ABRAHAM—BECKER
THEORIE
DER ELEKTRIZITAT
BAND I
EINFtfHRUNG IN DIE
MAXWELLS С HE THEORIE
DER ELEKTRIZITAT
19 82
LEIPZIG-B. G. TEUBNER—BERLIN

АБРАГAM—БЕККЕР
ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСТВА
ПЕРЕВОД С НЕМЕЦКОГО
В. А. ФЛОРЕНСКОЙ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Т. П. КРАВЦА
ОНТИ • ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ОБЩЕТЕХНИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ЛЕНИНГРАД • 1936 • МОСКВА

Книга является переводом с немецкого книги Абрагама „Theorie der
Elektrizit'at* в переработке Беккера. Она посвящена изложению основ теории
электричества в векторном изложении. В вводной главе даны основные све-
сведения без векторного анализа. Далее идет изложение теории электрического
и магнитного полей. В конце книги изложены начала максвелловской теории
электричества.
Книга является учебным пособием по теории электричества для вузов
и втузов.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ВОСЬМОМУ ИЗДАНИЮ.
В 1894 г. появилось „Введение в теорию Максвелла" Феппля. Через
десять лет вышло заново переработанное Максом Абрагамом второе
издание, в качестве первого тома его „Теории электричества". С тех
пор для целого поколения физиков „Абрагам и Феппль" был самым ходо-
ходовым руководством при изучении основ теории электричества. Большое
число изданий, появившихся еще при жизни Макса Абрагама, свиде-
свидетельствует о том, как высоко ценится его книга преподавателями и уча-
учащимися,
В новом издании я считал своей обязанностью в основном сохранить
оправдавший себя общий план книги; некоторые места остались без
изменения. Однако внутри отдельных глав я решил произвести суще-
существенные изменения; при этом я старался сильнее оттенить конкретное
физическое содержание по сравнению с чисто формальными утвержде-
утверждениями теории. Для большей наглядности изложения число рисунков
увеличено более, чем в пять раз.
По сравнению со старыми изданиями добавлены §§ 40 и 41, касаю-
касающиеся электрострикции, а также §§ 74 до 76, касающиеся термодина-
термодинамики энергии поля. Теория скин-эффекта развита далее (§ 66), теория:
волн вдоль провода распространена на случай конечного сопротивле-
сопротивления проводов (§§ 69 и 70). К изложению величин переменного тока при-
применена употребительная в технике векторная диаграмма. Совершенно
выпущено изложение электрических токов как циклической системы.
Содержание двух последних глав последних изданий (ферромагнитные
тела и явления индукции в движущихся телах) частью перенесено
в другие места текста.
В выборе единиц мер я всецело придерживался последнего издания
Абрагама. Всюду применяется Гауссова система мер, в которой плотность
энергии в пустоте равна
и которая диэлектрическую постоянную и магнитную проницаемость
пустоты полагает равной единице. В настоящее время невозможно удо-
удовлетворить в выборе системы мер требованиям одновременно электро-
электротехники и физики, потому что „электротехническое" и „физическое"
понимания теории Максвелла различаются не только обозначениями, но
и по существу. При этом техническое понимание гораздо теснее при-
примыкает к первоначальной форме теории Максвелла — Фарадея, чем
к современной физике.

Предисловие
Электротехник считает (и в пустоте) векторы Е и D величинами,
различными по существу и находящимися в таком же соотношении, как
растягивающее усилие и растяжение в теории упругости. С этой точки
зрения является, конечно, сомнительным, когда в изложении основных
положений множитель пропорциональности е в соотношении D = sE
полагается для безвоздушного пространства равным единице, и когда
благодаря этому искусственно достигается одинаковость в размерности
величин D и Е. Наоборот, современная физика совершенно отказалась
от того принципиального различия между D и Е, котороз было тесно
связано с механической теорией эфира. Она считает электромагнитное
состояние в любой точке безвоздушного пространства вполне описан-
описанным заданием одного электрического вектора Ей одного магнит-
магнитного вектора В (или Н). Существующее в Гауссовой системе мер числен-
численное совпадение Е и D (в пустоте) для физика является не результа-
результатом произвольного определения, а выражением действительного тожде-
тождества обеих величин. Напротив, введение отличных от единицы диэлек-
диэлектрической постоянной и магнитной проницаемости в пустоте ему кажется
искусственным вычислительным приемом электротехника, с помощью
которого последний приводит формулы к виду, удобному для его прак-
практических целей.
В конце книги помещена наглядная сводка главных формул.
Считаю своим долгом сердечно поблагодарить инж. Орована за его
неутомимую и ценную помощь при обработке книги, а также за чтение
корректур.
Берлин, Февраль 1930 г. Р. Беккер.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮ.
Девятое издание дополнено собранием примерно 100 задач с реше-
решениями. В остальном, за исключением небольших поправок и исправле-
исправления опечаток, оно представляет перепечатку восьмого издания. Каждому
читателю, который желает хорошо овладеть основами теории электри-
электричества, рекомендуется внимательная проработка задач.
Утомительный труд подбора и обработки задач произведен глав-
главным образом инж. Орованом, которому я приношу глубокую благодар-
благодарность.
Берлин, Февраль 1932 г. Р. Беккер.

ВВЕДЕНИЕ.
Теория электрических и магнитных явлений основывалась до высту-
выступления Максвелла на представлении дальнодействия между телами,
наэлектризованными, намагниченными или такими, по которым текут
электрические токи. В этом отношении отклонялись от воззрения всех
физиков только воззрения Фарадея. Но Фарадей не владел мате-
математическим анализом настолько, чтобы дать своим представлениям
исчерпывающую и свободную от противоречий форму, которая возвы-
возвысила бы их до степени теории; впрочем, его представления об электри-
электрических явлениях и их описание имели все же математический харак-
характер, хотя он при этом и не пользовался математическим языком фор-
формул. Только Максвеллу удалось это, и он создал, облекая идеи Фарадея
в строго математические формы, учение, которое в самом основании
своем существенно отличалось от теории дальнодействия, при даль-
дальнейшем же своем развитии отклонялось от нее все дальше.
Открытия Генриха Гертца дали доказательство того, что действи-
действительно в диэлектрике, в частности в безвоздушном пространстве, про-
происходят электромагнитные процессы. О тех пор основные представле-
представления теории Максвелла были приняты всеми физиками. Каковы же те
признаки, которые отличают Максвеллову теорию поля от теорий даль-
дальнодействия?
Основными представлениями учения Максвелла можно считать
следующие:
1. Представление, что электрические и магнитные действия тела
на другое отделенное от него тело происходят посредством промежу-
промежуточного пустого или заполненного материей пространства.
2. Что место нахождения электрической (соответственно — магнитной)
энергии нужно искать не только в наэлектризованных, намагниченных
телах или телах, по которым текут электрические токи, но тадже —
и в значительно большей степени — в окружающем поле.
3. Что электрический ток в незамкнутой цепи дополняется током
смещения в диэлектрике до замкнутого потока, и что этот ток смеще-
смещения так же, как и ток проводимости, сопровождается соответственным
магнитным полем.
4. Что поток магнитной индукции не имеет никаких источников,
т. е., другими словами, что нигде не может проявляться „истинного"
магнетизма.
5. Что световые волны суть электромагнитные волны.
Сам Максвелл дал уравнения поля между прочим и в терминах
теории кватернионов; однако, в основном он пользуется обычными прямо-
прямоугольными координатами. Но при последнем способе связь между фор-

8 Введение
мулами делается более сложной. Большая наглядность достигается при
применении векторного исчисления. Затруднения, связанные с изуче-
изучением векторного исчисления, с избытком уравновешиваются теми
преимуществами, которые дает этот метод. Это есть действительно
единственный метод, который с легкостью приспособляется ко всем
требованиям задачи, когда речь идет о том, чтобы точно выразить
представления Фарадея о нотоке сил. Мы ставим поэтому теорию век-
векторов и векторных полей во главу этой книги. Данный способ пред-
представления применяется теперь почти всеми исследователями, работаю-
работающими в области электродинамики. Этим методом, который полезен
также в механике твердых тел и в гидродинамике, мы всюду будем поль-
пользоваться в следующих главах.

А. ВЕКТОРЫ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ.
I. ВЕКТОРЫ.
§ 1. Определение вектора. Уравнения физики являются в конеч-
конечном счете соотношениями между непосредственно измеряемыми вели-
величинами. Измерение показывает, сколько раз в измеренной величине
содержится мера, принятая за единицу. Единицу измерения можно
выбрать произвольно. Но можно также свести ее к ранее установлен-
установленным единицам, с которыми она связана некоторым уравнением. Реше-
Решение этого уравнения относительно новой единицы называют ее размер-
размерностью по отношению к остальным единицам. Так называемая абсо-
абсолютная система мер строится на трех основных единицах: единицах
длины, массы и времени. Но каковы бы ни были единицы, положен-
положенные в основу системы, всегда обе части уравнения должны быть
равны не только по своему численному значению, но и по размер-
размерности. В самом деле, различие размерностей имело бы следствием,
что при изменении основных единиц нарушилось бы равенство числен-
численных значений. Это требование используется в практике физического
вычисления как первая проверка правильности уравнения.
Простейшие физические величины вполне определяются при вы-
выбранной единице меры посредством одного числа. Они называются
скалярами. Таковы, например, масса, температура, градус Цельсия.
Существуют однако величины, которые не принадлежат к классу
скаляров. Так, для установления конечного положения точки, сдви-
сдвинутой из некоторого начального положения, необходимо знание трех
чисел,—скажем, трех прямоугольных координат по отношению к осям,
проведенным через начальную точку. Можно было бы с самого начала
производить вычисления со скалярными составляющими смещения, не
вводя формально новых величин. Но таким образом нельзя было бы,
во-первых, выразить вполне понятное физически единство смеще-
смещения; во-вторых, избранием координатной системы с самого начала
вносится чуждый элемент, который с самым смещением ничего общего
не имеет. Поэтому мы введем смещение как величину нового рода и
установим для нее правила вычисления. Только в том случае, когда
мы от формул перейдем к определению численных значений, будет
необходимо вводить определенную координатную систему.
Будем называть векторами прямолинейные смещения точек, а равна
и все физические величины, совокупность коих может быть изображена
в виде совокупности прямолинейных смещений, подобно тому, как
значения скаляра представляются отрезками прямой; при этом все

10
Векторы и векторные поля
Рис. 1. Сложение
двух векторов.
векторы удовлетворяют тем же правилам сложения, как и изобра-
изображающие их смещения.
Со строгим признаком того, является ли величина вектором, мы
познакомимся в § 3.
§ 2. Сложение и вычитание векторов. При определении вектора
сложение векторов было сведено к суммированию прямолинейных сме-
смещений. Рассмотрим два вектора А и В одинакового
рода и размерности. Для того чтобы их сложить,
представим себе движущуюся точку, находящуюся
вначале в положении 1 (рис. 1). Пусть точке дано
сначала смещение A, 2), которое подлине, направле-
направлению и знаку представляет вектор А; затем из положе-
положения B) пусть она передвигается на расстояние B,3),
которое по длине, направлению и знаку представляет
вектор В. Результат получается тот же самый, что
и при смещении из A) в C). Непосредственное прямо-
прямолинейное смещение из A) в C) называется равно-
равнодействующей или геометрической суммой
обоих смещений A, 2) и B, 3). Она представляет век-
вектор С, который, согласно определению § 1, являясь
равнодействующей или суммой векторов А и В, должен быть обо-
обозначен
С = А + В. A)
Если произвести сначала смещение В (рис. 2), а затем смеще-
смещение А, то движущаяся точка описывает путь A43), который вместе
<€ путем A23) образует параллелограм. Следовательно, равнодействую-
равнодействующая смещений В и А, так же как и равнодействующая смещений А
и В, представляется диагональю A3)
этого параллелограма (рис. 2).
Таким образом сложение векторов сле-
следует коммутативному закону:
геометрическая сумма двух
векторов не зависит от порядка
слагаемых Рис. 2. Сложение и вычитание
векторов.
A + B = B-f A. B)
Закон параллелограма при сложении, представленный на рис. 2,
характерен для тех величин, которые мы называем векторами. Суще-
Существуют однако величины, которые также имеют длину, направление и
знак, и которые тем не менее, в установленном здесь смысле, нельзя
рассматривать как векторы, так как их сложение следует другому
закону. Так, например, как известно из кинематики, бесконечно малые
вращения твердой системы вокруг неподвижной точки представляются
векюрами, ибо сложение таких вращений повинуется закону паралле-
параллелограма; наоборот, конечное вращение нельзя рассматривать как век-
вектор, потому что сложение вращений совершается более сложным
образом. Как учит статика, силы, действующие на материальную точку,
следуют при сложении закону параллелограма. Значит, эти силы суть
векторы.

Единичные и составные векторы, составляющие 11
Если рассмотреть смещения, аддитивно сложенные из векторов А,
В и С (рис. 3), то можно легко убедиться в том, что для сложе-
сложения векторов справедлив ассоциативный закон
(А + В) + С = А + (В-ЬС). C)
На рис. 3 сумма трех векторов получалась путем построения
четырехугольника, сторонами которого являются слагаемые векторы и
их сумма. Аналогично этому для нахождения суммы п векторов поль-
пользуются векторным многоугольником, имеющим п -j-1 сторон, из ко-
которых п сторон — слагаемые векторы, а одна сторона — их сумма.
Спрашивается теперь, какое значение нужно придавать геометри-
геометрической разности двух векторов А и В?—Разность должна опре-
определяться таким образом, чтобы для векторов, так же, как и для ска-
скаляров, имело место соотношение
В — В = 0. D)
Соответственно этому вектору—В должно соответствовать смеще-
смещение, которое уничтожает смещение В, возвращая движущуюся точку
в начальное положение—другими слова-
словами, смещение, равное по длине и одина-
одинаковое по направлению со смещением В,
но обратное ему по знаку. Под геомет-
геометрической разностью векторов А и В по-
понимают геометрическую сумму векторов f +
Аи -—В, и соответственно определяют +в +
вычитание векторов следующим Рис. 3. Сложение трех векто-
образом: вычесть из вектора А ров.
вектор В значит сложить век-
вектор А с вектором, равным по длине и одинаковым по
направлению с вектором В, но противоположным ему
по знаку. В параллелограме рис. 2 диагональ A3) представляет
геометрическую сумму A-f-B, диагональ D2) — геометрическую раз-
разность А — В.
Вышеуказанные правила сложения и вычитания векторов фор-
формально согласуются с законами обычной алгебры.
§ 3. Единичные и основные векторы, составляющие. Под про-
произведением А скал'яра а на вектор а
А = аа = аа E)
понимают вектор, длина которого равна произведению численного зна-
значения скаляра а на длину вектора а
|А| = 1<х|.|а|; Eа)
направление его совпадает с вектором а, и знак одинаков с а или ему
противоположен, смотря по тому, является ли скаляр а положитель-
положительным или отрицательным.

12
Векторы и векторные поля
Умножение векторов на скаляры следует правилам алгебры ска-
скалярных величин; коммутативный закон находит себе выражение в E)»
Дистрибутивный закон также справедлив, т. е.
(а
a = аа -f- pa, а (a -f- b) = аа + ocb.
Eb)
Все векторы А одинакового направления можно выразить через
вектор s того же направления, но длиной 'равной 1
Здесь имеет место положительный пли отрицательный знак, в зависи-
зависимости от того, одинаковы ли А и s по знаку или противоположны.
Вектор 8, длина которого равна единице, называется единич-
единичным вектором. Условимся приписывать длине вектора его раз-
размерность. Тогда единичному вектору s
F) мы должны придать размерность от-
отвлеченного числа. Единичным векторов
>* / \ с
s A, Bs
Рис. 4. Составляющая As
А по направлению s.
от Рис. 5. Составляющая суммы А + В -j- С
по s равна сумме отдельных составляю*
щих.
пользуются для того, чтобы задать направление и знак одного или
нескольких параллельных векторов.
Пусть будет дан (рис. 4) некоторый постоянный единичный вектор &
и любой вектор а, образующий с s угол ср. Составляющей век-
вектора а по направлению единичного вектора s называют*
величину
as == a cos <p,
G)
равную длине проекции вектора а на прямую единичного вектора s,
взятую со знаком плюс или минус, смотря по тому, направлены ли
проекция и 8 в одну сторону или нет.
Составляющая вектора есть скалярная величина»
Если проекцию вектора а на прямую единичного вектора s желательно
охарактеризовать в отношении ее направления, то необходимо обра-
образовать произведение составляющей вектора а по s на единичный век»
тор s. Выражение
[а| coscp . s
дает проекцию в виде вектора.
Рассмотрим сумму трех векторов А, В, С

Единичные и основные векторы^ составляющие
13
Как следует из § 5, составляющая ее по направлению единичного
вектора s равна
т# е. алгебраической сумме составляющих векторов А, В, 0 по s. Этот
результат можно обобщить для любого числа векторов и выразить
следующим образом: составляющая геометрической суммы
любого числа векторов по направлению единичного
вектора равна алгебраиче-
алгебраической сумме соответствую-
соответствующих составляющих отдель-
отдельных векторов.
Векторы любого направления и
любой длины можно характеризовать
их составляющими по направлению
постоянных единичных векторов. Для
этого пользуются тремя единичными
векторами, не лежащими в одной
плоскости. Примем три взаимно пер-
перпендикулярных единичных вектора i,
j, k за основные. Пусть их на-
направления совпадают с направле-
направлениями осей прямоугольной системы
координат.
Как известно, существуют две си-
системы осей х, у, z, которые на-
называют: одну—правой, а другую —
левой. Все правые системы можно
привести к совпадению друг с другом, равно и все левые, но правая
с левой совпасть не могут. Отражением в координатной плоскости,
как в зеркале, получают из правой системы левую, из левой—правую.
Отражением в начале координат (поворотом всех трех осей в противо-
противоположную сторону) из правой системы тоже получается левая, и на-
наоборот. Мы будем в дальнейшем всегда пользоваться выбранной
Максвеллом правой системой.
Она представлена на рис. 6. Оси #, у, #, которые совпадают при
этом с основными векторами i, j, k, идут в такой последовательности,
что вращение от оси х к оси у, соединенное с поступательным дви-
движением вдоль оси z, приводит к винту с правой нарезкой. Положи-
Положительные направления осей х, у, z в правой системе изображаются
большим, указательным и средним пальцами правой руки.
Пусть составляющими вектора а по направлению основных век*
торов i, j, k или, как говорят, по осям ж, у, z будут
Рис.
6. Ортогональные единич-
единичные векторы i, j, k.
Тогда проекции вектора а на оси по длине, направлению и знаку
даются выражениями:
аД а2к.

14 Векторы и векторные поля
Сложение этих грех векторов, как можно усмотреть из рис. бг
приводит обратно к самому вектору а. Он, следовательно, равен
,J + a,k. (8)
Пусть даны длина, направление и знак вектора а; тогда сразу
уравнениями
ах = | а | cos (а, х), ау = [ а | cos (а, у), аг = | а | cos (a, z) (8a)
однозначно определяются его составляющие.
Обратно, если даны три составляющих, то однозначно опреде-
определяется вектор а, как диагональ прямоугольного параллелепипеда,
ребра которого суть векторы a^i, ayj, агк. Его длина равна
его направление и знак определятся косинусами, вычисляемыми
по (8а).
Зная три составляющих некоторого вектора по направлению
основных векторов i, j, k, можно вычислить его составляющую по
направлению любого единичного вектора s, если известны углы, ко-
которые образует вектор s с основными векторами. Нужно вектор а
представить согласно (8) в виде суммы трех векторов, параллельных
векторам i, j, k, и алгебраически сложить составляющие этих трех
слагаемых векторов по направлению s; таким образом получают
as = аж cos (s, #)+ау cos (s, у) + аг cos (s, z). (9)
Это правило вычисления составляющей по любой оси является
характерным свойством векторов. Согласно ему, каждому направлению
пространства соответствует некоторая скалярная величина — именно,
составляющая вектора а по этому направлению. Она зависит одно-
однородно линейно от направляющих косинусов. Используем обратно пра-
правило составляющих (9) для общей характеристики вектора. Если
дан вектор, то всякому направлению в пространстве
соответствует некоторая скалярная „составляющая
вектора", которая зависит линейно-однородно от со-
составляющих единичного вектора, расположенного
вдоль данного направления (т. е. от направляющих коси-
ну сов).
§ 4. Внутреннее или скалярное произведение. Пусть К — сила,
действующая на точку. Если v есть скорость движущейся точки, та
работа, которую совершает сила К в единицу времени, есть скалярная
величина,значение которой дается произведением длин векторов Китна»
косинус угла между ними. Напишем это произведение в виде
Kv = |K|.|v|-cos(Kv) (Ю)
и назовем его скалярным или (по Грассману) внутренним про-
произведением двух указанных векторов. Это обозначение перенесем на
любые векторы.

Внешнее пли векторное произведение
Косинус угла между двумя векторами равен -\-1, если оба век-
вектора направлены одинаково и в одну сторону, и равен —1, если они
направлены противоположно. Он равен нулю, если векторы образуют
между собой прямой угол. Если применить это к основным векторам i%
j, k, то получаем
ij = jk == ki = 0; напротив ii = jj = kk = 1. A1)
Скалярное произведение остается, согласно служащему для его
определения уравнению A0), неизменным, если изменить порядок сле-
следования сомножителей. Скалярное умножение двух векто-
векторов следует коммутативному закону. Внутреннее произве-
произведение двух векторов К и v можно понимать как алгебраическое
произведение длины вектора (например, \) на составляющую другого
вектора (К) по направлению первого вектора. Из этого толкования
тотчас же следует дистрибутивный закон скалярнога
умножения:
п п
%Г\ -г- *\^ -v-r
v 7 \\. — 7 v К (Л (Х\
h=l h=1
В самом деле, по доказанной в § 3 теореме, составляющая геоме-
геометрической суммы векторов Кл по какому-либо направлению равна
алгебраической сумме составляющих слагаемых векторов Кй по тому же
направлению. Если векторы К7г, как выше, суть силы, a v—скорость,
то A2) гласит: работа равнодействующей силы равна алгебраической
сумме работ отдельных составляющих сил.
Вследствие применимости коммутативного и дистрибутивного законов
при скалярном умножении соблюдаются правила умножения обычной
алгебры. Так, например, имеет месте) правило:
(а -)- Ь) (с + d) = ас -(- be -\- ad -j- bd. A3)
Если оба множителя скалярного произведения А и В выразить
через основные векторы i, j, k, то получают
Если вычислить правую сторону по обычным правилам умножения,,
принимая во внимание A1), то следует
АВ = А, В, + Ау Ъу + Аг Bs, A4)
— формула, которая, согласно определению скалярного произведения и
уравнению (8а), переходит в известную формулу аналитической гео-
метрди
cos (А, В) = cos (А, х) cos (В, х) -f- cos (А, у) cos (В, у) +
4- cos (А, г) cos (В, г).
§ 5. Внешнее или векторное произведение. Двумя векторами
А и В (именно в таком порядке следования) дается параллелограм

16
Векторы и векторные поля
с определенным направлением обхода (рис. 7); площадь этого парал-
лелограма дается выражением
f=|A|-|B|sin(A, В).
Подобное образование называется „плоской величиной". Она
определяется как площадка с определенным направлением обхода. Две
плоские величины будут равны, если обе площадки параллельны,
равны по площади и одинаковы по направлению обхода. Плоская
величина, образуемая векторами А и В, называется внешним произ-
произведением векторов А и В. Оно обозначается символом [АВ]. Каждой
„плоской величине" можно обратимо однозначно сопоставить вектор С,
равный по длине ее площади, нормальный к ней и направлен-
направленный таким образом, что поступательное движение в направлении С,
совместно с вращением в направлении обхода „плоской величины",
воспроизводят правый винт. Когда плоская величина дана двумя ука-
указанными векторами А и В, то вектор
С называется векторным произве-
произведением А и В, что можно написать
так:
= [АВ].
A5)
Рис. 7. Векторное произведе-
произведение [АВ] как вектор С.
Для действий над такими величинами
введем следующее определение. Будем
понимать под суммой нескольких плоских
величин такую плоскую величину, кото-
которая соответствует вектору, получающе-
получающемуся путем сложения векторов, соответ-
соответствующих отдельным плоским величи-
величинам. Целесообразность такого опреде-
определения вытекает из рассмотрения соста-
составляющей Os вектора С по какому-нибудь заданному направлению s;
пусть последнее с С образует угол <р- В самом деле, если спроекти-
спроектировать плоскую величину на плоскость, нормальную к s, то
площадь этой проекции также равна [ С | • cos ср. Она согласуется с Cs
также и по знаку, если мы припишем плоскости такое направление
обхода, которое вместе с s представляет правый винт, и условимся
считать плоскую величину положительной или отрицательной, смотря
по тому, совпадает ли направление обхода этой величины и плоскости
или нет. Составляющая плоской величины на плоскость, с указанным
для последней направлением обхода, равна, следовательно, составляю-
составляющей сопоставленного ей вектора по направлению правовинтовой нор-
нормали к этой плоскости.
Из данного определения для плоских величин следует, что ком-
коммутативный закон не имеет места.
Наоборот,
[АВ] + [ВА] = О. A6)
Дистрибутивный закон остается, напротив, в силе:
A1)

Внешнее или векторное произведение
17
Для доказательства этого уравнения обратим внимание на то, что
векторное произведение [AD] не изменяется, если вектор А заменив
его проекцией А' на плоскость, нормальную к D. Если мы поступим
таким образом с тремя векторами А + В, А, В, затем полученную
таким ^образом фигуру на плоскости, нормальной eD, увеличим
в масштабе | D |: 1 и повернем на прямой угол, то векторы А/, В',
А' + В' переходят в векторы [AD], [BD] и [(А + ВI)].
Для единичных векторов i, j, k имеет в частности место
[ij] = k = - [ji]; [jk] = i = -
Если по этим правилам вы-
вычислить векторное произведение
[И] = j = - [ikl
A8)
Рис. 8. Момент враще-
вращения М силы К, действу-
действующей в точке Р, отно-
относительно точки О,
М = [гК].
то приходим к формуле
Рис. 9. Вращение тела во-
вокруг оси OIV с угловой
скороетью и; v = [иг].
или в наглядной детерминантной форме
i j k
[АВ] =
в„
в.
A9)
B0)
Примером внешнего произведения двух векторов может служить
момент вращения силы К. Пусть О будет центр (рис. 8); из него
проведен вектор г в точку Р, на которую действует сила К. Тогда
момент силы К относительно О
М = [гК].
Зак. 3053. — Абрагам-Веккер. — Теория эдектр.
B1)

18 Векторы и векторные поля
Другой пример дает кинематика твердого тела. Пусть некоторое
твзрдое тедо, закрепленное в точке, О, вращается вокруг оси ON
(рис. 9). Отложим на этой оси из точки О отрезок, численное значе-
значение длины которого равно угловой скорости, и притом в том напра-
направлении, которое соответствует вращательному движению так же, как
направление поступательного движения соответствует вращению при
винтовом движении с правым ходом. Это условие указывает соответ-
соответствующий данному вращательному движению вектор и. Если далее г —
вектор, проведенный из О в какую-нибудь точку Р твердого тела, то
очевидно скорость последнего v
v=[ur]. B1a)
Действительно, точка Р движется нормально к плоскости,
проведенной через г и п. Стрелка, которая указывает направление v,
направлена, как видно на рисунке, как векторное произведение. Чис-
Численное значение v мы найдем, если опустим перпендикуляр из Р на
ось вращения и помножим его на угловую скорость. А это дает как
раз численное значение
| и | • | г | sin (u, г)
векторного произведения, чем и доказывается предыдущее утвер-
утверждение.
§ 6. Произведение трех векторов. Так как мы в дальнейшем
будем применять квадратные скобки для обозначения векторных про-
произведений, то будем пользоваться круглыми скобками в том случае,
когда нам понадобится отделить два вектора, перемножаемые ска-
лярно, от всех остальных векторов. Из трех векторов можно образовать
произведения трех различных родов.
a) Произведение вектора па скалярное произведение двух других
векторов:
А(ВС).
Так как (ВС) является скаляром, то А (ВС) есть вектор, парал-
параллельный А. Отсюда ясно, что например (АВ) С есть вектор, совер-
совершенно отличный от предыдущего.
b) Скалярное произведение вектора на векторное произведение двух
других векторов. Здесь имеет место важное соотношение:
А [ВС] = В [СА] = С [АВ]. B2)
По элементарному правилу объем есть произведение площади осно-
основания на высоту; поэтому каждое из трех указанных выражений дает
объем параллелепипеда, образованного ребрами А, В, С; знак этого
произведения положителен, если векторы, взятые в порядке А, В, С,
образуют правую систему.
Все три произведения даются согласно A4) и B0) следующим
выражением через составляющие векторов А, В, С:
А-п. А... А. „
в, в„ К
С, €„ 0.
B3)

Дифференцирование векторов по времени 19
с) Векторное произведение вектора на векторное произведение двух
других векторов:
[A[BC]] = F,
Вектор F лежит в плоскости, определенной векторами В и С, и
притом перпендикулярен проекции вектора А на эту плоскость, ибо
вектор [ВО] нормален к этой плоскости, a F перпендикулярен
к А и к [ВС].
Составляющая вектора F по оси #-ов по B0) равна
F, = А„ (Вв (^ - Ву С.) - К (Вг Сх - Ъх Cs);
мы перепишем это следующим образом:
?„ = &х (Ах С, + ky 0„ -f- Аг 0.) - Сж (А, В. + К В, + Аг Bs),
или по A4)
F, = ВЛАС)-СЖ(АВ);
соответствующие уравнения имеют место для обеих других соста-
составляющих; все они могут быть объединены одним векторным урав-
уравнением
[А [ВС] ] = В (АС) — С (АВ). B4)
Тем самым произведение третьего рода сведено к двум произведе-
произведениям первого рода. С помощью этого выражения легко можно покаг-
зать, что
[А [ВС]] + [В [СА]] + [С [АВЦ = 0. B5)
Для этого нужно только отдельные его члены разложить по B4).
Вычислим, наконец, скалярное произведение двух век-
векторных произведений [АВ] • [CD].
Это есть произведение второго рода, в котором первый вектор за-
заменен произведением двух других. Применяя правило B3), получим
[AB].[CD] = C[D[AB]].
Так как согласно B4) [D [АВ]] можно заменить
[D [АВ]] = A (BD) — В (AD),
то отсюда следует
[АВ] • [CD] = (AC) (BD) — (ВС) (AD). BG)
§ 7. Дифференцирование векторов по времени. Производная
вектора а по скалярной переменной t (например, по времени) опреде-
определяется как предел дроби
= 1Ш1 "Г ) w# B7)
at д? = о №
Так как при делении на скаляр векторные свойства не нарушаются,
то производная вектора по скалярной переменной сама является век-

20 Векторы и векторные поля
тором. Так, например, если г — радиус-вектор, проведенный из непо-
неподвижной точки О в движущуюся точку Р, то
'-¦§¦
дает вектор скорости точки Р.
Получение производной от вектора по скалярной переменной сво-
сводится к вычитанию векторов и последующему переходу к пределу,
с делением на скаляр; поэтому здесь соблюдаются правила обычной
алгебры, а отсюда следует, что обычные правила дифференциального
исчисления относятся и к дифференцированию суммы векторов
dt * dt + dt'
а равно и к дифференцированию произведения скаляра на вектор
da , da,
+
dt ~ dt ^
и внутреннего произведения двух векторов
d (AB)
dt
Для дифференцирования внешнего произведения также соблю-
соблюдается соответствующее обще$ правило; нужно только иметь в виду,
чтобы множители были написаны в правильном порядке:
C2)
так как при перестановке множителей векторное произведение меняет
свой знак.
II. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ.
§ 8. Гидродинамическое изображение. В главе I этого раздела
мы развивали понятие вектора и правила векторной алгебры приме-
применительно к механике материальной точки. Скорость "последней дава-
давалась одним вектором. В настоящей главе мы будем исходить из задачи
исследования движения жидкости, заполняющей собой объем. Здесь
скорости различных материальных частиц вообще независимы друг от
от друга. Поэтому каждой точке надо сопоставлять свой особый вектор
скорости. Движущаяся жидкость, заполняющая объем, образует, как
принято говорить, векторное поле.
В математической физике принято говорить о поле некоторой пере-
переменной, когда в известной части пространства рассматривают значе-
значение ее величины в зависимости от координат места; при этом, за
исключением отдельных поверхностей, линий и точек, считают эти зна-

Безвихревое поле 21
чения непрерывными. Существуют скалярные поля (например, поле
температуры) и векторные поля (например, поле силы тяжести).
Изучение движения жидкости чрезвычайно способствовало развитию
теории векторных полей; особое значение имели здесь основные иссле-
исследования вихревых движений, принадлежащие Гельмгольтцу. На них
основывался Максвелл, когда он приступил, к математическому обосно-
обоснованию идеи Фарадея о силовом поле. Для Максвелла гидродинамиче-
гидродинамические аналогии были нечто большее, нежели чисто математические
картины. Гидродинамические представления о механизме поля руко-
руководили им при установлении законов близкодействия электромагнит-
электромагнитного поля.
Мы последуем этому историческому пути и разовьем в этой главе
математическую теорию векторных полей применительно к гидродина-
гидродинамической задаче. Подобно тому, как выше мы любому вектору сопо-
сопоставляли некоторое смещение, заменим теперь вектор, поле которого
мы исследуем, вектором скорости жидкости, заполняющей простран-
пространство. Существует, однако, опасность, что при такой гидродинамиче-
гидродинамической картине мы ограничим наше исследование слишком частным
случаем; чтобы этого избежать, мы иногда будем приписывать жид-
жидкости такие свойства, которые в некоторых отношениях отклоняются
от свойств реальных жидкостей. Это дозволено, поскольку здесь речь
идет исключительно о математической аналогии.
§ 9. Безвихревое поле. Градиент и интеграл по кривой. Из
каждого скалярного поля можно образовать векторное; сделать это
можно следующим образом. Пусть каждой точке x,y,z пространства будет
сопоставлен некоторый скаляр о и пусть 9 (#> У> #) непрерывно ж
обладает производной во всех точках. Отложим в этом поле малый
вектор ofs. Спрашивается, каково будет приращение функции ср при
Переходе на вектор ds.— Если dx, dy, dz— составляющие вектора ds,
a ds — его длина, то искомое прдращение равно:
7 до _ . до до _ , ч
do = -~- dx -4- -7г- &У 4- ~ dz. C3)
дх ' ду dz v ;
дх
Дак как далее -~— = cos (s, х) и т. д., то приращение ср, отнесенное
к единице длины, при переходе в направлении ds будет
до до до до
~hV = ~дх~ cos (s' ^ + ~djT cos (s'y) +17cos (s' *)- C3a)
Согласно (9) этот результат можно выразить следующим образом: при
переходе в направлении ds искомое приращение равно составляющей
до до до .
вектора —-, V—, -^— по направлению as. Назовем этот вектор
градиентом скаляра ср в точке #, у, z и напишем, что

22 Векторы и векторные поля
Градиент ср нормален к поверхности уровня ср = const, ибо согласно C3)
скалярное произведение (gradcp, ds) равно нулю, когда вектор dn
лежит в плоскости, касательной к поверхности уррвня. Направление
grad 9 совпадает с направлением быстрейшего увеличения скаляра ср,
а величина его равна
-/(?)¦+(?)'+(#
Итак, пользуясь C4)^ мы из скалярного поля ср (х, ?/, z) образовали
векторное поле v (#, у, #).
Одним из самых основных понятий всей математической физики
является понятие интеграла по кривой в векторном поле. Сое-
Соединим две произвольные точки векторного поля 1 и 2 произвольной же
кривой; пусть она состоит из отдельных элементарных отрезков ds
с направлением от 1 до 2. Для каждого элемента ds составим скалярное
произведение с вектором v, отвечающие началу вектора ds
(yds) = vs ds.
Составим далее сумму всех таких скалярных произведений и пе-
перейдем к пределу, устремляя длину всех элементов ds к нулю. Тогда
мы получим интеграл по кривой
2 2
J\ds = J\sds. C5)
i i
Его значение, вообще говоря, конечно, зависит от кривой, по которой
происходит интегрирование.
В разбираемом здесь особом случае, когда вектор v
является градиентом некоторого скаляра ср, инте-
интеграл по кривой не зависит от пути, соединяющего
точки 1 и 2.
В самом деле:
7 дер _
vs ds = ~- ds
8 ds
есть приращение скаляра ср на элементе пути ds; при образовании
интеграла по кривой C5) все бесконечно малые величины склады-
складываются и дают общее приращение ср:
2
yds = ср2 — <р1# C5а)
Интеграл по кривой градиента имеет, следовательно, одно и то же
значение для двух различных кривых, если их начальная и конечная
точки одинаковы. Интеграл градиента жо любому замкну-
замкнутому контуру равен нулю
ф^ ds = О. C5Ъ)
2

Градиент и интеграл по привой 23
Назовем течение жидкости, образующее поле скоростей v, безвихре-
безвихревым, если интеграл скорости вдоль любой замкнутой кривой равен
нулю. В этом случае будем также и самое поле обозначать как без-
безвихревое. Тогда мы можем высказать следующую теорему: поле
градиента скаляра ср всегда — поле безвихревое.
В силовом поле интеграл вектора силы по кривой дает работу.
Условие, что интеграл по любому замкнутому контуру всегда равен
нулю, выражает здесь следующее: нельзя безгранично получать работу
путем повторного обвода материальной точки вдоль замкнутого контура.
Мы показали, что это условие выполняется, когда вектор силы есть
градиент некоторого скаляра.
Имеет место и обратная теорема: безвихревое поле всегда
можно рассматривать как поле градиента скаляра.
В самом деле, пусть скаляр в некоторой точке О имеет некоторое зна-
значение ср0; тогда
р
& C6)
определяет этот скаляр в любой другой точке Р, причем путь инте-
интегрирования из 1 в 2 согласно C5Ь) можно брать произвольный. Если
конечную точку Р этого пути передвинуть на малое расстояние ds, то
dcp = у • ds или ve = -~.
s ds
Таким образом безвихревое поле действительно является градиентом
скаляра, определяемого уравненпем C6).
Если поле, о котором идет речь, является силовым полем, то (— ср)
называют потенциалом, или, еще лучше, скалярным потенциа-
потенциалом. Существование потенциала есть необходимое и достаточное
условие для того, чтобы из силового поля нельзя было вышеуказанным
.образом безгранично получать работу. Самое понятие потенциала впер-
впервые возникло при изучении безвихревого поля силы тяжести.
Уравнение движения материальной точки в силовом поле К
•калярное умножение на вектор v дает
Следовательно
_ B. mv2 j _ j Rds. C7)
Если К = — grad <p, то правая сторона независимо от пути равна
?i-—?2> и мы имеем следующий результат: приращение кинетической
энергии равно пройденной разности потенциалов.

24
Векторы и векторные поля
Это понятие нашло применение и в гидродинамике; скаляр (—<р),
определяемый вышеуказанным ' образом для любого безвихревого
движения, называют здесь потенциалом скоростей.
§ 10. Отдача поля источников, теорема Гаусеа и расхожде-
расхождение вектора. Идеальной жидкости, лежащей в основе нашего
гидродинамического изображения, мы приписываем еще свойство не-
несжимаемости. Тем самым для свободы движения жидкости вводится
известное ограничение, так как в области, заполненной жидкостью,
через каждую замкнутую поверхность должно втекать столько же жид-
Рис. 10. К доказательству теоремы Гаусса.
кости, сколько и вытекать. С помощью такого течения мы могли бы
изображать далеко не все векторные поля.
Чтобы это ограничение в дальнейшем опять устранить, допустим,
что в известных местах .пространства жидкость непрерывно образуется,
в других же, наоборот, уничтожается. Места первого рода обозначим
как источники, места второго рода — как стоки или отрицатель-
отрицательные источники. Впрочем, выражение „источник" мы можем употреблять
и в более общем смысле, так чтобы оно охватывало и положительные
и отрицательные источники. Если придумать подходящую систему
источников, можно тем самым изобразить посредством стационарного
движения несжимаемой жидкости любое векторное поле.
Мы будем предполагать, что источники распределены в простран-
пространстве непрерывно. Тогда возникает задача—указать меру отдачи всей
системы источников.
Выделим для этого определенный объем G и измерим объем жид-
жидкости, вытекающей из G в единицу времени. Так как мы поток за-
заранее предполагаем несжимаемым и стационарным, то этот объем
жидкости должен характеризовать собой отдачу всех находящихся
в G источников.
Через элемент поверхности величины df в единицу времени в на-
направлении нормали, проведенной в любую сторону, протекает количе-
количество жидкости
df • \п dt = df | v | cos (v, n) • dt.

Отдача поля источников
В самом деле, это есть объем цилиндра с основанием df и высо-
высотой \ndt. Общий объем ежесекундно вытекающий из G жидкости
-дается поэтому интегралом, взятым но поверхности G:
f f Vndf= f f\?x c°s (n, я) + vy 9OS O> У) + vs cos О, г]\ df, C8)
где df есть элемент поверхности G и п — внешняя нормаль. Преобра-
Преобразуем первое слагаемое правой стороны
I I
x cos (n> x
в интеграл но объему; для этого представим себе, что объем G раз-
разделен в направлении х на бруски с прямоугольными поперечными
сечениями. Такой брусок имеет поперечное сечение dydz и вырезает
из поверхности G два элемента поверхности df и df'\ Величина*
привносимая обоими элементами в искомый интеграл, будет
v/ • cos О', х) df + v/ • cos.« x) df.
Пусть координаты х оконечных элементов нашего бруска будут xf и
х", и пусть притом х" > х'. Тогда очевидно
cos (n"9 x) dfr = dyds
и
cos (n'9 x) df = — dydz,
так что предыдущее выражение можно представить в виде
X'
Если теперь просуммировать по всем брускам, на которые разделен
объем G, то получим:
Г j\x cos (», х) df = Г Г С Ц^ dxdydz. C9)
Если произвести далее соответствующее преобразование и для
остальных двух слагаемых правой стороны C8), то получится важная
теорема Гаусса
Назовем удельной отдачей или расхождением нашего
поля потока в некотором месте отдачу единицы объема элемента,
окружающего рассматриваемое место, т. е.
= lim_L Г Г v
G=0 & J J

26 Векторы и векторные поля
Уравнение D0) сейчас же дает для него значение
д\х dxv Зуя
I\
дх ^ ду ^ дг '
В тех случаях, когда v(#, у, z) представляет поток без источни-
источников, v должно всюду удовлетворять дифференциальному уравнению
divv = -^+-^ + -^ = O.
дх ду ' дз
§ 11. Теоремы Грина. Преобразование на основании теоремы
Гаусса интеграла по объему в интеграл по поверхности
ff*»df= fff <*iv veto... D0)
0 G
позволяет произвести ряд различных других, также весьма важных
преобразований.
Пусть, например, v — произведение скаляра ty на вектор А
Тогда
divv^divA-}-|Ua-b|U +|US,
т ' дх х ду у ' дз z
или
div v = ^ div A -f- (grad ф, А);
в силу этого, согласно уравнению D0),
J J ф AJf= fff dv {ф div A + (grad ф, А)}. D2)
Далее, если вектор А можно представить как градиент второх,
скаляра <р:
А = grad о,
то
.. . дЧ , дЧ , 92о
дх2 ' %2 ' 9^4
Эту сумму вторых производных некоторой функции называют опера-
оператором Лапласа и обозначают через А:
До=Лл-^+^Р. D3)

Точечные источники 27
Делая подстановку А = grad <р, получаем уравнение D2) в виде
Ж= / / / dv {*Л?+(grad ф' grad ?)}' (М)
Оно годно для двух любых функций координат ср и ф, если только
последние внутри всего объема G конечны, непрерывны и имеют пер-
первую и вторую производные по координатам.
Если вычесть из уравнения D4) уравнение, полученное из него
перестановкой ф и ср, то получаем
fJf D5)
Уравнения D4) и D5) называются теоремами Грина. В электродина-
электродинамике мы будем ими пользоваться очень часто.
§ 12. Точечные источники. До сих пор мы всегда предполагали,
что источники распределены непрерывно, и значение расхождения
вектора всегда конечно. Такое предположение действительно спра-
справедливо для всех векторных полей. Однако имеются случаи, когда
распределение источников приближается к прерывному, и источники
оказываются сжатыми около точек, линий или поверхностей. Так как
с прерывным распределением математически иногда оперировать легче,
чем с непрерывным, то часто задачу упрощают и производят вычи-
вычисление, предполагая распределение прерывным. Но при этом, если
хотят избегнуть ошибочных заключений, нужно всегда иметь в виду,
что с самого начала было введено предположение, которое не совсем
точно отвечает действительности.
В этом параграфе мы хотим рассмотреть безвихревый поток, обра-
образуемый точечными источниками. Мы исходим из случая, когда во всем
пространстве, заполненном жидкостью, имеется всего один источник.
Выходящая из источника жидкость уходит, в силу симметрии, одина-
одинаково но всем направлениям. Она движется в радиальных направле-
направлениях, причем через все концентрические шаровые поверхности, описанные
вокруг точечного источника, как центра, протекает одинаковое количе-
количество жидкости. Это количество характеризует отдачу источника, если
мы измеряем ее, как и раньше, объемом вытекающей из него жидкости.
Будем теперь за меру отдачи источника принимать не объем, а массу
идеальной жидкости, плотностью которой мы тоже можем распоря-
распорядиться произвольно; положим ее равной 1/4тс. Это делается для того,
чтобы отчетливее показать аналогию между полем потока и электри-
электрическим силовым полем, выраженным в абсолютных электростатических
единицах. Таким образом отдача источника должна быть равна единице,
если из него в каждую секунду появляется 4тс смь несжимаемой жид-
жидкости. Через шаровую поверхность радиуса г, описанную вокруг источ-
источника, как центра, протекает ежесекундно масса жидкости е, равная
fvn = r4r; D6)

28 Векторы и векторные поля
обратно, радиальная скорость потока выражается через отдачу сле-
следующим образом:
она падает обратно пропорционально квадрату удаления г от точеч-
точечного источника и становится бесконечной, если войти в точку источника.
Невихревая природа потока приводит к тому, что вектор v можно
представить как отрицательный градиент некоторого потенциала
v = — grad <р, ? = у • D7)
Если мы имеем ряд из h точечных источников с отдачами ех, ..., еь,
и если поля их налагаются друг на друга, то результирующее поле
можно вычислить или путем геометрического сложения векторов v,, ..., vhf
или просто алгебраическим суммированием скалярных потенциалов
Если мы имеем замкнутую поверхность, охватывающую некоторое
число точечных источников, то *объем жидкости, протекающий через
эту поверхность наружу, равен произведению 4тс на алгебраическую
сумму отдач источников, охваченных поверхностью.
Если xv yv яг суть координаты г-го точечного источника, то значе-
значение потенциала ср в точке х, у, s согласно D8) равно
п
ср (я?, у, г) = V в{ —, D9)
Мы убеждаемся, что эта функция фактически всюду, за исключением
самых точечных источников, удовлетворяет уравнению Лапласа для
безвихревого свободного от источников потока
div v = — Аср = — I —— -\- —!—[ — 1=0.
Для поверхности/1, окружающей h точечных источников (еие2, ..., eh)
Для доказательства применим теорему Гаусса к области, ограничен-
ограниченной поверхностью f ж малыми шаровыми поверхностями fv f2, • • • > fh
вокруг отдельных точечных источников. В ограниченной таким образом
области divv равен всюду нулю; поэтому

Точечные источники 29
п нужно здесь предполагать направленной всегда от заштрихованной
области наружу, Фак что по D6)
f J МЛ = —
и т- Д-
Рассмотрим, исходя из выражения D9), потенциал системы
источников, лежащих на конечном расстоянии от дан-
данной точки, и пусть это ра*сстояние будет велико по
сравнению с расстояниями отдельных источников
друг от друга. Поместим начало координат в область системы
источников и разложим выражение D9) по величинам х., уг, #., кото-
которые, как указано, малы в сравнении с х, у, я; мы получим тогда
где индекс 0 означает, что в соответствующем члене все значения
%i==y.=zz. нужно положить равными нулю. Производная
д 1
дх% У(х — Х1
X Х
[9ср 1 ег
следовательно
[9 1 х
ЛГ~
так что мы получаем
В таком приближении поведение нашей системы характеризуется
следовательно: во-первых, о б щ е й отдачей е = ^ег\ во-вторых, век-
г
тором m = 2eiri с составляющими 2еЛ' 2в^р 2е*^' его мы на"
зовем моментом системы источников. Тогда
или, если г> обозначает угол между вектором ш и радиусом вектором г:
е |m|cos^ ,
На большом расстоянии система источников действует, следовательно,
в первом приближении как точечный источник с отдачей У\ег. Для

30 Векторы и векторные поля
рассмотрения второго приближения разберем сначала простейший слу-
случай такой системы источников, для которой общая отдача равна нулю.
§ 13. Двойные источники. Рассмотрим два точечных источника
с отдачами -\-е и —е. Пусть а — вектор, направленный от стока (—е)
к источнику (-\-е). Тогда (рис. 11):
е(г+ — i\_) = ea = m
есть момент системы, состоящей из двух источников. Если одно-
одновременно заставить а стремиться к нулю, а е к беско-
бесконечности, и притом так, чтобы их произведение еа со-
сохраняло все время постоянное
fp* значение т, то получим двойной
источник с моментом т.
Точечный источник -\-е дает сам по
себе в рассматриваемой точке Рпотенциал
Рис. Ц. Двойной источник ср,= —. Если итти от точки Р вдоль
или диполь как предельный ' + г
случай двух равных и про- веКтора а к точке Р\ то очевидно, что
т^воположных зарядов. г ^ ^ ^ >
г сток — е образует в Р по величине точно
такой же потенциал как источник -\-е
в точке Р'. Отсюда следует, что оба источника вместе дадут в точке
Р потенциал
Но по определению градиента
ср = — (a grad ср ) = — I ea, grad — ).
Составляющая от grad—¦ по х будет
д 1 _ J х
Таким образом мы получаем потенциал двойного источника
с& = — (m, grad—| =—r(mr) = -5-[ml • cosfr, E2)
в соответствии со вторым приближением в более общей формуле E1).
Если поместить двойной источник в начало координат, и если m
имеет направление положительной оси ^-ов, то E2) дает
ср (х, у, z) = ,^™'*щ- • E2а>
Градиент в точке наблюдения и градиент в точке
самого источника. Если х, у, z суть координаты некоторой
точки (a), a 5, tj, С — координаты точечного источника (q), то при
применении операций grad к функции расстояний между этими двумя точ-

Вычисление безвихревого векторного поля 31
ками r~Y(x — ?У2 + (у — ^О2 + (# — ?J> необходимо всегда обращать
внимание на то, по каким координатам должно производиться диффе-
дифференцирование: по координатам ли точки а, или по координатам точеч-
точечного источника. Во избежание ошибок часто бывает целесообразно»
особым индексом (а или q) точно указать, какое дифференцирование
подразумевается.
1
Тогда вектор grada — имеет составляющие:
±(±\. illl ilil
дх \ г ) ' ду \ г ) ' dz \ г ) '
1
напротив, gradg~ имеет составляющие:
(
г ) ' ^ \ г j ' 9С
Очевидно, что всегда
— = — grad3 —.
При выводе E2) мы дифференцировали по координатам точки Р".
Чтобы это оттенить особо, будет целесообразно писать:
a —j = f m gradg — J.
§ 14. Вычисление безвихревого векторного поля из поли источ-
источников. В § 12 мы рассмотрели только поток, образуемый точечными
источниками. Допустим теперь, что наряду с точечными источниками,
с отдачами ev e2,..., имеются также источники, распределенные в про-
пространстве непрерывно. Для этого введем новую функцию координат
р {х, у, z) по формуле
4Tcp = divv. E3)
Тогда pdv дает как раз массу жидкости плотности х/4т:, вытекаю-
щей ежесекундно из элемента объема dv. К потенциалу V——, обра-
образуемому точечными источниками е|5 присоединяется теперь действие
источников pdv, распределенных во всем пространстве. Естественно»
предположить, что общий потенциал
-J- 1'i J J J r
или, в более полном виде:
<р (х, у, z) = V * 4-
С54а>

32 Векторы и векторные поля
Выведем теперь эту формулу вполне строго; но предварительно убе-
убедимся в том, что безвихревый поток однозначно определяется своими
источниками. Для этого формулируем еще раз задачу, решением кото-
которой должно являться выражение E4):
Ищется поле потока v со следующими свойствами:
a) поле v должно быть безвихревым, т. е. может быть представлено
как v = — grade?;
b) v всюду конечна и непрерывна, равно и ее потенциал ср> за
исключением однако отдельных точек пространства (точечные источ-
источники). В самом точечном источнике разность
должна быть конечной и непрерывной {аг — расстояние от точечного
источника); ег называется тогда отдачей источника;
c) в остальной части пространства 4тгр = div v = — А? должно быть
заданной функцией места;
d) все источники должны лежать на конечном расстоянии, т. е.,
другими словами, можно указать такой конечный отрезок 8, что вне
сферы радиуса 8 нет ни одного источника, и потому там р всюду
равно нулю.
Приведем сначала доказательство однозначности решения; для этого
допустим обратное: пусть существуют два поля ух и v2, которые удовле-
удовлетворяют всем условиям от а) до d), и пусть они имеют потенциалы <?i
и соответственно ср2. Применим к разности
.?1 — ?а = Х
формулу Грина D4), в которой как ф, так и <р заменим через %
причем будем производить интегрирование по всему бесконечному про-
пространству. Тогда левая сторона обращается в нуль, так как в силу
условия d) х стремится к нулю как —, ¦—- как —, в то время как
поверхность df стремится к бесконечности лишь как В2. На пра-
вой стороне А^ всюду равно нулю, так как \х и v2 обладают равными
ис!очниками, а потому v2— v2 наверное не имеет источников. Таким
образом мы получаем для вектора w = v1 — v2 = grad^ результат
который может иметь место лишь тогда, когда вектор w всюду равен
нулю. Таким образом оба решения \1 и v2 совпадают; поставленная
задача ни в каком случае не может иметь больше одного решедия.
Векторное поле, которое везде является безвихревым,
не имеет нигде источника и исчезает в бесконечности,
должно поэтому везде равняться нулю.

Вычисление безвихревого векторного поля
33
Чтобы найти теперь самое решение, применим к нашей задаче
теорему Грина в форме D5):
здесь под ^ будем подразумевать искомую потенциальную функцию,
а ф положим равной
где г означает расстояние точки, для которой мы как раз хотим опре-
определить потенциал 9- Границей области интегрирования будем считать,
с одной стороны, замкнутую поверхность, уходя-
уходящую в бесконечность, с другой стороны — малые
шаровые поверхности, вырезающие источники
е19 е2, ..., еь и рассматриваемую точку Р
(рис. 12). Большая внешняя поверхность, по
только-что высказанному соображению, не вносит
в левую сторону D5) ничего. Сфера, окружаю-
окружающая первый точечный источник ev дает
. ч , Рис. 12. К вычи-
так как согласно предположению Ь) <р воли- слению безвихревого
зи точечного источника может быть представлено векторного поля по
е его источникам.
<р = -i- -)- конечные члены. Конечные члены
однако ничего не дадут, если сфера стягивается в точку. Ничего не
е< дф
внесет и слагаемое —--д2-, так как при переходе к пределу величина
поверхности стремится к нулю как а2. При этом 6 переходит в вели-
величину —, обратную расстоянию точки наблюдения Р от первого
ri
источника.
Таким образом точечный источник вносит собой
а2
Подобное выражение получается для всех остальных источников.
Сфера вокруг точки наблюдения Р дает
Производя над этим выражением такой же переход к пределу как
над предыдущими, получим
— 4тгср(Р).
3 Абрагам-Беккер. -— Теория электр.

34
Векторы и векторные поля
С правой стороны D5) &<? должно по условию равняться —4яр,
становится равным нулю. Таким образом получим
Это и есть уравнение для потенциала <?(Р), в полном соответствии
с данным выше выражением [уравнение E4)].
§ 15. Источники и двойные слои, расположенные по поверх-
поверхности. До сих пор мы предполагали, что потенциал ср и вектор
d
л
ш
Рис. 13. Круглый диск радиуса
а и толщины -п.
круговое кольцо 'радиуса
тенциал
р р
v = — grad ф, за исключением отдельных
точек, всюду суть конечные и непрерыв-
непрерывные функции координат. Мы должны пе-
рейти к изложению разрывных поверхно-
стей; но прежде, в виде предваритель-
предварительного упражнения, рассмотрим задачу о
круговом диске радиуса а и толщины %
равномерно заполненном источниками.
Мы ограничимся определением потенциала
на оси диска, которую выберем за ось z
нашей координатной системы. Если р—
постоянная внутри диска отдача, то
г и толщиной dr образует в точке z по-
по7] • р . 2тгг • dr
Потенциал, создаваемый всем диском, будет
= 2щ . р
При этом мы предполагаем, что y\<^z. Будем переходить теперь
к пределу limiq =s0 и р = схэ таким образом, чтобы поверхност-
поверхностная плотность
сохраняла постоянное значение. Наряду с потенциалом
<р(*) = 21ГС0 [
рассмотрим еще составляющую по z скорости v (yx и уу должны на оси
Г
z исчезать в силу симметрии). ve
р (x
= — тг~ = — 2тпо
a {
a*
Нас интересует главным образом поведение полученных нами реше-
решений при прохождении через диск.
Потенциал <? для больших значений z принимает значение
i*i

Источники и двойные слои, расположенные по поверхности 35
Внутри диска ср принимает, начиная с обеих границ, постоянное зна-
значение 2таоа. Наоборот, \z положительно для положительных з и отри-
отрицательно для отрицательных з. При з = О, \z получает, в зависимости
от того, идем ли мы от положительных или отрицательных значений #,
значение
т, л = 2тгш или v n = — 2ica>.
Обобщая этот результат, утверждаем следующее: при прохо-
прохождении через поверхностно-распределенные источ-
источники с отдачей ш на единицу поверхности (поверхностное
расхождение вектора), потенциал ср меняется непрерывно,
нормальная же составляющая -~- — — Yn претерпевает
при этом скачок, равный 4тгш.
дп
z(Z) ^^
Т
Рис. 14. Ход <р и v на оси тон-
тонкого круглого диска.
Рис. 14а. Предельный случай рис. 14.
Непрерывность ср и скачок гп при
прохождении ч-^рез поверхностный
источник.
Для доказательства этого утверждения будем рассуждать следую-
следующим образом. Пусть дана произвольная поверхность f с поверхностной
плотностью источников ш; последняя пусть будет определенная функ-
функция координат. Пересечем поверхность (в направлении нормали) в не-
некоторой точке Р. Вырежем далее из поверхности малый круговой диск
с центром в Р. Тогда действие всей поверхности можно разделить на
две части: во-первых, действие .кругового диска; согласно вытеска*
занному, он вызывает скачок \п на 4т«о; при этом никакого скачка
в самом 9 не будет; во-вторых, действие остальной чаяти поверхности.
Все источники последней лежат на конечном расстоянии от Р, а по-
потому никаких разрывов образовать не могут.
Рассмотрим далее два параллельных круговых диска на
расстоянии tq с равными, но противоположными по-
поверхностными плотностями -|~шИ —ю (р^с. 15). Положи-
Положительный диск -[-ю создает в точках оси «г--ов потенциал срО), опреде-
определяемый по формуле E5а). Отрицательный диск .— со при этом дает
потенциал — <р (з -\- ц). Следовательно, в общем получается (пока ч\ <С в)
3*

36
Векторы и векторные поля
E5с>
Пусть далее ю стремится к бесконечности, а ч\ к нулю, но таким
образом, что величина
сохраняет конечное значение. Мы называем тогда т моментом двойного
слоя, который получается в результате сжатия двух дисков. Тогда
наши последние две формулы содержат общий результат:
При прохождении двойного слоя с моментом х, по*
тенциал <р изменяется скачком на 4гст; при этом норт
•
Z
Рис. 15. Два круглых диска
с противоположными поверхно-
поверхностными обкладками на рассто-
расстоянии Y].
Рис. 15 а. Предельный случай
рис. 15. Скачок <р и непрерывность
v у двойного слоя.
мальная составляющая ~^-==^-уп не претерпевает
скачка.
Имея эти результаты, рассмотрим теперь, какое влияние на без-
безвихревой поток оказывают заданные на поверхности f скачки <р и v
Мы различим две стороны данной поверхности 1 и 2; щ \
п^ — внешние нормали области, ограниченной поверхностью f. Тогда
vni"^v«« есть скачок нормальной составляющей v. Пусть далее скачки
Yn и ф заданы на /*12, как функции координат
E6)
Согласно полученным выше результатам, мы можем предсказать
следующее: элемент df12 поверхности благодаря скачку vn действует
на^ точку Р(х, у, z), лежащую вне поверхности, как источник с отда-
отдачей (Gdf12, благодаря же скачку <р — как двойной источник с моментом
xndf12. При этом п есть та нормаль, которая направлена от отрица-
отрицательного потенциала к положительному (направление п на рис. 16

Источники и двойные слои, расположенные по поверхности 3?
соответствует предположению, что 9i > <?%)- Согласно D7) и E2) эле-
элемент df12i внесет в величину потенциала в точке Р слагаемое
1
Г
Поэтому общий потенциал, создаваемый всей поверхностью, будет
f
Докажем эту формулу, пользуясь теоремой Грина
Рис. 16, Поверхность
разрыва f12 с заданными
скачками <р и т.
Рис. 17. К вычисле-
вычислению потенциала по-
поверхности разрыва с
пбмощью теоремы
Грина.
E7)
Обозначим опять через г расстояние до точки Р и положим ф =—.
Пусть <р — искомый потенциал с заданными посредством E6) раз-
разрывностями на поверхности f12. Вне этой поверхности Дер всюду должно
равняться О.
Границами области интегрирования будут теперь служить: во-пер-
во-первых, внешняя поверхность, которую мы (как и в § 14) будем предпо-
предполагать уходящей в бесконечность; поэтому она ничего не вйосит в ве-
величину интеграла но поверхности. Во-вторых, сфера вокруг точки Р,
которая, как показано в § 14, вносит в указанный интеграл слагаемое
-L . 4тиг2 = 4iw> (P).
В-третьих, оболочка с поверхностями ft и /*2, с помощью которых мы
исключаем из области интегрирования поверхность разрыва. В огра-
ограниченной таким образом области (риф всюду — конечные непрерывные
функции, удовлетворяющие условию А© = 0, Аф = 0, так чтб правая

38 Векторы и векторные поля
сторона уравнения Грина обращается в нуль. Остается, следовательно
только
/
Будем с правой стороны всегда соединять попарно два противолежа-
противолежащие элемента поверхности dfx и df2. Пусть направление нормали
к данной поверхности п совпадает с п2, тогда щ = — п; п2 = п.
Следовательно
д— д —
г 9ф г
дпг дп * дп2 дп
При таком соединении мы получим интеграл, распространенный по
поверхности разрыва:
Если теперь положить здесь
п + v ===— я^~ + "^" » так и для ?i —
ф E)
и ввести далее как для \
^ 2 I
заданные формулой E6) скачки, то получается формула E7).
§ 16. Однородный двойной слой. Двойной слой с моментом х
образует согласно E7) потенциал
Это выражение позволяет сделать важное преобразование. Если г — век-
вектор, проведенный от точки Р к элементу df12, ao
следовательно
cos (п, г)
/ л 1 \ (ИГ)
^n-grad^-j= ¦&- = —
Тогда потенциал
Но
т=_ ( Гт ^12'С08(П,Г)а

Однородный двойной слой
39
= /"/
есть телесный угол, под которым наблюдатель, находящийся
в точке Р, видит элемент поверхности df12, а потому мы получаем
dQ. E8)
При этом dQ н&до брать положительным или отрицательным в зависи-
зависимости от того, видна ли из Р положительная или отрицательная сто-
сторона элемента.
Если теперь т на поверхности есть величина постоянна^, то двой-
двойной слой называют однородным.
Уравнение E8) принимает тогда простой вид
Дотенциал однородного двойного слоя с моментом
т равен произведению т на телесный угол Q, под кото-
которым виден из точки наблюдения контур этого слоя.
Рис. 18. Телесный угол dQ
при вычислении потенциала
однородного двойного слоя.
На рисунке нужно считать
dQ отрицательным, так как
наблюдатель смотрит на
отрицательную сторону
двойного слоя.
Рис. 19, Потенциал одно-
однородного двойного слоя,
зависит только от вида
ограничивающей кри-
кривой.
Если стянуть пограничную кривую как отверстие кошелька, полу-
получается замкнутый двойной слой. При этом Q для точки Р, находя-
находящейся вне объема, ограниченного поверхностью двойного слоя, обра-
обращается в нуль, для точки же Р внутри указанного объема—в 4т:. Итак,
еоли однородный двойной слой еамкнут (положительная сторона на-
наружу), то вне слоя всюду ср = 0, внутри же слоя у = — 4тги.
Величина потока v = — grades, образуемого однородным двойным
слоем, получается из следующих соображений: если 8<р есть изменение
<р при переходе на вектор 8а, то (v • 8а) = — 8<р = — т82.
При этом 8Q есть изменение телесного угла при передвижении
точки Р на 8а. Точно такое же изменение 8Q получается в том слу-
случае, если закрепить положение точки Р и сдвинуть весь двойной
слой на — 8а. При таком смещении элемент длины d$ контура, огра-
ограничивающего поверхности, описывает элемент поверхности — [8а • ds],
который из точки наблюдения Р виден под телесным углом
(г [8а - ds]) _ ([ds - г] 8а)

40 Векторы и векторные поля
Отсюда интегрированием по всей кривой получается dQ. Таким
зом для каждого направления 8а
и, следовательно,
При этом г есть вектор, направленный от элемента #s кривой
в точку наблюдения.
§ 17. Вихрь и теорема Стокса. В § 9 мы называли векторное
поле безвихревым, когда для любого замкнутого контурй. интеграл по
кривой
(j) \sds E9)
равен нулю. Необходимым и достаточным условием для этого являлось
условие, чтобы вектор v мог быть .представлен в виде — grad <р> т. е.
другими словами, чтобы существовал некоторый скаляр <р> обладаю-
обладающий свойством
Отсюда сейчас же следует, что для безвихревого вектора три вели-
величины .
х ду дз
у dz дх
z~~ дх ду
всюду должны быть равны нулю. Естественно поэтому эти три вели-
величины w^, wy, vfz принять за меру силы вихря векторного поля v.
Покажем, что вводимые формулами F0) величины w^, w^, w^, aa са-
самом деле представляют составляющие некоторого вектора; для него
Мы введем символ rot v и будем его называть: „вихрь vK. Итак, на-
напишем уравнения F0) (сначала чисто формально) в виде:
w = rot v, F0а)
щи
Покажем прежде всего связь между интегралом по кривой E9) ж
новой величиной w; для этого рассмотрим площадку, лежащую в пло-
плоскости осу (рис. 20); обойдем ее в положительном направлении, т. е.
так, чтобы обход был связан с поступательным движением вдоль г,

Вихрь и теорема Станса
41
как вращение с поступательным движением правого винта. Вычислим
для такого обхода интеграл по кривой
Будем вычислять сначала первое слагаемое / \xdx; при этом будем
всегда соединять попарно участки кривой, соответствующие одному
и тому же dx (при у" и у' < уа\ При положительном обходе контура
У'
Рис. 20. Интеграл по контуру
для плоского участка поверх-
поверхности.
Рис. 21. К теорем©
Стокса.
dx будет положительно при меньшем значении у (у'). Элемент dx
вносит, следовательно, в интеграл / xz dx член
У'
Общая сумма будет равна
= — J J
-^ dxdy,
где интеграл справа берется по всей поверхности. После аналогич-
аналогичного преобразования второго слагаемого / vy dy, получим
где подинтегральной функцией двойного интеграла является как раз
введенная нами величина wa. Выберем f настолько малой, чтобы ве-
величина Wg внутри f изменялась очень мало, тогда
? = W * /*
или точнее
1 f
F1)

42 Векторы и векторные поля
Итак, чтобы определить в любом месте поля v величину wz, нужно
найти разность частных производных по формулег^(бО), или вычислить
для соответствующей точки интеграл ф ys ds по контуру площадки, у
которой правовинтовая нормаль параллельна оси #; далее нужно его
разделить на площадь f и перейти к пределу, устремляя величину
площади f к нулю. Согласно F1), этим пределом будет wg. Анало-
Аналогично получаются величины yvx и wy, если нормаль к площадке с по-
положительным ^направлением обхода идет вдоль оси х или у по пра-
правилу правого винта.
Спрашивается теперь, что же будет представлять собой величина
1 Г
lim — (hY8ds,
если нормаль п к поверхности f будет ориентирована некоторым про-
произвольным образом [направляющими косинусами cos (n, x), cos (n, у),
cos (n, z)] по отношению к координатной системе. — Поместим начало
координат вблизи элемента поверхности; тогда можно представить
вектор v в области, содержащей элемент /*, в виде ряда Тэйлора:
Если теперь подставить эти выражения в интеграл <b v8 ds = & (\х dx -J-
хЛз)> то члены с у*ои ( 9^) пРопаДаю^ так как очевидно,
'о
что интегралы
обращаются в нуль. Таким образом остается только
Но стоящие здесь интегралы суть не что иное, как проекции дан-
данной поверхности f на три координатные плоскости. Если принять

Вихрь и теорема Стокса 43
во внимание знак составляющих, определяемый направлением обхода,
то получится
/*cos(]i, z)=kxdy=z —
fcos (n, y) = ^zdx = —
fcos (n, x) = §y dz = — J# dy.
Мы, следовательно, нашли
+ cos(n, '){¦?--fi). F2)
Только это уравнение дает нам право трактовать введенные по фор-
формулам F0) величины w^, wy, ws как составляющие некоторого век-
вектора, ибо уравнение F2) показывает, что и для произвольно ориенти-
ориентированной малой площадки f с правовинтовой нормалью п имеет
место соотношение
^d5 = jf.wn = f-|w|.cos(n,w). F2а)
Интеграл по кривой ф \sds равен произведению
площади, ограниченной контуром интегрирования,
на составляющую вектора rot v по направлению нор-
нормали.
Эта теорема содержит в себе одновременно определение для век-
вектора rot v, не зависящее от выбора координатной системы.
Теорема Стокса. Уравнения F1) и F2а), строго говоря,
имеют место только для предельного случая f — 0. Мы можем однако
с их помощью вывести теорему, позволяющую вычислять интеграл
a ve ds по любому замкнутому контуру. Для этого представим себе
произвольную поверхность fy ограниченную данной кривой s. Задавая
направление обхода s, мы для каждого элемента поверхности f одно-
однозначно определяем направление нормали, соответствующей правилу
правого винта. Разделим эту поверхность на малые элементы dfu
df& й/*3 ..., и т. д. Если мы для каждого из этих элементов в отдель-
отдельности образуем величины ф \s ds, \\s ds и т. д. и сложим их, то
члены, соответствующие общей границе двух каких-либо элементов
(например dfx и df%), взаимно уничтожатся, так как они равны по
величине и противоположны по знаку. При сложении остается следо-
следовательно лишь интеграл по первоначальному контуру
ads=§vads+ Jv.cfc-f ...
dft df%

44 Векторы и векторные поля
Но уравнение F2а) мы можем применить к каждому элементу по-
поверхности. Таким образом мы получаем теорему Стокса
= fJ
\rndf: w = rotv. F3)
Следует при этом обратить внимание на то, что поверхность была
проведена через пространственную кривую совершенно произвольно.
Поэтому, если провести через контур две различные поверхности fx
и f2 (рис. 22), то согласно F3)
Но две поверхности вместе ограничивают? некоторый объем. Если мы
в последнем уравнении переменим у одной из поверхностей (например /*2)
направление нормали на обратное, то
т. е. общий поток вектора w через поверхность
объема, ограниченного двумя поверхностями, равен
нулю. Таким образом мы видим отсюда, что поле
вектора w,== rot v всегда ес^гь поле без ис-
источников, т. е, вообще справедливо
Рис. 22. Отсутст- divrotv = O, F4)
вне источников у ч
rot т
что можно также показать непосредственно из F0).
Вычислим rot rot v, которьщ мы будем пользоваться в дальнейшем.
Его составляющая по х, очевцдно
ду \дх ду J дз\ dz дх
~дх\дх ' ду "*" Ье)
т, е„ в векторной форме:
rot rot v = grad div v — Av. F5)'
Далее всегда, конечно,
rot grad 9 = 0. F6)
В дальнейшем мы будем пользоваться также соотношением
div [АВ] = (В rot A) — (A rot В), F?)
которое применимо к любым векторам А и В, что нетрудно проверить,
написав его полное выражение через составляющие.

Вычисление вепторпого поля по его источникам и вихрям 45
§ 18. Вычисление векторного поля по его источникам и ви-
вихрям. В § 15 мы видели, как можно вообще вычислять безвихревое
поле по его источникам. В этом параграфе мы займемся общей зада-
задачей вычисления векторного поля по данным источникам и вихрям.
При этом будем опять полагать, что как все источники, так и вихри
находятся на конечном расстоянии. Мы ищем следовательно такое
векторное поле v, для которого одновременно удовлетворяются условия
div v =*= 4тгр F8а)
rot v = 4тгс, F8Ъ)
где скаляр р и вектор с для каждой точки пространства даны. При
этом с не может быть вполне произвольным; согласно F4) всюду
должно выполняться условие
div с = 0. F8с)
Из доказанной в § 14 теоремы о том, чтр безвихревое векторное
поле, не имеющее источников, просто равно нулю, следует, что урав-
уравнения F8а, Ъ) могут иметь только одно решение, так как разность
двух решений всегда должна удовлетворять уравнениям div v = 0 и
rot v = 0. Найдем теперь это решение.
Для этого разложим искомый вектор v на два слагаемых \х и v2
v = Vl4-v2 F8d)
и попытаемся удовлетворить уравнениям F8а, Ь), потребовав, чтобы
rot vx = 0; div vt = 4тгр; F8е)
rot v2 = 4t:c; div v2 = Q. F8f)
Иначе говоря, разложим искомое поле v на безвих-
безвихревое поле v19 с заданными источниками, и на поле v2
без источников, но с заданными вихрями.
Это разложение можно произвести только одним путем, ибо безвих-
безвихревая составная часть \v согласно § 15, однозначно определяется
требованием F8е). Ее значение будет:
vx = — gradcp, причем <р = J J j 9~y~ F8g)
Нам остается теперь только определить поле без источников v2 со-
согласно F8f). Отсутствие источников позволяет представить v2 как
вихрь некоторого другого вектора А
v2 = rot A. F8h)
Определенный таким образом вектор А называется векторным
потенциалом va. Подобно тому, как при определении <р по пер-
первому из уравнений F8g) мы можем прибавлять к нему произвольную
постоянную, можно также и к векторному потенциалу А, не нарушал

46 Векторы и векторные поля
уравнения F8h), прибавить любой безвихревой вектор. Выберем его
таким образом, чтобы выполнялось условие
div A = 0. F8i)
При таком выборе А из F80 получается
rot rot A = 4ттс,
Из правила F5) и условия F8i) получаем уравнение
ДА = — 4*с, F8k)
совершенно аналогичное лапласовскому уравнению для скалярного
потенциала
Д<р = — 4тср,
решение которого дается в F8g). Эта аналогия позволяет нам сразу же
написать решение F8k). Оно будет:
Этими формулами поставленная вначале задача решена. Оконча-
Окончательный результат таков:
у = — grad cp -j- rot A
Мы должны еще убедиться в том, что векторное поле .А, данное
F81), действительно не имеет источников, как это было потребовано
в F8i).
Очевидно, согласно F81).
Но
А так как, согласно F0с), с всегда должно быть задано как вектор
без источников, то
dlYA—
Если теперь f охватывает всю систему вихрей, то сп на f всюду
должно равняться нулю, т. е. другими словами поле вектора А дей-
действительно источников не имеет.

Изменение со временем потопа через двиоюущийся элемент 47
При применении уравнения D2) ко всей системе интеграл по по-
поверхности, уходящей в бесконечность, равен нулю. Отсюда следует,
F8m)
Если образовать скалярное произведение двух век-
векторов: одного безвихревого, а другого — без источни-
источников и взять интеграл этого произведения по объему,
охватывающему всю систему, получится нуль.
§ 19, Изменение со временем потока через движущийся эле-
элемент поверхности. Пусть А — произвольное поле скоростей; пусть
оно изменяется со временем и так, что А пусть
будет некоторая функция (непрерывная и диффе-
ренцируемая) х, у, в и t. Тогда / / An df есть
поток через поверхность f, т. е. объем жидкости,
протекающей через f в единицу времени. Если
поверхностьнеподвижна,то I I kjlf —
С СдК
= I I —~rdf есть изменение потока со вре-
J J dt Рис. 23. Изменение
менем. Но если поверхность сама движется, то потока через движую-
поток будет изменяться еще и по той причине, щуюся поверхность,
что в различное время поверхность f будет на-
находиться в различных местах поля А. Обозначим символом А новый
вид дифференцирования по времени, определяемый по формуле:
ш f 1к&= S f ±v- F9>
А^ есть, следовательно, вектор, поток которого через движущуюся
поверхность равен изменению во времени потока вектора А через
эту же поверхность. Для того чтобы вычислить А мы должны точно
знать движение поверхности. Предположим, что "это движение описы-
описывается вектором и, который задан для каждого элемента поверх-
поверхности и представляет его скорость.
Пусть (рис. 23) /\ — положение нашей поверхности в момент вре-
времени t — dt и / — ее положение в момент t; f2 можно получить из /\,
сдвигая каждый элемент поверхности из положения /\ на вектор udt.
При щтж смещении контур опишет поверхность в виде узкой полосы,
которая вместе с поверхностями /\ и f2 дает замкнутую поверхность,
ограничивающую объем dt • I /u df.
Данное формулой F9) изменение потока А через поверхность f

48 Векторы и векторные поля
нужно вычислять как разность между потоком через f% в момент ]вре-
мени t и потоком через ft в момент t — dt:
dt J J »' ~
dt ~
Применим теорему Гаусса к плоской коробке, ограниченной поверх-
поверхностями fv f2 и бортом, описанным контуром поверхности при смеще^
нби для момента времени t. Для этой коробки нормаль к поверхности f*
будет являться внешней нормалью, нормаль ft— внутренней. Элемеад
доверхности борта как по величине, так и по направлению своей
внешней нормали дается [dm]dt. Таким образом теорема Гаусса дае$
j j A^tdf+dt§ <A[*m])- f f k^df^dt f f (divA)u^A
/a A
Далее
Следовательно
f f K^U-f f
= dt f f j kjfx -f- //(div A) njf, - § (A [dm]) |.
Последнее слагаемое справа можно преобразовать по теореме
Стокса
(A [dm]) = § ([uA] ds) = j J (rot [иА])д df,
так что окончательно получаем,
dt
J j Andf= f T(A + udivA — rot[uA])nrf/*.
Тем самым вычислен вектор А, определяемый F9). Он равен
А = А 4- u div А — rot [uA]. F9a)
Это выражение имеет особо важное значение в электродинамике,
тшгда нужно вычислить изменение потока индукции, пронизывающего
движущийся проволочный контур.
§ 20. Криволинейные ортогональные координаты. Многие вы-
вычисления электродинамики можно значительно сократить, если вместо
декартовой координатной системы пользоваться другой системой, учи-
учитывающей особые отношения симметрии в рассматриваемой схеме*
Определим новые координаты аи и2, и3 таким образом, что прямо-
прямоугольные координаты будут даны, как функции иг> щ, %:
, ив).

Криволинейные ортогональные координаты
49
Мы ограничимся случаем, когда три семейства поверхностей
^ = const., % = const., ^з = const, ортогональны друг к другу.
Тогда элементарный отрезок ds == Y d%2 -j- dy2 -J- ^2 представляется
выражением вида
где hv \y hb могут в свою очередь быть
функциями от uv щ, %. Кроме того установим,
что новая координатная система так же, как
и первоначальная, будет правовинтовой систе-
системой. Рассмотрим теперь бесконечно малый па- в
раллелепипед, диагональю которого является
элементарный отрезок ds, а ограничивающие
поверхности совпадают соответственно с плоско-
плоскостями иг = const., и2 = const., иь = const. Его
ребра равны тогда к^ир h2du2, hBdud, а объем
равен hjiji^du^u^du^. Пусть далее о (%%%) —
некоторая скалярная функция, а А — векторное поле с составляю-
составляющими А1? А2, А3 по трем направлениям ии и^ иъ.
Для составляющей градиента <р по их имеем непосредственно
из рис. 24
Рис. 24. Криволиней-
Криволинейные ортогональные
координаты.
(grad<р)х = hm
ИЛИ
G0а)
и соответственно так же для направлений 2 и 3.
Для вычисления расхождения обратимся опять к теореме
Гаусса: поток через поверхность 0BHG в направлении внешней
нормали равен — A1h2hbdu2du2; при этом поток через AFGI будет
d [ (
аналогично и для двух других пар поверхностей. Складывая все эти
выражения, получим общий поток
div A • h
откуда следует уравнение
I I Andf,
G0Ъ)
Первая составляющая вихря получается путем применения
теоремы Стокса к поверхности ОВНС. Так например:
н о
I Agtfs-f I As ds = -х-
J J 6Ч
и т. д.
J
4 Абрагам-Беккер. — Теория элеыр.

60
Векторы и векторные поля
Следовательно
(rOt A)< = J-y \ "Г— (Ao/fco) (Ag
G0с)
Циклической перестановкой индекса получаем составляющие и для
двух других направлений.
Наконец, Лапласовекий оператор A = divgrad получается ком-
комбинированием G0а) и G0b)
Приложим эти формулы к двум особо важным случаям:
а) Цилиндрические координаты
% — г • cos a
у = г • sin а
В этом случае мы имеем следовательно
и2 = а и /&2 = г
Из G0а) до4 G0d) получается
Id
dk
(rot АJ = — { — (г A J тг- \
4 н г \ дг а/ 9а J
— ~ — ( —
?~ r 9r \ 9^
9А
G0e)

Тензоры. Полярные и аксиальные векторы
61
b) Полярные координаты.
х = г • cos a sin &
г/ == г • sin а sin &
# = r cos ft
ds2 = dr* + r2 sin2 9 da2 -J- i
Мы должны, следовательно, во всех уравнениях G0) до G0d) по-
положить
ul = r ht = i
и2 = Ь и /&2 = г
и2 = ос h3==r sin &.
Тогда
1 дер , 1 ду
~~ ***' ГП = " да '
19
1 9, ( . а . ч , 1
да '
г дг '
дг}~ г* sin ft
д
Л
г2 sin2 ^> да2 *
G0f)
§ 21*. Тензоры. Полярные и аксиальные векторы. Как мы ви-
видели в § 3, уравнение (9), каждому направлению s пространства
вектором а сопоставляется скаляр
a, = aa;cos(s, x) -f a ^cos (s, y) + agcos(s, z),
который есть не что иное, как составляющая этого вектора по на-
направлению s; ae зависит линейно-однородно как от составляющих
вектора &х, з,у, ае, так и от направляющих косинусов.
В физике часто бывает, что по аналогичному закону каждому
направлению сопоставляется некоторый вектор q
= q1cos(s, ^
cos
G1)
адесь вместо скалярных составляющих вектора ах, ау, аг выступают
три вектора qp q2, q3, которые сопоставлены направлениям х,
v, z.

62
Векторы и векторные поля
Подобно тому, как три скаляра аж, а,у, аг, сопоставленные коор-
координатным направлениям, определяют собой некоторый вектор а, три
вектора qt, q2, q3 объединяют в новую величину, которую называют
тензором. Под составляющими тензора понимают 3X3 ==».$
составляющих векторов qif q2, q3.
Так как направляющие косинусы в (9) или G1) являются соста-
составляющими единичного вектора s, то можно также написать
Это пишут сокращенно
и говорят, что вектор q получается путем умножения тензора. Ц
на 8. Точно так же тензор Q можно перемножать с любым вектором г,
длина которого |г| = г; таким образом
получается
Q • г =
2ry + q3r,
cos(r,
G1b)
25. Равновесие на тетра-
тетраэдре.
Каждому вектору г тензором Q сопо-
сопоставляется следовательно линейно-одно-
линейно-однородно вектор Q • г.
Чтобы пояснить физическое значение
тензора как вновь вводимой величины,
укажем на то, что, например, напря-
напряжение в какой-либо точке твердого тела
дается тензором.
Проведем через точку Р подвергнутого напряжению тела элемент
поверхности df и припишем ему направление нормали s. Представим
себе теперь, что вещество, прилегающее к элементу поверхности,
удалено с той стороны, куда указывает нормаль. Для того чтобы
оставшиеся части не сместились, необходимо приложить силу, рас-
распределенную по элементу. Деля эту силу на df и относя ее тем самым
к единице поверхности, получим напряжение, действующее в точ-
точке Р на площадку df; последней припишем также определенное
направление обхода. Каждому положению площадки, проведенной
через Р, а, следовательно, каждому единичному вектору s отвечает
свой вектор напряжения Т. Спрашивается, как зависят друг от друга
векторы напряжения, отвечающие различным направлениям s. — Возь-
Возьмем прямоугольную систему координат с началом в точке Р и отсечем
от вершины первого октанта бесконечно малый тетраэдр (рис. 25); ве-
величина плоскости основания его пусть будет равна df, а внешней нор-
нормалью СЛуЖИТ S С СОСТавЛЯЮЩИМИ $X = GOS a, S^ = COSP, 8г = СО8^.
Тогда остальные поверхности будут df cos a, df gos$, dfcos^; напря-
напряжения, действующие на них, будут — Т15 — Т2, — Т3, если Tv T2, Т3
суть напряжения, отвечающие положительной оси X, Y, Z
(внешние нормали поверхностей тетраэдра имеют направление отри-

Тензоры. Полярные и аксиальные векторы 53
цателъных осей). Если Т есть напряжение, действующее на осно-
основание, то силы, действующие на тетраэдр, будут:
Т df— Tx df cos а, — Т2 df cos р, — Т3 df cos ?.
Условием равновесия будет следовательно
Т df— Tl df cos a — Т2 df cos $ — T3df cos т = О.
Отсюда следует искомое соотношение
Т = Tj cos a -f Ta cos р + Т3 cos f. G2)
Сравнение с G1) дает, что напряжение в точке твердого тела
является тензорной величиной. Оно задано, если для какой-либо системы
координат известны напряжения Ти Т2, Т3\ъ~т?ечающие направлениям^
осей. Из этих величин, а также из направляющих косинусов нормали
к поверхности линейно-однородно слагается напряжение Т, действую-
действующее на эту поверхность.
Если Тх, Ту, Тв — составляющие Т, то имеет место
Тх = Тп cos a + T12 cos
Ту = Гв1 cos а + ^ со«
Тя = Т81 cos а + Т32 cos p + Г33 cos T,
где, например, Т21 будет составляющая Тх по оси Y. В частном слу-
случае тешора напряжений составляющие этого тензора удовлетворяют
условию симметрии
значение которого мы вскоре увидим.
Дальнейший пример тензора мы получим следующим образом:
В § 9 уравнение C3а) мы видели, что возрастание скаляра <р
в каком-либо направлении дается соответствующей компонентой век-
вектора, являющегося градиентом ф:
cos(s> ^+"9^"cos(s> у) +17cos
Если векторное поле задано тем, что каждой точке пространства
сопоставлен вектор а, то каждая из составляющих а^., а^, аг сама по
себе образует скалярное поле. Применим к ним уравнение C3а):
008D,0)
9а
9а„ 9а ) 9a
= .-JL. cos (s, ж) + -^- cos (s, я) -f -^ cos (s, в)
9аг 9аг , 9ае 9аг
— = w • cos (s, Ж) + -щ cos (в, у) + -^ cos (в,

64 Векторы и векторные поля
Перемножая каждое из этих уравнений с соответствующим ему
основным вектором (i или j или к) и складывая, получим:
да да ч . да , ч , да , ,_оч
~Ы = ~ыcos (s' х) + ~Wcos (s' *j)+~dFcos (s' ^' G3)
Следовательно, в то время как возрастание скалярного поля опре-
определяет вектор, производная векторного поля дается тензором.
Полученный результат можно применить физически. Самая общая
деформация тела определена, если для каждой из его точек известен
вектор смещения. Рассмотрим малый вектор ds с составляющими dx,
dy, dz, соединяющий две точки тела, подвергнутого деформации. Если
а (х, у, z) есть смещение точки х, у, я, то элемент ds изменяется
на разность смещений своих конечных точек, т. е. на
да , да , , да , , да , ,_о ч
-— ds = -тг— dx 4- -тг- dy -4- ~r— d^. G3a)
ds dx v dy J ^ dz ч ^
Этот полный дифференциал нужно понимать, согласно G1а), как
произведение тензора деформации (состоящего из частных производных
вектора поля) на вектор ds.
Если обозначить составляющие тензора, как выше для тензора
натяжений, через gn, q12f ... g21 ... и т. д., так что qUi будет г-ая
составляющая того вектора, который сопоставлен й-той координатной
оси, то векторцое уравнение G1) можно написать в составляющих
%= 911^ + 812^ + «18-
?22Г^+«23Гв [ G3Ь)
Г H"~ «33 rs • J
Составляющие тензора, которые являются коэффициентами этой
линейной системы уравнений, можно наглядно расположить таким
образом
«11 «12 «13
«21 «22 «23
\ «31 «32 «S3
Эта таблица называется квадратичной матрицей. Диагональ,
идущую слева сверху направо вниз и содержащую элементы с двумя
одинаковыми индексами, называют главной" диагональю. Если
все элементы, получающиеся попарно один из другого путем зеркаль-
зеркального отражения в главной диагонали, равны, то матрица, так же
как и тензор, называется симметричной. Для симметричного тен-
тензора имеет поэтому место
Если же составляющие тензора, получающиеся отражением в главной
диагонали, равны по величине, но противоположны по

Тензоры. Полярные и аксиальные векторы 55
знаку, в то время как все элементы главной диагонали обращаются
в нуль, то тензор называется антисимметричным или косо-
симметричным.
Если мы имеем два тензора А и В, которые при умножении на
вектор г дают векторы
а = А . г = а
b = В • г = Ъ^ + b2ry + Ь3гг,
то
Векторами (а1 + Ь1)> (a2-f-b2), (a3 + b3), которые сопоставлены
соответственно трем координатным направлениям, определяется тензор,
произведением которого на г как раз является (а + b). Обозначим
его А ~\- В и назовем суммой тензоров А и В. Его составляющие
получаются путем сложения соответствующих составляющих А и В;
его матрицей будет
ап-\~Ъп а12-\-Ъ12 а1Ъ-\-Ъ13
а22 + ^22 а23 + ^23
%2 ~Г 2 аЗЗ "Т~ 3
Всякий тензор можно представить как сумму симметричного и анти-
антисимметричного тензоров. Согласно правилу сложения имеем
(«12 — ?2l) V2 («18 — fel) \
° V2 (^23 — 932> '
Первая матрица справа действительно есть симметричная, вторая—
кососимметричная.
Нас интересуют теперь те свойства тензора, которые не зависят
от случайного положения координатной системы. Для этого напишем
G3Ь) в сокращенной форме
з
2 (• = 1,2,3) G3о)
где через q1? q2, q3 обозначены составляющие вектора по х, у, г.
Если мы повернем координатную систему таким образом, что q/ и г/
будут являться составляющими q иг по отношению к новой коорди-
координатной системе, то между этики величинами будет существовать уже
другое соотношение
' ]? // G3d)

Векторы и векторные поля
Пусть вращение координатной системы описывается девятью напра-
направляющими косинусами оса новой координатной системы в отношении
старой.
Тогда
8 к
а между aih будут существовать соотношения ортогональности
2 Vir = IhJ «-«h = 8«г- G30
(8gr означает нуль при s ф г и 1 при 5 = г).
Если ввести в G3d) уравнения G3с) и G3е), то получим
s, к 5, к
Это уравнение имеет место для всякого вектора г. Следовательно
2 ^ь*^ 2 *•'**•
8
Перемножение да агк к» суммирование по & дает согласно G3f) преоб-
преобразование тензора
Из уравнения G3g) мы прежде всего заключаем, что если для всзх
индексов qsk = q^, то и qiltf = qM'. С другой стороны, из q8jt = — qks сле-
следует также, что qih'= — qu'- Свойство симметричности и
антисимметричности тензора не зависит от системы
координат.
Если положить BG3g) г = г и просуммировать по г, то в силу G3f)
получится
Сумма всех элементов главной диагонали тензора является, значит,
также инвариантом.
„Единичный тензор" bin при вращении по G3g) вообще не изме-
изменяется; следовательно, имеет место также
в, к
где X — произвольное число. Так как детерминант аа равен 1, то
правило умножения теории детерминантов дает важную теорзму:
Значение детерминанта
qn X q12 g13
221 #22 —Х ^23
^81 ^32 238
G3Ь)

Тензоры. Полярные и аксиальные векторы 57
не-*зависит от координатной системы. Следовательно, все коэффи-
коэффициенты полинома F(i) имеют инвариантное значение. В частности
имеia,T инвариантное значение корни X', >/', \т, урав-
уравнения F(X) = O, называемого „вековым уравнением".
В качестве применения рассмотрим деформацию непрерывной
среды при условии, что скорость v в каждой точке дана. Спраши-
Спрашивается, каково будет изменение расстояния xtx2xs двух материальных
точек за время Ы. Соединим две соседние материальные точки век-
вектором s с составляющими xv х2,
хь. Тогда начало s за время Ы »цп -а~:
передвинется на расстояние v8?, ко- 2
нечная точка, напротив, на
(v + (grad v • s) )Ы.
Доставляющие g претерпевают, сле-
следовательно, изменение со скоростью
^ ^ Рис. 26. Изменение вектора sds, gq-
(rjsi) единяющего две материальные точ-
^ ^ vvt "гит деформации.
Разложим тензор —^ скорости деформации на его симметричную
охк
и антисимметричную части
_ 1 / ду, .д
Симметричную часть
к
можно описать следующим образом: если поставить вопрос о том,
существует ли такой вектор, который не изменяет своего направления,
то этот вопрос сводится к нахождению такого вектора, который дол-
должен удовлетворять соотношению х% = \xv Система уравнений
ахк = Ххг G81)
к
кмеет решение только для такого X, для которого детерминант
Каждому из корней X, \", \т этого уравнения отвечает, согласно G31)
направление хг. Если вез три корня различны, то уравнением G31)
даются три вектора х/, х", х"\ которые при симметричной дефор-
деформации сохраняют свое направление. Напишем уравнения

58 Векторы и векторные поля
умножая первое из этих уравнений на х", второе на х/, вычитая
затем .одно из другого и произведя суммирование по г, в силу сим-
симметрии %, получим
О = (X' — X") (« + « + *з'О.
Различным „собственным значениям" X соответствуют различные
„собственные векторы" xi9 которые перпендикулярны друг другу.
Самая общая симметричная деформация заключается,
следовательно, в растяжении илц сжатии по трем
взаимно перпендикулярным направлениям. Если повер-
повернуть координатную систему таким образом, чтобы ее оси совпали
с этими направлениями, то
X < ;'' - А Xл ч Хс\ "• А Я/nj Хо ¦ A Xq»
Для изменения материального объема V=xt- x2* хп получается
dV
~^- = хгх2хь + ooxx2xs + xxx2xB = Г (
Но сумма трех корней X' + X" + \"г есть след тензора и, как таковой,
инвариантна по отношению к предпринятому повороту. Следовательно
у _|_ \" -j- д"' = vn-\-v22-}~ vm = div v. G3m)
Таким образом мы расхождение вектора представили, как след тен-
80ра ^'
Антисимметричная часть aik [уравнение G3k)] нашего
тензора
оставляет без изменения все углы и расстояния. Для
доказательства рассмотрим изменение во времени скалярного произ-
произведения двух любых векторов х/ и х"\
г г ^fc i, к
Если во втором слагаемом переменить местами индексы г и к, то
получится
— 2 « = 2 « («« + аш) = 0,
г г, А;

Тензоры. Полярные и аксиальные векторы 59
чем утверждение и доказано. Тензор аа должен, следовательно, опи-
описывать поворот. Это- модао видеть непосредственно, если обозначить
Тогда G3h) дает
^8 === аЪ\Х1 Г ^32^2 == %^2
Сравнение с уравнением B1а) r=[ur] показывает, что уравнением
G3п) описано не что иное, как вращение, и что вектором и, выра-
выраженным уравнениями G3о), определены ось вращения и скорость
вращения. Согласно G3k) вектор и связан с первоначальным полем
потока v уравнением
u= —rotv. G4)
Скорость вращения ц, а равно и rot v, собственно
говоря, не являются векторами, а представляют со-
собой антисимметричные тензоры. К таким величинам при-
применяют иногда термин „аксиальные векторы" в отличие от нор-
нормальных "или „полярных векторов". Дальнейшим важным примером
аксиального вектора может служить векторное произведение двух
векторов аг и bi9 которое собственно следовало бы описывать как
кососимметричный тензор
Данное в G3о) представление кососимметричного тензора посред-
посредством вектора возможно только для трехмерного пространства, да и то
лишь постольку, поскольку мы ограничиваемся правой координатной
системой. Согласно G3g), законы преобразования векторов и анти-
антисимметричных тензоров тождественны только тогда, когда детерминанг
|aiA| равен ~j-l. Если же этот детерминант равен—1 (что означает
переход от правой к левой системе), то сразу же обнаруживается
разница в существе этих двух величин. Положим, например, aik = — 3ifc
(отражение в нулевой точке). Тогда составляющие вектора согласно
G3е) меняют свой знак, в то время как все тензорные составляющие
остаются неизменными.
В предыдущих параграфах введение аксиальных векторов всегда
регулярно проявляло себя тем, что для их объяснения- мы вынуждены
были пользоваться понятием правого винта. Этого понятия, а с ним
и ограничения правой координатной системой, можно совершенно
избегнуть, если вместо аксиального вектора всегда вводить соответ-
соответствующий тензор.
Резюмируя, можем сказать, что для трехмерного пространства мы
в векторном произведении обладаем простым и наглядным способом

во Векторы и вепторные поля
представления кососимметричяого тензора. Чтобы избежать, однако,
недоразумений, мы не должны забывать, что здесь идет речь только
о практическом правиле, область применения которого имеет свои
границы.
В применении к физике мы чаще всего будем встречаться с тен-
тензором напряжений. В теории упругости тензор напряжений получается
из симметричной части тензора деформаций путем применения закона
Гука; так как ни тензор деформаций, ни закон Гука не содержат
какого-либо преимущественного направления поворота, то тензор
напряжений является симметричным, как это выше уже было сказано.

В. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОДЕ.
I. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ПУСТОТЕ.
§ 22. Сила электрического поля. Если натереть кошачьим мехом
сургучную палочку, то оба эти тела, а равно и окружающее про-
пространство приводятся в особое состояние, которое проявляет себя тем,
что находящиеся вблизи легкие частицы приводятся в движение;
в этом случае говорят, что тела, вследствие трения „наэлектри-
„наэлектризовал и с ь", окружающее же пространство представляет „электри-
„электрическое поле". Электрическое состояние присуще не только сургуч-
сургучной палочке и меху; оно передается так же и металлам, если послед-
последние привести в соприкосновение с этими телами. Возникновение
электрического состояния не связано с процессом трения; металличе-
металлическая пластинка, соединенная проволокой с одним из полюсов батареи,
также проявляет, после удаления проволоки, электрические действия.
Предположим, что наэлектризованная металлическая пластинка поме-
помещена в воздушную среду. Окружающее ее электрическое поле иссле-
исследуют с помощью „пробного тела", например, с помощью бузинно-
бузинного шарика, покрытого сусальным золотом; пробное тело электри-
электризуется прикосновением сургучной палочки или меха, предварительно
натертых друг о друга.
В электрическом поле на это пробное тело действует некоторая
сила К. Представим себе, что мы измерили эту силу К. Для различных
точек поля сила будет различна как по величине, так и по направле-
направлению. Для одной и той же точки она будет зависеть от того, каким
способом бузинный шарик был наэлектризован. Впрочем, по этому
вопросу имеется очень простая закономерность: если пробное тело было
в соприкосновении с сургучной палочкой, то направление и знак силы,
которая на него действует в дзьеной точке, вполне определены, и только
величина зависит от того, как мы действовали на шарики. Если же
пробное тело находилось в соприкосновении с мехом, то сила имеет
противоположный знак, а ее величина опять зависит от рода подго-
подготовки. • Таким образом мы приходим к заключению, что силу, дей-
действующую в электрическом поле на пробное тело, надо положить равной
К = ?.Е, G5)
где скаляр е зависит от электрического состояния пробного тела, в то
время как вектор Е не зависит от этого состояния, но для различных
точек поля имеет различное направление и величину. Действительно,
опыт показывает, что для двух различно наэлектризованных пробных

02 Электрическое поле
тел, последовательно помещаемых в одну и ту же точку поля, силы
находятся в определенном отношении
К{ : К2 = ех : е2, G5а)
которое остается постоянным для различных точек поля. Опыт далее
показывает, что на данное пробное тело в двух различных точках поля Р
и Р' действуют различные силы К и К', и отношение их величин
|К| :|К'| = |Е| : |Е'| G5Ь)
не зависит от подготовки пробного тела. Формула G5) содержит в себе
как G5а), так и G5Ь).
Если для первого пробного тела ех задано, то для второго е2 опре-
определяется из G5а); тогда для отдельных точек поля можно опреде-
определить Е с помощью любого пробного тела.
Скалярный множитель е в выражении G5) называют
электрическим зарядом пробного тела или количе-
количеством электричества, находящимся на нем; векторный
множитель Е называют силой электрического лполя.
Обе величины—количество электричества и сила электрического поля—
сразу же определяются однозначно, если только установить единицу
количества электричества. Противоположность направления сил, дейст-
действующих на два пробных тела, из которых одно было приведено в со-
соприкосновение с сургучной палочкой, а другое—с мехом, учитывают
тем, что различают положительное и отрицательное электричество.*
Электричеству шарика, приведенного в соприкосновение с мехом,
о который предварительно натиралась сургучная палочка, совершенно
произвольно приписали положительный знав, а электричеству сургучной
палочки—соответственно отрицательный. Согласно этому, за направле-
направление силы поля приняли направление силы, действующей на пробное
тело, приведенное в соприкосновение с мехом.
Выражение G5) для силы, действующей в электрическом поле на
заряженное пробное тело, справедливо не^бегда. Значение силы G5)
отклоняется от истинного значения, если пробное тело находится очень
близко от заряженного тела, причем это отклонение тем больше, чем
больше заряд пробного тела. Это выражение становится неточным
.также тогда, когда сила поля слишком сильно меняется от точки
к точке, причем неточность тем больше, чем больше размеры пробного
тела. В дальнейшем мы познакомимся с причинами этих отклонений
и в § 38 введем соответственное дополнение для выражения силы.
Для начала мы должны поэтому при определении электрического поля
по G5) пользоваться достаточно малыми пробными телами с достаточно
слабыми зарядами на них. ~
Для теории Максвелла характерно то, что она для каждой точки
пространства указывает силу яоля Е и именно это векторное поле
считает главным предметом своего исследования. Первоначально физи-
физическое значение Е заключалось лишь в том соотношении G5), которое
гласит, что если в данную точку пространства поместить заряд е, то
на него будет действовать сала К = еЕ. Максвелловская же теория

Потоп электрических сил 63
приписывает этой величине Е непосредственную реальность, не зави-
зависящую от существования пробного тела. Хотя наблюдаемая-«сила обна-
обнаруживается только при наличии по крайней мере двух заряженных тел
(например, заряженной металлической пластинки и пробного тзла),
мы вслед за Максвеллом утверждаем, что уже одна металлическая
пластинка сама по себе вызывает изменение состояния окружающего
пространства, которое и описывается полем вектора Е. Векторное поле
в части пространства, занимаемой пробным телом, мы
рассматриваем как первопричину действия силы на пробное тело.
Задача заряженной металлической пластинки заключается лишь в под-
поддержании этого поля. Мы говорим поэтому о теории действия
поля в отличие от господствовавшей до Максвелла—Фарадея теории
дальнодействия, исходным пунктом которой является взаимо-
взаимодействие двух зарядов.
§ 23. Поток электрических сил. Рассмотрим сначала электри-
электрическое поле в пустоте. Одним ез важнейших результатов
количественной теории электричества до Фарадея бьпГ закон Кулора:
Сила взаимодействия двух заряженных тел 1 и 2,
размеры которых малы по сравнению с расстоянием
между ними, направлена вдоль соединяющей их пря-
прямой и обратно пропорциональна квадрату их рас-
расстояния. Так как мы можем любое из этих тел рассматривать как
пробное тело, в том смысле, как это говорилось в предыдущем пара-
параграфе, то следовательно
где множитель f уже не зависит от свойств тел и их положения.
Далей, сила К действует как отталкивание, если ех и е2 одинакового
знака, и как притяжение, если знаки противоположны.
Мы сразу же введем абсолютную электростатическую
систему единиц, определяя единицу количества электричества, как
такое количество электричества, которое действует на равное ему
количество электричества, находящееся на расстоянии в 1 см, с силой
в одну дину. Следствием такого определения является то, что
в предыдущем уравнении множитель f становится равным единице.
Тем самым одновременно определяется также из G5) единица для Е.
Придерживаясь способа выражения Фарадея—Максвелла, мы можем
результат кулоновских измерений описать следующим образом:
Точечный заряд образует в окружающем простран-
пространстве поле Е, которое по величине и направлению
дается выражением
Ив?'[7Г G5°
При этом г есть вектор, направленный от заряда в точку наблю-
наблюдения.
Сравнение с нашим предшествующим изложением точечных источ-
источников позволяет, далее высказать следующее:

64 Электрическое поле
Электрическое поле Е, образованное точечным зарядом е, то-
тождественно с безвихревым полем потока несжимаемой жидкости плот-
плотности -г-> образуемым точечным источником с отдачей е.
В частности, для всякой замкнутой поверхности, содержащей заряд е±
имеет место закон:
J f^df=*4*e. G6)
Назовем Ewd/* потоком сил через элемент поверхности df. Тогда
согласно G6) полный поток сил через замкнутуй) поверхность равен
произведению 4тс на точечный заряд, охватываемый этой поверх-
поверхностью.
При одновременном действии на пробное тело нескольких зарядов,
Бее силы К1? К2..., действующие на него, складываются по закону
векторного сложения
к=к1+к2+...
Подобным же образом складываются и силы поля Ех, Е2...,
создаваемые отдельнъппь*зарядами. Этот экспериментальный факт
позволяет нам интерпретировать уравнение G6) в более общем виде:
Полный поток сил через замкнутую поверхность
равен произведению 4тс на общий заряд, охватывае-
охватываемый этой поверхностью.
Эту теорему можно признать исходным пунктом теорцд Максвелла:
.электрические заряды выступают теперь уже не как центры сил, но
как источники потока сил. Результаты, полученные нами относительно
пространственно и поверхностно распределенных источников (§ 10
и § 11), мы можем теперь непосредственно перенести на соответственно
распределенное электричество.
Заряд, распределенный в объеме с плотностью р (х, у, z), образует
расхождение потока сил
div Е = 4тгр,
Заряд, распределенный по поверхности с поверхностной плотностью ш,
вызывает скачок нормальной составляющей Е:
§ 24. Электростатический потенциал. Поле, образованное точеч-
точечным зарядом, по формуле G5Л) — безвихревое. Его можно представить,
как отрицательный градиент скаляра <р= —:
Е = — grad <р; ср = -i-
т д? ех х ех

Распределение электричества на проводниках 65
Поэтому общее электростатическое поле, получающееся от нало-
наложения полей, образованных распределенными в объеме источниками pdv
и поверхностными источниками <&df, также должно быть безвихревым:
rotE = O. G7)
Следовательно, согласно § 11, силу электростатического поля
можно выразить как взятый с обратным знаком градиент скалярного
однозначного потенциала ср:
Е = —grad?; G7а)
<р называют электростатическим потенциалом. Его паде-
падение от точки A) до точки B) равно интегралу Е, взятому по любому
пути s, соединяющему A) с B):
2
_?2= ЛеЖ>. G7Ь)
Электростатическое поле вполне соответствует полю безвихревого
потока жидкости, которое было рассмотрено в главе I. Отдача источ-
источников е, согласно уравнению G6), соответствует количеству электри-
электричества, которое мы и обозначили таким же образом.
Если задано распределение электричества, то электростатический
потенциал, а равно и безвихревое поле Е вычисляются согласно фор-
формулам §§ 12—15.
Для некоторого числа h точечных зарядов потенциал [уравне-
[уравнение D9)] будет
для зарядов, распределенных в объеме [уравнение E4)], он равен
G8а)
Г
для зарядов, распределенных по поверхности
поле двойных слоев можно было бы вычислить по формулам § 18.
§ 25. Распределение электричества на проводниках. При поста-
постановке задач: в электростатике дело в большинстве случаев обстоит не
так просто, что задано распределение электричества и можно вычи-
вычислить потенциал по G8а, Ь). Распределение электричества на металли-
металлических телах само определяется некоторыми условиями, к установле-
установлению которых мы теперь и перейдем. В § 22 мы уже упоминали
о свойстве металлической проволоки проводить электричество от полюса
батареи к телу. Тела, обладающие этим свойством, называют про-
проводниками электричества, тела же, у которых подобное свой-
свойство отсутствует, называют изоляторами. Эту классификацию тел
не всегда удается провести вполне строго.
5 Зак. 3053. — Абрагам-Беккер. — Теория электр.

66 Электрическое поле
Решение вопроса о том; нужно ли называть предмет проводником
или изолятором, теснейшим образом связано с продолжитель-
продолжительностью наблюдения. Если поместить предмет в электростатическое
поле, то сначала во всяком случае внутри предмета возникает поле, и
следствием этого поля всегда является электрический ток. Этот ток
имеет стремление произвести на поверхности предмета такое распре-
распределение зарядов, которое могло бы как раз компенсировать внешнее
поле внутри предмета. Если такое состояние достигнуто, мы имеем
перед собой опять электростатическое состояние, при котором внутри
тела поле всюду равно нулю. При этом возможны два крайние случая»
Либо время, необходимое для достижения этого конечного состояния,
мало по сравнению с продолжительностью наблюдения (напри-
(например, 10~6 секунды). Тогда поле, которое мы будем видеть внутри тела,
всегда будет равно нулю. Такое тело мы будем называть проводником.
Либо это время очень велико (дни и месяцы). Тогда ток становится
настолько малым, что при нашей обычной продолжительности наблю-
наблюдения он не оказывает влияния на наши измерения. В этом случае
мы говорим об изоляторе. Чистая электростатика имеет дело только
с идеальными телами — именно с такими, у которых это время беско-
бесконечно мало (металлы) или бесконечно велико (изоляторы). Цоэтому
металлы с точки зрения электростатики характеризуются тем, что
внутри их поле Е всюду равно нулю. Или, другими словами, элек-
тростатическийпотенциал ф внутри проводника по-
атоянен.
Итак поле, образованное различно заряженными кусками металла
в пространстве, вообще свободном от зарядов, можно описать следую-
следующим образом: во всем внешне^ пространстве действует соотношение:
4icp = div E = 0;
в пространстве, занимаемом самим металлом, нет никаких зарядов,
так как нет никакого поля.
Но на поверхности металла имеются распределенные по ней источ-
источники силы Е, так как наружу от нее исходит поток сил; он рав-
равняется Еп, если и— нормаль, направленная в окружающее воздушное
пространство.
Произведение поверхностной плотности электричества а> на 4л: равно
потоку сил, исходящему из единицы поверхности. Он будет
4™=Е»=-ж- <79>
Следует также учесть, что на границе раздела воздуха и металла,
кроме поверхностно распределенных источников силового потока, могут
находиться также двойные источники. В самом деле, однородный двой-
двойной слой, согласно § 16, не вызвал бы никакого изменения поля как
снаружи, так и внутри. В этом именно и заключается трудность экс-
экспериментально установить его наличие. Поэтому вначале таких двой-
двойных слоев мы учитывать не будем.
Если известно безвихревое поле вектора Е, то можно вычислить
распределение электричества по G9). Наоборот, если бы было из-

Емкость шарового и плоского конденсатора 67
вестно распределение электричества на поверхности проводника, то
можно было бы вычислить поле с помощью G8Ь) и G7d). Но ни та,
ни другая постановка задачи не отвечает действительности. Основ-
Основная задача электростатики такова: в воздушном пространстве, в ко-
котором зарядов нет, для электростатического потенциала имеет место
уравнение Лапласа
div Е = — div grad 9 = — Дер = 0. (80)
На поверхности ft каждого ин щроводников у должно принимать по-
постоянное значение
<р = ср4 = const. (80а)
Это же значение должно сохраняться и внутри проводника, так как
здесь должен обращаться в нуль градиент потенциала. Для каждого
из проводников наперед заданным является либо это значение по-
потенциала, либо его общий заряд
а искрмым является соответствующее решение лапласовского уравне-
уравнения; если это решение известно с точностью до аддитивной постоянной,
то электрическое поле однозначно определяется градиентом ср. Опреде-
Определенное таким образом поле есть поле Действительно электростатиче-
электростатическое; соответствующее распределение зарядов действительно имеет
место вс случае равновесия.
То, что эти уравнения действительно определяют поле однозначно,
следует опять из теоремы Грина, которая в применении к простран-
пространству, ограниченному поверхностью металла, гласит:
Допустим, что имеются два решения задачи <?г и <?2; тогда для функ-
функции 9 = 9i — ?2 на всяком элементе поверхности df din ® = О или
—j— df=O. Тем самым во всем пространстве |grad 91 = 0, а это
ОIV
значит, что 9i Д о2 могут различаться разве на аддитивную постоян-
постоянную, что может иметь место в том случае, когда для каждого про-
проводника задан заряд ev Но если хоть для одного из проводников
вадан самый потенццал <?, то тем самым всюду определена и абсо-
абсолютная величина потенциалу.
§ 26. Емкость шарового и плоского конденсатора. Электроста-
Электростатическая задача решена лишь для немногих случаев. Простейшим
является заряженный металлический шар. Пусть е — заряд
жара, а — его радиус; в силу симметрии надо считать.распределение
заряда равномерным, так что поверхностная плотность электричества
будет

68 Электрическое поле
Уравнения G7) и G9), дающие связь между зарядом и потоком сил,
будут удовлетворены, если через все поверхности, концентрические
с поверхностью проводника, проходит поток сил 4тсе, и если, значит,
радиальная сила ноля Е равц&
Е
Потенциал этого безвихревого поля
9
на самом шаре он имеет постоянное значение
Чтобы получить физически возможное электростатическое поле, мы дол-
должны указать, где оканчивается поток сил, исходящий из тиара. Предполо-
Предположим, что шаровая поверхность концентрически окружена второй шаро-
шаровой металлической поверхностью с внутренним радиусом Ъ, и что на
ней находится отрицательное электричество; так как заряд — е распре-
распределен по шару равномерно, то поверхностная плотность составляет
потенциал для г = Ъ имеет значение
Такая система носит название шарового конденсатора; „ем-
„емкостью" конденсатора называют частное от деления положительного
заряда е на разность потенциалов 9а —?& положительно и отрица-
отрицательно заряженных проводников. Эта разность равна.
Ъ — а
?.-?»=« D— i)=<
ab '
откуда емкость
0 = —^— = ^-. (81)
Уменьшая расстояние (Ъ — а) между шаровыми поверхностями,
можно достигнуть весьма больших величин емкости. Если иногда гово-
говорят о емкости уединенного шара, то полагают, что другой
шар, имеющий противоположный заряд, находится на очень большом
расстоянии; в эдом случае емкость шара равна его радиусу а. В лабо-
лабораторных опытах общий электрический заряд в поле всегда равен
нулю. В каждом случае надо поэтому указывать, где находится соот-
соответствующий заряд противоположного знака, т. е. другими словами,
где оканчивается поток сил, исходящий из шара. В лабораторных опы-

Вытянутый эллипсоид вращения 69
тах поток сил оканчивается на стенах комнаты или на поверхности
проводников, имеющихся в комнате. Если последние находятся на рас-
расстоянии, которое велико по сравнению с радиусом шара, то емкость
шара практически равна его радиусу.
Плоский конденсатор состоит из двух плоских и располо-
расположенных параллельно металлических пластинок, взаимное расстояние
которых d мало по сравнению с радиальными размерами пластинок.
Если пренебречь расхождением силовых линий вблизи края, то мы
имеем между пластинками однородное поле
вследствие чего поверхностная плотность электричества составляет
71@ ~ d *
Таким образом мы получаем для емкости плоского конденсатора,
у которого расстояние между пластинками равно d% а поверхность
пластинки F:
c=-F
Эта формула уже содержится, как частный случай, в (81), а именно:
если радиусы шаров а и Ъ становятся почти равными, то шаровой
конденсатор можно рассматривать как плоский конденсатор с расстоя-
расстоянием между пластинками Ъ — a = d и поверхностью пластинки
JB = 4тгаЬ.
§ 27. Вытянутый эллипсоид вращения. Рассмотрим теперь про-
проводящий вытянутый эллипсоид вращения, который заряжен электри-
электричеством; спрашивается, каково его поле, и какое значение имеет его
емкость. Если говорят о емкости эллипсоида, как такового, то предпо-
предполагается, что концы силовых линий потока, исходящего из поверхности,
находятся на очень большом расстоянии — скажем, на шаровой поверх-
поверхности, концентричной с эллипсоидом. Математически надо задачу фор-
формулировать следующим образом (§ 25): внутри пространства, ограни-
ограниченного двумя проводниками, потенциал с? должен удовлетворять урав-
уравнению Лапласа
Ас? = 0; (82)
на поверхностях проводников /\ и f2 он принимает постоянные зна-
значения
C? = C?j, 9 = ?25 (82а)
градиент с? направлен нормально к этим поверхностям и согласно G9)
пропорционален поверхностной плотности со
дп *

70
Электрическое поле
При этом (о остается пока до известной степени произвольной;
задан только общий заряд
-J>.—?/*¦?
В большинстве случаев важно знать не столько распределение
электричества, как значение емкости; это значение будет известно,
если мы найдем потенциалы <pi и о2 обоих проводников; тогда емкость,
равна
С = - . (82с)
?i —?2
Так как не существует общего метода решения основной задачи
электростатики для любой формы проводника, то мы найдем емкость
вытянутого эллипсоида вращения особым путем-, применимым только
для этой специальной формы про-
проводника. Воспользуемся нашей
гидродинамической аналогией и
представим, себе, что на прямой,
соединяющей фокусы эллипсоида,
равномерно расположены источ-
источники. Мы покажем, что эквипо-
эквипотенциальными поверхностями со-
соответствующего безвихревого по-
поля является конфокальные эллип-
эллипсоиды вращения, и что это поле
обладает и остальными требуе-
требуемыми свойствами.
/
< М -
2 У 7
Рис. 27. К вычислению потенциала за-
заряженного отрезка длины 2с.
Положим отдачу всего отрезка длины 2с равной е. Если г есть
расстояние точки наблюдения от точек линий источников, то потенциал
9
2с J г
представляет решение Лапласовского уравнения (82). Отложим ось s
вдоль линии источников, а начало координат поместим в среднюю
точку этой линии, так что
и Мы получаем
где г1 и г2 суть расстояния точки йаблюдения от конечных точек
линии источников, характеризуемых С = — с, С = -j- с
Если положить сокращенно (рис. 27)

Вытянутый эллипсоид вращения 71
то для эквжпотенциальной поверхности, согласно (83),
il±lL = t = const,
должно быть постоянным, или
*i + ri = *(** + *& (83а)
Еслж разделить это уравнение на соотношение, получающееся из
теоремы Пифагора
r^ — ^ = r^ — ^ = h%
то мы имеем
или
Вычтем из этого уравнения (83а); тогда, располагая отдельные
члены в другом порядке, получим: L
(* —
Сумма расстояний всякой точки от двух постоянных точек 1 и 2
оказывается для эквипотенциальной поверхности постоянной; это значит,
что эти поверхности суть эллипсоиды вращения с большими осями
2а = г,+г9 = 2(
На очень больших расстояниях (а->оо)Ь становится равной 1;
m к, а также ср = 0. Потенциал на поверхности шара, находящегося
на очень большом расстоянии, равен нулю. Если представить себе, что
один вытянутый эллипсоид из вышеуказанного семейства является
проводящим, то поле в пространстве, ограниченном с одной стороны
этой поверхностью, а с другой стороны — очень, удаленной сферой,
удовлетворяет всем условиям электростатической задачи. Поле является
здесь безвихревым; источников в нем нет; общий поток сил, исходя-
исходящий из этого эллипсоида, равен отдаче линии источников; наконец,
обе проводящие поверхности, ограничивающие поле, суть эквипотен-
эквипотенциальные поверхности. Поэтому условия (82), (82а), (82Ь) выполнены.
Так как, согласно § 25, эти условия определяют электростатическое
поле однозначно, то ср есть потенциал искомого поля.
Из уравнения для 2а получается
а — с

72 Электрическое поле
если подставить это значение в (83), то получаем
<р = In ! } = _• 1тА !—1 ; (83Ъ)
так как, кроме того, для очень удаленной сферы (для а = оо)
то емкость С вытянутого эллипсоида вращения опре-
определяется выражением
Ь(). (83С)
Для очень вытянутых эллипсоидов, т. е. для малых значений
частного Ъ : а, получаем
Емкость такого стер&необразного проводника, который можно,
например, осуществить при помощи проволоки с круговым поперечным
сечением, уменьшающимся к концам, получается тем меньше, чем меньше
толщина при заданной длине. Распределение электричества в этом
предельном случае повторяет равномерное покрытие отрезка, соеди-
соединяющего фокусы, как это было предположено нами выше для вывода
потенциала. Электричество распределяется поэтому на стержнеобраз-
ном проводнике таким образом, что на равных длинах проволоки
находятся равные заряды.
§ 28. Точечный заряд вблизи проводящей плоскости. Предста-
Представим себе поле, ограниченное с одной стороны бесконечной плоскостью,
образующей поверхность некоторого проводника. Предположим далее,
что на расстоянии а от этой плоскости в точке А находится малое
заряженное тело с количеством электричества е. Размеры тела должны
быть настолько малы, чтобы можно было его электрическое поле,
когда нет проводящей плоскости, вывести из потенциала
Спрашивается теперь, как влияет на поле проводящая пограничная
плоскость. Вышеуказанный потенциал очевидно отнюдь не удовлетво-
удовлетворяет условию постоянства на проводящей плоскости. Но можно полу-
получить поле, для которого эта плоскость будет являться эквипотенци-
эквипотенциальной поверхностью, если представить себе, что мы имеем в точке В
зеркальное изображение точки Л, и предположить, что в этой точке
изображения находится противоположный заряд е' = —е (рис. 28).
Если г' — расстояние точки наблюдения от изображения, то

Точечный заряд вблизи проводящей плоскости.
представляет потенциал общего поля в рассматриваемой части про*
странства. Этот потенциал на пограничной плоскости равен нулю,
так как здесь г = г'. Безвихревое поле с той стороны плоскости, где
лежит точка J., не имеет источников, за исключением самой точки А\
из нее исходит поток сил 4т:е.
На пограничной плоскости электрическая сила направлена к ней
нормально и равна
v — д(? —
2ае
дп
поверхностная плотность, пропорциональная
ей согласно G9), будет
1 е а
4тг п 2^ г3
Электричество распределяется следова-
следовательно на плоской поверхности проводника
таким образом, чтэ поверхностная плотность
обратно пропорциональна третьей степени
расстояния от точечного источника. Общий
заряд плоскости
можно вычислить, вводя полярные коорди-
координаты р, 8:
Рис. 28. Вид силовых
линий при системе: то*
чечный заряд вблизи
проводящей плоскости..
Следовательно, весь поток сил, начинающийся в точке А, окан-
оканчивается на плоской поверхности проводника. Сила поля, которую
создает этот поверхностно распределенный заряд проводника, в том
месте, где помещается заряд е, тождественна с силой поля, вызы-
вызываемой изображением е/ = — е* Таким образом на е действует сила
е2
„изображения"
Явление, заключающееся в том, что электрически заряженное
тело вызывает на внешней поверхности соседнего первоначальна
незаряженного проводника заряд противоположного знака, называют
электрической индукцией. Это явление нужно понимать как
следствие того, что поле не может проникнуть внутрь проводника.
Если проводник — конечного размера и не соединен проводниками
с другими телами, то, так как его заряд остается в общем равным
нулю, поток сил, оканчивающийся на стороне, ближайшей к индуци-
индуцирующей точке, должен опять выйти с другой стороны проводника.
В рассмотренном выше случае бесконечно протяженного проводника>

74 Электрическое поле
-ограничивающего поле с одной стороны, нужно считать, что заряд -J- е, .
возникающий при приближении индуцирующей точки одновременно
с индуцированным зарядом — е, удаляется в бесконечность.
Если вблизи заряженного проводника поместить точечный заряд, —
лапример, заряд пробного тела для исследования поля—, то его поле,
на крторое в свою очередь влияет присутствие проводника, налагается
на первоначальное поле проводника. Поэтому сила, действующая
на пробное тело, не будет соответствовать первоначальному распре-
распределению электричества по проводнику, но будет отвечать распреде-
распределению по проводнику, измененному под влиянием пробного тела.
В этом случае сила уже не будет являться точной мерой первоначально
господствовавшего поля. Отступление будет тем больше, чем больше
заряд пробного, тела, и чем ближе оно находится к поверхности про-
проводника. В непосредственном соседстве поверхности проводника
данное в § 22 определение вектора Е через заряд пробного тела
будет верно только тогда, когда заряд последнего можно сделать
сколь угодно малым. Строго говоря, вектор Е определяется лишь
предельным значением частного от силы, деленной на заряд е, когда
последний непрерывно уменьшается.
§ 29. Точечный заряд и шаровой проводник. Прежде чем пе-
перейти к задаче об индуктивном заряде проводящего шара,
рассмотрим сначала следующую задачу.
Даны на определенном расстоянии два заряда ех и —в2. Ищется
поверхность, на которой потенциал
Г1 Г2
равен нулю.
Пусть е2 будет заряд, меньший по абсолютному значению.
Поместим начало полярной системы координат Д ft в точку, ле-
лежащую на продолжении соединительной линии ех -> е2, за—е2, и обо-
обозначим его расстояния от двух зарядов через р1 и р2- Тогда
* — 5 JSpi cos &
_ 2Вр2 COS &.
Потенциал, следовательно, равен нулю, если
„ \-р, — 2Й cos
2 2 Г 2 -\~Vb 2.В COS ft
Отсюда видно что это условие выполняется для всбх ft, если, во-
первых,
Е, ВО-ВТОрЫХ,

Точечный заряд щ шщодой проводник
75
Потенциал равен нулю на шаре, центр которого делит отрезок
прямой, соединяющей оба точечные зяряды, извне в отношении квадра-
квадратов зарядов, и по отношению к которому оба заряда находятся в сопря-
сопряженных точках.
Точвчжый заряд и металлический шар. Пусть заряд е находится
на расстоянии р от центра некоторого проводящего шара с радиу-
радиусом R. Предположим, что сначала потенциал шара держится на нуле
(при помощи проводящего соединения с землей). Рис. 29 позволяет
Рис. 29. Место нулевого потенци-
потенциала при двух зарядах противопо-
противоположных знаков.
Рис. 30. Поляризация изолирован-
изолированного металлического шара под вли-
влиянием заряда.
нам сразу ^се написать решение: именно, если представить себе, что
шар удален и заменен на расстоянии
Р =—^-
Р
от его центра точечным затждом
= —е
Р
то этот последний, совместно с данным точечным зарядом, создает
поле, потенциал которого как раз на месте первоначальной шаровой
поверхности всюду равен нулю; вне указанной поверхности в поле
имеется только источник е. Потенциал вне заземленного шара опре-
определяется следовательно через
= _е ?_
9~ г г/"
Если, напротив, шар изолирован и до приближения точечного
источника не был заряжен, то, естественно, что он остается и далее
незаряженным. Для описания его поля мы должны, следовательно
предполагать, что во внутрь его помещен заряд -\-ef, и притом таким
образом, что постоянство потенциала на поверхности от этого не
нарушается; другими словами, мы предполагаем заряд -\-ег в центре

76 Электрическое поле
шара. Потенциал всей системы: точечный заряд е и изолированный
незаряженный шар равен:
где г0 означает расстояние точки наблюдения от центра. На внеш-
^ е/ е
ней поверхности шара потенциал будет теперь -^- = —, т. е. тот же
К р
самый, который существовал на мес(те центра шара, когда по-
последний отсутствовал.
Интересно теперь отодвигать точечный заряд е в бесконечность,
одновременно усиливая его таким образом, что создаваемое им поле
все время сохраняет конечное значение. При таком процессе точка
изображения — е' сдвигается в центр шара, но таким образом, что
е'. р' = е - —-*
г р2
сохраняет конечное значение | Ео | • J23. Мы имеем следовательно в цен-
центре шара двойной источник или, как говорят, электрический диполь,
который в векторной форме дается уравнением
m = Ео • Ж
Поле Ео бесконечно далекого и бесконечно сильного точечного заряда
в пространстве, окружающем шар, естественно является однородным:
проводящий из олированный шар радиуса Л поляри-
поляризуется однородным электрическим полем таким обра-
образом, что заряд его внешней поверхности действует
наружу как диполь момента Еой3, помещенный
в центре шара.
II. ДИЭЛЕКТРЩШ
§ 30. Плоский конденсатор с диэлектрическим промежуточ-
промежуточным слоем. До сих пор мы ограничивались электрическим полем
в пустоте. Если мы при этом говорили иногда о поле в воздухе, то
это было не вполне точно, но в большинстве случаев, как мы сейчас же
увидим дальше, не влекло за собой заметной ошибки. Теперь же мы
подчеркиваем, что формулы предыдущей главы относятся к пустоте ж
к металлам, граничащим с пустотой.
Фарадей сделал основное открытие, состоящее в том, что емкость
конденсатора изменяется, если пространство между его обкладками 3a-j
полнить изолятором — например, стеклом, серой илп керосином. При-
Притом емкость при введении всех известных веществ повышается. Коэф-
Коэффициент s, на который умножается при этом С, является постоянной,
характерной для заполняющего вещества. Он называется д и э л е к-

Плоский конденсатор с диэлектрическим промежуточным слоем 77
трической постоянной соответствующего материала. Следова-
Следовательно, согласно § 26 теперь получается для
шарового конденсатора С = s -7-1—
о — а
F
плоского конденсатора С= е —
^Примеры некоторых численных значений е:
воздуха 1,0006
сернистого ангидрида . . 1,01
керосина 2,0
стекла от 5 до 7
фарфора 5
алкоголя 26
воды 81
Согласно определению, е имеет для пустоты значение единицы. Вместо
слова: „пустота" мы будем употреблять иногда также исторический
термин „эфир". Однако мы отнюдь
не связываем с этим названием
представления о каком-либо гипоте-
гипотетическом веществе; мы просто будем
пользоваться этим словом, когда
будем говорить о пространстве как
носителе электромагнитного поля.
Остановимся сначала на приме-
примере плоского конденсатора и, исходя
Рис. 31. Вдвигание диэлектрика в
плоский конденсатор.
из него, постараемся создать себе ясное представление о сущности
фарадеевского открытия.
Пусть две обкладки конденсатора, находящиеся на расстоянии d
и имеющие поверхность F, поддерживаются при постоянной разности
потенциалов ог — <р2 (например, с помощью гальванического элемента).
Тогда в пустоте между пластинками поле | Ео | = ' * 2 (направлен-
ное на рис. 31 сверху вниз) будет всюду постоянным, и соответственно
этому поверхностная плотность электрического заряда ш0 на пластинках
определяется уравнением:
Если теперь поместить в конденсатор изолирующую пластинку тол-
толщины d и с диэлектрической постоянной е, то в той части конденса-
конденсатора, которая заполнена веществом, мы имеем другую поверхностную
плотность заряда, именно
Вследствие этого при вдвигании пластинки в конденсатор на каждый
квадратный сантиметр, покрытый изолятором, гальванический элемент
должен добавочно дать количество электричества, равное

78 Электрическое поле
что это действительно имеет место, можно доказать с помощью вклю-
включенного по пути амперметра. Для удачи этого /опыта совсем не нужно,
чтобы стеклянная пластинка и обкладки касались друг друга. То же
произойдет s при существовании узкого промежутка^ между металлом
и изолятором, если только высота этого промежутка мала по сравне-
сравнению с расстоянием пластинок d. ^ак как, согласно опыту, такой пу-
пустой промежуток не влияет на емкость, а следовательно и на поверх-
поверхностную плотность заряда, то в этом промежутке сила электрического
поля будет иметь значение
4тго)= |Е'| = е- |Во1,
ибо ведь теперь поверхность металла граничит с пустотой. Наоборот,
внутри изолятора должна, как и раньше, существовать сила поля
Ео, так как интеграл по контуру / Eg ds, взятый в пределах от од-
одной обкладки до другой, должен попрежнему иметь значение <рй—<р2»
Следовательно, если мы переходим от промежутка внутрь изолятора,
то сила поля Е претерпевает скачок с sE0 на Ео. Но скачок нормаль-
нормальной составляющей силы поля всегда равнозначен наличию распреде-
распределенного по поверхности заряда. Поэтому влияние изолятора на электри-
электрическое поле таково, как если бы его внешняя поверхность имела заряд
с поверхностной плотностью <*/, где
4ica/ = (e—1)(Еол).
Здесь Ео означает, следовательно, силу поля в изоляторе, п — нор-
нормаль, направленную от изолятора наружу.
§ 31. Диэлектрическая поляризация. Свойство изолятора, оетакь
щегося как целое незаряженным, влиять подобным образом на поле, мы
называем поляризуемостью. Он „поляризован" электрическим
полем Ео* Чтобы понять это свойство, мы должны сделать предполо-
предположение, что всякое материальное поле содержит положительное и отри-
отрицательное электричества (заряды), притом каждого сорта поровну, если
тело электрически нейтрально. У проводника по крайней мере один
из сортов является подвижным (электроны у металла, ионы у электро-
электролита); наоборот, у изолятора оба сорта связаны квази - упруго, и притом
так, что под влиянием электрического поля заряды могут немного сме-
смещаться: положительные—в направлении поля, яли отрицательные в про-
противоположном направлении, или оба одновременно, каждый в свою сю-
рону, но что это движение прекращается, когда смещение достигло из-
известной величины, пропорциональной силе жоля. Цри устранении поля
смещение исчезает. Это взаимное смещение зарядов мы называем по-
поляризацией; мыв измеряем последнюю вектором Р, который опреде-
определяем следующим образом: возьмем неполяризованный материал; выбе-
выберем в нем произвольное направление s и нормально к нему элемент
поверхности df. Если теперь материал испытает поляризацию, то
общее количество электричества, проходящее при этом через df в на-
направлении s, равно произведению составляющей Р по направлению 8
на величину поверхности df.
Мы .говорим, что тело поляризовано однородно, если в нем Р имеет
всюду одинаковое значение. Избыточные заряды очевидно могут поя-

Диэлектрическая поляризащя
вдаться в ограниченном объеме v тела при поляризации только тогда,
когда интеграл, взятый по поверхности итого объема:
имеет значение, отличное от нуля, причем п есть внешняя нормаль.
В самом деле, — T*ndf есть как раз заряд, смещаемый при этом через.
df в v. По теореме Гаусса
есть следовательно заряд, появляющийся в элементе объема dv вслед-
вследствие поляризации.
Таким образом при однородной поляризации внутри никаких заря-
зарядов появиться не может. Напротив того, на поверхности тела появляется
электричество в виде распределенных по ней зарядов. В самом деле,
рассмотрим плоский цилиндр с площадью основания df, у которого
одно из оснований лежит целиком в пустоте, а другое — целиком в теле,
которое мы будем подвергать поляризации; тогда при поляризации Р
в этот цилиндр войдет заряд
Внешняя поверхность поляризованного тела имеет следовательно по-
поверхностный заряд о/, равный Рп.
К тем же формулам для риш' можно прийти следующим образом.
Представим себе, что диэлектрик разделен на малые цилиндрические
элементы объема dv = df*h, площади основания которых й/1 нормальны
к Р. При поляризации dv возникает электрический диполь с моментом
m = Ydv.
В самом деле, на основаниях цилиндра появляются заряды dt | Р | • dfy
которые находятся на расстоянии h и тем самым вызывают момент
|Р| • df - h. Потенциал ©', вызываемый диполем в точке наблюдения
на расстоянии г, согласно E2') дается выражением Im-grad^—};
общий потенциал, образуемый поляризованным телом, будет еледова-
тельно
Но так как
/Р\ 1 , / 1 .
div I — I = — div P -f- P • grad — ,
\г ) г \ г )
то, пользуясь теоремой Гаусса, мы получаем

80 Электрическое поле
Это уравнение выражает собой не что иное, как то, что изолятор
имеет на себе с одной стороны поверхностный заряд с поверхностной
плотностью а/ = РЛ, а с другой—заряд, распределенный по объему
с объемной плотностью р' = —div P.
Мы имеем, следовательно, два вполне равнозначные опре-
определения Р: либо как электрического момента единицы
объема, либо как величкны заряда, проходящего через
единицу поверхности, ориентированной нормально к Р.
В рассмотренном выше случае плоского конденсатора (рис. 31) мы
имеем дело с однородной поляризацией вдвинутой пластинки, причем
вектор Р направлен снизу вверх и по своей величине дается свобод-
свободным зарядом, появляющимся на внешней поверхности пластинки
'=I (8B)
Таким образом с помощью диэлектрической постоянной е установлена
численная связь между векторами Р и В. Стоящий в (85) множитель
пропорциональности
называют коэффициентом электризации соответствующего
материала,
§ 32. Максвелловский вектор смещения D. Следствием про-
пространственных зарядов р' и поверхностных зарядов со', появляющихся
при поляризации, является соответствующее расхождение силы поля
div Е = 4irp' = — 4т: div P ]
(85а)
Но эти уравнения выражают собой следующее: поле вектора Е -f- 4тсР
в изоляторе не имеет источников. Его нормальная составляющая не
претерпевает никакого скачка на границе двух изоляторов.
Введем для этого вектора особое обозначение: „электрическое
смещение" (displacement у Максвелла)
В = Е + 4тгР, (86)
который характеризуется, следовательно, следующими свойствами:
1) Внутри незаряженного изолятора всюду div D = 0.
2) На границе двух изоляторов нормальная составляющая везде
непрерывна.
Положение 2 ecfb конечно по существу лишь следствие положе-
положения 1, так как поведение на пограничной поверхности всегда можно
вывести путем допущения непрерывного перехода от одного изолятора
в другой и подходящим предельным переходом, принимая также во
внимание, что div D = 0.

Максвелловский вектор смещения 81
С введением вектора D тесно связано понятие об истинных и
свободных зарядах, которые играли большую роль в прежних кур-
курсах электродинамики. Свободные заряды определяются как
источники Е, а истинные заряды—как источники D.
Если в однородный диэлектрик поместить металлический изолирован-
изолированный шар с зарядом е, то этот заряд частично компенсируется поверх-
поверхностным зарядом о/ = Рп граничащего с шаром диэлектрика, так что источ-
ником Е является лишь свободный заряд —. Напротив, истинный заряд
S
остается при этом неизменным, ибо, согласно его определению, его
можно получить из свободного заряда вычитанием пространственных
зарядов р' и поверхностных да', возникающих при поляризации. Если
в последующем будет говориться просто о зарядах, то
всегда1* будут подразумеваться истинные заряды, т. е.
источники D. Из этих положений следует:
3) При наличии истинных зарядов (это будут, значит, заряды на
металлических частях или заряды, введенные как-нибудь в изолятор)
днтеграл по поверхности т~ I I Tbjlf Да^т общий заряд, содержа-
содержащийся в объеме. В частности, поверхностная плотность заряда о> на
металле, граничащем с изолятором, дается нормальной составляющей D
1)„. (87)
Для плотности заряда, распределенного в объеме, имеем
47tp = divD. (87а)
4) В изотропном изоляторе согласно (85) и (86)
» = sE, (88)
где е может быть какой угодно функцией координат, а сила электри-
электрического поля Е всюду свободна от вихрей в областях непрерывности:
Е = — grade?; (89)
тангенциальные составляющие Е непрерывны на поверхностях раз-
разрыва S.
В некоторых курсах вектор D определяют сразу по формуле (88).
Отметим поэтому, что такое определение носит гораздо более частный
характер, чем данное в (86). Оно справедливо только тогда, когда по-
поляризация Р пропорциональна силе поля Е. Оно неприменимо для слу-
случая кристаллических сред. У кристаллов направление Р в общем отлично
от направления Е. На место скалярной диэлектрической постоянной е
выступает здесь тензор eik:
к
Но все же здесь существует еще линейная связь между D и Е.
Позднее мы увидим, что в случае ферромагнетизма, при вполне анало-
6 Абрагам-Беккер. — Теория электр.

Электрическое поле
гичном соотношении между магнитной индукцией В и силой магнит-
магнитного поля Н, о такой связи уже не может быть речи. Напротив, соот-
соотношение (86) можно непосредственно перенести и на этот случай.
Следствием пограничных условий (непрерывность нормальных со-
составляющих D и тангенциальных составляющих Е), имеющих место на
границе двух изоляторов, является своеобразный закон преломле-
преломления силовых линий: если ах и а2 — углы между силовой линией
и нормалями с двух сторон поверхности разрыва, то из
| cos <хх = |
1 cos а2
и
|E1|sina1 = |E2| sina2
в соединении с (88) прямо следует
tga2 :tg а2 = е1:е2.
Следовательно при входе в изолятор с большим е сдловые линии уда-
удаляются от нормали.
§ 33. Шаровой конденсатор. Диэлектрический слой бесконеч-
бесконечной толщины. 1. Предположим, что пространство между сферическими
поверхностями некоторого конденсатора заполнено в виде концентри-
Рис. 32. Преломление
силовых линий на гра-
границе двух диэлектриков.
Рис. 33. Шаровой кон-
конденсатор с концентриче-
концентрическими слоями диэлек-
диэлектриков.
ческих слоев двумя различными средами с диэлектрическими постоян-
постоянными Sj е s2. Пусть а ж с — радиусы внутреннего и внешнего шаров,
Ъ — радиус сферы раздела между гх hs2, -j- e и — е — заряды вну-
внутреннего и наружного шаров.
Тогда всюду между а и с
при этом от а до' Ъ:
от 6 до с:
1 е

Шаровой конденсатор 83
Тем самым разность потенциалов между а ж с становится равной
Г тл л е ( l Mi6/1 Ч
•в " J r зА \а Ь / 82 \ ь с/
Для емкости
откуда
Случай шара с радиусом а, окруженного диэлектрической оболоч-
оболочкой радиуса Ъ, характеризуется тем, что е2 — 1, с — со. Тогда
2_=2 L+I_(J__J_).
Если Ъ становится велико по сравнению с а(ех— 1), оболочка прак-
практически действует так, как если бы шар находился в бесконечно про-
протяженном пространстве с диэлектрической постоянной е1в
2. Точечный заряд около плоской границы диэлек-
диэлектрического слоя бесконечной толщины.
Представим себе, что в воздухе и на расстоянии а от плоской по-
поверхности некоторого диэлектрика находится точечный заряд А; спра-
спрашивается, какое влияние оказывает наличие диэлектрика.
Эта задача соответствует задаче, решенной в § 28 для,проводящей
плоскости. Но тогда ьам нужно было рассматривать поле только в воз-
воздухе, так как по другую сторону плоскости раздела поля вообще не
существует. Теперь нужно будет принимать во внимание также поле
внутри изолятора; будем счатать, что изолятор заполняет все про-
пространство за поверхностью раздела. Пусть диэлектрическая постоянная
изолятора будет е2, воздуха — е1#
Попытаемся решить эту задачу по методу электрических изобра-
изображений. Представим себе опять, что точке А по другую сторону пло-
плоской границы соответствует зеркальное изображение В. Обозначим
через г и rf расстояния точки наблюдения от Л и соответственно от
его изображения В.
Потенциал в воздухе мы положим равным
Поле в воздухе должно следовательно соответствовать истинному
заряду е в А и воображаемому истинному заряду (— ef) в В, Это
допущение удовлетворяет основному условию, что в воздухе есть только
один источник электрического смещения, а именно в точке А; точка
изображения В лежит вне этой части пространства.
6*

84 Электрическое поле
Что касается поля внутри диэлектрика, то мы попробуем удовле-
удовлетворить его допущением, ^то потенциал в диэлектрике равен
Значит в изоляторе поле должно быть таково, как если бы изоля-
изолятор простирался безгранично, и si находился истинный заряд е'\ Это
допущение соответствует условию, что внутри действительно запол-
заполненной диэлектриком части пространства не существует источников
или стоков электрического смещения.
Можно показать, что указанное допущение действительно ведет
к правильным заключениям о поле. Для этого доказывают, что погра-1
нжчные условия на плоскости раздела диэлектрика могут быть выпол-
выполнены, если только распорядиться соответствующим образом величвнами.
ег, е'\ остававшимися до сих пор неопределенными. Чтб касается нор-
нормальных составляющих D, то
где нормали пх, п2 считаются направленными от соответствующего
тела к пограничной плоскости. Пограничное условие гласит: поверх-
поверхностное расхождение D равно нулю; на пограничной плоскости г = г';
следовательно это первое пограничное условие требует, чтобы
С другой стороны, тангенциальные составляющие Е с обеих сторон
плоскости раздела должны иметь равные значения; это во всяком слу-
случае будет иметь место тогда, когда вдоль плоскости выполнено <pi == <р2*
ибо ведь Е есть отрицательный градиент ср. Условие <рх = <р2 является
не только достаточным, но также и необходимым, если только на по-
поверхности изолятора нет двойных слоев свободного электричества. Мы
требуем поэтому, во-вторых,
е — е' _ е"
Из этих двух уравнений, линейных относительно е, е*\ е", получаем
el p © p I , e I
2b <90>
e2 + Sl J
Этим определены воображаемые „истинные" заряды (— ег) в В и
(-\~е") в ^- Внутри диэлектрика силовые линии идут таким образом,
что они кажутся радиально исходящими из J., в воздухе же ноле
может быть представлено, как< наложение двух полей, из которых
одно создается точечным источником А, другое — точечным стоком В.
Если заменить диэлектрик проводником, то для того, чтобы опре-
определить потенциал в воздухе, надо, согласно § 28, придать точке изо-

Диэлектрический шар в однородном поле 85
бражения В заряд (— е). Следовательно, возмущающее действие
диэлектрика на силу поля в воздухе, по сравнению с возмуща-
возмущающим действием проводника, измеряется отношением
е! :е = (е2 — ©0
Диэлектрик оказывает следовательно всегда меньшее действие, чем
проводник. В предельном случае, когда диэлектрическая постоянная е2
изолятора очень велика по сравнению с диэлектрической постоянной
воздуха, е1—е\ это значит, что проводник влияет на поле
в воздухе так же, йак изолятор с бесконечно большой
диэлектрической постоянной.
Что касается далее силы поля внутри диэлектрика, то она соот-
соответствует свободному заряду —, находящемуся в А в безграничном
диэлектрике. Если удалить диэлектрик, то сила поля соответствовала бы
свободному заряду — ? который действительно имеется в точке А в воз-
духе. Изменение поля присутствием диэлектрика измеряется поэтому
частным
82 51
В предельном случае бесконечной диэлектриче-
диэлектрической постоянной е2 сила электрического поля внутри
изолятора равна нулю — так же, как внутри провод-
проводника.
§ 34. Диэлектрический шар в однородном поле. Рассмотрим
шар радиуса а с диэлектрической постоянной е15 находящийся в дру-
другом диэлектрике е2, который пусть заполняет собой все остальное
пространство; предположим, что в этом диэлектрике до внесения шара
имелось однородное поле Еа. = -В0, имеющее направление положитель-
положительной оси х. Как изменяется это поле при помещении в него шара? —
Чтобы ответить на этот вопрос, определим потенциал о следующими
свойствами:
1) На большом расстоянии от шара (lim г = оо) о должен перейти
в —Е0ос.
2) На внешней поверхности шара нормальная составляющая гра-
градиента претерпевает такой скачок, что з^-с обеих сторон имеет оди-
одинаковое значение.
3) Само 9i а значит, и тангенциальные составляющие grad <p>
остаются непрерывными при прохождении через поверхность шара.
4) ср всюду удовлетворяет уравневию Лапласа Аср==О.
Обозначим через <pi и Ъ значения потенциала внутри и вне шара
и сделаем допущение

86 Электрическое поле
Это означает: внутри (cpt) шара имеется однородное поле F; сле-
следовательно шар однородно поляризован в направлении х. При этом
на внешнее пространство (ф2) шар действует так, как если бы в его
центре находился диполь момента Е01с.
Первое и четвертое из наших условий уже удовлетворены при
указанных допущениях.
Мы должны показать, что соответствующим выбором постоянных
F и &, которыми мы еще можем распорядиться произвольно, можно
удовлетворить и пограничные условия 2 и 3. Вводя полярные коор-
координаты (# = rcosfr), имеем
?2 = — Еосо$Ъ \г — -
Наши пограничные условия требуют теперь
Это дает два уравнения
г<? =
из которых получается
а3 2г2 -f гх *
Рассмотрим частный случай s2===^> т- е- диэлектрический
шар в пустоте. Поле внутри его ослабляется в —у-—раз по сравне-
нию с однородным полем. Наружу он действует как диполь момента
М = Ео& = Ео • a» -^i. (90a)
S| —j— Z
Его поляризация Р (момент единицы объема) равна
Сравнение с тем, что мы говорили о проводящем шаре (§ 29), по-
показывает, что такой шар проявляет себя в смысле возмущающего дей-
действия на однородное поле как изолятор с бесконечно большой ди-
диэлектрической постоянной.

Заряди и металлические проводники в пустоте 87
III. ЭНЕРГИЯ И МЕХАНИЧЕСКИЕ СИЛЫ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ
§ 35. Заряды и металлические проводники в пустоте. Различие
в представлениях Максвелловской теории поля и болез старой теории
дальнодействия выступает особо отчетливо, когда мы вычисляем ра-
работу, необходимую для того, чтобы осуществить данное электростати-
электростатическое распределение зарядов, и при этом действуем следующим обра-
образом. Мы предполагаем, что отдельные заряды сначала удалены друг
от друга на бесконечные расстояния и затем привадим их по отдель-
отдельности, в ранее определенное для них место. Рассмотрим сначала слу-
случай, когда дело идет об отдельных точечных зарядах ег, е2, е3 и т. д.,
и пусть они приводятся из бесконечности в такое положение, при ко-
котором их взаимные расстояния друг от друга будут г12, г]3 и т. д.
Сначала приведем на соответствующее ему место заряд ех. При этом
никакой работы еше совершать не надо, так как все остальные заряды
находятся на бесконечном расстоянии. Приведем теперь заряд е2 на
расстояние г12 от ех ¦ Для этого нужно совершить работу против куло-
новского отталкивания
Поднесем теперь заряд е3; при этом мы должны затратить
п е\ е% i
аз — ~ г"
е\ е% i в2 €з
Будем продолжать таким образом далее, тюка все п зарядов не ока-
окажутся на своих местах. В общем мы должны затратить работу
которую мож^о также написать в виде
А
= i Ч |~-^- + ^L -f . • • +-"-1
ели также
2 ._х
где Ф^ есть потенциал, создаваемый остальными зарядами на
месте $-го заряда.
Уравнение (91) по своей форме характерно для теории дальнодей-
дальнодействия. Если уместен вопрос, где собственно локализуется затраченная
работа, то, руководствуясь (91), мы ответили бы на него в том смысле,
что потенциальная энергия сосредоточивается в отдельных зарядах, и
что каждый из зарядов вносит в потенциальную энергию слагаемое
— е%Фь. Совсем иначе дается ответ в Максвелловской теории ноля.

Последняя рассматривает как носитель электрической энергии именно

88 Электрическое поле
поле и утверждает: каждый элемент объема dv того „пустого простран-
пространства", в котором существует электрическое поле, содержит благодаря
этому энергию
Таким образом на конечный объем приходится энергия
Мы оправдаем это утверждение прежде всего тем, что покажем: ра-
работа А (91), затрачиваемая при вышеописанном взаимном приближении
п точечных зарядов, тождественна с увеличением энергии поля U,
происходящим при этом процессе. Для этой цели обозначим через
Ех, Е2... силы полей в любой точке наблюдения, создаваемые заря-
зарядами еи е2... Тогда Е = Ех -f- Е2 + • • • + Ew, и поэтому
1 + E3+...+Ew)
Если образовать энергию поля U, то прежде всего видно, что члены,
даваемые первой стекой (Uo), при взаимном приближении зарядов
вообще не меняются. Действительно, например, — I I I Ex2 dv есть
энергия, приходящаяся только на первый заряд (она соответствовала бы
работе, которую нужно было бы затратить, чтобы сгустить бесконечно
тонкое облако зарядов в первый точечный заряд; для действительно
точечного заряда она была бы даже бесконечно большой). Здесь мы
должны рассмотреть только члены, обусловленные взаимодействием и
стоящие в следующих строках. Если положить
где следовательно Ф± означает потенциал, образуемый всеми заря-
зарядами, за исключением первого, то вторая строка от Е2 дает для U
член
который мы можем написать по теореме Гаусса — уравнение D2) —
в виде
В качестве ограничивающей поле поверхности f возьмем, с одной сто-
стороны, бесконечно далекую сферу, которая не внесет ничего в общую

Заряди и металлические проводники в пувпгоше 89
сумму, и малую шаровую поверхность, охватывающую первый заряд»
На последней мы можем считать Фх постоянным; далее интеграл
дает заряд ех, так что в общем
После соответствующего преобразования остальных строк разность
действительно оказывается равной затраченной работе Л.
Рассмотрим, например, смещение точечного заряда в некоторое со-
соседнее положение; мы получим тогда теорему: работа, которую
надо затратить при смещении любого данного точеч-
точечного заряда, равна увеличению энергии поля, связан-
связанному с этим смещением. Следовательно, затраченная работа
накапливается в поле в виде/ потенциальной энергии.
Хотя случай точечных зарядов вследствие обращения поля в этом
случае в бесконечность в вычислительном отношении является не осо-
особенно удобным, мы все же рассмотрели его первым, имея в виду его
ближайшее отношение к закону Кулона. Если заряды распределены
в объеме с плотностью р, то соответствующая связь в формаль-
формальном отношении становится гораздо проще.
Формула Грина
^ /JJdv ^+grad ? grad ^
дает теперь, если положить ty = <?; Д*?"—^Р' ёг^ср = —Е, непосред-
непосредственно
Слева энергия оказывается локализованной в элементах заряда prifo,
которые находятся в местах потенциала величины ср. Справа же энер-
энергия распределена по полю с плотностью — W.
В случае распределения зарядов по поверхности металлического
проводника (поверхностная плотность заряда равна ш), Д<р в формуле
Грина становится равным нулю (если остальное пространство не имеет
источников); но при этом слева остается интеграл, распространенный
по поверхностям отдельных проводников
17=1 Ге2^ = 1 (vp-df. (93)
8тс J 8тг J 4 дп J

W Электрическое поле
Поверхность f распадается на поверхности /\, f2... и т. д. от-
отдельных проводников, на каждом из которых потенциалы имеют свои
постоянные значения <р15 ср2 и т. д. Но -—~ равно поверхностному
заряду; следовательно
J дп
fk
*J±-dfh =
где ек означает заряд, находящийся на й-ом проводнике. Для энергии
системы проводников 1, 2 ... и т. д. получаем, следовательно,
Энергия конденсатора с зарядами -\-е и —е на обкладках становится
поэтому равной
если мы при этом обозначаем опять через С = емкость кон-
денсатора.
§ 36. Энергия поля при наличии изоляторов. Последнее полу-
полученное нами выражение для эйергии конденсатора
очевидно, совсем не зависит от того, находится ли между его обклад-
обкладками изолятор или нет; оно представляет собой работу, необходимую
для заряжения. При плоском конденсаторе в пустоте (поверхность F,
расстояние пластин а) заряд равен
е
и <pi — <Р2 = |Е|я, так что согласно (92)
В диэлектрике с диэлектрической постоянной е плотность заряда со на
границе металла определяется теперь нормальной составляющей не Е,
a D = sE. Следовательно теперь
и энергия
е

Энергия поля при наличии изоляторов 91
Плотность энергии электрического поля должна следова-
следовательно теперь равняться1)
u^^W^^m). (94)
И, действительно, уравнение (94) дает для бесконечно протяжен-
протяженного всюду непрерывного поля, в силу div D = 4тгр и Е = — grad <р,
I DEtZv = — —- I D grad © dv = -5— I ? div I) dv = — I <ppdf«;.
8тг J 8тг J bit J A J
Но это как раз то выражение, которого мы должны ожидать с точки
зрения теории дальнодействия. Оправдание выражения (94) для плот-
плотности энергии поля будет составлять существенную часть следующих
параграфов. Но отметим уже сейчас, что оно сохраняет значение далеко
за пределами электростатики, — в частности, остается верным дли по-
полей, изменяющихся во времени. Но сейчас оно должно дать нам воз-
возможность вычислить в общем случае действия сил, появляющиеся
в электростатическом поле. При этом мы исходим из того принципа,
что при любом смещении зарядов работа, совершаемая полем, равна
уменьшению энергии поля. Превращаемая в работу энергия поля
экспериментально обнаруживается в самых различных видах: или
в виде кинетической энергии, если носитель заряда может свободно
двигаться (свободные электроны), или в виде теплоты, если носитель
заряда движется, преодолевая сопротивление, аналогичное трению, или
также в виде потенциальной механической энергии, если при движении
носителя заряда затрачивается работа против внешней консервативной
силы (например, силы тяжести или упругой силы).
В простейшем случае однородного диэлектрика выраже-
выражение (94) означает лишь незначительное усложнение по сравнению
с пустотой. Пусть произвольная система металлических тел помещена
сначала в пустоту и находится в электростатическом равновесии;
еп и ?»— заряд и потенциал п-ro проводника. Пусть Ео — сила поля
в каком-нибудь месте пространства, ио = — Е02—плотность энергии.
о тс
Заполним теперь пространство диэлектриком с диэлектрической по:
стоянной е. Какой вид имеет теперь плотность энергии, даваемая
уравнением (94)? — Если Е и D — сила поля и смещение в новом
поле, та во всяком случае мы имеем I) = еЕ. Но тогда мы должны
различать, что мы поддерживаем постоянными при введении диэлек-
диэлектрика: заряды ли еп или потенциалы фи.
!) Выражением (94) дается собственно плотность не энергии, а свободной
энергии (в термодинамическом смысле). При выводах следующих параграфов
мы будем всегда ограничиваться изотермическими процессами, не отмечая
при этом этого обстоятельства особо. Поэтому соображения, изложенные
в тексте, настоятельно нуждаются в последующем оправдании, которое
мы дадим однако только позднее (стр. 237 и ел.).

92 Электричестве поле
а) Постоянными поддерживаются заряды еп (путем изоляции
отдельных проводников). Тогда
Источники D — тз же самые, которые были раньше источниками Ео.
Но тогда
образом
Но тогда вообще должно быть D==E0, и тем самым Е = — Ео. *Таким
<ED>
Так как вообще о = / Шв, то отсюда следует, что потенциалы также
падают в г раз. Далее сила, действующая между зарядами е^ и е2,
дается вообще энергией поля; следовательно, закон Кулона будет
теперь иметь вид:
При заполнении пространства между изолирован-
изолированными проводниками однородным диэлектриком (когда
заряды поддерживаются постоянными) энергия под я,
сила по Ля, потенциалы и сила взаимодействия умень-
уменьшают ел в s раз.
Принш&я во внимание принцип сохранения энергии, приходится
сейчас же Испросить, куда^же девалась при таком заполнении исчез-
исчезнувшая эйергия. Фактически она компенсируется тем, что в поле
входит диэлектрик, что, следовательно, при заполнении пространства
может совершаться работа. Но так как во время введения изолятора
диэлектрик^ не является уже однородным (е даже разрывна на внеш-
внешней поверхности изолятора), то пока мы эти силы вычислить не
можем. **
Ъ) Постоянными поддероюиваются потенциалы проводников (на-
(например, при помощи соединения проводниками с полюсами гальвани-
гальванических элементов). Потенциала^ <р однозначно определяются силы
полей Е (в однородном диэлектрике е). Мы имеем, следовательно,
в этом случае
Е = Ео, и поэтому D = s . Ео;
стало быть
и также
ег = —— I T)ndf=±e • е10 и т. д.
Когда при заполнении пространства между про-
проводник до и однородным диэлектриком поддержива-
поддерживаются постоянными потенциалы последних, энергия

Теорема Томсона 93
поля, смещение, заряды и силы взаимодействия уве-
увеличиваются в s раз.
Поставим опять вопрос об энергетическом балансе. Прежде всего,
как мы видели выше, при введении изолятора мы получаем работу.
Но кроме того еще увеличивается энергия поля. И та и другая части
анергии должны доставляться гальваническими элементами, которые
поддерживают потенциалы на отдельных проводниках постоянными.
В самом деле, заряд г-го проводника увеличивается в ef(s—1) раз.
Для этого соответствующий элемент должен совершить работу
?аО — 1).
Тогда полная работа, произведенная гальваническими элементами,
равна
4 = 2 ? А (в — 1) = 2 • (в - 1). U»
€СЛИ
u°dv
означает энергию системы с потенциалами ®г в пустоте. Но прирост
энергии поля составляет только половину Л, именно
Таким образом мы видим: при внесении диэлектрика г в полз
энергии Uo, если проводники держатся на постоянных потенциалах,
во-первых, приобретается работа (е—1) С70, во-вторых, настолько же
увеличивается энергия поля. Полученная работа -f- прирост энер-
энергии доставляются источниками тока, которые обеспечивают сохранение
постоянства потенциала.
§ 37. Теорема Тожсона. Если в электростатическом поле под
влиянием силы поля заряды движутся, то энергия поля уменьшается
на величину совершаемой при этом работы. При этом заряды, по-
поскольку они подвижны, будут стараться распределяться таким обра-
образом, чтобы энергия поля имела наименьшее из всех возможных зна-
значений. В частности, если даны проводники, на которых заряды рас-
распределены вначале произвольным образом, то эти заряды перераспре-
перераспределяются так, что энергия поля становится минимальной. С другой
стороны, мы знаем, что в электростатическом состоянии потенциал
в проводнике является постоянным, и что весь заряд находится на
внешней поверхности; мы ожидаем поэтому, что этому распределению
зарядов действительно соответствует минимум энергии ноля.
В свете такого ожидания докажем следующую теорему: пусть дана
некоторая система металлических проводников, помещенная в диэлек-
диэлектрике, диэлектрическая постоянная которого г есть произвольная
функция координат. Повзрхности разрыва е мы можем исключить,
отнюдь не нарушая при этом общности, так как ведь каждую поверх-
поверхность разрыва можно мысленно заменить непрерывным, но весьма
быстрым переходом. Отдельные изолированные проводники несут на
себе заряды е19 е2 и т. д.

94 Электрическое поле
Пусть соответствующее электростатическое поле описывается век-
векторами D и Е. Это значит, что должны выполняться следующие
условия на внешних поверхностях проводников
J j DJf= 4тге, (i = 1, 2, ... Л) («)
U
и
div D = 4тгр; D = еЕ, (?)
где ег и функции координат места р и s заданы. Е этим условиям,
которые мы назовем общими, присоединяются чисто электростати-
электростатические условия:
ср = ср^ = const. (if)
на каждом из отдельных проводников, а, также всюду
rotE = O или Е = — gradcp. (Ь)
Пусть теперь D'-и Е'— какое-нибудь другое поле, о котором мы
знаем только то, что оно удовлетворяет общим условиям (а) и (C), и
что оно отлично от поля D и Е. Мы утверждаем, что этого указания
достаточно, чтоб доказать, что
U'>V,
если
Г=™ Г(В'ЕО*> и *7=g~ f
означают энергии обоих полей.
Для доказательства положим
В силу условий (а) и (р) для введенных таким образом полей W и W
имеют место уравнения
[ fl)n"df= 0; div W = 0; D" = s . W. (e)
Тогда
W)av = ± j(EJ))dv
о
В силу D" = sE"
8tz J ' 4n J
Воспользуемся теперь указанием (8) о том, что Е должно быть без-
безвихревым:
O = — (^аA ?> D'O = — div (? D") + ? div D'7-

Диэлектрический шар в неоднородном поле 95
ф
Согласно предположению (х), Е внутри металла всюду равно нулю.
Мы можем, следовательно, при вычислении объемного интеграла
— I "ED"dv ограничиться областью, заполненной диэлектриком, в ко-
котором divD" = 0. Таким образом
/ED" dv=%f *J)n"af= 2 ?i / ^ndf= 0,
i П < П
так как, согласно Oy), ? на каждом проводнике постоянен. Но этим
теорема Томсона доказана. Действительно
biz J
JJr больше чем U, как только в каком-нибудь месте пространства W
отлично от Е.
Теорема Томсона выводит, следовательно, поле, соответствующее
равновесному распределению электричества, из некоторого принципа
минимальности. Этот принцип вполне соответствует условию равно-
равновесия, которое имеет место для тяжелых тел в поле силы тяжести.
Эти тела находятся в равновесии, и притом в устойчивом равновесии,
когда потенциальная энергия силы тяжести в соответствующем поло-
положении принимает наименьшее значение. Подобным образом здесь мы
видим, что равновесие электричества, находящегося на внешних по-
поверхностях неподвижных проводников, характеризуется минимумом
электрической энергии. Электрическая энергия играет по-
поэтому здесь ту же самую роль, какую потенциаль-
потенциальная энергия играет в обычной механике.
Предыдущие рассуждения показывают еще раз, что нельзя дать
двух различных решений электростатической задачи. Доказанное не-
неравенство означает как раз то, что для всякого поля Е', W, котороа
удовлетворяет условиям (а) и (|3) и отлично от электростатического*
поля, энергия TJr < U. Если само поле W, W есть поле электроста-
электростатическое, то должно, кроме того, иметь место U > ?Г, что невозможно.
Следовательно, не может быть двух различных решений электроста-
электростатической задачи; условиями (а) до (8) электростатическое
поле определяется однозначно.
§ 38. Диэлектрический шар в неоднородном поле. Прежде чем
приступить к выводу самого общего выражения для пондеромоторных
сил из принципа энергии, что мы сделаем в следующих параграфах,
Мы вычислим здесь непосредственным путем силу, которую испытывает
наряженный или незаряженный шар в неоднородном поле. Предвари-
Предварительно рассмотрим рой точечных зарядов е1? е2, ... eh, которые нахо-
находятся в точках Xjyx8v ... xhyhzh невдалеке от начала координат. Пусть
размеры роя настолько малы, что действующее извне поле Е с доста-
достаточным приближением можно представить в виде
• 2
О

96 Электрическое поле
или в сокращенной форме
где индекс 0 означает, что соответствующую величину нужно брать
для начала координат. Сила, действующая на наш рой, будет
h <=Л h
К = ^ ег (ЕгО = Ео 2 е, + B * A grad) E. j
есть электрический момент нашего'роя зарядов (ср. при этом
выводы § 12). Если далее ^ei==e есть общий заряд, то К будет
также
gradE).
Применим этот результат к шару с диэлектрической постоянной б и
радиусом а. Согласно уравнению (90а), этот шар поляризуется в одно-
однородном поле Е таким образом, что его поляризационные заряды дей-
действуют наружу как диполь момента
Если размеры шара не слишком велики, то это выражение останется
приблизительно верным также и в неоднородном поле. Но если, кроме
того, шар имеет еще заряд е, то всего на него действует сила
К = вЕ + а8^~!г(Е gradE).
s —I— 2t
В электростатическом поле в силу безвихревого характера Е
(Е grad E) = -l grad JSP,
что легко можно подтвердить, выписав выражение, например, для
составляющей по х.
Но тогда
К = еЕ + -J- <*>* ^^г grad E*. f94а)
А в —J—• Jj
Незаряженный шар (в = 0) втягивается в места с боль-
большей силой поля. В частности, если перейти к пределу lims^oo,
то сила, действующая на металлический незаряженный шар радиуса а,
будет
K = -|-a3gradE2. (94)
—а3 • Е2 есть, следовательно, работа, которую надо затратить, чтобы
перевести металлический шар радиуса а из поля Е в пространство,
свободное от поля.

Механические силы в электростатическом поле 97
Мы теперь в состоянии указать условия, которым должно удовле-
удовлетворять пробное тело, если мы хотим с его помощью измерить поле,
пользуясь простым соотношением К = еЕ. С одной стороны, радиус
шара а должен быть настолько мал, чтобы можно было в (94а) пре-
пренебречь вторым членом по сравнению с первым.
С другой стороны, сам заряд е должен быть настолько мал, что-
чтобы можно было пренебречь по сравнению с еЕ силами изобра-
жейия (см. § 28), которые создаются незаряженными металлическими
поверхностями и поверхностями изолятора, и которые пропорциональны в2.
Чем ближе мы подходим к возмущающей поверхности, или чем сильнее
неоднородность поля, тем меньше нужно выбирать заряд и диаметр
пробного тела.
§ 39. Механические силы в электростатическом поле. Выведен
теперь общее выражение для силы Kdv, действующей со стороны поля
на материальный влемевт объема dv. Применим для этого принцип энергии
следующим образом: пусть находящееся в доле вещество движется
как-нибудь произвольно. Пусть и(#, у, я) — вектор потока, который дает
скорость материальной частицы, находящейся в положении х, у, z.
Будем полагать, что величина и настолько мала, что в любой момент
времени поле может считаться электростатическим (наши соображения
строго справедливы лишь в случае Km J n j = 0). Очевидно, что ска-
скалярное произведение (uk)dv есть работа, совершаемая принтом потоке
в единицу времени отнесенной к единице объема силой к.
Если обозначить через
f($D)av (95)
общую энергию поля, то принцип энергии требует, чтобы падение U
в одну секунду было равно полной работе, затраченной в веществе:.
dt
= — f(nk)dv. (96)
На самом деле мы к пока не знаем; наоборот, наша задача
состоит как раз в том, чтобы преобразовать изменение во времени зна-
значения U, даваемого уравнением (95), таким образом, чтобы оно при-
приняло вид (96). Тогда мы имеем право появляющийся при этом множи-
множитель к рассматривать как совместимую с принципом энергии плот-
плотность силы. Мы должны, следовательно, вычислить, как меняется V
вследствие существования потока и. Но поле является однозначно
определенным, если плотность нарядов р и диэлектрическая постоян-
постоянная s всюду даны.
U изменяется, следовательно, лишь постольку, поскольку изменяются
во времени р и е. Поэтому вычислим прежде всего оба выражения 8 U
и bJJ. При этом S U должно означать изменение U вследствие изменения
р (х, у, z) в р -j- 8р (#, у, г), причем г (#, у, z) держится постоянной;
соответственно ЪТ1 есть изменение С/, когда р держится постоянной,
а изменяется г.
7 Абрагам-Беккар. — Теория элевлр.

38 Электрическое поле
И в том и в другом случае мы должны вычислять разность энергий
между дв^мя полями:
bU=U2 — 1^ = |(E2D2 — E^DJdt;. (?7)
a) Когда постоянной держится г, EiD2 = E2D1, а потому
~Ж7\ ТГк "?71 ТГк /"Ц^ I ТЛ \ /Т\ Тк Ч
Так как мы ограничиваемся малыми изменениями, то значит
Но
Е 8D = — (grad <р, 8D) = — div (<pSD) + 9 div 8D.
Изменение плотности зарядов 8р означает изменение расхождения
вектора смещения
так что
8 ?7== / ср 8о с?г\ (98)
Этот результат содержит в себе как частный случай предложение,
что при малом смещении зарядов, находящихся да изолированном про-
проводнике, энергия ноля не изменяется. При предполагаемом здесь элек-
электростатическом равновесии ср фактически постоянен и / 8р dv = О.
Это конечно есть только частный случай теоремы Томсона о минимуме
электростатической энергии. Но для нас этот частный случай является
особенно важным, потому что мы из него узнаем, что та часть от 8р,
которая заключается в передвижении зарядов на металлических про-
проводниках, ничего к изменению U не прибавляет, если только длительно
сохраняется электростатическое равновесие. Но как раз это мы и пред-
предполагали.
b) Когда держится постоянной плотность зарядов р, В2— Т}г всюду
свободно от источников; так как, кроме того, поля Ех и Е2 — безви-
безвихревые, то в этом случае
JЕх (D2 — DO dv = О и JE2 (D2 — Ъх) dv = 0,
если оба интеграла берутся по всему пространству. Мы можем, сле-
следовательно, заменить под знаком интеграла в (97) E2D2 на Е2ВХ и Е^
на Е^, так что получим
~-^ j (EA-
Если теперь ех и е2 — значения диэлектрической постоянной на
одном и том же месте до изменения и после, то Dx = е^ и 1J = E
тем самым

Механические силы в электростатическом поле 99
При малом изменения оз
1 /•
8аU = — I 8eE9di>. (99)
3 Sir J ч 7
Таким образом для скорости изменения энергии доля в общем
имеем
W~
Теперь мы должны связать язмеяеипя во времени р и е с заранее
заданным движением вещества ц. По теореме Томсона при вычисле-
вычислении -~ не пужво принимать во внимание передвижения электриче-
ства но поверхности проводника. Мы можем поэтому производить
вычисления так, как если бы заряд всюду был прочяо связан с мате-
материей. Но тогда ри есть плотность конвекциитюго потока, и таким
образом по теореме Гаусса
| A01)
Заметим еще вполне аналогичную формулу для изменения плотности
текущего вещества
Чтобы вычислить -j-, рассмотрим изменение в для текущей мате-
материал ьвой частицы. Для итого мы должны сравнить зпаченяе г в момент
времени 0 в положении ху ?/, zy с соответствующим значением ко вре-
времени dt в положении x-\-uxdt, у-\~uydt, z-\-utdt. Для веществен-
вещественного изменения мы получаем:1
df) а @ х у г) дв
U g h
dt
таким
е (dt, х -j-
образом
uzdi, у
дв
IT
dt
= — (
Ь u*di) —г (fif х> у> •
a
;ugrads) + -^.
dt
Вещественное изменение -г- нельзя определить в общем виде бее
(XI
дальнейших данных о природе диэлектрика. Поэтому мы ограничимся
(в случае жидкостей вполне достаточным) предположением, что
« есть однозначная функция плотности о. Тогда
da ds dfa
!Н=1к щ ~dt9
Но вещественное изменение плотности дается общим уравнением

100 Элептрическое поле
Эа
поэтому с данным выше значением для —:
о*
— = — div (uo) -|- (u grad о)
или также
da
-—= — о • divu.
at
Таким образом мы получаем окончательно
|i = -{(ugrads) + a-^ • divu J. A02)
Совместно С A01) и A02) получим
—— =з — I ср div (pa) dv -\- -^— IE2 u grad е -|- ° ~г~ div и J dv.
Применим теперь еще раз теорему Гауеса, полагая при этом
ср div (pu) = div (<ppu) — (pu grad <p)
-1- div u = div I E2a • —- u ) — u grad . ^ T
da \ da / b \ da
При этом интегралы по бесконечно далекой поверхности поля обра-
обращаются в нуль, и так как теперь и оказывается общим множителем,
то остается только
dU _
dt ~
Таким образом мы получили действительно выражение вида (96), из
которого можно непосредственно вывести сплу к, отнесенную к еди-
единице объема:
к =рЕ ^Е2 grade +-^— gradf E2-^-a ). A03)
о« 8тс \ do ]
Подчеркнем еще раз, что при этом диэлектрическая постоянная з
считается функцией одной только плотности а.
-к€ составляется из трех слагаемых. Первое — рЕ— дает извест-
известное нам действие силы на истинные заряды; второе
1 ™ grade
проявляется всюду, где е изменяется от точки к точке. В частности,
на пограничной поверхности изолятора с пустотой оно дает силу,
нормальную к внешней поверхности изолятора и стремящуюся втя-
втянуть изолятор в пустоту.

Электрострикиия в химически однородных жидкостях и газах 101
Наконец, третье слагаемое является важным для явления электро-
стрикции, которое мы особо рассмотрим в следующем параграфе.
§ 4:0, Электрострикция в химически однородных жидкостях и
газах. Если внутри незаряженного диэлектрика возбудить электри-
электрическое поле, то прежде всего следствием силы A03) будет движение
отдельных частиц диэлектрической среды по отношению друг к другу.
Вследствие этого возникают упругие противодействия. Движение
прекращается, когда упругие силы уравновешивают электрическую
силу.
Это явление, состоящее в том, что в незаряженном изоляторе
возникают упругие натяжения и изменения формы, называют э л е к-
трострикцией.
В жидкостях и газах при равновесии имеется только один рсцд
упругого натяжения, а именно — равное во все стороны давление р.
Здесь мы должны ожидать особо простых отношений. А именно: если
давление от места к месту меняется, то вследствие падения давления
на элемент объема dv действует сила
kpdv = — gradp - dv. A04a)
Равновесие наступит, если общая сила, действующая на элемент
объема, т. е. сила давления кр совестно с электрической силой kg,
равна нулю. Условие равновесия для незаряженного изолятора (р = 0)
будет
— -J-E2 grads +-J- grad ( Е2 -^ • о ) — gradj? = 0. (W4b)
oft. oft \ по J
Если р и s известны как функции плотности о, то A04Ь) дает связь
между плотностью (или также давлением) и квадратом силы поля.
Уравнение A04Ь) для равновесного давления р в незаряженном
жидком диэлектрике можно проинтегрировать в общем виде, если
только известны функции р=р(о) и s==e(o). Для этого нужно обра-
образовать градиент от
пользуясь для этого правилами дифференцирования произведения:
ds ,1
d
Очевидно, что
1 ЙЗ 1
grad в = -г- . grad a
do
grad—¦==» — — . grad о;
следовательно;
йе , 1 1 ,
-=- a grad — = grad s.
do о о ь

102 Электрическое поле
Таким образом
Но тем самым из A04Ь) получается
5 )=-г {grad (Е2-?°) -Е2
Положим теперь, что и у в выражении слева является функцией
от о, образуем интеграл
с постоянной нижней границей о0. Тогда
, ., ч df , 1 dp . 1
grad/(a) = -— • grad о = -f- grad о = —
по о по о
Таким образом имеем результат: градиент от
gradjp.
равен нулю; эта величина имеет в диэлектрике везде одинаковое зна-
значение. Следовательно, если мы сравним какие-нибудь два места
в жидкости, характеризуемые индексами 0 и 1, то пос&ольку / можно
написать как функцию давления,
dp
Ра
Если даны величины Ех шЕ0 сил поля, то A04с) дает
соотношение между плотностями ог и а0, или, что все
равно, между давлениями рг<ж р0.
Рассмотрим теперь A04с) для случая Е0 = 0; сравним, например,
давление диэлектрика между двумя пластинками конденсатора (сила
поля |Е| ==!?!) с давлением в пространстве, где поля нет:
Ро *
Если диэлек^ик является слабо сжимаемой жидкостью, то
плотность о можно приближенно считать постоянной. Тогда получаем

Электросшрипция в химически odnopQ^ux жидкостях и газах 103
Это уравнение можно использовать и далее, если подставить для в
экспериментально хорошо подтверждающуюся формулу Клаузиуса-
Мосотти, согласно которой
где С уж не зависит от плотпости.
Из нее дифференцированием получаем
а потому
Для электрострикции в жидкостях будет следовательно
Наоборот, для не очень плотного газ а значение^ можно подставить
из уравнения
(Ж—молекулярный вес), в то время как коэффициент электризации
пропорционален плотности:
следовательно
de ^ в — 1
da a
Таким образом, согласно A04с)
RT . jp- 1 в —1 1
j 2
Ж j?0 2 4тс о "
Если обозначить через а поляризуемость [см. уравнение (85)] отдельной
молекулы, т. е. электрический момент, который индуцируется в ней
силой поля 1, и через п число молекул в кубическом сантиметре, то
е—1 Ж
— = an И a = п • ггг.
4т: -№
При этом JV=6-1023 есть число молекул в грамм-молекуле. Вводя
5ольцмановскую постоянную

104 Электрическое поле
(газовая постоянная, отнесенная к отдельной молекуле), для газов
получил
EL = e кт т A04f)
Впрочем, можно было бы вывести эту формулу совсем иным путем,
непосредственно из рассмотрения силы, действующей на диэлектрический
шар [§ 38, уравнение (94а)]. Если, скажем, представить себе отдельную
молекулу в виде шара из диэлектрического или проводящего материала,
то, согласно уравнению (90а), если а есть радиус молекулы,
Таким образом в однородном поле на этот шар действует сила
^ 1
которую можно вывести из потенциала — аЕ2. Таким образом уравне-
уравнена
ние A04f) есть не что иное, как известная формула падения баро-
барометрического давления с высотой
Ро
в которой только потенциальная энергия частицы в поле земли (mgh)
заменена на соответствующую энергию в неоднородном поле ( — аЕ2).
Только-что указанная грубая модель молекулы позволяет однако еще
дать порядок величины электрострикции A04f).
А именно, опыт показывает, что она дает правильный порядок
величины для ос, если положить а = оо (проводящий шар), а для а
взять величину действительного диаметра молекулы A0~~8 см). Напри-
j
мер, в поле 300 000 , соответственно |Е| = 1000, при Т равное
см
300 и принимая Jc= 1,37 • 10~16, будем иметь
ТаЕ* 10~2*.ю6
Ш 2- 1,37 • 106.300
Следовательно, здесь речь идет всегда об очень незначительных
эффектах, которые можно измерить только при очень большой тщатель-
тщательности. ,
Рассмотрим вкратце более общий вопрос о том, какие условия
должны быть соблюдены для того, чтобы жидкость находилась в равно-
равновесии при действии на нее силы, даваемой уравнением A03). Един-

Элептрострипция в химически однородных жидкостях и газах 105
ственное противодействие, которое может восстановить равновесие
внутри покоящейся жидкости, есть выводимая из гидростатического
давления j? объемная сила A04а) кр == —gradp. Следовательно, условие
равновесия будет
Необходимым и достаточным условием того, чтобы электрическая сила ке
находилась в равновесии с гидростатическим падением давления, будет
k, = grad_p
или
rot кв = О,
так как всякий безвихревый вектор можно, согласно § 9, представить
в виде градиента некоторого скаляра. Из трех слагаемых, из которых
составляется kg, третье слагаемое — всегда безвихревое. Первые два
дают условие равновесия
rot JpE—~E2 grade j'=0.
Если предположить, что плотность заряда р отлична от нуля только
в тех местах, где диэлектрическая постоянная в от места к месту имеет
постоянное значение, то, согласно общей формуле,
rot (fA) = / rot A + [grad f, А],
и принимая во внимание безвихревой характер Е = — gradcp, полу-
получаем два условия:
rot (рЕ) = — [grad p, grad ср] = О
и
rot (Е2 • grad е) = [grad E2, grad s] =з 0.
Последним условием мы уже пользовались выше при вьшоде электро-
стрикции. Оно означает то, что поверхности Е2 = const и е = const
совпадают. В самом деле, только при таком условии градиенты этих двух
величин параллельны друг другу, что необходимо для того, чтобы их
векторное произведение равнялось нулю. Так как, с другой стороны,
мы предполагали, что е зависит только от плотности а, то это условие
означает, следовательно, что е, а потому и плотность о должны быть
функцией одного Е2. Но это находится в согласии с нашими преды-
предыдущими выводами относительно электрострикции.
Совершенно аналогично первое уравнение означает, что плотность
заряда р должна быть функцией одного только потенциала. Этот случай
практически важен для вопроса о поведении электролита, когда он
находится в соприкосновении с металлическим электродом; вблизи его
в общем существует падение потенциала, связанное с пространственным
зарядом электролита (избыток одного сорта ионов по направлению
с другим). При этом плотность объемного заряда фактически зависит
лить от потенциала в соответствующем месте.

106
Электрическое поле
§ 41. Механическая сила на поверхности диэлектрика. С помощью
уравнения A04с) предыдущего параграфа можно вычислить гидро-
гидростатическое давление р в любом месте внутри незаряженного ди-
диэлектрика, если известно уравнение состояния р —р (о) диэлектрика,
свободного от поля, а также зависимость диэлектрической постоянной з
от плотности о. При применении этого уравнения необходимо указать
на следующее обстоятельство: непосредственное эксперимен-
экспериментальное значение разности давлений, даваемой A04с), состоит исклю-
чительно в ^ом, что с ее помощью можно вычислить изменения
плотности в электрическом поле, например, количество жидкости,
всасываемой конденсатором. Наоборот, давление, вычисляемое по A04с),
прямо ничего не говорит, например, о силе, с которой диэлектрик
действует на стенки сосуда, в
который он заключен. Очень бы-
быстрое изменение диэлектрической
постоянной, естественно имею-
имеющее место на поверхности раз-
раздела, имеет следствием, согласно
общей формуле A04Ь), соответст-
соответственно быстрое изменение давле-
давления р. Для примера рассмотрим
следующую схему (рис. 34).
Рис. 34. Ход диэлектрической постоян-
постоянной в поверхностном слое, простираю-
простирающемся от а до Ъ.
Проведем ось х координатной
системы нормально к поверхности
жидкости и заменим разрывное
изменение г очень быстрым, но все
же непрерывным переходом. При х == а, г должно иметь значение 1,
отвечающее пустоте; начиная с х==Ъ, мы находимся внутри ди-
диэлектрика. В точке х = а слева на диэлектрик давит поршень с силой р\
отнесенной к единице поверхности. Пусть диэлектрическая постоянная
вещества поршня имеет также значение 1. Применим теперь к плот-
плотности жидкости между а и Ъ общее условие равновесия A04Ъ). Оно
говорит, что? между положениями а и Ъ должна существовать такая
разность давлений рг—р, которая как раз уравновешивает электри-
электрическую объемную силу, действующую на слой жидкости. Так как
в нашем случае дело идет очевидно только о составляющей силы по х,
то здесь A04b) гласит
* Ы J дх 8тс J дх \ da )
а а
Слева стоит здесь разность давлений, действующая слева направо,
а справа — электрическая объемная сила, действующая справа налево.
Так как, согласно предположению, при х = а, сравняется нулю, то
имеем

Механическая сила па поверхности диэлектрика 107
Численное значение остающегося в этом выражении интеграла можно
определить в общем виде, если принять во внимание, что танген-
тангенциальная составляющая Е и нормальная составляющая от е • Е
являются непрерывными при прохождении через поверхность границы.
Обозначим нормальную и тангенциальную составляющие индексами п
и t и разложим
Е2 = Е
Тогда
Отнесем все величины без индекса, и в частности ЕЛ, к месту Ъ
внутри диэлектрика. Тогда
ъ
/Е« -i- dx = (s — 1) { Е,2 + eEn2 } A05')
a
иди также, прибавляя и вычюая в фигурных скобках Еп2,
ъ
а
Уравнение A05) принимает таким образом вид
~Еп2- (вГ1}*- о°5а)
Таким образом сила давления /, действующая со
стороны жидкости нанеполяризующуюся стенку, пре-
превышает гидростатическое давление р, господствующее
внутри, на величину A05а).
В области применимости формулы Клаузиуса-Мосотти A04d ж е)
da
Таким образом
или также
^ (8-iJ
<105Ь)
Ясно, чтор' больше р, если Е нормальна к поверхности границы, и,
наоборот, меньше р, если Е лежит в поверхности границы.

108
Электрическое поле
Позднее мы выведем соотношение A05а) еще раз чисто термо-
термодинамическим путем. Теперь же покажем значение общего соотноше-
соотношения A05) на двух простых примерах. Для этого выпишем его в виде:
дх
8ir da
A05с)
и применим выведенную выше формулу электрострикции для слабо
сжимаемых жидкостей, согласно которой величина
всюду внутри жидкости имеет одинаковое значение. Значит, если
погрузить (рис. 35) пластинки А ж В ъ диэлектрическую жидкость,
которая с своей стороны, вне поля нахо-
находится
под давлением р0, то
A05d)
Рис. 35. К вычислению си-
силы р'—Ро (ур-ние 105е),
с которой втягивается кон-
конденсатором диэлектриче-
диэлектрическая жидкость.
Сила, с которой жидкость втягивается в
конденсатор, дается, следовательно, раз-
разностью
-Po-ifw^dx. <105е)
ЖИДКОСТИ,
Этот результат часто заменяется утвер-
утверждением, что на внешней поверхности
находящейся в конденсаторе, действует натяжение
о _ о j, направленное . наружу. К этому утверждению можно
прийти, если пренебречь в нашем уравнении A03) характерным для
электрострикции членом — grad I Е2 -=- а I. Оказывается, что этот
прием правильно указывает полную разность давлений р'—р0, но ход
изменения давления в отдельных случаях может быть совсем иным. Обыч-
Обычно на поверхностный слой жидкости, находящейся между пластинками А
и В, действует, согласно A05Ь), вообще не натяжение, а давление.
В самом деле, в' нашей схеме Еп равно нулю. Кроме того, внутри
жидкости у нижнего конца конденсатора (в местах сильной неодно-
неоднородности поля Е) имеется сильное падение давления, даваемое A05d),
и оно вгоняет жидкость в конденсатор и настолько повышает давле-
давление в поверхностной зоне, что в сумме получается формула A05е).
Рассмотрим, наконец, еще действие силы на заряженное
металлическое тело внутри диэлектрической жид-

Механическая сила па поверхности диэлектрика 109
кости. Здесь имеется своеобразная трудность для понимания электро-
электростатического действия силы вообще. Это можно видеть на следующем
простом примере. Пусть плоский конденсатор заряжен с поверх-
поверхностной плотностью ztzco, и пусть вначале он находится в пустоте.
Тогда первая пластинка испытывает со стороны второй силу притя-
притяжения, величиной — КJ на каждый квадратный сантиметр ее поверх-
ности, причем 4тгш = |Е0|. Эта сила происходит от силы поля, ко-
которая создается зарядами второй пластинки на месте первой. По-
Погрузим теперь весь конденсатор в диэлектрическую жидкость, со-
сохраняя при этом его заряды постоянными. При этом, как мы знаем
из общих энергетических соображений § 36, сила притяжения умень-
уменьшается в г раз. Как надо понимать этот факт? — Если мы припишем
металлу пластин конденсатора диэлектрическую постоянную 1, то,
как показывает на рис. 31 ход вектора Е между пластинками кон-
конденсатора, не может быть речи о том, чтобы при погружении сила
поля на месте первой пластинки уменьшилась в е раз. Правда,
в жидкости она стала в s раз меньше, чем перед тем в пустоте; но
у самых пластиной где расположены заряды, она нисколько не изме-
изменила своего значения. Итак, сила, действующая на заряды первой
пластинки, теперь, как и раньше, равна — Е02. Уменьшение силы,
действующей на пластину, совершается действием давления неза-
незаряженного диэлектрика, который раздвигает пластинки конденсатора.
В самом деле, на 1 кв. см поверхности пластинки действует, со-
согласно A05с), сила давления
=-L [
8тс J
8т:
Из трех слагаемых два последние вместе дают в жидкости,согласно
A05d), везде одинаковое значение, в частности, также и на вну-
внутренней и на внешней поверхности каждой пластины, так что их резуль-
результирующее действие равно нулю. Остающийся интеграл вычисляется
из A05')- Е, равна нулю, Еп имеет значение—Ео, так что в вонеч-
ном счете сила давления, действующая на внутреннюю поверхность
пластинки, равна
Общая сила, действующая на пластинку, получается вычитанием
этого давления из кулоновской силы — Е02, действующей на заряды.
Только таким путем можно получить правильную общую силу — • —Е02,
которой требует принцип энергии.

110 Электрическое поле
§ 42. Максвелловы натяжения. Созданная Фарадеем и Максвеллом
теория не признает никаких сил дальнодействия. Согласно этой теории,
все силовые воздействия передаются электромагнитным полем непре-
непрерывно от одного тела к другому. Факт непрерывной (от точки к точке)
передачи сил в упруго напряженной пружине вполне понятен. По-
Подобным образом Фарадей усмотрел места нахождения электромагнитного
силового воздействия в особом напряжении пространства, заполненного
электрическими или магнитными линиями сил. Оно должно передавать
силовое воздействие от одного заряда к другому. Представим себе, что
система, находящаяся в электростатическом равновесии, разделена зам-*
кнутой, произвольной поверхностью / на две части. Обозначим часть,
охватываемую /*, через 1, остальную часть через 2. Тогда, согласно
представлению Фарадея, общая сила, действующая со стороны 2 на 1,
должна каким-то образом проникать через эту поверхность. При этом
совсем безразлично, находится ли поверхность частью или целиком
в пустоте. Строгое проведение этой концепции принадлежит Максвеллу,
который показал, что общее силовое воздействие, производимое на
часаь 1 [с силой ke на 1 куб. см A03)]
/
A)
можно представить как результат поверхностных сил, которые при-
приложены к поверхности f этой части (при этом прежде, всего надо
иметь в виду, что указанное выражение для К содержит лишь силовое
воздействие со стороны 2 на 1; если два заряда находятся оба внутри 1,
то в силу равенства действия и противодействия они ничего не при-
прибавят к результирующей силе). Обозначим через Tdf силу, которая
действует на элементdfграничной поверхности 1. Мы утверждаем
вместе с Максвеллом: выражение для К можно пре-
преобразовать та к, что
К = fff kdv = J J Tdf. A06)
Действие со стороны 2 на 1 эквивалентно действию
поверхностных сил Т. При этом Т по теории поля может
зависеть только от величин поля в месте элемента
поверхности df и от ориентации ^(направление нормали) по
отношению к направлению поля.
Составляющие к можно, как оказывается, представить в виде не-
некоторого расхождения, и потому можно произвести это преобразование
на основании теоремы Гаусса. Вычислим составляющую К по х\ мы
будем искать, следовательно, такие величины Тхх, Тху, Txz, для которых
* -w+-W+~dV- A06а>
Тогда для составляющих от к по у и z должны иметь место соот-
соответственные же уравнения.

Ыаксвслловы натяжения 111
Если такое преобразование к сделано, то теорема Гаусса сейчас
же дает вектор поверхяоствой силы Т:
Тж = Тхх cos (п, х) + Тяу cos (п, у) + Тхг cos (п, г) |
Ту = Тух cos (и, х) 4- 7;у cos (п, у) ¦+- Ууг cos (n, *) [ A07)
Ts = Тъх cos (л, я?) + Tsy cos (пэ у) -f TZ9 cos (n, ?r). J
Для того чтобы произвести преобразование, указанное в A06), положим
сокращенно
i-|i-o = P, A07а)
^Заменим далее р на — divD и воспользуемся для второго слагаемого
тождеством
Е2 grad е = grad (Е2 е) — 2 (еЕ grad E) — 2e (E rot E). A07b)
В силу безвихревого характера Е имеем
или
A
Таким образом для кх получено выражение вида A06а). Для соста-
составляющих Максвелловского тензора напряжений Т циклической пере-
перестановкой цолучим
(
т т т
гх ¦*- шу -*¦ t%t
A08)

112
Электрическое поле
Эти величины, будучи поставлены в A07), дают искомую систему по-
поверхностных сил Т. Рассмотрим несколько ближе эту связь между
вектором поля Е и Максвелловскими натяжениями. Она оказывается
при этом много проще, чем можно было бы ожидать при первом взгляде
на формулы: прежде всего та часть натяжений, которая связана с за-
зависимостью р диэлектрической постоянной от объема, появляется только
в диагонали Т и дает гидростатическое давление величины-^-Е2, дей-
действующее всегда нормально к df. Но это можно было видеть непо-
непосредственно из первоначального вида к. В даль-
дальнейшем мы не будем принимать во внимание
эту часть, которая в пустоте всегда равна
нулю, а будем рассматривать только ту часть
A08), которая получается из нее при C = 0.
Выберем определенный элемент поверхности
и поместим координатную систему таким об-
образом, чтобы положительная ось х была на-
направлена вдоль поля Е, а ось z была перпен-
Рис. 36. Угол, образован- дикулярна как к нормали п элемента поверх-
ный Максвелловой по- ности, так и к силе поля. Если обозначить
верхностной силой Т и через 8 угол между нормалью к поверхности
ни^аЕЬЮсилПовыГРлинЛий и силой поля, а через Е величину силы поля,
делится пополам. ЗЮ имеем [рис. 36]
Еу = 0, Ez = 0, cos (п, х) = cos 8, cos {п, у) = sin 8, cos (n, z) = 0.
Таким образом для вектора Т поверхностной силы из A07) и A08)
получается
A09)
Отсюда получается следующее
Абсолютная величинаТ
простое построение вектора Т:
не зависит от ориентации элемента поверхности по
отношению к полю. Единичный вектор, имеющий на-
направление Т, получается отражением вектора и (рис. 36),
от направления Е. Действительно, составляющие построенного
таким образом единичного вектора по х, у, z равны cos ft, — sin 8, О,
как это требуется по A09). Выбранное нами при выводе частное по-
положение координатной системы, конечно, ни в коей мере не нарушает
общности, а служит только для упрощения вывода.
Согласно указанного построения, угол между нормалью поверхности п
и вектором силы Т всегда делится подолам силою поля. Следова-

Максвеллови натяжения 113
тельно, если мы повернем элемент поверхности по отношению к на-
направлению поля, то увидим следующее: если поле Е параллельно п,
то Т имеет также направление п, и мы имеем чистое нормальное на-
натяжение. Если выводить п из положения Е, Т всегда поворачивается
на тот же угол в противоположную сторону. При & = 45°, Т лежит
в плоскости элемента поверхности; мы имеем в этом случае чистое
тангенциальное напряжение. При дальнейшем росте & последнее опять
падает, уступая место нормальному давлению, которое одно только и
остается, когда п перпендикулярно к Е; тогда Т антипараллелен п.
Величина Т остается при всем вращении неизменной. Знак Е не
оказывает никакого влияния на Т. Тензор напряжения пере-
переносит чистое натяжение, если Е нормально к df; чистое
давление, если Е лежит в плоскости df\
Рассмотрим кратко в виде примера силу взаимодействия двух то-
точечных зарядов в случае, когда оба заряда равны (отталкивание) или
когда они равны и противоположны (притяжение). Поместим оба за-
заряда на оси х на расстоянии -}-а и —а от начала. В качестве
объема первой части нашей системы возьмем полушар, который описы-
описывается вокруг начала координат плоскостью yz и левой половиной не-
Еоторой весьма большой шаровой поверхности. Поверхностная сила,
действующая на шаровую поверхность, ничего не прибавляет
е общей силе, так как на ней | Т | стремится к нулю, как ^.
Остается только действие силы, переносимое плоскостью симметрии.
При равных зарядах (е1==е2 = е) (рис. 37а) поле на этой
плоскости всюду параллельно к df; на плоскость производится чистое
давление. И притом
х ' у ег2 г 9 е гг2 г
Если Ъ = У у2 Н~ я* есть расстояние точки плоскости симметрии от
начала, то в ней, следовательно,
Поверхность df кольца 6, db есть izd (Ь2). Подставляя Ь2 = X, получим,
что общая сила давления, действующая на рассматриваемую пло-
плоскость,
оо
Остающийся затем определенный интеграл при интегрировании по ча*
стям дает
dp _ 1
1Ч-Р-J ~~ 2 *
S
1
2
Абрагам-Беккер. -
A + К
- Теория
>•
со
д.
0
электр.
1
2
0

114
Электрическое поле
так что для К получается, как это и должно быть, Кулоновское оттал-
При равных и противоположных зарядах et = — е2 = е
силовые линии поля всюду идут нормально к плоскости симметрии.
Мы имеем чистое натяжение. И притом
Е =2-
, жиу — xjs — и,
следовательно
Рис. 37a. 37b. Отталкивание равных точечных зарядов и притяжение
равных, но противоположных точечных зарядов описываются Максвед-
ловыми натяжениями, изображенными в плоскости симметрии.
и потому
аЧ\
(а*
/
Рассмотрение хода линий поля на двух рис. 37а и 37Ь позволяет
непосредственно понять действие Макезелловых натяжений: растя-
растяжение в направлении линий поля (рис. 37Ь), сжатие в перпендику*
лярном к ним направлении (рис. 37а).
IV. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК.
§ 4:3. Законы Ома и Джоуля. Из тех уравнений, которыми мы
до сих пор пользовались при описании электростатического поля, не-
некоторые остаются справедливыми и в дальнейшем при более общих
электромагнитных процессах. Сюда относятся уравнения, выражающие

Законы Ома и Джоуля
зависимость между Е и D, связь между расхождением D и электрическими
аарядами и выражение для плотности иэл электрической энергии, т. е.
Наоборот, только электростатике принадлежат уравнения Е = — grad <?
и <р = const в проводниках, т. е., значит, безвихревый характер Е ж
обращение в нуль Е внутри однородных проводников электричества.
Откажемся теперь от последнего из этих двух условий. Экспери-
Экспериментально осуществим это, например, тем, что мы обкладки конденса-
конденсатора, заряженного до разности потенциалов <р2 — <рр соединим метал-
металлической проволокой. При наличии такого металлического соединения
потенциал в проволоке сейчас же перестает быть постоянным, так
как на ее концах он имеет значения ср2 и ср1# Внутри проволоки воз-
возникает поэтому электрическое поле, и условие электростатического
равновесия уже не выполняется. И, действительно, через проволоку за-
заряды конденсатора +е и —е выравниваются. Равновесие вновь
наступает только тогда, когда заряды, а потому и поле конденсатора
исчезнут. Во время такого выравнивания по проволоке идет электри-
электрический ток, сила которого будет
тde
1
Что при таком изменении заряда конденсатора во времени действи-
действительно в проволоке что-то происходит, можно судить по тому, чта
в ней наблюдается выделение тепла, и что в окружающем ее про-
пространстве оказывается магнитное поле. Появление магнитного поля
обусловливает собой усложнение процесса, которым мы будем зани-
заниматься во всей полноте лишь в дальнейших главах. Пока сила тока I
остается постоянной, не изменяется и образуемое им магнитное поле.
Вследствие этого мы можем в известной мере говорить о законах с т а-
ционарного (это значит: постоянного во времени) тока,,
совсем не касаясь при этом сопровождающего его магнитного поля.
Правда, в нашем примере мы можем только приблизиться к усло-
условию постоянного тока, для чего должны выбрать сопротивление npb-
волоки и емкость конденсатора возможно большими. Осуществление-
вполне постоянного тока невозможно со средствами чистой электро-
электростатики. Достигают этого только тем, что с помощью особого приспо-
приспособления, которое чуждо чистой электростатике, искусственно поддер-
поддерживают постоянство напряжений на обкладках конденсатора (например,
с помощью гальванических элементов, аккумуляторов или термоэлемен-
термоэлементов). Мы вернемся к этим приспособлениям в следующих параграфах.
Остановимся пока на приближающемся к стационарному разряде кон-
конденсатора с очень большой емкостью. Измеряя скорость разряда—-.—,
можно показать справедливость закона Ома
=*i.. (ПО),
8*

116 Электрическое поле
R называется сопротивлением проволоки и зависит только от мате-
материала и размеров последней. Если I означает длину проволоки,
q — ее поперечное сечение, то
Л = 4 1-. (ПОЛ)
где теперь величина о зависит только от материала проволоки.
Величину а называют электропроводностью, — называется удельным
сопротивлением, которое равно сопротивлению кубика с ребром в 1 см
(? = 1, # = 1); A10) представляет собой ту форму закона Ома, в ко-
которой его можно непосредственно наблюдать. В теории поля она однако
не употребительна, так как последняя должна брать за свои положе-
положения только такие утверждения, которые относятся к непосредственно
окружающему точку пространству. Чтобы найти эту дифференциальную
форму закона Ома, предположим, что соотношение, найденное для про-
проволоки, как целого, остается верным и для любого произвольно .выре-
.вырезанного из нее элемента объема. За таковой выберем малый цилиндр,
ориентированный в направлении поля, длины dl, с поперечным сече-
сечением df (нормальным к полю). Для такого цилиндра, согласно A10),
если d<? означает разность потенциалов, существующую на концах dZ,
dfcp J__ df__
J~~~ IP В ~am dl9
жли также
Напишем это уравнение в векторной форме
i = aE, A11)
введя для этого вектор плотности тока i; последний определяется
-тем, что \ndf представляет количество электричества, проходящее в еДи-
вдщу времени через элемент поверхности df в направлении его нор-
нормали п. Уравнение A11) есть искомая дифференциальная формули-
формулировка закона Ома и одновременно представляет собой подходящее для
теории пбля определение а. Этот закон остается неизменным также
при процессах, изменяющихся во времени, в то время как A10) огра-
ограничивается случаями постоянного тока.
Мы должны указать на то, что A10) применимо только к изотроп-
изотропным веществам, свойства ^которых, значит, не зависят от направле-
направления. В анизотропных телах (например в кристаллах или упругонапря-
женных материалах) электропроводность, вообще говоря, зависит еще
от направления прохождения тока. Тогда а является уже не ска-
скаляром, а представляет собой симметричный тензор. Уравнение A11)
надо читать тогда как тензорное уравнение, причем векторы i и Е

Законы Ома и Джоуля 117
тогда уже не параллельны друг другу, а подчиняются соотношению^
которое, например, для \х, имеет вид
К = °хх Е* + %Еу + oxz Е2,
и аналогично для \у и i2. Но мы в последующем ограничимся одними
изотропными веществами.
Закон Джоуля определяет количество тепла, выде-
выделяющегося в проволоке, по которой идет ток I. В слу-
случае нашего конденсатора, коротко замкнутого проволокой, в единицу
времени выделяется количество тепла
Q = _(<p2_cp1)A = (cp2_?l).
энергия поля, исчезающая во время разряда конденсатора, количе-
количественно равна джоулеву теплу Ш%. Отметим здесь еще раз, что мы
при этом пренебрегли изменением магнитной энергии поля, связанным
с изменением силы тока. Учет этой энергии даст нам позднее закон
индукции.— От последнего уравнения можно сейчас же перейти к диф-
дифференциальной форме; для этого отнесем закон Джоуля к прежнему
элементу объема dv — df- dl. В нем
В = ~ % \& I = ldf=
о а/
Таким образом джоулево тепло, отнесенное к единице объема, будет
J A12)
(iE) есть тепло, выделяемое в единице объема за единицу времени.
Так же, как и интегральный закон Q = (<р2 — ?х) I, его можно вывести
из принципа энергии. Общее обоснование его мы дадим позднее (§ 52)
в электродинамике. Для случая же, когда сила тока меняется очень
медленно, поле Е можно в первом приближении рассматривать как.
поле безвихревое, и для изменения энергии поля
r==J_ С
8u J
пользоваться выражением, которое мы имели в электростатике [урав-
[уравнение A00)]
dU Г др ,
-pdv
р пусть теперь будет отличной от нуля и внутри проводника. Рас-
Рассмотрим только то изменение плотности заряда р, которое вызывается,
током приводимости i. Согласно определению i
¦»¦/'*—/•.
df;

118 Электрическое поле
отсюда по теореме Гаусса
Но вообще
— ср div i = — div (cpi) -f- (i, grad <p).
Поэтому, интегрируя по всей системе, получим
dU
dt
= Г (i, grad (cp)) dv = — Г (iE) dv.
Но это есть как раз результат, ожидаемый согласно A12): уменьше-
уменьшение энергии поля за секунду равно джоулеву теплу, выделенному во
всей системе. Отметим при этом, что вывод является не вполне точ-
точным, так как в полях, изменяющихся во времени, Е уже не является
безвихревым.
§ 44. Ток проводимости. Ток смещения. Ток поляризации.
Постоянный ток подчиняется общему правилу, что через любое
сечепке проводника протекает одинаковый ток I. Еще более общее
положение гласит, что при постоянном токе, распределенном в объеме,
плотность тока i нигде не имеет источников. В самом деле, если
где-нибудь будет источник i, то там должно наблюдаться изменение
плотности заряда во времеви, а, следовательно, и изменение поля Е.
Поэтому при постоянном токе всюду справедливы условия:
<а divi = O внутри;
<Ь) непрерывность \п на границе двух проводников.
Таким образом на границе двух проводников мы имеем два погра-
личных условия: непрерывность нормальной составляющей аЕ и тан-
тангенциальной составляющей Е. Отсюда следует, что при постоянном
токе линии тока преломляются на границе двух проводников с элек-
трогтроводностями at и а2 так же, как и линии смещения на границе
двух изоляторов с диэлектрическими постоянными г1 и s2, если только
в«: е2 равно ох: а2 (ср. рис. 32).
Непостоянный ток, какой, например, имеется при рассмотрен-
рассмотренном йами выше разряде конденсатора, вообще говоря, связан с изме-
изменением плотности заряда во времени. И притом, согласно теореме
Гаусса, эта зависимость будет иметь вид
dlvl=—аГ'
Но так как, с другой стороны, всегда 4irp = div D, то для тока, изме-
изменяющегося во времени, получим
— J^divig-. A13)

Топ проводимости. Ton смещения. Ton поляризации 119
Поэтому, если ввести
то всегда будут иметь место условия:
div с = 0 внутри;
сп непрерывна на границе.
Ток проводимости! дополняется током смещения
— до полного тока с, который нигде не имеет источников.
4тс at
Введение этого' полного тока, свободного от источников, принадлежит
Максвеллу. Позднее в общей электродинамике он будет иметь основное
значение. Простой пример приложимости этого понятия дает тот же
плоский конденсатор, коротко замкнутый проволокой: проходящий по
проволоке ток проводимости
Тde
1
оканчивается на обкладке конденсатора. Если, с другой стороны, F есть
поверхность пластинки и со — поверхностная плотность ее заряда, то
внутри изолятора существует смещение
D = 4ти(о^= 4тг • -т=г.
В то время, как по проволоке проходит ток I, D изменяется таким
образом, что полный ток смещения в изоляторе будет
4тс dt dt
Он имеет ту же величину, что и ток проводимости в проволоке.
Последний находит в токе смещения свое продолжение внутри сопри-
соприкасающегося с проводником изолятора; при этом истрчников на гра-
нпце не наблюдается.
Для того, чтобы дать общую интерпретацию A14), всякому телу
надо приписать одновременно электропроводность о и диэлектрическую
постоянную е. Тогда и с будет
1 4т: dt
Работа, совершаемая полем Е над полным током в единице объема за
единицу времена, равна поэтому
С правой стороны она выступает как джоулево тепло оЕ2 и как уве-
увеличение энергии поля —— Е 2-
отс

ISO
Электрическое поле
В практических применениях те два слагаемых, из которых соста-
составляется с, имеют величину различного порядка. В абсолютных изоля-
изоляторах существует только ток смещения. Наоборот, в металлических
проводниках ток проводимости настолько велик по сравнению с током
смещения, что последним, практически всегда можно пренебречь. Только
при очень быстро неменяющихся полях (видимый свет или еще более
короткие волны) ток смещения в металлах становится также заметным.
Уравнения
-f
-fH-div(oE)
позволяют решить вопрос, как происходит во времени растекание за-
заряда, который существует в начале внутри проводника. Если рассма-
рассматривать о и s как постоянные, то, исключая Е, получим
Эр
и, интегрируя,
t
Величину 0 называют временем релаксации. Это есть то
время, по истечении которого плотность заряда уменьшается в е раз.
Оно указывает также порядок величины того промежутка времени,
который необходим, чтобы установилось электростатическое равновесие.
Рассмотрим кое-какие численные примеры; здесь, правда, существует
некоторая неопределенность, поскольку мы очень мало знаем о по-
постоянной е у металлов. Однако, нет никакого основания думать, что
у металлов порядок величины диэлектрической постоянной е сильно
отличается от 1. Мы найдем поэтому порядок величины времени ре-
лаксации, если удовлетворимся указанием величины—=~т—~;
1,7-ИГ6 ом
10,7 -ИГ6 ,
120-10~6 ,
а = 9.10и:В0
еЗ-Ю^сек.-1
8Д • 1016 сек.""
0,75.1016 сек.
1 с 4тса =
8
0Д5 • 10"8 сек.
0,95 * 10~18 сек.
10,6 • 10~18 сек.
Таким образом для времени релаксации получаются чрезвычайно малые
значения. Из результата 0= 1О~~ 8 сек- больше ничего вывести нельзя,

Сторонние силы и электродвижущая сила 121
так как для столь быстро переменных процессов феноменологический
метод, применяемый в этой книге, теряет смысл. Наоборот, заслужи-
заслуживают внимания численные значения о. Они имеют размерность сек.,
т. е. размерность частоты. Во всех формулах, которые описывают ш>
ведение металлов, по отношению к периодически переменным нолям,
решающее значение имеет отношение числа перемен v поля к частоте,
указываемой а. Обратим внимание на то, что частота ультрафиолето-
ультрафиолетового света при длине волны 0,3 ^ достигает только 1015 сек..
1 JD .
В тдке смещения ^Г" соединены, собственно, два совершенно
различных элемента:
J-JTO-^JL ЭЕ дР
4тс dt 4* dt * dt *
т. е. ток смещения в пустоте и ток поляризации.
Согласно даннсру выше (§ 31) определению вектора Р, кажется вполне
естественным, что изменение Р во времени выступает как плотность
тока. Именно, если Р изменяется на величину dP, то по указанному
определению это означает, что через элемент поверхности df проходит
количество электричества (dP • n) df.
Таким образом новым элементом, характерным для теории Макс-
1 0Е _
велла, остается только ток смещения в пустоте -т ^т-. Пер-
Первоначальному пониманию Фарадея-Максвелла разложение D на Е и
4тсР, которое в настоящее время кажется внолне естественным, было
совершенно чуждо. Прежде склонялись к воззрению, что в пустоте
так же, как и в диэлектрике, имеются положительные и отрицательные
заряды, связанные друг с другом квази-упругими силами, и соответ-
соответственно этому толковали вектор -г—Е как поляризацию пустоты. Обсу-
Обсуждение этого представления и предложения соответствующей модели
эфира играли большую роль в истории электродинамики. Однако эти
усилия оказались бесплодными. Только ток поляризации можно пред-
представлять себе как действительный перенос зарядов. Поэтому, если
полный ток, не имеющий источников, напасать в виде
9Р 1 9Е
то оба первые члена представляют действительный перенос зарядов,
который третьим членом дополняется до вектора, поле которого не
имеет источников.
§ 45. Сторонние силы и электродвижущая сила. При выводе
данного выше вида закона Ома A11)
мы ограничивались однородными проводниками. Этот вид не применим
для случая неоднородных проводников и для переходного слоя оф

Электрическое поле
одного проводника к другому. Согласно этому уравнению, при i = О, Е
должно было бы равняться нулю. В действительности же наблюдают,
что для того, чтобы сохранить равновесие (это значит, чтобы не было
тока), значение силы поля в неоднородной области должно быть* во-
вообще говоря, отлично от нуля. В таком месте сила поля Е не является,
следовательно, единственной причиной возникновения тока. Должны
существовать, наоборот, еще другие силы, которые стремятся произ-
произвести ток в проводнике. Учтем эти силы, вводя для этого новый
вектор Е(е) и давая закону Ома более общий вид:
A15)
Для краткости назовем Е(е) сторонней силой (применяя при этом
не совсем правильно слово сила); это есть, значит, вектор, который
зависит от рода неоднородности в соответствующем месте, и который
совместно с силой ноля Е в этом месте создает согласно A15) плот-
плотность тока i.
Хотя для феноменологической теории это допущение совершенно
достаточно, причем она рассматривает поле сторонней силы Е(е) как
данное, для достижения наглядности все же будет полезно, если мы
немного остановимся на механизме возникновения этой силы в не-
нескольких случаях.
Появление Е(е) становится особенно ясным, когда в качества про-
проводника мы возьмем разбавленный водный раствор сильного электро-
электролита (например, НС1), а в качестве неоднородности — переменную от
места к месту концентрацию последнего. Пусть поля вообще нет.
Тогда начнется диффузионный процесс, который стремится выравнять
различия в концентрации. Практически электролит является вполне
диссоциированным на Н+ и С1~-ионы, которые диффундируют незави-
независимо друг от друга. Но подвижность, а потому и скорость диффузии
Н+-ионов много больше, чем подвижность и скорость диффузии СР-ионов.
Следствием этого является электрический ток в направлении падения
концентрации, ибо это последнее будет перегонять в места с малой
концентрацией больше Н+-ионов, чем СР-нонов. Мы видим, что при-
причиной сторонней силы Е(е) будет в данном случае диффузионное дви-
движение. Этот ток придает более разбавленным частям раствора поло-
положительный заряд, а более концентрированным — отрицательный; вслед-
вследствие этого появляется. электрическое поле такого направления, что
диффузкя частиц Н+ затормаживается, а диффузия СР-ионов, наоборот,
ускоряется. В конце концов достигается состояние электрического равно-
равновесия, при котором различие в скорости диффузии двух сортов ионов как
раз уравновешивается образовавшимся полем. Тогда мы имеем состоя-
состояние, когда ток отсутствует; при этом должно существовать электри-
электрическое поле Е, которое как раз уравновешивает стороннее поле Е(е) :
Между векторами Е(е) и Е имеется основное различие, которое
нужно определенно подчеркнуть: Eie) существует внутри электролита

Сторонние силы и электродвижущая сила 123
только тогда, когда имеется падение концентрации, отличное от нуля;
в окружающей пустоте или в диэлектрике Е(е) поэтому всегда равно
нулю. Совсем иначе ведет себя при этом электростатическое поле Е;
правда, внутри электролита при отсутствий тока всюду Е = — Е(е).
Но вне электролита Е определяется по правилам электростатики (не-
(непрерывность тангенциальной составляющей Е на пограничной поверх-
поверхности). Е является, следовательно, при всех обстоятельствах бачви-
хревым; наоборот, интеграл Ф Е(е) ds по замкнутому контуру может
равняться нулю только в особых исключительных случаях, именно
тогда, когда, во-первых, сторонние силы распределены так, что
внутри проводника они могут компенсироваться электростатическим
полем, и когда, во-вторых, путь интегрирования идет целиком
внутри этого проводника. Только в таких случаях можно говорить
о сторонней разности потенциалов.
Выведем еще формулу для сторонней силы, образуемой падением
концентрации в эле-ктролите. Пусть п — число молекул НС1 в 1 куб. см^
т. е. число как Н+-ионов, так и С1~-ионов, и пусть оно дано как функ-
функция координат. D, и D_ — коэффициенты диффузии; В, и В_— по-
подвижности двух сортов ионов; -\-е и —е — их заряды.
D, и jB+ определяются следующим образом:
— D , grad n есть вектор потока положительных ионов, создаваемый
диффузией (число частиц, проходящих через квадратный сантиметр за
одну секунду).
Б+ • К есть скорость, которую приобретает положительный ион под
действием силы К.
Соответствующее имеет место для D__ и В.
Под действием диффузии и поля Е полная плотность тока будет,
следовательно,
i = _е (D+ — D_) grad n-\-& (JS+ + J3J пЕ
или также
l = e*n(B+ + BJ JE—I
Таким образом мы дали уравнению как раз тот вид, который соответ-
соответствует закону Ома A15). И притом, как дает сравнение с A15), для
нашего бинарного электролита
о= еЧ (В+ + BJ)
в grad (lg пУ
В нашем примере направление Е(е) совпадает, следовательно, с на-
направлением быстрейшего падения концентрации. Между какими-нибудь

124 Электрическое поле
двумя точками с концентрациями пг и п2 мы имеем стороннюю
разность потенциалов Е^ — Е^е), которая определяется инте-
интегрированием вдоль кривой, целиком проходящей в рас-
растворе
При отсутствии тока устанавливается электростатическая разность по-
потенциалов, которая равна и противоположна сторонней разности аотен-
циалов:
Для полноты заметим, что согласно очень общей теореме статистиче-
статистической механики между D и В существует численная связь
(Тс— Больцмановская постоянная == 1,37 • 10 16; Т—абсолютная темпе-
температура), и что число
в электрохимии называют числом переноса. Тогда
е (#а(е) — Ех{е)) = ЪТ Bv — 1) lg 3l ¦
n
i
Порядок величины этой разности потенциалов выясняется числен*
ным примером: lg —^- = 1, n^:nt = 2,78, v = 1, Т = 300, е~
= 4,77 • 10~10. Это дает для разности потенциалов
1 47 . Iff"6 » ЧПО а
•' ~ = 0,86 • Ю-4 CGS единиц =* 0,026 вольт.
4,77 . 10"0
Другой пример появления сторонней силы дает соприкосновение
металла с электролитом. Если, например, медный стержень погрузить
в разбавленный раствор сернокислой меди, то прежде всего небольшое
количество меди переходит в раствор в виде Си^-ионов. Следова-
Следовательно, от меди в электролит идет ток. Причиной „сторонней силы"
является здесь упругость растворения меди. Ток прекращается благо-
благодаря тому, что он создает отрицательный заряд на меди и положитель-
положительный заряд раствора и тем самым в непосредственно прилегающем слое
жидкости силу поля, направленную к меди. В состоянии равновесия
сила поля как раз уравновешивает „стороннюю силу" упругости рас-
растворения. И здесь следствием „сторонней" разности потенциалов явля-

Гальваническая цепь 125
ется равная ей, но противоположная по знаку электростатическая раз-
разность потенциалов
1 2
J
2 i
между внутренними частями металла A) и однородным раствором B).
В электролите переходная зона, в которой Е(€) значительно оглично от
нуля, обычно настолько тонка, что с известным правом говорят о
скачке потенциала ®12 на границе металл-электролит. Его существо-
существованием и свойством объясняется в существенных чертах действие
гальванического элемента,
В качестве третьего случая сторонней разности потенциалов упо-
упомянем о месте соприкосновения двух различных металлов. В этом
случае ток вызывается различием дви-
движения электронов в металлах; он пре-
прекращается только после того, как уста-
установится определенная разность потен-
потенциалов между металлами. Подробное
изложение этого процесса будет сделано
нами в электронной теории металлов.
§ 46. Гальваническая цепь. Рас-
Рас§ 46. Гальваническая цепь. Рас
смотрим так называемую цепь, т. е. *!^c# 38* Гальваническая цепь
несколько включенных друг 8а другом ^ с замывающим проводом
различных проводников, которые как на
себе, так и на своих границах могут иметь любые сторонние силы
поля. Но начало A) и конец B) цепи пусть будут из одного материала.
Тогда в случае отсутствия тока между этими концами существует
некоторая разность потенциалов, которая дается интегралом по кон-
контуру всех сторонних сил поля
причем путь интегрирования должен проходить всюду внутри цепи.
Как только мы приведем оба конца цепи в соприко-
соприкосновение друг с другом (замкнутая цепь BDA), электростатиче-
электростатическое равновесие становится невозможным, так как интеграл у Е(е) ds,
взятый по пути ABDA, теперь отличен от нуля, потому что' в замы-
замыкающей однородной проволоке BDA всюду Е(е) = 0; следовательно,
2
Таким образом электростатическим полем невозможно компенсиро-
компенсировать Е*е). Поэтому согласно A15) по цепи должен итти электрически!
ток. Когда ток разовьется до величины
возникнут опять условия для стационарности явления.

J26 Электрическое поле
Постоянный ток характеризуется отсутствием источников: div i = 0;
яри этом поле Е всюду должно удовлетворять уравнению rot Е = 0.
Эти два условия достаточны для того, чтобы при данных а и Е(е)
вычислить как i, так и Е.
Рассмотрим, как пример подобных вычислений, линейную цепь
тока. Если q есть сечение проводника (нормальное к линиям тока),
a ds— линейный элемент в направлении прохождения тока, то
(ids) = —Ids.
То, что i не имеет источников, выражается здесь в том, что через
всякое сечение идет одинаковый ток I. Следовательно, если проинте-
проинтегрировать уравнение A15) по всей замкнутой кольцом цепи (от 2 по
замыкающей проволоке к 1 ;и отсюда через цепь опять к 2), то по-
получим
так как интеграл Е по /контуру должен равняться нулю.
ds ^
есть сопротивление всей цепп проводников.
Произведение силы тока на сопротивление всей
кольцеобразно замкнутой кольцом цепи равно инте-
интегралу по контуру сторонних электрических сил. Осно-
Основываясь на этом, величину Е(е) называют обыкновенно электродви-
электродвижущей силой (э. д. с.) замкнутой кольцом цепи. Она равна инте-
интегралу по контуру разомкнутой цепи только тогда, когда начальный и
конечный участки цепи сделаны из одинакового материала.
Вместе с I во всяком месте нашей линейной цепи определяются
также и i, а, следовательно, и поле Е
В другом предельном случае бесконечно протяженной системы провод-
проводников а„№произвольно заданными Е(е) и а, которые должны быть не-
непрерывными функциями координат, стационарное распределение тока
однозначно определяется двумя условиями
div i = 0, rot ЛМ = — rotE(e);
в то же время поле Е однозначно следует из уравнений
rot Е = 0; div (oEj = — div (aE(e)),

Гальваническая цепь 127
Рассмотрим также выделение тепла постоянным током, образуе-
образуемым сторонними силами:
Q == J i20 . dv = /i(E+ E(e))dv,
где интеграл распространен на весь объем, заполняемый током»
В силу Е== — gradcp и
(i grad 9) = div (i<p) — 9 divi
при постоянном токе (divi = 0) и при распространении интеграла на
весь объем проводников с током получается непосредственно
Но если интегрирование производится по всей системе, то всюду на
поверхности области интегрирования i = O, так что получаем
Полное дзкоулево тепло, выделяемое в цепи тока, равно, следова-
следовательно, работе, совершаемой сторонними силами. Энергетический экви-
эквивалент этой работы целиком определяется процессом, который вызы-
вызывает появлеипе Е(е). В концентрационной цепи она возникает за счет
свободной эпергии совокупности более концентрированного и разба-
разбавленного растворов. В гальваническом элементе ту же роль играют
химические процессы, которые связаны с растворением или выделе-
ниеи; в термоэлементе энергия берется из тех приемников тепла,
с помощью которых поддерживается разность температур слоев.
В каждом случае работа -{- / (iE(e))dv совершается за счет источни-
источников энергии, которые собственно электростатике чужды так же, как
чуждо ей самое тепло Джоуля. Мы имеем, следовательно, своеобразную
картину стационарного (постоянного во времени) поля, посредством:
которого энергия не электрической природы может длительно превра-
превращаться в другой вид энергии, а именно в теплоту.

С. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
I. МАГНИТНЫЕ ВЕКТОРЫ
§ 47. Сила магнитного поля в пустоте. До открытий Эрстедта
A820) и Фарадея A831) магнетизм, как предмет физического иссле-
исследования, был совершенно независим от учения об электричестве.
Учение о магнетизме рассматривало взаимодействия постоянных маг-
магнитов, к которым нужно причислить также землю с ее магнитным
полем. Правда, между магнитным и электрическим полем существует
далеко идущая формальная аналогия, которая иногда ведет к тожде-
отвепному математическому изложению. Исходной точкой электроста-
электростатики был закон Кулона для силы, действующей на заряженные проб-
пробные тела, и вытекающее из него определение и осуществление еди-
единицы заряда и силы поля. Как раз в этой исходной точке аналогия
между электрическим и магнитным полем прекращается, так Щ1к нельзя
изготовить заряженного магнетизмом пробного шарика: заряженных
магнетизмом тел не существует. Железный предмет можно магнитно
поляризовать, но нельзя зарядить магнетизмом.
Экспериментальное „исследование магнитных полей оказывается воз-
возможным благодаря второму существенному отклонению: в то время,
как электрическая поляризация Р диэлектрика существует лишь по-
постольку, поскольку она поддерживается внешним электрическим полем,
и в то время как она пропорциональна этому полю Е, существуют
вещества с „постоянной" магнитной поляризацией М, где М озна^ет
определяемый в дальнейшем „магнитный момент единицы объема"
(„интенсивность намагничения"). Известные вещества, которые носят
название магнитно твердых веществ, можно намагнитить так, что при
не очень сильных полях М зависит от Н весьма мало. Рассмотрим
здеоь предельный случай идеально твердого магнитного стержня; это
значит, что интенсивность его намагничения мы считаем известной
заранее, и постоянной величиной, не зависящей от внешнего поля.
С помощью постоянных магнитных стержней мы можем измерять
магнитное поле так же хорошо, как электрическое поле с помощью
пробного шара. В выборе единиц и во всем остальном будем при этом
руководствоваться аналогией с электростатическим полем. Подобно тому,
жак раньше источником и индикатором электрического поля служило
заряженное пробное тело, источником (и притом двойным источником)
и индикатором магнитного поля является теперь магнитная стрелка.
Рассмотрим прежде всего метод, посредством которого Гауссу уда-
удалось впервые измерить в абсолютных единицах как интенсивность "на-

Сила магнитного поля в пустоте 129
магничения такого стержня, так и интенсивность поля земли. Если обо-
обозначить через
m= / Mdv
магнитный момент пробного стержня, то в однородном магнитном поле
Но (например, в магнитном поле земли) на стержень со стороны поля
действует механический момент вращения
N = [mH0]; ^«iml-IHol-sIn».
В частности, если имеется стрелка, вращающаяся вокруг оси, и
если 6 означает момент инерции стрелки, а Но — составляющую одно-
однородного внешнего поля, перпендикулярную к оси вращения, то урав-
уравнение движения будет:
6 = — тН0 sin&.
Полагая при малых отклонениях (sin & = &) & = const • sin 2uv?, получаем
для частоты колебания значение
v =
Измеряя ее, можно, следовательно, определить в абсолютных единицах
произведение m • Но.
Рассмотрим теперь тот же стержень как первоисточник магнитного
поля Н.
Последнее должно выводиться из потенциала срт, который в поляр-
полярных координатах г, ty (ср. рис. 39) дается уравнением E2)
т
Следовательно,
9©,и, 2 т
jj. 1 ОФт т .
Установим теперь цаш стержень неподвижно, и притом так, чтобы он
б^л перпендикулярен к однородному полю Но величины Л*о. В точку,
находящуюся на расстоянии г0 от средней точки стержня, поместим
в направлении момента ш (^ = 0) небольшую свободно вращающуюся
магнитную стрелку. Эта стрелка установится в направлении равнодей-
равнодействующей Н и Ио в этом месте, т. е. под таким углом а к направлению Но:
IHI 2т
9 Абрагам-Беккер. — Теория ^лектр.

130 Электромагнитное поле
Измеряя а и г03, можно теперь определить в абсолютных единицах
частное —. Сопоставляя оба результата, находим в абсолютных
единицах как поле земли Но, так и момент m стержня. С помощью
прокалиброванного таким образом стержня, мы можем теперь измерять
как по величине, так и по направлению любое данное магнитное поле,
если только при этом стержень настолько мал, что в его непосредствен-
непосредственной близости поле может считаться однородным. Интенсивность нама-
намагничения М нашего постоянного магнита выступает здесь как перво-
первоисточник магнитного поля Н, и
div H = — 4ir div M
находится в полном соответствии с урав-
уравнением (85а) для диэлектрической поляри-
поляризации
divE = — 4тг div Р.
Кроме того, в чистой магнитостатике (т. е.
при отсутствии электрических токов и при
полях' постояшшх во времени) справед-
?шМвта ливо Н = -grad?w. Здесь Н является,
лютных единицах. следовательно, безвихревым. Его источники
лежат там, где интенсивность намагничения
меняется от места к месту так, что имеется расхождение, отличное от
нуля; в случае однородно намагниченного стержня это наблюдается
у его концевых поверхностей, где нормальная составляющая М при
переходе в пустоту создает поверхностное расхождение
(Нп) стерт — (Н
н„
§ 48. Магнитное поле постоянных токов. Согласно открытию
Эрстедта электрический ток всегда сопровождается магнитным полем.
Магнитное поле бесконечного прямолинейного тока состоит из линий,
кольцами окружающих проводник; плоскость этих колец ' нормальна
к проводнику. Направление Н в таком кольце совместно с направле-
направлением тока образует при этом правый винт. Это поле уже не является
безвихревым; интеграл,. Л Hsds, взятый по контуру, охватывающему
ток, отличен от нуля. Промеры этого поля показали, что значение этого
интеграла прямо пропорционально току, охватываемому тем контуром,
по которому происходит интегрирование. Если обозначить коэффициент
пропорциональности через —, то все результаты промеров открытого
с
Эрстедтом поля можно свести к одному уравнению
^-1, A16)
причем путем интегрирования должен быть контур, охватывающий
ток 7, а направление обхода должно совершаться как в правом винте.

Магнитное поле постоянных топов 131
В случае прямолинейного тока, мы получаем отсюда, беря за путь
интегрирования окружность радиуса г вокруг оси провода,
2тгг|Н|=— i или |Н| = —.
1 ' с ' ' сг
От общего уравнения A16) мы можем перейти к дифференциальному
закону, подобно тому как это было сделано для закона Ома. Для этого
предположим, что A16) справедливо и внутри проводника, по кото-
которому течет ток. Тогда через элемент поверхности df протекает
ток i = \ndf. Применяя теорему Стокса, уравнение F3), получим урав-
уравнение, эквивалентное A16):
/I ТГ
rotH=— i^ A16a)
Для того, чтобы определить магнитное поле данного постоянного тока,
можно, исходя из A16) или A16а), пользоваться различными методами:
пли применяя непосредственно A16), или методами магнитного
двойного слоя (о нем будет сказано ниже), или на основании
закона Вио-Савара, или, наконец, векторным потен-
потенциалом.
Метод непосредственного применения A16) быстро
приводит к цели тогда, когда из соображений симметрии или еще
каких-либо причин приблизительно известно распределение поля, как,
например, в случае прямого провода с круговым сечением радиуса а.
Если за путь интегрирования мы будем брать концентричные окруж-
окружности вокруг оси провода, то
4тс
2кг JT=—I вне провода
с
4тг г*
2кг Н= — I • —5- внутри провода (г < а);
„21 _ 21
следовательно,Н=— вне и Н = —— -г внутри проводе.
f С < п О
Известно,что в случае прохождения тока по очень длинной катушке,
поле в основном сосредоточивается внутри этой катушки и ориентировано
по ее оси. Если за путь интегрирования выбрать узкий прямоугольник,
продольные стороны которого параллельны оси катушки, имеют длину
равную 1 ом, причем одна проходит внутри катушки, а другая вне ее,
то для них / Hds просто равен полю Н внутри катушки, если только
контур интегрирования находится достаточно далеко от концов катушки.
Если п — число витков, приходящееся на каждый сантиметр катушки,
точ сквозь наш прямоугольник проходит ток 1 • п. Следовательно, поле
внутри катушки будет
#= п-1.
о
9*

132
Электромагнитное поле
Этот результат остается в основном правильным и для катушки,
согнутой в кольцо, если только диаметр сечения катушки мал по срав-
сравнению с диаметром кольца (ср. рис. 40, где путь интегрирования ука-
указан слева сверху).
Метод магнитного двойного слоя вытекает из следую-
следующего замечания: если рассматривать весь замкнутый путь тока I, то
равен нулю. Следовательно, если мы проведем произвольную поверх-
поверхность таким образом, чтобы край ее как раз совпадал с контуром
тока, то для всякого пути, не пересекающего этой поверхности, инте-
грал <р Hds равен нулю; напротив,
для любого пути, пересекающего эту
поверхность один раз, он равен ±— I.
Мы можем, исходя отсюда, вывести
магнитное поле линейного тока из по-
потенциала <Pw> если подчиним этот по-
потенциал условию, что при прохожде-
прохождении через запрещенную поверхность
он претерпевает скачок, равный — I.
с
Значит, согласно соображениям § 16,
магнитное поле тока тожде-
тождественно с магнитным полем
окаймляемого им однород-
однородного магнитного двойного слоя момента х = —. Соглас-
с
но этому мы можем, например, сейчас же вычислить поле на оси
кругового тока радиуса а, если обратимся к вычислениям § 15, ка-
касающимся поля кругового диска, и заменим в формуле E5с) ve на Н
и момент о). yj на —.. Для центра круга получаем
Рис. 40. К вычислению магнит-
магнитного поля внутри кольцевой ка-
* тушки.
с • а
Эта формула лежит в основе измерений тангенс-бусолью, посред-
посредством которой это поле (Сравнивается с полем земли. Когда дело идет
о действии на большие расстояния, то в случае магнита оно
зависит только от полного момента m = / Mdv, а в случае магнит-
магнитного двойного слоя — только от значения интеграла m= / nxdf.
Плоский контур тока, окаймляющий плоскость f, действует, следо-
следовательно, на больших расстояниях как постоянный магнит момента
т ¦¦

Магнитное поле постоянных топов 133
Поэтому прямой катушке с полным числом витков N и сече-
сечением f соответствует магнитный момент
Закон Био-Савара для определения магнитного поля при
данном распределении токов получается путем применения получен-
полученных нами ранее результатов, касающихся однородных двойных слоев
(§ 16). Согласно этим результатам образуемое таким слоем, не имею-
имеющее источников поле можно представить в виде интеграла по огра-
ограничивающему контуру
Отсюда следует, что магнитное поле замкнутого тока можно рассматри-
рассматривать как сумму слагаемых, вносимых отдельными элементами тока Ids
в силу поля в соответствующей точке; слагаемые эти построены сле-
следующим образом: пусть имеется элемент тока Ids, и пусть г — радиус-
вектор, проведенный из элемента тока в данную точку; тогда поле
, „ Ids
нормально к плоскости ds, • г и по своей величине равно —— sm a,
если а означает угол между ds и г. Направление Н определяется из
условия, что поступательное движение ds в своем собственном на-
направлении и вращение, определяемое направлением Н, вместе дают
правовинтовое движение. Согласно A17) для центра кругового тока
(ds всюду перпендикулярен к постоянному по величине радиусу) полу-
получается значение
са? са
вполне соответствующее тому, которое выводится методом двойного
слоя. Разложение тока на отдельные элементы, которое указывается
законом Био-Савара A17), является однако до известной степени про-
произвольным, так как в действительности эти элементы не могут суще-
существовать по отдельности.
Метод векторного потенциала получается простым пре-
образованием^закона Био-Савара A17). Это уравнение позволяет, оче-
очевидно, написать
I
а для слагающих по осям координат, если мы обозначим через
х, у, z координаты точки наблюдения, в которой желаем определить Н,
а через S, % С и d?, d% dC — место и составляющие линейного эле-
элемента ds:

134
Электромагнитное поле
В самом деле, например,
д 1 _ г — С __
dz r г3
и т. д.
Применим к A17а) общую формулу векторного исчисления
[В gradfl =jfrotB— rot/*B,
которая справедлива для любого вектора В и любого скаляра f.
Так как в A17а) мы должны дифференцировать только по коорди-
координатам точки наблюдения, которые не входят в выражение ds, то
— I dsgrada — I
поэтому
Рис. 41. Векторный потен-
потенциал А .двух антипараллель-
антипараллельных токов.
A18)
\ и J ' /
Здесь Н появляется как вихрь дру-
другого вектора Н = rot Ао; Ао==—гп—,
с у г
который мы в § 18 назвали векторным
потенциалом. Однако этот вывод верен
только при отсутствии намагничиваю-
намагничивающихся веществ. В силу тождества div rot = 0, вихрем векторного потен-
потенциала может быть лишь вектор, не имеющий источников, что для Я,
вообще говоря, не справедливо. Поэтому позднее в общей теории мы
будем выводить из векторного потенциала не Н, а вектор В, поле
которого никогда не имеет источников. Его введение последует
ниже.
Согласно AЛ8) член, вносимый элементом тока Ids в величину
вектора А, имеет всегда направление ds. Поэтому способ векторного
потенциала особенно выгоден тогда, когда нужно вычислить поле
прямолинейных параллельных токов, так как тогда не может возник-
возникнуть никакого сомнения относительно направления А. В Ka4eqiBe при-
примера вычислим поле двух параллельных токов!, проте-
протекающих по проводам в противоположных направле-
направлениях. За положительную ось х примем направление первого про-
вода и вычислим
в точке на расстояниях ri и г2 от двух про-
проА А П
^ р i 2 ду р
водов (рис. 41). Очевидно, что Ау и Аг в данном случае равны нулю. Про-
Произведем вычисление сначала для конечных проводов длины 2L.
Согласно A18)
+ L +
J_ С ds !_ Г
-L У { l -L
ds

Магнитное поле постоянных токов
135
„ s L L,
Положив сокращенно -г\ = —, \ = —, fia ——> получаем
А,
-J2 f <
*~~ь ' J "гЛ"?
¦Па
Рис. 42. Силовые линии между двумя параллельными прово-
проводами. Если по проводам текут равные, но противоположные токи,
то окружности а, &,... g образуют места постоянного векторного
потенциала А и одновременно силовые линии магнитного поля Н.
Если, напротив, провода заряжены противоположными электро-
электростатическими зарядами, то те же самые окружности суть места
постоянного потенциала у. Тогда окружности 132... 10 дают на-
направление линий электрического поля.
Если теперь перейти к пределу i=oo, то второе слагаемое обра-
обращается в нуль. Остается только
Таким образом кривые Аж = const суть окружности, центры кото-
которых лежат на прямой, соединяющей в нормальной плоскости центры
обоих проводов; при этом эти два центра по отношению к соответ-
соответствующей окружности всегда являются сопряженными точками. Для
магнитного поля теперь следует
Н^ =
дг/

136 Электромагнитное поле
Величина Н равна падению Аж; направление Н совпадает, напротив,
с направлением кривых А.х = const. Строя кривые Ад. = const, мы
получаем в то же время точную картину хода линий поля вблизи
обоих проводов.
В этом результате замечательно следующее обстоятельство: если
по проводам не будет итти никакого тока, а вместо этого они будут
противоположно заряжены, так что каждый сантиметр их длины имеет
заряд -f- e и соответственно — е, то они создают электростатический
потенциал <р величины
2е . г2
ф _ In — .
е rt
При этом е есть диэлектрическая постоянная среды, окружающей
эвд провода. Значит, <р отличается от Ах только некоторым численным
множителем! Этот факт встретится нам в более общей форме еще раз
(§ 67) при изучении волн в проводах.
§ 49. Намагничение и магнитная восприимчивость, До сих пор
мы рассматривали два идеальных случая магнитных полей, именно:
поле, образуемое постоянными магнитами (вещества с заданным на-
намагничением М) при отсутствии электрических токов, и образуемое
стационарными токами при отсутствии намагничивающихся веществ.
Притом имели место уравнения
для постоянных магнитов (г = 0); div Н = 4тс div M; rot Н = О
для стационарных токов (М = 0); Tot Н = — г; div Н = 0.
Отсюда можно вывести следующие общие уравнения для вычисления
поля любого стационарного распределения тока i = i (x, у, z) и любого
распределения намагниченных веществ М = М {х, у, #): Источ-
Источники Н совпадают с источниками — 4тсМ, вихри Н равны —— L
с
В таких местах, где одновременно i = 0 и divM = 0, H является
безвихревым и не имеет источников. На поверхностях разрыва М
нужно принять существование поверхностного расхождения (скачок
нормальной составляющей), соответствующего предельному переходу
от непрерывного, но очень быстрого изменения к изменению скачком.
Итак, если бы распределение тока i и интенсивность намагниче-
намагничения М были заданы, то определение поля Н было бы равнозначно
вадаче вычисления векторного поля из его вихрей и источников —
задаче, которая уже решена нами полностью в § 18. В настоящем
случае уравнения, соответствующие уравнениям F8а и Ь) § 18
были бы
divH = — 4т: divM, rotH = — i. A19)
с
В действительности дело обстоит гораздо сложнее вследствие того,
что интенсивность намагничения в свою очередь существенно зависит
от силы поля. В большинстве случаев самое появление его бывает

Намагничение и магнитная восприимчивость 137
обязано действию поля. Эта связь между Н и М есть специфи-
специфическое свойство каждого данного вещества. Она характеризует как
раз его магнитное поведение. Если сгруппировать все известные
материалы по их магнитным свойствам, то получаются следующие
классы:
а) Интенсивность намагничения пропорциональна полю:
М = хН. A19а)
Коэффициент пропорциональности х, называемый магнит-
магнитной восприимчивостью ^единицы объема, не зависит от Н, но при извест-
известных условиях зависит от температуры.
Среди веществ, намагничивающихся по простому уравнению A19а),
можно различить два типа:
1. Диамагнитные тела. У них х является отрицатель-
отрицательным и не зависит от температуры; у. всегда очень мало по
сравнению с 1.
Оно имеет, например, значения:
водород % = — 0,5 «КГ"9
вода =— 0,77 -10~
золото * ==— 3,00 -10~~6
висмут = — 14,00 • 10~6
Следовательно, у диамагнитных веществ М направлен противоположно
полю Я. Качественно можно объяснит^ диамагнетизм, если допу-
допустить, что в отдельных атомах имеются контуры без сопротивления.
Согласно общим законам индукции, при включении внешнего поля
в таких контурах индуцируются токи, магнитный момент которых
[ср., например, уравнение A16Ь)] имеет направление, противоположное
направлению Н. Количественное объяснение дается в электрон-
электронной теории. Диамагнетизм есть общее свойство материи и, следова-
следовательно, существует у всех веществ. Но он настолько мал, что практи-
практически не наблюдается, если соответствующее вещество является кроме
того еще парамагнитным или ферромагнитным.
2. Парамагнитные тела. У этих тел % положительно
и, как правило, обр.атно пропорционально абсолютной
температуре Т (закон Кюри); кроме того оно пропорционально
плотности s:
x = |s. A19b)
При комнатной температуре наблюдают, например, следующие чи-
численные значения х:
кислород 0,14 • 10~~6
платина 29-10~~6
марганец 300-КГ
Парамагнетизм нужно представлять себе таким образом, что отдель-
отдельные молекулы уже заранее обладают определенным магнитным момеп-

238 Электромагнитное поле
том, и что под действием магнитного ноля эти элементарные магнитики
частично ориентируются; но ориентирующему действию поля противо-
противодействует беспорядочное тепловое движение. Поэтому, соответственно
закону Кюри, одинаковое поле может при более низкой температуре
вызвать более высокую степень ориентированности, чем при более
высокой.
б) Интенсивность намагничения не пропорциональна силе поля.
Этот класс состоит в основном из ферромагнитных материалов: железа,
кобальта, никеля и гейслеровских сплавов. Магнитное поведение этих
веществ очень сложно и в значительной степени зависит от обстоя-
обстоятельств, часто кажущихся совсем неважными. Поэтому нам придется
удовлетворяться только очень схематической характеристикой. Самый
отличительный признак ферромагнетика состоит прежде всего
в том, что при одинаковой силе поля магнитный момент ферромагне-
ферромагнетика имеет более высокий порядок величины, чем магнитный момент
остальных веществ (он яасто превышает его больше чем в миллион
раз). Затем, при изменений Н, М меняется нелинейно; наоборот, уже
при достаточно низких и технически легко достижимых яолях наблю-
наблюдается состояние насыщения. Интенсивность намагничения М^
при насыщении, которую нельзя «заметно превысить даже при очень
сильных полях, имеет следующие .значения;
железо ^яМ^ = 22 000 эрстедт
никель =6 000 *
кобальт =18 000 „
Эти насыщающие величины почти независимы от обработки материала
и от небольших химических примесей к нему. Наоборот, „кривая на-
намагничения", т. е. закон возрастания М при увеличении Н, самым
тесным образом зависит от особенностей предварительной обработки
испытуемого вещества. Здесь различают опять два крайних случая;
1. Мягкие (в магнитном отношении) вещества; это —
такие вещества, у которых М остается еще однозначной функцией Н.
В типичных случаях эта функция изображается кривой, показанной на
рис. 43а: в начале, при возрастании Н, М быстро растет. Затем кривая
делается все более пологой, и, наконец (при насыщении), практически
становится горизонтальной. Если крива;я начинается почти прямолиней-
прямолинейным подъемом, можно говорить еще о „начальной восприимчивости",
которую определяют либо как частное соответствующих значении,
либо из крутизны кривой как - '¦•. Ее значение для различных сор-
о\И I
тов железа лежит между 50 ж 1000. В природе вряд ли существуют
совершенно мягйже, т. §. ^абсрдютно обратимые ферромагнетики.
Можно собственно говорить только о „брдее мягких" или „более твердых"
веществах, соответственно медыдей идя большей ширине петли гисте-
гистерезиса (см. ниже).
2, Твердые вещества. У этих веществ М вообще не является
однозначной функцией Н; напротив, интенсивность намагничения суще-

Намагничение и магнитная восприимчивость
139
етвенно определяется теми силами поля, в котором испытуемое тело
находилось раньше. Типичный ход кривой намагничения представлен
на рис. 43Ь. Если ненамагниченное тело подвергнуть действию расту-
растущего i поля Н, то вначале М описывает участок кривой АВ, который
качественно мало отличается от кривой (рис. 43а) мягкого вещества.
Но если теперь уменьшать Н, то в начале М падает гораздо медлен-
медленнее, чем раньше росло (кривая BCDE). При поле Н = 0 имеется еще
„остаточное намагничение" величины АС, Эту величину мы в дальней-
дальнейшем будем обозначать через Мо. Намагничение можно свести к нулю
только при помощи силы AD9 направленной в сторону, противополож-
Рис. 43а. Кривая намагничения
мягкого железа.
Рис. 43b. Кривая намагничения твер-
твердой стали.
ную М;*ее называют „задерживающей" или „коэрцитивной силой".
Остаточный магнетизм и задерживающая сила являются мерой магнитной
твердости вещества. При больших отрицательных значениях Н вновь-
достигают в Е состояния насыщения. Начиная с этого момента при соот-
соответствующем изменении Н, ход М дает кривую EFGB, чем «детля гистере-
гистерезиса" и заканчивается. Если теперь опять изменять поле Н от насы-
насыщения в одном направлении до насыщения в противоположном напра-
направлении и обратно, то в основном М повторяет все одну и ту же петлю.
Совсем иное получается, если итти только до определенного места
петли, например D', и затем опять заставить расти поле Н. Тогда при
не очень сильном росте Н получают почти прямую линию, например
пунктирную прямую D'C'E' на рис. 43Ь; по ней же изменение может
происходить и в обратном направлении. Если затем при дальнейших
операциях намагничения оставаться между границами 1У ц Е\ то
в этих пределах можно говорить об обратимом намагничении и харак-
характеризовать материал „уравнением магнитного состояния"
M = x'H + Me'f

140 Электромагнитное поле
где, следовательно, у! означает наклон прямой DrE\ а Мо' — расстоя-
расстояние АС.
Поле Н внутри постоянного магнита при отсутствии токов и других
магнитов имеет направление, существенно противоположное направле-
направлению намагничения. Состояние такого магнита соответствует, следова-
следовательно, точкам на участке CD кривой гистерезиса; его можно предста-
представить, например, рассмотренной уже точкой 1У. Впрочем, при заданном
намагничении постоянного магнита поле внутри его зависит еще от
его формы. При не очень сильных изменениях Н, достигаемых, напри-
например, изменением междужелезного промежутка в почти замкнутом кольце-
кольцеобразном магните, можно по прямой 1УЕ* или по уравнению A19с) опре-
определить соответствующее изменение М.
Все ферромагнитные вещества обнаруживают ферромагнитные свой-
свойства только постольку, поскольку их температура остается ниже тем-
температуры, обозначаемой как точка Кюри 6 и характерной для соответ-
соответствующего материала. Точка Кюри для железа лежит при 774° С, для
никеля при 372° С и для кобальта при 1131° С. Выше точки Кюри
все ферромагнитные вещества обнаруживают нормальный парамагне-
парамагнетизм, с той только разницей, что в законе Кюри A19Ь) надо заменись
абсолютную температуру Т расстоянием Т—6 от точки Кюри:
х = (закон Кюри-Вейсса). A19d)
§ 50. Магнитная индукция. Не делая никаких предположений
о свойстве вещества в том смысле, в котором это говорилось в преды-
предыдущем параграфе, уравнению A19) можно придать другой вид, введя
для этого вектор В
М, A20)
который мы назовем магнитной индукцией. В то время как Н
определяется источниками и вихрями, вектор В, согласно уравнению,
A19), источников никогда не имеет и поэтому характеризуется только
своим вихрем:
4-тт
divB = O, rotB = l + 4icrotM. A21)
В силу того, что В не имеет источников, его можно представить как
вихрь векторного потенциала А
В = rot А, A21а)
причем векторный потенциал А нужно подчинить еще добавочному
условию
divA = O. A21b)
Согласно § 18, из A21а, Ь) для А непосредственно получается зна-
значение
1 г i jl с rot М ,
tJ "^—dv- A22)

Магнитная индукция
141
Так же, как в предыдущем параграфе, здесь полезно отметить сле-
следующее: практическая применимость уравнения A22) значительно огра-
ограничена тем обстоятельством, что М не является известным заранее,
но само весьма сложным образом зависит от В и Н.
Принципиально совершенно безразлично, вычислять ли в конкрет-
конкретном случае сначала Н с помощью A19) или вектор В с помощью A21).
Принимая во внимание уравнение A20), дающее связь между вектора-
векторами В и Н, мы в обоих случаях придем к одному и тому же результату.
В качестве иллюстрации этой зависимости рассмотрим качественный
характер поля кругового цилиндра, однородно поляризованного в на-
направлении оси. Будем при этом предполагать, что цилиндр сделан
Рис. 44а. 44Ь. Поле идеально твердого постоянного магнита. 44а показывает
ход И (источники на основании цилиндра); 44Ь показывает ход В (вихри на
боковой поверхности).
из материала, в магнитном отношении идеально твердого. Если ось
цилиндра ориентирована параллельно оси х, то данные задачи форму-
формулируются так: внутри цилиндра Жх = const = М, вне цилиндра М^ = 0;
Жу и Жш всюду равны нулю. Подчеркнем при этом, что мы здесь рас-
рассматривали идеальный, практически не осуществимый случай. В дей-
действительности М всегда зависит от Н, что на рисунках нашло бы
выражение в преломлении силовых линий поля (рис. 44а) у боковых
поверхностей и линий индукции (рис. 44Ь) у концевых поверхностей.
На рис. 43b наша идеализация сказалась бы в том, что для прямой 1УЕ'
обратимого намагничения ход был бы горизонтален. Расхождение М
концентрируется на двух концевых плоскостях,"*"на которых имеется
поверхностное расхождение величины ±М. Вихрь бго*-концентрируеа:ея,
наоборот, на боковой поверхности, где* Жх претерпевает скачок с М
на нуль; вихрь сжимается у нее в поверхностный. Уравнения A19)
и A20) дают для этого случая (i = 0) полям Н и В следующий вид:
при прохождении через концевую плоскость нормальная составляю-
составляющая Н претерпевает скачок, равный :±:4тсЖ~; при указанной ориента-
ориентации Нд. претерпевает, следовательно, всякий раз скачок, равный \- 4тгЖ,

142 Электромагнитное поле
если, исходя из цилиндра, проходить через одну из концевых плоско-
плоскостей. В остальном пространстве Н является всюду безвихревым и не
имеет нигде источников. В частности при прохождении через боковую
поверхность Н остается непрерывным.
Этих указаний достаточно для однозначного определения поля Н.
Получающиеся при этом линии поля наглядно изображены на рис. 44а.
Внутри цилиндраНв основном направлено противоположно М
и при вытянутой форме цилиндра вблизи концов его равно примзрно
~, где q означает сечение цилиндра, a h—его высоту.
При этом предполагается, что g_<^.h2; 2nM есть член, вносимый
рассматриваемой концевой плоскостью, Af-Дг, наоборот,—Еулоновская
сила, которая создается другим концом. Сразу же за концевой
плоскостью Н в основном имеет направление, одинаковое с 11,
и величину 2tzM — M-j~. Вблизи боковой поверхности Н идет на-
наклонно к М. Эти поверхности, как таковые, линиями поля совсем
игнорируются.
Рассмотрим теперь ход линий индукции В. Вне цилиндра Н и В,
конечно, тождественны. Напротив, всюду внутри цилиндра к вектору Н
нужно прибавлять 4d№. Выполняя это, мы получаем картину 44Ь
линий индукции. Их ход определяется поверхностным вихрам М,
концентрирующимся на боковой поверхности.
С чисто феноменологической точки зрения изображение поля век-
тором Н (рис. 44а) или вектором В (рис. 44Ь) совершенно равно-
равноценно. Несмотря на это, при взгляде на эти две функции невольно
хочется спросить, которое же из обоих описаний является более есте-
естественным. Ответ на этот вопрос теснейшим образом связан с пред-
представлением о сущности атомарного магнетизма. Если рассматривать
отдельные атомы магнита как малые магнитные стержни
с южным и северным полюсами, то ноневоле приходим к картине,
изображенной на рис. 44а: стерженьки, повернутые вдоль оси ци-
цилиндра, создают на концевых плоскостях избыток положительного
или отрицательного „свободного" магнетизма, который действует как
источник или как сток линий поля. Отвзт получается совсем иным
если рассматривать атомы (согласно гипотезе, высказанной впервые
Ампером), не как магнитные стерженьки, а как небольшие круго-
круговые токи, которые, согласно § 48, действуют так же, как небольшой
магнитик, нормальный к их плоскости. Если эти элементарные кру-
круговые токи повернуты вдоль оси цилиндра, то внутри они везде
взаимно уничтожаются, но на боковой поверхности останется конеч-
конечный поверхностно распределенный ток, окружающий цилиндр (ср. для
этого, например, рис. 21, § 17). Непосредственным следствием этого
поверхностного тока является поле вектора В рис. 44Ь, которое опре-
определяется вихрем, совпадающим с поверхностным током. Мы знаем
теперь, что гипотеза Ампера в основном правильна (его элементар-
элементарные токи трактуются в электронной теории, как конвекционные токи,

Закон индукции Фарадея 143
вызываемые движением электронов). Поэтому на поставленный выше
вопрос можно также однозначно ответить в том направлении, что
естественному характеру магнетизма соответствует рис.-44Ь. Только
на боковой поверхности цилиндра „действительно" существует нечто,
именно „свободный" ток i' = crotM, который в общем случае сов-
совместно с током проводимости i определяет согласно A21) вихрь В.
Первичной величиной является не сила поля Н, а ин-
индукция В. Вектор Н—В— 4тгМ, а равно и его источники нужно
рассматривать просто как вспомогательные величины, вводимые для
упрощения формул.
Общая связь между В и Н, даваемая уравнением A20), вздет
к некоторому упрощению, если М известно как функция от Н. Если,
например, М пропорционально Н:
то
В = цН. A2В)
Величину
р = Ъ-}-4im A23а)
называют магнитной проницаемостью. Она меньше единицы
у диамагнитных веществ и больше единицы у парамагнитных веществ.
Но в обоих случаях \*> отличается ют единицы весьма мало (всегда
меньше, чем на 0,1%). Только у ферромагнитных веществ \i значительна
больше, чем 1, и на самых крутых местах кривой (рис. 43а) может
достигать величин от 1 000 до 10 000.
При обратимом (ограниченном весьма узкою областью Н) измене-
изменении состояния постоянных магнитов AУС'Е', рис. 43Ъ) В, согласно
уравнению A19е), можно представить в виде
A23)
который окажется нам полезен позднее, при рассмотрении магнитной
энергии поля.
§ 51. Закон индукции Фарадея. В 1831 г. Фарадей сделал сле-
следующее фундаментальное открытие: если вблизи замкнутого прово-
проволочного контура движется магнит, то в этом контуре возникает ток.
Более близкое экспериментальное исследование этого явления приво-
приводит относительно возникающего при этом тока к следующим коли-
количественным данным.
Пусть В—омическое сопротивление проволочного контура, f—про-
f—произвольная поверхность, ограниченная этим контуром. Нам этим для
контура определенное направление обхода ds и тем самым, согласна
правилу правого винта, и определенное направление нормали п к era
поверхности. Будем считать ток положительным или отрицательным
в зависимости от. того, идет ли он в направлении ds или в обратную
сторону. Тогда закон индукции для тока, появляющегося в основном
опыте Фарадея, будет

144 Элект}юмагнитное поле
В любой момент времени произведение сопроти-
сопротивления на силу тока равно скорости уменьшения по-
потока индукции, пронизывающего поверхность, огра-
ограниченную контуром тока, деленной па с. При этом совер-
совершенно безразлично, происходит ли изменение потока вследствие того,
что меняется поле во времени, а контур остается неподвижным, или
вследствие того, что контур движется в поле. Уравнение A24) дает
нам совсем новый и практически важный метод измерения
данного магнитного поля. Для этого выбирают пробную
катушку настолько малой, чтобы поле на протяжении катушки можно
было считать однородным. Посредством хорошо скрученных проводов
эта катушка присоединяется к баллистическому гальванометру. Пока
катушка стоит неподвижно в постоянном поле В, в гальванометре тока
нет. Поток индукции через поверхность f витка катушки равен Bnf.
Если теперь унести катушку из поля в место, где поля нет, то во
время движения по ней проходит ток
2L d в f
Полное количество электричества, непосредственно указываемое галь-
гальванометром при достаточно быстром движении катушки, будет, следо-
следовательно,
t
е =
В
Это значит, что в рассматриваемом опыте отброс гальванометра не-
непосредственно измеряет составляющую Вп индукции, нормальную
к плоскости катушки в том месте, где катушка находилась до уда-
удаления из поля. Этот опыт можно произвести и в другом виде: оста-
оставить катушку на ее месте и вращать ее на 180° вокруг оси, лежащей
в плоскости f (земной индуктор). Тогда Вп меняет свой знак, и для е
получается удвоенпое значение.
Приведем теперь закон индукции A24) к более общему виду, и для
втого исключим из него с помощью закона Ома силу тока I.
Предварительно несколько обобщим уравнение A24), а именно
допустим, что в рассматриваемой цепи тока действует" еще сторон-
сторонняя электродвижущая сила Е{е\ Тогда последняя тоже% будет вызы-
Е
вагь ток J = ——-, так что A24) нужно заменить на
w- A24a>
Будем всегда придерживаться закона Ома в его дифференциальной
форме

Закон индукции Фарадея 145
Это значит, что во всяком месте сила тока должна определяться
только совместным действием силы электрического поля и сторонних
сил в соответствующем месте. Но тогда, при интегрировании (как
в § 41) по объему линейного проводника, имеем
В то время как в электростатическом поле второе Слагаемое в силу
безвихревого характера Е всегда равно нулю, сравнение с A24а) пока-
вывает, что при изменении потока индукции оно должно равняться
-df- A25)
Интеграл электрического напряжения по контуру
Ф Esds численно равен скорости уменьшения магнитного псгтока (делен-
(деленной на с). В формулировке A25) совершенно исчезла постоянная В, отно-
относящаяся к материалу провода. Этот факт дает возможность сделать
йирокое обобщение уравнения A25), выведенного сначала лишь для
проволочного контура, — обобщение, являющееся фундаментальным для
всего дальнейшего. Именно, мы утверждаем, что для справедливости
A25) наличие проволочного контура совсем не обязательно, что, на-
наоборот, для всякой произвольно проведенной замкнутой
кривой интеграл ?>Esds правильно определяется тем же уравне-
уравнением A25). Это утверждение оправдызц^ется прежде всего в случае,
если за путь интегрирования_взять не провод, а непосредственно
примыкающую кривую, лежащую в пустоте. В самом деле, в виду
непрерывности тангенциальных составляющих Е, значение i>Esds
при такой замене пути интегрирования 'не изменяется. Но взятое во
всей своей общности, это новое трактование уравнения A25) пред-
представляет собой гипотезу, которую мы должны проверить, рассматривая
ее следствия.
Наша гипотеза дает непосредственный переход к дифференциаль-
дифференциальной форме закона индукции. А именно, если уравнение A25) имеет
место для всякого произвольно проведенного элемента поверхности,
то, применяя теорему Стокса, сейчас же получаем отсюда дифферен-
дифференциальную связь векторов Е и В.
В неподвижных средах поток индукции изменяется [правая сто-
сторона A25)] лишь постольку, поскольку изменяется вектор В. "Тогда
дифференцирование по времени можно совершить под знаком интеграла,
и по теореме Стокса сейчас же подучится
1 дЛ
rotrE = дт- для неподвижных сред. A26)
Если, напротив, тело, для которого мы хотим определить Е, движется
со скоростью и, то изменение со временем потока индукции через
Ю Абрагам-Вевкер. — Теория электр.

146 Электромагнитное поле
поверхность f, движущуюся вместе с материей, надо вычислять со-
согласно разъяснению, данному для A24)» Если элемент поверхности df
движется со скоростью и, то на основании § 19 имеет вообще место
»^=/(f +«divB-rot[uB]
В силу divB=(X получаем
rotE = 1-щ rot[uB]J для движущихся сред. A26а)
Это уравнение часто пишут в сокращенной форме, вводя особый
вид дифференцирования по времени, о котором говорилось в § 19:
A as A + u div A — rot [uA].
Тогда из A26а) получается
rotE = — — В.
с —
Если перейти от A26а) обратно к интегралу по контуру провод-
йика, то с правой стороны усматриваются две возможные причины изме-
изменения потока: во-первых, изменение В во времени, которое в случае
покоящейся проволоки только одно и действует; во-вторых, влияние^
движения провода, йЪторое является единственной причиной при по-
постоянстве поля во времени.
Легко убедиться в том,
— ds [uB] dt = В [u cfe] dt
представляет тот поток индукции, который проходит через элемент
йоверхности [udt, ds], покрываемый элементом ds ограничивающей кри-
кривой при его движении за время dt.
Особо отметим при этом, что уравнения поля для движущихся тел
в действительности гораздо сложнее, чем уравнение A26а), которое^
является лишь вполне достаточным приближением для всех техниче-
технических применений. Точную формулу для любых значений и можно вы-
вывести только с помощью электронной теории и теории относительности.
II. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА. ПОКОЯЩИХСЯ СРЕД,
§ 52. Максвелловы уравнения для неподвижных тел. Мы можем
теперь составить Максвелловские уравнения для покоящихся тел в
окончательной форме. Правда, уравнение A16а)
для магнитного поля системы постоянных токов требует существенного
и важного дополнения для случая, когда линии тока не замкнуты,

Максвеллцвы уравнения для неподвижных тел 147
а, наоборот, как, например, на обкладках конденсатора, прерываются
В таких местах расхождение i не равно нулю, в тО время как левая
сторона A16а) всегда являемся свободной от источников (div rot е== 0).
Поэтому, если мы хотим иметь уравнение, верное для общего случая,
то надо либо искать совсем нового соотношения, либо путем присоеди-
присоединения более общего вектора сделать правую часть также свободной
от источников.. Максвелл избрал последний путь; рассмотренный уже
в § 44: источник i неизбежно связан с уменьшением во времени плот-
плотности заряда в соответствующем месте, и притом по теореме Гаусса
С другой стороны, плотность заряда равнозначна расхождению вектора
смещения D
4тгр = div D,
а следовательно,
divi = — — div-^т-.
4тс fit.
Ото уравнение гласит, что вектор
нигде не имеет источников. Т а к и м образом нужное дополнение
для тока проводимости i найдено. Это есть ток смещения
1 Ь J
введение которого в основные уравнения образует
стержень всей Максвелловской теории. Это есть един-
единственное, но з&то решающее различие между воззрениями Максвел-
ловско& теории и более старой теории дальнодействия.
К обобщенному таким образом уравнению (}16а) присоедЛим три
других, а именно: закон индукции A26) и два условия (87а) и A21)
относительно ирточнлков D и В. Таким образом имеем четыре фун-
Д^й^ уравнения:
rotE = — — Й, (П)
С
(IV)
н
Это — окончательные уравнения Максвелловской тео-
теории для покоящихся тел.^Чтобы #га система стала полной,
10*

148 Электромагнитное поле
надо присоединить еще три других уравнения, дающих связь между
векторами 1, D, В и силами поля Е и Н. Если с помощью этих трех
добавочных уравнений исключить указанные три вектора из уравне-
уравнений (I) — (IV), то тогда, ж только тогда, возможно по данному началь-
начальному состоянию однозначно определить течение процесса во времени.
В простейшем виде мы имеем эти три дополнительные уравнения для
случая изотропных не ферромагнитных тел с тремя мате-
материальными постоянными — электропроводностью а, диэлектрической по-
постоянной е и магнитной проницаемостью ^, а именно:
(V)
D = е • Е, (VI)
В = р-Н. (VII)
Все три уравнения (V), (VI), (VII) связаны, таким образом, е особыми
свойствами имеющейся в поле материи. Уже по одному этому они ни-
никогда не будут обладать" той точностью и общностью, которую мы
можем требовать от уравнений (I) — (IV), за исключением разве
пустоты, где в точности а = О, е==1, ^ = 1. Помимо того, что (VII)
совершенно неприменимо к ферромагнитным веществам, уравнение (VI)
оставляет в стороне такие явления, как явление диэлектрического по-
последействия или „остаточный заряд" в Лейденских банках. Далее, урав-
уравнение (VI) неприменимо также и в том случае, когда мы переходим
к полям, быстро изменяющимбя во времени (световце волны). Опыт
показывает, что в этом случае е становится функцией частоты пере-
переменного поля, гак 'что о нем тогда уже нельзя говорить как о постоян-
постоянной данного вещества. Выяснение сущности и теоретическое вычисле-
вычисление величин о, е, {х, введенных здесь как специфические „постоянные"
для данного «вещества, подробно даются в электронной теории.
Интеграл энергии Максвелловых уравнений. Если
умножить уравнение (I) на —Е, а (II) — на Н и полученные уравне-
уравнения сложить, то непосредственно получается
HrotE — ErotH + — iE=:— —ED — — НВ.
1 с с с
Мы восйолъзуемся тождеством
Н rot Е — Е rot Н = div [EH];
интегрируя по любому объему и умножая на —, получим
-± j (ED + НВ) dv = J .(IE) dv + ^ j [EH]n df. A27)
Уравнение A27) основывается ^рлько на строго верных уравне-
уравнениях коля (I) до (IV); мы должны поэеду приписывать и4 ему строгую
правильность в случае покоящихся тел.

Максвелловы уравнения для неподвиоюных тел 149
Рассмотрим здесь A27) сначала только для случая, когда допол-
дополнительные уравнения (V), (VI), (VII) также удовлетворяются. Тогда
-4 {/(?"¦+?*•)*)-/^*-
df\ A27а)
Это уравнение будем читать следующим образом: электромаг-
электромагнитное поле обладает плотностью энергии
8lc v-~ i г-у. A27Ь)
Если полная энергия U = Г и dv, содержащаяся в объеме г\ умень-
уменьшается, то согласно A27а) эквивалентно этому уменьшению появляются
три вида энергии: прежде всего необратимое джоулево тепло — и
работа —Шв, совершенная против сторонних сил. Назовем обе вели-
величины вместе термичееки-химичеекой'мощностъю поля. В уравнении A27)
она представлена членом (iE) [ср., например, ниже уравнение A32Ь)].
Наряду с этим, в качестве третьей причины уменьшения энергии
поля появляется интеграл по поверхности
1 = ~Т~~ tEHb A28)
'Таким образом принцип сохранения энергии требует, чтобы через
поверхность рассматриваемой области проходил по-
поток энергии S (эн^^г^и^^пjоходящая за одну секунду
ч ej) е з 1 см2). 8 называется век тЬр о*м ИЪ йнтинга и л и ™в е к то-
р*о м излучения^ Мы займемся им подробно в теории электромагнитных
волн. Подчеркнем при этом, что только интеграл /S^df/урасщюстранен-
ный по замкнутой поверхности, имеет физическое значение энергии,
вытекающей наружу из области, ограниченной этой поверхностью.
Сам вектор 8 может значительно отличаться от нуля, а нри этом
все же никакого заметного переноса энергии не будет. Представим
себе хотя бы такой случай, что на электростатическое поле наклады-
накладывается магнитное поле. S может тогда принимать любые значения, но
при этом всегда div S = О, так что S не оказывает никакого влияния
на энергетический баланс.
Формулировка принципа энергии A27) правильна только для по-
покоящихся тел.4 Поэтому она не содержит выражения для механиче-
механической работы, какое, например, мы подробно рассматривали выше
для случая электрического поля; подобное же выражеете будет разо-
разобрано в следующих параграфах особо для случая, магнитного поля.
В следующей главе, относящейся к постоянным токам, мы будем
пренебрегать характерным для Максвелловской теории током смеще-

ISO Электромагнитное поле
ния -т—В по сравнению с током проводимости i. При достаточно
медленном изменении поля это является до воленным. Как мы уви-
увидим в дальнейшем, технические переменные токи всегда можно рас-
рассматривать как величины, изменяющиеся в указанном здесь смысле
медленно.
Естественно, что таким способом должны получаться только такие
результаты, которые были доступны также в до-Максвелловской
теории дальнодействия. Как мы увидим позднее, учет тока смещения
дает конечную скорость распространения электромагнитных возму-
возмущений. Пренебрежение —- D согласно A) равнозначно divi = O,
т. е. равнозначно допущению квазистационарных токов. Можно ожи-
ожидать, что при токах, изменяющихся во времени, это пренебрежение
справедливо тогда, когда время, в течение которого токи успевают
заметно измениться, велико по сравнению со временем, необходимым
для того, чтобы электромагнитные возмущения распространились от
одного конца установки до другого.
Ток смещения становится существенным только при рассмотрении
быстро-переменных процессов; потому собственно Максвелловская
теория выявляет всю свою плодотворность только при рассмотрении
электромагнитных волн.
§ 53. Магнитная энергия поля и Маково, г левы натяжения
магнитного поля. Выше мы положили плотность энергии электри-
1
ческого поля равной -?—^(ED) и обосновали это допущение тем, что
доказали, что работа, совершаемая полем при смещении материи,
равна уменьшению энергии поля
Для этого доказательства являлось существенным то, что всюду
D = е . В
где е — диэлектрическая постоянная, не зависящая от поля Е. В маг-
магнитном же поле, по крайней мере при наличии постоянных магнитов,
такой пропорциональности векторов В и Н не существует. Нельзя
поэтому для магнитной энергии поля написать по аналогии с Um
выражение —- I (fflfydv. Что подобное допущение неправильно*,
видно уже из того, что для поля любых постоянных магнитов (в от-
отсутствии токов) это выражение всегда равно нулю. Ибо тогда
rot Н = 0, что совместно с div В = 0 достаточно для того, чтобы а
интеграл C(RB)dv обратился в нуль.
Мы должны, следовательно, искать общее выражение для энергии
ъгагаитного поля U , но мы ограничимся при этом только такими

Магнитная энергия поля 151
телами, у которых изменение индукции однозначно дается изменением
силы поля. Рассмотрим сначала следующий элементарный случай:
пусть дан стержень, согнутый в колъцо_из какого угодно материала,
с поперечным сечением q и длиной I. На него равномерно намотан
провод с сопротивлением В так, что на каждый сантиметр прихо-
приходится п витков. Предположим, что в этом проводе гальваническая
батарея с электродвижущей силой Е поддерживает ток I. Тогда
за время dt эта батарея совершает работу A — El dt. Если за это
время dt индукция В изменяется на величину dB, то в силу закона
индукции Фарадея
"•--' — с л-
Магнитное поле Н в кольце определяется через одно только I:
~~~ с
Следовательно,
Но ql есть объем нашего стержня. Мы приходим таким образом
к выводу, что в выражение работы А входит не только Джоулево
тепло, но еще и некоторая работа, которая, рассчитанная на единицу
объема, дает — НсШ. Мы должны поэтому рассматривать последнюю
величину как изменение энергии нашего стержня. Этот результат
находится в соответствии с той величиной для скорости измене-
изменения —— НВ магнитной энергии, которую мы име^и в уравнении A27).
Только что разобранный наглядный пример представляет, впрочем,
частный случай того общего расчета, который привел к энергетиче-
энергетическому уравнению A27). Точнее говоря, здесь дело идет об изменении
свободной энергии, так как мы, — правда, совсем не упоминая об этом,—
предполагали, что наши процессы — изотермические (ср. значение на
стр. 237). Мы вернемся к этому в разделе D; для целей настоящего
раздела этим обстоятельством можно пренебречь.
Предположим теперь, что индукция В ~ известна как функция
от Н — например, посредством кривой намагничения, вид которой
показан на рис. 45 (см. ел. стр.). Тогда, согласно только что получен-
полученному результату, за плотность магнитной энергии надо принять
в
4тг J
н=о
что на рис. 45 соответствовало бы заштрихованной поверхности adbc.
Выбор нижней границы (Н = 0) представляется на первый взгляд

152
Электромагнитное поле
произвольным, но последующими рассмотрениями он будет вполне
обоснован. Таким образом для полной магнитной энергии поля мы по-
получим выражен А
A29)
Н=б
которое гласит, что для каждого отдельного элемента объема надо
принимать в расчет как кривую намагничения, так и конечное зна-
значение Н или В. ^
Вычислим из выражения A29)"*для Uu прежде всего взаимодействие
между токами и магнитами. Для этого рассмотрим самое общее изме-
изменение, которое может претерпевать U. Остановимся на определен-
определенном элементе объема^. При движении материи в этом эле-
элементе изменяются не только В и Н, но также и относящаяся к нему
кривая намагничения, так что, например,
заштрихованная на рис. 45 поверх-
поверхность аЪе переходит в соседнюю поверх-
поверхность a'Vc'y обозначенную пунктирным
контуром. Самое общее бесконечно малое
изменение jHdB составляется из двух
полос cbUc' и аЪЪ'а!. Мы имеем, следо-
следовательно,
н
Рис. 45. Кривые намагниче-
намагничения аЬ и a'V двух расположен-
расположенных рядом элементов объема.
5 Гн<Ш = Н8В— f
н=о
Первое слагаемое содержит действительное изменение В, второе обу-
обусловлено изменением кривой намагничения; 8ЯВ означает при этом
расстояние (dd' на7 рис. 45) между двумя кривыми намагничения,
взятое при постоянном Н. Таким образом мы получаем в сумме:
"* н
н=о
Для того чтобы не итти слишком далеко, положим, что рассма-
рассматриваемый участок кривой намагничения прямолинеен, и, следова-
следовательно, В имеет вид
M0. A30)
Остаточный магнетизм Мо и величина \ь' должны быть каким-
нибудь образом даны как функции материала и, значит, в виде функ-
функций координат, (Заметим только, что не представило бы затруднений
рассматривать и \i' как функцию от Н. Здесь мы этого делать не будем.)
Из A30) следует

Магнитная энергия поля 153
или
и
/(
Отсюда
dUu 1 Г дВ 1 Г V Г 9М0
—-— = — I Ц dv I J?2 dv — I —^—
dt 4 тс J dt 8% J dt J dt
Предположим, что скорость и движения отдельных материальных
элементов объема дана и притом весьма мала. Тогда мы должны ука-
указать, как вследствие этого в данном месте пространства будут ме-
меняться во времени величины р/ и Мо. В § 39 при вычислении сил
в электрическом поле мы допустили вещественное изменение диэлек-
диэлектрической постоянной s [уравнение A02)]. Будем здесь прене-
пренебрегать магнитострикцией в химически-однородных средах
и соответственно этому примем, что в изучаемой нами частице вели-
величина }i/ не изменяется. Согласно уравнению A02) это равносильна
следующему:
д\
Положим также, что остаточный магнетизм частиц при движении
не изменяется. Кроме того, чтобы не заходить слишком далеко, примем,
что те частицы, в которых Мо отлично от нуля, движутся как твердые
тела. Последнее допущение практически оправдывается почти всегда.
Тогда из постоянства Мо следует, что поток Мо через поверхность^
движущуюся вместе с материей, должен „быть постоянным. Отсюда,
по F9а) М0 = 0 или
~- = rot [uM0] — u div Mo.
dt
Подставляя полученные значения для -~—- и —~ в A30а), имеек
dU 1 Г . 1 Г Г
-^=— J НВЛ> + — J (ugradji')Ha<fo—J
Ни div Mo dv.
Первое и третье слагаемые с правой стороны нужно еще несколько
преобразовать. Интегрируя по всей системе и пользуясь F7), мы полу»
чям для третьего слагаемого
Г Н rot [uM0] dv = f [uM0] rot H dv = -Ц- f [uM0] i dv =
= — J u[iM0]dt;.

154 Электромагнитное поле
Чтобы вычислить в выражении для —^ первое слагаемое, вер*
жемся опять к уравнениям поля
С
_rotE = — В.
с —
Умножим первое из них на Ейг?, второе на Kdv, сложим и про-
проинтегрируем по всей системе. Тогда имеющийся слева интеграл по
поверхности от [ЕН] обращается в нуль. Остается
/1 Г •
Но в материи, движущейся со скоростью и,
В = -^ rot[uB],
так чта мы получаем
-у- I Н -к- dv = — I iE dv + —- I H re
4TC J at J 4тс j
Здесь по уравнениям F7) и A16а)
~f Riot [nb}dv= ~L Г [uB]rotHdt?= -^ f[xiB]idv =
Соединим теперь все вместе и обозначим еще через
4* = / iEdv A31)
^термически-химическую отдачу"; обоснование для этого обозначения
жы дадим несколько ниже. Тогда для изменения U^ во времени полу-
получается
ЗР = * + J dv (n, kJ,
A32)
где кт означает
К = ~ Л в — 4*мо1 — ^ Н2 ^ad ^ + Н dlv (— Mo). A32a)
Уравнение A32) полностью освещает вопрос относительно нахождения
магнитной энергии в квазистационарвом поле при любом движении

Магнитная энергия поля 155
цепей тока и магнитов друг относительно друга: прежде всего за
счет 11ш создается термически-химическая энергия ^ dt. В самом деле,
в силу
мы имеем
так что
f^d f m{e)d A32Ъ)
— f
составляется из необратимого Джоулева тепла — и работы —(iE(e)),
совершаемой против сторонних полей,—работы, которая проявляется
как теплота Пельтье или как повышение свободной энергии аккуму-
аккумуляторов или элементов, находящихся в цепи тока. Наряду с этим
потреблением энергии при движении материи появляется еще работа
С (и, km)dv, совершаемая полем за одну секунду.
Сила на единицу объема, представляемая A32а), составляется из
трех характерных выражений.
&) Прежде всего на элемент объема, по которому про-
проходит ток, действует сила
к = ~ [I №№>
с
где, согласно A30), ^'Н представляет индукцию, за вычетом остаточ-
остаточного магнетизма. Для элемента ds тока с сечением q и силой тока I,
и, следовательно,
К = — [<Zg, jj/H]... A33)
с
Если в месте провода остаточный магнетизм равен нулю, то сила,
приходящаяся на элемент ds проволоки, будет
R = — [<fe, В]. A34)
с
Вторая часть km вполне аналогична электростатической силе
- JL
В частности, действие этого члена сказывается на поверхности
раздела двух веществ с различными \i/, где он дает напра-
направленное наружу натяжение, приложенное к поверхности материала,
^намагничивающегося сильнее.

156 Электромагнитное поле
Наконец, третье слагаемое Н div (— Мо) удается формально интер-
интерпретировать путем введения „свободного магнетизма" рт = — divM0,
на который, по аналогии с электростатической силой Ер, действует
сила Hpw. В однородно поляризованном магнитном стержне р кон-
концентрируется на двух концевых плоскостях, соответственно скачку
нормальной составляющей Мо.
Максвелловы натяжения в магнитном поле. В § 42
мы видели, что полную силу, действующую в электростатическом поле
на некоторый объем, можнр представить в виде интеграла, взятого по
поверхности, ограничивающей этот объем. Покажем теперь, что наша
сила A32а) позволяет сделать вполне аналогичное преобразование7.
При этом мы получим тензор магнитного напряжения Тт, который
отличается от электрического тензора Те [уравнение A08)] только тей,
что всюду Е - нужно заменить на Н и е — на введенную в уравне-
уравнение A30) величину ji/. Мы утверждаем, следовательно, что A32а)
тождественно с^
A35)
Прежде всего правая часть этого уравнения при любых м/ и Н
тождественна с
JL H.diY0.'H)- J-H^-^'HrotHL, A35a)
в чем легко убедиться непосредственным вычислением. Но это выра-
выражение действительно полностью совпадает с A32а), если только при-
принять еще во внимание соотношения
4- тс
1
= 0 и
С
Мы можем теперь описание натяжений в электрическом поле, сде-
сделанное нами в § 42, дословно применить к магнитному полю: сила,
действующая на произвольно ограниченный объем, эквивалентна системе
поверхностных сил
При этом величина Тш равна
направление Тот определяется тем, что угол, образуемый внешней
нормалью п, делится силовой линией поля (направление^Н) пополам.
§ 54:. Единицы измерения электромагнитных величин. Чтобы
включить в абсолютную систему мер и электромагнитные единицы,

Единицы измерения электромагнитных величин 157
ми воспользуемся, согласно § 1, уравнениями, дающими связь между
электромагнитными единицами и единицами, установленными уже ра-
ранее. Самым естественным было бы воспользоваться для этой цели
выражением для плотности энергии электрического или магнитного
поля или (что мы сделаем для наглядности) выражениями, которые
получаются в особа простых случаях для электрических или для маг-
магнитных сил, — например, законами Кулона для силы, действующей между
двумя точечными электрическими зарядами или магнитными полюсами.
Эти соотношения удобны тем, что в них входят либо одни электри-
электрические величины,цлибо одни магнитные.
Законы Кулона при произвольно выбранных единицах будут
иметь вид
р /^ е^
е "
в г2 '
(fiv в2 — электрические заряды, mvm2 — магнитные массы).
Диэлектрическую постоянную в и магнитную^ проницаемость \i
будем считать здесь за отвлеченные числа, не имеющие размерности;
в пустоте их значение равно 1.
Множители пропорциональности h и Ъ по своей величине и раз-
размерности зависят от величины и размерности единиц, в которых
измеряются вит; если последними единицами можно распоряжаться
произвольно, то наиболее просто определить их так, чтобй h и к на
имели размернрсти и получили величину 1. Тогда единицами е и ж
будут такой электрический заряд и такая магнитная масса, которые
в пустоте (е = 1, ^ = 1) равную им массу, находящуюся на расстоянии
одного сантиметра, отталкивают с силой в одну дину. Тогда раз-
размерности обеих единиц будут
Основываясь на соотношениях, выведенных в предыдущих главах,
можно сразу же из единиц для е и т вывести единицы потенциала,
силы поля, смещения и т. д. Полученная^аким образом
система единиц называется Гауссовой системой. Ею;
мы и будем пользоваться ё этой книге.?%
Итак, считая в обоих заков^ЦЦ^улона множители пропорциональ-
пропорциональности величинами, не имеющими размерности, и полагая их равными
единице, можно: а) исходя из определенной таким образом единицы
электрического заряда, установить абсолютные единицы электриче-
электрических величин, б) исходя из единицы магнитной массы, установить
единицы магнитных величин.* Цока мы ограничиваемся электростати-
электростатикой и магнитостатикой, между этими двумя областями нет никакой
связи; электростатические и магнитостатические поля могут суще-
существовать одновременно в одном и том же месте пространства, не
оказывая при этом никакого влияния друг на друга. Но если перейти

15в Электромагнитное поле
к электродинамике, то Максвелловы уравнения образуют мост между
электрическими и магнитными величинами. Они будут
crotB = —
dt
или в интегральной форме:
-^f j*Bndf.
Действующие в Гауссовой системе мер связующие уравнения
отличаются тем, что в них е.и jx не имеют размерности; D и Е, а также
В и В одинаковы по размерности, а в пустоте и тождественны.
Итак, исходя из законов Кулона, мы в Гауссовой системе мер
распорядились единицами Е, Н, D и В;, множитель пропорциональ-
пропорциональности с (который, как показывает опыт, в обоих уравнениях один и
тот же).нельзя уже теперь выбирать произвольно; его нужно опре-
определять экспериментально. Так, нанример, если пропускать через согну-
согнутый кольцом провод ток J= Г (\ dfy то, измеряя магнитное поле,
создаваемое током Г, можно определить интеграл ф Kds силы маг-
магнитного поля цдоль кривой, охватывающей провод; из I и (рН dn
получаемся первое основное уравнение для с. Или, например, пусть
через поверхность^. ограниченную проводом, проходит магнитный
fOTOK J j&n df=$; если изменят*» этот поток, то в проводе инду-
цируе^ся электродвижущая; сила Ш|, величину которой можно
измерить, скажем, электростатическим вольтметром. Тогда получается
второе оЬнорвгов уравнение для^^Как уже выше упоминалось, в Гаус-
Гауссовой сщдееме ыер все величины Е, Н, Т) и В имеют одинаковую
размерность, а потому размерность с определяется тем дифференциро-
дифференцированием mf времени и по пространству "(rot), которое производится
в обоих основных уравнениях; отсюда сейчас же видно, что размер-
размерность с будет [LT"]; с называют „критической скоростью"; в сле-
следующих главах мы увидим, что с этой скоростью электромагнитные

Единицы измерения электромагнитных величин 159
действия распространяются в пустоте. Численное значение с полу-
получается из опытов только что описанного вида, а именно
с = 300 000 KMJcen = 3 • 1010 CMJeen.
Вместо того, чтобы исходить одновременно из законов Кулона и для
электрической силы и для магнитной силы, как это была сделано в Гаус-
Гауссовой системе мер, можно использовать зависимость между электри-
электрическими: и магнитными величинами, даваемую Максвелловыми урав-
уравнениями; можно установить сначала только электрические илн
только магнитные единицы, и притом именно так, как в системе-
Гаусса; но затем нужно определить другие величины, полагая для
этого постоянную Максвелловых уравнений, скажем, равной единица
и считая ее величиной, не имеющей размерности. Так называемая
электромагнитная система мер получается, например, сле-
следующим образом: в магнитном законе Кулона полагают множитель
пропорциональности Jc равным 1; тогда для величины магнит-
магнитной массы и для остальных магнитных величин получаются как раз
те же единицы, что и в Гауссовой системе мер. При этом электри-
электрические единицы определяются тем, что в Максвелловых уравнениях
множитель пропорциональности с полагают равным 1;ч если теперь
опять взять кольцеобразный провод, пронизываемый магнитным пото-
потоком, то в нем индуцируется электромагнитная единица электродви~
дФ
жущей сцлы, если п^и этом величина ^р равна 1. Если мы обо-
обозначим сдлу электрического поля в Гауссовой системе через Е, а
в электромагнитной системе эту же силу через Е', то, в виду того,
что правая (магнитная) сторона второго уравнения Максвелла в обеих
системах мер одинакова (Н = Н'), будет правильным уравнение
а, следовательно, также
Поэтому численное значение силы электрического поля, выражен-
выраженной в электромагнитных единицах,, в с раз больше, чем численно©
значение в Гауссовых единицах; следовательно, электромагнитная
единица в с раз меньше, чем Гауссова единица.
Если произведение силы поля на заряд должно давать в обеих
системах единиц одну и ту же силу, то в силу того, что численное
значение силы поля, выраженной в электромагнитных единицах, в <?
раз больше, чем численное значение той же силы, выраженной в Гауе*
совых единицах, чио^еШюе значение заряда в электромагнитной
системе единиц должно быть, наоборот,^ в с раз меньше;
Тогда из

160 Электромагнитное поле
следует, что также
Если в первое уравнение Максвелла, левая сторона которого оста-
осталась неизмененной, подставить D =,cD', то множитель с с обеих сто-
сторон сокращается, т. е. и здесь коэффициент пропорциональности ста-
становится равным единице. Мы видим отсюда, что при переходе к лю-
любой системе единиц коэффициенты в Максвелловых уравнениях всегда
остаются одинаковыми: правда, D видоизменяется противоположно
видоизменению Е; но D стоит в то ^же время с другой стороны урав-
уравнения.
Связь между D и Е, наоборот, изменяется; а именно D = sE
прц Е' = сЕ и D' = — переходит в
с
Часто говорят: —г- есть „диэлектрическая постоянная" г' в элек-
с
тромагнитной системе единиц (на этот раз уже величина, имеющая
размервюсть); тем самым формально спасена связь
конечно, физическое значение е' теперь не то, которое имело в. Если
исходить из электрического закона Кулона и определять затем маг-
магнитные единицы, полагая для этого Максвелловский множитель рав-
равным единице, то получается электростатическая система
единиц. Единицы электрических величин этой системы совпадают
с соответствующими единицами Гауссовой системы. Но эта система
поч^ги никогда не употребляется: если говорят об электрических еди-
единицах, измеренных электростатически, то подразумевают электриче-
электрическую часть Гауссовой системы ^единиц.
Для практического "применения большинство единиц упомянутых
систем являются весьма неудобными, так как получающиеся для них
численные значения или слишком велики "или слишком малы. Пере-
Перемножая их на подходящие численные множители, получают техни-
техническую систему единиц. Важность этой* системы заключается в том,
что почти все литературные численные данные, а также шкалы боль-
большинства измерительных приборов отнесены к ее единицам; чтобы
не: производить пересчета для каждого отдельного случая, целесооб-
целесообразно сразу же пользоваться формулами, ой^сенными к технической
системе единиц. - •
Техническая система единиц получается из Гауссовой
системы тем, что
1) вместо эрга за единицу электрической работы принимают
1 джоуль = 1О7 эрг;
2) Гауссова единица напряжения уменьшается в 300 раз; полу-
полученную единицу называют вольтом.

Единицы измерения электромагнитных величин 161
Если мы обозначим технические численные значения индексом „звез-
„звездочка", то тогда
Е=таг Е*-
Так же, как и единица работы, техническая единица силы в 107 раз
больще:
Р = р*.1О7;
тем самым из Р = ёЕ получается 107Р* = -——- • Е* • е. Далее, если мы
хотим, чтобы было справедливо равенство Р* = е*Е*, то должно быть
е = 3 • 109е*;
это значит, что техническая единица заряДа в 3 • 109 раз больше Гаус-
с
совой единицы или в ———— = 10 раз меньше, чем электромагнитная.
Она называется кулоном; единица тока (кулон в секунду) назы-
называется ампером. Она связана с Гауссовой единицей тока уравнением
1=3-1091*.
Так как в магнитной части Гауссовой системы единиц ничто не
изменяется, Н и В не изменяются; единицу Н называют эрстедом,
единицу В — гауссом; единица магнитного потока A гаусс, см2) назы-
называется максвеллом.
Напишем теперь уравнения Максвелла для технических единиц и
притом в наиболее употребительном, а именно в интегральном виде.
Закон индукции
Л д Г Г дФ
будет
3.1010. *
300 ^~ ~ dt '
значит,
дФ*
dt '
Индуцированное напряжение в вольтах равно ско-
максвелл
рости изменения потока индукции в .
сек
Напишем первое основное уравнение для квазистационарных токов
(пренебрегая при этом током смещения):
с (fc H ds = 4т;
Абрагам-Беккер. — Теория эдектр.

162 Электромагнитное поле
где I—полный ток, проходящий вдоль по контуру. Отсюда, полагая
/= 3 • 1092*, получаем
или
3 • 101° & H*ds = 4* - 3 • 1091*
& Н* Л = 0,4x2*.
Интеграл по контуру вокруг тока от силы магнит-
магнитного поля равен 0,4тс от делинины тока, охватываемого
контуром, в амперах.
Определим еще технические единицы сопротивления, коэффициента
самоиндукции и емкости
Если положить в законе Ома Е = Е* и 1=3-109!*, тд
О\)\)
зоо
Следовательно,
Техническая едщрща сопротивления в 9 • 1011 раз меньше Гауссо-
Гауссовой единицы; она называется омом.
Коэффицдент самоиндукции L и емкость С определяются при помощи
-г dl
dE _ 1
Эти уравнения в отношении размерности построены совершенно
аналогично вакону Ома, так что сейчас же можно написать
Техническая единица коэффициента самоиндукции называется г е й р и;
техническая единица емкости называется фарадой.
Наконец, найдем связь между D и В в технической системе
единиц. Из
Е = —!^Е*, е = 3.109е* и Г f Вл*й/*==
ел едуе»
^*. в = 3.10*0*;

Закон энергии для системы линейных токов 163
значит,
Естественно, что такое определение технической системы
единиц для практика дает так же мало, как, например, указание,
что 1 м равен одной сорокамиллионной части земного меридиану.
Систему единиц нужно укрепить путем точного определения некоторых
легко воспроизводимых величин. Так, в результате интернациональ-
интернационального соглашения установлены единицы сопротивления и электрического
тока. Так называемы* „международный ом" есть сопротивление ртут-
ртутного столба с поперечным сечением в 1 мм2 ж длиной 106,3 см при 0°;
„международный ампер" есть ток, который в течение секунды выде-
выделяет 1,118 мг серебра. ^Международный вольт" дрогоняет по провод-
проводнику с сопротивлением в 1 ом ток в 1 ампер.
Эти раз установленные числа из соображений целесообразности
остаются неизменными, так же как например, осталась неизменной
единица длины, хотя она и не совпадает точно с ^ооооооо частью
земного меридиана. Согласно более новым измерениям, значение между-
международной единицы тока является довольно точным; международная
единица сопротивления больше теоретической примерно на х\ч про-
милля. Пока не делается особых оговорок, все литературные данные,
а равно градуировка всех измерительных ийбтрументов относятся
к международным единицам.
III. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ ТОКОВ.
§ 55. Закон энергии для системы линейных токов. Положения,
которые должны быть развиты в этой главе, большею частью уже
содержатся в общих теоремах § 53 относительно энергии магнитного
поля. В виду большого практического значения тех особых систем/
которые мы должны здесь рассмотреть, мы разовьем их теорию совер-
совершенно самостоятельно и независимо от указанных более общих сообра-
соображений.
Рассмотрим некоторое число проводников с токами; пусть они
различаются индексами 1, 2, ..., h, ..., п. Пусть Iv J2, ..., In— токи,
проходящие по этим цепям, JRV В2, ... , Еп — их омические сопроти-
сопротивления, Е^е\ E2ie\ ..., Eje)—действующие в них сторонние электро-
электродвижущие сиды (аккумуляторы, термоэлементы, сеть переменного
тока и т. п.). Постоянных магнитов пусть в по/е не будет. Пусть
далее индукция В всюду будет пропорциональна силе поля Н:
Проницаемость ^ может быть произвольной функцией координат, но не
должна уже зависеть от Н. Тем самым мы вообще исключаем магнитно-
твердые ферромагнетики. Если в поле имеютеа. мягкие ферромагнитные
вещества, то их намагничение должно находиться на прямолинейной
11*

164 ч Электромагнитное поле
начальной части кривой (рис. 43а). При таких обстоятельствах магнит-
магнитная энергия»поля Uu дается выражением
В сшгу того, что поле В не имеет источников, можно введением век-
векторного потенциала заменить индукцию В на rot А, в результате чего
получается:
Но rotН = i. При интегрировании по всей системе происхо-
с
дящий от div интегралг по поверхности обращается в нуль, так что
получаем
^J A36)
Если I означает силу линейного тока, q — его сечение, ds—линейный
элемент проводника, то
Так как во всех местах провода, по которому течет ток, I имеет
одинаковое значение, то энергия поля системы п цепей тока будет
^ = ^2 1*§(АЛ). A36а)
\
Интеграл по контуру fc-ro контура тока по теореме Стокса будет
& (A <Ze) = Г (bndf= Фй, A36Ь)
где ФЛ означает опять поток индукции, охватываемый
& контуром тока.
Тем самым для энергии поля получаем окончательное выражение
**»- A37)
Умножая силу тока Ifcfc-rо контура н^апо^ок индук-
индукции, охватываемый этим контуром, и\ суммируя по
всем п цепям, получаем произведение 2с на магнитную
энергию поля.
Наряду с энергетическим уравнением A37), в качестве второго
фундаментального положения возьмем закон индукции Фарадея, кото-
который для &-того контура будет даваться выражением:

Закон энергии для системы линейных токов 165
Для наших энергетических соображений нам понадобится понятие
термически-химической отдачи W [ср. A321?)].
Последняя определяется как
*Р, следовательно, есть разность м^жду Джоулевым теплом 1к2Ею выде-
выделяемым за секунду, и мощностью сторонней щлы 1кЕке\ Если, напри-
например, 1кЕке) отрицательна, то это 8начит, что к соответствующему
аккумулятору или элементу подводится энергия. Аккумулятор тогда,
например, заряжается и за секунду накапливает в форме свободной
химической энергии энергию — 1кШ{е). W, значит, во всяком случае
представляет энергию, которая получается за секунду в виде теплоты
или химической энергии.
Предположим далее, что отдельные контуры или их части движутся
друг - относительно друга. v Положение движущихся \ частей в данный
момент пусть характеризуется известными параметрами av a2, **rr",as.
Так, например, если участок провода передвигается параллельно оси х,
то а^ может быть просто координатой х определенной точки этого
участка. Определим силу Кг, соответствующую параметру аг, следую-
следующим образом: если параметр аг изменяется на величину dar, то при
этом в соответствующем участке провода затрачивается работа Krdar.
Если, например, аг есть длпна, то Кг есть сила в обычном смысле
слова. Если, наоборот, аг есть угол, то Кг становится вращающим
моментом. Пусть движение нашей системы проводов описывается тем,
что а1э а2, ..., а8 заданы как функции времени. Так как Мы все силы,
кроме сил, создаваемых самим полем, исключаем из рассмотрения,
то ежесекундная работа, совершаемая полем при таком движении,
будет
г=1
Следовательно, А представляет количество энергии, которое ежесекундно
приобретается нами в виде механической работы.
Энергия видов, отличных от тех, которые даются уравнениями
A37), A38)у A39), не должна входить в рассмотрение. Тогда^ принцип
сохранения энергии для замкнутой системы будет
^ 0. A40)
* Мощность термически-химического или механического вида может
происходить только за счет энергии поля Um.
Состояние нашей системы во всякий момент однозначно опреде-
определяется значениями Iv J2, ..., In сил тока и параметрами аи а2, ..., ав,
характеризующими положение в пространстве. Мы будем поэтому рас-

166 Электромагнитное поле
сматривать энергию Uu и потоки индукции Фк как функции этих л-J-s
величин
Ф4 = ФЛA1Э ...,1п,а^ ..., а8) (й = 1, 2, ..., п)
•jjr- означает в дальнейшем дифференцирование по Iv причем все
остальные Ги величины а19 ..., а8 при дифференцировании по 1Х
остаются постоянными.
Рассмотрим прежде всего процессы без получения меха-
механической работы. Это значит, что параметры alf а2, ..., as не
изменяются. Кроме того, мы можем ограничиться случаем, когда меняется
только ток 1Х, а все остальные величины J2, ..., In, av ..., а8
остаются постоянными. Тогда, согласно A37),
мы f _ 1 A , 1 vT»(
dt
й согласно A38)
9Ф*
Так как теперь А равняется нулю, то уравнение A40) с данными
dU
дФк 3U
значениями—rr- и W дает
at
Этот результат дает возможность сделать важное преобразование выра-
выражения для изменения анергии во временя в случае процессов,
соединенных с получением работы, т. е. уже при любых
изменениях 1Л и аг. Тогда прежде всего
_ . dlk " ' ? 9ar
а потому по A41а)
dUa
ft=l
С другой стороны, как следует непосредственно, из A37), во всех
случаях
dt

Закон энергии для системы линейных токов 167
Вычитание двух последних уравнений друг из друга приводит к
dUr 1
нъ
dt в ^ k dt *J dar dt '
Подставляя последнее выражение, а также значение W из A38) в урав-
уравнение энергии A40), подучим ежесекундно приобретаемую работу Л
Согласно A39), тем самым определены обобщенные силы Кг, относя-
относящиеся б параметрам аг:
*~лГ (Шс)
Итак, если магнитная энергия Uu известна, со-
согласно A41), как функция сил тока I и координат поло-
положения а, то частная производная по Ik дает коток
индукции A41а), охватываемый ft-ым проводником,
а частная производная по аг — силу A41с), соответствую-
щую координате аг.
Особого внимания заслуживает ^ уравнении A41с) знак. Именно,
если в обычной механике потенциальная энергия дается как функция
координат положения, то, как известно, сжлы получаются частным
дифференцированием отрицательной энергии (или отрицательного
потенциала) по соответствующей координате. Согласно A41с), отрица-
отрицательная магнитная энергия играет, следовательно, роль потенциала.
В то время как в механике силы действуют в таком направлении, что
при этом потенциальная энергия уменьшается („производство работы
за счет потенциальной энергии"), наши электродинамические силы
показывают обратное поведение: они действуют в таком направлении,
чта при этом магнитная энергия поля возрастает. Особенно ясным это
поведение становится тогда, когда при движении силы тока держатся
постоянными, — например, путем соответствующих изменений сторонних
«сил (включение или выключение аккумуляторов). Тогда ——^ = 0 для
dt
всех &, и мы получаем из A39), A41Ь), A41с) просто
(тг) =*¦ о«м)
\ /1 = const
В этом случае энергия поля увеличивается, значит, как раз на
величину совершенной работы. Если имеются провода, по
которым текут токи, и силы последних поддержи-
поддерживаются постоянными, а сами провода движутся друг
относительно друга, так что при этом совершается

168 Электромагнитное поле
работав, то энергия поля увеличивается на величину,
равную А. Ежесекундно приобретаемая энергия вели-
величины 2А уравновешивается мощностью сторонних сил,
с помощью которых достигается постоянство сил тока.
В самом деле, согласно A40):
2А = — У.
А по A38):
г=1
1кЕ^ есть мощность сторонних сил в jfe-ом контуре тока. Значит —W
есть действительно разность между мощностью сторонних сил и Джоу-
левым теплом.
Из формулы A37) для Uu следует, учитывая направление механи-
механических сил, что всякий провод, по которому течет ток, стремится охва-
охватить возможно больший поток аддукции. Количественное значение силы
мы уже вывели раньше [уравнение A34)]. Позднее мы вернемся еще
в этому после обсуждения уравнения A41а).
§ 56. Самоиндукция и взаимная индукция. Рассмотрим далее
энергию
системы проводов, по которым идут токи, при условиях предыдущего
параграфа, и остановимся подробнее на потоке индукции
который пронизывает первый контур. В нашей системе вектор В в любом
месте однозначно определяется токами Iv ..., In в отдельных про-
проводах. Раз мы предполагаем, что ja не зависит от Н, то ясно, что
отдельные токи прибавляют к вектору В части, пропорциональные
соответствующим силам тока. Соответственно этому можно и поток
индукции Фх подразделить на части, создаваемые отдельными токами
11912, ... Выразим это в виде формулы
уФ^АЛ + ХхЛ+.^+^Л- (И2)
Значение введенных таким образом величин Lik состоит в том, что
с • Llh представляет собой тот поток индушщи, который пронизывает
контур тока 16 1, когда в цепи тока Nk течет tWj^ = 1, а все осталь-
остальные токи равны нулю. Очевидно,что Llh зависит только от взаим-
взаимного расположения двух контуров тока 1 и 1с,
La называют коэффициентом взаимной индукции двух
контуров г и h, если гrfz.k. Lk1c называется коэффициентом
самоиндукции Jc-vo контура.

Самоиндукция и взаимная индукция 169
Для каждого из п контуров мы можем образовать выражение, соот-
соответствующее уравнению A42), так что в общем
Подставляя A42а) в выражение для энергии, получим
ад2*- A-42Ь>
Энергия поля есть однородная квадратичная форма отно-
относительно сил тока. Это мы могли бы вывести уже из второго
уравнения A41а)
-ф1 =
с 1
В самом деле, оттуда прямо следует
* 91t
Но по известной теореме Эйлера это уравнение выражает собой как
раз то, что Uu зависит от Iv T2, ..., 1п однородно квадратично. Но
A42а) позволяет еще, кроме того, сделать очень важное заключение
относительно симметрии коэффициентов взаимной индукции. А именно,,
согласно A42а),
следовательно, согласно A41а), также
Но отсюда следует, что всегда справедливо соотношение симметрии
Lik = Lu. A42c).
С помощью этого результата преобразуем теперь выражение для
силы
Al~ дах *
даваемое уравнением A41Ь), для случая, когда координата ах относится
к первому контуру, и когда, следовательно, при изменении ах все про-
провода, за исключением первого, остаются в покое. Тогда от аг будут

170 Электромагнитное поле
зависеть только те LiJc, у которых или i = l или &=1. Таким образом
из A42Ь) мы получаем прежде всего
1 у dLn
Если во втором слагаемом заменить индекс i на %, то соотношение
симметрии A42с) дает
а, следовательно, по A42)
'«-т1^ <143>
Сила „в направлении" координаты ах только мно-
множителем —L отличается от приращения, которое по-
с
лучит поток индукции Фх при движении в направле-
направлении аи если при этом все силы тока будут поддержи-
поддерживаться постоянными. Поясним этот результат на двух простых
примерах:
а) Сила, действующая на элемент ds проводника, по которому
течет ток. Положим, что элемент проводника ds может с помощью,
например, скользящих контактов свободно двигаться в направлении г.
При передвижении ds на единичный вектор г0, ds описывает поверх-
поверхность [rods]. Сквозь эту поверхности проходит поток индукции
На эту величину увеличивается поток Фг Для составляющей по г
15илы, действующей на элемент ds, уравнение A43) дает
и, следовательно, для самой «силы выражение
K = i[dsB], A43а)
о
совпадающее с A34).
Ь) Вращательный момент, который действует на плоский кон-
контур в однородном поле. Если f есть плоскость,Тиграниченная контуром
тока, а — угол между однородным полем Во и нормалью к плоскости,
то Фо = f • | Во | • cos а есть часть индукции, зависящая от Во. Согласно
уравнению A43), контур испытывает относительно оси, перпендику-
перпендикулярной к полю, вращательный момент в направлении равный а,
а с да

Вычисление коэффициентов индукции 171
При отсутствии магнитных веществ Во тождественно с Но. Тогда Da
совпадает с вращательным моментом, который действовал бы на маг-
нитную стрелку момента т = —— . Этого результата нужно было ожи-
с
дать на основании эквивалентности токов и магнитных листков (ср. § 48).
§ 57. Вычисление коэффициентов индукции для некоторых част-
частных случаев. В§55и56мы считали, что \i произвольно меняется
от места к месту. Если теперь область, заполненная магнитным полем,
всюду обладает одинаковой пройицаемостью, то мы можем указать
общую формулу для коэффициента взаимной индукции i12 двух конту-
контуров 1 и 2. ?12^2 определяется как разделенный на с поток индукции,
который посылается током 13, идущим во втором контуре, через первый
контур. Если обозначить через dgj линейный элемент первого контура
и соответственно через ds9 — элемент второго контура, то, согласно
A36Ь),
где А означает векторный потенциал, создаваемый током 2 в месте dsx-
Но для него мы уже раньше нашли [ср., например, A18а)] значение
А =
так что мы получаем
Для вычисления коэффициента взаимной индукции надо каждый
линейный элемент одного контура скалярно перемножить с каждым
элементом другого контура, произведение разделить на расстояние
между обоими элементами и просуммировать ло обоим контурам.
Условие симметрии i12 = ?2i> очевидно, соблюдено.
Для примера рассмотрим практически важный случай двух
параллельных, коаксиальных круговых токов.
Пусть аг и а2 — радиусы окружностей и s — их расстояние по
нормали к их плоскостям. Для вычисления выберем два линейных
элемента dst и ds2, которые повернуты друг относительно друга на
угол ft. Их взаимное расстояние будет
1 + ^ — 2аЛ cos & 1
их скалярное произведение равняется
(dsx ds2) = dsx ds2 cos &.
Если произвести интегрирование A44) сначала но второму кон-
конd db
туру, то, в силу ds2 = a^db, имеем
2
, Г cos bus* ¦, Г
ds1Q) 2-*=*dsx I
J ri2 J

172 Электромагнитное поле-
Интегрирование по первому контуру дает просто i dsx = 2rcav так что
мы получаем
°2 J "K^2 + «i2 + «22— 2аха2 cos& #
о
Чтобы привести этот интеграл к эллиптическим интегралам, дл&
существует таблица, положим
Тогда
cos & = — cos 2cp = 2 sin2 cp — 1
г19 = V ^2 + ах2 + а22 — 4а!а2 sin2 cp -f 2аха2 ==
= У^ + С^ + Оа)8 Vl— fc2sin2<p.
Таким образом получаем:
1С
Т
г 4тгйа _/- Г 2 sin2 о — 1 ,
12 с2 V x *J yi-№sin*9 Y
0
В силу тождества»
2sin29—1 1 f 2 —ib2 _ _. 7я . . 1
l — ft2sin2? &2 Wl — &2sin2<p J
получается, следовательно,
В уравнении A45)
1С 1С
*? *
J Vi_^sin2? J -r-^— x
о о
представляют собой полные эллиптические интегралы первого и вто-
второго вида, значения которых при данном h можно взять из таблиц.
Определим еще приближенное значение A45) для случая, когда
самое малое расстояние Ъ между окружностями мало
по сравнению с их диаметром. Мы полагаем, следовательно,
К — а%

Вычисление коэффициентов индущии 173
Тогда к становится весьма близким к 1, и мы получаем для Е при-
?
ближенное значение J coscpd? = l. К, наоборот, ори & = 1 стало бы
о
бесконечным. Чтобы вычислить его для &да1, заменим прежде всего <?
на ——ср и разложим К на два слагаемых:
¦ J /l—k*cos*f J Vl—Pcos9'
О
J Pcos9?
О ?о
где ф0 выберем так, что
Тогда в первом приближении в первом слагаемом можно заменить cos9 <p
первыми членами его разложения 1 — <р2* Во втором слагаемом можно,
наоборот, просто заменить к2 на 1; тогда получим
Положим еще
fa-^ + ifM' A45е)
где Ь означает кратчайшее расстояние окружностей, а 2а — их (почти
совпадающий) диаметр. В первом интеграле остающийся еще при <р2
множитель к2 можно также положить равным единице. Тогда элемен-
элементарное интегрирование дает
В силу к'2 <С[ ?о2 и <р0 <^ 1> отсюда получается
тг 1 ^9о 1 ?о ! 4: , 8а
^ig^igfigig
Если мы положим еще в A45) к также равным едтгице, то коэффи-
коэффициент взаимной индукции двух коаксиальных окружностей с почти
одинаковым радиусом а, с наикратчайшим расстоянием 6, малым по
сравнению с а, получается равным
** „ (,„ 8« л (U5d)

174 Электромагнитное поле
Применим этот результат к вычислению самоиндукции круго-
кругового провода с радиусом сечения г и радиусом
круга В, предполагая при этом г<^В, При этом проводник
нельзя уже считать линейным, так как тогда магнитная энергия поля
при конечном токе стала бы бесконечно большой. Мы будем поэтому
исходить ив более общего уравнения A42Ь), которое для случая одного
контура в поле будет иметь вид
Разделим • o6iacTb интегрирования на две, Первая, внешняя область
пусть включает в себя все пространства за исключением провода;
пусть она обозначается индексом а. Вторая, внутренняя область (индекс г)
соответствует пространству, заполненному самим проводом. В этих
двух областях проницаемости (\*<а и ^) могут быть различны. Соот-
Соответственно этому представим также и
в виде суммы внешней и внутренней самоиндукции.
Наше предположение г <^ В позволит пользоваться следующим прибли-
приближенным способом: во внешней области мы будем производить вычисле-
вычисление так, как если бы ток I концентрировался на оси провода, внутри
провода мы предполагаем поле таким, каким оно было бы в прямо-
прямолинейном бесконечно длинном проводе.
Для вычисления La по формуле A46) заменим действие тока I
действием магнитного двойного слоя, ограниченного этим током; маг-
магнитный потенциал ymi создаваемый этим слоем, претерпевает при про-
4тс
хождении через слой скачок, равный 1. Теорема Гаусса дает
с
в этом случае
— I I Hndf есть разделенный на с поток индукции, посылаемый
линейным круговым током I раднуса В через поверхность круга
радиуса В—V. Следовательно,
где Ъа совпадает с величиной i12, даваемой A45d), если заменить
в ней а на В и Ъ на г:
^{Mj (Ша)

Вычисление коэффициентов индукции
Внутри провода на расстоянии у от оси поле дается формулой
А, следовательно, энергия, приходящаяся на единицу длины, будет
Умножая на длину провода 2тсД получим отсюда согласно уравне-
уравнению A46), — ?412, и тем v самым
2
Ц = ^В. A46Ь>
Таким образом, весь коэффициент самоиндукции нашего кольцевого
провода будет
^{А (^)} A46с>
В частности при немагнитном материале (р4 = \ia == 1)
A46d>
Рассмотрим следующий численный пример: В = 5 см; г = 0,5 мм.
Я 7?
Тогда In = In 800 = 6,68; следовательно,
? {02
Если бы провод был сделан ез ферромагнитного материала и окружен
воздухом, то |^ да 500, ^=1. В этом случае Ьг"^>Ьа; энергия поля
концентрировалась бы главным образом внутри провода. Напротив,
при немагнитном материале (^ = \>>а = 1) внутри провода находится
только 5% энергии.
Вышеуказанное подразделение L на Lt и La имеет физическое
значенпе, когда мы имеем дело с высокочастотными колебаниями.
В этом случае плотность тока распределяется по сечению провода
неравномерно, как это мы выше предполагали при вычислении Ъ{*
Рассматриваемый в § 66 скин-эффект приводит к тому, что ток про-
проходит главным образом по поверхности провода, и что точно так же
.и поле стягивается в тонкий поверхностный слой. Следствием этога
является уменьшение Lt. Что касается La, то оно этим явлением
почти не изменяется. Поэтому для достаточно быстрых колебаний Lt
становится равно нулю, и L = La.
Значительно проще вычисление L для длинной катушки,
согнутой в кольцо, при диаметре кольца Л и жоперечном сечении

176 Электромагнитное поле
катушки q. Пусть п — полное число витков, и jx — проницаемость сер-
сердечника катушки. Тогда внутри катушки
2пАН = — nl;
следовательно,
Умножение на объем q2nA пространства, заполненного полем, дает
следовательно,
9.ЧМ&П Г P.M. I
A460
Если в формулах A45) и A46) мы хотим выразить L
в генри, то нужно численное значение, получаемое из
этих форму л, умножить на 9- 1011.
Соответственно этому из формул § 26 получаются значения емко-
емкости в фарадах, если разделить результат на 9 • 10п.
§ 58. Цепь тока с сопротивлением и самоиндукцией. Рассмотрим
опять некоторое число замкнутых проводников с омическими сопроти-
сопротивлениями ВкУ сторонними электродвижущими силами Еке) и потоками
индукции Фк. Тогда изменейие сил тока во времени дается общим
выражением
и и к ~o~~dT9
Если соблюдены особые условия § 55, т. е. если проницаемость р.
всюду является характерной для данного вещества
константой, независящей от Н, то Фк есть линейная
функция сил тока, а потому, согласно A42),
Кроме того, в случае покоящихся контуров коэффициенты
индукции Lkr являются постоянными. Тогда закон индукции дает
=1, 2 ») A47)

Цепь шока с сопротивлением и самоиндукцией 177
или в более распространенном виде:
Имеем п уравнений относительно п производных—^-. Следовательно,
(XX
если даны значения /Л и Еке) для момента времени t, то при помощи
A47) определяются значения 1к для момента t-\~dt. Значит, A47)
определяет весь ход во времени, если только сторонние силы Екв)
известны как функции времени.
Рассмотрим ближе зависимость тока от времени для некоторых
случаев.
Цепь одного тока при отсутствии сторонней силы.
Тогда мы имеем только одйо уравнение с Ек(е) = 0:
общее решение которого будет
1 = 10е-*; » = А. A48)
Ток, существующий в момент времени нуль, падает экспоненциально
таким образом, что по прошествии времени & = — он уменьшается
в е раз.
Цепь тока с периодической сторонней силой J^e) =
= Ео cos Ы (Ео — амплитуда, ш — круговая частота приложенного
переменного напряжения). Тогда
Ш + L -77- = EQ cos Ы. A48а)
(XX
Частное решение этого неоднородного уравнения мы найдем, положив
I = Iocos(a>tf — <p). A48b)
Тем самым A48а) переходит в
cos cot {Io [R cos v~\-(x>L sin ©] — Eo } -f- sin co^ Jo {E sin ® — mL cos о } = 0.
Это уравнение должно выполняться в любой момент. Поэтому мно-
множители при oosmt и sin<»? должны равняться нулю. Отсюда для 10 и <р
получаем два уравнения, решение которых дает:
*L4 = EQ и tgcp = -^-. A48е)
12 Абрагам-Беккер. — Теория эпектр.

178
Электромагнитное поле
Y B*-\-<u2L2 называется кажущимся сопротивлением, ср — разностью
фаз в нашей цепи.
§ 59. Векторная диаграмма. Вычисление величин переменного
тока становится короче и нагляднее, если пользоваться комплексными
выражениями и графическим представлением. Мы иллюстрируем это
на только что рассмотренном простом примере.
Векторная диаграмма. Представим величины переменного
тока в виде векторов в комплексной плоскости. Так, например, перемен-
пое напряжение Е° еш представляется вектором, длина которого Е°,
и который образует с действительной осью угол Ы. Конечная точка
этого вектора в течение периода описывает вокруг нулевой точки
окружность. Проекция этого вектора О А на действительную ось в ка-
каждый момент дает вещественное значение напряжения.
в
А дейстВит.
Рис. 46. Комплексное изо-
изображение переменного тока.
Рис. 47. Векторная диаграмма
для цепи тока с сопротивле-
сопротивлением Е и самоиндукцией L.
Для вычислений с такими комплексными векторами действуют сле-
следующие правила: сложить две величины Aeia и Ве^ значит найти
геометрическую сумму соответствующих векторов (параллелограм^.
Умножить величину Aeia на Ве^ значит повернуть в положительном
направлении (т. е. против часовой стрелки) первую величину на угол C
и умножить ее длину на В, Умножение на мнимую единицу г = е 2
означает положительный поворот на 90°.
Дифференцирование по t при процессах с циклической частотой ш
равнозначно умножению на an, так что наше уравнение переменного
тока
переходит в простое векторное уравнение
которое связывает комплексные векторы I и Е следующим образом:
пусть для произвольного значения 1 (рис. 47) О А равняется Ш. Тогда
вектор i&LI перпендикулярен к вектору В1 (отрезок 0->.В). Из обоих
векторов геометрическим сложением получается Е—О-+С. Если пред-
представить себе всю фигуру вращающейся как неизменное целое вокруг

Векторная диаграмма . 179
нулевой точки с циклической частотой со, то проекции О -> А и 0->С
на вещественную ось (или также на мнимую ось) в каждый момент
времени дают значения тока и напряжения. Уравнения A48с) для
кажущегося сопротивления и разности чфаз можно непосредственно
получить из рис. 47.
Мощность сторонних э. д. с. в каждый момент будет
EI = E°I° cos Ы cos (art -f <p) = i E°I° [cos cp -f cos Ba>? -f <p)].
Средняя мощность за один период будет, следовательно,
т. е. равна половине скалярного произведения векторов Е ж I.
Совершенно равнозначное выражение для средней мощности полу-
получается непосредственно из положенного в основу вещественного диффе-
дифференциального уравнения
(it
а именно
При процессах, периодических во времени (например, переменный
ток), последнее слагаемое в среднем равно нулю, так что
Средняя мощность переменного тока тождественно равна выделяемому
Джоулеву теплу.
Эта теорема справедлива, впрочем, также в случае гораздо более
общего уравнения A47). Именно, если каждое из уравнений A47)
помножить на Ik и все их сложить, то в силу Lkr = Lrk для процессов,
периодических во времени, получится
c~~ 2j
EA(e)J
k = l
Если умножить уравнение A48а) не на I, а на --т-, то при обра-
(it
вовании среднего значения во времени получают
следовательно, деля на a>,
12*

180
Электромагнитное поле
Но здесь справа стоит амплитуда магнитной энергии поля, умноженная
на ш. В электротехнике переменного тока называют величину
эффективной мощностью; величину
JL f^J^L — JL
ш dt ~ 2
наоборот, безваттной мощностью.
§ 60. Два контура (трансформатор). Два контура,
из которых действует периодическая Ек (трансформатор). В
чае A42) будет иметь вид
Два контура, в одном
этом слу-
dlo
dlt
Эту систему при переменном напряжении J^e) —Е°еш можно решить
аналогично только что разобранному случаю, полагая для этого
и 12 = 12
Мы ограничимся непосредственным
рассмотрением вопроса для случая идеаль-
идеального трансформатора с чнсто омической
нагрузкой. Он характеризуется исчезающе
малым сопротивлением в первичной об-
обмотке (i?1<^o>L11) и идеальной связью
между первичной и вторичной цепями.
Последнее имеет место тогда, когда все линии индукции, пронизываю-
пронизывающие один контур, проходят также и через другой. Это достигается
с достаточным приближением тем, что обе цепи наматываются на один
и тот же замкнутый железный сердечник, в котором тогда сосредото-
сосредоточиваются почти все линии индукции. Если обозначить через Ф поток
индукции в этом железном сердечнике, через пх и п2 — число витков
первичной и вторичной обм,отки, то Ф • пг и, соответственно, Ф • ю2! суть
потоки индукции, пронизывающие наши обе обмотки. При Вг = 0 имеем,
следовательно,
Рие. 48. Схема трансформатора-
Отсюда следует прежде всего выражение

Цепь тока с самоиндг/кцией, емкостью и сопротивлением 181
для действующего во вторичной обмотке напряжения. Но из первого
уравнения сразу же видно, что поток индукции Ф определяется только
первичным напряжением Е{е) (не вависит от нагрузки):
• 1 jt^
С другой стороны, сила магнитного поля, а потому и поток в железном
сердечнике в каждый момент пропорциональны сумме nlIx-\-nJ.<i.
nlll + n2l2 = ЙФ,
где ife есть некоторая вещественная постоянная трансформатора. Отсюда
получается векторная диаграмма идеального трансформатора, изобра-
изображенная на рис. 49: вектор Е первичного напряжения, запаздывающий
Рис. 49. Векторная
диаграмма идеально-
идеального трансформатора.
^. 50. Цепь тока с сопро-
сопротивлением, самоиндукцией
и емкостью.
на 90° вектор #Ф и запаздывающий относительно последнего вектора
еще на 90° вектор %Z2. Тогда вектор n1l1 первичного тока получается
как геометрическая разность йФ — щ1%. При уменьшающемся i?2 (расту-
(растущая нагрузка трансформатора) n1l1 поворачивается из направления &Ф
в положительном направлении, при соответствующем возрастании эффек-
эффективной мощности в первой цепи. Безваттная мощность последнего, на-
наоборот, не зависит от В2.
§ 61. Цепь тока с самоиндукцией, емкостью и сопротивлением.
Pas в цепь тока включен конденсатор, у тока появляются источники,
так как обкладки конденсатора представляют собой: одна — источник,
другая ^-сюк линий тока. Поэтому при вычислении магнитного поля
принципиально нужно было бы наряду с током проводимости i вводить
в рассмотрение также ток смещения —-D. Однако, пока расстояние
между пластинками конденсатора мало, можно пренебречь влиянием
тока смещения на магнитную энергию поля по сравнению с влиянием,
оказываемым током проводимости. Как мы увидим дальше, следствием
. такого пренебрежения при применении закона индукции является не-
некоторая,—правда практически маловажна,—сомнительность результата.
Рассмотрим (рне. 50) последовательное включение омического сопроти-
сопротивления В, емкости С и самоиндукции L при действии переменного

182 Элептрдмагнитное поле
напряжения Е, которое пусть включено между точками А и F. Вычи-
Вычислим интеграл напряжения на пути ARLCEFA, который от А до С
и от С до F проходит по проводу и конденсатору, а от F до А (между
питающими проводами) — в диэлектрике. *
Если обозначить через <р разность потенциалов между обкладками
конденсатора, то мы получим для указанного интеграла значение
В1--\~ф — Е. Но охватываемый нашим контуром поток индукции зависит,
очевидно, от того, в каком месте конденсатора мы пойдем при инте-
интегрировании.
Полагая, таким образом
В1 + 9-Е = -Ь^. A49)
и рассматривая L как постоянную, мы пренебрегаем влиянием магнит- <
ного поля, находящегося между обкладками конденсатора.
Далее, ток I равен изменению заряда конденсатора во времени.
Следовательно, если С означает емкость конденсатора, то
4
*~^г J
Поэтому при переменном токе частоты
следовательно,
Рис. 51. Векторная диа- ШЛ-i^LI %— 1-Е.
грамма к системе рис. 50. <оG
Это и есть нужная нам связь между Е и I; она представлена
в векторной диаграмме (рис. 51).
Кажущееся сопротивление нашей схемы будет
Оно имеет при а>2 = -^п минимум, который при малых значениях В
выражен очень резко. Поэтому если приложенное напряжение ^является
результатом наложения всевозможных периодов, то ток главным обра-
образом будет содержать только те периоды, которые бдиЗки собственной
частоте тт===. Мы имеем здесь перед собой резонанс между периодом^
напряжения и периодом собственного колебания цепи тока.
Электрические собственные колебания. Если точки А
е F соединить накоротко проводом, то Е становится равной нулю,
и наши уравнения (И9) и A49а) дадут
m

Цепь тока с самоиндукцией, емкостью и сопротивлением 183
Исключая о, имеем
Заметим, при этом, что уравнение, выведенное здесь из закона индук-
индукции, легко можно получить непосредственно из закона сохранения
энергии. В самом деле, в любой момент времени полная энергия пола U
дается выражением
Так как внешние электродвижущие силы не действуют, то падение U
всегда должно равняться выделенному Джоулеву теплу, т. е.
В виду С -~- = I это уравнение непосредственно переходит в выше-
at
указанное.
Общее решение уравнения A50) будет (с двумя постоянными инте-
интегрирования сх и с2)
При этом
х. В _+_
IV н —. ————- ____
CL'
Оно дает:
7? 1
периодический разряд, если —-^- < ¦ ¦
*ь VCL
В ^ 1
апериодический разряд, если -~у- > .„ -,.
21j yCL
Если обозначить для сокращения
и A5Ob)
то в случае периодического разряда
Г ;= Ae~bt sin (У аH2 — 8М + Ь);
при апериодическом разряде ваоборот
Особенно важны для применений слабо затухающие колебания. Они
имеют место тогда, когда Ь настолько мало по сравнению с ш0, что
можно пренебрегать &2 по сравнению с <о02. Тогда имеем
1 = Ae~~~usm(<s>ok-\~b).

184 Электромагнитное поле
Продолжительность одного колебания равна
T 2VLC
Логарифмический декремент D есть логарифм отношения
амплитуд двух друг за другом следующих колебаний; следовательно,
p^rf |/|, A50с)
— = -^°- указывает число колебаний, по прошествии которых ампли-
AJ ZTCO
туда уменьшается в е раз.
В качестве численного примера рассмотрим лейденскую банку
радиуса 5 см, с толщиной стенок 0,2 см и высотой в 20 см\ по фор-
формуле для плоского конденсатора
получаем, при « = 5 (стекло),
225 ЛЛ~ 1400
" 1400 ^ - Т
°~ 4, - 0,2
В качестве замыкающего провода возьмем обыкновенную медную согну-
согнутую в кольцо проволоку; размеры пусть будут те же, которые были
в уравнении A4бе); D=10 см, d = 0,l см. Самоиндукция L провода,
согласно A46е), будет
L = ^1. 4,93 = 344 • 10" au ^=- = 344 • КГ™ • 9 • 1011 генри.
с2 &м *
Для сопротивления В проволоки возьмем сначала обычное омическое
сопротивление
В = ГС'*0,'4 • 1,7 . Ю-6 ом = 6,8 . 10~3 ом.
0,01 • тс
Тогда согласно A50b)
7?
2т: 2тг
Этой частоте соответствовала бы длина волны Х= — 130л#.
vo
Число колебаний до того момента, когда амплитуда становится в е раз
меньше, было бы -— = 2 100. Если возбуждать колебания при помощи

Цепь топа о самоиндукцией, емкостью и сопротивлением 18$
разряда через искровой промежуток, то во всяком случае нужно ожи-
ожидать большего затухания вследствие увеличения В сопротивлением
искрового промежутка.
Но и без искрового промежутка мы в действительности должны
ожидать значительно более высокого значения В в силу сосредоточе-
сосредоточения тока в поверхностном слое, которое мы будем рассматривать
в § 66. При таких обстоятельствах при вычислении В нельзя уже
подставлять полное поперечное сечение провода, а нужно пользоваться
сечением слоя у поверхности провода, заполненного током; толщина
последнего в свою очередь яЬляется функцией частоты ш0.
Но даже и при этой поправке наше вычисление затухания содер-
содержит одну принципиально в высшей степени важную неточность^
которая, правда, мало сказывается в нашем численном примере.
В нашем колебательном контуре электрический ток начинается и кон-
кончается на обкладках лейденской банки. Последние представляют собой
сток и источник электрического тока. Вопреки этому до сих пор мы
во всех наших рассуждениях относительно магнитного поля клали
в основу уравнение для постоянных токов
которое, очевидно, теряет смысл, когда div i в каком-нибудь месте
отлично от нуля. В самом деле, div rot H всюду тождественно равна
нулю. При выводе уравнения A49) мы пренебрегли, следовательно^
тем обстоятельством, что ток проводимости прерывается диэлектриком
конденсатора. При строгом выводе нужно было бы принять во внима-
внимание как раз дополнение —D тока проводимости до Максвелловского
полного тока с = i + — D, не имеющего уже нигде источников. Мы
рассмотрим подробнее практическое влияние этого члена несколько
позднее. Он дает характеризуемое вектором Пойнтинга S излучение
энергии в форме электромагнитных волн. В энергетическом уравнении
A50а) мы принимали во внимание в качестве единственной формы
энергии,^ в ^которую преобразуется энергия поля, Джоулево тепло ВГ2.
Наряду * с термической мощностью поля имеет, следовательно, место
еще мощность излучения, которая при периодических процессах в сред-
среднем точно также пропорциональна Г2 и поэтому может быть предста-
представлена членом В3 • Т1. Множитель Bs называется тогда „сопротивлением
излучения". Таким образом, для затухания важна сумма B-\-Bs оми-
омического сопротивления и сопротивления излучения. Если мы при
нашем рассмотрении разряда конденсатора могли безнаказанно пре-
пренебрегать током смещения и излучением, то мы обязаны этим тому
обстоятельству, что, во-первых, расстояние между обкладками конден-
конденсатора нсчезающе мало по сравнению с размерами замыкающей цепи*
и что, во-вторых, размеры конденсатора малы по сравнению с длиной
волны волнового излучения, соответствующего его собственной частоте.
Только вследствие этих двух обстоятельств мы не допускаем слишком.

136 Электромагнитное поле
большой ошибки, когда рассматриваем ток в проволоке как квазиста-
квазистационарный, т. е. прднимаем, что в любой данный момент через каждое
сечение проволоки протекает одинаковый ток. При увеличении рас-
расстояний между обкладками конденсатора его емкость может стать на-
настолько малой, что наряду с ней становится заметной емкость прово-
проводов. Но тогда мы должны принимать во внимание и те источники
и стоки тока, которые распределены по всему проводу, так что в раз-
различных местах I наверное будет иметь различные значения. С другой
стороны, если размеры замыкающей цепи — порядка длины волны, то
следствием конечной скорости распространения является сдвиг фаз
токов в различных частях цепи друг относительно друга. Мы поена-
комимся с этим явлением поближе при рассмотрении волн в проводах
и волн Герца.
IY. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
§ 62. Плоские волны в однородном изотропном диэлектрике.
В этой главе мы переходим к рассмотрению таких электромагнитных
полей, которые быстро меняются во времени и пространстве, — в част-
частности, займемся рассмотрением электромагнитных волн. В этом случае
нельзя считать ток квазистационарным. В основу математической тео-
теории электрических волн нужно положить дифференциальные уравнения
поля для покоящихся тел (§ 52).
Рассмотрим сначала однородный изотропный диэлектрик; он свобо-
свободен от сторонних сил, е и р- суть константы, о равняется нулю.
Уравнения поля § 52 в этом случае дают
^ A51а)
так как jx является постоянной,
divH = O. A51с)
К этим уравнениям мы придем, если исключим истинные зарядьх
внутри изолятора
divE = O.
Этой системой уравнений определяется распространение электро-
электромагнитных волн в диэлектрике.
Из нее легко можно исключить один из векторов Е или Н. Чтобы
исключить Е, нужно взять вихрь от первого уравнения, второе урав-
s
нение продифференцировать по t, умножить на множитель — и ело-
с
жить с первым. Тогда подучается

Плоские волны в однородном изотропном диэлектрике IS?
Если принять во внимание A51с), то, согласно правилу вычисле-
вычисления (95), это уравнение переходит в
=лн. (ше)
С другой стороны, можно также исключить Н, умножая для этого
A51а) на — и дифференцируя по t, беря затем вихрь <й? A51Ь) и вы-
с
читая полученное уравнение из первого. Тогда получается
Оба вектора Е и Н удовлетворяют, следовательно, одному и тому же
дифференциальному уравнению. Для полей, не изменяющихся во вре-
времени, это уравнение переходит в дифференциальное уравнение Лапласа.
Будем искать теперь такие частные решения уравнений поля, кото-
которые соответствуют серии плоских однородных .волн.
Серию волн называют плоской, если в поле можно провести ряд
параллельных плоскостей таким образом, что вдоль каждой такой пло-
плоскости электрическая и магнитная сила поля не меняется ии тто палт^-
чине, ни до направлению- эти плоскости называют плоскостями
волн, направление их нормали — нормалью волны. Отложим ось х
вдоль нормали волны, так что плоскости волн становятся при этом
параллельными плоскости (ув). Так как вдоль плоскостей Е и Н
должны быть постоянными, то частные производные по у и z пропа-
пропадают, и уравнения поля будут:
с dt "'
• дЕу _ дЕе
~с ~Ш~ дх ' с ~di ftr"'
~с~дТ= ' "9ж~'
с
У-
а^
Согласно A52Ь) и первому из уравнений A52а), продольные соста-
составляющие Ед. и Нд. являются постоянными как во времени, так и в про-
пространстве. Если бы они были отличны от нуля, то можно было бы
говорить только о статическом поле, накладывающемся на волновое
поле. Но такое статитае&ее поле не имеет никакого влияния на рас-
распространение волн и не представляет здесь никакого интереса. Мы
положим поэтому
Е =Н =0.

188 Электромагнитное поле
Заметим, что четыре последних из уравнений A52а), которые еще
нужно удовлетворить, связывают составляющие друг с другом попарно:
с одной стороны Еу, Нг, с другой стороны Be, H . Мы можем поэ-
поэтому обе пары рассматривать раздельно. Исключая Ьу1 H2 из уравнений
_ oTjji ЯХТ <а ЛТГ ЯТЛ
8 и шг1 U XX V* U МЛ. CXli
с т ~~ дх' с dt t дх • к }
подучаем уравнения
^^ = П^~> A52d)
3!L' » "* = " "* л A52е)
Они следуют непосредственно из A51е, f), если, в согласии с пред-
предположением, что волны—однородные и плоские, зачеркнуть производные
по у и z. Эти частные дифференциальные уравнения известны из
теории колебаний струны. Напишем общее решение A52d) в виде
, + w(), A53).
где
" = тта A53а)
У ер
л f ж g представляют собой любые функции аргументов х—wt я х -f- te?/.
Тогда уравнения A52с) удовлетворяются при
/ — м?0 — ^ (« + ^0 }. A53в)
Произвольные функции
f(x — wt) и g(x-\-wt)
представляют волны, которые распространяются в направлении поло-
положительной и, соответственно, отрицааельной х оси.
Мы ограничимся рассмотрением только того частного решения^
которое дается функцией
Вид этой функции f определяется кривой волны в момент #=,0.
Эта кривая волны распространяется неискаженной со скоростью w.
Скорость плоской электромагнитной волны не зависит, следовательно^
от формы и длины волны. В пустоте, для которой Гауссова система*
единиц полагает
и р =

Плоские волны в однородном изотропном диэлектрике 189
скорость дается, согласно A53а), универсальной постоянной с, значение
которой, найденное путем сравнения электростатических и электро-
электромагнитных единиц, будет (§ 54)
с = 3 • 1010 см\сек.
Это число совпадает со скоростью света в пустоте. Мы видим, следо-
следовательно, что в пустоте скорость плоских электромагнит-
электромагнитных волн равна скорости света с.
Световым и электромагнитным волнам присуща не только общая
скорость. Электромагнитные волны так же, как и све-
световые, суть волны поперечные. В самом деле, мы на-
нашли, что ни Е, ни Н не могут иметь периодически неменяющейся
продольной составляющей. Оба вектора перпендикулярны к норма-
нормалям волн. Поэтому в пустоте электромагнитные и световые волны
обнаруживают совершенно аналогичное поведение.
Именно эти следствия из уравнений Максвелла привели его
к созданию электромагнитной теории света. Электро-
Электромагнитная теория света рассматривает световые и тепловые лучи
как электромагнитные волны. Она превосходит старую механическую
теорию света тем, что позволяет вычислить значение скорости рас-
распространения из чисто электрических измерений, и тем, что с самого
начала допускает только поперечные плоские волны света. Старая
теория, которая рассматривала свет как волновое движение упругой
среды, могла лишь с трудом объяснить отсутствие продольных свето-
световых волн. Электромагнитная теория света вообще
исключает существование продольных световых
волн.
Если свет действительно представляет собой
электромагнитный процесс, то все оптические свойг
ства материи должны полностью определяться ее
электрическими постоянными. Действительно, как мы
сейчас увидим, из теории Максвелла следует, что оптический
показатель преломления существенно определяется диэлектрической
постоянной, а поглощательная способность — электропроводностью.
Эти количественные предсказания теории согласуются с опытом
только при достаточно длинных волнах (инфракрасные волны, волны
Герца). Здес^ дополнение вносится электронной теорией, которая
показывает, что благодаря инерции электронов электрическую поля-
поляризацию нужно рассматривать как динамический процесс, при кото-
котором решающую роль играет частота падающей световой волны.
Только при таком дополнении (зависимость в и о от частоты)
Максвеллова теория света может дать исчерпывающее описание
оптических явлений.
В диэлектрических телах, у которых диэлектрическая постоянная и
магнитная проницаемость отличны от 1, скорость электромагнит-
электромагнитных волн дается A53а). Поэтому показатель преломления диэлек-
диэлектрика в общем случае равен

190 Электромагнитное поле •
В частности, для случая, когда jx = 1, получается так называемое
„соотношение Максвелла"
п* = г. A53d)
У изоляторов, которые не являются ни парамаг-
парамагнитными, ни диамагнитными, диэлектрическая посто-
постоянная должна, согласно электромагнитной теории
света, равняться квадрату оптического показателя
преломления. Экспериментальное испытание этого вывода позволяет
судить с точки зрения электромагнитной теории света, насколько пра-
правильно уравнения поля описывают диэлектрическое поведение тел по
отношению к этим очень быстрым электрическим колебаниям. Ведь, как
бкло изложено в § 52, уравнения поля для изоляторов получились из
общих основных уравнений (I) до (IV) благодаря тому, что соотноше-
соотношение (IV)
D = eB
было перенесено с электростатических полей на произвольно быстро
меняющиеся поля. Справедливость соотношения Максвелла A53d)
есть пробный камень для правильности этого допущения.
Для многих газов, как, например, для Н2, СО2, N2, O2, соотноше-
соотношение A53d) выполняется сносно даже в видимой области. Оно пере-
перестает быть верным для таких газов (НС1, NH3), относительно
которых мы по их химическим свойствам могли бы ожидать, что они
состоят из двух ионов противоположного знака, связанных Кулонов-
ским притяжением (дипольные газы). У таких газов инерция при
поляризации переменным полем световой волны должна, конечно, ска-
сказываться гораздо сильнее, чем у газов, названных ранее, так как
в них могут двигаться исключительно электроны. Соотношение Макс-
Максвелла, как правило, перестает быть верным в области видимого
света у таких тел, которые в инфракрасной части показывают изби-
избирательные области поглощения. Особенно отчетливо проявляется эта
особенность у воды (s = 81, ^ = 1,33).
На вопрос о том, чем определяется плоскость поляризации прямо-
прямолинейно поляризованного луча: вектором ли Е или Н, нельзя отве-
ответить на основе развитых до сих пор соображений.-. Однако, приме-
применение электромагнитной теории к кристаллам приводит к основным
законам кристаллооптики, если оптическую анизотропию свести
к диэлектрической и проводить плоскость поляризации через Н и
нормаль волны. Законы отражения света у поверхностей прозрачных
тел (этих законов мы не будем здесь касаться), получаются из электро-
электромагнитной теории света в соответствии с формулами Френеля, если
плоскость поляризации прямолинейно поляризованного луча принять
нормальной к вектору Е.
Вычислим теперь эпер1ию, которую переносит плоская электро-
электромагнитная волна.

Плоские волны в однородных проводниках 191
Согласно закону сохранения энергии A27) и A28), ежесекундный
перенос энергии через 1 см2 плоскости (уз) дается вектором излу-
излучения S
т. е.
, С другой стороны, плотность энергии и в нашем волновом доле
дается выражением
Принимая во внимание значение скорости распространения плоской
с
волны w = , имеем, следовательно,
V еУ-
8х = и w,
т. е. через 1 см2 плоскости (уз) за одну секунду проходит как pas
та энергия, которая находится в цилиндре с сечением 1 и длиной iv.
§ 63. Плоские волны в однородных проводниках. Если одно-
однородное изотропное тело, в котором распространяется электромагнит-
электромагнитная волна, одновременно является проводником электричества, то
уравнение A51а) нужно обобщить введением тока проводимости.
Общие уравнения поля § 52 дают здесь
Т # + ?«¦
^?Н rotE, A54b)
С OZ
и из отсутствия истинного магнетизма следует
divH = O. A54 с)
Уравнение A5Id), которое выражает отсутствие внутри однород-
однородного диэлектрика свободного электричества, остается справедливым.
Чтобы убедиться в этом, образуем расхождение от A54а). Мы получим
тогда
— -7гг div Е + -^- div E = 0.
с dt ' в
Из этого уравнения мы уже в § 44 вывели заключение, что объ-
объемная плотность свободного электричества в каждо i точке поля
падает по закону

192 Электромагнитное поле
где & есть так называемое время релаксации. Затухание заданного
через ро начального распределения свободного электричества еОвсзм
не зависит от электромагнитных возмущений, которые проникают
«снаружи внутрь однородного проводника. Если, например, предпо-
предположить, что в момент ? = 0 поле внутри проводника было равно
нулю, то и р0' = 0, и поэтому р', плотность свободного электричества,
длительно остается равной нулю. Из полученного таким образом
уравнения
divE = O, A54A)
и из A54а, Ь, с) мы заключаем теперь, так же как в предыдущем
параграфе, что внутри однородного проводника могут распростра-
распространяться только поперечные плоские электромагнитные волны. Так же,
как ц там, можно совершенно аналогичным образом исключить Е
или Н.
Это исключение дает для обоих векторов одинаковые дифферен-
дифференциальные уравнения
которые заменяют теперь A51е, f).
Будем исследовать опять плоские однородные волны; отложим
ось х вдоль направления распространения и разложим векторы Е и
Н, падающие в плоскость волны, на их составляющие. Мы рассма-
рассматриваем здесь только составляющие Еу, Hf, которые, оптически
говоря, характерны для прямолинейно поляризованной волны, и при-
притом поляризованной параллельно оси z. Для Еу имеет тогда место
дифференциальное уравнение в частных производных
dt дх% '
которое называют „телеграфным уравнением". Обоснование
этого названия см. в § 69. Тому же самому дифференциальному урав-
уравнению должна удовлетворять также Нг.
Для плоских волн, у которых направление нормали совпадает
с осью х, получаем из A54а, Ь)
с dt дх
Полагая
Ef = a • Г V ~), Нг = Ь • t V т)ш Aбб)

Плоские волны в однородных проводниках 193
из предыдущих уравнений получаем для амплитуд а и 6, а также и
показателя преломления р соотношения
(tees -{- 4тса) • а = г • со • р • 6,
К-Ь =i? • а,
откуда
0i = 4i —f.i^- и Ъ = -2--а. A55а)
Мы имеем, следовательно, комплексный показатель преломления j?,
т. е. поглощение волны, и комплексное отношение амплитуд
Ъ ,
—; это означает сдвиг фазы магнитного вектора по отношению
к фазе электрического вектора.
Введем в (}55а) период колебания т световой волны и ее
длину волны в пустоте Х0по формуле
2тг # __ 2т:с
О) ' ° Ш
и, кроме того, положим
р = п — fa. A55b)
Для введенных таким образом постоянных данного вещества п и
х A55а) дает два уравнения
Решая их, получаем для „показателя преломления" п
A55с)
и для „коэффициента поглощения" х
^2 =
у •}. A55d)
Наконец, если написать р в виде
то разность фаз *у определяется уравнением:
tgT = -^. A55e)
13 Абрагам-Беккер. — Теория и.хсктр.

194 Электромагнитное поле
Если все это подставить в A55), то для вещественной части
Н2 получается
а-е *о -cos
f 2irf 2ic*a . 1
< ч\.
A56)
„Коэффициент поглощения х характеризуется, следовательно, тем,
что по прохождении волной расстояния —— амплитуды затухли в в"**
раз. Это расстояние может поэтому также служить наглядной мерой
для глубины проникания волны.
Количественное рассмотрение этих уравнений у металлов значи-
значительно облегчается тем, что здесь обычно можно считать правильным
соотношение
A57)
Для коротковолнового инфракрасного света — длины волны 1[jl, на-
например, —
С другой стороны, для меди о =5,14- 1017, так что здесь
2ат = 3400.
Что касается диэлектрической постоянной е металлов, то труд-
трудность здесь возникает прежде всего в том, что при ее определении
обычные электростатические методы оказываются неприменимыми.
Наоборот, можно определить е как раз путем применения уравнения
A56) к их оптическому поведению. Хотя в этом отношении не суще-
существует совершенно однозначных опытов, все же можно сказать, что ни
экспериментально, ни теоретически нельзя предполагать для в у метал-
металлов значений, отличных по своему порядку от значений у изоляторов.
Если это так, то в нашем численном примере соотношение A57) дей-
действительно выполняется. И оно выполняется, что особенно важно при
изучении $олн Герца, тем лучше, чем больше длина волны рассма-
рассматриваемого колебания.
Напротив, при очень коротких волнах (при ультрафиолетовых и
в особенности при рентгеновских лучах) A57) становится совсем
неверным. В предельном случае исключительно коротких волн 2от
становится даже исчезающе малым, так что, наконец, проводимость
теряет здесь свое значение.
В области, где действительно приближенное неравенство A67),
согласно A55с) и A55d)
JJ и Т = -^-- A57а)

Отражение от металлов
195
Таким образом для глубины проникания d волны имеем
(ШЬ)
Для меди (а = 5Д4 • 1017, ^ = 1) получаются, значит, следующие
глубины проникновения:
X
d
1 см
2,4-10~4 см
1 м
0,024 мм
100 м)
0,24 мм
10 ил«
2,4 мм
Одновременно эти числа примерно указывают те толщины листового
металла, которые необходимы для экранирования соответствующих
длин волн.
Для отношения электрической энергии поля
к магнитно! (среднего по Ьремени) из A56) и A55с, d)
получаем общее выражение
¦-V
|
A57с)
В изоляторе (о = 0) энергия поля состоит на 50°/0 из эле-
электрической энергии и на 50°/0 — из магнитной. В металле,
наоборот, в области, где справедливо A57), почти вся энер-
энергия— исключительно .магнитной природы. Как показывает
0~4
CM
примерно только —(
•
Рис. 52.
К выводу
погранич-
пограничного ус-
условия.
разобранный выше чиёленный пример, уже при Хо = 10
электрическая энергия составляет
полной энергии. При более длинных волнах ее содер-
содержание продолжает падать.
Ддя экспериментального испытания теории проще всего
было бы сравнить глубину проникания d A57b), вычисляе-
вычисляемую из проводимости, с опытом. Но для этого в оптической области
потребовались бы исключительно тонкие слои (наибольшая толщина
10~6 см), а безупречное изготовление и исследование таких отев
является весьма трудной задачей. Вместо непосредственного измерения
поглощения, с удобством пользуются измерением коэффициента отра-
отражения.
§ 64> Отражение от металлов. Пограничные условия.
Явления при переходе волны из диэлектрика в металл можно получить
наиболее просто, если сначала из уравнений A54а, Ь) с помощью
теоремы Стокса вывести пограничные условия, которым должны при
всех обстоятельствах удовлетворять векторы Е и Н. Для этого рас-
рассмотрим элемент поверхности df раздела между двумя средами A) и
B), и пусть нормаль к нему будет направлена параллельно положи-
13*

196 Электромагнитное поле
тельной оси х (рис. 52). Вычислим интеграл ф Вх ds по контуру узкого
прямоугольника ширины 5; пусть две продольные стороны его про-
проходят в различных средах, ориентированы вдоль направления у и
имеют длину, равную единице. Тогда из A54а и Ь) получается
Уь у* J \ с dt
При конечных значениях в, а, у. в предельном случае, когда $ = О
правые стороны обращаются в нуль, так как ни в коем случае нельзя
допустить существования бесконечных сил поля. Отсюда еле дует: тан-
тангенциальные составляющие Е и Н остаются непре-
непрерывными при переходе из одной среды в другую.
Рассмотрим плоскую волну, падающую в пустоте нормально на
поверхность металла, принимаемую нами за плоскость yz. Мы должны,
следовательно, для комплексного показателя преломления, введенного
в A55) и A55Ь), положить:
для х < 0: р = 1 (пустота),
„ х > 0: р = п — ix (металл).
Шпадая на металлическую поверхность, падающая волна распа-
распадается на отраженную волну, распространяющуюся в пустоте по
направлению отрицательной оси х, и на волну, проникающую в металл
(по направлению положительной оси х). Максвелловы уравнения для
однородных сред будут удовлетворены выражениями:
Падающая волна: Е«(е) = Н/е) = а •е \
, ч в пустоте, а?<0.
Отраженная волна:— Еу^ = H2(r) =s ar . е ^
Прошедшая в металл волна
по A55) и A55а):
»о> ft~-
в металле,
Для того, чтобы выполнялись пограничные условия (для х = 0), неопре-
неопределенные вначале амплитуды а, а', а" должны удовлетворять двум
соотношениям, а именно:
непрерывность Еу: а — а' = а'\
непрерывность Hs: a-\-af = а!' • —

Отражение от металлов 197
Если, например, дана амплитуда а падающей волны, то отсюда
следует для
отраженной волны:
J?
2ц.
и для прошедшей волны: аР = а • и^Г ¦¦ •
Интенсивность лучей пропорциональна квадрату абсо-
абсолютной' величины его амплитуды. Коэффициентом отражения В металла
называют отношение интенсивностей отраженной и падающей волны;
если обозначить через а* и а'* комплексные величины, сопряженные
с а и а7, то
а-а*
Подставляя в A58) p = w — ix, p* = n~{-fay имеем
В области, для которой имеет место неравенство A57),
Для неферромагнитных тел \*< = 1, так что получаем
A58Ъ)
Гаген и Рубенс при своих опытах в длинновол-
длинноволновой инфракрасной области (Х = 25[х) эту теорети-
теоретическую формулу подтвердили количественно. Тем
самым они доказали, что уже в этой области длин волн оптическое
поведение металлов определяется электростатически жзмерен-
ной проводимостью о в смысле Максвеллова уравневия A58b).
Некоторые из их результатов собраны в приведенной ниже таблице.
При этом проводимость измерена в обратных омах на метр длины и
квадратный миллиметр поперечного сечения.
Для измеренной таким образом проводимости, обозначаемой через х,
о = х . 9
Длина волны X измеряется в ^, так что Х = Х^« 10~4. Коэффициент
отражения выражается в процентах; следовательно, R 0/0 = 100Д. Под-
Подставляя эти чтжъ> в A58Ь), получаем формулу Гагена-Рубенса

198
Электромагнитное поле
Величина A00 — B)Y у. не должна зависеть от материала
значение, указанное в последней строке таблицы:
и имеет
Серебро . .
Медь . . .
Никель / .
Висмут . .
36,5 : Y\
61,4^
57,2
8,5
0,84
—
1
100-
1,9
2,7
8,2
24,8
—
= 4,
1
A00
14,9
20,6
23,9
22,7
19,4
х =
1
100-
1,25
1Д
4,65
18,5
—
1
A00
9,8
10,6
13,6
16,9
13,0
х =
1
100-
1,15
1,6
4,1
17,8
—
12,
V
1
§
9,0
12,1
12,0
16,3
11,0
Для более коротких волн наблюдаемый коэффициент отражения
значительно меньше, чем вычисляемый по формуле A58b). Качественно
именно такого результата нужно ожидать по электронной теории:
в силу своей днерции электроны не могут тежерь вполне следовать за
быстро изменяющемся пеяем, а поэтому электрический ток уже не
будет в каждый шмент времени достигать величины а . Е. И на самом
деле эти отклонения таковы, как если бы при более коротких волнах
металл имел меньшую проводимость. Еще отчетливей это действие
инерции проявляется у электролитов, которые (например, H2SO4 в воде)
в статических онытах обладают превосходной ироводимостьш, но не-
несмотря на это оказываются вполне прозрачными. В этом случае носи-
носителями тока являются ионы, масса которых в несколько тысяч раз
превышает массу электронов. Поэтому вполне понятно, что электро-
электролиты ведут себя по отношению к электрическому нолю световой волны
как изоляторы.
§ 65. Вектор Пойнтинга в стационарном поде и в иоле пе-
периодическом во времени. В § 52 мы познакомились с вектором
Пойнтинга
как с потоком энергии. Для области, ограниченной произвольной замк-
замкнутой товерхнае^ъю, уменьшение во времени энергии, содержащейся
в этой области, бшю равно термически-химической отдаче плюс потоку
энергии через эту ограничивающую поверхность, даваемому вектором S.
В стационарном доле энергия поля является постоянной во времени.
Отсюда следует, что в этом случае ноток энергии— / Sndf, вте-

Вектор Пойнтинга в стационарном поле
199
кающий в рассматриваемую область, в точности равен термически-хи-
термически-химической отдаче в этой области. Напротив, в поле, периодическом во
времени, величина энергии изменяется, но, однако, только таким обра-
образом, что она колеблется около некоторого среднего значения. Поэтому
среднее значение энергии поля за один период будет иметь и здесь
постоянное значение, так что и в этом случае вектор Пойнтинга неио-
средственно укажет Джоулево тепло, выделяемое в замкнутой области.
Рассмотрим сначала стационарную линейную цепь тока,
поддерживаемого сторонними силами. Если q есть ноие-
речное сечение провода в каком-либо месте, то прежде
всего для полного тока I, согласно § 45, имеет место ! J
общее уравнение
При „линейном" токе мы считаем о, Ей Е во всем
сечении постоянными. Мы можем далее ограничиваться
составляющими Еа и Еа(е), параллельными направлению
оси провода. Обозначим через
омическое сопротивление, приходящееся на единицу дданы
пути тока. Мы имеем
Рис. 53. По-
Положение Б
и Н на по-
поверхности
провода, по
которому
течет ток
Вычислим поток энергии Пойнтинга через цилиндриче-
цилиндрическую поверхность длины 1, лежащую в пустоте, но тесно
охватывающую провод. Е проходит параллельно оси провода, Н пер-
перпендикулярно к ней; следовательно, S направлено нормально к поверх-
поверхности провода. Величина потока энергии 8 внутрь рас-
рассматривав мого цилиндра будет, следовательно,
S = -t-
так как ведь
/»-
ds
— • I. Энергия, входящая в провод на
протяжении каждого сантиметра его длины, будет поэтому
Следовательно, в местах, где действуют сторонние силы, энергия
течет от провода в поле; там же, где выделяется Джоулево тепло,
энергия течет обратно от поля в провод. Полный поток эиершя, взя-
взятый по всему пути тока, равен, конечно, нулю, что в силу безвих-
безвихревого характера Е непосредственно получается также из урав-

200 Электромагнитное поле
нения 8=zJSaI. Если сторонние силы отсутствуют, то 8 непосред-
непосредственно равняется Джоулеву теплу Q, выделяемому в участке, длина
которого равняется единице.
При полях, периодических во времени, эта связь
между средними по времени значениями S и Q остается неизменной.
Представим этот факт в несколько иной форме, удобной для некоторых
применений; для этого ограничимся строго синусоидальным ходом
изменения во времени и будем пользоваться при этом комплексными
выражениями. Тогда самую общую функцию подобного рода f(x, уу з, f)
с циклической частотой ю можно написать в виде
= а(#, у, ?).cos^a>*H-&(#, !Л -
= вещественной части от а • егЪ
/*= вещественной части от а (я, у, $) • е ,
где, следовательно, а =* а • в*6 является комплексной функцией одних
координат. Обозначим теперь горизонтальной чертой среднее по вре-
времени значение, звездочкой — переход к сопряженной комплексной вели-
^
чине. Тогда, в силу cos (Ы) = 0; cos2 (Ы) = — , имеем:
Если теперь две функции
д = а-е4ь.е4» и в = Л-еа-еш
представлены в комплексной форме, то в дальнейшем нам пона-
понадобится произведение соответствующих вещественных величин. Обо-
Обозначим через „Re g" вещественную чаеть от д\ тогда
и мы получаем
Re*? • ReG = 1 (дв + g*G* + gG* + g*G);
при образовании среднего значенжя но времени gG = 0 и ^*G* = 0»
Далее, g*G является еояряжежной с комжлексной величиной gG*, так
что имеем
1 1
= — Re(#6r*); (RegJ — — (gg*). (<fy
При полях, периодически изменяющихся во времени с циклический
частотой ш, комплексные выражения являются весьма удобными для

Вектор Пойнтинга в стационарном поле 201
вычислений, потому что тогда все дифференцирования по t, появляю-
появляющиеся в линейных уравнениях, могут быть заменены умножением на
соответствующую степень от ш:
-8Г"**; ^ = -^ит. д.
Тогда уравнения Максвелла будут иметь вид
*„-(*= + <=)*
rotE = — ^ (т>
Чтобы применить к комплексным векторам Е и Н правило (а), напи-
напишем (р) в сопряженно комплексной форме (заменяя % на —г)
rot Ы
= I 1 1Е*.
Если теперь умножить (В') на —- Е, а М на — — Н*, то, согласна
8тс отс
правилу F7), получается
A59>
Следовательно, если образовать комплексный вектор Пойнтинга
^} A59а>
то вещественная часть от — div S' дает выделяемое Джоулево тепло,,
так как — ЕЕ* представляет собой, согласно B), среднее по времени
от квадрата (действительной) силы поля. Но, »роме того, благодаря
A59), мнимая часть от 8' тоже получает конкретное значение: именно
она дает развеешь между средней магнитной энергией и средней
электрической энергией, умноженную на 2ю. Отсюда для замкнутой,
области
/ -Uwl A59b>
где Q означает Дж^улево тепло, выделяемое в этой области, V—
среднее значежие содержащейся в ней энергии поля магнитной:
и соответственно электрической природы.

SOS Электромагнитное поле
В следующей главе мы применим эту теорему ко внутренней
части провода, в котором ток распределен уже неравномерно по
сечению (скин-эффект). Так как здесь, согласно A57с), С/эл всегда
исчезающе мало по сравнению с ?7магн , то вещественная часть от
A59а) дает Джоулево тепло, а, следовательно, и омическое сопроти-
сопротивление; при этом мнимая часть даст магнитную энергию поля, а, зна-
значит,— ту часть самоиндукции, которая приходится на внутреннюю
часть провода.
§ 66. Скин-эффект. Рассмотрим прямой провод круглого сечения
радиуса г0, по которому пусть течет переменный ток частоты ш.
Тогда на его поверхности имеется4 электрическое поле, направленное
по его оси, и магнитное поле, перпендикулярное Е, но также парал-
параллельное поверхности. Качественно это дает соотношения, одинаковые
с теми, которые мы рассмотрели выше (§ 63) для случая световой
волны, проникающей в металл. Действительно, на поверхности металла
мы имели бы аналогичное распределение поля, если бы направили
нормально к поверхности провода световую волну частоты а>, поля-
поляризованную перпендикулярно к направлению оси провода.
Для такой волны мы вычислили выше [ур-ние A57b)] для случая
плоской металлической поверхности ту глубину проникания, при
которой амплитуда ослабляется в е2к раз. В целях упрощения при-
примем в этом параграфе за меру глубины проникания не точно вели-
величину, данную в A57Ъ), а 2<п:'|/2-ую часть от нее, — следовательно,
подставляя \l = 1,
У 2
/т-
Хотя, конечно, расчет при цилиндрической поверхности провода
в некоторых частностях сложнее, чем при плоской поверхности, но
качественно мы можем с самого начала предвидеть следующие два
лредельные случая:
1. Радиус провода г0 мал по сравнению с — : переменное
^/4
поле при проникании до оси провода ослабляется незначительно.
Плотность тока будет распределена по сечению провода равно-
равномерно.
' переменное поле полностью затухнет прежде, чем
у 4тга)о
успеет распространиться вовнутрь на заметную часть радиуса про-
провода. Поэтому, плотность тока заметно отличается от нуля лкш>
в очень тонком поверхностном слое („оболочке"). Во всей внутренней
части провода поля практически нет.
Это проникание переменнога_доля в металл следует тому же
закону, что и -проникание температурных колебаний в тело, поверх-
поверхность которого попеременно согревается и охлаждается, Так как
ж металле можно пренебречь током смещения по сравнению с током

Спин-эффект 803
проводимости [ур-ние A57)], то колебательное уравнение A54/*)
для внутренней части металла принимает вид
С другой стороны, для материала с теплоемкостью «у (относящейся
к единице объема), теплопроводностью X и тейпературой 0 передача
тепла определяется уравнением
или JL.-g.-
Возрастание скин-эффекта, с растущей частотой <d нужно поэтому
понимать так же, как тот факт, что суточные температурные коле-
колебания проникают в йочву менее глубоко, чем годовые колебания.
Для количественного рассмотрения скин-эффекта мы должны про-
проинтегрировать ур-ние A60) по поперечному сечению провода. Но
прежде применим к нашему случаю вектор Пойнтинга A59а). Огра-
Ограничимся сейчас случаем, когда ток, а, значит, и поле вс$ду парал-
параллельны оси провода. Отложим ось s в направлении оси провода
и положим Be = J?. Интегрирование по единице длины провода при
пренебрежении электрической частью энергии поля дает
^ . ?EE*d8 = a J -1 EE*dq + 2t» . •?- J 1 HH*d2. A61)
Введем полный ток
1= j idq = a f Edq. A61a)
Среднее значение по времени квадрата действительного тока по (а)
(§ 65) будет
(RelJ = i-
Сопротивление В и „внутреннюю" самоиндукцию
мы определим уравнениями
Это значит, что В • (Re I)* должно дать тепло, выделяемое током за
I
секунду, а — Xt(Re IJ — среднюю магнитную энергию поля,*" содер-
содержащуюся внутри провода. Если принять еще во внимание равенство

204 Электромагнитное поле
то A61) дает
ИЛИ
A62)
Сила поля на поверхности привода составляете я,
следовательно, из омической части BI и индуктив-
индуктивной части юХД, фаза которой сдвинута относительно
фазы первой части на 90°.
Чтобы действительно вычислить теперь значения R и coi4 из
уравнения A62), мы должны еще выразить I через Е. Согласно A60)
Интегрированием по поперечному сечению, в силу / oEdq = 1
получается:
с2
Полагая для сокращения глубину проникания
Л= с - A62а)
и сопротивление постоянного тока
1
из A62) получаем
A63)
Интегрируя дифференциальное уравнение A60) и подставляя
найденное значение Е в A63), нолучкм технически важные величины
В
•^- и фЪ0 т. е., следовательно, повышение сопротивления, вызывае-
вызываемо
мое скин-эффектом, и внутреннюю самоиндукцию. Уравнение A60)
д
для случая цилиндрической симметрии при замене — ==гш дает
(г — расстояние от оси провода):
*-• 4
где d = ¦ - —г означает определенную выше глубину проникания»
У 4тго>а|х

Спин-эффект 205
Это уравнение в общем виде решается при помощи Бесселевой
функции нулевого порядка от комплексного аргумента j/T-j-. Мы
ограничимся приближенным решением, которое в обоих выше упомя-
упомянутых предельных случаях (ro^$>d и ro<^d) можно отыскать непо-
непосредственно.
Особенно простую форму имеет второй предельный случай: силь-
сильный скин-эффект; ro^>d. В этом случае все процессы разыгры-
разыгрываются вблизи поверхности (r«f0), так что под знаком производной
появляющееся явно г можно считать постоянным (поверхность может
рассматриваться как плоскость).
Тогда
а, следовательно,
и поэтому по A63)
2d
Во 2 d-V% 2\/~2d
Омическое сопротивление увеличилось, следова-
следовательно, по отношению к случаю постоянного тока
Слабый скин-эффект; го<С!<2- Введем в A64) независимую
переменную
и разложим в уравнении
гЕ = — —( дЕ
искомую функцию Е по степеням у2
Тогда для определения коэффициентов av получается уравнение
а из него рекурсионная формула

206 Электромагнитное поле
Следовательно,
_ i _ ** _ *
ai — ао * ^2"' а2 — ао * 22 . 42' аз — ао • 22 . 42 • б2'
Эти коэффициенты дают теперь, согласно A63),
— 2 Уо
v = l V
Если теперь снова разложить правую часть по у0 и подставить для
а19 а2 ... полученные значения, то получается
Bo \2V/ ' 3 \2l/
Обозначим для простоты силу скин-эффекта числом
5 A64а)
тогда
7? 1
для малых г: — = 1+—
для больших s: -^- = -^- = л
Таким образом мы получаем представленную на рис. 54 зависи-
зависите
мость величины -^- от л Значения 0 для медной проволоки различных
А)
радиусов и для различных длин волн X даны в нижеследующей
таблице. Для ее вычисления мы исходили из численного значе-
значения
тг"|/ —для меди = 4,2 • 103 см Ч Согласно A64а) это дает
4,2 • 108 -г

Самоиндукция и емкость двойного провода
207-
Г
Х = 6-Ю8 см
X = 6-106 см
Х==6-104 см
Х==6 см
1
0,17
1,7
17
1700
од
0,017
0Д7
1Л
170
0,01
0,0017
0,017
0,17
17
Периодов
с
в сек. -г-
А.
50
5000
5-Ю5
5-109
Силы скин-эффекта для медной проволоки радиуса 1 см, ОД см и 0,01 см
при различных длинах волн X
Явление, весьма родственное скин-эффекту, имеет место при так
называемом высокочастотном нагревании цилиндрических стерж-
стержней. Это явление состоит в том, что
нагреваемый стержень помещают в про-
продольное переменное магнитное поле
высокой частоты. Это поле создает
в стержне электрическое .поле, сило-
силовые линии которого окружают ось
стержня К9льцами. Джоулево тепло
индуцированных таким образом круго-
круговых токов вызывает желаемое повы-
повышение температуры. В этом случае
мы имеем, следовательно, на поверх-
поверхности стержня опять то же самое эле-
электромагнитное состояние, которое соз-
создала бы линейно поляризованная
волна, падающая на поверхность нор-
нормально; только теперь эта волна по-
Рис. 54. Скин-эффект. Возраста-
Возрастание омического сопротивления R
с величиной 2, даваемой уравне-
уравнением A64а).
ляризована перпендикулярно к оси провода. По сравнению со скин-
эффектом электрическая и магнитная силы поля поменялись, следо-
следовательно, своими ролями; в частности, уравнение A64) относится
^теперь к прониканию в нагреваемый стержень магнитного поля Н.
По его интегрировании и здесь комплексный вектор Пойнтинга не-
непосредственно указывает Джоулево тепло и магнитную энергию поля
в стержне.
§ 67, Самоиндукция и • емкость двойного провода. Перед тем>
как перейти к изложению теории волн вдоль провода, рассмотрим,
стационарное поле двойного провода.
Пусть имеется два прямых цилиндрических и друг другу парал-
параллельных проводника, длина которых очень велика по сравнению с их
взаимным расстоянием; например, два параллельных провода (двои-

208 Элептромагнштиое поле
ной провод в собственном смысле) или провод, покрытый изолирую-
изолирующей оболочкой и проведенный в воде (кабель). В последнем случае
одним проводником служил бы провод, другим — вода. Предположим,
что оба проводника электростатически заряжены один противоположно
другому, и что, кроме того, по ним текут равные до величине, но
противоположные по направлению токи. Сопротивление проводов
на первый раз пусть будет равно нулю, чтобы не было падения
напряжения вдоль проводов. Тогда и электрическое поле Е ста-
статического поверхностного заряда и магшишое поле Н токов ясюду
перпендикулярны к оси провода. Следовательно, если провести пло-
плоскость ху нормально к длине проводки, то Е0 = Нг = О.
Вычислим поле в изоляторе (е, jjl); пусть последний будет одноро-
однороден в пространстве между обоими проводниками.
Электрическое поле не имеет вихрей и, следовательно, может быть
выведено из потенциала Ф(х, у):
Магнитное поле не имеет источников и потому может быть выведено
жз векторного потенциала А, у которого, в силу того, что все токи
проходят параллельно оси г, только составляющая по z As = t*W (х, у)
может отличаться от нуля. Следовательно, jiH = rot А, или
dW dW
Введенные таким образом в плоскости сечения функции Ф и W должны
удовлетворять следующим условиям: так как в изоляторе нет ни
зарядов, ни токбв, то в нем div Е = О и rot H = 0, т. е.
Обозначим затем через -|-е заряд единицы длины проводника 1,
через I — ток (в направлении z) в проводнике 1. Если ^алее ds есть
элемент пути, по которому производится интегрирование и который
охватывает первый проводник, но не охватывает второго, то
4тсе = в ф Е„ ds и — I = ф (Hds). При этом нормаль % п напра-
направлена от проводника наружу. Элемент длины ds величины ds с соста-
составляющими dxy dy связан с составляющими п^ и ву единичного век-
вектора л следующим образом:
dx= — dsnv и dy = $snx. A66a)
Поэтому
(а\гг

Самоиндукция и емкость двойного провода 209
дФ
Так как, с другой стороны, Еп = —, то мы имеем дальнейшие
on
условия
4*в Г дФ 4тг1 Г dW
=— I -~—dsf = — I -я— ds A67)
е J on с J дп ч
1 i
и соответственно для пути интегрирования, охватывающего второй
проводник,
4тив Г дФ , 4тс _ Г dW 7 , n N
= I -к— ds, 1=1 ~K—dsy A67a)
s J On с J dn v '
2 2
В уравнениях A66) и A67) бросается в глаза аналогия между функ-
функциями Ф и W. Чтобы сделать эту аналогию совсем полной, введем
ограничивающее предположение, что на поверхности проводника маг-
магнитное ноле имеет чисто тангенциальное направление. При однородном
кабеле с круглыми и концентрическими поперечными сечениями это
предположение вследствие симметрии явно удовлетворяется. При
двойном проводе оно выполняется приближенно, когда расстояние
между проводами велико по сравнению с их диаметром. Мы впослед-
впоследствии применим наши результаты к быстро меняющимся полям. При
таких полях, пока проводник можно рассматривать как идеальный, это
предположение выполняется строго при всех обстоятельствах: вслед-
вследствие того, что переменное поле в такой проводник не проникает,
и имея в виду, что Н источников не имеет, нормальная составляю-
составляющая Н должна на поверхности обратиться в нуль. Так как линии
поля Н совпадают с кривыми W = const, то наше предположение
равносильно тому, что на поверхностях проводников 1 и 2 W при-
принимает постоянные значения W1 и W2.
Соответствующее уравнение, конечно, всегда имеет место для
электростатического потенциала Ф. Следовательно,
W = const )
> на поверхностях проводников 1 и 2. A68)
Тремя уравнениями A66), A67), A68) Фи? определяются одно-
однозначно вплоть до не имеющей значения аддитивной постоянной.
Так как, кроме того, обе функции, если не обращать внимания
на численные значения, появляющиеся в A67), должны удовлетво-
удовлетворять одинаковым условиям, то они могут отличаться друг от друга
только численным множит ел ем., И притом, согласно A67),
W(x, у) = ^-*{х,у). A6С)
Векторы Е и Н взаимно перпендикулярны. Их ве-
величины находятся в постоянном численном отно-
отношении
[Н| = |Е|—. A69а)
14 Абрагам-Беккер. — Теория электр.

210 Электромагнитное поле
Для выяснения физического значения W из уравнения A65а) можно по-
ъ
черпнуть следующее. Рассмотрим произвольную кривую / ^
щую две точки а и Ъ в плоскости ху. Пуст^ ей соответствует по
A66а) нормаль п. Сместим эту кривую параллельно оси z на 1 см
ь
и подсчитаем поток сил Г HMds, проходящий через полосу abb'a',
а
покрываемую кривой при таком смещении. Очевидно, согласно A65а)
и A66а),
dW dW dW
ду bz ds J
следовательно
ъ
J « S== Ъ— а*
a
Представим себе теперь, что такая полоса с шириной \ положена
на боковые поверхности обоих проводников, и определим, как „коэф-
„коэффициент внешней самоиндукции41 La единицы длины нашего
двойного провода, разделенный на с поток индукции, который про-
проходит через эту полосу при силе тока 1=1. Следовательно,
(Выражение „коэффициент внешней самоиндукции" и индекс а должны
указывать на то, что для вычисления полной самоиндукции L нужно
было бы принять во внимание еще величину Ln прибавляемую ма-
магнитным полем, проходящим внутри ироводников).
С другрй стороны, определим емкость С, приходящуюся на
единицу длины двойного провода, по уравнению:
е = С^(Ф1— Ф2). A70Ь)
Согласно A69)
Фх — Ф2 VI г — ЧГ2 с
е I s
Но отсюда
С ~ ^п ' (JL8 '
или
= -^ = ». (П1)
Величина, обратная произведению емкости и коэф-
коэффициента внешней самоиндукции, равна квадрату
скоро сти света w в окружающей среде.

Самоиндукция и емкость двойного провода 211
К этому же результату мы придем, если будем определять С
и La при помощи энергии поля, накопляемой в изоляторе (всегда
на 1 см двойного провода):
4 LaP; иш = -^-е*. A72)
Из A69а) следует, с другой стороны,
иэл ef(E)*df s
(При этом опять остается не учтенной часть магнитной энергии поля
— LJ'2 J, сосредоточенная внутри проводника).
Совместно с A72) это дает непосредственно уравнение A71).
Вектор Пойнтингав нашей схеме всюду параллелен оси я,
и притом по A65) и A65а):
о р / #Ф AW #Ф fiW
ГЧ ^ Г~Г% ТГ Т1 1Г N I V 1 I/ ас I/ X ( I/:ХГ I/ Л.
В силу A66) для полного потока энергии 8 через плоскость ху тео-
теорема Грина дает
S
Го л л о Г ^dW с Г ^dW
= I 8edxdy= — — I Ф-тг-ds— — I Ф-r—&.
1 2
1 2
В силу постоянства Ф на поверхностях обоих проводников второе
уравнение A67) и A67а) дают
Но это есть как раз то Джоулево тепло, которое выделяется при
замыкании двойного провода, не имеющего сопротивления, омиче-
омическим сопротивлением величины
В заключение укажем еще значения С для двух простых случаев.
Собственно двойная проводка. Расстояние d между
проводами велико по сравнению с их радиусом Ъ. Тогда для любой
точки наблюдения (ср., например, рис. 41)
2е 2е
е х е 2#
На поверхности первого провода гг = Ъ; при этом в силу d ^> Ъ
r% = d, откуда
2в , d , 2е , d
Ф1 = — In -7- и Фо = In —.
1 е Ъ г г Ъ
Поэтому
-=• (двойной провод d^>>b). A73а)
~ * 2 4 • In -г-
0
14*

212
Электромагнитное поле
При кабеле (медная проволока радиуса а, изолятор радиуса 6;
снаружи г = Ъ вода в качестве второго проводника) в изоляторе
1 = • In r;
отсюда
А, следовательно,
,= • lnb.
e
(кабель).
A73Ь)
В выражениях A73а) и A73b) нужно обратить внимание на то,
что С является отвлеченным числом, и что порядок его величины
в практических установках лежит примерно между 1 и —-. Соответ-
Соответственно порядок величины ?а, согласно A71), лежит между 10~21 до
10 . Ю-81.
§ 68. Волны вдоль идеальных проводников. Рассмотрим тот же
двойной провод предыдущего параграфа; пусть, как и в предыдущем
случае, поле будет поперечным, но зависит как от*, так и г.
Напишем сначала общие уравнения Максвелла для изрлятора, для
случая, когда Нг = Е2 = 0:
(а)
Е = rot H или <
— Н = — rot E: <
г
с
0
0:
С
с
п -
dt
У
dt
д.
i
dt
dt
д
¦ щ,
dz
Щх
dz
te ду
~ dz
— dz
X!i OXU
(Ь)
(с)
(в)
ду дх
divE = O: ~-\ .-
дх 1 ду
(В)
divH = 0: —-f-f-—Jt = о. (h)
дх ' ду v y
A74)

Волны вдоль идеальных проводников 213
Что касается зависимости от х и у {11 & с, f, g, h), то эти урав-
уравнения ничей не отличаются от случая стационарности. Мы можем,
значит, и здесь ввести функции Ф и W, которые теперь, кроме как
от х и у, зависят еще от t и #.
Четыре уравнения (с, f, g, h) будут тогда удовлетворяться выра-
выражениями:
х~ дх~'
A75а)
и =
И =
ду ' у/ дх
Пусть -fе и —е опять будут заряды проводников в "рассматри-
"рассматриваемом поперечном сечении, рассчитанные на единицу длины, а /
и — I — силы тока; еж1 теперь будут функциями z и t; тогда Фи?
должны удовлетворять всем поставленным в предыдущем параграфе
условиям A66), A67), A68). Условия A68) теперь, при переменном
поле, соблюдаются даже строго, так как поле внутри идеального
проводника должно равняться нулю; в самом деле, тангенциальная
слагающая Е проходит через поверхность проводника непрерывно;
то же относится к нормальной слагающей Н (тангенциальная соста-
составляющая Н при идеальном проводнике, наоборот, ввиду сосредо-
сосредоточения тока в тонком поверхностном слое, вообще говоря, испыты-
испытывает здесь разрыв). Поэтому, если обозначить индексом о вычислен-
вычисленные в предыдущем параграфе четыре соответствующих друг другу
значения Wq, Фо> 1о, е0, то решение A75а и Ь) теперь будет
Ф{х, у, z, 0 = —1±—-
%
W (х
Но по уравнению A69)
A75с)
а потому
ЧГ(х, у, 0, t) = ±*°{x>y) . !(,, О- (d)
с е0
Теперь мы должны еще удовлетворить четыре оставшихся урав-
уравнения A74а, b, d, е). Если ввзсти величины Ф и .ЧГ по A75а, с, d),
то из A74а), а также A74Ъ) получается

Электромагнитное поле
Исключение I или е для каждой из указанных двух величин дает
волновое уравнение
ЬЧ с* д*1
Вводя скорость волны
V*'
получим, следовательно, общее решение в виде
A76с)
A76d)
где д и f—произвольные функции.
Если воспользоваться понятиями „коэффициента самоиндукции"
т" то основные уравнения A76а и Ь) волн вдоль про-
провода можно получить также следующим об-
образом.
Заряд, находящийся на участке dz про-
провода, может измениться только^ вследствие
того, что входящий ток отличен от выходя-
выходящего. Это дает „уравнение непрерыв-
непрерывности" -тгг — тг~ в соответствии с A76а).
dt dz v '
Применим далее закон индукции к кон-
контуру, приложенному между обоими проводни-
проводниками, ширины dz (поверхность abed рис. 55).
Поток индукции через эту полосу, умноженный
Рис. 55. Применение за- 1
кона индукции к двои- на —, согласно определению La A70a), pa-
ному проводу.
вен
dz.
Интеграл по этому контуру / Esds будет
abed
Последнее равно уменьшению магнитного потока; поэтому
dz ~ а т'
Вводя емкость 0 =
, получае^-отсюда
а dt

Волны вдоль идеальных проводников 215
Если принять еще во внимание введенное в предыдущем параграфе
соотношение С • La = ¦—-, то последнее уравнение станет тожде-
тождественно с A76Ь).
Рассмотрим в частности волну частоты со, распространяющуюся
по направлению положительной оси г; тогда A76с, d) дают решение
Ф = Фо . sin (d | t —
I = С • w - Фп • sin ш • ( t ~
где для сокращения положено Фг — Ф2 = Ф. Выводимое отсюда
поле Е, Н отличается от плоской волны в однородной
среде только тем, что в плоскости волны (плоскость ху)
как направление поляризации, так и интенсивность
оказываются функциями координат; интенсивность значи-
значительно отличается от нуля только около самых проводов; на поверх-
поверхности провода электрический вектор всюду нормален к этой поверх-
поверхности. Мы имеем картину волны, скользящей вдоль двойного провода.
Вид поля в плоскости волны был показан ранее на рис. 42.
Из разнообразных применений волн вдоль проводов рассмот-
рассмотрим вкратце лишь следующий случай.
Пусть двойной провод простирается от плоскости я = — I до
3 = 0. Здесь она замыкается омическим сопротивлением В. Пусть ее
начало (& — — I) соединено с „источником переменного тока" частоты ш.
Чтобы определить результирующее распределение напряжения и токов,
напишем сначала, основываясь на A76с) и A76d), общее решение
для частоты о>:
^ ^ Н
где а и V — произвольные комплексные числа. Мы можем, однако,
не нарушая общности, взять а веществ знным и положить V = &> е® ,
где Ъ и р -—- также вещественные числа. Положим, далее, для сокращения
т. е. мы измеряем наш двойной провод в С, если за единицу взято——;.
С возрастает на 2тг, когда z увеличивается на полволны. Теперь наше
решение будет иметь вид
A77)

216
Элзптромагнищное поле
Мы можем по этим выражениям построить векторную диаграмму Ф
и I для любого поперечного сечения г-. При этом общий фазовый
множитель е wJ не имеет никакого значения. Значение же кон-
констант а, Ь, C видно из рис. 56: вокруг конечной точки В отрезка
ОВ = а опишем окружность радиуса 6; В есть центр круга, не обо-
обозначенный на рис. 56. Диаметр круга GH, лежащий в направлении а,
повернем затем на угол C + С. Вследствие этого он займет положение
FE (на рисунке С, соответственно нашему примеру, отрицательно).
Тогда, согласно уравнению A77), отрезками OF и ОЕ определяются
как по амплитуде, так и по разности
фаз величины Ф и -~— для попереч-
поперечного сечения # = —:—* Таким обра-
образом, состояние вдоль всей проводки
определяется весьма просто соответ-
соответствующим поворотом диаметра. Эту
общую картину нужно уточйить для"
условий, предписанных на конце прово-
проводов; в частности, в нашем примере: со-
сопротивление—омическое, равное^; сле-
следовательно, при С = О, Ф = 1 • В. Равен-
Равенство фаз Фи! при С = 0 требует C = 0.
Согласно A77), при таком краевом
условии в месте С = О следует далее
а — Ъ I 1
Рис. 56. Векторная диаграмма
идеального двойного провода.
Каждому поперечному сечению
двойного провода соответствует
диаметр окружности. Векторы,
проведенные из начальной точки
к конечным точкам диаметра,
дают значения тока и напряже-
напряжения в соответствующем сечении.
•Ъ ф.С.ги
Тем самым определено также отношение отрезка OG к ОН, а, следо-
следовательно, вплоть до численного множителя, и состояние на всей
системе проводов.
Нужно обратить внимание на следующие предельные случаи для В:
В=со. Провода на конце разомкнуты. Тогда Ь = а;
окружность проходит через точку О; Ф и / всюду имеют разность фаз
в 90°. В местах ? = 0, —, 2 —.. .1 = 0 ,и в местах # = —, 3-—,
5 —...Ф = о. Стоячие волны.
В =
Ow
= L - w. Это дает Ъ = 0. Отраженная волна совершенно
отсутствует, сопротивление нацело поглощает падающую волну, -^г-
и Ф всюду имеют одинаковую величину н\одинаковую фазу.
jR = O. На конце провода замкнуты накоротко.
Ъ = — а. Этот случай отличается от В = со только тем, что в данной
там картине следует переставить местами / и Ф.

Волны щвдоль проводов при конечном сопротивлении последних 217
Перенос энергии на проводах для всех сечений имеет, конечно,
одинаковое значение, как это непосредственно видно также из рис. 56.
Именно, вплоть до численного множителя —-—он определяется урав-
it
нением:
OF.OEcosy^OF'-OE^OG- ОН.
Он, например, всегда равен нулю, когда конец проводов замкнут
только на самоиндукцию или емкость без омического сопротивления.
В самом деле, тогда на конце проводов угол между фазами составляет
-]-90о или —90°, что возможно только при \Ъ\ = а. Окружность
в нашей диаграмме в этом случае всегда проходит через начальную
точку О.
* § 69. Волны вдоль проводов при конечном сопротивления
последних. Для практической телеграфии чрезвычайную важность
представляет вопрос, какое изменение претерпевает описанное в пре-
предыдущем параграфе распространение волн в идеальных проводниках,
если учитывать имеющееся во всех случаях омическое сопротивление
проводов. Само собой ясно, что следствием выделения Джоулчева
тепла в проводе будет затухание волн. Кроме того, как мы увидим
дальше, как затухание, так и скорость волны будет зависеть от частоты,
и вместе с тем будет происходить искажение сигналов (например,
разговора), передаваемых по проводам.
С точки зрения теории Максвелла, омическое сопротивление в про-
проводнике означает появление продольной составляющей электрического
поля; Е2 нельзя теперь полагать равной нулю. Поэтому из восьми
уравнений A74) предыдущего параграфа a), b), f), h) остаются не-
неизменными только четыре уравнения, остальные же четыре нужно
дополнить членом с одной из производных от Е2 по #, у, з, t. Кроме
того, поле теперь проникает в проводник, а потому теперь нельзя
уже ограничиваться рассмотрением поля изолятора. Вследствие этого
задача настолько усложняется, что строгого и общего решения дать
нельзя. К счастью, во всех практически важных случаях задачу можно
несколько упростить, вводя соответственные предположения относи-
относительно порядка величины Ег. Эти предположения можно выразить
в кратком, хотя и не сЪвсем правильном виде следующим образом:
* Эл. поперечное поле в изоляторе ^> продольного поля ^> по-
поперечного поля в металле A78).
Это соотношение нужно понимать так:
а) Так как уравнения A74 f, h) остаются справедливыми, то мы
можем поперечное поле представить, как и раньше, уравнениями
(относительно предположения Н —0, ср. стр. 218):
В—№ Н- dW
у ду z дх

218 Электромагнитное поле
Но тогда
divE-Оюш Ц+?| = -^
A79)
rotH==i-.^ или-(|^ + |^)=^
с dt \ ох1 ' ои1 I с dt \
Ф и W уже не удовлетворяют, значит, уравнению A75Ь) предыду-
предыдущего параграфа. Однако, если —•—- и -w~ достаточно малы, то, не-
несмотря на это, в дальнейшем можно производить вычисление прак-
практически на основании этих уравнений.
Мы будем рассматривать задачу сначала в таком приближении
и уже затем с помощью полученного решения дополнительно покажем,
что предположение A78) в этом смысле действительно выполняется
(см. дальше уравнение A83)).
Ь) Второе предположение A78): Ег ^> поперечного поля в металле
необходимо, если, как мы всегда будем делать, мы желаем положить
Н7 = 0. Дело в том, что в противном случае ток проводимости также
имел бы поперечную составляющую, которая, со своей стороны, вы-
вызвала бы продольную составляющую Н.
Так как уравнение A67) для заряда е единицы длины проводов
и тока I соблюдается здесь во всяком случае, то пренебрежение в A79)
величинами —-—- и * означает, что поперечное поле в изоляторе
вполне соответствует вычисленному нами в § 67 полю для стационар-
стационарного случая. В частности, мы можем тогда и здесь пользоваться без
изменения введенными там величинами С и La. Следовательно,
1С (Ф,-Ф2) = е
по прежнему означает заряд и
— поток индукции, проходящий через полосу, приложенную с обеих сто-
сторон у проводов, ширины 1. Совершенно так же, как в предыдущем
параграфе (рис. 55), мы можем теперь вывести с помощью уравнений
непрерывности и уравнения индукции закон распространения. Но при
обходе прямоугольника abed теперь и стороны Ъс и da прибавляют
часть к интегралу, а именно — Е^ и Е^ , так что мы получаем
+о
E2 и Е^ представляют собой при этом значения Ег на поверхности
проводника, а, значит, в силу непрерывности тангенциальной составляю-

Волны вдоль проводов при кЬнечиом сопротивлении последних 219
щей В, — и значения у поверхности внутри металла. До сих пор не говори-
говорилось о поле внутри провода. Учитывая его, мы должны исключить из по-
последнего уравнения величины Ег и Ш^. Для этого заметим, что внутри
провода общая картина такова же, как (см. § 66) при скин-эффекте.
Мы можем поэтому непосредственно воспользоваться выведенным там
уравнением A62)
Конечно, величины В и Lt уже не являются теперь постоянными, но
существенно зависят от частоты <о переменного тока, как было пока-
показано. Поэтому наше решение имеет значение также только для сину-
синусоидального переменного поля.
Если обозначить теперь через
омическое сопротивление и „коэффициент внутренней самоиндукции"
нашей двойной петли, то наше второе уравнение A80) получит вид
1 де i РЛ1Х д1 — т д[
и совместно с первым уравнением A80) даст
дЧ д1 дЧ
^ + ^+^
<181>
Если обозначить полный коэффициент самоиндукции через L
А + I*a — A
то для веглны с частотой ш уравнение приобретет вид
Это уравнение можно удовлетворить, положив I = 10 • е%^° *~1~т*), что
дает для ^ значение
1* = a>WL — ivCR. A82)
Если разложить f на вещественную часть а и мнимую р:
т = а — i[J, A82a)
то
(ШЬ)

220 Электромагнитное поле
При этих значениях наше решение будет иметь вид
— есть, следовательно, фаговая скорость нашей волны,
а
1
a —r тот путь, по прохождении которого амплитуда
волны ослабляется в е раз.
Чтобы ясней показать влияние поля, проникающего в металл, раз-
разложим в A82) L опять на La-\-Lt и используем соотношение
остающееся справедливым и здесь; при этом w есть скорость света
в диэлектрике. Тогда A82) позволяет написать
Числами
,„_?_ и Гв_* *^5! A82d)
La (x>La со
можно характеризовать „индуктивное" и „омическое" участие вну-
внутреннего поля металла в полном поле. Если* обе величины малы по
сравнению с единицей, то разложение в ряд
-ir = 1 -f-A- (l — ir} —|- V-ir)*+ ...
CO2
для слагающих а и |3от у == ос — г$ = —- A -{-1 — if) дает
(о м;
В первом приближении процентное запаздывание распространения
1 /*
волны равно -^- или —, в зависимости от того, которое из этих двух
2 8
чисел больше; г же имеет fo значение, что по прохождении одной
. w • 2тс . тсг
длины волны л = амплитуды ослабляются в е раз.
со
Рассмотрим еще порядок величины числа г, играющего решающую
роль для затухания.
_ В __ В С-tv*

Волны вдоль проводов при конечном сопротивлении последних 221
^ w * 2тг _ ом
Если л есть длина волны = , то, если В измерять в
@ ' г СМ
и положить w = 3 • 1010 см/сеп,
7?
ом/сле о 1Al0
3 •101 ° =
Для медного провода с поперечным сечением в 1 мм2 при прене-
пренебрежении скин-эффектом:
В = 2 -0,00017 = 34. 10~5;
следовательно,
г^е ^км~^смщ^® 5 дает ДлинУ волны^ измеренную в километрах. Так
как порядок величины С — единица, то, например, при разговорных
/ ш 3 • 1010 \
частотах I -—-~300О; \ш = 107 = 100 км ), величина г
вовсе не мала, но, напротив, так велика по сравнению с 1, что в этом
случае можно пренебречь 1 и -— . Поэтому мы имеем приближение
1 ИЛИ
Следовательно,
(D |/ 2<
И р =
2со v
что можно также вывести непосредственно из A82а) и A82Ь) для
случая L<s><^B.
Поэтому, если длина волны значительно больше, ч:ем 1 км, то
фазовая скорость = — = 1/
. 1
и дальность пробега — =
После того, как решение
нашей задачи найдено, мы должны дополнительно исследовать границы
его применимости. Для этого мы должны оценить порядок вели-
величины ошибки, допущенной нами вследствие пренебре-

222 Электромагнитное поле
жения правой стороной в уравнении A79). Зная /, мы тем
самым на основании A80) знаем и величины е иЕг —"Ег :
CD
или, в силу LaC = —г- и полученного из A82с) и A82d) значения -у
l-ir).
Обратимся еще раз к уравнению A79) и рассмдтрим значения
/дФ Г dW
-г— ds и I —;— ds для кривой, охватывающей первый провод-
проводил J on
ник на расстоянии а. Для первой величины поручается
J дп ~ s 'J 9 j '
если df означает элемент поверхности, ограниченной этой кривой.
Е2 достигает своего наибольшего значения Ег на поверхности про-
провода. Площадь / df по порядку своей величины равна а2. Член, вно-
ЭЕ Г дФ
симый величиной -~- в поток сил I -r— dsy можно, следовательно,
oz j on
считать незначительным, когда
ЭЕ
«1
" 9
где а указывает поперечный размер двойной проводки — скажем, рас-
с Г dW с Г
стояние между проводами. С другой стороны, -— I —- ds= -т— mHcZs)
4тс J on 4тг J
определяется суммой тока проводимости I и полного тока смещения
8 Г ™
~±к J
-д~г df А, следовательно, пренебрежение током смещения
в A79) будет справедливо тогда, когда
9Ев
dt
Если поставить в оба уравнения значения, полученные выше для е
в Е^, то оба условия дают одно и то же/требование
ir — 0, A83)

Комплексный вектор Пойнтинга в телеграфном уравнении 223
или также, имея в виду величины г и I,
Рассмотрим первое из этих двух условий при невыгодном допу-
допущении относительно i?, т. е. для случая сильного скин-эффекта.
Пусть Ь — радиус провода; тогда, согласно A64а) и A64Ь),
Наше условие, следовательно, гласит:
Оно могло бы быть нарушено исключительно большими значе-
значениями ш (слишком короткие волны) или слишком малым радиусом Ь
проводов. При коротких электрических волнах <о^;107 сек. """*; о у ме-
металлов ос 1017 сек. ~х. Но тогда
При расстоянии между проводами а = 10 см получается тогда
условие для I
10~9
см
6;>3.1(Г7 см,
которое нарушить невозможно по техническим основаниям.
* § 70. Комплексный вектор Пойнтинга в телеграфном уравне-
уравнении. Рассмотрим задачу предыдущего параграфа еще в другом виде;#
мы предположим, что для всех величин поля зависимость от t и з
с самого начала задается множителем
Положим в уравнениях Максвелла опять Нг = 0; далее, для всякой
функции поля о, появляющейся в этой задаче, имеют место уравнения
Мы не будем, однако, ограничивать наши уравнения случаем изолятора,
ютому буде
проводимости.
а потому будем принимать во внимание также член —^- оЕ для тока
с

224 Электромагнитное поле
Тогда у нас имеются уравнения:
) У с я?' Qy У
A84)
Ь) -«,4, _ J=±=- В, е) -*А-? — 2: Н
9Н„ 8Н, to + и. „ SE» ЭЕ,
4 '
2:
„ 8Н, to + и. „ SE» ЭЕ,
4 ~S а» с ¦ ' эх ay ~
С помощью всего одной функции Ф f), а) и Ь) удовлетворяются
выражениями:
ти ^Ф тг s<0 )
Е*=—w н*=—То ~?
ЭФ_ _
Для Е2 получаются тогда два различных уравнения. Одно из с):
A86a)
и второе из d) и е). Введем для краткости для материальной постоян-
постоянной величину wr по формуле:
С1A86Ь)
о
со
Тогда второе уравнение получит вид
Ф. A86с)
Из A86а) и A86с) для комплексной функции Ф следует тогда диф-
дифференциальное уравнение
&, A86d)
интегрирование которого, при соответствующих граничных условиях,
могло бы дать комплексное „число волн" f. Это интегрирование при
произвольно заданных численных значениях w' для изолятора и мв-
талла наталкивается, однако, на большие трудности. Приближение,
данное в предыдущем параграфе, сводится к тому, что в изоляторе
полагают правую сторону A86d) = 0,/в металле же, соответственно
/ / <» \2-
теории скин-эффекта § 66, считают ^2 малой по сравнению с 1 —г J ,
Тогда % вообще отсутствует в дифференциальном уравнении. Оно полу-

Комплексный вектор Пойнгпинга в телеграфном уравнении 225
чается дополнительно из пограничных условий (непрерывность танген-
тангенциальных составляющих В и Н).
Покажем еще, как можно непосредственно прийти к результатам
предыдущего параграфа, пользуясь теоремой о комплексном векторе
Пойнтинга
(ср. A59а) и A59Ь)). Для его составляющей по г получаем из A84а
и Ь) непосредственно
flo (Н^Нд.* 4" НуНу*) равняется удвоенной магнитной энергии
17магн. Беря интеграл S/ по поверхности, проведенной нормально
к проводам, получим, следовательно, соотношение между полным пото-
потоком S' вектора Пойнтинга в направлении проводов и магнитной энер-
энергией поля, приходящейся на сантиметр проводо^. Так как в металле
нужно положить s = O, а в изоляторе а = О, то это соотношение будет
= J S.'df:
8@
T f217
магн. в изолят. I ^тса - м*гн-в металле
.A87)
Рассмотрим теперь два поперечных сечения наших проводов, нахо-
дящиеся друг от друга на расстоянии в 1 см. 1огда «— предста-
вляет собой часть „комплексного потока энергии" 8', сосредоточенную
между двумя сечениями. И согласно A59Ь)
— —- as Джоулеву теплу-|-2г(о (маг. энерг. поля—эл. энерг. поля) A87а).
03
Найдем на основании этого уравнения приближенное значение „числа
волн", для чего поступим следующим образом.
При вычислении электрической энергии поля пренебрежем про-
продольной составляющей Ег от Е. Тогда согласно A84а и Ь)
еЕЕ* ^ l™*f 4Q НН*.
(so)J -j- DтсаJ
Мы можем даже ограничиться при учете электрической энергии поля
одним изолятором и поэтому имеем
el S(C2 магн. в изоляторе.
15 Абрагам-Беккер. — Теория эдектр.

2%6 Электромагнитное поле
Кроме того, введем сопротивление, а также коэффициенты внешней
и внутренней самоиндукции посредством уравнений
Джоулево тепло = ^г Ш1*
магя. в изоляторе ^ а
магн. в металле ^ *
Затем в A87а) нам нужна производная по z\ 8Г зависит от z по-
посредством множителя
так что
¦--?-* n-n-ir.
Здесь мы должны подставить 8' из A87). При этом мы можем
пренебречь второй частью (относящейся к металлу). Тогда из A87а)
по сокращении на — JJ* получается
2
11 еоо
или также
отсюда
что находится в полном согласии с результатом, полученным и разо-
разобранным в предыдущем параграфе (уравнение A82с)).
§ 71. Общие электродинамические потенциалы. В этом и еле*
дующих параграфах мы ставим себе задачу вычислить поле, которое
создается заданным распределением заряда и тока. Итак, пусть
плотность тока i(x, у, z, t) и плотность заряда р(а?, у,
е% 0 даны как функции координат и времени. Мы ограни-
ограничимся при этом распространением поля в пустоте, т. е. положим
ВСЮДУ S==jji= 1.
Тогда поле определяется уравнениями
a) rotH l-E = ~ i с) rotE-f — Н = 0,
b) divE = 4Tcp> d) divH =
A88)

Общие электродинамические потенциалы 227
Из а) и Ь) прежде всего следует, что i и р не могут быть заданы
вполне произвольно, так как всюду и во всякое время должно удо-
удовлетворяться уравнение непрерывности
divi-fp = O.
Мы удовлетворим A88d) тождественно, введя векторный потен-
потенциал А
H = rotA. A89а)
Но A88о) означает, что Е-| , А не имеет вихря; поэтому и A88с)
с
удовлетворяется, если положить
Е = A —grad<p. A89b)
с
.Подставляя эти значения для Н и В, из а) и Ъ) получим
rot rot А -\—g- А -| gradi = i,
divA — Аср = 4irp .
Уравнением A89а) даются только вихри вектора А. Источниками же
его мы можем еще распорядиться произвольно. Потребуем, чтобы
divA = <?. A89с)
Вследствие этого последние уравнения в силу F5) получают про-
простой вид:
-?¦?—-г1- A9Оа>
<19Ob>
Для случая стационарного поля эти уравнения непосредственно-
переходят в подробно разобранные раньше уравнения электростатики
и уравнения стационарного распределения токов (ср. для этого §§ 14
и 18). Распространение поля во времени учитывается в A90) тем, что-
92 -, з» . - а2
известный И8 статики оператор ~о~у ~г ttf т "яПГ дополняется чле-
1 92
о
15*

S28 Электромагнитное поле
Общий интеграл A90а и Ь) тоже удается привести к виду, весьма
сходному с выражением, имеющим место для стационарных полей.
Этот вид, как мы сейчас убедимся, будет таков:
, г г г 1 и,; с <-f)
АО, у, *, 0 =— / / / —i - li iWYidC, A91a)
-^ " C-L dU^ A91b)
Эти уравнения показывают, что величина, вносимая элементом
объема dWrjdC в величину потенциала в точке наблюдения #, у, z,
отличается от статического случая исключительно тем, что для плот-
плотности тока i и плотности заряда р нужно подставить те значения,
которые были в И\^Ач\> с?С в момент времени t . Члены — и — ,
вносимые точечным источником в величину по-
потенциала в точк.е наблюдения, попадают туда только
Т
спустя время — .По этой причине А и <р называют также з а п а з-
с
дывающими потенциалами.
Мы должны теперь еще убедиться в том, что A91) действительно
представляет решение A90). Достаточно привести это доказательство
для A91Ь). Разложим для этого область интегрирования на две части Fx
и F2, где Vt означает очень малый объем, содержащий точку х, у, я,
a F2 — всю остальную область. Соответственно разложим
ft/ С J
Ух V,
Но при интегрировании по очень малой области Vx запаздывание,
очевидно, не играет никакой роли, так что в первом интеграле можно
заменить р г просто на pt. Но тогда он не отличается больше ничем
t -
от статического случая. Мы получаем таким образом Д^ = —4тгр (ее, у,
2^ ?), Далее, для величины, зависящей только от г, согласно § 20
справедливо вообще
а, следовательно,
= J ~

Решение Герца 829
Но для всякой функции f от t *-
» с
дг2 ' с* №
Таким образом
d2f
так как 1 при переходе к пределу Vt —> 0 обращается в нуль.
Следовательно, действительно
— -^J-.
Таким образом, даваемая уравнением A91Ь) функция <р действительна._
удовлетворяет дифференциальному уравнению A90Ь).
В следующем параграфе мы подробно рассмотрим данное здесь
вполне общее решение Максвелловых уравнений в применении к част-
частному случаю, именно — к сферическим волнам, испускаемым колеблю-
колеблющимся диполем.
§ 72. Решение Герца. Рассмотрим в этом параграфе специально*
поле, которое создается такими токами и зарядами, изменяющимися
во времени, при которых вся эта система (передатчик) сосредоточена
в весьма малой области около начала координат. Физически это озна-
означает следующее: размеры передатчика должны быть малы по сравне-
сравнению с длиной волны к производимого им излучения, а также малы
по сравнению с расстоянием г, на котором мы исследуем поле пере-
передатчика. Тогда для потенциалов А и <р, из которых по A89а и Ъ)
выводится поле, всюду, за исключением лишь облает^, непосредственно
примыкающей к началу координат, справедливы уравнения
*
1 д2А.
АА -р- -р-- = 0, A92а)
1 дЧ
^—^-w=^ <192b>
divA-)—L-^ — o. A92c)
Простейшее решение, пригодное для нашей цели, мы получим, если
потребуем, чтоб А зависело только от расстояния г от начала коорди-
координат, и чтобы этот вектор всюду имел одинаковое направление. Выбе-"
рем за ось е это направление и попробуем положить
Ав = 0/ А, = 0, АА2 1- As = 0.

230 Электромагнитное поле
Так как kz должно зависеть только от г,
г дг*
и решение его:
A93>
• Г
где^ означает функцию аргумента t , остающуюся пока произ-
»¦ с
вольной. Тогда в силу A92с) оказывается по существу определен-
определенным и ф: '
Но
dz dr dz
Отсюда мы получаем
cr
J-. (ша)
Тем самым удовлетворяется и A92Ь).
•Чтобы понять, далее, физический смысл этого решения, рассмотрим
для области, столь близкой к передатчику, что можно пренебречь
р
I — по сравнений) с t\ и
2
запаздыванием I — по сравнений) с t\ и членом с г в знаменателе
по сравнению с членом с г2 в знаменателе. Если, например, как это
большей частью имеет место в применениях, р меняется во времени
периодически, и, значит,
М ~] =
то, согласно (
Bitvcos2?c (v^ ^-) sin2it (vf
2-со.2. (^^JrA i2 (,Z) } JL

Решение Герца
231
Если выбрать здесь г <СЛ то, действительна, можно зачеркнуть,
во-первых, — в тригонометрических функциях, во-вторых, член 2тс cos.
Вбливи передатчика (г<С!^) наше решение будет, значит
JL
сг
р
7Г
Но
Р
— — —Р
—) представляет собой электростати-
электростатический потенциал электрического диполя, момент которого р направлен
вдоль положительной оси Z. Напротив, А, согласно закону Вио-Савара,
является векторным потенциалом элемента тока
Ids=p. Следовательно, если представить себе
на расстоянии ds два металлических шара
с зарядами -\~е и соответственно —е, то
они эквивалентны диполю момента eds. Если
заряд изменится вследствие того, что шары
будут соединены через искровой промежуток
или проволокой, то в соединяющем участке ds
пробежит ток I = —7т- . Таким образом, усло-
dt
вие Ids=zp в этой схеме выполняется.
Если теперь мы разберем наше решение
A93) и A93а) для любых значений г, то тем
самым мы получим излучение волн диполя момента р =
находящегося в начале координат и ориентирован-
ориентированного по оси г.
Для обсуждения значений Е и Н, вычисляемых по A89а и Ь), вве-
введем полярные координаты г, ft, а и отложим ось s вдоль направле-
направления ft = 0. Тогда прежде всего
Рис. 57. Векторный по-
потенциал линейного ос-
осциллятора.
А =
сг
С • Г
cos ft ;
shift,
4~
cos ft.
A93b)

232
Электромагнитное поле
Но согласно A89а) H = rotA, а потому по правялам § 20
A94а)
или
w sin»f Р \ Р \
*— r~~ \ с2 ' cr j
Далее, для Е по A89Ь) имеем
Р ^Р 2jE? \ (V
С Р СУ /"^ I
ила
A94Ь)
Это и есть поле нашего передатчика на любых расстояниях. Разберем
его для двух предельных случаев г <С! X и г ^> X.
Вблизи передатчика (г<^\) перевешивают члены с высшей
степенью г в знаменателе, и потому
Н =
JL
, = -4-sin».
A94с)
Как и следовало ожидать, согласно данному выше приближенному
вычислению, это есть магнитное поле элемента тока Ids —р и стати-
статическое поле диполя момента р.
На больших расстояниях от передатчика (г^>1) дей-
ствительными оказываются, наоборот, 1влько члены с —< Это есть
область волдовой зоны, для которой, следовательно,
Нг = О Ег = О
н =
р
ГС2
sin ft,
, = 0.
A95)
Поэтому в волновой зоне векторы Н и Е имеют оди-
одинаковую величину; они перпендикулярны друг к другу
и к радиусу-вектору г. Их величина падает от экватора к полюсу

Излучение линейного осциллятора
233
как shift. Но это — картина линейно поляризованного волнового излу-
излучения, которое распространяется от передатчика в направлении г.
Электрический вектор колеблется по касательной
в меридианной плоскости, магнитный — по парал-
параллели.
Вычислим еще излучение &, т. е. энергию, которая переносится
данной в A95) сферической волной через поверхность сферы радиуса г
за одну секунду. Между двумя широтами 0 и &-j-di> лежит площадь
df%db Вводя вектор Пойнтинга
= — [EH]
получим
— _— . I JP \ . 2кг* I sin2 9-. si
4тг \ re* J J
sin ЫЬ.
Этот интеграл при подстановке cos ft = а;
дает
—1
и, следовательно,
3-63
Рис. 58. Электрическое и
магнитное напряжение в
волновой зоне линейного
A96) осциллятора.
Sr зависит от радиуса г" лишь постольку, поскольку излучение &г
в момент времени t определяется состоянием передатчика в момент
j. * г
времени t .
Замечательно, что запаздывание в выражении A93) для А совер-
совершенно необходимо для того, чтобы волна A95) получилась сферической.
Сферическая волна получается как раз тогда, когда при дифференци-
дифференцировании по г принимают г во внимание только в комбинации t ,
ч с
а „кулоновское ги в знаменателе рассматривают как постоянную.
Наоборот, действие вблизи передатчика получается тогда, когда диффе-
дифференцируют только по Кулоновскому г, рассматривая „Максвеллово г"
в числителе как постоянную.
§ 73. Излучение линейного осциллятора. При периодиче-
периодических процессах особенный интерес представляет среднее за время
одного периода значение излучения. Очевидно, что для этого среднего
значения запаздывание не играем никакой роли. При вычислении

234 Электромагнитное поле
среднего по времени S передатчик можно рассматривать либо как осцил-
осциллирующий диполь, либо как элемент тока. Представление диполя отве-
отвечает преимущественно требованиям атомной физики, где диполъный
момент отдельных атомов является естественным исходным пунктом
для вычисления их излучения. Наоборот, представление о передатчике,
как об элементе тока, является более естественным при рассмотрении
обычных антенн беспроволочной телеграфии.
Если v есть циклическая частота колебаний диполя и р0 их ампли-
амплитуда, то
4 A97а)
С другой стороны, если I .означает длину диполя, а потому также
длину прямолинейного элемента тока, соединяющего полюсы, то, как
мы видели выше,
Поэтому, если ток пульсирует с амплитудой 10:
I = I0. oos2*v«; 25 = -Ljo2,
то
р = — 2irvZ0Z sin 2irv?,
откуда __
A97b)
Это дает для S два эквивалентных выражения
в-*№**- A98а)
И
^^P. A98b)
Для беспроволочной телеграфии A98b) дает излучение
антенны длины I при длине волны X и эффективном токе антенны у Р.
Генератор колебаний должен кроме этого излучения доставлять еще
выделяющееся в^антенне Джоулево гепло
Поэтому в A98Ь) множитель при I2 называют сопротивлением излуче-
дия антенны Us. Тогда полная мощность генератора дается B2 -f- R8) P,
где В означает омическое сопротивление (с учетом скин-эффекта),
a Rs дается выражением
Rs = -j^ • -^- С. в-. S. единиц

Излучение линейного осциллятора
235
или
I2
ом G и X в см).
При излучении света атомами, где нельзя говорить о не-
непрерывном пополнении энергии, A98а) дает связанное с излучением
ежесекундное уменьшение энергии и тем самым затухание
испускаемого излучения, которое со своей стороны спектроскопически
обнаруживается в виде расширения спектральной линии („ширина
затухания"). Одновременно A98а) дает время затухания испускания
света отдельного атома — величину, которая в квантовой теории имеет
огромное значение, как средняя продолжитель-
продолжительность возбужденных состояний атома.
До сих пор мы рассматривали лишь част-
частное решение A93) общего колебательного урав-
уравнения A92). Для элемента тока l(t)d$ оно
будет
A.:===z
С • Г
A99)
Рис. 59. Излучение зам-
замкнутого колебательного
контура, согласно урав-
уравнению B00а), определя-
Яо, возвращаясь к общим выраженикм A91) ется расстоянием между
А
пластинами 1 и 2 кон-
конденсатора.
р р
для А и ср, мы легко увидим, что в отноше-
отношении процессов в волновой зоне это решение
имеет гораздо более общее значение, если только сохраняется соотно-
соотношение порядков величин
размеры передатчика <^ X <^ г.
B00)
Если проводник передатчика состоит из согнутой некоторым обра-
образом проволоки с поперечным сечением q и направлением оси ds, то
в A91а) i<$diqdC = Z • ds и мы получаем
Но если B00) выполняется, то как в числителе, так и в знаменателе
можно заменить г на расстояние г0 точки наблюдения от начала коор-
координат; тогда получаем
Предположим в частности, что передатчик состоит их двух металличе-
металлических тедч 1 и 2, соединенных произвольно согнутой проволокой, и пусть
емкость этих тел велика по сравнению с емкостью проводов. Тогда

236 Электромагнитное поле
во всякий момент времени ток в различных сечениях проволоки имеет
одинаковую величину. Поэтому
2
f ^) • I ds
с / J
А (а?, у, *, 0 = — ~ • B00а)
Но это выражение отличается от A99) только тем, что вместо
2
имеющегося там элемента ds здесь фигурирует вектор I = / ds, пря-
1
молинейно соединяющий начало и конец провода. Следовательно,
только один этот вектор и определяет собой произвольное излучение.
Наибольшее значение он имеет при прямых антеннах беспроволочной
телеграфии (разомкнутые колебательные цепи). Он исчезающе мал,
когда проводящая ток проволока соединяет друг с другом обкладки-
конденсатора обычной конструкции (замкнутая колебательная цепь).
Этими позднейшими замечаниями оправдываются наши действия,
когда мы, рассматривая (§ 61) цепь тока, состоящую из емкости
и самоиндукции, пренебрегли излучением. С помощью последней фор-
формулы можно в каждом конкретном случае оценить ошибку, которую
мы допускаем, когда пренебрегаем излучением по сравнению с выде-
выделением Джоулева тепла.

Д. ОБ ЭНЕРГИИ И СИЛАХ В МАКСВЕЛЛОВОЙ ТЕОРИЯ
I. ТЕРМОДИНАМИКА ЭНЕРГИИ ПОЛЯ
§ 74. Энергия поля как свободная энергия. В наших прежних
соображениях (§§ 39 и 53) относительно связи между энергией поля
и пондеромоторными силами мы принимали, что при достаточно мед-
медленном изменении энергии поля, полученная механическая и электри-
электрическая работа равна уменьшению энергии поля. Именно из этого
допущения, а также из выражения
для изменения плотности энергии в рассматриваемом объеме, мы могли
вывести как пондеромоторные силы, так и закон индукции. При таком
балансе энергии выделение тепла появлялось лишь в виде связанной
с токами проводимости „термически-химической" отдачи — скажем,
в виде Джоулева тепла или тепла Пельтье. Остановимся теперь подроб-
подробнее на том, что происходит внутри непроводящего диэлект-
диэлектрика. В наших прежних выводах нигде не говорилось о выделении
тепла в таком изоляторе. При таких обстоятельствах выводы эти
остаются правильными только в том случае, когда к отдельным элемен-
элементам объема при изменении их диэлектрической поляризации не подводи-
подводилось и когда у них не отнималось энергии в виде тепла. Но необхо-
необходимо считаться с возможностью, что, вообще говоря, температура
термически изолированного материального объема может при его поля-
поляризации измениться. На первой взгляд для нашего прежнего баланса
энергии отсюда не возникает никаких принципиальных трудностей.
В самом деле, баланс можно было бы восстановить, если ввести доба-
добавочное требование, чтобы все электрические (а также магнитные)
изменения состояния производились адиабатно. Правда, для этого
пришлось бы при неоднородном поле положить теплопроводность
вещества равной нулю, так как различно поляризованные элементы
объема могут принять различные температуры. Но на деле такая
попытка насильственного спасзния прежней теории была бы в высшей
степени нецелесообразна, и провести ее было бы чрезвычайно трудно.
Прежде всего, в действительности все вещества обладают конечной
теплопроводностью. Поэтому эксперименты, предпринимаемые для про-
проверки теории, никогда не проводятся адиабатно, но, наоборот, по возмож-
возможности изотермически, т. е. с полным выравниванием могущих появиться
разностей температур. Но кроме того нужно отметить еще следующее.
Диэлектрическая постоянная ев общем случае зав и-

238 Об энергии и силах в максёьлловой теории
сит от температуры. Обычно она падает с возрастанием темпе-
температуры. Поэтому, если во время процесса температура меняется, то при
вычислении энергии поля
' Е
J
никак нельзя уже рассматривать е как постоянную, даже если, при
поддерживании температуры постоянной, векторы D иЕ будут друг
другу строго пропорциональны. Основное выражение -тг— Е2 Максвел-
ловой теории для плотности энергии не может, ^следовательно, ни
в коем случае претендовать на общее значение, tlo, с другой сто-
стороны, все наши представления относительно пондеромоторных сил
базируются как раз на этом выражении.
Единственно разумный выход ив этой трудности состоит в том,
чтобы признать, что -г-— Е2 вообще представляет собой не плотность
энергии, а плотность свободной энергии в термодинамическом
смысле этого слова. Необходимо привести эту величину в соответствие
со вторым началом термодинамики. Только тогда возможно вообще
оправдать в полном объеме сделанные ранее выводы. Ит&$, откажемся
от предложенного выше дополнительного требования, чтобы прежние
выводы относились к адиабатным процессам? Примем, наоборот, что
появляющаяся в них электрическая (и магнитная) поляризация про-
происходит изотермически. Тогда всюду, где поле изменяется, как
у - отдельных элементов объема, так и у всей системы, как целого,
будут длительно отниматься или к ним будут подводиться те коли*
чества тепла, которые необходимы для постоянства температуры.
Рассмотрим особо, в связи с § 36, кубический сантиметр диэлек-
диэлектрика между пластинками конденсатора. К нему можно подвести энер-
энергию двояким образом: либо производя электрическую работу -— ЕсШ
(изменение заряда, находящегося на обкладках конденсатора), либо
подведением тепла d'Q. Если не происходит каких-либо других изме-
изменений, то мы увеличили бы при этом" энергию U системы конденса-
конденсатора и диэлектрика на величину
При адиабатном процессе (d'Q = 0) мы пришли бы, конечно, к рас-
рассмотренному выше соотношению dU= [—.— EdD ]. . Согласно вто-
\ 4<1Г /адиаб.
рому началу термодинамики, существует функция состояния 8, назы-
называемая энтропией, — функция какого рода, что при обратимых
процессах
B01а)

Термические эффекты при постоянном объеме 239
иными словами ври сообщении системе малого количества тепла d'Q
8 увеличивается на величину —~~.
Вследствие тождества
TdS=d(ST) —
уравнение B01) можно написать в виде
d (U— TS) = —3dT+ -^ ЕсШ. B01Ъ)
Если теперь мы зарядим конденсатор изотермически (dT=O\
то мы, значит, изменяем свободную энергию
на величину —— ЕсШ. В случае D = еЕ получим
F=4~ ( ШЪ = ^- №> B01с>
о
где е может быть теперь любой функцией температуры.
Обобщим теперь B01). Назовем — d'A работу, затрачиваемую на
систему при малом изменении. Тогда согласно первому началу
Q + . B01d)
Согласно второму началу при обратимых процессах d'Q — TdS; поэтому
d (U— TS) = — 8dT-\-d'A. B01e)
Отсюда следует, что при адиабатных процессах d'A — dU; наоборот^
при изотермических d A = dF. В этом смысле свободная энергия
играет для изотермических обратимых процессов такую же роль,
какую сама энергия играет при адиабатических процессах.
Этими соображениями наши прежние выводы получают оправ-
оправдание; нужно только иметь в виду, что они дают не баланс энергии
вообще, а только баланс свободной энергии, и что общим принципом*
служащим им основой, является не первое, а второе начало термо-
термодинамики.
С таким общим результатом в руках, можно поставить себе задачу;
действительно определить количество тепла, появляющееся при электри-
электрической и магцитной поляризации. Особенно интересует нас вопроа
о том, каким образом собственно меняется при наших изотермических
процерсах величина самой энергии С7, раз мы знаем, что все выводы^
сделанные нами до сих пор, относились лишь к свободной энергии.
§ 75. Термические эффекты при постоянном объеме. Применим
основные уравнения B01A) и B01е) термодинамики к кубическому
сантиметру вещества, энергия которого может изменяться, во-первых,

240 Об энергии и силах в максвелловой теории
благодаря подводу тепла drjQ и, во-вторых, благодаря совершению
электрической или магнитной работы. Примем, что при этом удельный
объем вещества заметно не меняется. Ограничимся далее случаем,
когда векторы Е и 4D во всяком месте друг другу параллельны;
то же относится к Н и В, так что с самого начала мы можем при
вычислении говорить только об абсолютных величинах Е, В, Н, В.
Тогда согласно первому началу B01d) принимает вид
dU — d'Q -f- —- Е • dD в случае электрического поля
dU=d'Q~]- —- HdB в случае магнитного поля.
На элементарных случаях плоского конденсатора § 30 и замкну-
замкнутой катушки § 48 можно убедиться в том, что в написанных выше
выражениях для энергии мы действительно имеем выражения для
технической, измеряемой, например, в ватт-секундах работы, в кото-
которых о виде функций В = В(Н) и В = В(Е) еще не сделано никаких
допущений. Мы ограничимся в дальнейшем случаем электрической
поляризации, так как формулы, справедливые для намагничения, по-
получаются прг <зтым изменением обозначения (Н, Д |х вместо Е, D, г).
Введем еще вместо В электрическую поляризацию Р, пользуясь
уравнением:
тогда мы имеем
Для упрощения разложим полную энергию на „вакуумную часть0
1 ™
— Е* и на часть и , принадлежащую веществу диэлектрика:
г'. B02а)
Тогда, следовательно,
d U' = TdS+EdP. B02b)
Сначала мы не будем пользоваться предположением, что Р прямо про-
пропорциональна силе поля Е; пусть, напротив, вещество характери-
характеризуется тем, что поляризация
Р = Р(Е, Т)
известна из измерений как функция Е и Т. Наш вопрос состоит
теперь в том, чтобы установить, какой вид имеет тогда функция
U' = ТГ (Д Т).

Термические эффекты, при постояниомЩ)бъеме 241
Если решить B02Ь) относительно d$ и представить себе, что ТУ
и Р выражены через Е и Т, то
Для того, чтобы правая сторона представляла собой полный диффе-
дифференциал функции S — S(E, jP), необходимо, чтобы выполнялось тож-
тождество
д ( dS \ д ( д8\
дЕ\дТ)~дТ\дЕ]'
dS dS m
где -^~ и -2=г даются множителями при аТ и аЕ с правой стороны
последнего уравнения. Вычислением этого „условия интегрируемости"
получаем непосредственно:
Этим уравнением вопрос об изменении ТУ при изотермическом изме-
изменении Е решается в общем виде, так как функцию Р (Е, Т) нужно
рассматривать как данную эмпирически.
В частности, если функция Р линейна относительно Е, т. е. если
Р(Д Т) = хСГ)-Д B02е)
то мы имеем вещество, у которого коэффициент электризации зависит
от Ту но не зависит от Е. Это соответствует поведению большинства
жидкостей. Тогда из B02d) получается
Здесь правая сторона не зависит от Е. В силу
получается
U'(E, T) = f{T)-{-±-E*L + T-iL\, B02g)
где f является совершенно неизвестной заранее функцией одной тем-
температуры; в частности она еще будет содержать теплоемкость веще-
вещества. Для полной плотности энергии мы получаем таким образом
согласно B02а)
Т
или, вводя диэлектрическую постоянную
[ ^Щ B02h)
16 Абрагам-Беккер. — Теория эпектр.

242 Об Шергии и силах в мапсвелловой теории
Пока мы рассматриваем только изотермические изменения, остающаяся
еще неизвестной функция температуры f (T) не играет никакой роли»
Следовательно, тогда плотность энергии в 1~| . -?- раз больше
S CLJ
плотности свободной энергии — Е2. Поэтому только в том с л у-
qae, когда диэлектрическая постоянная не зависит
от температуры, —- Е2 может рассматриваться как
плотность энергии вообще.
У многих веществ коэффициент электризации обратно пропорциона-
пропорционален Т, т. е. х СП =s-m-- У таких тел х • Т, значит, не зависит от темпе-
температуры. В этом случае согласно B02f) TJr становится независимой
от К Плотность электрической энергии U—f(T) становится тогда
равной не -^ Е% а просто — ЕЧ.
Спрашивается теперь, какое количество тепла d'Q = TdS необхо-
необходимо подводить к веществу, чтобы при изменении Е сохранялось
постоянство температуры. Оно получается непосредственно из B02с),
если в нем положить dT=Q и принять во внимание уравнение B02d):
*dE- <202i>
Следовательно, при справедливости уравнения B02е)
drQ = ~T ^ ^
При изотермическом увеличении поля от 0 до Е единицей объема
поглощается таким образом тепло
Итак, если х ПРИ возрастании температуры падает, то электри-
электрическая поляризация связана с положительным тепловым эффектом,
т. е. вещество выделяет теплоту.
Теплоемкости. Мы можем нагревать диэлектрик либо при
постоянной поляризации Р (не меняя, значит, его электрического состоя-
состояния), либо при постоянной силе поля Е. Последний случай экспери-
экспериментально осуществляется наиболее просто, так как для этого доста-
достаточно лишь поддерживать постоянной разность потенциалов пластин
конденсатора. Разность соответствующих теплоемкостей yp и ^Е
определяется до конца, раз известна функция Р(Е, Т). Для вычисле-
вычисления Yp нужно рассматривать U в B02Ь) как функцию Р я Т. Тогда
d'Qe Td8= [%) пТ + { Щ~Е\ 4Р. B021)

Термические эффекты, при постоянном объеме 243
. j
При dP = 0 получается, следовательно,
_( TdS \ _(д]Г_\
ъ-\ йт )р-\ дт )р-
С другой стороны, из B02с) для dE = 0 следует
Но если в U' = U' (Р, Т) считать Р функцией Е и Т, то
\)х\ )р[ )т [ ьт )Е'
Отсюда
Из B021) следует далее как условие интегрируемости
(ди'\ Ет1дЕ
а пбтому
Если функция Р (Е, Т) дана, то для остающейся еще неизвестной
производной подучается
дР
/дЕ_\ =_дТ_
\дТ)р~ dPj
dEi
так что окончательно имеем
дР \2
дЕ
Полагая в частности
получаем
16*

244 Об энергии и билах в мапсвелловой теории
Если теперь, уточняя дальше, положить коэффициент электризации
обратно пропорциональным абсолютное температуре, т. е.
X гр 1
то
ат
§ 76. Термодинамическая теория электрострикдии. В этом па-
параграфе мы применим оба начала термодинамики к схеме, предста-
представленной на рис. 35, стр. 108. Две пластинки А и Б конденсатора
соединены с полюсами гальванической баттареи так, что между ними
существует определенное однородное поле величины Е. Пластинки
частично погружены \ диэлектрическую жидкость, которая, со своей
стороны, помимо неподвижных стенок, ограничена поршнем, находя-
находящимся между пластинками; на него действует давление _р'; второй
поршень с давлением р0 находится в пространстве, где поля нет. Пусть
вся схема находится в термическом контакте с большим резервуаром
тепла, с абсолютной температурой Т. Тогда четыре указанные вели-
величины Е, р', р0, Т очевидно не могут в состоянии равновесия быть
независимыми друг от друга. Легко сообразить, что три из этих
величин могут быть выбраны произвольно (например, Д р0 и Т),
но тогда возможно только одно значение для р', если мы не хотим,
чтобы вся жидкость ушла из конденсатора или, наоборот, вся
в него втянулась. Следовательно, между четырьмя назван-
названными величинами может существовать одно и только
одно соотношение. Найти это соотношение и является нашей
целью в настоящем параграфе.
Введем следующие обозначения;
Vt — полный объем 1
v,— удельный объем час™ Диэлектрика, находящейся между
1 J пластинками конденсатора.
J
и Voi vo> mo — Для соответствующих величин части диэлектрика,
в которой поля нет.
Пусть U, S, М-*- энергия,, энтропия и масса всего диэлектрика.
Тогда очевидно
V1 — m1v1; ^о = Щ%\ ЛГ = т1 + ^0. B03а)
Пусть физическая природа диэлектрика определяется электри-
электрическим и термическим уравнениями состояния. Это зна-
значит, что известна зависимость поляризации Р от силы поля, удельного
объема и температуры, и аналогично зависимость давления р в сво-

Термодинамическая теория элептросшрикции 245
¦—¦ 4
бодной от поля части диэлектрика от удельного объема и температуры.
Таким образом мы знаем две функции
Р=Р(Е, vv Т) BОЗЬ)
и
p=p{v, T). B03с)
Для обратимого изменения U общее уравнение B01d) теперь будет
dU= TdS + Ed {V1P)—prdV1—pQdV0. B03d)
Замкнутая система находится в равновесии тогда, когда ее
энтропия имеет наибольшее из всех возможных значений. Если,
поэтому, 8 есть энтропия нашего диэлектрика, S* при этом энтропия
остальных систем, участвующих в нашей схеме (т. е. резервуара тепла,
электрической баттареи и приспособлений для поддержания давления
рг жро)9 то мы имеем равновесие, когда при заданных значениях Т, Е, р',р0
величина 8-\-8* имеет максимум, т.е. она больше, чем в случае,
если жидкость вытечет из конденсатора или войдет в конденсатор.
Такое движение означает изменение масс шх и т2, причем, однако, все
время m1-\-m2 = M. Мы имеем, следовательно, условие равновесия
о B03е)
при
Ъшх= — Ш2 и ЪТ = ЪЕ=Ър' = 8^0 = 0.
Рассматривая систему, обозначенную звездочкой, получим
В самом деле, как изменение энергии, так и отдельные величины
работы всегда имеют у этой системы знак, противоположный знаку
соответствующих величин диэлектрика при том же процессе.
Если подставить это выражение для bS* в условие равновесия
B03е), умножив последнее на—Т и принять еще во внимание, что,
в силу добавочного условия ЪТ=ЪЕ = Ър' = 8ро= 0, эти четыре
величины можно вносить под знак вариации 8, то для указанной
в B03е) вариации получается
4U—TS-EV1P+/ri^-poro) = 0 BO3f)
Величина, варьируемая по B03f), называется термодинамическим
потенциалом ф. Согласно B03d), для любого изменения ф при обра-
обратимых изменениях Т, Е, рг9 р0 имеет место
йф = — SdT— VxPdE-\- Vxdpr + Vodpo. B03g)
С другой стороны, мы можем написать 8 в виде

246 Об энергии и силах в максвелловой теории
где st и $0 означают энтропию единицы массы в поле и вне поля;
в силу B03а) мы получаем тогда:
- vtdp'] + mo[ — sodT-\-vodpQ].
Введем здесь потенциалы, относящиеся к единице массы (удельные)
Цг = —sJT-vfdE + vJj/; Ь = ЫТЛгГ) \ ,
ж d% = - sodT+ vodpo; ф0 = %B>0Y I l ;
Тогда мы получаем для термодинамического потенциала выражение
в виде функции шести переменных mv w0, Г, JEJ,^ д р0-
Полный дифференциал этой функции от шести переменных совпадает
с формулой B03g), справедливой для равновесных процессов, только
в том случае, если постоянно
dm1 l ' дт2 *
при Ът1 -j- Ьт2 = 0.
Но это дает tyx(T, Е, р') = % (Г,^о). B031)
Это уравнение содержит искомую общую связь между
четырьмя переменными Т, Е, р' и р0.
Рассмотрим теперь BO3i) особо для изотермических изме-
изменений Е, рг, _р0- Другими словами, будем считать Т заданной посто-
постоянной и рассмотрим связь между Е> рг и р0, даваемую B03i). В диф-
дифференциальной форме эта связь будет
или, если подставить для фигурирующих здесь частных производных
значения из B03/&), то
— vxP • dE + vtdp' = vQdp0. B03kJ
Это простое уравнение описывает как электро-
стрикцию (§ 40), так и электрические поверхностные
силы (§ 41). Заметим прежде всего, что правую сторону в B03k),
на основании термического уравнения состояния B03с), можно напи-
написать в виде полного дифференциала некоторой функции
B031>

Термодинамическая теория злептростржции 247
С другой стороны, рг должно однозначно определяться через vt
и Е, а, следовательно,
и поэтому, согласно BОЗк),
_в1р 4- v, Ц- Jtf? + vt |? dv, = ЙД»О). B03m)
Для того, чтобы левая сторона также представляла полный диффе-
дифференциал, необходимо, чтобы выполнялось условие интегрируемости
D . д/\ д
а, потому
in* = V • B03n)
дЕ dvx ч '
Возьмем электрическое уравнение B035) в особом виде
Р(Е, Т, vx) = Х(Г, vt) • Е. B03о)
Тогда B03п) принимает вид
с'р' 1
д(Щ~2
или, интегрируя,
^2-^. B03p)
в полном согласии с результатами электродинамической теории § 41.
p(vx) представляет здесь давление, которое, согласно уравнению B03с),
диэлектрик оказывал бы на стенку сосуда при отсутствии поля Е
и при удельном объеме vv
Если подставить в B03т) значения для Р из B03о) и для рг из
B03р), то имеем
или также [согласно B031)]
d (W • ^
Таким образом, для частного случая B03о) интегрирование B03k)
выполнено до конца. Ибо очевидно, что
^1

248 Об энергии и силах в максвелловой теории
отсюда получается формула электрострикции
в полном согласии с выведенной ранее A04с) и подробно разобран-
разобранной формулой. Вместо удельного объема v мы пользуемся там обрат-
обратной плотностью I v = -) и вместо коэффициента электризации х Ди-
Диэлектрической постоянной (е = 1
П. ДЕЙСТВИЯ СИЛ ПРИ ПОЛЯХ, ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ ВО ВРЕМЕНИ.
§ 77. Максвелловы натяжения и принцип действия и противо-
противодействия. При рассуждениях §§ 39, 53 относительно механических
сил мы ограничивались покоящимися телами, находящимися в ста-
стационарном электромагнитном поле. В §§ 42 и 52 силовое воздействие,
которое оказывают две системы зарядов и материальных тел друг
на друга, удалось представить в виде поверхностных сил на произ-
произвольно проведенной поверхности раздела. При этих силах требуемое
третьим законом Ньютона равенство действия и противодействия
выполняется несомненно, ибо при изменении направления нормали
к элементу поверхности на обратное поверхностная сила, выводимая
из тензора натяжений, также меняет свой знак.
Но что происходит с этими силами при быстро переменных полях?
— Теория Максвелла-Герца принимает, что и при сколь угодно быстро
переменном электромагнитном поле полную силу, действующую на
ограниченную область, можно попрежнему представить поверхностной
силой, выводимой из Максвелловского тензора натяжений:
К=/а/{Тэл.+Тмаги.}. B04а)
Если п означает направление внешней нормали df, то составляющие
Тэл. и ТМагн. по х даются выражениями:
т,л.а, = ^ {Ежа - Е,2—В.»} cos О, х) + ± Еж Е, cos (», у)+
i В, Е, cos (!•>*)
х
B04b)

Мапсвелловы натяжения и принцип действия и противодействия 249
Исследуем теперь, какие следствия вытекают из этого предполо-
предположения для силы к, отнесенной к единице объема; для нее мы
положим:
К= fkdv. B04с)
Пользуясь тождеством A35) и A35а), мы прежде всего получаем
k= i E div(sE) — ^Е2grade-f ¦?-[rotВ, еЕ] +
4тс отс 4гТС
-f lHdiT(,iH)-lHegrad^ + l [rotH,
Эта сила к, отнесенная к единице объема, составляется теперь
очевидно из трех различных частей. А именно, принимая во внима-
внимание уравнения Максвелла
div(eE) = 47rp;div([xH) = 0;rotE= — ? Н; rot Н = — 1+ ~Ё,
с ее
получаем
* *+* + * B04d)
где
кэл = рЕ — — В2 grad s: B04e)
к w = i [i В] — ^- Н2 grad w, B04f)
иагн. ? j g^
911 Я
B04g)
Из этих трех составных частей для силы, отнесенной к единице
объема, две первые известны из прежних выводов. Они отличны от
нуля только там, где имеется материя или заряды. Таким образом,
величину кэл -\- кмагп можно действительно считать силой, приложен-
приложенной к материи, как это мы и предполагали раньше. Новой, наоборот,
является третья часть ks, характерная для полей переменных во
времени. Она теснейшим образом связана с вектором потока энергии
Пойнтинга
А именно^
к =^^
5 & dt '
Особенность этой силы состоит в том, что она не связана с нали-
наличием материи. Максвелловы натяжения дают движущую силу, дей-
действующую на пустоту, где однако нет материи, которая могла бы
прийти в движение.

250 Об энергии и силах в мапсвелловой теории
Этот результат получил основное значение для дальнейшего раз-
развития теории. Первоначально (во времени Максвелла и Герца)
ks интерпретировали как действительную силу, действующую на эфир.
В то время, когда световой эфир и без того привыкли наделять меха-
механическими свойствами, такое объяснение не казалось странным. Трз-
тий закон Ньютона удовлетворяется выражением 204а. Закон о
действии й противодействии для одной материи уже
не справедлив.
Обратное действие эфира на материю можно непосредственно про-
проверить на опыте, а именно на опыте с световым давлением. Пусть
от источника света по направлению к зеркалу излучается ограни-
ограниченная серия волн. Пусть расстояние от источника до зеркала
настолько велико, что ранее, чем первая волна дойдет до зеркала,
вся серия волн уже выйдет из источника. В то время, как зеркало
будет испытывать световое давление, определяемое величиной ks,
источник евега вообще уже перестанет действовать.
Таким образом, мы в самом деле имеем силу, действующую со
стороны пустоты на зеркало, и вследствие равенства действия и про-
противодействия, такую же силу, действующую со стороны зеркала на
пустоту.
С нашими современными представлениями понятие о веществен-
вещественном эфире и о силах, к нему приложенных, несовместимо. Теории,
принимаемые в современной физике (электронная теория и те ория
относительности), признают только такие силы, которые прило-
приложены к материи. Соответственно этому они приводят к отличному
от B04) выражению для силы к, отнесенной к единице объема. Раз-
Различие состоит именно в том, что вычитается как раз та часть, кото-
которая только что давала нам силу, действующую на пустоту. Если
обозначить результирующую силу (на единицу объема) индексом мат.,
то но теории относительности
Кмат. — Кэл.
(стоящее еще рядом с кэл.Ч-кмагн. слагаемое -*—=—дт в пустоте
С оь
обращается в нуль. При экспериментальном определении кмат им, по
причине его малости, всегда можно пренебрегать). Для результирую-
результирующей силы Кмат , которая по B05) действует на ограниченный объем,
яолучается таким образом
JSdv. B05а)
Если обозначить через Сгмат количество движения (импульс) материи,
содержащейся в рассматриваемом объеме, и через gMaT импульс на
единицу объема, то

Максвелло$ы натяжения и принцип действия и противодействия 251
Смысл Кмат состоит в том, что она определяет изменение во вре-
времени (тмат:
К =*¦
"«• dt
Подставляя сюда B05а), мы получим
Применим это уравнение к полной системе, т. е. к такой системе,
электромагнитное поле которой всюду находится на конечном расстоя-
расстоянии. Если теперь проинтегрировать по столь большому объему, что на
его поверхности поле всюду равно нулю, то получим
I gMaT dv -f- I — S dv = const. B05b)
Но третий закон Ньютона гласит, что количество движения замкнутой
системы не изменяется во времени. Если держаться этого положения,
то согласно последнему уравнению величину
необходимо рассматривать как импульс в единице объема. Мы встре-
встречаемся здесь с важным результатом теории относительности, которая
утверждает, что всякий поток энергии S связан с распределенным
в объеме импульсом
gs = ^S B0B)
(эквивалентность инертной массы и энергии).
Всякое электромагнитное излучение несет с собой импульс, опре-
определяемый уравнением B06).
Назовем ge приходящимся на единицу объема импульсом излуче ия к
полным импульсом излучения, содержащегося в v. Тогда согласно B05Ь)
закон количества движения принимает вид:
Сумма
материального импульса и импульса излучения в зам-
замкнутой систеже не изменяется во времени.

Е. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ.
I. ЗАДАЧИ ПО ВЕКТОРНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ.
1. Длина вектора А | А | ¦= 5; с осью Z он составляет угол в 30°; его про-
проекция на плоскость XY образует с осью X угол 45°. Проекция вектора В на
ось Z будет Вя = 4. Его проекция на плоскость XY имеет длину 6 и обра-
образует с осью X угол -f-120°. Найти А -4- В. Найти длину этого вектора, его
составляющие в декартовой системе и его углы с координатными осями.
2. Точка приложения силы К = E, 10, 15) кг передвигается из точки
A, 0, 3) см в точку C,-1,-6) см. Какую работу совершает при этом К?
3. Определить скалярное произведение двух пространственных диагоналей
куба с ребром, равным единице. Какой угол образуют эти диагонали?
4. На единичных векторах i, j, k прямоугольной системы координат, как
на ребрах, построен куб с объемом, равным единице. Образовать скалярное
и векторное произведения двух диагоналей граней; обе диагонали исходят
из начала координат; какой угол образуют они друг с другом? Какова вели-
величина одной из плоскостей тетраэдра, вписанного в этот куб?
б. Найти составляющие по прямоугольным осям вектора длины 3, который
с отрицательной осью X, положительной осью Y и отрицательной осью Z
образует равные углы; в октант, указанный ему этими условиями, он идет
из начала координат.
6. Пусть А —вектор, проведенный из начала координат, и а0—соответству-
а0—соответствующий единичный вектор. Пусть, далее, г—вектор, проведенный из начала
координат в переменную точку Р.
Показать, что
(ао.г) = |А1
представляет ео*бой уравнение той плоскости, которая проходит через конеч-
конечную точку А и нормальна к А.
7. Нормаль, опущенная из начала координат на плоскость JE, есть
г — B, 4, 6). Через начало проходит прямая с направляющими косинусами
—тг=.9 ' .—, 0 ). Найти координаты точки ее пересечения с плоскостью Р.
8. Пусть е—единичный вектор и А—некоторый произвольный вектор; дока-
доказать формулу
и показать, что она дает разложение А на составляющие, из которых одна
параллельна е, а другая перпендикулярна е.
9. Из начала координат проведен вектор B, 2, 5); найти вектор, который
проведен из точки Р = A, 2, 1) перпендикулярно к первому вектору.
10. Даны векторы а = B, 1, 1) и Ъ = (— 1, 3, 2). Найти составляющие осей
той прямоугольной левой системы координат, у которой ось X имеет напра-
направление а, а ось Y лежит в плоскости а—Ъ, с той же стороны от а, как и Ъ.
11. Определить составляющие вектора г = E, 8, 10) в координатной
системе, определенной в предыдущей задаче.
12. Конечные точки трех векторов а, Ъ, с, проведенных из начала коор-
координат, определяют некоторую плоскость. Каково ее расстояние от начала
координат?
(Сначала надо составить скалярные произведения а, Ъ и с с нормалью
к плоскости, которые в отдельности равны искомому расстоянию, и затем,

Задачи по векторному исчислению
253
пользуясь теоремой Крамера, решить эти уравнения относительно составляю-
составляющих единичного вектора нормали к плоскости).
Каков геометрический смысл окончательной формулы?
Указание. Объем тетраэдра, образуемого тремя ребрами параллелепипеда,
равен х/б объема параллелепипеда.
13. Тело вращается вокруг неподвижной оси; вектор поворота есть
п = (— 50, + 80, + 100); скорость v точки г ==D, 5, 6) имеет при этом соста-
составляющую по X Тд. = 20 и составляющую по Гту= 30. Найти кратчайшее
расстояние оси вращения от начала координат.
14. Твердое тело делает 300 оборотов в минуту вокруг оси, которая
образует с осью X угол 50°, с осью Y угол 70° и направлена из начала
координат в первый октант. Какова скорость точки г = D, б, 6) си?
15. Конечные точки трех векторов а, Ъ, с, лежащих в одной плоскости
и проведенных из начала координат, определяют треугольник. Какова его
площадь, если а = E, 1); Ъ = (8, 6); с = B, 10)?
16. Векторы а == F, 3, 1), Ъ = C, 6, 1) и с == A, 3, 6) исходят из начала
координат. Какова площадь треугольника, образованного их конечными точ-
точками?
17. По теореме Адамара для всякого детерминанта
«И «12
«21 «22
«In
«2п
ап2
(aik вещественные)
«справедливо неравенство
Рассмотреть случай детерминанта с тремя строками, принимая элементы
строки за составляющие не-которого вектора. Что тогда выражает собой это
неравенство геометрически? Какую теорему геометрии на плоскости предста-
представляет оно собой, если его написать для детерминанта с двумя строками?
18. Сопоставим каждой точке пространственной кривой единичный век-
вектор t, который при прохождении кривой в определенном направлении имеет
направление скорости. Он указывает, следовательно, одновременно направле-
направление касательной. Доказать, что ( t-j- J = 0 (s —длина дуги кривой, отсчи-
dt *
тываемая от произвольной точки). Каков геометрический смысл -т— ?
as
19. Пусть г—радиус-вектор, проведенный из начала координат, и а—посто-
а—постоянный вектор. Вычислить градиент скалярного произведения а и г.
20. Доказать формулу
/ / [grad cp grad ф] df = Ф9 d ty.
(F) (по огр. кривой)
Указание. Применить теорему Стокса и положить А = <р grad ф.
21. Круговой диск вращается в плоскости Р вокруг неподвижной точки
с угловой скоростью ш. Этим вращением каждой точке плоскости, лежащей
внутри круга, сопоставляется вектор скорости v. Какова величина rot v?
22. Точки плоскости вращаются вокруг некоторой неподвижной точки
о угловыми скоростями, которые зависят от расстояния от центра вращения:
ф = (о(г). Каков должен быть вид функции <*> = ш(г), чтобы поле скоростей
было безвихревым?

254 Задачи с решениями
23. Плоское центральное поле задано уравнением А = г -f (| г |) = rf (r).
Определить f(r) таким образом, чтобы в поле не было ни вихрей, ни источников.
24. Пространственное центральное поле дано вектором А = г f (| г |) =
= г • f(r). Определить f(r) таким образом, чтобы в поле не было ни вихрей,
НИ ИСТОЧНИКОВ.'
25. Прямоугольные составляющие вектора суть
. ft ft. A tf df df df
где f есть заданная функция координат х, у, г. Представить А в виде вектор^
ного произведения двух векторов и показать, что
(Аг) == 0 и (A gradf) = 0.
П. ЗАДАЧИ ПО ЭЛЕКТРОСТАТИКЕ.
26. С какой силой притягивались бы два равные и противоположные
заряда, каждый в один кулон, на расстоянии в 1 км?
27. Положительное количество электричества + е равномерно распределено,
внутри шара радиуса а. Внутри этого роя зарядов находится отрицательный
точечный заряд — е; определить силу, действующую на этот точечный заряд,,
как функцию расстояния от центра шара.
28. Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы диполь m и»
точки с силой поля Е удалить в бесконечность. Пусть а — угол между Ент.
В частности, какую работу нужно затратить, чтобы удалить в бесконечность
свободно вращающийся диполь?
29. Точечный заряд в 0,5 электростатических единиц находится на рас-
расстоянии в 1 см от большого куска вещества с плоской границей, и притом из:
а) металла (проводящая плоскость); Ъ) стекла, с диэлектрической постоянной 7.
Какова в этих случаях сила, действующая на заряд?
30. В однородном электрическом поле Е находится металлический шар
радиуса а. Как распределяется на его поверхности индуцированный заряд?
Каково было бы распределение свободного поверхностного заряда на изоли-
изолирующем шаре с диэлектрической постоянной е?
81. Какова величина силы, действующей между металлическим шаром
радиуса В, с зарядом Е, и малым телом с зарядом е, находящимся на рас-
расстоянии г от центра шара? — Показать, что шар и тело при некоторых обсто-
обстоятельствах могут притягиваться и в том случае, когда Е и е имеют одина-
одинаковый знак.
82. Какой заряд можно подвести к металлическому шару с диаметром
в 10 см, если диэлектрическая прочность воздуха равна 20000 вольт/еде?
33. Какой минимальный радиус кривизны необходимо придать на углах
проводящему стержню, заряженному до 10 000 вольт, если диэлектрическая
прочность воздуха равна 20000 вольт/еле? Можно принять, что падение потен-
потенциала на поверхности приблизительно равно падению на 'шаре. Падение
потенциала на поверхности ребра длины I С^> г), закругленного с радиусом г,
принимается приближенно равным падению в центре эллипсоида вращения
длины I и с малой полуосью г; показать, что сила поля на ребре меньше,
чем на угле, закругленном с тем же радиусом.
ЗА. Какова величина поверхностной плотности электрического заряда на
поверхности земли в месте, где падение потенциала составляет 250 вольт/ж?
Какова величина силы, действующей здесь на 1 м2 овмной поверхности?х
35. Висящий на трубке мыльный пузырь при открытой трубке стягивается
под влиянием поверхностного натяжения, которое составляет 50 эрг/еле. Можно
ли путем сильного заряжения пузыря предотвратить его от полного сжатия?
При этом следует иметь в виду ограниченную диэлектрическую прочность
воздуха 20 000 вольт/см. Если да, то при каком диаметре останется пузырь?
36. Замкнутый мыльный пузырь с диаметром 6,0 см заряжается индук-
индукционной машиной до 27000 вольт, благодаря чему его диаметр увеличивается

Задачи по электростатике 255
до 8,0 см. Какова величина поверхностного натяжения нашего мыльного
раствора?
37. Очень длинный тонкий стержень с диэлектрической постоянной е поме-
помещается в однородное поле Ео параллельно направлению поля. Каковы вели-
величины Е и D внутри стержня?
88. В протяженном диэлектрике с диэлектрической постоянной е имеется
однородное поле; пусть сила поля Е. Какова величина силы поля в полости,
если последняя: а) имеет форму очень длинного тонкого цилиндра, параллель-
параллельного линиям поля; Ь) форму тонкой пластинки, нормальной к направлению
поля; с) шарообразна (ср. § 34).
39. В плоский конденсатор (расстояние пластин д), который соединен
с батареей в V вольт, вдвигаются стеклянные пластинки различных толщин
(диэлектрическая постоянная е). Как зависят сила поля в стекле и в оста-
остающемся воздушном слое, а также емкость конденсатора от толщины х сте-
стеклянной пластинки? Какова величина сил обоих полей, если конденсатор
сначала отделяется от баттареи и только тогда вдвигается стеклянная
пластинка?
40. а) С какой силой (на 1 см2) притягиваются обкладки плоского кон-
конденсатора при напряжении в 1000 вольт и расстоянии между пластинками
в 1 мм? Ь) Какова величина силы, если после заряжения конденсатор отделить
от баттареи A000 вольт) и наполнить керосином (е = 2,0)? с) Какова ве-
величина силы, если конденсатор сначала заполнить керосином и затем за-
зарядить?
41. а) Какова величина силы, действующей на пластинки конденсатора
предыдущей задачи, если после заряжения конденсатор отделить от баттареи
и вдвинуть парафиновую пластинку (е = 2,0) толщины 1 мм, не соприкасаясь
с обкладками? Ъ) Определить силу, если сначала вдвинуть парафиновую
пластинку, а затем зарядить конденсатор.
42. В Гауссовой системе мер источники электрического поля определяются
соотношением div E = 4тср. Единицы системы мер Heaviside-Lorentz'a (так
называемой „рациональной") определяются так, что множитель 4тс из этого
соотношения выпадает; следовательно, div Er = pr. Каков будет в рациональ-
рациональной системе мер множитель пропорциональности в законе Кулона? Как свя-
связаны рациональные единицы заряда, силы поля, напряжения и емкости
с Гауссовыми единицами?
43. Два конденсатора, емкости которых Сг = 0,5 \^F и С2 — 0,2 y<F,
соединяются последовательно и приключаются к постоянному напряжению
220 вольт. Какой заряд находится на их обкладках, и какова величина на-
напряжений на обоих конденсаторах?
44. Два равные незаряженные в начале воздушные конденсатора соеди-
соединяются последовательно и приключаются к баттарее с напряжением У вольт.
На какую величину изменится потенциал проволоки, соединяющей оба конден-
конденсатора, если один конденсатор заполнить жидкостью с диэлектрической
постоянной а?
45. Два незаряженные вначале конденсатора с емкостями Сг = 1 pF
и С2 = 10 pF соединяются последовательно и приключаются к баттарее, полюса
которой по отношению к земле имеют потенциалы -f-100 вольт и — 100 вольт.
Провод, соединяющий оба конденсатора, заземляется. Какое количество элек-
электричества протекает при этом через заземленный провод?
46. Вычислить емкость единицы длины цилиндрического конденсатора
(два очень длинные по сравнению с их радиусами концентрические цилиндры;
радиус внутреннего цилиндра а, внешнего — Ъ). Исходить из того факта, что
поверхности уровня равномерно покрытой варядами прямой суть концентри-
концентрические цилиндры.
47. Пусть для двух бесконечно длинных цилиндрических металлических
тел задача о потенциале решена, т. е. найден потенциал у{х,у), который на
поверхности цилиндров принимает постоянные значения и всюду в проме-
жуточном пространстве удовлетворяет уравнению Лапласа —^ + т-у = 0. Как
найти емкость системы двух цилиндров?
48. Для плоской задачи даны поперечные сечения двух цилиндрических

256 Задачи с решениями
проводников, и изображено семейство эквипотенциальных линий, так что
между каждыми двумя соседними линиями имеется одна и та же разность
потенциалов. Как вычислить из этого изображения взаимную емкость этих
двух тел (с той степенью точности, ^которая возможна при ограниченном
числе эквипотенциальных линий)?
49. Посредством функции w = и -f- iv = f (z) комплексной переменной
z = х + iv каждой точке плоскости ху сопоставляется одно значение и = и (х, у)
и одно значение v = v (а?, у). Показать: если существует
$x — z dz
и, значит, что особенно важно, не зависит от пути, на котором zt прибли-
приближается к z, то как и (#, у), так и v (ж, у) удовлетворяют уравнению Лапласа
дх* ^ ду* *~ и
и то же соответственно для v.
Это значит: если 1 и 2 суть кривые, на которых, например, и принимает
постоянные значения иг и и2, то и есть решение задачи о потенциале для пло-
плоского (цилиндрического) поля, которое создается двумя цилиндрическими
металлическими телами с поперечными сечеииями 1 и соответственно 2, когда
последние имеют друг относительно друга напряжение^ — щ. Если и умно-
умножить на соответствующую постоянную, то получается распределение потен-
потенциала для заданной разности потенциалов между 1 и 2.
50. Посредством комплексной функции w = и + iv = F (s) = F (и -f- гу)
(для которой мы принимаем, что она имеет производную -т^ф®, ср. зад. 49J
каждой точке (а?, у) плоскости я сопоставляется точка (и, v) плоскости w.
В плоскости w дана система В проводников (точнее говоря, сечений цилин-
цилиндрических проводников), и для этого случая решена задача о потенциале,
т. е. найдена функция <р от w, v, которая на определенных линиях В прини-
принимает постоянные значения и удовлетворяет уравнению Лапласа. Пусть <р
есть вещественная часть функции f (w) — 9 + *+• Пусть, далее, в плоскости z
дана система А, и для нее ищется решение задачи о потенциале. Показать:
если известна функция F(z), которая отражает плоскость г на плоскость w
таким образом, что при этом фигура А переходит в фигуру Б, то веществен-
вещественная часть от f [F(z)\ = f [F {x -)- гу)] есть искомая потенциальная функция
для системы А. — В каком соотношении находятся емкость двух проводников
в А и емкость соответствующих им в В1
51. Определить емкость (на сантиметр) двойного провода, т. е. двух
параллельных цилиндров с радиусом г и расстоянием между центрами d (> г);
для этого с помощью функции w = — , при подходящем выборе нулевой точки
Z
отображения, пер введем концентрический цилиндрический конденсатор в такой
двойной провод.
Емкость сантиметра длины цилиндрического конденсатора есть г-,
21п —
а
если а и Ь суть радиусы внутреннего и соответственно наружного цилиндра,
(При отображении посредством — из всех окружностей, которые не проходят
через начало, получаются окружности; из окружностей, проходящих через
начало координат, получаются прямые J.

Задачи по постоянному току 257
52. Так как — представляет собой решение уравнения потенциала Д<р = О,
то решениями Дер = 0 должны быть также функции
„ д
{а, Ь, с суть постоянные). При каком расположении точечных зарядов вблизи
начала координат создаются на большом расстоянии потенциалы f, p, Ш
Указание. Два точечных заряда для f, четыре точечных заряда для g и Ть,
III. ЗАДАЧИ ПО ПОСТОЯННОМУ ТОКУ
53. Какова длина вольфрамовой нити в лампочке накаливания, если при
220 вольтах лампа потребляет 50 ватт, и диаметр нити составляет 25 рЛ Удель-
Удельное сопротивление вольфрама приближенно следует принять пропорциональ-
пропорциональным абсолютной температуре; при 18° С оно равняется 0,056 ом/см. Температура
нити пусть будет 2500° абс.
54:. Какова величина тока в первый момент после включения вольфрамовой
лампы на 50 ватт при 220 вольтах? Во сколько раз он больше рабочего тока?
(необходимые данные см. в предыдущей задаче). Температура окружающего
пространства пусть будет 18° С.
55. В медный провод с поперечным сечением 1 лш2 поставлен предохра-
предохранитель из серебряной проволоки диаметром 0,2 мм. Вычислить приближенно
(пренебрегая теплоотдачей), сколько пройдет времени до момента, когда предо-
предохранитель переплавится, если при коротком замыкании идет ток в 20 ампер;
каково будет нагревание медного провода в этот момент? Теплоемкость
серебра 0,055 кал/гр °С; удельное сопротивление равно 0,016 • 10~~4 ом/сде;
точка плавления лежит при 961° С. Медь имеет теплоемкость 0,091 кал/гр°С
и удельное сопротивление 0,017 • 10~4 ож/см.
56. От 220-вольтового генератора идет к месту потребления, где одно-
одновременно горят две 100 ваттные лампы, двойная проводка длины 300 м
с поперечным сечением меди 2X1 мм2. На сколько упадет напряжение
на лампах, если включить утюг, потребляющий мощность 500 ватт?
57.К220-вольтовой сети приключены: 6 лампочек накаливания на 220 вольт,
50 ватт; лампа накаливания на 8 вольт и 6 амперов с соответствующим доба-
добавочным сопротивлением и мотор, который при 220 вольтах дает -тг Р8 и имеет
коэффициент полезного действия 75%. Какова величина сопротивления всей
нагрузки, величина общего тока и общей мощности? Какова величина доба-
добавочного сопротивления восьмивольтовой лампы?
58. В электрическом* чайнике при 220 вольтах и 3 амперах литр воды,
имеющий первоначальную температуру 18° С, закипает в И минут. Каков его
коэффициент полезного действия, т. е. сколько процентов подведенной энер-
энергии затрачивается на «нагревание воды?
59. а) Амвгерметр имеет внутреннее сопротивление В. Каковы должны
быть сопротивления шунтов, которые дают возможность увеличить область
измерения в праз? Ь) Вольтметр имеет внутреннее сопротивление В. Какую
величину должны иметь добавочные сопротивления, позволяющие увеличить
область измерения в п раз?
60. Имеется п аккумуляторов с внутренним сопротивлением Вг и электро-
электродвижущей силой V; каждые Ь аккумуляторов соединяются последовательно,
и полученные — групп соединяются параллельно. Чему должно быть
17 Абрагам-Беккер. — Теория электр.

258 Задачи с решениями
равно fc, чтобы в сопротивлении нагрузки R получить наибольшую мощность,
и какова величина этой мощности?
61. Отброс гальванометра с вращающейся катушкой пропорционален току
и числу витков п вращающейся катушки. Так как для намотки вращающейся
катушки отведен определенный объем, то можно получить немного
витков из толстой проволоки или много витков из тонкой проволоки; произве-
произведение из числа витков п и поперечного сечения вращающейся катушки q
является приблизительно постоянным: n-q = F. Какова должна быть обмотка
вращающейся катушки, чтобы при данной электродвижущей силе V и внеш-
внешнем сопротивлении Ва отброс гальванометра был максимальным?
62. Пусть известна емкость С системы из двух металлических тел про-
извельной формы (или емкость металлического тела, когда.оно в поле одно).
Пусть все пространство вне ме?аллических тел будет заполнено средой
с удельным сопротивлением р ом/см; пусть р много больше, чем удельное
сопротивление металла, так что падением напряжения в металлических электро-
электродах можно пренебречь. Каково сопротивление R системы при прохожде-
прохождении тока от одного металлического тела к другому?
63. Аппарат заземлен с помощью полушарообразного металлического
электрода радиуса г = 10 см; шар опущен в землю так, что большой круг
лежит на поверхности земли. Удельное сопротивление земли в данном месте
пусть 10000 ом/см. Каково сопротивление заземления?
64. Элемент Даниэля состоит из двух концентрических яилиндров, мед-
медного и цинкового, с радиусами а и Ъ; пусть высота будет h. Удельное сопро-
сопротивление кислого раствора медного купороса пусть будет р ом/см; каково
„внутреннее сопротивление" элемента? Емкость каждого сантиметра длины
цилиндрического конденсатора г-, где а и Ъ — радиусы внутреннего
-21п —
а
и соответственно наружного цилиндров.
65. Внутренность плоского конденсатора с расстоянием между пластин-
пластинками d состоит из двух слоев, которые имеют толщины dx и d& диэлектриче-
диэлектрические постоянные &г и е^ проводимости аг и cr2; &i + d% = d. К пластинам при-
приложено напряжение V. Какова величина сил полей Иг и Е2 и смещений 1>г и J>^
Какова поверхностная плотность истинного и свободного" заряда на плоскости
раздела обоих слоев? Какова величина силы тока, проходящего через кон-
конденсатор? Рассмотреть предельный случай ог = 0.
66. Плоский конденсатор заполнен- веществом с проводимостью а и ди-
диэлектрической постоянной е. При соприкосновении с клеммами баттареи он
мгновенно заряжается до напряжения V. Найти время релаксации, т. е. время,
по истечении которого заряд (или напряжение) конденсатора уменьшится
в е раз.
67. Уравнение р = poe 8 (ст. 120), как видно по его выводу, справед-
справедливо вообще, если только в рассматриваемой области пространства а и е
постоянны. Если, например, определенное количество электричества в момент
времени t = 0 концентрировалось внутри очень малой сферы, в то время как
остальные места проводящей сферы не имели никаких зарядов, то это усло-
условие гласит, что все места, не заряженные вначале, — даже пространство, непо-
непосредственно окружающее малую заряженную область, — во время затухания
заряда в сфере постоянно будут оставаться электрически нейтральными. Если
бы в сфере в момент времени t = 0 содержалось некоторое количество тепла,
оно вело бы себя совсем иначе: оно растеклось бы по соседним местам,
в то время как первоначальный электрический заряд стянется, так ска-
сказать, во внутрь себя, не заряжая соседних мест. Объяснить, в чем дело.
68. Очень большой шар с проводимостью а и диэлектрической постоян-
постоянной е находится в пустоте; пусть в его центре, как в предыдущей задаче,
в момент времени t = 0 имеется определенный заряд внутри очень малого
шара. Так как общий заряд всей системы должен оставаться постоянным,
то заряд, экспоненциально исчезающий в центре, начинает появляться на
поверхности большого уже в первый момент, независимо от величины ра-

Задачи по постоянному магнетизму 259
диуса. Требуется показать, что это явление (согласно теории относитель-
относительности) все же нельзя использовать для того, чтобы передавать сигналы
с бесконечно большой скоростью.
69. Большой шар радиуса Ь состоит из материала с проводимостью а
и диэлектрической постоянной е. На поверхности концентрического с ним
малого шара с радиусом а распределен, равномерно в момент времени t = О
заряд Q. Вычислить выделяющееся Джоулево тепло при растекании этого
заряда и показать, что оно равно уменьшению электростатической энергии,
происходящему вследствие растекания заряда.
IV. ЗАДАЧИ ПО ПОСТОЯННОМУ МАГНЕТИЗМУ
70. Вычислить силу поля, создаваемую диполем m в конечной точке
радиуса вектора г, проведенного из диполя.
71. Магнитное поле земли можно с достаточным приближением предста-
представить как поле магнитного диполя. Какова величина момента этого диполя,
если за среднее значение горизонтального напряжения на магнитной ши-
широте 45° принять Л =0,23 гауссов? Каково должно быть отношение между
горизонтальным напряжением на магнитном экваторе и вертикальным напря-
напряжением на магнитных полюсах?
72. Показать (при том же предположении, как и в предыдущей задаче),
как зависит наклонение % от магнитной широты р?
73. Молекулы парамагнитного газа представляют собой малые магнитные
диполи момента р.. В однородном магнитном поле Л они установились бы
в направлении поля, если бы им не мешало тепловое движение. Вследствие
теплового движения в каждый момент времени имеются молекулы любой
ориентации, но только число тех молекул, направление которых сильно откло-
отклоняется от направления поля, меньше. Распределение диполей вокруг напра-
направления поля дается формулой Максвелла-Больцмана
Е_
dn = A»e kT den.
Здесь dn есть число тех диполей, направления которых лежат внутри телес-
телесного угла d<*>; Е есть энергия такого диполя, который с полем Л составляет
угол а (Е= — pITcosa); к есть постоянная Больцмана = 1,36-КГ6 эрг/°С;
мнсжитель пропорциональности А определяется тем, что интегрирование dn
по всем направлениям пространства (по полному телесному углу 4тг) должно
дать общее число всех молекул. Какова величина магнитного насыщения
с магнитный момент
~% магнитный момент 1 г газа, если все диполи
1 г газа
ориентированы по направлению поля
при температуре Т и силе поля Л?
?4t. Результатом предыдущей задачи была „формула Ланжевена"
где
asssTcTm
Найти предельные значения — для a <g^ 1 и для a ^> 1 и показать, что
„ р
формула Кюри — = -jfT [уравнение A19Ъ)] является хорошим приближением
S JL
формулы Ланжевена для малых а. Как связаны ^ и а0 с постоянной Кюри СЪ
Вычислить магнитный момент грамм-молекулы из постоянной Кюри.
76. Пусть железный шар с радиусом а = 5 см однородно намагничен до
насыщения (идеально твердый магнит; для железа ^шт = 22000). Какова
17*

260 Задачи с решениями
величина его дипольного момента? Какова величина В и Н в шаре? Как рас-
распределены на поверхности шара поверхностное расхождение М и плотность
свободного тока? Каково наивысшее значение свободного тока в ампер/см?
76. Вычислить во внешнем пространстве поле железного шара» упомяну-
упомянутого в предыдущей задаче.
77. От диполя ш± к диполю ш2 проведен радиус-вектор г. Какова вели-
величина энергии сосуществования обоих диполей?
78. Магнитная стрелка момента j m | = 100 магнито-статических единиц
плавает в горизонтальном положении на пробке в океане. Где она будет
находиться в устойчивом равновесии и где в неустойчивом? Какова величина
разности энергии между этими двумя положениями? Ответить на этот вопрос
также для случая, когда магнитная стрелка воткнута в пробку вертикально.
Магнитное поле земли нужно рассматривать, как и раньше, как поле диполя,
момент которого равняется 8,3 • 1025 магнито-статических единиц.
79. От диполя т1 к диполю ш2 проведен радиус вектор г. Какая сила
действует на т2? Как зависит сила, действующая между двумя малыми сво-
бодноподвижными магнитными стрелками, от расстояния между ними?
Y. ЗАДАЧИ ПО ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМУ
80. На железное кольцо с диаметром d = 20 см и поперечным сечением
q = 10 см2 намотано 600 витков; какова величина потока индукции j Bw df
в кольце, если через обмотки идет ток г = 1,0 амп.? Пусть ^ будет равно 500.
81. Железное кольцо предыдущей задачи имеет междужелезный слой
ширины о см, однако не настолько широкий, чтобы нужно было в нашей
задаче учитывать рассеяние силовых линий в слое. Как зависит поток индук-
индукции от 5? Какова его величина при Ь = ОД, 1 и 5 дел*?
82. Вычислить энергию поля в железе, энергию поля в между железном
пространстве, полную энергию поля и коэффициент самоиндукции (в генри)
железного кольца с прорезом, указанного в предыдущей задаче, для трех
указанных там прорезов.
83. С какой силой притягиваются полюса прорезанного железного кольца
задачи 80? Разобрать баланс энергии при сближении полюсов (упругая
энергия в железе при этом не учитывается).
84. С какой силой (на 1 см) отталкиваются провода двойной проводки,
находящиеся на расстоянии 30 см, при ток^е в 50 ампер?
85. Гальванометр с вращающейся катушкой имеет квадратную катушку
с размером сторон 2 см к 100 витками; катушка вращается вокруг вертикаль-
вертикальной оси. Крутящий момент подвеса равен 10~2 г вес ow/град. угла. Верти-
Вертикальные стороны катушки находятся в поле 1000 эрстед, которое по отно-
отношению к оси вращения направлено радиально. Какова величина углового
отклонения на миллиампер? Какому току соответствует отклонение в 1 мм
на шкале, удаленной на 2 м, если инструмент используют как зеркальный
гальванометр?
86. Струнный гальванометр состоит из вертикально натянутой тонкой,
проводящей ток проволоки, находящейся в однородном горизонтальном маг-
магнитном поле. Отклонение оси проволоки в направлении, перпендикулярном
к силовым линиям, наблюдается с помощью микроскопа. Каково это откло-
отклонение, если сила тока 1=1 миллиамперу, длина проволоки = 5 см, (упругое)
натяжение проволоки = 0,2 г веса и сила магнитного поля И = 500 эрстедам?
Проводящая ток проволока имеет форму параболы с уравнением относи-
относительно вершины: у = -?~- ос2, где р есть поперечная нагрузка на единицу длины,
& Z — продольное натяжение.
87. Прямой провод длины и направления s движется со скоростью и
в магнитном поле В. Его концы соединены посредством подвижных контак-
контактов с неподвижным проводником, который вместе с ним образует замкнутую
цепь. Какова величина индуцированной электродвижущей силы в этой цепи
(в вольтах)?
88. Железнодорожные рельсы изолированы друг от друга и от земли
(например, посредством пропитанных маслом шпал) и соединены через милли-

Задачи по электромагнетизму 261
вольтметр. Каково будет показание инструмента, если по рельсам проходит
поезд со скоростью 100 км/час! Вертикальное напряжение магнитного поля
земли пусть равно 0,15 эрстед; расстояние между рельсами при нормальной
колее равно 1435 мм.
s 89. Кольцо из медной проволоки с диаметром в 20 см и поперечным сече-
сечением проволоки в 1 мм2 вращается в поле земли вокруг вертикальной оси
с 300 об./мин. Сколько Джоулева тепла выделяется в минуту? Какова вели-
величина среднего момента, необходимого для вращения кольца, и какова величина
максимального момента вращения?
90. Как зависит сила тока в медном кольце предыдущей задачи от угла vt
между нормалью к кольцу и полем земли? Определить величину силы поля,
создаваемой этим током в центре кольца, как функцию at. Найти величину
и направление результирующей силы поля в центре кольца в зависимости
от vat. На какой угол отклонится помещенная здесь магнитная стрелка?
91. Для гальванометра с вращающейся катушкой известны: 1) сопроти-
сопротивление R, ширина Ъ, высота I и число витков п вращающейся катушки; 2) сила
поля И (радиальная) в воздушном промежутке; 3) полупериод колебания
при разомкнутых клеммах; 4) отклонение С в угловых градусах, отнесенное
к 1 амперу. Какое внешнее сопротивление Еа необходимо для предельно-
апериодических отклонений гальванометра?
92. Дроссельная катушка без сердечника с самоиндукцией 0,3 генри и
действующим сопротивлением 20 ом присоединяется к переменному напряже-
напряжению 220 вольт eft и частотой 50 герц. Какое количество тепла (в калориях)
выделяется в минуту в катушке?
93. Сопротивление в 10 ом, катушка с самоиндукцией в 0,5 генри и кон-
конденсатор с емкостью 0,5 микрофарад присоединены последовательно к синусои-
синусоидально-переменному напряжению, эффективное значение которого — 220 вольт,
а частота — 50 герц. Какова величина эффективного тока, каков сдвиг фазы
тока относительно напряжения, какова величина эффективной и безваттной
мощности?
94. Напряжение генератора переменного тока не является чисто синусои-
синусоидальным, но наряду с основным колебанием частоты v содержит еще гармо-
гармоническое колебание третьего и седьмого порядка (частоты которых, следова-
следовательно, 3v и 7v). Пусть амплитуда гармонического колебанжя третьего порядка
составляет 5%, амплитуда колебания седьмого порядка —• 1% амплитуды
основного колебания. Каковы амплитуды двух гармонических колебаний
высшего порядка (выраженные в процентах основной амплитуды) у тока, кото-
который возникнет, если замкнуть генератор: а) через дроссельную катушку
s ничтожным омическим сопротивлением и Ъ) через конденсатор?
95. а) Три проводника соединены друг с другом звездочкой; по ним идут
синусоидально-переменные токи одинаковой частоты и амплитуды, но фаза у
каждого проводника по отношению к предшествующему сдвинута на— (.соеди-
(.соединение звездой" трехфазной системы). Показать, что сумма токов, сходящихся
в точке соединения, во всякий момент равна нулю. Ъ) Три катушки расположены
звездообразно, симметрично относительно центра, в котором пересекаются их
оси. По ним идут токи трехфазной системы. Каждая катушка создает в центре
звезды синусоидально-переменное во времени магнитное поле с амплитудой Н;
направление поля совпадает с осью катушки; силы поля, создаваемые тремя
катушками, по своей величине во времени и по своему направлению в про-
2тс „
странстве сдвинуты каждая относительно других на -$-. Как меняется во
о
времени результирующая сила поля в центре „звезды*?
96. Дроссельная катушка с коэффициентом самоиндукции L = 1 генри
и сопротивлением В = 1 ому приключается в момент времени * = 0к баттарее
с постоянной электродвижущей силой V. Определить, как ток будет изме-
изменяться во времени. Сколько пройдет времени до момента, когда ток разо-
разовьется до 1%?
97. Резонатор (какие раньше часто применялись для обнаружения электри-
электрических колебаний) состоит из кольца радиуса В = о см из медной проволоки
(диаметр 2г = 1 мм); в кольце сделан прорез, и к обоим концам проволоки приде-

862 Задачи с решениями
ланы круглые параллельные металлические пластинки (с диаметром а = 5 см),
которые в качестве обкладок плоского конденсатора представляют емкость
цепи. Если резонатор находится в переменном поле, частота которого при-
примерно совпадает с частотой собственных колебаний резонатора, то в малом
искровом промежутке, находящемся между пластинами, будут проскакивать
искры. Каково должно быть расстояние между пластинками, чтобы обнару-
обнаружить электрические волны с длиной волны X = 10 мЪ
98. а) Энергия солнечной радиации, попадающая в 1 минуту на площадку
земной поверхности, нормальную к лучу, величиной в 1 см2, составляет при-
примерно 2,2 кал. („солнечная постоянная"). Вычислить среднее квадратичное
значение электрической (в вольт/си) и магнитной силы поля (в эрстедах)
в солнечном свете. Ъ) Каково среднее квадратичное значение электрической
и магнитной силы поля в излучении 50-ваттной лампы на расстоянии 1 м,
если предположить, что лампа всю подведенную к ней энергию отдает в виде
лучеиспускания?
99. Кольцо, по которому проходит ток, создает на большем расстоянии
такое же поле, как „магнитный диполь". Требуется, основываясь на этой
эквивалентности и применяя уравнения Максвелла, вычислить из формул для
колеблющегося электрического диполя поле, которое создается на большом
расстоянии катушкой, по которой проходит переменный ток (излучение рамоч-
рамочной антенны).
100. Плоская волна
/ х\
Е„ = a sin 2tcv [t }
* V с /
— ~\
падает при х = 0 на нормальную к оси X плоскую поверхность проводника,
простирающегося вправо до бесконечности. Каково производимое ей световое
давление? Какое давление (в кг/см2) производит солнечная радиация на земную
поверхность (при нормальном падении и пренебрежении отражением)?
Указание. Значение постоянной солнечной радиации см. в задаче 97»
101. Внутри поглощающего тела вектор Е световой волны создает плот-
плотность тока j, которая совместно с вектором Н вызывает силу, на единицу
объема, F = — ЦН]. Показать, что световое давление р, упомянутое в преды-
с
дущей задаче, на основании уравнений Максвелла тождественно с интегралом
от F по объему (р = / ^х^х =
РЕШЕНИЯ
1. (А + В)х = —1,23; a = 96,5°
(А + В),, = + 6,97; C=50,4°
(А + B)s = + 8,33; y = 40,3°
|А + В| = 10,9;
2. Л = —135 кг. см, т. е. при перемещении против силы К должна быть
затрачена работа 135 «г. см.
3. | (аЬ) i = 1,
a = 70,5°.
4. Скалярное произведение равно 1; угол 60°; шесть векторных про-
произведений, которые можно образовать из трех диагоналей, лежашдх в гранях,
будут
± (— i, j, k);
^t(i, -J, k);

Решения
263
площадь грани тетраэдра равна половине абсолютной величины векторного про-
Уз
взведения, т. е. -тг~-
5. - у% + УТ# - УТ.
6. Уравнение представляет плоскость, потому что оно линейно относи-
относительно координат Р; плоскость проходит через конечную точку вектора а,
потому, что уравнение удовлетворяется при г = а; эта плоскость нормальна
к а, потому что все другие векторы, которые удовлетворяют уравнению, но
не имеют направление а0, должны быть длиннее,' чтобы скалярный потенциал
получил заданную величину.
7. (9,3; 9,3; 0). 8. Сразу же получается из формулы [А [ВС]].
9 +
10. Единичные векторы суть
et= @,817, 0,409, 0,409);
е2 = (— 0,566, 0,707, 0,425);
вз= @,115, 0,579, —0,809);
И. A1,4; 7,1;—2,9).
12. Расстояние равно
где
к ъя
Ьгсу
Ьхс3)
геометрически эта формула равнозначна вычислению высоты тетраэдра по
объему и площади основания (ср. задачи 15 и 16).
13. 0,63. 14. v = (— 43,1; — 35,0; + 58,1) см/сек.
15.7=21. 16.1=13.
17. Из всех параллелепипедов с данными длинами ребер наибольший
объем имеет прямоугольный. Из всех треугольников с двумя заданными
сторонами наибольшую площадь имеет тот, у которого эти две стороны обра-
образуют прямой угол.
18. Из t2 = 1 следует ft —r-J = 0; -р есть кривизна кривой, т. е. вектор,
который направлен к центру кривизны, и величина которого равна обратной
величине радиуса кривизны.
19. grad (аг) = а.
20. Выходит непосредственно, если в теорему Стокса подставить
rot (9 grad «JO = [grad 9 grad ф].
21. rot v = 2@.
22. (о = JL.
23. f (r) =»
25. A = [y grad 9], откуда непосредственно следуют оба предложения.
26. 917 кг. 27. - -4 г.
28. | m |
cos а = 1.
| Е | • cos а. Если диполь свободноподвижен, то в этой формуле

264 Задачи с решениями
29. а) 6,4. 10-5 г, Ь) 4,8 • 10~5 г.
30. Металлический шар: со = ~~ cos &;
диэлектрический шар: о>овоб = --— • 1 . t 2 cos
8 у-—
82. Q = 1667 CGSE = 6,56 • 10~7 кулонам.
33. г = 5 см. Если F есть напряжение, то сила поля на углу —, на
V 1
ребре же (в центре эллипсоида вращения) — • j- (I ^>> г).
In —
г
U. со = 6,6 . Ю-4 CGSE/сжЗ; К = 2,8 • 10 дин/Л
35. г = 11^лш. 36. а = 46 эрг/сл*з. р. е = Ео; D = еЕ0.
38. а) Е; Ъ) еЕ = Е + 4тгР; с) . f. - Е = Е + —Цг- • 4тсР.
У zV
89. В стекле E = ~+(d_^)s; в воздухе Е-
С=И. ! .
4к х-\- (d — х)г
Если вдвигать стеклянную пластинку после отключения конденсатора от
V V
баттареи, то в стекле Е = —т\ в воздухе Е = —г-.
?(Л (Л
40. а) Сила = К = 44,3 дин/сде2; Ъ) сила = — = 22,2 дин/сл«2, с) сила = 22Г=
= 88,6 д/
41. а) Сила = К = 44,3 дин/cjh2; Ъ) сила = 4iT = 177,2 дин/сж2.
42# Коэффициент пропорциональности = —.
4тс
Рациональная единица заряда равна Гауссовой единицы;
у 4тс
» „ силы поля „
» 0 напряжения „
1
„ емкости я —
43. § = 3,15 • 10~5 кулонам = 945 000 CGSE.
Vj = 63 вольтам; V2 = 157 вольтам.
45. 9* 10" кулонов = 2,7 • 106 CGSE,
46. 0= ^-т-.
2 In —
а
J
47. 0 = -—j-±
Интеграл нужно распространить по окружности цилиндра.
48. Из 4тсш = -~ со ¦—?- получается следующее построение: силовые
линии (траектории, ортогональные к эквипотенциальным линиям) нужно
изобразить так, чтобы в каждом месте расстояние между двумя соседними
линиями равнялось расстоянию между эквипотенциальными линиями на
том же самом месте (чтобы, следовательно, сеть обоих семейств линий состо-

Решения 265
яла из ячеек, длина и ширина которых друг другу равны). Если рассматривать
участок цилиндрической системы, длина которого равна 1 см, то поверхность
пересечения силовой трубки, определяемой двумя силовыми линиями, с по-
поверхностью одного проводника равна ширине Ъ силовой трубки в месте ее
окончания. Следовательно, заряд на этой поверхности пересечения будет
Ъ=.-~\ если от проводника исходит т силовых трубок, то пол-
полный его заряд на 1 см длины —т~' если»кРоме т°го, напряжение V между
проводниками посредством п — 1 эквипотенциальных линий разделено на п
„слоев" Scp = —, то емкость C=-j— •—электростатическим единицам.
49. Нужно найти предельное значение: а) с вещественным и Ь) с чисто
мнимыми z1~z тз. приравнять эти два выражения друг к другу. Это дает
так называемые дифференциальные уравнения Коши-Римана
ди dv ди dv
дх ду ' ду дх'
Если продифференцировать их по о? и соответственно по у и сложить, та
для и получается уравнение Лапласса; совершенно аналогично получают era
и для v.
50. Что касается первой части заряда, то здесь достаточно заметить, чта
при требуемых предположениях f [F (z)] также является функцией от г с не-
необходимыми свойствами регулярности, и что ее вещественная часть посто-
постоянна также на соответствующих линиях А. Емкости отображенного и перво-
первоначального расположения равны; мы докажем это следующим образом: всякое
комплексное число, а значит также и производную —т- отображающей функ-
ttz
ции F (%) в точке Р плоскости г мы можем написать в виде:
Это выражает тогда собой то, что изображение dF каждого бесконечно малого
отрезка dz, проходящего через точку Р, получается из dg путем растяжения
его длины в г раз и поворота на угол 9- Угол между двумя линейными эле-
элементами, проходящими через точку Р, а также отношение их длин остаются
неизменными; поэтому это отображение посредством имеющей производную
комплексной функции называют „конформным". Из ортогональной квадратной
сети эквипотенциальных и силовых линий в А получается такая же сеть
в В; число эквипотенциальных и силовых линий, конечно, также останется
неизменным; предложение следует из этих двух фактов, если принять еще
во внимание задачу 47.
51. Чтобы найти нулевую точку того отображения, которое переводит
поперечные сечения двух параллельных проводников в концентрические
окружности цилиндрического конденсатора, построим окружность, которая
окружности параллельных проводов в каждых двух точках пересечет под
прямыми углами. Точка пересечения этой вспомогательной окружности
с прямой, соединяющей центры проводников, обладает требуемым свойством:
если принять ее за нулевую точку отображения —, она переводит эту вспо-
вспомогательную окружность в прямую, которая в силу пвавильного отображения
углов должна пересекать отображения обеих окружностей под прямыми
углами. Из соображений симметрии следует, что две отображенные окруж-
окружности должны быть концентрическими. Емкость двойной проводки получается
равной -г- CGSE/cm.
г
52. f создается одним диполем ( + е при # = 0 и —е при х = ?, так что
e»l = a); g — двумя противоположно ориентированными диполями, лежащими
на оси х> момент которых а и расстояние между которыми d, так что а • d = Ъ;

266 Задачи с решениями
подобным же образом g создается двумя диполями, перпендикулярными
к оси х.
53. «1 м.
54. I = 1,95 амперам; он в 8,6 раз больше рабочего тока.
55. 0,35 сек.; нагревание медной проволоки составляет 0,7° С.
56. На 23,8 вольт.
57. Полный ток I = 8,1 амперам; полное сопротивление — 27,2 ом; полная
мощность —1780 ватт; добавочное сопротивление к 8-вольтовой лампе рав-
равняется 35,4 омам.
58. 79%.
59. а) сопротивление шунта равно =- ; Ъ) добавочное сопротивление
равно (п — 1) В.
-\f—
У щ-
61. Сопротивление вращающейся катушки должно равняться внешнему
сопротивлению Ra.
р In —
62. R = -/тт . 63. 159 ом. 64. Е = л ,а .
65. Ех = Y
^1 Л ~ Л Л ~ > t ^2 — ^"
1= 7-
<о = zt -— У г 2 ¦ ^ х (знак в зависимости от полярности пластин).
«своб. = - -^ v d^ _ ^ •
Если проводимость ^ слоя 1 равна нулю, то другой слой становится свобод-
свободным от поля и лежащая на нем пластинка конденсатора — свободной
от зарядов; тогда у нас имеется конденсатор с расстоянием между пласти-
пластинами dx и диэлектрической постоянной ех, к которой приложено все напря-
напряжение V,
4тса
67. Если е есть заряд, сконцентрированный в момент времени t = 0
в малой сфере, то он создает на расстоянии г силу поля —^ , которая вы-
выев
зывает плотность тока i= -^ ; г направлена радиально. Поток электричества
не имеет источников; электроны проводимости нигде не сгущаются и не
разрежаются, а потому нигде не возникает зарядов. В то время, как при
распространении тепла или диффузии распространяющаяся субстанция „рас-
„расходится" на больший объем, дальнодействие электрического заряда отодви-
отодвигает находящиеся на различных расстояниях электроны проводимости как
раз с такой силой, что среди них не возникает никакого сгущения. С мате-
математической точки зрения сила, создающая поток, при распространении тепла
или при диффузии есть градиент плотности текущей субстанция; в случае
электричества, наоборот плотность дается применением операции градиента
к движущей силе Е (е div Е = 4*р).
68. Чтобы передать сигнал в определенный момент времени, мы должны
перед этим заряд, сконцентрированный в малом шаре, предохранить от рас-
растекания посредством изолирующей оболочки, которая в данный момент уби-
убирается. Но уже перед этим на внешней поверхности оболочки появился бы

Решения
867
индуцированный заряд, равный и противоположный заряду шара, в то время
как одновременно на внешней поверхности большого шара возник бы инду-
индуцированный заряд, равный первоначальному заряду. Устранение изолирующей
оболочки не дало бы ничего, кроме соединения зарядов, существующих на
ее двух сторонах.
()
71. I'm | = 8,37 -1025.
73. См. 8адачу 74.
70. Е-=
72. tg г = 2 tg
г* '
CTq 3
О = сг0'-т~; магнитный момент грамм-молекулы равен У'ЗМВС {И— моле-
молекулярный вес, В, — газовая постоянная).
75. |т|= 916000,
Я = — 7 360,
В = 14 700.
Поверхностное расхождение М („поверхностная плотность магнетизма*)
есть М cos #; поверхностная плотность свободного тока i = сЖ sin 0, где 0 угол
между направлением намагничения и соответствующим местом шаровой
поверхности. Максимум свободного тока будет 17 500 ампер/ом.
cos 0 щ w __ _8тг_ лЗМ. cos 8 # _ _4тс_ Зэд. sin 0
гз » Ь — з г3 *
3
3
78. Горизонтально плывущая стрелка на магнитном экваторе находится
в устойчивом, на магнитных полюсах — в неустойчивом равновесии. Разность
энергий между этими двумя положениями равна 32,3 эрг. Вертикальная
стрелка на одном полюсе находится в устойчивом, на другом полюсе в не-
неустойчивом равновесии; разность энергии для нее будет 129,2 эрг.
79. А [ (H>j
р; р р д
9. А [(т1Г) т2 + (m2r) mt + (т^ г - 5
Сила между двумя свободновращающимися магнитными стрелками будет
80. 60 000 максвелл.
. f
Bndf =
ОДтспг
82. Для 5 == ОД; 1; 5 мм,
'55 500; 33 400; 12 000.
ь
Энергия в железе ....
Энергия в междужелез-
междужелезном пространстве . . .
Полная энергия
Коэффициент самоиндук-
самоиндукции
0,1 мм
0,164
0,023
0Д77
0,354
1 мм
0,055
0,044
0,099
0,198
5 мм
0,007
0,029
0,036
0ДУ72
Джоулей
Джоулей
Джоулей
Генри

268 Задачи с решениями
83. Для о = 0,1; Г, 5 мм, сила = 12,5; 4,5; 0,6 кг. Если удалять полюса
друг от друга таким образом, что коэффициент самоиндукции L прорезан-
прорезанного кольца уменьшится на AZ/, то энергия поля при поддерживании тока I
постоянным уменьшится на — ДЫ2. Поток индукции уменьшится на АФ =
= cAJLT; вследствие этого возникает направленная противоположно току э. д. с,
самоиндукции V' = ~лГ ' полная работа которой / I«F•?&=¦=
= — АФ • I = AU2 подводится к батарее, питающей кольцевую катушку.
с
Механическая работа, затрачиваемая во время процесса, будет, следова-
следовательно, -г-А?./2; ее величина равна уменьшению энергии поля; к батарее
переносится удвоенное количество энергии.
84. 1,67 дин/слс. 85. а = 4,1°; 1 мм на шкале = 0,031 тА.
86. 7,8 ц. 87. V = s [vB] • КГ8 V. 88. 0,6 mV.
89. Выделение тепла 5,6 • 10~~7 кал/сек; средний момент вращения 7,6 • 10"~4
гр. вес. см; максимальный момент вращения 15,2 • 10" гр. вес. см.
90. Если R означает сопротивление проволочного кольца, то
^ = * 10~~8 sin ш* = 20,6 sin <ot mA.
к
Сила поля, направленная нормально к плоскости кольца, будет
__. 2п2шг1Г ^_о. .« Л чЛ— з .
jgr/ — — ю у sin tat = 1,3 • 10 sin tot эрстед;
Jk\>
составляющая результирующей силы поля в центре кольца, параллельная
земному полю, будет
нормальная составляющая
Магнитная стрелка, помещенная в центре кольца, отклоняется на угол
> V в направлении вращения кольца.
-l-n*JEC'10~8-B ом.
92. 1490 кал/мин.
93. Zeff = 0,354 А; 9 == 89°54,5/ (фаза тока впереди); рабочая мощность =
= 0,0125 W; безваттная мощность = 6,77. W.
94. а) 1,7%, 014%; Ъ) 150/0, 7о/о.
96. а) Следует разложить sin f<o^ + -^-jH sin (^ + ^-J \ b) величина силы
поля остается постоянной; ее направление вращается с угловой скоростью ш.
^ 4
Искомое время: 6,9 сек.
97. d = 3,7 мм.
98. а) 7,5 V/cm; 2,5 «10""* эрстед; Ъ) 0,39 V/cae, 1,3-10""* эрстед.
99. Если Ей Н суть'решения уравнений Максвелла для пустоты, то эти
уравнения удовлетворяются также векторами
Е* = — Н и Н* = Е.

Решения 269
Если в уравнениях 194а, Ь, с и 195 и заменить вектор Е вектором Н и век-
вектор Н вектором — Е, то получается излучение магнитного диполя р. В слу-
случае плоской катушки с числом витков п, поверхностью f и током i,
100. Световое давление будет -^—; дли солнечного излучения оно соста-
составляет на земной поверхности ^5-10~п кг/см2 ?g 5-10~5 дин/сл&
следует
1 дИ 1
Т ь» ~5Г + Т
следовательно, в среднем по времени
и т. д.

Р. СВОДКА ФОРМУЛ И ОБОЗНАЧЕНИЙ.
А. Векторы и векторные пола.
Векторы всюду обозначены жирным шрифтом, как А, т и т.. д.
Их составляющие по координатным осям обозначены через Аж, А9, Аг,
их величины через | А |, | т | или также через A, v. Скалярное про-
произведение пишется АВ иди, когда это требуется для наглядности, (А8).
Векторное произведение изображается прямоугольными скобкадш [АВ].
I. ВЕКТОРЫ.
а, = a* cos (s, ж) + а„ cos (s, у) + ae cos (s,
(9)
A4)
Объем
будет
[АВ] = — [ВА] =
1
А, .
параллелепипеда, построенного
А[ВС] = В[СА] = С[АВ] =
на
А
В
са
к
А,
в.
трез
» в,
: векторах
у А,
/ В,
г О.
А,
B0)
В, С,
B3)
А[ВС] = В(АС) — С(АВ)
B4)
П. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ.
Градиент:
Расхождение:
div т
дх ду
C4)
C5а)
D1а)

Векторные поля 271
Теорема Гаусса:
J J vndf= f-ff div ydv. D0)
Теорема Грина:
до дф \ л С С /
дп дп) J J
Потенциал точечных источников с отдачей 4^:
11; v = — grad ср. D8)
Двойной источник момента т:
9 — (пц gradA) = -^ =|т|Т&- (S2>
т \ 'ь а г J тъ г2 v/
Поверхность разрыва:
r J J \ r )
Равномерный двойной слой:
v = x(D У . E8a)
Вихрь:
rot v = i I
дУ а
Теорема Стокса:
| vds = J J (rot v)n ЛЛ F3)
Вычисление v из его источников р и вихрей с:
, Г Г Г vdv , Г Г Г eefo
v== — grad I I I Urot I I I . S 1&
J J J r J J J r
Правила вычисления:
div cpA = <p div A -f- A grad <p
rot 9A = cp rot A + [grad cp, A]
div [AB] = В rot A — A rot В
rot rot A = grad div A — AA
rot [AB] = (B grad) A — (A grad) В + A div В — В div A,

272 Сводка формул и обозначений
В. Электродинамика.
Уравнения Максвелла для покоящихся тел (§ 52), имею-
имеющие всеобщее значение:
rotH = ^-i + 4-» О)
rotE = - — В (П)
div D = 4тгр (Щ)
div В = О. (IV)
Н — сила магнитного поля,
Е — сила электрического поля,
D—диэлектрическое смещение,
В — индукция,
i — плотность тока,
р— плотность (истинного) заряда.
При векторах:
Р — диэлектрическая поляризация,
М — интенсивность намагничения,
(86)
A20)
Следовательно, согласно (III)
div E = 4тг (р — div P). C2)
Явления в изотропных веществах характериьуются постоянными
$тих веществ
() (V)
о — электропроводность,
Е(е) — сторонняя сила,
Хэл —коэффициент электризации,
е = 1 -|~ 4тгхэл — диэлектрическая постоянная.
В неферромагнитных веществах:
М = *М.Н; В = !хН (УП)
хот — магнитная восприимчивость,
|х = 1 -{- 4^хт — проницаемости.
Уравнение энергии. ИзA)до (VII) следует
^(E2 + H2) divS + (iE) <127a)

Дальнейшая детализация от (I) до (VII) 273
и = JL (sE2 + цН2). A27b)
Плотность энергии поля:
Вектор Пойнтинга.
S = ^-[EH]. A28)
Химически-термическая отдача:
(Ш) = — — (iE(e)). A32b)
о
Волновое уравнение. Для однородной, незаряженной среды
(в, [jl, о постоянны в пространстве, Е(*} = О, р = 0):
еи. дЩ . 4ir<m дЕ ж._ ^
—= 1 = АЕ. A54г)
Отсюда для изоляторов:
скорость распространения поля w = —=, A53а)
показатель преломления п = Y*p. A53с)
В проводниках:
глубина проникания d = —j= • l/ ——-. A57b)
С. Дальнейшая детализация от (I) до (VII).
Квавмстационарные поля. Пренебрежение в уравнении
I членом — Ъ равнозначно допущению div i = 0 и допущению бес
с
конечно большой скорости распространения w (теория технических
переменных токов §§ 55 до 61). Для квазистационарного тока I
коэффициент самоиндукции L определяется магнитной энер-
энергией поля
Стационарные поля:
D = О, В = 0.
Е не имеет вихрей, а потому может быть выражено через потенциал <р
Е = — grad cp
rot В = — (Г-f с • rot M). (§ 43 до 48),
с
18 Абрагам-Беккер. — Теория эпектр.

274 Сводка формул и обозначений
Статические поля:
D = О; В = О; 1 = 0.
Ни поле В, ни поле Н не имеют вихрей и существуют независимо
друг от друга:
магнетостатика: div Н = — 4те div M
'(§ 47)
электростатика: div (еЕ) =
В однородных изоляторах (s не изменяется от точки к точке)
4-и
— div Е = Дер = р.
» е
Потенциал точечного заряда е на расстоянии г равен
е
Потенциал прямой с зарядом е на 1 см на расстоянии а:
9 = Г1па. (§ 48)

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная электростатическая си-
система единиц 63
4жюиальный вектор 59
Ампер (единица силы тока) 161
Ампера гипотеза круговых токов 142
Антисимметричный тензор 55.
Апериодический разряд 183
Б
Барометрическая формула 104
Безваттная мощность 180
Без&ихревое векторное поле, нигде
не имеющее источников и исче-
исчезающее в бесконечности 32
Безвихревое поле 2й, 31
Беспроволочная телеграфия 234
"Био-Оавара закон 133
Больцмана постоянная 10$—14
В
Вековое уравнение 57
Вектор 9
Вектор аксиальный
Вектор единичный 11
Вектор излучения 149
Вектор Пойнтиита 149
Вектор полярный
Вектор основной 11
Векторы составляющие
Векторная диаграмма (переменных
токов) 17в
Векторная диаграмма двойного про-
провода 2115, 2A6
Векторное поле 20
вычисление его по его источ-
источникам и вихрям 45
Векторный потенциал 45, 131, 133,
134
Векторное произведение векторов 15
Векторы 9
Векторы, вычитание 10, )Влешнее
произведение Г5, внутреннее про-
произведение 14
Векторы, их равнодействующая
Векторы, сложение %
Взаимной индукции коз-ффициеЕ<т
168, 169, 171, 172
Вихрь 40
Вихрь векторного поля 40
Внешнее произведение векторов 15
Внутреннее произведение векторов 14
Волны вдоль идеальных проводни-
проводников 2A2—217
Волны вдоль проводов при конеч-
конечном сопротивлении последних
217—223
Волны электромагнитные в однород-
однородном диэлектрике 1Э6
Волны электромагнитные в однород-
однородных проводниках 191
Вращение твердого тела 16
Вращения момент 17
Вольт (единица напряжения) 160
Восприимчивость магнитная 13N
Время р-елаксации 120, 192
Высокочастотное нагревание 207
Вычитание векторов 10
Гальваническая цель 125
Гаусса метод 126
Гаусса система единиц 157
Гаусса теорема 24
Генря (единица самоиндукции) 162
Герца решение 22.9
Гидродинамическое изображение век-
векторного поля 20
Гистерезиса петля 139
Главная диагональ матрицы 54
Глубина проникания волг.«ы в про-
проводник 195
Градиент 21, 30
Грине теорема
Двойной слой 34, 36
Двойной слой магнитный 132, 133
Двойной слой однородный 38
двойные источники 30 ^
Двойные слои, расположенные по
поверхности 34
Декремент логарифмический 184
Детермияантная форма векторного
умножения 17
Деформация симметричная 58
Джоуля закон 117—1*8
Джоуля тепло 117
Диамагнетизм 137

276
Предметный указатель
Дистрибутивный закон скалярного
умножения 15
Дифференцирование векторов 19
Дифференцирование по координатам
точечьюго источника 31
точки наблюдения 31
Диэлектрики 76
Диэлектрическая постоянная 76, 81
Единичные (векторы 11
Единицы измерения электромагнит-
электромагнитных величин 156
Емкость двойного провода 207, 210
Ем»кость плоского конденсатора 6*7, 6®
Емжость шарового конденсатора 67,68
Емкость эллипсоида 69, 72
Заряд истинный 81
Заряд свободный 81
Заряд электрический 62
Затухание излучения 235
Земной индуктор 144
И
Избирательное поглощение 190
излучение атомов 2&5
излучение осциллятора 233
Излучения вектор 149
Изображения сила 73
Изолятор 65
Импульс излучения 2151
Ивдуктор земной 144
Индукции закон Фарадея 143, 14$
Индукция магнитная 140
Индукция электрическая 7.3
Интеграл по кривой 2
Искажение (в телефонии 217)
Истинный заряд 81
Источники 24
Источники двойные 30
Источники, расположенные по по-
поверхности 34
Источники точечные 27
К
Квазистационарные .процессы 150
Клаузиуса-Мосорти формула 103, 107
Количество электричества 62
Коммутативный закон скалярного
умножения 15
Конденсатор плоский 67, 68
Конденсатор шаровой 67, 68, 82
Концентрационная цепь 122
Координаты полярные, векторные
формулы для них 51
Координаты цилиндрические 50
Косо симметричный тензор 55
Коэрцитивная сила 139
Коэффициент поглощения 193
Коэффициент взаимной индукции
168, 171
Коэффициент электризации 80
Криволинейные ортогональные коор-
координаты 41
Кулон (единицы заряда) 101
Кулона закон 63, 157
Кюри-Вейоа закон 140
Кюри закон 137, 140
Кюри точка 140
Л
Лапла-са оператор 26
Лапласа уравнение 28, 46, 80
Логарифмический декремент 184
Лиь'ии поля двойной проводки 136
Линии поля идеально-жесткого ци-
цилиндрического магнита 141
М
Магнетизм остаточный 13-9
Магнитная восприимчивость 136
Магнитная индукция 140
Магнитная проницаемость 143
Магтитное насыщение 138
Магнитное поле в пустоте 12в, 130
Магнитное поле постоянных таков 130
Магнитный двойной слой 131, 132
Магнитный момент 128, 129
Магннто стр икция 163
Максвелл (единица магнитного по-
потока) 161
Максвелл натяжения ПО, 114, 1.56
Максвелл натяжения в магнитном
иоле 151
Максвелл соотношение 190
Максвелла тензор 141, 156
Максвелла уравнение для неподвиж-
неподвижных тел 146, 149
Матрица 54
Матрица ат/гисимметричяая 55
Матрица квадратичная 54 *
Матрица симметричная 54
Международные единицы 163
Механическая сила на поверхносги
диэлектрика 106
Механические силы в поле 97
Момент вращения 17
Момент электрический двойного слоя
36
Момент электрический диэлектриче-
диэлектрического шара в однородном поле 85
Момент электрический роя зарядов 96
Момент электрический шарового про-
проводника в однородном поле 76
Момент системы источников 29
Мощность переменного тока 170
Н
Намагничение 136
Насыщение магнитное 1136

Предметный указатель
277
Напряжение электрическое по кон-
контуру 146
Натяжения Максвелла 107, 147
Ом (единица сопротивления) 162
Ома закоы 114, 117
Оптический показатель преломления
. 190
Основные векторы 11
Остаточный магнетизм 139
Осциллятор 233
Отдача ползя 25
Парамагнетизм 137
Периодический разряд 183»
Плоская величина 16
Плоскость поляризации электромаг-
электромагнитной волны 11*9
Плотность зарядов 89
Плотность силы магнитной 15*5
Плотность силы электростатической
100
Плотность тока 116
Поверхностная плотность 34
Поверхность расхождения вектора 36
Поверхностный вихрь 141 ^ ..
Поверхность разрыва 37
Поглощение избирателыное 190
Поглощения коэффициент 193.
Пойнтимга лектор 149, 198—201
Пойнтинга вектор комплексный 22i3
Показатель преломления в провод-
проводнике 1913
Показатель преломления диэлектрика
109
Показатель преломления оптический
190
Поле электрическое 7, 61—62
Поляризация диэлектрика 78
Поляризация диэлектрического шара
в однородном юте 86, %
Поляризация магнитная 1<28
Поляризация проводящего шара в
однородном поле 76
Поляриый вектор 5?
Постоянный ток 114
Потенциал запаздывающий 228
Потенциал логарифмический 136
Потенциал однородного двойного слоя
38, 39
Потенциал поверхности разрыва 35,
36
Потенциал системы источников 29
Потенциал скачок у двойного слоя 36
Потещиал скорости 24
Потенциал электродинамический 221
Потенциал электростатический 64
Поток вектора через движущуюся по-
поверхность 47
Поток электрических сил 63
Преломление линий тока 118
Преломление силовых линий 82
Пробная катушка 144
Пробное тело 61
Проводники электричества 65
Произведение трех векторов 18
Равнодействующая векторов ю
Размерность 9
Разкость фаз (электромагнитной вол-
волны в проводниках) 193
Расхождение поля 25
Резонанс (в единицах переменного
тока) 182
Оавара-Био закон 183
Самоиндукция 168
— внешняя 174
— внутренняя 174
— двойного провода 207, 210
— кругового провода 174
— коэффициент 175
Свободный заряд 81
Свободный ток 143
Система единиц абсолютная
— — Гаусса 157
техническая шо
электромагнитная 159
электростатическая 160
Сила 9
Сила, действующая на элемент тока
133, 170
Сила изображения 73
Сила поля (электрического) 62
Сила строения 121
— электростатическая 97
Симметричная деформация 53
Симметричный тензор 54
Скаляр 9
Скалярное произведение векторов U
Скачок потенциала 3E
у двойного слоя 36
— нормальной составляющей у по-
поверхностного источника 35
Скин-эффект 202
Скорость света 189
Сложение векторов ю
— теызоров 5б
Смещение электрическое 80
Сопротивление удельное 116
— кажущееся 18<2
— излучения 186
Стоки 24
Стокса теорема 40, 43
Сторонняя разность потенциалов 125
Сторонняя сила Ш

278
Предметный указатель
Тангенс-буссоль 132
Телеграфное уравнение 192
Тензор 51
— антисимметрический 55
— деформации 54
— косооимметрический 55
— Максвелла 111, 15»б
— напряжений 52. 111, гш
— симметричный 54
— составляющие 52
сумма 65
Теплоемкость 2D2, 2D3
Термодинамика елеоктрострикции 244
Термодинамика энергии поля 237
Техническая система единиц 160
Ток непостоянный 118
— поляризации 118
— постоянный 118
-— проводимости 118
— смещения пфчш
Томсона теорема 93
Точечный заряд вблизи проводящей
плоскости 72
и шаровой проводник 74
около плоской границы ди-
диэлектрического слоя бесконечной
толщины 83
'Трансформатор 180
Удельное сощютивлеыие 116
Удельная электропроводность 116
Уравнение состояния магнитное 140
Ф
Фарада (единица емкости) 1Ш
Фарадея закон индукции 143
Ферромагнетизм 138
Цепь тока с самоиндукцией, ем-
емкостью и сопротивлением 181
Цепь тока с сопротивлением и ем-
емкостью 176
Ш
Шар диэлектрический в неоднород-
неоднородном поле 96
в однородном поле 85
Шаровой конденсатор 67
¦ слоистый 8J
Ширина затухания 235
Э
Электризации коэффициент
Электрическая индукция 73
Электрические собственные колеба-
колебания 182
Электрический заряд 62
Электродвижущая ошва 12>1, 126
Электромагнитная система единиц
Электропроводность удельная' 116
Электр о статичесяьая система единиц
Электростатический потенциал 64
Электр острикция 101, 103
— тер<модинамическая теория 244
Эллипсоида вращения емкость 6Ф
Энергия магнитная 1*50
— электростатического шля 88
дри наличии изоляторов 90
— свободная 237
—¦ точечных зарядов 87
— плотность в ^электрическом поле 91
— плотность в электромагнитном поле
149
Энтропия 238
Эффективная мощность 180

ОГЛАВЛЕНИЕ
Параграфы, обозначенные звездочкой, могут быть при первом чтении
книги опущены.
Введение 7
а. векторы и векторные пола.
I. Векторы
§ 1. Определение вектора 9
§ 2. Сложение и вычитание векторов 10
§ 3. Единичные и основные векторы, составляющие 11
§ 4. Внутреннее или скалярное произведение 14
§ 5. Внешнее или векторное произведение 15
§ 6. Произведения трех векторов . ~ 18
§ 7. Дифференцирование векторов по времени 19
II. Векторные поля
8. Гидродинамическое изображение 20
9. Безвихревое поле. Градиент и интеграл по кривой 21
10. Отдача пбля источников, теорема Гаусса и расхождение вектора 24
11. Теоремы Грина 26
12. Точечные источники 27
13. Двойные источники 30
14. Вычисление безвихревого векторного коля из поля источников . . 31
15. Источники и двойные слои, расположенные по поверхности ... 34
16. Однородный двойной слой 38
§ 17. Вихрь и теорема Стокса 40
§ 18. Вычисление векторного поля по его источникам к вихрям .... 45
§ 19. Изменение со временем потока через движущийся элемент по-
поверхности 47
§ 20. Криволинейные ортогональные координаты 48
§ 21*. Тензоры. Полярные и аксиальные векторы 51
В. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
I. Электростатическое поле в пустоте
22. Сила электрического поля 61
23. Поток электрических сил 63
24. Электростатический потенциал 64
25. Распределение электричества на проводниках 65
26. Емкость шарового и плоского конденсатора • . . . 67
27. Вытянутый эллипсоид вращения . . 69
28. Точечный заряд вблизи проводящей плоскости 72
29. Точечный заряд и шаровой проводник 74
II. Диэлектрики
30. Плоский конденсатор с диэлектрическим промежуточным слоем . . 76
31. Диэлектрическая поляризация 78
32. Максвелловский вектор смещения D . • . • * 80

280 Оглавление
Стр.
§ 33. Шаровой конденсатор. Диэлектрический слой бесконечной тол-
толщины 82
§ 34. Диэлектрический шар в однородном поле 85
III. Энергия и механические силы в электростатическом поле
§ 35. Заряды и металлические проводники в пустоте 89
§ 36. Энергия поля при наличии изоляторов 90
§ 37. Теорема Томсона 93
§ 38. Диэлектрический шар в неоднородном поле 95
§ 39. Механические силы в электрюстатическом поле . . .97
§ 40. Электрострикция в химически-однородных жидкостях и газах • • 1Q1
§ 41. Механическая сила на поверхности диэлектрика 106
§ 42. Максвелловы натяжения 110
IT. Постоянный электрический ток
§ 43. Законы Ома и Джоуля 114
§ 44. Ток проводимости. Ток смещения. Ток поляризации . . 118
§ 45. Сторонние силы и" электродвижущая сила 121
§ 46. Гальваническая цепь 125
С. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
I. Магнитные векторы
47. Сила магнитного поля в пустоте 128
48. Магнитное поле постоянных токов 130
49. Намагничение и магнитная восприимчивость 136
50. Магнитная индукция ч 140
51. Закон индукции Фарадея 143
II. Электродинамика покоящихся сред
§ 52. Максвелловы уравнения для неподвижных тел 146
§ 53.* Магнитная энергия поля и Максвелловы натяжения магнитного
поля 150
§ 54. Единицы измерения электромагнитных величин , 156
Ш. Электродинамика квазистационарных токов
§ 55. Закон энергии для системы линейных токов 168
§ 56. Самолндукция и взаимная индукция 168
§ 57. Вычисление коэффициентов индукции для некоторых частных слу-
случаев 171
§ 58. Цепь тока с сопротивлением и самоиндукцией 176
§ 59. Векторная диаграмма . . . .__ 178
§ 60. Два контура (трансформатор)" • 180
§ 61. Цепь тока с самоиндукцией, емкостью и сопротивлением . . • • 181
IV. Электромагнитные волны
§ 62-. Плоские волны в однородном изотропном диэлектрике 186
§ 63. Плоские волны в однородных проводниках 191
§ 64. Отражение от металлов 195
§ 65. Вектор Пойнтинга в стационарном поле и поле периодическом во
времени Л 198
§ 66. Скин-эффект «... 202
§ 67. Самоиндукция и емкость двойного провода 207
§ 68. Волны вдоль идеальных проводников 212
§ 69. *Волны вдоль проводов при конечном сопротивлении последних . 217
§ 70, комплексный вектор Пойнтинга в телеграфном уравнении . . • 223

Оглавление 281
Стр.
71. Общие электродинамические потенциалы 226
72. Решение Герца • 229
73. Излучение линейного осциллятора 233
D. ОБ ЭНЕРГИИ И СИЛАХ В МАКСВЕЛЛОВОЙ ТЕОРИИ
1. Термодинамика энергии поля
74. Энергия поля как свободная энергия 237
75. Термические эффекты при постоянном объеме 239
76. Термодинамическая теория электрострикции ^ . . 244
И. Действие сил при полях, изменяющихся во времени
77. Максвелловы натяжения и принцип действия и противодей-
противодействия
248
Е. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ
I. Задачи по векторному исчислению 252
И. Задачи по электростатике. 254
III, Задачи по постоянному току .......... 9/ 257
IV. Задачи по постоянному магнетизму 259
V. Задачи по электромагнетизму 260
Решения 262
F. V СВОДКА ФвРМУЛ И ОБОЗНАЧЕНИЙ
A. ВЕКТОРЫ Ж ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ 270
B. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА • 272
C. Дальнейшая детализация уравнений I-V11 273
Предметный указатель с , * * .... 275
Ответственный редактор Т. П. Кравец Технический редактор Е. ТТ. Максимова
Поступило к печати с матриц 28 июля 1936 р.
Формат бумаги 62X94. Изд. № 1. Количество бум. листов 818/ie.
Авторских листов 22^47. Количество печ. внаков в 1 бум. листе 113152.
Леноблгорлит № 12765. Тираж 6 000. Заказ №839.
4-я типография ОНТИ ИКТП СССР «Красный Печатник». Ленинград, Международный, 75а.