ЕГЭ 2013
Математика
С1
С2
СЗ
С4
С5
С6
В. А. Смирнов
Геометрия Стереометрия
ФГОС
Под редакцией
А. Л. Семёнова и И. В. Ященко
Разработано МИОО
ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ
В. А. Смирнов
ЕГЭ 2013. Математика
Задача С2
Геометрия. Стереометрия
Издание третье, стереотипное
Под редакцией А. Л. Семенова и И. В. Ященко
Издание соответствует новому Федеральному государственному общеобразовательному стандарту (ФГОС)
Москва Издательство МЦНМО 2013
УДК 373:51
ББК 22.1Я72
С50
Смирнов В. А.
С50 ЕГЭ 2013. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия / Под ред. А. Л. Семенова и И. В. Ященко.— 3-е изд., стереотип.—М.: МЦНМО, 2013. —128 с.
ISBN 978-5-4439-0486-3
Пособия по математике серии «ЕГЭ 2013. Математика» ориентированы на подготовку учащихся старшей школы к успешной сдаче единого государственного экзамена по математике. В данном учебном пособии представлен материал для подготовки к решению задачи С2.
На различных этапах обучения пособие поможет обеспечить уров-невый подход к организации повторения, осуществить контроль и самоконтроль знаний по стереометрии.
Пособие предназначено для учащихся старшей школы, учителей математики, родителей.
Издание соответствует новому Федеральному государственному общеобразовательному стандарту (ФГОС).
ББК 22.1Я72
Приказом №729 Министерства образования и науки Российской Федерации Московский центр непрерывного математического образования включен в перечень организаций, осуществляющих издание учебных пособий, допущенных к использованию в образовательном процессе.
Смирнов Владимир Алексеевич
ЕГЭ 2013. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия
Под редакцией А, Л. Семенова и И. В. Ященко
Подписано в печать 30.07.2012 г. Формат 60 х 90 Vie. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Печ. л. 8. Тираж 10000 экз. Заказ № 4799.
Издательство Московского центра непрерывного математического образования.
119002, Москва, Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (499) 241-74-83
Отпечатано в ОАО «Первая образцовая типография», филиал «Дом печати — ВЯТКА» в полном соответствии с качеством предоставленных оригиналов. 610033, г. Киров, ул. Московская, 122. Факс (8332) 53-53-80, 62-10-36. http://www.gipp.kirov.ru e-mail: orderQgipp.kirov.ru
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга», Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (499) 241-72-85. E-mail: biblioQmccme.ru
© Смирнов В. А., 2013.
ISBN 978-5-4439-0486-3	© МЦНМО, 2013.
Введение
Данное пособие предназначено для подготовки к выполнению задания С2 ЕГЭ по математике. Его целями являются:
—	показ примерной тематики и уровня трудности геометрических задач, включенных в содержание ЕГЭ;
—	проверка качества знаний и умений учащихся по геометрии, их готовность к сдаче ЕГЭ;
—	развитие представлений учащихся об основных геометрических фигурах и их свойствах, формирование навыков работы с рисунком, умений проводить дополнительные построения;
—	повышение вычислительной культуры учащихся.
Пособие содержит задачи на нахождение углов между прямыми в пространстве, прямой и плоскостью, двумя плоскостями; нахождение расстояний от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя прямыми. Наличие рисунков помогает лучше понять условия задач, представить соответствующую геометрическую ситуацию, наметить план решения, провести дополнительные построения и вычисления.
Для решения предлагаемых задач требуются знание определений тригонометрических функций, формул для нахождения элементов треугольника, теоремы Пифагора, теоремы косинусов, умение проводить дополнительные построения, владение координатным и векторным методами геометрии.
Каждая задача оценивается исходя из двух баллов. Один балл начисляется за правильное построение или описание искомого угла или расстояния. Также один балл начисляется за правильно проведенные вычисления и правильный ответ.
Вначале предлагается диагностическая работа на нахождение углов и расстояний для различных многогранников. Для тех, кто хочет проверить правильность решения предложенных задач или убедиться в верности полученного ответа, приводятся решения задач, как правило, двумя различными способами и даются ответы. Затем, для закрепления рассмотренных методов решения задач, предлагаются тренировочные работы на нахождение углов и расстояний для каждого из рассмотренных в диагностической работе видов фигур.
В случае успешного решения этих задач можно переходить к выполнению заключительных диагностических работ, содержащих задачи разных типов.
4
Введение
В конце пособия даны ответы ко всем задачам, а также помещены два приложения. Первое содержит задачи на изображение сечений многогранников и нахождение их площадей. Второе — задачи на изображение тел вращения и нахождения их объемов и площадей поверхностей. Предлагаемые задачи предназначены для углубленного изучения геометрии. Их целью является развитие пространственных представлений учащихся, выработка умений проводить дополнительные построения на изображениях пространственных фигур, находить площади плоских фигур в пространстве, находить объемы и площади поверхности пространственных фигур. К каждой задаче предлагается рисунок, который помогает лучше понять условие задачи, представить соответствующую геометрическую ситуацию, наметить план решения, провести дополнительные построения и вычисления.
Отметим, что лучшим способом подготовки к ЕГЭ по геометрии являются систематические занятия по учебнику геометрии. Данное пособие не заменяет учебника. Оно может быть использовано в качестве дополнительного сборника задач при изучении геометрии в 10—11 классах, а также при организации обобщающего повторения или самостоятельных занятиях геометрией.
Диагностическая работа
1.1.	В единичном кубе A...Di найдите угол между прямыми АВг иВСр
1.2.	В единичном кубе A...Dj найдите угол между прямыми DAr nBD1.
1.3.	В правильной треугольной призме ABCA1BiC1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми ADj и СЕ1} где и Ег —соответственно середины ребер AjQ и BjQ.
6
Диагностическая работа
2.1.	В правильной шестиугольной призме А...ГХ, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AF и плоскостью ВСС\.
2.2.	В правильной шестиугольной призме A...F1} все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой СС\ и плоскостью BDE^.
2.3.	В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой BE и плоскостью SAD, где Е — середина ребра SC.
Диагностическая работа
7
3.1.	В правильной шестиугольной призме A...F19 все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями AFF^ и DEE^
3.2.	В единичном кубе найдите тангенс угла между плоскостями ADDi и BDCX.
3.3.	В правильной треугольной призме АВСА^С^ все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями АСВ1 и ВА1С1.
8
Диагностическая работа
4.1.	В правильной шестиугольной призме A...F19 все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой D^.
4.2.	В единичном кубе А...Ог найдите расстояние от точки А до прямой BD1.
4.3.	В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки F до прямой BG, где G — середина ребра SC.
Диагностическая работа
9
5.1.	В единичном кубе A...DX найдите расстояние от точки А до плоскости BDAi.
5.2.	В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки А до плоскости SBC.
5.3.	В правильной шестиугольной призме A...F19 все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости BFE1.
10
Диагностическая работа
6.1.	В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми SA и ВС.
6.2.	В единичном кубе A...D1 найдите расстояние между прямыми АВг и ВСТ.
6.3.	В правильной шестиугольной призме А.. .F1} все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми ААг и CFT.
Решения задач 1.1—1.3 диагностической работы
1.1.	Первое решение. Прямая АОг параллельна прямой ВСг и, следовательно, угол между прямыми АВ1 и ВСг равен углу B1AD1. Треугольник B1AD1 равносторонний и, значит, угол B1AD1 равен 60°.
Второе решение. Введем систему координат, считая началом координат точку А, осями координат—прямые АВ, AD, ААР Вектор АВг имеет координаты (1,0,1). Вектор ВС1 имеет координаты (0,1,1). Воспользуемся формулой нахождения косинуса угла <р между векто-—►	—►	1
рами ABj и ВСг. Получим cos ip = х и, значит, угол у равен 60 . Следовательно, искомый угол между прямыми АВг и ВСг равен 60°.
Ответ. 60°.
Решения задач 1.1—1.3 диагностической работы
1.2.	Первое решение. Рассмотрим ортогональную проекцию AD1 прямой BDj на плоскость ADD1. Прямые AD1 и DA1 перпендикулярны. Из теоремы о трех перпендикулярах следует, что прямые DAj и BD1 также перпендикулярны, т. е. искомый угол между прямыми DA1 и BDr равен 90°.

Второе решение. Введем систему координат, считая началом координат точку А, осями координат — прямые АВ, AD, ААР Вектор DAX имеет координаты (0, —1,1). Вектор BDr имеет координаты (—1,1,1). Скалярное произведение этих векторов равно нулю и, значит, искомый угол между прямыми DAX и BDT равен 90°.
Ответ. 90°.
Решения задач 1.1—1.3 диагностической работы
13
1.3.	Первое решение. Обозначим D и соответственно середины ребер АС и AjBj.
Прямые DCj и DF1 будут соответственно параллельны прямым AD1 и СЕг. Следовательно, угол между прямыми AD1 и СЕг будет равен д/5 углу C1DF1. Треугольник C1DF1 равнобедренный, QD = DFX = -z-, д/3
CjFi = -z~. Используя теорему косинусов, получаем cosZ.C1DF1 = 0,7.
Второе решение. Введем систему координат, считая началом коор-
динат точку А, как показано на рисунке. Точка С имеет координаты (1 Уз Л „
имеет координаты ( ^, -7-, 1), точка Ei имеет
Y Вектор AD1 имеет координаты
Уз Л „
—7-, 11. Косинус угла между пря-
координаты I J,
Вектор СЕг имеет координаты
мыми AD2 и CEj равен косинусу угла между векторами АЛг и СЕг.
Воспользуемся формулой нахождения косинуса угла между векторами. Получим cos (/? = 0,7.
г.1
3
Ответ. 0,7.
Тренировочная работа 1. Угол между прямыми
1.	В кубе A...D! найдите косинус угла между прямыми АВ и САг.
2.	В правильном тетраэдре ABCD точка Е — середина ребра CD. Найдите косинус угла между прямыми ВС и АЕ.
3.	В правильной треугольной призме АВСА^^, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ и САг.
Тренировочная работа 1. Угол между прямыми
15
4.	В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка Е—середина ребра SD. Найдите тангенс угла между прямыми SB и АЕ.
5.	В правильной шестиугольной призме A...F19 все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ и FEV
6.	В правильной шестиугольной призме A...Flf все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ1 и ВСг.
16
Тренировочная работа 1. Угол между прямыми
7.	В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между прямыми SB и АЕ.
8.	В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между прямыми SB и AD.
Решения задач 2.1—2.3 диагностической работы
2.1.	Решение. Пусть О — центр нижнего основания призмы. Прямая ВО параллельна AF. Так как плоскости АВС и ВССг перпендикулярны, то искомым углом будет угол ОВС. Так как треугольник ОВС равносторонний, то этот угол будет равен 60°.
Ответ. 60°.
2.2.	Решение. Так как прямые ВВг и CQ параллельны, то искомый угол будет равен углу между прямой ВВ1 и плоскостью BDE1. Прямая BD, через которую проходит плоскость BDE1, перпендикулярна плоскости ABBj и, значит, плоскость BDEr перпендикулярна плоскости АВВг. Следовательно, искомый угол будет равен углу AjBBj, т. е. равен 45°.
Ответ. 45°.
2.3.	Решение. Через вершину S проведем прямую, параллельную прямой АВ, и отложим на ней отрезок SF, равный отрезку АВ. В тетраэдре SBCF все ребра равны 1 и плоскость BCF параллельна плоскости SAD. Перпендикуляр ЕН, опущенный из точки Е на плоскость BCF, равен половине высоты тетраэдра, т. е. равен -зр Угол между прямой BE и плоскостью SAD равен углу ЕВН, синус которого равен -х-.
Ответ.
V2
3 *
2 Геометрия. Стереометрия
Тренировочная работа 2.
Угол между прямой и плоскостью
1.	В кубе найдите тангенс угла между прямой AQ и плоскостью BDD1.
2.	В кубе A...Dj найдите синус угла между прямой АВ и плоскостью CB1D1.
3.	В правильном тетраэдре ABCD точка Е — середина ребра BD. Найдите синус угла между прямой АЕ и плоскостью АВС.
Тренировочная работа 2. Угол между прямой и плоскостью
19
4.	В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между прямой ВВг и плоскостью ABiCp
5.	В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой BD и плоскостью SBC.
6.	В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите синус угла между прямой ВС и плоскостью SAF.
2*
20
Тренировочная работа 2. Угол между прямой и плоскостью
7.	В правильной шестиугольной призме все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AAj и плоскостью ВСЕ1.
8.	В правильной шестиугольной призме А...РЪ все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой ВСг и плоскостью AFF^
Решения задач 3.1—3.3 диагностической работы
3.1.	Первое решение. Так как плоскость FCCX параллельна плоскости DEE19 то искомый угол равен углу между плоскостями AFF1 и FCCX. Так как плоскости AFF1 и FCCX перпендикулярны плоскости АВС, то соответствующим линейным углом будет угол AFC, который равен 60°.
Второе решение. Так как плоскость AFF1 параллельна плоскости ВЕЕ ъ то искомый угол равен углу между плоскостями ВЕЕг и DEEV Так как плоскости ВЕЕ1 и DEE1 перпендикулярны плоскости АВС, то соответствующим линейным углом будет угол BED, который равен 60°.
Ответ. 60°.
3.2.	Решение. Так как плоскость ADDX параллельна плоскости ВСС19 то искомый угол равен углу между плоскостями ВССХ и BDCX. Пусть Е — середина отрезка ВСХ. Тогда прямые СЕ и DE будут перпендикулярны прямой ВСХ и, следовательно, угол CED будет линейным углом между плоскостями ВССХ и BDCX. Треугольник CED прямо-л/2
угольный, катет CD равен 1, катет СЕ равен -х-. Следовательно,
22
Решения задач 3.1—3,3 диагностической работы
tgZCED = v/2.
Ответ. V2.
3.3.	Пусть DE—линия пересечения данных плоскостей, F — середина отрезка DE, G — середина отрезка AjCp Угол GFB1 является линейным углом между данными плоскостями. В треугольнике GFBT имеем:
FG = FB1 = ^-, СВг = ^.
1
По теореме косинусов находим cos Z.GFBT = =.
Тренировочная работа 3.
Угол между двумя плоскостями
1.	В кубе A...DT найдите тангенс угла между плоскостями АВС и СВ^.
2.	В кубе A...DX найдите косинус угла между плоскостями ВА1С1 и ABjDp
3.	В правильной треугольной призме ABCAiBiC19 все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями АВС и СА1В1.
А
24
Тренировочная работа 3. Угол между двумя плоскостями
4.	В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями SAD и SBC.
5.	В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус двугранного угла, образованного гранями SBC и SCD.
6.	В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между плоскостями SBC и SEF.
S
Тренировочная работа 3. Угол между двумя плоскостями
25
7.	В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между плоскостями SAF и SBC.
S
8.	В правильной шестиугольной призме A...F19 все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями АВС и
Решения задач 4.1—4.3 диагностической работы
4.1.	Решение. Так как прямая D1F1 перпендикулярна плоскости AFF19 то отрезок AF2 будет искомым перпендикуляром, опущенным из точки А на прямую D1F1. Его длина равна V2.
Ответ. У2.
4.2.	Первое решение. Искомым перпендикуляром является высота АН прямоугольного треугольника ABD19 в котором
АВ = 1,
BD1 =
Для площади S этого треугольника имеют место равенства
Откуда находим АН =
Второе решение. Искомым перпендикуляром является высота АН прямоугольного треугольника ABD19 в котором
АВ = 1, AD1 = ^2i BDT = Уз.
Решения задач 4.1—4.3 диагностической работы
27
Треугольники BAD1 и ВНА подобны по трем углам. Следовательно,
AD1:BD1=AH: АВ.
Откуда находим АН = -х-.
Третье решение. Искомым перпендикуляром является высота АН прямоугольного треугольника ABD1} в котором
АВ = 1,
ADX = л/2, BDX = Уз.
Откуда sin Z.ABD1 =
и, следовательно,
АН = АВ • sin Z.ABH =
~ V6
Ответ, -д-.
4.3.	Искомое расстояние от точки F до прямой BG равно высоте FH треугольника FBG, в котором FB=FG = Уз, BG = По теореме Пифагора находим FH =
42
S
Тренировочная работа 4. Расстояние от точки до прямой
1.	В единичном кубе A...D1 найдите расстояние от точки В до пря
мой DA±.
2.	В правильной треугольной призме АВСА^Сх, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой ACV
3.	В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки S до прямой BF.
А
Тренировочная работа 4. Расстояние от точки до прямой
4.	В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки В до прямой SA.
5.	В правильной шестиугольной призме A...Flf все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой
6.	В правильной шестиугольной призме A...Flf все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой A1D1.
30
Тренировочная работа 4. Расстояние от точки до прямой
7.	В правильной шестиугольной призме A...F19 все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой FET.
8.	В правильной шестиугольной призме A...F±, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой ADr.
Решения задач 5.1—5.3 диагностической работы
5.1.	Первое решение. Пусть О — середина отрезка BD. Прямая BD перпендикулярна плоскости АОАг. Следовательно, плоскости BDA1 и AOAj перпендикулярны. Искомым перпендикуляром, опущенным из точки А на плоскость BDAlt является высота АН прямоугольного треугольника АОА19 в котором
^ = 1, АО = ^, ОА1 = ^.
Для площади S этого треугольника имеют место равенства
2S = AO-AA1 = ОА1-АН.
V3 Откуда находим АН = -у.
Второе решение. Пусть О — середина отрезка BD. Прямая BD перпендикулярна плоскости АОАг. Следовательно, плоскости BDAT и AQAj перпендикулярны. Искомым перпендикуляром, опущенным из точки А на плоскость BDA19 является высота АН прямоугольного треугольника АОА1? в котором
АА1 = 1, АО = ОАг =
Треугольники AOAj и НОА подобны по трем углам. Следовательно,
V3
АА1: ОА} =АН: АО. Откуда находим АН = -у.
Третье решение. Пусть О — середина отрезка BD. Прямая BD перпендикулярна плоскости АОАг. Следовательно, плоскости ВПАг и AOAj перпендикулярны. Искомым перпендикуляром, опущенным из точки А на плоскость BDA19 является высота АН прямоугольного треугольника АОА19 в котором
ААг = 1, АО = ^, ОАг = ^.
Решения задач 5.1—5.3 диагностической работы
Откуда sin ZAOAj =
Г и> следовательно,
АН = АО • sin Z.AOH =
Ответ.
5.2.	Первое решение. Пусть О — центр основания пирамиды. Прямая АО параллельна прямой ВС и, значит, параллельна плоскости SBC. Следовательно, искомое расстояние равно расстоянию от точки О до плоскости SBC. Пусть G — середина отрезка ВС. Тогда прямая OG перпендикулярна ВС и искомым перпендикуляром, опущенным из точки О на плоскость SBC, является высота ОН прямоугольно-
./З	а/15
го треугольника SOG. В этом треугольнике OG = -z-, SG = —z—, SO = V3. Для площади S этого треугольника имеют место равенства
2S = OG -SO = SG- ОН. Откуда находим ОН =
Второе решение. Пусть О — центр основания пирамиды. Прямая АО параллельна прямой ВС и, значит, параллельна плоскости SBC. Следовательно, искомое расстояние равно расстоянию от точки О до плоскости SBC. Пусть G — середина отрезка ВС. Тогда прямая OG перпендикулярна ВС и искомым перпендикуляром, опущенным из точки О на плоскость SBC, является высота ОН прямоугольного треугольника SOG. В этом треугольнике
OG = SG = SO = Уз.
Треугольники SOG и OHG подобны по трем углам. Следовательно,
SO:	SG = ОН: OG. Откуда находим ОН =
О
Ответ. —.
5 ’
Решения задач 5.1—5.3 диагностической работы
33
5.3.	Первое решение. Пусть О и Ох — центры оснований призмы.
Прямая АОг параллельна плоскости BFEX и, следовательно, расстояние от точки А до плоскости BFEX равно расстоянию от прямой АО^ до плоскости BFE1. Плоскость АООг перпендикулярна плоскости BFE1 и, следовательно, расстояние от прямой АОг до плоскости BFE1 равно расстоянию от прямой АОг до линии пересечения ССг плоскостей АООг и BFE1. Треугольник АООг прямоугольный, АО = ООг = 1,
GGx — его средняя линия. Следовательно, расстояние между прямы-
ми АОг и GGi равно половине высоты ОН треугольника АОО19 т.е.
равно
Второе решение. Пусть G — точка пересечения прямых AD и BF. Угол между прямой AD и плоскостью BFE1 равен углу между прямыми ВС и ВСг и равен 45°. Перпендикуляр АН, опущенный из точки А на д/2 плоскость BFE19 равен AG • sin45°. Так как AG=0,5, то АН = -т-. г
Ответ.
3 Геометрия. Стереометрия
Тренировочная работа 5.
Расстояние от точки до плоскости
1.	В единичном кубе A.,.D1 найдите расстояние от точки А до плос
кости CBxDp
2.	В единичном кубе А.. .D± найдите расстояние от точки А до плоскости BDC1.
3.	В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости ВСА1.
Тренировочная работа 5. Расстояние от точки до плоскости
35
4.	В правильной треугольной призме АВСА^С^, все ребра которой равны X найдите расстояние от точки А до плоскости СА1В1.
5.	В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости SCD.
6.	В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки А до плоскости SDE.
S
з*
36
Тренировочная работа 5. Расстояние от точки до плоскости
7.	В правильной шестиугольной призме A...F19 все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости DEA1.
8.	В правильной шестиугольной призме A...F19 все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости DEF^
Решения задач 6.1—6.3 диагностической работы
6.1.	Решение. Прямая ВС параллельна плоскости SAD, в которой лежит прямая SA. Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми SA и ВС равно расстоянию от прямой ВС до плоскости SAD.
Пусть Е и F соответственно середины ребер AD и ВС. Тогда искомым перпендикуляром будет высота FH треугольника SEF. В треугольнике SEF имеем:
ЕЕ = 1, SE = SF =
д/2
высота SO равна Для площади S треугольника SEF имеют место равенства
2S = EF-SO = SE-FH,
из которых получаем FH =
6.2.	Решение. Плоскости AB1D1 и BDCj, в которых лежат данные прямые, параллельны. Следовательно, расстояние между этими скрещивающимися прямыми равно расстоянию между соответствующими плоскостями.
38
Решения задач 6.1—6.3 диагностической работы
Диагональ САг куба перпендикулярна этим плоскостям. Обозначим Е и F точки пересечения диагонали САг соответственно с плоскостями AB1D1 и BDCX. Длина отрезка EF будет равна расстоянию между прямыми АВг и ВСг. Пусть О и О1 соответственно центры граней ABCD и AjBiCiD! куба. В треугольнике АСЕ отрезок OF параллелен АЕ и проходит через середину АС. Следовательно, OF — средняя линия треугольника АСЕ и, значит, EF = FC. Аналогично доказывается, что ОгЕ — средняя линия треугольника AjQf и, значит, АгЕ=EF. Та-
ким образом, EF составляет одну треть диагонали СА19 т. е. EF =
/3
3 •
п V3
Ответ. —.
6.3.	Решение. Расстояние между скрещивающимися прямыми AAj и равно расстоянию между параллельными плоскостями АВВХ и
CFF19 в которых лежат эти прямые. Оно равно
Тренировочная работа 6.
Расстояние между двумя прямыми
1.	В единичном кубе A...D1 найдите расстояние между прямыми ВА1 и DBp
2.	В правильной треугольной призме АВСА^^, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми CQ и АВ.
3.	В правильной треугольной призме АВСА^С^ все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми АВ и СВг.
40
Тренировочная работа 6. Расстояние между двумя прямыми
4.	В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми SB и АС.
5.	В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми SA и CD.
6.	В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямыми SB и AF.
Тренировочная работа 6. Расстояние между двумя прямыми
41
7.	В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямыми SB и АЕ.
8.	В правильной шестиугольной призме A...F19 все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми ВВг и ЕРг.
Диагностическая работа 1
1.	В кубе A...DX найдите угол между прямыми ВАг и В^.
2.	В правильной треугольной призме ABC/^BjCj, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВг и ВСР
3.	В правильной шестиугольной призме A...Flf все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВг и DQ.
Диагностическая работа 1
43
4.	В кубе Л...Di найдите синус угла между прямой A1D1 и плоскостью АСВР
5.	В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите синус угла между прямой АВ и плоскостью SBC.
6.	В правильной шестиугольной призме A...Flf все ребра которой равны X найдите синус угла между прямой AFT и плоскостью ВСС1.
Диагностическая работа 1
7.	В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями АВС и SCD.
8.	В правильной шестиугольной призме A...Fj найдите угол между плоскостями AFFj и BCCV
9.	В кубе A...D1 найдите косинус угла между плоскостями АВ^г и СВ^р
Диагностическая работа 1
45
10.	В единичном кубе A...DX найдите расстояние от точки В до прямой DAT.
11.	В правильной шестиугольной призме A...FX, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой ЕВг.
12.	В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки А до прямой SD,
Диагностическая работа 1
13.	В единичном кубе A...DX найдите расстояние от точки В до плоскости DAjCp
к
14.	В правильной шестиугольной призме все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости ВЕА1.
15.	В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки А до плоскости SCE.
Диагностическая работа 1
47
16.	В правильной треугольной призме ABCA^iC^ все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми ААг и ВС.
17.	В правильной шестиугольной призме A...F19 все ребра которой равны X найдите расстояние между прямыми ВВг и CD1.
18.	В единичном кубе A...DX найдите расстояние между прямыми АВг и BDX.
Диагностическая работа 2
1.	В кубе A...D-1 найдите угол между прямыми АВг и BD2.
2.	В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка Е — середина ребра SC. Найдите тангенс угла между прямыми SA и BE.
3.	В правильной шестиугольной призме A...Flf все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ1и BDV
Диагностическая работа 2
49
4.	В кубе A...Dj найдите синус угла между прямой DDT и плоскостью АС В,.
5.	В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите синус угла между прямой AF и плоскостью SBC.
S
6.	В правильной шестиугольной призме все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой ВСг и плоскостью ВСЕ1.
4 Геометрия. Стереометрия
50
Диагностическая работа 2
7.	В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между плоскостями АВС и SEF.
8.	В правильной шестиугольной призме A..,F1 найдите угол между плоскостями AFFX и BDD±.
9.	В кубе A...D1 найдите тангенс угла между плоскостями АВС и .ОАХС?Х.
Диагностическая работа 2
51
10.	В правильной треугольной призме АВСА1В1С19 все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой СВг.
11.	В правильной шестиугольной призме A...Flt все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой ВЕг.
12.	В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки А до прямой SC.
4*
52
Диагностическая работа 2
13.	В единичном кубе A...D1 найдите расстояние от точки В до плоскости AB1D1,
14.	В правильной шестиугольной призме A...F19 все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости CEFy.
15.	В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки А до плоскости SBF.
S
Диагностическая работа 2
53
16.	В правильной треугольной призме АВСА^С^ все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми и ВСР
17.	В правильной шестиугольной призме A...F19 все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми ВВ1 и FE1.
\А
18.	В единичном кубе A...Dr найдите расстояние между прямыми ВЛ hBiDi.
D
Диагностическая работа 3
1.	В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между прямыми АВ и CD.
2.	В кубе A...D! найдите тангенс угла между прямыми АВ и DBV
3.	В правильной шестиугольной призме A...F1? все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми ВА1 и DBV
Диагностическая работа 3
55
4.	В кубе A...Dt найдите угол между прямой АС и плоскостью BCDV
5.	В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите синус угла между прямой SA и плоскостью SBC.
6.	В правильной шестиугольной призме A...F19 все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой FCr и плоскостью ВСЕг.
Диагностическая работа 3
7.	В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка Е — середина ребра SC. Найдите угол между плоскостями АВС и BDE.
8.	В кубе A...Dj найдите угол между плоскостями АВСг и BCD1.
9.	В правильной шестиугольной призме A...F1? все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями АВС и BFE1.
Диагностическая работа 3
57
10.	В единичном кубе A...D1 найдите расстояние от точки В до прямой АСг.
11.	В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки А до прямой SB.
12.	В правильной шестиугольной призме A...F1} все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой CFt.
58
Диагностическая работа 3
13.	В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка Е — середина ребра SB. Найдите расстояние от точки В до плоскости АСЕ.
14.	В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до плоскости АВ-^С^
15.	В правильной шестиугольной призме A...F19 все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости CFA±.
Диагностическая работа 3
59
16.	В единичном кубе A..,Dr найдите расстояние между прямыми АВ и САг.
<4
17.	В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямыми SB и DF.
18.	В правильной шестиугольной призме A.. .Р19 все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми ВВ1 и CFV
Ответы
/3
3 *
2.^. 3. —
Тренировочная работа 1
3
2.
5. — 6 3
4	4
8. т
Тренировочная работа 2
2
2.
2.
/3
3 ’
3.
/3	_ УЗ , У15
2- 5-Т- 6-~-
5.
6.
8.
Тренировочная работа 3
2.
2. г. 3.
2 УЗ
3 *
5.	6.0,6. 7.0,2. 8.2.
О	О	о
2.
14
3.
Тренировочная работа 4
Тз 2 ’
15
5.
3. 8.2^. о
2 УЗ
3 ’
2.
3.
Тренировочная работа 5
21
21
5.
3 • 6- 5
/3
2 *
8.
2.
/3
2 ’
3.
Тренировочная работа 6
21
5.
/6	, -J3	„ 2V39
г- 6-т- 7-лг-
8.
3.
2 *
L 6 ’
2 ‘	2 *
Диагностическая работа 1
6-Т- 7’ 3- 8-60- Ч-зУз9 Уз Уз 15-ЧГ- 16Т- 17-Т-
Диагностическая работа 2
1. 90°. 2. У2. 3.	4.	5.	6.	7.	8. 30. 9. У2. 10.
4	3	5	4	5	4
2У5	У39 УЗ ЗУ2 У39 Уз	Уз
И. —.	12. —.	13. —.	14. —.	15. —.	16. —.	17. УЗ. 18. —.
Диагностическая работа 3
1. 90°. 2. У2. 3.	4. 30°. 5.	6.	7. 45°. 8. 60°. 9. 45°.
4	10	5
Уб „ У15 Узб	. У21	У21 ,, У2 3j3
10.—. 11.—. 12.—. 13.0,5. 14.—. 15.—. 16.—. 17.-2-. *3	I	D	/	/	^	*т
Приложение i
Сечения многогранников
Диагностическая работа 1
1.	Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются вершины А, С, А19 Сг прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 с ребрами которого АВ = 4, AD = 3, ААг =4.
2.	Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины ребер AD, ВС, АА19 ВВг прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 с ребрами АВ = 4, AD = 4, ААг = 3.
3.	Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины ребер АВ, ВС, CD, AD единичного тетраэдра ABCD.
64
Приложение 1. Сечения многогранников
4.	Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются вершины S, В, D правильной четырехугольной пирамиды SABCD с ребрами, равными 1.
5.	Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины ребер SA, SB, SC, SD правильной четырехугольной пирамиды SABCD с ребрами, равными 1.
6.	Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины ребер АС, ВС, AjCj, ВгСг правильной треугольной призмы ABCAiB^t с ребрами, равными 1.
Диагностическая работа 1
65
7.	Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются вершины А19 Сь В правильной треугольной призмы АВСА^В^ со стороной основания 2 и боковым ребром 1.
8.	Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются вершины В, Е, В19 Е1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA^CiPiE^ с ребрами, равными 1.
9.	Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются вершины В, D, В19 Dr правильной шестиугольной призмы ABCDEFA^^D^^ со стороной основания 1 и боковым ребром УЗ.
5 Геометрия. Стереометрия
Диагностическая работа 2
1.	Изобразите сечение единичного куба A...DX, проходящее через середины ребер А41? ВВ19 В^. Найдите его площадь.
2.	Изобразите сечение единичного куба A...D19 проходящее через вершину А и середины ребер ВВ19 DD1. Найдите его площадь.
3.	Изобразите сечение единичного куба проходящее через вершины А, С и середину ребра CjDj. Найдите его площадь.
Диагностическая работа 2
67
4.	Изобразите сечение единичного куба A...D19 проходящее через середины ребер А41? CQ и точку на ребре АВ, отстоящую от вершины А на 0,75. Найдите его площадь.
5.	Изобразите сечение единичного тетраэдра ABCD, проходящее через середины ребер АВ, ВС и CD. Найдите его площадь.
6.	Изобразите сечение правильной треугольной призмы АВСА1В1С19 проходящее через середины ребер АВ, ВС, А^. Все ребра призмы равны 1. Найдите его площадь.
5*
Приложение 1. Сечения многогранников
7.	Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, проходящее через вершины A, D и Сх. Все ребра призмы равны 1. Найдите его площадь.
8.	Изобразите сечение многогранника, изображенного на рисунке, проходящее через вершины А, В и С2. Все двугранные углы многогранника прямые. Найдите его площадь.
9.	Изобразите сечение многогранника, изображенного на рисунке, проходящее через вершины А, УЦ и Р2- Все двугранные углы многогранника прямые. Найдите его площадь.
Тренировочная работа 1
1.	Изобразите сечение единичного куба A...D19 проходящее через середины ребер ВВ19 СС19 А1В1. Найдите его площадь.
2.	Изобразите сечение единичного куба A...D19 проходящее через вершину В и середины ребер АА19 ССГ Найдите его площадь.
3.	Изобразите сечение единичного куба A...D19 проходящее через вершины А19 В и середину ребра ССР Найдите его площадь.
70
Приложение 1. Сечения многогранников
4.	Изобразите сечение единичного куба A...D19 проходящее через вершину Di и середины ребер АВ, ВС. Найдите его площадь.
5.	Изобразите сечение единичного тетраэдра ABCD, проходящее через середины ребер AD, BD и ВС. Найдите его площадь.
6.	Изобразите сечение правильной треугольной призмы ABCAjBjQ, проходящее через вершины Аг, Вг и середину ребра АС. Все ребра призмы равны 1. Найдите его площадь.
Тренировочная работа 1
7.	Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1Fli проходящее через вершины А, С и D? Все ребра призмы равны 1. Найдите его площадь.
8.	Изобразите сечение многогранника, изображенного на рисунке, проходящее через вершины А, А2 и С2. Все двугранные углы многогранника прямые. Найдите его площадь.
9.	Изобразите сечение многогранника, изображенного на рисунке, проходящее через вершины А, В и С3. Все двугранные углы многогранника прямые. Найдите его площадь.
3
Тренировочная работа 2
1.	Изобразите сечение единичного куба проходящее через вершину А и середины ребер ВС, BjQ. Найдите его площадь.
2.	Изобразите сечение единичного куба проходящее через середины ребер АА19 ССг и точку на ребре ВВ1} отстоящую от вершины В на 0,25. Найдите его площадь.
3.	Изобразите сечение единичного куба А-..D^ проходящее через вершину А и середины ребер CD, AiDv Найдите его площадь.
Тренировочная работа 2
73
4.	Изобразите сечение единичного куба проходящее через середины ребер ВВ19 DD1 и точку на ребре АВ, отстоящую от вершины А на 0,75. Найдите его площадь.
5.	Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды SABCD, проходящее через вершины А, В и середину ребра SC. Все ребра пирамиды равны 1. Найдите его площадь.
6.	Изобразите сечение правильной треугольной призмы ABCA^fa, проходящее через середины ребер АА19 ВВг и AjQ. Все ребра призмы равны 1. Найдите его площадь.
74
Приложение 1. Сечения многогранников
7.	Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы ABCDFFA1B1C1DIF1F1, проходящее через вершины А, В и Dv Все ребра призмы равны 1. Найдите его площадь.
8.	Изобразите сечение многогранника, изображенного на рисунке, проходящее через вершины В1} Сг и D2. Все двугранные углы многогранника прямые. Найдите его площадь.
9.	Изобразите сечение многогранника, изображенного на рисунке, проходящее через вершины А, В и С3. Все двугранные углы многогранника прямые. Найдите его площадь.
Диагностическая работа 3
1.	Изобразите сечение единичного куба проходящее через вершину С и середины ребер AD, A1D1. Найдите его площадь.
2.	Изобразите сечение единичного куба A...D1} проходящее через середины ребер AiBi, CD и точку на ребре АВ, отстоящую от вершины А на 0,25. Найдите его площадь.
3.	Изобразите сечение единичного куба A...D1? проходящее через
вершины А19 Q и середину ребра AD. Найдите его площадь.
76
Приложение 1. Сечения многогранников
4.	Изобразите сечение единичного куба проходящее через середины ребер А4Ь ССг и точку на ребре АВ, отстоящую от вершины А на 0,25. Найдите его площадь.
5.	Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды SABCD, проходящее через вершины В, С и середину ребра SA. Все ребра пирамиды равны 1. Найдите его площадь.
6.	Изобразите сечение правильной треугольной призмы АВСА1В1С1, проходящее через вершины В, Вг и середину ребра АС. Все ребра призмы равны 1. Найдите его площадь.
Диагностическая работа 3
7.	Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы
ABCDEFA1B1C1D1E1F1J проходящее через вершины В, D и Ег. Все
ребра призмы равны 1. Найдите его площадь.
8.	Изобразите сечение многогранника, изображенного на рисунке, проходящее через вершины А, В и С2. Все двугранные углы многогранника прямые. Найдите его площадь.
9.	Изобразите сечение многогранника, изображенного на рисунке, проходящее через вершины А, С и А2. Все двугранные углы мно-гогранника прямые. Найдите его площадь.
Диагностическая работа 4
1.	Изобразите сечение единичного куба A...D19 проходящее через вершины В, С, Dj. Найдите его площадь.
2.	Изобразите сечение единичного куба A...D19 проходящее через середины ребер AD, В1С1 и точку на ребре ВС, отстоящую от вершины В на 0,25. Найдите его площадь.
3.	Изобразите сечение единичного куба A...D19 проходящее через середины ребер АВ, ВС, ССг. Найдите его площадь.
Диагностическая работа 4
79
4.	Изобразите сечение единичного куба Af..D19 проходящее через вершину Вг и середины ребер AD, CD. Найдите его площадь.
5.	Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды SABCD, проходящее через середины ребер AD, ВС и SD. Все ребра пирамиды равны 1. Найдите его площадь.
6.	Изобразите сечение правильной треугольной призмы АВСА^Е^С^ проходящее через вершины А, В и середину ребра AiQ. Все ребра призмы равны 1. Найдите его площадь.
80
Приложение 1. Сечения многогранников
7.	Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, проходящее через вершины С, F и Ег. Все ребра призмы равны 1. Найдите его площадь.
8.	Изобразите сечение многогранника, изображенного на рисунке, проходящее через вершины А, Аг и С3. Все двугранные углы многогранника прямые. Найдите его площадь.
9.	Изобразите сечение многогранника, изображенного на рисунке, проходящее через вершины А, А2 и С2. Все двугранные углы многогранника прямые. Найдите его площадь.
Ответы и решения
Диагностическая работа 1
1.20. 2.10. 3.0,25. 4.0,5.5.0,5. 6.0,5. 7.2. 8.2. 9.3.
Диагностическая работа 2
1.	Сечением является прямоугольник, площадь которого равна -х-.
2.	Сечением является ромб, площадь которого равна
3.	Сечением является трапеция, площадь которой равна 1|.
6 Геометрия. Стереометрия
82
Приложение 1. Сечения многогранников
4.	Сечением является шестиугольник. Площадь его ортогональной 15
проекции на плоскость АВС равна косинус угла между плоскостью
сечения и плоскостью АВС равен Площадь сечения равна
5.	Сечением является прямоугольник, площадь которого равна 0,25.
6.	Сечением является прямоугольник, площадь которого равна 0,5.
Ответы и решения
83
7.	Сечением является равнобедренная трапеция, площадь которой
равна
Зл/7
4 *
8.	Площадь сечения равна 3\/2.
Зл/З
2 ‘
9.	Площадь сечения равна
84
Приложение 1. Сечения многогранников
Тренировочная работа 1
2. Ответ.
1. Ответ.
3. Ответ. 1q.
О
Ответы и решения
4. Ответ.
7717
24 *
5. Ответ. 0,25.
6. Ответ.
3719
16 •
7.	Ответ. Тб.
86
Приложение 1. Сечения многогранников
8.	Ответ. 2\/5.
9.	Ответ. 2713.
Тренировочная работа 2
1. Ответ.
Ответы и решения
87
_ „ ЗУ2
2. Ответ. —т-.
4
3. Ответ.
ЗУ21
16 ’
88
Приложение 1. Сечения многогранников
с „ зУп
5.	Ответ. .
16
6.	Ответ,
7.	Ответ. 3.
8.	Ответ, л/5.
Ответы и решения
9. Ответ. Зл/2.
Диагностическая работа 3
2. Ответ.
3^2
4 •
90
Приложение 1. Сечения многогранников
5
4. Ответ. Itz.
16
_ - зЛ1
5. Ответ, -д; . 16
6. Ответ.
Ответы и решения
91
7. Ответ. Уб.
8. Ответ. 2-/5.
9. Ответ. 3 У2.
92
Приложение 1. Сечения многогранников
Диагностическая работа 4
1. Ответ.
?2.
2. Ответ.
3V2
3. Ответ.
зУз
Ответы и решения
93
4. Ответ.
7/17
24 •
5. Ответ.
16 •
6. Ответ.
3/19
16 ’
94
Приложение 1. Сечения многогранников
9. Ответ. 3.
Приложение 2
Тела и поверхности вращения
Диагностическая работа 1
1.	Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, полученного вращением единичного квадрата ABCD вокруг прямой AD.
D
2.	Найдите площадь боковой поверхности конуса, полученного вращением прямоугольного треугольника АВС с катетами АС=ВС=1 вокруг прямой АС.
3.	Найдите площадь полной поверхности конуса, полученного вращением равностороннего треугольника АВС со стороной 1 вокруг прямой, содержащей биссектрису CD этого треугольника.
7 Геометрия. Стереометрия
98
Приложение 2. Тела и поверхности вращения
4.	Найдите объем тела вращения равнобедренной трапеции ABCD с боковыми сторонами AD и ВС, равными 1, и основаниями АВ и CD, равными соответственно 2 и 1, вокруг прямой АВ.
5.	Найдите объем тела вращения многоугольника ABCDEF, изображенного на рисунке и составленного из трех единичных квадратов, вокруг прямой AF.
6.	Найдите объем тела вращения многоугольника ABCDEFGH, изображенного на рисунке и составленного из четырех единичных квадратов, вокруг прямой с, проходящей через середины сторон АВ nEF.
с
С
В
Диагностическая работа 1
99
7. Найдите объем тела вращения единичного куба ABCDA^^-^D
8. Найдите объем тела вращения правильной четырехугольной пирамиды SABCD, все ребра которой равны 1, вокруг прямой, содержащей высоту SH этой пирамиды.
9. Все двугранные углы многогранника, изображенного на рисунке, прямые. Найдите объем тела вращения этого многогранника вокруг прямой AD.
Решения задач диагностической работы
1.	Искомый цилиндр изображен на рисунке. Радиус его основания и образующая равны 1. Площадь боковой поверхности этого цилиндра равна 2л.
2.	Искомый конус изображен на рисунке. Радиус его основания равен 1, а образующая равна д/2. Площадь боковой поверхности этого конуса равна У2л.
3.	Искомый конус изображен на рисунке. Радиус его основания равен 0,5, а образующая равна 1. Площадь полной поверхности этого Зл конуса равна -у-.
Решения задач диагностической работы
101
4.	Искомым телом вращения является цилиндр с радиусом осно-УЗ
вания -у и высотой 1, на основаниях которого достроены конусы, высотой 0,5. Его объем равен я.
5.	Искомое тело вращения состоит из двух цилиндров с основаниями радиусов 2 и 1, высотой 1. Его объем равен 5я.
6.	Искомое тело вращения составлено из двух цилиндров высотой 1 и радиусами оснований 1,5 и 0,5. Его объем равен 2,5я.
102
Приложение 2. Тела и поверхности вращения
7.	Искомым телом вращения является цилиндр, радиус основания которого равен У2, а высота равна 1. Его объем равен 2тг.
8. Искомым телом вращения является конус, радиус основания и
9. Искомым телом вращения является цилиндр, радиус основания которого равен \/5, а высота равна 2. Его объем равен Ютг.
Тренировочная работа 1
1.	Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, полученного вращением прямоугольника ABCD со сторонами АВ = 3, ВС = 4 вокруг прямой AD.
2.	Найдите площадь боковой поверхности конуса, полученного вращением прямоугольного треугольника АВС с катетами АС = 3, ВС = 4 вокруг прямой АС.
3.	Найдите площадь полной поверхности конуса полученного вращением равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ = 2 и боковой стороной, равной 3, вокруг прямой, содержащей биссектрису CD этого треугольника.
104
Приложение 2. Тела и поверхности вращения
4.	Найдите объем тела вращения равнобедренной трапеции ABCD с боковыми сторонами AD и ВС, равными 1, и основаниями АВ и CD, равными соответственно 2 и 1, вокруг прямой CD.
5.	Найдите объем тела вращения многоугольника ABCDEF, изображенного на рисунке и составленного из трех единичных квадратов, вокруг прямой DE.
6.	Найдите объем тела вращения многоугольника ABCDEFGH, изображенного на рисунке и составленного из четырех единичных квадратов, вокруг прямой с, проходящей через середины сторон АН и ВС.
Тренировочная работа 1
105
7.	Найдите объем тела вращения единичного куба ABCDA1B1C1D1 вокруг прямой с, проходящей через центры граней ABCD и A1B1C1D1.
8.	Найдите объем тела вращения единичного правильного октаэдра S'ABCDS" вокруг прямой S'S".
9.	Все двугранные углы многогранника, изображенного на рисунке, прямые. Найдите объем тела вращения этого многогранника вокруг прямой CD.
Решения задач тренировочной работы 1
1.	Искомый цилиндр изображен на рисунке. Радиус его основания равен 3, а образующая равна 4. Площадь боковой поверхности этого цилиндра равна 24л.
2.	Искомый конус изображен на рисунке. Радиус его основания равен 4, а образующая равна 5. Площадь боковой поверхности этого конуса равна 20л.
3.	Искомый конус изображен на рисунке. Радиус его основания равен 1, а образующая равна 3. Площадь полной поверхности этого конуса равна 4л.
Решения задач тренировочной работы 1
107
4.	Искомым телом вращения является цилиндр с радиусом осно-</з
вания -у и высотой 2, на основаниях которого вырезаны конусы, высотой 0,5. Его объем равен 1,25л.
5.	Искомое тело вращения является цилиндром с основанием радиуса 1 и высотой 2. Его объем равен 2л.
6.	Искомое тело вращения является цилиндром с основанием радиуса 1,5 и высотой 1, на основания которого поставлены два цилиндра с основаниями радиуса 0,5 и высотой 1. Его объем равен 2,75л.
м
108
Приложение 2. Тела и поверхности вращения
7.	Искомым телом вращения является цилиндр, радиус основания л/2
которого равен а высота равна 1. Его объем равен 0,5тг.
8.	Искомое тело вращения состоит из двух конусов с общим осно-У2	J2	д/2я
ванием радиуса -у и высотами, равными -у. Его объем равен —7—. £	О
9. Искомое тело вращения составлено из двух цилиндров, радиу-
сы оснований которых равны 2-/2, -/5, а высоты равны 1. Его объем
равен 137Г.
Тренировочная работа 2
1.	Найдите площадь поверхности вращения прямоугольника ABCD со сторонами АВ = 4, ВС = 3 вокруг прямой, проходящей через середины сторон АВ и CD.
2.	Найдите площадь поверхности вращения равностороннего треугольника АВС со стороной 1 вокруг прямой АВ.
3.	Найдите площадь поверхности вращения круга радиуса 2 вокруг прямой, содержащей его диаметр.
no
Приложение 2. Тела и поверхности вращения
4.	Найдите объем тела вращения прямоугольной трапеции ABCD с основаниями АВ и CD, равными соответственно 2 и 1, и меньшей боковой стороной, равной 1, вокруг прямой АВ.
5.	Найдите объем тела вращения многоугольника ABCDEF, изображенного на рисунке и составленного из трех единичных квадратов, вокруг прямой ВС.
6.	Найдите объем тела вращения многоугольника ABCDEFGH, изображенного на рисунке и составленного из пяти единичных квадратов, вокруг прямой с, проходящей через середины сторон АВ и EF.
Тренировочная работа 2
111
7.	Найдите объем тела вращения единичного тетраэдра ABCD вокруг ребра АВ.
8.	Найдите объем тела вращения правильной треугольной призмы ABCAjBxQ, все ребра которой равны 1, вокруг прямой АА1.
9.	Все двугранные углы многогранника, изображенного на рисунке, прямые. Найдите объем тела вращения этого многогранника вокруг прямой АА2.
2
Решения задач тренировочной работы 2
1.	Искомым телом является цилиндр, радиус основания которого равен 2, а образующая равна 3. Его площадь поверхности равна 20тс.
2.	Искомое тело вращения составлено из двух конусов с общим ос-
</з
нованием, радиус которого равен -5-, с высотами по 0,5. Его площадь
3.	Искомым телом вращения является шар радиуса 2. Площадь его поверхности равна 16тс.

।
Решения задач тренировочной работы 2
113
4.	Искомым телом вращения является цилиндр с радиусом основания и высотой, равными 1, на основании которого достроен конус высотой 1 Его объем равен 4?.
5.	Искомое тело вращения является цилиндром с основанием радиуса 2 и высотой 2, из которого вырезан цилиндр с основанием радиуса 1 и высотой 1. Его объем равен 7тг.
А
6.	Искомое тело вращения является цилиндром с радиусом основания 1,5 и высотой 2, из которого вырезан цилиндр с радиусом основания 0,5 и высотой 1. Его объем равен 4,25я.
8 Геометрия. Стереометрия
114
Приложение 2. Тела и поверхности вращения
7.	Искомое тело вращения составлено из двух конусов с общим л/з
основанием радиуса -у- и высотой 0,5. Его объем равен 0,25тс.
8.	Искомым телом вращения является цилиндр, радиус основания и высота которого равны 1. Его объем равен я.
9.	Искомое тело вращения составлено из двух цилиндров, радиусы оснований которых равны 2^2, У5, а высоты равны 1. Его объем равен 13тг.
Диагностическая работа 2
1.	Найдите площадь поверхности тела, полученного вращением единичного квадрата ABCD вокруг прямой АС.
2.	Найдите площадь поверхности вращения четверти круга радиуса 2 вокруг прямой ОА.
3.	Найдите объем тела вращения равностороннего треугольника АВС со сторонами, равными 1, вокруг прямой, содержащей высоту СН этого треугольника.
116
Приложение 2. Тела и поверхности вращения
4.	Найдите объем тела вращения прямоугольной трапеции ABCD с основаниями АВ и CD, равными соответственно 2 и 1, и меньшей боковой стороной, равной 1, вокруг прямой AD.
5.	Найдите объем тела вращения многоугольника ABCDEF, изображенного на рисунке и составленного из трех единичных квадратов, вокруг прямой с, проходящей через середину стороны FE и параллельной прямой AF.
F
6.	Найдите объем тела вращения многоугольника ABCDEFGH, изображенного на рисунке и составленного из пяти единичных квадратов, вокруг прямой АВ.
Диагностическая работа 2
117
7.	Найдите объем тела вращения единичного тетраэдра ABCD вокруг прямой с, содержащей высоту DH этого тетраэдра.
А
8.	Найдите объем тела вращения правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1F1F1, все ребра которой равны 1, вокруг прямой ААР
9.	Все двугранные углы многогранника, изображенного на рисунке, прямые. Найдите объем тела вращения этого многогранника вокруг прямой DD2.
Решения задач диагностической работы 2
1.	Искомым телом вращения является объединение двух конусов, 42
радиус основания которых и высоты равны -у. Его площадь поверх-ности равна г/2тс.
2.	Искомым телом является полушар радиуса 2. Площадь его поверхности равна 12тг.
3.	Искомым телом вращения является конус, радиус основания ко-л г	4з „	-	Узя
торого равен 0,5, а высота — -у. Его объем равен -у-.
Решения задач диагностической работы 2
119
4.	Искомым телом вращения является усеченный конус, радиусы оснований которого равны 2 и 1, а высота равна 1. Его объем ра-7тг вен -Z-.
О
5.	Искомое тело вращения состоит из двух цилиндров, радиусы оснований которых равны 1,5 и 0,5, а высоты равны 1. Его объем равен 2,5л.
6.	Искомое тело вращения состоит из трех цилиндров с основаниями радиусов 2,1, 2 и высотами, равными 1. Его объем равен 9л.
120
Приложение 2. Тела и поверхности вращения
7.	Искомым телом вращения является конус, радиус основания ко-v 3	тп	х-
торого равен -у-, а высота равна Его объем равен .
8.	Искомым телом вращения является цилиндр, радиус основания которого равен 2, а высота равна 1. Его объем равен 4 я.
9.	Искомое тело вращения составлено из двух цилиндров, радиусы оснований которых равны 2л/2, л/5, а высоты равны 1. Его объем равен 1371.
Диагностическая работа 3
1.	Найдите площадь поверхности тела вращения ромба ABCD со сторонами, равными 1, и острым углом 60°, вокруг прямой АС.
2.	Найдите площадь поверхности вращения полукруга радиуса 3 вокруг прямой ОС, перпендикулярной диаметру АВ.
3.	В равнобедренном треугольнике АВС АС = ВС = 1, ZC = 120°. Найдите объем тела вращения этого треугольника вокруг прямой АВ.
122
Приложение 2. Тела и поверхности вращения
4.	Найдите объем тела вращения прямоугольной трапеции ABCD с основаниями АВ и CD, равными соответственно 2 и 1, и меньшей боковой стороной, равной 1, вокруг прямой с, содержащей среднюю линию этой трапеции.
5.	Найдите объем тела вращения правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 1 вокруг прямой AD.
6.	Найдите объем тела вращения многоугольника ABCDEFGH, изображенного на рисунке и составленного из пяти единичных квадратов, вокруг прямой EF.
Диагностическая работа 3
123
7.	Найдите объем тела вращения правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, вокруг прямой с, содержащей высоту SH этой пирамиды.
8.	Найдите объем тела вращения правильной треугольной призмы АБСАНС!, все ребра которой равны 1, вокруг прямой с, проходящей через центры граней АВС и А^Ср
9.	Все двугранные углы многогранника, изображенного на рисунке, прямые. Найдите объем тела вращения этого многогранника вокруг прямой с, проходящей через середины ребер A1D1 и В2С2.
2
Решение задач диагностической работы 3
1.	Искомым телом вращения является объединение двух конусов с д/З
общим основанием радиуса 0,5, высоты которых равны Его площадь поверхности равна я.
2.	Искомым телом является полушар радиуса 3. Площадь его поверхности равна 27тг.
3.	Искомое тело вращения составлено из двух конусов с общим ос-
</з
нованием, радиус которого равен 0,5, а высоты равны Его объем
х/Зя
равен -j2“.
Решение задач диагностической работы 3
125
. 4. Искомым телом вращения является цилиндр с радиусом основания 0,5 и высотой 2, из которого вырезан конус, радиус основания и высота которого равны 0,5. Его объем равен
D
5.	Искомое тело вращения состоит из цилиндра, радиус основания которого равен а высота равна 1, и двух конусов с основаниями >/з
радиуса и высотой 0,5. Его объем равен п.
6.	Искомое тело вращения является цилиндром с основанием радиуса 1 и высотой 3. Его объем равен Зя.
126
Приложение 2. Тела и поверхности вращения
7.	Искомым телом вращения является конус, радиус основания и которого равен 1, а высота— л/З. Его объем равен
8.	Искомым телом вращения является цилиндр, радиус основания которого равен а высота равна 1. Его объем равен
9.	Искомым телом вращения является цилиндр, радиус основания которого равен У2, а высота равна 2. Его объем равен 4л.
Содержание
Введение................................................. 3
Диагностическая работа................................... 5
Решения задач 1.1—1.3 диагностической работы............ 11
Тренировочная работа 1. Угол	между прямыми .............. 14
Решения задач 2.1—2.3 диагностической работы............ 17
Тренировочная работа 2. Угол между прямой и плоскостью ... 18
Решения задач 3.1—3.3 диагностической работы ........... 21
Тренировочная работа 3. Угол между двумя плоскостями.... 23
Решения задач 4.1—4.3 диагностической работы............ 26
Тренировочная работа 4. Расстояние от точки до прямой... 28
Решения задач 5.1—5.3 диагностической работы ........... 31
Тренировочная работа 5. Расстояние от точки до плоскости ... 34
Решения задач 6.1—6.3 диагностической работы............ 37
Тренировочная работа 6. Расстояние между двумя прямыми... 39
Диагностическая работа 1................................ 42
Диагностическая работа 2................................ 48
Диагностическая работа 3................................ 54
Ответы.................................................. 60
Приложение 1. Сечения многогранников.................... 61
Диагностическая работа 1.............................. 63
Диагностическая работа 2.............................. 66
Тренировочная работа 1................................ 69
Тренировочная работа 2................................ 72
Диагностическая работа 3.............................. 75
Диагностическая работа 4.............................. 78
Ответы и решения...................................... 81
Приложение 2. Тела и поверхности вращения............... 95
Диагностическая работа 1.............................. 97
Решения задач диагностической работы..................100
Тренировочная работа 1............................... 103
Решения задач тренировочной работы 1 .................106
Тренировочная работа 2............................... 109
Решения задач тренировочной работы 2................. 112
Диагностическая работа 2............................. 115
Решения задач диагностической работы 2............... 118
Диагностическая работа 3............................. 121
Решение задач диагностической работы 3.................124