АЛГЕБРА
В ТАБЛИЦАХ
I СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ
8-е издание, стереотипное

срофа
Москва 2004
УДК 371.672.8:512(083.4)
ББК 22.14я2
А45
Алгебра в таблицах. 7—11 кл.: Справочное по-
А45 собиё/Авт.-сост. Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский. —
8-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2004. — 96 с.: ил.
ISBN 5—7107—8105—3
Пособие содержит таблицы по всем наиболее важным разделам
школьного курса арифметики, алгебры, начал анализа. В таблицах
кратко изложена теория по каждой теме, приведены основные форму-
лы, графики и примеры решения типовых задач. В конце книги
помещен предметный указатель.
Пособие будет полезно учащимся 7—11 классов, абитуриентам,
студентам, учителям и родителям.
УДК 371.672.8:512(083.4)
___________________________________________ББК 22.14я2
Учебное издание
АЛГЕБРА В ТАБЛИЦАХ
7—11 классы
Справочное пособие
Авторы-составители:
Звавич Леонид Исаакович
Рязановский Андрей Рафаилович
Редактор М. Г. Циновская. Оформление А. В. Кузнецов
Компьютерная верстка О. А Молочков, С, А, Белых
Технический редактор Н. И, Герасимова
Корректор Г. И. Мосякина
Санитарно-эпидемиологическое заключение
№ 77.99.02.953.Д.006315.08.03 от 28.08.2003.
Подписано к печати 05.02.04. Формат 84х1081/з2.
Бумага типографская. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная.
^Усл-дгеч. л. 5,04. Тираж 16 000 экз. Заказ № 1437.
ООО «Дрофа». 127018, Москва, Сущевский вал, 49.
По вопросам приобретения продукции издательства «Дрофа*
обращаться по адресу: 127018, Москва, Сущевский вал, 49.
Тел.;Д095) 795-05-50, 795-05-51. Факс: (095) 795-05-52.
Торговый дом «Школьник». 109172, Москва, ул. Малые Каменщики,
д. 6, стр. 1А. Тел.: (095) 911-70-24, 912-15-16, 912-45-76.
Магазин «Переплетные птицы»:
127018, Москва, ул. Октябрьская, д. 89, стр. 1. Тел.: (095) 912-45-76;
140408, Московская об л., г. Коломна, Голутвин,
ул. Октябрьской революции; 366/2. Тел.: (095) 741-59-76.
Отпечатано с готовых диапозитивов
в полиграфической фирме «КРАСНЫЙ ПРОЛЕТАРИЙ»
127473, Москва, краснопролетарская, 16
ISBN 5^-7107—8105—3	© ООО «Дрофа», 1997
От авторов
Тематические таблицы по всем наиболее важным разделам
школьного курса арифметики, алгебры, начал анализа предназна-
чены для школьников от седьмого до одиннадцатого классов. В ка-
ждой таблице кратко изложена теория конкретного вопроса (опре-
деления, теоремы, следствия, формулы); приводятся рисунки, гра-
фики, а также примеры решения наиболее принципиальных
задач.
Таблицы помогут систематизировать знания, быстро и полно
повторить основные моменты той или иной темы, с помощью пред-
метного указателя найти нужные сведения. Таблицы можно разре-
зать и наклеить на плотную бумагу, оставив оборот чистым для по-
меток и добавлений (для такой операции надо иметь два экземпля-
ра книги).
Ученик может:
—	при подготовке к ответу или к контрольной работе прочитать и
обдумать соответствующую таблицу, посмотреть предметный
указатель;
—	при решении задач по данной теме использовать соответствую-
щую таблицу в качестве справочника;
—	после уроков по данной теме самому внести в таблицу (на чис-
тый оборот) добавления и изменения, отметить неизученные в
классе вопросы;
—	при итоговом повторении материала прежде всего просмотреть
таблицы;
—	устроить себе или своему товарищу зачет по таблице или пред-
метному указателю;
—	использовать таблицу как план ответа на устном экзамене или
зачете.
Учитель может:
—	использовать таблицы при подготовке к уроку;
—	при объяснении нового материала подавать таблицы через ко-
доскоп (вывешивать на доске увеличенную таблицу), а еще луч-
ше — положить книгу перед каждым учеником;
—	проводить письменный или устный опрос по материалам таб-
лиц или предметного указателя;
—	использовать таблицы во время проведения самостоятельных
работ;
—	проводить по таблицам комплексное или тематическое повторе-
ние;
—	избавить себя от утомительной процедуры «надиктовывания»
аналогичных таблиц, план-конспектов, формул и т.п..
3
Абитуриент может: внимательно прочитав каждую таблицу
•от корки до корки», уяснить, всем ли материалом он владеет в
должной мере; при недостатке времени таблицы могут быть основ-
ным источником тематического повторения при подготовке к пись-
менному экзамену. Если вес ждет и устный экзамен, то материал
таблиц должен быть вашим лоцманом при чтении учебников.
Родители ученика могут использовать таблицу:
—	для проверки знаний своего ребенка по той или иной теме;
—	для проверки своих собственных знаний по школьной матема-
тике и для их расширения.
Таблицы могут быть использованы также будущими учителя-
ми, репетиторами, членами предметных комиссий институтов, сту-
дентами.
Авторы надеются, что таблицы принесут пользу всем, кто будет
использовать их в своих занятиях по математике.
Авторы выражают благодарность Борису Петровичу Пигареву,
внимательно прочитавшему таблицы и сделавшему ряд ценных за-
мечаний.
Таблица 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Множество натуральных чисел
N	Натуральные числа 1; 2; 3...
Множество целых чисел
Z	N 0	Целые числа состоят из натуральных, нуля и чи- сел, противоположных натуральным. NcZ
	N	
Множество рациональных чнеел
Q	Z	Рациональные числа представимы как где р — целое, a q — натуральное.
	S	
	k	NcZcQ
Множество действительных чисел
R	Q	Действительные числа — это бесконечные десятич- ные дроби. NcZcQ <zR Рациональные числа — бесконечные периодичес- кие дроби. Период не может состоять из одних де- вяток. Если период состоит из одних нулей, дробь может считаться конечной десятичной дробью. Множество иррациональных чисел. Иррациональные числа — бесконечные непериоди- ческие десятичные дроби. QvQ-R
	5	
3 е N, 3 е Z, -6 е N, -6 е Z, 0,26 е N, 0,25 f Z, 0,25 е Q, 0,25 е R.
Делимость целых неотрицательных чисел
Число а делится на число Ь, если существует с, такое, что а — Ьс.
а\Ь; Ь — делитель а; а — кратное Ь.
Таблица!. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Свойства делимости
Ноль делится на любое натуральное число.
Любое число делится на единицу.
Любое число делится само на себя.
Если а> Оиа'-b, то а > б. Если а'-ЬиЬ-с, то а-, с. Если а ; С и Ь  С, ТО (а + б) С. Если а; (бе), то а  Ь, а с и (а : Ь): с-	Если а-ЬяЬ-а, то а— Ь. Если а • б и k * О, то ak • bk. Если а-с иб:с, то(ат + Ъп)-с. Если а  с и (а + б)  с. то Ь ; с.
Деление с остатком
Для любых двух натуральных чисел а и Ь найдутся такие целые
неотрицательные q и г, что а — b • q + г, О < г < Ь.
Если г — О, то а • Ъ. Число г называется остатком от деления а на Ъ.
Признаки делимости	
Число делится на два, если его последняя цифра делится на два.	на 2
Число делится на пять, если его последняя цифра делит- ся на пять.	н> 5
Число делится на четыре, если число, составленное из двух его последних цифр, делится на четыре.	а4
Число делится на двадцать пять, если число, составлен- ное из двух его последних цифр, делится на двадцать ПЯТЬ.	на 25
Число делится на три, если сумма его цифр делится на три.	на 3
Число делится на девять, если сумма его цифр делится на девять.	на 9
Число делится на одиннадцать, если алгебраическая сумма его цифр Oq - Oj + о2 - а8 + ... + (-1)" “	_ j делится на одиннадцать.	на 11
6
Таблица!. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Десятичная запись пзначного натурального числа-.
ап-1ап-г—а2а1ао “
- «„_!  10"-1 + ал_а • IO”-2 + ... + 02 • Ю2 + щ • 101 + До;
at — цифры числа, a„-i *0, n в N.
НОК (а; В)	Наименьшее положительное из общих кратных чисел а и Ь называется наименьшим общим крат- ным этих чисел. НОК (16; 10) - 30
НОД (а; В)	Наибольший из общих делителей чисел а и b на- зывается наибольшим общим делителем этих чи- сел. НОД (16; 10) - В
НОК (а; В) • НОД (в; Ь) - а • b
Числа а и Ъ называются взаимно простыми, если НОД (в; В) - 1.
Натуральное число р называется простым, если оно имеет ровно
два различных делителя (единицу и само ото число).
2; 3; б; 7; 11; 18; 17; 19; 23— — простые числа
Свойства простых чисел
Любое натуральное число либо делится на простое, либо взаим-
но просто с ним.
Произведение натуральных чисел делится на простое число
тогда и только тогда, когда хотя бы одно ив них делится на
это простое число.
Простых чисел бесконечно много (нет самого большого простого
числа).
Если натуральное число не делится ни на одно простое, квадрат
которого не превосходит это натуральное число, то оно само
простое.
Любое простое число р (р > 3) представимо в виде р — 6k ± 1, к 6 N.
Каноническое разложение натурального числа л (n > 1):
и - р“< -р“* р“л ...	, где pt — простое, р, <р( + х и О < о, е JV.
120 - 23  З1 • б1
Таблица 2. МОДУЛЬ
|а{- °> я>0
[-«. в<0
Основные свойства модуля	Геометрическая
|а) > 0	|-а| = |а|	интерпретация модуля
|а - 6] - |Ь - а]	Если точка А на числовой оси
|а| - |&| < |а + 6] < |а| + |Ь|	имеет координату а, то рас- стояние от А до 0 равно |а|.
Расстояние между точками А (а) мВ (Ь) на прямой равно |а - Ь].
Уравнения с модулем
Ы-а	|х - Ь) - а	Irwl-kwl	
а<0	а<0		
решений нет	решений нет	равносильно	равносильно
	—	объединению	системе уравнений
с-0х=0	а “ 0 х — Ь	уравнений	
а> 0	а>0	Г fix) = g(x)	Г f(x) - ₽(х)
Г х «= а	Г х = Ъ - а	L fM - -ew	L/(x) = -?(x)
L х — -а	|_ х — Ь + а		К(Х) > 0
Неравенства с модулем
|х - 6] < а	|х - Ь] > а	|f(x)|< g(x)	1/ (*)l > в (X)
а«0 решений нет	оСО хе R	равносильно системе: f f(x)<glx) 1 Kx)>-g(x)	равносильно объединению: Г f(x)>g(x) L f(x)<-g(x)
а>0 < b + а	а > 0 — а млн		
Неравенство |/ (х)| >	(х)| равносильно неравенству f2(x) > g2(x)
или неравенству (f (х) - g (х)) (f (х) + g (х)) > 0.
Таблица 2. МОДУЛЬ
Примеры
Раскрытие модулей *по промежуткам*
у — |х + 2] + 3 |х| - 2 |х - 1|
-201х
х< -2, у = ~(х + 2) - Зх + 2 (г -1) - -2х - 4
- 2 < х < О, у = х + 2-8х+2(х 1) — О
0<х«£1,у-х+2 + Зх + 2(х- 1) = 6х
х > 1, у=*х + 2 + Зх-2(х 1) - 2х + 4
Решить уравнение Зх2 - В]х| - 8 — О.
Заметим, что |х|2 - х2; введем обозначение |х| — t.
3t2 - 6t - 8 - 0.
,	8
*1 “ *1: *2 _ 3 •
|х| — -1, решений нет.
.,8	8	8
|х,“з:Х1-“з-х2’з‘
Ответ: xt =	; х2 = |.
Построить график функции у - tg х - |соэ х|.
Данная функция периодическая, период Т “ 2л.
Построим график на каждом промежутке анакопостоянства
косинуса.
Таблица 3. ДЕЙСТВИЯ С МНОГОЧЛЕНАМИ
Сложение многочленов: (а2 + аЬ - Ь) + (За2 - 2аЬ + 6) — 4а2 - аЬ.
Вычитание многочленов:
(2а - Ь) - (За + Ь) - (2а - Ь) + (-За - Ь) - -а - 2Ъ.
Умножение многочленов:
(а + ЗЬ)(а - Ь) — а2 - ab + 3ab - ЗЬ2 — а2 + 2аЬ - ЗЬ2.
Формулы сокращенного умножения
квадрат суммы
квадрат разности
куб суммы
куб разности
разность квадратов
разность кубов
сумма кубов
(а + Ь)2 *" а2 + 2аЬ + Ъ2
(а - Ъ)2 — а2 - 2аЪ + Ь2
(а + Ь)3 — а3 + За2Ь + ЗаЪ2 + Ь8
(а - Ь)3 — а8 - За2Ъ + ЗаЬ2 - Ь3
а2 - Ъ2 ~ (а + Ъ) (а - Ь)
а8 - Ь3 — (а - Ь) (а2 + ab + Ь2)
а3 + Ь3 — (а + Ь) (а2 - ab + Ь2)
Бином Ньютона: (а + Ь)п —
-ал+ cl ал1 Ь+ С*ап~2Ь2 + ... + С* ап ~ *Ък + ... + Ьп
п	п	п
(Л _	„ B(n ~	. л* _ ___й?_____ г* » д'* _ .
сп п’ сп 2 с" (п - *)! *! ’ Сп С"
п е N, п > 1 (01 - 1; 1! - 1; nl - 1 • 2 •• п).
Треугольник Паскаля	1
1	1
12	1
13	3	1
1	4	6	4	1
15	10	10	5	1
1	6	15	20	15	6	1
1 7	21	35	35	21	7	1
(а + Ь)4 - а4 + 4а3Ь + 6а2Ь2 + 4аЬ3 + Ь4
(а - Ь)7 - а7 - 7а®Ь + 21а6Ь2 - З5а453 + З5а354 - 21а2Ь6 + 7аЬ® - Ь1
10
Таблица 3. ДЕЙСТВИЯ С МНОГОЧЛЕНАМИ
Основные приемы разложения многочлена на множители
Вынесение общего множите- ля за скобку	2аЬ + 14а2 + 2а - 2а (Ь + 7а + 1); За2б8 - 1ба8Ь - За2Ь (б2 - ба).
Метод группировки	ab + ac-b-c — а(Ь + с)~ - (Ъ + с) - (Ь + с) (а - 1).
Использование формул сокращенного умножения	а2 + 4аЬ + 4&2 и (а + 2d)2; а4 + 4 “ а4 + 4а2 + 4 - 4а2 — «* (а2 + 2)2 - (2а)2 — — (а2 - 2а + 2) (а2 + 2а + 2).
Дополнительные формулы	(ая -1)- — (а - 1)(а”-1 + ап-2 +... + а + 1); (a2w +1 + 1) - •* (а +1) (а2ж - а2”* “1 +... - а +1).
Многочлены от одной переменной
Общий вид: f (х) — апхп + ап _ txn ~ х+ ... + а^х1 + а0,
п — степень многочлена, щ — коэффициенты, ап — старший ко-
эффициент, ап * О.
Если ап — 1, то многочлен называется приведенным.
Зх4 - х3 + 2х2 - б — многочлен 4-й степени с коэффициентами:
а4 в 3; ад « -1; а2 « 2; «ц *' О; а0 — -5.
Квадратный трехчлен — многочлен второй степени
ах2 + Ъх + с (а # О),
а — первый коэффициент, Ъ — второй коэффициент, с — сво
бодный член.
Деление многочленов
Теорема о делении с остатком
Р(х) - М(х) • Q(x) + В(х), где
Р(х) — делимое; М(х) — деятель^
Q(x) — частное, Я(х) — остаток. Ес-
ли остаток не равен нулю, то его
степень меньше степени делителя.
Зх3 - х2 - Зх - 2 =-=
Р(х)
- (х2 + х - 1) (Зх - 4) + (4х - 6)
М(х) Q(x) Я(Х)
Деление «уголком»
|х2 + X ~ 1
Зх - 4
Зх8 - х2 - Зх - 2
Зх3 + Зх2 - Зх
Р(х) — Зх3 - х2 - Зх - 2
М(х) “ х2 + х - 1
Q(x) » Зх - 4
Н(х) - 4х - 6
11
Таблица 3. ДЕЙСТВИЯ С МНОГОЧЛЕНАМИ
Деление многочлене Дх) на двучлеи х — а					
Теорема Безу. Остаток от деления многочлена на двучлен х - а равен значению этого многочлена при х — а, т. е. R — f(d). Дж) - (х - а)  «х) + Да)	Схема Горнера. Разделить многочлен Дх) - х3'+ бх2 - 3 на (х - б) а - 5 “ а3 ’ б Т- ag bo “	‘ ® + а1 R “ Ь© • 5 + а0 R-f (в) - 247 а8 а2 aj а0				
	е	1	6	°	_ZLJ
		1	10	60	
		t>2	*0 R			
Корнем многочлена называется такое число х0, при котором значение многочлена равно нулю (f (х0) — 0). Целые корни многочлена с целыми коэффициентами являются делителями его свободного члена.					
Пример.
х8 + 5х2 + 2х - 8 = О
Целые корни можно искать только среди чисел -1; 1; 2; -2; 4;
-4; 8; -8.
Ответ: х — 1; х - -2; х - -4 — корни.
Таблица 4. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ
Определение ариф- метического корня Г «.	Б>0 Ja - Ь& \ 1 b ” а	Лё - 4, т.к. 4 > 0, 42 - 16: 725 * 7. Т.К- 72 * 2Б; J25 # 5, т.к. —6 < О; Лв не определен.		7086 - 0,6; 74900 - 70; TO'0001 -0,01; 2 < J8 < 8; 0,8 < 708 <0,9.
Тождества	Основные свойства		
(,/а)2 — а, а > 0 Те2 “ |а|, a 6 й	Ja • Jb — Ja b Л _ fa Jb" 4b [Jif- Ja'	Jab - 70 • Jiftj /a _ 701 4b 7|5j J? - (JHf	
Сравнения, связанные с квадратными корнями
Если а > Б > О, to Ja > Jb.
Ja + Jb > Ja + b.
Если a>l,Toa>JawJa >1.
Если О < e < 1, to a c Ja nO < Ja <1.
Вынесение из-под корня 7а2 b - |а|  Jb, b * 0	Внесение под корень ajb- 1	если в < 0, Ь>0 [	если а?0
ТбЗ - J9~7 =377; Jto2 = |а| - J7; & + Ji> -ьТё + Jb-, -~cj3 + J^.	5 • Л = 7з Б2 - 775; -277 - - Лв; (Тб - 2)  Тэ + 47б - - 7(7б - 2)2 о + 475) -1; (Л - 2) • /Ч + 473 - —Лд - 2)2 (7 + 4Д) —1.
18
Таблица 4. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ
Иррациональность в знаменателе
2	2j3
73 ” 3 ;
5_________5(Т§ + 1)
7§ - 1 ” (7з - 1)(7§ + 1)
5(л/3 + 1)
3-1
5(л/8 + 1)
2
Сравнение среднего геометриче-
ского (пропорционального) двух
чисел и их среднего арифмети-
ческого
> Jab, а > О; Ъ > О.
Построение Jn {п N)
на числовой прямой
Примеры
Найти х2 и упростить выражение х 3 7з - 272 - *J3 + 272.
Заметим, что х < О, т. к. 3 - 272 < 3 + 272.
х2 - 3 - 2j2 - 2 79-8 + 3 + 2j2 - 6 - 2 » 4.
Значит, х — -2.
Ответ: х2 — 4; *]з - 2^2 - *]з + 272 ** -2.
Сравнить числа J2 + 1
Запишем:	72
272
7§
Так как сравниваемые числа положительны, то можно
сравнить их квадраты:
17 + бТ§	?	33
6Т§	?	is
7288	>	7256
Следовательно, J2 + 1 >
14
Таблица 5. КОРНИ НАТУРАЛЬНОЙ СТЕПЕНИ
Определение арифмети- ческого корня натураль- ной степени из неотрица- тельного числа а nJa Ь	5^0 ► л е N, а > 0 J	~ a	V27 - 8;	VO, 0000001 - 0,1; V1024 -4; 2 <	< 8; Уз - 8; .	0,2 < У0, 00036 < ОД У0,008 - 0,2;
Извлечение корня нечетной степени из отрицательного числа	Если а < 0, то 2п~\[а = - 2п~\Ра.
	8лЛ8 --У§ --2; У-243 - -У243 - -8; 87(-У§ - 2)8 - -V(2 - У§)8 - - -(2 - Тз ) - 7з - 2.
Корень четной степени из отрицательного числа не определен.
Тождества
Основные свойства
Если nJa существует, то
(nJa)n — а.
2п1 2п । ।	__
4Ja •» |а|, а € R
Сравнения, связанные с корнями	Если а > Ь > 0, то nJa > nJb. nJa + nJb > nJa + b. Если a > 1, то nJa > 1 и nJa < a. Если0<a<l, to0< nJa < 1 и nJa > a.
Вынесение из-под корня	sj24 - У8 8 - 2 •	; 4J(1 - Л)4 5 - (,/2 - 1) • t/5; ’7(1 - J2)S 6 -(1 - J2)«
15
Таблица 5- КОРНИ НАТУРАЛЬНОЙ СТЕПЕНИ
Внесение под корень	3  */2 - Vs* 2 - У162; -2 - У§ - -в72в 3 - -У192; (1 - 73)  1/2 --1/(1 -	2; (1 - Л} 1/2 - 1/(1 - Л? 2.
Иррациональность в знаменателе	3 = 3	= 3 №. У2 2	2 2	2 (У§ - УЗ + 1) УЗ + 1	3-1 - У& - У§ + 1.
Действия с корнями различных показате- лей	J2 У2 - V2 “ 67а3 22 2 =	- 2. Сравнить Уб и УЗ. 1/ё -Ч/?-ЧДа, Уз -Ч/з* -Ч/51. Так как 125 > 81, то 1У125 > lzj93. и Уб > Уз.
Среднее геометрическое и среднее арифметическое неотрицательных чисел		 + а2 + ... + а„ "J“l “2  “. <	„ Равенство достигается а1 “ «2 - — “ ап-
16
Таблица 6. СТЕПЕНИ. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ.
ФУНКЦИЯ у =4fr
Степень с натураль- ным показателем		a1 ~ a			
		an — a a -... a	, n 6 N, a 6 я		
					
Степень с целым показателем		Q	*	* к	Ш	Ш O	Q	К J ®<3 'e		ISIC4 »IO> U 1 *1* MI1S	-1,2)° = 1;
Степень с рациональным показателем для неотрицательного числа а		a" - "Л" m Б Z, n £ N Если m < 0, to a Если m > 0. to a	>0. >0.	2	S 8s - V9; O6 -0; 8 252 -	- 126; (0,04)2 = V6T04 =0,2; 1 (-27)3 не определе- на.	
Понятие о степени с иррацио- нальным показателем	3s	< S’ < S’ g8.1 < в" < 3З.2 83,U < sn < 83,16 tn - 3.1415...)		(0.3)2 < (O.3rs (0.8)1-6 < (0,s/ (O.S)1-42 < (0,з/ (Л - 1.4142...)		< (0.3)' < (0,8)w <(0,8),л1
					
Степень с дей- ствительным показателем	I e>0		-{	г>0 a>0	
Свойства степеней		c, % % »	a	fi ' Г г I :		(epjr _ дрг (Г-® —®	
г Зак 1437
17
Таблица 6. СТЕПЕНИ. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
Свойства	а>Ь>0	• => а > Ьг	Р'	Г		ар>аг
степеней,	г>0		а:	>1		
связанные						
с неравенст- вами	а>Ь>0 г<0	=^а <ЬГ	р>г 0<а<		:1	ар <а
Графики
степенной
функции
У - хт,
re R
у-хг
О < р < г < 1
Шу) = [0; +оо);
Е(у) - [0; +оо);
возрастает на
[0; +оо).
D(y) - [0; 4-оо);
Е(у) - [0; 4-оо);
возрастает на
[0; 4-00).
р < г < О
W) - (О; +°°);
Е(у) - (О; 4-оо);
убывает на
(0; 4-оо).
18
Таблица 7. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
ШКОЛЬНОГО КУРСА
Линейная функция у - ах + b	График — V,	
D(y) - R.		- прямая у - ах + ft (а > 0) f у — ft (а — 0)
При а - 0 Е(у) - {Ь} (постоянная), все точки — точки экстремума. При а # 0 £(у) — R.	у -ах + Ь (а < 0)	
		
При а > 0 возрастает на R. При а < 0 убывает на R. Экстремумов нет.	/о	
Функция у — kx — прямая пропор-		g-*i« —
циональность (k > 0). Нечетная функция.	*1 - tg а	“X. * V-k2x - tg Р
Квадратичная функция у “ ах2 + Ьх + с (а # 0)
D(y) - R.
При а > 0 убывает на ( -оо; х0] и
возрастает на [х0; +оо),
Ъ
хо~ ~ 2а точка минимума,
Уо ** У(* * * хо) минимум.
Е(у) - (Уо; +°°)-
При а < 0 возрастает на (-оо; х0]
и убывает на [х0; +оо),
b
х0 = ~ 2а — точка максимума,
Уо “ У(хо) — максимум.
£(у) - (-°°; Уо]-
Вид графика — парабола.
Координаты вершины па-
раболы:
х0 “	; Уо “ у(Хо)’
Ось симметрии х — Xq.
При а < 0 уд — наиболь-
шее значение.
При а > 0 уо — наимень-
шее значение.
о х
Четная функция
19
Таблица 7. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ШКОЛЬНОГО КУРСА
D — ft2 - 4ас > 0	D — Ь2 - 4ас — 0	D — Ь2 - 4ас < 0
Два корня и х2; график пересе- кает ось Ох в двух точках.	Один корень х0; график касается оси Ох.	Нет корней; график лежит по одну сторону от оси Ох.
Дробно-линейная функция у =
ах + b
сх + d
(ad - be * 0)
Вид графика — гипербола у = - , где k — (be - ad)/c2.
£
Функция у = - (k * 0).
Л(У) - (—°0; 0) и (0; +°°),
Е(у) “ (-°°; 0) и (0; +°°)-
Два промежутка монотон-
ности (-оо; 0) и (О; +°°);
при k < 0 функция
на каждом из них
возрастает, при k > О
на каждом убывает.
Экстремумов нет.
Нечетная функция.
Вертикальная асимптота г — О,
горизонтальная у — 0.
обратная
пропорциональ-
ность
20
Таблица 7. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ШКОЛЬНОГО КУРСА
Примеры дробно-линейных функций
Функция у = Jx
D(y) = [0; +оо) = Е(у).
Возрастает на D(y).
Экстремумов нет.
Четностью и нечетностью
не обладает.
Функция у = 3Jx
Жу) - ( -°о; +°°) - Е(у). Возрастает на £>({/). Экстремумов нет.	У	
Нечетная функция.	2					Г~
, 1 У = ~^ГТ 38Jx	-I1	С	1 ш
		0 1	8 х
21
Таблица 7. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ШКОЛЬНОГО КУРСА
Степенная функция у - хп
у' -= пхп 1
в = О; у - 1; D(y) -	0) и (0; +оо); Е(у) = {1}.
Сравнение
графиков
степенных
функций
22
Таблица 7. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ШКОЛЬНОГО КУРСА
Показательная функция
у - а? (а > О; а # 1)
/ “ о1 • In а
D(y) - R- Е(у) - (0; +«>);
один промежуток монотонности;
экстремумов нет.
Логарифмическая функция
У “ logoX (а > 0; а * 1) у' -
W) - (0; +оо); Е(у) - R-,
один промежуток монотонности;
экстремумов нет.
е — 2,718281828459046... » 2,7 — основание натурального
логарифма (log,* - In х).
23
Таблица 7. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ШКОЛЬНОГО КУРСА
Тригонометрические функции
	у = sin х	у — COS X	y-tgx
W	R	R	(-| + itfc; | + nk) kez
Е(у)	[-1; 1]	[-1; И	R
Беско- нечное множест- во проме- жутков монотон- ности	Убывает на [2 + ЭД Ц + 2nk]; возрастает на [-; + ЭД? + ЭД. A	£i	Убывает на [2itk; л + 2itfc]; возрастает на [-it + 2nk; 2nk].	Возрастает на ка- ждом промежут- ке непрерывности (-| + nk; ? + nk).
Точки миниму- ма	х = -| + 2nk	x = it + 2nk	нет
Точки максиму- ма	х = | + 2nk	x = 2nk	нет
Миниму- мы	-1	-1	нет
Макси- мумы	1	1	нет
Нули	х = nk	x = | + nk	х = nk
Проме- жутки знакопос- тоянства (У > 0)	(2nk; n + 2nk)	(~+2nk; l+2nk)	(nk; 5 + itfc) Л
Проме- жутки знакопос- тоянства (У < 0)	(-it + 2nk; 2nk)	(= + 2nk; Ц + 2itfc)	(| + nk; п + nk)
Период	2n	2n	п
Четность	Нечетная sin (—x) = -sin x	Четная cos (-x) — cos X	Нечетная tg (-х) = -tg X
Асимп- тоты	нет	нет	Вертикальные п , , X = 2 +
Произ- водная	COS X	-sin x	l/cos2x
24
Таблица 7. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ШКОЛЬНОГО КУРСА
Обратные тригонометрические функции
Таблица 8. ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ
fix + а)	Перенос графика у — /(х) на вектор р(-а; 0).	У, /о		У-'}* Т 1		+ 2 _ 11 у - Л j	—
		-2-1		12 4	х р(-2; 0)	
Дх) + Ь	Перенос графика у — /(х) на вектор р (0; Ь).	У 1	у - Л __ _ Л2***-’—Г- л-г		
		0 -1	Ч	х Р(О; -1)		
-fix)	Симметрия относитель- но оси абсцисс.	У 1	У = Л । г		
		0	1 х		
			у - -Л		
Г(-х)	Симметрия относитель-	/— У - J-X			г у-
	но оси ординат.				
					1 ъ
1Г(х)|	Часть графика в верхней полуплоскости и на оси абсцисс без изменения, а вместо части графика в нижней полуплоскости строим симметричную ей относительно оси Ох.	-			У = |х2-1|
		-1 \° -1			1 К И W ю 1 М '
26
Таблица 8. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ
Часть графика в правой полуплоскости и на оси орди-
нат без изменения, а вместо части в левой полуплоско-
сти строим симметричную правой относительно оси
Оу.
ЯЫ)
При k > 1 сжатие к точке (0; 0) вдоль оси абсцисс
в k раз; при 0 < k < 1 растяжение от точки (0; 0) вдоль
оси абсцисс в 1/k раз.
ЯМ
(fe > О)
При k > 1 растяжение от точки (0; 0) вдоль оси ординат
в k раз; при 0 < k < 1 сжатие к точке (0; 0) вдоль оси
ординат в 1/k раз.
ЛЯх)
(Л > 0)
27
Таблица 9. ГРАФИК УРАВНЕНИЯ
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
ах + by = с	Прямая линия.	V 0			\ х
(х - а)2 + (у - fe)2 = R2	Окружность с центром (а; Ь) радиуса R.	У ( \я \. а			Ъ ] о/ X
/2	2 у = -Ja -х	Полуокружность с центром (0; 0) радиуса а.	у1 -а	0			а х
у = ах2 + Ьх + с	Парабола вида у = ах2; при а > 0 ветви вверх, при а < 0 ветви вниз; вершина b Х° " 2а ’ Уо =	!/(*о) 0		и 1 «О	«	
х = ay2 + by + с	Парабола вида х = ау2-, при а > 0 ветви вправо, при а < 0 ветви влево; вершина Ь Уо ~ —2а ’ х<>=	У Уо 0	1 «(Уо)	*		
28
Таблица 9. ГРАФИК УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
(х - а)(у -b)-k	Гипербола k вида у - - ; асимптоты х = а; у-ъ.	г 1 *<о ! [ \ 1 V 11	 4Vp • о и"
Ы + Ы = 1	Квадрат	у, 1\.	0	X1 х -1
|х-д| + |у-ь| = т	п т > 0, л > 0	Ромб	1 ! ь' । а 0	
Н - Ы -1	«Перекресток»	«	
Если дан график зависимости f(x; у) = 0, то график зависимости
F(x - а; у- b) = 0 можно получить переносом всех точек на вектор
р(а; Ь);
график F (|х|; у) = О можно получить, оставив часть графика в
правой полуплоскости и на оси ординат без изменения, а вместо
части в левой полуплоскости построить линию, симметричную
правой относительно оси Оу;
график F (х; |у|) = 0 можно получить, оставив часть графика в верхней
полуплоскости и на оси абсцисс без изменения, а вместо части в
нижней полуплоскости построить линию, симметричную верхней
части графика относительно оси Ох.
29
Таблица 10. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
Квадратный трехчлен ах2 + Ьх + с — это многочлен второй сте-
пени; а # О — первый коэффициент; Ь — второй коэффициент;
с — свободный член.
9	I	°
Выделение полного квадрата: ах + bx + c~a[x + s—
Ь2 -4ас
4а
График функции F(x) — ах2 + Ьх + с — парабола; координаты вер-
Ь w ч 62-4ac D
шины х0 =, у0 - Г(х0)----------------
D — I? - 4ас — дискриминант квадратного трехчлена.
Корни квадратного трехчлена
Р < q Квадратный трехчлен не имеет корней и сохраняет знак
первого коэффициента при всех значениях х:
а  F(x) > 0.
„ q Квадратный трехчлен имеет один корень (два равных
Ь
корня) х - х0 -	•
У функции Дх) два промежутка знакопостоянства, на каж-
дом из которых она сохраняет знак первою коэффициента:
aF(x) > 0 (х * х0).
Парабола касается оси абсцисс в своей вершине.
30
Таблица 10. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
D > 0
Квадратный трехчлен имеет два корня:
-Ь-Jb -b + Jb
2а ’Х2 ” 2а
У функции Е(х) три промежутка знакопостоянства.
Теорема Виета
Если квадратный трехчлен ах2 + Ьх + с (квадратное уравнение
ах2 + Ьх + с — 0) имеет корни Xj и х2 (т.е. D > 0), то
Ь	с
^1 + х2---,	XjX2=-.
Для приведенного (а - 1) квадратного уравнения х2 + рх + q - 0
Xi + х2 - -р. xj • х2 - q.
Обратная теорема: Если числа tj и t2 таковы, что tj + t2 = -- и
tl • t2 ” ~ ; то они являются корнями квадратного трехчлена
ах2 + Ьх + с (квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = 0).
Пример. Квадратное уравнение х2 - (5 + )х + 5 Л -0 имеет
корни х = б; х —	.
Разложение квадратного трехчлена на линейные множители
£> < 0	Квадратный трехчлен на линейные множители не рас- кладывается.
D>0	ах2 + Ьх + с = а(х - Xj)(x - х2)
D = 0	2 .	(	Ь\2 ах* + Ьх + с — а! х -	1
31
Таблица 10. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
Составление квадратного трехчлена
с корнями <1 и t2
Существует бесконечно много квадратных трехчленов с корня-
ми и t2! они имеют вид
а(х2 - (tt + t2)x + ti  t2),
среди них один приведенный:
х2 - (*! + t2)x +	• t2.
Пример. Приведенный квадратный трехчлен с корнями 2 и 8.
х2 - 10х + 16,
так как 2 + 8 = 10, 2 • 8 = 16.
Корни квадратного трехчлена ах2 + Ъх + с
I	юложительны, если с л х,  х9 = — >0 1	2 а х, +х9 « - — > 0 12	а D = &2-4ас>0	отрицательны, если с хл х9 “ — >0 1	2 а Ъ л х, + х9 		<0 D = Ь2-4ас>0
	одного знака, если х2 = 7Г>0 D = д2-4ас>0	разных знаков, если Х1 х2 “ f <0
Таблица 11. ПРОГРЕССИИ
Последовательность — функция натурального аргумента.
Задание последова- тельности формулой общего члена	а„ = f(n), пЕЦ ап = п2 + п + 41 О} = 43; а2 = 47; а3 — 53; ...
Задание последова- тельности рекур’ рентным соотноше- нием	Дано: аг; а2; ...;ап_1 ап “ Я°п - Г> ап - 2<	а1)
Числа Фибоначчи: 1; (аг -а2= 1; ап + 2 “	1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; ... . “п + ап + 1)
Формула общего члена: ап —

Свойства: + а3 + а5 + ... + а2п + ! - а2п + 2>
а2 + а4 + ав+ + а2п ” а2п + 1 ~ !•
Арифметической прогрессией называется последовательность, за-
данная рекуррентным соотношением: ап + ! — ап + d, п е N
(ах — первый член прогрессии, d — разность прогрессии).
Геометрической прогрессией называется последовательность, за-
данная рекуррентным соотношением: Ьп + i — Ьп  q
(t>i * 0 — первый член прогрессии; 9^0 — знаменатель прогрес-
сии).
	Арифметическая (4-)	Геометрическая (4?)
Допустимые значения	aj и d любые	Ьх и q не равны нулю
Формула общего члена	ап = «ц + (п - 1) • d	ьп “ bi ' 9П " 1
Характеристическое свойство	ап + 1+ап-1 2	Ьп 4 1 ’ Ьп - 1 = ьп ьп*о
Формула суммы п первых членов	а. S„=	2	п- 2аг +(n-l)d 2	п	1 О О- °	е	“ « о О’ 1 е 1 1 с 05	ЭД н	-°	1 Cf	U	Сг
3 Зак. 1437
33
Таблица 11. ПРОГРЕССИИ
	a„ ~a_ n	m — Я /ч J.	Ь ‘ Ь  on ~ m vn • vm 4
Другие формулы	“ Qf \П 9й fflf n-m °n + 1 “	+ 1 - Sn °1 + an “ a2 + an - 1 “ ••• “ ak + an - k + i	+ 1 “ + 1 - bl  bn “ b2 ’ bn - 1 “ “ bk • bn - k + 1
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия (0 < |g| < 1) _	Ь1 Jim q — 0, S — lim S “ :	. n-»°o	n->o° n 1-g		
bi Формула суммы: S - q	 1 ~q		
Примеры 0 Я7	47 0,(87)-0,87 + 0,0087+	г _’o 01 -w (bi - 0,37; q - 0,01)		
О,ад - 0.6 + 0.02 + 0.002 + ... - |	1 - g
(&i - 0,02; q - 0,1)
Суммирование
1 + 2 + 3 + 4+ ... + n~
z
P + 22 + g2 + 42 + _ + „2 _ "(» .+ l)(?n + 1)
О
I3 + 23 + 83 + 43 + ... + n3 - JllfL-LlL
4
Примеры
Если an арифметическая прогрессия, то
-L_+-L_+-L_+...+ _1-----------------IL_.
аГ°2 a2'a3	a3°4 an'an+l al'an+l
Все натуральные числа, дающие при делении на 7 в остатке б,
имеют вид
ап - 7(п - 1) + б - 7п - 2, п е N.
34
Таблица 12. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ
ОКРУЖНОСТЬ
Тригонометрической (единичной) ок-
ружностью называется окружность с цен-
тром в начале координат, радиуса 1. Точки
единичной окружности можно поставить
в соответствие действительным числам.
Числу О ставится в соответствие точка
Ро(1; 0), а каждому числу t ставится в
соответствие точка Р(, полученная поворо-
том точки Ро(1; 0) на угол t вокруг нача-
ла координат (если t > 0, то поворот осу-
ществляется против часовой стрелки, ес-
ли t < 0 — по часовой стрелке).
Таким образом, каждому действитель-
ному числу t соответствует единствен-
ная точка на единичной окружности
Pt, а каждой точке Pt — бесконечное
множество действительных чисел вида
t + 2лЛ, k е Z.
Длина дуги PoPf - t (0 < t < 2л).
I четверть:
0 + 2я* < к 5 + 2я*.
Л
II четверть:
5 + 2я* < t< я + 2яЛ.
Л
Ill четверть:
8к
я + 2 я* < t <~2 + 2яй.
IV четверть:
+ 2яА < t < 2я + 2кЛ.
Связь градусной и радианной мер:
(Ct \	(х
jgjjsJ (радиан); х (радиан) -	 180
36
Таблица 12. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ОКРУЖНОСТЬ
Вершины правильного n-угольника, вписанного в единичную ок-
ружность (одна из вершин Pt).
а - t + — fc.fcez
п
Pt «Ч Ь)
Р*_ЛЪ-, а)
2
Pn+t (-а; -Ь)
(—Ь; -а)
2
Рп (-Ь; а)
2
Pn-t (-а; Ь)
рЗк(Ь-, -а)
2 +‘
P-t (а; -Ь)
Таблица 13. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Косинусом числа t называется
абсцисса точки Pt единичной
окружности, а синусом — орди-
ната этой точки.
Тангенсом числа t называется от-
ношение sin t к cos t (cos t * 0).
, sint
tg t - -------------
cost
Ось тангенсов — прямая x = 1.
Котангенсом числа t называет-
ся отношение cos t к sin t.
Основные формулы
sin2 t + cos2 t = 1, t e R.
tg t =	+ лЛ, k e Z
6 cost 2
,	cost
ctg t — -r-т , t * id, I e Z
e	sint
Дополнительные формулы
1 + tg^t = —-g- , t * = + nzn, m 6 Z
cos t
9	1
1 + ctg t - —5- , t * nk, k e Z
sin t
tg t • ctg t = 1, t * у, I e Z
Формулы приведения преобразуют тригонометрические функ-
л	п	Зл	Зл ,
ции чисел 5 - a, z + а, л - а, я + а, -5- - а, -z- + а в тригоно-
Ci	Ci	Ci	Ci
метрические функции числа а 6 й. (Удобно считать а углом
первой четверти.)
t	n - а	л + а	л 2	°	Я 2 +а	Зл 2 а	Зл у +а
cos t	-cos а	-cos а	sin а	-sin а	-sin а	sin а
sin t	sin а	-sin а	сов а	cos а	-сов а	-cos а
tg t	-tg а	tg а	ctg а	-ctg а	ctg а	-ctg а
37
Таблица 13. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Периодичность		Четность
cos (t + 2п) — cos t TCos “ 2jt	tg (t + л) - tg t Ttg “ л	cos (-а) — cos а
sin (t + 2n) - sin t 7sin - 2n	ctg (t + л) = ctg t Tctg л	sin (-а) = -sin а tg (-а) = -tg а
Значения тригонометрических функций некоторых углов
а. рад	0	л/6	л/4	л/3	л/2	л	Зл/2
о а	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°
sin а	0	1 2	1 72	73 2	1	0	-1
сое а	1	7з 2	1 72	1 2	0	-1	0
tg а	0	1 J3	1	7з	не опр.	0	не опр.
ctg а	не опр.	J3	1	1 7з	0	не опр.	0
Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике
а	Ь , а	, Ь
sm а = -	cos а = - tg а = г	ctg а = -
с	с	о	а
Приближение значения
тригонометрических функций некоторых углов
а’	5’	10"	20'	30’	40’	50’	60’	70’	80’	85’	
sin а «	0,09	0,17	0,34	0,50	0,64	0,77	0,87	0,94	0,98	1,00	« cos а
tg а =	0,09	0,18	0,36	0,58	0,84	1,19	1,73	2,75	5,67	11,43	= ctg а
	85’	80'	70’	60’	50’	40’	30’	20’	10’	5’	а’
Для малых положительных чисел sin а °- а и tg а = <х.
38
Таблица 13. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Знаки тригонометрических функций по четвертям
sin а
сое а
tg а и ctg а
Способы нахождения значений
тригонометрических функций числа (угла) а
по формулам	no вспомогательному треугольнику	
cos а ~ -0,6; II четверть	tg a — 3; III четверть	
|sma| — 71~cos2a — 71-0,36 —0,8 sin а > 0 => sin а — 0,8 ,	sin а	4 tga=^ ”3 1	3 ctg a = г— — - 7 Б	tga	4	i	з
	sin a cos a ctg a	3 <	0 => sin a — --== Tio <	0 => cos a — — Tfo >	0 => ctg a - 5 О
5 ctg a — -	; IV четверть	sin a — 0,1; I четверть	
1	, . x 2	169 .2 - 1 + ct* a - 144 sin a I • I 12 |sin a| “ 13 _ 12 sin a < 0 => sin a = _ 13	1	>J0
		799
I i A  2	L 144	5 |cos a| - л/l -sin a - 11 - jgg - jg „	5 cos a > 0 => cos a = ig x	1	I2 6a ctg a	5	л/99 cos a > 0 => cos a — -Jq- tg a > 0 => tg a = -7= K	799 ctg a > 0 =$ ctg a — TOO	
39
Таблица 13. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Формулы сложения	Формулы двойного угла
cos (х + у) - cos х cos у - sin х sin у cos (х - у) *= cos х cos у + sin х sin у sin (x + у) — sin x cos у + cos x sin у sin (x - y) = sin x cos у - cos x sin у 4<« + Я- l-tgxtgy	2 я	п	„ у # 2 + х + У * 2 + пл’ п е * * /	ч tgx-tgy	п tg (х - у) * —5, х * z + пп; *	1+tgxtgy’ 2 у * 5 + пп; х - у * г + nnt	Z л»	&	cos 2x — cos2x - sin2x cos 2x - 2 cos2x - 1 cos 2x = 1 - 2 sin2x sin 2x = 2 sin x • cos x lg2x-^S£_; 1-tg X x*| + itfe , fee z
Формулы понижения степени	Дополнительные формулы
9	1 cos х = 2 (1 + cos 2х) sin2x = 5 (1 - cos 2х) (sin x + cos x)2 — 1 + sin 2x	1 + cos 2x = 2 cos2x 1 - cos 2x = 2 sin2x 1	• о sin x • cos x “ 2 sin 2x
Формулы половинного угла	Универсальная подстановка
	нТс? HIM ,	ч IP 1	+	M II H о о
I x I /1 + cosx |cos2l=J 2 1 . x |	/1 — COSX lsin21- J 2 x	sinx _ 1 - cosx g 2 “ 1 + cosx ” sinx ’ x * nk, k E Z	
	x * л + 2лЛ, ЛЕИ
40
Формулы преобразования
суммы в произведение
COS X + cos у	_ 2 сое	. co8 e z» cos 2	cos 2
COS X - COS у	> _2 8in	. 8in izS Zi Dili	2	Dill	2
sin х + sin у	= 2 sin	• cos Dill	2	WD	2
sin х - sin у 3	-2sin^ -cos 4*
tg X + tg у -	8Ь1(Х + У)	t	t cos x - cos у	b v COS X  cos у
ottt + еКу-	Лех-Л, у- S‘"»~X>
ъ ’ sin х • sm у	ь 6 ’ sin х  sin ।
произведения в сумму
сое х • сое у = | (cos (х — у) + cos (х + у))
sin х  sin у = | (cos (х — у) - cos (х + у))
sin х  cos у ” | (sin (х + у} + sin (х - у))
Формула дополнительного угла
/ 2	2	О
a cos х + b sin х = Vo +Ъ • cos (х - а), где cos а — .	,
Jo2 + t>2
sin а = , — , а2 + ft2 * О
/ 2 ,2
4а +б
Таблица 14. ЛОГАРИФМЫ
Логарифмом положительного числа а по положительному и
не равному единице основанию Ь называется показатель степени,
в который надо возвести число Ь, чтобы получить а.
log6 а — с (а > О; Ь > О; Ь * 1) тогда и только тогда, когда Ъс — а
log к а
Основное логарифмическое тождество: Ь —а.
Примеры
51о“7-7	21QgJ°’7 -0,7	„log2 3	„з 1°ва 8 „logo 8 8 ч 8	= (2 )	-(2	) — З3 —27
log2 8 — 3, так как 23 — 8 8 logg 27 —1,5, так как 92 — 27		log0>26 16 — -2, так как 0,25-2 — 16 log2g </б — 0,25, так как 250,26 —
logg (_?) не определен, так как -7 < О;
1°8<-2) (~8) не определен, так как -2 < О, -8 < О;
logj 27 не определен, так как не выполнено условие Ъ * 1.
Логарифмы по основанию 10 называются десятичными лога-
рифмами: log10 а - 1g а.
Примеры.
1g 100 —.2; 1g 0,0001 - -4; 1g 100000000 - 8;
8 < lg 2166 <4; -1 < 1g 0,56 < 0.
а	2	3	4	5	6	7	8	9
1g а -	0,30	0,48	0,60	0,70	0,78	0,85	0,90	0,95
Логарифмы по основанию е называются натуральными лога-
рифмами: loge а = In а.
е — 2,718281828459045... иррациональное число; е - 2,7.
а	2	3	4	5	6	7	8	9	10	100	1000
1п а =	0,69	1,10	1,39	1,61	1,79	1,95	2,08	2,20	2,30	4,61	6,91
42
Таблица 14. ЛОГАРИФМЫ
Свойства логарифмов
10go 1 “ 0
log“ I - -1
logo a - 1
, 1
log m a - -
a m
logo am = m
. n n
log m a - —
a	m
Основные соотношения	Дополнительные соотношения
Логарифм произведения: logc (ab) - logc а + logc b. Логарифм частного: logc (a/b) “ 1°вс а ~ 1°£с ь- Логарифм степени: logc о* ” A logc а. Переход к новому основанию: logc а logba“ logcfc-	1	ь	1 10g“ Ь " logb а lo*a"	=^°ga5 logn b	logm b logn c	logm c = ogc log„ b  logm c - logm b  logn c logn b	log„ a a	= b
Примеры 1 _loge5 Jogs 6 О	= э	— о.	
71og6 49 • log7 25 - Jlog7 49 • log6 25 - J2  2 - 2.
„	Jogs? clo83 4
Сравнить: 4 и 6
-	-1°8з 4 Jogs 6	,	„ с .logg 7 logs 4
Так как 6	=4 и log3 7 > log3 6, то 4	>6
Сравнение логарифмов
Если О < а < 1 и 0 < X} < х2, то logo xt > loga х2.
(знак неравенства меняется)
Если О > 1 И 0 < Хх < х2, ТО logo Х1 < 1°ба х2
(знак неравенства не меняется)
Если	1 <	с a <	с Ь	И	X -	> 1,	то	loga X :	* logo X.
Если	0 <	с а <	с b <	: 1 и	X -	> 1,	то	loga х 5	»logo X.
Если	1 <	с а *	с b	и	0 <	: х <	: 1, то	loga х *	' logo x-
Если	0 <	с а <	z Ь <	с 1 и	0 <	z х <	: 1, то	loga х 4	' logo X.
43
Таблица 14. ЛОГАРИФМЫ
logft а > 0 тогда и только тогда, когда положительные числа а и Ь
лежат «по одну сторону от единицы»: а>0;6>0и(а — 1X6 -1) > О.
log(, а < 0 тогда и только тогда, когда положительные числа а и Ь ле-
жат «по разные стороны от единицы»: а>0;6>0и(а- 1X6 - 1) < О.
Примеры
1о₽0,7 °.2 < l°g0,7 О»11	log6 2 < log6 11	log5 7 > log8 7
1оВ0.2 7 > 1об0,8 7	log4 5 < log3 5 < log3 6 => log4 5 < log3 6	
Сравнить log4 15 и J17 .
Так как log4 15 < 4, a J17 > 4, то
log4 15 < V17 .
Сравнить log3 4 и log4 5.
I способ.	log3 4	? log4 5
log3 4-1
,	4
log3 §
log4 5-1
,	5
loS4 4
Так как z > т , то
,	4,5,5
log3 з > log3 > log4 * ,
t. e. log3 4 > log4 5.
II способ. Рассмотрим функцию Дх) = logx (х + 1) =	* —-
при х > 1.
In X _ 1п(х + 1)
X + 1____X _ X  In х - (х + 1) In (х + 1)
/ (^-У “	о	9	V
(In х)	х(х + 1) (In х)
при X > 1.
Значит, log3 4 > log4 5, так как функция Дх) убывает.
Таблица 15. УРАВНЕНИЯ
Корнем уравнения называется значение переменной, при под-
становке которого в уравнение получается верное равенство.
Примеры
х3 + х — 0 — один корень: х — О.
(х2 + х - 12) • Jx + 3 =0 — два корня: х - -3, х = 3.
sin (лх) — 0 — бесконечное число корней х е Z.
х2 + 2х + 1 = (х + I)2 — верно при всех х е Я.
х2 — х2 + 1 — нет корней (пустое множество корней 0).
Два уравнения называются равносильными, если множества их
корней совпадают.
Примеры х2 — х + 2	И	х2 - х - 2 - 0	равносильны.
х4 + 2 - -16	и	sin Зх = 2	равносильны.
7х - 2х - 6	и	х = (2х - 6)2	неравносильны.
Неравносильные преобразования
могут привести к:
потере корня
х(х + 5) = 2х	правильное решение:
х + 5 = 2	х2 + бх - 2х — 0
х- -3	х2 + Зх - 0
Потерян корень х - 0.	х(х + 3) - 0
	х — 0; х = -3
появлению «посторонних» корней
х2 + х-1 = 4х-3 х-1	х-1	правильное решение: (х2 + х-1 = 4х-3
х2 + х-1=4х-3	|х*1
х2 - Зх + 2 - 0 х = 1 и х - 2	1х2-Зх + 2 = 0
«Посторонний» корень х = 1.	|х*1
	Ответ: х — 2.
45
Таблица 15. УРАВНЕНИЯ
Методы решения уравнений
Разложение на множители
Произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя
бы один из них ноль, а остальные при этом существуют.
(х - IXx2 - 4) • Jx - О <=>
X “ 1	
	x - 1
x-±2	x — 2 Ответ: 0; 1; 2.
x = 0	
	x = 0
x>0	
Замена переменной			
(x + I)4 + x2 = 1 - 2	X	<=> (x + I)4 + (x2 +	2x + 1) - 2 «
[t - (x + l)2>0		t - 1	x - -2
U2+t-2 - 0		t “ -2	<=>«-=!<=>	. x - 0
Использование монотонности
2х + 5х — 29. Функция /(х) = 2х + 5х возрастает; /(2) — 29 =>
=> х = 2 — единственный корень.
Сравнение обеих частей по величине
sin7 х - cos22 х = 1 <=> sin7 х — 1 + cos22 х,
. 7 .,
sin х «1
, ,	22
1 + cos X > 1
sin x — 1	| sinx = 1
cos X = 0	I cosx - 0
<=> x -	+ 2nn, ne Z
Использование однородности
3(x + 8)2 - 4(x 4- 8)(x2 + 2x + 2) + (x2 + 2x + 2)2 = 0.
Пусть x + 8 — a; x2 + 2x + 2 - b. Тогда 3a2 - 4ab + fe2 = 0,
2b+b t	b
ai, 2 = “з- J a ” о или a " g •
x+8*=x2 + 2x + 2 x2 + x - 6 = 0 хг - -3; x2 - 2	3x + 24 — x2 + 2x + 2 x2 - x - 22 = 0 1±J§9 x3, 4 “	2	Ответ: -3; 2; 1-789 1+789 2	’	2
46
Таблица 15. УРАВНЕНИЯ
Линейные уравнения
(приводимые к виду ах •= Ь)
а # 0 один корень Ь х = - а	а = Ь ~ 0 бесконечное множество корней х е R	а = 0, б * 0 решений нет
Квадратные уравнения
(приводимые к виду ах2 + Ьх + с = 0 (а 0))
Равносильными преобразованиями уравнение приводится к виду
.2	,
Ь -4ас
4а2
Наличие корней зависит от знака выражения:
D - Ъ2 - 4ас (дискриминант квадратного уравнения).
Частные формулы для решения квадратных уравнений
Приведенное квадратное уравнение х2 + рх + q - 0 (а — 1)	Квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом ах2 + 2kx + с — 0 (b = 2k)
Если D > 0, -р ± Jb х1. 2 - Г 2	; если D = 0, х = - g •	g	Я	о S	§	II Ч	ч	* II	V О	О	“ и	ь 1	’	4. "to	» 1	II	И 0 1»-	" I	Alh- *	0 й 1+	~
Неполное квадратное уравнение
ах2 + с = 0 (Ъ — 0)	ах2 + Ьх = 0 (с = 0)	ах2 = 0
Если ас > 0, решений нет; если ас < 0, х —		х(ах + Ь) = 0 два корня: л	Ь х - 0, х = - - . а	один корень х-0
47
Таблица 15. УРАВНЕНИЯ
Алгебраические уравнения высших степеней
(приводимые к виду ftx) — О, где /(х) — многочлен степени выше 2)
Разложение на множители х3 - 2х2 - х + 2 - 0 х2(х - 2) - (х - 2) - 0 (х - 2ХХ2 - 1) = 0 => х = 2; х - ±1	Подстановка (биквадратное уравнение) х4 - Зх2 + 2 = 0; х2 - t t2 - 3t + 2 - 0 t = 1; t = 2=>Х“ ±1; x — ±72	
Применение схемы Горнера х3 - 4х2 + х + 6 = 0	Использование монотонности х3 + х — 6 Тб = 0 х3 + х = 6,/5 Функция Г(х) = х3 + х возрас- тает на R; F(j5) = 6 Тб => х = Тб — единственный корень.	
1-416		
м 1 К К 11 о со ю 1 ^ч 1		
СЧ II К 1Г о со 1 гЧ сч		
3 10	=> х = 3		
		
Возвратное уравнение 2х4 - 5х3 + 6х2 - 5х + 2 - 0 Так как х = 0 не является кор- О нем» можно делить на х . 2х2 - бх + 6 - - +	=0, х х2 ( о 1 Л (	14 2 х + —£ - 5 х + 1 + 6 = 0. 1 X2J 1 Подстановка: у = х +	; у2 - 2 - х2 + i . X 2(у2 - 2) - бу + 6 = 0 2у2 - бу + 2 = 0	Использование однородности Зх2 + 4х(х2 + Зх + 4) + (х2 + + Зх + 4)2 = 0 Пусть у = х2 + Зх + 4. Тогда Зх2 + 4ху + у2 = 0. Решаем относительно х: 1 х = -у;х = -ду. Следовательно,	
		X - -х2-Зх-4 Зх = -х2 - Зх - 4
	Ответ: -2; -3 ±Тб.	
Уравнение Jf(x) « g(x) равносильно системе: Г(Х) = У2(х) у(х)>0	I	/равнение Jf(x) = Tg(x) завносильно системе: Г(х) = g(x) f(x) > 0 (или У(х) > 0)
Неравенства в системах, как правило, проверяют, а не решают.
48
Таблица 15. УРАВНЕНИЯ
Иррациональные уравнения
Простейшие	73х + 1=2 Зх + 1 = 4 х = 1	71 - 2х = -5 корней нет
Возведение обеих частей уравнения в степень		Замена переменной
7бх + 6 + 73х + 4 = 5х + 6>0; Зх +	= 2 « 4>0	72-х = Зх + 8 Пусть у = 72-х > 0. Тогда х - 2 - у2
бх + 6 + Зх + 4 +	<=> + 2V(5x + 6)(3х + 4) - 4 5х + 6>0 <=>• 	 <=> 7(бх + 6)(3х + 4) = -4х - 3 5х + 6 >0;-4х - 3 >0 «	2 (5х + 6)(3х + 4) = (-4х - 3) <=> х = -1		и у = 3(2 - у2) + 8 <=> у >0 <=>  <=> 3 г/2 + у - 14 = 0 <=>j/ = 2<=>72-x = 2 <=> « х = -2
Уравнения, связанные со степенной функцией
«. и ”	to * X О’ “	*	.	w	X »	II	+	"	©	5? м «5	ш U	"=	® v“	X X	II	||	О	\ Д	0’10»	® д	05 о	11 о	О	х	«	О’ «г	О’ 3	И	II "ъ II ®	1	г» +	»1 R	wi w	Х1	«г	xl	+ X	' w	II	1	(П	»со I	II	Г ® й 1	<с	Д	1 х	KIS	л	® »	otlos	.os	II 1	XI	о SIS	1 cnlOi	। •	СЛ1	а	2	4 3	8. х х =4 х>0 2 4 (х2 2 = 4 х2 = 4 х = ±2 Ответ: х=2.
49
Таблица 15. УРАВНЕНИЯ
Показательные уравнения
Решение простейших показательных уравнений основано на мо-
нотонности показательной функции у = ах (а> О, а # 1, D(y) = R,
Е(у) - (0; +оо)).
Простейшее показательное уравнение ах — Ь при Ь > 0 имеет един-
ственное решение, записывающееся в общем виде х — loga Ь.
При Ь < 0 решений нет.
6х = 36 х = log6 36 х-2	2х = - 2	8 х =log2 (1/8) х “ -3	100х = 10 х = 1о£100 1° х ~ 0,5	10х = 3 x = lg3	ех = 2 х = In 2	625х = -25 решений нет
Уравнения вида <№ = а8^ равносильны уравнению f(x) - g(x).
Методы решения показательных уравнений
Приведение к одному основанию X 5х • 0,2 - 1252 75 Зх 1 *•	—1 г 2	12 5х . 5 1 - 5	-5 Зх + 1 5х _ 1 - 5 2 Зх + 1 х- 1 -=	2	=>х=3		Логарифмирование обеих частей уравнения 61/х . 2* = 12 Логарифмируем по основанию 2: I log2 6 + х = log2 12 « <=> 1 + log2 3 + х2 = (2 + log2 3)x x2 - (2 + log2 3)x + (1 + log2 3) - 0 Ответ: x — 1; x - 1 + log2 3.	
Вынесение за скобку 7х + 7х + 2 = 350 7Х(1 + 72) = 350 лХ 35°- -7 1 + 7 X” 1	Составление отношения 4х + 3х " 1 - 4х “ 1 + 3х + 2 4х - 4х - 1 _ Зх + 2 _ Зх - 1 4х ~ 1 (4 - 1) = 3х ’ \33 - 1) 4х “ 1 • 3 = 3х ~ 1 • 26 4*"1 = 26 (4 V -1 _ 26 3х-1 = 3 « 1з;	3		Замена переменной 25х + 5х + 1 - 6 - 0 5х = у > 0 у2 + 5у - 6 = 0 у - 1; у - -6 < 0 5х = 1 => х = 0
	х = log4 3	26	, "3 +1	
50
Таблица 15. УРАВНЕНИЯ
^Завуалированное »	Использование	Использование
обратное число	однородности	монотонности
(Л -2f + (Jb + 2f- 18	3 • 16х - 12х - 4 • 9х	2х + 6х - 29
(Тб - 2)(Тб + 2) -	Делим на 9х > 0:	Дх) - 2х + 6х
-5-4-1	_ (16\х (12\х л	возрастает на R.
		Д2) - 29 =>
Пусть	- 2)х — у > 0		х — 2 — единст-
У + ” 18=>у» 9±4j5	о в 1 н	 ТГ ICO 1 н сч	 TJHCQ со	венный корень.
(Тб -2)х = 9-4Тб -	Пусть (Т) - у > 0 =>	
- (Тб - 2)2 => х - 2 (Тб -2)х-9 + 4Тб -	Зу2 - у - 4 - 0 => 4	
-(Тб +2)2-(Тб -2)-2=>	!/=д;!/ = -1<0=>	
х — -2	/А\Х	А	
Ответ: 2; -2.	<•		 оэн 1 001 н U X 1 м	
Логарифмические уравнения
Решение простейших логарифмических уравнений основано на
монотонности логарифмической функции у — loga х (а > 0; а * 1;
W - (0; +оо); Е(у) - Я).
Типы простейших логарифмических уравнений
1)	logo х = Ь при всех допустимых а имеет единственное решение
х — аь.
2)	loge (/(х)) — Ь равносильно уравнению /(х) — аь.
3)	logo (Дх)) — g(x) равносильно уравнению Дх) — а^х\
4)	logo (Я*)) ” 1°Йа (£(*)) равносильно системе:
fW - «(*)
Дх)>0
g(x) > 0
Причем любую из двух последних строк можно (и, как пра-
вило, нужно) опустить.
В логарифмических уравнениях, как правило, совершенно
не обязательно находить области существования функций, вхо-
дящих в уравнение. Достаточно проверить, какие из получен-
ных корней уравнения системы удовлетворяют неравенствам
в системе.
51
Таблица 15. УРАВНЕНИЯ
Уравнения, сводящиеся к типу 4
log2 (х2 + х - 2) = 1 + log2 х <=> log2 (х2 + х - 2) - log2 (2х) <=>
х2 + х - 2 = 2х . х2 - х - 2 = О
2х>0	х>0
х - -1
х = 2 «х“2
х>0
Замена переменной
9/10\
lg2[-J + 1g x = 7
(1g 10 - 1g x)2 + 1g x - 7
у = 1g x =>
(1 - у)2 + у - 7 =*
У “ з 1g x = 3
у----2 L 1g x----2
Ответ:
x - 1000; x = 0,01.
Потенцирование уравнений,
сводящихся к типу 4
logj (х + 1) + log3 - 2 - 21ogj (x2) w
3	' '	9
X 1
<=> logX(x + 1) - logijj = log! jj - logi(x2)«
3	8	3	3
3
x>0
2(x + l)__1_
x 9x2
“ lo&l —2
3 9x2
Уравнение с неизвестным в основании логарифма
logx б
<=>х = V5
Ответ:	.
log 2 х = 0,5 <=>
2 о.б
(xz)
log(_x) 26 = -2
х<0
х*-1	<=>
. (-Х)"2 = 25
х<0
х*-1
8 с
“ о
2
Ответ: х е (0; 1) u (1; +оо).
Ответ: х = - = .
О
52
Таблица 15. УРАВНЕНИЯ
Тригонометрические уравнения
При любом а: п	,	п < arctg а < tg (arctg а) = а arctg (-а) = = -arctg а	а	О	1 -Уз	1	J3	При любом а: 0 < arcctg а < л ctg (arcctg а) = а arcctg (-а) — — л - arcctg а
	arctg а	О	я 6	п 4	л 3	
	arcctg а	п 2	я 3	п 4	п 6	
	arctg а + arcctg а = 5					
63
Таблица 15. УРАВНЕНИЯ
Частные решения
sin (Ях)) - а
cos (/(х)) - а
tg (Ях)) - а
при |а| < 1:
Ях) - arcsin а + 2пп
f(x) — я-arcsin а +
+ 2лп
п е Z
[ f(x) — ±arccos а + 2пп
п£2
при всех а:
Ях) - arctg а + пп
nez
Методы решения тригонометрических уравнений
Тригонометрические уравнения, приводимые к уравнениям от
одной тригонометрической функции одной переменной, решают-
ся (как правило) подстановкой.
sin2 х + 4cos х = 2,75	tg x + 3ctg x - 4
1 - cos2 х + 4cos x — 2,75 cos x “ t; |t| < 1	tg x +	= 4 6	tg X
t2 - 4t + 1,75 - 0	tg x - t
1	7	.	t2 - 4t + 3 - 0
* “ 2* f “ 2 > * 1 7t x — ±z + 2nn, n e Z O	t - 1; t - 3 n х = -+лп	, _ _ 4	n, k e z x — arctg 3 + nk
cos2 х + cos 4х = 0,25
0,5(1 + cos 2х) + 2cos2 2х - 1 = 0,25
cos 2х = и; |u| < 1
4и2 + и - 1,5 = 0
1	3
и~ 2; “ “ 4
13	п
х - Ig arccos(-~) + пп; х - ±g + пп, n е Z
54
Таблица 15. УРАВНЕНИЯ
Однородные тригонометрические уравнения
и уравнения, сводящиеся к ним
2sin х • cos х - cos2 х — 0	5sin2 x + sin x • cos x - 2COS2 x — 2
сое x(2sin х - cos х) — 0	5sin2 x + sin x • cos x - 2cos2 x —
сов х - 0 => х -	+ лп, п g Z & 2sin х - cos х — 0 Корни уравнения cos х = 0 не удовлетворяют этому уравнению.	— 2cos2 x + 2sin2 x 3sin2 x + sin x • cos x - 4cos2 x — 0 cos x # 0. Делим на cos2 x: 3tg2 x + tgx-4=0=>
Делим на cos х * 0: 2tg х - 1 = 0	4 tgx-l; tg x - -g
tgx- | х = arctg | + пп, ne Z	x = - + nn; x = -arctg g + яЛ; n, k e Z
Разложение на множители
J2 sin х • cos х - 2 — cos x -2 J2 sin x
J2 sin x • cos x - cos x - 2 + 2 J2 sin x — 0
cos x( J2 sin x - 1) - 2(1 - J2 sin x) = 0
(72 sin x - l)(cos x + 2) = 0
J2sinx -1=0
cosx + 2 = 0
1
sin x — —=
x — (-l)n  j + яп;
n e Z
cos x = -2, корней нет.
Уравнения, решаемые на основе условия
равенства тригонометрических функций
sin Дх) = sin <p(x)	cos ftx) = cos <p(x)	tg Дх) = tg <p(x)
Дх) = <p(x) + 2nk	Дх) = <p(x) + 2nn	Дх) = <p(x) + лп
f(x) - я - <p(x) + 2лп n e Z, k e Z	f(x) = -ф(х) + 2itk n^Z.k^Z	<p(x) * | + nl nEZ,lEZ
55
Таблица 15. УРАВНЕНИЯ
Уравнения с обратными тригонометрическими функциями
arcsin х — а	arccos х — а	arctg х - а	arcctg х — а
п	П 2^а^ 2 х = sin а	0 $ а < я х = cos а	я	я 2 < а < 2 х = tg а	0 < а < л х = ctg а
п	п а < - g или а > g решений нет	а < 0 или а > л решений нет	_ 71	П а < - g или а 2 решений нет	а < 0 или а > п решений нет
Уравнения с параметрами
Решить уравнение
2х + 3
х - а
= 0 для каждого значения а.
(2х + 3 - О
Данное уравнение равносильно системе <
lx - а*0
3
2
х*а.
Ответ: при а * -%
3	3
2’ при «-"2
решений нет.
Найти все такие значения р, для которых один из корней уравне-
ния х2 - Зрх + 2р2 — О равен 1, и для каждого такого значения р
найти остальные корни.
Для того чтобы один из корней уравнения был равен 1, необхо-
димо и достаточно, чтобы I2 - Зр • 1 + 2р2 = 0, т. е. 2р2 - Зр + 1 — О,
, 1
Pi ’ 1» Рг — 2 •
При р = 1 х2 - Зх + 2 = 0, Xj - 1, х2 = 2;
1	2	3	. * 1 Л ,	1
при р 2	2 х + 2 ” в ^2	2 *
Ответ: прир — 1 и прир “ Прир — 1 х2 — 2; прир ” | х2 —
56
Таблица 15. УРАВНЕНИЯ
Уравнения с параметрами (продолжение)
При каких значениях а уравнение 4х - (а + 2) 2х + 2а = О имеет
а) хотя бы одно решение; б) ровно одно решение; в) более одного
решения?
Сделаем замену 2х = t,
t2 - (а + 2) • t + 2а = 0,	= a, t2 - 2.
2х “= 2, х = 1 при любом а.
2х — а, при а < 0 решений нет; при а > О х = log2 а.
Заметим, что при а = 2 х = 1 совпадает с первым корнем.
Ответ: а) при всех значениях а; б) при а О и а - 2; в) при
0<а<2иа>2.
При каких значениях b уравнения sin2 х - (3 + b) sin х + 36 - О
и х2 — Ь равносильны?
Если первое уравнение имеет решение х0, то оно имеет и беско-
нечно много решений вида х0 + 2nk, т. е. не может быть равно-
сильно уравнению х2 = Ь, имеющему не более двух решений.
Уравнения равносильны, если они оба не имеют решений.
Уравнение х2 = Ь при Ь < 0 не имеет решений, второе уравнение
[sin х = Ъ
не имеющему решений
sin х = 3,
при b < -1 или b > 1. Таким образом, оба уравнения не имеют ре-
шений, т. е. равносильны при Ь < -1.
Ответ: при 6 < -1.
Найти все значения р, при которых сумма действительных
корней уравнения х2 - рх + 3 — 0 меньше пяти.
При D > 0 Xj + х2 = р.
Гр<5 [Р<5
Ответ: р е (-°°; -2./3 ] и [ 2 J3; 5).
57
Таблица 15. УРАВНЕНИЯ
Уравнения с параметрами (продолжение)
При каких значениях т уравнения х2 + Зх - т — О и тх2 + х + 3 — О
имеют общий корень? Для каждого такого значения т найти этот
корень.
Пусть t — общий корень уравнений. Составим систему двух урав-
нений с двумя неизвестными (t и т):
t2 + 3t - т - О
2
mt + t + 3 - О
t(t + 3) — т ft(t + 3) — т
, <=> < 2 «=>
t + 3 — -mt (т — -mt t
t(t + 3) “ т
гт - О
It - -1
„	„ x + 3x - 0 ,	„	_
При m — 0 <	общий корень x — -3;
[x + 3 - 0
при t — -1 m = (—1)(—1 + 3) — -2.
[x2 + 3x + 2 - 0
•I	общий корень x — -1.
l-2x2 + x + 3 - 0
Ответ: при m = -2 x — -1; при m — 0 x “ -3.
Найти все пары действительных чисел а и б, при которых уравнение
|х - 1| + |х + 3| = ах + Ь имеет бесконечное множество решений.
|х-1| + |х + 3| =
-2х - 2
4
2х + 2
при х < -3
при -3 < х < 1
при х > 1
Уравнение имеет бесконечное множество решений, если ах + Ъ
тождественно равно -2х - 2, т. е. а — -2; Ъ — -2.
Аналогично ах + b тождественно равно 4, т. е. а — О; Ъ — 4.
Аналогично а - 2; b — 2. Ответ: (-2; -2); (0; 4); (2; 2).
При каких значениях т уравнение х2 - тх + 1—0 имеет два кор-
ня, расстояние между которыми на числовой оси равно 2?
Уравнение имеет два различных	корня, если D > 0,	т.	е.
т? - 4 >	0. Расстояние между корнями на числовой	оси равно
.	.	I т - JD т + JD	г-
I х21	J 2 2	**& *
Гт2 - 4>0 Г m = 2^2
Имеем систему: < ------ _
IJm2 - 4 = 2 Ь = -2J2
Ответ: т — -2^/2 , m = 2j2.
68
Таблица 16. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Метод подстановки
5х2 - Зх - 2 - О
2 32
Ответ: (-g ; gg ), (1; 1).
2х + у = л
соз(3х т 2у) = 0,5
у = л - 2х
cos(3x - 2л + 4х) = 0,5
cos7x = 0,5
у = л - 2х
л 2лй
21 + 7
19л 4лй
21	7
л
21
23л
у ~ 21
2лп
7
4лп
7
_	(л 2л/г 19л
Ответ: I
4лй\
7 J’
п, k е Z
(_п_ 2лп 23л
I 21 + 7 ; 21
4лпА ,	„
—^-1; n,Aez.
59
Таблица 16. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Метод алгебраического сложения
(5х + 2у = 9 умножим на 3	Г15х + бу - 27 Уравнения
(7х - Зу = 1 умножим на 2	[14х - бу = 2
|29х =29 (х = i
[7х - Зу - 1 ~ [у = 2
Ответ: (1; 2).
cos х cos у = 0,75 сложим уравнения системы
sin х sin у ~ 0,25 вычтем уравнения системы
сов хсоз у + sinx sin у
cos xcos у - sinx sin у
1 f cos(x - у) — 1
<=> <
0,5 [cos(x + у) - 0,5
x - у = 2nk
л
х + у = ±g + 2лп
х - у = 2л/г
х + у = = + 2пп
х - у = 2лА
л
х + у = -g + 2лп
Ответ: 1g + л(п + Л);
5 + л(п - k)
О
+ л(л + fc); + л(п - fc)Y п, k & Z.
Таблица 16. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Дополнительные методы
Применение теоремы Виета Гх + у - Б (x-У - 4 х, у — корни уравнения: а2 — ба + 4 = О. а “ 1; а = 4. Ответ: (1; 4); (4; 1).	Симметрические с ( 2 ,	2	„	, |х + у - Зху = -1 (х + у - ху - 1 f(p2 - 2g) - 3q	1 Ъ - ч - 1	истемы замена х + у - р ху ~ q
Сведение к объединению более простых систем
х2 - 5ху + 4у2 = О ((х-у)(х-4у) - О
Л	1 о
Зх2-2у = 8	(Зх-2у = 8
х - у — О
Зх2 - 2у - 8
х - 4у = О
2	<2)
Зх* - 2у - 8
(х = у	(2; 2)
|Зх2-2х-8 - О ** (-4/3; -4/3)
(х = 4у
(2) 1	2	»
1241/ -у-4 = О
1 + У385 1 + У385\ fl -У§85 1 ~У§85^
12 ’	48 Д 12 ’	48 J
Использование однородности
Зх2 -ху +у2 — 5
х2 + 2у2 - 3
- 9х2 + Зху - Зу2 =
5х2 + 10j/2 - 15
Умножим первое уравнение на (-3),
второе — на 5 и сложим.
-15
- 4х2 + Зху + 7у2 = О
х2 + 2у2 = 3
У + х - О
х2 + 2у2 - 3
(1; -И
(-1; 1)
Г(р + x)(7i/ - 4х) = О
12	2
(х + 2у* = 3
7у - 4х = О
х2 + 2у2 = 3
/7 УЗ 4 УЗ Л
I 9 ; 9 J
( 7У§ 4УЗ А
I 9 : 9 J
Ответ'. <Х; -!>; (-1; 1); №.	-4# 1.
61
Таблица 17. НЕРАВЕНСТВА
Строгие неравенства	Нестрогие неравенства
Число а > Ь (а больше Ь), если разность (а - Ь) положительное число. Если а < Ь, то Ъ > а. В этом случае разность (а — б) отрицательное число.	а< б с> d
Свойства числовых неравенств
а, Ь — любые числа	а, Ь — положительные числа
Если а> ЬнЪ> с, тоа> с (свой- ство транзитивности). Если а > б, то а + с > Ь + с (с е Я). Если а > Ь и с положительное число, то ас > Ьс. Если а > Ь и с отрицательное число, то ас < Ьс. Если а> Ъ и О d, тоа + ob + d.	„	к Л	1	1 Если а > б > 0, то - < т • а о Если a>b>0uc>d>0, то ас > bd. Если а > b > 0 и m е то ат > Ьт. Если а > b > 0 м т N, то mJa > mJb.
Двойное неравенство (а < Ь с)
Сложение двойных неравенств
а < Ь < с, р$ т < q => а + р£Ь + т < с + q
Умножение двойных неравенств с положительными членами
О < а < Ь < с; G < р < т < q =» ар <Ьт < cq
Методы доказательства неравенств
Составление разности (если разность двух чисел положительна, то
уменьшаемое больше вычитаемого).
Метод использования известных неравенств.
Метод усиления (использование транзитивности).
Использование монотонности функции, применение производной.
Пример. Доказать неравенство: е* * х > 1 + х при х > 0.
Рассмотрим функцию Дх) = ех - 1 - х. f'(x) - ех - 1 > 0 при
х > 0. Следовательно, Дх) возрастает на [0; +°о). Но ДО) - 0.
Значит, Дх) > 0 при х > 0. При х — 0 неравенство обращается
в равенство. Итак, ех - 1 - х > 0, то есть ех > 1 + х при х > 0.
62
Таблица 17. НЕРАВЕНСТВА
Сравнение средних величин положительных чисел
(а > b > 0, at > 0, п & N)
Среднее арифметическое	двух чисел а +Ь 2	п чисел gl +fl2 +	+ ап п
Среднее геометрическое	двух чисел Jab	п чисел "А “2 - • ап
Среднее гармоническое	двух чисел 2аЬ ~	2 а+ Ь 1.1 а + Ь	п чисел 	п	 1.1	1 — + — + ... 4	 а1 а2	ап
Среднее квадратичное	двух чисел	п чисел
	/ 2 . .2 а +Ь N 2	2,2,	,2 а1+а2 + ...+ап у	п
(верно и для п чисел)
Линейные неравенства
(приводимые-к виду ах > b; ах> b; ах < b; ах С Ь)
3 • х > -6	-5 • х > 1	Ох<2	0 х>8
х> -2	1 V/ н		
х е (-2; 4-00)	Хе(-ОО; -1] О	X G R	хе(0}
(Тб - Т7)х>(Тб - 77)
х < 1, так как Л - Л <0
X е (-ОО; 1)
63
Таблица 17. НЕРАВЕНСТВА
Квадратные неравенства
(приводимые к виду ах2 + Ьх + с > О, ах2 + Ьх + с < О, а > 0)
Для решения квадратного неравенства вычислим дискриминант
D — Ь2 - 4ас и определим корни квадратного трехчлена.
Неравенство	D < 0	0-0	D > 0
			
	X	«0	х	
ах2 + Ьх + с > 0	xG R	X 6 (-ОО; х0) О и (х0; +оо)	X G (-ОО;	О о (х2; +оо)
ах2 + Ьх + с < 0	решений нет	решений нет	х е (х15 х2)
Простейшие иррациональные неравенства
	Jx < a				Jx > a	
а < 0	решений нет				x > 0 « x G [0; +°o)	
а = 0	решений нет				x > 0 <=> X G (0; +°O)	
а > 0	0^ х < а2, х е			[0; a2)	x > a2 <=> x s (a2; +°o)	
/ft*) <g(x)		Jf(x) > g(x)				-/ftx) > Jg(x)
равносильно системе g(x) > 0 f(x)<g2(x) fix) > 0		равь нет	осильно объеди- 1Ю систем fg(x)<0 \f(x) > 0 |g(x) > 0 \f(.x)>g2(x)			равносильно системе ff(x)>g(x) (g(x) > 0
Простейшие показательные неравенства
	ax < m	ax > m	< m	a^x) > m
m < 0; a > 0, a * 1	нет решений	xGR	нет решений	x^D(f)
m > 0; a > 1	x < logam	x > logam	Дх) < logam	Дх) > logam
m> 0; 0 < a < 1	x > logam	x < log„m	Дх) > log„m	Дх) < logam
OA«> > e«W	при a > 1 равносильно неравенству /(x) > g(x) при 0 < a < 1 равносильно неравенству Дх) < g(x)			
64
Таблица 17. НЕРАВЕНСТВА
Простейшие логарифмические неравенства
т е R	logax < т	logax > т	loga/(x) < т	logj(x) > т
а> 1	я н V Л О 0 э 		 _	х > ат	(. т Шх)<а Ь(х)>0	Дх) > ат
0 < а < 1	х > ат	(	т 1 х < а (х>0	Ях) > ат	\f(x)<am V(x)>0
logj(x) < logag(x)
l°gH(X)f(x) < logff(x)g(x)
при а > 1 равносильно системе 7(X)<g(x) f(x)>0	при 0 < a < 1 равносильно системе ff(x)>g(x) [g(x)>0	равносильно объединению систем неравенств: [Н(х)>0 Н(х)>1 Л	Н(х)<1 f(x) <g(x) и Л	. . Я«)>0	Л*)>йх|
Примеры простейших тригонометрических неравенств
sin х < -1,3	sin х > -1,3	sin х < V1.3	sin х > 71 »3
решений нет, -1 < sin х $ 1	х е R	х е R, так как sin х С 1 < «/1,3	решений нет
sin х < -0,5
sin х > -0,5
65
Таблица 17. НЕРАВЕНСТВА
J3
2
•
Sin X > -X-
cos x < -30,7	cos X	< In 3	COS X	V 1 coia	cos x > e0,2
решений нет	X G R, COS X <	так как 1 < In 3	X^R, cos x >	так как _1>_5 1	3	решений нет, так как е0,2 > 1 >
(Зл	5л	\	(	л	5л
2лп + -т-; -т-+ 2лп	х G 2лп + х; -х-+ 2лп
4	4	)	V	о	а
n<=Z	n^Z
cos х > О
cos х > 0,7
х G (2лп - arccos 0,7;
arccos 0,7 + 2лп) n G Z
66
Таблица 17. НЕРАВЕНСТВА
Более сложные примеры
решения тригонометрических неравенств
67
Таблица 17. НЕРАВЕНСТВА
6cos2x - cos х - 1 < О
Пусть у ” cos х. Тогда
бу2 - у - 1 < О
М 1
111 1
"3 <у< 2 =» "8 <совж< 2
+ 2пп
+ 2лп; arccos
1 >
3 J
пег
68
Таблица 17. НЕРАВЕНСТВА
sin х - sin 2х О
sinx (1-2 cosx) < О
Используем метод интервалов на три-
гонометрической окружности, считая
х s [0; 2л).
F(x) “ sinx (1-2 cosx)
F(x) = 0 => х - 0; л; .
О о
X G Г2лп + 5; л + 2лп1
L о	J
иГ2лп + ^; 2л + 2лп1, n^Z
Примеры неравенств
с обратными тригонометрическими функциями
arccos х < -5 решений нет, так как 0 arccos х < л	arrcos х > -4 х е [-1; 1]	п arccos х < о о х е (0,5; 1]	arccos х > 1 х е [-1; cos 1)
arcsin х < л х е [-1; 1]	arcsin х < -1,7 решений нет, так как Я .	. п - 2 С arcsin х < g	_ л arcsm х < -g х 6 [-1; -0,6]	arcsin х > 0 х е (0; 1]
arctg х < 2 х е R, так как л	л ~2 < arctg х < 2	arctg х > 5 решений нет	arctg х ? xe(-oo;tg5]	arctg х 0 X G (-00; 0]
69
Таблица 17. НЕРАВЕНСТВА
Метод интервалов (промежутков)
Методом интервалов решают неравенства, приведенные к виду
F(x) > О или F(x) < 0, (Fix) > О или F(x) < 0).
Метод основан на том, что непрерывная на промежутке функ-
ция может менять знак только в тех точках, где ее значение
равно нулю (но может и не менять).
Алгоритм применения метода
Найдем D(F(x)) и промежутки, на которых F(x) непрерывна.
Найдем нули функции F(x) — значения х, при которых F(x) — 0.
Нанесем на числовую ось найденные промежутки и нули.
Определим интервалы знакопостоянства и в каждом из них по-
ставим найденный подсчетом или рассуждением знак.
Выпишем ответ.
Примеры
х(х - 4)(х + 5)2 > 0
Рассмотрим функцию F(x) — х(х - 4)(х + б)2.
D(F) — R, функция непрерывна на R.
F(x) - 0 в точках х — 0; х = 4; х = -5.	_____________
F(-6) > 0; Г(-1) > 0; F(l) < 0; F(5) > 0. +Т+Л ~ Г+ -
Ответ: (—°°; -б) о (-5; 0) и (4; °°).	-б О 4
х(х - 4)(х + б)2 < 0 при х е {-5} и [0; 4].
х(х + 2)
х-5
< 0. Рассмотрим функцию F(x) =
х(х + 2)
х-5
D (F) - (-оо; 5) и (5; оо).
F(x) — 0 в точках х = 0; х = -2.	,	__
Г(-8) < 0; F(-l) > 0; Г(1) < 0; F(6) > 0. ^X±-Z-Z—V
Ответ: (-°°; -2] и [0; 5).	-2 о б
л/Зх + 1 > 2х. Приведем неравенство к виду: 73х + 1 - 2х > 0.
F(x) = 73х + 1 - 2х.
D(F) “ [- 5 ; +°о). Найдем нули этой функции.
О
J3x + 1 - 2х — 0 <=>
х > 0
Зх + 1 ” 4х2
з
F(x) - 0 при х = 1. Г(0) > 0; F(5) < 0.
Г 1 >
Ответ:	1 .
70
Таблица 18. НЕРАВЕНСТВА
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
ах + Ьу + с>0иах + &у + с<0 — полуплоскости (а2 + Ь2 * 0)
(х ~ *о)(У - Уо) > * и (х - х0)(у - у0) < Л (* * 0)
71
Таблица 18. НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
(х - х0)(у ~ Уо) > 0 « (х - х0)(у - Уо) < О (Л - О)
граница — две прямые
X = х0 и у - у0
(х - х0)2 + (у - у0)2 >т и (х - х0)2 + (у - Уо)2 < т;(т> 0)
граница — окружность
(х - х0)2 + (у - у0)2 - т
Jm — радиус окружности
Таблица 19. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Производной функции f в точке х0 называется предел отношения
приращения функции Д/ = f(x0 + Дх) - Дх0) к приращению аргумен-
.	*	х .. Дх0 + Дх) - Дх0)
та Дх при стремлении Дх к нулю, f (х0) = lim ------------.
Дх—>0	Дх
Операция нахождения производной функции называется диффе-
ренцированием .
Необходимое условие дифференцируемости функции
Для того чтобы функция f была дифференцируема (имела произ-
водную) в точке х0, необходимо (но недостаточно), чтобы она бы-
ла непрерывна в этой точке (т.е. ДДх) “ Дх) - Дх0) -» 0).
Примеры нахождения производной функции f по определению
Г(2) - lim '
Дх —>0
Дх) - х2
ХО - 2
(2 +Дх)2 -22 = цт 4Дх + Дх2
। Дх	Дх—>0	Дх
= lim (4 + Дх) = 4
Дх—>0
Дх) - sJi хо*0	х	87хо + Дх-37^о f (х0) - lim	4 Дх->0	Дх (х0 + Дх)-х0	1 = hm —				 г— (8J(x0 + Дх)2 + зДх0 + Дх)х0 + з/х|)дх 3'87хо
Дх) = sin х хое R	х >• sin(x0 + Дх) - sinx0 f (х0) = hm 	—	 Дх—>0	Дх „ . Дх ( ДхЛ 2sm—  cosl х0 + -g-1 = lim 			 = cosx0 Дх—>0	Дх
Дх) = |х| • х2 х0 = -2	/'(-2) - lim 1~2+Дх1 (-2+Ах) -8 = Дх-»0	Дх о = lim (2 - Дх)(-2 + Дх) -8 = _12 дх —> о	Ая
73
Таблица 19. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Пример непрерывной, не дифференцируемой в точке xq функции
1 ~ to  н" 1 to	f(2) - lim l<2 +	2 дх->о	Ax предел не существует, f		IzS- И.Ш Дх->0 Ax (2) не существует.	
Ях) - 8л/х-1 х0- 1	i- ^/(1+Ax) —1—0	.. ^/Ax f (1) “ lim —	—i	 - lim — - Дх—>0	Дх	Дх —> 0 Ax = lim *  “	f'(l) не существует. Д*->0 8^2			
Вторая производная		Производные высших порядков		
Г(х) -	(/'(x))'	^»)(X)-(/<”-		и(х))'
(cos х)" — (-sin х)' — -cos X		1	г 001 CO Hl Я	’'I i	$ 1 to	"		3	Г-1 -8/2Y. < 4 J
Табличное дифференцирование			Производная сложной функции (Г(К(Х)))' = f'(u}  u'(x)	
(с) ” 0,	с Е К (константа) (х)' “1,	х Е Я (ХП)' — ЛХП-1,	пёЦ, х ЕЯ; или -п Е N, х * 0; или п е Z, х > 0 (cos х)' — -sin х, х е Я (sin х)' — cos х, хея (tg х)' -	„ , X # 5 + nk, k G Z COS X . * V	1 (ctg X) =	2 , x * nk, k e Z sin x /1	V	1 (In x) “ - ,	x e (0; +oo) (logox)' - x lna , X E (0; +OOJ „X	и			(ип)' = пип ~ 1 • и'* (cos u)' — -sin и • и’ (sin и)' — cos и • и’ (tg и) -	2 ‘ U cos и (ctg U) =	2	’ И sin и (In иу = i • и' (bga“)'=w.lna (еиУ = еи  и' (аиУ - аи • In а • и'	
Iе 7	c > (ахУ — a*ln a,	X n x^R		* и = и(х)	
74
Таблица 19. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Производная обратной функции
Функции у - f(x) и у = <р(х)	f(a) - b а- <р(6)
взаимообратны.	|	. т'гм _ i i
, v 	1 (arcsin x) - 	, x e <-i; i) 71-x2 (arccos x)		, x e (-1; 1) 71 -x2 ,	♦ V	1 (arctg x) =	„ ,	x e R 1 + xZ (arcctg x) 		5 , x e я 1 + x	(arcsin и) — -. —• и 71 - и ,	V	1	Z (arccos и) -			 • и 71 - и2 (arctg и) -	,  и 1 +и (arcctg и) -	„ • и 1 +и
Основные формулы	Следствия из основных формул
(и + и)' = и' + v’ (и • и)' - и' • V + и • о' fuY u'-v-u-v' U "	V2	(и - V)' — и' - v' (с • uY в с • и' — Vе/	с
Примеры . Г \'	Г , Гл’ sin Тх (СОВ л/х) = Sin JX • (л/х) —	; 2jx ((2х2 - х + I)10)' - 10 • (2х2 - х + 1)9 • (2х2 - х + 1)' = - 10 • (2х2 - х + I)9 • (4х - 1).	
Физический смысл производной	Геометрический смысл производной
Пусть s = s(t) — зависимость пути от времени, тогда: v = v(t) = s'(t) Скорость — производная пути по времени. а = a(t) — v'(t) = s"(t) Ускорение — производная скоро- сти по времени (вторая производ- ная пути по времени).	Касательной к графику функ- ции f(x) в точке х0 называется прямая, задаваемая уравне- нием: У = f(x0) + f'(xo)  - *о) f (жо) = 1R «кас “ ^кас Знамение производной функции в точке равно угловому коэф- фициенту касательной к гра- фику функции в этой точке.
75
Таблица 19. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Касательная к графику функции
Уравнение касательной (не вертикальной) к графику функции
У “ /(х) в точке графика с абсциссой х0:
У - Л*о) + f'(xo) ’ (* ~ хо)
Если функция Дх) не имеет производной в точке х0, но непрерыв-
на в этой точке, то у графика функции в этой точке либо вообще
нет касательной, либо есть вертикальная касательная.
у - |х| не имеет касательной в точке графика с абсциссой х = 0.
у - sJx имеет в точке графика с абсциссой х = 0 вертикальную
касательную х = 0.
Примеры решения задач на составление уравнения касательной
Составить уравнение касательной к кривой у — х8 - х2 в точке гра-
фика с абсциссой х0 — 1.
Координаты точки касания х$ = 1; yg ~ I8 - I2 = 0.
у’ -= Зх2 - 2х => /гкас = у'(1) = 1.
Уравнение касательной: у — 0 + 1 • (х - 1) => [у = х -Т|.
Составить уравнение касательной к кривой Дх) == (х2 + 6х + 3)/2,
не пересекающей прямую у * 2х + 5.
Так как касательная не пересекает прямую у = 2х + 5, значит, она
параллельна касательной. Следовательно, f'(x0) = 2. Но f'(x) = х + 3.
Отсюда х0 + 3 “ 2 и х0 = -1. Ордината точки касания у0 равна
((-I)2 + 6 • (-1) + 3)/2 = -1. Координаты точки касания (-1; -1).
Уравнение касательной у = -1 + 2(х +1) или |у = 2х +~Т|.
Составить уравнение касательной к кривой у *= х8, проходящей че-
(1	\ ,,	.	.	_,	з
g; -II. Пусть (х0; уд) — точка касания. Тогда у0 = х0;
2	3	2
Акас = Зх0. Уравнение касательной у — х0 + Зх0(х - х0). Точка
\	3	2 /Т А
I gj -11 лежит на касательной. Поэтому -1 - х0 + Зх0 1g- х01 =>
2Xg Xg 1 = 0 Xq ** 1 => уд и 1.
Уравнение касательной у — 1 + 3(х - 1) или | у — Зх - 2 |.
76
Таблица 19. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Исследование функции при помощи производной
Монотонность функции
Теорема Лагранжа
Если Дх) непрерывна на [а; 6] и
дифференцируема на (а; Ь), то
существует с е (а; Ь) такое, что
Да) - Д6) - Г(с) • (а - б).
(Заметим, что таких точек с на (а; б) может быть и более одной.)
Для исследования функции f(x) на монотонность можно иссле-
довать ее производную на знакопостоянство.
Если Г(х) > 0 на (а; б), то Дх) возрастает на (а; Ь). Если Дх) непрерывна на [а; б], то Дх) возрастает на [а; б].	Если f\x) < 0 на (а; б), то Дх) убывает на (а; б). Если Дх) непрерывна на [а; б], то Дх) убывает на [а; б].
Дх) - х2 - 6х + 1; /'(*) - 2х - 6 > 0 при х > 3 => Дх) возрастает на [3; +°о).	Дх)« ,Px; Г(х) =	.— < 0 при х < 0 => 2J-x f(x) убывает на (-°°; 0].
Если Дх) возрастает и диффи- ренцируема на [а; б], то f'(x) > 0.	Если Дх) убывает и дифферен- цируема на [а; б], то Д(х) < 0.
Критические точки функции
Внутренние точки области определения функции, в которых
производная равна нулю или не существует, называются крити-
ческими точками функции.
х0 — крит. точка;
Лжо) “ /max-
х0 - крит. точка;
Лжо) = /min-
х0 - крит. точка;
Дх0) не является
экстремумом.
77
Таблица 19. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Критические точки (примеры)
('(xq) не существует;
х0 _ крит. точка;
f(x0) не является
экстремумом.
f'(x0) не существует;
х0 - крит. точка;
я /min*
Нет критических
точек;
х0 — О не является
внутренней точкой
области определения.
Нет критических
точек;
х0 — точка разрыва.
f'(x) — О при всех
х е (-3; 4);
/'(-3), Г(4)
не существуют;
все х е [-3; 4]
критические точки.
f'(x0) не существует;
х0 — крит. точка;
f(xo) — Anin*
Экстремумы
х0 е D(f) — точка максимума
Ях), если существует 5 > О такое,
что при х е (х0 - 8, х0 + 8)
Я*о) > Л*)
х0 е D(/) — точка минимума Ях),
если существует 8 > 0 такое, что
при х е (х0 - 6, х0 + 8)
f(x0) < fix)
Точки максимума и минимума функции называются ее точками
экстремума, а значения в них — экстремумами (максимумами
78
Таблица 19. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Примеры критических точек различных функций
1)	у ” |х|; х0 — 0; у'(О) не существует; у(0) — 0 — минимум.
2)	у “ х2; х0 — 0; j/'(0) = 0; у(0) — 0 — минимум.
8)	у “ х3; х0 — 0; у '(0) = 0; экстремумов нет.
4)	у “ 2х - |х|; х0 = 0; у'(0) — не существует; экстремумов нет.
Примеры исследования функций на монотонность
f(x) - х8 + х2 + х - 5;	, ф
/'(х) “ Зх2 + 2х + 1 > 0 при х е Я;	------ _----
Дх) возрастает на R.	*	•—
Цх) - х3 - Зх;
f(x) ~ 3(х - 1)(х + 1) = 0 при х — -1
и х = 1;
Дх) возрастает на (-°°; -1] и
на [1; +°°);
Дх) убывает на [-1; 1].
1	2
Дх)-2х+ ^;f(x) = 2- -3;
X	X
Д(х) — 0 при х = 1;
Дх) возрастает на (-°°; 0) и
на [1; +°о);
Дх) убывает на (0; 1].
Дх) - х4 - х3;
Д(х) - 4х3 - Зх2 - х2(4х - 3);
.	гЗ \
Дх) возрастает на Н; +°° I;
z 3
Дх) убывает на Ij .
Дх) - х + 1; f(x) = 1 -	;
х	х
Дх) возрастает на (-°°; -1] и
на [1; +°°);
Дх) убывает на [-1; 0) и на (0; 1].
ГМ © -1 © 1 ©
/М
max min
ГМ © о ©1 ©
/(х)	—г**
разрыв min
/'(») ©-1 Q о © 1 © г
ftx)
max раз- min
рыв
79
Таблица 20. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
Область определения функции Dif) — множество значений х,
при которых функция определена.
Ях) - 2 X +1 Dif)-R	2 Dif) “ {х | х * 1}		Ях) - 1/1-х Dif) - {х | х £ 1}
fix) - Ах - х2 -1 Dif) - {1}		fix) - 1g х + 1g (-х) 2)(П»0	
Область значении функции E(f) — множество значений, которые
может принимать fix) при х е Dif). (Все значения а, при которых
уравнение Дх) — а имеет решения.)
fix) - Xs -Зх
Eif) = R
/(х) = 1 +
X
Eif)~{y\y* 1}
Дх) - 872х - х2
Eif) - {{/1 у < 1}
Ях) — 1 + «Ах - х2 - 4
Eif) - {1}
fix) — sin x + cos x
E(f)-{y\-j2 ^y^ J2}
Четность
fi~x) - fix), X e Dif)
График четной функции сим-
метричен относительно оси ор-
динат.
Нечетность
Я-Х) - -fix), X G Dif)
График нечетной функции сим-
метричен относительно начала
координат.
Примеры четных функций
fix) - х4 - 21х2
gix) - 6х + 5 х
<р(х) - М1-Х + 871 +х
Примеры нечетных функций
Л(х) - Xs - 20х
и(х) - 6х - б-х
и(х) - J1 - х - J1 +х
fix) — sin х - сов х не обладает четностью или нечетностью.
80
Таблица 20. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
Периодичность
~	Ях - t) = f(x + 0 - Ях), X е Л(Л. t * О
Число t называется периодом функции, а наименьшее положи-
тельное значение t основным периодом функции (Т).
Ях) - sin 4х
_ 2л п
Г“Т =2
Ях) " cos 2лх
2л
2л
Ях) - 2 • tg |
Ях) - 17
t G (0; +оо)
ОСНОВНОГО
периода нет
Ях) — х + sin х; Ях) = cos(x2) — непериодические функции.
График периодической функции
состоит из повторяющихся фраг-
ментов на отрезке длины Г;
на любом таком отрезке периоди-
ческая функция принимает все
свои значения.
/ (х) - йп х - сое х, Т - 2п
Корень (нуль) функции —
значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.
Ях) - 4х - 1 ,1 корни: х =	Ях) = х • J1 - X корни: х - 0; х = 1		Ях) - (1 + х) • Л корень: х = 0
Ях) = sin х + cos х Л	_ „ корни: х = -^ + ли, п s Z		Ях) - —— sin X корней нет	
Промежуток знакопостоянства —
промежуток, на котором все значения функции положительны
(или отрицательны), а на любом его расширении нет.
Примеры
Ях) - Зх2 + 5х - 8;
Ях) < 0 при х е
/	8\
Ях) > О при X G I -СО; --1 и (1; +<Х>).
Ях) —х-2; два промежутка знакопостоянства (-°°; 0) и (0; +°°),
на обоих функция положительна.
81
Таблица 20. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
Монотонность
Функция Дх) называется воз-
растающей на промежутке I,
если для любых х1 и х2 из это-
го промежутка
Х]( > х2 => f(xi) > Дх2).
Промежуток I называется про-
межутком возрастания функ-
ции Дх), если на этом проме-
жутке функция возрастает, а на
любом его расширении нет.
Функция Дх) называется убы-
вающей на промежутке I, если
для любых хг и х2 из этого про-
межутка
Xi > х2 => Z(Xi) < Дх2).
Промежуток I называется про-
межутком убывания функции
Дх), если на этом промежутке
функция убывает, а на любом
его расширении нет.
Промежутки возрастания и убывания называются промежутка-
ми монотонности функции.
Критерий монотонности функции
Дх) возрастает на промежутке,	Дх) убывает на промежутке,
если f'(x) > 0.	если f'(x) < 0.
Примеры
Дх) - Зх2 + бх - 8; Д(х) = 6х + 5;
,	5	г 5
f (х) > О при х > —g ; Дх) возрастает на промежутке —+°°
б	( 5i
f (х) < О при х < -g ; Дх) убывает на промежутке I-g I.
Дх) — —gj два промежутка монотонности 0) и (0; +°°);
х
на обоих функция возрастает.
Дх) — Зх + 4 возрастает на R, один промежуток монотонности
(—ОО; +оо).
Дх) - Зх2 + 6х - 8;	f'(x) - 6(х + 1) = 0 при х - -1;
Д(-2) < 0 => Дх) убывает на (-°°; -1];
Д(0) > 0 => Дх) возрастает на [-1; +°°);
Xq = -1 — точка минимума; Д-1) = -11 — минимум.
Дх) — х3 — экстремумов нет.
82
Таблица 20. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
Исследование функции при помощи производной.
Построение графика
Найдите Л(/)-
Найдите производную, критические точки, исследуйте знаки
производной.
Найдите промежутки монотонности, точки экстремума, опреде-
лите вид точек экстремума.
Найдите экстремумы функции.
Исследуйте функцию на четность, нечетность, периодичность
(периодическую функцию лучше исследовать на промежутке
длины 7).
«Набросайте» эскиз графика.
Найдите E(f).
Найдаче несколько значений функции (по крайней мере по од-
ному в каждом промежутке монотонности).
По возможности
Исследуйте поведение функции на концах области определения
и в точках разрывов.
Найдите горизонтальные и вертикальные асимптоты.
Найдите корни и промежутки знакопостоянства функции.
Постройте график функции
Пример: у - -5-.
х +1
W) - Я-
.	1 (х2 + 1)-х 2х
У----------~2----2----
(х2+1)
у' существует при х е Я;
у' — 0 при х — ±1.
У'О -1 © 1 ©
У к. —fc.
mln max
Vmin “ У( 1) “ 2 ’	” 2 *
Функция нечетная: у(-х) - -у(х).
ад - [-1; 1].
х	1
lim у = lim —---- -= lim-------- — 0.
х^-Х2 + 1	^“х + 1
х
у — 0 — горизонтальная асимптота; вертикальных асимптот нет.
у - 0 при х - 0 (корень),
у > 0 при х > 0;
у < 0 при х < 0.
83
Таблица 21. НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО
И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ
ФУНКЦИИ НА ПРОМЕЖУТКЕ
Наибольшим (наименьшим) значением функции f(x) на I назы-
вается такое число М (т), что существует х0 G I такое, что
Дх0) “ м (/(хо) = М fM (т < f(x)) для всех х из I-
Наибольшее и наименьшее значения непрерывная на I функция
может принимать либо на концах промежутка (если это числа),
либо в критических точках, лежащих внутри промежутка.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего на [a; t>] зна-
чений функции, непрерывной на [а; б].
1)	Найдите f(a) и f(b) — значения функции на концах промежутка.
2)	Найдите критические точки функции внутри промежутка
(т.е. на (а; Ь)).
3)	Найдите значения функции в критических точках.
4)	Из всех найденных значений выберите наибольшее и наимень-
шее; они и будут наибольшим и наименьшим значением
функции на [а; Ь].
Пример
f(x) = 8х2 - х4, х е [-1; 3].
Я-1) = 7; f(3) = -9;
f'(x) = 16х - 4х3 = 4х(4 - х2) = 0=>х = 0;х = 2;х = -2£ [-1; 3].
ДО) - О; Д2) - 16.
max {7; -9; 0; 16} = 16 => max Дх) = 16;
(-1; s)
min {7; -9; 0; 16} = -9 => min Дх) = -9.
84
Таблица 21. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ
Пример
Если непрерывная функция имеет на промежутке I единствен-
ную точку экстремума и этот экстремум максимум (минимум),
то в этой точке достигается наибольшее (наименьшее) значение
функции.
Дх) — sin х + 7§ • cos х, х е [0; я].
ДО) — 7§ ; Дл) - - 7§ ; f'(x) — cos х - 7§ sin х; f '(х) = 0 при
сое х = 7§ sin х => tg х =	=> х =	+ nk е [0; л] при ft = 0.
max Дх) - /fjf) = sin 5 + J3cos 5 = 2;
te-.ni	b	b
min Дх) - Дл) -= -73
10; x]
f'M 0 ®	© П
6
Задача
В полукруг радиуса R вписать прямоуголь-
ник наибольшей площади так, чтобы одна
его сторона лежала на диаметре полукруга,
а две вершины — на дуге полукруга.
а о У D
Обозначим стороны прямоугольника АВ = х, AD — 2у.
Тогда его площадь S — 2ху. Заметив, что у = 7К - х2, получим
8 - 2х • 7я2 - х2 - 2 • 7й2х2 - х4, х е (0; R).
Исследуем на максимум функцию Дх) = Л2х2 — х4 при х £= (0; 8).
f (х) - 2Я2х - 4х3 - 2х(Д2 - 2х2).
f '(х) = 0 при х —
R
72
(так как х s (0; R)).
г,	R	rw ©
Следовательно, при х = площадь прямо- »	»
72	Г(х)
угольника наибольшая.	Л
Ответ. Прямоугольник имеет наибольшую
R	г
площадь, если его стороны х =	, 2у = RJ2.
О ?
"fc. R
85
Таблица 22. ПЕРВООБРАЗНАЯ
И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Функция F(x) называется первообразной, функции Дх) на проме-
жутке I, если для всех х из этого промежутка F'(x) — Дх).
Если F(x) одна из первообразных функции Дх) на I, то любая перво-
образная функции Дх) на этом промежутке имеет вид F(x) + С,
где С е Я.
Множество всех первообразных функции Дх) называется неопре-
деленным. интегралом и обозначается Jftr)dx.
jf(x)dx - F(x) + С, где F(x) — любая первообразная Дх), а С G R.
Свойства первообразных
Первообразная f'(x) равна Дх) + С.
Если первообразная Дх) равна F(x), то первообразная ДО равна F(t).
Если первообразная Дх) равна F(x), то первообразная йДх) равна kF(x).
Пусть первообразная /1(х) равна Fj(x), первообразная fz(x) равна
F2(x), тогда первообразная /j(x) + f£x) равна Fj(x) + F£x).
Пусть первообразная Дх) равна F(x), тогда первообразная ДАх + р)
равна F(kx + р).
Для того чтобы доказать, что функция F(x) является первообразной
функции Дх) на промежутке I, нужно показать, что для всех х из
этого промежутка F'(x) — Дх) (т.е. воспользоваться определением).
Задачи
Доказать, что функция F(x) — | sin 2х + х является первообразной
для функции Дх) — 1 + сов 2х на R.
F’{x) = 5 cos 2х  2 + 1 = 1 + сов 2х = Дх).
Полученное равенство верно для всех действительных значений х.
Найти первообразную функции Дх) — Зх2 - 1, график которой
проходит через точку М(1; -1).
Любая первообразная функции Дх) - Зх2 - 1 имеет вид F(x) -
— х3 — х + С. График искомой первообразной пройдет через точку
М(1; -1), если F(l) - -1, т. е. I8 - 1 + С - -1 => С » -1.
Ответ. F(x) — х8 - х - 1.
86
Таблица 22. ПЕРВООБРАЗНАЯ
Найти первообразную функции fix) - cos2 5. £ Преобразуем /(х) - сое2 | - | (1 + сое х) - | + | сое х. Первообразная суммы равна сумме первообразных. Следова- тельно, первообразная F(x) - 5 х + | sin х + С, где С — произ- вольная постоянная.				
Найти неопределенный интеграл Jsin Зх  cos Jsin Зх • cos х dx - | J (sin 4x + sin 2x) dx - +	• cos 2x^ = cos 4x - 7 cos 2x + C. • V Zy	Jo	4			x dx. 1 ( 1 2 4 4	• cos 4x +
				
Найти первообразную для функции fix) “	. 4х			- 1	
		1 ( 1	1	
Преобразуем	"** п 4х - 1		2 V 2x - 1 2x + 1) ’		
Следовательно, первообразная				
«'>-1(1	ln|2x - 1| - |	ln|2x + l|j « | in	2x - 1	+ C.
			2x + 1	
Таблица первообразных				
Ях)	F(x)	Промежуток I		
А	kx + C	R		
х“	a + l -—7 +c a + l	a e N, x e R; -a e N, x e (-<	»; 0) и (0; +°°);	
(а * -1)		a S Z, x e (0; +00)		
1 X	In |x| + C	(-00; 0) или (0; +oo)		
ех	ex + C	R		
ах	X F“ +c Ina	R		
COS X	sin x + C	R		
sin х	-cos x + C	R		
1 2 COS X	tgx + C	( к ж л _ A	_		
1 . 2 sin X	-ctg x + C	(nk-. It + nfc), k G Z		
87
Таблица 23. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Если функция f(x) непрерывна на промежутке I числовой оси, со-
держащем точки х — анх — Ь, то разность значений F(b) - F(a)
(где F(x) — первообразная fix) на I) называется определенным
интегралом от функции /(х) от а до 6:
jf<x)dx - К(Ы - F(o>.
Определенный интеграл есть число.
Основные свойства
J7(x)dx - J/(«)dt - jf(2)dz
jf(x)dx - О
jf(x)dx - - Jftxjdx
Jf(x)dx — jf(x)dx т jf(x)dx, если а, b и с — пк&ые точки про-
межутка I непрерывности f(x)
jkf(x)dx -k- Jftx)dx
+ f2(x))dx - jf^xjdx + jf2(x)dx
Таблица 23. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Дополнительные свойства
jftpx+q)dx-^ |
Если Дх) четная, то J f(x)dx - 2 • jf[x)dx.
Если Дх) нечетная, то J f(x)dx — 0.
+ 60 fo,5xdx - 10 -
2,5х I 0 0,5х I* 16	25
In 2,б]0 In О.5|о “ In 2,6 + In 2
86
Таблица 23. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Площадь криволинейно* трапеции
Фигура, ограниченная прямыми у — 0;
х — а; х — Ъ и графиком непрерывной и неот-
рицательной на [а; Ь] функции Дх), называет-
ся криволинейной трапецией. Площадь кри-
ь
волинейной трапеции S — /(x)dx
Вычисление площадей
S - |(/(x)-g(x))dx
s = j(Mx)_£(*))dx +
а
Ь
S - j(f(x)-tf(x))dx4
а
b
+ J(g(x)-/(x))dx
90
Таблица 23. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Путь, пройденный материальной точкой за время	> tj)
при прямолинейном движении со скоростью равен:
*2
S —
‘1
Предметный указатель
Арифметическая прогрессия ... 33
Арифметический корень.......13
Бесконечно убывающая геометри-
ческая прогрессия............34
Бином Ньютона................10
Вершина параболы (координа-
ты)..........................19
Взаимно простые числа.......7
Возвратное уравнение.........48
Вторая производная...........74
Выделение полного квадрата. . . 30
Вычитание многочленов.......10
Геометрическая прогрессия. ... 33
Геометрическая интерпретация
модуля........................8
Геометрический смысл производ-
ной .........................75
Гипербола....................20
График уравнения с двумя пере-
менными .....................28
Двойные неравенства..........62
Действительные числа..........5
Действия с квадратными корня-
ми ..........................13
Действия с корнями.......15, 16
Деление многочленов..........11
Делитель..................... 5
Десятичная запись натурального
числа.........................6
Десятичные логарифмы........42
Дискриминант.............30, 47
Дифференцирование (формулы) 75
Дифференцируемость в точке . . 73
Доказательство неравенств
(методы).....................62
Дробно-линейная функция .... 20
Задание последовательностей . . 33
Замена переменной в уравне-
нии .........................46
Знаки корней квадратного
трехчлена................30,	31
— тригонометрических функ-
ций .....................39
Значения тригонометрических
функций......................38
Интеграл................86—91
Иррациональность в знаменате-
ле ..........................14
Иррациональные числа..........5
—	неравенства..............64
—	уравнения................49
Исследование функции
на монотонность..........77,	79
---с помощью произ-
водной .............77,	83
Каноническое разложение нату-
рального числа................7
Касательная..................76
Квадратичная функция.........19
Квадратные неравенства.......64
— уравнения..................47
Квадратный корень............13
—	трехчлен.................30
Коэффициенты многочлена. . . .11
Корень многочлена............12
—	нечетной степени.........15
—	функции..................81
— уравнения..................45
Косинус числа................37
Котангенс числа..............37
Кратное.......................5
Криволинейная трапеция.......90
Критические точки функ-
ции .....................77,	78
Линейная функция.............19
Линейные неравенства.........63
— уравнения..................47
Логарифм.....................42
Логарифмическая функция. . . .23
Логарифмические неравенства. .65
— уравнения..................51
Логарифмов сравнение........43
Логарифмы (действия с ними). .43
— (таблица значений).........42
Метод интервалов
(в неравенствах)............70
Методы построения графи-
ков......................26,	27
— разложения на множители ..11
— решения уравнений..........46
— доказательства неравенств . . 62
— решения систем уравнений . . 59
Многочлены от одной перемен-
ной..........................11
Модуль действительного числа 8
Модуль (раскрытие модуля) ... 9
Монотонность функции........82
Наибольшее и наименьшее
значения функции............84
Наибольший общий делитель . . 7
Наименьшее общее кратное. ... 7
92
Натуральные числа.............5
__логарифмы..................42
Нахождение производных
по определению...............73
Неопределенный интеграл .... 86
Неполные квадратные уравне-
ния .........................47
Неравенства с модулем.........8
— с двумя переменными . . 71, 72
— с обратными тригонометриче-
скими функциями..............69
Неравносильные преобразова-
ния .........................45
Нестрогие неравенства........62
Нули функции.................81
Обратная пропорциональность. . 20
Обратные тригонометрические
функции......................25
Однородные уравне-
ния ..............46,	48, 51, 55
Определенного интеграла
(иахождение).................89
Определенный интеграл........88
Основное логарифмическое
тождество....................42
Остаток ..................... 6
Ось котангенсов (ось тангенсов) 37
Первообразная................86
Перевод периодической дроби
И обыкновенную...............34
Периодичность тригонометриче-
ских функций.................38
Площадь и интеграл...........90
Показательные неравенства ... 64
— уравнения..................50
Показательная функция.......23
Последовательность (числовая) 33
Построение отрезка длины Jn.,
new..........................14
— графика (производная).....83
— графиков (методы).....26, 27
Приведенное квадратное уравне-
ние..........................47
Приведенный квадратный
трехчлен.....................32
— многочлен..................11
Признаки делимости на 2, 4, 5,
9, 11, 25.....................6
Приложения определенного
интеграла................90,	91
Производная обратной функции 75
— сложной функции...........74
— функции...................73
Производные высших порядков 74
Промежутки знакопостоянства . 81
— монотонности................82
Простые числа................ 7
Прямая пропорциональность. . .19
Равносильные преобразования. . 45
— уравнения...................45
Радианная мера................35
Разложение квадратного трех-
члена на множители............31
Расположение графика квадра-
тичной функции................20
Рациональные числа.............5
Рекуррентное задание последова-
тельности ....................33
Свойства делимости.............6
—	квадратных корней.........13
—	логарифмов................43
—	модуля.....................8
—	обратных тригонометрических
функций.....................25
—	определенного интеграла ... 88
—	первообразной.............86
—	простых чисел..............7
—	степеней..................17
—	тригонометрических
функций.....................24
—	числовых неравенств.......62
Симметрические системы урав-
нений ........................61
Синус числа...................37
Системы уравнений......59—61
Сложение двойных неравенств	. 62
— многочленов.................10
Составление квадратного трех-
члена по корням...............32
Сравнение квадратных кор-
ней...........................13
— корней......................15
— средних величин.............63
Среднее геометрическое........16
— арифметическое..............16
Старший коэффициент много-
члена ........................11
Степень.......................17
Степени многочлена............11
Степенная функция........18, 22
Суммирование..................34
Схема Горнера.................12
Таблица первообразных.........87
— производных.................74
Тангенс числа.................37
93
Теорема Безу...............12
— Виета....................31
— Лагранжа.................77
Точки экстремума (минимума,
максимума).................78
Треугольник Паскаля........10
Тригонометрическая окруж-
ность .....................35
Тригонометрические неравенст-
ва ........................65
— соотношения...........37,	40
---в прямоугольном треуголь-
нике.......................38
— уравнения................53
—	функции.................24
Угловой коэффициент касатель-
ной .......................75
Умножение многочленов......10
Универсальная подстановка ... 40
Уравнения высших степеней. . .48
— с модулем.................8
—	со степенной функцией .... 49
— (методы решений)..........46
—	с обратными тригономет-
рическими функциями.........56
— с параметрами.........56—58
Факториал...................10
Фибоначчи (числа)...........33
Физический смысл производ-
ной.........................75
Формула общего члена после-
довательности ..............33
Формулы двойного угла.......40
—	дифференцирования.......75
—	дополнительного угла....41
— корней квадратного уравне-
ния ......................47
— понижения степени.........40
— приведения................37
— сокращенного умножения... 10
Целые корни многочлена......12
— числа......................5
Четность тригонометрических
функций.....................38
Числовые неравенства........62
Экстремумы..................78
ПРИЛОЖЕНИЕ
Простые числа от 2 до 997
2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43
47	53	59	61	67	71	73	79	83	89	97	101	103	107
109	113	127	131	137	139	149	151	157	163	167	173	179	181
191	193	197	199	211	223	227	229	233	239	241	251	257	263
269	271	277	281	283	293	307	311	313	317	331	337	347	349
353	359	367	373	379	383	389	397	401	409	419	421	431	433
439	443	449	457	461	463	467	479	487	491	499	503	509	521
523	541	547	557	563	569	571	577	587	593	599	601	607	613
617	619	631	641	643	647	653	659	661	673	677	683	691	701
709	719	727	733	739	743	751	757	761	769	773	787	797	809
811	821	823	827	829	839	853	857	859	863	877	881	883	887
907	911	919	929	937	941	947	953	967	971	977	983	991	997
94
Квадраты натуральных чисел от 11 до 99
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
^1	121	144	169	196	225	256	289	324	361
7 2	441	484	529	576	625	676	729	784	841
3	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
4	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2401
5	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
6	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
7	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
8	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
9	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801
Факториалы и степени
п	п!	2П	3"	5"
0	1	1	1	1
1	1	2	3	5
2	2	4	9	25
3	6	8	27	125
4	24	16	81	625
5	120	32	243	3125
6	720	64	729	15625
7	5040	128	2187	78125
8	40320	256	6561	390625
9	362880	512	19683	1953125
10	3628800	1024	59049	9765625
СОДЕРЖАНИЕ
От авторов ......................................... 3
Таблица!, действительные числа...................... 5
Таблица 2. модуль................................... 8
Таблица 3. действия с многочленами..................10
Таблица 4. квадратные корни.........................13
Таблица 5. корни натуральной степени................15
Таблица 6. степени, степенная функция, функция у - nJx . . . 17
Таблица 7. элементарные функции школьного курса......19
Таблица 8. основные приемы преобразования графиков .... 26
Таблица 9. график уравнения с двумя переменными......28
Таблица 10. квадратный трехчлен.....................30
Таблица 11. прогрессии..............................33
Таблица 12. тригонометрическая окружность...........35
Таблица 13. тригонометрические функции..............37
Таблица 14. логарифмы...............................42
Таблица 15. уравнения...............................45
Таблица 16. методы решения систем уравнений.........59
Таблица 17. неравенства.............................62
Таблица 18. неравенства с двумя переменными.........71
Таблица 19. дифференцирование.......................73
Таблица 20. исследование функций....................80
Таблица 21. нахождение наибольшего и наименьшего
ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ НА ПРОМЕЖУТКЕ.......................84
Таблица 22. первообразная и неопределенный интеграл..86
Таблица 23. определенный интеграл и его приложения...88
Предметный указатель................................92
Приложение..........................................94