БИЛЕТЫ
ПИСЬМЕННЫХ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ
ЭКЗАМЕНОВ В МФТИ (1994-1996 г. г.)
Москва
Издательство МФТИ
2002
ББК 22.3
Б61
УДК 53(075)
1>61 Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ (1994-1996 г. г.) —
М.: Издательство МФТИ, 2002. 112 с. Ил. 144. ISBN 5-89155-075-Х.
В сборнике приведены задания, предлагавшиеся на вступительных экзаменах
абитуриентам Московского физико-технического института в 1994-1996 г. г. Все за-
дачи снабжены ответами, часть — подробными решениями, некоторые основными
указаниями к решению. На выполнение каждой экзаменационной работы давалось
4,5 часа.
Для абитуриентов МФТИ и других физических вузов, а также для преподавате-
лей школ с углубленным изучением физики и математики.
Авторы задач
по физике: доценты Дерябкип В. Н., Можаев В. В., Четен Ю. В., Чивилев В. И.,
Шеронов А. А.
по математике: проф. Шабунин М. И., проф. Сидоров Ю. В.,
доценты: Агаханов И. X., Букин К. А., Трушин В. Б., Коновалов С. И., Ива-
нов Г. Е., Самарова С. С., Чехлов В. И.
К-ф.-м.н. Карлов М. И.
Подписано в печать с оригинал-макета 02.03.99. Формат 60x90/16. Бумага офсет-
ная. Гарнитура тип «Таймс». Печать офсетная. Усл. печ. л. 7,0. Уч.-изд. л. 7,5.
Оператор верстки А. И. Чугуров.'
Художник М. В. Ивановский
Тираж 2000. Заказ № - *
Издательство Московского физико-технического института.
141700, г. Долгопрудный Московской обл., Институтский пер., 9.
Тел. (095) 408-76-81. http://www.fizmatlit.ru
Отпечатано предприятием «Шанс».
127412 Москва, Ижорская ул., 13/19.
Тел. (095) 485-93-09
© Коллектив авторов. 2002
© Издательство МФ ТИ, оформление. 2002

ФИЗИКА
. од
1994
БИЛЕТ 1
л задаче 2
К задаче 3
ны в
1.	По доске, наклоненной к горизонту под углом а — arcsin (1/3),
можно передвигать вверх или вниз грузы, прикладывая силу вдоль
доски. Чтобы передвинуть ящик массой т = 30 кг вниз на расстояние
L = 3 м, надо совершить минимальную
работу /1=100 Дж. Какую минималь-
ную работу потребуется совершить,
чтобы вернуть по доске этот ящик на-
зад?
2.	Моль одноатомного идеального газа
переводится из состояния 1 в состояние 3
путем изобарического нагрева 1-*2 и
изохорического охлаждения 2—*3. На
участке / —» 2 газ совершает работу
А = 1250 Дж. В процессе всего перехода
1 —*2—*3 газ получает суммарное (ал-
гебраическая сумма) количество тепло-
ты Q = 150 Дж. Найти разность темпе-
ратур Т2 и Т3.
3.	Три конденсатора с емкостями
С, = Со, С2 = 2С0, С3 = ЗС0, каждый
из которых заряжен от батареи с ЭДС й’,
и резистор с сопротивлением R включе-
на рисунке.
1) Чему равен ток в цепи сразу после замыкания ключа?
2) Какая разность потенциалов установится на конденсаторе С3?
4. Поверхность озера глубиной Н = 1,3 м покрыта тонким слоем
льда со снегом, практически не пропускающим свет. Найти площадь
светлого пятна на дне озера от полыньи в форме круга радиуса
R = 2 м. Озеро освещается рассеянным светом. Показатель прелом-
ления воды п = 4/3.
, изображенную
БИЛЕТ 2
1.	Мальчик съезжает на санках без начальной скорости с горки
высотой Н = 5 м по кратчайшему пути и приобретает у подножия
горки скорость и=6м/с. Какую минимальную работу необходимо
затратить, чтобы втащить санки массой.m = 7 кг на горку от се под-
ножия, прикладывая силу вдоль плоской поверхности горки?
2.	В процессе расширения к одноатомному идеальному газу было
подведено количество теплоты, в 4 раза превышающее величину сг0
1 994 год
ФИЗИКА
5
внутренней энергии в начальном состоя-
нии. Во сколько раз увеличился объем га-
за, если в процессе расширения он изме-
нялся прямо пропорционально давлению
(И~Р)? Под внутренней энергией газа
понимается сумма кинетических энергий
всех молекул.
3.	В схеме, изображенной на рисунке,
при разомкнутом ключе К. конденсатор С\
К задаче 3
емкостью Со заряжен до напряжения
Ut = 2<f, а конденсатор С2 емкостью 2С0 — до напряжения U2 = 3<f,
где <£ — ЭДС батареи, внутреннее сопротивление которой равно г.
1) Чему будет равен ток в цепи сразу после замыкания ключа X?
2) Какая разность потенциалов установится на конденсаторе С,?
4. На горизонтальном дне водоема лежит монета радиуса г = 2 см.
На каком максимальном расстоянии от монеты надо поместить в воде
плоский экран радиуса R = 5 см, чтобы монету нельзя было обнару-
жить из воздуха при спокойной поверхности воды? Показатель пре-
ломления воды 4/3.
БИЛЕТ 3
1.	На наклонной плоскости с углом наклона a = arctg(l/4) ле-
жит коробка. Чтобы передвинуть коробку вниз по наклонной пло-
скости на некоторое расстояние, нужно совершить минимальную
работу А1 = 15 Дж. Для перемещения коробки вверх вдоль наклон-
ной плоскости требуется совершить ра-
боту не менее А2 = 65 Дж. В обоих слу- р1'
чаях силы к коробке прикладываются
вдоль наклонной плоскости. Определить	и
по этим данным коэффициент трения	_____,
скольжения между коробкой и наклон-	2	3
ной плоскостью, если величины переме-
щений вверх и вниз равны.	v
2.	Один моль одноатомного идеального	к задаче 2
газа переводится из состояния 1 в состоя-
ние 3 путем изохорического охлаждения 7—*2, а затем изобариче-
ского нагрева 2-*3. На участке 1—*2 температура газа уменьшается
на ДТ = 100 К, а в процессе 7—>2—»J газ получает суммарное (ал-
гебраическая сумма) количество теплоты Q = 1870 Дж. Какую по ве-
личине работу совершил газ в процессе изобарического нагрева?
3.	Три конденсатора с емкостями Ct = Со, С2=2С0, С3 = ЗС0,
каждый из которых заряжен от батареи с ЭДС <?, и резистор с сопро-
тивлением 7? включены в схему, изображенную на рисунке.
6
ФИЗИКА
1994 год
К задаче 3
1) Чему будет равен ток в цепи сразу
после замыкания ключа?
2) Какая разность потенциалов уста-
новится на конденсаторе С,?
4. На спокойной поверхности водоема
появилось пятно загрязнения радиуса
R = 5 м, нс пропускающее свет. Опреде-
лите размер области на дне водоема, ку-
да не попадает свет. Поверхность воды
освещается рассеянным светом. Глубина водоема Н = 2,6 м. Показа-
тель преломления воды п — 4/5. Отражение от дна не учитывать.
БИЛЕТ 4
1.	Чтобы затащить от подножия на горку санки массой т = 5 кг,
прикладывая силу вдоль поверхности горки, необходимо совершить
работу не менее А = 480 Дж. С какой скоростью достигнет подножия
девочка на санках, если она съедет с горки без начальной скорости
по кратчайшему пути? Угол наклона поверхности горки к горизонту
а = arctg (0,2). Коэффициент трения скольжения между санками и
горкой р. = 0,1.
2.	Одноатомный идеальный газ расширяется в процессе с линейной
зависимостью его давления от объема. В итоге этого процесса к газу
было подведено количество теплоты, в 3,6 раза меньшее его внутрен-
ней энергии в начальном состоянии. Во сколько раз увеличился объем
газа, если в конечном состоянии величина его внутренней энергии
оказалась равной первоначальному значению? Под внутренней энер-
гией газа понимается сумма кинетических энергий всех молекул.
3.	В схеме, изображенной на рисунке, при разомкнутом ключе К
конденсатор емкостью 2С0 заряжен до напряжения = ?>£, а кон-
денсатор С2 емкостью ЗС0 — до напряжения
^2 иг = 4^, где — ЭДС батареи, внутреннее
+lt 'l +1Г- сопротивление которой равно г.
1) Чему будет равен ток в цепи сразу по-
сле замыкания ключа К?
2) Какая разность потенциалов устано-
 вится на конденсаторе С2?
к	4. Цилиндрический стеклянный сосуд за-
к задаче 3	полнен до краев водой и поставлен на стол.
Сверху на сосуд положили лист бумаги с
круглым отверстием так, что его центр оказался на оси симметрии
сосуда. Через отверстие какого минимального радиуса можно разгля-
деть все дно сосуда? Глубина сосуда Н = 5,2 см, радиус дна R = 8 см,
показатель преломления воды п = 4/3.
1994 год
ФИЗИКА
7
БИЛЕТ 5
1.	По гладкой горизонтальной поверхности стола скользят вдоль
одной прямой навстречу друг другу массивный брусок со скоростью
и = 1 м/с и небольшой шарик со скоростью v = 2 м/с. В некоторый
момент времени шарик оказался в точке А на расстоянии 5 = 1,5 м
от бруска. Через какое время, считая от этого момента, шарик снова
окажется в точке А1 Столкновение шарика с
бруском упругое. Скорость шарика перпенди-
кулярна грани бруска, о которую он ударяется.
Масса шарика намного меньше массы бруска.
2.	В горизонтально расположенной трубке
К задаче 2
столбиком ртути длиной Z = 12 см заперт слой
воздуха толщиной L ~ 35 см (см. рис.). Если трубку повернуть один
раз открытым концом вниз, а другой раз вверх, то столбик ртути
смещается. Разность величин этих смещений от начального горизон-
тального положения равна 2 см. Найдите величину наружного дав-
ления (в мм ртутного столба).
3.	В колебательном контуре, состоящем из катушки с индук-
тивностью L = 1 Г и конденсатора емкости С = 1 мкФ с утечкой
(омическое сопротивление диэлектрика, заполняющего конденсатор
7?=103Ом), происходят затухающие колебания. В некоторый мо-
мент времени амплитуда (максималь-
ное значение) напряжения на кон-
денсаторе была равна Uo = 2 В. Ка-
кое количество теплоты выделится на
конденсаторе от этого момента вре-
мени до полного затухания колеба-
ний в контуре?
4.	Тонкий пучок лучей света падает
перпендикулярно на плоскую поверх-
L	1

ность половины оптически прозрачно-
го шара (см. рис.). Радиус шара R, расстояние от луча до оси ОО',
проходящей через центр шара О, равно а = 0,67?, показатель пре-
ломления материала шара п = 4/3. Найти расстояние от точки О до
точки А пересечения луча, преломленного на сферической поверх-
ности, с осью ОО'.
БИЛЕТ 6
1.	От неподвижного мяча удаляется массивная плита с постоянной
скоростью и = 2 м/с, направленной вертикально вниз и перпендику-
лярно поверхности плиты. В момент, когда плита находилась на рас-
стоянии L = 0,3 м от мяча, мяч отпускают. На какое максимальное
расстояние от плиты удалится мяч после упругого удара о плиту?
Масса мяча намного меньше массы плиты.
8
ФИЗИКА
1 994 год
2.	В одно из колен U-образной вертикально расположенной труб-
ки, частично заполненной жидкостью, долили слой более легкой
жидкости. Возникшая при этом разность уровней жидкости в коленах
составила Л = 4 см. Когда толщину слоя легкой жидкости увеличили
еще на 3 см, уровень тяжелой жидкости переместился на 1 см. Най-
дите толщину слоя более легкой жидкости, первоначально налитой в
трубку. Жидкости в трубке нс смешиваются.
3.	В колебательном контуре, состоящем из катушки с индуктив-
ностью Л = 0,1 Г и омическим сопротивлением R = 1 Ом и конден-
сатора емкости С = 10 мкФ, происходят слабо затухающие колеба-
ния (в любой момент времени потеря энергии за 1 период колебаний
много меньше энергии контура). В некоторый момент времени, когда
ток в контуре достигает максимального значения, напряжение на
конденсаторе Uc = 1 В. Какое количество теплоты выделится в ка-
тушке за 1 период колебаний?
4.	Оптически прозрачный шар радиуса R помещен в параллельный
пучок лучей света. Минимальное расстояние, пройденное одним из
преломленных лучей внутри шара (до первого пересечения с поверх-
ностью), оказалось равным WR/2. Найти показатель преломления
материала шара.
• БИЛЕТ 7
1.	По гладкой горизонтальной поверхности льда скользят в одном
направлении массивный брусок со скоростью и = 1 м/с и небольшая
шайба со скоростью v = 3 м/с, догоняющая брусок. В некоторый мо-
мент времени шайба находилась в точке В на расстоянии L = 1 м от
бруска. Через какое время, считая от этого момента, шайба вернется
в точку В1 Столкновение шайбы с бруском упругое. Скорость шайбы
перпендикулярна грани бруска, о которую она ударяется. Масса шай-
бы намного меньше массы бруска.
2.	U-образную вертикально расположенную трубку заполнили ча-
стично ртутью, а затем одно из колен трубки закрыли. Если в от-
крытое колено трубки долить некоторое количество ртути, то уровни
ее в коленах сместятся. Найдите наружное давление (в мм ртутного
столба), если отношение величин этих смещений уровней равно
п = 4, а толщина воздушной прослойки в закрытом колене в конеч-
ном состоянии равна L = 25 см.
3.	В колебательном контуре, состоящем из катушки с индуктив-
ностью L = 1 мГ и омическим сопротивлением R = 5 Ом и конденса-
тора емкости С = 40 мкФ, происходят затухающие колебания. В не-
который момент времени амплитуда (максимальное значение) тока
в контуре равна /тах ~ А- Какое количество теплоты выделится
в катушке от этого момента времени до полного затухания колебаний
в контуре?
1 994 год
ФИЗИКА
9
4.	Луч света падает на поверхность стеклянного шара параллельно
некоторой оси ОО', проходящей через его центр. Угол падения этого
луча на поверхность шара <р = arcsin (24/25). Преломленный луч
проходит через точку пересечения этой оси с поверхностью шара.
Найти показатель преломления стекла.
БИЛЕТ 8
1.	По направлению к неподвижному шарику движется массивная
плита с постоянной скоростью v = 4 м/с, направленной вертикально
вверх и перпендикулярно поверхности плиты. В момент, когда плита
находилась на расстоянии Н= 1 м от шарика, шарик отпускают. На
какое максимальное расстояние от плиты удалится шарик после уп-
ругого удара о плиту? Масса шарика много меньше массы плиты.
2.	U-образная вертикально расположенная трубка частично запол-
нена жидкостью, так что расстояния от открытых концов трубки до
уровня жидкости в коленах трубки равны h. Какой максимальный по
толщине слой более легкой жидкости можно налить в одно из колен
трубки, чтобы жидкость из трубки не выливалась? Отношение величин
плотностей жидкостей равно к (к > 1). Жидкости не смешиваются.
3.	В колебательном контуре, состоящем из катушки с индуктив-
ностью L = 0,1 Г и конденсатора емкости С = 10 мкФ с утечкой
(омическое сопротивление диэлектрика, заполняющего конденсатор,
R = 104 Ом), происходят слабо затухающие колебания (в любой мо-
мент времени потеря энергии за 1 период колебаний много меньше
энергии контура). В некоторый момент
времени максимальная сила тока в кон- 'К ----------
туре /0 = 0,1 А. Какое количество тепло- —>	-----
ты выделяется в конденсаторе за один
период колебаний?	I	I
4.	Шар из оптически прозрачного ма- —\	J
териала помещен в параллельный пучок
света (см. рис.). Угол падения одного из	К задаче 4
лучей на поверхность шара ф =
= arctg (4/3). Угол его отклонения от первоначального направления
после двух преломлений на поверхности шара <5 = 2 arctg (7/24).
Найти показатель преломления материала шара.
БИЛЕТ 9
1. С верхней точки шара радиуса R = 54 см, закрепленного на
горизонтальной поверхности стрла, соскальзывает без начальной ско-
рости и без трения небольшой шарик. На какую максимальную вы-
соту от стола поднимется шарик после упругого удара о стол?
10
ФИЗИКА
1994 гол
2. В переносном газовом баллоне объемом
—	:	ио= 5 л может поместиться не больше
I——	;	т0 = 2,2 кг жидкого пропана (С3Н8) под давле-
	2	нием 16 атмосфер и при температуре 17 °C.
;	—	Сколько пропана в газообразном состоянии оста-
 ;	нется в баллоне, если из «полного» баллона из-
1	;	расходовать 80% пропана?
Р ;	3. По длинному прямолинейному проводу тс-
х Т чет переменный ток. В плоскости, проходящей
с через провод, расположены три проволочных
контура, изготовленные из одного куска провода
к задаче 3 (см. рис.). Контуры I и 2 являются квадратами
с длиной сторон а, третий контур состоит
из двух прямоугольников со сторонами
а, b и а, с. В некоторый момент времени
токи в контурах 1 и 2 равны соответствсн-
“* q —'	но /, и /2. Чему равен в этот момент ток
в контуре 3‘! Штриховые линии на рисунке
параллельны проводу.
4. На главной оптической оси линзы
к задаче 4	с фокусным расстоянием 10 см лежит
спичка. Линза создает действительное
изображение спички с увеличением 25/3. Если спичку повернуть
на 90° вокруг ее середины (точка С), то она будет изображаться
с увеличением 2,5. Определить длину спички.
БИЛЕТ 10
1. Небольшой шарик соскальзывает без начальной скорости с вы-
соты 2R, двигаясь без трения по желобу, расположенному в верти-
кальной плоскости (см. рис.).
Горизонтальный участок желоба
плавно переходит в полуокруж-
ность радиуса R = 81 см. Какой
максимальной высоты Н достиг-
нет шарик после отрыва от же-
лоба?
2. Транспортный баллон с ге-
лием имеет массу 61,6 кг при
гелия внутри, равном 200 атмосфер.
К задаче 1
температуре 27 °C и давлении
Часть гелия была использована, чтобы надуть резиновые шарики
объемом 4 литра каждый. Масса оставшегося гелия с баллоном при
температуре —3 °C оказалась равной 60,6 кг, а давление в баллоне
70 атмосфер. Найти объем транспортного баллона и количество на-
дутых шариков, если давление в них равно 1 атмосфере.
1 994 год
ФИЗИКА
11
3. Два проволочных контура, изготовленные из одного куска прово-
да, движутся с одинаковыми скоростями к длинному прямолинейному
проводу с постоянным током. Контур / является квадратом со сторо-
ной а, контур 2 в виде восьмерки состоит из двух
квадратов, стороны которых равны сторонам квад-
рата 1. Когда они оказались на расстоянии b = 2а от
провода, ток в контуре 1 был равен Iv Чему был ра-
вен в этот момент ток в контуре 2, если известно,
что индукция магнитного поля, создаваемая током
провода, обратно пропорциональна расстоянию от
провода? Провод и оба контура расположены в од-
ной плоскости.
4. На главной оптической оси положительной
ь
1
К задаче 3
линзы с фокусным расстоянием 5 см лежит спица. Линза создает дей-
ствительное изображение спицы. Спицу передвинули параллельно са-
мой себе и перпендикулярно главной оптической оси на расстояние h.
При этом длина изображения спицы увеличилась в 1,2 раза. Найти й.
2а
К задаче 3
БИЛЕТ 11
1.	Небольшая шайба соскальзывает без начальной скорости и без
трения с верхней точки шара, закрепленного на горизонтальной по-
верхности стола. Под каким углом к поверхности стола шайба уда-
рится о стол?
2.	300 г пропана (С3Н8) были закачаны при температуре 17 °C и
давлении 16 атмосфер в переносной газовый баллон объемом 1 литр.
Сколько пропана в газообразном состоянии содер-
жится в этом баллоне, если при указанных выше
давлении и температуре пропан превращается в
жидкость с плотностью 440 кг/м3?
3.	По длинному прямолинейному проводу течет
переменный ток. В плоскости, проходящей через
провод, расположены три проволочных контура,
изготовленные из одного куска провода (см. рис.).
Контур 1 является прямоугольником со сторонами
а и 2а, контур 2 — квадратом со сторонами а, кон-
тур 3 в виде восьмерки состоит из двух квадратов
со сторонами а. В некоторый момент времени токи в контурах 1 и 3
равны соответственно и /3. Чему равен в этот момент ток в кон-
туре 2? Штриховые линии на рисунке параллельны проводу.
4.	На главной оптической оси положительной линзы лежит булавка
так, что ее середина находится на двойном фокусном расстоянии от
линзы. С каким увеличением изображается булавка, если ее длина
втрое меньше фокусного расстояния линзы?
12
ФИЗИКА
1994 год
БИЛЕТ 12
1. С высоты 1,57? соскальзывает без начальной скорости неболь-
шой шарик, двигаясь без трения по желобу, расположенному в вер-
тикальной плоскости (см. рис.). Горизонтальный участок желоба
5 плавно переходит в полу-
окружность радиуса R. Под
каким углом р к горизонту
упадет шарик на горизон-
тальный участок желоба
после отрыва от желоба?
“ "	".	''	2. По магистральному
газопроводу с диаметром
труб 1020 мм подается
смесь горючих газов под давлением 10 атмосфер. Скорость движе-
ния газов в трубе 10 м/с, температура 17 °C, средняя молярная
масса смеси 44 г/моль. Какая масса газа перекачивается по газо-
проводу за 1 год?
3. Два проволочных контура, изготовленные из одного куска про-
вода, движутся к длинному прямолинейному проводу с постоянным
током. Контур 1 является прямоугольником со
н—2а >4	сторонами а, 2а. Контур 2 состоит из двух пря-
j ' а моугольников со сторонами 2а, а. Когда оба
контура находились на расстоянии b = а от
b _ I	провода, токи в контурах были равны. Опрсдс-
(	" лить отношение скоростей контуров в этот мо-
।	мент времени, если известно, что индукция
---9—магнитного поля, создаваемая током провода,
2 обратно пропорциональна расстоянию от прово-
да. Провод и оба контура расположены в одной
плоскости.
к задаче 3	4. Параллельно главной оптической оси
тонкой отрицательной линзы на расстоянии
6 см от оси расположен прямолинейный кусок проволоки. Если,
не меняя расстояния от проволоки до линзы, переместить прово-
локу на главную оптическую ось, то длина ее изображения умень-
шится в 1,3 раза. Определить фокусное расстояние линзы.
1995 год
ФИЗИКА
13
1995
777777777777777777777777
К задаче 1
БИЛЕТ 1
1.	Призма находится на горизонтальной поверхности шероховатого
стола (см. рис.). На поверхность призмы, наклоненную под углом а к
горизонту, положили брусок массой т и отпусти-
ли. Он стал соскальзывать, а призма осталась в
покое. Коэффициент трения скольжения между
бруском и призмой ц. Найти силу трения между
призмой и столом.
2.	В вакуумной теплоизолированной камере
находятся два масляных пузыря одинакового раз-
мера, один из которых наполнен гелием, а другой водородом до давле-
ния Ро каждый. Найти отношение давления Р, установившегося в ка-
мере, после того, как пузыри лопнули, к начальному давлению газа в
пузырях. Отношение температуры гелия Г, к температуре водорода
Т2 составляет Т\1Тг = 0,6. Молярная теплоемкость гелия при постоян-
ном объеме СИ1 = 3/2 /?, водорода Си2 = 5/2 7?, R — газовая постоян-
ная. Объем пузыря в 160 раз меньше объема камеры. Изменением по-
верхностной энергии пленок при разрыве пузырей пренебречь.
3.	Какое количество теплоты выделится в схеме (см. рис.) после
размыкания ключа К?
4.	Между двумя неподвижными плоскопараллельными незаряжен-
ными пластинами 1 и 2, закороченными через резистор сопротивле-
нием R, помещают аналогичную проводящую пластину 3 с положи-
тельным зарядом q на расстоянии а от пластины 2 (а < <7/2, где d —
расстояние между пластинами 1 и 2). После установления равновес-
ного состояния пластину 3 быстро перемещают в симметричное по-
ложение (на расстояние а от пластины /). Полагая, что за время
перемещения пластины 3 заряд на пластинах 1 и 2 не успевает из-
мениться, определить: 1) величину и направление тока через рези-
стор R сразу после перемещения пластины 5; 2) количество теплоты,
выделившееся на резисторе после перемещения пластины. Площадь
каждой пластины 5, расстояние между пластинами мало по сравне-
нию с линейными размерами пластин.
+q
К задаче 3	& задаче 4	К задаче 5
14
ФИЗИКА
I 995 год
5.	Маленький воздушный пузырек всплывает по центру прямо-
угольного сосуда, заполненного прозрачной жидкостью с показателем
преломления п = 1,4 (см. рис.). С помощью собирающей линзы с фо-
кусным расстоянием F — 24 см его изображение наблюдают на экране
Э. Скорость перемещения изображения пузырька на экране в момент
пересечения главной оптической оси линзы v = 80 см/с. Определить
скорость и пузырька. Линейные размеры: I = 56 см, L = 10 см.
БИЛЕТ 2
К задаче 1
1.	Призма находится на горизонтальной поверхности гладкого сто-
ла и упирается в гладкую стенку (см. рис.). На гладкую поверхность
призмы, наклоненную под углом а к горизонту,
положили шайбу массой т и стали давить на нее
с постоянной горизонтальной силой F. Найти си-
лу давления призмы на стенку при движении
шайбы вверх.
2.	В сосуде объемом Vt = 20 л находится вода,
насыщенный водяной пар и воздух. Объем сосуда
при постоянной температуре медленно увеличивают до V2 = 40 л, дав-
ление в сосуде при этом уменьшается от Р, = 3 атм до Р2 = 2 атм. Оп-
ределить массу воды в сосуде в конце опыта, если общая масса воды и
пара составляет т = 36 г. Газовая постоянная 7? = 8,31 Дж/(моль - К).
Объемом, занимаемым жидкостью в обоих случаях, пренебречь.
3.	Какое количество теплоты выделится на резисторе /?2 в схеме,
изображенной на рисунке, после перемещения ключа К из положе-
ния 1 в положение 2?
4.	Два плоских конденсатора с пластинами площадью 5 и рассто-
янием между ними d включены в цепь через резистор /?. В левом
конденсаторе (см. рис.) расположена диэлектрическая пластина тол-
щиной h (h<d), площадью 5 и проницаемостью е. Конденсаторы
заряжены до напряжения U. Пластину быстро выдвигают из конден-
сатора. Пренебрегая изменением зарядов на пластинах конденсато-
ров за время удаления диэлектрика, определить: 1) какую работу
пришлось совершить при этом; 2) чему равен и куда направлен ток
через резистор сразу после удаления диэлектрика.
5.	С помощью оптической схемы, состоящей из плоского зеркала 3.
положительной линзы Л и экрана Э, наблюдают за падением малень-
/
К задаче 3
1995 год
ФИЗИКА
15
ких шариков в сосуде с прозрачной жидко-
стью, показатель преломления которой
п— 1,5. В начальный момент на экране
наблюдается изображение поверхности
жидкости и неподвижного шарика. Затем
линзу перемещают направо вдоль главной
оптической оси на расстояние А = 2 см и
отпускают шарик. Через время т = 5 с на
экране появляется резкое изображение
шарика. Полагая, что шарик падает с по-
стоянной скоростью и, определить ее вели-
чину. Расстояние а = 30 см.
БИЛЕТ 3
1.	Призма массой М находится на горизонтальной поверхности
гладкого стола и упирается в гладкую стенку (см. рис.). На поверх-
ность призмы, наклоненную под углом а к горизонту, положили бру-
сок массой т и отпустили. Брусок стал соскальзывать. Коэффициент
трения скольжения между бруском и призмой ц. Найти силу давле-
ния призмы на стол.
2.	В вакуумной теплоизолированной камере находятся два мас-
ляных пузыря одинакового размера, один из которых наполнен
аргоном, а другой азотом до давления Ро каждый. После того как
пузыри лопаются, в камере устанавливается давление Р, которое
в 30 раз меньше Ро. Найти отношение объема пузыря Vo к объему
камеры V, если отношение температур аргона 7'1 и азота Т2 со-
К задаче I	К задаче 3	К задаче 4
ставляет 1\/Тг = 0,6. Молярная теплоемкость аргона при постоян-
ном объеме Си = 3/2 R, а азота Ск2 — 5/2 7?, где R — газовая
постоянная. Изменением поверхностной энергии пленок при раз-
рыве пузырей пренебречь.
3.	Какое количество теплоты выделится в схеме (см. рис.) после
размыкания ключа К1.
4.	Между двумя проводяшими плоскопараллельными незаряжен-
ными пластинами 1 и 2, закороченными через резистор сопротивле-
нием R, помещают пластину 3 с отрицательным зарядом q на рас-
16
ФИЗИКА
1995 год
стоянии а от пластины 2 (а < <1/2, где <1 — расстояние между пла-
стинами 1 и 2). После того как система пришла в стационарное со-
стояние, пластину 1 быстро перемещают на расстояние а по направ-
лению к неподвижным пластинам 2, 3. Полагая, что за время пере-
мещения пластины 1 заряд на пластинах 1 и 2 нс успевает изменить-
ся, определить: 1) какая работа была совершена при перемещении
пластины; 2) величину и направление тока че-
рез резистор R сразу после перемещения пла-
стины 1. Площадь пластин 5.
5.	По вертикальной стене С ползет муха со
скоростью v = 2 см/с. С помощью собирающей
линзы Л с фокусным расстоянием F = 24 см
изображение мухи получают на задней стенке
Э прямоугольного сосуда, заполненного про-
зрачной жидкостью с показателем преломления
п— 1,4. Определить скорость и перемещения изображения мухи в
момент пересечения главной оптической оси линзы. Линейные раз-
меры: Z = 28 см, L - 10 см.
БИЛЕТ 4
1.	На горизонтальной поверхности гладкого стола находится приз-
ма массой М, упирающаяся'в гладкую стенку (см. рис.). На гладкую
поверхность призмы, наклоненную под углом а к горизонту, поло-
жили брусок массой т и стали давить на него вертикально вниз с
постоянной силой F. Найти силу давления призмы на стол при дви-
жении бруска по призме.
2.	В сосуде объемом 7, = 31 л находятся воздух, вода и насыщен-
ный водяной пар. Температура в сосуде Т = 373 К, давление
Р, = 2,5 атм. При постоянной температуре объем сосуда медленно
уменьшают, пока давление не станет равным Р2 = 4 атм. Определить
массу воды в сосуде в конце опыта. Общая масса воды и пара в сосуде
составляет т — 22 г. Газовая постоянная R — 8,31 Дж/(моль-К). Объ-
емом, занимаемым жидкостью в обоих случаях, пренебречь.
3.	Какое количество теплоты выделится на резисторе /?2 в схеме,
изображенной на рисунке, после перемещения ключа К из положе-
ния 1 в положение 2?
1
К задаче 1
К задаче 3
1995 год
ФИЗИКА
J7
4. Два одинаковых плоских конден-
сатора с площадью пластин 5 и рассто-
янием между пластинами d включены
в цепь через резистор с сопротивлени-
ем 7?. Конденсаторы заряжены до на-
пряжения U. В левый конденсатор (см.
рис.) быстро вводят параллельно об-
кладкам пластину с диэлектрической
проницаемостью е, площадью 5 и толщи-
ной h (й < cZ). Пренебрегая изменением за-
рядов на пластинах конденсаторов за время
введения пластины, определить: 1) какую
работу пришлось совершить при этом;
2) чему равен и куда направлен ток через
резистор сразу после введения пластины.
5. С помощью оптической системы, со-
стоящей из плоского зеркала 3 (под углом
45° к горизонту), положительной линзы Л и
экрана Э, наблюдают за всплытием малень-
ких пузырьков воздуха в сосуде с жидко-
стью, показатель преломления которой
п = 1,5. В начальный момент на экране на-
К задаче 5

блюдается изображение дна сосуда и неподвижного пузырька. Затем
линзу перемещают влево вдоль главной оптической оси на А = 1 см.
Через время т = 3 с после отрыва пузырька на экране вновь появляет-
ся его резкое изображение. Полагая, что пузырек все время движется с
постоянной скоростью и, определить ее величину. Значение а = 20 см.
БИЛЕТ 5
1. Шары с массами mv пг2 и пг3 подвешены к потолку с помощью
двух невесомых пружин и легкой нити (см. рис.). Система покоится.
Определить силу натяжения нити. Определить ускорение (направле-
ние и модуль) шара массой т1 сразу после пережигания нити.
2. На диаграмме зависимости давления Р от объема V для неко-
торой массы идеального газа две изотермы пересекаются двумя изо-
’"з
К задаче 1
V
К задаче 2
18
ФИЗИКА
I 995 гол
К задаче 3
жение JZI = 6 В.
барами в точках 1, 2, 3 и 4 (см. рис.). Найти
отношение температур 7'3/7'1 в точках 3 и 1, если
отношение объемов в этих точках И3/И| = а. Объ-
емы газа в точках 2 и 4 равны.
3. В схеме (см. рис.) ключи и К2 разомкну-
ты, а конденсаторы не заряжены. Ключ К, замы-
кают, оставляя К2 разомкнутым. В результате на
конденсаторе емкостью С устанавливается напря-
Найти ЭДС % источника тока. Каким станет уста-
новившееся напряжение V2 на конденсаторе емкостью С после замы-
кания ключа К2 при замкнутом
4. На главной оптической оси тонкой собирающей линзы с фокус-
ным расстоянием F — 20 см расположено плоское зеркальце на рас-
К задаче 4
стоянии L = 3F от линзы (см. рис.). Зер-
кальце вращается с угловой скоростью
<о = 0,1 рад/с вокруг оси, перпендикуляр-
ной плоскости рисунка и проходящей через
точку А. На расстоянии а = 5F/4 от линзы
расположен точечный источник света >8'. На
каком расстоянии от точки Л получится
изображение источника 5 в системе линза-
зеркальце в результате однократного прохождения лучей от источ-
ника S через линзу? Найдите скорость (модуль и угол между векто-
ром скорости и главной оптической осью) этого изображения в мо-
мент, когда угол между плоскостью зеркальца и главной оптической
осью а = 60°.
5. В модели атома Томсона предполагалось, что положительный за-
ряд q, равный по модулю заряду электрона, равномерно распределен
внутри шара радиуса R. Чему будет равен период колебаний (внутри
шара вдоль его диаметра) электрона, помещенного в такой шар? Мас-
са электрона т.
БИЛЕТ 6
1. Бруски с массами и т2 соединены невесомой пружиной (см.
рис.) и прикреплены с помощью легкой нити к упору Л, закреплен-
ному на гладкой наклонной плоскости с
углом наклона а. Система покоится. Най-
ти силу натяжения нити. Найти ускорение
(направление и модуль) бруска с массой
т[ сразу после пережигания нити.
2. На диаграмме зависимости давления
Р от объема V для некоторой массы идеаль-
ного газа две изобары и две изохоры перс-
J 995 год
ФИЗИКА
19
секаются в точках 1, 2, 3 и 4. Найти температуры газа
Т1 и Т3 в точках 1 и 3, если точки 2 и 4 лежат на прямой,
проходящей через начало координат, а температуры газа
в этих точках равны соответственно Т2 и Т4.
3. При замкнутом ключе К (см. рис.) установивше-
еся напряжение на конденсаторе V\ = 27 В. Найти ЭДС
источника тока. Определить установившееся напряже-
ние И2 на конденсаторе после размыкания ключа.
1 ~ 2
/4 3
V
К задаче 2
К задаче 3
4. На главной оптической оси тонкой рассеивающей линзы с фо-
кусным расстоянием Е=10см расположено плоское зеркальце на
расстоянии L = 4,2F от линзы (см. рис.). Зер-
кальце вращается с угловой скоростью
со = 0,05рад/с вокруг оси, перпендикулярной
плоскости рисунка и проходящей через точку
А. На расстоянии а = 4F от линзы расположен
точечный источник света 5.
1) На каком расстоянии от точки А получит-
ся изображение источника S в системе линза-
зеркальце в результате однократного прохож-
дения лучей от источника 5 через линзу?
2) Найдите скорость (модуль и угол между
вектором скорости и главной оптической осью) этого изображения в
момент, когда угол между плоскостью
ской осью а = 40°.
5. В закрепленной тонкостенной
непроводящей равномерно заряжен-
ной сфере радиуса R имеются два не-
больших диаметрально противопо-
ложных отверстия. Заряд сферы Q.
По прямой, проходящей через отвер-
стия, из бесконечности движется ча-
стица, имеющая на бесконечности скорость Уо. Масса частицы пг, ее
заряд равен q и противоположен заряду сферы. Найдите время, в
течение которого частица будет находиться внутри сферы.
зеркальца и главной оптиче-
К задаче 4
БИЛЕТ 7
1. К потолку с помощью легкой нити и двух невесомых пружин
подвешены грузы с массами mt, m2 и m3 (см. рис.). Система
покоится.
1) Определить силу натяжения нити.
2) Определить ускорение (направление и модуль) груза массой
ml сразу после пережигания нити.
20
ФИЗИКА
I 995 год
2. На диаграмме зависимости давления Р от объема
V для некоторой массы идеального газа две изотермы
| >»| | пересекаются двумя изохорами в точках 1, 2, 3 и 4 (см.
| рис.). Найти отношение давлений /’3/Р1 в точках 3 и 1,
г^-1 если отношение температур в этих точках Т3П\ = Д
Давления газа в точках 2 и 4 равны.
|	3. В схеме (см. рис.) ключи и К2 разомкнуты, а
I '"3 I конденсаторы не заряжены. Ключ К, замыкают, остав-
к задаче 1 ляя К2 разомкнутым. В результате на конденсаторе ем-
костью С устанавливается напряжение И, = 15 В.
1) Найти ЭДС % источника тока.
2) Каким станет установившееся напряжение V2 на конденсаторе
емкостью С после замыкания ключа К2 при замкнутом
4. На главной оптической оси тонкой собирающей линзы с фо-
кусным расстоянием У7 = 15 см расположено плоское зеркальце на
расстоянии L = 5F от линзы (см. рис.). Зеркальце вращается с
постоянной угловой скоростью <о вокруг оси, перпендикулярной
плоскости рисунка и проходящей через точку А. На расстоянии
d=l,2F от линзы расположен точечный источник света 5. В не-
который момент времени скорость перемещения изображения, по-
лученного в результате однократного прохождения лучей от ис-
точника 5 через линзу и отражения в зеркальце, была параллельна
главной оптической оси и равна V = 3 см/с.
1) На каком расстоянии от точки А находится изображение?
2) Найти угловую скорость <о вращения зеркальца и угол а
между его плоскостью и главной оптической осью в указанный
момент времени.
5. Определить период малых колебаний в вертикальной плоскости
небольшого тела массы m с зарядом q внутри непроводящей сферы
радиуса R, если в верхней точке сферы закреплен одноименный то-
чечный заряд Q. Внутренняя поверхность сферы гладкая. Ускорение
свободного падения g.
1 995 год
ФИЗИКА
21
БИЛЕТ 8
1. Бруски с массами тх и т2 соединены легкой нитью (см. рис.)
и прикреплены с помощью невесомой пружины к упору А, закреп-
ленному на гладкой наклонной плоскости с углом наклона а. Систе-
ма покоится.
1)	Найти силу натяжения нити.
2)	Найти ускорение (направление и модуль) бруска с массой /и,
сразу после пережигания нити.
К задаче 2
2.	Диаграмма зависимости давления Р от объема V для некоторой
массы идеального газа состоит из двух изотерм и двух отрезков пря-
мых, проходящих через начало координат (см. рис.). Найти объем
газа V4 в состоянии 4, если известны его объемы V2 и V3 в состо-
яниях J, 2 и 3.
3.	При разомкнутом ключе К (см. рис.) на конденсаторе устанав-
ливается напряжение Vt = 12 В.
1) Найти ЭДС источника тока.
2) Определить установившееся напряжение V2 на конденсаторе
после замыкания ключа.
4. На главной оптической оси тонкой рассеивающей линзы с фо-
кусным расстоянием F = 20 см расположено плоское зеркальце на
расстоянии L = 5,1F от линзы (см. рис.). Зеркальце вращается с по-
К задаче 4
стоянкой угловой скоростью ш вокруг оси, перпендикулярной пло-
скости рисунка и проходящей через точку А. На расстоянии d = 9F
от линзы расположен точечный источник света В некоторый мо-
мент времени скорость перемещения изображения, полученного в ре-
зультате однократного прохождения лучей от источника 5 через лин-
22
ФИЗИКЛ
1995 год
зу и отражения в зеркальце, была равна V = 12 см/с и параллельна
прямой СВ, составляющей угол р = 10° с главной оптической осью.
1) На каком расстоянии от точки Л находится изображение?
2) Найти угловую скорость ш вращения зеркальца и угол а
между его плоскостью и главной оптической осью в указанный
момент времени.
5. В закрепленной тонкостенной непроводящей равномерно заря-
женной сфере радиуса R имеются два небольших диаметрально проти-
воположных отверстия. Заряд сферы Q. По прямой, проходящей через
отверстия, из бесконечности движется с некоторой скоростью Vo час-
тица массы т с зарядом q, одноименным с Q. Известно, что в течение
времени Т частица находилась внутри сферы. Определите скорость
Ко частицы на бесконечности.
БИЛЕТ 9
1.	Горизонтально расположенный закрытый цилиндрический сосуд
с гладкими стенками разделен подвижным теплонепроницаемым пор-
шнем на две части, в которых находятся различные идеальные газы с
одинаковой температурой То = 300 К. Объем, занимаемый одним из
газов, в а = 3 раза больше объема другого газа. Газ в большем объеме
нагревают, и он увеличивает свой объем на р = 1/20 объема всего сосу-
да. На сколько увеличилась температура этого газа, если температура
в другой части сосуда поддерживается постоянной и равной 7°0?
2.	Луна движется вокруг Земли с периодом
Т = 27,3 суток по орбите, которую можно считать
круговой. Радиус Земли г = 6400 км. Ускорение
свободного падения на поверхности Земли g=9,8
м/с2. Определить по этим данным расстояние меж-
ду Землей и Луной.
3.	В фокальной плоскости тонкой рассеивающей
линзы на расстоянии h = 2 см от ее главной оптиче-
ской оси расположен точечный источник света 5. Угол между двумя
лучами, один из которых параллелен главной оптической оси,
а = 0,08.
1) Найти угол р между этими лучами после преломления в линзе.
2) На каких расстояниях от линзы и от
главной оптической оси получится изобра-
жение источника S? Фокусное расстояние
линзы F = 20 см. Считать, что аир малы
и F.
4. Две батареи с ЭДС и <f2 включе-
ны в схему, параметры которой указаны
на рисунке, причем Rx = R2 = R3 = R. В
К задаче 3
1995 год
ФИЗИКА
23
начальный момент времени ключи А?, и Кг разомкнуты, конденсато-
ры не заряжены. Ключи одновременно замыкают.
1) Найти начальный ток через резистор А,.
2) Какое количество теплоты выделится во всей схеме после за-
мыкания ключей? Внутренним сопротивлением батарей пренебречь.
5. На гладкой горизонтальной поверхности расположено тонкое не-
проводящее кольцо массой т, вдоль которого равномерно распределен
заряд Q. Кольцо находится во внешнем однородном магнитном поле с
индукцией Во, направленной перпендикулярно плоскости кольца.
Внешнее магнитное поле выключают.
1) По какой причине (указать механизм) кольцо начнетврашдться?
2) Найти угловую скорость вращения кольца после выключения
магнитного поля.
БИЛЕТ 10
1.	В цилиндрическом сосуде с вертикальными гладкими стенками
и открытой в атмосферу верхней частью под подвижным тяжелым
поршнем находится v молей идеального газа. К поршню и дну сосуда
прикреплена пружина с жесткостью к (см. рис.). При температуре
газа 7\ пружина растянута, и ее длина равна L. До какой темпера-
туры Т2 надо нагреть газ, чтобы его объем увеличился в п = 2 раза?
К задаче I
К задаче 3
2.	Спутник Фобос обращается вокруг Марса по орбите радиуса
R = 9400 км с периодом Т = 7 ч. 39 мин. Радиус Марса Ro = 3400 км.
Найти по этим данным ускорение свободного падения на поверхности
Марса.
3.	Фокусное расстояние тонкой собирающей линзы F = 30 см.
Точечный источник света 5 находится на расстояниях F/2 от лин-
зы и h = 3 см от ее главной оптической оси. Угол между двумя
лучами, один из которых параллелен главной оптической оси, ра-
вен а. 1) Найти угол а, если угол между этими лучами после
прохождения линзы р = 0,15. 2) Определить расстояния от изобра-
жения источника S до линзы и главной оптической оси. Считать
углы аир малыми и h«F.
24
ФИЗИКА
I 995 год
4.	Батарея с ЭДС и внутренним сопротивлением г включена через
ключ К в схему, параметры которой указаны на рисунке. В начальный
момент времени ключ К разомкнут, конденсаторы нс заряжены. Ключ
замыкают.
1) Определить начальный ток через батарею.
2) Какое количество теплоты выделится во всей схеме после за-
мыкания ключа?
5. На гладкой горизонтальной поверхности расположено тонкое
проволочное кольцо радиуса г. Кольцо находится во внешнем од-
нородном магнитном поле с индукцией ZJ0, направленной перпен-
дикулярно плоскости кольца. Индукция внешнего магнитного поля
стала уменьшаться со временем t по закону: /?(/)= Во — Л/, где
А — константа.
1) Найти ток в кольце.
2) Чему равна максимальная сила натяжения проволоки кольца,
обусловленная взаимодействием тока в кольце и внешнего магнитного
поля? Сопротивление проволоки кольца R. Самоиндукцией кольца
пренебречь.
БИЛЕТ 11
1. Закрытый цилиндрический сосуд объемом V = 18 л с гладкими
стенками расположен горизонтально и делится подвижным теплонеп-
роницаемым поршнем на две части, в которых находятся различные
идеальные газы при одинаковой температуре. Объем, занимаемый
одним из газов, в а = 2 раза больше объема другого газа. В резуль-
тате нагрева температура газа в меньшем объеме увеличилась в
(3 = 2 раза. На сколько увеличился объем этого газа, если темпера-
тура газа в другой части сосуда поддерживается постоянной и равной
начальной температуре?
2. Период обращения Луны вокруг Земли Т = 27,3 суток. Радиус
Земли г = 6400 км. Ускорение свободного падения на поверхности
Земли g = 9,8 м/с* 1 2. Определить по этим данным
5 _-rg-—	скорость Луны, считая ее орбиту круговой.
«	3. в фокальной плоскости тонкой рассеивающей
F	линзы на расстоянии h = 1 см от ее главной оп-
тической оси расположен точечный источник све-
та 5. Угол между двумя лучами, один из которых
к задаче 3 параллелен главной оптической оси, равен а. Фо-
кусное расстояние линзы F = 12 см.
1) Найти угол а, если угол между этими лучами после прелом-
ления в линзе стал [3 = 0,24.
2) На каких расстояниях от линзы и от главной оптической оси
получится изображение источника S'! Считать, что а и [3 малы и
h«F.
I 995 год
ФИЗИКЛ
25
4. Две батареи с ЭДС каждая включены в схему, параметры кото-
рой указаны на рисунке. В начальный момент времени ключи А?, и К2
разомкнуты, конденсаторы нс заряжены.
Ключи одновременно замыкают. 1) Найти
начальный ток через батареи. 2) Какое ко-
личество теплоты выделится во всей схеме
после замыкания ключей? Внутренним со-
противлением батарей пренебречь.
5. На гладкой горизонтальной поверх-
ности расположено тонкое непроводящее
кольцо массой т, вдоль которого равно-
мерно распределен заряд Q. Кольцо нахо-
дится между полюсами электромагнита, создающего однородное маг-
нитное поле, направленное перпендикулярно плоскости кольца. При
включении электромагнита индукция магнитного поля возросла от
нуля до некоторого значения Во, а кольцо начало вращаться с угло-
вой скоростью О).
1)	По какой причине (указать механизм) кольцоначало вращаться?
2)	Определите Во.
БИЛЕТ 12
1. На столе стоит цилиндрический сосуд с гладкими вертикаль-
ными стенками (см. рис.). К невесомому подвижному поршню и
дну сосуда прикреплена упругая пружина. Верх-
няя часть сосуда сообщается с атмосферой. Под
поршнем находится идеальный газ при темпера-
туре Г, и под давлением в р = 2 раза большим
внешнего атмосферного давления. Во сколько раз
надо увеличить температуру газа в сосуде, чтобы
его объем увеличился в п = 2 раза? Длиной не-
деформированной пружины пренебречь.
2. Радиус Марса Во = 3400 км. Спутник Фобос
К задаче 1
обращается вокруг него по орбите радиуса R = 9400 км с периодом
Т = 7 ч. 39 мин. Найти по этим данным первую космическую ско-
рость для Марса.
3.	Фокусное расстояние тонкой собирающей линзы F = 40 см.
Точечный источник света 5 расположен на расстояниях F/2 от
линзы и h = 5 см от ее главной оптической
оси. Угол между двумя лучами, один из	---
которых параллелен главной оптической ____________} а _________
оси, а = 0,2.	,	f ।
1) Найти угол р между этими лучами	"* 772 *,
после прохождения линзы.
К задаче 3
26
ФИЗИКА
1995 год
2) Определить расстояния от изображения источника 5 до линзы
и главной оптической оси. Считать углы а и р малыми и h« F.
4.	Батарея с неизвестной ЭДС и внутренним сопротивлением г
через ключ К включена в схему, параметры которой указаны на
рисунке. В начальный момент времени ключ К разомкнут, кондсн-
✓ч	саторы не заряжены. Сразу после замыкания клю-
xfb ча через батарею течет ток /0.
Су	О Определить ЭДС батареи.
Z-___£z||---2) Какое количество теплоты выделится во всей
'ч,	/ч' схеме после замыкания ключа?
5.	На гладкой горизонтальной поверхности рас-
3 х/'	положено тонкое проволочное кольцо радиуса г.
Кольцо находится между полюсами злектро-
1*^7 К магнита, создающего однородное магнитное поле,
к задаче 4 направленное перпендикулярно плоскости кольца.
За время т (с момента включения электро-
магнита) индукция магнитного поля в зазоре между полюсами элект-
ромагнита равномерно нарастала от нуля до некоторого значения
Во. При этом максимальная сила сжатия вдоль проволоки кольца
(обусловленная взаимодействием тока в кольце и внешнего магнит-
ного поля) оказалась равной F. Сопротивление проволоки кольца R.
1) Найдите ток в кольце при нарастании магнитного поля, считая
известными г, т, Во, R.
2) Определите Во, считая известными г, т, F, R. Самоиндукцией
кольца можно пренебречь.
1996 год
ФИЗИКА
27
1996
БИЛЕТ 1
1. Из бункера с высоты Н = 1 м высыпалась порция песка массой
т = 100 кг и попала в вагонетку массой 1т, движущуюся горизон-
тально со скоростью v = 3 м/с. Сопротивление движению вагонетки
со стороны рельсов нс учитывать.
1)	Найти скорость вагонетки с песком.
2)	На сколько увеличилась суммарная внутренняя энергия ваго-
нетки, песка и окружающих тел?
2.	Пружина жесткостью к прикреплена к потолку и бруску массой
т (см. рис.). Брусок лежит на подставке так, что ось пружины вер-
тикальна и пружина сжата на величину L. Подставку быстро убира-
ют. Найти амплитуду колебаний бруска.
3.	В отверстие радиусом R= 1,5 см в тонкой непрозрачной пере-
городке вставлена тонкая собирающая линза. Точечный источник
света расположен на главной оптической оси линзы по одну сторону
перегородки. По другую сторону перегородки находится экран. Эк-
ран, соприкасавшийся вначале с линзой, отодвигают от линзы. В ре-
зультате радиус светлого пятна на экране плавно увеличивается и на
расстоянии L= 18 см от перегородки достигает значения г, = 3 см.
Если линзу убрать, оставив экран на месте, то радиус пятна на эк-
ране станет г2 = 4,5 см.
1) Найти расстояние от источника до линзы.
2) Определить фокусное расстояние линзы.
4. На рисунке для v молей гелия показан цикл, состоящий из
двух участков линейной зависимости давления Р от объема V и
изобары (см. рис.). На изобаре 1—2 газ совершил работу Л, и его
температура увеличилась в 4 раза. Температуры в состояниях 1
и 3 равны. Точки 2 и 3 на диаграмме PV лежат на прямой,
проходящей через начало координат.
1) Определить температуру Г, в точке 1.
2) Определить работу газа за цикл.
К задаче 2
28
ФИЗИКЛ
1996 год
5. Два одинаковых проводящих диска радиусами г вращаются с уг-
ловыми скоростями св, и оэ2 (оэ, > <о2) в однородном магнитном поле с
индукцией В, перпендикулярной их плоскостям (см. рис.). Центры
дисков с помощью проводников присоединены к конденсатору емко-
стью Ср а ободы — через скользящие контакты к конденсатору емко-
стью С2. Найти напряжения, которые установятся в конденсаторах.
БИЛЕТ 2
1. Кусок пластилина массой т = 32 г (см. рис.) попадает в брусок
массой бнг, двигающийся по гладкой горизонтальной поверхности
стола, и прилипает к нему. Перед ударом скорость куска пластилина
равна и = 7 м/с и направлена под углом а = 60° к горизонту, а ско-
рость бруска равна и/4 и лежит в одной вертикальной плоскости со
скоростью пластилина.
1)	Определить скорость бруска с пластилином после удара.
2)	На сколько увеличилась суммарная внутренняя энергия бруска,
пластилина и окружающих тел?
2.	На пружине жесткостью к висят два груза, связанные нитью (см.
рис.). После пережигания нити верхний груз стал колебаться с ампли-
тудой А. Найти массу нижнего груза.
3.	Тонкая собирающая линза вставлена в отверстие радиусом
7?= 2,5 см в тонкой непрозрачной ширме. Точечный источник света
расположен на расстоянии d = 15 см от линзы на ее главной оптиче-
ской оси. Экран, находящийся по другую сторону ширмы, чем источ-
ник, отодвигают от линзы. В результате радиус светлого пятна на экра-
не плавно уменьшается и на расстоянии L = 12 см от линзы становится
равным г = 1,5 см.
1) На каком расстоянии от линзы надо поместить экран, чтобы
получить четкое изображение источника?
2) Найти фокусное расстояние линзы.
4. Цикл для v молей гелия состоит из двух участков линейной за-
висимости давления Рот объема V и изохоры (см. рис.). В изохориче-
ском процессе 1—2 газу сообщили количество теплоты Q, и его темпе-
1996 год
ФИЗИКА
29
ратура увеличилась в 4 раза. Температуры	|	_
в состояниях 2 и 3 равны. Точки 1 и 3 на =?-вФПЛ
диаграмме PV лежат на прямой, проходя-	U
щей через начало координат.
1) Найти температуру Т в точке 1.
2) Найти работу газа за цикл.	к задане 5
5. В простейшей схеме магнитного гид-
родинамического генератора плоский конденсатор с площадью пла-
стин 5 и расстоянием d. между ними помещен в поток проводящей жид-
кости с удельным сопротивлением р, движущейся с постоянной ско-
ростью v параллельно пластинам (см. рис.). Конденсатор находится в
магнитном поле с индукцией В, направленной вдоль пластин и перпен-
дикулярно скорости жидкости. Найти полезную мощность, которая
выделяется в виде тепла на внешней нагрузке сопротивлением R.
БИЛЕТ 3
1. Камень массой т = 1 кг подняли на некоторую высоту и отпу-
стили без начальной скорости. Через время t = 1 с практически сво-
бодного падения камень попал в ящик с песком массой 5т, сколь-
зивший по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью
v = 6 м/с.
1)	Найти скорость ящика с камнем.
2)	На сколько увеличилась суммарная внутренняя энергия ящика,
песка, камня и окружающих тел?
2.	Груз массой т привязан нитью, перекинутой через блок, к дру-
гому грузу, который удерживается на гладком горизонтальном столе
пружиной, прикрепленной к стене (см. рис.).
Нить пережигают, и груз на столе начинает
колебаться с амплитудой А. Найти жесткость
пружины.
3.	В отверстие радиусом R = 1 см в тонкой
непрозрачной перегородке вставлена тонкая
рассеивающая линза. По одну сторону перего-
родки на главной оптической оси линзы распо-
ложен точечный источник света. По другую сторону перегородки на
расстоянии L = 24 см от нее находится экран. Радиус светлого пятна
на экране г, = 4 см. Если линзу убрать, то радиус пятна на экране ста-
нет г2 = 2 см.
1) Найти расстояние от источника до линзы.
2) Определить фокусное расстояние линзы.
4. На рисунке для v молей гцлия показан цикл, состоящий из двух
участков линейной зависимости давления Р от объема V и изобары
(см. рис.). На изобаре 3—1 над газом совершили работу А (А > 0), и
его температура уменьшилась в 4 раза. Температуры в состояниях 2 и
К задаче 2
30
ФИЗИКА
1996 го,'i
К задаче 4
К задаче 5
3 равны. Точки 1 и 2 на диаграмме PV лежат на прямой, проходящей
через начало координат.
1) Определить температуру 1\ в точке 1.
2) Определить работу газа за цикл.
5. Два проводящих диска радиусами и г2 вращаются с одинако-
выми (по модулю) угловыми скоростями ш в противоположных на-
правлениях (см. рис.). Перпендикулярно плоскостям дисков направ-
лено однородное магнитное поле с индукцией В. Центры дисков с
помощью проводников присоединены к конденсатору емкостью С,,
ободы — через скользящие контакты к обкладкам конденсатора ем-
костью С2. Определить оэ, если известно, что на конденсаторе С,
установилось напряжение U.
БИЛЕТ 4

1. Кусок пластилина массой m = 200 г (см. рис.) попадает в бру-
сок массой 2m, двигающийся по гладкой горизонтальной поверхности
стола, и прилипает к нему. Перед ударом скорость куска пластилина
v = 6 м/с и направлена под углом а = 60° к горизон-
ту, а скорость бруска равна и/2 и лежит в одной вер-
тикальной плоскости со скоростью пластилина.
1) Определить скорость бруска с пластилином по-
сле удара.
2) На сколько увеличилась суммарная внутренняя
энергия бруска, пластилина и окружающих тел?
2. Чашка с гирями пружинных весов покоится. На
чашку поставили еще одну гирю массой т. Найти амплитуду коле-
баний чашки. Жесткость пружины к.
3. Тонкая собирающая линза вставлена в отверстие радиусом
R = 2 см в тонкой непрозрачной ширме. Точечный источник света
расположен слева от ширмы на расстоянии d = 30 см от линзы на ее
главной оптической оси. На экране, находящемся справа от ширмы,
получено резкое изображение источника. После перемещения экрана
вправо вдоль главной оптической оси на расстояние L = 15 см на нем
появилось светлое пятно радиусом г — 0,5 см.
К задаче 1
1996 год
ФИЗИКЛ
31
1) На каком расстоянии от линзы находился
экран вначале?
2) Найти фокусное расстояние линзы.
4. Цикл для v молей гелия состоит из двух уча-
стков линейной зависимости давления Р от объема
V и изохоры (см. рис.). В изохорическом процессе
1—2 от газа отведено количество теплоты Q
(Q > 0) и его температура уменьшилась в 4 раза.
Температуры в состояниях 2 и 3 равны. Точки J и
3 на диаграмме PV лежат на прямой, проходя-
щей через начало координат.
1) Найти температуру Т{ в точке 1.	—
2) Найти работу газа за цикл.
5. Между закороченными пластинами
плоского конденсатора с площадью пластин
5 и расстоянием d между ними движется	к задаче 5
параллельно пластинам с постоянной ско-
ростью v проводящая лента толщиной h
(см. рис.). Ширина ленты больше размеров конденсатора. Конден-
сатор находится в магнитном поле с индукцией В, направленной
вдоль пластин и перпендикулярно скорости ленты. Найти наведен-
ный заряд на пластинах конденсатора.
БИЛЕТ 5
1. На наклонной плоскости с углом наклона а = 30° удержива-
ются неподвижно тележка и брусок, расположенные рядом (см. рис.).
Их отпускают. Какое расстояние будет между тележкой и бруском к
моменту, когда тележка пройдет расстояние L = 50 см? Коэффици-
ент трения скольжения между бруском и наклонной плоскостью
ц = 0,3. Массу колес тележки и трение качения	.
не учитывать.
2. Высота комнаты //1 = 3,3 м. На расстоянии
Я2 = 2,2м от пола висит лампа. Нить накала 
лампы можно считать точечным источником све- к задачс I
та. На полу лежит плоское зеркальце прямо-
угольной формы размерами 4x6 см2.
1)	На каком расстоянии X от потолка находится изображение нити
накала лампы в зеркальце?
2)	Найти форму и размеры «зайчика», полученного от зеркальца
на потолке.
3.	Тонкая запаянная с одного конца трубка заполнена ртутью и
закреплена на горизонтальной платформе, вращающейся с угловой
скоростью со вокруг вертикальной оси так, что ртуть не выливается
и заполняет полностью горизонтальное колено трубки (см. рис.). От-
32
ФИЗИКА
1996 ro;j
К задаче 3
К задаче 5
крытое колено трубки вертикально.
Геометрические размеры установки
указаны на рисунке. Атмосферное
давление Ро, плотность ртути р.
1) Найти давление ртути в месте
изгиба трубки.
1 1 111	2) Найти давление ртути у запаян-
ного конца трубки.
4. В сосуде находится жидкость и
ее насыщенный пар. В процессе изо-
термического расширения объем, занимае-
мый паром, увеличивается в Р = 3 раза, а
давление пара уменьшается в а = 2 раза.
Найти отношение массы жидкости т2 к мас-
се пара т1, которые первоначально содержа-
лись в сосуде.
5. В схеме, изображенной на рисунке,
сначала замыкают ключ А, и после того, как
конденсатор емкостью С2 полностью заря-
дится от батареи с ЭДС <?, ключ Kt размы-
кают и замыкают ключ К2. После замыкания ключа К2 в схеме про-
исходят свободные незатухающие колебания. Когда напряжение на
конденсаторе емкостью С, достигает максимального значения, в него
быстро (за время, малое по сравнению с периодом колебаний) встав-
ляют диэлектрическую пластину, что приводит к увеличению его
емкости е раз.
1) Чему равен начальный ток в цепи после замыкания ключа К2?
2) Определить максимальный ток в цепи после вставки пластины.
БИЛЕТ 6
1. По горизонтальной поверхности стола скользит брусок массой
т и сталкивается неупруго с неподвижным бруском массой 2т, имея
перед ударом скорость v = 2 м/с. Какое расстояние пройдут слипши-
еся бруски до остановки? Коэффициент трения скольжения между
брусками и столом ц = 1/18.
2. На стене в комнате висит плоское зеркало в форме ромба с
диагоналями 16 см и 12 см. Лампочка висит на расстояниях 5, = 2 м
от стены с зеркалом и S2 = 1 м от противоположной стены. Нить
накала лампочки можно считать точечным источником света.
1) На каком расстоянии X от противоположной стены находится
изображение нити накала лампочки в зеркале?
2) Найти форму и размеры «зайчика», полученного от зеркала на
противоположной стене.
1996 год
ФИЗИКА
33
3. Тонкая трубка, запаянная с одного конца, заполнена водой и
закреплена на горизонтальной платформе, вращающейся с угловой
скоростью со вокруг вертикальной оси
(см. рис.). Открытое и запаянное коле-
на трубки вертикальны. Геометриче-
ские размеры установки даны на ри-
сунке. Атмосферное давление Ро, плот-
ность воды р.
1) Найти давление воды в месте из-
гиба трубки, расположенном на оси №
вращения.
2) Найти давление воды у запаянно-
го конца трубки.
4. В сосуде находится водяной пар и
вода при температуре 100 °C. В процессе
изотермического расширения вода начина-
ет испаряться. К моменту, когда она вся ис-
парилась, объем пара увеличился в р = 10
раз. Найти отношение объемов пара и воды
в начале опыта.
5. В колебательном контуре, состоящем	К задаче 5
из двух последовательно соединенных кату-
шек с индуктивностями и L2 и конденса-
тора емкостью С, происходят свободные незатухающие колебания,
при которых амплитуда колебаний тока равна /0 (см. рис.). Когда си-
ла тока в катушке L, максимальна, в нее быстро (за время, малое по
сравнению с периодом колебаний) вставляют сердечник, что приводит
к увеличению ее индуктивности в ц раз.
1) Определить максимальное напряжение на конденсаторе до
вставки сердечника.
2) Определить максимальное напряжение на конденсаторе после
вставки сердечника.
БИЛЕТ 7
1. На наклонной плоскости с углом наклона а= 30° удерживают-
ся неподвижно тележка и брусок, расположенные рядом (см. рис.).
Их отпускают. На каком расстоянии друг от друга окажутся тележка
и брусок к моменту, когда брусок пройдет расстояние 5= 31 см? Ко-
эффициент трения скольжения между бруском и
наклонной плоскостью ц = 0,4. Массу колес те-
лежки и трение качения не учитывать.
2. Лампочка настольной лампы находится на _________
расстояниях = 0,6 м от поверхности стола и к задаче 7
34
ФИЗИКЛ
1996 год
Л2= 1,8 м от потолка. Нить накала лампочки можно считать точеч-
ным источником света. На столе лежит осколок плоского зеркала в
форме треугольника со сторонами 5 см, 6 см и 7 см.
1) На каком расстоянии X от потолка находится изображение нити
накала лампочки в зеркале?
2) Найти форму и размеры «зайчика», полученного от осколка
зеркала на потолке.
3. Тонкая запаянная с одного кон-
ца трубка заполнена жидкостью и за-
креплена на горизонтальной платфор-
ме, вращающейся с угловой скоростью
со вокруг вертикальной оси (см. рис.).
Открытое колено трубки вертикально.
Геометрические размеры установки
указаны на рисунке. Атмосферное
давление Ро, плотность жидкости р.
1) Найти давление жидкости в ме-
сте изгиба трубки.
2) Найти давление жидкости у запаянного конца трубки.
4. В сосуде находится ненасыщенный пар. В процессе его изотер-
мического сжатия объем, занимаемый паром, уменьшается в р = 4
раза, а давление возрастает в а = 3 раза.
Найти долю пара, которая сконденсировалась
в этом процессе.
5. В колебательном контуре, состоящем из
двух параллельно соединенных конденсаторов
с емкостями С, и С2 и катушки с индуктивно-
стью L (см. рис.), происходят свободные неза-
тухающие колебания, при которых амплитуда
колебаний заряда на конденсаторе С2 равна q0.
В конденсаторе Cj расположена диэлект-
рическая пластина с диэлектрической прони-
цаемостью е, которая полностью заполняет его
пространство. Когда заряд на конденсаторе
достигает максимального значения, пластину быстро (за время, малое
по сравнению с периодом колебаний) удаляют из конденсатора.
1) Определить новый период колебаний.
2) Определить амплитуду новых колебаний тока в катушке.
БИЛЕТ 8
1. Слипшиеся брусок и тележка движутся по горизонтальной по-
верхности стола (см. рис.). В некоторый момент, когда скорость рав-
на и = 1 м/с, брусок отлипает от тележки. На каком расстоянии друг
1996 год
ФИЗИКА
35
v
К задаче
1
равны 15
см и
м от
Нить
а)
К задаче 3
от друга окажутся тележка и брусок к моменту
остановки бруска? Коэффициент трения сколь-
жения бруска о стол |л = 0,1. Трением качения
пренебречь.
2. В комнате на стене висит плоское зеркало
в форме эллипса, большая и малая оси которого
10 см. Стена с зеркалом находится на расстояниях Х[ = 1
висящей лампочки и Х2 = 3 м от противоположной стены,
накала лампочки можно считать точечным источником света.
1)	На каком расстоянии X от проти-
воположной стены находится изображе-
ние нити накала лампочки в зеркале?
2)	Найти форму и размеры «зайчи-
ка», полученного от зеркала на проти-
воположной стене.
3.	Тонкая трубка, запаянная с одно-
го конца, заполнена маслом и закрепле-
на на горизонтальной платформе, вра-
щающейся с угловой скоростью со вок-
руг вертикальной оси так, что масло не
выливается и заполняет полностью го-
ризонтальное колено трубки (см. рис.). Открытое колено трубки вер-
тикально. Геометрические размеры установки даны на рисунке. Ат-
мосферное давление Ро, плотность масла р.
1) Найти давление масла в месте изгиба трубки.
2) Найти давление масла у запаянного конца трубки.
4. В сосуде находится насыщенный водяной пар при температуре
100°С. В процессе изотермического сжатия пар начинает
конденсироваться. Найти отношение объемов
пара и воды к моменту, когда объем пара
уменьшится в а = 7 раз.
5. В схеме (см. рис.) конденсатор емкостью
С заряжен до некоторого напряжения. После
замыкания ключа К в схеме происходят сво-
бодные, практически незатухающие колеба-
ния, при которых амплитудное значение тока
в катушке с индуктивностью L2 равно /0. Ког-
да ток в катушке с индуктивностью Л1 дости-
гает максимального значения, из нес быстро
(за время, малое по сравнению с периодом колебаний) выдвигают
сердечник, что приводит к уменьшению ее индуктивности в ц раз.
1) Найти ток через катушку L2 сразу после замыкания ключа.
2) Найти максимальное напряжение на конденсаторе после выдви-
гания сердечника.
к

1‘2
К задаче 5
36
ФИЗИКЛ
1996 год
БИЛЕТ 9
1. На схему подано постоянное напряжение / = 70 В (см. рис.).
Найти пределы изменения напряжения на конденсаторе при медлен-
ных изменениях сопротивления резистора Л, в пределах от Я/4 до
К задаче 1
6R. Сопротивление резистора R2 постоян-
но и равно R.
2. Гелий из состояния с температурой
7\ = 200 К расширяется в процессе
PV1 = const (Р — давление, V — объем
газа) с постоянной теплоемкостью С. От
газа отвели количество теплоты 415 Дж,
и конечный объем газа стал вдвое больше
начального.
1) Определить конечную температуру гелия.
2) Определить теплоемкость С.
3. В цилиндрическом сосуде с водой (стенки сосуда вертикальны)
плавает деревянная дощечка. Если на нее сверху положить стеклян-
ную пластинку, то дощечка с пластинкой останутся на плаву и уровень
воды в сосуде увеличится на АЛ. На сколько изменится уровень воды в
сосуде с плавающей дощечкой, если ту же стеклянную пластинку бро-
сить на дно сосуда? Плотность стекла рс, плотность воды рв.
4. Тонкая собирающая линза диаметром D = 5 см с фокусным рас-
стоянием Г = 50 см разрезана по диаметру, и ее половинки раздви-
нуты симметрично относительно ее главной оптической оси ОО на
расстояние а = 1 см. Сверху и снизу половинки линзы ограничены
двумя зеркальными полуплоскостями и П2, параллельными оси
К задаче 4
ОО и друг другу. В фокальной плоскости линзы на оси ОО распо-
ложен точечный монохроматический источник света S.
1) Найти угол между пучками лучей, вышедших из половинок
линзы.
2) При каком минимальном расстоянии L в центре экрана Э (око-
ло оси ОО) можно наблюдать интерференционную картину от лу-
чей, предварительно прошедших половинки линзы?
1996 год	ФИЗИКА	37
5. Металлический прут в форме дуги окружности радиусом L висит
на двух легких нитях длины L каждая (см. рис.). Масса прута т, его
поперечное сечение постоянно. Угол между нитями 2ф.
1) Найти силу натяжения нитей в положении равновесия.
2) Найти период малых колебаний такой «дуги» в вертикальной
плоскости, совпадающей с плоскостью «дуги».
БИЛЕТ 10
1. На схему (см. рис.) подано постоянное напряжение V = 36 В. В
каких пределах можно изменять напряжение на конденсаторе С, при
медленных изменениях емкости в пределах от С/2 до 8С? Емкость
конденсатора С2 постоянна и равна С.
2. Гелий в количестве v = 2 моля расширяется в процессе с по-
стоянной теплоемкостью С. В результате к газу подвели количество
теплоты 3000 Дж, и внутренняя энергия газа уменьшилась на
2490 Дж.
1) Чему равна работа, совершенная газом?
2) Определить теплоемкость С.
v	R	L
К задаче 1	К задаче 4
3. В цилиндрический сосуд с водой (стенки сосуда вертикальны)
опустили кусок льда, в который был вморожен осколок стекла. В
результате уровень воды в сосуде поднялся на hv = 11 мм, а лед стал
плавать, целиком погрузившись в воду. На сколько опустится уро-
вень воды в сосуде за время таяния всего льда? Плотности стекла
рс = 2,0 г/см3 4, воды рв = 1 г/см3, льда р = 0,9 г/см3.
4. Тонкая рассеивающая линза диаметром D = 4,5 см с фокусным
расстоянием F= 100 см разрезана по диаметру, и ее половинки раз-
двинуты симметрично относительно се главной оптической оси ОО
на расстояние а = 1 см. Сверху и снизу половинки линзы ограничены
двумя зеркальными полуплоскостями и Пг, параллельными оси
ОО и друг другу. В фокальной плоскости линзы на оси ОО распо-
ложен точечный монохроматический источник света 5.
1) Найти расстояние между изображениями источника 5 в поло-
винках линзы.
38
Физикл
1996 год
2) При каком минимальном расстоянии L в центре экрана Э (око-
ло оси ОО) можно наблюдать интерференционную картину от лу-
-zzzzzzzzz/	чей, предварительно прошедших поло-
g	ВИНКИ линзы?
g*	5. Конструкция из жестко соединенных
4	?	легкого стержня и небольшого по разме-
%~о	рам шарика массой т может совершать
к задаче 3	колебания в вертикальной плоскости под
действием пружины с жесткостью к, дви-
гаясь при вращении без трения вокруг го-
ризонтальной оси О. Пружина легкая, ее точка прикрепления к стер-
жню делит его длину в отношении 1 : 2, считая от шарика. В положе-
нии равновесия стержень горизонтален, а ось пружины вертикальна.
1) Найти удлинение пружины в положении равновесия системы.
2) Найти период малых колебаний конструкции.
БИЛЕТ 11
1. На схему (см. рис.) подано постоянное напряжение V = 60 В.
Сопротивление резистора Rt постоянно и равно R. Найти пределы из-
менения напряжения на конденсаторе при медленных изменениях со-
противления резистора R2 от R/3 до 5R.
2. Гелий из состояния с температурой Т{ = 100 К расширяется в
процессе P2V = const (Р — давление, V — объем газа) с постоянной
теплоемкостью С. К газу подвели количество теплоты 2910 Дж. Ко-
нечное давление газа вдвое меньше начального.
1) Определить конечную температуру гелия.
2) Определить теплоемкость С.
3. В цилиндрическом сосуде с водой (стенки сосуда вертикальны)
плавает деревянная дощечка, на которой сверху лежит стеклянная
пластинка. На какую величину АЛ изменится уровень воды в сосуде,
если стеклянная пластинка свалится с дощечки и окажется на дне
сосуда? Известно, что если стеклянную пластинку бросить на дно
сосуда с плавающей дощечкой, то уровень воды в нем увеличится на
Л. Плотность стекла рс, плотность воды рв.
К задаче 4
1996 год	ФИЗИКА	39
4. Тонкая собирающая линза диаметром D = 4 см с фокусным рас-
стоянием F = 60 см разрезана по диаметру, и ее половинки раздвину-
ты симметрично относительно ее главной оптической оси ОО на рас-
стояние а = 0,5 см. Сверху и снизу половинки линзы or- zzzzzzzzzzz
раничсны двумя зеркальными полуплоскостями /7, и Пг, ZZ^ZZ
параллельными оси ОО' и друг другу. На расстоянии С/2
на оси ОО' расположен точечный монохроматический ис- Т
точник света S.
1) Найти расстояние между изображениями источника
5 в половинках линзы.
2) При каком минимальном расстоянии L в центре
экрана Э (около оси ОО) можно наблюдать интерфе-	4,
ренционную картину от лучей, предварительно про-	[J”1
шедших половинки линзы?	„ ,
2 _	К задаче 5
5. 1 руз массой т подвешен с помощью пружины жест-
костью к, легких нитей и невесомого блока (см. рис.).
1) Найти удлинение пружины в положении равновесия системы.
2) Найти период вертикальных колебаний груза при условии нс-
провисания нитей.
БИЛЕТ 12
1. На схему (см. рис.) подано постоянное напряжение V = 120 В.
В каких пределах будет изменяться напряжение на конденсаторе
С( с постоянной емкостью С при медленных изменениях емкости
Сг в пределах от С/4 до 7С?
2. Гелий в количестве v = 4 моля сжимают в процессе с постоянной
теплоемкостью С. От газа отвели количе-
ство теплоты, равное изменению его внут-	С1|| С21г ,
ренней энергии, и температура газа уве-
личилась на 100 К.
1)	Чему равна работа, совершенная га-
зом?
2)	Определить теплоемкость С.
3.	В цилиндрический сосуд с водой
(стенки сосуда вертикальны) опустили
кусок льда, в который была вморожена
металлическая проволока. В результате уровень воды в сосуде под-
нялся на = 36 мм, а лед с проволокой стал плавать, целиком по-
грузившись в воду. За время таяния всего льда уровень воды опу-
стился на А2 = 3,4 мм, и проволока оказалась на дне сосуда. Найти
плотность материала проволоки. Плотность воды рв=1г/см3,
льда — р = 0,9 г/см3.
40
ФИЗИКА
1 996 год
4.	Тонкая рассеивающая линза диаметром D = 7 см с фокусным
расстоянием F = 70 см разрезана по диаметру, и се половинки раздви-
нуты симметрично относительно ее главной оптической оси ОО на
расстояние а = 1 см. Сверху и снизу половинки линзы ограничены
двумя зеркальными полуплоскостями Я, и Я2, параллельными оси
ОО и друг другу. На половинки линзы падает параллельный пучок
монохроматического света от удаленного источника S.
К задаче 4
1) Найти расстояние между изображениями источника S в половин-
ках линзы.
2) При каком минимальном расстоянии L в центре экрана Э (око-
ло оси ОО) можно наблюдать интерференционную картину от лу-
чей, предварительно прошедших половинки линзы?
5. Конструкция из жестко соединенных легкого стержня и неболь-
шого шарика массой т может совершать колебания под действием
двух пружин с жесткостями к{ и к2, двигаясь при вращении без трения
вокруг вертикальной оси О по гладкой горизонтальной поверхности
стола. Пружины легкие, их оси горизонтальны, а точки прикрепления
к стержню делят его на три равные части. В положении равновесия оси
пружин перпендикулярны стержню и пружина с жесткостью кх растя-
нута на величину
1) Найти деформацию второй пружины в положении равновесия.
2) Найти период малых колебаний конструкции.

42
МАТЕМАТИКА
1994 год
1994
БИЛЕТ 1
1.	Решить уравнение
cos 2х + cos х , „
~;--------= tg 2х.
sin 2х — 1g х а
2.	Решить неравенство
V32x + 4 - V132х - 7| < 1.
3.	Дан ромб ABCD с тупым углом при вершине А. На продолже-
нии стороны AD за точку D взята точка К. Отрезки ВК и CD пере-
секаются в точке L. Найти площадь треугольника АВК, если
BL=2, KL = 5, а высота ромба равна 1.
4.	В основании прямой ' призмы ABCDAlBlClDl лежит ромб
ABCD с углом BAD, равным 2 arccos 1/3. Сфера касается всех звень-
ев ломаной АВСС1А1 и пересекает ребро BBt в точках В{ и М. Найти
объем призмы и радиус сферы, если ВХМ=^ 1.
5.	Корни уравнения
X3 - (logp/8 р)х2 +
5 I	15 п
2 l°g4 р х - т = 0
15
являются длинами сторон некоторого треугольника, а корни уравне-
ния
*3 — т 'Грх2 + 77 х---= О
3	15 р +14
— длинами высот этого же треугольника. Найти р и площадь тре-
угольника.
БИЛЕТ 2
1.	Решить уравнение
Ctg X — tg X
3 sin х + cos 2x
= Ctg 2x.
2.	Решить неравенство
3X(V91-X - 1 + 1) < 313х — 1|.
3.	Даны треугольник ABC и ромб BDEF, все вершины которого
лежат на сторонах треугольника АВС, а угол при вершине Е — ту-
пой. Найти площадь треугольника АВС, если АЕ = 3, СЕ = 7, а ра-
диус окружности, вписанной в ромб, равен 1.
1994 год
MATEMATH КА
43
4.	Дан прямоугольный параллелепипед ABCDAlBlCiDi, у которо-
го АВ : ВС = 2:3. Точки F и Ft — середины ребер ВС и Л[С1 соот-
ветственно. Сфера касается всех звеньев ломаной AFDDlAi и пере-
секает отрезок F{F в точках Ft и Е. Найти объем параллелепипеда
и радиус сферы, если F^E = 3/2.
5.	Корни уравнения
3	32 2,5	'5   п
х	Vх +77А	м = 0
являются длинами сторон некоторого треугольника, а корни урав-
нения
X3 - | I log2 РI х2 + (log8/2p р)х - 11ч^ = 0
— длинами высот этого же треугольника. Найти р и площадь тре-
угольника.
БИЛЕТ 3
1.	Решить уравнение
2
2 cos х + sin х  . 2Х
cig х — sin 2х
2.	Решить неравенство
V13x + 3 - V| 13' - 41 < 1.
3.	На продолжении стороны ВС ромба ABCD за точку В взята точ-
ка М так, что угол MDC — тупой. Отрезки АВ и DM пересекаются в
точке N. Найти площадь треугольника С DM, если DN = 3, MN = 4, а
высота ромба равна 2.
4.	Сфера пересекает ребро СС{ правильной треугольной призмы
АВСА1В1С1 в точках С1 и К и касается всех звеньев ломаной
BCAAjBj. Найти объем призмы и радиус сферы, если CtK = 4.
5.	Корни уравнения
х3 - ^2 logp<2 х2 + log2 j х - -у = О
являются длинами сторон некоторого треугольника, а корни урав-
нения
з I 2 ,	1	1
X — ч- X 4------—Т X — _ -т
Зр 30р2 7р +1
= 0
— длинами высот этого же треугольника. Найти р и площадь тре-
угольника.
44
МАТЕМАТИКА
1994 год
БИЛЕТ 4
1.	Решить уравнение
Cig X — 1g X _	„
cos х + 3 cos 2x — Clg ZX'
2.	Решить неравенство
4x(Vl6‘“x - 1 + 2) < 414х - 11.
3.	Даны треугольник ABC с тупым углом при вершине Л и ромб
CDEF, все вершины которого лежат на сторонах треугольника ЛВС.
Найти площадь треугольника АВС, если ЛЕ = 2, ВЕ = 1, а радиус
окружности, вписанной в ромб, равен 1/2.
4.	Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA[B[C[D[, у которо-
го АВ : ВС = Vfi. Точки К и К, — середины ребер AD и Л,£)| соот-
ветственно. Сфера пересекает отрезок К{К в точках К, и М и каса-
ется всех звеньев ломаной СКВВ{СГ Найти объем параллелепипеда
и радиус сферы, если К^М = 1.
5.	Корни уравнения
являются длинами сторон некоторого треугольника, а корни уравнения
*3 - | I 1оё/5 (5р) I х2 +	logp/V5 (5р) j X -	= О
— длинами высот этого же треугольника. Найти р и площадь тре-
угольника.
БИЛЕТ 5
1.	При каких х числа arcsin (3~х) и arctg (5-3х — 7) являются ве-
личинами двух углов прямоугольного треугольника?
2.	Решить неравенство
4 1о82|х| + 1 V5x + 3 ~1Оё/5х + 3 (2И +1)>0.
3.	Медиана AD и высота СЕ равнобедренного треугольника АВС
(АВ = ВС) пересекаются в точке Р. Найти площадь треугольника
АВС, если СР = 5, РЕ = 2.
4.	Найти все значения параметра а, —л < а < л, при которых си-
стема уравнений
|(4 - х2 - /)(/ - 4х + 28) = О,
I л- cos а + у sin а = 2
имеет ровно три решения.
1994 год
МАТЕМАТИКА
45
5.	В правильной четырехугольной пирамиде SABCD ребро АВ
вдвое больше высоты пирамиды. По одну сторону от плоскости
грани ABCD расположен цилиндр, окружность основания которого
проходит через центр этой грани. Ортогональные проекции ци-
линдра на плоскости SCD и SBC — прямоугольники с общей вер-
шиной в точке С. Найти отношение объемов цилиндра и пира-
миды.
БИЛЕТ 6
1.	При каких х числа arccos (4~х/д/2) и arcctg (2-4х — 3) являются
величинами двух углов прямоугольного треугольника?
2.	Решить неравенство
1оё2|х| + 1 (Зх + 2) - log3A. + 2 (2 I X I + 1) > 0.
3.	Медиана AM и биссектриса CD прямоугольного треугольника
АВС (ДВ = 90°) пересекаются в точке О. Найти площадь тре-
угольника АВС, если СО = 9, OD = 5.
4.	Найти все значения параметра а, —л < а < л, при которых си-
стема уравнений
(1 — 4х2 — 4у2)(4х2 + 15 — 12у) = 0,
1
у cos а + х sin а = 2
имеет ровно три решения.
5.	Боковое ребро правильной треугольной пирамиды SABC имеет
длину 11/5 и составляет с плоскостью основания АВС угол, равный
arctg (5V2/4). Цилиндр расположен так, что окружность одного из
его оснований проходит через середину ребра АС и не пересекает
грань SAB. Ортогональные проекции цилиндра на плоскости SAB и
SBC — прямоугольники с общей вершиной в точке 5. Найти объем
цилиндра.
БИЛЕТ 7
1.	При каких х числа arcsin (2-7-х) и arctg (7 х — 2) являются ве-
личинами двух углов прямоугольного треугольника?
2.	Решить неравенство
‘ 4 1оёз|х| + | V4x + 3 - log<4TT3 (3|х| + 1) > 0.
3.	Медиана AM и высота * СН равнобедренного треугольника
АВС (АВ = ВС) пересекаются в точке К. Найти площадь тре-
угольника АВС, если СК = 5, КН = I.
46
МАТЕМАТИКА
1994 год
4.	Найти все значения параметра а, — л < а < л, при которых сис-
тема уравнений
(2	\
fz + x + 15 =0,
у sin а — х cos а = 3
имеет ровно три решения.
5.	В правильной четырехугольной пирамиде SABCD двугранный
угол при ребре АВ равен arccos 1/3. По одну сторону от плоскости
грани ABCD расположен цилиндр, окружность основания которого
проходит через центр этой грани. Ортогональные проекции цилиндра
на плоскости SAB и SBC — прямоугольники с общей вершиной в
точке В. Найти отношение объемов цилиндра и пирамиды.
БИЛЕТ 8
1.	При каких х числа .arccos (5-хД/5) и arcctg (3-5* — 2) являются
величинами двух углов прямоугольного треугольника?
2.	Решить неравенство
1о82|х| + | (7х + 4) - log7i.+4 (2|х| + 1) >0.
3.	Медиана AD и биссектриса СЕ прямоугольного треугольника
ABC (Z.B = 90°) пересекаются в точке М. Найти площадь тре-
угольника АВС, если СМ = 8, ME = 5.
4.	Найти все значения параметра а, —л < а < л, при которых си-
стема уравнений
(9х2 + 9у2 - 1) (24у + 9х2 + 32) = 0,
1
х sin а — у cos а = J
имеет ровно три решения.	___
5.	Высота правильной треугольной пирамиды SABC равна V7/3, а
боковая грань составляет с основанием АВС угол 60°. Цилиндр рас-
положен так, что окружность одного из его оснований проходит через
середину ребра ВС и не пересекает грань SAC. Ортогональные про-
екции цилиндра на плоскости SAB и SAC — прямоугольники с общей
вершиной в точке 5. Найти объем цилиндра.
БИЛЕТ 9
1.	Решить уравнение
V5 — cos 2х = cos х — 3 sin х.
2.	На координатной плоскости даны точки А (0; 2) и В (4; 3). При
каких значениях параметра р, р< 5, ближайшая к графику функции
4 _____
у = yjx + р точка прямой АВ лежит на отрезке АВ1
1994 год
МАТЕМАТИКА
47
3.	Решить неравенство	!
'°g|2x+ 1/21	~	~ 1) 10&> (i “ Х) > 10g3 |2х + 1р
4.	В треугольнике ЛВС угол С равен л — arcsin (12/13). На стороне
АВ взята точка D так, что AD = 18, BD = 6. Найти радиус окружно-
сти, проходящей через вершину С, касающейся стороны ЛВ в точке
D и касающейся окружности, описанной около треугольника АВС.
5.	Сфера, касающаяся верхнего основания цилиндра, имеет един-
ственную общую точку с окружностью его нижнего основания и де-
лит ось цилиндра в отношении 2:6: 1, считая от центра одного из
оснований. Найти объем цилиндра, если известно, что сфера касается
двух его образующих, находящихся на расстоянии 2VK друг от друга.
БИЛЕТ 10
1.	Решить уравнение
V17 — 7 sin 2х = 3 cos х — 5 sin х.
2.	На координатной плоскости даны точки А (2; —3) и В (4; 0).
При каких значениях параметра р, р>—5, ближайшая к графику
функции у = Vx^ + р точка прямой ЛВ лежит на отрезке АВ'!
3.	Решить неравенство	(
10g8 (|-х) 10g|2x+. |	> 10g2^=^y=-
4.	В треугольнике АВС угол А равен л — arcsin (8/17), а длина
стороны ВС равна 8. На продолжении СВ за точку В взята точка
D так, что BD=1. Найти радиус окружности, проходящей через
вершину А, касающейся прямой ВС в точке D и касающейся окруж-
ности, описанной около треугольника АВС.
5.	Сфера, касающаяся нижнего основания цилиндра, имеет един-
ственную общую точку с окружностью его верхнего основания и де-
лит ось цилиндра в отношении 1 : 6 : 2, считая от центра одного из
оснований. Найти объем цилиндра, если известно, что сфера касается
двух его образующих, находящихся на расстоянии 8 друг от друга.
БИЛЕТ 11
1.	Решить уравнение
V5 + cos 2х = sin х + 3 cos х.
2.	На координатной плоскости даны точки А(—4; 2) и В(0; 3).
При каких значениях параметра р, р<8, ближайшая к графику
функции у = 4Vx 4- р точка прямой АВ лежит на отрезке АВ1
48
МАТЕМАТИКА
1994 год
3.	Решить неравенство
1О8|х+1/2|	4
“ 1 ,Оё|6 fl-*) > |0^4
4.	В треугольнике ЛВС угол В равен arccos (15/17). На стороне
АС взята точка К так, что АК = 12, КС = 4. Найти радиус окружно-
сти, проходящей через вершину В, касающейся стороны АС в точке
К и касающейся окружности, описанной около треугольника АВС.
5.	Сфера, касающаяся верхнего основания цилиндра, имеет един-
ственную общую точку с окружностью его нижнего основания и де-
лит ось цилиндра в отношении 2:6: 1, считая от центра одного из
оснований. Найти объем цилиндра, если известно, что сфера касается
двух его образующих, находящихся на расстоянии V6 друг от друга.
, БИЛЕТ 12
1.	Решить уравнение
V17 + 7 sin 2х = 3 sin х + 5 cos х.
2.	На координатной плоскости даны точки Л(2; 0) и В(4; 3). При
каких значениях параметра р, р> —2, ближайшая к графику функ-
ции у = Vx$ + р точка прямой АВ лежит на отрезке АВ?
3.	Решить неравенство
1	(5	\ .	/5	\	.	|“-v
log27 - xj • log | x + . |	- xj > log3 3^X+1)2- 4 5
4. В треугольнике ABC угол А равен arccos (5/13), а длина сторо-
ны ВС равна 12. На продолжении ВС за точку С взята точка М так,
что СМ = 6. Найти радиус окружности, проходящей через вершину
А, касающейся прямой ВС в точке М и касающейся окружности,
описанной около треугольника АВС.
5. Сфера, касающаяся нижнего основания цилиндра, имеет един-
ственную общую точку с окружностью его верхнего основания и де-
лит ось цилиндра в отношении 1:6:2, считая от центра одного из
оснований. Найти объем цилиндра, если известно, что сфера касается
двух его образующих, находящихся на расстоянии 4 друг от друга.
1 995 год
МАТЕМАТИКА
49
1995
БИЛЕТ 1
1.	Через вершины А, В и С трапеции ABCD (Л£>||^С) проведена
окружность. Известно, что окружность касается прямой CD, а се
центр лежит на диагонали АС. Найти площадь трапеции ABCD, если
ВС = 2, АО = 8.
2.	Решить уравнение
log3 (sin Зх — sin х) = 2 logQ (17 sin 2х) — 1.
3.	В прямоугольном треугольнике АВС точка D — середина гипо-
тенузы АВ, а медианы треугольника пересекаются в точке Е. Тре-
угольник АВС расположен на координатной плоскости Оху так, что
точка А лежит на оси Оу, точка D симметрична точке С относительно
оси Оу, а точки С, D и Е лежат на графике функции у = (х2 — 5)2.
Найти уравнение прямой CD и площадь треугольника АВС.
4.	В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (S — верши-
на) АВ = 3V2, высота пирамиды равна 8. Сечения пирамиды двумя
параллельными плоскостями, одна из которых проходит через точку
А, а другая — через точки В и D, имеют равные площади. В каком
отношении делят ребро SC плоскости сечений? Найти расстояние
между плоскостями сечений и объемы многогранников, на которые
пирамида разбивается этими плоскостями.
5.	Найти все значения параметра р, при которых сумма всех кор-
ней уравнения
,	\ 4	I < \ 2
(х-4	- р\2р - 3) = О
меньше —5р2+ 11р + 7.
БИЛЕТ 2
1.	Окружность с центром О проходит через вершину В ромба
ABCD и касается лучей СВ и CD. Найти площадь ромба, если
00 = 7, ОС = 7.
4	4
2.	Решить уравнение
Iog^7 (sin х — cos х) + 1 = log7 (7 + 3 cos 4x).
3.	Медианы прямоугольного треугольника ABC (Z.C = 90°) пере-
секаются в точке D. Треугольник АВС расположен на координатной
плоскости Оху так, что точка А лежит на оси Оу, начало координат
О является серединой гипотенузы, а точки D и С лежат на графике
50
МАТЕМАТИКА
1995 год
функции у = х(х — 4)(х — 8). Найти уравнение прямой ОС и длину
гипотенузы АВ.
4.	Ребро 5Л пирамиды SABC перпендикулярно плоскости АВС,
АВ = 2, АС = 1, ABAC = 120°, SA = 3rf2. Сечения пирамиды дву-
мя параллельными плоскостями, одна из которых проходит через
точку С и середину ребра АВ, а другая — через точку В, имеют
равные площади. В каком отношении делят ребро 5Л плоскости
сечений? Найти объемы многогранников, на которые разбивают
пирамиду плоскости сечений, а также расстояние между этими
плоскостями.
5.	Найти все значения параметра р, при которых сумма всех кор-
ней уравнения
(х — Зр)4 + 2р(р — 5)(х — Зр)2 — 2р2(р2 — 9) = 0
меньше — 2р2 + 15р + 5.
БИЛЕТ 3
1.	Через вершины В, С и D трапеции ABCD (AD\\BC) проведена
окружность. Известно, что окружность касается прямой АВ, а ее
центр лежит на диагонали BD. Найти периметр трапеции, если
ВС = 9, AD = 25.
2.	Решить уравнение
log6 (cos х + cos Зх) = 2 log36 (sin 2x) — 1.
3.	В прямоугольном треугольнике KLM точка Р — середина
гипотенузы КМ, а медианы треугольника пересекаются в точке
Q. Треугольник KLM расположен на координатной плоскости
Оху так, что точка К лежит на оси Оу, точка Р симметрична
точке L относительно оси Оу, а точки Р, Q и L лежат на графике
функции у = (х2 — I)2. Найти уравнение прямой PL и площадь
треугольника KLM.
4.	В основании пирамиды SABCD лежит ромб ABCD, ребро
SD перпендикулярно плоскости основания, SD = 6, BD=3,
AC = 2. Сечения пирамиды двумя параллельными плоскостями, од-
на из которых проходит через точку В, а другая — через точки
А и С, имеют равные площади. В каком отношении делят ребро
SD плоскости сечений? Найти расстояние между плоскостями се-
чений и объемы многогранников, на которые пирамида разбивается
этими плоскостями.
5.	Найти все значения параметра /?, при которых сумма всех кор-
ней уравнения
(х — 12р)4 — (>р(р — 1)(х — 12р)2 + р2(р + 4) = 0
меньше — р2 + 48р + 25.
1995 год
MATEMATH КА
51
БИЛЕТ 4
1.	Окружность с центром О проходит через вершину С ромба
ABCD и касается лучей DC и DA. Найти площадь ромба, если
СМ = 4, OD = 5.
2.	Решить уравнение
log/n sin ^х +	= log, । (6 + cos 4х) — 1.
3.	Медианы прямоугольного треугольника KLM (Z.M = 90°) пере-
секаются в точке Р. Треугольник KLM расположен на координатной
плоскости Оху так, что точка К лежит на оси Оу, начало координат
О является серединой гипотенузы, а точки Р и М лежат на графике
функции у = х(х — 3)(х — 5). Найти уравнение прямой ОМ и длину
гипотенузы KL.
4.	Ребро SB пирамиды SABC перпендикулярно плоскости АВС,
АВ = 4, ВС = 2, ААСВ — 90°, SB — 3. Сечения пирамиды двумя па-
раллельными плоскостями, одна из которых проходит через точку
С и середину ребра АВ, а другая — через точку А, имеют равные
площади. В каком отношении делят ребро SB плоскости сечений?
Найти объемы многогранников, на которые разбивают пирамиду пло-
скости сечений, а также расстояние между этими плоскостями.
5.	Найти все значения параметра р, при которых сумма всех кор-
ней уравнения
+2р(р-7)	- р2(р2 - 25) = 0
меньше —2р2 + 14р + 9.
БИЛЕТ 5
, п	2 sin Зх + sin 5х	,
1.	Решить уравнение----г——;----= 1.
J Г	| Sin X I
2.	Решить неравенство logj+а х х — 2 logr	xj > 1-
3.	Через середину гипотенузы АС прямоугольного треугольника
АВС проведена прямая, пересекающая катет ВС в точке D, а про-
должение катета АВ за точку А — в точке Е. Найти площадь трс-
3
угольника АВС, если CD = 1, АЕ = 2, Z.CAB = arccos j.
4.	Парабола П2 симметрична параболе П] у — ах2, а < 0 относи-
тельно точки N(b; ab2), где b > 0. Некоторая прямая пересекает каж-
дую из парабол ровно в одной точке: П] — в точке В{, П2 — в точке
В2 так, что угол BtB2N — прямой. Касательная к параболе Пр про-
веденная в точке В}, пересекает отрезок B2N в точке L. Определить,
в каком отношении точка L делит отрезок B2N. Найти значения па-
52
VIA I EMA 1I1KA
I 995 lu.l
раметров а и b, при которых длина отрезка BXL минимальна, если
площадь треугольника В}В2К равна
5.	В правильной четырехугольной призме ABCDA^B^C^D^ боковое
ребро равно vT4, длина стороны основания ABCD призмы равна 6.
Окружность основания прямого кругового конуса вписана в тре-
угольник BCtD, а вершина конуса лежит в плоскости АВСГ Найти
объем конуса.
БИЛЕТ 6
, п.................. ('/3 + I) sin Зх + sin 5х	лу
1.	Решить уравнение--------ja~n х j---- ~
X 1
2.	Решить неравенство log —— > 2 log^n х.
12х	12
3.	Через середину стороны АС равнобедренного треугольника
АВС (АС — ВС) проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точ-
ке К, а продолжение стороны АВ за точку А — в точке Р. Найти
площадь треугольника АВС, если СК = 2, АР — 5, Z.ABC — arccos
4.	Парабола П2 симметрична параболе П] у—ах1, а<0 относи-
тельно точки K(b', ab1), где b > 0. Некоторая прямая пересекает каж-
дую из парабол ровно в одной точке: П, — в точке В}, П2 — в точке
В2 так, что угол В{В2К — прямой. Касательная к параболе П(, про-
веденная в точке К, пересекает отрезок BtB2 в точке L. Определить,
в каком отношении точка L делит отрезок В}В2. Найти значения
параметров а и Ь, при которых длина отрезка KL минимальна, если
площадь треугольника BtB2K равна
5.	Окружность основания прямого кругового цилиндра вписана в
боковую грань SAB правильной четырехугольной пирамиды SABCD
(S — вершина), центр другого основания цилиндра лежит в плоско-
сти SBC. Найти объем цилиндра, если АВ —6, SB —5.
БИЛЕТ 7
. ~	2 cos Зх — cos 5х <
1.	Решить уравнение------:----:--= 1.
| COS X I
2.	Решить неравенство log6x+1 (25х) — 2 log25x (6х + 1) > 1.
3.	Через середину катета АВ прямоугольного треугольника АВС
проведена прямая, пересекающая гипотенузу АС в точке Е, а про-
должение катета ВС за точку В — в точке F. Найти площадь тре-
угольника АВС, если АЕ — 2, BF — 3, Z.АСВ — 60°.
4.	Парабола П2 симметрична параболе П] у=ах2, а>0 отно-
сительно точки M(b', ab1), где b > 0. Некоторая прямая пересекает
1995 гол
МАТЕМАТИКА
53
каждую из парабол ровно в одной точке: П, — в точке At, П2 —
в точке Л2 так, что угол Л}Л2М — прямой. Касательная к пара-
боле Пр проведенная в точке Лр пересекает отрезок А2М в точке
К. Определить, в каком отношении точка К делит отрезок Л2М.
Найти значения параметров а и Ь, при которых длина отрезка
А\К минимальна, если площадь треугольника	равна 3.
5.	В правильной четырехугольной призме ABCDA^^ сторона
основания ABCD равна 2, боковое ребро равно VT4. Основание пря-
мого кругового конуса вписано в треугольник AB{DV а вершина ко-
нуса лежит в плоскости АВ\С{. Найти объем конуса.
БИЛЕТ 8
, □ „	(/Т+ 1) cos Зх — cos 5х п,
1.	Решить уравнение-------|cos"7j----= v3.
2.	Решить неравенство log6x_1 6х > 2 Iogx (6х — 1).
3.	Через середину стороны ВС равнобедренного треугольника
АВС (АВ = ВС) проведена прямая, пересекающая сторону АВ в точ-
ке D, а продолжение стороны АС за точку С — в точке Е. Найти
площадь треугольника АВС, если BD — 3, СЕ — 4, ABAC = arccos у
4.	Парабола П2 симметрична параболе П] у = ах2, a>Q относи-
тельно точки T(b; ab2), где b > 0. Некоторая прямая пересекает каж-
дую из парабол ровно в одной точке: П] — в точке Лр П2 — в точке
А2 так, что угол AtA2T — прямой. Касательная к параболе Пр про-
веденная в точке Т, пересекает отрезок AtA2 в точке К. Определить,
в каком отношении точка К делит отрезок >Ц>12. Найти значения
параметров а и Ь, при которых длина отрезка ТК минимальна, если
площадь треугольника АГА2Т равна j.
5.	Окружность основания прямого кругового цилиндра вписана в
боковую грань SBC правильной четырехугольной пирамиды SABCD
(S — вершина), центр другого основания цилиндра лежит в плоско-
сти SBD. Найти объем цилиндра, если ВС = 4, 5Л = 3.
БИЛЕТ 9
1.	Найти наименьшее натуральное число п, при котором выпол-
няется равенство
sin (п° + 80°) + sin (п° — 40°) + sin (п + 70°) — cos 25° = 0.
2.	Решить неравенство 5 — 3| 3х — 1| < у 10 — Зх+1.
54
МАТЕМАТИКА
I 995 год
3.	В равнобедренный треугольник ЛВС (ЛВ=ВС) вписана ок-
ружность с центром О. Касательная к окружности пересекает сто-
роны ВС и СЛ треугольника в точках Л/ и W соответственно.
Найти радиус окружности, если ЛММС = 2ANMC, ОМ = '/~\®,
ОЫ=Ц-.
4
4.	На координатной плоскости рассматривается фигура Ф, состо-
ящая из всех точек, координаты (х; у) которых удовлетворяют сис-
теме неравенств
|l°gy-x (2у- 2ху) 2,
||х| 54-у.
Изобразить фигуру Ф и найти ее площадь.
5.	На ребре АС правильной треугольной призмы ЛВСЛ1В1С1 взята
1	3
точка К так, что ЛК = -, СК — Через точку К проведена плоско-
сть, образующая с плоскостью АВС угол arctg и рассекающая приз-
му на два многогранника, площади поверхностей которых равны.
Найти объем призмы, если известно, что около одного из этих мно-
гогранников можно описать сферу, а около другого — нет.
БИЛЕТ 10
1.	Найти наименьшее натуральное число п, при котором выпол-
няется равенство
cos (п + 20°) - cos (п° + 80°) - sin (п° + 80°) + sin 15° = 0.
2.	Решить неравенство 212х — 4 [ — 5 > ^2x+1 — 1.
3.	Вокруг окружности с центром О описана трапеция ABCD, в
которой BCjjAD, ВС < AD. Продолжения боковых сторон трапеции
пересекаются в точке М. Найти радиус окружности, если МВ = ВС,
OB = J5, ОС = V2.
4.	На координатной плоскости рассматривается фигура Ф, состо-
ящая из всех точек, координаты (х; у) которых удовлетворяют сис-
теме неравенств
logx’+/_j (ху)
|х + у| <3.
Изобразить фигуру Ф и найти ее площадь.
5.	В основании прямой призмы ABCAjBfCj лежит треугольник
АВС со сторонами АВ — АС = 25, ВС = 40. На ребре АВ взята точка
М так, что ВМ = 15. Через точку М проведена плоскость, образую-
щая с плоскостью ЛВС угол arctg и рассекающая призму на два
1995 год	МАТЕМАТИКА	55
многогранника, площади поверхностей которых равны. Найти объем
призмы, если известно, что около одного из этих многогранников
можно описать сферу, а около другого — нет.
БИЛЕТ 11
1.	Найти наименьшее натуральное число п, при котором выпол-
няется равенство
sin (п° + 100°) + sin (п° - 20°) + sin (и + 50°) + cos 5° = 0.
2.	Решить неравенство 7 — 2| 2х — 2| < у 17 — 2х+|.
3.	В равнобедренный треугольник АВС (АВ — ВС) вписана ок-
ружность с центром О. Касательная к окружности пересекает сто-
роны АВ и АС треугольника в точках D и Е соответственно.
Найти радиус окружности, если AADE — 2Z.AED, OD=3V5,
ОЕ = 4vT
4.	На координатной плоскости рассматривается фигура Ф, состо-
ящая из всех точек, координаты (х; у) которых удовлетворяют сис-
теме неравенств
|10gy + x (2*У + 2х) > 2>
[1*1 + 1у1 ^2-
Изобразить фигуру Ф и найти ее площадь.
5.	На ребре АВ правильной треугольной призмы АВСА[В{С[
।	2
взята точка D так, что AD — j, BD = у. Через точку D проведена
плоскость, образующая с плоскостью АВС угол arctg и рассека-
ющая призму на два многогранника, площади поверхностей кото-
рых равны. Найти объем призмы, если известно, что около одного
из этих многогранников можно описать сферу, а около другого —
нет.
БИЛЕТ 12
1.	Найти наименьшее натуральное число п, при котором выпол-
няется равенство
cos (п° — 50°) — cos (п + 10°) — sm (п 4- 130°) — sin 75° = 0.
2.	Решить неравенство 3| 3х — 5| — 7 > ^Зх+1 —2.
3.	Вокруг окружности с центром О описана трапеция ABCD, в
которой ВСЦАЕ, ВС < AD. Продолжения боковых сторон трапеции
пересекаются в точке К. Найти радиус окружности, если ВС — КС,
ОВ = 2, OC = V5.
56
МАТЕМАТИКА
1995 год
4.	На координатной плоскости рассматривается фигура Ф, состо-
ящая из всех точек, координаты (х; у) которых удовлетворяют сис-
теме неравенств
flogx+y_2 (х2 + у2 - 4) S* 2,
[1т-х| <3.
Изобразить фигуру Ф и найти ее площадь.
5.	В основании прямой призмы АВСА}В^С} лежит треугольник
АВС со сторонами АВ = ВС = 5, АС = 6. На ребре ВС взята точка
D так, что DC = 4. Через точку D проведена плоскость, образующая
с плоскостью АВС угол arctg и рассекающая призму на два много-
гранника, площади поверхностей которых равны. Найти объем приз-
мы, если известно, что около одного из этих многогранников можно
описать сферу, а около другого — нет.
1996 гол
МАТЕМАТИКА
57
1996
БИЛЕТ 1
1.	Решить уравнение
V4 + 3 cos х — cos 2х = '/6 sin х.
2.	Решить неравенство
bg|x+2| (4~х - 1) < log|x+2| (2-х + 1) + log|x+2| (2---1 4- 1).
3.	Равнобедренный треугольник АВС (ЛВ = ВС) вписан в окруж-
ность. Прямая CD, перпендикулярная АВ, пересекает окружность в
точке Р. Касательная к окружности, проходящая через точку Р, пе-
ресекает прямую АВ в точке Q. Найти длины отрезков РА и PQ,
если АС — 5, ЛАВС = 2 arccos
4.	График функции у = /(х), где /(х) = —2х3 — 8ах2 — 4«2х + 5,
а < 0 и прямая I, заданная уравнением у = 4а2х + 5, имеют ровно
две общие точки.
1) Найти а, если площадь фигуры, ограниченной графиком функ-
ции у= /(х) и прямой I, равна
2) Рассматриваются прямые, каждая из которых касается графика
функции у = f(x) в точке с положительной абсциссой. Среди этих
прямых выбрана та, которая пересекает ось Оу в точке с наименьшей
ординатой. Найти эту ординату.
5. В основании призмы ABCDAlBlClDl лежит прямоугольник
ABCD. Острые углы DJJA и D{DC равны между собой, угол между ре-
бром D{D и плоскостью основания призмы равен arccos а
CD = Все грани призмы касаются некоторой сферы. Найти длину
ВС, угол между плоскостями D^C и ЛВС, а также расстояние от точ-
ки D до центра сферы.
БИЛЕТ 2
1.	Решить уравнение
v*4 sin х + cos 2х + 5 = ЪП cos х.
2.	Решить неравенство
l°g|x-2| (9х - 4х) < log|x_2| (3х + 2 х) + log|x_2| (3х"2 + 2 х).
3.	Около равнобедренного треугольника АВС (ЛВ = ВС) описана
окружность. Биссектриса угла ВАС пересекает окружность в точке
D. Касательная к окружности, проходящая через точку D, перс-
58
МАТЕМАТИКА
1 996 год
секает прямую АС в точке Е. Найти длины отрезков CD и DE,
если АВ = 8, ABAC = 2 arcsin
4.	График функции у = f(x), где f(x) = х3 + lax1 + £ а2х + 1,
а < 0 и прямая /, заданная уравнением у —	+ 1, имеют ровно две
общие точки.
1) Найти а, если площадь фигуры, ограниченной графиком функ-
27
ции у = f(x) и прямой /, равна —.
2) Рассматриваются прямые, каждая из которых касается графика
функции у — f(x) в точке с положительной абсциссой. Среди этих
прямых выбрана та, которая пересекает ось Оу в точке с наибольшей
ординатой. Найти эту ординату.
5. Все грани призмы ABCDAXBXC XDX касаются некоторого шара.
Основанием призмы служит квадрат ABCD со стороной, равной 5.
Угол CXCD — острый, а АСХСВ = arclg у. Найти ACXCD, угол между
боковым ребром и плоскостью основания призмы, а также расстояние
от точки С до точки касания шара с плоскостью AAXD.
БИЛЕТ 3
1.	Решить уравнение
V7 — cos х — 6 cos 2х = 4 sin х.
2.	Решить неравенство
I°g|2x + 2| (! -9*) < log|2x + 2| (! +3*) +I°g|2x + 2|
3.	Равнобедренный треугольник ЛВС (АВ = ВС) вписан в окруж-
ность. Прямая AD, перпендикулярная ВС, пересекает окружность в
точке М. Касательная к окружности, проходящая через точку М,
пересекает прямую ВС в точке N. Найти длины отрезков МС и
MN, если АС = 8, ААВС = 2 arccos ^=.
4.	График функции у = /(х), где f(x) — 6х3 + 12ах2 + 7а2х — 2,
а > 0 и прямая I, заданная уравнением у = а2х — 2, имеют ровно две
общие точки.
1) Найти а, если площадь фигуры, ограниченной графиком функ-
ции у — f(x) и прямой I, равна 1/2.
2) Рассматриваются прямые, каждая из которых касается графика
функции у = /(х) в точке с отрицательной абсциссой. Среди этих
прямых выбрана та, которая пересекает ось Оу в точке с наименьшей
ординатой. Найти эту ординату.
5. В основании призмы ABCDAXBXCXDX лежит параллелограмм
ABCD. Длина АВ равна 8, a ABAD — л/3. Острые углы ЛХЛВ и
AXAD равны между собой, а угол между ребром АХЛ и плоскостью
l + з-1 .
1996 год
МАТЕМАТИКА
59
основания призмы равен arcsin Все грани призмы касаются не-
которой сферы. Найти длину ребра AD, угол между плоскостями
AAjB и АВС, а также расстояние от точки А до центра сферы.
БИЛЕТ 4
1.	Решить уравнение
V5 — 2 sin х + 3 cos 2х = 2V3 cos х.
2.	Решить неравенство
!°g|3x-3| С25* ~ 9х) < 1оЕ|зх-з| (5Х + 3') + log|3x—з| (5Х"‘ + 3^')-
3.	Около равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) описана
окружность. Биссектриса угла ВС А пересекает окружность в точке К.
Касательная к окружности, проходящая через точку К, пересекает
прямую АС в точке L. Найти длины отрезков КА и KL, если АВ = 12,
АВС А = 2 arcsin
4.	График функции y—f(x), где f(x) — — х3 — 4«х2 — 3<?2х + 2,
а > 0 и прямая I, заданная уравнением у — а2х + 2, имеют ровно две
общие точки.
1) Найти а, если площадь фигуры, ограниченной графиком функ-
ции y = f(x) и прямой I, равна уу.
2) Рассматриваются прямые, каждая из которых касается графика
функции у = /(х) в точке с отрицательной абсциссой. Среди этих
прямых выбрана та, которая пересекает ось Оу в точке с наибольшей
ординатой. Найти эту ординату.
5. Все грани призмы ABCDAlBiC[Di касаются некоторого шара.
Основанием призмы служит ромб ABCD. Угол ВуВС — острый,
АВуВА = arctg ААВС = у, а АВ = Найти ABJ3C, угол меж-
ду боковым ребром и плоскостью основания призмы, а также рассто-
яние от точки В до точки касания unipa с плоскостью DtDC.
БИЛЕТ 5
1.	Решить уравнение
log49 (х - I)2 + | logvT = 0.
2.	Найти все значения а, при которых неравенство
8х2 - 20х +16 „
—5---------------------------------а
4х -10х + 7
является верным при всех значениях х.
60
МАТЕМЛ'П IКЛ
1996 год
3.	В равнобедренном треугольнике АВС (ЛВ = ВС) биссектрисы
AM и ВК пересекаются в точке О. Площади треугольников ВОМ и
СОМ соответственно равны 25 и 30. Найти площадь треугольника
АВС и проекцию отрезка ОМ на прямую ВС.
4.	Решить систему уравнений
cos I Зх + v I — —v^2 cos у,
\	4 /
cos 2у + 2 sin 2х + ^ = 2 sin3 2х.
5.	В кубе ABCDA\B\C{D\, ребро которого равно 6, точки М и N —
середины ребер АВ и В{С} соответственно, а точка К расположена на
ребре DC так, что DK = 2 КС. Найти:
1)	расстояние от точки N до прямой АК;
2)	расстояние между прямыми MN и АК;
3)	расстояние от точки 'At до плоскости треугольника MNK.
БИЛЕТ 6
1.	Решить уравнение
logq (х - 4)2 + ± log,,, j = 0.
2.	Найти все значения а, при которых неравенство
бх2 — 2х +1
—5-------& а
9х - Зх + 1
является верным при всех значениях х.
3.	В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) биссектрисы
AM и ВК пересекаются в точке О. Площадь треугольника СОК равна
3, угол ВСА равен arccos Найти площадь треугольника СОМ и
проекцию отрезка AM на прямую ВС.
4.	Решить систему уравнений
| sin Зх| = — \[2 sin у,
cos 2у + 2 cos 2х sin2 2х =
5.	В кубе ABCDAiBiCiDi, ребро которого равно 4, точки Е и F —
середины ребер АВ и Л|С1 соответственно, а точка Р расположена на
ребре CD так, что СР = 3PD. Найти:
1)	расстояние от точки F до прямой АР;
2)	расстояние между прямыми EF и АР;
3)	расстояние от точки А} до плоскости треугольника EFP.
1996 год
МЛ I I.МЛ I И KA
6 i
БИЛЕТ 7
1.	Решить уравнение
log4 (x - 8)2 + | logZ2	= 0.
2.	Найти все значения а, при которых неравенство
8х2 — 4х + 3
—5--------а
4х -2х + I
является верным при всех значениях х.
3.	В равнобедренном треугольнике ЛВС (ЛВ = ВС) биссектрисы
СМ и ВК пересекаются в точке О. Площади треугольников ВОМ и
ЛОМ соответственно равны 25 и 40. Найти площадь треугольника
АВС и проекцию отрезка ОМ на прямую АВ.
4.	Решить систему уравнений
sin ^Зх +	= sin у — cos у,
sin 2 у + 2 sin 2х = | + 2 sin3 2х.
5.	В кубе ABCDA^CjD^ ребро которого равно 6, точки М и W —
середины ребер АВ и В}С. соответственно, а точка К расположена на
ребре DC так, что СК — 2KD. Найти.
1)	расстояние от точки W до прямой ЛК;
2)	расстояние между прямыми MN и ЛК;
3)	расстояние от точки Л, до плоскости треугольника MKN.
БИЛЕТ 8
1.	Решить уравнение
1оё25 - 2)2 + I >°g<5 (тЙ) = °-
2.	Найти все значения а, при которых неравенство
Зх2 — 4х + 8
—5--------3= а
9х -12х + 16
является верным при всех значениях х.
3.	В равнобедренном треугольнике ЛВС (ЛВ = ВС) биссектрисы
СМ и ВК пересекаются в точке О. Площадь треугольника ЛОК равна
10, угол ВСЛ равен arccos Найти площадь треугольника ЛОМ и
проекцию отрезка СМ на прямую ЛВ. .
4.	Решить систему уравнений
| cos Зх | = sin у + cos у,
2 sin2 2х cos 2х + | = —sin 2у.
62
МАТЕМАТИКА
1996 год
5.	В кубе ABCDAXBXC{D{, ребро которого равно 4, точки Е и F —
середины ребер АВ и B{Ct соответственно, а точка Р расположена на
ребре CD так, что PD = ЗРС. Найти:
1)	расстояние от точки F до прямой АР;
2)	расстояние между прямыми EF и АР;
3)	расстояние от точки Л, до плоскости треугольника EFP.
БИЛЕТ 9
1.	Окружность с центром на стороне АС равнобедренного тре-
угольника АВС (АВ = ВС) касается сторон АВ и ВС. Найти радиус
окружности, если площадь треугольника АВС равна 25, а отношение
3
высоты BD к стороне АС равно
О
2.	Выразить log600 900 через а и Ь. где а = log5 2 и b = log2 3.
’ . 4	,	4
~ ту ,	, / , sin x+cos Л'
3.	Дана функция f(x) = —-----—.
sin X + COS ’ X
Найти:
,/ Л 10
1)	корни уравнения /(х)= —;
2)	наибольшее и наименьшее значения функции f(x).
4.	Решить систему уравнений
\х2 + ху - 2у2 + 8х + 1 Оу +12 = 0,
[х2 + Зху + 2у2 — х + у—6 = 0.
5.	В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания
ЛВС равна а. Внутри пирамиды расположен конус, окружность осно-
вания которого вписана в треугольник ACD, а вершиной конуса яв-
ляется точка О, лежащая на высоте BE треугольника ЛВС так, что
BE : ОВ = 3. Найти радиус основания конуса и радиус шара, касаю-
щегося конуса и трех граней пирамиды с общей точкой В.
БИЛЕТ 10
1. Центр окружности, касающейся катетов ЛС и ВС прямоуголь-
ного треугольника ЛВС, лежит на гипотенузе ЛВ. Найти радиус ок-
ружности, если он в шесть раз меньше суммы катетов, а площадь
треугольника АВС равна 27.
2. Выразить log140 350 через а и Ь, где а = log7 5 и b = log5 2.
2 sin4 х + 3 cos2 х
Д 4	; ~2	
2 COS А'+SHl Л'
3. Дана функция f(x)
Найти:
1) корни уравнения /(х) = —;
2) наибольшее и наименьшее значения функции f(x).
1996 год	МАТЕМАТИКА	63
4. Решить систему уравнений
18х2 — 1ху — у2 — 30.V — 9у — 8 = О,
[8х2 + бху + у2 — 2у — 8 = 0.
5. В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания
ЛВС равна а. Внутри пирамиды расположен конус, окружность осно-
вания которого вписана в треугольник ABD, а вершина конуса рас-
положена на средней линии треугольника ЛВС, параллельной сторо-
не АВ. Найти боковое ребро пирамиды и радиус шара, касающегося
конуса и трех граней пирамиды с общей точкой С.
БИЛЕТ 11
1.	Окружность с центром на стороне АС равнобедренного тре-
угольника АВС (АВ = ВС) касается сторон ЛВ и ВС, а сторону АС
делит на три равные части. Найти радиус окружности, если площадь
треугольника ЛВС равна 9V2.
2.	Выразить log30o 120 через а и Ь, где а = log2 3 и b = log3 5.
3.	Дана функция f(x) =—4----— •
sin x+cos х
Найти:
1)	корни уравнения f(x) =
2)	наибольшее и наименьшее значения функции f(x).
4.	Решить систему уравнений
f 2х2 — ху — у2 — 1 Ох — 8у — 12 = 0,
[2х2 + Зху + у2 + х — у — 6 = 0.
5.	В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания
ЛВС равна а. Внутри пирамиды расположен конус, окружность осно-
вания которого вписана в треугольник ACD, а вершиной конуса яв-
ляется точка О, где OD — высота пирамиды. Найти радиус основа-
ния конуса и радиус шара, касающегося конуса и трех граней пира-
миды с общей точкой В.
БИЛЕТ 12
1.	Центр окружности, касающейся катетов АС и ВС прямоуголь-
ного треугольника ЛВС, лежит на гипотенузе ЛВ. Найти диаметр
окружности, если он в четыре раза меньше суммы катетов, а пло-
щадь треугольника АВС равна 16.
2.	Выразить log490 7 00 через а и Ь. где а = log2 7 и b = log7 5.
3.	Дана функция /(х) = 2c°s х+&'п 2—.
2 sin х-1-3 cos x
64	МАТЕМАТИКА	1996 год
Найти:
у
1) корни уравнения /(х) =
2) наибольшее и наименьшее значения функции /(х).
4. Решить систему уравнений
|х2 + 2ху — 8 у2 + 9х + ЗОу + 8 = 0,
|х2 + бху + 8у2 — 2х — 8 = 0.
5. В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания
ЛВС равна а. Внутри пирамиды расположен конус, окружность осно-
вания которого вписана в треугольник ABD, а вершиной конуса яв-
ляется точка О, лежащая на медиане СЕ треугольника ЛВС так, что
СЕ: ОЕ= 4. Найти боковое ребро пирамиды и радиус шара, касаю-
щегося конуса и трех граней пирамиды с общей точкой С,
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
66
ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1994 год
1994
БИЛЕТ 1
1.	При перемещении груза вниз работа А совершается против разно-
сти силы трения и скатывающей силы mg sin а: А = Лтр —
— mgL sin а. При перемещении груза вверх работа At совершается
против суммы сил трения и скатывающей силы: At = Ajp +
+ mgL sin а. Из этих двух равенств находим: — А + 2mgL sin а ~
« 690 Дж. Ответ: Л, = А + 2mgL sin а % 690 Дж.
2.	В процессе всего перехода I —» 2 —» 3 подведенное к газу тепло Q
складывается из работы А, совершаемой газом в процессе изобариче-
ского нагрева, и разности величин внутренней энергии газа в конечном
и начальном состоянии, равной соответственно (3/2)£Г3 и (3/2)RTt:
Q = А + R(T3 — Tj). Работа газа в изобарическом процессе А =
= Р|(Р2 — ^1) ~	— ^1)- Исключив из этих равенств неизвест-
ную температуру Т{, находим окончательно: Т2 — Т3 = — | ®-R Л =
= 190 К. Ответ: Т2 - Т3 = £ - 1	= 190 к.
х э К 5 к
3.	Сразу после замыкания ключа напряжение на емкостях Ct и С2
минус напряжение на емкости С3: U{ + U2— U3 = %. Поэтому началь-
ный ток через сопротивление равен 3 = 'tf/R. Далее, после того как в
схеме закончится процесс перетекания зарядов, между конечными на-
пряжениями на конденсаторе будет выполняться равенство:
и3 = и2 + и{.	(1)
Пусть при этом q{, q2 и q3 — конечные значения зарядов на соот-
ветствующих конденсаторах. Условие сохранения зарядов даст меж-
ду ними следующие соотношения:
qi = {Cx + C3^ -q3	(2)
и
<72=(С2+С3)^-<73.	(3)
Из равенств (1) —(3) находим окончательно:
_ [1С2С2 + С3(С' + С2) ] С3
q3~ С1С2 + С2С3 + С1С3
<73
Конечное напряжение i/3 на конденсаторе С3 равно (73 = —
сз
— 2С1С2 + С3(С1	13 у П'ГКР'Г* J — — [I — 13
~ С}С2 + С2С3 + С{С3 S \\ S' Ответ* 7 R' 11
1994 год
ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
67
4.	Ход крайнего луча, попадающего в	я
глаз наблюдателя от освещенного на дне	;
пятна радиуса г, показан на рисунке. ЖЖ ЖДЖЖ
Угол падения этого луча на поверхность	J
воды а, угол преломления гр® у. Тогда .----------:----£}- — г
из закона преломления sin а = —. Радиус	г
п	К задаче 4
пятна на дне r = R + Htga =
— R + т~ & 3,5 м. Площадь пятна лг2 38 м2. Ответ: 38 м2.
Vn2—1
БИЛЕТ 2
1. А = ImgH--~ 560 Дж. 2. В два раза.
1 Г	И	2
3. I = —напряжение на емкости U = — у ®.
4. L. = (R - r)^n2- 1 % 2,6 см.
БИЛЕТ 3
А. +
1-	H = 7kz^tga^0,4.
/г2
_	. 3Rt±Tv + 2Q Iqrn п	i
2.	А =-----j----= 1250 Дж, где v = 1 моль.
3.	I = напряжение на конденсаторе и = —ур®-
4.	г = R -	"	«2 м.
Vn - 1
БИЛЕТ 4
/	V 1/2
1. u= I — tga-~ИI =8 м/с. 2. В полтора раза.
\m tga + p.y
3. / = напряжение на конденсаторе U = |
4. г = R---: =	« 2 см
J-2 ,
БИЛЕТ 5
1.	Решим задачу в неподвижной системе координат. Скорость сбли-
жения шарика и плиты v + и, время до столкновения t, = за это
68
ФИЗИКЛ • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1994 год
время шарик удалится от точки А на расстояние 5, = После стол-
кновения шарика с массивной двигающейся навстречу ему плитой его
скорость в неподвижной системе координат равна v + 2и, поэтому по-
сле отскока он пройдет расстояние 5, до точки А за время /2 =
—= -—:—5/ , т . • Таким образом время, за которое шарик
(и + 2и) (и + u)(u + 2и)	г	г >	гн
вернется в точку А, равно t, + /2 =
..	4 2S ПТ,
Ответ: t - -—= 0,75 с.
(v + 2u)
2.	Пусть смещения столбика ртути соответственно равны х, и х2. По
условию %] — хг = 2 см. Если Н внешнее давление в см ртутного стол-
ба, то по закону Бойля—Мариотта имеем (Н — Г)(Ь + х,) = НЦ
(Н + l)(L — х2) = HL. Из этих равенств находим: Н =
= '('+ ,,2=72см- '
Ответ: Внешнее давление 720 мм рт. столба.
3.	В начальный момент ток утечки через конденсатор равен
UJR, этот ток течет и через последовательно соединенную с конден-
сатором катушку индуктивности. Поэтому в контуре в этот момент
запасена энергия
CU2 I (Un\ 2	I \ U2	.
V = С+4 7 = 4-10-6Дж. Эта
2	2. \ К /	\ r*] 2
энергия и выделится в
виде тепла. Ответ: (2 = 4-10~6Дж.
4.	Ход луча, преломленного на сфериче-
ской поверхности, показан на рисунке. По
условию sin ip = air = 0,6. По закону пре-
ломления п sin тр = sin <р. Следовательно,
sin<p = 0,8. Далее находим: АВ =
. ,	.	72Л	п	4Л
= a ctg (<р — тр) ' OB = R cos тр = -у.
Искомое расстояние ОА = АВ + ОВ =
=	= Ответ: =
БИЛЕТ 6
2
1. A = L + 4 = 0,5 м.
max	2,s
nV LC Ur	,
3. Q =----n—£= 3,14-ю-3 Дж.
Л
АЛ, Л
2. А, = —-----г—г- = 12 см.
1 A/ij —2Д/|2
4. п = 4/3.
1994 год
ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
69
БИЛЕТ 7
27
1. t —--- = 2 с.	2. Рп = 750 мм рт. ст.
v — 2и	О	г
/2
з. Q = ~^(L + CR2) = 10“5 Дж. 4. и =1,6.
БИЛЕТ 8
„2	к
1.£яи = Н + ^=1,8м.	2. Л = 2Л
П1лл	2,Q	'	пил	£К ~* 1
3. Q = ^o = 3,14-r5 Дж- 4. п = 4/3.
/\ V	u
БИЛЕТ 9
К задаче 1
1.	По поверхности шара шарик движется под действием двух сил:
веса mg и реакции опоры N, перпендикулярной поверхности. Условие
г,
движения по окружности —= mg cos а — N. В точке отрыва реакция
Г\
обращается в ноль. Из закона сохранения энергии для скорости шари-
ка и0 в точке отрыва находим wt,2/2 =
= mgR(l — cos а0). Эти два равенства по-
зволяют найти значение скорости и2сс на-
правление в точке отрыва: v2 = j gR и
cos aQ = 2/3. При дальнейшем движении ша-
рика его горизонтальная составляющая ско-
рости сохраняется vr = v0 cos а0 = | vlgRI'i.
Поэтому для максимальной высоты подъема
после отскока удобно воспользоваться зако-
ном сохранения энергии, начиная отсчет от момента начала движения
шарика. Если Н — максимальная высота отскока, то mg-2R =
2	2
mvr	и 50
= mgH Н—2~,- поэтому //=2Л — ~ = ^/?%1 м.
Ответ: Н = ~ R % 1 м.
2.	Плотность жидкого пропана р =
— = 440 кг/м3, давление в бал-
”о
лоне Р = 16-105 Па. По условию осталось т = О,2то = 0,44 кг пропа-
на. Часть его в газообразном состоянии занимает объем V. Тогда имеет
место равенство: р(К0 — Ю +	= т> здесь ц = 44-10 3,
Р = 16-105 Па, Т = 290 К и R =8,31 Дж/(моль К). Отсюда находим
70
ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1994 год
массу пропана в газообразном состоянии — =—£= = ,	~
г\ 1	.	14,Об
р----1
» 0,125 кг. Ответ: 125 г.
1 d<&.	। г/Ф,
3.	Ток в контуре 1 Ц	а в контуре 2 Iг =	Поток
электромагнитной индукции Ф3, пронизывающий контур 3, равен раз-
ности потоков, пронизывающих его левую (ближнюю к проводу) и
правую части. В силу осевой симметрии магнитного поля прямого про-
вода эти потоки отличаются от потоков поля Ф] и Ф2, пронизывающих
контуры 1 и 2, множителями, равными соответственно Ыа и с/а. Об-
щее сопротивление контура 3 равно 2(а + Ь)г + 2(а + с)г. Оконча-
2(1)/ _с1
тельно ток в контуре 3 равен: = _7-1,1. “—а ч = ——Ц—
J	•>	2(a + b)r -Ь2(а +с)г 2а+Ь + с
2(Ы.-с12)
Ответ: Л = -------——.
з 2а + b + с
4. d — расстояние от середины спички до линзы, I — длина спички,
F = 10 см — фокусное расстояние линзы. Увеличение в первом случае
F2 25
Г. =---------т = -г- (вывод формулы мы оставляем читателю), уве-
личение во втором случае Г2 =	= 2,5. Из этих двух равенств на-
I	<d-F\2	I2	1
ходим — = —------------2 = ~5
Г1	\ 1 )	47-	Г2
/2
—2. Откуда 1 = 4 см. Ответ: 4 см.
4 Л
БИЛЕТ 10
1. H=2R-~ R=~R = 1,5 м. 2. V = 0,05 м3, N 1560 шт.
3. I2=1J4.	4. А = 3,3 см.
БИЛЕТ 11
1. cos Р =	2. М = 10 г.
з.4-г=8-
БИЛЕТ 12
1. cos р =	2. М = 5-109 кг.
3. — = |.	4. Г = 7,2 см.
v2
1995 год
ФИЗИКЛ • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
71
1995
БИЛЕТ 1
1.	На призму со стороны бруска действуют две силы: реакция опо-
ры N = mg cos а и сила трения скольжения между бруском и приз-
мой FT = fjimg cos а. Со стороны стола на призму действует неизве-
стная сила трения покоя F, направление которой выбрано произволь-
но. Поскольку призма остается в покое, то алгебраическая сумма
проекций на горизонтальное направление всех сил, действующих на
призму, равна нулю: F + \img cos2 а — mg cos a sin а = 0. Отсюда
F = mg cos a(sin а — ц cos a).
2.	Число молей гелия в пузыре Vj = PqV^RT^, где Ио — объем пу-
зыря. Во втором пузыре число молей водорода v2 = P^VJRT2. После
того, как пузыри лопнут и в камере установится равновесное состоя-
ние, смесь гелия и водорода будет иметь некоторую температуру Т и
давление Р. Температура смеси может быть найдена по закону сохра-
нения энергии: v]CvlTl + v2Cv2T2 = (v,CK1 + v2CK2)T. Отсюда
у, _	+ V2^K2^2
V1CK1 + v2Cy2
Новое установившееся давление смеси будет складываться из дав-
v. RT v?RT	(V .+v2)RT
ления гелия и водорода: Р = -у—|--— =------р---, где V — объем
камеры. После подстановки выражений для v]; v2 и Т получим, что
р_ _р (Cri+C,2)(l+7W_32 Ио отсюда PIP = 1/75
1	(Cvi+Cv2TYlT2) - Т5 ' о V  итсюда 111 о 1//у
3.	До размыкания ключа К установившийся ток через резисторы
/ = l£/(Rl + /?2), а напряжение на конденсаторе Vc = %R2/(RX + /?2).
После размыкания ключа конденсатор начнет разряжаться через ре-
зистор R2, и вся энергия электрического поля, запасенная в нем, выде-
/ \2
1	1	1 т |	^2 I
лится в виде тепла: Q = - CV~ = - С%> р тг •
4.	Обозначим величину напряженности электрического поля, созда-
ваемого пластиной 3, через Ео, а через Ех — величину напряженности
поля пластин 1 и 2. Запишем условие эквипотенциальности пластин 1
и 2 до перемещения пластины 3: E0(d — 2a) — Exd = 0. Откуда
Et = Ео(1 — laid). После перемещения пластины 3 между пластина-
ми I и 2 возникает разность потенциалов Ux2 = Exd + E0(d — a) —
— EQa = 2E0(d — 2a). В последнем равенстве была использована
связь между Е, и Ео. Поскольку Ео = <?/2е05, то Ui2 = q{d — 2a)/(e0S).
Возникшая разность потенциалов Ul2 приведет к появлению тока чс-
72
ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
I 995 год
рез резистор R: I = Un/R = q{d — 2a)/(e0SR). Ток будет направлен от
пластины 1 к 2.
После перемещения пластины 3 будет происходить перезарядка
пластин 1 и 2 до тех пор, пока они не станут снова эквипотенциальны-
ми. За это время в резисторе будет происходить выделение тепла. По-
скольку начальная (до перемещения) и конечная энергии электри-
ческого поля системы трех пластин равны, то суммарное количества
тепла, выделившегося на резисторе, будет равно работе, совершенной
,	. 2
при перемещении пластины 3: Q — qE\(d — 2d) = qEod 1 —	=
2	/	\ 2	•	'
__ да (. _ 2g 1
— 2^5	— d J ’
5. Распространение света от пузырька через слой жидкости тол-
щиной Z/2 и преломление на плоской границе жидкость—воздух эк-
вивалентно прямолинейному распространению света от мнимого изо-
бражения пузырька, расположенного от границы раздела двух сред
на расстоянии А = 1/2п. Здесь и далее речь идет о световых лучах,
распространяющихся под малыми углами к главной оптической оси
линзы (условие параксиальности). Мнимое изображение пузырька
расположено на расстоянии Ц2п + L от линзы, а его изображение в
линзе получается на экране. Воспользовавшись формулой для тонкой
1 ,11
линзы, найдем расстояние х от линзы до экрана: ^2— + — =
F(L+ll2n)	...
Отсюда х = , ,	----= 120 см. Увеличение линзы
L+l/2n — !
Г = x/(L + l/2n) = F/(L + Ц2п — F) = 4. Скорость пузырька равна
скорости его мнимого изображения и составляет и — v/Г =
- V{L + l/2n - F)/F = 20 см/с.
БИЛЕТ 2
N = sin a(F sin а + mg cos a).
2.	m = 13 r.
3.	Q= (L^2)/2Rl(Rl +я2).
-	.	1)ee0AS£/	/z(e— I)U
4.	A =-------------у; I = -г—.—r-—, ,, направление тока слева на-
2[(</— Л)е + Л]2	1W-h)t + h\R
право.
_ ЗД(д + Д)п ~	,
5.	и = ----г-— = 2,4 см/с.
(а — ЗД)т
БИЛЕТ 3
1.	N = Mg + mg cos a(cos a + ц sin a).
1995 год
ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
73
2.	Vo/V = 1/64.
3	Q- (L + Cr№
2(Л] + Л2)2’
4.	1) Д = —°~□Q ); 2) I = 9fнаправление тока от 2 к 1.
8г05</2	lodSR
5.	и = 0,5 см/с.
БИЛЕТ 4
1.	N = Mg + (F + mg) cos2 а.
2.	т = 13 г.
3.	Q=	+ Я2)3.
4.	1) А = — ——2) у _ (с~	, направление тока — про-
2е</	alR
тив часовой стрелки.
5.	и = 5,9 см/с.
БИЛЕТ 5
1.	1) Натяжение нити Т = (т2 + w3)i’- 2) Ускорение шара массой
mf направлено вертикально вверх, at — (т2 + m^g/m^.
2.	На участке 1-2 отношение температур ТЪП\ = V2/V^ на участке
/ \ 1/2 / \ 1/2
3~4 T3/Tl = V2/V2. Следовательно,	—2]	= [—21	= а1/2.
‘ 1 V 1 И2/	\ И
3.	1) Ключ замкнут, а К2 разомкнут. В установившемся режиме
ток течет только через резисторы, поэтому суммарное напряжение
на	конденсаторах
_ $(R + 2R) _ 3 cg, с
R + R + 2R 4 ® ‘ Всли на
конденсаторе емкостью С на-
пряжение равно Vt, то на дру-
гом конденсаторе напряжение
V2=Vl/2. Следовательно, сум-
марное напряжение + V2 =
= У, +/,/2= (3/2) У,. При-
равнивая два выражения для
общего напряжения U =	+ У2, получим, что © = 2Vt = 12 В.
2) После замыкания ключа К2 напряжение на конденсаторе емко-
стью С будет равно напряжению на резисторе R. Это напряжение
= R + R + 2R = 7 ~	~ 3 В- Следовательно, Uc = -у- = 3 В.
74
ФИЗИКЛ • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1995 год
х 4. 1) Расстояние от оси зеркала (точка А) до изобра-
жсния I = I , «о | Л5 | = | OS'| — L (см. рис.).
Г \	1 Расстояние | OS | находится по формуле линзы:
х. у -Ч-----------Ц- = v! I OS'l = 5F = 100см. Следовательно,
а |О5|	/
К задаче 5	|О5"|=40см.
2) Из геометрии р = 2а — л/2, при а = 60° угол
Р = 30°. Скорость перемещения изображения
v = АЁ | Л5"| = 2 — | И5"| = 2со-2Е = 4шР = 8 см/с.
5. При смещении электрона на расстояние г от центра атома на
него действует сила F = E(r)q = —q. Уравнение движения элск-
4я.с()У? ’
трона:
2
т 'г Ч—-—г = 0 —» Т — 2 л
4пе0Л
4.те0Л3Л1 4лЛ ------
V-----— = — Уле0Лщ.
БИЛЕТ 6
1.	1) Сила натяжения нити Т= (т, Ч- w2)4'sin а. 2) Ускорение
бруска массой т, направлено вдоль наклонной плоскости вниз и рав-
т! + т2
но а =-------g sin а.
n'i
2.	Т\ = (Т2Т4)'/2-, Т3 = (Т2Т4)'12.
3.	1) * = И. = 42 В; 2) И2 =	= g И, = 35 В.
4.	1) Расстояние от точки А до изображения / = 5С = 50 см;
2)	v = ЮсоТ = 5 см/с.	|/2
5.	Время пролета внутри сферы т = 21?/
БИЛЕТ 7
1.	1) Натяжение нити Т = (щ, Ч- >п2 + m3)g. 2) Ускорение груза
/П) + rn2 + т3
массой т] направлено вертикально вниз и равно: а =----—-----g.
2.	Р3/Рх = (Т2/7\-)2=&.
3.	1) к = | )/, = 24 В. 2) И2 = -|у Pj =8 В.
4.	Расстояние от точки А до изображения /= F= 15 см; 2) со =
= v/2F= 0,1 рад/с. Угол а имеет два значения: Oj = 45°, а2 = 135°.
/ / \ 1/2
5.	Г=2л/^ + —.
/ I “ 32зге0/пЯ I
1995 год
ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
75
БИЛЕТ 8
1. 1) Сила натяжения нити Т = m2g sin а.
2) Ускорение бруска с массой т{ направлено вдоль наклонной
плоскости вверх и равно а = — g sin а.
У,
2- v4 = v, -/
V 2
3. 1) Е = ~ V, = 16 В; 2)	= Л =5 В.
4. 1) Расстояние от точки А до изображения I = 6F = 120 см.
2) ш = v/12F = 0,05 рад/с, а = 50°.
БИЛЕТ 9
1. Vo — объем всего сосуда. Начальный объем (большей части)
а Уо з	Уд ।
И. = 7-— = 7 объем меньшей части Р, = —— = 7 Рп. Обозначим
1	1 -F а 4	°	2 I + а 4 и
/>1 — начальное давление, а Р2 — конечное. Новые объемы V\ =
_ aV0 . «г/ - а + Р<1+“) т/ •	т/' - f-J_rK = ’-РО+Ц) v
I+a^P^O ]+а VO’ V2 I + a Pj ^0	1 + a O’
Запишем условия сохранения масс газов для обеих частей сосуда:
“Ио Р2[а + Р(1 +а>] Уо
(ГТ^ =--------(Т^а)-гТ ’ ГДС 1 ~ Н0ВЭЯ температура; (1)
Р{У0 Р2[1 - Р(1 +а)1
1 +а —	(1 +«)
(2)
После почленного деления (1) на (2) получим, что Tt =
2
т а + Р(1 +а) _ 4 \Т — P(1 +а) Т° =-Т = 100 К
О а[1-0(Ц-а)] - з 7 о- ~ а[1-р(1 +а>]	3 0	х.
2. Обозначим расстояние между Землей и Луной через L. Уравне-
(2л\	Ffn	„
— L— у —у, где М3 — масса Земли. Отсюда
/ 2Л\ 2 ,
уМ3 = 1 — 1 L3 *. Ускорение свободного падения на Земле g = —Ис-
ключая из двух последних выражений произведение уМ3, получим,
что L =
Тг\ 2 з	,
dd =3,8 105км.
3. I) р= 2(1 = 0,16.
2) Изображение мнимое, расстояние от линзы F/2 = 10 см, а от
главной оптической оси — А/2 = 1 см.
76
ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
I 995 год
4. Сразу после замыкания ключей схема имеет вид, изображенный
на рисунке. Начальный ток /0 = (Et + E^/IR. После установления
стационарного состояния заряды на конденсаторах = С{Е{,
Q2 = С2Е2. Работа батарей Л =	+ Q2E2 = CjE2 + С2Е2. Энергия
--------1--------	С,Е2. С2Е2 „
р/0	конденсаторов W =	---1--. Выделив-
Л	2	2
т л	Т	сХ С?Е7
U	шееся тепло Q = Л — W = — Ч-----------.
'____ | ,___i	5. 1) Появляется вихревое электри-
L-^-J L/fJ	ческое поле, которое действует на заряды
К задаче 4	кольца.
2) Пусть г — радиус кольца. Согласно
закону электромагнитной индукции Е-2лг =
2 Д/7	„ г ДВ г,
= —лг — —♦ Е = — - —. Суммарная сила на кольцо вдоль окруж-
(2\
IHV I	г- * .	А
—♦ —♦ FEt — mEv
2 I
cd	О
mEv = — ^ QEB —»	A co = — ^ EB —♦ co = QB0/2m.
°
БИЛЕТ 10
( kl
!• ^2 = 2	•
3 /	\ 2
_	R (2л\	~ _	<2
2‘ Ям = ^2 Ы ~ 3’7 b*/C •
3. 1) a = 2£ = 0,3.
2) Изображение на расстояниях f — 30 см от линзы й Н = 6 см
от главной оптической оси.
л n z р/ тч (Ci +
4. 1) 10 = Е/т, 2) Q =-----------
5.1)	/ = ^ А; 2) Ртях=^-ЛВ0.
БИЛЕТ И
1. EV =
а(р-1)Р0 _
I + а)(а + Р) Л’
, к 1/3
2.	V=	~ 103 м/с.
3.	1) а » р/2 = 0,12.
1995 год	ФИЗИКЛ • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ	77
2)	Изображение на расстояниях / = 6 см от линзы и Н = 0,5 см
от главной оптической оси.
4.	1) Iq = E/R-,	2) Q = jCE2.
5.	Во — 2mui/Q,
БИЛЕТ 12
1.	Т2/7’1=^[1+и(р-1)]=3.
/ */2
2.	V = — —	% 3,56 км/с.
' \ °/
3.	1) р= а/2 = 0,1.
2)	Изображение на расстояниях / = 40 см от линзы и Н= 10
см от главной оптической оси.
2
4.	1) Е =/ог; 2)Q=(C'+C^)(^-
5n3tr2
5.1)	/ = -^.
/	\ 1/2
/	FRt \
2) Во — —т-	. Максимальная сила сжатия при В — Во,
\ )
78
ФИЗИКА • ОТПЕТЫ И РЕШЕНИЯ
I 996 год
1996
БИЛЕТ I
7	/ 2	\
1.	1) 2 v = 2 м/с; 2) т 1у + #//! ~ 1,3 кДж.
2.	L + ~-.
к
3.	1) </=9см; 2) F= 18 см.
4-	2) л
5r2(<jj. — о>,)	Вг (ш, — <о_)
5	U =---------1--£- П =--------1--?—
1	2(1 -ЬСД/С'г) ’	2 га+Сг/С,)-
БИЛЕТ 2
1. 1)|ц = 2м/с; 2)^^ = 0,63Дж.
_ кА
S
3. 1)	30 см; 2)Е=10см.
7 1 — г/Л	7
4. DT-IS1’ 2>-4 = Т
БИЛЕТ 3
1. 1) и = v = 5 м/с;* 2) IV = у v2 + g2/2j = 63 Дж.
Решение. За время падения камня и его взаимодействия с пес-
ком все внешние силы, действующие на систему из камня и ящика
с песком, были направлены вертикально. Поэтому проекция импуль-
са системы на направление скорости ящика сохраняется:
5mv = (5т + т)и.
Отсюда скорость ящика с камнем
5 г ,
и = -г v = 5 м/с.
О
Обратите внимание на то, что и нс зависит от скорости камня
и, = gt перед падением в песок! Это связано с тем, что скорость ц, на-
правлена вертикально и ее проекция на горизонтальное направление
равна нулю.
1996 год
ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
79
Увеличение внутренней энергии яшика, песка, камня и окружаю-
щих тел равно уменьшению кинетической энергии камня и ящика'с
песком за время движения камня в песке (время удара):
(7	2\	7
5mv . mvi 1	(5 m +т)и
~2	~	2
С учетом выражений для и и	имеем
И/ = у v2 + g212j = 63 Дж.
2. к = ^.
Решение. Направим ось х вдоль направления возможного пере-
мещения груза на столе (см. рис.). До пережигания нити груз на столе
(какая-нибудь точка груза, например,
его центр масс) находился в точке С и
удлинение пружины L = mg/к (здесь
к — жесткость пружины). После пере-
жигания нити равновесное положение
груза на столе окажется в точке О на
L, А А
I-----Г~~Ч
с О	С)	л
К задаче 2
расстоянии L от точки С и будет соответствовать ненапряженной пру-
жине. Груз на столе будет совершать гармонические колебания около
своего положения равновесия (точка О), периодически возвращаясь в
точку С с нулевой скоростью и перемещаясь между точками С и Сг
Амплитуда А = ОС = ОС} = L = mg/к. Отсюда к - - mg/А.
3. 1) d = 24 см; 2) F= — 12 см.
Решение. Пусть источник S расположен на расстоянии d от лин-
зы (см. рис.), а его мнимое изображение S, находится на расстоянии
|/| от линзы. Из подобия треугольников SCB и SAO
(d + L)/d = r2/R. Отсюда с учетом численных значений L, г2 и R
имеем d = 24 см. Из подобия треугольников SJCB и S\AO
(1/1 +А)/|/| =/•>//?.
Зная численные
значения L, г{ и R,
находим |/|=8
см. По формуле
линзы
где / = —8 см. От-
сюда фокусное рас-
стояние линзы
Г = 5^=-|2см.
80
ФИЗИКЛ • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
I 996 год
4.1)7,=^; 2)Л1231=4.
Решение. Если температура в точке 1 равна Гр то в точках 2 и 3
температура будет 4ТГ Пусть Pt — давление в точках / и 3, Р2 — дав-
ление в точке 2, Vt, V2 и V3 — объемы в точках 1, 2 и 3. Работа газа на
участке 3—1 Л31 = — А = Р[(И] — Р3). Поскольку /’jPj = vRT} и
PjV3 = vR-4Tt, то — А = vR(Tt — 4Т(). Отсюда Т\ = A/(3vR).
Работа газа за цикл равна площади внутри кривой, изображающей
цикл на диаграмме зависимости Р от И:
^1231 = 2 (?2~ ^1	^3 ~ ^1)'
Выразим Р, через Р,. Имеем
Р2 И,’	4Г,	7', •
Из последних двух уравнений Р1=2Р1. Тогда выражение для
Л1231 принимает вид
А 231 ~ 2 А (А — А)-
Из записанного выше следует, что P1(V3 — Vi) = A. Итак,
А231 = А2.
2£/(1 + CJCJ
Решение. Эквивалентная схема дана на рисунке. Можно пока-
зать, что
^, = Y Ишг2, %2 = Вшг2-
Заряды на конденсаторах одинаковы и равны
q, где q= С.U. Имеем
к задаче 5	Из записанных уравнений находим выраже-
ние для со.
БИЛЕТ 4
1. 1)^=1 м/с; 2) mv2 = 5,1 Дж.
э mg
к ’
3. 1) — = 60 см; 2) F = -7-7-7 = 20 см.
7 г	4 * * 7	а + j
4- D =1& 2> Л = Т
ZgSvlih
5. q = —г—.
d — h
1996 год
ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
81
БИЛЕТ 5
1.	L|x ctg а т 26 см.
2.	I) Н{ + Н2 = 5,5 м. 2) Форма «зайчика» подобна форме зер-
кальца, 10 х 15 см2.
3.	1) Pt = Ро + pgH; 2) Р2 = Ро + pgH - 4рсо2/?2.
4.	— = £ - 1 = 0,5.	___________________________
m, а	’	I—	,
4С,С'+с(С2-С.)2	]
5-	1) Л|ач = 0; 2) /тах =
БИЛЕТ 6
1.	~ 41 см.
18ця
2.	1) X = 25, + S2 = 5 м. 2) Ромб с диагоналями 40 см и 30 см.
3.	1) Р{ = Ро + pgH; 2) Р2 = Ро + pg(H - А) + ро?£2.
Здесь р = 1 г/см3, ц. = 18 г/моль, Р » 105 Па.
5. 1) 'с 2- 2) fo(Li + L2)a[^l1 + l2) 
БИЛЕТ 7
1.	70 см.
tg а-ц
2. 1) L2 + 2Lj = 3 м. 2) Треугольник со сторонами 25 см, 30 см и
35 см.
3.	1) Р, = Ро + pgH; 2) Р2 = Ро + pgH + 12роЛ?2.
4.	1 - - = -
0	4’
г п 'Г _ 7	+сС2> . (Cj+Cjl^Q J ё
5.	1) Т-2л^-----------; 2) ----------Уцс^сС2)-
БИЛЕТ 8
1.	^-%0,51 м.
2.	1) X = X, + Х2 = 4 м. 2) Эллипс с осями 60 см и 40 см.
3.	1) Р, = Ро + pgH; 2) Р2 = Ро + pgH - | po?Z.2.
4* Р ~777-----г? 287. Здесь р = I г/см3, ц. = 18 г/моль. Р 105 Па
г рсР (а — I)	г ________________
5. 1) /11ач = 0,2; 2) t/max = 70V	/‘,с ~~
82
ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1996 год
БИЛЕТ 9
1.	От у = 14 В до | 7 = 60 В.
2.	1) Т2 = ^= 100 К. 2) С = 4,15 Дж/К.
3.	— ДА.
Рс
4.	1)	= 0,02; 2) 0= (-+а)/ =300 см.
5.	1) F = , mg ; 2) г = 2лл/-^-.
7	2 cos ip	V g sin ср
БИЛЕТ 10
1.	От у = 18 В до -^ = 3 В.
2.	1) 5490 Дж; 2) -30 Дж/К.
Рв	Р Рс Рв t	|
3.	й — 1 ММф
Рс“Р Рв	1
4.	1) у = 0,5 см; 2) Z. И = 55 см.
7	2	’	7	2D	+	а
5.	1) О = ^; 2) Т = 3л^.
БИЛЕТ 11
1.	От | V = 45 В до у = 10 В.
2.	1) Т2 = 2Т, = 200 К; 2) 29,1 Дж.
3.	ДА = ^^Л.
Ро
4.	1) а = 0,5 см; 2) It = у7 = 54 см.
7	D + 2а
5.	1)	2) Т = л^.
БИЛЕТ 12
1. От И = 16 В до -jy V = 70 В.
А = —3vRAT = -10 кДж; 2) С = - | vR
pB[(/iI//i2)(pn-p)-pl	3
(/,i//,2)(p„-p)-pB
я=1см; 2) О = (D + °'>F = 80 см.
2. 1)
3- Рм
4. 1)
-50 Дж/К < 0.
5. 1)
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
84
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1 994 год
1994
БИЛЕТ 1
i	.	3 « л ~	.	3 + V21
1. х = ± arccos - 4- 2ям, п G Z. 2. х < log32 —— , * > 1-
3-S = i573 <Л« = ЯГ'5‘пГЛВС = ТГ>'
4. V = | уП, R = (АВ = | , ЛЛ, = | ).
5. р=16, S =	(р=1,р = ^ — посторонние корни уравнения
Jog* р = logp/8 р).
БИЛЕТ 2
1.	х = +	х = ( — 1)"^+лм, п G 7L.
4	2	z о
2.	log3 у < х $ 1.
3.	S = 5V5 (BD = ^, sin AABC = ^f).
Указание. Диаметр окружности — расстояние от точки Е до
прямых АВ и СВ, поэтому синусы углов Л и С треугольника ЛВС
равны, соответственно, - и Длина стороны ромба находится из
теоремы синусов.
4.	V = ||, В = (АВ = 1, ВС = ЛЛ, = |).
1994 год
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
85
Решение. Пусть О — центр сферы, К}, К2, К3, К4 — точки, в ко-
торых сфера касается звеньев ломаной AFDDXA\, G — середина ребра
AD (см. рис.). Из соображений симметрии точка О лежит в плоскости
GFF}K4, а из того, что точка О равноудалена от точек F{ и Е, следует,
что она лежит в плоскости а, проходящей через точку М — середину
отрезка	и перпендикулярной FXF. Но из условия касания
OK3S-D,D, следовательно, К3 G а, и, значит, K3DX = MFt =
= 2	По свойству касательных к сфере D{K4 = D{K3, отсюда
О, A, = 2DjK4 = |. Тогда ЕС = |, Л,Z?, = АВ = 1, FD = Третье ре-
бро параллелепипеда находим из теоремы о касательной и секущей:
FK2 = FFt  FE. Пусть	Z)/C3 = х, тогда	FM = DK3 = х,
F.F = D.D = х + 4, FE = х - -, DK-, ~ DK, = х, FK2 = | - х. Таким
i	I	4'	д’ z	□	&	4
,	/5	\2	/	3\ /	, 3\	17	„ „	8
образом I- — х = х — - х + - , откуда х = и D{D = j.
Пусть Д' — точка пересечения прямых МО и GK4. В прямоугольных
треугольниках OMFX и ONK3. OF{ = ОК3 = В, MFt = ДЕ3 = по-
этому ОМ = ON. Итак, ОМ = | А{В{ = | , R = v'CW2 + MF\ =
5.	p=16,S = ^ (p = 1, p = 2-15/2 — посторонние корни уравне-
ния log2 p = 30 logg<2 p).
Решение. Пусть a, b, с — длины сторон, ha, hb, hc — длины вы-
25	25	25
сот треугольника, S — его площадь, тогда ha = — , hb = -у- , hc = —.
Если X], х2, х3 — корни кубического уравнения, то оно может быть
записано в виде (х — х,)(х — х2)(х — х3) = 0 или
х3 — (X] + х2 + х3)х2 + (xjX2 + х2х3 + х3Х])х — Х(Х2х3 = 0. Таким
32	5	15
образом, a + b + c=—, ah + be + са = ^=, abc = -^,
V + T + T~ з |log2^l’^y + ’dr + 77~log«'/2/, A abc- H+W П
следние три уравнения можно переписать
r.„bc + ca+ab	1 >.	. лс-ic+a+b	_ 85
40-----т----= - log, р , 4S  г—- :
abc 3	°2 г । ’	аЬс
исключив переменные а, b и с, мы получаем систему уравнений
|f = 853(U +V?),
 ^. = 4S2| I log2 p| (11 +Vp),
у = 2S(log8/2p p)(ll +Vp).
в виде
1°б8^2р Р' аьс 11 + И’
86
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1994 год
Перемножив первые два уравнения и разделив на квадрат второго,
получаем: log2 р — 30 log8^2/) р, т. е. log2 р = 30 log2 р/ log2 (872р).
Положив log2 р = t, получаем /2 = 30//(^ + t} или
z(/2 + t — 30^ = 0, откуда 2, = 0, Z2 = 4, г3 = — -у. Корень / = 0 —
посторонний, так как тогда ha + hb + hc = 0, что невозможно. Для
.	15	'1—15/2
корня t= —получаем р= 2. и последние два уравнения сис-
темы принимают вид
5-215/4 = 4S2 | (11 + 2 ’|5/4),
32-215/2 = 2S-!/ ('ll +2"i5/4V
О \	J
Полученная система несовместна.
Наконец, для t = 4 р = 16 и мы получаем совместную систему, из
которой находим S.
БИЛЕТ 3
1.	х = л ± arccos у + 2лп, п G Z.
2.	х < logJ3 1	, х > 1.
3.	S = у^= (АВ = sin /.BCD =
Ыэ	2vj	21 z
4.	И = 1873, 7? = 77 (ЛД = 4 , BB} = |).
5.	p = у S = (p = 4, p = 1672 — посторонние корни уравнения
Iog^ = ^logp^).
БИЛЕТ 4
1.	x = -y + ^-,x = ± arccos 7 + 2лм, n G TL.
4	2	о
2.	2 — log4 5 < x == 1.
3.	S = ^73 (CD = ^, sin AACB =
4.	7 = | 76, R = ^y (AB = V(>, AD= 1, AA{ =|).
5.	p = 5, S = (p = j, p =	— посторонние корни уравнения
log^s (5p) =4 logp/vc5 (5p)).
1994 год
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
87
БИЛЕТ 5
1.	х = log3
1	1 э
2.	~ < х < 0, л- > 0.
3.	5 = ™ (АР : PD = 4 : 3, cos АВ = ЛВ = Ц-, АС = ^).
4.	a G (—л + arccos у, — yj U у, — yj U (у, yj U
U (у, л-arccos yj (— у < cos a < ± , cos a 0).
5	iz • v = JL
*** r ЦИЛ * r пир ^3 •
БИЛЕТ 6
1.	x = Iog4 у, X = Iog4 5.
2.	—y<x<—у, —j<x<0, x < 0.
3.
5 = (AO : OM = 5 : 2, cos ABAC = |, AB = BC =
Указание. Если К — середина биссектрисы CD, то тре-
угольники ОКМ и ODA подобны, следовательно, AD : КМ = 5 : 2. С
другой стороны, BD : КМ = 2 : 1, поэтому СЛ : СВ = AD : BD = 5:4.
-	— / 2л л\ . . / л	3\ । I /	3 л\ । । /л 2л\
4.	а е (—— -) U — - , —arccos U (arccos -, у) U (у, у)
।	' з '	\	х	7
(— 2 < cos а < - , cos а * 0).
Решение. Прямая I, задаваемая уравнением
у cos а + х sin а = у, касается окружности, задаваемой уравнением
1 — 4х2 — 4у2 = 0, поскольку система, задаваемая этими уравнения-
sin a	cos а гт,	г-
ми, имеет единственное решение х = —у- , у = у- • * аким образом
условие задачи выполняется, если прямая I пересекает параболу, за-
даваемую уравнением 4х2 + 15 — 12у = 0, в двух точках, нс совпада-
ющих с точкой А	. Если а = ±у, то прямая является вер-
тикальной и пересекает параболу в одной точке. Если а *= ±у, то пря-
мая пересекает параболу в двух точках, если квадратное уравнение
12,51
у х + - = yyos — х tg а имеет два различных решения.
Имеем: D = tg2 а — -	— -г—— > 0,	—\—F ---------| > 0,
Б 3^4	2 cos a J	cos2 а 3 cos а 3
2	1	3
8 cos а — 2 cos а — 3 > 0, — у < cos а < у , cos а * 0.
88
МА ТЕМАТИКА • О ТВЕТЫ И 1’1:1 ПЕНИЯ
1994 год
5.	V = 70п.
Решение. Пусть К — точка, в которой плоскость т, проходящая че-
рез точку А и перпендикулярная ребру SB, пересекает это ребро
(рис. а). Пусть О — центр основания пирамиды SABC, ASBO = а. По
условию tg а = V2, поэтому cos а =	, ВО = SB cos а =	,
’ О	Э  О
АВ = BOV3 = - V22. Пусть Т — середина ребра АС, тогда С, Т G т,
следовательно, ТК — высота треугольника TSB, в котором
SB = -у , ТВ = | V66, а высота SO равна Удвоенная площадь
треугольника TSB равна SO-ТВ и равна TKSB, откуда ТК = V2. Те-
перь из треугольника ЛКС находим tg |3 = ~	где
В = А АКТ = ЕАКС. Отсюда cos В = |, СК = TK/cos В = уП.
1	2	1 о	г 5
Определим теперь расположение цилиндра. Если проекция цилин-
дра на плоскость е является прямоугольником, то его ось параллсл-
льна е. Таким образом, ось цилиндра параллельна плоскостям SAB
и SBC, т. е. она параллельна прямой SB. Кроме того, точки Т и S
принадлежат плоскостям оснований цилиндра, поэтому его высота
Н равна SK, т. е. Н = VSC2 — СК2 = у Далее, проекции цилиндра
на плоскости SAB и SCB — прямоугольники с общей стороной SK,
поэтому проекции нижнего основания цилиндра на эти плоскости —
отрезки, с общим концом К. Это значит, что окружность нижнего
основани цилиндра вписана в угол EKF, где EKECK, FKEAK (см.
рис. б). Отмстим, что угол АКС — острый, в силу того, что
cos 2(3 = 2 cos2 (J — 1 >0. Итак основание цилиндра, либо окружность
^(О,), либо окружность 52(О2). Но цилиндр с основанием Sj перс-
1994 год
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
89
секаст грань SAB, поэтому основание цилиндра — окружность 52.
Если R=OP — ес радиус, то из \ОгРК'. R = ОгК cos |3 =
= (R + ТК) cos р = (R + V5), следовательно, R = 5уГ2.
По формуле V = tiR2H находим объем цилиндра.
БИЛЕТ 7
1.	х = log7
2.	— < х < —4, —^<х<0, х>0.
3	2’7
3.	S = 30 (АК : КМ=С. 2, cos LB = |, ВС = 10, ЛС = 2Л0).
4.	a G (-л + arccos	U (- -у, - U (у, U
и (у, л - arccos (— | < cos а < у, cos а Ф 0).
5	у • V =
Y цил • ’пир 5/5 ‘
БИЛЕТ 8
,	12	,5
1.	X = log5 р X = 10g5 т
2.	—у<Х< —у, —у<Х<0, х > 0.
3.
S = l||2 (ЛМ: MD ~ 10 : 3, cos LBAC = |, АВ = ВС = ~=).
4.	aG	-yj U f-у,-arccos U (arccos |, U (y.
(— 2 < COS а < J, cos a 0).
5.	Е = 9л.
БИЛЕТ 9
1. x = — -у + 2лЛ, x = — -^ + 2лЛ, k G Z.
о	о
(x = —arctg (уП — 1) + Ink, x = л + arctg + 1) + 2лЛ).
~	7	3
2-~2^P^4-
3.	X < —	< X < 0.
4	12
4.	r = 3.
С Т/ 441
5.	V = -rit.
90
МАТЕМАТИКА • ОТВЕ'11>1 И РЕШЕНИЯ
1994 год
БИЛЕТ 10
1.	х = — v + 2лЛ, х = — ^ + 2лЛ, к £ 7L.
О	о
2.	1.
Указание. Условие выполняется, если точка графика, в которой
касательная параллельна прямой АН, при проектировании на эту
прямую попадает на отрезок [Л/J].
1	2	„	1
3.	х <	3> 0 < х < )2.
Указание. Заменой и = log2 — х), v = log2 12х + | неравен-
1	2
ство сводится к виду - — > и — - v или v(u — v)(u — 2v) > 0. Здесь,
если v > 0. то и < v или и > 2v, если же v < 0, то 2v < и < и.
Решение. По теореме синусов найдем радиус окружности 5,(0^:
СП 17
R ~ 2sin /.ВАС ~ ~2~ (см- Рис-)- Пусть Р — середина [ЯС|, тогда
(\Р 1-ВС и из треугольника ОХСР О{Р = у. Из условия следует, что
окружности 5](О]) и S2(O2) касаются внешним образом, поэтому
1 7
О]О2 = R + г =	+ г. Пусть К— основание перпендикуляра, опу-
щенного из точки Oj на прямую O2D. Тогда О2К = O2D + О^Р =
= г + ~ и = PD = РВ + BD = 5. Из треугольника О,О-К нахо-
дим г: ^-у + Н = (г -г -у) + 25, откуда г = у
5. V = 98л\^6.
Решение. Пусть Л — общая точка сферы и окружности верхнего
основания цилиндра, K.N — ось цилиндра, О — центр сферы, Е —
точка касания сферой нижнего основания цилиндра. Точки Л и Е
лежат в плоскости а = (OKN), сечение цилиндра плоскостью а —
прямоугольник ABCD со сторонами AD = И, АВ = Я сечение сферы
плоскостью а — окружность радиуса R = 7?сф, проходящая через
точку А, касающаяся стороны CD в точке Е и пересекающая отрезок
KN в точках L и М так, что KL : LM : MN = 1 : 6 : 2, так как
KL < MN (см. рис.). Проекции сферы и цилиндра на плоскость осно-
вания цилиндра — круги, окружности которых пересекаются в точ-
ках R и Q, RQ = 8 (сфера касается образующих цилиндра, их про-
екции — точки R и Q), а расстояние между центрами О и С), кругов
равно EN = ОР, где Р — середина [ТА/]. Пусть G — точка пересе-
чения сферой отрезка |/t/i| (G А), Р — точка пересечения прямых
ОЕ и АВ. Тогда 0F 1_ АВ, следовательно, F — середина отрезка
1994 год
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
91
К задаче 4
К задаче 5
[ДО]. Пусть KL = z, DE = AF= FG = х, KG = у. Тогда LM = 6z,
MN=2z, LP = 3z, NP = R = 5z. По теореме о касательной и секу-
щей KGKA = KLKM, т. с. у(2х + у) = 7z2; NM-NL = NE2, т. е.
(x + y)2=16z2. Отсюда х = 3z, y = z, R^ = 2x + y = 7z.
O'Oi = NE = 4z. Пусть T — середина отрезка [Л(7]. Тогда из
(7z)2= (5z)2 + (4z)2 — 2-5z-4z cos ₽, где Р=ЛЛО|7’. От-
cos Р = -к следовательно,
сюда получаем:
, поэтому z =

276"	—
sinp = ——.	Тогда
Яц = 9z = 3V6\
БИЛЕТ И
4. г = 12.
5. V =
441
64
Л.
92
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1994 1*од
БИЛЕТ 12
1, х = — v + 2яЛ, х = ~ + 2л:Л, к G Z.
О	о
1995 год
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
93
1995
БИЛЕТ 1
1.	5 = 10 \/3.
2.	х = л + arccos | + 2лм, п G Z.
3.	CD: у = 16, 5=18 73.
По условию точки С и D симметричны относительно оси Оу (см.
рис.), поэтому они имеют координаты С(х0, у0), D(—х0, у0). Тогда
точка Е пересечения медиан треугольника имеет координаты
£(_Хо/3, Уо), Так как CD = 2DE. Точки С и Е лежат на графике,
поэтому
откуда х0 = ±3, у0 = 16.
Далее по свойству медианы прямоугольного треугольника CD =
= AD, но AD = АС, значит, искомая площадь вдвое больше площади
равностороннего треугольника ADC со стороной 21 х01 =6.
К задаче 3
5
D
К задаче 4
94
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1995 год
Пусть 5(и52 — площади сечений, И, У2 и Г3 — соответственно
объемы пирамиды и частей, на которые пирамида разбивается плоско-
стями сечений считая от вершины. Пирамида и се сечения симметрич-
ны относительно плоскости Л5С (см. рис.), поэтому сечения — дель-
тоид ЛКЬМ {ЛК = AM, LK ~ LM) и треугольник BED, где ЛЬ J. КМ,
OEA.BD (О — центр основания пирамиды). Таким образом,
S,=-^ КМ-ЛЬ, S0=^BD‘()E и значит, KM = \bD, так как
ЛЬ = 2ОЕ. Отсюда следует, что SL = ЬЕ, откуда
SL : ЬЕ : ЕС =1:1:1, так как ЬЕ = ЕС. Это означает, что равны
расстояния h: от точки S до плоскости а = (АКЬ), между плоскостями
а и (3 = (BED) сечений, от точки С до плоскости (3. Отсюда следует,
1
что = У3, так как = S2. Но У3 = - У, так как площадь тре-
угольника BCD вдвое меньше площади квадрата ABCD, а отношение
высот ЕТ и SO пирамид EBCD и SABCD равно ЕС : SC =1:3. Поэто-
му Г] = Г3 = 8, У 2 = У — У1 — У2 = 32. Найдем ОЕ. Имеем:
ОТ : ОС = SE:SC = 2 :3, поэтому ОТ = 2, ЕТ = | SO = |, ОЕ =
Отсюда S2 = 10 и из равенства V3 = - hS находим h.
Пусть у, у2 — корни квадратного уравнения у2 — 2Ву 4- С = 0, где
В = 2р(р — 1), С = — р3(2р — 3). Для того чтобы данное биквадратное
уравнение имело решения, необходимо, чтобы дискриминант D =
= 4(В2 — С) был неотрицателен. Имеем: ~ = р2(2р — 1)(3р — 4) 0,
1	4
т. е. р у, р > Рассмотрим четыре случая. В первых трех D > 0.
а)	С < 0, тогда у, < 0 < у2, т. с. уравнениях — - р)2 = у, нс имеет
* 9	7
корней, а уравнение (х —-р) = у2 имеет два различных корня,
9
сумма S которых, согласно теореме Виста, равна у р. Из неравенства
X*
7
S <Т, где Т = —5р + 11р 4- 7, следует - р< 2 и, с учетом ус-
7	3
ловия С < 0, получаем —	< р < 0, у- < р< 2.
б)	С = 0, тогда р = 0 или р = -. При р = 0 уравнение имеет один
X*
з
корень х = 0 и неравенство 0 = S < Т = 1 выполнено, а при р = —
х<
81	49
три корня с суммой S = —, меньшей Т = —.
в)	С > 0, тогда У] и у2 одного знака, причем 0<ур у2 > 0, если
В > 0. При этом уравнение имеет четыре корня с суммой 5 = 9р,
1995 год
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
95
поэтому из неравенства S < Т следует — 1 < р < и, с учетом уело-
вий С > О, В > 0, получаем ~ < р <
О	ь?
г)	D = 0, тогда при р = ^ у,= у2 = и уравнение корней нс
2	1	£
имеет, а при Р = 4 У| = J-'2 = 4, тогда S = 6 <Т.
БИЛЕТ 2
| с _ 24
Ь д 25’
2. х = 5 + 4 arcsin 4 + 2лп; х = л — 4 arcsin 4 + 2лп, п 6 Z.
3. у=5х, АВ= 18 V26. (0(3; 15), С(9; 45)).
БИЛЕТ 3
1. Р=66.
2. х = л + arcsin 7 + 2лп; х = arcsin 4 + 2лп, п G Z.
БИЛЕТ 4
t. л 25 .
2.	х = 4 arcsin 4 + 2лп; х = 4 ~ 4 arcsin 7 + 2лп, п 6 Z.
2	4	2	2	4
3.	у= Зх, KL = 12VTU.
96
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1995 год
БИЛЕТ 5
1. X = а + 2лп, п G Z, а 6	±
т т	х	о	о
е
Выберем на стороне ЛС точку Р так, что	(см. рис.), тогда
5	3
СР = DP = Пусть ЛК = СК — х, тогда из подоби$г треугольников
DPK и ЕЛК РК : ЛК = DP : ЛЕ, т. с. (х - 5/4) : х = 3/4 : 2, откуда
х = 2. Тогда /1С = 4, 5 = у.ЛБ- ВС — ЛС1 sin a cos а =
4.	NL : LB = 1 : 2, а = -Ь =
Прямая пересекает параболу ровно в одной точке, если она
параллельна ее оси, либо касается параболы. Оси парабол парал-
лельны оси Оу (см. рис.), поэтому либо В{Z?2||Оу, либо В}Вг —
общая касательная к параболам, что невозможно, так как един-
ственная общая касательная данных парабол проходит через точку
N. Итак	тогда jVZ?2||Ox, поэтому если точка М — точка
пересечения ЫВ2 с Пр то MN = 'lb, и из симметрии парабол сле-
дует NB2 = 2b, откуда 7?2(35, а£2), B{(3b, 9аЬ2) — координаты то-
чек В2 и В}. Тогда касательная B}L имеет уравнение
у — 6abx — 9аЬ и она пересекает прямую NB2.
Отсюда получаем, что NL = Ь
y=ab2 в точке
В2Ь = 7 5, т. с.
А э
К задаче 3
К задаче 4
1995 год
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
97
NL : B2L — 1 : 2. Далее, из равенства | = Sfj в N = ± NB2- BtB2 =
= 8|<2|/>3 следует, что |<а| =	. Поэтому BXL2 — В}В2 + LB2 —
24о
= 64<22Z>4 + Ь2 = । ~ + 16Z>2V Наименьшее значение этой
9	9 \b2 I
кции достигается при b = т. е. b = ~ и тогда а =
4	L
Замечание. Искомые значения параметров а
„ г 2 „
наити иначе. Из
с = 2 с — 2
3	- 9’
ЬВ2ВХК площади 4/9
угольник — квадрат,
5. И =	-
э 20
Пусть О — центр окружности основания кону-
са, Р — центр основания призмы (см. рис.). Из
того, что треугольник BCtD равнобедренный, сле-
дует, что
ружности
площадь,
Имеем:
г = 3//2.
лярна плоскости (2?С,£>) основания конуса, поэто-
му она содержит вершину К конуса. Итак,
т. е. К Е ЛСр Высота КО
LKC^O^ а=р-у,
tgy = PC/CIC = 3/'/7,
ТО = ^(С,Р-г) =
V = jKO-itr2.
3'
и b можно
следует,
л.
фун-
было
что
того, что B2L = J B2N,
поэтому B\L — диагональ
и она имеет наименьшую длину, если прямо-
т. е. LB2 — B2Bt.
прямоугольника
ОЕ С}Р. Радиус г = ОР вписанной ок-
находим по формуле S = гр, где S —
р — полупсриметр треугольника BCtD.
р = 8/2 и S = 24, следовательно,
Далее плоскость (ЛС(С) перпендику-
Й1
13
D
К задаче 5

3
конуса находится
где
откуда
=. Объем
конуса
К Е (ЛС]С) П (А2?С,),
из треугольника КОС,:
tg р = лс/с,с = 6/v7,
tg а — 3/7/25 и
находим по формуле
БИЛЕТ 6
* __ । п <— f Зл л	7л I /— *77
1.	х = а + 2лп, a G	- и, - л(, п Е Z.
2.	|<х<1,3<х<11.
3.	S = ^vT5 (ЛВ = ^, ЛС = 5).
98	МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ	1995 гол
4. B{L : B2L = 1 : 1, а = -3, b = ~ (В2(ЗЬ; а/>2), B,(3b;9ab2),
L(3b; Sab2)).
5. V = —-— л ( г = у, й = -у-, К £ L — прямой, проходящей через
точку 5, Z||Z?C)
БИЛЕТ 7
1. х=а + 2лп, а £ ±-^, 0,	, п £ 7L.
_ 1	1 1 Л_
9 < х < 4’ 30 Х 25’
3.	S = (ЛВ = Зу^, ВС^З, ЛС = 6).
4.	~~ = а = b = | (A2(3b; ab2), Л, (ЗА; 9аЬ2), b\ ab2^).
5.	К = ^л (г=1, йко11 = ^, /С £/, / = ЛС,).
БИЛЕТ 8
1. х = а + 2лп, а £ |о, ±-^, ±^|, п £ 7L.
[12’4]
2.1<х<{, |<х<1.
3.5 = 32уП (АС = 8, ВС = 12).
4. А}К: Л2К= 1 : 1, а = 2,	(A2(3b; ab2), A{(3b;9ab2'),
K(3b; 5аЬ2)).
5. И = -^ л (г = h^an К £ SP, 7> — центр грани ABCD).
БИЛЕТ 9
1.	105.
2.	х < — 1, log3 2 < х $ log3 10—1.
3.	г — 3.
Пусть К — точка
13
касания (см. рис.), LNMC — n, тогда, по
условию, AMNC = 2a, LBMK — л— п,
LANK— л —2а. Но МО и NO — биссек-
трисы .этих углов, поэтому
LOMK — у — у, LONK — ^- — а, и, зна-
чит, ОК = ОМ sin (у -— ^Т0 cos у и
К задаче 3
1995 год
МАТЕМАТИКА • ОТВЕ1Ы И РЕШЕНИЯ
99
ОК — ON sin — aj = cos а. Из уравнения
./T7V п '5	15 (о 2 a 1
V 10 cos — —- cos а — -г- 2 cos — 1
2	4	4 1	2
а 2±7	а 3	а
находим cos у = зТГо’ откУда cos у ~ 7ПГ’ так как 2 — острый угол.
Отсюда г = ОК ~ 3.
4.	S = 10 - у.
4
При 0 < у — х < 1 первое неравенство принимает вид 2у — 2ху &
> (у — х)2, а при 1 < у — х — вид 0 < 2у — 2ху < (у — х)2. Таким об-
разом, первое неравенство задает на плоскости множества
М,:
Г X < у < X + 1,
|х2+ (у- 1)2$ 1,
и М2:
х + 1 < у,
х2+(у-1)2^1,
у(х - 1) < 0.
Второе неравенство задаст угол у =£ 4 — |х|. Фигура Ф изображена
на рисунке. Для нахождения площади фигуры Ф осталось заметить,
что она равна сумме площадей треугольника ЛВО и трапеции
BCDE без площади круга, так как треугольники EFO и ОЕК равны,
з
5-	Г = 1
Пусть Мх и М2 — многогранники, на которые рассекает призму
плоскость сечения а, и около М{ можно описать сферу, а около М2 —
нельзя, S, и S2 — площади их поверхностей. 1^1ждая грань вписанного
в сферу многогранника — вписанный в окружность многоугольник,
так как сечение сферы плоскостью грани — окружность, содержащая
все вершины этой грани. С другой стороны, около прямоугольной тра-
пеции нельзя описать окружность. Поэтому плоскость ц пересекает
грань AAfCfC призмы либо по отрезку [/СЛЛ], N G [СС,] (см. рис.),
100
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1995 год
либо по отрезку f/OVj], 77, G [ЛЛ,] и, соответственно, треугольник
KCN либо треугольник /СЛЛ^ — грань многогранника Л7, (эта грань нс
может являться прямоугольником, так как в противном случае
а±(ЛВС)). Если плоскость а не пересекает ребро BBV то многогран-
ник М{ — треугольная пирамида, например, NKCL^ но тогда 5, < 52.
Таким образом, а пересекает ребро ВВ{ и Л/, имеет два параллельных
ребра, одно из которых лежит на прямой ВВ{, другое — на одной из
прямых ЛЛ, либо ССГ Соответственно, гранью будет один из пря-
моугольников AN\MB, либо CNMB. Отсюда следует, что а пересекает
грань АВС по отрезку KLV KL{\\AB, либо по отрезку KL, KL\\BC. В
первом случае
^1 — $АВ1^К +	+
$АВМЬ'} ^ссч
7	1
< iVo + |sr + sr + sCC4<s2,
где 50 — площадь основания, 5Г —
площадь боковой грани призмы.
Таким образом, а пересекает приз-
му по трапеции K.LMN {KL\\MN~).
Пусть Т, Т, — середины ребер ВС
и В,С,, 7? и £ — точки пересече-
ния плоскостью а отрезков АТ и
MN. По условию tg LERT = р по-
~ „	773"
этому ТЕ = -^-, значит,
с — с —с _ 2173	-	_ 1573
^BCNM~ 16 > ^KCN — ^LBM — 128 ’ ^BCKL~~ 54
и равенство 5, = S2 можно переписать в виде
1573	2173	773	_1 ( 73	,
--1-Тл 1—77Г	т 7 —:—h jAA, .
64	64	16	214	11
Отсюда ЛЛ. = ~ и V =
•	Z	о
БИЛЕТ 10
1.	п = 235.
2.	—1 $ х < 0, log2 17 — 1 < х.
3.	r = ^=- (A AMD — Z-ADM =
4.	5 = я - 1.
• зч
— arcsin -).
1995 год	МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ Ю1
5.	V = 2100 (ЛЛ, = 7, сечение — трапеция MNK.L, AM: МВ —
= AN : CN =2:3, BL: B^L — СК : С}К = 33 : 2 (см. рис.)).
БИЛЕТ 11
5.	V = | {ВВу='ГЪ, сечение — трапеция DEFG, BE: В^Е —
= CF : CXF = 11:1, AD : DB = AG : CG = 1 : 2 (см. рис.)).
БИЛЕТ 12
1. п = 65.
2. log3 2 — 1 sg х < log3 2, 2 < x.
5. у =	(ЛД = сечение — трапеция DEFG, где
BE : ЛЕ = BD : CD = 1 : 4, AF : Л,/’= CG : C,67 = 10 : 1 (см. рис.)).
Решение. 1) Плоскость сечения а нс может пересекать только
одно из ребер AAf, BBV CCt (см. решение к билету 9).
102	МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ	1995 год
2) Плоскость а пересекает два из этих ребер, поэтому а па-
раллельна одной из прямых ЛВ или АС, значит, грань М{, лежа-
щая в плоскости ЛВС — вписанная трапеция, тогда она — рав-
нобедренная трапеция, следовательно а||ЛС.
1996 год
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
103
1996
БИЛЕТ 1
1.	л + 2л.п, arccos | + 2лп, л 6 Z.
2.	(-3, -2) U (-1,0).
Указание. Неравенство равносильно совокупности следующих
систем неравенств:
2~х — 1 < 2~х“1 + 1, |2"х - 1 > 2~х~' + 1,
4~х>1,	Ь-х>1,
|х + 2| > 1;	0 < |х + 2| < 1.
3.	РА = ^, PQ = 6.
Решение. Пусть К — середина отрезка АС, М — точка пересече-
ния АВ и PC (см. рис.), LABK = LCBK — 0, где 0 = arccos
Тогда Z.АВС — Z.APC = 20 (эти углы опираются на одну дугу),
Z.ACP = LABK = 0 (углы со взаимно перпендикулярными сторона-
ми), 2.APQ = LACP = 0 (угол между касательной и хордой),
Z.PAQ ~ 20 + у (внешний угол в треугольнике АРМ) и поэтому
Z-AQP = у — 30. Применяя теорему синусов к треугольникам АРС и
. а с	sin (2+ 20)
APQ, получаем: АР ~ АС . Л = з-------5, PQ — AP —(-=
J	sin .20	2 cos 0	« sjn 2_3р
= ЛР^И0- Т- к- cos Р = sin 0 = VT’ COS 2₽ = 2 cos2 ₽ ~ 1 Ч’
cos 30 = cos 0 (4 cos2 0 — 3) = то A? = Др!’’ PQ — 6-
К задаче 3
К задаче 5
104
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1996 год
3
4.	а — ymin = -11.
Р е ш е н и с. 1) Т. к. уравнение — 2л’ — 8ах2 — 4а2х + 5 = 4а2х + 5
равносильно уравнению х(х + 2а) = 0, то точки Л(0; 5) и
/Д—2а; 5 — 8а3) являются общими точками графика функции
у = /(х) и прямой I, заданной уравнением y — g(x), где
g(x) = 4а2х + 5.
Площадь S рассматриваемой фигуры определяется формулой
5 =
-2а
j (g(x) - /(х)) dx
о
-2а
j (2а-3 + 8ах2 + 8а2х) dx
о
8а4
3 '
ГТ	с 27
По условию 5 = — и поэтому а =
= —2х3 + 6х2 - 9х + 5.
т. к. а < 0, а /(х) =
2)	Касательная к графику функции у — /(х) в точке х0, задавае-
мая уравнением у = /(х0) + / (х0)(х — х0), пересекает ось Оу в точ-
ке с ординатой />(х0) = /(х0) — / (х0)х0. В задаче требуется найти
наименьшее значение />min функции b(x) — /(х) — xf (х). Т. к.
/>’(х) = —х/' (х) = —х(—6х + 12), то уравнение />’(х)=0 имеет
единственный положительный корень х — 2, причем b (х) < 0 при
х < 2 и У(х) > 0 при х > 2. Следовательно, />min = Z>(2) = —11.
5.	ВС = 576, угол между плоскостями DtDC и ЛВС равен
arccos |, расстояние от точки D до центра сферы равно 12.
Решение. Пусть LD{D Л= = LD{D С— а, где а — острый угол
(см. рис.). Тогда двугранные углы при ребрах DA и DC равны между
собой и являются острыми (каждый из этих углов углов обозначим р).
Для доказательства этого утверждения достаточно построить проек-
цию L точки О, на плоскость ABCD, затем опустить из точки L пер-
пендикуляры на AD и CD и воспользоваться равенством соответствую-
щих прямоугольных треугольников.
Пусть О — центр вписанной в призму сферы, О, и О2 — проекции
точки О на грани A{B{C{D{ и ABCD. Тогда ОО, = ОО2 — R, где R —
радиус сферы. Рассмотрим сечения Ф, и Ф2 призмы плоскостями, пер-
пендикулярными ребрам AD и DC. Фигуры Ф] и Ф2 являются паралле-
лограммами, каждый из которых описан около окружности радиуса R.
Поэтому фигуры Ф, и Ф2 — ромбы, высота каждого из них равна 27?, а
острый угол равен (3. Стороны этих ромбов равны соответствующим
сторонам прямоугольника ABCD и из равенства ромбов следует, что
ABCD — квадрат.
Пусть D2 — проекция точки Dt на плоскость ABCD. тогда
DtD2 = 2R. Проведем через D{D2 плоскость, перпендикулярную DC и
1996 год	МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ	105
пересекающую DC в точке К. Тогда D}D2K, DXD2D и D^DK — прямо-
угольные треугольники,	— у — arccos у— (по условию),
LDXKD2 — р. Т. к. отрезок DXK равен стороне ромба, т. е. D^K = CD,
то DrD2 = 2R = D{K sin (3 = CD sin (3. Последнее равенство в этой це-
почке равенств равно высоте ромба Фг D{D2~
= DrK sin р = DD\ sin a sin p и D^D2 = DDt sin у. Заметим еще, что
точка £>2 лежит на диагонали квадрата ABCD и поэтому LD2DK — у,
DtD2 = DD2 tg у, где DD2 = 2^, DK = £>£>, cos а, и поэтому
COS
Г'К Г'К га га tg У COS Cl	Z-Х	Л
DtD2 = DDl	. Отсюда получаем sin a sin p — sin у =
= V2tgycosa,	где cos у — y=, sin у =2^^, tg у = 2V3,
______ cos y 	 1	.	5	„__ sin у _ 21/K	„	1
cosa = —___________________________________________________sina-^,	S1n₽ = — = —,	cos p -
P = arccos 1 R =	- ^6.2^6 = 6
3	2	2	5
Рассмотрим, наконец, прямоугольные треугольники DOO2, DMO1
и DMO (M — точка, в которой одно из проведенных сечений пересе-
кает ребро AD, т. е. является вершиной одного из построенных ромбов,
см, рис.). Т. к. сфера касается граней двугранного угла при ребре DC,
то СОМО2 — ^:, DO-, — 7? ctg | . 1 ,7, DO — VR2 + DO2. Подставляя
найденные значения p и R, находим DO — 12.
БИЛЕТ 2
1.	— у + 2кл, arcsin | + 2кл, к 6 Z.
2.	(0, 1) U (2, 3).
3.	CD = 276, D£ = 5.
4-	а = -3, утах = 9.
5.	CC\CD = arctg угол между боковым ребром и плоскостью
основания призмы равен arccos расстояние от точки С до точки
касания шара с плоскостью AA,D равно 4V3.
БИЛЕТ 3
1.	2кл, arccos | 41 + 2кл, к G 7L.
14 1
2.	(-).->) U (-(.О).
3.	МС = 2V3, MN- 15.
106
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1996 год
4’ & 1 ’ У min	TJ-'
5. AD~8, угол между плоскостями АА{В и АВС равен 60°, рас-
стояние от точки А до центра сферы равно 3VT3.
БИЛЕТ 4
1.	у + 2Лл, —arcsin у + 2ки, к 6 Z.
2.	(О, U
3.	КА = 2уГ\5, KL = 1.
л	1	п 8
а ~ 2’ -vmax 2 27-
5. ABtBC ~ 60°, угол между боковым ребром и плоскостью основа-
.1
ния призмы равен arccos расстояние от точки В до точки касания
шара с плоскостью DXDC равно VTO.
БИЛЕТ 5
1.	Xj — —7, х2 — 0, х3 — 3.
Указание. Исходное уравнение равносильно уравнению:
2х 4- 9
log7 |х — 11 + log7 7у + 9 = 0, которое равносильно совокупности двух
систем:
| х > 1,	J х < 1,
|(2х + 9)(х — 1) = 7х + 9 и |(2х + 9)(1-х) = 7х + 9.
~	14
2.	а -у.	*
Указание. Исходное неравенство, равносильное неравенству
(4а — 8)х2 + (20 — 10а)х + 7а — 16^0, при а — 2 нс является вер-
ным, а при а 2 справедливо при всех х G R тогда и только тогда,
когда а > 2 и D — [10(2 — а)]2 — 16(а — 2)(7а — 16) «s 0.
3.	Площадь треугольника АВС равна 176, проекция отрезка ОМ на
прямую ВС равна 2Д^-.
Решение. 1) Пусть S,, S2, S3 и 5 — площади треугольников
BOM, СОМ, СОК и АВС соответственно (см. рис.). Тогда
51 5 ВМ „	„	,
= т = ттт;. С другой стороны, по свойству биссектрисы угла тре-
О	/V7 Сх
угольника, = Пусть ЛК = КС — а, АВЛО—АОЛС —
= А ВС О = А ОС А — а. Тогда а — АВ cos 2а и поэтому f = =—4^-,
~ 6	2 cos 2а’
|996 год
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
107
2
откуда cos а = — Пусть D G ВС и OD перпендикулярно ВС, тогда
OD = ОК = г, где г — радиус вписанной в треугольник АВС
окружности, поэтому 53 = | КС  г, Sj + S2 = ± ВС • г и, следовательно,
,3тг =	= cos 2а = 7, откуда S, = 33 и S = 2(S, + S2 + S3) =
о I т «2	3	J
= 176.
2) По построению DM — проекция ОМ на ВС. Заметим, что точка
D расположена либо на отрезке ВМ, либо на отрезке МС. В первом
случае DM = OD etg АЛМС = OD etg (л — 3a) — —OD etg 3a, во
втором случае DM — OD etg 0, где 0 — ОМ В — 3a (по свойству внеш-
него угла в треугольнике АМС). Т. е. DM — OD |etg 3a|, где
l«2a4 n™y
DM = 11 = — г. Радиус вписанной окружности найдем из тре-
угольника СОК: S, — ОК-КС = г-КС — г2 cig а, т. е.
J 2	2	__ 2
33 = г2- 2 и г — <33, таким образом, DM —
4.	±^л + 2лп], kGZ, nGZ.
I	12	2’4	I
Решение. Возводя в квадрат обе части первого уравнения и иск-
лючая из полученной системы у с помощью формулы
2 cos2 у — cos 2у + 1, придем к уравнению cos2 ^Зх +	=
= | — 2 sin 2х cos2 2х, которое сводится к уравнению sin 2х — — у,
являющемуся следствием исходной системы. Тогда из второго уравне-
ния исходной системы получим cos 2у — 0, откуда cos у — — ^=, т. к.
cos у 0 в силу первого уравнения системы. Итак, sin 2х — — у и
cos у = — -±=. Из последних равенств находим х и у.
К задаче 3
К задаче 5
108
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1996 год
18	66
/53 ’ /Т73“
Решение. 1) Пусть — проекция точки N на плоскость ABCD
(см. рис.), Е — основание перпендикуляра, опущенного из точки N, на
АК, Sy — площадь треугольника AN^K, — расстояние от точки т/до
АК (NE перпендикулярен АК по теореме о трех перпендикулярах).
Используя условия задачи, найдем площади S2, 53, S4 треугольников
2S
ADK., KCN. и N.BA и тогда S = 36 - (S' +	+ S.) = 12, N.E =
1	II	I	I	/1 /с
где АК = 6 Л/1 + ^ = 2VT3, NtE =
А, =	+ EN* = 6
2)	Для нахождения расстояния г между MN и АК воспользуемся
формулой
би
ЛК MN sin ip1
где v — объем пирамиды AMNK, — угол между MN и АК. Введем
систему координат, указанную на рис. Тогда Л(0; 0; 0), Л4(0; 3; 0),
/V = (3; 6; 6),
_ |(МЛ\ ЛК)|
\MN |  |АК|
треугольника
MN = (3; 3; 6),
АК(6; 4; 0), cos <р =
0 — площадь
6/78	/78"’
AM К, то 50 = |-3-6 = 9, v = Т.5 -6 = 18 и по формуле
л->	*7
(1) находим,
что
18
/53“
78 ‘
3)	Если плоскость перпендикулярна вектору п = (а; Л; с) и про-
ходит через точку Л40(х0; у0; z0), то уравнение плоскости записыва-
ется в виде
«(.к - Хо) + b(y - у0) + c(z - z0) = 0,
(2)
а расстояние h от точки ЛДх'р zj до этой плоскости выражается
формулой
| С7 (-V, — Хо) 4- Ь(у, - у()) + с (х — Zo) |
Vtz2 4- Л2 4* с2
(3)
Вектор n, перпендикулярный плоскости MNK, найдем, пользуясь
тем, что п .LMK и nLMN. Т. к. МК = (6; 1; 0), MN =3(1; 1; 2), то
(я, МК) =Ьа + Л = 0,
(7, MN) = 3(а + b + 2с) = 0.
Полагая а = 2, из этой системы найдем b =—12, с = 5, и поэтому
п = (2; —12; 5). Взяв в качестве Мо точку М(0; 3; 0), запишем урав-
1996 год	МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ	109
нение (2) в виде 2х — 12у + 5z + 36 = 0, а затем по формуле (3)
найдем расстояние h от точки Л, (0; 0; 6) до плоскости MNK:
h -
5 6 + 36	_ 66
V4 + I44 + 25 /Ш'
Замечание. Эти задачи проще решать с привлечением понятия
«проекция вектора а на направление вектора Ь». Пусть угол между
вектором а и вектором b равен а, тогда проекция р вектора а на на-
правление вектора b равна p=|a|cosa, а т. к. (а, Л) =
= lai • |Z>| -cos а, то р = <°2?). Покажем, как решается задача № 5
|6|
при помощи нахождения проекции.
,ч ,, ..	~' (ЛАЛ ЛК)
1	) Найдем проекцию р, вектора AN на вектор ЛК. р{ = ——,
т. к. Tn = 3(1; 2; 2), Тк = 2(3; 2; 0). то р,=^±| = ^, тогда
_______________________________	/	2[2	/77
по теореме Пифагора	= У AN2 — р2 = Л/81 —у = 6 Л/у.
2	) Расстояние между скрещивающимися прямыми MN и АК рав-
но расстоянию между параллельными плоскостями, содержащими
эти прямые. Такое расстояние равно модулю проекции вектора ЛМ
на направление нормали к указанным плоскостям (вместо вектора
ЛМ можно брать любой другой вектор с началом на одной и концом
на другой плоскости). Вектор п= (а; Л; с) нормали найдем из усло-
вия п±АК и п .LMN, т. е.
2(За + 2Л) — 0,
3(о+ 6 +2с) = 0.
Отметим, что AM = (0; 3; 0), ЛК — 2(3; 2; 0) и MN = 3(1; 1; 2).
Полагая с=1, получим из системы а = 4, b = — 6, т. с.
—*	,, с , ч	|(/;,ЛМ)|	3|/>|	___ 18
п - (4; -6; 1), тогда г - J1	,	2	= +=
|п)	\ а +Ь + с
3 ) Расстояние h от точки /11 до плоскости MNK равно модулю про-
екции вектора МА{ на направление нормали п к плоскости MNK (вме-
сто вектора МЛ{ можно взять любой другой вектор с концом в точке Л,
и началом, лежащим на плоскости MNK). Вектор п — (2; —12; 5) (см.
, ,,	, A/.ipj 36 + 6-5	_ 66
(3)), МЛ, = (0; -3; 6), т. с. h =----
I'd

МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1996 год
БИЛЕТ 6
1.	X] =0; х2 = 2; х3 = 5.
2.
Ч 78- п= 324
°	23’ Р 299'
4.	х = ±	+ лк, у = (—1)
+ тгм, к G Z, и G Z.
16 . 36
ГтГ 793
БИЛЕТ 7
1.	X] =0; х2 = 7; х3 = 10.
2-	а * г
3.	5 = 234; Р = 6<
4.	x = (-l)k^ + ^k, y = ^ + (-l)"J +лп, iez,nez.
БИЛЕТ 8
1. х, = —2; х2 = 0; х3 = 3.

_	_ 260. „
3.	5 = ^-, Р
4.	х =
5.	275;
16
ТТоГ’
_ 5500
481 ’
+ лк, у =
28
ТТГ
+ (—1)” — + ли, к G Z, д G Z.
БИЛЕТ 9
1. 27J.
л 2{ab + g + 1)
ab + 3д + 2
3.	1) X=±| + ^«GZ; 2) /max = 2, /min=l.
Решение. Используя тождества sin6x + cos6x = sin4x+
+ cos4 x — sin2 x cos2 x = 1 — 3 sin2 x cos2 x = 1 — 4 sin2 2x, sin4 x +
4
1996 год
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1 1 I
4- cos4 х = 1 — ^sin22x и полагая sin22x = Z, получаем
1 — Z/2
1 -ЗГ/4
2 t - 2 _	2 ( Г — 4/3) -2/3
3 t - 4/3 —	3 t - 4/3
2	9 I
3 — 4 / -4/3 =	’ ГДС
0<Z< 1. Функция g(t) является возрастающей на отрезке 10; 1], и
поэтому gmi„ = g((y) = 1, <?тах = g( 1) = 2. Если /(х)=у, то

g(t) = у, т. е. у _	= у, откуда t = Следовательно, sin2 2х = |
или cos 4х = — откуда х = ± + у, п&1.
4.	(-2; 0); (-3; 3); (-4; 2).
Указание. Решить каждое из уравнений системы как квадратное
относительно х или у. Тогда исходная система преобразуется к виду
(х + 2у + 2)(х-у + 6) = 0,
(х + 2у-3)(х + у + 2)=0.
и равносильна совокупности четырех систем линейных уравнений.
_ г,	а	„	а/ТЗ(8-3\/3)
5.	Радиус основания конуса г = -, радиус шара R =----------.
Решение. 1) Пусть О, — центр основания конуса, О2— центр
грани АВС, Е — середина AC, F — точка пересечения окружности
основания конуса с DE (см. рис.), ADAC — 2а, 2_BED=fi. Тогда
OO.2.DE, DO2EBE, О,Е = ВО = -^, OF=OE = ~, AOFE = 0,
4	4	2у 3	v 3
АОхАЕ=а, г = ОЕ cos 0 — -j= cos 0 = | tg a, DE = ^lg2a =
=	0Ткуда lg2a=?3T^₽’ lg« = 7TC0S₽’ tg2atga = 3,
4 tg2 a = 1, tga = ^, cos0 = y, sin0 = y^, etg 0 = л|-^,
a . a
r=2 tga=-.
2) Центр P вписанного шара лежит
ноудалена от OF и ОВ и принадлежит
плоскости, делящей пополам дву-
гранный угол при ребре АЙ.
Пусть R — радиус шара, М и К —
проекции точки Р на BE и АВ соот-
ветственно (см. рис.). Тогда
АРКМ = |, LBOP = = APOF = 0
(ABOF = 20 по свойству внешнего
угла треугольника FOE). Поэтому
ОМ - R etg 0,	КМ = R etg |,
ВМ = 2КМ = 2R etg |.
в плоскости BDE. Точка Р рав-
К задаче 5
112
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1996 год
С другой стороны, ВМ = ВО — ОМ = -^= — R ctg 6. Следователь-
2уЗ
но, 1R ctg |	— R ctg р, откуда
2/Зр ctg | + ctg р
Т. к. ctg* 1 2 3 | =
2 ctg | + ctg p =
1 + cos p _ 4+73 _ (4 + /У)2
I — cos P	4 — /У	13
8+3/3.	_ а/ТУ	_
/ТУ ’	— 2/3(8+ 3/3) “
TO ctg |
а/ТУ(8-3/3)
74/3
13
И
БИЛЕТ 10
1.	3.
- 1 + 2a + ab
1 + a + 2ab'
3.	x = ±	+ nA, к G Z, /max = /min = f.
4.	(0,5; -3), (2; -4),	-5^.
5.	Боковое ребро пирамиды равно	радиус шара
а(/55-/ЗУ)	4 5
БИЛЕТ 11
1. 2.
«	3 + а + аЬ
2 + а + 2аЬ'
3- Х = ± (i) + к G Z’ 'max = 1- /mi„ =
4. (3; -3), (2; -4), (Q; -2).
5. Радиус основания конуса г = радиус шара R = -.
БИЛЕТ 12
1. 4.
9 2 о +
1 +2а +ab‘
3. х = ±	+ nA, к 6 Z, f =- f . = —
4. (—3; 0,5), (-4; 2), (—5; 1,5).
5. Боковое ребро пирамиды равно у
 а/зУ(2-/3)
радиус шара