Варианты вступительных экзаменов
в Школу имени А.Н.Колмогорова
Школа имени А Н.Колмогорова «Самообразование»
ВАРИАНТЫ
ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ
в Школу имени А.Н.Колмогорова
Школа имени А.Н.Колмогорова «Самообразование»
2000
Варианты вступительных экзаменов в Школу имени А.({.Колмогорова. Составители: АлфутоваН. Б., Загорский В. В., Корнеева Т.П., СмуровМ. В., Устинова.В., - М.: Школа имени А. Н. Колмогорова, «Самообразование», 2000. - 80 с.
В брошюре приведены варианты вступительных экзаменов в Школу имени А. Н. Колмогорова (по математике, физике и химии), которые проводились в 1995 -1999 годах. Большая часть задач по математике и химии сопровождается подробными решениями, к остальным задачам даны ответы и указания. С полными решениями разобраны варианты заочных и устных экзаменов по физике.
Для школьников, преподавателей, руководителей кружков.
© Алфутова Н. Б., Загорский В. В., Корнеева Т. П., Смуров М. В., Устинов А. В., 1999 г., 2000 г.
© Школа имени А. Н. Колмогорова, 1999 г., 2000 г.
© И. Н. Коровин - оформление, 2000 г.
© А. С. Кольчугин - предисловие, 2000 г.
Дорогие будущие коллеги!
Вы держите в руках книгу с заданиями вступительных экзаменов в школу-интернат имени А. Н. Колмогорова. Да, для того, чтобы попасть в эту школу, придется сдать экзамены. Вы спросите, зачем? Дело в том, что это - необычная школа. Она очень сильно отличается от той, в которой Вы сейчас учитесь.
Тридцать семь лет назад, в 1963 году, тогда еще Советское правительство выпустило указ о создании специализированных школ-интернатов при Московском, Ленинградском (ныне Санкт-Петербургском), Новосибирском и Киевском государственных университетах. Инициаторами этого, к слову сказать, весьма сложного процесса были крупнейшие ученые-математики и физики того времени. Одним из них был, впоследствии действительный член Академии Наук СССР, Андрей Николаевич Колмогоров, чье имя и носит теперь наша школа.
Одной из задач, которые себе ставили создавшие эти школы люди, была организация «интеллектуальной отдушины» для школьников, которые живут вдали от научных центров. Дело в том, что наука - странная сфера человеческой деятельности. Ей, к сожалению, нельзя научить. Но можно помочь научиться. Правда, для этого нужно хлебать этот кисель каждый день, и, чем чаще ты его хлебаешь, тем быстрее ты поймешь, как же все-таки делаются научные открытия. Открытия, которые могут единомоментно перевернуть все имевшиеся до сих пор у людей представления о математике, физике, химии, даже философии.
Такие открытия делаются не каждый день. И даже не каждый год. Но они делаются, и делаются людьми. Такими же, как мы - те, кто писали эту книгу, такими же, как вы, те, кто ее читает. И мы, люди, которые сейчас работают в науке (совершенно не предполагая, что нас будут помнить так же, как, например, Альберта Эйнштейна), будем рады видеть вас, читающих сейчас эту книгу, в наших рядах.
Задачи, которые вы увидите, пролистав страницы этой книги, предлагались на вступительных экзаменах в нашу школу в течение нескольких последних лет. Они для Вас - рабочий материал. «Предупрежден - значит вооружен», - помните? Эти задачи отличаются от тех, которые Вы привыкли видеть на контрольных работах по математике, физике и химии в той школе, в которой Вы сейчас учитесь. Нельзя сказать, насколько они сложнее Вашего домашнего задания. Но не пугайтесь трудностей: согласитесь, что если бы все в жизни получалось с первого раза, жить было бы скучно. Очень возможно, что Вы не сможете решить их все. Не отчаивайтесь, на вступительных экзаменах в нашу Школу оценивается не только количество решенных задач, но и количество тех идей, которые Вы попытались вложить в предложенное Вами решение. Поверьте, идея иногда бывает важнее самого решения. Но, тем не менее, нам хотелось бы надеяться, что у Вас получится.
На этом месге должна стоять фраза: «Если Вам повезет, то Вы поступите к нам учиться». Но мы считаем эту фразу неверной по своей сути ~ экзамены не игра. Если Вы приложите достаточное количество усилий и подготовитесь к вступительным экзаменам, Вы их сдадите. Если нет - то не сдадите. Никакого элемента случайности здесь нет - все зависит только от Вас и Вашего желания стать учеником Школы имени Колмогорова. И мы, авторы этой книги, очень надеемся, что она поможет Вам в подготовке к вступительным экзаменам.
Наверное, самое сложное - это ответить на вопрос: «Зачем к Вам поступать?» Действительно, лучшее - враг хорошего. Вы учитесь сейчас в школе, скорее всего, учитесь хорошо. Что же мы можем обещать тем из Вас, кто, пройдя сито вступительных экзаменов, все-таки станет учеником нашей школы? Да, Вам будет проще стать студентами ведущих московских вузов. Но кроме этого, Вам предстоит провести один или два года в компании таких же, как Вы. Вы получите большое удовольствие от жизни в нашей школе, от общения с Вашими преподавателями, большинство которых когда-то тоже были учениками Школы Колмогорова. В конце концов, люди, которые будут Вас окружать на протяжении всего периода обучения в школе, чем-то похожи на Вас, и мало кто из бывших учеников школы (а их на настоящий момент около шести тысяч) жалел о том, что он провел это время здесь.
Перед Вами сборник задач. Он является результатом упорной работы преподавателей интерната в течение не одного года. Каждая задача по-своему является произведением искусства, в каждой задаче есть своя «изюминка», делающая ее по-своему красивой. Ваша задача - найти эту изюминку и понять ход мысли автора задачи. Когда Вы будете их решать, постарайтесь забыть те штампы, которые Вам так долго прививали в школе, и попробуйте мыслить творчески. Не отчаивайтесь, если задача не решается с первого раза - попробуйте решить другую. Через какое-то время у Вас появится опыт в решении подобных задач.
Успехов вам, коллеги!
Ваши авторы
Школа имени А. Н. Колмогорова
(до 1989 - специализированная школа-интернат Ns 18 при МГУ имени М. В. Ломоносова) была образована в 1963 году при непосредственном участии крупнейших ученых страны А. Н. Колмогорова, И. Г. Петровского, И. К. Кикоина.
В настоящее время школа проводит набор для обучения в 10- 11-х или только в 11-х классах. Вступительные экзамены проводятся в два тура. Задачи первого - заочного - тура публикуются в журнале «Квант». Очный тур представляет собой письменный или устный экзамен по математике и физике (для поступающих в классы химической специализации - по химии), который проходит в мае в областных или районных центрах.
В книге приводятся варианты вступительных экзаменов по математике, физике и химии прошлых лет. Составителями и авторами заданий являются преподаватели кафедр математики (АлфутоваН. Б., Дубровский В. Н., Вавилов В. В., Егоров А. А., Смуров М. В., Сергеев И. Н., ГашковС. Б., СкопенковА. Б., Виноградов О. П., Устинов А. В.), физики (Корнеева Т.П.) и химии (Загорский В. В.) и др.
О сроках проведения вступительных экзаменов можно узнать по телефону (095) 445-11-08.
Новый ПРИЕМ
Школа имени А. Н. Колмогорова Специализированного учебно-научного центра (сокращенно СУНЦ) Московского государственного университета, СУНЦ НГУ, СУНЦ УрГУ и Академическая гимназия при СПГУ объявляют набор школьников в 10 (двухгодичное обучение) и 11 (одногодичное обучение) классы.
В этом разделе приводятся условия задач заочного вступительного экзамена. Работа должна быть выполнена в обычной ученической тетради (на титульном листе напишите желаемый профиль обучения). На первой странице укажите свои анкетные данные:
1)	фамилия, имя, отчество (полностью);
2)	домашний адрес (подробный), индекс;
3)	подробное название школы, класс.
Работу отправляйте простой бандеролью (обязательно вложите конверт с маркой, заполненный на свой домашний адрес) по одному из следующих адресов:
121357, Москва, Кременчугская ул., 11, СУНЦ МГУ, Приемная комиссия, заочный экзамен. (Внимание: жители Москвы принимаются в учебный центр без предоставления общежития, телефон для справок 445-11-08);
199034, Санкт-Петербург, Университетская наб. 7/96, Академическая гимназия.
620137, Екатеринбург, ул. Голощекина, 30, СУНЦ УрГУ.
630090, Новосибирск, ул. Пирогова, И, Учебно-научный центр НГУ, Олимпиадный комитет.
Срок отправки работ - не позднее 10 марта 2000 года (по почтовому штемпелю). Работы, высланные позже этого срока, рассматриваться не будут.
Если вы не сможете решить все задачи, не отчаивайтесь: комиссия рассмотрит работы с любым числом решенных задач.
Желаем успеха!
Математика
Для поступающих в 10 класс
1.	Решите уравнение ?+x=l 111 111 122222222
2.	Какую наибольшую площадь может иметь треугольник со сторонами а<6, 6<5, с<3?
3.	Решите систему уравнений
4.	Биссектрисы AM и BL разностороннего треугольника АВС пересекаются в точке /. Найдите угол С, если известно, что MI=IL.
5.	У восьми школьников имеются 7 рублей 19 копеек. Известно, что у любых двух школьников различные суммы денег, причем у одного из них в целое число раз больше денег, чем у другого. Сколько денег у каждого школьника?
Для поступающих в 11 класс
1.	Может ли сумма трех последовательных квадратов целых чисел быть равной сумме кубов двух последовательных целых чисел?
2.	Найдите наибольшую возможную площадь четырехугольника со сторонами 1,4, 7, 8 (в произвольном порядке).
3.	Решите систему уравнений
4.	Середины сторон неравнобедренного треугольника АВС лежат на окружности, центр которой принадлежит биссектрисе угла С. Найдите сторону АВ, если ВС= а, АС=Ь.
5.	Три фермера отправились на базар для продажи баранов. Первый пригнал 10 баранов, второй - 16, третий - 26. Каждый продал часть своих баранов (не менее одного, но не всех) в течение первого дня, причем все они продавали по одной цене, не менявшейся в течение всего первого дня. На второй день цена на баранов упала, и фермеры, опасаясь дальнейшего понижения цен, немедленно продали остальных баранов, снова по одинаковой цене. Сколько стоили бараны в 1 день и во 2 день, если каждый из фермеров выручил 3500 рублей?
Физика
Для поступающих в 10 класс
1.	Две частицы движутся по оси X. Начальные скорости частиц Vi = 6 м/с, v2=-4m/c. Ускорения частиц а2 = -ах = 1 м/с2. Найдите наименьшее значение начального расстояния 5 между частицами, при котором они не столкнутся.
2.	Жонглер бросил шарик вертикально вверх. Когда шарик достиг максимальной высоты Лш = 2м относительно точки бросания, был брошен второй шарик с той же начальной скоростью. Найдите высоту Л, на которой шарики встретились.
3.	Вес тела массой т- 100кг в лифте, движущемся вниз, равен Р = 1020 Н. Найдите величину ускорения лифта.
4.	Спутник запущен на круговую орбиту, расположенную в плоскости экватора, и вращается в направлении вращения Земли. Семь раз в сутки спутник проходит над некоторым пунктом. Найдите отношение радиуса орбиты спутника к радиусу орбиты геостационарного спутника (неподвижного относительно экватора).
5.	Бассейн с водой имеет форму параллелепипеда с площадью основания 5. Найдите приращение уровня воды ДЛ, если в бассейн опустить тело массой т плотностью р. Плотность воды рв.
Для поступающих в 11 класс
1.	Уравнение процесса, проведенного с v молями идеального газа при изменении объема в области Ко < К < 2 Ко, имеет вид
if V
Р<И=-Ро з-- ,
где ро, Ко - постоянные величины. Найдите максимальное значение температуры Тт в этом процессе.
2.	Найдите количество теплоты Q, переданное газу, работу А' совершенную над газом, и приращение внутренней энергии Д67 в процессе, уравнение которого приведено в задаче 1.
3.	В схеме, приведенной на рисунке, разность потенциалов между точками а и Ь равна U= 10 В, сопротивление резисторов R\ = = 5 Ом, 7?2 = 20Ом, В3=ЮОм, /?4 = 6 Ом. Найдите силу тока, протекающего через резистор R2.
4.	К батарее с ЭДС = 4 В и внутренним сопротивлением г = 1 Ом подключены последовательно соединённые конденсаторы емкостью Ci = 3 мкФ и С2 = 2мкФ. Найдите количество теплоты, которое выделится в батарее, если расстояние между пластинами конденсатора емкостью С\ уменьшить в два раза.
5.	Ребра правильного тетраэдра AKCD изготовлены из однородной проволоки. Сопротивление каждого ребра длиной £ = 5см равно 7?=1Ом. К вершинам А и К тетраэдра приложено постоянное напряжение (7= 10 В. Тетраэдр помещают в однородное магнитное поле с индукцией В, направленной перпендикулярно ребру АК. Величина индукции В = 0,01 Тл. Найдите величину силы, действующей на тетраэдр.
Химия
Для поступающих на химико-биологическое отделение
1. В некоторых оксидах массовая доля элемента составляет примерно 71 %. Определите формулы этих оксидов.
2. 13,2 г кристаллогидрата сульфата марганца MnSO4 • п Н2О растворили в 106,8 мл воды, при этом образовался раствор с массовой долей растворенного вещества 0,074. Установите состав кристаллогидрата.
В следующих разделах приведены вступительные задания прошлых лет. К большинству из них прилагается подробное решение или ответ.
Математика
Условия задач
Вариант 1 тест
1.1.	Сколько страниц содержит книга, если для нумерации всех ее страниц было использовано 1875 цифр?
(А) 659; (В) 661; (С) 663; (D) 665; (Е) ни один из ответов А, В, С, D не подходит.
1.2.	Через один кран вода заполняет бак за 3 часа, через второй - за 9 часов. За какое время вода заполнит бак, если открыть оба крана?
(А) 2 часа 15 мин; (В) 2 часа 50 мин; (С) 4 часа; (D) 6 часов; (Е) 12 часов.
1.3.	На стороне АВ параллелограмма ABCD взята точка L, а «а стороне ВС - точка К так, что BL = | АВ, ВК = ± ВС. Тогда отношение DO: OL, где О -- точка пересечения прямых АК и LD, равно:
(А) 2; (В) |; (С) ~ ; (D) 3; (Е) ни один из ответов А, В^ С, D не подходит.
1.4.	Наименьшее значение выражения |х +у | +	+1)2 + (х - З)2 равно:
(A) V10 ; (В) 2 VI; (С) VI; (D) 0; (Е) 2.
1.5.	В результате инфляционных процессов цены выросли на 900%. Оппозиция потребовала от правительства возвращения цен к прежнему уровню. На сколько должны быть уменьшены цены?
(А) на 900 %; (В) на 450%; (С) на 225 %; (D) на 95 %; (Е) на 90 %.
1.6.	Свежие сливы содержат 94% воды, а сушеные - 4% воды. Сколько получится сушеных слив из 12 кг свежих?
(А) 1250 г; (В) 1 кг; (С) 775 г; (D) 750 г; (Е) 0,5 кг.
1.7.	По шоссе в одну сторону с постоянными скоростями движутся автомобиль и мотоциклист, а навстречу им с постоянной скоростью идет пешеход. Когда автомобиль и мотоциклист были в одной точке, до пешехода было 30 км. Когда автомобиль и пешеход встретились, мотоциклист отстал от автомобиля на 5 км. На сколько километров обогнал автомобиль мотоциклиста на момент встречи мотоциклиста и пешехода?
(А) На 2 км; (В) На Зкм; (С) На 4 км; (D) На 5 км; (Е) На 6 км.
2 Зак. 3149
1.8.	Если катеты треугольника равны 12 и 16, то длина высоты, проведенной к гипотенузе, равна:
(А) 10; (В) 10.2; (С) 9.6; (D) 9; (Е) 8.
Вариант 2 тест
2.1.	Угол между стрелками часов в 12 часов 20 минут равен:
(А) 82,5°; В) 90°; С) 120°; (D) 110°; (Е)40°.
2.2.	Пусть п\ = \ 2 Для каждого натурального п >2 количество простых чисел среди чисел л! I-2, п\ + 3,... ,п\+п\ равно:
(А) 0; (В) 1; (С) 2; (D) [ м/2 ]; (Е)и- 1.
2.3.	На сторонах ВС и AD прямоугольника ABCD выбраны точки N и М, так что DM.AM= 1 :4, NB\BC= 1:3. Отношение площадей четырехугольников NCDM и MABN равно:
(А) 13:17; (В) 7: И; (С) 3 :5; (D) 19:21; (Е) 17:27.
2.4.	Продукция нефтеперерабатывающего завода была разлита по 640 одинаковым цистернам. Если бы в каждую цистерну входило на 10 тонн бензина больше, то их потребовалось бы на 80 меньше. Сколько тонн бензина было произведено?
(А) 38400; (В) 41600; (С) 44800; (D) 48000; (Е) 51200.
2.5.	Числа аь а2, а3... образуют арифметическую прогрессию. Известно, что а4 + а5 + а6 +... + а14 = 110. Сумма а5 + а13 равна:
(А) 18}; (В) 19; (С) 20; (D)21; (Е) 22.
2.6.	На карточке написаны следующие утверждения, каждое из которых может быть истинным или ложным:
1)	На карточке ровно одно утверждение ложно;
2)	На карточке ровно два утверждения ложны;
3)	На карточке ровно три утверждения ложны;
4)	На карточке ровно четыре утверждения ложны.
Сколько ложных утверждений на этой карточке?
(А)0; (В) 1; (С) 2; (D)3; (Е)4.
2.7.	Сколько общих точек имеют графики функций у -|х- 11 + |х + 4| и у = 3-х?
(А) ни одной; (В) 1; (С) 2; (D)3; (Е) бесконечно много.
2.8.	В 1996 году объем добычи на двух шахтах относился как 2:3. В 1997 году объем добычи на первой шахте сократился на 40%, а на второй шахте вырос на 20 %. На сколько процентов уменьшилась суммарная добыча угля на двух шахтах?
(А) 2 %; (В) 4 %; (С) 6 %; (D) 8 %; (Е)20%.
МУХА X А X А I У X А _ К X А Р УХА УХА 0
2.9.	Укажите уравнение прямой, проходящей через точку Л/(-6,-6) и перпендикулярной прямой у=-1 х + 2.
(A)y = 3x + 2;(B)y = |x-4;(C)y = -3x-18;(D)^=3x + 12;(Е)у = -|х-8.
2.10.	Найдите среднее арифметическое корней уравнения
(х-6Х*-8Хх- 10)(х-15) V-77 + 18x-x2 =0.
(А) 9.5; (В) 6; (С) 7; (D)9; (Е) 13.
Вариант 3
устный экзамен, 9 класс
3.1.	Представьте число ~ в виде суммы трех дробей с числителями, равными 1 и разными знаменателями.
3.2.	Какую наибольшую площадь может иметь прямоугольный участок земли, огороженный с трех сторон забором длины 300 м?
3.3.	Ученик гулял 5 часов - сначала он шел по горизонтальной дороге, затем поднялся в гору и, наконец, по старому маршруту возвратился назад в исходный пункт. Скорость гуляющего была 4 км/ч на горизонтальном участке пути, 3 км/ч при подъеме в гору и 6 км/ч при спуске с горы. Найдите пройденное этим учеником расстояние.
3.4.	Даны площадь 5 и периметр Р прямоугольного треугольника. Найдите гипотенузу.
3.5.	Расшифруйте ребус (одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным - разные).
Вариант 4
устный экзамен, 9 класс
4.1.	Периметр квадрата, увеличили на 60%, а затем уменьшили на 60%. Как и во сколько раз изменилась площадь квадрата?
4.2.	а, д, с - три различные цифры. Если сложить все шесть двузначных чисел, которые можно записать с их помощью, не повторяя одну и ту же цифру в числе дважды, то получим 528. Найдите эти цифры.
4.3.	Четыре ученицы: Мария, Нина, Ольга и Полина заняли на олимпиаде первые 4 места. На вопрос, кто из них какое место занял, они ответили:
1)	Ольга - второе, Полина - третье;
2)	Ольга - первое, Нина - второе;
3)	Мария - второе, Полина - четвертое.
В каждом из трех ответов одна часть верна, а другая неверна. Какое место заняла каждая из учениц?
4.4.	В треугольнике АВС проведена высота AD на основание ВС Известно, что АС> АВ. Что больше: DC-DB или АС-АВ?
4.5.	Для каждого действительного числа х через /(х) обозначим минимальное из чисел -х2, х-2, 2-Зх. Найдите наибольшее значение функции /(х).
Вариант 5
устный экзамен, 9 класс
5.1.	Прозвенел звонок с последнего урока, и ученики устремились в столовую. Пошел туда и учитель. Ученики проголодались сильнее и прибежа-
ли в столовую быстрее. В этот момент учитель прошел 80 метров. Но уче-
ников без учителя кормить не стали, и они побежали назад. Когда они
встретились с учителем, он прошел еще 16 метров. Определите расстояние
от класса до столовой?
5.2.	Решите неравенство |х3 - 11> 1 - х.
5.3.	Докажите, что в записи числа 230 есть по крайней мере две одинаковые цифры, не вычисляя его.
5.4.	Докажите, что общая площадь «треугольников-сталактитов» на рисунке равна площади «треугольников-сталагмитов». Точки на сторонах прямоугольника выбираются произвольно.
Вариант 6
устный экзамен, 9 класс
6.1.	Напишите число 7^1-л/?20 , использовав знак квадратного корня лишь один раз (считается, что возведение в степень | равносильно использованию знака корня).
6.2.	Найдите сумму всех трехзначных положительных четных чисел меньших 900, которые делятся на 3 нацело.
6.3.	При каких значениях а система уравнений
f(a-4)x i-y = а, [-Зх + ау = 1 имеет больше одного решения?
6.4.	Отрезок BE разбивает треугольник АВС на два подобных треугольника, причем коэффициент подобия равен >/з . Известно, что длина отрезка
BE равна 1. Найдите периметр треугольника АВС.
6.5.	Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых встречается хотя бы одна тройка?
Вариант 7
устный экзамен, 9 класс
7.1.	Решите уравнение (х— 1 )4 2(х2 -2х) = 22.
7.2.	Найдите последнюю цифру числа I3 +23 + ... + 983 + 993.
7.3.	В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу в отношении 1 :3. В каком отношении делит ее высота, опущенная из прямого угла?
7.4.	Найдите максимальное значение произведения ху, если известно, что х + 2у = 1.
7.5.	Четыре мотоциклиста одновременно стартовали в одном направлении из одного пункта в гонке по кольцевой трассе. В некоторый момент все мотоциклисты поравнялись друг с другом. Известно, что до этого момента первый мотоциклист обогнал второго 1 раз, второй мотоциклист обогнал третьего 3 раза, третий мотоциклист обогнал четвертого 2 раза. Сколько раз до этого момента первый мотоциклист обогнал четвертого?
Вариант 8
устный экзамен, 9 класс
8.1.	На прямой расположено пять точек: А, В, С, D, Е (именно в таком порядке). Известно, что ЛЯ = 200 м, CD~7m, АС=ВЕ. Найдите длину отрезка DE.
8.2.	Найдите наименьшее натуральное число, вычеркиванием цифр из записи которого можно получить запись любого натурального числа от 1 до 32.
8.3.	Мимо наблюдателя по проспекту Маршала Гречко проехали с равными промежутками времени автобус, мотоцикл и бронетранспортер. Мимо другого наблюдателя на той же дороге они проехали с такими же промежутками, но в другом порядке: автобус, бронетранспортер, мотоцикл. Найдите скорость автобуса, если скорость бронетранспортера 60 км/ч, мотоцикла - 30 км/ч.
8.4.	Функция /(х) задана при всех вещественных х и при всех вещественных х удовлетворяет неравенству
ТзТй) - 7з/(х)-/(3х) > 3.
Докажите, что для каждого вещественного х выполняется неравенство /(х)>9.
8.5.	Длины сторон остроугольного треугольника АВС удовлетворяют неравенствам АВ>ВС, АС>ВС. На прямых АС и АВ отмечены соответственно точки В| и Сь отличные от точки А и такие, что ВВХ = ВА и ССХ = СА Пусть Ах - точка, симметричная А относительно прямой ВС. Докажите, что ЛАВС= ЛССХАХ.
Вариант 9
устный экзамен, 9 класс
9.1.	Заштриховать на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют соотношению (х+у + 1 )(-х+ 1)> 0.
9.2.	Цифры от 1 до 9 записаны в порядке возрастания. Расставьте в некоторых промежутках между ними знаки арифметических действий так, чтобы после выполнения этих действий получилось число 100. Найдите возможно большее число решений.
9.3.	На боковых сторонах АВ и CD трапеции ABCD выбраны точки EnF так, чтобы АЕ: BE- 1:2 и DF: CF= 2:1. Найдите отношение площадей четырехугольников AEFD и BCFE, если AD: ВС=2:1.
9.4.	Разложите число 3 125 на 3 целых положительных множителя (некоторые из них могут равняться единице) всеми возможными способами. Способы, получающиеся друг из друга перестановкой сомножителей, считаются одинаковыми.
9.5.	Решите систему уравнений
х2 + у2 + (ху)2 = (ху +1)2,
Х2+/ = (у + 1)2.
Вариант 10
устный экзамен, 9 класс
10.1.	При каких значениях параметра а всякое решение неравенства х2-Зх+2<0 будет одновременно решением неравенства
ах2-(3а+ 1> + 3>0?
10.2.	Имеются весы с двумя чашами и по одной гире в 1 грамм, 3 грамма, 9 грамм, 27 грамм и 81 грамм. Как уравновесить груз в 61 грамм, положенный на чашу весов?
10.3.	Запишите число +7^8 , использовав знак квадратного корня лишь один раз (считается, что возведение в степень ‘Л равносильно использованию знака корня).
10.4.	Решите уравнение
(х + 2)(х+5)(х+ 15)(х+ 18) = -360.
10.5.	Через точку внутри треугольника проведены прямые, параллельные трем сторонам треугольника. Эти прямые разбивают исходный треугольник на три треугольника и три параллелограмма Произведение площадей полученных треугольников равно а. Найдите произведение площадей параллелограммов.
Вариант 11
устный экзамен, 9 класс
11.1.	Найдите наименьшее из натуральных чисел, которые при делении на 2 дают в остатке 1, при делении на 3 дают в остатке 2, при делении на 4 дают в остатке 3, при делении на 5 дают в остатке 4.
11.2.	В геометрической прогрессии аю = 8. Найдите ах- а2 -’ аХ9.
11.3.	На прямой дано п различных точек. Сколько имеется отрезков с концами в этих точках?
11.4.	Решите систему уравнений
|х3+/=7, [лу(х + у) = -2.
11.5.	Упростите выражение
О2+3/ + 2 /2+4/ + 3 /2+5г + 6
(Z-3)2 + 12;
2
11.6.	Вычислите площадь равнобедренного треугольника, если длина высоты, проведенной к боковой стороне, равна 12 см, а длина основания равна 15 см.
Вариант 12 устный экзамен, 9 класс
12.1.	В первый день своих 90-дневных летних каникул Сережа купался, ходил в соседнюю деревню за «Сникерсами» и решал задачи для подготовки к обучению в колмогоровском интернате. От этого он очень устал и в дальнейшем решил купаться через день, ходить за «Сникерсами» каждый 3-й день и решать задачи каждый 5-й день (считая с первого дня). Сколько у него будет «приятных» дней, когда он будет только купаться?
12.2.	Докажите, что уравнение х2-1995х+10я+1 =0 не имеет целых корней ни при каком целом а.
12.3.	В ромбе ABCD угол BAD равен 60°. На сторонах АВ и ВС взяты точки Е nF так, что Z.EDF=(W. Докажите, что треугольник DEF равносторонний.
12.4.	Решите систему уравнений
'2	2	2
X 4- у + Z = Xy + XZ + yZ, xyz = 8.
Вариант 13
устный экзамен, 10 класс
13.1.	На поле брани встретились армии Толстых и Тонких, по 1 000 человек в каждой. Сначала каждый Толстый выстрелил в одного из Тонких. Затем каждый уцелевший Тонкий выстрелил в одного из Толстых. После этого у армий кончились патроны. Докажите, что в живых осталось не менее 1 000 солдат.
13.2.	Пешеход вышел из Я в В, чтобы придти в В через 4 часа. Одновременно из В выехал велосипедист, который проезжает это расстояние за один час. Через 48 минут после их встречи из В в И выехал другой велосипедист, который проезжает этот путь за 2 часа. За сколько минут до своего прибытия в В пешеход встретится со вторым велосипедистом?
13.3.	Борис задумал натуральное число, умножил его на 13, зачеркнул последнюю цифру результата, полученное число умножил на 8, опять зачеркнул последнюю цифру результата и получил число 20. Какое число задумал Борис? Найдите все возможные ответы и докажите, что других ответов нет.
13.4.	В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = АС) на стороне АВ взята точка К, а на стороне АС - точка L так, что AK^CL. Докажите, что KL не меньше половины ВС.
13.5.	Функция /(х) задана при всех вещественных х и при всех вещественных х удовлетворяет неравенству
V2/(x)-V2/(x)-/(2+x)>2.
Докажите, что для каждого вещественного числа х выполняется неравенство Дх)>4.
13.6.	Докажите, что для любых а, р и у справедливо неравенство
sin а • cos Р • sin у + cos а • sin Р • cos у < 1.
Вариант 14
устный экзамен, 10 класс
14.1.	Найдите две последние цифры числа 1! + 2! + 3! + ... + 100!
14.2.	Три землекопа, работая одновременно, выкопали за 1 час работы 7/10 траншеи. Известно, что если бы каждый из них копал траншею само
стоятельно, то ему на всю работу потребовалось бы целое число часов. Известно также, что землекопы работают с разной скоростью. Выясните, за сколько часов выкопают траншею каждый из них?
14.3.	Углы треугольника, вершинами которого служат основания высот треугольника АВС равны 30°, 60°, 90°. Найдите углы треугольника АВС.
14.4.	О - точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD. Известно, что площади треугольников АОВ и COD равны 2 и 8. Докажите, что площадь четырехугольника ABCD не меньше 18.
14.5.	У чисел 1 0002, 10012, 10022, ... отбрасываются последние две цифры. Найдите максимальное число первых членов этой последовательности, образующих арифметическую прогрессию.
Вариант 15
устный экзамен, 10 класс
15.1.	Решите уравнение sin4 х - cos4 х ~ 1.
15.2.	Найдите хотя бы 10 решений уравнения Зи + 5k- 7 в целых числах.
15.3.	На окружности с диаметром АВ взята точка С. Пусть Л/-точка пересечения прямой АС с касательной к окружности, проведенной через точку В. В каком отношении площадь треугольника ВСМ делится касательной к окружности, проведенной через точку С?
15.4.	Решите уравнение
с(х-а)(х-6) [ b(x-a)(x-c) । д(х-6)(х-с) * (с-а)(с-6)	(b-a)(b-c)	(а-Ь)(а-с)
15.5.	Расставьте числа 1, 2, ..., 9 в клетках таблицы 3x3 так, чтобы все суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой из двух диагоналей, были бы равны.
Вариант 16
устный экзамен, 10 класс
16.1.	Для участников экзамена в ФМШ было приготовлено конфет столько же, сколько вместе булочек и стаканов чая. Каждый школьник съел по конфете и выпил по стакану чая, после чего осталось стаканов чая и конфет вместе столько же, сколько булочек. Остался ли еще чай?
16.2.	Пешеход вышел из Л в В, чтобы придти в В через 5 часов. Одновременно из В выехал велосипедист, который проезжает это расстояние за один час. Через 50 минут после их встречи из В в Л выехал другой велосипедист, который проезжает этот путь за 1 час 40 минут. За сколько минут до своего прибытия в В пешеход встретится со вторым велосипедистом?
16.3.	Толя задумал натуральное число, умножил его на 13, зачеркнул последнюю цифру результата, полученное число умножил на 7, опять зачерк
нул последнюю цифру результата и получил число 21. Какое число задумал Толя? Найдите все возможные ответы и докажите, что других ответов нет.
16.4.	В треугольнике АВС через АА ь ВВ\ и СС\ обозначим высоты, а через АА2, ВВ2, и СС2, медианы. Докажите, что длина ломаной А2В]С2А\В2С\А2 равна периметру треугольника АВС.
16.5.	Функция f(x) задана при всех вещественных х и при всех вещественных х удовлетворяет неравенству
VW)-V3/(x)-/(3 + x)>3.
Докажите, что для каждого вещественного х выполняется неравенство /«>9.
Вариант 1 7
устный экзамен, 10 класс
17.1.	Заштриховать на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют соотношению
у = ly-sinx |.
17.2.	Решите систему уравнений
(х + 1)2О>+1)2 = 27ху,
(х2+ 1)(у2 +1) = Юху.
17.3.	На плоскости даны четыре точки А, В, С, D такие, что АВ=\, ВС-2, ZABC=-,CD = Ji, ZBCD=-. Найдите AD.
3	2
17.4.	Найдите знак суммы
• I Л	.1	I Л	,1	( Л	- I	(л
sin — +1 + cos — +1 + sin — + 3 + cos — + 3
<12	)	<12 )	‘ <4	J	<4
17.5.	На каждом ребре четырехгранного угла взято по точке, отстоящей от вершины О на расстояние 1 м. Оказалось, что эти четыре точки образуют квадрат ABCD со стороной 1 м. Какое наименьшее расстояние по поверхности четырехгранного угла должна проползти муха, чтобы попасть из точки пересечения медиан треугольника ОАВ в точку пересечения медиан треугольника OCD ?
Вариант 18
устный экзамен, 10 класс
18.1.	Три целых числа образуют геометрическую прогрессию Если второе число увеличить на 8, то прогрессия сделается арифметической, но если
после этого увеличить последний член на 64, то прогрессия снова сделается геометрической. Найдите эти числа.
18.2.	В треугольнике АВС проведены медианы AD и BE, пересекающиеся в точке F. Известно, что круги, вписанные в треугольники AFE и CFE, равны между собой, сторона ЛВ = 4. Найти ВС
18.3.	Решите уравнение
yjx-3-2yJx-4 + ^x-4jx-4 = 1.
18.4.	Найдите число решений системы
Н+М = |>
18.5.	Имеются весы с двумя чашами и по одной гире в 1 грамм, 3 грамма, 9 грамм, 27 грамм и 81 грамм. Как уравновесить груз в 67 грамм, положенный на чашу весов?
Вариант 19
устный экзамен, 10 класс
19.1.	а, Ь, с- три различные цифры. Если сложить все шесть двузначных чисел, которые можно записать с их помощью, не повторяя одну и ту же цифру в числе дважды, то получим 132. Найдите эти цифры.
19.2.	Четыре ученицы Мария, Нина, Ольга и Полина заняли на олимпиаде первые 4 места. На вопрос, кто из них какое место занял, они ответили
1)	Ольга - второе, Полина - третье,
2)	Ольга - первое, Нина - второе,
3)	Мария - второе, Полина - четвертое.
В каждом из тре£ ответов одна часть верна, а другая неверна. Какое место заняла каждая из учениц?
19.3.	Не пользуясь калькулятором, выясните, что больше: произведение корней уравнения 99х2 + 97х-98 = 0 или произведение корней уравнения 100х2-98х-99 = 0?
19.4.	Пусть АА\ и СС\ высоты остроугольного треугольника АВС. Докажите, что
АСХАВ + САХСВ = АС2.
У	2	2
19.5.	Найти минимум частного — , еслих - 10х+у -2у+ 1 =0.
Вариант 20
устный экзамен, 10 класс
„	х-8 п
20.1.	При каких натуральных числах п уравнение --= — не имеет
л-10
решений?
20.2.	Решите систему уравнений
(х + 1)(^+1) = 12,
(х + у)(ху+1)=35.
20.3.	Сколько существует различных пятизначных чисел, среди цифр которых имеется хотя бы одна пятерка?
20.4.	Отрезок АЕ разбивает треугольник АВС на два подобных треугольника, причем коэффициент подобия равен -j=r. Известно, что длина отрез-V3
ка АЕ равна 1. Найдите площадь треугольника АВС.
20.5.	Известно, что параметр удовлетворяет неравенству |	|<2. При
каком значении а сумма квадратов корней уравнения х2 +- ах + я - 1 = 0 будет наибольшей?
Вариант 21
Избранные задачи устного экзамена
21.1.	Найдите наименьшее простое число, являющееся делителем числа Зи + 513.
21.2.	Возьмем натуральное число, вычтем из него сумму его цифр, затем вычеркнем одну цифру из полученной разности. Какую цифру мы вычеркнули, если сумма оставшихся цифр равна 1973?
21.3.	В темной комнате стоит ящик с 4 парами ботинок двух разных размеров и двух разных фасонов, причем все пары разные. Какое наименьшее количество ботинок нужно взять, чтобы среди них наверняка нашлась какая-нибудь 1 пара. Времени на примерку в темноте нет.
21.4.	Одни часы спешат на 1 минуту в день, а вторые отстают на 1,5 минуты в день. Если эти часы в данный момент показывают правильное время, то через какой промежуток времени они снова покажут правильное время?
21.5.	Разочарованный вкладчик фонда «Нефтьалмазинвест» разорвал акцию на 8 кусков. Не удовлетворившись этим, он разорвал один из кусков еще на 8, и т. д. Могло ли у него получиться 1994 куска?
21.6.	Вдоль прямой дороги стоят десять домов (расстояние между ними произвольное). Где следует вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от него до домов была наименьшей?
21.7.	Найти первые п значащих цифр числа «^0,99...9 (п штук «9»).
21.8.	Доказать, что если a+d+с делится на 6, то и а3 + Ь3 + с3 тоже делится на 6.
21.9.	Можно ли на клетчатой бумаге нарисовать правильный треугольник с вершинами в узлах?
21.10.	В коробке находятся красные, белые и голубые шары. Число голубых шаров не меньше числа белых шаров и не больше одной трети красных шаров. Общее число белых и голубых шаров не меньше 55. Найдите минимально возможное число красных шаров.
21.11.	В теннисном турнире играли п женщин и 2п мужчин, причем каждый участник встретился по одному разу со всеми остальными участниками. Отношение числа партий, выигранных женщинами, к числу партий, выигранных мужчинами, равно у . Найдите минимальное число участников турнира.
21.12.	Решите систему уравнений
ху = z,
* yz = х,
ZX = у.
21.13.	Правильный треугольник CMN вписан в квадрат ABCD так, что вершины Ми N лежат на сторонах AD и АВ соответственно. Найдите площадь треугольника, если площадь квадрата равна 1.
21.14.	Медианы AN и ВР разностороннего треугольника АВС площади 3 л/1~5 равны 3 и 6 соответственно. Найти длину третьей медианы.
21.15.	а) Верно ли, что если все медианы треугольника меньше единицы, то его площадь меньше единицы?
б)	Верно ли, что если все биссектрисы треугольника меньше единицы, то его площадь меньше единицы?
в)	Верно ли, что если все высоты треугольника меньше единицы, то его площадь меньше единицы?
21.16.	Периметр четырехугольника, вписанного в окружность, равен 1 м. Может ли радиус окружности быть больше 100 м?
21.17.	В параллелограмме каждая пара смежных вершин соединена с серединой противоположной стороны. Полученные отрезки ограничивают
выпуклый восьмиугольник. Какую часть его площадь составляет от площади параллелограмма?
Вариант 22 задачи устного экзамена 1998/1999 г.
Для поступающих в 10 класс физико-математического отделения предназначены задачи 1 - 7, 10, 11, 15 - 18, 26, 27. Для поступающих в 11 класс - задачи 8, 9, 12 - 14, 19 - 22, 26, 27. Для поступающих на химическое отделение предназначены задачи 23-27.
22.1.	Для данных натуральных чисел т*п и арифметической прогрессии аь а2, ... известно, что ат = - п и ап = - т. Найти ат+„.
22.2.	Ученик написал пример на умножение, а затем заменил все цифры буквами: одинаковые цифры одинаковыми буквами, а разные * разными. Получилось равенство
ab • cd = effe .
Не ошибся ли ученик?
22.3.	Сколько корней имеет уравнение
111 х-5 |-5 I-2 I = 3 ? I I 1	1 I I
22.4.	Числа х, у, z образуют арифметическую прогрессию. В каком порядке образуют арифметическую прогрессию числа
х2 + 5ху+у2, у2 +5yz + z2, 2х2 + 3xz + 2z2?
22.5.	Дано простое число р> 5. Решить в натуральных числах уравнение х2=у2 + 20р.
22.6.	Десятичная запись числа состоит только из двоек и нулей. Может ли оно быть полным квадратом?
22.7.	Числа 1,2, ..., п, последовательно записанные на доске по кругу, стирают через одного, начиная с числа 2. Какое число останется последним, если п = 40? Что можно сказать об этом числе для произвольного четного л?
22.8.	Сколько касательных можно провести к графику функции у=х* из точки (12; 0)?
22.9.	Числа х2, у2, z2 образуют арифметическую прогрессию. В каком порядке образуют арифметическую прогрессию числа
I. J. 1 х-у z-y X + Z
22.10.	Вычислить sin5x i-cos5x, если sinx + cosx = |.
22.11.	Вычислить tg3x-ctg\, если tgx -ctgx = 2.
л	4л	7л
22.12.	Вычислить cos —cos - cos . 9	9	9
л	Зл	5л
22.13.	Вычислить cos - +cos — +cos — .
7	7	7
22.14.	Доказать, что если а, Ь, с- стороны треугольника, то
а4 + Ь4 + с4 < 2(а2Ь2 + а2 с2 + Ь2 с2).
22.15.	Какую наибольшую высоту может иметь треугольник со сторонами а <5, b <4, с <2?
22.16.	Стороны АВ и CD четырехугольника ABCD параллельны, причем
AB + AD = BC+CD.
Следует ли отсюда, что AD = ВС?
22.17.	Найти площадь выпуклого четырехугольника, если площадь треугольника с вершинами в серединах трех сторон этого четырехугольника равна 15.
22.18.	Найти площадь выпуклого четырехугольника с вершинами в серединах сторон другого четырехугольника, имеющего площадь 40.
22.19.	Через точку пересечения диагоналей трапеции с основаниями 3 и 5 проведена прямая, параллельная основаниям. Найти длину отрезка этой прямой, соединяющего боковые стороны трапеции.
22.20.	На сторонах АВ и ВС треугольника АВС соответственно взяты такие точки М и N, что AM: МВ = 3 : 19 и BN: NC= 13:2. Отрезки AN и СМ пересекаются в точке О. Какой из треугольников имеет большую площадь: АМО или CNO?
22.21.	Найти наибольшую степень двойки, на которую при любом нечетном а делится число ап - а9 - + 1 ?
22.22.	Последняя цифра натурального числа а, кратного 3, равна 8. Доказать, что число а2 — бе? — 216 делится на 1800.
22.23.	Найти отношение {а + 2Ь-с): (2я + 3с), если а\ b: с = 2 :3 : 5.
22.24.	Сумма т первых членов арифметической прогрессии оказалась равной сумме и первых ее членов (и * т). Найти сумму т + п первых членов этой прогрессии.
22.25.	Морская вода содержит 5 % соли (по массе). Сколько чистой воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы содержание соли стало равно 1,5%?
22.26.	По статистике в одном портовом городе 90% населения умеет изъясняться по-английски, 85% - по-немецки, 80% - по-французски и 75 % - по-испански. Какой наибольший и наименьший процент населения при этих данных может изъясняться на всех четырех языках сразу?
22.27.	Три футбольные команды сыграли друг с другом по одинаковому числу матчей. Могло ли так случиться, что команда, набравшая наибольшую сумму очков, выиграла наименьшее количество матчей, и наоборот? (Выигрыш - 2 очка, проигрыш - 0 очков, ничья - 1 очко.)
Вариант 23
заочная работа 1995/96 г, 9 класс
х2 у2 Z2
23.1.	Найдите +	, если известно, что x+y + z^O.
yz XZ ху
23.2.	Угол между диагоналями трапеции равен 120°, одна из ее диагоналей равна 4, а высота равна 2. Найдите длину второй диагонали.
23.3.	Найдите все такие натуральные числа п, что
НОК (1995; п) = (НОД (1995; и))2, где через НОД (а; Ь) и НОК (а; Ь) обозначены соответственно наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел а и Ь.
23.4.	Решите систему уравнений
/ + Р=Х.
23.5.	Может ли сумма 1995 последовательных натуральных чисел быть 1995-й степенью натурального числа?
Вариант 24
заочная работа 1995/96 г., 10 класс
24.1.	Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения
1
если числа х, у, z могут принимать только значения 1, 2, 3, 4 и 5, причем x±z,y±x,y±z.
24.2.	Найдите площадь трапеции, если известно, что ее диагонали перпендикулярны, высота равна 4, а длина одной из диагоналей равна 5.
24.3.	Рассмотрим графики функций у = х2 i-px + q, которые пересекают оси координат в трех различных точках. Докажите, что все окружности, описанные около треугольников с вершинами в этих точках, имеют общую точку.
24.4.	Решите систему уравнений
(x + y + z)3 = w, (х ++w)3 = z, (х + z + w)3 = у, (y + z + w)3 = x.
24.5.	Найдите какое-нибудь натуральное число, сумма цифр квадрата которого равна 1996.
Вариант 25 заочная работа 1996/97 г., 9 класс
25.1.	Решите систему уравнений
х2 + у2 =4z-2, х2 +z2 =4у-2, /+z2=4x-2.
25.2.	В треугольнике АВС точки X и Y - проекции вершины А на биссектрисы углов В и С. Найдите длину стороны ВС, если АС= b,AB = c, XY= L
25.3.	Найдите два двузначных числа, если известно, что сумма остальных двузначных чисел в 50 раз больше одного из этих двух чисел.
25.4.	Найдите все пары натуральных двузначных чисел, удовлетворяющих равенству х2 - ху - 2х + Зу = 11.
25.5.	Найдите углы трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если известно, что АВ = ВС, AC=CD и BC + CD = AD.
Вариант 26
заочная работа 1996/97 г., 10 класс
26.1.	Решите систему уравнений
X2 + у2 + z2 = 5/ + х-3, х2 + у2 +t2 = 5z + y-3, х2 + z2 +/2 = 5у + /-3, у2 +z2 + /2 = 5x + z-3.
26.2.	Точки X и Y - проекции вершины А треугольника АВС на биссектрисы внешних углов при вершинах В и С Найдите сторону АВ, если АТ= /, ВС = а,АС = Ь.
26.3.	Для каких значений а существует b такое, что |7а- 361< 1 и 15a + 1b |< 1.
26.4.	На сторонах ВС и CD прямоугольника ABCD взяты точки Е и F соответственно так, что треугольник AEF - правильный. Найдите площадь треугольника CEF, если SABE = Sb SABF=S2.
26.5.	Числа, а, Ь, с попарно различны и удовлетворяют равенству
1 , 1	1
а + — = 6 + — = с + —.
b с	а
Найдите я262с2.
Вариант 27 заочная работа 1997/98 г., 9 класс
27.1.	При каких натуральных п число л2+17и-2 а)делится на 11; б) делится на 121?
27.2.	В четырехугольнике ABCD стороны ВС и CD равны, а стороны АВ и AD не равны. Диагональ АС, равная 8 см, является биссектрисой угла BAD, равного 45°. Найдите AB + AD.
27.3.	Решите систему уравнений х3 - xyz = 2,
* У3 ~xyz--9, з п z -xyz = 7.
27.4.	Разрежьте равносторонний треугольник на 5 попарно различных равнобедренных треугольников.
27.5.	Нарисуйте множество всех таких точек координатной плоскости, из которых к параболе у = 2х2 можно провести две перпендикулярные друг другу касательные.
Вариант 28
заочная работа 1997/98 г., 10 класс
28.1.	В каких пределах может меняться длина отрезка NM с концами на сторонах АВ и ВС равностороннего треугольника АВС единичной площади при условии, что точкиMi/iN равноудалены от середины стороны АС, а отрезок NM не параллелен АС 7
28.2.	Ученик последовательно возводит в квадрат четырехзначные числа: 1 0002, 10012, 10022,... и стирает у каждого из полученных квадратов три последние цифры. До какого момента у него будет получаться арифметическая прогрессия?
28.3.	См. задачу 27.3.
28.4.	См. задачу 27.4.
28.5.	Докажите, что для произвольных а, р и у выполняется неравенство
sin a sin р sin у + cos а cos Р cos у < 1.
Вариант 29
заочная работа 1998/99 г.
Для поступающих в 10 класс физико-математического отделения предназначены задачи 1-11, 13 - 20, а для поступающих в 11 класс - задачи 1, 3 -5, 7, 8, 10 — 20. Для поступающих на химико-биологическое отделение предназначены задачи 1, 5, 8, 10, 14.
29.1.	Найдите число цифр у произведения чисел 365 989345 678 932 и 34 297 348937.
29.2.	Найдите все трехзначные числа, которые в 13 раз больше суммы своих цифр.
29.3.	Найдите наименьшее шестизначное число, которое делится на 321.
29.4.	Найдите число всех и, 1 < п < 33 000, которые делятся на 3, 5 и 11.
29.5.	На дискотеке собрались 10 юношей и 9 девушек. Сколькими способами они могут составить 5 пар для участия в танце?
29.6.	Упростите а)(1 -х)(1 +х)(1 +х2)(1 +х4)...(И- хГ );
1-х 1-х 1 + X2 1 + х4 1 + х8
29.7.	Вычислите cos (я cos (2л cos (Зя ... cos (1998я (cos 1999л))...)))
29.8.	При каких а и b существует квадратный трехчлен Р(х) такой, что
х4 + Зх3 + Зх2 + ах + b = Р(х)(х2 - Зх + 2)?
29.9.	Найдите число корней уравнения
х =200.
29.10.	Найдите число решений системы уравнений х+2>> + 4z = 6,
* ху + 4yz + 2xz = 22, xyz = 6.
29.11.	Функция f называется четной (нечетной), если для любого х выполнено равенство/(-х)=/(х) (соответственно /(-х) = -/(х)). Какие из следующих функций являются четными, какие - нечетными, а какие - ни теми, ни другими (ответ обоснуйте):
а)х3-2х2 Н;
б)	(х2 - Зх + 2)(х2 + Зх + 2);
в)(х+1),0-(х-1)'°?
29.12.	Пусть р - рациональное число, 0<р< 1. Расположите в порядке возрастания числа р, q=pP, г=рч.
29.13.	Известно, что сумма трех положительных чисел х, у, z равна 1 и x<y<z<2x. Найдите наименьшее значение произведения xyz.
29.14.	На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС площади 1 отмечены соответственно точки С, А', В' так, что 9 • BA' = А'С, 9 СВ'= В'А, 9 • АС = СВ. Найдите площадь треугольника А'В’С.
29.15.	Из произвольной точки М внутри данного острого угла А опущены перпендикуляры Л/Р и MQ на его стороны. Из вершины А опущен перпендикуляр АК на отрезок PQ. Докажите, что ЛРАК = Z.MAQ.
вестно, что угол против одной из них в два раза больше угла против второй.
29.18.	В четырехугольнике A BCD диагонали АС и BD пересекаются в точке О, ВО = 4, DO = 6, А О = 8, ОС = 3, АВ = 6. Найдите AD.
29.19.	Две стороны треугольника единичной площади разделены на три равные части, как показано на рисунке. Найдите площадь выделенного четырехугольника.
29.20.	а) На сколько частей могут делить плоскость 4 прямые? б) На сколько частей делят пространство 4 плоскости (никакие 3 плоскости не имеют общей прямой и все 4 плоскости не проходят через одну точку)?
Ответы, указания и решения
Вариант I
1.1. В. 1.2. А. 1.3. D. 1.4. С. 1.5. Е. 1.6. D. 1.7. Е. 1.8. С.
Вариант 2
(13 Л
2.1. D (110°). 2.2. А (0). 2.3. А I— . 2.4. С (44 800). 2.5. С (20).
2.6. D (3). 2.7. С (2). 2.8. В (4 %). 2.9. D (Зх +-12). 2.10. D (9).
Вариант 3
, . 111
3.1.	Ответ. Например, — + — + —.
н н 26 39 78
3.2.	Пусть стороны забора, примыкающие к стене, имеют длину х, тогда третья сторона будет равна 300-2х. Площадь прямоугольника равна х(300 -2х). Максимальное значение этого квадратного трехчлена достигается при х = 75 и равно 1 125.
Ответ. 11 250 м2.
3.3.	Пусть х - путь, который ученик прошел по равнине, ау- путь, который он прошел в гору (и с горы). Тогда пройденное учеником расстояние будет равно 2х + 2у. Выразив время, затраченное на весь путь, получим равенство
Преобразовав его, получим
—+ —= 5 или 2х + 2у = 20.
2 2
Ответ. 20 км.
3.4.	Пусть а и b - катеты, а с - гипотенуза прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора, с2 = а2 + b2 == (а + b)2-2аЬ, то есть с2 = (Р-с)2-45. о	P2-4S
Выразив из последнего равенства с, окончательно получим с= ——— .
Л Рг - 4S
Ответ. с=-------
2Р
3.5.	Из первого действия деления видно, что У = 1, из второго - что Р = 0. Тогда 11 - А = К и К-А = 1, откуда К = 6, А = 5. Из второго и третьего действий следует, что X четно (Р = 0 и А = 5) и меньше 4 (У = 1), то есть X = 2, а М = X М, поэтому М = 3.
Ответ. МУХА = 3125.
Вариант 4
16	„
а . Потому пло-
4.1.	Пусть а - сторона исходного квадрата. После увеличения периметра 160	8
квадрата на 60 % сторона стала равной а = - а, после следующего
уменьшения периметра на 60 % стала равной | а = f25f щадь квадрата уменьшилась в — раз.
V16 I
nr	625
Ответ. Площадь квадрата уменьшилась в -- раз.
256
4.2.	Двузначные числа, составленные из цифр а, b и с - это числа Юя + 6, 106 + я, 106 + с, 10с + 6, 10с + а, 10а + с. Их сумма равна 22(я + b + с). Единственный набор различных цифр, удовлетворяющих равенству 22(а + Ь + с) = 528 - это набор (7,8,9).
Ответ. 7, 8, 9.
4.3.	Ответ. Ольга - 1, Мария ~ 2, Полина - 3, Нина - 4.
4.4.	Так как АС>АВ, то, по теореме Пифагора, и CD>BD. Поэтому точка D лежит на луче СВ. Докажем, что
AC-AB<DC-DB.
Если точки В и D совпадают или точка D лежит на продолжении отрезка СВ за точку В, то DC-DB-CB, и неравенство АС~АВ<СВ следует из того, что сумма двух сторон треугольника больше третьей (неравенство треугольника). Если же точка D лежит на отрезке СВ, построим точку Е, симметричную точке В относительно прямой AD. Неравенство
AC-AE<DC-DE
следует из доказанного выше. Справедливость неравенства
AC-AB<DC-DB
следует из того, что АВ=АЕ и DB = DE.
Ответ. DC-DB.
4.5.	При решении задачи полезно нарисовать графики функций -х2, х 2, 2-Зх на одной картинке. Заметим, что все эти функции при х=1 равны: -12 = 1 -2 = 2-3 = -1. Кроме того, из определения функции Дх) следует, что Дх)<х-2 иДх)<2-3х. Поэтому при х< 1 будетДх)<2-х<- I, а при х>1 будет Дх)<2-Зх<-1, следовательно, -1 - наибольшее значение функции Дх).
Ответ: Наибольшее значение функции Дх) равно -1.
Вариант 5
5.1.	Пусть / - расстояние от класса до столовой, vj и v2 - скорости учителя и учеников соответственно. Когда ученики добежали до столовой, учи-v. 80
тель прошел 80 метров, поэтому — = — . Пока учитель шел следующие v2 I
16 метров, ученики пробежали (/-80)- 16 метров.
_	Vi 16	_
Следовательно — =---------. Приравнивая полученные выражения для
v2 / - 96
у.
отношения — , находим /=120. v2
Ответ. 120 метров.
5.2.	При х> 1 правая часть неравенства отрицательна, поэтому для этих х
неравенство заведомо выполняется.
Когда х< 1, приходим к неравенству 1 -х3> 1 -х Оно справедливо прихе(-оо,-1)и(0,1).
Ответ. хе(-оо, - 1)и(0,1)и(1, +оо).
5.3.	Так как 1 000 < 1 024 = 210 <2 000, то I О9 <230< 8 - Ю9. Поэтому число 230 состоит из 10 цифр. Если бы они все были различными, то их сумма равнялась бы 45, и число 230 делилось бы на 3, что неверно. Следовательно, в числе 230 хотя бы две цифры совпадают.
или х(х-1)(х+1)<0.
5.4.	У треугольников KBN и LAM площади равны, а, следовательно, равны и площади их неперекрывающихся частей.
Вариант 6
6.1.	741-V720 = 736-2-675+5 = д/(6-э/5)2 = 6-V5 Ответ. 6 ~ V?.
6.2.	Первым четным трехзначным числом, делящимся на 3, является число 102. Нужные нам числа являются членами арифметической прогрессии, у которой первый член а, равен 102, разность равна 6 (число, делящееся и на 2 и на 3, делится на 6), а последний член равен 894. Найдем его номер, используя формулу м-го члена арифметической прогрессии: 894=102 + 6(л-1). Получим, что /7=133. Искомая сумма 5 будет равна 5=аш+Д1 . 133 = 66234.
2
Ответ. 66234.
6.3.	Каждое уравнение данной системы задает на плоскости прямую. Две прямые могут быть параллельными (нет решений), пересекаться (одно решение) или совпадать (бесконечно много решений). Последний случай возможен, если коэффициенты при х, у и свободный член будут пропор-я-4 1 а циональны, то есть---= — = — .
-3 а 1
Эти два равенства выполняются только при а = 1.
Ответ, а = 1.
6.4.	По условию треугольники АВЕ и ВЕС подобны, а значит имеют равные углы. Найдем пары соответствующих углов. В треугольнике ВЕС угол ВЕА внешний, а значит не может равняться ни одному из углов не смежных с ним, так как он равен их сумме. Поэтому Z.BEA = ZBEC=9Q°. Поскольку треугольники АВЕ и ВЕС не равны, то Z.BAE= Z.CBE и Z.ABE = АВСЕ. Отсюда следует, что угол АВС равен половине суммы углов треугольника АВС, то есть является прямым. Далее, пользуясь подобием треугольников АВЕ и ВЕС и тем, что ВЕ= 1, получаем ЛЕ = Тз и EC=-j=
V3
или наоборот. Значит А С = >/з +	, АВ = 7з + 1 = 2, ВС =	+ ~
2
(или AB = --j= ; ВС = 2). Тогда искомый периметр получается равным числу ±^+2+^=2+2^.
3	3
Ответ. 2 + 2>/з .
6.5. Всего количество трехзначных чисел равно 9-102, среди них чисел, в которых нет ни одной тройки, будет 8 • 9 • 9 (на первом месте может быть любая цифра кроме 0 и 3, на втором и третьем местах - любые цифры, кроме 3), тогда искомых чисел будет 9 • 102 - 8 • 92 = 9( 100- 72) = 9 • 28 = 252.
Ответ. 252.
Вариант 7
7.1.	Введем новую переменную / = (х-1)2, тогда х2-2х = /-1 Исходное уравнение приводит к уравнению
? +2,-24 = О, имеющему два корня, / = 4 и / = -6. Уравнение (х-/)2 = 4 имеет решения х = 3 и х = -1, а уравнение (х- 1 )2 = -6 решений не имеет.
Ответ. х = -1, х = 3.
7.2.	13 + 23 + ... + 983 + 993 = (13 + 993) + (23 + 983) + ... + (493 + 513) + 503 =
= 100 (12-99 + 992) + 100 (...)+ ... + 100 (...) + 53-1 000. Последняя цифра этого числа равна 0.
Ответ. 0.
7.3. Пусть в прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С про-
ведены биссектриса CL и высота СН. Будем считать, что AL.LB= =3:1. По теореме о биссектрисе имеем АС.СВ = 3. Из подобия треугольников АНС и СНВ сле-
АН	СН
дуют равенства ---= 3 и ---= 3, отку-
СН	НВ
да получаем АН:ВН=9.
Ответ. 9:1.
7.4.	Так как х= 1 -2у, то ху=у(\ ~2у). Графиком функции f(y)=y(l -2у) является парабола, направленная ветвями вниз. Максимальное значение функции f(y) достигается приу= | и равно |.
Ответ. | .*
7.5.	Если один мотоциклист обогнал другого п раз, значит он проехал на п + 1 круг больше. Пусть четвертый мотоциклист проехал х кругов, тогда третий проехал х + 3 круга, а второй проехал х + ЗН круга. Следовательно первый мотоциклист проехал х + 7 + 2 кругов, т. е. на 9 кругов больше, чем четвертый, а значит обогнал его 8 раз.
Ответ. 8 раз.
Вариант 8
8.1. 193м. 8.2. 123 012456789. 8.3. 40км/ч. 8.4. См. решение задачи 13.5.
Вариант 9
9.1. См. рисунок. 9.2. Например, 1+2 + 3+4 + 5 + + 6 + 7 + 8х9. 9.3. 16:11. 9.4. 5 способов. 9.5. (3;4); (±1;0).
Вариант 10
10.1. (-00 ;'/2]. 10.2. 81 +9+ 1=61 +27 + 3. 10.3. jl + Jw = ^7 + 4у/з =
= 7(2 + >/з)2 =2+ -Л. 10.4.-3;-17; 2>/10-10;-2>/10 - 10. 10.5. 8а.
Вариант 11
11.1.59. 11.2. 819. 11.3.	11.4. (2;-1), (-1;2). 11.5.2. 11.6. 75.
Вариант 12
12.1. 24 дня. 12.2. Указание: воспользоваться теоремой Виета и тем, что корни - четные числа. 12.3. Указание: доказать, что около четырехугольника DEBF можно описать окружность, и воспользоваться равенством вписанных углов, опирающихся на одну дугу. 12.4. (2; 2; 2).
Вариант 13
13.1.	Пусть х - количество уцелевших Тонких, у - количество уцелевших Толстых. Количество убитых Толстых не превосходит числа уцелевших Тонких, то естьх> 1 000-у. Поэтому х+у> 1 000.
13.2.	Так как скорость пешехода в четыре раза меньше скорости первого велосипедиста, то к моменту их встречи он пройдет 1/5 всего пути, то есть 1 л
встреча произойдет через — • 4 часа, то есть через 48 минут.
Так как второй велосипедист выехал через 48 минут, то к этому моменту пешеход прошел еще 1/5 часть пути. Поскольку скорость пешехода в два раза меньше скорости второго велосипедиста, то к моменту их встречи он пройдет 1/3 оставшегося пути (или 1/5 исходного). Оставшиеся 2/5 пути он пройдет за 2 • 48 мин = 96 мин.
Ответ. 96 минут.
13.3.	Существуют лишь два трехзначных числа, которые начинаются цифрами 2, 0 и делятся на 8. Эти числа 200 и 208. Значит до умножения на 8 у Бориса могли быть числа 25 и 26. К числу 25 нельзя дописать слева цифру так, чтобы получилось число, кратное 13. Единственное трехзначное число, которое начинается с цифр 2, 6 и делится на 13 - это число 260. Сле-
260 довательно исходное число равно = 20.
Ответ. 20.
13.4.	Пусть AB = AC = b, ВС=а, Z.BAC = a, AK=CL=x. Применяя теорему косинусов к треугольнику KAL, получаем
KL1 = х2 + (Ь - х)2 - 2x(b - x)cos а.
Коэффициент при х2 в этом квадратном трехчлене равен 2(1+ cos а) и, следовательно, положителен. Заметим, что полученный квадратный трех-
А	член принимает равные значения при х = 0 и х = Ь,
поэтому свое минимальное значение он прини-мает ПРИ х = у • Н° в этом случае отрезок KL яв-/	\ ляется средней линией треугольника АВС и длина
PC
D	с его равна -у . Приведенные рассуждения пока-
зывают, что всегда имеет место неравенство KL > ~ ВС
13.5.	Возводя неравенство
7W) > 2 + V2/(x)-/(2+x)
в квадрат, приходим к неравенству
/(2 +х) > 4 М ^2/(х)-/’(2+х) ,
откуда /(2+х)>4. Поскольку х - произвольное число, то при всех х будет /«>4.
13.6.	См. задачу 27.5.
Вариант 14
14.1.	Так как числа 10!, И!, ... заканчиваются двумя нулями, то достаточно найти две последние цифры числа
1! + 2! + ... + 9!
Вычисления показывают, что это число заканчивается на 13.
Ответ. 13.
14.2.	Так как каждый землекоп выкапывает траншею за целое число часов, то за один час он выкапывает Мп часть траншеи (п натуральное число). Таким образом, для решения задачи нужно найти несовпадающие натуральные числа, удовлетворяющие равенству
1117 — +— + — =— . к т п 10
л	1 1 1 37 7	, ,
Будем считать, что 1 <к<т<п. Поскольку - + - + — = — < — , то я< 4.
4 5 6 60 10
Если к = 2, то т и и удовлетворяют равенству — + — =	В нем
т п 5
5 < т < 10. Перебором получаем единственное решение т = 6, п = 30.
Если к = 3, то — + — = — . Здесь 3<?и<6. Подходит только пара ?и = 5, т п 30
77 = 6.
Ответ. Возможны два варианта: а) 2, 6, 30; б) 3, 5, 6 часов.
14.3.	Рассмотрим сначала случай остроугольного треугольника. Пусть ААЬ ВВХ, СС\ - его высоты и Н- точка их пересечения.
Будем считать, что углы В^А^С^, С^В^А^	в
и Л1С1В1 равны соответственно 90°, 60° и	/ч
30°, углы ВАС, СВА и АСВ - соответст-венно а, Р и у. Из подобия прямоуголь-ных треугольников АВА} и СВС} следует
„ ВА} ВСХ _	/
равенство отношении —L =------L. Поль- /	\ / \ \
АВ СВ	\ L
зуясь этим равенством и первым призна- А&а-____________(fXIA Wc
ком подобия треугольников, заключаем, что подобны треугольники АВС иА}ВСх. Поэтому ЛВА^Сх = а и Z.BC\Ai = у. Аналогичными рассуждениями получаем равенства Z.CA\Bx = a, Z.AB\C\ = ZCBiA j = р и ZACiBi = у.
Представив развернутый угол СА}В как сумму углов СА}ВХ, ВАХС\ и ВХА\С\, получим
2а + 90° = 180°,
откуда а = 45°. Аналогичными вычислениями получаем р = 60° и у = 75°.
Треугольник ЯiBiCi является ортотреугольником для трех тупоугольных треугольников: ABH, ВСН и АСН. Их углы равны
в ЬАВН \ ЛАВН =45°, ЛВАН=3&>, ZAHB = 105°;
в &ВСН-. ЛВСН=30°, ЛСВН= 15°, Z.BHC= 135°;
в &АСН-. Z.CAH= 15°, Z.ACH= 45°, Z.AHO 120°.
Ответ: Возможны четыре варианта: а) 45°, 60°, 75°; б) 15°, 30°, 135°; в) 30°, 45°, 105°; г) 15°, 45°, 120°.
14.4.	Заметим, что
5, _ ЛО ^1 = ^2
S2 ОС" S3 ОС
Следовательно, 5,25,4 = 5153= 16. Пользуясь неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим, получим
S2 + S4>2^S2S4 =8.
Поэтому площадь S трапеции, удовлетворяет неравенству
5 = 5) +1S2 + ^з + 1S4 >2 + 8 + 8 = 18.
14.5.	См. решение задачи 28.2.
Вариант 15
15.1. f + тгЛ; kl 15.2. (5/-l,2-3z), /gZ. 15.3. 1:1. 15.4. х - любое.
4	3	8
9	5	1
2	7	6
Вариант 16
16.1. Нет. 16.2. 150 минут. 16.3. 24. 16.4. Указание: в прямоугольных треугольниках, на которые разбивают высоты данный треугольник звенья ломаной Я2В1С2Л1В2С1Я2, являются медианами, каждая из которых равна половине гипотенузы, то есть стороны треугольника АВС.
16.5. Указание: см. решение задачи 13.5.
Вариант 1 7
17.1. См. рисунок. 17.2. (2;2±%/3 ); (|;2±л/з); (2±д/3;2); (2 + >/3; | ). 17.3. или 3. 17.4. Знак минус. 17.5. 1м.
Вариант 18
18.1. 4; 12; 36. 18.2. ВС = 4. 18.3. [5;8]. 18.4. 4 решения. 18.5. 67 + 27 = = 81+9 + 3+1.
Вариант 19
19.1. 1, 2, 3. 19.2. Мария - 2, Нина - 4, Ольга - 1, Полина - 3.
19.3. У первого уравнения произведение корней больше, чем у второго.
19.4. Указание: выразите отрезки ACt и CAt через сторону АС и прилегающие к ней углы треугольника. 19.5. - — .
Вариант 20
20.1. « = 3, 4, 5, 6, 7, 10. 20.2. (2;3); (3;2);
( 7 + л/зЗ . 7-л/ЗЗ Y [	2	’	2	)'
LJIL  11^2.1.20.3. 94. 20.4. 4- . 20.5. а=- .
I 2	2 J	7з 2
Вариант 21
21.1.	2. 21.2. 7. 21.3. 5. 21.4. Через 1 440 дней. 21.5. Нет. 21.6. Между пятым и шестым домом. 21.7. 0,9...9. 21.8. Докажите, что на 6 делится раз-
ность этих чисел. 21.9. Нет. 21.10. 84. 21.11. 9. 21.12. (0;0;0),
1), (-1; 1; -1), (1; 1; 1). 21.13. 2-Л-3.21.14. 3>/б . 21.15. а) Да; б) да; в) нет. 21.16. Да. 21.17. |.
Вариант 23
1	гт	*2 4..У2 -L^2	x3+y3+z3
23.1.	Подставляя z = -x-y, получим — + — + — =-----------=
yz xz ху xyz
= х3 + / -(х-у)3 ^ху(х + у) = 3xyz_ = 3
xyz	xyz xyz
Ответ 3.
23.2.	Будем считать, что в трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагональ АС имеет длину 4. Обозначим через К точку пересечения диагоналей трапеции. По условию угол ВКС равен 120° или 60°. Если Е - основание перпендикуляра, опущенного на прямую ВС из точки А, то в прямоугольном треугольнике АЕС гипотенуза АС вдвое больше катета АЕ, поэтому Z.ACE = 30°. Тогда zL4CB=30° или Z.ACB= 150°. Последнее равенство противоречит тому, что сумма углов треугольника ВКС равна 180°, поэтому окончательно Z.ACB = 30°.
В случае АВКС= 120° имеем ЛСВК^ZCKB = 30°, поэтому треугольники ВКС и A KD -равнобедренные, откуда заключаем В£) = ЛС = 4.
В случае ZBKC = 60° получаем ХСВК = 90°, значит диагональ BD является высотой трапеции. Поэтому BD = 2.
Ответ. 2; 4.
23.3.	Наименьшее общее кратное НОК (1995, л) чисел 1995 и и делится на 1995, поэтому из условия задачи следует, что на 1995 делится (НОД (1995, и))2. Так как разложение числа 1995 на простые множители 1995 = 3-5-7 -19 не содержит квадратов простых чисел, получаем, что НОД(1995, л) делится на 1995. Следовательно, 1995 является делителем числа и.
Тогда НОК (1995, п) = п и НОД (1995, п) = 1995. Пользуясь данным в задаче равенством НОК(1995,и) = (НОД(1995, и))2 получаем п = 19952.
Ответ. п= 19952.
23.4.	Вычитая из первого уравнения системы второе, получим равенство y3-z3 = z-y или (y~z)(y2+yz + z'2+ 1) = 0. Вторая скобка в последнем равенстве не может обращаться в нуль, так как
/	\2
у2 + yz + z2 + 1 =1 у + у 1 -4-— Z2 4- I > 1.
Поэтому из первых двух уравнений системы следует равенство y = z. Аналогично рассматривая другие пары уравнений, получим x=y = z. После п	1	1
чего находим x=y = z = 0, x=y = z =-7=-, x=y = z =—-j= .
V2	V2
„	л	1	1
Ответ x=y = z = 0; x-y-z^—^r \x-y-z-—-j= .
V2	V2
23.5.	Так как (и+ 1)+ ... +(л+ 1995) = (и +998) • 1995, для решения задачи достаточно взять п = 199519 4-998.
Ответ. Да, возможно.
Вариант 24
24.1. Найдем наибольшее значение дроби. Нужно, чтобы знаменатель х +—Ц- был минимален. Для этого, так как —Ц- < 1, нужно взять х = 1 и у+~	у 4-1
подобратьу и z так, чтобы выражение у + | было максимальным. Это будет приу=5 hz = 2. Итак, наибольшее значение исходного выражения равно
1 1 _11
1 + ^Г~1 + П~13’
Аналогично находится наименьшее значение, которое равно
1	_1_5
1 + -Ц- 5 + 4 29
5 + —	5
4 Ответ. Наибольшее и наименьшее зна-
чения равны — и — соответственно.
F 13	29
24.2.	Пусть данная в задаче трапеция - трапеция ABCD с основаниями AD и ВС, АС =5 и пусть СЕ - ее высота. Проведем через точку С прямую, параллельную диагонали BD до пересечения с прямой AD в точке F. Угол ACF треугольника ACF прямой. Найдя из теоремы Пифагора катет АЕ треугольника АСЕ (АС=5, СЕ = 4, поэтому АЕ=3), воспользуемся подобием
треугольников ACF и АЕС. Получаем	, откуда CF= -у.
СЕ АЕ
Четырехугольник DBCF - параллелограмм, поэтому треугольники DFC и BCD имеют равные площади. Кроме того, равны площади треугольников BCD и ВСА. Следовательно площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ACFи равна ^AC-CF=~.
Ответ, -у.
24.3.	Пусть О - начало системы координат, А(хх; 0) и В(х2, 0) - точки пересечения параболы с осью Ox, C(Q;q) - точка пересечения параболы с осью Оу, D(Q;d) - отличная от С точка пересечения описанной вокруг треугольника АВС окружности с осью Оу.
Рассмотрим сначала случай, когда точка О лежит внутри окружности. Прямоугольные треугольники АОС и DOB подобны (углы С АВ и CDB опираются в окружности на одну дугу), поэтому ОА • ОВ = ОС • OD, то есть |xj| • |х2| = | q| • | d\. Учитывая, что оба произведения XjX? и qd отрицательны, получаем x\x2~qd. Числа Xi их2- корни уравнения xz+px + q = Q, следовательно, по теореме Виета, xix2 = q. Учитывая предыдущее равенство, заключаем, что d= 1, то есть координаты точки D не зависят от р и q.
Случай, когда точка О лежит вне окружности, рассматривается аналогично. Равенство углов САО и ODB в этом случае следует из того, что сум
ма противоположных углов четырехугольника ABDC равна 180°, поэтому каждый из углов С АО и ODB дополняет до 180° угол С АВ.
Ответ. Все окружности проходят через точку D(0; 1).
24.4.	Вычитая из первого уравнения второе, приходим к равенству (z-w)[(z + x+y)2 + (z + x+y)(w+x+_y) + (w+x+y)2 + 1] = 0.
Как было показано в решении задачи 22.4, из этого равенства следует, что z = w. Аналогично, из других пар уравнений получаем x=y=z = w. Пользуясь этим равенством находим три решения: x=y = z = w = 0, х=,=г=„=^их=у=2=и,=__^.
Ответ. x = y=z = w = 0, x=y = z- w = —или x=y = z=: w =-L=-.
Зл/З	Зу/З
24.5.	В качестве такого числа можно взять число п = 10222 - 5. При этом п2 = (10222 - 5)2 = 104444 - 10223 + 25 = 9...90...025.
221 221
Сумма цифр этого числа равна 9 • 221 + 2 + 5 = 1996.
Вариант 25
25.1.	Сложив все три уравнения, получим 2x2 + 2y2 + 2z2 = 4x + 4y + 4z-6 или х2 + у2 + z2 = 2х + 2у + 2z - 3. Выделив полные квадраты, приходим к равенству (х- 1)2 + (у- l)2 + (z- 1)2 = 0.
Равенство нулю суммы квадратов возможно лишь тогда, когда каждое слагаемое равно нулю, то есть при x=\,y=\,z=\. Эти равенства - следст-вие нашей системы. Других ре-л.	шений у нее быть не может.
/'	Проверка показывает, что трой-
/: \	ка (x,y,z) = (l, 1,1) действитель-
/ ‘	XQ	но является решением системы.
/ У, ^ 2 ,	Ответ. x-y=z= 1.
/	25.2. Рассмотрим случай, ко-
(/V -о-----------о--------VrK гда точки X и У лежат внутри
С	L	К	В треугольника ЛВС. Обозначим за
К и L точки пересечения стороны ВС с прямыми АХ и А У соответственно. Прямоугольные треугольники АХС и КХС равны по катету ХС и прилегающему острому углу. Это означает, что СК = АС=Ь. Аналогично, из равенства треугольников AYB и ЬУВ, получаем LB = AB = c. Отрезок ХУ - средняя линия треугольника LAK, поэтому ЬК=2ХУ=21, откуда получаем
CB = CK + BL-LK=b + c-2l.
Аналогично рассматриваются случаи, когда X или У лежат вне треугольника АВС.
Ответ. Ь + с-21.
25.3.	Найдем сумму всех двузначных чисел как сумму арифметической прогрессии с разностью 1, первый член которой равен 10. Получим, что она равна 4905. Если х и у - искомые двузначные числа, то, по условию задачи, 4905-х-у= 50х, то есть 51х = 4905-у.
Учитывая, что 10 <у< 99, получаем, что число 51х попадает в промежуток от 4806 до 4895. В этом промежутке на 51 делится только одно число - это число 4845 = 51-95. Следовательно х = 95, откуда у = 60.
Ответ, х = 95, у = 60.
25.4.	Преобразуя данное уравнение, получаем х2-3х + 3у-л>’ + х-3 = 11 -3, х(х-3)-Ях-3) + (х-3) = 8, (х-3)(х-у+1) = 8.
Так как х - двузначное натуральное число, то х-3>7, кроме того х-3 является делителем 8, поэтому х - 3 = 8 и х -у ь 1 = 1.
Ответ. х = у= 11.
В_________С
25.5.	Из равенства ВС + CD = AD еле-
дует, что на основании AD найдется /	" у Р
точка К такая, что АК=ВС и DK = DC. jh'' /р Четырехугольник АВСК является ром- ------------«А----------а
бом, поэтому углы ВАС, САК, ВСА и А к	D
АСК равны.
Обозначим через аир углы ADC и DCK соответственно. Треугольники ACD и CDK - равнобедренные, поэтому ЛВАС=ЛВСА - Z.CAK= Z.CDA = = ХАСК = а и ZDCK= ZDKC = fi. Записав равенство углов ВСК и CKD и теорему о сумме углов для треугольника CDK, получим
1р = 2а, [2р + а = 180°.
Решив систему, находим а = 36°, р = 72°. Далее вычисляем углы трапеции: Z.BA С = 2а = 72°, ZABC = 180° - 2а = 108°, Z.BCD = 2а + Р = 144°, ZCD^ = a = 36°.
Ответ. 72°, 108°, 144°, 36°.
Вариант 26
26.1.	Задача решается аналогично задаче 24.1. Сложим уравнения системы и разделим полученное равенство на 3
x2+y2 + z2 + /2 = 2x + 2y + 2z + 2z-4.
Последнее равенство можно переписать в виде (х- I)2 + (у- l)2 + (z- 1)2 + ('~ 1)2 = 0.
откуда заключаем, что х= !,y=l,z=l,/=l. Проверка показывает, что четверка (х,у, z, Г) = (1,1,1,1) является решением системы.
Ответ. x-y = z = t~ 1.
26.2.	Задача решается аналогично задаче 24.2.
Ответ. АВ = 21-а -Ь.
26.3.	Перепишем неравенства следующим образом:
При фиксированном значении а эти неравенства задают на координатной оси b отрезки с длинами j и | и с серединами в точках bx = | а, Ь2 = -^а соответственно. Существование Ь, удовлетворяющего неравенствам задачи, равносильно тому, что эти отрезки имеют общую точку, то есть расстояние между серединами отрезков должно быть не больше половины суммы их длин.
Получаем, что а должно удовлетворять неравенству
, тоесть |а|<—. • 3 V 7 )	3 7	32 Ответ. 1 а 1 < — . 32 26.4. Положим AE = EF=AF=a, ZBEA = a. Тогда Z5/f£=90°-a, Z.CEF= 120°-а, Z.CFE= = а-30°. Обозначим через к отношение S2 ВС ‘ Из треугольников АВЕ и CFE находим СЕ = 1-А = a cos (120°-а) = -|cosa + ^	BE	С ^ap.liO-a	 ” 1	X 1	\ i	ха-30 /90-а	\ V / Л sina _ 7з tgg-1
a cos a	cos а
откуда tg а =	. Следовательно V3A: CF _ a cos (а - 30°) _ cos а +1 sin а АВ a cos (90° - a)	sin а Scef=s2 — • — = S2 (1 - к)	= S2 ( 1 - ВС CD 2	2-к \	_ 1 + 7з tga _ 1+Л 2	2-к ’ 5,y^_S2-S,2 S2 J 2 -	252 -
26.5. Равенство а + — = b + - равносильно равенству а- b = - - — , откуда b с	с b
bc(a-b) = b-c. Сделав аналогичные преобразования, получим систему
bc(a -b) = b-c, * ab(c-a) = a-b, ас(Ь -с) = с-а.
Перемножив уравнения системы, приходим к равенству
a2b2c2(a - b)(b - с)(с - а) = (я - b)(b - с)(с- а).
Учитывая, что числа а, b и с различны, получаем равенство a2b2c2 = 1.
Ответ. ab2c2 = 1.
Вариант 27
27.1.	а) Заметим, что
п2+ 17л-2 =и2 + 6л + 9 + 11 w- 11 =(л + 3)2+ 11(л- 1).
Число 11(л- 1) делится на 11 при любом натуральном п. Чтобы вся сумма делилась на 11 необходимо и достаточно, чтобы на 11 делилось (п + З)2, то есть чтобы число л + 3 имело вид п + 3 = 1 \к, где к - произвольное целое число. Учитывая то, что п должно быть натуральным, получаем, что условию задачи удовлетворяют числа вида п = 1 \к-3, где к - произвольное натуральное число.
б)	Если число л2 + 17л-2 делится на 121, то оно делится и на 11. Тогда, согласно пункту а), число п имеет вид п = 11 к - 3. Следовательно
л2 + 17м-2 = (л + 3)2 + 11(л — 1)= 121^ + 121Л-33, откуда видно, что число л2 + 17л-2 не делится на 121 ни при каком натуральном л.
Ответ, а) л=11А-3, где к - нату-	jP
ральное число; б) ни при каком нату-	X.
ральном л.
27.2.	Будем считать, что выполняется / \ неравенство AB>AD. Так как диагональ / г <\ АС является биссектрисой угла А четы- # z 1 £ 1 £ рехугольника, точка Е, симметричная
точке D относительно прямой АС, лежит на отрезке АВ. Заметим, что треугольники ADC и АЕС равны, поэтому AE~AD и CE = CD = CB. Последнее равенство означает, что треугольник ЕСВ является равнобедренным, поэтому его высота CF делит отрезок ЕВ пополам. Получаем
AD + AB = AE + AB = AF-FE + AF+FB = 2AF.
В прямоугольном треугольнике AFC известны диагональ АС и угол CAF, поэтому
л	COS- + 1	Г7=
AB + AD = 2AF=2ACcos- = 2-8d *— = 8 лД/2 4-2 .
8 V 2 у
Ответ. 87^2+2 .
27.3.	Можно считать, что х*0, у*0 и z*0. Разделим правые и левые части уравнений системы на xyz и перенесем в каждом уравнении второе слагаемое в правую часть. Получим систему, равносильную исходной:
— = —+ 1, yz xyz Z__L+ xz xyz
xy xyz
Перемножив уравнения и обозначив через а выражение ——, получим, xyz
что а удовлетворяет равенству
(2я+1)(7я+1)(1-9а)=1.
Преобразования приводят к уравнению
а2(126а + 67) = 0.
Так как -----*0, получаем равенство
xyz
1	67	126	п
---=-----, откуда xyz =------. Подстав-
xyz	126	67
ляя	в	исходную	систему,	получаем
2	9	7
л/67	V67	V67
( 2	9	7
Ответ. (x;y;z) = -7===; -	~т= •
IV67 V67 V67J
27.4.	Один из возможных способов разрезать правильный треугольник требуемым образом изображен на рисунке.
27.5.	Если прямая у = ах + b касается параболы у = 2х2, то система
у = 2х2, ах + by ч- с = 0
имеет единственное решение. Тогда дискриминант а2 + 86 уравнения 2х2 - ах - b = 0 должен равняться нулю.
У параболы у = 2х2 нет вертикальных касательных. Прямая, проходящая через точку (хо,Уо), тангенс угла а наклона которой к оси Ох равен к, может быть задана уравнением у~уь + к(х-х^. Тангенс угла наклона перпендикулярной к ней прямой, проходящей через точку (хо,Уо)> равен
(п	]	1
—+а =-ctga = —,
2	J	к
поэтому она задается уравнением у-уо - —(х-х0). Если обе эти прямые -к
касательные к параболе, то справедливы равенства
Л2+8(уо-Лхо) = О,
-A- + 8fyo+-7-K°-[кк к )
Сложив первое уравнение с уравнением, полученным из второго умножением на Л2, придем к условию (Л2 + 1)( 1 + 8уо) = О или Уо = “| • Таким образом, точки плоскости, из которых можно провести к параболе у = 2х2 перпендикулярные касательные, лежат на прямой Уо = “ | •
Обратные рассуждения показывают, что через любую точку прямой у = можно провести пару прямых, удовлетворяющих условию задачи.
Вариант 28
28.1.	Пусть D - середина АС, Е и F - основания перпендикуляров, опущенных из D на стороны АВ и ВС соответственно. Прямоугольные треугольники EDM и FDN равны, поскольку равны их катеты и гипотенузы. Если бы обе точки Л/ и N лежали по одну сторону от прямой EF, то оказались бы равными углы AMD и CND, и тогда прямые АС и MN оказались бы параллельными, что противоречит условию задачи. Поэтому без ограничения общности можно считать, что точка М лежит на отрезке ЛЕ, а точка N - на отрезке BF
Тогда Z.MDN= ZEDF= \20Q. Следовательно, треугольник MDN - равнобедренный с углом 120° при вершине, поэтому MN= >/з MD.
Так как точка М лежит на отрезке АЕ и не совпдает с Е (в случае М=Е отрезок MN параллелен стороне АС треугольника), длина отрезка MD меняется в пределах ED<MD<AD. Использовав то, что площадь треугольника
1 л/з
АВС равна 1, вычислим длины отрезков AD и ED :AD = и ED = -у-. Использовав равенство MN= Ji MD получим, что длина отрезка MN меняется 4/27	4/-
в пределах -— < MN < V3 .
Ответ. MN е
28.2.	Пусть {а„} - последовательность чисел, описанная в условии задачи:
я„=1000, ^= 1002, л2= 1004, ....
Первые члены этой последовательности совпадают с членами арифметической прогрессии bn = 103 + 2 л. Равенство ап = Ьп равносильно условию
106 + 2000л < (1 000 + п)2 < 106 + 2000л + 1000.
Первое неравенство выполняется всегда, а второе преобразуется к виду и2 < 1000. Поэтому ап = Ьп при л<31 и ап > Ьп при п > 32.
Ответ. Арифметическую прогрессию образуют первые 32 члена последовательности.
28.3.	См. решение задачи 26.3.
28.4.	См. решение задачи 26.4.
28.5.	Заметим, что
sin a sin р sin у + cos а cos Р cos у < | sin а sin р| +1 cos а cos р |.
Последнее выражение равно одному из четырех чисел ± cos(a ± Р) и поэтому не превосходит 1.
Физика
Заочный экзамен
9	класс
9.1.	Пассажир первого вагона прогуливался по перрону. Когда он был у последнего вагона, поезд начал двигаться с ускорением а. Пассажир сразу же побежал к своему вагону. С какой наименьшей скоростью он должен бежать, чтобы успеть сесть в первый вагон? Длина поезда равна I.
Решение. Направим координатную ось х вдоль направления движения. Пусть в начальный момент координата пассажира хпас(0) = 0, тогда координата первого вагона Х|(0) = I.
Движение пассажира описывается уравнением xnac(Z) = vt. Движение пер-2
вого вагона описывается уравнением xi(/) = / +— . В момент встречи *nac=*i и этот момент встречи может быть найден как корень уравнения v/ = /+— или
2
а/2	. Л
----W+ / = 0.
2
Уравнение (1) является квадратным и может иметь два корня, один ко-
рень или вовсе не иметь корней. Изобразим на графике х(/) зависимость хпас(/) и Xj(z).
Здесь парабола изображает график движения поезда, а прямые I, II и III - график движения пассажира с различными скоростями vb v2, v3, при этом
v1<v2<v3.
Прямая I не имеет точек пересечения с параболой, что означает, что пассажир никогда не догонит 1-ый вагон, если будет бежать со скоростью
Прямая III имеет две точки пересечения с параболой в моменты времени fj и/3, что
(1)
означает, что пассажир имеет возможность догнать вагон в момент времени /1, перегнать его и снова встретить в момент времени t3.
Если же пассажир будет бежать со скоростью v2, соответствующей прямой II, его встреча с вагоном произойдет только в момент времени t2, и скорость v2 является минимальной из всех возможных.
Вернемся к уравнению (1). Очевидно, что движению пассажира со ско-
ростью v2, соответствует такое соотношение между коэффициентами уравнения, что его дискриминант равен нулю:
D = v2 - 2а/ = О, откуда получаем vmin = ^2al.
Ответ: vmin = ^2al.
9.2.	Если к пружине длиной Ло^-0,1 м в ненапряженном состоянии подвесить груз, то ее длина станет £ = 0,15 м. Груз подняли так, что пружина оказалась нерастянутой, и отпустили с нулевой начальной скоростью. До какой максимальной длины растянется пружина?
Решение. При движении груза вниз его потенциальная энергия в поле тяжести уменьшается, а потенциальная энергия пружины увеличивается. В самом нижнем положении кинетическая энергия груза равна нулю, так же как и в верхнем положении. Поэтому можно записать, что для крайних положений уменьшение потенциальной энергии в поле тяжести равно увеличению потенциальной энергии пружины:
mglmax=-yt или 2mg = klmax.	(2)
Из условия равновесия груза следует, что kl0 = Tg,	(3)
где /0 = L-Lq.
Сравнивая (2) и (3), получаем, что /тах = 2/0 и £тах = £о + 2(Z - £0) = 2£ -Lo.
Ответ: £тах = 2L - £0 ~ 0,2 м.
9.3.	На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массой М. На доске находится тело массой т, которому сообщают начальную скорость V. Коэффици- - га -	>
ент трения между телом и доской ц. На какое расстояние сместится тело относительно |ми|И ДОСКИ?	*
Решение.	>
I способ - динамический.
Запишем II закон Ньютона для доски и бруска в проекции на ось х:
та=-Г^ MA = F^.
(4)
Когда брусок скользит по доске, между ними действует сила трения скольжения. F^pmg. Под действием этой силы скорость бруска уменьшается, а скорость доски увеличивается:
для бруска: v6 (Z) = V - pgZ;
для доски: Уд (/) = Ц—gt.
М
В момент времени t = Zj их скорости сравняются:
Уб(Л) = Уд(б) = и, относительное движение бруска по доске прекратится, и с этого момента они будут двигаться как одно целое. Время Zi находим из уравнения:
т/	т л
V~\igt} = ц—gZI?
(6)
MV	mV
откуда Zi = —--—-, а скорость и =----.
(A/ + ?w)A/g	ти + Л/
К моменту времени z = t\ доска переместится на 5Д, а брусок - на 56. Проще всего выразить эти величины через соответствующие средние скорости z ч _и ( х _V + и (Vfl)cp 2 ’ (^б)ср 2
Тогда
5.= ”-',, »	(7)
Перемещение бруска относительно доски есть (см. рис.)
Используя (7), получаем
s s A/И2________
отн 2(Л/ + т jpg’
II способ - энергетический.
Система тел доска + брусок является изолированной, так как все внешние воздействия на. нее
*£Отн “ *$д-	(8)
скомпенсированы и внешние силы не совершают работу. Поэтому ее механическая энергия изменяется только в результате того, что силы трения скольжения между телами совершают работу.
Из рисунков видно, что работа силы трения над доской равна , а работа силы трения над бруском = - F^. Полная рабо-
та сил трения Атр - -	- Хд) < 0.
Так как работа сил трения отрицательна, кинетическая энергия системы уменьшается на величину этой работы: Д/С = Лтр. Имеем
(т + М)и2 mV2 _ --------------------
откуда
с _ mV2 - (т + М)и2
*Ь(ПН	“	•
2pwg
Конечную скорость тел и можно найти из закона сохранения импульса:
Окончательно получим:
S - w2 °™ 2(M+m)pg'
Ответ: S0TH
МУ2 2{М + w)pg
9.4.	Расстояние от поверхности воды до центра сферы радиусом R равно Н (Н> R). Величина силы, действующей на нижнюю поверхность сферы со стороны воды, равна
F= (рат + PngH)nR2 + } 7t/?3pBg,
где - атмосферное давление, рв - плотность воды. Найдите величину си
лы, действующей на верхнюю поверхность сферы. Объем шара, ограниченного сферой, равен И=1 nR3.
Решение. Сила Архимеда, действующая на тело, погруженное в жидкость, является результирующей
всех сил давления, действующих со стороны жидкости на поверхность тела. Поскольку сфера по условию (H>R) полностью погружена в воду, сила Архимеда, действующая на сферу, равна
^Арх “ Рв^сфй = f n/?3pBg
С другой стороны сила. Архимеда есть сумма всех сил, действующих на верхнюю и нижнюю поверхности сферы (см. рис.)
F Арх F верх + F нижн ИЛИ FАрХ /*нижн ^верх ? откуда получаем:
/Г.ерх = /:’нИжн-/ГАрх = (Р.т + Р^^)лЛ2+ | n/?3p.g-f n№p.g = = (р.т + p,g#)ntf2 -1 n/fp,g
Ответ. FKpx = (p„ + p,gH)nR2- j ir/?3pBg.
9.5.	К точкам а и b, разность потенциалов между которыми U, подключены последовательно вольтметр с внутренним сопротивлением г и резистор. Показание вольтметра U?= U-10” Найдите сопротивление резистора.
Решение. При последовательном соединении вольтметра и резистора напряжение на участке цепи Uab равно сумме напряжений на вольтметре и резисторе:
U=U„+UR,
откуда напряжение на резисторе UR равно
UR~U~UV=-UO-10 У	(9)
По закону Ома
Uv^lr, Ur = 1R.
Исключая силу тока 7 из этих двух уравнений, получаем
Ur-Uv — -U- 10'”—.	(10)
г	г
Подставив значение UR из (10) в (9), получим R = г(10л - 1).
Ответ: 7? = г(10"- 1).
10	класс
10.1.	В реакции ХУ2 = Х + 2У все вещества являются идеальными газами. Сосуд объемом К=22,4л вначале содержал vj = 1 моль вещества ХУ2. Затем в сосуд ввели катализатор разложения. После достижения равновесия температура смеси равна Г0 = 273К, давление составляет р = 2р0, где р0 -нормальное давление. Найдите количество молей v2 прореагировавшего вещества ХУ2.
Решение. Если прореагировало v2 молей вещества ХУ2, то в сосуде находится (vi-v2) молей вещества ХУ2, v2 молей вещества X и 2v2 молей вещества У, т. е. всего
Vi - v2 + v2 + 2v2 = Vj + 2v2.
Для этого количества, вещества, можно записать уравнение Менделеева-Клапейрона
£К=(у1 + 2у2)Л.	(11)
‘о
До реакции параметры состояния вещества XY2 в сосуде были связаны уравнением
=	(12)
Л
Поскольку объем сосуда К=22,4л, а количество вещества У1=1моль, начальные значения давления и температуры определяются соотношением
£1. = £о
г. То ’
где ро=Ю”5Па - нормальное давление, То= 273 К, что следует из закона Авогадро.
Таким образом, уравнения (11) и (12) можно представить так:
3^1 = (у1 + 2у2)Я.	(13)
'О
Разделив одно уравнение на другое, получим:
2vi = Vi + 2v2,
откуда v2 = ~ V).
Ответ: v2 = у vj = 0,5 моль.
10.2.	Найдите отношение подъемных сил, действующих на равные объемы водорода и гелия при одинаковых условиях.
Решение. Если погруженное тело всплывает в жидкости или газе, то подъемной силой называют разность между силой Архимеда и силой тяжести, действующей на данное тело. Можно записать:
FПОД= (рв~ Рт)#^ где рв - плотность воздуха, рт - плотность тела.
Величину плотности любого газа можно получить из уравнения Менделеева - Клапейрона:
где ц - молярная масса газа.
Таким образом, при одинаковых давлении и температуре отношение подъемной силы, действующей на объем водорода (Н2), к подъемной силе, действующей на такой же объем гелия (Не), будет равно
Нвозд Ня2 М возд “ Н Не
Поскольку цВ03д = 29 г/моль,	= 2 г/моль, цНе = 4 г/моль, то к = 1,08.
Ответ: к = 1,08.
10.3.	В четырех точках замкнутой, нерастяжимой и непроводящей нити на равных расстояниях закреплены четыре одноименных заряда Q, q, Q, q. В положении равновесия нить принимает форму ромба. Найдите угол ромба при вершине Q.
Решение. Обозначим длину стороны ромба а, а угол при вершине 0--2а.
На заряд Q действуют следующие силы: сила отталкивания Fq со стороны противоположного заряда Q, находящегося на расстоянии 2acosa
F =_!_______е1 2_...
Q 4ле0 a2 cos2 a ’
силы отталкивания Fq со стороны зарядов q, находящихся на расстоянии а
f ле 4 4ле0 а2
а также силы натяжения Т со стороны нити, которые одинаковы по величине по всей длине нити. Изобразим на рисунке векторы всех этих сил.
Поскольку заряд Q находится в равновесии, векторная
сумма всех действующих на него сил равна нулю. Запишем в проекциях на направление Q-Q:
Fq + 2/^cosa - 2 Tcosa = 0,
или в явном виде:
1 О 1 2qQ
-------+ - •-^cosa--2Tcosa = 0.	(15) 4ле0 4a cos а 4ле0 a
Аналогичное уравнение получается, если рассмотреть равновесие заряда q. Запишем его без вывода:
1 О2 1 2аО — . -	----- +-- sina-27sina = 0.	(16)
4ле0 4a sin а 4ле0 a“
Разделим теперь уравнение (15) на cos а, а уравнение (16) на sin a (cos a, sin a 7*0) и вычтем одно из другого. В результате получим
„_02 _ я2 cos3 a sin3а ’
откуда tg3a = (^/0)2. Так как угол при вершине Q равен 2a, то искомая величина есть 2a = 2arctg’7(?/S)2 •
Ответ. 2a = 2arctg^; (g/Of •
10.4.	Ребра тетраэдра ABCD представляют собой проводящий контур - каркас, изготовленный из однородной проволоки. Сопротивление ребра /?=10м. К вершинам каркаса А и В приложено постоянное напряжение U= 1 В. Найдите мощность, потребляемую контуром.
Решение. Соединение ребер тетраэдра
можно представить в виде следующей схемы соединения резисторов (см.
рис.).
Когда между А и В приложено напряжение, ток через резистор, включенный между С и D, не течет, так как точки С и D имеют одинаковый потенциал. В этом случае данная схема эквивалентна любой из нижеприве-
денных:
£
Сопротивление участка между точками А и В будет равно Rab = ~ , и по-
U2	U2
требляемая мощность Р =---= 2— = 2 Вт.
&ав	R
U2 Ответ: Р = 2--= 2 Вт.	(\
R	’
10.5.	В схеме на рисунке емкости конденсаторов
C’i = 3C, С2 = 2С, ЭДС батареи е. Найдите количество теплоты, которое вы-
делится в батарее после замыкания ключа.
Решение. замыкания ключа схема может быть пред-
ставлена в следующем виде (см. рис.).
Здесь Со6ш -	•
Энергия, заключенная в конденсаторах равна.
Собш
Ш _ ^общг _ CjC2 2 '	2	2(С,+С2)
После замыкания ключа, заряженным будет только конденсатор С\, и заключенная в нем энергия
С.Е2
^2 = -^-.
Нетрудно видеть, что W2 > W\, так что энергия, заключенная в цепи, увеличилась. Это произошло из-за того, что сторонние силы в источнике совершили работу. Подсчитаем величину этой работы.
^ИСТ “ Е ’ AQ, где - заряд, прошедший через источник.
До замыкания ключа заряд на обкладках конденсатора С\ был
g,= С|С’2 г.
(С|+С2)
После замыкания ключа величина заряда на обкладках стала Q2 = Cie, то есть заряд увеличился на
де=^-е1=с1е И-—-4
С2е (С,+С2)
При этом источник совершил работу
А ~ С‘£2 ист (С1+С2)'
Часть этой работы пошла на увеличение энергии электрического поля, а остальная энергия выделилась в виде тепла
С2£2 ^=^-(^2-^.)=	1	= 0,9Се2(Дж).
2(С| + С 2 )
С2?2
Ответ: И^ТСПЛ =-!---= 0,9Се2 (Дж).
2(С,+С2)
Задачи устного экзамена
9 класс
/ вариант
9.1.1.	Тело двигалось по оси х с постоянным ускорением. В точке Xj = 2 м оно имело проекцию скорости vlx = 2 м/с, а в точке х2 = 3 м - проекцию скорости vix= 3 м/с. Найдите координату точки, из которой тело начало движение.
Решение. Из условия задачи видно, что тело движется в положительном направлении оси х и что проекция ускорения ах > 0.
Тогда из формул кинематики следует:
v,2x =2а(хх -х0), v2x=2a(x2 "хо)>
где х0 - координата точки, в которой скорость была равна нулю.
Поделив уравнения одно на другое, получаем уравнение для нахождения х0:
vlx _ (*1 ~Хр)
Чх (Х2 ~хо)
Решая последнее уравнение, получаем
Xq-----------------1 ,Z М.
(v22x~v1x)
Ответ: xQ~ 1,2 м.
9.1.2.	Однородный шарик, подвешенный на пружине, опускают в воду. При этом растяжение пружины уменьшается вдвое. Определить плотность материала шарика.
Решение. В случае 1 сила упругости равна по величине силе тяжести, действующей на шарик: kxx = mg или
Axi = pKg,
где р - плотность материала шарика.
В случае 2 сила тяжести уравновешивается силой упругости и силой Архимеда кх2 = mg - FApx или
кхг = Р Vg~ Рв Kg = (Р ~ Рв) yg-
(18)
Поскольку X) = 2х2, разделив уравнение (17) на уравнение (18), полунаем
2 = —-— , где рв ~ плотность воды, рв = 1 г/см3.
Р-Ря
Для плотности материала шарика получаем р = 2рв = 2 г/см3.
Ответ: р = 2 г/см3.
9.1.3.	Два тела с массами тх = 3 кг и т2 = 5 кг связаны веревкой. Другая веревка привязана к телу тх и за нее тела поднимают вверх с ускорением я = 3 м/с . Найти силу натяжения веревок.
Решение. На тела действуют силы тяжести и силы натяжения нити, изображенные на рисунке.
Запишем II закон Ньютона для обоих тел:
(mta = 7]-Т2-n^g, [m2a=T2-m2g.
Решая систему, находим:
Г2 = w2(a + g) = 65 Н, r1 = (/ni + w2)(^ + g)=: Ю4Н.
Ответ: Г2 = 65Н, Т^ЮДН.
Г.
Тг > г
> <
Т2
 тгё
9.1.4.	Груз, подвешенный на нити, совершает колебания
в вертикальной плоскости. Найти силу натяжения нити в тот момент, когда а = 30°. Масса груза равна 0,1 кг, скорость равна 2,0 м/с, длина нити 0,4 м. Какое максимальное значение может принимать сила натяжения во время движения груза?
Решение. Нарисуем силы, действующие на груз.
Запишем уравнение II закона Ньютона в проекциях на направление к
центру окружности:
v2 Т т- = т- rag cos ос.
Для силы натяжения нити Тполучаем:
( 2
Т=т — ч-geos a .
< I >
Из полученного выражения видно, что максимальное значение сила натяжения нити имеет при a = 0, г. е. когда груз проходит нижнюю точку тра
ектории.
Тmax
/ s
где v0 - скорость груза в нижней точке.
Значение v0 найдем из закона сохранения энергии:
^=^+wgA, 2	2
где h = l(] -cos ос) - высота, на которую поднимается груз при отклонении нити на угол а.
Тогда получим:
wvo mv2 .	х
-у—=-у-+ ?Hg/(l -COSOC),
2 2
T’max = -у- + 2wg( 1 - cosa) + mg= -j- + 3wg- 2/wgcosa.
Подставляя численные данные, получаем, что
Т(ЗО°) = 1,85 Н, Т(0°) = Ттах = 2,3 Н.
Ответ: Т(ЗО°) = 1,85 Н, Ттах = 2,3 Н.
9.1.5.	На гладком горизонтальном столе лежит	±у
ящик массы Л/= 1 кг. Его пробивает насквозь горизонтально летящая пуля массы т= Юг. Скоро-сти пули до и после пробивания равны соответст
венно 800 м/с и 400 м/с. Какое количество тепла выделилось при этом?
Решение. Тепло при взаимодействии пули с ящиком выделяется, потому что совершают работу силы трения между этими телами. При этом уменьшение кинетической энергии тел равно работе сил трения:
=	(19)
2	2	2\2J
Система тел ящик + пуля является замкнутой, поэтому полный импульс , v	т v
этой системы не меняется, и можно записать: mv = Ми + т — откуда и =-.
2	М 2
Тогда из уравнения (19) находим:
7	2 2	2 /	\
3mv т v mv (- т\ „ ^тепл =---------=---- 3----«2400Дж.
8 ZM 8 k М)
Ответ: ^ппл « 2400 Дж.
// вариант
9.2.1.	За две секунды движения тело прошло путь 20 м, при этом его скорость, не меняя направления, увеличилась в 3 раза по сравнению с первоначальной. Каково было ускорение тела?
Решение. В соответствии с формулами для равноускоренного движения v2 - Vi = ат, V2 - V]2 = 2aS', при этом по условию v2 = 3Vj.
S 20
Решая систему из 3-х уравнений, находим а = — = — = 5 м/с2. т2 4
Ответ: а = — = 5 м/с2. т	. /	\ .
U “N \ |
9.2.2.	Сплошной однородный шар, до половины погру- И J| женный в воду, лежит на дне сосуда и давит на него с силой, ^и1 равной трети действующей на шар силы тяжести. Найдите yfmg плотность шара. Плотность воды 1000 кг/м3.
Решение. На шар действуют три силы: сила тяжести mg, сила давления со стороны дна У и сила Архимеда FA.
Условие равновесия шара: mg-N-Fh = ^.
По условию,	Тогда jwg=FA. Поскольку ?и = ршК, а
FK = | Peg И, получаем: | рц^К= | pBgK, откуда рш = | рв = 750 кг/м3.
Ответ: рш = | рв = 750 кг/м3.	>
9.2.3.	Веревка выдерживает груз массой ?»1 = 50кг, если груз висит неподвижно. На этой веревке поднимают равноускоренно груз массой т2 - 30 кг. На какую предельную высоту можно поднять груз за 2 сек, чтобы веревка не разорвалась?
Решение. Веревка не разрывается, если сила натяжения не превышает значения 7’max = wig.
Груз массой т2 можно поднимать с помощью этой веревки с ускорени-
ем, не превышающим значения лтах = -Т25-— . При	\\x\x
ти2
этом	А
Лтах =	«ИМ.	\ У
2	2^2	/
Ответ: hmax «13м.	tag...
9.2.4.	Мальчик, масса которого равна 50 кг, кача-
ется на качелях, длина подвеса которых 4 м. При прохождении среднего положения он давит на сиденье с силой, равной 950 Н. С какой скоростью качели проходят это положение? С какой силой мальчик давит на сиденье при отклонении качелей на угол а = 30° от вертикали?
Решение. На мальчика действуют две силы: сила тяжести mg и сила давления со стороны сиденья N. По III закону Ньютона сила, с которой маль
чик давит на сиденье, равна по величине тоже N. Для произвольного положения можно записать уравнение II закона Ньютона
ли у2
у - = N-mgcosa.
Отсюда следует, что
N~m
v2
— + gcosa
I 6
(20)
где v - скорость мальчика в тот момент, когда веревка составляет угод а с вертикалью.
При a = 0
OTVo _ x,	I^N0-mg)
—- = No - mg, или v0 J----------— •
/	\ m
Подставляя данные задачи, получим, считая g® 10 м/с2, v0 = 6 м/с.
Чтобы найти силу N при a = 30°, необходимо знать скорость качелей в этом положении. Величину скорости v(a) можно найти, используя закон сохранения механической энергии:
2	2	*
где Л = /(1 - cos а).
Отсюда следует, что v2 = Vq -2g/(l - cos a). Тогда
м mvo п . о	( V0 о о
W =	- 2mg + 3/wgcosa = т I -у - 2g + 3 g cos a
= 725H.
Ответ: v0 = 6m/c, 7V(a = 3O°) = 725 H.
9.2.5.	На тележку с песком массы Л/= 10 кг, движущуюся со скоростью v = 5 м/с, падает с высоты h = 1 м кирпич массой 1 кг.
Сколько тепла при этом выделилось?
Решение. Механическая энергия системы кирпич + тележка до падения кирпича, равна г-Ei-mgh+—- .
После падения кирпича тележка движется со скоростью и и их общая механическая энергия равна
_(М + т)и2
Уменьшение механической энергии системы тележка + кирпич равна количеству выделившегося тепла:
П/ С г -	«..A/v2 (м+т)и2
И/тсги1 = E|-Е2 = mgh + —--- -< - .
Скорость и можно найти из закона сохранения импульса: Mv «(Л/+ т)и, Mv ~
откуда и =------. Тогда
М + т
Жгеш, = mgh +	’ 21,2 Дж (считая g=9,8 м/с2).
2(М + т)
_	, mMv2	„
Ответ. = mgh <-	--- « 21,2 Дж.
2(М + т)
10 класс
I вариант
10.1.1.	При передаче газу количества теплоты 17 кДж он совершает работу, равную 50 кДж. Чему равно изменение внутренней энергии газа? Охладился газ или нагрелся?
Решение. Согласно 1-му началу термодинамики количество теплоты, переданной газу, расходуется на его работу и изменение внутренней энергии:
0 = -^газа + Д^4
Д(/=е-Лгаза = (17-50) = ~-33 кДж.
Из того, что изменение внутренней энергии отрицательно, следует, что температура газа понизилась.
Ответ: Д[7=-33 кДж; газ охладился.
10.1.2.	В некотором процессе давление р и объем V идеального газа неизменной массы связаны соотношением р v2 = const. Во сколько раз изменится температура газа, если его объем увеличить в 4 раза.
Решение. Рассмотрим переход газа из состояния (1) с параметрами рх, Kj, 7\ в состояние (2) с параметрами р2, К2, Т2.
В этом процессе
р/1ш = р2и23/2,	(21)
а из уравнения состояния Менделеева - Клапейрона
т
Л ‘2
Разделив уравнение (21) на уравнение (22), получим равенство т.=.
П	I 1 т2 1
Поскольку ! - - ~ — , — = — .
\ V2 2 7\ 2
Ответ. Температура уменьшится в 2 раза.
10.1.3.	Батарейка для карманного фонаря имеет ЭДС 4 В и внутреннее сопротивление 2 0м. Сколько таких батареек надо соединить последовательно, чтобы питать лампу мощностью 60 Вт, рассчитанную на напряжение 120 В?
Решение. При последовательном соединении /V одинаковых батареек как ЭДС, так и внутреннее сопротивление полученного источника увеличиваются в W раз: £ = We, г = Wr0 •
Из закона Ома
S=/r+f7,
(23)
где U - напряжение на лампе.
Силу тока можно найти, зная мощность Р, потребляемую лампой: I=P/U.
Г р 1
Подставляя в (23) известные величины, получим: Wl е - — r0 I = U, откуда
и 120
N г-£.г	4--^--2 4U'
fc и 'О 4	120 Z
Ответ: 40 батареек.
10.1.4.	На гладком горизонтальном столе лежит ящик маСсы М = 1 кг. Его пробивает насквозь горизонтально летящая пуля массы т = Юг. Скорости пули до и после пробивания равны соответственно 800 м/с и 400 м/с. Какое количество тепла выделилось при этом?
Решение. См. задачу 9.1.5.
10.1.5.	Маляр работает в подвесном кресле. Масса маляра М= 70 кг, масса кресла т = 30 кг. Чтобы подняться вверх, маляр тянет за веревку вертикально вниз, прикладывая силу Т=500Н. С каким ускорением а поднимается маляр? Ускорение свободного падения считать равным g = 10 м/с2.
Решение. Перечислим силы, действующие на маляра:
Mg - сила тяжести, вниз;
N ~ сила давления со стороны кресла, вверх;
f - сила натяжения веревки, вверх (по Ш-ему закону Ньютона эта сила равна по величине силе, с которой маляр тянет веревку).
Уравнение П-го закона Ньютона для маляра имеет вид:
Ma = N+f-Mg.	(24)
Силы, действующие на кресло:
mg - сила тяжести, вниз;
У - сила давления со стороны маляра, вниз;
f - сила натяжения веревки, вверх (сила натяжения веревки везде одинакова, если масса веревки мала по сравнению с массами маляра и кресла).
Уравнение П-го закона Ньютона для кресла:
ma=f-N-mg.	(25)
Складывая уравнения (24) и (25), получаем:
(Л/+ т)а = 2/- (М + m)g, откуда
2/-(A/ + zw)g _0 (М + /и)
Ответ: а = 0, маляр поднимается равномерно.
// вариант
10.2.1.	Какое количество теплоты необходимо сообщить гелию массой т =40 г, содержащемуся в баллоне, для его нагревания на ДГ=20К? Чему равна удельная теплоемкость гелия в этом процессе?
Решение. При постоянном объеме все переданное газу количество теплоты идет на увеличение его внутренней энергии:
2 = ДС/= —ЛАТ.
2М
Поскольку для Не значение М= 4 • 10“3 кг/моль, получаем
£>=| - у- 8,3 - 20 « 2500 Дж = 2,5 кДж.
Удельную теплоемкость гелия в этом процессе можно найти как
С= —®3,1 • 103 Дж/кг-К тиДГ
Ответ: £>«2,5 кДж; С«3,1 • 103Дж/кг-К.
10.2.2.	При некоторых условиях опыта давление р и температура Т идеального газа постоянной массы связаны между собой соотношением р 4т = const. Во сколько раз изменится объем газа при увеличении его давления в 2 раза?
Решение. Пусть газ из состояния (1) с параметрами Ть Kj переходит в состояние (2) с параметрами р2, Т2, К2. В данном процессе
Г1 = ( Р1 ^2	\ Р\ )
(26)
Из уравнения Менделеева - Клапейрона
=	(27)
1\ Тг
Для получения зависимости между давлением и объемом необходимо исключить температуру из этих двух уравнений. Из уравнения (26) Тх (р7У .	Тх р,У,
— = — , а из Уравнения (27) —- =	.
^2	\ Р\ )	^2
( п ] у
Приравнивая правые части полученных равенств, получаем — = — ,
I Р J	И
т. е. при увеличении давления в 2 раза, объем уменьшится в 8 раз.
Ответ: И2/И=1/8.
10.2.3.	Сколько источников с ЭДС 2 В и внут- ?____11 {2ZZZJ—I
ренним сопротивлением 0,2 Ом нужно соединить	* гобщ
последовательно, чтобы получить во внешней	v
цепи ток 5 А при разности потенциалов на полюсах батареи 110 В?	----1 I-------
Решение. Разность потенциалов (фь~фа) на
полюсах батареи есть напряжение во внешней цепи. Согласно закону Ома,
^обш “ ^*обш + (фь ~~ фа)-	(28)
При последовательном соединении источников
^общ Afe, обш А/У* •	(29)
Подставляя (29) в (28), получим N(e- /г) = (фь-фа), откуда
(е-/г)
Ответ: N= 110.
10.2.4.	На тележку с песком массы М= 10 кг, движущуюся со скоростью v = 5m/c падает с высоты /1=1м кирпич массой 1кг. Сколько тепла при этом выделилось?
Решение. См. задачу 9.2.5.
10.2.5.	Маляр работает в подвесном кресле. Масса маляра 72 кг, кресла 12 кг. Чтобы подняться вверх, маляр тянет за веревку вертикально вниз так, что его сила давления на кресло становится равной 400 Н. Определить полную нагрузку на ось блока. Блок считать невесомым.
Решение. Рассмотрим силы, действующие на тела системы. На маляра
действуют: ,
-	сила тяжести Mg - вниз,
-	сила натяжения веревки Т - вверх (эта сила равна по величине силе, с которой маляр тянет веревку);
-	сила давления кресла N- вверх.
На кресло действуют:
-	сила тяжести mg - вниз;
-	сила натяжения веревки Т - вверх;
-	сила давления маляра N - вниз.
На ось блока действует веревка с силой 2Т.
Запишем II закон Ньютона для маляра и кресла, прини
мая во внимание, что маляр вместе с креслом поднимается вверх:
Ma = T + N-Mg, ma-T - N - mg.
Решая систему, находим силу натяжения Т:
т- +
(M-m)
Таким образом, давление на ось блока равно 2Т= 1280 Н.
Примечание. На первый взгляд выражение (♦) не имеет смысла, т. к. при М=т знаменатель дроби равен нулю и сила натяжения должна неограниченно возрастать. Однако, это не так. Решая систему относительно N, можно получить:
(A/-M)(a + g).
Поэтому для силы натяжения Т имеем
г- <«_*	.1 (M+mXo+
2{М -ni) 2
и при М=т получим Т=М(а + g).
Ответ: 1280Н.
Химия
В 1999 г. химическому классу СУНЦ МГУ исполнилось 10 лет. Впервые десятиклассники-химики приступили к занятиям 13 ноября 1989 г. В настоящее время выпускники первого химического класса работают в ведущих научных центрах России, США, других государств, выпускники следующих лет учатся на Химическом факультете МГУ, Высшем колледже наук о материалах, Высшем химическом колледже РАН, других вузах.
В химическом классе предусмотрено 8 часов химии в неделю: 2 часа -лекции, 2 часа - семинары, 4 часа - практикум, который выполняется в студенческих практикумах Химического факультета МГУ (аналитическая, органическая, неорганическая химия). Учебную программу осуществляет кафедра химии под руководством доктора химических наук, профессора Ю. М. Коренева: кандидаты химических наук А. М. Галин, В. В. Загорский, Е. А. Менделеева, аспирантка Н. И. Морозова.
Набор школьников осуществляется в 10-й класс. Девятиклассники сдают в апреле (мае) экзамены по Математике и химии.
Ниже приведены типичные комплекты заданий по химии за предыдущие годы.
Весна - 1996
Заочный тур
1. В четыре стакана, содержащие по 100 мл дистиллированной воды каждый, поместили: в стакан № 1 - 1,0г каустической соды; в стакан №2 -1,0 г кальцинированной соды; в стакан №3 - 1,0 г питьевой соды; в стакан № 4 - 1,0 г кристаллической соды.
1)	Напишите химические формулы всех “сод”.
2)	Определите массовую долю растворенного вещества (%) в каждом из стаканов.
3)	Все стаканы с растворами выдержали при 20°С в атмосфере углекислого газа до окончания реакций. Определите массовые доли растворенного вещества (%) в каждом из стаканов после выдерживания в углекислом газе. Напишите уравнения реакций.
2. Смесь водорода с хлором объемом 2,240 л (н.у.) взорвали. Продукты взрыва после пропускания через 10мл воды (н.у.) имеют объем 1,120л.
1) Определите содержание хлора (в % по объему) в исходной смеси.
2) Сколько грамм металлического лития может прореагировать с газообразными продуктами взрыва, оставшимися после пропускания через воду? Какова масса полученного при этом соединения лития? Запишите уравнения реакций.
Очный тур - 1
Ответы записывайте по схеме:
№ вопроса - №№ выбранных Вами ответов на данный вопрос
1.	Сколько простых веществ приведено в следующем списке: кислород, водород, вода, сталь, чугун, железо, медь, латунь, бронза, озон, графит, малахит, алмаз, кирпич.
1)14;	2)7;	3)6;	4)5;	5)8.
2.	Вода обратимо диссоциирует по уравнению:
2 Н2О <—> Н3О++ ОН
Какова валентность кислорода в ионе оксония Н3О+? 1)2;	2)-2;	3)3;	4)1;	5)+ 2.
3.	В электронике используется титанат бария BaTiO3. Какова степень окисления титана в этом соединении?
1)-2;	2)+2;	3)-4;	4)4-4;	5)+6.
4.	Растворимость бромида калия при 0°С составляет 52,8 г соли на 100 г воды. Какова массовая доля бромида калия в насыщенном при 0°С растворе?
1)52,8%;	2)65,4%;	3)34,6%;	4)5,28%;	5)6,54%.
5.	В 1 л воды при нормальных условиях растворили 44,8 л хлороводорода. Какова будет массовая доля вещества в растворе?
1)6,8%;	2)97,8%;	3)2,2%;	4)22,4%;	5)44,8%
6.	В избытке воды массой В растворили А г натрия. Какова будет массовая доля С вещества в образовавшемся растворе?
1)С = —;	2)C = -^i;	3)С = -^^-;
А + В	А + В	/1 +0,96 В
4)С =	..;	5)С = -А^£_.
А + 0,96В	0,96/1 + В
7.	Этиловый спирт горит в соответствии с уравнением:
С2Н5ОН + (X) О2 = (Y) СО2 + (Z) Н2О
Какова сумма коэффициентов X + Y + Z ?
1)5;	2)6;	3)7;	4)8;	5)9.
8.	Какие пары веществ можно использовать для получения водорода в пробирке с пробкой и газоотводной трубкой?
1)цинк и угольная кислота; 2)железо и соляная кислота;
3)мрамор и соляная кислота; 4)медь и серная кислота;
5)кальций и вода.
9.	При пропускании оксида углерода (IV) (углекислого газа) в известковую воду может получиться:
1)Са(ОН)2; 2)СаО; 3)СаСО3; 4)Са(НСО3)2; 5)СаС2.
10. Сколько веществ из приведенного списка могут проявлять свойства кислоты: HNaO, Н2СаО2, Н3ВО3, Н3А1О3, Н3РО4, H2SO4, НС1О.
1) все;	2)6;	3)5;	4)4;	5)3.
		Ответы	
1.-2);	2.-3);	3. - 4);	4. - 3);	5.-1);
6.-5);	7. - 4);	8. - 2), 5);	9. - 3), 4);	10.-3).
Очный тур - 2
Ответы на вопросы 1 ~ 6 записывайте по схеме:
№ вопроса ~ №№ выбранных Вами ответов на данный вопрос
1.	Сколько индивидуальных сложных веществ приведено в следующем списке: кислород, азот, углекислый газ, вода, сталь, чугун, железо, медь, латунь, бронза, медный купорос, графит, алмаз, угарный газ.
1)14;	2)7;	3)6;	4)5;	5)4.
2.	Вода обратимо диссоциирует по уравнению:
2 Н2О <—» Н3О+ + ОН" Какова валентность кислорода в ионе оксония Н3О+?
1)2;	2)-2;	3)3;	4)1;	5)+2.
3.	Растворимость бромида калия при 0°С составляет 52,8 г соли на 100 г воды. Какова массовая доля бромида калия в насыщенном при 0°С растворе?
1)52,8%;	2)65,4%;	3)34,6%;	4)5,28%;	5)6,54%.
4.	В 1 л воды при нормальных условиях растворили 44,8 л хлороводорода. Какова будет массовая доля вещества в растворе?
1)6,8%;	2)97,8%;	3)2,2%;	4)22,4%;	5)44,8%
5.	Какие пары веществ можно использовать для получения водорода в пробирке с пробкой и газоотводной трубкой?
1) цинк и угольная кислота;	2) железо и соляная кислота;
3) мрамор и соляная кислота;	4) медь и серная кислота;
5) кальций и вода.
6. В избытке воды массой В растворили А г натрия. Какова будет массовая доля С вещества в образовавшемся растворе?
1)С = -±-;	2)С = ^;	=
А + В	А + В	A + Q,96B
4) С |’-7-4-- .;	5)С—
.4+ 0,94 В	0.96Л + В
7. Даны вещества: оксид кальция, металлическая медь, оксид серы (IV), металлический цинк, гидроксид натрия, серная кислота (90%), гидроксид меди (II), оксид меди (II).
С какими из этих веществ и при каких условиях может взаимодействовать бромистый водород? Напишите уравнения возможных реакций. Подчеркните реакции, соответствующие сокращенному ионному уравнению:
Н* + ОН" = Н2О
Ответы. 1. - 5);	2. - 3);	3. - 3);	4.-1);	5. - 2), 5);	6. - 5);
7. CaO, Zn, NaOH, H2SO4 (90 %), Cu(OH)2, CuO.
Весна 1997
Заочный тур
1. Колба, заполненная хлороводородом при н. у., соединена трубкой с большой банкой с водой. Благодаря высокой растворимости хлороводорода вода полностью заняла колбу.
Какова концентрация получившейся в колбе соляной кислоты
а)	в моль/л;
б)	в % по массе?
Изменением плотности раствора и объемом присоединенной к колбе трубки можно пренебречь.
Точно такую же колбу, заполненную при н.у. аммиаком, аналогичным образом наполнили водой. Затем содержимое обеих колб (в которых сначала были газообразный хлороводород и аммиак) слили вместе. Напишите уравнение реакции.
Какова концентрация вещества в полученном растворе в моль/л?
2. При взаимодействии высшего оксида азота с газообразным соединением теллура и водорода образуются азот и два новых высших оксида. Напишите уравнение реакции. Какое соединение может получиться при взаимодействии между собой полученных оксидов?
Решения
1. Концентрация полученной соляной кислоты - 1 моль в 22,4 л воды или 1/22,4 моль в 1 л воды.
Ответ: а) 1/22,4 = 0,0446 моль/л; б) 36,45/22,4 = 1,627 г НС1 в 1 кг раствора или 0,1627 % по массе.
Концентрация аммиака в получившемся растворе нашатырного спирта в моль/л точно такая же.
При сливании содержимого двух колб получается хлористый аммоний:
NH3 + HC1->NH4C1
Молярная концентрация этой соли в 2 раза меньше, так как при сливании содержимого колб объем увеличился в 2 раза.
Ответ: 0,0223 моль/л.
2. Реакции:
4N2O5 + 5 Н2Те = 5 ТеО3 + 5 Н2О + 4N2
ТеО3 + Н2О = Н2ТеО4 (по аналогии с серой)
Очный тур
1.	В приведенных ниже уравнениях реакций проставлены все необходимые коэффициенты. Перепишите уравнения, вставляя вместо пропусков подходящие вещества (1 пропуск ... - 1 вещество):
а)	Си(ОН)2 + ... = CuSO4 + Н2О
б)	2 НС1 + ... = 2 NH4C1 + СО2 + Н2О
в)	... + 3О2 = 2СО2 + ЗН2О
г)	... + 2 С = 2СО2 + КС1
д)	... + 4H2SO4(кони)= CuSO4 + 4 SO2 + 4 Н2О
2.	В избытке воды массой В растворили А г оксида серы (VI). Какова будет массовая доля С (%) вещества, содержащегося в полученном растворе? Ответ выразите в виде расчетной формулы.
3.	Колба, заполненная хлороводородом при н.у., соединена трубкой с большой банкой с водой. Благодаря высокой растворимости хлороводорода вода полностью заняла колбу.
Какова концентрация получившейся в колбе соляной кислоты
а)	в моль/л;
б)	в % по массе?
Изменением плотности раствора и объемом присоединенной к колбе трубки можно пренебречь.
Решения
1.	Неизвестные вещества можно вычислить по уравнениям, почти не зная химии:
a)	Cu(OH)2 + SO3 = CuSO4 + Н2О
б)	2 НС1 + (NH4)2CO3 = 2 NHtCl + СО2 + Н2О
в)	С2Н6О + 3 О2 = 2 СО2 + 3 Н2О
г)	КС104 + 2 С = 2СО2 + КС1
д)	CuS + 4 H2SO4 (кони) = CuSO4 ь 4 SO2 + 4 Н2О
Ой А
2.	SO3-> H2SO4 ; С =-----х 100%
80	98	80 А+В
3.	Концентрация полученной соляной кислоты - 1 моль в 22,4 л воды или 1
---моль в 1 л воды.
22,4
Ответ: а) —-—= 0,0446 моль/л; б) 22,4
или 0,1627% по массе.
36,45	, 1ТГЛ1 .
= 1,627 г НС1 в 1 кг раствора
Весна - 1998
Выездной тур
1. Укажите условия проведения и напишите уравнения следующих реакций:
а) Р4О10 + Н2О ->	б) СаО + N2O5 -> в) К + О2 -»
г) С12 + NaOH ->	д) Na2O + Н2О	е) Mg N2 ->
ж) Си + H2SO4 (кони.)
Если в зависимости от условий из одних и тех же исходных веществ могут получиться разные продукты, укажите их и объясните, в чем разница.
2. 2,240 л смеси водорода с хлором (н. у.) взорвали. Продукты взрыва после пропускания через 20 мл воды и приведения к нормальным условиям имеют объем 0,56 л. Определите содержание хлора (в % по объему) в исходной смеси. Приведите расчеты и уравнение реакции.
Решения
1.	а) Р4О10 + 6 Н2О 4 Н3РО4 (если воды избыток)
Р4О10 + 2 Н2О 4 НРО3 (если воды мало)
б)	СаО + N2O5 -> Ca(NO3)2
в)	К + О2 -> КО2 или К2О4 (при горении калия)
г)	С12 + 2 NaOH -» NaClO + NaCl + Н2О (при 0° - 20°С)
С12 + 2 NaOH -> NaClO3 + 5 NaCl + 3 Н2О (при нагревании)
д)	Na2O + Н2О -> 2 NaOH
е)	3 Mg + N2 -> Mg3N2 (горение магния в азоте)
ж)	Си + 2 H2SO4 (конц.) -> CuSO4 + SO2 2 Н2О (при нагревании)
2.	Продукт реакции - хлороводород НС1 - очень хорошо растворим в воде и полностью поглотится в 20 мл воды.
Следовательно, оставшийся газ (0,56 л) - либо водород, либо хлор (т. е. два решения).
В смеси (2,240 л) содержалось 2,240-0,56 = 1,68 л стехиометрической, т. е. полностью реагирующей (1:1) смеси хлора и водорода.
Если оставшиеся 0,56 л - водород, то его было в исходной смеси
+ 0,56 = 1,40 л или = 0,625 или 62,5 %
2	2,240
Если оставшиеся 0,56 л - хлор, то его было в исходной смеси
+ 0,56 = 1,40 л или 	= 0,625 или 62,5 %
2	2,240
Очный тур
1. В приведенных ниже уравнениях реакций проставлены все необходимые коэффициенты. Перепишите уравнения, вставляя вместо пропусков подходящие вещества (1 пропуск ... - 1 вещество):
a)	AgNO3 + NaCl = ... + NaNO3
б)	2 НС1 + Na2SO3 = 2 NaCl + ... + ...
в)	... + 3 O2 = 2 CO2 + 3 H2O
г)	4 KI + ... + 4 HC1 = 4 KC1 + 2... + 2 H2O
2. Какое вещество А и при каких условиях могло быть использовано в реакции, выражаемой следующей схемой (указаны все исходные вещества и продукты без коэффициентов):
А + H2SO4 —> CuSO4 + SO2 + Н2О
Приведите возможные уравнения реакций (с коэффициентами).
3. Колба, заполненная хлороводородом при н. у., соединена трубкой с большой банкой с водой. Благодаря высокой растворимости хлороводорода вода полностью заняла колбу.
Какова концентрация получившейся в колбе соляной кислоты
а)	в моль/л;
б)	в % по массе?
Изменением плотности раствора и объемом присоединенной к колбе трубки можно пренебречь.
Решения
1. Неизвестные вещества можно вычислить по уравнениям, почти не зная химии:
a)	AgNO3 + NaCl = AgCl + NaNO3
6)	2 HC14- Na2SO3 = 2 NaCl + SO2 + H2O в) C2H6O + 3 02 = 2 C02 + 3 H20 r) 4 KI + 02 + 4 HC1 - 4 KC1 + 212 + 2 H20
2. Все реакции проводятся с концентрированной серной кислотой при нагревании. Возможные варианты решений:
Си + 2 H2SO4 (кони)--* CuSO4 + SO2 + 2 Н2О
t°
Си2О + 3 H2SO4 (кони)-> 2 CuSO4 + SO2 + 3 Н2О
/°
CuS + 4 H2SO4 (конц)-> CuSO4 + 4 SO2 + 4 H2O
/°
Cu2S + 6 H2SO4(kohu)--> 2 CuSO4 + 5 SO2 +• 6 H2O
3. Концентрация полученной соляной кислоты - 1 моль в 22,4 л воды или 1
----моль в 1 л воды.
22,4
Ответ: а) = 0,0446 моль/л, б) = 1,627 г НС1 в 1 кг раствора или 0,1627 % по массе.
Лето - 1998
Летняя школа “ХИМЕРА”
1.	Укажите возможное недостающее вещество в схеме реакции:
Pb + HNO3 -> Pb(NO3)2 + ... + Н2О
1)NO2;	2)Н2 ;	3)N2;	4)О2 ;	5) NO.
2.	Укажите возможное недостающее вещество в схеме реакции:
... + СО2 —> К2СО3 + О2
1)К2О;	2)К2О2;	3)К2О4; 4)КНСО3; 5) К
3.	В избытке воды массой В растворили А г оксида натрия. Какова будет массовая доля С вещества в образовавшемся растворе?
|)С = —
А+В	А+В	А+В
4)С=	;	5)С=-А^„,
Л + 0,96В	0,96 А + В
4.	Даны вещества: оксид магния, металлическая ртуть, оксид серы (IV), металлический алюминий, гидроксид бария, серная кислота (90%), гидроксид железа (II), оксид меди (II).
С какими из этих веществ и при каких условиях может взаимодействовать бромистый водород? Напишите уравнения возможных реакций. Подчеркните реакции, соответствующие сокращенному ионному уравнению:
Н+ + ОН" = Н2О
5.	Минерал анортит содержит 14,5% кальция, 19,4% алюминия, а остальное - кремний и кислород. Выведите простейшую формулу анортита.
Ответы
1.1), 5). 2.2), 3). 3.2). 4. MgO, Al, Ва(ОН)2, H2SO4 (90 %), Fe(OH)2, CuO. 5. CaAl2Si2O8.
Весна - 1999
Заочный тур
1. Какое вещество А и при каких условиях могло быть использовано в реакции, выражаемой следующей схемой (указаны все исходные вещества и продукты без коэффициентов):
А + H2SO4 —> CuSO4 + SO2 + Н2О
Приведите возможные уравнения реакций (с коэффициентами).
2. Сплав магния и цинка массой 7,7 г при сгорании в избытке кислорода дает 10,1 г оксидов. Определите состав сплава. Как изменится условие и решение этой задачи, если кислород заменить на азот?
Решения
1. См. стр. ... (решение задачи 2 Очного тура - Весна 1998).
2. Например, X моль Mg (24) и У моль Zn (65)
(24%+ 657 = 7,7,
[40^ + 817 = 10,1.
Решая, получим X = 0,05 и У = 0,1.
В 7,7 г сплава содержится 6,5 г или 84,4 % Zn и 1,2 г или 15,6 % Mg. Если сжигание вести в азоте, прореагирует только Mg. Решение будет более простым.
Выездной тур
1.	Из предлагаемого перечня веществ выберите три группы оксидов: а) основные; б) кислотные; в) амфотерные.
Перечень: НС1, CuO, NaOH, Р2О5, Na2O, KNO3, СО2, Ва(ОН)2, H2SO4, Fe(NO3)3, ZnO, HF, H2SiO3, A12O3.
2.	В ряду элементов:
Pb —> Sn -> Ge -> Si C металлические свойства а) не изменяются; б) усиливаются; в) ослабевают; г) изменяются периодически.
3.	К раствору серной кислоты прилили раствор хлорида стронция. Напишите уравнение реакции, составьте полное и сокращенное ионное уравнения.
4.	В 50 г 9,8 %-го раствора серной кислоты поместили избыток цинка. Какое количество водорода выделилось в результате реакции?
а) 0,2 г; б) 0,05 моль; в) 0,5 г; г) 0,2 моль.
5.	Укажите возможный недостающий продукт в схеме реакции:
NaOH + С12 -> ... + NaCl + Н2О
1)НС1; 2)NaClO; 3)С12О7; 4)NaH; 5)NaC103.
6.	Укажите возможное недостающее вещество в схеме реакции:
Hg + HNO3 -> Hg(NOx)2 ь ... + Н2О
1)NO2;	2)Н2;	3)N2O5;	4)О2;	5) NO.
7.	Какие пары веществ можно использовать для получения водорода в пробирке с пробкой и газоотводной трубкой?
1) цинк и угольная кислота;	2) железо и соляная кислота;
3) мел и соляная кислота;	4) медь и серная кислота;
5) кальций и вода.
Ответы
1.	a) CuO, Na2O; б) Р2О5, СО2;	в) ZnO, А12О3.
2.	в) Ослабевают.
3.	SrCl2 + H2SO4 = SrSO4 + 2 НС1 Sr2+ + 2СГ + 2 H+ + SO4’ = SrSO4 <• 2H+ + 2СГ Sr24 + SOj" = SrSO4
4.	6) 0,05 моль.
5.2)NaC10;	5)NaC103.
6. 1)NO2;	5) NO.
7. 2) железо и соляная кислота;
5)кальций и вода
Очный тур
1.	Из предлагаемого перечня веществ выберите три группы оксидов: а) основные; б) кислотные; в) амфотерные.
Перечень: НС1, FeO, КОН, As2O5, К2О, KNO3, SO2, Ва(ОН)2, H2SO3, Fe(NO3)2, ZnO, HF, A1(OH)3, A12O3.
2.	В ряду элементов:
Pb Sn -> Ge -> Si -> С неметаллические свойства а) не изменяются; б) усиливаются; в) ослабевают; г) изменяются периодически.
3.	К раствору иодоводородной кислоты прилили раствор нитрата серебра. Напишите уравнение реакции, составьте полное и сокращенное ионное уравнения.
4.	В 25 г 19,6 %-го раствора серной кислоты поместили избыток цинка. Какое количество водорода выделилось в результате реакции?
а) 0,2 г; б) 0,05 моль; в) 0,5 г; г) 0,2 моль.
5.	Укажите возможный недостающий продукт в схеме реакции:
КОН + С12 ->... + КС1 + Н2О
1)НС1;	2) КСЮ; 3)С12О7;	4) КН; 5)КС1О3.
6.	Укажите возможное недостающее вещество в схеме реакции:
Pb + HNO3 -> Pb(NO3)2 + ... + Н2О
1)NO2;	2)Н2;	3)N2O5;	4)О2;	5) NO.
7.	Какие пары веществ можно использовать для получения водорода в пробирке с пробкой и газоотводной трубкой?
1) цинк и угольная кислота; 2) железо и соляная кислота;
3) мел и соляная кислота;	4) медь и серная кислота;
5) кальций и вода.
Ответы
1.	a) FeO, К2О; б) As2O5, SO2; в) ZnO, А12О3
2.	б) усиливаются
3.	HI + AgNO3 = AgU + HNO3 H+ + Г 1- Ag+ + NO3 = Agll + H’ + NO3
Г + Ag+ = Agli
4.	6) 0,05 моль.
5.	2) КСЮ; 5) KC1O3
6.	1)NO2; 5) NO
7.	2) железо и соляная кислота; 5) кальций и вода
Содержание
Предисловие....................................................3
Новый прием....................................................5
Математика..................................................6
Физика......................................................7
Химия.......................................................8
Математика.....................................................9
Условия задач ..............................................9
Ответы, указания и решения.................................29
Физика......................................................  48
Заочный экзамен............................................48
Задачи устного экзамена....................................57
Химия.........................................................67
Весна- 1996..................................:.............67
Весна 1997.................................................70
Весна- 1998................................................72
Лето- 1998...............................................  74
Весна-1999.................................................75
ВАРИАНТЫ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ
в Школу им.А.Н.Колмогорова
Составители
АлфутоваН. Б., Загорский В. В., Корнеева Т. П., Смуров М. В., Устинов А. В.
Художественный и технический редактор И.Н.Коровин
Св. №015159
Подписано к печати 31.01.2000.
Гарнитура Таймс. Тираж 2000
Школа имени А. Н. Колмогорова 121357, Москва, ул. Кременчугская, 11 тел. (095) 449-33-64 e-mail: adm@aesc.msu.ru
«Самообразование» 125499, Москва, а/я 28
Заказ 3149—00
Отпечатано с готовых диапозитивов в 12 ЦТ МО. 121019, Москва, Староваганьковский пер., д. 17.
Вышли из печати и готовятся к изданию следующие книги:
МАТЕМАТИКА
Спецкурсы по математике. В.В Вавилов, В.А Бахтина. Радикалы правые, левые и нейтральные. В.В.Вавилов. Изобретатель криволинейных координат. В В.Вавилов. Задачи по алгебре и теории чисел для математических школ.
Ю.П Соловьев.
Математика. 10 класс. (Материалы Летней физико-математической школы.) В Н Дубровский, А.Б.Скопенков. А.В Спивак Математический анализ. Курс лекций. В.И.Гаврилов.
Алгебра для математических школ. В.А.Колосов.
Кучка закручек. Сборник задач по алгебре. Н.Б.Алфутова, А.В.Устинов.
ФИЗИКА
Общая физика. Курс лекций. СП.Крюков. Основы электродинамики. ЮГ.Павленко. Сборник задач по физике. Т П Корнеева. Молекулярная физика. Термодинамика. Механика сплошных сред.
ЮГ.Павленко, А Н Торопова
Обработка результатов физического эксперимента. С.Н.Сергеев Вопросы термодинамики. Методические указания В.В.Родин Магнитный резонанс и динамика молекул.
Методические указания к спецкурсу. В В Родин.
ХИМИЯ
Общая и неорганическая химия. Ю.М.Коренев. В.П.Овчаренко Органическая химия. Е.А.Менделеева. И.И.Морозова.
Практикум по неорганической химии. Ю.М.Коренев. Н.П Морозова, А.И Жиров. Олимпиадные задачи по химии. Н.Ш.Пиркулиев. Химия в вопросах и ответах. Курс для физико-математических школ.
А. М. Галин.
Огни потешные. Фейерверк: история, теория, практика. В.В.Загорский.
ИСТОРИЯ
История Древней Греции. ГА. Бобровникова. Полибий из Мегалополя. Т.А.Бобровникова.
ИНФОРМАТИКА Turbo Pascal в школе. Сборник задач. Е В Андреева, И Н. Фалина.
СПРАВОЧНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Программа основных и аннотация специальных курсов. Три кубика. Сборник школьного фольклора. Составитель И.Н Коровин. Варианты вступительных экзаменов в Школу имени А Н.Колмогорова. Составители Н.Б.Алфутова. В.В Загорский. Т П Корнеева, М В Смуров.
А.В. Устинов.