сооружений........................ 292
8.3. Дифференциальное уравнение поперечного изгиба ленточных фун-
даментов на просадочных грунтах первого типа.....................301
8.4. Построение общего решения задачи.............................303
8.5. Дифференциальное уравнение продольно-поперечного изгиба лен-
точных фундаментов на просадочных грунтах второго типа 311
8.6. Построение общего решения задачи............................313
8.7. Расчет ленточных фундаментов на просадочных грунтах второго
типа.............................................................315
Раздел II. Фундаменты на набухающих грунтах . . 324
Глава 9. Природа набухающих глинистых грунтов и закономерности их
деформирования......................................................324
9.1. Природа н механизм процесса набухания глинистых грунтов 324
9.2. Закономерности инфильтрационного поглощения влаги в глинистых
грунтах..........................................................333
9.3. закономерности деформирования глинистых грунтов при набухании
и усадке.........................................................343
Глава 10. Прогноз напряженно-деформированного состояния глинистых
грунтов при нх набухании............................................359
10.1. Математическая формулировка задачи о напряженно-деформиро-
ванном состоянии набухающих грунтов..............................359
10.2. Принятая методика прогноза деформации оснований, сложенных
набухающими грунтами.............................................362
10.3. Другие рекомендации для прогноза набухания в основаниях со-
оружений ........................................................364
10.4. Определение зон деформаций в основаниях зданий и сооружений 368
10.5. О характере деформаций поверхности набухающих грунтов осно-
ваний ...........................................................373
Глава 11. Расчет фундаментов на набухающих грунтах согласно модели
местных упругих деформаций..........................................377
11.1. Состояние вопроса.........................................377
11.2. О коэффициенте жесткости набухающих грунтов основания 388
11.3. Математическая постановка задачи расчета ленточных фундамен-
тов на набухающих грунтах.......................................392
11.4. Построение общего решения сформулированной задачи 397
11.5. Изгиб балочного фундамента на набухающих грунтах под дейст-
вием равномерно распределенной нагрузки.........................402
11.6. Примеры расчета балочных фундаментов......................407
11.7. Расчетная модель воздействия деформаций набухания и усадки
на гибкие ленточные фундаменты..................................414
11.8. Математическая формулировка задачи расчета ленточных фун-
даментов на воздействие набухания и усадки грунтов основания 415
11.9. Построение общего решения сформулированной задачи 417
583
Глава 12. Расчет фундаментов на набухающих грунтах, согласно модели
эквивалентных нагрузок .............................................
12.1. Модель эквивалентных нагрузок............................
12.2. Расчетные схемы ленточных фундаментов на набухающих грун-
тах при различных случаях расположения источника увлажнения
основания ......................................................
12.3. Выбор метода расчета.....................................
12.4. Переход от условных эпюр к реальным......................
12.5. Расчет ленточных фундаментов методом местных упругих дефор-
маций ..........................................................
12.6. Расчет ленточных фундаментов методом общих упругих дефор-
маций ..........................................................
12.7. Примеры расчета гибких ленточных фундаментов на воздействие
. набухания ....................................................
419
419
423
431
434
437
442
454
Глава 13. Реология набухающих грунтов..................................461
13.1. Постановка экспериментальных исследований по Изучению реоло-
гической особенности деформирования глинистых грунтов при их
набухании..........................................................461
13.2. Обработка результатов опытов согласно теории старения . 464
13.3. Обработка результатов опытов согласно теории линейной наслед-
ственной ползучести.......................................... ... 470
13.4. Обработка результатов опытов согласно теории нелинейной на-
следственной ползучести............................................478
13.5. Исходные предпосылки для прогноза деформации набухания в ос-
нованиях сооружений................................................484
13.6. Прогноз изменения набухания в основаниях сооружений 487
13.7. Решение примеров по предлагаемой методике.....................491
Глава 14. Расчет фундаментов на набухающих грунтах с учетом реологи-
ческой особенности их деформирования...........................494
14.1. Еще раз о теории наследственной реологии...................494
14.2. Уравнение изгиба ленточных фундаментов на набухающих грунтах 499
14.3. Построение общего решения сформулированной задачи 503
14.4. Расчет ленточных фундаментов на различные воздействия набуха-
ния грунтов основания.......................*....................508
14.5. Решение численных примеров.................................511
Глава 15. Влияние набухания грунтов основания на напряженно-деформи-
рованное состояние одиночных свай....................................515
15.1. Необходимые для расчета зависимости........................515
15.2. Определение зоны набухания вокруг висячих свай 517
15.3. Определение ожидаемой величины подъема грунта вокруг оди-
ночных висячих свай..............................................518
15.4. Три характерных случая расположения набухающего слоя грунта 519
15.5. Дифференциальное уравнение вертикально загруженных одиноч-
ных свай в глинистых набухающих грунтах..........................521
15.6. Построение решения для первого участка сваи...............524
15.7. Построение решения для второго участка сваи...............524
15.8. Определение постоянных интегрирования.....................525
15.9. Свая в неоднородной грунтовой среде .... 527
15.10. Предельная нагрузка на сваю..............................531
15.11. Определение напряжений по длине сваи.....................532
15.12. Определение положения нейтральной точки..................533
15.13. Определение силы выпора..................................534
15.14. Решение численных примеров по рекомендуемым формулам 535
15.15. Продольно-поперечный изгиб одиночных гибких свай в набухаю-
щих грунтах......................................................539
15.16. Случай действия на сваю только горизонтальной нагрузки 545
584
15.17. Поперечный изгиб сваи без учета влияния давления набухания 546
15.18. Поперечный изгиб сваи ниже набухающего слоя грунта 550
15.19. Поперечный изгиб сваи в набухающем слое грунта 552
15.20. Определение неизвестных начальных параметров задачи 557
Заключение......................................... . . . 560
Приложение. Выражение для функций ^.„(х) для первого и второго при-
ближений ..........................................................564
Литература ... . 575
Именной указатель 576
Предметный указатель 578
CONTENTS
Preface.......................................................... 3
Basic symbols.................................................... 5
INTRODUCTION..................................................... 7
Section I. Foundations on subsiding soils .10
Chapter 1. Nature of loess soils their composition physico-mechanical and
subsiding properties..........................................................10
1.1. Natural characteristic properties of loess subsiding soils ... 10
1.2. Composition and structure of loess subsiding soils .... 13
1.3. Physico-mechanical characteristics of loess subsiding soils ... 18
1.4. Nature, essence and character of subsiding deformations proceeding 28
1.5. Accepted technique for subsidence forecast...........................36
Chapter 2. Theoretical background for moistening and subsiding processes in
loess.........................................................................38
2.1. On physical nature of subsidence phenomenon.....................38
2.2. Possible formulation of problems on sunsidence..................45
2.3. Mechanism of moisture flowing in unsaturated soils .... 46
2.4. Generalysed Darcy’s Law. Equation for soils saturation ... 50
2.5. Methods for solution of soil saturation equation................57
2:6. On some simplified methods for solution of soil saturation equation 65
2.7. One-dimentional non-steady movement of continuous filtrational
flow (problem by V.. V. Vedernikov — P. Ya. Polubarinova — Ko-
china)....................................................................68
2.8. Differential equation for process of moistening of loess (subsidence
is not taken into account)..........................................71
2.9. One-dimentional moistening of loess soil mass....................76
2.10. Experimental method for determining of moisture permeability coef-
ficient ..................................................................79
2.11. Two-dimentional moistening of loess mass............................80
2.12. Differentia! equation for process of moistening of loess (subsidence
is taken into account)....................................................86
2.13. Equation for continuity of subsidding deformations .... 91
2.14. Wetting front at subsidence........................................96
2.15. Propagation of moisture at subsidence.............................103
2.16. Approximate method for solution of non-stationary problems on
moistening of subsiding soil mass.................................107
Chapter 3. Mechanism of deformation of loess soils under conditions of natu-
ral stressed state...........................................................118
31. Mechanisms of subsiding dynamics..................................118
586
3.2. Mechanisms of infiltration in subsiding process........................124
3.3. Effect of geometry of moistening source on subsiding dynamics 128
3.4. Relationship between subsidence and infiltration.......................131
3.5. Effect of moistening regime on infiltration and subsidence mecha-
nisms ......................................................................136
3.6. Criteria! equations for infiltration and subsidence processes 137
Chapter 4. Rheological Background for subsiding soils mechanics 140
4.1. Basic physical preconditins for continuum mechanics 140
4.2. Rheological nature of subsidence process...............................142
4.3. Processing of experimental results by means of linear hereditary
creep theory......................................................... 148
4.4. Rheological models of subsiding soil ..................................154
4.5. Differential equation for subsidence process...........................157
4.6. Closed system of equations.............................................161
4.7. Initial and boundary conditions of subsidence process 164
4.8. Method for analysis of equation for determination of similarity cri-
teria of subsidence process.................................................168
4.9. Method of dimentional analysis for determination of similarity
criteria of subsidence process..............................................173
4.10. Experimental study of subsidence process in centrifugal-force field 177
Chapter 5. Engineering methods of subsidence forecast..........................182
5.1. Relationship between relative subsidence and compacting pressure 182
5.2. Function of moisture content at one-dimentional moistening of loess
soil mass......................................................185
5.3. Initial pressure of subsidence...........................187
5.4. Initial moisture content of subsidence...................192
5.5. Conditions for subsidence beginning......................197
5.6. Forecast of periods of beginning and stabilization of subsidence.
Time variations of subsidence...............................................199
5.7. Forecast of subsidence dynamics providing for “arching” 206
5.8. Forecast of final value of subsidence under conditions of natural
stressed state.........................................................210
5.9. Validation of design formulae, based on results of field experiments 211
5.10. Forecast of final value of subsidence in the bases of buildings and
structures..................................................................213
5.11. Mechanisms of subsidence in the bases of rigid foundations 217
Chapter 6. Strength and bearing capacity of subsiding soils .... 222
6.1. Strength parameters of subsiding soils...............................222
6.2. Subsidence criterion of loess soils.................................225
6.3. Strength of subsiding soils.........................................227
6.4. Bearing capacity of subsiding soils ..................229
6.5. On “superposition” principle in subsidence design....................233
6.6. “Equivalence” principle.............................................234
6.7. Graphical interpretation of “equivalence” principle. Equivalent pres-
sure formula..............................................................237
Chapter 7. Forecast of subsidence under conditions of subsurface water level
rising.........................................................................246
7.1. State of Art........................................................ 246
7.2. Analytical description of temporal shape variations of subsurface
water mound.........................................................247
7.3. Effect of subsidence on natural stress strained state of loess soil 251
7.4. Calculated scheme for uniform rise of subsurface water level 256
7.5. Calculated scheme for local domelike rise of subsurface water level 262
7.6. Conditions for “intruding” of subsurface flow into the active zone of
587
foundation soils..................................................... 265
7.7. Forecast of subsidence under conditions of natural stressed state of
loess.....................................................................267
7.8. Forecast of subsidence in the bases of foundations..................271
Chapter 8. Design of foundations on subsident soils.........................289
.8.1. On method of local elastic deformations of foundation soils 289
8.2. Mechanism of rigid variations of subsiding soils when moistening in
the bases of foundations and structures...................................292
8.3. Differential equation for lateral bending of strip foundations on sub-
siding soils of the first type............................................301
8.4. Construction of general solution of problem.........................303
8.5. Differential equation of transverse-longitudinal bending of subsiding
soils of the second type..................................................311
8.6. Construction of general solution of problem.........................313
8.7. Design of strip foundations on subsiding soils of the second type 315
Section II. Foundations on swelling soils.....................................324
Chapter 9. Nature of swelling clay soils and mechanism of their deformation 324
9.1. Nature of clay soils and mechanism of their swelling .... 324
9.2. Mechanism of infiltrational absorption of moisture in clay soils 333
9.3. Mechanisms of deformation in clay soils in swelling and subsiding
processes............................................................... 343
Chapter 10. Prediction of stressed-strained state of clay soils at swelling 35J>
10.1. Mathematical formulation of problem on stressed-strained state of
swelling soils............................................................359
10.2. Accepted procedure for the forecast of deformations in bases, com-
posed of swelling soils...................................................362
10.3. Some recommendations, concerning forecast of swelling in founda-
tion soils................................................................364
10.4. Determination of deformation zones in the bases of buildings and
structures........................................................... . 368
10.5. On character of surface deformations of foundation soils at swelling 373
Chapter 11. Foundation design on swelling soils by model of local elastic
deformations..................................................................377
11.1. State of Art........................................................377
11.2. On stiffness coefficient for swelling foundation soils .... 388
11.3. Mathematical formulation of problem for design of strip foundations
on swelling soils.........................................................392
11.4. Construction of general solution for problem formulated 397
11.5. Bending of beam foundations on swelling soils under effect of
uniformly distributed pressure............................................402
11.6. Examples of beam foundations design.............................407
11.7. Calculated model of effect of swelling deformations and shrinkage
on flexible strip foundations.............................................414
11.8. Mathematical formulation of Droblem on design of strip foundations
for swelling and shrinkage effect of foundation soils 415
11.9. Construction of general solution for problem formulated . 417
Chapter 12. Foundation design on swelling soils by model of equivalent
pressures......................................................................419
12.1. Model of equivalent pressures..................................... 419
12.2. Design schemes for strip foundations on swelling soils at various
cases of humidification source location...................................423
12.3. Selection of design procedure.......................................431
12.4. Transition from arbitrary to real diagrams..........................434
588
12.5. Design of strip foundation by method of local elastic deformations 437
12.6. Design of strip foundations by method of general elastic defor*
mations..................................................................442
12.7. Examples of design of flexible strip foundations for effect of
swelling.................................................................45Ф
Chapter 13. Rheology of swelling soils.......................................461
13.1. Performing experimental study of rheological characteristic proper*
ties of clay soils deformation at swelling..........................461
13.2. Processing of experimental data by ageing theory .... 464
13.3. Processing of experimental data by theory of linear hereditary creep 470
13.4. Processing of experimental data by theory of non-linear hereditary
creep....................................................................478
13.5. Preconditions for forecast of swelling deformation in the bases of
foundations..............................................................484
13.6. Solution of problems according to technique proposed 487
13.7. Forecast of swelling variations in the bases of structures . . 491
Chapter 14. Foundations design on swelling soils, providing for rheological
characteristic properties of their deformations................................494
14.1. Once again on theory of hereditary rheology..........................494
14.2. Bending equation for strip foundations on swelling soils . 499
14.3. Construction of general solution of formulated problem . 503
14.4. Design of strip foundations for various effects of swelling in foun-
dation soils..............................................................508
14.5. Solution of numerical examples.......................................511
Chapter 15. Effect of foundation soils swelling on stress-strained state of
single piles.................................................................515
15.1. Relationship, necessary for design................................515
15.2. Determination of swelling zones around friction piles . . 517
15.3. Determination of expected value of soil rise around single friction
piles...................................................................518
15.4. Three typical cases of location of swelling soil layers . . . 519
15.5. Differential equation for vertically loaded single piles in clay
swelling soils.....................................................521
15.6. Construction of solution for first section of pile............524
15.7. Construction of solution for second section of pile .... 524
15.8. Determination of integration constants........................525
15.9. Pile in non-homogeneous subsurface environment .... 527
15.10. Ultimate pile loading .... 531
15.11. Determination of pressures by pile length....................532
15.12. Determination of neutral point position......................533
15.13. Determination of air gate force..............................534
15.14. Solution of numerical examples by recommended formulae . 535
15.15. Transverse-longitudinal bending of single flexible piles in swelling
soils...................................................................539
15.16. Case, when only horizontal load effects pile...................545
15.17. Lateral bending of pile without taking into account effect of swel-
ling pressure...........................................................546
15.18. Lateral bending of pile beneath swelling soil layer .... 550
15.19. Lateral bending of pile in swelling soil layer..................552
15.20. Determination of unknown initial parameters of problem . . . 557
Conclusion . . 560
Appendix .... 564
References ..............575
INFORMATION ABOUT THE AUTHOR
Mustafayev A. A. ‘‘Foundations on subsiding and swelling soils". For the first
time examined are the problems of moistening and subsiding processes in loess
soils as well as soil deformations in the bases of structures, caused by these proces-
ses and problems related to strength and stability of structures, as opposed to the
existing investigations carried out in this field. Presented are design methods for
the forecast of subsidence, methods for determining of stressed-strained state of
soils at swelling in accordance with theory of hereditary rheology.
The book is intended for scientific workers, engineers and technicians of research
and design organizations.
Mustafayev Abbas Aliyevich — Dr. Sc. (Eng.), Chair head at Civil Engineering
Institute in Azerbaijan. He has more than 200 published papers in the USSR and
abroad, among them monographs, concerning subsiding soils mechanics — "Princip-
les of subsiding soils mechanics" (Moscow, 1978), "Design of bases and foundations
on subsiding soils" (Moscow, 1979), "Deformation of salinated soil in foundation
bases” (Moscow, 1985) and some others.
The author of the book is the participant of all international congresses since
1969 as well as European conferences on soil mechanics and foundation engineering
(1969 — Mexico, 1971—Bucharest, 1972 — Madrid, 1975 — Istanbul, 1977 — Bang-
kok, 1977 — Kanpour, 1977 — Varna, 1980 — Varna, 1980 — Denver, 1981—Stock-
holm, 1983 —Helsinki, 1984 — Budapest, 1984 — Adelaida, 1985 — San-Francisco,
1987 — New-Delhi, 1988 — Beijing, 1988 —Coventry). Member of the Presidium of
the USSR National Committee of international societies on soil mechanics and
foundation engineering.
Учебное издание
Мустафаев Аббас Алиевич
ФУНДАМЕНТЫ НА ПРОСАДОЧНЫХ
И НАБУХАЮЩИХ ГРУНТАХ
Зав. редакцией Б. А. Ягупов
Редактор Т. Ф. Мельникова
Художественный редактор М. Г. Мицкевич
Художник И. В. Тыртычный
Технический редактор Г. А. Виноградова
Корректор Г. А. Чечет кика
ИБ № 7578
Изд. № Стр-563. Сдано в набор 15.05.89. Подп. в печать 03.10.89. Формат 60X88/16.
Бум. кн.-журн. нмп. Гарнитура Литературная. Печать офсетная. Объем 36,26. усл. печ. л. 36,26.
усл. кр.-отт. 38,73 уч. изд. л. Тираж 15 000 экз. Зак. 1109. Цена 1 р. 70 к.
Издательство <Высшаа школа», 101430, Москва, ГСП-4, Неглиииаа ул., д. 29/14.
Набрано в московской типографии № 11 при Госкомпечати СССР.
113105, Москва, М-105, Нагатинская ул.. 1. Отпечатано с мелованных оттисков
в московской типографии № 8 при Госкомпечати СССР.
101898. Москва, Центр. Хохловский пер., 7. Тип. эак. 1724.