Текст
Л.I1.Же.I ion
МАТЕМАТИКА
ДЛЯ ДИЗАЙНЕРОВ
Краткий конспект лекций
УДК 517
Ж 52
Рецензенты:
кафедра высшей математики Чебоксарского кооперативного
института Московского университета потребительской коопера-
ции (зав. кафедрой В. В. Матвеев);
кафедра управления и информатики в технических системах
Чувашского государственного университета им. И. Н. Ульянова
(канд. физ.-мат. наук А. В. Серолапкин).
Желтов В.П.
Ж 52 Математика для дизайнеров: Краткий конспект лекций /
Чуваш, ун-т. Чебоксары, 2002. 60 с.
Рассмотрены множества, отношения, отображения, опера-
ции, алгебраические структуры, векторные прострад:': ?а, эле-
менты линейной алгебры и аналитической геометрии.
Для студентов I курса специальности 052400 «Дизайн».
Утверждено Методическим советом университета
Отв. редактор: доцент Л.В. Желтова
© В.П. Желтов, 2002
1. Математическое мышление. Роль и место
математики в целенаправленной деятельности человека
Математика помогает найти общий язык служителям разных
наук. Например, волны на воде, звуковые волны и радиоволны
описываются одним и тем же уравнением, значит, в математике
находит выражение важнейший критерии научной красоты -
единого в многообразии.
В отличие от естественного языка, который в основном
классифицирует предметы, язык математики, прежде всего, язык
количественный. Важнейшим преимуществом количественного
языка математики является краткость и точность. С помощью
математического языка — функций, уравнений и формул - точно
и кратко описываются самые разнообразные свойства и явления,
происходящие в природе и обществе. Математика объясняет за-
кономерности сложных явлений, сводя их к простым, элемен-
тарным явлениям природы. Математические доказательства, как
алмазы, тверды и прозрачны и поддаются лишь самой строгой
логике.
Математика является символом мудрости науки, образцом
научной строгости и простоты, эгалоном совершенства и красо-
ты в науке.
Математика связана с такими науками, как искусство, музы-
ка, архитектура, живопись. В искусстве используются симмет-
рия и пропорция, в музыке - математический анализ и пропор-
ции музыкальной гаммы, в архитектуре - геометрия и пропор-
ции, в живописи - перспектива.
Симметрия и пропорция
Задумаемся над тем, почему в природе царит симметрия.
Почему симметрично все от микроорганизмов до человека? По-
чему симметричное часто ассоциируется с прекрасным? На пер-
вые два вопроса ответ существует: господе то симметрии объ-
ясняется силой тяготения, действующей во всей Вселенной.
Действием тяготения или отсутствием такового объясняется то,
что и космические тела, плывущие во Вселенной, и микроорга-
низмы, взвешенные в воде/ обладают высшей формой симмет-
рии - сферической (при любом повороте относительно центра
фигура совпадает сама с собой). Все организмы, растущие в
прикрепленном состоянии (деревья) или живущие на дне океана
(морские звезды), т.е. организмы, для которых направление силы
тяжести является решающим, имеют ось симметрии (множество
всевозможных поворотов вокруг центра сужается до множества
всех поворотов вокруг вертикальной оси). Для животных, спо-
собных передвигаться в воде, воздухе или по земле, кроме на-
правления силы гяжести, важным оказывается и направление
движения животного. Такие животные могут обладать только
плоскостью симметрии, которая определяется векторами силы
тяжести и направлением движения. Этот тип симметрии назы-
вают зеркальным.
Теперь мы подошли к самому трудному вопросу: «почему
симметрия приятна для глаз?». Так, каждый видит разницу меж-
ду правильными и неправильными чертами человеческого лица,
но до сих пор никто не может сформулировать точно закон, ко-
торому подчинена форма красивого лица. Или, например, струи
наклонно бьющих фонтанов привлекают правильностью и кра-
сотой своих линий, хотя не каждый знает, что это параболы.
В современном понимании симметрия - это общенаучная
категория, характеризующая структуру организации систем.
Важнейшим свойством симметрии является сохранение призна-
ков (геометрических, физических и т.д.) по отношению к опре-
деленным преобразованиям. Но природа не абсолютно симмет-
рична. она почти симметрична. Так орбиты планет на самом де-
ле оказались почти окружностями, но все-таки не окружностями,
а эллипсами.
Как в любом деле, абсолютизация одной идеи не могла при-
вет и ни к чему хорошему. Симметрия в искусстве не составила
исключение. Истинную красоту можно постичь только в единст-
ве противоположностей. Именно единство симметрии и асим-
метрии определяет внутреннее содержание прекрасного в искус-
стве. Симметрия воспринимается нами как покой, скованность,
закономерность, тогда как асимметрия означает движение, сво-
боду, случайность.
4
Пропорция
Слово «пропорция» ввел в употребление Цицерон в I веке
до н.э., переводя на латынь платоновский термин «аналогия»,
или «соотношение». Пропорцией в математике называют равен-
ство между отношениями четырех величин a, b, с, d‘.
b~ d
Пропорция в искусстве также определяет соотношение ве-
личин элементов художественного произведения либо соотно-
шение отдельных элементов и всего произведения в целом.
В качестве меры соотношения симметричного и асиммет-
ричного часто выступает пропорция. Рассмотрим задачу из гео-
метрии о делении отрезка в данном отношении. Если отрезок
разделить пополам, зеркально-симметрично, то такое деление
выглядит уравновешенным, мертвым. Если же точку деления
взять слишком близко к одному из концов отрезка, то новая
конфигурация будет чересчур неуравновешенной и беспокой-
ной. Только некоторая «золотая середина» обеспечит желаемое
единство симметрии и асимметрии.
Такое «радующее глаз» деление отрезка по преданию было
известно еще Пифагору и называлось им золотой пропорцией.
Золотая пропорция определяется как деление отрезка на две не-
равные части, при котором меньшая из них так относится к
большей, как последняя ко всей длине отрезка. С тех пор золотая
пропорция становится общепризнанным каноном искусства.
Архитектура = (наука + техника) * искусство
Архитектура — это облас ть человеческой деятельности, в ко-
торой тесно переплетены и ст рого уравновешены наука, техника
и искусство.
«Прочность - польза - красота» - такова знаменитая форму-
ла единого архитектурного целого, выведенная 2000 лет тому
назад древнеримским теоретиком зодчества Витрувием (1 в. до
Н. 3.).
Роль математики в формировании «прочности» и «пользы»
архитектуры очевидна. Рассмотрим «неочевидный» вклад мате-
матики в красоту архитектуры.
Если относительно «прочности» у архитекторов никогда со-
мнений не возникало, то «польза» и «красота» являются предме-
том постоянных дискуссий. Конструкция древнеегипетской пи-
рамиды является самой простой, прочной и устойчивой. Форма
пирамиды представляет полное единство с ее конструкцией. Од-
нако такая конструкция не создает внутреннего объема и, по су-
ществу, не является архитектурной конструкцией.
Простейшей и древнейшей архитектурной конструкцией яв-
ляется стоечно-балочная система. Она проигрывала пирамиде в
устойчивости и распределении веса, но она позволяла создавать
внутренние объемы, что являлось выдающимся завоеванием че-
ловеческой мысли. Главным недостатком такой конструкции
было то, что камень плохо работает на изгиб. Каменный брус
сечением 10x10 см и длиной 1 м 34 см обламывался под дейст-
вием собственного веса. Зато камень прекрасно работает на сжа-
тие. Это свойство камня и дало жизнь новой архитектурной кон-
струкции - арке, а затем своду. Арочно-сводчатая конструкция
позволяла римлянам возводить тигантские сооружения: Колли-
зей (48 м). Пантеон (43-метровый купол). Пантеон не только
вершина научных и технических достижений древнеримских
строителей, а и шедевр архитектурного искусства. В интерьере
Пантеона достигнута завораживающая гармония между высотой
и диаметром сооружения, которая имеет простое математиче-
ское выражение: высота стен Пантеона равна радиусу полусфе-
ры его купола, т.е. весь Пантеон как бы наброшен на 43-
метровый шар. С появлением арочно-сводчатой конструкции в
архитектуру прямых линий и плоскостей пришли окружности,
сферы и круговые цилиндры, что сделало геомет. ический язык
архитектуры значительно богаче.
Позже вместе с пленниками-сарацинами крестоносцы при-
везли в Европу секреты возведения стрельчатых арок. Так новая
конструкция породила новую архитектуру — готику. 11о мере со-
вершенствования конструкции усложняется и ее геометрия. Со-
временная архитектура подтверждает эту закономерность.
6
XIX век можно назвать «железным веком» в истории чело-
вечества: железные дороги и паровые машины, железные мосты,
металлические купола, металлические пролеты, превысившие
] 00-метровый рубеж и знаменитая Эйфелева башня, взметнув-
шаяся вверх на 312,6 метра.
С новым XX веком пришел новый необычный материал -
железобетон, совершивший подлинную революцию в зодчестве.
Простейшие поверхности, образованные движением прямой в
пространстве и называемые линейчатыми поверхностями, - ци-
линдры и конусы, - были известны давно. Еще древние римляне
сооружали цилиндрические своды. А существуют ли другие ли-
нейчатые поверхности? Ответ на этот вопрос архитекторам под-
сказали математики, которые обнаружили еще два типа линей-
чатых поверхностей:
х2 у2 z2
однополостный гиперболоид: —— + ~-----— = 1;
а2 Ь2 с2
х2 у2
гиперболический параболоид: ------------ 2z .
Р Ч
Канонические уравнения этих поверхностей легко предста-
вить в виде
1а сЛо с) V 6Д b)
откуда и видно, что они образованы двумя семействами
прямых в пространстве (в уравнение прямой переменные х, у, z
входят только в первых степенях)(рг/с. /).
Архитекторы воспользовались открытием математиков.
Форму однополос гного г иперболоида имеют градирни - устрой-
ства для охлаждения воды атмосферным возцухом.
Линейчатое свойство однополостного гиперболоида поло-
жено в основу конструкции Шаболовской радиобашни в Моск-
ве. построенной по проекту замечательного русского инженера,
почетного академика В. Г. Шухова (1853 -1939). Башня Шухова
состоит из нескольких поставленных друг на друга частей одно-
полостных гиперболоидов, причем каждая часть сделана из двух
семейств прямолинейных балок, соединенных в точках Пересе-
чения.
Рис. 1
В чем заключается сила архитектурных пропорций? В том,
что архитектурные пропорции - это математика зодчего. А ма-
тематика - это универсальный язык науки, поэтому можно ска-
зать, что пропорции - это универсальный язык архитектуры,
язык всеобьемлющий и всесильный, как всеобъемлюща и все-
сильна математика. Пропорции являются важным и надежным
средством зодчего для достижения хрупкого и топко сбаланси-
рованного равновесия между целым и его частями, имя которо-
му - гармония.
Математика и изобразительное искусство
Кроме живописи, изобразительное искусство объединяет
рисунок, скульптуру и графику.
Рисунок играет важнейшую роль в определении очертаний,
размеров предметов, их форм, объемов и взаимного расположе-
ния в пространств'. Рисунок является «скелетом живописи», ее
конструктивной основой и именно в нем заложены геометриче-
ские законы живописи.
Во все времена человек был и остается главной темой изо-
бразительного искусства. Образ человека, его пропорции нашли
воплощение в архитектурных произведениях. С древнейших
времен пропорции человека составляли предмет изучения ху-
дожника, его «математическую лабораторию». Возможно, на
первых порах художником руководила необходимосгь в каких-
то объективных - числовых или геометрических - формах пере-
дать свой опыт и свое мировоззрение преемникам. Гак в искус-
стве возникали каноны.
Перспектива - геометрия живописи
В первом наскальном изображении первый первобытный
художник столкнулся с непростой математической задачей: ото-
бразить грехмерный оригинал на двумерную плоскость «карти-
ны». По мере развития искусства отображения чаще возникал
вопрос: насколько точно и насколько убедительно эти плоские
образы отражают реальные трехмерные прообразы? Иа эти во-
просы призвана была ответить наука, и прежде всего геометрия.
Раздел геометрии, в котором изучаются различные методы изо-
бражения пространственных форм на плоскости, называется на-
чертательной 1еометрией. В основе ее лежит метод проекций.
Существуют три принципиальных геометрических метода
отображения трехмерного пространства на двумерную плос-
кость картины: метод ортогональных проекций, аксонометрия и
перспектива. Система ортогональных проекций составила гео-
метрическую основу живописи Древнего Египта, аксонометрия
(параллельная перспектива) характерна для живописи средневе-
кового Китая и Японии, обратная перспектива - для фресок и
икон Византии и Древней гуси, прямая перспектива - это гео-
метрический язык ренессансной живописи. Каждый из трех гео-
метрических методов был очередным этапом в развитии искус-
ства живописи, новой ступенью в поисках более точной и со-
дерше»। ной системы передачи зрительных ощущ® и и
9
2. Элементы множества, отношения, отображения числа
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Под множеством подразумевается объе-
динение в единое целое различимых друг от друга объектов, ко-
торые называются элементами этого множества.
Если а — элемент множества М, то это обозначают как М.
Запись о£М означает, что элемент а не принадлежит мно-
жеству М.
Множество, которое не содержит ни одного элемента, назы-
вается пустым множеством и обозначается 0.
ПРИМЕРЫ множеств:
1) множество домов в городе Чебоксары;
2) множество деревьев в лесу (на фиксированный момент
в, смени);
3) множество натуральных чисел ит.д.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ, Пусть даны два множества А и В. Если
каждый элемент множества А является также элементом множе-
ства В, то говорят: множество А есть подмножество множе-
ства В. Обозначение; Л с. В.
ПРИМЕР. Множество студентов факультета ИВТ является
подмножеством минжества студентов всего университета ЧТУ.
В частности, если Л с В, то множества Л и В можно изобра-
зить двумя кругами, один из которых находится внутри другого
(рис. 2).
Рис. 2 f
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множества А и В называются равными,
если они содержат одни и те же элементы. Обозначение Л=В.
10
Операции над множествами
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пересечением двух множеств А и В назы-
вается новое множество, элементы которого принадлежат как
м । <еству А, гак и множеству В. Обозначение: АГШ.
ПРИМЕР. Пусть А - множество платьев, В - множество ве-
щей желтого цвета. Тогда АГ\В — множество платьев желтого
цвета.
АС\В
Рис. 3
Рис. •
Пересечение множеств А и В на рис.З изображено заштрихо-
ванной частью кругов. Не пересекающиеся множества С и D изо-
бражены на рис. 4, и, следовательно, С = 0.
Пересечение множеств обладает следующими свойствами:
1)
2) АСУВ^ВОА,
3) АП0 = 0;
4) (ЛП£)ЛС-ЛП(5ПО;
5) если Ас: В, то А Г\В - А.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Объединением двух множеств А и В назы-
вается новое множество, элементы которого принадлежат мно-
жеству А или множеству В.
Обозначение: A U В.
ПРИМЕР. Пусть А - множество жилых зданий, В - множе-
ство административных зданий, тогда/UВ есть множество всех
(жилых и административных) зданий.
Объединение множеств А и В на рис 5 изображено заштри-
хованной частью кругов. Непересекающиеся множества С и D
изображены на рис. 6, но, в отличии от пересечения, объединение
С U D — не пустое множество.
лив
Рис. 5
Рис. 6
Объединение множеств обладает следующими свойствами:
I)
2) Л11.В = ВШ;
3) ли0 = Л;
4) C4UB)UC = /UCBUC);
5) если А С В, то Л U В = В;
6) (Л11В)ПС=(ЛПС)и(ВПС);
7) (ЛПВ) ис=(лис) П (BUC).
Декартово произведение множеств
Пусть хеА и у ей. Составим упорядоченную пару (х, у), где
хеА муеВ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две упорядоченные пары (х, у) и (и, у)
считаются равными тогда и только тогда, когда х = и и у ~ у, т.е.
(х, У)~(р> v)<=> х - и и у = V.
В этом случае х называется первым элементом упорядочен-
ной пары (х, у), а у - вторым ее элементом. В дальнейшем вме-
сто термина «упорядоченная пара» будем употреблять выраже-
ние «пара». Примерами упорядоченных пар являются координа-
ты точек на плоскости.
12
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Декартовым (прямым) произведением
двух множеств А и В называется множество всех упорядоченных
пар (х, у), где хеА и у еВ.
Обозначение: Ах В.
ПРИМЕР. Известно, что клетки шахматной доски имеют
наименование типа (jq, х2 ), где X] - номер вертикали, х2 - номер
горизонтали, причем:
Xj с Е- {а;Ь:с; ,
х, еЯ={1;2;3;4;5;6;7;8),
тогда перечень названий всех 64 клеток шахматной доски
есть декартово произведение множеств V х BI.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Любое подмножество декартова произве-
дения At х А, х. . х А„ называется и-арным отношением.
При этом п называется рангом отношения.
В случае если п = 1, мы имеем дело с обычным подмноже-
ством множества А. Если п = 2, то отношение называется бинар-
ным; если п - 3 - тернарным и т.д.
Наиболее употребительными из отношений являются би-
нарные отношения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Бинарным отношением называется любое
подмножество декартова произведения двух множеств Л хВ. При
этом множество А принято называть множеством отправления, а
множество В - множеством прибытия.
Такая терминология обязана своим существованием i рафи-
ческому обозначению бинарно? о отношения, так как очень часто
для обозначения бинарного отношения используются графы, в
которых множества А и В изображаются замкнутыми фигурами,
их элементы - точками, принадлежащими этим фигурам (верши-
ны графа). Поскольку элементами декартова произведения АхВ
являются пары (х; у), где хеА, уеВ, то те пары точек, которые
принадлежат данному бинарному отношению, соединяются на-
правленной /дугой (ребром) от точки хеА к точке у еВ (рис. 7).
Рис. 7
Например, изображение бинарного отношения, где множе-
ство отправления есть множество А ~ {a:b:c; d;e}> а множест-
во прибытг . - множество В ={1; 2; 3, 4; 5} приведено на рис. 7.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отображением множества А во множест-
во В (функцией на А со значениями в В) называется правило, по
которому каждому элементу множества А сопоставляется один
или несколько элементов множества В.
Для обозначения отображения множества А во множество В
используют запись ср: А—> В. Если хеА, то множество всех эле-
ментов из В. сопоставляемых при отображении (р элементу х.
обозначается через (р (х) и называется образом элемента х.
Из самого определения следует, что отображение множества
А во множество В обладает свойствами:
а) для каждого хе А его образ не пуст;
б) для каждого хеА его образ содержит не более одного
элемента, т.е. каждому хеА соответствует один-единственный
его образ.
3. Матрицы и действия над ними
Матрицы, впервые появившиеся в середине прошлого века в
работах английских математиков У. Гамильтойа (1805-1865) и
А.Кэли (1821-1895), в настоящее время в прикладной математи-
ке используются весьма широко, они значительно упрощают
рассмотрение сложных систем уравнений.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произвольная система элементов, распо-
ложенная в виде прямоугольной таблицы, содержащей т строк и
п столбцов называется (т, и) — матрицей или просто матрицей.
Таким образом, общий вид (т, п) — матрицы будет иметь вид
или
где а - обозначение элементов матрицы, 1 - указывает но-
мер строки;/- номер столбца.
Матрицу можно для краткости обозначить одной буквой,
например А, В и т. д.
ПРИМЕР.
Каждая магрица имеет определенные размеры, т. е. количе-
ство строк и количество столбцов. Матрица А имеет азмеры
2x3, а матрица В имеет'размеры 3x3.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если число строк матрицы равно числу
столбцов матрицы, то матрица называется квадратной, а число
ее строк, равное числу столбцов, называется порядком квадрат-
ной матрицы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица, у которой всего один столбец,
называется столбцевой, или числовым вектором.
ПРИМЕР.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица, у которой всего одна строка, на-
зывается строчной.
ПРИМЕР.
С= (I 7 -2 о).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица, у которой все элементы равны
нулю, называется нулевой:
Го о о"
0-0 о о .
1° 0
Квадратная матрица, у которой равны нулю все элементы,
кроме, стоящих на главной диагонали (т. е. диагонали, идущей
из левого верхнего в правый нижний угол), называется диаго-
нальной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица, у которой все элементы, стоя-
щие по диагонали#равны единице, а остальные равны нулю, на-
зывается единичной и обозначается J-
'1 0 ... О’
О 1 ... О
О 0 ... 1
Иногда применяется транспонирование матрицы А, т. е. пе-
ремена ролями ее строк и столбцов.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица А1 , которая получается из А
заменой строк столбцами, называется транспонированной по
отношению к матрице А.
ПРИМЕР. Найти матрицу Ат, транспонированную кА:
1 2 31 Г1 4 7~
2-Л=456,Лг=258
7 8 9 3 6 9
Основные матричные операции
I. Операция умножения числа на матрицу.
2. Сложение и произведение двух матриц.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Чтобы умножить число а на матриц)' В,
нужно умножить на а все элементы матрицы В.
ПРИМЕР. Умножим число а на матрицу Л.
-301
10 J-
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой двух матриц А и В, имеющих со-
ответственно равные числа строк и столбцов, называется матри-
ца, имеющая элементы, равные сумме соответствующих элемен-
тов матриц А и В.
ПРИМЕР. Сложим следующие матрицы:
[2 I 31 10 7 41 Г2 + 0 1 + 7 3 + 41 Г2 8 ?!
I1 “3 5J L1 8 °ГЬ + 1 -3 + 8 5 + 0У[2 5 5J
17
Свойства сложения матриц
А+(В + С) = (А + В)+С;
А+В=В + А.
Свойство умножения числа на матрицу
(а + с)*А -а*Л+с*А,
где а, с - числа, А - матрица.
В отличие от предыдущих действий с матрицами, операция
умножения двух матриц определяется сложнее. Пусть заданы
две матрицы А и В, причем число столбцов первой равно числу
строк второй матрицы.
Правило умножения матриц
Чтобы получить элемент произведения матриц, стоящий в
/-й строке и /-м столбце, нужно элементы /-й строки первой
матрицы умножить на соответствующие элементы /-го столбца
второй матрицы и полученные произведения сложить.
ПРИМЕР. Рассмотрим матрицы А и В, найдем элемент с32
произведения этих матриц. Надо у первой матрицы взять третью
строку, у второй - второй столбец, а затем эти строку и столбец
как бы скалярно перемножить.
18
ПРИМЕР. Даны матрицы А и В. Найти произведение АВ.
Число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В,
поэтому произведение Л В определено.
’2*14-3*3 2*9+3*2 2*5+3*01 Г11 24 10"
= 4*1+1*3 4*9+1*2 4*5+1*0 = 7 38 20 -
0*1+7*3 0*9 + 7*2 0*5 + 7*0] [21 14 0
Из правила умножения вытекает, что всегда возможно пе-
ремножить две квадратные матрицы одинакового порядка, что
даст квадратную матрицу того же порядка.
Другим важным частным случаем является умножение
строчной матрицы на столбцевую, причем ширина первой
должна бы гь равна высоте второй, это даст квадратную матрицу
первого порядка, т. е. число.
ПРИМЕР.
Г3)
(1 С 1)-| 2 =1*3 + 0*2 + 1*Г-5; = -2.
1-5)
Свойства произведения матриц
1. Умножение матриц ассоциативно:
(АВ)С=А(ВС)
2. Операции над матрицами дистрибутивны:
А (В+С) = АВ+АС,
(В+С) D = BD+CD.
19
3. Умножение матриц нс, коммутативно, т.е., как правило,
АВфВА.
4. Для любой квадратной матрицы А и единичной матрицы J
того же порядка, что и А, верно равенство
J*A=A*J=A.
5. Для транспонированных матриц верно соотношение:
(А*вУ =А1' *вг.
Уже на самых простых примерах легко проверить, что мат-
рицы не перестановочны друг с другом, АВ^ВА.
ПРИМЕР. Произведение матриц А В не совпадает с произ-
ведением В-A этих же матриц.
А B-V °) [° °1
До 0Д1 (J [о О/
„ , (О 0W1 01(0 О')
В-А = \ 1 = 1
(1 oj l^o oj (1 oj
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная матрица А называется обрати-
мой, если существует квадратная матрица X. такая, что верно
равенство
A*X = X*A=J,
где J— единичная матрица, X- обратная матрица.
У каждой обратимой матрицы А существует лишь одна об-
ратная матрица.
Обратная матрица к А. если она существует, обозначается
через А 1.
Таким образом, по данному определению
А* А 1 = /Г’ *А- J-
Если квадратные матрицы А, В, С одного и того же порядки
обратимы, то их произведение А*В*С тоже обратимо, причем
(А*В*С)"' =С"’ *В~1 *А~'.
20
4. Определитель квадратной матрицы
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если квадратная матрица А — таблица по-
рядка «хи, то определитель — это число, которое ставится в соот-
ветствие каждой квадратной матрице:
°А2 а}\ ^12
D = Л,А = & 6*2] а22 • а2п = а21 а22
&т\ ап11 • ®тп. ^т ат2
Определитель обозначается также и det А.
а1п
а2п
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Определителем второго порядка квадрат-
ной матрицы Л называется число, равное га72 ~ a2ian '•
Основные свойства определителя
Проиллюстрируем их на определителях второго порядка.
1. Определитель меняет знак при перестановке строк:
1с б/|
|<? Ь\
2. Общий для всех элементов строки множитель можно вы-
носить за знак оп [«делителя:
\ка kb\ к/ Z?|
jc d\
3. При сложении двух определителей, отличающихся только
одной строкой, соответствующие элемент ы этой строки склады-
ваются:
д + о' £> + Z>1 b\ |«' Ь'
с d |“|с б/| |с d
21
4. Единичная матрица имеет определитель, равный единице:
Эти свойства позволяют получить все остальные свойства
определителей.
5. Если матрица имеет две одинаковые строки, то ее опреде-
литель равен нулю.
6. Если из какой-либо строки вычитается другая строка, ум-
ноженная на любое число, то определи тель не меняется.
ПРИМЕР.
а+£с b + £d\ In b
c d I |c d
г.к. первый определитель с помощью свойств 2 и 3 можно
разложить на сумму двух определителей:
° b\+f\c d
с d\ |с d
г
Но определитель , имеющий две одинаковые строки,
|с d\
по свойству 5 равен нулю.
7. Если какая-либо строка матрицы А целиком состоит из
нулей, го ее определитель равен нулю:
а /;! In b
О 0] |п Ъ
Прибавим ко второй строке первую, получим определитель
с одинаковыми строками, а по свойству 5 такой определитель
равен нулю.
8. Определитель треугольной матрицы равен произведению
ведущих элементов, стоящих на главной диагонали:
22
9. Если треугольная матрица А имеет нулевой элемент на
главной диагонали, то определитель этой матрицы равен нулю.
10. Для любых двух матриц А и В одинакового размера оп-
ределитель произведения равен произведению их определите-
лей:
det АВ = (det ^det В).
11. Транспортирование матрицы не меняет определителя:
det/fr =detA.
Это позволяет распространить все свойства, полученные для
строк и на столбцы, т.е. определитель меняет знак при переста-
новке столбцов, определитель с двумя одинаковыми столбцами
равен нулю, определитель линейно зависит от каждого столбца,
если к столбцу матрицы прибавить другой столбец, умноженный
на любое число, то определитель матрицы не изменится.
Формула для вычисления определителя 3-го порядка
^1Аагра1гру G)
где а, р, у - номера столбцов, причем в сумму входят всевоз-
можные перестановки этих столбцов, т.е. для определителя
третьего порядка получается число членов суммы, равное 6. Оп-
ределитель Pv принимает значение 1, если число перестановок-
строк для приведения ее к единичной матрице четное и (-1), ес-
ли число таких перестановок нечетное. Формула (1) называе7ся
явной формулой для вычисления определителя.
23
ПРИМЕР. Найти определитель матрицы Л.
' (2 2 3^1
И= 1 -10.
U1 2 d
По формуле вычисления определителя третьего порядка вы-
числим
2 2 3
АЛ- 1 -1 0
-12 I
= 2(-1)1 + 2О-(-1) + 3 1-2-3(-1Х-1)-2-О-2-2-1-1=-1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если Р = |сй | - определитель порядка п,
то минором Mlt элемента называют определитель порядка
и - 1, получающийся из D «вычеркиванием» Ай строки и к-т
столбца.
ПРИМЕР. Для определителя D найти миноры элементов
• трины.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Под алгебраическим дополнением Ал
элемента a,t понимают минор Мл , домноженный на (— 1 )'+*.
24
ПРИМЕР. Для определителя D найти алгебраические до-
полнения первой строки Лп, А12 и ytI3.
'21 /2
'31 632
чз
723
?33
Аи=(-\)ЫМ,
42=(-l/+2M12
'32
'21
*23
'23
733 |
A13=(~l)'l3M,3
Из явном формулы (1) можно получить следующую форму-
лу для вычисления определителя. Так как определитель являет-
ся линейной функцией своей строки, то дл* первой строки
должно выполняться равенство
det — /7ц Ац 4 ^i2'/l^i2 '^''^13^13'
Таким образом, разложение определителя по первой стро-
ке имеет вид
det/4-о,! Ац + аиАи + ...4-ainA}n ~ ^а]кАи .
ы
Разложение определителя по алгебраическим дополнениям
z-й строки равно
det Л = (2)
Так как det А = det А, запишем разложение определителя
по алгебраическим дополнениям к-го столбца: -
det = j^4fc, \<к<п. (3)
25
Формулы (2) и (3) являются основными формулами вычис-
ления определителя и известны как теоремы разложения опре-
делителя.
ПРИМЕР.
лим:
Разложим определите i ь D по 1 строке и вычис-
2
3
8
10
+ 4-(-1)'
+ 7 •(-!)'
= 1-1-(5-10-6-8) + 4(-1)(2-1и-3-8)+7-1-(2-6-3-5) =
= 2-4-(-4>+7-(-3) = -3.
Сумма произведений элементов какой-либо строки (столб-
ца) на соответствующие алгебраические дополнения к элемен-
там другой строки (столбца) равна Нулю:
ПРИМЕР. Найдем сумму произведений элементов 1-й стро-
ки определителя D на соответствующие алгебраические допол-
нения к элементам 2-й строки:
4
£> =
2
8
10
Составим сумму произведений:
|б Ю( |3 10| р
= 1 (—1)-(4-10-6-7) + 4-1 •(!-10-3-7) +
+ 7-(-!) (1-6-3-4) = 2 + 4-(-11)-7-(-6) = 0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица, определитель которой равен ну-
лю, называется вырожденной.
26
ПРИМЕР. Ненулевая матрица, определитель которой равен
нулю, имеет вид
ычислепие обратной матрицы
det А
Обратная матрица А 1 для невырожденной матрицы Л, рав-
Лц Л12 ... Ain
Л2] Ат2 — А2п
^л2 — Ди
где A,t - алгебраическое дополнение элемента «д матрицы/!.
Матрица А~' является единственной матрицей для данной
невырожденной матрицы А.
1'ИМЕР. Пусть дана матрица^, найти обратную матрицу.
Г 2 2 3'
Л= 1 -1 0 .
[-1 2 1J
Найдем определитель матрицы И:
det А =
2
1
-1
2 3
- 1 О
2 1
= 2-(—I)-1 + 2 - О (-1) + 1-2-33-20-2-1-21 = -1;
Л„=(-1)-|2 11=-'-0=-’; Л12=(-1Г|_1 |=-(1-0)=-1;
11 -Il I2 3
Л'Н-0% 2| =2-1=1; Л2|=(-1)’|2 1 =—(2-б) = 4;
77
.23 2 2l
A2=(-l)4„! ! =24-3 = 5; 'Xa=(-l)5_j 2| =-(4ч-2) = -6;
2 3 2 3l
^з, (-1)"' . ! 0-(-3) = 3; Л32=(~1)5 i o|=4°-3) = 3;
|2 21
2b=P)6|l _j|=-2-2=-4.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если А имеет по меньшей мере одну не-
вырожденную (определитель которых не равен нулю) подмат-
рицу порядка г. а все квадратные подматрицы А более высоких
порядков вырождены, то матрица А имеет ранг г.
ЗАМЕЧАНИЕ. Ранг, в отличие от определителя, существу-
ет не только у квадратных матриц, но и у матриц размерности
Z77XJ7.
ПРИМЕР. Рассмотрим матрицу А и найдем ранг. Проверим
подматрицы третьего порядка Существует тол.ко одна такая
подматрица - А.
(3 -2 (Л 3 2 О
Л=1о 1 0, detJ=O 1 0-fi-
lo С) О J ООО
Так как определитель матрицы А равен нулю, значит матри-
ца вырождена, рассмотрим подматрицы второго порядка.
(з -г') ,
#= L det^ = 3^O.
1° 1 J
Существует подматрица В, у которой определитель не равен
нулю, т. е. матрица В не вырождена. Следовательно, ранг матри-
цы А ' 2.
28
5. Системы линейных уравнений
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система т линейных уравнений с п неиз-
вестными Xj , х2,... называется системой линейных уравнений
или т х ^-системой линейных уравнений:
(I)
где / = к - ; а1к называются коэффициентами сис-
темы линейных уравнений; Ь}- свободные члены системы ли-
нейных уравнений.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если в системе линейных уравнений все
Ь, = 0, то мы имеем однородную систему линейных уравнений,
в про гавном случае говорят о неоднородной системе линейных
уравнений.
ПРИМЕР. Однородная система линейных уравнений имеет
вид
2х, + 5х2 = 01
jq - 5xj Ио J
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Решением тх/2-системы линейных урав-
нений называется «-последовательность чисел (С|,с7,..., ся), ес-
ли ее элементы, подставленные в заданном порядке вместо неиз-
вестных, удовлетворяют каждому из т уравнений и принадле-
жат множеству действительных чисел.
Решения систем линейных уравнений
Однородные системы линейных уравнений всегда разреши-
мы, так как «-последовательность (0, 0, 0) удовлетворяет
всем уравнениям системы. Решение (0, 0, ..., 0) называют триви-
альным решением. Вопрос о решениях однородной системы ли-
29
нейных уравнений сводится, к вопросу о том, существуют ли,
кроме тривиального, другие, нетривиальные решения.
ПРИМЕР. Однородная система
2х1 + х2 — х3=01
х2 +х3=0]
имеет множество решений Xj ~ к, х2 = -к, х3 = к, при любом
действительном к.
Другая однородная система
2xt + х2 - 01
х} + x2=0J
имеет только тривиальное решение.
Среди неоднородных систем линейных уравнений сущест-
вуют системы с единственным решением, с множеством реше-
ний и не имеющие решения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система линейных уравнений, имеющая
решение, называется совместной, иначе - несовместной.
ПРИМЕР. Несовместная система уравнений:
11 +5л'г =1|
Xj +5х2 =7j
Левые части совпадают, а правые различны, поэтому ника-
кая система значений неизвестных не может удовле вори.ь
обоим уравнениям сразу.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Совместная система называется опреде-
ленной, если она имеет одно единственное решение, и неопре-
деленной, если решений больше одного.
Каждое решение неопределенной системы называется част-
ным решением данной системы. Множество вгех частных ре-
шений называется общим решением системы.
30
ПРИМЕР 1. Рассмотрим систему:
г,+2х2=71
A'j + х2 = 4 J
Система определена, т. к. имеет единственное решение:
Х1 Х2 ~3. ♦
С другой стороны, система
Зх, ~х2 -1 1
бХ] - 2х2 -- 2]
неопределена, т. к. имеет бесконечно много решений вида
X] = к, х2 = Зк -1, где к. - произвольное число. Общее реше-
ние данной системы можно записать в виде
Г к 1
L3**-1]
11РИМЕР 2. Неоднородная система не имеет решения:
+ 2х2 —11
+ 2х2=2]
Система линейных уравнений имеет единственное решение
Xj = 1, х2 - -3 при любом действительном к: ’
5Х| +2х2 = 21
хг -2х2=7] ’
Система уравнений имеет множество решений
Х[ - — 2 + к, х2 - —к, х3 = 1 + к при любом действительном к.
2х5 -+ х, — х3 = 51
х-> т-х3=1 ]
Теория систем линейных уравнений может быть наглядно и
просто описана при помощи матриц:
1 ^12 " ^lw Х] ку
. _ cijf a-yj ... g7/j х2 к-,
~ ,х= - ~ .
ат2 ... |хй Ь,„
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица, получаемая из матрицы А до-
бавлением столбца свободных членов, называется расширенной.
ПРИМЕР. Расширенную матрицу A I b можно представить в
виде
Г7ц tfI2
,, , а21 аП — а2п ^2
AI b -
апЛ ат1 ... апт Ът
где чертой отделен столбец свободных членов.
Тогда систему (1) можно записать в виде А-х = Z>. Решение
системы А х = b зависит теперь только от рант а матрицы коэф-
фициентов системы А и ранга расширенной матрицы коэффици-
ентов (Л|5) (табл. 7).
Таблица 1
Решение систем линейных уравнений
Ранг Ах =Ь (т уравнений, и неизвестных) Частный случай fr=0, однородная система Ах = 0
1 Rang (Л|Ь) Л /rang (А) Система не разре- шима Случай не имеет места, система все- гда разрешима
2 Rang (Л|Ь) = = rang(J)-p Система разрешима Система разре- шима
а)р = 77 Решение единст- венно Система имеет только ТрИВИ? пь- ные решения
б)р<п Решение не единст- венно Система имеет не- тривиальные реше- ния
Множество решений /лхл-системы линейных уравнений
А-х = b состоит из всех упорядоченных «-последов ельностей
32
вида х0 + х *, где х0 - некоторое частное решение данной сис-
темы, а х* пробегает значения всех решений соответствующей
однородной системы.
Рассмотрим способы решения линейных уравнений.
Алгоритм Гаусса
Нахождение множества решений системы линейных урав-
нений основывается на том, что от заданной системы при помо-
щи эквивалентных преобразований переходят к системе, которая
решается «проще», чем исходная система, и эквивалентна задан-
ной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эквивалентными преобразованиями сис-
темы линейных уравнений являются:
I) перемена местами двух уравнений в системе;
2) умножение какого-либо уравнения системы на действи-
тельное число с
3) прибавление к одному уравнению другого, умноженного
на произвольное число.
Эти эквивалентные преобразования системы линейных
уравнений А-х = b вызывают в матрице коэффициентов А и в
расширенной магрице коэффициентов (А\Ь) только преобразова-
ния, сохраняющие ранг. Если преобразовать матрицы А и (А[Ь) в
матрицы А’ и (Лсоответственно равных рангов, применяя к
строкам допустимые преобразования строк, сохраняющие ранг,
то системы А-х - b и А' -х- Ь' будут эквивалентными.
Алгоритм Гаусса состоит в том, чтобы привести с помощью
эквивалентных преобразований матрицу (Л’|Ь5) к матрице, в ко-
торой элементы, стоящие ниже диагонали, были равны нулю или
все элементы последних т-р строк обращались в нуль.
В случае, если исходная система А-х = b разрешима (ранг
матрицы А равен рангу расширенной матрицы А{Ь - р), эквива-
лентная система Ау • х — Ьу может быть записана в виде треуг j.
ной системы.
ПРИМЕР 1. Решим систему линейных уравнений, найдем
общее и одно частное решение:
2хг - х2 + Зх3 - 7.х4 = 5
6х1 - Зх2 + х3 - 4х4 = 23
4х, ~2х2 +14х3 -31х4 =2
Решение. Составим матрицу из коэффициентов при т = 4
неизвестных. Через черту запишем свободные члены. Преобра-
зуем ее к трапециевидному виду. В результате должны быть ну-
ли ниже главной диагонали:
2-1 3 —7 5‘
6 -3 1 -4 23 .
4 -2 14 -31 2
Прямой ход. Перепишем первую строку в неизменном виде.
Рассмотрим элемент о21 = 6, он расположен ниже главной диа-
гонали. Значит нужно, чтобы он равнялся нулю. Используем эк-
вивалентные преобразования строк матрицы. Умножим элемен-
ты первой строки на 3 и вычтем из элементов второй строки,
чтобы а2] = 0. Результат запишем во втору! строку новой мат-
рицы/4’.
Вторая строка:
«,5'= «25 — cJ5-3 = 23-5-3 = 8.
2-13 -75
0 0 -8 178
34
Аналогично, умножая элементы первой строки на 2 и вычи-
тая из элементов третьей, запишем результат в третью строку
матрицы Л’:
Получилась преобразованная матрица А\ Ниже диагонали
стоит ненулевой элемент а33 = 8. Он должен равняться нулю.
Перепишем первые две строки в неизменном виде матрицы А”.
Прибавим элементы второй строки к элементам трет ьей, резуль-
тат запишем в третью строку:
Г2 -1 3 -7 5'
А” = 0 0 -8 17 8-
0 0 0 0 0
Из этого заключаем, что ранг А = ранг (Alty= р = 2, т. е. по
табл. 1 (см. 32 с.) находим, что система разрешима, но решение
неоднозначно; т— р ~ А-2^2 неизвестных могут быть выбра-
ны произвольно.
Обратный ход. Возвращаемся к уравнениям с неизвестны-
ми:
2xj - х, + Зх3 - 7х4 = 5]
-8х3+17х4-8 j
Выбираем базисные и свободные переменные, базисные пе-
ременные находятся при первых ненулевых коэффициентах. В
нашем случае первые ненулевые коэффициенты равны 2 и - 8,
следовательно, базисные переменные - х, и х3, а свободные
переменные - х2 и х4. Выразим базисные переменные через
свободные:
35
Выразим Xj через х3. Для этого выражение для х3 подста-
вим в выражение для х}. Тогда
Запишем общее решение в виде
Чтобы записать частное решение, свободным переменным
присваивают произвольные значения. Пусть х?-2, х4=16, тогда
Xj=10, х,=33.
Частное решение можно записать в таком виде:
10'
33
16
ПРИМЕР 2. Рассмотрим однородную систему с матрицей
порядка 3x4:
1 2 3 4'
2 4 8 11-
-1-212
Решим с помощью метода Гаусса эту однородную систему.
Прямой ход. 11С|гвый шаг. В качестве ведущего берем пер-
вое уравнение:
а) первую строку, умноженную на -1 вычитаем из третьей
(можно было просто сложить с третьей);
б) первую строку, умноженную на 2, вычитаем из второй.
В результате получим нулевые элементы под первым веду-
щим элементом во второй и третьей строках.
36
Второй шаг. В качестве ведущего уравнения берем второе
уравнение, но во втором столбце вместо ведущего элемента
встречаем нуль. В этом случае мы должны искать ненулевой ве-
дущий элемент.
Можно взять в качестве ведущего третье уравнение, но во
втором столбце здесь также стоит нулевой элемент. Так как у
нас всего три уравнения, переходим к следующему столбцу.
Здесь встречаем ненулевой элемент 2, который берем за веду-
щий элемент. Умножая вторую строку на 2, вычитаем из треть-
ей, чтобы получить нулевой элемент в третьем столбце третьей
строки. После этого переходим к третьей строке, но здесь все
элементы стали равными нулю. Поэтому на этом прямой ход
заканчивается.
Однородная система трех уравнений преобразовалась к эк-
вивалентной системе двух уравнений с четырьмя неизвесшыми:
'1 2 3 41 Л' ГО'
0 0 2 3 = 0
0 0 О 0J х' [о
Обратный ход. Определим неизвестные с помощью обрат-
ной подстановки.
Система Л”х =0 эквивалентна следующим двум уравнениям:
X] 4- 2х, г Зх3 + 4х4 = 0,
2х3 + Зх4 = 0.
Выразим базисные переменные хх и х3 через свободные
х2 и х4:
9
х. 4-2х, —х. 4-4х4 =0,
’ 2
1
X, = -2х7 4- —х4 -
2
37
Таким образом, имеем «двойную бесконечность» решений
нашей системы, зависящих 'от свободных и независимых пара-
метров х2 и хА .
Общее решение выражается через эти параметры соотноше-
ние
ПРИМЕР 3. Решить систему уравнений:
х, +х2 +х3 +х4 =5 1
2х, - Зх2 + х3 - х4 = О
5х, + 4х3 +2х, =12
Составим матрицу системы и преобразуем ее:
1 I 1 1151 1 1 1
2 -3 1 -1|0 ->0-5-1
5 0 4 2)12 0 -5 -1
15’ Г1 1 1
-3 10 ->0-5-1
-3-13 000
1 5
-3-10
0 -3
Система несовместна, так как последняя матрица содержит
строку, соответствующую уравнению, в котором все коэффици-
енты при неизвестных равны нулю, а свободный член отличен
от нуля. Ранг расширенной матрицы равен 3, а ранг.матрицы А
равен 2, т- е. ранг (А\Ь) * ранту А, по табл. 1 (см. 32 с.) находим,
что система неразрешима.
38
Метод Гаусса - Жордана. Обращение матриц
Метод Гаусса позволяет легко находить обратные матрицы
для невырожденных матриц, т.е. матриц, определитель которого
не равен нулю. Для этого достаточно небольшое изменение ме-
тода Гаусса, предложенное Жорданом. Если при прямом ходе
метода Гаусса вместо А получается верхняя треугольная матри-
ца (/, то при обратном ходе происходит преобразование матри-
цы U в единичную матрицу, причем это преобразование проис-
ходит по шагам с помощью найденных на предыдущих шагах
значений неизвестных.
В методе Гаусса - Жордана нет обратного хода, и матрица
А преобразуется не к верхней треугольной матрице, а сразу к
единичной матрице J. Если в методе Гаусса при прямом ходе
получаются нули вместо элементов, стоящих ниже ведущего
элемента, то в методе Гаусса - Жордана нули получаются и
вместо элементов, стоящих выше ведущего элемента, т.е. каж-
дая строка с ведущим элементом вычитается из строк, располо-
женных ниже и выше. Более того, эта строка делится на веду-
щий элемент (для получения единицы вместо ведущего элемен-
та). Тогда в столбце Ъ получается сразу искомое решение. В
матричной записи это выглядит так:
где J - единичная матрица; х - вектор неизвестных; с — вектор
решения.
ПРИМЕР. Решить систему лйнейных уравнений:
2х, 4- 2х, + Зх, = 2
Xj - х, = 1
-Х| 4- 2х2 4-Х3 ==—11
Решим систему методом Гаусса - Жордана. Составим мат-
рицу А для данной системы и матрицу свободных членов Ь:
А =
2 3‘
-1 О
2 I
Z> =
39
Образуем расширенную матрицу А | Ъ и преобразуем к ви-
ду ,/| с, где с - решение данной системы уравнений.
1 2 3 2 ’
А\Ь= 1 -10 1.
12 11
С помощью элементарных преобразований матрица при-
водится к виду
Решением системы будет xt = 1, х2 = 0, х3 = 0.
Нахождение обратной матрицы
Рассмотрим систему уравнений в матричном виде А-х = Ь,
умножим на обратную матрицу л, получим
А~1 -А-Х =-А~1 -Ь.
Но А ' -А = А-А~' -J, т.е. А A~l = J. Значит*J-X = А"1 - Ь .
Элементы для матрицы A J неизвестны.
Найдем матрицу Л-1. С этой целью для данной матрицы А
и-го порядка приведем прямоугольную матрицу {А | ,7) к виду
(Ji В), что всегда возможно, еслиИ-невырожденная матрица._
Тогда В ~ А ’.
ПРИМЕР. Дана матрица Я:
Г 2 2 3
А= 1-10.
-1 2 1
Решение. Найдем обратную матрицу И 1, для этого обра-
зуем матрицу (А. | J):
2 3 10 0’
-1001 0
2 10 0 1
40
К третьей строке прибавим первую, поменяв местами
первую и вторую строки, а из второй вычтем удвоенную пер-
вую. Получим матрицу
*1-10 0 1 О'
0 4 31-20.
0 110 11
Поменяем местами вторую и третью строки, затем к пер-
вой строке прибавим вторую и из третьей вычтем вторую,
умноженную на 4. Аналогично получим
'10 10 2 1 '
0 110 1 1 .
00-11-6-4
Прибавим к первой и второй строкам третью и умножим
третью строку на -1. Получим матрицу
10 0 1 —4 — 3
0101 -5 -3 .
001-16 4
Следовател ьно,
' 1 -4 -3'
АГ1 = 1 -5 -3 .
-16 4
ПРИМЕР. Решить систему линейных уравнений:
2х: + 2хг + Зх3 = 21
х, - х2 = 1 J-
-х, + 2х, +л-3 = -1]
Составим матрицу А для данной системы и матрицу сво-
бедных членов Ь:
Образуем расширенную матрицу А | Ь~
Решим эту систему с помощью обратной матрицы. Из
предыдущего примера возьмем значение обратной матрицы:
‘ 1 -4 -31
А~{ 1 -5 -3 •
-16 4
Для решения системы по формуле X = А 1 -Ь умножим
обратную матрицу А~* на столбец свободных членов Ь:
Получили столбец решения:
Правило Крамера
Если мы имеем частный случай п х «-системы линейных
уравнений А • х = b такой, что rang (Л) = rang (И| Ь) = п, то вслед-
ствие невырожденности А. единственное решение х можно пред-
ставить в виде
х - А~' - Ъ.
Теорема. Элементы вектора решения х равны
det А
где В, - матрица, полученная из матрицы А заменой z-ro столбца
на вектор Ь.
Доказательство. Вектор х можно получить, умножив справа
уравнение А-х = b на обратную матрицу Л 1. х - A~l b, где
42
Тогда
det Л
4i — 4i
4г — 4г
4» 4« — л„„
4, \
4г 4
4„14
х' и,ч л +44, +•••+441),
*• =777(6>4г +44г + +ь„лп),
х" = айл^,л'"+ ЪгА2" +~+ь-л^-
Но
441+441+ -+*„41
*
*2
^12
^22
+44, +...й„4,
л12
Й22
азп
Ь\
= det ВА,
4
4,1
что доказывает теорему.
ПРИМЕР. Решим методом
уравнений:
Крамера систему линейных
43
2х, + x2 + Зх3 = 9
x, - 2x2 + x3 = -2
3x, + 2x2 + 2x3 = 7
Решение. П правилу Крамера решение находится по фор-
мулам:
det В. det В2 det В3
------L, х2 =....- , х3 =------------
det A det A det А
Запишем матрицу Я для данной системы уравнений:
2 1 31
1 -21-
3 2 2
Найдем определитель матрицы А:
det А =
-2 1
2 2
-13.
Для нахождения В{ заменим в матрице А первый столбец
столбцом свободных членов и найдем определитель:
det #2=1 -2 1=26, det В3 = 1 -2. -2=39,
тогда
det В2 _ 26 det В3 39
det Л 13 4 det А. 13
44
6. Аналитическая геометрия
Прямая на плоскости
Рассмотрим на плоскости Оху произвольную прямую L
(рис. 8). Каждая прямая на плоскости в параллельных координа-
тах представима в виде общего уравнения прямой:
Ах + Ву + С = 0, (1)
а в полярных координатах — в виде pcos(<£> —р. где р -
расстояние от полюса до прямой; а — угол между полярной осью
и нормалью к прямой.
Если А = 0, то прямая параллельна оси х.
ПРИМЕР. Пусть дано уравнение прямой Зу - 6 = 0. Упро-
щая, получим у = 2.
Аналогично, если В ~ 0, то прямая параллельна оси у.
Если С = 0 , то прямая проходит через начало координат.
Точка О (0,0) принадлежит этой прямой. Действительно,
Л-0+В-0 = 0.
Если В 4- 0, то равенство Ах + By + С = 0 можно записать в
виде
-Ах-С А. С
у~---------ИЛИ у —----X---5
В В В
если обозначить
45
получим уравнение прямой в виде
у = кх + Ь. (2)
Прямая пересекает ось у в точке Р = (О, Ь).
ПРИМЕР. Дано общее уравнение прямой 15х - 5у + 10 = 0,
если преобразуем уравнение, получим
у = Зх + 2.
В декартовой системе координат к - угловой коэффициент
прямой: к = tg а., а - угол между осью х и прямой L.
Прямая может быть задана точкой Р\ - (xi,yi) и угловым ко-
эффициентом к или двумя точками Р\ ~ (xj, у0 и Pi = (л'2- у2).
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в
заданном направлении будет иметь вид
y-yt-^k(x-x,). (3)
ПРИМЕР. Пусть прямая задана точкой Р(2, -5) и к ~ 4. Най-
ти общее уравнение прямой.
Решение. По формуле (3) получим у + 5 = 4 (х - 2), преобра-
зовав уравнение, получим
-4х+у+13 = 0.
Если прямая проходит через две заданные точки Р\ и Р2, то
уравнение примет вид
У~У' = х-*1 (4)
--.у, х2-х,
Заметим, что имеет место равенство
*=2LZ*.
х2 -X,
Прямая в пространстве
Каждая прямая в пространстве в параллельных координатах
может быть задана системой линейных уравнений (пересечение
двух плоскостей):
[AjX + В.у + С, z + D. = 0,
[Л2х + В,у + С, z + D2 = 0
Прямая может быть задана точкой Р} = (хь ук z{) и парал-
лельным ей вектором (направляющим вектором) R - (L, т, п).
46
Тогда уравнение прямой в координатной форме имеет ввд
х-х. у-у, z-z.
± = =(5)
I т п
В случае, если знаменатель какой-либо из дробей равен 0, то
равен 0 и соответствующий числитель.
Прямая в пространстве однозначно определяется двумя точ-
ками: Р\ = (хь уц zj) и Р2 - (х2, У?., х?)- Уравнение прямой в коор-
динатной форме составит
х-х, у-у, z~z,
----'-- = ^1- =-L. (6)
*2~*l >2 >1 z2“zl
Расстояние между двумя точками Р, = (хь yt Zi) и 1'-, = (х2, уг,
z,) в декартовой системе координат равно
d = 7(*2)2 +(J2 ~У,)2 +(z2 -г,?. (7)
Координаты середины отрезка РХР, примут вид
х — Х| +А'2 — = 21
2 2 2
(8)
Плоскость в пространстве
Каждую плоскость в пространстве можно задать линейным
уравнением относительно координат:
47
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Нормалью к плоскости называется век-
тор N, перпендикулярный этой плоскости.
Если в уравнении (9) D = 0, то плоскость проходит через на-
чало координат. При А = 0 (или В =0, или С = 0) плоскость па-
раллельна оси х (или оси у», или оси 2).
При А — В = 0 (или А ~ С ~ 0, или В = С — 0) плоскость па-
раллельна плоскости ху (плоскости хг, плоскости yz).
Уравнение jock _ти в отрезках примет вид:
-+Х+£.1_ (ю)
а b с
Эта плоскость (рис. 9) пересекает оси координат в точках
Л= (а, 0, 0), Р2== (0, Ь, 0), Р3= (0, 0, с).
Алгебраические кривые на плоскости
Пусть Дх, у) — 0 - уравнение, имеющее решения и не яв-
ляющееся тождеством; Q = {(а,Ь)} - это множество пар, для ко-
торых Дя, 5) = 0;Z- множество всех точек плоскости, имеющих
координаты а, Ь; тогда L - является плоской кривой, определен-
ной уравнением F(x, у) = 0.
В полярной системе координаг ограничиваются уравнения-
ми вида
(Н)
тогда данное уравнение рассматривается как уравнение кри-
вой L в полярных координатах.
Если х = х (/) и у =у (/) - две функции, определенные на од-
ном промежутке I, то эти функции называются параметрическим
представлением кривой L - {M(x(t\ y(t)) 11 е /}.
Кривые 3-го порядка
1. Полу кубическая парабола (рис. 10). Уравнение кривой
составит
а-х3-у2 = 0,л>0.
Параметрическое представление:
х -12, у = at3, -со < / < оо.
48
2. Локон Аньези (рис. 11). Уравнение кривой имеет вид
(х* + а2)у-а3 — 0, я>0.
Ассимптота задана уравнением у = 0, радиус кривизны в
ершине Л(0, а) будет равен R = л/2.
3. Декартов лист (рис. 12). Уравнение кривой будет состав-
лять
x3+yi~3axy~01 «>0.
Параметрическое представление примет вид
х = ЗЩ/(1 + t3), -oo</< -lj
у ~ ЗаГ2/(1 + Г3), -l<i<oo.
Если обозначить через M(t) - точку кривой, соответ-
ствующую значению параметра /, а через (х)-угол между МО и
положительным направлением оси х, то будет справедливо ра-
венство tg <р (t) = /. Оси координат — касательные к кривой в точ-
ке (0,0). Уравнение ассимптоты кривой: х + у 1- а= 0.
Вершина в точке А (Зп/2, Зп/2).
Рис. 12
49
4. Строфоида (рис. 13). Уравнение кривой будет равно
(х + а) а2+'(х - а)у1 = 0, а>0.
Параметрическое представление составит
x = a(l2- 1)/(/2 + 1), - со < t < со,
у- at(?- 1)/ (/2 + 1), t = tg <p(t\ где <p(t)~ угол между МО
и положительным направлением оси х. Уравнение в полярных
координатах:
р —-a cos 2(р / cos ср.
Начало координат - узловая точка кривой, прямые х +у — О
и х -у == 0 - касательные к кривой в О. Асимптота кривой зада-
ется уравнением х - а = 0. Вершина в точке А (- а, 0).
Рис 13
50
Кривые 2-го юрядка на плоскости
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Кривой 2-го порядка на плоскости называ-
ется множество точек, координаты которых удовлетворяют
уравнению
ах2 + 2bxy+cy2 + 2dx+2ey+f = 0, (1)
где а2 +Ь2 + с2 * 0.
После приведения уравнения кривой к каноническому виду
кривые могут быть классифицированы следующим образом: ус-
ловие А, > 0 всегда может быть достигнуто заменой переменных
или умножением обоих частей уравнения на -1.
J случай. Центральные кривые (существует центр симмет-
рии). Общее уравнение кривой в г • ионическом виде будет со-
ставлять
Л|Х2 4 Л2у2 + g - 0, где А) > 0 (2)
Классификация происходит согласно табл. 2.
Таблица 2
_ ВИД кривой
Эллипс
Пример
2 -
В действительных числах
уравнение не имеет решения
(мнимый эллипс)__________
Одна точка (0,0) (пара мни-
мых пересекающихся прямы :
или вырожденный эллипс)___
Гипербола
Пара пересекающихся прямых
а~
а2___Ъ1
51
2 случай. Параболические кривые (центра симметрии нет).
Общее уравнение кривой в каноническом виде (с >0) будет
.иметь вид
/^х2+2Лу + Л=0, (3)
Классификация происходит согласно табл. 3.
Таблица 3
н к Вид кривой Пример
*0 Любое Парабола >2=2/)л-
0 <0 Пара прямых, параллельных оси у а-2=1
0 0 Двойная прямая (ось >) х2 =0
0 >0 Пара мнимых параллельных пря- мых х2 =-1
Кривые 2-го порядка на плоскости часто называются кони-
ческими сечениями, так как они могут быть получены в сечении
плоскостью прямого кругового конуса. Если секущая плоскость
не проходит через вершину конуса, то сечение будег гипербо-
лой, параболой или эллипсом, соответственно, в зависимости от
того, параллельна ли секущая плоскость двум или одной обра-
зующей конуса или не параллельна ни одной. Если секущая
плоскость проходит через вершину конуса, то получаются рас-
падающиеся конические сечения. Параллельные прямые полу-
чаются, если конус вырождается в цилиндр (вершина конуса
уходит в бесконечность).
Эллипс
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллипсом называется множество всех то-
чек М = (х, у), для которых сумма расстояний до двух заданных
фиксированных точек Ft = (»- с, 0) и F2 = (- с, 0) постоянна и
равна 2а. Точки F\ и F2 называются фокусами эллипса (рис. 14).
Расстояния Г\ = М\ и гз = |F> М\ вычисляются по форму-
лам
r2 ~ а + ех.
52
(4)
Элементами эллипса являются большая ось АВ — 2а, малая
ось CD = 2b, вершины A, B,C,Du фокусы эллипса F\ = (+ с, 0) и
F2 = (- с,0), где с = д/я2 - 62 .
Эксцентриситет е = с/а, у эллипса е < 1.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид
Гипербола
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гиперболой называется множество точек
М-= (х, у), для которых абсолютная величина разности расстоя-
ний до двух заданных фиксированных точек Р\ = (+ с, 0) и
F2 = (— с, 0) постоянна и равна 2а < 2с. Точки и F2 называются
фокусами эллипса (рис. 15).
Точки, для которых и — г2 = 2а, принадлежат левой ветви
гиперболы; точки, для которых г2~~г\ = 2а, принадлежат правой
ветви гиперболы.
Расстояния г\- |Fj Л7] и г2= |Г2 Л/] вычисляются по формулам
Г| = ± (ex - a), r2 = ± (ех + а). (5)
Верхний знак соответствует правой ветви, нижний — левой.
Элементами гиперболы являются действительная ось
АВ = 2а, вершины А, В, центр О, фокусы гиперболы F\ — (+с, 0) и
53
F2 = (i о), лежащие на действительной оси по обе стороны от
центра на расстоянии с (>а) от него, мнимая ось CD •- 2b, где
b = -Jc2 - о2 . Эксцентриситет гиперболы е = с ! а, у гиперболы
е>1.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид
Асимптоты гиперболы - прямые, к которым ветви гипербо-
лы неограничено приближаются при удалении в бесконечность.
Угловые коэффициенты асимптот: к = + Ыа. Уравнения обеих
, Ъ
асимптот: у = ±—х.
Парабола
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Парабола - это множество точек М- (х, у).
равноудаленных от фиксированной точки (фокуса) F = (p/2, 0) и
от данной прямой (директриссы NN ’) (рис. 16).
\мр |=|лж | = х + Д (6)
Элементами параболы являются ось х — ось параболы, вер-
шина О, фокус F = (р/2, 0), директриса (прямая NNперпенди-
54
кулярная оси х; уравнение: х — — р/2) и фокальный параметр р
(расстояние от фокуса до директрисы). Эксцентриситет парабо-
лы е =1. Каноническое уравнение гиперболы имеет вид
у ~ — 2 рх.
Если ось параболы параллельна оси у, то уравнение парабо-
лы у — ах ~ +Ьх + с и координаты вершины состав к
Хо=-b/(2 a), yG = (4ас-Ь2) /(4 а). (1)
Ду
Рис. 16
Поверхности 2-го порядка
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Поверхностью 2-го порядка в пространст-
ве называется множество точек, координаты которых удовле-
творяют уравнению вида
а.,х2 + а77у2 + a33z2 + 2а,7ху + 2al3xz + 2a73yz +
“ (8)
4 2аИх + 2а24у + 2a34z + а44 = 0.
Это уравнение можно привести к каноническому виду:
Дх2 +Ду2 + 2,z2+J = 0 или Дх2 +Л2у2 + mz = 0.
Эллипсоид (рис. 17). Каноническое уравнение эллипсоида
будш .'оставлять
444=1.
а~ b с
где а,Ь,с— полуоси.
Однополостями гиперболоид (рис. 18). Каноническое
уравнение однополостного гиперболоида имеет вид
где амЬ- действительные полуоси; с - мнимая полуось.
Рис. 18
Рис. 19
56
Двуполостный гиперболоид (рис. 19). Каноническое урав-
нение двуполостного гиперболоида будет равно
где с - действительная полуось; а и Ъ — мнимые полуоси.
Конус. Каноническое уравнение конуса имеет вид
Конус имеет вершину в начале координат.
Поверхности 2-го порядка, не имеющие центра симметрии
указаны в табл. 4.
Тап*ица4
Поверхности не имеющие центра симметрии
Вид поверхности Пример
Эллиптический параболоид 44
Гиперболический параболоид 44
Однопол остный гиперболоид аг Ьг с2
Эллиптический цилиндр а1 Ь2
Г шерболический цилиндр а2 Ьг
Параболический цилиндр У2 = 2/»'
57
Список рекомендуемой литературы
Волошиной А. В. Математика и искусство. М.: Просвеще-
ние, 1992. 336 с.
Мышкин А. Д. Лекции по высшей математике. М.: Наука,
1967. 640 с.
Гусак А. А. Высшая математика: В 2 т. Минск: Изд-во
БГУ. 1978.400 с.
Шнейдер В. Е. и др. Краткий курс высшей математики: В
2 т. М: Высш. шк., 1978.384 с.
Оглавле. ие
Математическое мышление. Роль и место математики
в целенаправленной деятельности человека 3
Элементы множества, отношения, отображения числа 10
Матрицы и действия над ними 15
Определител ь квадратной матрицы 21
Системы линейных уравнений 29
Аналитическая геометрия 45
Список рекомендуемой литературы 58
58
59
Учебное издание
ЖЕЛТОВ Валериан Павлович
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ДИЗАЙНЕРОВ
Краткий конспект лекций
Отв. за выпуск Е. Н. Харитонова
Подписано в печать 14.06.2002. Формат 60 х 84/16. Бумага
газетная. Печать оперативная. Усл. печ. л. 3,72. Уч.-изд. л. 3,64.
Тираж 100 экз. Заказ № 906
Чувашский государственный университет
'Гипография университета
428015 Чебоксары, Московский проси.. 15