IL С. МОДЕНОВ
ЗАДАЧ И
ПО
ГЕОМЕТРИИ
|П. С. МОДЕНОВ
ПО
ГЕОМЕТРИИ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1 9 7.9
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящей книге даны некоторые общие методы решения
задач по элементарной геометрии.
Работа предназначена для преподавателей математики средних
школ и для учащихся старших классов.
В книгу включен материал, несколько выходящий за рамки
программ по математике для средних школ (применение комплекс-
ных чисел в планиметрии, инверсия, пучки окружностей и др.).
Книга состоит из пяти глав. В первых четырех главах рас-
сматривается приложение к решению геометрических задач вектор-
ной алгебры, аналитической геометрии, комплексных чисел и пре-
образования инверсии. В V главе содержится список основных
определений и формул, которые используются в первых четырех
главах. Перед рассмотрением материала каждой главы необходимо
познакомиться с соответствующей частью V главы. Вывод формул,
приведенных в V главе,' частично знаком учащимся старших клас-
сов средних школ. Подробный теоретический материал читатель
найдет в списке рекомендуемой литературы, который дан в конце
книги.
Хочу отметить дополнение к векторной алгебре, на .которое
мне указал еде в 1930 г. мой научный руководитель профессор
МГУ Я. С. Дубнов: дело в том, что векторная алгебра на плос-
кости не доводится до той полноты, как это делается в простран-
стве: для устранения этого обстоятельства на ориентированной
плоскости следует ввести поворот вектора на угол + л/2 (обо-
значение , [а]) и псевдоскалярное (или смешанное) произведение
axb (ш,аЬ) вектора а на вектор Ь. Отметим, что линейная
векторная функция Ах векторного аргумента х, обладающая тем
свойством, что Ах I х для любого вектора х, на плоскости имеет
вид Дх=Х[х] (%—произвольное число), а в пространстве Ах —
— [ах] (а — произвольный вектор). Смешанное произведение на
плоскости и в пространстве может быть определено как полили-
нейная скалярная- функция (от двух векторов на плоскости и от
трех в. пространстве), которая антисимметрична относительно
любой пары векторов (на плоскости:	-
А(х,у) = — Д(у,х);
1*
3
в пространстве:
A(x,y„z) = — А (у, х, z), А (х, у, г) = — A (z, у, х),.
А (х, у, z) = — А\х, z,y))
и нормирована (т. е. обращается в 4- 1 для' какого-нибудь одного
ортонормального базиса).
Термин смешанное произведение объясняется тем, что оно и на
плоскости и в пространстве может быть определено как результат
двух операций
[ab = ([д], Ь), abc = ([«&], г)}.
Хотя свободный вектор в геометрии является классом всех
эквивалентных между собой направленных отрезков, я позволил
в данной работе (в соответствии с широко установившейся тра-
дицией) идентифицировать вектор и направленный отрезок (подоб-
но тому, как, например, в арифметике считают равными дроби
p/q и np/nq, где р, q, « — натуральные числа). Поэтому в насто-
ящей работе два направленных отрезка; которые коллинеарны,
имеют одинаковую длину и направлены в одну сторону, называются
или эквивалентными, или равными. •	.
Идея применения комплексных чисел в планиметрии возникла
у меня в связи с очень интересными и содержательными лекциями
по теории аналитических функций, которые читал в МГУ профес-
сор А. И. Маркушевич, и книгой по тому же вопросу того же
автора. Кроме того, с сороковых годов систематически появляются
статьи за рубежом, в которых применение комплексных чисел в
планиметрии позволяет достаточно просто решать трудные задачи,
связывая эти решения с основ.ными геометрическими преобразо-
ваниями, которые естественно рассматривать в средней школе
(изометрические, подобные, и круговые преобразования, в частности
инверсия).
Во Франции вышла книга «Геометрия комплексных чисел»
(R. De а их. Geometrie de nombres complex). Всём этим вопросам
посвящена глава III настоящей книги. Так как излагаемая здесь
методика совсем не представлена в нашей учебной литературе,
я позволил себе, приводить все рассуждения и выкладки с исчер-
пывающей полнотой. В настоящей книге использованы работы
ряда " иностранных ученых (Р. До, Р. Бланшар, Гурмагшиг,
В., Джебо и др.)>
Полагаю, что содержание материала главы III является лиш-
ним доказательством того, как много теряет элементарная мате-
матика, если при ее изучении исключить комплексные числа.
Рассмотрение простейших функций комплексного переменного
z' — a~'^ ~ (ad—bc.^O), z’ = a~^~~ (ad — bc^O), - .
.. z'a’+& (a # 0),	-	z* = a z -j- b (a Ф 6)
4
охватывает. изометрические преобразования первого и второго рода
(z' = az + b, z' — az+b, где |а| = 1); подобные преобразования пер-
вого и второго рода (z'=az-[-b, z' = az + b, а 0) и круговые
'Преобразования (случай дробно-линейной функции; в частности^
инверсия z' =a/z),	‘	>
В главе IV дан обзор свойств инверсии плоскости и простран-
ства и различные приложения (инверсоры, геометрия Маскерони,
отображение областей при инверсии). В частности, подробно рас-
смотрены различные стереографические проекции сферы на плос-
кость и построение конформных изображений спектра меридианов
и параллелей сферы.
В последней главе V дан список основных определений, фор-
мул и. список литературы. В списке литературы указаны книги,
в которых, читатель найдет доказательства этих формул; это —
учебники по векторной алгебре, аналитической геометрии, книги,
в которых изложена теория геометрических преобразований, учеб-
ники по теории функций комплексного переменного.
Общие методы решения задач по геометрии, которые изложены
в настоящей'Книге, имеют тесную взаимосвязь: векторная алгебра,
как хорошо известно, связана с аналитической геометрией. Основ-
ные формулы, применяемые в. главе III выводятся на -базе фак-
тов, известных из курсов аналитической геометрии, дробно-линей-
ная функция комплексного переменного содержит в себе преоб-
разование инверсии; преобразование инверсии хорошо исследуется
и методами аналитической геометрии и т. д.
Замечу, что рисунок на обложке книги (он же рис. 114 в
тексте книги) является копией фотографии изготовленной мною
модели, иллюстрирующей стереографическую проекцию сферы на
плоскость, при которой параллели и меридианы переходят в ги-
перболический пучок окружностей и союзный с ним эллиптиче-
ский пучок окружностей. Так же были выполнены чертежи 107
и 108.
При работе над рукописью я получил ценные советы от про-
фессора В. А. Ильина и члена-корреспондента АН СССР С. В. Яблон-
ского, которым выражаю глубокую благодарность. Очень ценные
и подробные советы я получил и от рецензента издательства «На-
ука», которые почти все были справедливыми и были мною при-
няты во внимание при окончательной подготовке рукописи к пе-
чати.
7 Конечно, приводимые в этой книге общие методы' решения
задач по элементарной геометрии не исчерпывают всех таких
методов. В частности, отмечу очень сильный аналитический ме-
тод применения трилинейных координат на плоскости и тетраэд-
рических координат в пространстве (трилинейные координаты
точки на проективно-евклидовой плоскости — это проективные коор-
динаты собственных Огочек такой плоскости при условии, что все
четыре фундаментальные точки проективной системы координат—.
5
также собственные; аналогично и в пространстве). Рамки книги не
позволили мне изложить этот метод.‘Есть, конечно, еще и другие
общие методы, которые, к сожалению, не затронуты в нашей
учебной и методической литературе (например, синтетические
методы решения задач с использованием изометрических, подоб-
ных, аффинных и проективных преобразований). Думаю,, что со
временем этот пробел будет заполнен.
П. С. Моденов
Материал, изложенный в главе V, используется при решении
задач в главах I—IV, без ссылок на главу V. По этой причине,
прежде чем приступить к проработке материала любой главы,
надо очень внимательно изучить материал главы V. Кроме того
понятия, приемы, терминология, введенные в предыдущих задачах,
далее используются как известные, опять-таки без ссылок на
соответствующие места. Чтобы читателю облегчить наведение
соответствующих справок, книга снабжена предметным указателем.
ГЛАВА I
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
§ 1. Векторы на плоскости (примеры с решениями)
Пример 1. Даны внутренние углы А, В, С треугольника АВС;
М — середина отрезка ВС. Найти косинус угла <р = £ ВАМ.
Решение.
AMffAB + ЛС;
следовательно,
(АВ, АВ+АС) _ АВ2+(АВ, АС) __	с+6 cos А
cos ф — ।	_g.^ ^ | ~ с	у62_|_с2_|_26с cos д »
и так как b : с = sin В : sin С, то
sin С + sin В sin А
COS ф = -г г	-	"==•
у sin2 В + sin2 С+2 sin В sin С cos А
Пример 2. Даны внутренние углы А, В, С треугольника АВС.
, Пусть М — середина отрезка АВ, a D — основание биссектрисы
внутреннего угла С. Найти отношение
CDM
АВС ’
а	z	___ _ t
а также cos ф и sin ф, где ф — угол от вектора CD до вектора СМ»
Решение.
где а —СВ, Ь = СА; следовательно,
СПМ — СПСМ — <аЬ+6а) (<*+»)_ (6—а)аВ _ (а —6) АВС
CL/M—CDCM— 2(а+&)	~2(а+6) ~	а+6	’
откуда
CDM СОЛТ = а—Ь
АВС АВС
7
- Далее, так как CD.fjab + ba, СМ\\аА-Ъ, то	.
COS ® — (аЬ + Ьа’ а + ьУ _	ab2+Ьа2+аЬ (a+ b) cos С	_
jak+ba) |a + ft| ~[<2a262+2a262cosC [Az24-62+.2a&cos С	,
_	(a 4-6) cos (C/2)	_ (sin A + sin B) cos (C/2)
~ Kn2+62+2ah cosC — К sin2 A + sin2 В -|-2 sin A sin В cos C
Sin <p = И + Ьд) («+»>  _______(b-a)_ab	=
_ -|a&+6a||a+&| ab 1^2(1 -J-cosC) fa2+b2+2ab cosC . .
__________________________________(sin В — sin Л) sin (C/2)_
Vsin2 A + sin2 В -|- 2 sin A sin В cos C *
Пример 3. Даны внутренние углы А, В, С треугольника АВС;
М — середина отрезка ВС; N — основание высоты, опущенной из
точки С на сторону АВ; О —точка пересечения прямых AM и
CN. Найти cos <р, где у=£АОС. .	•	•
Решение: Ориентируем плоскость базисом а, Ь, где а—
=СВ, b = С А. -Тогда C?V ff [а — £>]. В самом деле, вектор [« — &] =
= [ВЛ] перпендикулярен прямой АВ и образует с векторами а
и & острые углы, так как
-	([а.— Ь], «) = (—[&], a) = ab>0,
.	([a — b], b) — ([a], b)==ab>®.
Далее, АМ\\±--Ь]\а-2Ь.	*
Искомый угол ф — это угол между векторами AM и САГ,
следовательно,
гпч m - ад-»Ь a~2ft) 2 -2 ([al, &>—([&] а) _
v ф —][a-6]||a-2gi	| a — b\\a^2b\ ~	'
_	— 2a& + a&  _________ab________
~\a—&||a—26 | ~	|a—&[|a—2&|
__________________________________________________ab sin C	'	_
pra24-62—2a& cosC jA$4-462—4abcosC
_________________________________________________sin A sin В sin C	'
. sin2 A sin2 B—2 sin A sin В cosC p*sin2 4-|-4 sin2B—4 sin A sin В cos C’
Пример 4. Даны векторы a = CB, Ь = СА. Найти вектор
х — СО, где О —центр окружности, описанной около треуголь-
ника АВС.
Решение. Из соотношений
х2 = (а — х)2 = (Ь — х)2
находим
(х, a) = a2/2, (х, b) = b2/2,'
и, следовательно, по формуле Гиббса
х = (.г, а)а^ + (х, b)b* = — а*
те д* Ь* — базис, взаимный с базисом а, Ь:
а* __ Pl. h* — 1?1
° ~Ьа> ° “ ab' '
Итак,
Х~ 2а&
Замечание.-Бели взять х в виде АГ = Ла-|-р1>, то из соот-
ношений -	.
(х, а) = а2/2,	(х, b) = b2/2
получим
Ха2 + р.(«, &) = а2/2,
к (а, &) + м&2 = &2/2.
Отсюда
r <№-№(a, b) •.	_aW—a*(a,b)
Л-2(а2*2-(а, &Я ’ .	2(а2бг—(а, &)2)
и, следовательно,
1 at&—&(a, b) , 1 a8Z>2—a2(e, Щ	'
X~~ 2 eW-(e, W - + '2 <№-(«• »)2 °’
’ Пример 5. 'Даны смешанные- произведения ах = р, bx = q
вектора х на неколлинеарные векторы а и Ь. Выразить вектор х
- через векторы а, b и 'числа p,q.
Решение. Пусть	»
п* _1У А* _____1^1
а ~ Ьа ’	° “ ab
—: базис, .взаимный базису а, Ь. Тогда
х — (х, а*)а + (х, &*)& = (;§. х)а + (§, х)& =
-t>x ,ахь_ д . р ь_рЬ-да
bcr'at) ba'ao ab
Пример 6. Относительно общей декартовой системы координат
заданы две силы Fj = {2, 3} и Р2=. {4,. 1}- Точки их приложения
соответственно Л = (1, 1) и В —(2, 4), .Найти координаты равно-
действующей и уравнение ее суппорта.
Решение. Координаты равнодействующей F равны 6 и 4.
Далее, пусть М (х, у) — произвольная точка суппорта. Тогда
момент равнодействующей относительно точки М равен нулю.
Этот момент равен сумме моментов MAFi и MBF2 сил состав-
ляющих (смешанное произведение обладает свойством дистрибу-
тивности).
Так как ЛМ = {1— х, 1—у}, МВ = {2 — х., 4 —у}, то
- г? |; z' з | •	мв г,=vi ।	,
^9
$ следовательно, уравнение суппорта равнодействующей
I1-X2I I2-X4I ,0
11 —у 3 [	4—у 1 | У
ИЛИ
4х-6^+13 = 0.
§ 2. Векторы в пространстве (примеры с решениями)
Пример 1. Плоские углы трехгранного угла О АВС равны
а = Z ВОС, b= Z СОА; с = 21 АОВ, Внутренние двугранные углы
данного трехгранного угла:
Л = В(ОЛ)С, В = С(ОВ)Л, С = Л(ОС)В1).
Трехгранным углом ОЛ*В*С*, взаимным с трехгранным
углом ОАВС, называется трехгранный' угол, который строится
так: луч О А* перпендикулярен .лучам OB и ОС и образует
острый угол с лучом О А. Аналогично строятся и лучи ОВ*, ОС*.
Пусть а*, Ь*, с* —плоские углы трехгранного угла ОА*В*С*,
а Л*, В*, С* — внутренние его двугранные углы.
1°. Зная а, Ь, с, найти cos Л, cos В, cos С.
2°. Доказать, что а* =п — А, Ь* — п — В, с* = п — С.
3&. Доказать, что Л*=л — а, В* = п — Ь, С*=п — с.
4°. Зная Л, В, С, найти cos a, cos&, cos с.
5°. Доказать, что
sin А sin В sin С _ Д
sin a- sin b	sin с sin a sin b sin с
(это соотношение называется теоремой синусов дЛя трехгранного-
угла ОАВС), где
Д=
1 cos 6
COS& 1
cos с cos а
cos с
cosa
1
Vi
=+ 2 cos a cos b cos c — cos2 a — cos2 b — cos2 c.
6°. Доказать, что теорему синусов для трехгранного угла
ОАВС (см. п. 5°) можно записать в виде
sin А sin В sin С Д*
sin a	sin b	sin с	Д’ -
где
Д*==]/1 + 2 cos a* cos b* cos с* — cos2 а* — cos2 b* — cos? с* =
= ]/1 — 2 cos Л cos В cos С — cos2 Л — cos2 В — cos2 С.
. Символом В (ОА) С обозначается двугранный угол с ребром О А, в -полу»
плоскостях которого лежат точки В и С.
10
Решение. 1°. Пусть elt е2, е3 —направляющие векторы
лучей ОЖ ОВ, ОС (^ffOA	е3 ft ОС). Тогда векторы
ei е2, е3 базиса, взаимного с базисом е1г е2, е3, являются
направляющими векторами лучей ОА*, ОВ*, ОС*. Будем считать
векторы еи е2, е3 единичными. Отложим их от точки О; тогда
их концы Elt Е2, Е3 будут лежать соответственно на лучах ОА,
ОВ, ОС. Проведем через точку О плоскость л, .перпендикулярную
лучу ОС. Пусть El и Е2 — ортогональные проекции точек Ег и
Е2 на плоскость л. Тогда С = А (ОС) В = £ Е[ОЕ^. Рассмотрим
векторы
el = OE°i,	е°2 = ОЕ°2.
Имеем
^ = ^ + ^3, еа2 = е2 + ^е3.
Умножая скалярно обе части каждого из этих соотношений на
вектор е3, получим
0 = cos& + %,	0 = cosa+p,
так что
е\ — ех — е3 cos b, el = e2—e3cosa
и, следовательно,
cos С =	~6з cos bi е*~6s cos а) —
] *i 11 *21	K(*i—*з cos b)2]/(е2—*зсоза)2
__ cos с—cos b cos a—cos a cos 6+c6s cos a _
j/l —-2cos2 &+cos2 b Ki—2 cos2 a+cos2 a
__cosc—cos я cos 6
<	sin a sin b4
Аналогично вычисляются cos А и cos В. Итак,
л	cos a—cos 6 cosc
sin b sin c
„ n	cos b—cosccosa
sm c sm a
„ x, cosc—cosacosfr
COSG=------:----.
sin a sm b	.	(
2Q, Формулы, полученные в n.. f°, можно переписать так:
rns 4 — l[£i£dLf£l£31L
rns D  (kagil. kaesl)
• I [VJIIMI ’
• cncf- (ks^ib 1езе2])
Ь “I Ml I 1*3*2] I’
• .Заметим,, что при такой записи векторы elt е2, е3 не обяза-
тельно считать единичными, так как при замене ё2, е3
4 .	’	Н
соответственно на Kelt [ie2, ve3, где X>0, p>0, v>0, правые'
части последних соотношений не изменятся. Таким образом, е1г
е2, е3 можно считать любыми направляющими Лекторами лучей
ОА, ОВ/ОС.	. 	. * ч
Последние соотношения можно переписать в виде
cos Л-	(e2’g3)	cos В —	(е3’е1)	cos С -
COS/1—	|е2||езр	cosb —	1^11^1»	C0SG—	|е1||е2| •
В самом деле,
/[eaexJ [eiegJX
(е2> е3) _	е^я.) __ ([е^а], [е^])
I foeil II М I ~ Цек?з] 11^211
I ^^2^3 I J I
и аналогично для двух других формул.
Отметим еще" формулы для cos a*, cos&*, cos с*:
cos а* - (ei' е*}	cos b* = (g3’ el)	cos с* = (еЧ g2)
cosa -^2це?| >	coso -|езце1|’	cosc |^||e2|’
Из двух последних групп формул заключаем, что	. -  
cos Л =— cos a*, cosB =— cosft*, cos С = -г- cos с*,
и так как все. углы А, В, С, а*, Ь*, с* лежат в интервале
(О, л), то	-	. 4
а*=п — А, Ь*=л — В,: с*=л — С.
Эти соотношения можно вывести и геометрически.
.3°. Запишем полученные выше формулы
cos Л	(g2>	cos В -	(g3> е1)	cos С —
COS Л —	|^||еЗ|»	cos В—	|^з ||^|,	COS С —	| j । е
для трехгранного угла ОА*В*С*:
со5Л* = —.У., cosB*= —cosC*= — ^
I ег 11 <?31 ।	’ I «з 11 «11	I ei1
и так как | | = | е21 = | е3 j = 1, то
созЛ* = — cos а, . cosB*= — cos b, cosC*=—cos с,
откуда
Л*=л — a,	B*=Ji — b, С*=п — с.
4°. Применяя для трехгранного угла ОА*В*С* формулы,
полученные в п. 1°, получим
л* cos а*—cos b* cos^*-
COS Л* =------. -;-£-7-*--
sm b* sfn с*
или
12
cos (л — а) =
cos (л—Л)—cos (л —В) cos (л—С)
sin (л — В) sin (л—С)*	9
или
•	cos A +cosB cosC
cos a -----и—; -	.
' sm В sm C
Аналогично выводятся формулы для cosb и cose. Итак,
__ cos A + cos В cos C
sm В sm C ’
. cos В + cos C cos A
COS Ь =-----—7------,
sm C sm A	’
cos C+cos Л cos В .
sm A sm В
5°. Из формулы
находим
sin А = ]/1 — cos2 А	-
У1 +2 cos a cds Ь cos с—cos2 а—cos2 b — cos2 с	A
sin b sin c	sin b sin c
Отсюда
sin A _ A ,
sin a sin a sin b sin c *
To же самое значение имеют отношения $4- и Итак,
sin о sin с .
sin А __ sin В _ sin С _А
sin a sin b sin с sin a sin b sin с *
6°. Запишем теорему синусов для трехгранного угла ОА*В*С*,
взаимного с трехгранным углом ОАВС:
sin А* ____ sin В* _ sin С*______ А*
sin a* sin b* ~~ sin с* ~~ sin a* sin b* sin с*
или (см. пп. 2° и 3°)
		sin а		 sin b _		sine	A*	
		sin А	sin В		sinC	sin A sin В sin C9	
где	1	cos b*	cos c*	\l/2			
А * —	cos b*	1	cos a*	1	=		
	COSC*	cos a*	1*				-, -
= у 1 -|- 2 cos a* cos b* cos с* — cos2 а* — cos2 &* — cos2 с* =
= )/Т — 2 cos A cos В cos С — cos2 А — cos2 Вcos2 С.
Из равенств
sin А _ А
sin a sin a sin b sin с ’
sin а ___________А*_______
sin Д-"~ sin A sin В sin С
13
почленным делением находим	.	, '
•	?!!!—d  A sin A sin В sin С  Д sin3 А
sin2 а	Д* sin a sin b sin с	Д* sin3 а ’
откуда
sin А__Д*
sin а Т ’
Аналогично
sin В sin С Д*
sin b	sin с	Т *
Итак,
sin А_sin В_sin С__Д*
sin a sin b sine ’
Пример 2. В параллелепипеде даны длины а, Ь, с его ребер О А,
ОВ, ОС и плоские углы между ними:
ZBOC = a, ZCOA = p, £АОВ=у.
Найти:
Г. Длину d диагонали параллелепипеда OD.
2°. Косинусы_углов <р1( <р2, <р3, образуемых диагональю 65
с ребрами О A, OS, ОС. ,
___ 3°. Если даны еще координаты и, v, w проекций OD на оси
ОА, ОВ ОС, то доказать, что
d = y au + bv+cw.
4е. Выразить длину d диагонали OD через углы а,' р, у и
координаты и, v, w проекций направленного отрезка OD на оси
О А, ОВ, ОС‘
5°. Выразить объем V данного параллелепипеда через а, Ь, с,
а, Р, У-	_ _	-
6°. Из точки О выходят два луча ОР и OQ; первый луч обра-
зует с осями О А, ОВ, ОС углы а1( р1( yt; второй —углы а2, р2, уа.
Выразить косинус угла & между лучами ОР и OQ через а, Р, у,
«1, Рь Yi> а2, Р2, у2.
7°. Найти кратчайшее расстояние между прямыми OD и АВ,
зная a, b, с, а, р, у.
8°; Найти расстояние 6 от точки D до прямой АВ. __________
Решение. 1°. Рассмотрим векторы а = ОА, Ь = ОВ, с = ОС,
d=ОВ. Тогда
d=a+b+c,
откуда
d = V& = У(а + &+сГ=	________1 
6= у а2	са+2bc cos а+2са cos р 4- 2ab cos у.
14	'
2°.
(a; d) _ (a, a+&+c)_
COS<Pi— |a|jd| —	|a||d|	“
a2+ab cos y+gc cos P   a + b cos y+c cos p
ad.	d
Аналогично выводятся формулы для cos<p2 и cos<p3. Итак,
 a+fecosy+ccosp
СОБф!
COS (p2 =
d
a cos y+^+ccosa
3°. Из формул п. 2° имеем
u = d cos фх = a + b cos у 4- c cos p,
v = d cos ф2 = асо8 y + &+ccosa,
10 = б/со8фз = асо8 p + &cosa+c.
Умножая обе части каждой из этих формул соответственно на а,
&, с и складывая почленно полученные формулы, будем иметь
au+bv+cw = a(a + bcQsy+ccQS$) +
+ & (acos у + cos a)-f-c(a cos P + & cos a4~c) = d2.
4°. Из формул п. 2° следует
а + b cos у+с cos р = и,
a cos у4- b+с cos a- = и,
a cos p + &cosa+^c —
Решая эту систему относительно а, Ь, с, получим
и cos . у cos р
v 1 cosa
w cos a l
cosa
1	и cos р
cos у	v cos a
cosp ш
где
C = y cosy 1 V
cosp cosa w
1
S = cos у
1 cos у cos P
cosy 1 cosa
cos p cosa - 1
+ 2 cos a cos p cos у — cos2 a — cos2 p — cos2 y,
15
и, следовательно,, на основании формулы
d2 — au + bv+cw
имеем
и
и
cos у	COS р	1
1	cos а	cosy
cosa 1	cosf
COS р [	1
cosa	cosy
1	COSp
cosy и
1 и
cosa w
1
cosy
cosp
tl
cos у COS p
1	’ cosa
cosa 1
v * w
и
V
w
0
и
V
w
£
d
так что
	1	cosy	cos p	и	
d	— | —	cosy	1	cos a	V	^1/2-
	COS P	cosa	1	w	
	и	v	w	0	
5°.
V2 = (a&c)2 =		(a, a) (a, b) (a, c) (d, a) (b, bj~(b, c) (e, a) (c, b) (c, c) ab cos у	ac cos p	—	1	cos у COS p
	a2 ’				
—	ab cos у	№	be cos a	= a2b2c2	cosy	1 cosa
	accos p	' be cos a	c2		cosp	cosa 1
следовательно,
V — dbc	= abc ]/l 4~ 2 cos a cos 0 cos у — cos2 a —.cos2 0 — cos2 y.
6°. Рассмотрим .векторы p — OP, q = OQ и будем считать, что
|Pl = l?l = h
Разложим вектор р по базису а, о, с:
p^Pid + pJf + PsC.
Умножая скалярно обе части этого равенства последовательно'
на а, Ъ, с, получим -	'
- cosa1 = p1 + p2cosy — pscos0,
cos 0! = pi cos у 4- p2 4- Рз cos a,
cos yx = pi cos 0 4- p2 cos a 4- p3.
Отсюда	'	>
IQ
1	cos af cos у	cosp	
Pl = y	cos pi 1	cosa	»
	cos Yi cos a	1	
	1 cos at	cosp	
P2~^f	cos у cos Pi	cosa	>
	cos p cos Yi	1	
1	1 cosy	cos ai	
-Рз = у	cosy .1	cos Pi	
	cos £ cos a	cos Yi	
Далее; пусть а*9 Ь*, г* —базис,, взаимный базис/чЛ, Ь9 с. Раз-
ложим вектор q по базису а*> Ь*9 с*:	.
q = qra* + qJ)* + q3C*.
Умножая поочередно обе части этого соотношения скалярно на а,
Ь, с9 получим
ft = cosa2, q2 = cos р2, ^3==cosy2.
Итак,
q = cos a2 a* + cos p2 ft* + cos y2c*.
Теперь находим
cos (p, q) = cos 6 = (p, <r) = (Pia + p2& + p3r> ?i«* + <?2&*+ ^*)=
— Pl?l + P2?2 + P3?3 =
+
cosai
cos Pi
COSY! *
0
/ cos ai cos у cos p
= ~«-|COSa2 cos Pi 1 -cosa +cosp2 cosy „ cos pt
1 cos at
cos yi cos a 1
1 cos у -Cos ax
+cosy2 cosy 1 cos Pi
cos p cos a cos yi
cos p cos Yi
1
cosy
COS P
cos a2
CC&Y
1
cosa
cos p2
cos p
cosa
1
cos 45
cosa
1
cosy
1
~ $
1
6
.Формулу, из которой находится cos 0, можно записать в более
компактном виде:
1	cosy	cosp	cosai
cosy	1	cosa '	cos Pi _q
cosp	cosa 1	cosyi
cosa2	cospa	cosy2,	cos0	"
T. Кратчайшее расстояние d ме&ду двумя неколлинеарными
прямыми в пространстве равно длине проекции любого отрезка
концы которого лежат на данных прямых, на общий пер-
пендикуляр к данным прямым.
Таким образом, в п. 7°	>
Мг = О, Мг = В, MJtf2 = OB = b.
Далее, направление общего перпендикуляра к прямым 0D и ДЯ
Задается векторным произведением вектора a + b-{-c — OD на
вектор Ь — а — АВ'
[(a+b 4- с) (Ь - а)]=2 [ab] + [rf>]+[ас].
Итак,
d = |(&, 2[а&1+[с»1+[асШ = |а&_с|
- 12 [aaJ+Ic&H-lacjj I Т ‘
где (см. п. 5°)	1
• 	]abc\=abcV6,
Т = 4 [а&]2+[с&]2 + [^]2+.4 ([«*]> [сЬ]) + 2([с&], [ас]) 4-
4- 4 ([а&], [ас]) = 4а262 sin2 у 4- с2/»2 sin2 а 4-а2с2 sin2 0 4-
4- 4&2ас (cos р — cos а cos у) 4- 4a2bc (cos а — cos р cos у) —
— 2c2ab (cos у — cos а cos Р).
1/*Я
Итак, d = abc .
8°. Пусть е — направляющий вектор прямой I и В — произволь-
ная точка пространства. Возьмем на прямой I какую-нибудь
точку А, и пусть АВ —а. Тогда расстояние d от точки В до
прямой I вычисляется по формуле d — | [de] |/| е |. В самом деле,
I [ае]| = I «11е Isin Ф = Ie Id-
В частности, если e — единичный вектор, то
d = |[ae]l-
Для определения расстояния от точки D до прямой АВ заме-
тим, что направляющий вектор этой прямой равен а — Ь, и так
как AD=bA-c, то, применяя формулу
И_|[М1
. “FT’
будем иметь
.	-1[(«-»)	_ |[a&14-[gd+R&]| _
|а-&|	|а-Р|
где .		.
Т\ = a2b2 sin2 у 4- b2c2 sin2 а 4- с2а2 sin2 р 4-
4- 2a2bc (cos а — cos р cos у) 4-2&2са (cos р — cos у cos а) —
‘	'	— 2c2a&(cosy — cos а cos Р),
Т2= а2 4- b2 — 2ab cos у.
Пример 3. Даны плоские углы £ВОС=,а, /_С,ОА — Ь,
ZАОВ =fс, трехгранного .угла ОАВС. Луч I выходит из точки О
и образует с рёбрами ОД, ОВ, ОС данного трехгранного угла
равные углы <р. Найти tgxp.
Решение. Выберем на ребрах данного трехгранного угла
точки А, В, С так, чтобы ОА = ОВ — ОС=\, и рассмотрим еди-
ничные векторы а = ОА, Ь = ОВ, с = ОС.
Пусть ОР — йаправленный отрезок, длина которого равна 1,
такой, что /_РОА = /_РОВ= £РОС = у. Рассмотрим единичный
вектор х = ОР. Тогда •
(х, а) = (х, Ь) — (х, с) = cos <р
18
и по формуле Гиббса
x=(x, a)a* + (x, b)b* + (x, c)c* = (a*+b*+c*) cos<p, (*)
где a*, b*, с* — базис, взаимный с базисом a, b, с, т. е.
'	fl* _ [frl] Г)* _ [£#]	Z1* _ 1а&1
abc* abc' abc'
Возводя в скалярный квадрат обе части равенства (*), получим
1 = cos2 ф (а* + Ь* + с *)2,
откуда
H-tg2<p = «*!+&*2+c*s + 2(&*,.c*) + 2(c*, a*) + 2(a*, &*) = £,
* 2
где
Tj. = sin2 a + sin2 b + sin2 c + 2 (cos b cos c — cos a) +
+2 (cos c cos a — cos &)+2 (cos a cos b — cos c),
T2 — (abc)2 = 1+2 cos a cos b cos c — cos2 a — cos2 b — cos2 c.
ИтЗк, .
tg2<p=^-i=^b,
Tt — T2 = sin2 a + sin2 b + sin2 c+2 (cos b cos c — cos a) +
+2 (cos c cos a — cos b)+2 (cos a cos b — cos c) —
— Г— 2 cos a cos & cos c + cos2 a+cos2 & + cos2c.=	;
=2[1 — (cosa+cos& + cosc) + (cosfccosc+cosccosa+cosacosb)—
— cos a cos b cos c] =
= 2(1 —cosa)(l — cos6)(l — cosc) = 16sin2-^sin24-sin24-,
16 sin2 sin2-^ sin2 -^
cosc ’
cosa
1
1§2Ф = ^^
1
COS 6
COSC
CQSb
1
cos a
Угол ф можно считать острым (так как если ф—тупой угол,
то направление отрезка ОР можно-изменить на противоположное).
Итак,
где
1 cos b
Д = cos b 1
cos c cos a
. . a . b . c
4 sin — sin sm
tg^—-Д2
cosc
cosa =я
1 '
== 1 + 2. cos a cos & cos c — cos2 a — cos2	cos2 c.
19
Поимео 4. В тетраэдре О АВС даны длины ребер ОА о,
QB =^b, ОС —с и плоские углы £_ВОС = <х, £СОА = $, Z.AOB =
— у. Пусть PQ — рбщий перпендикуляр к прямым ОА и ВС
(точка Р лежит на прямой ОА, точка-Q —на прямой ВС). Найти
отношения
Решение. Рассмотрим векторы а = ОА, Ь = ОВ, с—ОС,
р = ОР, q = OQ,t = BQ, s = PQ. Тогда
р = Ла, t = n(c — b).
Далее,
p+s — t — d = 0,
откуда
s = — Xa+p.(c — b)-)-b.
Так как вектор s перпендикулярен векторам а и Ь — с, то °
(a, s) = 0, (b — c, $) = 0;
или
(а, — Аа + р.(с —д)+&)=0,
(Ь — с, —ка + р (с — &)+&) = О,
или .	'
ка2 — ц(а, с — Ь) = (а, Ь),	•-
— к (а, c — b) + p(c — b)2 = — (b, с — Ь).
Из полученной системы уравнений, линейных относительно к и
р, находив эти .неизвестные:
__ОР  b cosy (<?+№.—2Ьс ms a,) — (с cosp—6cosy)(ccosa—b)
ОД а	у2 sin2'p + & sin2 у—26с (cos а—cos.p cos у)	’
7	'	__BQ  < —с cos «-|-6+cos у (с cos р —6 cosy)	. ”
с2 sin2 р+62 sin2 у—26с (cosa—cosp cos у)* .
Пример 5. В настоящем примере дан векторный вывод основ-
ных .формул, применяемых в теории аксонометрии.	,.j;
Пусть Ох, Оу, Ог — три попарно перпендикулярные оси. Ра<>
смотрим плоскость л,’ пересекающую эти оси соответственно
в точках.Л, В, С. Пространство будем считать ориентированным
упорядоченной тройкой осей Ох, Оу, Ог. Обозначим через О'
ортогональную проекцию точки О на плоскость л = АВС, через,
а1( а2, а3 обозначим углы осей Ох, Оу, Ог с. плоскостью л,
а через Pi, 02, р3 — соответственно углы ВО'С, СО'А, - АО'В.
20,
Доказать, что	•
1°.	cos0x = — tg o^tgo-g,
COS02 = — tgOfjtgOj,
cos p3 = — tgaxtga2.
00 sin Pl’ sin p2 Sln Рз - _ ________________J______'
z * sin eq cos ai ~ sin cos a2	sin a3 cos a3 cos cos a2 cos a3 *
sin 2@i  sin 2p2  sin 203   g sin ai sin a2 sin аз
’ cos2 ax cos2a2 cos2 a3	cos2 ax cos2 a2 cos2 a3 *
4°. Существует треугольник, длины сторон которого пропор-
циональны cos2a1n:os2a2, cds2a3; одним из таких треугольников
является треугольник, образованный основаниями высот треуголь-
ника АВС (теорема Шлёмильха).
Решение. 1°.	. ,
(65, бС) = (бд' + 67В, ОО' + О7С) = Об'2 + (О7В, 67С) = 0, (*)
так как 00' _|_б'С; 00' _L О'В, ОВ _\_0С, следовательно, из соот-
ношения (£) получим
О'В tg a2 • О'С tg a3 + О'В • О'С cos 0Х = О,
откуда
cos 0х = — tg a2 tg a3.
Аналогично выводятся формулы
cos 02 = — tga3tgax,
cos 03 = — tg ax tg a2.
2°. [б7в67с]=[(б76-ьбв).(д76+6с)] =
=[оЛбос]+[бво7б]+[ов ос].
Отсюда _	.
фгвсгс], 0О') = ([6ВОС], 00'). ‘	• (**)
Далее,
[((ТВО'С], Об') = 1[б7В <7С]| 00' =
= О'В • О'С sin 0Х • 00' = OB cos a2 • ОС cos a3 • 00' sin 01(
([65 ОС], Об') = ОВ ОС- 00' cos - ax j = OB  ОС • 00' sin ax,
и, значит, в силу равенства (**) имеем
sin 0! cos о&2 cos a3 = sin ax,
следовательно,	r	*
sin 0i	1._____
sinai cos ax cos «x cos a2 cos a3 ‘
21
Аналогично доказывается, что 
sin р2 _ sin Рз __________1_____
sin «а cos «2	sin <х3 cos а3	cos aj cos a2 cos a3'
3°. Следует из пп. 1° и 2°.'
4°. Переписывая соотношения п. 3° в виде
соз2оц_______cos2a2_______cos2a3
sin 2^ — у)	sin2(p2—у)	sin2^p3— yj
и замечая, что
2(Ь-Л)+2(0,-£) + 2(р,--^ = Я,
заключаем, что существует треугольник А с углами 2^рх — у),
2 ^р2— у), 2 (р3— у У В самом деле,
Рх > л/2, р2 > л/2, р3 > л/2,
так как все плоские углы трехгранного угла ОАВС равны л/2,
а потому ръ Ра, р3 —тупые углы: сфера с диаметром АВ прохо-
дит через точку 0(Z_A0B = n/2), плоскость АВС пересечет эту
сферу по большому кругу, так как АВ —диаметр сферы, про-
екция О' точки О на плоскость АВС попадет внутрь этого круга
и, значит^ угол AO'B = Pi тупой (аналогично л/2-< р2<л,
л/2 < р3 < л).
Из последних соотношений следует, что cos2 ax, cos2 a2, cos2 a3
пропорциональны синусам углов треугольника А, следовательно,
и длинам его сторон.
Докажем, наконец, что один из таких треугольников образован
основаниями высот треугольника АВС. В самом деле: треуголь-
ник АВС остроугольный, так как длины его сторон ;
AB=VOA2+OBS, ВС==]/0В2 + 0С2, СА = УОС2+ОА2,
и, значит, например, АВ2+ВС2 > АС2 (угол В острый) и т. д.
Далее, так как О А I ОВС, то О А I ВС и, следовательно, на осно-
вании теоремы о трех перпендикулярах АО' ±_ВС и аналогично
ВО' I С А, СО' I АВ, т. е. О' — точка пересечения высот треуголь-
ника АВС. Пусть А.1> Вц — основания высот треугольника
АВС. Имеем: так как £,АС1<?'= ZABiO'= л/2, то точки А,' Съ
О', Bi лежат на одной окружности (с диаметром АО’). Отсюда
следует, что ZCiB/)' = ZCjAO' (оба угла опираются на дугу CiO').
Но Z,CiAO'=y —В, значит, и Z.C1B1O' =~ — В. Аналогично:
точки Вц О', Ац С лежат на одной окружности, /.A^Bfi’ =
= £ AiCO' —~ — В.. Таким образом, BjO'— биссектриса внутрен-
22
него угла ^ треугольника А^В^. Теперь из треугольника
имеем I
J + ^ + Рх^Я,	'
и так как
Ах -J- Вх -{-(?!= л,
Л1 = 2р1-л = 2(р1-|).
Аналогично
Ct=2(p3-y). 
Пример 6. В основании многогранника OACBPQ лежит прямо-
угольник ОАСВ. Ребро PQ параллельно плоскости этого прямо-
угольника, причем ортогональные проекции и точек ,Р и
Q на плоскость ОАВС таковы, что
P1O = P1A = Q1B = QlC
(такой многогранник называется клином).	*	' 
Даны длины сторон прямоугольника ОАСВ:	ч
О А = а,	ОВ = Ь',
длина с отрезка PQ и высота ft = PP1 = QQ1. Вычислить косинус
двугранного угла A (CQ) В — (р.
Решение. Введем декартову прямоугольную систему коор-
динат Oxyz, выбирая направления осей Ох и Оу соответственно
по ОА и ОВ. Координаты вершин клина в выбранной системе:
О = (0, 0, 0), А = (а, 0, 0), С = (а, Ь, 0), В = (0, Ь, 0),
h\, Q=f, *±-с, h\.
\ Zr	Zr	]	\ Zr	Z	f
Отсюда находим векторы
C3 = {O, -b, 0}ft{0, -1, 0} = x,
CQ = {-~,	c—b, 2h}=yt.
CB = {-a, 0, 0}ft{-1, 0, 0} = z.
Находим
г *, fl cb 2h | 12/i —— и 1 I ~~ л c -“-frП ел/ a i
M={| -1 o|> |o op I о = o, a},
г .flc— b 2h\ \2h —a] I—a с-6П
M=t| 0 oh 10 -1P 1-1 0 IH0’ ~2h’ c~b}
и, следовательно, имеем
cos <n =	[y2]) =	«(c—&)
• ф I [>x] 11 [J2j |	y4h?+a?V4h?+(c—b)*'
23
§ 3..	Векторы, на плоскости и*в пространстве .
(примеры с указаниями и ответами)
1.	Даны два вектора СА — b, СВ = а=/=0. Пусть Р —ортого-
нальная проекция точки А на прямую ВС. Найти вектор СР.
Ответ. ^а’ ^а-.
ай
-	2. Четыре точки А, В, С, D расположены (на плоскости или
в пространстве) так, что AD_\_BC, BD._lCA. Доказать, что
CD±AB.	• _ . • _
Указание. Полагая DА = rt, DB = r2, DC = г3, находим
—^з) = 0. (^*2, г8 —Г1) = 0, откуда (г3,	—г2) = 0.
3.	Произвольная точка О соединяется с центром тяжести G
. треугольника АВС и строится точка Р такая, что OP = 3OG.
Пусть. Л', S', С'— точки, симметричные точке Р относительно
точек А, В, С. Доказать, что точка О есть центр тяжести четырех
точек А', В', С', Р.
4.	Пусть ЛВС — произвольный треугольник.-" Рассмотрим 12.
векторов, начальными точками которых являются центр вписан-
ной и вневписанных окружностей, а концами — точки прикосно-
вения окружностей к сторонам треугольника. Доказать, что
сумма этих векторов равна вектору ОН, где О —центр окруж-
ности (ЛВС), а Я —ортоцентр треугольника ЛВС.
5.	ЛВС — произвольный невырожденный треугольник, лежа-
щий на ориентированной плоскости; Р —произвольная точка,
лежащая в плоскости этого треугольника. Векторы РА, РВ,
PC компланарны, следовательно, линейно зависимы:	;
«РЛ + рРВ + уРС = О
(хотя бы одно из чисел а, р, у отлично от нуля). Доказать, что
а:р:у = РВС:РСЛ:РЛВ.
s -Указание. Спроектировать нулевой вектор аРЛ 4- РРВ +
Ч-уРС на,прямую ВС по направлению прямой РА. Пусть Рг —
точка, в которую спроектируются точки Р ц Л. Тогда
рР^В+уР^С = 0.
6.	Пусть 7 —центр окружности (7), вписанной в треугольник
ЛВС; D, Е, Р —точки прикосновения окружности (7) к сторонам
ВС, С А, АВ; Р — произвольная точка, лежащая в плоскости
треугольника ЛВС; Ра, Рь, Рс — ортогональные проекции точки Р
на стороны ВС, С А, АВ. Доказать, что окружность, проходящая
через центры тяжестей треугольников EPaF, FPbD, DPCE, имеет
диаметр, равный ^1Р-	'	’ '
' 24
Указан й е. Пусть G — центр - тяжести треугольника DEF,
Ga, Gb, Ge — центры тяжести треугольников EPaF, FPbD, DPCE;
тогда
7Ge=y(7£+7?+7P«) =
= 4 {Те +Tf +7d +DPa)=7G+~DPa.
Таким образом, точка Ga строится так: от точки G откладывается,
направленный отрезок, равный одной трети проекции IP на сто-
рону ВС. Отсюда сразу
следует, что точки Ga, Gb,
Gc находятся на окружно-
сти, диаметр которой мы
получим, отложив от точ-
ки G вектор, определяе-
мый направленным отрез-
ком у IP.
7.	АВС — произвольный
треугольник; Аг, В1г —
середины его сторон ВС,
С А, АВ; Л2, В2, С2 —ос-
нования его высот; О —
центр окружности (АВС);
G — центр тяжести треу-^
гольника АВС (точка пе-
ресечения его медиан);
Н — ортоцентр ’ (точка пе-
ресечения высот треуголь-
ника ABC); As, В3, С3—	Рис. 1.
середины отрезков АН,
ВН, СН; Л4, В4, С4 —вторые точки пересечения окружности
(АВС) с высотами АН, ВН, СН (рис. 1). Доказать, что:
1°. Точки О, G, Н коллинеарны и OG = у GH.
2°. Точки Л1( В1г С1г А3; В2, С2, А3, В3, С3 лежат на.одной
окружности, называемой окружностью Эйлера для треугольника
АВС или окружностью (09) девяти точек треугольника ^АВС.
3°. Точки Л4, В4, С4 являются точками, симметричными орто-
центру Н относительно прямых ВС, СА, АВ.
у .^Указание. Задача эта может быть решена векторно. Сна,-
чала-надо доказать, что если за полюс принять центр О окруж-
ности, описанной около треугольника АВС, то О А + 0В + ОС =
= ОН и т. д. (векторное решение предоставляется провести чита-
телю; мы дадим ниже еще одно доказательство всех этих положе-
ний, применяя комплексные чи&га).
Отметим сейчас следующее простое синтетическое решение;
.25
1°. При гомотетии (G, —1/2) точки А, В, С перейдут в точкй-
Лх, Blt С1г а следовательно, высоты треугольника АВС (рас-
сматриваемые сейчас как прямые) перейдут в медиатрисы сторон
ВС, С А, АВ (медиатрисой отрезка мы называем прямую, пер-
пендикулярную этому отрезку в его середине). Отсюда следует,
что точка Н пересечения высот треугольника АВС перейдет в точку
О пересечения медиатрис его сторон. Итак, при гомотетии
(G, —1/2) точка Н перейдет в точку О, значит, эти точки кол-
линеарны и OG — GH/2.
2°. Окружность (АВС) при гомотетии (G, —1/2) перейдет
в окружность (Л1В1С1), а следовательно, центром окружности
будет образ центра О окружности (АВС) при гомотетии
(G, — 1/2), т. е. середина Оэ отрезка ОН. Так как О9 —середина
отрезка ОН, а точки О и Н на сторону ВС проектируются соот-
ветственно в точки Аг и А 2, то точка О9 спроектируется в сере-
дину отрезка Л4Л2 и, значит, ОдА1 = О9А2, где Оэ —проекция О9
на прямую ВС. Но если равны проекции наклонных, то равны
и сами наклонные, значит, O9At = О9Л2. Аналогично доказывается,
что О9В±=== О9В2, O9Ci О9С2, и так как О9Л4 О9В^ == 09С%
(О9 — центр окружнрсти (AjBxCj)), то окружность (AiB^i) про-
ходит и через точки А2, В2, С2. Заметим, что радиус окружности
(AjBjCi) в два раза меньше радиуса К окружности (АВС).
Теперь рассмотрим гомотетию (Н, 1/2). При' этой . гомотетии
точка О перейдет в точку О9, а окружность (АВС) в окружность
с центром О9 и" радиусом R/2,. т. е. в окружность (А^С,).
Но при гомотетии (Н, 1/2) точки А, В, С перейдут в точки А3,
В3, С3, и' так как точки А, В, С лежат на окружности (АВС),
то точки А3, J33, С3 лежат на окружности Эйлера (AjBlO = (О9). -
3е. Рассмотрим/ наконец, гомотетию (Н, 2). При этой гомо1
тетии окружность (Л1В1С1) перейдет в окружность с центром О
и радиусом 7?, т. е. в окружность (АВС). С другой стороны,
при гомотетии (Н, 2) точки А2, В2, С2 перейдут в точки Л4, В4, С4,
симметричные точке Н относительно прямых ВС, С А, АВ. Но
точки Л2, В2, С2 лежат на окружности Эйлера, следовательно,
точки Л4, В4, С4 лежат на окружности (ЛВС). .
8.	Пусть Н, G, О, О9 — соответственно ортоцентр треуголь-
ника ЛВС, его центр тяжести, центр описанной окружности
(ЛВС) и центр окружности Эйлера; Аи Blt Сх — середины сторон
ВС, С А, АВ; Ан,-Вн, Ся —основания высот; А', В', С'— точки,
симметричные вершинам Л, В, С треугольника ЛВС относительно
его сторон ВС, С А, АВ; А”, В", С" —точки, в которых высоты
АН, ВН, СН пересекают описанную окружность (ЛВС); О' —
центр окружности (А'В'С) = (О'); а, р, у —проекции точки О9
на стороны ВС, СЛ, АВ треугольника ЛВС. Тогда:.
1°. Треугольник А'В’С является образом треугольника офу
при гомотетии (G, 4).
2*. 4О^ = ЛЛ", 4дЭ = ВВ*. 40^=СС".
’ 26
, 3?. Для того чтобы описанная окружность (АВС) касалась
высоты, опущенной\ из А на ВС, необходимо й достаточно, чтобы
центр О9 окружности Эйлера лежал на стороне ВС.
4°. Пусть О' —точка, симметричная точке О9 относительно
центра со окружности (а0у), тогда центры О и О' окружностей
(ЛВС) и (А'В'С') симметричны относительно точки О'.
 5°. Если центр О' окружности (А’В'С) лежит внутри тре-
угольника АВС, то он является точкой, обладающей тем свой-
ством, что кратчайшие расстояния от точки О' до каждой вер-
шины Л, В, С с предварительным перемещением по прямой к про-
тивоположной стороне равны между собой.
6°. Если точка О' лежит на стороне ВС, то точка Л лежит
на окружности (А'В’С).
Указан и е.__1°. 4GO9 = GH, 4О^а = 2(НАн + бА1) = НА" + ‘
+ АН = НА" + АГА' = НА'.
2°. 4О9сс = НЛ' = ЛЛ".
3°. Следствие п. 2°.
4°. На основании п. 1° имеем Gw=-^-GO', а кроме того,
GO9 = ~GH, б~б'9 = 2О^ = -~Нд',
НО И
од9=±-бн:
£
5°. Если Р — произвольная точка, лежащая, внутри треуголь-
ника ЛВС, то, обозначая через Л2, В2, С2 точки пересечения
прямых РА', РВ'-, PC со сторонами ВС, СЛ, АВ, заключаем, что
длины ломаных РЛ2Л = РА', РВ2В = РВ', РС2С = РС' будут крат-
чайшими путями из точки Р к вершинам А, В, С с предваритель-
ными . перемещениями к противоположным сторонам. Для . того
чтобы эти минимальные. расстояния были равны между собой,
необходимо и достаточно, чтобы РА' =РВ' =РС, т. е. точка Р
совпала с точкой О'.
6°. Следствие из п. 5°.
• 9, Даны три некомпланарных вектора
ОА = а, ОВ = Ь, ОС = с.
Пусть S —центр сферы, проходящей через точки О, А, В, С.
Найти вектор OS — x.
- 'Отет.
2аос
10,	Даны векторы
:<>- ,	ОА=а, ОВ=Ь, ОС = с.
Векторы Ьпс неколлинеарны. Пусть Н — ортогональная проек-
ция точки Л на плоскость ОВС. Найти вектор OH — h.
Ж
Ответ. h = a—
11.	Даны четыре вектора
ОА — а, ОВ=Ь, ОС = с, OD—d.
Дано, что векторы а, Ь, с некомпланарны и что прямая OD пере-
секает плоскость АВС в некоторой точке М. Найти вектор
ОМ=т.
Ответ, т— ;	. . d.
dbc+dca+dab
12.	Даны три вектора
ОА=а, ОВ = Ь, ОС = с.
‘ Векторы' а и b неколлинеарны. Пусть Я —ортогональная проек-
ция, точки С на плоскость О АВ. Найти вектор СН = х.
Ответ. х = —ftfW
 [ab]2 L •*
13.	Найти вектор х, если известны три некомпланарных век-
тора а, Ь, с и их. скалярные произведения на X'.
\х, а)=р, (х, b) = q, (х, с) = г.
Ответ,	.
ЯОС •
14.	Найти векторы х и у, если известна их сумма х+_у = а,
скалярное произведение (х, у)=р и векторное произведение
[ху] = Ь.
Отвёт. Если а4 < 4 (62 + ра2), то решений нет. . Если а4 =
= 4(&24-ра2), то одно решение: .
а .[ab] а .	[а&]
Если а4> 4(62 + рог)> то два решения:
' .	. v _«2+^-4 (6^+р^)	, [а*]
Хх -	— а -|	,
а2_/О4_4 (&2+ра2)	> [а&] .
-------2S*	~а	7Г’
_О2_/а4_4 (&2+ра2)	[а&]
*2—	2а«	“	а2 ’
a2+/a4_4(Z>2+pa2)	[ab]
<«---------2^2
15.	ABCD — произвольный тетраэдр, находящийся в ориенти-
рованном пространстве; Р — произвольная точка. Векторы РА,
РВ, PC, PD линейно зависимы:
. аРЛ+0РВ+тРС+6РО = О •
Д8
(хотя бы одно из чисел а, 0, у, б отлично от нуля). Доказать,
что
а: 0 : у: б = PBCD : APCD : ABPD: АВСР.
Указание. Спроектировать нулевой вектор аРА + 0ЛВ +
j^yPC^SPD на прямую АВ плоскостями, параллельными пло-
скости PCD; Точки Р, С, D спроектируются в одну точку Рг,
И- мы получим аР1 А + 0/\В = 0 и т. д.
16.	Дан трехгранный угол О АВС такой, что среди его пло-
ских углов ВОС, СОА, АОВ имеется не более одного угла, рав-
ного л/2. Доказать векторно, что три прямые, проходящие через
вершину О, лежащие в плоскостях граней ВОС, СОА, АОВ й
перпендикулярные соответственно к ребрам ОА, ОВ, ОС, лежат
в одной плоскости.
Указание. Если а, Ь, с — направляющие векторы ребер,
то направляющие векторы указанных прямых [а[&с]], [&[сй]],
к [«&]]• Их сумма равна нулю.
17.	Доказать векторно, что если пересечь все ребра трехгран-
ного угла О АВС, все плоские углы которого прямые, плоско^
стью, не проходящей через его вершину О, то точки пересечения
высот треугольника, полученного в сечении, совпадает с проек-
цией точки О на плоскость этого треугольника.
18.	ABCD — произвольный тетраэдр; А', В', С’, D' — ортого-
нальные проекции его вершин на плоскости противолежащих им
граней. Даны радиус-векторы
£M = rv DB=r2, DC = r3.
1°. Найти радиус-векторы DA' = r{, DB' = г’>, DC' = г'3, DD' =
= /*4 и доказать, что если прямые АА' и ВВ' лежат в одной
плоскости, то АВ I CD, и обратно.
2°. Если дано еще, что АС = AD = ВС = BD, то доказать, что
прямые А А' и ВВ'. лежат в одной плоскости. Пусть Н — точка
пересечения этих прямых, а К — точка пересечения прямых СС
и DD'. Доказать, что плоскость АНВ пересекает отрезок CD в его
середине I, а плоскость CK.D пересекает отрезок АВ в его сёрё-
дине J. Доказать, что точка Н расположена на прямой 1J.
19.	В пирамиде О АВС дана длина ребра 0А=а и плоские
углы ВОС = сс, /,СОД = 0, /_АОВ — у. Сфера (S) касается
грани ВОС в точке О и проходит через точку А. Найти ее
радиус х.
Решение. Рассмотрим вектор Х = д3. Так как вектор х
перпендикулярен плоскости ВОС, то х=Х[&с], где Ь = ОВ,
с~0С. Из равенства OS=SA находим хг = (а—х)2, где а—ОА,
откуда (х, а) = а2/2. Подставляя в это равенство Л [be] вместо х,
29
получим Х(а&с)=п2/2, откуда —и> следовательно, 08 =
' с= -У = Длина х вектора х равна радиусу 7? (сферы 8):
~	. а21 ГМ I a2bc sin а
я-1*!=х=2|457Т = [2ТлТ =
__’_________-_____a2tesina_________________
2<й>с К1 + 2 cos a cos 0 cos у—cos2 а — cos2 fi —cos2 у
Итак,
_____________________________, д sin а_____________
24-2cosa cos [J cos у—.cos2а—cos2 0—cos2y ’
20.	В тетраэдре О АВС даны длины ребер О А = а, ОВ = Ь,
ОС = с и плоские углы при ве_рцшне О: 2. ВОС = а,, £С0А = $,
Z АОВ = у. Найти радиус х сферы (S), описанной около данной
пирамиды. •
Решение. Пусть x — OS, а = 0А, Ь = ОВ, с = 0С. Тогда
х2 = (х—я)2 = (х — by = (х — с)2,
откуда
(х, а) = а.2/2, (х, b) = b2/2, (х, с) = с2/2.
По формуле Гиббса
х = (х, а)а* + (х, b)b*+(x, с) с*,
где а*, Ь*, с* —тройка, взаимная тройке а, Ь, с, находим
у___®2	।	। с2 л*_«2	. 62 [сд] । c2fa&]
^2“ т2+2 2abc "Г 2abc + 2abc'
и, следовательно,
.. -.ггл _ /{«2 1&сЦ-62 [са]+с2(д&П2
х-ух-	2\abcl	2\abc\’
где
Т = ^[Ьс]2 + ^[са]2+^[аЬ]2+
+ 2а2ЬЦ[Ьс], [ca])+2b2c2([ca], [ab])+2c2a2([ab], [bc])=
== a4&2c2 sin2 a + &4c2a2 sin2 рс4^2 sin2 у+
~+ 2a2b2 (be cos а • ас cos р—c2ab cos у) +
х	2b2c2 (са cos р • ba cos у — a2bc cos а) 4-
4-2с2а2 (ab cos у • cb cos а — b2ca cos Р) =
= а^с2 sin2 а+&4с2а2 sin2 р -f- (Aa2b2 sin2 у +
+ 2a2b2c2 (cos a cos р — cos у) -|- 2b2c3a2 (cos р cos у — со? а) 4-
4- 2с3я3&2 (cos у cos а — cos Р) =
= nWc2 {a2 sin2 а 4-62 sin2 р 4-с2 sin2 у 4-
4- 2ab (cos a cos р cos у) 4- 2bc (cos р cos у — cos,а) 4-
4- 2са (cos у cos а — cos Р)} = а2Ь2с*М,
labc[ =
= abc У 14- 2 cos a cos р cos у — cos2 а — cos2 р — cos2 у = abc • Д.
30
Итак,
21> Даны плоские углы а= Z.-BOC, Ь= /_СОА, с — Z АОВ .
трехгранного угла О АВС и внутренние двугранные углы А, В, С,
соответственно противолежащие этим плоским углам. В п. 6° при-
мера 1 § 2 было доказано, что
sin а   sin b   sin с   А
, sin А ~~ sin В ~~ sin С	А* ’
где Д —объем тетраэдра, построенного на единичных векторах
ОА, ОВ, ОС, т. е.
Д = (1 + 2 cos a cos b cos с — cos? а — cos2 b — cos2 с)х>2,
а
А* = (1 — 2 cos A cos В cos С — cos2 А — cos2 В — cos2 С)’/2.
Рассмотреть частные случаи: '
1°. а = А, Ь = В, с —С. Доказать, что в'этом случае по край?
ней мере один из углов А, В, С равен л/2 (указание: А2 —
— Д** = 0); далее, два ребра перпендикулярны третьему; два дву-
гранных угла трехгранного угла ОАВС равны л/2, а третий
произвольный.
’ 2°. а = А, b — ti—B, с=п — С. Выводы те же, что в слу-
чае п. 1°.
3°. а=А, Ь = В, с=п — С. Доказать, что в этом случае
cos a cos b cos с и cos A cos В cos С имеют противоположные знаки.
Плоский угол с определяется из соотношения •
.	cos Л cos В
COSC = v;—:—т—;—
1-|-81пЛ81ПВ
4?. а = п — А, Ь = п — В, с = п — С. Доказать,, что ребра трех-
гранного угла ОАВС попарно перпендикулярны.
22, ABCD — произвольный тетраэдр. Пусть
x = [DBDC], у = [DC DA], z = [D2DB]', t==[ACAB].
 1°. Доказать, что	-
’ •	х+У + 2 + * = Ъ' ’
Вывести отсюда, что со всяким тетраэдром ABCD можно свя-
зать три пространственных четырехугольника, стороны которого
перпендикулярны граням тетраэдра, а длины сторон каждого из
этих пространственных четырехугольников пропорциональны пло-
щадям граней тетраэдра.
-• Пусть ha, hb, hc, ha — высоты тетраэдра ABCD, (АВ), (AC),
(AD), (ВС), (BD), (CD) — внутренние двугранние углы тетраэдра,
31
примыкающие к ребрам АВ, AC, AD, ВС, BD, CD. Доказать,
что:
1	cos (CD) cos (DB) . cos (BC) -
2	• ha ~ hb	hc T hd \
3°.
1 . 1____g cos (CD) _ _L j__!__2 cos
/Й hb h?Hb hl hl hchd ‘
cos (ЛВ)		. cos (AC) hfyfid	। cos (AD) , cos (BC).			cos (BD)	. cos (CD) + hahb
—	hchrf		* Me	.. * hahd 1			
5°.	1	cos (CD)	cos (BD)	cos (BC)			
	cos (CD)	—Г;	cos (AD)	cos (ЛС)	— 0		
	cos (BD)	cos (AD)	—1 "	cos (AB)		 Vi		
	cos (BC)	cos (ЛС)	cos (AB)	—4-			
Указание. Умножить скаЛярно равенство- x-f-j4-2’4-f = 0
на x; записать уравнение x+y + z + f=0 в виде x+y = —z — t
и возвести обе части в скалярный квадрат; возвести равенство
х+_уг + f = 0 в скалярный квадрат; исключить h в равенствах,
полученных в п. 1°.
23.	Доказать, что шесть плоскостей, проходящих через сере-
дины ребер тетраэдра ABCD-и перпендикулярных противополож-
ным ребрам этого тетраэдра, проходят через одну точку М
- (точка Монжа). Доказать, что,точка Монжа симметрична центру О
сферы (О) = (ABCD) относительно центра тяжести G тетраэдра
ЛВСО. .	- _		:
Указание. Пусть ОА = гъ OB = r2, OC — r3, OD = r4. Тогда
уравнения плоскостей, указанных в условии задачи, можно запи-
сать в виде
(г_г._0>	/==i, 2, 3, 4).
24.	Дан тетраэдр ABCD и точка М. Пусть прямая, проходя-
щая через точку М параллельно.прямой АВ, пересекает грани
CDA и CD В в точках Р и Q.- Доказать, что сумма скалярных
произведений (MP, MQ), слагаемые которой составлены указан-
ным образом для всех шести ребер тетраэдра ABCD, равна сте-
пени точки М относительно сферы (ABCD).
25.	Дан тетраэдр ABCD и точка М. Доказать, что сумма
степеней вершины А относительно сфер с диаметрами МС, МВ,'
MD равна сумме квадратов длин всех ребер тетраэдра ABCD
(и аналогично для вершин В, C,-D).
26.	Найти тетраэдр, зная площади его граней и зная, что его
высоты пересекаются в одной точке (такой тетраэдр называется'
ортоцентрическим).
32
Решение. Этот вопрос исследовал аналитически Лагранж
(J. L. Lagrange. Mem. Acad. Berlin^ 1773, p. 160; OEuvres,
t III, Р- 662), сформулировав его несколько иначе: «Определить
тетраэдр наибольшего объема, для которого заданы площади всех
его граней». Из полученных им формул следует, что искомый
тетраэдр ортоцентрический, на что указал также Серре (Р. Ser-
ret. —J. de Liouville, 1862, p. 377) и доказал это геометри-
чески (не занимаясь, однако, определением такого тетраэдра).
В связи с этой задачей Лагранж получил уравнение четвертой
степени и доказал, что оно имеет по крайней мере один положи-
тельный корень, вычислил длины ребер тетраэдра как функции
этого корня, но не рассмотрел условий, при которых существует
тетраэдр с такими длинами ребер. Наконец, английский матема-
тик Айенгер (1 у е n g е г. — The Mathematics Student, 1947, р. 104)
решил ту же проблему, сведя ее к уравнению четвертой_.степени,
провел полное исследование и доказал, что для существования
указанного тетраэдра необходимо и достаточно, чтобы сумма пло-
щадей любых трех граней была больше площади четвертой грани.
При этом он же доказал, что все такие тетраэдры изометричны.
Теперь дадим решение, предложенное Мармионом (А. М а г m i о п. —
Mathesis, 1953, р. 69: вопрос № 3253, предложенный Тебо
(V. Thebault)). '	'	-
Известно, что сумма четырех векторов х, у, z, t, перпенди-
кулярных граням тетраэдра ABCD и направленных во внешнюю
сторону, модули которых равны площадям граней этого тетраэдра,
равна нулю (см. пример 22). Отсюда следует, что существует
замкнутый пространственный четырехугольник А^С^, стороны
которого таковы; что AlB1=x, В£[=у, CJ\ = z, D1A1 = t, и,
следовательно, сумма площадей трех любых граней тетраэдра
ABCD больше площади четвертой грани.
Полагая DA = a, DB = b, DC —с, заключаем, что в качестве,
векторов х, у, z можно взять следующие векторы:
x = ^[bc], у = ^[са], z = ^[ab].
Из векторов х, у, z, t можно-составить 6 пространственных
четырехугольников типа А^С^-, все тетраэдры AlBlClDl будут
иметь равные между собой объёмы Vt:
Vx = I xyz = Л [be] [со] [ab] = ± (abc)* = ± (6 V? = | V\ (*)
Отсюда следует, что тетраэдры ABCD и А^С^ принимают мак-
симальное значение одновременно. С другой стороны, объем любого
тетраэдра равен 2/3 произведения площадей двух его граней на
синус двугранного угла <р между ними, разделенному на длину
ребра этого двугранного угла, поэтому
I/ 2 пл. д • пл. д AiPiCi .
v 1 — з---------4А-------------s-n ф’-
2 П. С. Моденов	-	33
,рДе ф—величина двугранного угла с ребром АгСг. Так как мно-
житель перёд sin<р не зависит от <р, то Vi будет максимальным'
при <р = л/2. -Аналогичные рассуждения, проведенные по. отноше-
нию к другим граням -Л^Рх .h -CjBjD!, приводят к доказатель-
ству того, что - двугранный угол, образованный этими гранями,
.также , должен’ быть прямым. Но так как .
ABxJ_DBC, BxCx-LACP, Ci.Di.l_BDА, DyA^CAB,
то
/АВ ±'AiCiDi, BC±:BiDfAi, CD ^.С^А^, .DA_LDiBiCi
и, следовательно, AB А-CD, BC A-AD, т. e. тетраэдр ABCD мак-
симального объема, .для которого заданы площади его граней,
.является, ортоцентрическим.
Коэффициент при ..sin ср в .выражении .для Ух зависит только
от одной переменной АхСх = А. "Применяя .для пл. .ДАхВхСх и
пл. A AiDiCi.формулу Терона и.замечая, что AjBi^x, В^-^у,
CiDi = z, :DiAi — t, получим, что-квадрат.выражения
-пл. А А1В1С1А.ПЛ.. Д AjCj/Jf
/AiCi	*
-умноженный на 2®, * равен ,
р(Х2).= ,^-(х-ЬУ)№8-(^УуЧЦгЯИ}-(/-гИ .
Полагая ^2 = р, находим для логарифмической производной от
функции F (р) следующее выражение:	•
f'(p) _	1	,	1	,	1	,	1	_ £
' Fip.) — ц-(х-Н)а	-r->_(z+z)2	и ♦
Пусть (х — у)2^ (t — z)2 < (%+«/)2<; (i-J-z)2, так как должно быть
(t - z)2.< Ax-q = р, -(х+у)2 > АхС2х = р
(только при этом условии существуют треугольники АхВхСх и
AxDxCx с длинами сторон ty, х, к и t, z, к). В интервале
((t — z)2, (x-Ly)2) производная F‘ (р) имеет только один корень,
поэтому -существует только-одно значение А, при .котором функ-
ция F(k2) принимает-экстремум,- притом максимум. Зная, А, можно
построить треугольники AxBiCx и Ах^А--Прикладывая их.друг
к другу так, чтобы двугранный угол Bx(AxCj)Dx был равен‘л/2,
мы построим тетраэдр (и такой тетраэдр ;С точностью.до изомет-
рии только один), соответствующий тетраэдру ABCD с наиболь-
шим объемом. Далее, -в силу соотношений
АВ I AiCiDi, ВС I BiDt А,, CD_1_QiAxBx, DA_]_DxBxCj
и
АВ+DS+-с5= О
заключаем, что АВ, -ВС, CD, DA должны~быть пропорциональны
•34
площадям граней	Арру Вр^Ау •C1D1Bl, так что, обоз-
начая коэффициент пропорциональности через 'k; будем иметь
АВ = k• Applt BC = k- Applt
CD = k-BP,Ay DA=k-ClD1B1
и на основании предыдущего
Отсюда находим коэффициент пропорциональности:
k_
3v Кзр\ *	•
Длины ребер АВ; . ВС, СР; DA определены, и они должны
быть соответственно перпендикулярны плоскостям АРРу Арри
ВрРу Срру Итак, с точностью до изометрических преобразо-
ваний существует и притом только один тетраэдр, удовлетворяю-
щий условию задачи.
ГЛАВА II
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
§ 1. Применение аналитической геометрии
(примеры с решениями)
. Пример 1. Стороны ВС, С А, АВ треугольника АВС разделены
точками Р, Q, R в отношениях
В = Л, -S = H,
PC	QA r	RB ,
Найти " ,	. •
PQR
ABC '	-
Решение. Введем на плоскости общую декартову систему
координат, полагая С = (0, 0), Л = (1, 0), В — (0, 1). Тогда Р —
= (°> -ГТт)’^ = (тнГ’ °)’ яЧ'ьк’ т^г)и>след°вательно>
PQR . АВС	°	!+!	1 ТТ—	0	1 1 +ц —1	v— 1 l-|-v	1+v			1 + Ijxv “ (1+Х)(l+W(l+v) •
Следствие. Для того чтобы точки Р, Q, R, лежащие-на
сторонах ВС, СА, АВ треугольника АВС, были коллинеарны,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
BP CQ М _	.	BP CQ ~AR .
PC ’ Ql ’ ~R~B ~’ U U CP * AQ * BR ~
(теорема^Менелая).
Пример 2. Треугольник ABC вписан в окружность. Доказать,
что точки Р, Q, R пересечения касательных к окружности в точ-
ках Л, В, С соответственно со сторонами ВС, СЛ, АВ коллине-
арны (частный случай теоремы Брианшона).
- 36
Доказательство. Заметим, что все отношения
, HP	CQ	AR
Z=-=r-, U = ~^,	V=-=r-
РС	QA	. RB	
отрицательны. Далее,
ВР   sin С	PC   sin В
РА	sin В 9	РА ~ sin С ’
следовательно,
ВР   sin2 С  с*
PC	sin2 В	b'1
Аналогично |х = —	v = — ~ и, значит, лцу==—I (см. при-
мер 1).	.
Пример 3. Три окружности с центрами А, В, С и радиусами
Р1( Т?2, Р3 расположены так,"что каждая' из них лежит вне двух
других. Пусть Р, Q, 7? —центры внешнего подобия этих окруж-
ностей, взятых попарно. Доказать, чтд точки Р, Q, Р коллине-
арны.	, •	_ -
_	, ‘ BP R2 CQ R3 
Доказательство. Л —-=- =---------и, = -==±- =---—, v =
'	PC R3 г QA Ri
AR	Ri	,	,
= -bS = ~ n ’ 0ТКУДа	= —I •
i\D	i\2
Пример ’4. Прямые AAlt ВВЪ ССг принадлежат одному пучку
(в частности, проходят через одну точку О). Доказать, что точки
Р, Q, Р пересечения соответственных сторон ВС и В^, С Л и
Cj/li, АВ и А1В1 треугольников АВС и AjBjCi коллинеарны
(теорема Дезарга).
Решение. Рассмотрим треугольник ОВС и трансверсаль
ВхРСх1). На основании теоремы Менелая имеем
OBj Пр СС1 =
О рс .
Аналогично	• ч	. •
OCi CQ AAi ___	।
QA	’
ОА[ 47? ВВ^ ____।	‘	«
А^А RB В^б ~~~
Перемножая почленно эти равенства, будем иметь
BP CQ AR _	1
PC QA RB ~~
Читателю предлагается доказать теорему Дезарга для того слу-
-1) Трансверсалью треугольника называется любая прямая, лежащая в его
плоскости.
37
чая,, когда AAlt BBlt CCt принадлежат одному и тому же несоб-
ственному пучку.
Пример 5. 1°. Стороны ВС, СА, АВ треугольника АВС раз-
делены в отношениях
BP 1 ,Л GQ	' ' _z_ Л
^=- = %=4=0, -=5-=ll^0,-^ = V#:0.
PC	QA	>RB
Пусть прямые BQ и CR пересекаются в точке Аъ прямые CR и
АР в тодке В1( прямые. АР и BQ.b лочке Сх. Найти отношение
AiBiC.i
АВС ’
22°. Рассмотреть частныйелучай:Л = [1=^ = 2.
-3°. 1 При । каком необходимом (И/Достаточном ^.условии прямые
AP,jBQ, CR принадлежат одному* и лому, же собственному пучку?
'4°. : При каком необходимом и /достаточном условии прямые
-АР, BQ, CR принадлежат одному и тому же несобственному
пучку?
Решение. 1 °. Введем Общую «декартову систему'координат,
полагая С = (0, 0), А = (1, 0), В = (0, 1). Тогда
Н0'ж)-	’-(жж)-
Уравнения прямых АР, BQ, CR:
х у
1 о
1
1
= 0 или х + (1 +tyy — 1 ==0 (прямая или АР),
У 1
1 1 =0
X
0
Н
1 +р
х
1
l+v
0
о 1
У
или (1 + [i)x+|i«/—р=0 (прямая CtAi или BQ),
= 0 или vx—у=0 (прямая AtBt или СР).
Отсюда
‘AjB1Cj
1 14-Х—If2
1-Ьр- и —и
v —1	0
ABC (l+|i+gv)(l+v-f-'Xv)(l + X+nX)
. _________________________________________________,(X|iv-l)2____________
(1 -|-p.-f-p,v) (1 -J-v-J-lv) (l.-J-X-t-pX) *
•38
Замечание. Можно было найти (решая системы из уравне-
ний прямых^В/?!, CtAu AiBt) вершины треугольника• А^С^.
а -! м
vp
В
1+p+pv’ 1-hp+pv/’	
1-	V	\
1 +v+vX ’	14-v+vX /’
Хр	1	X
, i 4~Х 4-Хр 9	1 тЬ X	/
-M- HV	1+и+ру
1 V	1 v -f~ X v
Хр 1 .	1 -f- X	Xu
и тогда
Д1
ABC (l+X+%p)(l+p+pv)(l+v4-vl)	*
Вычитая из последнего столбца сумму двух первых и упрощая,
получим.. тот же результат. 
2°. При X = p = v = 2 найдем
. 3°.i Прямые. АР, BQ, СР принадлежат одному собственному
пучку тогда и только тогда, когда! Xpv = 1, 1(умно-
жая обе части неравенства 1 + X+=/= 0 на v=/=0, получим L+
+ v+vX 5^=0, а затем, умножая на ц =/= 0, получим 1 + Н + =# ®)*
.4°. Прямые АР, BQ, СР принадлежат одному и тому же несоб-
ственному пучку тогда и только тогда, когда Xpv = 1,1 -j-X-|-Xp.=O
(в этом случае прямые АР, BQ, СР попарно параллельны; среди
них нет- совпадающих).
Объединяя случаи пп. 3° и 4°, получаем теорему: если стороны
ВС, СА, АВ треугольника АВС разделены в отношениях
-1£- = Ь=/=0, Ж = ц#=0, 4§- = v^0,
PC .	QA	RB
то прямые АР, BQ, СР принадлежат одному пучку (собственному
или несобственному) тогда и только тогда, когда Xp.v = l (/пео
. рема Чевы).'
Пример 6. Доказать, что если окружность, вписанная в треу-
гольник АВС, касается его сторон ВС, С А, АВ - соответственно
в точках Р, Q, Р, то прямые АР, BQ, СР пересекаются вводной
точке.
Решение.
« ЯР р—Ь
р—с
CQ _ Р—с
QA’ р~а
gg _ Р~а
RB>- р.-Ь •
(р = (а + &+с)/2>; а, &, с —длины сторон треугольцдка АВС).
Отсюда
Xpv —	1 +А"4“ О-
39.
- 'Пример 7. На плоскости фиксированы две различные точки А .
и В. Фиксировано действительное число k. Найти геометрическое
место точек М, для каждой из которых
ЛМ2 + МВ2 = £.
Решение. Введем декартову прямоугольную систему коор-
динат. Пусть
-4 = (хь «/О, В = (х2, z/2), Л1 = (х, у).
Применяя формулу для расстояния между двумя точками на
плоскости, получим
(х - Xj)2 + (у - УгУ + (X - Х2)2 + \у - у2)2 = k,
или
(х -	+ (у -	= i - ± [(X, - X,)’ + (у,- у,п
или
МО2 = ~- -±-АВ2,
2	4’
где О —середина отрезка АВ. Из последнего соотношения'следует,
что если k < АВ2/2, то заданное геометрическое место точек пусто.
Если k = AB2/2, то заданное геометрическое место точек состоит
из одной1 точки О — середины отрезка АВ.~ Если k > АВ212, то
заданное геометрическое место точек М является окружностью
с центром- О и радиусом J/2& — АВ212.
Пример 8. На плоскости фиксированы три точки А, В, С.
Фиксировано действительное число k. Найти геометрическое место
точек М, для каждой из которых
MA2 + MB2 + MC2 = k.
Решение. Введем в плоскости треугольника АВС декартову
прямоугольную систему координат. Пусть в этой системе коорди-*
нат
Л = (х1т г/i), В = (х2, г/2), С = (Хз, у3), Л4 = (х, у).
Применяя формулу для расстояния между двумя точками, по- ,
лучим
(X - Xi)2 + (у - yt)2 + (х - Х2)2 + (у - у2)2 + (х - х3)2 + (у - Уз)2 = k
пли
з[(х- *1+*з+*з )2 + (у-	+
+ у 1(*з - х2)2 4- (Уз - Уз)2 + (Xi - х3)2 +
+	~ Уз)* + (х2 - Xi)2 + (уз - z/i)2] = k.
40
Так как	Vi+^+ys— координаты точки G: пересе-
чения медиан треугольника, а
(х3 - х2)2 + (у3 - у2)2 = а2,
(*i - х3)2 4- (z/x - у3)2 = Ь2,
(Х2-Х1)2 + (1/2-«/1)2 = С2,
где а, Ь, с —длины сторон ВС, С А, АВ треугольника АВС, то
последнее соотношение можно переписать так:
MG2 = ~ [36 - (а2 + Ь2+с2)].
Отсюда следует, что если k <(a2 + 62-f-c2)/3, то заданное геомет-
рическое место точек М пусто. Если k— (aa4-62 + c2)/3, то задан-
ное геометрическое место точек' М состоит из одной точки G —
точки пересечения медиан треугольника АВС. Если k >•
>- (а2+й2-|-с2)/3, то заданное геометрическое место точек является
окружностью с центром С и радиусом )/36 —(а2 + 62+с2)/3.
Пример 9. На плоскости фиксированы две различные точки
Сх и С2. Фиксировано действительное число бг-Найти геометри-
ческое место точек М, для каждой из которых
MCl-MCi = k.	,
Решение. Введем декартову прямоугольную систему коор-
динат, принимая СХС2 за ось Ох и середину О отрезка СХС2 за
начало координат. Пусть во введенной системе координат
Сх = (—а, 0), С2 = (а, 0), М = (х, у).
Тогда данное соотношение примет вид
(х4-а)2-р//2 — (х—a)2—y2=k или х=~-
.— это уравнение прямой^, перпендикулярной СХС2 (оси Ох).
Пример 10. Радикальной осью двух неконцентрических окруж-
ностей (Ci, гх) и (С2, г2) называется геометрическое место точек
М, для каждой из которых ее степени относительно этих окруж-
ностей равны между собой. Составить уравнение радикальной
оси окружностей (Сх, гх) и (С2, г2),~ принимая СХС2 за ось Ох,
а середину отрезка СХС2 за начало координат О.
Решение. Сх = (— а, 0), С2 = (а, 0), М = (х, у). Соотношение
стх = а2
или
MCl-rl^MCs2-rl
или
МС1-МС% = г1-г22,
41
принимает вид:
. (х+а)2+у*~ (х — a)2 — y2 = rl —
или
—это прямая, перпендикулярная прямой С±С2 (см. также пре-
дыдущий пример).
Замечание. Рассмотрим построение радикальной оси двух
окружностей в зависимости от различного расположения их друг
относительно друга.
1)	Окружности (Cj) и (С2) пересекаются. Их радикальной
осью будет прямая' I, проходящая через точки Р. и Q их пере-
сечения. В самом деле, степени обеих точек Р и Q относительно
обеих окружностей (Сх) и (С2) равны нулю, а тогда точки Р и Q
принадлежа! радикальной оси этих окружностей, поэтому сама
радикальная ось есть прямая PQ.
2)	Окружности (Cj) и (С2). расположены так, что каждая-из .
них' лежит вне другой. Проведем какую-нибудь из четырем пря-
мых, касающихся данных окружностей; Рк, Qk (k=l, 2, 3, 4) —
точки прикосновения; —отрезки касательных. Пусть точка
Mi,-делит отрезок PkQk пополам: Тогда точка Mk.лежит на. ради-
кальной оси данных окружностей. В самом, деле, MkPk = MkQk-=
— k, где k — степень точки Мк относительно рбеих окружностей.
Таким образом, середины четырех отрезков PkQk общих каса-
тельных к окружностям (Сх) и (С2), ограниченные точками касания
Pk И Qk, лежат на радикальной, оси этих окружностей. Для
построения радикальной оси достаточно построить две из точек
Mlt М2, М3, М4 или даже одну (и опустить затем из нее перпен-
дикуляр на линию центров С]С2).
Замечание. Если неконцентрические окружности (Сг) и (С2)
не пересекаются, то их радикальная ось не имеет общих точек
ни с одной из них. В самом деле, предположим, что р'адикальная
ось I окружностей (С4) и (С2) имеет общую точку А с окружностью
(Cj). Тогда степень точки А относительно окружности (Сх) равна
нулю, а так как точка А лежит на радикальной оси окружностей' *'
(С4) и (С2), то степень точки А относительно окружности (С2)
также' равна нулю и потому точка А лежит и на окружности (С2),.
Мы получили противоречие: окружности (Сх) и (С2) имеют общую
точку Ал вопреки предположению.
Читателю предлагается доказать более сильное утверждение:*
если каждая из окружностей (Сх), (С2) лежит вне другой, то-
окружности-* (Cj) и (С2) л.ежат по разные-стороны-от их-радикаль-
ной оси, а если одна из окружностей (Ci), (С2) вложена внутрь
другой (см. ниже), то окружности (Сх) и (С2) лежат по одну сто-
рону от их радикальной оси (речь все время идет о двух некон-
центрических окружностях (С?) и (С2)>.
3)	Окружность (Ci), нулевая (точка .С2) лежит вне окружности
(С2). Строим касательныё CiT'i н СгТ2, проведенные из точки Сх
42* -
к окружности (С2) (Т1 и Та —точки касания). Пусть ЛГХ и М2—
середины отрезков. CiTj и С2Т2-, прямая Mj,M2 —.радикальная -ось
окружностей (С2) и (Сх). Можно было бы построить одну каса-
телЬную CjTi, радикальная ось-есть прямая, ^проходящая через
середину Mi отрезка CiTi перпендикулярно- прямой- СХС2.
• 4) Окружности (Сх) и ,(С2)—нулевые. Их ^радикальная-ось
есть медиатриса отрезка СХС2.
5) Окружности (Сх) и (С2) ненулевые и касаются..Друг.друга
внешним образом или внутренним образом. Их радикальной.осью
является -касательная I-в их -.общей-точке Т. В .самом , деле, сте-
пени любой точки <М, лежащей на касательной I, относительно
обеих окружностей (Сх) и -равны МТ2, т. е..равны между
собой.
< .6) Нулевая, окружность (CJ «лежит» на ненулевойокружности
(С2). .Радикальной осью этих окружностей является .-касательная
к* окружности (С2) в точке, Сх. -В самом < деле, точка- Сх принад-
лежит радикальной-.оси, -так как ее степени-, относительно (Сх) и
(Справны-нулю,-а кроме-того,„радикальная ось перпендикулярна
прямой СХС2 (можно,рассуждать;и-иначе).
7)	Окружность (Сх) — нулевая, окружность (С2)— ненулевая, и
точка Сх_лежит~внутри окружностй(С2),цричем Сх.с# С2. Построим
какую-нибудь окружность» (С), .касающуюся прямой СхС2гв точке
Сх и пересекающей окружность. (С2) в точках А и-В. Тогда (Пря-
мая АВ -пересекает прямую СХС2. в точке.Р, лежащей,-на .ради-
кальной оси окружностей ,(СЛ) и (С2). В самом :.деле, степень
точки Р относительно окружности (С2) равна РА-РВ. Но это
произведение равно PCI, т. е. степени точки Р относительно
нулевой окружности (Сх). Радикальной осью окружностей (Сх) и
(С2) является прямая, проходящая через точку Р перпендикулярно
прямой СХС2.
8)	Неконцентрические окружности (Сх) и (С2)—ненулевые и
окружность (Сх) сложена внутрь, окружности (С2). Построим
какую-нибудь окружность (С), которая пересечет окружность (Сх)
в точках А и В, а окружность (С2) в точках А' и В'. Пусть
Р — точка' пересечения прямых АВ и А'В'. Тогда точка Р при-
надлежит радикальной оси окружностей (Сх) и (С2), так как ее
степени а — (РА, РВ) и о' =АРА', ’РВ') относителъно-окружностей
(Сх) и (С2) равны между собой: (РА, РВ) =^-(РА','РВ') —это сте-
пень точки Р относительно окружности {С). Радикальной, осью I
окружностей'(Сх) и (С2)-является прямая, проходящая через точку
Р перпендикулярно прямой-CjC2.
. ;Пример 11. На плоскости' фиксированы две различные точки
А и В.'Фиксировано положительное число k, не равное 1.
1°. Доказать, что геометрическое место точек Л4,_для каждой
из которых выполняется равенство
" МВ
-43
есть окружность (Cft)х), центр Ск которой лежит на прямой АВ.
Введем декартову прямоугольную систему координат, принимая •
за начало координат середину О отрезка АВ, а прямую АВ за
ось Ох. Найти на оси Ох координату хк центра Ск окружности
(С*), зная координаты — а и а точек А и В (будем считать, что
а >• 0, т. е.' положительное направление оси координат выбрано
от Л к В). Найти также радиус Рк окружности (Ск).
2°. Доказать, что центр С*, окружности (С*) является внеш- J
ней точкой отрезка АВ.
3°. Доказать, что при- любом k (0<^^1) окружность (С*.)
не имеет общих точек с медиатрисой з отрезка АВ: при 0<&<1
окружность (Ск) и'точка А лежат по одну сторону от медиатрисы .
s отрезка АВ (а следовательно, точка В и окружность (Ск) лежат
по разные стороны от s), а приточка А и окружность (Ск)
лежат по разные стороны от s (а следовательно, точка В и окруж-
ность (Ск) лежат по одну сторону от s).
4°. Доказать, что если 0<&<1, то точка А лежит внутри
окружности (Ск), а точка В вне ее. Если же k > 1, то наоборот:
точка А лежит вне окружности (Ск), а точка В внутри этой *
окружности. '	?
5°. Доказать, что окружности (Ckl) и (С*2) (Oc^^l, 0<	:
<А>2=/=1) симметричны относительно медиатрисы s отрезка АВ j
тогда и только, тогда, когда = 1.	’
6°. Пусть Рк и Qh — точки пересечения окружности (Ск) с пря-
мой АВ. Доказать, что упорядоченная четверка точек А, В, Рк,
0к гармоническая, т. е.
~АРk—t AQk ___।	.
7’. Доказать, что если S — произвольная точка медиатрисы s
отрезка АВ, а Т — точка . прикосновения любой (из. двух) каса-
тельной, проведенной из точки S к окружности (Ск), то
ST = SA — SB;
иначе говоря: медиатриса s отрезка АВ является радикальной
осью всех окружностей (Ск) (0<ft#= 1), включая нулевые окруж-
ности А и В.	.
8°. Доказать, что любая из окружностей (S), проходящая через
точки А и В, пересекает ортогонально -все окружности (Ск)
(О <£=#!), т. е. касательные к окружностям (S) и (Ск) в любой
из двух точек их пересечения взаимно перпендикулярны.
!) Окружность, определяемую этим свойством, называют окружностью Апол-
лония. Точки А и В называются. предельными точками или точками Понселе
окружностей (Ск) (если k изменяется от 0 до исключая fe=l, то полу-
чаем семейство окружностей (Ск)).
44
Множество (С*) всех окружностей Аполлония, определяемое
соотношением
МА -k
MB ~R>
где k принимает все положительные значения (в это множество
включается и медиатриса отрезка АВ), называется гиперболическим
пучком окружностей. Точки А и В называются предельными точ-,
ками этого пучка или точками Понселе.
Множество всех окружностей, проходящих через точки А и
В (в это множество включается и прямая АВ), называется эллип-
тическим пучком окружностей, союзным с рассматриваемым гипер-
болическим пучком. Точки А и В называются базисными точками
эллиптического пучка.
Замечание. Гиперболический пучок окружностей можно
определить различными способами (все сформулированные ниже
определения эквивалентны, друг другу).
1)	Гиперболический пучок Г окружностей есть образ семейства
всех концентрических окружностей (О) при инверсии. При этом
пучок прямых с центром О преобразуется в"эллиптический пучок
окружностей Е, союзный с гиперболическим пучком Г. .
2)	Гиперболическим пучком Г окружностей называется мно-
жество всех окружностей с общей радикальной осью, которая
их не пересекает. -
3)	Гиперболическим пучком Г окружностей называется мно-
жество всех окружностей (PQ) с диаметром PQ, где точки Р и Q
гармонически сопряжены с предельными точками А и В (в каче-
стве точек А и В можно, взять две произвольные различные
точки). Множество всех окружностей, проходящих через точки
А и В, образуют при этом эллиптический пучок Е окружностей,
союзный с гиперболическим пучком Г.
4)	Гиперболическим пучком Г окружностей называется сте-
реографическая проекция (см. ниже главу IV) из произвольной
точки сферы множества всех окружностей сферы, плоскости кото-
рых перпендикулярны какому-либо диаметру NS этой' сферы.
При этом проекции А и В точек N и S будут предельными
точками пучка Г, а стереографические проекции множества боль-
ших кругов сферы,-проходящих через точки N и S, -образуют
эллиптический пучок Е окружностей, союзный с пучком Г.
' 5) Гиперболическим пучком Г окружностей с предельными
точками А (— а, 0) и В (а, 0) называется семейство окружностей,
заданное уравнением
А/+рф = 0,
где .	'	
 f == х2+у2 — 2рх 4- а2 = 0,
<p = x2+y2 — 2qx+a2 = 0,	P^=q,
— какие-нибудь две окружности этого семейства (среди чисел 1 и ц
хотя бы одно отлично от нуля).
45
6)	Гиперболический пучок Г окружностей — это множество
окружностей, заданных уравнением
x24-t/2—2р%4-1 =0,
где р —параметр, принимающий все значения, по модулю не пре-
восходящие 1. Тогда союзный с ним эллиптический пучок опре-
деляется уравнением	/
х2 -(-у2 — 2qx —1=0,
где параметр q принимает все действительные значения; фунда-
ментальные точки пучков Г и Е суть (± 1,0).
Существуют и другие определения.
9°. Пусть 0<fe1<.^2<l. Доказать; что окружность (СЛ ) вло-
жена внутрь окружности (С*о). Если же	то окруж-
ность (С*а) вложена внутрь окружности (CAj).
10°. Доказать справедливость следующего способа построения
окружности Аполлония: заданы точки Понселе Л и- В и одна из
точек Л40 окружности Аполлония, не лежащая ни на прямой АВ,'
ни на медиатрисе отрезка АВ; проводим касательную в точке Мо
к окружности (АВМ0). Если С — точка пересечения этой касатель-
ной с прямой АВ, то окружность Аполлония, проходящая через
точку Л40„ есть, окружность с центром С и радиусом СМ0, Рас-
смотреть случай, когда точка Мо лежит на прямой АВ, но отлична
от точек А,. В и середины О отрезка АВ.
11 °.’ Ндйти геометрическое место точек. М., для каждой из
которых	*	’	•
Hi.	где 6<k^l,
Щ. ^<k, где 0<fr=#l.
12°. Доказать, что две. неконцентрические окружности (С') и
(С"), не имеющие общих точек, однозначно определяют гипербо-
лический пучок окружностей, к. которому они принадлежат. Как
построить предельные точки этого пучка? Рассмотрим случай,
когда одна или обе окружности нулевые.
13“.' На плоскости фиксированы две различные точки А и В.
Задана прямая I. Найти на прямой I точки М такие, что отношение
МА
МВ
принимает наибольшее и наименьшее значения. Исследовать во-
прос в зависимости от положения прямой I относительно точек
А и В.
14°. Дана плоскость л и прямая I, пересекающая плоскость
в точке А. Дан угол <р, который прямая I образует с плоскостью
я (й случае, если прямая I не перпендикулярна плоскости л,
q>— это острый угол между прямой Г и ее проекцией V на' пло-
46-
скость л; в случае, если прямая I перпендикулярна плоскостил,
т = 90°). На прямой I фиксирована точка В, отличная от точки А.
v Пусть PQ — произвольный отрезок, лежащий в пространстве.
Проведем через точки Р и Q прямые, коллинеарные прямой I, и
пусть Р' и Q' — точки пересечения этих прямых с плоскостью л.
Отрезок P'Q' называется параллельной проекцией отрезка PQ на
плоскость л по направлению прямой I. Отношение
назовем коэффициентом искажения отрезка PQ при параллельном
его проектировании на плоскость л по направленйю прямой I
(ниже мы будем писать просто — коэффициент искажения, так как
в этой задаче рассматривается параллельное проектирование только
на плоскость л по направлению прямой I).
Пусть фиксировано положительное число k. Найти на плос-
кости л геометрическое место точек М, каждая из которых.обла-
дает следующим свойством: коэффициент искажения любого нену-
левого отрезка, лежащего на прямой ВМ, равен k.
Решение. 1°. А = (—а, 0), В = (а, 0), М = (х,,у). Применяя
формулу для расстояния между двумя точками, получим
/(Х4-а)2 + у2
Y(X-ay+yi
ИЛИ
(	^+1\2 а 4<да
а £2_1 ) +.У — (Л2_1)2 *
— это уравнение окружности с центром в точке'С* (л*, 0), где
и радиусом
<	п __
|fe2 — 1 | *
2°. Из равенства
z - Xk—a-^z\ •
следует, что | >а.
3°. Если бы окружность (С*) имела с медиатрисой отрезка'ЛВ
хотя бы одну общую точку Л10', то ;для этой точки мы имели-бы
ЛМ
. 1 мйв ~R>
что противоречит условию Если 0<£<1, то =
следовательно* точки С* и А лежат по одну сторону от медиатрисы
отрезка АВ, а значит, по одну сторону от этой медиатрисы лежат
точка А и окружность (С*)- Если k > 1, то х*>0, следовательно,
точки В и С* лежат по одну сторону от медиатрисы отрезка АВ,
а так как окружность (СА) не имеет общих точек с этой медиат-
47
рясой, то точка В и окружность (С*) лежат по одну сторону от
медиатрисы отрезка АВ.
4°. Степень точки А относительно окружности (Cfc) равна
_( п	4а2*2 _ 4а№
А~ \	.“*2-17	(*2—1)8 — *2-1 •
Если 0<*<1, то Од<0, т. е. точка Л лежит внутри окруж-
ности (С*), а значит, точка В лежит вне окружности (С*), так
как точки А и В лежат по разные стороны от медиатрисы s
отрезка АВ, а точка А и окружность (Ск) лежат (при 0<*<1)
по одну сторону от медиатрисы отрезка АВ, если *>1, то
Од>0 и А лежит вне (Cft).
Степень <тд точки В относительно окружности (С*) равна
„	„ *24-1 \2 • 4а2*2	4а2
ов — \а а	—
Еслц_0 < * < 1, то а если k>l, то ов<0-
5°. Докажем, что если 0<*1<*2<1, то Rk, <zRk,, а если
1 < *г < k2, то Rk, >Rk,-
В самом деле, если ®<zkx<_k2 < 1, то
р р ______ 2aki 2aki ____п (*i—*2) 0+*1^2)
Kkt Kk2 —	l—kl~	’
а если 1 •< kv < *2, to	.	—
p p 2akj 2ak2 .._________nn (*2 *1) 0 4-*1^2) •«_ л
A*,	>А2_!	*|-i ~	(*?-i)(*i-1)
Значит, окружности (Ckl) и (С*2) могут быть симметричными отно-
сительно медиатрисы s отрезка АВ в одном из случаев
0<*i<l<*2,	0 <*2
Оба случая исследуются одинаково. Пусть, например, 0<^*х<^1,
*2> 1; тогда
р ___ 2akt р _____ 2о*2
, Kk2— .
Необходимое условие того, что окружности (С*,) и (С*.) (в случае
симметричны относительно медиатрисы s отрезка АВ-,
состоит в том, что равны их радиусы: .
Rk^Rk.,
 2a*i _ 2а*2
1—*f ~ *| — 1’
k^l — kr — k2 + *f*2 = 0,
(*!+*2) (*х*2-1)= 0,
и так как kl+k2'^>^, то *j*2— 1 =<Х откуда *t*2 = 1. Это условие
и достаточно для того, чтобы окружности (Cfe,) и (Ск1) были сим-
48
етричны относительно медиатрисы з отрезка АВ. В самом деле,
предполагая, что kjk^\, имеем
= 2Я-Ш1 - -x.„
kl 1
следовательно,- точки Ck, и Cki симметричны относительно точки О
или, что то же самое, относительно медиатрисы з отрезка АВ. Но
из условия k^k., = 1 следует, что Rk, = Pk2, значит, и сами окруж-
ности (С*,) и (CfcJ симметричны относительно прямой s.
Замечание. Все сказанное в этом пункте следует и из того,
что данное уравнение эквивалентно следующему: '
мв 1
МА ~ k •
6°. Одна из точек А, В лежит внутри окружности (С*), а дру-
гая вне этой окружности; иначе: одна из точек А, В является
внутренней точкой диаметра окружности	а другая —
внешней. Отсюда следует, что одна из точек Pk, Qh является
внутренней точкой отрезка АВ, а другая — внешней. Отсюда сле-
дует, что числа	s
APk AQk
Pk& * QkB	*
имеют разные знаки. Но модули этих дробей равны k, так как
точки Pk и Qft лежат на окружности (Ск) и, значит, принадлежат
заданному геометрическому месту точек. Таким образом,
АРк , AQk _ !
Р kP Qk&
Итак, точки Рк a Qk гармонически сопряжены относительно точек
А и В.
Обратно, если точки Pk и Qk гармонически сопряжены отно-
сительно пары А, В, то
АР& __ AQk '/_
PkB ~ Q6B I” V r
т. e. точки Pk и Qk принадлежат окружности (Cft) гиперболиче-
ского пучка окружностей с предельными точками А и В (для
указанного значения k). Отсюда следует, что окружностью (С-г)
будет окружность построенная на отрезке PkQk как на
диаметре.
Доказанное положение о том, что А, В, Ph, Qfe — гармоническая
четверка, позволяет дать следующее изящное построение окруж-
ностей Аполлония: через точки А и В проводим две прямые Sj
и % перпендикулярные прямой АВ (рис. 2), и фиксируем на них
точки Sj и S2, отличные соответственно от точек .А и В. Откла-
49

пываем на прямой sx по разные стороны от прямой АВ конгруэнт-
ные отрезки BP'k и BQ'k. Прямые SjP'k и SjQk пересекают пря-
мую АВ в точках Рк и Qfc. Тогда прямые
51Л, StB, SjPk, SjQk
образуют гармоническую четверку. Окружность с диаметром
есть окружность гиперболического. пучка с предельными точками
Л и В.	'
На рис. 3 дан еще один способ построения окружности Апал-
лония: пусть Z — касательная к-окружности Q в точке S; N — точка,
. диаметрально противоположная точке S на окружности Q.
Построим семейство хорд PkQk окружности Q, параллельных
ее диаметру SN. Пусть А'В' — диаметр окружности Q, перпен-
дикулярный диаметру SN, а Л и В —проекции точек Л' и В’ .
на прямую I из точки N. Обозначим чёрез Рк и Q* проекции
точек Рк и Qk на прямую I из точки N. Четверка точек
А, В, Pk, Qk
гармоническая, так как четверка прямых
NA', NB', NP'k, NQk
гармоническая	A'NB' = л/2, a NB' и N А ' — биссектрисы угла
P'kNQ'k). Окружность с диаметром PkQk есть окружность Аполлония
с предельными точками Л и В.
Этот способ построения окружностей Аполлония связан с так
называемой стереографической проекцией сферы на плоскость (эта
проекция применяется при построении географических карт).
7°. Пусть 5(0, Ь) — произвольная точка медиатрисы s отрез-
ка АВ. Так как все точки медиатрисы s отрезка АВ являются
внешними точками окружности. (Cft), то из точки 5 можно провести
две касательные к окружности (Cft). Пусть ST —одна из них,
причем Т —точка касания.
Степень точки S относительно окружности (С*) равна ST2: •
и, следовательно,
ST = V&+& = )/OA2 + OS3 = ВЛ = SB.
Мы видим, что длина отрезка ST не зависит от k, а значит, все
окружности (Ск) и нулевые окружности Л и В имеют общую ради-1
кальную ось — медиатрису s отрезка АВ.
8°. Из доказанного в п. Т*~ следует, что окружность, центром
которой является любая точка S медиатрисы s отрезка АВ,
а радиус равен SЛ = SB, пересекает ортогонально окружность (Ск),
так как ВЛ = SB = ST, где Т — точка прикосновения касательной
(любой из двух) к окружности- (Ск), проведенной из точки S.
51
Рис.


1
Но любая окружность проходящая через точки А- и Д, имеет
иентр на медиатрисе отрезка АВ, а ее радиус равен 5Л = 5Д.
9°. Пусть 0<^1<А2<1. Окружности (Cftl) и (Скг не имеют
обших точек при kk=/=kz, так как если бы они имели общую
точку Мо, то выполнялось бы соотношение
. _ М0А _ ,
МрВ ~
«то неверно (kk^=k^. Точка А в случае	лежит
внутри Как окружности (Cfel), так „и окружности (Ск1), а так как
эти окружности не имеют общих точек, то одна из них вложена
-внутрь другой. Но в случае 01 имеем
(см. п. 5°), значит, окружность (С*,) вложена внутрь окруж-
ности (Скг).
Если же 1 <Z kr<^k2, то точка В лежит внутри окружностей (Cfcl)
и (С*,) (см. п. 4е), окружности (С*,) и (С*2) не имеют общих точек
и Rk,'>Rk2 (см. п. 5°), значит, окружность (Скг) вложена внутрь
окружности (С*,).
10°. 1) Построим окружность (ЛДЛГ0). Окружность (Ск) Апол-
лония по доказанному в п. 8° должна пересекать (в точке Л40)
ортогонально эту окружность (АВМа). Поэтому радиус окруж- -
ности (Ск) будет лежать на касательной к окружности (АВМ0)
в точке Мо. С другой стороны, центр Ск окружности (Ск) лежит 6
на прямой АВ, поэтому центр Ск окружности (Ск) есть точка
пересечения прямой АВ с касательной к окружности (АВМ0)
в точке Мо. -Значение k, соответствующее окружности (Ск), равно
. 1 МрА .
R~ МрВ’
так как точка Мо лежит на окружности (С\);
2) Если точка Л40 лежит на прямой АВ, но отлична от точек Л,
В, О, то это одна из точек Рк, Qk пересечения окружности (Ск)
с этой прямой. Другая точка No пересечения окружности (Ск)
с прямой АВ находится из соотношения
,(ЛВМЛ0) = -1.
Отсюда
(О7И0, ONp) = a\
где О —• середина отрезка АВ; точка No является образом точки Мп
при инверсии относительно окружности (АВ), построенной на
отрезке АВ как на диаметре.'
Построение точки No дано на рис. 4 и 5: точка АГ0 принад-
лежит окружности Аполлония, проходящей через точку А40, так -
как из соотношения
(ОМ0, ON0)=a*
53
следует, что
(ABM0N0) = —l, .
вЖ7 — "ЭК'
Построение точки No, гармонически сопряженной с точкой 7И0
относительно А, В, может быть осуществлено и многими другими
способами (без применения инверсии).
Если на плоскости задана прямая, параллельная прямой АВ,
то такое построение -может гбыть выполнено даже при помощи
одной линейки.
ГГ. Неравенство /
МА '
или
МА2 — k2MB2>0,
эквивалентно следующему:
(1 - k2) х2 + (1 - k2) у2 +'2а (1 + k2) х+й2 (1 - /г2) > 0.
.Если 0<Л<1, то, поделив левую часть этого уравнения на
1 —k2 и.преобразуя, .получим ...
( fe24-l \2 . ,	4а№ . Л
\х а £2_1 ) + У	(fe2_i)2 >0. '
Этому неравенству удовлетворяют координаты всех точек -(х, у),
лежащих вне окружности (Cfe).
Если k > 1, то получаем
\х 9 у) 4*2 „др •по-
этому неравенству удовлетворяют координаты всех точек, лежа-
щих внутри окружности (Cft).
Аналогично доказывается, что при	неравенству
-54	•
удовлетворяют все- точки- М, лежащие внутри окружности* (С*),
а-. при'&> 1 —все-точки, лежащие вне окружности (С*)_
12°. Пусть s —радикальная ось окружностей (С') и (С"),
а о— точка, в’ которой эта радикальная ось пересекает прямую
С'С центров' данных окружностей. Обозначим через Р&, Q'k, Pk,
QI соответственно точки пересечения окружностей (С") и (С")
с прямой С'С". Так как'точка О лежит , на радикальной оси
окружностей (С') и (С"), то Степени ее относительно этих окруж-
ностей равны между собой:	__
а = (б?ъ O$k) = (pP'k, OQi)
(эти степени положительны, так как радикальная ось не пересе-
кает данные окружности и, следовательно, точка О лежит вне, этих
окружностей).
Построим на прямой СС" точки А и В, отстоящие от точки
О на расстояние ]Лт. Тогда
ол2=ов2=(pp'k, б&)=(OPL б&)=о.
Из этих, соотношений следует, что
(ЛВР^)=—1,' (лврад=-1,
т. е. (С') и (С") — окружности Аполлония для значений Л, равных
_ PkA _ QkA _ PkA __ QfeA
P'kB QkB^’	PkB ~ QkB.'
13“. Построим медиатрису s отрезка AB. Предположим, что
прямая I пересекает эту медиатрису, но не проходит через точки
А и В (случай 1) см. на рис. 6). Пусть В—точка пересечения
прямых /и s. Построим окружность с центром В и радиусом ВЛ;
она пересечет прямую I в двух точках Afx и ТИ2. Проведем каса-
тельную к построенной окружности в точке Mi. Пусть Рг — точка
пересечения этой касательной с прямой АВ. Построим окружность
с центром в точке Рг и радиусом .Рх-Мр Это будет окружность
Аполлония с предельными точками А и В. Значит,
Все точки прямой I лежат вне окружности (С*,), значит, для
-всех точек прямой- I, отличных от точки AL, отношение -4^4-
х	/VID"
будет меньше, k,, т. е. веточке М, отношение 4Й- максимально;
Аналогично-доказывается,- что- это отношение 444- в- точке" Mi
lYLJJ
минимально?	 .
На рис. 6 даны различные положения прямой. I относительно
т°чек Л и В:
55
1)	Прямая I не проходит через точки А и В и ве перпенди-
кулярна .ЛВ: в точке Л^ —максимум (отношения к в точке -
М,—минимум (случай, подробно рассмотренный выше).
2)	Прямая I перпендикулярна АВ, не проходит через точки-
71 и В и расположена по ту сторону от медиатрисьГ отрезка АВ,
где лежит точка В. В точке максимум, минимума нет.
3)	Прямая t перпендикулярна АВ, не проходит через точки
А, В к расположена по ту же сторону от медиатрисы отрезка
АВ, где лежит точка А. В точке Л12 —минимум, максимума нет.
4)	Прямая I проходит через точку В, но не совпадает с АВ;
в точке Л43 —минимум, максимума нет.
5)	Прямая I проходит через точку А, но не совпадает с АВ;
в точке Л —минимум (отношение в. этом случае равно нулю); >
в точке Mi — максимум.
6)	Прямая I проходит через точку В и перпендикулярна АВ.
Нет ни максимума, ни минимума.
7)	Прямая I проходит через точку А и перпендикулярна АВ.
1 МА АА \
Минимум в точке А (-^3- = ~дв=®)> максимума нет.
8) Прямая I совпадает с прямой АВ. Минимум в точке ’
л / МА. п\
(АЙГ^0/’ максимума нет.
56
14° Геометрическое место точек М на плоскости л находится
из условия	МА 
-MB=k-
„ геометрическое место точек М в пространстве является сфе-
S Аполлония с предельными точками А и В. Если 0<й< 1,
то сфера S содержит внутри себя точку А, а так как точка А
лежит на плоскости л, то сфера S и плоскость л Пересекаются
по окружности о, которая и является искомым геометрическим
местом точек М. Если же k>\, то сфера S содержит внутри
себя точку В и здесь возможны три случая: либо эта сфера пере-
секает плоскость л, либо касается плоскости л? либо не имеет
с плоскостью л ни одной общей точки. Исследуем эти случаи.
Введем на прямой ДВ положительное направление от точки А
к точке В. Тогда
АР=-^гЛВ,
где р —центр сферы S. Расстояние d от центра Р сферы S до
плоскости л будет равно
d = ——ГДВ sin <р.
Сфера S будет пересекать плоскость л тогда и только тогда,
когда ее радиус .
будет больше d:	—
или
sin<p< 1/k.
При выполнении этого условия сфера S пересекает плоскость л
по окружности о, которая и является геометрическим местом .
точек /И.
Если sin<p = l/&, то сфера 5 касается плоскости л в точкё М,
являющейся искомым геометрическим местом точек (эта точка М
совпадает с точкой А только тогда, когда ср = л/2).
Если, наконец, sin<p>*l/&, то сфера 5 и плоскость л не
пересекаются и искомое геометрическое место точек М пусто.
§ 2. Применение аналитической геометрии
(примеры с указаниями и ответами)
'	1. ПЛАНИМЕТРИЯ
д На плоскости фиксированы две различные точки А и В.
чекН<ллДе^Ствительног число Найти геометрическое место то-
для каждой из которых
2MA2 + 3MB2 = k.
57 '
Ответ. Если- k < у АВ2; то заданное геометрическое место
точек М пусто; если k = ^AB2, то заданное геометрическое
место точек состоит из одной точки Р, делящей,направленный
отрезок АВ в отношении 3/2: „
АР _ з.
РВ ~ 2 ’
если k > у АВ2, то заданное геометрическое место точек , М
является окружностью с центром в . точке Р и радиусом R '—
= -^У5_/г-6АВ2.
2. На плоскости фиксированы две различные точки А и В,
Фиксировано действительное число k. Найти геометрическое место
точек М, для каждой из которых
2MA2-3MB2=k.
Ответ: Если k>6AB2, то заданное геометрическое место
точек М пусто; если k = ЗАВ2, то -заданное геометрическое место
точек М состоит из одной точки Р,делящей направленный отре-
зок АВ в отношении —3/2:
ДР = _ з_.
РВ ~	2 ’
если k <6 АВ2, то заданное геометрическое место точек М
является’окружностью с центром Р и радиусом Р = УЗАВ2 — k.
3. На плоскости фиксированы три; точки А, В, С. Найти гео-
метрическое место точек М, для каждой из которых
МА2 + МВ2 = МС2.
Указание. Ввести декартову прямоугольную систему коорди-
нат.
Ответ. Если угол С треугольника АВС тупой, то заданное
геометрическое место точек пусто; если С = л/2, то заданное гео-
метрическое место точек М состоит из одной точки D, симметрич-
ной точке С относительно середины отрезка АВ; если С —острый
угол, то заданное геометрическое место точек является окруж-
ностью с центром D и радиусом ]/й2 + &2 —с2 (а, Ь, с —длины
сторон треугольника АВС).
4; Биссектриса внутреннего угла А треугольника АВС делит
сторону ВС на отрезки BD = 4, DC — 2. Найти длины сторон АВ
и АС, зная, что они выражаются  целыми числами и что высота,
опущенная из-вершины Л на-сторону ВС, больше ]Л10.
Решение. По условию.биссектриса AD делит сторону ВС
на отрезки длиной 4 и 2, следовательно-, . BD/DC = 2,. т. е.
АВ[АС = 2. Геометрическим.'местом точек Л, для которых выпол-
няется это соотношение,:является .окружность Аполлония с ра- -
-диусом
п__ 2а&
Л'“! |*3—1 | ’
где 2а = GB — 6, k =в2, т. е..> Р —	=4, с центром’ Р, лежащим
На прямой ВС и имеющим координату
 ®-“ет“з4-5’
где О —середина отрезка ВС. Если-ввести- декартову прямоуголь-
ную систему координат; принимая.ВС. за ось Ох, а середину О
отрезка ВС за начало координат, то уравнение окружности (Р, 4)
примет вид
{х --=Д)2 4-т?2 =46.
Рассмотрим прямуюу —3.. :;Эта ч прямая .’пересекает г окружность
(Р, 4) в - точках - Aj (5 -i ]Л7,-3), SAf(5-^^7, 3)ХОгсюда rAtC =
= ]/2°-4}<7\<3,1, А2С=)/20.+4]/’7.>5,5. Так как АН>
> ]Л10 > 3, то точка 'А «должна ’ лежать на меньшей ' дуге4А{А2
окружности (Р, 4); А^С ,<.АС <z A2C, значит, 3,1 < АС<5,5, и
так как по условию-задачи гдлина Л4С’ должна выражаться целым
числом, то АС —4, тогда АВ = 8, или АС = 5 и АВ = 10.
Дополнительные- вопросы’.. Предположим, х что биссектриса AD
внутреннего угла А треугольника АВС делит сторону ВС на
отрезки ВП = 4,.-DC = 2.
а)	Каково- максимальное’значение"высоты АН?‘{Ответ. 4.)
б)	В каких пределах изменяются =длины? сторон АВ и'!АС?
(Ответ. 2<AC <B,1'.4‘<<AB-<Z12.)
в)	Доказать, что-АС-и-‘АВг возрастают, если точкаЗА описывает
-АВ
окружность Аполлония -дс- = 2 от точки D до точки, ей диамет-
рально противоположной.
г)	Доказать, что длина AD биссектрисы. угла.-А -изменяется
• от 0 до 8.	.	.
г)	Дана медиана т, выходящая из ЗА.- При каком необходи-
мом и достаточном ^условии существует треугольник- .с. данными
BD = 4, DC = 2, m? Как построить этот треугольник?, (Ответ.
1 < /п <?9.)
, 5, Найти ~6бразы"окружностей Аполлония ;*(см.‘ пример 11)
f *2-4-1 \2 . , 4a2F
\Х а k^—	(k2— 1>а
при инверсии / = (А, АВ2):
у ]	1	____
л.-г и — на ..(Л+а^Г2 >
- У ~ 4й“-	грцгуа *

Во что переходят при этой инверсии окружности эллиптичес-
кого пучка, союзного с рассматриваемым гиперболическим пучком?
Ответ. (Г'): (X—а)2 + У2 = (2a/fe)2 —это семейство концентри-
ческих окружностей (C'k) с общим центром В (а, 0), радиус окруж-
ности (С*) равен 2а/k. Окружность Е эллиптического пучка,
союзного с -пучком Г,- с центром в точке S (0, s) перейдет в ради-
кальную ось окружности Е и окружности инверсии, т. е. в прямую
a(X-a) + sY = 0.	(Е')
6.	Доказать, что уравнения
х®-|-//2 —2рх4-а2 = 0,	•. '
х2+у2 — 2qy — а2 = 0,
где а —фиксированное положительное число, р и q — действитель-
ные параметры, являются соответственно уравнениями гиперболи-
ческого пучка окружностей и союзного с ним эллиптического
пучка окружностей. Каковы фундаментальные точки этих пучков?
В какие линии переходят окружности Г и Е при-инверсии / =
— (А, 4а2), где Д=( — а, 0).	.	7
Ответ. Фундаментальные точки А (— а, 0) и В (а, 0). При
инверсии 1 = (А, 4а2) окружность Г переходит в окружность
,(Х-а)2 + У2 = 4а2^-
с центром в точке В (а, 0) и радиусом R' = 2aj/-Заметим,
что только при следующих значениях параметра р: р<— а и
р^а уравнение Г есть уравнение действительной окружности. -
При той же инверсии окружность Е переходит в прямую
а(Х — a)+pY = 0, проходящую через точку В (а, 0); это —ради-
кальная ось окружностии окружности инверсии.^
Если рассматривать окружность Г как окружность Аполлония,,
fc2+l ~ р—а 1
то k и р связаны соотношением р = а ‘ . Отсюда —;— и,
г	г	к2 — 1	- р+a	к2
значит, R' = 2атЛ~.
г р+а k
7.	Доказать, что если
f = x2-f-y2 —2р1х-|-а2==0,	<р = х2-|-1/2 — 2р2^+а2 = 0
- две различные окружности гиперболического пучка (рг р2) с
предельными точками (±а, 0), то всякая окружность этого пуч-
ка может быть задана уравнением
л/+рф=о,
где X и р — числа. Обратно, при любых X и р, из которых хотя бь!
одно отлично от нуля, уравнение Xf 4- р<р = 0 есть уравненйё
-окружности гиперболического пучка (при X = — р =/=. 0 — уравне-
ние медиатрисы отрезка, ограниченного предельными точками).
60
Рассмотреть частный случай f = x2-\-y2, <р = х — а.
8.	Сформулировать и доказать аналогичное положение для
двух' различных окружностей.
f^x2+y2 — 2q1y — a2 = Q, q>=x2+y2-2q2y — a2 = Q
эллиптического пучка Е.	. х
9.	Пусть М — произвольная точка плоскости. Доказать, что .
разность степеней точки М относительно окружностей (О) и (О').
с центрами О “и О' равна 2(00', КМ), где К —ортогональная
проекция точки М на радикальную ось окружностей (О) и (О').
10.	AAi и BBi — медианы треугольника АВС-, ССХ — его высота.
Прямые АА1г ВВ1г ССХ образуют треугольник Л2В2С2. Найти
отношение	*
~Jbc ’
'	(ct;?B-ctg4)2
0/иве/”'3(2ctgB+ctg/)(ctgB4-2ctg4)’
11.	А', В' С' —основания биссектрис, внутренних углов тре-
угольника АВС. Зная длины а, Ь, с сторон ВС, СА, АВ тре-
угольника АВС, найти отношение
А'В'С’’	
АВС ’
„	,	 ' ЧаЬс
Ответ.	,—г-.—г-гг.	. -
(Z>+c)(c+a)(a + Z>)
12.	А', В' С' —точки касание окружности, вписанной в. тре-
угольник АВС со. сторонами ВС, С А, АВ. Доказать, что
-- 'АгВ7(?_г_
ABC ~ 2R *
13.	Л',В',С'— основания высот треугольника АВС. Даны углы
-Л, В, С этого треугольника. Найти_отношение
~А7В'С}
АВС ’	’
При каком необходимом и достаточном условии А'В'С ЛВС?
Ответ. 2 cos Л cos В cos С; А'В'С1 АВС тогда и только
тогда, когда треугольник ЛВС тупоугольный.
14.	На плоскости даны три окружности _(Л), (В), (С), каждая
из которых лежит вне двух других. Пусть Р, Q, R — центры
внутреннего подобия пар (В), (С); (С), (Л); (Л); (В). Найти
PQR
АВС
р”ая’ ^то ^радиусы окружностей (Л), (В), (С) соответственно
61
Ответ _________2KiK2k3_______
v/neem. {R£.+r-} (Rs+.Ri} (дг+я2)•.
15.	Дан треугольник ABC. Через точку D, лежащую на при*
мой ВС,. проведены прямые DP и DQ, соответственно- параллель-
ные прямым АВ и АС. Доказать, что DQC4-PBD'=0.
16.	. Через-произвольную точку,, лежащую внутри треугольника
z АВС,- проведены, прямые,, параллельные его сторонам. Эти пря-
мые делят треугольник АВС на шесть частей, из которых три —
треугольники с площадями Si, S2, S3. Найти площадь треугольника
ЛВС. _	_
Ответ.. CKSi + ]/S^ -f- ]/S3)2;
17^ Пусть* Л", В", С" —точки, симметричные-вершинам Л, В, С
треугольника АВС относительно оснований биссектрис*его вну^
тренних углов. Даны длины-а, Ь,- с сторон ВС, С А, АВ тре-
' угольника ЛВС. Вычислить отношение
А”ВХГ	!
' ЛВС i
Ответ-. З+уг у	, м.-
(Z> + c)(c+a)(a-f-Z>). _
18.	Прямая (а также ее отрезок внутри треугольника); сим»-
метричная медиане относительно биссектрисы внутреннего угла,
выходящей из той же вершины,.называется симедианой треуголь-
ника. Даны длины cub сторон АВ и АС треугольника ЛВС.
В каком отношении симедиана, выходящая из вершины Л? делит
направленный*1 отрезок* ВС?* Доказать; что- три симедианы - тре-
угольника.'пересекаются в. одной/.точке' (точка-, fl емшана).
С2
Ответ, -г*.
19.	Построить симедиану> прямоугольного треугольника, выхо-
дящую из вершины прямого угла.
Ответ. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла
на гипотенузу.'
20.	Выразить через длины^ а, Ь, с сторон ВС, С А, АВ тре-:
угольника ЛВС площадь треугольника PQR, где^Р, Q, 2? —про-,
екции центра-тяжести треугольника G на его стороны.
Ответ.	где S —площадь треугольника ЛВС.
21.	Биссектрисы внутренних углов треугольника ЛВС пере^,-
секают-противоположные его стороны,ВС,.СЛ,,‘ЛВ. соответственно:
в точках Л', В', С'. Точки А", В", С" симметричны точкам Л', В', C'J
по отношению к соответствующим вершинам Л, В, С трруголь-.;
ника ЛВС. Даны длины а, Ь, с сторон треугольника АВС;
Найти отношение	*
A’S’C"	'
• ЛВС	. 1
ОтКт- 6 + (t+e)(ya)(n+i).	 J
22.	Пусть М и N — середины медиан BD и СЕ треугольника
АВС. Площадь треугольника .АВС равна S. Вычислить площадь
четырехугольника BMNC.
Ответ. -yg-S.
23.	Прямые АО, ВО и СО пересекают стороньгВС, С А, АВ
треугольника АВС соответственно в точках Р, Q, ~Р. Доказать,
что
op . - g I _1
АР + BQ + CR
24.	Даны две прямые I ит, лежащие на ориентированной
плоскости и пересекающиеся в точке А. ‘Через произвольную
точку О, не .лежащую ни на прямой .1, ни на прямой т, прово-
дится прямая п, пересекающая прямые / и т соответственно
в точках. В и С. Доказать, что сумма
ОАВ ОСА
не зависит от выбора, прямой п.
25.	Через вершину А параллелограмма’/ABCD проводится
произвольная прямая,-которая пересекает.диагональ ВОв; точке Е,
а прямые ВС и CD соответственно в точках Е' -и G. Доказать,
что отрезок АЕ есть среднее пропорциональное между отрезками
EF и EG.
26.	Пусть а, 0, у —точки, симметричные .какой-нибудь одной
и той же точке О относительно середин сторон ВС, С А, АВ
треугольника .АВС. Доказать, что прямые Аа, В0 и Су прохо-
дят через одну и ту же точку Р. Доказать также, что если
точка О описывает какую-нибудь линию Г, то точка Р.описывает
линию Г', гомотетичную линии Г. Где находится центр гомоте-
тии? Чему равен коэффициент гомотетии?
Ответ. .Центр гомотетии находится в центре .тяжести М тре-
угольника АВС-,
МО -2
27.	Прямая / • пересекает стороны ВС, С А, АВ треугольника
АВС соответственно в точках а, .0; у. .Пусть а',0',у'—точки,
симметричные точкам а, .0, у .’соответственно относительно сере-
дин сторон ВС, СА, АВ. Доказать, что точки а', .0', у' лежат
х на одной прямой.
28.	Пусть А'В'С — треугольник, который -получается, ;если
через каждую вершину треугольника АВС провести прямую,
параллельную противоположной сторойе; а, 0, -у—точки, эвзятые
Ответственно на сторонах ВС, СА, АВ. Доказать,' что (если
прямые Аа, В0, Су проходят через ;рдну точку, то и прямые
А а, В'0, С-у также проходят через одну точку.
29.	Через середину каждой .диагонали ^выпуклого четырех-
угольника проведена прямая, параллельная другой диагонали.
.	-	•	:«вз
Точка пересечения проведенных прямых, соединена с серединами
сторон .данного четырехугольника. Доказать, что четырехуголь-
ник разбивается на равновеликие части.	-___
30.	Точки Р и Q делят направленные стороны ВС и СА тре-
угольника АВС в данных, отношениях X и'р. Пусть прямые
АР и BQ пересекаются в точке О. Найти отношения:
пЗ^.. 2)^?-* 3)** ‘
’ "АВС ’ ~АВС ’	’ АВС '
- Ответ. 1)	2) (1 +Х)(1 _£Х + Л(1); 3)	‘
31.	Некоторая точка О находится в плоскости параллело-
грамма ABCD (АС и BD —диагонали). Доказать, что:
1°. -Если точка О находится внутри параллелограмма ABCD,
то сумма площадей треугольников ОАВ и OCD равна сумме пло-
щадей треугольников ОВС и. ODA.
2°. Где бы в плоскости параллелограмма ABCD ни находи-
лась точка О, треугольник О АС равновелик или сумме или1 раз-
ности треугольников ОАВ и 0AD.	___
32.	На сторонах ВС, СА и АВ треугольника АВС взяты
-точки А', В', С'. Пусть А1г Въ СЛ и Л2, В2, С2 —образы точек
А, В, С соответственно при гомотетиях с одним и тем же коэф-
фициентом гомотетии и с центрами гомотетий в точках С', А’, В'
и В', С, А'. Доказать, что треугольники Л1В1С2 и Л2В2С2 имеют
один и тот же центр тяжести. .
' 33. Пусть Мг и М2 —две произвольные точки, лежащие на
стороне ВС треугольника ABC, a N — произвольная точка, лежа-
щая на стороне АВ. Обозначим точки пересечения прямых NM±
и NM2 со стороной АС Перез й Р2, а точки пересечения пря-
мых РМг и РМ2, где Р — произвольная точка прямой АС, со сто-
роной АВ через и Q2. Доказать, что прямые ВС, Рг02 и Qt/?2
принадлежат одному пучку.
34.	Пусть Р и Q — две точки, лежащие в плоскости треуголь-
ника ABC; AiB^x и А2В2С2 — треугольники, симметричные тре-
угольнику АВС соответственно относительно точек Р и Q. Пусть
а, 0, у — точки пересечения прямых АгА2, BlB2, СХС2 соответ-
ственно с прямыми ВС, СА, АВ. Доказать, что^точки а, 0, у
коллинеарны (рис. 7).	,	—~~
Доказательство. Пусть а', 0', у'—точки пересечения
прямых Ла, В₽, Су с прямой PQ. Тогда а', 0', у'—середины
отрезков - Ла,' В0, Су; эти точки лежат на сторонах треугольг
ника А1В'С', где Л',. В', С'— соответственно, середины сторон
ВС, С А, АВ. При гомотетии (О, — 2), где G —точка пересечения
медиан треугольника ЛВС, точки а', 0', у' перейдут в точки
а", 0", у", также лежащие на одной прямой и соответственно на пря-
мых ВС, СА, АВ. При этом Са — 2В’а\ Ва" = 2В'а' и, значит,
64
откуда	; .
Ва ' Са* '	.
аС а?В
И аналогично длй двух других сторон. Так ка'к точки а", (Г, у’ -
коллинеарны, то	_
Са" AfF By" !
а"В р’С у"А ~	'
и, значит,	, •.
Ва СР Ау________ ।	"	„
а(Г М уВ ~
следовательно', точки , а, р, у также коллинеарны. •
Рас. 7.
35.	Пусть прямые А и А' пересекают стороны, треугольника
АВС соответственно в точках Аи В1г Сх (прямая А) и Л(, В{,
м (прямая Д'). Доказать, что прямые ЛхВь, СХЛ1 -пересе-
вают соответственно-прямые АВ, ВС, СА в точках Р3, Р1г Р2,
лежащих на одной прямой, а прямые AiBlt BiClt С(ЛХ пересе-
кают прямые АВ, ВС, С А соответственно в точках Q3, Qt, Q,,
3 П. С. Моденов	4G5
также лежащих на одной прямой.. Прямые РХР2Р3 и QiQ2Q3 называ-
ются брокардианами прямых Д и Д' относительно треугольника АВС.
36.	Даны длины а, Ь, с сторон ВС, С А, АВ треугольника АВС.
Через точку С проведена биссектриса СС0 внутреннего угла С.
Через точку А проведена медиана ЛЛ0 к стороне ВС, а через
точку В проведена высота ВВ0 к стороне СА. Проведенные пря-
мые образуют треугольник А^В^. Найти отношение
Л1В1С1
’ ~АВС ’
Пт/грт	[6 (а2	й8—са)—а (62+ с2—а2)]2
ипюип.	&3 _ bcl + 2aj2) (_ ач. _|_ 3*2 + С2) (а+26) *
37.	Пусть Aj^BtCi и А2В2С2 — треугольники, являющиеся обра-
зами треугольника АВС при гомотетиях (Р, k), (Q, k). Обозна-
чим через а, р, у точки пересечения прямых AiA2, В]В2, СХС2
соответственно с прямыми ВС, С А, АВ. Найти отношение
«Ру
АВС ’
Ответ. — k(k+l).
38.	-Доказать, что если три диагонали шестиугольника (не обя-
зательно выпуклого) имеют общую середину, то любые две его
противоположные стороны параллельны.
39.	Из произвольной точки А1г лежащей на стороне ВС тре-
угольника АВС, проводится прямая AtBlt параллельная В А,
до пересечения с С А в‘точке затем проводится прямая В^,
параллельная ВС, до пересечения с прямой АВ в точке Ct и,
наконец, проводится прямая CjA^, параллельная ЛС/др пересе-
чения с прямой ВС в точке Л2. Доказать, что если Л^ —середина
отрезка ВС, то точки Л! и Л2 совпадают. В противном случае
продолжим этот процесс, т. е. проведем прямую Л2В2 парал-
лельно ВА, прямую В2С2 параллельно СВ и прямую С2А3 парал-
лельно АС. Доказать, что путь замкнется, т. е. точка Л3 совпа-
дает с точкой Лх.
40.	Соединим вершины Л, В, С, D параллелограмма ABCD
с серединами сторон ВС, CD, DA, АВ так,, что образуется парал-
 лелограмм, лежащий внутри параллелограмма ABCD. Доказать,
что площадь образовавшегося параллелограмма равна 1/5 пло-
щади параллелограмма ABCD. Другой такой параллелограмм
получится, если соединить точки А, В, С, D с серединами сто-
рон CD, DA, АВ, ВС. Доказать, что общая часть этих двух
малых параллелограммов является центрально симметричным
восьмиугольником и имеет площадь, равную 1/6 площади • парал-
лелограмма ABCD.
41.	ABCD — произвольная выпуклая однородная пластинка.
Каждая из сторон четырехугольника ABCD делится на три рав-
ные части: ЛЛ1 = Л1Л2 = А2В, ВВг = ВгВ2 = В2С, CCi = C1C2 — C2D,
DD1 = DlDz=DiA. Прямые A2Blt B2Clt C2Dlt D2At образуют
66	.
параллелограмм. Доказать, что центр тяжести пластинки ABCD
совпадает с точкой пересечения диагоналей этого параллело-
грамма.	~
Указание. Принять диагонали параллелограмма за оси
координат.	„
42.	Относительно общей декартовой системы координат заданы
две точки	у J, М2(х2, у2) и прямая ах + Ьу + с = 0. Дано',
что точки и М2 не лежат на данной прямой и что прямая-
пересекает прямую ах-{-Ьу-}-с = 0 в некоторой точке ЛТ/
Найти отношение X, в котором точка М (х, у) делит отрезок МХМ2.
Г\тает X____0^+_&й+£ Укачянйр X *1 4-Хх2 _У1 + ^Уз.
Ответ, к—	ах^ьуя+с' & казание. х~ _1+х ,у —
эти координаты должны удовлетворять уравнению ах + by + с — 0.
43.	Воспользовавшись результатом предыдущей задачи; дока-
зать, что если прямая I не проходит ни через одну из вершин
треугольника АВС и пересекает его стороны ВС, С А, АВ соот-
ветственно в точках Р, Q, R, то произведение отношений
ь-вр	м- AR
PC r QA RB
в которых точки Р, Q, R делят направленные отрезки ВС, СА,
АВ, равно — 1:
Xpv = — 1.
Указание. Введем в плоскости треугольника АВС общую
декартову систему координат; пусть, в этой системе Л = (хг, у,),
В = (х2, у2), С = (х3, у3) и ах+by -f- с=0 — уравнение прямой I.
Тогда
л_______ох2 4~ Ъу2 4~ с ______ оУз-р&Хз-рс _	tixtA-byt 4~ с
л^з 4” Ьу3 4~ е ’ -	4- bt)i 4- с ’	tyy2 4- с *
Замечание. Верно и обратное положение: ес'ли Xpv = — 1,
то точки Р, Q, R, делящие направленные отрезки ВС, СА, АВ
в отношениях X, р, v, коллинеарны. В самом деле, пусть пря-
мая PQ пересекает прямую АВ в точке R'. Обозначим через v'
отношение, в котором точка R' делит направленный отрезок АВ.
Тогда Xpv' =—1. Отсюда и из равенства Xpv±=— 1 следует, что
v=v', т. е.
AR _ AR’
RB ~ R'B ’
следовательно, точки R и R' совпадают.
44.	Линия второго порядка, заданная уравнением
F (х, y) — ax2-]r2bxy+cy2 + 2dx-[-2ey-}-f = Q,
не проходит ни через одну из вершин треугольника АВС и пере-
секает его стороны ВС, QA, АВ соответственно в точках А,, Л2;
Bi, В2; Сь С2. Доказать, что произведение отношений, в кото-
3*	-	67
• рых точки А1г Д2; Вх, В2; Сх, С2 делят соответственно направ-
ленные отрезки Вб, СА, АВ:
« BAj . ВА2 _ СВХ _ СВ2 _ АСХ АС2
вм ’ М ’	’ V2“ с2в ’
равно 1:
^ЛгШНг'Ух'Уг — 1 •
Обратно: если на сторонах треугольника АВС выбраны точки J
Др Л2 (на стороне ВС), Вх> В2 (на стороне СА), Сх, С2 (на сто-
роне АВ) -и если произведение отношений, в которых эти точки
делят направленные отрезки ВС, С А, АВ, равно 1, то точки i
А1г Д2, Вх, В2, Ср С2 лежат на одной и той -же линии второго 
порядка.
Указание. Числа и
определяются из уравнения
Р	+ ^*2 У1 + htfoX   Z4 .
’ г \ ,1+А, 9 14-А, J -9
где Bfe z/x), С(х2, т/2), или
/Xl + Zx2\2 | пд Х1 + А*2
а 1 + Х
+ 2ё^±^
пли
.. F(х2, tjz)X2+...+F(хх, t/x) = 0.
По теореме Виета
Уд	1
yj	I
и т. д.	|
Доказательство	обратного	утверждения аналогично доказатель- 1
ству, данному	в	замечании	к	примеру 43.	I
: 45.; Пусть алгебраическая линия I порядка п не проходит ни |
через одну из вершин треугольника АВС и пересекает каждую 1
из его сторон ВС, СА, АВ в п точках А1г Bit Ct (i = l, 2, ..., п). 1
Тогда произведение простых отношений	_	•
BAt . СВ( ACt
Afi’ fi]A’ (Ц§
равно (—1)" (теорема Карно). Верно ли обратное положение?
Указание. Доказательство аналогично доказательству, дан-
ному в указании к примеру 44. Обратное положение при п>2,
вообще говоря, неверно.
4G, На плоскости задано т точек Pt (i = l,_ 2, ..., т). Алгеб- ’
раическая линия I порядка п не проходит ни через одну из
точек Pt II пересекает прямые РХР2, Р2Р3, •••> Рт-л.Рт, PmPi
соответственно в п точках
.Д10, Др>, ,..г А?-", А{?.	(1 = 1, 2, ..., т).	\
63	'
Лайти произведение всех простых отношений
- /ЦО) /
‘ Л<Г>Р2’	~
Ответ. (—1)тп (обобщение теоремы Карно; см. пример 45).'
47. Ai, Л2, А3-, Вх, В2, В3, С4, С2, Сз — произвольные точки,
лежащие соответственно на сторонах ВС, СА, АВ треугольника АВС
и являющиеся внутренними- точками "этих сторон. Введем в пло-
скости треугольника АВС общую декартову систему координат.
Так как общее. уравнение линии третьего порядка содержит
10 коэффициентов, то существует линия третьего порядка, про-
ходящая через 9 точек Л/, Вь Ct (i = 1, 2, 3). По теореме Карно
произведение отношений, в которых точки Л;, В,, Ct делят соот-
ветственно ВС, СА', АВ, равно (—1)3=—1, а между тем в.се эти'
отношения положительны и их произведение не может быть
отрицательным. Где ошибка?
X .
2. СТЕРЕОМЕТРИЯ
1.	ЛХЛ2Л3Л4 —произвольный тетраэдр; В1г В2, В3, В4 —центры
тяжести его 'граней Л2Л3Л4, Л1Л3Л4, Л1Л2Л4, А4А2А3; С12, С13,
С14, С23, С24,С34 —середины его ребер Л1Л2, Л1Л3, А4А4, А2А3,
Л2Л4, Л3Л4. Прямые Л1В1, Л2В^р Л3В3, Л4В4 (а также сами эти
отрезки) называются медианами тетраэдра ЛХЛ2Л3Л4. Прямые
Ci2C34, С13С24, С23С14 (а также сами эти отрезки) называются
бимедианами тетраэдра ЛХЛ2Л3Л4.
Доказать, что четыре медианы и три -бимедианы тетраэдра
ЛХЛ2Л3Л4 проходят через одну и' ту же точку G, называемую
центром тяжести тетраэдра ЛХЛ2Л3Л4; при этом, AtG: GBi = 3 :1,
а бимедианы точкой G делятся пополам. Полагая, что радиус-
векторы точек At равны ОЛ/ = гг (i = l, 2; 3, 4), найти радиус-
векторы Гу середин ребер Л;Лу-, радиус-векторы Гу* центров
тяжести граней ЛгЛ7-Л* и радиус-вектор г центра тяжести G.
Ci+fj	rt + q + rk	Г1 + Г2 + Г3 + Г4
Ответ,	rlJk =--+—-, г =-------?------.
2.	Доказать, что шесть плоскостей, проходящих через ребра AtAf/
тетраэдра ЛХ-Л2Л3Л4 и середины противолежащих им ребер, про-
ходят через центр тяжести G тетраэдра А4А2А3А4.
Указание. A{AjCki и ЛлЛ/Су пересекаются по бимедиане CwCy.
3.	Доказать, что шесть плоскостей, проходящих через ребра
тетраэдра и делящие его объём пополам, пересекаются в одной
точке.
4.	О А, ОВ, ОС —ребра параллелепипеда; А', В', С', О' —его
вершины, симметричные вершинам А, В, С, О относительно
Центра этого параллелепипеда. Доказать утверждения:
69
1°. Диагональ 00' параллелепипеда плоскостями АВС и А'В'С
делится на три равные части.
2°. Диагональ 00' пересекает плоскости треугольников АЕС
и А'В’С' в их центрах тяжести.
Указание. Положить О — (0, 0, 0), А = (1, 0, 0), В = (0, 1, С),
С = (0, 0, 1).
5. Пусть Ga, Gb, Gc, Gt — центры тяжести граней BCD, CD А,
ABD, АВС тетраэдра ABCD. Доказать утверждения:
1°. Если прямая Л пересекает грани BCD, CD A, ADB, АВС
соответственно в точках со0, со*, а>с, tod, то середины отрезков
Ааа, Ваь, Сас, Dad компланарны. ,
2°. Тетраэдры А^С^х и Л2В2С2£>2 являются образами тетра-
эдра ABCD при гомотетиях (Рх, —1/2), (Р2, —1/2), где Рх и В2 —
произвольные точки. Доказать, что прямые ЛХЛ2, ВХВ2, С£2,
DiD2 пересекают грани BCD, CD A, DAB, АВС в точках а, 0, у,
6, лежаших. в одной плоскости.
Доказательство. Пусть G— центр тяжести тетраэдра ABCD;
а', ₽', у', 6' —точки пересечения прямой РХР2 с прямыми Аа,
В0, Су, D8; аа, (оь, соС1 <od —точки, в которых пересекаются
прямые Ga и Gaa'; G0 и 0*0'; Gy и Gcy'; G6 и Gd8'. Точки а',
0', у'~ 6' делят направленные отрезки Аа, В0, Су, ~D8 в отно-
шении 2 :1 и потому лежат в плоскостях граней тетраэдра GaGbGcGd.
Точка G делит отрезок AGa в отношении 3:1, а лютому <оа —
середина отрезка Gaa' и Ga = 3G©a. На основании п. t° точки <лл,
а>ь, ас, а>а лежат в одной плоскости, а значит, и точки а, 0, у»
б, полученные из точек а>а, ©*, ас, ad при гомотетии (G, 3),
также лежат в одной плоскости.
3°. Образы а>'а, а'ь, а>'с, ad точек ©в, ©*, ©с, <ad при гомоте-
тиях (Ga, —1/2), (Gb, —1/2), (Gc, —1/2), (Gd, —1/2) компланарны.
Указание. См. п. 2°,
аА'     AG аа'   3* * / Gja
A'Ga	GGa а'А	' , 2
6.	Даны четыре произвольные точки Л', В', С', О', лежащие
соответственно в гранях BCD, CD A, DAB, АВС тетраэдра ABCD,
Пусть (i4lt Blt C19 Di), (A2, B2, C2, D2), (Лз, Вз, C3, Оз)— образы
точек А, В, C, D при гомотетии с коэффициентом k и соответст-
венно с центрами (О', Л\ В', С'), (С', О', Л', В'), (В', С', О', Л'),
так что
D'A ‘ ’
Доказать, что тетраэдры Л1В1С1О1, A2B2C2D2, A3B3C3D3 имеют
общий центр тяжести.,
7.	Пусть Р — произвольная точка, лежащая внутри тетраэдра
ABCD. Обозначим через Л', В', С', О' точки пересечения пря-
70
мых РА> PC’ с противоположными гранями. Доказать,
что
АР , ВР , СР.
РА' \ РВ' f PC f PD' 1‘6’
AP„ BP CP DP
PA' PB' PC PD’	01 ’
При каком условии имеют место знаки равенства?
8.	Пусть а и а’, Ь и Ь', с и с'— соответственно точки, в ко-
торых ребра ВС и AD, СА и DB, АВ и DC тетраэдра ABCD
пересекаются с произвольной плоскостью. Обозначив через Ga,
Gb, Gc, Gd центры тяжестей треугольников a'bc, b'ca, c'ab, а'Ь’с’.
Построим точки А', В', С', D' такие, что
AA' = 3AGa, BB' = 3BGb, СС'= 3CGc, DD' = 3DGd.
Доказать, что точки А', В', С', D' лежат в одной плоскости.
9.	Т = ABCD — произвольный тетраэдр; а0у6 — пространствен-
ный четырехугольник, стороны которого равны и параллельны
медианам данного тетраэдра. Через середины сторон четырех-
угольника сфуб проводятся плоскости, соответственно параллель-
ные граням тетраэдра (так, что если оф # А А', где Л Л' —медиана
тетраэдра ABCD, то плоскость,  проходящая через середину
отрезка оф, параллельна плоскости BCD и т. д.). Четыре-про-
веденные плоскости образуют тетраэдр Тг. Доказать, что объем
тетраэдра 7\ в восемь раз больше объема тетраэдра Т и что
тетраэдры Тл и офуб имеют общий центр тяжести.
10.	Через вершины Л', В', С', D’ тетраэдра Л'В'С'Р' прово-
дятся прямые dlt d2, d3, dit параллельные между собой. Пусть
ABCD — тетраэдр, гомотетичный тетраэдру A’B'C'D’/ при гомоте-
тии с коэффициентом k. Обозначим через Ль Blt Clt Dr точки
пересечения прямых dlt d2, d3, dt соответственно с плоскостями
BCD, CDA, ABD, ABC. Доказать, что
ЛДСД = — /е2 (2* -ф-1) ABCD-
11.	Через вершины Л, В, С, D тетраэдра ABCD проводятся
плоскости а,.. b, с, d, параллельные какой-нибудь плоскости т.
Через вершины Л', В', С', D' тетраэдра A'B'C'D' проводятся
плоскости a', b', с', d', параллельные какой-нибудь плоскости т'.
При этом плоскости тит' выбираются так, что прямые (а, а’),
(Ь,-b'), (с, с'), (d, d') лежат в одной плоскости Р. 'Доказать, что
при изменении плоскостей тит' (однако так, чтобы все время
сохранялась компланарность указанных четырех прямых) пло-
скость Р будет вращаться вокруг фиксированной точки.
12.	Прямые, соединяющие вершины Л, В, С, D тетраэдра
ABCD с точкой Р, пересекают его противоположные грани в точ-
ках А', В', С, D'. Рассмотрим на отрезках АА', ВВ', СС, DD'
71"
точки Лх, Ви Ci, Di такие, что
АА'	ВВ' СС' DD'	'
—=________."•= ——- — —-V- = К,
A'Ai	B'Bi * C'Ci' D'Di
и точки A2, A3, А4, в которых прямые Л^, AjClt пересе-
кают плоскость BCD. Доказать/ что площади треугольников
A2CD, A3DB, А4ВС равны между собой. Рассмотреть случай k = 2.
13.	Дан тетраэдр T = ABCD и четыре прямые a, b, с, d,
проходящие через одну и ту* же точку Р и параллельные четырем
заданным црймым-. Пусть прямая а пересекает плоскости BCD,
CD A, DAB, АВС в точках (Zx, т4, п3, р2); прямая Ъ — в точках
(Z2, тх, tit, р3); прямая с —в точках (Z3, Щ, nlt р4) и прямая d —
в точках (l4, т3, п2, pt). Доказать, что, вообще говоря, сущест-
вует лишь одно положение точки Р, при котором четверки точек
tnlt п1г рг), (12, пц, п2, р2), (13, т3, п3, р3), (14, т4, п4, pt)
будут компланарны. Рассмотреть случай, когда прямые а, Ь, с,
d параллельны медианам тетраэдра ABCD.
ГЛАВА III..
ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ В ПЛАНИМЕТРИИ
§ 1. Примеры с решениями
Перед рассмотрением, примеров необходимо познакомиться
с теоретическим материалом, изложенным в главе V, § 4.
Так ка£ применяемый здесь метод отсутствует в нашей учебной
литературе, эффективен и прост' при решении многих задач по
планиметрии, то мы подобрали большое количество и примеров
с решениями, и упражнений для самостоятельного решения'
(с. указаниями и ответами).
Пример 1. АВС — произвольный треугольник; G — точка пере-
сечения его медиан (центр тяжести); Я —точка пересечения высот
(ортоцентр); О —центр описанной окружности (О) = (АВС); А1г
Blt Ci — соответственно середины сторон ВС, С А, АВ; А2, В$,
С2 —основания высот; А3, В3, С3 — соответственно середины отрез-
ков АН, ВН, СН (точки Эйлера); Zi4, В4, С4 — соответственно
точки, - симметричные ортоцентру Н относительно прямых ВС,
СА, АВ.	' '
Доказать, что:
1°. Точки О, G, Н коллинеарны и ОН = 300.
2°. Точки Alr Blt Ci, А2, В2, С2, А3,'В3, С3 лежат на одной
и той же окружности (Оэ) (окружность Эйлера или окружность
девяти точек треугольника АВС). Центром окружности 09
является середина отрезка ОН, а радиус окружности (09) равен
R/2, где R — радиус- окружности, описанной около треуголь-
ника АВС.
3°. Точки А4, В4, С4 лежат на описанной окружности.
Решение Г. Примем окружность (АВС) за единичную ок-
ружность. Пусть а, Ь, соответственно аффиксы точек А; В,
С. Докажем, что а + Ь + с — аффикс ортоцентра ’Н треуголь-
ника АВС.	-	- .
Угловой коэффициент прямой ВС равен
с Ь
73
Угловой коэффициент прямой, соединяющей вершину А (а) с точ-
кой Л4, имеющей аффикс a-f-b-f-c, таков:
Отсюда
х4-х' = 0
и, значит, АМ_]_ВС. Аналогично доказывается, что ВМ _]_СА и
CM_i_AB. Значит, М — точка с аффиксом a+b+с— совпадает
с точкой И пересечения высот треугольника АВС.
Далее, аффикс точки G:
а+&4-с
3
Отсюда и из того, что аффикс точки Н равен a-f-&4-c, следует,
что	k _
ой=зос,
т. е. точки О, G,. Н коллинеарны?
2°. Середины А1г'В1г Сг сторон ВС, С А, АВ имеют аффиксы
п _ ь+с h — с+а /. — я+6
Й1 — 2 ’ 01 ~ 2 ’ С1~ 2 ’
Пусть Е — середина отрезка ОН. Ее аффикс
а-Н-Ьс
е- g .
Так как
e — ai = a/2, е — b! = b/2, е — с1 = с/2
и | о | = ] & | = | с | = 1, то -
18 — 0x1 = 18 —&1| = |e — q| = l/2=7?/2	(7? = 1),
т. е.
ЕА1 = ЕВ1 = ЕС1 = Е/2.
Итак, середины Alt Blt Сг отрезков ВС, СА, АВ отстоят от
середины отрезка ОН на одинаковые - расстояния, равные /?/2,
и, следовательно, лежат на окружности (A^Cj) с центром
Е ((о + & + с)/2) и радиусом R/2.
Далее, уравнения прямых АН и ВС имеют вид
'z—a = bc(z — a),.
z — b =— bc(z — b)
или
z — bcz = a — abc,
z+bc2 = b+c.
74
Складывая эти уравнения, найдем аффикс аг точки Л2:
„ a+Z>+c Ьс  Ьс
------------------------------2^е~27-
Отсюда	.
ВА2 = |а2 —е| = | — 2^-1 = у = -у
(|а| = |6| = |с| = 1). Аналогично доказывается, что	. •
£Ва = £/2,	£С2 = Я/2.
Итак, точки А2, В1( С2, А2, В2, С2 лежат на окружности, центром
которой является середина отрезка ОН, а радиус равен R/2.
Далее, аффиксы середин А3, В3, С3 отрезков АН, ВН, СН
соответственно таковы:
' п	а+а + 6+с	2е+а . а
• а3=—^--------= —2— = е+у,
^з = е+у •
.	с3 = б+4-.
Отсюда
£А3 = |а3 — е| = |а/21 = 1/2= /?/2
и аналогично
£В3 = £С3 = 7?/2.
Итак, все девять точек Ak, Bk, Ck (& = 1, 2, 3) лежат на
окружности (£, R/2), центром Е которой является середина
отрезка ОН, а радиус равен R/2.
3°. Вернемся к уравнению прямой АН:
z—a = bc(z — a),
проходящей через точку А перпендикулярно ВС. Найдем аффиксы
точек пересечения этой прямой с единичной окружностью Z2 = 1.
z — a = — be-—-.
аг
Один из .корней этого уравнения г = а (аффикс точки А); другой
(точка N с этим аффиксом лежит, конечно, на единичной окруж-
'	1 be I ' - \
пости, это можно проверить, замечая, что —— =!)•
75
Докажем, что середина отрезка HN совпадает с точкой А2.
В самом деле, аффикс этой середины /	* -	? - -
, < ,* Ъс *	• Ьс - ,	. ~ '
а-Х-ЬА-с---28-------- ,
1	1 . а _ а __ Ьс
2	,	2	~6 2а —°2-
Таким образом, точка N совпадает с точкой Л4.
Аналогично доказывается, что высоты, выходящие из вершин В
и С, пересекают окружность (АВС) в точках В4.и С4, симметрич-
ных ортоцентру Н относительно сторон С А и АВ.
Пример 2 (точки Бутена). Пусть в единичную окружность (О)
вписан треугольник АВС. Пусть zlt z2, z3 —аффиксы точек А,
В, С. Точкой Вутена для треугольника АВС называется такая
точка, что при выборе ее за единичную точку (т. е. точку, аффикс.
которой z=l) выполняется равенство a3 = z1z2z3=J. Доказать,
что для заданной окружности (О) и вписанного^ нее треугольника
АВС на окружности (О) имеется три точки Бутена, образующих
равносторонний треугольник.
Доказательство. Примем точку а(|а| = 1) за новую еди-
ничную точку. Тогда-новые аффиксы, точек А, В, С будут
’ “а"• Точка а будет точкой Бутена,, если произведение этих
аффиксов равно 1:
П^г-=1 или а3 = о3.
Это уравнение имеет три корня
3/— з/— 9 3/ 
У	^3, V <%>
где —любое из трех. значений кубического корня из о3,
а е — любое из двух мнимых значений , т. е.
"	-1+7Уз	' —i-i/з
или е =--------— или е =------------.
Пусть, например,	•
_е = ~1+/-К3. = cos 120° + i sin 120°; .
тогда	-	. ,	,
е2 = cos 240°-{-/sin 240°
и для построения точек Бутена надо сначала построить точку
для выбранногб значения у^сг3, а затем умножить его на 8 (пово-
рот на 120°) и еще раз на 8 (еще поворот на 120°). Получаем
вершины равностороннего треугольника с аффиксами
V Ст3, в у <Т3, е2 jZ <т3.
76	/	’
Пример 3. Дан произвольный треугольник АВС. На окруж-
ности (АВС) взята произвольная точка /И (рис. 8). Пусть Аъ -
Bi и Сх — ортогональные проекции -точки М на прямые ВС, С А,
АВ. Доказать, что точки Аи Blt Сх коллинеарны. Принимая
окружность (АВС) за единичную и считая, что аффиксы точек А,
В, С, М соответственно равны zx, z2, z3, z0, 'составить уравнение
прямой |ЛХВХСХ (прямая Симео-
на для точки М относительно
треугольника АВС).	‘
Решение. Уравнение пря- /	/ X.
мой ВС_и прямой, проходящей / •	/	?\ \
через точку М перпендикуляр-	\
но ВС, имеют’вид	(" А-—?\|л
z — z2 = — z2z3(z — z2),	4 /
z-z0 = z2z3(z-z0)
\	/77
или	, .	.
z+z2z32 = z2 + z3,	.	
Рис. q.
Z —Z2Z3Z = Z0 —Z2Z3Z0.
Складывая эти уравнения, найдем аффикс ах ортогональной проек-
ции точки М. на прямую ВС:	_
' «1 = 4 (2о + z2 + z3 - z2z3z0).
Аналбгйчно находим аффикс bt точки Вх:	-	-
= у (20 + 23 + 21 - Z3ZjZ0).
Найдем угловой коэффициент прямой /1ХВХ; имеем
«1 - bi = у [z2 -Zi- z320 (z2—zx)] =
=4 (z2 - zi) (i - z3z0)=4 - *1) (i - =4 (гг~г40(г°~гз)
'йх — 5X = ^- (—	гГ)(/Та г?) ~ T ~ Z1) (z° ~~ z^ 2,2,23
и, следовательно,
Os
- x = Y = <T3z0.
Уравнение, прямой AXBX можно записать в виде
z — di = ff320(z — a^),
или	'	.
2 - 4 <zo + г2 + Z3 - z2z3Z0) = <у3?о [z - 4 (4т + V + V “ &)] •’
77
или
•	1	г2г3 \	2^3 / 1 ' ,	1	,	1_____Zo_\
- Z ff3z0Z—2 (г04-г2 + ?з ZJ 2г0 ^г0 + г2 + z3 z2z3J’
или
= =	1 t Г I	Z2Z3 ^3 Z1Z3 Z1Z2 I ~ \
z - <т320г = -о г0 + z2 + г3 ——— +-ZX),
<4 \	£q *5	*0	^0	/
или
Z—Ст3?о2 = у (Zo + Стг —cr220 —<T3Zo)>	(1)
где <t1 = z1 + z2 + z3, o2 = z1z2-|-z2zs + z3z1, o3 = z1z2z3.
Симметрия этого уравнения относительно г1г z2, z3 позволяет
утверждать, что прямая ЛГВ1 проходит и через точку Сг.^
Впрочем, в этом можно убедиться, подставив в левую й в пра-
вую части уравнения (1) аффикс
= у (го + г1 + Z2 ~ zlz2^o)
точки Ci (получатся одинаковые результаты — проверить!) или
z убедившись в том, что- выполняется равенство.
Cli CL1 1
t>i Bi
с1.	1
(и это рекомендуется проверить читателю). t
Если z0 —единичная точка, то уравнение прямой (1) Симеона
принимает вид
1 =0
Z —ff3z=y (1 4-ffi —Ст2 —<т3),
(2)
а если за единичную точку принять точку Бутена (т. е. <т3 = 1), то
Z-2 = ^-(ff1-ff2).	(3)
Замечание. Ниже будет доказано, что если точка М не
лежит на окружности (АВС), то ее. проекции Alt Blt Ct на сто-
роны ВС, С А, АВ не лежат на одной прямой.
Пример 4. Доказать, что если за единичную точку принять
точку Af Бутена относительно треугольника АВС, вписанного
в единичную окружность (О), то прямая Симеона, соответствую-
щая* точке М, будет коллинеарна диаметру единичной окруж-
ности, проходящему через точку М (см. примеры- 2 и 3).
Решение. Уравнение прямой Симсона'будет иметь вид
z-Z = -i-(o1-<r2),	-	’	(4)
т. е. она будет коллинеарна оси Ох или диаметру единичной
, , окружности, проходящему через точку М, так как М — единичная
точка оси Ох.
78
Заметим, что и обратно: если прямая Симеона для точки М
окружности (АВС) по отношению к треугольнику АВС колли-
неарна диаметру окружности, проходящему через точку М, то
/И —точка Бутена.
В самом деле, если М — единичная точка, то угловой коэффи-
циент прямой Симеона будет равен <т3, и если прямая Симеона
параллельна диаметру, проходящему через точку М, т. е. оси Ох,
то о3 = 1, так как угловой коэффициент оси Ох равен 1.
Пример 5. Рассмотрим треугольник АВС, вписанный в единич-
ную окружность (О). Доказать, что:
1°. Точка Р с аффиксом а2 симметрична ортоцентру Н тре-
угольника АВС относительно диаметра 6 единичной окружности,
параллельного прямой Симеона, построенной для единичной точки
относительно треугольника АВС.
2°. Точка Q с аффиксом <т3 симметрична единичной точке отно-
сительно диаметра б.
Решение. 1°. Уравнение диаметра б имеет вид
z — <т32 = О
(см. уравнение (2) примера 3). Аффикс проекции ортоцентра Н
на этот диаметр находится из системы
z — <т32 = 0,
2-^! = —СТз^-Эл),
или	, ,
.	2 — О32 = О,
z4-o8z = ff1 + ff30i,
а»
или, так как с1 = -^, то
Оз
z — сг32 = О,
Z + CT3Z = CTi + ff2-
Складывая эти уравнения, находим аффикс X проекции орто-
центра Н на диаметр б:
Л   О1 + °2
Л— 2 •
Аффикс <в точки, симметричной точке Н относительно диаметра б,
найдем из уравнения
CO-f-Oi _ Oi-f-tTa
-	2	~	2	»
откуда
со = о2-
2°. Урайнение перпендикуляра, опущенного из единичной точки
на диаметр б, имеет вид
z—1 = —<т3(2 —1).
79
Решая это у равнение, совместно с уравнением единичной окруж-
ности ZZ= 1, получим
г-1	"
2^1=(Тз.£=±;
Один корень этого уравнения г —1, другой z — g3.
Пример 6. 1°. Пусть Л1( В1г С\ —ортогональные проекции
точки Р на стороны ВС, С А, АВ треугольника АВС. Принимаем
центр О окружности (АВС) за начало координат. Пусть Rzlt Rz2,
Rz3 — аффиксы точек А, В, С, где /? —радиус окружности (АВС)
([ zx | = | z21 — | г81 = 1). Пусть р — аффикс точки Р. Найти аффиксы
blt Cj точек Alt Ви Сг и выразить затем площадь Л^Сх ориен-
тированного треугольника А^В^ через площадь АВС ориенти-
рованного треугольника АВС, через длиньь а,. Ь, с сторон ВС,
СА, АВ и аффикс р точки Р.
Рассмотреть частные случаи:
2°. -Точка Р совпадает с центром-тяжести G треугольника АВС.
3°. Точка Р совпадает с центром I окружности, вписанной
в треугольник АВС.	--	•
, 4°. Точка Р совпадает с центром. О окружности (АВС).
5°. Точка Р совпадает с ортоцентром Н треугольника АВС.
. Решение. 1°. Уравнение прямой ВС:
z — z2R = — z2z3(z — z2R),
или	'	•	.
z + z2z3z = R(z2 + z3),
ИЛИ	~	I ч .
г + г2г32 = 7?(<у1 —Zx).	(5)
Уравнение перпендикуляра, опущенного из точки Р на прямую ВС,
имеет вид
z — p = z2z3(z — p),
или	.	•
г — z2z3? — р — z2z3p,
ИЛИ
z —z2z3S = p —2х<ГзР-	(6)
Складывая почленно уравнения (5) и (6), найдем аффикс точки А±:
^^^(RGi+p — Rzi — z^p).
Аналогично
bi=^(RGi+p — Rz2 — Z2G3p),	,
1
С1 = у 4- Р — Rz3 — Z3G3p).
80
Отсюда
	У (/?<TX4-P—Rzi—?i<j3p) y(R»i+P—R2i—Ziffsp) - 1
Д1В1С1 —	4	у (R<Ti+p —/?г2—z2a3p) у (/?®i+p—Bz2—г253р) 1 -гр(Я°1+Р—Ягз—2з<ЪР) J	.Rz3—z3d3p) 1
i
16
У??з+ 23СГ3Р
^21-|-21&зР 1
Rz2 + z2v3p ' 1
Rz3+z3a3p 1
2f
22
2з
2f
23
+РР
2£
22
23
=4'л5с(1
21 1
Z2 1
2з 1
= tV(— iiA-BC'~t
PP \ _ №~PP Trt _
7?2 j — 4fl2 лпь —
т^-лвс)==
^~0Р2 ЛВС
4R2 АОЬ.
1
1
1
Заметим,-что OP2 — R2 есть степень . о₽ точки Р относительно
окружности (ЛВС). Поэтому окончательно
А^^-^АВС.
2°. Если точка Р совпадает с точкой G пересечения медиан
треугольника ЛВС, то
ОР2 = Об2 = рр = у (#гх +-Rz2 + Rz3) (Rii + Rz2+Rzs) =.
4“ (3 + zfa -f- z2Zx + z223 + z5?2 +	+/12з)-
Ho	.	'
a2 = (Rz2 - Rz3) (R22 - R23) = R2 [2 - (z2z3 + z322)],
откуда
^2^3 >4”	= 2	*
и аналогично	,
'	_	_	-	^2	"	,
^Zi + z1z3 = 2- -да-,
Z1^2 "F 2^21 2	,
так что	<
0С-=^(з + 2-4 + 2-^- + 2-4)=^-^±^..
Следовательно, ? x
. R2-OG2= g2+*2+<t
81
Д^С1=^±^ДВС.
Но	n _ аЬс
*	4|ЛВС|’
следовательно,
ж-
3°. Если точка Р .совпадает с центром / окружности (/), Впи-
санной в треугольник АВС, то pp = OP2 = Ol2 = R2 — 2Rr (фор-
мула Эйлера, см. нйже пример 33) й,- значит,
о №1	~	___•
дор____R2~~(R2 %Rr) д ор_ т д op a-f-b-f-c «др_ 4АВС
А^С., —----4^— АВС -^АВС= ^с-  АВС - -*с(а+н_с).
2|ЛВС|
Итак,
А В С —	4А ВС3	I
111	а'&с(а-|-6-|-с). *
Замечание. Отметим формулу
XjSiCf _ г
~ ABC ~~2Rf
где Alt Blt Сх — проекции точки I на стороны ВС, С А, АВ.
4°. В случае, если точка Р совпадает с точкой О, то рр =
= ОР2 = 0 и, следовательно,
лж=^лвс=|лвс .
(это ясно сразу и из элементарно-геометрических соображений).
5°. В случае, если точка Р совпадает с ортоцентром Н треу-
гольника АВСЛ имеем
\ 4 (АВС)2 /
= (4-2t^tc2 АВС2-2) АВС.'
82

Так как ~ = sin2 Л,	= sin2 В,'	== sin2 С, то
= ,.«г+^+^—2 = sin2 А + sin2 В + sin2 С-2 =
ABC 4R»
__ 1— соз2Л . 1—cos 25	1—cos2C	~
~	2	‘	2 г 2	“ 2 ~
= — у (1 + cos 2С+cos 2А + cos 2В) =
= — 2-[2 cos2 С + 2 cos (Л + В) cos (Л—В)] =
_ _ cos2 С — cos (Л + В) cos (Л — В) = — cos2 С+cos С cos (Л — В) =
= cos С [cos (Л — В) — cos С] = cos С [cos (Л — В) + cos (Л +В)] =
>	= 2 cos A cos В cos С.
Итак, если Л1В1С1 — треугольник, ортоцентрический для треу-
гольника ЛВС (т. е. Ai, Ви Cj — основания высот треугольника
ЛВС), то
= 2 cos Л cos В cos С.
ЛВС 
Отсюда, между прочим, следует, что если треугольник ЛВС остро-
угольный, то треугольники АВС и AiB£i имеют одинаковую
ориентацию (рис. 9), а если тупоугольный,' то противоположную
(рис. 10). v	-
Пример 7.. Дан треугольник ЛВС и „ прямая I. Пусть Лх, В1(
Сх — ортогональные проекции точек Л, В, С на прямую /. Дока-
зать, что прямые, проходящие'- через точки Лх, Вь Сх и соответ-
ственно перпендикулярные прямым ВС,. С А, АВ, пересекаются
в одной точке Q (называемой ортополюсом прямой I относительно
треугольника ЛВС) (рис. 11). Принимая окружность (ЛВС) за
-	83
единичную и считая, что прямая I задана уравнением
z-z0 = x(2-20),	|х| = 1,
(7)
найти аффикс <о ортополюса Q прямой I относительно треуголь-
ника АВС. Аффиксы вер-
шин треугольника АВС со-
ответственно равны Zi,
Рис. 11.
z2, z3.
Решение. . Уравнение
прямой, проходящей через
точку А перпендикулярно
прямой I, имеет вид
z —zr = — х(2 — 2Х). (8)
Переписывая уравнения (7)
и (8) в виде
Z — х2 = z0 — х20,
z-bxz = z1H-x21
и складывая эти уравнения почленно, находим аффикс ах точки
А1-	.
«1 = у (го + г1 + x2i - хго)-
Уравнение прямой, проходящей через точку Ах перпендикулярно
прямой ВС, имеет вид
-	z —ax=z2z3(2 —ах),
ИЛИ -	'	\ J
Z — (?0 + 21 + К2Х — XZj) = Z2Z3 lz  b ---х"У|»
или	_	"
Z-Z2Z32 =1 (Zo + Zl + ^- _ Х2О-	- Z2Z3Z0 — А +	(9)
Аналогично уравнение перпендикуляра, опущенного из точки
Bi на прямую АС, имеет вид
.	z-z3zx2=l(z0+z2+^--xz0-^-z3zx20-^ + ^.). (ю)
Вычитая почленно из уравнения (9) уравнение (10), найдем число
о, сопряженное аффиксу о точки пересечения прямых (9) щ (10):
(гг- z2) я =	. "
=4h-22+x(i-|)+Z3(t_t)+Z3(2!i_2!2)g<»“ -
	’	.	'	'-^(2i-z2)\
84
или, сокращая на Zx —z2:
- n _ 1 /1 "X J_ ?3?* +г»г2 I ~ у	ЗД) \
г3л — 2 ^1 - у- + — г~ + г3г0-----r J,.
откуда	:	.
55 = _L/J-—*____[_ £1_+г2„ _l g _aY
2 \z3 . ад,г3 zxz2 ^zo XJ
ИЛИ ,	4
<3 * (л^_*_ + 2п_м
2 \ a3 a3 ‘ 0 x J9
откуда	*	.	#
1/0*2 X ♦ . 'L \	в
®=Tta_~^ + 2°“xV
TT -	«.	1
Ho oz =—-, 53 = -~, следовательно,
*	O3	(Уз
<O=y((X1--^-4-Zo-XZo)/-	(11)
Симметрия этого уравнения относительно Zj, z2, z3 позволяет
утверждать, что и перпендикуляр, опущенный из то^ки Сх •
на прямую АВ, также пройдет через точку с аффиксом со, опре-
деляемым формулой (11), т. е.
формулой (11) определяется
аффикс ортополюса прямой I
относительно треугольника
АВС. -Впрочем, в этом мож-
но убедиться и так: записать
уравнение перпендикуляра,
опущенного из точки Сх на
прямую АВ, и убедиться в
том, что число о, определяе-
мое формулой (11), удовле-
творяет уравнению этого пер-
пендикуляра.
В частности, если пря-
мая I проходит через центр О
единичной окружности (О) =
= (ЛВС), то аффикс <о ее ортополюса относительно треугольника
ЛВС будет	_
(12).
а если за единичную точку принята точка Бутена, то
/
'	® = (ах-й); :	(13)
На рис. 11 показано построение“рртополюса Й прямой I относи-
тельно треугольника ЛВС/	‘
85
Замечание1). Доказательство того, что прямые llt l2, t3,
проходящие через точки Alt Blt Сх и соответственно перпендику-
лярные прямым ВС, СА, АВ, пересекаются в одной точке Q,
можно провести изящно синтетически: пусть А2, В2, С2 — середины
сторон ВС, СА, АВ, тогда радикальные оси окружностей (А2, Л2СХ),
(В2, B2A]), (С2, СгВ]), взятых попарно, и будут прямыми Zx, 12, 13,
а потому они пересекаются в одной точке Q (рис. 12).
Пример 8.- Дан треугольник АВС и прямая I. Окружность
(О) = (ЛВС) принимается за единичную; zx, z2, z3 — соответственно
аффиксы точек А, В, С. Прямая I задана автосопряженным урав-
нением '
az+aZ = b	.	(14)
(а=Н=0, Ь—действительное число). Найти аффикс со ортополюса
Q прямой / относительно треугольника АВС (см. предыдущий
пример).
Решение. Угловой коэффициент данной прямой равен х =
= —|-, а угловой коэффициент прямой, перпендикулярной пр я-
мои равен х =^-*
Уравнение прямой, проходящей через точку А перпендику-
лярно прямой I, имеет вид
z-Zi = -|(2-2i)
или
az—a2=az1 — а\. '"	(15)
Складывая почленно уравнения (14) и (15), найдем аффиксу
проекции Аг точки А на прямую I:
Уравнение прямой, проходящей через точку At перпендикулярно
ВС, имеет вид
z—ах = z2z3(2 —ах),
или
Дгх—агх+& _ ‘ Г	aZl — iiZi+b\
Z 2S “	2а )•
ИЛИ
- v,*=£+’’.,	(16)
Аналогично запишется уравнение перпендикуляра к АС, прохо-
дящего через проекцию Вг точки В на прямую I:
.	- ~	az2+b az2-az2+b	...
Z—Z&Z —------2^	Z3Z±--------•	О О
Это замечание принадлежит французскому геометру До (R. Deaux),
Вычитая почленно из уравнения (16) уравнение (17), найдем
число сопряженное аффиксу со ортополюса Q прямой I отно-
сительно "треугольника АВС:
(?i—z2)a + f~---(?1 — ?2)
,	~ \ п____-________\ Z2 ?1 /	|	\ Z2 ?1 /_____
(г1 Z2)Z3M —	%	+	2а	’
и, сокращая на zx —z2, получим
fi+^_ afa±ii,,+fa,
гл— Z1Zi 4- J—£1*2_______
2з®— 2а + 2а
откуда
или
_ — 1	I а	I	1 ' I	1	1	L1
2z3	‘	2ёсг3	‘	2zx ‘	2z2	*	2а 9
_	1 _ . а&3 . b
° - 2 С12а 2а
и, следовательно,
“Ч^+Ч + Ч <18>
Если прямая I проходит через центр единичной окружности,
то b=f0 и формула (18) принимает вид
® =	+	(19)
а если единичная точка является точкой Бутена (<т3=1), то
ш = т(’- + 4)-	<2°)
Формулы (19) и (20) совпадают соответственно с формулами
(12) и (13) предыдущего примера, так как — н, где « =
= —	— угловой коэффициент прямой I, заданной уравнением ч
аг~^-а2 = Ь.	ч	4	, .
Пример 9. Пусть Дх, Вь Сх —основания высот треугольника
АВС, вписанного в окружность (АВС) —(О), которую мы примем
за единичную; На прямых AAlt BBlt CCj выбраны точки Р, Q,
Р так, что	•
CCt __
AP ~ BQ ~ CR'-
Найти отношение
Р=Ж.
И ABC
Выразить это отношение через внутренние углы А, В, С данного
треугольника АВС и через К. Рассмотреть частные случаи: 1) А= 1,.
2) Л = 7-1, 3) А=1/2, 4) А = —1/2, 5) А = 2, 6) Х = —2. .	. _
'Г
87
Решение; Примем окружность (О) за единичную. Пусть ги
z2, z3 —соответственно аффиксы точек А, В, С. Уравнения пря-
мых ВС и. AAi. -
Z + Z2Z3Z = Z2 + Z3,
Z2Z3
Z-Z2Z3Z = Z1-----
Складывая эти уравнения почленно, найдем аффикс at точки
а теперь из соотношения	'	>
. -	-
АР .	.
найдем аффикс р точки Р:
	р— Z1	— zx = %p — Xz1(
	kp = a1 — zi + =	y(C1 Z1 ) ZiH-XZi. .
ч Отсюда	.. 7=2Иа1~	\ 1	— l у
- Аналогично		-
		5 N tL + coiciei l
* '	Г=21-(а1-	_?3	1	у z2 / +	% *3’
где ди г —аффиксы точ^к Q n R. Теперь находим
PQR = 4
	 °3 1		— 1 - ’ . CFi 	у, X _L
2Xz2 1 ,		к 1+21
,	. X'		— 1_ , ах
2kzi "* :		к *2±2k
ff3 .		— 1	. Oi
2’kzfr		к Z3±2k
	03	, 1-1 . _д_	у.
	2Kzf	+ X 1
	 i	- <*>	. _L;		 ул
4	2Xz2	+ X 2
	Рз	
	2XZ:	, + - Л гз
		г?2 г? 1
	f 1.4	
—	4 14X2	Zg2 zf . 1
		. 23 2 Z2 1
		
		
		2кЪ3
_ г1 4.	1	-i 1			i -
• 2Ал3 * _ _Z2	|	к	с< 1	У 2Х<Гз 1--^-		
2Х(Уз 	 —?1_	,к		2Х(Тз I а2		
2Ах73- 1 	2±_	. 4-	X z3 X—1 1	1 21с Г		
2Х<г3 	г|_ 2Х(73 • zl	•+ -U	>* . 1 1 и- N >— N I	L г	1 1 2 2 2	=
£ & я Q ‘	| М	N	w — ^1	п +	X Z; zf2 гГ* --2	^--1 <2	**3 гз 2 гз1 (А-1)2 I2	। 1 1 1 *1 *2 *3		j-1 21 Г-1 ’3
1
1
1
1
1
1
83
Далее,
zj2 z?
zj2 zf
zj2' Zf
G3
-51^
1 Zi
1 zi
1 zi
- *i) (z3 - z2) (z3 - Zi) (z3 + Zi) (z3 + z2) (z3 + zj = 7
1 Zi
*2
z3
1
1
1
Jj- (zS - *!) (Zs - г!) и - zj) -
1
0з
1
1
1
A
A
1
1
2?
zi (.z2~\~zi) (^з + ^г) (2з + гх) =
zi
Zi
г2 (ffr - Zj) (ffx - Z2) (ffx - Z3) =
z3
' '= —	-4 ABC (axo2 — °з) = — т ABC — 1),
•	03 *	*
и первое слагаемое в круглых-скобках в равенстве (21) будет
- /(1~а<Т1) ЛВС.
Аг
(22).
Вычислим второе слагаемое. Имеем
. гг2
zj2
zj2
zj* 1
ZJ* 1
zj* 1
1
<*3
Zi 1 Zi
-• Z2 *1 -Z2
z3 1 z3
- 4L ABC,
03
так что второе слагаемое в круглых скобках в равенстве (21) равно
(23)
.4^=41 ABC.
Далее,
1
L
1
1
1
1
г2
гз
Z?
Zl
Zi
<*3
zr Z1
Zj z2
z3 Z3
4ш3ДВС,
и, следовательно, третье слагаемое в круглых скобках в равен-
стве (21) равно
- ЛВС. ,	(24)
Наконец, последнее слагаемое равно
— 4i{±=^-ABC;	-	-	~ (25)
Из формул (21) — (25) следует, что
Ъпп Г 1 О—0Л) । 2i (X—1) . 2i(A/—1)	- . (X 1 )21 пр
W “ 4 [	Х^“Н АТТ "*	X2 J
__гГ 1 —0i^i	Х—1 । (X — 1 )21 л пр 
[-4Х2 “ Л2- + V J
'	-	L	\ л / \ л j j
89'
Отсюда
• Pgg =	PQR	= J—gjO1! . / j_П 71	_ 2_\	_
ABC	ABC 41» ’’v	1Д %/
01^1 — 1 I 11 J_WJ _2\	C26)
4X2 1Д	1/'	1 '
Но о?!®! — 1 есть степень ортоцентра H треугольника АВС отно-
сительно окружности (АВС). Имеем
<тЛ-1 =(z1+z24-z8)(Z1+?2-|-Z3)-1=	:
— 2 + (zxz2 -f- z2Zi) + (Z2Z3+zsZ2) + (z3Zx zxz3).
Далее,
АВ2 = с2 = (z2 - zx) (z2 - zx) = 2 - (zxz2 + z2Zx),
откуда
zx?2 + z2zx = 2 — c2 = 2 — 4 sin2 C,
так как	'
ffrf=2.
Аналогично находим
,	z2?3-f-z3z2 = 2 — 4 sin2 A,	z3%l + zx23 = 2 — 4 sin2 В
и потому (см. пример 6)	ч
CTi5i — 1 = 4 (2 — (sin2 А + sin2 В + sin2 С)) = — 8 cos A cos В cos С,
и формула (26) принимает следующий вид:] 1
__ PQR __ 2 cos A cos В cos С , 7 .	1 \ 7.	2 \ .
АВС ~	№	К*” Л/V	М
1)	Если 1 = 1, то. точки Р, Q, R совпадают соответственно
с основаниями высот треугольника АВС.
Ответ, р = 2 cos A cos В cos С.
2)	Если 1 =—1, то точки Р, Q, R симметричны основаниям
Лх, Вх, Сх высот треугольника АВС относительно его вершин 5
А, В, С.	-	|
Ответ, р = 6 2 cos A cos В cos С.	|
-3) Если 1=1/2, то точки Р, Q, R симметричны вершинам А,
В, С треугольника АВС относительно его сторон. ,	-	|
Ответ. p = 3-f-8cos A cos В cos С.	-
4)	Если % =—1/2, то точки Р, Q, R получаются из точек Лх,
Вх, Сх гомотетиями (Л, —2), (В, —2), (С, —2).	f
Ответ. р= 15 + &cos Л cos В cos С.	—
5)	Если 1 = 2, то точки Р, Q, R — середины' высот ЛЛХ, ВВХ,
ССХ треугольника ЛВС.
1
Ответ. р = у cos Л cos В cos С.	я
6)	Если 1 = — 2, то точки Р, Q, R симметричны серединам /l
Л2, В2, С2 высот ЛЛХ, BBlt CCt треугольника ЛВС относительно 3
его вершин.-	’	. 1
. 90	-	'	'	'1
Ответ. р = 3	cos A cos В cos С.
Пример 10. Пусть А', В', С' —точки, симметричные вершинам
Л, В, С треугольника АВС относительно его сторон ВС, СА,
АВ. При каком необходимом и достаточном соотношении между
Рис. 13/
углами А, В, С треугольника АВС прямые АВ', ВС', С А' про-
ходят через одну точку (рис. 13)?
Решение. Примем окружность (АВС) за единичную.
Найдем аффикс Ь' точки В'. Уравнение прямой АС:
z-f-z3z1z = z1-f-z3.
Уравнение прямой, проходящей через точку В перпендикуляр-
но АС:
Z-Zz^ZgZ!^-^)
или	,
Z-Z3ZiZ = Z2—
*2
Из уравнения АС и этого уравнения находим аффикс проекции
точки В на прямую АС:
Z — ~2 \Z1 + Z2 + -*
Аффикс Ь' точки В', симметричной точке В относительно АС,
находится из сротношения
6'~ЬгЗ _ 1	~ I _ гЗг1\
2~ ~тг1 + 2« + 2з“ г2 )•
91
откуда
Отсюда
, 23Zt
'3~“¥~
?2 = Zi + Z3 —Z2
Z3Z1	Z!Z3
Составляем уравнение прямой AB':
z t z 1
zx Zi 1
b' b7 1
= 0'
или
Имеем
z’(zi — b') + (b' — Zj) z + zx&' — b’zv = 0.
2 _ft —	____Z3 + Z1 — Z2 __ Z2 —Zj
1	Z1	Z3Zt	Z3ZL ’
1’1' . /
g ____yr __ Z2 Z1 __ Z3 (Zj — z2)
1	z2
. Z3Zj
__ Z3-b zl — Z2_______Z3 ___ I [ z3 _ Z1________?3 . z3 - z2 ________
Z3 ;	Zi	Z2 Z3 Zi z2 z3
= (Zi —z2) + z3(± -	= -^--(Zi -z2) + Z3-^^ =
= (Z1-Z2)(— + -M
и уравнение прямой^ AB' принимает вид
_Lz + ^.2_J-------= 0
ZSZ1 г2 	'Z3 ztz2
. ИЛИ
ZaZ + zfZiZ —zf — zxz2 = 0..	'
Аналогично запишутся уравнения прямых ВС' и СА'- Итак,
z2z 4- zlzj2 — z| — zxz2 = 0, - {AB')
z3z + zfz22 — zi — z2z3 = 0, (BC)
ZiZ + zlz-^^-zl — z3Zi = 0.	(CA')
Обозначим через К, L, M точки пересечения прямых ВС' и СА1
С А’ а АВ’, АВ' и ВС. Тогда
. z2 zfZi zl + г,г2 а
г3 z^z2 zl + г2г3'
,t - zt z'jz3 zf 4- z3Zi
4 ff3 (г2г|—zf) (z3z? — z|) (zxz= — zf) ’
92
Далее,
«1 + ZXZ2
Z? -f* Z2Z3
Zf + 23ZX
= Z1Z|+~zizlz3 + z|z| 4- ZiZl4 + ziz| + ziz2z3 —
— s?z2z| — zlzl — ziz|z3 — z2z| — z^lzf — z(z|=zlzl (4 — zi) —
— zJz2Z3 (z2 - Zx) + zi (zl - zi) + z|z2zx (z| - zi) - z3 (zl — zl) —
- ZfZiZ2 (z2 — zx) = (z2 — Zi) (zlzl -P ztzl—zlzlz3 + Z^Z2+Z^Zi 4- z|z|zx 4;
4- z|z2zi — zfzl—z|z2zx—z$z2zl—z|zi—z^zxz2)=(z2—zx)[ziz| (zx—z3)4-
4- z| (zt—Zl) — Z2Z3(zi — Zl) — ZjZl(z? — zl)4-z|z2zx(zx — z3)]=(z2 — zx) x
X (zx - z3) (ziz| 4- Z2zx 4- Z|z3 - z2z^l —z2z| — zlz| - zxz| 4- z|zxz2) =
= (z2 - Zx) (zx - z3) [zi (zl - zl) 4- zx (zl T- zl) 4- z2z3 (zl -.%)]
=(z2 - Zl) (zx - z3) (z2 - z3) (ziz24-ziz34-zxz|4-zxz2z34-zxz^4-z|z34-z2z|)=
=(z2 - Zi) (z3 - zx) (z3 - z2) (z?z24-z|zx4-z|z34-z|z2 4- zfzx 4- ziz3 4- zxz2z3).
Рассмотрим произведение:
(z2 4- z3) (z3 4- zx).(zx 4- z2) = axo2 - ff3 ='
= 2zxz2z3 4-ziz2 4-z|zx 4-zlz3 4-z|z2 4-z|zv4-ziz3.
Отсюда следует, что последний множитель ах<т2 — <т3 — а3=охо2 — 2а3,
так что
Итак,,
A = (z2 - Zi) (z3 - zx) (z3 — z2) (<rxcr2 - 2<r3).
jz; ДД _ « (Z2~Zi)8 (Z3 —Z,)2 (Z3 —Z2)2 (gxg2 —2g3)2
- 4  g3(z2zl-z?)(z3zl-z^)(zxzi-zi) ’• -
что ,
Заметим,
(z3-z2)(z3-zx)(z2-zx) =
	1 Zi	21		1	*1		Zi	zx 1	= — 4io3ABCi
	1 22	21	= а3	z2 1	Z2	= о3	Z2	Zj 1	
	1 23	21		23 1	г3		Z3	Z8 1	*
4ta3 (gtg2—2g3)2 ABC2
(z^l - zf) (z3zj — zj) (zxz2> - zl)'
Прямые' AB',t ВС',, С А' проходят через одну точку тогда и
только	тогда, когда ахо2 — 2сг3 = 0
или	а 5?—2 = 0,	—2 = 0, (Та
т. е.	О1ёк=ОН2 = 2 = 2R2 ' (R = 1)
или	ч OH = R]/^.	'	 '	—
193
Отсюда, между прочим, следует, что треугольник АВС тупо-,
угольный, так как ОН Ж, т. е. ортоцентр Н лежит вне окруж-
ности (АВС).
Треугольник, для которого О7? = /?]/г2, может быть построен
так: строим две концентрические окружности (О) и (О'), радиусы
которых равны 1 и ]/~2 (см. рис. 13). На окружности (О') берем
произвольно точку Н, а на окружности (О) берем произвольно
точку А. Отрезок ОН делим в отношении 1:2:
00:0Я=1:2.	.
Точка О —точка пересечения медиан треугольника АВС. Соеди-
няем точку А с точкой О и на продолжении отрезка AG за точку G
откладываем отрезок GA^AG/2. Точка Лх —середина стороны ВС-,
поэтому, проведя через точку Лх прямую, перпендикулярную
прямой ОАЪ в пересечении с окружностью (О) получим точки
В и С.	z _	.
Условие возможности построения состоит в том, чтобы точка Лх
лежала внутри окружности (О). Так как точка Лх является обра-
зом точки А при гомотетии (G, —1/2), а при этой гомотетии
окружность (О). перейдет в окружность (О"), радиус которой
равен 1/2, а _ центр О" находится на отрезке ОН, причем
т/‘2	V'2	1^2
00" = ^— +	= -g—, то окружности (О) и (О") пересекаются
в точках Р и Q. Точка Л может поэтому описывать открытую
дугу PRQ окружности (О). Из треугольника ОРО" имеем
РО"2 = ОР2 + ОО"2 -20Р >00" cos(a/2),	’
где а,—Z.POQ. И так как Р0"= 1/2, 00" ='К2/2, ОР—1, то
-	T=1+|-2-1.!2cos5-,
откуда	,	„
a 5
COS — = —7=:
2	4/2*
и, следовательно, .
cos a = 2--Ц-—1=-^-,	a=?	= arc cos (9/16).
Условие ОН2 — 2R2 можно переписывать в другом виде. Так как
OH2 = 9R2 — (а2 + Ь2+с2) (см. пример 6), то
9/?2-(а2 + &2+са) = 2/?2
пда-
a2 + b2+<^ = 7R2.
И еще иначе (a — 2R sin Л и т. д.)
sin2 Л + sin2 В + sin2 С = 7/4
94	'	-	'	'
или
cos A cos В cos С = —1/8
(отсюда также следует, что треугольник ЛВС’тупоугольный).
Пример И. В окружность (О) вписан правильный четырна-
дцатиугольник:
ЛХЛ2Л3Л4Л3Л3Л7Л3Л9Л13ЛХХ ЛХ2ЛХЗЛХ4.
Рассмотрим треугольник Т = АВС с вершинами:
А = Aj, В — Лх, С = Л3.
Углы этого треугольника опираются на дуги ЛХЛ3, Л3Л7, Л7ЛХ
и, следовательно,
Л = л/7, В = 2л/7, С = 4л/7 (рис. 14)
95
(т. е. углы треугольника .Т образуют геометрическую прогрессию
со знаменателем 2). Обозначим через (/а) окружность, вневпи-
санную в угол А треугольника АВС, а через Н ортоцентр тре-
угольника АВС.
- Доказать, что:
1°. ОН = OIa = RV~2 (R — радиус окружности (О)).
2°. R = 2ra (га — радиус окружности (1а)).
3°. IaH = R.
4°. а2 + Ь2+с2 = 7^?2 (здесь а, Ь, с —длины сторон ВС, СА,
АВ — не путать с аффиксами).
5°. 01аНАв — параллелограмм, центр которого совпадает с цен-
тром окружности Эйлера для треугольника АВС. •
6°. Середина Р отрезка НА6 совпадает с одной из точек
пересечения окружностей (О) и (09) ((09) — окружность Эйлера
для треугольника АВС). _____
7°. Треугольники А1аН, НВ1а, 1аНС подобны. Решить вопрос
об их ориентации (какие пары из них одинаково ориентированы,
а какие противоположно). ’	.	'	_
8°; Прямые ВС, СА и. А В пересекают прямую Н1а в точках, -
симметричных точкам А, В, С относительно биссектрис углов
С, А, В треугольника АВС (для углор С и В берутся биссек-
трисы внешних углов).
9°. Квадраты длин сторон треугольника О7аАв и квадраты
длин сторон треугольника А61аН образуют геометрическую про-
грессию со знаменателем ^2.	*
Решение. 1°. Примем окружность*(О) за единичную. Точке
припишем аффикс 1 (т. е. Ах — единичная точка). Тогда
аффиксы а* точек Ak будут	г, .
(k—1)л’. . . (k—1)л
'	ak = cos1—Tj1—}-1 sin -———,	;
k=\, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ’ll,. 12, 13, 14.
Аффиксы вершин A = A7, B — Ax, C = Ag будут
,	. 6л , . . 6л
а = а7 = cos — +1 sin-у-,
b = a1=l,
2л ... 2л
C = Og = COSy—-|-l SlH-y-.
Их сумма равна аффиксу h ортоцентра Н треугольника АВС:
h= 1 + cos — + cos — 4-i( sin-y- 4-sin-y-j.
96	.	’	,	
Отсюда
f . ,	2л>",	-6л \s . / .. 2л । . 6л \a -	...
.-0^=^.14-cos—ч-cos—J +(8111-^—f-sin-y-j =
'	,	\> 2л f о 6л .> o ЛО 2л , o л л 6л п 2л 6л
= 1 + cos2-у—F cos2 -у—1-2 cos -у—h 2 cos—у- + 2 cos - 7~ cos -у- +
-4-sin2-у—[-sin2-y-+2sin-у-sin-у==3+2(cos-y+cos-y+cos -у).
Пусть
x = 2 cos -у- + 2 cbs у + 2 cos -y-;
тогда
x sin у = 2 sin у cos -?—h 2 sin у cos —|- 2 sin у cos -7~ =
л . • Зл . Зл , . 5 л . 5л . .	.л
— — sin у--f-sin-у — Sin-у + sin-y — Sin-у 4-Sin л = — sin -у
и, следовательно, х =—1; поэтому
0Я2 = 3 —1=2,
откуда -	- -	__	_
ОЯ = /2 = ЯК2 (₽ = 1).
Определим теперь аффикс ха центра 1а окружности (/о). Бис-
сектриса внутреннего угла В есть ВЛ8, так как точка Л8 делит
дугу С А пополам.- Отсюда следует, что биссектриса внешнего
угла В есть прямая А12В, так как точки Л8 и Л12 —диаме-
трально противоположные точки окружности (О), и потому
ВЛ8 I ВЛ12. Биссектриса внутреннего угла Л есть ЛЛ2 = Л7Л2.
Итак, 1а является точкой пересечения прямых Л2Л7 и' Л1Л,2.
Составим уравнения этих прямых. Угловой коэффициенту пря-
мой Л2Л7 равен 1, так как ХЛуНЛ^, а ЛгЛ8 — действительная
ось. Значит, уравнение прямой Л2Л7 имеет вид
(Л , . - Л \	-	/ л .. л\
COSyH-lSiny ) = z — (C0Sy — tsin-y-l .
или
z — 2 — 2isiny.	(28)
Угловой коэффициент прямой Л1Л12:
012
и, следовательно, уравнение прямой
Z— 1= — (cos—у—btsin— (Z- 1)
или
z— 1 = (cos-у-М sin у) (2 — 1).	(29)
4 П. С. Моденов	97
Решая систему (28), (29), находим аффикс та точки /а. Из
уравнения (28)
2 = z — 2isin-y-,
и уравнение (29) принимает вид * 1
z — 1 = (cos ~ + i sin	z — 2i sin ~ — 1 j,
п. . л/ 4л , . . 4л \
2t sm -=- cos —- + i sm
2 = 1_________z\ ‘____________LL =
o . „ 2л n. . 2л 2л
2 sm2 у--2i sm -y cos -y-
. . л / 4 л , . . 4л’
i sm у I cos у—Hsm-y-
77 2л / 2л , . . 2jT
i sm-y- (cos—|-i sm-y-
. л [ 2л , . . 2л \
sm -у I cos -у +1 sm -y— j
Отсюда
(2 COS ^- +COS У
OPa = |tJ2=^-----7 - n -7У- + sin2 i	.
4 cos2 —
2л
cos у	л	4
-----4-isin-y =Ta.
2cos^	7
. о л , . л 2л ,	„2л , . „ 2л
4 cos2 у + 4 cos у cos-у + cos2-у + sm2-у
4 cos2 у
1 +2 4-cos -^у) + 2^cos у 4-cos у),
4 cos2 у -
n , п/ 2л 4л 6л\ о । о/о 2л"* 2лv 6л 4л \
34-2 (cos -у—~cos у.—cos у ] 34-2 L2 cos у—cosy—cos у—cosy \
4 cos2 у	4cos2y-
тт 2л . 4л , 6л 1
Но COS у 4- COS у 4- COS у = — у, поэтому
34-4 cos ^-4-1 l-J-cos^- s
01 а=--------=  ------------ = 2,
4 COS2 у	cos2 у	*
откуда	__
О/а = ]/2=7?1/2=ОЯ.
2 °.	ra = ptgy = ptg-I? (smy4-smy4-smyj J.
*) Если радиус окружности равен 1, то хорда этой окружности, стягиваю-
щая дугу а, равна 2 sin (а/2). Угол 4—вписанный угол, опирающийся на
98
Пусть
. л . 2л . . Зл
у = S1П у + Sinу- + sin.
Умножая обе части этого равенства на 2sin'получим
21/ sin = 2 sin ~ sin у + 2 sin sin у + 2 sin sin у =
л Зл , Зл 5л . 5л -7л л
= COS - COS J4 + COS jy - COS 14 + COS jy - COS jy = COS ^4 ,
следовательно,
1 ft
&“2"с^14"’
и потому
r -feJL'. lctei = l = A
ra — lg 14	2cl814	2	2 ’
откуда
R-2ra.,
3°. Далее, IaM = h — xa (h и xa вычислены в п. Г), откуда
2л
,	2л , 6л -C0ST . . . 2л
h—xa = cos-=-+cos -=-----------4-isiny- =
7	7 2cosy	'	,	'
ft л 2л , п 6л л 2л
2 COS у COS у+ 2 COS у COS -=-COS у
. ------------------------------------|-tsin-=- =
О " ft	* •
2 cos у
л . Зл , 5л . 2л
cos у 4-cos у+cos	: 1 —cos у
“	7 л '	।
2 cos у
6л 4л 2л - 2л
—cos —cos —cos-?— 1 —cos у
es----------------;---------------
чп ft •
4 2 cos у
. . . 2л
{-l Sin у =
. . . 2л
•Hsiny =
{-tsiny =
2 cosy
4л , 6л
COS у + COS у
, ; . 2Л
I Siny- =
О /ft
2 cos у
1	, 2л	1 2л
у—1 —cosy ,2л
+.tsin_ = _^----------
2 cos у
о 5л л
, . . 2л ~2cosycosy
. + tSiny = —------—
2 cos у
= cos у +1 sin у = tos у +1 sin у = а6.
Дугу 2л/7, следовательно, AiA3=^BC=^2 sin (л/7) и аналогично для двух .дру-
гих сторон. Длины сторон можно найти и по теореме синусов: a=2^sin4=3
= 2 sin (л/7) и т. д.
4*
99
Итак,
«	5jt ।	• 5л * i
/l — Ta =r COS -у -J-1 Sin -y =iZ4i.; :
следовательно,
. HIa = \h-ra\=l=R.
4°.	«* 2 *4-&24-c2 = 4sin2y4-4sin2y4-4sin2y =
n/i 2л . < 4л . < 6л\
= 2( 1 — cos-y 4-1 — cos -y-f-l — cos -y) =
= 2[3 - (cos 4-cos	+cos y)] = 2 [3 - (—1/2)] = 7 = 7R2.
5°. Направленные отрезки IaH и 0Ав эквивалентны, так как
h — ra = ae (см. п. 3°), следовательно, 1аНАй0 — параллелограмм.
Центром этого параллелограмма является'середина отрезка ОН,
т. е. центр окружности Эйлера для треугольника АВС.
6°. Аффикс точки Р:	'	, '
h+cte 1 Г, ._____2л . ___6л . „ 5л .	. 2л . . 6л . . 5л\1
 Т, 6 =^- 1 + COS-=- + COS -7- + COS -7-4-11 sin-=-4~sin-_-4-sin-7-11 =
z z l •		\	*	 / J
1 Г, '	„ л . . {n • 2л , . я \1
= у 1 — COS ny + t (2 Sin y + s1H-у ) •
Отсюда
• |Л-|-ав |2 НА л \з , (п . 2л .' . л Vi
ГТ-! — 4 1( — C0S 7 ) + (2sln 7 + Sln 7 / J —
= -|-(l-^2cos-y + cos2y4-4sin2-y + 4siny siny- + sin2-yj= >
= у ^2 —2cos-у 4-2 (1 —cosy^4-2 (cos-y — cosyjj =. •
= 4-(l — cos^-4-1 —cos ^4-cosy — cos^) ==y-2 = l,
• Z \	' I	I / z
p±^|=i,
t. e. середина P отрезка HA6 лежит на окружности (О). Центр 09
окружности Эйлера для треугольника АВС является серединой
- отрезка ОН. Значит, О9Р — средняя линия треугольника ОНАй й',
значит, О9Р=-уОАв = у-. Отсюда следует, что точка Р лежит и
на окружности (Q9) Эйлера. _______________	_
7°. Докажем, что треугольники А1аН и НВ1а подобны и оди-
наково ориентирован!!. Имеем
Д =
а7 h
fa 1
Л fa
1
1
1
а7 —h
ta — b
h
h—Ta
1—та
Ta
0
0
1
= (a7 - h) (1 - ra) + (h - та)2.
100
Далее,
t 6л . . . 6л - 2л 6л . . 2л . . 6л
д7^-Л = COS-y + l SlO^y- — I — COS -у- — COS-у---I Sin-у- — I Sin-у- =
« Л 2 л \ . 2л
= — I — COS у ~ I Sin у,
VVO -ч —	Z>	vvo _
1««	I • • Л	л
— та= I — I---- - I Sin -у- =-- -isin-=-,
Л Л	7	л  л	7
2cosy	2cos-y
/,	2 Юл . . . Юл	Зл . . Зл
(Л —Ta)2 = a6 = cos-y- + tsin-y- = — cos-у—tsiny,
(а, - h) (I -та) = (l + cos-y'+i siny) -+ i sin у I =
'	7 у 2 cos у	J
'	2л ' . 2л
Л ,	„2л , . . 2«AC0S-+ISmT_
= l+cosy + tsinyj--------г—--------
x	* .	2cos-y-
_ 2л ... 2л
,	- v cosH smQ
/ л	л л । л • • л л \	7	7	~	।	• «3л
= 2 cos2-=r- + 2l sin-^-cos— ------ = COS -X- + t sin .
\	7	7	7 J Л Л	(	7
'	2cosy —
Следовательно,
Д = (ft — та)2 4- (a7 — ft) (I — Ta) -= 0.
Итак, AIaH \[НВ1а, причем треугольники Al^H и HBIa
подобны и одинаково ориентированы (имейно при таком порядке
задания их вершин).	_
Аналогично доказывается, что треугольники А1аН и 1аНС
подобны и одинаково ориентированы.
8°. Докажем, например, что точка В*, симметричная точке
В = ЛГ относительно биссектрисы внутреннего угла А, лежит на
прямой Hlay Уравнение биссектрисы внутреннего угла А:
п. . л
z —Z = 2isiny.
Уравнение, перпендикуляра, опущенного из точки	= В на эту
биссектрису, имеет-вид	;
- z+z = 2. .
Отсюда находим аффикс проекции Bt точки В на биссектрису
угла А:	"	
&1 = 1+»81Пу.
101
Аффикс b* точки В* находим из соотношения
6* + 1-6
откуда
&* = 1 +2isiny.
' Далее,
у	__5л ... 5л
П —Ta = COS-y 4~l Sin-у,
/ /
cos —у
та — &*=аь=Ц---------pfsin-5-—-1 — 2isiny =
2cosi	4 * * 7	7
2л	2л . . 2л	5л ... 5л
cos^z-	cos-=—i sin-у	cos-=—I-ism-у
=---------i sin -=- =-------------=--------------------
2 cos у	2 cos у	2 cos у
и, следовательно, отношение
— число действительное, а значит, точки Н, 1а, В* лежат на
одной прямой. Читателю предлагается доказать два остальных
положения настоящего пункта.
9°. Рассмотрим треугольник О1аА6. Имеем
0Ра
ОА1 = 1,
/	2л \ 2	2л «2л
I	cos-=- \	cos-=- cos2-=-
= i+—- +sin24=i+—7-+—7-
Д 2 COS у У	cos у 4cos2y
4 cos2 у 4-4 cos у cos y^4~cos2 -у—4"4 cos2*y sin2 у
j-sin2-y-=
л о п
4 cos2 у
, .	. 2л\ , п/ л , Зл\ о . 2л 4л 6л\
14-2(14-cos y-j + 2 (cos у 4-cos у- ] 34-2 (cos -у cos-у—cos -у j
4 cos2 у '	•	4 cos2 —
34-2 (cos-у 4-cos-y +	4-J-4cos-у
z	4 cos2 у	4 cos2 у
И наконец, гиз параллелограмма 01аНА^ имеем (сумма квадратов
диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов четырех его
сторон):	‘ ’
Oil+ИА I ±0А 14- 7«Я2 = ОН* + 1аА$.
J02
Ho OPa = HAl = 2
следовательно,
откуда
(см. пп. 1° и 5°), OA6 = IaH=l, 0H = V2,
2 + 2+1 + 1=2 + /аЛ^,
Ml=4.
Треугольники 01аА6 и А61аН равны, поэтому квадраты длин его
сторон IaH\ НА1, 1аА1 также образуют геометрическую прогрес-
сию со знаменателем 2.
Пример 12, Дана дробно-линейная функция
az4-t>
cz-|-d ’
(30)
где a, b,c,d — фиксированные комплексные числа, причем ad — be
т^О, с^О; г —аргумент; и —функция. '
Рис. 15,
Доказать, что если |с| =/= | d|, то образом единичной окружно-
сти при этом преобразовании является окружность;  найти ее
радиус и аффикс центра.
Решение. Преобразуем функцию и следующим образом:
bc—ad
_а	. az + b а____а_	. Ьс—ad	___ a .	с2
~с	cz+d — ~с	~с с (cz+d)	— с *	.	*
, с
103
1) Преобразование z->z+y переводит единичную окружность
(QJ = (0, 1)*) в окружность (й2) = ^-, 1) (рис. 15).
2) Преобразование z-by->—состоит в симметрии относи-
г+т ~
тельно действительной оси Ох, при которой окружность (Q2) =
= (р 1) переходит в окружность (Q3) = ^y, lj, и последующей
инверсии (см. главу IV) окружности (й3) относительно окружно-
сти (Qj), при которой окружность (Q3) перейдете окружность (й4);
для построения окружности (й4) достаточно провести прямую 0Q3
и. построить образы Р' и Q' концов. Р и Q диаметра, который
высекает, на окружности (Q3) эта прямая. Окружность (P'Q’),
построенная на отрезке P'Q' как на диаметре, и будет окружно-
стью (й4). Вычислим радиус окружности (О4) и аффикс ее центра.
Для этого заметим, что при инверсии относительно окружности (QJ
и при гомотетии (О, 1/сг), где о —степень точки О относительно
окружности (£23), окружность (Q3) переходит в окружность (Q4).
Но при гомотетии (О, 1/<т) центр окружности (Q3) перехбдит
в центр окружности (й4), значит, аффикс <о4 центра Q4 окруж-
ности. (й4) будет равен	. •	-	-
1 d
ю4 =---
• ас
а радиус будет равен произведению радиуса /?3=1 окружно-
сти (й3) на модуль коэффициента гомотетии, т. е. на 1/| о |:
Далее,
<r=OQj — RI = 11 - 1 =
так что
'Мзй? рйтг)-
2) Символом (z0, R) мы будем обозначать окружность радиуса ЯЛаффикс
центра которой равен z0.	'
2) В общем случае при инверсии относительно точки О будем иметь
0M-0M'=kt	-
где степень инверсии и, следовательно,
ОМ' = k~
ON <*’
где N—вторая точка пересечения прямой ОМ с инвертируемой окружностью;
а =/= 0, так как | d j #= j с [.	'
104
3) Преобразование
be—ad
1
.	, d
—*	z-]-----
1 c . c
_ be—ad
заключается в повороте плоскости на угол arg —— и гомоте-
хл	<	I bc—ad I -1—т
тии с центром О и коэффициентом —jgj2 После этих двух пре-
образований окружность (Q4) перейдет в окружность (й5),
аффикс <о5 центра которой	' .	...
bc—ad__ cd be—ad d be—ad
c2 dd—cc с2	c dd'—cc
а радиус
Итак,
__ I _££_ be—ad
5 I dd—cc c2
be—ad 11’
dd—cc I -
be—ad
dd — cc ’
be—ad
4)	Наконец преобразование переноса J.
*	\ be—ad	be—ad
c2 * fl___। c2
, d	c . d	>
z+—	24--
‘ c	c
переведет окружность .(Q5) в окружность (Q6) того же радиуса:
^6 = ^5» а аффикс (о6 центра Q6 окружности (Qe) будет равен -
а , d be — ad’ bd—ac
(0e =--J--------— —-----,
с c dd —cc	dd —cc
Окончательно: в результате преобразования
и = ad-bc=£O, с=/=0, |c|=/=|d|
окружность (й1) = (0, 1) перейдет в окружность
\	/bd ас be ad ।
= 1—4=--, —=------ /.
\dd—cc	dd—cc /
Пример 13. Пусть- ВСА^, САВ^, ABCjC2 — квадраты, имею-
щие одинаковую' ориентацию и построенные на сторонах ВС,
С А, АВ треугольника АВС, ортоцентр которого Я. Обозначим
через (О) = (ЛВС) окружности, проходящую через точки А, В, С.
Пусть Р, Q, ^'—соответственно центры квадратов А^С'С",
’ |с2 I I с2 |	|С2| —
105
ВхС^А'А", CjAzB'B", имеющих ту же ориентацию, что и три
первых квадрата. Обозначим через Plt Р2, Рз ортогональные
проекции точки Р на стороны ВС, С А, АВ треугольника АВС,
через Q2, Q3 ортогональные проекции точки Q на те же сто-
роны и через Rlt Р2, Рз ортогональные проекции точки Р на те
же стороны ВС, СА, АВ треугольника АВС. Доказать, что сумма
сил '	'	'		.
РР1 +~РРз+РРз 4- QQi+QQ24-QQ3 +.RRi++ЯТз (31)
равна вектору ОН', где Н' — ортоцентр треугольника, вершинами
которого являются основания высот данного треугольника АВС.
Доказать, что суппорт этой равнодействующей (т. е. прямая,
на которой лежит эта равнодействующаях)) проходит через конец
направленного отрезка ЬОН.
Если же квадраты второй тройки имеют ориентацию, проти-
воположную ориентации первых трех квадратов, то суппортом
суммы сил (31) является прямая ОН’.
Составить уравнения этих двух суппортов, принимая окруж-
ность (О) = (ЛВС) за единичную окружность (рис. 16):
Решение, l0'. Пусть а, Ь, с —аффиксы точек А, В, С. Най-
дем аффиксы р, q, г. точек Р, Q, Р. Обозначая через аи Ь1г си
й2, Ь2, сй аффиксы точек Лх, Въ Сх, А2, В2, С2, имеем:
— 1)с, 1
_	_	1 1	(32)
ох = с4-СЛх = с — iCB = c — i(b — с) = (1 -f-i) с — ib. J
b2 = cA-CB2 = cA-iCA=cA-i (a — c) = ia+(l
Далее,
p = b2-]--2-B2Ai — ^2^1 =	2‘(ai~^2) "2 (ai ^2)
<	. 1	1 1	1	1Ч- i *	.1 —1
= Ь24-у «X- ’2'^2	2	~2~ =	2~al
и, учитывая формулы (32),
р = Цг №+(1 - О С] +	[(1 + о с - lb] = 2с 4-	а - Щ Ь.
(33)
Аналогично (можно произвести круговую перестановку букв а,
Ь, с) находим
q = 2a + l-^-b-1-±^c,
(34)
-Л) Сила есть скользящий вектор.
1Ш
Заметим теперь, что из формул (33) и (34) следует, что
р 4- q + г = a~f- b +с = ох,
а значит, треугольники АВС и PQR имеют общий центр тяжести
(точку пересечения медиан).
Теперь из уравнений прямых ВС и PPS
z — b = — bc(z — b),
z — p = bc(z — p)
или
z+bcz = b+c,
z — bcz = p — bcp
находим аффикс px точки Р±:
Pv=^-(b+c+p-bcp),
Ю7
а значит, t . ~	...	,	.. , t \ ~ :
PPi = Pi-p = ^ (b^-c+p — bcp)-p — ~ (b+c-p-bcp).
Аналогично
~PPz = P2 — P = f (c + a — p — cap),
~РР3 = рл — р= ^-(a + b — p — abp).
Отсюда '
Pf\ + ~PP2 +~PP3 = ffi -1 p - 4 o2p.
Аналогично'
QQi + QQ2 + QQ3 = °! —	— ~2 ^2?»
RRi + RR2 + RRz = <4 у Г —	'
Складывая почленно последние соотношения, находим главный
вектор равнодействующей:
= Р Pi++QQi + ООл "Ь QQ3 4“ RRi+R^2 4~ RR$ =
=30! — ~ (p + q + r) — у а2(Д + ^ + ^) = Зах ——
3 р -f- (J ~f~ Г л 9 а -|~ b -f- с 3 cl -f~ b с_
• ~ Т °2	з~~ = 601 “^2" ~з ~ У °2 з =
=30! - 4^ - 4	=3 (^1 —f- g - 4~ 02ё) >
где g = (a + b+c)/3 — аффикс точки пересечения медиан.треуголь-
ника АВС (или, что то же самое, точка .пересечения медиан тре-
угольника PQR).
Но так как а + ^ + с = о1, то сумму h' можно преобразовать
следующим образом:	'	4
/{' = 3^ —_.А_ —а24) = 3fy = у (3^1 — ^i) •
, Докажем, что h* есть аффике ортоцентра треугольника AkBhCh,
образованного основаниями высот данного треугольника. Уравне-
ния ВС и высоты из А на ВС имеют вид:
z + bcz = & + <?,
z — bcZ = a — —.
а
Складывая, найдем аффикс ah точки ЛА:
If Ьс\
п аналогично , •	'___
1	1 t са\ -	1 f ab\
Ьь— 2V1 Ту’	с г
1С8
Угловой коэффициент ВАСА равен '
'	*	—	а (Ь2 — с2)
bh — ch __	_ be _   л
bh — Ch ___b_	°2—b2
ab ac	abc
Уравнение высоты, опущенной из вершины Ah на сторону ВьСь.’
If , bc\ 2Г-	1 /_ aVj
или
/	2-	1 Ьс P 2- f a3
г_й = -а1-^-у(Лт1+й?
или	. 	; _	’
2-	1	1 2- । O4 — Ь2С*	/OE\
' z-az = yai-TaCTi + -2^--	<35)
Аналогично записывается уравнение высоты из ВА на CaA*:
-2_Й22==^СТ1_|^1 + ^.	-	(36)
Вычитая почленно из уравнения (35) уравнение (36), получим
...	_ 1	,ч_ Ь*—а*+с2(*2—а2)
(&2 - а2) г = у (&2 - а2) ах-----i
или, сокращая на &2 —а2,
_ т, 1 _	а2+6«+с2	1	 а2—2(т2	1 а* а2
г=л'-у<7,—= уа,—5;^ = та‘-^ + ;; =
=-j-- ^+о.=4 ®i - тг=4 <3s>_'’Л)
и, следовательно,	. .
ft’ =y(3oi-Si<T2).
Теперь составим уравнение суппорта найденной равнодейст-
вующей. Так как указанные девять сил выходят по три из одной
точки, то их равнодействующая равна сумме трех-сил:
QQ' = QQi+QQ2+QQ3,
^’ = ^+^2+^3,
отложенных соответственно от точек Р, Q, Р. Аффикс р' точки Р'
найдем из соотношения
,	. з 1 _
Р -Р = О1~-2 Р--2У.2Р,
.109
откуда находим р', и аналогично аффиксы точек Q' и R'l	Я
,11-	Ж
Р — °i 2"Р	2~ azP<	Я
9'= <^1-у	Г
, 1 1 1
Г	I
Замечание. Если на плоскости (будем считать ее ориенти- 1
рованной введениемпрямоугольной системы координат) задана |
совокупность сил АкВк (6=1, 2, .... п), то главный вектор их |1
равнодействующей находится как сумма свободных векторов:	J
"4 
s та.	
fe=i
Суппорт суммы сил есть геометрическое место точек М (х, у), для
каждой из которых
У тотмАкВк = 0.
Л = 1
Так как на плоскости моментом силы F естественно считать
смешанное произведение	'
тогпл! F= МТF,
где Т — точка приложения силы F, то уравнение суппорта системы
сил АкВк имеет вид
(37)
где (ак, ак) = Ак, {Ьк, Ьк) = Вк.
Уравнение (37) есть-, вообще говоря, уравнение первой сте-
пени, следовательно, (37), вообще говоря, — уравнение прямой
(левая часть соотношения (37) равна нулю тогда и только тогда,
когда главный вектор системы сил равен нулю).
Уравнение суппорта суммы сил АкВк можно записать и в дру-
гом виде, вводя аффиксы ак и Ьк точек Ак и Вк:
z
ак
bk
2 1
а* Г
h 1
= 0.
' ПО
Применяя последнее уравнение к данной задаче, будем иметь
					1 1 _		1	
2	Z	1		2	Р	—2 Р—2<3^>		2 р Оу		
Р	Р	1	=	Z	1 _ 1 _ Р ^i—^P — ^^P	—	% 1Ь -|<N 1 lb IN	=3
РГ	Р'	1		1	1 1		1 1' 4 :	-
			= г	4	Р-^^у^гр) 4-z(-		3	1	\ - у Р 4- ci — у cr2p j 4-	
							+ P0'i““P°ri4‘“2	-с2р2~^а2р2.
Складывая три аналогичных выражения, полученных из него заме-
ной р на q, а затем q на г, и приравнивая эту сумму нулю,
получим уравнение суппорта в виде (следует еще заметить, что
г(тЭ1-351+4Э2а1) + 2(“У ^i+^i-y ^i) +
+ у (Р2+4*4- г2) - 4 (р2 + q2 + г2) = О,
или
!	3 _ . I _ \ , /3	1 _	,
у °i + у 2 + у °i ~ у 2 +
х	+'У<Т2(Р2 + ?2+^)-уб'2(р2 + 92 + '’2)=0,
или 
(З?! - 0^2) Z - (3<7Х - а^г) Z+б2 (р2 + q2 + г2) - <т2 (р2 + <72 4-f2) = 0.
Далее находим
р2 = 4с2	4-	4-	2ас (I - 1) - 2cb (i +1) ±ab,
q2 = 4а2 -	4-	~ + 2ba (I - 1) - 2ас (i +1) + bc,
г2 = 462 - -¥ 4-	4-	2cb (i - 1) - 2ba (i 4-1) +са,
и, значит, _<-
p24-<724-r2 = 4(ol-2a2)-3a2 = 4ol- 11<У2.
Отсюда следует, что
Р2 4- q2 4- г2 = 451 — 11 а2
и уравнение суппорта принимает вид
(Зо-! —	Z — (ЗОх — ©хОг) z 4- о2 (4<Тх — 11 о2) — <Т2 (451 —Д1 <?2) = 0
или
(Зох — <Т1О2) г — (ЗОх — сг2Сх) 2 4-4 (<т1сг2 — о251) = 0.
(39)
Ш
Подставляя в левую часть вместо z аффикс конца направленного
отрезка 40/f, т. е. 4оь получим, , . ; 	.
4 (3ffx — 0^2) <4 — 4 (З01 — сг251) °i + 4(Ti&2 “ 4<т2®1 = '
= 12о1ст1 — 4ст|52 — 12oioi 4- 4o2oJ + 4<Г1О2 — 4<72стх == О,
т. е. суппорт равнодействующей проходит через конец направлен-
ного отрезка АОН.
2°. Теперь предположим, что ориентации квадратов А^С'С1',
BtCzA'A", CtA2B'B" одинаковы, но противоположны ориентациям
каждого из квадратов: ВСЛ^Х, CABtBz, АВСГС2.
Чтобы не усложнять рис. 16, на нем построены только
центры Р* *, Q*, R* квадратов ЛХВ2С'С", В^Л'Л", С1А2В'В''",
топки Р*, Q*, R* симметричны соответственно точкам Р, Q и R
относительно ЛХВ2, Bfi^, СХЛ2. На том же рис.' 16 построены -
только три из девяти сил, именно построены силы Р*Р%, Р*Рг,
_Р*Р%, где Р*, Р2, Рз —ортогональные проекции точки Р* на
стороны ВС, С А, АВ.-
‘ Аффикс р* точки Р* будет
Р* =^г + ‘2’В2Л1 +	ВаЛх =	-	.
= ^2+-2'(а1 — ^2) +у (а1~М= 2* й1+ 2~”^2 =
= -Цг [(1 + i)'c -1&] +	[ia + (1 - 0 с] = 1=^ b + а.
Аналогично	- '
*	1 i . 1 -f- i 1
q*=-c + -^-b,
где'9* и г* —аффиксы точек Q* и R*. Заметим, что и в этом
случае	J -
Р*+^*+r* =fl+^+c==orv
Теперь из уравнений прямых ВС и Р*Р*:
•zA-bc2=b+c,
z—bc2=p* — bcp*,
паходим аффикс р* точки Р*:	4
pt = y(& + c+p*-&cp*),
и, значит,
Р*Р* = р* — р* = -т>(ЬА-с—р* —Ьср*).,
А
112
. Аналогично ....	..
P*Pl=~ (c+a-'p*-cqp*),	,.	*
ч. р*р| = 4-(а + Ь-р*-^Р*),	’ '
" J
и, следовательно,	„
ppi+р*р*+р*р| =	- А р* -1 а2р* .
И	'	'
ОЧГ? 4- Q*Qt + Q*Qt=ffi -1<7* -
W? 4-/Г**| +	=ffi— | r* -1 o2r*,.
и, значит, главный вектор суммы девяти сил Р*Р*, P*Pf, ... будет
равен	-	.
g = 3<Tj - (р* 4- q* + г*) -1 <т2 (р* + q* + ?*) =>
о  3	1 _	3	. 1	_	I.'	_ . ,,
- — 301 —01 — '2" OgOj — ~2&1	(<J°ri — O2(Ti) ~ « >
где h' — аффикс ортоцентра треугольника ДЛВЛСЛ.
Рассмотрим, как и в случае п. 1°, суммы девяти сил, взятых
по три:	•	~
р*р'*=Рр|+Р*р| _|_ppi/
Q*Q'i = Q^Qf + QSQ* + Q*^,
p ppi+ppi +Ря|=.
Найдем аффикс p'* точки P'*‘.
-p*p'* = p'*—p*=oi-4p*- 4
z*	z* z*.
отсюда находим p , и аналогично q иг.
Р =<Т1-2^р* — 2-О2р*.
/Й»	1 tU	1	«
я =Oi--2q*-^^q*, -
'	"	1 4-	1	-4t
Г’ -Oi-y r*-yffar*.
Уравнение суппорта равнодействующей имеет вйд
4:	Г* Z Р* р'		г q* д'.		Z г* г*	
Z р* р'	4-	_	-Jfc z q* q'	+	? г* г'*	= 0.
11-1		1 1 1		11 1	-
Ш
Имеем
z р* р'* z р* (Тх—ур*-у Стар*
«	II"
Z Р* р' = 2 р* ?!—-^р*—-2Э2Р* =
111 11 1
= (у Р*. — °i 4“у ^2р*) 2 + (ffi - у °гР* -
р* <Т1—4^*
Р* 91 —4&ар*
 I
р*)?4-
+p*oi - p*at +4	- у ®2Р*2 •
Записав еще два аналогичных выражения, складывая их и при-
равнивая результат нулю, получим уравнение суппорта в случае
п. 2°:
. (у - 3Oi 4- ~ o2oi) z+^Зо-j. - у <т2»1 ~ у °i)2 +
+огЛ — Ox^i +4 о2 (р*2 4- ?*2 4- г*2) — 4 ^2 (р*2+Я *2 4- г*2) = О
или
(3ff1 — oi52)z—(3o'1 — ff1o2)24-
4- (р*2 + 9*2 + г*2) ~ Рг (Р*2+7*2+7*2) = О»
Далее,
Р*2+^2+г*2 = (1=1 Ь4--Щ- а)2 4- (-^ С 4-l±i bf 4-
4-(1=1 а4-Alley = — (a2+b2+с2)+ab+bc+ca-{-
. 4-4(fl2 + &2+c2) = ff2.
52(р*3+я*ъ+г*^) = 52<у2.
Поэтому
<г2(р*24-^*24-^*2) = ^2»
и, значит, уравнение суппорта принимает вид
(39х — Ох^) z — (3oi — &хСТ2) z = О,
это и есть уравнение прямой..
Пример 14. Пусть Р, Q, Р — ортогональные проекции точки М
на стороны ВС, С А, АВ треугольника АВС (рис. 17). Обозначим
через А', В', С' точки, полученные инверсией середин Ло, Во, Со
отрезков М.А, МВ, МС относительно окружности (PQR), а через
А", В", С” треугольник, образованный полярами точек Ао, Во, Со
относительно той же окружности (PQR). Доказать, что
ЖВ7^72 = 1 ^В^ • PQR.
114
При каком необходимом и достаточном условии треугольники
^В'С' и PQR имеют противоположную ориентацию?
Решение. Примем окружность (PQR) за единичную окруж-
ность. Пусть z2> 23 —аффиксы точек Р, Q, Р, а р —аффикс
точки М.
Угловой коэффициент прямой МР равен
Р~*1
I	_	>	'
Р~Z1
й, значит, угловой коэффициент прямой ВС будет равен
_ р—Zj
р—Zx
и уравнение прямой ВС будет иметь вид •
г-гх = —^=J-(z-2x).
Уравнение С А:
(40)
(41)
найдем
г-г2 = --й—^(?-22).
Р~z2
Вычитая почленно из уравнения (40) уравнение (41),
комплексное число С, сопряженное аффиксу с точки С:
,	,	_ P~MS r ? Р~£1	= Р-£а
\р —Z2	р — Zj/	р — Z1	р — za
115
или
(2 _2 ) f_g __Е__|_	(22_г1)Ж=1'
_ __ _	\	Z1Z2 _ Z1Z2 / ? .	ZjZ2
-	1	• (g-zjfp-za) •
Сокращая на г2 — гги умножая обе части на (g — Z]) (g — г2), получим
\	*1*2 Zl*2 /	Z1Z2
откуда
(- Й- i -+	2 = (Й - 21) (Й - 2а) - 2Х22 (рД - 1),
\	*1*2	*1*2 /
ИЛИ
(— Й - Н2122 + 21 + z2) 2 = р - g (?! + z2) 4- (2 - pg) 2Х22,
откуда	_	-
gЙ2—Й (Ji+z2)+ (2—pg) z^'
—p—pz^ + zj+za
и, значит,
c _ P2—P (Zi + Z2) + (2 — pp) Z1Z2
—p — gz^a+zj + za
ИЛИ	. . '
c  — И2+P (zi+ z2) + (p?—2) ZiZ2
p+pz^a—-Zi—z2
Аффикс c0 середины отрезка MC будет
со — 2-6^
| — И2 + И fa + г2) + (рр — 2) Z1Z2\ _ (рр — 1),Z1Z2
p+pziz2 —fa+zj . /	p+pZjZa—zi—z2’
а аффикс с' точки С, полученной из Co инверсией относительно
окружности (PQR):
1 _ p+pSiz2—zi—г2 _ p4-pziz2—zt—z2
e° (pp—Oziz2 " pp—1
Аналогично находятся аффйксй а' и b' точек А' и В':
пГ  р» + р£223““ г2 — %3
_ р 4~ pz2zi—z3—Zf
рр—1
116.
Теперь находим
А’В’С' =>
a9
V
d
i
4"
a' 1
5' 1
С' 1
г
4(рр—1)’
==_____£
4 (рр-
_ i
4(рр-1)3
p-f-pZ2?S“Z2—?3 р-|~р^2^3 — Z2 — Z3
J5 p+p23zi— z3— st p4-pz3z^—z3—zi
p+pZiZa—zx— z2 p+pziz2— zi—?2
pz2z3—z2—Zj
pz3Zi—z3—Zi
pZiZa —Zi—z2
pc32i—<7i+ Zi -p^aZi—914-Zi
p<r3z2—<Ti4- z2
p<73z3—ffi-|- zj
p<r3zi+zi
P»2g23 — £2 — 23
—Z3 —Zf
H2i^2“2X“Z2
“4(рр-1)а ^a+*a
i >
4(рр-1)!
рХГз2$4~2ф
- =Л
’ -	21
3 рр<Т3®з 2з
L	?з
21
Ъ
23
JIO3Z2—4* z3
|io*3?3—О’! 4“ 23.
ЦО’з214в21
Р-<Уз?2 + 23
|Л^з2з “ - 23
21
4- 22
2з
t(l—рр)
4(1 —рр)2
1
1
1
21
22
1
1
Г
1
1
1
1
1
1
21
22
23
21 1
1
1
?2
*3
PQR_
1-рр*
1
1
Г
i
1
1
Далее, угловой коэффициент прямрй ОЛ0:
_	(рр — l)z2z3	(рр—l)z2z3
Ко а» —	; —	• — .  _ _
p+pz2z3—z2—z3 p+pz2z3—z2—z3
(рр —l)z2Z3'	. “
ни—1
= Z2Z3,
p+pz2z3—г2—г3 * p+pz2z3—г2—г3
поэтому уравнения поляр точек Ло и Во относительно окруж-
ности (PQR) как прямых, проходящих через точки А' и В’ соот-
ветственно и перпендикулярных, прямым ОА' и ОВ\ будут
p'+pZaZs—Z2 — Z3	(- р + р22?з—Z2-—?3\
Z-------—= ;---------z2z3 Z--------~  ------1,
- рр —1	..	\	РР-1 /
- p+pz3zi — z3— Zi_	/	p + p?3zt—z3—?Л
Z-------=--------— — ZaZ! Z	=	-----I.
рр —1	\ ' pp—1	/ •
Аффикс с" точки С их пересечения найдем из уравнения
р+рг2?3—z2—z3

__ 1 I  p 4~ Ргггз—z2—z3
г2г3 \	pp— 1	) ' у PP—1
f2 _ H+PZ3Z1—Z3—Z1\ I p+pz3zi — ?3—
гзг1\ . pp—1	/	PP —1
117
или
Z | 2 h+hz2z8— z^-z^ _________z J 2 P- + m-z3Zi—?3—Zl
z^3	.	z2z3((i(i—1)	2szi	z3Zi(iqi.— 1)	*
(z2-zi)z _2 • Гц / 1	1 \	1	11
CTa	fiji— l{z3^Zi Za/^Za .Zi]’
откуда..
с"=-=Ц(И-гз1
14Л—1
и аналогично
a"=^—(Н-Zi),
(X(l—1
2	/ ч
~=—;(н-га),
jmpt — 1 <
так что
А"В"С”
Итак,
А'В'С' = ~^=, Л"В"С" = ' 4 PQR.
1 —(ip.	(1— HW
Отсюда
А'В'С'2 =	=
Треугольники А’В'С' и PQR имеют одинаковую ориентацию
тогда и только тогда, когда 1 — рр > 0, т. е. степень точки М относи-
тельно окружности (PQR) отрицательна, т. е. тогда и только
тогда, когда точка М лежит внутри окружности (PQR). На
рис. 17 точка М лежит внутри окружности (PQR) и действительно
А’В'С' №PQR.
Пример 15. Через произвольную точку Р окружности (ЛВС),
описанной около треугольника АВС, проводятся прямые, парал-
лельные сторонам ВС, С А, АВ этого треугольника. Пусть А',
В', С'— соответственно вторые точки пересечения этих прямых
с окружностью (ЛВС). Обозначим через А", В", С" точки, сим-
метричные точкам Л, В, С относительно прямых В'С, С А', А’В'.
Г. Доказать, что треугольники ЛВС и Л"В"С" конгруэнтны,
но имеют противоположную ориентацию.
2°. Доказать, что 00" = PH, где О и О’ - центры окружностей
(ЛВС) и (Л"В"С"), а Я —ортоцентр треугольника ЛВС (рис. 18).
Решение. Первый вариант. 1°. Примем окружность
(АВС) за единичную', а точке Р припишем аффикс 1 (т. е. Р —
"	’ ‘	Ь', с' точек
е'д ' 0*
единичная точка). Тогда аффиксы а’,
будут
a'=z2z3,. b'=z9zit
. с' = ztz2,
где zx, z2, z3 —аффиксы вер-
шин А, В, С треуголь-
ника. Угловой коэффици-
ент прямой В'С будет
?1?2—?х?з _ гх (г2—г3) __
Z1Z2 — ZXZ3	_1_/_1__1_\ .
zi \г2 г3 J
ZiZ2Z3 = — Zxcr3.
Уравнение прямой В'С
будет иметь вид
г - zxz3 = — zxcr3 (z - zx23)
или
z+z1ff3z = z1z2+z1z3. (42)
Уравнение перпендикуля-
ра, опущенного из точки А
на прямую В'С':
z-Zi = zx<r3 (г — ?i)
или.
z-2xcr3z = гх - о3. (43)
Д', В',
а'
Сд
А
Рис. 18.
Складывая почленно уравнения (42) и (43), находим аффикс ах
ортогональной проекции Дх точки А на прямую .В'С':
«1 = у (zi + zxz2 + zxz3 - <т3) = 1 (zx - z2z3 + or2 - ff3).
Аффикс а" точки А", симметричной точке А относительно В'С,
находится из соотношения
откуда
а” = 2ax — гх = <т2 — о3 — z2z3.
Аналогично находятся аффиксы &" и с" точек В" и С
У' = <т2-<т3-г3гх,	с" = о2 —о3 —zxz2.
Из последних соотношений следует, что точки А", В", С
лежат на окружности (А"В"С"), цешр О" имеет аффикс
О — сг2
119
а радиус равен 1, так как
|а"_о"| = |6" —о"| = |с" —о"| = 1
(I-z2z31 = | -z3zx I = \ ~ZiZ2 | == 1).'
Рассмотрим треугольник AgBgC'o, аффиксы вершин которого
соответственно равны — z2z3, —z3z1( — zxz2. Треугольник ЛрВбСо
симметричен треугольнику А'В'С относительно точки О, а зна-
.чит, треугольник Л"В"С" получается переносом треугольника
А'оВ'оС'о, определяемым направленным отрезком ОТ, где аффикс т
точки Т равен ст2 —о3. '
Далее — z2z3 = —^= —стЛ, — z3zx — — <г3?2, — z1z2 = — о3?3,
поэтому треугольник ЛqBoCq получается поворотом вокруг точки О
треугольника- А*В*С*, .аффиксы вершин которого Zlt S2, 23, на угол
arg(—<т3). Треугольник А*В*С* симметричен треугольнику АВС
относительно прямой ОР (действительная ось Ох), поэтому треу-
гольники АВС и А*В*С* равны и имеют противоположную ориен-
тацию. Но треугольник А*В*С* равен треугольнику ЛбВбСо
и имеет с ним одинаковую ориентацию; треугольник ЛбВбСо равен
треугольнику А'В'С' и имеет с ним одинаковую, ориентацию,
а треугольник Л"В"С" равен треугольнику ЛрВбСб и имеет с-ним
одинаковую ориентацию. Следовательно, ЛВС Л"В"С^и А ЛВС =
= ДЛ"В"С" (знаком = мы обозначаем здесь конгруэнтность).
2°. Аффикс точки О" равен о" = о2 — <т3. Отсюда
0(/=|а2-а3| = |а8||^-1| = |§-1|=|&1-1| = |а1-1|=РЯ.
Второй вариант. 1°. Примем окружность (ЛВС) за еди-*
ничную. Пусть zlt z2, z3, р — соответственно аффиксы точек А, В,
С, Р. За единичную точку примем точку Бутена для треуголь-
ника ЛВС, так что а3 = 1*. Аффиксы а', Ь', с'"точек Л', В', С'
будут	_	~
а'=^?, Ь'=гз^, с' =2-^
'	-	-	р ’	• р ’ р
или (ст3=1)
0.'=^?!, Ь'=р22, с'=р23.
Угловой коэффициент прямой В'С' будет
b'—c'_pz2—pz3_	1	zi	,
Ь’—С’ pz2—pz3	Z2Z3p*	pz	' 3	/•
Уравнение В'С':
zr-pZ2=—z3jP{Z-pz2)
120
или
Z^-Zjfi2 = p^ + P2z.	(44)
Уравнение перпендикуляра, опущенного из точки А на пря-
мую В'С';
^z-z^z^iz-^)
или *
Z-Zip2Z = Z1-pz.	/45)'
Складывая -почленно уравнения (44) и (45), находим аффикс
ах проекции Лх точки А на прямую В'С:
a1=-^(z1+pzz+^8-pi).
Аффикс d' точки А", симметричной точке А относительно В'С'
находится из соотношения
9 — ^1,
откуда
и аналогично
Теперь находим
а" = 2ar - zt =	pz3 - р2;
b" = pz3 + p2i-p2- ~
a" — b" ~p{z2 — ^i)9 '
a” — b" = p(z2 — ?]),
и, значит,
А"В^ = (а" - &") (а" - Ъ") = рр (z2 - 21) (z2 -	= АВ*,
т. е. A'fB" = AB. Аналогично, доказывается, что В"С" = ВС, С"А" =
-=САт т. е. треугольники АВС и А"В"С" равны.
Для того чтобы доказать, что треугольники АВС и А"В,,С'
имеют противоположную ориентацию, достаточно доказать, что
Имеем
Zi
23
Z2
a" 1
? 1
? 1
= 0.
Zf
z2
z3
p(z2 + z3)—
P (Z3 + Zj—p2
P (Zl + z3)- p2
Zf
Z2
z3
P(ai-Zi)
p(^i-z2)
A(<h—*з)
Zf .
z2
z3
—P?i
— Р?з
1
1 =0.
1
Д =
Д =
1
1
1
1
1
1
Итак, ДЛВС = ДЛ"В"С:' и ЛВСЦ
2°. Из формул
< = pz2 + pz3 - р2 = р (5Х —Z,) - р2 == — р?х + раг - р2,
Ь" = —р22 + р51-р2,.
= —ргз + рах-р2
121
следует, что аффикс о" центра О" окружности (А"В"С") равен
o" = pc?i-p2,
а радиус равен 1 (| —	] = | —pz21 =| — pz31 = 1). Отсюда
<ХГ=|о’| = |р&1-р2| = |р|1а1-р| = 1&1-р| = |ст1-р|=РЯ.
Замечание. Из соотношения o" = p(ff1 —р) следует, что
направленный отрезок 00" эквивалентен направленному отрезку,
который получается симметрией в оси Ох направленного отрезка
РЯ и последующего поворота на угол argp (ось Ох —это прямая,
проходящая. через О и точку Бутена).
Пример 16. На сторонах ВС, СА, АВ строятся треугольники
^А'ВС, В’СА, С АВ, которые подобны между собой и имеют оди-
наковую ориентацию. Пусть Р — произвольная точка, лежащая
на окружности (О) = (ЛВС). Направленные отрезки О A', OB', ОС'
поворачиваются вокруг точки О на углы, соответственно равные
(бР, бл), (ОР, О В), (ОР, ОС) (углы ориентированные). Пусть
О А", ОВ", ОС" — соответственно повернутые отрезки. Доказать,
что центр тяжести О" треугольника А" В"С” симметричен центру
тяжести G треугольника АВС относительно того диаметра окруж-
ности (О), который параллелен' прямой Симеона, построенной
для точки Р относительно треугольника ЛВС.
Решение. Примем окружность (О) —(АВС) за единичную
окружность, а точку Р за единичную точку. Пусть zx, z2, zs—
аффиксы точек Л, В, С. Обозначим "через а’, Ь' с' аффиксы точек
А', В', С'. Так "как треугольники А'ВС, В'СА, С'АВ подобны и
имеют одинаковую ориентацию, то, полагая
Ф = (СВ, СЙ'),	Р=^г,
будем иметь
а' = zs + р (cos <р + i sin <p) (z2 — z3) = az2 + (1 — a) z3,
где a = p (cos ф + i sin ф), и аналогичные выражения для b' и с'
с тем же значением а:	-	t
b' = az34-(l — a)zx,
c' = az14-(l—a)z2.
Аффиксы a", b", с" точек А", В", С" будут"
a” = zla’, b" = z2b', c" = z3cf,
t. e.
a" = z1z2a + (l—aJZxZs,
b" = z2z3a + (1 — a) z2zlt
c" — z2zt<x + (1 — a) z3z2.
122
Отсюда находим аффиксу" центра тяжести треугольника Л"В"С":
» о” 4- Ь’+с"  о2
s ~	3	— 3 •
Уравнение диаметра окружности (О), параллельного прямой
Симеона, построенной для единичной точки Р относительно тре-
угольника АВС, имеет вид (см. пример 3)	'
z — <т32 = 0.
Концы этого диаметра имеют аффиксы ]/о^ имеет два зна--
чения; каждое из них удовлетворяет уравнению г — ст32=0).
Для того чтобы доказать, что точки G и G" симметричны
относительно диаметра г — сг32 = 0, достаточно доказать, что тре-
угольники ODG и 0DG" подобны, но противоположно — ориенти-
рованы (О —один из концов диаметра 2 —о32 = 0), т. е. что
(для берется любое из двух его значений,
сопряженное этому значению). Имеем
— число,
=]^з (-у- - <Тз -у) = у V* ( ах - <т3 -g-) = 0.
Пример 17. Высоты произвольного треугольника АВС пересе-
кают окружность (О) = (ЛВС) в точках Лх, В1г Сх; А', В', С' —
точки, симметричные точке Р, лежащей на окружности (О), отно-
сительно' прямых О А, ’ОВ, ОС; А", В", С" —точки, .симметричные
точке Р относительно прямых ОА', ОВ', ОС; а, 0, у —точки,
симметричные точкам Л", В", С относительно прямой ОР. Дока-
зать, что точки Л2, Вг, С2, симметричные точкам а, 0, у отно-
сительно касательных к окружности (О) в точках Лх, Вх, Сх,
образуют треугольник Л2В2С2, гомотетичный треугольнику ЛХВХСХ,
с коэффициентом гомотетии, равным 2, причем центр Q этой
гомотетии лежит на окружности (О).
Решение. Примем окружность (О) = (АВС) за единичную
окружность, а точку Р за единичную точку. Пусть zx, z2, z3—
аффиксы точек А, В, С.
Уравнение прямой ВС имеет вид
z+z2z32 = z24-z3.
Уравнение высоты, опущенной из вершины А на прямую ВС:
z —гх = г223(2-гх).
123
Решая это уравнение совместно С уравнением zz = l единичной
окружности, будем иметь
\
/I 1 \	г—zi
Z-H1 = Z2Z3 —I, Z-Z1 = — Z2Z3—
\ **	/	c
Юдин из корней этого уравнения z = zx (аффикс точки А); другой
а -	2223
------ч
— аффикс точки- Яр Аналогично
h — z*zi — Z1Zs
-  —— ---- С,1    	• •
1 2а 1 г3
Уравнение прямой ОА:
з —г?2 = 0,	'	.
' а уравнение перпендикуляра, опущенного из точки Р на эту
.прямую:
1	-	3—1= — zf(2-l),
/ - ' .
Из этого уравнения- и уравнения з2 = 1 единичной окружности
находим аффикс, а' точки А':
з-1=—zf(l-l). z-t^zl^-.
Один из корней этого уравнения з = 1 (аффикс точки Р), другой
a' —zl
— аффикс .точки А'. Аналогично
Ь’ = з|, с' = з|	,
— аффиксы точек В' и С'	-
Уравнение прямой О А':	•
3 — 312 = 0,
- а- уравнение прямой, проходящей через точку Р перпендику-
лярно прямой ОА':
3-1 =-31(2-1).
Отсюда и из уравнения z2 = 1 единичной окружности, найдем
аффикс а" точки А": '	'	-
з -1 = - г! ( I -1),	г - 1 =zt ~ :
Один из корней этого уравнения z = 1 (аффикс точки Р). Дру-
гой
а
124
^аффикс точки' А".; Аналогично
b" = A, =
где Ь" и с* —аффиксы точек В" и С".
Угловой коэффициент прямой ОР равен. 1. Значит, уравне-
ние прямой, проходящей через точку А" перпендикулярно пря-
мой ОР, имеет вид
'	z—а" = — (2 —а").
Решая это уравнение совместно' с уравнением zz == 1 единичной
окружности, найдем аффикс % точки а:
„ » /11/
г—а
а’г-
Один из корней этого уравнения г = а" (аффикс точки А").'Дру-
гой *	.
a zf
— аффикс^точки а. - Аналогично
₽ й у:
находим аффиксы р и v точек
Угловой коэффициент прямой ОАг равен
- 21- — п* —
&х 1 f* ’ - .
а значит, уравнение касательной к единичной окружности-(О)
в точке At имеет вид ...	_
2_1_Лггз_ = _ Лг1
+ Zi	Zl г2гз/
или
- г+4?-2=-2^8-.	4	(46)
Уравнение перпендикуляра, опущенного7 из точки а на эту каса-
тельную, имеет вид	?
1	Z?Z? 4Ч
2	"zf- zj/z —Z1^
ИЛИ	‘
Z--“3-2 = -V-<*>-	(47)
z|	zf - д	' ‘
Складывая почленно уравнения (46) и (47), находим аффикс а*
проекции трчки а на эту касательную:
-	.	_ г2гз	।	1
-----гГ~Т+2ёГ
,	'125
Аффикс а2 точки А2, симметричной точке а относительно каса- .
тельной к единичной окружности в точке А19 определится из соот-
ношения
^1 + °2_
~2~	,
откуда
Z1 *1 Z1 Z1
Аналогично находим аффиксы Ь2 и с2 точек В2 и С2:
&2 = -2^-а|,	с2 = -2^—о1.
Из последних соотношений следует, что прямая А2А2 проходит
через точку Q с аффиксом
: <? = <&'
так как середина отрезка A2Q имеет аффикс:	\
Яг+<7	Z3Z2 '
“2	V1’
т. е. середина отрезка A2Q совпадает с точкой Лх. Точка Q
лежит на единичной окружности, так как |^| = 1.
Аналогично доказывается, что точки Вх и Сх являются соот-
ветственно серединами отрезков B2Q и C2Q. Итак,
Q'^2 _ Q&2 _ QC2 _
QAi ~ QBt ~ QCi ~ f
т. е. треугольник А2В2С2 есть образ треугольника Л^С^ при
гомотетии с центром Q, лежащим на окружности (АВС), и коэф-
фициентом гомотетии, равным 2.
Пример 18. Г. Через вершины Л ь Л2, А3 треугольника ЛХЛ2Л3,
лежащего на ориентированной плоскости, проводятся параллель-
ные между собой прямые, пересекающие данную прямую А в точ-
ках Рх, Р2, Р3, причем угол от прямой А до прямых ЛХРХ, Л2Р2,
А3Р3 равен а (рис. 19).
Через 'точки Рх, Р2, Р3 проводятся прямые /х, /2, 13, пересе-
кающие соответственно стороны Л2Л3, Л3ЛХ, ЛХЛ2, причем углы,
отсчитанные от прямых Л2Л3, Л3ЛХ, ЛХЛ2 до прямых 1Ъ 12, 13,
равны между собой и равны р. Доказать, что прямые Zx, 12, 13
образуют треугольник QXQ2Q3, подобный треугольнику ЛХЛ2Л3,
причем коэффициент подобия равен 	- -
I Sin(«+P) I
| sin а I*
Рассмотреть частные случаи:
2°. р = л — а.
3°. р = о.
126
Решение. 1°. Примем окружность (О) = (Л1Л243) за единич-
ную. Пусть zb z2, z3 —аффиксы точек Alt Л2, Л3, а
az-\-az = b
Положим »
% = cos 2а -f- i sin 2а,	р = cos 20 + i sin 20.
Уравнение прямой AjPl можно записать в виде ’
a (z — zx) -J- ha (2 — zx) = 0.	(48)
В самом деле, угловой коэффициент прямой А равен
а
х =------------------------------,
_	а ’
а угловой коэффициент прямой (48) равен
/	, Ла
V. =-----.
а
Значит,
. .	^~ = h, '
и, следовательно,
= Vh, = cos а + i sin а,
т. е. угол от прямой А до прямой (48) равен а. 4
Если взять другое значение для У h"
У~к = — (cos а + i sin а) = cos (а л) 4- i sin(a + л),
127
то угол от прямой Д до прямой (48) оказался бы равным' п4-а,
т. е. был бы сравним с а по модулю п. Из системы уравнений
прямых Д и А1Р1, т. е. _из системы уравнений:
. аг0,2 —Ь,.
аг 4~Хй2=azt 4- Хя2ъ
находим аффикс pt точки
1 [ М
Отсюда
1	( ' М> , у агЛ
Р1=Т~-------г+ л =‘'
1 — Л \	- а а /
_ % f 1,,__b . azi \_ % х	/_____. _Ь_	агЛ
к — 1 \ z±	. Хйс * Хй /	1 — к\	Zj * ка	ка / ’
Аналогичные выражения имеют аффиксы р2 и р3 точек Р2 и Р3:
- /’.’тУг>-“+1т). ' - '
Далее, уравнение прямой Л2Л3 имеет вид
z — z2 = — z2z3 (2 — 22),
поэтому уравнение прямой можно записать в виде
z-pi = —рг2г3(2-р1),
или ,
'	> i / kb . ка \	' Г» к J 1 . b ' azi \1
Z— 1-А. Г1” азТ)- Нг2гз р 1-Х\ гГ + хв Хе)]-’
или	'
(1 -1) (z +pz2z3z) = zx - Мл;	- в-. (49)
Аналогично записываются уравнения прямых 12 и 13:
(1 - X) (z + pz3zx2) = z2 - 4 +	(50)
(1 - %)(г + p21z22) = 2з - М +	+	№. (51)
14	43	(4	(4
Умножая обе' части уравнения (49) на — zx, обе части уравне-
ния (50) на z2 и складывая почленно полученные уравнения бу-
дем иметь	.
(1-X)(z2-Zi)z =
= z| - zl - ~ (z2 - zx) 4- z3 (z2 - Zi) Xp, - p (z2 - zx) o3,
128
откуда находим аффикс q3 точки Q3 пересечения прямых /х и 12.
ХЛ , .	а	ХЛ а , /.
Zi4-z2——+%цг3—р,-^-<т3	<*1—~—Н -yff34-(A.p —1)г3
а	а
%= =- •
Аналогичные выражения имеют аффиксы qt и q2 точек Qx и Q2:
Oi—рa3+(\u —1)?!
?1 = ’
kb а , .. 1ч
01-----р уЧ3 + (^1 —1)Z2
</2=	Г=Х	.
Из последних трех соотношений следует, что точки Qt, Q2> <2з
получаются из точек At, А2, А3 линейным преобразованием пер-
вого рода:
q = mz+n,
где
1ц—1
m=-Tzr-
и, значит, треугольники AiA2A3 и Q1Q2Q3 подобны и имеют оди-.
наковую ориентацию (см. рисГ19); п — аффикс точки О', в кото-
рую переходит точка О при этом преобразовании, иначе: (О') =
= (QiQaQs)- Коэффициент подобия равен
I .__I А.ц — 1 I _ | cos (2а+2р) -f-1 sin (2а 4- 2g) — 1 [ _
। * I 1— X I	11—cos 2а—t sin 2а I	~
__ 12 sin2(a4-0)—2t sin (a -|- 0) cos (a 4- P) | _
12 sin2 a — 21 sin a cos a |
— I sin (g+P) I [ sin (a+P)—t cos(a+P) I _ I sin (a 4-P) I
|sina|	|sina—icosa| -	| sina |‘
2°. Если р = л —а (или 0 = — а), то треугольник QiQ2Q3
вырождается в точку. Имеем теорему: если через вершины Alf
А2, А3 треугольника AiA2A3, лежащего на ориентированной пло-
скости, провести параллельные между собой прямые, пересекаю-
щие данную прямую А в точках Ри Р2, Р3, причем угол от пря-
мой А до прямых А^, А2Р2, А3Р3 равен а, а затем через точки
Plt Рг> ?з провести прямые /ъ /2, 13, пересекающие стороны А2Л3,
А3А1( АхА2, причем углы от прямых А2А3, A3Alt АгА2 соответ-
ственно до прямых /ъ /2, 13 равны —а, то прямые 11г 12, 13 про-
ходят через одну точку (рис. 20).
5 П. С. Моденов
129
В частности, если а = л/2, (3 = л/2, получаем теорему об орто-
полюсе прямой относительно треугольника: если Plt Р2, Р3______
ортогональные проекции вершин Ль Л2, А3 треугольника Л1Л2Л3
на данную прямую Д, то прямые, проходящие через точки Plt
Р2, Ра и соответственно перпендикулярные прямым Л2Л3, Л3ЛХ,
ЛХЛ2, пересекаются в одной точке Q (называемой ортополюсом
прямой Д относительно треугольника ЛХЛ2Л3) (рис. 21).
3°. Пусть 0 = 0. Тогда получаем теорему: если через, вершины
А1г Л2, Л3 треугольника ЛХЛ2Л3 провести параллельные между
собой прямые, пересекающие данную прямую Д в точках Ри Ра,
130
Ps, а затем через точки Р4, Р2, Р3 провести прямые lu 12; 1а,
соответственно параллельные прямым Л2Л3, A3Alt ЛГЛ2, то пря-
мые Zi, 13, 13 образуют треугольник QiQ2Q3, равный и одинаково
ориентированный с треугольником ЛХЛ2Л3 (рис. 22).
Пример 19. Пусть Лх Л2Л3Л4 — выпуклый четырехугольник, впи-
санный в окружность (О). Обозначим через Л12, Л^, Л34, Л41
середины его сторон AjA2, Л2Л3, Л3Л4, Л4ЛХ. Пусть 6 —какой-
нибудь диаметр окружности (О). Обозначим через а12, а23, а34,
а41 ортогональные проекции точек Л12, Л23, Л34, Л41 на этот
диаметр 6. Проведем через точки а12, а23, а34, а41 прямые р34,
Ри> Р12» Раз» соответственно перпендикулярные прямым Л3Л4,
Рис. 23.
Л4ЛЪ Л4Л2, Л2Л3. Доказать, что прямые р34, р14, 012, р23 обра-
зуют четырехугольник В^В^, подобный данному, но имеющий
ориентацию, противоположную ориентации данного четырехуголь-
ника Л4Л2Л3Л4 (В4 —точка пересечения прямых 023 и 034, В2 —
точка пересечения прямых 014 и р34, В3 — точка пересечения пря-
мых р12 и р14, В4 —точка пересечения прямых р12 и р23) (рис. 23).
Решение. Примем окружность (О) за единичную, а ось Ох
выберем так, чтобы на ней лежал диаметр б. Пусть zlt z2, z3,
*4 —соответственно аффиксы точек А1г Л2, Л3, Л4. Середина Л12
отрезка ЛХЛ2 имеет аффикс
_ Z1+?,
«12----2	’
5*	, 131

а ее проекция аХ2 на прямую 6 (на ось Ох) имеет аффикс
_ ____ а12-|"Я12_ 1	2	21 Z2 _______ (1 + 2122) (214-22)
Т12 —	2	—	4	— 4zxz3
Уравнение перпендикуляра рм, опущенного из точки а]2 на
прямую A3Ait угловой коэффициент которой равен —z3z4, имеет
вид
z-t12 = z3z4(z-tX2),
или
- (I +2iz2) (г1+ гг) , _ Г=	(1 +zjZ2) (21 + г2) I
2	4^	-|_	J’
или
z - z3z4z = (21+гг) °+2‘2г) ° ~гзг<).	(52)
Уравнение перпендикуляра р23, опущенного из точки а14 на пря-
мую Л2Л3, имеет вид
г - z2z3S = ^Zl+Zi) Q+ftfr) {1—г?г-31.	(53)
Умножая обе части уравнения (52) на г2, обе части уравнения
(53) на —z4 и складывая почленно полученные при этом урав-
нения, найдем аффикс &х точки Вх пересечения прямых р^ и р^:
/_	? \ h   (г» + г2) 04*ZlZ2)(l—.гЗг1) — (Zl + Z4) (1 +г1г«) (1—г2гз)  
\Z2 — Z4J Pj--------------------------------------------------
= TST + Z2 + Z1Z2 + Z'2Z1 “ Z1Z3Z4 - Z223Z4 — ZlZ2Z3Z4 — ZlZ^sZt —
— 21 — Z4 — zxzt — z4zl+ZXZ2Z3 + Z2Z3Z4+Z1ZXZ2Z3+z|z2z3z4) =
= -4^- [z2 - Z4 + z| (Z2 - Z4) + zxz3 (z2 - Z4) +
+zx (zl - z‘i) - zxz2z3z4 (z2 - z4)].
Отсюда
f. _ 1 ~Ьг1 ~Ьг1гз4~г1г2~Ь Z1Z4 — Z1Z22324 _ 1 —<T4	. gx
1	4zx	4zt 4 ’
где
<tx = zx4-z2+z3+z4, O4 = ZXZ2Z3Z4.
Аналогично находятся аффиксы b2, b3, &4 точек B2, B3, B4.
Итак,
h _ <h
Uk — -£
h _ 1 —I ffl
02--+
b3 = -^- + ^,
3	4z3	1 4 ’
h — 1—£4 I
°4—et + t-
(6=1, 2, 3,4).
132
Из этого соотношения следует, что точки Br, В2, Bs, В4 лежат
на окружности (В^В^), аффикс центра которой равен стх/4,
а радиус равен 11 — <т4 )/4. Так как |<т4| = 1, то величина этого
радиуса может изменяться от 0 до 1/2 (<т4 может принимать зна-
чения ± 1).
Таким образом, если ст4= 1, т. е. единичной точкой является
точка Бутена для четырехугольника, то четырехугольник ВХВ2В3В4
стягивается в точку: прямые ₽34, 0Х4, рХ2, ₽23 проходят все через
центр тяжести 0(^/4) системы точек Лх, Л2, Л3, Л4, в которых
помещены равные массы.
Если ffi = O, т. е. если центр тяжести четырех точек Лх, Л2,
Л3, Л4 совпадает с центром О окружности (ЛхЛ 2Л3Л4) = (О), то
окружности (ЛХЛ2Л3Л4) и (ВХВ2В3В4) концентричны.
Наконец, если единичная точка не совпадает ни с одной из
четырех точек Бутена для четырехугольника ЛХЛ2Л3Л4 (эти точки
Бутена образуют вершины квадрата, вписанного в окружность
(О)), то четырехугольник ВХВ2В3В4 не вырождается. Он является
образом четырехугольника ЛХЛ2Л3Л4 при подобном преобразова-
нии второго рода:
„=±=а.г+а. -
4	1 4
Сначала берутся точки А{, Л2, Л3, Л4 соответственно, симметрич-
ные точкам Лх, Л2, Л3, Л4 в оси Ох, затем четырехугольник
ЛХЛ2ЛзЛГ*поворачивается вокруг точки О на угол arg 1 ~и над
повернутым четырехугольником Л?Л2Л3Л£ производится гомоте-
тия с центром О и коэффициентом 11 — о41/4; получается четы-
рехугольник ЛХ"Л2"Л3"Л4'; наконец, последний четырехугольник
подвергается параллельному переносу, определяемому направлен-
ным отрезком 0G, где аффикс g точки G равен <тх/4 (G — центр
тяжести системы из четырех точек Лх, Л2, Л3, Л4, в которых
помещены одинаковые массы); получаем четырехугольник ВХВ2В3В4.
Из всех этих преобразований только первое (симметрия отно-
сительно оси Ох) меняет ориентацию и, значит, Л1Л2Л3Л4],'['В1В2В7В4,
причем сами четырехугольники ЛХЛ2Л3Л4 и В4В2В3В4 подобны.
Пример 20. Треугольник АВС вписан в окружность с цент-
ром О; Ло, Во, Со — центры окружностей (ОВС), (ОСА), (ОАВ);
Лх, Вх, Сх —точки, симметричные точкам Ло, Во, Со соответственно
относительно ВС, СА, АВ. Доказать, что ортоцентр Н треуголь-
ника АВС является центром одной из окружностей (S), касаю-
щейся прямых ВХСХ, СХЛХ, ЛХВ1( и что окружность (S) проходит
через центр окружности Эйлера для треугольника АВС. Дока-
зать, что радиус окружности (S) равен у О#-
Доказательство. Примем окружность (ЛВС) за единич-
ную. Проведем касательные к окружности (ЛВС) в точках Л, В, С;
133
они образуют треугольник А2В2С2. Окружность (АВС)==(О) для
треугольника А2В2С2 будет вписанной, если треугольник АВС
остроугольный, и вневписанной, если треугольник АВС тупо-
угольный: если, например, угол С —тупой, то окружность (О)
будет для треугольника А2В2С2 вневписанной в угол С2.
В четырехугольнике ОВА2С углы В и С равны л/2, значит,
вокруг него можно описать окружность; отрезок ОА2 будет диа-
метром этой окружности и, следовательно, ее центр будет сере-
диной отрезка ОА2. Но окружность (ОВС) совпадает конечно
с окружностью (ОВА2С), значит, центр окружности (ОВС) есть
середина Ао отрезка ОА2.
Пусть г1( z2, z3 —аффиксы точек А, В, С. Тогда аффикс а3
середины А3 отрезка ВС будет равен
„ _г2+г3
а3---2~,
а так как точка А2 получается из точки А3 инверсией относи-
тельно окружности (АВС), то аффикс а2 точки А2 равен


п - 1	2	’
Аффикс я0	точки	Ао будет поэтому	ж
1	1
й0=- , _	.	я1
Z2+Z3	Я'
Аффикс	точки	Аг, симметричной	точке Ло относительно пря- я,
мой ВС,	найдем из соотношения	1|
йо+а1____	Й
откуда	1
iZj-2lZ3 — Цр —3
= + 2з —	= Z2 + Z3 — ~^г  =,«i — ттг|-2i = <h — - ?8г '. 	«
£2~Г23	г2~ГгЗ • г2Т“гЗ	2г + гз	j»|
Аналогичный вид имеют аффиксы bt и сх точек Bi и Сх. Итак, Я
«1 = ^1 —у<Г2О2>	1
&i = ffi-^^- = Oi-yO252,	J
С1 = о1-^^- = а1-Я
Отсюда следует, что треугольник AiBiCi получается из тре- -V
угольника А2В2С2 в результате подобного преобразования	®
И = СТ1 —yO2Z.	Я
134
Это преобразование подобия второго рода: сначала производится
симметрия относительно оси Ox(z->z), затем поворот вокруг
точки О на угол arg (— <т2), затем гомотетия с центром О и коэф-
фициентом гомотетии, равным | <т21/2 = | OjJ/2, и, наконец, перенос,
определяемый направленным отрезком ОН (так как а1 — аффикс
точки Я).	_____k
В результате этих преобразований треугольник Л2В2С2 перей-
дет в треугольник	подобный треугольнику Л2В2С2, но
имеющий с ним противоположную ориентацию.
Далее, так как при преобразовании
1 _
iZ —	2 @2%
центр О окружности (ЛВС), касающейся сторон треугольника
Л2В2С2, переходит в ортоцентр Н треугольника ЛВС, то окруж-
ность (S), в которую перейдет окружность (О), будет касаться
сторон треугольника	(в который переходит треугольник
Л2В2С2), а центром окружности (S) будет точка Н.
Радиус окружности (ЛВС) при преобразовании
1 _
« = О1 —-2<t2z
изменился только при преобразовании гомотетии (0, [ |/2), и,
следовательно, радиус окружности (S) будет равен
так как радиус R окружности (ЛВС) равен 1.
Пример 21. Пусть Лх Л2Л3Л4 — произвольный четырехугольник,
вписанный в окружность (О), а Р — произвольная точка. Обоз-
начим через РХ2, Рхз, РХ4, Р23, Р24, Р34 точки, симметричные
точке Р относительно прямых ЛХЛ2, А1А3, ЛХЛ4, Л2Л3, Л2Л4,
Л3Л4. Пусть R, S, Т — соответственно середины отрезков Р12Р34,
Pi3P24, Рм^гз, а О'— точка, симметричная центру О окружности
(О) относительно центра тяжести системы четырех точек Лх, Л2,
Л3, Л4, в которых помещены равные массы (рис. 24).
Доказать, что точки Р, S, Т, О' лежат на одной прямой.
Решение. Примем окружность (О) за единичную. Пусть
2i> г2. z3, z4 — соответственно аффиксы точек Лх, Л2, Л3, Л4.
Обозначим через ах, а2, о3, <т4 основные симметрические много-
члены от этих аффиксов:
Ofx = Z14-Z24-Z34-Z4,
о2 = zxz2 4- zxz3 4- zxz4 4- z2z3 4- z2z4 4- z3z4,
0’s = z2z3z4 4- zxzsz4 4- zxz2z4 4- zxz2z3,
O4 = z1z2z3z4.
. 135
Аффикс g центра тяжести G системы точек А1( А2, А3, Ал равен
ах/4, следовательно, аффикс о' точки О', симметричной точке О
р14
Рис. 24.
относительно точки G, равен
o' = ах/2.
Уравнение прямой АХА2:
, z 4- zxz2z = гх 4г z2,	(54)
уравнение перпендикуляра, опущенного из точки Р на прямую
АХА2:
z-p = zxz2(z-p),
или
z — 2xz22 = р — zxz2p,	(55)
где р —аффикс точки Р. Складывая почленно уравнения (54) и
(55) найдем аффикс р*2- проекции Р*2 точки Р на прямую АХА2:
р*2 = 4 fa 4- z2 4- Р - zxz2p).
Аффикс рх2 точки Р12, симметричной точке Р относительно пря-
мой АХА2, находится из соотношения
P4-Pi2__
—2~ = Р12,
136
откуда
(58)

pM = 2p!2-p=z1+z2-z1z2p.	(56)
Аналогичный вид имеет аффикс р31 точки Р^, симметричной
точке Р относительно прямой А3А4:
Ры = х3 + г4-г324р.	(57)
Из равенств (56) и (57) находим аффикс г середины R отрезка
Р 12^>М:	।
г = у[о1^(г1г2+?3г4)р].
Угловой коэффициент прямой O'R равен
у — Г	у — у [Щ—(Z1Z2 4- г3г4) р]
= в!	ГГ	ГТ~ ГТ~
2 г 2	2 L 1 \ZjZ2 ~l"z3zjp.
поэтому уравнение прямой O'R:
2_£1_£а (z-^
2 2 - р аЦ2 2ffJ*
Последнее уравнение прямой O'R можно переписать в виде
2pz — 2po4z + <т3р — ро4 = 0.	(59)
В силу того, что в это уравнение входят лишь симметрические
многочлены от аффиксов zlt z2, z3, z4 точек Ax> Az, A3, A4, урав-
нения прямых O'S и O'T будут такими же, как и уравнение (59),
т. е. точки О', S, Т, R лежат на одной прямой. Впрочем, можно
и непосредственно убедиться в том, что аффиксы s и t:
s = у fa - (*1*3 + z2z4) р],
= Y [ai — (ZA + г2г3) Р]»
точек S и Т удовлетворяют уравнению (59).
Замечание. Так- как уравнение (59) переходит в уравне-
ние, ему эквивалентное, если р заменить на Хр, где X —произволь-
ное действительное число, то прямая (59) не меняется, если
точка Р описывает прямую, проходящую через центр О окруж-
ности (О) (исключая, конечно, саму точку О).
Пример 22. Пусть Alt Blt С4 — проекции вершин А, В, С
треугольника АВС на диаметр 6 окружности (АВС). Обозначим
через Az, Bz, С2 точки, симметричные точкам Alt Blt Сх соот-
ветственно относительно медйатрис сторон ВС, С А, АВ треуголь-
ника АВС. Пусть А3, В3, С3 — середины отрезков ВС, С А, АВ,
а А4, В4, С4 — середины отрезков А2А3, BZB3, CZC3. Доказать,
что треугольники АВС и А4В4С4 подобны и имеют противополож-
137
ную ориентацию. Доказать, что если диаметр 6 окружности
(АВС) —(О) вращается вокруг точки О, то центр S окружности
(S) = (/14B4C4) описывает окружность (й), концентричную окруж-
ности (АВС), причем эти
Рис. 25.
вращения происходят в
противоположных направ-
лениях. Радиус окружно-
сти (S) равен ОН, где
Н — ортоцентр треуголь-
ника АВС. Радиус окруж-
ности (й) равен 7?/4, где/? —
радиус окружности (АВС)
(рис. 25).
Решение. Примем
окружность (О) = (АВС)
за единичную, а диаметр
6 за ось Ох. Пусть zlt z2,
z3 — аффиксы точек А, В,
С. Аффикс а4 проекции At
точки А на прямую 6 будет
«1
Zl + Zt
2
Так как прямая ВС имеет угловой коэффициент — z2z3, то урав-
нение прямой ОА3 будет
Z = zaz3z,
а уравнение перпендикуляра, опущенного из точки Аг на пря-
мую ОА3:
9 — 21 + ?1 —   9 9 (у — г1~Ь М
2 —	^2*^3 I	/ *
Из системы
z — z2z3? = О,
z +z2z3S =	(1 + z2z3)	(6°)
находим аффикс at проекции А* точки Лх на медиатрису ОА3
отрезка ВС:
а* = Д+Д(1+г2г3).
Аффикс а2 точки Л2 найдем из равенства
а1+а2
ОТКуда
а2 = 2а* — а± =	1 (1 + z2z3) — 21	22г3>
«6	А	Аг
138
Аффикс а4 середины А4 отрезка А2А3:
„ __
"4“—g >
где а3 —аффикс середины А3 отрезка ВС, т. е.
п  *2 + ч
2	•
Итак,
„____L _ Ч I гг+гз\ _ _1_Лт I I ? 4-7 ________~((Т 4-—^
#4	2 \ 2	«	2 / — 4 \ 3 zx ф Из/ 4\3*Zi/
Аналогичный вид имеют аффиксы &4 и с4 точек В4 и С4. Итак,
а — — 4- —
с4-4- + 4г1>
а _ Я? . 21
°4“ 4 ‘ 4гг’
с =Оз I 21
4	4	4г3 ’
(61)
Отсюда следует, что точки А4, В4, С4 получаются из точек А,
В, С подобным преобразованием
Ы=^4-Я?2
4 1 4
второго рода, а значит, треугольники АВС и А4В^С4 имеют про-
тивоположную ориентацию, и, кроме того, они подобны.
Из соотношений (61) также следует, что точки А4, В4, С4
лежат на окружности (3) с центром 3; аффикс s этого центра 3
равен
з = сг3/4,
а радиус окружности (3) равен
о = 1^1 = 1^1 = — ОН.
,	Р 4	4	4 V"«
Расстояние d от центра 3 окружности (Л4В4С4) до центра О
окружности (О) = (АВС) равно
= | = т
а значит, при вращении диаметра 6 вокруг точки О центр 3
окружности (Д4В4С4) описывает окружность (й), радиус которой
равен 1/4 = 7?/4, где R — радиус окружности (АВС). Если диа-
метр S повернется на угол а, то аффикс того его конца, который
имел аффикс, равный 1, будет иметь аффикс 0 = cos а + i sin а;
если эту точку с аффиксом 0 принять за новую единичную точку,
то новые аффиксы точек А, В, С будут у, а новый
139
аффикс нового центра S* нового треугольника Л4В4С4 будет
<Уз/Р3. Значит, аффикс точки S* в начальной системе будет а3/р2.
Отсюда следует, что радиус OS окружности (Q) будет вращаться
в направлении, противоположном вращению диаметра 6, и угло-
вая скорость вращения OS будет в два раза больше угловой
скорости вращения б.
Замечание. Найдем еще отношение
Имеем,
Л4В4С4 =
Отсюда
А4В4С4
АВС '
g2 £2	1
4?! 4 1
— L £1	1 _
4 4г2 4 2 1 ~
а2 ^2 „	1
4?з Тгз 1
- Щ-2 ЛВС = - АВС.
(62)
__ I ^2^2	=
— 4 16 ZJ
^3
1
1
1
А4В4С &	А4В4С 4	ОН2
Авс ~	~
Отсюда также следует, что Л4В4С4|| АВС.
Пример 23. Дан треугольник Т, обладающий тем свойством,
что существует прямая т, пересекающая его стороны под углами,
равными углам этого треугольника, т. е. г)
(АВ, т) = (АС, АВ)—А,
(ВС, т) = (ВЛ, ВС) = В,
(СА, х) = (СВ, СА) = С.
Требуется
1°. Найти углы треугольника Т.
(63)
х) Символом (р, q) мы * обозначаем ориентированный угол от прямой р
до прямой q (р и q лежат на ориентированной плоскости). Если сс —одно
из значений угла (р, q), то все значения (р, q) заключены в формуле
(р, q)=a+knt
где k принимает все целые значения; иначе:
(р, с?) = a (mod л).
Для трех прямых р, р, г, лежащих на ориентированной плоскости, имеет
место теорема Шаля'.
(р, д) + (Я> г) = (р, г) (mod л).
Соотношения (63) надо понимать так: одно из значений (С А, т) равно С,
одно из значений (АВ, ВС) равно В и т. д.
140
2°. Через точки А, В, С проводятся прямые, параллельные
прямой т. Точки пересечения этих прямых с прямыми ВС, СА,
ДВ обозначим соответственно через Лх, Сх, Вх. Доказать, что
треугольники АСВ и Bfi^ подобны
А=Вг, С = Си В = Аг
и имеют противоположную ориентацию.
3°. Для треугольника BjCjAt строится трансверсаль тх
аналогично тому, как строилась трансверсаль т для треуголь-
ника АВС. Пусть прямые, проходящие соответственно через
точки Лх, Въ Ci параллельно прямой тх, пересекают прямые
ВХСХ, СХЛХ, А1В1 соответственно в точках Л2,- В2, С2.
Доказать, что треугольники АВС и С2В2А2 гомотетичны и
имеют одинаковую ориентацию, т. е. доказать, что прямые ЛС2,
ВВ2, СА2 проходят через одну и ту же точку S и ЛВ||С2В2,
ВС\\А2В2, С А ||Л2С2.
4°. Доказать, что диаметр окружности (ЛВС), проходящий
через точку S, перпендикулярен прямой т (рис. 26).
Решение. 1°. Предположим, что С<В<Л. По теореме
Шаля находим
В = (ВЛ, ВС) = (ВЛ, т) + (т, ВС) = Л-В,
откуда
Л=2В;
Далее,
С = (СВ, СЛ) = (СВ, т) + (т, СЛ) = В-С,
141
откуда
В = 2С.
Итак,
Л = 2В = 4С
и, следовательно,
у»___________________ л п____2it .____4л
с=г> В==Т< А= — *
2°. Примем окружность (АВС) за единичную окружность,
а точку А за единичную точку. Вершины А, В, С треуголь-
ника АВС будут вершинами правильного семиугольника
AC'CB'A'QB, вписанного в окружность (АВС). Полагая а =
= cos (2n/7)-f-isin (2 л/7), находим аффиксы а, с', с, V, а', со, Ь
вершин этого семиугольника:
а=1, с' —а1, с = а2, Ь' — а3, а' = а4, <в = ав, &.=а®.
Четырехугольник ЛС'СЛХ —ромб, так как в качестве прямой т
можно взять прямую АВ' (тогда будут выполнены все соотноше-
ния (63) условия задачи), и, следовательно, по построению т =
= ЛЛХ||СС', СВ || АС, СС = С'А. Четырехугольник СА'ВВг также
ромб, так как его противоположные стороны параллельны:
А'В||т||СВх, ЛВВхЦЛ'С и А'С = А'В. Аналогично убеждаемся,
что и четырехугольник В'ВСХЛ —ромб.
Отсюда можно найти аффиксы точек A^Cf, так как
AjC + A^ = AjC,
то
с — at+а—<4=С — ах,
откуда
ах = с+а — с' = а2-}-1 — а.
Далее, из соотношения
Л7С + Л7В = Л7ВХ
находим
с — а' + Ь — а' = bi — а'
и, следовательно,
&х = с 4- b — а' = а2 4- а® — а4.
Наконец, из соотношения
В7Л4-В-7В=В7Сх
находим
а — Ь' 4- b — Ь' = сх — Ь',
c1 — a-\-b — b’ = \-\-a^ — a.3.
Итак,
ах = 1 — а 4- а2,
&х = а2 — а4 4- а®,
сх = 1 — а34-а®.
142
Треугольники АСВ
ную ориентацию тогда
и
и
когда определитель
В1СгЛ1 подобны и имеют противополож-
только тогда,
а />! 1
Д = с Ci 1
b а± 1
равен нулю. Имеем
а2—а‘+а® 1
1—а3+а* 1 =
1—а+а2 1
I
а5,
а
а2—а4+а®
1 —а3+а*
1—а+а2
1
Д = а2
а®
= 1 — а3 + а®+а5 —а® + а7+а3 —а6+а7 —а + а4 —а7 — 1 +
+ а — а2 — а7 + а9 — а11 = 0.
1
1
1
Далее, найдем центр подобия треугольников АСВ и В^А^
Рассмотрим подобие, меняющее ориентацию, при котором точки At
и Bi перейдут в точки В и А (тогда точка Сг перейдет в С).
Пусть z —аффикс произвольной точки М плоскости, а М' (и) —
ее образ при указанном подобии. Тогда
г	и	1
bi	1	1
ai	а	1
= 0,
или
или
и(а1 — &x) + z(l — а) + а&х —ах=0,
й(1 —а+а4 —a6) + z(l —а)+а3 —а5 + а7— 1 +а — а2 = 0,
или, сокращая, на 1—а,
й (а5 + а4+1) + z+a (а3 + а2 +1) = 0.
Неподвижная точка подобия удовлетворяет условию;
2 (aB + a4+ l) + z+a4 + a3 + a = 0.	(64)
Отсюда (переходя к сопряженным числам)
z(a5 + S4 + l) + z + a4 + a3 + a = 0
или, умножая левую часть на a7 = 1,
z (а2 + а3 +1) + 2 + а3 + а4 + а® = 0.
Из последнего соотношения находим .
2 = — z (а2+а3 +1) — а3 — а4 — а®,
и уравнение (64) принимает вид
— г (a2 + a3+1) (a5 + a4+1) - (a54-a4+1) (a3+a4+a«) +
+z+a3+a4 + a = 0
143

или
z (1 — а7 — а® — а2 — а8 — а7 — а3 — а® — а4 — 1) =
= а8+а9+а11 + а7 + а8 + а10 а3+а4 4~ а® — а3 — а4 — а,
или
z (— а® — а5 — а4 — а3 — а2 — а — 2) = а® + а4 4- а3 -J- а2 4- а +1 •
Но а7 = 1, и так как а— 1 =#0, то
а® 4-а5 4-«4 4-а3 4-а2 4-« 4-1 =0»
и последнее соотношение принимает вид
— z = — а5,
откуда
z = а5,
т. е. неподвижная точка подобия второго рода, переводящего
треугольник ВгС1Л1 в треугольник АСВ, есть точка Q.
Полагая
а54-а44-1=^, а34-а24-1 = |х,
находим соотношение
Хй + г4-ар = 0,	(65)
связывающее аффикс z произвольной точки М плоскости с аффик-
сом и ее образа М' при рассматриваемом подобии. Точки и
Ai при этом подобии перейдут в точки А и В, так что
_	bi 4" ОЕЦ т
а = X ’ 0=	г-’
откуда
и, значит,
Однако
а5 4-а4 4“ 1 = а-2 4~ <х-3 4-1 >
а5 4-а4 4* 1 =а24“а34“ 1,
следовательно,
|%|2 = (а54-а44-1) (а24-а34-1) =
= а74-а84-а54-а6+а7 + а4 + а2 + а3+1 —
= 2 4-<х® 4~ а® 4-а4 4-а3 4-а2 4-«4-1 =2,
откуда
Л1Ё1 = 1/2 АВ - 1
АВ V ’ AiBi ~~ j/2
— коэффициент подобия, переводящего треугольник BjCpTj в тре-
угольник АСВ, равен 1/]/2.
3°. Пусть Oj —центр окружности (A^Cj). Точка Oj является
образом точки О при указанном подобии (п. 2°). Поэтому аффикс ог
точки 01 найдем из уравнения (65), полагая в нем ы = 0:
01 = — а(а3 + а2-{-1).
Рассмотрим правильный семиугольник, вписанный в окруж-
ность (ЛАС1), располагая его вершины в следующей порядке:
AqCq^10AqBqBqCo>
где Л0 = В1, B0 = Ci, C0 = At. Такой правильный семиугольник
существует, так как углы треугольника BiACi таковы:
о _ 4л . _ 2л х, л
£>1 —-7-, /ix-у-, Ьц—-у>
и, значит, Л1В] —одна из сторон этого семиугольника, Ci —третья
его вершина. Аффиксы вершин этого семиугольника будут
01 +(«о-01)a*'1	(k = l, 2, 3, 4, 5, 6, 7).
Подробно:
а0 = &1 = а2 —а4+а®,
с0 = = а2 — а +1,
<в0 = — а4 — а3 — а + (а2 + ав+а3 + а)а2 =
= — а4 — а3 — а + а44-а8-{-0(5+а3 = а5,
а'о = — а4 — а3 — а + (а2 + а® + а3 -ф а) а3 =
= — а4 — а8 — а + а5 + а9+а® + а4 = а® -|- а5 — а3 + а2 — а,
Z>o = — а4 — а3 — а-|-(а2 4-а® 4-а3 4-а) а4 =
= — а4 — а3 — а 4- а®+а10 + а7 4- а8 = а® 4- а5 — а4 — а 4-1,
&о = С1 = а® —а3+1.
Со — — а4 — а3 — а 4- (а2 + а® + а3 +'а) а® —
= — а4 — а8 — а 4- а® 4- а18 + а9 4- а7 = а3 — а4 — а3 4- а2 4-1.
Отсюда следует, что й, = й и что эта точка является центром
подобия, при котором треугольник С2Л2В2 переходит в треуголь-
ник ВХС1Л1. То, что эти треугольники подобны и имеют проти-
воположную ориентацию, следует из того, что построение тре-
угольника С2Л^В2 по отношению к треугольнику В1С^А1 в точности
такое же, как и построение треугольника B^C^Tj по отношению
к треугольнику ЛСВ; рассматриваемые фигуры с двумя окруж-
ностями, описанными вокруг треугольников ЛВС и Л1В1С1, и все
соответствующие треугольники — подобны.
Далее, так как СОЛ2ЛОВ6— ромб, то
Ог — с0 = Оо — Ь'о,
145
откуда
a2 = ao+co — bo =
= а2 — а44-а64-а2 — а+1 — а® —а5-]-а4+а — 1 =2а2 —а5.
Далее, В2АйС'0В0 — ромб, поэтому
По — ^2 = Со Ьщ
откуда
b2 = a0 + b0 — co =
= а2 — а4 + а6 + ав — а3+1 — а54-а4 + а3 —а2 — 1 = 2а® —а5.
Наконец, так как С2С0А'0В0 — ромб, то
Cq С2 = CIq &q,
откуда
с2 = со + ^о — ао = а2 — а+1+сс® — а34-1 —
— а6 —а5 + а8 —а2 4-а = 2 —а5.
Итак,
а2 = 2а2 — а5,
Ь2 = 2а® — а5,
с2 = 2 — а5,
и, следовательно, треугольник С2В2А2 получается из треуголь-
ника АВС (аффиксы вершин которого 1, а®, а2) гомотетией с цент-
ром Q и коэффициентом 2, так как-
с2—со  2—а5 —а5 ~
а —со	1—а® — 2’
Ь2—со 2ав—а5—а5«
6-со	а®—а5.
а2—со  2а2—2о£  „
с—со	а2—а?.	'
4°. Угловой коэффициент прямой Ой равен
Прямая т проходит через точки А и В', следовательно, ее угло-
вой коэффициент
Сумма угловых коэффициентов прямых Ой и т равна 0, следова-
тельно, Ой I т.
Пример 24, 1°. На сторонах шестиугольника Л1Л2243Л4Л5Лв
построены равносторонние треугольники
А]А2А[, Л2Л3Л2, Л3Л4Л3, Л4Л5Л4, ЛзЛзЛв, Л^Л^Лз, (66)
146
имеющие одинаковую ориентацию. Доказать, что концы Р'ъ Р3, P't
направленных отрезков 0Р{, ОР3, OP'g (О — произвольная точка),
соответственно эквивалентных направленным отрезкам A^Ai A'sAg,
Аз^з, образует равносторонний треугольник Т = Р'1Р'3Р3, который
имеет ориентацию, противоположную ориентации любого из тре-
угольников (66). В частности, треугольник Т может выродиться
в точку.
2°. Доказать обратное положение, а именно: если на плоскости
выбрать произвольный равносторонний треугольник Т — PiPgP'g
и точку О и построить направленные отрезки AjA^, AJA;, А3А2,
соответственно эквивалентные направленным отрезкам ОР'1г ОР3,
OP’g (положение направленных отрезков AJA;, A^AJ, AjA2 в осталь-
ном произвольно), то, выбирая еще произвольно точку Аь можно
построить точки А2, А3, А4, А5, А6 так, что шестиуголь-
ник А^АгАзАзАвАз из шестиугольника А1А2А3А4А5А6 получается
построением, указанным в п. 1°. Доказать, что если точку Ах
изменять на плоскости, то главные диагонали А4А4, А3Ав, А5А2
шестиугольника А1А2А3А4А5Ав (который будет изменяться вместе
с изменением точки А4) будут вращаться вокруг трех точек Olt
0.2, 03. Как построить эти точки?
3°. Равносторонние треугольники
А1А2А1, А2А3А2, А3А4Аз, AiAgA&, А3А3А5, AjjAjAg (67)
построены так, что все они имеют одинаковую ориентацию и
ориентация любого из них противоположна ориентации любого
из треугольников (66). Доказать следующие отношения эквива-
лентности между направленными отрезками:
Aili = А2А3, А2Аг s А3А4, А3А3 = А4А5,
А4А4 = AjAg, А3А3 s А6А1( AgAg = А4А2.
4°. Доказать, что
AjAI Ajl; = Ajl; = 3OG,
где G —центр тяжести треугольника Т* = 7И14Л436Л452, а Л114, 7И36,
Л452 — концы4 направленных отрезков 6ТИ14, ОЛГ36, дЛ482, отложен-
ных от произвольной точки О и соответственно эквивалентных
направленным отрезкам А1А4, А3А6, А^А2.
5°. Доказать, что середина главной диагонали А4А4 шести-
угольника А1А2А3А4А5А6 совпадает с точкой К14, в которой пере-
секаются и делятся пополам отрезки А'(Аг и А4А5, середина А3Ав
совпадает с точкой Кзй, в которой пересекаются и делятся попо-
лам отрезки А3А4 и А.бА1, наконец, середина А8А2 совпадает
147
точкой К52, в котоРой пересекаются и делятся пополам отрезки
ДИб и АгАъ (рис.27).
Рис. 27.

РАшение Введем на плоскости декартову прямоугольную
систему координат Оху. Обозначим через а и а мнимые корни ур
нения хз+1=0:
а ------g— ’------------2	'
148
Пусть 0j, #2> #3> a4> а5> а6, Pb Рз» Рб, Яь 02» 0.3, 04, 05, 06-
соответственно аффиксы точек Л1( Аг, А3, А4, А6, Ав, P'h Рз, Ps,
Al, А2, A3, Ah Аз, А’6.
Тогда
а-2 — «1 = а (а[ - а,),
а3 — а3 = а(а'2 — а3),
а4 — а3 = а(а'3-а3),
а5 — а4 = а(«4 — а4),
а6 — а-о = а (а'5 - а8),
«1— ав = а(аз — ав).
Отсюда находим (заметим, что так как а2 — а4-1= 0, то а— 14-
4- a = 0, откуда 1 — а = а)
а2 = аа!4-аа1(
а3 = аа2 4-“«2,
«4 = ^34-^,
о5 = аа44-аа4,	' ’
а6 = а«5 4- аа8,
а1 = аа'ь+йае.
Умножая эти соотношения соответственно на а5, а4, а8, а2, at, 1
и складывая, получим (заметим, что аа=1, а3 = а3 =—1)
«2 — as = а («6 — «з) 4-а («4 — а[).
Так как
04 — 01=Pb	06 — 03 = Рз» 02 — 05 = Рб,
ТО
Р5 = аРз4-«Рь
или
,р5 = арз4-(1 - а) pi,
или
р5-р( = а(рз-р{).	(69)
Отсюда следует, что треугольник Р\РзРь (если только он не вырож-
дается в точку) —равносторонний, так как из этого соотношения
следует, что направленный отрезок Р1Р5 получается поворотом
направленного отрезка Р[Рз на угол л/3 (а = (1 -Н )^3)/2 =
= cos (л/3)Н-1 sin (л/3)). Ориентация треугольника Р1Р3Р5 противо-
положна ориентации любого из треугольников (66): это следует
из соотношения (69) и, например, из соотношения
а2 — 01 = «(01 — 01),
так как аа = 1, то
_ Я1 = а (02 — aj,
149
т. е. направленный отрезок ЛХЛ[ получается поворотом направлен-
ного отрезка ЛХЛ2 на угол —n/3(a = cos(—п/3) + i sin (—л/3)).
Возможен случай р{ = р'з, тогда и р[ = p's, т. е. треугольник
P'lP'sPi стягивается в точку. Это будет тогда_ и только тогда,
когда направленные главные диагонали ЛИъ ЛзЛв> Л5Л2 шести-
угольника Л1Л2Л3Л4Л5Л6 эквивалентны:
Л [Л 4 = ЛзЛв = Л5Л2.
2°. Пусть Р1Р3Р3 — произвольный равносторонний треугольник,
а О —произвольная точка плоскости; Л1Л4, Л3Лб> Л5Л2 —произ-
вольные направленные отрезки, соответственно эквивалентные
отрезкам ОР\, ОР'з, О Р5:
OPi = AiA'4, ОР'з^А^'6, бР^ = ЛПг.	(70)
Выберем на плоскости произвольную точку Лх. Построим следу-
ющие равносторонние треугольники, имеющие одинаковую ориен-
тацию:
ЛхЛ2Ль Л2Л3Лг, Л3Л4Л3, Л4Л8Л4, Л5Л0Л5, Л3ЛхЛб,
но противоположную ориентации треугольника Р1Р3Р3. Шести-
угольник Л1Л2ЛзЛ4Л5^в на основании п. 1° при помощи построения,
указанного в п. 1°, приводит к выбранным точкам А{, Лг, А'з,
А4, А'з, Лб и затем к выбранному треугольнику Р1Р3Р5,
3°. Аффиксы a'i, а2, аз, а4, а'5, а’6 точек Л[, Лг, Л3, А4, А'з, А'6
связаны с аффиксами a’it а2, аз, а4, а’з, а’6 точек Ль А2, Аз, А4,
Аз, А6 соотношениями вида (68), в которых только а и Я надо
поменять местами:
а2 — aa j 4- aaf,
«з = ааг 4-ааг,
а4 = ааз +«a3,
аз = бса4А-аа4,
аз = ааз+ааз,
a'i = ciae + at?6-
Отсюда и из соотношений (68) находим
ota’i = а2 — aai = a3ct — а2а + аха = аа^ — aa2 + salf
и, следовательно,	a’i = а4 — «2 + а3.
Аналогично	а2 = а2 — Оз4-а4, аз = а3 — a4+a8, а4=а4 — а5 + ав,
	й5 = а5 — ае 4~ а1г аз = а3 — Ч- а^.
(71)
150
Из последних соотношений следует, что
al-a^a3-a29
а2’-а2 = а^ — а39
а1 — а^ = а3 — а39
^5 — а5 = а± — clq9
а^ — а3 = а2 — а19
и потому
A^Ai = Л2Л3, А2А% = Л3Л4, А3А3 = Л4Л5,
Л4Л4 Л5Лб, Л5Л5 = Л3Л4, Л6Лб = А}А2.
4°. Из соотношений (71) следует также, что
а1-а1=аб — аз=а2—а5=а4 — а5 + а6'-а1 + а2 — а3. (72)
Следовательно,
лП;=лИв=лП2.
Если построить направленные отрезки
ОМи = А2А^, 0Л18в ЛдЛв, OAfjj = А3А2,
то аффиксы m14, т36, т52 точек 2И14, М2в, М52 будут
/П14 = я4 —	т33 = а6 — а39 т32 = а2 — #5,
и, следовательно, аффикс g центра тяжести треугольника МиМ36М52
будет
g = (ai-a1+a6-a3+a2-a5)/3.
Отсюда и из соотношений (72) следует, что
лтл4	лпг = а3*2=зоб.
5°. Середины отрезков AiA2, А4А5, ЛХЛ4 имеют один и тот же
аффикс
+ 0*4
2
(см. формулы (71)), и, следовательно, эти середины совпадают
с одной и той же точкой /С14. Остальные положения п. 5Q дока-
зываются аналогично.
Пример 25. Пусть Л1( В1г С4 — ортогональные проекции точки
Р на стороны ВС, С А, АВ треугольника^ АВС. Построим треу-
гольник	подобный треугольнику ВСР, но имеющий с ним
противоположную ориентацию. Пусть А', В', С' —вторые точки
пересечения прямых РА, РВ, PC с окружностью (АВС) = (О).
Доказать, что:
151
1°. Треугольники и САР подобны и противоположно
ориентированы.	____
2°. Треугольники В^А^ и АВР подобны и противоположно
ориентированы.
3°. Треугольники A^Ct и А'В'С' подобны и одинаково ориен-
тированы. Найти коэффициент подобия.
4°. Точка Qj является точкой, полученной инверсией относи-
тельно окружности (/IjfijCi) (или симметрией относительно пря-
мой A^jCi в случае, если точки Alt Blt Сг лежат на одной
прямой) середины Т, отрезка РР*, где Р* — образ точки Р при
инверсии относительно окружности (АВС).
5°. Найти аффикс неподвижной точки подобия, переводящего
один из треугольников А^С^ в другой А'В'С'.
6°. При каком положении точки Р она совпадает с точкой Qx?
(рис. 28).
Решение. 1°. Примем окружность (О) = (ЛВС) за единичную
окружность. Пусть га, zs — соответственно аффиксы точек А,
152
В С. Уравнение прямой ВС имеет вид
z — z2 = — z2z3 (z — z2),
или
z+z2z3z = z2 + z3.	(73)
Уравнение перпендикуляра, опущенного из точки Р на пря-
мую ВС:
z — p = z2z3(z — p),
или
- z - z2z3z = р — z2z3p,	(74)
где р —аффикс точки Р.
Складывая почленно уравнения (73) и (74), находим аффикс
точки Лг:
«1 = у (*2 + z3 + р - z2z3p).
Аналогично находим аффиксы Ьг и Сх точек В2 и Ct:
bi = у (*з+zi + Р - адр),
Ci=у (zi++ Р - ^P)-
Так как по условию треугольники ВСР и CAQi подобны, но
противоположно ориентированы, то аффикс точки Qi находится
из уравнения
или
или
5 Ci
с
Р Я1
1
1 =о;
I
-J- ^-(Zi+zz+p—ZiZip). 1
Z2
— “(2з + ?1 + Р“- 2321Р) 1
z3
Р	Я1	1
— 2?i + z2 + p — Ъ&ър 1
z2
1 , , - , =
— *з + *1 + р—*3*1Р 1
2з
Р	2^	1
Отнимем из первой строки вторую, получим
у ~~" *2—*з+(гз—2г)р21 0
Z2Z3
7“	2з4"£1 + Р—гз21Р	1
Р	^Я1	1
153
сокращая на z3 — z2=#0, получим
77-(z3 + zx + р-z3Zip- 2ft) - (7- - р\ - 1) = 0.
г223	\ £3 J
Умножая левую часть на z2z3, получим
z3 + Zx 4- р - г3ггр - 2qi - (z2 - z2z3p) (Zip - 1) = 0,
или
z3 + Zi 4- p - z3Zip - 2ft — z2Zip+z2 4- O3p2 - z2z3p=0,
откуда
<7х = у (^зР2 - а2р + Р + <Ч)-
2°. Симметрия правой части относительно zu z2, z3 позволяет
утверждать, что (п. 1°) треугольники Лх^хФх и САР подобны и
противоположно ориентированы и что (п. 2°) треугольники BjAjCh
и АВР подобны и противоположно ориентированы. Вместе с тем
мы нашли аффикс qt точки Qv ___
3°. Направленному отрезку AtBi соответствует комплексное
. число
61-О1=у[4-г2+2з(г8-г1)р]=у(гг-г1) (z3p-l).
Найдем аффиксы а', Ь', с' точек А', В', Сг. Уравнение прямой
РА имеет вид
Решая это уравнение совместно с уравнением z2 = l единичной
окружности (ЛВС), получим
г_, = Р-гг /1	1\
1 Р—zt \,z	г1/’
- _  ___P — Zi z — Zj
1	Р	— Zi ZZ1 *
Один из корней этого уравнения естественно z = Zx (аффикс
точки А); другой (аффикс а' точки А') найдем из уравнения
I —.	P~Zj 1
р —Zi a’zi ’
откуда
Zx P — Zl
и аналогичные выражения имеют b' и с'. Итак,
Zi P — Z1
ь, =____1 P—Zj
z3 p — z2 •
1	р-23
z3 P—z3 ’
154
Направленному отрезку А'В' соответствует комплексное число
,____1	P — Zj___1	p — z2	_
ь ~а —	Zi	p—zi	z2	p—z2
Z2(pp — Zjp — S2p + Z1?2) — Zj (pp — 2^ — 2^ + ZjZj) _J'
₽	ZiZ2(p— z£(p—z2)
_ Z2pp—Z1Z2p — p + Zi — Zipp + p + z1Z2p—Z2 _
ZlZ2(p — Zi)(p — S2)
_ Pp (z2_—Zj) —(г2—Zl) _	(z2—zt) (pp—1)
ZXZ2 (p —Zj)(p— Z2)	ZiZ2 (p —z^(p — z2) •
Отсюда следует, что
b'—a'___________2(PP—1)________
bi—at	ZiZ2(p—2i)(p—z2)(z3p—\)
_	(PP ~~ П____________% (PP 1)	f75)
~a3(P — zi)(p—Z3)(p—z3)	a3(p?—5iP2+52^—5a) ’	' 1
_	СТ О _ CFf
и так как ax = —а2 =—, то
о3	и3
Ь'—а' =	2(РР —I)	/7сч
bi-ai c3p^—a2p^^ip-V
Обозначая правую часть через X:
}	_	2(рр-1)
о3р^—<J2p*+<hp— 1 ’
получим
b' — а' = X (&х — at)
и аналогично (в силу того, что Z — симметричная функция от zlt
z2, г3)
с' — Ь' = % (ci — &х),
а' — с' = Л (ах — сх).
Следовательно, треугольники А'В'С' а А^^ подобны и имеют
одинаковую ориентацию.
Коэффициент подобия можно переписать, исходя из формулы
(75), в виде
...	2|ОР2_Д2|	_2|OP2-J?2|
1Л1- |/>-Zl I [p-z2 I |р-z3| - РА-РВ-РС’
4°. Рассмотрим подобие, переводящее треугольник А^С!
в треугольник А'В'С'. При этом подобии центр Ох окружности
(Л^^) перейдет в центр О' = О окружности (А'В'С'), а точка
Hi пересечения высот треугольника АхВ^ перейдет в точку Н'
пересечения высот треугольника А'В'С'. Так как указанное пре-
образование подобия имеет вид
г' =Х?14-|Л
155
и так как при этом подобии направленный отрезок C^Ai перейдет
в направленный отрезок О'А'^ОА', то
— ох),	(77)
где a', а19
логично
ог — соответственно аффиксы точек Д', А19 Ох. Ана-
b'=Х (bi-Oi), |
e'=X(Ci — Oj), J
(78)
где b', c', bi, Ci — соответственно аффиксы точек В', С', Blt Сх.
Из соотношений (77) и (78) находим
ci' -J- br 4~ с1 = X (я* 4~ bi -f- Ci — 3oj).
Далее, используя полученные, ранее выражения для а', Ь’, с',
имеем
а'-1-Ь'+с,= - — ^^- — -^^— — -^^-=—--J-, (79)
Zi Р — Zi	г2 p — z2 z3 p — z3 о3 ¥	’
где
X = z2z3 (р - Zi) (р - z2) (р - z3) +
4- z3Zi (р - z2) (р - z3) (р + zt) 4- ZjZ2 (р - z3) (р - Zi) (р - 22),
y = (p-h)(p-z2)(p-z3).
Далее,
z2z3 (р - г2) (р - z3) (р - Zi) = z2z3 [р2 - (z2+23) р 4- z.2z3] (р - Zi) =
= [z2z3p2 - (z2 4- z3) p 4-1 ] (p - Zi) =
= z2z3p2p — (z2 4- z3) pp 4- p - G3p2 4- (zjZ2 4- ZjZ3) p - zv
Два других слагаемых в числителе формулы (79) будут иметь
вид
z3ZiP2P- (z3+zi)pp + p-а3р24-(z2z34-z2Zi) p-z2,
ZiZ2p2p - (Zi+z2)pp+p — G3p2 4- (z3Zi 4- z3z2) p — z3.
Складывая последние три выражения, получим
X = рр2о3 — 2О1рр 4- Зр — Зо3р2 — 2о2р — at.
Итак,
nt । t,r ।	__— PP?a2 4~ 2Pipp—Зр 4~ Зсг.чр8—Sffop+fft
+ +	g3(p— 21) (P — z2)(p—Z3)
Используя полученные выше~выражения для	находим
«I + bi 4- Ci =	(2ffj 4- Зр - о2р),
2(РР-1)
и так как X = ——^4-?^——г» то соотношение
g3 (р — ?1) (Р—22) (р — z3)
о* 4~ bf 4~	— X (cii 4" bi 4“ Pi — 3qi),
156
ИЛИ
—	z )— (^i + +ci)
можно переписать так:
__6ох = -Pp2Oi+2aiPp-Зр+За^-га^+ст! _ (2(У1+Зр_ Gap} =
__ —Зр2р ~|-3<Тзр2—Зо~2р
рр—1
следовательно,
_ {Рр—озр2+оа>—<ч
Ох- 2(рр-1)
Отсюда находим
о^р2—q2P+p+qi	Р2Р—<ХзР2~ЬстаР—qi  
<h~ 01—	2	2 (рр — 1)	—
ОзРР8—q2PP2 + P2P+qlPP—q3p2+ff2p— Р — а1 —Р2р+СТзР2 — q2P+ql _
=	-	2 (рр — 1)
<ГзРр3 _ а2рр2+(црр—р_ <ТзР (Р3—qiP2+^Р —эз) _
“	2(рр—1)	“	2 (рр—1)
,.<Ю(р—21)(р-Ъ)(Р-Ы
~	2(рр —1)
Аффикс t середины Т отрезка РР* будет
/ = lf„+_L\=PP±JL
1	2\Р‘р) 2р *
Имеем
t-o _Рр+1
1	°1- 2р
р2р — qaP2+q2p —qi  р2р2—1—р2р2+<тзр3—g^+PiP 1
Отсюда
2(рр-1)	2р(рр-1)
СТаР3—q2P2+qip—1 _ <Хз(р —gi)(P~^(Р —?з)
2р(рр —1)	2р(рр — 1)
v—— _ ff3(p-z1)(p—z2)(p-z3)
. I — (j1 —--------------------
2р(рр — 1)
и, значит,
(<71 - 01) (^) = .|р-г^Л-£2121Р-гз1а
4(рр-1)2
а это означает, что точки Т vi находятся в инверсии относи-
тельно окружности с центром Ох и радиусом
_	|р—Zi I |р—гг I |р —Zsl	РАРВРС	/п_\\
р— 2\рр —1|	- ~ 2|0Р2—7?2|	V* —1Л
Радиус окружности (AxBjCj) = (Ох) найдем из соотношения
подобия z'^kZi + p., переводящего окружность	в окруж-
ность (А'В'С'). Так как радиус окружности (А'В'С') равен Р — 1,
то радиус Ri окружности (А^В^) будет равен
d____R _ I <h (Р—2i) (р—г2) (P—z3) I _ РА РВ-РС _
1	|Ь|—J 2(рр— 1) I — 2 | OP*—R* | “ Р’
157
5°. Аффикс со неподвижной точки Q подобия, переводящего
один из треугольников в другой А'В'С', найдем из того
соображения, что при этом подобии треугольник OjAjQ перехо-
дит в треугольник OA'Q, так что
откуда
Далее,
о± -|- иг Ох
„ Zi—p	z24-z34-p —z,z3p
1	Z1P — 1	2
__ 2zi—2р —ZiZ,p — г^ар — z,pp 4- ст3р-4- г2 4- z3 4- р —г2г3р
2	(Zip — 1)
_ ?!—p+CTi—ggp —Zipp+crap8
_	2(Zjp-l)	’
п г, —РгР~<*>Р* 24-<*гР —	. ?1—Р+Щ—<hp — 21РР4-®зР2
01 + а -----------2(рр —1)-----+-----------2(^-1)-----------=
= 2(pp-l)(zip-l) ^P2p2Z1 ~ G3p3Z1 + °iZlp2 ~ °1Z1P ~ Р2Р+азР2 -
- ст2р + Oi + ppzt - р*р + рро3 - р2ра2 - Zjp2p2 4-
+ Озрр3 - z2 + р - <тх 4- Р<т2 + г^р - сг3р2) =
2рр (Z1—Р)—(?1—Р)+<Т2Р2 (Z1—р)—О1Р (21—р)—g3p3 (zt—р)
&	2(РР —1)(г!р —1)
_ (21—р) (2рр — 1 + <т2р2—(Tip — СТзр3)
2 (рр —1) (2ip —1)
и, следовательно,
Р2р—<ТаР2+стаР—. zj—р
____________2(рр—1) ‘гцр —1	_ Р2р—tr,3p2+(Ti>p—(Tf
0 — (zi —р) (2рр — 1 +ст,р2—Pip —Стар3)	2 (pp — 1) — (адр3—Стар24-alp — 1)’
2(РР —l)(Zip —1)
Но
р2р — о3р2 4- о2р — стх = 2oj (pp — 1),
о3р3 - <т2р2 4- Oip - 1 = 2р (pp -1) (t - Oi),
значит,
____________2oi(pp—1)_________=	01
® -2 (pp -1)-2р (pp-1) (t-01)_1 -Р (f-Oj)•
6°. Точки Р и Qi совпадают тогда и только тогда, когда
р = <71, т. е.
Р = у (°зР2 - «W» 4-р 4-th)
или
ст3р2 —Ст2р —р4-(Т1 = 0;	(80)
158
отсюда	ст3р2 — о'гР — Р= 0.
или	JLp2_£lp_p + £?=0 о3 к о3р	о3 ’
т. е.	-_Р2 — О1Р + Оа Р	Оз	’
и соотношение (80) принимает вид
J- (р4 + alp2+ о2 - 2охр3+2р2а2 - 2<w2p) -
Оз
— ^(<r2p2-<h<W + al)-p + <h = Q>
или
р4 - 2ffjp3 + (of + ff2) р2 -	+ <*з) Р + о№ = 0;	(81)
р = а1 —корень этого уравнения.
Разделив многочлен, стоящий в левой части соотношения (81),
на р —<Т1, получим р3 —<Т1р2 + о2р —<т3 = 0, или (р — zj (р — z2) х
Х(р —z3) = 0. Таким образом, остальные корни уравнения (81)
p = Z1, p = z2, p = z3.
Предполагая, что точка Р не совпадает ни с одной из вер-
шин данного треугольника, заключаем, что остается только р—
Значит, точки Р и Qj совпадают тогда и только тогда, когда Р
есть ортоцентр данного 'треугольника АВС.
Пример 26. На окружности (АВС) = (О) взята произвольная
точка Р. Пусть Л*—точка, симметричная точке А относительно
прямой ОР, а Л'— точка, симметричная точке Р относительно
прямой ОА*. Аналогично построим точки В1 и С'. Обозначим
через Л", В", С точки, соответственно симметричные точкам
А', В', С, относительно прямых ВС, СА, АВ._________
1Q. Доказать, что треугольники АВС и А"В"С* подобны и
имеют одинаковую ориентацию.
2°. Доказать, что треугольник АВС вписан в треугольник
АпВ"С", а именно, тройки точек Л, В", С"; В, С, Л"; С, А", В"
лежат на одной прямой.
3Q. Доказать, что ортоцентр Н треугольника АВС является
центром окружности (Л"В"С").
4Q. Найти радиус R" окружности (Л"В"С") и указать способ
его построения, зная положение единичной точки на единичной
окружности (АВС) и положение точки Р на этой окружности.
5°. Каково наибольшее значение /?"? Какому положению точки Р
соответствует это наибольшее значение R"?
6Q. При каких положениях точки Р все точки Л", В", С"
совпадают с точкой Н?
7°. При скольких и каких положениях точки Р треугольники
А"В"С" и АВС равны между собой (конгруэнтны)?
159
8°. Найти аффикс центра подобия треугольников АВС и
А"В”С, принимая окружность (АВС) за единичную и зная аффиксы
а, Ь, с, р точек А, В, С, Р.
9°. Доказать, что если точка Р описывает единичную окруж-
ность (АВС), то центр Q' подобия треугольников АВС и А"В"С"
описывает ортоцентроидальную окружность треугольника АВС,
т. е. окружность (GH), построенную на отрезке GH как на диа-
метре (Я —ортоцентр треугольника ABC, G — его центр тяжести;
отсюда термин юртоцентроидальная»).
10°. При скольких и каких положениях точки Р совпадают
точки G и Q'?
11°. При скольких и каких положениях точки Р совпадают
точки Н и Q'?
12°. Какую линию описывает центр тяжести G" треугольника
А"В"С", если точка Р описывает окружность (АВС)?
.13°. Доказать, что аффикс центра подобия Q' треугольников
АВС и AVB"C* связан с аффиксом центра тяжести G" треуголь-
ника Л"В"С" дробно-линейным соотношением, которое определяет,
следовательно, некоторое круговое преобразование плоскости.
Доказать, что при этом преобразовании ортоцентроидальная
окружность (GH)' треугольника АВС инвариантна. Найти непод-
вижные точки упомянутого преобразования.
14°. Доказать, что центр тяжести G" треугольника Л"В"С",
соответствующий центру ^ подобия треугольников АВС и А"В"С",
есть вторая точка пересечения с окружностью (GH) прямой Охй*,
где Ох —точка, симметричная точке О относительно середины К
отрезка GH, а й* —точка, симметричная точке Q' относительно
медиатрисы отрезка GH.
Решение. 1°. Примем окружность (АВС) за единичную
окружность, а за единичную точку • примем точку Бутена тре-
угольника АВС. Пусть а, Ь, с, р, а', Ь', с', а", Ь", с" —соответ-
ственно аффиксы точек А, В, С, Р, А', В', С, А", В", С.
Тогда a3 = abc=\. Уравнение прямой, проходящей через точку А
и перпендикулярной прямой ОР, имеет вид
г — а = — р2 (z — а).
Решая это уравнение совместно с уравнением единичной окруж-
ности ?2 = 1, будем иметь
»г—а
г — а = р2—~
' az
Один из корней этого уравнения z = а — аффикс точки А, другой
а* = р2/а
— аффикс точки А*.
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярный прямой О А*,
равен
г — р — к(г — р), —=
г	а а а2
160
Уравнение прямой, проходящей через точку Р перпендикулярно
ОА*, имеет вид
г-р = — -^(2-р).
решая это уравнение совместно с уравнением единичной окруж-
ности zz = l, найдем аффикс а' точки А':
z2 = l, найдем аффикс а' точки А':
2-р==р^р
р а2 г •
из корней этого уравнения естественно z = р (аффикс
Р), другой — аффикс точки А':а'=р3/а2. Аналогично нахо-
аффиксы точек В' и	С.	Итак,
, р3	р3	,
а = >	>	ь	= -г,- >	с
От	о-
Уравнение ВС:
Один
точки
дятся
Р3
с3 ’
(82)
z + bcz = b + с.
Уравнение перпендикуляра, опущенного из точки А' на прямую ВС:
или
г-(,с2=.£_6с-£.
Складывая почленно последние уравнения и уравнение ВС, нахо-
дим аффикс а, проекции точки Л' на прямую ВС:
Аффикс а” точки А" находим из соотношения
fl' + fl'	г
т. е.
р3
&
откуда (так как о3 = 1)
а" = &+с-а-?| = о1-а(1+р-3).
Аналогично находим &" и с". Итак,
a" = ffi-(l+р-3)а, '
у'^-П+р-3)*. ••
. (83).
Таким образом, треугольник А" В" С" получается из треугольника
АВС подобным преобразованием первого рода:
z^ffi-O+p-3)*.
6 П. С. Моденов
(84)
161
Следовательно, ориентированные треугольники ЛВС и Л"В"С"
подобны и имеют одинаковую ориентацию.
2°. Докажем, что треугольник ЛВС вписан в треугольник
А"В"С". Докажем, что прямая В"С' проходит через точку А. Для
этого достаточно, например, доказать, что
a—If
а-d’
есть число действительное. Воспользовавшись формулами (83),
находим
а — Ь’ а—^ + Ь^+р-*) _ бр-’-с _
а—с" а—сц+с (1 +р~3) ср~$—Ь
Имеем
1 3___! bffi—c ср~$—Ь
ср ~Ь
Аналогично доказывается, что прямая С А" проходит через точку В,
а прямая Л"В" проходит через точку С.
3°. Образом точки О при подобии (84) будет точка с аффик-
сом <тх, т. е. ортоцентр Н треугольника ЛВС. При подобии (84)
треугольник ЛВС переходит в треу-
ха	гольник Л"В"С", следовательно, и
г_ -----------^й(7)	центр О окружности (ЛВС) перехо-
Дит в Центр окружности (Л"В"С"),
/7\	//\\\	т. е. в точку Н.
/! / z / \\\	4°. Радиус ^"'окружности (Л"В"С")
Z I / /I равен 11 + р-8| = | 1 +р3| и, следова-
\ /	\ l/s тельно, может быть построен так
П(пг)\ \ I / / (Рис- проводим касательную к
\	\ / / окружности (О) в точке Р и через
единичную точку й (точка Бутена)
Т(р3) проводим прямую I, параллельную
этой касательной; вторая точка Q
h-ис. z».	пересечения прямой I с единичном
окружностью будет иметь аффикс р2.
Через точку й проведем прямую tn, параллельную прямой PQ-,
вторая точка Т пересечения прямой tn с единичной окружностью
будет иметь аффикс р8. Строим ромб со сторонами Ой и ОТ.
Его диагональ OS = 11 + р31 = R", где R" — радиус окружности
(Л"В"С").
5°. Пусть р = cos<р + isin<р; тогда 1+р3= 14-cos3<p + isin3<p
и, значит,
R" = 11 +р31 = ]/ (1 4- cos Зф)2 + sin2 ф = 21 cos (Зф/2)
Отсюда следует, что R" будет наибольшим, притом в два раза
больше радиуса R окружности (ЛВС), тогда и только тогда,
162
когда |cosi(3<p/2)( = l, откуда Зф/2=±^л и, следовательно,
ф =+2йл/3,. На единичной окружности имеется всего три точки
у ^з. Тб.» соответствующие, например, следующим значениям <р:
Ф1==0, фз = 2л/3, ф5 = 4л/3.
При <Pi = 0 получаем единичную точку, т. е. точку Бутена Tt
относительно треугольника АВС\ Т3 и Т5 — две другие точки
Бутена (треугольник Т4Т3Т^ равносторонний, вписанный в окруж-
ность (ЛВС)). Итак, R" принимает наибольшее значение, равное
R" = 2 = 2R, тогда и только тогда, когда точка Р совпадает
с одной из трех точек Бутена треугольника АВС.
6°. Все точки Л", В", С совпадают с точкой Н тогда и только
тогда, когда р3+1=0, т. е. р = ^ —1. Аффиксы этих точек Т2,
Т4, То имеют аргументы
ф2 —л/З, ф4 = л, ф6=.5л/3.
Эти точки Т2, Tv Т3 вместе с точками Бутена треугольника ЛВС
образуют правильный шестиугольник T1T2T3TJ\T(i, вписанный
в окружность (ЛВС). Итак, все точки Л", В", С" совпадают в одну
точку тогда и только тогда, когда точка Р совпадает с одной
из трех вершин Т2, Т4, Т3 правильного шестиугольника, вписан-
ного в окружность (ЛВС), три другие вершины которого — точки
Бутена 7\, Т3, Т5 треугольника ЛВС.
7°. Треугольники ЛВС и Л"В"С" конгруэнтны при шести
положениях точки Р. В самом деле: треугольники ЛВС и Л"В"С"
конгруэнтны тогда и только тогда, когда |р3+1| = 1, т. е.
21 cos (Зф/2) | = 1, откуда
cos (Зф/2) = ± 1/2, Зф/2 = 2&л ± л/3, Зф/2 = 2&л ± 2л/3,
следовательно,
4 ,	. 2	4 ,	, 4 -
~~~~ 2	’ g Л/,	--- Q ЗТ»
На окружности (ЛВС) имеется всего шесть точек с такими
аргументами, которые получаются поворотами радиусов OTlt ОТ3,
ОТ6(Ти Т3, Т5 — точки Бутена треугольника ЛВС) на углы ±40®
(повороты радиусов ОТlt ОТ2, ОТ3 на углы ±80° приводят
к тем же шести точкам).
8°. Из соотношения
z" = Oi —(1+р-3) Z,
определяющего подобие, переводящее треугольник ЛВС в тре-
угольник Л"В"С", следует, что аффикс <в' неподвижной точки Q'
этого подобия равен
(в указанном соотношении следует положить z" = z).
6*	163
9°. Из соотношения, полученного в п. 8°, следует, что если
точка Р описывает единичную окружность, то точка Q' описывает
окружность (□')» полученную из единичной окружности дробно-
линейным преобразованием
Докажем, что (Q') есть ортоцентроидальная окружность треуголь-
ника АВС, т. е. окружность с диаметром GH. Аффикс k сере-
дины К отрезка GH-.
Далее,
I gj _ 2	I _]—gx—2piz|	|gi | |z ||24-z|  |(T1|
|2+z	3 x| | 3(2-}-г) |	3 | 24-2 j 3	]24-г|	3 ’
значит,
KQ' = 0Hft = GH]2.
Следовательно, точка Q' описывает окружность с диаметром GH.
10°. Точки Q' и G совпадают тогда и только тогда, когда
СТ1 = £1
24- р-3	3’
откуда р3= 1, т. е. точка Р совпадает с одной из точек Tlt Т3, Т5.
11°. Точки Q' и Н совпадают тогда и только тогда, когда
24-р-з-(Т1’
откуда р3 =—1, т. е. точка Р совпадает с одной из точек Т3,
Та т\.
.12°. Центр тяжести G" треугольника A"S"C соответствует
центру тяжести G треугольника АВС при подобном преобразовании
z" = o1-(14-p-3)z,
т. е. аффикс g" точки G":	-
Отсюда
т. е. если точка Р описывает единичную окружность, то точка G"
описывает ортоцентроидальную окружность (GH) треугольника
АВС.
13°. Исключая р из соотношений
<71	п__ ^1/0^	п-3\
,	и — 24-р'З’ & ~ 3
164
получим
2+р-"=*, 2-р-“т3<.
откуда	3g"co' — 4(0'0! + of = 0.
В этом g" как	соотношении фиксировано, следовательно, оно выражает дробно-линейную функцию от со' (обе точки G" и Q'
с аффиксами g" и со' лежат на окружности с диаметром GH), и
потому эта функция преобразует ортоцентроидальную окруж-
ность (GH) треугольника АВС в себя. Неподвижные точки этого
преобразования найдем из уравнения 3z2 — 4<r1zст? = О, откуда
г = Ор z = ст^З
— это аффиксы точек Н и G. ,
14°. Аффикс Oi точки Oj равен
	4
Угловой коэффициент прямой Gff равен Следовательно, урав-
нение прямой, проходящей через точку Q' параллельной Gff:
	2 — со' =	(2 — <в'), а1х '
ИЛИ	z-S^to'-^co'.	(85) <JX	щ	v '
Уравнение медиатрисы отрезка Gff:
ИЛИ	2	/_	2	\ z+^2==:4ori-	д86)
Складывая почленно уравнения (85) и (86), найдем аффикс л
проекции точки Q' на медиатрису отрезка Gff:
	1 / , . 4	V ff! -A л=2 ^'+-3-a1-^(o ).
Аффикс со* точки Q* найдем из соотношения
	(d' + <0*	1 / , . 4	О’! —Д -о),
откуда	л 4	ch—, ® =за1-у?’
но	— f	О'! “	2+Г»’.	165 1ОО
следовательно,
Имеем
Oi <о* g"
6i ®* ?
1 1. 1
4*
4 81
1
4*-2тИ 41(2-р"3)
481-2TF5	=
1 1
Т “ 2+р-а “ 3 <2+р-3>
&<ТА 4-24^5 -4<2+^
1	0	О
Пример 27. Пусть Р, Q, R — ортогональные проекции точки М
на стороны ВС, С А, АВ. треугольника АВС-, Во, Со — сере-
дины отрезков МА} МВ, МС, а А', В', С'—точки, полученные
инверсией точек Ао, Во, Со относительно окружности (PQR).
Доказать, что отношение площади треугольника А'В'С к пло-
щади треугольника PQR равно отношению квадрата радиуса
окружности (PQR) к степени точки М относительно этой окруж-
ности, взятому с обратным знаком (рис. 30).
Решение. Примем окружность (PQR) за единичную окруж-
ность. Пусть Zj, z2, z3, z0 — соответственно аффиксы точек Р, Q,
R, М. Так как радиус окружности (PQR) мы считаем равным 1,
166
то степень точки М относительно окружности (PQR) равна <г =
Таким образом, надо доказать, что
АЖ = _1_
~PQR ~ а ’
Уравнение прямой MQ имеет вид
z-z0=-^-(2-?0),
° Zo —Z2V	7
ИЛИ
(z0 — 22) Z — (z0 — Z2) 2 = Z0Z2 — zoz2.
Угловой коэффициент прямой AQ равен — a потому урав-
нение этой прямой имеет вид
или
(z0 — 22) z+(z0 - z2) 2 = z220 + z2z0 - 2.	(87)
Аналогично получим уравнение прямой А/?:
(Zo-z3)z + (zo-z3)z = z32o + 23zo-2.	(88)
Решая систему уравнений (87) и (88), находим аффикс а точки А:
I ^2^0—2 Zq—?2 I
а = l^o + ^Zp—2 z0 —z3|
Д	I Z0 —	Zy— Z2
[ z0 — z3 z0—z3
Имеем
4' = (z2z0 4- 22z0 — 2) (z0 — z3) — (z320 + 23ZO - 2) (z0 - z2) =
= z2z0z0+22z§ — 2z0 — z2z320 — z322z0 4- 2z3 —
— z3z020 - 23z§ 4- 2z0 4- z2z3z0 4- 23z2z0 — 2z2 =
= (z2 - z3) z020 + zg (у- - -I) 4- z0 (-g -	- 2 (z2 - z3) =
\ *2 z3 /	\ Z3 Z2 J
= (z2 — 23)/z0z0 —	zq — 2\ =
\	Z2Z3 Z2<&3	/
_ Z_ , X г0г0г2г3—+ (z2+z8) z0—2zsz3
- (Z2 - Z3)	—-------------,
Д = (20 - Z2) (z0 - Z3) - (Zo - Z2) (20 - 2з) =
^0^3	^2^0	^2^3	20Z0 “F“ 20г3 “p Z2~o ^2^3 ==
= ^o(z2-z3)4-zo(1 -1) 4- J - g = (z2-z,)28-1-2^-22"2^
\z3	z2/	z3	.	Z2Z3
Итак,
a	—2§4-(22?з?о4-га4-г3)г0—2z2Zj
•Zo + z2z3^o —z3 —z3
167
Аффикс а0 середины Ао отрезка АЛТ:
а = £«-+? = г*+г2гэго?о—г2г0—z3z0—zg + z2z3z0 ?0+г0г2 4- г0г3—2г2г3.
®	2	'	2 (zo-|-z2z3zo—г2—z3)
_ г2г3 (г0?0—1)
...	. -	..	.	z0+z2z3z0—Z2—Z3*
Аффикс а точки А равен 1/а0, т. е.
_ . 1 11
Zq "f*-Zq ——----- ।	—
nf_______Z2Z3 ?2	23   ZO + Z2Z3?o— ?2— Z3	1 /	. - - f	x
a - r ----------------=------------------= -(г0+го21<т3+г1-о1).
Теперь имеем
a' = ~ (z0 + z0ZiS3 -Hi - Si).
Аналогично
b' = ~ (z0 + 20z2o3 + z2 — Oi),
с' = у (zo+Z0Z3CT3 + г3 - Oi),.
b' = у (z0 + z0z2S3 + z2 - Oj),
C' = 4 (z0 + z0z3o3+ z3 - S3)
и, следовательно,
Д'В'С'
a' a'	1
b' b'	1
cf 1
2o+20^1^3+ *! — °1
Zo + ^O^2°3+Z2—Q1
го+^ог3(Уз+^з—Qi
+	—O’! 1
Zq H“ZqZjO’3-|- z2— o\ 1
^0 + 2023^3+23—Qj 1
i
4a2
^0^3 +z2
^зСТз + ^З
ZoZi^ + Zj
?0г2^з + Z2
Zo23<h+z3
Zi
Z2
Z3
Zi
Z2
Z3
Zi 1 
z2 1 =
?3	1 _
1
1
1
+
откуда
А'В'С _ А'В’С _ _ 2
PQR ~ PQR ~
Пример 28. AiA2A3 — произвольный треугольник; Р — произ-
вольная точка. Через точку Р проводятся две взаимно перпенди-
кулярные прямые 6 и 6'. Пусть эти прямые пересекают сторону
Л2А3 соответственно в точках В2 и В3, а высоту, опущенную
из точки Ai на сторону А2А3, в точках Вг и Вз. Аналогично
строятся точки С3 и Сп С3 и С[ для стороны A3Ai и высоты,
опущенной из вершины А2 на эту сторону, и точки и D2,
D{ и D'2 для стороны AjA2 и высоты, опущенной из точки А3
на сторону АхА2. Доказать, что центры тяжести трех групп точек
В2, В3, Вг, Вз; С3, С1г С3, Cf; Dlt D2; D{, D2 лежат на одной
168
Решение. Примем окружность (ЛХЛ2А3) за единичную окруж-
ность. Пусть гр г2, г3, р— соответственно аффиксы точек Лх,
Л2, Л3, Р. Запишем уравнения прямых 6 и 6' в виде
z —р = т(2 —р), или z — xz=p — гр,
z — p — — т(г —р), или z + xz = р+ир,
где | т | = 1. Уравнение прямой Л2Л3 имеет вид
г -|- z2z3s = z2 -f- z3.
(89)
(90)
(91)
Вычитая почленно из уравнения (91)^ уравнение (89), найдем
число Ь2, сопряженное аффиксу Ь2 точки"В2: '
г _ г24~гз—РА-хр
2	г2г3-}-т
(92)
Отсюда
1	J____ 1
h _ га + гз 1 р _ т(г24-г3—г2г3р)+г2г3р
2	JL1T
г2г3 + ~х
г2г3+т
(93)
169
Заменяя в полученных формулах т на — т, находим аффикс Ь3
точки В3 и Ь3:
.	. — т (г2+г3—z2z3p)+z2ZsP
3	z2z3—т	’
г _z24-z3—р—тр
3	г2г3—т
Из этих формул находим число б23, сопряженное аффиксу Ь23
середины В23 отрезка В2В3:
г    1 [z2 г3—Р ~ЬТР ।	—Р—zp\ _
23 —	2	— 2 \ г2г3+т	z2z3—т )
_ z2z3 (z2+z3)-pz2z3—i?p
~ zlzl-ifi
Отсюда
i /I n_ -J__________X
. _ z2z3\z2+z3/ p z2z3 таР _ z2z|p+т2рг2г3—(г2 4- г3) т2
23	1	1	z|z|—т2
г2г| т2
Далее, уравнение прямой, проходящей через точку перпен-
дикулярно прямой А2А3, имеет вид
z —z1 = z2z3(Z-?1),
ИЛИ
Z-Z2Z32 = Z1--^-.
(94)
Вычитая почленно из уравнения (89) уравнение (94), находим
аффикс сопряженный аффиксу Ь'2 точки В2:
p-xp-.zi+^-
b'2 =----------
Z2Z3 —т	’
и аналогично
zfz|—т2
P+t:P-^i+~
г.' ___________£1_
3 г2г3+т
Число 523, сопряженное аффиксу &23 середины В23 отрезка В2В3:
1 fp—тр—Zi+^2- p+i:p-Zi + ^\ Z2z3p—Рз + ~—т?р
и' _ 1 I__________г1 j___________£i_ I __________zi_____
23 2 \ z2z3 —т	22z3 + t j
Отсюда
b, _-^р-Т3+-^-^Р	Р^-^+^г2-^^	- j
23	J______L	zfz^-T2	• I
zjzl t2	i
Аффикс 1 центра тяжести группы точек В2, В3, В2, В3, в которых |
помещены равные массы, равен аффиксу середины отрезка В23В23, ]
170	I
концами В^з
B&t
и Вад которого являются середины отрезков В2В 3 и
л баз + ^аз
2
2г|г|р'-т2(а1-^
_________\____г1
2(г2г|-т2)
(95)
Докажем, что точка с аффиксом А лежит на прямой Д, задан-
ной уравнением* 1)
2z(2p + ^-5i) + 22 (2р + ^-ах) =
= (2р + ^-)(2р + ^)-о1а1.	(96)
Имеем
t^zIzF-т2 (СТ1— z2z3) _ &iziz|—<т3—2рт2	г07,
,fj П	“	2(zjz|—т2)	•	V‘>
\Ф1 т?1
Подсчитаем левую часть уравнения (96), полагая z = X, 2 = Х
(знаменатель zlz3 — т2 пока опускаем):
(2pzlzl - тЧ -И2	(2Р + > ~ S') +
г1 / \	1 и3 /
+ (фз-^-<Тз- 2/И2) (2p + -J- ffi) =
= 4ppzlzf + 2pzlz| - 2p	zlzf - 2ртЧ - «зд +	т2 +
+ 2рт2^+<т3^-^т2^ + 2pzlzl+ г2zfzl -
—	zlzl — 2ро3 — т2 + <т3стх — 4ррт2 — 2р-^-+2ртЧ =
= 4рр (z|zl - т2) Ч- Azl - т2 -	(z|z| - т2) +
+ 2р^- (zlzl -	+ 2^- (zlzf - т2).
х) Уравнение этой прямой можно было бы составить, определив аналогично
аффикс р, центра тяжести второй группы точек С3, Съ С'$, С{:
__	\ Z2 /
**“	2(zfz?-T2)	’
определив еще аффикс v группы точек Dlt D2i D'v D'^ можно проверить
выполнимость необходимого и достаточного условия коллинеарности трех точек
1	%	1
й 1
V	V	1-
171
Таким образом, левая часть при z = l равна
Оз	т2 1 о3
Правая часть уравнения (96)
4рр+^ + 2р^ + 1-^-,
т. е. то же самое, что и в левой части. Симметрия уравнения (96)
доказывает теорему. Вместе с тем уравнение (96) есть уравнение
прямой, на которой лежат три центра тяжести трех групп точек
В2, В3, В2, В3; С3, С2, С3, С/, Dlt D2, D{, D2.
Из доказанной теоремы вытекает следующее следствие (теорема
Дроз—Фарни (Droz — Farny)) (рис. 32): если через ортоцентр Н
треугольника AtA2A3 провести две взаимно перпендикулярные
прямые, которые высекут на сторонах А2А3, А3Аг, АгА2_ отрезки
В2В3, C3Clt DtP2, то середины отрезков В2В3, C3Ci, DJ)2 лежат
на одной прямой. Эта теорема может быть конечно доказана и
непосредственно (и ее доказательство значительно менее технично,
чем то, которое дано в этом примере, обобщающем теорему
Дроз — Фарни). При непосредственном доказательстве теоремы
Дроз — Фарни следует учесть, что Oj есть аффикс ортоцентра Я
треугольника AiA2A3.
Очевидно, что прямая Дроз — Фарни получается из прямой А,
данной в обобщении (для того же случая Р=Н) при гомотетии
(Н, 1/2); точки В2, В3 сольются с точкой Н и центром тяжести
группы точек В2, В3, В2, В3 будет середина отрезка НВ23, где
В23 — середина отрезка В2В3. Аналогично и для точек С3, С{ и
DJ, D2.
Пример 29. Пусть / — центр окружности (/), вписанной в тре-
угольник ABC; D, Е, F — точки прикосновения окружности (/)
соответственно со сторонами ВС, С А, АВ; Н — ортоцентр треуголь-
172
ника DEF-, б — какой-нибудь диаметр окружности (7);D', E’,F' —
точки, симметричные соответственно точкам D, Е, F относительно
прямой 6. Доказать, что если Ра, Рь, Рс — точки, симметричные
произвольной точке Р относительно сторон E'F',. F'D*, D'E' тре-
угольника D'E'F', и а, р, у —точки, симметричные точкам Ра,
Рь, Рс соответственно относительно сторон ВС, СА, АВ треуголь-
ника АВС, то центр Q окружности (сфу) обладает тем свойством,
что прямая Симеона точки Q относительно треугольника DEF
параллельна прямой б. Доказать, что если построить направлен?
ный отрезок QN, эквивалентный направленному отрезку HP*/2,
где Р* — точка, симметричная точке Р относительно прямой б,
то радиус окружности (а0у) будет равен 27N.
Решение. Примем окружность (I) = (DEF) за единичную
окружность, а диаметр б примем за действительную ось. Пусть zv
z2, 2з, р —аффиксы точек D, Е, F, Р. Тогда аффиксы b и с
точек В и С будут
2z3?t	2ziza
Za+2i *	Zi-J-Zg’
а им сопряженные
-	& = —г—, £ = —т—•
2з + ?1	?1Ч~г2
Найдем аффикс ра точки Ра. Аффиксы точек О', F' будут
z2, ?з- Угловой коэффициент прямой E'F' равен
J____
z2—г3 __ z2 ?з =______1_
%2— ?3	?2— г3	^2Z3
Уравнение прямой E’F''.
или -	 ‘
•z + z2S3z = z24-z3.	‘ (98)
Уравнение перпендикуляра, опущенного из точки Р на эту прямую:.
или
z—z2z3s = p —г2г3р.	(99)
Из уравнений (98) и (99) найдём аффикс ра проекции точки Р
на прямую E'F'-.
р* = у(22 + г3 + р-22г3р).	'  .
Аффикс ра точки Ра, симметричной точке Р относительно пря-
мой E'F', найдем из соотношения
= Ра — (га + 23 — z2z3p + р),
173
•откуда
Ра — 4" Zg Z$3p,
Угловой коэффициент прямой ID равен z1/z1 = zx, а угловой
коэффициент ВС равен —zf. Уравнение ВС:
z-zt = — z^(z-Zl),
или
z + ziz = 2zx.	(100)
Уравнение перпендикуляра, опущенного из точки Ра на сто-
рону ВС:
Z-pa = Z\(Z-pa),
или
z-zlz = pa — z\pa.	(101)
Из уравнений (100) и (101) находим аффикс ра проекции точки Ра
на прямую ВС:
Ра = у (Ра — zlpa + 2zx),
а из соотношения
^=Ра=^(Ра~г1ра+2г1)
находим аффикс % точки а:
X = 2zi — zt (z2 + z3 — z2z3p) = 2zj — z^Zz 4- zxz3 - <r3p) =
= 2zx - zx (o2 - z2z3 - <r3p)=<t3 + zx (2 - <r2 4- P<r3).
Аналогичные выражения имеют аффиксы р, и v точек р и у:
р = о3 4- z2 (2 - <т2 4- Р<%),
v = <т3 4- z3 (2 — о2 4- Р^з).
Отсюда следует, что точки а., 0, у лежат на окружности, аффикс
центра которой равен <т3, а так как |-ст31 = 1, то этот центр лежит
на окружности (DEF). Радиус окружности (офу) равен
р = 12 - ст2 4- P<r31 = I 2 - а2 4- ра31 = 12 - -g- 4- £ | =
= 12<ТЗ]~егзР^~ И2<г3-ffi4*Р| = 21о34-4(Р-°i)I• <
То обстоятельство, что прямая Симеона, соответствующая точке
с аффиксом ст3, параллельна действительной оси, следует из при-
мера 3.
Аффикс р* точки Р*, симметричной точке Р относительно
прямой 6, равен р* = р. Направленному отрезку ИР* соответ-
ствует комплексное число р*— а1=р — а1л).
1) Пусть' точки Л и В имеют аффиксы а и Ь. Мы будем говорить, что
направленному отрезку АВ. соответствует .комплексное число Ь— а.
х174
Направленному отрезку HP*/2 ==QN соответствует комплексное
число (р — <h)/2=n — о3, где п — аффикс точки N. Отсюда п =
__ а + (р — oi)/2. Так как п — аффикс точки N, а окружность
(/) принята за единичную, то
ЛУ = |п| = |<т8+ 4(Р-(Г1)| = 4р*
Пример 30, На окружности (О) взяты произвольно четыре
точки А1г Аг, А3, Л4. Возьмем любой из шести отрезков, соеди-
няющих эти точки между собой попарно, например, отрезок AiA2.
Рис. 33..
Построим равнобедренный треугольник Л4Л2Л12 с вершиной Л12,
основанием ЛХЛ2 и так, чтобы его центр тяжести совпадал с точ-
кой О. Пусть Л12 —точка, симметричная точке Л12 относительно
прямой Л3Л4. Доказать, что шесть полученных таким образом
точек Лн, Л18, Alt, Азз, Лм, Ast лежат на одной окружности (S),
концентрической окружности (О), причем радиус окружности (3)
в четыре раза больше расстояния от точки О до. центра тяжести
G системы четырех точек Л4, Л2, Л3, Л4 (рис. 33).
Решение. Примем окружность (О) за единичную, и пусть
2i, z2, z3, z4 — соответственно аффиксы точек Лх, Л2, Л3, Л4.
Аффикс сс12 середины отрезка ЛХЛ2 будет а12 = (гх 4- г2)/2, значит,
аффикс вершины А12. равнобедренного треугольника ДхЛ^Лхв
175
(АгА12 = Л2Л12), центр тяжести которого совпадает с точкой О,
будет
«12= -(zi + ?2)-
Уравнение прямой Л3Л4:
z+z3z4z = z34-z4.	(102)
Уравнение перпендикуляра, опущенного из точки Л12 на прямую
Л3Л4:
z+z14-z2 = z3z4(z+z14-z2),
или
Z — Z3Z4Z = — Z4 — Z2 + Z3Z4Z4 4- Z3Z4?2.	(103)
Складывая почленно уравнения (102) и (103), найдем аффикс а*ъ
проекции точки Л12 на прямую Л3Л4:
«12 = у (z3 + z4 — z4 — z2 + z3z424 4- z3z4?2).
Аффикс ala точки A'n найдем из соотношения:
-	а1г4~а'»	„*
---2--- а‘2
или
—-—= 1- (г3 4- z4 — z4 — z2 4- z3z4?4 4- zsz422),
откуда
«[г = z3 4- z4 4- Ш 4- z8z4z2 = z3z4 (2X 4- z2 4- z3 4- ?4) = z3zA,
где o1 = z14-z24-z34-z4. Из полученного соотношения следует, что
ОЛ{2=|«;2| = |<Ч|	'(|zs| = |z4| = l, |ах| = |ffil).
Аналогично
ОЛ(з = ОА'и = ОЛ2з = ОЛ24 = ОЛм = | «х
Таким образом, точки Л(2, Л[з, Л{4, Л23, Л24, А'ы лежат на одной
окружности, радиус которой равен р = |<т1| = 4|о1/4|. Но Oj/4
есть аффикс центра тяжести системы из четырех точек Л4, Л2,
Л3, Л4, значит, |«i/4| = OG. Итак,
p = 4OG.
Пример 31. Пусть D, Е, F — точки прикосновения к сторонам
ВС, СА, АВ окружности, вписанной в треугольник АВС. Рас-
смотрим произвольный диаметр 6 окружности (I) = (DEF). Про-
ведем через точки D*, Е*, F*, в которых высоты треугольника
DEF пересекают окружность (DEF), прямые, параллельные пря-
мой 6, и пусть Л', В', С' —точки, в которых эти прямые вто-
рично пересекают окружность (/). Обозначим через А*, В*, С*
точки, симметричные точкам Л', В', С соответственно относительно
сторон ВС, СА, АВ треугольника АВС. Доказать, что центры
176
тяжести G и G* треугольников DEF и А* В* С* симметричны
относительно ортополюса <о прямой 6 относительно треугольника
DEF (рис. 34).
Решение. Примем окружность (DEF) за единичную, причем
диаметр 6 примем за действительную ось Ох (точка О совпадает
с I). Обозначим через z1( z2, z3 соответственно аффиксы точек D,
Рис. 34.
Е, F. Уравнение прямой, проходящей через точку D перпенди-
кулярно прямой EF, -таково:
z — z1 = z2z3(Z — 2l).
Решая это уравнение совместно с уравнением единичной окруж-
ности г2 = 1, найдем аффикс d* точки D*, действительно,
- .	Л 1 \
Z-Z1 = Z2Z3-- — ),
или
z-z1 = —^-(z-zx).
Один из корней этого уравнения естественно г = гг (аффикс
точки D), другой
%* =	*2*3
— аффикс точки £>*. Аналогично находим аффиксы
g* ____ Z3Z1 t* _ _ г1г2 .
га ’ 1	г3
точек Е* и F*.
177
Уравнение прямой, проходящей, например,, через точку D*
параллельной прямой 6, имеет вид
Zi	Z2Z3
Решая это уравнение совместно с уравнением единичной окруж-
ности zz = l, найдем аффикс точки А':
г+^- = у + -Д-г
2-1	z «243
z ZjZ+ZjZa _ 2^+^
Zi - z^az *
Один из корней этого уравнения г = —	— аффикс d* точки
D*, другой равен аффиксу а’’ точки А';
г Z1
а
Z2Z3
Аналогично
z3zi	ZjZa *
где &' и с' —аффиксы точек В( и С'.
' Угловой коэффициент ID равен z1/21=zi, следовательно, урав-.
нение ВС (угловой коэффициент которой —zf):
z — z1 = — zl(z — z1),
или
z-t~zlz = 2z1.	, (104)
Уравнение перпендикуляра, опущенного из точки А’ на прямую ВС:
гзгз \	. 2l /’
ИЛИ
г—=	— <т3.	(105)
Из уравнений (104) и (105) находим аффикс» а проекции точки
А! на прямую ВС:
а=4(2г1 + ^Ь~°'з).
Аффикс а* точки А* найдем из соотношения
а' + а*
—— = а>
или
г Z1 -U д*
г?гз________L (22 I 21 — <т
2	— 2	г2г3 СТз/’
откуда
а*=2г1 — о3,
т-
# аналогична
b* = 2z2 — (T3, c* = 2z3 — <y3,
тде b* и с* — аффиксы точек В* и С*.
Из полученных соотношений следует, что,
a*—g$ _ 221—2^3 _ 2
21“Оз	Zj—g3	’
и аналогично
. Ь* —gj _ 2	с*—вз _ 2
Z2—О3	’	г3— о3
т. е. точка Р с аффиксом р = а3 является центром гомотетии, при
котором треугольник DEF переходит в треугольник А*В*С*
(см. рис. 34).
Далее, аффиксы g и g* точек G и G*:
* 2
g=—> £* = у<*1-<гз.
Середина Q отрезка GG* имеет аффикс <о = (oj — сг3)/2 и, значит,
совпадает с ортополюсом прямой 6 (действительной оси) (формула
(11), пример 7, zo = O, к=1).
Замечание. Найдем аффикс точки, симметричной точке А'
относительно -£>/: уравнение перпендикуляра, опущенного из точки
А1 на DI, имеет вид
г—~ =
22г3	\ Z1 /
ИЛИ
z+z,iz=-^- + a3.
<2Z3
Уравнение Dh
z — zjz — 0.
Отсюда находим аффикс X проекции точки А' на прямую Dh
^=-Л—+°Х
2 \г2г3	3/’
Аффикс р, точки, симметричной точке А! относительно прямой
D1, находится из соотношения
а'4-н _ j
2	“ “
или
Z2Z3	_ 1 / А । _ *\
*	2	“ 2 \ ад аз/’.
откуда
(г=аз=р.
Таким образом, все точки, симметричные точкам А’, В’, Сг отно-
сительно прямых DI, El, FI, совпадают с одной и той же точ-_
179
кой Р, являющейся центром гомотетии Г = (Р, 2), . переводящей
треугольник DEF в треугольник А*В*С*.
Пример 32. Окружность (DEF) = (Z), вписанная в треугольник
АВС, принимается за единичную; D, Е, F—соответственно точки
о
окружностью; zv z2, z3—
Рис. 35.
АВ с этой
Ео %
Н
AtMlo-середины ЗВ, ВА,АВ
основания Высот
AZ,BZ, 4 -середины Ад, ВВ, Вд
Окружность Эйлера содержит
•г'	, Aa,do,do,Az,6i,Bf,
касания прямых ВС, СА,
соответственно аффиксы точек D, Е, F. Требуется найти:
1°.
. 2°.
3°.
4°.
5°.
АВС.
6°.
Аффикс о центра О окружности (О) = (АВС).
Радиус R окружности (АВС).
Радиус р окружности Эйлера для треугольника АВС.
Аффикс h отроцентра Н треугольника АВС. _
Аффикс е центра 09 окружности (О9) Эйлера треугольника
Доказать, что окружность, вписанная в треугольник АВС,
касается окружности Эйлера, построенной для этого треугольника,
в- некоторой точке Фо (называемой точкой Фейербаха). Найти
аффикс <р0 точки Фо Фейербаха.
180
7°. Доказать, что три окружности (1а), (Л>), (Л), вневписан-
ные в углы А, В, С треугольника АВС, также касаются окруж-
ности Эйлера треугольника АВС в точках Фи Ф2, Ф3 (также назы-
ваемые точками Фейербаха). Найти аффиксы хь, хь, хс центров
j 1Ь, 1с окружностей (/<,), (1Ь), (1С).Найти аффиксы tu t2, i3
точек Тъ Т2, Т3 прикосновения окружностей (Ia), (1Ь), (1С) к ВС,
С А, АВ. Найти радиусы этих окружностей (рис. 35). Найти
аффиксы Ф1, ф2, Фз точек Фп Ф2, Ф3 Фейербаха.
Решение. Г. Аффикс середины отрезка EF равен (z2+z3)/2,
а так как точка А получается при инверсии этой середины отно-
сительно единичной окружности (Г), то аффикс а точки А:
2
а = _ , _ .
г2 4*г3
Аналогично находятся аффиксы b и с точек В и С: ,
.2	2
о = _	, с =	_ .
2з + г1	г1 + г2
Аффикс о центра О окружности (О) = (АВС) находится из системы
уравнений:
(о —a) (о — й) = (о — Ь) (б — Ь),
(о — Ь) (б— Ь) = (о — с) (б — с),
или
— о (а — Ь) — о (a — b) — bb — аа,	(106)
— о(Ь — С) — б(Ь — с) = сс — bb.	(107)
Имеем
_	2	2	-	2 (^L —^2)
22-f-Z3	гз + 21	(г2+?з) (z3-|-Zi)
_ 2z2z3 _	2z3Z! 	2г2(га—г,)
+ 23	гз+*1	(г2+гз) (*з+21)
65—аа =
_ 4ztz3_________4г3га = . Zt (г|+2гаг3+г?) — га (г2+2z3zt+г?) _
(гз+г1)2	(гг+2з)2	3	(гз+г1)2 (гг+г3)2
_ л7 М + М—г2г|—г.;??	4z3 [ztz2 (Zg—zQ —г| (za—zt)J _
3	(23+2i)2(z24-z3)2	(гз+г^^+гз)2	“
_ 4z3(za—zQ fazg —г|) ,
(z3 -|-?1)2 (z2 + z3)2 ’
Уравнение (106) принимает вид
0	2(Z2—Zi) _	2г2(г3 —Zi)	_ 4z3 (z2 —zQ (z^—zj)
(z2 + Z3) (Z3 4- Zi)	(z2 + Z3) (Z3 + Zi) (z2 -J- Z3)2 (Z3 + ?1)2 ’
или
n - Ziff - ^(ZiZz-zf) Z3U (z.2 + z3)(z3+zt)‘ Аналогично преобразуется уравнение (107):	(108)
n —	= 2г> *	(гз+г1)(21-}-г2) ’	(109), 181.
Вычитая почленно из уравнения (109) уравнение (408)', нахбдинг
комплексное число о, сопряженное аффиксу о точки О;
/_2 _ _2\ п _ 2гг (г2г3—г* 2) _ Zzafz^—zl) =
' 3 4 *	*'	(г1+*з) (г1+гг)	(г2+'гз)1?з+г1)
__ (г2~Нгз) (2о3—2af) — (Zi+z2) (20з—2г|)
(?з + гз) (гз + г1) (21+гг)
_ 2g3 (z^— zQ’-b 2г2 (г|— г?)+2z3Zi (zf—zfi
01^2 — ©s	’
откуда
/_ । , \ Л__2с3+2zs (zf+z3Zi+2f)+2z3Zi (z3+zx)
(z3+ZX) о----------------5^=^---------------=
 4o3+2z22f + 2z2zf+2ziz| + 2г3г^  % z1z2z3 4- zxz2z3 + z2z| +z2z\+zxz%+z3z\ 
^1^2 “^3	^1^2 — Q3
== 2 *2*3 (г3 + ?1) + гЗг1 (*3 + Zl) + г1г2 (21 4~ Z3)
^1^2 — °3	*
Следовательно,
0 = ———.
(7102 ““^3
Отсюда
2£l
о —	2&2	_	°3	_ 2010^
ОХ©2— О3	О20'х	1	0102 ““©3
“of ©Г
2Q. У?2 = | о — а |2=(о — а) (о — а) = оо+аа — ао—оа =
4О10203	।^03	1 4<т2
(0102 — Оз)2	(г2*Ь2з) (^г4"^з)	0102 — 03 г2~1~г3	0102 —03
1
22 + 5з ’
jR2	_	01020s	. z2zg__________	0i03_____________г22зо2
4	(0102—0з)2	’’’	(г2+г3)2	(0102—0з)(г2+г3)	(г2+23)(0102—о3)	=
Oi0203	. г2г3 (0}02 — 03)—(224~гз) 010з—г2гз (2г4*гз) 0а _
= (0102—0з)2 -Г	(г2+2з)2(О102—0з)	—
=_	01020g	. г2гз (г2 Ч~ гз) (гз 4~ г1) (г1 Ч~ гг)—(га 4~ гз) 010з—гггз (гг 4~ гз) g2 =
(0102 — 03)2 f	(г24-г3)2(0102 — 03)	-	=
__	010203	. ZgZa (Z1+Z3) (zi+z2)—0!0з—z2z302
(0102 — 03)2	(г2+г3) (0102—0з)	=
_	010203 I 2103 — 0103	__ 010203	0з(22“Ь2з)
“ (01С2 — Оз)2 (22 + 2з)(О102—Оз) “ (0102 — Оз)2	(22 + 23) (О102~03) &
_____	О10203	_	03____________О2
~ (01О2—Оз)2 0102—03 — (0102—Оз)2 '
Итак,
Р2 =	= (	2(Т3 У
А (0102 —Оз)2 \ 03 —0102/ '
Докажем, что число
==	g3-
Q3 — О1П2
—действительное я положительное. Имеем
1
______ стз _ од _
О3 —ОХОз	1 О2Оз	О3— ОХО2
Оз of
Значит, X—число действительное. Иначе:
i = Оз	1____=	1	= I
О3 —ОХО2	1 _а 02 J —O1O1	1 — | О1 I2 •
1	Оз
Докажем, что IcFil <1. В самом деле, так как все углы треуголь-
ника DEF всегда острые, то ортоцентр треугольника DEF, аффикс
которого равен alt лежит внутри треугольника DEF и, значит,
и внутри окружности (DEF). Но радиус окружности (DEF) при-
нят нами за 1, значит, [Oilcl и, следовательно, Х>0, а так
как R2 = 4Л.2, то 7? = 2Х, т. е.
R =	==
О3 — OiO2	1—OiOi
3°. Радиус р окружности Эйлера для треугольника АВС равен
= А = стз =	1	=______1_
Р 2	о3—oio2 1— |О1)2 о ’
где о—степень ортоцентра^ Н' треугольника DEF относительно
окружности (DEF).
4Q. Так как сумма направленных отрезков
од+дв+дс = он,
где О —центр окружности (О) = (ЛВС), а Н — ортоцентр треуголь-
ника АВС, то
а — оА-Ь — o-f-e — o=h — о,
откуда
h = aA-t>A-c—2o,
где ft —аффикс Н. Имеем
2	Z24-23	Z34-Z1 Zi4”Z2	OjO2—Оз
__ , г2?з (гэ 4- Zi) (?i+Z2) 4* Z3ZX (Zi 4~ гг) (г2 4~ гз) 4~ zXz2 (гг 4~ Z3) (г3 4- ?i) _
(z2 4~ гз) (2з 4~ zj (Zl 4- Zs)
_ 2otO3 _ г2г3 (г{ 4-o2) 4- z3zr (gj -f- o2) 4- Zi?2 (zj 4- o2) _ 2ахОз _
охо2—gs	(zs 4" гз) (гз 4* zi) (2i 4* гг)	OiO2—Оз
O1O34-O2 _	2О10з	_ о|—OiOs
O1Q2 — О3	О1О2 — О3	О1О2 — О3 *
следовательно,
Zj = 2-^ ~~glgj.
^1^2—
183
5°. Аффикс е центра 09 окружности Эйлера для треуголь-
ника АВС равен е = —у— , так как О9—середина отрезка ОН.
Итак,	- - ,
е = gj—gtg3+gig3 gj
Oi<J2 — ОГ3	&1&’2 —
6°. Уравнение радикальной оси окружности (DEF) (z2—1=0)
и окружности Эйлера, уравнение которой
имеет вид
г2_1_(г_в)(2_е)+_й_=0,
или
— 1 -f-ez-f-Ez —8ё-|--———«=0.
| Г	1 (g3—ata2)2
Решая это уравнение совместно с уравнением z2 = 1 окруж-
ности (DEF), находим
— 1+4- + £г-ее+—^- = 0,	(ПО)
Z)	(<*з—O1O2)2	’	v 7
и так как
£1
е =	= _£1_
gjg9 ~ 1	О1^2~®3 *
gj gS
то её = ст2<й/(а3 — о1о,2)2> и, значит,
' _ gg 4.	gl _ gl— q?q2 = P.? + glg2 .
”Г (g3— glg2)2	(g3—gjg2)2	gS —01^2 ’
уравнение (НО) принимает вид
— 4. g2+_ i =s о,
2	(J3 —
или
—+ ёгН—^- = 0,
г	g3—gjg2
или
гга+^кг+==°-	-<"»
Дискриминант этого уравнения равен нулю:
Л _ qfoj	_ Рг = q?q2____gM	_ n
(g3-O1g2)2 tb	(g8-glg2)®	(g3-g!g2)2
Следовательно, уравнение (111) имеет равные корни. Это означает,
что радикальная ось окружности (/) и окружность (О9) Эйлера
для треугольника АВС как с окружностью (/), так и с окруж-
ностью (О9) имеет только одну общую точку Фо, т. е. окруж-
184
ности (О9) и (I) касаются в этой точке Фо. Аффикс <р0 точки Фо
касания находим из уравнения (111):
СГ1О2	__	&1&2	^1^2— <*3   &2
(<т3—aiff2)e — — а3—01^2 of	о?'
Итак,
<т2
Фо=^.
Замечание. Если за единичную точку на окружности (DEF)
взять точку Бутена, треугольника DEF, то ст3 = 1 и аффикс <р0
точки Фо Фейербаха можно записать в виде
-
7°. Найдем аффиксы ха, хь, хс центров окружностей (/0), (1Ь),
(1С), вневписанных в углы А,- В, С треугольника АВС. Угловой
коэффициент прямой IB равен b/b, а следовательно угловой коэф-
фициент прямой, перпендикулярной прямой IB, равен — b/Ъ, т. е.
__	5 .	21 + 2з  
х-—5 ”. “ 7ГЙГ “ “ 131
и уравнение биссектрисы внешнего угла В имеет вид
2zi?3	/_	2	\
или
г+г‘г’г=1й%-	<112>
Аналогично записывается уравнение биссектрисы внешнего угла С:
<1|3>
Из системы уравнений (112) и (113) находим аффикс ха точки
(za — z2) ха = 4<т3 (—J----7—'j,
'3	27	3\21 + 2г	Zi+ZgJ’
(z3 - z2) ха = 4o3 - -- гз~гг ,
(Zi-f-Z2) (21Т231
откуда '	
т 4сГ-з
а	(21 + 2г) (21 + 2з) '
Аналогично
Та = х _____________________________________
(22 + 21) (22 + 2з) ’	С (23 + 21) (23 + 2з)
Так как	. .
(г2 + z3) (?3 + гх) (zx 4-z2) =	- о3,
185
то эти формулы можно переписать так:
= oias-a, & + 2з) =	~
= Щ<Ъ-0з' (2Гз + 21) = ^-аз" (<Т1 “
^ = ^^(г1 + г^-^(а1-га),
или еще так (поделить числитель и знаменатель дроби на <т3 и
заменить — на а,):
Ха = I ах I2—1 (г2 + 2з)=	1 (ffi ~ г1)>
'с* = |а1]2_1 (гз + 2i) = |CTl-|2_ 1 (а1— 2г) >
Т« = j СТ1 |2_ 1 (21 + 2г) =	(а1— 2з)>
или еще так:
та = — 27? (о?! — zj = — 2ROi + 27?z1(
тй = — 27? (ffi — г2) = — 27? + 27?г2,
тс = — 27? (oi — г3) = — 27?oi + 2/?г3.
Отсюда следует, что центр окружности (/а1ьЬ) имеет аффикс
— 27?ст1 = --а^3-- = - J*01 - -,
а радиус окружности (/а1 Ь1С) равен 27?.
Найдем теперь аффиксы 4, 4. 4 точек Тъ Т2, Т3 прикосно-
вения окружностей (7а), (/*), (/с) соответственно со сторонами ВС,
С А, АВ. Так как отрезки TrD и ВС имеют общую середину, то
4 + ^1 = & + с, откуда
i — h _!_/>	, _ 2zi*s ।	2г2?1	_ Зг2г3+г1гз + г1?2—г? _
1	1 г1Ч;2з 22"Ьг1	1	1	(г1+гз) (21+гг)
_	2г2г34-02—_ г^з+г^—г?
1	(2i + z2) (г1 + гз)	(21 + 2з) (21 + гг)
Аналогично
, _ 2аз+г2о2—г|_	. _ 2ff34-z3g2—z|_
2	(гг+г1) (2г+гз) ’	3	(2з+21) (2з+2г)
Теперь находим радиусы ra, гь, гс окружностей (/о), (1Ь), (1С).
Сначала находим
_ t _	4g3________20з+2102—г?
а 1	(2х+2г) (г1+гз)	(21+2г) (21+2з)
__ 2г1г2г3—zi^a+zazi+z^+zf
(21 + 22) (21 + 2з)
г2г3 —ziz3—ZtZa+zf	z1(z1—г3)—г2 (Zj—г3)	_ (гх—г2) (Zi—г3)
(21+2г) (г1+гз)	1	(21+2г) (21+2з)	1	1 1г1+г2) (г1+гз)
136
Отсюда следует, что
~ПГ2	T«-Zi = fa~g2) (zi-za) -
/D	Zi	(Zi+Za) (zi+z3)
и аналогично
_ (z2—Zl) (z2—z3)	(z3—г,)(г3—г2)
*	(z24-Zi) (z2-J-z3) ’ c (z34-Zi) (z3-J-z2)
Если за единичную окружность принять окружность (/«) =
= (DaEaFa), вневписанную в угол А треугольника ABC (Da, Еа,
Fa — точки касания этой окружности (/а) с прямыми ВС, СА, АВ),
то доказательство того, что эта окружность касается окружности
Эйлера, построенной для треугольника АВС, будет в точности
таким, каким было доказательство того, что касаются окружно-
сти (/)• и (09), только теперь надо приписать точкам Da, Еа, Fa
аффиксы гъ г2, г8. Тогда аффиксы а, Ь, с точек А, В, С по-преж-
нему будут
2,2	2
а = _ , _ ,	с=- , _•
z3+z2’	2з + 21	Zi-|-Za
и даже аффикс <рх точки Фх Фейербаха, в которой касаются
окружности (/„) и (О9), будет выражаться формулой Фх = -“-,
где сгхи <т2 выражаются через аффиксы zx, z2, z3 точек Da, Еа, Fa.
Наша задача состоит в том, что следует выразить <рх, <р2, ф3 через
аффиксы zx, z2, zs точек D, Е, F. Сказанное выше облегчает эту
задачу, так как установленный предыдущим рассуждением факт
касания окружностей (Ia), (1Ь), (1С) с окружностью (09) облегчит
вычисления (см. ниже).
Уравнения окружности (1а) и окружности (О9) имеют вид
(z-Te)(?-Te)-rJ=0,
(z— е) (z — ё) — р2 = 0.
По доказанному эти окружности касаются в точке Ф1 Фейербаха,
аффикс которой находится, следовательно, из уравнения
Га
г—та
Га
2_т	2^-+тв —ё = 0,
Га (г — е) — р2 (z - та) + [z2 - (та + е) z + тае] (Та — ё) = 0,
- S) z2 + [ri - р2 - (та + е) (та - ё)] Z - гг2а+тар2 ч- тае (та - ё)=0.
Так как окружности (/в) и (О9) имеют только одну общую точку,
то это квадратное уравнение имеет равные корни, являющиеся
1S7
аффиксами <pt точки Фг касания окружностей (/а) и (09):
га—р2—(та4-е) (та —е)	rg —р2 та4-е
Ф1	2(е—та)	2(е—тл)	2
(z,-z2)2(zt-z3)2	 z2z|z|______________
_____(г1 4~ г2)2 (г14- гз)2	(2х + г2)2 (г24~ гз)2 (гз 4~ гх)2_।
2 Г____(г14~г24~гз)2_____________4г, (г24~гз)_______1
1_(г1 + 2а) (гг 4" гз) (гз 4" 2х)	(г14- 2г) (г2 4- гз) (2з 4~ гх) J
 1 I 4ztz2z3 	(г2г34-г3г14-г1г2)г 1
2 L(2х + 2а) (г1 + гз) (2|4-г2) (г24-г3) (z?4-2i)J
= 1 (гх ~ гг)2 (гх - гз)2 (г2 4- 2з)2 - 2?zjz2
2 (гх 4- г3) (г2 4- z3) (z3 4- гх) (г2 4- г3 — Zj )2
 1 4zxz3z3 (г2 4~ 2з) 4~ (г2гз 4~ гзг14~ гхг2)2
2	(гх4"г2) (г24-г3) (г34-гх)
Далее,
(zt - z2) (zt — z3) (z2 4- г3) - ZxZ2z3 = (zt - z2 - г3) (zxz2 4- zxz3 - z2z3),
(Zj - z2) (zx — z3) (z24-z3)4-z122z3=(z1 - z2 - z3) (z1z24-z1z3 — z2zs)4-2o3.
Следовательно,
(2i ~ 22)2 (Zi - z3)2 (z2 4- z3)2 - zjz’zl = (z2 4- z3 - Zi)2 x
X (ZiZ2 4- ztz3 - z2z3)2 — 2zxz2z3 (z2 4- z3 - zx) (zxz2 4- гхг3 - z2z3),
и потому
1 (z24-z3—Z1)2(Z1Z24-Z1Z3—z2z3)2—2zxz2z3(z24-z3-zx)(zxz24-ziz3—zz3) ,
1	2	(z2 4- г3) (z3 4- zx) (Zx 4- z2) (z2 4- г3—Zx)2
I__1 4ztz2z3 (г24~г3)4~(г1г24-г2г34~г3гх)3 _ 1 (zxz24- zxz3—г2г3)2	.
2	(г34"г3) (г34"гх) (гх4-г2)	2 (г24-г3) (z34-zx) (гх4-г2)
I_____2ziZ2z3 (224~2э)____________zxZ2z3 (z2z2 4~ Z)Z3—z2z3)__,
(г2 4- г3) (г3 4- 2x) (zt 4- z2)	(z2 4- г3) (z3 4~ 2x) (z, 4- г2) (г2+г3—zt)
 g| _ 1 O|______________________O3 2tZ24-ZiZ3 —z2z3 1 of _
2(Ox<t2—g3)	2 ai<r2—o3	Oxff2—ff3	г24-г3—z2 ' 2 ffxO2—o3
_ gj g3 zxz24-zxz3—z2z3
gxg2—g3	gxg3—03	г24*г3—Zx
Аналогично находим
__ gj____________g3 г2234-г2г, —Z3Z1
^2 gxg2—g3	gxg2—g3 Z34-Zx —z2	’
= gj_____________g3 z8zx4-z3z2 —ztz2
2 gxg2—g3 gxg2—g3 2x4-z2—z3
Формулы для аффиксов точек Фейербаха лучше записать в виде
ГЛ- —	0^2	|	L	zxz34-zxz2—z2z3
	^1^2 — <УЗ 1	03 — 0102	г24-гз—гх ’
ГЛ —	= а*	• J	1 ст?	г2гх4-г2г3—Z)Z3
Ф2	0102 — ^3	1 о3—ОхОа	?з + 21—г2 ’
	0j 	1	°3	Z3Z1 Н~~ Z3Z2 ~ г1^2'
Фз	01^2—Рз	1 0з — 0102	г1 + 22 — г3 9
188
или еще
так:
или
 Z1Zs + ziZ2 — Z2Z3
Ф1-е + р - 2-+^;
Т2	Н Z3+Z!—Z2
т —г I n^l + ZsZj — Z^s
Фз-е + Р 21+гг_гз
Ф1 = е + р«1. Ф2 = е+р«г» Фз = е+р«з»
где
_ г^+г^з—^з
1	*2 + 23 — г1 ’
ад + ^з —^1 -
^2 —----------— ,
2	гз+Zi—z2 ’
3	2i + z2-z3 ‘
Заметим, что множители при р суть комплексные числа по модулю
равные единице, например,
ZjZg 4~ г1?3 — ^2^3
2г + 2з—21	’
1
«1 =
_L_+J____________
й   г1г2 г1г3 г2г3 __	г2~1~г3— г1
1	г1г2~1~г1г3 — г223
z2 *" г3 гЛ
и, следовательно, м.й, = 1. Это, конечно, сразу следует и из того,
что |<pft —е| = р (й=1, 2, 3).
Пример 33. АВС — произвольный треугольник; (АВС) — опи-
санная около него окружность (О —ее центр); радиус окружно-
сти (О) равен R-, (/) — окружность, вписанная в треугольник ЛВС;
/ — ее центр; г —радиус. Пусть d — расстояние между центрами
О и / окружностей, описанной и вписанной в треугольник АВС,
Доказать, что
d2 = R2-2Rr.
Решение. Пусть D, Е, F — точки прикосновения сторон
ВС, СА, АВ к окружности (/). Примем за единичную окруж-
ность окружность с центром I. Тогда аффиксы точек D, Е, F
будут rzb rz2> rz3. В предыдущем примере было получено выра--
жение для аффикса о:
Q 2(7x03
0102 — °3 ’
ГДе аъ сг2, ог3 —основные симметрические многочлены от аффик-
сов вершин треугольника. Однако поскольку теперь эти аффиксы
мы берем в виде rzx, rz2, rz3, то для аффикса о точки О и для
189
величины радиуса 7? окружности (АВС) получатся следующие
выражения:
о = 2g»??_r	2ai-r.
(J1CF2 — 03	(J3 — П1П2
Таким образом,
о =— Rolt 0 =— Rd
и, значит,
R2 — 2Rr,
ность (О) = (ЛВС) = (Д
d2 = ОР = о-о — /?2о1сГ1 =
~	^1^2 = R2 / | ^3	&10>2
&3	\	°з
Пример 34. Построить треугольник АВС, если даны точки
Ло, Во, Со пересечения биссектрисы внутренних его углов А, В, С
с окружностью (О) = (АВС) (рис. 36).
Решение. Примем окружность (АВС) за единичную окруж-
Ji0B0Q), описанную около данного треуголь-
ника АВС. Пусть zlt z2, z3 — соот-
ветственно аффиксы точек А, В, С.
Биссектриса внутреннего угла А
треугольника АВС вписанного в
окружность (АВС) делит дугу ВС,
которая стягивается хордой ВС,
пополам некоторой точкой Ао,
причем точки Ао и А расположены
по разные стороны от прямой ВС.
Аналогично и расположение точек
Во и Со .(см. условие задачи). По-
этому для аффиксов
' с	(1И)
— у *1*2
точек Ао, Во, Со должны быть выбраны такие значения (каждый
из радикалов имеет по два значения), чтобы точки А и Ао лежали
по разные стороны от прямой ВС; точки В и Во лежали по раз-
ные стороны от прямой СА и точки С и Со лежали по разные
стороны 'От прямой АВ. При этих условиях и надо решить
систему (114), которую мы перепишем так:
z2z3=a§, z^ — b^, z1z2 = co.	(115)
Из системы (115) имеем
z2zl2l = a^blci,
так что
z1z3z3 = ±aabac0.
В случае	-
ZiZ2Z3 = aoVo	'	'
190
имеем
В случае
имеем
~ ___^0С0	~ С0а4 „ ____________а0^0
?Т—	9	*2 — "а 9	^3 — ~.п—
t?Q	Uq	Cq
^1^2^3 —------<2q&0Cq
~	^QCQ -	^0	~	#0^0
*1--------Л?” ’ г2--------------hT ’ Z3-----------г—
ао	ио	с0
(П7)
(Н8)
(119)'
Теперь надо установить, какое из двух решений (117) или (119)
(или ни одно из них, или оба)' дают решение задачи. Исследуем
значения zlt z2, z3, определяемые формулами (117). Так' как
основание перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую ВС,
имеет аффикс Z2~tZ3, то уравнение прямой ВС можно записать
в виде
или
Имеем
—z------1- --* — = 2
22 4“ 23	^2 + ^3
2	2
—4-^-^-1=0.
г2 + ?з
(120)
Дрбр
«о
= . 5	/ I , I \
Z2‘tZ3- д0 * с%)~ во&ьсо г
и уравнение (120) прямой ВС принимает вид
ЬдСр । Др^рДр =___1___л
bl+сГ 1-и'
«г>=м&й^
Найдем /(а0) и
£	\ 6рСр । ^рСр'
/ W-&2+c2-TZ,2+CP
f	\	____I °0
JK l' а2(^4-с?)1"
1______(&0 — Ср)2
1  (ао И) (ао	со)
а§ W+<^)
Из двух последних соотношений имеем
/(гр __ _ (al — bl)(al—cl} _ _ (яр—6р) (Др—с0) (&р—с0) (ао + &о) (Др+^р)
/(°р)	аЦЬ),—Со)?	д§:(<&р—Cp)S
Но
1	. ]aj 1 ар
#0	^0
^0	^0
Cq Cq
AqBqCq — -j-
4floZ>oCo —	(С° ~
191
и, следовательно,
(Ср Оо)(с0 Ьо) (60 «о)—~ йр&рСр'ЛцВрСр------41йр&рСрЛрВрСр.
Итак,
f (г0_____________д,-Л /, р ARC (Йо + М (йо+со) (Ьо—Ср)
f («о) “ 4Шо&оС° Я°воСо aUbB-oy---------; •
Рассмотрим точку Ар с аффиксом ар =— аи, диаметрально про-
тивоположную точке Ао на окружность (АВС) = (А0В0С0). Имеем
(ао + &о) (ао + Со) (6о — со) = (Ьо - 4) (с0 - 4) (Ьо - с0) =
= 4ino&oCo ЛоВрСр.
Итак,
. . .
-------
Число и = &0Ср/(&р — Ср)2 — действительное. В самом деле,
1
п__ ^оСо _______ ЬцРо ____
(±_ IV “ (6р-со)г ,
	\ ^0 с0 /
Поэтому и2 > 0 («=# 0). Теперь заметим, что треугольник Л0В0С0,
вершинами которого являются точки пересечения биссектрис "внут-
ренних углов А, В, С треугольника АВС с окружностью (АВС),
всегда остроугольный. В самом деле, внутренние углы Ао>. Во,
Со треугольника ЛрВ0С0 соответственно равны
д  5 С л	А
Ло	2	Т- ~2’
п   С -^- А я	В
° о	2	~2 У ’
- А В л С ~
ь0=—— =2" — у
независимо - от того, будет ли треугольник АВ.С остроугольный,
тупоугольный или прямоугольный.
Отсюда следует, что диаметр Л0Л§ пересекает хорду В0С0 и,
следовательно, треугольники А0В0С0 и АрВ0С0 имеют противо-
лоложную ориентацию. Таким образом, ЛрВ0С0 и АрВрС0 — числа
противоположных знаков, и из формулы (121) следует, что
f (zi)/f (ао) > 0, т. е. точки Ао и А лежат по одну сторону от хорды
ВС. Итак, значения (117) —не решение. Решение системы (115)
определяется формулами (119), если только треугольник А0В0С0
остроугольный.' Если же он тупоугольный или прямоугольный,
задача не имеет решений.
192
Точки А, В, С— это точки .пересечения высот треугольника.
А В0С0 с окружностью (ЛВС). В самом деле, угловой коэффици-
ент прямой В0С0 равен — Ь^, и потому уравнение перпендику-
ляра, опущенного из точки Ао на прямую В0С0, имеет вид
z — а0 = &0с0(2 — а0).
Решая это уравнение совместно с уравнением zz = 1 единичной .
окружности, получим
2-ао = &осо(|-“)>
„ „ _ btfio(z— а0)
z-a0---------‘ .
Один из корней этого уравнения естественно z = a0 (аффикс
точки Ао), другой z = —&осо/аа —аффикс точки А:
21 = — Ь0с0/аа.	‘	,
Аналогично доказывается, что
 —соответственно аффиксы точек В и С. '
Замечание, Из доказанного следует, что формулы (114)
следует писать в виде
а0 = — УъУГ3, Ь0 = -^Уг^УТ1, с0 = —	(122)
где для У zlt Уz2, У z3 берется одно и то же значение (в таком
случае, например, У 21У z2 = zY, Уг.2Уz2 = z2, У2з У~2з = z3;
если же для Угг взять разные значения в двух последних фор-
мулах, ТО У~21УZ! = — Zx).	'
Пример 35. Построить треугольник АВС, если даны точки А2,
Въ Сх пересечения его высот с окружностью (О) = (АВС), описан-
ной около треугольника ABC ((О) = (АВС) = (АХВХСХ)).
Решение. Примем окружность (/xBjCx) = (.АВС) за единич-
ную окружность. Пусть ох, Ь1Г сх — аффиксы точек Аи Blt Сх,
a zx, z2, z3 —аффиксы вершин А, В, С искомого треугольника
АВС. Так как угловой коэффициент прямой АВ равен — zxz2,
то уравнение высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ,
имеет вид
Z —Z3 = ZXZ2(? —Z3).'
Решая это уравнение совместно с уравнением z2 = 1 единичной
окружности,' будем • иметь
"/1 1 \ .
- .	Z-z3 = V2(t-2?),
z-z3 = -g-(z-z3).
7 П. С. Моденов	193.
Один из корней этого уравнения естественно равен z — z3 (аффикс
точки С). Другой
Cl = — z1z3/z3	(123)
— аффикс точки Сх. Аналогично находим аффиксы
a1 = — z2z3/z1, b1 = — z3z1/z2	(124)
точек Bl и Ах. Решим полученную систему относительно zlt z2,
z3. Перемножая эти уравнения попарно, получим
Zf = ЬхСь Z2 = CL<h> = ci^l,
откуда
z1 = ]/&i]/'q, z2	г3=Уа1 Vb~L, (125)
и так как каждое из произведений двух радикалов, стоящих
в правой части, имеет два значения, то последняя система имеет
8 решений. Считая, что_в каждом из уравнений (125) для каж-
дого радикала Уа[, УА, У ct берется любое, но одно и то же
значение в каждом уравнении, можем записать все эти решения
в виде
, г2 = Ус1 Уаи
Zi = — K&iKq, z2 = —
=	z2 = — VTlVol,
Zi = —	z.2=yc[yaL,
z3 = ]/~а1УТ1, ~
г3 = — Уа'1У'Ь'1,
Z3 = —	J
(126)
zi — — ybt
Zi = j/&i У~С^г
z2 = —Ус/Уъ,
z2 ^УъУа,,
г2 = — Ус~1У'а1,
г2=Ус1Уа'к,
z3 — — У(цУ bit
23=y^y^»
z3 = ]/’^yfc1,
z3 = — Уа2 У bi-
(127)
Из системы (123), (124) следует, что aj&1c1= — ZlZ2z3, поэтому
все тройки (126) чисел не являются решениями системы (124).
Любая же строка из соотношений (127) есть решение системы
(123), (124). В самом деле,
ziz2_	~ 
Z3 -	-/5Z/6T _“С1’
z2z3 _ Ус~1 У<Ъ У<чУ^_-
-WlVcl _ аи
_	УЬ* У^1 — h
г2	*•
и также для трех остальных соотношений, (127).
Итак, существует, 4 треугольника, удовлетворяющих условию
задачи. Построим, например, треугольник, соответствующий пер-
вой строке решений (127). Для этого проведем к окружности
194
(AiBiCi) какую-нибудь из двух касательных, параллельных пря-
мой QA (Q—единичная точка), точка Рх прикосновения про-
веденной касательной к окружности (А^Сх) имеет аффиксом
одно из значений К"! (рис. 37). Аналогично построим точки
Из
*
, Рис. 37,
и аффиксами которых являются значения и ]/сх. Для
построения точки с аффиксом сх проведем через точку Q
прямую, параллельную прямой QiRi, вторая точка Р пересечения
проведенной прямой с окружностью . (АхВхСх) имеет аффикс
Наконец, точка А, симметричная точке Р относительно
Центра О окружности (ZlxBxCJ, имеет аффикс —	Ана-
логично строятся точки В и С с аффиксами —	и
7*
195
Три других треугольника, удовлетворяющих условию задачи,
таковы: AQR, PBR, PQC.
Пример 36. В единичную окружность вписан треугольник
. АВС, аффиксы вершин которого z1( z2, z3. Найти аффиксы т0, Tj,x2,t3
окружности, вписанной (/) в этот треугольник (аффикс т0), и
окружностей (Za), (Zft), (Л), вневписанных (соответственно в углы
А, В, С) в этот треугольник.
Решение.. Центр Z окружности (/), вписанной в треуголь-
ник АВС, является точкой пересечения биссектрис его внутренних
углов. Эти биссектрисы пересекают окружность (АВС) в точках
Ао, Во, Со, причем треугольник А0В0С0 всегда остроугольный
(см. пример 34). Аффиксы а0, Ьо, с0 точек Ао, Во, Со выражаются
формулами (122) примера 34:
Оо = — У^Уг~з> Ьл = — V^Vzi, с0 = —УТ^УТ^, (128)
где для квадратных корней ]/'z1, Уз2, берутся во всех фор-
мулах одни и те же значения, причем эти значения для Уг±,
]/z2, Уг3 нужно всегда выбрать так,, что формулами (128) опре-
деляются именно точки пересечения биссектрис внутренних углов
А, В, С данного треугольника АВС е (АВС). Именно для Уг1г
У z2, Уг3 надо брать такие значения, чтобы выполнялось нера-
венство | yzj_ + Уг3 Н-^з |< 1, т. е. чтобы треугольник, вершины
которого имеют аффиксы У^, Уг2, Уz3, был бы остроугольным.
В самом деле, тогда
I Оо + Ьо + coj = | - у% У Т3- У^яУч- У~У\ Уч I =
= I Уч У~г3 +]/z^yr2i + Kzi У2ч. I =
^У^Угз+УУзУъ + УъУ^- '
i 	1		41 I _ l/zi+V^i+Zzsl _
У2Уг3 V ZiV Zi. У1Уз1 l/zi/z2/z3|
,	• - =№~1+Уъ+У^<1,
т. е. треугольник А0ВаС0 остроугольный (имеется только два
таких выбора для квадратных ^орней из z^ г2, г3; если один из
них обозначить через ]/ zlf Уг2, Уг3, то другой будет — Уг1}
— У г2» —	и любой из этих, выборов дает формулы (128)).
Итак, АА0, ВВ0, ССЭ — биссектрисы внутренних углов А, В, С
треугольника А ВС. Угловой коэффициент биссектрисы АА0 равен
«o-zi _ —У-г2Уг3-г1	1/Т 1/Г
~	1	_ _1_ “ 2i У z2 V z3,
Кгг/гз Z1
и, следовательно, уравнение прямой АА0:
z-z1 = z1 Уг2 Уг3 (z - Zi),
196
z—^x|^]/z3z = zx —]/г2]Лгз«	,(129)
Уравнение BB0:
z — z2K^"K^ z = z2 — УТАУТ2.	(130)
Из системы (129), (130) найдем аффикс t0 центра I окружности
(/), вписанной в треугольнйк АВС:
То (z2	- *1 У^) = —ZXZ2	-УЮ~
-У^У^УЪ, (22-Zx),
УА У z2 Уz3 [(y^)a - (/zj)2],
Tfl;=—Уъ У% -+УZl),
и окончательно
т0 = —; Уz2 У?3	Угз У— Уг1 У~2г = ао + ^о 4* со- 0^1)
Если теперь взять точку В*,,симметричную точке Во относительно
центра О окружности (АВС), то аффикс точки В* будет равен
Ь* =— &0 и ВВ* будет биссектрисой внешнего .угла .В. Угловой
коэффициент ВВ*~ равен
г2+^о _ z2 — Vz3Vzi
^2“Ь^0	1 	1
Zi Kzs/z!
= — z2y'z3 Уг1г
и уравнение ВВ*:
z - г2 = — ?2	Угх (z - z3), \
или	•
гА-г3У'г3Угкг = г3 + УТ3Уг'1.	(132)
Из уравнений (129) и (132) находим аффикс тх центра 1а окруж-
ности (1а), вневписанной в угол А треугольника АВС:
Tj (zi y?i 4- Zi Kz?) = Z2Z1 (y% 4-УгГ) - Уг[ УТ3 y~z3 (z2 - zx),
Tirzxrz;(^+/^)=zxz2(r^4-r^)- •
_ - _ -У^ут2ут3уу^-(у^},
Тх = Уг[ Уг2 - Уz3 (УZi-УZl) = уZr Уzi-Уz3 У Zi+ У^ У гг,
тх = — У Zi Уг3 4- Уz3 yzi 4- yzi yzi = a0 - b0 - c0.
197
Аналогично находятся т2 и т3. Итак,
Т0 = 1^2 1^3 — /*3 Г*! —	V^2 = «0 + ^оЧ" С0>
= — Уч Уч + Уч /гГ+ Уч Уч = я0 - Ьо - с0,
т2 —. Уч Уч — Уч Уч + Уч Уz2=—«о 4~ &о ~ сз>
Ч = УчУч+ УчУч-УчУч= — ао-Ьо+ч-.
Из последних формул (33) следует, что
(133)
То+Т1  _	То+т2  ,	То4-Тз
2	— “о>	2	— ^О’	2	— с°’
т. е. середины отрезков I Ia, 11ь, 11с, совпадают соответственно
с точками До, Во, Со, в которых биссектрисы внутренних углов
треугольника АВС пересекают окружность (АВС) — (О), описанную
около треугольника АВС (рис. 38).
Из формул (133) следует также, что
Тг + Тз „ Ts+Tj  t Ti4-T8_____________
—2—	~ а0' —2— — ~ ио> 2 —	°’
т. е. середины отрезков lbIc, IcIa> IJb совпадают соответственно
с точками До, Во, Со, в которых биссектрисы внешних углов
198
А В, С треугольника АВС пересекают окружность (ЛВС) = (О),
описанную около треугольника АВС. Точки Л?, В*, Cq симмет-
ричны соответственно точкам Ло, Во, Со относительно центра. О
окружности (О) = (АВС), так чтох Л0Л£, В0В%, С0С? —диаметры
этой окружности. Из этого, между прочим, следует, что окруж-
ность (О) = (АВС) = (Л0В0С0) — (А£В$С$) является окружностью
Эйлера для треугольника 1а1ь1с, а потому радиус окружности
(IaIbI<) в Два раза больше окружности (АВС) (что мы уже дока-
зали аналитически в примере 32, п. 7° (см. решение)).
Наконец, так как IA _|_ ЛЛ. IB I IcIa, IC I IaIb, то I — орто-
центр треугольника IaIъ1 с, и далее: так как (тх + т2 + т3)/3 =s
= — (а0 + &04-с0)/3, то центр тяжести G* треугольника Iа1 Ь1 с
симметричен центру тяжести G треугольника А0В0С0 относительно
центра О окружности (АВС), или же точка G* является центром
тяжести треугольника ЛоВо^о, симметричного треугольнику Л0В0С0
относительно точки О.
Пример 37. АВС — произвольный треугольник, Р— произволь-
ная точка. Доказать, что прямые а, Ь', с', симметричные прямым
а = ЛР, Ь=ВР, с = СР относительно биссектрис А1,В1, С/внут-
ренних углов Л, В, С треугольника АВС, проходят также через
одну и ту же"гочку Q. Точки Р й Q называются изогонально
сопряженными относительно треугольника АВС (рис. 39). Доказать,
что если окружность (АВС) принята за единичную и если аффиксы >
точек Л, В, С, Р, Q соответственно равны г1г z2, z3, р, q, то они
связаны соотношением
~ Р + <7 + озР<7 = О1	(134)
(это соотношение было получено английским математиком Морлеем).
Выразить q через zlt z2, z3, р.
199
• Решение. Точки Ао, Во, Со пересечения биссектрис внутрен- 1
них углов А, В, С треугольника АВС с окружностью (АВС) 4
образуют всегда остроугольный треугольник Л0В0С0. Если для I
УЧ> Угг! У?з выбрать такие значения, что 1У^ + Уг2 +Угя1<1, I
то аффиксы Oq, Ьо, с0 точек Ло, Во, Со будут
Оо = — Уг2Уг3, ЬО = — УЪУ^, с0 =
—УчУч
(пример 36, формулы (128)). Угловой коэффициент биссектрисы
внутреннего угла А треугольника АВС равен
Zi+Vz2Vzs 
21 УЧ У?з,
а уравнение этой биссектрисы
z — г1]/'г2 y^z = Zi — Уг2 У^	(135)
(см; предыдущий пример 36, уравнение (129)).
Уравнение перпендикуляра, опущенного из точки Р на эту
прямую, имеет вид
г-р = — 2гУгьУг3(2-р),	' .
или	_ _	_
г+21Уг2 Уг3 z = p+z1]/z2 Уz3 р.	(136)
Складывая почленно уравнения (135) и (136), найдем аффикс р'
- проекции Р' точки Р на биссектрису внутреннего угла А тре-
угольника АВС:	*
Р' = | (21+Р - УУз УЧ+Zi УЧ Уъ р)->
Аффикс pt точки Pt, симметричной точке Р относительно бис-
сектрисы AI внутреннего угла А треугольника АВС, находится
из соотношения
£±st = р’ = 1(г1+р-^^+г1^^р),'
/
- откуда
pt = Zi - У?2 УЧ + 2i уг2 Угз р.
Уравнение прямой APt можно взять в виде
г zt pt
z Zt Pt
1 1 1
I
= Q,
или
z
z
1
Zl
1
2i — VZs + ZlJ/"Z2
z2 У %3 +	У г2 У z3 P
1
= 0,
200
или
(y’Z - zi Vb 2+(~V~^ V2*+zt KzT р)г -
' -г1рЛ^/^ + /?/г1р + ?1/г2уг7-]/г2/г7р=0>
или, умножая на У\ J/zs:
(l-?iP)z + ( — z2z3 + ZiZ2z3p)z — z1 + p + z1z2z3-z2z3p = O. (137)
Аналогично запишется уравнение прямой, симметричной прямой
ВР относительно биссектрисы BI внутреннего угла В треуголь-
ника АВС:
(1 — 2sP) z 4- (— z3Zi+ztz2z3p) г - z2+р + z2z3zi - z^Lp = 0. (138)
Аффикс точки Q пересечения прямых (137) и (138), симметричных
прямым АР и ВР относительно биссектрис AI и В1 внутренних
углов А и В треугольника АВС, найдем, решая систему урав-
нений (137) и (138). Имеем
Л I1 — 21Р	— Z2ZS+Z1Z2Z3H |
Л |1— Z2P — ZsZt+ZjZjZgP I
= — ZsZj + G3p+z3p—z2z3pp 4- ^Zs — Озр - Z3p 4- Ztz3pp =
= Z3 (z2 - Zj) - Z3pp (Z2 - Zj) = Z3 (z2 - Zj) (1 - pp).
Отсюда следует, что A #= 0 тогда и только тогда, когда 1 — рр -
т. е. | р | =А 1, иначе точка Р не лежит на окружности (АВС).
1) Предполагая, что | р | =# 1, т. е. что точка Р не лежит на ,
окружности (АВС), заключаем, что система (137), (138) имеет и
притом только одно решение относительно г и z: z = q, z = q.
Это решение можно было бы найти, например, по формуле Кра-
мера, однако мы пойдем по несколько иному пути; а именно,
подставляя решение z = q, 2 = q в уравнения (137), (138) и вычитая
из . первого равенства почленно второе, будем иметь
(2г—2i) pq 4- гз (zl - z2)q 4- z2 - zx 4- z3 (J - J) 4-’ z3p (zr - z2) = 0,
или
pq 4- zsq (Zj - z2) - (zx - z2) - (zl - Zi) 4- z3p (Zj - z2) = 0.
Далее, сокращая на гг — z2 и умножая обе части на ZjZ2, получим
pq 4- Оз (р 4- я) — (Т2 — 0.	-	(139)
Это — уже соотношение Морлея. В самом деле, переходя к сопря-
женным числам, будем иметь
P^ + o3(p + q)~ 52 = 0.	(140)
Но о3=1/<у3> ст2 = <т1/о3, следовательно,
Р 4-fl'4-W = or1.	(141)
201
Из соотношений (139) и (141) легко выразить q через р. В самом
деле, из соотношения (139) находим
7 а3 '
и соотношение (141) принимает вид
р + Я 4" Р (СТ2 РЯ ~~ °зР) —
Я^-рр) = ОзР2-ОгР-р + ^1>
откуда
стзр2 —Р4-Р1
ч
1 —рр
Из симметрии этого выражения относительно zlt z2, z3 следует,
что и прямая С проходит через точку Q.
2) Е£ли точка Р лежит на окружности (АВС), но не совпа-
дает ни с одной из точек А, В, С, то прямые (137) и (138) колли-
неарны; им будет, как ясно из дальнейшего, коллинеарна и'третья
прямая, симметричная прямой СР относительно прямой CI (рис. 40).
Их общий угловой коэффициент равен
1— Zip 3l — z1p	3P(Z1—р)	Р 3Pi
•
а если за единичную точку принять.точку Бутена, то х = —р.
Полагая p = cos а-Н sin а, находим
х = cos (л — а) + i sin (л — а).
202
Аффиксы концов диаметра единичной окружности (АВС), который
имеет такой угловой коэффициент, будут
F»=±[cos(|-|) + isin(f-|)].
Отсюда следует, что если точка Р описывает окружность (АВС),
то этот диаметр произведет поворот на угол л, притом вращаться
он будет в направлении, противоположном вращению радиуса ОР
(рис. 41). Если дополнить евклидову плоскость до проективно-
евклидовой «бесконечно удаленными» или несобственными точками,
то можно считать, что если точка Р лежит на окружности (АВС),
но не совпадает ни с одной из вершин А, В, С треугольника
АВС, то ей соответствует несобственная точка проективно-евклй-
довой плоскости. Соотношение Морлея р + q + <ЬРЯ — CTi в -этом
случае, конечно, не имеет места, так как несобственные точки
не имеют аффикса.
Наконец, из геометрических соображений ясно, что если точка
Р лежит на прямой ВС, но не совпадает ни с В, ни с С, то ей
будет изогонально сопряжена точка А (аналогично и для прямых
СА и АВ). Наконец, если точка Р совпадает с одной из вершин
треугольника АВС, например Р — А, то ей будет изогонально
сопряжена любая точка прямой ВС (аналогично и в случаях
Р = В и Р = С). Это можно проверить и аналитически: пусть
р = az2 + pz3, где аир действительны и а 4- р = 1 (т. е. точка Р
лежит на прямой ВС). Тогда р = - + - и полагая 'q = zlt q = ~,
будем иметь
Р + <7+азР? = а22 + Ргз + zi + г1гг2з	=
= az2 + pz3 + гх+az3 4- pz2 = zt 4- (a 4- P) z2 -f- (a 4- p) z3 =
— 2i z2 + z3 = ax.
Заметим, что центр / окружности (/), вписанной в треуголь-
ник АВС, и центры Ia, h, 1С бкружностей (7а), (/*), (/с), вневпи-
санных в углы А, В, С этого треугольника, являются неподвиж-
ными точками при изогональной сопряженности точек относительно
треугольника АВС. Ниже в примере 41 будет доказано, что кроме
этих точек I, Ia, 1Ь, 1С больше нет точек, неподвижных при изого- •
нальном соответствии относительно треугольника АВС.
Отметим еще, что если из' евклидовой плоскости исключить
окружность (АВС), описанную около треугольника АВС, и исклю-
чить прямые ВС, СА, АВ, то изогональное соответствие между
точками Р (р) и Q(q) будет взаимно однозначным отображением
(P~Q) или взаимно однозначным и инволюционным преобразо-
ванием, которое описывается соотношением p + q + pq^ — ^v
Если евклидову плоскость дополнить до проективной, но исклю-
чить из нее прямые ВС, СА, АВ, то соответствие между точками
Р (р) и Q (q) будет снова взаимно однозначным, но теперь соотно-
203
шение р + q + Рч&з = А будет относиться только к собственным
I точкам Р (р) и Q (q). Наконец, во всей проективно-евклидовой
плоскости отображение Р (р) на Q (q) уже не будет взаимно одно-
значным и соотношение p + q-j- pqo3 = ol будет снова верным лишь
для собственных точек Р (р) и Q (q) (несобственные точки не имеют
аффиксов).	-	-
Пример 38. Окружность (О) = (АВС), описанная вокруг тре-
угольника АВС, принимается за единичную; zlt z2, zs — аффиксы
вершин А, В, С. Найти аффиксы точек, изогонально сопряженных
следующим точкам относительно треугольника ЛВС;
1°. Точки G пересечения медиан треугольника АВС.
2°. Ортоцентра Н треугольника ЛВС.
3°. Центра О9 окружности Эйлера треугольника ЛВС.
Решение. Воспользуемся формулой примера 37

РР — 1
определяющей аффикс q точки Q, являющейся образом точки Р
с аффиксом р при изогональном преобразовании относительно
треугольника ЛВС. Имеем:
1°. Так как аффикс g точки G равен о^/З, то аффикс I образа L
точки G при изогональном преобразовании относительно треуголь-
ника ЛВС будет
I ai „	„	' ai 2 „ ,
t _ ~3 + 3	з <*1+з^ - 9g-
0’1^1 _ !	_ 1 *
9	9
- 2 (Т 4- 2а1
_ ; ~3 СТ1 9ст3 _ 2 <T2<Ti — 3ff,
^А  , z a A — 9 '
9
Точка L, изогонально сопряженная точке G относительно треуголь-
ника ЛВС, называется точкой Лемуана. Таким образом, аффикс I
точки L Лемуана треугольника ЛВС:
;__п^А — 3<Т1
— 2 A - 9 •
2°. Аффикс точки изогонально сопряженной ортоцентру Н
относительно треугольника ЛВС:
<?14-^102 —	— Я3Р1 __Рз * Рз
аА — 1	о А — 1
т. е. ортоцентр Н и центр О окружности (ЛВС) изогонально сопря-
жены относительно треугольника ЛВС (прямые АО и АН сим-
метричны относительно прямой AI и аналогично для вершин
В и С).
204
• 3Q. Аффикс точки изогонально сопряженной центру О9 окруж-
ности (О0) Эйлера относительно треугольника АВС:
	_О1 1 Р1	gj . _£1 1 £1 __	2 * 2а3	4а3		2 ’ 4а3 __
2121	1 4	।	ffA i	о’Л — 4 * 4	4
Пример 39. Доказать, что середина М отрезка, концами кото- .
рого служат точки и Qlt изогонально сопряженные относи-
тельно треугольника АВС концам Р и Q любого диаметра PQ
окружности (Q), концентричной окружности (АВС), при вращении
диаметра PQ описывает окружность, касающуюся касательных,
проведенных из ортоцентра Н треугольника АВС к окружности
(АВС). Треугольник АВС предп’олага.ется тупоугольным, а радиус -
р окружности (Q) предполагается меньшим ОН (в этом и только
в этом случае из точки Н можно к окружности (АВС) провести
касательные). .
Решение. Примем окружность (АВС) за единичную окруж-
ность; пусть 2lt, z2, z3 — соответственно аффиксы точек А, В, С.
Пусть PQ — произвольный диаметр окружности (й), а ри — р —
соответственно аффиксы точек Р и Q. •	.
Обозначая через рх и' аффиксы точек Рг и Qlf соответственно
изогонально сопряженным точкам Р и Q относительно треуголь-
ника АВС, будем иметь (см. пример 37)
„	<т3р2 —агр —p+<Ti	. ’
Pi-------->
п  G3^2 + ^2^+P + ^l
<71-----’
Отсюда находим аффикс т середины М отрезка Р^:
m — Pi+qi _озр2+<п
т~ 2	~ \-рр '
Из этого соотношения следует, что если точка Р описывает
окружность (Q), концентричную окружности (АВС), то 1 — рр =
= const (1 — рр = — о, где а — степень точки Р относительно окруж-
ности (АВС)), и, следовательно, точка М описывает окружность
(Т), аффикс центра которой	
-	t = -т‘-
1—рр’
а радиус
п _ |<тзРг| _ ОР*
*~| 1 _ др | —-| 1 — ОР* Г
Зная аффиксы точек Н и ,Т, находим комплексное число, соот-
ветствующее направленному отрезку НТ:
_ = JWL
1	1 — рр
t — <тх
1 — РР
ОР*
— °1 1 _ ОР2 •
205
»
Направленному отрезку НО- соответствует комплексное число
— ох. Следовательно,
ят ОРа
но ~ ор* — Г
Из этого соотношения следует, что точка Т является образом
центра О окружности (АВС) при гомотетии с центром Н и коэф-
ОР2
фициентом гомотетии, равном 0р2 _ t. Поэтому окружность '(Т),
описываемая точкой М, касается касательных, проведенных,
к окружности (АВС) из. ортоцентра Н треугольника АВС (вот
здесь только и используется условие, что треугольник АВС тупо-
угольный).	\
Замечания. 1) Радиус окружности (Т) равен радиусу Г
окружности (АВС) тогда и только тогда, когда
*	0/52	_ 1
|1— ОРа| ~ ь
Отсюда только одна возможность
l-ОР2^1’	/2	/2*
- 2) Радиус 7?! окружности (Т) равен радиусу окружности Эйлера
тогда и только тогда, когда
ОР = ~
/з-
3) Радиус с окружности (Т) равен радиусу окружности (Q)
тогда и только тогда, когда
Ор=¥*±1р.
Пример 40. На плоскости задан произвольный треугольник
АВС. Окружность (АВС) = (О) принимается за единичную. Пусть
т0 — аффикс, центра I окружности, вписанной в треугольник АВС,
а Т1, т2, т3 —аффиксы центров Ц, 1Ь, 1С окружностей (1а), (1Ь),
(1С), вневписанных в углы Л, В, С данного треугольника АВС.
Доказать, что ортополюсы прямых 01, О1а, 01 ь, О1С относительно
треугольника АВС являются соответственно точками Фо, Фг, Ф2,
Ф3 Фейербаха треугольника АВС: точки Фо, Фх, Ф2, Ф3 являются
соответственно точками, в которых окружность Эйлера для тре-
угольника АВС касается с окружностями (I), (1а), (1Ь), (1С).
Найти, исходя из доказанной теоремы, аффиксы <р0, <р1( <р2, <р3
точек Фо, Фх, Ф2, Ф3 Фейербаха. Аффиксы вершин А, В, С тре-
угольника АВС соответственно равны zlt z2, z3 (см. рис. 35).
Решение. Пусть т0, тх, т2, т3 — соотвётственно аффиксы точек
/, Ia, 1Ь, 1С. На основании примера 7 .ортополюсы прямых 01,
206
Ola О/ь, 01 с относительно треугольника АВС будут иметь аффиксы
°42)
<Р1 = ЦоГ1-аз^)»	(143)
^=Иа1-аз?)’	(144)
Ф8=^(а1-ст3§)>	(145)
А У	*3/
так как угловые коэффициенты прямых 01, 01 а, 01 ь, 01с соответ-
ственно таковы:
Надо доказать, что ф9, <р[, фз, Фз —это аффиксы соответствующих
точек Фейербаха. Рассмотрим сначала формулу (142)
Пусть о9 — аффикс центра окружности (О9) треугольника АВС.
Так как о9 = ^, то
f СГ1 Г -	Оз^о
<Ро~2 =Фо-09 = -^,
откуда
|ф£-Ое| = |,
следовательно, точка Ф'а лежит на окружности Эйлера. По фор-
муле Эйлера имеем
OI2 = R2-2Rr = l-2r (₽ = 1),
где г —радиус окружности (/),• вписанной в треугольник АВС.
Так как О/2 = т0т0, то из последней формулы находим
_ _ 1 —т0То
2	•
Уравнение окружности (/):
(2_То)(2_То) = (1г^.	(146)
Докажем, что точка Ф'д с аффиксом
,	1 t Т0\
Ф« = 2^-аз^
лежит на окружности (/). Имеем
т' — т — -1 — СТзТ° _ т
Фо то — 2	2т0 . Т°’
207
и так как т0 — неподвижная точка изогонального преобразования
относительно треугольника АВС (см. пример 37, формула (141)), то
2т0 + ^0 — ^1 = 0,
откуда	;
_ _<Т1 —СуЧ
Tff-----2--> .
и потому	_•
гг/	— __<ТзТо	<71	. СзТ* ' <ТзТ§	G3T0	_ СГ3Т0 г-. =	1 \
Фз	То—	2	2т0	2.	2 — 2	2т0	— 2т0 ('T°T°
Отсюда
Фо ~~ ^0 ~	(го^о ~ О
и, значит,	'
(фо - to) (Фо - ?о) =	= г2,
т. е. точка Ф^. с аффиксом фа лежит на окружности (/), уравнение
которой имеет	вид (146).	Далее,	угловой	коэффициент	прямой 1Ф9
„равен	_	*
ф.> Т0 __ —9 Tj
фЛ—То	3?Г
-----
Угловой коэффициент прямой О9Ф'0:
£1 _ ,  - J _
2____ 2 Зга _ , g
Л\	1 т»	® т? ’
значит, точки О9, Ф'й, I лежат на одной прямой. Итак, точка Фа
с аффиксом фо лежит и на окружности (/) и на окружности (О9)
Эйлера, а кроме того, точки Фа, /, О9 лежат на одной прямой.
Но' если две окружности имеют общую точку (в данном случае Ф9)
и их центры (в данном случае / и О9) лежат на одной прямой
с этой общей точкой, то они касаются друг друга иметно в этой
точке. Но точка касания окружностей (7) и (О9) и есть точка Фо
Фейербаха, значит, точки Ф9 и Фо совпадают и, следовательно,
Фо = Фо- '	•	z '
Для вывода трех остальных формул
Ф; = Ф1, ф9 = ф2,	Фз'=Ф3,
где ф^, фз, фз выражаются формулами (143), (144), (145), а фх,
Ф2, фз —аффиксы точек Фхч, Ф2, Ф3 Фейербаха, выведем предвари-
тельно формулы
Ora=R2 + 2raR,.	(147)
OH^R^ + 2rbRr	'	(148)
OI2c=R2 + 2rcR.	(149)
208
Выведем только первую из них; остальные выводятся аналогично.
Рассмотрим инверсию [la, r'i\, полюсом которой является центр 1а
окружности (1а), вневписанной в угол А треугольника АВС,
а Га — степень инверсии. Пусть окружность (7а) касается прямых
ВС, СА, АВ соответственно в точках Р1( Р2, Р3 (см. рис. 35).
При инверсии [1а, Га] точки А, В, С перейдут соответственно
в точки A*, Bi, С*, в которых пересекаются прямые 1аА и Р3Р3,
1аВ и Р3Рй 1аС и PiP3.< Точки A*, Bi, С? — соответственно сере-
дины отрезков PzPa, 1\1\- Таким образом, окружности (АВС)
и (Л*В*С1); перейдут друг в друга при инверсии относительно
окружности (Р1РгР3) = (1а)- Окружность (AiB*Ci) есть окружность
Эйлера для треугольника PiP3P3, и потому радиус окружности
(ЛГВГС?) равен R'a — ral2. С- другой , стороны, отношение R’atR
радиусов окружностей (Л*ВГС|) и (АВС) равно |&/о|, где о —сте-
пень центра 1а относительно окружности (ABC), a k — степень
рассматриваемой ^инверсии, т. е. k = ra. В самом деле, пусть М
и М'— точки, соответствующие друг другу при рассматриваемой^
инверсии (точка М на окружности (АВС), точка М' на окруж-
ности (Л?В?Сг)). Тогда
7Jti-hM' = r*a( = k).	(150)
Пусть Мг — вторая точка пересечения прямой 1аМ с окружностью
(АВС). Тогда .	•
7ЛТ.Ж=ог.	(151)'
Из соотношений (150) и (151) находим
Это, между прочим, означает, что окружность (Oi) — (A*B*Ct)
может быть получена из окружности (АВС) гомотетией с центром
гомотетии 1а и коэффициентом гомотетии k/o. Конечно, соответ-
ствие точек при этой гомотетии и при рассматриваемой инверсии
различно, но в целом при гомотетии с центром 1а и коэффици-
ентом k/o окружность (АВС) перейдет в окружность (AiBiCt).
Это замечание важно в том отношении, что гомотетия есть преоб-
разование подобия, откуда, в частности, в данном случае сле-‘
дует, что -	/
1
Ra I k I	2 Г“ = Га
R ~ I <1-1 ИЛИ R |О/а—’
Так г;ак точка 1а лежит вне окружности (АВС) (середина отрезка
На лежит на окружности (ЛВС) —см. пример 36), то Ola>R\\,
значит,
2R QPa-RA’
209
откуда ~	0Pa = R* + 2Rra.
Формулы (148) и (149) выводятся аналогично.
Мы предположили, что /? = 1. Кроме того, ОЦ = г1,?1, так
как Тх —аффикс точки 1а, следовательно, га = у (тЛ —!)• Дока-
жем, что точка Ф'1 с аффиксом .
1 /	т,\
ф.= 2
лежит и на окружности Эйлера и на окружности (/„). Имеем
ф1 Т1 “ 2	2-и	. Т1 ’
и так как /„ — неподвижная точка изогонального преобразования
относительно треугольника АВС, то
2тх 4- а3ч1 — Ох = О,
откуда
_ ffx—<т3т?
---------------------------------2	’
и потому
т __ gi _ (Тз^1 gi _________ g3T? <t3Ti _ a3Tx /	iyiглч
Ф1 - Ti - T -----------2	- -2------2iT ~ ~2iT 111
отсюда
и, значит,
(<pl - Тх) (ф! - Тх) =	= Гга,
т. е. точка Ф( с аффиксом <р! лежит на окружности (/о), урав-
нение которой
(Z — Тх)(2 — Тх) = Га.
Далее, О9 = ох/2 — аффикс центра окружности (О9). Поэтому
г	I (	\	1	а3Т1
Ф1 - О9 = У (<Т1 - <т3—J -у Их---2^-,
откуда
|ф1 — о91 = 1/2
и, значит, точка Ф{ лежит и на окружности Эйлера, уравнение
которой можно записать в виде |z —о9| = 1/2. Угловой коэффи-
циент прямой /аФ1 равен
ф'-т,
Ф1 Т1 __ Z ll_______ __ —2 Т1
Ф1-Т1	<*зТ1 , h 3ТГ
-2^-(ТхТх-1)
210
Угловой коэффициент прямой	09Ф1:	'
<П	,	1	_	fi
2	«Pi	_	2	°з	Т1 _	??
гт.	1	т. <*3 -5
следовательно, точки О9, 1а и Ф{ лежат на одной прямой. Итак,
точка Ф1 лежит и на окружности (09) и на окружности (/а) и
центры 09 и 1а этих окружностей лежат на одной прямой с их
общей точкой Ф1, следовательно, окружности (7а) и (О9) касаются
в точке Ф1 с аффиксом <р(. Но точка касания окружностей (1а)
и (09) есть точка Ф± Фейербаха, следовательно, точки Ф1 и Фх
совпадают и <pi = <Pi.
Аналогично доказывается, что <р2 и <р3, т. е. аффиксы орто-
полюсов прямых 01ь и О1С относительно треугольника АВС,
являются аффиксами точек Ф2 и Ф3 Фейербаха, т. е. Ф2 и Ф'л
являются точками касания окружностей (/6) и (/с) с окружностью
(09) Эйлера для треугольника АВС.
Пример 41. Пусть zb z2, z3 —аффиксы точек А, В, С в системе
координат, в которой окружность (АВС) = (О) принята за единич-
ную. Доказать, что:
, Г. Аффиксы т0, тх, т2, т3 центров окружностей, вписанной и
вневписанных в треугольник АВС, определяются из уравнения
т4 — 2а2т2 4- 8о3т 4- о! — 40^ = 0.
2°. Аффиксы ф0, фъ ф2, фз точек То, Т2, Тд, симметрич-
ных ортоцентру Н треугольника АВС относительно точек Фейер-
баха, находятся из уравнения
(4о2 -1 и|) ф4 + 45хф3 + 20151ф2 4- 4<т1ф 4- 4о2 — oi = 0.
Эти точки 4f0,1F1,4f2,4f3 лежат на окружности \АВС) (рис. 42).
Решение. Г. Пусть Т — центр окружности, вписанной или
центр одной из вневписанных окружностей в треугольник АВС.
Любая из этих точек обладает тем характеристическим свойством,
что она совпадает с точкой, ей изогонально сопряженной относи-
тельно треугольника АВС. Достаточность этого условия проверить
просто геометрически; а именно, любая из указанных четырех
точек Т неподвижна при изогональном преобразовании. То, что
таких точек четыре, мы сейчас и докажем. В самом деле, для
того чтобы точка Т с аффиксом т(|т|#= 1) совпадала с сопряжен-
ной с ней, необходимо и достаточно, чтобы соотношение Морлея
p + q + <J3pq = <h
выполнялось при p = q = x, т. е.
2т 4- о3т2 = о^,
Докажем, например, что оно выполняется для аффикса
т0 = -	У^хУч
211
центра Окружности (/), вписанной в треугольник АВС, (см. при- $
мер 36). Имеем	-
Т = J J _ J _ _
°	/z2/z3	/гзИ?! 'Kz#z2	Kz#z2/z3 ’	'
То=[zi + z24-.Z3 + 2 (Vz^V^-+ V^Vzl+Vzj/z^]. 	I
Отсюда	. *	)
2t0 + o3f 0 = 2 (— j/z^l/’^-yzsVzT — VrziV%)+	\
+ Zl+z24-z3+2(Уг^/Т3 + Vz^VT^ + /zj/z^) = Zl4-z2+z3 = ffx, |
и так для остальных аффиксов тх, т2, т3 (формулы (133) примера 36). j
Присоединяя к уравнению '	1
2т 4- s3t2 — = 0 ,	(153) j
уравнение, полученное сопряжением левой части, получим урав- |
нение '	? 1
2т 4~ ®зт2 — Si=0.	'	(154)
Отсюда	_	_	'>
g,—т^а '	- .
2	.	1
и уравнение (153) принимает вид	* i
2T4-s3^bw±^_CT1=0;	1
или	,	„	•
8т 4-—--2- т2 4-1 г4 - 4<У1 = О,
СГз <*з °з	.
ИЛИ . 	‘	~
’	-	т4.— 2<т2т2 4-8о3т + — 4<т1о3 =
Так как это уравнение четвертой степени, то неподвижных точек
при изогональном преобразовании не может быть более четырех. •
Но центр вписанной' окружности в треугольник АВС и центры *
окружностей, вневписанных в этот треугольник, являются непо- 1
движными при изогональном преобразовании относительно тре-
угольника АВС. Значит, неподвижность точки при изогональном ;
преобразовании есть характеристическое свойство центров окру- 1
жностей (/), (/„), (/6), (/с) . (других неподвижных точек при изо- j
тональном преобразовании относительно треугольника АВС нет), j
2°. Точка Ф Фейербаха является ортополюсом по отношению 1
к треугольнику АВС прямой 01 к, проходящей через центр О ок-
ружности (АВС) и центр Ik соответствующей окружности, ка- ]
сающейся прямых ВС, С А, АВ. Если прямая задана уравнением |
z — z0 = %(2 — z0),	!
то ортополюс ее относительно треугольника АВС имеет аффикс
Н = 4?(<т1-Т+гв-Х2о)
212
(см. пример 7). В частности, если рассматриваемая прямая про-
ходит через начало координат, то
Р = 4'(°г1_<тзХ).
Аффиксы ф* точек ФА Фейербаха, соответствующие центрам Тк
Рис. 42.
четырех окружностей (7\), каждая из которых касается прямых
ВС, СА, АВ, будут (см. пример 40)
Фл=у(<Ч-<Тз^У,	'	(155)
где т* —аффикс точки Тк (отсюда, между фпрочим, следует, что
угловой коэффициент прямой ОТк равен ‘кк — ~,- следовательно,
= Будем обозначать аффиксы хк и <р* соответствующих
ДРУГ другу точек Тк и Фк просто через т и <р. Тогда соотношение
(155) перепишется так:
Ф = у(о1-<Ъ y)-	(156)
213
Найдем аффикс ф точки Чг,'симметричной точке Н относительно
точки Ф:
откуда
<157>
Так как |ф| = 1, то точка Т лежит на окружности (АВС).
Впрочем, это сразу следует и из того, что при гомотетии (Н, 2)
окружность Эйлера для треугольника АВС переходит в окруж-.
ность (О) = (АВС), а так как все точки Фейербаха лежат на
окружности Эйлера, то их образы 4f0, Tj, Ч^, Ч^ при гомотетии
(Н, 2) лежат на окружности (АВС).
 Исключим из уравнений (157), (153), (154) т и t Получим
уравнение для определения ф. Из соотношения (157) имеем
т =— фт03,
и, следовательно, соотношения (153) и (154) принимают вид
2т + <т3ф2т2а3 — <тх = О,	(158)
—2фт03+03та — <?i = 0,	(159)
или	'
03ф2т2 + 2т — ffj = 0,	(160)
03т2 — 2фт03 — ох = 0.	-	(161)
Остается написать равенство нулю результанта этих уравнений.
Но можно и так: умножим второе уравнение на —ф2 и сложим ,
с первым, получим
(2ф303 + 2) т = ох — ф20х, .
откуда
. G1 — ф2<Т1
-	2ipa3+2 •
Подставляя это значение т, например, в уравнение (161), получим
°3	4 (ф3б-3+1)3	(фЗаз+1),	01 —
ИЛИ
(030J — 4ffx0f) ф4 — 40х03ф3 — 2<Тх0103фа — 4ох03ф + 03ffi — 401 = 0,
или, сокращая на 03:
(0х — 4<тх03) ф4 — 40хф3 — 2<тх0хф2 — 4<тхф + о? — 401ст3 = О,
или
(01 — 402) ф4 — 40хф3 — 2<т101фа — 4<тхф + ох — 4сг2 = 0.
Заметим, что коэффициенты этого уравнения, равноотстоящие
от его концов, попарно сопряжены: первый и последний; второй
и четвертый (антивозвратное уравнение).
214	•	.
Пример 42. Пусть М — переменная точка окружности (О)
радиуса R, описанная около треугольника АВС; Р — точка сим-
метричная ортоцентру Н треугольника АВС относительно диаметра
окружности (О), параллельного" прямой Симеона для. точки М
относительно треугольника АВС; А', В', С— точки, симметрич-
ные точке М относительно прямых ОА, ОВ, ОС. Доказать, что
точка Q, ’ симметричная с ортоцентром Н’ треугольника А’В’С’
относительно точки Р, описывает окружность, концентричную
окружности (О), и имеющую радиус OQ, равный
oq=^oioiaoiboic,
'	х\
где / — центр окружности, вписанной в треугольник АВС, а /а,
Решение. Примем окружность (О) за
г1> г2. 2з, го — соответственно аффиксы точек
нение прямой АВ:
.z4-z1z2z = z1-f-z2.
единичную, и пусть
А, В, С, М. Урав-
(162)
Уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую АВ:
z-z^z^fz-Zo),
или	" ,	.
Z — ZjZ2S — Zo — ZxZ2?0.	"	(163)
215
Складывая почленно-уравнения (162) и (163), находим аффикс щ3 j
проекции М3 точки М на прямую АВ:	• •	*
т3 = у (zo H-Zi + Za-ZiZaZo).	•	>
Аналогично: аффикс т2 проекции Л42 точки М на прямую АС: -
/W2=y(z0 + zi + z3-z1z3z0).	ч
Угловой коэффициент прямой Л42Л43:	J
т3—т2 _ га —г3—гг?0 (г2—га) _ (г2—г3)(1—?1?0) _ ° 31 г0	_ Os ~
т3 — т2 z2 —z3—г^оСгз —2з)	(z2—z3) (1 — zxz0)	г3 —га zt —гд г0 ’
z2z3
и, значит^ уравнение диаметра окружности, параллельного прямой
Симеона точки М относительно треугольника АВС, имеет вид '
z = gz, 		(164) |
ИЛИ-		.
z0z-o3z = 0.	(165) У
Впрочем, это уравнение можно было написать сразу, исходя из
уравнения прямой Симеона, отбросив свободный член этого урав-
нения (пример 3, уравнение (1)).
Уравнение перпендикуляра, опущенного из точки Н на прямую
(165), имеет вид
-Z-O1 = -^(2-ff1),	(166)
г°
Складывая почленно уравнения (164) и (166), получим ।
2Z_„1 = 5g>,
-	'	- zo	J
откуда	.	-	1
z=^=4-f(Ti+r)	- 'i
— это аффикс проекции точки Н на прямую (164). Аффикс р
точки Р найдем из соотношения	‘Ц
P + — 7 — 1 (п _1_М	'	"'I
откуда	,
^,= ^0-'	-	|
Далее, уравнение прямой О А:	}г
- Z=ZX2, или z —zxz=O. •	.
Уравнение прямой, проходящей через точку М перпендикулярно
прямой. ОА:	~	|
z-za = —zj(2-2o).	'I
216
Решая-это-уравнение совместно с уравнением z2=l единичной
; окружности (АВС), получим
Один из корней этого уравнения естественно z = z0 (аффикс
точки М), другой	__
a' = zfaj_
— аффикс точки А'. Аналогично находим аффиксы V и с’ точек
В' и С:
Ь'=г12й, c' = zlz3,
и, значит, аффикс h' ортоцентра Н' треугольника А'В'С'-.
h' = (z? + zf + z3) 20.
Аффикс q точки Q, симметричной точке H' относительно точки
находится из соотношения
= р,
2 Р'
откуда	.	—-
q = 2р — h' = 2<Vo — (И + zl4-z|) 20 =
=Z0 [2o2 - (zj + z2 + z3)2 + 2 (z2z3 + z3z* 4- zrz2)] = 20 (2<t2 - 0] + 2<t2) =
= z0(4a2-ol).
Итак,
9 = (4<у2-о|)?0.
Отсюда и следует, что если точка 'М с аффиксом z0 описывает
окружность (АВС), то точка Q описывает в противоположном
направлении окружность (й), концентричную окружности (АВС).
Радиус р окружности (Q) равен	• '
р = |4ст2-<^|.
— Аффиксы точек I, 1а, 1Ь, 1С таковы:
То = — У^_	= «0+Ьй 4- с0,_
Т1 = —Vz2 yz3 4- У z3	+уZ1 Уг2 - а0 - - с0,
T2 = yz2’K23-]'Z^’Kzi4-/z1]/'^ = — Оо4-&о-с-и.	-
Т3=Уг2 Уг3 4- ]/73 Угг - У^ У% = — Oq - b0 4- с0.
Отсюда	4
ТоТ1Т2Т3 = [cj (и0 4“ 6g)2] [Со (ц» ^о)2] ~	—
= (с? -al-bl- 2aob6) (4 - al - bl 4- 2a060) =
= (4 - al - bl)2 - 4albl = (al 4- bf - cl)2 - 4a*J)l =
• - (al 4- bl + cO2 - 4 (bid 4- dal 4- albl) =
= (zxz2 4- z2z3 4- z3Zi)2 - 4 (zlztz2 4- zlz2z3+z^Zj) = ol - 40^3
217
(см. также пример 41). Отсюда
7VTT- —«г для—	4<т2 _ р|~4(Та
Т0ТхТ2Т3 — СГ2	— ^2	ST-----
и, значит,
1 т0тхт2т3 I = [ тотхт2т3 I = I <Ti-4ст21 = р,
ИЛИ
Р = 1'соН*11Ы|т3|.
или
0Q = 010Ia0Ib0Ic.
Если бы аффиксы точек А, В, С мы взяли бы в виде Rzlt Rz2,
Rz3, где |zx| = |z2| = |z3| = l, то получили бы
qq'Olb "01 с
Л4. Тогда аффикс <P! точки Фх Фейербаха
по
Пример 43. Точки Лх, Л2, Л3, Л4 лежат на одной окружности
(О) = (ЛХЛ2Л3Л4), которую примем за единичную окружность.
Обозначим через <рх, <р2, <р3, <р4 аффиксы точек Фейербаха Фх,
Ф2, Фз, Ф4, лежащих на окружностях, вписанных в треугольники
Л2Л3Л4, ЛхЛ3Л4, Л1Л2Л4, ЛхЛ2Л3. Доказать, что середины отрез-
ков ЛХФХ, Л2Ф2, Л3Ф3, Л4Ф4 лежат на одной окружности. Найти
аффикс центра этой окружности и ее радиус.
Решение. Пусть z^ z2r‘z3, z4 — соответственно аффиксы
точек Лх, Л2, Л3,
окружности, вписанной в треугольник Л2Л3Л4, вычисляется
формуле (см. пример 32, п. 6°)
г2^з4~г2г4Ч~г3^4
1	г2 + гз+*4 ’
а следовательно, аффикс рх середины отрезка ЛХФХ будет
ф1~Ьг1 __ г1гг 4~ г1гз 4~ г1г4 4~ г2гз Н~ Z2Z4+г3г4 _
г1!	2	2 (Za-J-Zg-J-zJ	2 (<тх — zi) ’
где
<У2 = ZXZ2 + ZXZ3 + ZXZ4 + Z2Z3 + Z2Z4 + Z3Z4,
Из,
Аналогичные выражения мы получим для аффиксов ц2,
середин, отрезков Л2Ф2, Л3Ф3, Л4Ф4:
.. _ • стз	__ а2	______g2
2(ах—z2) ’ г*3	2(<тх—z3) ’	2(01—21)'
Отсюда следует, что точки р,* (^ = 1, 2, 3, 4) находятся на окруж-
ности (£2), уравнение которой
и
Ста
2ffx—2z’
где z описывает единичную окружность.
218
Производя инверсию этой окружности относительно окруж-
ности (О), получим окружность
1	-2^—2z	п а.	2 _
v = — = —  2 -----------— z
U	0g	(Tg	(Tg
— это окружность (й'), аффикс центра которой равен 2а1/о'2,
а радиус равен 2/|.cra I- Окружность (й) из окружности (й') может
быть получена той же инверсией, но также и подобием (только
не при таком же соответствии точек). Отсюда можно найти аффикс
центра окружности (й) и ее радиус.
Но можно воспользоваться и готовыми формулами примера 12,
которые дают аффикс
bd — ac
а — —-------
dd—се
и радиус
Ьс—ad 1
р= —=------
dd—cc |
окружности (й), в которую переходит единичная окружность (О)
при дробно-линейном преобразовании
“ =	ad-bc^Q.	(167)
.	cz~ya	'
Рассмотрим преобразование
“=25^27-	.	. ОМ)
Здесь (сравнить с формулой (167)) а = 0, Z> = cr2, с =— 2, d = 2<jlt
поэтому аффикс со окружности (й), на которой лежат середины
отрезков ЛХФХ, Л2Ф2, ^зФз> А4Ф4:
..	________^2^1
4(аА-1) ~ 2(0x9!-!) ’
а радиус
o==|J^2(y8_|==ll .	_1
I 4(7101-—4 I 2 I	1 [’
Л
Пример 44. Пусть Вх и Сх —точки пересечения биссектрис
внутренних углов В и С треугольника АВС с окружностью
(ABC) = (Q). Рассмотрим сумму направленных отрезков 0В7 +
+ 0C1 = 0N. Доказать, что IN I ВС, где / — центр окружности,
вписанной в треугольник АВС. Доказать также, что отрезок IN
равен радиусу окружности (АВС) = (О).
Решение. Примем окружность (О) за единичную. Пусть zx,
г2, г3 — соответственно аффиксы точек А, В, С. Аффиксы аъ Ь1г ct
точек Alt Ви Сх пересечения с окружностью (АВС) биссектрис
внутренних углов треугольника АВС определяются соотношениями
01=—ут2ут3, ь4=—уТзУт^ с1=—ут1ут2,
219
где для корней. Y'Zi, Yzv Yzs взяты такие значения, чтобы
|'Kz14-yrZi+Yz3|< 1. Аффикс п точки N будет
n = — YzsYz'i-YziYzz,	.	'
и так как аффикс точки I равен
То = — Yz.2Y г3 - V~ZsY2i — Y ztY гг,
то направленному отрезку_/# соответствует комплексное число
Y^ Yz3, откуда IN= | Y z2 Y2i I = 1 = R. Угловой коэффициент
прямой IN равен
v Vzi Угз
Угловой коэффициент прямой ВС равен и
= — ^2z3, следовательно,
х + х' = О, а потому прямые
ВС и IN взаимно перпенди-
кулярны.
Пример 45. Углы треу-
гольника АВС образуют гео-
метрическую прогрессию со
знаменателем 2. Доказать,
что середины его сторон и
основания высот являются
_ шее-тью вершинами правиль-
ного семиугольника (рис. 44)л
Решение. Примем ок-
ружность (АВС) за единич-
ную, а точке А припишем
аффикс 1. Тогда, полагая
а = cos (2л/7) + i sin (2л/7),
заключаем, что 1, а, а2, а3,
а4, а5, а6 —аффиксы вершин
правильного семиугольника,
вписанного в окружность
(АВС). При этом аффиксы точек В и С соответственно равны а4
и а5. Пусть Alf В19 Cf—соответственно середины сторон ВС, СЛ,
АВ, а аь &!, с1 — аффиксы этих точек; Тогда
__ а*+а5 h _ а5 + 1	__ *+а4
«1	2	’	2	’ С1 2
Угловой коэффициент прямой ВС равен
_а4—а5
— а4а5 — — а9 = — а2
220
(так как «’=== !), а значит, уравнение прямой, проходящей через
тдчку А, перпендикулярно ВС:
z—l=a2(z —1).
Уравнение ВС:
z —а4 = —а2 (2 — а4).
Решая систему уравнений
z — 1 =a2(z— 1), '
z — a4 = — a2 (2 — a4),
находим
2z —1—a4 = — a2H-a2 = — a2+a®,
откуда	s.
1—a24-a44-as
~	2	’
где —аффикс основания Л2 высоты, опущенной из вершины А
на сторону ВС. Далее,
Уравнение АС:	’	,	•
z —1= — a®(2 —1).	
Уравнение высоты, опущений! из вершины В на сторону АС:
z —a4 = a5(z —а4).
Из двух последних уравнений находим
2z — 1 — a4 = a5 — a,
откуда
u _ 1—a+a44-a5.
t>2-------2-----’
Далее,
1— a4 ' .
nAB= -j—= — a4.
ло 1—a4
Уравнение AB:
z_l=_a4(.2_l').
Уравнение высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ:
z — a® = а4 (2 — й5).	. -
Из двух последних уравнений находим аффикс с2.проекции точки С
на прямую АВ:
2с2 — 1 — а® =-а4 — а = а4 — а®,
откуда	"	,
х _• 1-}-а4+а5—а8
-	с2—	2 '	- •
Рассмотрим аффикс о9-точки О9, полученной из точки О при
гомотетии (G, — 1/2), иначе — аффикс центра 09 окружности Эйлера
221
треугольника АВС. Так как аффикс h ортоцентра треуголь-
ника АВС равен 14-а4 + а5, а О9 — середина ОН, то
п _ 1+а*+а®
v9— j •
Теперь находим
__________________ 1—a2+<z4+a5	14-a4+<%5    «2
а2 — Од —	2	;	:	2	2 ’
,	__ 1 —a.4-a4-|-a5	l-f-a4+a5   a
О2 ~ °g—	"2	2	2 ’
______ a44-a5	l-|-a4-|-a5. _	_1_
~ °9 ~	2	2	~	2 ’
	 l-j-a4 + a6—a®_l-|-a4-|-a5   a®
c2—_____________________2	2	—	2~ ’
	 1-j-a4	l-{-a44-a5 _ a®
Ci — O9_____________________g	2_2~ ’
,	  1-f-a5	*	l,4-a44-a5 _ a4
°i ~ °9	g	—	—	—g	2".
Эти числа образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 1/сс;
при этом модули всех этих разностей рцвны 1/2. Значит, каждый
из направленных отрезков
'	Од Ад, ОдВд, ОдАг, ОдСд, OgClt OgBlt
начиная со второго, получается из предыдущего поворотом в одном
и том же направлении на угол 2п/7', т. е. Л2, В2, Alt С2, Си
Bi — шесть последовательных вершин правильного семиугольника,
вписанного в окружность Эйлера для треугольника АВС.
§ 2, Примеры с указаниями и ответами
1. Углы А, В, С треугольника связаны соотношением С = ЗВ =
= 9 А; А А', ВВ', СС — высоты этого треугольника; Я —его орто-
центр; Z — центр вписанной окружности; г—ее. радиус; (О) —
= (ЛВС) — окружность, описанная около треугольника ЛВС; R—
ее радиус; а а, b с —длины сторон ВС, АС, АВ. Доказать, что:
1”. HA' + HB'-HC' = R/2.
"2°. О/2-РОЯ2 = 57?2. _
3°. bc + ca + ab = R2Vl3. '	_
• 4°. cos Л + со8В + созС = (1 +]/13)/4.
5°. О/2 = 7?2(5-/13)/2.
' 6°. г=2?(/13-3)/4.	_
’ 7°. OH2 = R2([ -8cos Лсо8Всо^С)=/?2(5+К13)/2.
8°. cos Л cos В cos С = — (3+Г13)/16. ‘
9°. sin Л sin В sin С = /(13-3 К 13)/128.
10°. 8шЛ4-8шВ+8шС=/(13+3/Тз)/8.
222	;
Решение. Точки А, В, С можно рассматривать как соответ-
ствующие вершины правильного 26-угольника, вписанного в окруж-
Рис. 45,
/
ность радиуса R, так как Л = л/13, В = 3л/13, С = 9л/13 (рис. 45).
Заметим сначала, что для любого натурального числа
\
cos (лтг/13) =pos ((26 — и) л/13) = — cos ((13 — п) л/13),
и, далее,
I . 2л . 4л . 6л . 8л .	- Юл .	12л .
14-cos уу- + cos -jig- + cos ту + cos -jg- + cos-yy- + cos -yy- 4-
4- cos -y-g- 4- cos -yg- 4- cos -уу- 4- cos -уу- 4- cos -yy- 4- cos -yy-=0,
cos -J3 4- COS Уз 4- cos yy 4-cos yy 4- cos 4- cos -yy- =
= cos -Jjy- 4- cos — 4- cos 4- cos 4- cos 4-
4-cos^- = -l/2.
223
Положим
X = COST3+C0ST3+cos13’ I /
4л , Юл 12л	_(169)
у = COS -Jj 4- COS-jy + COS -jy.
Тогда
cos Д 4-cos В 4-cos С =— y.
Исходя из тождеств	•
, 2 cos2 a = 14-cos 2a,	2 cos a cos p = cos (a 4-P) 4-cos (a —p),	'
получим уравнение
4x24-2x-3 = 0,
откуда
-14-/13	— 1-/Тз
х=-----л——, У—-------г1—
4 v .	4
и, следовательно, ,
।	1	з
х+у = —2> х«/ = —т.
Это можно получить и из соотношений (169).
Г. Треугольник АВС тупоугольный (С = 9л/13), следовательно,
НА' =.| 27? cos В cos С | = — 27? cos В cos С —
= — 7? [cos (В — С) + cos (В + С)],
НВ' = — 7? [cos (С - Д) + cos (С + А)]'
'	НС = R [cos (А - В) + cos (А + В)].
Отсюда
•	HA’ + HB’-HC=R(— x — y) = R/2. .
2°. О/24-ОЯ2 = 7?2-27?г + 97?2-а2-&2-с2,
- 2Rr = 87?2 sin -у sin -у sin у =
= 2Т?2 (— 1 + cos А 4- cos В 4- cos С) = 27?2 (—. 1 — у),
а2 4-Ь24-& = 47?2 (sin2 А 4- sin2 В 4- sin2 С) =
= 47?2 (3 - cos2 A - cos2 В - cos2 С) = 27?2 (3 - х),
' и, значит, '
О12 4- ОН2 = 7?2 (6 4- 2х 4- 2у) = 57?2.
3°.	7>c4-c«4-o& = 47?2(sinB sin С 4-sin С sin А 4- sin A sin В) =
= 2R2 [cos (В — С) — cos (В'4- С) 4- cos (С —A) — cos (С 4- А) 4-
4- cos (Д — В) — cos (Д 4- В)] = 27?2 (х - у) = R2 /13.
Вывод остальных соотношений предоставляется читателю. Для
их вывода следует воспользоваться основными формулами, отно-
сящимися к приложению тригонометрии к геометрии любого тре-
224	'
угольника, и воспользоваться специфичностью данного треуголь-.
йика (Д = л/13, В = 3л/13, С = 9л/13).
Можно также ввести комплексную систему координат, приняв
окружность (АВС) за единичную. Тогда аффиксами вершин упо-
мянутого правильного 26-угольника будут все 26 значений
Эти аффиксы
ak = cos-^-4-isin(6 = 0,1, 2, 3,23, 24, 25). - '
lo	lo
Точку А можно' принять за единичную а = Оо=1. Точки В и С
будут иметь аффиксы	-	'
& = ^8 = cos jy + i sin“Hp c = a6 = cos-^- + z sin-jy.
2. Четырехугольник ABCD вписан в окружность (О).
Из точек А и В опускаются перпендикуляры АА2 и ВВ2 на CD;
из точек В и С опускаются перпендикуляры ВВ2 и СС} uaDA;
из точек С и D опускаются перпендикуляры СС2 и DD2 на АВ;
1г ’
Рис. 46.
наконец, из точек D и А опускаются перпендикуляры DDX и АА2
на ВС. .	.	'
Доказать, что (рис. 46):
1°. Отрезки AA2, BiB2. С2Сг, D2D2 равны и лежат на пря-
мых, проходящих через точку F,^симметричную точке О относи-
тельно центра тяжести системы точек А, В, С, D.
ч2°. Четырехугольники	и Л2В2С2Р2 подобны четырех-
угольнику ABCD и вписаны в окружности с центром F (И. Лангер).
8 П. С. Моденов	225
Указание. 1°. Примем окружность (O) = (ABCD) за еди-
ничную. Пусть а, Ь,. с, d — соответственно аффиксы точек А, В,
С, D. Аффикс точки F будет .
/ = а1/2	(ff^a + 6 + c + d).
Аффиксы проекций Ах и А2 точки А на прямые ВС и CD будут
ci=2’(a + ^ + c —аз = у + —
откуда
ai-a2=-^(a-c)(^-rf). f -	(ad + be).
Далее,
fli—д2 _ f—ai _____________________ bed
fll — <72	f —	#
так что прямая АгА2 проходит через точку F. Кроме того,
АхЛ2 = | йх — а21 ~<г АС • BD
и аналогично для B]B2, CxC2, DxD2.
2°. Имеем
ai=f-^(ad + bc')> a2 = f-~~(ab+cd).
Отсюда (и из аналогичных соотношений для blt b2, clt с2, dlt d2)
следует, что четырехугольники AjBjCjPl и A2B2C2D2 вписаны
в окружность с центром F (/). Пусть четырехугольник ABCD
выпуклый. Преобразование z' = f — (ad+be) z переводит четырех-
угольник ABCD в' четырехугольник A1B1C1D1. Преобразование
z" = f —-L-(ab + cdyz четырехугольник ABCD переводит в четырех-
угольник A2B2C2D2. Поэтому четырехугольники А^В^С^Р^ A2B2C2D2
выпуклые, имеют ориентацию, противоположную ориентации
четырехугольника ABCD, и все четырехугольники ABCD,
AxBjCiPi, A2B2C2D2 подобны.
Радиусы окружностей, в которые вписаны четырехугольники
AiBiCiDj й A2B2C2D2, соответственно равны
4-|ad + 6c| и ^lab+cdl,
или
R | cos (AD, ВС) I и RI cos (АВ, CD) |	(R = 1).
В самом деле, из соотношений
di = 4(i+c+<i-7)	'
226
находим
aL-dl^^d(a-dUad + bCb	I
AD [ad-f-bc[,
откуда
l|ad-f-&c| = ^§i = |cos(AD, BC)|.
Замечание. Аффикс as проекции A3 точки А на BD равен
a3=f-^(ac+bd).
Значит,
•у (ai+й2+а3) = f—,
где (j2 = ab-\-ac-[-ad-\-bc+bd-}-cd. Отсюда ^следует: если четырех-
' угольник Q (т. е. ABCD) вписан в окружности (О), то центры'тяжести
проекций его вершин на стороны треугольника, образованного тремя
другими вершинами Q, образуют четырехугольник Q', подобный Q,
но противоположно с ним ориентированный. При этом четырех-
угольник Q' вписан в окружность, центр которой симметричен
точке О относительно центра тяжести четырехугольника Q. Радиус
этой окружности равен расстоянию от центра тяжести четырех-
угольника Q до центра тяжести шести точек, в которых окруж-
ность (О) пересекает прямые,1 проходящие через какую-нибудь
точку окружности (О) параллельно сторонам и диагоналям четырех-
угольника Q (решение Гурмагшига).
3.	Прямые АР, ВР, СР, проведенные из произвольной точки Р,
пересекают стороны ВС, С А, АВ треугольника АВС соответст-
венно в точках AjBjCi и делят эти стороны в отношениях:
-й=л, S-=h, S-=v;
AjC	BiA r ClB
Найти отношения
АР
PA1’
BP
y~PBl’
Указание. Применить к треугольнику ААХВ и трансвер-
сали CCt теорему Менелая.
Ответ. x = (14-%)v, j/ = (l-j-p)A., z = (l-|-v)p,. Можно при-
менить и комплексные числа.
4.	Треугольник A^Cl вписан в треугольник АВС (т. е.
точка лежит на прямой ВС, точка Вх —на прямой С А и
точка Сх — на прямой АВ). Доказать, что:
8*	227
Г. Треугольники АВС и имеют общий центр тяжести
тогда и только тогда, когда отношения
« BAi	СВ^	4Ci
AtC	BiA	CtB
равны между собой: A = p = v.	___
2°. Считая, - что треугольники АВС и AiB^Ci имеют общий
центр тяжести (Z=?p = v), доказать, что
ЛВА Х2-Х+1 I
АВС	(А+1)2
3°. Пусть треугольник Л2В2С2 описан, около треугольника АВС
и имеет с ним общий центр тяжести. Доказать, что тогда отно-
шение %', в котором точки А, В, С делят направленные отрезки
В2С2, С2Л2, Л2В2, равно 1/Х, т. е. обратно по величине отноше-
нию, в котором точки At, В1г Сг делят ВС, СА, АВ. Найти
A iBjCi
~ А^В^С^
и доказать, что
АВ& = Л1В1С1 • Л2В2С2
(Р- До).
5.	Треугольники АВС’ и A^Ct гомотетичны при гомотетии
с центром S и коэффициентом гомотетии

k-SA_
К~ SAi’
Известно, что треугольник А'В'С' вписан в треугольник АВС и Ж
описан около треугольника А1В1С1. Доказать,	что	тогда	ж
ЖЖС'^ЛВС-ЛА^х	'I
(теорема Пилатти).	<
6.	Дан треугольник ЛВС. Его стороны	ориентируются как: Ц
ВС, СА, АВ. Доказать, что на осях ВС, СА, АВ существует Ж
только одна тройка точек Лп Въ Сх-таких, что ВА1 = СВ1 = АС1 Ц
и что прямые *AAlt ВВ1г ССг пересекаются в одной точке. Дока- -я
зать также, что-точки Аи Ви Сх соответственно внутренние точки W
отрезков ВС, СА, АВ.
Указание. Применить теорему Чевы.____Исследовать полу-'J
чившееся при этом кубическое уравнение (ВЛ1 = СВ1== ЛСг=х) *
относительно х (С. Ватрикант).	Ц
7.	Пусть /, 1а, 1ь, -1с — центр окружности (/), вписанной >
в треугольник ЛВС, и центры окружностей (Ia), (1Ь), (1С), вне- -1
вписанных в этот треугольник. Пусть R — радиус окружности Ж
(О) = (ЛВС), a N — точка, расположенная на отрезке ННХ на рас-
2	-	 ill
стоянии у ННг от Я; Н — ортоцентр треугольника ЛВС, а ///.— Я
228	я
ортоцентр треугольника Д^Сх, вершинами которого являются
основания высот треугольника АВС. Обозначим Через L центр
тяжести системы четырех точек, полученных из точек I, Ia, 1Ь,
1С инверсией относительно
окружности (О). Доказать,-
что точки О, N, L лежат на
одной прямой и что
OIOIaOIbOJc = 3R*ON,
ONOL=~RZ.
О
8.	Треугольник АВС впи-
сан в окружность (О). Пост-
роим прямоугольные треу-
гольники- АОА', BOB', СОС'
(угол О во всех трех тре-
угольниках равен л/2), име-
ющие одинаковую, ориен-
тацию. Пусть окружности
(А', А'А), (В', В'В), (С, С'С)
пересекают стороны АВ и
АС, ВС и ВА, СА и СВ в
точках Ва, Са-, Qb, А6; Ас, Вс.
Рис. 47.
Доказать, что треугольни-
ки АВаСа, ВСЬАЬ, САсВс име-
ют одну и ту же окружность
Эйлера (рис. 47) (Р. Бланшар).
Указание. Примем окружность (О) За единичную. Пусть а,
Ь, с, а', Ь', с' —аффиксы точек А, В, С, Д', В', С'- Тогда*
a'=ia, b’ = ib, c' = ic, А А' =У2.
Уравнение окружности (Д', А'А):
*	(z-ia)(Z + ia) = 2.	(170)
Уравнение АВ:
z + abz = a + b,
откуда
-	ZA-abz = a + b,	. ’
.	2 = а + b — abz,	~"
й уравнение (170) принимает вид
(z — ia) (а + 5 — abz+ia) = 2,
или
(z — ia) (abz — a — b — ia) + 2 = 0.
Один из корней этого уравнения z = a; другой —
ba = bA-i(a + b).
229 -
Аналогично аффикс са точки Са-
ca = c-\-i(a + c).
Аффикс ha ортоцентра На треугольника АВаСа найдем аз соот-
ношения
ОН а = 0%' + ХВа+.АТа + А7!,
-т. е.
ha = ia+b + i (a+b) — ia+c + i (a-]-c) — ia + a — ia = ox (1 + Z) — al.
Аффикс a9 середины отрезка HaA', т. e. центр окружности Эйлера
треугольника АВаСа:
а9 =	+	= J+L ffl (== Ь9 = с9).
9.	Даны аффиксы zx, z2, -z3 вершин А, В, С треугольника АВС,
Найти аффикс* z0 центра окружности (АВС).
Ответ. Zn =	(г?~г^ + г^ (г1-г3)+г3г3 (г8—гх),
Z2 Z2 1
Z3 Z3 1
У к а з а н ие. (z0 — zx) (z0 — zx) = (z0 - z2) (?0 - z2) = (z0 - z3) (20 - 23).
10.	Пусть Ax, Blt Ci —точки, симметричные центру О окруж-
ности (О) = (АВС), описанной около треугольника АВС, соответ-
ственно Относительно его сторон ВС, С А, АВ. Доказать,-что
треугольники АВС и А^В^ симметричны относительно середины
О9 отрезка ОН, где Я —ортоцентр треугольника АВС (теорема
Гамильтона). ч
Указание. Примем окружность (АВС) за единичную. Пусть
zx, z2, z3 —аффиксы точек А, В, С. Тогда аффиксы точек Alt Ви Сх.
будут z2 + z3, z3-f-zx, zx + z2. Аффиксы середин отрезков AAlt ВВГ
и ССХ равны (zx + z2 + zs)/2 = <тх/2, а это аффикс середины отрезка ОН.
11.	На плоскости задано подобие, заключающееся в повороте
вокруг точки О на угол а #= пп (п — целое) и гомотетий с центром^
О и коэффициентом k. Пусть при этом подобии треугольник АВС
перейдет в треугольник А'В'С. Обозначим через Ах, Вх, Сх соот-
ветственно точки пересечения прямых ВС и В'С, СА и СА',
АВ и А'В'. Какое положение должна занимать точка О. относи-
тельно треугольника АВС, чтобы треугольники АВС и АХВХСХ
были бы подобны и имели одинаковую ориентацию?
Указание. Пусть а, Ь, с —аффиксы точек А, В, С в произ-
вольной системе координат с началом координат в точке О. Пола-
гая р = k (cos а 4- i sin а), находим аффиксы а' = ра, b' = pb, с' = рс
точек А', В', С. Из уравнений прямых ВС и В'С:
(В — с) z —(b-c)z-)-bC— Ьс = О,
p(b — C)z — p(b — c)? + pp(bC — bc) = O,
230
находим аффикс точки А^
Ье—Бс р(р — \)
1 Ь—с р—р
и аналогичные выражения для &4 и с4:
. _.сД—са р(р —О
1	с—а	р—р ’
Ориентированные треугольники
одинаково ориентированы тогда
a at
b bi I =0.
С С1 1
_ a5—g& р(р —1)
1	а—Б	р—р ‘
АВС и А^С^ будут подобны и
й только тогда, когда
1
Подставляя сюда выражения для аь &ь q через а, Ь, с, р и
упрощая, получим
аа(Ъ-с)А-ЬЬ(б — й)А-сс(а — Ъ) = О,	. ,
а это означает (см. предыдущую задачу), что О —центр окружно-
сти (АВС).
Замечание. Если теперь принять окружность (О) = (АВС)
за единичную, то
<6+').
и, значит, треугольник А^^ является образом треугольника
Л2Й2С2, дополнительного к АВС при подобии с центром О, углом
поворота
р(р—1)
arg-^/
и коэффициенты подобия
_ I fe(p —1) I _ /fe»—2fecosa+ 1
р—Р Г |staot|
(Р. Бланшар).
12.	Доказать, что если в треугольнике АВС медиана та, выхо-
дящая из угла А, равна длине 1а биссектрисы, выходящей из
того же угла А: та = 1а, то треугольник АВС равнобедренный:
Ь=с. Решить задачу аналитически (вычислением) и геометрически.
13.	Л1Л2Л3Л4Л5Л6Л7 — правильный выпуклый семиугольник.
Доказать, что окружность, описанная около треугольника, обра-
зованного прямыми Л4Л2, Л3Л5, Л4Л7, проходит через вершину Лв
Тебо).
231
14.	Доказать, что если углы треугольника АВС:
А =^-%, В =-^р~, С =	'
*
а через а, Ь, с обозначены длины его сторон ВС, С А, АВ, то
’ выполняются следующие соотношения:
1°. а2 + &2+с2 = 77?2.
2°. 0H = R~\f2 (см. пример 11).
3°. Углы треугольника. А'В'С', вершинами которого являются
основания А', В', С* высот данного, таковы:
А’ = ^ = В, В'=~-С, С = ~ — А. .
4°. cos Л =^, cosB=2b cosC==J2r-=-^-
5°. bc=a(bA-c), be.—с2 —a2, ac = b2 — c?\ и , обратно, если
выполнены первые два соотношения, то А = п/7, В = 2я!1,С = 4л/7.
6°. cos A cos В cos С =—1/8,	'	'
sin A sin В sin С = ]/7/8.
' 7°. sin2X = -^——, sin2B = ^=^, sin2C = -3c^-.
4а	4с	4с
8°. sin2 A sin2 В sin2 С + cos2 A cos2 В cos2 С =1/8.
9°. cos2 А + cos2 В + cos2 С = 5/4.
- 10°. sin2 44-sin*B4-sin2C = 7/4.
11°. cos4 + coSB+cosC = 4-4 = ^±^_;
12°. cos2 В cos2 C+cos2 C cos2 A + cos2 A cos2 В = 3/8.
.13°. tg4tgBtgC = — /7.'
14°. ha = hb+hc.	’
 15°. /i2+/iH^ = (a2 + ^'+c2)/2.	'	.
16°. В A'-A'C=-%-; CB'-B'A = ^-, AB'-C'B=~.
4	4	4
17е. Если Qa, Qb, Qc — основания биссектрис внутренних углов
треугольника ABC, a Qa, Qt>, Qc — основания биссектрис внешних
его углов, то	~
лп ЬЮ-аИ	be - п гс - ас _Л^от
AQa — у , BQb — ^^ — c—a, CQc — -^b b—a.
,18°. AQ*a + BQl+CQ*c = ea2.
19°. BQb BQc = (c-a)(b-a) = a2.
20°. AQ^ = b+c.
21°. BQb= a2-ab + b2. ..	‘	.
232
22°. CQ/ = &2 + Z>c + c2. .	'	,	.
23°. AQ'a+BQ'b+CQ^ = 4b2 + 4c2-2ai=-8mQa.
24°. Радиусы окружностей Аполлония равны сторонам треу-
гольника АВС (окружности Аполлония треугольника — это окруж-
ности (QaQ'a), (QbQ'b), (QcQ'c), построенные на отрезках QaQ’a, QbQb,
QtQ’c как на диаметрах).	.	-
Пусть AtBtCt = Tt — треугольник, образованный . касательными ’
в точках А, В, С к окружности (АВС), описанной около треу-
гольника АВС = Т. Доказать, что:
25°. Треугольники АВС и AtBtCt подобны и имеют противо-
положную ориентацию; коэффициент-подобия равен 1/2.
26°. Высоты АА', ВВ', СС треугольника-4.ВС делят подолам
стороны B£t, CtAti^AtBt треугольника Tt.
27°. Окружность Эйлера для треугольника Tt проходит через
ортоцентр- треугольника Т.
28°. Треугольники 11Ь1 с и АВС' подобны, одинаково ориенти-
рованы и коэффициент подобия равен 1/2.
15- Дан треугольник ABC, G — точка пересечения его медиан.
Пусть Ах, Вх, Сх — образы точек А, В, С при гомотетии (G, — 2).
Пусть	-	___________'	_
. ' ВСА', CAB', АВС " .	(171)
—равносторонние треугольники, имеющий одинаковую ориентацию; .
ВСА", CAB", ABC*	(172)
— также равносторонние треугольники, имеющие одинаковую ори-
ентацию,- причем ориентация любого йз треугольников (171) про-
тивоположна ориентации любого из треугольников (172). Дока-
зать, что треугольники .	,
WCA^ СА%, ArB7Ci	,(173)
— равносторонние и имеют одинаковую ориентацию — такую же,
как треугольники (172), а треугольники
. В*С1Х, CA^, AWC! .	'	(174).'
— равносторонние1 и имеют одинаковую ориентацию —такую же,
как треугольники (171) (рис. 48).
Указание. .Если а —любое из мнимых значений у'' — 1, то
аффиксы точек А', В', С, А", В”, С выражаются через аффиксы
точек А, В, .С соотношениями
а' = ас + аЬ, .
Ы =аа + ас,- -
с'=а&-}-аа; •
a" = ac-(-ab,
Ь" = аа4-ас,.
<Г = а&+аа.
233
Аффиксы третьих вершин равносторонних треугольников, постро- л
енных на отрезках В'С и В"С" и одинаково ориентированных II
соответственно с треугольниками ВС А" и ВСЯ',-таковы:	1‘
ас' -$-ab' —ЬА-с — а;	(
ас"+бс&" = &4-с — а,	1
и, следовательно, эти третьи вершины совпадают с точкой Л х (Р. До). *
В”	.	\
В '
Рис. 48.
16.	Доказать, что если в треугольнике АВС углы А, В, С |
связаны соотношением	|
' sin Л = cosB tgC,	.3
то высота АА', медиана ВВ' и биссектриса СС' пересекаются
в одной точке.	1
Указание. Углы В и С острые’. Значит, основание А' высоты |
А А' является внутренней точкой отрезка ВС. Значит,
ВЛ' _ с cos В	'	-?ij
А1 С	b cos С	Ж
и далее применить теорему Чевы.	w
Дополнительный вопрюс. Какая теорема получится из Я
доказанной, если к точке М, в которой пересекаются высота АА', Я
медиана ВВ' и биссектриса СС', применить изогональное преоб- 
разование? (по Морлею).	Я
234	я
Указание. Так как центр О окружности (ЛВС) при изого-
нальном преобразовании переходит в ортоцентр Н треугольника
ЛВС (и обратно), то получаем теорему: если в треугольнике ЛВС
углы Л, В, С связаны соотношением sin Л = cos В tg С, то диаметр
АО окружности (О) = (АВС), биссектриса СС' и симедиана ВВ*
(прямая, симметричная медиане ВВ' относительно биссектрисы
внутреннего угла В) пересекаются в одной точке.
17.	В единичную окружность вписан треугольник ЛВС, аффиксы’
вершин которого соответственно равны zx, z2, z3. Дана точка Р,
аффикс которой
Р а+Р+Т ’
где а, р, у —действительные числа. Пусть Лх, Вх, Сх — точки,.
в которых прямые АР, ВР, СР пересекают соответственно стороны.
ВС, СА, АВ. Найти
Л1В1С1
АВС '
Указание. Аффиксы точек Аъ Вх, Сх таковы:
„ _ ргг+угд .	уг3+а?1	_ «£1±Р^.
1 Р+у ’ 1 v+a ’ 1	«+Р ’1
Ответ.	------.
АВС АВС	(р+т) (т+a) (<?+₽)
18.	Доказать, применяя комплексные числа, что необходимым
и достаточным условием того, что ортогональные проекции Вх и
Сх вершин В *и С треугольника ЛВС соответственно на стороны
АС и АВ лежат на одной прямой с центром тяжести G треуголь-
ника ЛВС, является равенство: За2 = &2 + с2, или а2 = 62-}-с2, где
а, Ь, с —длины сторон ВС, С А, АВ треугольника ЛВС.
Указание. Принять окружность (ЛВС) за единичную. Дока-
зать равенства z3Z3-t-z3z2 = 2 — a2 и т. д.
19.	Пусть zx, z2, г3 — аффиксы' вершин треугольника ЛВС,
вписанного в единичную окружность. Доказать, что равенство
zi=?2z3 является необходимым и достаточным условием того, что
треугольник ЛВС равнобедренный: ЛС = ЛВ.
20.	ЛВС—прямоугольный треугольник (С = л/2); (/) —окруж-
ность, вписанная в этот треугольник. Пусть Лх, Вх, Сх —орто-
центры треугольников IBC, ICA, IAB. Доказать, что длина про-
екции ЛзВ*. отрезка ЛХВХ на гипотенузу АВ равна диаметру
окружности (/), вписанной в треугольник ЛВС. Длина проекции
B*Cf отрезка ВХСХ на катет ВС равна диаметру окружности (/4),
вневписанной в угол В, а длина А2С$ — проекции отрезка ЛХСХ
на катет АС равна диаметру окружности (/а), вневписанной
в угол Л.
. Указание. Принять окружность (/) за единичную. Пусть
A Q, 7? —точки касания окружности (/) со сторонами ВС, СА,
235
АВ, и пусть их аффиксы соответственно 1, i, а. Тогда аффиксы
точек А, В, С будут
2 2ai ,	2 2а	2 ’	, . .
а = _ _ =-------— , о —-------— -, с =------------— = 1 +1,
а+i a+i	1-J-a	1-|-а-	14-i
так как точки А, В, С являются образами при инверсии относи-
тельно окружности (/) точек А', В', С' пересечения прямых IA,
IB, IC соответственно с прямыми
RQ, -PR, PQ (рис. 49). Далее: аф-
фикс дх ортоцентра Лх треугольника
IBC: а±=	и т. д. (в це-
лом выкладки достаточно громозд-
кие).	.
21.	АВС — прямоугольный тре-
угольник (С = л/2). Окружность
(АВС) — (О) принимается за единич-
Р ную. Точка М (z0) описывает эту
окружность. Пусть Q —середина от-
резка, ОМ, а / — прямая Симеона
Р - для точки М, построенная относи-
, тельно треугольника АВС. Найти
Рис. 49. - . _ геометрическое место точек Р, сим-
метричных Q относительно I.
Ответ. Отрезок А'В', полученный параллельным переносом
диаметра АВ, определяемый направленным отрезком уОС
(рис. 50).
22.	На плоскости даны две различные точки A (zx) и B(z2)-
Найти аффикс р’ точки симметричной точке Р (р) относитель-
но Л В.	...
236	.	. 
Указание. рг находится из уравнения (рис. 51)
2^1	1
Z2	3
Pl Pl 1
= 0, где А = (р + р')/2-
Ответ,
р’ = (z^—z^-j-p (z2—Zi))/(z2—zt).
23.	На плоскости заданы две различные точки А (гг) и B(z2).
Доказать, что если точка М. (X) описывает единичную окружность
(за вычетом точки с аффиксом %=—1), то точка М’
описывает медиатрису отрезка АВ.
С >
Рис. 52.
24.	Пусть D, Е, F — точки касания окружности (/), вписан-
ной в треугольник АВС со сторонами ВС, С А, АВ. Обозначим
чеРез Ai, Въ середины медиан DA0, ЕВ0, FC0 треугольников
ADI, BEI, CFI, выходящих из вершин D, Е, F (Ло, Во, Со —
соответственно середины отрезков Al, BI, СГ). Пусть Я— орто-
центр треугольника DEF. Доказать, что (рис. 52)
та х. 1Н го _ 1Н т т
1 4вш(Л/2)’ /r>1 — 4sin(B/2)’	—4sin(C/2)-
237
Указание. Принять окружность (DEF) за единичную;
аффиксы точек D, Е, F обозначим через zlt z2, z3. Тогда
ТД — lff8 I гд __________________________£
7/11-2|г2 + г3|’ . |г8Д
|.ог2| = |(Т1| и т. д.
25.	АВС — произвольный треугольник; (АВС) = (О) — описан-
ная около него окружность; й — произвольная точка, лежащая
на этой окружности. Через точку А 'проводится прямая, парал-
лельная прямой Ой (рис. 53). Пусть Д' —вторая точка пере-
сечения этой прямой с окружностью (АВС), а Р — точка, сим-
метричная точке Д' относительно диаметра окружности (О),
параллельного ВС. Доказать, что:
1°. Аналогичное построение, выполненное для точек В и С,
приводит к той же точке Р.
2°. Прямая Симеона для точки Р относительно треугольника
АВС параллельна прямой ОР.
Рис. 53.	Рис. 54.
26.	Пусть Дх, Д2, Дз, Д« — четыре прямые, лежащие на одной
и той же плоскости, причем среди них нет параллельных и
никакие три из них не проходят "через одну точку. Если взять
любые три из них, например,- Дх, Д2, Д3, то они образуют треу-
гольник. Пусть С123 — окружность, описанная около этого треу-
гольника. Построим аналогично окружности СХ24, СХ34, С234. Дока-
зать, что:
Г. Центры окружностей С234, СХ34, СХ24, СХ23 лежат на одной
и той же окружности t?1234.
2°. Окружности С234, Схз4, СХ24, СХ23, СХ234 проходят через
одну и ту же точку у4 (рис. 54).
238
Добавим к прямым Д1( Д2, Дз, Д4 прямую Д5, но так, чтобы
никакие три прямые из этих пяти прямых не принадлежали
одному пучку. Исключая одну из этих прямых, например Д5,
построим окружность С1234 и аналогично, исключая по очереди
прямые Д1, Д2, Д3, Д4, построим окружности С2345, С1345, С1245,
с1235 (рис. 55). Доказать, что:
3°. Центры этих пяти окружностей лежат на одной и той же
окружности С12345.
4°.. Окружности С2343, С1345, С1245, С1235, С1234 проходят через
одну и ту же точку у5, которая, однако, не лежит, вообще говоря,
на окружности С12343.
Докажите аналогичные утверждения для любого числа прямых
Д1» Д2....Дя.
239
Указание. JI приведу в сжатом виде решение этой задачи,
которое дал в 1974—1975 учебном году ученик 9-го класса сред-
ней школы № 69 Фрунзенского района г. Москвы.
Пусть xlt х2У ..., хп — аффиксы точек, симметричных точке
О (произвольная точка, принятая за начало) относительно пря-
мых Дх, Д2, ..., Дя. Положим tj = Xj/Xj. Рассмотрим выражение
п	.____________________I •_______^2_________ _1_
л лЛ (A-^)(/i-^)-.(A-4,)'t'(«2-G)(«2-4)-(^-4)'1’'"
(175).
(176)
из этого соотношения следует, что
@n,i = ^л+1, Z+1	4+1 ®л+1,1
И
G п, i = (	1)Л ®rfln,'n-i-lt
где <тя =714... tn. Уравнение прямой Ду: '
X = tj (X — X/).
Аффикс z2 точки пересечения прямых Дх и Д2 равен
г2	Т Н" 1	^2,1 = Яз,2 — ^3,1 >
ц-->2	--‘'I	,
и аналогично аффиксы точки пересечения прямых Дь Д3 и Д,, Д3
будут «3,2 — ^2аз,1 и а3,2 —4аз,х- Отсюда следует, что точки пере-
сечения прямых Дь Д2, Д3, взятых попарно, лежат на окруж-
ности x = a3t2 — t<h,i (|^| = 1). аффикс центра которой а312, а радиус
| а3>11. Эту, окружность будем называть окружностью, ассоцииро-
ванной с тремя прямыми Дъ Д2, Д3, а ее центр— точкой, ассоци-.
ированной с этими тремя прямыми. Рассмотрим еще прямую Д4.
Из соотношения aSA = ait3 — 1ла1Л следует, что аффикс а3>2 центра
окружности, ассоциированной с прямыми Дп Д2, Д3, можно взять
в виде а„,3 — t^a^, и аналогично аффиксы центров трех. окруж-
ностей, ассоциированных с тройками прямых (Дь Д2, Д4),
(Дь Д3, Д4), (Д2, Д3, Д4), будут а4,3- t3aiA, a4,3-/2a4>2, а4,3-4«4.2-
Отсюда следует, что центры этих четырех окружностей (описан-
ных вокруг треугольников,, образованных прямыми (Дь Д2, Д3),
(Дь Д2, Д4), (Дь Д3, Д4), (Д2, Д3, Д4)) лежат на окружности
х = а43 —(а42, аффикс центра которой а413, а радиус равен |а4,2|.
Эту окружность мы будем - называть окружностью, ассоциирован-
ной с четырьмя прямыми Дх, Д2, Д3, Д4, а ее центр — точкой,
ассоциированной с этими прямыми.	*	>на
Продолжая рассуждения, приходим к теореме: если на пло-
скости даны п прямых Д1( Д2, ..., Дя, то, удаляя из этой-'"'
’совокупности поочередно по одной из прямых Дя, ..., Д2, Дь
получим п групп прямых по п — 1 прямых, в каждой группе; .
центры п окружностей, ассоциированных этим п группам, принад- .
лежат ^одной окружности Гя:	;
х = ая,„_1-/ая.я12	(|/| = 1),		(177) \
240
аффикс центра которой ап,„ 1( а радиус |аЯг„.2(. Эту окружность
Г будем называть окружностью, ассоциированной с п прямыми
л", Д2, •••» Д«> а 66 центр — точкой, ассоциированной с этими
прямыми. Уравнение окружности Г„_х, ассоциированной с n— 1
прямыми Дх, Д2,...., Дд-и имеет вид
X = Пл-1, п-2 ^п-1, л-з (I I = О-	(1 ^8)
Комплексное число
имеет модуль, равный 1 (это следует из (176)). Если в соотно-
шение (178) вместо t подставить это число, то получим-
ап. 2
X — Ул — Цд, п-1	~ @п, п-2
ип> 1
— выражение, симметричное относительно индексов 1, 2, ..., п
(так как на первом месте всюду стоит индекс п). Отсюда следует,
что п окружностей, ассоциированных п системам прямых по и — 1
прямых в каждой системе (эти системы получаются удалением
поочередно одной ;из п прямых из системы Дх, ,Д2, . „, Д„), про-
ходят через одну точку с аффиксом	'
Замечание'. При п = 4 модуль комплексного числа
ап,2 _ а4,2
х	’ а4,1
равен 1, следовательно, окружность Г4:
x=di,з-iat,а,
ассоциированная с четырьмя прямыми Дь Д2, Д3, Д4 (т. е.
содержащая центры четырех окружностей, описанных вокруг тре-
угольников (Дх, Д2,_ Д3), (Дх, Д2, Д4), (Дх, Д3, Д4), (Д2, Д3, Д4)),
проходит и через точку с аффиксом
74 = 04.3-“04.3-
t “4,1
Аналогичное положение неверно при n>4, так как, например, _
модуль комплексного числа уже не равен (вообще говоря) 1.
27.	— произвольный четырехугольник (не обязательно
выпуклый). На его сторонах строятся квадраты А1АгР1Р2,
А2А3Р3Р4, А3А4Р5Р6, А4АхР7Р8, имеющих одинаковую ориентацию,
и еще четыре квадрата А^Р^Рг, А2А3Р3Р4> A3A4PsP6> А^РтРз,
также имеющих одинаковую ориентацию, причем ориентация лю-
бого из квадратов первой группы противоположна ориентации"
любого из квадратов второй группы. Пусть Вг, В2, В3, В4 —цен-
тры квадратов первой группы, а В\, В'ч, В3, В4 —центры ква-
дратов второй группы. Доказать, что:
241
I
Г. Отрезки ВГВ3 и В2В^ равны и взаимно перпендикулярны
(такой четырехугольник BiB2B3B± называется псевдоквадратом).
2°, В1В2В3В4 также псевдоквадрат.
3°. Отрезки ВХВ3 и В2В4 имеют общую середину Сх; отрезки
В1В3 и В2В4 имеют общую середину С2. Пусть С3 и С4 — соот-.
ветственно середины отрезков ЛХЛ3 и Л2Л4. Доказать, что
СХС2С3С4 — квадрат (рис. 56).
Pi
Ps
p;
Л
Рис. 56,
pff
t


i

Замечание.
числа, а также решить ее методами аналитической геометрии и
методами векторной алгебры.
28.	ЛХЛ2 Л3Л4Л5Л6 Л7Л8 — произвольный восьмиугольник (не обя-
зательно выпуклый). На его сторонах строятся квадраты
Решить эту задачу, * применяя комплексные
ЛХЛ2Р ХР2> Л2Л3Р3Р4,
Л5Л6Р 9Р хо, Л6Л7РХ1РХ2,
242
Л3Л4Р 5Р в,
Л7Л8Р ХЗРХ4,
-^4^5^ 1? 8>
Л8ЛХР Х5Р16
так, что все они имеют одну и ту же ориентацию, и еще восемь
квадратов
ЛХЛ2Р1Р2> Л2Л3РзР4, Л3Л4Р5Рб, AgA3P7P8,
Л5Л6РдР1о, AeA7PiiP'i2f А7А8Р1зР'14, AgAiP'isPief
также имеющих одну и ту же ориентацию, причем ориентация
любого из ориентированных квадратов первой группы противо-
положна ориентации любого из ориентированных квадратов второй
группы. Пусть Blt В2, В3, Bg, Bs, В6, В7, В8 — соответственно
центры квадратов первой группы, аВ{, В2, В3, Bi, В5, В8, Вт, В& —
соответственно центры квадратов второй группы.
Доказать, что
Г. Середины Сх, С2, С3, С4 главных диагоналей1) восьми-
угольника ВхВ2В3В4В5ВвВ7В8 образуют псевдоквадрат.
2°. Середины CJ, С2, С'з, Ci главных диагоналей восьмиуголь-
ника ВхВзВ'зВ^В'^зВ^Вз также образуют псевдоквадрат.
3°. Совокупности точек
Лх, А2, А3, Ag, А3, Ag, Л7, Л8,
Bx, B2, B3, Bg, B5, Bg, B7, B8.
Сд, C2, C3, Cg,
C{, C2t C3, C4
имеют общий центр тяжести.
4°. Середины отрезков С7С3 и С2С4 совпадают соответственно
с серединами отрезков C'2Ci и С{С'3.
5°. Необходимым и достаточным условием того, что СХС2С3С4,
следовательно, и С1С2С3С4 были, квадратами (в указанном порядке
их вершин), состоит в том, Что две совокупности точек Лх, А3, А5, А7
и Л2, Л4, А3, А8 имеют общий центр тяжести.
6°. Квадраты СХС2С3С4 и С{С2С3С4 совпадают (Сх = Ci, С2 = С'2,
С3 = С3, С4 = С4) тогда и только тогда,' когда две последова-
тельные главные диагонали восьмиугольника ЛхЛ2Л3Л4Л6ЛвЛ7Л8
точкой их пересечения делятся пополам.
7°. Если совпадают точки Сх, С3, С2, Ci и точки С(, С'з,
С2, Cg, то четырехугольники ЛХЛ3Л6Л7 и Л2Л4ЛвЛ8 —параллело-
граммы, и обратно.
Решить эту задачу, применяя: 1) комплексные числа; 2) век-
торную алгебру; 3) аналитическую геометрию.
29.	В окружность (О) вписан треугольник ЛВС. Доказать,
что точки Р, Q, R пересечения касательных, проведенных в точ-
ках Л, В, С к окружности (О), соответственно с прямыми ВС,
С А, АВ лежат на одной прямой (рис< 57).
х) Главными диагоналями восьмиугольника В^^В^В^В^ называются
отрезки ВхВ^ В2В6, В3В7, В±В8 (а также прямые, на которых лежат эти
отрезки).
243
30. Через точки Л-'=(г1), B = (z2), C = (z3), лежащие на еди-
ничной окружности, проводятся прямые, параллельные данной
прямой А, которая имеет угловой коэффициент %. Пусть Alt Ви
Сх—вторые точки’ пересечения этих прямых с окружностью
"	симметричные точкам Лх, Blt Ct
ВС, СА, АВ. Проведем
(ЛВС); Л2, В2, С2 —точки,
относительно соответственно
через точки Л2, В2, С2 пря-
мые, параллельные пря-
мой А, и обозначим точки
пересечения этих прямых
прямых

(0)
Рис. 58.
мыми ВС,
лежат на
(рис. 58).
С А, АВ через Р, Q, Р. Доказать, что точки Р, Q, Р
одной прямой, и составить уравнение этой прямой
Ответ. % (2V + oj? - 1) z 4-%2 (2 + <тЛ - V) z =	;
= № + <т2Х® — СТА4 + (1 — ^1^2) —	+ ai^ +1 • .
, 31/На окружности (О) взяты четыре точки Лг, А2, Л3, А4.
Пусть Р — точка пересечения прямых А4А3 и Л2Л4; Q — точка J
пересечения Упрямых ЛХЛ2 и Л3Л4; р — точка пересечения каса- j
тельных к окружности (О) в точках Лх и Л4; S —точка пере- |
сечения касательных к окружности (О) в точках Л2 и Л3. Дока- >
зать, что точки Р, Q, Р, S лежат на одной прямой (рис. 59). *
Указание. Принять окружность (О) за единичную.	Ц
.. 32. Треугольник АВС вписан в окружность (О). В точках -J
Л, В, С к окружности (О) проведены касательные, которые ж
образуют треугольник Л0В0С0 (называемый тангенциальным тре- ;1
угольником для треугольника АВС). Доказать, что	1
1°. Точки Р, Q, Р пересечения прямых: Р = (ВС, В0С0), 1
Q = (CA, С0А0), Р = (АВ, Л0В0) лежат на одной прямой ~т.	3
2°.' Прямые ЛЛ0, ВВ0, СС0 проходят через одну точку М. 1
3°. Точка М является полюсом прямой т относительной »
окружности (О) (или что то же самое — прямая т является полярой я
точки А1 относительно этой окружности) (рис. 60).	_	|
245
соответственно на прямые
Указание. Принять окружность (О) за единичную.
33.	ЛХЛ2Л3 — произвольный треугольник, лежащий на ориенти-
рованной плоскости; Р — произвольная точка, лежащая в плос-
кости этого треугольника, но не лежащая ни на одной из его
сторон, ни на окружности (ЛХЛ2Л3). Пусть Въ В2, В3 —орто-
гональные проекции точки Р на прямые Л2Л3, Л3ЛХ, ЛХЛ2;
Сх, С2, С3 — ортогональные проекции точки Р на прямые В2В3,
В3В1У ВГВ2 и Dlt. D3, Da — ортогональные проекции точки Р
?2С3, С3С1У СХС2. Доказать, что треу- .
гольники ЛХЛ2Л3 и D^D2D3 подобны
и имеют одинаковую ориентацию
(рис. 61).
Указание. Принять точку Р
за начало координат. Пусть ak, bk,
ck, dk (k=\, 2, 3) — соответст-
венно аффиксы точек Ак, В*, Ck, Dk.
Выразить bk через ак\ ск через
dk через с*.
34.	На окружности (О) взяты
произвольно шесть точек Лх, Л2, Л3,
Л4, А5; Лв. Доказать; что три точки
Р, Q, R:
Р = (ЛХЛ2, Л4Л5) Ф = (Л2Л3, Л3Л3),
Р = (Л3Л4,
на одной прямой (теорема Паскаля}
(рис. 62).
Указание. Принять окружность (О) за единичную.
35.	Доказать, что точки A (zx) и B(z2), где zx и z2 —корни
уравнения
z24-2pz+'<7 = 0
(р и q — комплексные числа и р2 — q^O), лежат на прямой,
проходящей через начало координат тогда и только тогда, когда
выполнено одно из условий:	.
1) р = 0;
2) р ^=. О, q/p2 — число действительное и (q/p2} < 1; при этом,
если р =/= 0, 0 q/p2 < 1, то точки Л и В лежат на одном луче,
выходящем из начала координат О, а если р =#0, q/p2<S),
то точки. А и В лежат на противоположных лучах, выходящих
из начала координат.	’*
36.	Дано кубическое уравнение
а0г3 -f- 3axz2 + 3«2z + а3 = 0.
Рис. 62.
*	г
пересечения прямых лежат
Пусть zx, z2, z3 —его корни. Доказать, что необходимое и доста-
точное условие того, что точки Л (zx), В (z2), С (z3) коллинеарны,
таково: или
1) 2а1 — Заоаха24-а§а3 = О,
246

или
2l (2af-X^+a^~4HCJI0> Действительное и меньшее, чем
-1/4.	-
Указание. При преобразовании переноса
ЙО
(преобразование Чирнгауза) данное уравнение примет вид
23 + Зр2 + ? = О,
где
а0а2—a?	2af —Зара^ + а^а
Р	’ -	al
Сумма корней’2ь 2г, Сз последнего уравнения равна нулю, а так
как (21 + + 2з)/3 = 0 — аффикс центра тяжести системы точек
Д' (21), В' (22), С (2з), то этот центр тяжести совпадает с началом
координат. Если точки А, В, С коллинеарны, то точки Д', В', С'
также коллинеарны (и обратно). Если точки Д', В', С' колли-
неарны, то они в силу сказанного- выше лежат на прямой, про-
ходящей через начало координат.
37.	Пусть на плоскости введена общая декартова система
координат Оху. Аффинным, преобразованием плоскости называется
соответствие, при котором координаты х', у’ образа М' (х', у')
точки М (х, у) через координаты х, у прообраза М (х, у) точки
ЛГ (х', у') выражаются линейными соотношениями
х'=ахх+ &!«/ +сх,
у’ =а2х + Ь2у+с2,
где а1( &i, Cj, а2, Ь2, с2 — произвольные действительные числа,
причем аф^ — афг =#0.
Доказать, что:
1°. Всякое аффинное преобразование может быть записано в виде
z'=az4-₽z + y,
где z и z'— соответственно аффиксы точек М и /И', причем
|а|=#|0|. Обратно: если | а | =/= 10 |, то соотношением z' = az-\-
-(-{Jz+y определяется некоторое аффинное преобразование.
2°. Существует и притом только одно аффинное преобразова-
ние, которое любые три неколлинеарные точки A (Zi), B(z2), C(zs)
переводит соответственно в три неколлинеарные точки Д' (zl),
В' (z2), С (z3).	_____
3°. Треугольник АВС называется метапарадлельным треуголь-
нику А’В'С, если прямые, проходящие через точки Д, В, С и
соответственно параллельные прямым В'С, С А', А’В', пересе-
каются в одной точке. Пусть z' = az + 0Z + у — аффинное преобра-
зование, при котором треугольник АВС переходит в треугольник
,	'	247
Л'В'С'. Доказать, что треугольник* АВС метапараллелен тре-
угольнику УГВ'С' тогда и только'тогда, когда
1) а —число чисто мнимое, или, что то же самое,
У
, Zi
2) Д = г2 2'
Z3 *з
1
1
1
— число действительное.
4°. Доказать, что понятие метапараллельности симметрично,
но не рефлексивно и не транзитивно. __
5°. Доказать,* что если треугольник АВС метапараллелен двум . j
. из трех треугольников: Д'В'С', В'С'Л', С'Л'В', то он метапарал- J
делении третьему (в этом случае говорят, что треугольники ЛВС
и Л'В'С' трижды метапараллельны).
6°. На плоскости задан, треугольник ЛВС:	*	1
л = (21),_ В = (г2), С = (г3).	_ j
Найти аффикс г3 точки С, если известно, что треугольник АВС *
трижды метапараллелен треугольнику А'В'С' с вершинами:
Д' = (0), в' = (1), C = (z'3).	'
7°. Треугольник АВС называется ортологичным треугольнику -й
А'В'С', если прямые, проходящие через точки А, В, С и-соот-
ветственно перпендикулярные прямым В'С, С А', А'В', перёсе- |
каются в одной точке. Доказать, что треугольник АВС ортологи- |
чен треугольнику А'В'С тогда и только тогда’, когда	I
1) а —число действительное,
или, что	л
2) гх
'	*2
— число
8° Доказать, что понятие ортологичности рефлексивно и сим- Ц
метрично, но не транзитивно. .	_____.	-М
99. Доказать, что если треугольник_АВС ортологичен двум >
из треугольников А'В'С, В'СА', СА'В', то он ортологичен и .*
третьему (в этом случае говорят, что треугольники АВС и А'В'С ж
трижды ортологичны). 	•	л ; Ж
же самое,
1
1
1
то
чисто мнимое:
Ответ. 6°. z*
21—21	z2	1
22 —22	Z3	1
*з —*3	Z1	1
21 21 1
2а ?2 1
2з 23 1
WH "Ж

ГЛАВА IV
ИНВЕРСИЯ
§ 1. Определение инверсии. Свойства инверсии
Присоединим, к множеству всех точек евклидовой плоскости
один элемент, который будем называть несобственной или беско-
нечно удаленной точкой плоскости л. Условимся считать, что
любая прямая плоскости л проходит через бесконечно удаленную
точку и что эта точка не принадлежит никакой конечной фигуре.
Евклидова плоскость, прполненная одной бесконечно удаленной
точкой (с указанными соглашениями) называется евклидово кон-
формной плоскостью или просто конформной плоскостью. Прямые,
лежащие на конформной плоскости, будем.'иногда называть окруж-
ностями бесконечно большого радиуса. Мы будем также рассма-
тривать точки как окружности; такие «окружности» мы будем
называть окружностями нулевого радиуса или нулевыми окруж-
ностями. Две пересекающиеся. прямые имеют две общие точки,
одну собственную и одну бесконечно удаленную. Две параллель-
ные прямые имеют только , одну общую точку — бесконечно уда-
ленную; мы будем говорить, что две параллельные прямые или
две окружности бесконечно большого радиуса касаются в беско-
нечно удаленной точке.
Пусть О — фиксированная собственная точка конформной пло-
скости, a k — фиксированное действительное число, не равное
нулю. Инверсией [О, &] с 'полюсом О и степенью k конформной
плоскости л называется взаимно однозначное преобразование этой
плоскости, при котором каждой собственной точке М плоскости я,
отличной от точки О, ставится в соответствие собственная точка М',
лежащая на прямой ОМ и такая, что
(ОМ, бЛГ) = бМ бЛГ =/г.
Полюсу О инверсии поставим в соответствие бесконечно удален-
ную точку О', а точке О' поставим в соответствие точку О.
Всякая инверсия I является инволюционным преобразованием,
т. е.	-
Р = Е,
где Е — тождественное преобразование.
Это следует Из того, что если при инверсии / точка М' есть
образ точки М, то точка М является образом точки ЛГ.
249

Если степень k инверсии [О, й]_положительна’1 то окруж-£
ность К с центром О и радиусом У k называется окружностькг';^
инверсии. При инверсии [О, ft], где k > 0, каждая точка М окру».
ности инверсии инвариантна, ъ е. ее образ М' совпадает с ней
самой.	’
Для построения образа М' точки М; лежащей вне окружно-
сти К инверсии [О, k], где ft>0, проводим из точки М каса- **
тельную МТ к окружности К. (Т —точка касания); М'— проек-
ция точки Т на прямую ОМ (можно провести две касательные
МТ и МТ', точка М' есть точка пересечения прямых ОМ и TTf)
(рис. 63).
Для построения образа М' точки М, лежащей внутри окруж-
ности К инверсии [О, ft], ft>0, проводим через точку М пря-
мую, перпендикулярную к прямой ОМ. Пусть Т — любая из точек
i

пересечения этого перпендикуляра с окружностью /С Тогда каса- <
тельная к окружности К в точке Т пересечет прямую ОМ <
в точке М' (рис. 64).	'	-Я
- Таким образом, при положительной инверсии [О, ft], ft>0, ||
точки, лежащие вне окружности К инверсии, переходят во вну- 'Ж
тренние точки этой окружности, а точки; лежащие внутри окруж-
ности К, переходят'в точки, лежащие вне этой .окружности. ig
Для отрицательной инверсии [О, k], ft •< 0, окружность К
с центром. О и радиусом ]/ |ft| инвариантна, однако каждая ее Ц
точка неинвариантна и переходит в точку, диаметрально ей про- Ц
тивоположную на этой окружности. Для построения образа ЛГ'Ц
точки М при отрицательной инверсии [О, k], ft < 0, строим Ш
образ М* точки М при положительной инверсии [О, | ft |], М'г~ я
симметрична точке М* относительно точки О. Отсюда следует, а
; что и при отрицательной инверсии множество всех точек, лежащих .1
вне окружности К, переходит во множество внутренних точек S
окружности К, а множество всех внутренних точек окружности К $
переходит во множество всех внешних точек окружности К (рис. й
65 и 66).		1
Пусть [О, ft] —инверсия с полюсом О и степенью ft. Если 3
С — произвольная окружность, не проходящая через полюс инвер-
250
сии то ее образ С при инверсии [О, k] есть снова окружность,
не проходящая через полюс инверсии.
Доказательство. Пусть М — произвольная точка окруж-
ности С, а М' — ее образ при инверсии [О, k], т. е. ОМ • OM'^k.
Так как прямая ОМ имеет с окружностью С общую точку М,
то эта прямая имеет с окружностью С вторую общую точку N
(возможно, что М = N). Произведение ОМ • ОЛТ = а есть степень
полюса О инверсии относительно окружности С (рис. 67). Из двух
последних равенств следует, что
ОМ' _ k
ON ~	’
ОМ’
ON
ОМ' =-ON.
а	а
 Таким образом, точка М' является образом точки N окруж-
ности С при гомотетии (О, Л/о), но при гомотетии (О, k/o) окруж-
ность С переходит в окружность С. Если точка М описывает
окружность С, то и точка N описывает ту же окружность С, и
значит, ее образ, М' при гомотетии (О, Л/о) описывает окруж-
ность С. Итак, окружность С- является образом окружности С
251
и. при гомотетии (О, /г/ст), где ст —степень полюса О инверсии
относительно окружности С1) и при инверсии [О, А].
Если окружность С проходит через полюс инверсии О, то ее
образ при инверсии [О, k] есть прямая, не проходящая черёз
полюе инверсии и перпендйкулярная к прямой, соединяющей
полюс инверсии с центром окружности С.
Если прямая не проходит через полюс инверсии О, то ее
образ при инверсии [О, й] есть окружность, проходящая через
полюс инверсии.
Если прямая проходит через полюс О инверсии, то при
инверсии [О, Л] она переходит в себя.
При инверсии сохраняется касание окружностей.
Это следует из того, что при инверсии окружность перехо-
дит в окружность и инверсия есть взаимно однозначное преобра-
зование (более подробно: две касающиеся окружности при инвер-
сии могут перейти в две касающиеся окружности или в окруж-
ность и касательную к ней, или в две параллельные прямые).
Если полюс инверсии [О, k] лежит вне окружности С, а С'
ее образ при этой инверсия, то множество точек, лежащих внутри
окружности С, переходит во множество точек, лежащих внутри
окружности .С’ (и наоборот). Множество точек, лежащих вне
окружности С, переходит во множество точек, лежащих вне окруж-
ности С (и наоборот) (см. рис. 67).
Если полюс О инверсии [О, &] лежит внутри окружности С,
а С' образ окружности С при этой инверсий, то множество точек,
лежащих внутри окружности С, переходит во множество точек,
лежащих вне окружности С', а множество точек, лежащих вне
окружности С, переходит во множество точек, лежащих внутри
окружности С.
- 'Замечание.'При исследовании отображений областей при
инверсий-полезно иметь в виду следующие соображения. Рассмот-
рим инверсию [О, &], где k>0. Пусть М — произвольная соб-
ственная точка конформной плоскости л, а М' ее образ при
инверсии [О, &], т. е.
(ОМ> OM') = OM-OM' = k.
Из этого соотношения следует, что если точка М движется по
лучу ОМ, удаляясь от полюса, то точка М' будет двигаться , ей
навстречу, так как произведение ОМ • ОМ' должно оставаться
постоянным и равным k (встреча точек М и М' произойдет.^
окружности инверсии). То же самое имеет место для луча, про-
тивоположного рассмотренному. В конкретных примерах (см. ниже)
-1) Заметим, что инверсия [О, k] и гомотетия (О, k/a) переводят окруж-
ность С в одну и ту же окружность С', однако точки, лежащие на окружно-
сти С, преобразуются инверсией [О, k] и гомотетией (О, .&/о) в разные точки
окружности С': при инверсии [О, fc] точка М переходит в точку М' окруж-
ности С', а при гомотетии (О, k/a) точка М переходит в точку N', где АГ —
вторая точка пересечения прямой ОМ' с окружностью С'.
252
это соображение полезно использовать для исследования отобра-
жения областей при инверсии и для нахождения инвариантных
областей, т. е. областей, переходящих в себя при рассматриваемой
инверсии.
Угол между двумя пересекающимися окружностями сохра-
няется при инверсии, но ориентация угла меняется на противопо-
ложную (инверсия есть-конформное преобразование второго рода)
(доказательство этого положения дано ниже при рассмотрении
инверсии пространства).
Замечание. Дробно-линейное преобразование комплексного
переменного	-
г' = 7^Г> ad-bc^O, с^О,
можно переписать в виде -	.
, а , А	. _ bc—ad
2 =т + —где д = -^-
г+т
Оно может быть геометрически интерпретировано так:
Г. z± — z 4-— — перенос.
- 1  
2°. z2 = -—инверсия' относительно единичной окружности
с последующей симметрией в оси Ох1).
3°. z3 = Дг2 — подобное преобразование с центром подобия О:
поворот вокруг начала координат на угол arg Д и гомотетия (О, | Д |).
4° z’ =z34~ — снова перенос.
Отсюда следует, что дробно-линейное преобразование является
конформным преобразованием' первого рода (сохраняющее ориен-
тацию углов), так как преобразования Г, 3°, 4° сохраняют ориен-
тацию углов, а инверсия z2 =?=^- с последующей симметрией в оси Ох
также сохраняет ориентацию углов,.
§ 2. Примеры на инверсию	2
Пример 1. Пусть А' и В' —образы точек А и В при инвер-
сии [О, k\. Выразить длину отрезка А'В' через длины отрезков
ДВ, ОА, ОВ и через k. Предполагается, что точки А и В отличны
of точки О.
Решение. Предположим., что точки О, Л и В не принадле-
жат одной прямой. Пусть &>0. Тогда точки А' и В' лежат
соответственно на лучах ОА и ОВ, причем
ОА -ОА'— ОВОВ'=k.
’) 1гз| = argz2=—arg zx (mod 2л).
253
Отсюда следует, что
ОА' _ ОВ'.
ОВ ОА
Значит, треугольники ОАВ и ОВ'А' подобны (но противоположно
ориентированы) (рис. 68). Из подобия этих треугольников еле*
дует, что
А’В' ОА' _ О А'  ОА _ ОА- ОА'_____k = _| k |_
"дв" “’ ОВ ~~ ОВ • ОА ОА- ОВ	О А -ОВ ОА-ОВ’
и, следовательно,	. ,
д'В' — ИЫ®.
л ° ~ О А • ОВ •
Эта формула верна и в том случае, если точки О, Я и В лежат
на одной прямой, а также в случае £<0.
Пример 2. Доказать, что вокруг выпуклого четырехуголь-
ника ABCD можно описать- окружность тогда и ,только тогда,,
когда произведение диагоналей’ этого четырехугольника равно
сумме произведений его противоположных сторон (теорема Пто-
лемея)	'	у
AC-BD = AB-CD-\-BC-AD.	I
I. Предположим, что вокруг четырехугольника ABCD можно Д
описать окружность К. и докажем, что тогда выполняется соотно- Ч
шение AC-BD = AB-CD + ВС-AD.	<
Рассмотрим инверсию [Я, 1]. При этой инверсии окружность К i
перейдет в прямую К.', а точки 'В, С и D перейдут в точки В', 1
С', .D', лежащие на этой прямой. Точка С' будет лежать между 3
точками В' и D', а потому (рис. 69)	।
B'C' + C'D' = B'D',	|
или на основании предыдущего примера
АВ • АС “ АС  AD ~ АВ • AD *
Отсюда следует соотношение АС  BD = АВ  CD А- ВС  AD.
254
II. Предположим, что соотношение АС  BD = АВ- CD + ВС • AD
выполнено. Докажем, что тогда четырехугольник ABCD выпук-
лый и вокруг него можно описать окружность.
Рассмотрим инверсию [Л, 1]. Пусть В', С', D' — образы точек В,"
С и D при этой инверсии. Из соотношения
’ AC-BD — ABCD + BC-AD *
следует соотношение
' вс CD _ BD
АВ  АС~* AC • AD ~ АВ • AD’
прямой Кг, причем точка С' лежит между точками В' и Dr.
Отсюда следует, что точки В, С и D лежат на одной окружности
(проходящей через точку А), являющейся образом прямой К' '
при инверсии [Л, 1]. Так как луч АС лежит внутри угла Л,‘
образованного лучами AD и АВ, то ЛС —диагональ четырех-
угольника ABCD, а значит, этот четырехугольник при указан-
ном порядке его вершин —выпуклый.
Пример 3. В окружность К вписан равносторонний треуголь-
ник АВС. Пусть О —точка, не лежащая на окружности К.
Доказать, что существует треугольник со сторонами-ОЛ, ОВ и ОС.
Доказать,’что если точка О лежит на окружности К, то сумма
Двух из отрезков О А, ОВ, ОС равна третьему.
Доказательство. Пусть точка О не лежит на окружно-
сти- /С (рис. 70). Рассмотрим инверсию [О, 1]. Окружность К
перейдет в окружность К', а точки А, В, С перейдут в точки Л',
В' > С', лежащие на окружности К.' и, следовательно, не лежащие
255
на одной прямой. На основании примера 1 имеем _-
вс ОА-ВС
а G ~~ОВ-ОС ~ ОАОВОС’
г,л,.___СА .	 ОВ-СА I '	'	' п
с л ~ОС ОА — ОА-ОВ-ОС ’	_	к4
Д'П' АВ	ОС-АВ
А “ ~ОА-ОВ ~ ОА-ОВ- ОС
и, значит,’
В'С : С А': А'В' =0А :0В: ОС,
так как ВС = СА = АВ. Таким образом, отрезки О А, ОВ; ОС
пропорциональны сторонам В'С, С А', А'В' треугольника А'В'С,
Рис. 70.
и, значит, существует треугольник со сторонами О А, ОВ, ОС
(этот треугольник подобен треугольнику А'В'С).
Пусть точка О лежит на окружности К, например на дуге АС,
не содержащей В (рис. 71). При инверсии [О, 1] окружность
перейдет в прямую К.', точки А, В, С перейдут в точки А', В', С,
лежащие на прямой К.', причем’ точка В' будет лежать между
точками А' й С, значит,
А'В' + В'С = А'С,
и так как соотношения (1) имеют место и в этом случае, то
ОВ = ОА + ОС.
Замечание. Теорема верна, если точку О выбрать, как
угодно в пространстве. Доказательство аналогично.
256	~	, -
- Пример 4. Две окружности Сх и С2 с центрами Ot и О2
касаются друг друга внешним образом. Прямая I касается обеих
этих окружностей соответственно в различных точках А и В.
Построить окружность, касающуюся двух данных и прямой /.
Решение. Рассмотрим инверсию [Л, АВ2]. При этой инвер-
сии окружность С2 перейдет в себя, так как, если через точку А
провести произвольную прямую, пересекающую окружность С2
в точках М и М', то 'AM -AM' — АВ2. Окружность перейдет
в прямую Ct, параллельную прямой I и касающуюся окружно-
сти С2 (рис. 72). Таким1 образом, вопрос сводится к построению
окружности, -касающейся' окружности С2-и двух параллельных^
9 П. С. Моденов .	257-
к ней касательных I и CJ. Таких окружностей две. Пусть К]—
одна из этих окружностей, AJ — точка касания окружностей %]
и С2, а В] — точка касания К] к прямой С[. Пусть Лх —вторая
точка пересечения прямой АА[ с окружностью С2; точка ЛХ1
является образом точки А[ при инверсии [Л, АВ2]. Пусть Вх—
точка пересечения прямой АВ] с окружностью Сх, (точка
отлична от точки Л); точка Вх является образом точки В] при
рассматриваемой инверсии. Точки Лх и Вх являются точками при-
косновения искомой окружности соответственно с окружностями С2
и Сх. Центр Рх одной из искомых окружностей является точкой
пересечения прямых О2ЛХ и 0хВх, а радиус равен РХЛХ = РХВХ.
Аналогично строится и вторая окружность.
Пример 5. Две окружности Сх и С2 пересекаются в точках Л
и В. На прямой АВ взята точка С, отличная от точек А и В
. Построить окружность,
проходящую через точку С
и касающуюся окружнос-
тей Сх и С2 (рис. 73).
Решение. Рассмот-
рим инверсию [С, k], где
k = СА • СВ. При этой ин-
версии каждая из окруж-
ностей Сх и С2 перейдет
в себя, а искомая окруж-
ность перейдет в прямую,
касающуюся окружностей
С\ и С2. Так как две пе-
ресекающиеся окружности
Сх и С2 имеют две общие
касательные К] и К.], то
задача имеет два решения.
Пусть А] и В] — точки ка-
сания прямой К] с ок-
ружностями Сх и С2. Обо-
шия прямой СА] с окруж-
пересечения прямой СВ] с
окружностью С2. Одна из искомых окружностей проходит через
точки С, Лх и Вх. Аналогично строится вторая окружность
(рис. 73).
Пример 6. В треугольнике АВС дан. радиус, г вписанной и ,
радиус R описанной окружности. Найти расстояние d между их.
центрами.
Решение. Если при инверсии [О, k] окружность С перехо-
дит в окружность С', то окружность С переходит в окружность/?
и при гомотетии (Q, k/o), где о— степень точки-О относительно
окружности С.	А
Рассмотрим инверсию [Р, г2], где Р — центр окружности, впи-
санной в данный треугольник, а г —ее радиус. При этой инвер-
258
и лежащая вне окружностей Сх и С2
Рис. 73.
значим через Лх вторую точку Пересе1
ностью -Сх, а через Вх вторую точку
сии точки вписанной окружности неподвижны (так как вписан-
ная окружность является, окружностью .инверсии). Вершины
данного треугольника при инверсии [В, г2] перейдут в середины
сторон треугольника 4rBiCi,' вершинами которого служат точки
прикосновения к сторонам треугольника АВС окружности, впи-
санной в этот треугольник АВС (рис. 74). Радиус окружности,
проходящей через середины сторон
равен г/2. Таким образом
окружность (АВС), описан-
ная вокруг треугольника
АВС, радиус которой равен
R, перейдет при инверсии
[Р, г2] в окружность радиу-
са г/2. Так как степень рас-
сматриваемой инверсии k = г2,
а степень точки Р относитель-
но окружности (АВС) равна /
указанного треугольника,
.0
o = d2 — R2, то
г/2 г2 _ г2
~1Г — |<Р—:£2| — В2—42 ’
откуда
d2=R2 — 2Rr.
Пример 7< W и S—две	Рис. 74.
диаметрально, противополож- - -	,
ные точки окружности С; I — прямая, касающаяся окружности С
в точке S. Из произвольной точки О, лежащей вне окружности С,
но не лежащей на касательной к окружности С • в точке N, к
окружности С проведены касательные О А и ОВ (4 и В —точки
касания). Пусть О', А' и В' —проекции из точки N на прямую I
точек О, А и В. Доказать, что О' — середина отрезка А'В' (рис, 75).
9*	’	-	'	259
1ИТ1ПГГ
Доказательство. При инверсии [AZ, У52]-окружность С
перейдет в прямую I, а окружность К с центром О и. радиусом
ОА—ОВ, которая ортогональна окружности С, перейдет в окруж-
ность К', ортогональную прямой /; значит, центр окружности К'
лежит на прямой Z; с другой стороны, центр окружности К' лежит
и на прямой NO, а пбтому центром окружности К' является
проекция О' точки О из точки N на прямую I. Значит, А'В' —
диаметр окружности К', а О' —центр К', поэтому А'О' = О'В'.
Пример 8. Окружности Сх и . С2 не имеют общих точек.
С помощью инверсии преобразовать их в две концентрические
окружности и указать, как при этом преобразуются области Dlt
D2, D3, на которые окружности Сх, С2 делят плоскость (рис. 76).
Решение. Построим какую-нибудь окружность К, которая
- пересекает ортогонально обе окружности Схи С2. Для этого про-
- ведем какую-нибудь окружность М, пересекающую обе окружно-
' сти С\ и С2 соответственно в точках Р, Q и Р\ S. Пусть О —
точка пересечения прямых PQ и /?5 (рис. 77). Тогда отрезки т
касательных, проведенных из точки О к окружностям Сх и С2,
будут равны между собой, и, следовательно, окружность К с цент-
ром О и радиусом т пересечет обе окружности Сх и С2 ортого-
нально. Обозначим через А и В точки пересечения окружности К
с линией центров .окружностей Сх и С2. Тогда при инверсии
[А, АВ2] окружности Ci и С2 перейдут в две концентрические
4 окружности с центром В. В самом деле, окружность К. перейдет
в прямую К', проходящую через точку В, и так как окруж-
ность К ортогональна окружностям Сх и С2, то прямая К' будет
ортогональна окружностям CJ и С2, в которые перейдут окруж-
, ности Сх и С2, т. е. центры окружностей и С2 должны лежать
на прямой К.'. Но они должны лежать и на прямой АВ, следо-
вательно, центры окружностей С[ и С2 совпадают с точкой В.
Далее (см. рис. 76), так как центр А инверсии лежит внутри
окружности Сх, то область Dx точек, лежащих внутри'окружно-
сти Сх, перейдет в область D] точек; лежащих вне окружности С[.
Так как центр А инверсии лежит вне окружности С2, то область Dz
точек, лежащих внутри окружности С2, перейдет в область Dz
точек, лежащих внутри окружности С2/Значит, область D3 точек,
лежащих вне окружностей Сх и С2, перейдет в плоское кольцо,
ограниченное окружностями С] и С2.
Рассмотрим случай, когда окружность С2 вложена внутрь
окружности Сх (см. рис. 77). В этом случае окружность Л,- пере-
секающая ортогонально окружности Сх и С2, перейдет в прямую
 К' = BQ, где С — вторая точка пересечения ' окружностей К и
окружности инверсии. Если Т и L — точки пересечения окруж-
ности К с окружностями Сх и С2 и если прямые ТА и LA Tiepe-
секают К' в точках Т' и L', то образами окружностей Сх и Q
будут концентрические окружности С], С2- с центром В и радиусами
ВТ' и BL'. Далее, так как точка А лежит внутри окружности С2,
то область D2 точек, лежащих "внутри окружности С2, перейдет
260-	’	'	'	'

при инверсии [А, Л В2] в область D2 точек, лежащих вне окруж-
ности С2. Область D3 точек, лежащих вне окружности Съ перей-
дет в область - D'3 точек, лежащих внутри окружности Ct, и,
значит, эксцентрическое кольцо Dlt ограниченное окружностями Ct
и С2, перейдет в кольцо D{, ограниченное концентрическими окруж-
ностями C'i и С2 (рис. 77).
Пример 9. Построить окружность, касающуюся трех данных
окружностей Clt С2, С3 (задача Аполлония).
Р е ш е н и е. Рассмотрим только тот случай, когда каждая
из окружностей Clt С2, С3 лежит вне двух других. Произведем
Рис. 78.
инверсию, при которой окружности Сх и С2 перейдут в две кон-
центрические окружности C'i и С2 (пример 8). Предположим,
что,,полюс А этой инверсии [Л, АВ2] лежит внутри окружности ^;
тогда	где R'i и /^ — соответственно радиусы окружно-
стей С[ и С2. Так как окружность С3 лежит вне окружностей Сг
и С2> то ее образ С3 при инверсии [Л, Л В2] будет лежать внутри
кольца, образованного окружностями С\ и С2, так как точки,
лежащие вне окружности Clt перейдут в точки, лежащие внутри
окружности С{, а точки, лежащие вне окружности С2, перейдут
в точки, лежащие вне окружности С2 (рис/78).
Все окружности, касающиеся концентрических окружностей
Ci и С-?, разобьем на два множества: окружности радиуса
(Ri — R*)/2, каждая из которых касается окружности Са внешним
262-
образом, а окружности С( внутренним образом, и окружности
радиуса (/?Ц-/?2)/2, каждая из которых касается окружностей
Ci и Ci внутренним образом. Среди окружностей первого мно-
жества существуют только четыре окружности Ki, K’i, Кз, Ki,
первые две из которых касаются окружности Сз внешне, а Кз и
Л! внутренне. Для построения окружностей Ki и Кг достаточно
построить их центры: это точки пересечения окружностей
(О', (Ri— R:*)/2) и (О",7?з + (7?1 — 2?з)/2), где О' и О" — соответственно’
центры окружностей С1 (или С£) и Сз. Центры окружностей
Кз и К1 — это точки пересечения окружностей (О', (Ri — R’>)/2) и
(О", (Ri — Яа)/2-₽0-
Аналогично среди окружностей второго множества, касающихся
окружностей С( и Са внутренним образом, существует' только
четыре окружности Si, Sa, Si, Si, касающиеся окружности Сз
внешне (Si и Sa) и внутренне (Si й Si). Центры окружностей Si
и Sa —это точки пересечения окружностей (О', (R'i+R'i)/2) и
(О", (R’i + R'i)/2 + R3), а центры окружностей Si и Si — это точки пе-
ресечения окружностей (О', (R'i+R’i)/2) и (О", (7?i + /?i)/2 —/?i).
Все эти восемь окружностей /Ci, Кг, Кз, Kt, Si, Sa, Si, Si постро-
ены на рис. 78. Их образы Ki, Кг, Кз, Ki, Si, Sa, S3, Si при
инверсии [А, АВ2] будут касаться трех данных окружностей Си
С2, С3. Таким образом, в рассмотренном случае задача имеет
. восемь решений.
На рис. 79 даны положения окружностей Ki и Sz относительно
.окружностей Сх, С2, С3 на отдельных восьми рисунках.
Пример 10. Доказать, что окружность Эйлера для треуголь-
ника АВС касается окружности (/), вписанной в этот треугольник,
и касается трех окружностей (/а), (1Ь), (1С), вневписанных в этот
треугольник (точки касания Фо, Фх, Ф2, Ф3 называются точками
' Фейербаха).
Решение. Пусть (/) и (1а) — соответственно окружности,
вписанная в данный треугольник и вневписанная в угол А._Обо-
значим через R и S точки касания окружностей (/) и (1а) со —
стороной ВС (рис. 80). Тогда BS = CR (—р — с, где р — полупе-
. риметр треугольника АВС). Пусть А', В', С'— соответственно
середины сторон ВС, С А, АВ. Обозначим через А” ортогональную
проекцию точки А на сторону ВС, а через Q точку пересечения
стороны ВС с биссектрисой угла ВАС. Четверка точек A, Q,
I, 1а гармоническая, значит гармонической будет и четверка-
точек A", Q, R, S, которые являются ортогональными проекциями
точек A, Q, I, 1а на прямую ВС. Точка А' является .серединой
отрезка /?S (так как А' —середина ВС и BS = CR), значит, A'Q х
X A'A" = A'R2. Рассмотрим инверсию [Д', A'R2]. При этой инвер-
сии окружности (/) и (1а) инвариантны (так как окружность инвер-
сии — окружность с диаметром 7?S обеим им ортогональна). Из
соотношения A'Q-A'A" — A'R2 следует, что при этой инверсии
точка А" переходит в точку Q. С другой стороны, точка. А" (осно-
вание высоты из' А на ВС) лежит на окружности Эйлера, точка
263 -

д' (середина стороны ВС) также лежит на окружности Эйлера,
значит, при инверсии [Д', A'R2] окружность Эйлера перейдет
в прямую, проходящую через точку Q, антипараллельную прямой
В'С относительно угла С' А'В' *) или же в прямую, антипарал-
лельную ВС относительно угла С АВ (так как ВС\\В'С, САЦСА',
1 АВЦА'В'). Но прямая, проходящая через точку Q и антипарал-
лельная прямой ВС (относительно угла ВАС), есть прямая, сим-
метричная прямой ВС относительно биссектрисы угла ВАС, т. е.
вторая общая касательная <о' (внутренняя) к окружности (7) и
(7„). Пусть Ф'п и Ф{ точки касания о/ с (7) и (7а). При инверсии
[Л', Л'7?2] прямая <о' преобразуется в окружность (о) Эйлера,
а точки Ф’о и Ф{ — в точки Фо и Фи лежащие на окружностях (7)
и (7а). В этих точках Фо и Фх окружность Эйлера касается вписан-
ной (7). и вневписанной окружности (7а), так как прямая (д'
касается (7) и (/„) в точках Ф'л и Ф{; Фо и Фг — это точки пересе-
чения прямых А'Фо и Л'Ф£с окружностью Эйлера или вторые точки
пересечения этих прямых Л'Фо и Л'Ф! с окружностями (7) и (7а). На
рис. 80 построено тринадцать точек Л', В', С, А", В", С",
А'", В'", С”', Фо, Ф1г Ф2, Ф3 (все они лежат на окружности
Эйлера).	;
*) Прямые, симметричные относительно биссектрисы угла САВ, называются
интипараллельными относительно этого угла.
265-
§ 3. Отображение областей при инверсии
Пример 1. Пусть окружность С лежит вне окружности /С
инверсии [О, г2], где г —радиус окружности К. Пусть С'—образ
окружности С при инверсии [О, г2]. Тогда множество Dt всех
точек, лежащих внутри окружности С,отображается взаимно одно-
значно на область 0[ всех точек, лежащих внутри окружности С';
множество D2 всех точек, лежащих вне окружностей С и К, ото-
бражается взаимно однозначно на множество D'2 всех точек, лежа-
щих внутри окружности К, но вне окружности С'. Связная область
D, U 02 инвариантна при инверсии [О, г2] (рис. 81).
Пример 2. Окружность О касается окружности /С инверсии
[О, г2] внешним образом. Пусть С — образ окружности С при этой
инверсии. Соответствие областей при инверсии [0, г2] аналогично
рассмотренному в примере 1 (рис. 82).
Пример 3. Окружность С пересекает окружность К инверсии
[О, г2], но полюс О инверсии лежит вне окружности С. Соответ-
ствие областей при инверсии указано на рис. 83. Области 02(J
(J D'2, D3 (J 0з, 011104, 0« U 06 односвязны и инвариантны при
инверсии [О, г2]. Они делятся окружностью инверсии К на обла-
сти 02, 02; 03, 0з; 0j, 04; 0в, 06 переходящие друг в друга при
рассматриваемой инверсии (рис. 83).
Пример 4. Окружность С проходит через центр инверсии
[О, г2] и пересекает окружность К инверсии. Образом С окруж-
ности С при инверсии [О, г2] будет прямая, проходящая через
точки пересечения окружностей С и К. Соответствие областей
при инверсии указано на рис. 84. Области 0Х U D\ и 05U0s одно-
связны и инвариантны при инверсии [О, г2]. Окружностью К
266
инверсии они делятся на области Dr 1и D{, D5 и D$, которые пере-
ходят друг в друга при’ рассматриваемой инверсии (рис. 84).
Пример 5. Окружность К. инверсии лежит внутри окружности
С. Образом связной области Dlt состоящей из точек, лежащих
вне окружности С, будет одвосвязная область D[, состоящая из
точек, лежащих внутри, окружности С', где С' —образ С при
инверсии относительно окружности /С. Образом области Р2, состо-
ящей из точек, лежащих вне окружности Л, но внутри окружно-
сти С, будет область'©^, состоящая из точек, лежащих внутри
окружности К, но вне окружности С'. Связная область D2\jD2
инвариантна при рассматриваемой инверсии (рис. 85).
Рис. 82,
Пример 6. Окружность С пересекает ортогонально окружность
К инверсии. В этом случае образ С окружности С (при инверсий
относительно окружности К) совпадает с ней самой: С = С,
Область Z>lt состоящая из хвсех точек, лежащих внутри окружно-
сти С, но вне окружности К, переходит в область D[, состоящую
из всех точек, лежащих внутри окружности С и внутри окруж-
ности К. Область Di U D\, состоящая из всех точек, лежащих
внутри окружности С, инвариантна при рассматриваемой инвер-
сии. Пусть Р и Q — точки, в которых пересекаются окружности
С и К.. Проведем лучи ОР и OQi Область D2, ограниченная
дугой PQ окружности С и радиусами QP и OQ окружности К
переходит в область D2, ограниченную также дугой окружно-
сти К (дополнительной к первой, дуге этой окружности) и продол-
жениями радиусов ОР и OQ за точки Р и Q. Наконец, область
А» состоящая из точек, лежащих вне окружности ^ и вне угла
POQ переходит в область D'3, состоящую из всех точек, лежащих
внутри окружности К, но вне угла POQ, Область Ds U £>3
267

односвязна и инвариантна при инверсии относительно окружности К
(рис. 86).
Рис. 85.	(
Рис. 86.
Пример 7. Окружность С проходит через центр О окружности
Л инверсии и лежит внутри окружность К. Образ С' окружно-
сти С есть прямая, не пересекающая окружность Д.
269
Область Di, состоящая из всех точек той полуплоскости от
прямой С, которая не содержит окружности /С, переходит во мно-
жество D[ всех точек, лежащих внутри окружности С. Область
Dit состоящая из всех точек, лежащих вне окружности К и рас-
положенных в той полуплоскости от прямой С', в которой рас-
положена окружность К переходит во множество. D2 всех точек,
лежащих внутри окружности Л, но вне окружности С. Связная
область D2 U инвариантна при рассматриваемой инверсии (рис. 87).
Рис. 87.
Рис. 88,'
Пример 8. Окружность С проходит через центр О окружности
К. инверсии .и касается этой окружности. Образом С' окружности
С при инверсии относительно окружности К. 'будет общая каса-
тельная к окружностям С и К. Соответствие областей n D'i,
D2 и £>2 аналогично предыдущему примеру. Область £)2U£>2 одно-
связна и инвариантна при инверсии относительно окружности К
(рис. 88).
Пример 9. Окружность С пересекает окружность К инверсии
и полюс О инверсии, т./ е. центр окружности /С, лежит внутри
окружности С. Соответствие „областей £>х и £>{, £>2 и D2, и
£>з, и £>4 указано на рис. 89. Области Dt jDi и £>4UD4 одно-
связны и инвариантны при инверсии относительно окружности К.
Пример 10. Даны три равные окружности С1( С2, С3, прохо-
дящие через одну точку О и пересекающиеся под углами л/З.
Примем точку О за полюс инверсии, и окружность К инверсии
выберем так, чтобы она пересекала данные окружности С4, С2,
Сз и чтобы точки пересечения данных окружностей Сп С2, С3
лежали внутри окружности Д’. Образы С{, С2, Сз данных окруж-
ностей Сх, Сг, С3 будут прямыми, проходящими через точки пере-
270	z	•  .
s;
сечения окружности Л с каждой из окружностей Clt С2, С3. Дан-	I
ные окружности Сг, С2) С3 их образы CJ, С2, С3 (при инверсии	]
относительно окружности- К.) и сама окружность К разбивают 1
, плоскость на 24 области. Соответствие областей при инверсии 1
плоскости относительно окружности /С указано на рис. 90. Обла-
сти D7 и D'7, Ds и D’i, D9U-D9. DioU^io, Dn J Z)12|J D'l2 одно-
связны и инвариантны, при рассматриваемой инверсии. Области - 
Dk и Dk (k = l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) переходят друг
в друга при рассматриваемой инверсии.
Пример 11. Рассмотрим кардиоиду
р = 1 + cos ф,
уравнение которой задано в полярных координатах. При инвер-
сии [О, 1], где О —полюс полярной системы координат, образом
этой кардиоиды является парабола, уравнение-которой в той же
полярной системе координат имеет вид:
1
Р 1-|-СО5ф ’
Если ввести декартову прямоугольную систему координат,
принимая полярную ось за ось Ох, то последнее уравнение при-
мет вид
z/2= 1 — 2х.
Исходя из этого уравнения построена парабола на рис. 91. Кар-
диоида' р = 1 + cos ф, парабола ,z/2 = 1 — 2х и окружность К инвер-
сии делят плоскости на шесть областей. Соответствие , этих обла-
стей при инверсии относительно окружности К указано на рис. 91/
272'	'	-
Области Di U D[ и D3U^3 односвязны и инвариантны при инвер-
сии относительно окружности	D3^D'3). Область D2,
ограниченная частью, кардиоиды и дугой параболы, переходит
в область £>2, образованную точками, лежащими и вне кардиоиды
и вне параболы. Обратно, при рассматриваемой инверсии область
D2 переходит в область £>2.
Пример 12. Рассмотрим улитку Паскаля, уравнение которой ;
Биполярных координатах имеет вид
p = /n + ncosq).
Будем считать, что 0<п<т. Тогда при всех значениях (р будем
иметь р>0, и, значит, рассматриваемая улитка Паскаля есть
замкнутая линия без самопересечений, внутри которой лежит
полюс О полярной системы координат. При инверсии [О, 1]»- где
О — полюс полярной системы координат, улитка Паскаля перейдет
в линию, уравнение которой в той же полярной системе коорди-
нат имеет вид
, 1
р —-----------
r т-\~п cos ср
ИЛИ	-	z '	*
р == —г-,
r l+ecos<p ’
где р = l//n, e-=njm. Так как' из условий 0<п</тг следует, что
О<е< 1, то последнее уравнение является уравнением эллипса,
для которого точка О —один из фокусов, р—-параметр, а е —
эксцентриситет.
Возьмем, например т = 3/2, п=1. Тогда уравнение улитки
Паскаля будет	~	-
3 ,
. р = 2- + cos ф,
а уравнение эллипса, являющегося образом этой улитки при
инверсии [О, 1]:- "	'	-
_ь
Р = -з--------•
g--Keos<p .
Если ввести декартову^ прямоугольную систему координат, при-
нимая полярную ось за ось Ох, то пос л еднее-у равнение преобра-
зуется так:
25	5
— это эллипс, центр которого находится в точке (—4/5, 0),
а полуоси равны а = 6/5, b = 2/]/5.. На рис. 92 построена рас-
сматриваемая улитка Паскаля и этот эллипс, который пересекается
273»;
с улиткой Паскаля p=l,5 + cos<p при значениях <р, удовлетворя-
ющих уравнению
4 + cosq, = -— ---------, >
у + cos ф
откуда cosq> = —1/2, и значит, считая, что 0 <р < 2л, будем
иметь <р = 2л/3, <р = 4л/3 (две точки пересечения). При этих зна-
чениях q> величина р = 1, следовательно, окружность К инверсии
проходит через точки пересечения улитки Паскаля и эллипса.
Улитка Паскаля, эллипс и окружность К инверсии делят
плоскость на шесть областей. Соответствие этих областей указано
на рис. 92. Области DjJDi и D2U£>2 односвязны и инвариантны
при инверсии, причем при рассматриваемой инверсии они пере-
ходят др ус в друга:	D2^D'2. Область Ds, ограниченная
дугой улитки Паскаля и дугой эллипса, содержащая полюс О,
переходит в область D$, состоящую из всех точек, лежащих вне
эллипса и вне улитки Паскаля. Обратно^ при инверсии [О, 1]
область D3 переходит в область D3.
Пример 13. Рассмотрим снова улитку Паскаля, заданную урав-
нением в полярных координатах
но будем теперь считать, что 0</п<п. Уравнение р=0 теперь
имеет решение
cos ср = — mln,
и если считать 0^ <р <2л, то последнее уравнение дает для <р
два значения:
Ф = arccos (— т/п), ф = 2л — arccos (— т/п),
поэтому при 0</п<п улитка Паскаля дважды проходит через
полюс; в рассматриваемом случае это кривая с самопересечением;
она образует петлю, находящуюся внутри остальной части линии.
При инверсии [О, 1], где О —полюс полярной системы координат,
улитка Паскаля переходит в линию, уравнение которой в той же
полярной системе координат имеет вид
1
‘	Р	zn + ncosq)
или
р
"	1 cos <р ’
где р=1/т, е = п/т. Так как теперь е>1, то линия, заданная
этим уравнением, является гиперболой с эксцентриситетом е и
параметром р (половина фокальной хорды).
Возьмем, например, т — 1, п = 2 (рис. 93р. Уравнения улитки
и ее образа (гиперболы) при инверсии fO, 1J будут
p = l+2cosT, P=v	.	•
Преобразуем уравнение гиперболы, вводя декартову прямоу-
гольную систему координат, в которой, осью Ох является поляр-
ная ось. Тогда имеем
/	2\2
V з)________^--1
1/9	1/3
Это гипербола, центр которой (2/3, 0), а полуоси а =1/3, Ь =
= 1/]/3. Так как &/а = ]/гЗ, то асимптоты гиперболы наклонены
к оси Ох под углами ±л/3. При ф = ±2л/3 в уравнении улитки
Р= 1 -]-2со8ф радиус-вектор р обращается в нуль. Поэтому асимп-
тоты гиперболы параллельны касательным к петле улитки в начале
координат. Улитка, гипербола и окружность К инверсий делят
плоскость на 14 областей. Соответствие Dk^D'k этих областей
указано на рис. 93. Области D3IJD3, D4U£>4, D.i\}Dy односвязны
и инвариантны при рассматриваемой инверсии, причем окружность
инверсии делит их на области Ds и Оз, Di и £>«, Z)7 и D), пере-
ходящие друг в друга при инверсии относительно этой окруж-
ности. Улитка и гипербола пересекаются в семи точках; три
из них лежат и на окружности инверсии; четыре остальных Р,
Р', Q, Q' не лежат на окружности инверсии и соответствуют друг
’275
другу (Р^Р', Q^Q') при инверсии относительно окружности^?
К. Прямыми ОРР' и OQQ' можно разбить области и £>{ на три $
Dlf D19 D± и £>i, Di, Di, которые будут соответствовать „друг
другу при рассматриваемой инверсии. Эги же-прямые делят обла-W
сти D3, D3 и D4, D\ каждую на две части, друг другу соответ-W
ствующие при инверсии [О, 1].	-’М
Рис. 93.
Пример 14. Уравнение циссоиды Диоклеса в полярных коор-
динатах может быть записано в виде
	-	__2 sin2 q>
Р COS ф
Прямая х = 2 является вертикальной асимптотой циссоиды, так
как		>
(2)
lim р = -|-оо,
Л
я-*-«-»
а' из уравнения (2) при этом следует, что
lim х = lim pcos<p= lim (2siri2q>) = 2.
Л	Л	- - л
Ф---0	ч>—g “О
276
И и инверсии [О, 1] (О —полюс полярной системы координат)
иссоида преобразуется в линию, уравнение которой в той же
полярной системе координат имеет вид
— COS(P
Р 2 sin2q> ’
или	.	2t/2 = x
— это парабола, для которой полярная ось служит осью. Окруж-
ность К инверсии проходит через две точки, в которых пер'есе-
Рис. 94.
каются циссоида и парабола. (Заметим, что окружность инверсии
не пересекает асимптоту х — 2 циссоиды.) Циссоида, парабола и
окружность инверсии делят плоскость на восемь областей Dft,
Di (k = l, 2, 3, 4), которые переходят друг в друга при рас-
сматриваемой инверсия: Dk^tD'k.
Области Di U D't и D4 U D'( односвязны и инвариантны при
инверсии [О, 1] (рис. 94).
§ 4. Инверсоры Поселье и Гарта
Пусть MPM'Q — ромб; О —точка, равноудаленная от точек Р.
и Q- Предположим, что ромб шарнирный, точка О неподвижна и
соединена шарнирами с Р и Q (инверсор Поселье). Тогда, если
точка М описывает какую-нибудь линию L, то точка М' описы-
277
вает линию L', являющуюся образом линии L при инверсии
[О, ОР2-ЛИ2] .(рис. 95).	I
Доказательство. Точки М, М' и О находятся на равных |
расстояниях от точек Р и Q, а потому лежат на медиатрисе .)
отрезка PQ. Построим окружность (Р, РМ). Произведение
ОМ • ОМ’ равно ОР2 — РМ2. В самом деле пусть 5 — середина
отрезка PQ, тогда
ОМ • № = (0S-+ SM) (OS + SM') = (OS + SM) (OS -SM) ==
= OS2 - SM2 = OP2 - SP2 - (MP2 — SP2) = OP2 - PM2.
Отметим, что, в частности,"если точка М описывает окружность,
проходящую через точку О, то точ-
ка М' описывает прямую. Таким
образом, инверсор Посёлье позволя-
ет механически преобразовать кру-
говое движение в прямолинейное.
Пусть ABCD — антипараллело-
грамм (т, е.	ABDC — равнобочная
4,
I
трапеция, BD и ЛС—ее параллельные стороны, AD и ВС —диа-
гонали).' Фиксируем на отрезке АВ точку О, на отрезке AD— i
точку М, а на отрезке ВС—точку М' так, чтобы точки О, М и
М'- принадлежали одной прямой, параллельной BD | | АС. В точках
Л, В, С, D, О —шарниры; точка О неподвижна (инверсор Гарта).
Если при этих условиях деформировать антипараллелограмм ABCD, F
то произведение' {ОМ, ОМ'} будет оставаться постояййым, т. е. U
если точка М описывает линию L, то точка М' .описывает линию, |
полученную из линии L инверсией с полюсом О (рис. 96).
Доказательство. Если антипараллелограмм ABCD шар- ж
нирный, то при его деформировании он остается антипараллело- *
граммом (см., например. Ж- А дам ар, Элементарная геометрия, <
ч. I). С другой стороны, прямые ОМ -и ОМ', параллельные -|г
основаниям BD и ЛС трапеции в первоначальном положении ж
278	,|
фигуры, будут все время оставаться им параллельными. В самом
деле,
*	AM АО ВМ’ _ ВО
 ~AD ~ АВ' ВС ~ АВ'
эти пропорции при деформировании антипараллелограмма ABCD
сохраняются. В частности, из сказанного следует, что точки О,
М и М' остаются на одной прямой. Далее из подобных треуголь-
ников находим:
ОМ _ АО ОМ' _АС .
BD ~ АВ’ ОВ ~ АВ'
отсюда
(бМ, бМ')=ОМ  ОМ' =	• BD  АС.
Но вокруг трапеции ABCD можно описать окружность, поэтому
AB2 + BD-AC = AD\
и, значит,
BD -АС = AD2 — АВ2
и окончательно:
(pM,OM') = ^^(AD2-AB2).
Поэтому точка М' получается из точки М при инверсии с полю-
сом О и степенью
. _ о А • О в (AD* - АВ*)
АВ*
§ 5. Геометрия Маскерони
Будем считать, что прямая задана, если на- плоскости фикси-
рованы две различные точки, принадлежащие этой прямой.
Окружность считается заданной, если заданы ее центр ц точка,
лежащая на этой окружности, или, если заданы три точки, при-
надлежащие этой окружности. Окружность с центром О и ради-
усом ОМ будем обозначать так: (О, ОМ). Окружность, заданную
тремя точками А, В, С, лежащими на ней, будем обозначать так:
(АВС).	<
Мы рассмотрим решение ряда основных задач на построение
одним циркулем. Большинство решений связано с использованием
инверсии.
Опираясь в основном на эти построения, датскому математику
XVII века Г. Мору удалось доказать, что при помощи одного
Циркуля можно осуществить все построения, которые осуществимы
с помощью циркуля и линейки.
Доказательство, этого положения было повторено в конце
XVIII века итальянским математиком Маскерони. Поэтому построе-
ния, выполняемые при помощи одного циркуля," связывают-часто
279
с именем ;Маскерони<(гес»1ет£Ия-Мйскерони, ’ПОСтроения.Маскерони 1
• и т. д.).	*	Ж
Рассмотрим несколько задач на построение одним циркулем.;»
Задача I. Отрезок АВ задан своими граничными точками.
Построить на продолжении отрезка АВ за точку В такую точку С, il
что АС = п-АВ, где п — натуральное число.	4
Решение. Строим окружности (А, АВ) и (В, ВА). Пусть ]
Р — одна из точек их пересечения. Строим окружность (Р, РА)-,
пусть Q — вторая точка пересечения этой окружности с окруж-
ностью (В, В А). Строим окружность* (Q, QB); пусть Я —вторая j
-точка пересечения этой окружности с окружностью (В, ВА).
Точка R лежит на продолжении отрезка АВ* за точку В, причем ;
AB = BR (рис. 97).
В самом деле, -указанное построение дает вершину R правиль-
ного шестиугольника, противолежащую его вершине А и вписан- 
ного в окружность (В, ВА). Продолжая аналогичные построения, I
можно построить точку С, лежащую на продолжений отрезка АВ, |
за точку В и такую, что АС = п- АВ, где п — любое натуральное |
число.	—
Задача 2: Построить одним циркулем образ М точки М' при
инверсии [О, г2].	-1
Решение. 1°. 0М>г/2. Если точка М лежит на круге t
инверсии, то ее образ 2Й' совпадает с ней самой. Поэтому пред- |
положим, что точка М лежит либо внутри круга инверсйи 1
(рис- 98), либо вне его (рис. 99). В обоих случаях строим округе- f
ность (М, МО). Пусть X и У — точки пересечения этой окруж- I
ности с окружностью инверсии. Строим окружности (X. ХО) и i
(У, ТО)', вторая точка пересечения этих окружностей есть точка М'. xi
В самом деле, так как точки X и У симметричны, относительно !
прямой МО,, а окружности (X, ХО), (У, YO) конгруэнтны, то |
вторая точка М' их пересечения лежит на луче ОМ. Далее I
280
если И — точка, диаметрально противоположная точке-О на ок-
ружности (М, МО), а Е — точка пересечения XY и ОМ (Е —се-
редина отрезка ОМ'-,.ни точку Н, ни точку Е строить не нужно,
они вводятся лишь для доказательства^, то
/2 = ОХЗ = ОН • ОЕ = ОМ • ОМ'.
2°. ОМ < г/2. В этом случае окружность (7W, МО) не пересе-
чет окружность инверсии. Строим на луче ОМ точку N такую,
что nOM = ON и что ON > г/2. Строим точку N', полученную
инверсией [0,_ г2] из точки N (случай Г),, и затем строим на
луче ON' точку М' такую, что OM'=n-ON', тогда
. - ОМ ' = — • nON' = ON- Oft' = г2.
Из решения этой задачи вытекает возможность построить
одним циркулем, точку С, лежащую на отрезке АВ и такую, что
п-АС = АВ. В самом деле, построим на продолжении отрезка АВ
за точку В точку С' такую, что АС' = п-АВ (задача 1). Пусть
; С —образ точки С при инверсии [Л, Л В2] (задача 2). Точка С—
искомая. В самом деле:
ЛС-ЛС' = ЛВ2, АС пАВ = АВ\ пАС = АВ.
Задача 3. Построить одним циркулем окружность С', являю-
щуюся образом при инверсии [О, г2] прямой С, не проходящей
через полюс О этой инверсии. Прямая предполагается заданной
двумя различными точками X и У, лежащими на ней.
• 281
Решение. Окружность С проходит через точку О. Пусть
Р — вторая точка пересечения окружностей (X, ХО) и (Y, YO).
Тогда точка Р симметрична точке О относительна прямой XY.
Строим (одним циркулем) образ Р' точки Р при инверсии [О, г2].
Искомая окружность С есть
ним циркулем) окружности
окружность (Р', Р'О) (рис. 100).
В самом деле, если Е — точ-
ка пересечения прямых XY
и OP (Е — середина ОР, а
Е'— точка, диаметрально
противоположная точке О на
окружности (Р', Р'О)), то
г2 = ОРОР' =ОЕОЕ'. '
Задача 4. Построить од-
ним циркулем точку пересе-
чения двух прямых, одна из
которых задана точками А
и В, а другая — точками С
и D.
Решение. Построим
на плоскости произвольную
окружность S. Построим (од-
и /С2, являющиеся образами дан-
ных прямых при инверсии относительно окружности S. Пусть
М'— точка пересечения окружностей Ki и /С2- Построим (одним
циркулем), образ М точки М.' при инверсии относительно*окруж-
ности S. Точка М и есть точка пересечения данных прямых.
.Задача 5. Построить одним циркулем центр окружности,
заданной тремя точками А, В, С, лежащими на .этой окружно-
сти (сама окружность не проведена).
Решение. Пусть Р и Q — точки пересечения окружностей
(Л, АВ) и (В, ВА). Прямая PQ — медиатриса отрезка АВ. Пусть
L и М — точки пересечения окружностей (В, ВС) и (С, СВ).
Прямая LM — медиатриса отрезка ВС. Центр О окружности (ЛВС)
есть точка пересечения прямых PQ и LM (задача 4).
Задача 6. На прямой, заданной двумя точками Л и В, от
точки В отложить-отрезки ВС1 и ВС2, равные данному отрезку PQ.
Решение. Построим окружность (В, PQ). Вопрос сводится
к отысканию точек пересечения этой окружности с прямой АВ.
Построим (одним циркулем) образы Ki и К2 прямой АВ и окруж--
' ности (В, PQ) при инверсии относительно произвольной окруж-
ности. Пусть С{ и Cj —точки пересечения окружностей /Cj и К2.
Образы Ci и С2 точек С[ и С2 при рассматриваемой инверсии и
есть искомые точки.
Задача 7. К трем данным отрезкам PQ, MN, PS построить
четвертый им пропорциональный, т. е. такой, что
PQMN = RS-XY.
Решение. 1°. PQ=?=M.N. Построим окружности (О, PQ) и
(О, MN), ?№ О —произвольная точка плоскости. Выберем на
окружности (О, PQ) произвольную точку А и построим (одним
циркулем) точку В, в которой прямая ОА пересекает окружность
(О, MN) (возьмем ту точку В, которая лежит на луче ОА).
Построим окружность (О, RS) и возьмем на ней произвольную
точку С. Построим окружность (АВС) (задача 5). Пусть D —вто-
рая точка пересечения этой окружности с прямой ОС (она стро-
ится 'одним циркулем). Тогда -
О A ~OB = OCOD,
или
PQMN = RSOD-,
OD — искомый отрезок.
2°. PQ = MN. В этом случае рассмотрим'отрезки PQ и 2MN
(отрезок 2MN строится одним циркулем). Построим (одним цир-
кулем) отрезок	такой, что
PQ:2W = /?S-X1y1 (случай 1°).
f	X Y
Искомый отрезок XY = строится одним циркулем (см. заме-
чание в конце решения задачи 2).
Задача 8. На плоскости даны две точки Л и В. Построить
(одним циркулем) какую-нибудь точку С такую, чтобы угол АВС
был равен 90°.
*»' Решение. На прямой АВ строим (одним циркулем) отре-
зок BD = AB. Пусть С —любая из .точек пересечения’окружно-
стей (Л, AD) и (D, DA). Точка С—искомая.
Задача 9. Дан отрезок АВ точками А и В. Пусть п — произ-
вольное натуральное число, не являющееся квадратом натураль-
ного числа. Построить отрезок АВД^п.
Решение. Построим (одним циркулем) точку С такую, что
Z ЛВС = 90°. Найдем точку Р пересечения ВС с окружностью
(В, В А). Тогда АР = АВ]/Г2. Далее построим (одним циркулем)
точку D такую, что Z APD = 90°, и построим точку Q пересече-
ния прямой PD с окружностью (Р, АВ). Тогда PQ — AB^S
и т. д.
Из результатов этой задачи следует, что на окружности
(заданной тремя своими точками) одним циркулем можно пост-
роить вершины правильного треугольника, квадрата, правильного
пятиугольника и шестиугольника.
§ 6. Инверсия пространства
Инверсия [О, Л] пространства определяется так же, как и
инверсия плоскости. Инверсии [О, /г] пространства, так же как
и инверсии плоскости, делятся в зависимости от знака степени k
инверсии на положительные (k > 0) и отрицательные (k < 0).
283
При положительной" инверсии [О,Д] сфера So с центром О и i
радиусом y^k состоит из инвариантных точек.	j
Множество точек, лежащих вне сферы 50, отображается во /
множество внутренних точек сферы So, а множество всех точек, i
лежащих внутри сферы So, отображается на множество всех то- j
чек, лежащих вне сферы 50.	't
Если &<0, то сфера с центром О и радиусом инвари-
антна, прйчем каждая ее точка отображается в точку, ей диа-
метрально противоположную, на сфере So.
Если инверсия [О, &] положительна, то все сферы, пересекающие
сферу. So инверсии ортогонально, и только такие сферы, инвари-
антны.
При инверсии пространства- образом сферы, не проходящей
через полюс инверсии, является сфера.
При инверсии сохраняется касание сфер и касание сферы
с плоскостью.
Если сфера (S) проходит через полюс О инверсии, то ее образ
при инверсии- [О, fe] есть плоскость, ортогональная прямой OS,
не проходящая через полюс инверсии, и обратно.
Инверсия пространства есть конформное преобразование, т. е.
при инверсии сохраняются углы между касательными плоскостями 
в точках пересечения двух сфер.	.
При инверсии пространства окружность, не проходящая через '
полюс инверсии, переходит в окружность. В самом деле, всякую
такую окружность можно рассматривать как линию пересечения
двух сфер, не проходящих через полюс инверсии.
При инверсии пространства сохраняются углы между пересе-
кающимися окружностями (лежащими, вообще говоря, в разных
плоскостях). В самом деле, пусть а и b — касательные к окруж- 
ностям Сх и С2 в точке М их пересечения. Достаточно доказать,
что при инверсии [О, /г] сохранится угол между прямыми а и Ь. -
' Рассмотрим только тот случай, когда прямые а и Ь. не проходят
через полюс О инверсии. Пусть а* й Ь* — прямые, соответственно
параллельные прямым а и Ь, и проходящие через полюс О, инвёр- -
сии. При инверсии [О, /г] прямые а и b перейдут в окружности а' \
и Ъг, касающиеся соответственно прямых а* и Ь* в точке О. J
Поэтому угол между окружностями а' и Ь' равен углу между i
прямыми а* и &*, т. е. равен углу между прямыми а и Ь, так 1
. как а* | \а, b* | j b.	-	,д J
* * * '
Здесь даются некоторые геометрические построения и анали- 1
тические выводы, связанные со стереографической проекцией, j
в связи с применением этого отображения сферы на плоскость ;
при построении карт Земли. Внимание уделяется только геометрй-
ческому построению изображения сети меридианов и параллелей 3
и аналитическому исследованию характера их спектров (при сте-
реографической проекции).	- ?
281	э
Напомним основные определения и свойства стереографической
проекции в связи с преобразованием инверсии.
Пусть А и В —концы какого-нибудь диаметра АВ сферы
и плоскости, касающиеся сферы йх в точках Ли В.
Пусть М — произвольная точка сферы й1( отличная от точки А.
Обозначим через М' точку, в которой прямая AM пересекает
плоскость Соответствие, при котором точке М ставится в соот-
ветствие точка М’, называется стереографической проекцией
сферы Их на плоскость Ьг (рис. 101).
Рис. 101.
Рис. 102.
Рассмотрим сечение й сферы й4-плоскостью АВМ (рис. 102).
Из подобия треугольников АВМ и АВМ' находим
AM-AM'= АВ2.
'Из этого соотношения следует, что образ М' точки Af при стерео-
графической проекции сферы йх на плоскость является вместе
с тем образом точки М при инверсии 7 = [Л, АВ2] с полюсом Л
и степенью инверсии, равной АВ2; иначе: точка М' является
образом точки М при инверсии относительно сферы ©х с центром
в точке Л и радиусом, равным АВ. Для построения образа М'
точки М при инверсии I удобно сначала построить сечения й и
® сфер Йх и ©х плоскостью АВМ. Далее, соединяем точку JH_
с точкой Л и проводим прямую, проходящую через точку М пер-
пендикулярно прямой AM. Пусть Р — точка, в которой эта пря-
мая пересекает окружность <о; тогда касательная к окружности <о
* в точке Р пересечет прямую AM в точке М'. Это построение
верно для любой точки М, лежащей внутри окружности <о. Если
точка М лежит на окружности со, то ее образом является сама
эта точка М. Если точка М лежит вне окружности а>, то для
построения ее образа М' при инверсии относительно окружности <о
построим касательную MQ, проведенную из точки М к окруж-
ности со (Q — точка касания); ортогональная проекция М' точки Q
на прямую AM и будет образом точки М при инверсии 7. Все
285
эти построения mojkho выполнить в любом сечении сферы £^х
плоскостью, проходящей через прямую АВ. Впрочем, их можно
выполнить и в .пространстве, проводя соответствующие касатель-
ные не к окружностям й и о, а к сферам Qx и <»х.
Из всего сказанного - мы приходим к следующему важному
выводу: на множестве всех точек сферы Qx (исключая точку А)
стереографическая проекция совпадаете инверсией, полюсом кото-
рой является центр проектирования А, а степень инверсии равна
квадрату диаметра сферы Qt; иначе: стереографическая проекция
на множестве всех точек сферы йх (исключая точку Л) совпадает
с инверсией относительно сферы центром которой является
точка А, а радиус равен диаметру сферы Йх.	- ч
Отсюда следует, что геометрические свойства стереографической
проекции можно получить из известных свойств инверсии, а именно:
при интерсии (а следовательно, и при стереографической проекции)
окружности, лежащие на сфере Qx и не проходящие через точку А,
переходят в окружности (лежащие на плоскости &х). Так как
инверсия есть конформное преобразование (т. е. при инверсии
сохраняются углы), то тем же свойством обладает и стереографи-
ческая проекция, так что применение .стереографической проекции
дает возможность построить конформную карту Земли1).
Укажем, -к-ак строится центр окружности С', в которую отобра-
жается окружность С, лежащая на сфере Qx и не проходящая
через точку А. Сначала предполджим, что С не-является большим
кругом сферы Qx. Построим конус К, который касается сферы Qx
по окружности С. Пусть Р—вершина этого конуса. Построим
сферу Т с центром Р, которая проходит через окружность С
(рис. 103). Эта сфера пересекается со сферой Qx ортогонально.
При . инверсии / = [Л, ЛВ2] сфера Qx перейдет в плоскость Ьи
а сфера Т перейдет в сферу Т', которая будет пересекать плос-
кость bi ортогональна. Отсюда следует, что центр М' сферы Ф*
должен лежать на плоскости b.i, но, с другой стороны, центр
сферы Т' должен лежать ,и на прямой АР, так >как сфера Т'
является образом .сферы Т при инверсии: [;Л, ЛВ2]. Таким образом,
центр М' сферы Т' есть точка, в которой прямая АР пересекает
плоскость Ьх. Далее, окружность С является линией пересечения
сфер -Qx и Т, значит, .образ С' окружности 'С >(и при инверсии I
и при рассматриваемой стереографической проекции) является
пересечением сферы ,Т' и плоскости Ьх. Но так как центр М'
сферы Т' лежит на плоскости &х, то С —болншой круг сферы Т!
и, значит, центр окружности С совпадает с центром' М' сферы Т',
т. е. является проекцией М' на гГлоскость 6Х вершины Р конуса /С,
касающегося сферы Qx по окружности С.
Заметим, что проекция М' точки Р на плоскость &х -не является
образом точки Р при инверсии / = [Л, ЛВ2].
!) Построить такую карту Земли,’ в которой сохранялись бы расстояния,
невозможно.
286
Для построения центра и радиуса окружности G' .рассмотрим
.сечение й сферы йх плоскостью АВР (рис. 104). Пусть Т[, М,
у'— центральные проекции-точек 7\, Р, Т2 иа точки7А на. пря-
мую b (Тг и Т2 — точки касания касательных, проведенных из
точки Р к окружности Й). Тогда М — центр окружности С', а ее
радиус равен МТ^ — МТ^.
Перейдем, теперь к рассмотрению того случая, z когда окруж-
ность С является,- большим кругом сферы Йх, не проходящим
через точку А. В этом слу-
чае, на основании общих
свойств инверсии, стереогра-
фическая проекция С' окруж-
ности С на плоскость будет
снова окружность. Укажем,
как геометрически строится
ее центр и радиус: плоскость.
п, в которой лежит окруж-
ность С, при 'инверсии I =
= [Л, Л В2] перейдет в сфе-
ру л', центр которой лежит .
на прямой, проходящей через
точку Л перпендикулярно плоскости л. С другой стороны, так
как плоскость л ортогональна сфере йх, то сфера л' должна быть
ортогональна плоскости Ьи и, значит, цен-тр М сферы л' должен
лежать на' плоскости &х. Итак центр М сферы л', а значит, и
окружности С' (являющейся большим кругом сферы л') есть точка
пересечения с плоскостью bt прямой, проходящей через точку Л
перпендикулярно к плоскости л, в которой лежит окружность С.
.287
На рис. 105 дано сечение й.сферы Qi плоскостью, проходящей
через прямую АВ и через перпендикуляр, опущенный из точки А
на плоскость" л, в которой лежит окружность С; DE — диаметр
окружности С, по которому проведенная плоскость пересекает
этот круг С. Соединяя точку А с точками D и Е получим в пере-
сечений с прямой b точки D' и Е', являющиеся изображениями
концов диаметра DE окружности С; прямая AL, перпендикуляра
ная к диаметру DE, пересекает, как установлено выше, прямую b
в точке М', которая есть центр окружности С'. Так как M'D’ =
= М'Е' = М'А, то для построения центра и радиуса окружности G’
можно и не проводить прямые AD и АЕ~. опустив перпендику-
ляр AL из точки А на диаметр DE окружности С, получаем и
центр. М' окружности С и
радиус АЛТ'этой окружности.
Заметим еще, что ортогональ-
ная проекция L точки А на
прямую DE лежит на окруж-
ности с диаметром О А (О —
середина отрезка АВ). Это
соображение использовано
ниже при геометрическом
построении спектра меридиа-
нов при построении карт за-
падного и восточного полу-
шарий Земли.
Остается -рассмотреть
случай, когда окружность С
проходит через центр А про-
ектирования. В этом случае стереографической проекцией окруж-
ности С является прямая С', по которой' плоскость Ьх пересека-
ется с плоскостью л, в которой лежит окружность С (рис. 106).
-Перейдем к рассмотрению построения карт. 
Географическими координатами точки, лежащей на поверх-
ности Земли, называются ее широта <р и долгота 9. Линии, на
каждой из которых широта <р имеет одно и то же значение:
<р= const, называются параллелями:- это сечения Земли. плоско?
288	~
стями, перпендикулярными к оси NS полюсов. Линии, На каждой
из которых долгота 0 имеет одно и то же значение: 9 = const,
называются меридианами Земли: это полуокружности больших
кругов Земли,-граничными точками, которых являются полюсы N
и S. Сеть меридианов и параллелей на поверхности Земли — орто-
гональная. На рис. 107 дано в аксонометрии изображение парал-
лелей и меридианов сферы.
При построении карты Земли с использованием стереографи-
ческой проекции обычно применяют два способа; в одном из них
строится карта северного и южного полушарий следующим спо-
собом: пусть N и S — соответственно северный и южный полюсы;
а п и-S —плоскости, касательные к Земле в этих полюсах.-Для
построения стереографической проекции северного- полушария
Рис. 107.	Рис. 108.
проектируют это полушарие из южного полюса S на'плоскость,
касательную к Земле в’северном полюсе, а для построения карты
южного полушария проектируют это полушарие из точки N на
плоскость s. Получается карта, состоящая из двух кругов; один
из них —карта северного полушария, другой —карта южного.
Конечно, указанное построение подвергается подобному преобра-
зованию. На рис. 108 в аксонометрии дано описанное построение
карты южного полушария.
При таком построении карты Земли параллели, например,
южного полушария проектируются в концентрические окружности,
лежащие на плоскости s и имеющие общий центр S; экватор стх
проектируется в окружность ст, внутри которой заключены проек-
ции всех параллелей. Полумеридианы южного полушария (анало-
гично и северного) проектируются в радиусы окружности (на
картах это построение дополняется, конечно, еще подобным пре-
образованием). Если изменять долготу 6 через равные промежутки
(от 0° до 180°), то соответствующие радиусы окружности ст будут
поворачиваться последовательно на один и тот же угол. На
10 П. С. Моденов	289
рис. 109 дано построение изображений меридианов при изменении
долготы 6 на 15°. Для построения изображений параллелей, соот-
ветствующих одинаковым промежуткам изменения широты (от 0Q
Рис. 109.
до 90°), можно поступать так: построим сечение сферы (рис. ПО)
какой-нибудь плоскостью, проходящей через прямую ATS. Рас-
смотрим, например, южное полушарие. Пусть PSQ — полуокруж-
ность южного полушария,
по которой проведенная
плоскость пересекает это„
полушарие, a s — прямая
пересечения этой плоско-
сти с плоскостью Sp Разде-
лим полуокружность PSQ
на несколько равных час-
тей (на рис. 110 отмечены
точки с широтами 0°, 15°,
30°, 45°, 60°, 75°, 90°), тог-
да проекции точек деления
из точки Л/ на прямую s с
одинаковыми широтами
(0°0°, 15°15°, 30°30°, 45°45°,
60°,60°, 75°75°, 90°90°) да-
дут изображения диаметров
параллелей. Построение
параллелей можно совме-
стить с построением изо-
бражения меридианов. Такое построение и выполнено на рис. ПО.
Так как окружность ст (изображение экватора) гомотетична окруж-
ности (NS) с диаметром NS (коэффициент гомотетии равен 2), то
290
Ж
при построении изображений меридианов и параллелей можно и
не строить окружность (NS). Такое построение выполнено на
рис. Ш (для обоих полушарий).
Этот геометрический способ построения меридианов и парал-
лелей приводит к тому заключению, что спектр меридианов —
равномерный, а спектр параллелей — расширяющийся по мере
Рис. 111.
приближения к изображению о экватора (для параллелей это
свойство мы отмечаем пока визуально). Дадим аналитическое дока- "
зательство того, что спектр параллелей расширяется вблизи изо-
бражения экватора.	.	к
Пусть М произвольная точка сферы йх, <р — широта точки М,
М' — стереографическая проекция точки А4"из точки N на плос-
кость sr. Построим сечение, сферы плоскостью NSM (рис. 112).
Так как
ZSOM = -J-<p, то £SNM = ^-^,
и, следовательно (считаем, что MS = 1):
X=SM’ = tg (£.	= ctg •+ -J ).
10*
291
Докажем теперь, что если взять три точки с широтами: Ф1<ф2<ф3
такими,, что ф2 — <pi = ф3 — ф2, то соответствующие значения функ-
ции х, т. е.
x1 = ctg(-J- + >), x2 = ctg(^ + -^-J, x3 = ctg(| + ^)
будут связаны соотношением: х2 —х2>х2 —х3. Этим и будет дока- '
зано, что спектр изображения параллелей расширяется вблизи •
изображения экватора (рис. 113). Неравенство хх —х2'>х2 —х3,
которое мы хотим доказать, эквивалентно такому: 2х2<х1+х3 или
. 2ctg(i+ ^)<ctg(-J + ^-}+ctg(j + f-J,
ИЛИ
sin (— I Ф1+-Ф» У-	I
2 1 — sin <р2	, \ 2	2	/	. |
или	-
2 1 — sin ф2	2 COS ф2
СОбф/	Фз-Ф1
----„,(»+л±й)
1 — sin ф2 ' COS ф2
COS ф2	фз — Ф1 I
Y	' cos .У.—ТА -I- sm ф2
Так как cos ф2 > 0, cos У3.—Ф£ > о, sin ф2 > 0, то это неравенство
эквивалентно следующему:
(1 — Sin фо) ^cos Ф3~Ф1 _]_ sin <p2j cos2 ф2,
или	..	.	'	-
cos + sin ф2 < 1 + sin <р2>	, j
C0S<hZ^L<l.	J
Последнее неравенство верно, так как 0°< ФЦ1Ф1. <90°; неравен- 4;
ство Xj —х2>х2 —Х3 ему эквивалентно, следовательно, и оно' -I-
верно.	~	-	||
Замечание. Тот же результат можно получить, используя И
производные. Имеем	
следовательно, на сегменте [0, л/2] функция x=ctg^ + -^-j
292.	'	-	.
убывающая. Далее,
Чт+|)
=-----ТгАл > О, Ф е [О, л/2),
2sin,(T+f;
следовательно, на сегменте [0, л/2] график функции x = ctg
имеет выпуклость вниз, а значит, на этом сегменте выполняется
неравенство Йенсена
____Хх4~хз
*2	2	’
т. е. х, — х2>х2 — х3>0(х1 — х2>0, х2 — х3>0, таю как 0°^
<; Ф1 < Фг < Фз 90°> а на сегменте [0, л/2] функция х =
— ctg (у + убывающая).
Установленный факт разрежения спектра параллелей по мере
приближения к экватору подтверждается и приближенно: в. сле-
дующей таблице даны значения функции х = ctg	для сле-
дующих значений <р: 0°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90° и значения
Дх = х/ —Х/+1 (i = l, 2, 3, 4, 5, 6). Мы видим, что значения Дх
убывают по мере увеличения широты, т. е. по мере удаления от
изображения экватора.
ф	X	Дх
0°	1,0000	
		0,2327
15°	0,7673	
		0,1899
30е	0,5774	
- -		0,1632 '
45°	0,4142	
		0,1463
60°	0,2679	
		0,1362
75°	0,1317	
		0,1317
90°	, 0,0000	
293
ЯЯ?" Л
Рассмотрйм -еще стереографическую проекцию западного и
восточного полушарий. Пусть а —меридиан, от которого ведется
отсчет долгот 6; WV — диаметр Земли, перпендикулярный пло-
скости, в которой лежит меридиан а. Стереографическую проек-
цию западного полушария (на рис. 114 это нижняя часть сферы)
получим, проектируя западное полушарие из точки W на пло-
скость р, касательную к западному полушарию в точке V. Так
как такое проектирование для точек сферы Qi совпадает с инвер-
сией / = [№, 1FV2], то меридианы и параллели, как образующие
ортогональную сеть на Земле, спроектируются в ортогональную
же сеть окружностей на плоскости 0. При этом меридианы каж-
дого из полушарий (у нас на рис. 114 западного полушария)
спроектируются в дуги
окружностей, проходящих
через точки N и 5, для
которых эти точки служат
к/граничными. Заметим, что •
спектр изображений мери-
дианов (любого из полу-
шарий) в точности такой
1 же> -как и спектР парал-
—j лелей при рассмотренной
Г	J выше стереографической
проекции параллелей север-
\	ного и южного полушарий.
в Однако центры дуг, изо-
бражающих меридианы ка-
ждого из полушарий, дол-
Рис. .114.	• , жны быть построены в
соответствии с рис. 115.
На рис. 115 дано это построение (карта западного и восточного
полушарий). Что касается параллелей, то их надо строить, исходя .
из таких соображений: так как меридианы и параллели образуют
ортогональную сеть, то эта сеть должна .остаться' ортогональной
и в изображении сферы при стереографической проекции. В ча-
стности, изображения параллелей должны быть ортогональны изо-
бражению их основного меридиана а. Кроме того, центры изобра-
жения параллелей лежат на изображении оси WS полюсов N и S.
Отсюда получаем следующий способ геометрического построения
изображения параллели, проходящей через заданную точку М
основного меридиана а: проводим в точке М касательную
к окружности а (к изображению основного меридиана). Пусть
Р — точка, в которой эта касательная пересекается с прямой
NS; тогда окружность с центром в точке Р радиусом РМ
и будет изображением параллели, проходящей через точку М
(рис. 116). На рис. 117, построены -таким образом изображе-
ния параллелей (и изображения меридианов в соответствии
с рис/ 115, соответствующих значениям широты 0°, 15°,.
вжг'
Рис. 115.
30°, 45°, 60°, 75° для обоих полушарий (западного и восточ-
ного)).	 -
Из рис. 117 видно,' что спектр параллелей расширяется вблизи
полюсов. Докажем это аналитически. Пусть ф —широта точки М
< (рис. 116). Полагая NS = 2, будем иметь: PM = ctg <р, OP = cosec ф,
следовательно,
у = ОК = OP — PM = cosec <р - ctg <р =	= tg .
Эта функция «/=tg (<р/2) возрастающая на-сегменте [0, л/2] и при
измейении <р от 0 до л/2 функция i/ = tg(q>/2) возрастает от 0
до 1. Докажем, что значениям широт <ръ <р2, Фз. имеющих рав-
ные приращения (на сегменте 0 фх < ф2 <; ф3 л/2) (ф2 — фх =
= ф3 — Фа > 0), ,т. е. <р2 = (<рх + ф3)/2; соответствуют значения функции
У1 = tg (Ф1/2),	= tg (ф2/2), у3 = tg (<рз/2)

такие, что — t/i < у3 — Уг~ ил и что 2у2 <_ yt + у3. Этим и будет
доказано, что спектр параллелей разряжается вблизи полюсов.
Итак, надо доказать, что
2 tg (фг/2) < tg (фх/2) 4- tg (<р2/2),
2' Sin (фа/2) sin ((фх Ч~<Рз)/2)
zcos(q)2/2) cos (ф1/2) cos (фз/2) ’
о sin (фг/2)	________sin ф2
2 cos (ф2/2) cos (ф1/2) cos (фз/2) 9
COS (фх/2) COS (фз/2) < COS2 (ф2/2)
cos ф2 4- cos ffb—У1. < 14- cos ф2,
cos <Рз~ф1 < 1.
Это неравенство - верное, так как 0<(ф3 —фх)/2< л/2; неравен-	J
ство уз <С (i/i 4- 1/з)/2 ему эквивалентно, следовательно, и.оно верное.	|
К тем же значениям можно прийти, используя производные.
Имеем
£/ = tgfa/2),	-	J
1	- 'л
у' =х g/ >0,	фЕ[0, л/2],	§-
»	2 cos2 (ф/2)	’	т I > / j»
следовательно, функция у = tg^/2) возрастает на сегменте [0, л/2].
Далее	'	7
„ sin (ф/2) Q m е ГО л/21	• t
следовательно, график функции у = tg (<р/2) на сегменте [0, л/2]
имеет выпуклость вниз, и поэтому на этом сегменте выполняется Ц
неравенство Йенсена: у2 <(У1+Уз)/2, где yl9 у2, у3 имеют ука- .Ж
занные выше значения.	H
296 ,,	'	’ -	-	Ж
Наконец, в том,' что спектр параллелей расширяется вблизи
полюсов, подтверждает и следующая таблица, в которой даны
значения функции y = tg(cp/2) через 15° изменения широты и
значения At/ = yi+1-yt (i = l, 2, 3, 4, 5, 6).
ф	У	
0°	0,0000	
		0,1317
15°	0,1317	
		0,1362
, 30°	0,2679	
		0,1463
45° ,	* 0,4142	-
		0,1632
60°	0,5774	-
		0,1899
75°	0,7673	
		0,2327 .
90°	1,0000	*
Впрочем, все это сразу следует и из того, что спектр функ-
ции у = tg (ф/2) повторяет при изменении <р от 0° до 90° «в обрат-
ном направлении» спектр функции
x.ctg(»+ipg(A-|)
(сравните таблицы значений функций # = tg-|- и х = tg(-y —
Если дополнить изображения меридианов и параллелей при
построении карт западного и восточного полушарий (в стереогра-
фической проекции) до полных окружностей, то получим мно-
жество всех окружностей, проходящих через точки N и S (ме-
ридианы) и множество всех окружностей, ортогональных к изо-
бражениям меридианов (параллели) (рис. 118).
Множество всех окружностей, проходящих через две фикси-
рованные точки N и S, называется эллиптическим пучком окруж-
297
ностей; точки N и S при этом называются базисными. Множество
всех окружностей, каждая из которых ортогональна всем окруж-
ностям эллиптического пучка с базисными точками N и S, назы-
вается гиперболическим пучком окружностей, союзным с рассмат-
риваемым эллиптическим; точки N и S называются предельными
точками гиперболического пучка или точками Понселе такого
Рис. 118.
пучка. При изображении сети меридианов и параллелей при сте-
реографической проекции западного и восточного полушарий из
эллиптического пучка окружностей и союзного с ним гиперболи-
ческого пучка надо выделить часть, заключенную внутри окруж-
ности эллиптического пучка, диаметром которой .является отрезок
NS, где N и S —базисные точки эллиптического пучка.
Стереографическую проекцию сети меридианов и параллелей
можно осуществить, выбирая на сфере две любые диаметрально
противоположные точки А и В и проектируя сферу из точки А
на плоскость, касательную к сфере в точке В. Так как сте-
реографическая проекция есть конформное отображение сферы на
298
плоскость, то ортогональная сеть меридианов и параллелей ото-
бразится в ортогональную же сеть двух пучков окружностей:
меридианы отобразятся в эллиптический пучок с базисными точ-
ками N и S, а параллели в союзный с ним гиперболический
пучок с предельными точками N и S. Проекция основного мери-
диана будет некоторой окружностью К, проходящей через точки
N и S, причем NS будет хордой этой окружности. Карта одного
из полушарий (западного и восточного) будет заключена внут-
ри окружности К- Аналогично строится карта, другого полу-
шария.
Если из гиперболического пучка окружностей выделить любую
из них а, считая ее изображением экватора (а точку Понселе,
лежащую внутри выделенной окружности а, считать изображе-
нием полюса), то получим карту северного или южного полуша-
рия. Изображениями параллелей будут все окружности гипербо-
лического пучка, лежащие внутри окружности а, а полумери-
дианами—дуги союзного эллиптического пучка, заключенные
внутри окружности а и выходящие из полюса (расположенного
внутри а). При этом эти полумеридианы будут соединяться в дугу
одной окружности, если сумма долгот (восточной и западной)
равна 180° (или иначе: если разность положительной и отрица-
тельной долготы равна 180°).
, Такова качественная картина изображения меридианов и парал-
лелей при произвольной стереографической проекции западного,
восточного, северного и южного полушарий.
Покажем, как выполнить точно геометрически построение
спектра меридианов и' параллелей при произвольной стереогра-
фической проекции.
Начнем с построения спектра меридианов и параллелей при
изображении западного (или восточного) полушария, считая, что
широта и долгота меняются, например, через 15°. Рассмотрим
сечение Q = ANBS сферы плоскостью, проходящей через диа-
метры АВ и SN (рис.-119). Пусть N и S —проекции точек N и
S из точки А на касательную к сечению Q в точке В. Так как
при вращении сферы Qi вокруг оси SN меридианы переходят
один в другой (а параллели инвариантны), то в качестве изобра-
жения а основного меридиана с дополнением этого меридиана до
полной окружности можно взять любую окружность с хордой NS.
Так как стереографическая проекция является конформным ото-
бражением сферы на плоскость, то для построения изображения
меридианов через равные промежутки долгот следует построить
дуги окружностей, центры которых лежат на медиатрисе отрезка
NS, которые заключены внутри изображения а основного мери-
диана и образуют последовательно друг с другом равные углы.
Так, например, если изменять долготу через 15°, то получим
указанным образом изображения тринадцати меридианов (окруж-
ность а—это изображение двух меридианов с долготами 0° и 180°),
Которые последовательно пересекаются под углами равными 15°.
299

На рис. 120 построения выполнены в совмещенных плоскостях:
плоскость окружности £2 совмещена с плоскостью, касательной
к сфере Qi в точке В (совмещение достигается поворотом вокруг
прямой, по которой пересекаются эти две плоскости).
Рис. 120.
Для геометрического построения изображения этих меридианов
заметим, что угол между двумя пересекающимися, окружностями
равен углу между их радиусами, проведенными в точку пересе-
чения окружностей. Поэтому для построения радиусов и центров
301
I •
/
изображений меридианов следует поворачивать радиус NO окруж- ||-
ности а вокруг точки N последовательно, например, на угол 15°.	1
Для этого построим полуокружность CDE с центром N, диаметр
СЕ которой касается окружности а в точке N (см. рис, 119).
Дугу CDE делим на 12 равных пастей и точки деления проекти- i
руем из точки N на медиатрису отрезка NS. Эти проекции Т
и будут центрами изображений меридианов (соответствующих
изменению долготы через 15°), a TN — их радиусы.
Заметим, что использованное в этом построении соображение <
о конформности стереографической проекции можно было приме-
нить и выше для построения спектра меридианов в более про-
стом случае.
Для построения изображений параллелей при изменении
широты, например, также через 15° следует воспользоваться спо-
собом построения центра стереографической проекции окружности,
указанным выше при произвольном расположении диаметра АВ
сферы йх относительно окружности, лежащей на этой сфере. Пусть.
ОТ —радиус окружности й, перпендикулярный к SxAfx. Разделим ,
дугу S1TN1 на 12 равных частей. Пусть М — одна из точек деле- (
ния (например, ближайшая к Мх). Касательная к окружности й_
в точке М пересекает прямую в вершине Р конуса, касаю-
щегося сферы йх по параллели, проходящей через точку М. Проек-
ция Р' точки Р из точки А на прямую NS будет центром изо-
бражения этой параллели. Если РЕ—касательная, например,
к изображению а основного меридиана (L — точка касания), то	.
PL — радйус изображения рассматриваемой параллели (а Р — ее	*
центр). Таким образом, на рис. 120 построены изображения поло-
вин параллелей и половины экватора (центром изображения эква-
тора служит точка пересечения прямой NS с прямой, проходя-
щей через точку А параллельно N^).
Теперь рассмотрим построение спектра меридианов и парал-
лелей при выполнении стереографической проекции, например <
. северного полушария при произвольном расположении диаметра
АВ сферы йх относительно экватора.
Построим опять сечение й сферы йх плоскостью ЛЛ/ХВ5Х, и
пусть DE — диаметр окружности й, по которому плоскость сече- .
ния пересечет плоскость экватора. Пусть N и S — проекции точек
Afx и Sx из точки А на касательную к окружности й в точке В.
Для построения изображения экватора надо из точки А опустить •
перпендикуляр на диаметр DE. Пусть М — точка пересечения этого
перпендикуляра с касательной к окружности й в точке В. Тогда
М. — центр изображения экватора, а МЛ —радиус этого изобра-
жения.
Все последующие построения мы будем выполнять в совме-  |
щенных плоскостях: плоскости окружности й с плоскостью, каса-
тельной к сфере йх в точке В (совмещение, как и выше, дости-
гается поворотом вокруг прямой, по которой пересекаются эти
две плоскости).	•	-
.302
1
Для построения изображений параллелей при изменении
широты, например через 15°, разделим дугу окружности й
на 6 равных частей. Пусть L — одна из точек деления (напри-
мер, ближайшая к Е). Если Q — точка пересечения касательной
к окружности й в точке L с прямой то Q — вершина конуса,
касающегося сферы Й1 по параллели, проходящей через точку L.
Проекция R точки Q на прямую BN из точки А является цент/
ром изображения параллели, проходящей через точку L. Радиус
же изображения этой параллели равен отрезку RF касательной,
проведенной к изображению любого меридиана (т. е. к любой
окружности, проходящей через точки N и S). Указанным выше
способом построены параллели северного полушария для широт
от 90° до 0° через равные промежутки 15°.
Для построения изображения меридианов заметим (о чем уже
говорилось выше), что при вращении сферы, вокруг оси NiSx
меридианы переходят друг в друга (а параллели инвариантны).
Поэтому для построения полумеридианов можно в качестве двух
основных полумеридианов, соответствующих долготам 0° и 180q
и образующих одну дугу окружности, выбрать любую дугу
окружности, проходящую через точки N и S, лежащую внутри
изображения экватора.
Построим полуокружность с центром N, разделим ее, напри-
мер, на 12 равных частей и точки деления спроектируем из
точки N на медиатрису отрезка SN (точно так же строились
выше^ изображения меридианов при стереографической проекции
западного и восточного полушарий). Проекции будут центрами
полумеридианов, выходящих из точки N и образующих последо-
вательно друг с другом углы 15°. Полумеридианы, разность дол-
гот которых равна 180° (180°-0°= 180°, 165°-(—15°)= 180°,
150° —(—30°) =180° ит. д.) соединяются при изображении в одну
дугу окружности, лежащую внутри изображения экватора. Это
имеет место, например, и в простейшем случае, изображенном на
рисунке, где изображения меридианов, т. е. радиусы окружности,
для значений долгот, разность которых равна 180°, соединяются
в диаметр окружности, являющейся изображением экватора.
Конечно, то же самое имеет место и на сфере йх на любом из
двух полушарий: северном или южном.
- й
>Г Л-А В А V	Л
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ТЕОРЕМЫ И ФОРМУЛЫ
§ 1. Определители третьего порядка
Определитель третьего порядка вводится следующим соотно-
шением:
0i bi
Д == #2-^2
03 ^3-
С1
с% -- а^Ь^с^ 4~	4”— а^Ь^с^. (1)
Сз
a,-, bh Ct (i = 1, 2, 3) называются элементами определителя.
Основныесвойства:
Г. Определитель не меняется при транспонировании, т. е.
при замене строк столбцами:
-		01 bi Cl	&2 02	0з Ьз Сз	—	аг 02 0з	Ь1 —^2 Ьз	01 02 с3	•			(2)
2°. При перестановке двух любых . столбцов определитель меняет знак, сохраняя абсолютную величину, например:												
		•м <м ео •G	01 02 03	С1 С2 Сз	— -		Я1 >Ь1 аз Ьз Оз Ьз		01 02 Сз	•		(3)
OпpeдёлитeJ столбцов:	ib не «1 bi 02 ь2 &з Ьз	М€ ,С1 с2 Сз	шяе	тся bl ^2 Ьз	: при С1 01 02 «К Сз аз		кр;	уговой п Ci th bi с2 а2 Ь2 Сз 0,3 Ьз			ерестановке	его (4)
и меняет знак при нарушении кругового порядка его столбцов _
 (см- (3)).
- 3°. Если в определителе два столбца одинаковые, то он равен
нулю.
4°. Если все элементы какого-нибудь столбца определителя
равны нулю, то определитель равен нулю.
5°. Определитель является линейной функцией своих столб-
цов. Это означает, что выполняются следующее соотношение:
Xfli -J- j.1^1 bi Ci
Айа + М-^2 Ь% С2
Хпз -J- Ц*з Ь$ с3
Щ bi Ci
ki
— X Й2 ‘ Ь2 С3 — р
Ьз
йз Ьз с3
bi ci
Ь2 Сз
Ь3 Сз
(5)
304
н аналогичные соотношения для второго и третьего столб-
цов.
6°. Определитель не меняется, если к любому его столбцу
прибавить линейную комбинацию двух других столбцов, т. е.
-f- Kbi 4~ JACi Ci
^2 ”1“ М-С2 ^2 С’2
&з -]г	~|-	Нсз	Ьз Сз
bi
#2	^2
Оз Ьз
01
С2
Оз
(б).
и аналогично для второго и третьего столбцов. В частности,
определитель не меняется, если к любому его столбцу прибавить
или отнять другой столбец.
7°. Для того чтобы определитель был равен нулю, необхо-
димо и достаточно, чтобы его столбцы были линейно зависимы,
т. е. чтобы существовали числа X, р, v, среди которых хотя бы
одно отлично от нуля, и такие, что
A/ij +	+vcx = О,
taz2 + pft2-f-w2 = 0,
Xa3 + p&34-vc3 = 0.
(7)
Иначе, для того чтобы определитель был равен нулю, необхо-
димо и достаточно, чтобы один из его столбцов был линейной
комбинацией двух других, например:
с1 = Ха14-р61,
с2 = %а2 + р&2, '	•	(8)
с3 = %а3+^&3.
8°. При умножений -определителей можно пользоваться фор-
мулой .
а± bi ci
#2	02
#3 Ьз Сз
Х1 У1 Z1 7
х2 у2 г2 ==
*3 Уз Z3
а1^1'4"^Гг2*7рГ1Хз	С11У1-}-Ь1У2-^С1Уз CtiZi-j-biZ2-^C]Z3
— ^2^14^ ^2^2 4~ ^2^3 02^/14“ Ь2у2“}-С2Уз	4”^2^24“С2^3
азх1~{-ЬзХ2-\-СзХз С1зУ1~^ЬзУ2-\-СзУз Аз?14~^зг2 4“сз?з
(9)
/
Так как определитель не меняется при транспонировании, то
можно получить еще три способа умножения определителей, если
транспонировать один из множителей левой части равенства (9).
. Алгебраическим 'дополнением элемента определителя .называ-
ется коэффициент при этом элементе в формуле (1).
Например, алгебраическое дополнение Сг элемента сг опреде-
лителя (1) есть
. Ci = а2Ь2 — ОдЬ^. -
Алгебраическое' дополнение Аг элемента а2 определителя (1)
есть
А2 = Z>3Ci — Ьгс2
и т. д. (всего 9 алгебраических дополнений Af, Bt, Ci (i = 1, 2, 3)).
11 П. С. Моденов	305.
Всякий определитель равен сумме произведений элементов
любого столбца на соответствующие алгебраические дополнения:
Л = Й1А2 -f- ^2^2“I- «3^3
и аналогично для второго и третьего столбцов.
Всякий определитель, равен сумме произведений элементов
любой строки на соответствующие алгебраические дополнения:
Д = Ai И- -f-
и аналогично для второй и третьей строк.
, Сумма произведений элементов любого столбца на соответ-
ствующие алгебраические дополнения элементов' другого столбца
равна нулю, например:
'	Q1B1 Я- О2В2 Ч- С3В3—О
(и. еще 5 аналогичных соотношений).
Сумма произведений элементов любой строки на соответствую-
щие алгебраические дополнения элементов другой строки равна
нулю, например:
'	^1^2 4" ^1^2 Н~ ^1^2 = О
(и еще 5 аналогичных соотношений).
Минором элемента определителя называется определитель,
который получится, если из данного .определителя вычеркнуть
строку и столбец,х на пересечении которых расположен этот эле-
мент* ,
. Например, минором элемента сх определителя (1) является
определитель
|аз Й| = а2&з~оЛ,
минором элемента а2- определителя (1) является определитель
I»; и д-
Алгебраическое дополнение А любого элемента определителя
равно минору М этого элемента, умноженному на ( —1)‘+/', где
i и / — соответственно номер строки и номер столбца, на пересе-
чении которых расположен этот элемент:-
А = (-1)‘+' М.
§ 2. Векторная алгебра
Вектором называется направленный отрезок. Обозначаются
векторы так: а, Ъ, х, г,... или АВ, CD, PQ,...
Вектор АВ называется ненулевым, если точки А и В различны;
вектор АВ называется нулевым, если точки А и В совпадают.
306
Ненулевые векторы АВ и CD называются коллинеарными, если
прямые АВ и CD коллинеарны, т. е. или параллельны, или совпа-
дают. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
Если векторы а и Ь коллинеарны, то мы будем писать а\\Ь.
Если векторы а и b коллинеарны и направлены в одну сторону,
то мы будем писать а\\Ь, а если в противоположные, то af|&.
Модулем вектора ~АВ называется длина отрезка АВ. Обозна-
чения модуля: | ~АВ |, АВ, | а |, а.
Ненулевые «векторы а и b называются равными, если a ft Ь и
| а | — | Ь Нулевой вектор считается отличным от. ненулевого.
Нулевые векторы считаются равными.
Ненулевые векторы ЛВ, CD, EF называются компланарными,
если прямые АВ, CD и EF компланарны одной и той же пло-
скости (прямая и плоскость называются компланарными, если
прямая или параллельна, или лежит на плоскости). Если среди
Векторов АВ, CD, EF есть хотя бы один нулевой, то они счита-
ются компланарными.
Отложить вектор а от данной точки Л —это значит постро-
ить направленный отрезок АВ, равный вектору а.
Вектором, симметричным с вектором а = АВ, называется век-
тор — а = ВА.
Суммой а+& векторов а и b называется вектор, который
строится так: от произвольной точки Л откладываем вектор а:
'	ЛВ = а,
от точки В откладываем вектор Ь".
ВС = Ъ,
тогда
а+Ь = АС.
Свойства суммы векторов:
а + (&+с) = («+&)+с,
а4-0 = а,
а + ( — а) = 0,
а + Ь = Ь+а.
Разностью а — Ь называется такой вектор х, что Ь-\-х^=а. Для .
построения разности а — Ь следует отложить векторы а и Ь от
одной и той же точки О'.
ОА=а, ОВ = Ь.
Тогда а — Ь = ВА.
Произведением Ка числа Х=#0 на вектор a=f=Q называется
вектор, который определяется так: |Ха| = |1||а|, причем Ха ft а,
11*	'	307
если А>0, и ка ||а, если Х<0. Если или А = 0, или д = 0, то
по определению Ад = 0.	•
Свойства произведения числа на вектор:
4	\-а = а,
Л (рд) — (Ар) а, -
А (д-}-&)== Ад
(А + р)д = Ад + рд.
Если д||&=#0, то отношением	называется такое число Л,
что А& = д. Если 0=/= д||£>=/=0, то	= причем в правой
части берется знак +, если a ft Ъ, и знак —, если а || Ь. Если
д = 0, д=/=0, то -^- = 0.
о
Линейной комбинацией векторов а, Ь, с......называется сумма
Aa + p&4-vc + ...	- -
Векторы а, Ь, с,... называются линейно зависимыми, если
существуют числа А, р, v,..., среди которых хотя бы одно отлично
от нуля, и такие, что Ад + р&-|-¥г4-;.. = 0. Если это равенство
возможно только при A = p = v = ... = 0, то векторы д, Ь, с,...
называются линейно независимыми.
Для того чтобы векторы а и b были коллинеарны, необходимо
и достаточно, чтобы они были линейно зависимыми.
Для того чтобы векторы д, Ь, с были компланарны, необхо-
димо и достаточно, чтобы они были линейно зависимыми.
Базисом еъ е2 на плоскости называется упорядоченная пара
неколлинеарных векторов е2, компланарных этой плоскости.
Если, векторы базиса единичные и взаимно перпендикулярные,
то базис называется ортонормальным. Векторы ортонормального
базиса обозначаются обычно Z, j:
'iAj, |/| = |/| = 1. . . '•
Пусть на плоскости введен tбазис е1( е2, д — произвольный
вектор, компланарный этой плоскости. Существует и притом только
одна пара чисел х, у таких, что
• а =хе1 + г/е2.
Коэффициенты х и у при и е2 в этом разложении вектора д
по базису elt е2 называются координатами вектора а в базисе
е1( е2. Если вектор д в базисе ег, е3 имеет координаты х, у, то
пишут, а = {х, у} или д{х, у}.
Базисом еи е2, е3 в пространстве называется упорядоченная
тройка некомпланарных векторов е2, е3.	,	.
Если векторы базиса единичные и попарно ортогональные,, то
базцс называется ортонормальным. Векторы ортонормального
базиса обозначаются обычно I, j, k:'
'	' i±j, j±k, k±i, |Z| = |/| = |fr| = l. -
308
Если в пространстве введен базис ё1г е2, е3 и а — произ-
вольный вектор, то существует и притом только одна тройка
чисел х, у; г таких, что
a = xex+ye2+ze3.
Числа х, у, г называются координатами вектора а в базисе
еъ е2, е3. Если вектор а имеет координаты х, у, г, то пишут
а=={х, у, г} йлп.а{х, у, г}.	:
-Два вектора а и b равны тогда и только тогда, когда равны
их соответствующие координаты.' •
Если в базисе ех, е3
а = {х, у}, Ь-={х', у'},	,
то	.
а + & = {х+х', у+у'},
- а — Ь = {х — х’, у-у’},
*	Ла = {1х, Ху}.
Если- в базисе et, е2, е3 ,
а = {х, у, г}, Ь = {х', у', z'},'
то	.
а+Ь = {х+х', у+у', z + z'},
a — b = {x—x', у—у', z — z'\,
>.а = {1х, 1г/, lz}.
Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух век-.
торов а — {х, у} w.-b = {x', у'} на плоскости является равенства
Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух век-
торов а = {х, у, г} и Ь = {х', у', г'} в пространстве является
условие:
.К *| = |* *1 = 1* И = о.
IУ z' I I г' х' I IX 'у' I
Необходимым и достаточным условием компланарности трех век-
торов	'
• а = {х, у* z}, b = {x', у', z'}, с = {х", у", z"\
является равенство
х у
х' у'
X* X9
Z
г' =0,
г*
Скалярным произведением (а, Ь) ненулевых векторов а и b
называется произведение их модулей, на косинус угла между ними:
[а, -&) = |а||&| cos ф.
Если а = 0 или Ь = 0, то по определению (а, &)=0.
309
/ <
Свойства скалярного произведения двух векторов:	У
(а,а)>0, если а=#0,	(а, а) = 0, если а = 0,	.
(а, b) = (b, а),
(ка, Ь) = к(а, Ь),
(а, Ъ+с) = (а, Ь) + (а, с).
Скалярное произведение (а, а) иногда обозначают так: а2
и называют скалярным квадратом вектора а.
Если в ортонормальном базисе /, J на плоскости
а = {х, у}, Ъ = {х', у'},
то
(а,' Ь)=хх'+уу',
а если
а = {х, у}, Ь = {х', у'}	-\
в произвольном базисе eiy е2, то
(«,. Ь) == gnxx' + g12 (ху' + х'у) 4- g22yyr,
где .
gi/ = (ei> е7).
Совокупность скалярных произведений gy = (ei, ej) базисных
векторов elt е2 называется фундаментальным тензором этого
базиса.
Если в ортонормальном базисе I, j, к
а = {х, у, г}, Ь = {х’’, у', г'},
то
(a, b)=xx' +yy' + zz',.
а если'
а = {х, у, г}, Ь = {х', у', г'}
в произвольном базисе ег, е2, е3, то'
(a, b) = gnxx'+g22yy'+g33zz' +
+ gli (ху' + х'у) + g23 (yz' + y'z) + g31 (zx' + z'x),
где gij — (ei, €j) (фундаментальный тензор базиса elt .e2, e3).	‘
Плоскость называется ориентированной, е<уш на ней введен
Зазис е1} е2.	'
Если упорядоченная пара а, b неколлинеарных векторов а иЬ
имеет ориентацйю, одинаковую с базисом eL, е2.
а, Ь\\еъ е2,
то эта упорядоченная пара а, b называется правой или парой,
имеющей положительную ориентацию. Если же а, & и е1( е2
имеют противоположную ориентацию:
a, b е2,
310
то упорядоченная пара а, b называется левой или парой, имеющей
отрицательную ориентацию.
Пусть неколлинеарные векторы а и ft лежат на ориентиро-
ванной плоскости. Смешанным или псевдоскалярным произведением
ab вектора а на вектор b называется число, абсолютная величина
которого равна площади параллелограмма со сторонами О А = а,
ОВ—b и которое положительно, если упорядоченная пара а,.
Ь — правая, и отрицательно, если эта пара —левая. Если a\\ti, то
по определению aft = 0.
Свойства смешанного (псевдоскалярного) произведения:
ab =— Ьа,
а (Ъ+с) = ab + ас,
(Ха) ft=Х (aft).
Пусть на ориентированной плоскости заданы два неколли-
неарных вектора а и Ъ, угол между которыми равен а. Углом
Ф от вектора а до вектора b называется угол ф = а, если а,
Ь — правая пара, и угол ф=—а, если а, Ь — левая пара.
Если векторы а н b ненулевые и a ft, то по определению
Ф = 0, а если q ft, то по определению ф = л. Угол ф от вектора
а=/=0 до вектора ft=/=0 определяется из соотношений4
cos ф =	, sin ф = . а^. .
Если ненулевые векторы а и ft заданы своими координатами
а = {х, у}, Ь = {х', у'}
в ортонормальном базисе /, j, то
хх'+уу!	.	ху'—х’у
cos Ф =	7=^ Sln Ф =	...7
]6с2 + № и х' +у' ’	Vх2+у2 V х' +у' "
Если ненулевые векторы а и ft заданы своими координатами
в произвольном базисе ех, е2, то
COS(p== gjjXX' +g12 (ху' +х'у) +g22yy'
УgnX24-2g12xy-J-g22y2 Vgux'2+2g12x'y' +g22y'!’
Kgnx2+2g12xy+g22y3 Vgux’2+2g12x’y' + g22y'2 ’
где g —определитель Грама:
s=\8gi
Обычно для ф берется цепочка значений ф-}-2^л, где k при-
нимает все целые значения, а ф —одно из значений угла от век-
тора а до вектора ft.
311
Пусть вектор а лежит на плоскости, ориентированной базисом
е2. Вектором av называется вектор, полученный поворотом
вектора а на угол <р (если 0<ф<л, то.пара a, av правая, если
— л<Ф<0, то левая; если ф = 0, то аф = а, если ф = л, то
аф=— а).
Вектор', полученный поворотом вектора а на угол л/2, обозна-
чается так: [а].
Имеет место формула
ab = ([а], Ь).
Если в ортонормальном базисе i, J
то
а = {х, у}, Ь = {х', у'},
аф = {хсозф —узшф, х sin ф-фу cos ф},
[«] = {-*/> х}>
Если векторы а = {х,
базисе elt ег, то
Два базиса ех, е2
ними, если
(et,
у] и Ь — {х’> у'} заданы в произвольном
ab=Vs\xx> у]-
и е1, е2 на плоскости- называются взаим-
1 при
О при
«¥=/•
ef) = 6l
Векторы взаимных базисов связаны соотношениями
<,2-1*11	„-121
e2«i’	ete2’ е1~ е2е1’	е^'
В других обозначениях: векторы взаимных базисов а, Ь и а*,
Ь* связаны соотношениями
аа* = bb* = \, ab*=a*b = b,
а ~ Ьа’ ° ~ ab’ и~ Ь*а*г и~а*Ь*'
Разложения произвольного вектора а по базисам е1г е2 и е1, е2
имеют вид
а = (а, е1)е1 + (а, е2)е2,
а = (а, е1)е1 + (а, е2)е2
(формулы Гиббса).
Числа а1 = (а, е1), а2 = (а, те2), т. е. коэффициенты при
и е2 в разложении вектора а по векторам е2, называются
контравариантными координатами вектора а в базисе еъ е2,
а числа ai = (a, ej, а2 = (а, е2), т.~ е. коэффициенты при е1, е2
312
в разложении вектора а по базису е1, е2, называются кова-
риантными координатами вектора а в базисе е2.
Если один из векторов задан в базисе еи е2 своими контра-
вариантными координатами: г
а=хе1-\-уе2 = {х, у}
а другой —ковариантными-координатами:
Ь=х,е1+у’е* = \х', у'],
то .	-	.
(а, Ь)=хх'+уу’,
[a]=yi[-t/, х],
аФ = fe cos ф+у (g12 cos ф - Yg sin ф),
х (g12 cos ф+Vg.s in ф) +-yg22 cos ф]
(при ф = л/2 получается предыдущая формула).
Пространство называется ориентированным, если в нем введен
базис ei, е2, е3.
Если упорядоченная тройка а, Ъ, с некомпланарных векторов
одинаково ориентирована с базисом е2, е3, то она называется
правой тройкой или тройкой, имеющей положительную ориента-
цию. Если же упорядоченные тройки а, Ь, с и еъ е2, е3 имеют
противоположную ориентацию,’ то тройку а, Ь, с называют левой
или тройкой, имеющей отрицательную ориентацию.
Смешанным произведением abc упорядоченной тройки а, Ь, с
некомпланарных векторов, лежащих в ориентированном простран-
стве, называется число, абсолютная величина^ которого равна -
объему параллелепипеда с ребрами ОА=а, ОВ = Ь, ОС = с (О—
произвольная точка) -и которое положительно, если тройка а, Ь,
с —правая, и отрицательно, если тройка а, Ь, с —левая. .Если'
векторы а, Ь, с компланарны, то по определению abc = Q.
Свойства смешанного произведения трех векторов:
abc = bca — cab —— bac,
(Ха+pb) cd=X (acd) + р (bed)
(и аналогично для второго и третьего множителей).
Если пространство ориентировано ортонормальным базисом
I, J, k и в этом базисе
а = {х, у, г}, Ь = {х’,
то
abc =
а в произвольном базисе -
у', г'}, с = {х", у", z"},
X у Z
х' у’ г' ,
х" у г"
abc=Yg
у г
У' 2' ,
у* У
313
где g — определитель Грама:
gii
§2i
ёз1
g =
gl2 S13
§22 §23
§32 §33

Пусть в ориентированном пространстве заданы два неколли-
неарных вектора а и Ь.
Векторным произведением [аб] вектора а на вектор b назы-
вается вектор, определяемый следующими условиями:
1)	| [ab] | = | а || b | sin <р, где ф — угол от вектора а до вектора Ь;
2)	[ab]j_a, [ab] I b\
3)	упорядоченная тройка а, b, [ад] —правая.
Если аЦЬ, то по определению [а&] = 0.
Свойства векторного произведения:
[ab]=— [Ьа],
[(Ха)&]=Х[а&],
[я(&+с)] =[й&] + [ас],
([л&], с) = (а, [bc])=abc.
. Если в ортонормальном базисе Z, /, к
а = {х, у, г}, Ь = {х', у', г’},
то
 Ц ;! 1и-1Ь
Два базиса е2, е3 и ё1, е2, е3 называются взаимными, если
(еь е’) = &
1 при i = /,
О при Z=/=j.
Векторы взаимных базисов связаны соотношениями
gl _	_ ig3gl] ' g3 _ [glg2]
0102^3 *	^1^2^3 9	^1^2^3 9
_ [eV] _ [esei]	_ [<?ie2]
010203..’ S 010203’ Г3 e1^2e3-
Другие обозначения: взаимные базисы а, Ь, с и а*, Ь*, с* опре-
деляются соотношениями
аа* =bb* =сс* = 1,	*,
ab* =a*b = bc* =Ь*с = са* =ас* =0,
и, далее,
= л* = [££]	с*=[£11	, I
abcf	abc’	abc’ '	‘Д
__ [&*£*] t_____ [g*a*] •	___
a*b*c*9 a*b*c* 9 a*b*c*e	Д
314	*	s
Всякий вектор а по базисам еи е2, е3 и е1, в2, е3, разла-
гается следующим образом:
а = (а, ег)е^(а, е2)е2+(а, е3)е3,
а = (а, е1)е1+(а, е2)е2 + (а, е3)-е3
(формулы Гиббса).
Числа а1 = (а, в1) называются контравариантными координа- •
теши вектора а в базисе е1г е2, е3, а числа at = (a, ei) назы-
ваются ковариантными координатами"вектора а в том же базисе.
Если в произвольном базисе еъ е2, е3 векторы а и b заданы
контравариантными координатами:
a=xel+ye2+ze3 = {x, у, г],
b=x'e1+y'e2-{-г'e3 — {x,, у', г'}, '
то ковариантные, координаты векторного произведения:
!: !: Я]-
Отметим еще несколько тождеств:
<«»)(««)=(W[«n)=|g:?>
[a[bc]] = b(a, с)-с(а, Ь),	[ай]2 + (а, Ь)2 = а2Ь2,
[[<z&] [erf]] = с (abd) — d (abc) — b(acd) — a (bed),
, a(bcd)+b(cad)+c(bda)+d(acb) = 0,
(abc) (xyz)'=
(a, x) (a, y)
(». x) (b, y)
(c, x) (c, y)
(a, z)
(b, z) ,
(c, z)
(abc)2 =
(a, a)
(b, a)
(c. a)
(a, b)
(b, b)
(c. ft)
[a&] pc] [ca] = (abc)2.
(a, c)
(&> c)
(c, c)
В приводимых задачах даны вопросы, связанные с понятием
скользящего вектора.
Скользящий вектор есть также направленный отрезок, однако
равенство таких векторов определяется следующим образом: два
ненулевых скользящих вектора АВ и CD называются равными,
если равны длины отрезков АВ и CD, если АВ и CD направлены
в одну сторону и если они лежат на одной и той же прямой;
эта^ прямая называется суппортом скользящего вектора. Скользя-
щий вектор <а на плоскости задается его координатами х, у
и моментом z = r& относительно какой-либо точки О (г = ОМ,
где М — произвольная точка суппорта; . г® — смешанное (или
псевдоскалярное) произведение).
315
§ 3. Аналитическая геометрия
Фиксируем на плоскости точку' О и базис е1} е2. Отложим
векторы е2 от точки О:
O£i = e1, ’ ОЕ2 = е2.
Совокупность прямых Ox — OElt Оу = ОЕ2, на которых от
точки О отложены векторы еъ е2 базиса, называется общей,
декартовой системой координат на плоскости; Ох, называется
осью абсцисс-, Оу—осью ординат. Точка О называется началом
координат; Ох и Оу —осями координат.
Аналогично определяется общая декартова система координат
Oxyz в пространстве.
Если-.на плоскости (соответственно в пространстве) вводится
ортонормальный базис I, j (соответственно Z, J, k) и фикси-
руется точка О, то соответствующая система координат назы-
вается декартовой прямоугольной.
Радиус-вектором г точки* М называется направленный отрезок
г = ОМ.
Общими декартовыми координатами х, у точки М в общей
декартовой системе координат (О, е1г е2) на плоскости назы-
ваются координаты ее радиус-вектора г = ОМ в базисе elt е2:
г = хе1+уе2. .
Координатами точки М в декартовой прямоугольной системе
координат (О, i, ,j) на плоскости называются координаты х, у
ее радиус-вектора г —ОМ в базисе I,' J:
r = xi + yj.
Аналогично определяются общие декартовы и декартовы прямо-
угольные координаты х, у, z-точки М в пространстве:
- r = OM = xe1+ye2-j-ze3,
r — OM=xi + yJ+zk.
Если точка М имеет координаты х, у, то пишут М(х, у) или
М = (х, у)' (в пространстве: М(х, у, z) или М = (х, у, г)).
Если Гх и г.г — радиус-векторы точек А и В, то
. ав=г2 — п;
в координатах
А~В = {x2 — xlt у2 — У1}	(на плоскости),
АВ = {х2 — х1, y2 — yi, z2 —Zi} (в пространстве),
где А = (Xi, yt), В = (х2, у2) (на плоскости), А = (х1( уи zj,
В = (х2, у2, z2) (в пространстве).
316	'
Длина d отрезка АВ, концы 'которого заданы радиус-векто-
рами /*! и г2, вычисляется по формуле.
d = |r2-r1|.
В декартовой прямоугольной системе координат
d — ]f(x2 — хх)2 + (у2 — £/i)2	(на плоскости),
д = У(х2 — хх)2 + (у2—у^2 + (г2 - Zi)2 (в пространстве).
В общей декартовой системе координат
d = УЯи <х2 ~ Xi)2 + 2g12 (х2 - хх) (у2 - z/j) + g22 (у2 - У1)2 (на плоско-
сти),
d2 = gn (х2 - хх)2 + g22 (у2 - i/i)2+&з (г2— Zr)2 +
+ 2gi2 (х2 - Xi).(y2—у^ + 2g23 (y2 - yi) (z2 -	+
+ 2g31(z2 — Zi)(x2 — Xi) (в пространстве).
В частности, .расстояние г от точки до начала координат
в декартовой прямоугольной системе координат:
г=Ух2+у2 (на плоскости),
г =]/x2 + y2+z2 (в пространстве),
а в общей декартовой системе координат:
г = KgiiX2 + 2g12xg+g^ (на плоскости),.
г = VgnX2+gMy2 + gssZ2 + ^guxy+2g23yz + 2g31zx (в пространстве).
Пусть на плоскости введена декартова прямоугольная систе-
ма координат. Рассмотрим произвольную точку М, отличную от
начала координат. Первой полярной координатой точки М назы-
вается длина р отрезка ОЛ4. Второй полярной координатой точки
М называется угол <р от вектора Z до радиус-вектора ОМ точки М.
Если х, «/ — координаты точки М в декартовой прямоугольной
системе координат, то
--	x = pcosq>, z/ = psin<p;	.
Р = 1/х24-у2, COS ф = — =  , —. sin ф = — =	___
Н Г У Y -р +	У Р Vx*+yf
Для начала координат по определению: р = 0, ф —любое число. >
Отношением X, в котором точка М ^=М2 делит ненулевой нап-
равленный отрезок М2М2, называется число
	мм2 •
Каково бы ни было число А, #=— 1 и каков бы ни был ненулевой
направленный -отрезок Л11Л?2, существует и притом только одна
точка М, которая делит отрезок М±М2 в отношении А.
317
Если Г1 и r2 — радиус-векторы точек Mt и М2, то радиус-век- *
тор г точки М определяется соотношением
• г__/*14* ХГ2
1	+ Х ’
В частности, радиус-вектор середины отрезка равен полусумме
радиус-векторов его концов:
2	'
В общей декартовой системе координат координаты точки М
через координаты’ точек Мг и М2 выражаются соотношениями
х = Х1,~^Уг , у — (на плоскости),
1 "Т“ Л	1 "Г- Л
х =	> У=	(в пространстве),,
а координаты середины отрезка:
/	х— Х--+Х2, у — (на плоскости),
х= —2	у =J, г= 2 ' (в пространстве).
Точки А, В, С,... называются коллинеарными, если существует
прямая, на которой все они расположены.
Точки А, В, С, D,... называются компланарными, если суще-
ствует плоскость, на которой все онц расположены.'
Если г1( г2, г3 — радиус-векторы точек А, В, С, то необхо-
димое и. достаточное условие их коллинеарности имеет вид
(r1-r3)(r2-r3) = 0,
а в общей декартовой системе координат:
или
lxt-Хз yr-Уз|_0
|*а—У*—Уз1
Xi yt 1
х2 Ун 1 =0
*2 Уз 1
где A=(xlt У1), В=\х2, у2), С = (х3, у3).
Если гь г2, г3, г4 — радиус-векторы точек А, В9 С, D, то
необходимое и достаточное условие их компланарности имеет вид
(П - г4) (г2 - г4) (г3 - г4) = 0,
а в общей декартовой системе координат
*1— *4
х2—х4
х3—х4
У 2 — У4
Уз — У 4
21 —Z4
22-24
z3-z4
= 0,
318
где
A = (xlt ylt zr), B = (x2, y2, z2), C = (x3, y3, z3), D=(xit y4, z4).
Треугольником ABC называется совокупность трех точек А,
В, С. Ориентированным треугольником АВС называется упорядо-
ченная совокупность трех точек А, В, С. Если точки А, В, С
неколлинеарны, то треугольник АВС называется невырожденным,
а если коллинеарны, то вырожденным.
Площадью АВС невырожденного ориентированного треуголь-
ника АВС, лежащего на ориентированной плоскости, называется
число, абсолютная величина которого равна площади треуголь-
ника АВС и которое положительно, если треугольник АВС имеет
правую ориентацию (т. е. правую ориентацию имеет упорядочен-
ная пара СА, СВ), и отрицательно, если АВС имеет левую ориен-
тацию.
Если точки А, В, С коллинеарны, то по определению считаем,
что АВС = 0-_______________________________________*
Площадь АВС ориентированного треугольника АВС вычис-
ляется по формулам
АВС = С А СВ,	АВС = Ь (Г1 _ Гз) (Г2 _ Гз)
(гх,	г3 — радиус-векторы точек Af В9 С).
В общей декартовой системе координат
ЛВС = ^ё |Х1~~Хз 01—0з1 = К§.
2 х% Х3 2/2 >— Уз * 2
1
1
1
Xi
Х2
Хз
У1
У2
Уз
а в декартовой прямоугольной системе координат
1 I	।	< Xi yi 1
АВС = ^\Х1~Хз yi~y3 =4 хз y2 1 .
,	2 [x2“*3 У2 — Уз 2	1
'	Хз Уз 1
Для вычисления площади 5. треугольника АВС правые части
надо взять по модулю:
S=^-modh“J
Z	| Л2 Л3
S=^modP1-^
Z I Л2 — Лз
1	./—	х^	yt	1
У1~ У3 = K^-mod	Х2	У2	1
2	Хз	№	1
\	1	Xi	yi	1
v1-^3 =4mod x*уз 1 •
У2 — Уз\	*	vol
Хз Уз 1
В последних формулах А = (х1, у2), В = (х2, у2), С = (х3, у3).
Отношением
PQ$
АВС
у
319-
невырожденных треугольников PQR й АВС, лежащих на плос- 4
кости, называется число, абсолютная величина которого равна 1
отношению площади треугольника PQR к площади треугольника
АВС и которое, положительно, если PQR и АВС имеют одина-
ковую ориентацию (т._е. 7??, ₽Qtf С/1, СВ), и отрицательно,
если треугольники PQR и АВС имеют противоположную ориен- ,
тацию._ Если PQR — вырожденный треугольник, а АВС — невы-
рожденный, то по определению.
S-0.-
АВС	- .
Имеет место формула
PQR PQR
АВС 'АВС
(если треугольники PQR и АВС лежат на ориентированной
плоскости).
Барицентрическими координатами а, 0, у точки М относи-
тельно невырожденного ориентированного треугольника назы-
ваются числа
МВС	о ~АМС	~АВМ
а =	В = ——	у - —=
АВС ’	г ,АВС ’ f АВС•
* Тетраэдром ABCD называется совокупность четырех точек
А, В, С, D пространства. Ориентированным тетраэдром ABCD
называется упорядоченная совокупность А, В, С, D четырех
 точек пространства. Если точки А, В, С, D некомпланарны, то
тетраэдр ABCD называется.невырожденным, а если компланарны,
то вырождением..	___ -	'
Если ^невырожденный тетраэдр ABCD лежит в ориентирован-
ном пространстве, то он имеет правую или положительную ориен-
тацию, если .упорядоченные тройки векторов DA, DB, DC и ех,
е<>, е3 имеют одинаковую ориентацию. Если же эти упорядоченные
тройки векторов имеют противоположную ориентацию, то тетраэдр
ABCD имеет левую или отрицательную ориентацию.
Объемом ABCD невырожденного ориентированного тетраэдра
ABCD, лежащего , в ориентированном пространстве, называется
число, абсолютная величина которого равна объему тетраэдра .
ABCD и которое положительно, если тетраэдр ABCD имеет пра-
вую ориентацию, и отрицательно, если левую. Если ABCD — вырож-
денный тетраэдр, то по определению полагаем, что АВСР = 0.
 Объем ABCD ориентированного тетраэдра ABCD, лежащего
в ориентированном пространстве, вычисляется по формуле:
~ABCD = -^DADB.DC.
6
320
Если r1( r2, r3, r4 — радиус-векторы точек А, В, С, D, то
ABCD = -J- (гг - г4) (г2 - г4) (г3 - А)-
В координатах (в общей -декартовой системе координат)
ABCD = ^J>-
О
Xi — Х4 1/1—у4
Х2 — Х4 У2 — Уа
Хз—Х4 у3~У4
Z1 —*4
Z2 —Z4
Z3-Z4
Kg
- 6
*1 th
Хг Уг
х3 Уз
Xi yt
Z| 1
z2 1
z3 i ’
z4 I
а в декартовой прямоугольной системе координат
ABCD =4-
О
Х1 — х4
х2—х4
Хз — Х4
У1 —-У4
У2 — У4
Уз — У4
zi—z4
z2 — z4
Z3 —Z4
В последних формулах
Х1
X2
Хз
X4
У1
У2
Уз
У4
Z1
г?
z3
z4
1
1
1 •
1
” 6
Л = (хп y19 гД B = (x21 y29 z2), C = (x3, уз, z3), D = (x49 y49 z4).
Отношением
PQRS
abcd
невырожденного ориентированного тетраэдра PQRS к невырожден-
ному ориентированному тетраэдру- ABCD -называется число, абсо-
лютная величина -которого равна отношению объема тетраэдра
PQRS к объему,, тетраэдра ABCD и которое положительно, если
PQRS и ABCD имеют одинаковую ориентацию (т. _е. упорядочен-
ные тройки SP, SQ, SR и DA, DB, DC имеют'одинаковую ориен-
тацию), и отрицательно, если PQRS и ABCD имеют противопо-
ложную ориентацию. Если PQRS — вырожденный тетраэдр,
a ABCD — невырожденный, то по определению считаем, что
PQRS^ 0
' ABCD
Если тетраэдры PQRS и ABCD лежат в ориентированном про-
странстве, то
PQRS _ PQRS
 • авсБ~ ~лвёВ:
Барицентрическими координатами а, 0, у, 6 точки М отно-
сительно невырожденного ориентированного тетраэдра ABCD назы-
ваются числа
MBCD	а . AMCD ABMD	s АВСМ
ABCD ’ r ABCD ’ ABCD ABCD '
' 321
д‘=1
Площадь S треугольника АВС в пространстве, вершины кото-
рого заданы радиус-векторами гь г2> Гь вычисляется по формуле
«=41/'[(г1-/'з)(л'2-Гз)]2-
В декартовой прямоугольной системе координат:
5 = 4/Д1 + ДЦ-Д1,
где	_
У1—Уз Zi—г3| д	|zi—z3 Xi — х3| д = lxl—х3 yt—z/3l
Уз—Уз га—г3|’	2 |г2—г3 х2—х3|’ 3 |х2—х3 у2—г/31
а в общей декартовой системе координат
s=^VguM+g^+g33^l+2g^2+2§23д2д3+г^ДзДх.
В “Последних формулах
^ = (^1. «/1. zj, В = (х2, у2, г2), С = (х3, у3, z3), §‘7 = (ег, е7).
Если на плоскости введена общая декартова система координат,
то уравнение любой, прямой, лежащей на этой плоскости, есть
уравнение первой степени
*	Ах -j- By С = О
и, обратно, любое уравнение первой степени
Ах В у -j- С = О
в любой общей декартовой системе координат является уравне-
-нием прямой.
Направляющим вектором a — PQ прямой р называется всякий
ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой (вектор PQ#=0
и прямая р называются коллинеарными, если прямые PQ и р
коллинеарны, т. е. или параллельны, или совпадают. Нулевой
вектор считается коллинеарным любой прямой).
Для прямой, заданной относительно общей декартовой системы
координат уравнением
Ах By -f- С = О,
вектор а = {—В, А} является направляющим.
Необходимое и достаточное условие коллинеарности вектору,
а = {1, т} и прямой Ах + Ву + С = 0 в общей декартовой системе
координат имеет вид
Al'+Bm = 0.	v
Для координат всех точек (х, у), лежащих по одну сторону
or прямой, заданной уравнением
1	Ах + Ву+С = 0
322	-
относительно общей декартовой системы координат, выполняется
неравенство
Лх+Ву + ОО
(положительная полуплоскость), а для координат х, у всех точек
(х, у), лежащих по другую сторону от этой прямой, выполняется
неравенство
Лх + Вг/ + С<0
(отрицательная полуплоскость).
Вектор л = {Л, В} называется главным вектором прямой, задан-
ной относительно общей декартовой системы координат уравне-
нием Ах -j- By С = 0. Если его отлозкить от любой точки Мд
рассматриваемой прямой:	= то точка Р попадет в поло-
жительную полуплоскость.
Если А и В рассматривать как ковариантные координаты
вектора, то вектор [Л, В] является нормальным к прямой, задан-
ной относительно общей декартовой системы координат уравне-
нием Лх-ЬВу+С = 0.
В декартовой прямоугольной системе координат главный век-
тор л = {Л, В} прямой Лх4-Ву-|-С = 0 является нормальным
вектором к этой прямой.
Уравнение.прямой, проходящей через точку Mt, определяемую
радиус-вектором rlt и имеющую направляющий вектор а, имеет
вид	' х
'	(г — г1)а = 0.
Если в общей декартовой системе координат а={1, т}, Мг =
= (х1( yi), то последнее уравнение примет вид
1*7* у-j/x| = 0
I » т |
или
x—Xj = y—yt
I т
(если 1 = 0, то эту запись надо понимать так: х — Хх = 0, а если
т = 0, то так: у — у1 = О).
Если I #= 0, то последнее уравнение можно переписать в виде
У — yi = k.(x-xi),.
где k = mll называется угловым коэффициентом Прямой (в общей
декартовой системе координат). Угловой коэффициент прямой,
проходящей через две точки (х1( уг) и (х2, у2) и неколлинеарной
оси Оу, вычисляется по формуле
Xz—Xi
(в общей декартовой системе координат).
323
В декартовой прямоугольной системе координат угловой коэф-
фициент равен
k = tga,
где а —угол от оси Ох до рассматриваемой прямой.
Уравнение прямой, пересекающей ось Оу в точке (0, &) и £
имеющей угловой коэффициент k, в общей декартовой системе
координат имеет вид	'
. y = kx-^b.		|;
Уравнение прямой, не проходящей через начало координат и
пересекающей оси координат в точках (а, 0) и (0, Ь), имеет вид
(уравнение прямой в отрезках).
Если прямая проходит через точку Mlt заданную радиус-
вектором rlt и имеет направляющий вектор а, то радиус-вектор г
любой ее точки может быть представлен в виде
г = г1 + /а,
где t принимает всё действительные значения. Это уравнение
называется параметрическим уравнением прямой. Число t является
координатой точки М на рассматриваемой прямой при условии,
ч, что Afj — начало координат, а а —базисный вектор:
# _ г—Г1___м^м
а ~~ а '
Пусть в общей декартовой системе координат г = \х, у},~ гг —
— {х1» У1}> а =	т}< тогда получаем параметрические уравнения
прямой в виде
x = x1 + lt, y = y1+mt.
Пусть и г2 — радиус-векторы двух различных точек Мх
и М2. Тогда уравнение прямой TMiM2 имеет вид
.	.	(r-r1)(r2-r1) = 0.
В общей декартовой системе координат	...
|«—*i У—У1 I Q
|*2-*х У2—У11	•
или
х у 1	.	ir
Xi У1 1 = 0,	.
Х2 У2 *	•
.или '	ж
, - Х^Х1 = y^yi	.
У2 — У±
(если какой-либо из знаменателей. равен нулю, то эту запись
надо понимать, что равен нулю соответствующий числитель).	„Ц
 - - • ‘ «
324	ш
Уравнение прямой, проходящей через точку Mlt определяемую
радиус-вектором и имеющую нормальный вектор л, имеет вид
(л, г—л) = 0.
Если в декартовой прямоугольной системе координат r1 = {x1,
л={Л, В}, г = {х, у}, то уравнение (л, г — гг) = 0 принимает
вид	
Л (х хг)4-В(|/— У1)===0.
Такой же вид. имеет уравнение (л, г —/*1) = 0 в общей декар-
товой системе координат, если г1 = {х1, у^}, г — {х, у}, но л =
= [Л, В] (координаты ковариантные).
Необходимым и достаточным условием того, что две прямые,
заданные уравнениями
Л х -f- By -f- (7 == О,
Л 'х -f- В'у Л- С* == 0
относительно общей декартовой системы координат, пересекаются-,
параллельны, совпадают, является, -соответственно то, что' эта
система уравнений имеет только одно решение, не имеет реше-
ний, имеет бесконечное множество решений.
Если рассматриваемые прямые пересекаются, то для нахож-
дения координат точки их пересечения надо решить систему
уравнений
Л х -р By -J- С = О,
А'х + В'у+С' =
Пучком прямых называется множество всех прямых, проходя-
щих через одну и ту же точку S (собственный пучок). Точка S
называется центром пучка. Несобственным пучком прямых назы-
вается множество всех параллельных между собою прямых.
Если относительно общей декартовойсистемы координат заданы'
уравнения двух прямых
Лх + Ву + С = 0,
Л 'х В’у Л- С1 = 0
пересекающихся в точке S, то уравнение пучка с центром S
имеет вид	—х
а(Лх + В!/ + С) + р(Л'х + В^ + С') = д,
где а и р. принимают всевозможные значения, причем хотя бы
одно цз них отлично от нуля-.
Если прямые
Лх -f- By -f- С = О,
Л гх -|- Вг у С' = О
параллельны, то предыдущее уравнение есть уравнение несоб-
ственного пучка, которому принадлежат данные прямые, причем .
325
для а и Р берутся всевозможные значения, но такие, чтобы
среди коэффициентов при х и у:
аДД-рД', аВД-рВ'
хотя бы один был отличен от нуля.
Необходимым и достаточным условием принадлежности одному
пучку трех прямых, заданных относительно общей декартовой
системы координат уравнениями
Дх Д- By -J- (7 = 0,
Д 'х Д- В'у Д- С' = 0,
Д"хД-В"г/Д-(7" = 0,
является равенство
А в
А' -В'
А" В”
С
с =0.
С"
При этом рассматриваемые прямые принадлежат одному собствен-
ному пучку, если хотя бы один из определителей
|Л' В’ I IA’ В"| |А В I
(Л" -В’|’ |д В ['IЛ' В' |
отличен от нуля, и одному несобственному пучку, если все эти
определители равны нулю.
Если относительно декартовой прямоугольной системы коор-
динат две прямые заданы уравнениями
Дх Д- By Д- (7 = 0,
Д'х Д- В'у Д- С' = 0,
то
в
из
косинусы углов ф1>2 между ними определяются по формуле:
	АА' + ВВ'
cos ф, 2 = ±	......!.
У А2+В2У А'г+В'‘
В общей декартовой системе координат
COS Ф1 2 = -|-giM-A'-|-gi8 (ЛВ'Д-Л'В)-{-gaaBB';
Уgu.A2+2gl2AB-f-gzsB2 УguA' +2gt2A'B' +g22B'*
Угол ф от прямой ДхД-ВуД-С = 0 до прямой А'х+В'у+С' =0
декартовой прямоугольной системе координат определяется
соотношений
АА' + ВВ’	.	ГАВ’ — А’В
cos ф = -—	 l .	, sin ф = 	,
У А2+В2У А'‘+В'2	УА2+В2У A’’+В'2
а если прямые не
значение 1§ф:
перпендикулярны, то достаточно знать только
tg ф
АВ’—А’в
АА’+ВВ' •
326
В общей декартовой системе координат
cos Ф =	gi'UA'4-g12 (АВ' + А'В)+^ВВ’	=
VguA2+2g22AB+g22B2 V gllA,2+2g^A'B'+g^B'2
~ _	&&АА'—2gi2 (АВ'-f-A'B)-^-gltBB' ,
Уgz.A2—^g^AB-f-guB2 Vg22A' —2gl2A'B' -j-guB'2
AB' — A'B
Sin ф = —z—- -  -	" —---- 	—	=
VgVgnA2+2g™AB+g™B2 v guA'2 +2g12A’B’ +g22B'2
=______________' ^g(AB'-A’B)
gzzA2—2gi2AB4-gnB2 g22A’ —2g^A'B’ guB'
а если прямые не взаимно перпендикулярны, то
tg<p =
______________АВ' —А'В_____________________/g(AB'-A'B) 
Kg(guAA'4-g12 (АВ' +A'B)+g22BB')— g22^A'—2g12(AB' + A'B)+guBB' ’
Обычно для угла от прямой Ax+By + C = Q до. прямой Л'х-f-
4- В'у + С' = 0 берется цепочка значений ф 4- ka (k принимает все
целые значения), где ф —одно из значений угла от первой пря-
мой до второй.
' Если в декартовой прямоугольной системе координат прямые
р и р' имеют угловые коэффициенты k и k' и если прямые р и
р' не взаимно перпендикулярны', то тангенсы углов ф1(2 между
прямыми р и р' вычисляются по формуле
• । &
*6<Р1.2— — i+^'«
а в общей декартовой системе координат
tS(D	_
ё Ф1,2	gu—gi2 (k 4- k') 4- g22kk' ’
Тангенс угла ф от прямой р до прямой р':
, k'—k
tg Ф — 1 j^kk' ’
а в общей декартовой системе координат
tg<p=________________________&-k)__________'
gu-giS(k + k’)+g22kk'‘
Если прямые р и р' имеют в общей декартовой системе коор-
динат угловые коэффициенты k и k', то необходимое и достаточ-
ное условие их коллинеарности имеет вид
k = k'.
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности имеет
вид.
gu - £12 (k + k') 4- g22kk' = О,
327
а в декартовой прямоугольной системе координат
1+^' = 0.
Если прямая задана уравнением Ах-уВу-\-С = ^ относительно
декартовой прямоугольной системы координат, то расстояние d
от точки Л10(х0, z/0) до этой прямой вычисляется по формуле.
_ | Лхо-|-Вуо-|-С |
Ка24-в2	- -
а если вектор п = {А, В}, нормальный к рассматриваемой пря-
мой, единичный: Л24-В2=1 (в этом случае уравнение Ах-уВу +
4*С = 0 называется нормальным), то
d = | Ах0 Ву0 С |.
В общей декартовой системе координат
_ I Ахо-}-Вуо4-6 |	| Ахо-|-Вуо-|-С |
/^iA2+2griMB + ^B2 У g/g2^2-2g12AB+gllB2’'
а если вектор [Л, В] единичный, то
d = [ Ах0 + Ву0 4-С
Если прямая задана- уравнением
а(г—гх) = 0,
то расстояние d от точки Af0, имеющей радиус-вектор г0, до этой
прямой равно
,	. = |а(Г1-г0) |	•
-|а| . ’	'	♦
а если а —единичный вектор, то
d = |a(r1-r0)|.
Если в декартовой прямоугольной системе координат а = {/, /л},
/•о = {хо, у0}, г1 = {х1, ух\, то
modi*1-*0 У1-г/°1
d =-----1 /	” I, ;
yZ2+m2
а если вектор а единичный (/24-/n2 = l),t то
d=mod|X17X0 У1~У°\-
I l m |
В общей декартовой системе координат
/imod^T*»	;
d=.8	I.,
У gnl2+2gi2tm+gS2m!t
328. .
а-бсли вектор а = {/, т} единичный, то
d=Vg№d|’‘7*
Если прямая задана уравнением	z
(я, г—/*1) = 0,
то расстояние d от точки Мо, имеющей радиус-вектор г0, до этой
прямой вычисляется по формуле
.	|(д, и—£о)|	-	,
d~ ПЙ ’
а если вектор п единичный, то
d = \(n, Г1-Г0)1-
Если в декартовой прямоугольной системе координат Го = {х0, //»Ь
= п = {А, В}, то
л__| А (xt—Хр)4~В (У1—ул) |
а ~	У'а2+в*	*
а если вектор {Я, В} единичный, то-
d = | А (х0 - Xi)+В (yQ - i/i) |.
В общей декартовой системе координат
j__| gitA (Xi—x0)-}-gi2.[A (У1—Уо)Ч-В (Xi —Хр)]4~g2aS (У1—У0) | ,
VguA^-i-tyfaAB -f-gaaB2
а если \{А, В}| = 1, то
d = I guA (хх—х0)+g12 [A (yi—у0)+B{Xi—х0)] + g22B (yt — t/o) 1-
Если вектор п задан ковариантными координатами: п = [А, В]
то
d = । А ~х<>)~। = '[/‘а । Л (Xi—х0)4-В (у!— t/p) |
УguA2+2g^AB+g^B2	У ё VgtiA^—^AB + guB2 ’
и если |л| = 1, то
а=|д (x1-x0)+B(t/i-i/0)|.
Площадь АВС ориентированного треугольника АВС, стороны
которого заданы относительно общей декартовой системы коор-
динат уравнениями
(ВС): А^ + Вгу + С^О,
(СА): АгХ + В^у + С^О,
(АВ): А3х + В3у + С3 = 0,
329
вычисляется по формуле
ч	АВС=^^-
£	**2
I А3
А! В! Ci 2
А% В2 С2.
А3 В$ С3 ________
В2 11 Л3 В3 11 Лх Bi I
ВзИЛх Вх||л2 В2|
а в декартовой прямоугольной системе
Ai Bi
Л2 В2
A3 В3
||Лз В3
IU1 Bl
АВС — 2 | Л2 В2
IЛ3 В3
Площадь S треугольника АВС:
А
А2
Аз
координат
Ci 2
с2
Сз
I Ai Bi -
I а2 в2
Bl
В2
В3
с42
Са
С3
с Уg
^rnodfl4* ^||Л’ В’||Л* В‘|Г
\М3 ВзПлх вхПлз в2|;
а в декартовой прямоугольной системе координат
At Bt Ci 2
Л2 в2 с2
A3 В3 Сз__________
Аз В311 Ai Bi |\ ’
Лх В1|| Л2 В21/
Если в пространстве введена общая декартова система коор-
динат Oxyz, то уравнением всякой плоскости, является уравнение
первой степени
Ах By Cz -f~ D = О
и, обратно, любое уравнение первой степени
Ax+By + Cz+D = 0
в любой общей декартовой системе координат является уравне-
нием плоскости.
Для координат всех точек (х, у9 г), лежащих по одну сторону
от плоскости, заданной относительно общей декартовой системы
координат уравнением
Ах By -f- Cz D = О,
выполняется неравенство
Ах By Cz -\~D	О
(положительное полупространство), а для координат всех точек
(х9 у9 г), лежащих по другую сторону от этой плоскости, выпол-
330
S ——
6 ’ 2
Л2 в2
Л3 В3

няется неравенство
Ax+By+Cz+D<Q
(отрицательное полупространство).
Вектор п = {А, В, С} называется главным вектором плоскости,
заданной уравнением
Ах 4" By 4- Cz -J- D = 0.
Если его отложить от любой точки Мо этой плоскости^ МйР = п,
то точка Р попадет в положительное полупространство.
Если. А, В, С рассматривать как ковариантные координаты,
то вектор [4, В, С] является нормальным к плоскости
AxA-By+Cz+D^. '
В декартовой прямоугольной системе координат главный
вектор п = (А, В, С} плоскости, 'заданной уравнением Ах-)-Ву+
4-Cz4-D=0, является вектором, нормальным к этой плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через точку определяе-
мую радиус-вектором гх, и нормальной к вектору я, имеет вид
(я, г—гх) = 0.
Если в общей декартовой системе координат' /'i = {x1, yi, ?i}>
я = [4, В, С], г={х, у, г}, то уравнение (я, г — гх) = 0 примет
вид
4 (х — хх) 4- В (у — yj 4- С (г — zj = 0.
В декартовой прямоугольной .системе координат
л = {4, В, С}=[4, В, С].
Вектор PQ^fcO и плоскость л называются компланарными,
если прямая PQ или параллельна, или лежит на плоскости л.
Нулевой вектор считается компланарным любой плоскости.
Для того чтобы вектор а={1, т, п} и плоскость 4x4- By 4-
4- Cz 4- D==0 были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось равенство
.	Al 4“ Вт 4“ Сп = 0
(система координат общая декартова).
Уравнение плоскости, проходящей через точку А11(г1) и ком-
планарной двум неколлинеарным векторам а и Ь, имеет вид'
[(г—rx) ab = 0.
В общей декартовой системе координат
x—xl у-yi г—2j
li ч mt • «1
la тз Па
= 0,
где a = {lit mlt nJ, b = {lz, mz, я2}, /x = Ui, Уи zj, r = {x, у, z}.
331
Уравнение плоскости, проходящей через две точки Л4Х (гх) й
М2 (г2) и компланарной вектору а Л4ХЛ42, имеет вид
(г-Г1)(г2-Г1)а=0.
В общей декартовой системе координат
X — Xi у —У! Z — Zx
х2—*1 У2 — У1 z2—z\
I т п
где Afx = (xx, ylt Zj), М2 = (х2, у2, z2) а = {1, т, п}.
Уравнение плоскости, проходящей через три неколлинеарные
точки Aljfrj), ТИ2(г2), М3{г3), имеет вид
{г - г3) (гх - г3) (г2 - г3)=О,
а в общей декартовой системе координат
	х-—х3 У—Уз		z—z3 Zi—Z3 Z2—z3	= 0,
	& if 1 1 А1 £	У1~Уз У 2—Уз		
или				
	X	У	1	
	*1	У1	! =°>	
	*2	Уз г2	1 ’	
	Хз	Уз ^з	1	
где М1 = {х1, у1, г,), Л12 = (х2, у2, z2), Л43 = (х3, у3, z3).
Уравнение плоскости, проходящей через точку Мх(Гх) и ком-
планарной двум неколлинеарным векторам а и Ь, может быть
записано в параметрическом виде:
r=i\ + ua+vb.
В этом уравнении u, v—координаты точки М в общей декарто-
вой системе координат, на рассматриваемой плоскости, в которой
началом координат является точка ЛГХ (гх), а базисом а, Ь.
Параметрические уравнения плоскости в общей декартовой
системе координат:
x = x1 + ul1 + vl2,	Г.
y = yx + utnx. + vm2,
Z^Zx + utlx + Vtlfr
где гх = {хх, ух, гх}, a = \llt tnt, nx}, b = {l2, m2, n2|.
Параметрическое уравнение плоскости, проходящей через
точки Мх (гх), М2 (г2) и компланарной вектору а МхМ2, имеет
' вид	.	~
г = гх + иа + и(г2 — гх).
332
В координатах (в общей декартовой системе координат)
к=хх 4- til + v (х2 — хх),
z = zx4-«n4-v(z2 —zx),
где Afi = (xv yi, zx), М2 = (х2,у2, z2), а = {1, т, п}.
Параметрическое уравнение плоскости, проходящей через три
неколлинеарные точки Л4х(гх), Л12(г2), Л43(г3), имеет вид
Г = Г3 + и (гх - Г3)'+ V (г2 - г3),^
а в общей декартовой системе координат
х = Х3 + и (Хх — Х3) 4- V (х2 — х3),
у = Уз + «(У1 - Уз) + V (у2 - Уз),
г = z3 4-и (zx — z3) 4- v (z2 — z3),
где Л1х = (хх, уи zxj М2 = (х2, у2, z2) М3 = (х3, у3, z3).
Если плоскость не проходит через начало координат общей
декартовой системы координат и пересекает оси координат в точ-
ках (а, 0, 0), (0, Ь, 0), (0, 0, с), то ее уравнение можно записать
в виде -	’	...
± + JL4-±=l
а Ь с 1
(уравнение плоскости в отрезках).
Для того чтобы-две плоскости, заданные уравнениями
у	- Ax-j-By -j~Cz — 0,
А'х 4~ В'у 4* С'z 4- D' — 0
относительно общей декартовой системы координат, пересекались,'
необходимо и достаточно, чтобы вектор
- НИ с'Пс' U II и
был отличен от нуля:	В этом случае (а=#0) вектор а
является направляющим вектором прямой, по которой пересе-
каются рассматриваёмые плоскости.
Для того чтобы две плоскости
Ах By+С z D = 0,
А'х -J- В'у 4-' C'z -\-Dr 0
были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор а
был равен нулю, но хотя бы один из определителей
- .	|Л D 1 IB D I |С D г
|л' D'\f |В' D'l’ |С' D'\
был отличен от нуля.
333
Для того чтобы две плоскости
Ax+By + Cz+0 = 0,
A'x + B'y + C'z + D'=O
совпадали, необходимо и достаточно, чтобы соответствующие
коэффициенты уравнений этих плоскостей были пропорциональны:
A'^kA, B'=kB, C' = kC, D' = kD.
Три плоскости, заданные относительно общей декартовой
системы координат уравнениями
Ах + By + Cz+D = О,
А'х+В'у + C'z D' = О,
Л>+В"у+(Гг+Р’=О,
имеют только одну общую точку в том и только в том случае, .
когда выполняется неравенство
А В
А' В'
А" В"
Для нахождения координат этой точки надо решить систему
уравнений трех данных плоскостей.
Пучком плоскостей называется множество всех плоскостей,
проходящих через одну прямую I {собственный пучок). Прямая I
называется осью пучка. Несобственным пучком плоскостей назы-
вается множество, всех параллельных между собою плоскостей.
» Если две плоскости, заданные уравнениями относительно общей
декартовой системы координат:
Ах+By + Cz + D — 6,
A' х + В'у + C'z + D' = 0,
пересекаются по прямой I, то уравнение пучка плоскостей с осью I
имеет вид
ос (Ах + By + Cz-^-D) + р (А'х + В'у + C'z+ZJZ).= О,
где аир принимают всевозможные значения, причем хотя бы
одно из них отлично от нуля.	♦
Если рассматриваемые плоскости параллельны, то последнее
уравнение является уравнением несобственного пучка плоскостей,
которому они принадлежат, причем для аир берутся всевоз-
можные значения, исключая те, при которых все коэффициенты
при х, у, г, т. е.
аЛ + рЛ', аВ + рВ', аС + рС',
равны нулю.
Связкой плоскостей называется множество всех плоскостей,
проходящих через одну и ту же точку S (собственная связка).
334
Точка S называется центром связки. Несобственной связкой пло-
скостей называется множество всех плоскостей, . компланарных
одной и той же прямой.
Если три плоскости, заданные уравнениями относительно
общей декартовой системы координат:
Лх+Ву + С?4-£> = 0,.
А 'х 4- В’у -J- C'z -f- D' — О,
А "х+ В"у+C'z+D” = О,
имеют только одну общую точку S, то уравнение связки плоско-
стей с_центром S имеет вид]
а(Лх4-В04-С24-О)4-₽(Л'х4-В'#4-С'г4-Я') +
4- у (Д"х 4- Buy+C"z+Dn)=0,
где а, р, у принимают всевозможные значения, причем по край-
ней мере одно из них отлично от нуля.
Если три указанные плоскости компланарны одной и той же
прямой, но не проходят через одну прямую,- то последнее урав-
нение является уравнением несобственной связки, которой при-
надлежат три данные плоскости, причем для а, ₽, у берутся
всевозможные значения, за'исключением тех, при которых все
коэффициенты при х, у, г, т. е.
аЛ4-₽/Г4-уЛ", аВ4-рВ'4-уВ", аС4-рС'4-?С",
равны нулю.
Расстояние d от точки Л40(х0, уй, z0) до плоскости, заданной
уравнением -
Ах 4- By -4» Cz 4~ D — 0
относительно декартовой прямоугольной системы координат, вычис-
ляется по формуле
д _ I -Д-Ур 4~ Нуо4~ РI
/4*4-В2 4-С2	’
а если вектор п = {А, В, С} единичный (уравнение Ах4-By 4-
4-Cz4-D = 0 в этом случае называется нормальным), то
d — | Лх0 4- Ву0'-\- Сг0 4- D |.
В общей декартовой системе координат
______________14хь-|-Вуо-|-Сго4-01___________
Kg*1424-g22B24-g33C24-2gi2^B 4-2g»BC4-2g3!C4
~g Ах04~Bt/o4~Cz0--D
/  8и	gn	Sa	А	\
| _ gta	gzz	ёзз	В	।
\	gsi	вяз	ёзз	С	)
X	А	В	С	0	/
335
а если вектор [А, В, С] единичный, то
d = | Ах0 + By0A-Cz0A-D |.
Расстояние d от точки Мо (г0) до плоскости, заданной уравне-
нием (п, г — Л) = 0, вычисляется по формуле	,'
п—Го)!
|л|
а если л —единичный вектор, то
d = {(n, Л-Го)!-'-
Если в общей декартовой системе координат вектор п задан
ковариантными координатами: л —[А, В, С], а векторы г0 и гх —
контравариантными координатами: ч
г0 = {х0, у0, z0}, rt=={x1, ylt Zt},'
______I A (xj—х0)-|-В (yi — t/o)4~C (Zi — ?р) |__
/ §пД2+^2252 -j-g33C2 4- 2g‘MB + 2g™B.C+2g3lCA
I A (xx—x0)-|-B (yi—t/p) -j-C(zx—Zp) I
gu gi2 gis A
g21 g22 gzs В
g3l g32 g33 C
А В C 0
а если вектор л = [А, В, С] единичный, то
d = | А (хх — х0) + В (yt -у9)+С (?! - г0) |.
В декартовой прямоугольной системе координат
_ I А (хх—Хр)-|-В (yt—Уо)-|-С (zi—гр) | _
/Д2+В2 + С2	’
д если вектор л = {А, В, С} = [А, В, С] единичный, то
d = | А (хх - х0) + В (yt - у0) + С (zx - z0) |.
Косинусы углов <р1>2 между двумя плоскостями, заданными
уравнениями
(«!, r-rt) = 0, (пг, г-г2)=0,
вычисляются по формуле
Если плоскости заданы уравнениями
Ах-j- By -j- Cz -f- D = 0,
•	A'x -f- В'у Cz 0 
336
относительно декартовой прямоугольной системы координат, то
cos <pi 2 =cb — ЛА' + ВВ'+СС------------------,
VA*+B*+& УА’г+В’г+С'г
а в общей декартовой системе координат
cos® —4- «л’ в> СЬ 1А’’ СТ . ,
cos<plr2 — |[Л> в C]i ,[Л<> в, с<]| ,
([А, В, С], [А', В', C'])=g11AA'+g22BB'+g33CC' +
+g12 (АВ' + А'В)+g23 (ВС' + В'С)+g31 (С А’ + С'А) =
£11
£21
£31
A'
£12
£22
£32
B'
g
£13
£23
£зз
a
A
В
c
0
| [А, В, С] | = У §ПД2+g22B2 + g33C2 + 2g12AB+2g23BC + 2g31CA =
£11	£12	£13	Л	V1/2
£21	£22	£23	В	]
£31	£32	£зз	C	I
A	B	C	0	/ -
I [A', B', C']| =
= VgllA’‘ +g22B'! + g33C'* + 2g12 A’B’ + 2g23B'C + 2gaC'A' =
1
Vg
gn £12 £13
£21 £22 £23
£31 £32 £33
А' В' C
A'
B'
C
0
Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку,
(rj и имеющей направляющий вектор а, имеет вид
г = Г14-/а,
где / — координата точки М(г) на рассматриваемой прямой, если
за начало координат принята- точка Afi(ri),’ а за базисный век-
тор-вектор а:	___
а
В общей декартовой системе координат параметрические урав-
нения прямой записываются в виде
x=Xi4-/Z,
y = !h + tfn,
Z^Zx+tn,
где Л41 = (х1, th, zO, а = {1, т, п}.
Параметрическое уравнение прямой, проходящей через две
точки и /И2 (л*2)» имеет вид
r = r1 + /(r2->i).
12 П. С. Моденов	337
а- в . координатах (в. общей декартовой системе координат)
х = хх-|-/(х2 —хх),
У=У1 + ЦУг~У1),
z = z1+t(z2—z1). 
Две прямые называются компланарными, если они лежат
в одной плоскости.
Для того чтобы две прямые
r = t\+ta,	r2 = r2+tb
были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
равенство
(r2 — rJab^O
' или, в общей декартовой системе координат,
X2-Xi	У2—У1	22~2i
h	mt	П1
	m2	%
где Afx = (xx, ylt zx), М2=(х2, у2, z2), а = {1ъ тх, п{}, Ь =
. — {4, т2, «з}.
Замечание. Уравнения прямой часто записывают в виде
х—Х1 _ у-yi  г—
I	т п
(канонические уравнения прямой). Если один из знаменателей равен
нулю, то эту запись надо понимать так: равен нулю соответству-
ющий числитель. Например, систему уравнений
х—2	у—5 г—1
3	0	~	4 '
надо понимать так:
у — 5 = 0,
х—2 _ г—I
3	“	4	*
Расстояние d от точки УИ0 (г0) до прямой, заданной уравнением
-r = r2+ia, .вычисляется по формуле
’ я— 1<г1—г<» а)1
1«1
В декартовой прямоугольной системе координат
d ./д?+Д!+Л1
//2 + /п2 + л2 ’
где 9
А =р1—/7о 21 — Zol А	I 21 — Zq *1 —*о|	А	У1 — !/о|
1 I т л г 2 I я / I’ Пз I I а т р
338
а в общей декартовой системе'координат
а =
равно
Vg33n'2~]r^gl2^m'i~ ^S23mn~]~ %g31nl
gu	£12	£13
g2L	£22	£23
g3l	£32	£33
Д1	' a2	A3
Ai
A2
A3
0
1/2
V gii^+g22/n2+g33n2+2g12lm+2g23mn+2g3inl
Кратчайшее расстояние d между неколлинеарными прямыми
r = rx + /a, r = r2 + tb
я __ |(Г2 —|
I [а*] I ”
Если в декартовой прямоугольной системе координат
П = {*1, Уъ 21}, г2 = {х2, y2t z2}f
то
& = {Z2,
т2, п2},
где
бх =
а = {?!, mlf п±}9
	*2— *1	У2 — У1	^2“2i
mod	к	mi	П1
			^2	m2	n2
б2 =
П1
n2
Wl + 61
6з =
/2
Ш1
т2 9
d
nit nr
т2 п2 ’ .
а в общей декартовой системе координат
*2 — Х1 У2 — У1 z2—Z1
li mi ni
mod
= Ki Kgu8f+g«2e^g«’e5+2g*4J18a+2fi«»6888+?geiMi ~
mod
x2—XL
h
h
У2 — У1
mi
т%
/	gll	gl2
I	g2l	П-
\	£31
\	S,
g22
£32
S2
£13 Si
£23 s2
£зз S3
S3 0
Z2—?i
П1
1/2ч
Прямая в пространстве может быть задана уравнениями двух
пересекающихся плоскостей:
Ах -J— By "4“	4” D = О,
Л'х4-В'у + С'?4-£>' = 0
(система координат общая декартова).
12*
339
Ее направляющий- вектор -	
_J|B С I IС А I 14 В Ц
а~ ЦВ' СТ |С' 4'1’ |4' _В'|Г
Для приведения уравнений прямой
у4х Т By Т Cz Т D — О,
А'хВ'у-j-C'z ~1~ £)' —О
к параметрическому виду надо найти какое-нибудь решение xlt
ylt ?! этой системы, и тогда параметрические уравнения данной
прямой:
* = *1 + ^5, С'|’-
.\|С А I
y = yi+t\c,
- ? —Zi + qA, в,|,
а.канонические:
x—xt _ y—yi _ г—zi
IB С I — IС 4 | — 14 fir.
I В' С'| I С' 4'|,	I 4' В'I
Необходимым и достаточным условием того, что плоскость
Ах + Ву + Сг+D = 0 и прямая x = x1-\-lt, y=yi + mt, г = г1+п/,
заданные уравнениями относительно общей декартовой системы
координат:
	является условие
пересекаются	А1-\-Вт + Сп Ф 0
параллельны	Al + Bm + Cn—Q Axi 4“ Byi + Czi -}~D	0
прямая лежит на плоскости	Al + Bm-^Cn=^Q Axi -f”	H”	4” D = 0
Угол между прямой
r = rx4-Za
и плоскостью
(я, г-го) = 0 -
. определяется, из формулы
sin ф
. I(Д. п) |
1«11«1*
340
. Если в декартовой прямоугольной^системе координат прямая
задана уравнениями
- •	x=x1-\-lt,
y = yi + mt,
z = z1 + nt,
а плоскость — уравнением
Ах -f- Sy -f- Cz D — 0t
то
 ' siny =1Л< + Вт + Сп1----„
У А*+В*+&УР+т?+п?
В общей декартовой системе координат
• IА1В/п-{-Сп }
Slip® = J-7— -Д=--L
ИлКт,-
где	.
T1 = gllA3+g22B2+g33C3 + 2g124 В + 2g33BC + 2g31CA =
	git	gl2	gl3	A
1	g21	g22	g23	В
g	g31	g32	g33	C
	A	В	C	0
T2=gnl3+g22m3+g33n3+2g12lm+2g23mn+2g31nl.
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности пря-
мой и плоскости имеет вид	..	'
[Л, В, С] || {I, т,л}
или	-
{Ag"+Bg'3 + Cg™, Ag^ + Bg^+Cg33, Agn + B^+Cg*}\\{l,m, п},
или
Agu + Bg13+Cg13 = kl,
Ag21 + Bg23 + Cg23 = km,	k^=0, .
Л^31 + Bg33 + Cg33 = kn,
или	.
g2il + g22in+g23n = kB,	&=/=0,.
gsil+g32m+g33n = kC,
а в декартовой -прямоугольной системе координат.
A=kl, B = km, C = kh.
Уравнение окружности (С, г) с центром С (а, Ь) и радиусом г
в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид
(х-а)3 + (у-Ь)3-г3 = 0,
. 341
' • а если центром окружности является начало координат, то
х2+у2 — г2 = 0.
Иногда точку С (а, Ь) рассматривают как окружность нулевого
радиуса'' (нулевая окружность). Уравнение ’нулевой окружности
С (а, Ь) в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид
(х-а)2 + (у-Ь)2 = Ь.
Для координат х, у любой точки (х, у), лежащей вне окруж-
ности
(x-a)2 + (y-b)2-r2 = 0,.
имеет место неравенство
ст=(х — а)2 + (у — Ь)2 — г2>0,
а для всех точек М. (х, у), лежащих внутри этой окружности,
ст= (х -а)2 + (у-Ь)2-г2<0.	'
Число о называется степенью точки М (х, у) относительно окруж-
ности (С, г); оно равно
<j = d2-r2,
где d — расстояние от точки М до центра С окружности (С, г).
Если провести через точку М произвольную прямую, пересека-
ющую окружность (С, г) в точках А и В, то
. ст = (ЛМ, МВ) = ЛМ-МВ.
Уравнение сферы (S, г) с центром S (а, Ь, с) и радиусом г
в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид
(х - а)2 + (у - Ь)2 4- (г - с)2 - г2 = 0,
а если, центр сферы лежит в начале координат, то
я2+У2 + г2 — г2 = 0.
Уравнения нулевых сфер:
(х - а)2 + (у - Ь)2 + (г - с)2 = 0,
х2+у2А~г2 = 0.
Для координат х, у, z любой точки М, лежащей вне сферы
(х — а)2 -|- (у — Ь)2 4- (г — с)2 — г2 = 0,
выполняется неравенство
ст = (х — а)2 4- (у — Ь)2 4- (г — с) — г2 > 0,
а для всех точек М (х, у, г), лежащих внутри рассматриваемой
сферы:
ст=(х — а)2 4- (у — Ь)2 4- (г — с)2 — г2 < 0.
342
Число а называется степенью точки М относительно сферы (S rv
оно равно	у н \ , гу,
CT=d2-r2 = (AMi, МВ) = МА-МВ,
где d —расстояние между точками S. и М, а А и В —точки,
в которых произвольная прямая, проходящая через точку М,
пересекает сферу (S, г).
§ 4.	Комплексные числа
Во множестве комплексных чисел x+yi (х и у принимают
всевозможные действительные значения) равенство.
x+yi = x'+y'i
имеет место тогда и только тогда, когда
х = х',	у=у',
сумма и произведение определяются так:
(х+yi) + (х' + уЧ) = (х' + х') + (у+у%
(х+yi) (х' + уЧ) = (хх' - уу!)'+ (ху' + х'у) i.
' Примем дополнительные соглашения:"
O-|-yi = yt, 0-i = 0,	=
Во множестве комплексных чисел содержатся все действитель-
ные числа (х+0. i=x + 0 = x) и число i (Оф 1 -i.= 1 • i = i), квад-
рат которого в силу» определения произведения комплексных
чисел равен — 1:
i2=—1.	- С
' Операции вычитания и деления определяются как операции,
обратные сложению и умножению.
Свойства:
z + (г' + z") = (г ф z') + z",
z-f-O = z,
z + (—г)=01),
г + z' = z’ -|- z, •
z (z'z") = (zz') z",
zz' = z'z,
Z (z' + z") = zz' + zz",. ,
где z, z', z" — произвольные комплексные числа.*
») Если г=х+у», та—г=(—х)+(—у)«-
343
Модулем |z|5=p - комплексного числа z = x+yi называется
арифметическое значение ]/х24~*/2:
|z| = p = ]/x2 + «/2.
Аргументом <р = arg г комплексного числа z —x +	назы-
вается число ф, определяемое.соотношениями
__ х х	у у
т р Vx^+y* v р /х24-</2
Аргумент числа z 0-имеет бесконечное множество значений. Если
Ф — одно из значений аргумента z^O, то все значения "arg z
заключёны в формуле
а^г = ф + 2£л,
где k принимает все целые значения.
Последнее соотношение часто записывают так:
arg z = tp (mod 2л)
(читается так: «аргумент z сравним с ф по модулю 2л»).
Если z = 0, тор = 0, а ф —любое число.
Для того чтобы два комплексных числа z =/= 0 и z' =# 0 были
равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны их модули:
|z| = |z'|	
и чтобы их аргументы были сравнимы по модулю 2л:
arg z s arg z' (mod 2л).
Из предыдущих формул следует, что
Z = x + y» = P (СО8ф4-1 БШф)
— тригонометрическая форма комплексного числа.
Имеют место следующие формулы: если \	.
z = р (cos ф + i sin ф), z' = р' (cos ф' + i sin ф')>
то , •	•	'' .
zz' = рр' [cos (ф + ф') 4- i sin (ф+ф')],
•	-р- = £[со8(ф-ф')-М8П1(ф— ф')],	z'=#0,
|zz'j = |z||z'|,	.	.
arg (zz') = arg z 4- arg z' (mod 2л),
I г I = | г |
. I z' |	| z' | L
arg*-p- = arg z — arg z’ (mod 2л),	z'=/=0,
zn = p" (cos «ф 4- i sin пф)
344
..(л —целое число); в частности, если lz| = p=l, то
(со8<р4-18т<р)л = со8/г<р-|-18тпф (формула Муавра).
Если г=/=0, а п — натуральное число, то
y/rz= j/rp (cos ф + i sin ф) = у р ^cos -f- i sin	.
fc = 0, 1, 2, ..., n—1.
Комплексные числа z = x + yi и z = x — yi называются сопря-
женными. Свойства сопряженности:	‘ .
z = z,
Z4-Z' = Z4-Zz;
z — z'=z — z',
zz' =22'.
2	—	**
Если и = р- (z'=#0)> то и = у
arg z=—arg г (mod 2л).
Пусть на плоскости введена декартова прямоугольная система
координат. Поставим в соответствие комплексному числу z = x+yi
точку М (х, у). Это соответствие взаимно однозначно.
Число z называется аффиксом точки М. Точку, имеющую
аффикс г, будем обозначать так: М (г) или M = (z).
Если Zj —xt+У11, z2 = х2 + y3i, z3 = x3 + y3i — аффиксы "точек
А, В, С В-декартовой прямоугольной системе координат, то пло-
щадь АВС ориентированного, треугольника АВС вычисляется по
формуле	,
21 Zi 1
г2 22	1
23 23 1
лвс = 4-
4
достаточное условие коллинеар-
В частности, необходимое и г----------- ;------- ------
hocj-и трех точек А (гг), В (z2), С (z3) имеет вид
Zi Zi 1
\ 1 =0.
г3 z3' 1
Преобразование, при котором точке М (z) ставится в соответ-
ствие точка М' (г'), где
z'=az-(-b,
345
является преобразованием подобия первого рода (т. е. преобразо-
ванием, не меняющим 'ориентации плоскости). В самом деле,

и переход от точки М (?) к точке М' (г') совершается в'резуль-
тате переноса ?х = ?+у и преобразования г' = агъ состоящего
в повороте вокруг начала координат на угол arg а и гомотетии
с центром О и коэффициентом |а|. Все это —подобные преобра-
зования первого рода.
Преобразование, при котором точке М (г) ставится в соответ-
ствие точка М' (г'), где z'=az + b, является подобным преобра-
зованием второго рода (т. е. преобразованием, меняющим ориен-
тацию на противоположную). В самом деле, это преобразование
состоит из симметрии ?x = z в оси Ох и преобразования z' = а?х+&,
которое сводится к переносу, повороту и гомотетии. Из всех
этих преобразований только симметрия в оси Ох меняет ориен-
тацию плоскости.
Из сказанного, следует, что если заданы два треугольника
АВС и PQR аффиксами своих вершин:
A = (zt), B = (z2),	С = (?3),
P = (ui),. Q = (u2),	R = (u3),
то необходимое и достаточное условие того, что эти треугольники
АВС и PQR подобны и одинаково ориентированы,, имеет вид
Z1	«X	11
Zg	Ug	1,	0;
2а	«з	1
а необходимое и достаточное условие того, что треугольники ABC.
и PQR подобны, но противоположно ориентированы: .
Zx Их 1
Zg Ug 1 ==: 0
«з 1
Рассмотрим две различные точки M1(z1) и M2 (z2). На осно-
вании предыдущего точка М (?) лежит на прямой Л41М2 тогда и
только тогда, когда
z z
Zx 1 =0.
2^2 Z% 1
Поэтому это уравнение можно назвать уравнением прямой MtM2.
Оно может быть преобразовано к виду

346
Отношение
22 —Zi
будем называть комплексным угловым коэффициентом прямой MjM2
Заметим, что
Итак, уравнение прямой ЛГ1Л12 можно записать в виде
z — Zi - х (Z — 2]),
где |х | = 1.
Обратно, всякое уравнение вида
Z — Z1 = x(z — Zj),
где |х| = 1, является уравнением прямой. В самом деле, так как
|х| = 1, то
x = cosq> + isin<p.
Составляя уравнение прямой, проходящей через две точки с аф-
фиксами zt и Zj + cosy	i sin у, мы получим уравнение
''	z — zx = х (z — 2J.
Отметим, в частности, уравнение прямой, Проходящей через
начало координат:
z = xz,
где
х = cos <р + * sin Ф = у->
причем zx=#0 есть аффикс любой точки (z^ рассматриваемой
прямой.
Отметим, что прямая
• Z = XZ
проходит через точки единичной окружности1) с аффиксами ]/х"
(]Ас имеет всегда два значения; эти значения ]/х являются
аффиксами концов диаметра единичной окружности). В самом
деле, если У>с — любое из двух значений этого радикала, то при
г = уравнение z = xz обращается в равенство (левая часть ;
правая х ]/х = "j/х ).
х), Единичной окружностью называется окружность с центром в начале
координат, радиус которой равен 1.
347
.Две прямые	г
' 2 — zr = x~(z — Zj),-	|х| = 1, ’	л -
И— 2Г2 = >С'(Z — Z2),	|х'| = 1,
коллинеарны тогда и только тогда, когда х = х'. В самом деле/
эти прямые коллинеарны, тогда и только тогда, когда система
уравнений .
z —xz = z1 —xzlf *
_z — x'z = --И?2
относительно z, z или не'имеет решений, или имеет бесконечное
множество решений, а это имеет место тогда и только тогда,
когда
Г1 I л
• .	, = 0 или и = х .
11 —х I	-
Две прямые р и q, заданные уравнениями
Z-^Zj = X(z —Zx), 1x1=1,
z —z2 = x'(z —z2),	|x'|==l,_
перпендикулярны тогда и только тогда, когда
х + х' = 0.
В-самом деле, рассмотрим прямые р' и q'9 соответственно кол-
линеарные прямым р и q, но проходящие через начало координат:
р':	z = xz,
q':	'	z = n'z.
Прямые р и q перпендикулярны тогда и только тогда, когда
перпендикулярны прямые р' и qf. Предположим, что прямые
р' и qf перпендикулярны. Возьмем на прямой р' точку с аф-
фиксом zo=#O. Тогда в силу соотношения
arg(iz0)^arg i + argz0^y4-argz0 (mod 2л)
точка с аффиксом iz0 лежит на прямой q\ Имеем
Z0 = X20,	iz0 = x'fz0
или	,	_
Z^ =	IZq = “~ X ZZq,
или
z0 = x?0, z0 = —х%,
следовательно, xz0 = — x'z0, и так как z0 =#= 0, то х = — от;,
куда х + х' =0.		1
348
а»
Обратно, пусть х4-х'=0. Докажем, что прямые р' и а'
взаимно перпендикулярны. Проведем. через начало координат
прямую р*, перпендикулярную прямой q', и пусть и* — комп-
лексный угловой коэффициент прямой р*. Тогда х* 4-х' = О,
а так как х4-х'=0, то х = х* и, значит, прямые р* и р' сов-
падают, т. е. prJ_q', откуда р_|_ ?•
Замечание. В аналитической геометрии угловым коэффи-
циентом k прямой, неколлинеарной оси Оу, называется тангенс
угла наклона этой прямой’ к оси Ох. Если комплексный угловой
коэффициент прямой неколлинеарной оси Оу равен
x = cos<p4~lsin<P> *	---
то угол а наклона этой прямой к оси Ох равен <р/2 (так как
прямая, проходящая через начало координат и имеющая комп-
лексный угловой коэффициент х, проходит через точки с аффик-
сами ~УИ ).
Далее находим
—- = - i ta = - ik
14-х	1 lg 2	’
следовательно,
Обратно,
Угол от прямой
до прямой '
равен
1 +х
- х —&
X =	• г.
l + k-
2 — Zr = X (z — Zr) .
2 — Z2 = X^' (z — Z2)
arg р-р (mod л).
В'самом деле, прямые ? = хг, z = x'z, коллинеарные данным,
проходят соответственно через точки с аффиксами ]Лх и j/x',
поэтому угол от первой прямой до "второй равен
arg]/x' — arg^/x == arg^-pU
V к
(mod л).
Уравнение всякой прямой может быть записано в виде
Ли 4~	4~ О = О,
где С — действительное число и В = Ау=0. Обратно, всякое та-
кое уравнение при условии, что С — действительное число, а
В = Л#=0, есть уравнение прямой.
349
Доказательство. Пусть Px-)-Qy-)-R = 0 — уравнение
прямой в декартовой прямоугольной системе координат. Так как
x = y(z4-z),
y = ^f(2-z) =y(z-z),
То его можно переписать в виде
4-р(г + 2) + уС(2-г) + /? = 0
ИЛИ
Ц^-г+-Ц^-'г + /? = 0,
?ли
Az + Az + C = 0	(C = 2R),
Обратно, полагая
4 = P-Qi, 4 = B = P4-Qi,
перепишем уравнение
Az+Bz+C=Q 
в виде
(Р - Qi) (х+yi)+(Р + Qi) (х - yi) + С = О,
или %
2Рх -J- 2Qy -{ 0 = 0
— уравнение первой степени.
Уравнение	*
Az 4* Az “I* О=О
называют автосопряженным уравнением прямой, _ так как левая
часть этого уравнения — действительная функция от х и у:
'	и — Az Az -{ С,
а = Az + Az 4- С = и.
Если прямая задана автосопряженным уравнением
,	Az -J- Bi -J- С — О
(В = Я=#О, С — действительное число), то расстояние d от точки
(z0) до этой прямой вычисляется по формуле
j__I Azq-}-Bzq-Ь-С |
2 j А I
350
В самом деле, уравнение прямой, проходящей через точку (zn)
перпендикулярно данной прямой, имеет вид	'
2	= -д- (2	20)
ИЛИ
Az — Bz — г0Л + z'0B=0.
Из системы.
Лг4-В24-С = 0,
Az — Bz — Лго4-В2о = О
находим аффикс проекции точки (z0) на данную прямую:
.	Azo — Bzq — C
Z, =----2А----*
Отсюда
_/__ Ягэ+В?о+"^
zo 2 — . 2А
и, следовательно,
Если прямая задана автосопряженным уравнением
Az + Bz + C = 0.
(В = Л=/=0, С —действительное число), то для всех точек (z),
лежащих по одну сторону, от этой прямой:
Az Bz 4~ С Д> 0
(положительная полуплоскость), а для всех точек (z), лежащих
по другую сторону от этой прямой:
Лг + В24-С<0
(отрицательная полуплоскость).
Если (z0) — любая точка, лежащая на прямой
Лг4-В24-С = 0
(В = Л =# О, , С — действительное число), то точка (z0 + В) лежит
в положительной полуплоскости, так как
Л (го4”В) -f- В (zu -|-В) 4-С = Лго4-В2о4_С 4~ ЛВ4- BBj=
= ЛВ4-ВВ = ВВ4-ВВ=2ВВ = 2|В|2>0.
351
Если стороны треугольника АВС заданы автосопряженнымн
уравнениями
(ВС): Л1х + В12 + Сг = 0>
(СД): A^z B2Z.A-C2 =* О,
. .	~	(ЛВ): Лаг 4" В32 + С3 = О,
где Сй — действительные числа, а В* = Л*#=0, то площадь АВС
ориентированного треугольника АВС вычисляется по формуле
2
ABC = i-TAT^
IЛ3 Вз
Ai Ci
А% В3 ^2
Л3 В3 Сз
Лз В31
A bJ
At BJ
л2 в21
Результат не изменится, если левые части уравнений (ВС),
(СЛ), (ЛВ) умножить на любые комплексные числа, отличные от
нуля. Площадь S треугольника ЛВС вычисляется по формуле
mod		CO to м Си СВ Си СО to Н* ClOO СО to t-	2	
mod	со to С» Си со to ь* м Св СВ м со to м СВ СВ to hu			
S = 4-
СПИСОК ПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИИ
_а —вектор .	'	306
АВ — вектор, имеющий начало в точке А и
конец в точке В	306
0 —нулевой вектор	. 307
___| а | — модуль вектора а	_ 307
|АВ| = ЛВ — модуль вектора АВ
а || Ь — векторы а и b коллинеарны	307
»lift)-векторы а и b коллинеарны и одина-
** ' ково направлены	,	307
a f| Ъ — векторы a in Ь коллинеарны и направ-
лены в противоположные сторо.ны 307
«ф—вектор, порученный из вектора а пово- -
ротом на угол <р в "ориентированной
плоскости	312
[а] —вектор, полученный из вектора а пово-
ротом на угол л/2 в ориентированной
плоскости .	.3, 312
ab 1	/
вхь г — псевдоскалярное (смешанное) произведе-
' ние вектора а на вектор b на ориенти-
рованной плоскости	3, 311
аде— смешанное произведение трех векторов
в ориентированном пространстве 313
. (а, Ь) — скалярное произведение векторов а и Ь 309
а2 —скалярный квадрат вектора а	310 '
[ab] — векторное произведение вектора а на
вектор b в ориентированном простран-
стве	314
^1» е2 —общий базис векторов на плоскости . 308
eli е2 —базис, взаимный с базисом е1г е2 312
ei> ez> е3 — общий базис векторов в пространстве	.308
е1,. е2, е3—базис, взаимный с базисом е2, е3	-314
Z, j— ортонормированный базис векторов на
плоскости	‘	308
i, J> k — ортонормированный базис векторов
в пространстве	308
а*, Ь* — базис, взаимный - с базисом а, b на
плоскости	3,. 312
а*, &*, с* —базис, взаимный с базисом а, Ь, с
в пространстве	314
(О,	е2) —общая декартова система координат на
плоскости	.316
353
(О, е1г ег, е3)—общая декартова система координат
в пространстве
(О, I, j) — декартова прямоугольная система коор-
динат на плоскости	. 316
(О, /, J, к)'— декартова прямоугольная система коор-
динат в пространстве
{х, у} — вектор на плоскости, заданный контра-
вариантными координатами х, у 308, 313
{х, у, z} — вектор в пространстве, заданный кон-
травариантными координатами х, у, 2
309, 315
[х, I/] —вектор на плоскости, заданный кова-
риантными координатами х, у	313
[х, у, г]—вектор в пространстве, заданный кова-
риационными координатами х, у, г 315
(х, у) — точка на плоскости, заданная коорди-
натами х, у
(х, у, z) — точка в пространстве, заданная коорди-
натами X, у, 2
АВ — 1) отрезок, 2) прямая, проходящая
через_точки А и В, 3) модуль век-
тора АВ, 4) длина отрезка АВ
АВ — величина ориентированного отрезка
(длина отрезка АВ с приписанным
____ ему знаком)
АВС — ориентированный треугольник
АВС — площадь ориентированного треуголь-
ника АВС (площадь с приписанным
______ ей знаком)
ABCD — ориентированный тетраэдр
Я BCD —объем ориентированного тетраэдра
ABCD (объем с приписанным ему зна-
ЛВСЦЛ'В'С')
АВС || А 'В'С'
КОМ)	\
—одинаково ориентированные треуголь-
ники
319
319
320
320
Л ВС If Л'В'С' —противоположно ориентированные тре-
угольники
(a, b) — 1) прямая’пересечения плоскостей а и Ь
2) ориентированный угол от прямой а
до прямой b
С (ЛВ)D — двугранный угол с ребром АВ, в полу-
плоскостях которого лежат точки С и D
(ЛВ)—1) двугранный угол с ребром АВ,
2) окружность с диаметром ЛВ
д{ —символ Кронекера	312,
71
140
10
314
354
gy—фундаментальный тензор, заданный
ковариантными координатами	310
—фундаментальный тензор, заданный кон-
травариантными координатами	322
g — определитель Грама	311, 314
(С, г)— окружность с~ центром в точке С и
радиуса г	279, 341
(О) — окружность с центром в точке О 73
(ЛВС) —окружность, проходящая через точки
А, В, С ,	73, 279
(/) —вписанная в треугольник окружность
с центром в точке I
(Л>)> (Л), Uс) — вневписанные в треугольник АВС
окружности с центрами в точках 1а,
1Ь, 1С и вневписанные соответственно
в углы А, В, С
(О9) — окружность девяти точек, окружность
Эйлера	25, 73
R — радиус окружности (ЛВС)
г — радиус вписанной в треугольник окруж-
ности (/)
га, гь, радиусы вневписанных в треугольник
окружностей (1а), (1Ь), (1С)
(ABCD) — сфера, проходящая через точки А,
В, С, D	.	.
(О, k) — гомотетия с центром в точке О и коэф-
фициентом гомотетии k '
[О, k} — инверсия с центром в точке О и сте-
пенью инверсии k	249
|z| —модуль комплексного числа z	344
arg z — аргумент комплексного числа z 344
z —комплексное число, сопряженное z "345
(z) —точка, имеющая аффикс z	345
(z0, R) — окружность радиуса R, аффикс центра
которой z0	104 ’
— знак взаимно однозначного отображения 203
— знак взаимно однозначного соответствия 273
I — знак перпендикулярности
|| — знак параллельности (коллинеарности) 307
# — знак равенства и параллельности 71
tf, || — знаки коллинеарности и одинаковой на-.
правленнОсти	307
|f —знак коллинеарности и противополож-
ной направленности	307
Oi, о2, °з — симметрические многочлены аффиксов
Zp z2,. zs	78
Ci, о2, <т3, <т4 — симметрические многочлены аффиксов z4,
z2, z3, z4	132, 135
ПРИ ЛОЖ Е Н И Е
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СПРАВОК
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. x2+px-j-q=O; Xi, 2= —	± J/ — q. -
_____________________h -t- Ум_Лас
ax*+bx+c=0; хЬ2=———	(a ^0).
ax2+2kx+c=Q; xlt2=~~^±	-— (a ^C).
' 2. Формулы Виета:
. ~	b	c
Xi+*2= —P = — ~; x1x2=^=™.
3/ x2+px + q = (x—Xi) (x—x2);
ax2-\-bx+c=a (x—Xi) (x—x2)<
ПРОГРЕССИИ
а)	Арифметическая прогрессия.
1.	Общий член арифметической прогрессии:
ап — «1+(«— 1П- .
2.	Сумма п членов арифметической прогрессии:
Q [ai + an\ riai+fn —l)d‘
,s„=	2—J «-[--------2—
где d—разность.
б)	Teo метрическая прогрессия.
1.	Общий член геометрической прогрессии:
«л = «19п-1- '
2.	Сумма п членов геометрической прогрессии:
С _ И1—unq 1— (f1	qn — 1
Sn== ~Т^г -U1~i=T~Ul
где q—знаменатель прогрессии (q=£ 1).
3.	Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии;
S =
U1 '
1— я ’
356
ЛОГАРИФМЫ
1. Запись logaN=x равносильна
10g_ N « г
так что а а =Af.
j 2. logal=0. 3.1ogaa=L
4- Ioga (N • Л4) = loga N+loga M.
N
5- 1о2а 74 = toga M~loga M.
записи ax*=N (a>0, a#=l, N>0),
6. loga Nn = n loga N (N > 0),
7. log„yGV = lloga^ .	.
8’ 10g^=^'
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ
ОДНОГО И ТОГО ЖЕ-УГЛА
. 1. sin2 a+cos2 a =1,	o sm a . 2. 	= tga. cos a
o cos a , 3. 		= ctga. sm a 5. cos a*seca= 1. 7. 14-tg2a=sec2a.	4* sin a-cosec a = 1. 6. tga-ctga=l. 8. l+ctg2a=cosec2a.
Таблица знаков и некоторых значений
тригонометрических функций
Название функции	Четверти				' I					П	III	IV
	I	II	Ill	IV	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
sin a	+	+	—	- —	0	1 .2	/2 2	/3 2	1	, 0	—1	0
cosa	+	—	—	+	1	/3 2	/2 ' 2	1 2	0	—1	0	1
tga	+	—	-+	—	0	/3 3	1	/3	oo	0	OO	0
ctga	+	—	+	—	oo	/3	1	/3 3	0.	oo	0	oo
•Таблица формул приведения *
Угол Функция4''-^	— a	90°+a	180° T a	270°+a	360оЛч?а
sin cos tg ctg	— sin a 4-cos a — tga — ctga	+ cosa zt sin a •. ±ctga ±-tga	8 8 „ 8 r-	° tuO •§ 8 .2P-S +1 1 1+ 1+	— cosa sin a ±ctga ±tga	sin a ’ +cosa + tga + ctga
357
преобразования тригонометрических выражений
1г sin (а dz ₽) = sin a cos р dz cos а sin Р;
cos (а dz р) = cos а cos р sin а sin р;
'	• tg а ± tg р
g( Р) 1 - tgatgp •
2. sin 2а=2 sin а cos а;
cos 2а=cos2 а—sin2 а = 1 — 2 sin2 а=2 cos2 а—1;
. 2tga
tg 2а =  -ь.
§	1 —tg2a

о . а п Г 1—cos а а Г 1+cosa
3-^-2=±У —2—; cos-2 =±у -4—;
. а___q Г 1 —cos а _ 1 —cos а _ sin а
g 2 — ” У 1 4-cosa — sin а — 1 +cos а ’
2tgy •	1—tg2^-
- 4. sinx=-----; COSX=-------;
i+tg2-f
2tgy
r „ 14-cos2a . o 1—cos2a
o. cos2a=——; sm2a =------
6.	sin a ± sin p = 2 sin - ~ cos a ;
, o o « + Р a —p
cos a 4- cos p = 2 cos —cos —;
. o о • a+3 . a—p o . a+p . 3—a
cos a—c6s p = — 2 sm —~~ sin —= 2 sin —sin —;
.	. i Q	sin (a + 6)	,	. o	sin (p ± a)
tg a ± tg P =-; ctg a dz ctg p = —.*	. к .
5 cos a cos P 9	6	6 sm a sin p
7.	cos mx • cos nx=^^ [cos (tn—n) x+cos (m-yri) x];
sin mx- sin nx~-^-[cos (m—n)x—cos (m+n) x];
sinjnx • cos rtx=-^- [sin (tn^n) x^- sin (m—n) x].
358
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1,	—	arcsin х , sin (arcsin х)=х,
2.	О arccos х^ л, cos (arccos х)=х.
3.	— yarctgx<y, tg(arctgx) = x.	
' 4, 0 < arcctg x < л, ctg (arcctg x)=x,
ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
1.	sinx=a, x=(—1)Л arcsin а+лл.
2.	cos x=a, x = ± arccos a+2nn.
3,	tgx=a, x=arctgа-{-лп.	0» — 1» —	...)
4,	ctgx=a, x=arcctg а+лп,
<
СИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
Для трех чисел zit z2, z3
a1=z14-z24-?3»
*	-	0г2 = 2122”Ь22гЗ~Ь^3^1>
a3=ziz2*3-
Для четырех чисел zlt z2, z3, z^,
01 — 4~ Z2 4~ Z3 4" Z4,
a2—zxz2+Zi23+zxz4 4- z^3 Ц- z2z4 4- z3z4,
a3=ziz2z3+z4z2z4 4- z4z3z4 4- z2z3z4,
a4=ziz2z3z4.
СИМВОЛ. KPOHEKEPA
5/'—/°’ если
k 1 1, если i

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Александров П.‘ С. Лекции по аналитической геометрии. —М.: Наука,
,	1968.	, z	'
Дубнов Я. С. Основы векторного исчисления. Ч. 1.—М.: Гостехиздат,
1950. Ч. II.—М.: Гостехиздат, 1952.
Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. —М.: Наука, 1975.
Ефимов Н. В. Квадратичные формы и матрицы.—М.:-Наука, 1975.
Маркушевич А. И. Краткий курс теории аналитических функций. —
М.: Наука, 1978.
Моденов П. С. Аналитическая геометрия^ —М.: Изд-во МГУ, 1969.
Моденов, П. С., Пархоменко А. С. Сборник задач по аналитической
геометрии.—М.: Наука, 1976.
Моденов П. С., Пархоменко А. С. Геометрические преобразования. —
М.: Изд-во МГУ, 1961.
Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. —
М.: Наука, 1977.
Я г лом И. М. Геометрические преобразования. Т. I. —М.: Гостехиздат, 1955.
Т. II.—М.: Гостехиздат, 1956.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адамар 278	Ильин В. А. 5
Александров П. С. 352 Аполлоний 44—46, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 60, 233, 262	Йенсен 293, 296
Бланшар 4, 229, 231 Брианшон 36 Бутен 76, 78, 79, 85, 87, 120, 122, 133, 160, 162, 163, 185, 202	Карно 68, 69 Крамер 201 Кронекер 354
Ватрикант 228
Лагранж 33
Лангер 225
Лемуан 62, 204
Гамильтон 230
Гарт 277, 278
Герои 34
Гиббс 8, 312, 315
Грам 311, 314
Гурмагшиг 4, 227
Дезарг 37
Джебо 4
Диоклес 276
До 4, 86, 228, ‘234
Дроз 172
Дубнов Я. С. 3, 352
Маркушевич А. И. 4, 352
Мармйон 33
Маскерони 5, 279, 280
Менелай 36, 37, 227
Моденов П. С. 6,-352
Монж 32
Мор 279
Морлей 199, 201, 203, 211, 234
Муавр 345
Ефимов Н. В. 352
Пархоменко А. С. 352
Паскаль 246, 273—275
Пилатти 228
Понселе 44—46, 298, '299
Поселье 277, 278
Привалов И. И. 352
Птолемей 254
361
Серре 33 Симеон 77—79, 122, 123, 173, 174; 215, 216, 236, 238 Тебо 33, 231 Фарни 172 Фейербах 180, 181, 185, 187, 188,206 — 208, 211—214, 218, 263 Чева 39, 228, 234 Чирнгауз 247	Шаль 140, 141 Шлёмильх 21 Эйлер 25, 26, 82, 96, 100, 133, 180, 181, 183, 184, 187, 199, 204—208, 210, 211, 214, 221, 222, 229, 230, 233, 263, 265 Яблонский С. В. 5 - Яглом И. М. 352
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аргумент комплексного числа 344
Аффикс точки 345
Задача Аполлония 262
Базис векторов в пространстве 308
-----на плоскости 308
-----ортонормальный 308
Базисы взаимные 9, 312, 314
Бимедиана тетраэдра 69
Брокардианы 66
Извлечение корней из комплексных
чисел 345
Инверсия 5, 249
—	плоскости 249
—	пространства 283
Инверсор 5
—	Гарта 277, 278
—	Поселье 277
Вектор 306
—	направляющий 322
—	ненулевой 306
—, нормальный к плоскости 331
—	,--прямой 323
—	нулевой 306
—	плоскости главный 331
—	прямой главный 323
—	свободный 4
—	скользящий 315
—	312	' < '
Векторы в пространстве 10
—	коллинеарные 307
—	компланарные 307
—	линейно зависимые 308
-----независимые 308
—	на плоскости 7
— симметричные 307
Геометрия Маскерони 279—283
Гомотетия 251
Деление комплексных чисел 344
— направленного отрезка в данном
отношении 317, 318
Диагональ главная восьмиугольника
243
Длина отрезка 317
Долгота 282
Дополнение алгебраическое 305
Кардиоида 272
Квадрат вектора скалярный 310
Клин 23
Коллинеарность векторов 308, 309
—	прямой и вектора 322
—	точек 318
Комбинация векторов линейная 308
Компланарность вектора и плоскости
331
—	векторов 307, 309
—	прямой и плоскости 307
—	прямых в пространстве 338
—	точек 318
Координата полярная вторая 317
--- первая 317
—	точки на прямой 324
Координаты барицентрические в про-
странстве 321	'
—	— на плоскости 320
—	вектора 308
---ковариантные 313, 315
---контравариантные 312, 315
—	точки 316
---общие декартовы 316
Коэффициент искажения отрезка 47
—	угловой 323, 324
---комплексный 347
Медиана тетраэдра 69
Медиатриса отрезка 26
Меридианы 289
363
Метапараллельность треугольников
247
Минор 306
Модуль вектора 307
—	комплексного числа 344
Начало координат 316
Неравенство Йенсена 293
Объем ориентированного тетраэдра 320,
321
Окружность Аполлония 44
—	девяти точек 25, 73
—	единичная 347 ш
—	инверсии 250
—	ортоцентроидальная 160
—	Эйлера 25, 73
Определитель 304
—	Грама 311, 314	' ,
Ориентация тетраэдра 320
---левая (отрицательная) 320
---правая (положительная) 320 »
—	треугольника 319
Ортологичность треугольников 248
Ортополюс прямой относительно тре-
угольника 83, 130
Ортоцентр 25, 73
Оси координат 316
Ось абсцисс 316
—	ординат 316
—	пучка 334
—	радикальная двух окружностей 41
Отложение вектора от точки 307
Отношение коллинеарных векторов
308
—	ориентированных тетраэдров 321
—	—треугольников 319
Отображение областей при инверсии
266—277
Пара векторов, имеющих отрицатель-
ную ориентацию 311
---, — положительную ориентацию
310
--- левая 311
--- правая 310
Параллели 282
Плоскость евклидова конформная 249
—	конформная 249
—	ориентированная 310
Площадь ориентированного треуголь-
ника 319, 329, 330, 345, 351
— треугольника 322, 351
Поворот вектора на угол л/2 3, 312
Подобие 253
Полуплоскость отрицательная 323, 351
— положительная 323, 351
364 .
Полупространство отрицательное 331
— положительное 330
Полюс инверсии 249
Построения Маскерони 280—283
Преобразование изогональное отно-
сительно треугольника 199
— изометрическое второго рода 5
----- первого рода 5
— инволюционное 249
— круговое 5 '
— плоскости’аффинное 247 .
— подобия 5
— — второго рода 346
----- первого рода 346
— Чирнгауза 247
Приведение общего уравнения прямой
(в пространстве) к каноническому 340
Проекция параллельная 47 "
— стереографическая 285
Произведение векторов векторное 314
-----псевдоскалярное 3, 311
-----скалярное 309
-----смешанное (в пространстве) 3,
313
--------(на плоскости) 3, 311
— комплексных чисел 343, 344
— числа на вектор 307
Пространство ориентированное - 313
Прямая Дроза — Фарни 172
— Симеона 77
Прямые, антипараллельные относитель-
но угла 265
Псевдоквадрат 242
Пучок окружностей гиперболический
’ 45, 298
-----эллиптический 45, 297
— плоскостей 334
-----несобственный 334
-----собственный 334
— прямых 325
-----несобственный 325
-----собственный 325
Равенство векторов 4, 307, ’309
— комплексных чисел 343, 344
Радиус-вектор 316
Разность' векторов 307
Расстояние .между не коллинеарными
прямыми кратчайшее 339
— от точки .до плоскости 335, 336
-----------прямой 328, 329
--------------в пространстве 338, 339
--------------на плоскости комп-
лексного переменного 350
Свойства векгорного произведения 314
— действий с комплексными числами
343	' ,
Свойства инверсии плоскости 251—253'
—	— пространства 284 .
—	определителей 304—306
—	произведения числа на вектор 308
—	псевдоскалярного (смешанного)
произведения двух векторов 311
—	скалярного произведения векторов
310
—	смешанного произведения трех век-
торов 313
—	сопряженности 345
— суммы векторов 307 f
Связка плоскостей 334, 335
---несобственная 335
---собственная 334, 335
Симедиана треугольника 62, .235
Система координат общая декартова 316
--- полярная 317
---прямоугольная декартова 316
Соотношение Морлея 201
Степень инверсии 249
—	комплексного числа 344
—	точки относительно окружности 41,
--------сферы 343
Сумма векторов 307
—	комплексных чисел 343
Суппорт 106 •
—	скользящего вектора 315
Сфера Аполлония 57
Тензор фундаментальный 310
Теорема Брианшона 36
—	Гамильтона 230
—	Дезарга 37
—	Дроза — Фарни Д72
—	Карно 68
—	; Менелая 36
—	' Паскаля 246
—	Пилатти 228
—	Птолемея 254
—	синусов для'трехгранного угла 10
—	Чевы 39
—	Шаля 140
—	Шлёмильха 21
Тетраэдр 320
—	вырожденный 320
—	невырожденный 320
—	ориентированный 320
—	ортоцентрический 32
Тождества 315
Точка бесконечно удаленная 249
—	Бутена 76	*	'
—	единичная 76
—	Лемуана 62, 204
—	Монжа 32
> — несобственная 249
—	Понселе 44 45
—	предельная 44.
Точки базисные эллиптического пучка *
окружностей 298
изогонально сопряженные отно-
сительно треугольника 199
— Понселе 298
— предельные гиперболического пучка
окружностей 298
— Файербаха 180, 181, 263
—	Эйлера 73
Трансверсаль треугольника 37
Транспонирование определителя 304
Треугольник 319
—	вырожденный 319
—	невырожденный 319
—	ориентированный 319
—	ортоцентрический для данного •
треугольника 83
—	тангенциальный 244
Тройка векторов, имеющая отрица-
тельную ориентацию 313
-----, — положительную ориентацию
313
-----левая 313
----- правая 313
Угол между двумя плоскостями 336,
337
-----прямой и плоскостью 340, 341
-----прямыми 326, 327, 349
— от вектора а до вектора b 311
— трехгранника взаимный 10-
Улитка Паскаля 273, 274
Умножение определителей 305
Уравнение антивозвратное 214
— нулевой окружности 342,
-----сферы 342
— окружности 344
— плоскости в отрезках 333
-----нормальное 335
—: — общее 330
— —, проходящей через две точки и
компланарной вектору 332
-----1-----точку и компланарной
двум не коллинеарным векторам 331
-----, —------перпендикулярно век-
тору 331
-----, — — три не коллинеарные
точки 332
— прямой автосопряженное 350
-----в отрезках 324
-------пространстве, проходящей че-
рез две точки 337, 338
— г— нормальное-328
-----общее 322
-------в комплексной форме 349
-----параметрическое 324
-----1 проходящей через две точки
324
-----9 — — точки (Zj) и (z2) 346
365
Уравнение прямой, проходящей через
точку в заданном направлении 323
-----,--------перпендикулярно век-
тору 325
-----с угловом коэффициентом 323,
’324
— сферы 342
Уравнения плоскости параметрические
332, 333
— прямой в пространстве канониче-
ские 338
-----------общие 339
-----------параметрические 337, 338
Условие коллинеарности вектора и
прямой 322
----- векторов 309
-----прямых 327, 347
-----трех точек 318, 345
— компланарности вектора и,плоско-
сти 331
-----двух прямых 338
----- точек 318
— параллельности плоскостей 333
-----прямых 325	•
— пересечения плоскостей 333
-----прямой и плоскости 340
—----прямых 325
-----трех плоскостей в одной точке
334
— перпендикулярности прямой и пло-
скости 341
-----прямых 327, 328, 348
— подобия и одинаковой ориентиро-
ванности треугольников 346
--------противоположной ориенти-
рованности треугольников 346
Условие принадлежности трех прямых
одному пучку 326
— совпадения плоскостей 334
---прямых 325'
Условия параллельности прямой и
плоскости 340
— принадлежности прямой плоско-
сти 340
Форма комплексного числа тригоно-
метрическая 344
Формулы Гиббса 312, 315
—	Муавра 345
—	Эйлера 82
Центр пучка 325
—	связки 335
—	тяжести тетраэдра 69
----треугольника 25, 73
Циссоида Диоклеса 276
Четверка точек гармоническая 44*
Числа комплексные сопряженные 345
Число i 343	•
Широта. 282
Элементы определителя 304
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие . . . .................................................. 3
Глава J. Векторная алгебра :........................................ 7
§ 1.	Векторы на плоскости (примеры с решениями)................. 7
§ 2.	Векторы в пространстве (примеры с решениями)............	10
§ -3	. Векторы на плоскости и в пространстве (примеры с указаниями
и ответами) .  ..................................... .........	24
Глава II. Аналитическая геометрия.................................. 36
§ 1.	Применение аналитической геометрии (примеры с решениями) 36
§ 2.	Применение , аналитической геометрии (примеры с указаниями
и ответами)...................................................  57
1." Планиметрия (57). 2. Стереометрия (69)
Глава Ilf. Применение комплексных чисел в планиметрии............	73
§ 1. Примеры с решениями.......................................	73
§ 2. Примеры с указаниями , и ответами........................ 222
Глава IV. Инверсия..............................................   249
§ 1. Определение инверсии. Свойства инверсии.................. 249
- §2. Примеры на инверсию.................'..................... 253
§ 3.	Отображение областей при инверсии .... t. .... .......... 266
§ 4.	Инверсоры Поселье и Гарта ............................... 277
§ 5.	Геометрия Маскерони................................       279
§ 6.	Инверсия пространства ................................... 283
Глава V. Основные определения, теоремы и формулы . ............... 304
§ 1.	Определители третьего порядка................*........... 304
- §2. Векторная алгебра.....................................     306
§ 3. Аналитическая геометрия ................................. 316
§ 4. Комплексные числа........................................ 343
Список принятых обозначений................... •	• • •'.............
Приложение. Основные формулы для справок.......................... 356
Список литературы . .-...............•	• • .....................
Именной указатель................................................  ^61
363
Предметный указатель ............................................
Петр Сергеевич Моденов
ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТР-ИИ
*
М„ 1979 т., 368 стр. С'илл.
Редактор А. Ф. Лапко
Техн, редактор С. Я. Шкляр
Корректоры Е. В. Сидоркина, В,П. Сорокина
ИБ №-11238
Сдано в набор 30.10.78. Подписано к печати 21.0379.
Формат 60X90V16. Бумага типографская № 3. Литературная
гарнитура. Высокая печать. Услови. печ. л. 23.- Уч.-изд. .
л. 20,67. Тираж 175 000 экз. Заказ №’260. Цена книги 70 коп.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский’проспект, 15
Ордена Октябрьской Реврлюции, ордена Трудового Крас-
ного Знамени Ленинградское производственно-техниче-
ское объединение «Печатный Двор» имени А. М. Горь-.
кого «Союзполйграфпрома» при'Государственном комите-
те СССР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли. 197136, Ленинград, П-136, Гатчинская, 26.
70 ноп.