Федеральное агентство по образованию
Алтайский государственный университет
Е.Ю. Мальцева, Е.В. Журавлев
Векторы
Учебное пособие
Барнаул
Издательство Алтайского
государственного университета
2008
УДК 514.742.2
ББК 22.14
М215
Рецензент:
доктор физ.-мат. наук, заведующий кафедрой
алгебры и теории чисел АлтГУ Ю.Н. Мальцев
М215	Мальцева, Е.Ю.
Векторы : учебное пособие / Е.Ю. Мальцева, Е.В. Жу-
равлев. - Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2008. - 108 с.
ISBN 978-5-7904-0825-0
Пособие содержит основные понятия и теоремы аналитиче-
ской геометрии двумерного и трехмерного пространств, а также
многочисленные приложения теоретических результатов к реше-
нию стандартных планиметрических и стереометрических задач.
Приведены олимпиадные задачи, решение которых основано на
применении векторов и метода координат.
Предназначено для учащихся классов математического про-
филя МОУЛИ № 3, студентов математического и физического фа-
культетов АлтГУ.
УДК 514.742.2
ББК 22.14
ISBN 978-5-7904-0852-0
© Мальцева Е.Ю., Журавлев Е.В.,2008
© Оформление. Издательство
Атайского государственного
университета, 2008
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. Векторы .....................................4
§ 1.	Векторы и простейшие действия над ними ..........4
§ 2.	Смешанное произведение векторов. Разложение вектора по ба-
зису. Координаты вектора .........................16
§ 3.	Примеры и задачи ...............................22
§ 4.	Задачи для самостоятельной работы...............39
Глава 2. Прямая на плоскости ........................47
§ 1.	Уравнение прямой................................47
§ 2.	Примеры и задачи ...............................52
§ 3.	Задачи для самостоятельной работы...............71
Глава 3. Плоскость и прямая в пространстве ..........75
§ 1.	Уравнение плоскости ............................75
§ 2.	Уравнение прямой................................79
§ 3.	Примеры и задачи ...............................82
§ 4.	Задачи для самостоятельной работы...............99
Библиографический список............................108
ГЛАВА 1.
ВЕКТОРЫ
§1. Векторы и простейшие действия над ними
1. Понятие вектора. Геометрическими векторами, или про-
сто векторами, называются направленные отрезки. Вектор с на-
чалом в точке А и концом в точке В обозначается символом Ai,
или одной буквой: а, Ь, с, ... Начало вектора называется также его
точкой приложения.
АВ
А	В
Рис. 1
Длина отрезка АВ называется длиной или модулем вектора АВ
и обозначается |а|. Вектор, начало и конец которого совпада-
ют (т.е. точка), называется нулевым вектором и обозначается а1,
или 0. Нулевой вектор не имеет направления и его длина равна ну-
лю. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным
вектором.
Векторы а и b называются коллинеарными, если они лежат на
одной прямой или на параллельных прямых (обозначение а||6). Два
коллинеарных вектора называются сонаправленными, если их напра-
вления совпадают, и противоположно направленными иначе. Два
противоположно направленных вектора называются противополож-
ными, если их длины равны. Вектор, противоположный вектору а
обозначается —а. Очевидно, что В А — —А^. Если равны длины
двух сонаправленных векторов, то векторы называются равными.
4
Для равных векторов а и b существует параллельный перенос,
переводящий начало вектора а в начало вектора Ь, а конец вектора
а в конец вектора b (см. рис. 2).
Рис. 2
Каковы бы ни были вектор а и точка А, существует, и притом
только один, вектор All с началом в А, равный вектору а; иначе
говоря, для любого вектора точка приложения может быть выбрана
где угодно. Соответственно этому в геометрии не различают равных
векторов, получающихся друг из друга параллельным переносом. В
этом смысле векторы называются свободными.
2. Сумма и разность векторов. Определим сумму векторов
(а+Ь) как вектор, у которого начало совпадает с началом вектора а, а
конец с концом вектора Ъ (предполагается, что вектор Ъ параллельно
перемещен так, что его начало совпадает с концом вектора а) (см.
рис. 3).
Рис. 3
Операция разности (а — Ь) векторов аиЬ является производной
от операции суммы этих векторов и результат этой операции (а — 6)
указан на рис. 3.
Для любых трех векторов а, Ь, с справедливы следующие равен-
ства:
1)	а + b = b + а (коммутативность операции сложения);
5
2)	(a + 6) + с = a + (b + с) (ассоциативность операции сложения);
3)	a + 0 = a;
4)	a + (—a) = 0.
Исходя из определения, докажем, например, равенства 1) и 2).
Имеем, что
Откуда и следуют искомые равенства.
Заметим также, что в силу неравенства треугольника справедли-
во соотношение |a + b\ < |а| + |&|.
3. Умножение вектора на число. Пусть а - действительное
число и a - некоторый вектор. Обозначим через аа - вектор, длина
которого равна |a||a|, а направление совпадает с направлением а,
если а > 0 и противоположно а, если а < 0. Если а = 0, то будем
считать, что 0 • а = 0. Приведем основные свойства этих операций
(о, 6 R, а,Ь - векторы):
1)	(оД)а = a(/3a);
2)	(a + /3)а = аа + (За ;
3)	a(a + 6) = а • а + (3 • Ь;
4)	1 • a = а;
5)	— 1 • а = —а.
Докажем, например, свойство 3). Если a = 0, то 0 • (а + Ь) — 0 =
0 + 0. Если b — 'уа, то а(а + уа) = а(1 + у)а = аа + а/уа — аа + ab.
Если а, b - ненулевые непараллельные векторы, то доказательство
следует из рис. 5.
6
a(a+b)
s' 7	/ab
a+b s' /	/
s'	/
a	aa
Рис. 5
4. Скалярное произведение векторов. Скалярным произве-
дением двух векторов а и b называется число
а • b = |а||&| coscp,
где - угол между векторами а и b (см. рис. 6).
Легко проверить следующие свойства скалярного произведения:
1)	а  b = b • а;
2)	а • а = |а|2;
3)	(Аа)& = А(а&), где А Е R',
4)	(Аа)(/ш) = Хр, если |а| = 1 и А, р Е R;
5)	а • b = 0 тогда и только тогда, когда а перпендикулярен Ъ или
один из векторов а, Ъ равен нулю.
7
Проверим, например, свойство 1). Имеем, что а • b = |а| |&| cos 99
(см. рис. 6) и
b • а = |&||а| cos(2tt — 99) = \a\\b\ cos(—99) = |а|\b\ cos99 = а • Ь.
Докажем, далее, дистрибутивность скалярного произведения, т.е.
для любых трех векторов а, 6, с справедливо равенство
(а + Ь) • с = а • с + b • с.
Для этого заметим, что
а • b = а • Ь,
где а' - проекция вектора а на прямую, содержащую вектор Ь,
\а'| = |а| cos 99:
Заметим также, что (а + Ь)' = а' + Ь'. Это следует из рис. 8.
Докажем искомое равенство (а + Ь)  с = а  с + Ь  с. Пусть а', Ь1
- проекции на прямую, содержащую сие — единичный вектор, па-
раллельный с. Тогда а1 = ае, Ь1 = (Зе, с = уе и
(а + Ь) • с = (а + Ь)'  с = (а' + У) • с =
8
= (ае + /Зе) • (де) = (си + /3)7 = а' c + b'-c=a-c + b-с.
Пример 1. Пусть С - точка, делящая отрезок АВ в отношении
т : п, т.е. АС : СВ = т : п и Q - произвольная точка плоскости.
Тогда
т + п т + п
Решение. Рассмотрим рисунок
Вектор С А параллелен (коллинеарен) вектору вЗ. В частности,
сА = ХвЗ, где А = ^. Так как сА = qA - q3 и вЗ = q3 - (ДЙ,
то
(1 + ™}-0^ = 01 + --Qi
\ п /	п
или
т + п	т + п
Следствие 1. Если С - середина отрезка АВ, то
Пример 2. Доказать, что медианы произвольного треугольника
АВС пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1,
считая от вершины.
Решение. Пусть D - середина отрезка ВС. G - точка отрезка
AD, делящая его в отношении 2:1, и О - произвольная точка (рис.
10).
9
Рис. 10
Тогда
^ = 2^
2
и
og = g.^ + l.ol = l.ol + g.^ + og = ol + og + og.
3	3	3	32	3
Аналогично, если G' и G" - точки оставшихся медиан, делящие их
в отношении 2:1 (считая от вершины), то
oX + oi + oi
Су Ст — С/Ст — ---------,
О
т.е. G = G' = G”.
Замечание. Точка G называется центром тяжести треугольника
АВС.
Пример 3. Доказать, что
|с|2 = |а|2 + |&|2 - 2|а|\b\ cosy,
где |а|, |&|, |с| - длины сторон треугольника АВС, = АВС А (см.
рис. 11).
10
Рис. 11
Решение. Пусть а = СВ, Ь = С А, с = АВ = а — Ь. Тогда
с2 = |с|2 = (а — 6) • (а — 6) = а2 — 2а • b + Ь'
= |а|2 + |&|2 — 2|а||&| cosy.
Пример 4. Пусть в четырехугольнике АВ CD противоположные
стороны АВ и CD, AD и ВС взаимно перпендикулярны. Доказать,
что диагонали его АС и ВD тоже перпендикулярны.
Решение. Рассмотрим рисунок
А
Рис. 12
По условию d  AI2) = 0 и D<X  вХ = О . Так как Di = D^ + ci
и Аё = a6 + d^, то
iAi-A& =	=	=
= 5Й • (а6 + рЙ + ci) = d3  (А$ + ci) = Di-Ai = o.
5. Векторное произведение векторов. Векторным произве-
дением векторов а и b называется вектор с = а х Ь, длина которого
11
равна площади параллелограмма, натянутого на векторы а и Ь, т.е.
|а х &| = |а||&| sin:/?, перпендикулярный к плоскости этих векторов и
направленный в такую сторону, чтобы кратчайший поворот от а к
b вокруг вектора с был против часовой стрелки, если смотреть из
конца вектора с:
Из определения следуют очевидные свойства векторного произ-
ведения:
1)	а х а = 0;
2)	b х а = —(а х Ь);
3)	(Ла) х b = А(а х 6) = а х (А6);
4)	а х Ь = (Ш а = 0 или b = Ха, где А Е R.
Докажем, далее, дистрибутивность векторного произведения:
(а + &) хс = «хс + &хс.
Для этого определим проекцию а1 вектора а на плоскость л как
вектор, началом которого является проекция начала вектора а, а
концом - проекция конца вектора а. Из рис. 14 следует, что (а+Ь)' =
а' + Ь'
12
a+b
Рис. 14
Пусть a,b,c - произвольные векторы. Докажем, что (а + 6) х с =
а х с + b х с. Ввиду свойства 3) будем считать, что |с| = 1. Пусть я
- плоскость, перпендикулярная вектору с. Тогда а х с = а' х с, где
а' - проекция а на я и а х с = а' х с получается из а' поворотом на
90° (в частности, а' х с содержится в плоскости я).
Рис. 15
Далее имеем, что вектор (а + Ь\ х с = (а' + Ь') х с получается из
вектора (а + Ь)' = а' + Ь1 поворотом на 90° в плоскости я. С другой
стороны, этот вектор можно получить сложением векторов (а7 х с)
и (Ь1 х с), полученных из а', Ь' (соответственно) поворотом на 90°
Таким образом,
(а + Ь) х с = (а1 + У) х с = а' х с + b' х с = а х с + b х с.
Пример 5 (формула Терона). Пусть |а|, |&|, |с| - длины сторон
треугольника АВС. Доказать, что его площадь равна
13
S = y/p(p- |a|)(&- |Ь|)(р- |c|), где p =	+	+
Решение. Рассмотрим рисунок
Рис. 16
Имеем, что
или
S2
Q _ Scadb _ |а х Ь\
2	“	2
(а х Ь) • (а х Ь) |а|2|&|2 — (а  Ъ)2
4	=	4
Так как с = а — Ь, то
|с|2 = (а — &)2 = |а|2 + |6|2 — 2(а • &),
И + |Ь|2-И2
= (|о| + |Ь| + Н) OI + |Ь| - 1с1)(1а1 + с1 - |Ь|)ОТ + с1 - |а|) =
= р(р- |а|)(р - |Ь|)(р- |с|)
Пример 6. Пусть L, М, N - такие точки сторон ВС, АС, АВ
треугольника АВС, что
BL _ CM AN _
LC ~ ъ ~МА	2’ 7VB “ 3‘
14
в
Рис. 17
Доказать, что
(I+A1A2A3) q
S^LMN - (1 + Л1)(1 + А2)(1 + Аз) ' 3^АВС-
Решение. Из примера 1 следует, что
^=Ъ+Хза
1 + A3
Следовательно,
Salmn = | \Nt х TVaJI = I\(ct - x (СЙ - C^)| =
= I \(C1 x СЛ?) + (СЛ? x C^) + x ct)| =
1
2
a A2&	A2& b И- Аза b + Аза а
1 + Ai 1 + A2 1 + A2 1 + A3 1 + A3 1 + Ai
1
2
/'2	/	7 \	/'2 A3	/	7 \
(1 + Л1)(1 + A2) '(a X - (1 + A2)(l + A3) - X
-77----• (a x b)
(1 + Ai)(l + A3)
1	1 + A1A2A3
2 (1 + Ai)(l + Аг)(1 + A3)
_	(1 + A1A2A3)
“ (1 + A1)(1 + A2)(1 + A3) 'S&ABC'
15
§2. Смешанное произведение векторов. Разло-
жение вектора по базису. Координаты вектора
1.	Смешанное произведение векторов. Смешанным произ-
ведением векторов а, Ь, с называется число (abc) = (а х 6) • с.
Из определения следует, что (абс) = О О векторы а, Ъ, с компла-
нарны, т.е. параллельны одной плоскости.
Заметим, что модуль смешанного произведения - объем паралле-
лепипеда, натянутого на векторы а, 6, с. Действительно, а х b = S -е,
где S - площадь параллелограмма, натянутого на векторы а, Ъ и е -
единичный вектор, перпендикулярный основанию, (см. рис. 18).
Так как |е • с| = h - высота параллелепипеда, то | (abc) | = V - его
объем. Далее, легко видеть, что
(abc) = а  (Ь х с).
Поэтому
(abc) = — (bac) = — (acb) = — (cba) = (bca).
16
2.	Разложение вектора по базису. Пусть, 61,62,63 - про-
извольные некомпланарные векторы (т.е. векторы, не лежащие в
одной плоскости). Тогда произвольный вектор а единственным обра-
зом представляется в виде
а — Ахб2 + Л2б2 + Азез,
где А1,А2,Аз Е R. Действительно, спроектируем конец вектора а
параллельно вектору 63 на плоскость, натянутую на векторы {ei, 62}
(см. рис. 19).
Тогда а = а' + а". Далее, а" = Азбз и а' = Aiei + Агб2. где
Xi Е R, i = 1,2,3 (см. рис. 20).
Следовательно, а = Aiei -I- Агб2 + Азбз.
17
Докажем единственность такого разложения. Если а = у\е± +
/1262 + /1363 и, например, Ai 7^/11, то
(Ах — /zi)ei = (/12 ~ ^2)62 + (/13 — Аз)ез
_ (/^2 — Аг) (/1з — А3)
61 -	+ (аТТ^Г
Откуда следует компланарность векторов {61,62,63}. Противоре-
чие. Числа {Ai, Аг, A3} называются координатами вектора а отно-
сительно базиса {01,62,62}.
Выберем базис, состоящий из трех единичных попарно перпен-
дикулярных векторов г, j, к.
к
Рис. 21
Такой базис назовем декартовым, а соответствующую систему
координат - декартовой.
Пусть а = {х; у; z] - координаты вектора а в декартовой системе
координат. Тогда заметим, что числа х, у и z являются длинами
проекций вектора на соответствующие координатные оси и
|а| = у/ж2 + г/2 + г2.
Если точки A(xi;y±; z±) и В(х2‘,у2‘, z^) являются началом и кон-
цом вектора а = Ai , то его координаты определяются по формуле:
а = {х2 - х1-у2 - yi‘,z2 - Zi}.
18
Пусть а = {жх; yi; ^1} и b = {х2; у2’, ^2}, тогда
а + b = {xi + х2; yi + у?; zr + z2},
a + b= {xi + ж2;т/1 + 2/2;	+ z2]
и
аа — {axi; ayi; az\},
где а- произвольное число. В частности, признаком коллинеарности
двух векторов а и b является пропорциональность их координат:
Ж1 _ 7/1 _ £1
Х2 у2 Z2 '
Пусть а, /3, 7 - углы, которые составляет вектор а с координат-
ными осями. Тогда cos a, cos (3 и cosy называются направляющими
косинусами вектора а. Очевидно, что
я; = |а| cosск, у — |a|cos/3, z=|a|cosy
и так как |а|2 = х2 + у2 + z2, то
cos2 а + cos2 /3 + cos2 7=1.
3.	Скалярное, векторное и смешанное произведение век-
торов в декартовой системе координат. Введем следующие обо-
значения:
1) если ж, y,z,t Е R, то положим
= xt — yz-
2) если xi,yi,Zi, x2,y2,z2 Е R и {u,v,w} - множество векторов
или действительных чисел, то положим
и v w
Xi yi zx
х2 у2 z2
У1
У2
Z\	Х1
— V •
z2	х2
Z1 ,
+ w •
z2	х2
У1
У2
= и 
19
Выше приведенные обозначения называются соответственно опре-
делителями второго и третьего порядка соответствующих матриц
(таблиц).
Пусть {i,j, к} - декартовый базис и
а = xi + yj + zk, b = x±i + yij + z±, с — X21 + yij + z%k
- произвольные три вектора. Тогда
i-i = j- j = k- k=l, i-j = i- k = j- k = O
и
a  b = (xi + yj + zk) • (дуг + yij + z±k) =
= (xxi)(z • i) + (xy-L + yxi)(i • j) + (xz± + z • x±)(i • k)+
+(yyi)(j • Л + (yzi +zyi)(j • k) + (zzt)(k  k) = xxr + yy± + zz±.
Итак,
a • b = xxi + yyi + zz±.
Пусть e - единичный вектор, направленный по некоторй оси и
и a, (3, 7 - углы, которые составляет ось и с координатными ося-
ми. Тогда е = {costr, cos /3, cosy} и для вычисления длины проекции
произвольного вектора а = {х; у; z} на ось и служит формула
|а' | = х cos а + у cos /3 + z cos 7.
Далее, заметим, что
/xz = jxj=fcxfc = O,
(г х j) = — (j х i) = к, j х к = — (к х j) = г, (к х г) = — (i х к) = j.
Следовательно,
а х b = (xi + yj + zk) х (xii + y±j + z±k) =
= xxi(i x i) + xyi(i x j) + xz±(i x k) + yx±(j x i) + yyi(j x j) +
+yz±(j x k) + zxi(k x i) + zy±(k x j) + zzi(k x k) =
20
i
к
= i(yzi - zyk) + j{zxr - xzi) + k(xyi_ - x^y) =
Xi
J
У z
У1 zx
Вычислим, наконец, смешанное произведение векторов а, &, с.
Имеем, что
(абс) = (а х 6) • с = а  (6 х с) =
	У1 Z!		Z± Ж1		Xl У1	
xi + У] + zk) 		i +		j +		 k^ =
	У‘2	Z-2		Z-2	X-2		Х‘2 У‘2	
У1
У‘2
Z1
Z‘2
Z\
Z‘2
Ж1
Ж1
У1
Х2	Х2 У2
X У
Х1 У1
Х‘2 У‘2
Z
Zx
Z2
+ у
21
§3. Примеры и задачи
Пример 7. Доказать, что для любых трех векторов а, Ъ, с спра-
ведливо равенство
(а х Ь) х с = Ъ(а  с) — а(Ь  с).
Решение. Выберем декартову систему координат таким обра-
зом, что а = {xi, 0,0}, b = {жг, т/2,0}, с = {хз,уз, Z3}. Это мож-
но сделать, выбрав единичный вектор i параллельным вектору а,
а единичный вектор j перпендикулярным вектору i и лежащим в
плоскости, содержащей векторы а и Ь. Тогда
	« j	к	
а х b) х с =	Ж1 0	0	X {ж3,т/з,^з} = {о,0,Ж1Т/2} X {x3,y3,z3} =
	Х2 У2	0	
	г j к	
=	0	0	Ж1//2	= {-Х1У2УЗ, Х!ХзУ2,0}
	Хз Уз z3	
С другой стороны,
Ь(а  с) - а(Ь  с) = &(®i®3) - а(ж2ж3 + у2уз) =
= {х1х2х3, 7/2Ж1Ж3,0} - {Ж1Ж2Ж3 + Ж1Т/2//3,0, 0} =
= {-Х1У2У3, Ж1Ж3т/2,0} = (а х Ь) х с.
Доказанное выше равенство влечет за собой интересное след-
ствие. Именно, пусть a, b, с, d произвольные четыре вектора. Тогда
(а х &) х (с х d) = b(a • (с х d)) — a(b • (с х d)) = b(acd) — a(bcd),
где (acd) и (bed) - смешанные произведения соответствующих век-
торов. Следовательно,
(с х d) х (а х b) = d(cab) — c(dab)
22
и
(acd) (cab)	(dab) (acd) (bad)
a — ,. .. b I .. d	,. .. c — .. b I

О = (а х 6) х (с х d) + (с х d) х (а х 6) = b(acd) — a(bcd) + d(cab) — c(dab).
Предположим, далее, что векторы {&, с, d} не являются компланар-
ными. Тогда (bed) 7^ 0 и из последнего равенства следует, что
с +
(bed) (bed) (bed) (bed) (bed) (ba
Данная формула позволяет вычислять координаты
(acd) (bad) (bca)
(bed)’ (bed) ’ (bed)
вектора а в произвольном базисе {b, c, d}.
Пример 8. Найти площадь треугольника АВС с вершинами в
точках Л(ж1,т/1,г1), B(x2,y2,z2), C(x3,y3,z3).
Решение. Рассмотрим рисунок 22.
В
Рис. 22
Исходя из определения векторного произведения, имеем, что S^abc —
х ЛЙ|. Далее,
Следовательно, длина вектора (А1^ х А&)
равна
2	2
Х2 - Ж1 у2 - 2/1
х3 - Ж1 Уз - 7/1
23
и искомая площадь Saabc равна
2\|
У‘2 - У1
Уз ~ У1
В частности, если все вершины А, В, С лежат в плоскости XY, то
Z\ = Z2 = z3 = О и
S^abc = ±2
Х2 — Ж1
Х3 — Ж1
У2 ~ У1
Уз - У1
Пример 9. Пусть
Л1(Ж1,7/1,г1), А2(ж2,7/2,^2),
А3(х3,у3, z3), А4(х4,У4,г4)
- произвольные четыре точки в пространстве. Доказать, что объем
V пирамиды А1А2АзА4 равен
Ж2 — Х\
Х3 — Ж1
Х4 — Ж1
1
6
У‘2 ~У1	Z2-	Zx
Уз -У1	z3 -	zx
3/4 - !J\	Z4 -	Zx
Решение. Рассмотрим рисунок
Пусть а = A1A2, b = A^A3, с = А1А4, h - длина высоты, опущен-
ной из вершины А4 на плоскость основания A1A2A3 и S - площадь
24
треугольника AiA2A3. Тогда S = ||а х b\ и |(айс)| = h • |(а х Ь)\.
Искомый объем пирамиды равен
V = h  S = Д  2S) = Д . |« x 6|) =	=
3 о	о	о
1 Х2 - Ж1 у2 - У1 Z2 - 21
= ±д Ж3-Ж1 Уз- У! 23-21	.
О
Ж4 - Ж1 7/4 - 7/1	24 - 21
Пример 10. Найти объем треугольной пирамиды (тетраэдра),
зная длины всех его ребер.
Решение. Рассмотрим рисунок
где ОАВС - исходный тетраэдр, а = ОЛ, b = ОВ, с = ОС, с1 =
А^, а' = В(5, Ъ' = сЛ. Дополним тетраэдр до параллелепипеда
OADBC А^В^Вх. Тогда объем параллелепипеда УПар = So ad в • h,
где h - длина высоты, опущенной из вершины С и объем тетраэдра
Кетр = • So Ав- Так как SOab = ^Sqadb и Рпар = |(а&с)|, то
Кетр = 11 (abc) | и Рт2етр = ^(abc)2. Легко проверить (исходя из
25
определения определителя), что
Далее, с' = Ъ — а, а! = с — Ь, Ъ' = а — с. Поэтому
(с')2 = &2 + а2 — 2а  b, а - Ь = ----------------------—
и аналогично,
а2 + с2 - (6')2 , с2 + Ъ2 - (а')2
--------z-------—, b • с =-------------------—
Откуда следует, что
(abc)2
2 । т2 / f\2	2 ।	2	/т/\2
2	а +о - (с ) а +с -(о )
^22
«2+&2 —(с')2	,2	Ь2+с2-(а')2
2	2
а2+с2_(6')2	62+с2-(а')2	2
2	2С
V2
г тетр
1
288
2а2
а2 + Ь2 — (с')2
а2 + с2 - (Ь')2
а2 + Ъ2 - (с')2
2Ь2
Ь2 + с2 - (а')2
а2 + с2 - (Ь')2
Ь2 + с2 - (а')2
2с2
В [3] отмечается, что эта формула является аналогом формулы
Герона, выражающей площадь треугольника через длины его сторон.
Пример 11. Определить объем тетраэдра О АВС, зная длины
его ребер О А, ОВ, ОС и углы а = АВОС, /3 = ААОС, у = ААОВ.
Решение. Воспользуемся обозначениями предыдущего примера
26
Тогда
Кетр =
оО
а • Ъ
Ъ2
Ъ  с
1
36
\a\\b\ cosy
|а||с| cos/3
|a||&|cos7 |a||c|cos/3
|&|2 |6||c|cosck
|6||c|cosck |с|2
b • а
а  с
а • с
b  с
или
Ттетр —
1
36
|а11 b11с| д/1 + 2 cos a cos /? cos 7 — cos2 а — cos2 /3 — cos2 7.
Пример 12. Доказать, что середины сторон произвольного че-
тырехугольника являются вершинами параллелограмма.
Решение. Рассмотрим рисунок
27
Рис. 26
Пусть M,N,P,Q - середины сторон четырехугольника ABCD.
Тогда
-oi> = м^+	+ (pi+D&) =
= | (аЁ + вЗ + сд + 51) = о
и MI$ = QP. Следовательно, MNPQ - параллелограмм.
Пример 13. Медианой ’’четырехвершинника” АВ CD называ-
ется отрезок, соединяющий одну из вершин с центром тяжести тре-
угольника, образованного тремя другими вершинами. Доказать, что
четыре медианы ’’четырехвершинника” пересекаются в одной точке
и делятся в ней в отношении 3:1, считая от вершины.
Замечание. Под словом ”четырехвершинник” мы понимаем ли-
бо плоский четырехугольник, либо тетраэдр (треугольную пирами-
ду)-
Решение. Рассмотрим рис. 27, где Ai - центр тяжести тре-
угольника BCD, О - произвольная точка и G - точка отрезка AAi
такая, что AG : GAi = 3.
28
в
Тогда дЙ = |ol + |ОА1. В примере 2 было показано, что
—>	ОЙ + ОЙ + ОЙ
0А1 ---------з------•
Следовательно,
Аналогично, если Gi,G*2,G3 - точки, делящие остальные три меди-
аны в отношении 3:1, считая от вершин, то
ой + ой + ой + ой
C/Gri = (7 Ст 2 = (уСтз = ----—----------
и следовательно, G = Gi = G2 = G3.
Пример 14. Пусть Е, F, К, L, М, N - соответственно середины
сторон АВ, CD, AD, ВС, AC, BD ’’четырехвершинника” ABCD
(см. рис.28).
29
с
Рис. 28
D
Доказать, что отрезки EF, LK и MN пересекаются в одной точке
и делятся в этой точке пополам.
Решение. Пусть О - произвольная точка и 81,82,83 - соответ-
ственно середины отрезков FE,KL,MN. Тогда
Откуда следует, что
—> _oi; + ofi _ol + oi + o(5 + oi
0S1 -	2	-	4	’
—> Ш+oi ol+oi + оё +ot>
os^ -	2	-	4
—>	+ ol + oi + оё + 0$
0S3 -----2--------------4--------
Поэтому Si = S2 = S3.
Пример 15. Доказать, что
a-/3 a + ft
cos a + cos p = 2 cos —-— cos —-—,
30
n	ex — В . a + В
sin ex + sin p = 2 cos--sin------.
2	2
Решение. Пусть a, b - единичные векторы, образующие соот-
ветственно углы ex и б с осью ОХ (см. рис. 29).
Тогда вектор а имеет координаты {cos ex, sin сД, вектор b имеет
координаты {cos /3, sin /3}, а координаты вектора с = а + Ь равны
х = cos а + cos /3, у = sin а + sin /3.
Длина вектора с равна 2cos ДДД так как четырехугольник О АС В
является ромбом и АЛОВ = (3 — а (см. рис. 30).
31
Вектор с образует с осью ОХ угол Поэтому его координаты
равны
.. ct /3	(3 — ct а (3
X = с cos ---- = 2 cos----cos ------,
1 1	2	2	2 ’
... at В (3 — ct . ct /3
v = c sin----- = 2 cos----sin-----.
y 1 1	2	2	2
Следовательно,
r> n a- (3 a +(3
cos a + cos 3 = 2 cos------------------cos-----,
2	2 ’
, • о o a-/3 . a +/3
sin a + sin p = 2 cos —-— sin —-—.
Пример 16. Доказать, что
cos(/3 — a) = cos a cos (3 + sin a sin (3.
Решение. Пусть a, b - единичные векторы, образующие соот-
ветственно углы а и (3 с осью ОХ (см. рис. 31).
Тогда вектор а имеет координаты {cos о , sin о-}, а вектор b имеет
координаты {cos/3, sin/3}. Следовательно,
а • b = cos a cos {3 + sin a sin /3.
С другой стороны, по определению
а • b = |a||&| cos(/3 — а) = cos(/3 — a),
32
т.е.
cos(/3 — а) = cos a cos j3 + sin a sin /3.
Пример 17. Дана треугольная пирамида (тетраэдр) О АВС. До-
казать, что если высоты тетраэдра, опущенные из вершин Л и В,
пересекаются между собой, то
О А2 + ВС2 = О В2 + АС2.
Решение. Рассмотрим рисунок 32
где О А = а, ОВ = Ь, ОС = с, АВ = с', ВС = а', С А = Ь'. По условию
высоты АР и BQ пересекаются. Следовательно, векторы А1^. В$
и А^ лежат в одной плоскости и их смешанное произведение (Л^,
в$, лЙ) = 0. Так как АВ = с' = Ъ — а, Л? коллинеарен вектору
(&хс), а вектор В$ коллинеарен вектору а х с, то
(6 х с, а х с, Ъ — а) = 0.
Откуда следует, что
((& х с) х (а х с)) • (6 — а) = 0.
33
Так как
а х (6 х с) = (ас)Ь — (аЬ)с,
то вектор
(Ьхс) х (ахс) = ((& х с) • с)а — (Ьса)с = — (Ьса)с = (&ас)с
параллелен вектору с и отличен от нуля. Откуда следует с-(Ъ — а) = О
или b • с = а • с. Так как а' = с — Ъ и Ъ' = а — с, то
(а')2 = с2 + b2 — 2Ь  с, (У)2 = а2 + с2 — 2а  с.
Следовательно,
, с2 + Ъ2 - (а')2	а2 + с2 - (Ь1)2
о • с =------------ = а • с = ------------
2	2
или
Ь2 + (&')2 = а2 + (а')2.
Задача 18. Найти геометрическое место центров тяжести всех
прямоугольных треугольников, вписанных в данную окружность.
УКАЗАНИЕ. Выбрать декартову систему координат так, чтобы
центр данной окружности (радиуса R) являлся началом координат
(см. рис. 33).
34
Рассмотреть произвольный прямоугольный треугольник АВС. То-
гда векторы оЛ, 0(3, ОВ имеют соответственно координаты
{R cos a, R sin а}, {7Z cos/?, 7? sin/?} и {—В cos а, — В sin а}.
Если G - центр тяжести треугольника АВС, то
_ 03( + 0$ + 0(5 _ Г R cos /3 R sin /31
”	3	” [	3 ’	3 J
и
/ R cos (3 \ 2	/ R sin (3 \ 2 В2
\ 3 / + \ 3 J ~ ~9~
Т.е. точка G принадлежит окружности |(ж,т/); х2 + у2 = ра-
диуса | и с центром в точке О. Легко видеть, что справедливо и
обратное утверждение: любая точка этой окружности является цен-
тром тяжести некоторого прямоугольного треугольника, вписанного
в исходную окружность.
Задача 19 (МФТИ, 2007). В равнобедренном треугольнике ЛВС
АВ = AC, CD - медиана, О - центр описанной окружности (око-
ло А Л ВС), Е - центр тяжести треугольника ACD (см. рис. 34).
Доказать, что отрезки ЕО и CD перпендикулярны.
Указание. Выбрать систему координат следующим образом
35
Т.е. центр описанной окружности совпадает с началом координат и
вершина А лежит на оси OY. Если R - радиус описанной окружно-
сти и = /.РОС, то
ol = {O,R}, 03 = {R cosip,—R sin ip}, СОЁ = {—R cos tp,—R sin ip}.
Следовательно,
cA + C'A>	{—Rcosip, R + Rsintp} + {—2Rcosip, 0}
2	“	2
( 3B? cos 9? _R(1 + sincp) 1
“ t 2 ’	2 J ’
—f Rcosip R(1 — sin 92) 1
I 2 ’	2 J
= oX + oi + oi> =
3
( R cos 92 — ^R cos 92 R — R sin ip + |-R(1 — sin 92)
” t 3	’	3
( R cos 92 R(1 — sin 92)!
” [	6	’	2 J ’
Поэтому
= R2
3cos9?-R^ ! R(l — sin92)
2 J +	2
_R(1 + sin 92)
2
COS2tp 1 ,	. 9 \1
+ - (1 - sin = 0.
Задача 20. (Румынская математическая олимпиада). В прямо-
угольном равнобедренном треугольнике ВАС с основанием ВС на
гипотенузе ВС выбраны точки М и N так, что ВМ2 + CN'2 = МN2
(см. рис. 35). Доказать, что AMAN = 45°.
УКАЗАНИЕ. Выбрать систему координат следующим образом
36
где а = |ЛС| = |ЛВ|. Уравнение прямой ВС имеет вид х + у = а.
Поэтому координаты точек М и N соответственно равны (а, а — а),
(/3,а — /3), где а, (3 - некоторые числа. По условию ВМ2 + CN2 =
MN2, т.е. а2 + а2 + (а — /З)2 + (а — /З)2 = (а — (З)2 + (а — /З)2 или
2а2 — 4а/3 = —4а/3, а2 — 2а/3 = — 2а/3. По теореме косинусов
AM2 + AN'2 - MN2
CtW=---------2AM . AN-------=
_ a2 + (а — a)2 + /32 + (a — /3)2 — (a — (3)2 — (a — /3)2 _
=	2 AM  AN	=
2a2 — 2aa — 2a/3 + 4o-/3 a(j3 — a)
= 2AM • AN = AM • AN '
Откуда следует, что
2	a2(j3 — a)2	a2 ((3 — a)2
C0S = AM'2  AN2 = (a2 + (a — a)2) (/32 + (a —/32)) =
_	a2((3-a)2	_
~ [2a2 - 2aa + 2a/3 - 2a/3] [2f32 - 2a/3 + 2a/3 - 2a/3] “
a2(/3 — a)2	a2 2f3(a — a) 1
4(/3 — a)(a — a)(3(J3 — a) 4/3 (a — a) 4/3 (a — a) 2
и coscp = cp = 45°.
Задача 21 (Герона). Пусть точки А и В лежат по одну сторону
от прямой е (см. рис. 36). Найти на прямой е такую точку О, что
расстояние АО + ОВ является наименьшим из возможных.
Указание. Пусть М - произвольная точка на прямой е = XY
37
и О - такая точка на прямой е = XY, что ААОХ = ABOY. Пусть
также i, j — единичные векторы, параллельные соответственно век-
торам ОА и оХ. Тогда
О А + OB = i • оХ + j •	= i • (ОЙ + 7Й1) + j  (oi + 7ЙЙ) =
= (z + j’) • ОЙ + г • МА + j • мХ = i • мХ + j • мХ <
< |z| • \мХ\ + |j| • 17ЙЙ| + |j| • 17ЙЙ| <МА+ МВ,
так как вектор (г + j) перпендикулярен прямой е.
Замечание. Точка О строится следующим образом. Пусть В' -
точка симметричная В относительно прямой е (см. рис. 37).
Тогда О - точка пересечения отрезка АВ! и прямой е.
38
§4. Задачи для самостоятельной работы
Векторы и простейшие действия над ними.
1.	Вычислить модуль вектора а = {3; 2; 1}.
2.	Определить начало вектора а = {2; —3;4}, если его конец совпа-
дает с точкой М(0; 2; —1).
3.	Дан модуль вектора |а| = 6 и углы а = 60°, /3 = 120°, у = 45°,
которые вектор а составляет с координатными осями. Вычислить
проекции вектора а на координатные оси.
4.	Вычислить направляющие косинусы вектора а = {12;4; —3}.
5.	Может ли вектор составлять с координатными осями следующие
углы:
а)	а = 45°, /3 = 60°, у = 120°;
Ь)	а = 45°, /3 = 135°, у = 60°;
с)	а = 90°, /3 = 150°, у = 60°.
6.	Даны точки А(1; —3; 5) и В(6; 7; —1). Найти координаты векторов
Тё и
7.	Даны |а| = 2, \Ь\ = 3 и |а + Ь\ = 4. Вычислить |а — Ь\.
8.	Векторы а и b образуют угол ср = 30°, причем |а| = 4 и \Ь\ — 2.
Определить \а + Ь\ и |а — Ь\.
9.	По данным векторам а и Ь построить схематично каждый из
следующих векторов:
а) 2а; Ь) —ЗЪ; с) За + d) |а — Ъ;
10.	Три силы Fi, F2 и Тз, приложенные к одной точке, имеют
взаимно перпендикулярные направления. Определить величину их
равнодействующей F, если известно, что |Fi| = 8Н, \F2\ = 40/7,
|^з | =44Я.
11.	Выяснить, какие из следующих векторов являются коллинеар-
39
ными. В случае коллинеарности установить, какой из них длинее
другого и во сколько раз.
а)	а = {2;-1;4}, Ь= {4; —2; 8};
Ь)	а = {3; 1;-1}, 6 = {6; 2; 2};
с)	а = {5; 15;-10}, Ь= {1;3;-2};
d)	а= {1;-6;0}, Ъ = {0;-6; 1};
е)	а = {4; 2;-8}, b = {2; 1;-4}.
12.	Определить, при каких значения х и у векторы а = {2;ж;3} и
b = {6; 21; у} коллинеарны.
13.	Проверить, что четыре точки 4(2; 3; —1), В( — 1; 1; 2), С(—3; —1; 1),
И(3; 3; —5) служат вершинами трапеции.
14.	Проверить, что четыре точки Л(—2; 4), В(6; 6), <7(4; —2), £>(—4; —4)
служат вершинами ромба.
15.	Определить модули суммы и разности векторов а = {3; 4; — 1},
6={2;1;2}
16.	Найти длины диагоналей параллелограма, построенного на век-
торах а = {8; —5; 3} и b = {—4; 1; —1}.
17.	Два вектора а = {5;4;1} и b = {8;—1;5} приложены к одной
точке. Определить координаты вектора с, направленного по биссек-
трисе угла между векторами а и Ь, при условии, что |с| = 2.
18.	Даны три последовательные вершины параллелограма: Л(—7; 2; 3),
В(—4; 9; 2), (7(8; 12; 1). Найти его четвертую вершину D.
19.	Даны вершины Л(—5; —3; 2), В(2; 3; —1) параллелограма ABCD
и точка пересечения его диагоналей Е(7\ — 1; 4). Найти координаты
остальных вершин параллелограма.
20.	На плоскости даны два вектора а = {1;3}, Ь = {3;4}. Найти
разложение вектора с={11;7}по базису а, Ъ.
21.	На плоскости даны три вектора а = {3;4}, b = {1; —2} и с =
40
{7; —3}. Определить разложение каждого из этих трех векторов,
принимая в качестве базиса два других.
22.	Даны три вектора а = {1; 2; — 1}, b = {3;5;1}, с = {—2;3;5}.
Найти разложение вектора d = {5; 4; 7} по базису а, Ь, с.
23.	Даны четыре вектора а = {3; —2; 1}, b = {4; 2; 0}, с = {5; 0; —3}
и d = {—1; 1; 4}. Определить разложение каждого из этих четырех
векторов, принимая в качестве базиса три других.
Скалярное произведение векторов.
24.	Векторы а и b образуют угол ср — Зная, что |а| = 2, \Ь\ — 3,
вычислить:
a) a-b; b) а2; с) b2; d) (2а — ЗЬ) • (а + 26); е) (а + b)2; f)
(а-Ьу.
25.	Раскрыть скобки в выражении:
а) (2г - Д • j + (j -2k)-k + (i- 2к)2
26.	Векторы а, b, с попарно образуют друг с другом углы, каждый
из которых равен 30°. Зная, что |ft| = 4, |Ь| = 3 и |с| = 1 вычислить:
а) (а — Ъ + 2с) • (3ft — 26); b) |ft + Ъ + с|.
27.	Какому условию должны удовлетворять векторы а и Ь, чтобы
вектор а + b был перпендикулярен вектору а — Ь.
28.	Векторы а и Ъ образуют угол ср = Зная, что |ft| = 2, \b\ =3,
вычислить косинус угла а между векторами а + b и а — Ь.
29.	Даны векторы а = {2; —3; 1}, Ъ = { — 1; 4; 3}. Вычислить:
а) а • 6; b) а2; с) b2; d) (2ft — 36) • (ft + 26); е) (ft + 6)2; f)
(a-b)2.
30.	Найти координаты вектора 6, коллинеарного вектору а = {3; —2; 1},
при условии а • Ъ = 2.
31.	Даны вершины четырехугольника А(2; 1; 5), В(1; 2; 3), С(—1; 2; 3)
41
и -0(3: —2; —2). Доказать, что его диагонали АС и BD взаимно пер-
пендикулярны.
32.	Определить, при каком значении х векторы а = xi + 2j — к и
b = Зг — j + 2хк взаимно перпендикулярны.
33.	Вычислить косинус угла, образованного векторами а = {1; —2; 2},
Ь= {-6; 4; 12}.
34.	Даны вершины четырехугольника А(1; —4; 6), В(3; 5; 1), С(—4; 7; 2)
и 0(3; —3; 0). Вычислить косинус угла между его диагоналями.
35.	Даны вершины треугольника А(1; 2; —3), В(5; —6; 1) и С(-1;3;4).
Вычислить:
а)	косинусы внутренних треугольника;
Ь)	косинусы углов между медианами треугольника, опущенных
из вершин А и В.
36.	Показать, что угол между диагоналями прямоугольника, по-
строенного на векторах а и & (а±Ь), определяется формулой
37.	Даны три вектора: а = 3i—j + 2к, b = 2i — 3j + к, с = Зг + 2j — 4к.
Найти вектор d, удовлетворяющий следующим условиям: х-а = —5,
х • Ъ = —11, ж • с = 20.
38.	Вычислить проекцию вектора а = {2; —1; 3} на ось вектора Ъ =
{2;5;4}.
39.	Даны векторы а = {1; —1;2}, Ъ = {5;—2;4} и с = {3; — 3;0}.
Вычислить проекцию вектора и = а + ЗЬ на ось вектора v = b + с.
40.	Найти проекцию вектора а = {д/2; 1; —3} на ось, составляющую
с координатными осями Ох, Оу и Oz соотвественно углы а = 60°,
в = 45° и у = 120°.
41.	Под действием силы F = {1; —2; 4} тело переместилось из начала
42
вектора s = {3;5;—1} в его конец. Вычислить работу А силы F и
угол <£> между направлениями силы и перемещения.
42.	Даны силы Fr = {1; 3; —2}, F2 = {2; 5; 4} и F3 = {-1; 2; 5},
приложенные к одной точке. Вычислить, какую работу производит
равнодействующая этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь
прямолинейно, перемещается из положения А(—7;2;3) в положение
В(4; 5; 2).
Векторное произведение векторов
43.	Вычислить модуль векторного произведения векторов а и 6:
а)	если |сг| = 2, |&| = 4 и векторы образуют угол ср =
Ь)	если |а,| = 1, |&| = 2 и векторы образуют угол ср —
с)	если |а| = 3, \b\ = 1 и а • Ъ = 1.
44.	Векторы а и 6 образуют угол ср = Зная, что |а| = 2 и \Ь\ = 3,
вычислить:
а)	|(2а - 36) х (а + 26)|;
Ь)	|(5а + 6) х (—а + 46)|;
с)	|(3а + 26) х (За —26)|;
d)	| (а — 6) х (6 — а) |.
45.	Какому условию должны удовлетворять векторы а и Ь, чтобы
векторы а + b и а — b были коллинеарны.
46.	Векторы а, b и с удовлетворяют условию а + Ъ + с = 0. Доказать,
что ах6 = 6хс = сха.
47.	Раскрыть скобки и упростить выражения:
a)	i х (j1 + к) — j’ х (г + к) + к х (г + j; + к);
Ь)	2г • (J х к) + 3j • (г х к) + 4к • (г х j);
с)	(2а + 6) х (а + 26);
d)	(2а + 6) х (с — а) + (6 + с) х (а + 6);
е)	(а + b + с) х с + (а + b + с) х b + (6 — с) х а.
43
48.	Даны векторы а = {— 1; 3; 5} и Ъ = {2; 4; —3}. Найти координаты
и модули векторных произведений:
а)	а х Ь;
b)	b х а;
с)	(а — Ь) х (а + Ь);
d)	(а + 26) х (4а — 6);
е)	(2ft-36) х (7ft+ 6).
49.	Проверить, могут ли векторы а = 7i + 6j — 6к, b = 6г + 2j + 9к
быть ребрами куба. Найти третье ребро куба.
50.	Сила F = {3; 2; — 1} приложена к точке А(5; 3; 2). Определить
величину и направляющие косинусы момента этой силы относитель-
но:
а)	начала координат;
Ь)	точки В(3; 1; 0).
51.	Даны три силы F± = {3; —5; 7}, F2 = {—5; 0; 0} и F3 = {1; — 1; 1},
приложенные к точке А(2; 0; 3). Определить величину и направля-
ющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно
точки В(2; 1; —2).
52.	Вычислить площадь параллелограма, построенного на векторах
ft = i + j’ — к и Ъ = Зг — 7j + 2к.
53.	Даны вершины треугольника А(6; 2; 5), В(—3;0;3) и С(0; 2; 1).
Вычислить:
а)	площадь треугольника;
Ь)	длину высоты треугольника;
с)	синусы внутренних углов треугольника.
54.	Найти координаты вектора с, зная, что он перпендикулярен к
векторам а = {3; — 2; 1} и b = {5; 4; — 3} и удовлетворяет условию:
а)	с  (2i — 3j + к) = 1;
b)	|с| = 1;
с)	|с| = 3.
44
Смешанное произведение векторов.
55.	Векторы а, Ь, с, образующие правую тройку, взаимно перпенди-
кулярны. Зная, что |а| = 7, |&| = 3, |с| = 2, вычислить (а,Ь, с).
56.	Вектор с перпендикулярен к векторам а и Ь, угол между а и Ъ
равен Зная, что |а| = 3, \Ь\ = 2, |с| = 4, вычислить (а, Ь, с).
57.	Выяснить правой или левой будет тройка векторов:
а)	а = {0; 4; 3}, b = {0; 4; -1}, с = {0;2;5};
b)	а = {2;3;1}, b = {1;-1; 3}, с = {-1; 9; 0};
с)	а = {3; —2; 1}, b = {2; 1; 2}, с = {3; -1; -2}.
58.	Вычислить смешанное произведение векторов а, & и с, если:
а)	а = {3; 5; 1}, b = {—1; 2; 0}, с = {-3;-2; 1};
b)	а = {1; —1; 0}, b = {0; 1; —1}, с = {2; —1; 1};
с)	а = {2; 3; -5}, b = {6; —1; 4}, с = {8; 2; -1}.
59.	Выяснить, какие из следующих троек векторов а, Ь, с являются
компланарными. В случае компланарности разложить вектор с по
векторам а и Ь.
а)	а = {8; -5; 1}, b = {5; 3; 2}, с = {3; -8; -1};
b)	а = {3;0;1}, b = {-3; 1; 0}, с = {ОД; 2};
с)	а = {-1; 2; -4}, Ь = {4; -3; 2}, с = {7; -4; 0};
d)	а = {2;4;0}, Ь = {7;-8;1}, с = {5;4;1}.
60.	Доказать, что точки А(1; 2; 3), В(5; —8; 0), С(—3; 2; 1), D(2; 7; 6)
лежат в одной плоскости.
61.	Вычислить объем тетраэдра, посторенного на векторах а =
{5;2;0}, Ъ — {1; —3; 0}, с = {0;4;3}. Правой или левой является
тройка векторов а, &, с.
62.	Вычислить объем тетраэдра, построенного на векторах а =
{1; 6; 7}, & = {3; 0; 4}, с = {4; 6; 3}.
63.	Даны вершины тетраэдра А, В, С и D. Вычислить его объем и
длину высоты, опущенной на грань АВС.
45
a)	A(-l;4;2), B(4;0;3), C(2;3;6), Z>(-3; 2; 6);
b)	A(-3; 2; 1), B(l;4; -1), C(5;-2;0), B(2;-2;3);
c)	A(0; 3; 1), B(5;-2;l), C(-1; 2; 6), Z>(1; 0; 4),
64.	Объем тетраэдра равен 10, три его вершины находятся в точ-
ках А(1; — 1;2), В(5;4; 1), С(3;2;—2). Найти координаты четвертой
вершины D, если известно, что она лежит на оси Оу.
65.	Вычислить (u,c,w), где а, 6, с - произвольные векторы и
а)	« = а + 6 + с, v = а — b — с, w = а — b + с;
Ь)	и = а — b, v = Ъ — с, w = с — а;
с)	и = a, v = Ъ — с, w = а + Ъ + 2с.
66.	Раскрыть скобки и упростить выражения:
а)	(а + 6) • [(а + с) х &];
b)	(а + 2Ь — с) • [(а — &) х (а — Ъ — с)].
46
ГЛАВА 2.
ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
§1	. Уравнение прямой
1.	Общее уравнение прямой и геометрический смысл его
коэффициентов. Выберем на плоскости декартову систему коор-
динат XY. Прямая - множество точек (ж, у) таких, что
ах + by + с — О,
где а, Ъ. с - фиксированные числа и либо а 0, либо b 0. Возьмем
две точки на прямой (a?i,?/i) и (#2,2/2). Тогда
axi + byi + с — 0,
ах-2 + Ъу2 + с = 0,
н(ж2 - Ж1) + Ъ(у2 ~ У1) = 0.
Это означает, что вектор п = {а, Ь} перпендикулярен вектору г =
{х‘2 — Ж1, у2 — yi}, лежащему на прямой, т.е. вектор п — {а, Ь}
перпендикулярен всей прямой.
Если Ъ 0, то уравнение прямой можно переписать в виде
у = кх + е,
где к — — е — — Откуда следует, что к — tgcp, где - угол,
образованный прямой и осью ОХ (см. рис. 38).
47
Уравнение у = кх + е называют уравнением прямой с угловым
коэффициентом; к - угловой коэффициент, |е| — длина отрезка, ко-
торый отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.
Предположим, что ни один из коэффициентов уравнения прямой
ах + by + с = 0 не равен нулю. Тогда его можно преобразовать к
виду
х У
- + - = 1,
и V
где и = — и v = - суть величины отрезков, которые отсекает пря-
мая на координатных осях. Такое уравнение называется уравнением
прямой в отрезках.
Пусть прямая проходит через точки А(х-\_',у-С) и В(х2,У2). Тогда,
векторы АФЗ = {х‘2 — х±;у2 — yi} и AM = {х — х±;у — у±}, где М(х; у)
- произвольная точка на прямой, являются коллинеарными. Следо-
вательно, их координаты пропорциональны:
ж - Ж1 _ у -yi
Х-2 - Ж1 У2 - У1 ’
Указанное соотношение называется каноническим уравнением пря-
мой. Угловой коэффициент такой прямой определяется по формуле
k = У2 ~ У1
Х2 - Х1'
48
2.	Угол между прямыми. Условия параллельности и
перпендикулярности прямых. Если даны две прямые
сух + Ъ±у + ci = 0 и а2ж + Ь2у + с2 = О,
то угол между ними р> равен углу между векторами
п1 = {а1,Ь1}, п2 = {а2,Ь2}.
Следовательно,
П1 • П2	ftitt2+&i&2
COStp = -----7 = —.	----.
Ini I ln21	у/а^ + b%  у/a2 + Щ
В частности, прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда
cos (р = ftift2 + bib2 =0
Прямые параллельны тогда и только тогда, когда гу и п2 - колли-
неарные векторы, т.е.
«1 _
а2 Ь2
Далее, предположим, что прямые заданы уравнениями с угловым
коэффициентом:
у = к1х + е1, у = к2х + е2.
Тогда тангенс острого угла между этими прямыми определяется по
формуле
, к2 - к\
tg<P = 1 , ь ь •
1 + к\к‘>
Причем, если прямые параллельны, то
к± = к2
и если прямые перпендикулярны, то
к±к2 = —1 или к2 = — —.
ki
49
3.	Расстояние от точки до прямой. Пусть дана некоторая
прямая е, определяемая уравнением
ах + by + с = О
и точка на плоскости М(жр, уо)- Докажем, что расстояние d от точки
M(xQ,yo) до прямой е равно
d _ \axQ + by0 + с|
д/а2 + &2
Для этого рассмотрим рисунок 39.
Опустим из точки М перпендикуляр МР на прямую е. Пусть
точка Р, лежащая на прямой е, имеет координаты (жх,т/1). Тогда
векторы п = {а, 6}, РМ = {жр — ®1, Уо ~ У1} параллельны. Пусть
искомое расстояние равно d = \РМ|. Тогда
п  Рл} = а(х0 - Ж1) + Ь(у0 - т/i) =
= ахо + byo — (axi + Ьур = ахо + Ьуо + с = d\n\ cos </?,
где = 0, тг и с = — (ах\ + Ьу±). Следовательно,
d _ ±(аж0 + byQ + с)
д/а2 + &2
50
Замечание. Из выше приведенного доказательства следует, что
прямая ах + by + с = 0 разбивает плоскость на две полуплоскости:
первая состоит из точек (ск,/3), для которых аа + 6/3 + с > 0, вторая
- из точек (а, /3), для которых аа + 6/3 + с < 0.
51
§2	. Примеры и задачи
А.	Уравнение прямой, проходящей через точку (ск,/3).
Пусть ах + by + с = 0 - уравнение искомой прямой. Тогда аа +
6/3 + с = 0 и с = —аа — Ь/3. Следовательно,
а(х — а) + Ь(у — /3) = О
- уравнение прямой, проходящей через точку (ск,/3).
В.	Уравнение прямой, проходящей через две точки Ai(xi,yi) и
А2(х2,у2).
Согласно пункту А, уравнение прямой, проходящей через точку
Ai, имеет вид
а(х - Ж1) + Ь(у - тц) = 0.
Так как точка А2(х2,у2) принадлежит прямой, то
а(х2 - жх) + Ь(у2 - У1) = 0
и
а _	у2 - т/i	х - Ж1 _ b _ х2 - xi
b	(ж2-Ж1)’ У~У1 а у2~У1
Откуда следует, что
ж - Ж1 _ т/ - 7/1
ж2 - Ж1 7/2 - 7/1 ’
С.	Уравнение прямой, перпендикулярной к данной прямой
ах + by + с = 0.
Пусть Ах + By + С = 0 - искомое уравнение. Тогда
аА + ЬВ = 0.
Так как коэффициент уравнения определяется с точностью до умно-
жения на ненулевую константу, то можно считать, что А = —Ь, В = а
и
—Ьх + ау + С — 0
искомое уравнение.
52
Пример 22 (УрГУ). К кривой у = х2 + Ьх + 2 в точках с абсцисса-
ми Xi = —1 и Х‘2 = —3 проведены касательные. При каком значении b
периметр треугольника, образованного проведенными касательными
и осью OY, будет наименьшим.
Решение. Уравнение касательной в точке (жо,т/о) имеет вид
У ~Уо = у'М(х — ж0)
или
у - (Жо + Ьх0 + 2) = (2ж0 + 6) (ж - ж0).
Поэтому уравнение касательных в точках с абсциссами Ж1 = — 1 и
Х‘2 = — 3 соответственно имеют вид
у = (Ь — 2)ж + 1, у = (Ь — 6)ж — 7.
Эти касательные пересекаются в точке (—2, — 2Ь + 5), так как из
равенства (& — 2)ж + 1 = (Ь — 6)ж — 7 следует, что ж = —2. Да-
лее, эти касательные пересекают ось OY в точках А(0,1) и В(0, — 7).
Итак, задача сводится к нахождению на прямой ж = —2 такой точки
С(—2, —26 + 5), что периметр треугольника АВС является наимень-
шим. Так как АВ = 8, то нам необходимо найти такую точку С, что
(АС + ВС) имеет наименьшее значение (см. рис. 40).
53
Эта задача была решена нами ранее (см. задачу Герона). Для ее
решения отразим точку В симметрично, относительно прямой х =
—2. Пусть D - точка пересечения прямой АВ' с прямой х = —2.
Тогда _О(—2, —3) и (—26 + 5) = —3. Откуда следует, что b = 4.
Пример 23 (Региональная индийская олимпиада, 1995). На сто-
роне ВС треугольника АВС взяли точку К. L точка пересечения
биссектрисы угла К АС и ВС. Оказалось, что ВС • KL = ВК  CL.
Доказать, что AL перпендикулярно АВ.
Решение. Введем декартову систему координат следующим обра-
зом
54
То есть, ось ОХ совпадает с прямой ВС, а вершина А принадлежит
оси OY. Обозначим координаты указанных точек так, как указано
на рисунке. Так как AL - биссектриса угла САК, то
р — с	АК с2 + h‘2
b — p	AC	y/b2 + h2 '
По условию ВС  KL = ВК  CL или
(-а + 6)(р - с) = (с - а)(Ь - р).
Откуда следует, что
(\ 2	/	\ 2	2,72
р — с\	I с — а\	с + п
b — рJ	\Ъ — a J	Ь2 + h2 ’
(25с — ас — ab) 2 a(2bc — ab — со)
Р = —т,------т-х— и п = ——-----------г— = —ар.
(Ь + с — 2а)	(2ft — b — с)
Пусть, далее, it = {р, —h} и А^З = {а, —6.}. Тогда скалярное произ-
ведение этих векторов равно At  АВ — ар + h2 — 0, т.е. а£ и АЙ-
перпендикулярные векторы.
Пример 24 (Канадская математическая олимпиада, 1991). Пусть
точка В лежит вне фиксированной окружности радиуса R. Найти
55
геометрическое место точек середин хорд, образованных пересече-
нием лучей, исходящих из точки Р и данной окружности.
Решение. Выберем декартову систему координат следующим
образом (см. рис. 42).
Пусть РТ - произвольный луч, проходящий через точку Р(о, а)
и пересекающий окружность в точках A(a?i,?/i) и В(ж2,?/2)- Пусть
С(хо,Уо) - середина отрезка АВ. Уравнение произвольной прямой,
проходящей через точку Р имеет вид А(х — 0) + В (у — а) — 0. Если
А = 0, то у = а и прямая не пересекает нашу окружность. Следо-
вательно, можно считать, что А 0 и х = р(у — а), где р = — -j.
56
Рассмотрим систему уравнений
I х = р(у - а),
х2 + у2 = R2.
к
Решая ее получим, что
Из формул Виета следует, что
У1 + У2 =
2 ар2
р2 + 1 ’
Ж1 + Х‘2 =
2 ар
р2 + 1 ’
Следовательно, координаты точки С(жо,?/о) равны
Ж1 + х-2 ар	у± + у2 ар2
х° = -5-= —У° = —о— = 2 । 1 •
2	р~ + 1	2 р~ + 1
Поэтому
2	( а\
хо + \Уо —
п\
2/
2
и точка С лежит на дуге окружности с центром в точке (0, ^) и
радиуса Интересно отметить, что уравнение этой окружности
не зависит от радиуса исходной окружности, а зависит только от
расстояния от точки Р до центра исходной окружности.
Пример 25 (Ирландская математическая олимпиада, 1997).
Найти геометрическое место точек М, лежащих внутри равносто-
роннего треугольника АВС и удовлетворяющих условию: /.FDE =
90°, где MD, MF, ME - перпендикуляры, опущенные из точки М
соответственно на стороны ВС, АВ и АС (см. рис. 43).
57
Рис. 43
Решение. Выберем декартову систему координат следующим
образом: ось ОХ совпадает с прямой ВС, а ось OY совпадает с
серединным перпендикуляром к стороне ВС. Без ограничения общ-
ности, можно считать, что ВС = 2. Пусть М(а, 6) - точка, удовле-
творяющая условию задачи (см. рис. 44).
58
Уравнение прямой, проходящей через точки А и В имеет вид
х + 1 у — О
0 + 1 “ ч/з-о’
Следовательно, координаты точки F(u,v) связаны между собой за-
висимостью v = л/3(и + 1). Аналогично уравнение прямой, проходя-
щей через точки А и С имеет вид
ж — 0 у — \/3
1-0 ~ 0-а/З’
Следовательно, q = \/3(1 — р). Так как вектор FM = {а — u, b — v}
перпендикулярен вектору В А = {1, \/3}, а вектор ЕМ = {а—р, b — q}
перпендикулярен вектору с! = {-1,х/3} , то
F^ • в! = (а - и) + (& - v)V3 = 0,
59
Ehl  C~X — — (a — p) + V3(p — q) — 0.
Подставляя в полученные равенства числа
q = л/3(1 - р), v = \/3(m + 1),
получим,что
а + х/36 = 4к + 3, ft — х/3& = 4р — 3.
Так как угол Z.FDE в треугольнике FDE равен 90°, то по теореме
Пифагора FE2 = FD2 + DE2 или
(р - и)2 + (q - с)2 = (и - а)2 + v2 + (р - ft)2 + q2.
Откуда следует, что
3 + Зи — Зр — 2ри = иа + ра — а2.
Подставляя в последнее равенство выражение
а + л/ЗЬ — 3 а — л/ЗЬ + 3
U =------4-----’ Р=-------4-----’
получим, что
а2 + (& + \/3)2 = 4.
Это означает, что точка М(а, 6) принадлежит окружности
X2 + (у + \/3)2 = 22
с центром в точке (0, — л/З) и радиуса 2. Проводя рассуждения в
обратном порядке, можно доказать, что любая точка этой окруж-
ности, лежащая внутри треугольника АВС, удовлетворяет условию
задачи.
Пример 26. Рассмотрим рисунок 45
60
где О - точка пересечения прямых б и С, А, В - точки касания
окружности с прямыми /1 и I2 соответственно, ВС - параллельна 1±,
D - точка пересечения прямой ОС и окружности, и наконец, Е -
точка пересечения прямых BD и С. Доказать, что ОЕ = ЕА.
Решение. Выберем декартову систему координат так, чтобы ось
ОХ совпадала с прямой /1, а начало координат с точкой О. Без
ограничения общности, можно считать, что О А = 1. Пусть также
АВОА = 2а. Тогда координаты точек В, С, А равны
В (cos 2а, sin 2а), <7(1 + 2 sin2 a, sin 2а), А(1,0)
61
B(cos2a,sin2a)
(l,tga)
О
Рис. 46
E B'(cos2a,0) A(l,0) C e,
о
C(l+2sin a, sin 2a)
Действительно, пусть В' и С - проекции точек В и С на ось ОХ.
Тогда
АВ' = 1 — cos 2а = 2 sin2 а = С А,
ОС = ОА + АС = 1 + 2 sin2 а.
Вычислим координаты точки -О(яд,?/1). Прямая ОС задается урав-
нением
sin 2а
у = ---------— • х.
1 + 2 sin2 а
Координаты точки £)(яд,т/1) (яд < 1) удовлетворяют двум уравне-
ниям :
sin 2а
= т , г> • 2
1 + 2 sin а
(яд - I)2 + (yi - tga)2 = tg2a.
Решая эту систему, получим, что
1 + 2 sin2 a	sin 2а
---------о— и У1 = ---------------—•
1 + 8 sin а	1 + 8 sin а
62
Следовательно, уравнение прямой BD имеет вид
х — cos 2а
1 + 2 sin2 а
---------5-----cos 2 а
1 + 8 sin а
у — sin 2а
sin 2а . Л
----------5----sin 2а
1 + 8 sin а
Прямая BD пересекает ось ОХ в точке £?(жо,0). Подставляя в по-
следнее уравнение у = 0, получим, что
Xq — cos 2а	0 — sin 2а
— 1	8 sin2 а + 1
1 1	8 sin2 а
1 + 8 sin2 а
Откуда следует, что
—4 sin2 а + 16 sin4 а	,	~ . 2	1 ~ . 2	1
Xq = cos 2а -I-----------5--------- = 1 — 2 sin а------1- 2 sin а =
8 sin2 о-	2	2
т.е. Е (|,0) и ОЕ = ЕА.
Задача 27. В выпуклом пятиугольнике ABODE (см. рис 47).
Рис. 47
BC\\AD, CD\\BE, DE\\AC и AE\\BD. Доказать, что АВ парал-
лельно СЕ.
Указание. Пусть а = b = В(}. с = С15, d = D& и е = ЕА.
Тогда
(2 + 6 + с+ с/ + е = 0, b х (п + 6 + с) = 0, с х (& + с + г/) = О,
63
d x (с + d + e) = 0, e x (b + c) = 0.
Откуда следует, что a x (c + d) = 0, т.е. AB\\CE.
Задача 28. Пусть G - центр тяжести треугольника АВС. До-
казать, что
Gl + Gi + G^ = 0.
Указание. Рассмотреть рис. 48.
где Ах - середина отрезка ВС. Пусть а = ВС, b = В А. Тогда
аА = ь - - и	= Дб-2)
2	3	3\2/
2 7 а
з6"з
Далее, GJ$ + ВАх + Aid* = 0 или

Откуда следует, что
Gi = -ha + b).
О
Так как G'd7 — А±(^ + Aid* = 0, то
od' = - --Cb — -)
2 3V 27
2
за“
b
3’
Следовательно, gX + G^ + G($ =
0.
64
Задача 29. Пусть G - центр тяжести треугольника АВС. До-
казать, что для любой точки Т справедливо равенство
ТА2 + ТВ2 + ТС2 = 3 • GT2 + GA2 + GB2 + GC2.
В частности,
ТА2 + ТВ2 + ТС2 > GA2 + GB2 + GC2.
Указание. Так как
=	+ ТЁ = T& + Gi, тЗ = t£ + G(5,
то
ТА2 = (т£ + g!) • (fS + g!) = TG2 + GA2 + 2ТЙ • GJL
Аналогично
ТВ2 = TG2 + GB2 + 2ТЙ • Gi, TC2 = TG2 + GC2 + 2ТЙ • G(5
и
TA2+TB2+TC2 = 3TG2 + (GA2+GB2+GC2)+2TG-(Gl+Gi+G(5).
Воспользоваться, далее, предыдущей задачей.
Задача 30 (НГУ, 2003г., открытая олимпиада по математике).
Объем треугольной пирамиды DABC равен 4%/5, а ее ребра равны:
АВ = 8, ВС = 5, АС = 5, AD = 8, BD = 4. Найти длину ребра
CD.
Задача 31 (краевая математическая олимпиада, 11-й класс, 1995г.).
Существуют ли треугольная пирамида, каждое ребро которой видно
из середины противоположного бокового ребра под прямым углом?
Указание. Рассмотреть рис. 49.
65
где F - середина DB и угол AFC прямой. Тогда
Ар=—, F^ = b_l±^t а^-Р^=^-(ь-—}=0.
2	2 ’	2	\	2 )
Откуда следует, что
2аЬ + 26с = а2 + с2 + 2ас.
Аналогично доказываются равенства
2аЬ + 2ас = Ь2 + с2 + 2Ьа и 2сЪ + 2ас = а2 + Ь2 + 2аЬ.
Складывая соответственно левые и правые части полученных ра-
венств, получаем, что
(а — Ь)2 + (а — с)2 + (6 — с)2 = 0.
Противоречие.
Задача 32 (краевая математическая олимпиада, 11-й класс, 1997г.).
Высотой (271 + 1) - угольника А1А2 ... A.2n+i называется прямая, про-
ходящая через вершину и перпендикулярная противоположной сто-
роне. Если 2п высот проходят через одну точку, то верно ли, что и
оставшаяся высота тоже проходит через эту точку?
66
Указание. Рассмотреть, например, пятиугольник А1А2А3А4А5.
Пусть Р - точка пересечения высот А1В1, А2В2, А3В3, А4В4 (см.
рис. 50).
— di, РА2
Обозначить векторы РА±
РАц = а$. Тогда по условию
а2, РА3 = (23, РА4 = а4,
(21 ’ (^3 — (24) — 0, (22 (®4 — <25) — 0, (2з ((21 — (Х5) — 0, (24((24 — (22) — 0.
Доказать, что • (аг — а3) = 0.
Задача 33. Пусть АВ и АС - острые углы в треугольнике АВС
и BCCiBi - квадрат, построенный на стороне ВС (см. рис. 51).
67
Пусть Р, Q - точки пересечения ВС с отрезками АВ±, и АС\
соответственно. Пусть также S и Т такие точки на сторонах АВ и
АС (соответственно), что SP uTQ перпендикулярны ВС. Доказать,
что SPQT - квадрат, вписанный в треугольник АВС.
Указание. Выбрать декартову систему координат следующим
образом
68
При этом можно считать, что ВС = 1, т.е. ВС = (1,0). Тогда
координаты точек Р и Q (соответственно) равны:
Следовательно,
Уравнение прямой АВ имеет вид
b
У = -х.
а
Поэтому координаты точки S равны
69
В частности, SP = QP = Уравнение прямой АС имеет вид
и координаты точки Т равны
Итак,
SP = PQ = QP =
6 + 1
и четырехугольник SPQT является квадратом.
Задача 34. Из точки М, лежащей внутри угла АОВ (см. рис.
53)
опущены перпендикуляры MQ и МР. Из точек Р и Q тоже опу-
щены перпендикуляры PR и QS. Доказать, что отрезки RS и ОМ
перпендикулярны.
Задача 35. В плоскости квадрата ABCD найти геометрическое
место точек М таких, что МВ + МD — МА + МС.
Задача 36 (ИГУ, мех-мат. факультет, 1992). Через вершину D
квадрата АВ CD со стороной 4 проведена прямая I, пересекающая
отрезок ВС в некоторой точке. В каком отношении прямая I делит
ВС, если расстояние от середины отрезка АВ до I прямой равно 2?
70
§3. Задачи для самостоятельной работы
1.	Определить, какие из точек Mi(l; —1), Мз(2; —3), Мз(1; 3),	2; 2),
М5(5; 1) лежат на прямой —х + Зу — 8 = 0 и какие не лежат на ней.
2.	Определить точки пересечения прямой —х + 2у + 4 = 0 с коорди-
натными осями и построить эту прямую на чертеже.
3.	Найти точки пересечения следующих прямых:
а)	2ж + Зу — 4 = 0 и х — у + 3 = 0;
Ь)	—х + 4у + 19 = 0 и Зх + 2у — 1 = 0.
4.	Вычислить площадь треугольника, стороны которого лежат на
прямых 6х + 5у — 1 = 0, 4ж — у — 5 = 0, х + Зу — 11 = 0.
5.	Составить уравнение прямой и построить прямую на чертеже,
зная ее угол наклона р и отрезок Ь, отсекаемый ею на оси Оу:
а)	р = 45°, 6 = 2;
Ь)	</? = 30°, b = -4;
с)	р = 60°, 6 = 5;
d)	р = 120°, 6 = 1;
е)	р = 90°, 6 = 0;
f)	р = 0°, 6 = -12.
6.	Определить угловой коэффициент к и отрезок 6, отсекаемый на
оси Оу, для каждой из прямых:
а)	х — 2у + 4 = 0;
Ь)	2х + бу — 9 = 0;
с)	х — у + 3 = 0;
d)	х + у = 0;
е)	у + 1 = 0.
7.	Найти проекцию точки Р(4; 1) на прямую 2х — у + 1 = 0.
8.	Найти точку Q, симметричную точке Р(3; 2) относительно прямой
х — у + 1 = 0.
71
9.	Вычислить угловой коэффициент прямой, проходящей через две
данные точки:
а)ЛЛ(2;4), Л/2(-1;5);
Ь)	М2(3;3);
с)ЛЛ(5;6), М2(-2;3).
10.	Даны вершины треугольника А(—6; 5), В(6;4) и С(2; —5).
а)	Составить уравнения сторон, медиан, высот, биссектрис и се-
рединных перпендикуляров треугольника.
Ь)	Найти координаты точек пересечения медиан, биссектрис, вы-
сот и серединных перепендикуляров треугольника.
с)	Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины
А на медиану, проведенную из вершины В.
d)	Составить уравнения прямых, проходящих через вершины тре-
угольника, параллельно противолежащим сторонам.
11.	Определить точку пересечения диагоналей выпуклого четырех-
угольника ABCD, если:
а)А(1;-3), В(9;3), С(6;7), Z>(—6; —2);
Ь)А(-3;10), В(6;3), (7(1;—5), В(-4;-4).
12.	Определить косинус угла между следующими прямыми:
а)	Зх + 2у + 8 = 0, — 2х + Зу — 1 = 0;
Ь)	—2х + Ъу - 6 = 0, 2х + Зу + 3 = 0;
с)	х — 4у + 1 = 0, 4ж + у = 5 = 0;
d)	Зх — у + 3 = 0, —9ж + Зу — 2 = 0;
е)	— Зх + -Убу + 4 = 0, \/2.г + \/Зу — 2 = 0;
f)	х - Ъу + 1 = 0, 2х + Зу - 1 = 0;
g)	4ж — 2у — 3 = 0, — 2х + у + 5 = 0.
13.	Определить, при каких значениях а и b две прямые
ах + 2у — 5 = 0, 2х — Зу + b = 0
а)	имеют одну общую точку;
Ь)	параллельны;
72
с)	совпадают.
14.	Вычислить площадь треугольника, отсекаемого от координатно-
го угла прямой Зх + 2у — 6 = 0.
15.	Составить уравнение прямой, которая проходит через точку
Р(—2,4) и отсекает на координатных осях отрезки равной длины,
считая каждый отрезок от начала координат.
16.	Составить уравнение прямой, которая проходит через точку
Р(— 1; 1) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью,
равной 2.
17.	Вычислить расстояние от точки до прямой в каждом из следу-
ющих случаев:
а)	Р(-2; 1), 2х - у + 5 = 0;
Ь)	Р(3;—2), 4ж - Зу + 2 = 0;
с)	Р(—1; 2), Зж + 4?/ + 10 = 0;
d)	Р(—3;0), 12ж - Ъу + 23 = 0.
18.	Установить, лежит ли точка Р(2; 3) и начало координат по одну
или по разные стороны каждой из следующих прямых:
а)	— 2х + у — 4 = 0;
Ь)	х — Зу + 3 = 0;
с)	х + у — 5 = 0.
19.	Установить, пересекает ли прямая 4ж + Зу — 12 = 0 отрезок,
ограниченный точками:
а)	А(-1; 2) и В(3;4);
Ь)	Р(3;2) и<3(6;-1);
с)	5(-2;4) и Т(8;-1).
20.	Вычислить расстояние между параллельными прямыми в ка-
ждом из следующих случаев:
а)	2х — Зу + 1 = 0, —4ж + бу — 2 = 0;
Ъ)	х + у — 1 = 0, — х — у + 7 = 0;
с)	5ж — 10у + 3 = 0, х — 2у + 3 = 0;
73
d)	Зх + у — 1 = 0, Зх + у + 12 = О.
21.	Составить уравнение прямой, проходящей через точку _Р(3; —2)
на одинаковых расстояниях от точек М\(7; 3) и М2(—1; 5).
22.	Определить, лежит ли начало координат внутри или вне тре-
угольника, стороны которого даны уравнениями
х — у + 7 = 0, Зх + Фу — 14 = 0, 5х + 9у — 21 = 0.
74
ГЛАВА 3.
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§1. Уравнение плоскости
1.	Общее уравнение плоскости и геометрический смысл
его коэффициентов. Фиксируем в трехмерном пространстве де-
картову систему координат и рассмотрим множество Р точек (ж, у, z),
координаты которых удовлетворяют уравнению
ах + by + cz + d = О,
где а, 6, с, d - фиксированные действительные числа и одно из чисел
а, Ь. с не равно нулю. Множество Р называется плоскостью. Пусть
A(xi,yi, Zi) и В(х2,У2, Z2) - две точки на плоскости и п = {а,Ь,с}.
Тогда
(2Ж1 + byi + czi + d = О,
ах2 + by2 + CZ2 + d = О,
а(х2 ~ Ж1) + Ь(у2 ~ У1) + C(Z2 ~ Zi) = 0.
Последнее равенство означает, что скалярное произведение
п  А& = 0,
т.е. вектор п = {а, 6, с} перпендикулярен всей плоскости.
Всякий (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к данной
плоскости, называется ее нормальным вектором.
Если в уравнении плоскости
ах + by + cz + d = 0
75
ни один из коэффициентов a, b, с, d не равен нулю, то это уравнение
может быть преобразовано к виду
х у	z
—I----1--= 1,
и V	W
где
d	d	d
и = —, v = —w = —
a	b	с
суть величины отрезков, которые плоскость отсекает на координат-
ных осях, считая каждый от начала координат. Указанное уравнение
называется уравнением плоскости в отрезках.
2.	Угол между плоскостями. Условия параллельности и
перпендикулярности плоскостей. Угол между плоскостями
ах + by + cz + d = О,
Ах + By + Cz + D = 0.
равен углу между их нормальными векторами п = {а, 6, с} и N =
{А, В, С} и вычисляется с помощью скалярного произведения
п • N = аА + ЬВ + сС = |п||7V| cos 99,
аА + ЬВ + сС
COS X) =	.	г-	.
Va2 + b2 + c2VA2 + В2 + С2
В частности, плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, ко-
гда cos р = 0 или
аА + ЬВ + сС = 0.
Плоскости параллельны тогда и только тогда, когда векторы п и N
параллельны, т.е.
а b с
А = В = С'
3.	Расстояние от точки до плоскости. Фиксируем точку
М(хо,уо, zq) и плоскость, которая определяется уравнением
ах + by + cz + d = 0.
76
Докажем, что расстояние от точки М(хр,уо, Zo) до плоскости равно
|аж0 + by о + cz0 + d\
V a2 + b2 + с2
Рассмотрим рисунок
M(x0,y0,Z0)
л
п(а,Ь,с)
K(xi,ybzi) /
Рис. 54
где п = (а, 6, с) - вектор, перпендикулярный к плоскости, К(ж1, у\, z±)
- основание перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость.
Тогда векторы п = {а, Ь, с} и КМ = {жо — х±, уо — у±, zp — z±} парал-
лельны и их скалярное произведение п • КМ равно
п  К]$ = | тг 11К л/1 cos<^> = а(жо — жД + Ь(ур — yi) + c(zp — zi),
где = О, 7Г и cosy? = 1 или cosy? = — 1. Следовательно,
±а/а2 + 62 + с2 •	= а(ж0 - жД + 5(у0 - У1) + с(^о - -гД =
= (аж0 + by0 + cz0) - (аж1 + byi + с^Д = аж0 + by0 + cz0 + d,
т.е.
= ± ах0 + Ьу0 + cz0 + d
\/а2 + Ъ2 + с2
(искомое расстояние от точки М до плоскости). Из доказательства
следует, что если п и КМ одинаково направлены, то
аж0 + byp + czp + d> 0.
77
Таким образом, наша плоскость разбивает все пространство на два
полупространства: в одном из них значения функции ах Т by Т cz + d
положительные, в другом - отрицательные.
Пусть п = {а; 6; с} - нормаль плоскости, заданной общим уравне-
нием
ах + by + cz + d = 0.
Умножим обе части этого уравнения на нормирующий множитель
1
и = Т—
у/а2 + Ь2 + с2
и получим нормальное уравнение плоскости вида
х cos а + у cos (3 Т z cos у Т р = 0,
где
Та	Тб	Тс
cos а= .	, cos р = .	, cos у = .
д/а2 Т б2 Т с2	д/а2 Т б2 Т с2	д/а2 Т б2 Т с2
- направляющие косинусы нормали плоскости, |р| - расстояние от
начала координат до плоскости. Очевидно, что расстояние от неко-
торой точки 7И(яу; 3/1 !г1) Д° данной плоскости равно
|ж1 cos а Т З/i cos (3 Т z± cosy Т р.|
78
§2. Уравнение прямой
1. Канонические и параметрические уравнения прямой.
Пусть А(хо,уо, zq) - фиксированная точка на прямой и B(x,y,z) -
произвольная точка на прямой. Пусть также р = {к,1,т} - век-
тор, параллельный прямой (он называется направляющим вектором
прямой). Тогда векторы р и АЁ параллельны, т.е. их координаты
пропорциональны:
X- Х0 _ У ~Уо _ Z — Zq
к I т
Полученное уравнение прямой называется каноническим. Обозна-
чив через
х - х0 _
к '
получим параметрическое задание прямой:
х = xq + kt,
У = Уо + It, где t 6 R.
z = zq + mt,
Прямая может быть задана как пересечение двух непараллель-
ных плоскостей, т.е. как множество решений системы линейных
уравнений:
(21Ж + Ьру + CiZ + ф =0,
а2х + Ь2у + c2z + d2 =0.
В этом случае для нахождения канонического уравнения прямой
можно взять произвольное частное решение системы (хо,уо, Zq), а
для нахождения направляющего вектора можно взять вектор
П1 х п2 =
г	j	к
(21	&1	Ci
Ь2 С2
где
П1 = {(21, &1, С1} и п2 = {а2, Ь2, с2}.
79
2.	Пучок плоскостей. Пусть некоторая прямая определена
как пересечение двух непараллельных плоскостей
{nix + bpy + c±z +	=0,
а2х + b2y + c2z + d2 =0,
а и fd - какие угодно числа, одновременно не равные нулю, тогда
уравнение
a(aix + Ъ±у + c-yz + d±) + (3(а2х + b2y + c2z + d2) = 0
определяет плоскость, проходящую через данную прямую.
Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же
прямую, называется пучком плоскостей, а вышеуказанное уравне-
ние называется уравнением пучка плоскостей.
Полагая а 0 уравнение пучка плоскостей часто записывают в
виде
<21Ж + bpy + crz + di + Х(а2х + b2y + c2z + d2) = 0,
где А = -.
а
3.	Угол между прямыми. Угол между прямой и плоско-
стью. Фиксируем плоскость и прямую, заданные уравнениями:
ах + by + cz + d = 0,
х- х0 _ у -у0 _ z - z0
k I т
Вектор п = {а, Ь, с) является перпендикулярным к плоскости, а век-
тор р = {к, I, т} - параллелен прямой. Поэтому прямая и плоскость
параллельны тогда и только тогда, когда
п • р = ак + Ы + ст = 0.
Если при этом ажо + by о + czq + d = 0, то прямая содержится в
плоскости. Прямая является перпендикулярной к плоскости, если п
и р - параллельные векторы, т.е.
а	b	с
к	I	т
80
Пусть дана еще одна прямая
х - хг _ y-yi _ z — Zi
к\	li mi
с направляющим вектором pi = {ki,li,mi}. Тогда угол р между
прямыми равен углу между направляющими векторами р и pi, и
находится по формуле
р • pi = \р\\pi | cos р = kki + Hi + mmi
или
kki + Hi + mmi
cos p = .—.	.
+ m2y/kl + ll +
В частности, прямые являются перпендикулярными тогда и только
тогда, когда
kki + Hi + mmi = 0.
Аналогично, прямые параллельны тогда и только тогда, когда век-
торы р и pi тоже являются параллельными, т.е. их координаты про-
порциональны:
к I т
ki li mi
81
§3. Примеры и задачи
Рассмотрим, далее, основные задачи на прямую и плоскость.
А. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через
две точки A(xi,?/i,^i) и В(ж2, У2, z2).
Направляющим вектором можно считать вектор
АЙ = {х2 ~ Х1,у2 - y1,Z2 - 21}.
Следовательно, искомым каноническим уравнением прямой являет-
ся уравнение
х - хг _ у - yi _ z- Z!
х2 - ЯД у2 - У! 22 - 21 ’
Б. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки
А1 (яд, 3/1,21), А2(х2, у2, 22), А3(х3,у3, z3) не лежащие на одной пря-
мой.
Пусть A(x,y,z) - произвольная точка плоскости. Тогда векторы
AiA, AiA2 и AiA3 являются компланарными, т.е. их смешанное
произведение равно нулю.
(A A, AiA-2, AiA3^ = 0.
Верно и обратное утверждение: если векторы А]_А, А±А2 и А}А3
являются компланарными, то точка А принадлежит плоскости, про-
ходящей через точки Ai, А2, А3. Переходя к координатной записи,
получим,что
х — ЯД
х2 — ЯД
х3 — ЯД
У~У1
У2 ~ У1
Уз ~ У1
2 — 21
Z2 ~ 21
Z3 ~ 21
= 0.
Это и есть искомое уравнение плоскости.
В. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(хо, уо, Zq)
и параллельной прямым:
X - Хг _ у ~У1 _ 2 - 21
к± h ixii ’
82
х -Х‘2 _ у -У2 _ Z- Z‘2
к2 h т2
В качестве вектора, перпендикулярного к плоскости, можно взять
векторное произведение направляющих векторов
Pi =	и р2 = {к2,h,т2},
т.е. вектор
Pi х р2 =
г	j	к
к±	li	mi
к2	12	ТП2
Поэтому искомым уравнением плоскости является следующее урав-
нение
h
I2
mi	mi
(х - х0) +
т2	т2
ki
к2
(У ~ Уо) +
ki
к2
h
I2
(z - z0) = 0.
Г. Найти расстояние от точки А(хо,Уо, Zq) до прямой
х — а у — (3 z — у
к I т
Проведем через точку А плоскость, перпендикулярную прямой
к(х - х0) + 1(у - уо) + m(z - z0) = 0.
Найдем координаты точки пересечения В исходной прямой с этой
плоскостью. Для этого подставим в уравнение плоскости вместо
х = а + kt, у = (3 + It, z = 7 + mt и найдем t. Тем самым, мы
найдем координаты точки В. Длина вектора А^ является искомым
расстоянием.
Д. Найти расстояние между прямыми
X-Xi	_	у ~У1	_	Z - Zi
ki li	mi	’
X- X2 _ у -У2 _ Z- Z2
k2 I2	ТП2
83
Пусть
а(х - ж2) + Ь(у - у2~) + с(г - г2) = О
плоскость, проходящая через вторую прямую и параллельная пер-
вой прямой. Тогда вектор {а, Ъ, с} параллелен вектору pi х р2, где
Pi =	и р2 = {к2,12,т2}.
Таким образом, можно считать, что
(а, Ь. с) =
г j к
к± li mi
к2 l2 т2
Искомое расстояние между исходными прямыми равно расстоянию
от точки (xi,yi,zi) до найденной плоскости.
Задача 37 (вторая международная математическая олимпиада,
Румыния, 1960 г.).
Дан куб ABC D А' В' С D'. Найти геометрическое место середин
отрезков PQ, где Р - любая точка отрезка АС и Q - любая точка
отрезка В'D'.
Указание. Ввести декартову систему координат следующим
образом (рис. 55).
84
При этом можно считать, что АВ = 1. Если BP = {и,г?,0}, то
А? = {u- l,v,0} = ААЙ = А{-1,1,0},
где 0 < А < 1. Откуда следует, что
и = 1 — А, v = A и Blr* = {1 — А, А, 0},
где 0 < А < 1. Аналогично, если В (5 = {m,n, 1}, то
WQ = {m,n,0} = SB^D' = J{1,1,0},
где 0 < 8 < 1. Поэтому
т = А п = 8 и В($ = {5,А1},
где 0 < 8 < 1. Пусть Т - середина отрезка PQ. Тогда
^_В^ + В^ _ (1-Х + 8 Х + 8 11
2	[	2	’	2 ’ 2 J
85
1 1
2’2’°
где 0 < 5, А < 1. Обозначить через
fl 11 , f 1 1 1
а=<-,0,->, о = < -,-,0> и с =
1 2’ ’ 2 J ’	12’2’ J
11
2’ 2’°
Векторы Ьис имеют длину являются перпендикулярными, а
концы множества векторов 8Ъ + Ас, где 0 < S, А < 1 заполняют весь
квадрат со сторонами b и с:
Искомое множество середин Т отрезков PQ является квадратом,
который получается из квадрата, натянутого на векторы Ъ и с, па-
раллельным сдвигом на вектор а.
Пример 38 (ИГУ, открытая олимпиада по математике, вар. 21,
2004 г.).
В кубе ABCDAiBiCiDi длина ребра равна 1, точка К - середина
ребра Ai-Bi и точка N - центр грани AAiD^D. Плоскость, проходя-
щая через точки В, К и N, пересекает прямые A^Ci и CD в точках
Q и S. соответственно. Найти длину отрезка QS.
Решение. Введем декартову систему координат следующим обра-
зом
86
Найдем уравнение плоскости ах + by + cz + d = 0, проходящей
через точки В (0,1,0), К (0, |,1), 7V(|,0, Для этого подставим
координаты этих точек в данное уравнение. Получим систему ли-
нейных уравнений:
<2'0-|-&‘1_1_С'0-|-с/ = 0,
= 0, •
a-| + &- O + c- |+ cZ =0
Решая эту систему, получим, что
d = —2с, а = Зс, b = 2с,
т.е. уравнение нашей плоскости имеет вид
Зх + 2у + z — 2 = 0.
Каноническое уравнение прямой А±С± имеет следующий вид
х — 0 у — 0 z — 1
1-0 “ 1-0 “ 1-1’
87
а параметрическое -
x = t, у = t, z = 1, где t E R.
Следовательно, прямая A±Ci состоит из множества точек вида (t, /,, 1),
где t Е R. Найдем точку пересечения этой прямой с плоскостью,
проходящей через точки В, К, N. Для этого подставим координаты
искомой точки в уравнение: 3i + 2i + 1 — 2 = 0, t = |.
Итак, точка Q (|, |, 1) является искомой точкой пересечения. Ана-
логично любая точка прямой DC имеет следующее параметриче-
ское представление (1, t, 0). Подставляя эти координаты в уравнение
плоскости, получим, что t = — Поэтому точка пересечения прямой
DC и плоскости имеет координаты R (1, — 0). Откуда следует, что
Задача 39 (математическая олимпиада для поступающих в Алт-
ГУ, 2002 г.).
В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит равно-
бокая трапеция ABCD, для которой AD\\BC, АВ = CD = 1, AD = 3
и ВС = 2. Ребро SC перпендикулярно к плоскости основания и
равно 1. Через точку С проведено сечение пирамиды плоскостью,
параллельной ребрам АВ и SD. Найти угол между плоскостью се-
чения и основанием пирамиды.
Указание. В основании пирамиды лежит равнобокая трапеция
(см. рис. 57),
В	С
А К	Т D
Рис. 57
88
у которой АВ = CD = 1, ВС = 2, AD = 3. Провести высоты
В К и СТ. Тогда КТ = 2 и АК = DT = 1/2. Откуда следует, что
В К =	Ввести декартову систему координат следующим образом
Тогда вершины имеют следующие координаты:
ДО,0,0), В т,^-,0 ,С -,^-,0 ,B(3,0,0),S -,^-,1 .
Уравнение плоскости сечения пирамиды имеет вид
где вектор нормали к плоскости
п = (а, Ъ, с) коллинеарен вектору
и искомвтй угол равен углу между векторами п и {0,0,1}.
89
Пример 40. Основанием пирамиды FABC является треуголь-
ник АВС, в котором А АВС = 90°, АВ = 3, ВС = 4. Ребро F А пер-
пендикулярно плоскости АВС и равно 4. Отрезки AM и AL явля-
ются соответственно высотами треугольников AFB и AFC. Найти
объем фигуры AMLCB.
Решение. Введем декартову систему координат следующим обра-
Объем искомой пирамиды равен Vfabc ~ Vlfam- Объем пира-
миды FАВС равен
Vfabc = - FA • S/\abc = ~ • 4 •
О	о
АВ • ВС _ 4 3-4
2	” 3
—=8-
Для вычисления объема пирамиды LFАВ вычислим координаты
точки L(u,v,w). Каноническое уравнение прямой FC имеет вид
В частности,
ж — 0 у — 4 z — 0
3-0 ” 0-4 ” 4-0'
u v — 4 w
— =---= — = t
3-4	4
90
и L(3t, 4—4i, 4i). Вектор LA — {3 —3i, At—4, —4i} перпендикулярен
вектору С A — {3, —4,4}. Поэтому
lA • cA = 0 = 3(3 - 3i) - 4(4i - 4) - 16i
25 T /75 64 100 \
41’	\41 41 41 J
Откуда следует, что высота пирамиды LFАВ, опущенная из верши-
ны L на основание FAB равна ||. Вычислим площадь треугольника
FMA. Для этого рассмотрим рисунок 60.
Рис. 60
Имеем, что FА = 4, АВ = 3, FB = 5, AM = X и
FM = Х-У =	= 16
у \ 5 J 5	5
Поэтому
_ 1	16 12 _ 96	_	1	64 96	_	64 • 32
ЛРАМ - 2 ’	у у “ 25	И Vlfma ~	3	’ 41 ’ 25	“	41-25'
Следовательно, искомый объем Valcbm равен
/	64-32\ _	/	256	8-769
\	~ 1025 J ~	\	Ю25 J	~	1025 '
Задача 41 (открытая олимпиада по математике, ИГУ, 2003 г.).
В пирамиде ABCD известны ребра АС = ВС = 5, АВ = AD = 8,
BD = 4 и объем пирамиды V = А\/15. Найти длину CD.
91
Указание. Ввести декартову систему координат следующим
образом
Тогда
АВ2 = 82 = (и — 5)2 + V2 и ВС2 = 25 = и2 + v2.
Откуда следует, что
7	24
и = v = —.
5	5
Далее, площадь треугольника АВС равна
S = ^AC v= | - 5- у = 12
и следовательно, объем пирамиды V равен
4-\/15 =-•/• 12 = 4 г,
92
т.е. г = у15. Так как
AD2 = 64 = (p-5)2+q2+r2
то 49 = (р — 5)2 + q2 и
/	7\2 /	24\2
1 = \р- - + \q - v
\	qj	\	5 j
Ответ: CD = УЗЗ.
Задача 42 (открытая олимпиада по математике, НГУ, 2003.).
В основании треугольной пирамиды SABC лежит равносторонний
треугольник АВС. Ребра SA и SB перпендикулярны и образуют
с плоскостью основания углы в 30° и 45° соответственно. Объем
пирамиды равен 4-\/3. Найти расстояние от точки С до плоскости
ASB.
Указание. Ввести декартову систему координат следующим
образом
93
Рис. 62
где а = АВ. Пусть SD - высота, опущенная из вершины S на осно-
вание АВС. Тогда
од
BD = SD = w = -----.
2
Так как векторы SI*? и SA перпендикулярны, то
(а — и) • и + (—v) • v + (—w)w = 0.
Далее,
Vsabc = 4\/3 = - • SD • S&abc = — •
О	О 4L
и a2w = 48. Итак, справедливы следующие равенства:
9	9	9	9	/	\9	9 о о U2 + V2 + W2
a w = 48, аи = и + v + w , (а — u) + v = w , w = ------------.
Откуда следует, что
ш = 2, а = 2\/б, С (VQ, х/18, б) ,
-у/by + z = 0
- уравнение плоскости В AS. Следовательно, искомое расстояние от
точки С до плоскости SAB равно
| — л/3 • д/18 + 1 • 0| _ За/6
\/(ч/3)'2 + I2 2
Пример 43 (вступительные экзамены в НГУ, вар. 22, 2006 г).
В основании правильной четырехугольной пирамиды SABCD ле-
жит квадрат ABCD со стороной 1. Точки М и К расположены
соответственно на ребрах АВ и DS так, что
AM _ DK _
~МВ ~ ~KS ~ 3‘
94
Найти объем пирамиды SABCD, если прямые DS и МК перпенди-
кулярны.
Решение. Введем декартову систему координат следующим обра-
Ясно, что координаты точки М равны 0,0). Вычислим коор-
динаты точки	Имеем, что
DK = {и — 1, v — 1, w} = -D& = -
1	’ J 4	4
1 1 1
2,-2’CJ
или
3,3	3
и — 1 = — v — 1= w = -c.
8’	8’	4
Откуда следует, что
5	5	3
= -, V — W — -с.
8’	8’	4
Так как векторы
МК = < и — f — 0, w — 0
I 4
95
перпендикулярны, то
+1	- с =	= 0
\8>J \ 2J 8 \ 2j \4 )
и
3 2	5	3	1	/2
4С “ 16 + 16 “ 2’ С ~ У 3'
Следовательно,
Vsabcd = о с • Sabcd =
О

Задача 44 (ЕГЭ, 2007).
В основании пирамиды DABC лежит треугольник АВС, в ко-
тором АС = 30°, АС = 40, ВС = 12\/3. Боковое ребро AD равно
2\/3 и перпендикулярно плоскости АВС. Сечение пирамиды плос-
костью, проходящей через середину ребра BD параллельно прямым
ВС и AD, является основанием второй пирамиды. Ее вершина Т
- основание высоты ВТ треугольника АВС. Найти объем второй
пирамиды.
Указание. Рассмотреть рисунок 64
где а = АА, ВС = 12д/3, АС = 40. По теореме косинусов
АВ = 4\/37,
по теореме синусов
зУз	11
sin а = —==, cos а = —=,
2л/37	2л/37
96
AT = AB cos a = 22, ВТ = AB sin a = 6\/3.
Ввести декартову систему координат следующим образом.
Рис. 65
Пусть К (11, Зд/З, д/З) - середина отрезка DB. Уравнение плос-
кости, проходящей через точку К имеет вид
а(х — 11) + Ъ (у — Зд/з) + с (z — д/з) = О,
где (а, Ь, с) - вектор перпендикулярный этой плоскости. Так как эта
плоскость параллельна векторам
At) = {о,О,2д/з} и вё = {18, —6л/3,о} ,
то
а • 0 + Ъ • 0 + с • 2\/3 = 0 и 18а — бд/Зб + с • 0 = 0.
97
Следовательно, с = 0 и b = у/За, т.е.
(х - 11) + V3 (у - Зх/з) = О
уравнение плоскости. Эта плоскость пересекает прямую АС в точ-
ке М(20,0,0), прямую DB в точке N (11, Зд/З,0) и прямую DC в
точке L (20,0, д/З) (см. рис. 66).
Четырехугольник LKNM является прямоугольником, его пло-
щадь S равна \/3 • 6\/3 = 18. Расстояние от точки Т(22,0,0) до
плоскости LKNM равно
! (22 — 11) + д/3(0 — Зд/З) _ 11-9 _ 1
С2 + (V3)2	2
Таким образом, объем искомой пирамиды равен V = | • 1 • S — 6.
98
§4. Задачи для самостоятельной работы
Уравнение плоскости.
1.	Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку А
и имеет нормальный вектор п, если:
а)	4(2; 3;-1), п = {—2; 1; 2};
Ь)	4(1; — 1; 3), п = {4; 5; 7}.
2.	Даны точки МД—4;2;6) и М2(3; —1;0). Составить уравнение
плоскости, проходящей через точку М± перпендикулярно вектору
Mi М2 
3.	Составить уравнение плоскости, проходящей через точку 4 па-
раллельно векторам а и Ъ, если:
а)	4(3; —2; 1) и а = {5; -4; 1}, Ъ = {2; -1; 4};
Ь)	4(4; -5; 7) и а = {1; 0; 2}, b = {-2; 3; 5}.
4.	Составить уравнение плоскости, проходящей через точки Mi и
М2 параллельно вектору а, если:
a)	МДЗ;-3;2), МД7; — 1;4) и а = {0;3;2};
Ь)	МДб; 2; -3), МД2; -1; 3) и а = {5; -3; 1}.
5.	Составить уранение плоскости, проходящей через точки Mi, М2
и М3, если:
a)	МД1;—2;—1), М2(3;-5;4) и М3(0;-1; -2);
Ь)	МД-3; 2;-4), МДб; 5; -3) и М3(1; — 1; 1);
с)	МД0;-5;2), МД1;-2;3) и М3(-4;5;2).
6.	Установить, какие из следующих пар уравнений определяют па-
раллельные плоскости, а какие перепендикулярные:
а)	2х — Зу + z — 7 = 0, 4т — Qy + 2z + 5 = 0;
b)	-2х + 2у + 3z + 1 = 0, Зх - 2у + 2z - 3 = 0;
с)	2х — Зу + 4г = 0, — 6т + 9у — 12г + 4 = 0;
d)	х + у — 2z + 3 = 0, — 2х + Ау + z — 2 = 0.
99
7.	Определить косинусы двугранных углов, образованных пересече-
нием следующих пар плоскостей:
а)	—х + у + y/2z + 1 = 0, х + у — y/2z + 5 = 0;
b)	х + 2z — 2 = 0, —х + 3z + 3 = 0;
с)	6х + у + 2z — 4 = 0, — 2х + бу + 3z + 7 = 0;
d)	—15ж + 16?/ + 12г — 3, 2х + у + 2z + 4.
8.	Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку
А (2; — 1; 4) параллельно плоскости Зх — Ъу + 7z — 2 = 0.
9.	Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку
А(—3; 1; 2) перпендикулярно к двум плоскостям
Зх — у + z — 2 = 0, х + у — z = 0.
10.	Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку
А(0; — 1; 5) перпендикулярно к двум плоскостям
2у — 3z + 1 = 0, Ъх + 4у — 3z — 4 = 0.
11.	Составить уравнение плоскости, которая проходит через две
точки Mi(—1; 1; 1) и 412(2; 8;—2) перпендикулярно к плоскости
—2х + Зу + z — 13 = 0.
12.	Составить уравнение плоскости, которая проходит через две
точки 44Д0; —4; 5) и (0; 1; 0) перпендикулярно к плоскости х + у +
2-3 = 0.
13.	Установить, что следующие три плоскости имеют одну общую
точку и вычислить ее координаты:
а)	2х + у + 3z — 14 = 0, х — у + z — 4 = 0, —х + у — 3z + 16 = 0;
b)	х + у — 2z + 1 = 0, Зх + Ъу + z — 19 = 0, —х + 2у — 3z — 3 = 0.
14.	Доказать, что следующие три плоскости проходят через одну
прямую:
а)	х + 2у — 3z + 1 = 0, 2х — Зу + z — 4 = 0, Зх — у — 2z — 3 = 0;
b)	Ъх + Зу — z + 3 = 0, — 4т + 7у — 2z + 1 = 0, х + 10?/ — 3z + 4 = 0.
100
15.	Доказать, что следующие три плоскости пересекаются по трем
различным параллельным прямым:
а)	Зх — Зу + 7z — 4 = 0, х — у + 2z — 2 = 0, 4ж — Зу + 9z + 1 = 0;
b)	— х + у + 6z — 10 = 0, 2х + Зу + z + 12 = 0, х + бу + 7z + 2 = 0.
16.	Дано уравнение плоскости х + 2у — 5 г + 10 = 0. Написать для
нее уравнение ” в отрезках”.
17.	Найти отрезки, отсекаемые плоскостью — Зх + бу — 4г + 24 = 0
на координатных осях.
18.	Вычислить объем пирамиды, ограниченной координатными плос-
костями и плоскостью — Зх + бу + 9у — 18 = 0.
19.	Составить уравнения плоскостей, которые проходят через точ-
ку А(5; — 2; 3) и отсекают на координатных осях отличные от нуля
отрезки одинаковой длины.
20.	Привести уравнения плоскостей к нормальному виду, если они
таковыми не являются:
а)	—	— 1у + |г — 3 = 0;
Ь)	Зе — 4г + 5 = 0;
с)	-|ж + ^у - |г + 1 = 0;
d)	— 12ж + 4?/ — 6г + 3 = 0;
е)	2х — 4г — Зу — 9 = 0;
f)	-|г + jy + |г = 0.
21.	Для каждой из следующих плоскостей вычислить направляю-
щие косинусы нормали и расстояние от начала координат:
а)	у/2х — у + г — 2 = 0;
Ь)	— у/Зх + г + 5 = 0;
с)	2х + у — 2г + 1 = 0;
d)	—х — у — \/2z + 7 = 0;
е)	х — у + 3 = 0;
f)	бх - 2у - Зг = 0.
101
22.	Вычислить расстояние от точки до плоскости в каждом из сле-
дующих случаев:
а) А(1; —2; 3), —х + у + z — 1 = 0;
Ь)А(5;0;1), 2х - Зу + 5z - 3 = 0;
с) А(-1; 3; 1), х + 2z = 0;
d)A(2;-4;0), Зх - Зу - г + 3 = 0;
е)А(3;5;-3), -4ж + 2у - 3z + 2 = 0.
23.	В каждом из следующих случаев определить, пересекает ли
плоскость отрезок, ограниченный точками А и В:
a)x + y-z + l = Q, А(2;3;-1), В(—1;5;10);
Ь)	-Зж + ?/-5г-2 = 0, А(0;-2;4), В(-1;2; — 1);
с)	2ж + 3?/ + 4г+1 = 0, А(-1;2;3), В(1;—5;0);
d)	-х -y + 3z + 5 = Q, А(1;-1;2), В(1; —3;1);
24.	В каждом из следующих случаев вычислить расстояние между
параллельными плоскостями:
А) х + у — г + 1 = 0, х + у — z — 3 = 0;
а)	2х + 2у — 2z + 1 = 0, —х — у + z — 7 = 0;
b)	Зх — 2у + z — 2 = 0, 6х — Ay + 2z + 1 = 0;
с)	— 5х + 15г/ — 25г — 3 = 0, х — Зу + 5г = 0.
25.	В каждом из следующих случаев составить уравнение геометри-
ческого места точек, равноудаленных от двух параллельных плоско-
стей:
а)	2х + Юг/ — 6г + 7 = 0, х + Зу — Зг + 3 = 0;
Ь)	ж — Зу + z — 4 = 0, х — 3?/ + г + 1 = 0.
Уравнение прямой
26.	Найти точки пересечения прямой
х — у -\-2z — 1 = 0,
—Зх + у — 4г + 2 = 0;
с координатными плоскостями.
102
27.	Составить уравнение плоскости, которая проходит через прямую
пересечения плоскостей
2х + у — z — 2 = О,
х — 3?/ + г + 1 = 0 :
а)	и через точку А(1; —1; 2);
Ь)	параллельно оси Ох;
с)	параллельно оси Оу;
d)	параллельно оси Oz.
28.	Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пе-
ресечения плоскостей
2х — у + 3z — 5 = О,
х + 2у — z + 2 — Q :
параллельно вектору I = {—3; 2; 4).
29.	Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пе-
ресечения плоскостей
—Зх — 2y + z — 7= О,
х — у + z — 1 = 0:
перпендикулярно плоскости 2х + у — Зг + 2 = 0.
30.	Определить, принадлежат ли пучку плоскостей
а(2х + Зу — z + 5) + Дж — у + 2z — 7) =0
следующие плоскости:
а)	4ж + у + 3z — 9 = 0;
b)	х — 11т/ + 12г — 45 = 0;
с)	2х — у + z — 1 = 0.
31.	Составить канонические и параметрические уравнения прямой,
проходящей через:
а)	точку М(2; 3; 1) параллельно вектору а = { — 1; 2; 5};
103
b)	точку M( — 1; 2; 3) параллельно вектору а = {7; — 5; 2};
с)	точку М(3\ —4; —1) параллельно прямой
х + 2 у — 6 z
2 ” 1 ” 8’
d)	точку М{ —3; 5; — 7) параллельно прямой
х = 1 — 2b у = 5 + 3t, z = —9 + £;
е)	точку 1И(2; —6; 4) параллельно оси Ох\
f)	точку 7И(—1; 7; 5) перпендикулярно плоскости 2х + 4ж — 3z + 1 = 0;
g)	точки М1 (—2; 5; —7) и (4; —6; 1);
h)	точки 7И1(3; —8; 0) и (1; 3; 4);
i)	точки М±(5; 3; 2) и М‘2^—3; 1; 7).
32.	Даны вершины треугольника А(—1; 4; 2), В(3; 7; 1) и <7(4; 2; 5).
Составить канонические и параметрические уравнения:
а)	сторон треугольника;
Ь)	медиан треугольника;
с)	биссектрис треугльника;
d)	высот треугольника;
е)	серединных перпендикуляров треугольника.
Найти координаты точек пересечения медиан, биссектрис, высот
и серединных перепендикуляров.
33.	Составить канонические уравнения следующих прямых:
J х + 2у — 3z + 3 = 0,
2х — Зу + z + 2 = 0;
1Ч [ 4ж — 2у + z + 4 = 0,
Ь) <
—х + Зу — z + 2 = 0;
(х + 2у — 2z — 1 = 0,
— Зу + 3z + 1 = 0;
. ( — 7ж — Зу + 2z — 1 = 0,
I 6х + 2у — 5z — 2 = 0;
104
34.	Найти косинус острого угла между прямыми:
а)
х — 1 у + 1 z — 4 х + 2 у + z — 1
3 “ 5	-2 ’	—1 ~ 3 ~ 7
Ь)
х + 3 у z + 1 х — 5 у — 1 z + 9
2 “	“ 5 ’	4 “ 3 “ 1 ’
с)
х = 2t — 1, у = 2, z = —3/. + 5,
х — —3t +1, у — t — 7, z — — t + 2;
d)
х = — 7t + 4, у = 3t + 1, z = — t + 3,
x = t + 2, у = 6t — 1, z = t + 3',
Ъх + у — 2z + 3 = 0,
x — у — 4г — 1 = 0;
2x + Зу — 4г — 2 = 0,
-2x- 2?/ +5г+ 9 = 0.
f)
x — у + z + 7 = 0,
x — 3y-\-z — 8 = 0;
x + 7y — 3г + 1 = 0,
—Ъх -\-2y — 2г	= 0.
35.	Даны уравнения движения точки М(х\ у; г):
х = t + Ъ, у = 2t + 2, г = — 2t + 1.
Определить ее скорость v.
36.	Даны уравнения движения точки М(х; у, г):
х = — t + 2, у = 5£ + 1, г = 4£ — 1.
Определить расстояние, которое пройдет эта точка за промежуток
времени от Д = 0 до = 7.
105
Смешанные задачи, относящиеся к уравнениям плоско-
сти и прямой
37. Найти точку пересечения прямой и плоскости:
а)	х + 1 у + 1	Z-1 =	=	, х + у z + 1 = 0; о	0	Z
Ь)	ж + 5 у + 2 z — 1	„	„	„ =	=	, Зх у + 3z + 2 = 0 1	-1	4
38.	Найти точку Q, симметричную точке Р(6; 4; 1) относительно
прямой
J —х + у — 3z — 7 = 0,
ж + 7/ + 2^+1 = О.
39.	Найти точку Q, симметричную точке Р( —4; 1; 3) относительно
плоскости — 2х + Зу + z = 0.
40.	Вычислить растояние от точки Р(1; —3; —1) до следующих пря-
мых:
а)
х У — z + 6
= 4 = 2 ’
Ь)
х = 4£ + 5, у = — t + 3, z = t + 8.
с)
J Зх — у + 2z + 2 = 0,
1 5ж — у + г — 5 = 0;
41.	Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Р(3; —1; 2)
параллельно прямым
х + 1	у +	2 z + 1	х —	1 У — 3	z — 4
2 “	1 “ 2 ’	3 “ -5 “	-1 ’
106
42.	Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М-\ (1; — 1; 1)
и М2 (5; —4; 1) параллельно прямой
х — 12 у + 1 г — 7
-1 “ 3 “ 4 ’
43.	Составить уравнение плоскости, проходящей через две парал-
лельные прямые
х + 1 у + z + 7 х — 7 у — 1 z — 4
-2 “ 4 “ 3 ’	-2 “ 4 “ 3 ’
44.	Вычислить кратчайшее расстояние между двумя прямыми:
а)
X	у + 7 z + 1	х — 1 у — 11	2—6
-2 ~	1 “ -1 ’	3	“ -5 “ 2 ’
Ь)		
х + 3	у + 4 z + 2	х — 4 у — 5 z — 1
1	2 “ 1 ’	-3 “ 4 “ 1
107
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Учебники и учебные пособия
1.	Лашкеева В.Д., Мальцев Ю.Н. Высшая алгебра и аналитиче-
ская геометрия. Барнаул: Изд-во АлтГУ, 2000. 321 с.
2.	Гельфанд И.М., Глаголева Е.Г., Кириллов А.А. Метод коорди-
нат. М.: Наука, 1971.
3.	Энциклопедия элементарной математики (книга четвертая: пла-
ниметрия). М.: ГИТТЛ, 1951.
4.	Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной
алгебры. М.: Наука, 1979.
5.	Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М.: На-
ука, 1969.
6.	Погорелов А.В. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1968.
7.	Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С.,
Позняк Э.Г. Геометния: Учеб, для 10-11 кл. сред. шк. М.:
Просвещение, 1992.
Задачники
1.	Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии.
СПб.: Изд-во ’’Профессия”, 2002.
2.	Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитиче-
ской геометрии. М.: Наука, 1976.
3.	Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математи-
ка в упражнениях и задачах: В 2 т. 4-е изд. М.: Высш, шк.,
1986. 304 с.
4.	Резниченко С.В. Аналитическая геометрия в примерах и зада-
чах. М.: Изд-во МФТИ, 2001.
108
Учебное издание
Елена Юрьевна Мальцева,
Евгений Владимирович Журавлев
Векторы
Учебное пособие
Подготовка оригинал-макета:
Е.В. Журавлев, Т.П. Пиникер
Издательская лицензия
ЛР 020261 от 14.01.1997 г.
Подписано в печать 20.08.2008. Формат 60х841/1б.
Бумага офсетная. Печать Riso. Усл. печ. л. 6.
Тираж 100 экз. Заказ .
Издательство Алтайского государственного университета
Типография Алтайского государственного университета:
656049, Барнаул, ул. Димитрова, 66