ИНТЕГРИРУЕМОСТ
СИНГУЛЯРНОСТЬ
ijf ом пште^^Ш
ТиссЫтшнтШ

Ален Гориэли
ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ
И СИНГУЛЯРНОСТЬ
Под редакцией
проф. Н. А. Кудряшова
Перевод с английского
к.ф.-м.н. Н. Б. Логиновой
и проф. Н. А. Кудряшова
т
Москва + Ижевск
2006

УДК 517
Интернет-магазин
• физика
• м атематика
• биология
• нефтегазовые
http://shop.rcd.ru
технологии
Гориэли А.
Интегрируемость и сингулярность. — М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хао¬
тическая динамика»; Институт компьютерных исследований, 2006. — 316 с.
Книга известного американского ученого Алена Гориэли посвящена обсужде¬
нию вопросов интегрируемости и неинтегрируемости систем нелинейных диффе¬
ренциальных уравнений. При написании этой книги автор пытался излагать те темы,
которые мало освещены в имеющейся на сегодняшний день литературе. Большая
часть книги посвящена анализу решений в комплексном времени в окрестностях
особых решений (особых точек, прямых линий и сепаратрис). При этом предпри¬
нимается попытка установить взаимосвязь между алгебраическим, геометрическим
и аналитическим подходами при анализе решений систем дифференциальных урав¬
нений.
Аккуратное определение основных идей и большое количество примеров дает
читателю инструмент для решения многих интересных задач. Несомненным до¬
стоинством книги является методически продуманная, логически замкнутая линия
изложения.
Книга будет полезна всем, кто интересуется нелинейной наукой, и прежде всего
студентам старших курсов, аспирантам и начинающим исследователям.
ISBN 5-93972-463-9
© А. Гориэли, 2006
© АНО «Институт компьютерных исследований», 2006
http://rcd.ru
http://ics.org.ru

Предисловие редактора перевода
Издание на русском языке книги известного американского учёного
Алена Гориэли, посвящённой исследованию интегрируемости и сингуляр¬
ностей решений нелинейных дифференциальных уравнений — событие важ¬
ное.
В настоящее время в русскоязычной математической литературе можно
найти ряд книг, в которых обсуждаются различные аспекты теории интегри¬
руемости систем нелинейных дифференциальных уравнений. Прежде всего,
отметим недавно изданные книги серии «Современная математика»: мо¬
нографию А. Г. Реймана и М. А. Семенова-Тян-Шанского «Интегрируемые
системы» (2003 г.) и книгу А. В. Борисова и И. С. Мамаева «Современные
методы теории интегрируемых систем» (2003 г.).
Однако книг, в которых вопросы интегрируемости нелинейных диф¬
ференциальных уравнений изучаются с помощью анализа особых точек
решений, в настоящее время немного. Это обстоятельство объясняется тем,
что интерес к сингулярному анализу систем нелинейных дифференциаль¬
ных уравнений возник лишь в последние двадцать пять лет. Великолепные
книги профессора МГУ В. В. Голубева («Лекции по аналитической теории
дифференциальных уравнений» и «Лекции по интегрированию уравнений
движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки») вышли более
50-ти лет назад и не отражают современных достижений в области сингу¬
лярного анализа. Один из современников профессора В. В. Голубева — про¬
фессор Д. А. Васильков — рассказывал, что Владимир Васильевич выражал
озабоченность тем, что методы аналитической теории дифференциальных
уравнений к сожалению, не находят широкого применения при решении
прикладных задач.
В последние годы отношение к нелинейной науке заметно измени¬
лось. С помощью программ аналитических вычислений, таких как MAPLE
и MATHEMATICA, в настоящее время исследователям удается провести
огромную вычислительную работу и проанализировать многие ранее труд¬
но решаемые задачи.
Попытка дать введение в предмет сингулярного анализа нелинейных
дифференциальных уравнений предпринята в недавно изданной книге ре¬

4
Предисловие редактора перевода
дактора перевода этой книги (Н. А. Кудряшов, «Аналитическая теория нели¬
нейных дифференциальных уравнений», 2004 г.). Однако, рассчитывая на
полезность своей книги для широкого круга читателей, автор пытался
представить вопросы сингулярного анализа нелинейных дифференциаль¬
ных уравнений, используя зачастую рецептурный стиль изложения, остав¬
ляя в ряде случаев за кадром детальное рассмотрение некоторых вопросов,
относящихся к предмету исследования.
В списке литературы, относящейся к теории нелинейных дифференци¬
альных уравнений, книга Алена Гориэли занимает особое место. В ней автор
рассматривает различные вопросы интегрируемости и неинтегрируемости
систем нелинейных дифференциальных уравнений, анализируя особые точ¬
ки их решений.
О предлагаемой книге нельзя сказать, что она предназначена для лег¬
кого чтения. В ней содержится изложение большого количества различных
аспектов интегрируемости и сингулярного анализа, и при своем изучении
она требует значительных усилий, хотя и не предполагает знания каких-
либо дополнительных разделов математики, выходящих за пределы первых
трёх курсов математических специальностей университетов.
Отличительной особенностью книги Алена Гориэли является стремле¬
ние в ней уделить большое внимание вопросам, детально не изученным
в других монографиях. К счастью, такая попытка не повредила логиче¬
ски замкнутую и методически продуманную научную линию монографии
автора. Несомненным достоинством книги является наличие большого чис¬
ла интересных и важных примеров, относящихся к различным разделам
нелинейной науки. Подробное изучение примеров, предложенных автором,
позволит читателю понять основные идеи книги и научиться пользоваться
методами сингулярного анализа для исследования вопросов интегрируемо¬
сти и точной решаемости систем нелинейных дифференциальных уравне¬
ний. Заметим, что использование примеров из книги А. Гориэли при чтении
курса по нелинейной динамике студентам кафедры «Прикладная математи¬
ка» Московского инженерно-физического института (МИФИ) было весьма
полезным и эффективным. Безусловным достоинством книги является так¬
же обсуждение многих открытых тем теории интегрируемости уравнений
и сингулярного анализа. Эти вопросы могут быть использованы в качестве
стартовых позиций при проведении научных работ начинающими исследо¬
вателями.
При переводе книги мы старались сохранить строгий стиль автора. Од¬
нако эта строгость отнюдь не является препятствием для изучения вопросов
интегрируемости и сингулярного анализа, а скорее способствует более чет¬
кому восприятию материала. Основная трудность перевода заключалась в

Предисловие редактора перевода
5
отсутствии в ряде случаев устоявшейся русскоязычной терминологии. Мы
прикладывали много усилий, чтобы по возможности согласовать термино¬
логию с принятой в русскоязычной литературе. Никаких существенных из¬
менений в текст при переводе не вносилось — устранены лишь замеченные
мелкие опечатки.
Мы уверены, что книга Алена Гориэли будет полезна всем тем, кто
интересуется нелинейной наукой и, прежде всего, студентам старших кур¬
сов, аспирантам и начинающим исследователям, желающим изучить нели¬
нейные математические модели на предмет существования у них точных
решений.
Д.ф.-м. наук, профессор,
Лауреат Государственной премии СССР,
Заслуженный деятель науки Российской Федерации
Н.	А. Кудряшов

Предисловие
Эта книга посвящена обсуждению вопросов интегрируемости и неин-
тегрируемости систем нелинейных дифференциальных уравнений. Диффе¬
ренциальные уравнения и динамические системы обычно возникают при
описании явлений, для которых известны локальные законы сохранения.
В частности, большинство физических законов, таких как законы сохра¬
нения массы, энергии и импульса, — локальные законы. Основная зада¬
ча — получить глобальную информацию о явлениях, описываемых этими
законами. Очень часто даже элементарные явления, описываемые закона¬
ми сохранения, оказываются нелинейными, и при описании непрерывных
состояний системы (с помощью зависимых переменных) во времени и про¬
странстве (независимые переменные) их эволюция подчиняется нелинейным
дифференциальным уравнениям. Например, в классической физике грави¬
тационные силы между массами и электромагнитные взаимодействия нели¬
нейны. В гидродинамике нелинейность уравнения Навье-Стокса является
следствием инерционных эффектов. Авто каталитические химические реак¬
ции также описываются нелинейными дифференциальными уравнениями,
если учесть закон действующих масс. Нелинейные эффекты могут привести
к возникновению сложных структур, полное описание которых может ока¬
заться чрезвычайно затруднительным. После того как записаны локальные
уравнения, возникает следующая важная проблема: как эти уравнения «ре¬
шить»? В этом простом вопросе скрыта некоторая неопределенность. Для
физика, специалиста по прикладной математике или химика «решить» —
означает получить общую информацию о решении и, если возможно, найти
решение в аналитическом виде. При этом значения зависимых перемен¬
ных могут быть предсказаны при всех допустимых значениях независимых
переменных. В частности, уравнение имеет решение, если это решение
выражено через известные функции. Однако математику часто бывает ин¬
тересна более фундаментальная задача о существовании и единственности
решений, что является необходимым предварительным условием любого
последующего аналитического исследования.
Первые попытки найти решения дифференциальных уравнений, выра¬
женные через известные функции или представленные в виде разложения в

Предисловие
7
ряд по известным функциям, были предприняты в работах Эйлера, Ньюто¬
на и Лейбница. Впоследствии теория интегрирования уравнений движения
была развита в работах математиков, таких как Лагранж, Пуассон, Гамиль-
тон и Лиувилль, в конце XVIII и XIX веков. Основной идеей, лежащей
в основе этих работ, было предположение о том, что решение уравнения
всегда может быть представлено с помощью некоторого выражения от из¬
вестных функций или в результате разложения по малым возмущениям.
Позже для описания свойств уравнений, которые позволяют получить всю
частную и общую информацию о математической модели либо явно — из
решения, либо косвенно — из интегралов движения, было введено понятие
«интегрируемо сти».
Следует выделить две работы, которые радикально повлияли на ход
развития классической механики XIX века и которые определили основное
направление этой книги. Первая работа — исследование С. В. Ковалевской
задачи Эйлера о движении твердого тела с фиксированной точкой (задача
о волчке). В своем исследовании Ковалевская использовала новую и в то
же время простую технику вычислений, основанную на анализе поведения
решения задачи о волчке вблизи особых точек на комплексной плоско¬
сти. Ей удалось показать, что, помимо известных интегрируемых случаев
и нового, обнаруженного ею, других случаев, для которых решение может
быть выражено через однозначные функции, не существует. В сущности,
ею доказано, что уравнения движения Эйлера, в общем случае, в классе
однозначных функций неинтегрируемы.
Второй работой была работа Пуанкаре, в которой изучался вопрос о
существовании интегралов движения для интегрируемых гамильтоновых
систем при малых возмущениях. Он показал, что, в общем случае, по¬
мимо самого гамильтониана, других интегралов движения, аналитичных
по параметру возмущения, не существует. Это означает, что если суще¬
ствует интеграл движения для невозмущенного гамильтониана, то такого
интеграла не существует при возмущении гамильтониана, поскольку пара¬
метр возмущения меняет структуру гамильтоновой системы. В работах по
небесной механике Пуанкаре также развил геометрическую теорию реше¬
ний дифференциальных уравнений. Его идея состояла в изучении асим¬
птотик решений на геометрических множествах; такие асимптотики каче¬
ственно определяют общее поведение решений на достаточно длительном
промежутке времени. Пуанкаре ввел понятия гомоклинических и гетеро-
клинических орбит, которые связывают неподвижные точки между собой,
и показал, что возмущения этих орбит являются причиной сложного пове¬
дения решений. Он заметил, что для решения задачи трех тел «необходимы
трансценденты, радикально отличающиеся от всех ранее известных» (“les

8
Предисловие
transcendantes qu’il faundrait imaginer pour le resoudre different de toutes cells
que nous connaissons”) [Poincare, 1899, стр. 391]. Многие аспекты исследо¬
вания Пуанкаре опередили свое время на несколько десятилетий. На самом
деле, изучение сложного движения Пуанкаре основано на совершенно но¬
вом подходе: качественном анализе поведения решений. Чтобы описать
общий характер поведения решения на больших промежутках времени, он
предложил изучать топологические свойства решений в фазовом простран¬
стве совместно с аналитическими свойствами решений уравнения.
Несмотря на различия, подходы Ковалевской и Пуанкаре имеют одну
общую черту. Сингулярный анализ Ковалевской решений дифференциаль¬
ного уравнения и исследование в фазовом пространстве фазовых траекто¬
рий Пуанкаре позволяют изучить общие свойства системы дифференциаль¬
ных уравнений. В последующие годы после работ Ковалевской и Пенлеве
ни математики, ни физики не проявляли достаточного интереса к теории
интегрируемости дифференциальных уравнений. Суть качественной теории
дифференциальных уравнений основана на понятии динамической систе¬
мы, теоретическая формулировка которого была предложена Биркгофом.
Физики недостаточно понимали важность нелинейной науки вплоть до на¬
чала 60-х годов прошлого столетия. Только начиная с основополагающей
работы Лоренца [Lorenz, 1963], в которой численно доказано существо¬
вание хаотического движения, а также после работы Хенона и Хейлеса
о неинтегрируемости одной из гамильтоновых систем с двумя степенями
свободы [Henon & Heiles, 1964] отношение к теории динамических систем
круто изменилось.
Успех теории динамических систем был настолько значителен, что точ¬
ные методы интегрирования дифференциальных уравнений стали рассмат¬
риваться как не очень полезные и недостаточно общие. В какой-то степени,
появившимся работам по теории хаоса даже удалось затмить важное от¬
крытие солитонов для уравнения Кортевега-де Вриза, сделанное Забуски
и Крускалом (1965). Солитоны — это простейшие решения нелинейных
уравнений в частных производных, для которых [решений] выполняются
простые законы взаимодействия, напоминающие взаимодействия в линей¬
ных системах. Существование солитонов может рассматриваться как кри¬
терий интегрируемости нелинейных уравнений в частных производных.
Вскоре после этого были открыты вновь или переоткрыты заново многие
другие интегрируемые системы. Поразительно, что в течение многих лет
хаос, странный аттрактор и эргодичность рассматривались как важные осо¬
бенности динамических систем с несколькими степенями свободы. Однако
существование солитоноподобных образований и упорядоченных структур
является ключевой характеристикой систем с бесконечным числом степеней

Предисловие
9
свободы, описываемых нелинейными уравнениями в частных производных.
Эти существенные особенности, характерные для нелинейных математи¬
ческих моделей, кажутся шокирующими и играют определяющую роль в
понимании явлений интегрируемости и неинтегрируемости динамических
систем.
Чтобы охарактеризовать проблему дальше, следует отличать «разреши¬
мость» от «интегрируемости». «Интегрируемость» — это свойство данной
системы дифференциальных уравнений, сильно ограничивающее поведе¬
ние решений в фазовом пространстве, тогда как «разрешимость» связана с
существованием решения в явном виде. В действительности, универсаль¬
ное определение интегрируемости для динамических систем до сих пор
является недостаточно определенным. Ясно, что это понятие соответствует
интуитивному представлению о регулярном и нерегулярном поведении ди¬
намической системы. Нерегулярное поведение динамических систем обыч¬
но ассоциируется с решениями, чувствительными к изменению начальных
условий, с поведением соседних траекторий в фазовом пространстве и с
локальными экспоненциальными характеристиками, определяемыми пока¬
зателями Ляпунова. Эти показатели, в общем случае, не вычисляются, и их
оценка, включающая усреднение на большом временном интервале, может
представлять довольно трудную задачу. Поэтому интегрируемость не опре¬
деляется отсутствием нерегулярного поведения, так как многие неинтегри-
руемые системы имеют вполне регулярную динамику. Наша точка зрения на
понимание проблемы интегрируемости и неинтегрируемости динамических
систем основана на анализе в комплексной области особых точек диффе¬
ренциальных уравнений. В данной книге будет дано несколько определе¬
ний интегрируемости и показано, каким образом они связаны со структурой
решения, рассматриваемого как функция комплексной переменной. Также
будут разработаны простые алгоритмы классификации систем, не обладаю¬
щих фундаментальным свойством интегрируемости. При дальнейшем по¬
нимании неинтегрируемости систем будем связывать неинтегрируемость с
существованием нерегулярного поведения и покажем, что некоторые, ка¬
жущиеся противоречивыми, аспекты динамики нелинейных систем могут
быть поняты в рамках анализа поведения особых точек.
Что отсутствует в книге
В настоящее время теория интегрируемости и теория динамических
систем занимают чрезвычайно важное место, поскольку они используют¬
ся представителями разных специальностей в различных областях знаний.

10
Предисловие
При написании этой книги автор пытался изложить только те темы, кото¬
рые не рассмотрены ранее в других книгах. Автор чувствует, что некоторые
темы, которые уже освещены в ряде книг, он не смог бы описать более
удачно и более талантливо. Дадим перечень некоторых тем (несомненно,
представляющих интерес), не затронутых в этой книге (или рассмотренных
лишь частично), которые, тем не менее, связаны с понятием интегрируемо¬
сти: интегрируемые системы [Perelomov, 1990, Audin, 1996], гамильтоновы
системы [Goldstein, 1980,Marsden & Ratiu, 1994,Kozlov, 1998], дискретные
системы [Grammaticos et al, 1999], теория солитонов и метод обратной за¬
дачи рассеяния [Ablowitz & Segur, 1981, Newell, 1985, Ablowitz & Clarkson,
1991], группы Ли [Olver, 1993, Ibragimov, 1999], динамические системы и
хаос [Guckenheimer & Holmes, 1983, Wiggins, 1988,Perko, 1996].
Что есть в книге
Эта книга, в основном, посвящена методам и понятиям, относящимся
к интегрируемым и неинтегрируемым системам. Автор надеется, что акку¬
ратное определение некоторых основных идей и большое количество ил¬
люстрирующих примеров даст читателю инструмент для решения многих
интересных задач. Автор пытался показать, что исследование интегрируе¬
мости или неинтегрируемости данной динамической системы не является
черной магией. На самом деле, такое исследование может быть проведено
с помощью достаточно систематического подхода. Для многих интегрируе¬
мость — это загадочное понятие, которое, кажется, возникает случайно при
изучении динамических систем. На самом деле, интегрируемость математи¬
ческой модели — явление редкое, но его следует высоко ценить. Именно оно
позволяет полностью понять глобальные свойства интегрируемых систем.
В конце концов, свойства интегрируемости и неинтегрируемости являются
ключом к доскональному пониманию регулярного и нерегулярного поведе¬
ния динамических систем.
В главе 1 автор рассматривает две простые динамические системы и
пытается сформулировать вопросы о поведении решений этих систем, от¬
веты на которые могут быть даны путем исследования интегрируемости
систем. Глава 2 посвящена введению в теорию векторных полей и первых
интегралов. В данной главе приведены различные определения интегри¬
руемости, основанные на существовании первых интегралов, и приведены
элементарные свойства пар Лакса. В главе 3 предложен алгоритм анали¬
за особых точек и дано определение свойства Пенлеве. Интегрируемость
определяется исходя из анализа в комплексной области поведения решений

Предисловие
11
в окрестностях особых точек. В главе 4 автором изучены локальные свой¬
ства векторных полей в фазовом и комплексном пространствах и развиты
методы, с помощью которых доказывается неинтегрируемость некоторых
систем дифференциальных уравнений. Глава 5 является простейшим введе¬
нием в теорию интегрируемых и неинтегрируемых гамильтоновых систем.
Результаты, рассмотренные в главе 3, получены с учетом особой природы
гамильтоновых систем.
Благодарности
Автор хотел бы выразить искреннюю благодарность всем тем, кто про¬
явил интерес к его исследованию, тем коллегам, взаимодействие с кото¬
рыми, поддержка которых, руководство и критика которых очень помогли
в работе, а также группе людей, согласившихся внести свои редакторские
правки в текст книги. Однако за все ошибки и неточности в книге ответ¬
ственен, конечно, автор.
Автор признателен The North American Treaty Organization и фирме
Alfred. P. Sloan Foundation за их поддержку.
В заключение автор выражает глубокую благодарность своей жене
Аните и сыновьям Зебулону, Заккаю и Зефиру за их поддержку и любовь.
Ален Гориэли,
Лето 2002
Тусон, Аризона

Оглавление
Предисловие редактора перевода	 3
Предисловие	 6
Глава 1. Введение	 15
1.1.	Система на плоскости	 15
1.1.1. Подход теории динамических систем	 16
1.1.2. Алгебраический подход	 17
1.1.3. Аналитический подход	 24
1.1.4. Актуальные вопросы	 27
1.2.	Система Лоренца 	 28
1.2.1. Подход теории динамических систем	 29
1.2.2. Алгебраический подход	 31
1.2.3. Аналитический подход	 33
1.2.4. Актуальные вопросы	 36
Глава 2. Интегрируемость: алгебраический подход	 38
2.1.	Первые интегралы	 39
2.1.1. Канонический пример: движение твердого тела ....	45
2.2.	Классы функций	 48
2.2.1. Элементарные первые интегралы	 52
2.2.2. Дифференциальные поля	 54
2.3.	Однородные векторные поля	 56
2.3.1. Масштабно-инвариантные системы	 58
2.3.2. Однородные и весооднородные разложения	 60
2.3.3. Весооднородные разложения	 61
2.4.	Построение первых интегралов	 63
2.4.1. Простой алгоритм нахождения полиномиальных пер¬
вых интегралов 	 63
2.5.	Вторые интегралы	 65
2.5.1. Полиномы Дарбу 	 67
2.5.2. Полиномы Дарбу для векторных полей на плоскости .	69
2.5.3. Алгоритм Преля-Сингера	 71
2.6.	Третьи интегралы	 74
2.7.	Высшие интегралы 	 77

Оглавление
13
2.8.	Класс редукции	  78
2.9.	Интегрируемость 	 81
2.9.1. Локальная интегрируемость	 82
2.9.2. Интегрируемость по Лиувиллю	 83
2.9.3. Алгебраическая интегрируемость  	 84
2.10. Метод последнего множителя Якоби	 85
2.11. Пары Лакса	 90
2.11.1. Общие свойства	 91
2.11.2. Построение пар Лакса . . .  	102
2.11.3. Расширение пар Лакса	106
2.11.4. Модификация интегрируемых систем	109
2.11.5. Дополнительная информация о парах Лакса	110
Глава 3. Интегрируемость: аналитический подход	112
3.1.	Сингулярности функций	113
3.2.	Решения дифференциальных уравнений 	115
3.3.	Особенности линейных дифференциальных уравнений	....	117
3.3.1. Фундаментальные решения	118
3.3.2. Регулярные особые точки	119
3.4.	Особенности нелинейных дифференциальных уравнений .	. .	121
3.4.1. Подвижные и неподвижные особенности	121
3.5.	Свойство Пенлеве	122
3.5.1. Историческое отступление I	123
3.5.2. a-метод Пенлеве	126
3.5.3. Приложения	128
3.6.	Уравнения Пенлеве и интегрируемые уравнения в частных
производных	129
3.6.1. Теория солитонов и метод обратной задачи рассеяния 129
3.6.2. Гипотеза Абловица-Рамани-Сигура	130
3.7.	Тест Пенлеве для уравнений в частных производных	132
3.7.1. Интегрируемость ОДУ	135
3.8. Сингулярный	анализ 	136
3.8.1.	Шаг	1:	доминантное поведение 	138
3.8.2.	Шаг	2:	показатели Ковалевской	141
3.8.3.	Шаг	3:	локальное решение	145
3.8.4. Формальное существование локальных решений ... 150
3.8.5. Сопровождающие системы	154
3.8.6. Сходимость локальных решений	159
3.8.7. Краткий перечень методов исследования особых точек 161
3.9. Тесты Пенлеве	163

14
Оглавление
3.9.1.	Тест Пенлеве #1: Метод Хойера-Ковалевской	163
3.9.2.	Тест Пенлеве #2: Алгоритм Гамбье-АРС	172
3.9.3.	Тест Пенлеве #3: Алгоритм Пенлеве-КФП	177
3.9.4.	Свойство Пенлеве и нормальные формы	181
3.10. Гипотеза о слабом свойстве Пенлеве	196
3.11. Структуры образований особых точек для неинтегрируемых
систем	199
3.11.1. Фракталы Ковалевской	199
3.11.2. Разбиение особых точек на группы	201
3.12.	Коллапс за конечный промежуток времени	201
Глава 4. Неинтегрируемость	213
4.1.	Общий подход: вариационное уравнение	214
4.1.1.	Неинтегрируемость линейных систем	217
4.2.	Первые интегралы и линейные собственные значения	.	.	.	.219
4.3.	Первые интегралы и показатели Ковалевской 	223
4.3.1.	Анализ Йошиды	223
4.3.2.	Резонансы между показателями Ковалевской	228
4.3.3.	Показатели Ковалевской и полиномы Дарбу	234
4.3.4.	Показатели Ковалевской для гамильтоновых систем . . 235
4.4.	Полная интегрируемость и резонансы	236
4.5.	Полная интегрируемость и логарифмические точки ветвления	237
4.6.	Многозначный первый интеграл и локальные решения .... 240
4.7.	Частичная интегрируемость	242
4.7.1.	Натуральный произвольный параметр	242
4.7.2.	Необходимые условия частичной интегрируемости . . 244
Глава 5. Гамильтоновы системы	249
5.1.	Гамильтоновы системы	249
5.1.1.	Первые интегралы	253
5.2.	Полная интегрируемость	257
5.2.1.	Интегрируемость по Лиувиллю	257
5.2.2.	Интегрируемость по Арнольду-Лиувиллю	258
5.3.	Алгебраическая интегрируемость	260
5.4.	Теория неинтегрируемости Зиглина	263
5.4.1.	Гамильтонова система с двумя степенями свободы . . 270
5.4.2.	Теорема Зиглина для п измерений	274
5.4.3.	Дополнение к теории Зиглина	277
5.4.4.	Теорема Моралеса-Руиза и Рамиса	277
Литература	279
Предметный указатель	311

Глава 1
Введение
«Data aequatione quotcumque fluenes quantitates involvente,
fluxiones invenire et vice versa».1
Ньютон
В этой главе рассматриваются примеры динамических систем малой
размерности, описываются некоторые элементарные свойства решений этих
систем и формулируются ключевые вопросы, относящиеся к решениям ди¬
намических систем. Ответам на эти вопросы посвящена эта книга.
1.1.	Система на плоскости
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений,
описывающую движение точки на плоскости [Lunkevich & Sibirskii, 1982,
Delshams & Mir, 1997]:
а) x — у + 2axy
!	22	(1Л)
б) у = -х + ix - /Зу ,
где х — у = ^ иа,Д,7 — произвольные параметры. Перепишем эту
систему в виде х = f(x), где векторы х и f(x) заданы как х = (х,у) и
1 — (У + 2аху, —х + 7Х2 — (Зу2) соответственно2.
Важной задачей является определение свойств заданной системы урав¬
нений. При этом возникает ряд вопросов. Имеет ли эта система неподвиж¬
ные точки, периодические орбиты, предельные циклы? Ограничены ли ре¬
шения этой системы? Могут ли решения быть выражены через известные
функции? Что вообще мы можем сказать о решениях данной системы?
]В своем письме к Олденбургу, отправленном Лейбницу 24 октября 1676 года, Ньютон
дал следующее определение дифференциального уравнения: «Любое выражение, содержащее
производные и интегралы для опредечения неизвестных функций».
23аметим, что с помощью замены можно получить эквивалентную систему с двумя пара¬
метрами. Однако система уравнений нами оставлена в виде, удобном для обсуждения решений
в наиболее общем случае.

16
Глава 1
1.1.1.	Подход теории динамических систем
Основным подходом при анализе подобных задач является теория ди¬
намических систем (см., например, [Guckenheimer & Holmes, 1983,Wiggins,
1988,Perko, 1996]). Автор надеется, что читатель знаком с основами этой
теории, чтобы понять суть предложенного ниже анализа. На первом ша¬
ге находятся неподвижные точки, то есть постоянные решения систе¬
мы f(x) = 0. В нашем случае существует не более четырех таких решений:
Теперь можно провести анализ системы в окрестности каждой неподвиж¬
ной точки, вычисляя линейные собственные значения, которые находятся
из линейной системы уравнений, полученной в результате локального раз¬
ложения решения вблизи каждой неподвижной точки. При этом решение
вблизи неподвижной точки, скажем, х^г\ запишется в виде х = х(г) + ей.
При первом порядке аппроксимации по е приходим к линейной системе
относительно и:
с соответствующими собственными векторами они полностью характери¬
зуют решения линейной системы. Кроме того, если действительная часть
собственных значений отлична от нуля, то неподвижная точка — гиперболи¬
ческая, и теорема Хартмана-Гробмана [Guckenheimer & Holmes, 1983] га¬
рантирует, что решения нелинейной системы (1.1) в окрестности сингуляр¬
ности — топологически сопряженные. То есть в окрестности неподвижной
точки существует гомеоморфизм, отображающий решения системы в ре¬
шения другой системы, сохраняющий их направление, но необязательно —
их параметризацию. Другими словами, вблизи неподвижной точки решения
а) х(1) = (0,0),
(1.2)
u = Df(x(i))u,
где	)	—	матрица	Якоби	для	f,	составленная	в	точке	х(
(1.3)
dxf2dyf2\ [-1 + 2	-2	/Зу^
(1.4)
Линейные собственные значения в окрестности неподвижной точки х-**
определяются как собственные значения А^Аг матрицы I)f(\(l)). Вместе

1.1. Система на плоскости
17
линейной системы аппроксимируют решения нелинейной системы. В част¬
ности, если неподвижная точка линейной системы — гиперболическая, а на¬
чало координат — асимптотически устойчиво3, тогда неподвижная точка
нелинейной системы также асимптотически устойчива.
Используем эти идеи для анализа системы при значениях а — /3 =
= 1, когда 7 рассматривается как свободный параметр. Как меняется ре¬
шение в зависимости от значений 7? Так как в начале координат х^1) =
= (0,0) линейные собственные значения равны Ai,2 = =Ьг, информацию
о решениях нелинейной системы получить нельзя. Однако линейные соб¬
ственные значения, соответствующие второй неподвижной точке х^2) =
= (1/7,0), расположенной на оси х, имеют вид Ai?2 = ±^7 (2 + 7V7.
При 7(2 + 7) > 0 собственные значения действительны и не стремятся к
нулю. Следовательно, при этих значениях 7 неподвижная точка — гипер¬
болическая, а устойчивые и неустойчивые многообразия имеют размер¬
ность 1. Эти многообразия — касательные к линейным собственным век¬
торам (собственным векторам £)f(x^)). Можно выполнить аналогичный
анализ в окрестностях неподвижных точек х^3,4) = ( —1/2, ±ч/2_+7/2) и
получить соответствующие собственные значения Ai52 = ±>/2 + 7. Обыч¬
но при анализе уравнений с помощью теории динамических систем для
получения аппроксимации, относящейся к устойчивому и неустойчивому
многообразиям, рассматривается решение в окрестности гиперболической
неподвижной точки. Затем используется вся локальная информация, чтобы
получить общую качественную картину фазового портрета, построенного
в плоскости х и у с помощью решений. Качественное изменение поведе¬
ния решений происходит при значении 7 = — 2, которое является точкой
бифуркации системы. Стандартные положения теории бифуркации позво¬
ляют описать поведение решений вблизи этой точки. Такой подход может
быть применен к большому классу систем, для которых выполняется усло¬
вие гиперболичности. Однако, вместо того чтобы продолжать исследования
подобного рода, рассмотрим данную систему иначе, определяя инварианты.
1.1.2.	Алгебраический подход
Общего подхода для получения в явном виде решения системы диф¬
ференциальных уравнений не существует; кроме того, можно показать, что
для большинства систем точные решения, выраженные через элементарные
функции, отсутствуют. В связи с этим можно попытаться определить гло¬
бальные инварианты. Инвариантом называется функция I(x,y,t), которая
3 Неподвижная точка х — асимптотически устойчивая, если близкие решения стремятся к
х при t —» 00.

18
Глава 1
остается постоянной для всех решений, то есть I(x(t),y(t),t) постоянна
для всех решений х = x(t),y = y(t) системы. Такие инварианты называ¬
ются первыми интегралами. В случае двумерной системы для построения
общей картины поведения решений в фазовом пространстве переменных х
и у достаточно наличия одного первого интеграла. Кроме того, если I не
зависит от времени, то инвариант можно представить в виде 1(х,у) = С.
Следовательно, / полностью характеризует фазовый портрет. Как можно
найти такие полезные характеристики? Заметим, что если функция 1(х,у)
постоянна для всех (x(t),y(t)), то ее производная обращается в нуль, и мы
получаем
(дх1)х + (ду1)у = 0.	(1.5)
Используя систему (1.1), уравнение приводится к виду:
fidxI + f2dyI = 0.	(1.6)
Поэтому функция I должна быть решением данного уравнения первого по¬
рядка в частных производных. Ясно, что функция I(х) может быть выбрана
в любом виде. В простейшем случае она может быть представлена в ви¬
де полинома по степеням х и у, то есть вместо I в (1.6) мы подставляем
полином степени п с произвольными коэффициентами, значения которых
в дальнейшем требуется найти. Таким образом, задача нахождения перво¬
го интеграла сводится к алгебраической задаче, а именно — к решению
системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных
параметров.	Например,	попытаемся найти квадратичный	первый	интеграл
12 = ах2 + Ьху + су2 + dx + еу рассматриваемой системы	уравнений. Тогда
уравнение (1.6) принимает вид:
Ь^/х3 — 20су3 + (2с7 + 4аа)ух2 + (2Ьа — Ь(3) у2х +
(е/у — Ъ)х2 + (6 — е/3)у2 + (2 а — 2 с + 2 da)yx — ex + dy = 0. (1.7)
Так как первый интеграл должен существовать для всех значений (ж, у),
то все коэффициенты уравнения должны обращаться в нуль. В результа¬
те получим переопределенную систему относительно параметров (а, /3,7)
и коэффициентов (а, 6, с, d, е). Эта система имеет единственное нетривиаль¬
ное решение а = c,b = d = е = 0 И7 = —2а, 0 = 0, и мы можем сделать
вывод, что при указанных значениях параметров выражение /2 = х2 + у2
является первым интегралом данной системы. Для этого простого случая
все кривые решения лежат на концентрических окружностях с центром
в начале координат (см. рис. 1.1).

1.1. Система на плоскости
19
Рис. 1.1. При (3 = 0,7 = —2а кривые решения лежат на линиях уровня функции
/2 = X2 + У2
Аналогичные вычисления для кубического полинома показывают, что
при (3 — а система допускает существование первого интеграла в виде Is =
= б(Зху2 — 7£3 + 3у2 + З.т2. Теперь можно сравнить результаты, полученные
с помощью теории динамических систем в случае а = /3 = 1, с результата¬
ми, полученными при анализе /3 в случае (3 = 1. Фазовые портреты системы
(см. рис. 1.2) иллюстрируют, как неподвижные точки х^3,4) соединяются в
одну точку х^2). Вторая неподвижная точка теряет гиперболичность при зна¬
чениях 7 между —2 и 0, становясь центром. Особый интерес представляют
удивительные гетероклинические решения. Гетероклинические решения —
это орбиты, соединяющие одну неподвижную точку с другой. Когда такие
решения существуют, фазовый портрет содержит пару гетероклинических
решений, соединяющих х^3) с х^4). Кроме того, одна из этих орбит является
решением, имеющим вид прямой. В частном случае 7 = 1 существует цикл
прямых гетероклинических решений, связывающих х^3,4) с х^. Ясно, что
эти решения играют особую роль, так как они определяют границы орбит
качественно различного поведения: эти три гетероклинические орбиты об¬
разуют треугольник, внутри которого орбиты ограничены и периодичны,
а снаружи — не ограничены. Эти гетероклинические связи — особые линии
уровня функции Is, и хотелось бы знать, можно ли их получить непосред¬
ственно без использования первого интеграла. К этой задаче мы вернемся
позже.

20
Глава 1
Рис. 1.2. При (3 = 1,7 = 0 кривые решения лежат на линиях уровня функции /з
Можно продолжить процедуру отыскания первых интегралов более
высоких степеней и найти другие первые интегралы, /4, /5, Iq , Однако
если I2 является первым интегралом степени 2, тогда /| — первый йнтеграл
степени 4. Эти первые интегралы являются зависимыми и не дают никакой

1.1. Система на плоскости
21
дополнительной информации. Поэтому будем искать новые независимые
первые интегралы. Находим, что при
(3 — 2а h = — ЗР^х4 — 4(7 — (3)х3 + 6(Р2у2 + 1)х2 + 12 у2х(3 4- б у2;
/3 = За 1Ъ = -24/327х5 - 30/3(37 - /3)х4 -10(97 - 4/3V - 12/3)х3 +
+ 45 (4/32у2 + 3) х2 + 27Ch/2x/3 + 135у2;
/3 = 4а /6 =-10/337Х6-12/32 (67-/З) х5 -15/3 (127-6/З-/ЗУ) х4 -
-40(47 -6/3 —З/ЗУ )х3 + 120(2 + З/З2?/2 )х2 +
+480у2х/3+240?/2.	(1.8)
С увеличением степени эти вычисления становятся все более громозд¬
кими. Однако можно предположить существование первого интеграла сте¬
пени п + 2 при (3 = па, то есть когда дробь P/а принимает целое значение.
Кажется удивительным, что при Р = па отношение Л1/Л2 любой пары
собственных значений в одной из четырех неподвижных точек также яв¬
ляется целым числом (либо п, либо 1). Может ли быть установлена связь
между результатами анализа решений в окрестностях неподвижных точек
и существованием полиномиального первого интеграла? Например, можно
ли сделать вывод, что такие первые интегралы отсутствуют, на основании
того, что отношение собственных значений не является целым числом? Для
того чтобы доказать или опровергнуть это предположение, необходимы но¬
вые подходы к пониманию первых интегралов и того, как они возникают.
Ключ к пониманию этого состоит в нахождении новых путей построения
первых интегралов. Вместо того чтобы рассматривать инварианты, которые
постоянны для всех решений, можно искать функции, которые будут по¬
стоянными при некоторых дополнительных условиях. Например, для урав¬
нения (1.1) производная по времени от функции J\ — 1 + 2ах принимает
вид:
Л = fidxJi + f2dyJ\ = 2ya(l + 2ах) = 2yaJ±.	(1.9)
Отсюда находим, что J\ = 0 при Ji(x, у) — 0, то есть функция J\(x, у) ин¬
вариантна относительно преобразования сдвига по времени, поэтому при
а ^ 0 вертикальная прямая х — —1/(2а) образует некоторое инвариант¬
ное множество. Возможный вид этого инвариантного множества показан на
рис. 1.2. Назовем J\ вторым интегралом, так как эта функция инвариант¬
на, но только при дополнительном ограничении. В общем случае второй

22
Глава 1
интеграл определяется уравнением J(x) = /х(х) J(x). В нашем примере ц =
= fjL 1 = 2 уа.
Однако наличия единственного второго интеграла недостаточно для
того, чтобы сделать вывод о существовании первого интеграла; более того,
этого недостаточно, чтобы построить фазовый портрет. Поэтому необхо¬
димо найти еще один второй интеграл. Процедура его отыскания анало¬
гична методу нахождения первых интегралов: ищем квадратичную функ¬
цию J2 = J2(x) такую, что J2M = М2ОО ^(х). При этом /л2(х) может быть
только линейной, поскольку максимальная степень J2 равна 3. Это приводит
к переопределенной системе уравнений с решением
J2 =2{3(а+р)((3+2а)у2-213(а +/3)7x2+2fi(7-\-2a +/3)х-7~2а-(3, (1.10)
где /л2 = -2Ру.
Рис. 1.3. Линии уровня двух вторых интегралов J\ (пунктир) и J2 (сплошная линия)
при а = 1 и различных значениях 7. Неподвижные точки х^3,4^ лежат на пересече¬
нии J\ = 0 с J2 = 0. Этот рисунок не является фазовым портретом системы, так
как на нем представлены кривые при различных значениях параметра 7
Совместный анализ двух вторых интегралов J\ и J2 показывает, что (г)
неподвижные точки х^3,4) лежат на пересечении Ji = 0 и J2 = 0, а (гг) ге-
тероклинические орбиты — на линиях уровня J\ = 0 или J2 = 0. Эти
множества показаны на рис. 1.3 для некоторых значений 7. При фикси¬
рованном значении 7 линии уровня обоих вторых интегралов дают ясное

1.1. Система на плоскости
23
представление о глобальном поведении системы, что следует из сравнения
линий уровня на рис. 1.3 при 7 = 1 с соответствующим фазовым портретом
на рис. 1.2. Как следует из рис. 1.3, вторые интегралы позволяют построить
«скелет» фазового портрета, из которого определяются все другие орбиты.
В действительности, вторые интегралы содержат гораздо больше информа¬
ции. Исследуем производную по времени произведения
I = J«4$2.	(1.11)
Используя определение имеем
I = (а1ф + а2ф)^^,
= GlMl + а2/^2,
= 2 у(а1а-а20).	(1.12)
Поэтому при ai = /3 и <22 = а, / = 0 выражение I = jf является первым
интегралом при всех значениях параметров. Теперь можно ответить на во¬
прос о существовании полиномиальных первых интегралов. Если qB = ра,
где q.p — положительные целые числа, то = Jf — полиномиаль¬
ный интеграл степени р + 2д. Более того, если p,q — такие целые числа,
что pq < 0, то Iq/a — рациональный первый интеграл. В общем случае,
если р/а — не рационально, то I — трансцендентный первый интеграл.
Для этой задачи вторые интегралы позволяют не только построить «скелет»
фазового портрета, но также найти первый интеграл и решить задачу при
всех значениях параметров. Однако динамику процесса первый интеграл
описывает не полностью, так как он дает информацию лишь о поведении
решения в фазовом пространстве. Например, периоды орбит не могут быть
получены из первого интеграла, и для их определения требуется провести
дальнейший анализ решения.
Рассмотренный пример был подобран специально для иллюстрации
понятий первого и второго интегралов. В общем случае, нельзя ожидать,
что система дифференциальных уравнений имеет первый или хотя бы един¬
ственный второй интеграл. Тем не менее указанный тип анализа достаточно
продуктивен, поскольку он является общим подходом нахождения или опро¬
вержения существования первого и второго интегралов. В общем случае,
нам бы хотелось указать значения параметров системы, при которых суще¬
ствуют первый и второй интегралы. В таких случаях может быть выполнен
дополнительный анализ фазового портрета.

24
Глава 1
1.1.3.	Аналитический подход
Существует и иной путь анализа решений дифференциальных уравне¬
ний (1.1). Он заключается в рассмотрении поведения решений в окрестно¬
стях их особых точек в комплексном времени. Возможно, на первый взгляд,
это кажется странным. Каким образом анализ поведения решения в ком¬
плексном времени может нести информацию о поведении в реальном вре¬
мени? На самом же деле эта теория является обобщением метода Фробе-
ниуса — одного из основных инструментов изучения линейных дифферен¬
циальных уравнений с зависящими от времени коэффициентами. Представ¬
ленный в этом разделе анализ является нелинейной версией этого метода.
Предположим, что решение х = x(t) системы (1.1) известно. Это решение
можно аналитически продолжить на комплексную плоскость, соответствую¬
щую комплексной величине времени t. При этом на комплексной плоскости
может появиться несколько особых точек. Возникает естественное желание
определить тип каждой сингулярности. Если бы был известен явный вид
решения, его локальное разложение в окрестности каждой особой точки
дало бы возможность идентифицировать полюс, точку ветвления или су¬
щественно особую точку. Однако, даже если явный вид решения найти не
удается, информацию о типе особых точек все же можно получить. Для
описания поведения решения в окрестности сингулярности предположим,
что кривые x(t) и y(t) проходят вблизи выбранной особой точки и ведут
себя следующим образом: x(t) ~ ciotp и y(t) ~ botq, где либо р, либо q —
отрицательно4. Если подставить эти выражения в (1.1), получим уравнения
а) аорЬр~г = botq -f 2aaobotp^q,
(1.13)
б) boqt^1 = -a0tp + 'ya,o2t2p - (3bo2t2q.
Ясно, что x(t) = aotp, y(t) = botq не является точным решением. Однако
при t —> 0 слагаемыми с tp и tq можно пренебречь, поскольку они ста¬
новятся пренебрежимо малыми по сравнению с другими членами. Таким
образом, получим
а) aop£p_1 = 2aaobotp+q,
б) boqtq~1 = 7a02t2p - /3b02t2q.	^	^
Если положить р = q = — 1 и ао =	=	—1/(2а), то
система будет иметь нетривиальное решение. Причем ао может принимать
43нак ~ используется для обозначения асимптотического поведения функции при t —> 0.
Более аккуратно это определение будет дано в главе 3.

1.1. Система на плоскости
25
два различных значения, соответствующих тому, что решение х(£) может
вести себя по-разному в окрестностях разных особых точек (подобно функ¬
ции sech(f), имеющей различное поведение в окрестностях особенностей
£* = ±г7г/2). Кроме того, поскольку система не содержит явной зависимо¬
сти от времени, то в решения можно включить сдвиг по времени на произ¬
вольную величину. Поэтому запишем x(t) a0(t-U) 1,y(t) ~ b0(t-U) \
и, следовательно, в окрестности подвижной особой точки t* решение будет
вести себя как (t — t*)-1. Однако этого не достаточно, чтобы заключить,
что особые точки решений являются полюсами, так как учет членов более
высокого порядка, которыми мы пренебрегли, может привести к появлению
точки ветвления.
Чтобы охарактеризовать поведение решений более точно, запишем их
локальные разложения вблизи особенностей. Простейшими разложениями,
согласующимися с доминирующим поведением решений, являются ряды
Лорана. В результате вычислений получим первые члены этих рядов: x(t) ~
ao(t - i*)_1,?/(<) bo(t — £*) следовательно, локальное решение ищем
в виде:
а) x(t) = (t - t*)~1 ^а0 + ^2 di(t - £*)г^ ,
~ (1Л5>
б) y(t) = (t-U)-1 ( b0 + ^2 bi^ ~ **)* ) ’
где значения коэффициентов (a*, bi) следует найти. Рассмотрим снова част¬
ный случай при значениях [3 = а = 7 = 1, при которых существует первый
интеграл в виде полинома третьей степени. В окрестности сингулярности
ищем решение такое, что ао = л/3/2, Ьо = —1/2. Для этого подставим раз¬
ложение (1.15) в систему (1.1) и, группируя члены с одинаковыми степенями
(t — t*), вычислим коэффициенты (a*, bi). Например, если собрать множите¬
ли при (t — £*)-1, получим линейную систему относительно коэффициентов
(а 1, Ь\):
1	v/з
— CLi + Vsbi — 2’	=	(1*16)
с решением а\ = 1/4, 61 = л/3/4. Группируя выражения с одинаковыми
степенями (t — £*), получаем замкнутую систему относительно коэффици¬
ентов (di,bi). Разложение решения в ряд Лорана до слагаемых четвертого

26
Глава l
порядка имеет вид:
а)	х = (t — f*)_1
+ — (t — t*) H—— (t —	-\——
у/Ъ 1
~2~ + 4
+ (	I	(*	_	**)4	+	~	**)5)
6 )y = {t-1*)
-i
-- +	~	^*)	_	g(*	—	^*)2	+	Ы*	-	i*)3
(1.17)
+ (iio-Trb3)(*-**)4+0((*-f*)5)
Такое разложение можно продолжить до любого порядка, и анализ линей¬
ной системы для коэффициентов (а*, 6*) позволяет сделать вывод, что это
разложение на самом деле является рядом Лорана. Заметим, что коэффици¬
ент Ь% оказывается произвольным. Следовательно, ряд содержит две произ¬
вольные постоянные (£* и 63) и поэтому является локальным разложением
общего решения. Заметим также, что произвольная постоянная возникает
в коэффициенте при том же порядке (порядок 3), что и степень первого
интеграла.
Чтобы лучше понять структуру этих рядов, найдем, в общем случае, ло¬
кальное разложение вида (1.15). Подставив это выражение в систему (1.1),
получим линейное рекуррентное соотношение относительно коэффициен¬
тов а* = (cLi^bi) вида
К Яг = га* + Р»(ао,а1,...,аг_1),	(1.18)
где Рг — векторный полином и К — так называемая матрица Ковалевской:
К =
1 + 2abo 2аао
2jao 1 — 2/%о
(1.19)
Собственные значения матрицы К, называемые показателями Ковалевской,
играют центральную роль при анализе решений в окрестностях их особых
точек, сходную с той, что выполняют линейные собственные значения при
анализе решений вблизи их неподвижных точек. В нашем примере показа¬
тели Ковалевской равны р\ = — 1 и р2 = 2 + /3/а. Заметим, что при (3 = па
существует первый интеграл степени 2 + P/а. Случайность ли это или же

1.1. Система на плоскости
27
между степенями первых интегралов и показателями Ковалевской суще¬
ствует некоторая взаимосвязь? Предположим, что р = па, где п — целое,
тогда линейное рекуррентное соотношение может быть разрешено до г =
= р2 = п 4-1 (поскольку (К — г1) обратима, соотношение можно разрешить
относительно а* = (К — Л)-1?*). Таким образом, при г = р2 получаем
соотношение
(К - р21)лР2 = PP2(a0,ab...,an+i),	(1.20)
и, согласно альтернативе Фредгольма, эта линейная система имеет решение
тогда и только тогда, когда для собственного вектора р2 транспонированной
матрицы Кт, соответствующего собственному значению р2, выполняется
соотношение:
/32.РР2(ао, аь ..., an+i) = 0.	(1.21)
Если же это условие совместности не выполняется, линейная система (1.20)
не имеет решения и локального разложения в ряд Лорана для нашей систе¬
мы не существует. Следовательно, должен быть введен более общий ряд
с логарифмическими членами. Однако в нашем частном случае вычисле¬
ния показывают, что условие совместности выполняется всегда и что аР2
определено до произвольного постоянного множителя. Так как при всех
г > р2 линейное рекуррентное соотношение имеет тривиальное решение,
то можно сделать вывод, что если а = n/З, то решение системы имеет
два произвольных параметра, а следовательно, два параметра существует
и в разложении решения в ряд Лорана вблизи особенности £*. Поэтому
общее решение локально определено однозначно, а особенностями в этом
случае будут простые полюса. Два произвольных параметра соответствуют
местоположению £* и константе, возникающей при вычислении аР2. При¬
мечательно, что когда система допускает существование полиномиального
первого интеграла, она допускает также и существование двухпараметри¬
ческого семейства решений Лорана.
Если 0/а не является целым числом, то, решив линейное рекуррентное
соотношение в (1.18), найдем решение однопараметрического семейства.
Возникает вопрос, какую информацию можно получить из анализа этих
рядов и как они связаны с существованием вторых интегралов? Может ли
быть так, что эти частные решения являются локальными разложениями
решения, лежащего на линии уровня J2 = 0?
1.1.4.	Актуальные вопросы
Основываясь на результатах, полученных при анализе этого простого
примера, можно сформулировать некоторые общие вопросы, относящиеся
к интегрируемости динамических систем.

28
Глава 1
1) Первые интегралы. Почему нами были выбраны первые интегралы в
форме полиномов? Какие вообще возможны типы первых интегралов
для векторных полей? Какова роль полиномиальных первых интегра¬
лов при проведении данного анализа? Существует ли общий алгоритм
их нахождения? (Глава 2.) Существует ли формальный подход, более
пригодный для нахождения первых интегралов соответствующих век¬
торных полей?
2) Вторые интегралы. Эти инварианты играют важную роль при постро¬
ении первых интегралов, а линии нулевого уровня вторых интегралов
являются гетероклиническими и гомоклиническими орбитами. Всегда
ли это верно? Всегда ли можно построить первый интеграл, если из¬
вестно достаточное количество вторых интегралов, и если это так, то
каково необходимое количество вторых интегралов? (Глава 2.)
3) Локальный анализ в окрестности неподвижной точки. При прове¬
дении локального анализа решения в окрестности неподвижной точки
мы находим линейные собственные значения. Мы видели, что отно¬
шение этих собственных значений соответствует степени первых ин¬
тегралов. Выполняется ли это соотношение в общем случае? Можно
ли использовать этот анализ для доказательства существования пер¬
вого интеграла? Это маловероятно, поскольку линейные собственные
значения характеризуют только локальное поведение решения, а о его
глобальном поведении априори сказать ничего нельзя. Однако суще¬
ствование глобального инварианта имеет локальные следствия, и по¬
тому локальный анализ может быть использован для доказательства
отсутствия первых интегралов. (Глава 4.)
4) Анализ особых точек. Существует ли общий подход к исследованию
решений системы дифференциальных уравнений для случаев, когда
явный вид решений неизвестен? Какие возможны типы особых точек?
В некоторых случаях решения особенно простые (ряд Лорана). Можно
ли использовать этот факт для определения понятия интегрируемо¬
сти? (Глава 3.) Как это понятие соотносится с существованием первых
интегралов? Как связаны показатели Ковалевской и степени первых
интегралов? (Глава 4.)
1.2. Система Лоренца
Вероятно, не существует ни одной системы, которая бы анализирова¬
лась больше, чем система Лоренца [Lorenz, 1963]. В традиционном виде

1.2. Система Лоренца
29
она выглядит следующим образом:
а) х = сг(у - х),
б) у — гх — у — XZ,
в) z = ху — (3z,
(1.22)
где <т, г и /3 — произвольные параметры (обычно положительные). В даль¬
нейшем мы будем использовать более компактный вид х = f(x), где х =
= (x,y,z) и f = (а(у — х),гх — у — xz,xy — fiz). Впервые система бы¬
ла введена Лоренцем как модификация Галеркина уравнения Буссинеска
при моделировании конвекции Релея-Бенарда. Эта система стала основной
при изучении хаоса в автономной диссипативной системе трёх уравнений.
Историю ее исследования, её различные модификации и её физическую
интерпретацию можно найти в [Strogatz, 1994].
1.2.1.	Подход теории динамических систем
Область применений системы Лоренца весьма обширна, более сотни
статей посвящено ее анализу (см., например, Спэрроу [Sparrow, 1982] или
Джексон [Jackson, 1992]). Упомянем лишь те свойства этой системы, ко¬
торые будут использованы при дальнейшем ее изучении. Первое важное
свойство системы Лоренца — ее диссипативная природа. Вычислив дивер¬
генцию векторного поля
можно видеть, что при а + /3 + 1 > 0 любой начальный объем V(t = 0) в
Второе важное свойство системы Лоренца состоит в том, что она допускает
преобразование симметрии, поскольку система инвариантна при преобра¬
зовании х —> —х, у —» —у, z —> Z.
По историческим причинам анализ системы Лоренца обычно прово¬
дится при значениях параметров а = 10, /3 — 8/3 и при значении г, меняю¬
щемся в пределах от 0 до сю, при которых существует не более трех непо¬
движных точек (одна — при г < 1, две — при г = 1 и три — при г > 1), имею¬
щих координаты х° = (0,0, 0) и х^1,2) = (±\/(3(г — 1), ±у/р(г — 1), г — 1).
dh dh dh
дх	ду	dz
= -(С7 + /3+ 1),
(1.23)
.г/р-фачовом пространстве с течением времени сжимается, то есть V < О.5
5 Этот результат — прямое следствие теоремы Лиувилля о сжатии объема фазового про¬
странства.

30
Глава 1
Анализ линейных собственных значений неподвижных точек и результаты
численных исследований дают следующую информацию (в порядке возрас¬
тания значения г) (см., например, Джексон [Jackson, 1992]):
1) При г < 1 начало координат — глобально устойчивое.
2) При 1 < г < ri начало координат становится неустойчивым, а две но¬
вые неподвижные точки х^1,2) — устойчивые с действительными соб¬
ственными значениями. Величина г\ ~ 1.34 — положительный корень
уравнения 9бг3 -I- 54119г2 + 91470г — 22130 = 0.
3) При 7Д < г < г4 две неподвижные точки х^1,2) — устойчивые с соб¬
ственными значениями, имеющими ненулевые мнимые части (из-за
чего начальная точка движется как бы «ввинчиваясь» к неподвижной
точке). При т4. = 470/9 « 24.74 в системе происходит субкритическая
бифуркация Хопфа, а при г 2 < г < 7*3, где г2 ~ 13.926, возникает пара
неустойчивых предельных циклов.
4) При г = г2 ~ 13.926 устойчивое многообразие начала координат-
И^и(0) пересекается с устойчивым многообразием х^1,2\ и возника¬
ют две гетероклинические связи (точно указать эти связи очень слож¬
но из-за их неустойчивости, но при увеличении г до 13.926 устойчи¬
вое многообразие 0 приближается к неподвижным точкам, двигаясь по
спиралям). Эта глобальная бифуркация называется гомоклиническим
взрывом.
5) При г2 < г < гз « 24.06 неподвижные точки х^1,2) — устойчивые, од¬
нако время, которое необходимо, чтобы начальная точка достигла непо¬
движной, возрастает с увеличением г до 24.06. Переходная траектория
очень сложна и потому известна как переходной хаос. При г « 24.06
для достижения неподвижной точки требуется бесконечно много вре¬
мени, и, следовательно, возможно появление устойчивого образования,
известного как странный аттрактор.
6) При 24.06 < г < 24.74 и странный аттрактор, и неподвижные точки
x(i,2)_ устойчивые. При г —>■ г4 области притяжения неподвижных
точек сжимаются до нуля, и неподвижные точки становятся неустой¬
чивыми.
Таким образом, динамическая система демонстрирует довольно сложное
поведение при различных значениях параметра г.
Перейдем от результатов численного анализа к нахождению глобаль¬
ных инвариантов. Хотя априори остается неясным, какую информацию о

1.2. Система Лоренца
31
поведении решения в частных случаях может дать глобальный анализ си¬
стемы Лоренца.
1.2.2.	Алгебраический подход
Помимо множества различных вариантов динамического поведения,
система Лоренца обладает рядом интересных особенностей, сопутствую¬
щих интегрируемости. Впервые эти свойства были изучены Сигуром [Segur,
1982] при анализе особых точек (см. следующий раздел), а затем Кью-
зом [Khs, 1983] с помощью метода Карлемана. С тех пор эта система ис¬
пользуется как основа тестирования всех новых (и старых) методов теории
интегрируемости [Schwarz, 1985, Strelcyn & Wojciechowski, 1988, Schwarz,
1991,Giacomini et aL, 1991, Goriely, 1996].
Итак, первым шагом при решении вопроса о существовании глобаль¬
ного инварианта является нахождение полиномиальных первых интегра¬
лов. Например, с помощью простого метода, предложенного в предыду¬
щем разделе, можно попытаться найти квадратичный первый интеграл
/2 = I2(x,y,z). Однако дальнейшие рассуждения показывают, что суще¬
ствование такого первого интеграла несовместимо с диссипативной приро¬
дой системы Лоренца6. Чтобы учесть эту особенность системы Лоренца,
рассмотрим зависящие от времени первые интегралы вида Id{x,y, z,t) =
= Pd{x, У, z)eyt, где Pd — полином степени d, а 7 — неизвестная постоянная.
Итак, найдем квадратичный первый интеграл, зависящий от времени. Ис¬
пользуя условие I2 = ejt (f.dxP2 + 1Р2) = 0, получим переопределенную
систему уравнений относительно коэффициентов Р2 и 7. Условие разреши¬
мости системы налагает некоторые ограничения на значения параметров
(/3, сг и г). Например, при в = 2а выражение I^ = (х2 — 2crz)e2at является
первым интегралом. Далее шаг за шагом можно провести полный анализ
системы, однако вскоре данная процедура становится крайне сложно осу¬
ществимой из-за громоздкости вычислений. Поэтому возникает необходи¬
мость использования других методов нахождения первых интегралов. (Все
известные первые интегралы системы Лоренца приведены в таблице 1.1.)
Заметим, что, комбинируя случай /3 — 2а со случаем /3 = 1, г = О,
можно получить два зависящих от времени первых интеграла при /3 = 1,
о = 1/2, г = 0, объединив которые, можно найти независящий от времени
рациональный первый интеграл / = (.т2 — z)2/{х2 + у2).
6Вообще говоря, диссипативная система может иметь первые интегралы. Но для частного
случая системы Лоренца с помощью теоремы 4.1 легко показать, что существование полиноми¬
ального первого интеграла несовместимо с существованием линейных собственных значений
в начале координат.

32
Глава 1
Таблица 1.1. Известные первые интегралы системы Лоренца
(/?, <т, г)	Первый интеграл
(2(7, сг, г)	—	О^2	—	2<jz)e2at
(1,сг,0)	42) = (х2 + у2)е2*
(1,1, г)	1^	=	(—пг2 + у2 + z2)e2t
(бег —2, сг, 2сг —1) 1^	=	^2а~1) х2 + егу2_(4о-	_ 2)ху— ^ +x2zj e4crt
(О, г)	42)	=	(-гх2 + \у2 + \ху +	x2z - |х4) ез*
(4,1, г)	1^	—	(4(г — 1 )z — гх2 — у2	Л- 2ху — x2z + \х4) e4t
Первые интегралы системы Лоренца существуют лишь для ограни¬
ченного набора значений параметров, поэтому они не могут быть полез¬
ными при изучении динамического поведения системы, скажем, в случае
сг = 10,/? = 8/3. Тем не менее общий вид полиномов дает нам ключ
к описанию структуры фазового пространства и на практике может быть
использован в качестве функции Ляпунова. Например, при произвольных
значениях сг и /3 можно рассмотреть эволюцию в фазовом пространстве
начальных условий на эллипсоиде, полученном при рассмотрении общего
вида коэффициента полинома I^, то есть
V = ах + by" -f cz
(1.25)
Если а, b и с — положительные параметры, то множества уровня V(х, у, z) =
— С — концентрические эллипсоиды с центром в начале координат. Для
всех эллипсоидов нам необходимо определить значения параметров а, 6, с
и г, при которых все траектории, лежащие на этих эллипсоидах, в конеч¬
ном счете достигают (глобально устойчивую) неподвижную точку в начале
координат (см. рис. 1.4). Для этого определим значения параметров таким
образом, чтобы V < 0. Например, полагая а = 1/сг, 6 = 1, с = 1, получим:
V = 2сг | —хх 4- уу + zz ) ,
. г + 1
= — 2сг I х  —у
-2(7
1 -
у — 2af3z2. (1.26)

1.2. Система Лоренца
33
Ясно, что если г < 1, V < 0, то начало координат будет глобально устой¬
чивым.
Рис. 1.4. Множества уровня функции Ляпунова V(ж, y,z) = С при (3 = 8/3, а = 10,
г — 1/2 и С = 1,4,9 и некоторые траектории системы Лоренца
Первые интегралы системы Лоренца могут быть использованы для
определения общего вида функции Ляпунова, существование которой,
в свою очередь, доказывает глобальную устойчивость неподвижной точки.
Однако на данном этапе мы всё же далеки от получения какой-либо инфор¬
мации о природе хаотической динамики, описанной в предыдущих разде¬
лах. Можно ли модифицировать понятие функции Ляпунова таким образом,
чтобы получить глобальную границу на множестве инвариантов системы
Лоренца? И можно ли для получения таких границ использовать первые
интегралы [Doering & Gibbon, 1995,Giacomini & Neukirch, 1997,Neukirch &
Giacomini, 2000]?
1.2.3.	Аналитический подход
Перейдем к анализу решений уравнений Лоренца, рассматривая время
как комплексную переменную [Segur, 1982, Tabor & Weiss, 1981, Levine &
Tabor, 1988]. Для этого запишем разложения решений в окрестностях осо¬
бых точек. Чтобы определить доминирующее поведение решений вблизи
этих особенностей, подставим
x(t) = a0(t - t*)p, y(t) = b0(t - t*)q, z(t) = co(t - U)r (1.27)

34
Глава 1
в систему Лоренца (1.22) и приравняем ведущие члены при t —» t*. Та¬
ким образом, получим р = (р, q, г) = (—1, —2, —2) и ао = (&о,6о,Со) =
= (=Ь2г,я=2г/сг, —2/<т). Величина ао имеет два различных значения, посколь¬
ку на комплексной плоскости может существовать две ветви разложения
решения в окрестностях различных особых точек. Далее ищем локальные
разложения решений вблизи особых точек в виде
a)	x(t) = (£ — £*) 1 а0 + 2^aj(t - U}
оо
£«
3 = 1
б)	y(t) = {t-1*)~
(1.28)
i)	z(t) = (t-t*) 2 [ c0 + $>(* - t*)j
j=i
Если подставить это решение в уравнения, получим набор рекуррентных
соотношений относительно коэффициентов а^ = (aj,bj,Cj) в виде
Ka.j = jzj +Pj(a0,ab...,aj_i),
(1.29)
где
К =
1
а
0
2
сг .
2
—2г
II
— 2г
2г
2
_ сг
aaj-i
^kCj — k "Т TCLj — i	bj — i
££=1 akbj-k ~ ficj-г
(1.30)
Матрица К имеет три целых собственных значения: —1, 2,4. Поэтому при
j — 2 или j — 4 матрица (K—jl) является вырожденной, а линейная система
относительно а2 и а4 вообще не имеет решений. Условия существования
решения системы при нахождении коэффициентов а2 и а4 задаются аль¬
тернативой Фредгольма. Если /3^ и (3^ — собственные вектора Кт, то
линейная система (1.29) имеет решение только при
,в(2). Р2=0 и /?(4).Р4 = 0.
(1.31)

1.2. Система Лоренца
35
Эти условия выполняются лишь при определенных значениях параметров
/3, сг и г, а именно:
а) (/3 — 2а) (ft + Зсг — 1) = О,
б) <т2(21 - 3/3) + /32(13 + 2а) + 44а + 4/3- 55/3а - 17 = О,
в) д(1 + 2/3 - Зсг)2 [(1 - /3 + Зст)2+	^	22)
+(1— /З+Зсг) (5+9сг+7/5) + 6сг(4+2/3—бег)] +
-(-16/3(1 — /3 -Ь Зсг)(1 -(- 2/3 — Зсг)(1 Т /3 — Зсг)
+ (г - 1) [72/3(7(5 + /3 - Зет] = 0.
Первое условие в (1.32) получено при j — 2. Остальные условия получены
при j — 4, но они являются следствием зависимости Р4 от единствен¬
ной произвольной постоянной (введенной при j = 2). Причем условие
Д(4Тр4 = 0 должно выполняться при всех значениях этой произвольной
постоянной. Если эти уравнения для /3, сг, г тождественно не удовлетворя¬
ются, то локальное разложение общего решения вида (1.28) не существует,
то есть общее решение нельзя разложить в ряд Лорана. Эти условия выпол¬
няются для трех множеств значений параметров:
1) (/3, сг, г) = (1,1/2,0). Это случай, описанный в предыдущих разделах,
когда система допускает существование двух зависящих от времени
первых интегралов (I^ и I^). Более того, можно показать, что ре¬
шение в этом случае можно выразить через эллиптическую функцию
Якобы.
2) (/3, сг, г) = (2,1,1/9). Система допускает существование одного пер¬
вого интеграла 1^\ который может быть использован для сведения
системы ко второму уравнению Пенлеве (см. работу Сигура [Segur,
1982]).
3) (/3, а, г) = (0,1/3, г). Система допускает существование одного пер¬
вого интеграла 1^\ который может быть использован для сведения
системы к третьему уравнению Пенлеве (см. работу Сигура [Segur,
1982]).
Указанные три множества значений параметров соответствуют случаям пол¬
ной интегрируемости системы Лоренца в том смысле, что решения могут
быть выражены через известные функции (эллиптические функции или
трансценденты Пенлеве). Таким образом, мы пришли к удивительному,

36
Глава 1
на первый взгляд, факту: конкретные значения, при которых решения в
окрестностях комплексных сингулярностей являются рядами Лорана, а сле¬
довательно, оказываются однозначными, соответствуют также случаям, для
которых существуют первые интегралы и система является интегрируемой.
Более того, в случае когда существуют другие первые интегралы, усло¬
вия (1.32) также выполняются. Эта интересная взаимосвязь является осно¬
вой анализа особых точек интегрируемых систем и в дальнейшем будет
рассмотрена в этой книге.
Что происходит, когда условия (1.32) не выполняются? Ясно, что реше¬
ния становятся неоднозначными, поскольку они не могут быть разложены
в ряд Лорана, и подход (1.28) несправедлив. Какой вид должны иметь раз¬
ложения решений вблизи особых точек в этом случае? Так как собственные
значения матрицы К — целые, то особенности — логарифмические точки
ветвления, и разложения решения должны иметь логарифмические поправ¬
ки в виде [Levine & Tabor, 1988]:
оо оо
a) x(t) = X! Х^ ~ t*)3^1 [(£ - t*)2 l°g(f - t*)]k ,
j=о k=о
OO OO
6)	V(t) = E5X* ~ f*y~2 [(* ~ t*)2log(t - U)]h ,	(1.33)
j=o k=0
oo oo
b) z(t) = EEci‘(* ~ 1*у~2 [(* -	-	<*)]*’ •
3=0 k=0
Итак, линейные рекуррентные соотношения относительно коэффици¬
ентов (a,jk,bjk,Cjk) могут быть получены и разрешены порядок за поряд¬
ком без наложения каких-либо дополнительных условий на параметры. Эти
разложения, известные как Ф-разложения, затем могут быть проанализиро¬
ваны.
1.2.4.	Актуальные вопросы
1)	Первые интегралы. Оказалось, что система Лоренца допускает суще¬
ствование полиномиальных первых интегралов (и одного рациональ¬
ного первого интеграла, который, в действительности, является ком¬
бинацией двух полиномиальных первых интегралов). Почему полино¬
миальные интегралы играют такую важную роль при исследовании
динамических систем? Каков эффективный алгоритм отыскания таких
первых интегралов или доказательства их отсутствия? Как исключить

1.2. Система Лоренца
37
существование первых интегралов других типов? Как можно исполь¬
зовать такие первые интегралы для получения информации о глобаль¬
ном поведении системы при тех значениях параметров, для которых
первых интегралов не существует? Если первые интегралы известны,
существует ли эффективный способ построения скалярных функций,
подобных функциям Ляпунова, управляющих траекториями? Эти во¬
просы будут рассмотрены в главе 2.
2)	Сингулярный анализ. Анализ решений в окрестностях сингулярно¬
стей показывает, что всякий раз, когда решения локально определены
однозначно, система полностью интегрируема. Является ли это обсто¬
ятельство общим свойством? Оказывается, что такие локальные реше¬
ния могут быть найдены алгоритмически (по крайней мере, для систе¬
мы Лоренца). Но как найти все возможные локальные решения в об¬
щем случае? Не пропустили ли мы важные решения, пользуясь нашим
подходом? Как показать, что общее решение определено однозначно
в глобальном смысле? Как это свойство связано с интегрируемостью
системы? Что можно сказать о динамике системы, когда локальные ре¬
шения перестают быть однозначно определенными? Какая информация
о динамике процесса содержится при этом в Ф-разложении? Ответы на
эти вопросы будут даны в главах 3, 4.

Глава 2
Интегрируемость:
алгебраический подход
«II determinait la forme des fonctions semblables
dont les variations sont liees entre elles par une
equation, et qui, multipliees par des facteurs constants
et ajoutes ensemble, deviennent integrables algebriquement
bien que chacune d’elles en particulier ne le soit pas.»]
Кондорсе (1743-1794)
В этой главе приводятся определения и основные понятия, относящи¬
еся к теории систем дифференциальных уравнений, первых интегралов и
пар Лакса. Функции зависимых и независимых переменных называются
первыми интегралами, если для любого решения заданной системы диф¬
ференциальных уравнений эти функции сохраняют постоянные значения.
В качестве дополнения к теме определяются также понятия второго и тре¬
тьего интегралов, которые являются постоянными на некоторых инвариант¬
ных множествах. Если можно указать достаточное количество первых ин¬
тегралов, система может быть полностью проинтегрирована и называется
«интегрируемой». При введении понятия интегрируемости, прежде всего,
необходимо позаботиться об определении множества функций, которому
эти первые интегралы могут принадлежать. В этой главе рассматриваются
различные методы построения первых, вторых и третьих интегралов для
полиномиальных векторных полей, а также вводится понятие пар Лакса
для систем дифференциальных уравнений и описываются их некоторые ал¬
гебраические свойства.
1«Он определил вид подобных функций, вариации которых удовлетворяют некоторому
уравнению и при перемножении и суммировании становятся алгебраически интегрируемыми,
в то время как каждая вариация в отдельности таким свойством не обладает.»

2.1. Первые интегралы
39
2.1.	Первые интегралы
Сначала введем несколько основных понятий, относящихся к теории
систем дифференциальных уравнений и их инвариантов. Эти величины,
сохраняющие свои значения, обычно называются первыми интегралами,
или постоянными движения.
Пусть К — поле характеристики нуль2 (как правило, мы будем брать
К = .R или К = С) и К[х] = Щхг... хп\ — кольцо полиномов п перемен¬
ных на К. То есть К[х] — множество всех полиномов от переменных х
с коэффициентами в К. Пусть К(х) = K(xi...xn) — поле отношений
множества Щх], то есть множество всех рациональных функций от х с
коэффициентами в К. Будем рассматривать системы дифференциальных
уравнений класса Ск с к > 0 на открытом множестве U в Кп, то есть
рассмотрим множество п функций f = (/i,..., fn) G Ck(Kn)n и систему
дифференциальных уравнений
Векторное поле, соответствующее системе ОДУ (2.1), записывается в виде
Можно установить соответствие между системой (2.1) и векторным
полем (2.3), если определить производные по времени, от функций перемен¬
ных х. Пусть А будет такой функцией: А : Кп —> К : х —> Д(х), тогда
Векторное поле порождает поток (pt, который отображает подмноже¬
ство U из К71 на К71 таким образом, что любой точке из U ставится в
i = 1
(2.1)
или в более компактной форме
^ = f(x), х G Кп.
(2.2)
n
(2.3)
^ = А = Sf(A) = f.cU.
(2.4)
2Поле с операцией умножения * является полем характеристики нуль, если единственным
элементом а поля таким, что а * b = 0 для всех 6 является а = 0.

40
Глава 2
соответствие решение дифференциального уравнения, то есть p(x)(t) =
= f(<p(x)) Vx G U. Производную по времени также называют производной
по потоку, поскольку она описывает изменение функции переменных х от
t по мере того, как х эволюционирует согласно системе дифференциальных
уравнений. Тогда векторное поле можно записать как систему ОДУ
х = f(x),	(2.5)
а понятия векторного поля и системы дифференциальных уравнений можно
использовать, заменяя одно другим.
Определение 2.1. Не зависящим от времени первым интегралом век¬
торного поля £f на открытом подмножестве U G К71 называется функция
7 = 7(х) : U —> К класса С1 такая, что 5\1 — 0 V х G U. Первый инте¬
грал называется тривиальным, если / G К,и нетривиальным в противном
случае.
Итак, требуется найти такие функции переменных х, которые остаются
постоянными для всех решений системы ОДУ. Эти функции, известные
как первые интегралы, представляют особый интерес, поскольку решения
системы лежат на множествах уровня первых интегралов.
Определение 2.2. Зависящим от времени первым интегралом вектор¬
ного поля Sf на открытом подмножестве U С Кп и интервале Т G М назы¬
вается функция I = 7(х, t) : U х Т —> К класса С1 такая, что 5fl + §£ = 0,
где § ф 0.
В общем случае, любую функцию I будем называть первым интегра¬
лом, если эта функция является зависящим или не зависящим от времени
нетривиальным первым интегралом. Тривиальные первые интегралы на¬
зываются постоянными. Множество U, на котором определен первый ин¬
теграл, — это наибольшее открытое подмножество, на котором глобально
определенная функция I остается функцией класса С1 (далее такое множе¬
ство U будет описано точнее). Тот факт, что первый интеграл остается по¬
стоянным для всех решений, является прямым следствием тождества (2.4).
Если I — постоянна для этих решений, то (/(х(£),£)) = 0, что эквива¬
лентно равенству dtI + t'-dxI = 0.
Лемма 2.1. Пусть 7(х, t) — функция класса С1 на открытом множе¬
стве U G Кп. Функция I является первым интегралом 5? тогда и только
тогда, когда она остается постоянной для любого решения системы х =
= f(x), определенного на заданном временном интервале Т таком, что
х(£) G U V t G Т, то есть 7(x(t), t) не зависит от t для всех t G Т.

2.1. Первые интегралы	41
Рис. 2.1. Независимость первых интегралов: две части множеств уровня и их пере¬
сечение в точке х = хо
Если I — первый интеграл, то I2 также является первым интегралом
(так как Д/2 = 2I6\I — 0), как и F(I), где F — функция класса С1. Очевид¬
но, что эти первые интегралы не являются независимыми. Поэтому, чтобы
различить два первых интеграла, имеет смысл ввести понятие независимо¬
сти первых интегралов, основанное на линейной независимости градиентов
первых интегралов. Два первых интеграла являются независимыми, если
существует точка, в которой градиенты интегралов — линейно независимы
(рис. 2.1). Если такая точка хо существует, то существует и окрестность хо,
в которой первые интегралы — независимые. Эту область независимости, в
свою очередь, можно продолжить на все точки, в которой градиенты пер¬
вых интегралов тождественно не обращаются в нуль. Для удобства в случае
рассмотрения к первых интегралов будем пользоваться следующим опре¬
делением.
Определение 2.3. Пусть Д,..., Д — к первых интегралов Д, опре-
деленных на подмножествах U ь ..., ЕД, и пусть U = (|г=1 ^ — непУстое
множество. Первые интегралы Д,..., Д образуют множество функциональ¬
но независимых первых интегралов (или независимых первых интегралов),
если существует точка xq G U такая, что
rank(0xii(xo),dxI2(xo),... ,dx7fc(x0)) = к.	(2.6)
Пример 2.1. Система Рабиновича. В качестве модели, описываю¬
щей взаимодействие трех квазисинхронных волн в плазме с квадратичными

42
Глава 2
нелинейными характеристиками, может быть использована система Раби¬
новича [Pikovskii & Rabinovich, 1981]:
а) х = —2у2 + 7х + z — 52,
б) £ = 2ху + 7У ~ Sx,	(2-7)
в) i = —2zx — 2z,
где x,y,z,8,7 G М. Интегрируемость данной системы достаточно подробно
изучена в работах [Bountis et al, 1984,Giacomini е/ a/., 1991]. В частности,
при £ = 0и7=—1 существует два зависящих от времени первых интеграла
(см. рис. 2.2):
h = (х2 + у2 + z)e‘2t,I2 = zye3t. (2.8)
Рис. 2.2. Пример 2.1: при t —> оо все траектории сходятся к началу координат
(глобальный аттрактор), асимптотически стремясь к множеству уровня функции
h=0
Можно убедиться, что при (x,y,z) ф (0,0,0) градиенты интегралов
1\ и /2 — линейно независимы. При 7 = 0 первым интегралом является
функция I = z(y — |)e2t.	■
Пример 2.2. Нормальная форма третьего порядка. При изуче¬
нии уравнений Кирхгофа для упругих стержней с внутренней кривиз¬
ной [Goriely & Tabor, 1998] в качестве нормальной формы, соответству¬
ющей жордановой клетке собственного значения 0 кратности 3, получено

2.1. Первые интегралы
43
следующее уравнение третьего порядка:
х = (х)2 (а + х2 - (х)2) ,	(2.9)
где а — свободный параметр. Это уравнение можно записать как систему
трех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
а)	х = у,
б )y = z,	(2.10)
в)	z = у(а + х2 - у2).
Полное описание орбит системы третьего порядка, подобной (2.10), в
общем случае, невозможно. Однако данная система обладает некоторыми
замечательными свойствами, позволяющими полностью описать поведение
ее траекторий. В частности, для этой системы существует пара первых
интегралов (/i,/2) вида
"/Г
cos(\/2ar) —sin(y/2x)
у2 — x2 + 1 — a
_J2_
sin(\/2x) cos(\/2x)
h
1
A
•
Эти первые интегралы можно использовать для интегрирования в яв¬
ном виде уравнений движения. Пусть 0(х) = а — 1 + I\ cos(\/2x) +
+ /2 sin(\/2x), тогда
у = ±у/х2 +	2=|0'(х)+х,	(2.12)
где x(t) — решение уравнения х = ±а/х2 4- 0(х). Чтобы понять геометрию
решений, рассмотрим первый интеграл
/=/2 + /2-(1-а)2,
= —4xz + у4 + 2z2 + у2[2(1 - а) — 2х2] + х2(2а + х2)	(2.13)
и поверхности Sc = {(x,y,z) G М3|/ = С}. Ha данном этапе нас интере¬
сует динамика системы на поверхности Sc при возрастающих значениях С
и фиксированных значениях параметра а. В частности, мы хотим показать
существование ограниченных, гомоклинических (орбиты, исходные точки
которых являются их конечными точками), гетероклинических (орбиты, со¬
единяющие две различные неподвижные точки) или периодических траек¬
торий. Заметим, что ось х является прямой, состоящей из неподвижных
точек, а орбиты, соединяющие точки на этой оси, — либо гомоклинические,
либо гетероклинические (см. рис. 2.3).

44
Глава 2
ftf
2 неподвижные точки на S
Гомокдинные и
периодические орбиты
неподвижные точки на S
2 гетероклиниые орбиты и нет периодических орбит
4 неподвижные точки на S
Гомокдинные и
периодиче с кие орбиты
о < с< ст
3 неподвижные точки на $
Гомокдинные и
периодические орбиты
Рис. 2.3. Траектории системы уравнений (2.10) на множестве уровня функции
I(x,y, z) — С при различных значениях С
1) При	С< = -а2 поверхность Sc не пересекается с осью х,
ограниченных решений не существует.
2) При CW < С < 0 существует четыре неподвижные точки на Sc и
пара гомоклинических орбит, окружающих открытое множество пери¬
одических орбит.
3) При С — 0 две неподвижные точки сливаются в одну, возникает пара
гомоклинических орбит и два семейства периодических орбит.

2.1. Первые интегралы
45
4) При 0 < С < СW существует две гомоклинические орбиты, соответ¬
ствующие двум неподвижным точкам на 5с, и открытое множество
периодических орбит.
5) При С = С™ две гомоклинические орбиты превращаются в пару
гетероклинических орбит, периодические орбиты на SC(2) отсутствуют.
Значение С^2\ полученное параметризацией орбит через ii,/2, имеет
вид
9'г2
С(2) = —-L--(l-a)2,	(2.14)
sin v 2х\
где х\ — точка пересечения 5С(2) с осью х, то есть решение уравнения
х\ + а — 1 + %/2xi cot(\/2xi) = 0.	(2.15)
2.1.1.	Канонический пример: движение твердого тела
Уравнения Эйлера описывают движение твердого тела вокруг непо¬
движной точки. В этой книге мы будем неоднократно возвращаться к этим
уравнениям при обсуждении различных понятий теории интегрируемости
и неинтегрируемости.
Пример 2.3. Уравнения Эйлера. Рассмотрим движение в гравитаци¬
онном поле твердого тела вокруг неподвижной точки О. При соответствую¬
щем выборе безразмерных переменных произведение величины ускорения
свободного падения д на массу т тела можно принять равным единице.
Рассмотрим две декартовы системы координат: первая система неподвижна
в пространстве координат (xi, yi, 2д); вторая — (x,y,z) — движется вме¬
сте с твердым телом и ориентирована вдоль главных осей инерции тела
относительно точки О. Главные моменты инерции являются собственными
значениями тензора инерции и обозначаются как J = (Ji, J2, J3). Опре¬
делим матрицу J = diag(J). Пусть 7 = (71,72,73) — единичный вектор,
направленный вдоль оси zi, а а? = (а;1,Щ2>^з) — вектор угловой скорости
вращения. Координаты векторов 7 и из заданы в подвижной системе. Центр
масс тела находится в точке X = (Xi,Х2,-Хз) подвижной системы коор¬
динат. Поскольку J и X — неподвижны, то движение определяется двумя
векторами щ и 7 (см. рис. 2.4).
Существует стандартный, хотя и не очевидный, способ (см., например,
книгу Голдстейна [Goldstein, 1980]), позволяющий доказать, что движение

46
Глава 2
Рис. 2.4. Твердое тело: система координат (х, у, z) связана с телом с центром масс в
точке X. Система координат {х\,у\ ,zi) — неподвижна в пространстве. Вектор 7 за¬
дает положение единичного вектора, направленного вдоль z\, в подвижной системе
координат, ш — вектор угловой скорости тела (также в подвижной системе)
твердого тела вокруг неподвижной точки описывается уравнениями Эйлера-
Пуассона
а) JCo + и? х (Ju) = X х 7,
Л •	1	(2-16)
б) 7 + х 7 = 0.
Запись для компонент векторов имеет	вид
а) Ji^i 4-	(J3	—	J2)c^2^3	=	26372 — 26273,
б) J2UJ2 +	{J\	—	«/з)<^з^1	=	Х173 — 26371,
в) Эз^з +	(J2	—	=	26271	—	26172,
г) 7i = CJ372 - ^73,
д) 72 = ^17з - ^з7ь
е) 7з = ^271 - ^172-
При любых значениях шести параметров Ji, J2, J3,26i, 262, 263 приве¬
денная выше система уравнений имеет три не зависящих от времени первых

2.1. Первые интегралы
47
интеграла
а) h = 7.7 = 1,
б) I2 = |(J«).w + X.7,	(2.18)
в) /3 = (Jw).7.
Первое соотношение следует из того, что 7 — единичный вектор, вто¬
рое — из закона сохранения энергии, третье — из закона сохранения вер¬
тикальной компоненты момента импульса (сила тяжести направлена верти¬
кально).
В дальнейшем мы увидим, что, в общем случае, для полной интегри¬
руемости n-мерной системы требуется (п — 1) первых интегралов. Однако
позже, в разделе 2.10, будет показано, что в задаче движения твердого тела
для полной интегрируемости необходимо иметь только четыре первых инте¬
грала. Поэтому для полного решения задачи о волчке нам не хватает только
одного дополнительного первого интеграла. В классической механике этот
неуловимый четвертый первый интеграл был назван «математической ру¬
салкой» [Tabor, 1989]. В общем случае, система имеет только три первых
интеграла (при всех значениях параметров X, J). Четвертый первый инте¬
грал был найден только в четырех частных случаях.
1) Случай полной симметрии: J\ — J2 = Тз- В этом случае четвертый
первый интеграл имеет вид
14=и.Х.	(2.19)
2) Случай Эйлера-Пуассона: Х\ = Хч — Хз	=	0.	Это условие означает,
что центр тяжести находится в неподвижной точке, и дополнительный
первый интеграл записывается в виде
h = (Ju;).(Ju;).	(2.20)
3) Случай Лагранжа-Пуассона: Х\ = Х<2 =	0	и	J\	=	J2.	Это	условие
соответствует тому, что волчок является симметричным с центром тя¬
жести, расположенным на оси 2 (см. рис. 2.5). В этом случае момент
импульса, направленный вдоль оси вращения, также сохраняется, что
приводит к условию:
U=UJ 3.	(2.21)

48
Глава 2
Рис. 2.5. Случай Лагранжа-Пуассона: постоянной величиной является момент им¬
пульса тела относительно оси z (оси вращения)
4)	Случай Ковалевской: J\ — ,/2 = 2J3 и Х% = 0. Четвертый первый
интеграл имеет вид:
h	= {(wi + ш2)2 + -X'i(7i + i-y2)} {(wi - iuj2)2 + ^1(71 - *72)} •
(2.22)
Интегрируемость уравнений Эйлера еще не раз будет обсуждаться в
следующих разделах и главах этой книги.	■
2.2.	Классы функций
Первые интегралы систем дифференциальных уравнений могут при¬
надлежать различным классам функций. Например, первые интегралы мо¬
гут быть представлены в виде полиномов, как для уравнений Эйлера, или
в виде тригонометрических функций, как в примере 2.2. Выбор класса функ¬
ций, в конечном итоге, играет решающую роль при доказательстве отсут¬
ствия для заданной системы первых интегралов. Заметим, что, в отличие от
полной интегрируемости, локальная интегрируемость гарантирована всегда
(см. раздел 2.9.1). Поэтому вопрос интегрируемости или неинтегрируемости
касается существования только глобально определенных инвариантов. Если

2.2. Классы функций
49
мы хотим доказать неинтегрируемость заданной системы, то нам следует
показать, что некоторые аналитические свойства ее решений несовмести¬
мы с существованием глобальных инвариантов в заданном классе функций
(полиномиальных, рациональных, алгебраических, аналитических и т. д.).
Пример 2.4.	ABC	система Лотка-Вольтерра.	В	зависимости от зна¬
чений параметров заданная система дифференциальных уравнений мо¬
жет иметь различные типы первых интегралов. Система Лотка-Вольтерра
[Bountis et al, 1984]
а) х = х{Су + z\
б) i/ = y(x + Az),	(2.23)
в) z = z(Bx + у),
где А, В, С — свободные параметры, является примером такой системы.
Вследствие разнообразия своей структуры система Лотка-Вольтерра часто
рассматривается при исследовании свойств интегрируемости [Strelcyn &
Wojciechowski, 1988, Grammaticos et al, 1990a, Goriely, 1992] и неинтегри-
руемости [Moulin-Ollagnier, 1997,Moulin-OHagnier, 1999,Moulin-011agnier &
Nowicki, 1999] векторных полей малой размерности. При различных значе¬
ниях параметров (А, В, С) система допускает существование первых инте¬
гралов следующих типов:
11	z2
а) (А, В, С) =	1),	1 = х2+у2 + — - 2xy+yz+xz,
б) (а,в,с) = (i,i,i),	i= (Х-У)(у~г)
У	(2	24)
в) (А, В, С) = (1,1,0),	J=|+log(l-|)
г) (А, В, С) = (1, \/2,1),	/	-	г-(-У	Х1
ч/2+l
XyV2
Каждый из этих интегралов является, соответственно, полиномиаль¬
ной, рациональной, логарифмической или трансцендентной функцией сво¬
их переменных. Кроме того, при ABC + 1 = 0 система имеет первый
интеграл вида
I = -ABlog \х\ + В log \у\ - log |z| + (АВ + 1) log \х - Су + Az\. (2.25)
■
Рассмотренный пример подсказывает следующие определения.

50
Глава 2
Определение 2.4. Первый интеграл I называется формальным инте¬
гралом вблизи х = у, если его можно представить как локальное разложение
вида	сю	оо	п
I— •••	—	Vj)	J•	(2.26)
mi = l mTl = 1	j=1
Кроме того, / называется аналитическим вблизи х = у, если этот
степенной ряд сходится в открытой окрестности с центром в у.
Такие первые интегралы определены локально. При изучении глобаль¬
но определенных первых интегралов необходимо рассматривать глобальные
функции.
Определение 2.5. Первый интеграл I называется полиномиальным,
если I Е К[х], и рациональным, если I Е К(х). Функция /(х) называется
алгебраической на К, если существуют qo,... ,qs £ Щх], ,9 > 0, такие, что
Qo + Qif + ... -Ь qsfs = 0.	(2.27)
Если 5 — наименьшее положительное целое число, для которого вы¬
полняется условие (2.27), то соотношение (2.27) определяет минимальный
многочлен функции /. Первый интеграл 7(х) = С является алгебраическим,
если 7(х) — алгебраическая, то есть существуют до? • • • > Е К[х], s > 0,
такие, что
7о + QiC И- • • • + QsCs = 0.	(2.28)
Если в (2.28) s = 1 и gi Е К, то первый интеграл — полиномиальный,
если s = 1 и gi ^ К, то первый интеграл — рациональный. При s = 2 первый
интеграл можно найти как корень квадратного уравнения в пространстве С.
Функции, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентны¬
ми.
Определение 2.6. Первый интеграл 7 называется логарифмическим,
если существуют алгебраические функции	s^l	на	К	и
со,..., с8 € К такие, что
s
1 = Jo + ^dlog^.	(2.29)
г=1
Понятие полиномиальных первых интегралов можно обобщить на сум¬
мы произвольных квазиодночленов, то есть действительных степеней зави¬
симых переменных.

2.2. Классы функций
51
Определение 2.7. Первый интеграл I является квазиодночленным, ес¬
ли он имеет следующий вид:
где ctij G К.
Заметим, что классификация первых интегралов основана на их зави¬
симости только от переменных х, а не от переменой £, значение которой
остаётся произвольным. Например, если рассматривать полиномиальный
первый интеграл, зависящий от времени, то коэффициенты этого полинома
сами будут функциями времени.
Пример 2.5. Более сложные первые интегралы. Существует еще
одна сложность при определении типа функций, возникающая при нахо¬
ждении первых интегралов [Hietarinta, 1984]. Например, система
является полностью интегрируемой с гамильтонианом I\ = Н = \{у2 +
+ v2) + 2yuv — х и двумя дополнительными первыми интегралами:
тониан является полиномиальным первым интегралом, /2 — логарифмиче¬
ским и Is — трансцендентным.
Рассмотрим еще один пример, также предложенный Хитаринтой
т
п
(2.30)
а) х — у + 2uv,
б) у = 1,
в) й = v 4- 2ш/,
г)	v = —2yv
(2.31)
a) h = У2 + logw,
(2.32)
X
где erf(x) = f exp(—t2)dt — интеграл ошибок. В данном случае гамиль-

52
Глава 2
[Hietarinta. 1984]:
а )х = у,
6»» = -1/"'	(2.33)
в) и = V,
г) г) = х/и2.
Перед нами вновь гамильтонова система с I\ = Н =	+	v2)	+	х/и.
Однако в этом случае два дополнительных первых интеграла могут быть
выражены только через функции Уиттекера:
vW+(~,y\+2W+>
a) h =
vW-{Zy)+2WJ(<Zy)
3	vW+(%,y)+2W+'(f,y)’
(2.34)
где ( У означает производную по второму аргументу функции WЭти
две функции И + (а,t) и W-(a,t) = W+(a,—t) являются стандартными
решениями уравнения
х +	£2	а)ж = 0,	(2.35)
выбранными так, чтобы вронскиан3 был равен единице.
2.2.1.	Элементарные первые интегралы
Понятие элементарных функций пришло из работы Лиувилля, посвя¬
щенной интегрированию дифференциальных уравнений [Liouville, 1834].
Проблема заключается в том, чтобы выразить интеграл от данной функции
через ограниченное число «явных функций» (то есть используя конечное
число алгебраических операций для известных функций, таких как log, exp,
sin, cos,...). Например, F(x) = fx 2xex dx можно выразить как F(x) = ex ,
однако fx e~x dx не имеет такой простой формы4, следовательно, требуется
введение новой функции erf(x). Итак, элементарная функция одной пере¬
менной строится при помощи конечного числа алгебраических операций,
возведения в степень числа е и логарифмирования.
3Вронскиан f(x) и д(х) — это определитель матрицы ^,
4Доказательство того, что fx е~х^dx не является элементарным, далеко не очевид¬
но [Rosenlicht, 1972], оно было дано самим Лиувиллем [Liitzen, 1990].

2.2. Классы функций
53
Пример 2.6. Рассмотрим функцию F(x) = х3у/х + exp(xlog(x +
+ у/х)2). Эту функцию можно переписать, используя серию новых перемен¬
ных. Во-первых, введем у\ = у/х, которая является алгебраической по х.
Во-вторых, определим у2 = log(x 4- у/х), полученную логарифмированием
полинома от переменных, полученных на предыдущем шаге х -f уi. И на¬
конец, пусть уз = ехр(жу2)- Теперь исходная функция в новых переменных
является полиномом F(x) = х3у\ + уз- Каждая переменная является ре¬
зультатом одной операции, произведенной над полиномом, полученным на
предыдущих шагах.	■
Этот алгоритм может быть формализован с помощью понятия эле¬
ментарного расширения дифференциальных полей (см. обзор, проведенный
Сингером [Singer, 1990]). Тригонометрические и обратные им функции так¬
же можно получить при помощи алгебраических операций и возведения
в степень числа е, используя комплексные числа. Как показано в предыду¬
щем примере, элементарные функции могут быть многозначными, а потому
должны быть ограничены на некоторых непустых одно связных открытых
множествах.
Теперь предположим, что F{x) = f f(x)dx может быть проинтегриро¬
вана явным образом, то есть пусть F(x) — элементарная функция. Тогда, в
соответствии с теоремой Лиувилля [Liouville, 1835], F(x) имеет вид
т
F{x) = go(x) + 'У^Сг log (gi(x)),	(2.36)
i=1
где Ci — постоянные, а у* — алгебраические функции от функций, фигу¬
рирующих в f(x) (современное изложение этого результата приведено в
следующем разделе). Примером результата, полученного Лиувиллем, явля¬
ется метод разложения рациональных функций на простейшие дроби.
Приведём наиболее удобное при работе определение элементарных
функций и их обобщений — функций Лиувилля.
Определение 2.8. Функция F(x), х £ Сп называется элементарной,
если она принадлежит множеству А элементарных функций. Множество А
состоит из рациональных функций на Ск, к = 0,1,..., полученных с помо¬
щью конечного числа перечисленных ниже операций.
1)	Алгебраические операции. Если /ь/г £ А, тогда /i ★/г 6 А, где
оператор ★ является оператором сложения, вычитания, умножения или
деления.

54
Глава 2
2)	Решение алгебраических уравнений. Если /o,...,/s_i G А, тогда
Ф(ж) G А, где Ф(х) — решение уравнения
4)	Операции возведения в степень числа е и логарифмирования. Если
/ G А, тогда ехр(/) G A, log / G А.
Кроме того, если добавить операцию интегрирования такую, что при
Функции Лиувилля обычно называют «функциями, представимыми
в квадратурах» [Zol^dek, 1998Ь]. Например, Лиувиллю [Liouville, 1839,
Liouville, 1841] удалось доказать, что уравнение Риккати
можно решить в квадратурах только при а = —2 и а — 4/с/(1 — 2/с), к Е N.
При всех других значениях параметра общее решение x(t) не является
функцией Лиувилля.
Общий алгоритм решения задачи о представлении интегралов с помо¬
щью элементарных функций был дан Ришем [Risch, 1969,Risch, 1970] и
реализован Бронштейном [Bronstein, 1990а]. Более полное обсуждение этой
проблемы представлено в книге Бронштейна [Bronstein, 1997].
2.2.2.	Дифференциальные поля
Чтобы сформулировать определение элементарных функций несколь¬
ких переменных, нам потребуются некоторые понятия дифференциальной
алгебры. Здесь мы используем описание, предложенное в работе [Schlomiuk,
1993а]. Начнем с определения элементарных функций одной переменной.
Определение 2.9. Пусть R — кольцо. Оператором дифференцирова¬
ния D называется отображение D : R —> Этакое, что D(r+s) = D(r)+D(s)
и D(rs) = rD(s) + D(r)s при всех r,s Е R.
Пример 2.7. Поле М[£] полиномиальных функций переменной t с ко¬
эффициентами из R и обычной производной ^ является оператором диф¬
ференцирования.	■
fo + fiV(x) + ... + fs-1Vs(x)=0.
(2.37)
О р
3)	Дифференцирование. Если / G А, тогда —— G А.
г
/ G А / fdxi Е А, то А является множеством функций Лиувилля.
(2.38)

2.2. Классы функций
55
Пример 2.8. Возьмем поле # = М[х], где х = (х\ ... хп), и множество
функций f класса С1 на Rn. Тогда векторное поле £f, согласно данному
определению, является дифференциальным оператором на R. Заметим, что
разные наборы функций f определяют различные дифференциальные опе¬
раторы.	■
Постоянными дифференциального оператора D являются элементы
г Е R такие, что D(r) = 0. Эти элементы образуют подкольцо, которое
обозначается как C(R,D). В предыдущем примере набором постоянных
дифференциального оператора 5f является множество не зависящих от вре¬
мени первых интегралов (тривиальных и нетривиальных).
Определение 2.10. Дифференциальным полем называется поле к с
множеством Д = {Di}iei (где I = {1,... ,п}) своих дифференциальных
операторов и обозначается как {/с,Д}. Расширением дифференциального
поля {&, Д} называется расширение К поля к с дифференциальным опера¬
тором Д' =	такое,	что	сужением Д' на к является Д.
Множеством постоянных дифференциального поля является совокуп¬
ность подколец C(k,Di) при г Е I. Теперь сформулируем определение
элементарных одночленов на к.
Определение 2.11. Пусть {К, А'} — расширение дифференциального
поля {к, А}. Элемент у Е К называется элементарным одночленом на /с,
если у является трансцендентным на /с и существует х Е /г \ {0} такое, что
для всех D\ Е Д выполняется одно из условий:
D ■ х
1) В\у = ——, то есть у является логарифмическим на к, и, следователь¬
но, у = log(x); или
2) D\y — (Dix)y, то есть у является экспоненциальным на /с, поэтому
у = ехр(х).
Таким образом, существует два способа построения элементарного рас¬
ширения дифференциального поля.
Определение 2.12. Расширение {К, Д'} поля {к, Д} является элемен¬
тарным расширением, если существуют yi,..., ут в К такие, что К =
— к{у\,..., у-m) и выполняется одно из условий:
1) элемент yi — алгебраический на £*(уь • • • ? У%-\)\ или
2) элемент yi — элементарный на к(у\,..., yi-i).

56
Глава 2
Теперь теорему Лиувилля об интегрируемости можно сформулировать
иначе [Rosenlicht, 1972].
Теорема 2.1. Пусть {/с, D} — дифференциальное поле характеристи¬
ки нуль и пусть у принадлежит к. Если z — элемент элементарного рас¬
ширения {К, D'} поля к с теми же постоянными и D'z = у, тогда суще¬
ствуют Ci,..., cm и go,...,дш в к такие, что
т	у-.
y = Dgo + y2ci — -	(2.39)
^ Л
Чтобы определить элементарные функции нескольких переменных,
рассмотрим множество С(х) рациональных функций п переменных на С
и поля расширения с п коммутирующими производными di = dXi. Система
дифференциальных уравнений определяет другой оператор дифференциро¬
вания — векторное поле 5f = f.dx на к. Теперь можно сформулировать обоб¬
щение теоремы Лиувилля для систем дифференциальных уравнений. Этим
обобщением является теорема Преля-Сингера, которая будет рассмотрена
в разделе 2.8.
2.3.	Однородные векторные поля
Рассмотрим полиномиальную функцию А(х) с коэффициентами из К
т
А= а>х‘>	(2-40)
где dj = a»jх' = П^=1 х- , i =	—	мультииндекс и
Степенью А называется наибольшее целое число d такое, что щ ф О,
где |i| = d, и обозначается как deg(A). Полином является однородным, ес¬
ли |i| = d V i. Степенью множества полиномов {Ai,..., Ak}, Ai G К[х]
называется deg(Ai,..., Ak) = max{deg(Ai),..., deg(^fc)}. Любая рацио¬
нальная функция Q G Щх) может быть представлена в виде Q — Р1/Р2,
где Р\, Р2 G К[х]. Функция Q — однородна, если Pi и Р^ — однородны
и deg(Q) = deg(Pi) — deg(P2). Градиент полинома и его степень связаны
соотношением Эйлера.

2.3. Однородные векторные поля
57
Предложение 2.1. (Соотношение Эйлера) Пусть А £ К[х] — одио-
родный полином степени d. Тогда х.<ЭхД = d А, то есть
О А , 5Д |	- с^Д   7 /4	//*) /114
xi — Ьх2^	Ь...+хп ——— dA.	(2.41)
UX1	0X2	охп
Доказательство.
Пусть Д =	тогда	г^-щх•. Следовательно, имеем
3 i
У"!	~	У"1 Ъ' УУ а*х —	(2.42)
-1	3	ч	■
Пример 2.9. Рассмотрим полином Д = 12х2-Ьбу2 — Зху. Соотношение
Эйлера имеет вид: х(24х — Зу) + у(12у — Зх) = 2(12х2 + 6у2 — Зху) = 2Д.
■
Класс однородных функций можно обобщить на случай весооднород¬
ных функций. При этом вместо рациональных функций удобно рассматри¬
вать функции класса С1. Пусть Д £ С1(Кгг), тогда Д — весооднородная
функция, если существуют d £ К и w £ КТ1, |w| > 0 такие, что
A{tWlx\, tW2X2,.. •, tWnxn) = tdA(xi,...,хп) V t £ Ко. (2.43)
Весовая степень d функции Д обозначается как deg^,w).
Пример 2.10. Функция Д = 2ху + 3z3 — yz sin(^) является весоод¬
нородной. Пусть вес w = (1,2,1), тогда deg^, w) = 3. Заметим также, что
можно взять вес в виде w = (а, 2а, а), тогда степень deg^, w) = 3a.	■
Рассмотрим обобщение теоремы Эйлера для весооднородных функций.
Предложение 2.2. (Обобщенное соотношение Эйлера). Пусть А £
£ С1 (К71) — весооднородная функция степени deg^, w) = d, тогда
w\Xi + W2X2 + • • • + wnxn = dA.	(2.44)
ox i	их	2	oxn
Доказательство.
Вычислив производную по t от (2.43), получим:

58
Глава 2
Это соотношение выполняется при всех t Е Ко, в частности, при зна¬
чении t = 1, при котором условия предложения верны.	■
Если А — однородная функция, то deg(A, 1) = deg(A). Множество к
функций Ai,.... Ak G С1 (К) от п переменных является весооднородным,
если существуют w, a G Кп такие, что deg(A*, w) = az V г. Вектор а назы¬
вается весовой степенью множества f относительно w. Векторное поле 5f
называется весооднородным, если существует весовой вектор w G Кп такой,
что f обладает свойством весооднородности. В частности, если <5f — одно¬
родное векторное поле, то есть при всех г функция fz является однородной
функцией степени d, то w = 1.
2.3.1.	Масштабно-инвариантные системы
Существует еще один важный подкласс весооднородных векторных
полей — масштабно-инвариантные системы.
Определение 2.13. Весооднородное векторное поле Sf является
масштабно-инвариантным, если существует вектор w такой, что
deg(/*,w) = Wi - 1, г = 1,..., тг.
Это означает, что соответствующая система дифференциальных урав¬
нений инвариантна относительно преобразований масштаба
t —> et, Xi —► eWiXi, i = 1,..., n.	(2.46)
Более того, если система
azWi = fi(oi),	г = 1,..., n,	(2.47)
имеет нетривиальное решение (|а| Ф 0), то существует некоторое част¬
ное решение вида5 х = a£w (см. раздел 3.8). В частности, однород¬
ное векторное поле степени d является масштабно-инвариантным с ве¬
сом wz = (1 — d)_1. Однако не все весооднородные векторные поля бу¬
дут масштабно-инвариантными. Например, линейные системы с постоян¬
ными коэффициентами являются однородными, но не являются масштабно¬
инвариантными. Линейные системы инвариантны относительно преобразо¬
ваний вида: х —» ех и t —► t. Следовательно, масштабная инвариантность —
характерное свойство нелинейных систем.
5Отметим не общепринятое, но часто используемое в этой книге обозначение cttw
n-мерного вектора, компоненты которого равны aitWi.

2.3. Однородные векторные поля
59
Пример 2.11. Гамильтониан с двумя степенями свободы. Четырех¬
мерная система
является масштабно-инвариантной с весовым вектором w = (—2/3,—2/3,
—5/3,—5/3). Кроме того, система имеет два первых интеграла [Ramani
et al.9 1982,Dorizzi et al., 1983]:
Оба первых интеграла являются весооднородными относительно ве¬
са w с весовыми степенями deg(/i,w) = —10/3 и deg(/2,w) = —4. Су¬
ществует изящное соотношение между весовыми степенями первых инте¬
гралов и так называемыми показателями Ковалевской, характеризующими
локальное поведение системы вблизи ее масштабно-инвариантных реше¬
ний. Это соотношение будет рассмотрено в разделе 4.3.	■
Пример 2.12. Масштабно-инвариантные решения. Система
является масштабно-инвариантной с w = (-1,-2). Подставив в систему
инвариантное относительно преобразований масштаба. Таких решений два:
Пример 2.13. Отсутствие масштабно-инвариантных решений. Не
все масштабно-инвариантные системы имеют масштабно-инвариантные ре¬
шения. Например, система
(2.48)
а) xi = 4.х2 - у,
б) ±2 = Х2Х1 + х\
.3
1
(2.50)
xi = a\t 1 и Х2 = OL2t 2 и решив ее относительно а, найдем решение,
при (ai,a2) = (2/3, -1/9) и при (ai,a2) = (-2/3, 2/9).
а) ±i = Х2{х\ + х\)2,
б) ±2 = -xi(x\ + Х2)2
(2.51)

60
Глава 2
является однородной со степенью d = 5 и, следовательно, масштабно¬
инвариантной с w = (—1/4, —1/4). Однако для этой системы не существует
масштабно-инвариантных решений, так как подстановка х = oct~ 4 приво¬
дит к заключению, что от = а2 = 0.	■
2.3.2.	Однородные и весооднородные разложения
Большинство векторных полей не являются ни однородными, ни весо¬
однородными. Например, если диагональные члены линейной части нели¬
нейного векторного поля тождественно не равны нулю, то эта система не
является весооднородной. Тем не менее любое аналитическое векторное
поле можно разложить на однородные компоненты (то есть представить
векторное поле в виде разложения в степенной ряд). Аналогично, многие
нелинейные векторные поля (например, все полиномиальные векторные
поля) можно разложить на весооднородные компоненты относительно за¬
данного весового вектора w Е Кп:
f=f(°)+f(1) + ...+f(p),	(2.52)
где
/ij)(iWx) =	г	=	1,..., n; j = 1,... ,р V t € К. (2.53)
Это означает, что компоненты № являются весооднородными относи¬
тельно w с весовыми степенями deg(/^\ w) = w>i — j — 1. Отметим, что
это весооднородное разложение, вообще говоря, не является единственным,
и можно найти различные весовые вектора.
Соответствующее разложение векторного поля обозначается как
+ ^1 Н- • • • dpi	(2-54)
то есть 6i =	Sf(i),	i	= 0,... ,р. В книге [Goriely, 1992] с помощью многогран¬
ника Ньютона	в	пространстве показательных функций	приведена	геомет¬
рическая интерпретация разложения векторного поля на весооднородные
компоненты.
Пример 2.14. Кубическая система на плоскости. Рассмотрим век¬
торное поле
f =
\\Х\ 4- х\{а\Х\ 4- а2х\х2 4- а3х2)
\2х2 4- х2{Ъ\Х\ 4- Ъ2х\х2 4- Ь3х2)
(2.55)

2.3. Однородные векторные поля
61
Однородным разложением этого векторного поля является просто раз¬
ложение Тейлора:
ft°) =
Ai^i
^2^2
ft1)
xi(aiX\ + a3x2)
x2(b1x1 + 63x2)
f(2)
62X1X2
(2.56)
Весооднородное разложение можно получить тремя различными спо¬
собами:
1) w =	(—1,0),	^0) =
2) w =	(0, —1),	^0) =
3) w=	f<°>	=
а\х\ 4- а2х\х2
61X1X2 + 62X1X2
«1X1X2 4- а2х\х2
6ix| + 62X3X1
а2х\х 2
62X2X1
fW =
fC1) _ f _ fC0)^
f(!) _ f _ f(°)#
aixf + a3xix2
61X1X2 4~ 63X2
Заметим, что первый член весооднородного разложения включает боль¬
шинство нелинейных членов векторного поля. И каждое из этих разложений
может быть использовано для анализа данной системы.	■
2.3.3.	Весооднородные разложения
Возможность разложения некоторых векторный полей на весооднород¬
ные компоненты отражается на структуре первых интегралов. Рассмотрим
векторное поле Sf и предположим, что его можно разложить на весооднород¬
ные компоненты. Пусть w Е Кп — весовой вектор старшей компоненты
разложения. Теперь рассмотрим функцию А(х) и допустим, что она также
может быть разложена на весооднородные компоненты относительно того
же весового вектора w, то есть
А =	4-	А(1) 4-	+	... 4- A^q\
(2.57)
где deg(A(°),w) > deg(A^\w) > ... > deg(A^,w). Старшая и младшая
компоненты первого интеграла данного векторного поля являются, соответ¬
ственно, старшими и младшими компонентами этого векторного поля.
Предложение 2.3. Пусть I(х) — первый интеграл векторного поля Sf.
Предположим, что сущ ествует весооднородное разложение Sf — £0 + 61 4-
4- •.. + др и разложение I = I+ I^ + ... + IТогда Iявляется
первым интегралом 5q, а I^ — первым интегралом Sp.

62
Глава 2
Доказательство.
Пусть А = Sfl. Рассмотрим весооднородные компоненты
А = А(0) + А(1) + А(2) + ... А(г).	(2.58)
Так как / является первым интегралом, то А = 0 и каждая весооднород¬
ная компонента должна тождественно обращаться в нуль. Отсюда следует,
что
а) А<°> = <50/(0),
б) А™ = <50/(1) + 6i/(0),
(2.59)
в) А<г> = 8pI{q\
и справедливость предложения 2.3 доказана.	■
Пример 2.15. Модель Клаппера-Радо-Табора. Следующая система
часто используется при моделировании трехмерной идеальной несжимае¬
мой магнитной гидродинамики [Klapper et al., 1996]:
а) Х\ = Х4,
б) х2 = Х5,
в) X3 = Хв,
г) Х4 = ^Х1Х3	-	^Хх,	(2.60)
ч .	1	(3	7
д) х5 = -х2х3	+	-х2 -	~ХЬ
е) хб = х§ + 8х5 - Д2,
где /3, 7 — параметры. Эта система допускает существование одного поли¬
номиального первого интеграла, который находится с помощью процедуры,
описанной в разделе 2.4.1:
I = 96х2 + 72x5X3 + 2х'з — 24х2Хб — 3xg - 72/3x5 - 6/32х3 + 727x4. (2.61)
Существует несколько возможных вариантов выбора весовых векторов. На¬
пример, рассмотрим вектор w = (5, 3, 2, 6,4, 3). Соответствующее разложе¬

2.4. Построение первых интегралов
63
ние имеет вид:
х4
0
■ 0 “
Хь
0
0
f(°) =
Хб
kxiXs
1 7
|Х2Х3 - 3X1
х\ + 8x5
, f<2) =
0
в
, f№=
0
-§Х!
1*2
0
1
<N
Э О ^
1
Тогда первый интеграл можно записать в виде / = I+ 1^ + 1(4\ где
deg(/W, w) = 6 — г,
а) /= 96х| + 72х5.тз — 24х2хв — Зх| + 727x4,
б) /(2) = 2x3 - 72/9x5,	(2.63)
в) /(4) = —6/32х3.
Легко проверить, что	= ^о^2) + 62/(0) = <5о-^4^ + £2/(2) + S4I^ = О
и £2/(4) + hl{2) = S4I{4) =0.	■
2.4.	Построение первых интегралов
Полиномиальные или рациональные первые интегралы заданной сте¬
пени могут быть найдены непосредственно. Идея построения первых инте¬
гралов достаточна проста, хотя, с вычислительной точки зрения, является
громоздкой.
2.4.1.	Простой алгоритм нахождения полиномиальных первых
интегралов
Рассмотрим n-мерное полиномиальное векторное поле f степени d.
В общем случае, это векторное поле может зависеть от некоторого числа
параметров, скажем, (/н,...,/ip). Задача состоит в нахождении значений
(/ii,..., Цр), при которых векторное поле допускает существование завися¬
щего от времени полиномиального первого интеграла заданной степени D.
1) Начнем с D = 1.
2) Рассмотрим наиболее общий вид полиномиального первого интеграла
степени D
\\\ = D
/(х)= £ qx1.	(2.64)
i, 1*1 = 1

64
Глава 2
3)	Вычислим производную по времени от /(х):
|i|=D
S(I = f.dx ^2 cjx1,
n / |l| = i.
= £/Д £
( \i\=D
. X'
3 = 1	\i,	|i|	=	l
|i| = D+d-l
= E Kjsi-
(2.65)
4)	Так как мы ищем I такой, что Sfl = 0, то получим, что К\ — 0. Эта
система уравнений является линейной системой размерности не более6
существуют значения параметров ..., fip) и набор постоянных q,
не все из которых равны нулю, такие, что К[ = 0 при всех i, тогда /(х)
является первым интегралом. В противном случае увеличиваем D на 1
и возвращаемся к шагу 2.
Построение полиномиальных первых интегралов в соответствии с дан¬
ным алгоритмом легко реализуется с помощью применения программ сим¬
вольных вычислений [Codutti, 1992]. Для упрощения вычислений можно
воспользоваться предложением 2.3 и проводить вычисления с учетом ве¬
са каждой компоненты векторного поля. Для этого находятся первые ин¬
тегралы весооднородных компонент старшей степени, а затем проводятся
последовательные вычисления для компонент низших степеней.
Существуют три основные проблемы, возникающие при использова¬
нии этого алгоритма. Первая связана с тем, что при возрастании D вы¬
числения становятся крайне громоздкими. Это происходит из-за того, что
количество коэффициентов полинома степени D от п переменных растет
пропорционально числу целых узловых точек в гиперсфере радиуса D раз¬
мерности п. Например, при размерности, равной 5, полином степени 4 име¬
ет 126 коэффициентов, а полином степени 20 имеет 53130 коэффициентов.
Чтобы найти нетривиальное решение, необходимо решить переопределен¬
ную линейную систему относительно коэффициентов с\. Таким образом,
6Выражение f ^ J =	обозначает	биномиальный коэффициент.
относительно коэффициентов с\. Таким образом, если

2.5. Вторые интегралы
65
задача становится все более и более громоздкой, быстро превращаясь в бес¬
полезные вычислительные упражнения. Например, полиномиальные инте¬
гралы системы Лоренца (трехмерной квадратичной системы, определенной
в главе 1) были найдены до двадцатой степени [Schwarz, 1991].
Вторая проблема: почему наше внимание ограничено полиномиаль¬
ными первыми интегралами? Ведь можно искать рациональные или алге¬
браические первые интегралы. Это можно сделать, используя подходящие
подстановки и решая соответствующие уравнения относительно коэффици¬
ентов. Однако остается неясным, действительно ли подобные вычисления
необходимы или существует более простой способ построения первых ин¬
тегралов, и здесь снова требуется дополнительное исследование.
Третья проблема: существует ли ограничение на степень полиноми¬
альных (или алгебраических) первых интегралов? Эта проблема связана
с тем, что если I является первым интегралом, то и Iй также является
первым интегралом. Поэтому при повышении степени первый интеграл I
появляется вновь. Задача нахождения соотношения между степенями пер¬
вых интегралов и некоторыми алгоритмически вычисляемыми величинами
будет всесторонне изучена в главе 5.
Прежде чем перейти к обсуждению перечисленных задач, покажем, что
первые интегралы могут быть получены с помощью более простых и более
общих конструкций, называемых вторыми интегралами.
2.5.	Вторые интегралы
Первый интеграл определяет глобальную функцию в Кп, постоянную
при эволюции векторного поля. В частности, постоянные значения первого
интеграла позволяют описать гиперповерхности, инвариантные относитель¬
но потока. Однако, вместо того чтобы рассматривать функции, постоянные
во всей области допустимых значений (то есть постоянные при любых зна¬
чениях произвольных параметров), можно исследовать функции, которые
постоянны только на специальном множестве, заданном с учетом дополни¬
тельных условий — множестве уровня.
Пример 2.16. Двухмерная система Лотка-Вольтерра. Рассмотрим
систему [Collins, 1996]
а) х = х(3 — х — Ьу),
J ■	/ ч V	(2-66)
б) у = у(-1 + х + у).
Ясно,	что	Ji	=	х	удовлетворяет условию х =	0	при	х	= 0.	Аналогично,
J2	—	У	такой,	что	у	—	0 при у = 0. Третий	второй	интеграл . найдем,

66
Глава 2
полагая J3 = х + Зу — 3. Легко проверить, что
Js = Js(y-x).	(2.67)
Поэтому на прямой х + Зу — 3 = 0 имеем J3 = 0. Кроме того, исходная
система уравнений допускает существование первого интеграла, который
можно получить перемножением трех вторых интегралов, то есть
I = Л J| J|.	(2.68)
Динамика системы определяется линиями уровня первого интеграла в фа¬
зовой плоскости (х,у) (см. рис. 2.6). Заметим,	что	три	вторых	интеграла
делят фазовый портрет на области с качественно	отличным	поведением
(ограниченным или неограниченным).	■
Рис. 2.6. Линии уровня первого интеграла / = «Л J| J3 для уравнений (2.66). Заме¬
тим, что треугольник, образованный пересечением трех вторых интегралов Ji, J2, J3
(жирные линии), содержит периодические орбиты
Определение 2.14. Вторым интегралом векторного поля £f называ¬
ется функция J = J(x) класса С1: Кп —> К такая, что Sf{J) = aJ, где
a = a(x) : Кп —» К. Второй интеграл называется тривиальным, если
J G К, и нетривиальным в противном случае.
Вторые интегралы сводятся к первым интегралам при а = 0 и к за¬
висящим от времени первым интегралам при a G К. Изучением вторых

2.5. Вторые интегралы
67
интегралов занимались такие математики, как Дарбу, Пуанкаре, Пенле-
ве и многие другие [Darboux, 1878]. В литературе для обозначения вто¬
рых интегралов используются различные термины, например: специаль¬
ные интегралы [Albrecht et al, 1996]; собственные полиномы [Astrelyn,
1991,Man, 1993]; полиномы Дарбу [Moulin-Ollagnier et al., \995\,алгебраиче¬
ские инвариантные кривые [Hewitt, 1991,Kooij & Christopher, 1993, Collins,
1996,Schlomiuk, 1993a,Christopher, 1994,Collins, 1994,Zol$dek, 1998a]; част¬
ные алгебраические решения [Jouanolou, 1979]; алгебраические частные ин¬
тегралы [Schlomiuk, 1993b]; специальные полиномы [Bronstein, 1990b]; кри¬
вые Дарбу [Maciejewski & Strelcyn, 1995]; алгебраические инвариантные
многообразия [Labrunie & Conte, 1996,Figueiredo et al, 1998] или стацио¬
нарные решения [Burov & Karapetyan, 1990].
Полиномиальные вторые интегралы для полиномиальных векторных
полей играют особую роль при изучении интегрируемости систем диф¬
ференциальных уравнений. В дальнейшем эти интегралы будем называть
полиномами Дарбу.
Пример 2.17. Волчок Гесса-Аппельрота. Вновь рассмотрим урав¬
нения Эйлера, описывающие движение твердого тела вокруг неподвижной
точки (уравнения (2.16)):
а) Jw + wx(Jw)=Xx7,
(Г\ • I	п	(2.69)
б) 7 + со х 7 = 0.
В частном случае — 0 и у/Ji( J2 — J$)X\ + у/Jz{J\ — </2)^3 = 0 Гессом
(1890) и Аппельротом (1892) [Leimanis, 1965, стр. 60] был найден второй
интеграл вида
К =	J3V3X3,	(2.70)
то есть имеем К = аК, где а =	~ J2){J2 ~ ^з)/х/Л^з- Для де¬
тального анализа динамики волчка Гесса-Аппельрота можно порекомендо¬
вать статьи Вархалева и Горра [Varkhalev & Gorr, 1984], Довбиша [Dovbysh,
1992]. Вопрос о связи между существованием сепаратрис в фазовом про¬
странстве и однозначных решений в комплексном времени рассмотрен в
работах [Ziglin, 1983а,Goriely & Tabor, 1995,Goriely & Tabor, 1998,Goriely
& Tabor, 1994].	■
2.5.1.	Полиномы Дарбу
Нахождение рационального первого интеграла I = P/Q для полино¬
миальных векторных полей эквивалентно построению полиномов Дарбу.

68
Глава 2
Предложение 2.4. Пусть Р, Q Е К[лг] — два взаимно простых поли¬
нома1. Выражение I = P/Q является рациональным первым интегралом
векторного поля Sf тогда и только тогда, когда существует a Е К[х]
такое, что
<5f(P) = аР и 6f(Q) = aQ.	(2,71)
Доказательство.
Пусть I — P/Q — первый интеграл <5f, тогда (5fP)Q = {8\Q)P. Поэтому
Р является делителем (SfP)Q. Но так как Р и Q — взаимно простые, то
5fP = аР. И наоборот, если 5f(P) = аР и 5f(Q) = aQ, тогда 5f(P)Q —
— 5f(Q)P = aPQ — aQP = 0 и P/Q является первым интегралом. ■
В следующем предложении определено несколько элементарных
свойств полиномов Дарбу.
Предложение 2.5. Пусть Р, Pi и Р2 являются полиномами Дарбу,
тогда (г) Р1Р2 также является полиномом Дарбу, (гг) все неприводимые
делители Р — полиномы Дарбу.
Доказательство.
(г) Вычислим 5f(PiP2) = Pi (№2 + P2^fPi = OiP1P2 + a2PiP2- Сле¬
довательно, имеем: <5f(PiP2) = (ац + a2)PiP2-
(гг) Пусть P = Q1Q2, где Qi, Q2 — взаимно простые полиномы и Qi —
неприводимый. Тогда
SfP = sQ;-4(Qi)Q2 + QlStiQi) = aQiQ2.	(2.72)
Поскольку Q| является делителем sQ|_1(5f(Qi)Q2 + Qi^f(Q2), a Qi и Q2 —
взаимно простые, то Q\ должен быть делителем £f(Qi)* Также <5fQ2 —
= &2Q2- По индукции по Q2 получим, что все неприводимые делители Р
являются полиномами Дарбу.	■
Из существования достаточного количества полиномов Дарбу следует
существование первого интеграла.
Теорема 2.2. (Дарбу) Пусть f Е Сп[х] — полиномиальное векторное
поле степени d, и предполоэюим, что £f допускает существование q полино¬
мов Дарбу (Ji,..., Jq). Тогда если q >	то система допускает
существование первого интеграла вида
я
1 = П^’	(2.73)
2=1
7Два полинома Р и Q являются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей.

2.5. Вторые интегралы
69
где Xi £ CV г. Кроме того, q >	J	+	п тогда и только тогда,
когда система допускает существование рациональных первых интегралов
(то есть A* G ZV г).
Доказательство.
Допустим, что допускает существование q полиномов Дарбу
(Ji,..., Jg) таких, что (5fJi = a* Ji, где deg(a^) < d — 1. Полиномы степени
меньшей или равной d — 1 от п переменных образуют комплексное вектор¬
ное поле размерности	^ • Следовательно, существуют (Ai,..., Ад),
где Хг £ С такие, что Y^=i ^аг = 0, и из предложения 2.5 следует, что
йШ=1 = (Е|=1Л^>)Ш=1 Jil- Следовательно, I = Щ=1 явля'
ется первым интегралом. Кроме того, как показал Вейль [Weil, 1995], если
q >	^ +га, то можно выбрать A* Е Z V г и получить рациональный
первый интеграл.	■
Пример 2.18. Снова рассмотрим пример 2.16. Три вторых интеграла
= a;, J2 = у и J3 = ж + Зг/ — 3 имеют множители а\ — 3 — х — by,
а2 = — 1 + х + у и аз = у — х. Теперь, положив с\ = 1, с2 = 3 и сз = 2,
соотношение ciai + C2OL2 +	= 0 можно разрешить для любых (х,у).
Поэтому, согласно (2.73), выражение 7 = Ji Jf Jf является первым интегра¬
лом. Действительно, можно убедиться, что W = (ai + 3^2 + 2аз) J = 0. ■
2.5.2.	Полиномы Дарбу для векторных полей на плоскости
Полиномы Дарбу можно использовать для полного описания элемен¬
тарных первых интегралов векторных полей (для доказательства см. [Singer,
1992]).
Теорема 2.3. (Дарбу) Пусть /ь/2 Е К[х1,х2] и 8f = f±dXl + f2dX2 с
d = deg(/i, /2). Пусть J±,... ,Jr — полиномы Дарбу, тогда если г ^ 2 +
d(d +1)	Л
+	то	существуют	целые	числа	п\...., пг такие, что произведение
1 = П^Г	(2-74)
1=1
является первым интегралом векторного поля 5f. Кроме того, если J —
полином Дарбу, то либо J является делителем наибольшего общего де¬
лителя / 1 и f2, либо 3 с\, С2 Е Ко такие, что J является делителем

70
Глава 2
выражения
(2.75)
Пг> 0
77-г <0
Это предложение показывает, что если известно достаточное количе¬
ство полиномов Дарбу, то для системы можно построить первый интеграл.
Существуют два важных следствия этой теоремы.
Следствие 2.1. Пусть if — векторное поле, описанное в теореме 2.3.
Тогда либо существуют нетривиальный рациональный первый интеграл и
бесконечное количество неприводимых полиномов Дарбу, либо существует
конечное число неприводимых полиномов Дарбу.
Следствие 2.2. Существует положительное целое число N (завися¬
щее от if) большее, чем степень всех полиномов Дарбу.
Последнее следствие означает, что для векторных полей на плоскости
степень полиномов Дарбу ограничена. Это ограничение может зависеть от
параметров векторного поля if. Например, полиномы J — у — хт являются
полиномами Дарбу для системы [Collins, 1996]
Степень полинома J зависит от значений коэффициента т. Одной из про¬
блем построения полиномов Дарбу является то, что указанная граница
априори неизвестна. Кроме того, к настоящему времени обобщения это¬
го результата для векторных полей большей размерности не существует.
Поэтому обычно полагают, что такая граница, в общем случае, существует.
Тем не менее известны способы построения элементарных первых интегра¬
лов для векторных полей на плоскости. Метод, описанный ниже, базируется
на следующем наблюдении.
Предложение 2.6. Если для векторного поля if на плоскости суще¬
ствует элементарный первый интеграл, то существует целое число п и
полином Дарбу J такие, что
Существование такого полинома Дарбу приводит к возникновению
интегрирующего множителя для первого интеграла и может быть ис¬
пользовано в следующем алгоритме Преля и Сингера [Prelie & Singer,
а) х = х,
б) у = ту, те Ъ.
(2.76)
(2.77)

2.5. Вторые интегралы
71
1983, Shtokhamer et al., 1986, Shtokhamer, 1988], реализованном Мэном и
МакКоллэмом [Man & MacCallum, 1997, Rocha Filho et al., 1999].
2.5.3.	Алгоритм Преля-Сингера
1) Пусть N = 1.
2) Найдем все полиномы Дарбу Ji с	= a* Ji такие, что deg( Ji) ^ iV.
3) Предполагаем, что существует набор постоянных A* G К, одновремен¬
но не равных нулю, таких, что
J2xiai = 0.	(2.78)
i=1
Если такие А* существуют, тогда I = П^1 является первым инте¬
гралом. Иначе переходим к шагу 4.
4)	Предположим, что существует набор постоянных Ai,..., Am G IK, од¬
новременно не равных нулю, таких, что
771
]ГагАг = - (dXlh + dxJ2).	(2.79)
г=1
т
Тогда R = JT является интегрирующим множителем, и в резуль-
i= 1
тате интегрирования уравнений
fr -	(2-80)
получаем элементарный первый интеграл. Если такого R не существу¬
ет, а N меньше заданного ограничения, тогда увеличиваем N на 1 и
возвращаемся к шагу 2.
Пример 2.19. Простая система. Рассмотрим систему [Man &
MacCallum, 1997]
а) х — 2х2у — х,
б)у = 2х у2 + у.
(2.81)

72
Глава 2
При N — 1 имеем два полинома Дарбу J\ — х и J2 = у с а\ = 2ху — 1,
с*2 = 2ху + 1. Кроме того, если Ai = Л2 = — 2, то
Aiai + \2cn2 = — (dXlfi -Ь ^2/2) •	(2.82)
Следовательно, R = х~2у~2 является интегрирующим множителем. Тогда
функция
' = 2bg§	(2.83)
будет логарифмическим первым интегралом данной системы.
■
Пример 2.20. Векторное поле на плоскости
а) х — 3(ж2 — 4),
б) у = 3 + ху - у
(2.84)
изучалось в связи с построением интегралов Дарбу-Шварца-Кристоффеля
в работе Золадек [Zol^dek, 1998а]. Для данной системы существует один
квадратичный полином Дарбу и два полинома Дарбу четвертого порядка:
J\ = У4 — 6у2 — 4 ху — 3,	а 1	=	4(ж	— у),
J2 = У4 + 2ху3 + 6у2 + 2жу + х2	— 3,	а2	=	2{Ъх — 2 у),	(2.85)
J3 = х2 — 4,	о?з	=	бж.
На рисунке 2.7 изображены линии	уровней	Ji =	J2 =	0. Используя	со¬
отношение Зад — За2 + аз = 0, можно построить рациональный первый
интеграл вида
I = J3J3J~3.	(2.86)
Заметим, что неподвижные точки (±2, =р1) являются резонансными, то есть
линейные собственные значения относятся друг к другу как 3:1. Зависи¬
мость между существованием первых интегралов и резонансами линейных
собственных значений рассмотрена в главе 4.
Наиболее сложным этапом алгоритма Преля-Сингера является постро¬
ение полиномов Дарбу. Для однородных векторных полей этот шаг можно
упростить, воспользовавшись леммой Коллинза [Collins, 1996].
Лемма 2.2. (Коллинз). Пусть = f±dXl +/2^2 — однородное вектор¬
ное поле. Если W = x\f2 — ^2/1 тождественно не равна нулю, тогда W
является полиномом Дарбу для Sf и все неприводимые однородные полиномы
Дарбу векторного поля Sf являются делителями W.

2.5. Вторые интегралы
73
Рис. 2.7. Линии нулевого уровня полиномов Дарбу Ji и J2 примера 2.20
Доказательство.
Согласно Вейлю [Weil, 1995] положим п = deg(/i,/2). Поскольку Д
и Д удовлетворяют соотношению Эйлера (Предложение 2.1), то x\dXl fi +
+ х2 dX2fi = n fi при г = 1,2. Поэтому
W = %i (Л аХ1 /2 + /3аХ2 /2) - *2 (Л аХ1 л + /2аХ2 д),
= (dxj2 + dXlh)W.	j
Следовательно, и W, и его делители являются полиномами Дарбу. И на¬
оборот, если J — полином Дарбу, то SfJ = aJ и
а) (х\а — nfi)J = —WdX2J,
б) (х2а - nf2)J = WdXlJ.	(	’
Поскольку W Ф 0, то можно предположить, что и (х\а — п/i) ф 0. Так как
J — неприводимый полином, то он является делителем W.	я
Кристофер [Christopher, 1994] показал справедливость этой теоремы
для однородных компонент векторных полей и первого интеграла.

74
Глава 2
Лемма 2.3. (Кристофер). Пусть J — полилом Дарбу векторного поля
= f\dXl + /2<9x2 и пусть J, fi, f2 — соответствующие однородные ком¬
поненты старшей степени. Тогда все неприводимые делители J являются
делителями x\f^— xofi-
Пример 2.21. Рассмотрим однородное квадратичное векторное по¬
ле [Collins, 1995]
а) х = х2 + 2ху + 3у2,
б) у = 2у{2х + у).
Проведем непосредственный анализ этой системы. Функция IV из леммы
Кристофера имеет вид:
W = х(2у(2х + у)) - у(х2 + 2ху + 3у2) = 3у(х - у){х + у).	(2.90)
Определив делители функции W, получаем три полинома Дарбу:
а)Ji = (x + y),	аг	=	(х + 5 у),
б) J2 = (х-у),	а2	=	(х-у),	(2.91)
B)J3=y,	а3	=	2(2 х + у),
на основании которых, в свою очередь, находим первый интеграл (используя
соотношение + За.2 — аз = 0)
, =	=	(*	+	Мх-уГ	(2	,2)
Фазовый портрет системы (2.89) изображен на рисунке 2.8.	■
2.6.	Третьи интегралы
Первые интегралы являются глобальными инвариантами, определен¬
ными для всех начальных условий. Вторые интегралы являются инвариан¬
тами на множествах нулевого уровня первых интегралов. Существует еще
один тип инвариантов — третьи интегралы, которые являются постоян¬
ными на множестве определенного уровня другого интеграла. В качестве
примера допустим, что система х = f(x), f G Кп[х] имеет первый ин¬
теграл I — /(х). При определении значения первого интеграла I можно

2.6. Третьи интегралы
75
Рис. 2.8. Линии уровня функции Ji = 0 (г = 1,2,3) уравнений (2.89) и некоторые
линии уровня функции I = Ji jf J^1
найти и другую постоянную величину. Например, при 1 — 0 можно найти
условия, при которых система допускает существование еще одного инва¬
рианта G(x), то есть G = G(x) : Кп -^Киа = а(х) такое, что
SfG = olI.	(2.93)
На множестве уровня 7 = 0 функция G является инвариантом. Этот тип
ограниченных, или условных, интегралов часто возникает в гамильтоновой
динамике, когда новые интегралы возникают при обращении гамильтониана
в нуль.
Пример 2.22. Трехмерное векторное поле. Рассмотрим систему
а) х = — 2х2 -h 2z,
б) у = -3ху,	(2.94)
в) z = 4xz — 2х(2х2 — 9у2).
Первый интеграл можно найти с помощью метода, изложенного в разде¬
ле 2.4.1:
I = z-х2 - 3 у2.	(2.95)
Этот первый интеграл можно использовать для расщепления фазового про¬
странства в семейство эллиптических параболоидов с центром на оси z.

76
Глава 2
Однако сначала необходимо описать поток на самом параболоиде. Удиви¬
тельно, что третий интеграл G можно найти на множестве нулевого уровня
функции I
G = z — х2 — у2.(2.96)
Очевидно, что SfG = al при а = — 8х. Следовательно, поток на I = О
лежит на пересечении I = 0 с G — С (см. рис. 2.9 при С — 4).	■
Рис. 2.9. Множество нулевого уровня первого интеграла I = 0 и множество уровня
G = 4 третьего интеграла для уравнений (2.94). Поток проходит по пересечению
этих двух параболоидов (черная линия). Заметим, что само множество уровня G = 4
не является инвариантным, а его пересечение с / = 0 — инвариантное множество
Определение 2.15. Пусть I = /(х) — первый интеграл векторного
поля 8f. Тогда функция G — G(x) класса С1 является третьим интегралом,
если SfG = а/, где а = а(х): Кп —> К. Третий интеграл тривиален, если
Ge К.
Пример 2.23. Волчок Горячева-Чаплыгина. Это, вероятно, самый
известный пример третьего интеграла. Рассмотрим еще раз уравнения Эй¬
лера (2.16), описывающие движение твердого тела вокруг неподвижной

2.7. Высшие интегралы
77
точки:
а) Juj + uj х (Joj) = X х 7,
б)7 + u?X7 = 0.
(2.97)
В ходе исследования Горячев (1900) и Чаплыгин (1901) обнаружили, что
эта система допускает существование третьего интеграла при J\ — J2 =
= 4J3, что центр масс находится в плоскости равных моментов инерции
(Х2 = Х3 = 0) и что первый интеграл, соответствующий проекции вектора
момента импульса на вертикальную ось, обращается в нуль (/3 = 0 в (2.18)).
Третий интеграл имеет вид:
то есть 5fG = а/3, где а = а;42^1. В этом случае уравнения движения
значительно упрощаются, и с помощью метода разделения переменных по¬
лучается решение с четырьмя произвольными постоянными.
В последние годы появилось немало работ, посвященных исследова¬
нию динамики волчка Горячева-Чаплыгина, в связи с интегрируемостью
моделей Янга-Миллса [Brzezinski, 1996,Soonkeon, 1997], структур масштаб¬
ной теории суперсимметрии [Ahn & Nam, 1996] и систем квантовой тео¬
рии [Komarov & Novikov, 1994].	■
2.7• Высшие интегралы
Первый, второй и третий интегралы можно рассматривать как решения
линейной системы
где Д и aij — функции из К71 в К. Если ац = а^2 = ... = a*n = 0,
тогда 1г является первым интегралом. Если Е К и a = (a^) можно
диагонализировать, то	— зависящие от времени первые интегралы.
В общем случае, если	К, то систему (2.99) можно использовать для
построения второго, третьего интегралов, а также интегралов более высоких
порядков.
(2.98)
р
(2.99)

78
Глава 2
Пример 2.24. Волчок Горячева-Чаплыгина. Вновь рассмотрим
уравнение Эйлера-Пуассона (2.97) для случая Горячева-Чаплыгина J\ =
= J2 = 4J3, Х2 = Х3 = 0. Пусть /1. /2, /3 — три классических первых
интеграла (2.18) и /4 = G — третий интеграл, найденный Горячевым (урав¬
нение (2.98)). Далее, пусть
’-тзМ®- (гт)
Горячев показал, что при G = 0 эта функция тождественно равна нулю. То
есть эти пять интегралов можно преобразовать к виду (2.99), где
а) Л = 0,
б) /2 = О,
в)/3=0,	(2.101)
г) /4 = 0:43/3,
д) h = 054/4
и где, в свою очередь,
U2X1
<^43 —	^j2 5
ч	3X?UJ2^1
б) а54 ~
(2.102)
+w|)4'
Можно заметить, что функция /5 не является третьим интегралом, так как
/5 обращается в нуль только при /4 = 0.	■
2.8.	Класс редукции
Одной из самых интересных особенностей, относящихся к существо¬
ванию первых интегралов, является появление класса редукции: из суще¬
ствования первого интеграла, принадлежащего некоторому классу функций,
следует существование первого интеграла, принадлежащего некоторому его
подклассу функций. Вероятно, наиболее известным результатом существо¬
вания класса редукции является теорема Бруна (1887) (более современные
результаты изложены, например, в статье Фалька [Forsyth, 1900] или Кум-
мера и др. [Kummer et al., 1990]). В своей теореме Брун доказывает, что из

2.8. Класс редукции
79
существования алгебраического первого интеграла следует существование
рационального первого интеграла. В качестве дополнения представим три
различных варианта теоремы.
Теорема 2.4. (Бруна). Если векторное поле имеет к нетривиальных
независимых алгебраических первых интегралов, то оно имеет к нетриви¬
альных независимых рациональных первых интегралов.
Доказательство.
Пусть I = С — алгебраический первый интеграл и пусть
Р{1) = q0+qiC + ...+ qs-iC*-1 + Cs	(2.103)
минимальный многочлен для /, где qi Е ЙС(х), то есть I = 7(х) определяется
как корень уравнения Р{С) = 0. Поскольку / — нетривиальный, то одна
из рациональных функций не является постоянной. Пусть i такое, что
qi Е К(х) \ К. Поскольку Sf(C) = 0, то производная от Р(1) по потоку
равна
SfP(I) = Vio + CStq 1 + ... + C^Stqs-! = 0.	(2.104)
Но так как Р — минимальный многочлен, то Sfqo = Sfq± = ... = 5fqs = 0.
Поэтому Sfqi = 0, и qz является первым интегралом. Теперь пусть Г = С' —
еще один независимый первый интеграл, для которого минимальным мно¬
гочленом является
Р{С’) =q,0 + q,1C' + ... + q,s,_1C's’~1 + C,s'.	(2.105)
Аналогично вышесказанному, каждая функция q'j является первым инте¬
гралом. Из независимости этих двух первых интегралов следует, что суще¬
ствуют г < s и i' < s' такие, что qi, q[ К(х) \ К являются нетривиальны¬
ми независимыми первыми интегралами. По индукции можно построить к
независимых рациональных первых интегралов.	■
В случае весооднородного векторного поля каждая весооднородная
компонента первого интеграла сама является первым интегралом. Это
утверждение является прямым следствием предложения 2.3.
Предложение 2.7. Пусть I — первый интеграл весооднородного век¬
торного поля Sf с весом w. Тогда каждая весооднородная компонента I
является первым интегралом Sf.
Квазиодночленные интегралы, то есть первые интегралы, представи¬
мые в виде суммы квазиодночленов I —	можно	упростить,	если
они являются первыми интегралами аналитического векторного поля.

80
Глава 2
Предложение 2.8. Пусть I =	~	квазиодночленный	первый
интеграл 8f, где д? — аналитическое векторное поле. Тогда существует
первый интеграл вида	—	д
И	■	I	= х .Р(х),	(2.106)
где Р = Р(х) — полином.
Доказательство.
Вычислим производную по времени от J:
/ = Е
(2.107)
г=1
Рассмотрим первый член суммы. Возможны два случая. Если сх\ —	^	Zn,
то среди квазиодночленов в h\ и hk нет противоположных по значению,
и, следовательно, нет возможности их сократить. Возможность сократить .
появляется в случае, когда c*i — G Zn. В этом случае можно записать,
что h\ + hk = х/3/г(х), где h(x) £ Кп(х). Теперь рассмотрим все cxfks,
удовлетворяющие соотношению соразмерности с ai, и пусть /С = {k\oL\ —
— OLk £ Zn} и /3 такое, что
OLfc = (3 -j- П1д;, птд; G Мп, к £ /С.	(2.108)
Поскольку / является первым интегралом, то / = 0 и
7 = x^]Tafcxmfc	(2.109)
fcG/C
также является первым интегралом.	■
Самым важным результатом существования класса редукции является
красивая теорема Преля-Сингера [Prelie & Singer, 1983], в которой утвер¬
ждается, что из существования элементарного первого интеграла для по¬
линомиального векторного поля следует существование логарифмического
первого интеграла. В общем случае, при формулировке этой теоремы ис¬
пользуется терминология из раздела 2.2.2.
Теорема 2.5. Пусть {к, А} — дифференциальное поле характеристи¬
ки нуль и пусть {К, Д'} — элементарное расширение {/с, Д} с тем эюе
набором постоянных. Пусть D — Sf = f.dx для dXi £ к и fi £ К. Предполо¬
жим, что С(К,А') принадлежит С(К, D). Тогда существуют элементы

2.9. Интегрируемость
81
go, gi, • • •, 9m множества К, алгебраические на k, и ci,..., cm в С {к, А)
такие, что
Следовательно, если векторное поле Sf имеет элементарный первый
интеграл /(х) = С (то есть, грубо говоря, функция 7(х) является резуль¬
татом выполнения конечного числа алгебраических операций, возведения в
степень числа е и логарифмирования), тогда это векторное поле также име¬
ет логарифмический первый интеграл (то есть функцию /(х), полученную
как конечную сумму логарифмов алгебраических функций). Эта фундамен¬
тальная теорема ограничивает класс возможных первых интегралов, полу¬
ченных с помощью элементарных операций, до класса логарифмических
первых интегралов.
Способ нахождения полиномов Дарбу, описанный в разделе 2.5.1, дает
явный, но неконструктивный, путь построения логарифмических первых
интегралов для векторных полей на плоскости, удовлетворяющих условиям
теоремы Преля-Сингера. Прель и Сингер также показали, что из существо¬
вания элементарных первых интегралов для векторных полей на плоскости
следует, что система допускает существование полиномов Дарбу, а также
указали возможность явного вычисления интегрирующего множителя (см.
предложение 2.6).
Анализ Преля и Сингера был обобщен введением первых интегралов
Лиувилля [Singer, 1992], для которых справедливы следующие утвержде¬
ния. Если общее решение векторного поля удовлетворяет соотношению
Лиувилля (то есть существует функция Лиувилля нескольких переменных,
обращающаяся в нуль на кривых решения), тогда система допускает суще¬
ствование первого интеграла Лиувилля на некотором непустом открытом
множестве. Более того, для векторных полей на плоскости может быть точ¬
но определён вид первого интеграла Лиувилля.
2.9.	Интегрируемость
(2.110)
и
т
для некоторого 8 Е А.	(2.111)
В этом разделе обсуждаются различные понятия, относящиеся к теории
интегрируемости. Интегрируемость обычно понимается как существование

82
Глава 2
достаточного количества первых интегралов для того, чтобы система диф¬
ференциальных уравнений могла быть проинтегрирована. К определению
этого, в некоторой степени, расплывчатого понятия мы сейчас и перейдем.
2.9.1.	Локальная интегрируемость
Вопрос локальной интегрируемости является тривиальным в том смыс¬
ле, что локально первые интегралы существуют всегда. Наличие локальной
интегрируемости гарантируется следующими двумя теоремами.
Предложение 2.9. Пусть А = (Д,..., 1п) — п зависящих от времени
первых интегралов класса С1 векторного поля 5f на открытом подмноже¬
стве V С (U х №), где матица Якоби DA = (<9ХД, <9ХД, • • ■, дх1п) обрати¬
ма. Пусть (хо,Д) £ V и Ji = Д(хо,Д. Рассмотрим функцию х = x(t, А),
которая является обратной к А при (х, t), близких к (хо,Д). Тогда х =
= x(t, А) является решением системы х = f(x) при любом постоянном
значении А. Кроме того,	функция	и = гл(х, t)	класса	С1,	определенная на
V вблизи (хо, to), является первым	интегралом векторного поля	Sf тогда и
только тогда, когда существует функция v = v(A) класса С1 такая, что
и(х, t) = г?(А(х, t)) в окрестности точки (xo,to).
Доказательство.
Так как Ai = Ii — первый интеграл при всех г, имеем
^ +	(DA)f=0.	(2.112)
Поскольку матрица DA локально обратима, то (DA)-1^ = —f- Теперь,
если х является функцией, обратной к А, то х = — (DA)~1^ = f. Сле¬
довательно, х = x(t,A) является решением системы х = f(x) при всех
постоянных первых интегралах А.
Если v = г? (А) является функцией класса С1 от А, то v — первый
интеграл векторного поля Д. И наоборот, допустим, что и = w(x, t) является
первым интегралом, тогда в окрестности (xo,to) он может быть записан
как и = и(\(A, t),t) = г?(А, t). Нам требуется доказать, что dtv = 0. По
определению, dtv = dtu 4- x.dxii, но так как и является первым интегралом,
а х — решением системы,	то dtv =	0.	■
Из этого предложения следует, что, зная п независимых первых ин¬
тегралов, можно найти локальное решение системы. И наоборот, если ре¬
шение существует и оно единственно, то можно локально определить п
независимых первых интегралов.

2.9. Интегрируемость
83
Предложение 2.10. Пусть f принадлежит классу С0 на открытом
подмножестве V С {U х М). Если задача х = f (х) с начальными условиями
x(to) = хо имеет единственное решение, принадлежащее классу С1, то
векторное поле Sf имеет п независимых первых интегралов класса С1
в окрестности точки (xo,to) £ У-
Доказательство.
Пусть х = <£>(£, to5 хо) ~ локальное решение задачи с соответствующи¬
ми начальными условиями. Рассмотрим у = <p(t,to,x). Тогда гр является
первым интегралом векторного поля 5f в окрестности (хо, to), поскольку ло¬
кальное решение имеет в этой окрестности постоянное значение i/i = я* (to).
Кроме того, Dy(to) является единичной матрицей. Следовательно, матри¬
ца Dy(t) в окрестности to обратима.	■
Итак, можно сделать вывод, что задача нахождения локальных первых
интегралов является тривиальной в том смысле, что для задачи Коши для
системы дифференциальных уравнений всегда существуют локально опре¬
деленные первые интегралы, которые можно построить, имея единственное
локальное решение. Поэтому задачу интегрируемости системы дифферен¬
циальных уравнений можно понимать как задачу нахождения необходимого
числа глобально определеных первых интегралов.
2.9.2.	Интегрируемость по Лиувиллю
В этом разделе кратко рассмотрен простейший случай интегрируемо¬
сти по Лиувиллю гамильтоновых систем. Всестороннее обсуждение гамиль¬
тоновых систем и интегрируемости по Арнольду-Лиувиллю будет дано в
главе 5. Рассмотрим гамильтониан Н = Я(p,q) с п степенями свободы,
являющийся аналитическим при p,q £ Rn. Уравнения Гамильтона имеют
вид:
Определение 2.16. Гамильтониан Я(р, q) = 0 называется интегриру¬
емым по Лиувиллю, если существует п независимых аналитических первых
интегралов Ii = Я, /2, • • • Дп в инволюции (то есть {h,Ij} = О).8
г = 1,..., п,
г = 1
п.
(2.113)
г г	Г	С	П	Г	г	П	V-	( 91 9J dl dJ\
Скобки { , } обозначают скобки Пуассона {I, J\ = >	-—  	 —	—— .
“ V dpi dqi	дщ dPi )

84
Глава 2
Кроме того, если многообразия, определяемые пересечением их мно¬
жеств уровня	п
Р|{/г = ai, (p,q) е М2"},	(2.114)
г=1
являются компактными и связаными, то, по теореме 5.3 из книги Арноль¬
да [Arnold, 1988b], следует, что топологически эти множества являются
действительными торами.
2.9.3.	Алгебраическая интегрируемость
В литературе используются различные определения понятия полной
интегрируемости. Наименее строгим определением является обобщение по¬
нятия интегрируемости по Арнольду-Лиувиллю для векторных полей.
Определение 2.17. Векторное поле х = f(x) с х е Кп называется
алгебраически интегрируемым в слабом смысле, если существует к незави¬
симых алгебраических первых интегралов /г(х) = Кг при г = 1,..., к. Эти
к первых интегралов определяют (п — /с)-мерное алгебраическое многооб¬
разие. Кроме того, должно существовать (п — 1 — к) других независимых
первых интегралов, задаваемых интегрированием полного дифференциала,
определённого на алгебраическом многообразии:
ti к f'Ej
Ji{*) = ^2 / Pij{x)dxj, i = 1,... ,n — 1 — A,	(2.115)
j=i J
где (fij (x) — алгебраические функции от x.
Это определение кажется бесполезным для негамильтоновых систем,
поскольку для таких систем о существовании полных дифференциалов
априори ничего не известно. Однако, как будет показано в следующем раз¬
деле, такая ситуация может оказаться разрешимой. Первым примером яв¬
ляется система уравнений Эйлера, для интегрирования которой требуется
только четыре первых интеграла, а пятый интеграл получается при интегри¬
ровании полного дифференциала. Однако понятно, что сформулированное
определение, в большинстве случаев, применяется все же к гамильтоновым
системам, где явный путь построения дополнительных интегралов обеспе¬
чивается за счет симплектической структуры, в соответствии с теоремой
Арнольда-Лиувилля. В случае к = п — 1 определение алгебраической ин¬
тегрируемости в слабом смысле становится эквивалентным строгому.
Определение 2.18. Векторное поле х = f(x) с х е Кп является алге¬
браически интегрируемым, если существует (п — 1) независимых алгебра¬
ических первых интегралов 7*, г = 1,..., п.

2.10. Метод последнего множителя Якоби
85
Однако существуют и другие определения алгебраической интегри¬
руемости гамильтоновых систем (см. главу 5), например определение так
называемой полной интегрируемости, введенное Адлером и ван Мербе-
ке [Adler & van Moerbeke, 1987, Adler & van Moerbeke, 1989b], а также
определение гиперэллиптически сепарабельных систем, введенное Эркола-
ни и Сиджя [Ercolani & Siggia, 1989, Ercolani & Siggia, 1989, Ercolani &
Siggia, 1991]. Введенные ими определения охватывают все системы, инте¬
грируемые в абелевых функциях (см. раздел 5.3).
2.10.	Метод последнего множителя Якоби
Метод последнего множителя Якоби дает конструктивный способ по¬
строения первого интеграла для n-мерной системы с локальной постоянной
плотностью при наличии (п — 2) известных первых интегралов. Примене¬
ние этого метода легче всего продемонстрировать на примере векторного
поля на плоскости
а) х = fix, у),
. J) ’7	(2.116)
б) у = д(х,у).
Единственный путь решения этой системы состоит в нахождении множи¬
теля Якоби — ненулевой функции М = М{х,у) класса С1 такой, что
M(gdx — fdy) = dl.	(2.117)
Поскольку g(x,y)dx = f(x,y)dy для всех решений системы, то dl — 0
и, следовательно, I = 7(х, у) является первым интегралом. Этот первый
интеграл можно найти, приравняв последнее соотношение полному диффе¬
ренциалу dl = dxIdx + dyldy. Получим
^дI л г
а) di =	9’
2г	(2Л18)
б) ^ = -М/.
Следовательно, первый интеграл имеет вид:
ГУ
а) /(х, у) — — J Mf dx + J(x),
б) J\x) =Mg+-^ JV M fdy.
(2.119)

86
Глава 2
Из соотношений (2.118) и равенства дху1 = дух1 также следует, что
dx{Mf)+dy(Mg) = 0.	(2.120)
Функция М называется также плотностью интегрального инвариан¬
та [Andronov et aL, 1971, стр. 402], поскольку для некоторой'ограниченной
замкнутой области D фазового пространства М2 имеем
JJ M(x,y)dxdy = JJ M(x,y)dxdy,	(2.121)
D	сPt(D)
где pt(D) — преобразование области D под действием потока, порожден¬
ного решением (см. рис. 2.10). Поэтому для построения первого интеграла
I = 1(х, у) необходимо найти множитель М, определяемый нетривиальным
решением уравнения дх(М/) + ду(Мд) = 0.
Рис. 2.10. Эволюция ограниченной замкнутой области D под действием потока
Похожие результаты можно получить в случае системы п измерений.
Если множитель Якоби и (п — 2) первых интегралов известны, то локально
(п—2)'-мерная система может быть сведена к двухмерному векторному полю
на пересечении (п — 2) множеств уровня, образованных первыми интегра¬
лами. Таким образом, из предыдущего результата следует существование
дополнительного первого интеграла. Рассмотрим n-мерное векторное поле
<Sf = f.9x и соответствующую систему х = f(x), х € Шп.
Определение 2.19. Пусть М = М(х) — неотрицательная функция
класса С1, отличная от нуля на любом открытом подмножестве множе¬
ства Мп. Тогда М является множителем Якоби векторного поля Sf, если
[ M(x)dx= / M(x)dx,	(2.122)
где D — некоторое открытое подмножество множества W1 и pt(-) — поток,
порожденный решением х = x(t) системы х = f(x).

2.10. Метод последнего множителя Якоби
87
Множитель М также можно рассматривать как плотность, соответ¬
ствующую инвариантной мере fD Мdx. Зная функцию М, проверить спра¬
ведливость соотношения (2.122) нелегко, так как для проверки необходимо
иметь решение х(£). Однако можно воспользоваться обобщением соотно¬
шения (2.120) [Whittaker, 1944].
Предложение 2.11. Пусть М — М(х) — неотрицательная функция
класса С\ отличная от нуля на некотором открытом подмножестве мно¬
жества Rn. М — М(х) является множителем Якоби тогда и только
тогда, когда
Для того чтобы, зная множитель Якоби, построить первый интеграл,
нам необходима следующая лемма.
Лемма 2.4. Пусть у = у(х) — обратимая замена переменных, отоб¬
ражающая систему х = f(x) в систему у = g(y), тогда
9x(Mf) = 0.
(2.123)
ftcf = ^y(7g),
(2.124)
где 7 — определитель матрицы Якоби J = дух.
Доказательство.
Из левой части соотношения (2.124) следует
dj = dx(dyx)g,
= (дхУ)ду [(dyx)g],
= J'1 [dy(Jg)},
= J-1 [{dyJ).g + J(dyg)},
=	+	dyg,
= ^(dy7)g + dyg,
(2.125)
Здесь использовалось стандартное тождество Y2Jik1dyi{Jkj)gi = ~{dyi (7))gj.
ki	7

88
Глава 2
Теперь предположим, что система х = f(x) допускает существование
(га — 2) первых интегралов /Дх) = а, г = 1,..., га — 2. Эти первые интегра¬
лы определяют, с точностью до перестановки переменных, преобразование
обратимого отображения (xi,.. .,хп) в (сi,.. .,cn_2,xn-i,xn), задаваемое как
Чтобы n-мерный поток свести к двухмерному на множествах уровня пер¬
вых интегралов, можно воспользоваться обратимостью отображения. По
определению, редуцированный поток допускает существование редуциро¬
ванного множителя Якоби, из которого, в свою очередь, можно получить
недостающий первый интеграл.
Теорема 2.6. (Якоби) Рассмотрим п-мерное векторное поле х = f (х)
и предположим, что оно допускает существование множителя Якоби М =
= М(х) и {п — 2) первых интегралов /Дх) = Q, г = 1,..., га — 2. Тогда
система допускает существование дополнительного первого интеграла ви-
где ( ) обозначает величины, выраженные через переменные (ci,..., сп_2,
а)	Уг = 1Дх), г = 1,... ,га — 2,
Уп— 1 = ^тг—15
в)	Уп =
(2.126)
Пусть Д — якобиан преобразования:
(2.127)
&x\In—2 дХ21п—2 ' ' ' 0Хгь_2^п—2
да
(2.128)
Доказательство.
Рассмотрим замену переменных (2.126). Согласно лемме 2.4

2.10. Метод последнего множителя Якоби
89
Из предложения 2.11 получаем:
дх{ = -~{.дхМ,
М
= -jj ((^AdQ/n-i + (dXnM)fn) .	(2.130)
Сравнивая два последних уравнения, имеем
ах„_а ^= о- (2-131)
Таким образом, выражение (fn-\dxn — fndxn-i)M/Д является полным
дифференциалом, и справедливость утверждения теоремы доказана. ■
Пример 2.25. ABC система Лотка-Вольтерра. Вернемся к системе
Лотка-Вольтерра [Grammaticos et ai, 1990а], рассмотренной в разделе 2.2:
а)	х = х(Су + z),
б )y = y(x + Az),	(2.132)
в)	z = z(Bx + у).
Несложно проверить, что М = является множителем Якоби при всех
значениях А, В и С. Поэтому для интегрирования системы необходимо
знать только один интеграл. Например, при ABC + 1 = 0 имеем
h = АВх + у - Az.	(2.133)
Пусть х\ = у, х 2 = z,x з = х, тогда Д = А = ду1\ = 1иМ = (zx(Ii —
— АВх + Az))-1. Дополнительный интеграл имеет вид
С{1\ — АВх + Az) + z Г Вх + (7i — АВх + Az) _
^ ~	1	 -	-пт
x{h ~ АВх + Az) ’
(2.134)
f С {I i — АВх + Az) + z	f
h = J -z(I,-ABx + Az) dz-J
который после интегрирования приводит к соотношению
/2 = Clog\z\ - log \х\ + + log I у I.	(2.135)
Заметим, что с помощью /2 аналогичным способом можно найти 1\. Вслед¬
ствие линейности первого интеграла этот пример оказался довольно про¬
стым. Но, в общем случае, обратимость 1\ (х, у, z) = с\ относительно одной

90
Глава 2
из переменных представляет собой гораздо более сложный процесс, а ре¬
зультирующий дополнительный первый интеграл задается, как правило, в
виде интеграла от алгебраической функции.	■
Пример 2.26. Уравнения Эйлера. Система (2.16), описывающая дви¬
жение твердого тела, допускает существование множителя Якоби. Можно
поверить, что эти уравнения являются консервативными, так как
дши + йу7 = 0.	(2.136)
Следовательно, в качестве множителя Якоби можно принять М — 1, а по¬
ток, соответствующий решению, называется потоком с нулевой диверген¬
циейI, поскольку, по теореме Лиувилля об изменении объема фазового про¬
странства, поток сохраняет фазовый объем. В случае системы Эйлера урав¬
нения движения шестимерны, и при всех значениях параметров существует
три первых интеграла. Следовательно, чтобы проинтегрировать и получить
полностью интегрируемую систему, необходим четвертый первый интеграл.
Его можно найти в четырех классических случаях, приведенных в приме¬
ре 2.3. В этих четырех случаях можно получить и пятый первый интеграл,
с помощью формулы последнего множителя Якоби. Однако этот последний
первый интеграл обычно не задан, и уравнения движения традиционно ин¬
тегрируются через элементарные функции (гиперэллиптические — в случае
Ковалевской, эллиптические — в трех других случаях). Для широкого класса
векторных полей метод построения простых множителей Якоби изложен в
книге Горбу сова [Gorbusov, 1994]).	■
2.11.	Пары Лакса
Одним из самых интересных объектов, возникающих в теории диф¬
ференциальных уравнений, является пара Лакса. «Пара Лакса» — это пара
линейных операторов, коэффициенты которых зависят от х = x(t) и услови¬
ем совместности которых является существование самого векторного поля.
Несмотря на то, что возникновение идеи о парах Лакса относится к про¬
шлому веку, Питер Лаке [Lax, 1968] был первым, кто применил это общее
понятие к эволюционному уравнению (в частности, к уравнению Кортевега-
де Вриза (КдВ)). С тех пор пары Лакса стали центральным объектом при
анализе интегрируемых систем. В этом разделе рассмотрены пары Лакса на
простейшем уровне; нас будут интересовать только их общие алгебраиче¬
ские свойства. Обсуждение пар Лакса в контексте алгебраической геомет¬
рии можно найти, например, в прекрасной работе Одина [Audin, 1996].

2.11. Пары JI Акса
91
2.11.1.	Общие свойства
Для определения понятия пары Лакса для системы ОДУ сначала вве¬
дем понятие производной для матриц [Churchill & Falk, 1995]. Рассмотрим
матрицу А размерности т х га, элементами которой являются функции
класса С1 от переменных х = (xi,..., хп), то есть А е Л/17П(С1(х)). Произ¬
водной по времени А матрицы А называется матрица, элементами которой
являются производные по времени от элементов матрицы А по направле¬
нию векторного поля f. То есть
(A)ij — Aij — fkdXkAj
(2.137)
к=1
Или
А = SfA = f.dxA.
(2.138)
Определение 2.20. Пара Лакса для векторного поля <5f — это упорядо¬
ченная пара матриц (А, В), А, В е Мгп{С1{х)) таких, что
А = [В,А],
(2.139)
где [В, А] = ВА—АВ. Пара Лакса называется нетривиальной, если А ф (0),
и тривиальной в противном случае.
Это определение проще всего понять на примере.
Пример 2.27. Простая пара Лакса. Система
а) х = х(у - z),
б) у = y(z - х),
в) z = z(x - у)
(2.140)
допускает существование следующей пары Лакса:
"0 1
X
х + у 0 1
А =
У 0
1
, В =
1 у + z 0
1 г
0
0 1 х + z
(2.141)

92
Глава 2
Проверка осуществляется с помощью непосредственных вычислений:
А =
О 0 х
у 0 0
0 z 0
О
y(z - X)
О
О
О
z(x - у)
х{у - z)
О
О
х 4- у 0	1
1 у + z О
О 1 х + z
"0 1 *■
У 0 1
1 г 0
0 1 х
у 0 1
1 2 0
х +	у	0	1
1 y	+ z	О
О	1	х	+	z
= В А- АВ.
(2.142)
При дальнейшем применении на структуру пары Лакса накладывается
ограничение. Мы хотим, чтобы пара Лакса содержала всю информацию об
исходном векторном поле, то есть мы хотим иметь возхможность полностью
восстановить векторное поле f на основании соотношения (2.139) для па¬
ры Лакса. Если из соотношения (2.139) может быть получено f, то пара
Лакса называется регулярной, в противном случае пара Лакса нерегуляр¬
ная. Точнее, А определяет т2 линейных соотношений по х: dXkAij±k. Если
существует область U такая, что для всех х £ U п из этих соотношений
являются линейно-независимыми, то пара Лакса является регулярной.
Пример 2.28. Нерегулярная пара Лакса. Рассмотрим систему из
предыдущего примера и добавим к ней еще одно уравнение:
а) х = х(у - z),
б) У = y{z - х),
в) z = z(x - у),
г) го = f(x,y,z,w)\
(2.143)
тогда, в соответствии с нашим определением, пара Лакса (2.141) для си¬
стемы (2.140) остаётся парой Лакса и для этой четырехмерной системы.
Однако из этой пары Лакса нельзя восстановить данное векторное поле,

2.11. Пары Лакса
93
так как А не зависит от переменной w, и существует только три ненулевые
компоненты матрицы А. Следовательно, пара Лакса (2.141) является нере¬
гулярной для (2 Л 43).	■
Важность пар Лакса для теории интегрируемости заключается в сле¬
дующем замечательном свойстве.
Предложение 2.12. Пусть (Л, В) — пара Лакса для 5f, тогда ti(Ak)
является первым интегралом векторного поля 5f для всех к Е N.
Доказательство.
Покажем, что производная по времени от ti(Ak) тождественно равна
нулю. Для этого воспользуемся свойством следов ti(AB) = tr(ВА) и И(Л-Ь
+ В) =tr(B + А):
d ,	,dA*
= tr {Ал*-1 + АААк~2 + ... + Ак~1 А),
= кЫ{ААк-г),
= kti(BAk - АВАк~1),
= кЬт(ВАк - ВАк),
= /ctr(O),
= 0.	(2.144)
Интересным следствием этого предложения является то, что собствен¬
ные значения матрицы А также оказываются постоянными.
Следствие 2.3. Пусть (Л, В) — пара Лакса для 6f, тогда А — первый
интеграл для всех X £ 8рес(Л).
Доказательство.
Коэффициенты характеристического многочлена данной матрицы явля¬
ются симметричными функциями собственных значений (Ai,..., Ап). Кро¬
ме того, имеем: tr(Ак) — Х^Г=1 Следовательно, tr^fc) порождает все
симметричные функции данных собственных значений, и коэффициенты
характеристического многочлена являются первыми интегралами. Поэтому
эти собственные значения являются алгебраическими функциями первых
интегралов tr^fc).	■

94
Глава 2
Пример 2.29. Первые интегралы. Теперь вернемся к примеру 2.27 и
найдем первые интегралы системы (2.140), вычислив следы возрастающих
степеней матрицы А:
а) tr(A) = 0,
б) tr(А2) = -2(х + у + z),
в) tr (А3) = 3(1 + xyz),	(2.145)
г) tr(A4) = 2(х + г/ + z)2,
д) tr(A5) = 5(х + у + z)( 1 + xyz).
Таким образом, Ii=x-\-y	+	zn 12 = xyz — первые интегралы.	■
Последний пример	наглядно показывает, что для матрицы размерно¬
сти mxm, зависящей от п переменных, только п из т следов могут быть
функционально	независимыми (так как следы зависят	от п <	т	собствен¬
ных значений).	Однако	следы матриц возрастающих	степеней	не всегда
позволяют найти достаточное количество первых интегралов системы.
Пример 2.30. Система
а) х = (цз - м2)yz,
б) у = (/л - цз)хг,	(2.146)
в) i = (м2 - Mi )ху
имеет регулярную пару Лакса
1
О
1
I
0 Мз Z -М2 У
А =
н
1
о
м
, в =
—ysz 0 yix
1
*2
О
У2 у —^1% о
Различные следы Ак дают: tr(A) = tr(A3) = 0 и tr(A2) = —2Д = — 2[х2 +
+ у2 + z2). Однако система допускает существование еще одного первого
интеграла /2 = у\х2 4- у^у2 + yiz2, который не может быть найден непо¬
средственно из структуры матрицы А. Заметим, однако, что для первого
интеграла выполняется соотношение tr(AB) = 2/2.	■
Возникает интересный вопрос: а можно ли, зная пару Лакса, най¬
ти недостающий первый интеграл? Мы вернемся к этой задаче в разде¬
ле 2.11.2. Теория пар Лакса является очень важным инструментом иссле¬
дования иерархий интегрируемых систем, то есть n-мерных систем, опре¬
деленных для произвольных значений п. Такие системы обычно возникают
как редукции уравнений в частных производных (УЧП).

2.11. Пары Лакса
95
Пример 2.31. Система Тоды. Тода [Toda, 1967] предложил простую
модель динамики частиц, взаимодействующих с экспоненциальными си¬
лами отталкивания [Toda, 1967,Toda, 1981]. Гамильтониан такой системы
имеет вид:
N
Я = Е
г=1
р?
+ eqi Qi+1 + KQi ~ Qi+l)
(2.148)
Эволюция частиц рассматривается на окружности, так что qN+i = Qi- Урав¬
нения Гамильтона задаются сотношениями:
*=!£■ *
дН
дЯг’
г =
При /л = 0 парой Лакса является пара (Л, В) с матрицами
(2.149)
' Ьг
а\ 0 ..
. 0
адг
0,1
^2 02 •.
. 0
0
0
02 Ьз . .
. 0
0
А =
0
0 0..
• Ьм-1
on- 1
.on
0 0..
. ам-i
Ьы .
~
0
а\ 0 .
0
—on
~а\
0 Й2 •
0
0
0
1
©
ю
О
0
0
В =
0
0 0 .
0
ON-
-l
адг
0 0 .
.. —адг
-1 0
(2.150)
И
1	{	Qi	~	Qi+l \ т Pi	п кп
ai = 2 ехР ( 	2	]’	i	=	~ + '	(2.151)
Впервые эту пару Лакса независимо друг от друга получили X. Флашка и
С.В.Манаков в 1974 году [Flaschka, 1974,Flaschka, 1975,Manakov, 1975].
Общий вид этой пары Лакса позволяет нам описать различные свойства
цепочки Тоды. Например, при 7V = 3 и ц = 0 гамильтониан имеет вид:
Н=1(р21+р22+р1) + Х1+Х2+Х3,
(2.152)

96
Глава 2
где Xi = exp (qi — qi+i), и три первых интеграла можно получить из пар
Лакса
h = H,
h=Pi+P2+P3,	(2.153)
h = ^(Pi + P2 + Рз) + Pi(Xi + X2) + P2(Xz + Хз) + рз(Хз + Xi).
Следует иметь в виду, что, используя пару Лакса, можно явно про¬
интегрировать уравнения движения и описать многие общие свойства их
решений (таких как асимптотика и периодические решения). Смотрите, на¬
пример, книгу Переломова [Perelomov, 1990].	■
Как уже отмечалось ранее, уравнение для пары Лакса также может
рассматриваться как условие совместности двух линейных систем, то есть
пара Лакса является условием совместности, возникающим при коммутации
линейных операторов.
Предложение 2.13. Пусть А — полупростая матрица9, тогда урав¬
нение (2.139) для пары Лакса является условием совместности линейных
операторов Li, Ь2, определяемых уравнениями
а) 1аФ = (Л-А)Ф = 0,
(2 154Y
б)L2V = (dt-B)V = 0,	;
где Ф = Ф(£) G (С1(^))п, А и В — функции от х = x(t) Е (C1(t))n и А —
постоянная.
Доказательство.
Условием совместности операторов Ь\ и Ь2 является уравнение отно¬
сительно х такое, что два линейных уравнения L1Ф = 0 и Ь2$ = 0 име¬
ют общие решения. Чтобы найти такое уравнение, вычислим Li(L2(ty)) —
— L2(L 1(Ф)) = 0 или, что тоже самое, возьмем производную по времени
от выражения (2.154(a)) и, учитывая соотношение (2.154(6)), упростим его.
В результате получим:
ЛФ + АФ = АФ.	(2.155)
9Матрица А является полупростой матрицей, если существует обратимая матрица В такая,
что В~1АВ является диагональной матрицей, то есть матрица А может быть приведена к
диагональному виду.

2.11. Пары JIakca
97
Последнее уравнение можно представить в виде
ЛФ + АВЧ! = АВФ = БАФ = £ЛФ.
(2.156)
Поскольку А — полупростая матрица, то множество собственных векторов
Ф матрицы А образует полный базис. Из соотношения
ЛФ = (ВА-АВ) Ф	(2.157)
следует, что А = [В, А].	■
Эти пары линейных операторов не всегда имеют матричную форму.
Например, в теории УЧП пары Лакса зачастую имеют вид пары линейных
операторов n-го порядка от одной переменной. Тогда возникает естествен¬
ный вопрос: как записать такую пару линейных операторов в форме (А, В)?
Эта проблема схожа с задачей преобразования дифференциального уравне¬
ния n-го порядка в систему ОДУ первого порядка.
Пример 2.32. Процедуру построения матриц (А, В) из пары линейных
операторов можно продемонстрировать на примере простой системы
а) х = у,
б) у = —Зх2.
Этой системе можно поставить в соответствие пару операторов Лакса, опре¬
деляемых выражениями
д2
(2.158)
а) Ьг = ~ + х - А,
б) Z/2 = 4 —« + 6х— + 3у — ц.
(2.159)
dt3 ' dt
Условие коммутативности (L1L2 — L2L1) Ф = 0 эквивалентно производной
от уравнения, то есть соотношению dt(dttx + За;2) = 0. Типичной особен¬
ностью пары операторов Лакса является то, что один из операторов имеет
более высокий порядок. Например, в нашем случае L2 имеет порядок 3.
Введем переменные: <р\ = Ф, <^2 = 01, ¥>з = ф2- Эти три соотношения
вместе с равенством L2 Ф = 0 можно записать в виде
Ф\
^2
Ф2
=
^3
_фз _
L^l lX(P2j
0
0
1
0
з.
2 J
0"
¥>1
1
^2
0
<Рз
(2.160)

98
Глава 2
Отсюда, учитывая соотношение (2.154(6)), получаем матрицу В. Чтобы вы¬
числить А, рассмотрим уравнение Ь\Ч! = 0 и его производные. Причем
всякий раз, когда в выражении появляется третья производная от Ф, ис¬
пользуем соотношение 1/2^ = 0. В результате получим
(х - \)ip! + (fis
' %
‘ 2
и-у
4
(|+ А)^3
1
0
- А
Ч>\
"о"
(f2
=
0
(2.161)
4>з
0
Отсюда, воспользовавшись соотношением (2.154(a)), найдем матрицу А.
Теперь для получения первого интеграла системы вычислим след матри¬
цы Ак
tx(A) = tr{A2) = 0, tr(A3) = --
(2.162)'
Заметим, что дополнительный параметр ji является лишним при построе¬
нии первого интеграла. Однако при определении геометрических свойств
решения этот, так называемый, «спектральный параметр» играет определя¬
ющую роль.	■
Приведённый пример показывает, что данный способ построения пар
Лакса, в общем случае, вполне применим и что пару линейных операторов
порядка п и (п — I) (I > 0) можно записать как пару, составленную из
системы п уравнений первого порядка и системы п линейных уравнений.
Однако существует еще один путь представления матричной формы
пар Лакса. Для того чтобы его продемонстрировать, рассмотрим матрицы
Aw В как функции произвольной постоянной А.
Пример 2.33. Стационарное уравнение КдВ пятого порядка. Четы¬
рехмерная система
а)	х = у,
б) у ■-
в) й -
Г) V ■
и X
2
: V,
(2.163)
buv

2.11. Пары JTakca
99
может быть получена из уравнения Кортевега-де Вриза пятого поряд¬
ка [Blaszak & Rauch-Wojciechowski, 1994]
Ut + {UXxxx T- 10 UUXx +	+	10U3)X	=	0.	(2.164)
Поэтому пару Лакса для (2.163) можно получить из пары Лакса для урав¬
нения КдВ. В этом случае пара Лакса, записанная в виде матриц, имеет
вид
А =
В =
—4 Ху — v — ху	1§\2+ %\х+2и+х2
16А3 — 8\2х+3\х2 — 2Хи — у2 — х3 + 2хи 4Ау 4- v + ху
(2.165)
0 1
А — х 0
Определитель матрицы А позволяет найти два первых интеграла:
det(^) = -256А5 + /аА - /2,	(2.166)
где
а)’ 1\ = —20 х2и + 5ж4 + 4 и2 — 8 yv,
б) I2 = v2 А 2xyv — 2у2и + 4хи2 — хъ.
(2.167)
Поскольку векторное поле (2.163) не зависит от А, то коэффициенты при
всех степенях А являются первыми интегралами. Следовательно, получаем,
что 1\ и /2 являются первыми интегралами.	■
Такие пары Лакса будем называть А-парами Лакса и обозначать как
(А(А), В(А)). Данное представление позволяет записать пару Лакса в ком¬
пактном виде и основано на следующем свойстве нахождения первых ин¬
тегралов.
Предложение 2.14. Пусть (А(Х), В(Х)) — пара Лакса векторного
поля Sf, где А и В — полиномы по А € Кк, и пусть f не зависит от X,
I
тогда det(A) = ^ ijAj для некоторого I € N и все коэффициенты ij
54Л=о
являются первыми интегралами векторного поля f.
Доказательство.
Матрица А, как и ее определитель, являются полиномиальными по А.
Поскольку собственные значения матрицы А являются первыми интегра¬
лами, то и det(A) — первый интеграл. Заданное векторное поле не зависит

100
Глава 2
от Ai,..., А*;, поэтому каждый коэффициент в отдельности обращается в
нуль.	■
Можно показать, что A-пары Лакса могут быть представлены через
пару Лакса без использования дополнительных произвольных параметров.
Предложение 2.15. Пусть (А(Х), В(Х)) — Х-пара Лакса для Sf, где
А = Yli=о AiXг и В = о BiX1. Тогда (А, В) — пара Лакса для Sf, где
А =
В =
Ао Ai
0
0
0
0 “
0
Ао
Ai
0
0
0
0
0
Ао Ai
Аа
0
0
0
0
0
0
Ао
Аг
Ао
0
0
0
0
0
Ао
Ai
а2
0
0
0
0
0
0
Ао
Ai
0
0
0
0
0
0
0
Ао _
Bq Bi
Вь
0
0
0
0 '
0
Во
Bi
Вь
0
0
0
0
0
Во
Bi
Вь
0
0
0
0
0
0
Во
Bi
В2
0
0
0
0
0
Во
Bi
в2
0
0
0
0
0
0
Во
Bi
0
0
0
0
0
0
0
Во.
(2.168)
и dim(*4) = dim (В) — dim(A)(a + b — 1).
Доказательство.
Уравнение (2.139) для пары Лакса можно представить в виде
г=1
Ёы*
г=1
г=1
АЛг
(2.169)
Поскольку векторное поле не зависит от А, то последнее соотношение мож¬
но записать в виде набора линейных уравнений
Ai — [Bj, Aj—j]
.7—0
г = 0,..., а + 6,
(2.170)

2.11. Пары JI Акса
101
где Aj = Bk = 0 для всех j > а, /с > 6. Непосредственные вычисления
показывают, что этот набор соотношений эквивалентен условиям, получен¬
ным из уравнения
Представление системы уравнений в виде пары Лакса не является един¬
ственным. Заданная система может иметь не одну пару Лакса. Например,
допустим, что (А, В) — пара Лакса векторного поля Sf, тогда другая пара
Лакса для <5f задается как (Л + J(x)I, В), где J(x) — первый интеграл. Вооб¬
ще говоря, отталкиваясь от любой заданной пары Лакса, можно построить
бесконечное множество новых пар Лакса.
Предложение 2.16. Пусть (Л, В) — пара Лакса для Sf и пусть Р — ана¬
литическая функция. Тогда (Р(А), В) также является парой Лакса для Sf.
Доказательство.
Пусть (А, В) — пара Лакса для Sf. Покажем, что (г) (jAk,B) также
является парой Лакса для всех к £ N, 7 G К и (гг) (А + Л, В) — пара Лакса
для всех Л таких, что (А, В) является парой Лакса. Из сформулированных
предположений непосредственно вытекает утверждение теоремы.
(г) Чтобы показать, что (7Ак, В) является парой Лакса, вычислим гуАк\
А = [В, А].
(2Л71)
к— 1
lAk = 7
к— 1
к-1
= 7 J2 Ai(BA - AB)Ak~1~i
7 (ВАк - ВАк) ,
[В^Ак].
(2.17-2)

102
Глава 2
(гг) Теперь вычислим производную от А + А, полагая, что и (А, В), и (А, В)
являются парами Лакса: А + А = В А — АВ + В А — Ав = [В, А + А]. Ш
Таким образом, выбор матрицы В в паре Лакса любой заданной систе¬
мы не является единственным.
Предложение 2.17. Пусть (А, В) — пара Лакса для 5f. Пара (А, В)
также является парой Лакса для 5f тогда и только тогда, когда
[В - В, А\= 0.
Доказательство.
Утверждение теоремы непосредственно вытекает из определения пары
Лакса: А — [В, А] = [В, А]. Следовательно, [В — В, А] = 0.	■
2.11.2.	Построение пар Лакса
В настоящее время отсутствует общий алгоритм построения пар Лак¬
са для случая, когда первые интегралы неизвестны. В некоторых случаях
данное векторное поле может быть восстановлено с помощью редукции из
УЧП. Тогда пары Лакса для этих векторных полей — это просто пары Лак¬
са, полученные в результате соответствующей редукции из пары Лакса для
УЧП. Примером могут являться все ОДУ, полученные как редукция инте¬
грируемых семейств уравнений (таких как семейство уравнений Кортевега-
де Вриза). В других случаях структура групп Ли соответствующих уравне¬
ний позволяет построить пары Лакса для интегрируемых систем [Adler,
1979,Kostant, 1979,Semenov-Tian-Shanski, 1983]. Именно таким путём были
получены пары Лакса для уравнений Эйлера (в известных интегрируемых
случаях). Третий путь получения пар Лакса — использование свойств ло¬
кальных разложений решений в ряд Лорана в окрестностях особых точек.
Общий подход и анализ локальных разложений решений вблизи подвижных
особых точек будет обсуждаться в следующей главе. К сожалению, подхо¬
ды к построению пар Лакса таким способом еще недостаточно изучены
и эффективны только в некоторых частных случаях (как это ни странно,
оказалось, что этот метод работает, главным образом, для УЧП). Однако с
каждым годом количество работ, посвященных этому направлению, растет,
и можно надеяться, что в скором времени будет создан общий алгоритм,
в котором для построения пар Лакса используются локальные разложения
решений [Weiss, 1983, Weiss, 1985а,Tabor & Gibbon, 1986,Conte, 1988,Newell
et al., 1987, Musette & Conte, 1991,Flaschka et al., 1991, Estevez & Gordoa,
1997,Estevez et ai, 1998,Estevez & Gordoa, 1998,Estevez, 1999].

2.11. Пары Лакса
103
Следует также отметить, что до сих пор не существует и общего алго¬
ритма прямого построения пар Лакса для алгебраически интегрируемых си¬
стем. На данном этапе одним из основных вопросов, является следующий:
можно ли построить пару Лакса для системы, если несколько ее первых
интегралов известно? В этом разделе мы опишем три различных подхода
к нахождению пар Лакса для векторного поля с заданными первыми инте¬
гралами. Авторами первого метода являются Черчилль и Фальк [Churchill
& Falk, 1995].
Предложение 2.18. Пусть Д,... ,/& — к независимых первых инте¬
гралов Sf, тогда пара матриц
А =
9(х)	1
_ -g(x) -	hXi -<КХ).
В =
о о
-f.dxg 0
(2.173)
где Ai,..., А& — произвольные параметры и д(х) — некоторая непостоян¬
ная функция от х, является парой Лакса.
Доказательство.
Непосредственные вычисления показывают, что (Л(А), В{А)) — А-пара
Лакса. Определитель det(A) =	^А*	матрицы	А	и каждый коэффици¬
ент при Xi являются первыми интегралами.	■
Однако пары Лакса, построенные этим способом могут оказаться нере¬
гулярными, поскольку из такой пары Лакса иногда не удается восстановить
векторное поле.
Предложение 2.19. Пусть ii,..., /*• — k независимых первых инте¬
гралов Sf. Рассмотрим матрицу S = diag(/i,..., /&, A&+i,..., Am), где
Afc+i,..., Am — произвольные параметры и М — М(х) £ SL(га, К) V х.
Тогда пара матриц
A = MSM~1, В = ММ~Х	(2.174)
является парой Лакса для Sf.
Выбор матрицы М таким образом, что det(M) = 1, гарантирует суще¬
ствование пары Лакса в виде полинома в случае, когда все первые интегра¬
лы — полиномиальные.
Доказательство.
Согласно условию теоремы имеем S = 0 и Spec(A) =Spec(5). Можно

104
Глава 2
проверить, что (Л, В) является парой Лакса:
^-А = MSM-1 + MSM-1 - MSM-'MM-1,
at
= MSM~l -
= MM~1MSM~1 — MSM~1MM~1,
= [MM~1,MSM~1],
= IB,A}.	я
Еще один путь решения задачи — поиск пар Лакса для некоторого
класса систем [Mumford, 1984, Churchill & Falk, 1995].
Предложение 2.20. Рассмотрим две функции g = g(x) и h = /г(х),
где x(t) — решение системы х = f(x) такое, что g ф 0. Предположим,
что функции g и h выбраны так, что выполняется соотношение
Тогда пара матриц
А =
dt3 dt
-9	29
-g + 2gh g
dh
2—g.
dt*
В =
0 1
h 0
(2.175)
(2.176)
является парой Лакса для векторного поля .
Доказательство.
Предложение доказывается с помощью непосредственной проверки
справедливости соотношения Лакса. Это доказательство предлагается в ка¬
честве упражнения.	■
Задача нахождения подходящей пары (д, К) непостоянных функций,
для которых выполняется соотношение (2.175), может быть решена, ес¬
ли взять некоторую функцию 5 = s(x) и использовать условия: g — s1
и h — s/s.
Пример 2.34. Гамильтониан Хенона-Хейлеса. Известно, что гамиль¬
тониан
н = 2^1 +#2) + 2 (“^1 + ья1) +	+c<Zi<?2	(2.177)
интегрируем в трех случаях:
случай 1	:	(а, 6, с)	=	(а, 6,1/6),	(2.178)
случай 2	:	(а, 6, с)	=	(а, а, 1),	(2.179)
случай 3	:	(а, 6, с)	=	(а, 0,0).	(2.180)

2.11. Пары Лакса
105
Чтобы найти пару Лакса, зададим
д = )?	A gi\до,	(2Л81)
h = \2	+ h0,	(2.182)
где gi,go,ho	—	полиномы	по х =	(<?i, <?2,РъР2)	с	неопределенными ко¬
эффициентами,	выбранные	так, чтобы выполнялось	соотношение	(2.175).
В результате достаточно громоздких вычислений приходим к следующим
результатам:
1) (о, Ь, с) = (а, 6,1/6):
9i = j,	(2.183)
50 = _(664^ +48	(2Л84)
ho = —	— g(4& + а).	(2.185)
Вычисление определителя матрицы А приводит к появлению второго
первого интеграла вида
G= ^(4b-a){bql+pl)+bq1ql+p2(q2Pi-qiP2) + ^ql(ql+^q2). (2.186)
2) (а, b, с) = (а, а, 1):
51 = ^(<71 +92 +lH),	(2.187)
а — 2^уН
9о — —jg (2<?i + 2<?2 — 47# + За),	(2.188)
Ы = -91+923+7Я,	(2.189)
где 7 — произвольный параметр. При 7 = 0 определитель матрицы А
не позволяет найти независимый первый интеграл. Однако при 7/0
имеем
G = piP2 + qiP2(a A qi) +	(2.190)

106
Глава 2
При этом опять находим дополнительный первый интеграл:
G = p2.	(2.193)
Следует заметить, что вычисления, которые реализуются при нахожде¬
нии пар Лакса, не оказываются короче прямого пострения полиномиальных
первых интегралов.	■
2.11.3.	Расширение пар Лакса
Из предыдущих разделов можно заметить, что получить первые инте¬
гралы из пар Лакса не всегда возможно. Однако можно пытаться построить
новые пары Лакса из уже имеющихся «неполных» пар. Возможный путь
расширения пар Лакса состоит в добавлении к паре (А, В) пары произволь¬
ных матриц (А, В), то есть в определении новой пары матриц:
а)	А1(\) = А + \А,
б) Si (Л) = в+ \в.
а )А = [В,А] + [В,А],
б)	0 =[В,А].
(2.194)
Соотношение Лакса для {А\, В\) имеет вид:
Л1 = [ВиА1].	(2.195)
Отсюда имеем:
А + ХЛ = [В, А] + \([В, А] + [В, А}) + Л2[В, А].	(2.196)
Следовательно, получаем:
(2.197)
Эта система, в общем случае, не может быть решена. Однако существу¬
ют две простые матрицы, удовлетворяющие условию коммутативности: (г)
В = и(х)А или (гг) А = diag(ai,... ,ат), В = diag(6i,... ,6m). Из перво¬
го соотношения получим уравнение для элементов матрицы А, то есть для
компонент векторов а и Ь.

2.11. Пары Лакса
107
(2.200)
Пример 2.35. Рассмотрим снова систему (2.146)
а)	х = (^з - y2)yz,
б) у	=	-	цз)хг,	(2.198)
в)	z	= (ц2	-	щ)ху.
Если выбрать А = diag(ai, аг,аз) и В = diag(6i, Ь2,&з)> гДе
а) а = ^(М1~М2-/аз,-М1+М2-Мз,-М1-М2+Мз),	^
б)	b = (af,a|,a|),
получим
а)	tr(Af) = X2Ci - 2Ix,
б) tr(T2) = \ZC2 - ЗА/2,
где /1 = ж2+у2+л2 и I2 = i-qx2+Ц2У2 + i-i^z2, а С'ъ С2 — постоянные [Steeb
& van Tonder,	1988].	■
В случае	когда несколько	собственных значений матриц А и В	явля¬
ются вырожденными, некоторые коэффициенты собственных векторов Ф
могут оказаться постоянными.
Предложение 2.21. Пусть {А, В) — пара Лакса для Sf. Предположим,
что р — постоянное собственное значение матрицы В с собственным
пространством (3Если существует собственное значение А матрицы А
с собственным пространством ос\ такое, что 0 / f G сх\ П /3тогда
Фге_Аи = являются первыми интегралами <5f и число независимых первых
интегралов равно т — dim(aA П /Зм).
Доказательство.
Рассмотрим соотношение (2.154)
а)	ЛФ - АФ.
(2.201)
б)	БФ = Ф.
Если существует ненулевой вектор Ф Е ал П /3 , тогда БФ = /хФ = Ф* и
ф^е-^ = /г, г = 1, ... ,771.	■
Это предложение наиболее часто используется в случае, когда Л и Б
имеют большие ядра10 с ненулевым пересечением.
10Ядром матрицы А называется пространство векторов, произведение матрицы А на которые
равно нулевому вектору, то есть Ker(A) = {х Е Мп|Ах = 0}.

108
Глава 2
Пример 2.36. Взаимодействие океанических волн. Следующая си¬
стема описывает взаимодействие трех волн, имеющих равную интенсив¬
ность. Она используется при моделировании взаимодействия внутренних
океанических волн низкой частоты с поверхностными волнами более высо¬
кой частоты [Menyuk et al., 1982]. Система имеет вид:
N
i) х0 =i'Y^xky*k,
к=1
б) хк = гхоук,
в) у к = гх^хк,
Эти уравнения являются уравнениями Гамильтона для гамильтониана
к = 1,... ,7V,
к = l,...,iV.
(2.202)
N
Н = i (хох*кук + XQXkу%),
(2.203)
к=1
каждая переменная которого канонически сопряжена с ее комплексной пе¬
ременной. Пара Лакса имеет вид:
А =
В =
0
-хо ~
_ _
2
2 * •
Xn
2
1
*
1
xl
0 -
-30
2
2
Vn
2
x N
2
£1
2
2
0
0
0
0
— 30.
2
2
0
0
0
0
X*N
2
Vn
2
0
0
0
0
Vn
2
X /V
2
0
0
0
0
0
0
AXl
1 2
aJLL
г .
j X_N_
. . 1 2
jlk.
1 3
0
0
1 2
• Xi
г“2" '
.. -г^
A XN
2
• ж?
г~2
1 2
0
0
0
0
if
— Iх.I
L 2
0
0 .
.. 0
0
AXN
2
2
0
0 .
.. 0
0
оШ
1 2
7*
1 2
0
0 .
.. 0
0
(2.204)
(2.205)

2.11. Пары Лакса
109
Среди 2N 4- 2 следов матрицы А только три, являющиеся функционально
независимыми, приводят к первым интегралам:
N
h=H, h = ы2, h = Y, (l*fc|2 - №) •	(2.206)
к=1
Матрицы А и В имеют 2УУ-мерные ядра ао, /30 (поскольку существует
нулевая матрица размерности 2N). Пересечение Ф = ао П /30 имеет вид
Ф = (0,0,фг,1р1,... ,iPn,<Pn), где
N
I
к=2
Ф\ = \xi\2 + \yi\2, <Pl = - ^(ЫУк -ХкУ1)Фк + (XlX% + УхУк)фк) ■
(2.207)
Используя тот факт, что фкчфк — произвольные постоянные при всех к (так
как Ф = 0), приходим к выводу, что выражения
а) Jk = \хк\2 + Ы2>	k=l,...,N,
fc—i	р	208)
б) Ik+2 = '^2(xjx*k+yjy*k)(x*xk+y*yk), k = 2,...,N,
з=i
являются дополнительными первыми интегралами.	■
2.11.4.	Модификация интегрируемых систем
Структура пар Лакса позволяет определять новые интегрируемые си¬
стемы, используя известные первые интегралы. Опираясь на уже извест¬
ные интегрируемые системы, можно предложить новые. Пусть (Л, В) —
регулярная пара Лакса для Sf такая, что А имеет ненулевые постоянные
элементы. Рассмотрим обобщенное соотношение Лакса
А = [.В, А] + АЛ,	(2.209)
где А — произвольная постоянная. Последнее выражение определяет новое
векторное поле 5g с первым интегралом /*. = tr(Ak)e~kXt.
Пример 2.37. Рассмотрим систему (2.146) и пару Лакса (2.147). Со¬
отношение А = [В, А] + АЛ определяет новое векторное поле, соответству¬
ющее системе
а) х = (цз - Vi)yz + Ах,
б) У = (Mi - Цз)хг + А у,
в) z = (дг - У\)ху + Xz.
(2.210)

110	Глава	2
Эта новая динамическая система не имеет пар Лакса. Если бы, от противно¬
го, данная система имела пару Лакса, то существовал бы, по крайней мере,
один не зависящий от времени первый интеграл. Однако, согласно теоре¬
ме 4.3, это невозможно. Тем не менее система удовлетворяет обобщенному
соотношению Лакса и допускает существование первого интеграла: 1\ =
= (х2 + у2 + z2)e~2Xt.	Ш
Таким же образом, используя обобщенное соотношение Лакса
к
А= [В, A] +^\iA\	(2.211)
i=l
можно определить и другие векторные поля:
d	к
а)	^tr(A) =
г=1
d	к
б) -tr(A2) = 2VAitr(^+1),
dt	г=1	(2.212)
в)	Jt tr(^)	tl(Ai+l).
г=1
Поскольку следы матрицы А являются функционально зависимыми, то дан¬
ная система, аналогично (2.99), может быть записана как система для (п — 1)
независимых величин. Отсюда находим первый, второй и третий интегралы.
2.11.5.	Дополнительная информация о парах Лакса
Другие известные пары Лакса и методы нахождения пар Лакса вклю¬
чают:
1) системы с полуторными степенями свободы [Deryabin, 1997];
2) системы N нелинейных когерентных волн со сложным взаимодействи¬
ем [Menyuk etal, 1982,Menyuk et al., 1983,Romeiras, 1994];
3) гамильтонианы с двумя степенями свободы и потенциалом четвертой
степени. Здесь основная идея заключается в том, чтобы определить об¬
щий вид совместных с потенциалом сепарабельных пар Лакса (то есть

2.11. Пары JIakca
111
таких, для которых существует набор координат, в которых система
распадается на две отдельные интегрируемые гамильтоновы системы);
4) система Винтерница [Evans, 1990];
5) решётки Тоды [Flaschka, 1975, Flaschka, 1974, Bechlivanidis & van
Moerbeke, 1987, Das & Okubo, 1989,Perelomov, 1990, Damianou, 1991,
Ranada, 1995];
6) волчок Ковалевской [Reyman & Semenov-Tyan-Shansky, 1987,Haine &
Horozov, 1987, Reyman & Semenov-Tyan-Shansky, 1988,Bobenko et al,
1989, Komarov & Kuznetsov, 1990, Audin & Silhol, 1993,Audin, 1996,
Tsiganov, 1997, Marshall, 1998];
7) волчок Горячева [Romeiras, 1995].

Глава 3
Интегрируемость:
аналитический подход
C’est Painleve qui, le premier, aborde Г etude globale
des solutions dans le champ complexe, se rapprochant ainsi
de Poincare, qui le premier, avait fait une etude globale
des courbes integrates des equations differentielles
dans le champ reel.»1
Гарнъе (в книге [Painleve, 1973])-
В главе 2 интегрируемость систем дифференциальных уравнений бы¬
ла связана с существованием первого интеграла. Первые интегралы могут
быть использованы для упрощения динамики системы и выражают ограни¬
чения, налагаемые на зависимые переменные. В данной главе мы изучим
поведение зависимых переменных как функций независимых переменных
(скажем, времени). Явные выражения этих функций через элементарные,
как правило, неизвестны, так как очень часто решить систему обыкновен¬
ных дифференциальных уравнений не удается. Тем не менее в окрестностях
особых точек можно провести локальный анализ решений без установле¬
ния их явного вида. Особыми точками решений являются множества точек в
комплексной плоскости, в которых решение расходится. Обычно эти точки
подвижны, то есть их положение зависит от начальных условий. Поэтому
мы будем изучать поведение решения как функции комплексной перемен¬
ной. Сингулярный анализ — это локальный анализ решения в окрестностях
особых (сингулярных) точек на комплексной плоскости.
Общее решение системы дифференциальных уравнений как функция
комплексной переменной может вести себя по-разному при его аналити¬
ческом продолжении. Простейший тип такого поведения — однозначность
1 «Пенлеве был первым, кто провел наиболее полное изучение решения дифференциаль¬
ного уравнения в поле комплексных чисел, подобное проведенному Пуанкаре исследованию
интегральных кривых дифференциальных уравнений в поле действительных чисел.»

3.1. Сингулярности функций
113
общего решения. Это свойство, известное как свойство Пенлеве, налагает
достаточно жесткие условия на решения, так что система дифференциаль¬
ных уравнений, обладающая таким свойством, может рассматриваться как
«интегрируемая». К сожалению, алгоритма проверки системы на выполне¬
ние свойства Пенлеве не существует, и могут быть установлены лишь необ¬
ходимые условия. Процедура получения необходимых условий выполнения
свойства Пенлеве, известная как тест Пенлеве, требует, чтобы решения
уравнений были мероморфными функциями в окрестностях сингулярных
точек, то есть чтобы общее локальное решение представлялось рядом Ло¬
рана2.
Однако большинство систем не обладает свойством Пенлеве. Тем не
менее, на основании локального анализа решений в окрестностях сингуляр¬
ностей можно получить много важной информации относительно глобаль¬
ного поведения системы, а отсутствие мероморфности решений может быть
использовано для доказательства неинтегрируемости системы. Эти вопросы
будут рассмотрены позже в главах 4 и 5.
В данной главе введены актуальные определения, касающиеся сингу¬
лярного анализа и свойства Пенлеве на комплексной плоскости. Сделан
краткий обзор сингулярностей линейных дифференциальных уравнений и
определено свойство Пенлеве для нелинейных дифференциальных урав¬
нений. Продемонстрировано существование локального разложения и рас¬
смотрены вопросы сходимости некоторых частных рядов. Приведены раз¬
личные модификации теста Пенлеве по мере увеличения их сложностей.
3.1.	Сингулярности функций
Пусть D — открытое односвязное подмножество на римановой сфере
£ = Си {оо}. Рассмотрим функцию, то есть однозначное отображение, и
предположим, что эта функция аналитична в некоторой области / : D —► £.
Если существует функция f':D'—+Y, такая, что DnD'^0nf/ = f
на D П D\ тогда функция / может быть однозначно продолжена на D U D'.
Такое аналитическое продолжение позволяет рассматривать функцию в
некоторой области, большей исходной.
В некоторых точках £* G £ области невозможно построить аналити¬
ческое продолжение (например, в точках t* = 0 или t* = оо для логариф¬
мической функции). Пусть / — функция, определенная в D. Если / может
быть аналитически продолжена в точке £* Е dD, то t* является регуляр¬
ной точкой. Это означает, что существует е > 0 и открытая окрестность В
2Ряд Лорана вблизи точки t = to имеет вид	а*(^	— й))г-

114
Глава 3
с центром в точке £* радиуса е такая, что функция / может быть продолжена
на D U £?(£*, б). Если же таких аналитических продолжений не существует,
то £* является особой точкой, или особенностью, функции /. В частности,
если все точки £* £ 3D — особые, то 3D — естественная граница D.
Снова рассмотрим функцию / в области D и предположим, что 3D не
является естественной границей. Допустим, что все сингулярности на 3D —
изолированные особенности (точка t* — изолированная особая точка, если
существует е > 0 такое, что в выколотой открытой окрестности с центром
в точке t* радиуса е особенностей не существует). Пусть £ 3D — изоли¬
рованная особая точка. Тогда в окрестности t* можно построить конечную
последовательность функций /* на Di (г = 1,..., п), исключающую другие
особенности /*, такую, что Di П D*+1 Ф 0? Dn П D\ / 0 и = fi+1 на
Di П Di+i (рис. 3.1). Таким образом, fi+1 является прямым аналитическим
продолжением fi на Di+1. Что можно сказать относительно fn на Dn C\D\1
Либо fi = /п, либо fi ф fn на П £>ь В первом случае /п является
прямым аналитическим продолжением fi на Dn, a t* не является крити¬
ческой особенностью. Во втором случае повторяющееся продолжение од- ;
нозначной функции порождает многозначное отображение и £* называется
критической особенностью.
Рис. 3.1. Аналитическое продолжение в окрестности £*
Понятие продолжения можно уточнить для того, чтобы рассмот¬
реть аналитическое (или мероморфное) продолжение функции вдоль пути
{путь — непрерывная функция 7 : [0,1] —> £). Аналитическое продол¬
жение вдоль пути от а до b — это конечная последовательность прямых
аналитических продолжений в открытых окрестностях Di (г = 1,..., п) с
разбиением 0 = so < si < • • • < sn = 1 таким, что 7([s^-i, Si}) С. Di \/ i
и а £ D\.b £ Dn. Это стандартное представление показывает, что ана¬
литическое продолжение вдоль пути единственно [Jones & Singerman,

3.2. Решения дифференциальных уравнений
115
1987, стр. 139] и зависит только от класса гомотопииъ 7. Поэтому стано¬
вится возможным определять продолжение функции в области, в которой
может быть доказана эквивалентность путей.
Два канонических примера, показывающие возникновение многознач¬
ности, — логарифмическая функция (при любом г Е Со log(z) — решения
уравнения ew = z) и функция zl/q (q £ N, q ^ 2 — решения уравнения
wq = z). Для этих функций точки 0 и оо являются критическими, поэтому
мероморфного продолжения в окрестностях этих точек не существует. Од¬
нако в любой области Dj = {z = гегв; г > О, О Е [а, /?]} с а < /3 a -J- 27т
такая функция f является однозначной и аналитической. Для определения
таких функций мы можем ввести понятие разрезов в комплексной плос¬
кости, вдоль которых функция не может быть продолжена. Однако такой
подход не всегда приемлем, так как функции не всегда являются непрерыв¬
ными на dDj. Поэтому, вместо того чтобы ограничивать область значений
функции, расширяется ее область определения. Области, в которых такие
функции однозначны, известны как римановы поверхности; они покрывают
пространство в Со- Для логарифмической функции каждый лист римановой
поверхности соответствует отдельной ветви функции log(z).
Положение критических точек является важной информацией, необхо¬
димой для построения покрытия для многозначного отображения (то есть
различных функций в одной и той же области) или подходящих разрезов в
комплексной области. Как мы увидим позже, решения дифференциальных
уравнений имеют сингулярности, положение которых может также зависеть
от произвольных постоянных.
3.2.	Решения дифференциальных уравнений
Система ОДУ первого порядка представляет собой соотношение между
зависимыми переменными и их производными. Она имеет вид
.РДх; х; t) = 0, г = 1,..., п.	(3.1)
В данном разделе в качестве Fi выбираются алгебраические функции с
{х, х} С {Сп,Сп}, t является независимой переменной, точка ( ) обозна¬
чает производную по времени. Решением такого уравнения в односвязной
3Два пути 70,71 между точками а и b в топологическом пространстве X называются
гомотопными, если существует непрерывная функция F(x,y) : [0,1] х [0,1] —► X такая, что
F(x, 0) = 70(ж), F(x, 1) = 71 (ж), F(0, у) = а, F(l, у) = Ь. Классом гомотопии называется
класс эквивалентных гомотопных путей.

116
Глава 3
области D с Сп х С при заданных начальных условиях {хо,£о} Е D яв¬
ляется любая функция х = x(t) Е D, которая удовлетворяет соотношению
(3.1) и начальному условию х(£о) = *о- Если матрица Якоби J(x, х) = <9XF
регулярна (то есть якобиан не обращается в нуль) в области Dx с Сп, то,
используя теорему о неявной функции, система ОДУ может быть локально
записана в виде:
х = G(x; t).	(3.2)
Пусть {хо, ^о} — точка в области D С Dх х С, в которой G аналитич-
на. Тогда, по теореме Коши [Ince, 1956, стр. 71], существует единственное
аналитическое решение х = x(t) в области D' С D.
Можно учесть п начальных условий хо с помощью произвольных по¬
стоянных интегрирования и определить общее решение ОДУ в области
D' С D (в которой G аналитична) как решение с п произвольными посто¬
янными интегрирования. В противоположность этому, частное решение —
это любое решение, полученное при заданном значении, по крайней ме¬
ре, одной произвольной постоянной. В точках, в которых якобиан является
сингулярным или G не является голоморфной4, могут существовать дру¬
гие типы решений, называемые особыми решениями. Особое решение (3.1)
удовлетворяет условию det(J(x, х)) = 0. Особые решения не являются част¬
ными решениями, так как они не могут быть получены из общего решения
с помощью подстановки значений произвольных постоянных.
Пример 3.1. Особое решение. Рассмотрим уравнение
F(t, х, х) = tx2 — 2хх + 251 — 0.	(3.3)
Якобиан J(x,x) = 2tx - 2х. Решив уравнение J = 0 совместно с (3.3),
получим особые решения х = ±51.
Ш
Особые решения могут быть достаточно интересными, так как они
позволяют построить огибающие семейства решений. Особые решения
можно получить, исключая произвольные постоянные в решении х =
= x(t; С), С € Сп совместно с условием det(J(x(t; С), х(£; С))) = 0.
4Функция / : D С С —► С — голоморфна, если для / существует комплексная производная
f(z + h)—f(c) — f'(z)h
во всех точках z в D, то есть lim 	 = 0. Следует заметить, что любая
h—* о	h
голоморфная функция на D является аналитической (функция может быть локально разложена
в сходящийся степенной ряд вблизи z), поэтому эти понятия синонимичны [Remmert, 1991,
стр. 62]. Функция является мероморфной, если она остается голоморфной во всех точках, за
исключением некоторого множества, содержащего полюса этой функции.

3.3.	Особенности линейных дифференциальных уравнений
117
Пример 3.2. Особое решение в виде окружности. Дифференциаль¬
ное уравнение
— это уравнение Клеро, то есть уравнение вида f(ix — х) = д(х) с общим
решением f(tC — x) = д(С)9 где С — произвольная постоянная [Zwillinger,
1989, стр. 159]. В данном случае f(x) = х2 и д(х) = х2 + 1, а общее
решение имеет вид
Общее решение голоморфно, поэтому уравнение обладает свойством Пен¬
леве (см. раздел 3.5). Особое решение получается в результате решения
уравнения J(x, х) = 2t(tx — х) — 2х = 0, то есть х — txj(t2 — 1). Подстав¬
ляя х в (3.4), находим особое решение
Это особое решение имеет алгебраические точки ветвления t = ±1. Особое
решение — огибающая семейства прямых, описываемых общим решением
Особые решения и критические точки будут играть важную роль при
определении для дифференциальных уравнений свойства Пенлеве. Свой¬
ство Пенлеве характеризует только мероморфность общего решения, а осо¬
бые решения в определение не включены. Однако особые решения мо¬
гут демонстрировать произвольные типы особенностей, не меняя основные
свойства общего решения.
3.3.	Особенности линейных дифференциальных
уравнений
В данном разделе рассмотрены основные результаты, касающиеся ли¬
нейных систем ОДУ на комплексной плоскости. Изложение, главным обра¬
зом, имеет характер пояснений, доказательства могут быть найдены в клас¬
сической литературе [Coddington & Levinson, 1955, Ince, 1956,Hille, 1969].
В отличие от общепринятой учебной литературы, нами представлены ре¬
зультаты для систем ОДУ первого порядка, а не для частного класса ОДУ
n-го порядка с одной переменной.
jF(£, ж, х) = (tx — х)2 — х2 — 1 = О
(3.4)
x = Ct± \/С2 + 1.
(3.5)
(3.6)
(рис. 3.2).

118	Глава	3
1 Particular solutions
Рис. 3.2. Особое решение и несколько частных решений дифференциального уравне¬
ния примера 3.2, полученных из общего решения при значениях С, принадлежащих
промежутку от —5 до +5
3.3.1.	Фундаментальные решения
Рассмотрим систему п линейных ОДУ
5(М;х):	х	= M(t)x.	(3.7)
Предположим, что M{t) голоморфна в односвязной области D (то есть
каждая часть М голоморфна в D). Пусть to £ D — некоторая заданная точка
и хо € Сп — начальное условие. Тогда существует единственное решение
системы 5(М;х), которое обозначается как х = х(£;£о,хо), голоморфное
в D, такое, что x(£q; to, xq) = xq.

3.3.	Особенности линейных дифференциальных уравнений
119
Рассмотрим матрицу Xq G GL(n,C). Тогда существует матрица
X(t\ to, Xq), которая является решением матричного уравнения
и удовлетворяет условию X(tQ\tQ,Xo) = Xq. В силу линейности этого
уравнения, если Х\ — произвольная постоянная матрица, то X(t)X 1 также
является решением. Поэтому имеем
Важным свойством матричного решения X(t) является тот факт, что
X(t;to,Xo) обратимо тогда и только тогда, когда Xq обратимо. То есть
матрица X фундаментального решения состоит из линейно-независимых
векторов решений тогда и только тогда, когда начальные вектора линейно¬
независимы. Изящное доказательство этого результата состоит в получении
временной зависимости определителя X. Пусть x(t) = det(X(t))9 тогда
На основании этого выражения можно сделать вывод, что матрица X(t)
фундаментального решения является или регулярной, или нерегулярной во
всей области D.
3.3.2.	Регулярные особые точки
Фундаментальное решение может быть аналитически продолжено на
любую область, на которую может быть продолжена матрица M(t) уравне¬
ния X = M{t)X. Задача заключается в исследовании особенностей X(t)
вблизи особенностей M(t). Однако, в общем случае, типы особенностей
решения X(t) не определяются типом особенностей M(t). Решение X(t)
может иметь, по сравнению с M(t), особенность более сложного или более
простого характера. Например, существование простого полюса M(t) мо¬
жет приводить к появлению трансцендентной критической точки, полюса
или даже голоморфного решения X(t). В противоположность этому, нали¬
чие полюса высокого порядка может привести к возникновению в решении
существенно особой точки.
X = M{t)X
(3.8)
X(t;tQ, Xq) = X(t;tQ,l)XQ.
(3.9)
(3.10)
Определение 3.1. Пусть в окрестности начала координат M(t) име¬
ет простой полюс, то есть M(t) = jH(t), где H(t) — голоморфна при

120
Глава 3
|£| < Д G К и Н(0) Ф 0. Тогда точка t — 0 — регулярная особая точка
5(М;х).
При появлении регулярной особой точки общее решение имеет про¬
стую форму (см., например, [Coddington & Levinson, 1955]).
Предложение 3.1. Если t = 0 — регулярная особая точка системы
5(М, х), то существует п линейно-независимых решений вида5
X* = tpi(ci0 + Си logt Н- ... + ciSi(log£)Si), г = 1,... ,72,	(3.11)
где сij G C((t))n и pi — собственные значения Н(0) алгебраической крат¬
ности Si.
Более того, если Н — постоянная матрица, то получаем следующий
результат.
Предложение 3.2. Если t — 0 — регулярная особая точка системы
5(М, х) и М = jH, где Н — постоянная матрица, тогда общее решение
имеет вид
х = tHC,	(3.12)
где tH — экспоненциальная матрица, вычисляемая как tH = е(1°е t)H, и С —
вектор произвольных постоянных.
Если при t = 0 M(t) имеет полюс высокого порядка, то в некоторых
случаях удается найти линейное преобразование х' = Lx с L е МП(С(£)),
которое сводит исходное уравнение к новому, которое может иметь простой
полюс при t = 0 [Singer, 1990]. Если же такого преобразования не существу¬
ет, то £ = 0 является нерегулярной особой точкой, для которой существует п
линейно-независимых решений вида
Xi = eQi^hpi (СгО + Сц lo gt + ... + cis-(log t)Si),	(3.13)
где с^ G	pi G C; qi e N к Qi — полином no tx!qi.
В общем случае, такие разложения не сходятся, и решения называют
формальными. Однако если предположить аналитичность H(t) = M(t)tq
(q G N) вблизи начала координат, то формальные решения являются асим¬
птотическими разложениями аналитических решений в некотором секторе
в окрестности начала координат [Ramis & Martinet, 1989, Martinet & Ramis,
1991].
5K((^)) и К[[£]] обозначают, соответственно, множества сходящихся и формальных степен¬
ных рядов по t с коэффициентами из К

3.4.	Особенности нелинейных дифференциальных уравнений
121
3.4.	Особенности нелинейных дифференциальных
уравнений
3.4.1.	Подвижные и неподвижные особенности
Положение сингулярностей линейных дифференциальных уравнений
определяется положением сингулярностей их коэффициентов. Таким обра¬
зом, сингулярности уравнений являются неподвижными в том смысле, что
они определяются коэффициентами уравнений, и точка £* является сингу¬
лярностью решения тогда и только тогда, когда она является сингулярно¬
стью M{t). Зная критические особые точки, можно построить соответству¬
ющую риманову поверхность, на которой решение будет определено. Это
свойство теряется для нелинейных дифференциальных уравнений, решения
которых могут иметь неподвижные и подвижные сингулярности. Подвиж¬
ная сингулярность — это сингулярность, положение которой в области Е
зависит от начальных условий. Положение неподвижной сингулярности
зависит от параметров системы и определяется сингулярностями самого
дифференциального уравнения, но не начальными условиями.
Пример 3.3. Простая подвижная особенность. Рассмотрим уравне¬
ние
х = х3	(3.14)
с начальным условием x(to) — хо > 0. Общее решение
х= [2(to - t) + Хо2]~1/2	(3.15)
имеет подвижную алгебраическую точку ветвления t = to — х02/2. я
Пример 3.4. Различные особенности. Для иллюстрации различных
типов особенностей нелинейных ОДУ можно рассмотреть следующие при¬
меры [Ablowitz & Clarkson, 1991, Ince, 1956]:
а) хх = х — 1,
б) ахх — {а — 1)х2 (a G R \ Q),
2	(3.16)
в) [хх — х2]	=	—4х±3,
г) (1 + х2)х ~ (2х — 1)х2.

122
Глава 3
Общие решения этих уравнений, соответственно, имеют вид:
x(t) = (t — to) log(t — to) + c(t — to) подвижная логарифмическая
точка ветвления,
x(t) = c(t — £o)a	подвижная	трансцендентная
особенность,
i
x(t) = ce(t_to>	подвижная	существенно
особая точка,
x(t) — tan{log[c(t — to))}	подвижная	существенно
особая точка,
где с и to — произвольные постоянные.
(3.17)
3.5.	Свойство Пенлеве
Для того чтобы решение дифференциального уравнения было одно¬
значным, все его особенности должны быть некритическими. Так как поло¬
жение неподвижных особых точек известно, они могут быть униформизи-
рованы либо введением разрезов на комплексной плоскости, вдоль которых
решение не может быть продолжено, либо, что эквивалентно, введением
соответствующих покрывающих поверхностей (покрытий), на которых ре¬
шение станет однозначным. Поэтому только подвижные критические точки
относятся к типам особенностей, которые могут препятствовать однознач¬
ности решения. Это наблюдение приводит нас к определению свойства Пен¬
леве.
Определение 3.2. Система ОДУ F(t;x,x) = 0 обладает свойством
Пенлеве, если ее общее решение х = х(£; С\,..., Сп) не имеет критических
подвижных особых точек.
Заметим, что свойство Пенлеве определяется только общим решением
и не зависит от особых решений. Например, уравнение примера 3.2 имеет
голоморфное общее решение, тогда как особое решение имеет неподвиж¬
ную алгебраическую особую точку.
В соответствии с определением свойство Пенлеве не учитывает су¬
ществование подвижных критических точек. Предположим, что при задан¬
ных начальных условиях С £ Сп общее решение голоморфно в D £ Сп,
и рассмотрим максимальную область _Dmax непрерывности решения х(£, С),
D С £>тах С Сп. Пусть £* — особая точка (изолированная или нет) х(£, С)
на <9Dmax; она неподвижна, если является особенностью x(f, С) при всех С,

3.5. Свойство Пенлеве
123
в противном случае она подвижна. Эта точка является критической особой
точкой, если существует замкнутый путь 7 £ Dmax вокруг £* такой, что вну¬
три этого пути других особенностей не существует и продолжение х(£, С)
не является аналитичным. В частности, если решение имеет замкнутую
естественную границу (то есть кривую 7 £ С такую, что все точки £* £ 7
являются особенностями общего решения), то уравнение по-прежнему мо¬
жет обладать свойством Пенлеве до тех пор, пока решения внутри и вне
кривой однозначны (например, уравнение Шэзи (3.169) обладает свойством
Пенлеве вопреки наличию подвижной границы).
Свойство Пенлеве — глобальное свойство. Априори для проверки его
выполнения требуется явное выражение общего решения при всех значе¬
ниях независимых переменных и произвольных постоянных. Однако, как
правило, общее решение дифференциального уравнения получить не удает¬
ся, и исследование уравнения на выполнение свойства Пенлеве позволяет
установить те возможные значения параметров задачи, при которых реше¬
ние может быть найдено.
3.5.1.	Историческое отступление I
Для того чтобы осознать важность свойства Пенлеве, обсудим некото¬
рые из классических pia6oT по интегрированию дифференциальных уравне¬
ний. В начале XVII века шотландский лорд Напье заинтересовался одним из
самых первых когда либо изучавшихся дифференциальных уравнений. Это
уравнение было предложено Галилеем как модель равномерного движения
и в современной записи имеет вид
х = х.	(3.18)
Несмотря на то, что Галилей понимал, что такое движение не может
происходить в рассматриваемых им условиях (свободное движение в грави¬
тационном поле), Напье изучил математические свойства этого уравнения.
Он обнаружил несколько замечательных свойств решений этого уравне¬
ния и их инверсию, что привело к появлению двух новых функций: после
двадцати лет напряженной работы появились понятия логарифмической и
показательной функций. В 1614 году Напье опубликовал работу «Mirifici
Logarithmorum Canonis Descriptio» («А description of the Wonderful Law of
Logarithms») — первую из таблиц логарифмов [Gindkin, 1988]. Так впервые
решение дифференциального уравнения было использовано для введения
новой математической функции.
В конце девятнадцатого века, следуя работам Фукса по линейным и
нелинейным ОДУ, Пауль Пенлеве выполнил огромную новаторскую работу

124
Глава 3
по классификации дифференциальных уравнений первого и второго по¬
рядка. Основная идея работы состояла в определении новых функций как
решений линейных и нелинейных ОДУ и являлась естественным продол¬
жением знаменитых работ Абеля и Якоби, касающихся уравнения
(х)2 = (1 -х2)(1 - к2х2),	(3.19)
решение которого в комплексной области однозначно. Однако это решение
не выражается через элементарные функции, и для его описания потребо¬
валось ввести новые функции, хорошо известные теперь как эллиптические
функции [Lang, 1987] (в данном случае х = sn(t — to] к)). Различные рабо¬
ты по эллиптическим функциям, функциям Фукса и другим специальным
функциям связаны с фундаментальной задачей классификации дифферен¬
циальных уравнений, сформулированной Пенлеве [Painleve, 1973, стр. 135]:
Determiner toutes les equations du premier ordre, puis du second ordre,
puis du troisieme ordre, etc., dont Г integrate generale est uniforme.
Некоторые комментарии: «integrate generate» означает «общее реше¬
ние» и «uniforme» — «однозначный».
В переводе задача Пенлеве формулируется так:
Определить все алгебраические дифференциальные уравнения первого
порядка, второго порядка, третьего порядка и т. д. такие, что их общие
решения являются однозначными функциями.
Во времена Пенлеве проблема классификации уравнений первого по¬
рядка уже была решена Фуксом, который рассматривал дифференциальные
уравнения вида
*-Шу
где Pi, Рг — полиномы от х € С, аналитичные по t. Фукс показал, что един¬
ственным уравнением, общие решения которого имеют лишь критические
неподвижные точки, зависящие только от особенностей коэффициентов, яв¬
ляется обобщенное уравнение Риккати [Ince, 1956, стр. 293]
х = a(t)x2 + b(t)x + c{t).	(3.21)
Впоследствии Пенлеве рассмотрел алгебраические уравнения первого
порядка с подвижными полюсами или алгебраическими точками ветвления
вида
G(x,x]t) = О,
где G — полином от х, х, аналитичный по t.
(3.22)

3.5. Свойство Пенлеве
125
Следующим шагом была классификация дифференциальных уравне¬
ний второго порядка вида
х = F(x,x;t),	(3.23)
где F — полином от х, алгебраический по х и аналитичный по t. Задача
состояла в том, чтобы найти все уравнения вида (3.23), общие решения
которых не имеют подвижных критических точек, то есть все уравнения,
обладающие свойством Пенлеве. (Для ознакомления с историей уравне¬
ний Пенлеве можно посмотреть обзорную статью Р. Конта [Conte, 1999].) В
то время как уравнения первого порядка могут иметь в качестве подвиж¬
ных критических точек лишь алгебраические точки ветвления, уравнения
второго порядка допускают также существование логарифмических точек
ветвления и существенно особых точек. Для изучения этих уравнений Пен¬
леве разработал новый метод, называемый a-методом (см. раздел 3.5.2).
a-метод позволяет определить условия отсутствия логарифмических точек
ветвления. Большинство уравнений вида (3.23), обнаруженных с помощью
этого метода, может быть без труда проинтегрировано с помощью специ¬
альных функций или в квадратурах. Однако Пенлеве нашел три уравнения,
которые не могут быть сведены к уравнениям с известными функциями, и
тщательно изучил их для доказательства, во-первых, отсутствия существен¬
но особых критических точек и, во-вторых, их неприводимости к другим
функциям. Простейшее из этих уравнений, называемое PI-уравнением, или
первым уравнением Пенлеве, имеет вид
х = 6х2 + t.	(3.24)
Пенлеве понимал, что ему не удалось провести полную классифика¬
цию дифференциальных уравнений рассматриваемого класса. В конечном
итоге один из его учеников, Бертран Гамбье, завершил работу и нашел еще
три новых уравнения (одно из которых, так называемое PVI-уравнение, бы¬
ло впервые обнаружено Фуксом с использованием других соображений).
В результате Пенлеве и его коллеги установили, что в классе уравнений ви¬
да (3.23) только 53 канонических уравнения обладают свойством Пенлеве.
Среди них 47 уравнений можно проинтегрировать с помощью известных
функций (эллиптических функций Вейерштрасса и Якоби). Для решения
оставшихся шести уравнений, называемых уравнениями Пенлеве (PI-PVI-
уравнения), потребовалось ввести новые трансцендентные функции, на¬
зываемые теперь трансцендентами Пенлеве6 (таблица 3.1). Главной целью
бСтрого говоря, решения уравнений Пенлеве являются не трансцендентами Пенлеве, а их
комбинациями.

126
Глава 3
работы Пенлеве было определить новые функции и классифицировать урав¬
нения (ОДУ первого, второго, третьего и т. д. порядков), то есть найти все
уравнения, обладающие общим свойством, а именно — свойством Пенлеве.
Классификация ОДУ третьего порядка до сих пор не завершена, несмотря
на обстоятельную работу ([Bureau, 1987], см. также [Conte, 1999]).
Таблица 3.2. Шесть уравнений Пенлеве: Л, ц, а, 6, с, d — произвольные параметры.
х = 6х2 -I- At
х = 2х3 + tx + /х
txx = tx2 — хх + at -b bx + cx3 + dtx4
xx = \x2 — \<j? + 2 (t2 — b)x2 + 4 tx3 + |x4
t2(x — x2)x = \t2(l — 3x)x2 — tx( 1 — x)x + a.x2(l — x)3
+ 6(1 — x)3 + ctx(l — x) + dt2x2( 1 + x)
x(l — x)(t — x)x = \	[t — 2(t + l)x + 3x2] x2 +	\t2	+	(1 —	2^)x]	x
+	9t2(i_t)3 [ax2(l — x)2(t — x)2 — bt(l - x)2(t	—	x)2
—c( 1 — t)x2(t — x)2 — <it(l — t)x2(l — x)2]
3.5.2.	a-метод Пенлеве
Новаторская идея Пенлеве состояла в том, чтобы обобщить метод мало¬
го параметра, используемый в теории возмущений, и ввести в исследуемое
уравнение искусственный параметр а. Если уравнение однозначно при всех
а ф 0, то оно также однозначно и при а = 0. Основная сложность мето¬
да Пенлеве заключается в удачном выборе параметра а такого, чтобы при
а = 0 уравнение можно было проинтегрировать. Правильный выбор может
быть сделан, например, при использовании масштабной симметрии.
Рассмотрим первое уравнение Пенлеве (Р1-уравнение) (3.24) и введем
масштабную симметрию X = а2х и Т = a~1t. В пределе при а —> 0

3.5. Свойство Пенлеве
127
PI-уравнение приобретает вид
(3.25)
Решение этого уравнения выражается через функцию Вейерштрасса
Х(Т) = р(Т — ci;0,C2), где ci,c*2 — постоянные интегрирования [Lang,
1987]. Точное решение этого уравнения при а — 0 получится, если учесть
начальное возмущение при разложении по степеням а.
В общем случае, рассмотрим систему уравнений вида
где х Е Сп и f — полином от х, аналитичный по t. Используем замену
переменных
где pi, р2, qi, q2 С Ъ и а, b — постоянные. После соответствующих пре¬
образований, то есть при подходящем выборе параметров pi,p2?	по¬
лучим систему
X = F(X; Т; а),	(3.28)
которая может быть точно проинтегрирована при а = 0. Разложим X в ряд
по степеням а
при проведении этого анализа является теорема Пенлеве (современная фор¬
мулировка теоремы приведена у Крускала и Кларксона [Kruskal & Clarkson,
1992], полное доказательство изложено в книге Голубева [Golubev, 1953]).
Теорема 3.1. (а-лемма Пенлеве) Пусть F(Х;Т; а) аполитична в од¬
носвязной области (X, Т, а) Е (.Dx С Cn, Dt С С, Da С С). При заданных
начальных условиях (Х(То),ТЬ) Е i9x х Dt и достаточно малом е Е
обгцее решение системы (3.28) является однозначным при всех а таких,
и Х(г), определенных в (3.29).
Эта фундаментальная теорема Пенлеве была использована для получе¬
ния необходимых условий выполнения свойства Пенлеве. Уравнение с точ¬
ностью до первого порядка разложения остается нелинейным (например,
(3.26)
а) t = аР1Т + аР2а,
б) х = а91Х + аЯ2Ъ,
(3.27)
ОО
(3.29)
и докажем однозначность каждой компоненты Х^. Важным результатом
что \а\ < б тогда и только тогда, когда XSl\T) однозначна при всех i

128
Глава 3
уравнение (3.25)), в то время как уравнения для более высоких порядков
разложения для функций линейные. Классические результаты Фукса
по исследованию регулярных особых точек при этом могут быть исполь¬
зованы для поиска критических подвижных точек ветвления. Недостаток
метода заключается в том, что бесконечная иерархия линейных дифферен¬
циальных уравнений для функций Х^г\ в общем случае, не может быть
решена. Однако локальный анализ в окрестностях подвижных особенно¬
стей позволяет найти необходимые условия отсутствия точек ветвления.
Следующий важный шаг исследования уравнений — это доказательство от¬
сутствия критических существенно особых точек. Для решения этой задачи
общего алгоритма не существует.
Пример 3.5. Существенная особенность. Для иллюстрации этой про¬
блемы рассмотрим уравнение [Ince, 1956, стр. 344]
х[2 к2х2 — (1 + к2)}	1
* = [(1-х2)(1 -кЧ2) ~ А^(1 -х2)(1 -к2х2)
Общее решение этого уравнения не имеет алгебраических точек ветвле¬
ния. Более того, можно показать, что особенности любого решения х = x(t),
для которого существует предел при t —» £*, являются либо аналитически¬
ми, либо некритическими. Однако это решение не является мероморфным
на комплексной плоскости, так как общее решение
х = sn{Alog(Cif — С2)} (mod А;),	(3.31)
где С\ и С*2 — произвольные постоянные, не обладает свойством Пенле¬
ве. Точка £* = С2/С1 — существенно особая критическая точка решения,
и предел при t —► вдоль любого пути определить нельзя.	■
Этот пример иллюстрирует то обстоятельство, что условия, предусмот¬
ренные а-методом Пенлеве, не являются достаточными. Однако для урав¬
нений Пенлеве Пенлеве и его коллеги, анализируя поведение решений в
окрестностях их особых точек, смогли доказать отсутствие существенно
особых точек.
3.5.3.	Приложения
Создается впечатление, что уравнения Пенлеве встречаются в любой
области математической физики. В гидродинамике и в теории плазмы урав¬
нения Пенлеве обычно получаются как результат редукции к ОДУ диффе¬
ренциальных уравнений в частных производных, описывающих эволюцию
х2.	(3.30)

3.6. Уравнения Пенлеве и интегрируемые уравнения
129
течения, таких как уравнение КдВ (см. следующий раздел), или конвектив¬
ное течение с вязкой диссипацией [Holmes & Spence, 1984]. В нелинейной
оптике для нелинейного уравнения Шредингера, которое играет централь¬
ную роль при описании процессов распространения волн, автомодельные
решения приводят к уравнениям Пенлеве [Giannini & Joseph, 1989]. Они так¬
же были обнаружены в общей теории относительности [MacCallum, 1983]
и квантовой теории поля [Creamer et al, 1981].
В равновесной статистической физике были успешно исследованы точ¬
но решаемые модели и в результате было обнаружено много новых моде¬
лей [Baxter, 1982]. Интересно, что эти точно решаемые модели тесно связа¬
ны с уравнениями Пенлеве. Корреляции спинов двумерной модели Изинга
связаны с третьим трансцендентом Пенлеве [Barouch et al., 1973,Wu et al.,
1976,Kadanoff & Kohmoto, 1980]. Пятый трансцендент Пенлеве возникает
при описании n-частичной матрицы плотности одномерного непроницае¬
мого бозе-газа [Jimbo et al, 1981,McCoy & Tang, 1986,Creamer et al., 1986].
Существует ли более глубокая связь между точно решаемыми моделями
статистической механики и теориями интегрируемости? Возможно ли опре¬
делить тест, подобный тесту Пенлеве, для статистических моделей и уста¬
новить связи, такие как уравнения Янга-Бакстера? К настоящему времени
эта проблема все еще остается нерешенной [Flaschka et al, 1991, стр. 78].
3.6.	Уравнения Пенлеве и интегрируемые уравнения в
частных производных
Спустя более чем полвека после своего появления теория Пенлеве по
классификации дифференциальных уравнений рассматривалась как инте¬
ресный, но всего лишь классический раздел теории специальных функций
и не привлекала к себе особого внимания до тех пор, пока в начале 1980-х
годов не была обнаружена ее прямая связь с теорией солитонов. Для по¬
нимания центральной роли, которую играет сингулярный анализ, кратко
обсудим теорию солитонов и ее тесную связь с теорией уравнений Пенлеве.
3.6Л. Теория солитонов и метод обратной задачи рассеяния
В 1965 году Забусски и Крускал обнаружили [Zabusky & Kruskal, 1965],
что некоторые решения уравнения Кортевега-де Вриза (КдВ) [Korteweg &
de Vries, 1895]
'U't "b QuUx ~r~ 'U'xxx — 0	(3.32)
упруго взаимодействуют друг с другом. Такое поведение решений, подоб¬
ное поведению частиц, указало на возможность существования регулярного

130
Глава 3
поведения решении и дало толчок развитию новой теории интегрирования
дифференциальных уравнений в частных производных — теории солитонов.
Позднее Миура и его коллеги [Miura, 1968,Miura et al., 1968] обнаружили,
что уравнение КдВ «интегрируемо» в том смысле, что для него существует
бесконечное число законов сохранения, первые из которых можно записать
в виде
+оо
а) ./ udx = ci,
— оо
+оо
б) / U2dx = С2,
J	(3.33)
— оо
+оо
) J (и3 + \ul)dx = с3,
в/
— оо
Кроме того, работа этих авторов показала, что существует тесная связь
между уравнением КдВ, модифицированным уравнением КдВ и уравне¬
нием Шредингера. На основании этих наблюдений был предложен но¬
вый метод решения задачи Коши для уравнения Кортевега-де Вриза, кото¬
рый называется методом обратной задачи рассеяния (1ST) [Gardner et. al.,
1967,Zakharov & Shabat, 1972, Ablowitz et al., 1973,Gardner et al., 1974].
Для детального изучения метода обратной задачи рассеяния и его приме¬
нений можно рекомендовать книги и обзоры Абловица и Сигура [Ablowitz
& Segur, 1981], Невелла [Newell, 1983,Newell, 1985], Абловица и Кларксо¬
на [Ablowitz & Clarkson, 1991]. С использованием метода обратной задачи
было обнаружено множество новых интегрируемых систем, к основным из
которых относятся следующие:
щ — 6и2их 4- иххх = 0	модифицированное уравнение КдВ,
utt — ихх + sin и = 0	уравнение «sin-Гордона»,
iut = ихх + 2и\и\2	нелинейное уравнение Шредингера,
utt = ихх - 6{и2)ххх + ихххх уравнение Буссинеска.
(3.34)
3.6.2.	Гипотеза Абловица-Рамани-Сигура
Сначала интегрируемость указанных выше уравнений не связывалась
со структурой их особенностей. Однако в 1977 году Абловиц и Сигур за¬

3.6. Уравнения Пенлеве и интегрируемые уравнения
131
метили [Ablowitz & Segur, 1977], что редукции интегрируемых дифферен¬
циальных уравнений в частных производных приводят к ОДУ, решения
которых могут быть выражены с помощью трансцендентов Пенлеве. На¬
пример, уравнение КдВ допускает преобразование
и(х, t) = w{z) — At, z = x-t-3At2,	(3.35)
где A — постоянная и w(z) — решение PI-уравнения, то есть
w" = 6U)2 + 2.	(3.36)
Другая возможная редукция
u(x,t) = -(3t)~2/3w(z), z = ^1/3	(3.37)
преобразует уравнение КдВ к ОДУ
w,n + 6{w - z)w' -2w	= 0,	(3.38)
которое опять же связано с решением РИ-уравнения с помощью преобра¬
зования Миуры, устанавливающего соответствие между уравнением КдВ с
модифицированным уравнением КдВ.
Для уравнений (3.34) существуют другие автомодельные переменные,
которые приводят уравнение в частных производных к ОДУ. При этом все
эти ОДУ обладают замечательным свойством — все они связаны с 53 кано¬
ническими уравнениями, классифицированными Пенлеве и его коллегами.
В настоящее время существуют общие методы получения таких редукций
для дифференциальных уравнений в частных производных, например ме¬
тоды групп	Ли	[Olver, 1993,Bluman & Cole,	1974]	или	прямые	методы
Кларксона и	Крускала	[Clarkson & Kruskal, 1989, Clarkson,	1992, Clarkson &
Mansfield, 1993,Nucci & Clarkson, 1992].
Эти наблюдения оказались важным шагом для установления связи те¬
ории интегрируемости дифференциальных уравнений в частных производ¬
ных с существованием особенностей на комплексной плоскости и положи¬
ли начало так называемой гипотезе о свойстве Пенлеве, предложенной в
работах [Ablowitz et al., 1980а] и [Hasting & McLeod, 1980].
Гипотеза: каждое обыкновенное дифференциальное уравнение,
полученное методом обратной задачи рассеяния в результате ре¬
дукции интегрируемого дифференциального уравнения в частных
производных, обладает свойством Пенлеве {возможно, после из¬
менения зависимых переменных).

132
Глава 3
Эта гипотеза была доказана для частных случаев ( [Ablowitz et al.,
1980b], [McLeod & Olver, 1983]). Если эта гипотеза справедлива, то она
может быть использована для нахождения новых интегрируемых систем
или, по крайней мере, для доказательства неинтегрируемости некоторых
дифференциальных уравнений в частных производных. Для доказательства
неинтегрируемости достаточно указать редукцию, которая приводит к ОДУ,
не относящемуся к уравнению типа Пенлеве. Однако даже если эта гипотеза
могла бы быть строго доказана, то возникает две сложности осуществления
такой процедуры. Во-первых, для доказательства интегрируемости должны
быть учтены все возможные редукции. К сожалению, метода поиска всех
редукций не существует. Кроме того, существуют системы, которые вообще
не имеют таких редукций и поэтому не могут быть исследованы полностью.
Во-вторых, полученное в результате редукции ОДУ может обладать свой¬
ством Пенлеве иногда только после нетривиальной замены переменных.
Более того, гипотеза Пенлеве как эффективное средство поиска интегриру¬
емых дифференциальных уравнений в частных производных устанавливает
только необходимые условия интегрируемости систем и не дает никакой ин¬
формации о реальном решении уравнения. Учитывая эти сложности, был
разработан новый метод, называемый тестом Пенлеве (детально рассмот¬
ренный в разделе 3.8), применяемый непосредственно к дифференциаль¬
ным уравнениям в частных производных, подобный методу Ковалевской
для ОДУ.
3.7.	Тест Пенлеве для уравнений в частных производных
Рассмотрим эволюционное уравнение
ut = F(u, их,ихх,...),	(3.39)
где F — полином от функции и и ее производных по х Е С. Гипотеза Пенле¬
ве налагает некоторые ограничения на решение, главным из которых явля¬
ется предположение о том, что решение должно быть мероморфной функ¬
цией. Для проверки этой гипотезы Вайс, Табор и Карневейль предложили
новый метод [Weiss et al, 1983], основанный на новом типе разложения,
называемом ВТК-разложение (или метод сингулярных многообразий). Как
будет показано в следующих разделах, при проверке ОДУ на выполнение
свойства Пенлеве используется простой тест, в котором ищется разложение
решения в ряд Лорана. Если перенести эту идею на случай дифференциаль¬
ных уравнений в частных производных, то тест Пенлеве должен состоять в
поиске сингулярного разложения в окрестностях особых точек, задаваемых
уравнением
Ф(ж,*)=0,	(3.40)

3.7.	Тест Пенлеве для уравнений в частных производных
133
где Ф — аналитическая функция вблизи геометрического места точек, опре¬
деленного соотношением (3.40). Мы требуем, чтобы решение уравнения
можно было разложить в ряд вблизи сингулярного многообразия Ф, то есть
чтобы все решения в окрестности Ф = 0 формально можно было предста¬
вить в виде
оо
U(X, t) = (Ф(Х, t))P ^ ai(X> *) ($(х> ?))* >	О-41)
г=0
где р — целое число, а функции di(x,t) аналитичны в окрестности Ф = 0.
Если подставить это разложение в уравнение (3.39) и приравнять коэф¬
фициенты при различных степенях Ф, то можно получить рекуррентные
соотношения для а* и их производных. Эти соотношения являются диф¬
ференциальными уравнениями, связывающими а* с (j < i) и их про¬
изводными. Некоторые из функций а* будут произвольными функциями,
которые можно определить в соответствии с теоремой Коши-Ковалевской.
Положения в ряду, где эти коэффициенты появляются впервые, по аналогии
с тестом Пенлеве для ОДУ, называются резонансами. Если все возможные
разложения имеют вид (3.41), то дифференциальное уравнение в частных
производных проходит тест Пенлеве. Реализовать этот тест намного проще,
чем метод обратной задачи рассеяния. Новая гипотеза, связанная с данным
тестом, состоит в следующем.
Гипотеза (ВТК): Если дифференциальное уравнение в частных
производных проходит тест Пенлеве, то это уравнение являет¬
ся интегрируемым {возможно, методом обратной задачи рассея¬
ния).
Хастинг и Маклид предположили [McLeod & Olver, 1983], что эта
гипотеза верна, однако строгого или хотя бы частичного доказательства
этого утверждения не существует. Тем не менее значительное количе¬
ство фактов свидетельствует о том, что тест Пенлеве, конечно же, свя¬
зан с интегрируемостью. Во-первых, известны различные применения те¬
ста Пенлеве для поиска новых интегрируемых систем [Weiss, 1983, Weiss,
1984, Weiss, 1985а, Weiss, 1985b, Weiss, 1989,Baumann, 1992,Gibbon & Tabor,
1985,Konopelchenko & Strampp, 1991,Zhu, 1993]. Во-вторых, показано, что
тест Пенлеве связан с другими теориями интегрируемости и использует¬
ся для получения важной информации, касающейся полной интегрируе¬
мости, например при нахождении пар Лакса [Tabor & Gibbon, 1986, Baby,
1987, Gibbon et al., 1988, Musette & Conte, 1991], преобразований Бэклун-
да [Weiss, 1989,Hu, 1993], n-солитонных решений, билинейных представле¬
ний свойства Хироты [Grammaticos et al., 1990b, Gibbon et al, 1985,Hirota,

134
Глава 3
1986,Clarkson, 1986,Tabor & Gibbon, 1986] и частных решений [Chudnovsky
et al, 1983, Weiss, 1985a,Newell et al, 1987, Kudryashov, 1988, Cariello &
Tabor, 1989, Kudryashov, 1990, Cariello & Tabor, 1991, Kudryashov, 1992].
Для того чтобы обсудить некоторые из этих свойств, рассмотрим при¬
менение теста Пенлеве к уравнению КдВ, с исследования которого начала
развиваться теория солитонов.
Пример 3.6. Уравнение КдВ. Прежде чем проверить уравнение КдВ
на выполнение свойства Пенлеве, упростим выражение (3.41). Перемен¬
ная Ф(х, t) разложения является функцией двух переменных. Поскольку
Фх(х,1) Ф 0 в окрестности Ф(х,t) = 0, то можно применить теорему о
неявной функции и заменить Ф(х,Ь) вблизи сингулярного многообразия на
Ф(х, t) — x — ty(t) Hdi = ai(t) (такую замену иногда называют упрощающей
подстановкой, или подстановкой Кру скала). Алгебраические преобразова¬
ния существенно упрощаются, поскольку Фх(хф) = 1 и все производные
более высокого порядка равны нулю. Возможно выбрать другие зависи¬
мости для Ф(я,£), и известны работы, в которых выбор Ф(хф) упроща¬
ет процедуру построения пары Лакса и преобразований Бэклунда [Conte,
1988,Conte, 1991,Musette & Conte, 1991,Conte, 1994].
Первый шаг теста Пенлеве состоит в отыскании ведущего члена урав¬
нения, то есть показателя степени р и первого коэффициента ao(t). В нашем
случае имеем и = — 2Ф(х, t)~2. Более того, простые вычисления показыва¬
ют, что произвольные функции общего решения определяются коэффициен¬
тами <24 и <2б. Поэтому необходимо проверить, что произвольность выбора
значений этих коэффициентов не препятствует существованию разложе¬
ния (3.41). Запишем разложение решения уравнения до членов Ф4, то есть
Подставляем (3.42) в исходное уравнение и приравниваем коэффици¬
енты при различных степенях Ф к нулю. Выполнив алгебраические преоб¬
разования (используя соотношения Фх = 1, ах = 0), получим:
6
и(х, t) = Ф 2
2 + ]Га*<Г + 0(Ф7)
(3.42)
г—1
а) а\ = 0,
б) 0,2 = —Ф*/6,
в) а3 = 0,
г) 0.Й4 = 0,
(3-43)
д) о5 = -Фи/36,
е) О.аб = — 2a4$>t — 120204.

3.7.	Тест Пенлеве для уравнений в частных производных
135
Видно, что значения и aq могут быть выбраны произвольно, так как
—2a^t — 12а2сц = 0. Следовательно, значения коэффициентов at (г > 6)
можно получить по рекуррентным формулам, что доказывает существова¬
ние формального разложения решения уравнения КдВ в ряд
оо
u(x,t) = У]а*Ф*“2.	(3.44)
г=0
3.7.1.	Интегрируемость ОДУ
Гипотеза Пенлеве для дифференциальных уравнений в частных произ¬
водных положила начало написанию многочисленных работ, и стало ясно,
что связь между интегрируемостью и свойством Пенлеве существует и для
ОДУ. Абловиц, Рамани и Сигур [Ablowitz et al., 1980а] разработали алгоритм
поиска необходимых условий выполнения свойства Пенлеве для ОДУ — так
называемый АРС-алгоритм. Как следствие этого, большое число работ бы¬
ло посвящено изучению связи между интегрируемостью гамильтоновых и
негамильтоновых системам с использованием АРС-алгоритма [Bountis et al.,
1982,Bountis etal., 1983,Dorizzi etal., 1983,Bountis et al., 1984,Ramani etal.,
1984, Grammaticos et al., 1985,Dorizzi et al., 1986, Hlavaty, 1988, Steeb &
Euler, 1988, Goriely, 1992]. Однако все эти исследования основаны на двух
неочевидных предположениях. Во-первых, это предположение о том, что
АРС-алгоритм позволяет получить необходимые условия выполнения свой¬
ства Пенлеве. Во-вторых, предположение о том, что выполнение свойства
Пенлеве является необходимым условием «интегрируемости». Однако оба
эти предположения определены не достаточно четко. Для того чтобы разъ¬
яснить понятия свойства Пенлеве и интегрируемости, между этими двумя
свойствами можно установить некоторые точные соотношения.
Решения интегрируемых систем Лиувилля (см. обсуждение в разде¬
ле 2.9.2 и определения в разделе 5.2.1), в общем случае, неоднозначны.
Процедура Арнольда-Лиувилля требует существования п первых интегра¬
лов, но оставшиеся (п — 1) первые интегралы (углы), полученные с помо¬
щью алгоритма Гамильтона-Якоби, в общем случае, многозначны. Поэтому,
если мы хотим установить связь между геометрическим представлением
интегрируемости и свойством Пенлеве, необходимо ввести более строгое
определение интегрируемости. Было предложено два новых определения
интегрируемости: одно — Адлером и ван Мербеке [Adler & van Moerbeke,
1987, Adler & van Moerbeke, 1989b] и второе — Эрколани и Сиджя [Ercolani
& Siggia, 1986, Ercolani & Siggia, 1989, Ercolani & Siggia, 1991].

136
Глава 3
Адлер и ван Мербеке рассматривали полиномиальные гамильтоновы
системы7. Они определили алгебраически полную интегрируемость таких
систем, как существование достаточного количества полиномиальных ин¬
тегралов движения в инволюции, которые в пространстве Сп связаны с
абелевым многообразием [Adler & van Moerbeke, 1989b], то есть решения
могут быть выражены через интегралы Абеля (более полная информация по
интегралам Абеля и определение алгебраически полной интегрируемости
будут даны в разделе 5.3). Они доказали, что алгебраически полная инте¬
грируемость налагает на решения такие ограничения, при которых решения
могут быть разложены в ряды Лорана. Более того, они доказали обратное
утверждение: если разложения в ряды Лорана образуют «связное дерево»
(то есть каждое разложение связано с другими древоподобной структурой),
тогда гамильтониан алгебраически полностью интегрируем.
Геометрический подход был также разработан Эрколани и Сиджя. Они
рассматривали интегрируемые по Лиувиллю полиномиальные гамильтоно¬
вы системы с п степенями свободы, уравнения Гамильтона-Якоби для ко¬
торых можно проинтегрировать с помощью замены переменных. Они до¬
казали, что такие гиперэллиптические сепарабельные системы обладают'
свойством Пенлеве и что порядок полиномиальных инвариантов связан с
положением произвольных постоянных в локальном разложении.
3.8.	Сингулярный анализ
Целью сингулярного анализа является построение на комплексной
плоскости локальных разложений решений в окрестностях особых точек.
Несмотря на то, что типы этих локальных разложений решений могут быть
различны в зависимости от вида системы, алгоритм построения решения
достаточно единообразен. Информация, полученная с помощью таких раз¬
ложений, будет обсуждаться позже. Описанная процедура на данной ста¬
дии не является ни тестом на интегрируемость, ни способом нахождения
явного решения уравнения. Глобальные свойства уравнения, такие как ин¬
тегрируемость или существование частных решений, можно выявить после
детального анализа всех разложений, когда эти разложения построены.
Для того чтобы построить все возможные разложения решений в
окрестностях подвижных особых точек, сингулярный анализ проводится
в три этапа. Во-первых, определяем все возможности доминантного по¬
ведения решения в окрестности подвижной особой точки. Во-вторых, для
7Они рассматривали системы более общего вида: z = Jгде J — кососимметричная
матрица, полиномиальная по г.

3.8. Сингулярный анализ
137
каждого возможного доминантного поведения ветви решения получаем ин¬
формацию о произвольных постоянных задачи, то есть о положении в ряде
Лорана, где эти постоянные появляются впервые. В-третьих, строим явное
разложение решения вплоть до последней произвольной постоянной.
Рассмотрим систему
х = f(x),	(3.45)
где f — аналитическое векторное поле. Предположим, что при заданных
начальных условиях существует особая точка t* Е С. Поскольку f = f(x) —
автономная система8, то особая точка £* — подвижная, то есть ее поло¬
жение зависит от начальных условий. Сингулярный анализ заключается
в построении локального разложения решения в окрестности особой точ¬
ки t*. Наиболее общий тип формального разложения, которое может быть
построено в окрестности особой точки, имеет вид
x(t) = тр(а + Р(тр1,..., тРп+1)),	(3.46)
где т = t — t* иР — вектор формальных степенных рядов, аргументы
которых являются полиномиальными коэффициентами от log т. Показатели
pi,..., Pn+i являются комплексными числами, то есть
(оо	\	п+1
а + $3 Ci(logr)rpJ ,	p.i = Pjij. (3.47)
i, |i|=i	/	3=1
Это разложение может быть получено формальным образом. Однако,
в общем случае, оно не упорядочено по степеням т. Например, если п = 2
и pi = — р2 = —1, вклад в доминантный член ряда с особенностью поряд¬
ка т° определяется выражением i см- В частности, чтобы проверить
отсутствие логарифмического члена в разложении, мы должны вычислить
бесконечное количество коэффициентов для каждой степени т. Поэтому
использовать такие разложения для получения информации об эволюции
решения неудобно. В связи с этим при анализе ограничимся разложениями
с возрастающими степенями т, то есть будем учитывать члены с пока¬
зателями р, имеющими положительные действительные части. Для этого
рассмотрим разложение вида
х(£) = тр(а + Р(тР1,...,трк)),
оо	\	к
а+ Ci(logr)rpi , p.i^^pjij, (3.48)
i, N = 1	/	3	=	1
8Система называется автономной, если в ее записи нет явной зависимости от времени (то
есть <9tf(x) = 0), в противном случае система неавтономная.

138
Глава 3
где Re(pi) ^ О V i и Р — вектор формальных степенных рядов, аргументы
которого — полиномиальные коэффициенты, зависящие от log т. Исследуем
формальную конструкцию таких рядов. Трехшаговый алгоритм основан на
методе Абловица, Рамани и Сигура [Ablowitz et al, 1980а, Ablowitz et al.,
1980b].
3.8.1.	Шаг 1: доминантное поведение
Первый шаг состоит в поиске всех возможных вариантов поведения
решения в пределе при £—>£*, где £* — произвольная подвижная особая точ¬
ка. Для этого ищем все возможные весооднородные разложения векторного
поля. Рассмотрим аналитическое векторное поле х = f(x) и предположим,
следуя разделу 2.3.2, что существует разложение
f = f(°) + fO) + ... + f(™)	(3.49)
по (га + 1) весооднородным компонентам таким, что доминантная часть
векторного поля № будет масштабно-инвариантной системой (согласно
определению 2.13), то есть система х = f^(x) имеет точное масштабно¬
инвариантное решение
х(0)=атр,	(3.50)
где т = t — £*, р € Qn, а € Сп и |а| Ф 0. Что касается решения (3.50),
высшие степени в разложении (3.49) также весооднородные:
=	г	=	1,...,n; Vi € С, (3.51)
где q^ G Q и
0 < q{l) < q{j) V г < j.	(3.52)
Определение 3.3. Доминантным балансом (или балансом) векторного
поля х = f(x) называется пара Т = {а,р} G Cn х Qn (|а| Ф 0) такая, что
771
существует разложение f =	с условиями (3.51-3.52).
г=0
Множество всех возможных доминантных балансов будем обозначать
как Т — {{а^\р^г^}, г = 1,..., к}. Значения а определяются при нахо¬
ждении ненулевых решений уравнения
р а. — f^(а).
(3.53)

3.8. Сингулярный анализ
139
В результате некоторые компоненты а могут обратиться в нуль. По¬
рядок баланса характеризуется числом ненулевых компонент а. Различные
доминантные балансы Т Е Т могут определять различные декомпозиции
векторного поля. Для каждого баланса Т Е Т следует выполнить второй
шаг.
Пример 3.7. Взаимодействие трех волн. Для иллюстрации пер¬
вого шага алгоритма рассмотрим трехмерную систему [Kruskal et al.,
1990,Giacomini et al, 1991], которая является разновидностью модели вза¬
имодействия трех квазисинхронных волн в плазме (2.7):
2 у2 + 7 х + z — ё2
а) х
б) у
в) z = —2zx — 2z
7 5
2ху + <уу+ у,
(3.54)
где х, у, z, 6,7 Е С. Для этой системы находим три возможных доминантных
поведения. Во-первых, рассмотрим балансы второго порядка. Они получа¬
ются из следующей декомпозиции векторного поля
(3.55)
Векторное поле х = имеет два масштабно-инвариантных решения,
которые определяют два различных баланса:
-1 ±гт~1
-2 у2
-ух
" —52/2'
г
f(°) =
2ху
, f(i) =
7 У
, f<2> =
7*5/2
, f<3> =
0
—2 zx
-2z
0
0
Х1,2 =
-,а3т
(3.56)
Оба баланса Т\^ — {(1/2, ±г/2, а3), (—1, —1,1)} имеют второй по¬
рядок, так как третья компонента а может обращаться в нуль при неко¬
торых значениях этого произвольного параметра. Что касается этого ре¬
шения, то мы определяем недоминантные поведения из соотношения
f('0(rp) ^ гр+<7(0-1 и находим
<?(1) = 1,	з(2)	=	2,	q<3) = 3.	(3.57)
Третий баланс получается из следующего разложения f:
f(°) =
Z
, fw =
7Х
2 ху + 7<5/2
1У
—2 zx
-2 z
(3.58)

140
Глава 3
f(2) =
~-62/2'
, f(3) =
-2 у2
0
0
0
0
(3.59)
Этому разложению соответствует масштабно-инвариантное решение
(3.60)
(3.61)
_-i -^7	-2
т , —— т, —т
Недоминантными показателями являются
= 1,
д(2> = 2,	^3)=4.
Баланс ^ = {(1,-4^,-1), (—1,1, —2)} имеет третий порядок (нет
нулевых компонент) при S7 ^ 0. Если £7 = 0, то Тъ имеет второй порядок
и J-% = {(1,0, — 1), (—1,1, — 2)}. Каждый из этих балансов дает первые
члены разложения в окрестности особой точки.	■
Пример 3.8. Системы без доминантного поведения. Не все вектор¬
ные поля имеют доминантное поведение. Линейные системы с постоянны¬
ми коэффициентами не имеют подвижных особенностей, так как их реше¬
ния могут быть выражены через произведения экспоненциальных функций
и полиномов. Нелинейные системы также могут не иметь доминантного
поведения вида х = атр. Рассмотрим систему [Smith, 1973/74]
а) х = ур* + *ргх+%х>
б) у = -хрА + |р2у + |у,
(3.62)
где р — хг + уг. Векторное поле можно разложить на однород¬
ные компоненты № = [ур4, —хр4]Т,	=
т
. Однако система х = не допускает существование
масштабно-инвариантного решения, так как подстановка х = ат
= гут 1/4
У
= /?т-1/4 дает а = (3 = 0. Отсутствие масштабно-инвариантного решения
можно понять на примере. Положим а = b = 0, тогда общее решение
примет вид
а) х (t) — с cos (c2t + (р) ,
б) у (t) — —с sin (c2t + ср) ,
(3.63)

3.8. Сингулярный анализ
141
где с и ср — произвольные постоянные. Следовательно, решение (3.63) не
имеет подвижных особых точек. Однако даже если система имеет особые
точки, то она не имеет доминантного поведения. Например, если взять
а = 1, b = 0, то решение
а)	х (t) = (t* — £)~1//2 cos (с — (£* — t)-1) ,
)	. '	(3.64)
б )y{t) = (U-t) 1/2 sin
имеет существенно особую точку. Наконец, при а = 0, b = 1 решение
а) х(£) = кеь^А cos (с — к4е*),
б) у(^) = /cet/4sin(c — /c4et)
не имеет особых точек на комплексной плоскости, но закручивается спира¬
лью вокруг бесконечно удаленной особой точки. Эти примеры показывают,
что при отсутствии доминантного поведения тип особых точек решения не
определяется нелинейными членами и наименьшие члены (по весу) могут
радикально изменить природу особых точек.
Пример 3.9. Другие возможности доминантного поведения. Нако¬
нец, даже если существует изолированная подвижная особая точка, то, при¬
меняя указанную процедуру, такую точку можно пропустить. Рассмотрим
уравнение третьего порядка
х = х(х2 — х2).	(3.66)
Подстановка х = атр	приводит к двум	вариантам. Первый, х =
=	хх2, может	иметь доминантное поведение	при р = —1.	Однако вы¬
ражение х3 ~	£р+<?-1 дает	q = —4 < 0, и мы приходим к	выводу, что
х = хх2 не является доминантным. Второй вариант, х = х3, приводит
к р = 0, что априори недопустимо для особой точки: На самом деле, до¬
минантное поведение подвижной особой точки определяется выражением
х (t) = =Ь\/2 log (£ — £*).	■
3.8.2.	Шаг 2: показатели Ковалевской
Показатели Ковалевской — это набор показателей, связанных с данным
балансом. Они вычисляются только по доминантной части векторного
поля. Если доминантный баланс определяет первый член разложения в ряд

142
Глава 3
Лорана, то показатели Ковалевской являются индексами коэффициентов
разложения, при которых произвольные постоянные появляются впервые.
В общем случае, показатели Ковалевской определяются как индексы Фукса
решений вариационных уравнений. Вариационное уравнение доминантной
части векторного поля вблизи масштабно-инвариантного решения х = атр
для баланса Т имеет вид
й = (а (£ - £*)р) и,	(3.67)
/	\	д^0)
где и G Сп и ((а)J =	(а) — якобиан, вычисленный при зна¬
чении а. Эта линейная система уравнений имеет набор фундаментальных
решений вида
u« =7w (\0gT)Tp+Pi,	(3.68)
где 7W — полином от log т, а р, — показатели Ковалевской9. Для вычисления
показателей Ковалевской введем матрицу Ковалевской К:
К = D^0) (а) - diag (р).	(3.69)
Определение 3.4. Пусть Т — доминантный баланс системы х = f (х).
Показатели Ковалевской 1Z = {pi,...,pn}> связанные с Т, — это собственные
значения матрицы Ковалевской К — Df(°\ot) — diag(p).
Предложение 3.3. Существует показатель Ковалевской, равный —I,
с собственным вектором f(°) (а).
Баланс является ведущим или гиперболическим, если (гг — 1) показате¬
лей Ковалевской имеют положительные действительные части.
Доказательство.
Непосредственной подстановкой можно проверить, что вектор и =
= (атр) является решением вариационного уравнения (3.67):
u = d№ (атр) (сфтр_1) ,
v '	(3.70)
= tV~2d№ (а) (ар).
Так	как	х	=	атр является	масштабно-инвариантным	решением, то
ратр-1	= f(°)(arp), откуда u =	тр-2 diag(p — 1)(ра).	Подставляя выра¬
жение для й в (3.70), после упрощения получим
(Df(0) (а) - diag (р) j (ар) = -ар.	(3.71)
9Термин показателя Ковалевской впервые ввел Йошида [Yoshida, 1983а, Yoshida, 1983Ь].

3.8. Сингулярный анализ
143
Таким образом, вектор /3 = ар является собственным вектором матри¬
цы К с собственным значением р = — 1.	■
Пусть pi = — 1 и 7— набор показателей Ковалевской с неотрицатель¬
ными действительными частями. Введем понятия собственного вектора
Ковалевской /З^и сопряженного собственного вектора (3
а) I<f3{i) =
<л	,л-	О-12)
б) р(г)К = рф(г).
Будем различать следующие случаи.
1)	Матрица К является полупростой. Тогда собственные вектора, соот¬
ветствующие одному и тому же показателю Ковалевской, выбираются
ортогональными, то есть равенство pi = pj означает, что /З^./З^ =
= 0. В этом случае существует полный набор решений вариационного
уравнения в виде
и
W = /3{i)Tp+pi, i =	<	п.	(3.73)
2)	Матрица К не является полупростой. Тогда фундаментального реше¬
ния вида (3.73) не существует, и для показателей Ковалевской, гео¬
метрическая кратность которых больше их алгебраической кратности,
вводятся логарифмические члены
= 7^(logT)rp+Pi, г = 1,...,п,	(3.74)
где 7^)(log(t — £*)) является полиномом от log (t — £*), степень кото¬
рого равна разности между алгебраической и геометрической кратно¬
стями показателя Ковалевской р*.
Существует другой набор показателей, тесно связанный с показателя¬
ми Ковалевской, — так называемые резонансы (Ablowitz, 1980а). Резонансы
определяются похожим способом, но решение х = атр, вблизи которого
они вычисляются, выбирается таким, что а* ф 0 V г. В работе [Ablowitz
et al, 1980а] показано, что резонансы и показатели Ковалевской, в общем
случае, различны; точнее, они отличаются всякий раз, когда порядок доми¬
нантного баланса меньше числа п независимых переменных.

144
Глава 3
Пример ЗЛО. Продолжение примера (3.7). Вернемся к системе (3.54).
Для каждого баланса Ti запишем вариационное уравнение и матрицу Ко¬
валевской I<i. Для JFi?2 мы получим
К 1>2 =
1 =f2z О
±г О О
ООО
(3.75)
с собственными значениями 7Z = { — 1,0, 2} и собственными векторами
/3(1) = (1, =F», 0), /3(2) = (0,0,1), /З(3) = (=р2г, 1,0).	(3.76)
Для ^*з и 57 ^ 0 имеем
=
1 0 1
-57 1 0
2 0 0
(3.77)
/3(1) = (1,57, -2), Р{2) = (0,1,0), /З(3) = (1, -57,1).	(3.78)
При 57 = 0 получим 71 = { — 1, 0, 2}.
Пример 3.11. Иррациональные показатели Ковалевской. Показа¬
тели Ковалевской могут оказаться функциями параметров векторного поля.
Например, система уравнений Лотка-Вольтерра на плоскости
а) х = х (ау - х),
б) у = у (Ьх - у)
(3.79)
является однородной, следовательно, р = (-1,-1), а а определяется ре¬
шениями системы
а) OL\ — OLi ((20(2 — Oil) i
б) С^2 = Oi2 (pOt\ — OL2) ,
на основании которых получим три различных баланса:
а) Ti = {а = (1,0), р = (-1, -1)},
б) J-2 = {OL = (О, 1),Р = ( — 1, —1)},
(3.80)
(3.81)

3.8. Сингулярный анализ
145
Соответствующий набор показателей Ковалевской имеет вид
а)	— { — 1,1 + 6},
б) П2 = { — 1,1 + а},
(3.82)
в)К3 = {-1,^±
(6 + 1 )(а + 1)
{аЬ - 1).	1
Второй показатель р зависит от коэффициентов векторного поля и при
действительных а, Ь априори может принимать любые действительные зна-
По скольку р — — 1 всегда является показателем Ковалевской, то для
векторного поля на плоскости второй показатель Ковалевской, выраженный
через коэффициенты векторного поля, является рациональным. Однако для
n-мерного векторного поля при п > 2 показатели Ковалевской являются
корнями полинома степени (п — 1) и могут оказаться комплексными. Соот¬
ношение между показателями Ковалевской и степенями первых интегралов
будет рассмотрено в главе 4.
3.8.3.	Шаг 3: локальное решение
Итак, для каждого доминантного баланса можно вычислить показатели
Ковалевской. Теперь построим формальное разложение решений в ряд в
окрестностях его особых точек. В зависимости от значений показателей
Ковалевской следует рассматривать различные случаи.
3.8.3.1.	Формальное разложение
Для заданной системы в окрестностях его особых точек может быть
построено формальное разложение общего решения. Снова рассмотрим до¬
минантный баланс Т — {а,р}, и пусть 1Z — {pi,...,pn} — множество
показателей Ковалевской. Тогда существует формальное решение
где коэффициенты q являются полиномами от log т и l/pn+i — наименьший
общий делитель величин {q^\ ..., q(m)}.
чения.
(3.83)

146
Глава 3
Коэффициенты ci могут быть вычислены на основании линейных ре¬
куррентных соотношений, полученных с помощью матрицы К при увеличе¬
нии значений |i|. Количество произвольных постоянных разложения (3.83)
равно числу показателей Ковалевской (с учетом их кратности). Формаль¬
ное существование такого разложения будет доказано в разделе 3.8.4. Эти
формальные ряды не упорядочены по степеням т, поскольку выражение рЛ
может принимать отрицательные значения. Поэтому в зависимости от ти¬
пов ветвей решения следует рассматривать различные случаи. Далее будет
показано, что общим требованием большинства теорий интегрируемости
является отсутствие логарифмических точек ветвления.
Обсудим различные типы локальных разложений в порядке возраста¬
ния их сложности.
3.8.3.2.	Разложения Пюизё
Рассмотрим баланс Т = {а,р}. Начнем со случая, когда все пока¬
затели Ковалевской с положительными действительными частями являют¬
ся рациональными. Пусть	—	набор	таких показателей Ковалевской.
Простейшее разложение, которое может быть построено, — это ряды Пюи¬
зё, то есть разложение, содержащее только рациональные степени (£ — £*).
Для этого определим в качестве 1/s наименьший общий делитель чисел
S =	.. • ,<7^} U 1Zи будем искать решение в виде разложения
Пюизё, содержащего столько же свободных параметров, сколько имеется
положительных показателей Ковалевской, то есть ищем решение вида
X = тр	,	(3.84)
где сi € Cn V г. Из анализа показателей Ковалевской известно, что новые
произвольные постоянные появляются в разложении для коэффициентов с^,
где h = ps, р G 7Z^. Существование таких произвольных постоянных мо¬
жет привести к возникновению несовместных ограничений на коэффициен¬
ты с j (j < К). Значения этих коэффициентов вычисляются при подстановке
полного разложения Пюизё (3.84) в исходную систему (3.45) из рекуррент¬
ных соотношений относительно коэффициентов Cj:
Kci — 8сз ~ pj(cb • • •	(3.85)
где Pj — полином своих переменных.

3.8. Сингулярный анализ
147
Если j/s = р является собственным значением матрицы К (то есть
показателем Ковалевской), то на параметры системы необходимо наложить
два условия, чтобы решить линейную систему для и получить столько
свободных параметров, какова алгебраическая кратность показателей Кова¬
левской.
(1) Матрица Ковалевской К должна быть полупростой, иначе будет
невозможно ввести столько произвольных постоянных, сколько необходимо
для описания решения, и потребуется добавлять логарифмические члены.
(2) Для того чтобы установить условия существования решения, мы
используем альтернативу Фредгольма, то есть умножаем вектор /3 на (3.85),
чтобы получить
Ср = р.Pj=o V/9e^(+).	(3.86)
Это соотношение должно выполняться для всех собственных векто¬
ров /3 матрицы Кт с собственным значением р.
Эти два условия являются центральными в сингулярном анализе и
обычно называются условиями совместности. Если оба условия выполне¬
ны, то существует локальное решение Пюизё с количеством произвольных
постоянных, равным числу положительных показателей Ковалевской.
3.8.3.3.	Логарифмические разложения
Если одно из указанных выше условий не выполнено, то разложение
вида (3.84), включающее только степени (t — t*)1у^, построить не удается.
Поэтому начальная подстановка некорректна, и для того, чтобы получить
необходимое число произвольных постоянных в разложение решения, сле¬
дует добавить логарифмические члены. Для простоты предположим, что
условия совместности не выполняются для первого положительного пока¬
зателя р, то есть Ср ф 0 и CPi = 0 Ург ^ р. Тогда можно построить непроти¬
воречивое разложение решения, содержащее логарифмические члены, вида
оо оо
х = y^y7curP+8/s (Tp\ogT)3/s.	(3.87)
г=0 j=0
Любые разложения с логарифмическими членами будем называть Ф-
рядами [Bender & Orszag, 1978]. Теперь можно подставить значение коэффи¬
циента coi для того, чтобы коэффициент с^о был произвольным. Остальные
коэффициенты могут быть определены с помощью рекуррентных соотно¬
шений.

148
Глава 3
Пример 3.12. Осциллятор Дюффинга. Двумерная система
а) х = у,
б) У = 3ау + 2Ъх — 2х3
имеет единственное весооднородное разложение, задаваемое формулами
(3.88)
f(0) =
-2х3
fW =
О
3 ау
f(2)
О
2 Ъх
(3.89)
Существует два возможных баланса, определяемых масштабно-инва¬
риантным решением уравнения х =	—	2х3 с а =	(±г,	г), р =
1 и = 2. Для обоих балансов матрица Ковалевской
= (-1,-2),
имеет вид
7(1)
К =
1 1
б 2
(3.90)
с собственными значениями 1Z = { — 1,р = 4}. Таким образом, мы можем
построить локальное разложение вида
+ ... (3.91)
а:
гт 1
CiT°
С2Т1
с3т2
C4T3
У
—гт-2
+
+
d2r°
+
+
d4T2
Наибольший показатель р = 4. Поэтому для доказательства существо¬
вания ряда Лорана следует найти значения коэффициентов 04, d*. Если усло¬
вие совместности (3.86) для С4 не выполняется, то необходимо изменить
подстановку (3.91) и учесть логарифмические члены. Коэффициенты сj =
= (cj, dj) определяются из рекуррентных соотношений
Kcj =jcj+ Pj(ci,...,Cj-_i).	(3.92)
При всех j < р существует единственное решение с j = (К — j I)-1 Р^.
Несколько первых коэффициентов определяются формулами
(3.93)
Однако при j = р = 4 может не существовать решения уравне¬
ния (3.92). Мы имеем условие совместности, полученное умножением соб¬
ственного вектора /34 = (2,1) матрицы Кт для собственного значения 4 на
р4 = (о, -6га2 (Ъ + а2)), то есть
га
'—±(46 +За2)'
га (6 + а2)
Cl =
2
О
,c2 =
_-±(4Ь + За2)_
,С3 =
f (6 +а2)
С4 — /34.Р4 = —6га2 (6 + а2)
(3.94)

3.8. Сингулярный анализ
149
Поэтому, для того чтобы система Дюффинга имела мероморфные ре¬
шения, необходимо выполнение условия С4 = 0 (такое же условие по¬
лучается и для второго баланса), то есть а — 0 — в этом случае систе¬
ма является гамильтоновой с гамильтонианом Н = \у2 — Ьх2 + \х4\ или
6 И- а2 = 0 — тогда существует зависящий от времени первый интеграл
I = {у2 + х4 + а2х2 — 2аху) ехр (—4at).
Если а (Ь + а2) ф 0, система не допускает существования разложения
решения в ряд Лорана; подстановку (3.91) необходимо изменить и учесть
логарифмические члены. В этом случае разложение имеет вид
/	оо	оо
— Т-Р
а +	53	c*Jrt('7’41°8 ТУ I •	(3.95)
г=0 j=0	/
Коэффициенты соо = 0, с^о = г = 1,2,3, определяются формула¬
ми (3.93). Но для члена порядка тр+4 мы получаем две системы:
Ясо1=4с01,	(3.96)
Кс40 = 4с4о - с01 + Р4.	(3.97)
Условие совместности имеет вид
С4=Э4-(-с01+Р4) = 0.	(3.98)
Уравнение (3.96) приводит к соотношению coi	=	«а/34	= «i(l, 3), где
Ki — произвольная	постоянная, определяемая из условия Фредгольма (3.98):
—k;i/34./34 — б га2 (Ь + а2) = 0. Если выбрать к\ — |га2 (6 + а2), то система
для с4о имеет решение
с40 = Ф4 +
| ia2(b + а2)
L 5
(3.99)
Оставшиеся члены разложения могут быть вычислены с помощью ре¬
куррентных соотношений по двум индексам г, j.	■
Пример 3.13. Система трех волн. Найдем условия совместности для
каждого баланса системы (3.54). Для этого подставим разложение х =
00 ■+
= a сг (t — £*) в систему (3.54) и для заданного (а,р) вычислим
г=0

150
Глава 3
коэффициенты с*, используя рекуррентные соотношения (3.85). Для дока¬
зательства существования формального ряда Лорана коэффициенты с* вы¬
числяются ДО г = ртах•
Для баланса и ^ / 0 получим два условия совместности: одно —
для показателя Ковалевской р — 1, другое — для р = 2:
а) Ci /32-^2 = 2,
б) С2 = 02-Рз = —$2-
2	(3.100)
Баланс не определяет ведущих членов ряда Лорана, поскольку
Ci ф 0. Однако при £7 = 0 получим
а) Со = 0,
г _ Г -27(7 + 1) при 5 = 0,	(3.101)
'	2	1 — 52 при 7 = 0.
Если S = 0 и 7(7 +1) = 0, то для решения с доминантным балансом JF3
ряда Лорана не существует. Осталось проверить еще два баланса Для
них условие совместности, связанное с р = 0, приводит к соотношению,
<52 + iS'y
тождественно равному нулю, а С2 = 	^	•
Таким образом, необходимые условия отсутствия для решений системы
логарифмических точек ветвления таковы: <5 = 0 и 7(7 + 1) = 0. В первом
случае, £ = 7 = 0, система является интегрируемой с первым интегралом
zy = к\е~21.	(3.102)
Во втором случае, 5 = 7 + 1 = 0, система имеет первый интеграл вида
х2 + (^у +	+ 2 = К2е~21.	(3.103)
В других случаях общее решение системы может быть выражено через
эллиптические интегралы.
3.8.4.	Формальное существование локальных решений
В предыдущих разделах мы построили локальные разложения по воз¬
растающим степеням для случаев, когда показатели Ковалевской являются

3.8. Сингулярный анализ
151
рациональными числами. Теперь рассмотрим в общем случае задачу доказа¬
тельства формального существования локального решения в окрестностях
подвижных особых точек системы
х =	f(х), х G Сп,	(3.104)
где f — аналитическая вектор-функция. Предположим, что существует до¬
минантный баланс Т — {а,р}, то есть существует весооднородное разло¬
жение векторного поля
i—m
f=]Tfw	(3.105)
i=Q
такое, что	система	х =	f	(х)	имеет точное масштабно-инвариантное ре¬
шение х(°)	=	атр,	где	т	= t —	£*, р G Qn, а G	Сп,	|а|	Ф 0. Кроме того,
допустим, что члены старшего порядка разложения (3.105) также являются
весооднородными и могут быть представлены в виде
flj) (t"x) = tPi+qU)-1flj) (х), г = 1,... ,n,V f € С0,	(3.106)
где q(l) G	>	0	\/г. Пусть l/q — наименьший общий делитель ве¬
личин	.. •,	и пусть показатели Ковалевской {рь ..., рп} будут
собственными значениями матрицы К =	(а)	—	diag	(р).	Тогда	приве¬
денная ниже теорема гарантирует существование формальных решений.
Теорема 3.2. Пусть задано аналитическое векторное поле х =
= f (х) ,х G С71 и пусть существует доминантный баланс Т — {а,р}.
Тогда существует формальное локальное решение с п произвольными по¬
стоянными вида
(ОО	\	71 +1
<*+ Ci(logf)ipl , p.i='y2pjij, (3.107)
i, |i| = l	/	j=k
где сi (log t) — полином no log t, {p\,..., pn} — собственные значения мат¬
рицы Ковалевской К и рп+1 = <?.
Для доказательства теоремы нам потребуется следующая лемма.
Лемма 3.1. Пусть R — матрица размерности п х п с постоянными
комплексными коэффициентами и u (log t) — вектор полиномов от log t.
Тогда обгцее решение линейной системы
ty = Ry + и (log*)
(3.108)

152
Глава 3
имеет вид
у =--tRC + v(logt),	(3.109)
где tR — экспоненциальная матрица, определяемая как tR = eliogt,R, С —
вектор произвольных постоянных и v (logt) — вектор полиномов от logt,
задаваемый выражением
v(log t) = tR J s~R~1u(\ogs)ds.	(3.110)
k
Кроме того, если матрица R — полупростая, то tRС = YZ /3^гНг\ где
i=i
ft^ — вектор собственного пространства R, соответствующий собствен¬
ному значению Гг (с числом произвольных постоянных, равным размерности
пространства собственных значений). Если же матрица R не является по-
лупростой, то tR — Y2 ft^lHri и вектор /3^ полиномиален по log t и может
г=\
быть выражен через обобщенные собственные вектора R]0.
Доказательство леммы.
Сначала рассмотрим однородную систему ty = Ry. С помощью непо¬
средственных вычислений несложно проверить, что у = tRС является об¬
щим решением (С — вектор произвольных постоянных). Это решение может
к
быть записано в виде tRС = Y1 ft tri- Если матрица R — полупростая, то
г=1
/3^ — вектор собственного пространства R, соответствующий собственно¬
му значению г г. Если R не является полупростой матрицей, то вектор (3^
является полиномиальным по log t и строится по обобщенным собственным
векторам R, соответствующим собственному значению г*. Метод вариации
произвольной постоянной для решения у = tRC(t) приводит к уравнению
tC = tRu(\og t),	(3.111)
которое имеет решение
t
С = J 5_я_1и (logs) ds + С.	(3.112)
10Если р — собственный вектор матрицы R кратности т <С п, то при к = 1
всякое ненулевое решение v уравнения (R — pl)kv = О является обобщенным собственным
вектором R.

3.8. Сингулярный анализ
153
Следовательно, общее решение имеет вид
у = tR С + t
R
Z
S'
-Д-1
и (log s) ds.
(3.113)
Для доказательства того, что v = tR f s~R~1u (log s) ds является по¬
линомом от logr, необходимо выполнить интегрирование по частям и по
индукции показать, что v — полином от log т степени, равной сумме степе¬
ни u(log s) и количества нулевых собственных значений R.	■
Доказательство теоремы.
Подставим решение для х, записанное в общем виде, в систему и
покажем, что при увеличении значения i можно итерационно вычислить Ci.
Сначала найдем х:
д*-1
ра + 53 tp l (tci + с;(р + p.i))
(3.114)
Подставим решение в выражение для векторного поля и используем тот
факт, что существует т е N такое, что f(tpy) =	tp_1+2<7f^(y).
ложение f в ряд Тейлора в окрестности масштабно-инвариантного решения
имеет вид
f (х) = Р
-1
f<0) (а) + 53 ■Df(0) («) *tP i + ditP '
(3.115)
где dj = d| (cj, |j| < |i|). Сравнивая выражения (3.114) и (3.115), после упро¬
щения получим:
tc\ — К\С{ + dj,	(3.116)
где К\ — К — (p.i) I. Мы хотим доказать, что с * является функцией от
logt. Поэтому мы ищем решение вида (3.116), которое будет или постоян¬
ной функцией, или полиномом от logt. Рассмотрим следующие два случая.
Первый, если p.i ^ pj,j = 1,..., п, тогда матрица К\ является обратимой
и Ci = iCi“1di. Второй, если
p.i = p,	(3.117)
при некоторых 1 ^ j ^ п, тогда, на основании леммы 3.1, существует
решение вида
cj = /3^ + v(logt),	(3.118)

154
Глава 3
где v (logt) определяется выражением (3.110) с u = di. Если матрица К —
полупростая, то (3^ является произвольной суммой собственных векторов
пространства К собственного значения pj. Если К не является полупростой
матрицей, то вектор (3^ является полиномиальным по logt, построенным
по обобщенным собственным векторам К собственного значения pj. В обо¬
их случаях число произвольных постоянных в (3^ равно алгебраической
кратности pj и ci является полиномом от log t. Таким образом, мы приходим
к выводу, что все коэффициенты Cj являются либо постоянными, либо поли¬
номами от log t. Кроме того, поскольку суммирование начинается с |i| = 1,
существует, по крайней мере, п равенств p.i = pj, которые означают, что
решение содержит п свободных параметров.	■
3.8.5.	Сопровождающие системы
Построение локальных разложений в окрестностях особых точек, в
большинстве случаев, напоминает построение локального экспоненциаль¬
ного разложения в окрестности неподвижной точки. Чтобы провести ана¬
логию, введем преобразование, отображающее локальные разложения в
окрестностях особых точек в локальные разложения в окрестности непо¬
движной точки новой системы — так называемой сопровождающей систе¬
мы.
З.8.5.1.	Локальный анализ в окрестностях неподвижных точек
Коротко напомним основные этапы локального анализа векторных по¬
лей. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
i=*|=f(x), хеС”,	(3.119)
где f — аналитическая вектор-функция. Предположим, что эта система имеет
к изолированных неподвижных особых точек {х(г\ i	=	1,..., к}.	Для каж¬
дой	неподвижной	точки х^2^ = х* сделаем замену переменных у = х — х* и
рассмотрим систему
У = g(y) =f(y + x*), У	(3-12°)
Следовательно, мы получим к систем. Изучим локальное поведение
решений в окрестности начала координат. Для каждой системы вектор g
может быть разбит на две части:
g = glin + gnli,	(3.121)

3.8. Сингулярный анализ
155
где gl,n и gnh — соответственно, линейная и нелинейная части векторного по¬
ля. Спектр матрицы Якоби Dg (0) = Dglin определяет линейные собствен¬
ные значения А = {Ai,..., Ап} (где действительные части А* предполага¬
ются выбранными в порядке увеличения). Неподвижная точка называется
гиперболической, если Re (А*) ф 0, г — 1,..., п.
Локально в окрестности начала координат существует формальное раз¬
ложение решения вида
где Р — вектор формальных разложений с полиномиальными по t коэф¬
фициентами и С\,..., Сп — произвольные постоянные. Например, полагая
Сг = 0 при всех г таких, что Re (А*) ^ 0, вдоль неустойчивого многообра¬
зия Wu(0) имеем
Это разложение является локальным представлением (п — k + 1) пара¬
метрических решений на локально-неустойчивом многообразии. Коэффи¬
циенты C{(t) являются полиномами от t степени меньшей или равной Au.i.
Если все коэффициенты Ci постоянные, то говорят, что существует чистое
разложение, то есть разложение только с экспоненциальными членами. Ес¬
ли коэффициенты с* постоянны при |i| ^ Ап, то они постоянны при всех i.
Сходимость такого ряда следует из теоремы о неустойчивом многообра¬
зии [Chow & Hale, 1982, стр. 103].
Лемма 3.2. Пусть у = 0 — неподвижная точка системы у =
= g (у) с линейными собственными значениями \ Аи — вектор линейных
собственных значений с положительными действительными частями и
у (£; Си) — разложение вида (3.123). Тогда существуют К, ti, а € R с
0 < а < Re (А“), i = /с,..., N, и достаточно малое 6 такие, что для всех
\в\ <8 ut <t\ выполняется соотношение
У (£) = Р (CieAlt,..., CneXrit),
(3.122)
ОО
П
(3.123)
|у(*;а)| < K\a\eat.
(3.124)
Множитель К связан с нормой матрицы ехр(Аи£), где Аи — жорданова
клетка, соответствующая линейным собственным значениям Аи.

156
Глава 3
3.8.5.2.	Сопровождающее преобразование
Прослеживается очевидная параллель между анализом решений в ок¬
рестностях неподвижных точек в фазовом пространстве и анализом
в окрестностях подвижных особых точек (основанная на аналогии меж¬
ду разложениями (3.122-3.123) и (3.107)). Построение разложений вида
(3.107), в большинстве случаев, подобно построению решений вида (3.123)
на неустойчивом многообразии. Для более глубокого понимания этой ана¬
логии введем замену переменных, которая позволяет перейти от локаль¬
ного анализа в окрестностях подвижных особых точек к локальному ана¬
лизу в окрестностях неподвижных точек другой системы. Рассмотрим ба¬
ланс Т — {а, р} с разложением векторного поля f
тп
x = f<0>(x) + 53f«(x), хеС",
г—1
и определим преобразование Т : (х, t) —> (X, s) вида
а) х (t) = трХ (т),
б) т = es.
Сопровождающая система имеет вид
а) X- = F*(Xi,...,Xn+i), г = 1,...,п,
б) Х'п+1 = qXn+1, то есть Xn+1 = eqs,
где 1/q G N — наименьший общий делитель величин	как
определено равенством (3.107). Заглавные буквы будем использовать для
обозначения зависимых переменных и векторных полей новой (сопрово¬
ждающей) системы. В векторной форме эта система записывается в следу¬
ющем виде:
X' = F(Xb...,X,v), XeCN, N = п + 1.	(3.128)
В общем случае, замена п —> п + 1 необходима для представления
новой системы как автономного векторного поля. Однако в частном слу¬
чае, когда система является весооднородной (то есть f = Гр), такая замена
необязательна, так как Fi (i = 1,..., п) не зависит от Xn+i, и последнее
уравнение (3.127(6)) отделяется от системы. Поскольку новая система мо¬
жет быть записана для каждого баланса, существует к сопровождающих
систем, связанных с исходной. Некоторые из этих систем, в действитель¬
ности, тождественны (для балансов с равными векторами р, но различ¬
ными а). Новая система для действительных р является действительным
(3.125)
(3.126)
(3.127)

3.8. Сингулярный анализ
157
аналитическим векторным полем. Однако мы будем проводить ее анализ
в окрестностях комплексных неподвижных точек (в случае a Е Сп). Пе¬
реход к сопровождающим системам независимо использовали различные
авторы [Delshams & Mir, 1997,Furta, 1996] при проведении анализа систем
на выполнение свойства Пенлеве (см. также [Costin, 1997,Costin & Costin,
1998] и [Goriely, 2001]).
Пример 3.14. Простой пример сопровождающей системы.
Рассмотрим векторное поле на плоскости
а.) 3/1 — х*2,
б) Х2 = 4х^ — 2а.
з ~	О-129)
Возможным доминантным балансом является пара р = (-1,-2) с а. =
, л/2	у/2\	-
±-^-, =F-y-	1 и q = 1, что приводит к выражениям
х\ =aiT-1,	Х2 = а2Т~2,	(3.130)
которые являются точным решением системы х = № с = [x2,4xj]T
и	= [0, —2а]т. Сопровождающее преобразование имеет вид
XI = т~г Х\,	х2 = т~2Х2,	(3.131)
где т = t — £* = es.
Новая (сопровождающая) система запишется в виде
а) Х[ =Х2+Хи
б) Х'2 — 4Х\3 + 2 Х2 — 2 Х3а,	(3.132)
в) X' = Х3.
3.8.5.3.	Сингулярный анализ и неустойчивые многообразия
Проведем локальный анализ сопровождающей системы в окрестностях
ее неподвижных точек. По построению, существует, по крайней мере, две
таких точки. Первая неподвижная точка Xq = О — начало координат, вторая
имеет вид X* = (а,0). В окрестности начала координат линейными соб¬
ственными значениями являются Spec(DF(0)) = {— р, q}, которые опреде¬
ляются показателями масштабно-инвариантного решения х = атр вместе с
показателем q, характеризующим недоминантную часть векторного поля.

158
Глава 3
Более интересна вторая неподвижная точка. Находим, что
Spec(£>F(X*)) = р. Линейные собственные значения неподвижной точки
X* сопровождающей системы являются показателями Ковалевской исход¬
ной системы в окрестности сингулярного решения вместе с дополнитель¬
ным собственным значением q. Неустойчивое многообразие неподвижной
точки X* может быть параметризовано
иИ-k + l = dim(Wu (X*)). Поскольку t —» 0 при 5 —» — оо, то, возвращаясь
к исходным переменным, имеем
где c\j = Cij, j = 1,..., п. Таким образом, локальное разложение на
неустойчивом многообразии неподвижной точки сопровождающей систе¬
мы является Ф-рядом исходной системы для баланса {а.р}. Количество
свободных произвольных постоянных ряда равно числу положительных
показателей Ковалевской, а свободная постоянная t* соответствует поло¬
жению особенности в разложении. Поэтому решение с (п — 1) положитель¬
ным показателем Ковалевской является локальным представлением общего
решения.
Каждая ненулевая неподвижная точка сопровождающей системы со¬
ответствует другому возможному балансу {/3, р}. Если X — неподвижная
точка, то Xi(t) = XiTPi является асимптотическим решением исходной си¬
стемы, то есть точным решением системы х = f(°). Если X = 0, то соот¬
ветствующее решение не является балансом. Однако обратное утверждение
неверно, и если {/3, q} — некоторый другой баланс с q / р, то X* = (/3, 0)
не является неподвижной точкой сопровождающей системы, связанной с
балансом {а,р}. Поэтому один из путей локального анализа всех возмож¬
ных балансов заданной системы заключается в поиске всех возможных
декомпозиций векторного поля f и соответствующих векторов р. Каждая
из этих декомпозиций соответствует сопровождающей системе. Локальный
анализ всех ненулевых неподвижных точек сопровождающих систем поз¬
воляет провести локальный анализ всех возможных балансов исходной си¬
стемы. Позже мы рассмотрим поведение каждой сопровождающей системы
в окрестности неподвижной точки X*.
X (s) = Pu (Скерк°,CNep»s), Re (Pi) >0,i>k-l
OO
(3.133)

3.8. Сингулярный анализ
159
3.8.6.	Сходимость локальных решений
Мы доказали существование формальных разложений в окрестностях
подвижных особых точек, и теперь следует оценить сходимость таких раз¬
ложений. В общем случае, локальные разложения (3.107) не являются сходя¬
щимися. Эта сложность подобна той, что возникает при анализе сходимости
преобразований для нормальных форм в окрестности неподвижной точки.
Известно, что нормализующие преобразования сходятся лишь при некото¬
рых ограничениях на собственные значения [Bruno, 1989]. Однако можно
рассматривать разложения (3.107) только по возрастающим степеням, по¬
лагая все произвольные постоянные, соответствующие показателям Кова¬
левской с неположительными действительными частями, равными нулю.
Рассмотрим систему х = f (х), и пусть Т — {а, р} — баланс с показателями
Ковалевской р = {рь р2,..., рп}, гДе pi = -1 и {р2,.. •, рп} упорядоче¬
ны по возрастанию их действительных частей. Добавим pn+i = Q С Q+ и
получим р = {pi,..., рп+1}. Пусть ри, рс, ps — вектора, соответствующие
показателям Ковалевской со строго положительной, нулевой и строго от¬
рицательной действительными частями. Будем рассматривать разложения,
соответствующие показателям Ковалевской только с положительными дей¬
ствительными частями. Такие разложения, полученные из (3.107) в предпо¬
ложении, что значения произвольных постоянных, соответствующих ps, рс,
равны нулю, имеют вид
где замена г = t — t* использована для введения в явном виде произ¬
вольной постоянной, соответствующей показателю Ковалевской pi = — 1.
Требуется доказать сходимость Ф-ряда при т = t — £* и достаточно ма¬
лых значениях произвольных постоянных Си = (С/с,..., Сп). Если Ф-
ряд сводится к ряду Пюизё (то есть к ряду с рациональными показате¬
лями Ковалевской и без логарифмических членов), то сходимость тако¬
го ряда доказана в работах [Adler & van Moerbeke, 1989b] и [Brenig &
Goriely, 1994]. В работах [Kichenassamy & Littman, 1993a, Kichenassamy
& Littman, 1993b, Kichenassamy & Srinivasan, 1995] по сингулярному ана¬
лизу уравнений в частных производных утверждается, что Ф-ряды, в об¬
щем случае, являются сходящимися. Справедливость этого утверждения
была успешно продемонстрирована на многих показательных примерах
[Sachdev & Ramanan, 1993,Hemmi & Melkonian, 1995,Melkonian & Zypchen,
1995, Abenda, 1997], а также, в общем случае, для векторного поля на плос¬
(3.135)

160
Глава 3
кости [Delshams & Mir, 1997]. Приведем общее доказательство сходимости
Ф-ряда [Goriely, 2001].
Теорема 3.3. Пусть Т — {а,р} — баланс системы х = f(x), а
x(t, Cu) — локальный Ф-/ш) (3.135) в окрестности особой точки t* с произ¬
вольными постоянными С^, • • •, Сп. Тогда существуют е <Е М,' a Е М, 0 <
а < Re (pi), г = ft,..., п -Ь 1, w 5 € М такие, что для |а| < (5, \t — t* \ > е и
достаточно большого М Е М выполняется неравенство
|х(£,а)| < М |а| та.	(3.136)
При доказательстве этой теоремы мы используем сопровождающее
преобразование, введенное в предыдущем разделе для отображения локаль¬
ного разложения (3.135) в локальное разложение в окрестности неподвиж¬
ной точки (3.133). Доказательство сходимости Ф-ряда сводится к доказа¬
тельству сходимости экспоненциального разложения для сопровождающей
системы при 5 —» — сх), что следует из леммы 3.2.
Доказательство.
Доказательство этой теоремы основано на применении к семейству со¬
провождающих систем леммы 3.2. Мы знаем, что локальное решение на
неустойчивом многообразии неподвижной точки X* должно удовлетворять
условию |Х (s, а)| < К |а| eas при s < si. Для проверки сходимости Ф-ряда
при t Е С будем следовать рассуждениям, изложенным в работе [Delshams
& Mir, 1997], и рассмотрим семейство сопровождающих систем, получен¬
ных с помощью преобразования т = esez6>, где 0 е [0,27т). При действи¬
тельных значениях s и фиксированных в величина т будет расстоянием
от начала координат на полупрямой, образующей угол 0 с положитель¬
ным направлением действительной оси. При каждом фиксированном в мы
получаем новую сопровождающую систему F#, для которой справедлива
лемма 3.2. То есть для каждого в мы находим величину Ко G М. Полагая
М = тах{Ко, 0 е [0, 2тг)} G К, получим, что Ф-ряд сходится при всех т в
выколотой окрестности радиуса е особой точки.	■
Более сложным является случай негиперболичеекого баланса, когда
одно или несколько собственных значений имеют нулевые действитель¬
ные части. В этом случае в первом члене разложений нельзя использовать
выражение log(r), которое, очевидно, расходится при т —> 0. Сходимость
локальных разложений, соответствующих показателям Ковалевской с отри¬
цательными действительными частями, в общем случае, установить нельзя,
поскольку произвольная постоянная, связанная с недоминантным показа¬
телем q, отсутствует. Так как локальные разложения будут содержать как

3.8. Сингулярный анализ
161
отрицательные степени т, связанные с отрицательными показателями Кова¬
левской, так и положительные степени т, связанные с q, то ряд не удается
упорядочить по степеням т при увеличении i, и сходимость ряда не может
быть гарантирована. Однако, в частном случае, когда q = 0 и векторное
поле является весооднородным, справедлив следующий результат.
Предложение 3.4.	Пусть Т — {ос,р} — баланс	весооднородного век¬
торного поля х	=	f (х) и пусть х(£, Cs) — локальный	Ч?-ряд
х(£)	= тр + ^2 ci(l°gr)rpS l^	(3.137)
в окрестности особой точки t* с произвольными постоянными Ci,..., С
Тогда существуют е Е М, a Е М, Re(p^) < а < О, г = 1,..., fc, м (5 Е М
такие, что для |а| < <5, \t — £*| > £ м достаточно большого М Е R выпол¬
няется неравенство
|х(£,а)| < М|а|та.	(3.138)
Доказательство.
Доказательство проводится по той же схеме, что и доказательство те¬
оремы 3.3, с помощью преобразования т = e~se%e. В результате получим,
что локальное решение, параметризующее неустойчивое многообразие точ¬
ки X* новой сопровождающей системы, соответствует локальному разло¬
жению (3.137). Поэтому сходимость этого ряда при s —> —оо следует из
сходимости (3.137) при \t — t*\ > е.	Ш
3.8.7.	Краткий перечень методов исследования особых точек
Как показано в предыдущих разделах, процедура построения локаль¬
ных решений априори не позволяет нам получить общую информацию о
системах дифференциальных уравнений, такую как выполнение свойства
Пенлеве, существование первых интегралов или особых структур в фазо¬
вом пространстве. Поэтому теперь задача состоит в том, чтобы показать,
что, на самом деле, локальные разложения, построенные в предыдущих
парагафах, содержат важную информацию о глобальном поведении реше¬
ний. В зависимости от того, какую именно информацию стремятся полу¬
чить в ходе исследования, на локальные разложения накладываются различ¬
ные ограничения. Сама процедура, приведенная в данном разделе, является
стандартной — отличие состоит лишь в дополнительных условиях. Каждая
процедура или тест используется для того, чтобы установить определенную

162
Глава 3
связь между локальным анализом особых точек и глобальной интегрируе¬
мостью или неинтегрируемостью системы дифференциальных уравнений.
Прежде чем приступить к детальному изучению методов сингулярного ана¬
лиза, приведем их краткий обзор.
1) Тесты Пенлеве. Тесты Пенлеве используются для проверки заданных
систем дифференциальных уравнений на выполнение свойства Пен¬
леве. Поэтому основная цель тестов — показать, что локальные ре¬
шения являются однозначными. Однако локальный анализ позволяет
установить только необходимые условия выполнения свойства Пен¬
леве. Например, простейший тест лишь требует, чтобы масштабно¬
инвариантное решение было однозначным, то есть чтобы р Е Zn. Если
же мы хотим исключить еще и алгебраические особые точки, мы тре¬
буем также, чтобы все показатели Ковалевской были целыми числами
(Тест Пенлеве #1). Теперь можно рассмотреть локальные разложения
с возрастающими степенями, учитывающими только положительные
показатели Ковалевской. Для того чтобы исключить появление лога¬
рифмических особых точек в этих решениях, определяются все усло¬
вия совместности до наибольшего показателя Ковалевской и устанав¬
ливаются условия отсутствия логарифмических коэффициентов (Тест
Пенлеве #2). И наконец, построив с помощью итерационной процеду¬
ры общие формальные локальные разложения (3.107), проверяем, что
коэффициенты Ci постоянны при всех i (Тест Пенлеве #3), то есть что
локальные решения являются рядами Лорана. Однако следует отме¬
тить, что последний этап, в общем случае, не удается осуществить за
конечное число шагов, поскольку резонансное соотношение рл — pj
выполняется (за исключением случая, когда существует (п — 1) по¬
ложительных целых показателей Ковалевской) лишь для бесконечного
числа i.
2) Слабый тест Пенлеве. Слабый тест Пенлеве расширяет тест Пенлеве
на случай анализа определенных типов алгебраических особых точек.
Обычно он используется при рассмотрении интегрируемых гамиль¬
тоновых системам с двумя степенями свободы. Детальное описание
этого теста приводится в [Goriely, 1992], где введены преобразования
переменных для того, чтобы отобразить системы, обладающие слабым
свойством Пенлеве, в системы, обладающие этим свойством в общем
смысле.
3) Метод Йошиды для однородных векторных полей. С помощью ана¬
лиза Йошиды, основанного исключительно на рациональности пока¬
зателей Ковалевской, для весооднородных систем можно установить

3.9. Тесты Пенлеве
163
необходимые условия отсутствия алгебраических первых интегралов.
Как расширение этого теста при изучении систем дифференциальных
уравнений будет получен метод, основанный на том, что наличие ло¬
гарифмических членов препятствует алгебраической интегрируемости
(оба метода обсуждаются в главе 5).
4)	Анализ, использующий Ф-разложения. Ф-разложения являются
основными разложениями, содержащими логарифмические члены.
В главе 5 будет показано, что существование таких разложений ис¬
ключает полную интегрируемость. Отметим, что Ф-разложения содер¬
жат некоторую информацию о разбиении особых точек на группы в
комплексной области и о расщеплении гомоклинных орбит в фазовом
пространстве (см. [Goriely & Tabor, 1995]).
3.9.	Тесты Пенлеве
Свойство Пенлеве является глобальным свойством дифференциальных
уравнений. В настоящее время алгоритм определения того, обладает ли
уравнение свойством Пенлеве, отсутствует. Тест Пенлеве, по сути, является
алгоритмическим тестом определения необходимых условий выполнения
свойства Пенлеве. Мы переходим к описанию некоторых тестов Пенлеве в
порядке увеличения их сложности и к обсуждению достаточных условий
того, чтобы уравнение обладало свойством Пенлеве. В последние годы тест
Пенлеве был использован для исследования систем ОДУ, в частности для
отыскания интегрируемых случаев системы Лоренца [Segur, 1982]. Позже
с помощью этого теста было изучено много других физических систем,
а также обнаружены новые случаи интегрируемости [Menyuk et al., 1982,
Menyuk et ai, 1983,Ramani et al, 1989].
3.9.1. Тест Пенлеве #1: Метод Хойера-Ковалевской
3.9.1.1. Историческое отступление II
Идея о том, что анализ локальных решений в окрестностях особых
точек на комплексной плоскости может привести к некоторому пониманию
проблем интегрируемости нелинейных систем обыкновенных дифференци¬
альных уравнений, была впервые высказана Полом Хойером в 1879 году.
Пол Хойер был студентом Вейерштрасса и при выполнении своей доктор¬

164
ГЛАВА 3
ской диссертации изучал интегрируемость системы [Ноуег, 1879]
х\ = CL1X2X3 4- а2х 3X1 + азх\х2,	(3.139)
х2 = Ъ\х2хз + 62X3X1 4- 63X1X2,	(3.140)
хз = cix2x3 + c2x3xi 4- c3xix2.	(3.141)
Основой его анализа был поиск налагаемых на параметры системы
условий, при выполении которых показатели Ковалевской являются целы¬
ми или рациональными числами. Этот метод позволяет установить необ¬
ходимые условия того, чтобы локальные решения в окрестностях особых
точек являлись либо рядами Лорана, либо рядами Пюизё. Также Хойером
были рассмотрены случаи, в которых решения системы могут быть разло¬
жены в ряды Пюизё, и найдены точные решения (в большинстве случаев,
с использованием удачных подстановок, а не стандартных процедур).
До исследования уравнений Эйлера С. Ковалевская также изучала ин¬
тегрируемость простых квадратичных систем ОДУ. Ее неопубликованная
работа появилась лишь в собрании ее сочинений, и на эту работу лишь
недавно обратили пристальное внимание [Grammaticos et al, 1990а]. Па¬
раллельно с Хойером Ковалевская занималась изучением интегрируемости
трехмерной системы Лотка-Вольтерра еще в 1884 году (очевидно, что это
произошло задолго до работы Лотка и Вольтерра, опубликованной в 1920-х
годах!):
xi =	xi(aixi 4- а2х2 4- <23X3),	(3.142)
х2 =	x2(6ixi + 62х2 4- 63X3),	(3.143)
хз =	x3(ciXi 4- с2х2 + с3х3).	(3.144)
Вскоре после этого Ковалевская начала работать над задачей о движении
твердого тела, о результатах которой уже упоминалось в разделе 2.1.1. Мож¬
но сказать, что Ковалевская проделала двойную работу. Во-первых, она на¬
шла новый интегрируемый случай этой задачи, для которого впоследствии
ею было построено общее решение, выраженное через тета-функции двух
переменных. Во-вторых, она показала, что для данной задачи других случа¬
ев, помимо четырех известных, в которых решение было бы однозначным,
не существует [Kowalevski, 1889а, Kowalevski, 1889b, Tabor, 1984]. Уравне¬
ния Эйлера (2.16) имеют вид
а) Jи) + и; х (Ju>) = Хх7,
'	V	'	1	(3.145)
б) 7 -f и) х 7 = 0,
где uj — угловая скорость и 7 описывает ориентацию волчка. Начиная свое
исследование, Ковалевская заметила, что для случаев Эйлера и Лагранжа

3.9. Тесты Пенлеве
165
все шесть зависимых переменных (о?, 7) являются однозначными функци¬
ями времени, особыми точками которых на комплексной t-плоскости будут
только полюса. Общее решение разлагается в ряд Лорана с конечным чис¬
лом членов главной части. Затем она задалась вопросом: существуют ли
при произвольных значениях параметров разложения общих решений зада¬
чи в ряды Лорана с пятью свободными параметрами (для описания общего
решения) в виде
где р, q € Z3, a*,b* G С3. Чтобы эти ряды описывали общее решение
рассматриваемой системы, должны выполняться следующие условия:
1) ряд является формальным решением и сходится в выколотой окрест¬
ности особой точки;
2) пять коэффициентов разложения остаются неопределенными.
Чтобы доказать для данной системы формальное существование таких ря¬
дов, Ковалевская построила масштабно-инвариантные решения и для каж¬
дого из них нашла матрицу К. Затем ею были сформулированы налагаемые
на параметры условия, при выполнении которых собственные значения мат¬
рицы К (показатели Ковалевской) являются целыми числами [Kowalevski,
Afin que les series ... contiennent le nombre suffisant de constantes
arbitraires, il faut que le determinant de ces equations lineaires ...
5 ’evanouisse pour cinq valeurs differentes de m egales a des nombres
entiers positifs11.
Исследования Ковалевской показали, что упомянутые выше условия вы¬
полняются только в трех классических и в одном новом случае, когда J\ =
= J2 = 2 J3 и Х$ = 0, а соответствующий первый интеграл имеет вид
h = [(wi + Ш2)2 + ^1(71 + Й2)] [(“>1 - *^2)2 + Xi(7i - *72)] . (3.147)
Однако всего этого Ковалевской было недостаточно, и она проинтегрирова¬
ла уравнения движения, выразив решение через тета-функцию двух пере¬
менных и гиперэллиптические интегралы (эти объекты связаны с процеду¬
рой обращения Якоби).
11 «Для того чтобы ряд содержал достаточное количество произвольных постоянных, необ¬
ходимо, чтобы определитель этих линейных уравнений был тождественно равен нулю для
пяти различных значений целого положительного параметра га.»
оо
оо
(3.146)
1889а]:

166
Глава 3
Работу Ковалевской критиковал русский академик Марков, который с
сомнением отнесся к факту отсутствия в задаче других дополнительных
случаев, в которых уравнения движения могут быть проинтегрированы.
Эта проблема была решена Ляпуновым, который в 1894 году доказал кор¬
ректность утверждения Ковалевской [Cooke, 1984, стр. 118].. Аргументы,
приведенные Ляпуновым при доказательстве однозначности решений в ин¬
тегрируемых случаях для волчка Эйлера, будут представлены в следующем
разделе.
З.9.1.2.	Процедура Ковалевской-Хойера
Процедура, использованная Ковалевской и Хойером для проверки одно¬
значности общего решения, основана на построении матрицы Ковалевской.
Теорема 3.4. (Тест Пенлеве #1). Рассмотрим систему х = f(x), где
f(x) — аналитическая вектор-функция, и предположим, что эта система
обладает свойством Пенлеве. Тогда для всех возможных балансов Т —
— {а,р} ведущие показатели — целые числа, матрица Ковалевской К —
полупростая и показатели Ковалевской р — целые числа.
Для доказательства этой теоремы нам необходимо два варианта а-
леммы Пенлеве.
Лемма 3.3. Пусть {а,р} — доминантный баланс системы х = f(x).
Если х = f(x) обладает свойством Пенлеве, то система х = f(°)(x)
также обладает свойством Пенлеве.
Доказательство.
Применив масштабное преобразование х —> ерх, t —> et к векторному
полю х = f(x), получим
га
X = f (х, е) = yv<0f(i)(x),	(3.148)
г=0
где q= 0 и q^ £ Q+ V г > 0, как определено равенством (3.106).
Исходная система обладает свойством Пенлеве, и, как следствие этого, ее
общее решение является однозначной функцией. Пусть Х(£) — локальное
разложение этого решения в окрестности особой точки с балансом {а, р}.
Тогда система (3.148) имеет однозначное решение Х(£, е), аналитическое
по 6, такое, что Х(£,е = 1) = Х(£). Теперь, используя а-лемму Пенлеве
(теорему 3.1), получим, что решение Х(£, 6 = 0) системы х = f(°) (х) также
является однозначной функцией.	■

3.9. Тесты Пенлеве
167
Лемма 3.4. Пусть {а, р} — доминантный баланс весооднородной си¬
стемы х = f(°)(x). Если х = f(°)(x) обладает свойством Пенлеве, то фун¬
даментальное решение системы t\i = К и, где К = Df(°)(a) - diag(p),
является однозначным.
Доказательство.
Рассмотрим решение х = JZSo х^ег, где х(°) = атр и е — произволь¬
ный параметр. Заметим, что f не зависит от е. Уравнение для х^1) имеет
вид
£х(1) = /Сх(1),	(3.149)
где К = Df(°)(a) — diag(p). В соответствии с а-леммой Пенлеве, если
х(£) — однозначно, то х(г) — также однозначно при всех г. Следовательно,
и решения системы t\i = К и являются однозначными.	■
Доказательство теоремы.
Применяя лемму 3.3 к системе х = f(°)(x), для заданного баланса
{а, р} можно показать, что если показатели Ковалевской или доминантные
показатели р не являются целыми, то решение не является однозначной
функцией. Во-первых, известно, что решение х = атр является точным
частным масштабно-инвариантным решением системы х = f^(x), полу¬
ченным в предположении, что все произвольные постоянные в разложении
равны нулю. Во-вторых, очевидно, что если общее решение однозначно,
то и все частные решения также будут однозначными. Следовательно, по¬
лучим, что р € Zn. Теперь рассмотрим вариационное уравнение вблизи
решения х = атр
tii = Ku,	(3.150)
где К = Df(°)(a) — diag(p). Если система х = f(°)(x) имеет однознач¬
ное общее решение, то решение вариационного уравнения вблизи любого
частного решения также должно быть однозначным (по лемме 3.4). По
определению, показатели Ковалевской являются индексами Фукса линей¬
ной системы (3.150). Поэтому общее решение u = tKС системы (3.150)
является однозначным тогда и только тогда, когда матрица	К	— полупро¬
стая и Spec(iC) е Zn (предложение 3.1).	■
Пример 3.15. Гамильтониан Хенона-Хейлеса.	Уравнения	Гамиль¬
тона для гамильтониана Хенона-Хейлеса [Henon & Heiles, 1964, Weiss,
1984, Tabor, 1989]
Н = ^(.Хз + х\ + ах\ + х%) + Ьх\х2 - ]-х\
А	О
(3.151)

168
Глава 3
имеют вид
а) х1 = х3,
б) X2 = Х4,
в) ±з = —aa^i — 2Ъх\Х2,
г) £4 = —Х2 —
(3.152)
Найдем налагаемые на параметры (а, 6) условия, при выполнении кото¬
рых эта система проходит тест Пенлеве #1, то есть проверим, что для всех
возможных балансов показатели р являются целыми числами, а матрица
Ковалевской — полупростой с целыми собственными значениями. Един¬
ственным весооднородным разложением векторного поля с показателями
р = (—2,— 2,— 3,-3) является следующее:
f(0)
^3
" 0 “
£4
, f(4 =
0
—2Ъх\Х2
—ах 1
_ — Ьх\ + х\ _
. -0С2 .
(3.153)
Соответствующий f^1) недоминантный показатель равен = 1. На
основании решений системы pa = f^(a) получаем три различных балан¬
са:
а)	а(1) = (0, б, 0,-12),
, ±3
3 ±6
<3154)
б)	а<2’3)
Для каждого баланса вычислим собственные значения матрицы К,
К =
2 0 10
0 2 0 1
2bot2 2Ьа\ 3 0
_2Ьа\ 2а2 0 3_
(3.155)
и получим два различных набора показателей Ковалевской:
а) RW = |-1,6,^(5 ±Vl+ 486) j ,
б) R.W = | —1,6,|(5± V-23 + 24/6)|.
(3.156)

3.9. Тесты Пенлеве
169
При условии, что все показатели Ковалевской должны быть целыми числа¬
ми, получим три различных случая:
а) 6=1,	Д(1) = {-1,-1,6,6},
Д(2-3) = {_1,2,3,6},
б) 6 = 1/2, Д(1) = i?(2’3) = {-1,0,5,6},	(3.157)
в) 6= 1/6, Д(1) = {-1,1,4,6},
Д(2,3) = {-1,-3,6,8}.
Таким образом, получаем, что для данной системы свойство Пенлеве
выполняется только при b Е {1,1/2,1/6}. На данном этапе исследования
никаких условий на значение параметра а не налагается, поскольку он по¬
является только	в недоминантной части векторного поля	а	показатели
Ковалевской и доминантные показатели зависят только от доминантной ча¬
сти векторного поля.	■
Пример 3.16. Снова об уравнениях Эйлера. Рассмотрим уравнения
Эйлера (3.145) для описания движения твердого тела и запишем их в виде
системы х = f (х), полагая х = (и?, 7). Явный вид векторного поля задается
уравнениями (2.17). Установим налагаемые на параметры (J, X) Е М6 усло¬
вия, при выполнении которых решения являются однозначными функциями.
Система Эйлера — весооднородная с весом р = (—1, — 1, — 1, —2,—2,—2).
В зависимости от значений параметров задачи можно найти многочислен¬
ные балансы системы на основании решений уравнения pa = f(a). Пока¬
затели Ковалевской определяются собственными значениями матрицы
1
(J2 — Js) &з
Jl
(J2 — Js) OL2
Jl
0
x3
Ji
X2
Ji
(J3 — Ji) 013
J2
1
(Js — Jl) OL1
J2
x3
J2
0
Хг
J2
(Jl — J2) OL2
Js
(Ji — J2) ai
Js
1
x2
Js
Xi
Js
0
0
— CtQ
<*5
2
аз
—a2
Об
0
—OL4
—аз
2
OL 1
-OLb
OL4
0
a2
-Oil
2
(3.158)

170
Глава 3
Чтобы найти значения параметров, при которых система уравне¬
ний обладает свойством Пенлеве, рассмотрим, согласно методу Ляпуно¬
ва [Lyapunov, 1894,Leimanis, 1965], три различных баланса. В соответствии
с тестом Пенлеве #1 значения параметров задачи должны быть такими,
чтобы показатели Ковалевской были целыми, а матрица К — полупростой.
Допустим, от противного, что параметры Л, </2,^3 различны, и, не
умаляя общности, предположим, что J\ > J2 > J3 > 0. В этом случае
существует простое решение для а:
rt(D = (		yJuh	~		 nnni
vVs - JlVl - J2) ' V(J2 - - Wi - J2)' V(J2 - JsVs - Ji)'
(3.159)
Для рассматриваемого баланса = { — 1,1,2, 2, 2,3} и все показатели
Ковалевской являются целыми. Однако для собственного значения р — 2
существует только два собственных вектора и матрица К не является полу-
простой. Для того чтобы К была полупростой, миноры четвертого и пятого
порядков матрицы (К — 21) должны быть тождественно равны нулю, что
приводит к следующему условию на параметры:
XiA/Ji(J2 - J3) + X2VMJ3 - Ji) + X3VMJ1 - J2) = 0.	(3.160)
Поскольку Ji > J2 > J3, то второе слагаемое является мнимым, за
исключением случая Х2 = 0. Это приводит к частному случаю Гесса-
Аппельрота
Х2 = 0 и у/Ji(J2 — Js)X1 + ^/MJ^h)X3 = 0,	(3.161)
когда существует второй интеграл, заданный выражением (2.70). Чтобы до¬
казать многозначность решения в случае Гесса-Аппельрота, рассмотрим
еще один баланс, который существует при условии, что Х2 = 0 и что, по
крайней мере, один из параметров Х\ или Х3 отличен от нуля. Такой баланс
имеет вид
а(2) = (0,2г, 0,	iXl+X3^	(ЗЛ62)
Для указанного баланса показатели Ковалевской равны R^ = { — 1,2,3,
4, р+, р_}, где р± — корни уравнения
2	2iX1(J1-2J3)(J2-J3)	+	2X3(2J2-J3)(Ji-J2)	п
'	 JMiXi	+ xz)	=	0'	<зл63)

3.9. Тесты Пенлеве
171
Если X\Xs Ф 0, то показатели Ковалевской р± не являются действи¬
тельными (так как выражение р+р_ не является действительным числом)
и общее решение не будет однозначным. Допустим, что Х\ = 0 и Хз ф 0;
тогда на основании (3.161) получим, что J2 = J3. Однако это невозможно,
так как, по предположению, все различны. Следовательно, за исключени¬
ем случая, когда Х\ = Х2 = Хз = 0, однозначных решений с различными
J3 не существует. Случай, когда Х\ — Х2 = Хз = 0, называется слу¬
чаем Эйлера-Пуансо, когда центр тяжести тела находится в неподвижной
точке. Известно, что в этом случае система является полностью интегриру¬
емой с однозначным решением.
Теперь допустим, что среди Ji, J2, J3 Два параметра равны, скажем
J\ — J2. Тогда поворотом вокруг оси хз всегда можно добиться выполне¬
ния равенства X<i — 0. Проведенный выше анализ показал, что при АЭ = 0
существует баланс а/2). При J\ — J3 последнее слагаемое в (3.163) сво¬
дится к виду —2iX\(J2 — Js)/(MiX1 + Х3)). Итак, значения р± являются
действительными только в следующих случаях:
1) Ji = J2 = J3 (случай полной симметрии);
2) Х\ = Х2 = 0 и Ji = J2 (случай Лагранжа-Пуассона);
3) Хз = 0, тогда р± = 1/2 ± 1/2\/—7~-Ь8А, откуда следует, что X = В/С
должно быть целым. Однако, так как Х^ — Хз = 0, существует еще
один баланс, схожий с о/2\ вида
а(3> =	(3.164)
Ai Л. 1
для которого показатели Ковалевской следующие:	—	{	—1, 2, 3,
4, (2 — Л)/Л, 2(А — 1)/А}. Эти показатели Ковалевской являются целы¬
ми числами при условии А = 1 (случай полной симметрии) или А = 2
(случай Ковалевской (Ji = J2 = 2J3 и Х2 = Хз = 0)). В заключение
отметим, что Ковалевская доказала, что в найденном ею частном слу¬
чае система может быть проинтегрирована в явном виде, а ее общее
решение является однозначным.
Следующая теорема подводит итог проведенному исследованию.
Теорема 3.5. (Ковалевской-Ляпунова). Для действительных пара¬
метров J, С таких, что все Ji, J2, J3 отличны от нуля, уравнения Эйлера
имеют однозначное общее решение только в следующих случаях: (г) случай

172
ГЛАВА 3
полной симметрии (J\ — J2 = J3)» (И) случай Эйлера-Пуансо {Х\ = Х2 =
= Х3 = 0), (т) случай Лагранжа-Пуассона (Х\ — Х2 = О и J\ = J2) и
(гг;) случай Ковалевской (J\ = J2 = 2 J3 w Х3 = 0).
Однако, помимо рассмотренных вариантов, существуют случаи, в кото¬
рых частные решения являются однозначными. Эти решения получены при
задании определенных значений некоторым первым интегралам. Например,
в случае Гесса-Аппельрота на основании выражений (3.161) (известном
также как случай локсодромического маятника) можно получить точные
однозначные решения. Обратившись к работе [Leimanis, 1965, стр. 91], мож¬
но ознакомиться с другими случаями частичной интегрируемости задачи о
волчке.	■
Замечание. Ясно, что процедура Ковалевской тестирования однозначности
решений не является достаточной. Система Дюффинга (3.88), например,
имеет целые показатели Ковалевской { — 1,4}, а условия совместности, в
общем случае, не выполняются. Следовательно, существует решение, схо¬
дящееся в некоторой выколотой окрестности подвижной особой точки, ко¬
торое не является однозначным. Поэтому вполне естественно к перечислен¬
ным выше условиям добавить требование о том, чтобы каждое возможное
решение с возрастающими степенями являлось рядом Лорана. В этом за¬
ключается смысл теста Пенлеве #2.
3.9.2.	Тест Пенлеве #2: Алгоритм Гамбье-АРС
Тест Пенлеве #2 является основной процедурой проверки уравнений на
выполнение свойства Пенлеве. Алгоритм впервые был предложен Гамбье
в 1910 году [Conte, 1999], а спустя годы его вновь переоткрыли Абловиц,
Рамани и Сигур [Ablowitz et al, 1980Ь]. В настоящее время тест активно
используется. Он наиболее полезен при нахождении новых интегрируемых
систем и при обобщении применяется к уравнениям в частных производ¬
ных и дискретным системам. Применение теста Пенлеве #2 основано на
следующей теореме.
Теорема 3.6. (Тест Пенлеве #2) Пусть задана система х = f(x),
где f(x) — аналитическая вектор-функция, и пусть данная система обла¬
дает свойством Пенлеве. Тогда для всех возможных балансов Т — {с*,р}
доминантные показатели р — целые числа, матрица Ковалевской К — полу-
простая, показатели Ковалевской р — целые числа, а локальное разложение
(3.165)

3.9. Тесты Пенлеве
173
является рядом Лорана, число произвольных постоянных в котором равно
количеству строго положительных показателей Ковалевской.
Доказательство.
Из теоремы 3.4 известно, что для каждого баланса р С Zn и матрица К
является полупростой с целыми собственными значениями. Поэтому необ¬
ходимо проверить, что из однозначности решения, обусловленной выпол¬
нением свойства Пенлеве, следует, что локальные разложения с возраста¬
ющими степенями (то есть с положительными показателями Ковалевской)
являются рядами Лорана. Рассмотрим баланс Т = {а,р} с показателя¬
ми Ковалевской р = (рл,..., рп). Пусть pu = (pfc,..., pn, рп+i = q), где
1/q е Z+ — по-прежнему, наименьший общий делитель недоминантных
показателей q^,..., q(m\ соответствующих весооднородному разложению
векторного поля f относительно р. Из теорем 3.2 и 3.3 следует, что суще¬
ствует сходящийся локальный ряд вида
Согласно теореме 3.4 р G Z71. Следовательно, этот ряд можно записать как
ряд Лорана с зависящими от времени коэффициентами
Предположим, от противного, что некоторые коэффициенты аДт) являются
функциями от log т. Тогда зафиксируем произвольную постоянную Си =
= (Ck,... ,СП). Пусть Dc — выколотая окрестность с центром в начале
координат, в которой ряд для х(т) сходится, и пусть 7 — замкнутый контур
вблизи т = 0, содержащийся в Dc- Рассмотрим точку t\ на 7. Тогда ло¬
кальное разложение (3.167) определяет аналитическое продолжение реше¬
ния х(т) вдоль 7. Ясно, что одна из функций х(т) имеет логарифмическую
точку ветвления при т = 0, что невозможно. А так как функции а*(т) по¬
линомиальны по Си при изменении Си в открытой области, то получим,
что значения а* должны быть постоянными при всех г, а значит, х(т) — ряд
Лорана.	■
3.9.2.1.	Алгоритм
Метод, известный в литературе как АРС-алгоритм, дает возможность
получить необходимые условия отсутствия логарифмических и алгебраиче¬
(3.166)
(3.167)

174
Глава 3
ских точек ветвления. Его можно представить в виде трех шагов. Первые
два шага — полученные, согласно тесту Пенлеве #1, условия отсутствия
алгебраических точек ветвления; на третьем шаге проверяется отсутствие
логарифмических точек ветвления.
1) Найти все возможные балансы Т. На этом этапе требование отсутствия
точек ветвления заключается в том, что р £ Zn для всех Т £ Т.
2) Для каждого баланса Т построить матрицу Ковалевской
К = Df(°)(a) — diag(p).	(3.168)
Проверить, что (г) Spec(A") € Ъп и (гг) матрица К - полупростая.
3) Для каждого баланса и каждого положительного показателя Ковалев¬
ской записать условия совместности и проверить, что они приводят к
соотношениям, тождественно равным нулю, то есть на данном этапе
устанавливается, существует ли формальный ряд Лорана, число произ¬
вольных параметров которого равно количеству положительных пока¬
зателей Ковалевской. Такой ряд является сходящимся при условии, что
все показатели Ковалевской отличны от нуля.
Выполнение условий (1) и (2г) приводит к отсутствию алгебраических
точек ветвления, тогда как выполнение условий (2гг) и (3) свидетельствует
об отсутствии логарифмических точек ветвления. В теореме 3.6 не учтена
возможность существования ряда Лорана с нулевыми показателями Кова¬
левской. Но так как существование ряда Лорана с положительными и/или
нулевыми показателями Ковалевской можно проверить за конечное число
шагов, то указанный случай будет включен в общий алгоритм, обоснова¬
ние которого приведено в следующем разделе. Суть теста, изложенного в
данном разделе, можно выразить одной фразой: проверить, что все локаль¬
ные разложения решений с возрастающими степенями являются рядами
Лорана.
Этот тест реализуется за конечное число шагов, поскольку количество
балансов ограничено и для каждого баланса существует конечное множе¬
ство условий совместности (до последнего положительного показателя Ко¬
валевской). После проверки последнего условия совместности становится
ясно, существует ли формальное решение в виде ряда Лорана.
Пример 3.17. Большинство примеров раздела 3.8 — это системы, удо¬
влетворяющие тесту Пенлеве #2. Например, мы искали разложение в ряд

3.9. Тесты Пенлеве
175
Лорана решения системы трех волн (3.54) и установили налагаемые на па¬
раметры условия, при выполнении которых логарифмические члены отсут¬
ствуют. Для системы Дюффинга (3.88) было обнаружено, что эта система
обладает свойством Пенлеве во всех случаях, когда она проходит тест Пен¬
леве #2. Получено, что уравнение Эйлера (3.145) также обладает свойством
Пенлеве в случае, когда локальные решения с возрастающими степенями
являются рядами Лорана. Для системы Хенона-Хейлеса (3.152) были опре¬
делены значения параметра 6, при которых система имеет целые показатели
Ковалевской. Однако эта система обладает свойством Пенлеве не при всех
значениях а, а условия на значения а, при которых локальные ряды явля¬
ются рядами Лорана, еще предстоит найти (см. примеры).
■
Пример 3.18. Уравнение Шази. Модифицированное уравнение Шази
имеет вид [Chazy, 1911, Chakravarty et al., 1990,Fordy & Pickering, 1991]
x = -(16 + Sa)x2 + 2(7 + 2 a)xx.	(3.169)
Записанное как система уравнений с переменной х = (х,х,х)9 уравнение
Шази является весооднородным с показателями р = ( —1,—2,—3) веду¬
щих членов уравнения и имеет единственный баланс а = (—1/2,1/2, — 1).
Показатели Ковалевской равны
п = {-1, -а - л/а2 - 6, -а + у/а2 - 6}.	(3.170)
Поскольку р2рз = 6, то значениями а, при которых существуют целые
показатели Ковалевской, являются следующие: а = —7/2 с 7Z = { — 1,1,6};
а = -5/2 с ?г = {-1,2,3}; а = 7/2 с П = {-1,-1,-6} и а = 5/2 с
П = { —1, —2, —3}.
При а = —7/2 уравнение сводится к х = 12±2. Легко проверить,
что локальное разложение в окрестности т = 0 является рядом Лорана,
х = t~x ( —l/2 + ai^ + a6^6 + ...), и уравнение можно проинтегрировать,
используя эллиптические функции.
В случае а = —5/2 показатели Ковалевской независимы на множестве
положительных целых чисел (р2 = 2 и рз = 3 — взаимно просты), поэтому
локальное разложение является рядом Лорана (см. [Goriely, 1992]).
При a = 5/2 и a = 7/2 все показатели Ковалевской отрицательны,
причем свойство Пенлеве выполняется лишь при а = Ь/2, но не при а —
= 7/2. Поэтому тест Пенлеве #2 не позволяет ответить на вопрос о том,
в чем состоит отличие этих двух случаев. Для получения более подроб¬
ной информации о рассматриваемом уравнении необходимо дальнейшее

176
Глава 3
усовершенствование теста. В тесте, предложенном Абловицем, Рамани и
Сигуром [Ablowitz et al, 1980а] и подробно описанном в статье Рамани,
Грамматикоса и Баунтиса [Ramani et al, 1989], по крайней мере, один из
балансов должен иметь (п — 1) положительных показателей Ковалевской.
Однако это требование не является необходимым, поскольку, например, ис¬
ходное уравнение Шази (оно получается при а = 5/2) не имеет балансов с
двумя положительными показателями. Тем не менее Шази доказал, что это
уравнение обладает свойством Пенлеве (современное доказательство этого
свойства см. у Абловица и Кларксона [Ablowitz & Clarkson, 1991, стр. 337]).
Причем, несмотря на то, что решение уравнения Шази имеет подвижную
естественную границу, это решение является однозначным как внутри об¬
ласти, так и вне ее.	■
Этот факт может быть аргументирован так: чтобы проверить выпол¬
нение свойства Пенлеве для уравнения Шази, достаточно построить ряд
Лорана с убывающими степенями х = т-1	aiT~%• Поскольку систе¬
ма является весооднородной, то такой ряд сходится в кольце с центром в
точке £*, и для анализа можно использовать тест, аналогичный тесту Пенле¬
ве #2. Однако если система не является весооднородной, то подобные ряды
не определены, и для доказательства отсутствия точек ветвления требуется
построить ряды с возрастающими и убывающими степенями. Следующий
пример показывает, что даже для весооднородных систем тест Пенлеве #2
не устанавливает необходимых условий выполнения свойства Пенлеве.
Пример 3.19. Резонансы между показателями Ковалевской. Рас¬
смотрим уравнение четвертого порядка
d4x d3x dxd2x л
ltt*~Xdt3+ dtdP=	(	}
Соответствующая система с переменной х = (ж, ж, ж, ж) является весоодно¬
родной с доминантными показателями р = ( —1,—2,—3, —4). Существует
единственный доминантный баланс а = (-12,12,-24,72), для которого
показатели Ковалевской таковы: 1Z — {-1,-2,—3,4}. Система заведомо
проходит тест Пенлеве #2, поскольку существует единственный положи¬
тельный показатель Ковалевской, а недоминантные показатели отсутствуют.
Аналогично, существует ряд Лорана с убывающими степенями. Однако, как
будет показано далее, в примере 3.21, эта система не обладает свойством
Пенлеве вследствие резонанса между положительными и отрицательными
показателями Ковалевской — 2 = 2рз + 1р4, что нельзя установить, исследуя
каждый ряд Лорана в отдельности.	■

3.9. Тесты Пенлеве
177
3.9.3.	Тест Пенлеве #3: Алгоритм Пенлеве-КФП
До сих пор для проверкп выполнения свойства Пенлеве мы рассмат¬
ривали локальные ряды с возрастающими степенями т и предполагали, что
эти /с-параметрические семейства решений являются рядами Лорана. Од¬
нако в общем виде формальное локальное решение является рядом как с
возрастающими, так и с убывающими степенями по т (см. теорему 3.2).
Кажется естественным, что для однозначности решения все локальные раз¬
ложения, включая формальные, должны быть однозначными. Если это на
самом деле так, то из однозначности общего решения вытекает, что все
локальные решения являются рядами Лорана. Однако часто мы не можем
воспользоваться алгоритмом теста Пенлеве #2, так как он основан на сходи¬
мости ряда Лорана. В общем случае, формальные разложения решений не
являются сходящимися, поэтому для доказательства однозначности общего
решения следует воспользоваться а-леммой Пенлеве. Такое усовершенство¬
вание теста Пенлеве, предложенное Контом, Форди и Пикерингом [Conte
et al., 1993], использовалось при проверке на выполнение свойства Пенле¬
ве уравнения Шази (3.171), а также других уравнений, при анализе кото¬
рых появляются отрицательные показатели Ковалевской [Fordy & Pickering,
1991, Conte, 1992].
Теорема 3.7. (Тест Пенлеве #3). Пусть задана система х = f(x),
где f (х) — аналитическая вектор-функция, и пусть эта система обладает
свойством Пенлеве. Тогда для всех возможных балансов Т — {а, р} доми¬
нантные показатели р — целые числа, матрица Ковалевской К — полупро¬
стая, показатели Ковалевской р — целые числа, а формальное разложение
общего решения
является рядом Лорана с (п — 1) произвольной постоянной.
Следует отметить, что общий ряд Лорана (3.172) содержит толь¬
ко (п — 1) произвольных параметров. Последний произвольный параметр
соответствует положению £* подвижной особой точки. В частности, если
существует баланс с (п — 1) положительными показателями Ковалевской,
то разложение содержит только возрастающие степени.
Доказательство.
Для доказательства используем сходящийся ряд Лорана, определенный
в теореме 3.6; пусть х^°^(т) будет таким решением. Рассмотрим общее
(3.172)

178
Глава 3
решение	оо
х(т) = 5>(<)(тУ,	(3.173)
1=0
где б — произвольный параметр, от которого векторное поле не зависит.
Применяя к векторному полю f(x) теорему 3.1 с указанным значением е,
получим, что для однозначности решения х(т) необходимо, чтобы было
однозначным при всех г > 0. Разложения х^ являются решениями неодно¬
родного линейного уравнения
= Щх<°>)х(*) + у(г),	(3.174)
где у(г) = у(г) (х^\ ..., х(г-1)) получается при разложении вектора f в ряд
Тейлора вблизи решения х^. Поэтому у является полиномом от соответ¬
ствующих аргументов. Кроме того, т = 0 является регулярной особой точ¬
кой (см. определение 3.1) этого уравнения. Следовательно, согласно пред¬
ложению 3.1, существует сходящийся ряд Лорана с постоянными коэффи¬
циентами вида
х« = rP-v„,i„	+	j ,	(3.175)
где ртin — наименьший показатель Ковалевской (либо pmin = —1, либо
Pmin = Р2)- Этот ряд содержит (п — 1) произвольных параметров, получен¬
ных из однородной части уравнения. Поскольку общее разложение в ряд
Лорана (3.172) в окрестности т = 0 определено однозначно (до (п — 1) про¬
извольных постоянных), то сумму (3.173) при е —> 1 перестановкой членов
ряда можно заменить формальным рядом Лорана
(3.176)
3.9.3.1.	Алгоритмы
На основании последней теоремы можно получить два различных спо¬
соба проверки уравнений на выполнение свойства Пенлеве. И в том, и в дру¬
гом методе необходимо показать, что ряд (3.172) является рядом Лорана

3.9. Тесты Пенлеве
179
(то есть содержит постоянные коэффициенты). Для этого следует доказать
отсутствие логарифмических членов. Первый алгоритм заключается в вы¬
числении коэффициентов ряда
при возрастающих значениях |ij мультииндекса i, а затем — в проверке того,
что эти коэффициенты — постоянные. Рассмотрим векторное поле х = f(x)
и применим к нему следующий алгоритм.
Тест Пенлеве #3: первый алгоритм
1)	Найти все возможные балансы Т. Проверить, что р Е Zn для всех
Проверить, что (г) Spec(AT) Е Ъп и (гг) матрица К — полупростая.
3)	Для каждого баланса записать ряд (3.177) при возрастающих значени¬
ях i и проверить, что коэффициенты с* — постоянные. Применяя ал¬
горитм построения локального ряда, использованный при доказатель¬
стве теоремы (3.2), следует различать два случая. Первый случай: если
рл ^ pj V j < п, то коэффициенты q определены однозначно и усло¬
вия, требующие проверки, отсутствуют. Второй случай: если существу¬
ет j ^ п такое, что
тогда коэффициент Ci не является однозначно определенным и появ¬
ляется условие совместности, которое следует проверить, чтобы выяс¬
нить, имеет ли при его выполнении коэффициент ci постоянное значе¬
ние.
Соотношение (3.179) называется резонансным соотношением между
показателями Ковалевской. Аналогичные соотношения возникают при по¬
строении нормальных форм векторных полей вблизи их неподвижных то¬
чек в фазовом пространстве. В следующем разделе будет показано, что
процедуры построения ряда Лорана и нормальной формы, по сути дела,
Ре Р.
2)	Для каждого баланса Р построить матрицу Ковалевской
К = Df(°\ct) — diag(p).
(3.178)
(3.179)

180
Глава 3
эквивалентны. В общем случае, между показателями Ковалевской суще¬
ствует бесконечное число резонансных соотношений, поскольку р G Zn
и pi = — 1. Лишь в двух случаях число резонансов конечно. Во-первых,
когда все показатели Ковалевской — строго отрицательны (следовательно,
система является весооднородной). Во-вторых, когда все, кроме одного, по¬
казатели Ковалевской — строго положительны. В этом случае единственным
отрицательным показателем Ковалевской, не требующим проверки, являет¬
ся pi = — 1, так как произвольная постоянная, связанная с р — — 1, соответ¬
ствует положению особой точки. Поэтому, в общем случае, приведенный
выше алгоритм не реализуется за конечное число шагов, и априори не суще¬
ствует ограничения на число i, для которого одно из условий совместности
может быть не выполнено.
Второй алгоритм следует из a-метода Пенлеве. Он состоит в построе¬
нии ряда Лорана х(т) =	для каждого г, что равносильно ре¬
шению системы линейных неоднородных уравнений вблизи регулярной
особой точки и проверке того, что коэффициенты ряда Лорана являются
постоянными [Conte et al., 1993].
Тест Пенлеве #3: второй алгоритм
1) Найти все возможные балансы Т. Проверить, что р G Zn для всех
Т G Т.
2) Для каждого баланса Т построить матрицу Ковалевской
К = Df(0)(a) - diag(p).	(3.180)
Проверить, что (i) Spec(If) G Ъп и (И) матрица К — полу про стая.
3) Для каждого баланса разложить решение в ряд х(т) =
записать ряд х^0) с возрастающими степенями и проверить, что этот ряд
является рядом Лорана, то есть проверить все условия совместности
до наибольшего показателя Ковалевской.
4) Для возрастающих значений г построить ряд
<*(<)+£с50тЧ	(3.181)
з=о J
и проверить, что он является рядом Лорана, то есть проверить все
условия совместности до наибольшего показателя Ковалевской.

3.9. Тесты Пенлеве
181
Каждый этап в (4) осуществляется за конечное число шагов. Однако,
по-прежнему, априори не существует ограничения на г, гарантирующего,
что в разложение не входят логарифмические члены. И вновь за исклю¬
чением случаев, когда все показатели Ковалевской являются строго поло¬
жительными или строго отрицательными, этот алгоритм не реализуется за
конечное число шагов.
Примеры применения теста Пенлеве #3 приведены в следующем раз¬
деле, в котором изложен общий алгоритм теста Пенлеве с использованием
нормальных форм.
3.9.4.	Свойство Пенлеве и нормальные формы
Как было сказано в предыдущем разделе, нахождение формального ло¬
кального ряда и условий отсутствия логарифмических членов в разложении
решения аналогичны построению нормальной формы. Используя сопрово¬
ждающие преобразования, введенные в разделе 3.8.5, покажем, что локаль¬
ные условия выполнения свойства Пенлеве эквивалентны условиям линеа¬
ризуемо сти поля вблизи неподвижных точек сопровождающих систем.
З.9.4.1.	Нормальные формы аналитических векторных полей
Рассмотрим систему
y = g(y)	(3.182)
в окрестности неподвижной точки у = 0. В разделе 3.8.5.1 с помощью соб¬
ственных значений Л матрицы Якоби в начале координат были построены
локальные ряды вида
y(i) =P(C1eAlt,...,C„eA"t),	(3.183)
где Р —	вектор формальных степенных рядов от аргументов	с коэффици¬
ентами	в виде	полиномов от t и С\,..., Сп — произвольные	постоянные.
Формальный ряд является чистым рядом, если все коэффициенты этого
ряда постоянны (то есть чистый ряд состоит из экспоненциальных членов).
Для обсуждения нормальных форм систему ОДУ проще всего предста¬
вить как векторное поле. Пусть
п
6 = y^gt(y)3yi	(3.184)
г=1
— векторное поле, соответствующее системе (3.182), и пусть Л — вектор
линейных собственных значений в окрестности начала координат. Это век¬
торное поле можно упростить, если воспользоваться локальной заменой

182
Глава 3
координат и найти преобразование, близкое к тождественному. Это преоб¬
разование 0 является формальным степенным рядом таким, что
6е = е~16в	(3.185)
будет наиболее простым из возможных векторных полей. Обычно это озна¬
чает, что новое векторное поле не содержит резонансных членов, о которых
будет сказано ниже. Требование о том, что в является преобразованием,
близким к тождественному, гарантирует его обратимость, а также то, что
новое векторное поле имеет те же собственные значения, что и исходная
система. В этом случае линейная компонента 5 является инвариантной от¬
носительно соответствующего преобразования.
При общем выборе Л новое векторное поле 6$ можно взять линей¬
ным, а преобразование в — аналитическим и единственным. Однако, если
линеаризация невозможна, могут возникнуть следующие интересные слу¬
чаи [Ecalle & Vallet, 1998]:
1) Резонанс. Если существует, по крайней мере, один вектор ш положи¬
тельных целых чисел (где, возможно, присутствует т.ь — — 1) такой,
что Л.ш = 0, то между линейными собственными значениями возни¬
кает резонанс. В этом случае преобразования в в виде формального
степенного ряда, с помощью которого можно линеаризовать данное
векторное поле, не существует, и простейшая форма нового векторно¬
го поля содержит только резонансные одночлены, что соответствует
тому, что [#0, <5пп] = 0. Кроме того, если многоугольник Ньютона для Л
в комплексной плоскости не содержит начала координат, то в являет¬
ся аналитическим, a 5q — полиномиальным векторным полем [Arnold,
1988а]. Если линейная часть векторного поля диагональна, то при усло¬
вии Aj — (m, А) одночлен хт является резонансным для j-ro уравне¬
ния.
2) Квазирезонанс. Пусть щ(т) = А.т ф 0. Если существует возрастаю¬
щая последовательность	т^2),...} такая, что
щ(т^) —► 0	(3.186)
г—>оо
«достаточно быстро», то данное векторное поле может быть либо ли¬
неаризовано с помощью расходящегося ряда, либо аналитически пре¬
образовано к векторному полю, содержащему все квазирезонансные
одночлены (то есть одночлены вида хт(°). Условие «достаточно бы¬
строй» сходимости этой последовательности может быть выражено в

3.9. Тесты Пенлеве
183
явном виде через диофантовы соотношения на этой последовательно¬
сти [Bruno, 1989]. Такой случай, представляющий большой теорети¬
ческий интерес, может оказаться достаточно сложным для изучения,
причем основная трудность состоит в том, что указанным свойством
могут обладать и другие последовательности.
3)	Нигиленция. Говорят, что система проявляет свойство нигиленции,
если существует, по крайней мере, один формальный первый интеграл
I = /(у), то есть формальный степенной ряд такой, что
51 = 0.	(3.187)
В этом случае существование первого интеграла приводит к тому, что
линейные собственные значения являются резонансными (см. теоре¬
му 4.2).
Существует естественная связь между локальным разложением в
окрестности неподвижной точки и линеаризуемостью векторных полей.
Пусть 5 = f(y)<9y — векторное поле, соответствующее системе у = g(y).
Это векторное поле можно представить в виде суммы двух частей [Ecalle,
1987]
fi — ^diag "Г ^nih	(э.188)
где 5П[\ коммутирует с <5diag,
[<WM = о,	(3.189)
и <5diag можно линеаризовать с помощью формального преобразования,
близкого к тождественному,
0_1$diag0 = <5ип,	(3.190)
где fiyin — линеаризованное векторное поле в окрестности начала коорди¬
нат. Векторное поле является линеаризуемым тогда и только тогда, когда
его нилъпотентная компонента <5пп тождественно	равна	нулю.	Линейное
векторное поле <5цп = Ах.<9х называется полупростым,	если	матрица А
является полупростой.
Лемма 3.5. Для системы у = g(y) существует чистый локальный
ряд в окрестности у = О тогда и только тогда, когда векторное поле £g
является формально линеаризуемым, а линейная часть £пп — полупростой.

184
Глава 3
Доказательство.
Во-первых, предположим, что преобразование 5 является формаль¬
но линеаризуемым, а матрица £>g(0) — полупростой. Без потери общ¬
ности, можно записать, что -Dg(O) = diag(A). Существует близкая к
тождественной формальная замена переменных у = в(z), линеаризу¬
ющая систему. В новых переменных векторное поле примет вид z =
= diag(A)z. Следовательно, Zi = CieXit при г = 1 ,...,п. В резуль¬
тате подстановки этого решения в выражение у = z) получим чи¬
стый ряд.
Во-вторых, предположим, что для системы у = g(y) существует чи¬
стый локальный ряд, и тогда, без потери общности, получаем, что якобиан
Dg(0) имеет жорданову нормальную форму. Если жорданова нормальная
форма не диагональна, то первый член локального ряда содержит полиномы
от t [Perko, 1996]. Поскольку первые члены этих рядов являются рядами
решений линеаризованной системы, то Dg(0) будет диагональной и £пп —
полупростой. Теперь рассмотрим чистый ряд у = P(CieAlt,... ,CneXnt),
где Р — формальный степенной ряд по его аргументам с постоянными ко¬
эффициентами. Так как матрица T)g(O) является диагональной, то Р имеет
вид Р(.) = Id(.) 4- Q(-)j гДе М(.) — единичная матрица, a Q(.) — фор¬
мальный степенной ряд, не содержащий линейных членов. Теперь пусть
zi = CieXit при всех г. Рассмотрим замену переменных у = P(z). Это
отображение является не только обратимым преобразованием, поскольку Р
является близким к тождественному, но и формальной заменой перемен¬
ных, линеаризующей векторное поле 5.	■
Можно убедиться, что если <5пц тождественно не равна нулю, то нор¬
мальная форма в переменных z не является линейной; тогда, по крайней
мере, в одно уравнение, скажем Z], входит, по меньшей мере, одно одно¬
членное резонансное выражение z\ — AiZi + zm + ..., где m удовлетво¬
ряет тождеству (А, ш) = 0. Локальное разложение этого уравнения, как и
локальный ряд, записанный в исходных переменных, содержит полиноми¬
альные члены от t.
Следовательно, отсутствие резонансных членов в нормальных формах
приводит к тому, что локальное решение может быть выражено только че¬
рез экспоненциальные члены (чистое решение). И наоборот, появление ре¬
зонансных членов (или не полупростой линейной чисти) свидетельствует
о том, что коэффициенты локальных решений являются полиномами от t.
Это наблюдение хорошо известно в физике, где присутствие так называе¬
мых «вековых членов» (полиномов от t) в динамике связано с возникнове¬
нием резонанса между линейными собственными значениями. Однако су¬
ществования резонанса между собственным значениями недостаточно для

3.9. Тесты Пенлеве
185
возникновения вековых членов, поскольку 8пц может оказаться тождествен¬
но равной нулю.
При анализе нормальной формы можно ограничиться только неустой¬
чивыми, устойчивыми и центральными многообразиями. Например, рас¬
смотрим неустойчивое многообразие и допустим* что переменные у =
— (у%Ус>Уи) выбраны таким образом, что Dg(0) = diag(As, Ас, Аи), где
Spec(As,c,u) = As,c,u (множество собственных значений с отрицательными,
нулевыми и положительными действительными частями). Тогда можно по¬
лучить такое формальное преобразование у = в(z), при котором новое
векторное поле в переменных z имеет вид
5в = gs(z)9z= 4- g°(z)dzc + gu(z)dzu.	(3.191)
Ограничение g до неустойчивого многообразия, полученного подста¬
новкой zs = 0 и zc = 0, дает полиномиальное векторное поле в перемен¬
ных zu:
8й = gu(zu)dzn.	(3.192)
Кроме того, сужение преобразования в до локального неустойчивого
многообразия, заданное выражением у = в(zs = 0, zc = 0, zu), является
аналитическим. Если система (3.192) — линейная, а матрица Аи — полупро-
стая, то решение имеет вид — C*eA^, а аналитическое преобразование
определяет сходящийся чистый ряд.
3.9.4.2.	Свойство Пенлеве и линеаризуемость
Рассмотрим векторное поле f (х) и весооднородное разложение, харак¬
теризуемое доминантными показателями р и недоминантными показателя¬
ми q^,..., q(m\ Поставим ему в соответствие сопровождающую систему
X' = F(X), которая получается с помощью преобразования (3.126) х =
= £РХ, Xn+i = tq и t = е5, где l/q — наименьший общий делитель
Локальные разложения в экспоненциальный ряд неустой¬
чивых многообразий в окрестностях ненулевых неподвижных точек соот¬
ветствуют локальным решениям исходной системы в окрестностях ее по¬
движных особых точек.
Выполнение свойства Пенлеве свидетельствует о том, что все локаль¬
ные ряды являются рядами Лорана. И три теста Пенлеве, рассмотренные
в предыдущих разделах, можно сформулировать в терминологии нормаль¬
ных форм в окрестности неподвижной точки сопровождающей системы.
Прежде всего, из теста Пенлеве #1 следует, что доминантные показатели и
показатели Ковалевской являются целыми числами.

186
Глава 3
Предложение 3.5. (тест Пенлеве #1). Предположим, что система
х = f(x) обладает свойством Пенлеве. Тогда все ее сопровождающие си¬
стемы обладают следующими свойствами:
1) линейные собственные значения сопровождающей системы в окрест¬
ностях Хо и X* — целые числа, а
2) матрица Якоби сопровождающей системы в точке X* — полупростая.
Доказательство.
Этот результат является прямым следствием теоремы 3.4 и определения
линейных собственных значений в Хо и X*, соответственно, с показателя¬
ми р и показателями Ковалевской.	■
Из теста Пенлеве #2 следует, что локальные ряды с возрастающими
степенями являются рядами Лорана. Формулировка этого теста может быть
записана в терминах динамики сопровождающей системы.
Предложение 3.6. (тест Пенлеве #2). Допустим, что система х =
= f (х) обладает свойством Пенлеве. Тогда все ее сопровождающие систе¬
мы обладают следующими свойствами:
1) линейные собственные значения сопровождающей системы в окрест¬
ностях Хо и X* — целые числа;
2) матрица Якоби сопровождающей системы в точке X* — полупро¬
стая, а
3) неустойчивое многообразие точки X* — аналитически линеаризуемо.
Доказательство.
По определению, система удовлетворяет тесту Пенлеве #2, если все
решения, имеющие вид локальных разложений, являются рядами Лорана.
В частности, отсюда следует, что для каждого баланса {а, р} имеем р Е Zn,
что соответствует тому, что q £ Z и р Е Zn. Для дальнейшего доказатель¬
ства ограничимся результатами леммы 3.5 для неустойчивого многообразия.
Допустим, что неустойчивое многообразие точки X* линеаризуемо, и пусть
Y = X — X*. Если неустойчивое многообразие является линеаризуемым,
то оно линеаризуется аналитически, поскольку все собственные значения
принадлежат области Пуанкаре (то есть многоугольник Ньютона, состав¬
ленный из собственных значений, не содержит начала координат). Поэтому

3.9. Тесты Пенлеве
187
существует аналитическая замена переменных Y = 0й (Zu) такая, что век¬
торное поле для Zu является линейным. Если матрица Якоби сопровожда¬
ющей системы в Хо — полупростая, то решение имеет вид Zf — CiePiS.
Подставив это решение в аналитическое преобразование Y = 0й(Z), полу¬
чим сходящийся чистый ряд, которых в исходных переменных имеет вид
Этот ряд является рядом Лорана, если р и ри — целые. Следовательно,
линейные собственные значения, соответствующие Х0, и положительные
линейные собственные значения, соответствующие Хо, — целые числа. Од¬
нако если жорданова клетка матрицы Якоби, соответствующая положитель¬
ным собственным значениям сопровождающей системы в Хо, не является
полу про стой, тогда решения для Zu имеют вид полиномов от перемен¬
ной 5, которые после преобразования становятся логарифмическими члена-
Верно также и обратное утверждение. Если неустойчивое многообра¬
зие точки X* аналитически линеаризуемо, тогда локальные ряды с возрас¬
тающими степенями вблизи особенностей являются рядами Лорана. Допу¬
стим, что система удовлетворят тесту Пенлеве #2. Тогда все локальные ряды
в окрестностях особых точек имеют вид (3.193) с целыми р и ри. Этот ряд
определяет локальный ряд, параметризующий неустойчивое многообразие
неподвижной точки X* сопровождающей системы
Обратно, тот факт, что все коэффициенты Ci являются постоянными,
подразумевает, что неустойчивое многообразие, соответствующее X*, ли¬
неаризуется и что матрица Якоби сопровождающей системы в точке Хо
является полу про стой.
Существование аналитической замены переменных, линеаризующей
динамику сопровождающей системы на неустойчивом многообразии, под¬
разумевает, что: (г) все решения исходной системы в виде рядов Лорана
с возрастающими степенями являются сходящимися; этот результат перво¬
начально был установлен Адлером и ван Мербеке [Adler & van Moerbeke,
1989b], а затем — Бренигом и Гориэли [Brenig & Goriely, 1994], и обобща¬
ется теоремой 3.3; (гг) локально вблизи масштабно-инвариантных решений
(3.193)
ми в (3.193).
оо
(3.194)

188
Глава 3
существует к аналитических первых интегралов, где к — число положи¬
тельных собственных значений. Для ведущего баланса это означает, что
локально вблизи масштабно-инвариантного решения х = атр система яв¬
ляется аналитически полностью интегрируемой (доказательство обратного
утверждения см. в главе 4).
В действительности, свойство Пенлеве налагает гораздо более строгие
условия на локальную структуру решений сопровождающих систем, что
может быть продемонстрировано с помощью теста Пенлеве #3.
Предложение 3.7. (тест Пенлеве #3). Предположим, что система
х = f (х) обладает свойством Пенлеве. Тогда все ее сопровождающие си¬
стемы обладают следующими свойствами:
1) линейные собственные значения сопровождающей системы в окрест¬
ностях Хо и X* — целые числа;
2) матрица Якоби сопровождающей системы в точке X* — полупро-
стая, а
3) Сопровождающая система — формально линеаризуема в окрестно¬
сти X*.
Доказательство.
Рассмотрим формальные решения в окрестности особой точки t*
x(t) = tpP(CitPi ,..., Сп+1тр”+'),	(3.195)
где Р — формальный степенной ряд по его аргументам с полиномиальными
по log(r) коэффициентами, то есть
(ОО	\	71+1
<*+ CiTp i j , p.i = 'y2pjij.	(3.196)
i, |i|=i	/	j=i
Как следствие теста Пенлеве #3, необходимое условие выполнения свойства
Пенлеве состоит в том, чтобы формальное решение (3.196) являлось рядом
Лорана, то есть чтобы коэффициенты ci были постоянными при всех зна¬
чениях i. Сопровождающее преобразование отображает разложение (3.196)
в локальный ряд
оо	N
Х = Х*+ ^2 cie{p-i)s, p.i = ^2Pjij.	(3.197)
i, |i|=i	i=i

3.9. Тесты Пенлеве
189
Тогда свойство Пенлеве выполняется при условии, что X(s) является чи¬
стым рядом. Из леммы 3.5, в свою очередь, следует, что сопровождающая
система будет формально линеаризуемой, а матрица Якоби системы в точ¬
ке X* — полупростой.	■
3.9.4.3.	Еще один алгоритм
Основываясь на последнем предложении, необходимое условие вы¬
полнения свойства Пенлеве можно получить, построив нормальные формы
сопровождающей системы в окрестности точки X*.
Тест Пенлеве #3: третий алгоритм
1) Найти все возможные балансы Т — {а,р} с недоминантным показа¬
телем q.
2) К каждому балансу применить сопровождающее преобразование
х —» трХ, Xn+i = тя и т —» es для того, чтобы получить X' = F(X).
3) Для каждой сопровождающей системы проверить, что поле в окрестно¬
сти каждой ненулевой неподвижной точки является формально линеа¬
ризуемым, что позволяет показать, что локальные нормальные формы
будут линейными.
Преимущество этого алгоритма заключается в том, что его реализация
осуществляется на основе нормальных форм, которые являются объектом
пристального изучения компьютерной алгебры. В настоящее время суще¬
ствуют различные результаты и всевозможные алгоритмы для построения
нормальных форм [Mersman, 1970, Arnold, 1988a,Elphick et al, 1987, Bruno,
1989, Walcher, 1991].
Пример 3.20. Система Рабиновича. Трехмерная система
а) ±1 = —CUX2 — V\X\ — £2^3 5
б) ±2 = uxi - V2X2 - £1X3,	(3.198)
в) £3 = -^3^3 - Х1Х2
используется при моделировании взаимодействующих волн [Bountis et al.,
1984,Kruskal et al, 1990]. Переменные x обозначают амплитуду волн, а па¬
раметры v соответствуют коэффициентам затухания. Параметр и связан с

190
Глава 3
амплитудой подпитывающей волны. Эта система имеет единственное весо¬
однородное разложение при р = ( —1, —1,-1), и
f(°) =
-Х2Хз
, fW =
— UJX2 — V \Х\
-X1X3
U)Xi - V2X2
—Х\Х2
_-У 3^3
(3.199)
Недоминантная часть векторного поля характеризуется недоминантным по¬
казателем q = 1, что дает f^^(apx) = ap+<7_1f^1^(х). Существует четыре
различных баланса с соответствующими показателями р:	=	(1,1,1),
ol= (—1, —1,1),	=	(1,	—1,	—1)	и	а= ( — 1,1, -1). Сопровождаю¬
щая система имеет вид:
а) Х[=Х1- ujX2X4 - vxXxX4 - Х2Х3,
б) Х'2 = Х2 + и;ХгХ4 - у2Х2Х4 - ХхХ3,
в) X' = Х3 - 1/3Х3Х4 - ХгХ2,
г) X' = Х4.
(3.200)
Эта система имеет пять неподвижных точек, одна из которых находится
в начале координат, другие задаются выражением xi^ = (а^г\0), г =
= 2,..., 5. Линейные собственные значения в начале координат имеют вид
Л = (—р, q) \ линейные собственные значения в других неподвижных точках
определяются показателями Ковалевской для четырех различных балансов
с недоминантным показателем q. В окрестности каждой неподвижной точ¬
ки вычисляем J = L>F(X*) и находим р = ( — 1,2, 2,1). Теперь можно
построить нормальную форму вблизи каждой неподвижной точки. Напри¬
мер, рассмотрим точку X* = xi1^ = (1,1,1,0). Прежде всего, переместим
неподвижную точку в начало координат новой системы, а затем диагонали-
зируем эту систему с помощью линейного преобразования
X — X* = МУ,	(3.201)
где М е GL(n, R) выбирается так, что М-1 JM = diag(p), чтобы получить
J =
1	—1—1	—	UJ	—	V\
— 1	1	—1	U)	—	v2
-1 -1 1	-//3
0 0 0	1
(3.202)

3.9. Тесты Пенлеве
191
М =
1 -1 -1
1 1 О
1 О 1
ООО
Новая система для Y имеет вид
Y' = diag(p)Y + G(Y),
w - \{vZ + V2- и)
-Ш - 5(1/3 - V2 + Vl)
-|(l/2 - г/3 + l/l)
1
(3.203)
(3.204)
где G квадратично по Y. Теперь можно найти нормирующее преобразо¬
вание, то есть преобразование, близкое к тождественному, Y = Z + P(Z),
где Р — формальный степенной ряд, начинающийся с квадратичных чле¬
нов. Выберем P(Z) таким образом, чтобы исключить все нерезонансные
члены в векторном поле для Z. Резонансные одночлены для j-го уравнения
имеют вид Z1, где рл = pj и |i| > 1. Нормальная форма системы (3.204)
в окрестности Y = 0 имеет вид
а) Z[ = -Zi + 0(Z3),
б) z'2 = 2Z3 + ъс{£г\ + o(z3),
в) Z'z = 2Zz 4- Z€$Z\ + 0(z3),
r) Z\ = Z4,
■.(i)
(3.205)
где выражения для коэффициентов C^i и С22 > записанные на основании
условий совместности теста Пенлеве, имеют вид:
а) = (^i-^2)(2cj + ^i-^2) + ^3(^i + ^2-2^3)
б) С?2 = (^2-^3)2+^(3^3-2^2-4i/i)-h^i(^2 + ^3-2^i).
(3.206)
Другие балансы приводят к подобным нормальным формам с различными
коэффициентами. В окрестности неподвижной точки xi2^ = (—1, —1,1,0)
имеем aS2^ и аналогично находим соответствующие коэффициенты, для
с(1) „ гг(2) -
^(2)
которых выполняются равенства: С-Д —
циентов для а.^ и ol^} приводит к соотношениям:
Л 4)
'21
и С'гуу — С%2- Учет коэффи-
а) С<Г>
(vi~v2)(2u) -щ + и2) ~	+v2-	2z/3),
б)	С,22’4) = (г/2 - щ)2 - w(3i/3 - 2 v2 - Av\) + vi(v2 + uz - 2v\).
(3.207)

192
Глава 3
Согласно предложению 3.7, необходимым условием того, чтобы система об¬
ладала свойством Пенлеве, является линеаризуемость сопровождающей си¬
стемы вблизи всех ее неподвижных точек, то есть требуется, чтобы = О
при г = 1,2; j — 1, 2, 3,4. В результате возможны следующие случаи:
1)	Если v\ = v<i — us = 0, то система имеет два первых интеграла
h = х\ + х\ + 2^з, h = х\ - х\ + 4хз	(3.208)
и движение происходит на пересечении двух множеств уровня = С*
(рис. 3.3). Общее решение выражается через эллиптические функции.
Рис. 3.3. Множества уровня 1\ = — 1 и /2 = 4 первых интегралов системы Рабино¬
вича (3.198) при v\ = V2 = г'з = 0. Движение происходит на пересечении конуса с
гиперболическим параболоидом
2) Если и = 0 и щ = v, то линейный диагональный член устраняется
с помощью преобразования yi = Xi exp(z/t) и s = exp (—1st). В но¬
вых переменных у\, у2, Уз система становится эквивалентной системе,
описанной в предыдущем случае.
3) Если uj — 0,	= 2^2, г/3 = 0 (и циклические перестановки), то суще¬
ствует один первый интеграл I — exp(2i/it)(x\ — х\) и система может
быть проинтегрирована с помощью третьего трансцендента Пенлеве.

3.9. Тесты Пенлеве
193
Существуют также частично интегрируемые случаи, в которых система
не обладает свойством Пенлеве. Если и ф 0 и щ = г/, то система имеет зави¬
сящий от времени первый интеграл / = ехр(2vt)(x\ — х\ — 2х§). Отметим,
что в этом случае удовлетворяется лишь одно из условий совместности. ■
Пример 3.21. Резонансы между показателями Ковалевской. Снова
рассмотрим систему четвертого порядка (3.171), для которой тест Пенле¬
ве #2 оказался недостаточным для того, чтобы получить окончательные
результаты исследования. Запишем уравнение в виде системы
а) ±1 = х2,
б) х2 = Хз,
(3.209)
в) Х3 — Х4,
г) ±4 = —Х1Х4 + 2X3X2
и применим сопровождающее преобразование ср = (-1,-2,— 3,-4). В ре¬
зультате получим
а) Х[ = Хг + Х2,
б) X' = 2Х2 + Х3,
,	(3.210)
в)Х'=ЗХ3 + Х4,
г) Х'4 = 4Х4 + ХхХ4 + 2Х3Х2.
Как и ожидалось, линейные собственные значения в окрестности точки
X* = (—12,12, —24, 72) имеют вид р = (—1, —2, —3,4). Поскольку суще¬
ствует единственное положительное собственное значение, то неустойчивое
многообразие этой неподвижной точки является аналитически линеаризу¬
емым. Устойчивое многообразие характеризуется тремя отрицательными
собственными значениями. Условие резонанса рг — mipi -h m2p2 -f т^рз
приводит к трем возможным случаям: (г) г = 2 и mi = 2, m2 — m3 = 0;
(гг) г = 3 и т\ = 1, m2 = 1, m3 = 0; (ггг) г = 3 и т\ = 3, га2 = тз — 0.
Поэтому чтобы убедиться, что устойчивое многообразие является линеа¬
ризуемым, необходимо построить нормальную форму четвертого порядка.
Эта нормальная форма получается следующим образом: во-первых, перено¬
сим неподвижную точку в начало координат; во-вторых, диагонализируем
линейную часть; и в-третьих, используем серию преобразований, близких
к тождественным. С точностью до членов четвертого порядка нормальная

194
Глава 3
форма имеет вид
а) У/ = -Ух + 36У2У3У4 + 0(Y4),
б) У2' = -2У22 - 60У32У4 + 0(Y4),
в)У3' = -ЗУ1+0(У4),
г) Y[ = 4У4 + 0(Y4).
(3.211)
Динамика на неустойчивом многообразии определяется при подстановке
Yi = Y2 = У3 = 0 и, очевидно, является линейной до членов четвертого
порядка (а следовательно, и до любого порядка). Динамика на устойчивом
многообразии определяется аналогично при подстановке У4 = 0, и в этом
случае тоже является линейной, и, следовательно, устойчивое многообра¬
зие также может быть аналитически линеаризовано. Для исходной системы
это означает, что локальный ряд либо с возрастающими, либо с убываю¬
щими степенями является рядом Лорана, а система удовлетворяет тесту
Пенлеве #2. Однако эта система не обладает свойством Пенлеве, поскольку
нормальная форма не является линейной, что свидетельствует о том, что
общее решение исходной системы имеет подвижные логарифмические точ¬
ки ветвления.	■
Пример 3.22. Модифицированное уравнение Дюффинга. Рассмот¬
рим векторное поле на плоскости [Conte, 1999]
Эта система является весооднородной с единственным балансом вида р =
= (-1,-2) и а = (1,-1). Сопровождающее преобразование х —> трХ
и т —> es приводит к сопровождающей системе
Линейные собственные значения в окрестности точки X* = (1,-1) таковы:
р = (—1,0). До членов второго порядка вблизи точки X* нормальная форма
имеет вид
а) ±1 = Х2,
б) X2 = —4xiX2 — 2х\.
(3.212)
а) Х[ =Х2 + ХЬ
б) Х'2 = 2X2 - 4ХгХ2 - 2X1
(3.213)
а) У/ = -Ух + 0(Y3),
б) У2' = —2У22 + 0(Y3).
(3.214)

3.9. Тесты Пенлеве
195
Следовательно, нормальная форма не является линейной, поэтому локаль¬
ные ряды не будут чисто экспоненциальными по s. Записанные в исходных
переменных, эти ряды являются Ф-разложениями по t с логарифмически¬
ми членами, и, следовательно, исходная система не обладает свойством
Из предложения 3.7 следует, что каждая сопровождающая система яв¬
ляется формально линеаризуемой вблизи всех ее неподвижных точек, за
исключением, возможно, начала координат. Кроме того, поскольку р — — 1
всегда является линейным собственным значением X*, то все неподвижные
точки, кроме начала координат, имеют резонансные собственные значения.
Поэтому задача доказательства выполнения свойства Пенлеве эквивалентна
доказательству того, что сопровождающая система может быть формально
линеаризована в окрестности неподвижной точки.
Эти результаты можно переписать в терминах нормальных форм. Пусть
А = F(Y)<9y является векторным полем сопровождающей системы и Y =
= X — X*: Как было сказано выше, векторное поле расщепляется на две
составные части А = Adiag + Дпп, где [Adiag, Anii] = 0 и 0-1Adiag0 = Дцп.
Выполнение свойства Пенлеве означает, что для каждой сопровождающей
системы
и рг,Рг е Z V г.
3.9.4.4.	Небольшое отступление: задача о центре
Задача доказательства выполнения свойства Пенлеве для заданного
аналитического векторного поля имеет классический аналог в теории дина¬
мических систем — это так называемая задача о центре. Рассмотрим вектор¬
ное поле 5 = f(x)9x на плоскости с мнимыми собственными значениями
(±г) в точке О:
Для заданного f задача о центре состоит в том, чтобы доказать существо¬
вание центра в начале координат. Это означает, что начало координат явля¬
ется неподвижной точкой, окруженной открытым множеством периодиче¬
ских орбит. Для того чтобы это доказать, нужно найти замену переменных,
близкую к тождественной, которая устраняет все нелинейные члены. Это
Пенлеве.
Апц = О
(3.215)
а) xi=x2+ fi(xi,x2),
б) X2 = -XI + /2(хЬХ2).
(3.216)

196
Глава 3
соответствует тому, что векторное поле 5 имеет центр в точке 0 тогда и
только тогда, когда оно может быть линеаризовано вблизи точки 0, то есть
О-'бв^бип,	(3.217)
или, что то же самое, 5пц = 0. Кроме того, существует формальный первый
интеграл для 0. Основная сложность при решении задачи о центре заклю¬
чается в доказательстве существования формального линеаризующего сте¬
пенного ряда. Действительно, никакого ограничения на степень нелинейных
резонансных членов априори не существует, поэтому если можно линеари¬
зовать систему до степени N (то есть если с помощью полиномиальной
замены переменных можно устранить все одночленные слагаемые степени
меньшей или равной iV), то нет никакой уверенности в том, что система
степени N -b 1 также может быть линеаризована. Следовательно, в общем
случае, доказательство того, что неподвижная точка является центром, не
может быть проведено за конечное число шагов. Наоборот, доказательство
того, что неподвижная точка не является центром, может быть выполнено
за конечное число шагов; для этого достаточно показать, что с помощью
замены переменных в виде формального степенного ряда некоторые од¬
ночлены степени N не могут быть устранены. Однако и в данном случае
число необходимых шагов априори неизвестно.
Приведенная аналогия скова показывает, что, в общем случае, выпол¬
нение свойства Пенлеве для системы не может быть полностью установлено
с помощью локального анализа решений, поскольку общий алгоритм про¬
верки за конечное число ш агов выполнения условия Апц = 0 отсутствует.
3.10.	Гипотеза о слабом свойстве Пенлеве
Гипотеза о слабом -свойстве Пенлеве была предложена для иссле¬
дования интегрируемых систем, имеющих алгебраические точки ветвле¬
ния [Ramani et al., 19Г2, Grammaticos et al, 1983, Grammaticos et al.,
1984, Ramani et al., 1989]. Первоначально она была сформулирована для
гамильтоновых систем с диагональной кинетической частью вида
Н —- -{р\ + ... + Рп) + V(хь ..., хп).	(3.218)
При определенных условиях на потенциал V все решения такой гамиль¬
тоновой системы могут быть разложены в ряд Пюизё. Достаточно ли этой
информации для того, чтобы заключить, что система является интегрируе¬
мой по Лиувиллю?

ЗЛО. Гипотеза о слабом свойстве Пенлеве
197
Пример 3.23. Алгебраические точки ветвления в неинтегрируемом
гамильтониане. Все решения гамильтониана
н = \(pi +pI) +А + \x\xl +	(3.219)
можно разложить в ряд Пюизё [Yoshida et al., 1987Ь]. В частности, суще¬
ствует разложение решения х = (xi, хг) вида
оо
х = (t - £*)_1 ^2	(3.220)
г=О
с произвольными ag и ад (показатели Ковалевской р = 4, р — 9/2). Однако
эта система является неинтегрируемой и демонстрирует крупномасштабный
хаос.	■
Решения некоторых гамильтоновых систем, интегрируемых по Лиу¬
виллю, имеют алгебраические точки ветвления.
Пример 3.24. Алгебраические точки ветвления в интегрируемом
гамильтониане. Рассмотрим гамильтониан [Dorizzi et al, 1983]
н = ^(р21+Р2) + х2 + х1х2 +J£xix2-	(3.221)
Эта система имеет два баланса, определяющих два решения Пюизё для
X = (aji, х2) вида
ОО
х = (t - £*)_2/3 Y _ Ь*У/3-	(3.222)
г=0
Для первого решения Пюизё коэффициенты а5 и аю являются произволь¬
ными с положительными показателями Ковалевской р = 5/3 и р = 10/3;
для второго решения произвольны ai2 и аю с показателями Ковалевской
р = 5/3 ир— 10/3.	■
Чем же система (3.219) отличается от системы (3.221)? Для систе¬
мы (3.219) знаменатель показателя Ковалевской равен 2, в то время как
знаменатель ведущего показателя равен 1. Для второй системы и ведущие
показатели, и показатели Ковалевской имеют знаменатель, равный 3. В ре¬
зультате этих наблюдений Рамани, Дориззи и Грамматикос [Ramani et al,
1982]	ввели понятие натурального делителя. Более точно слабое свойство
Пенлеве определяется следующим образом.

198
Глава 3
Определение 3.5. Гамильтонова система Н = \	+... +р^) + V(x)
обладает слабым свойством Пенлеве, если общее решение системы может
быть локально разложено в ряд Пюизё таким образом, что и показатели
Ковалевской, и доминантные показатели имеют равные наименьшие общие
делители.
Пусть г — наименьший общий делитель доминантных показателей,
то есть все pi можно записать в виде р'/r, где р[ € Ъ, г = 1,...,п и
п — 2т. Система обладает слабым свойством Пенлеве, если ее решения
можно записать в виде рядов Пюизё и все показатели Ковалевской для всех
доминантных балансов можно представить в виде pi = р-/г, г = 2,... ,гс,
где р\ Е Z. В частности, при г = 1 система удовлетворяет обычному тесту
Пенлеве #2.
Гипотеза о слабом свойстве Пенлеве: Если гамильтониан Н =
— §(Pi + • • • + Ртп) + V(хь • • • 5 Хщ) обладает слабым свойством
Пенлеве, то он интегрируем по Лиувиллю.
Следующий пример показывает, что обратное утверждение неверно, даже
если мы ограничимся рассмотрением только интегрируемых по Лиувиллю
систем с весоодночленными первыми интегралами.
Пример 3.25. Гамильтониан Холта. Рассмотрим гамильтониан Хол¬
та [Holt, 1982]
н =	+р1) +х1х^2/ъ + ^\x\,zx2.	(3.223)
При Л G {1,6,16} эта система является интегрируемой по Лиувил¬
лю. Однако она допускает существование разложений с доминантными
балансами х = атр, где р = (—6,—6,—7,—7), а = (±65856\/3/Л3,
—98784/Л3, —6ai,—6аг)9 а показатели Ковалевской равны 1Z = { — 1,14,
13/2 ± 1/2 гл/167}. Появление комплексных показателей Ковалевской сви¬
детельствует о том, что эта система не обладает свойством Пенлеве. ■
Заменой переменных ряд Пюизё может быть преобразован в ряд Ло¬
рана. Однако такая замена переменных не может быть выполнена для всех
систем, обладающих слабым свойством Пенлеве. Если же такое преобра¬
зование существует, то оно устанавливает прямую связь между системами,
допускающими разложение решений в ряд Пюизё, и системами, обладаю¬
щими свойством Пенлеве [Goriely, 1992].

3.11. Структуры образований особых точек
199
3.11.	Структуры образований особых точек для
неинтегрируемых систем
В общем случае, система х = f (х) не проходит тест Пенлеве. Однако
при некоторых предположениях о поведении доминантной части векторного
поля в окрестности особой точки полезную информацию о структуре син¬
гулярностей можно получить на основании разложения решения в Ч!-ряд
(локальное разложение с логарифмическими членами).
Взаимосвязь между неинтегрируемостью и структурами сингулярно¬
стей в комплексном времени исследовалась в гидродинамике [Frisch & Morf,
1981]. Авторами было показано, что особые точки в комплексном времени
группируются вблизи действительной оси. Другие проявления неинтегри¬
руемости, связанные со структурой сингулярностей, наблюдались при ис¬
следовании задачи о распространении фронта пламени [Thual et al., 1985],
а также при изучении уравнения Бюргерса [Bessis & Fournier, 1984]. В
ряде работ Баунтиса и его коллег [Bountis, 1992,Bountis et al, 1991] для
гамильтоновой системы с алгебраическими особыми точками было показа¬
но возникновение любопытной структуры сингулярностей в виде трубок.
Однако до сих пор не появилось ясного понимания взаимосвязи между
неинтегрируемой динамикой и структурами сингулярностей в комплексной
плоскости. Тем не менее следует отметить два важных результата по кла¬
стеризации особых точек в зависимости от иррациональности показателей
Ковалевской и логарифмических членов в локальных разложениях реше¬
ний.
3.11.1.	Фракталы Ковалевской
Используя иррациональность показателей Ковалевской, можно пока¬
зать, что особые точки на комплексной плоскости имеют тенденцию к
объединению в группы на автомодельных кривых. Появление этого уди¬
вительного образования впервые было продемонстрировано Чангом, Табо¬
ром, Вайсом и Грином [Chang et al., 1981, Chang et al, 1982, Chang et al,
1983], а в дальнейшем исследовано Иошидой [Yoshida, 1984]. Состоит оно
в следующем. Предположим, что весооднородная система х = f(x) имеет
масштабно-инвариантное решение х = atp и набор показателей Ковалев¬
ской, по крайней мере, один из которых не является действительным, ска¬
жем р-2 = р — А + г/z, Л > 0. В общем локальном решении в окрестности
особой точки с балансом {а,р} зададим значения произвольных посто¬
янных, соответствующих другим показателям Ковалевской, равным нулю,
и в результате получим
х oc(t - £*)рР(7(£ - t*)p).
(3.224)

200
Глава 3
Согласно теореме 3.3 ряд Р(у) имеет ненулевой радиус сходимости.
Поэтому для фиксированной произвольной постоянной в области сходимо¬
сти существует значение у = у*, при котором, по крайней мере, одна компо¬
нента х будет сингулярна (скажем, i-я компонента). Пусть to £ С — момент
времени, в который эта сингулярность возникает, то есть 7(^6 — £*)р = У*-
В свою очередь, существует последовательность значений tn
(tn - U) =	(t0	-	£*),	п	=	1,2,...,	(3.225)
при которых этот ряд расходится.
Поэтому, начиная с особой точки £*, можно получить последователь¬
ность особых точек to» • • •• Эти точки расположены на логарифмиче¬
ской спирали таким образом, что треугольники с вершинами (£п, tn+i» tr1+2)
являются подобными. Для заданных tn и tn+1 следующая особая точка рас¬
положена на луче, образующем угол в, и расстоянии гп таком, что гегв =
= ехр(^р), то есть г = ехр(^#) и в — Пример такой структуры
приведен на рисунке 3.4.
h—x(^o~U)
Рис. 3.4. Построение автомодельных фракталов Ковалевской (у = гегв)
Эти автомодельные конструкции имеют фрактальную структуру и на¬
зываются фракталами Ковалевской. Система Хенона-Хейлеса и модель
эволюции фронта пламени, предложенная Курамото, являются примерами
неинтегрируемых систем, для которых численно и теоретически установле¬
но существование таких структур [Thual et al., 1985]. Эти конструкции бы¬
ли задуманы для создания некой естественной границы, поскольку вокруг
каждой особой точки £2» • • в свою очередь, также существует автомо¬
дельная спираль особых точек. Однако было обнаружено, что различные
особые точки не могут лежать на одном и том же листе Римана, и постро¬
енная спираль является лишь проекцией изолированных особых точек на
комплексную плоскость [Bessis, 1990].

3.12. Коллапс за конечный промежуток времени
201
3.11.2.	Разбиение особых точек на группы
На основании анализа логарифмических членов разложения решения
можно получить различные типы разбиений особых точек на группы. Для
простоты допустим, что для данного баланса показатели Ковалевской р и
доминантные показатели р — целые. Кроме того, пусть все, за исключе¬
нием одного (скажем, при р = г), условия совместности выполнены. Для
такого случая известно, что решения могут быть формально разложены в
ряд [Bender & Orszag, 1978, Tabor & Weiss, 1981]
оо оо
* = ££ aij(t — t*y р ((t - 2*)r log(< - t*))j.	(3.226)
2 = 0 j=0
Идея заключается в том, чтобы ввести бесконечное множество произво¬
дящих функций Ф* и новую переменную £ = (t — t*)r log(£ - to) таким
образом, чтобы переписать этот би-бесконечный ряд в виде
оо
а)х = ^Ф
i=° оо	(3-227)
б) Ф*(С) = £*уё
3=0
Теперь можно перейти к изучению асимптотического поведения этих рядов
при |£|	|(£ — £*)|. При таком ограничении для Фо(£) получается ОДУ,
решение которого определяет локальную картину разбиения особенностей
на группы [Fournier et al., 1988, Levine & Tabor, 1988,Bountis et al, 1993].
Осуществить эту процедуру можно только при условии, что весооднород¬
ная часть векторного поля сама является интегрируемой, то есть уравнение
для Ф0 успешно решается тогда и только тогда, когда ведущая часть век¬
торного поля является интегрируемой.
3.12.	Коллапс за конечный промежуток времени
Задача описания коллапса за конечный промежуток времени для урав¬
нений в частных производных относится к одной из наиболее активно изу¬
чаемых проблем и является темой сотен статей [Palais, 1988, Glangetas &
Merle, 1994, Doering & Gibbon, 1995, Ohta, 1995,Peral & Vazquez, 1995].
В этом разделе мы рассмотрим наиболее современный аналог этой задачи

202
Глава 3
для ОДУ [Stuart & Floater, 1990, Matsumo, 1992]. Существование особых
точек такого типа занимает важное место при проведении исследований
во многих областях прикладной математики: в теории динамических си¬
стем отсутствие коллапса за конечный промежуток времени является важ¬
ным фактом при доказательстве ограниченности решений [Coomes, 1989];
в гамильтоновой динамике для интегрируемости по Лиувиллю требуется,
чтобы потоки, соответствующие первым интегралам, были определены на
всем временном интервале, то есть не должно возникать коллапса за ко¬
нечный промежуток времени [Flaschka, 1988,Marsden & Ratiu, 1994]; в ди¬
намике жидкостей множество упрощенных моделей сводится к динамиче¬
ским системам, для которых исследуется возможность возникновения кол¬
лапса [Hocking et al., 1972, Frisch & Morf, 1981, Vieillefosse, 1982,Ohkitani,
1993]; в несжимаемой магнитной гидродинамике скопление сингулярностей
в группы имеет такие важные физические следствия, как объяснение сол¬
нечных вспышек в задаче солнечного динамо [Klapper et al., 1996]; в теории
тонких пленок и нитей возникновение сингулярностей связано с образова¬
нием пинчей и разрывов [Zhang & Lister, 1999,Bemoff et al., 1998, Witelski
& Bernoff, 1999].
Рассмотрим аналитическую систему ОДУ в действительной области:
х = f(x), х Е Мп.	(3.228)
Как определено в разделе 3.2, общим решением (3.228) является решение,
содержащее п произвольных постоянных. Частные решения получаются
из общего подстановкой в данное выражение некоторых значений произ¬
вольных постоянных. Частные решения описывают эволюцию некоторого
ограниченного множества начальных условий. Пусть х = х(£; ci,..., Ck) —
решение, зависящее от к произвольных постоянных. При к — п это ре¬
шение является общим решением. Обозначим как х = х(£;хо) решение с
начальными условиями х(£о) = хо-
Система х = f (х) демонстрирует возникновение коллапса за конечный
промежуток времени, если существуют t* Е М и хо G Мп такие, что для
всех М G 1 существует е > 0 такое, что при \t — £*| < <s выполняется
неравенство
|| х(£;х0) ||> М,	(3.229)
где || . || — любая норма в пространстве 1Р. Коллапс является опережающим
по времени, если £* > to, и запаздывающим, если £* < to. Для обозначения
таких коллапсов будем использовать эквивалентную запись
Ит || х(£,х0) || -> оо.
(3.230)

3.12. Коллапс за конечный промежуток времени
203
Возникает много интересных вопросов, относящихся к существованию ре¬
шений, описывающих возникновение коллапса за конечный промежуток
времени для ОДУ. Среди этих вопросов выделим следующие: (г) Суще¬
ствуют ли множества начальных условий размерности к такие, что
V хо С	существует	действительное	t*	такое,	что || х(£,хо) ||—+ оо
при t —> t* (при t < £*)? (гг) Существуют ли открытые множества началь¬
ных условий, обладающие свойством, описанным в пункте (г)? (ш) Какова
природа таких множеств? (iv) В каких областях фазового пространства
происходит коллапс? Некоторые из этих вопросов при определенных огра¬
ничениях были изучены Гориэли и Хайдом [Goriely & Hyde, 1998,Goriely
& Hyde, 2000].
Пример 3.26. Коллапс в системе с одной степенью свободы. Для то¬
го чтобы проиллюстрировать проблему, рассмотрим гамильтонову систему
с одной степенью свободы и потенциалом в виде полинома
х = ахп + д(х),	(3.231)
где д(х) — полином степени меньшей п при условиях д(0) = 0, п ^ 3
и а -ф 0. Эта система имеет гамильтониан Н — — + V(x) с потенциалом
хп+1 Гх
V(x) = —а   — / g(x)dx. В зависимости от четности п и знака а эта
система может иметь решения, стремящиеся к бесконечности за конечный
промежуток времени. На данном этапе можно видеть, что не все траекто¬
рии уходят на бесконечность. Например, неподвижная точка х = О является
частным решением, которое не уходит на бесконечность за конечный про¬
межуток времени. Именно поэтому нас, в большей степени, интересует
доказательство существования некоторого открытого множества начальных
условий, а не доказательство того, что при всех начальных условиях про¬
исходит коллапс решений.
Результат анализа особых точек этой системы становится очевидным
при рассмотрении графика потенциальной функции. В зависимости от чет¬
ности п и знака а рассмотрим четыре различных случая (рис. 3.5): (г) если
п — нечетное и а — отрицательное (рис. 3.5(0), то все орбиты в фазовом
пространстве ограничены и возможности возникновения коллапса не суще¬
ствует; (гг) если п — нечетное и а — положительное, то при достаточно
больших \х\ (|ж| > хс на рис. 3.5 (»)) можно легко построить открытое мно¬
жество начальных условий {хо,хо}> при которых происходит коллапс за
конечный промежуток времени. Кроме того, при таких начальных условиях

204
Глава 3
Рис. 3.5. Различные конфигурации потенциала для уравнения (3.231)
время возникновения коллапса можно точно вычислить по формуле:
оо
{ dx
U = /	(3.232)
J V2[Е - V(x)}
Хо
где Е = Н(хо,хо). И наконец, (ш) и (гг;), если потенциал — нечетный
(п — четное), то, независимо от значения а, всегда существует критическое
значение хс, которое приводит к возникновению коллапса при х > хс (при
а > 0) или х < хс (при а < 0). В этом случае, однако, коллапс происходит
только в одном квадранте фазового пространства. Время возникновения
коллапса можно получить из выражения (3.232). В заключение заметим,
что члены более низких порядков, обозначенные как д(х), не влияют на
общий результат; появление коллапса можно задержать, но избежать его
возникновения во всем фазовом пространстве нельзя. Учитывая в системе
члены д{х) более низких порядков можно выделить в фазовом пространстве
области, в которых решения будут ограниченными; например, при х0 = 0

3.12. Коллапс за конечный промежуток времени
205
и |хо| < х\ для потенциала на рис. 3.5(h) появятся периодические орбиты
или неподвижные точки.
Теперь можно сравнить результаты этого анализа с теми, что были
получены при исследовании решений в окрестностях особых точек. Асим¬
птотическое разложение решения уравнения (3.231) в окрестности особой
точки £* Е С имеет вид
х = a(t — t*)p (1 4- h((t - t*)s)),'	(3.233)
где h(t — £*) — в общем случае, ряд Тейлора по его аргументам, a s —
рациональное число. Можно найти явный вид решения, но в данном случае
такой необходимости нет. Ведущий член a(t — t*)p связан со значениями а
и п следующим образом:
Р = У~,	а""1	=	~-2(1-+^.	(3.234)
I-п	а(	1	—	п)г
Асимптотический вид решения в окрестностях особых точек определяется
только доминантным членом ахп, но не членами более низких порядков.
В зависимости от знака а и четности п коэффициент а при ведущем члене
может быть как действительным, так и комплексным. Пусть /3 = (—1)ра,
12 о ( 2(1 + п)
тогда при четном п всегда существует корень[3 =	—	—
\а(1 — пу
Если а — положительное и тг — нечетное, то существует два таких действи-
2(1 + п) \
ча( 1 — п)2
ное и п — нечетное, то действительных корней для /3 не существует. Эти
наблюдения показывают, что возникновение коллапса за конечный проме¬
жуток времени происходит всякий раз, когда один из коэффициентов при
ведущих членах асимптотического ряда является действительным. Кроме
того, если коллапс происходит одновременно в двух различных квадрантах
фазового пространства (рис. 3.5 (гг)), то можно построить два различных
ряда с действительными коэффициентами при ведущих членах.	■
Этот простой пример показывает, что существует связь между тем фак¬
том, что коэффициент при ведущем члене действителен, и возникновением
коллапса. Теперь снова используем рассмотренное ранее понятие сопрово¬
ждающей системы, построим множество начальных условий на неустойчи-
тельных корня (3 = =Ь ( —	—)	€	М.	Однако	если	а	—	отрицатель-
12Корнем а = с1/ь при с > 0 и Ъ Е Ш является такое положительное действительное
число а, что аъ = с.

206
Глава 3
вом многообразии действительной неподвижной точки для сопровождаю¬
щей системы и покажем, что при определенных условиях это множество
отображается на действительное множество начальных условий, при кото¬
рых возникает коллапс в исходном фазовом пространстве [Goriely, 2001].
Заметим, что если a G 1п, то соответствующее локальное решение в виде
ряда (см. уравнение (3.83))
(ОО	\	71+1
«+ 53 cirP1b	=	(3.235)
i, Ii|> 1	J	i=1
в окрестности особой точки t* является действительным (при действитель¬
ном t* и действительных произвольных постоянных).
Теорема 3.8. Пусть задана действительная аналитическая система
х = f(x), имеющая баланс {а,р} с {к — 1) показателями Ковалевской с
положительными действительными частями {за исключением рп+1 = q),
и пусть /3 = ( —1)ра. Тогда если а £ Rn {соответственно, /3 £ Rn), то
существует k-мерное многообразие Sq начальных условий, приводящих к
возникновению запаздывающего {соответственно, опережающего) по вре¬
мени коллапса.
Доказательство.
Рассмотрим случай запаздывающего по времени коллапса, пусть т =
= (£ — £*). В случае опережающего по времени коллапса доказательство
проводится аналогично с помощью замены т = (£* —t). Рассмотрим сопро¬
вождающую систему, соответствующую балансу {а, р}, где а £ Rn. Тогда
X* = (а, 0) — действительная неподвижная точка действительной аналити¬
ческой системы. Пусть Хо £ WU(X*) — некоторая точка на неустойчивом
многообразии X*. Эта точка при помощи обратного к сопровождающему
преобразования отображается в точку исходного фазового пространства, ко¬
торая за конечный промежуток времени уходит на бесконечность, то есть
при X(.s,Xo)s-=^sX*
II х+хо) 11^ (X),	(3.236)
где хо = трХо £ Rn и t* = to — Xo,n £ R, = to — £*. Теперь, согласно
теореме о неустойчивом многообразии, существует /с-мерное многообразие
точек Хо такое, что X(s, Хо) —► X* при s —> —оо. Это многообразие отоб¬
ражается на /с-мерное многообразие точек коллапса хо в исходном фазовом
пространстве.	■

3.12. Коллапс за конечный промежуток времени
207
В частном случае, когда баланс является доминантным, а а или /3 —
действительным, существует (п — 1) показателей Ковалевской со строго
положительными действительными частями и открытые множества началь¬
ных условий, при которых возникает коллапс решений за конечный проме¬
жуток времени. Если некоторые из показателей Ковалевской обращаются
в нуль, то есть если неподвижная точка сопровождающей системы не яв¬
ляется гиперболической, ситуация становится гораздо более сложной для
описания. Это происходит потому, что устойчивость негиперболических
неподвижных точек не может быть полностью исследована методами ли¬
нейного анализа. Однако существует простой случай, когда решения стре¬
мятся к бесконечности только для некоторых компонент. Если для заданно¬
го баланса {а, р} / компонент а строго равны нулю и (к — 1) показателей
Ковалевской имеют положительные действительные части, то существует
многообразие S™ размерности т ^ к + l, на котором происходит коллапс за
конечный промежуток времени. Кроме того, положение этого множества в
фазовом пространстве определяется поведением ведущего члена решения.
Предложение 3.8. Пусть задана система х = f (х) и пусть Sq — мно¬
гообразие коллапсов, полученное в теореме 3.8, и OsignO) (соответственно,
Os ign(/3)) — орт ант фазового пространства, определяемый знаком компо¬
нент ос (соответственно, /З).13 Тогда опережающий (соответственно,
запаздывающий) коллапс возникает на ортанте, соответствующем ос
(<соответственно, /3), то есть (9sign(c*) П Sq Ф 0 (соответственно,
^sign(/3) El Sq ф 0).
Теперь обсудим возможность возникновения коллапса за конечный
промежуток времени при наличии первых интегралов. В некоторых случаях
первые интегралы можно непосредственно использовать для доказательства
отсутствия решений, стремящихся к бесконечности за конечный промежу¬
ток времени. Например, если для двумерной системы существует первый
интеграл I — х\ + х2, то никакого коллапса за конечный промежуток време¬
ни не возникает (так как I = XqX -b Xq2 = х\ + х\ G R х\, Х2 G М V t). Если,
однако, / = х\ — х2, то исключить все решения, стремящиеся к бесконеч¬
ности за конечный промежуток времени, невозможно, поскольку решения
могут стремиться к бесконечности таким образом, что разность квадратов
будет оставаться постоянной. На основании этих наблюдений получим сле¬
дующий хорошо известный результат.
Предложение 3.9. Пусть 1 = 1 (х) — первый интеграл действитель¬
ной аналитической системы х = f(x). Если множества уровня для I ком¬
пОртант Ое — это множество (х £ Mn|eja:i > 0, г = 1,.. ., п}.

208
Глава 3
пактны, то ни на одном из открытых множеств начальных условий не
возникает {запаздывающего или опережающего) коллапса за конечный про¬
межуток времени:
Как этот результат соотносится с теоремой 3.8? Если I =• J(x, t) явля¬
ется первым интегралом системы х = f(x), то существует первый интеграл
/(°) = /(°)(х) системы х = f(°)(x), где f(°) — доминантная часть векторно¬
го поля с балансом {а,р}. Поскольку первый интеграл 1^ постоянен на
всех решениях, то он будет постоянным и на частном решении х = атр.
Поэтому из равенства 1^(атр) = I^°\(x)rd = 0 следует, что 1^(а) = 0.
Однако если множества уровня для 1(х) компактны, то компактными яв¬
ляются и множества уровня для 1^(х), и соотношение /(°)(а) = 0 не
выполняется при а € Мп. Таким образом, на основании того, что знак 1^
определен, получаем, что для соответствующего баланса {а,р} справед¬
ливо неравенство Im(a) ^ 0. Аналогичные рассуждения используются при
доказательстве приведенного ниже предложения, которое является обобще¬
нием предложения 3.9.
Предложение ЗЛО. Пусть I= 1^°\х) — первый интеграл доми¬
нантной части системы х — f(x), х £ Мп. Если множества уровня 1^
компактны, то на открытом множестве начальных условий не возникает
коллапса решений за конечный промежуток времени.
Пример 3.27. Система Рикитаке. Рассматриваемая система, впервые
предложенная в 1958 году Рикитаке, состоит из двух одинаковых фараде-
евских дисковых динамо, связанных между собою аналогично модели Бул¬
ларда. Такая система используется геофизиками как основная модель при
изучении временного ряда геомагнитных изменений полярности за геоло¬
гический период [Cook & Roberts, 1970,Steeb, 1982, Ershov et al, 1989]. Эта
модель описывается системой уравнений:
а) х = —рх + zy,
б) у = -цу +{z- а)х,	(3.237)
в) z = 1 — Ьху.
Традиционная модель Рикитаке получается при подстановке 6 = 1. По¬
кажем, что в зависимости от значения b решения системы Рикитаке
демонстрируют (на открытом множестве начальных условий) возникно¬
вение коллапса за конечный промежуток времени. Для этого выделим
два возможных баланса. Первый соответствует усечению векторного по-

3.12. Коллапс за конечный промежуток времени
209
ля f (°) = (zy, zx, —bxy) с балансом
р«- (-1,-1,-!),<,<■> = (^,^Д)	„(Ч	=	(^,51,-1)
(3.238)
и показателями Ковалевской р = (—1,2,2). Второй баланс соответствует
усечению f(°) = (zy,—ax, —Ъху) и определяется величинами
р(2) = (_2, _1; —2), а(2) = {Щ, zl)	(3.239)
ауо уо а
с показателями Ковалевской р — (—1,2,4). Следовательно, оба баланса
соответствуют общему решению. При Ъ < 0 существуют открытые множе¬
ства начальных условий, при которых появляются решения, стремящиеся
к бесконечности за конечной промежуток времени. Кроме того, при Ь > 0
коллапс решений за конечный промежуток времени в модели Рикитаке от¬
сутствует (на открытом множестве начальных условий), так как ни один из
балансов и а^ не является действительным [Goriely & Hyde, 1998].
Следует заметить, что даже если возникновение коллапса решений за
конечный отрезок времени исключено (при b > 0), то эти решения не будут
ограниченными — они могут стремиться к бесконечности на бесконечном
промежутке времени. Например, простейшее частное решение х — у — 0,
z = t не является ограниченным при t —» оо.	■
Пример 3.28. Модель Вийялифосса. Для описания взаимодействия
вихря скорости и сдвига в турбулентном потоке Вийялифосс [Vieillefosse,
1982]	использовал модельную систему из пяти ОДУ, для которой из су¬
ществования коллапса решений за конечный промежуток времени следует,
что поток несжимаемой невязкой жидкости растекается за конечное время.
Система имеет вид
а) xi = -хз - Х4,
б) Х2 = Х4,
в) х3 = --Хз + -Х\Х2 -
2 " ' 2	4	1:	(3.240)
11 1
2
Г) Х4 = -х5 + -Х!Х2 - 2х2,
^ • 1 2
д) Хь = 2Х4Х1 - -^Х2Х4.

210
Глава 3
Эта система допускает существование решения в виде Ф-разложения с ба¬
лансом
р = (-2, -2, -3, -3, -4), а = (144, 72, -432,144, 864)	(3.241)
и показателями Ковалевской р = (—1,2, 3,4, 6). Поскольку коэффициен¬
ты ведущих членов действительны и четыре показателя Ковалевской поло¬
жительны, то для этой системы на некотором открытом множестве дей¬
ствительных начальных условий возникает коллапс общего решения за
конечный промежуток времени. При этом коллапс происходит на ортан-
те ^(+,+,-,+,+)•	■
Пример	3.29.	Обобщенные цепочки Тоды. Рассмотрим конечные
непериодические цепочки Тоды [Tomei, 1984,Kodama & Ye, 1996]. Такие
системы являются разновидностью классических цепочек Тоды. Записан¬
ная в переменных Флашки [Flaschka, 1974], эта система N частиц имеет
вид
а) сц = Si+ibf - Si-ib1_x, i =
1	(3-242)
б) bi = 2^(Si+ia*+i “	г = 1..., TV - 1,
где bo = bjsr = ajv+i =0и5^ равно либо -hi, либо —1. В частном случае, ко¬
гда все Si равны +1, система (3.242) является классической цепочкой Тоды.
Для устранения явной зависимости от знаков Si введем новые переменные:
а) Xi = Sidi, г = 1,..., N.
9	(3-243)
б) Уг = szs2+i6“', г = 1,..., N — 1.
Тогда получим новую систему
а) ±i = yi — Vi-i. г = 1,N,
(3.244)
б) Ш = Vi(xi+1 - Xi), 2 — 1..., N 1,
где yo = Vn = xn+i = 0. Кодама и Йе [Kodama & Ye, 1998] при иссле¬
довании коллапса за конечный промежуток времени использовали свойства
полной интегрируемости этой системы. Для изучения коллапса и размерно¬
сти многообразия коллапса рассмотрим все возможные балансы вида
а) Xi = ociTVi, г = 1,..., IV,
б) Уг = (3iTqi,	г	=	1,..., TV - 1.
(3.245)

3.12. Коллапс за конечный промежуток времени
211
Поскольку система является весооднородной, то pi = — 1 и qi — —2 при
всех г. Упорядочим балансы по числу нулевых компонент вектора /3. Ком¬
бинаторные вычисления показывают, что общее количество балансов с к
нулевыми компонентами /3 равно (^). Следовательно, общее число воз¬
можных балансов равно 2ДГ_1 — 1. В случае когда все компоненты /3 равны
нулю, первый ненулевой член соответствует ряду Тейлора и не является
особым решением. Для данной задачи легко продемонстрировать возник¬
новение коллапса решений за конечный промежуток времени на открытом
множестве начальных условий.
Предложение 3.11. При условии, что, по крайней мере, одно (но не
все) Si = —1, для системы (3.242) существует открытое множество на¬
чальных условий в М2ДГ_1, при которых происходит коллапс решений за
конечный промежуток времени. Причем только три из 2N — 1 переменных
стремятся к бесконечности, а именно, две компоненты а и одна компонен¬
та Ь.
Доказательство.
Чтобы получить коллапс решений за конечный промежуток времени на
открытых множествах начальных условий, необходимо рассмотреть только
ведущие балансы, то есть балансы для показателей Ковалевской с положи¬
тельными или нулевыми действительными частями. Заметим, что посколь¬
ку показатели р, q являются целыми, то из существования запаздывающего
по времени коллапса следует и существование опережающего по времени
коллапса. Поэтому можно ограничиться рассмотрением только запаздываю¬
щего по времени коллапса. Для системы (3.243) существует {N — 1) главных
балансов вида (3.245), полученных следующим образом. Пусть j — целое
число в интервале от 1 до {N — 1). Выберем
а) f3i = -а, = ai+1 = -1 при i = j,
cz\ о n	(3.246)
б) di — Pi = 0 в противном случае.
Все эти балансы являются ведущими с показателями Ковалевской
Р = {-1, 1 (ni раз), 2 (п2 раз), 3 (п3 раз)},	(3.247)
где	п	1	= N\	ri2 = N — 2,пз = 1, если j = 1 или j = N —	1, и	п\ = N,
?12	—	N — 3,72з — 2 в противном случае. Для того чтобы построить от¬
крытые множества начальных условий для исходных переменных можно
использовать соответствующее неустойчивое многообразие сопровождаю¬
щей системы. Причем только три из этих 2АГ - 1 переменных, на самом

212
Глава 3
деле, стремятся к бесконечности (а именно, Xj,Xj+1 и yj при любом задан¬
ном j < TV), другие же переменные являются аналитическими функциями
от т в окрестности особой точки. Теперь в исходных переменных (а, Ь) для
рассматриваемых балансов получим, что (3j = -1 и ft = 0 i ф j. Следо¬
вательно, для любого заданного вектора s = (si,..., sm), по крайней мере,
с одной (но не со всеми) компонентой, равной —1, существует Sj такое,
что SjSj+i = —1, а для этого j и соответствующего баланса существует
действительное множество начальных условий в исходном фазовом про¬
странстве.	■
Другие балансы соответствуют случаю, когда более трех переменных
стремится к бесконечности, но коллапс возникает на многообразиях мень¬
шей размерности. В случае когда все переменные стремятся к бесконечно¬
сти за один и тот же промежуток времени, получим следующий результат.
Предложение 3.12. В системе Тоды (3.242) возникает коллапс
(запаздывающий и опережающий) по всем переменным тогда и только
тогда, когда N — четное, а знаки — переменные, то есть	= — Е г =
= 1,..., N — 1. Кроме того, размерность многообразия коллапса равна N.
Доказательство.
Коллапс по всем переменным возникает тогда и только тогда, когда
существует баланс (3.245) такой, что а* ф 0 при всех г. Для такого баланса
oti = iV + 1 — 2г и /Зг =	— Однако при нечетном N получаем aiv+i = О,
что противоречит предположению о том, что а* Ф 0. Следовательно, при
нечетном N переменная ам+i не стремится к бесконечности за конечный
промежуток времени. Поскольку все /?* являются строго отрицательными,
то для того, чтобы bi было действительным при стремлении у* к беско¬
нечности, необходимо выбрать SiSi+i = — 1. Если N является четным, то
2N — 1 показателей Ковалевской имеют вид р = {—7V+1, ...,—1,1,..., N},
то есть существует N положительных показателей Ковалевской, а соответ¬
ствующее многообразие коллапса имеет размерность N.	■

Глава 4
Неинтегрируемость
«Когда кто-то пытается сформулировать
точное определение интегрируемости,
возникает множество вариантов,
каждый из которых имеет определенный
самостоятельный теоретический интерес.»
Биркгоф
Из предыдущих глав ясно, что универсального определения интегри¬
руемости сформулировать не удаётся, что, главным образом, происходит
из-за несогласованности между сингулярным анализом, подходом теории
динамических систем и гамильтоновой теорией. В каждой теории форму¬
лируется свое, отличное от других, определение интегрируемости, пред¬
ставляющее интерес в рамках данной теории. Трудности возникают, когда
мы пытаемся выявить возможные взаимосвязи между подходами различных
теорий. Основной темой, обсуждаемой в этой главе, является поиск связи,
если таковая существует, между свойством Пенлеве и другими точками зре¬
ния на интегрируемость, которые могли бы быть эффективно использованы
для построения решений или приобретения общих знаний о динамике реше¬
ний в фазовом пространстве. Например, выполнение для системы свойства
Пенлеве с большой долей уверенности считается несовместимым с хао¬
тичностью ее поведения. Однако строгого доказательства этого простого
утверждения до сих пор не получено. Известно также, что, несмотря на
некоторую любопытную близость, интегрируемость по Лиувиллю напря¬
мую не связана со свойством Пенлеве. Поэтому нам необходим какой-либо
простой тест проверки существования или отсутствия первых интегралов
в заданном пространстве функций (полиномиальных, рациональных, алге¬
браических и так далее), и цель данной главы — показать, что для решения
этой задачи вполне может быть использован сингулярный анализ.
В главе 2 алгебраическая интегрируемость n-мерных систем ОДУ с
рациональными векторными полями понималась в смысле существова¬
ния (п — 1) алгебраических первых интегралов. Такое определение инте¬
грируемости является очень строгим. Например, для интегрируемости по

214
Глава 4
Лиувиллю гамильтоновых систем с п степенями свободы требуется суще¬
ствование п первых интегралов; оставшиеся (гг — 1) угловых переменных,
выраженных в явном виде, в общем случае, не являются алгебраическими
или хотя бы однозначными первыми интегралами. Поэтому интегрируе¬
мость по Лиувиллю имеет более слабую связь с сингулярностью, чем ал¬
гебраическая интегрируемость. Это обстоятельство объясняет, почему син¬
гулярный анализ не используется для доказательства интегрируемости по
Лиувиллю систем с гамильтонианом произвольного вида. Однако опреде¬
ление алгебраической интегрируемости ограничивает поведение решений
систем таким образом, что общее утверждение о мероморфности реше¬
ний становится вполне возможным. В свою очередь, отсутствие локальной
однозначности решений может быть использовано для доказательства гло¬
бальной неинтегрируемости системы.
Другой важной задачей теории интегрируемости является определе¬
ние понятия частичной интегрируемости, то есть описание случаев, когда
количество первых интегралов меньше требуемого для полной интегрируе¬
мости. Успешным средством нахождения интегрируемых систем являются
методы сингулярного анализа, с помощью которых было построено много
новых гамильтоновых и негамильтоновых систем. Однако многие гамильто¬
новы системы, будучи интегрируемы по Лиувиллю, не могут быть проана¬
лизированы с помощью сингулярного анализа. Аналогично, большинство
динамических систем допускает существование нескольких инвариантов,
выражающих физические законы сохранения, однако лишь для небольшой
части этих систем существует достаточное количество первых интегралов,
необходимое для эффективного построения аналитического общего реше¬
ния. В общем случае, процедура, с помощью которой для заданной системы
ОДУ можно ответить на вопрос о существовании полиномиального, раци¬
онального или логарифмического первого интеграла, отсутствует. Неизве¬
стен также ответ на альтернативный вопрос о существовании ограничения
на степень полиномиальных первых интегралов. В этой главе мы покажем,
что степени первых интегралов связаны с показателями Ковалевской, и,
следовательно, частично сможем ответить на этот вопрос.
4.1.	Общий подход: вариационное уравнение
Для доказательства неинтегрируемости системы дифференциальных
уравнений проводится анализ вариационного уравнения вблизи частного
решения. Рассмотрим n-мерное аналитическое векторное поле
х = f(x), х G Сп,
(4.1)

4.1. Общий подход: вариационное уравнение
215
и известное частное решение х = х(£). Вариационное уравнение вблизи х(£)
представляет собой линейную систему, полученную линеаризацией вектор¬
ного поля вблизи этого решения \(t). Такое решение может быть найдено
при подстановке х = х(£) + ей и учете в системе членов до первого порядка
по в, то есть
u = Du, u G Сп,	(4.2)
где D = Df(x(t)) — матрица Якоби для частного решения. Наряду с вариа¬
ционным уравнением рассмотрим сопряженное вариационное уравнение
й = -П£>, О G Сп.	(4.3)
Переменные сопряженной системы обозначены буквами с чертой. Ва¬
риационное уравнение является линейной системой дифференциальных
уравнений. Если нелинейная система допускает существование первых ин¬
тегралов, тем же свойством обладает и вариационное уравнение. Поэтому
если мы сможем доказать, что вариационное уравнение не имеет первых ин¬
тегралов в заданном классе функций, то можно сделать вывод, что исходная
система является неинтегрируемой (в том же классе функций). Большин¬
ство теорий неинтегрируемости базируется на этой простой идее. Однако
используемые подходы анализа вариационного уравнения зависят от выбора
частного решения. Вариационное и сопряженное ему уравнения обладают
общими свойствами, которые не зависят от выбора частного решения.
Предложение 4.1. Существует две матрицы Q и Q фундаментальных
решений вариационного и сопряженного уравнений такие, что
а) Q = DQ,
б) Q = QD,	(4.4)
в) QQ = QQ = I,
где D = Df(k(t)).
Доказательство.
Пусть У, Y — две фундаментальные матрицы вариационного и сопря¬
женного уравнений. Сначала покажем, что произведение двух фундамен¬
тальных решений (УУ) является матрицей с постоянными элементами, то
есть
~(YY) = YY + YY,
at
= YDY - YDY,
= 0.
(4.5)

216
Глава 4
Поскольку У иУ — фундаментальные матрицы, тоУАи BY — также
фундаментальные для любых А, В Е GL(п, С). А и В можно выбрать та¬
кими, что Q — У A, Q = BY и У ABY = I.	■
Предложение 4.2. Пусть I = 7(х) — первый интеграл системы х =
= f(x), тогда й(t) = <9х/(х(£)) —решение сопряженного уравнения.
Доказательство.
Чтобы показать, что й(£) = Эх/(х(£)) является решением сопряженно¬
го уравнения, вычислим его производную по времени:
а - jtW),
= fMdJ),
= dx(f.dxi) - (dxi)(dxf),
= дхф - (dxI)Df,
= -uDf.	(4.6)
Следующая лемма Пуанкаре является основной леммой теории неин-
тегрируемости.
Предложение 4.3. (Лемма Пуанкаре) Пусть I — 7(х) — первый ин¬
теграл системы х = f(x), тогда для всех решений х(£) системы х = f(x)
выражение J = 9х/(х).и является линейным зависящим от времени пер¬
вым интегралом вариационного уравнения.
Доказательство.
Вычислим производную по времени от J. В результате получим
dJ d . v
л = 5w'u)'
= Цдх(дЛ)-п) + (dxI)-(Du),
= ~(дх1).((дх f)u) + (dxI).(Du),
= -(dxI).(Du) + (dxI)(Du)
= 0.	(4.7)

4.1. Общий подход: вариационное уравнение
217
Лемма Пуанкаре может быть также доказана как следствие двух пре¬
дыдущих предложений. Действительно, поскольку дх1 является решением
сопряженного вариационного уравнения, то соотношение QQ = I предпо¬
лагает, что дх1.и является постоянной. Более того, если исходное векторное
поле допускает существование к независимых первых интегралов и суще¬
ствует t\ € R такое, что dx/i(x(£i)), 9xi2(x(£i))>..., 9*/fc(x(ti)) являются
линейно независимыми, тогда градиенты первых интегралов, оцененные на
решении х(£), дают к линейно независимых первых интегралов вариаци¬
онного уравнения и к независимых решений сопряженного вариационного
уравнения.
4.1.1.	Неинтегрируемость линейных систем
Простейшими системами, для которых может быть явно доказано су¬
ществование или отсутствие первых интегралов, являются линейные систе¬
мы. Рассмотрим линейную систему с постоянными коэффициентами
X = Ах, А е Mn(C), X е Сп.	(4.8)
Из раздела 2.2 известно, что функция I = /(х) будет формальным,
аналитическим полиномиальным или рациональным первым интегралом,
если I — формальный степенной ряд, аналитическая полиномиальная или
рациональная функция и 5fl = 0. Существование такого первого интеграла
следует из приведенных далее утверждений.
Теорема 4.1. Пусть задана система х = Ах с постоянными коэффи¬
циентами, где матрица А — полупростая с собственными значениями X,
тогда:
1) система допускает существование к формальных первых интегралов
тогда и только тогда, когда существует к линейно независимых век¬
торов	..., т^')} с положительными целочисленными компонен¬
тами таких, что
A.mw=0, г = 1,..., /с;	(4.9)
2) система допускает существование к рациональных первых интегра¬
лов тогда и только тогда, когда существует к линейно независимых
векторов {т^,...,	с	целочисленными	компонентами	таких,
что
A.m(i)=0, г = 1,..., fc.	(4.10)

218
Глава 4
Доказательство.
Не умаляя общности рассуждений, предположим, что А = diag(A).
(1) Пусть существует к линейно независимых положительных целочислен¬
ных векторов	..., т^)} таких, что А.т(г) = 0. Тогда с помощью
непосредственных вычислений несложно убедиться, что = хт(° (г =
= 1,...,/с) являются к независимыми полиномиальными первыми инте¬
гралами. И наоборот, допустим, что существует к первых интегралов в
виде формальных степенных рядов
h = ^2 апг)хп, г = 1,..., /с.	(4.11)
nEN™
Поскольку Ii является первым интегралом, то справедливо соотноше¬
ние Ii = ^nai^(A.n)xn = 0, выполнение которого означает, что А.п = 0
при всех п таких, что ф 0. Пусть	— множество
всех таких векторов. Существует I первых интегралов Ji = xm( ), i =
= 1,..., Среди элементов множества {W1),	..., ш^} существует к
линейно-независимых векторов. Предположим, от противного, что найдет¬
ся к' < к линейно независимых векторов, тогда среди J\,..., J/ окажется
только к' независимых первых интегралов. Так как интегралы
являются функциями от Ji,..., Ji, то и количество независимых первых
интегралов равно к' < к . Мы приходим к противоречию. Следовательно,
существует к линейно независимых векторов, и доказательство первой ча¬
сти теоремы завершено.
(2) Предположим, что существует к линейно независимых целочисленных
векторов	..., т^} таких, что А.т^г^ = 0. Тогда Ii = хт(° (г =
= 1,..., к) являются к независимыми рациональными первыми интеграла¬
ми. И наоборот, допустим, что существует к рациональных первых инте¬
гралов Ii = Pi/Qi, г = 1,..., /с, где Р и Q — взаимно простые и
А = ^4г)хр, Qi = '^b^)^.	(4.12)
р	q
Поскольку Ii — первый интеграл, то справедливо соотношение
Spqap^kq^((P — q)-A)xp+q = 0, выполнение которого означает, что ш =
= р — q является таким, что А.ш = 0 для всех пар р, q, удовлетворяющих
равенству	Ф 0. Пусть	..., ш^} — множество всех таких
векторов. Используя доказательство, подобное приведенному ранее, полу¬
чим, что существует I ^ к независимых рациональных первых интегралов

4.2. Первые интегралы и линейные собственные значения
219
Ji = xm(?), i — 1,...,/, и, по крайней мере, к линейно независимых цело¬
численных векторов, принадлежащих множеству {т^1^, т^2),...,	}.	■
Определение 4.1. Конечное подмножество {6i,...., bk} комплексного
векторного пространства Е является К-независимым, если из равенства
aibi + а2Ь2 + ■ • • + акЪк = 0, a* G К следует, что а\ = а2 — ... = ак = 0.
Следствие 4.1. [Nowicki, 1996] Пусть задана система х = Ах,
где матрица А — полупростая с собственными значениями А. Тогда
{Ai,..., Ап} являются N-независимыми тогда и только тогда, когда для
системы не существует формальных первых интегралов. Более того,
{Ai,...,An} являются Z-независимыми тогда и только тогда, когда не
существует рациональных первых интегралов системы.
Если матрица А не является полу про стой, то первая часть следствия все
равно справедлива. Однако в случае существования рациональных первых
интегралов выводы следствия изменятся в соответствии с приведенным
ниже предложением (доказательство см. в статье Новицки [Nowicki, 1996]).
Предложение 4.4. Пусть задана система х = Ах и пусть она не
имеет рациональных первых интегралов. Тогда либо матрица А является
полупростой с Ъ-независимыми собственными значениями, либо жордано-
ва форма матрицы А (с точностью до перестановки строк и столбцов)
имеет вид
’Ai	1	0	0	0	...	0
0	Ai	0	0	0	...	0
0	0	А2	0	0	...	0
Df(x*)
0
0 А/с
0   0
a {Ai, А2 • • •, An_i} — Z-независимы.
0 An_i_
(4.13)
4.2.	Первые интегралы и линейные собственные значения
Рассмотрим систему х = f(x), где х € Мп и f — аналитическая вектор-
функция, и пусть х* — неподвижная точка векторного поля с полупростой
матрицей Якоби. Пусть A = (Ai,...,An) — линейные собственные значения
в окрестностях неподвижных точек (то есть собственные значения матри¬
цы Z9f(x*)). В дальнейшем всякий раз, когда мы оцениваем значение первого

220
Глава 4
интеграла на некотором решении или предполагаем существование кратных
формальных первых интегралов, мы полагаем, что существует непустая об¬
ласть, связанная с неподвижными точками, в которой определены все фор¬
мальные первые интегралы и все рассматриваемые формальные решения.
Такое предположение, например, соответствует случаям, когда первые ин¬
тегралы глобально определены или когда первые интегралы аналитичны
в окрестности неподвижной точки х*. В следующей теореме утверждает¬
ся, что существование к зависящих от времени первых интегралов соот¬
ветствует существованию к резонансов между линейными собственными
значениями.
Теорема 4.2. Если система имеет к независимых формальных первых
интегралов, определенных в окрестности неподвижной точки х*, с соб¬
ственными значениями А и полупростой матрицей Якоби, то существу¬
ет к линейно независимых векторов	...,	с положительными
целочисленными компонентам таких, что
A.m(i)=0, i = l,...,k.	(4.14)
Доказательство.
Поскольку Df(x*) является полупростой, то, без потери общности,
можно предположить, что линейная часть векторного поля имеет диаго¬
нальный вид и х* = 0. Пусть 7*1,..., Ik — к независимых формальных пер¬
вых интегралов и J\,..., Jk — к других формальных первых интегралов,
полиномиальных по Д,..., /&, таких, что
J% — xm(° +	^2	an)x">	i	=	(4.15)
n, |п|^|ш^)I,
где	..., m^)} — линейно независимые положительные целочислен¬
ные собственные вектора. Пусть J — хт + апхп — один из первых инте¬
гралов. Вычислив SfJ, имеем
SfJ = fA J,
= (A.rn)xm + ]Г 6nxn.	(4.16)
n, n/m
Поскольку 5fJ = 0, получим A.m = 0. Отсюда следует справедливость
утверждения.	■
Отсутствие для системы полиномиальных, аналитических или фор¬
мальных первых интегралов может быть получено как следствие приведен¬
ной ниже теоремы [Furta, 1996].

4.2. Первые интегралы и линейные собственные значения
221
Следствие 4.2. Если собственные значения f(x) в окрестности
неподвижной точки х* с полупростой матрицей Якоби являются N-
независимыми, то для системы не существует формальных первых ин¬
тегралов.
Более того, в случае если векторное поле имеет к алгебраических пер¬
вых интегралов, можно сформулировать подобное утверждение.
Теорема 4.3. Если система имеет к независимых алгебраических пер¬
вых интегралов 1\,..., Ik, определенных в окрестности неподвижной точ¬
ки х*, с собственными значениями А и полупростой матрицей Якоби, то
существует к линейно независимых ненулевых векторов {т^1),..., т^)}
с целочисленными компонентами таких, что
A.m(i)=0, г = 1,...,к.	(4.17)
Доказательство.
Поскольку матрица Df(x*) является полупростой, то, без потери общ¬
ности, снова предположим, что линейная часть векторного поля имеет диа¬
гональный вид их* = 0. По теореме Брюно (теорема 2.4), из существования
к алгебраических первых интегралов следует существование к независимых
рациональных первых интегралов J\ — Pi/Qi,..., Jk = Рк/Qk■> выбран¬
ных так, что
a)	Pi = a*xp(° +	^2	г	=	1,..., /с,
п, |п|^|рО|, п^рО
"(1) + X) 6'(г)’
n, |n|^|qC)
с условием
PiQi = а*/?*хр(0+ч<0 +	с“*)х"’	<4Л9)
n, |n|^|pC)| + |q('0|? п^р(0+ч(*)
где {m^1) = р^1) — q^1),...,	=	р^	— q(fe)} являются линейно неза¬
висимыми целочисленными векторами. Пусть J = P/Q — один из таких
первых интегралов, тогда SfJ = 0, то есть QSfP — P5fQ = 0:
0 = QSfP - P6fQ
= а/?(А.(р - q))xp+q + 52 d«x"-	(4-20)
n, n/m
Таким образом, получаем, что A.m = 0, где m — вектор целых чисел. ■
б)Qi=Pi\q +	2_,	х",	г	=	1,..., А:,
(4.18)

222
Глава 4
Следствие 4.3. Если линейные собственные значения f(x) в окрест¬
ности неподвижной точки х* с полупростой матрицей Якоби являются
Z-независимыми, то рациональных (<следовательно, и алгебраических) пер¬
вых интегралов не существует.
Если матрица Якоби в данной неподвижной точке не является полу¬
простой, то следствие 4.2 все равно справедливо. Однако в этом случае
множество собственных значений всегда Z-зависимо (так как, по крайней
мере, два собственных значения совпадают), а следствие 4.3 заменяется
следующим утверждением.
Предложение 4.5. Если жорданова форма матрицы Якоби для f(x)
в неподвижной точке х* (с точностью до перестановки строк и столбцов)
имеет вид
ГАх
1
0
0
0
... 0
0
Ai
0
0
0
... 0
0
0
А2
0
0
... 0
II
■X-
0
0
А к
... 0
_ 0
0
0 Ап_
и {Ai, А2 ..., An_i} являются Z-независимыми, то рациональных (следова¬
тельно, и алгебраических) первых интегралов не существует.
Теперь, если система допускает существование зависящего от времени
первого интеграла, то справедливо следующее утверждение (доказательство
предлагается провести самостоятельно в качестве упражнения).
Предложение 4.6. Если система х = f(x) допускает существова¬
ние зависящего от времени первого интеграла вида I = Pe~xt, где Р —
полиномиальная (соответственно, рациональная) функция от х, то суще¬
ствует вектор m с положительными целыми (соответственно, целыми)
компонентами такой, что
А.ш = х,	(4.22)
где А — линейные собственные значения в окрестности неподвижной точ¬
ки х*.

4.3. Первые интегралы и показатели Ковалевской
223
Пример 4.1. Модель Бьянки IX. Система
а) ±i = (1 + х4)(1 + х 1 х2 4- x3(xi + х2) - х\) - 2xix3,
б) ±2 = (1 - х4)(1 + XiX2 4- x3(xi 4- х2) - х\) - 2xix3,
в) х3 = 2(х*4 - х| - 1),	(4-23)
г) х4 = x4(xi + х2 - 2х3) + i(xi - х2)(1 - хьх2 - x3(xi + х2) + х\)
является редукцией Бьянки (IX) космологической модели [Maciejewski &
Szydlowski, 1998]. В окрестности неподвижной точки х* = (—г, —г, г, 0)
система имеет линейные собственные значения А = (—2г, — 2г, — 4г, — 4г).
Следовательно, в окрестности х* не существует формальных первых инте¬
гралов. В частности, это утверждение подразумевает отсутствие полиноми¬
альных первых интегралов.	■
4.3.	Первые интегралы и показатели Ковалевской
В предыдущем разделе мы изучили вариационные уравнения в окрест¬
ностях неподвижных точек и связали существование первых интегралов с
существованием резонансных соотношений между линейными собственны¬
ми значениями. Теперь рассмотрим другое частное решение — масштабно¬
инвариантное решение х = cxtp — и установим связь между весовой степе¬
нью первых интегралов и показателями Ковалевской.
4.3.1.	Анализ Йошиды
Одна из новаторских работ теории неинтегрируемости принадлежит
Йошиде [Yoshida, 1983а, Yoshida, 1983Ь]. Используя сингулярный анализ,
ему удалось установить необходимые условия алгебраической интегриру¬
емости, основанные на исследовании показателей Ковалевской. Первона¬
чально метод Йошиды был применен к масштабно-инвариантным систе¬
мам. Однако, как будет показано далее, анализ Йошиды справедлив для
систем общего вида. Действительно, если векторное поле допускает су¬
ществование первого интеграла, тогда и весооднородная компонента стар¬
шей степени разложения векторного поля также допускает существование
первого интеграла (предложение 2.3). Поэтому для проверки отсутствия
первого интеграла ограничимся анализом компоненты старшей степени
всего весооднородного разложения. Эти компоненты являются масштабно¬
инвариантными системами.

224
Глава 4
Рассмотрим масштабно-инвариантную систему (относительно веса
w = —р) х = f(x) и предположим, что существует масштабно-инвариантное
решение вида
х = а£р,	(4.24)
где коэффициенты	а	£	Сп	определяются	одним	из	ненулевых	решений
алгебраического уравнения
р а = f(a).	(4.25)
Для заданного	р могут	существовать различные	наборы	величин	а,	назы¬
ваемые различными балансами, как определено в главе 3. Рассмотрим одно
из этих решений и матрицу Ковалевской
К = Df(a) - diag(p),	(4.26)
где Df(ct) — матрица Якоби при х = а. Собственные вектора матрицы К
могут быть использованы для построения частных решений вариационных
уравнений. Показатели Ковалевской р = {р\ — — 1, р2, • • •, рп} являются
собственными значениями матрицы К.
Следует заметить, что результаты Йошиды имеют двойной смысл. Во-
первых, Йошида доказал, что при определенных условиях весовая степень
первого интеграла равна показателю Ковалевской. Во-вторых, он показал,
что если один из показателей Ковалевской не является рациональным чис¬
лом, то система не может быть алгебраически интегрируемой.
Теорема 4.4. (Йошиды). Пусть 7(х) — весооднородный первый инте¬
грал весовой степени d для масштабно-инвариантной системы х = f(x).
Если dxI(ct) не равна нулю, то d является показателем Ковалевской.
Доказательство.
Масштабно-инвариантная система х = f(x) допускает существование
частного решения вида х = cttp. Поэтому мы можем использовать лемму
Пуанкаре (предложение 4.3). Существование 7(х) означает существование
первого интеграла J = dxI((xtp)u для вариационного уравнения
u = Df((xtp)u.	(4.27)
Общее решение вариационного уравнения имеет вид u = Yli=i P^tPi9
где /3^ является полиномом по log С и может быть выражено через обоб¬
щенные собственные вектора матрицы К = Df(cx)— diag(p). Это решение
содержит п произвольных параметров. Поэтому можно оценить значение

4.3. Первые интегралы и показатели Ковалевской
225
первого интеграла J на этом решении:
к
J = ^2d^(a)t-p-dp{i)tp+pi,
г=1
к
= ]ГЧ_сг+Р;дх(а)/3(^.	(4.28)
г=1
Если матрица К является полупростой, тогда к = п и собственные векто¬
ра (3^ образуют множество п линейно независимых векторов, и, по крайней
мере, один из них, скажем при i = j, является таким, что 9х(а)/3^ Ф 0.
Поскольку J является постоянным по времени, то d = pj. Если матрица
К не является полупростой, то существует полная система обобщенных
собственных векторов 7^\ ..., 7^ для К и, по крайней мере, для одного
из них <9х(а07^ / 0-	■
Пример 4.2. Гамильтонова система. В качестве примера рассмотрим
гамильтонову систему с тремя степенями свободы [Hietarinta, 1987]:
н = \ (у? + у1 + Уз) + (xt + 16ж2 + Ухз + 12xjx|).	(4.29)
Эта гамильтонова система является весооднородной с весовым вектором
w = (1,1,1,2, 2,2) (где х = (хь х2, х3, у\, у2, уз))- Кроме того, система
интегрируема со вторым и третьим первыми интегралами вида
а) h = Уз + 2/^3.
б) I2 = х2у\ - Х1У1У2 - 8xjx% - 4xfx^.
(4.30)
Степени Н, Ii и I2 относительно w равны, соответственно, dh = 4, d\ = 4
и <^2 = 5. Первый шаг анализа Йошиды состоит в нахождении всех воз¬
можных доминантных балансов, то есть всех масштабно-инвариантных ре¬
шений х = cttp с р = —w. Существует 24 различных решения для а. Для
каждого доминантного баланса вычисляем как показатели Ковалевской р
с помощью соотношения (4.26), так и градиенты первых интегралов на
масштабно-инвариантных решениях. Для иллюстрации теоремы Йошиды

226
Глава 4
рассмотрим три различных доминантных баланса:
а)а{1) = {Т2Л^Т2Л^' Pil) { 2 1 М-4-5}
дхН(а^) ф 0, dJxioc^) ф 0, дх12(ос{1)) ф О,
б) =	-2=,—7=,—Г—2	—2_)	= {-2,-1,-1,2,4,5},
7	2	2\/2	\/ЩФ	2	2V2W2V	^	(4.31)
дхН{аW) ф О, дх1фа^) = 0, дх12(а^) ф О,
в)а<3) = (-i ^|,0,-i,^=,0),	р<3)	=	{-2,-1,1,2,4,5},
дхН(а<3>) ф О, ад(а('3)) = О, дх12(а<3>) = О.
В первом случае градиенты первых интегралов на масштабно-инвариантном
решении не обращаются в нуль. Как следствие этого, dh, d\ и d2 являют¬
ся показателями Ковалевской. Во втором случае дх1\ тождественно равно
нулю и поэтому d\ не является показателем Ковалевской, в то время как
в третьем случае дхН(а) не обращается в нуль и, соответственно, dh —
показатель Ковалевской.	■
Несмотря на то, что эти результаты являются первым связующим зве¬
ном между степенями первых интегралов и сингулярным анализом, они не
имеют решающего значения для дальнейших исследований. В то время как
показатели Ковалевской могут быть вычислены за конечное число шагов,
функциональный вид первого интеграла априори остается неизвестным.
Поэтому первые интегралы могут не удовлетворять сделанным предполо¬
жениям. В частности, возможно существование первых интегралов более
высоких степеней, и для этих интегралов <9х/(а) может обратиться в нуль.
Верно также и обратное утверждение. В следующем разделе будет доказа¬
но, что <9х/(а) Ф 0 тогда и только тогда, когда d (степень / относительно р)
является показателем Ковалевской для рассматриваемого баланса (где d рас¬
сматривается с соответствующей алгебраической кратностью). Причем ока¬
залось, что этот результат справедлив не только для алгебраических первых
интегралов, поскольку в формулировке и доказательстве теоремы Йоши-
ды не требуется, чтобы I являлся алгебраической функцией, а учитывается
только весооднородность векторного поля и первого интеграла.
Для гамильтоновых систем существует интересное соотношение меж¬
ду показателями Ковалевской, которое было впервые обнаружено Йошидой
и которое в окончательном виде было доказано Лошаком [Lochak, 1985].

4.3. Первые интегралы и показатели Ковалевской
227
Предложение 4.7. (Лошак, 1985). Пусть х = f(x) является гамиль¬
тоновой системой с гамильтонианом Н. Если р — показатель Ковалевской
этой системы, тогда h — 1 — р (где h — весовая степень гамильтониана Н)
также является показателем Ковалевской этой системы.
Этот результат означает, что для гамильтоновой системы показатели
Ковалевской всегда являются парными. Следующее утверждение является
основным результатом теории Йошиды — оно связывает появление ирраци¬
ональных показателей Ковалевской с алгебраической неинтегрируемостью.
Система является алгебраически интегрируемой в слабом смысле, если су¬
ществует 1 ^ k ^ п — 1 независимых алгебраических первых интегралов
Ii(х) = Кг (г = 1,..., к). Эти к первых интегралов определяют (п — к)-
мерное алгебраическое множество. Кроме того, должно существовать (п —
— 1 — к) других независимых первых интегралов, полученных из полных
дифференциалов, определенных на алгебраическом множестве (см. опреде¬
ление 2.17).
Если система х = f(x) алгебраически интегрируема в слабом
смысле, то все показатели Ковалевской рациональны.
Однако несмотря на то, что это утверждение широко использовалось и
часто проверялось, оно не является корректным. Продемонстрируем это на
примере, который был предложен Куммером и его коллегами [Kummer et al.,
1991].
Пример 4.3. Контрпример. Рассмотрим интегрируемый по Лиувиллю
гамильтониан
н = PliPi + х\) + Xi(pl + xl)	(4.32)
со вторым первым интегралом I =	+ х\- Эта система является одно¬
родной с весовым вектором w = —р = (1,1,1,1) и имеет три различных
баланса = ( — 1,0,0,0) и а^2,3) = (1/2,0, ±г/2, 0). Соответствующие
показатели Ковалевской имеют вид:	=	{	—	1,3,1 ± 2г} и р(2»3) = { —
— 1, 3,1 =Ь г}. Поэтому данная система является интегрируемой по Лиувил¬
лю, несмотря на наличие комплексных показателей Ковалевской.	■
Корректная формулировка теоремы Йошиды связана с более строгим
определением алгебраической интегрируемости (см. следствие 4.4).
Если система х = f(x) алгебраически интегрируема, то все по¬
казатели Ковалевской рациональны.

228
Глава 4
4.3.2.	Резонансы между показателями Ковалевской
Результат, полученный Йошидой, касается только полной интегрируе¬
мости. Однако аргументы его доказательства можно повторить при изуче¬
нии частичной интегрируемости или неинтегрируемости и получить более
общие выводы. В этом разделе будет предложено два фундаментальных со¬
отношения между показателями Ковалевской для неоднородных систем и
степенями первых интегралов [Goriely, 1996].
Теорема 4.5. Если система х = f(x) имеет к независимых формаль¬
ных первых интегралов Д,..., Ik и доминантный баланс х = cxtp с по¬
казателями Ковалевской р — ( —l,r) (т Е Cn_1) и полупростой матрицей
Ковалевской, тогда существует к линейно независимых {на N) векторов
..., т^)} С Nn_1 с положительными целочисленными компонен¬
тами таких, что
г.т^ = ф Е Q, г = 1,..., к.	(4.33)
Доказательство.
Пусть f1— компонента старшей весовой степени, соответствующая
однородному разложению с доминантным балансом х = cx.tp. Для весо¬
однородной системы х = f(°)(x) из существования к независимых фор¬
мальных интегралов Д,..., Д следует существование к независимых ве¬
сооднородных полиномиальных первых интегралов Д,..., Д. Пусть Д =
= — deg(Ji> р), i — 1	— весовые степени интегралов Д,..., Д от¬
носительно р. Рассмотрим баланс, соответствующий решению х = atp. Из
раздела 3.8.5 следует, что сопровождающая система для х = f(°)(x) мо¬
жет быть получена заменой переменных X = £-рх, Хм = eqs и t = es.
Эта сопровождающая система имеет неподвижную точку с координатами
X* = (а, 0). Поэтому воспользуемся линейным преобразованием X — X* =
= MY таким, что в переменных Y сопровождающая система принимает
вид Y' = F(Y) = diag( — 1, г, q)Y + G(Y), где G(Y) не содержит ли¬
нейных членов. Теперь неподвижная точка X = X* переходит в Y = 0
и Yn = Хм- Пусть Y = (Y2, • • •, Yn_i) и Z = Ym• Рассмотрим первые
интегралы Д,..., Д, записанные в переменных Y,
Д( Y) = ДДР(Х* + MY)),
= zdiT,\ Е 4i)r1mYn), t = l	(4.34)
т у 0<p.n<d,;	J

4.3. Первые интегралы и показатели Ковалевской
229
Поскольку Ji — первый интеграл, то dy1Ji = 0. В самом деле, пер¬
вый вектор-столбец матрицы М является собственным вектором с соб¬
ственным значением р — —1. Согласно предложению 3.3 этот собствен¬
ный вектор пропорционален f(°)(X*). Поэтому dy1Ji является суммой
9xJi(X*)f(0)(X*) и старших производных, которые тождественно равны
нулю. Как и раньше, мы можем выбрать Ji,..., Jk в виде полиномов от
Ji,..., Jk таких, что
J. = j Ym(i> +	^ ag>Y”) J , г = 1...., к, (4.35)
\	n,	|n|^|m(Oj	)
где \ ..., т^)} — линейно независимые положительные целочислен¬
ные вектора. Из условия <5f(0) Ji = 0 следует, что S-pJ% — 0, то есть г.т(г) =
= di при г = 1,..., fc.	■
Теорема 4.6. Если система х = f (х) имеет к независимых алгебраиче¬
ских первых интегралов 1\,..., Ik и доминантный банане х = oti9 с показа¬
телями Ковалевской р = (—1, г) и полупростой матрицей Ковалевской, то¬
гда существует к линейно независимых векторов	..., т^)} С Zn_1
с целочисленными компонентами таких, что
г.т ^ = di, z = l,...,fe.	(4.36)
Доказательство.
Повторим шаги предыдущего доказательства и рассмотрим систему
Y' = F(Y) = diag(-l,r, 1)Y + G(Y) в окрестности Y = 0. Так как
существует к алгебраических первых интегралов для 5?, следовательно,
существует к рациональных весооднородных первых интегралов для 5f(0)
весовой степени di = — deg(J*,p). В свою очередь, это означает существо¬
вание к рациональных первых интегралов для йр, J\ = P\/Q\,..., Jk =
= Рк/Qk, которые являются функциями от Y = (Y?,... ,Yn) и выбраны
так, что
а) Pi = Zp's(i>	+	УЗ	a«Yn	j ,
V	„.P*(.<o,pW.<o	J (437)
б) Qi = Zj ft у*»(0 + УЗ	i>«Yn j ,
\	n.p^(q(0,p),	п^р(0	/

230
Глава 4
причем
iftY +ч +	J2	cn}Yn
n.p^s^+qC^p), n^sO+qO	j
=	} — линейно независимые
целочисленные вектора. Пусть J = P/Q — один из этих первых интегралов.
Вычисляя 5fJ = 0, имеем
0 = Q5fP — P5fQ,
= Z~d j a/3{-d + r.(s - q))Yp+q+y^ dnYn j ,	(4.38)
\	n,	n^m	/
откуда получаем, что r.m = d.	■
Как следствие, получаем теорему Йошиды [Yoshida, 1983Ь].
Следствие 4.4. Если существует, по крайней мере, один комплекс¬
ный или чисто мнимый показатель Ковалевской, то система не является
алгебраически интегрируемой.
Доказательство.
Из предыдущего предложения известно, что если система имеет (гг — 1)
первых интегралов, то существуют (п — 1) линейно независимых соотно¬
шений г.т(г) — di, i = 1,..., п — 1. Пусть d = (p.rn^1),..., p.m(n-1)).
Следовательно, существует матрица N Е GL(n — 1,Z) такая, что N г = d,
то есть г = iV-1d, поэтому г Е Qn_1.	■
Теорема Йошиды дает необходимое условие полной интегрируемости.
Теперь, наоборот, мы хотим сформулировать достаточные условия полной
неинтегрируемости, то есть отсутствия, по крайней мере, одного первого
интеграла. (Этот результат был доказан для различных случаев [Yoshida,
1983b, Sadetov, 1993,Moulin-011agnier et al, 1995,Goriely, 1996,Furta, 1996,
Emelyanov & Tsygvintsev, 2000] и обобщен Козловым [Kozlov, 1992] для
тензорных уравнений.)
Следствие 4.5. Если существует доминантный баланс такой, что
матрица Ковалевской — полупростая, а показатели Ковалевской р\,... ,рп —
Z-независимы, то система не имеет рациональных первых интегралов.

4.3. Первые интегралы и показатели Ковалевской
231
Доказательство.
Допустим, от противного, что рациональный первый интеграл суще¬
ствует. Тогда существуют и целые числа гг,..., гп такие, что %2р2 + • • • +
■Т гпРп = d, где d £ Q. Это соотношение может быть записано в виде
jiPi + • • • + jnPn =0 для некоторых целых ji,..., jn. Однако это невоз¬
можно, так как pi,..., рп — Z-независимы.
Следствие 4.6. Если доминантный баланс системы такой, что мат¬
рица Ковалевской — полупростая, а показатели Ковалевской pi,..., рп —
N-независимы, то система не имеет полиномиальных первых интегралов.
Доказательство.
Если матрица Ковалевской полупростая и существует полиномиальный
первый интеграл, то фундаментальное соотношение между показателями
Ковалевской и степенями первых интегралов имеет вид 22Р2 + • • • + гпрп =
= d, где ij Е N V j, и, аналогично предыдущему доказательству, приходим
к доказательству следствия.	■
Если матрица Ковалевской не является полупростой, то последнее
следствие также остается справедливым, что можно доказать, применив
для линейной части сопровождающей системы основную теорему Новиц-
ки [Nowicki, 1996]. Однако в случае рационального первого интеграла
утверждение следствия необходимо изменить так, чтобы учесть возникно¬
вение жордановой клетки матрицы в виде, описанном в предложении 4.4.
Если известен один первый интеграл I = 7(х) системы, то последние ре¬
зультаты использовать нельзя, так как показатели Ковалевской будут связа¬
ны рациональным соотношением. Однако если <Эх/(а) Ф 0, то, исключив
из обсуждения соответствующий показатель, получим следующий результат
(доказательство предлагается в качестве упражнения [Furta, 1996]).
Предложение 4.8. Предположим, что система х = f(x) имеет пер¬
вый интеграл I = 7(х) такой, что для баланса х = атр выполняется
соотношение <9х/(а) Ф 0. Пусть d = deg(/, р) и 1Z = {pi,..., рп} \ {d}.
Если множество 7Z является Ъ-независимым, то система не имеет раци¬
ональных первых интегралов.
Пример 4.4. Система Жоаноло. Одно из первых доказательств алге¬
браической неинтегрируемости динамической системы было дано Жоано¬
ло [Jouanolou, 1979]. Им рассмотрена система вида
а) ±i = хз,
б) ±2 = х",
в) х3 = х£,
(4.39)

232
Глава 4
где п ^ 2 — натуральное число. Система является однородной, и все до¬
минантные балансы х = cttp таковы, что р = (—1 /(п — 1), — \/{п— 1), —
— 1/(п — 1)). Матрица Ковалевской — полупростая, а показатели Ковалев-
(1±гл/3)п+1ч
ской р = ( —1,	—	—	).	Поэтому, используя следствие 4.4, полу¬
чаем, что система не допускает существования пары рациональных пер¬
вых интегралов. Однако анализ показателей Ковалевской не является до¬
статочным для того, чтобы гарантировать отсутствие одного рационального
первого интеграла. В частности, Мулен-Олланье и его коллеги [Moulin-
Ollagnier et ai, 1995] для доказательства того, что рассматриваемая система
не имеет полиномов Дарбу, использовали теорему Безу и получили, что
система не имеет рациональных или алгебраических первых интегралов.
Пример 4.5. Система Альфена. Система уравнений
а) ±i = x2xz - xi(x2 + ж3),
б) ±2 = х3Х1 - х2(х3 + xi),	(4.40)	.
в) ±3 = XiX2 - хз(х± + х2)
называется системой Дарбу-Бриоски-Альфена [Halphen, 1921,Maciejewski
& Strelcyn, 1995]. Эта система является однородной с единственным доми¬
нантным балансом х = а£р с р = ( — 1, —1, —1) и а = (1,1,1). Матрица
Ковалевской — полупростая, а соответствующие показатели Ковалевской
имеют вид: р — (—1,—1,-1). Поэтому можно сделать вывод, что систе¬
ма Альфена не имеет полиномиальных (а следовательно, и формальных)
первых интегралов.
Можно также доказать, что система Альфена не имеет и рациональ¬
ных первых интегралов [Maciejewski & Strelcyn, 1995]. Для этого авторы
использовали соотношения теоремы 4.7 и одно из глобальных свойств си¬
стемы (в данном случае — свойство глобальной симметрии системы). ■
Пример 4.6. Орегонатор. Возмущенная модель орегонатор — это
упрощенная модель химической реакции Белоусова-Жаботинского [Tyson,
1978,Furta, 1996]. Она имеет вид
а) х\ = а\х2 — а\Х\{1 — а2х\ + х2 — ежз),
б) ±2 = а^х(-х2 - xix2 + а3Ж),	(4.41)
в) хз = а4(xi - х3 - 6Ж1Ж3),

4.3. Первые интегралы и показатели Ковалевской
233
где ai, a2, «з5 е — параметры. Существует два доминантных баланса х =
= ottp системы с р = ( —1,—1,0) и a^ = (a^a]-1 — aia2,6_1) или
qX2) = (a^1, с&2	0, б-1). Соответствующая весооднородная компонента
f приводит к системе:
а) х\ — — aiXi(a,2Xi + х2),
б) х2 = -aj"1xix2,	(4.42)
в) х3 = a4xi(l - бх3).
Показатели Ковалевской имеют вид: р^ — ( — 1, —a4aie, 1 — a2a2) и р^ =
— ( — 1,1	2^-, —	). Из соотношения ш2р2 + тпзРз С Q следует, что
^	а^сь 2
при заданных значениях параметров ai,a2,a3 и а4 существуют открытые
множества сколь угодно малых значений е таких, что система не является
алгебраически интегрируемой.	■
Пример 4.7. Система Лотка-Вольтерра. Рассмотрим n-мерную си¬
стему Лотка-Вольтерра [Moulin-Ollagnier et al., 1995],
п	п
Xi = ^ ^ LijXj + х^ ^ ^ AdijXj,	i — 1,..., ??,,	(4.43)
j=i	j'=i
где M, L G Mn(C).
Предложение 4.9. Если каждый вектор-столбец матрицы М являет¬
ся ^-независимым (соответственно, Z-независимым), тогда система не
имеет формальных (соответственно, алгебраических) первых интегралов.
Доказательство.
Чтобы вычислить показатели Ковалевской, рассмотрим однородную
систему х = х(Мх). Предположим, что некоторый столбец матрицы М
является К-независимым (с К = Z или К = N), и, без потери общности,
допустим, что это первый столбец. Тогда Мц Ф 0 и для системы существу¬
ет доминантный баланс х = at-1, где a = (—Мф^О). Соответствующие
показатели Ковалевской равны р = ( — 1,1 —	1	—	М-^Мзь	..., 1 —
— M-j^Mni). Предположим, от противного, что полиномиальный (соот¬
ветственно, рациональный) первый интеграл существует. Тогда существует
вектор m положительных целых (соответственно, целых) чисел такой, что
ГП2Р2 + • • • + rrinpn = d, где d ^ |ш|, из чего, в свою очередь, вытекает,
что существует вектор п положительных целых (соответственно, целых)

234
Глава 4
чисел такой, что пхМц + П2М21 + ... + ппМп\ = 0. Однако это невоз¬
можно, так как элементы Мц,..., Мп\ — N-независимы (соответственно,
Z -независимы).	■
4.3.3.	Показатели Ковалевской и полиномы Дарбу
Подобный анализ можно провести и для полиномов Дарбу. Напомним,
что полиномом Дарбу Р для полиномиального векторного поля 5f называ¬
ется полиномиальный второй интеграл, который удовлетворяет уравнению
5fP = АР.	(4.44)
Анализ взаимосвязи между показателями Ковалевской и степенями по¬
линомов Дарбу впервые был проведен Муленом-Олланье и его коллега¬
ми [Moulin-Ollagnier et al., 1995]. Их результаты получены для различных
условий и проиллюстрированы множеством примеров. Позже было обна¬
ружено, что подобный анализ уже был проведен почти на сто лет раньше
русским математиком Михаилом Николаевичем Лагутинским (для полу¬
чения подробной исторической справки см. Добровольского [Dobrovol’skii
et ai, 1998]).
Теорема 4.7. Если для системы х = f (х) существует полином Дар¬
бу J такой, что 5fP = АР,	и доминантный баланс х = cttp с показателями
Ковалевской р =	( — 1, г)	(г	G Cn_1), тогда существует	вектор m с поло¬
жительными целочисленными компонентами такой, что
r.m = d + А ^(а),	(4.45)
где d — deg(P(°)), А^0) — весооднородная компонента А старшей весовой
степени и |m| ^ deg(P(°)).
Доказательство.
Если Р является полиномом Дарбу для 8f и существует доминантный
баланс х = а£р, тогда
5f(0)p(°) = А(0)Р(0),	(4.46)
где f	и А<°) — весооднородные компоненты старшей весовой степени
для f, Р и А. Следовательно, как и прежде, при изучении полиномов Дарбу
можно ограничиться анализом их весооднородных компонент. Повторим
рассуждения, изложенные при доказательстве двух предыдущих теорем,
и рассмотрим сопровождающую систему для х = f(°)(x) в окрестности

4.3. Первые интегралы и показатели Ковалевской
235
неподвижной точки X*, то есть систему Y' = F(Y) = diag(—1, г, 1)Y +
+ G(Y) в окрестности Y = 0, где X - X, = MY и Y = (Yb Y, YN = Z).
Полиномы Ри \(°\ записанные в новых переменных Y, имеют вид
р(°) = Z_dp(0)(X* + MY) = Z~d j Ym + ]T anYn J .
\	n, |m| <|n| <deg(P)	/
(4.47)
При этом
л(°) = Z_1A(0)(X, + MY) = Z-1 I AW(a) + ^ bnYn J .	(4.48)
\	n,	|n|>0	/
Теперь условие 5f«>) P(0>	= A(°)p(°) принимает вид 5рР^ =
= Z\i0)Pi<r'. Если привести подобные члены младшей степени по Y, по-
лучим, что
r.m — d = А<°> (а),	(4.49)
откуда следует справедливость утверждения теоремы.	■
4.3.4.	Показатели Ковалевской для гамильтоновых систем
Фундаментальное соотношение между показателями Ковалевской и
степенями первых интегралов не может быть использовано для доказатель¬
ства неинтегрируемости гамильтоновых систем. В самом деле, вследствие
парности показателей Ковалевской для гамильтоновой системы (предложе¬
ние 4.7) между ними всегда существуют резонансные связи, что приводит к
необходимости проведения дополнительного анализа этих систем. Однако,
хотя утверждение Иошиды о соотношении между иррациональными пока¬
зателями Ковалевской и неинтегрируемостью было не вполне корректным,
он сумел доказать его для частного случая, используя теорию неинтегрируе¬
мости Зиглина [Ziglin, 1983а, Ziglin, 1983Ь]. Полное изложение результатов
Зиглина будет дано в главе 5. Иошида рассмотрел случай гамильтоновой
системы с п степенями свободы, имеющей диагональную кинетическую
часть и однородный потенциал
Н = -(pi + ... + Рп) +	(4.50)
где V{x) — однородная функция степени к при к ф 0, ±2. Так как показа¬
тели Ковалевской всегда парные р* + p*+n = то между двумя показа¬
телями каждой пары можно определить их разность как Дрг = Рг+n — Pi-

236
Глава 4
Теорема 4.8. [Yoshida, 1989]. Если п величин {Дь Др2, • • •, Дрп} яв¬
ляются ^-независимыми, то гамильтонова система, помимо самого га¬
мильтониана, не имеет дополнительных первых интегралов.
Как следствие, для гамильтоновой системы на плоскости с однород¬
ным потенциалом получим следующий результат: если гамильтониан Н =
=	+Р2) +	х2)	имеет дополнительный первый интеграл, то пока¬
затели Ковалевской такой системы будут рациональными.
4.4.	Полная интегрируемость и резонансы
Исследование двух предыдущих разделов было проведено с учетом
двух частных решений: постоянного решения х = х*, полученного с учё¬
том неподвижных точек, и инвариантного решения, найденного с учетом
размерности переменных х = атр. Анализ векторного поля вблизи этих
двух решений приводит к соотношению между степенями первых интегра¬
лов, их линейными собственными значениями и показателями Ковалевской.
Продолжим наше исследование, изучая векторное поле вблизи локального
общего решения в окрестности неподвижной точки.
Теорема 4.9. Рассмотрим векторное поле х = f (х). Пусть х* — непо¬
движная точка, в окрестности которой матрица Якоби является полупро¬
стой с линейными собственными значениями А. Если х = f(x) является
алгебраически полностью интегрируемой системой, тогда
1) линейные собственные значения связаны рациональным соотношением
(то есть существует А такое, что А* = qiX qi € Q);
2) Sf = f<9x является (формально) линеаризуемым в окрестности х*.
В частности, из этой теоремы следует, что все локальные разложения
в окрестности неподвижной точки являются чистыми разложениями в экс¬
поненциальные ряды по t (см. раздел 3.8.5).
Доказательство.
(1) Поскольку существует (п — 1) первых интегралов, то из теоремы 4.2
следует, что существует (п — 1) линейно независимых целочисленных век¬
торов	..., т^71-1)} таких, что А.ш^ = 0. Поэтому существует А
такое, что А* = qi\ qi G Q, г — 1,..., n.
(2) Без потери общности, предположим, что система записана в пере¬
менных х таких, что х* = 0 и линейная часть — диагональна. Кроме того,
допустим, что система имеет (п — 1) первых интегралов 1\,..., 1п-ь Можно

4.5. Полная интегрируемость и логарифмические точки ветвления 237
оценить значения этих первых интегралов на общих локальных решениях
х = P(eAlt,..., eAr,t), записанных по степеням t, имеющих вид:
оо
х(Х)=^Ф(*¥,	(4.51)
г=1
где = ^^(CieAlt,..., CneXnt) — формальный степенной ряд по своим
аргументам с постоянными коэффициентами. Допустим, от противного, что
фП) ф о. Тогда разложение до членов второго порядка по t имеет вид
Ji(x) = Ji( ф(0)) + ^ШФ^.Ф^ + 0(t2').	(4.52)
Поскольку 1г — постоянные, то из последнего соотношения получим
а) Ii{Ф(0)) = Си
(4 53)
б) а^/г(Ф(0)).Ф(1) =0, i = 1,..., гг - 1.
Первые интегралы А — функционально независимы, поэтому существуют
значения п произвольных постоянных в ф(°) такие, что градиенты /*, оце¬
ненные на	являются линейно независимыми. Так как Ф^1) ф 0, то
из (4.53(6)) следует, что Ф^ является касательным вектором к потоку, то
есть Ф1 = АТгЖФ^0)). Однако так как x(t) является решением, то ф(°) +
+ ф: = ДфУ3)). Используя соотношение Ф^1) = A(£)f^(0)), получаем
ф(°) = (1 — K)i{ф(°)). Однако это невозможно, и мы приходим к проти¬
воречию, так как до членов низшего порядка имеем Ф-°^ = CieXit + ...,
откуда следует, что К = 0. Поэтому получаем, что Ф^1) = 0. Подобные
рассуждения можно провести для членов каждого порядка. Допустим, что
ф(*) = 0 при всех 0 < i < к, тогда Ф^) = K(t)i{Ф^0^), и следовательно,
ф(°) = (1 — kK(t))i{ф(°)), откуда, в свою очередь, вытекает, что K(t) = 0.
Поскольку локальные решения являются чистыми рядами, то, учитывая
лемму 3.5, приходим к выводу, что поле в окрестности неподвижной точки
является формально линеаризуемым.	■
4.5.	Полная интегрируемость и логарифмические точки
ветвления
В предыдущем разделе рассматривалось вариационное уравнение
вблизи локального общего решения в окрестности неподвижной точки.
Перейдем к изучению вариационного уравнения вблизи локальных общих

238
Глава 4
решений, существующих в окрестностях подвижных особых точек. Ранее
были установлены необходимые условия интегрируемости весооднородных
систем. Эти условия формулируются достаточно просто с использованием
показателей Ковалевской: максимальное число независимых алгебраиче¬
ских первых интегралов соответствует размерности векторного простран¬
ства, определяемого показателями Ковалевской на множестве целых чисел
(для полиномиальных первых интегралов — положительных целых чисел).
Можно продолжить анализ и показать, что из алгебраической интегриру¬
емости следует, что каждое решение может быть разложено в ряд Пюизё
(подробные результаты для дифференциального уравнения n-го порядка см.
у Иши [Ishii, 1990]).
Теорема 4.10. Пусть задано векторное поле х = f(x) с балансом
{а,р Е Qn}, для которого матрица Ковалевской является полупростой.
Если система х = f(x) полностью интегрируема, то локальное общее
решение является рядом Пюизё.
Смысл теоремы состоит в том, что из существования (п — 1) алге¬
браических интегралов следует, что в локальном разложении не возникает
подвижных логарифмических точек ветвления.
Доказательство.
Из следствия 4.4 известно, что для алгебраически интегрируемой си¬
стемы все показатели Ковалевской являются рациональными. Мы можем
оценить значения первых интегралов на локальных разложениях вида
где Z = log(r). Функции имеют вид = трР(г) (Стр, rq), где
р(г)(.) — формальный степенной ряд с постоянными коэффициентами.
Предположим, что Ф 0. Тогда разложение до членов второго порядка
по Z имеет вид
оо
(4.54)
г=1
7г(х) = /*(Ф^) + Zd*Ii{ Ф(0)).Ф(1) + 0(Z2).	(4.55)
Поскольку 1г — постоянные, то
а) 1г( Ф<°>) = Си
б) ах/г(Ф(0)).Ф(1) =0, г = 1,... ,тг — 1.
(4.56)

4.5. Полная интегрируемость и логарифмические точки ветвления 239
Чтобы показать, что =0 при всех г, воспользуемся аргументами, из¬
ложенными при доказательстве теоремы 4.9, и получим, что локальные
решения являются чистыми рядами Пюизё.	■
Пример 4.8. Рассмотрим уравнение третьего порядка х = хх [Ishii,
1990]. Запишем его как систему уравнений
а) ±i = Х2,
б) ±2 = хз,	(4.57)
в) Хз = Х\Х2-
Это уравнение допускает существование двух полиномиальных первых ин¬
тегралов
Ii =х3- -х\, h = х3х1 - -х\ - -Xj.	(4.58)
Следовательно, локальные разложения являются чистыми рядами Пю¬
изё. Кроме того, так как доминантный баланс таков, что р = (-2,-3, —4)
и а = (36,—72, 216), то локальные разложения являются чистыми рядами
Лорана и уравнение проходит тест Пенлеве #3.
Пример 4.9. Система Лоренца. Система имеет вид
а) х = а(у — х),
б) у = рх - у — xz,	(4.59)
в) z = ху — (3z,
где х,у, z,cr, (3, р е М. Система Лоренца имеет два основных баланса с ос —
= (±2г, п=2г / сг, —2/а) ир = ( — 1, —2, —2). Показатели Ковалевской имеют
вид: р = (-1,2,4).
Предложение 4.10. Если {/3, ст, р] ^ {1,^,0}, то система Лоренца не
является алгебраически интегрируемой (с двумя первыми интегралами).
Доказательство.
Существует единственный набор значений параметров, при которых
система имеет два первых интеграла: {/3, а, р} = {1,^,0}. В этом случае
первые интегралы имеют вид
h = (х2 — 2 az)et, h = (у2 + z2)e2t	(4.60)
и решения можно выразить через эллиптические функции Якоби. Кроме
того, существует два набора значений параметров, при которых система

240
Глава 4
Лоренца проходит тест Пенлеве: {/3, <7, р} = {1,2,1/9} с одним зависящим
от времени интегралом
h = (х2 -2az)e2at,	(4.61)
и {/3, сг, р} = {0, р} с зависящим от времени интегралом
h = (у-рх2 + ^у2 + ^ху 4- x2z - ^х4^ еК	(4.62)
В двух последних случаях система может быть упрощена и проинтегри¬
рована. При всех других значениях параметров система Лоренца не удо¬
влетворяет свойству Пенлеве. Следовательно, утверждение теоремы 4.10
доказано.	■
4.6.	Многозначный первый интеграл и локальные
решения
В предыдущем разделе мы установили, что существование достаточно
большого количества однозначных первых интегралов означает, что реше¬
ние имеет только алгебраические подвижные особые точки. Теперь рассмот¬
рим системы, которые допускают существование, по крайней мере, одного
многозначного первого интеграла [Ishii, 1992].
Пример 4.10. Система Лотка-Вольтерра на плоскости
а) х\ = AiXi + axiX2,
б) ±2 = А2Х2 + 6X1X2
(4.63)
имеет логарифмический первый интеграл
7 = 6x1 + ах2 — А2 log xi Hb Ai logx2.	(4.64)
Используя этот интеграл 7, получим
J = exp (I) = ebxi+aX2XiX2x^.	(4.65)
Пусть х — некоторое решение данной системы. Постоянной, соответствую¬
щей первому интегралу 7, является ко = 7(х). Однако
Кпт = «о + 2m(\im + A2n), ra,nG Z,	(4.66)

4.6. Многозначный первый интеграл и локальные решения
241
также является постоянной для этого решения. Поэтому одному решению
соответствует бесконечное множество произвольных постоянных. И наобо¬
рот, рассмотрим J = к и множество точек хkim С С2, которые удовлетво¬
ряют уравнению
Ьхшт + ax2klm ~ А2 logXiЫт + Al log X2klm + 27n(ak +	+	Гп)	= log K.
(4.67)
Тогда на любом решении, проходящем через точку х^т, получим,
что J = к. Поэтому одна постоянная к соответствует бесконечному мно¬
жеству решений. Кроме того, можно выбрать а и 6 таким образом, что
решения, удовлетворяющие соотношению J = «, будут плотно заполнять
подпространство С2 [Kruskal & Clarkson, 1992]. Для локальных решений
вблизи подвижных особых точек возникают логарифмические точки ветв¬
ления, за исключением случая Ai = А2 = А и а = 6, поскольку в этом
случае существует линейный первый интеграл 7 = {х\ 4- Х2) ехр(—At). ■
Похоже, последний пример указывает на тот факт, что из многозначно¬
сти первого интеграла следует многозначность локальных решений вблизи
подвижных особых точек.
Теорема 4.11. [Ishii, 1992]. Рассмотрим систему х = f(x), х е Сп,
и предположим, что она имеет первый интеграл I = 7(х) и доминантный
баланс х = cxtp. Пусть q является наименьшим общим делителем р. Опре¬
делим х = /Зтяр, где т — tx!q. Если первый интеграл I такой, что 7(х) не
является однозначным, тогда доминантный баланс не определяет чистого
разложения Пюизё с (п — 1) свободными произвольными постоянными. Ес¬
ли, кроме того, две различные ветви I^\ I^ интеграла 7(х) таковы, что
АI = /(^(х) - 7<2)(х) ф О, то чистого ряда Пюизё с (п — 1) свободными
произвольными постоянными не существует.
В частности, условие неоднозначности 7(х) подразумевает, что мно¬
гозначный первый интеграл не может быть составлен из других первых
интегралов. Это означает, что если 7 — полиномиальный первый интеграл,
то log(7) — многозначный первый интеграл. Однако log(7(atp)) не является
многозначным.
Пример 4.11. Система уравнений
а) ±i = хг(х2 + 1)(ж3 + а),
б) х2 = х2(х3 4 а)(х 1 4 1),
в) ±з = х3(х1 4- 1)(х2 4 1)
(4.68)

242
Глава 4
имеет два первых интеграла
а) h = xi - х2 + logxi - logx2,
б) /2 = х2 - х3 4- log х2 - a log х3
(4.69)
и доминантный баланс с р = (—1/2,—1/2,—1/2) и а = г^(1,1,1). То¬
гда q = 2 и х = (Pit 1, Д2т г). Оценив значения первых интегралов на
решении х, получим
Интеграл Д(х) является однозначным, а /г(х) — многозначным с логариф¬
мической точкой ветвления при т = 0. Кроме того, А/2 = 2ттг(а — 1),
и, следовательно, для системы не существует чистого ряда Пюизё с двумя
Многозначность первого интеграла наблюдается в комплексном про¬
странстве Сп. Если ограничить динамику системы действительным фазо¬
вым пространством, многозначность не возникает и первый интеграл может
стать однозначным. Например, рассмотрим логарифмический первый инте¬
грал
где Ji — алгебраические функции. Множества уровня Sk = {х Е
Е Cn| Jfc(x) = 0} имеют размерность (п — 1) и инвариантны относительно
потока (J/c — второй интеграл системы). Действительное фазовое простран¬
ство Мп может быть представлено в виде объединения непересекающихся
множеств, в которых I является однозначным. В частности, нерегулярное
движение и хаос, в общем случае, не являются следствием многозначности
решения, поскольку если известно достаточное количество многозначных
интегралов, то в действительных областях система ведет себя регулярно.
4.7.	Частичная интегрируемость
4.7.1.	Натуральный произвольный параметр
а)/i(x) = (/?i—/32)т 1 + logy3i — logу02,
б) 12 (х) = (/32 - (Зз)т~1 + log @2 - a log /З3 - (1 - a) log т.
(4.70)
свободными произвольными постоянными.
S
(4.71)
Развитая в предыдущих разделах теория применима только в случаях
алгебраически полной интегрируемости. Как следствие, эту теорию нельзя

4.7. Частичная интегрируемость
243
непосредственно применить при исследовании гамильтоновых систем, по¬
скольку для большинства интегрируемых по Лиувиллю систем только по¬
ловина первых интегралов являются алгебраическими. Условия интегриру¬
емости, связанные со значениями показателей Ковалевской, сформулиро¬
ваны для масштабно инвариантных систем. Однако большинству систем
свойство масштабной инвариантности не присуще. Например, как только
в систему вводится диссипация или затухание в виде линейных членов,
система перестает обладать свойством масштабной инвариантности. Эти
члены, в свою очередь, могут нарушить интегрируемость весооднородной
системы. Тем не менее масштабно инвариантные системы могут рассмат¬
риваться как системы, полученные в результате разложения решений по
возмущениям до членов первого порядка. Основываясь на этой идее, зада¬
чу нахождения необходимых условий существования к первых интегралов
(к ^ п — 1) можно разделить на две части. Первая часть анализа состоит в
построении к первых интегралов старших компонент всех весооднородных
разложений векторного поля. Рассмотрим снова систему х = f(x), х G Сп,
где f — аналитическая вектор-функция, и предположим, что существует
весооднородное разложение с показателем р:
а)f(x) = f(°>(x) + ... + f(m>(x),
(4 72)
б) f^(a-px) = a-p-1+2f^(x).
Ведущая весооднородная система х = f(°)(x) является масштабно¬
инвариантной. Вследствие масштабной симметрии любой первый интеграл
системы может быть представлен в виде конечной суммы весооднородных
компонент (предложение 2.3)
а) I(х) = 1^ (х) + el^ (х) + ...,
б)7(i>(a-px)=ad-<jW(x),
где б = а-1 и /(°)(х) — первый интеграл х = f(04x). Параметр е — произ-
вольный параметр, не принадлежащий данному векторному полю. Поэтому
он может принимать любые значения, и этот параметр не обязательно мал.
Предположим, что существует к первых интегралов системы х = f(°)(x).
Вторая часть анализа состоит в получении необходимых условий существо¬
вания первых интегралов для неоднородной системы. Общая идея доказа¬
тельства частичной интегрируемости неоднородных по весу систем состоит
в следующем:
1)	найти необходимые условия существования к (0 < к < п) первых
интегралов весооднородного векторного поля х = f(°)(x);

244
Глава 4
2) построить к первых интегралов I^ (г = 1,..., к);
3) найти необходимые условия существования I (I ^ к) первых интегра¬
лов неоднородной системы;
4) построить I первых интегралов Ji (г = 1,...,/) таких, что каждый
интеграл Ji имеет вид
а) J = J(х) + 6	(х,	,
(4 14)
б) =
где Р — весооднородная функция относительно весовых степеней
di,..., dk первых интегралов.
4.7.2.	Необходимые условия частичной интегрируемости
Учитывая результаты предыдущих разделов, предположим, что анализ
ведущей весооднородной компоненты уже проведен и выражения для пер¬
вых интегралов в явном виде известны. Это означает, что векторное поле
х = f(°)(x) допускает существование к независимых первых интегралов
Ii = /г(х)(г = 1,..., к) весовой степени di относительно веса —р. Посмот¬
рим, что произойдет с первыми интегралами системы или с их однородными
комбинациями при добавлении к системе младших весооднородных компо¬
нент. Используя масштабную симметрию х —> брх и £ —> t/e в системе
х = f(x), получим
т
х = ^Ч«(х)б\	(4.75)
г=0
Предположим, что наиболее общий вид первых интегралов определяется
соотношением
J(x.t)	=	(j(°)(x) + 6J^(x) + ... +	tl J^{x))h(t),	(4.76)
где h(t) такова, что	h(t)	—> 1 при t —> 0. По	построению	j(°)	является
функцией первых интегралов /*,
J(°) =P(h,...,Ik),	(4.77)
где Р весооднородна относительно масштабного преобразования (Ii—>ediIi).
Чтобы получить необходимые условия существования первого интегра¬
ла J, оценим значение первого интеграла на локальном решении в окрест¬
ностях особых точек до членов первого порядка по б. Предположим, что

4.7. Частичная интегрируемость
245
весооднородная система допускает существование чистого ряда Пюизё
как решения такого, что на открытом множестве произвольных постоянных
градиенты первых интегралов Д, оцененные на линейно независимы.
Поскольку явный вид первых интегралов известен и можно провести син¬
гулярный анализ ведущей весооднородной системы, то выполнение этих
условий можно проверить непосредственно.
Лемма 4.1. Пусть х^0) является чистым рядом Пюизё системы х =
= f(°)(x), тогда существует решение системы (4.75) в виде Ф — е разло¬
жения
оо
а) х = х<0> + ]TVxW,
«-«+Г1	<4-78)
б) х« = У2, sa P°s(* ~ г*)У >
j=О
где sij — сходящийся ряд Пюизё с конечной главной частью.
Параметр I в (4.78(6)) соответствует члену первого порядка по б, где
требуется логарифмическая поправка. Таким образом, х имеет вид
х = soo + 6S10 -Т ewS2o + ... + 6^(sfco + s(a) log(£ — £*)) +	(4.79)
Вопросы, касающиеся существования такого разложения и сходимости всех
рядов Пюизё, возникающих в (4.79), в более общем изложении освещены в
работе [Goriely & Tabor, 1995]. Теперь сформулируем необходимые условия
частичной интегрируемости.
Предложение 4.11. Пусть Д,..., Д — к-независимые рациональные
первые интегралы масштабно-инвариантной систелш х = f(°)(x). Пред¬
положим, что система допускает существование решения s^00) в виде
чистого ряда Пюизё такого, что <ЭХД (s^00)),..., 9xife(s(00)) являются ли¬
нейно независимыми. Пусть
Ci = dxIi( 8<00)).з(г1\	1 = 1,...,к,	(4.80)
где	определен выражением (4.79). Если для системы	х = f(x)	суще¬
ствует к независимых рациональных первых интегралов, то
ci = с2 = ... = ск = 0.	(4.81)

246
Глава 4
Доказательство.
Оценив значение первого интеграла на решении (4.79) и разложив по
параметру е, получим
J(x) = J(°)(S(°0))
+ e(dxj(°)(s(0°)).s(10)+ jW^00)))
+ . . .
+ el [axj(°)(s(00)).(s(w) + log(t -	+	...)]
+ 0(el+1).	(4.82)
Поскольку J(x) является постоянным на всех решениях и параметр < —
произвольный масштабный параметр, то члены любого порядка по е явля¬
ются постоянными во времени. В частности, отсутствует логарифмическая
зависимость. Следовательно, мы получаем
<9xJ(0).s(n) = 0.	(4.83)
Теперь рассмотрим к первых интегралов =	7Дх)	(г = 1,...,/). Для
каждого первого интеграла имеем
axj|0)( s(00)).s(il) = 0.	(4.84)
Вид функции неизвестен. Однако является функцией от первых
интегралов (г = 1,.... /с) и
0Х J(°)(s(°°)) =	(4-85)
3 = 1
с A G GL(/c,C) вследствие независимости первых интегралов от реше¬
ния s(°°>. Поэтому условия интегрируемости (4.84) имеют вид
£ Aijdxlf){s(°°)).s(fel) = J2 AijCj	= 0.	(4.86)
j=1	3=1
Поскольку матрица А обратима, то имеем с* = 0 при всех i = 1,..., I. ■

4.7. Частичная интегрируемость
247
Пример 4.12. Гамильтониан с тремя степенями свободы. В качестве
первого примера рассмотрим гамильтониан [Meletlidou & Ichtiaroglou, 1994]
н = \{у1 + у1 + у1) + \ (х* + х\ + xi) + е (р,1X2X3 + ^2X3X1 + ц3X1X2),
(4.87)
где [li ф 0, г = 1,2,3. При е = 0 система является интегрируемой с тремя
первыми интегралами. Гамильтонианы системы имеют вид
I^=2yf + xl г = 1,2,3,	(4.88)
и решения могут быть разложены в ряды Лорана s = (xi, хг, яз? уг,у2, Уз)
s^00) = (t- t*)p	~	»	(4.89)
где р = ( —1, —1, —1, —2, —2, —2),	€	С6	и а4 — произвольно. Показа¬
тели Ковалевской имеют вид: 7Z = {—1, — 1, — 1,4,4,4}. Можно убедить¬
ся, что dxl[°\ct), 9x^2°^ (а) и	являются линейно независимыми.
Следовательно, 9х/-°^(s^00)) также линейно независимы. Разложение в ряд
решения возмущенной задачи принимает вид
з(00) + 6S(10) + б2 (s(20) + s(21) log(t -	+	0(б3),	(4.90)
x
где (t — t*)Qije C6((t — £*)) при некотором целом q^. Первая логариф¬
мическая поправка имеет порядок 0(б2). Условия интегрируемости имеют
вид
Сг = <9x40).s(21), г = 1,2,3.	(4.91)
Условия с\ = С2 = сз = 0 приводят к соотношениям
а) 2^2Мз - /ПМз - М1М2 = 0,
б) - Н2УЗ + 2/ii/x3 - Н1Н2 = о,	(4.92)
в) - Н2У3 ~ УШз + %У1У2 = 0.
Как следствие этих условий получаем, что при Нг ф Hj, где i ф j, су¬
ществует, по крайней мере, еще один аналитический или рациональный
первый интеграл, помимо самого гамильтониана. Кроме того, Мелетлиду
и Ихтиароглу [Meletlidou & Ichtiaroglou, 1994] доказали, что при hi = 0,
У-2 = Уз — 1 Для гамильтониана (4.87) не существует второго первого инте¬
грала.	■

248
Глава 4
Пример 4.13. Другой гамильтониан с тремя степенями свободы.
В качестве второго примера рассмотрим гамильтониан [Hietarinta, 1987]
н = \ {у\ + Уг + Уз) + (*1*з + *2*з) + е (а*1*1 + №х\ + №хз), (4.93)
где fii Ф 0, г — 1,2,3. Сначала рассмотрим весооднородную систему (по¬
лученную при 6 = 0). Интегрируема ли эта система по Лиувиллю? Для
системы существует ещё один первый интеграл
I = pi-p2.	(4.94)
Для полной интегрируемости необходимо найти третий первый интеграл.
Лемма 4.2. Гамильтониан Н = ^ (р\ + р% +Рз) + {xixs + Х2Х%) не
интегрируем по Лиувиллю.
Доказательство.
Вычислив показатели Ковалевской для масштабно-инвариантного ре¬
шения х = —3t~3(t/2, t/2, —t, —1, —1, —2), получаем
peft = {-l,2,3,6,5±^}.	(4.95)
Появление иррациональных показателей Ковалевской несовместно с
интегрируемостью по Лиувиллю для потенциалов с диагональными кине¬
тическими частями (см. теорему 4.8).	■
Теперь рассмотрим систему (4.93) и построим Ф — е разложение до
порядка 0(e):
х = s(0°) + e(s(10) + s^11) log(£ - £*)) + 0(e2),	(4.96)
где х	=	(ал,#2,#з,2/1,?/2>Уз) и s^00^	—	ряды Лорана. Ряд s^11) имеет
вид
S(n) = -5(М1-М2)(1,-1,0,0,0,0) + 0((t-u)2).	(4.97)
Из условий <9xi7.s(n) = 0 и <ЭХ/.s^11) = 0 следует, что pi = //2- В этом
случае вторая постоянная движения примет вид:
1 = (pi + /пя?) + (р\ + р,\х\) ~ 2(piP2 + pLiXix2).	(4.98)
Таким образом, мы приходим к следующему результату.
Предложение 4.12. Гамильтонова система (4.93) не имеет второй
постоянной движения, если не выполняется условие р\ = р2.	■

Глава 5
Гамильтоновы системы
«Производная от постоянной равна нулю.»
Саундерсон (1756)
Гамильтоновы системы являются важным классом динамических си¬
стем. Вследствие богатой структуры гамильтоновых систем большинство
результатов, относящихся к теории интегрируемости и неинтегрируемости,
может быть уточнено и адаптировано. Проблема интегрируемости и неинте¬
грируемости гамильтоновых систем возникает уже при анализе простейших
систем. Поэтому дальнейшее обсуждение будем проводить на элементарном
уровне: пристальное внимание уделим гамильтонианам, которые определе¬
ны в пространстве Rn, и не будем рассматривать гамильтонианы, которые
определены на произвольных множествах с симплектической структурой.
5.1.	Гамильтоновы системы
Гамильтоновы, как и прочие, системы описывают динамику механи¬
ческих систем. Уравнения движения — это системы дифференциальных
уравнений, которые могут быть получены из единственной функции — га¬
мильтониана. Для заданной механической системы гамильтониан можно
получить из основных законов, обычно — из функции Лагранжа с помо¬
щью преобразования Лежандра1. В этой книге не ставилась цель объяснить,
как осуществляется данный вывод, и поэтому заинтересованному читателю
предлагаем обратиться к стандартным учебникам по классической меха¬
нике [Whittaker, 1944, Goldstein, 1980, Arnold, 1988а]. Здесь же мы будем
предполагать, что такая функция известна, и обсудим общие свойства инте¬
грируемости. Сначала рассмотрим случай гамильтоновой системы с п сте¬
1 Заметим, что не все гамильтонианы в классической механике могут быть получены из
функции Лагранжа с помощью преобразований Лежандра. Например, в задаче п точечных
вихрей в стационарном течении на плоскости гамильтониан задается функцией потока [Arnold
et al., 1997].

250
Глава 5
пенями свободы. Пусть Н = Н(р, q) — функция класса С1, аргументы ко¬
торой (p,q) Е Ш2п. Тогда уравнения Гамильтона имеют вид:
, . дН
а) Яг =	,	г = 1,..., п,
«■ 1
б)Рг =	,	г	=	1,	.	.	. ,П.
%
Переменными q и р обозначают, соответственно, координаты и импуль¬
сы. Если ввести переменную х = (р, q), то уравнения Гамильтона можно
записать в компактной форме
х = JdxH,	(5.2)
где J — симплектическая матрица, определяемая соотношением
J =
0 In
-In 0
(5.3)
где 1П — единичная матрица размерности п х п.
Пример 5.1. Рассмотрим систему п материальных точек с равными
массами га, движущихся в n-мерном пространстве q и взаимодействующих
с потенциалом V = V^q), р = raq — вектор импульса. Гамильтониан такой
системы определяется ее полной механической энергией (кинетической и
потенциальной), то есть
H=±p‘ + VW,	<5-4>
а уравнения Гамильтона имеют вид:
• Pi	.	dV	.	Л
Яг = —->	Vi ~	"о ^	г =	1,.... п.	(5.5)
т	оя1
Эти уравнения можно переписать в виде
dV
=	(5.6)
<9q
и мы получили уравнения Ньютона для системы п взаимодействующих
частиц.	■

5.1. Гамильтоновы системы
251
Симплектическую матрицу J можно использовать для того, чтобы вве¬
сти операции на множестве гладких функций. Пусть Л(х), В(х) — две функ¬
ции класса С1 в пространстве Ш2п. Тогда канонические скобки Пуассона для
А и В определяются как
{А(х),В{х)} = ~(dxA).(JdxB),
2 n
= - £ dXiAJijdXjB.	(5.7)
ij=1
г./ ч	M	TT^idAdB дА дВ\	,	пч
M(p,q),B(p,q)} = £	~	яГ	яГ	•	(5-8>
Используя переменные (p,q), получим
'о>Л
i=1 xdq%dpi dpidq.L/
Для этого соотношения выполняются следующие свойства:
1) билинейность,
2) антисимметричность: {А, В} = —{В, А},
3) правило Лейбница: {А, ВС} — {А, В}С + {Л, С}Я,
4) тождество Якоби: {Л, {В, С}} 4- {С, {Л, Б}} 4- {В, {С, Л}} == О,
5) невырожденность: если Зхо такое, что <ЭхЛ(хо) ф 0, то ЗВ такое, что
{Л, Т?}(х0) ф 0.
Пусть х = x(t) — решение уравнений Гамильтона. Тогда эволюция
во времени любой гладкой функции Л = Л(х(£)) задается ее скобками
Пуассона:
А = (ЭхЛ).х,
= (9ХЛ).(79ХЯ),
= {Я,Л}.	(5.9)
В частности, скобки Пуассона можно использовать для того, чтобы
переписать систему (5.2) в виде
Xi = {H,Xi}, г = 1,..., 2п	(5.10)

252
Глава 5
или, в компактной форме, х = {Н, х}. Аналогично определяется гамильто¬
ново векторное поле 5н = {#>•}•
Теперь рассмотрим гамильтонову систему х = {#, х} и используем
обратимую гладкую замену переменных у = g(x). Новая система имеет вид
У = Ях,
= KJdxH(x),
= KjKrdyH( у),
где К = dxg — матрица Якоби данного преобразования. Новая система у =
= KJKTdyH(y) будет гамильтоновой с гамильтонианом Н(у) тогда и толь¬
ко тогда, когда
KJKT = J.	(5.11)
Преобразование у = g(x) такое, для которого выполняется равенство
К JKT = J, называется каноническим преобразованием. Каноническое пре¬
образование сохраняет скобки Пуассона, то есть {А, В}х = {А, В}у.
Можно также рассмотреть более общие (то есть неканонические) вы¬
ражения для скобок Пуассона, для которых свойство (5) может не выпол¬
няться. Пусть А, В — две гладкие функции переменных х е R71 (где п не
обязательно четное). Рассмотрим структурную матрицу J = J(x), завися¬
щую от переменных х. Тогда скобки Пуассона определяются в виде
{Л(х),Б(х)} = ~{dxA).(J(\)dxB),	(5.12)
где J зависит от х и удовлетворяет соотношению JT = — J при всех х.
Теперь уравнения движения имеют вид
x = J(x)dxH.	(5.13)
Заметим, что, в общем случае, условие невырожденности (5) не выпол¬
няется (например, при нечетном п). Если условие (5) не удовлетворяется,
существуют функции А такие, что {А, В} = 0 для всех В. Эти функции
называются казимирами системы. Это означает, что для заданных скобок
Пуассона казимиры являются первыми интегралами всех гамильтоновых
функций и могут быть использованы для того, чтобы свести динамику выро¬
жденной гамильтоновой системы к динамике другой гамильтоновой систе¬
мы с меньшим количеством измерений. В частном случае, если J является
линейной по х, то скобки Пуассона называются скобками Ли-Пуассона.

5.1. Гамильтоновы системы
253
Пример 5.2. Система Эйлера (2.16) может быть представлена в виде
гамильтоновой системы с неканоническими скобками Пуассона. Пусть J —
структурная матрица размерности б х б
J =
S(x - k) S(у)
S( У)	О
(5.14)
где к — постоянный вектор и S(-) — антисимметричная матрица с соответ¬
ствующим векторным произведением в R3:
S(a)
О G?3 —OL2
—аз 0 а\
02 —ос г О
Теперь определим функцию Гамильтона
н = \(х1 + х1 + ^1) + \{<ЧУ1 + «2 yl + агу1).
(5.15)
(5.16)
Векторное поле 5н = {Н, •} можно отождествить с векторным полем (2.16),
если определить I = diag(/i, /2, /3) как матрицу главных моментов инерции
и х = 1ш, у = 7, k = X, и (ai,a2,a3) =	J21,1^)- Структурная
матрица (5.14) имеет ранг 4. Поэтому существует два казимира, задаваемые
формулами	п	_	ж	2
Ci=r, С2=х у.
(5.17)
Используя переменные Эйлера, приходим к первым интегралам, полу¬
ченным прежде в (2.18). Первый казимир найден на основании того, что
7 — единичный вектор (1 = 7.7), а второй — на основании постоянства
вертикальной компоненты момента импульса С2 = (!<*>)■ 7-	*
5.1.1.	Первые интегралы
Поскольку эволюция во времени функции А под действием гамильто¬
нова потока Н задается формулой А — {Н,А}, то отсюда непосредственно
следует, что функция I = 7(х, t) является первым интегралом гамильтоно¬
вой системы с гамильтонианом Н тогда и только тогда, когда
dtI + {HJ} = 0.	(5.18)
Теперь можно использовать тождество Якоби, чтобы получить теоре¬
му Пуассона (доказательство предлагается провести читателю в качестве
упражнения).

254
Глава 5
Теорема 5.1. (Пуассона). Если Д и Д — два первых интеграла га¬
мильтоновой системы, тогда {Д, Д} — также {возможно, тривиальный)
первый интеграл.
Теорему Пуассона можно использовать для построения нового и, воз¬
можно, независимого первого интеграла. Если задано два первых интеграла
Д и Д, тогда Д = {Д,Д} также будет первым интегралом, как и Д =
= {Д, Д}. Однако во многих случаях первый интеграл Д оказывается либо
тривиальным, либо функционально зависящим от других. Говорят, что два
не зависящих от времени первых интеграла Д,Д будут в инволюции, если
{h,h} = o.
Пример 5.3. Для системы с тремя степенями свободы рассмотрим
гамильтониан Н = Н{q,p) с каноническими скобками Пуассона. Предпо¬
ложим, что две первые компоненты момента импульса сохраняются, то есть
= 0 и {Н, L2} = 0 с
Li = q2P3 ~ ЯзР2, L2 = q2.P1 ~ ЯгРз-	(5.19)
Тогда, в соответствии с теоремой Пуассона, можно заключить, что
{LbL2} = L3 = qip2 — q^Pi также сохраняется. Однако все три компо¬
ненты момента импульса не будут в инволюции. Тем не менее можно опре¬
делить новые первые интегралы, которые будут в инволюции, рассматривая
функции моментов импульса. Возьмем, например, Д = 7Д Д = L\ + 2L\ и
Д = L\ + 2L3. Ясно, что {Д, Д} = {Д, Д} = 0. Можно также вычислить
{Д, 7з}, используя несколько раз свойства (1-3) скобок Пуассона:
{Д,Д} = {L? + 2L2,L2 + 2L§},
— 2{Z/2, L3} + 2{Lg, L\} + 4{Z/25
= 8LiZ/3{Li, L3} + 8L2Li{L2, -f 161/21/з{Т2, L3},
= 8 {LiLs{—L2) T L2Li{—Ls) -f 2L2Ls{Li)) ,
= 0.	(5.20)
Следовательно, данный гамильтониан имеет три первых интеграла в
инволюции, и, согласно теореме Арнольда-Лиувилля, рассмотренной в сле¬
дующем разделе, этот гамильтониан является полностью интегрируемым.
Система такова, что она может быть проинтегрирована в квадратурах, а ее
движение является квазипериодическим (или, в вырожденных случаях, пе¬
риодическим).	■
В главе 2 мы видели, что первый интеграл может быть использован для
преобразования n-мерной системы в систему, эволюционирующую на мно¬
жестве размерности (п — 1). Структура гамильтоновых систем такова, что

5.1. Гамильтоновы системы
255
первый интеграл, отличный от казимира, в 2п-мерном фазовом простран¬
стве может быть использован для сведения системы к случаю (2п — 2)-
мерного фазового пространства. Для этого рассмотрим гамильтонову си¬
стему Н с п степенями свободы с невырожденными скобками Пуассона,
и пусть F = F(\) — первый интеграл. Предположим, что существует точка
хо Е М2п такая, что dxF(xо) ф 0. Следуя схеме, аналогичной использо¬
ванной в предложении 2.9, в окрестности U точки хо можно ввести набор
канонических координат у = (р, q) таких, что рп = F(p,q).2 Поскольку
преобразование остается каноническим и в новых координатах, то система
вновь является гамильтоновой (с гамильтонианом Н) и рп = —dqnH(p,q).
Однако рп = 0, и потому заключаем, что Н не зависит от qn. Поэтому урав¬
нения Гамильтона не связаны между собой, и первые (п — 1) пар уравнений
имеют вид
ОН
а) Qi= Tj (<?i 1 • • • > Qn—ii Р1,---,Рп-1, С), i = 1,... ,n - 1,
Pi _	(5.21)
ОН
б) Pi = --z-(qi,---,qn-i, pi,---,pn-i, С), i = l,. ..,n - l,
QQi
где С = F(x) — множество уровня, соответствующее первому интегра¬
лу F, и С играет роль параметра в новом гамильтониане Н. Поэтому
H(qi,..., <7n_i,pi,... ,рп-ь С) является гамильтонианом с (п — 1) степе¬
нями свободы, динамика которого определена в (2п — 2)-мерном фазовом
пространстве. Однако, для того чтобы явно ввести новый набор канони¬
ческих координат, мы должны решить гамильтонову систему, для которой
векторное поле задается первым интегралом.
Если известно достаточное количество первых интегралов, то преды¬
дущие рассуждения можно повторить и еще понизить размерность систе¬
мы. Если существует к первых интегралов ii,..., Д в инволюции (то есть
UiJj} = о V г, j), тогда можно свести систему к размерности 2(п — к).
Если к = п — 1, то система сводится к гамильтоновой с одной степенью
свободы (следовательно, интегрируемой). Условие, требующее инволюции
первых интегралов, означает существование канонических координат, в ко¬
торых система может быть проинтегрирована. В следующем разделе будет
показано, что это условие существенно в формулировке теоремы Лиувилля
для интегрируемости гамильтониана.
2Первые интегралы иногда называют изолирующими интегралами, если существует система
координат такая, что рп = F(р, q) и qn = f(qn), так как такая система позволяет изолировать
эволюцию qn на F — const [Lichtenberg & Lieberman, 1983, стр. 33]. В частности, казимиры
не являются изолирующими первыми интегралами.

256
Глава 5
В девятнадцатом веке поиск дополнительных первых интегралов авто¬
номных гамильтоновых систем был одной из центральных проблем класси¬
ческой механики. Для того чтобы найти первые интегралы аналитических
или полиномиальных гамильтонианов, мы должны использовать соответ¬
ствующую подстановку. Если гамильтониан является полиномиальным, то
разумно искать полиномиальные первые интегралы Id = /<*(х) заданной
степени d и, следуя основной идее раздела 2.4, выписать условия на коэф¬
фициенты Id, требуя выполнения равенства {Н, Id} = 0. С помощью та¬
кой процедуры получим набор алгебраических уравнений для определения
коэффициентов. Однако установлено, что большинство известных первых
интегралов классических систем являются полиномиальными только по им¬
пульсам. Характерно, что первые интегралы, найденные методом разделе¬
ния переменных, то есть с помощью канонического преобразования такого,
что новый гамильтониан разлагается в сумму независимых гамильтонианов,
являются квадратичными относительно импульсов. Однако первые интегра¬
лы, найденные по теореме Нётера, которая связывает первые интегралы с
однопараметрической группой симметрии [Arnold, 1988а, стр. 88], линейны
относительно импульсов (это происходит в случае, когда соответствующая
функция Лагранжа является квадратичной по скоростям). Поэтому вместо
того, чтобы искать первые интегралы, полиномиальные по р и q, можно
найти первые интегралы, полиномиальные по импульсам, с коэффициента¬
ми, зависящими от q. Это означает, что
Id= а'(ч)р'-	(5.22)
i, |i|^d
Теперь условие {H,Id} = 0 приводит к набору линейных УЧП пер¬
вого порядка относительно функций ai(q). Такие интегралы обычно на¬
зывают полиномиальными интегралами степени d, а метод их постро¬
ения известен как метод Уиттекера. Уиттекер [Whittaker, 1944] дает
описание полиномиальных первых интегралов первой и второй степе¬
ней [Ankiewicz & Pask, 1983], однако метод применялся и к первым ин¬
тегралам более высоких степеней [Holt, 1982, Hietarinta, 1987,Mishra &
Parashar, 1990, Cleary, 1989, Cleary, 1990]. В частности, этот метод мо¬
жет быть использован для нахождения многих общих потенциалов, ко¬
торые допускают существование полиномиальных интегралов заданной
степени. Однако данный метод обладает тем же недостатком, что и
метод нахождения первых интегралов произвольных динамических си¬
стем, поскольку априори не существует ограничений на степень первых
интегралов.

5.2. Полная интегрируемость
257
Пример 5.4. Гамильтониан Холта. Применим метод Уиттекера к га¬
мильтониану [Holt, 1982]
Н = - (pi + vi)	+ Ыг + а)Я2 3 + Pq£ •	(5.23)
Мы ищем первый интеграл, кубический по импульсу, в виде
3	3—i\
1 = 52 П	an,i2(cli^l2)p\lP2-	(5.24)
Ъ\ —О Ъ2 —О
После приравнивания выражений при одинаковых степенях условие
{Н,1} = 0 приводит к системе десяти уравнений в частных производных
первого порядка относительно коэффициентов а^^2. Эта система имеет
решение при	/5	=	3/4, которое дает первый интеграл вида
I =	2pl	+	Spipl + 3pi (2{q\	+ a)qJ3 - 3gf ) + 18p2<?i<?f •	(5-25)
5.2.	Полная интегрируемость
5.2.1.	Интегрируемость по Лиувиллю
Для заданной системы с п степенями свободы и каноническими скоб¬
ками Пуассона теорема Лиувилля показывает, что существование п первых
интегралов (включая гамильтониан) в инволюции позволяет свести эту си¬
стему к квадратурам, что дает возможность выразить общее решение си¬
стемы в виде интегралов [Perelomov, 1990].
Теорема 5.2. (Лиувилля). Пусть Н = #(x, t) — функция Гамильтона,
определенная на R2n, с каноническими скобками Пуассона, и предположим,
что существует п первых интегралов i*i(x, £),..., Fn(x, t) в инволюции
{FuFj}= 0, i,j = l,...,n.	(5.26)
Если интегралы являются независимыми на множестве уровня
Са = {(х,г) G R2n х М : Fi = а, г = 1,...,п},	(5.27)
то решения уравнения Гамильтона х = {#, х} на Са могут быть выраже¬
ны в квадратурах.

258
Глава 5
Гамильтоновы системы, удовлетворяющие условиям теоремы Лиувил¬
ля, известны как системы, интегрируемые по Лиувиллю. Заметим, что по¬
скольку все первые интегралы будут в инволюции, то гамильтоново век¬
торное поле 5fj = {Fj,'} является интегрируемой системой, которая может
быть решена в квадратурах. Основной идеей теоремы Лиувилля .является то,
что первые интегралы могут быть использованы как локальные координаты.
Условия инволюции предполагают, что п векторных полей ёf3 коммутируют
друг с другом и определяют выбор канонических координат. Записанный в
этих координатах, гамильтониан сводится к сумме п независимых гамиль¬
тонианов, которые могут быть проинтегрированы. Эта теорема была обоб¬
щена на случай, когда первые интегралы образуют разрешимую алгебру
Ли и их скобки Пуассона линейно зависят от первых интегралов [Kozlov,
1996, стр. 76]. Теорема также может быть обобщена на случай многих диф¬
ференциальных уравнений, допускающих симметрию Ли [Olver, 1993].
5.2.2.	Интегрируемость по Арнольду-Лиувиллю
Содержание теоремы Лиувилля является чисто аналитическим. В ней
сформулирован общий критерий разрешимости систем — результат, кото¬
рый в частном случае может оказаться трудно достижимым. Впоследствии
Арнольд обобщил теорему Лиувилля, дав ей геометрическую интерпрета¬
цию [Arnold, 1988а].
Теорема 5.3. (Арнольда-Лиувилля) Пусть Н = Н(х) — функция
Гамильтона, определенная на М2п, с каноническими скобками Пуассона,
и предположим, что
1) существует п гладких первых интегралов -Fi(x),..., Fn(x) в инволю¬
ции:
{Fi,Fj}= 0, г, j = 1,..., гг;	(5.28)
2) интегралы являются независимыми на множестве уровня
Са = {(х,t) е М2тг х М : Гг = а, г = 1,... ,п};	(5.29)
3) векторное поле 8f3 является полным на Са (то есть решения системы
х = {Fj, х} с начальными условиями хо € Са ограничены на любом
промежутке времени).
Тогда справедливы следующие утверждения:

5.2. Полная интегрируемость
259
1) каждая связанная компонента Са является диффеоморфизмом произ¬
ведения k-мерного тора и (п — к)-мерного евклидова пространства
Шп~к при некотором к. Более того, если Са — компактное множество,
то к — п и Са является диффеоморфизмом тора Тп/
2) на Т* х Rn ^ существуют координаты р\,..., pk и z\,..., zn—k та¬
кие, что уравнения Гамильтона на Са имеют вид:
р> — ш, z = с,	(5.30)
где оо = u?(a) и с — постоянные.
Гамильтониан, который удовлетворяет условиям теоремы Арнольда,
называется интегрируемым по Арнольду-Лиувиллю, или полностью инте¬
грируемым. Из теоремы также следует, что п гамильтоновых систем, задан¬
ных равенствами Н = Fi, являются полностью интегрируемыми.
Гамильтонова система с двумя степенями свободы является полностью
интегрируемой, если для нее найден дополнительный первый интеграл, так
как в этом случае выполняется условие инволюции {Н, F} = 0.
Если множества уровня первых интегралов образуют компактное мно¬
жество и при этом выполнены некоторые дополнительные условия, то
можно сформулировать и доказать обобщение теоремы Арнольда даже
для случая, когда первые интегралы не будут в инволюции [Fomenko,
1988, стр. 165].
Если скобки Пуассона n-мерной системы являются вырожденными и
существует к казимиров, то на приведённом множестве размерности (п — к)
с фиксированными казимирами редуцированный гамильтониан будет невы¬
рожденным, и может быть применена теорема Арнольда. Поэтому для пол¬
ной интегрируемости требуется (п — к)/2 интегралов в инволюции.
Пример 5.5. В главе 2 мы видели, что для того, чтобы проинтегри¬
ровать шестимерные уравнения Эйлера, необходимо найти только четыре
первых интеграла. Для того чтобы показать это, мы использовали теорему о
последнем множителе Якоби, которая устанавливает связь между существо¬
ванием инвариантной плотности и первого интеграла. Для гамильтоновых
систем инвариантная плотность напрямую связана с сохранением объема
фазового пространства. Уравнения Эйлера соответствуют гамильтониану с
вырожденными скобками Пуассона (с двумя казимирами, как показано в
примере 5.2), то есть мы имеем п = 6 и к = 2. Поэтому для полной ин¬
тегрируемости системы необходимо два первых интеграла, а именно: сам
гамильтониан и «математическая русалка» из раздела 2.1.1.	■

260
Глава 5
Переменные <£>, z, в общем случае, не являются каноническими пере¬
менными. Однако если к = п9 то существует другой набор канонических
переменных (I, <р), где 7* = /г(7ь ..., 7V). Эти переменные, известные
как переменные «действие-угол», могут быть найдены из так называемого
уравнения Гамилътона-Якоби [Arnold, 1988а, стр. 255]. В этих переменных
новый гамильтониан имеет вид 77 = 77(7i,...,7n), а уравнения движения
таковы:
а)U°’	(531)
б)<p = diH = и>(1).
Поэтому движение на торе I = а, в общем случае, является квазиперио-
дическим, если только (cji, ... ,а>п) не связаны с помощью рациональных
соотношений, поскольку в этом случае тор является резонансным. Если в
окрестности тора det(9iu;) Ф 0, то гамильтониан 77 — невырожден и почти
все инвариантные торы — нерезонансные.
Если количество первых интегралов превышает число степеней свобо¬
ды, тогда не все первые интегралы будут в инволюции и множество Са будет
диффеоморфизмом тора Тк размерности к < п [Nekhoroshev, 1972]. Точ¬
нее, когда условия теоремы Арнольда выполняются для 2п-мерного невы¬
рожденного гамильтониана с п + к независимыми первыми интегралами,
то множество Са является диффеоморфизмом тора Тп~к. Такие системы
иногда называют суперинтегрируемыми [Ranada, 1997]. Важным результа¬
том, связанным с суперинтегрируемыми гамильтонианами, является тео¬
рема Бертрана, в которой утверждается, что единственными потенциалами
трёхмерных систем с диагональной кинетической частью (77 = |р2 + ^(я))>
которые имеют плоские и периодические ограниченные орбиты, являются
потенциал Кеплера V = — щ и потенциал гармонического осциллятора V =
= C|q|2. Оба гамильтониана имеют пять независимых первых интегралов
в инволюции, откуда следует, что решения лежат на торе Т1, а значит, они
периодические. (В этом заключается смысл рисунка, представленного на
обложке книги Гольдштейна по классической механике [Goldstein, 1980].)
5.3.	Алгебраическая интегрируемость
В главе 4 нами установлена связь между существованием первых ин¬
тегралов и локальных разложений Пюизё. Было показано, что если для
n-мерной системы существует (п — 1) алгебраических первых интегралов,
то решения не содержат логарифмических точек ветвления. Однако для

5.3. Алгебраическая интегрируемость
261
гамильтоновой системы интегрируемость по Лиувиллю не может быть свя¬
зана с отсутствием логарифмических точек ветвления, так как для такой
системы известно только п/2 первых интегралов. Кроме того, для боль¬
шинства гамильтонианов, представленных в главах 2, 3 и 4, свойство Пен¬
леве оказалось тесно связанным с интегрируемостью по Лиувиллю (см.,
например, условия существования мероморфных решений уравнений Эй¬
лера в главе 3). Поэтому для того чтобы связать локальный анализ решений
в комплексном времени с существованием первых интегралов, для гамиль¬
тоновых систем требуется ввести более строгое определение интегрируе¬
мости. Идея состоит в том, что интегрируемость по Лиувиллю связывает
существование первых интегралов с тем свойством, что решения лежат на
действительных инвариантных торах, на которых динамика системы ли¬
нейна. Если эти торы являются действительной частью комплексных торов
и движение в комплексном пространстве линейно, тогда известно, что ре¬
шения могут быть выражены через абелевы функции (см. ниже), которые
являются мероморфными функциями времени. Эта идея была основной те¬
мой работ Адлера и ван Мербеке [Adler & van Moerbeke, 1982а, Adler &
van Moerbeke, 1982b, Adler & van Moerbeke, 1989a, Adler & van Moerbeke,
1989b], которые ввели понятие алгебраически полной интегрируемости, к
обсуждению которого мы и переходим.
Для того чтобы ввести понятие абелевых функций, будем следовать
идеям Дубровина [Dubrovin, 1982] и Козлова [Kozlov, 1996]. Рассмотрим
функцию F = F(z),z е Сп. Эта функция называется мероморфной, ес¬
ли во всем пространстве она может быть представлена в виде отношения
двух функций, являющихся сходящимися степенными рядами, то есть F =
= /(z)/p(z).
Определение 5.1. Абелевой функцией F(z) называется мероморфная
функция в Сп с 2п М-независимыми периодами (о/1),... ,а/2п)), то есть
F(z + и>^) = F( z), VzG Cn, j = 1,... ,2 n.	(5.32)
Простейшими функциями такого вида являются эллиптические функ¬
ции, то есть набор двупериодических функций на комплексной плоскости.
Поскольку абелева функция является периодической с 2п независимыми
периодами, то она будет принимать равные значения в точках, отличаю¬
щихся на целую линейную комбинацию периодов. Такие точки могут быть
идентифицированы введением фундаментальной решетки
Г =	+	... + к2пш{2п\ (Ль ..., к2п) € Z2nJ .	(5.33)

262
Глава 5
Определим две точки z^ и zкак эквивалентные, если они раз¬
личаются элементом решетки zW = z(2) +7 для некоторого 7 Е Г. Эта
эквивалентность определяется введением фактор-пространства Сп/Г. Су¬
ществование 2п периодов предполагает, что это пространство эквивалентно
тору Т2п, называемому абелевым тором. Абелевы функции — это множе¬
ство мероморфных функций на Т2п. Для того чтобы определить понятие
алгебраически полностью интегрируемых систем [Adler & van Moerbeke,
1989а], рассмотрим действительные гамильтоновы системы с неканониче¬
скими скобками Пуассона в виде
х = {Я, х} = </(х)<9хЯ, х Е М71,	(5.34)
где J(x) — структурная матрица и Я(х) — действительные многочлены по
х. Пусть F±, ..., Fk являются полиномами казимира для J (J<9xjF* = 0, г =
= 1,..., к), и предположим, что на множествах уровня функций Казимира
гамильтонова система является невырожденной.
Определение 5.2. Гамильтонова система (5.34) является алгебраически
полностью интегрируемой (а.п.и.) если:
1) помимо казимиров F\,..., Fk система имеет т = (п — к)/2 дополни¬
тельных независимых полиномиальных первых интегралов Fk+i,...,
Fk+m в инволюции таких, что для обобщенного а = (сц,..., a/c+m) Е
Mfc+m инвариантное многообразие
Cjf = {х Е М2п : ЯДх)	= (ц, г = 1,..., к + га}	(5.35)
является	компактным и связным,	и, следовательно, согласно	теореме
Арнольда, оно яляется диффеоморфизмом действительных торов;
2) для обобщенной постоянной а существует абелев тор Т2т с ком¬
плексными координатами Ti,...,rm и п абелевыми функциями z =
= z(ri,.. .,тт), параметризующими некомпактные инвариантные мно¬
гообразия
Са = {z Е C2n : Fi(z)	= ai, г = 1,..., к + т};	(5.36)
3) на Са	комплексный гамильтонов	поток (то есть система z	=	{Я, z}
с комплексным временем t) является линейным и может быть записан
в виде
Ti = p,i, г = 1	(5.37)
где pi — постоянная для всех г.

5.4. Теория неинтегрируемости Зиглина
263
Следовательно, определение а.п.и. систем устанавливает, что почти для
всех значений множества уровня первых интегралов в действительной обла¬
сти являются действительными алгебраическими торами и что любой дей¬
ствительный тор является частью комплексного абелева тора, на котором
движение фазового потока в комплексном пространстве линейно. Фунда¬
ментальная теорема Адлера и ван Мербеке [Adler & van Moerbeke, 1982а]
связывает а.п.и. системы с мероморфностью локальных решений.
Теорема 5.4. Если система х = {iJ, х} является алгебраически полно¬
стью интегрируемой с к абелевыми функциями, то эта система допускает
существование решений в виде локальных разложений в ряд Лорана с воз¬
растающими степенями и (k — 1) свободными параметрами {то есть к — 1
положительными целыми показателями Ковалевской):
где т = (£ — £*), —р С Nn {mo есть каждая компонента увеличивается)
и Сг — постоянные для всех г.
Эта теория была с успехом использована при изучении интегрируемых
случаев уравнений Эйлера, некоторых геодезических движений на 50(4) и
некоторых обобщений решеток Тоды [Adler & van Moerbeke, 1989а]. Ана¬
лиз локальных решений дает эффективный способ получения необходимых
условий алгебраически полной интегрируемости и может быть использо¬
ван для нахождения глобальных переменных «действие-угол» для а.п.и.
систем [Novikov & Veselov, 1985, Vanhaecke, 1992, Abenda, 1998].
5.4.	Теория неинтегрируемости Зиглина
В предыдущих разделах нами установлено, что для интегрируемости
гамильтониана с п степенями свободы необходимо иметь п первых инте¬
гралов. Это общее свойство запрещает нам использовать общие результаты
теории неинтегрируемости, рассмотренные в главе 4, которые связывают ал¬
гебраически полную интегрируемость (в этом случае 2n — 1 первых интегра¬
лов) с существованием решений в виде рядов Пюизё. Более того, структура
гамильтоновых систем такова, что линейные собственные значения и по¬
казатели Ковалевской всегда парные и, следовательно, являются резонанс¬
ными. Поэтому общие результаты, связывающие степени первых интегра¬
лов с линейными собственными значениями и показателями Ковалевской,
(5.38)

264
Глава 5
не дают какой-либо существенной информации (в лучшем случае, если
некоторые из показателей Ковалевской иррациональны, то система может
оказаться неинтегрируемой). Ясно, что требуется новый подход. В главе 4
результаты теории неинтегрируемости были получены на основании ана¬
лиза вариационного уравнения вблизи локальных решений (неподвижных
точек, подвижных особых точек, общих локальных решений в окрестностях
неподвижных точек, общих локальных решений в окрестностях подвижных
особых точек). Для того чтобы получить критерий неинтегрируемости га¬
мильтоновых систем, можно также использовать вариационное уравнение,
однако при этом нам придется рассматривать и глобальное решение. До¬
стоинством этого подхода является то, что свойство алгебраически полной
интегрируемости налагает строгие ограничения на решения вариационного
уравнения вблизи глобально определенной функции. При этом критерий,
если он применим, может привести к наиболее оптимальным результатам
неинтегрируемости системы (то есть он позволит определить все случаи,
когда система является неинтегрируемой). Недостаток же этого подхода
состоит в его общем характере, поскольку такой критерий не позволяет
создать общего алгоритма доказательства неинтегрируемости систем.
В теории неинтегрируемости Зиглина рассматриваются вариационные
уравнения вблизи алгебраического решения в фазовом пространстве. Пусть
Я = Я(х), X е С2п — гамильтониан с каноническими скобками Пуассона.
Найдем алгебраическое решение вида
2 п
=0, а* е С,	(5.39)
1—1
и предположим, что вдоль этой прямой, возможно, в коплексном фазовом
пространстве, мы можем получить точное решение системы в виде х = х(£).
Анализ вариационного уравнения вблизи этого частного решения позволяет
сформулировать условия существования дополнительного аналитического
первого интеграла. Вместо решения задачи в общей постановке сначала
детально рассмотрим простой пример, а затем обсудим применение этой
теории к гамильтонианам с двумя степенями свободы, а также ее различные
обобщения и приложения.
Пример 5.6. Пример Йошиды [Yoshida, 1986]. Рассмотрим однород¬
ный квадратичный гамильтониан
Н = \(Pl +Р2) + \(Ql +4) + |?i92-
(5.40)

5.4. Теория неинтегрируемости Зиглина
265
Задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра а, при которых
система не допускает существования второго аналитического первого инте¬
грала. С помощью непосредственных вычислений можно показать, что эта
система является интегрируемой в трёх случаях:
а) а = О,	I	=^(p2i-pt) + ^(q$ -q$),
б) а = 1,	I	= pxq2 - Р2<?ь	(5-41)
в)	а = 3,	/	= piP2 + qiq2(qj + <?!)•
Существование указанных трех значений параметра а, при которых
система интегрируема, не исключает возможности существования других
(изолированных или нет) значений а, при которых система может оказаться
интегрируемой с аналитическим первым интегралом.
Анализ особых точек приводит к появлению двух различных наборов
показателей Ковалевской, каждый из которых соответствует доминантным
показателям р = (-1,-1,—2,—2). Первый набор соответствует балансу
порядка 2 (когда qi = р\ — 0 или q2 = Р2 — 0), а второй — балансу
порядка 4. Эти наборы показателей Ковалевской таковы:
a)	7?i — { — 1,4, - ± - >/1 + 8 а},
с^\-п г 1 л 3 а + 3 d= а/—7 а2 + 18 а + 25.
б)Й2 = Ь1'4' 2(JTij ь
(5.42)
Показатели Ковалевской имеют целые значения только при а = 0,1,3,
что соответствует интегрируемым случаям системы. Можно проверить, что
в этих случаях условия совместности выполнены, а локальные решения
представляются в виде рядов Лорана. Однако единственный вывод, который
мы можем сделать на основании теорем главы 4 относительно интегрируе¬
мости системы, заключается в том, что при а ^ {0,1,3} данная система не
является суперинтегрируемой (с тремя аналитическими первыми интегра¬
лами).
Чтобы применить метод Зиглина, ищем алгебраические решения га¬
мильтонова векторного поля:
а)	<?i =pi,
б)	<Ь = Р2,
^ •	/	2	2\	(5.43)
в) Pi = ~<?i(<7i +а<72)>
г)	Р2 = -42{ql+aql).

266
Глава 5
В результате исследования находим, что <71 = 0 и q\ — <72 являются
двумя такими решениями. Сначала рассмотрим решение q\ = 0. В этом
случае получаем уравнение
<72 = -ql	(5.44)
решение которого выражается через эллиптические функции [Lang, 1987].
Поскольку мы хотим доказать отсутствие второго первого интеграла при
всех значениях Н, мы выберем значение Н, для которого решение будет
достаточно простым. В случае Н = 1/4 имеем
<72 = cn(*,fc),	(5.45)
где к = Эллиптический косинус Якоби является двупериодической
функцией с основными периодами Т± = 4К (к) и Т2 = 4гК(А/), где Ку¬
понный эллиптический интеграл первого рода и к' — \/1 — к2. Теперь рас¬
смотрим вариационное уравнение вблизи решения х = (0,0, <72,^), то
есть
а)	й\
б) й2
в)	щ
г) V2
Эта система распадается на два уравнения второго порядка. Второе
уравнение U2-\-3q2u2 = 0 описывает вариационную касательную к орбитам,
определяемым <72, и, следовательно, не дает информации об интегрируемо¬
сти исходной системы. Первое уравнение
й\ + aqfeui = 0	(5.47)
называется нормальным вариационным уравнением и содержит полезную
информацию.	Теперь	предположим, от противного,	что	исходная	система
имеет второй	первый	интеграл /, не зависящий	от 77, и	покажем,	что при
некоторых значениях а свойства решений нормального вариационного урав¬
нения противоречат существованию I. Если существует первый интеграл I
гамильтоновой системы, то, согласно лемме 4.3 Пуанкаре, величина
J = u.<9x/(x),	(5.48)
где u = (и\, U2, vi,V2), является первым интегралом вариационного урав¬
нения. Однако если дх1(к) = 0, то этот интеграл тривиален, и поэтому
: VI,
: V2,
,2	(5-46)
-aq2u1,
= —3<72 U2.

5.4. Теория неинтегрируемости Зиглина
267
он бесполезен для анализа. Тем не менее первый важный результат Зи¬
глина (лемма 5.1) состоит в следующем: если I — аналитический первый
интеграл, то всегда существует целое к ^ 1 такое, что Jk = (u.9x)/c/(x)
тождественно не равно нулю (с Jj =0,0 < j < к). Более того, первый ин¬
теграл нормального вариационного уравнения, полученного подстановкой
U2 = V2 = 0, также является нетривиальным. Таким образом, получаем, что
нормальное вариационное уравнение имеет однородный первый интеграл
переменных	задаваемый выражением
и пусть Ф(£) — фундаментальная матрица решений. Зафиксируем начальный
момент времени t = to и рассмотрим эволюцию фундаментального реше¬
ния в течение некоторого периода Т функции <?2 для того, чтобы получить
Ф(*0 + Т). Эта новая матрица также является фундаментальным решением
и связана с Ф(£о) соотношением
где М(Т) — матрица монодромии, которая является постоянной, причем
det (М(Т)) = 1. Поскольку решение	имеет два независимых периода
Xi иТ2, то две различные матрицы = М(Т\) и М^ — М(Т2) могут
быть связаны с соотношением (5.51). Теперь предположим, что одна из этих
матриц размерности 2x2, скажем, матрица	является	нерезонансной,
то есть собственные значения ри1/р этой матрицы не равны корню из еди¬
ницы (рк ф1, V к G Z). В частности, нерезонансная матрица размерности
2x2 имеет различные собственные значения и может быть диагонализи-
рована. Пусть Со — значение первого интеграла Jk в начальной точке to,
записанное в переменных (£,77), где	— диагональная матрица; то есть
имеем
Jk = (uidqi +vi 0Pl)fc/(x),
к
(5.49)
Рассмотрим нормальную вариационную систему
а) iii = vi,
б) 7>i = — aq%ui,
(5.50)
ф(г0 + т) = м(Г)Ф(«0)
(5.51)
к
(5.52)

268
Глава 5
Рассмотрим значение С\ того же первого интеграла в момент време¬
ни t = to + Т\ и примем во внимание, что х является периодической:
£(to + Ti) = р£(£о) и + Ti) = p~1r)(to). В результате получим
Поскольку Jk — первый интеграл, то Со = Сь и поэтому получаем,
что i = j. Это показывает, что Jk имеет вид
Теперь в базисе, в котором диагональна, матрица м<2> имеет общий
вид:
первого интеграла при t = to и t — to -f T2. Используя выражение (5.54) и
периодичность коэффициентов, мы находим
В результате получаем следующие соотношения: cry — Р5 — 0 и аб —
— (З'у = 1. Отсюда
1) /3 = 7 = 0 (то есть иМ^ коммутируют) или
2) а = S = 0 (то есть	=	0).
Следовательно, мы приходим к выводу, что если существует второй
первый интеграл и одна из матриц монодромии не является резонансной,
то либо эти матрицы коммутируют, либо след второй матрицы равен нулю.
В сущности, в этом состоит основное положение теоремы Зиглина [Ziglin,
1983а,Ziglin, 1983Ь].
Теперь задача сводится к тому, чтобы выписать в явном виде, если
это возможно, матрицы монодромии М^1) и М^ и проверить выполнение
следующих условий: одна из матриц монодромии не является резонансной,
а вторая — либо коммутирует с первой, либо имеет след, равный нулю. Для
этого рассмотрим нормальное вариационное уравнение й\ + aq^ui = 0,
введем замену независимой переменной
к
(5.53)
Jk = d(x(t))(Cv)1 ■
(5.54)
М(2) = а Ч ,
7 о
(5.55)
причем det(M^) = 1. Снова зафиксируем точку to и рассмотрим значения
Jk = d(-k(t0))(£ri)1 = d(x(t0)) [(af + /fy)(a£ + Pv)}1 ■	(5-56)
£ = tti(z), z = ql
(5.57)

5.4. Теория неинтегрируемости Зиглина
269
и получим гипергеометрическое уравнение Гаусса
3 ^ ч а
z
(l-z)C + 7(l + z)^' + -fb=0.	(5.58)
Можно показать, что матрицы монодромии М^1,2) могут быть выраже¬
ны в виде произведения матриц монодромии М (70) и М(71) гипергеомет-
рического уравнения, полученных при рассмотрении замкнутых контуров
вокруг z — 0 и z = 1 соответственно. Точнее,	=	M(7o)M(7i)M(7o)
и	=	M(7o)2M(7i).	Явный	вид	этих	двух	матриц	монодромии	изве¬
стен [Yoshida, 1986]:
а) М(7о) =
б) М(71)
е 2	0
1
11- e_7r^i+Q-
0 -1
(5.59)
где а± —	\	±	VI±8o дегко	видеть, что матрицы М^1,2)	коммутируют тогда
и только тогда, когда	= р +	—	±2, где
tr(M^1,2^) =	2л/2соб	|^x/T+™8aj .	(5.60)
Следовательно, если tr(M^1,2^) > 2, то одна из матриц монодромии не
является резонансной и эти две матрицы не коммутируют. Поэтому допол¬
нительный первый интеграл отсутствует при tr(M^1,2^) > 2. Это условие
выполняется при следующих значениях параметра а:
a < 0,	1 < a < 3, б < a < 10,	15<a<21,....	(5.61)
Теперь можно провести подобный анализ вблизи второго алгебраиче¬
ского решения qi = q2. В этом случае выражение для следов матриц моно¬
дромии имеет иной вид и приводит к следующим ограничениям на значения
параметра а, при которых второго первого интеграла не существует:
1	7
а > 3,	1 > а > 0,	—- > а > — —,	 (5.62)
Объединив два набора условий (5.61-5.62), получим следующий ре¬
зультат.
Предложение 5.1. Единственными значениями a Е М, при которых
гамильтониан Н =	+р!) + \ (o.i + Я.2) + f 4i<72 имеет второй аналити¬
ческий первый интеграл, являются три значения: a = 0, a = lwa = 3.	■

270
Глава 5
5.4.1.	Гамильтонова система с двумя степенями свободы
Рассмотрим гамильтонову систему Н = H(qi, <72, Pi, Р2) с двумя сте¬
пенями свободы и каноническими скобками Пуассона и предположим, что
существует алгебраическое решение вида
aiqi(t) + а292(» = 0.	(5.63)
Без потери общности, можно ввести поворот системы координат q\, <72
такой, что (72 = 0. Кроме того, предположим, что в новых переменных
Р2 — 0 (это условие выполняется в случае, когда гамильтониан имеет диа¬
гональную кинетическую часть) и (qi(t),pi(t)) не является точкой равно¬
весия. Мы можем линеаризовать уравнения движения вблизи решения х =
=	0,pi(t),	0)	для	получения	нормального вариационного уравнения
и
91Р1Н(*) ар2?Я(х)
-с%я(х) -а21(?1я(х)
и.	(5.64)
Теперь проанализируем вариационное уравнение. Следующая лемма
связывает существование первого интеграла для вариационного уравнения
с существованием второго первого интеграла для гамильтоновой систе¬
мы [Ziglin, 1983а] (для доказательства см. также пример Йошиды [Yoshida,
1987а]).
Лемма 5.1. (Лемма Зиглина). Если гамильтонова система Н = Н(х)
с двумя степенями свободы имеет второй аналитический первый интеграл,
то линейная система (5.64) имеет однородный первый интеграл вида
Можно установить условия существования первого интеграла для ва¬
риационного уравнения, оценив значение Jk на замкнутом контуре Г =
= {qi(t),Pi(t)} римановой поверхности решения с локальной координатой
£ € С. Замкнутый контур 7 С Г получится, если следить за некоторой
траекторией в комплексной ^-плоскости. Например, если решение x(t) —
двупериодическое, то при рассмотрении двух траекторий, соответствую¬
щих двум основным периодам х(£), получим два различных замкнутых
контура на Г. В этом случае Г является действительным двумерным тором.

5.4. Теория неинтегрируемости Зиглина
271
Пусть Ф(£) — фундаментальная матрица решений. Начиная с £ = to, оце¬
ним значения Ф(£) вдоль замкнутого контура 7 с £о до t\ и получим новое
фундаментальное решение Ф(£г), связанное с Ф(£о) соотношением
Ф(*0 = М([7])Ф(*о),	(5-66)
где М([7]) — матрица монодромии, которая зависит только от класса го-
мотопии 7 (см. раздел 3.1). Множество всех таких матриц монодромии
для фиксированного £о образует групповую структуру — так называемую
группу монодромии G уравнения (5.64).3 Вследствие того что исходная си¬
стема является гамильтоновой, матрицы монодромии сохраняют площадь
(det(M) = 1). Это означает, что группа монодромии является подгруп¬
пой SL(2,C) для множества матриц размерности 2 х 2 с определителем,
равным ±1. Теперь можно сформулировать упрощенный вариант теоремы
Зиглина [Ziglin, 1983а].
Теорема 5.5. (Зиглина). Если гамильтонова система Н = Н(х) с
двумя степенями свободы имеет второй аналитический первый интеграл
вблизи решения х(£) и одна из матриц монодромии, скажем,	не	явля¬
ется резонансной, тогда любая другая матрица М^ £ G (г) либо комму¬
тирует с М^\ {гг) либо имеет след, равный нулю.
Доказательство.
Первый интеграл Jk инвариантен относительно группы монодромии,
поскольку J/с (и, £0) = Jfc(Mu, £i) для любой матрицы М в группе моно¬
дромии. Но так как коэффициенты Jk зависят только от £ через х(£), имеем
Ja-(u, to) = Jk(Mu,to) V М £ G.	(5.67)
Пусть	—	нерезонансная	матрица монодромии с собственными
значениями р, р-1 такими, что ни одно из них не равно корню из единицы.
Рассмотрим первый интеграл Jk в переменных (£,??), где	— диаго¬
нальная матрица. В этих переменных соотношение Jfc(u, £0) = J/c(Mu,£0)
имеет вид
к	к
y^di(x(t0))£(to)^(£o)fe“I = 5I^i(x(io))/3J_A:?(io)l??(io)A:_\	(5.68)
г—0	i=0
3 Группа монодромии G зависит от базисной точки to - Однако выбор различных to приводит
к изоморфным группам.

272
Глава 5
на основании которого можно заключить, что г — к и = d(k(to))(£r])k/2.
В базисе, в котором М^ имеет диагональный вид, получим
М(2)
а (3
7 5
(5.69)
с	= а5 — P'j и, повторяя предыдущие рассуждения (см. уравне¬
ние (5.56)), заключаем, что
1) ,6 = 7 = 0 (то есть М^ и коммутируют) или
2) а = 5 = 0 (то есть tr(М^) = 0).
Заметим, что во втором случае действие матрицы М^ заключается
в перестановке собственных векторов матрицы	то	есть	если	—
собственные вектора матрицы	то	= /?v^ и	=
= 7V(1).	■
Если не является полупростой матрицей, то ее собственные зна¬
чения равны 1 или —1, и, следуя основной идее доказательства, теорема
Зиглина может быть обобщена [Yoshida et al., 1987а, Yoshida et al., 1987b].
(Доказательство предлагается провести читателю в качестве упражнения.)
Теорема 5.6. Если гамильтонова система Н = Н(х) с двумя степеня¬
ми свободы имеет второй аналитический первый интеграл вблизи решения
х(£) и одна из матриц монодромии не является полупростой, тогда в
базисе, в котором матрица является нижнетреугольной, любая дру¬
гая матрица	€	G	также будет нижнетреугольной с резонансными
собственными значениями.
Однако на практике определение группы монодромии не может быть
выполнено алгоритмическим путём. Тем не менее существует много инте¬
ресных случаев, для которых могут быть сформулированы некоторые общие
утверждения. В общем же случае, когда точный вид группы монодромии
найти не удаётся, следы матриц монодромии могут быть найдены числен¬
но [Grammaticos et al, 1987] или методом возмущений [Vivolo, 1997].
5.4.1.1. Однородные потенциалы
Теперь рассмотрим случай гамильтонианов с двумя степенями свобо¬
ды, имеющих диагональную кинетическую часть и однородные потенциа¬
лы [Yoshida, 1987а]. Это будут гамильтонианы вида
н =\{pl+pl) + V{quq2),	(5.70)

5.4. Теория неинтегрируемости Зиглина
273
где V(eqi,eq2) = £kV{4i,42) — однородная функция степени к. Пусть с =
= (съф) является решением уравнения q =	г	—	1,2.	Определим
коэффициент интегрируемости А
Sk = {А < 0, 1 < А < к - 1,..., j(j - l)k/2+j < А < j(j + 1)к/2 -
2) 5i = М — {0,1,3,6,.. .,j(j + 1)/2,...};
3) S-i = К - {1,0, -2, —5,..., -j(j + 1)/2,...};
4) к < -3
Sk = {А > 1, 0 > Л > -\к\ +2,	-|fc|	- 1 > Л > -3|/с| + 3,
• • •. ~j(j ~ l)|^l/2 - j + 1 > А > -j(j + l)\k\/2 - j,...}.
Теорема 5.7. (Йошиды). Пусть Л — коэффициент интегрируемости
гамильтониана Н = \{р\ + р%) + V(qi,q2), где V — потенциал степени к
при к ф 0, ±2. Если Л лежит в области Sk, то для заданного Н не суще¬
ствует дополнительного комплексного аналитического первого интеграла.
Основные этапы доказательства состоят из шагов примера 5.6. Рассмот¬
рим вариационные уравнения вблизи частного решения р = p{t) уравнения
(р + рк~1 = 0. Вариационное уравнение около этого решения заменой неза¬
висимой переменной z = рк может быть преобразовано к гипергеометри-
ческому уравнению Гаусса. Группа монодромии для этого вариационного
уравнения может быть определена на основании известного явного вида
матриц монодромии гипергеометрического уравнения. Пусть М является
группой монодромии. Тогда можно вычислить следы матриц монодромии,
и, принимая во внимание, что |tr(M)| > 2, снова найдем ограничения на
значения параметра Л.
В качестве примера докажем неинтегрируемость мягкого гиперболиче¬
ского бильярда [Icthiaroglou, 1989].
Пример 5.7. Гиперболический бильярд. Рассмотрим гамильтониан
(5.71)
и области Sk (при к ф 0, ±2):
1)	к > 3
Н = 1/2(р2х+р1) - ^(жУ)7,
(5.72)

274
Глава 5
где 7 > 1/2. Эта система широко изучалась с позиций теории динамиче¬
ских систем [Savvidy, 1983,Mikolaevskii & Schur, 1983,Chang, 1984,Carnegie
& Percival, 1984, Hansen, 1992, Jaroensutasinee & Rowlands, 1994]. Было по¬
казано, что при 7 —> сх) система сводится к системе бильярдного типа с
гиперболическими границами. Можно продемонстрировать полную стоха-
стичность этой асимптотической системы. При конечном значении 7 си¬
стема имеет мягкие стенки и ее поведение хаотично. Для доказательства
неинтегрируемости этой системы используем теорему Йошиды. Во-первых,
найдем (ci,C2) из системы
-2с27 с27 = СЬ
-ага-4
Получаем, что С\ — ±С2 и с^7-2 = —1/2. Коэффициент интегрируемо¬
сти имеет вид
d2v, ч d2V .
о 2 (*")	о 9
dqf	dq$
где к = 47. Следовательно, А € S4, то есть при 27 € Z \ {—2,0, +2} других
аналитических первых интегралов, кроме самого i7, не существует. ■
5.4.2.	Теорема Зиглина для п измерений
Первоначально теорема Зиглина была сформулирована для гамильто¬
нианов с п степенями свободы. Матрица размерности п х п с собственны¬
ми значениями р = (pi,..., рп) называется нерезонансной, если равенство
р1 — 1, где i Е Zn, выполняется только при i = 0.
Теорема 5.8. (Зиглина). Если гамильтонова система Н = Н(х) с
п степенями свободы имеет п аналитических первых интегралов вблизи
решения х(£) и одна из матриц монодромии не является резонансной,
тогда любая другая матрица	Е G (г) либо коммутирует с
(гг) либо меняет порядок собственных значений матрицы М1'1'1.
Точные результаты, связывающие группу монодромии и показатели Ко¬
валевской, можно получить в частном случае гамильтониана с диагональной
кинетической частью и однородным потенциалом вида
Н = \(Pi + ...+pl) + V(qi,...,qn),
(5.75)

5.4. Теория неинтегрируемости Зиглина
275
где V(x) — однородный потенциал степени к при к ф 0, ±2. Как было
показано в главе 4, показатели Ковалевской всегда появляются парами pi +
+ pi+n = и можно определить разность A pi = pi+n — pi между двумя
показателями каждой пары.
Теорема 5.9. [Yoshida, 1989] Если п величин Api являются Q-
независимыми, то для гамильтониана (5.75), помимо Н, не существует
дополнительных первых интегралов.
Доказательство.
Для получения условий неинтегрируемости Зиглина рассмотрим алге¬
браическое решение
q (t) = /3<p(t),	(5.76)
где <p(t) — решение уравнения ф +	= 0, /3 — решение уравнения
дуУ((3) = /3. Коэффициенты /3 связаны с постоянными коэффициентами
масштабно-инвариантного решения q = oltp соотношением
« = [-р(р+1)]5/3,	(5.77)
где р = 2/(к — 1). Линейное вариационное уравнение вблизи q(t) имеет
вид
U = -^-1^У(/3)и,	(5.78)
где dqV((3) — матрица Гессе потенциала, вычисленная при значении /3.
Теперь выберем систему координат £, в которой d2V(/3) является диаго¬
нальной, то есть
Zi = -XiVk-2Zi, i = 1,... ,п,	(5.79)
где (Ai,...,An) = Spec(c^y(/3)) и An = к — 1. Нормальные вариацион¬
ные уравнения получаются из (п — 1) первых уравнений (5.79). Так как
нормальные вариационные уравнения образуют систему (п — 1) незави¬
симых уравнений, матрица монодромии является блочно-диагональной, то
есть принимает вид:
М = diag(M(Ai),..., М(An_i)),	(5.80)
где каждая матрица М(А?;) является матрицей размерности 2 х 2 с опре¬
делителем, равным единице. Теперь найдем две нерезонансные матрицы
монодромии М(1,2\ соответствующие двум различным контурам С±у, та¬
кие, что никакие из блоков	\)	не	коммутируют.	Согласно	теории

276
Глава 5
Зиглина, из существования таких матриц следует, что дополнительные пер¬
вые интегралы отсутствуют. Эти матрицы могут быть получены (г) при
отображении системы нормальных вариационных уравнений в систему ги-
пергеометрических уравнений Гаусса заменой независимой переменной z =
— (fk и (гг) при анализе матриц монодромии, соответствующих прообра¬
зам контуров (7o7i)4/c и (7i7o)4/c в плоскости z, в которой, по-прежнему,
7о и 7i — замкнутые контуры вокруг z = 0 и z = 1 соответственно.
Матрицы М^1,2), соответствующие таким контурам, имеют вид М^1,2) =
= diag(M(1,2)(Ai),..., M(1,2)(An_i)) и обладают следующими свойства¬
ми:
1) блоки М(1,2)(А*) имеют равные следы:
tr(M'^1,2^(Аг)) = 2 cos(27T0i), г = 1,..., п — 1,	(5.81)
где вг — у/(к — 2)2 + 8/сАг и 0n = 3& — 2;
2) блоки М^1,2^(Аг) коммутируют тогда и только тогда, когда
tr(M(1,2)(A^)) = ±2 или /с = ±2.
Нерезонансное условие получается при рассмотрении собственных
значений оу = e27rt0j матриц M(1,2)(A*). Находим, что если п величин
рационально независимы, то матрицы М^1,2) являются нерезо¬
нансными и ни одна из пар М(1,2)(А*) не коммутирует, за исключением
случая к = ±2.
В результате разность между парой показателей Ковалевской Рг+п
таких, что pi + рг+п = 2р 4- 1, может быть выражена через собственные
значения 0*. Установлено, что Арг = |fc — 2|0*, то есть справедливо соотно¬
шение
Api = ]/1+ (к- 2)2'’	(5'82)
которое завершает доказательство.	■
Пример 5.8. Упрощенные уравнения Янга-Миллса. Рассмотрим
квадратичный потенциал Янга-Миллса в трехмерном случае:
^ — Q1Q2 + Q2Q3 +	(5.83)
Существует алгебраическое решение с /3 = (л/2/2, л/2/2,0) и Л =
= (2,—1,3). Разность между показателями Ковалевской определяется со¬
отношением (5.82), то есть (Дрь Ар2, Дрз) = (л/17, гл/7, 5). Ясно, что эти

5.4. Теория неинтегрируемости Зиглина
277
величины являются рационально независимыми, и, следовательно, для си¬
стемы (5.75) с потенциалом (5.83) не существует дополнительных аналити¬
ческих первых интегралов.	■
5.4.3. Дополнение к теории Зиглина
Теория Зиглина была успешно использована для доказательства неин¬
тегрируемости следующих систем:
1) гамильтонианы с п степенями свободы с глобальной симметричной
связью [Umeno, 1995];
2) гамильтоновы системы с тремя степенями свободы [Churchill et al.,
1995];
3) некоторые обобщенные решетки Тоды [Yoshida et al, 1987а, Yoshida,
1988];
4) двумерная задача трех тел вблизи решения Лагранжа [Tsygvintsev,
2000];
5) класс задач возмущенной проблемы Кеплера [Yoshida, 1987b];
6) задача Штермера [Almeida et al, 1992];
7) гамильтониан Калоджеро-Мозера с квадратичными потенциалами
[Frangoise & Irigoyen, 1990,Frangoise & Irigoyen, 1993];
8) классические гамильтонианы Зимана [Kummer & Saenz, 1994];
9) некоторое обобщение задачи о движении твердого тела [Christov, 1994];
10) некоторые обобщенные потенциалы Хенона-Хейлеса [Ito, 1985, Ito,
1987, Vivolo, 1997];
11) ABC-поток [Ziglin, 1996,Ziglin, 1998];
12) некоторые возмущенные сепарабельные гамильтонианы на плоско¬
сти [Meletlidou, 2000].
5.4.4. Теорема Моралеса-Руиза и Рамиса
Основное усовершенствование теории Зиглина было предложено
Моралесом-Руизом и Рамисом [Morales-Ruiz & Ramis, 1998,Morales-Ruiz
& Ramis, 1999]. Идея основана на дифференциальной теории Галуа (теория
Пикара-Вессио) [Singer, 1989] и связывает интегрируемость гамильтоновых
систем с разрешимостью вариационных уравнений вблизи частного реше¬
ния [Morales-Ruiz & Simo, 1994, Morales-Ruiz & Simo, 1996]. Грубо говоря,
вариационное уравнение разрешимо в смысле дифференциальной теории

278
Глава 5
Галуа, если решение может быть получено с помощью операций комби¬
нирования квадратур, показательных функций квадратур и алгебраических
функций. Преимуществом такого подхода является возможность получения
общих результатов, касающихся разрешимости линейных уравнений. На¬
пример, разрешимость линейного алгебраического уравнения второго по¬
рядка может быть установлена с помощью алгоритма Ковачича [Kovacic,
1986, Ulmer & Weil, 1996, Rod & Sleeman, 1995]. Если уравнение разре¬
шимо, этот алгоритм позволяет найти фундаментальное множество реше¬
ний в аналитическом виде; если же алгоритм не применим, то уравнение
неразрешимо. Другим важным следствием теории разрешимости линей¬
ных уравнений является теорема Кимуры, которая устанавливает необхо¬
димые и достаточные условия разрешимости гипергеометрического урав¬
нения Гаусса [Kimura, 1969]. В качестве приложения Моралес-Руиз и Ра¬
мис [Morales-Ruiz & Ramis, 1999] обобщили теорему 5.7 и получили более
строгие ограничения на значение коэффициента интегрируемости А, опре¬
деляемого соотношением (5.71). Они также доказали неинтегрируемость в
смысле Лиувилля космологической модели Бьянки IX [Latifi et al, 1994],
модели Ситникова [Martinez-Alfaro & Chriald, 1992] и других гамильтоно¬
вых систем [Morales-Ruis & Ramis, 1998]. Этот метод был использован Са¬
енсом [Saenz, 2000] для доказательства неинтегрируемости модели Драгта-
Финна удержания плазмы магнитным полем. Кроме того, Йошида [Yoshida,
1999] использовал теорему Моралеса-Руиза-Рамиса для обоснования гипо¬
тезы о слабом свойстве Пенлеве и показал, что для гамильтонианов, инте¬
грируемых по Лиувиллю, имеющих две степени свободы с кинетической
диагональной частью и однородным потенциалом степени к, показатели
Ковалевской являются рациональными числами, за исключением случаев
к = 0 и к = ±2.
Подробное изложение этой темы можно найти в статье Йоши-
ды [Yoshida, 1999]. С детальным описанием данной теории можно озна¬
комиться в замечательной книге Моралеса-Руиза [Morales-Ruiz, 1999].

Литература
[Abenda, 1997] Abenda, S. 1997. Asymptotic analysis of time singularities for
a class of time-dependent Hamiltonians. J. Phys A, 30, 143-171.
[Abenda, 1998] Abenda, S. 1998. Global action-angle variables and the
characterization of one degree of freedom rational Hamiltonians. J. Phys.
A, 31, 1695-1711.
[Ablowitz & Clarkson, 1991] Ablowitz, M. J., & Clarkson, P. A. 1991.
Solitons, nonlinear evolution equations and inverse scattering. Cambridge
Unversity Press, Cambridge.
[Ablowitz & Segur, 1977] Ablowitz, M. J., & Segur, H. 1977. Exact
linearization of a Painleve transcendent. Phys. Rev. Lett., 38, 1103-1106.
[Ablowitz & Segur, 1981] ABLOWITZ, M. J., & SEGUR, H. 1981. Solitons and
the inverse scattering transform. SIAM, Philadelphia.
[Ablowitz et al., 1973] Ablowitz, M. J., Kaup, D. J., Newell, A., & Segur,
H.	1973. Methods for solving the Sine-Gordon equation. Phys. Rev. Lett., 30,
1262-1264.
[Ablowitz et al., 1980a] Ablowitz, M. J., Ramani, A., & Segur, H. 1980a.
A connection between nonlinear evolution equations and ordinary differential
equations of P-type. I. J. Math. Phys., 21, 715-721.
[Ablowitz et al., 1980b] Ablowitz, M. J., Ramani, A., & Segur, H. 1980b.
A connection between nonlinear evolution equations and ordinary differential
equations of P-type. II. J. Math. Phys., 21, 1006-1015.
[Adler, 1979] Adler, M. 1979. On a trace functional for formal
pseudodifferential operators and the symplectic structure for the Korteweg-de
Vries equations. Invent. Math., 50, 451-500.
[Adler & van Moerbeke, 1982a] Adler, М., & van Moerbeke, P. 1982a. The
algebraic integrability of geodesic flow on 50(4). Invent. Math., 67, 297-326.

280
Литература
[Adler & van Moerbeke, 1982b] Adler, М.,	& van Moerbeke, P.
1982b. Kowalewski’s asymptotic method, Kac-Moody Lie algebras
and regularization. Commun. Math. Phys., 83, 83-106.
[Adler & van Moerbeke, 1987] Adler, М., & van Moerbeke, P. 1987.
Algebraic completely integrable systems: a systematic approach. Seminaire
de Mathematique. Institut de Mathematique pure et appliquee. Universite
Catholique de Louvain, 1, 165-309.
[Adler & van Moerbeke, 1989a] Adler, М., & van Moerbeke, P. 1989a.
Algebraic completely integrable systems: a systematic approach. Plenum,
New York.
[Adler & van Moerbeke, 1989b] Adler, М., & van Moerbeke, P. 1989b. The
complex geometry of the Kowalewski-Painleve analysis. Invent, math., 97,
3-51.
[Ahn & Nam, 1996] Ahn, C., & Nam, S. 1996. Integrable structure in
supersymmetric gauge theories with massive hypermultiplets. Phys. Lett.
В, 387, 304-309.
[Albrecht et al., 1996] Albrecht, D., Mansfield, E. L., & Milne, A. E. 1996.
Algorithms for special integrals of ordinary differential equations. J. Phys. A,
29,973-991.
[Almeida et al., 1992] Almeida, M. A., Moreira, I. C., & Yoshida, H. 1992.
On the nonintegrability of the Stormer problem. J. Phys. A, 5, L227-L230.
[Andronov et al, 1971] Andronov, A. A., Leontovich, E. A., Gordon, 1.1.,
& MAIER, A. G. 1971. Theory of bifurcations of dynamic systems on a plane.
Israel Program for Scientific Translation, Jeruslaem.
[Ankiewicz & Pask, 1983] Ankiewicz, A., & Pask, C. 1983. The complete
Whittaker theorem for two-dimensional integrable systems and its
applications. J. Phys. A, 16, 4203-4208.
[Arnold, 1988a] Arnold, V. I. 1988a. Geometrical methods in the theory of
ordinary differential equations. Springer-Verlag, New York-Berlin.
[Arnold, 1988b] ARNOLD, V. I. 1988b. Mathematical methods of classical
mechanics (Second Edition). Springer-Verlag, New York.

Литература
281
[Arnold et al, 1997] Arnold, V. I., Kozlov, V. V., & Neishtadt, A. I. 1997.
Mathematical aspects of classical and celestial mechanics. Springer, New
York.
[Astrelyn, 1991] Astrelyn, A. V. 1991. A bound of degree of irreducible
eigenpolynomial of some differential operator. In: Watt, S. (ed), Proceedings
of the 1991 international Symposium on Symbolic and Algebraic computation.
acm press,.
[Audin, 1996] Audin, M. 1996. Spinning tops. A course on integrable systems.
Cambridge University Press, Cambridge.
[Audin & Silhol, 1993] Audin, М., & SlLHOL, R. 1993. Varifites abeliennes
reelles et toupie de Kowalevski. Compositio Math., 87, 153-229.
[Baby, 1987] Baby, В. V. 1987. The Painleve property, Lax pair, auto-Backliind
transformation and recursion operator of a perturbed KdV equation. J. Phys.
A, 20, L555-L558.
[Barouch et al., 1973] Barouch, E., Coy, В. M. Me, & Wu, Т. T. 1973. Zero-
field suceptibility of the two-dimensional Ising model near Tc. Phys. Rev.
Lett, 31, 1409-1411,
[Baumann, 1992] Baumann, G. 1992. The Paul trap: a completely integrable
model? Phys. Lett. A, 162, 464-468.
[Baxter, 1982] Baxter, R. J. 1982. Exactly solved models in statistical
mechanics. Academic Press, New York.
[Bechlivanidis & van Moerbeke, 1987] Bechlivanidis, C., & van Moerbeke,
P. 1987. The Goryachev-Chaplygin top and the Toda lattice. Commun. Math.
Phys., 110, 317-324.
[Bender & Orszag, 1978] Bender, C., & Orszag, S. A. 1978. Advanced
mathematical methods for scientists and engineers. McGraw-Hill, Auckland.
[Bemoff et al., 1998] Bernoff, A. J., Bertozzi, A. L., & Witelski, T. P.
1998.	Axisymmetric surface diffusion: dynamics and stability of self-similar
pinchoff. J. Stat. Phys., 93, 725-776.
[Bessis, 1990] BESSIS, D. 1990. An introduction to Kowalevski’s exponents.
Pages 299-320 of: CONTE, R., & BOCCARA, N. (eds), Partially integrable
evolution equations in physics. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht.

282
Литература
[Bessis & Fournier, 1984] Bessis, D., & Fournier, J. 1984. Pole condensation
and the Riemann surface associated with a shock in Burger’s equation. J.
Physique. Lett., 45, L833-L841.
[Blaszak & Rauch-Wojciechowski, 1994] Blaszak,	М.,	&	. Rauch-
Wojciechowski, S. 1994. A generalized Henon-FIeiles system and
related integrable Newton equations. J. Math. Phys., 35, 1693-1709.
[Bluman & Cole, 1974] Bluman, G. W., & COLE, J. D. 1974. Similarity
methods for differential equations. Springer-Verlag, New York.
[Bobenko & Kuznetsov, 1988] Bobenko, A. I., & Kuznetsov, A. I. 1988. Lax
representation and new formulae for the Gory ache v-Chaply gin top. J. Phys.
A., 21, 1999-2006.
[Bobenko et al., 1989] Bobenko, A. I., Reyman, A. G., & Semenov-Tian-
Shansky, M. A. 1989. The Kowalewski Top 99 years later: a Lax pair,
generalizations and explicit solutions. Commun. Math. Phys., 122, 321-354.
[Bountis, 1992] BOUNTIS, T. 1992. What can complex time tell us about real
dynamics? Int. J. Bifurcation Chaos Appl. Sci. Eng., 2 (2), 217-232.
[Bountis et al, 1982] BOUNTIS, Т., SEGUR, H., & VIVALDI, F. 1982. Integrable
Hamiltonian systems and the Painleve property. Phys. Rev. A., 25, 1257-1264.
[Bountis et al., 1983] Bountis, Т., Bier, М., & Humans, J. 1983. On the
integrability of some generalized Lotka-Volterra systems. Phys. Lett. A, 97,
11-14.
[Bountis et al., 1984] Bountis, Т., Ramani, A., Grammaticos, B., & Dorizzi,
B. 1984. On the complete and partial integrability of non-Hamiltonian
systems. Physica A, 128, 268-288.
[Bountis et al., 1991] Bountis, Т., Drossos, L., & Percival, I. C. 1991.
Nonintegrable systems with algebraic singularities in complex time. J. Phys.
A, 24,3217-3236.
[Bountis et al, 1993] Bountis, Т., Drossos, L., Lakshmanan, М., &
Parathesarathy, S. 1993. On the nonintegrability of a family of Duffing-van
der Pol oscillators. J. Phys. A, 26, 6927-6942.
[Brenig & Goriely, 1994] Brenig, L., & GORIELY, A. 1994. Painleve analysis
and normal forms. Pages 211-238 of: TOURNIER, E. (ed), Computer algebra
and differential equations. Cambridge University Press, Cambridge.

Литература
283
[Bronstein, 1990а] BRONSTErN, М. 1990а. On the integration of elementary
functions. J. Symb. Comput., 9, 117-173.
[Bronstein, 1997] BRONSTEIN, M. 1997. Symbolic Integration I: Transcendental
functions. Springer-Verlag, New York.
[Bronstein, 1990b] Bronstein, M. A. 1990b. A unification of Liouvillian
extension. Appl Alg. Eng. Commun. Comput., 1, 5-24.
[Bruno, 1989] BRUNO, A. D. 1989. Local methods in nonlinear differential
equations. Springer-Verlag, New York.
[Brzezinski, 1996] Brzezinski, T. 1996. Separation of variables and vacuum
structure of TV = 2 SUSY QCD. Phys. Lett. В, 383, 294-300.
[Bureau, 1987] Bureau, F. 1987. Sur des systemes differentiels non-lineaires du
troisieme ordre et les equations differentielles non-lineaires associees. Acad.
Roy. Belg. Bull CL Sci., 73, 335-353.
[Burov & Karapetyan, 1990] Burov, A. A., & Karapetyan, A. V. 1990. The
existence and stability of invariant sets of dynamical systems. PMM U.S.S.R.,
54,744-751.
[Cariello & Tabor, 1989] Cariello, F., & Tabor, M. 1989. Painleve expansions
for nonintegrable evolution equations. Physica D, 39, 77-94.
[Cariello & Tabor, 1991] Cariello, F., & Tabor, M. 1991. Similarity
reductions from extended Painleve expansions for nonintegrable evolution
equations. Physica D, 53, 59-70.
[Carnegie & Percival, 1984] Carnegie, A., & Percival, I. C. 1984. Regular
and chaotic motion in some quartic potentials. J. Phys. A, 17, 801-813.
[Chakravarty et al., 1990] Chakravarty, S., Ablowitz, M. J., & Clarkson,
P. A. 1990. Reductions of self-dual Yang-Mills fields and classical systems.
Phys. Rev. Lett., 65, 1085-1087.
[Chang, 1984] Chang, S. J. 1984. Classical Yang-Mills solutions and iterative
maps. Phys. Rev. D, 29, 259-268.
[Chang et al., 1981] CHANG, Y. F., Tabor, М., Weiss, J., & CORLISS, G. 1981.
On the analytic structure of the Henon-Heiles system. Phys. Lett. A, 85,
211-213.

284
Литература
[Chang et al., 1982] Chang, Y. F., Tabor, М., & Weiss, J. 1982. Analytic
structure of the Henon-Heiles Hamiltonian in integrable and nonintegrable
regimes. J. Math. Phys., 23, 531-538.
[Chang et al., 1983] Chang, Y. F., Greene, J., Tabor, М., & Weiss, J.
1983.	The analytic structure of dynamical systems and self-similar natural
boundaries. Physica D, 7, 183-207.
[Chazy, 1911] Chazy, J. 1911. Sur des equations differentielles du troisieme
ordre et d’ordre superieur dont T integrate generate a ses points critiques fixes.
Acta. Math., 34, 317-385.
[Chow & Hale, 1982] Chow, S. N, & Hale, J. H. 1982. Methods of bifurcation
theory. Springer-Verlag, New York.
[Christopher, 1994] CHRISTOPHER, C. J. 1994. Invariant algebraic curves and
condition for a center. Proc. R. Soc. Edimb., Sect. A, Math., 124, 1209-1229.
[Christov, 1994] ChristoV, О. B. 1994. On the nonintegrability of a system
describing the motion of a rigid body with a fixed point and a particle
oscillating in it. Bull. Sci. Math, 118, 385^-01.
[Chudnovsky et al, 1983] Chudnovsky, D. V., Chudnovsky, G. V., & Tabor,
M. 1983. Painleve property and multicomponent isospectral deformation
equations. Phys. Lett. A, 97, 268-275.
[Churchill & Falk, 1995] Churchill, R. C., & Falk, G. T. 1995. Lax pairs in
the Henon-Heiles and related Families. IMA Vol. Math. Appl., 63, 89-98.
[Churchill et al, 1995] CHURCHILL, R. C., ROD, D. L., & SINGER, M. F. 1995.
Group-theoretic obstructions to integrability. Ergodic Theory Dyn. Syst., 15,
15-48.
[Clarkson, 1986] CLARKSON, R A. 1986. The Painleve conjecture, the Painleve
property for partial differential equations and complete integrability. Physica
D, 18, 209-210.
[Clarkson, 1992] Clarkson, P. A. 1992. Dimensional reductions and exact
solutions of a generalized nonlinear Schrodinger equation. Nonlinearity, 5,
453-472.
[Clarkson & Kruskal, 1989] Clarkson, P. A., & Kruskal, M. D. 1989. New
similarity reductions of the Boussinesq equation. J. Math. Phys., 30(10),
2201-2213.

Литература
285
[Clarkson & Mansfield, 1993] Clarkson, P. A., & Mansfield, E. L. 1993.
Symmetry reductions and exact solutions of a class of nonlinear heat
equations. Physica D, 70, 250-288.
[Cleary, 1989] Cleary, P. W. 1989. Integrability and orbits in quartic polynomial
potentials. J. Math. Phys., 30(10), 2214-2225.
[Cleary, 1990] Cleary, P. W. 1990. Nonexistence and existence of various order
integrals for two- and three-dimensional polynomial potentials. J. Math. Phys.,
31, 1351-1355.
[Coddington & Levinson, 1955] Coddington, E. A., & Levinson, N. 1955.
Theory of ordinary differential equations. McGraw-Hill Book Company, New
York.
[Codutti, 1992] CODUTTI, M. 1992. NODES: nonlinear ordinary differential
equations solver. Pages 69-79 of: ACM (ed), International System Symposium
on Symbolic and Algebraic Computation 92. ACM, New York.
[Collins, 1994] Collins, С. B. 1994. Two-dimensional homogenous polynomial
vector fields with common factors. J. Math. Analysis and Applications, 181,
836-863.
[Collins, 1995] Collins, С. B. 1995. Algebraic conditions for a centre or a
focus in some simple systems of arbitrary degree. J. Math. Anal. Appl., 195,
719-735.
[Collins, 1996] Collins, С. B. 1996. Algebraic classification of homogeneous
polynomial vector fields in the plane. Japan J. Indust. Appl. Math., 13, 63-91.
[Conte, 1988] Conte, R. 1988. Universal invariance properties of Painleve
analysis and Backlund transformations in nonlinear partial differential
equations. Phys. Lett. A, 134, 100-104.
[Conte, 1991] CONTE, R. 1991. Partial integrability of damped, forced,
anharmonic oscillators. In: М., Peyrard, & REMOISSENET, M. (eds),
Nonlinear coherent structures in physics and biology. Springer-Verlag, Berlin.
[Conte, 1992] CONTE, R. 1992. The test of negative integer indices in Painleve
analysis of NLPDE. Nonlinear evolution equations and dynamical systems.
[Conte, 1994] CONTE, R. 1994. Singularities of differential equations and
integrability. In: BENEST, D., & FROESCHLE, C. (eds), An introduction

286
Литература
to methods of complex analysis and geometry for classical mechanics and
nonlinear waves. Editions Frontieres, Gif-sur-Yvette.
[Conte, 1999] Conte, R. 1999. The Painleve approach to nonlinear ordinary
differential equations. Pages 77-180 of: Conte, R. (ed), The Painleve
property. One century later Springer-Verlag, New York.
[Conte et al, 1993] Conte, R., Fordy, A. P., & Pickering, A. 1993.
A perturbative Painleve approach to nonlinear differential equations. Physica
A 69, 33-58.
[Cook & Roberts, 1970] Cook, A. E., & Roberts, P. H. 1970. The Rikitake
two-disc dynamo system. Proc. Camb. Phil. Soc., 68, 547-569.
[Cooke, 1984] COOKE, R. 1984. The mathematics of Sonya Kovalevskaya.
Springer-Verlag, New York.
[Coomes, 1989] Coomes, B. A. 1989. The Lorenz system	does	not	have	a
polynomial flow. J. Differ Equations, 82, 386-407.
[Costin & Costin, 1998] COSTIN, O., & COSTIN, R. D. 1998.	Singular	normal
form for the Painleve equation PI. Nonlinearity, 11, 1195-1208.
[Costin, 1997] COSTIN, R. D. 1997. Integrability properties of nonlinearly
perturbed Euler equations. Nonlinearity, 10, 905-924.
[Creamer et al., 1981] Creamer, D. B., Thacker, H. B., & Wilkinson, D.
1981. Some exact results for the two-point Amction of an integrable quantum
field theory. Phys. Rev. D, 23, 3081-3084.
[Creamer et al., 1986] Creamer, D. B., Thacker, H. B., & Wilkinson, D.
1986.	A study of corelation functions for the delta-function bose gas. Physica
Д 20, 155-186.
[Damianou, 1991] Damianou, P. A. 1991. The Volterra model and its relation
to the Toda lattice. Phys. Lett. A, 155, 126-132.
[Darboux, 1878] Darboux. 1878. Memoire sur les equations differentielles
algebriques du premier ordre et du premier degre (Melanges). Bull. Sci.
Math., 1, 60-96,123-144,151-2000.
[Das & Okubo, 1989] Das, A., & Okubo, S. 1989. A systematic study of the
Toda lattice. Ann. Phys., 190, 215-232.

Литература
287
[Delshams & Mir, 1997] Delshams, A., & Mir, A. 1997. Psi-series of quadratic
vector fields on the plane. Publ. Mat., 41, 101-125.
[Delshams & Seara, 1992] Delshams, A., & Seara, Т. M. .1992. An asymptotic
expression for the splitting of separatrices of the rapidly forced pendulum.
Commun. Math. Phys., 150, 433-463.
[Delshams & Seara, 1997] Delshams, A., & Seara, Т. M. 1997. Splitting of
separatrices in Hamiltonian systems with one and a half degrees of freedom.
Math. Phys. Electrn. J., 3, 1-40.
[Deryabin, 1997] Deryabin, М. V. 1997. Polynomial integrals of dynamical
systems and the Lax reduction. Math. Notes, 61, 363-364.
[Dobrovol’skii et al, 1998] Dobrovol’skii, V. A., V., Lokot’ N., &
Strelcyn, J. M. 1998. Mikhail Nikolaevich Lagutinskii (1871-1915): Un
mathematicien meconnu. Hist. Math., 25, 245-264.
[Doering & Gibbon, 1995] Doering, C. R., & Gibbon, J. D. 1995. On the
shape and dimension of the Lorenz attractor. Dyn. Stab. Syst., 10, 255-268.
[Dorizzi etal, 1983] Dorizzi, B., Grammaticos, B., & Ramani, A. 1983.
A new class of integrable systems. J. Math. Phys., 24, 2282-2288.
[Dorizzi et al, 1986] Dorizzi, B., Grammaticos, B., Hietarinta, J., Ramani,
A., & Schwarz, F. 1986. New integrable three-dimensional quartic potentials.
Phys. Lett. A, 116, 432-436.
[Dovbysh, 1992] Dovbysh, S. A. 1992. The separatrix of an unstable position
of equilibrium of a Hess-Appelrot gyroscope. J. Appl. Math. Mech., 564,
534-545.
[Dubrovin, 1982] Dubrovin, B. A. 1982. Theta functions and nonlinear
equations. Russ. Math. Sarv., 36, 11-80.
[Ecalle, 1987] Ecalle, J. 1987. Classification analytique des champs
Hamiltoniens locaux. Invariants holomorphes et hamiltoniens etrangers.
Asterisque, 150-151, 67-86.
[Ecalle & Vallet, 1998] Ecalle, J., & Vallet, B. 1998. Correction and
linearization of resonant vector fields and diffeomorphisms. Math. Z, 229,
249-318.

288
Литература
[(ed) Conte, 1999] (ED) CONTE, R. 1999. The Painleve property. One century
later Springer-Verlag, New York.
[Ellison et al, 1993] Ellison, J. A., Kummer, М., & Saenz, A. W. 1993.
Transcendentally small transversality in the rapidly forced pendulum. J. Dyn.
Differ. Equations, 5, 241-277.
[Elphick et al, 1987] Elphick, C., Tirapegui, E., Brachet, М. E., Coullet,
R, & lOOSS, G. 1987. A simple global characterization for normal forms of
singular vector fields. Physica D, 29, 95-127.
[Emelyanov & Tsygvintsev, 2000] Emelyanov, К. V., & Tsygvintsev, A. V.
2000. Kovalevskaya exponents of systems with exponential interaction. Sb.
Math., 191, 1459-1469.
[Ercolani & Siggia, 1986] Ercolani, N., & SlGGiA, E. 1986. Painleve property
and integrability. Phys. Lett. A, 119, 112-116.
[Ercolani & Siggia, 1989] Ercolani, N., & Siggia, E. 1989. Painleve property
and geometry. Physica D, 34, 3303-3346.
[Ercolani & Siggia, 1991] Ercolani, N., & Siggia, E. 1991. Painleve property
and integrability. Pages 63-72 of: Zakharov, V. E. (ed), What is
integrability? Springer-Verlag, New York.
[Ershov et al, 1989] Ershov, S., Malinetskii, G. G., & Ruzmaikin, A. 1989.
A generalized two-disk dynamo model. Geophys. Astrophys. Fluid Dynamics,
47, 251-277.
[Estevez, 1999] Estevez, P. G. 1999. Darboux transformation and solutions for
an equation in 2 + 1 dimensions. J. Math. Phys., 40, 1406-1419.
[Estevez & Gordoa, 1997] Estevez, P. G., & Gordoa, P. R. 1997. Darboux
transformations via Painleve analysis. Inverse Probl, 13, 939-957.
[Estevez & Gordoa, 1998] Estevez, P. G., & Gordoa, P. R. 1998. Non-
classical symmetries and the singular manifold method: a further two
examples. J. Phys. A, 31, 7511-7519.
[Estevez et al, 1998] Estevez, P. G., CONDE, E., & Gordoa, P. R. 1998.
Unified approach to Miura, Backhand and Darboux transformations for
nonlinear partial differential equations. J. Nonlinear Math. Phys., 5, 82-114.

Литература
289
[Evans, 1990] Evans, N. W. 1990. Super-integrability of the Wintemitz system.
Phys. Lett. A, 147, 483-486.
[Fiedler & Scheurle, 1996] Fiedler, B., & Scheurle, J. 1996. Discretization
of homoclinic orbits, rapid forcing and “invisibleMchaos. Mem. Amer. Math.
Soc., 119, 1-79.
[Figueiredo et al., 1998] Figueiredo, A., Filho, Т. M. Rocha, & Brenig, L.
1998.	Algebraic structures and invariant manifolds of differential systems.
J. Math. Phys., 39, 2929-2946.
[Flaschka, 1974] Flaschka, H. 1974. On the Toda lattice. II. Inverse-scattering
solution. Prog. Theor. Phys., 51.
[Flaschka, 1975] Flaschka, H. 1975. The Toda lattice I. Existence of first
integrals. Phys. Rev., 9, 1924-1925.
[Flaschka, 1988] Flaschka, H. 1988. A remark on integrable Hamiltonian
systems. Phys. Lett. A, 131, 505-508.
[Flaschka et al, 1991] Flaschka, H., Newell, A. C., & Tabor, M. 1991.
Integrability. Pages 73-114 of: Zakharov, V. E. (ed), What is integrability?
Springer-Verlag, New York.
[Fomenko, 1988] FOMENKO, A. T. 1988. Integrability and nonintegrability in
geometry and mechanics. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht.
[Fordy & Pickering, 1991] Fordy, A. P., & Pickering, A. 1991. Analysing
negative resonances in the Painleve test. Phys. Lett. A, 160, 347-354.
[Forsyth, 1900] FORSYTH, A. R. 1900. Theory of Differential Equations.
Cambridge University Press, Cambridge.
[Fournier et al., 1988] Fournier, J. D., Levine, G., & Tabor, M. 1988.
Singularity clustering in the Duffing oscillator. J. Phys. A, 21, 33-54.
[Fran^oise & Irigoyen, 1990] FRANfOiSE, J. P, & Irigoyen, M. 1990. Systemes
hamiltoniens non integrables et instability des solutions d’equations de Hill.
C.	R. Acad. Sci. Paris. Serie I, 311, 165-167.
[Franchise & Irigoyen, 1993] Fran^oise, J. P, & Irigoyen, M. 1993. Non-
integrable Hamiltonian systems and the Heun equation. J. Geom. Phys., 10,
231-243.

290
Литература
[Frisch & Morf, 1981] Frisch, U., & Morf, R. 1981. Intermittency in nonlinear
dynamics and singularities at complex time. Phys. Rev. A, 23, 2673-2705.
[Furta, 1996] Furta, S. D. 1996. On non-integrability of general systems of
differential equations. Z. Angew. Math. Phys., 47, 112-131.
[Gardner et al., 1967] Gardner, C. S., Greene, J. М., Kruskal, M. D., &
MlURA, R. M. 1967. Method for solving the Korteweg-de Vries equation.
Phys. Rev. Lett., 19, 1095-1097.
[Gardner et al., 1974] Gardner, C. S., Greene, J. М., Kruskal, M. D., &
MlURA, R. M. 1974. Korteweg-de Vries equation and generalizations, VI.
Methods of exact solution. Commun. Pure Appl. Math., 27, 97-133.
[Gelfreich, 1994] Gelfreich, V. G. 1994. Separatrices splitting for the rapidly
forced pendulum. Prog. Nonlinear Differential Equations Appl., 12, 47-67.
[Giacomini & Neukirch, 1997] Giacomini, H., & Neukirch, S. 1997. Integrals
of motion and the shape of the attractor for the Lorenz model. Phys. Lett. A,
227, 309-318.
[Giacomini et al, 1991] Giacomini, H. J., Repetto, С. E., & Zandron, O. R
1991. Integrals of motion for three-dimensional non-Hamiltonian dynamical
systems. J. Phys. A, 24, 4567-4574.
[Giannini & Joseph, 1989] Giannini, J. A., & JOSEPH, R. I. 1989. The role
of the second Painleve transcendent in nonlinear optics. Phys. Lett. A, 141,
417-419.
[Gibbon & Tabor, 1985] Gibbon, J. D., & Tabor, M. 1985. On the one- and
two-dimensional Toda lattices and the Painleve property. J. Math. Phys., 26,
1956-1960.
[Gibbon et al., 1985] Gibbon, J. D., Radmore, P., Tabor, М., & Wood, D.
1985.	The Painleve property and Hirota’s method. Stud. Appl. Math., 72,
39-63.
[Gibbon et al, 1988] Gibbon, J. D., Newell, A. C., Tabor, М., & Zeng, Y. B.
1988. Lax Pairs, Backhand transformations and special solutions for ordinary
differential equations. Nonlinearity, 1, 481-490.
[Gindkin, 1988] GlNDKIN, S. G. 1988. Tales of physicists and mathematicians.
Birkhauser, Boston.

Литература
291
[Glangetas & Merle, 1994] Glangetas, L., & Merle, F. 1994. Existence of
self-similar blow-up solutions for Zakharov equation in dimension two. Part I.
Commun. Math. Phys., 160, 173-215.
[Goldstein, 1980] Goldstein, H. 1980. Classical mechanics. Addison-Wesley.
[Golubev, 1953] Golubev, V. V. 1953. Lectures on the integration of the
equations of motion of a rigid body about a fixed point. State Publishing
House, Moscou.
[Gorbusov, 1994] Gorbusov, V. N. 1994. Autonomous integrals and Jacobi last
factors for systems of ordinary differential equations. Differ. Equations, 30,
868-875.
[Goriely, 1992] Goriely, A. 1992. Investigation of Painleve property undertime
singularities transformations. J. Math. Phys., 33 (8), 2728-2742.
[Goriely, 1996] Goriely, A. 1996. Integrability, partial integrability and
nonintegrability for systems of ordinary differential equations. J. Math. Phys.,
37,1871-1893.
[Goriely, 2001] GORIELY, A. 2001. Painleve analysis and normal forms. Physica
D, 152-153, 124-144.
[Goriely & Hyde, 1998] GORIELY, A., & HYDE, C. 1998. Finite time blow-up
in dynamical systems. Phys. Lett. A, 250, 311-318.
[Goriely & Hyde, 2000] GORIELY, A., & HYDE, C. 2000. Necessary and
Sufficient conditions for finite-time blowup in systems of ordinary differential
equations. J. Differ. Equations, 161, 422-448.
[Goriely & Tabor, 1994] Goriely, A., & TABOR, M. 1994. How to compute the
Melnikov vector? In: Proceedings of ISSAC94: International Symposium on
Algebraic and Symbolic Computation. NAG,.
[Goriely & Tabor, 1995] Goriely, A., & Tabor, M. 1995. The singularity
snalysis for nearly integrable systems: homoclinic intersections and local
multivaluedness. Physica D, 85, 93-125.
[Goriely & Tabor, 1998] Goriely, A., & Tabor, M. 1998. The role of complex¬
time singularities in chaotic dynamics. Regular and Chaotic Dynamics, 3,
32^4.

292
Литература
[Gramniaticos et al., 1983] Grammaticos, B., Dorizzi, B., & Ramani, A.
1983. Integrability of Hamiltonians with third- and fourth-degree polynomial
potentials. J. Math. Phys., 24.
[Grammaticos et al., 1984] Grammaticos, B., Dorizzi, B., & Ramani, A.
1984. Hamiltonians with higher-order integrals and the “weak-Painleve”
concept. J. Math. Phys., 25, 3470-3473.
[Grammaticos et al, 1985] Grammaticos, B., Dorizzi, B., Ramani, A., &
Hietarinta, J. 1985. Extending integrable Hamiltonian systems from 2 to n
dimensions. Phys. Lett. A, 109, 81-84.
[Grammaticos et al., 1987] Grammaticos, B., Ramani, A., & Yoshida, H.
1987.	The demise of a good integrability candidate. Phys. Lett. A, 124,
65-67.
[Grammaticos et al., 1990a] Grammaticos, B., Moulin-Ollagnier, J.,
Ramani, A., Strelcyn, J. M, & Wojciechowski, S. 1990a. Integrals of
quadratic ordinary differential equations in R3: The Lotka-Volterra system.
Physica A, 163, 8.
[Grammaticos et al, 1990b] Grammaticos, B., Ramani, A., & Hietarinta, J.
1990b. A search for integrable bilinear equations: The Painleve approach.
J. Math. Phys., 31, 2572-2577.
[Grammaticos et al., 1999] Grammaticos, B., Nijhoff, R, & Ramani, A.
1999.	Discrete Painlevh equations. Pages 413-516 of: The Painleviiproperty.
Springer, New York.
[Guckenheimer & Holmes, 1983] Guckenheimer, J., & Holmes, P. 1983.
Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcations of vector fields.
Springer-Verlag, New York.
[Haine & Horozov, 1987] Haine, L., & HOROZOV, E. 1987. A Lax pair for the
Kowalevski’s top. Physica D, 29, 173-180.
[Halphen, 1921] Halphen, G. H. 1921. Oeuvres de G.-H. Halphen,. Tome III.
Sur la reduction des equations differentielles lineaires aux formes integrables.
Gauthier-Villars et Cie, Paris.
[Hansen, 1992] Hansen, К. T. 1992. Pruning of orbits in four-disk and
hyperbola billiards. Chaos, 2, 71-75.

Литература
293
[Hasting & McLeod, 1980] Hasting, S. P., & McLeod, J. B. 1980. A boundary
value problem associated with the second Painleve transcendent and the
Korteweg-de Vries equation. Arch. Rat. Mech. Anal., 73, 31-51.
[Hemmi & Melkonian, 1995] Hemmi, M. A., & Melkonian, S. 1995.
Convergence of Psi-series solutions of nonlinear ordinary differential
equations. Canad. Appl. Math. Quart., 3, 43-88.
[Henon & Heiles, 1964] Henon, М., & Heiles, C. 1964. The applicability of
the third integral of motion: some numerical experiments. Astron. J., 73-84.
[Hewitt, 1991] Hewitt, C. G. 1991. Algebraic invariant curves in cosmological
dynamical systems and exact solutions. Gen. Relativity Gravitation, 23, 1363—
1383.
[Hietarinta, 1984] HlETARlNTA, J. 1984. New integrable Hamiltonians with
transcendental invariants. Phys. Rev. Lett., 52, 1057-1060.
[Hietarinta, 1987] Hietarinta, J. 1987. Direct methods for the search of the
second invariant. Phys. Rep., 147, 87-154.
[Hille, 1969] HlLLE, E. 1969. Lectures on ordinary differential equations.
Addison-Wesley, Reading, Massachusetts.
[Hirota, 1986] Hirota, R. 1986. Reduction of soliton equations in bilinear form.
Physica D, 18, 161-170.
[Hlavaty, 1988] Hlavaty, L. 1988. The Painleve classification, dominant
truncations and resonance analysis. J. Phys. A, 21, 2855-2863.
[Hocking et al., 1972] Hocking, L. М., Stewartson, K., & Stuart, J. 1972.
A nonlinear instability burst in plane parallel flow. J. Fluid. Mech., 51, 705-
753.
[Holmes et al., 1988] Holmes, P., Marsden, J., & Scheurle, J. 1988.
Exponentially small splittings of separatrices with applications to KAM theory
and degenerate bifurcations. Contemp. Math., 81, 213-244.
[Holmes & Spence, 1984] Holmes, P. J., & Spence, D. 1984. On a Painleve-
type boundary problem. Q. J. Mech. Appl. Math., 37, 525-538,
[Holt, 1982] Holt, C. R. 1982. Construction of new integrable Hamiltonians in
two degrees of freedom. J. Math. Phys., 23, 1037-1047.

294
Литература
[Hoyer, 1879] Hoyer, Р. 1879.	Ueber	die	integration eines
diffemtialgleichungssystems von der form = a 1X2X3 + a,2X3X1 +
+ azxix2, ^	=	61x2x3 + 62x3x1 + 63X1X2,	^	= C1X2X3 +
+ C2X3X1 + C3X1X2 durch elliptische funktionen. Dissertation Konigl.
Friedrich-Willelms Univ., Berlin, 1-36.
[Hu, 1993] Ни, X. B. 1993. A Backliind transformation and nonlinear
superposition formula of a higher-order Ito equation. J. Phys. A, 26, 5895-
5903.
[Ibragimov, 1999] Ibragimov, N. H. 1999. Elementary Lie group analysis and
ordinary differential equations. John Wiley & Sons, New York.
[Icthiaroglou, 1989] Icthiaroglou, S. 1989. On the nonintegrability of Yang-
Mills potentials. J. Phys. A., 22, 3461-3465.
[Ince, 1956] INCE, E. L. 1956. Ordinary differential equations. Dover, New
York.
[Ishii, 1990] ISHII, M. 1990. Painleve property and algebraic integrability of
single variable ordinary differential equations with dominants. Prog. Theor.
Phys., 84, 386-391.
[Ishii, 1992] Ishii, M. 1992. Many-valuedness of first integrals, their domains
and many valued solutions. Progr. Theor. Phys., 87, 93-101.
[Ito, 1985] ITO, H. 1985. Non-integrability of Henon-Heiles system and a
theorem of Ziglin. Kodai Math J., 8, 120-138.
[Ito, 1987] ITO, H. 1987. A criterion for non-integrability of Hamiltonian
systems with nonhomogeneous potentials. J. Appl. Math. Phys. (ZAMP),
38, 457^76.
[Jackson, 1992] JACKSON, E. A. 1992. Perspectives of nonlinear dynamics.
Cambridge University Press, Cambridge, New York.
[Jaroensutasinee & Rowlands, 1994] Jaroensutasinee, K., & Rowlands, G.
1994.	Stability analysis of x = ±y periodic orbits in a \	— xy)2 potential.
J. Phys. A, 27, 1163-1178.
[Jimbo et al., 1981] Jimbo, М., Miwa, Т., Y., Mori, & Sato, M. 1981. Density
matrix of an impenetrable Bose gas and the fifth Painleve transcendent.
Physica D, 1, 80-158.

Литература
295
[Jones & Singerman, 1987] JONES, G. A., & SlNGERMAN, D. 1987. Complex
Functions. Cambridge University Press, Cambridge.
[Jouanolou, 1979] JOUANOLOU, J. P. 1979. Equations de Pfaff algebriques.
Springer-Verlag, New York.
[Kadanoff & Kohmoto, 1980] Kadanoff, L. P., & Конмото, M. 1980. SMJ’s
analysis of Ising correlation function. Ann. Phys., 126, 371-398.
[Kichenassamy & Littman, 1993a] KlCHENASSAMY, S., & Littman, W. 1993a.
Blow-up surfaces for nonlinear wave equations, I. Comm. PDE, 18, 431^452.
[Kichenassamy & Littman, 1993b] KlCHENASSAMY, S., & LITTMAN, W. 1993b.
Blow-up surfaces for nonlinear wave equations, II. Comm. PDE, 18, 1869-
1899.
[Kichenassamy & Srinivasan, 1995] Kichenassamy, S., & Srinivasan, G. K.
1995.	The structure of the WTC expansions and applications. J. Phys. A, 28,
1977-2004.
[Kimura, 1969] Kimura, T. 1969. On Riemann’s equation which are solvable
by quadratures. Funkc. Ekvacioj Ser. Int., 12, 269-281.
[Klapper et al, 1996] Klapper, I., Rado, A., & Tabor, M. 1996. A Lagrangian
study of dynamics and singularity formation at magnetic null points in ideal
three dimensional magnetohydrodynamics. Phys. Plasmas, 3, 4281-4283.
[Kodama & Ye, 1996] Kodama, Y., & Ye, J. 1996. Toda lattices with indefinite
metric. Physica D, 91, 321-339.
[Kodama & Ye, 1998] KODAMA, Y., & Ye, J. 1998. Toda lattices with indefinite
metric II: Topology of the iso-spectral manifolds. Physica D, 121, 89-108.
[Komarov & Kuznetsov, 1990] Komarov, I. V., & Kuznetsov, V. B. 1990.
Kowalewski’s top on the Lie algebras o(4), e(3) and o(3,1). J. Phys. A, 23,
841-846.
[Komarov & Novikov, 1994] Komarov, I. V., & Novikov, E. I. 1994. Spectral
surface for the quantum Goryachev-Chaplygin top. Phys. Lett. A, 186, 396-
402.
[Konopelchenko & Strampp, 1991] Konopelchenko, B., & Strampp, W.
1991.	On the structure and properties of the singularity manifold equations of
the KP hierarchy. J. Math. Phys., 32, 40-49.

296
Литература
[Kooij & Christopher, 1993] Koou, R. E., & Christopher, C. J. 1993.
Algebraic invariant curves and the integrability of polynomial systems. Appl.
Math. Lett., 6, 51-53.
[Korteweg & de Vries, 1895] KORTEWEG, D. J., & DE VRIES, G. 1895. On the
change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new
type of long stationary waves. Phil. Mag. Ser. 5, 39, 422-443.
[Kostant, 1979] Kostant, B. 1979. The solution to a generalized Toda lattice
and representation theory. Adv. Math., 34, 195-338.
[Kovacic, 1986] KOVACIC, J. J. 1986. An algorithm for solving second order
linear homogeneous differential equations. J. Symb. Comput., 2, 3-43.
[Kowalevski, 1889a] Kowalevski, S. 1889a. Sur le probleme de la rotation
d’un corps solide autour d’un point fixe. Acta Mathematica, 12, 177-232.
[Kowalevski, 1889b] Kowalevski, S. 1889b. Sur une propriete du systeme
d’equations differentielles qui definit la rotation d’un corps solide autour d’un
point fixe. Acta Mathematica, 14, 81-93.
[Kozlov, 1992] KOZLOV, V. V. 1992. Tensor invariants of quasihomogeneous
systems of differential equations, and the Kovalevskaya-Lyapunov asymptotic
method. Math. Notes, 51, 138-142.
[Kozlov, 1996] Kozlov, V. V. 1996. Symmetries, topology, and resonances in
Hamiltonian mechanics. Springer-Verlag, Berlin.
[Kozlov, 1998] Kozlov, V. V. 1998. Branching of the solutions and polynomial
integrals of the equations of dynamics. J. Appl. Math. Mech., 62, 1-8.
[Kruskal & Clarkson, 1992] Kruskal, М., & Clarkson, R A. 1992. The
Painleve-Kowalesvski and Poly-Painleve test for integrability. Stud. Appl.
Math., 86, 87-165.
[Kruskal et al., 1990] Kruskal, M. D., Ramani, A., & Grammaticos, B.
1990. Singularity analysis and its relation to complete, partial and non-
integrability. Pages 321-372 of: CONTE, R., & BOCCARA, N. (eds), Partially
integrable evolution equations in physics. Kluwer Academic Publishers,
Dordrecht.
[Kudryashov, 1988] KUDRYASHOV, N. A. 1988. Exact solutions of the
generalized evolution equation of wave dynamics. J. Appl. Math. Mech.,
52, 361-365.

Литература
297
[Kudryashov, 1990] Kudryashov, N. A. 1990. Exact solutions of the
generalized Kuramoto-Sivashinsky equation. Phys. Lett. A, 147, 287-291.
[Kudryashov, 1992] Kudryashov, N. A. 1992. Partial differential equations
with solutions having movable first order singularities. Phys. Lett. A, 169,
237-242.
[Kummer & Saenz, 1994] Kummer, М.,	&	Saenz,	A. W. 1994.
Nonintegrability of the classical Zeeman Hamiltonian. Commun. Math. Phys.,
162, 447-465.
[Kummer et al., 1990] KUMMER, М., CHURCHILL, R. C., & ROD, D. L. 1990.
On a result of Bruns. Can. Math. Bull., 33, 175-180.
[Kummer et al., 1991] Kummer, М., Churchill, R. C., & Rod, D. L. 1991.
On Kovalevski exponents. Pages 71-76 of: ELLISON, J. A., & UBERALL, H.
(eds), Essays on classical and quantum dynamics (A festschrift for Albert W.
Saenz). Gordon and Breach Science Publishers, Philadelphia.
[Kds, 1983] KUS, M. 1983. Integrals of motion for the Lorenz system. J. Phys.
A, 16, L689-L691.
[Labrunie & Conte, 1996] Labrunie, S., & Conte, R. 1996. A geometrical
method towards first integrals for dynamical systems. J. Math. Phys., 37,
6198-6206.
[Lang, 1987] Lang, S. 1987. Elliptic functions. With an appendix by J. Tate.
Springer-Verlag, New York.
[Latifi et al., 1994] Latifi, A., Musette, М., & Conte, R. 1994. The Bianchi
IX cosmological model is not integrable. Phys. Lett. A, 194, 83-92.
[Lax, 1968] Lax, P. D. 1968. Integrals of nonlinear equations of evolution and
solitary waves. Commun. Pure Appl. Math., 221, 467-490.
[Leimanis, 1965] Leimanis, E. 1965. The general problem of the motion of
coupled rigid bodies about a fixed point. Springer-Verlag, Berlin.
[Levine & Tabor, 1988] Levine, G., & Tabor, M. 1988. Integrating the
nonintegrable: Analytic structure of the Lorenz system revisited. Physica
D, 33, 189-210.
[Lichtenberg & Lieberman, 1983] LlCHTENBERG, A. J., & LlEBERMAN, M. A.
1983. Regular and stochastic motion. Springer-Verlag, New York.

298
Литература
[Liouville, 1834] Liouville, J. 1834. Sur les transcendentes elliptiques de
premiere et de seconde espece, consideree comme fonction de leur amplitude.
J. Ecole Polytech., 14, 289-296.
[Liouville, 1835] Liouville, J. 1835. Memoire sur Г integration d’une.classe de
fonctions transcendantes. Reine Angew. Math., 13, 93-118.
[Liouville, 1839] Liouville, J. 1839. Memoire sur Г integration d’une classe
d’equation differentielles du second ordre en quantites finies explicites.
J. Math. Pures Appl., IV, 423-456.
[Liouville, 1841] Liouville, J. 1841. Remarques nouvelles sur l’equation de
Riccatti. J. Math. Pures et Appl, VI, 1-13.
[Lochak, 1985] Lochak, R 1985. Pairing of the Kowaleskaya exponents in
Hamiltonian systems. Phys. Lett. A, 108, 188-190.
[Lorenz, 1963] Lorenz, E. N. 1963. Deterministic nonperiodic flow.
J. Atmospheric Sci., 20, 130-141.
[Lunkevich & Sibirskii, 1982] LUNKEVICH, V. A., & SlBlRSKIl, K. S. 1982.
Integral of a general quadratic differential system in cases of a center. Differ,
equations, 18, 563-568.
[Liitzen, 1990] LUTZEN, J. 1990. Joseph Liouville 1809-1882: Master of Pure
and Applied Mathematics. Springer-Verlag, New York.
[Lyapunov, 1894] Lyapunov, A. M. 1894. On a certain property of the
differential equations of the problem of motion of a heavy rigid body, having
a fixed point (Russian). Soobsc. Har’kovsk. Mat. Obsc., 4, 123-140.
[MacCallum, 1983] MacCallum, М. A. H. 1983. Static and stationary
“cylindrically symmetric” Einstein-Maxwell fields, and the solutions of van
der Bergh and Wils. J. Phys. A, 16, 3853-3866.
[Maciejewski & Strelcyn, 1995] Maciejewski, A. J., & Strelcyn, J. M. 1995.
Non-integrability of the generalized Halphen system. Phys. Lett. A, 201,
161-166.
[Maciejewski & Szydlowski, 1998] Maciejewski, A. J., & Szydlowski, M.
1998.	On the integrability of Bianchi cosmological models. J. Phys. A, 31,
2031-2043.

Литература
299
[Man, 1993] Man, Y. К. 1993. Computing closed form solutions of first order
ODEs using the Prelle-Singer procedure. J. Symb. Compute 16, 423-443.
[Man &MacCallum, 1997] Man, Y. K., & MacCallum, М. A. H. 1997.
A rational approach to the Prelle-Singer algorithm. J. Symbolic Comput.,
24, 31-43.
[Manakov, 1975] Manakov, S. V. 1975. Complete integrability and
stochastization of discrete dynamical systems. Sov. Phys. JETP, 40, 269-
274.
[Marsden & Ratiu, 1994] Marsden, J., & Ratiu, T. 1994. Classical Mechanics.
Springer-Verlag, New York.
[Marshall, 1998] Marshall, I. D. 1998. The Kowalevski top: its r-matrix
interpretation and bi-Hamiltonian formulation. Commun. Math. Phys., 191,
723-734.
[Martinet & Ramis, 1991] Martinet, J., & Ramis, J. P. 1991. Elementary
acceleration and multisummability I. Ann. Inst. Henri Poincare, 54, 331-
401.
[Martinez-Alfaro & Chriald, 1992] Martinez-Alfaro, J., & Chriald, C.
1992.	Invariant rotational curves in the Sitnikov problem. Celest. Mech
and Dyn. Astronomy, 55, 351-367.
[Matsumo, 1992] Matsumo, Y. 1992. Two-dimensional dynamical system
associated with Abel’s nonlinear diffrential equation. J. Math. Phys., 33,
412-421.
[McCoy & Tang, 1986] McCoy, В. М., & Tang, S. 1986. Connection formulae
for Painleve V functions II. The 8 function bose gas problem. Physica D, 20,
187-216.
[McLeod & Olver, 1983] McLeod, J. B., & Olver, P. J. 1983. The connections
between partial differential equations soluble by inverse scattering and
ordinary differential equations of Painleve type. SIAM J. Math. Anal, 14,
488-506.
[Meletlidou, 2000] Meletlidou, E. 2000. A non-integrability test for perturbed
separable planar Hamiltonians. Phys. Lett. A, 270, 47-54.

300
Литература
[Meletlidou & Ichtiaroglou, 1994] Meletlidou, E., & Ichtiaroglou, S. 1994.
On the number of isolating integrals in perturbed Hamiltonian systems with
n ^ 3 degrees of freedom. J. Phys. A, 27, 3919-3926.
[Melkonian & Zypchen, 1995] Melkonian, S.,	&	Zypchen, A. 1995.
Convergence of psi-series solutions of the Duffing equation and the Lorenz
system. Nonlinearity, 8, 1143-1157.
[Menyuk et al, 1982] Menyuk, C. R., Chen, H. H., & Lee, Y. C. 1982.
Intgerable Hamiltonian systems and the Lax pair formalism. Phys. Rev. A, 26,
3731-3733.
[Menyuk et al., 1983] Menyuk, C. R., Chen, H. H., & Lee, Y. C. 1983.
Restricted multiple three-waves interaction: Painleve analysis. Phys. Rev.
A, 27, 1597-1611.
[Mersman, 1970] Mersman, W. A. 1970. A new algorithm for the Lie
transform. Celest. Mech., 3, 81-89.
[Mikolaevskii & Schur, 1983] MlKOLAEVSKIl, E. S., & SCHUR, L. N. 1983. The
nonintegrability of the classical Yang-Mills equations. Sov. Phys. JETP, 58,
1-7.
[Mishra & Parashar, 1990] Mishra, S. C., & Parashar, D. 1990. Integrable
classical systems in higher dimensions. Int. J. Theor. Phys., 29, 299-309.
[Miura, 1968] MlURA, R. M. 1968. Korteweg-de Vries equation and
generalizations, I. A remarkable explicit nonlinear transformation. J. Math.
Phys., 9, 1202-1204.
[Miura et al., 1968] Miura, R. М., Gardner, C. S., & Kruskal, M. D. 1968.
Korteweg-de Vries equation and generalizations, II. Existence of conservation
laws and constants of motion. J. Math. Phys., 9,	1204-1209.
[Morales-Ruis & Ramis, 1998] Morales-Ruis, J.	J., & Ramis,	J.	P.	1998.
Galoisian obstructions to integrability in Hamiltonian systems II. Preprint.
[Morales-Ruiz, 1999] MORALES-RUIZ, J. J. 1999. Differential Galois theory and
non-integrability of Hamiltonian systems. Birkhauser, Basel.
[Morales-Ruiz & Ramis, 1998] Morales-Ruiz, J.	J., & Ramis,	J.	P.	1998.
Galoisian obstructions to integrability in Hamiltonian systems I.	Preprint.

Литература
301
[Morales-Ruiz & Ramis, 1999] Morales-Ruiz, J. J., & Ramis, J. R 1999.
Galoisian obstructions to integrability of Hamiltonian systems: statements
and examples. Pages 509-513 of: SlMO, C. (ed), Hamiltonian systems with
three or more degrees of freedom. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht.
[Morales-Ruiz & Simo, 1994] Morales-Ruiz, J. J., & SlMO, C. 1994. Picard-
Vessiot theory and Ziglin’s theorem. J'. Differ Equations107, 140-162.
[Morales-Ruiz & Simo, 1996] Morales-Ruiz, J. J., & Simo, C. 1996. Non-
Integrability criteria for Hamiltonians in the case of Lame normal variational
equations. J. Differ Equations, 129, 111-135.
[Moulin-Ollagnier, 1997] Moulin-Ollagnier, J. 1997. Polynomial first
integrals of the Lotka-Volterra system. Bull Sci. math., 121, 463-376.
[Moulin-Ollagnier, 1999] Moulin-Ollagnier, J. 1999. Rational integration of
the Lotka-Volterra system. Bull. Sci. math., 123, 437^-66.
[Moulin-Ollagnier & Nowicki, 1999] Moulin-Ollagnier, J., & Nowicki, A.
1999.	Polynomial algebra of constants of the Lotka-Volterra system. Colloq.
Math., 81, 263-270.
[Moulin-Ollagnier et al, 1995] MOULIN-OLLAGNIER, J., NOWICKI, A.,	&
Strelcyn, J. M. 1995. On the nonexistence of constants of derivations:
the proof of a theorem of Jouanolou and its development. Bull. Sci. math.,
119, 195-233.
[Mumford, 1984] MUMFORD. 1984. Tata lectures on theta II. Jacobian theta
functions and differential equations. Boston, Birkhauser Boston, Inc.
[Musette & Conte, 1991] Musette, М., & Conte, R. 1991. Algorithmic
method for deriving Lax pairs from the invariant Painleve analysis of nonlinear
partial differential equations. J. Math. Phys.
[Nekhoroshev, 1972] Nekhoroshev, N. N. 1972. Action-angle variables and
their generalization. Trans. Mosc. Math. Soc., 26, 180-198.
[Neukirch & Giacomini, 2000] Neukirch, S., & Giacomini, H. 2000. Shape
of attractors for three-dimensional dissipative dynamical systems. Phys. Rev.
E, 61,5098-5107.
[Newell, 1983] Newell, A. C. 1983. The history of the soliton. J. Appl. Mech.,
105, 1127-1138.

302
Литература
[Newell, 1985] Newell, A. С. 1985. Solitons in mathematics and physics.
SIAM, Philadelphia.
[Newell et al, 1987] Newell, A. C., Tabor, М., & Zeng, Y. B. 1987. A unified
approach to Painleve expansions. Physica D, 29, 1-68.
[Novikov & Veselov, 1985] Novikov, S., & Veselov, A. 1985. Poisson
brackets and complex tori. Proc. Steklov Inst. Math., 3, 53-65.
[Nowicki, 1996] NOWICKI, A. 1996. On the nonexistence of rational first
integrals for systems of linear differential equations. Linear Algebra Appl.,
235, 107-120.
[Nucci & Clarkson, 1992] Nucci, М. C., & Clarkson, P. A. 1992. The
nonclassical method is more general than the direct method for symmetry
reductions. An example of the Fitshugh-Nagumo equation. Phys. Lett. A,
164, 49-56.
[Ohkitani, 1993] Ohkitani, K. 1993. Lagrangian Frozen-in hypothesis for
vortex stretching. J. Phys. Soc. Jpn, 62, 390-394.
[Ohta, 1995] Otita, M. 1995. Blow-up solutions and strong instability of
standing waves for the generalized Davey-Stewartson system in M2. Ann.
Inst. Henri Poincare, 63, 111-117.
[Olver, 1993] Olver, P. J. 1993. Applications of Lie groups to differential
equations. Springer-Verlag, New York.
[Painleve, 1973] Painleve, P. 1973. Oeuvres de Paul Painleve. Tome I. Editions
du centre national de la recherche scientifique, Paris.
[Palais, 1988] Palais, B. 1988. Blowup for nonlinear equations using a
comparison principle in Fourier space. Commun. Pure and Appl. Math.,
41, 165-196.
[Peral & Vazquez, 1995] Peral, I., & Vazquez, J. L. 1995. On the stability
or instability of the singular solution of the semilinear heat equation with
exponential reaction term. Arch. Rational Mech. Anal, 129, 201-224.
[Perelomov, 1990] Perelomov, A. M. 1990. Integrable systems of classical
mechanics and Lie Algebras Vol. I. Birkhauser, Basel.
[Perko, 1996] Perko, L. 1996. Differential equations and dynamical systems.
Second edition. Springer-Verlag, New York.

Литература
303
[Pikovskii & Rabinovich, 1981] PlKOVSKII, A. S., & RABINOVICH, М. I. 1981.
Stochastic behavior of dissipative systems. Math. Phys. Rev., 2, 165-208.
[Poincare, 1890] Poincare, H. 1890. Sur le probleme des trois corps et les
equations de la dynamique. Acta Math., 13, 1-271.
[Poincare, 1899] POINCARE, H. 1899. Les methodes nouvelles de la mecanique
celeste. Tome III. Gauthier-Villars, Paris.
[Prelle & Singer, 1983] Prelle, M. J., & Singer, M. F. 1983. Elementary first
integrals of differential equations. Trans. Amer. Math. Soc., 279, 215-229.
[Ramani et al., 1982] Ramani, A., Dorizzi, B., & Grammaticos, B. 1982.
Painleve conjecture revisited. Phys. Rev. Lett., 49, 1539-1541.
[Ramani et al, 1984] Ramani, A., Dorizzi, B., Grammaticos, B., & Bountis,
Т. 1984. Integrability and the Painleve property for low-dimensional systems.
J. Math. Phys., 25, 878-883.
[Ramani et al., 1989] Ramani, A., Grammaticos, B., & Bountis, T. 1989. The
Painleve property and singularity analysis of integrable and non-integrable
systems. Physics Reports, 180, 159-245.
[Ramis & Martinet, 1989] Ramis, J. P, & Martinet, J. 1989. Prolongement
analytique et resommation. In: TOURNIER, E. (ed), Computer algebra and
differential equations. Academic Press, London.
[Ranada, 1995] Ran ADA, M. F. 1995. Lax formalism for a family of integrable
Toda-related n-particle systems. J. Math. Phys., 36, 6846-6856.
[Ranada, 1997] Ranada, M. F. 1997. Superintegrable n = 2 systems, quadratic
constants of motion, and potentials of Drach. J. Math. Phys., 38, 4165^1178.
[Remmert, 1991] REMMERT, R. 1991. Theory> of complex functions. Springer-
Verlag, New York-Berlin.
[Reyman & Semenov-Tyan-Shansky, 1987] Reyman, A. G., & Semenov-
Tyan-Shansky, M. A. 1987. Lax representation with a spectral parameter
for the Kowalewski top and its generalizations. Lett. Math. Phys., 14, 55-61.
[Reyman & Semenov-Tyan-Shansky, 1988] Reyman, A. G., & Semenov-
Tyan-Shansky, M. A. 1988. Lax representation with a spectral parameter
for the Kovalevskaya top and its generalizations. Functional Anal. Appl., 22,
158-160.

304
Литература
[Risch, 1969] RlSCH, R. H. 1969. The problem of integration in finite terms.
Trans. Amer. Math. Soc., 139, 167-189.
[Risch, 1970] RlSCH, R. H. 1970. The solution of the problem of integration in
finite terms. Bull. Amer. Math. Soc., 76, 605-508.
[Rocha Filho et al., 1999] Rocha Filho, Т. М., Figueiredo, A., & Brenig, L.
1999.	[QPSI] A Maple package for the determination of quasi-polynomial
symmetries and invariants. Computer Phys. Commun., 117, 263-272.
[Rod & Sleeman, 1995] ROD, D. L., & SLEEMAN, B. D. 1995. Complexity in
spatio-temporal dynamics. Proc. R. Soc. Edimb., Sect. A, Math., 125, 959-974.
[Romeiras, 1994] Romeiras, F. J. 1994. The three-wave interaction of four
waves revisited: A Lax pair and possibly general solution. Pages 321-328 of:
Seimenis, J. (ed), Hamitonian Mechanics. Plenum Press, New York.
[Romeiras, 1995] Romeiras, F. J. 1995. Separability and Lax pairs for the two-
dimensional Hamiltonian systems with a quartic potential. J. Math. Phys., 36,
3559-3565.
[Rosenlicht, 1972] Rosenlicht, M. 1972. Integration in finite terns. Am. Math.
Monthly, 70, 963-973.
[Rudnev & Wiggins, 1998] Rudnev, М., & Wiggins, S. 1998. Existence of
exponentially small separatrix splittings and homoclinic connections between
whiskered tori in weakly hyperbolic near-integrable Hamiltonian systems.
Physica D, 114, 3-80.
[Sachdev & Ramanan, 1993] Sachdev, P. L.,	& Ramanan, S. 1993.
Integrability and singularity structure of predator-prey system. J. Math. Phys.,
34, 4025-4044.
[Sadetov, 1993] Sadetov, S. T. 1993. On resonances of the Kovalevskaya
exponents. Math. Notes, 54, 1081-1083.
[Saenz, 2000] Saenz, A. W. 2000. Nonintegrability of the Dragt-Finn model of
magnetic confinement: a Galoisian-group approach. Physica D, 144, 37-43.
[Sanders, 1982] Sanders, J. A. 1982. Melnikov’s method and averaging. Celest.
Mech., 28, 171-181.
[Sawidy, 1983] Savvidy, G. K. 1983. The Yang-Mills classical mechanics as
a Kolmogorov К-system. Phys. Lett. В, 130, 303-307.

Литература
305
[Schlomiuk, 1993а] Schlomiuk, D. 1993a. Algebraic particular integrals,
integrability and the problem of the center. Trans. Am. Math. Soc., 338,
799-841.
[Schlomiuk, 1993b] Schlomiuk, D. 1993b. Elementary first integrals and
algebraic invariant curves of differential equations. Expo. Math., 11, 433-
454.
[Schwarz, 1985] Schwarz, F. 1985. An algorithm for determining polynomial
first integrals of autonomous systems of ordinary differential equations.
J. Symb. Comput., 1, 229-233.
[Schwarz, 1991] Schwarz, F. 1991. Existence theorems for polynomial first
integrals. In: Watt, S. M. (ed), Proceedings of the 1991 international
Symposium on Symbolic and Algebraic computation. acm press,.
[Segur, 1982] Segur, H. 1982. Soliton and the inverse scattering transform.
Pages 235-277 of: Osborne, A. R., & Rizzoli, R Malanotte (eds), Topics
in ocean physics. North-Holland publishing, Amsterdam.
[Segur, 1991] Segur, H. 1991. Who cares about integrability? Physica D, 51,
343-359.
[Semenov-Tian-Shanski, 1983] Semenov-Tian-Shanski, M. A. 1983. What a
classical R-matrix is. Fund. Anal. Appl., 17, 259-272.
[Shtokhamer, 1988] Shtokhamer, R. 1988. Solving first order differential
equations using the Prelle-Singer algoritm. Technical Report 88-09, Center
For Mathematical Computation, University of Delaware., 09, 1-18.
[Shtokhamer et al., 1986] Shtokhamer, R., Glinos, N., & CAvrNESS, B. F.
1986.	Computing elementary first integrals of differential equations. Computer
and Mathematics Conference (Stanford), 1, 1-9.
[Singer, 1989] Singer, M. F. 1989. An outline of differential Galois theory.
Pages 3-57 of: TOURNIER, E. (ed), Computer algebra and differential
equations. Academic Press, New York.
[Singer, 1990] Singer, M. F. 1990. Formal solutions of differential equations.
J. Symbolic Computation, 10, 59-94.
[Singer, 1992] Singer, M. F. 1992. Liouvillian first integrals of differential
equations. Trans. Am. Math. Soc., 333, 673-688.

306
Литература
[Smith, 1973/74] SMITH, R. A. 1973/74. Singularities of solutions of certain
plane autonomous systems. Proc. R. Soc. Edimb., Sect. A, Math., 72, 307-
315.
[Soonkeon, 1997] Soonkeon, N. 1997. Integrable models, SUSY gauge
theories and string theory. Int. J. Modern Phys. A, 12, 1243-1251.
[Sparrow, 1982] Sparrow, C. 1982. The Lorenz equations. Springer-Verlag,
New York.
[Steeb, 1982] Steeb, W. H. 1982. Continuous symmetries of the Lorenz model
and the Rikitake two-disc dynamo system. J. Phys. A, 15, L389-L390.
[Steeb & Euler, 1988] Steeb, W. H, & Euler, N. 1988. Nonlinear evolution
equations and the Painleve test. World Scientific, Singapore.
[Steeb & van Tonder, 1988] Steeb, W. H, & van Tonder, A. J. 1988.
A comment on Lax representation, first integrals, Painleve analysis and Nambu
mechanics. Physica Scripta, 38, 782-784.
[Strelcyn & Wojciechowski, 1988] Strelcyn, J. M, & Wojciechowski, S.
1988.	A method of finding integrals for three-dimensional dynamical systems.
Phys. Lett. A, 133, 207-212.
[Strogatz, 1994] STROGATZ, S. H. 1994. Nonlinear dynamics and chaos.
Addison-Wesley, Reading, MA.
[Stuart & Floater, 1990] Stuart, A. М., & Floater, M. S. 1990. On the
computation of blow-up. Euro. J. Appl. Math., 1, 47-71.
[Tabor, 1984] Tabor, M. 1984. Modern dynamics and classical analysis. Nature,
310, 277-282.
[Tabor, 1989] Tabor, M. 1989. Chaos and integrability in nonlinear dynamics.
An introduction. Wiley Interscience, New York.
[Tabor & Gibbon, 1986] Tabor, М., & Gibbon, J. 1986. Aspect of the Painleve
property for partial differential equations. Physica D, 18, 180-189.
[Tabor & Weiss, 1981] Tabor, М., & Weiss, J. 1981. Analytic structure of the
Lorenz system. Phys. Rev. A, 24, 2157-2167.
[Thual et al., 1985] Thual, O., Frisch, U., & Henon, M. 1985. Application of
pole decomposition to an equation governing the dynamics of wrinkled flame
fronts. J. Physique, 46, 1485-1494.

Литература
307
[Toda, 1967] TODA, М. 1967. Vibrations of a chain with nonlinear interaction.
J. Phys. Soc. Japan, 20, 431^-36.
[Toda, 1981] TODA, M. 1981. Theory of nonlinear lattices. Springer, Berlin.
[Tomei, 1984] TOMEI, C. 1984. Topology of iso-spectral manifolds of
tridiagonal matrices. Duke Math. J'., 51, 981-996.
[Tsiganov, 1997] TsiGANOV, A. V. 1997. The Kowalewski top: a new Lax
representation. J. Math. Phys., 38, 196-211.
[Tsygvintsev, 2000] Tsygvintsev, A. 2000. The meromorphic nonintegrability
of the three-body problem. C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math., 331, 241-244.
[Tyson, 1978] Tyson, J. J. 1978. On the appearance of chaos in a model of the
Belousov-Zhabotinsky reaction. J. Math. Biol., 5, 351-362.
[Ulmer & Weil, 1996] Ulmer, F., & Weil, J. A. 1996. Note on Kovacic’s
algorithm. J. Symb. Comput., 22, 179-200.
[Umeno, 1995] Umeno, K. 1995. Non-integrable character of Hamiltonian
systems with global and symmetric coupling. Physica D, 82, 11-35.
[Vanhaecke, 1992] Vanhaecke, R 1992. Lienarizing two-dimensional
integrable system and the construction of action-angle variables. Math. Z,
211,265-313.
[Varkhalev & Gorr, 1984] Varkhalev, Y. P., & Gorr, G. V. 1984.
Asymptotically pendulum-like motions of the Hess-Appel’rot gyroscope.
Appl. Math. Mech., 48, 353-356.
[Vieillefosse, 1982] VlEILLEFOSSE, P. 1982. Local interaction between vorticity
and shear in a perfect incompressible fluid. J. Physique, 43, 837-842.
[Vivolo, 1997] Vivolo, O. 1997. Sur la non-integrabilite de potentiels
quartiques. Annales de la Faculte des Sciences de Toulouse, VI, 535-556.
[Walcher, 1991] Walcher, S. 1991. On differential equations in normal form.
Math. Ann., 291, 293-314.
[Weil, 1995] Weil, J. A. 1995. Constantes et polynomes de Darboux en
algebre differentielle: applications aux systemes differentiesl lineaires. Ecole
polytechnique, Ph. D. (Math).

308
Литература
[Weiss, 1983] Weiss, J. 1983. The Painleve property for partial differential
equations. II: Backlund transformations, Lax pairs, and the Schwarzian
derivative. J. Math. Phys., 24, 1405-1413.
[Weiss, 1984] Weiss, J. 1984. Backlund transformations and the Henon-Heiles
system. Phys. Lett. A, 105, 387-389.
[Weiss, 1985a] WEISS, J. 1985a. Modified equations, rational solutions, and
the Painleve property for the Kadomtsev-Petviashvili and Hirota-Satsuma
equations. J. Math. Phys., 26, 2174-2180.
[Weiss, 1985b] WEISS, J. 1985b. The Painleve property and Backlund
transformations for the sequence of Boussinesq equations. J. Math. Phys.,
26, 258-269.
[Weiss, 1989] WEISS, J. 1989. Backlund transformations and the Painleve
property. IMA Preprint series v. 509.
[Weiss et al., 1983] Weiss, J., Tabor, М., & Carnevale, G. 1983. The
Painleve property for partial differential equations. J. Math. Phys., 24, 522-
526.
[Whittaker, 1944] WHITTAKER, E. T. 1944. A treatise on the analytical dynamics
of particles and rigid bodies. Dover, New York.
[Wiggins, 1988] WIGGINS, S. 1988. Global bifurcations and chaos. Springer-
Verlag, New York-Berlin.
[Witelski & Bemoff, 1999] WlTELSKl, T. P., & BERNOFF, A. J. 1999. Stability of
self-similar solution for van der Waals driven thin film rupture. Phys. Fluids,
11, 2443-2445.
[Wu et al., 1976] Wu, Т. Т., McCoy, В. М., Tracy, C. A., & Barouch, E.
1976. Spin-spin correlation for the two-dimensional Ising model: exact theory
in the scaling region. Phys. Rev. В, 13, 316-322.
[Yoshida, 1983a] YOSHIDA, H. 1983a. Necessary conditions for the existence of
algebraic first integrals I. Celest. Mech., 31, 363-379.
[Yoshida, 1983b] Yoshida, H. 1983b. Necessary conditions for the existence
of algebraic first integrals II. Celest. Mech., 31, 381-399.
[Yoshida, 1984] Yoshida, H. 1984. Self-similar natural boundaries of non¬
integrable dynamical systems in the complex plane. In: KURAMOTO, Y. (ed),
Chaos and Statistical methods. Springer-Verlag, New York.

Литература
309
[Yoshida, 1986] YOSHIDA, Н. 1986. Existence of exponentially unstable periodic
solutions and the non-integrability of homogeneous Hamiltonian systems.
Physica D, 21, 163-170.
[Yoshida, 1987a] Yoshida, H. 1987a. A criterion for the non-existence of
an additional integral in Hamiltonian systems with homogeneous potential.
Physica D, 29, 128-142.
[Yoshida, 1987b] Yoshida, H. 1987b. Non-integrability of a class of perturbed
Kepler problems in two dimensions. Phys. Lett. A, 120, 388-390.
[Yoshida, 1988] Yoshida, H. 1988. Non-integrability of the truncated Toda
lattice Hamiltonian at any order. Commun. Math. Phys., 116, 529-538.
[Yoshida, 1989] Yoshida, H. 1989. A criterion for the non-existence of an
additional analytic integral in Hamiltonian systems with n degrees of freedom.
Phys. Lett. A, 141, 108-112.
[Yoshida, 1999] Yoshida, H. 1999. A new necessary condition for the
integrability of Hamiltonian systems with a two-dimensional homogeneous
potential. Physica D, 128, 53-69.
[Yoshida et al., 1987a] Yoshida, H., Ramani, A., Grammaticos, B., &
HlETARINTA, J. 1987a. On the non-integrability of some generalized Toda
lattices. Physica A, 144, 310-321.
[Yoshida et al, 1987b] Yoshida, H., Grammaticos, B., & Ramani, A. 1987b.
Painleve resonances versus Kowalevski exponents: Some exact results on
singularity structure and integrability of dynamical systems. Acta Apli. Math.,
8, 75-103.
[Zabusky & Kruskal, 1965] Zabusky, N. J., & Kruskal, M. D. 1965.
Interactions of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial
states. Phys. Rev. Lett., 15, 240-243.
[Zakharov & Shabat, 1972] Zakharov, V. E., & Shabat, A. B. 1972. Exact
theory of two-dimensional self-focusing and one-dimensional of waves in
nonlinear media. Sov. Phys. JETP, 34, 62-69.
[Zhang & Lister, 1999] ZHANG, W. W., & LISTER, J. R. 1999. Similarity
solutions for van der Waals rupture of a thin film on a solid substrate. Phys.
Fluids, 11, 2454-2462.

310
Литература
[Zhu, 1993] Zhu, Z. 1993. Painleve property, Backliind transformation, Lax pair
and soliton-like solution for a variable coefficient KP equation. Phys. Lett. A,
182, 277-281.
[Ziglin, 1983a] Ziglin, S. L. 1983a. Branching of solutions and nonexistence of
first integrals in Hamiltonian mechanics. Functional Anal. Appl., 16, 181-189.
[Ziglin, 1983b] Ziglin, S. L. 1983b. Branching of solutions and nonexistence
of first integrals in Hamiltonian mechanics II. Functional Anal. Appl., 17,
6-17.
[Ziglin, 1996] Ziglin, S. L. 1996. The ABC-flow is not integrable for A — B.
Fund. Anal. Appl., 30, 137-138.
[Ziglin, 1998] Ziglin, S. L. 1998. On the absence of a real-analytic first integral
for the ABC flow when A — B. Chaos, 8, 272-273.
[Zol^dek, 1998a] Zol^dek, H. 1998a. Algebraic invariant curves for the
Lienard equation. Trans. Am. Math. Soc., 350, 1681-1701.
[Zol^dek, 1998b] Zol^dek, H. 1998b. The extended monodromy group and
Liouvillian first integrals. J. Dynam. Control Systems, 4, 1-28.
[Zwillinger, 1989] ZwiLLrNGER, D. 1989. Handbook of differential equations.
Academic Press, Boston.

Предметный указатель
Ф-разложения 163
Ф-ряд 199
^-независимость 219
Абелев тор 262
Абелева функция 261
Абелевы функции 263
Алгебраическая интегрируемость 84
— полная интегрируемость 85, 261
— функция 50
Алгебраические инвариантные кри¬
вые 67
— инвариантные многообразия 67
Альфана теорема 232
Аналитическая функция 116
Аналитическое продолжение 173
Арнольд-Лиувилль интегрируе¬
мость 259
Арнольда-Лиувилля теорема 258
АРС-алгоритм 173
Асимптотическая устойчивость 17
Баланс 168, 170, 174-177, 191, 197-
199, 224
— гиперболический 206
— доминантный 229, 231, 234, 238
— доминирующий 230
— и возникновение разрыва 207
Биномиальный коэффициент 64
Бифуркация 17, 30
Бруна теорема 79
Брюно теорема 221
Бьянки модель 223, 278
Вариационное уравнение 215
Векторное поле 39, 181
— линеаризуемость 183
— однородное 56
Весовая степень 57, 58
Весооднородная функция 57, 58
Весооднородное векторное поле 58
— разложение 60
Весооднородные компоненты 60
Взаимно простые 68
Вийялифосса модель 209
Волчок Гесса-Аппельрота 67, 172
— Горячева-Чаплыгина 76, 78
— Ковалевская 111
— Ковалевской 48, 164-172
— Лагранжа-Пуассона 47, 164
— Эйлера-Лагранжа 171
— Эйлера-Пуансо 171
— Эйлера-Пуассона 47, 164
— полная симметрия 47
— полностью симметричный 171
Вронскиан 52
Второй интеграл 21, 66, 69, 234, 242
Гамильтон-Якоби уравнение 260
Гамильтониан Холта 198, 257
— векторное поле 252
Гамильтоновы системы 83, 249
Гаусса гипергеометрическое уравне¬
ние 269
Гетероклиническая орбита 43

312
Предметный указатель
Гетероклинические орбиты 19
Гиперболическая неподвижная точ¬
ка 16
Гиперболический бильярд 273
Гипер эллиптически сепарабельные
системы 85
Голоморфные функции 116
Гомоклиническая орбита 43
Гомотопии класс 115
Дарбу кривые 67
— полиномы 67-71
— теорема 68, 69
Действие-угол переменные 260
Дифференциальная теория Г алуа
278
Дифференциальное поле 55
Дифференцирования оператор 54
Драгта-Финна модель 278
Дюффинга уравнение 172, 175, 194
Естественная граница 176, 200
Жоаноло система 231
Зиглина лемма 270
— теорема 271, 274
Инвариантность относительно мас¬
штаба 243
Интегральный инвариант 86
Интегрируемости коэффициент 273
Интегрируемость алгебраическая 84
  в слабом смысле 227
— локальная 82
— по Арнольд-Лиувиллю 259
— по Лиувиллю 83, 84,196, 213, 227,
243,248, 257, 261
 и слабое свойство Пенлеве 198
— полная 259
Интегрирующий множитель 71
Иши теорема 241
Казимир 252, 255, 259, 262
Каноническое преобразование 252
Клаппера-Радо-Табора модель 62
Класс редукции 78
Ковалевская, волчок 48
— матрица 26
— показатель 26
 для гамильтоновой системы 274
 для гамильтоновых систем 235
 и первые интегралы 223
 и полиномы Дарбу 234
 резонансы 228
— фракталы 200
Ковалевской-Ляпунова теорема 171
Коллапс 201, 212
— за конечный промежуток времени
202
Коллинза лемма 72
Конечное время, особенность 201
 особые точки 212
Кортевега-де Вриза уравнение 90,
98, 99, 134
Косинус эллиптический 266
Кристофера лемма 74
Лакса пары 90-111
Лейбница правило 251
Ли-Пуассона скобки 252
Линейные собственные значения 16,
72
Лиувилль, интегрируемость 83
Лиувилля теорема 257
— функции 54
Локсодромический маятник 172
Лорана ряд 113
— ряды 25
Лоренца уравнения 28, 239
Лотка-Вольтерра 164

Предметный указатель
313
— система 65, 233, 240
 ABC 49, 89
Ляпунова функция 32
Масштабная инвариантность 58
Матрица Якоби 16
Мероморфная функция 116, 261
Минимальным многочленом 50
Модель взаимодействия трех волн
108
Монодромии матрица 267
Натуральный делитель 197
Неустойчивое многообразие 185,
206
Нормальное вариационное уравне¬
ние 266
Нормальные формы 42, 181-185
Обобщенный собственный вектор
752, 224
Однородные компоненты 60
Однородный полином 56
Орегонатор, модель 232
Ортант 207
Особая точка, алгебраическая точка
ветвления 174
— логарифмическая точка ветвления
174
— регулярная 180
Особенность, алгебраическая точка
ветвления 196, 197
Пенлеве а-метод 180
— свойство 122
 и интегрируемость 261
— слабый Р-тест 198
— слабый тест 162
— тест 163
 условный 196
— тест #1 162,163, 166,168, 170,185
— тест #2 162, 174-176,186, 194, 198
— тест #3 162, 7 77,179, 180, 188, 189
— тест #3 239
— трансценденты 192
— уравнения 35
 и интегрируемые УЧП 129
— условный Р-тест 196
Первый интеграл 18, 39, 183, 216,
252, 253
 алгебраический 50, 79, 221, 222
 аналитический 50, 273
 в инволюции 83, 255
 весооднородное разложение 61
 весооднородный 79
 зависящий от времени 31, 40
 и коллапс 207
 и показатели Ковалевской 223-
234
 изолирующий 255
 квазиодночленный 57, 79, 198
 логарифмический 50, 240
 не зависящий от времени 40
 несуществование 217
 отсутствие 219, 221, 236
 полиномиальный 50, 63, 256
 рациональный 23, 50, 79
 редукция класса 79
 соотношение 67
 трансцендентный 23, 57
 формальный 50, 196, 220
 функционально независимый
41
 элементарный 52, 69, 80
Полиномы Дарбу 69-74, 232, 234
Полная интегрируемость 259
Полупростая матрица 96
Постоянная движения 39
Поток 39
Преля-Сингера алгоритм 71

314
Предметный указатель
— теорема 80
Производная по потоку 40
Пуанкаре лемма 216
— область 186
Пуассона скобки 83,251
— скобки 252
— теорема 254
Путь гомотопный 115
Рабиновича система 41, 189
Расширение поля 55
Резонанс между линейными соб¬
ственными значениями 223
— в матрицах монодромии 269, 271,
272, 274-276
— в нормальных формах 183, 184
— и полная интегрируемость 236
— квази- 182
— между линейными собственными
значениями 72, 220
— между показатели Ковалевской
263
— между показателями Ковалевской
176, 179, 193,235
Резонансный одночлен 182
Резонансный тор 260
Решение масштабно-инвариантное
59, 162, 165, 167, 188, 199, 223,
225
— общее 164, 166, 171, 178
— особое 116
— частное 167, 172
Решетка Тоды 95
Рикитаке система 208
Сингулярность логарифмическая
точка ветвления 36, 122, 237, 242
— подвижная 25
Система Хенона-Хейлеса 104, 167,
175,200
Ситникова модель 278
Слабое свойство Пенлеве 198
Слабый тест Пенлеве 162
Собственные полиномы 67.
Совместности условия 27, 90, 162,
174,180
Соотношения для резонансов 162
Сопровождающая система 154-161,
181, 189, 195,205,228,234
Сопряженное вариационное уравне¬
ние 215
Специальные интегралы 67
— полиномы 67
Степень 56
Структурная матрица 252
Суперинтегрируемость 260
Существенно особая точка 122
Теорема Йошиды 224
— Хартмана-Гробмана 16
Тест Пенлеве #2 172
Тоды решетка 111, 263
— цепочка 210
Трансцендентная функция 50
Третий интеграл 74, 76
Трех волн взаимодействия модель
175
Уиттекера метод 256
Уравнения Эйлера и теорема
Арно л ьда-Лиу вилля 259
— полная интегрируемость 84
Устойчивое многообразие 185
Фазовое пространство 18, 29, 75
Фукса индексы 167
Функциональная независимость 41
Центральное многообразие 185
Чейзи уравнение 175

Предметный указатель
315
Чистый ряд 181
Шази уравнение 177
Эйлера соотношение 56
— уравнения 45-48, 164, 175, 263
 Гесса-Аппельрота случай 67,
172
 Горячева-Чаплыгина случай 76,
78, 111
 Ковалевской случай 48, 111,
164-172
 Лагранжа-Пуассона случай 47
 Эйлера-Лагранжа случай 171
 Эйлера-Пуансо случай 171
 Эйлера-Пуассона случай 47
 и второй интеграл 67
 и пары Лакса 102
 и последний множитель Якоби
90
 и третий интеграл 76
 и четвертый интеграл 78
 первые интегралы 47
 полной симметрии случай 171
 сингулярный анализ 169
 скобки Пуассона 253
 случай полной симметрии 47
Элементарное расширение 55
Элементарные функции 53, 54, 90
Элементарный одночлен 55
Эллиптические функции 35, 175
Ядро 107
Якоби единичная матрица 251
— метод последнего множителя 85
— множитель 86
— теорема 88
Янга-Миллса уравнения 276

Интересующие Вас книги нашего издательства можно заказать почтой или
электронной почтой:
subscribe@rcd.ru
Внимание: дешевле и быстрее всего книги можно приобрести через наш
Интернет-магазин:
http://shop.rcd.ru
Книги также можно приобрести:
1. Москва, ФТИАН, Нахимовский проспект, д. 36/1, к. 307,
тел.: 332-48-92 (почтовый адрес: Нахимовский проспект, д. 34)
2. Москва, ИМАШ, ул. Бардина, д. 4, корп. 3, к. 414, тел. 135-54-37
3. МГУ им. Ломоносова (ГЗ, 1 этаж)
4. Магазины:
Москва: «Дом научно-технической книги» (Ленинский пр., 40)
«Московский дом книги» (ул. Новый Арбат, 8)
«Библиоглобус» (м. Лубянка, ул. Мясницкая, 6)
Книжный магазин «ФИЗМАТКНИГА» (г. Долгопрудный,
Новый корпус МФТИ, 1 этаж, тел. 409-93-28)
С.-Пб.: «С.-Пб. дом книги» (Невский пр., 28)
Ален Гориэли
Интегрируемость и сингулярность
Дизайнер М. В. Ботя
Технический редактор А. В. Широбоков
Корректор 3. Ю. Соболева
Подписано в печать 15.05.2006. Формат 60 х 84У16.
Печать офсетная. Уел. печ. л. 18,37. Уч. изд. л. 18,62.
Гарнитура Таймс. Бумага офсетная №1. Заказ №125.
Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика»
426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.
http://rcd.ru E-mail: mail@rcd.ru Тел./факс: (+73412) 500-295