Текст
ргяг..
учейики и учебные пособия дм школ I ft ступени.
к. н. РАШЕВС
КРАТКИЙ к
АРИФМЕ^рЙИ
Даучно-ХГеЭагогическов Секцией Государственного Ученого Совете
допущено как руководство для школ I ступени
МОСКВА 1923 ПЕТРОГРАД
о-юнвнит* 'tf ’H
•яи
УН310И1Г9И9
KVHhAVH OOJ.
ГОО. НАУЧНАЯ 3
БИБЛИОТЕЧА
ИМ. I
к. д. Ушинокого ]
76-22563
Гиз. № 3571. Главлвт М® 12193. Москва. Тпр. 15.000 вкз.
Нотопечатвя иневн П. И. Чайковского Музык. Сектора Госуд. Издательства
Колпачный пер. 13.
ПРЕДИСЛОВИЕ.
В последнее время в младших классах все чаще
и чаще преподают арифметику без учебника, что»
конечно, нельзя не признать вполне правильным.
Тем не менее, заучивание учениками арифметических
правил и определений, после того как они хорошо
объяснены в классе, по нашему мнению, может при¬
нести существенную пользу, делая приобретенные
знания более прочными. Для этой цели преподава¬
тель обыкновенно дпктует, что имеет большие не¬
удобства: 1) отнимает много времени; 2) ученики
часто записывают с ошибками, так что потом не
могут разобраться; 3) еще чаще теряют свои заниски,
что лишает их возможности повторить то, что забы¬
то; а как часто ученики даже старших классов ну¬
ждаются в повторении, это каждый преподаватель
знает по опыту. Предлагаемый учебник имеет целью
устранить эти неудобства.
При составлении его мы старались не помещать
ничего, что могло бы явиться только излишним бал¬
ластом; на этом основании выпущены длинные пра¬
вила действий с многозначными чпсламп, в которых
— 4 —
ученпки никогда не нуждаются, так как механизм
этих действий обыкновенно усваивается ими хорошо.
При редактировании правил и определений мы по¬
ступались точностью и полнотой везде, где это могло
бы облегчить учащимся понимание и запоминание
их. Встречающиеся объяснения очень сжаты, так как
имеют в виду ученика, которому все хорошо объяс¬
нено в классе.
Мы определили число, как результат счета, считая
определение его, как совокупности единиц, совер¬
шенно неудовлетворительным, потому что тогда и лес,
как совокупность деревьев можно было бы назвать
числом; определять же число, как результат измере¬
ния, т.-е. как отношение, по нашему мнению, тоже
неудобно, так как первое понятие предшествует вто¬
рому, и, не имея понятия о числе, ничего измерить
нельзя.
Мы обратили особое внимание на постановку на¬
именований, при чем, вопреки мнению некоторых
педагогов, держались взгляда, что не будет большой
беды, если множитель иногда будем писать над мно¬
жимым; учеников эго нисколько не затрудняет, и,
как показал опыт, никаких недоразумений от такой
записи не бывает.
Выпуская это пособие, мы примем с глубочайшей
благодарностью все указания на его недочеты.
Москва, Рашевский.
15 августа 1908 г.
— 5 —
Во втором издании сделаны следующие измене¬
ния: несколько изменены определения действий (§§ 6
11, 16, 26) и измерения (§ 49); добавлены две задачи
на вычисление времени (§ 65); выпущены определе¬
ния чисел взаимно-простых попарно и в их сово¬
купности (§ 84); иаменена редакция правила приве¬
дения дробей к одному знаменателю (§ 94).
Третье издание почти без изменения перепечатано
со второго; сделаны только некоторые поправки ре¬
дакционного характера и исправлены опечатки и
недосмотры.
Пятое п все последующие издания перепечатаны с
четвертого без изменений.
\
I. Первоначальные понятия.
Определения.
1. Когда мы хотим узнать, сколько предметов на¬
ходится где-нибудь, мы должны их сосчитать. »
Каж тый отдельный предмет, каждое отдельное
явление при счете называется единицей.
Результат счета единиц называется
целым ЧИСЛОМ или просто числом.
Одна единица наз. такнсе числом.
Число, при котором есть название (наименование)
тех единиц, от счета которых оно получилось,
называется именованным,аесли нет, то—отвлеченным.
Ряд чисел: один, два, три, четыре, пять, шесть
и т. д. называется натуральным рядом чисел; этот
ряд бесконечен, так как, прибавив к последнему
числу единицу, получим новое число.
Наука, изучающая свойства чисел и
действ и янад ними, называется арИФМвТИКОЙ.
Часть арифметики, которая учит немногими
словами выражать всевозможные числа, назы¬
вается словесным счислением (словесной
нумерацией).
Часть арифметики, которая учит немногими
письменными знаками обозначать в с е в о з-
м о ж н ы е числа, называется письменным счи¬
слением (письменной нумерацией).
Знаки, употребляемые для обозначения чисел,
называются цифрами *). Их всего десять: 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9, 0; первые девять цифр называются
значащими; последняя цифра нуль означает о т-
сутствие числа.
Число, обозначенное одной цифрой, называется
однозначным,двумя цифрами — двузначны м?
несколькими цифрами — многозначным.
Число, состоящее из единиц только одного какого,
нибудь разряда, называется разрядным числом,
напр.: 40, 300, 5000 и т. д.
2. Таблица счисления 2).
4-й класс
Миллиарды.
3-й класс
Миллионы.
2-й класс 11 J-й класс
Тысячи. ПР°стые еди-
|| ницы.
12-й
разряд.
11-й
разряд.
10-й
разряд.
9-й
разряд.
8-й
разряд.
7-й
разряд.
6-й
разряд.
5-й
разряд.
4-й
разряд.
3-й
разряд.
2-й
разряд.
1-й
разряд.
Сотни
миллиардов.
Десятки .
миллиардов.
Единицы
миллиардов.
Сотни
миллионов.
Десятки
миллионов.
Единицы
миллионов.
Сотни
тысяч.
Десятки
тысяч.
Единицы
тысяч.
Сотни.
Десятки.
Единицы
1) Нужно иметь в виду, что цифра и число не одно и то же:
цифра только письменный в п а к; число может быть обовначе-
ио ие одвой, а несколькими цифрами, может быть выражено словами.
а) Это счисление навивается десятичным, сотому что в нем*
Римское счисление.
3. Римляне для обозначения чисел употребляли
семь знаков:
I, V, X, L, С, D, М,
которые означают соответственно следующие числа: 1,
5, 10, 50, 100, 500, 1000. Если написано несколько
цифр рядом, то значения их складываются, за
исключением обозначений: IV, IX, XL, ХС, CD, СМ,
в которых значение левой цифры отнимается от
значения правой; таким образом написанные обо¬
значения будут выражать следующие числа: 4, 9,
40, 9Э, 400, 900. Числа: 7, 18, 74, 150, 322, 1554,
1883 по римской системе напишутся:
VII, ХУНГ, LXXIV, CL, CCCXXII, MDLIV,
MDCCCLXXXIII.
Числа 3000, 5000, 25000 пишутся так: IIIm, Vm,
XXVm, где m означает mille—тысяча.
десять еднннц одного разряда составляют единицу следующего выс
шего разряда.
II. Арифметические действия.
Определения.
4. Составление по данным числам но¬
вого числа называется арифметическим
действием.
Возьмем, например, число 7. Присчитаем к нему
едЕгапцу, получим новое число 8. Отсчитаем от 7
единицу, получим новое число 6.
Таким образом мы пз двух данных чисел 7 и 1
составили два новых числа: 8 и 6, т.-е. Произвели
арифметические действия.
Присчитывание к числу единицы называется ПРО¬
СТЫМ счетом, отсчптывание от числа единицы назы¬
вается обратным счетом.
Если действие производится над двумя числами,
то оно называется простым; если данных чи¬
сел более двух, то действие называется сложным.
Основных арифметических действий четыре: сло¬
жение, вычитание, умножение и деление.
— 11 —
Сложение.
Определения.
5. Сложить два или несколько чисел
значит составить новое число, содержа¬
щее в себе СТОЛЬКО единиц, СКОЛЬКО их на¬
ходится в данных числах.
Возьмем, например, два числа 5 и 3 и присчи¬
таем к первому числу все единицы второго: пять да
один шесть, шесть да одпн семь, семь да один во¬
семь. Таким образом из двух данных чпсёл 5 и 3
получили новое число 8, содержащее в себе пять еди¬
ниц первого числа и три единицы второго, т.-е.
столько единиц, сколько их было в обоих числах.
Следовательно, произведенное намп действие было
. сложение. Таким образом можно дать другое опре¬
деление сложения:
Сложить два числа значит к первому
присчитать столько едпниц, сколько пх
находится во втором.
Так как, складывая 5 и 3, мы получаем число,
большее 5-ти на 3 единицы, то вместо того, чтобы
говорить: „сложить 5 и 3", можно сказать иначе:
„увеличить 5 ка 3 единицы1', „к 5-ти прибавить 3“,
„к 5-тп приложить 3“; все эти выражения означают
одно и то же.
Те числа, которые складываются, назы¬
ваются слагаемыми.
— 12 —
То число, которое получается от сложе¬
ния, называется суммой.
Свойство суммы.
6. Сумма не меняется от перестановки слагае¬
мых. Действительно, при перестановке слагаемых
число единиц, заключающихся в каждом из них,
не изменится, а следовательно и число единиц,
заключающихся в сумме, тоже не изменится. Таким
образом
5 +7 = 7+ 5.
Таблица сложения.
7. Чтобы уметь быстро складывать всякие числа,
нужно запомнить следующую таблицу:
2 + 2= 4
3 + 3 =
6
4+4= 8
5 + 5 =
10
2 + 3= 5
3 + 4 =
7
4 + 5= 9
5 + 6 =
11
2 + 4= 6
3 + 5 =
8
4+6=10
5 + 7 =
12
2 + 5= 7
3 + 6 —
9
4 + 7 = 11
5 + 8 =
13
2 + 6= 8
3 + 7 =
10
4 + 8=12
5 + 9 =
14
2 + 7= 9
3 + 8 =
11
4 + 9 = 13
2 + 8 = 10
3 + 9 =
12
2 + 9 = 11
6 + 6 = 12
7 + 7 =
14
8 + 8=16
9 + 9 =
18
6+7 = 13
7 + 8 =
15
■ 8 + 9= 17
6+8 = 14
7 + 9 =
16
6 + 9 = 15
8. Постановка наименований. Так как складывать
можно только одноименные числа, то слагаемые
— 13 —
всегда имеют одно и то же наименование; сумма бу¬
дет одноименна со слагаемыми. Напр.:
,237 руб.
"Т" 183 руб.
420 руб.
Применение сложения.
9- Сложение применяется:
I. Когда требуется найти число, зная все его ча¬
сти.
II. Когда нужно данное число увеличить на не¬
сколько единиц (несколькими единицами), т.-е. уве¬
личить на другое число.
Вычитание.
Определения.
10. Вычесть значит по сумме и одному
слагаемому найти другое слагаемое.
Таким образом вычесть из 8-ми 5 значит по с у м-
ме 8 и одному слагаемому 5 найти другое не¬
известное слагаемое, т.-е. найти такое число,
которое, будучи сложено с 5-ю, дало бы 8.
Прибавляя к 5-ти различные числа, найдем, что та¬
ким числом будет 3, потому что 5 + 3 = 8.
По сумме 8 и одному слагаемому 5 можно найти
— 14 —
неизвестное слагаемое еще другим способом. Так как
сумма содержит столько единиц, сколько их нахо¬
дится во всех слагаемых, то, отняв последовательно
от 8-ми все единицы слагаемого 5, очевидно, полу¬
чим единицы неизвестного слагаемого, каковых бу¬
дет 3. Таким образом можно дать другое определе¬
ние вычитания:
Вычесть значит от большего числа от¬
нять столько единиц, сколько и-х заклю¬
чается в меньшем.
Из сказанного видно, что ирп вычитании боль¬
шее число уменьшается на столько единиц, сколько
их заключается в меньшем.
То число, ИЗ КОТОРОГО вычитают, называется умень¬
шаемым.
То число, которое вычитают, называется ВЫЧИ-
таемым.
То число, которое получается от вычитания, на¬
зывается остатком или разностью.
11. Разность между числом и единицей
следующего высшего разряда называй т-
ся арифметическим дополнением.
Так, например, для чисел:
8, 99, 985
арифметическими дополнениями будут числа:
2, 1, 15,
потому что:
Ю— 8= 2.
100— 99= 1.
100U —985= 15.
— lb —
Применение вычитания.
12. Вычитание применяется:
I. Когда по целому и одной его части нужно найти
другую часть.
II. Когда нужно данное число уменьшить на не¬
сколько единиц (несколькими единицами), т.-е. умень¬
шить на другое число.
III. Когда нужно узнать, на СКОЛЬКО одно число
больше или меньше другого.
13. Сложение и вычитание наз. обратными дей¬
ствиями, так как при сложении даются слагаемые н
отыскивается их сумма, а при вычитании, наоборот,
дается сумма и одно слагаемое, а отыскивается другое.
14. Постановка наименований. Вычитать также мож¬
но только одноименные числа; поэтому уменьшаемое,
вычитаемое и разность будут иметь одно и то же
наименование, например:
г) При вычитании значение цифры с точкой считается на еди¬
ницу меньшим, а каждый нуль с точкой за 9.
237 руб.
183 руб.
51 руб.
15. Примеры на вычитание:
4600338 !)
3230535
769803
200000
18217
181783
Умножение.
Определения.
16. У множить значит повторить одно
число слагаемым столько раз, сколько в
другом находится единиц.
Напр., умножить 5 на 3 значит повторить 5 сла¬
гаемым 3 раза; такнм образом имеем:
5X3 = 5 + 5 + 5 = 15.
Отсюда видно, что умножение на целое число
есть не что иное, как сложение равных сла¬
гаемых. "
То число, которое умножают, называется МНОЖИМЫМ.
То число, на которое умножают, называется мно¬
жителем.
То число, которое получается от умно¬
жения, называется произведением.
Из определения умножения следует, что произ¬
ведение есть не что иное, как сумма равных
слагаемых.
Множимое и множитель называются также произ¬
водителями (сомножителями).
При умножении на целое число, дан¬
ное число увеличивается в несколько раз.
Действительно, умножая 5 на 3, мы к 5 единицам
прибавляем 5 единиц, да еще 5 единиц; таким о бра-
— 17 —
зом, вместо 5 единиц будем иметь 3 раза по 5 еди¬
ниц, т.-е. увеличим 5 в три раза.
17. Произведение не меняется от перестановки
Производителей. Докажем, напр., что 5.3 = 3.5. Умно¬
жить 5 на 3 значит 5 повторить слагаемым 3 раза.
Заменив 5 суммою 5 единиц и сложив их в верти¬
кальном порядке, получим:
5.3 = 5 = 1+1+14-1+1
+5=1+1+1+1+1
5=1+1+1+1+1
3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3.5
Особые слу
оба) равен нулю, то произведение равно
улю. Например, требуется 0^ умножить на 25; это
:ачит, что нуль/руяшо повторить слагаемым 25
II. Число от умножения на единицу не
слагаемым один раз, получим, очевидно, 25; таким
Главное свойство произведения.
18. I. Если один из
телей (или
меняется. Напр., умножив 25 на 1, т.-е. взяв 2з
образом
2
Т;НАУЧНАЯ-!
— 18 —
25 X1 = 25;
так как произведение не меняется от перестановки
производителей, то и
1 ,25 = 25.
Таким образом, если один из производителей равен
единице, то произведение равно другому произво¬
дителю.
■ Таблица умножения.
19. Для умножения однозначного числа на одно¬
значное нет правила. Умножение однозначных
чисел производят посредством сложения, повторяя
одно число слагаемым столько раз, сколько в другом
единпц. Таким образом составляют так называемую
таблицу у;^он£еция, заключающую в себе все произ¬
ведения одж)злачных чпс£л. Чтобы уметь быстро
умножать какие угодно числа, нужно все эти произве¬
дения запомнить.
2X2= 4
3X3 = 9
4X4 =
16
5 X 5 = 25
2X3= 6
3X4= 12
4X5 =
20
5 X 6 = 30 '
2X4= 8
3X5= 15
4X6 =
24
5X7 = 35
2X5= 10
3X6= 18
4X7 =
28
5 X 8 = 40
2X6= 12
2X7 = 14
2X8= 16
2X9= 18
со со со
XXX
СО 00 VI
II II II
ESs
4X8 =
4/9 =
32
36
5 х- 9 = 45
6 X 6 = 36
6 X 7 = 42
6 У 8 = 48
6 X 9 = 54
7X7 = 49
7 X 8 = 56
7 X 9 = 63
ll II
СО 05
, X
СО со
64
72
9X9 = 81
— 19 *
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
4
6
8
10
12
14
16
18
3
6
9
12
15
18
21
24
27
4
8
,2
16
20
24
28
32
36
5
10
15
20
25
30
35
40
45
6
,2
18
24
30
36
42
48
54
7
14
21
28
35
42
49
56
63
8
16
24
32
40
48
56
64
72
9
18
27
36
45
54
63
72
81
20.Правило- Чтобы умножить число на 10,
100, 1000 ит. д., нужно приписать к нему
справа столько нулей, сколько их нахо¬
дится во множителе.
Действительно, ирп умножении числа на 10 ка¬
ждая единица множимого повторяется слагаемым 10
раз; значит, в произведении вместо каждой единицы
9 Таблица умножения в таком виде наз. Пифагоровой, по имени
греческого философа Пифагора, родившегося на острове Самосе в VI веке
до P. X. 2*
— 20 —
множимого получится один десяток, а всего столько
десятков, сколько единиц во множимом.
При умножении на It 0 вместо каждой единицы
множимого получается одна сотня: следовательно, в
произведении получится столько сотен, сколько еди¬
ниц во множимом, и т. д. Следовательно:
237 X 10 = 237 дес. = 2370.
237 X 100 = 237 сотен = 23700.
21- Правило. Чтобы перемножить числа
оканчивающиеся нулями, нужно перемножить
только значащие цифры и к произведению
приписать справа СТОЛЬКО н у л е й, СКОЛЬКО их
находится во множимом и множителе
вместе ’), напр.:
12 12400
X 2400 х 420
48 248
24 496
28800 5208000
*) Примечание Это правнло выражепо неточно: нулями может окан¬
чиваться не число, а только его обозначение; перемножать цифры
е е л ь а я, потому что цифры не числа, а знаки; точно так же не к нро-
иаведенню приписываются нули, а к цифрам, обозначающим вто произ¬
ведение, и не столько нулей, сколько их находится во „множимом" и
„множителе", а ско 1Ько их находитси в обозначениях множимого
н множителя. Однако для краткости мы и далее будем употреблять
такие неправильные выражения, условившись поннмать их указанным
•бразом.
— 21 —
22. Число ЦИФР произведения. Произведение
двух чисел имеет столько цифр, сколько
их в обоих производителях, или очной
цифрой меньше.
Напр., произведение 3 8.27 больше 358.10, содер¬
жащего 4 цифры, и меньше произве чеггия 358.100,
содержащего 5 цифр; следовательно, оно имеет или
4 пли 5 цифр.
23. Спределения. Пр оизведением несколь¬
ких чисел называется тот результат, ко¬
торый получится, если умножить первое
число на второе, полученный результат
на третье и так далее. Таким образом произ--
ведение чисел: 2, 5, 3, 4 есть результат, который
получится, если 2 умножить на 5, полученное произ¬
ведение 10—наЗ и это новое произведение—30—на 4.
Обозначается это действие так:
2.5.3.4 = 120
и читается: 2, умноженное на 5, умноженное
на 3, умноженное на 4, равняется 120.
Произведение одинаковых множите¬
лей называется степенью, напр., произведение
2.2.2.2.2 называется пятой степенью двух и обозна¬
чается таким образом: 2б. Число 5 называется пока¬
зателем степени.
2-я степень числа называется квадратом,3-я—
кубом.
24. Применение умножения. Умножение приме¬
— 22 —
няется, когда нужно данное число увеличить В не¬
сколько раз.
25. Примеры на умножение.
547
247
247 X 423
247 X 423
2003
X 423
741 ~
2961
1641
741
494
1692
1094 494 «ли 988 или 846
1095641 988 104481 104481
104481
26- Постановка наименований. Множимое может
быть именованным и отвлеченным.
Множитель есть всегда число отвлеченное, так
как показывает только, сколько раз множимое, нужно
повторить слагаемым; умножить, например, 5 на 7
рублей нельзя, так как такое умножение не имеет
смысла.
Произведение, будучи составлено из множимого
будет, очевидно, одноименно с ним.
Задача. Аршин сукна стоит 4 руб. Сколько бу¬
дет- стоить 354 аршина?
Для решения задачи нужно 4 рубля умножить
н а 354. Запись такая:
- 354 4 p. X 354
4 p. X 354= 1416 р. или >'4 р. 1) пли Ш6
1416 р.
1) Нужно заметить, что вдесь множимое не 354, а 4 р.;
поставлено же оно под множителем только для удобства; вобще,
— 23 —
Деление.
Определения.
27. Р азделить значит по произведе¬
нию и одному производителю найти дру¬
гой производитель.
Такнм образом разделить 15 на 3 значит
найти такое число, которое, будучи умно¬
жено на 3, даст 15. Таким числом будет 5, по¬
тому что, умножив 5 на 3, получим 15. Очевидно,
что 5 есть третья часть 15-ти, так как она в 3
раза меньше 15-ти; следовательно, мы разделили
15 на 3 равные части и нашли величину 3-ей части:
поэтому можно сказать, что:
1) деление есть действие, посредством
которого одно число делится на столь¬
ко равных частей, сколько в другом со¬
держится единиц, и определяется вели¬
чина каждой част п.
Из сказанного также вытекает, что разделить
на целое число значит уменьшить в не¬
сколько раз.
Вместо того, чтобы рассматривать число 15 со¬
стоящим из 3 частей, из которых каждая^равна 5,
можно рассматривать 15 состоящим пз 5-ти частей,
ори умножения нужно ясно сознавать, какое нз двух чисел множимое;
нужно правильно говорить, что па что умножаем, правильно ставить
наименования, писать же множимое и множитель можно, где угодно.
— 24 —
из которых каждая равна 3, потому что 3, умножен¬
ное на 5, тоже равно 15; следовательно, разделив 15
на 3, мы узнали, сколько раз 3 содержится в 15-ти;
таким образом,
2) деление е'сть Действие, посредством
которого узнается, сколько раз одно
число содержится в другом.
Последние два определения (на части и по со¬
держанию) заключаются в первом общем опреде¬
лении деления, из которого видно, что деление есть
действие, обратное умножению.
То число, которое делят, называется делимым.
То число, на которое делят, называется делителем.
То число, которое получается от деления, назы¬
вается частным.
Для обозначения деления употребляются три зна¬
ка: (:), ( —) и (|_).
Напр., деление 24 на 8 можно обозначить таким
24
образом: 24: 8, или —, или 24 | 8.
8 I—
Деление с остатком.
28. Разделяя одно число на другое, мы не всегда мо¬
жем найти такое число, произведение которого на
делитель равно делимому. Пусть требуется разде¬
лить 30 на 8. Пробуя умножать 8 на 1, 2, 3, 4...,
мы замечаем, что ни одно из произведений не равно
30. Следовательно, 30 нельзя разделить на 8. В та¬
— 25 —
ких случаях условились делить не все делимое,
а только наибольшую его часть, какая только может
разделиться на делитель. В данном примере наи¬
большая часть делимого, которая может разделиться
на 8, будет 24, другая же часть ’6 не разделится.
Разделив 24 на 8, получим число 3, которое и на¬
зывается целым частным. Неразделенная же
часть 6 называется остатком. Очевидно,что оста¬
ток всегда будет меньше делителя, иначе его
можно было бы разделить на делитель.
Особые случаи деления.
29.1 . Если делитель единица, то частное равно дели¬
мому. Напр., 5:1 = 5, потому что 5X1 = 5.
2. Если делимое равно делителю, то частное равно
единице. Напр., 5:5 = 1, потому что 1X5 = 5.
3. Деление однозначного числа на однозначное
производится при помощи таблицы умножения.
4. При делении какого-нибудь числа
на 10, 100, 1000 и т. д. надо в нем зачер¬
кнуть справа столько цифр, сколько ну¬
лей в делителе; оставшиеся не зачер¬
кнутыми цифры представят собою част¬
ное, а зачеркнутые — остаток, например:
374$ | 10 374$ | 100 _ 3W$i Ю00
8 374 ’ 48 37 ’ 748 3 '
30. При делении многозначных чисел нужно обра¬
тить внимание на следующее.
— 26 —
1. Если делитель однозначное число, то
для нахождения ПбрвОЙ цифры частного
нужно <>дну или две цифры *) делимого
разделить на делитель.
2. Если делитель многозначное число
и БТОрая его цифра слева меньше 5, то нуж¬
но ра-здслнть одну или две левые цифры
делимого на левую цифру делителя и ре¬
зультат проверить, умножив его на делитель
и вычтя полученное произведение из делимого.
3. Если вторая цифра слева в делителе
5 или больше 5, ТО надо разделить одну или
две левые цифры делимого на левую
цифру делителя, увеличенную единицей, и ре¬
зультат проверить.
4. Если, по снесен пн к остатку цифры
делимого, получится число, меньшее де¬
лителя, то в частном ставят нуль2) и толь¬
ко после этого сносят к остатку следующую
цифру делимого.
Прпмеры на деление.
1) 34258|543 2) 32500) 25 3) 1050245 | 35
3258 63 25 1300 105 30007
167N 75 0245
1629 75 245
49 0 й
0 Здесь слово цифра употребляется для краткости вместо слов:
число, обозначенное цифрой.
-) Очень часто учащиеси забывают вто и делают ошибку.
Применение деления.
31. Деление применяется в следующих случаях:
I. Когда по произведению и одному производителю
нужно отыскать другой производитель.
II. а) Когда нужно данное чпсло разделить на не¬
сколько равных частей;
b) когда нужно найти одну из равных частей
данного числа;
c) когда данное число нужно уменьшить В не-
счолько раз.
Так, например, деля данное чпсло на 5, мы в то
же время находпм его пятую часть' и уменьшаем
его в 5 раз.
III. Когда нужно узнать, сколько раз одно число
содержится в другом.
Постановка наименований.
32. Дляправильнойпостановкпнапменований нужно
различать два случая деления. Прп делении на
части делитель будет всегда чпсло отвлеченное;
делимое может быть именованным п отвлеченным;
частное, будучи в етом случае частью дели¬
мого, будет одноименно с ним.
Задача 1. Ученик пз 15 листов бумаги сделал
5 тетрадей. Сколько листов бумаги пошло на ка¬
ждую тетрадь?
Для решения нужно 15 листов разделить на 5;
запись такая;
15 ЛИСТ. | 5
15 3 ЛИСТа или 15 ЛИСТ. : 5 = 3 ЛИСТЭ.
"о
В случае деления по срдержанию частное
будет всегда число отвлеченное, так как показывает,
сколько раз делитель содержится в делимом. Дели¬
тель же и делимое могут быть отвлеченными или
именованными, но будут непременно одноименны
друг с другом.
Задача 2. Ученпк из 15 листов бумаги сделал
тетради, употребив на каждую по 3 листа. Сколько
тетрадей вышло?
Для решения задачи нужно 15 листов разде¬
лить на Элиста, потому что тетрадей будет столь¬
ко, сколько раз 3 листа содержатся в 15 листах.
Запись:
15 ЛИСТ. |_3 ЛИСТ.
15 5 или 15 ЛИСТ. :3 ЛИСТ-=5 (тетр.).
О 5 тетрадей.
Частное 5 в этом случае будет число отвлеченное,
показывающее, сколько раз 3 листа содержатся в 15
листах, но по смыслу задачи оно должно означать
также число тетрадей; поэтому мы его или пере¬
писываем второй раз с наименованием, или ставим
наименование в скобках.
— 29 —
Зависимость межцу числами во всех 4-х
действиях.
33. Из определения действий вытекает:
I. Одно слагаемое равно сумме без друго¬
го слагаемого.
II. а) Уменьшаемое равно вычитаемому
ПЛЮС разность.
Ь) Вычитаемое равно уменьшаемому ми¬
нус разность.
III. Один производитель равен произве¬
дению, разделенному на другой произво¬
дитель.
IV. Делимое равно делителю, умножен¬
ному на частное, плюс остаток.
В случае деления без остатка:
1) делимое равно делителю, умножен¬
ному на частное;
2) делитель равен делимому, разделенному
начастное.
Поверка действий.
34.Зная свойства действий и зависимость между дан¬
ными и искомыми числами, можно легко каждое дей¬
ствие поверить или тем же самым действием,
или обратным ему.
Поверка сложения. Так как сумма не ме--
няется от перестановки слагаемых, то, чтобы пове-
— ЗО-
рить сложение сложением, нужно сложить слагаемые
в другом порядке, и если получится ирежняя сум¬
ма, то можно думать, что сложение сделано верно.
Чтобы поверить сложение вычитанием, нужно из
суммы вычесть одно слагаемое, и если получится
другое слагаемое, то можно думать, что сложение
сделано верно.
Если имеем несколько слагаемых, то. отняв от
общей суммы часть слагаемых, должны, в случае
верности действия, получить сумму остальных.
Поверка вычитания. Чтобы поверить вычи¬
тание вычитанием, нужно из уменьшаемого вычесть
разность, и если получится вычитаемое, то можно ду¬
мать, что вычитание сделано верно. «
Чтобы поверить вычитание сложением, нужно к
вычитаемому прибавить разность, и если получится
уменьшаемое, то можно думать, что вычптание сде¬
лано верно.
Поверка умножения. Так как произведение
не меняется от перестановки производителей, то
чтобы поверить умножение умножением, нужно пе¬
ремножить производители 'в другом порядке, и если
получится прежнее произведение, то можно думать,
что умножение сделано верно.
Чтобы поверить умножение делением, нужно произ¬
ведение разделить на один производитель, и если
получится другой производитель, то можно думать
что умножение сделапо верно.
— 31 —
п оверка деления. Чтобы поверить деление
делением, нужно пз делимого вит сть остаток и раз¬
делить полученную разность па частное, п если по¬
лучится делитель, то можно думать, что хеление сде¬
лано верно.
Чтобы поверпть деление умножением, нужио
делитель умножить на частное (прибавить остаток, ес¬
ли он есть), п если получится делимое, то можно
думать, что деление сделано верно.
Арифметическое выражение и скобки.
35. При решении задач бывает полезно раньше
совершения действия указать, какиб действия п в
каком порядке надо выполнить над данными чис¬
лами, чтобы получпть ответ. Для этой целп употре¬
бляются скобки.
Напр., чтобы показать, что для решения какой-ни¬
будь задачи нужно сначала сложить 13 и 15 и по¬
лученную сумму вычесть пз 40, пишут так:
40-(1 +15).
Скобки, стоящие после знака минуса, показывают,
что из 40 нужно вычесть не 13, а всю сумму:
13+15.
Соединение чисел различными знака¬
ми называется арифметическим выражением.
Иногда приходится \ потреблять скобки различной
формы, чтобы отличить их один от других; напр.,
такое арифметическое выражение:
3U+{ L00 —[25 —(5+6)]|
— 32 —
означает, что нужно сначало сложить 5 и 6, полу¬
ченную сумму 11 вычесть нз 25, полученную раз¬
ность 14 вычесть из 1С0, а эту разность сложить с
30; получим окончательно 116. Скобки бывают;- круг¬
лые (), прямые [] и Фигурные*
При вычислении арифметического выражения нуж*
но сначала делать такие действия, которые бы
избавляли его от внутренних скобок, потом от
следующих за нпми ы т. д.; поэтому в нашем при¬
мере мы сначала избавились от круглых скобок, по’
том от прямых и, наконец, от фигурных. Когда
в арифметическом выражении нет ни¬
каких скобок, то сначала делают все умно¬
жения и деления, а потом уже сложения и
вычитания *). Так, например, в выражении:
2.5-|-3.4— 6:3
мы должны сначала 2 умножить на 5, 3 умножить
на 4 п 6 разделить на 3, а потом уже сложить 10
и 12 и из полученной суммы вычесть 2; результат
будет 20.
Изменение суммы, разности, произведе¬
ния и частного.
Изменение суммы.
36. 1. Если к одному пз слагаемых прибавим (или
1) -.’накн умножения и деления теснее связывают чясла, чем
ввакя -р и —, поэтому произведение и частное в скобки не заключаются.
— 33 —
отнимем) несколько единиц, то и к сумме приба¬
вится (или отнимется) столько же единиц.
2. Если к одному слагаемому прибавим несколь¬
ко единиц, а от другого отнимем столько же единиц,
то сумма не изменяется.
Изменение разности.
37. 1. Если к уменьшаемому прибавим (или отни¬
мем) несколько единиц, то и к разности прибавится
(или отнимется) столько же единиц.
2. Если к вычитаемому прибавим (или отнимем)
несколько единиц, то от разности отнимется (или
прибавится) столько же единиц.
3. Если к уменьшаемому и вычитаемому приба¬
вим (пли отнимем) одно и то же число, то разность
не изменится.
Изменение произведения.
38. 1. Если ОДИН из производителей умножим (или
разделим) на какое-нибудь число, ТО И произведе¬
ние умножится (или разделится) на то же число.
2. Если один из производителей умножим на ка¬
кое-нибудь число, а другой разделим на то же число,
то произведение не изменится.
Изменение частного. (В случае деления без остатка.)
39, 1. Если делимое умножим (или разделим) на
Н. Н. Рашевсний. Краткой курс арифметики. 3
какое-нибудь число, то частное умножится (или раз¬
делится) на то же чпсло.
_ 2. Если делитель умнОЖИМ (или разделим) на ка¬
кое-нибудь чпсло, то частное разделится (или умно¬
жится) на то же число.
3. Если делимое и делитель умножим или разде¬
лим на одно и то же число, то частное не изменится.
Свойство действий.
40. 1. Чтобы прибавить сумму, нужно прибавить
одно слагаемое за другим, напр.:
16 —f— (5 —f— 7) = (16 —J— 5) —f— 7.
2. Чтобы отнять сумму, нужно отнять одно сла¬
гаемое за другим, напр.:
16 — (5 + 7) = 16 — 5 — 7.
3. Чтобы прибавить разность, нужно прибавить
уменьшаемое и вычесть вычитаемое, напр.:
16 + (7 — 5) = 16 + 7 — 5.
4. Чтобы отнять разность, нужно прпбавпть вычи¬
таемое и вычесть уменьшаемое, напр.:
16 — (7 — 5) =16 + 5 — 7.
5. Чтобы умножить или разделить сумму плп раз¬
ность двух чисел, нужно умножить или разделить
каждое из этпх чпсел, напр.:
(5 + 2). 3 = 5 . 3 + 2 . 3; (8 + 6): 2 = 8 : 2 + 6 : 2.
(5 — 2) . 3 = 5 . 3 — 2 . 3; (8 — 6) : 2 = 8 : 2 — 6 : 2.
6. Чтобы умножить или разделить на произведе¬
ние, нужно умножить или разделить на первый пронз-
— 35 —
водитель, полученный результат на второй и т. д.,
напр.:
6 X (2-3.5) ={(6. 2). 3}. 5 = {12.3}. 5 =--36. 5 = 180.
48 : (2 . 2 . 3) = [(48 :2) : 2]: 3 = [24 : 2]: 3 = 12 : 3 = 4.
7. Чтобы умножить или разделить произведение
на какое-нибудь число, нужно умножить Или разде¬
лить на это число ОДИН какой-нибудь производитель,
напр.:
(4. 6 . 3): 2 = 4. (6 : 2). 3 = 4. 3.3 = 36.
III. Именованные числа.
Определения.
41. Все то, что может увеличиваться и
уменьшаться и может быть разделено на
части, называется величиной, напр., длина, ши¬
рина, вышина, время, вес, температура
и т. д. Каждая величина имеет бесчисленное
множество значений, напр., длина может быть
равна: 1 сантиметру, 2 сант., 3 сант. и т. д.
Две величины наз. однородными, если одна
пз них может составлять часть другой.
Измерить величину *) значит узнать,
сколько раз в ней содержится другая
однородная величина (или какая-нибудь ее
часть).
*) Для удобства употребляем слово „величина" в двух смыслах: по¬
нимая под этим словом как величину в собственном смысле, тав я
виачение (равыер) величины.
3*
— 86 —
Та величина, которой измеряют д р у- •
гую, наз. единицей.
Единицы, принятые всеми и утвер¬
жденные государством, называются мера¬
ми, напр.: сантиметр, километр, килограмм и т. д.
В результате измерения величины получаются или
одно именованноечисло, называемое простым, напр.,
7 килограммов, или несколько именованных чисел
напр., 2 килограмма 3 грамма, совокупность кото¬
рых называется составным именованным
числом.
Меры.
Новые. Старые-
42. Меры веса.
Тонна = 1000 килограм¬
мам.
1 килограмм =1000 грам¬
мам = 2,44 фунта.
1 грамм = 1000 милли¬
граммам.
Пуд = 40 фунтам
Фунт = 32 лотам - 96 зо¬
лотникам.
Пот = 3 золотникам.
Золотник = 96 долям.
43. М еры длины.
1 километр = 1000 мет¬
рам.
1 метр = 100 сантимет-
рам= 1,41 аршина.
1 сантиметр = 10 милли¬
метрам.
Верста = 500 саженям.
Сажень = 3 аршинам или
7 футам.
Аршин = 16 вершкам или
28 дюймам,
фут =12 дюймам.
Дюйм =10 линиям.
— 37 —
Новые.
44. Me ры поверхностей
меры.
Старые.
или квадратные
1 квадр. километр = 100
гектарам.
1 гектар = 100 арам = 0,91
десятины.
1 ар = 100 кв. метрам.
] кв. метр = 10000 квадр.
сантиметров.
1 кв. сантиметр = 100 кв.
миллиметров.
Десятина = 2400 кв. саж.
Кв. верста=250000кв.саж.
Кв. саж. = 9 кв. арш. или
49 кв. фут.
Кв.аршин = 256 квадраты.
вершкам.
Кв. фут = 144 кв. дюймам.
Кв.дгойм= 100 кв. линиям.
) ы.
45. Меры объемов или кубические мер]
Куб. сажень = 27 куб. арш.
1 куб. метр = 1000 куб. де-
циметров=2,77куб.арш.
1 куб. дециметр = 1000
куб. сантиметров.
1 куб. сантиметр = 1000
куб. миллиметров.
или 343 куб. футам.
Куб. аршин = 4096 куб.
вершкам.
Куб. фут = 1728 куб. дкТйм.
Куб. дюйм=1000 куб. лиы.
46. Меры сыпучих тел.
1 гектолитр=100 литр.
1 килолитр= 10 гектолитр.
1 гектолитр= 10 декалитр.
=100 литрам.
1 декалитр =10 литрам.
1 литр =10 децилитрам=
=0,081 ведра.
Четверть = 8 четверикам.
Четверик = 8 гарнцам.
Старые.
Старые.
47. Меры жидкостей.
Ведро =10 штофам=
= 16 бут. винных
- 20 бут. водочных.
48. М еры бумаги.
Стопа = 20 дестям.
Десть = 24 листам.
49. Меры времени.
Век или столетие=100 годам.
Год простой=365 дням (суткам).
Год впсокосный=366 дням.
Год=12 месяцам.
Месяц=30 суткам *).
Неделя=7 суткам.
Сутки=24 часам.
Час=60 минутам.
Минута=60 секундам.
50. Летосчисление. Солнечный или тропиче¬
ский год, т.-е. время, протекающее от одного весен¬
него равноденствия до следующего, содержит 365 дней
5 час. 48 мин. 47 сек. В течение этого времени земля
совершает почти полный оборот около солнца. В
гражданском летосчислении для удобства условились
считать три года под-ряд в 365 дней, а четвертый—
в 366 дней. Год в 365 дней называется простым,
*) Январь, март, пай, июль, август—31 д.; февраль в простои
году—28 д., февраль в високосной году—29 д.; аирель, июнь, сен¬
тябрь, ноябрь—30 д. Месяц принимается в 30 дней, когда не треСуется
определять число и название месяца.
— 39 —
а год в 366 дней—високосным. Високосным
будет каждый год,число которого делит¬
ся без остатка н а 4. Наше прежнее летосчисление
называется юлианским (или старым стилем)
по имени римского императора Юлия Цезаря, устано¬
вившего его еще в 45 г. до P. X.; оно менее верно и
отстает теперь на 13 суток от нового, введенного
ныне и в России летосчисления, которое называется
гр и г о р и а ы с к и м или новым стилем. Послед¬
нее было установлено в XVI столетии папой Гри¬
горием XIII; отличие его от юлианского состоит в
следующем: в юлианском летосчислении все года,
числа которых оканчиваются двумя нулями,т.-е.
полные столетия и, следовательно, делятся без
остатка на 4, будут високосными; в григориан¬
ском же пз них считаются високосными
только те полные столетия, число, кото¬
рых делится без остатка на 406; напр., 1700,
1800, 1900 годы по юлианскому летосчислению ви¬
сокосные, а по григорианскому—нет. Остальные ви¬
сокосные и простые года будут одинаковы в обоих
летосчислениях.
51. Деньги.
Цена предметов определяется металлическими п
бумажными деньгами. Металлические деньги обык¬
новенно бывают золотые, серебряные и медные; они
называются монетами. Золотые монеты: 10 рублей
и 5 рублей.
— 40 —
Серебряные монеты.
Рубль=100 коп.
Полтинник=50 коп.
Четвертак=25 коп.
Двугривенный=20 коп.
Пятиалтыыный=15 коп.
Гривенник=10 коп.
Пятачок==5 коп.
Медные монеты.
5, 3, 2 и 1 копейка.
Бумажные деньги наа. банковыми билетами или
денежными знаками; они бывают разной ценности.
Раздробление.
52. Обращепие крупных мер в мелкие
называется раздроблением.
Пример. Раздробить 3 пуда 1 "> фунтов 12 лотов
в лоты.
3 (П.) 15 ф. 12 л. 3 п. 15 ф. 12 л.
X 40 Ф 40 Ф. X 3
120 Ф. 120 Ф.
—15 Ф. 15 Ф.
135 (Ф.) 32 Л-Х 135(ф-Г
X 32 Л. 270
270 405
405 4320 Л.
4320 Л. —J— 12Л.
—J— 12 Л. 4332 Л.
4332 Л.
3 пуд. 15 Фунт. 12 лот.=4332 лот.
— 41 —
В одном пуде 40 ф., а в 3 пуд. будет в 3 раза
больше; поэтому, 40 Фун. нужно умножить на 3;
множимое 40 ф. для удобства пишем под числом 3 п.,
наименование которого заключаем в скобки, так
как теперь это число сделалось множителем, т.-е-
числом отвлеченным. Обратив 3 пуд. в 120 фун.,
прибавляем данные 15 ф", получим 135 фун. Чтобы
135 ф. раздробить в лоты, нужно 32 лота умножить
на 135; число 135, означавшее раньше сумму, было
именованным; теперь оно делается множителем, т.-е.
отвлеченным числом; поэтому наименование (ф.) за¬
ключаем в скобки; множимое 32 лота для удобства
подписываем под множителем, производим умно¬
жение и т. д.
Превращение.
53. Об ращение мелких мер в крупные
называется превращением.
Пример. Превратить 10000 лотов в фунты и пуды.
10000 ЛОТ. | 32 ЛОТ.
_ 96 312
40 312 Фунт. I 40 Фунт.
32 280 7
80 32 фунт. 7 ПУДОВ.
64
16 ЛОТ.
10000 лот.=7 пуд. 32 фунт. 16 лот.
В 10000 лотах будет столько фунтов, сколько
раз 32 лота содержатся в 10000 лотах; поэтому
10000 лот. нужно разделить на 32 лота.-В 312 фун¬
тах будет столько пудов, сколько раз 40 фунтов
содержится в 312 фунтах, и т. д.
54. Сложенпе составных именованных чисел.
Пример. Сложить три числа: 2 пуда 22 фунта
30 лот., 3 пуда 38 фунт. 20 лот. и 5 пуд. 35 фунтов
25 лот.
2 п. 22 ф. 30 л.
3 п. 38 ф. 20 л.
5 п. 35 ф. 25 л.
12 п.
17 Ф.
11 л.
10 п.
2 п.
+
95 ф.
2 ф.
12 п.
97 ф. 40 ф.
"80 ф. ~~
75 л.
64 л.
11 л.
32 л.
2
2ф.
17 ф.
2
2п.
55. Вычитание составных именованных чисел.
Пример. Из 4 пуд. 5 ф. вычесть 2 п. 8 ф. 20 л°
(44 ф.)
4 п. 5 ф. (32 л.)
2 п. 8 ф. 20 л.
1 п. 36 ф. 12 л.
Чтобы вычесть 20 л., занимаем в уменьшаемом
1 ф. и раздробляем его в 32 лота. Так как пз 4 ф >
оставшихся в уменьшаемом, нельзя вычесть 8 ф.,
— 43 —
то от 4 п. уменьшаемого отнимаем 1 и. и раз¬
дробляем его в фунты; таким образом, 8 ф. будем
вычитать из 44 ф.
Задачи на вычисление времени.
56. Задача 1. Известный математпкЯкоби,
родившийся в Германии 10 декабря 1804 г.,
прожил 46 л. и 69 дней. Когда он умер?
1. Сколько времени прошло от начала нашего лето¬
счисления до рождения Якоби?
1803 года 11 мес. 9 дней.
ПЛИ 1803 года 344 дня.
2. Сколько времени прошло от начала нашего
летосчисления до смерти Якоби?
1803 г. 344 дня.
46 л. 69 дн.
или 1849 л. 413 дн.
1850 л. 48 дн.
1850 л. 1 мес. 17 дней.
3. Когда умер Якоби?
18 февраля 1851 г.
57. Задача 2. Мих. Вас. Ломоносов умер
4 апреля 1765 года, имея от рождения
52 года 7 мес. 10 дней. Когда он .родился?
1. Сколько времени прошло от начала нашего лето¬
счисления до смерти Ломоносова?
* 1764 г. 3 мес. 3 дня.
— 44 —
2. Сколько времени прошло от начала нашего ле¬
тосчисления до рождения Ломоносова?
(31 д.).
1764 г. 3 мес. 3 дня.
52 г. 7 мес. 10 дн.
17II л. 7 мес. 24 дня.
3. Когда родился Ломоносов?
25 августа 1712 года.
58. Задача 3. Н е кт о отправился в путеше¬
ствие 15 декабря 190-3 г. в 8 часов 45 мин.
вечера и вернулся обратно 5 марта 1904 г.
в 2 ч. 15 м. утра. Сколько времени он про¬
был в дороге?
1. Сколько времени прошло от начала нашего ле¬
тосчисления до возвращения путешественника?
1903 г. 2 мес. 4 дня 2 час. 15 мин.
2. Сколько времени прошло от начала нашего
летосчисления до отъезда путешественника?
1902 г. 11 мес. 14 дн. 20 ч. 45 м. *)
3. Сколько времени путешественник был в дороге?
1903 г. 2 мес. **) 4 дн. 2 час. 15 мин.
1902 г. 11 мес. 14 дн. 20 час. 45 мин.
2 мес. 18 дн. 5 час. 30 мин.
*) За начало суток прниимаетса 12 час. ночи.
*~) Так как вти два ыесяца принадлежат 1904 году (меокосиому)1
то второй из вя!—февраль—будет содержать 29 дней.
— 45 —
59. Умножение составных именованных чисел.
Пример. 3 п. 35 ф. 30 л. умножить на 5.
3 п. 35 ф. 30 л.
X 5
19 п.
19 Ф.
22 л.
+
15 п.
4 п.
+
175 ф.
4 Ф.
19 п.
179 ф.
160 ф.
19 ф.
40 ф.
150 л. 132 л.
128 л. ~4
4 ф.
22 л.
4
4 п.
60. Деление составных именованных чисел.
При делении составных именованных чисел встре¬
чаются два случая: 1) д еление именованного
числа наотвлеченное и 2) деление имено¬
ванного числа на именованное.
Пример 1.3 версты 57 саж. 4 арш. разделить на 5.
X
3 (вер.)
_1_ .
500 саж. '1500 саж. 6 арш. 311саж.2арш
57 саж.
+
4 арш.
1500 саж.
1557
15
5
— 5
саж.
10 арш.
10 арш.
0
X
7
5
2 (саж.)
3 арш.
6 арш.
— 46 —
Пример 2. Разделить 105 саж. 2 арш. 14 вершк.
по 52 саж. 2 арш. 15 верш.
105 (саж.) 2 арш. 14 верш. 52 (с.) 2 арш. 15 верш.
X 3 арш. X 3 арш.
156 арш.
2 арш.
. 315
+ 2
арш.
арш.
317
А 16
(арш.)
верш.
1902
317
5072
14
верш.
верш.
5086
верш.
158 арш.
^ 16 верш.
"7948 "
+158 -
.2528 верш.
‘ 15 верш.
2543 верш.
5086 верш. | 2543 верш.
“5086 2
0
Правило Чтобы разделить составное име¬
нованное число на составное именован¬
ное, нужно делимое и делитель выразить
в мерах одного наименования и полу¬
ченные числа разделить друг на друга.
Определение площадей.
61. Четыреугольник, у которого противоположные
стороны равны, а углы прямые, называется [фЯМО-
угольником (фиг. 1).
Фиг. 1.
Фиг. 2.
- 47 —
Прямоугольник, у которого все стороны равны,
называется квадратом (фпг. 2).
Часть плоскости, ограниченная сторонами прямо¬
угольника, называется его площадью.
Квадрат, сторона которого равна аршп-
ну, называется квадратным арШИНОМ.
Квадрат, сторона которого равна метру, назы¬
вается квадратным метром, и т. д.
Правило I. Чтобы определить площадь
(прямоугольника), нужно умножить длину на
ширину *).
Правило 2. Что бы определить длину, нуж¬
но площадь разделить на ширину.
Правило 3. Чтобы определить ширин у
нужно площадь разделить на длин_у.
Задана I. Определить площадь прямо¬
угольника, длина которого 3 саяс., а ши¬
рина 2 саж. 1 арш.
Для решения задачи нужно выразить длину п
ширину в мерах одного и того же наимено¬
вания, напр., в аршинах, и полученные чпсла пе¬
ремножить.
*) Примечание. Для краткости правило выражено неверно; длину
нельзя умножить на ширину, так как умножить можно только на от¬
влеченное число; следовало бы сказать: перемножить числа, вы¬
ражающие длину н ширину в мерах одного и того же
наименования; полученное нроизведеине будет выражать площадь
в соответственных квадратных мерах.
— 48 -
3 саж.—9 арш.
2 саж. 1 арш.=7 арш.
9X7=63 (КВ. арш.) *). Отв. 63 кв. арш
Задача 2. Площадь прямоугольника рав¬
на 2 кв. арш. Длина 64 вершка. Найти ши¬
рину.
Решение. 2кв. арш.=256кв. верш.Х2=512 кв. в. •
512:64=8 (верш). Отв. Ширина равна 8 верш.
Определение объемов.
62. Предмет, ограниченный шестью прямоуголь¬
никами (напр., кирпич), называется прямоугольным
параллелепипедом (фиг. з).
Параллелепипед (фиг. 4), у которого длина, шири¬
на и высота равны между собою, называется кубом.
Куб, у которого длина, ширина и высота равны
одному аршину, называется кубическим аршином.
Куб., у которого длина, ширина и высота равны од¬
ной сажени, называется кубической СажеНЬЮ, и т. д.
Частьпространств а, занимаемая каким-
нибудьпредметом,нааываетсяего объемом.
Правило. Чтобы определить объем (прямо¬
*) Наименование ставим в скобках, потому что 63 отвлеченное чис¬
ло, так как получилось от перемножения отвлеченных чисел и лишь
по смыслу вадачи оно должно означать число квадратных аршин, за¬
ключающихся в площади прямоугольника.
угольного параллелепипеда), нужно перемно¬
жить длину, ширину и высоту *).
/Ч
lz_[/
Фиг. 3.
Фиг. 4.
Задача 1.Определить объем комнаты,дли¬
на которой 3 саж., ширина ‘2 саж. 2 арш.,
вышина 1 саж. 1 арш.
Решение. 3 саж. — 9 арш.
9.8.4 = 288 (куб. арш.). Отв. 288 куб. арш.
Задача 2. Объем помещения 600 куб. мет¬
ров, длина 12 м., ширина 10 м. Опреде¬
лить высоту.
Для определения высоты нужно объем разделить
на произведение длины и ширины.
*) Примечание. Правильнее было бы сдавать: перемножить
числа, выражающие длину, ширину я высоту в мерах
одного наименования. Полученное произведение будет выражать
объем в соответственных кубически мерах.
2 саж. 2 арш. = 8 арш.
1 саж. 1 арш. = 4 арш.
1) 12.10 = 120.
2) 600:120 = 5.
Отв. 5 метров.
К. Н Рашевсннй. Краткий курс арвфыетпкп.
4
IV. О делителях.
Кратное число и точный делитель.
63. Определение. Если одно число делит¬
ся без остатка на другое, то первое назы¬
вают кратным второго, а второе — точным де¬
лителем первого.
Например, 10 есть кратное 5-ти, а 5 будет точ¬
ным делителем 10-ти, потому что 10 делится на 5
без остатка *).
Числа, кратные 2-х, называются чет¬
ными, напр.: 2, 4, 6, 8, 10 и т. д.
64-. Основные истины о делимости чисел.
I. Если каждое слагаемое делится**) на какое-
нибудь число, то и сумма разделится на
8TO ЧИСЛО.
II. Если ОДИН из производителей делит¬
ся на какое-нибудь число, то и произве¬
дение разделится на него.
*) Таким образом, кратное есть не что иное, как делимое, которое
делится на делитель без остатка; а так как деламое есть произве¬
дение делителя на частное, то кратное какого-нибудь чи¬
сла еоть произведение итого числа на какое-нибудь
другое целое число, иапр., кратными 5-ти будут произведения:
5.1, 5.2, 5.3, 5.4 и т д.; отсюда видно, что кратных для данного
числа существует бесчисленное множество.
**) йод словом „делится" мы будем разуметь: „делитоя без остатка*
— 51 —
ПТ Если сумма двух слагаемых и одно из них
делятся на какое-нибудь число, то и другое сла¬
гаемое разделится на то же число.
IV. Если одно из двух слагаемых делится, а дру¬
гое не делится на какое-нибудь число, то сумма не
разделится на зто число. .
V Если два числа делятся на одно и то же чп -
ло, то и остаток от деления их друг на друга раз¬
делится на это число.
VI Если делитель и остаток делятся на какое-
нибудь число, то и делимое разделится на то же,
чпсло.
Признаки делимости.
65 1 На 10, 100, 1000 И т. д. делятся те
числа,’ которые *) оканчиваются соответ¬
ственно одним нулем, двумя нулями,
тремя нулями и т. д., потому что такие числа
состоят или из одних десятков, или из одних со-
Т62 "наг делятся те числа, которые окан¬
чиваются нулем ИЛИ четной цифрой. В самом
деле всякое число можно рассматривать, как сумму
двух слагаемых, из которых первое содержит все
десяткн данного ,нсла. а второе его едншщи. Пер-
вое слагаемое, как состоящее из одних десятков,
~*^Правмьнее было бы сказать: обозначения которых окан¬
чиваются и т. д.
1
— 52 —
всегда разделится на 2, потому что каждый десяток
делится на 2; следовательно, делимость данного
числа будет зависеть исключительно от делимости
второго слагаемого, т.-е. единиц данного числа. На¬
пример, 546 = 540 -|- 6 разделится на 2, потому что
оба слагаемые 540 и 6 делятся на 2.
2а. На 5 делятся те числа, которые окан¬
чиваются 0 или 5. Этот признак выводится так
же, как и предыдущий.
3. На 4 делятся те числа, которые окан¬
чиваются двумя нулями, или у которых
дзе последние цифры обозначают число,
делящееся на 4.
Действительно, рассматривая какое-нибудь число,
папр., 5712, как сумму двух слагаемых 5700 и 12,
мы замечаем, что первое из них всегда разде¬
лится на 4, как состоящее из одних сотен; следова¬
тельно, для делимости данного числа необходима
делимость числа, обозначенного двумя последними
цифрами, т.-е. 12. Так как 12 делится на 4, то и
5712 тоже разделится. Также выводится признак
делимости на 25.
3 а. На 25 делятся те числа, которые
оканчиваются 00, 25, 50 или 75.
4. На 8 делятся те числа, которые окан¬
чиваются тремя нулями, или у которых
Три последние цифры обозначают число,
делящееся на 8.
— 53 —
Всякоечисло, оканчивающееся тремя нулями, как
состоящее из одних тысяч, будет делиться на 8,
потому что 1000:8 = 125.
Рассматривая какое-нибудь число, напр., 37216,
как сумму двух слагаемых 37000 и 216, замечаем,
что делимость его зависит от делимости 216, т.-е.
числа, обозначенного тремя последними цифрами.
4 а. На 125 делятся те числа, которые
оканчиваются тремя нулями или у кото¬
рых три последние цифры обозначают
число, делящееся на 125. Вывод втого при¬
знака подобен предыдущему.
6В. 1°. На 9 делятся те числа, Сумма ЦИФр *)
которых делится на 9-
Докажем, что, напр., число 2637 разделится на 9.
Каждая тысяча при делении на 9 дает в частном
111 и в остатке 1, следовательно, д в е тысячи дадут
в частном 222 и в остатке 2; поэтому
2000 = 9.222-|-2 **).
Каждая сотня при делении на 9 дает в частном 11
и в остатке 1, следовательно, 6 сотен при делении
па 9 дадут в частном 66 и в остатке 6; поэтому
600 = 9.66 + 6.
Точно так же
30 = 9.3 + 3.
Число 2637 можно представить в виде такой суммы:
*) Так как цифры ерь внакя, то их складывать нельзя; поэтому выра¬
жение „сумма циф р“ неправильно; следовало бы сказать: „сумма
чисел, обозначенных цифрами данного числа”.
**) Делимое равно делителю, умноженному на частное -(-остаток.
— 54 —
2637 = 2000+ 600+30+7 = 9.222+2+9.66+6+9.3 +
+3+7=9 .222-1-9.66+9.3+2+6+3+7.
Слагаемые, составляющие число 2637, можно раз¬
бить на 2 группы, как показано горизонтальными
скобками. Каждое слагаемое первой группы всегдй
на 9 разделится; следовательно, делимость числа
2637 зависит от того, разделится ли на 9 сумма
слагаемых второй группы, т.-е. сумма ЦИФр данного
числа; в данном случае эта сумма (2 +6+ 3 + 7),
равная 18, на 9 делится, следовательно, и число
2637 на 9 разделится.
2". На 3 делятся те числа, сумма цифр
которых делится на 3.
Разложив по предыдущему какое-нибудь число,
напр., 2637 на слагаемые:
2637 = 9.222 + 9.66 + 9.3 + 2 + 6 + 3+7,
замечаем, что делимость числа 2637 па 3 зависит
от делимости суммы цифр этого числа на 3; п так
как сумма (2 + 6 + 3 + 7 = 18) на 3 делится, то и
2637 на 3 разделится.
67. На 6 делятся те числа, которые де¬
лятся на 2 и на 3.
На 12 делятся те числа, которые де¬
лятся на 3 и на 4.
На 15 делятся те числа, которые де¬
лятся на 3 и на 5.
На 18 делятся те числа, которые, де¬
лятся на 2 и на 9, и т. д.
— 55 —
Числа абсолютно-простые и составные.
68. Определение. Точисло, котороеделитея
ТОЛЬКО на единицу и на само себя, назы¬
вается абсолютно-простым или первоначальным;
напр, числа:
1, 2, 3, 5, 7, И, 13, 17, 19, 23, 29, 31 и т. д. будут
абсолютно-простыми; все остальные числа:
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22 и т. д.
называются составными, потому что могут быть
составлены из первоначальных чисел; например,
6 = 2. 3; 12 = 2.2.3; 10 = 2.5 и т. д.
Первоначальных чисел бесчисленное множе¬
ство.
69. Эратосфеново решето *).
2
■ э
4
5
0
7
8
8
10
11
12
13
14
\ъ
18
17
18
19
20
2Л
ш
23
ал
28
26
£7
28
29
30
31
82
88
34
80
36
37
88
89
40
41
42
43
44
48
48
47
48
49
80
81
82
53
84
88
88
87
88
59
60
61
€2
03
64
68
66
67
68
60
70
71
72
73
74
78
78
77
78
79
80
81
82
83
84
83
т
82
88
89
90
91
02
93
04
08
96
97
SB
т
100
101
тг
103
Х04
Z08
106
107
108
109
110
XXI
Ш
113
ХХ4 .
ххъ
ХХ8
Ш
110
XX0
120
Ш
ш
120
ш
ш
Ш
127
т
хт
180
131
Ш
183
ш
Ш
138
137
*38 :
139
№
ш
М2
ш
Ш
X4Z
*) Эратосфен—гречеокий ученый (276—193 до P. I.)
— 56 —
Чтобы составить таблицу первоначальных чисел,
нужно, написав натуральные числа, зачеркнуть сна¬
чала все числа, кратные 2-х, потом числа, кратные
8-х, 5-ти и т. д. Таблица первоначальных чпсел по¬
мещена в конце книги.
70. Определение. Разложить число на пер¬
воначальные множители — значит пред¬
ставить его в виде произведения перво¬
начальных чисел *).
Правило. Чтобы разложить данное число
на первоначальные множители, нужно раз-
делитьего на 2, полученное частное опять
на 2 и т. д., пока можно; потом на 3, 5, 7
п на другие первоначальные числа по по¬
рядку **).
Примеры:
13
1
60
1
6336
1
2868
1
13
13
60
2
6336
2
2868
2
1
30
2
3168
2
1434
2
15
3
1584
2
717
3
&
5
792
2
239
219
1
396
2
1
198
2
99
3
33
3
11
И
1
*) Равложение числа на множители ие нужно смешивать с рав-
ложением числа на слагаемые; напр., разложить 12 на множители
вначит представить его в таном виде:
12 = 2. 2.3;
равложить 12 па слагаемые вначит представить его в виде:
12 = 5+ 7 или 12 =4-(-4-)-4 и т. д.
**) Пе пуящд набивать, что одним ив первоначальных множителей
0J*ex I-
— 57 —
13 = 1.13
60 = 1.2.2.3.5
6336=1.2.2.2.2.2.2.3.3 11.
2868=1.2 2.3.239.
Первоначальные множители называются также д е-
л и т е л я м и.
71. Правило. Чтобы найти все точные де¬
лители данного составного числа, нужно
разложить его на первоначальные мно¬
жители и перемножить их по два, по три,
по четыре и т. д. или л зять по одному,
наир., 60 имеет следующие точные делители:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 20, 30, 60.
72. Правило. Если делимое п делитель
разложены на первоначальные множи¬
теля, то для получения частного нужно
в делимом зачеркнуть все первоначаль¬
ные множители, которые есть в делите¬
ле, а оставшиеся перемножить.
Общий наибольший делитель.
Определения.
73. Делител ем (точным) называется то чи¬
сло, на которое данное число делится бе3
остатка.
Общим делителем нескольких чисел на-
f
— 58 —
вывается то число, на которое все данные
числа делятся без остатка.
Общим наибольшим делителем нескольких чи¬
сел называется самое большое число, на ко¬
торое все данные числа делятся без
остатка.
74. Правило. Чтобы найти общий наиболь¬
ший делитель нескольких чисел, нужно
разложить их на первоначальные мно¬
жители, выписать все общие множители и
перемножить их.
Пример. Найти общий наибольший делитель чи¬
сел: 180, 48, 96.
Общ. н. д. = 2.2.3 = 12.
75. Правило. Чтобы найти общий наиболь¬
ший делитель двух чисел по способу по¬
следовательного деления, нужно боль¬
шее число разделить на меньшее, мень¬
шее на первый остаток, первый остаток
на второй, второй на третий и т. д., пока
в остатке не получится 0. Тогда последний
180
2
48*
2
96
2
90
2
24
2
48
2
45
3
12
2
24
2
15
3
6
2
12
2
5
5
3
3
6
2
1
1
3
3
’ 1
— 59 —
делитель и будет общим наибольшим делп-
х е л е м.
Пример. Найти общ. наиб. дел. чисел: 104 п 351.
Первая запись:
частные
3
2
»
1
2
351
104
39
26
13
остатки
39
26
13
0
Вторая запись:
39
26
13
351
312
104 ) 39
78 2
| 26
1
104
~~з~
26
26 2
0~
Общ. н. д. = 13.
76. Правило. Чтобы найти общий наиболь¬
ший делитель нескольких чисел по спо¬
собу последовательного деления, нужно
сначала найти общий наибольший дели¬
тель между двумя какими-нибудь числа¬
— 60 —
ми, потом между найденным общим наи¬
большим делителем и третьим числом
и т. д.
Пример. Найти общий наибольший делитель чи¬
сел: 572, -208 и 182.
572 | 208 182 | 52
416 2 _ 156 3
208 156 52 I 26
156 1 52 2 Общ. н. д. = 26.
156 | 52 ~0
156 ~3
~сГ
Числа взаимно-простые.
77. Если два числа, кроме единицы, дру¬
гого общего делителя не имеют, то они на¬
зываются взаимно-простыми или первыми между
собою, напр., 8 и 25; 7 и 15; 5 и 3, и т. д.
Таким образом общий наибольший дели¬
тель в з а и мн б-пр о ст ы х чпсел будет 1.
Очевидно, что все абсолютно-простые числа бу¬
дут в то же время взаимно-простыми, так как, де¬
лясь только на единицу и на самих себя, они дру¬
гих общих делителей, кроме единицы, иметь не мо¬
гут; напр.: 7 и 13; 5 и 2; 11 и 19, и т. д.
— 61 —
Общее наименьшее кратное.
Определения.
78. Кратным какого-нибудь числа назы¬
вается то число, которое на него делится
без остатка.
Общим кратным нескольких чисел назы
вается то число, которое на все данные
числа делится без остатка.
Общим наименьшим кратным нескольких чи¬
сел называется самое меньшее число, кото¬
рое на все данные числа делится без
остатка.
79. Правило I. Чтобы найти в уме общее
наименьшее кратное нескольких чисел,
. нужно сначала посмотреть на большее из
втих чисел. Если ‘оно делится на ВСв
остальные, то оно и будет общим наи¬
меньшим кратным; если же нет, то его
нужно УДВОИТЬ, утроить И т. д., пока не по лу¬
чится число, делящееся на все данные
числа *).
*
*) Замечание. Умножав наименьшее кратное последовательно
• на числа: 1, 2, 3 и т. д., подучал бесчисленное множество остадьныл
общих кр втных.
- 62 —
Напр., общим найм, кратным чисел 5, 12, 60
будет 60; общпм найм, кратным чисел 2, 10, 35 бу¬
дет 70.
80- Правило II. Чтобы найти общее наи¬
меньшее к ратное нескольких чисел нуж¬
но разложитьих на первоначальные мно¬
жители, выписать множители одного чис¬
ла, приписать к нпм недостающие из других
чпсел п перемножить их.
Пример. Найти общее наименьшее кратное чисел:
24,
150
и 336
24
2
150
2
336
2
12
2
75
3
168
2
6
2
25
5
84
2
3
3
5
5
42
2
1
1
21
3
7
7
1
81. Правило III. Если ни одна пара дднных
чисел не имеет общего делителя (кроме
единицы), то для нахождения пх общего
наименьшего кратного, нужно эти числа
перемножить.
*) Так как произведение не меняется от перестановки множителей,
то лучше перемножать ил не по порядку, а так, как удобнее в каждом
данном случае; вдесь, например, удобнее сначала умпожнть 2 па 5, еще
раз 2 на 5 и полученное произведение 100 умножить па произведение
остальных множителей.
— 63 —
Напр , общ. паям, кратя. чпсел: 16, 125 п 231 бу¬
дет равно:
16. 125.231=462000.
82. Правило IV. Чтобы найти общее наи¬
меньшее кратное двухчисел, нужно одно
число разделить на их общий наиболь¬
ший делитель и полу ч-е иное частное
умножить на другое число.
Пример. Найти общ. найм. крат, чисел: 336 и 150.
336 | 150 336 j 6 56
~300 -Г 30 50 X150
36 36 2800
4 36 56
0 8400
“36 6
о
Общ. найм. кр. = 8400.
V. Простые дроби.
Определения.
83. Если разделим единицу на несколько рав¬
ных частей, то каждая такая часть называется Д0Л6Й.
* Дробью называется число, выражающее
одну или несколько равных долей еди¬
ницы.
150
144
36
6
— 64 —
Дробь устно и письменно выражается двумя
целыми числами; в письме эти числа отделяются
друг от друга горизонтальной черточкой.
Верхнее число .называется числителем, нижнее—
знаменателем, а оба вместе—членами дроби.
Знаменатель показывает, на сколько
равных частей разделена единица, а чи¬
слит е л ь—сколько таких частей взято.
Дробью называется также частное от де¬
ления двух чисел, когда одно число не
делитсянадругое. Таким образом, черточка
дроби есть не что иное, как знак деления; поэтому
3
можно написать «_или 3:5, что будет означать одно
5
3
и то же; прочесть число — тоже можно двояким
5
способом: три пятых или три, деленное на пять.
Целое число с дробью называется сме¬
шанным числом.
Та дробь, которая меньше единицы, назьг-
8
вается правильной, напр., — #
» 5
Та дробь, которая больше единицы или
равна ей, называется неправильной. Таковы
8 5
будут дроби:
5 5
84. Правило. Чтобы обратить смешанное
число в неправильную дробь, нужно
— 65 —
целое ч п с л о умножить на знаменатель,
прибавить числитель и подписать тот же
,3 4. 8 + 3 35
знаменатель, напр.: 4 — —, так как
8 8 8
в единице восьмых долей 8, в четырех единицах
их будет 32, да у нас еще имеется 3 восьмых,
следовательно, всего будет 35 восьмых.
85. Определение. Обращение неправильной
дроби в смешанное или целое число на¬
зывается исключением целого числа из не¬
правильной дроби.
Правило. Ч т о б ы исключить из неправиль¬
ной дроби целое число, нужно числитель
разделить на знаменатель. Частное пока¬
жет число единиц, а остаток — число
оставшихся долей, напр.:
165 4 165 I 7
7 23 7; — 14 23
25~
21
4
Действительно, в единице 7 седьмых; следова¬
тельно, сколько раз 7 седьмых содержится в 165
седьмых, столько и будет единиц.
Сравнение дробей-
86 Из двух дробей с одинаковыми
К. Н. Рашевсний. Арифметика.^ 5
— 66 —
знаменателями та больше, укоторой чис¬
литель больше.
5 3
Например, — больше —,потому что доли в обеих
8 8
дробях одинаковы, но в первой дроби пх больше,
чем во второй.
Из двух дробей с одинаковыми числи¬
телями та больше, у которой знаменатель
меньше.
3 - 3
Например, — оолыпе —, потому что число долей в
5 8
обепх дробях одинаково, но в первой дроби долп
крупнее, чем во второй (пятые доли крупнее вось¬
мых).
87. Правило. Чтобы увеличить дробь в не¬
сколько раз, нужно ИЛИ числитель увели¬
чить, ИЛИ знаменатель уменьшить во
столько же раз; а чтобы уменьшить дробь,
нужно пли числитель уменьшить, или
знаменатель увеличить.
8В. Главное СВОЙСТВО дроби. Величина дроби
не изменится, если числитель и знамена¬
тель ее умножить или разделить на одно
и то же число, потому что, умножая, например,
числитель на какое-нибудь число, мы увеличиваем
дробь в несколько раз, а умножая на то же число
знаменатель, уменьшаем дробь во столько же раз.
— 67 —
Сокращение дробей,
89. Определение. Сократить дробь значит
представить ее в более простом виде,
не изменяя ее величины.
Правило 1. Чтобы сократить дробь, нужно
числитель и знаменатель ее разделить
на одно и то же число.
Правило 2. Если числитель и знамена¬
тель дроби суть числа большие, то луч¬
ше найги их общий наибольший делл-
ления, на который потом и разделить
оба члена дроби.
„ _ , 714285
Пример. Сократить дробь
з б
тель по способу последовательного де-
г 9999t*9
■999999)714285
714285^^5
999999 _ 7
142857
714285 1
«
714285 285714
571428 2
2'5714|142857
285714 ~2
О
— 68 —
Определение. Дробь, которую нельзя сократить,
5
называется несократимом, напр.: —.
J. Z
Приведение дробей к одному знаменателю.
90. Определение. Привести дроби к одно¬
му знаменателю значит, не изменяя ве¬
личины дробей, сделать их знаменатели
одинаковыми.
Определение. Те числа, на которые нужно
умножить числитель и знаменатель ка¬
ждой дроби, чтобы привести их к одному
знаменателю, называются дополнительными
множителями.
Правило I. Если хоть одна пара знамена¬
телей имеет общий делитель (кроме еди¬
ницы), то нужно:
1) найти общее наименьшее кратное знамена¬
телей; оно и будет общим знаменателем;
2)найти дополнительный множитесь
для каждой дроби, деля общий знамена¬
тель на знаменатель втой дроби;
3) умн ожить числитель каждой дроби на
соответствующий дополнительный мно¬
житель и подписать общий знаменатель.
— 69 —
Пример. Привести к общему наименьшему зна-
* 7 , 11, 1 .
менателю дроби: — — —
^ 24 35 15
24
2
36
2
15
3
12
2
18
2
5
5
6
3
9
3
1
3
3
3
3
Общ. найм, кратное
1
1
=2.2.2.3.2.5=360.
Дополнительные множители для:
1-й дроби=360:24=(2.2.2.3.3.5):(2.2.2.3)=3 5=15 *)
2-й =360:36=(2.2.2.3.3.5):(2.2.3.3)=2.5=10
3-й „ =360:15=(2.2.2.3.3 5): (3.5) = 2.2.2.3=24
7
7 .
15
105
24
24 .
15
360
11
11 .
10
110
36
36 .
10
“360
1
1 .
24
24
15
15.
24
360
91. Правило II. Если ни одна пара знаме¬
нателей не имеет общего делителя (кроме
единицы), то нужно сначала найти для ка¬
ждой дроби дополнительный множитель; пере¬
множая для етого знаменатели остальных
• Дробей, а потом умножить на него числи¬
тель и знаменатель соответствующей
дроби.
*) См. «о 74.
— 70 -
Пример 1. Привести к общему наименьшему
13 2
знаменателю дроби: —, —, —•
9 4.5
Дополн. множитель для 1-й дроби равен 4.5=20
« >, 2-й „ „ 9.5=45
„ 3-й „ „ 9.4=36
1
1
. 20
20
9
9
. 20
180
3
3 .
. 45
135
4
4 .
, 45
180
2
2 .
. 36
72
5
5 .
. 36
180
Пример 2. Привести к общему знаменателю
3 5
дроби: — ну.
^ г, 3 3 . 7 21
Дополн. множитель для 1-й дроби 7;уу=— —^=—
5 5.11 55
2-й „ 11;
Сложение дробей.
7 7 . 11 77
}
92. Определение. Сложение есть действие,
посредством которого из нескольких чи¬
сел составляют новое число, содержа¬
щее в себе столько единиц и столько ча¬
стей единицы, сколько их находится во
— 71 —
3 2
всех данных числах; поэтому сумма 2 Ь5—
11 11
будет содержать столько единиц и столько один¬
надцатых долей, сколько их находится в обоих сла¬
гаемых, т.-е 7 единиц и 5 одиннадцатых долей. Сле¬
довательно,
3 2 5
2п+3ТГ=7ТГ
93- Правило. Чтобы сложить дроби, нужно
привести их к одному знаменателю, сло¬
жить числители и подписать ТОТ же знамена¬
тель. Если при дробях будут целые числа, то
нужно отдельно сложить целые числа, отдельно
дроби и первую сумму сложить со второй.
85 15 21
. 2~ 4~ 2W 70 60 , 42 172 , 67
Пример 1. --4 —=- Pi-i————=1 .
н и 3 7 5 105 105 105 105 105
Промер 3. в|+1^+4|13Н + 1 » + «Ц=
Вычитание дробей.
94. Из определения вычитания (п° 11) вытекает
следующее
*) Нужно непременно писать второй раз целые числа, что очень
часто учащиеся забывают
— 72 —
Правило. Чтобы вычесть дробь из дроби,
нужно их привести к одному знамена¬
телю; из числителя уменьшаемой дроби вы¬
честь числитель вычитаемой и подписать
гот же знаменатель, напр.:
5 2 35 12 23
6 7~ 42 42 42 *
Если при дробях будут целые числа, то нужно
отдельно вычесть дроби, отдельно целые числа и
полученные результаты сложить; если вычесть дробь
из дроби окажется невозможным, то нужно в умень¬
шаемом занять единицу и раздробить ее в соответ¬
ствующие доли, напр.;
5 7
„Г „4“ „5 „28 ,40 „28 ,12
7 5 35 35 35 35 35'
Умножение дробей.
95. Определение. Умножить какое-нибудь
число на дробь зн.ачит найти часть этого
числа, выражаемую данной дробью*).
Вместо двух определений умножения на целое число (по 17) и
на дробь (йР 95) можно дать одно: умножить «начат и в мив-
аси ного составить новое число так, как множитель
составлен нв единицы.
1 2 « К 2
— от — будет в 5 раз меньше —, следовательно,
о 7 7
12 2
— от - —.
5 7 35
g
— будут в 3 раза больше, следовательно,
О
3 2 6
— от —=—.
5 7 35
Таким образом:
2w 3_ 6 2 . 3
Y о 35 5 . 7’
96. Правило. Чтобы умножить дробь на
дробь, нужно умножить числитель на чи¬
слитель, знаменатель на знаменатель и
первое произведение разделить на вто¬
рое.
Если один из производителей будет, целое число,
то нужно его представить в виде дроби со знамена¬
телем 1 и поступать по предыдущему. Чтобы пере¬
множить смешанные числа, нужно предварительно
обратить их в неправильные дроби.
Примеры.
1)?Х4 7Хх 71 7
5V 4 5.4 20
5 23 . 5 115 3
2 4 . 2~~8~~ 8'
97. Сокращение при умножении дробей. Никогда
не следует сразу перемножать числители и зна¬
менатели дробей, а нужно сделать предварительно
сокращение, например:
98. Чтобы перемножить несколько дробей, нужно
перемножить числители, перемножить знаменатели и
*) Примечание. Следует запомнить, тго каждое верхнее число
можно сокращать с каждый н и ж н и и, но нельзя сокращать верхнее
о верхний, нижнее о нижним.
3 3 *)
Б Б
%
24х/42 24. 5.2' 3 . 3 9 4
33Х16~35. IS 5. 1 ¥ 5'
5. 5,
о
2
— 75 —
первое произведение разделить на второе, напр.:
1 3
Я. 6 3 *)
35 42 24_35. 42. 24. _1-3.3_9 4
16 25 4^ 16. 25 49. 1.5.1 5 5'
2 5 Я
1 1
99. Следует заметить, что при умножении на
правильную дробь произведение будет меньше
множимого, а при умножении на неправильную—
больше, напр.:
2
10v®-iOX--—---в
5 15" 1 . 5 1 . 1~1~Ь-
1
2
„ чх8 10 ,8 Ш-. 8 2.8 16
. l0Xi=-TX5=-r^=rTI=-r=.6
1
100. Так как перемножение дробей сводится к
перемножению их числителе# и знаменателей, т.-е.
целых чисел, то произведение дробей обладает теми
же свойствами, как и произведение целых чисел:
v ‘оно не меняется от перестановки про¬
изводителей и т. д.
— 76 —
Деление дробей.
3 4
101. Пусть требуется разделить — на —. Из опре-
8 5
деления деления (п° 28) следует, что неизвестное ча¬
стное, будучи умножено на будет равно ^; но
Э о
4 4
умножить число на — значит найти — этого числа;
э о
поэтому, обозначив неизвестное число через х, полу¬
чим:
4 3
ЬХ~ 8
— будет в 4 раза меньше, следовательно
5
1 3
ЪХ~ 32'
а все число х будет в 5 раз больше, следовательно,
15
х — —
32
или
3 4 15 3 . 5
8 ' 5 32 8 . 4
Рассматривая полученный результат, легко вы¬
ведем
Правило. Чтобы разделить дробь на
дробь, нужно числитель первой дроби
умножить на знаменатель второй,- а зна-
г
— 77 —
менатель пер юй на чйслитель второй и
первое произведение разделить на вто-
р о.е.
102. Если при делении дробей встретятся целые
или смешанные числа, то нужно их обратить в не¬
правильные дроби и поступать по предыдущему,
напр.:
3 *)
. „-15 .26_1S. 1_8.1_ 3
1 8 : 8 " 1 8 . as-8 . 5~40 '
5
4 *)
21 28 21 28. 5 4.5 20 „2
2>28:-5=Г Г
= 6-
1 . 21 1.3 3 3'
3
7 2
2 _ о 1 35 45 SS.22 7 . 2_ 14 о
^3ГГ 22 11 "22 11.4S 1 . 9~9 ~ 19'
1 9
103. Определение. Если разделим единицу
на к а к о е-н ибудь число, то полученное
число называется обратным и о отношению
к первому, напр., есть числе, обратное 7;
7 3
3
есть число обратное —, и т. д. Легко видеть, что
5
произведение обратных чисел равно 1.
*) Примечание. Прежде, чей на самом деле производить умноже¬
ние, нужно непременно сделать совращения.
— 78 —
104. Общее правило деления. Чтобы разде¬
лить одно число на другое, нужно дели¬
мое умножить на число, обратное делителю.
В справедливости этого правила легко убедиться
на следующих примерах.
D 8 4 _8 . 5 15
8 ' 5 8 . 4 — 32
3 5_3 . 5_ 15
8 4 8 .4 32
3
2) — - 95 — 15 25 15 ■ 1 3 • 1 3
8 8*1 8. 25 8.5 40
5
3
15 1 15 . L 3.1 3
~Х
8 25 8 . 25 8.5 40'
5
105. Рассматривая различные случаи деления,
легко заметить, что частное, полученное от деления
па правильную дробь, будет больше делимого,
а от деления на неправильную—меньше, напр.:
25
1) 100 : ^ = 100 X 14L=i^!J-1L = X = 275.
1
5
. 20 v . 11 100 . 11 __
а) ЮО:п-= 100X50 =-20—=*5.
— 79 —
Нахождение части от числа и числа по его части.
4
106. Задача 1. Найти 7 от 17.
о
Из определения умножения на дробь (п° 95) вы-
4
текает, что для нахождения — от 17 нужно
5
4
17 умножить на —. Следовательно:
о
4 „» 4 17-4 68 Я
-от 17=17X5=—=j-= 13-.
Задача 2. ^неизвестного числа равнявт-
5
ся 17. Найти это число.
4 4
По предыдущему — числа все равно, что —, ум-
5 5
ноженное на это число. Поэтому, обозначив неиз¬
вестное число через х, получим:
— ,х= 17,
ь
4*) „ 5 17 . 5 85 1
*=17:- ' = 17Xi=-rj=^r=21i.
Таким образом, нахождение числа по его части
делается посредством деления.
*) Производитель равев произведению, разделенному на другой
производитель.
— 80 —
Действия с дробными именованными числами.
4
107. Задача 1. Раздробить — пуда в фунты.
Первое решение.
В пуде 40 фунтов;
1 X К п 40л.
в — пуда фунтов будет в 7 раз меньше, т.-е. ——ф.;
4
в — пуда фунтов будет в 4 раза больше, т.-е.
40 л ч/ л 160 * оо6 л
-у Ф- Х4 = -у Ф- — 22 - ф.
Второе решение.
Тот же результат получим, если поступим
так, как мы поступали при раздроблении целых
4
именованных чисел, т.-е. еслн 40 ф. умножим на — .
Действительно,
_ , ч / 4 40 . 4, 160, 6 „
40 ф. X Y = 7 “Ф. = -уФ- = 22 - ф.
13
Задача 2. Превратить ——- фунта в пуды.
О
Первое решение.
1 фунт = пуда.
1 а 1
— фунта = пуда.
5 w 200 *
13 д. 13 .
— фунтам— иуда. >
— 81 —
Второе решение.
ГГ 13 JU
1 о же самое получим, если —— фунта разде-
и
лим на 40 фун. Действительно,
13 J. 13 40 13 ЧУ 1 13 / X
-5Ф!4»Ф-=т!т=тХ40=20« (чгда)-
Задача 3. Килограмм чаю стоит 3 рубля. Сколько
5
стоят— килограмма?
8
Первое решение.
1 кг. стоит 3 р.;
1 „ 3
— кг. будет стоить в 8 раз меньше, т.-е. — р.;
8 8
■g кг. будут стоить в 5 раз больше, т.-е.
3 чу.. 3.5 15 7
8 Р-Х5=-ГР.=Т Р- = 18Р'
Второе решение.
5
То же самое получим, если умножим 3 р.на —.
8
Следовательно, другой способ решения будет:
„ ..5 3.5 15 7
3р-Х8=ГТ8р- = -8 Р' ~ 8 Р"
g
Задача 4. — метра сукна стоят 2 руб. Сколь¬
ко стоит 1 метр?
К. И. Рашеаоиий. Краткий курс арифметики. 6
— 84 —
Напрпмер, дробь 3,45 можно прочесть,
во-первых: 3 целых и 45 сотых,
45
потому что 3,45 = 3 :
J ’ 100’
во-вторых: 3 целых, 4 десятых и 5 сотых,
45 4 5
потому что 3,45 = 3— = 8+—+^;
в-третьих: 345 сотых,
„ „ 45 345
потому что 3,45 = 3——=——.
J 100 100
111. Правило. Чтобы обратить десятич¬
ную дробь в простую, нужно написатьее
числитель и подписать подразумевае¬
мый знаменатель, например:
112. Главное СВОЙСТВО десятичной дроби. Вели¬
чина десятичной дроби не изменится,
если справа или слева приписать или за¬
черкнуть сколько угодно нулей, напр.:
2,3 = 2,300 = 002,3,
потому что
2.3 = 2-1,
300 3
2’300 = 2шю = 2То’
002.3 = 2—■
— 85 —
(Приписывая нули к десятинной дроби справа,
мы числитель и анаменатель ее увеличиваем в одно
и то же число раз).
На этом .свойстве десятичной дроби основано: со¬
кращение дробей и приведение их к одному знаме¬
нателю.
113. Правило. Чтобы сократить десятич¬
ную дробь, нужно зачеркнуть нули, на¬
ходящиеся справа *), так как от етого величина
дроби не изменится, а вид ее сделается проще,
напр.:
0,50000 = 0,5 **).
114. Правило. Чтобы привести десятич¬
ные дроби к одному знаменателю, нужно
уравнять число десятичных знаков ну¬
лями, так как от етого величина дробей не изме¬
нится, а знаменатели их сделаются одинаковыми,
напр.:
1,2 = 1,20000
4,47 = 4,47000_
0,00247 = 0,00247*
*) Но отнюдь не нуди, находящиеся внутри ео обозначения, как
напр., в дроби 2,3005 нельзя зачеркнуть два нуля, потому что 2,30Q5
не равняется 2,35.
**) 0,5 будет несократимая десятичная дробь, но
/ 5 1\
сократимая обыкновенная Ijg— jjrl.
— 86 —
115. Сравнение десятичных дробей.Из двух де¬
сятичных дробей та больше, у которой
целое число больше; если целые числа
одинаковы, то та дробь больше, у кото¬
рой десятых долей больше; если число
десятых одинаково, то та дробь больше,
у которой сотых долей больше, ит. д.
Напр., 2,37 больше 2,3675, так как число целых
и десятых в обеих дробях одинаково, но сотых в
первой дроби на одну больше, чем во второй; хотя
75 75 1
во второй есть еще , но меньше ,
* 10000 10000 100’
1 100
так как
100 10000
116. Правило. Чтобы умнОЖИТЬ или разде¬
лить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и
т. д., нужно перенести запятую вправо или
влево через столько цифр, сколько ну¬
лей во множителе или делителе *). На¬
пример:
43,72X10 = 437,2
43,72 : 10 =4,372
0,03 X Ю000 =00300,0= 300
0,03 : 10000 = 0,000003
0,25 X ЮО = 25.
*) Если при перенесении вапнтой цифр не хватит, то нужно ста¬
вить нули, так как от втого величина десятичной дробя не изменится.
— 87 —
Действительно, от умножения на 10 единица каж¬
дого разряда дает единицу следующего высшего
разряда, а от деления на 10 дает единицу следую¬
щего низшего разряда; перенося соответственным
образом запятую, мы4 етого как раз и достигнем.
Сложение и вычитание десятичных дробей.
117- В десятичных дробях, как и в целых чис¬
лах, каждая цифра выражает единицы, в десять
раз большие единиц, стоящих справа, а потому сло¬
жение и вычитание десятичных дробей производит¬
ся совершенно так же, как и сложение и вычитание
целых чисел.
Правило. Чтобы сложить или вычесть де¬
сятичные дроби, нужно подписать их
одну под другой так, чтобы целые числа
приходились под целыми, десятые доли
под десятыми, сотые под сотыми и т. д.;
затем складывать или вычитать их, как
целые числа, и в полученном результа¬
те поставить запятую на прежнем месте;
Напр.:
3,271
+ 0,005
1,123
0.741
0,382
S
2,935
6,211
— 88 —
Если десятичные дроби имеют разные знаменате¬
ли, то можно их привести к одному знаменателю, а
можно и не приводить, напр.:
0,05 0,0500
+ 2,2356 или 2,2356
3,5 3,5000
5,7856 5,7856
Умножение десятичных дробей.
118. Правило. Чтобы перемножить деся¬
тичные дроби, нужно перемножить их,
как целые числа, не обращая внимания
на запятые, и в полученном произведе¬
нии отделить занятою столько десятич¬
ных знаков, сколько их было во множи¬
мом и множителе. Например:
1) 2,13 2) 0,0005
X 1,2 X 80
426 0,0400 = 0,04
213
2,556
Действительно, отбрасывая (пример 1) мысленно
вапятую во множимом, мы умножаем его на 100; от¬
брасывая запятую во множителе, умножаем его на
10; след., произведение умножится на 1000; чтобы
получить истинное произведение, нужно получен¬
ный результат 2556 разделить на 1000. Получим
2,556.
—- 89 —
Деление десятичных дробей.
119. Правило 1. Чтобы рааделить десятич¬
ную дробь на целое число, нужно посту¬
пать, как при делении целых чисел, т.-е.
разделить сначала целое число, потом
десятые доли, аатем сотые и т. д.
Примеры:
8,37
|5
0,37 |5
13 |5
2,00(25
5
1,674
35 0,074
10 2,6
200 0,08
33
20
30
0
30
20
30
37
0
0
35^
- 20
20
0
Правило 2. Чтобы разделить на десятич¬
ную дробь,нужно в делителе зачеркнуть
запятую, а делимое умножить на такое
число, на какое мы умножили делител'ь,
зачеркнув в нем запятую, а затем посту¬
пать, как при делении на целое число.
— 90 —
Примеры:
1) 3,75 : 2,5 = 1,5 2) 0,02 : 1,25 = 0,016
37,5 |25
25 1,5
125
125
0
3) 0,18:0,008 = 22,5
_ 180 I 8
16 22.5
20
16
40
40
О
Зачеркивая запятую в делителе (пример 1), мы
умножаем делитель на 10; поэтому, чтобы частное
осталось без перемены, мы делимое должны умно¬
жить на 10, т.-е. перенести в нем запятую вправо
через одну цифру.
Замечание. При делении десятичных дробей
может иногда получится бесконечное частное.
2 | 125
о 0,016
200
125
750
750 .
0
4) 3 : 0,5 = 6
_30 I 5
~ 30_ 6
О
Приближенное частное.
120. При делении десятичных дробей часто берут
не все частное, а только целое число и несколько
десятичных знаков.
0,93 :0,7
g g | 7 Деля, например, 0,93 на 0, 7 и
7 ' 1 328 найдя второй десятичный знак,
мы можем прекратить деление,
приняв за частное 1,32 или 1,33.
Ошибка в етом случае будет
меньше 0,01, так как истинное
частное больше 1,32, но меньше
1,33, разность же между этими
числами разна 0,01. Числа 1,32
4... и 1,33 называются приближенными
частными с ТОЧНОСТЬЮ до Вообще найти зна-
1 1 1
чение числа с точностью до —,
23
'21
_20
14
_60
56
10’ 100’ 1000
т.-д. значит найти такое значение, кото¬
рое отличалось бы от истинного меньше,
111
чем на —, — и т. д.
10’ 100’ 1000
Чтобы судить о том, какое из двух приближен¬
ных частных 1,32 и 1,33 ближе подходит к истин¬
ному, нужно вычислить следующий десятичный
знак и посмотреть, будет ли он больше, равен или
— 92 —
меньше 5, и после этого его отбросить, соблюдая
следующее правило.
121- Правило. Если отбрасываемая цифра
есть 5 или больше 5, то предыдущую
нужно увеличить единицей; а если мень-
ше 5, то увеличивать не нужно.
Так как 8 больше 5, то частное 1,33 будет ближе
к истинному, чем частное 1,32.
Приближенные вычисления.
122. Сложение. Положим, что требуется сложить
несколько приближенных слагаемых, взятых с точ¬
ностью до 0,01 о недостатком. В получен-
g’gg ной сумме 16,32 отбросим последнюю
0 51 цифру, а предпоследнюю увеличим на 1; ре-
+1,13 зультат 16,4 будет представлять значение
0,47 суммы с точностью до 0,1. Так нужно
поступать, когда число слагаемых не бо-
16,32 лее
11; в этом случае (когда слаг&емые
’ взяты с точностью до 0,01 с недостатком)
полученная сумма будет отличаться от точной ме¬
нее, чем на 11 сотых; отбросив в результате послед¬
нюю цифру, уменьшим сумму не более, как на 9 со¬
тых; след., сумма будет отличаться от точной ме¬
нее, чем на 11—|—9 сотых, т.-е. менее, чем на 20 сотых
или 2 десятых", после увеличения цифры десятых
на 1, наша сумма будет отличаться от точной менее,
чем на 1 десятую.
— 93 —
Вычитание. Пусть даны два числа 4,7 и 3.5 с
^ У точностью до 0,1 с недостатком. Произведя
3?5 вычитание, получим результат 1,2 с точ-
' 12 ностыо до 0,1.
Умножение. Пусть требуется перемножить чис¬
ла 2,35 и 4,1, взятые соответственно с точностью до
0,01 и до 0,1. Так как неизвестно, какие цифры сле¬
дуют справа от 5 и 1, то поставим на их место знаки
вопроса и произведем умножение следующим обра-
* зом. Умножая ?Xполучим тоже ?; точно также
2 35? S\?=? и т. д. Произведение
4 1? будет равно 9,6????; т. к. при сложе-
рр рр нии сотых долей может получиться их
235 ? десять или больше, то в втом случав
940? десятых долей будет не 6, а 7. Позто-
9,6?? ?? му мы можем ручаться только за це¬
лые единицы произведения. Произведя же умноже¬
ние обычным путем, получили бы 9,635, где деся¬
тые, сотые и тысячные доли не заслуживали бы до¬
верия.
Обыкновенно умножение производят следующим
образом. Множитель (число с меньшим числом цифр)
подписывают слева под множимым в обрат-
2,35 ном порядке. Записывают только тот ре-
зультат, который получился от умножения
^ на цифру множителя той цифры множп-
f мого, которая стоит над ней или левее,
’ напр.: 5X4=20; етот результат не запи-
— 94 —
сываем, так как 5 стоит правее 4; 2 держим в уме;
3X4=12; 12—{—2 = 14; 4 пишем, 1 держим в уме;
2X4=8; 8+1=9; пишем 9. Далее 5X1—5; этот
результат не записываем и в уме ничего не держим
(если бы получили не 5, а число, большее 5, то в
уме держали бы 1); 3X1—3; не записываем и в уме
ничего не держим, так как 3 <5: 2X1=2; этот
результат записываем. Складывая получаем 96. Так
как единицы множителя (4) стоят под деся¬
тыми долями множителя (3), то 96 будет означать
десятые доли; если бы единицы множителя стоя¬
ли иод сотыми долями множимого, то полученный
результат (96) означал бы сотые доли и т. д.
Деление. Пусть требуется разделить 3,547 на
2,838. Начнем деление обыкновенным способом. Полу¬
чим в частном 1, и так как целых
3547 | 2838 больше не будет, ставим после 1
2838 1,249 запяТу10, к остатку 709 сносить
нуль не следует, так как неизвестно,
какая цифра стоит справа от 7.
Остаток 709 делим не па 2838, а
на 283; получим 2 десятых. Умно¬
жаем 8X2=16; этот результат не
записываем, так как мы делили
только на 283; в уме держим 2,
так как 16 ближе к 20, чем к 10;
далее умножаем 3X3=6; 6+2=8; 8 записываем и
т. д. Потом второй остаток 141 делим на 28; третий
709
'568
Т1Г
114
25
2
— 95 —
остаток 27 делим на 2. Полученное частное 1,249
будет содержать три десятичных знака, за которые
мы можем ручаться.
Примеры.
1) 2,838X1,249=3,545 2) 14,92X3,17=47,3
2,838 14,92
9,421 ‘ 71,3
2838 448
568 15
114 10
25
47,3
3,545
3) 412X0,069=28,4 4) 47,29:3,17=14,92
4,12 4729 | 317
9 6 317 14,92
247 1559
37 1268
28,4 - 291
285
6
"6
"о~
5) 28,4:412=0,069
28,4 [ 412
247 ' 0,069
_37
37
""<Г
— 96 —
Обращение простых дробей в десятичные.
123. Так как простая дробь есть не что иное, как
частное от деления числителя на знаменатель, то
для обращения ее в десятичную выводим следую¬
щее правило.
Правило. Чтобы обратить простую дробь
в десятичную, нужно числитель разде¬
лить на знаменатель по десятичному
способу.
Примеры.
2) ^=0,0875
7,00 | 80
640 0,0875
17,0 | 25
150 0,68
200
'200
0
600
'560
400
'400
0
3) ^-=0,2727.
3,0 ] 11
22 0,2727
4) |=0,833...,
5,0 | 6
" 48 0,833....
80
'77
30
22
8°
77
3
20
18
20
18
2
— 97 —
Первые две дроби обратились в конечные де¬
сятичные дроби, две вторые—в бесконечные.
Определение. Бесконечная десятичная
дробь, у которой один или несколько де¬
сятичных знаков постоянно повторяют¬
ся, называется периодической, напр.: 0,2727
или 0,833
Число, обозначенное повторяющимися
цифрами, называется периодом, наир., в пре¬
дыдущих дробях периодами будут числа: 27 и 3.
Если период начинается сейчас же
после занятой, то периодическая дробь
называется ЧИСТОЙ, как наир.: 0,2727...
Если период начинается через одну
или несколько цифр иослезапятой, то
периодическая дробь называется смешан¬
ной, как наир-: 0,8333
'Периодические дроби пишутся еще иначе:
0,2727 =0,(27)
0,833 =0,8(3)
124. Теорема *). Бесконечная десятичная
дробь, получающаяся от обращения про¬
стой, будет непременно периодической.
Обращение простой дроби в десятичную делается
посредством деления; при делении же число раз¬
личных остатков ограничено, так как каждый
Теоремой навивается истина, которую тре¬
буется доказать.
Н. Н. Рашевсккй. Арвфыетика. 7
— 98 —
остаток меньше делителя; таким образом, при бес¬
конечном делении (через некоторое время остатки
должны повторяться, а следовательно, должны
повторяться и цифры частного, так как каждая цифра
частного зависит от остатка.
Метрическая система мер.
125. За единицу втой системы принимается метр
1
который полагается равным — части
^ ^10 ООО ООО
четверти Парижского меридиана.
Меры длины.
Метр—1,41 арш. (приблиз.)или Н/гарш. без П/гверт.
15
Километр = 1000 метрам версты (приблиз.).
Дециметр = ^ метра =0,1 м.
Сантиметр =метра =0,01 м. ^
Миллиметр метра = 0,001 JH.
Микрон =JL_ миллиметра = 0,000001 м.
126. Меры поверхности.
Ар =100 кв. метрам.
Гектар = 100 ap=u/i2 десятины (приблиз.).
— 99 —
127. Меры массы.
Единица веса грамм есть вес 1 кубического
сантиметра чистой воды при 4° Цельсия.
Декаграмм = 10 граммам.
Килограмм=1000 г.=2 фунта 42 зол. (прибл.).
Тонна=1000 килограммам =61 пуду (прибл.).
Д ецпгр амм=-^ грамма = 0,1 г.
1
Сантиграмм^-— грамма=0,01 г.
1
Маллиграмм = 1000 гРамма — 0,001 г.
128. Мера жидкости.
Литр=1 куб. дециметру.
Декалитр = 10 литрам.
Гектолитр = Ю0 литрам.
Децилитр=— литра =0,1 л.
bulled
1 санти¬
метр.
1 куб. сан¬
тиметр.
1 дециметр.
— 100 —
129. Раздробление или превращение метрических
мер делается очень легко перенесением запятой впра¬
во или влево, напр.:
скорость звука в воздухе при 0° равняется
0,33 км. = 330 метрам;
давление воздуха на 1 кв. см. равняется 1033 г.=
= 1,033 кг.
Таблицы перевода метрических мер в
русские и обратно.
130. Линейные меры.
1 верста =1,066 80 км.
1 сажень =2,13360 метра.
1 аршин =0,711200 м.
1 вершок =4,445 00 см.
1 фут =0,304 80 м.
1 дюйм =2,540 0 см.
1 линия =2,540 0 миллиметра.
1 километр =0,937 383 версты.
1 метр =fz 1,406 07 арш.
1 дециметр =2,249 72 вершка.
1 сантиметр =0,224 972 вершка.
1 миллиметр=0,393 701 линии.
— 101 —
Квадратные меры,
кв. в. =1,138 06 кв. клм.
десятина =1,092 54 гектара,
кв. саж. =4,552 25 кв. м.
кв. арш. =0,505 805 кв. м.
кв. вершок =19,758 0 кв. см.
кв. фут- =0,092 9 кв. м.
кв. дюйм =6,451 60 кв. см.
кв. километр
гектар
кв. метр
кв. сантиметр
кв. миллиметр
Me
куб. саж.
куб. арш.
куб. вершок
куб. фут
куб. дюйм
четверть
четверик
гарнец
=0,878 687 кв. версты.
=0,915 299 десятины.
= 1,977 04 кв. арш.
=0,050 612 3 кв. вершка.
= 0,155 00 кв. лин.
ры объема.
= 9,712 68 куб. метра.'
= 359,729 куб. дециметра.
= 87,824 4 куб. сантиметра.
= 28,316 8 куб. дециметра.
= 16,387 1 куб. сант.
=2,0991 гектолитра.
= 26,238 7 литра.
= 3,279 84 лптра.
куб. метр =2,779 87 куб. арш.
куб. дециметр =11,386 4 куб. вершка,
куб. сантиметр =0,0113864 куб. вершка,
гектолитр =3,811 2 четверика,
литр =0,304 893 гарнца.
— 102 —
Меры массы.
1 пуд =16,380 496 кг.
1 фунт =0,409 512 41 кг.
1 лот =12,797 263 грамма.
1 золотник =4,265 754 3 грамма.
1 доля =44,434 94 миллиграмма.
1 тонна =61,048 211 пуда.
1 килограмм =2,441928 4 фунта.
1 грамм =0,234425 13 зол.
1 миллиграмм =0,022 504 812 доли.
131. Пример 1. Обратить 25 верст в кило¬
метры с точностью до 0,01.
Имеем: 1,0668 клм. Х25=26,67 клм.
1,0668
52
2134
533
26,67
Пример 2. Обратить 34 километра в
версты с точностью до 0,01.
0,9374 в. X 34=31,87 в.
0,9374
43
2812
375
31,87
— 103 —
VII. Приложение арифметики.
Отношение и пропорция.
132. Определение. Частное двух чисел
называется их отношением*). Напр.,отношение
3
10 к 5 равно 2; отношение 30 к 50 равно —. Оче-
5
видно, что отношение показывает, во сколько
раз одно число больше другого илика-
кую часть его составляет; так. напр., 10
3
больше 5 в два раза; 30 составляет —от 50. Отно-
5
шение чисел 10 и 5 записывается таким образом:
10 : 5 = 2 или ^- = 2.
5
В ©том случае число 10 наз. предыдущим чле¬
ном, 5 — последующим и 2 знаменателем
отношения. Очевидно, что между ©тими тремя
числами существует такая же зависимость, как ме¬
жду делимым, делителем и частным, поэтому
предыдущий член равен последующе¬
му, умноженному на знаменатель; отно¬
шение не изменится, если предыдущий и
*) Это отношение наз. кратным в отличие от рае ноет и * двух
чисел, которая иногда наз. разностным отношением, как, напр.:
10 — 5.
— 104 —
последующий члены умножить или раз¬
делить на одно и то же число, и т. д.
133. Определение. Равенство двух отноше¬
ний называется пропорцией. Наир.:
10:5 = 6:3 или —=—
5 5
Числа 10 и 3 называются крайними членами
пропорции, а 5 и 6 средними. Из определения
пропорции вытекает, что члены ее можно заменять
другими, наблюдая только за тем, чтобы отно¬
шения оставались равными. Поетому, мож¬
но умножить или разделить на одно и
то же число оба члена одного или обоих
отношений; оба предыдущих, оба после¬
дующих и т. д.
134. Главное свойство пропорции. Произведе¬
ние крайних членов равно произведе¬
нию средних. Действительно, рассматривая раз¬
личные пропорции, мы замечаем: ,
10:5= 6:3; 10.3 = 5.6
9:3 = 12:4; 9.4 = 3.12 и т. д.
Отсюда следует что
крайний член равен произведению
средних, разделенному на другой край¬
ний; ^
*) Эта пропорции паи. кратной в отлитие от ревностной
пропорции, которая представляет собою равенство двух рагностных
отношений, как, например:
10 — 5 = 20 — 15.
— 105 —
средний член равен произведению
крайних, разделенному на другой сред¬
ний. Напр., из пропорции 10 : 5 = 6 : 3 имеем:
5.6 . 10 . 3
10:
6
Зная главное свойство пропорции, легко опреде¬
лить ее неизвестный член; напр., из пропорции
х: 8 = 6 : 3 получим:
8 . 6
х -
16
135. В пропорции можно переставить: 1) сред¬
ние члены; 2^ крайние члены; 3) крайние
на место средних и обратно. Напр.:
10 : 5 = 6: 3
10 : 6 = 5: 3
3 : 5 = 6 : 10
5 : 10 = 3 : 6
Все эти четыре пропорции верны, так как в ка¬
ждой из них произведение крайних равно произ¬
ведению средних.
136. Определение. Сумма чисел, разделенная
на их число, называется средним ариФметиче-
СКИМ етих чисел. Напр., средним арифметическим
чисел 2, 3 и 7 будет
2Ч~3Н~7 =13_== а
3 з
— 106 —
Пропорциональные величины.
137. Определения. 1) Если' с увеличением (или
уменьшением) одной величины ‘в* не¬
сколько раз, другая величина ВО СТОЛЬКО
же раз увеличивается (или уменьшается), то
такие две величины наз. прямо-пропорци-
Ональными; напр., количество товара и его стоимость.
2) Если же с увеличением одной величины
в н[е сколько раз другая величина во
столько же раз уменьшается, И наоборот, то
тацие две величины назывйютс!? обратно-
пропорциональными; напр.: число работников и число
часов, которое требуется для окончания определенной
работы. 1
Простое тройное правило.
138. Простым тройным правилом называется спо¬
соб по трем значениям двух пропорциональных
величин находить четвертое неизвестное значение
одной из этих величин.
Задача I. Поезд прошел в 6 часов 200 ки¬
лометров. Сколько километров он прой¬
дет в 9 часов?
Обозначив искомое расстояние буквою ж, запишем
условие задачи таким образом:
6 час. — 200 км.
9 час. — х ,
— 107 —
Способ приведения к единице.
В 6 часов поезд проходит 200 км.;
в 1 час *) пройдет в 6 раз меньше, т.-е. км., а
6
в 9 часов пройдет в 9 раз больше, т.-е.
200 . 9 -
км.=300 км.
6
Способ пропорций.
Так как в этой задаче число км. и число часов
суть величины прямо-пропорциональные, то
в 9 часов поезд пройдет больше 200 км., при чем во
столько раз больше, во сколько раз 9 часов больше
6 часов. Выражая эту мысль пропорцией, получим:
х : 200 км.=9 ч. : 6 ч.
или
х : 200 км.=9 : 6;
отсюда
200 км. X 9 100 . 3
х = —= км. = 300 км.
6 1
Задача2. 6 работников оканчивают неко¬
торую работу в 15 дней. Во сколько дней
окончат ту же работу 10 работников?
Запись условия:
6 раб. — 15 дн.
10 раб. — х дн.
*) Здесь сначала узнается, какое расстояние поевд пройдет
в о д и н час; поэтому этот способ и назывветса способом приведения
к единице.
— 108 —
Способ приведения к единице.
6 работников оканчивают некоторую работу в 15
дней;
1 работнику для окончания той же самой работы
времени потребуется в 6 раз больше, т.-е. 15.6 двей;
10 работникам времени потребуется в 10 раз мень-
15.6
ше, т.-е. - дней=9 дн.
Способ пропорций.
Так как в этой задаче число работников и число
дней величины обратно-пропорциональные, то ю
работникам для окончания той же самой работы
времени потребуется меньше, чем 6 работникам,
при чем во стольло ра'з меньше, во сколько 6 раб.
меньше 10 раб. Следовательно,
х : 15 дн.=6 раб. : 10 раб.,
или
х : 15 дн.=6 : 10;
отсюда
15 дн. Х6 3.3
*= ц =—г да.=8 дн.
Сложное тройное правило.
139. Сложным тройным правилом называется спо¬
соб решать задачи, в которых встречается более
двух пропорциональных величин.
— 109 —
Задача I. В 30 дней 3 рабочих вырыли
ров длиною в 81 метр. Сколько нужно вре¬
мени 12 рабочим, чтобы вырыть ров дли¬
ною в 54 метра?
Способ приведения к единице.
Запись условия.
30 дн. — 3 раб. — 81 м.
х — 12 раб. — 54 м.
Решение.
30 . 54 . 3 5.1.1
si. 12 «■
Объяснение.
Чтобы вырыть ров длиною в 81 м., 3 рабочим
■требуется 30 дней;
чтобы вырыть ров длиною в I м., 3 рабочим
30
потребуется времени в 81 раз меньше, т.-е.— дн.;
81
чтобы вырыть ров длиною в 54 м., 3 рабочим
80 •
потребуется времени в 54 раза больше, т.-е.———дн.;
81
чтобы вырыть ров длиною в 54 м., I рабочему вре-
30 . 54 • 3
менп потребуется в 3 раза больше,т.-е. ——— дн.;
81
чтобы вырыть ров длиною в 54 м., 12 рабочим вре-
30 . 54 . 3
мени потребуется в 12 раз меньше, т.-е. ——дн.=
81 . 12
= 5 дн.
— 110
140. При решении задач на сложное тройное пра¬
вило нужно соблюдать следующее:
1) обратить составные именованные
числа в простые;
2) сделать так, чтобы числа, стоящи©
В ОДНОМ Столбце записи, были одного наиме¬
нования;
3) над чертой прежде всего писать то
число, которое стоит в одном столбце
с х, а рассуждение начинать с какого-
нибудь другого столбца.
Правило процентов.
141. Определение. Одним процентом называется
процентами части, тремя процентами ит.д.
Слово „процент" обозначается знаком °/о.
Задача I. Население города, имеющего
5000 жителей, увеличивается ежегодно
на 3%. Определить ежегодный прирост.
Найти 3% от 5000 чел. значит найти
з
от 5000 чел. Следовательно, ежегодный при-
100
рост будет равен:
2
3
3
3 5000 . 3
от 5000 чел.=5000 чел-Х ^qq'=—jqO—
чел.=
=150 чел.
Задача 2. Цена товара, стоившего 1124 р.,
понизилась на 10° о. Определить его стой*
мость.
Цена товара понизилась на 10%, т.-е. на или
100
на его первоначальной стоимости.
1 1 1124
— от 1124 р.=1124 p. X—- р.=112,4 р.
Следовательно, теперь товар стоит: *
1124 р.—112,4 р.=1011,6 р.
Задача 3. Сколько содержится борной
кислоты в 225 граммах ее четырехпро¬
центного раствора?
В четырехпроцентном растворе кислота составляет
. о / ^ 1
4%, т.-е. —— или — всего раствора;
1UU Zu
от 225 гр.=225 гр гр.=9 гр. *).
*) Ее мешает вапоыпить, какую часть данного числа составляют не¬
которые проценты, именно:
1
— 112 —
142. Так как 1% от 100 каких-нибудь единиц рав¬
няется 1, 2°/о равняются 2, 3% равняются 3, и т. д., то
следующие 4 фразы будут означать одно и то же.'
1) получено 7°/0 прибыли;
2) с каждых 100 р. получили 7 р. прибыли *);
3) с каждого рубля получили 7 коп. прибыли;
7
4) полученная прибыль составляет капитала.
143. Определения- Процентами, в коммерче¬
ском смысле, называется прибыль или
убыток, получаемый с 100 р. в I год.
Число процентов называется процент¬
ной таксой.
Прибыль, получаемая со всего капитала,
называется процентными деньгами **).
Капитал, отданный на проценты (иначе в рост),
называется начальным капиталом.
Начальный капитал, сложенный с прибылью, на¬
зывается наращенным капиталом:
Если капитал находится в обороте несколько лет,
и прибыль начисляется не только на первоначаль¬
ный капитал, но и на прибыль, полученную в пре¬
дыдущие года, то проценту называются слож¬
ными; в противном же случае—п р о с т ы м и.
*) Слово „процент“ взято с латинского: pro centnm—за сто.
**) Таким образом, проценты и процентные деньги не одно
н то же.
— 113 —
При вычислении процентов принято считать в году
360 дней, а в месяце 30 дней.
144. Задача I. Капитал 2100 р. отдан в рост
на 4 месяца по 6%. Определить прибыль
и наращенный капитал.
Запись условия.
100 р.—12 м. — 6 р.
2400 р.— 4 м. — х
Решение.
6.2400.4 2.24.1
*=ТоЗЛ5“р- = “1“ р =48 р'
2400 p. -j-48 р. = 2448 р.
Объяснение.
Со 100 р. в 12 м. получается 6 руб. прибыли;
с 1 руб. в 12 м. прибыли получится в t100 раз
6
меньше, т.-е. р.;
с 2400 р. в 12 м. прибыли получится в 2400 раз
6.2400
больше, т.-е. —- - -р.;
с 2400 р. в 1 м. прибыли получится в 12 раз
6.2400
меньше, т.-е.
с 2400 р. в 4 м. прибыли ^получится в 4 раза
Л 6.2400.4
больше, т.-е. —Р- = 48 р.
К. Н. Рашевсннн. Арифметика. 8
— 114 —
Сложив начальный капитал 2400 р. с прибылью
48 р., получим наращенный капитал 2448 р.
2' 1
Задача 2. Какой капитал, будучи отдан
вроет по 6%, принесет через 4 месяца
48 р. прибыли.
Запись условия.
100 р. — 12 м. — 6 р.
х — 4 м. — 48 р.
Решение.
6 р. прибыли в 12 м. получается со 100 р.;
чтобы получить 1 р. прибыли в 12 м., нужно иметь
100
капитал, в 6 раз меньший, т.-е. —— руб.;
6
чтобы получить 48 р. прибыли в 12 м., нужно иметь
100.48
капитал, в 48 раз больший, т.-е. руб.;
чтобы получить 48 р. прибыли в 1 м., нужно иметь
* 100.48.12
капитал, в 12 раз больший, т.-е. ■ РУб.'>
6
чтобы получить 48 р. прибыли в 4 м., нужно иметь
100.48.12
капитал, в 4 раза меньший, т.-е. = 2400 р.
6.4
Задача 3. По сколько «процентов нужно
отдать капитал 2400 руб., чтобы через 4
месяца получить 48 р. прибыли.
— 115 —
Запи сь условия.
100 р. — 12 м. — х
2400 р. — 4 м. — 48 р.
Решение.
2400 р. в 4 м. приносят 48 р. прибыли;
1 р. в 4 м. принесет ^ - р. прибыли;
' 48.100
100 р. в 4 м. принесут —2400~ ПР ыли*
48.100
100 р. в 1 м. принесут 24qq~ 4~ Р' ирибыли;
48.100.12
100 р. в 12 м. принесут—2400~4—Р-=б р. прибыли.
Задача 4. На сколько времени нужно
отдать капитал 2400 р. по 6%, чтобы по¬
лучить 48 р. прибыли? г-
Запись условия.
100 р. — 12 м. — 6 р.
2400 р. — х м. — 48 р.
Решение.
12.48.100
х = мес. = 4 мес.
6.2400
Объяснение.
Со 100 руб. 6 р. прибыли получается в 12 мес.;
чтобы со 100 р. получить 1 р. прибыли, временп
потребуется в 6 раз меньше;
— 116 —
чтобы со 100 р. получить 48 р. прибыли, временп
потребуется в 48 раз больше;
чтобы с 1 р. получить 48 руб. прибыли, времени
потребуется в 100 раз больше;
чтобы с 2400 р. получить 48 р. прибыли, времени
потребуется в 2400 раз меньше.
Задача 5. Какой капитал, отданный в рост
по 6°/о, обратится через 4 месяца в 2448 р.?
Так как время и наращенный капитал
величины не пропорциональные*),-[то решать ету
задачу сложным тройным правилом нельзя. Поетому
определим сначала, во что обратятся 100 р. через
4 месяца.
6.4
Со 100 р. в 4 мес. прибыли получится р. = 2 р.;
12
следовательно, 100 руб. через 4 месяца обратятся в
102 руб. Таким образом имеем:
в 102 р. в 4 мес. обращаются 100 р.;
в 1 р. в 4 мес. обратится сумма, в 102 раза мень-
100 ^ ,
шая, т.-е. — руб.;
в 2448 р. в 4 мес. обратится сумма, в 2448 раз
100-2448 „ „
большая, т.-е. — руб. = 2400 руб.
*) Напр., в втой задаче 100 руб. через год обратятся в 106 руб.,
через два года—в 112 р. Такой образом, хотя, с увелвчением времена
в два раза, наращенный капитал тоже увеличивается (вместо 106 р.
стало 112 р.), во не вдвое.
— 117 —
Учет векселей.
145. Положим, что кто-нибудь занял 8500 р. по 8%
на 1 год. Тогда через год он должен будет упла¬
тить 8500 р. и еще 680 р. *) процентных денег,
всего 9180 р.
Обыкновенно, должник (дебитор) в этом случае
выдает кредитору **) письменное обязательство,
написанное на гербовой бумаге по установленной
форме, такого рода: ,
Москва, 13 марта 1905 г.
Вексель на 9180 руб.
От сего 13 марта '1905 года через двена¬
дцать месяцев по сему моему векселю повинен
я заплатить (такому-то) или кому он прикажет
девять тысяч сто восемьдесят рублей, которые
я от него получил сполна наличными деньгами
(или товарами).
Подпись
ft
о
ХО
о
«
а
в
л
В
Ф
о
к
ф
М
Это обязательство наз. векселем. В векселе не
пишется ни сумма, занятая в действительности, ни
проценты, по которым сделан заем, а только обо¬
значается срок платежа и подлежащая уплате сум¬
ма, которая называется вексельной суммой
или валютой векселя. Положим теперь, что должник
8 8500.8
*) 8°/о от 8500 р. = Yoo 01 8500 р' = 100~ Р- = 680 р.
**} Кредитором яавывают того, кто дает делив взаймы
— 118 —
(векселедатель) захотел бы уплатить свой долг
не через год, как было условлено, а через 9 меся¬
цев, т.-е. за 3 месяца до срока. Тогда, очевидно,
процентные деньги, которые могли бы нарасти за
эти 3 месяца с 8500 руб., т.-е. 170 руб. *), он пла¬
тить не должен," их следует вычесть из валюты, и
должник вместо 9180 р. должен заплатить кредитору
только 9010 р. Сумма (в данном случае 170 р.),
вычитаемая из валюты, когда по векселю платят до
срока, называется учетом (вычетом) или дискон¬
том. Такпм образом, в нашем примере 9180 р. будет
валютой, 170 р. учетом, 9010 р. уплатой,
очевидно, что
валюта — учет = уплате
9180 р. —170 р. = 9010 руб.
Должник почти никогда не платит по векселю до
срока, поэтому, когда владельцу векселя (векселе¬
держателю) понадобятся деньги раньше срока, то
он продает вексель третьему лицу или банку.
Покупателю, понятно, нет никакого расчета пла¬
тить, как в нашем случае, за вексель 9010 руб.»
потому что, пустив вти деньги в оборот по 8°/0, он
через 3 месяца имел бы 9190,2 р. **), с должника
*) В 12 мес. о/о денег получается 680 р., в 1 мес. получится
680р. 680.3
—ру-, а в 3 м. jg р. = 170 р.
_ 8.3.9010
**) % деньги с 9010 р. по 8°/о ва 3 мес. = —1*^10СГ~ ~
= 180,2 р.; 9010 р. + 180,2 р. = 9190,2 р.
— 119 —
же он получит через 3 месяца только 9180 руб. Следо¬
вательно, чтобы не потерпеть убытку, покупатель век¬
селя должен заплатить меньшую сумму, т.-е. учет
(скидка в пользу покупателя) должна быть больше.
Условились делать скидку в пользу покупа¬
теля векселя еще больше в вознаграждение за
тот риск, которому он подвергается, так как не всегда
можно получить с должника деньги. Размер учета
представляет собою °/0 деньги за время, остаю¬
щееся до срока, с валюты векселя. Такого рода
учет'наз. коммерческим. Определим коммерче¬
ский учет для предыдущей задачи. Так как со
100 руб. в 3 мес. получается 2 р. прибыли, то с 1 р.
2
получится р., а с 9180 р. прибыли получится
2.9180 1836
р. = — —- р. = 183,6 р. Вот ©ту прибыль и
условились учитывать в пользу покупателя
векселя и назвали ее учетом. Таким образом, при
коммерческом учете покупатель векселя заплатит
за него меньше, именно: 8996,4 р., так как
9180 р. —183,6 р. = 8996,4 р.
Замечание. Относительно коммерческого учета нуж¬
но заметить следующее. Обыкновенно, в действи¬
тельности занимающему выдается Не вся просимая
им сумма, а с нее скидываются °/0 деньги за все
время займа; должник же должен возвратить всю
сумму сполна. Таким образом, в нашем случае долж¬
— 120 —
ник получил бы не 8500 р., а только 7820 р., так
как 680 р. процентных денег с него удержали бы
вперед, но зато через год он должен был бы упла¬
тить не 9180 р., а 8500 р. Таким образом, при ком¬
мерческом учете валюта представляет собою з а-
нятую в действительности сумму, а не
наращенный процентными деньгами долг.
Точно так же в действительности число процентов,
по которому совершается учет, определяется по
взаимному соглашению и часто отличается от того
числа процентов, по которому был первоначально
написан вексель.
Задачи на учет векселей могут быть 5 типов:
1) определение учета и уплаты, 2) определение учет¬
ных процентов, 3) определение срока векселя, 4) опре¬
деление валюты по данному учету и 5) определение
валюты по уплате.
146. Задача. Определить валюту векселя,
если коммерческий учет с него по 6°/0 за
108 дней *) до срока составляет 22Vs руб.
100 р. — 360 дн. — 6 руб.
х — 108 дн. — 22V2 руб.
Решение.
100 . 45 . 360
х = —— руб. = 1250 руб.
6.2. 108 ^ ™
*) В коммерческих вычислениях год считают равный S60 дням, а
месяц 30 дням.
— 121 —
Пропорциональное деление.
(Правило товарищества).
147. Задача. Число 30 разделить на три
части пропорционально числам: 2, В и 5, т.-е.
разложить его на такие три слагаемые, которые бы
относились между собою, как 2:3:5.
Обозначив искомые слагаемые римскими цифрами
I, II и П1, имеем:
I: П: IH — 2:3:5.
Положим, что первое слагаемое содержит 2 каких-
нибудь части, тогда второе слагаемое будет содер¬
жать таких частей 3, третье — 5, а все три сла¬
гаемые, т.-е. число 30 будет содержать таких частей
2 —{— 3 —{— 5 = 10; следовательно, каждая такая часть
30 „ „
будет равна — = 3. Поэтому получим:
^ 30 ’2 = 3 . 2 = 6
10
II = 3CK3
10ч
ш_80^5_3 5==15
Замечание. Отношение 2:3:5 называется слож¬
ным. Если члены сложного отношения дробные
то, приведя их к одному знаменателю и умножив
на него, заменим отношение дробных чисел отно¬
шением целых.
— 122 —
148. Задача. Число 66 разделить на такие
три части, чтобы первая относилась ко
второй, как 3:2, а вторая к третьей, как
5 : 4.
Первый способ. Так как отношение не изме¬
нится, если оба члена его умножим на одно и то
же число, то умножим оба члена первого отношения
на 5, а оба члена второго на 2; получим:
I: II:
П: III:
так как 15 + 10 + 8 = 33, то
wwu. — f —— “7 *7
— Ч • 2 — 1 5 ■ 10 1
~ \п 0 [отсюда 1:11:111 = 15:10:8;
[ = 5 : 4 = 10 : 8 J
66 . 15 „ 66 . 10 гтт 66 . 8
30; П=——-== 20; Ш=—— =16.
33 ’ 33 ’ 33
Второй способ. Имеем:
I: 11 = 3:2
11:111 = 5:4
Положим, что первая часть (I) равна 3, тогда вто¬
рая часть (II) будет равна 2, а третья часть (III)
определится из пропорции:
2 : Ш = 5 : 4,
2.4 8
которая даст: П1 = Поэтому
5 5
I: II: Ш= 3 : 2: •
5
Помножая все члены полученного сложного от¬
ношения на 5, получим
I: II: Ш = 15 :10 : 8;
далее задача решается по-предыдущему.
— 123 —
149. Задача. Число 62 разделить на три
части обратно-пропорционально числам: 2, 3 и 5,
т.-е. разложить его на три части, которые
1 1 1
относились бы между собою, как =
2 3 5
Имеем:
I: П : III = 1:^г= 15 :10 : 6;
2 3 5 30 30 30
15 —J—10 —6 = 31; следовательно,
1=^=80; П=^=2с; ш-Цё-п.
150. Задача. Три артели рабочих получи¬
ли вместе 250 рублей. Первая артель со¬
стояла из 10 человек и работала 3 дня;
вторая состояла из 7 человек и работала
5 дней; третья из 15 человек и работала
4 дня. Сколько получила каждая артель?
Очевидно, что в этом случае плата пропорцио¬
нальна числу рабочих и числу рабочих дней. Сле¬
довательно, 250 руб. нужно разделить пропорцио¬
нально: 1) 10 : 7 :15 и 2) 3:5:4. Рассуждаем таким
образом:
если первая артель будет работать не три дня, а
1 день, то, чтобы получить ту асе самую плату, она
должна будет иметь рабочих втрое больше, т.-е.
10 . 3 = 30 рабочих;
если вторая артель будет работать 1 день, то что¬
бы получить ту же самую плату, она должна будет
— 124 —
иметь в 5 раз больше рабочих, т.-е. 7 . 5 = 35 раб.;
третья артель при тех же условиях должна будет
иметь 15.4 = 60 рабочих.
Поэтому 250 р. нужно разделить пропорциональ¬
но числам: 30, 35 и 60, т.-е. 10.3; 7.5 и 15.4. Та¬
ким образом, имеем:
Замечание. Вообще, чтобы какое-нибудь число разделить пропор- *
циояально числам т'.п'.р и числам а:Ъ:с, нужно разделить его про¬
порционально числам т .а: п .Ъ:р. с.
151. Определение. Число частей (весовых)
чистого металла, приходящееся на 96,
а в метрической системе на 1000 частей сплава,
называется пробой *).1
Отсюда следует, что пробой в русской системе
называется ЧИСЛО ЗОЛОТНИКОВ чистого метал¬
ла, находящееся в| Фунте сплава, или ЧИСЛО
ДОЛОЙ чистого 'металла, находящееся в
I ЗОЛОТНИке сплава. В метрической системе проба
I: II: III = 30 :35 : 60 = 6 : 7 :12:
б + 7-jr 12 = 25;
р. = 120 р.
Правило смешения.
•) Из чистого волота и серебра ие делают вещей, так как
оии были бы непрочны. Б золоту обыкновенно прибавляют серебро
а и серебру—медь. Эта примесь называется лигатурой.
— 125 —
указывает, сколько граммов чистого металла нахо¬
дится в 1 килограмме сплава.
Определение. Число частей (весовых) чи¬
стого спирта, приходящееся на 100 ча-
стей вина, называется градусами.
Таким образом, 90-градусный *) спирт содержит
90 частей чистого спирта и 10 частей воды.
Очевидно, градусы то же, что и проценты.
152. Задача. Сплавлено 4 фунта серебра
80-й пробы и 6 фун. серебра 90-й пробы.
Какой пробы получится сплав?
В 4 ф. сер.80-й пробы содерж. 80 з.)>( 4=320 з. чист.сер.
. 6 „ „ 90-й „ „ 90з.Х6=540з. , .
В10 ф. сплава содержится 860 з. чист. сер.
я 1 » и я 860 з. Г 10=86 з. „ „
Следовательно, сплав будет 86-й пробы.
153. Задача. Смешано 6 ведер спирта в
90°, 3 ведра спирта в 80° и одно ведро во¬
ды. Сколько градусов будет содержать
смесь?
В 6 в. сп. в 90° буд. ч. спир. 90.6 сотых в., т.-е. 540 с. в.
я 8 „ Ля 80° я „ я 80.3 „ „ л 240 „ „
я 1 я ВОДЫ „ „ „ ял и 8 „ n
В 10 ведрах смеси чистого спирта будет 780 с. в.
В 1 ведре „ „ „ 78 „ „
Следовательно, смесь будет содержать 78 градусов.
*) «90 градусов" обозначав тся: 90°.
— 126 —
154. Задача. Из трех сортов кофе, ценою
в 90, 80 и 60 к. фунт, требуется составить
46 фунтов смеси ценою в 65 к. фунт*).
Запись.
90
к.
—
25 к.
— 1
к.
1
25
Ф-
— 1
к.
1
25
80
к.
65 к.
—
15 к.
— 1
к.
1
15
Ф.
— 1
к.
1
15
60
к.
•
+
5 к.
+ 1
к.
1
Т
Ф.
+ 2
к.
2
И
Объяснение. Если будем продавать каждый-
сорт кофе по цене смеси, то
продав 1 ф. первого сорта, получим 25 к. убытку,
продав 1 ф. второго сорта, получим 15 к. убытку;
продав 1 ф. третьего сорта, получим 5 к. при¬
были.
1 коп. убытка получ. от продажи -i ф. 1-го сорта
25
1 коп. убытка „ „ -^ф. 2-го „
15
1 коп. прибыли „ „ „ ~ф* 3-го „
5
*) Когда дается более двух смешиваемых сортов, то задача делается
- неопределенной, т.-е. допускает бесчисленное множество решений,
потому что прибыль с убытком тогда можно уравнивать разнообраз¬
ными способами.
— 127 —
1 12
Продав — ф. первого сорта, — ф. второго и — ф.
25 15 5
третьего, получим 2 к. убытку и 2 к. прибыли, т.-е.
не получим ни прибыли, ни убытку. Поэтому коли¬
чества смешиваемых сортов должны относиться ме¬
жду собою, как . Следовательно,
25 15 5
1:П:Ш=-\ :~^:| = 3:5:30; 3 + 5 + 30 = 88.
25 15 5 11
, 46.8 ._ = з 12ф_;п = ^ф>=б 1 ф_.
38 19 ’ 38 19
_46Л0 6
38 19
Цепное правило.
155. Задача. Скольким франкам равняет¬
ся 858 руб., если по курсу 42,9 р. = 55 гул.,
49 гул. = 84 шил., 33 шил. = 42 франкам?
Запись условия.
х фр. =858 руб.
42,9 руб. =55 гул. _
49 гул. =84 ШИЛ.
33 ШИЛ. =42 франк.
При такой записи условия числа, находящиеся
в конце одной строки и в начале следующей, имеют
одно и то же наименование. Такая запись усло¬
вия называется цепью, а само правило цепным.
— 128 —
Решение.
33 шил. ~ - 42 фр.
42
1 шил. = — фр.
42.84 ^
84 шил. или 49 гул. = - ■ фр.
оо
42.84 „
1 гул' = ааЗв фр’
4.9 Q.A КК
55 гул. или 42,9 р. = фр.
42.84.55 „
Р' ~ 33.49.42,9 Фр'
42.84.55.858 . »
858 Р- = "ШвЛ^Г ФР‘ = 2400 Фр‘
42.84.55.858
Рассматривая выражение ■ ^ ^ ^ ^ легко за¬
метить, что задачу на цепное правило можно решить
механически, разделив произведение чисел в пра¬
вом *) столбце таблицы (А) на произведение чисел
в левом столбце.
*) Не содержащем искомого числа ос.
— 129 —
Таблица первоначальных чисел-
2
161
363
3
157
359
5
163
367
7
167
373
11
173
379
13
179
383
17
181
389
19
191
397
23
193
401
29
197
409
31
199
419
37
211
421
41
223
431
43
227
433
47
229
439
58
233
443
59
239
449
61
241
457
67
251
461
71
257
463
73
263
467
79
269
479
83
271
487
89
277
491
97
281
499
101
283
503
103
293
509
107
307
521
109
311
523
113
313
541
127
317
647
131
331
557
137
337
563
139
347
569
149
349
571
677
811
1049
587
821
1051
593
823
1061
599
827
1063
601
829
1069
607
839
1087
613
853
1091
617
857
1093
619
859
1097
631
863
1103
641
877
1109
643
881
1117
647
883
1123
653
887
1129
659
907
1151
661
911
1153
673
919
1163
677
929
1171
683
937
1181
691
941
1187
701
947
1193
709
953
1201
719
967
1213
727
971
1217
733
977
1223
739
983
1229
743
991
1231
761
997
1237
757
1009
1249
761
1013
1259
769
1019
1277
773
1021
1279
787
1031
1283
797
1033
1289
809
1039
1291
1297
1659
1823
1301
1567
1831
1303
1571
1847
1307
1579
1861
1319
1583
1867
1321
1597
1871
1327
1601
1873
1361
1607
1877
1367
1609
1879
1373
161&
1889
1881
1619
1901
1399
1621
1907
1409
1627
1913
1423
1637
1931
1427
1657
1933
1429
1663
1949
1433
1667
1951
1439
1669
1973
1447
1693
1979
1451
1697
1987
1453
1699
1993
1459
1709
1997
1471
1721
1999
1481
1723
2003
1483
1733
2011
1487
1741
2017
1489
1747
2027
1493
1753
2029
1499
1759
2039
1511
1777
2053
1523
1783
2063
1531
1787
2069
1543
1789
2081
1549
1801
2083
1553
181"
2087
— 130 —
2089
2371
2663
2909
2099
2377
2671
2917
2111
2381
2677
2927
2113
2383
2683
2939
2129
2389
2687
2953
2131
2393
2689
2957
2137
2399
2693
2963
2141
2411
2699
2969
2143
2417
2707
2971
2153
2423
2711
2999
2161
2437
2713
.3001
2179
2441
2719
3011
2203
2447
2729
3019
2207
2459
2731
3023
2213
2467
2741
3037
2221
2478
2749
3041
2237
2477
2753
3049
2239
2503
2767
3061
2243
2521
2777
3067
2251
2531
2789
3079
2267
2539
2791
3083
2269
2543
2797
3089
2273
2549
2801
3109
2281
2551
2803
3119
2287
2557
2819
3121
2293
2579
2833
3137
2297
2591
2837
3163
2309
2593
2843
3167
2311
2609
2851
3169
2333
2617
2857
3181
2339
2621
286Г
8187
2341
2633
2879>
3191
2347
2647
2887
3203
2351
2657
2897
3209
2357
2659
2903
3217
3517
3779
4073
4363
3527
3793
4079
4373
3529
3797
4091
4391
3533
3803
4093
4397
3539
3821
4099
4409
3541
3823
4111
4421
3547
3833
4127
4423
3557
3847
4129
4441
3559
3851
4133
4447
3571
3853
4139
4451
3581
3863
4153
4457
3583
3877
4157
4463
3593
3881
4159
4481
3607
3889
4177
4483
3613
3907
4201
4493
3617
3911
4211
4507
3623
3917
4217
4513
3631
3919
4219
4517
3637
3923
4229
4519
3643
3929
4231
4523
3659
3931
4241
4547
3671
3943
4243
4549
3673
3947
4253
4561
3677
3967
4259
4567
3691
3989
4261
4583
3697
4001
4271
4591
3701
4003
4273
4597
3709
4007
4283
4603
3719
4013
4289
4621
3727
4019
4297
4637
3733
4021
4327
4639
3739
4027
4337
4643
3761
4049
4339
4649
3767
4051
4349
4651
3769
4057
4357
4657
3221
3229
3251
3253
3257
3259
3271
3299
3301
3307
8313
3319
3323
3329
3331*
3343
3347
3359
3361
3371
8373
3389
3391
3407
3413
3433
3449
3457
3461
3463
3567
3469
3491
3499
3511
4663
4673
4679
4691
4703
4721
4723
4729
4733
4751
4759
4783
4787
4789
4793
4799
4801
4813
4817
4831
— 131 —
4861
5009
5189
5393
4871
5011
5197
5399
4877
5021
5209
5407
4889
5023
5227
5413
4903
5039
5231
5417
4909
5051
5233
5419
4919
5059
5237
5431
4931
5077
5261
5437
4933
5081
5273
5441
4937
5087
5279
5443
4943
5099
5281
5449
4951
5101
5297
5471
4957
5107
5303
5477
4967
5113
5309
5479
4969
5119
5323
5483
4973
5147
5333
5501
4987
5153
5347
5503
4993
5167
5351
5507
4999
5171
5381
5519
5003
5179
5387
5521
5527
5701
5861
6067
5531
5711
5867
6073
5557
5717
5869
6079
5563
6737
5879
6089
5569
5741
5881
6091
5573
5743
5897
6113
5581
5749
5903
6121
5591
5779
5923
6131
5623
5783
5927
6133
5639
5791
5939
6143
5641
5801
5953
6151
5647
5807
5981
6163
5651
5813
5987
6173
5653
5821
6007
6197
5657
5827
6011
6199
5659
5839
6029
6203
5669
5843
6037
6211
5683
5849
6043
6217
5689
5851
6047 «■
6221
5693
5857
6053
Оглавление.
Стр.
Первоначальные понятия 7
Сложение целых чисел 11
Вычитание целых чисел 13
Умножение „ „ 16
Деление „ „ 23
Зависимость между членами действий 29
Поверка действий
Арифметическое выражение и скобки 31
Изменение суммы, разности, произведения и частного . . 32
Свойства действий *34
Именованные числа и меры 35
Определение площадей и объемов 46
О делителях 50
Признаки делимости 51
Числа абсолютно-простые 5
Общий наибольший делитель 57
Общее наименьшее кратное 61
Простые дроби; преобразования и действия над ними . . 63
Нахождевие части от числа и числа по его части ... 79
Действия с дробными именованными числами 80
Десятичные дроби 83
Приближенные вычисления 92
Метрическая система мер 98
Отношение и пропорция 103
Пропорциональные величины 106
Простое тройное правило
Сложное тройное правило 108
Правило процентов 110
Правило учета векселей 117
Пропорциональное деление 121
Правило смешения 124
Цепное правило 127
Таблица первоначальных чисел 129
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО.
Москва—Петроград.
Главное Управление: Москва, Софийка, уг. Рождественки, д. 4/8.
Тел.1-51-21.
Учебники и учебные пособия для школ I и II ступени.
Русский язык.
Ананьин В.—Утренние зори. Первая книга после букваря.
Стр. 133. Ц, 50 к. (в переплете 60 к.).
Аиаиьпн В., Селезнев И., Гусаков В.—Практическая грам¬
матика. Ч. 1. Ц. 15 к.
Бродский Н. Л., Мендельсон Н. М., Сидорон Н. П.—Историко-
литературная хрестоматия. Ч. I. Устная народная
словестность. Стр. 268. Ц. 1 р.
Их же.—Ч. II. Древне-русская письменность XI—XII веков.
Стр. 282. Ц. 1 р. 50 к.
Их же.—Тоже. Ч. III. Литература XVIII века.. Стр. 318.
Ц. 1 р. 20 к.
Вахтеров В. П.—Новый русский букварь для обучения пись¬
му и чтению. Стр. 60. Ц. 22 к.
Его же.—Первый шаг. Букварь. Стр. 32. Ц. 10 к.
Впхтеровы В. н Э.—Мир в рассказах для детей. Первая
книга после букваря. Стр. 64. Ц. 50 к.
Их же.—Мир в рассказах для детей. Вторая книга после
букваря. Стр. 275. Ц. 80 к.
Гинииус В. В.—Синтаксис современного русского языка.
Стр. 47. Ц. 30 к.
Горобец А.—Из деревни. Азбука. Стр. 79. Ц. 35 к.
Гусев И., Сидоров И.—Синтаксис русского языка. Стр. 93.
Д. 40 к.
Державин Н. С.—Маленькая грамматика. Стр. 154. Ц. 50 к.
Его же. Учебник русской грамматики. Ч. I. Основы фонетики
и морфологии. Стр. 247. Ц. 75 к.
Петров К. Ф.—Этимология в образцах. Стр. 157. Ц. 50 к.
Его же.—Синтаксис в образцах. Стр 144. Ц. 40 к.
Поляков В. Г.—Живая речь. Первая учебная книга по род¬
ному языку. Стр. 72. Ц. 40 к.
Его же.—То же. Вторая учебная кнЬга по родному языку.
Стр. 88. Ц 50 к.
Толстой JI. И.—Книга для чтения. Стр. 116. Ц. 40 к.
Трофимова В.—Сборник художественных материалов для
рассказывания. Вып. 1. Стр. 96. Ц. 50 к.
Ее же.—То же. Вып. II. Стр. 100. Д. 50 к.
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО.
МОСКВА—ПЕТРОГРАД
Шапошников И. Н.—Орфографический словарик. Стр. 128.
Ц. 15 к.
Его же.—Задачи по иравоиисанию. Стр. 160. Ц. 65 в.
Его же.—Картинки для сочинений. Ц. 80 к.
Математика.
Бем Д. А., Волков А. А., Струве Р. Э.—Сокращенный сбор¬
ник упражневий и задач по элементарному курсу
алгебры. Ч. I. Стр. 199. Ц. 50 к.
Их же.—То же. Ч. II. Стр. 143. Ц. 50 к.
Волковский Д. Л.—Детский мир в числах. Для начальных
школ 1-го года обучения. Вып. I. Стр. 79. Ц. 30 к.
Его же.—То же. Для 3-го года обучения. Вып. II. Стр. 72. Ц. 30 к.
Его же.—То же. Для 2-го года обучения. Вып. III. Стр. 94. Ц. 35 к.
Его же.—Числа первого десятка для детей дошкольного воз¬
раста. Стр. 36. Ц. 15 к.
Гильом Ш.—Введение в механику. Стр. 167. Ц. 1 р.
Герхер В.—Учебник элементарной геометрии. Вып. I. Пла¬
ниметрия. Стр. 89. Ц. 35 к.
Его же.—То же. Вып. II. Дополнительные статьи по плани¬
метрии и стереометрии. Стр. 70. Ц. 30 к.
Глазенап С.—Тригонометрия. Ч. I, Решение прямолинейных
треугольников. Стр. 13Qi Ц. 50 к.
Его же.—То же. Ч. II. Гониометрия. Стр. 137. Ц. 50 к.
Его же.—То же. Ч. III. Решение сферических треугольников.
Стр. 97. Ц. 50 к.
Его же.—Народный задачник. Ч. I. Стр. 126. Ц. 45 к.
Его же.—То же. Ч. II. Стр. 126 Ц. 25 к.
Давидов А.—Начальная алгебра. Стр. 504. Ц. 1 р. 60 к.
Его же.—Элементарная геометрия. Стр. 388. Ц. 1 р. 50 к.
Егоров В. В., Еарасев П. А., Фрол опеки и А. А. — Сборник
арифметических задач. Стр. 227. Ц. 55 к. в панке.
Зенченво С. В. .Эменов Э.—Жизнь и знание в числах. Систе¬
матический сборник задач. Вып. I. Стр. 91. Ц. 30 к.
Их же.—То же. Вып. II. Стр. 51. Ц. 30 к.
Их же.—То же. Вып. III. Стр. 57. Ц. 30 к.
Зверев И. К.—Элементарная геометрия. Ч. I. Планиметрия.
Стр. 154. Ц. 75 к.
Его же.—То же. Ч. ill. Стереометрия. Стр. 94. Ц. 50 к
Звягинцев Е„ Бернашевсвий А.—Живой счет в городской
школе. Вып. I. Стр. 72. Ц. 30 к.
Их же.—То же. Вып. II. Стр. 110. Ц. 40 к.
Их же.—То же. Вып. III. Стр. 105. Ц. 40 в.
Иовлев И. И.—Практическая геометрия. Стр. 116. Ц. 60 к.
Карасев П.—Геометрия на подвижных моделях. Стр. 104. Ц. 60 к.
Клазен и Бах.—Сборник геометрических задач. Вып. I. Пла¬
ниметрия. Стр. 40. Ц. 25 к.
КрогиусВ. А.—Прямолинейная тригонометрия. Стр. Но. Ц. 40 к.