УДК 517.1
ББК 22.161
С28
Седракян Н. М., А в о я н А. М. Неравенства. Методы до-
доказательства / Пер. с арм. Г. В. Григоряна. — М.: ФИЗМАТЛИТ,
2002. - 256 с. - ISBN 5-9221-0273-7.
В книге объяснены некоторые методы доказательства неравенств, и эти
методы применены к доказательству неравенств различных типов. Ее мож-
можно применять при внекласной работе и при подготовке к математическим
олимпиадам.
Выпущена на ярмянском языке в 1998 г. (г. Ереван, "Наири").
Для преподавателей и учащихся старших классов средней школы.
Ил. 11. Библиогр. 17 назв.
© ФИЗМАТЛИТ, 2002
ISBN 5-9221-0273-7	© Н.М. Седракян, A.M. Авоян, 2002

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие	3
§ 1. Простейшие неравенства 	5
§ 2. Использование метода Штурма	14
§ 3. Метод использования соотношений между средними арифметичес-
арифметическими, геометрическими, гармоническими и квадратичными .... 27
§ 4. Метод применения неравенства Коши—Буняковского	50
§ 5. Метод замены переменных 	63
§ 6. Метод использования свойств симметрии и однородности 	77
§ 7. Применение метода математической индукции	85
§ 8. О применении одного неравенства	114
§ 9. Использование производной и интеграла	126
§ 10. Метод использования свойств функций	145
§ 11. Метод применения неравенства Йенсена	156
§ 12. Неравенства связанные с последовательностями 	172
§ 13. Неравенства из теории чисел	184
§ 14. Различные неравенства	193
§ 15. Геометрические неравенства	223
§ 16. Сто избранных неравенств	247
Список литературы 	255

ПРЕДИСЛОВИЕ
На олимпиадах для школьников по математике часто предлагают-
предлагаются неравенства, доказательство которых лучше выявляет способности
и возможности учащихся, степень их интеллектуального развития. Эта
книга призвана научить учащихся методам доказательства неравенств.
Методы доказательства неравенств многочисленны и разнообраз-
разнообразны. В каждом параграфе книги приводится один метод доказатель-
доказательства неравенств или доказательство неравенств какого-нибудь раздела
математики. В книгу включены методы, использующие соотношения
между средними арифметическими, геометрическими, гармонически-
гармоническими и квадратичными, методы математической индукции и замены
переменных, методы, использующие неравенства Коши—Буняковского,
Йенсена, Чебышева, свойства функций и т. д. Эти методы позволяют не
только доказывать разнообразные неравенства, но и решать некоторые
задачи, связанные с неравенствами. Для пояснения каждого метода
доказательства приводятся примеры и упражнения, которые снабже-
снабжены решениями или указаниями. В конце каждого параграфа даются
упражнения для самостоятельного решения.
В § 14 (Различные неравенства) помещены неравенства, для до-
доказательства которых используются методы, которые не освещены в
предыдущих параграфах, или же при их доказательстве используется
одновременно несколько методов.
Книгу завершает параграф "Сто избранных неравенств", при дока-
доказательстве которых выбор метода предоставляется читателю.
В каждом параграфе мы старались расположить неравенства по
сходству доказательств и возрастанию сложности, что позволит чита-
читателю самостоятельно доказывать эти неравенства и только при воз-
возникновении трудностей обращаться к приведенным доказательствам.
Советуем при использовании решений, приведенных в книге, больше
внимания уделять выбору метода доказательства.
В книге использованы неравенства, предлагавшиеся на математи-
математических олимпиадах ряда стран, однако приведенные здесь решения
существенно отличаются от авторских. Было сочтено целесообразным
решения задач поместить в конце того же параграфа.
На составителей книги оказали большое влияние статьи Л.Д. Кур-
ляндчика с соавторами, посвященные неравенствам. Авторам этих
статей составители приносят свою благодарность авторам этих статей.
Авторы выражают благодарность Г.В. Григоряну за помощь в под-
подготовке рукописи книги к изданию на русском языке.

§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ НЕРАВЕНСТВА
В курсе алгебры средней школы подробно описаны те основные
свойства неравенств, которые необходимы для доказательства простей-
простейших неравенств. Учитывая то, что читатель знаком с этими свойства-
свойствами, из большого числа простейших неравенств ниже приводятся те,
которые в дальнейшем будут использованы при доказательстве более
сложных неравенств.
УПРАЖНЕНИЯ
Докажите следующие неравенства.
1.1.	а2 + Ъ2 ^ 2ab.
1.2.	—^— ^ л/ab, где a, b ^ 0.
1.3.	л/ab ^	-, где а, Ъ > 0.
а Ъ
1.4.
гл.
1.7.	а + 6 > 1 + ab, где а > 1, 6 < 1.
1.8.	а2 + б2 > с2 + (а + b - сJ, где а > с, 6 < с.
1.9.	а) ^ + - ^ 2, где ab > 0; б) f + - ^ -2, где ab < 0.
о а	о а
1.10.	Ж1 ^ —	L^J	 ^ жп, где х\ ^ ^2 ^ • • • ^ жп.
п
1.11.	— ^ 	 ^ —, где — ^ — ^ ... ^ —
2/1	2/1 + 2/2 + • • • + 2/п	2/п	2/1 2/2	2/п
и 2/1,2/2,- • • ,2/п > 0.

§ 1. Простейшие неравенства
1.12.
? 2.
1.13.
1.14.
• • • хп ^ жп, где 0
>2| + ...+
i2 + • • • + ап
а2
-, где
, . . . , a
1.15. (a + b)
1.16.
а, где а, 6 > 0.
, где а,Ь>0.
(a + 6) +
1.17. а (ж + у — а) ^ ху, где ж ^ а, у ^ а.
1Л8- ^1 + ^тт>^'гдеж>1-
1Л9'
1.21.
' где
- а) A - 6)
2/c + l
/Зк
= , где к G N.
1.22. 271-1 ^ п, где п е N.
121241
!.24.
246
100 1
1 — а 1 — b
a b
i' где
РЕШЕНИЯ
1.1*). а2 + б2 - 2а6 = (а - бJ ^ 0.
1.2. Доказательство аналогично доказательству 1.1:
а + 6 - 2 лДб = (л/а - \А J ^ 0-
*) В упр. 1.1-1.6 равенства имеют место тогда и только тогда, когда а = Ь.

Решения
1.3.	Умножая обе части неравенства 1.2 на 2 ——-, получим
данное неравенство.
1.4.	Из известного неравенства 2ab ^ а2 + Ь2 (упр. 1.1) получим
эквивалентное неравенство а2 + Ъ2 + 2а6 ^ 2а2 + 262, откуда сле-
2	2 2	2 2
(а + бJ а2 + Ь2	/а + 6\2 а2 + б2
дует неравенство -— $J —-—, или ( —-— 1 ^ —-—, которое
а + b
можно переписать в виде —-— ^ \/ —-—; отсюда следует —-—
2
1.5.	Данное неравенство получается из неравенств упр. 1.2 и 1.3.
1.6.	См. решение упр. 1.4.
1.7.	Используя тождество а-\- b — 1 — ab = (a — 1) A — b) и условия
а > 1, b < 1, нетрудно заметить, что (а — 1) A — Ь) > 0.
1.8.	Оценим разность левой и правой частей неравенства:
= (а - с) (а + с) - (а - с) (а + 2Ь - с) = 2 (а - с) (с - Ь) > О,
так как согласно условию а > с, b < с.
1.9.	а) Умножая обе части неравенства на число ab > 0, получим
очевидное неравенство а2 + b2 ^ 2ab.
б) Поделив обе части неравенства а2 + Ь2 ^ — 2ab на число ab < О,
получим необходимое неравенство.
1.10.	Поскольку согласно условию х\ ^ a?i, ж2, • . • , хп ^ жп, то
ПЖ1 ^Ж1 + Ж2 + ... + жп $J nxn, откуда следует, что
<Х\ ~\~ Х% ~т~ • • • ~Т~ Xух ^
п
1.11.	Из заданных условий получаем, что
XI	Хп	. _
Уг	^ Х{ ^ У{	% — 1, . . . , П.
У1	Уп
Складывая эти неравенства, получаем — (^i + . . . + 2/п) ^ х\ + . . .
. . . + хп ^ — (ух + . . . + уп), откуда следует, что
Уп
У\ ^ 2/1 + • • • + 2/п ^ Уп'
1.12.	Имеем х\ ^ Х{ ^ хп (г = 1, . . . , гг, п ^ 2). Перемножая эти
неравенства, получим ж^ $J х\ • х<± • . . . • хп ^ ж^, откуда получаем

§ 1. Простейшие неравенства
1.13. Если ai + . . . + ап ^ 0, то \а± + . . . + ап\
Используя неравенство a $J |а|, получаем
Если «1 + . . . + ап < О, то \а\ + . . . + ап\ = —ai — .
неравенство —а $J |а|, получаем
\а\ + . . . + ап\ = —ai — . . . — an
1.14. Поскольку
ai + ...Н- ап.
\ап\.
ап. Используя
|an|.
\a2 ai/	V an an_i/
n(n —1)/2 слагаемых
то, используя упр. 1.9, а), получим
откуда следует данное неравенство.
1.15. Данное неравенство эквивалентно неравенству
2 ^ v	2
которое получается перемножением неравенств а + b ^ 2
^	(которое следует из упр. 1.6).
1.16. Имеем
(упр. 1.2)
следовательно, - (а + Ь) + -
1.17.	Поскольку а (х + у — а) — ху = аж —жу + а (у — а) = (у — а) х
х (а — ж) и у ^ а ^ ж, то (у — а) (а — х) ^ 0, откуда получаем
а (х + у — а) ^ жу.
1.18.	Воспользовавшись неравенством упр. 1.5, получим
х — 1 ж + 1

Решения
112
или	 Н	—- > -.
х — 1 х + 1 х
1.19. Согласно неравенству из упр. 1.18 имеем
1	1 _	1	1	2
З/г + 1 З/г + 3 CAj + 2) — 1 (ЗА; + 2) + 1 3/с + 2'
следовательно,
1113
ЗА? +1 3/с+ 2 З/с + 3 3/с+ 2'
3	11
Теперь докажем, что 3fe + 2 > 2k + l + 2к + 2' Действительн0>
113	"*	<о.
2/с + 1 2/с + 2 ЗА;+ 2 B/с + 1) B/с + 2) C/с + 2)
1.20. Данное неравенство эквивалентно неравенству
Поскольку
/1 \ /1 \ / 2	\2 1 11	4	4
U " V U " г) " 1^Тб " V =^6~а~6~ (а + 6J + ^Т
_ 1	4	4	а + Ь _ (а-бJ	(а - bf
(a + 6J a + 6 a6	a6 (a + bJ ab(a
afr (a + 6)
(а-6JA-(а + 6))
то	—^	—^	— ^ 0, следовательно,
,а J \b J \а + Ь
1.21.	Данное неравенство эквивалентно неравенству
B& + 1) а/ЗА^ + 4 < BА^ + 2) ^3^ + 1,
или неравенству
(<)Ь Л- Л\2 (ЧЬ _|_ zL^ ^ (Ob -\- 9^2 (Чк -\- '{}
Последнее неравенство справедливо, так как
Bк + 2J C/с + 1) - B/с + IJ C/с + 4) = /с > 0.
1.22.	Поскольку 1<2<22 < ... <2n-1n количество нату-
натуральных чисел 1, 2, 22, . . . , 2п~1 равно п, то 2п~1 ^ п.

10	§ 1. Простейшие неравенства
1.23.	Пусть у зайца имеется одна морковь. В первый день он съе-
съедает - моркови, во второй день — - оставшейся части, на 51-й день —
о	о
—— оставшейся части. Так как каждый день обязательно остается
-LUo
морковь, то сумма частей моркови, съеденных зайцем, должна быть
меньше единицы.
В первый день заяц съел - моркови, во второй день — I - • - 1-ю
о	V о о /
*1 -	B 4	10° г \
часть, на 51-и день — I - • - • . . . • —— • —— 1-ю часть, что означает, что
\о о	101 Юо/
121241	24	98 100 1
33'53'5'73'5'"'*99'ш'Т03< '
1.24.	а) Воспользовавшись неравенством из упр. 1.20, получим
(A-а) + A-Ь)J (а + ЬJ	1-а \ - Ъ а Ъ
A-а)A-Ь) ^ аЪ	1-6 + 1-а^6 + о'
Второе решение. Заметим, что 1 — в) аи1- b ^ Ь, сле-
следовательно,
1-а 1-6 _ A - аJ + A - bf _
1-b 1-а~ A- о)A - b) ~
= ((l-a)-(l-b)f + 2(l-a)(l-b)= (a - bf
A)AЬ)	A)AЬ)+ ^
ао	о а
1 — а 1 — Ь . а Ъ
б) Поскольку
,
п(п —1)/2 слагаемых
то, используя неравенство из упр. 1.24, а), получим
i=1 i=1
ai a2
	1
ап an-i/	*-^ а%^-
п(п —1)/2 слагаемых

Задачи для самостоятельного решения
11
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Докажите следующие неравенства.
1. \х - у\ < |1 - ху\, где |ж|,|у|<1.
sin х — 1 1 2 —sin ж
2t» 	 ~т~ — -^ 	•
sin х — 2 2 3 — sin ж
о а 6 с 2 2 2
3.	1	1	г^- + 7	> гДе а, 0, с > 0.
be ca ab a b с
4.	- +	< —-, где а2 + Ь2 + с2 = - и а, 6, с > 0.
a b с abc	3
5.
а
2J
6. (ас + bdJ + (ad - beJ ^ 144, где а + 6 = 4, с + d = 6.
7. ж2 + х\ + . . . + х\п + па2
8.
+ Х2 + • • • + Х2п)-
— , где а,Ь, с > 0.
b 6 + с а + с	2л/аЬс
9.	а3 (б2 - с2) + б3 (с2 - а2) + с3 (а2 - Ь2) < 0, где 0 < а < b < с.
10.	а36 + Ь3с + с3а ^ а262 + б2с2 + а2с2, где а ^ 6 ^ с > 0.
ж + z (ж + ?J
, где 0 < ж
. . . + у 1 + у а + . . . + \/а^ < па, где п, а ^ 2, п Е N.
13.
, где
, n > 0.
б) 1 + cos (а — C) ^ cos с^ + cos /3, где 0 ^ с^, /3 ^ —.
14.	[Ъх] ^ [ж] + ^—1 + ^—i + ^—А + ^—i, где [а] — целая часть
2t	о	4	о
числа а.
15.	(п!J ^ пп, п G N.
16.	х6 + ж5 + 4ж4 - 12ж3 + 4ж2 + х + 1 ^ 0.
17.	lg2a ^ Ig/31g7, где а,/?,7>1, a2^f3^.
18.	log4 5 + log5 6 + log6 7 + log7 8 > 4,4.

12	§ 1. Простейшие неравенства
9> \ + А + • • • + Г~ч	л> ,,4 < ^
3 3-5	3 • 5 • . . . • Bп + 1) 2
^ где п € N.
2
п3 + 1 3
<
on 2 + 1 3 + 1	п + 1 3	. о ^ м
20.	-в	• -о	• . . . • —z	 < -, где п ^ 2, п G N.
23 - 1 З3 - 1	п3 - 1 2'	'
21.	1 • 1! + 2 • 2! + ... + п • гс! < (гс + 1)!, где п е N.
22.	(l + ^) (l + ^) . . . (l + -^) < 2, где n ^ 2, п е N
"^)>5' где
... <Рп, Рг G N (г = 1,2, ... ,гг).
1	1
1_11_1
* 2~34~5
999 + 1000 < 5'
25. (sin х + 2 cos 2ж) B sin 2ж — cos x) < 4,5.
м-а)тт±т*^тт- + тт*' ^«'^
1 + а + о 1 + а 1 + о
, а + 6	1 / а , 6\	i ^
2 + а + о 2\1 + а 1 + 6/
+¦¦¦+
где ii, . . . , in — некоторая перестановка чисел 1, . . . , n, Q-ii^i > 0^
г = 1,. . . , п.
n	ф	n
27.	> 	;з	 ^2> Oi, где af ^0 (г = 1, . . . , n).
^_—1	г	^_—^
г=1	г=1
28.	- + - + - ^ —, где - + - + - < 1, a, 6, с G N.
a b с 42	a b с
29.	-^- + -^-~ + ^^ > 2, где ж, у, z > 0.
30.	1 < 	\—- +	\	+ -—-—- +	—- < 2, где а > 0,
a+6+d a+6+c 6+c+rf a+c+rf '	'
b > 0, с > 0, d > 0.
31.	a + 6 > c + d, где a, 6, c, d ^ - и a2+ 6 > c2 + d, a + 62 >

Задачи для самостоятельного решения	13
Указание. Если а + b ^ с + d, то а ^ с или b ^ d. Когда a $J с,
b — d > (с — а)(с -\- а) ^ с — а.
32. Найдите минимальное значение выражения
64+а4 б2 а2 + 6 + а'
где а, 6 > 0.
33.	Если 0 < а,Ь,с < 1, то одно из чисел A — а) 6, A — 6) с,
- с) а не больше -.
34.	Пусть а, 6, с>0иа + 6 + с = 1. Докажите, что:
а) \/« +1 F -сJ + v6 +1(с - оJ + Vс +1F" аJ ^2;
б) А/а+^F-сJ +
Указание, а) \ х + - (у — гJ ^ ж + ^——, если х,у, z > 0
их + y + z — 1.

§ 2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА ШТУРМА
Метод, предложенный немецким математиком Р. Штурмом, кроме
различных приложений дает возможность провести оценку неравенств
при наличии определенных условий. С помощью этого метода можно
доказать ряд неравенств.
Пример 2.1. Доказать, что если произведение положительных
чисел Ж1;Ж2, • • • , хп равно 1, то х\ + х2 + . . . + хп ^ п.
Доказательство. Если х\ = х2 = . . . = хп = 1, то х\ +
+ х2 + • • • + хп = п.
Пусть среди рассматриваемых чисел есть хотя бы два не равных
друг другу. Тогда среди чисел х\, х2, • • • , хп найдутся два таких числа,
одно из которых будет больше 1, а другое меньше (упр. 1.12). Пусть это
числа х\ и х2, причем х\ < 1, х2 > 1. Заметим, что х\ + х2 > 1 +
(упр. 1-7).
Таким образом, если заданные числа заменим числами 1,
жз, • • • , жп, то их произведение опять будет равно 1, а сумма
1 + XiX2 + Х3 + • • • + Хп < Х\ + Х2 + . . . + Хп.
Действуя с полученными числами 1, х±х2, жз, • • • , хп аналогичным об-
образом, получим новую последовательность, в которой будут равны 1
уже два члена. Действуя так же самое большее п — 1 раз, получим
последовательность, в которой п — 1 членов равны 1, а п-и член равен
Х\ . . . жп, т. е. опять равен 1.
Таким образом, получили, что п < х\ + х2 + . . . + хп.
Из доказательства видно, что рассматриваемое неравенство превра-
превращается в равенство тогда и только тогда, когда х\ = х2 = ... = хп = 1.
Пример 2.2. Доказать, что если сумма чисел a?i, . . . , хп равна 1,
то х\ + . . . + х2п ^ -.
Доказательство. Если х\ = . . . = хп = —, то
п
9	9	1
х\ + ... + х2п = -.
Пусть среди рассматриваемых чисел есть хотя бы два не равных
друг другу. Среди этих чисел найдутся два таких числа, одно из кото-
которых будет больше —, а другое меньше — (упр. 1.10). Пусть это числа
77/	ТЪ
Х\ и Ж2, причем х\ < - и ^2 > —. Таким образом, заменяя х\ на —,
п п	п

Упражнения	15
1
а Х2 на х\ + Х2	, получаем новую последовательность чисел
п
-, X-l +Х2 ~ -, Ж3, • • • , Жп,
сумма которых снова равна 1, а так как
(упр. 1.8), то
(	)
? + х\ + . . . + х2п > (-) + (хг + ж2) + Ж + + х2
хг + ж2	) + Жз + . . . + х2п.
77/ /
Повторяя эти действия конечное число раз, получим последователь-
последовательность, все члены которой будут равны —, а сумма их квадратов будет
77/
меньше суммы квадратов заданных чисел жх, . . . , жп, т. е.
п
Из приведенного доказательства видно, что рассматриваемое нера-
неравенство превращается в равенство в том и только том случае, когда
1
= ... = *„ = -.
УПРАЖНЕНИЯ
Докажите неравенства 2.1-2.6.
2.1. —	—	-^ Ч/хг . . . жп, где жь . . . , жп > 0.
<n	v
2
__ A - ЯЛ) A - Ж2) • • • A - Хп) . /	-.чп	^ п
2.3.	^	—	^	'- ^ (п-1) , где жь...,жп > 0
Ж1...Хп
И Х\ + . . . + Хп = 1.
1	In
2.4.	—— + . . . + —	 ^ 		где хг, . . . , хп ^ 1,
1 + Ж1	1 + Жп	1+ ^/Ж1 . . .Жп
n ^ 2.
1	17?ч
2.5.	абс + bed + cda + (ia6 ^ — + -r=-abcd, где a,b,c,d ^ 0
и а + 6 + с + б/ = 1.
7
2.6.	0 ^ жу + yz + гж — 2xyz ^ —, где ж,|/,2^0иж + |/ + 2 = 1.

16	§2. Использование метода Штурма
2.7.	Среди треугольников с углами, не превышающими 75°, кото-
которые вписаны в данную окружность, найти тот, периметр которого:
а)	является наибольшим;
б)	является наименьшим.
2.8.	Докажите, что если для любых чисел а и /3 имеет место нера-
неравенство
(соответственно af (a) + j3f (b) $J / (аа +
где а,/3^0, а + /3 = 1 и a, b — любые числа из области D (/) = /,
a a?i, а?2? • • • хп-> 2/ъ 2/2? • • • Уп ? I и удовлетворяют условиям
2/1 ^ 2/2 ^ • • • ^ 2/п, 2/1 ^ жь
2/1 + 2/2 ^ Xi + Ж2,	• • • ,	2/1 + • • • + 2/п-1 ^ Хг + . . . + Жп_1,
2/1 + • • • + 2/п = Ж1 + . . . + жп,
то
/ Ы + / B/2) + ••• + / B/п) ^ / (хг) + / (ж2) + ••• + / (хп)
(соответственно / (yi) + / (у2) + ... + / (г/п) ^
2.9.	Пусть числа a?i, х2, . . . , Ж1997 удовлетворяют следующему
условию:
&)-^=^Xi^ УЗ (г = 1,2,..., 1997);
V3
б) ХХ + Х2 + . . . + Ж1997 = -318 а/3.
Найдите наибольшее значение выражения х\2 + х\2 + . . . + ж^д97.
2.10.	Докажите неравенство
cos ol\ cos a2 . . . cos an(tg ai + . . . + tg an) г
n(n-2)/2	>
где n ^ 2 и 0 ^ ai < —, i = 1, 2, . . . , n.
2.11. Докажите, что
n
f Ju -'II Ju ¦? J -\^ (JL jU •
пттл ^» *^> /	Is* ^Z ^j TЛ П 1 	 ТП Q "V 1 /T* 1 1 	 'T* I I I 1 	 <^У» I "^ -^У* I	О <^У» . ^*> ||
1 /J. vl/	Лу *^" ^j •	f\j vZ J- ^1	И	\Aj I™ 	 111 Ct-Л. I *Xj \ -L.	*Xj \ I I -L	oU I iJU I •	Ct	*Xj о ^>^ w«
[0;i]
i = 1, 2, . . . , n, #i + . . . + xn = 1, n ^ 2.

Решения	17
РЕШЕНИЯ
2.1. Рассмотрим числа ,	^, ..., , п ^, произведение
у ял . . .хп	у
... X
которых равно 1. Тогда согласно примеру 2.1 имеем неравенство
Ф -1	Ф
п/	+ • • • + п/	^ ГС,
или
Ж1 + . . . + Хп	пГ~	~~	/о 1\
П
Нетрудно заметить, что в данном неравенстве знак равенства имеет
место, когда х\ = ... = хп.
Неравенство B.1) известно как неравенство Коши.
2.2.	Рассмотрим числа 	, . . . ,	, сумма ко-
которых равна 1. Согласно примеру 2.2 имеем
/	\2	/	\2 1
(Ж1+ +aJ +--- + (Ж1+ .+Хп) >^
или
х1+х2 + ... + хп /ж1 + Ж2 + ... + жп\	.2 2.
п	V	п	)	у J
откуда и получается заданное неравенство.
Нетрудно заметить, что неравенство B.2) превращается и равенство
тогда и только тогда, когда х\ = . . . = хп.
2.3.	Так как х\ + . . . + хп = 1, то согласно упр. 1.10 найдутся
два числа, одно из которых не больше —, а другое не меньше —.
п	п
Для определенности примем, что х\ $J —, х<± ^ —.
1	п	п	^
Заменив х\ на —, а х<± на х\ + х<± — —, получим числа —,
(х\ + Х2	), жз, . . . , жп, для которых получим
Х\ . . .
1 (	М
— I XI + Х2	) • • • Хп
П V	П'
A - Х1) A - яа) (^)(	;)
так как ^—^—- ^ —v^—rv^(упр- } и
A - хг) A - ж2) _	1 - (ж! + ж2)
2 Н.М. Седракян, A.M. Авоян

18	§2. Использование метода Штурма
Повторяя это действие конечное число раз, получим п чисел, каж-
1
дое из которых равно —, и для этих чисел левая часть неравенства,
п
/	Л\п	г	A — Ж].) . . . A — Жта)
которая равна \п — \) , не больше	-.
2.4. Обозначим \Jх\ . . . хп = га. Согласно упр. 1.12 можем при-
принять, что х\ ^ га, Х2 ^ га,, следовательно, для чисел га,
... , хп имеет место неравенство
1	111
т
так как	\-	 ^	1	(упр. 1.17) и
—	1	— = И	—
1 + хг 1 + Х2	1 + хг + Х2 + Ж1Ж2
Через конечное число ходов получим
п
2.5. Если а = 6 = с = б/=-,то имеет место равенство. Пусть а <
< \, Ь>\. Тогда:
а)	с + d ——— cd < 0; заметим, что
А = ab(c + d ——— cd) + cd (a + b) $J
используя упр. 2.1;
б)	с + d —7^-cd ^ 0; заметим, что
Таким образом, неравенство необходимо доказать для чисел а\ =
= -, 6i = а + 6 - -, с\ = с, di = d.
Действуя аналогичным образом, мы или докажем неравенство для
чисел ax, &i, ci, (ii, или останется доказать неравенство для случая,
когда два числа из ai, 6i, ci, di равны —. В конце концов мы придем

Решения	19
к необходимости доказать неравенство для случая, когда все числа
1
равны -, но в этом случае неравенство, очевидно, выполняется.
2.6. Пусть х ^ у ^ z\ тогда понятно, что у ^ -, следовательно,
О ^ у (х + z) + xz A - 2у)
Таким образом, если в выражении ху + yz + xz — 2xyz заменить
1	,	1
числа x,y,z на числа -,г/,ж + г — -, то его значение увеличится.
о	о
-__	11111
1 ювторив эту операцию, заменим числа -, у, ж + z — — на числа —, —, —.
о	о	о о о
Таким образом,
2.7. Согласно теореме синусов
p = a + b-\-c = 2R (sin a + sin /3 + sin 7) •
а) Докажем, что из всех треугольников, вписанных в данную
окружность, наибольшую площадь имеет равносторонний треуголь-
треугольник.
Если треугольник не равносторонний, то можем принять а > — >
о
Докажем, что
sin a + sin /3 + sin (a + /3) < sin — + sin (а + /3 — — 1 + sin (a + /3) .
Действительно,
sin а + sin /3 — sin — — sin (a + /3 — — ) =
о	\	о /
7Г	7Г	7Г	Л	7Г
а		аН		а		а + 2р
= 2 sin ——— cos ——-— 2 sin ——— cos	— =
A	A	A	A
a--	27r
= 2 sin ——— (—2 sin -3	 sin ——
2	V	4	2
7Г	^	7Г
a~^ ^"^ a + /3
= 4 sin ——— sin ——— sin —-— < 0.
Следовательно, периметр треугольника с углами а, /3, 7 меньше пери-
периметра треугольника с углами —, а + /3 — —, 7- Если 7 Ф —, то полу-
о	о	о

20	§2. Использование метода Штурма
7Г	о 7Г
чим, что периметр треугольника с углами —, а + р — ^,7 меньше, чем
о	о
7Г 7Г 7Г
периметр треугольника с углами —, —, —.
о о о
б) Докажем, что наименьший периметр будет у треугольника
с углами 75°, 75°, 30°. Для этого достаточно доказать, что периметр
треугольника с углами а, /3, 7 не меньше периметра треугольника
с углами 75°, а + /3 - 75°, 7-
Действительно, sin 75° + sin (a + /3 — 75°) ^ sin а + sin/З, так как
sin a + sin /3 - sin 75° - sin (a + /3 - 75°) =
= (sin a - sin 75°) + (sin /3 - sin (a + /3 - 75°)) =
o . а-75° а+ 75° _ . a - 75° а + 2/3 - 75°
= 2 sin	cos	2 sin	cos -	—
. . a-75° . /3-75° . a +/3	o	o
= 4 sin	sin -—	sin ——<- ^ 0, 0 < a, /3 ^ 75 .
2.8. Если a;^ = г/^, г = 1, 2, . . . , n, то
Пусть для некоторого г справедливо Х{ ф у%- Из приведенных
условий следует, что если т — наименьший номер, при котором хт ф
Ф уш, то ут < хт. Пусть j — тот наибольший номер, при котором
yj < Xj\ к — наименьший номер, больший j, при котором Хк < Ук-
Заметим, что такое к существует, так как в противном случае имеем
х\ + х2 + • • • + Xj-г + Xj > ух + 2/2 + • • • + 2/j,
хп ^ Уп-
Складывая полученные неравенства, приходим к противоречию: х\ +
+ х2 + • • • + хп > ух + ?/2 + • • • + Уп- Таким образом, Xj > yj ^ у к > хк.
Пусть 5 = min (xj — у^Ук — Xk) и Л = 1	. Рассмотрим
Xj X k
числа жх, ж2, • • • , Xj-i, Xxj + A - Л) Хк = ж^, ^J+i, . . . , Xk-i, ^Хк +
+ A — Л) Xj = ж^, ж^+i, . . . , хп и проверим, что для них выполняются
условия упражнения.
Действительно, х\ + . . . + Х{ ^ 2/1 + • • • + 2/г (* = 1? 2, . . . , j — 1),
что очевидно. Неравенство
У\ + 2/2 + . . . + 2/j ^ ^1 + х2 + • • • + ж^_1 + Аж^ + A - А) хк
верно, поскольку Xxj + A — А) ж& = Xj — 5 ^ Xj — (xj — yj) = yj.
Так как xj+1 ^ yj+1, . . . , жЛ_1 ^ 2//е-Ь то
Ж1 + . . . + ж» ^ 2/i + . . . + 2/», г = j + 1, . . . , к - 1.
Для остальных величин имеем

Решения	21
+ х2 + • • • + Xi = х1 + . . . + Xj-г + (Xxj + A - Л) хк) + xj+1 + . . .
. . . + Xk-i + (Ажл + A - Л) Xj) + . . . + Xi,
следовательно, для чисел условия упражнения опять выполняются.
С другой стороны,
... + / (xj-г) + / (Xj) + ... + / (хк) + ... + / (хп) ^
так как / (ж*) = / (Лж, + A - Л) хк) ^ Л/ (^) + A - Л) / (жл) и
/ (ж/0 = / {^хк + A - A) #j) ^ Л/ (ж/,) + A - Л) / (xj)\ следовательно,
С другой стороны, S = Xj — г/j или ук — хк, следовательно, x*j = ^/j
или х*к = ук.
Таким образом, мы заменили числа х\, х^-, • • • , х^ . . . , хп на числа
хг, х2, • • •, Xj-U х*, Xj+x, . . . , хк-ъ х\, ж/с+ь • • • , хк, так что условия
упражнения снова выполняются. С другой стороны, сумма / (#i) + . . .
... + / {x*j) + ... + / (ж^) + ... + / (жп) не возросла, а количество г,
удовлетворяющих условию Х{ = у^ увеличилось на единицу, следова-
следовательно, после числа ходов, не превышающего п — 1, получим, что
2.9. Сначала докажем следующую лемму.
Лемма. Если a $J 6 и х > 0, шо
Действительно,
+ жI2 + (а_жI2_а12_612 =
= Cj1^ (б11 - а11) + С^х2 (б10 + а10) + ... + 2х12 > 0.
Обозначим yi = уЗа^; имеем
-l^j/i^3, i = l, 2,..., 1997,	B.3)
2/1 + 2/2 + - - - + 2/1997 = -954	B.4)
Если какие-нибудь два числа из чисел 2/1,2/2 ? • • • ? 2/1997 принадле-
ж:ат интервалу (—1,3), то согласно лемме эти два числа можно заме-
заменить числами, одно из которых равно —1 или 3, и удовлетворяются
условия B.3) и B.4), причем сумма у\2 + . . . + 2/1997 возрастет.

22	§2. Использование метода Штурма
Из сказанного следует, что сумма у\2 +. . • + 2/1997 будет наибольшей,
если числа г/}2, . . . , у\д97 заменить или на числа —1, . . . , —1, 3, . . . , 3,
или на числа —1, —1, . . . , —1, 3, . . . , 3, а; а Е (—1; 3).
Учитывая условие B.4) получим, что возможен только второй слу-
случай, причем к = —	1-1735, где к — количество — 1. Так как —-— Е Z
и а Е (~1;3), то а = 2.
Таким образом, наибольшее значение выражения х\2 + . . . + Ц
равно
1736-
1-260-
3е
«i +
З12-
f212
" OLn
2.10. Пусть
= ?>•	B-5)
Если ai = с*2 = . . . = с^п = ^? т0
cos ol\ cos c^2 • • • cos an(tg ol\ + . . . + tg an) = cosn (p • n • tg (p =
= n • sin <p cos71 ip = ny sin2 99 (cos2 ^)n~1 =
// i\ri 1 • 2
= П\ (П — IO1 Sin
V
f . . .	f
n — 1	n — 1
л
(П - l)n-l(S—	«Zll	—	^±
1 (п _ х)("-1)/2
'	пъ11	(п — 2)/2
Если Oi{ ф aj при некоторых г и j (г ^ j), то среди этих чисел
найдутся два таких числа, одно из которых больше у?, а другое мень-
меньше (р (см. упр. 1.10).
Пусть это числа а\ и «2, причем а\ < (р < ol<i- Таким образом,
заменяя ос\ на (р, a ol<i на ос\ + с^2 — <?, получаем новую последователь-
последовательность чисел у?, c^i + «2 — 92> ^з5 • • • 5 ап5 Для которых верно B.5), а так
как
cos ot\ cos c^2 = - (cos(c^i + (^2) + cos(ai —
z
< - (cos(ai + a2) + cosB(^ - (ai
TO
cos ai cos c^2 • • • cos an(tg a\ + . . . + tg an) =
= sin(ai + «2) cos as . . . cos an + cos ai cos a2 cos 0^3 ...
+ . . . + tgan) < sin(ai + Q^2)cosa3 . . . cos a

Решения	23
а2 - (p)(tga3 + . . . +tgan) =
+ OL2 — if) COS «3 . . .
tg(c^i + a2 - ^) +tga3 + . . . + tgan).
Действуя с полученными числами <^, ai + а2 — <р, с^з? • • • ? ^п ана-
аналогичным образом, получим новую последовательность, в которой у>
будут равны уже два члена. Повторив эти действия самое большее
п — 1 раз, получим последовательность в, которой п — 1 членов будут
равны <р, а п-й равен тир — (п — 1)<р = <р,т. е. опять равен (р.
Таким образом, мы получили
cosai cosa2 • • .cosan(tgai + . . . + tgan) <
^ (n - l)(n-1)/2
<cos (^-n-tg^^^	ф^-2—.
77/
Из доказательства видно, что рассматриваемое неравенство превра-
превращается в равенство тогда и только тогда, когда ct\ = а2 = . . . = otn =
= <?, где у? = arctg
/п- 1
2
2.11. Докажем, что если ж,у^0, ж + у^- и &^2, fe G N, то
жЛA - х) + /A - у) ^ (х + j/)fc(l - х - у).	B.6)
Если х + у = 0, то B.6) верно; если ж + у ф 0, то
(ж + уJA - х - у) + жуC(ж + у) - 2)
)
Пусть ж^+1 ^ Xi ^ 0, г = 1, . . . , п — 1, х\ + . . . + хп = 1 и п ^ 3;
тогда
2 2
следовательно, х\-\- х2 ^ — $J -.
п 3
Таким образом, если числа х\, . . . , жп мы заменим числами 0, х\ +
+ а?2? жз? • • • ? жп) т0 их сумма опять будет равна 1. При этом
п
J2 Xii1 - Хг) ^ {Xl + X2)k(l -ХХ- Х2) + Ж^A - Х3) + . . . + Ж^A - ЖП).
г = 1
Повторяя эти действия конечное число раз, приходим к случаю
п = 2, т. е.
п
53 zf(l - ж4) < хк{1 - х) + A - г)*а;,
г=1

24	§2. Использование метода Штурма
ПОЭТОМУ ^^ Xi(l — Хг) ^ ак-
Замечание. Заметим, что
а\ = тахBжA — х)) = -, а2 = тах(жA — х)) = -,
as = тах(жA — х)A — 2жA — х))) = -,
[01]	8
CL4 = max (хA — х)A — ЗжA — х))) = —,
[01]	1^
а5 = max (х{1 - х) - 4(жA - ж)J + 2(жA - x)f) =
(См. также упр. 12.12.)
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Докажите следующие неравенства A-4).
' где
i, ж2, • • • , хп ^ 1, n ^ 2.
_ /а2+ 62+ с2+ с/2 з [abc + abd + acd^bcd
2.	у	 ^ П	, где а, b,c,d> 0.
9 + ж22/2^2
3.	9 ^ жу + yz + гж ^	, где х + у + z = ж^/z, х, у, z > 0.
ч 1 + Ж1 1 + Ж2	1 + Жп/ , 1 \п
4.	а)	. . .	 ^ (га + 1) ,
.. 1 + Ж11 + Ж2 1 + жп /п + 1\п
б) гз^гз^-'-гз^ > (^ij . гДе жь^2,..,х„ > 0 и
xi + ж2 + . . . + хп = 1, n ^ 2.
5.	Докажите, что из всех выпуклых n-угольников, вписанных
в данную окружность, наибольшей будет площадь правильного
га-угольника.
6.	Докажите, что из всех выпуклых га-угольников, вписанных
в данную окружность, наибольшим является периметр правильного
га-угольника.
7.	Докажите, что из всех выпуклых многоугольников, вписанных
в данную окружность, наибольшей является сумма квадратов сторон
правильного треугольника.

Задачи для самостоятельного решения	25
8.	Пусть Х{ > 0 (г = 1,2,..., гг) — действительные числа, причем
х\ + Х2 + • • • + хп = 1 (гг ^ 4). Докажите, что для любого Л @ < Л < п)
справедливо следующее неравенство:
/11	, 1 \ х	. п2 -А
• • .хп[	1	h . . . Н	I — \x\Xi . . . хп ^ 	п—.
\Ж1 Х2	хп/	гг
9.	Докажите, что для любых двух треугольников с углами а, /3, 7
и ai, /3i, 7i имеет место неравенство
cos ai cos/3i , COS71 ^ , , , л , ,
—	h —г-^- + -^—^- ^ ctg a + ctg/3 + ctg 7.
sin а sinp sin 7
10.	Докажите, что
(наборы (zi, г2, . . . , гп) получаются в результате всех возможных пере-
перестановок чисел 1, 2, . . . , п), где
2/ъ 2/2, ¦ • ¦ 5 2/п > 0, ai ^ а2 ^ . . . ^ ап,
ai ^ &i, ai + а2 ^ 6i + 62, . . . , «i + . . . + an_i ^ 61 + . . . + 6n_i,
а\ + . . . + ап = 6i + . . . + 6П-
11.	Докажите неравенство
п (aibi + a2fr2 + • • • + an^n) ^ (ai + a2 + . . . + an) F1 + 62 + . . . + ftn),
если известно, что из условия ai < а < uj следует, что bi ^ 6j, где
ai + a2 + . . . + ап
а = 	.
п
12.	Пусть функция / определена и убывает в области (—оо; +оо),
и кроме этого она нечетная.
Докажите неравенство
/ (а) / F) + / F) / (с) + / (а) / (с) < 0,
где а + b + с = 0.
13.	Пусть числа ai, a2, . . . , ап удовлетворяют следующим усло-
условиям:
а)	а\ ^ а2 ^ . . . ^ ап;
б)	ax + a2 + . . . + ап = 0;
в)	|ai| + . . . + |an| = S.
2S
Докаж;ите неравенство ап — а\ ^ —.
п

26	§2. Использование метода Штурма
14. Пусть п — заданное целое число, причем п ^ 2.
а) Найдите такое наименьшее постоянное С, при котором неравен-
неравенство
XiXjixf + x*) ^ Су
l
выполняется для всех неотрицательных чисел a?i, . . . , хп.
б) Выясните, когда для полученного значения С выполняется ра-
равенство.
15. Докажите, что:
а) —	Ь • • • + —	 ^ 1, где s = хх + . . . + хп, хгх2 • • •
1 + s — xi	1 -\- s — хп
... хп = 1 и ал, ж2, • • • , хп > 0;
а™ + . . . + а^_х + nai . . . ап а™ + • • • + «n-2 + ^n + nai . . . ап
... -\	^—	 п 	 ^ 	, где аь а2, . . . , ап > 0.
а,2 + • • • + ап -\- nai • . . ап	а\ . . . ап

§ 3. МЕТОД ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СООТНОШЕНИЙ
МЕЖДУ СРЕДНИМИ АРИФМЕТИЧЕСКИМИ,
ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ, ГАРМОНИЧЕСКИМИ
И КВАДРАТИЧНЫМИ
При решении некоторых задач и при доказательстве неравенств
целесообразно использовать соотношения между средними арифмети-
арифметическим, геометрическим, гармоническим и квадратичным, которые для
двух положительных чисел выражаются следующими неравенствами:
C.1)
где выражение —	 называется средним гармоническим чисел а и 6,
а Ъ
\J~ab — средним геометрическим, —-— — средним арифметическим,
/ 2 , i 2
\ —-— — средним квадратичным.
Доказательства неравенств C.1) приведены в §1 (упр. 1.2—1.4).
Заметим, что в C.1) равенства имеют место тогда и только тогда,
когда а = Ь.
Пример 3.1. Доказать неравенство — -\	1— ^3, где а, 6,
оса
с > 0.
Доказательство. Без ограничения общности можно принять,
что с ^ а, с ^ Ь. Используя
^	C.2)
получим
b с b	(с- а) (с- Ь)
и —|	1 =	—	 > 0; следовательно,
с а а	ас
* + Ч _ ь_ _ 1 ^ 0.	C.4)
с a a	v '
Складывая неравенства C.3) и C.4), получим — + - + — ^ 3.
оса

28
§ 3. Метод использования соотношений между средними
Пример 3.2. Доказать неравенство
где а > О, b > О, с > 0.
Доказательство. Без ограничения общности можно принять,
что а ^ b ^ с. Справедлива следующая цепочка неравенств:
Равенство имеет место, если а =
невозможно. Следовательно,
Второй способ. Воспользуемся неравенствами
2	2а
= а = с; последнее
> 2.
а + с а
2с
Складывая эти неравенства, получаем
> 2.

§ 3. Метод использования соотношений между средними	29
Знак равенства имеет место, если во всех трех неравенствах имеется
знак равенства, что возможно при выполнении условия
.. _ а _ 6 _ с
6 + с а -\- с а + 6'
это противоречит условию примера. Таким образом,
Ъ + с
Соотношения C.1) обобщаются на случай положительных чисел
i, . . . , ап следующим образом:
аг '' ' ап
где выражения
п
/2	2
— ^ </ai . . . ап <:	 ^ у	, C.5)
а\	ап
называются соответственно средним гармоническим, средним геомет-
геометрическим, средним арифметическим и средним квадратичным чисел
а\, . . . , ап. Равенства в соотношениях C.5) имеют место тогда и только
тогда, когда а\ = a<i = . . . = ап.
Пример 3.3. Доказать неравенство
	П	 < п I
а\	ап
где а\ > 0, ..., ап > 0.
Доказательство. Используя неравенство
п
для полож;ительных чисел Х{ = —, i = 1, . . . ,п (упр. 2.1), получим
неравенство
1	1
— + ... + —	-,
ал	ап ^	^
11	у a\a<i • • • ап
откуда и получается данное неравенство.
о	ai + . . . + an n /		п
Замечание. 	 ^ vaia2 • • • &п ^ ~,	^~, сле-
п	11
	h . . . Н
довательно,
^п2.	C.6)

30
§ 3. Метод использования соотношений между средними
Пример 3.4. Решить систему
+ у/1 + Х2 + • • • + л/1 + ЖЮО = ЮО W1
- а?1 + у/1 - х2 + • • • +
Решение. Воспользовавшись неравенством
а\
(упр. 2.2) для чисел а/1
получим
100 +
/юо
(Ж1 +...
100
- (Ж1 + .
+ Ж1
. . +
00 )
1
жюо)
C.7)
C.8)
юо	^ V	юо
Из полученных неравенств и заданной системы получаем
100	' V ЮО ^ V	ЮО
Получилось, что х\ + . . .+жюо = 1, откуда следует, что в неравенстве
C.8) имеет место только равенство, т.е. а/1 + х\ = . . . = д/l +
1
ИЛИ Ж1 = . . . =
Не трудно убедиться непосредственной подстановкой, что получен-
полученные числа удовлетворяют данной системе.
Соотношения между средними арифметическим и средним геомет-
геометрическим позволяют решить некоторые задачи на нахождение макси-
максимальных и минимальных значений.
Замечание 1. Среднее арифметическое положительных чисел
ai, . . . , ап с одним и тем же средним геометрическим имеет минималь-
минимальное значение, когда а\ = . . . = ап.
Замечание 2. Среднее геометрическое положительных чисел
ai, . . . , ап с одним и тем же средним арифметическим имеет макси-
максимальное значение, когда а\ = . . . = ап.
Пример 3.5. Среди треугольников с заданной площадью найти
тот, у которого наименьший периметр.
Решение. Обозначим стороны искомого треугольника а, Ь, с
(а, 6, с > 0), периметр — 2р.

Упражнения	31
Используя формулу Герона и неравенства из упр. 2.1, получим
S = у/р (р -а)(р- Ь) (р- с)
(Р ~ 6) + (Р ~
2 л/3
~Р 9 '
откуда получаем 2р ^ 2y3S /
Равенство имеет место, когда а = b = с. Таким образом, из всех
треугольников с заданной площадью наименьший периметр — у рав-
равностороннего.
Пример 3.6. Среди треугольников с заданным периметром 2р
найти тот, у которого наибольшая площадь.
Решение. Обозначим площадь искомого треугольника через 5, а
стороны через а, 6, с (а, 6, с > 0). По формуле Герона
S = \[р ' V (Р~ а)(Р~
Найдем наибольшее значение выражения (р — а) (р — Ь) (р — с).
Так как (р — а) + (р — Ь) + (р — с) = р постоянно, то согласно за-
замечанию 2 произведение (р — а) (р — Ь) (р — с) принимает наибольшее
значение тогда, когда р — а = р — b = р — с; отсюда получаем, что а =
= b = с. Таким образом, из всех треугольников с заданным периметром
2р наибольшая площадь у равностороннего треугольника.
УПРАЖНЕНИЯ
Докажите следующие неравенства C.1-3.28).
3.1.	(а + Ь) (а + с) (Ь + с) ^ 8abc, где а,Ь,с> 0.
3.2.	(a + b + c-d)(b + c + d-a)(c + d + a-b)(d + a + b-c)^
^ (а + Ь) (Ь + с) (с + d) (d + а), где а, Ь, с, d > 0.
3.3.	а) а3 + b3 + с3 + Забс ^ а26 + аб2 + Ь2с + с26 + а2с + ас2,
где а,Ь,с > 0;
_ lg(a - 1) ^ lga
3.4.	-^	^ < ь	где a > 1.
lga	lg(a + l)
3.5.	afrc ^ (a + b — с) (а + с — 6) F + с — a), где a,b,c > 0.
3.6.	ж8 + у8 ^ —-, если х -\- у = 1.
/ 1\2 / 1 \ 2 op:
3.7.	(a+i) +(b+J) ^f,
V a/ V 6/	2

32	§ 3. Метод использования соотношений между средними
3.8.	(xi-\	) + ...+ ( хп-\	)
V	xi/	\	хп/
> 0 и х\ + . . . + хп = 1.
3.9.	а4 + Ъ4 + с4 ^ абс (а + 6 + с).
3.10.	ж2 + у2 ^ 2 а/2 (ж -у), если
) ^
, если ж1?...,жп>
= 1.
3.11.
а/55, если а\, . . . , а$ > 0 и а\ + . . . + а$ = 1.
3.12.	6а + 46 + 5с ^ 5 л/cib + 7 у^ас + 3 \/бс, где а, 6, с ^ О.
3.13.	2 (а4 + б4) + 17 > 16а6.
3.14.
+	—— +
6 +
b + с — а а — 6 + с а + 6 — с ^ а
стороны некоторого треугольника.
3.15.	(	^— ) ^ 6П, где n G N, 6 > 0.
3.16.	а) A + -) < A + -^—) , где п
\ п) \ га + 1У
- + - + -, где а,
а 6 с
n+1
п+2
3.17. 'ffi.
, гАе п = 2,3,4,...
3.18.	а) п (п + 1I/п < п + Sn, где 5„ = 1 + i + ... + -, п =
= 2,3,4,...;
б) п - Sn > (п - 1) п1^1""), где Sn = l+i + ... + -,n =
= 3,4,...
3.19.	(<7П - 1) (<7n+1 + 1) ^ 2ngn (g - 1), где q > 1, n e N.
3.20. а) a2
с2 + d2 + ab + ac
10, где
a, 6, с, б/ > 0, afrcd = 1;
3.21.	п \Jclx ...ап - (п - 1) п~л/а_
г = 1,. . . ,n, n = 3,4,. . .
3.22.	\/ai . . . ап + y^i . . . bn + . . ,
. an_i ^ an, где <ц > 0,
. . . кп

Упражнения
33
(аг + 6i + . . . + *i) (а2 + 62 + . . . + к2) . . . (а
i, . . . , ап, fti, . . . , Ьп, . . . , &i, . . . , кп > 0.
п + Ьп
где
3.23.	ai + ^aia2+ ^/aia2a3 + . . . + \Ai . . . a
где аь . . . ,an ^ 0.
3.24.	raafc - &an ^ ra - к, где n > A:, n,keN, a > 0.
3.25.
Ж2 +
-, где a > 0,
кп),
> 0, i = 1,. . . , га.
3.26.	^/ж! + 1 + ^/ж2 + 1 + . . . + ^/жп + 1 ^ га + 1, где жь . . .
... , хп > 0, х\ + . . . + хп = р, pGN, p > 1.
3.27.	а) A + а)п ^ 1 + гаа, где а ^ — 1, га Е N (неравенство
Бернулли);
б) в случае га > 1 A + а)п > 1 + гаа, где а ф О и а ^ — 1, raGN.
3.28.	cos3 t sin t
16 '
3.29. Найти наименьшее значение функции
1	1
/ 0*0 = А
в области [0; 1), где п Е N, га > 1.
3.30.	Найти наименьшее значение функции / (ж) = ахт -\	„ в
области @, оо), где a, b > 0; m, га Е N.
3.31.	Найти в области [а; Ь] @ < а < Ь) такую точку жо, в которой
функция / (ж) = (ж — а) (б2 — ж2) принимает свое наибольшее значе-
значение в этой области.
3.32.	Найти наибольшее значение произведения xyz, если известно,
что ж, у, z > 0 и 2ж + д/Зг/ + ttz = 1.
3.33.	Найти наибольшее и наименьшее значение функции у =
х
2, где а, 6 > 0.
аж + 6
3.34. Найти наибольшее значение функции:
б) у =
3 Н.М. Седракян, A.M. Авоян

34	§ 3. Метод использования соотношений между средними
3.35. Пусть сумма всех шести ребер треугольной пирамиды Р ABC
равна 5, a ZAPB = ZBPC = ZCPA = 90°. Найти среди таких
пирамид пирамиду с наибольшим объемом.
{х + у = 2,
ху — z2 = 1.
{х + у + z = 3,
x2 + y2 + z2 = 3.
3.38.	Заданы числа а, 6, с, б/, е такие, что
{a + 6 + c + d + e = 8,
a2 + б2 + с2 + d2 + е2 = 16.
Найти наибольшее значение е.
о on тт »	Ж1	Жз . #5
3.39.	Найти наименьшее значение выражения	1	1	, если
Х2	Х4	Xq
1 ^ Х\ ^ Х2 ^ Жз ^ Х4 ^ ^5 ^ Же ^ 1000.
3.40.	Решить уравнение ж4 + у4 + 2 =
Ж1/	Ж ^	17 Z
3.41. Решить в целых числах уравнение	1	1	=3.
z у х
РЕШЕНИЯ
3.1.	Используя неравенство C.2) для положительных чисел а и 6,
а и с, b и с, получим неравенства с положительными членами
а + 6	^-	а + с	I—	Ь + с	гг-
—^— ^ V а^'	^~ ^ V ас'	^~ ^ \1Ьс->
(а + Ъ)(а + с)(Ъ + с)
перемножив которые почленно, получим	——-——	 ^ аос.
о
3.2.	Три множителя в левой части неравенства положительны.
Если только один множитель в левой части не положителен, то дока-
доказательство очевидно. Рассмотрим случай, когда все четыре множителя
положительны. В этом случае воспользовавшись неравенствами C.2)
для пар чисел
а + b + с — d	и	b + с + d — a,
а + b + с — d	и	d + а + b — с,
b + с + d — а	и	с + d + а — 6,
с + б/ + a — 6	и	б/ + a + 6 — с,

Решения	35
получим следующие неравенства с положительными частями:
((а + 6 + с - ri) + F + с + ri - а)) _
2	— о -Ь с,
((а + 6 + с - d) + (rf + a + 6 - с)) _
2	~~ а * '
+ с + d - а) + (с + d + а - 6)) _
о	— с + а,
. ((с + d + а - 6) + (d + а + b - с)) _
^	^	— a + а,
Перемножив почленно эти неравенства, получим заданное неравенство.
3.3.	а) Данное неравенство эквивалентно неравенству
abc^ (а + Ь- с) (а + с - b)(b + с - а)
(см. упр. 3.5.).
б) Данное неравенство эквивалентно неравенству
\2abc + а3 + б3 + с3 > a2b + b2a + с2а + а2с + 62с + c2b,
доказательство которого следует из неравенства упр. 3.3, а).
3.4.	Рассматриваемое неравенство эквивалентно неравенству
lg(a-l)lg(o + l) <lg2a(a>l).
Когда lg (a — 1) ^ 0, имеем
lg(a-l)lg(a + l)^0<lg2a.
Если же lg (a — 1) > 0, то, воспользовавшись неравенством C.2),
получим неравенство
2 Vlg(o-l)lg(o + l) ^ lg (a - 1) + lg (a + 1) = lg (a2 - 1) < lg a2,
следовательно, lg (a — 1) lg (a + 1) < lg2 a.
3.5. Так как a,b, с > 0, то по крайней мере два множителя
правой части неравенства положительны. Если только один множитель
не положителен, неравенство очевидно. Рассмотрим случай, когда все
три множителя правой части неравенства положительны.
X ~~\~ U	I
Воспользовавшись неравенством 	 ^ у ху, можем написать

36	§ 3. Метод использования соотношений между средними
следующие верные неравенства с положительными частями:
/-,	—г	г-,	;	гт . (а + 6 - с) + (а + с - Ь)
V	(а + b - с) (а + с - Ь) ^ -	^—^	- = а,
/т	~Г	Г77~	\ . (а + 6 - с) + F + с - а)
V	(а + 6 - с) F + с - а) ^ -	^—^	 = 6,
/7—;	1Л /, ,	^ / (а + с - 6) + F + с - а)
л/ (а + с- b)(b + с- а) ^	'-—	'- = с.
Перемножив почленно полученные неравенства, придем к заданному
неравенству.
3.6. Имеем
Xs + у8 /ж4 + у4\2 (х2 +у2\4 (x + y\s J_
2 ^ V 2 ) ' \ 2 У ^ V 2 У ~ 128'
Так как а + b = 1,
согласно неравенству C.7)
3.7. Так как а + b = 1, то из C.2) получим —- ^ 4. Следовательно,
6_ | _ / 	об.
2_ 25
2 ) ~ 4 '
3.8. Так как х\ + . . . + хп = 1, то из C.6) получим, что	Ь . . .
1	Х\
. . . Н	^ п2. Используя неравенство C.7), получим
'ал Н	h... + ЖпН	\2
\	n	J	\ п J	п
3.9. Воспользовавшись неравенством C.2), мож:ем написать
a4 + b4^2a2b2, Ь4 + с4^2Ь2с2, с4 + а4^2с2а2.
Складывая полученные неравенства, получим
Опять согласно неравенству C.2) имеем
a2b2 + b2c2 ^ 2a62c, b2c2 + cV ^ 2а6с2, с2а2 + aV ^ 2а26с.
Складывая эти неравенства, получим
a2b2 + b2c2 + cV ^ abc (а + 6 + с) .	C.10)

Решения	37
Из неравенств C.9) и C.10) получается, что
а4 + Ь4 + с4 ^ абс (а + 6 + с) .
3.10.	Воспользовавшись тождеством х2 -\- у2 = (х — у) +
условием ху = 1, получим х2 -\- у2 = (х — у) + ( л/2J ^ 2 д/2 (х — у).
3.11.	Для любого значения Л согласно неравенству C.2) имеют
место неравенства
(бсц + 1) + А2 ^ 2А х/боТП, г = 1,2,... ,5.
Складывая полученные неравенства и учитывая условие ai + a<i + аз +
+ а4 + а5 = 1 для Л > 0, получим
В случае А = \ — имеем
3.12.	Воспользовавшись неравенством C.2), получим
5 л/ ab + 7 у ас + 3 у be ^	1	1	= 6а + 46 + 5с.
ill
3.13.	Так как а4 + б4 ^ 2а262, то
2 (а4 + Ь4) + 17 ^ 4aV + 17 > 4 (a2b2 + 4) ^ 16aft.
3.14.	Записав неравенство C.6) для чисел
1111
	 и 			 и
b + с — а	а — b + с '	6 + с — a	a + 6 — с'
1	1
a — 6 + с	a + 6 — с '
получим
11	11
b + с — a a — 6 + с ^ 1	6 + с — а а -\- b — с
1	1
a — 6 + с a + 6 — с ^ ^
2	^ а"
Складывая почленно полученные неравенства, получим заданное
неравенство.
3.15. 1 + 6 + . . . + 6 ^ (п + 1) п+у6п, откуда получается заданное
п
неравенство
п + 1

38	§ 3. Метод использования соотношений между средними
3.16.
из упр. \
или
а) Записав
1.1, получим
A+п)
б) записав для
упр. 2.1,
или
получим
!
для чисел ( 1
+ ...+ ^
Л 1
V пЛ
чисел 1
1 ^
п + 2)
1
ч П
+
J
х» + 1
-1)
1
п +
п+2
1 \
| У
\ 1
1'
/
1
Г1
а-
п
...,1
п+1
1
••(
п)
п
1 +
К1
1
+ 1
.71 + 1
\ п+2
+
,1
, 1 неравенство
1\п
п
неравенство из
3.17. Согласно неравенству из упр. 2.1 имеем
3.18. aMn + n = n + l + J + ... + -
п + 1	„/О34	п + 1
—>П 2
= {п _
3.19. Воспользовавшись тождеством
qn-l = (q-l) {цп-г + qn~2 + . . . + 1)
и условием q > 1, получим неравенство, эквивалентное заданному
неравенству,
( 71 — 1 | П — 2 |	| -1 \ / 71+1 | -1 \ \ Г)	П	/Q 1  \
[q -\- q + . . . + 1) [q + 1) ^ zng .	v^-H/
Согласно неравенству из упр. 2.1 в случае п > 1 имеем
an-1 + ап~2 + ... + 1 ^ п - \/ап~1 • ап~2 • ... • 1 = па^

Решения	39
Перемножая полученные неравенства, получим C.11).
3.20. a) a2 + b2 + c2 + d2 + ab + ac + ad + b
^ 10 • 1fya2b2c2d2abacadbcbdcd = 10
б) Так как а, 6, с > 0, то по крайней мере два множителя левой
части неравенства положительны (см. упр. 1.9, а)). В случае, если
только один множитель не положителен, неравенство очевидно. Рас-
Рассмотрим случай, когда все три множителя правой части неравенства
положител ьны.
Заметим, что
3
v
+ be (a - 1 + - J + ac (b - 1 + - J + ab (c - 1 + - J .
Воспользовавшись неравенством из упр. 2.1, получим неравенство
I	1	1	1 2
З + За&О буа363с3 ((а- 1 + Л (b - 1 + -А (с - 1 + -)) ,
которое эквивалентно заданному неравенству.
3.21. ап + у/а,\ • • • CLn-i + • • • + п у a>i • • • an-
n-l
y n l/ax . . .an_i • . . . • n ^ai . . .an_b
откуда	n_!
п - у gl\ . . . ап — (п — 1) п у а\ . . . an_i ^ ап.
- +
\1
ь
J
У а,
*i + bi
fel
+ ...-
f Ал
+ h
a2 -
1 Cl2
Vb2
+ b2
b2
+ ...
a2
+ ...-
+ k2
+ k2 ¦ ¦ ¦
' ' ' an +
an +
bn +
an
bn +
+ kn
- +..
+ 6i + . . . + k\ a2 -\- b2 -\- . . . -\- k2 a,n ~\~ bn H~ • • • H~ kn
1 /	CL\	CL2
— (	1	h • • •
. . . +д		+~^J + n la +6 +	+^Г +
+ 	TITV	ГТ- + • • • + 	, и Г	Г!") + • • •
a2 + o2 + . . . + k2	an + On + • • • + kn J
... + I(— *i	 +—_^	 +...
n \cli -\- bi -\- . . . -\- Ki cl2 -\- b2 -\- . . . -\- k2

40	§ 3. Метод использования соотношений между средними
...+— *»	г-) = ±(—^	г +
о>п + о-п + • • • + кп / n \ ai + Oi + . . . + «;i
	61	k\
en -\- bi -\- . . . -\- ki	ai + 61 + . . . + j
, 	—r- H	—г—г
- o2 + . . . + K2 a2 + o2 + . . .
+ - (	—	1	—	h
n \a2 ' ' '	' '	' ' '	' ' ' ' '
+ bi + . . . + ki) ' ' ' n \an + bn + . . . + kn
3.23. Заметим, что
^ 1	1
следовательно,
ai ai + 2a2	ai + 2a2 + . . . + как	ai + 2a2 + . . . + nan
Y	2-3 +-"+	А; (Л; Ч- 1)	+'"+	n (n + 1)
ai + 2a2 + . . . + /sa/e ,	,\/k	n Л
Докажем, что е	k(k + l)	 ^ {аг . . . ak) '	(k = 1, .
Действительно, согласно неравенству из упр. 2.1
2a2 + . . . + как . Уах2а2 . . . как
Остается доказать, что -^—- > -, или к\ > I	1 (см. упр. 7.18).
Таким образом, получилось, что
п	п
/ . , \ \ V^ ai + 2a2 + . . . + как ^ v^ /	\i/k
е (ai + . . . + an) ^ 2^ е	k(k + l)	 ^ ^(сц . . . ак) ' .
Теперь докажем, что в заданном неравенстве заменить е на меньшее
число нельзя. Действительно, пусть
п
с (аг + . . . + ап) ^ ^2 (ai • • • акI/к',
к=1
принимая a/g = — (к = 1, . . . , п), получим
гь

Решения	41
(здесь использовалось неравенство из упр. 14.18).
С другой стороны, согласно неравенству из упр. 7.17 для к = 3, 4, . . .
имеем
к
I о
откуда у/к < 1+ л / —, следовательно,
k=8 k{ 1+ J-
к
Из C.12) и C.13) следует, что
или
/2
/ _j JU
Отсюда получаем
к=8	к=8к[1 ..
к
или
an ¦ e -
где
У1- У1-
^ к	^ к
_ k = 8 _ 1 _ fc = l
k=i	k=i
Переходя к пределу, получим, что е ^ с (см. упр. 7.15 и 7.16).
3 24 77-	А? -Ь кап = 1 Ч- Ч- 1 -Ь fln Ч- Ч- пп ^
п-/с	/с

42	§ 3. Метод использования соотношений между средними
откуда га — к ^ пак — кап.
3.25.
JC
+
*
XI + Х2	Х2 +
+ . . . +
'*п-
га
ж2) + . . . + (жп
^т-
3.26. Используя неравенство из упр. 2.1 для чисел х\ + 1 и
1,1, . . . , 1 (г = 1, 2, . . . , га), получим
р-1
следовательно,
)
р J
Ж2
Р
3.27. а) Так как 1 + а ^ 0, то достаточно доказать неравенство
для случая 1 + па ^ 0. Согласно неравенству из упр. 2.1
= 1 + а, га > 1,
n-l
следовательно, 1 + raa ^ A + а)п.
б) См. решение упр. 3.27, а).
3.28. cos6 t sin2 t = 27
cos2 t cos2 ? cos2 t
A - cos2 *)
r cos2 ? cos2 t cos2
2 \ 4
1 — cos t \ 27
= 7'
откуда |cos3 t sin
16
, следовательно, cos3 ? sin?
16
3.29. Используя неравенство C.2), получим
/ (х) = A + ж)7" + A - ж)7" ^
^ 2-
v 1 —

Решения	43
так как ж G [0,1). С другой стороны, / @) = 2, следовательно
наименьшее значение функции / (х) равно 2.
3.30. Представим функцию / (х) в виде
f (х) = (га + п) 	 ( п	Ь гп
v J v	J т + п V n
Используя неравенство из упр. 2.1, получим
где равенство имеет место при
твет. mm /(ж) = / (ж0) = (т + п)
(о,+оо)
= 	^, т.е. когда х =
т+п
а??г
3.31. Представим функцию / (ж) в виде
. , ч _ (ж — а) (ж — а) а F — ж) /3 F + ж)
где а,/3 > 0. Используя неравенство из упр. 2.1, получим
4 У (ж - а) (ж - а) а (Ъ - х) C (Ь + х) ^
^ (х - а) + (х - а) + а (Ь - х) + C (Ь + х) =
= B - а + /3) х + (а + /3) b - 2а.
Правая часть этого неравенства не будет зависеть от ж, если а —
— /3 = 2, а равенство имеет место, когда х — а = а (Ь — х) = /3 (Ь + х).
Отсюда получим равенства
подставляя которые в равенство а — /3 = 2 получим квадратное
уравнение 2х2 — ах — Ь2 = 0, которое имеет единственный положи-
а + уУ + 862
тельный корень хо = 	^—	. Нетрудно показать, что хо Е
Е [а, 6]. Следовательно, /(ж) достигает наибольшего значения в точ-
точке хо области [а, Ь].
а+
О т в е т. жо =	i•
3.32. Представим произведение xyz в виде
xyz =

44	§ 3. Метод использования соотношений между средними
и запишем неравенство из упр. 2.1 для чисел 2ж, у Зу и ttz:
2х+
5471-^/3'
где равенство имеет место, когда 2х = уЗу = 7rz- Воспользовавшись
условием 2х + ^JЪy + 7TZ = 1, получим х = -, у = —^=, z = —-.
"	3 у 3	^
Ответ. 	-=.
547TV3
3.33. Заметим, что:
когда х < 0, имеем / (ж) < 0;
когда ж > 0, имеем / (ж) > 0;
когда ж = 0, имеем / (ж) = 0.
Отсюда следует, что функция / (ж) принимает свое наибольшее зна-
значение в области @, +оо), а наименьшее значение — в области (—оо, 0).
Первый способ. Неравенство C.2) для чисел ах2 и b имеет
вид
ах + b . , , / г	/о л .ч
	 ^ \х\ ¦ у/аЬ, C.14)
где равенство имеет место, когда ах2 = Ь. Из неравенства C.14)
следует, что когда ж > 0, имеем
О"	1
ах2
Отсюда получается, что наибольшее значение /(ж), равное
функция принимает в точке х = у — • Так как функция /(ж) нечет-
у а	^
ная, то ее наименьшее значение, равное	=, достигается в точке
гг	2 Jab
о
х = - \ -.
V а
Второй с п о с о б. В области @, +оо) функция f(x) совпадает
с функцией g(x) = 	т", где a, b > 0. Эта функция принимает
ах -\—
х
свое наибольшее значение в точке, в которой функция h (ж) = ах -\—
принимает свое наименьшее значение.

Решения	45
Так как произведение ах • — = ab постоянно, то сумма ах -\
х	b	х
имеет наименьшее значение в случае, когда ах = —, т.е. когда х =
Ib
а
Таким образом, получили, что в области @, +оо) функция f(x)
принимает наибольшее значение в точке х = \ — и оно равно
V «
Наименьшее значение функции /(ж) находится аналогично перво-
первому способу.
оол \ тд	5 V (ж+ 2) (ж+ 4)+ 12
3.34. а) Имеем у = ——	'-^-	, следовательно, когда
х -\- о
х ^ —2, имеем
13ж + 39
23
и у = 13, когда 2Бх + 50 = ж + 4, т.е. когда х = — —. Когда ж ^
^ —4, имеем у < 0, следовательно, наибольшее значение функции у
равно 13.
б) Имеем
У~
2 2 6
о / с; «^ i J- i «^ i j- i " Ж ~г"^
Зж2+4	^ V 2	3(Зж2+4)
3/5 12ж2 + 16 4 з/5
2 15(Зж2 + 4) 15 V 2
о	4з/5	о-,2о6	ol
Заметим, что у = — • \ — ? когда ж + 1 = -ж + -, т. е. когда ж = —.
15 у 2	5	5	о
Следовательно, наибольшее значение функции у равно — • у-.
3.35. Пусть РЛ = ж, РБ = у, РG = z. В этом случае
Так как
а2 + б2 ^ 2а6,

46	§ 3. Метод использования соотношений между средними
то
3 yjxyz + 3\/2 у \fx~y
1
откуда — [ —	-^ ] ^ К, и так как в случае х = у = z =
з
5
то объем пирамиды с ребрами х = у = z = 	-=- наибольший.
3A + у 2)
3.36. Воспользовавшись неравенством C.2), получим 1 ^ z2 + 1,
откуда z = 0, ж = у = 1.
)
3.37.	Заметим, что в неравенстве	 ^	 имеет
о	о
место равенство, так как х + у + z = 3 и ж2 + у2 + г2 = 3.
Следовательно, ж = у = z = 1 (см. решение упр. 2.2).
Ответ. A,1,1).
о OQ ^	a2 + 62 + c2 + d2	/a + 6 + c + d\2
3.38.	Согласно неравенству	 ^ (	1
(упр. 2.2)
^2
J '
16-е2
4 П 4 J '
следовательно, 5е2 — 16е ^ 0, откуда 0 ^ е ^ —.
Когда a = b = c = d=-, имеем е = —, поэтому наибольшее
5	о
16
значение е равно —.
5
3.39. Имеем
	1	1	^	1	1	^ о\	=^А/ — ^ Т7^-
Х2 Ж4 Жб Ж2 Ж4 Жб у Ж2 Ж4 Xq \j Xq 10
Когда х\ = 1, ^2 = 10, жз = 10, х± = Ю2, х$ = 102, же = Ю3, имеем
^1 _l ^i _|_ — — —
Х2	Х4	Xq	10'
Xi , Хз , Ж5
следовательно, наименьшее значение выражения	1	1	рав-
о	Х2 Х4 Xq
но То'

Задачи для самостоятельного решения
47
3.40. Запишем неравенство из упр. 2.1 для чисел х , у , 1, 1:
следовательно, х4 + у4 + 2 = 4
Ответ. A,1), (-1,-1).
4, откуда ж4 = у4 = 1.
3.41. Имеем (ху) + (yz) + (жг) = 3xyz, следовательно, xyz >
> 0. Однако xyz E Z, поэтому
упр. 2.1
1. Согласно неравенству из
3xyz = (ху) + (yz) + (xz) ^ 3xyz у xyz
следовательно, xyz = 1 и в неравенстве B.1) имеет место равенство,
поэтому (ху) = (yz) = (xz) . Итак х2 = у2 = z2 = 1.
Ответ. A,1,1), A,-1,-1), (-1,1,-1), (-1,-1,1).
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Докажите следующие неравенства 1—16.
1.	ab ^	1	, если —|— = 1, а, 6, р, а > 0, числа р и а
V Я	V Я
рациональные.
2.	(l + -)П > 2, где п Е N.
3.	A + ai) A + а2) . . . A + ап) ^ 1 + ^ + . . . + ^-, где 5 = ах +
+ а2 + • . • + ап; сц > 0 (г = 1, 2, . . . , п).
4.	(l + -)(l + M A + -) ^ 64, где а, 6, О 0, а + 6 + с = 1.
V а/ \ о/ V с/
За — 1, где а > 0, п > к, га, А; Е N.
^гт -Y ^ ю -г л. — ььгг^п+1^/2, где а > 0; а ^ 1-
а (а — 1)
7. гаап+1 + 1 ^ ап (га + 1), где а > 0.
где п > /и, п, /с Е N.
n ai i а2 i	i ап-1 , ап ^	. п / •	-,	ч
9.	1	Ь . . . Н	1	^ га, где а^ > 0 (г = 1, . . . , га).
а2 аз	an ai
10. an+i
(а2 — ai) (а3 — а2) . . . (an+i — ап)
гг + 2, где 0 <

48 § 3. Метод использования соотношений между средними
< ак < a/e+i (к = 1, . . . ,гс).
11. 1 + f
1 — х
, где 0 ^ ж < 1.
12. sin2а <
з
— а
, где О < а < ^.
abcde ф 0.
a > 0, 6 > 0, с > 0, d > 0.
1999
b с d e a
а Ь с d
b с d a
где ai, . . . , an > 0 и n > 2;
z
4-
4 '
+У +Z -1'
в)
, где
> О и а\ + а2 + • • • + ап = 1.
17. Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения
7
если О < u, v, гу ^ —:, и -\- v -\- w = 1.
16
18.	Найдите наибольшее значение выражения xpyq, если ж + у =
= а, ж,2/>0 и p,g E N.
19.	Найдите наибольшее значение выражения а + 2с, если для
любого ж, где |ж| < 1, ах2 + Ьх + с
1
/1-х2
Указание. Приняв х = —^= и х =	-=, получим а + 2с ^
2 у 2. Когда а = у 2, 6 = 0, с = —^=, проверить, что для \х\ < 1

Задачи для самостоятельного решения	49
20.	Докажите, что A + ^) A + -) A + -) ^2A + °'1ir^C ),
V bj V с/ V а/	у	^abc J
где a, 6, с > 0.
Л7	Л , а\ / 6\ / с\	а 6 6 с а с
Указание. 1 + - 1 + - A + - ) =2 + -Н	1	\---\	h -
V 6/v cj \ a)	b а с b с а
1а 1а 16. за	а
и o7:+Q7:+Q~^V7r= згг1
оо оо ос уос у abc
л-,	тт	1 + ai 1 + U2	1 + ftn + l ^	r>-H	^
21.	Докажите, что	. . .	 ^ п ^ , где — 1 <
1 — а\ 1 — а-2 1 — ftn+i
Указание. 1 + сц ^ A — ai) + ... + (l — a^_i) + A — сц+i) + . . .
22.	Докажите, что
(а + 6KF + cf(c + df(d + aK ^ 16a262c2d2(a + 6 + с + df,
где а, 6, с, d > 0.
Указание. (a + 6 + c + dJ =
= (а + 6)F + с) + (а + b)(d + а) + F + с)(с + d) + (с + d)(d + a).
4 H.M. Седракян, A.M. Авоян

§ 4. МЕТОД ПРИМЕНЕНИЯ НЕРАВЕНСТВА
КОШИ-БУНЯКОВСКОГО
В данном параграфе будут рассмотрены некоторые неравенства,
для доказательства которых будет применено неравенство Коши-
Буняковского.
Сначала докажем его для чисел ai, а2, &i, b2.
Пусть даны векторы а(а\',а2) и b(b\\b2). Из школьного курса
математики известно, что a • b = ai^i +
Оценим модуль скалярного произведения а • b:
a-b\ = \a\- \b\ - |cos (a;
С другой стороны,
a-b\ = \aibi + a2b2\
|6| cos (a;b).
или
+ a2b2J < (a? + al) F? +
D.1)
Это неравенство является частным случаем неравенства Коши-Буня-
ковского для чисел a\,a2,b\,b2.
Заметим, что в D.1) равенство имеет место тогда и только тогда,
когда &\Ь2 — ci2b\ = 0.
Обобщение неравенства D.1) на числа ai, а2, . . . , an, &i, b2, . . . , 6n,
которое называется неравенством Коши-Буняковского, имеет вид
(а\ + а\ + . . . + а2п) (b\ + b\ + . . . + Ь2п) ^
^ (aibi + B262 + • • • + a>nbn) • D-2)
Докажем неравенство D.2) для случая, когда
Первый способ. Пусть
где /г = 1, 2,..., п. В этом случае
а\+1) {Ь\ + ... + Ь\

§4- Метод применения неравенства Коши-Буняковского	51
а\ + ... + 4) +al
bl + ak+ibk+i) =
Таким образом, получим х^-\-1 ^ Xf~ + dk+ibk+i, где к = 1,2,...
. . . , п — 1.
Складывая полученные неравенства, получим
или
{al + ... + al)(bl + ... + bl):
Теперь обсудим случай, когда числа ai, a2, ..., an, 61, 62, ..., bn
являются произвольными действительными числами. В этом случае
/2,	, 2\ /I 2 i	i i 2 \
i	i I 2\/1j 12 .	iii
... + anbn\ — (aibi + ... + anbn) .
Второй способ.
(а? + ... + а2п) {Ь\ + ... + Ъ2п) - (aibi + ... + anbnf =
П
Рассмотрим примеры.
Пример 4.1. Доказать неравенство sin a sin/3 + cos a + cos/3 ^ 2.
Доказательство. Справедливо
sin a sin /3 + 1 • cos a + 1 • cos /3 ^
/	/ / = 2.
Пример 4.2. Доказать неравенство a3 + 63 > а2 + 62, если а > О,
6 > 0 и а2 + б2 > а + 6.
Доказательство. Имеем
(а3 + 63)(а + 6) = ((а3/2J + (б3/2J) ((а1/2J + (б1/2J) ^
ft -|- О	ft~hO	ЧЯ	9	9
Поскольку —о	о ^ 	г" > 1? т0 or -\-о > а -\- о .
а + b	ft + D

52
§4- Метод применения неравенства Коши-Буняковского
УПРАЖНЕНИЯ
Докажите неравенства 4.1-4.19, 4.22, 4.23.
4.1.	а2 + Ь2 + с2 ^ 14, если а + 26 + ЗО 14.
4.2.	а6+ v/(l-a2)(l-62) ^ 1, если \а\ ^ 1, |6| ^ 1.
4.3.	у/с~(а^~с) + а/с F — с) ^ л/ab, где а, 6 > с > 0.
4.4.	aJa2 + с2 + bJb2 + с2 ^ а2 + б2 + с2.
4.5. ^ + ^+ Х
U ^ - + \ + -, где а > 0, 6 > 0, с > 0.
ab a b с
/6с \/са
4.6. y/a(a + с - 6) + л/б(а + 6 - с) + л/сF + с - а)
где а, Ь, с — стороны некоторого треугольника.
4.7. (ai + а2
... , ап > 0.
. . . + ап)(	1	\- . . . -\	) ^ п2,
где
а2, . . .
а\ + . . . + а2п ( ах + . . . + ап у
~1.о.	<^
V	п	У
4.9.
. . . + а?0 = 1.
п	\	п
+ а2а3 + . . . + а9аю +
-1, если а^ + а\ + . . .
4.10. а) ж4 + у4 ^ ж3у +
б) ж4 + Ж + + xt ^ Ж
^ 2.
4.11.
4.12.
1, где
a2K.
+ 6 у/ (а2 + б2 + с2) (х2 + у2 + z2) ^(а + 6 + с + ж +
4.13.	а2 + б2 + с2 ^ аб + 6с + ас.
4.14.	(ах + а2 + . . . + ап) (а[ + а\ + . . . + а7п) ^
^ (а3 + а\ + . . . + а3п) (of + а| + . .
где ai, а2, . . . , ап > 0.
4.15.	а) у/а + 1 + д/2а - 3 + а/50 - За ^ 12;
б) а + 6 + с ^ абс + 2, где а2 + б2 + с2 = 2.
+ аъп),

Решения	53
4.16.
4.17.
4.18.
•• • ,ап ^
Л 1Q
а + Ъ + с
3
afc + -\
п
0(
-а*
1 1
^ г=1
, где а, 6, с
ai + п2 + • • •
п
1 \^г. т
at
> 0
+ а,
где
к
/с, п
где
-Л/ ^ .
GN, аь...,ап >
п, Л G N, аь . . .
7Г
4.20.	Найти расстояние точки Л(а?о?2/о) от прямой, задаваемой
уравнением аж + 6у + с = 0 (а2 + b2 ^ 0).
4.21.	Найти наименьшее значение выражения
если
0 < и < л/2, v > 0.
4.23. а)^
б) — + ^— + . • • +	^Ц	 < 2 (— + ... + —),
j. • • ,fln > 0.
сц + • • • + &п
< 2 (	) где
РЕШЕНИЯ
4.1. Из D.2) имеем
(a2 + 62 + С2} A2
откуда а2 + б2 + с2 ^ 14.
4.2.
а2 + ( ^/Т^2J ^Ъ2 + ( ^/Т^Ь2J = 1.
*) Это неравенство является частным случаем неравенства Харди
1
к=1
где р > 1, бц ^ 0 (г = 1, . . . , п).

54	§4- Метод применения неравенства Коши-Буняковского
4.3.
4.4.
4.6.
+
4.7.
4.8.
4.9.
у/с(а - с) + у/с(Ь -
ал/а2 + с2+ л/^Т
^ V а2 + (лА27
л/6 л/с л/с л/а
Заметим, что
= у/а(а
л/б(а + 6 — с) л/а +
^ л/ (а (а + с - Ь)
х л/(а + с — 6)
'(л/^0 + • • • + (\Л
(а2 + ... + а2)(ГЧ
«? + ...+
п
Q-lQ-2 + • • • + О-эО-Ю Н"
с)= >
f {у/Ь
fT2"J,
/с у/а —
+ с - 6) л/(а +
+ 6 (а
+ (а +
... + 1
п
- dinQj\
у/с(Ь +
+ Ь-с)
Ь-с) +
/ai .—
п
с+ л/6
Г?J +
Ь с
с-6)+
б2 = а2 + б2 -f
а/ чс а
1 1
~ а + 6
с - а) у/(Ь + с — а) ^
+ сF +
F + с-
+ ...+
j ¦
с — а))х
-а) =
? + С ) [CL -\- и
	П_ i х 2
апJ, откуда
-с2.
6/ =
1
с'
+ с).
= п2.
(а2 + . . . + а2 + а20) (а2 + . . . + а20 + а2) = 1,
ОТКуда CL\CL2 + . . . + CLgCLiQ + Clio&l ^ —1.
4.10. а) х4 + у4 = л/ж4 + у4 л/ж4 + у4 ^ л/ж4 + у4 л/2ж V =
= у (ж2) + (у2) д/ (ху) + (жу) ^ ж3у + ху3
б) Имеем
Ап \Jx\
\ + х\
\ + . . . + х*
\Jx\ + ж| + . . . + х\ \Jx\
х\х\ + . . .

Решения
55
\х\х2 + х\хъ
4.11. (|а?| + ... + |а3„|J = (|О1| а\ +
. + \ап\ а
п\ а2J «С
4.12. Левая часть неравенства равна
3( ч/а2 + Ъ2 + с2 + V*2 + y2 + z2) = В.
Согласно неравенству из упр. 4.8 имеем
4.13.	аб + 6с + са ^ д/ (а2 + б2 + с2) (Ь2 + с2 + а2) = а2 + б2 + с2.
4.14.	Имеем
Аналогично, (а[ + . . . + а7п) (а? + . . . + а^) ^ (а\ + . . . + а^) .
Перемножая полученные неравенства, получим
(ai + . . . + ап) (а[ + . . . + а7п) ^ (а? + . . . + а3п) (а\ + . . . + аъп) .
4.15. а) Имеем
1- yjo. + 1 + 1 • x/2a - 3 + 1 • а/50 - За ^
' A2 + 12 + Х2) ((^а + IJ + (^а - ЗJ + (^50 - ЗаJ) = 12.
б) Имеем
а Fс - 1) + F + с) • 1 ^ л/(«2 +
-1J
(Ь + сJ) ((Ъс - 1)
= д/4 A - 62с2) + 2A + 6с) 62с2 ^ 2,
так как 6с
1.
4.16. Обозначим V^ af = ^s- Из неравенства D.2) получим

56	§4- Метод применения неравенства Коши-Буняковского
=А2ш
4=1
Аналогично, получим
Ак • Ак_2 > А\_х,
А2- Ао^ А\,
Перемножая полученные неравенства, получим
или
4.17. (а + b + с) F + с + а) = (( ^f + ( ^J +
+ у/аЬс+
(а + Ь + с) A + 1 + 1) ^ (\А+ \А+
Перемножая полученные неравенства, получим
6 с
(а + Ь + c)d ^ 33а6с, или
Ак-Ак_2 >
о
4.18. Имеем
откуда получаем
Ак • Ао
о^ Аг -Аг,
о^ Ао • А1т
Перемножая полученные неравенства, получим Ак - А$ ^ А$ • А\, или
—	 ^ 	 • Здесь Ак --
п	V	п	)

Решения
57
4.20. Пусть М (х,у) — некоторая точка прямой, задаваемой урав-
уравнением ах + by + с = 0. Определим наименьшее значение расстояния
AM = у (х — xq) + {у — Уо)- Согласно неравенству D.1)
(а2 + Ь2) ((х - х0J + (у - уоJ) ^ (а (х - х0) + Ь(у- у0)J ,
откуда у/а2 + Ь2 у (ж - ж0J + (г/ - 2/оJ ^ |аж + by - ах0 - Ьу0
Г,	Л2 , /
У (ж — xq) + (у —
v
Уо)
венство имеет место, когда
Решая систему
• В последнем неравенстве ра-
ах + by + с = 0,
х - хо _ у - уо
получим х = -а
ах0
2	72
а + о
/
ахо
1" 2/0-
а + о
Таким образом, расстояние точки А от данной прямой равно
ахо
4.21. Имеем
/			Q \ 2
Когда v = 3, г? = 1, имеем (г^ — vJ + f д/2 — и2	J =4 + 4 = 8,
следовательно, наименьшее значение данного выражения равно 8.

58	§4- Метод применения неравенства Коши-Буняковского
4.22. Имеем
а\ > а\ [ 1 -
2
+ . . . + а2
+ а\ ф, D= -
2 \ 2
Следовательно,
Докажем, что
Согласно неравенству D.2)
(а\ + a^ + • • • + a
^ (ai + a2 + . . . +
Для доказательства неравенства D.3) достаточно показать, что
Это нетрудно доказать следующим образом. Имеем
1 + ^ + ... + ^ ^ 1 + -?^	+ ^2 ^ + ...
/2	Д	Д1 /З/2
-!) = 2
Докажем, что 2 л/k — 1 <
Поскольку
у/к2 + к
2/с
k+

Решения
59
имеем
или
или
2k
2k{ у/к + 1 - у/к) < к + у/к2 + к - 2 у/к + 1,
+ 1 + у/к2 + /с) - (Л + 1 + \Л2 + *) < 4
о /Г 1 4ку/к
откуда 2 л/& - 1 < 	 ,
Докажем, что множитель 4 в правой части данного неравенства
нельзя уменьшить. Пусть неравенство
имеет место при любых a?i, . . . , хп. Выбирая Х{ = —¦= (г = 1, . . . , п),
у/г
получим
1	^
1+
+••• +
Используя неравенство из упр. 14.16, можем написать
2
откуда 4 - 8
/с = 1
1
2	п
Переходя к пределу, получим
< с.
1	1
1.	\ * о
hm 4 - 8
|
1	1
2	' ' ' п
Т
hm с,
так как согласно упр. 7.15 и 7.16 hm —-—
п—)-оо ^ 1
2
тельно, 4 ^ с.
4.23. б) Имеем
1
-
П
= 0, следова-

60	§4- Метод применения неравенства Коши-Буняковского
1 22 / 1 1 \ 22 / 1 1
22 / 1
1 пА 1
an V n
откуда
a2
Докажем, что
(k + lf) ' ai + ... + afe5
1 22	&2\ &3(& + 1J
или (ai + . . . + a&) (	1	h . . . Н	) > o Д, , , ч • Имеем
a2	a/г / 2 B« + 1)
ai a2
a/e
>
i/l	/ ^
Таким образом,
k=l
ai
afc
a2
ak
Теперь докажем, что множитель 2 в правой части данного нера-
неравенства нельзя уменьшить. Действительно, пусть
12	п
Возьмем a/g = к (к = 1, 2, . . . , п), в этом случае
-2
с,
где жп = 1 + - + ... + -.
Следовательно, 2 lim ( n+1	) ^ с, или 2 $J с.
п^-оо V Жп	Жп /

Задачи для самостоятельного решения	61
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Докажите неравенства 1-7.
1. (sin ol\ + . . . + sin an) + (cos ol\ + . . . + cos an) ^ n2.
a
2. 	 ^ ^/ai...an, где ab . . . , an > 0.
з.
a», 6» ^ 0 (г = 1, . . . ,ra).
4.
< (т2
5/ \ л/n-h- I <^ I \ л ,«., I I \ 	г_ I тптто т» . /7. /i . ^> П fV —
/ . V аг°г ^ 7^а*Ж* / ,~Ь ГДе Жг' а*' °г > U 1г ~
2
, где ж*, 2/* > 0 (г = 1, . . . , п)
7. аж + 6у + cz
8.	Найти расстояние точки Л (жо, уо, zq) до плоскости, задаваемой
уравнением ах + by + cz + d = 0 (a2 + б2 + с2 ^ 0).
9.	Докажите:
а) тождество
. . . + 6псп) =
б) неравенство
. . . + bncn);
здесь b{d{ > 0 (г = 1, . . . , n) или b{d{ < 0 (г = 1, . . . , n) и -^ ^
O2<	<OnC1<C1<	<Cn
02	On «1	«2	«n

62	§4- Метод применения неравенства Коши-Буняковского
10.	Докажите, что
... - РпЧпJ ^ (р\ ~ р\ ~ • • • - Pn)(<7i - Ч2 ~ • •
если р2 ^ pi + . . . + р2 ? д2 ^ д2 + + q2
11.	Найти наибольшее и наименьшее значения выражения
- 2J + (у - IJ
V^2 + (j/ - IJ + у/(х - 2J + у2 '
12. Докаж;ите, что
л/у2 + yz + z2+ л/у2
+ л/х2 + ху + у2 л/х2 + xz + z2 ^ (ж + у +
Указание. Справедливо
\/х2 + ху + у2 \Jy2 + yz + z2 =
z\ Sxz

§ 5. МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННЫХ
При доказательстве некоторых неравенств целесообразно произве-
произвести замену переменных.
Пример 5.1. Доказать неравенства —- ^ у	^-	ц $J -.
Доказательство. Пусть х = tg а, у = tg /3. В этом случае
(х + у)A-ху)
sin (a + /3) cos (а + /3)
cos а cos в cos а cos/3	• / . m / ¦ о\ ^ • о/
= 	1-^	г	^- = sin (a + /3)cos (а +/3) = -sin2(a
cos2а cos2/3
следовательно, — - ^ - sin 2 (а + /3) ^ -•
Пример 5.2. Доказать неравенство
а2 A + Ъ4) + Ъ2 A + а4) ^ A + а4) A + б4) .
Доказательство. Пусть a2 = tga, 62 = tg/3, получим
что эквивалентно неравенству sin 2а + sin 2/3 $J 2.
Пример 5.3. Доказать, что если а, 6, с > 0, а + 6 + с = 1, то
Доказательство. Пусть а = ж +-, ^ = У+^, c = z + -,
в этом случае
следовательно,
= х2 A + х) + у2 A + у) + z2 (I + z) + i
1
так как ж,у,г > — - > — 1.
о

64	§ 5. Метод замены переменных
Пример 5.4. Доказать, что если а, 6, с > 0 и abc = 1, то
1 + а + с
Доказательство. Пусть \J~a = ж, ^/б = у, yj~c = z, в этом
случае
xyz	xyz
' l + a + 6 xyz + ж3 + 2/3 ^ XVZ + ХУ (x + У) x + y + z'
аналогично получим, что
1 . ж 1 2/
	 $C 	 и 	 $C	.
1 + 6 + c ж + у + z	1 + a + c ж + у + z
Следовательно,
L^lA 1 -L/)-L/> 1_|_/7_Lr^7._|_7/_|_?- 7._L7/_L^ 7._|_7/_L?-
Пример 5.5. Доказать, что если xi, . . . , хп > 0 и — + . . .
—
хп
Доказательство. Пусть Х{ = 1 + yi, где yi > — 1. Имеем
хп	2	п	2	п
откуда 2/i + . . . + уп ^ 0.
Согласно неравенству Бернулли (упр. 3.27, а)), учитывая вышеска-
вышесказанное, получим
х2	хп	1	1
следовательно, х\-\- -^- + . . . -\—- ^ 1 + - + ••• Н—•
2	п	2	п
Пример 5.6. Доказать, что если ai, a2, . . . , ап ^ 1 и n ^ 2,
& ^ 2, fcGN, то
у/пг - 1 + . . . + XJan - 1 ^
Доказательство. Пусть 6^ = y/(n — l)(«i ~ 1)? гДе * = 1? 2,
..., n и 6f < 1,. . . , 6f < 1, a 6f+1 ^ 1,. . . , b^ ^ 1. Тогда согласно
неравенствам из упр. 10.6 и 11.14 имеем

Упражнения
65
1 + . . . + 0/ + 1 +... + 1
Заметим, что 1 -\——
п
1 к , ik
ik л
bn
(Ъ\ + &2 + • • • + Ьп \
п	У
(П — l)ui .	л о
	—, г = 1, 2, . . . , щ следовательно,
/^Т)
откуда
(п_к)/к— \Ai • • • ап ^ Vai - 1 + . . . + Van - I-
УПРАЖНЕНИЯ
Докажите неравенства 5.1-5.5, 5.8-5.12.
5.1.	4 ^ а2 + Ь2 + аб + ^4 - а2 ^9 - б2 ^19, где 0 ^ а ^ 2 и
О ^ 6 ^ 3.
5.2.	п д/гтг — 1 + т л/п — 1 $J mn, где гтг, n ^ 1.
5.3.	у/т2 — п2 + у/2тп — п2 ^ гтг, где m > п > 0.
5.4.	ж > а/ж — 1 + Jх ( а/ж — 1), где ж ^ 1.
5.5. l + ^L + ... + _L^n|/ , 1
V2	а/п	V ™ +1
, где п G N.
5.6. Докаж;ите, что среди любых семи чисел можно найти два чис-
х-у 1
л а ж, у, для которых справедливо неравенство 0
5.7. Докажите неравенство из упр. 4.3.
\а-Ь\	\а-с\	\Ь-с
ху
5.8.
!\ + о? у/1 + б2
+ а2 л/1 + с2 \Л +
.+ с2
5.9. а)
-ч а\Ь
б) Т~Г
^ V al • • • ап
(ai + ... + an)
. . . Ъп-
ai,6i > 0, г = 1,2, . . . ,п.
5 Н.М. Седракян, A.M. Авоян
. . .+ ап)
: 5 ГДе

66
§ 5. Метод замены переменных
5.10.
+ ж2) B/1 +2/2) -
L, Ж2 > О И Ж12/1 — z\ > О,
0.
5.11. a) yja — 1 + д/6 — 1 + у/с — 1 $J —j=yfabc, где a,b,c ^ 1;
V3
б) л/а- 1+ д/Ь- 1+ а/с- 1+ л/d3"
abed, где а, 6, с,
5.12.
а{ + ... + а*	. /ai + ... + an\/e	NT
		^ 	 , где к G N и аь...
га	V	га	/
. . . , а„ >0.
5.13.	На интервале [a, a + 4] задана дифференцируемая функция
/ (ж). Докажите, что существует точка жо (жо G [a, a + 4]) такая, что
/'(ж0) < 1 + /2(ж0).
5.14.	Пусть функция /(ж) определена на отрезке [а, 6], / (ж) > О,
ж G (а, 6) и / (а) = / F) = 0, / (ж) + /" (ж) > 0 для всех ж G [а, 6].
Докажите, что b — а > тг.
5.15.	Докажите, что если а ^ -, 6 ^ -, то
a2 -
a2 + b2 а + Ъ
2 У	V 2
5.16.	Докажите неравенство
где х\ + ж^ + . . . + х\ = 0 и ж; G [-1,1], i = 1, 2, . . . , п.
5.17.	Докажите неравенство
ж I У |
9 I	О I
1 + х2 1 + у2
4 '
где х1 + 2Г + ^ = 1.
РЕШЕНИЯ
5.1. Пусть a = 2cosa, 6 = 3cos/3, где a,/3 G 0, — . Тогда
аЪ
- а2
= 4 cos 2а + 9 cos 2/3 + 6 cos a cos /3 + 6 sin a sin /3 =

Решения	67
= 4cos 2а + 9 cos 2/3 + 6 cos (a - /3) ^ 4 + 9 + 6 = 19.
С другой стороны,
6 sin a sin /3^6 sin 2a или 6 sin a sin /3^6 sin 2f3.
Если 6 sin a sin /3 ^ 6 sin 2a, то
4 cos 2a + 9 cos 2/3 + 6 cos a cos /3 + 6 sin a sin /3 ^
^ 4 cos 2a + 6 sin 2a + 9 cos 2/3 + 6 cos a cos /3^4,
если же 6 sin a sin/3 ^ 6sin2/3, то
4 cos 2a + 9 cos 2/3 + 6 cos a cos /3 + 6 sin a sin /3^6,
следовательно, в обоих случаях а2 + Ь2 + аб + а/4 — а2 а/9 — b2 ^ 4.
5.2. Пусть т = 	2~> п = 	2~> а,/3 G 0, — ); в этом случае
cos a	cos /3	Li/
1 sin a	1 sin/3
n \Jm—1 + ?n л/п—1 cos2/3cosa cos2acos/3 sin 2a+sin 2/3 1
cos2a cos2/
следовательно, гг
5.3. Пусть —=sina, где a G @, — ). Тогда
771	V 2 /
— n2 + \Jimn — n2 _ m cos a + m a/2 sin a — sm2a _
= cos a + \/2sin a — sin2a = cos a + у sin a + sin a A — sin a) ^
^ cos a + a/sin a ^ cos 2a + sin 2a = 1,
следовательно, ^Jm2 — n2 + ^J2mn — n
— n2
5.4. Пусть х = 	2—i	гДе а ^ 0' ~~ )• Тогда данное неравенство
cos a	L 2 /
приведется к виду
1	,	1 /1 — cos a
cos2 a
или
1 > sin a cos a + л/cos a A — cos a).	E-1)
Согласно неравенству C.2)
у cos a A — cos a) ^ -, sin a cos a ^ -,
где равенства не выполняются одновременно. Теперь, складывая эти
неравенства, получим неравенство E.1).

68
§ 5. Метод замены переменных
5.5. Сначала докажем, что
у/к Jn + l-k V п + 1
где к = 1,2,. . . ,n.	^
Пусть /с = (п + 1) sin2a, где 0 < а < —. Тогда
Поскольку
то 1 +
5.6. Пусть ж* = tgafc, где --<«/,<-, /с = 1, 2, . . . , 7. Разде-
Разделим интервал — ^, ^ на шесть равных частей. Согласно принципу
Дирихле из ак хотя бы два принадлежат одному отрезку, следова-
следовательно, 0 ^ OL{ — Oij $J —; учитывая последнее, получим
0 ^ \\^-т- = tg (щ ~ а^ ^ tg f = ~ft'
5.7. Вводя обозначения а =
cos2a'
' = 	2^> гДе
cos в
нетрудно после нескольких эквивалентных преобразований получить
очевидное неравенство sin (а + C) ^ 1.
5.8. Вводя обозначения a = tga, 6 = tg/3, c = tg7, неравенство
приведем к виду
|sin (а - /3)\ ^ |sin (а - 7)! + |sin (/3 - 7)! •
Доказать последнее можно следующим способом:
|sin (а — /3)| = |sin (а — 7) cos G — /3) + sin G — /3) cos (a — 7)! ^
^ |sin (а — 7) cos G — /3)\ + |sin G — /3) cos (а — 7)! ^
^ |sin (а - 7)| + |sin G - C)\ .

Решения	69
5.9. а) Пусть \ ~г- — tgc^ (* = 1,2, ...,п). После некоторых
у Oi
преобразований получим
\/sin2ai . . . sin2an + r\/cos2a1 . . .cos2an
Используя неравенство из упр. 2.1, найдем
sin2- '	' ~~2'
n /—.—^	:—^	 n/	^	«	 sin ai -|- . . . -|- sin u.n
у sin ^ai ... sin ^an + у cos ^ai ... cos ^an ^	h
77/
2	2	n
COS «i + . . . + COS an	1 V-^v / . 2	,	2 \ -i
H	= — > (sin ai + cos as) = 1.
б) Пусть a -^ = tg ai (i = 1, 2, . . . , n). В этом случае имеем
bi tg ai	6n tg an ^
6itg2ai + 6i	6ntg2an + bn ^
Fi tg ai + ... + 6ntg ата) Fi + . . . + bn)
Fi tg ai + . . . + 6n tg an) + Fi + . . . + 6та)
что эквивалентно следующему неравенству:
^=1 соь исг
или
? dtb () )
л/г	l l (sin2aj sin2aj\
Множитель o^Oj I 	2	1	2— ) в левой части этого неравенства
\ COS OLj	COS OLj )
не больше множителя Ъ{ bj (tg 2 a^ + tg 2 c^j) в правой части неравенства,
т. е.
sin2a^ sin2^-	2 , , 2
cos а^ cos a»
это справедливо, поскольку
SJ^) (sin>-sin>>2 > 0.
COS Qj • COS OLj
5.10. Пусть zi = \Jx\y\ sin a, Z2 = д/ж22/2 sin/3. Тогда данное
неравенство приводится к виду

70	§ 5. Метод замены переменных
А =5^55
3	а -\- x2yicos f3 + В
^	2
где Б = ( \Jх\уч sin a — у/у\У2 sin/ЗJ. Заметим, что
2	27Г^	2	2^>
a + a?22/2cos p + #i?/2cos а + Ж22/1 cos р
с другой стороны,
cos 2а + Ж22/2 cos 2/3 + Ж1У2 cos 2а + Х2У1 cos 2/3) х
E-2)
Х2У2
1 \ = 2 + ^i2/i CQS2^ + ^2j/2cos2/3\
cos2 f3 J	\х2у2 cos2 f3 x1y\cos2a)
. (У2 2/1 \ {x2cos2f3 X!cos2a\
+ 1	1	I + I 	о	1	2~7T ) ^
\yi 2/2/ y^icos а ж2 cos p)
следовательно, получим неравенство
2	2
a + Х2У2 cos
- E.3)
DS а	Ж22/2 COS
Из E.2) и E.3) следует данное неравенство.
5.11. Пусть а = 	2—, b = 	2—, с = 	%—, d = 	%—, где а,
cos а	cos /3	cos 7	cos ^
а) Заданное неравенство принимает следующий вид:
	2
уЗ cos a cos /3 cos 7
или
2
cos a cos /3 cos 7 (tg а + tg /3 + tg 7) ^ —-^=.
v3
Так как
cos a cos /3 cos 7 (tg a + tg /3 + tg 7) =
= sin (a + /3) cos 7 + cos a cos /3 cos 7 = B,
то, воспользовавшись неравенством D.1), получим
В ^ a/ (sin 2 (а + /3) + cos 2a cos 2/3) (cos 27 + sin 2j) =
= a/sin2 (a + /3) + cos2acos2/3.

Решения	71
Теперь докажем, что sin2 (а + /3) + cos2acos2/3 ^ -• Действительно,
о
sin2(a + /3) + (- (cos (a -/3) + cos (a +/3))) = sin2(a + /3) +
+ i cos 2 (а - /3) + i cos (a - /3) cos (a + /3) + i cos 2 (a + /3) ^
j + i|
б) Данное неравенство примет вид
о /(у
М = cos a cos /3 cos 7 cos у? (tg a + tg /3 + tg 7 + tg <p) ^	.
Нетрудно показать, что
M = sin (a + /3) cos 7 cos <p + sin G + (p) cos a cos /3.
Согласно неравенству C.2)
, , . ,	/	/-,\ / \^wo j i \^wo V^ \	.	/	\ / v^'-'o 1_д! ~T~ COS LJ \
M ^ sin (a + p)	 + sin G + (p)[
V	^	/	V	?	/
Так как
cos x + cos у	x + у x — у . x -\- у
	y- = cos ^^ cos —^- ^ cos -^,
где x,y e |0, ^1, то
M ^ sin (a + /3) cos 2 —	\- sin G + (p) cos 2 —-— =
o a + /3 7 + <^/. a + /3 7 + ^ , • 7 + <? « + /3\
= 2 cos —-— cos —-— (sin —-— cos —	h sin —-— cos —-— 1 =
o a + /3 7 + <? . ol + p + 7 + <? . o 2 a + /3 + 7 + <?
= 2 cos ——^ cos -L^1 sin	^-——-—- ^ 2 cos A	^-—L—- x
. a + /3 + 7 + y?	3a + /3 + 7 + (^ . a + /3 + 7
x sin	^-——-—- = 4 cos ^	^——-—- sin	^-——-
2	4	4
Так как cos3tsint < Ц^1 (см. упр. 3.28), то М <: ^р.
5.12. Пусть 	L^J	 = а, сц = a + xi (i = 1, . . . , n). Тогда из
условия a + Xi > 0 получим, что — > — 1, следовательно, согласно

72	§ 5. Метод замены переменных
неравенству Бернулли
к
^1 + А^	(г 1
откуда
(a + Xi)k ^ ак + kak~1xi.
Складывая полученные неравенства, получим
(а + хг)к + (а + ж^ + . . . + (а + жп)^ ^
^ па*5 + /са^ (#! + ...+ жп) = па*5,
поскольку ^1 + . . . + хп = ai + . . . + ап — па = 0.
m ^ «1 + • .. + а* . fai + ... + an\fc
Таким образом, —	 ^ 	 .
5.13. Докажем от противного. Предположим, что для любого х Е
G[a,a + 4] f (х) ^ 1 + /2 (х).
Пусть arctg/ (ж) = g(x), откуда —— < g (х) < —. Получим
откуда g' (х) ^ 1. А это означает, что функция g (х) — х не убывает.
Следовательно, g (Ь) — b ^ g (a) — а, или
gF)-g(o)>6-o,	E.4)
где 6 = а + 4.
Так как g(b), g(a) Е (-f> f )> т0
gF)-g(a)<7r.	E.5)
Из неравенств E.4) и E.5) и условия b — а = 4 следует тг > 4, что
неправильно. Следовательно, существует хо такое, что хо Е [a, a + 4]
и '	2
5.14. Без ограничения общности можно предположить, что а = 0
(в противном случае рассмотрим функцию / (х — а); в этом случае
необходимо доказать, что b > тг. Пусть 6 ^ тг. Рассмотрим функцию
F (ж) = — — / (ж) cos —х + /' (ж) sin —х
на отрезке [0,6]. Заметим, что ^@) = F (Ь) = 0, следовательно,
согласно теореме Ролли существует с Е @,6) такое, что F' (с) = 0.

Решения	73
Однако
F' (с) = ^/ (с) sin \с + /" (с) sin \с = sin \с (j?/ (с) + /" (с))
Получили, что F' (с) > 0, что противоречит равенству F' (с) = 0.
Следовательно, наше предположение неверно и, таким образом, b > тг.
5.15. Без ограничения общности можно предположить, что а ^ Ь.
гсть а = 6 tg (
принимает вид
Пусть а = 6tga, где — ^ а < —. В этом случае данное неравенство
,2 cos22a	1	sin a + cos a
b 	г— ^ о —-j=	b	,
4 cos a	a/2 cos a	2 cos a
или
bcos22a ^ 2cos3a( \/2 — sin a — cos a).
Для доказательства последнего достаточно показать, что для а из
области -,- имеет место неравенство
-1
- cos 22a ^ 2 cos 3a( v^ - sin a -
которое эквивалентно неравенству
2 cos2
или
L -sin2
Последнее справедливо, так как разность его правой и левой частей
2A- sin (a + т) ) (sin2 (a + т I +sin3 (а + ^ ] - A/2cos3a ] ^ О,
V	V 4// V V 4/	V 4/	/
так как
sin2 (a+f) >
/2СО83« (f ^ ^ < f) '
5.16. Пусть a^=sina^. Имеем
1
следовательно, у Х{ = ^ sinо.\ = -у jsin;

74	§ 5. Метод замены переменных
5.17. Без ограничения общности можем считать, что x,y,z ^ 0.
Действительно, достаточно заметить, что
	5	I	У.	|	?	<	!?	|	Ш	|_
Пусть a: = tga, у = tg/3, z = tg7, где с^,/3,7^ |0>Тг Имеем
2 2 2
жу + yz + жг ^ ж + у + z
(упр. 4.13), следовательно,
tg a tg /3 + tg /3 tg 7 + tg 7 tg a ^ 1,
откуда
tga + tg/3
& 'l-tgatg/3 ^ '
ИЛИ
поэтому a + p ^ — — 7, т. e. a + p + 7^—.
Заметим, что
ж	V	г	1 /	^	ч
	2 H	^-^ Н	2 = о (Sin 2(Х + Sin ^Р "+" Sin ^7) ^
1 + ж 1 + 2/ 1 + 2 ^
. 1 о. 2а + 2/3 + 27^3. тг Зл/З
^2-38Ш	3	 ^28Ш3= —
(см. упр. 11.1).
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Докажите неравенства 2—13.
1. Дано, что а2 + Ъ2 = 1. Докажите следующие неравенства:
а) \а + b\ ^ V^; б) \а - Ь\ ^ V^;
2. \ху - у/ A - х2) A - у2)| ^ 1, где |ж| ^ 1, |у| ^ 1.
3. ^Г^^+ yr^F^2yi- (^у1) , где
4
. f ж Н— j arcctg ж > 1, где ж > 0.

Задачи для самостоятельного решения
75
5.
cos a + cos /
6. ^+^+...+: a-
— ап ^ п —
+ • • • + an)
——	г, где 0 ^ аь . . .
&i + . . . + anj
... , an
7.	-
= a6c.
8.	:
9.	-
3
' где а
ж -у\
ж — у\ 1 + а\у — z\ ^ 1 + а\х — z
, где а > 0.
+
(	У
где x,y,z > 0.
10. л/ai + а2
ап ^ л/Т( л/а7 -
2
а^ - \/an+i),
где
11.
1
. . . ) an ^ an+i = 0.
1
1	1
11
+
п> где
1 + ai I +
i, а2, • . • , ап > 0.
12. а + b + с - 2 л/абс ^ аб + be + са - 2а6с, где 0 ^ а, 6, с ^ 1.
13.	л/а A - Ь) A - с) + л> A - а) A - с) + л/с A - а) A - b) ^
^ 1 + y/abc,
где 0 $J а, 6, с ^ 1.
14.	Найдите все возможные значения выражения ж2у + y2z + z2x
при условии, что х + у + z = 0 и ж2 + 2/2 + г2 = 6.
15.	Последовательность (hn) задана следующим образом:
hl
hi = \, hn+1 =
Докажите, что /ii + /г2 + • • • + hn ^ 1,03.
16. Докажите, что
((х + у)(у + z){x + z)J ^ жугBж + у +
где ж, у, z ^ 0.

76	§ 5. Метод замены переменных
Указание. Если х2 + у2 + z2 ф 0, то можно считать, что х +
+ y + z = lm Пусть х = tgatg/З, у = tg/3tg7, z = tgatg7, где
а + C + 7 = — • Тогда нужно доказать, что
(A - х)A - у)A - z)J > xyz(l + х){1
17. Докажите, что
(ап — an_iJ	/	(ап — an_iJ
+ 4(n-2) +---+y°n-a+ 4(n-2) +
+ у an_i + у ап ^ у га,
где га ^ 3, ах, . . . , ап ^ 0 и ai + а2 + . . . + ап = 1.
Указание, yj'ап-\ = х + t, \/a^ = ж — ^; в этом случае х ^
^ —-р, и левая часть неравенства не больше у/(п — 2)A — 2х2) + 2х.
V2
18. Докажите, что max(ai, . . . , ап) ^ 2, где га > 3, а\ + . . .
. . . + ап ^ га, а^ + . . . + а2п ^ га2.
Указание. Пусть сц = 2 — 6^ и 6^ > 0, г = 1, . . . , га. Тогда
6i + . . . + bn ^ га, Ъ2 + . . . + Ъ2п - 4Fi + . . . + Ьп) > га(га - 4),
следовательно,
где 6 = maxFi, . . . ,6П).
19. Докажите, что ^-Ц—^-j— < 7» где 0 < а < 1, 0 < 6 < 1.
A — аб)	4
Указание. Пусть а = sin2 a, b = sin2 /3, а, /3 G ( 0, — J.

§ 6. МЕТОД ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СВОЙСТВ
СИММЕТРИИ И ОДНОРОДНОСТИ
При доказательстве некоторых неравенств целесообразно использо-
использование свойств симметрии и однородности выражений.
Пример 6.1. Доказать неравенство
х (х - zf + у (у - zf ^(x-z)(y-z)(x + y-z), F.1)
где х ^ 0, 2/^0, z ^ 0.
Доказательство. Преобразовав неравенство F.1) к виду
х3 + у3 + z3 — х2у — х1 z — у2х — у1 z — z2x — z2y + 3xyz ^ 0,
получим для переменных ж, у, z симметричное неравенство. Следова-
Следовательно, можем считать, что х ^ z ^ у; в этом случае
х (х - zf + у (у - zf ^ 0 ^ (х - z) (у - z) (х + у - z) ,
откуда
х (х - zf + у (у - zf ^ (х - z)(y - z)(x + y - z) .
Пример 6.2. Доказать неравенство
a2b2c2 + . . . + anbncn) ^
где а{ > 0, 6^ > 0, с{ > 0 (г = 1, 2, . . . , гг).
Доказательство. Заметим, что если переменные а\, а2, • • •
... , ап заменить на переменные Aai, \а2, . . . , Aan, где А — любое
положительное число, то получим эквивалентное неравенство. Поэто-
Поэтому А можем выбрать так, что (Aai) + . . . + (Aan) = 1.
Из сказанного следует, что без потери общности можем считать, что
а\ + . . . + а3 = Ъ\ + . . . + Ъ3п = с\ + . . . + с3 = 1,
следовательно, остается доказать, что a\b\Ci + . . . + anbncn $J 1.
Действительно, имеем
a% + b+C	. л о
, г = 1, 2,.. . , п
aibiCi ^	,
(упр. 2.1). Складывая полученные неравенства, приходим к неравенст-
неравенству aiftici + . . . + anbncn ^ 1.

78 § 6. Метод использования свойств симметрии и однородности
Пример 6.3. Доказать неравенство
> 2, где а > 0, b > 0, с > 0.
Доказательство. Без потери общности можем считать, что
а + b + с = 1. Заметим, что
место, когда а = -. Следовательно,
2а, причем равенство имеет
> 2а+ 26 +2с = 2.
УПРАЖНЕНИЯ
Докажите следующие неравенства.
6.1.	abc ^ (а + b — с) (Ь + с — а) (а + с — 6), где а > 0, 6 > 0, с >
6.2.	(ai&i + . . . + an6nJ ^ (а2 + . . . + а2) (б2 + . . . + б2).
6.3.	(а + bf (а2 + б2J . . . (an + 6nJ ^ (an+1 + 6n+1)n, где а > О,
b > 0.
6.4.	(а^ + а^ + .-. + а^ ^ (af + . . . + а^)а, где 0 < C < а,
ai, . . . , ап > 0.
6.5.
6.6.
+ -4- + -4т ^ |, где а > 0, 6 > 0, О 0.
с с + а а + Ь
> 2, где
а > 0, b > О, О 0, а7 > 0.
з/ abc + аЫ + i
ab + ac + ad + 6c
cd
^, где
a > 0, b > 0, с > 0, a7 > 0.
6.8.	2 Л/аУ+~6сТ~ас ^ д/3 ^/F + с) (с + a) (a + 6), где a > 0, 6 >
> 0, с > 0.
6.9.	8 (ж3 + у3 + z3J ^ 9 (ж2 + 2/г) (у2 + жг) (z2 + жу), где ж > 0,
у > 0, z > 0.
6.10.	а) 4а3 + 463 + 4с3 + 15а6с ^ 1;

Решения	79
б) а3 + Ь3 + с3 + абсб/ ^ min ( -; - + — ), где а, 6, с ^ 0 и а +
1
I /aj + ... + а^Л _ 14
п V	гс	V гс/
nj
гс/ v
п
где ai > О (г = 1, 2, . . . , га), га ^ 2.
6.12.	а4 + б4 + с4 + d4 + 2abcd > a2b2 + а2с2 + a2d2 + б2с2 + b2d2 +
+ c2(i2, где а, 6, с, б/ ^ О.
3	3
6.13.	g + ... + g ^ 1, где aubi > О (г = 1,...,п), и
РЕШЕНИЯ
6.1.	Без ограничения общности можем считать, что а ^ b ^ с.
Остается заметить, что данное неравенство эквивалентно неравенству
(Ь- сJ (Ь + с- а) ^ а(а- Ь) (с - а) .
Последнее получается следующим образом:
(Ь - сJ (Ь + с - а) ^ 0 ^ а (а - Ь) (с - а) .
6.2.	Если а2 + . . . + а2 ф 0 и b\ + . . . + Ь2п ф 0, то без ограничения
общности, можем считать, что а2 + . . . + а2 = 1, Ь2 + . . . + б2 = 1.
а2 + б2	а2 + б2
Имеем	г——- $J dibi $J —L——- (г = 1, 2, . . . , га). Складывая эти
неравенства, получим —1 ^ a\bi + . . . + anbn $J 1, откуда
(aibi + . . . + anbnf ^ 1 = (a2 + . . . + a2) (b2 + . . . + b2n) .
Если a2 + . . . + a2 = 0 или 62 + . . . + b2n = 0, то доказательство
очевидно.
6.3.	Без ограничения общности можно считать, что an+1 + 6n+1 =
= 1. Следовательно, 0 < a < 1, 0 < 6 < 1 и a1 + bl ^ an+1 + 6n+1 = 1
(г = 1, . . . , га). Из последнего получим
(а + ЬJ (а2 + b2f . . . (ап + bnf ^ 1 = (an+1 + bn+1f .
6.4.	Без ограничения общности можем считать, что а\ +. . . + а^ =
= 1, откуда 0 < di ^ 1 (г = 1, . . . , га). Из условия а > /3 получаем
af^a? (г = 1, . . . , га), следовательно,
откуда

80 § 6. Метод использования свойств симметрии и однородности
6.5. Без ограничения общности, можем считать, что а + 6 + с = 1.
^ ; следовательно,
Заметим, что если 0 < х < 1, то
а	6
_1	=
6 + с'с + а а + 6 1 — а
+
1-х 4
6	с ^
1-е
ч 9а-1 , 96-1 , 9с-1 3
6.6. Без ограничения общности можем считать, что а-\-b-\- с-\- d =
= 1. Имеем
а + с
d
а + 6 + d
с	Гd
6.7. Без ограничения общности мож:ем считать, что d = 1. Исполь-
Используя неравенства из упр. 2.1 и 2.2, имеем
3 abc + аб + 6с + ас
\
be + ас
ab + 6с + ас
ab + 6с + ас + а + 6 + с . / аб + 6с + ас + л/3 (аб + 6с + ас) „
	е	^ V	в	=s-
Докажем, что В ^ А.
Пусть ab + be + ас = 3?2. В таком случае нетрудно убедиться, что
неравенство В ^ А эквивалентно неравенству (t — 1) (? + 2) ^ 0.
6.8. Без ограничения общности, можем считать, что
аб + бс + ас = 1.	F-2)
о
Необходимо доказать неравенство (б -\- с) (а -\- б) (а + с)
Пусть а = tga, б = tg/З, с = tg7, где се,/3,7 <
условия F.1) получим а + /3 + 7 = ^? следовательно,
1
3V3
>,-?)¦ Из
F + с) (а + 6) (а + с) =
cos а cos /3 cos 7 '
Остается доказать, что cos a cos j3 cos 7 ^	, если а + /3 + 7 = — •
8	2

Решения	81
Действительно, оценим произведение cos a cos f3 cos 7-
cos a cos f3 cos 7 =
= - (cos (a + /3) + cos (a — /3)) cos 7 ^ - A + sin 7) cos 7 =
= \ \JA + sin7K A - sin7) = ^j= \JA + sin7K C - 3sin7)
4/!	4	J -§-
6.9. Без ограничения общности можем считать, что
х3 + у3 + z3 = 1.	F.3)
В этом случае имеем
А = (ж2 + 2/z) (у2 + жя) (z2 + ху) = 2	2	33 33 33
Так как х3 + у3 + z3 = 1, то
1	зз зз
^- и ж32/3 + y3z3
и ж2/ + yz + z^ ^	з'
л / 2 1 1 8
следовательно, Л^- + - + - = -
У о о У
6.10. а) Докаж:ите, что после раскрытия скобок в правой части
неравенства 4а3 + 463 + 4с3 + 15abc ^ (a + b + с) получим экви-
эквивалентное неравенство
а3 + Ь3 + с3 + Забс ^ а26 + а2с + Ь2а + 62с + с2а + с26,
которое уже было доказано (см. пример 6.1).
б) Если d ^ —, то в этом случае
а3 + Ъ3 + с3 + abed ^ а3 + Ъ3 + с3 + ^-abc =
4
= i Dа3 + 463 + 4с3 + Ibabc) ^ i.
Если d < —, опять согласно 6.10, а) и неравенству
27
имеем
27 (a3 + б3 + с3) - 3 ^ Щ A - 27а6с),
откуда
27 (а3 + Ъ3 + с3) - 3 ^ d A - 27а6с) ,
б Н.М. Седракян, A.M. Авоян

82 § 6. Метод использования свойств симметрии и однородности
или
6.11. Без ограничения общности можем считать, что a\a<i • . • ап
= 1. Необходимо доказать, что
2а1ап + . . . + 2an-ian ^ (п — 1) ,
или
-^= \/а2 + . . . + а2п - 1 )
\/п v	У
+ 2aian + . . . + 2an_ian ^ n (n - 1) .
Доказательство последнего получается с использованием неравенства
из упр. 4.1:
-2
6.12. Без ограничения общности можем считать, что а ^ b ^ с
d ^ 0. Имеем
= (а-Ь) (а{а2 - d2) - b{c - dJ) + a(a
+ 2cd(c-dJ.
Так как а - b ^ 0, а(а2 - d2) ^ Ь(а - dJ ^ Ь(с - dJ и ab ^ с2, то,
следовательно, А ^ 0.
6.13. Пусть ^/б^ = Q, г = 1, . . . , п. Тогда
3	3
и нужно доказать, что -4- + . . . Н—?¦ ^ 1.
Без ограничения общности можем считать, что а2 + . . . + а2 = 1,
тогда С]1 + . . . + cQn = 1.
Согласно неравенству (8.4) (см. § 8) имеем
3	3	4	4
^1 _U	i ^ZL — al I	I a
3 I • • • I	Q 		Q I • • • I
Q 		Q I • • • I	Q
cn a\cx	ancn

Задачи для самостоятельного решения
83
так как согласно неравенству D.2) (см. § 4)
1 = [а\ + ... + а2п)D + ... + с6п)^ (в1с? + ... + anclf ;
а3	а3
следовательно, а\с\ + . . . + ап(?п ^ 1, а значит, -^- + . . . + -^- ^ 1.
О\	О
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Докажите следующие неравенства.
1.	(a-bf ^ (а-с)(с-Ъ).
ч In z — In у In z — In x In v — In x	_
2.	a)	 < 	 < —	, где 0 < x < у < z\
' z — у	z — x	у — x
6) abbccdda ^ bacbdcad, где 0 < a ^ b ^ с ^ d.
3.
Xi + Хз + . . . + Xn	X\ + Хз + X4 + . . . + Xn
Xn-i ^ П —
где n ^ 2,жьж2,. . . ,xn > 0.
4.	a3 + 63 + c3 + 6a6c ^ i (a + b + сK, где a,b,c^ 0.
5.	a2 Bb + 2c - a) + b2 Ba + 2c - b) + c2 Ba + 2b - с) ^ 9a6c, где
a,b,c — длины сторон некоторого треугольника.
6. а) л/
. . . а
...bn
где ai,bi > 0, г = 1,2,. . . , п;
б)	^/(п + 1)! - ^/п! ^ 1, где п ^ 2, п е N;
в)	V^Wi > ! + ^^^ где О 2, n G N, Fi = 1, F2 = 2,
, где n = 2,3,...;
д) A + ai)B + a2) . . . (n + an) ^ nn/2, где n ^ 2, ab . . . , an > 0,
. . .an = 1.
^n+2 = Fn+1 + Fn, n = l,2,...;
1
7.

84 § 6. Метод использования свойств симметрии и однородности
8. х2(х - IJ + у2(у - IJ + z2(z - IJ + 2xyz(x + у + z - 2) ^ 0.
Указание. Докажите, что
х2{х - IJ + у2{у - IJ + z2{z - IJ + 2xyz(x + у + z - 2) =
= ж2(ж - IJ + B/B/ - 1) - z(z - I)J + 2xyz(x + у- 1)(х + z - 1).
9.	(ж12)Aз)A4)
х(ж2 - ж5) + • • • + (х5 - х1)(хБ - х2){хБ - х3)(хБ - х4) ^ 0.
10.	0 ^ ab+bc+ac — abc ^ 2, где а, 6, с ^ 0 и a2 + b2 + c2 + abc = 4.
Указание. Заметим, что min(a, 6, с) ^ 1, и без ограничения
общности можно считать, что (а — 1)F — 1) ^ 0.

§ 7. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ
В данном параграфе будут рассмотрены неравенства, при доказа-
доказательстве которых удобно пользоваться методом математической ин-
индукции, в основе которого лежит следующий принцип.
Данное утверждение справедливо для всех натуральных значе-
значений п, которые не меньше р, если:
а)	оно справедливо в случае п = р\
б)	из справедливости данного утверждения для произвольного п =
= к (к ^ р) следует его справедливость для п = к + 1.
Пример 7.1. Доказать неравенство
где
п
>
1,
п
е
1
2п + 1
N.
1
2п + 2
1
2п + ч
>
11
30'
Доказательство. В случае п = 2 имеем — ^ —.
Предположим, что данное неравенство справедливо при п = /г, т. е.
Покаж:ем, что данное неравенство справедливо также в случае п =
= Л + 1.
При гг = /и + 1 неравенство принимает следующий вид:
1	1	1	11
2(/с + 1) + 1 2 (^ + 1) + 2 '" 2 (А; Ч-1) Ч- (А; Ч-1) ^ 30
Прибавляя к обеим сторонам G.1) выражение
11111
QjU _|_ 1 QU _|_ 9 Ч& -I- Ч 9^> -I- 1 9?> -I- 9 '
получим
1	1	11	1	1.1	1
2A: + 3 ' ¦" ' 3fc + 3 ^ 30 ' 3A: + 1 3A: + 2 ' 3fc + 3 2k + 1 2k + 2'
2/с + З ' " 3A; + 3 ^ 30'
Таким образом, оба условия метода математической индукции
удовлетворены. Следовательно, данное неравенство справедливо для
натуральных значений п (п > 1).

86	§ 7. Применение метода математической индукции
Пример 7.2. Доказать неравенство
Дг + Дг + ... + Л<1,	G-2)
Z	О	ТЪ
где п = 2, 3, . . .
Доказательство. Если это неравенство попытаться доказать
аналогично примеру 7.1, то это нам не удастся. Как при доказательст-
доказательстве этого неравенств, так и при доказательстве некоторых других нера-
неравенств метод математической индукции целесообразно применить к
другому неравенству (строгому или расширенному), из которого сле-
следует справедливость данного неравенства.
Для доказательства данного неравенства докажем неравенство
? + ... + ?<!-!,	G.3)
из которого следует справедливость G.2).	.
При п = 2 получим следующее правильное неравенство: —^ < 1 —
_ 1	2
~ 2'
Предположим, что неравенство G.3) справедливо при п = к (к ^
^2), и покажем, что оно справедливо в случае п = к + 1. При п = к
имеем неравенство
Прибавив к обеим частям этого неравенства 	^ получим нера-
(к + 1)
венство
1	1111
7 +'"'+1? + (ifeTif < к + (лТТ)*"
Так как 1 — — -\	~ < 1 —	, то имеет место неравенство
последнее совпадает с рассматриваемым неравенством в случае п =
= к + 1, следовательно, данное неравенство справедливо для всех
натуральных значений п, которые не меньше 2.
Часто встречаются неравенства, при доказательстве которых метод
математической индукции применяется в несколько ином виде:
а)	доказывается справедливость данного неравенства для нату-
натуральных значений п, равных ni, П2, . . . , п&, . . ., где п\ < п^ < . . .
. . . < пк < . . .;
б)	из справедливости данного неравенства при произвольном п = к
(к ^ 2) следует, что оно справедливо при п = к — 1.

§ 7. Применение метода математической индукции	87
Пример 7.3. Доказать неравенство
Х\ • • .Хп	A - Хг) ... A - Хп)
(Х1 + . . . + хп)п ^ (A - Х1) + . . . + A - хп))п '
где 0 < Xi ^ - (г = 1, . . . , тг).
Доказательство. Сначала докажем неравенство для значе-
значений п, равных 2,4, 8,16, . . . , 2fc, . . .
При п = 2 имеем справедливое неравенство
(ж1+ж2J ^ (A-ж1) + A-ж2)J
(упр. 1.20).
Предположим, что в случае п = 2к данное неравенство справед-
справедливо. Докажем его справедливость при п = 2/с+1. Имеем
(Ж1+...+ЖР+
(xi + ... +
(x-i
A - Жр+l)
" (A - Жр+l) + .
- (A - x,
( (
x [
(Yl
X p-
X
+
{
1
4
Xl
)P (жр+i +
. . . + ж2р
A - Ж2р)
+ A - x2i
(
h • • • + A
Ж1 + . . .
P
Ж1 + . . . +
p
Х2Ъ
• X p
+ :
o))P
!_
— x
+ Ж
Жр
+ x
/
!
\!
p))p
л
)
),
Жр+1..
(Жр+l + . .
2p)P ^
" (A
Ж1 + . . . -
К
(A
V
Л
I
P
-f ... +j
- Жр+i)
Жр+i -b
Жр+1 -
.Ж2р
A — xi) . . .
— #l) + . . .
f Жр Жр+l +
P ^p+1 ~T
)
... + Ж2рА
)
Ь... + Ж2рА
)
A — Хг) •
A-
+ A
P
Xp)
\ 2
- • • • + Ж2р \
P
\
V
..a
)
V
-X2p)
V
/
где р = 2k. Таким образом, получили неравенство
xi . . . ж2р	<	A - хг) ... A - ж2р)
(X! + . . . + ж2рJр ^ (A - хг) + . . . + A - ж2р)Jр '
следовательно, в случае п = 2* данное неравенство доказано. Теперь
докажем, что если данное неравенство справедливо для т, то оно
выполняется также в случае т — 1, где m ^ 2. Имеем
Ж1...Жт	A - Хг) • • • A - Хт)
(хг + . . . + zm)m ^ (A - хг) + . . . + A - хт))т '

88	§ 7. Применение метода математической индукции
Хг + . . . + Хт-1	1
Принимая хш =	, где согласно упр. 1.10 хт ^ — ?
т — 1	2
получим
Жх ~\~ • • • ~т~ Хт — 1
т-1	^
ал + ...
ал + • • • + жт_1 Н
A - Ж1) ... A - Жт_1) 1
	^	т — 1	?
(A - Х1) + • • • + A - хт-г)
откуда и следует
Х\ . . . Хт — Х	yl. X\j ... (^1 Хт — i
(ЯЛ + . . . + ^-iO"-1 ^ (A - ЯЛ) + . . . + A - Xm-i))™-1 '
УПРАЖНЕНИЯ
Докажите неравенства 7.1-7.4, 7.6, 7.7, 7.10, 7.11, 7.13-7.20.
7.1. -.-..... —	 ^	где п е N.
2 4	2п	узп +1
7.2. a) Jа + ^а + . . . + у^а <: 1+ ^4а + Х , где а ^ 0;
уЗ ^4 . . .
б) У2узу4... у/п < 3, где п ^ 2, n e N.
• О. «iy 1 \^ tJJbn \^ • • • \^ IZj/fc	-LI «iy,~ ^ 1*^1 П^ • • • \^ «A/ 77, у ^ 1 Дс
7.4.	a) |sin (жх + • • • + хп)\ ^ |sina?i| + . . . + |sina?n|;
б) sin (xi + . . . + хп) ^ sinxi + . . . +sin жп, где жх, . . . , хп G [0, тг].
7.5.	Доказать, что:
а) если функция f(x) определена в области [0, а) (или [0, +оо))
и для произвольных х ^ у ^ z из этой области, / (ж) — / (у) +
+ / (z) ^ / (ж — у + z) и / @) ^ 0, то для любых чисел а >
> xi ^ X2 ^ • • • ^ жп ^ 0 имеет место неравенство
- х2
- ... + (-1)™ xnj;

Упражнения	89
б) tg хг - tg ж2 + tg ж3 - . . . + (-l)n * tg жп ^
^ tg (xi - ж2 + ж3 -
7Г
где -
в) с
где ах
7.6.
где жх
7.7.
> ж
(Ж]
1 ^ ^2 ^ ^3 5
,ж5 > 0.
ж1 + ... + жп
^ . . . ^ жп ^
^ 0, г ^ 1.
Ж5) ^ 4 (а;
\ 2
) ^ 1 Ж х ~п ¦*
г > / _
*хж2 + ж2а
^ж2 + . . . -
a2
где жь. . . ,жп ^ 0.
7.8.	Доказать теорему 11.1 (§ 11).
7.9.	Доказать теорему 11.2 (§11).
7.10.	а) а\ + а\ +. . . + а™ ^ па\ . . . an, где а\ ^ а2 ^ . . . ^ ап ^ 1;
б) ai + а| + . • . + а™ ^ nai . . . ап, где 0 ^ а\ ^ а2 ^ . . . ^ ап ^ 1.
7.11.	^l + ^i + ... + ^L^4(an-a1), где аь...,ап>0.
ai a2	йп-1
7.12.	Доказать:
а) если функция /(ж) определена в области / и является выпуклой
(см. §11), то
- / (х2)) + . . .
. . . + (хп + Жп-i) (/ Ы - / (жп-i)) ^ (жп + ^i) (/ (жп)
где п ^ 2, жх < ж2 < . . . < жп, жх,. • . , жп G /;
б)	неравенство а д/б + 6 у^с + с д/a ^ a y^c + b *>/a + с ^s/b^ где
а ^ 6 ^ с ^ 0;
в)	неравенство х^2х^г . . . ж^1 ^ х^х^2 . . . Жп71^^, где жп ^
^ xn-i ^ • • • ^ жх > 0, п ^ 3;
г) неравенство
a(c-b)	b(a-c)	c(b-a)
(с + Ь) Bа + 6 + с) ^ (а + с) B6 + a + с) ^ (Ъ + а) Bс + b + а)
где а ^ b ^ с > 0.
,- 1 Q ai + . . . + an_i ai + . . . + an+i	ai + . . . + an
7-13- —^1— + —w+i— >2—n—- где
^ '

90
§ 7. Применение метода математической индукции
7.14. а)
a3 + . . . + a2n-i)
где ak
1 + а + ... + а
п + 1
, гдеа>0,
7.15. 1 + - + ••• + -> In (n + 1), где п е N.
^	77/
7.16.
^ + . . . + =
2 V 2	п V n
3 - -4=, где n G N.
7.17. A + а)п ^ 1 + тга + к } V, где а ^ 0, п G N.
7.18. /с!
, где к е N.
7.19.
, где п = 0,1,
._ лл	cos 2а	cos па . 1	,т _ . . тт
7.20.	cosc^+ ——- + ... +	 )--, где п G N, 0 ^ а ^ -.
z	п	z	z
7.21.	Каждое число ai, a2, . . . , an больше 1 и |a&+i — a^| < 1 при
1 ^ /с ^J n — 1. Докажите, что сумма
меньше 2гг — 1.
7.22. Пусть 1 = х\ ^ х2 ^ • • • ^ ос
а)
. . . + °^- +
1. Докажите, что:
п- 3
б)
+ . . . +
2
••• ,жп,жп+1 G N.
1	1
< 1 + - + ... + -г, где ж2, ж3, • • •
2	П
7.23. Докажите, что если ai, . . . , ап > 0, /3i, . . . , /Зп > 0 и
+ . . . + ап ^ /3i + . . . + рп ^ тг, то
cos/3i ,	, cos /Зп ^ cosai	cosan
sinai
sinan

Решения
91
РЕШЕНИЯ
7.1. Данное неравенство справедливо при п = 1: - $J —-j=. Пред-
положим, что оно справедливо в случае п = /г, и покажем его
справедливость в случае п = к + 1.
При п = к имеем неравенство - •. . . ——— ^ —,	Умножая
2к
2(А; + 1) — 1
обе части этого неравенства на ——-—-г—, получим неравенство
2 ук -\- lj
2А; — 1 2Л? + 1
1
2 '
и, учитывая, что
1
2 ' "
Следовательно, данное неравенство справедливо для любых нату-
натуральных значений п.
7.2. а) Данное неравенство справедливо в случае п = 1:
2k-1 2(fc + l) -1
~^2k
(упр. 1.21), получим
1
т-г / / ^ ^ 1 + л/4а + 1
Предположим, что неравенство у а + у а + . . . + у а ^
справедливо. Поскольку	к
а + у а + . . . + уа = уа+ уа + ...+ уа
/ 2a + 1 + л/4а + 1 1 + л/'4а + 1
то данное неравенство справедливо также в случае п = к + 1, следо-
следовательно, оно будет справедливо при любом натуральном п.
б) Неравенство \ к у (к -\-1). . . л/п < к + 1, где 1 $J & $J n и
/с G N, докажем методом математической индукции по р = п — к
(п считаем постоянным).

92	§ 7. Применение метода математической индукции
В случае р = 0 имеем неравенство у п < п + 1, доказательство
которого очевидно. Предположим, что оно справедливо в случае р =
= п — га, и покажем его справедливость в случае р = п — га + 1 = п —
-(т-1).
Действительно, в случае р = п — т имеем неравенство
' га у (т + 1) . . . уп < т + 1,
откуда и получаем неравенство
V (га - 1) у га у (га + 1) ... д/га < а/ (га - 1) (га + 1) < га.
Следовательно, неравенство \ k у (к + 1) . . . л/п < к + 1 спра-
справедливо при значениях 1 ^ & ^ n; fe G N.
у 2 у 3 у 4...
Когда /с = 2, получаем неравенство у 2 у 3 у 4... л/п < 3,
которое совпадает с данным неравенством.
7.3. В случае п = 1 получаем справедливое неравенство х\ $J ж^.
Предполож:им, что неравенство
ж? + 3^2 + • • • + B& - 1) ж| ^ (хг + . . . + хкJ
справедливо. Прибавляя к обеим частям этого неравенства
Bк + 1) ж^+1, получим неравенство
х\ + Зж^ + . . . + Bк - 1) х\ + BА^ + 1) х\+1 ^
^ (Ж1 + . . . + хкJ + Bк + 1) х2к+1. G.4)
Докаж;ем неравенство
(Ж1 + ... + xkf + Bk + 1) 4+1 < (ял + ... + xfc+iJ ,	G.5)
которое эквивалентно
{2к + 1) х2к+1 ^ (ял + . . . + Ж/с+1J - (ял + . . . + хкJ =
= B(хг + ... + хк) + xk+i) хк+и
или справедливому неравенству
О ^ Xk+i B (xi + . . . + ж/с) - 2кхк-\-\) =
= 2хк+1 ((хг - хк+1) + . . . + (хк - ж/e+i)) ,
так как согласно условию задачи 0 ^ %k+i ^ xi (} = 1, . . . , Aj).
Следовательно, из G.4) и G.5) получаем неравенство
. . . + Bк - 1) х\ + Bк + 1) ж^+1 ^ (хг

Решения	93
которое является заданным неравенством при п = к + 1. Таким
образом, данное неравенство справедливо при любом натуральном зна-
значении п.
7.4. а) В случае п = 2 имеем |sin (х\ + #2)! ^ |sin#i| + |sinЖ21-
Действительно, так как sin (х\ + х2) = sin х\ cos Х2 + sin Х2 cos х\
и |cos а| $J 1, то
|sin (х\ + а?2)| ^ |sin x\ cos x<i\ + |sin х<± cosa?i| $J |sin x\\ + |sin ж2| •
Предположим, что данное неравенство имеет место в случае п =
= &, и покажем, что оно будет справедливо также в случае п = к + 1.
Действительно, имеем
sin ((ал + . . . + Хк) + #fc+i)| ^ |sin (#1 + ... + ж^)|
^ |sinЖ11	I
б) Поскольку при х G [0, тг] sin ж ^ 0, то согласно п. а) данного
упражнения получаем
sinх\ + . . . + sinхп ^ |sin (^i + . . . + хп)\ ^ sin (^i + . . . + хп) .
7.5. а) Сначала докажем данное неравенство для значений п =
= 1,3,5,7,...,2* + 1,...
В случае п = 1 имеем неравенство f (х\) ^ / (х\).
Предположим, что данное неравенство имеет место в случае п =
= 2к — 1, и покажем, что оно имеет место и в случае п = 2к + 1.
Имеем
- / (х2) + ... + / (z2fc-i) ^ / {хг - х2 + х3 - . . . + x2k-i) ,
следовательно,
/ (Ж1) - / (ж2) + ... + / (X2k-l) - f {X2k) + / (X2k + l) ^
^ f(x1-x2 + x3- ... + x2k-i) - f (x2k) + / (x2k+i) •
Заметим, что
хг ^ x = x\ - x2 + x3 - . . . + Ж2/С-1 ^ у = x2k ^ ^ = Ж2/С+1 ^ 0,
(Ж - у = (Ж1 - Ж2) + (Ж3 - Ж4) + • • • + {Х2к~1 ~ Х2к))-
Следовательно, / (х) - / (у) + / (z) ^ / (х - у + г).
Таким образом,
- / (х2) + ... + / (х2к-г) - f (х2к) + / (х2к+1) ^
^ f(x1-x2 + x3- ... + x2k-i) -
/ (Хг - Х2 + Х3 - . . . + Ж2А.-1 ~ ^2/,
откуда следует, что данное неравенство справедливо в случае произ-
произвольных нечетных п.

94	§ 7. Применение метода математической индукции
Теперь рассмотрим случай п = 2k. Пусть х\ ^ х2 ^ . . . ^ х2\~.
Выберем X2k+i = 0; в этом случае
- f (х2) + / (я3) -••• + / Ын) + / (о) ^
^ / (ж! - х2 + х3 - . . . - х2к + 0) ,
или
/ (хг) - f (х2) + / (х3) -...-/ (х2к) ^ f{x1-x2 + x3- ...- х2к) ,
так как / @) ^0.
б) Докаж:ем, что
tg х - tg у + tg z ^ tg (х - у + z) ,
где ^ > ж ^ у ^ z ^ 0.
Неравенство запишем в виде
tg ж - tg у ^ tg (х - у + z) - tg z,
или
sin (x — у)	sin (ж — у)
cos х cos у ^ cos z cos (ж — у + z)'
Когда х = у, доказательство очевидно; если же х ф у, то данное
неравенство эквивалентно неравенству
cos z cos (х — у + z) ^ cos ж cos у,
которое справедливо, так как 0 ^ z ^ у < — и 0^ж — y + z^
^ж < |.
Рассмотрим функцию / (х) = tg;r. Поскольку / @) = 0 и имеет
место условие из упр. 7.5, а), то данное неравенство справедливо.
в) Решение получается из неравенств из упр. 7.5, а) и упр. 9.34.
7.6. Докажем более общее неравенство
(#1 + . . . + хп) ^ 4 (xix2 + х2х3 + . . . + хп-\хп + хпх\), G.6)
где п ^ 4, Ж1,. . . , хп > 0.
В случае п = 4
(^1 + . . . + Ж4) ^ 4 (^1^2 + Х2Х% + Ж3Ж4 + Х4Х1) ,
так как
(^ + + Х)
— 4 (^1^2 + Х2Х% + Ж3Ж4 + Х4Х1) =
) ^ 0.
Предположим, что G.6) справедливо в случае п = к, и покажем,
что оно справедливо также в случае п = к + 1.

Решения	95
Пусть max(^i, . . . , Xk+i) = Х{. В этом случае
)
(считаем, что х$ = ж/c+i, ж_1 = ж^).
7.7. В случае га = 1 получается справедливое неравенство - х\ ^
^ ж^. Предположим, что данное неравенство справедливо в случае
п = /с, и покажем, что оно справедливо также в случае га = /г + 1.
В случае п = к имеем
1	2
- (a?i + . . . + хк) ^ (xi + 2ж2 + . . . + kxk)max(xi, . . . ,хк) .
Прибавляя к обеим частям этого неравенства выражение
1	2
получим слева -(ж1 + ...Н-ж^+1) , ав правой части получим выра-
выражение
- . . . + кхк) max(^i, . . . , хк) + хк+1 (жх + . . . + хк)
2 '
которое не больше (х\ + 2ж2 + • • • + (к + 1) ж&+х) max (жх, . . . , хк+\).
Действительно, так как
тах(жь . . . ,Xk) ^ тах(жь . . . ,хк+1) = с,
ф 2+	с,
ТО
i, . . . , жп)
гъ<ьк} ь п^ «^к-|-1 "^^ \ *ьк-\-1 ^ —
= (жх + 2ж2 + . . . + кхк + (к + 1) ж/g+i) • с.
Следовательно, данное неравенство справедливо при любых натураль-
натуральных значениях п.
7.8. Сначала докажем, что для любых чисел жх, . . . , хп из обла-
области / имеет место неравенство
j v^i; ~г • • • -г j у^п) ^ _р i А1 -г • • • -г лта ^	G7)

96	§ 7. Применение метода математической индукции
В случае п = 2 неравенство G.7) совпадает с условием теоре-
теоремы A1.1).
Предположим, что в случае п = к неравенство G.7) справедливо,
и покажем, что оно справедливо также в случае п = к + 1.
Рассмотрим выражение
/ (хг) + ... + / (х„) + / (хк+1) + (к - 1) / (Х1 + к+\Хк+1) = А :
А = (/ (xi) + ... + / (хк)) +
Xk+l
/e —1 членов
Таким образом, получили
... + /(»t+,) + (t-в/
откуда J v ч ' ' , ' ' J v fc+iy ^ /
Следовательно, неравенство G.7) доказано.
Теперь докажем неравенство A1.3). Пусть ol{ = — (г = 1,2, ...
... ,гг), где Pi,qi G N. Обозначим наименьшее общее кратное чисел
<7ъ Ч2-, • • • , Чп через q. В этом случае — = —, где l{ E N.
Оценим левую сторону рассматриваемого неравенства:
OL\f (xi) + . . . + anf (xn) = —-
Применяя неравенство G.7) к числам
anf (xn) = -^±—t	^—L = B.
/l	h	In
общее число которых равно д, так как ai + • • • + ап = 1? получим

Решения	97
anXn
7.9. В случае п = 2 неравенство A1.7) совпадает с условиями
теоремы 11.2 A1.5).
Предположим, что неравенство A1.7) справедливо в случае п = к
и покажем, что оно справедливо также в случае п = к + 1, т. е.
/?i/ (ai) + . . . + /3fc/ (ak) + /?fc+1
где f3i, . . . , /3fc+i ^ О и Px + . . . + /?fc+1 = 1, a ai, . . . , an e /.
Действительно,
. . . + Pkf (ak) + pk+1
pk) Pll\X
Здесь мы воспользовались неравенством A1.7) при п = к, заменив Х{
на а,{, a«i на -^—-—г	(г = 1, . . . , к).
Следовательно, неравенство A1.7) имеет место при любом нату-
натуральном значении п.
7.10. а) В случае п = 1 получается справедливое неравенство
ai ^ а\. Предположим, что в случае п = к данное неравенство
справедливо, и покажем, что оно справедливо также в случае п =
/с + 1.
При п = к имеем а\ + а\ + . . . + ajj! ^ ка\ . . . ак.
С другой стороны, согласно условию задачи имеем 1
Перемножив эти два неравенства, получим
^1 + а2 + • • • + ак ^ ка\ . . . акак+1-
Согласно условию имеем также справедливое неравенство
a ^ ai
Складывая полученные неравенства, имеем
a-i + а\ + . . . + а\ + акк+_\ ^ ках. . .ak+i + а*. . .ак+1 = (к-\-1)а1.. .ак+\
Следовательно, данное неравенство справедливо при любом натураль-
натуральном значении п.
б) В случае п = 1 получается справедливое неравенство а\ ^ а\.
Предположим, что данное неравенство справедливо в случае п = к, и
покажем, что оно справедливо также в случае п = к + 1.
7 Н.М. Седракян, A.M. Авоян

98	§ 7. Применение метода математической индукции
В случае п = к имеем а\ + а\ + . . . + а^ ^ ка\ . . . ак.
С другой стороны, согласно условию задачи имеем 1 ^ ak+i-
Перемножив эти два неравенства, получим
«1 + а\ + . . . + ак ^ &ai . . . akak+i.
Согласно условию имеем также справедливое неравенство
atXi ^ ai • • • afc+i- Складывая полученные неравенства, имеем
сц + а\ + . . . + а\ + a*+J ^ (Л + 1) сц . . . ак+1.
Таким образом, данное неравенство справедливо при любом натураль-
натуральном значении п.
7.11. В случае п = 2 имеем справедливое неравенство
2
— ^ 4 (а2 - ai) (а\ - 4aia2 + ^а\ = (а2 - 2aiJ ^ 0).
Предположим, что данное неравенство справедливо в случае п = /с, и
покажем, что оно справедливо также в случае п = к -\- 1.
В случае п = к имеем неравенство
Прибавив к обеим частям этого неравенства 4 (a/g+i — а&), получим
?l + ?l + ... + А- + 4 (afe+1 - ак) > 4
Остается показать, что
ai a2	a/e-i afc ai a2	ak-i
Действительно, неравенство эквивалентно справедливому неравенст-
2
ву ^^ ^ 4(^+1 - ак), или (afc+i - 2акJ ^ 0.
Таким образом, данное неравенство справедливо при любом нату-
натуральном значении п.
7.12. а) В случае п = 2 имеем справедливое неравенство
(х2 + ал) (/ (х2) - / (ал)) ^ (х2
В случае п = к имеем неравенство
(х2 + Х1) (/ (ж2) - / {хг)) + (ж3
. . . + (хк + a;fc_i) (/ (хк) - f {xk-i)) > {хк + ^i) (/ {хк) - f
Прибавляя к обеим частям этого неравенства

Решения	99
получим
{х2 + хг) (/ (х2) - f On)) + (х3
- / (хк)) ^
^ (хк + ?i) (/ (ж/с) - / (xi)) + (ajfc+i + Хк) (/ (жл+i) - / {хк)) •
Для доказательства справедливости неравенства в случае п = к +1
достаточно доказать следующее неравенство:
- / (хг)) + (жЛ+1 + жЛ) (/ (хк+г) - f (хк)) ^
или
(хк+1 - хк) f (хг) + (хк - хг) f {хк+г) ^ (xk+i ~ хг) f (хк) . G.8)
Поскольку функция / (х) выпуклая, то
Хк+1~Хк / (Ж) + Хк~Х1 / (хк) >
/ A) +	/ (к+1) >
Хк + 1 — Xi	Xk + 1 — Хг
\Xk+l — X\	Xk+1 — X\	J
откуда и получим неравенство G.8).
Следовательно, мы доказали справедливость данного неравенства
в случае п = к + 1. Таким образом, данное неравенство справедливо
при любом натуральном значении п (п > 1).
б) Неравенство а) данного упражнения можно переписать в следую-
следующем виде:
xnf {хг) + хг/ {х2) + x2f {х3) + • • • + хп-г/ (хп) ^
> x2f {хг) + x3f {х2) + . . . + xnf {хп-г) + x1f (xn) ,
где, принимая / (х) = — у/х, получим
а(- у/с) + с(- у/Ь) + Ь(- у/а) ^ Ь(- у/с) + а(- y/b) + с(- \А);
отсюда
а ус + с y/b + 6 уа ^ Ъ у/с + а уб + с у/а.
в) Рассмотрим функцию / (х) = —Inж. Согласно неравенству а)
данного упражнения имеем
хп (-\пхг) + хг (-1пж2) + • • • + ^n_i (
или

100	§ 7. Применение метода математической индукции
г) Рассмотрим функцию
= (
(a + b +с-x)(a + b +c +x) 2\a+b+c-x a
г (х) = I ( 1 + 1 )
J{) 2\(a + b + c-xf (a + b + c + xf)'
Если 0 ^ х < о, то
/" №
откуда
af (с) + с/ F) + bf (о) > 6/ (с) + о/ F) + с/ (о),
ИЛИ
2с) + С (а + с) (а + с + 26) + [Ь + с) F + с + 2а)
сbа
^
' (а + b) (а + b + 2с) ^ (а + с) (а + с + 26) ^ F + с) F + с + 2а)'
7.13. Заметим, что данное неравенство эквивалентно неравенству
(«1 + . . . + an-i) п (п + 1) + (ai + . . . + an-i) n (n — 1) +
+ (an + an+i) n (n — 1) ^ 2 (n2 - 1) (ai + . . . + an_i) + 2 (n2 - 1) an,
или
+ . . . + an_i) + an+m (n - 1) ^ (n2 + n - 2) an,	G.9)
которое докажем методом математической индукции.
В случае п = 2 получаем справедливое неравенство 2ai + 2аз ^
^ 4а2- Предполож:им, что оно справедливо также в случае п = к:
2 (ai + . . . + afc_i) + k(k-l) ак+1 > (к2 + к - 2) аь	G.10)
и докажем, что оно справедливо также в случае п = к + 1.
Добавив к обеим частям неравенства G.10) выражение
2ак + (/г + 1) /га/г+2 - /г (Л - 1)
получаем
2 (ai + . . . + ak-i + a*) + (/с + 1)
^ (/с2 + /с) ак + (&2 + А;) а/г+2 — /с (Лг —
= (/с2 + к) (ак + а/с+2) - к(к-1) ак+1 ^
^ (А^2 + к) • 2afc+i - к (к - 1) afc+i = (&2 + ЗА^) ак+1.
Таким образом, получили
. . . + ак-\ + ак) + (Л

Решения	101
Следовательно, неравенство G.9) справедливо при всех натуральных
значениях п.
7.14. а) Данное неравенство запишем в виде
77/
ai + а3 + . . . + a2n-i ^ (n + i) («о + «2 + • • • + «2п)
и докажем его методом математической индукции.
В случае п = 1 имеем справедливое неравенство а\ ^	.
Предположим, что данное неравенство справедливо в случае п =
= /с, и докажем, что оно справедливо также в случае п = к + 1, т.е.
имеем справедливое неравенство
к
ai + a3 + . . . + a2fc-i ^ ^ру (a0 + a2 + . . . + a2fc) ,
или
к
ai + а2 + . . . + a2/e-i + a2/c+i ^ -^-^ (а0 + а2 + . . . + а2Л) + a2/c+:L.
Докажем неравенство
к	к + 1
^——-(а0 + а2 + . . . + a2/c) + a2A;+i ^ ^Т^(ао + а2 + . . . + а2/с + а2/с+2),
или
^ (fc + lHfc + 2) (а° + °2 + • • •
Поскольку d2k+i ^ 	^	, то последнее неравенство будет
доказано, если мы докажем неравенство
(а2к + а2к+2) .	1	/	, , к +
2
или
/с(/с + 3)	А; (А; Ч-1)	.
а2кa2fc+2 ^ a0 + a2
для доказательства которого снова воспользуемся методом математи-
математической индукции.
В случае к = 1 получаем справедливое неравенство 2а2 — сц ^ ао,
так как
ai + аз . 1
а2 ^ ^— > ^
Пусть в случае к = т имеем справедливое неравенство
т (га + 3)	га (га + 1)
	2	 а2т	^	 a2m+2
откуда
га(га + 3)
H- a2m ^ ao -г a2 + . . . + a2m_2 + a2

102	§ 7. Применение метода математической индукции
Остается доказать неравенство
т (га + 3)	га (га + 1)
	2	 а2т	^	 а2т+2 + «2т ^
(т + 1)(т + 4)	(т + 1)(т + 2)
^ 	2	 а2т+2	^	 а2т+4,
ИЛИ
/ , 1W , оч	. (га + 1)(га + 2)	, (га+ 1) (га+ 2)
(т + 1) (т + 2) а2т+2 ^	у	 «2т +	у	 «2т+4,
которое справедливо.
_ k-i _ fe+i
б) Пусть а& = — afc. Так как в этом случае —ak^	,
то согласно неравенству а) данного упражнения имеем
- а - а3 - ... - а2"'1 ^ - 1 - а2 - ... - а2п
откуда
-а2™ ^ п
7.15. В случае п = 1 имеем справедливое неравенство 1 > In 2.
Предположим, что оно справедливо в случае п = к, т.е. имеет место
неравенство
1 + \ + ... + -к>\п(к + 1).
Прибавляя к его обеим частям -—-, получим
111	1
Теперь докажем неравенство
1п(/с + 1) + ^^ > In (Л+ 2),
которое эквивалентно неравенству
, . (к + 2\к+1 „	/l + l\fc+1
или 1 > In (	1 . Отсюда е > (	1 , так как
\ к -\- 1 /	\ к -\- 1 /
( 1\п
lim 1 + - ) = е,
и f 1 Н—) монотонно возрастает (см. упр. 3.16, а)).
7.16. В случае п = 1 имеем справедливое неравенство 1^1.
Предположим, что оно справедливо в случае п = /и, т.е. имеет место

Решения	103
неравенство
l + -Л= + • • • + -Л= ^ з - Л
добавив к обеим частям которого 	, , получим
(fc + lJV^TT
1+ *++*+	1<3^ +
2у2	к у/к (к + 1) V& + 1	V& (А; + 1) у/к + 1
2 1	2
Остается доказать, что 3	;= Н	,	^ 3	.
V^ (? + 1) y/k + 1	V^T
гт » ! / 2
Действительно, так как	 ^ —	=	, то
1	^2	2	2(у/к + 1- у/к)
+ 1) л/А; + 1 \[к
(Aj
Следовательно, получили, что данное неравенство справедливо при
любом натуральном значении п.
7.17. В случае п = 1 получается справедливое неравенство 1 +
+ а ^ 1 + а. Предположим, что данное неравенство справедливо
в случае п = к и покажем, что оно справедливо также в случае п =
= Л + 1.
Когда п = к, имеем A + а) ^1 + ка-\	Ц-—-а2. В этом случае
, fc(fc-l) 2^ , 7^ 2 , к(к-1) з
= 1 + ка -\	^——- а + а + кос -\	-——- а =
2	2
Таким образом, получили, что
A + а)к+1 > 1 + (к + 1) а + к (fc2+ ^ а2,
следовательно, данное неравенство справедливо при любом натураль-
натуральном значении п.
2
7.18. В случае к = 1 получим справедливое неравенство 1 > -.
Предположим, что данное неравенство справедливо в случае к = т
(	, /m + l\m\
( т. е. ml > (	1 ), и докажем, что оно выполняется также при
к = т-\-1 (т. е. что справедливо неравенство (га + 1)! > (	j J.

104 § 7. Применение метода математической индукции
Имеем га! > (	) . Следовательно,
(га + 1)!> f^±l)m+.e.	G.11)
/ 1\п	( 1\п
Поскольку lim A -\— ) = е и последовательность A -\— ) воз-
п-Юо V	П)	\	П)
растающая (см. упр. 3.16, а)), то
е > (l + ^y) •	G-12)
Перемножая неравенства G.11) и G.12), получим
m+l
Следовательно, данное неравенство справедливо при всех натураль-
натуральных значениях к.
7.19. Сначала докажем, что
2|sinz| + |sin2z| ^ Ьр.	G.13)
Действительно, имеем
2|sinж| + |sin2ж| ^
У C -
,д\ и; ~ 2 •
В случае п = 0 |sin ж| $J 1.
Предположим, что доказываемое неравенство справедливо в слу-
случае п $J /с, т. е.
/з
1 + ^— п
при любом значении х. Докажем, что оно справедливо также при п =
= Л + 1.
Рассмотрим два случая.
\ i • i ^ л/3
aj |sin ж| $J -^г—, в этом случае
|sinх\ + (|sin2х\+...+ |sin2к ¦ 2х\) ^ -^ +1 + -^А; = 1 + ^ (fe + 1).

Решения	105
б) Когда |sina?| > -^—, из G.13) получим
|sinж| + |sin2ж| < уЗ
следовательно,
|sin#| + |sin2ж| + (|sin4a?| + . . . + |sin2/c~1
Значит, данное неравенство справедливо при всех натуральных значе-
значениях п.
7.20 Рассмотрим функцию
cos 2a	cos па
+	+ +
/п(а) =
I i
в области 0, — , и пусть она принимает свое наименьшее значение в
этой области в точке ап.
Рассмотрим следующие случаи.
а)	ап = 0. В этом случае fn(a) ^ 1 + - + ... Н— > —-.
б)	ап = ^. В этом случае fn(a) ^ /n f ^J ^ --, так как
Л (|)=о,
и т. д.
в) 0 < ап < —. В этом случае f (ап) = 0, т.е.
— sin ап — sin 2ап — ... — sin nc^n = 0,
откуда получаем
2 sin -^- sin c^n + . . . + 2 sin -^ sin nan = 0,
следовательно,
cos -— = cos ( пап + -— ) .
Из последнего равенства получаем
in — = ± sin [пап + — J ,
sin
поэтому
cosпап = cos ( пап + — ) cos — + sin [nan + —) sin — =

106	§ 7. Применение метода математической индукции
Таким образом,
? ( \ \ ? ( \ , . cos (га - 1)ап	1
fnH ^ /n-i(an) = cosan + . . . +	у-—-1— ^ --.
Поскольку ап G (О, — 1 и для га — 1 утверждение справедливо,
I га = 1 имеем /i(a) = с
7.21. При п = 2 имеем
при п = 1 имеем fi(a) = cos а ^ 0 > — -.
- а2J
+	+
Пусть п ^ 3. Рассмотрим два случая.
а) Существует г Е {2, . . . , га — 1} такое, что
fa - а»_1)(а» - аг+i) ^ 0;	G.14)
тогда
	1	^	Ь 2, так как
Тогда из сказанного и по индуктивному предположению имеем
CL1 , a2 ,	, fli-l _i_ a* ,	, an-l i a^
a2 as	ai a»+i	an ai
так как из условий G.14) следует, что
ui-г - ai+i\ ^ тах(|а^ - a^_i|, \<ц - a»+i|) < 1.
б) Если (а^ — ai_i)(a^ — сц+i) < 0, г = 2, . . . , п — 1, то тогда либо
а\ < п2 < • • • < an, либо ai > a2 > • • • > an. В первом случае
n-l
так как an = (an - an_i) + (an_i - an_2) + . . . + (a2 - «i) +
Во втором случае
— + ... + ^^ + — < 2 + . . . + 2 +1< 2n - 1,
a2	an a-i >	v	'
так как a^ =
n-l
~ ai\ < ai+i + 1 < 2a^+i, i = 1, . . . , n — 1.
\/ HPcy 	 ]^	1
7.22. а) В случае n = 1 нужно доказать, что 	 ^ -, или
(х2 - 2J > 0.

Решения
107
Предположим, что неравенство верно для п = к, и докажем, что
оно верно при п = к + 1, где к Е N. Нужно доказать, что если
Х2
то
Х2
¦ + ...+
<
Для /с + 1 чисел 1 ^ —
Х2
имеем
Хк+2	Хк+1
Х2
Х2
Хк + 2
Х2
<
следовательно,
/хк+2
V X,
Хк + 2
Хк + 1
Х2
Х2
(см. неравенство D.1)).
Получили, что данное неравенство справедливо также в случае
п = к + 1, следовательно, оно будет справедливо при любом нату-
натуральном п.
г\ ъ	л	Л/Ж2 - XI
б) В случае п = 1 имеем
2
Предположим, что неравенство верно для п = к, и докажем, что
оно верно при п = к + 1, где к Е N. Пусть 1 = х\
J	^	— натуральные числа; тогда имеем
Хк + 2

108	§ 7. Применение метода математической индукции
( 1	1	1	1
^ —:г7+ ••• +
ЧЖ1+
Если хк+2 ^ (Aj + IJ, то
следовательно, неравенство верно при га = /г + 1.
Если ж&+2 > (А; + 1) , то
Хк + 2
2
<
+ \у (/с + 1L {к + iy
Тогда получим
V Xk + 1 — Xk , V Xk + 2 — Xk + 1
2k+l
Итак данное неравенство справедливо также в случае п = к + 1,
следовательно, оно будет справедливо при любом натуральном п.
Замечание. Если 1 = х\ ^ х<± ^ ... $J хп ^ жп+1 —
2
л/Х2 - X!	VXn + l - Хп	(ТГ-Л 1 \	1
натуральные числа, то	\- . . . -\	^ ) - I — -•
х2	хп+г	\*-^ г) 2
7.23. Докаж:ем методом математической индукции.
При п = 1 имеем, что 0 < а\ $J /3i ^ тг, следовательно,
—	 ^
sin ai ^ sinai
При n = 2 имеем, что c^i, 0^2 > 0, /3i, /З2 ^ 0 и c^i + «2
З2 ^ тг, нужно доказать, что
COS/3l	COS/32 . COSQi	COSQ2
sinai Sirica ^ sinai sin Q2

Решения	109
Пусть ol\ и OL2 — постоянные числа. Рассмотрим выражение
+ ™
sinai sin a2
где ai + «2 $J х\ + Х2 ^ тг, х\,Х2 ^ 0. Пусть это выражение принимает
наибольшее значение при х\ = /3i, X2 = 0ч-
Пусть ol\ ^ Oi2\ тогда можно считать, что /3i ^/32- Действительно,
в противном случае имеем, что cos/3i < cos/32, следовательно,
(cos/3i — cos/З2)(sin «2 — sin ot\) ^ 0,
или
COS/3l	COS/32 ^ COS/32	COS/3l
sinai sin a2 ^ sinai sin Q2
Если /3i = 0, то
cos/3i cos/32 cosai	cosa2 .
sina2 sinai sin Q2 ^
1	cos(ai + Q2) cosai cosa2
^ '	sin a2
^0.
2 sin °j sin ^ + a2 j	sin2 ^ sin (ai
sina2	ol\ .
cos —- sin
Если 0 < /3i ^ /З2, то при уменьшении значения /3i выражение
COS/3i , COS/32	/э , /О	,	тт
h —	 увеличится, поэтому pi + pi = ai + 0^2- Докажем, что
sin 0L4
sin/3i sin/32
Действительно, заметим, что функция
f(x\ = cos(/3i + х) cos(/32 - х)
sin ai	sin a2
на отрезке [—/3i, /З2] принимает наибольшее значение в точке х = 0,
^	r//n\	sin/3i sin/32 ~
следовательно, по теореме Ферма / @) =	—|	— = 0.
v y	sinai sina2
Лемма. Если ai,. . . , ап, /3i,. . . , /Зп > 0, ах + . . . + ап = /3i +
+ . . . + Рп ^ тг гл
Л	>=sinAL=	GЛ5)
sin a
sinai
mo A = 1.
Доказательство. Пусть Л ф 1, тогда мож:но считать, что
Л < 1. Пусть ос\ ^ «2 ^ • • • ^ Oini тогда из G.15) следует, что
01 ^ 02 ^ • • • ^ Рп и /3i < ab. . . ,/3n_i < an_i ^ ^.
Заметим, что

110	§7. Применение метода математической индукции
sin(/3i + /32) = A(sin c^i cos C2 + sin а2 cos /Зх) >
> A(sin c^i cos a2 + sin a2 cos ai) = Asin(ai + a2).
Аналогично получим, что
sin((/3i + /?2) + /?з) = sin(/3i + /?2) cos /33 + sin /?3 cos(/3i + /?2) >
> A(sin(ai + a2) cos /33 + sin a3 cos(/3i + /32)) >
> A(sin(ai + a2) cos as + sin 0^3 cos(c^i + a2)) = A sin(ai + a2 + 0^3)
и т. д. Вообще, sin(/?i + . . . + /3n-i) > A sin(ai + . . . + an_i).
Следовательно,
sin/3n .
sin(^ - /3n) >	sm((p - an),
sinan
где <p = ai + . . . + an = /?i + . . . + /3n. Поэтому
sinansin((^-/3n) > sin/3n sin(^ - an),
или
sin an sin 99 cos /3n — sin an sin /3n cos 99 >
> sin /3n sin y? cos an — sin /3n sin an cos y?,
sin y? sin(an — /3n) > 0.
Так как 0<(^^тг, то у? ф тг и sin (^ > 0; тогда ап — Cп > 0,
значит, ап > (Зп.
Таким образом а\ > /3i, . . . , c^n_i > /3n_i, ап > /Зп; но тогда ai +
+ . . . + ап > Pi + . . . + /Зп, что неверно, следовательно, А = 1. Лемма
доказана.
Так как sinai=sin/3i и sin a2 = sin/32, то c^i =/3i и с^2 =/52,
или ai = /3i и тг — а2 = /32 (c^i + а2 = c^i + тг — а2, с^2 = —, значит,
ol2 = f32).
Следовательно,
COS/3i	COS/32	COSQi	COStt2
i	i	i
sina2 sinai sin a2
Пусть теперь n ^ 3 и неравенство верно для п — 1, покажем, что
оно будет справедливо и для п. Пусть 0 < ol\ ^ а2 ^ . . . ^ ап —
постоянные числа. Рассмотрим выражение
COSffn
~Г • • • ~Г .	1
sinan
где жх, ж2, . . . , жп ^0 и ах + . . . + ^п ^ жх + . . . + жп ^ тг, и пусть это
выражение принимает наибольшее значение при х\ = /32, . . . , хп =
= /Зп. Тогда /Зх ^ /32 ^ . . . ^ (Зп (см. случай п = 2). Можно считать
/Зх > 0, в противном случае для п — 1 имеем
cos/32	cos/Зз	cos/Зп cqs(qi + a2)	cosan , ,
sin(o;i + 0^2) sin аз	sin a.n sin(o;i + cx,2)	sin an

Задачи для самостоятельного решения	111
Заметим, что
1	COS/32	COSQi	COSQ2 ^	COS /З2
;	1	—
sin 0L2 sin ol\ sin a.2 ^ sin(ai + 0^2) sin [ol\ + 0,2)'
Действительно, так как
a ( X	1	^ , 1	1
COSD2 —	:—7	г ^ —	r^	r
Vsinai sin(ai+a!2)/ sin Q2 sin(ai + Q2)
(a2 + @.1 + 0^2) ^ OLi + ol2 + аз ^ 7Г, sin(ai + a2) ^ sin a2
то достаточно показать, что
1 — cos ai 1 — cos a2 1 — cos(ai + a2) < n
sin o;i	sin Q2	sin(cKi -+- 0.2)
или
tif+ti?_ti(f+f)<,
1_r	Qi OL2 7Г
Последнее неравенство верно, так как 0 < -—, —- < —.
А А	4
Складывая неравенства G.16) и G.17) получим неравенство для п.
Таким образом, имеем 0 < C\ ^ C2 ^ • • • ^ Рп\ ПРИ уменьшении
„о	cos/3i	cos/3n
значении pi выражение —	\- . . . Н—;	 увеличится, поэтому
sinai	sin an
«1 + • • • + осп = /3i + . . . + /Зп. Тогда
sin/3i _ _ sin/3n
sin ai ' ' ' sin an
(см. случай n = 2), следовательно, согласно лемме c^i = /З2, • • • , суп =
= /3n. Задача решена.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Доказать следующие неравенства A-18).
(а2 сц\ (а3 fl2\ ,	. / ап an_i\ an ai
Vai a2/ \a2 a3/	\an_i an / a\ an
0 < ai ^ a2 ^ . . . ^ an.
2.	(l + ai)(l + a2) . . . (l + an) ^ l + ai + . . . + an, где ab. . . ,an >
> —2 и ai, . . . , an одного знака.
3.	С ^ D ^ 2C, где С = (ах - 61J + . . . + (an - bnf , D =
. • . + (a2 - 6
(ife = l,...,n).

112	§7. Применение метода математической индукции
4.	\/^> п+\/п + 1, где п ^ 3, п е N.
5.	fl + -) <l + - + ^2, где fc^n,
7. ^— ^ ^~( n(ai + ап) - Х^а*)' где 0 < а1 ^ «2
^	г=1
а2 + . . . + ак ^ аг + . . . + ап ak+i
а2 < • • • < ап, п > к, п, к Е N.
9.	а2 - а| + . . . - а\п + a|n+1 ^ (ai - а2 + . . . - а2п + a2n+iJ, где
^ а2 ^ . . . ^ a2n+i ^0 (п = 0,1, . . .).
10.	Ж1 + х\ (х2 - х\) + х2 (жз - жг) + • • • + жп_1 (хп - хп-±) ^
< (п -1)хп + 2хп + п - 1
^	2п
11.	1 • 22 • З3 • . . . • пп > Bп)!, где п > 5, n G N.
Bmi)! Bm2)!	К)! 5
12.	_-r.-_^.....i--^^2^ где mbm2,...,mnGZ0 и
т\ + ra2 + . . . + mn = S.
13.	—— H	—— + . . . H	 <	где a, 6 > 0 и
a -\- b a + 26	a + no wa (a _|_ nM
n E N.
n-l
14.	^ ^~T ' ~k^i < 4' гДе п ^ 2' n G N-
n к 2i
15.	a) (l + i) < 1 + ^ + -^, где Л, n E N и (Л - IJ < n;
6) (l + ^)ПA + ^) < (l + ^^)П f1 + 4( * 1ч)? гДе ^N.
n
16.	У^ |cos2*a;| ^ -^=, где п Е N.
1Л ч . sin 2a sin na . _	АТ _ . .
17. a) sin а -\	\- . . . -\	^0, где п Е N и 0 ^ a ^ тг;
гч	, cos 2a	cos па
б) cos а -\	Ь . . . Н	^ —1, где п Е N.
^	77

Задачи для самостоятельного решения	113
18.	^ + ^ + ... + ^ ^ ^ + ^ + ... + ^-, где 0 < Х1 ^ х2 ^ ...
Х2 Х%	Х\	Х\ Х\	Хп
... ^ хп, п>2.
19.	Для любого натурального п > 1 найти минимальное значе-
значение G, если неравенство	— + . . . Н—	г^ < С выполняется для
сц + oi	ап + оп
любых положительных чисел ai, . . . , an, 6i, . . . , 6П, удовлетворяющих
равенству ai + . . . + ап = 6i + . . . + bn.
8 H.M. Седракян, A.M. Авоян

j 8. О ПРИМЕНЕНИИ ОДНОГО НЕРАВЕНСТВА
Рассмотрим следующие примеры.
Пример 8.1. Доказать двойное неравенство
12 < * +^+
+ * + * +
а + b + с + d a + b a + с а + d b + с 6 + d с + с/
3/1 1 1 1\
где а > 0, b > О, с > О, d > О.
Доказательство. Нетрудно убедиться, что
-1-1 /I
(8.1)
х у х + у
где ж > 0, у > 0.
Применяя несколько раз неравенство (8.1), получим
с
^ \a + b a + c a + d b + c b + d c + d)'
(JL- + _J_^ + (^— + _J_^ + (^— + _J_^ >	I2
Va + 6 c + rf/ Va + c 6 + с/У Va + rf b + c/ ^ a + b + с + d '
Пример 8.2 похож на предыдущий.
Пример 8.2. Доказать неравенство
1 х +^ 9
где а,Ь,с > 0.
Доказательство. Оказывается, что
14 О
1 + - > -J-,	(8.2)
ж у х + у
где ж, у > 0 (убедитесь сами).
Поэтому
1	1	14	19
а + b b + c a + c^a + b + b + c a + с ^ 2 (а + 6 + с)'

§8. О применении одного неравенства	115
Доказательства этих двух примеров очень похожи друг на друга.
Возникает мысль: возможно ли, что справедливо неравенство
а\ al ^ (fli + Q2J
где 61, 62 > О?
Неравенство (8.3) легко приводится к неравенству вида
«1&2 , ^2&1
—	Ь -г— ^ 2а1а2,
01	02
(	аг а2\
которое очевидно причем равенство имеет место при -— = -—.
V	01	02 /
Теперь не представляет труда доказать методом математической
индукции обобщение неравенства (8.3)
al al	а2п (аг + а2 + . . . + апJ	,ft лЛ
где 6^ > 0 (г = 1, 2, ..., п).
Замечание. В неравенстве (8.4) равенство имеет место тогда и
аг а2	ап
только тогда, когда -— = -— = ... = -—.
01	02	Оп
Получилось очень красивое неравенство. Однако оказывается, что
это одна из форм записи неравенства Коши-Буняковского. Действи-
тельно, произведя замену х\ = —--j= и yi = yo», получим неравенство
Коши—Буняковского	V °*
(х\ + х\ + . . . + х2п){у\ + у\ + . . . + yl) ^ (Ж12/1 + . . . + xnynf .
Оказывается, что при решении некоторых неравенств форма записи
(8.4) более удобна.
Попробуем получить более общее неравенство. Запишем а\ как
произведение двух множителей.
Доказывая полученное неравенство при п = 2, получим новые
условия. Оказывается, что при выполнении условий
Ci	С2	Сп ' Ci	С2	Сп
(	пг	Ьг	\
( можно говорить, что — и — имеют одинаковую упорядоченность 1
\	С%	С{	/
И
О 0 (г = 1, 2,...,п)
справедливо следующее неравенство:

116	§8. О применении одного неравенства
Когда cti = bi, неравенство (8.5) сводится неравенству (8.4).
Для доказательства неравенства (8.5) нам необходим следующий
факт: если
Cl	C2	Cn ^
TO
CL\ -\- . . . Oik ^ 0>n
a + ... + ck ^ cn
для всех значений к = 1, 2, . . . , п (см. упр. 1.11).
Докажем неравенство (8.5) методом математической индукции
по п. Когда п = 2, имеем неравенство
&2^2 ^ (tti + ft2) (bi -\~ 62)
С2 ^	Cl + С2	'
или
О,
„ а\ а,2 bi b2
которое получается из условии — > — и — > —.
Cl	С2	Cl	С2
Пусть (8.5) справедливо в случае п = к. Имеем
Cl	C2	Ск
ад?)
Из вышеуказанного факта и выполнения неравенства, полученного
при п = 2, следует, что
(ai + a2 + . . . + a*;) F1 + 62 + • • • + frfc) . ^^+16^+1
ci + c2 + . . . + ck	^
> (ai
^	Cl + . . . +
Л	CLi	bi
Аналогично можно доказать, что если — и — имеют противополож-
противоположен а
ные упорядоченности, то неравенстве (8.5) меняется знак неравенства:
4=1
Замечание. При выполнении условий а\ ^ а2 ^ ... ^ аП5
bi ^ Ь2 ^ • • • ^ Ьп и 0 < ci ^ C2 ^ • • • ^ сп справедливы условия
неравенства (8.5) и, следовательно, это неравенство справедливо.

Упражнения	117
Из неравенств (8.4) и (8.5) получаются следующие известные нера-
неравенства:
п -.	2
^ п •> ГДе Сг > У) \1 — 1, Z, . . . , 71J,
г=1	ч г=1
п	п
г=1	г = 1	г=1
где «1 ^ а2 ^ • • • ^ ап и Ъ\^ Ъ^^ . . .^ Ъп (неравенство Чебышева).
Оказывается, что неравенство (8.5) является некоторой формой
записи классического неравенства.
После замены сц = с^Жг? ^г = с^г/^, Р^ = ~^г— оно приводится к
одному из вариантов записи неравенства Чебышева; если Xi и yi
п
имеют одинаковые упорядоченности, ^J Pi = 1, Pi > 0, то для
средних Mz = У^ г^Рг имеет место неравенство Мх • My ^ М (жу).
Получилось, что неравенство Коши—Буняковского является част-
частным случаем неравенства Чебышева.
УПРАЖНЕНИЯ
Доказать неравенства 8.1-8.8.
8.1.	——	1	—	1	—— ^ -, где ж1? ж2? %з > 0.
8.2.	—а— + ——- + —с— + ——- ^ 2, где a, b,c,d> 0.
о + с с -\- й й -\- а, а, -\- о
8.3.	-^-— + -^1— + . . . + —^^— + —-^	 ^ 2, где п ^ 4
Ж2 + Х4 Хз + Ж1	Жп + Жп-2 Ж1 + Хп-1
И Ж1, Ж2, • • • , Хп > 0.
а3	б3	с3	а + 6 + с
+	+	^
О 0.
ai	а2 ,	. а„ ^ ™
8.5.	1	h • • • Н	— ^ 	-, где р — периметр
р — 2ai р — 2а2	р — 2ап п — 2

118	§8. О применении одного неравенства
многоугольника со сторонами ах, а2, • . • , ап (п ^ 3).
J++>
а3 F +с) Ь3(а + с) сг(а + Ъ) ^ 2
8'6' з,, , . + 7з7—-т + з, , ,ч ^ о, где аЪс = 1 и а,
с > 0.
8.7. 8 (ж3 + у3 + z3J ^ 9 (ж2 + yz)(y2 + xz)(z2 + xy), где ж,
z > 0.
)()()(
г=1 / \ г = 1 7 V г=1 7	V г=1
где 0 ^ <ц ^ а2 ^ . . . ^ ап, 0 ^ Ьг ^ 62 ^ . . . ^ Ьп, 0 ^ сх ^ с2 ^ . . .
... ^ сп, . . . , 0 ^ d\ ^ (i2 ^ • • • ^ dn.
8.9.	Рассматривается последовательность с положительными чле-
членами (хк), где 1 = хо ^ х\ ^ Х2 ^ • • • ^ жп ^ . . . Докажите, что
существует такое п, что для любой такой последовательности (хк)
^ + ^ + ... + ^^ ^ 3,999.
8.10.	Из внутренней точки М заданного треугольника ABC про-
проведены перпендикуляры МА\, МВ\, МС\ к прямым ВС, С А и А В
соответственно. Для какой внутренней точки М треугольника ABC
ВС СА АВ	„
выражение -rj——\- ~гт^—I" мг принимает наименьшее значение:
8.11.	Пусть G — точка пересечения медиан треугольника Л1Л2Лз,
а С — окружность, описанная около треугольника v4i Л2Лз- Прямые
, GA2 и GAs пересекают второй раз окружность С в точках
, Б2 и В% соответственно. Докажите, что
GAX + GA2 + GA3 ^ GBX + GB2 + GB3.
8.12.	Докаж:ите неравенство
/	 (a	а + • • • + 0>2к-1 — 0>2к)
а2 + . . . + а2/с - 2/с у а1а2 . . .
Z [CLi + 0,2
где /с ? N и ai, a2, . . . , а2& > 0.
8.13. Докажите, что
гс- 1
где vT-^z, ^,±, . . . ^,./t ^ ^ -^ ^ ! ^ 	1 _i_

Решения	119
РЕШЕНИЯ
8.1. В похожих примерах часто бывает удобно вместо — написать
а2
—г. То есть
ab
2
Ж1	Ж2	Жз	_	#1
Х2 + Жз	Жз + Ж1	XI + Ж2	Ж1 (Ж2 +
	ж|	ж2,	(а?1 + ж2 + ж3J	3
ж (ж + aJ) ж (ж + ж) ^ 2 (жж + жж + хх) ^ 2
Ж2 (жз + Ж1) хз (xi + X2) 2 (Ж1Ж2 + Ж2Ж3 + Ж3Ж1) 2
(здесь мы воспользовались неравенством х±х2 + х2х$ + x%xi ^ х\
8.2. Имеем
Ь2	с2	d2 ^
a(b + c) + b(c + d) + c(d + a) + rf (a + b) ^
>	> 2
^ ab + 2ac + arf + be + 2Ы + cd ^
Для доказательства последнего неравенства достаточно раскрыть
скобки в выражении (а + Ъ + с + d) и воспользоваться неравенствами
а2 + с2^ 2ас, b2 + d2 ^ 2bd.
8.3. Имеем
2	2
Ж	Х
Ж1 (Ж2 + Хп)	Х2 (Жз + Ж].)	' ' ' Хп (Xi + Жп-i) ^
(Жх + Ж2 ~Г • • • Н~ %п)
Жп ^Ж1 Н- Хп-1)
Ж2Ж3 + • • • + Хп — \Хп + XnXi)
Когда п ^ 4, имеем Лп ^ 2 (см. решение упр. 7.6).
8.4. Воспользовавшись неравенством (8.4), получим
a4	64	>
а3 + a2b + аб2 б3 + Ь2с + 6с2 с3 + с2а + са2 ^
>	(а2 + б2 + с2J	а
^ (	)B 2 2) ^
/	г	2 , l2 , 2 ^ (а + ^ + СJ
(здесь было использовано неравенство а + о + с ^	—, т. е.
о
неравенство (8.6) при п = 3).
8.5. Без нарушения общности можно предположить, что а\ ^
^ а2 ^ . • . ^ ап; тогда 0 < р — 2а\ ^ р — 2а2 ^ ... ^ р — 2ап.

120
§8. О применении одного неравенства
Учитывая замечания к неравенству (8.5), получим
• 1	а2 • 1	ап • 1	(сц + а2 + . . . + ап) п _ п
I	f-v	I	• • •	I	^
— 2ai р — 2а2
8.6. Имеем
р — 2ап ^ пр — 2 (аг + а2 + . . . + ап) п — 2 '
а F +с)
+
,
с (а
>
2 (аб + 6с + ас)
^
3^/а262с2 3
8.7. Имеем
\ / 2 , ч
) (zz + xy)
С другой стороны, согласно неравенству (8.4)
. (8.8)
2 + y2 + z2)
|
z2)
(x2
х + у + z
откуда
(8.9)
Из (8.8) и (8.9) получаем
(x2 + yz) (у2 + zz) (z2 + xy)^^ (x3 + y3 + z3J .
8.8. Воспользовавшись неравенством Чебышева, получим
г=1
г=1
-
n
г=1

Решения	121
8.9.	Воспользовавшись неравенством (8.4), получим
2	2	2	(	\	\	\	\2
—- ч—- +... ч——- ^ —^——^—^—-^—^— = кп.
Ж1	Х2	Хп	Х\ -\~ Х2 ~Г • • • Ч~ Хп
Докажем, что существует натуральное число по такое, что при п >
>п0 Кп ^ 3,999.
Действительно,
(xq + a?i + . . . + xn—i) — 3,999 {х\ + ж2 + . . . + хп) =
а( i i i \^ i r\ r\oi / i i i	\
I Ju \ \^ Jb 2 \^ • • • \^ tJL> 77,	1// ^^ U,UU-L I tb ]_ п^ «^2 П^ • • • \^ "^ ТЪ	1/
- 3,999жп ^ 0,001 (п -1)хп- 3,999жп ^ 0,
3 999
когда п ^ —	hi. Таким образом, по мож;но принять равным 4000.
8.10.	Преобразовав выраж;ение и используя неравенство (8.4), по-
получим
БС2	СЛ2	АВ2
-г „ А „„ -г Ав. MCi /
>	 = 4р2	р
^ БС • МAi + СЛ • MBi + АВ • MCi ~ 2# ~ г '
п	ВС СА АВ
Следовательно, наименьшее значение выражения —-——h	+
MCi
2р	ВС	СА	АВ
будет равно -, когда вс.мм = CA.MBi = Ав . MCl» т.е. когда
МЛх = МБ1 = МС\\ значит, М является центром окружности,
вписанной в треугольник ABC.
8.11. Обозначим через Л715 Л2, Л3 и ai, a2, аз середины и длины
сторон Л2Лз, ^1^4з5 ^1^2 соответственно.
Пусть ai ^ а2 ^ аз; нетрудно доказать, что СЛз ^ GЛ2
Имеем - Gt4i • BiA± = -af, откуда G5i =	h
Таким образом, остается доказать, что
12 ЗСЛз
Воспользовавшись неравенством (8.5), получим
а\	а\	а\ ^ al + al + al _ 3 (СА2, + СА\ + СА%)
GA3 GAt + GA2 + GA3
8.12. Согласно неравенству упр. 2.1 имеем

122
8. О применении одного неравенства
2к у
следовательно,
а,\ + а2 + . . . + а2к — 2/и
- а2)
-. • • + -
> (ai - a2J
^ 2(ai+a2)
Теперь, используя неравенство (8.4), получим
(fl-i — п2)	\0>2к — 1 — О,2к) ^ \О>1 — О>2 ~~\~ • • • Н~
2(ai+a2) "'" 2(a2k-i+a2k) ^ 2(
Таким образом,
(fl2fc-l —
¦ а2 + . . . + a2fc)
a2
8.13. Имеем
2к
2(ai + a2 + . . . + a2k)
следовательно,
п-1
(ai + . . . + ап) ^ —. Заметим, что
1 + ап ^ п + а\ + . . . + ап '
+ \/aids + . . . +
следовательно, —
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Доказать неравенства 1-19.
п	2	n
1. 2V ——	 ^ У2 ai, где ап+1 = аь а» > 0 (г = 1, 2, . . . , п).
V
г=1
2.
Xi Н	)
/ 2	\2
, где Ж1 + х2 + • • • + хп = 1, х{ > О
3.	a +
О 0.
4.	а) -
b + c
а2 + Ь2 Ь2 + с2 а2 + с2 ^ а3 б3 с3
2с
+
2а
+ • • • +
26

Задачи для самостоятельного решения
123
где о», bi > О (г = 1, 2,..., тг);
б) - "" ^ ""
+
^n + bn + aanbn
^ a (ai + . . . + an) + 2n a F1 + . . . + bn) + 2n'
где ai, bi > 0 (г = 1, 2, . . . , n), a > 0;
n	n
в)
= , где a^ > 0, 6i > 0 (г =
E-0 + E*
dn + bn
-\-
«n + ^n + nanbn
n ( ax
^ 2
+ . . . + an , &i + • • • + frn \ >
где a^bi > 0 (i = 1,2, . . . , n);
n2 (ci + . . . + cn)
• 6i ' ' ' an • bn
. . . + bn
-, где a^, 6^,
Ж1	.	Ж2	.	, Xn-1	Xn	П
5. 	¦	1	¦	h • • • H	¦	1	¦	 ^ -, где п = 5 или
Ж2 + Жз	Ж3 + Ж4	Жп + Х\	Х\ + Ж2	2
п = 6, ж^ > 0 (г = 1, 2, . . . , п).
где ai,a2j. . . , an > 0.
7.
1
1,1	,
+ —г-	г, где а, 6, с —
a b с а + 6 — с 6 + с —а а + с —
стороны некоторого треугольника.
bсd
a, 6, с,
	d	2
a + 26 + Зс ^ 3'
О.

124
8. О применении одного неравенства
э. y.-/=t^т^т
, где х{>0 (г = 1,...,п) и
> 1.
10.
г=1
1 + Ж2 + Жз + • • • + Хп	1 + Ж1 + Жз + • • • + Хп
ж2
- 2 '
где Ж1,ж2? • • • ?жп > 0 и
11. ж* + х\ + . . . +
1 + Ж1 + Ж2 + • • • + Жп_1
. .. + жп = 2, п^2.
J— 'Т* о ——	—— Т*	Т ПР*	к* ^— \^	ТД
\ *As 2i I • • • | bJU 77, ч i nn	^ ^—
2 • • • хп = 1; ж^ > 0 (г = 1, 2, . . . , гг).
12. yja\ + Va2 + • • • + V«n ^ ai + а2 + . . . + ап, где а» > О
(г = 1, 2, . . . , п) и aia2 . . . ап = 1.
б)
2С)Ы, где аЛс>0;
J + с2 5'
14.
+
+
где #1, ж2, . . . , жп > 0, п ^ 3.
15.
. . . + ата)
а3
1
a2, . . . , an > 0, n ^ 3.
16.
о (л/^1 + ' • ' + л/^п)'
Ь • • • Н
^ ^ , w ~6 ! з з '. 6 "¦ 6 ! з з ! 6
ic у -\- у у + у z + z z + z x + x
где аь
где ж,
z > 0 и жуг = 1.
18.
l + xz l + yz 1 +,
v3
, где
-, где ж, у,
> 0 и жуг = 1.
1ft а3 ,
19. -г—г- + ^
о + 2с с
где

Задачи для самостоятельного решения	125
20. Найти наименьшее значение выражения
5 5	5
Xl	,	Х2		Хп
Х2 ~т~ Xq ~т~ • • • ~Т~ Xух	Х\ ~\~ Xq ~\~ • • • ~Т~ Xft	Х\ ~\~ Х2 ~г
где п ^ 3 и a?i, . . . , хп > 0, х\ + . . . + х^ = 1.
21. Доказать, что
2п	1	1	1 Зп +1
Зп + l^n + l п + 2 " " " In ^ 4(п + 1)
где n G N.

§ 9. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА
Пусть требуется доказать неравенство
f(x)>g(x)	(9.1)
в интервале [а, Ь] = / или [а, +оо) = /, где функции f(x) и g(x)
определены и непрерывны в области /.
Теорема 9.1. Если функции f(x) и g(x) дифференцируемые
области /, /(а) ^ g(a) и в области I h'(x) ^ 0, где h(x) = f(x) —
— g(x), то в I имеет место неравенство (9.1).
Доказательство. Если в области / hf(x) ^ 0, то функция
h(x) в этой области не убывает и, следовательно, h(x) ^ h(a) в каждой
точке х области /, т.е. f(x) — g(x) ^ f(a) — g(a) ^ 0, откуда
f(x)^g(x).
Замечание. Если в области / Ы (х) > 0 (х ф а), то для х Е /
и х > a f(x) > g(x).
Пример 9.1. Доказать неравенство 2Ж+1 > х + 2, когда ж ^ 1.
Доказательство. Рассмотрим функцию h(x) = 2Ж+1 — ж — 2
в области [1, +оо).
Имеем /гA) = 1 и h'(x) = 2Ж+1 In 2 — 1. Функция у = 2х возрастает
в области [1,+оо), тогда hf(x) ^ 4 In 2 — 1 > 0.
Следовательно, когда х ^ 1, имеем /г(ж) ^ ^A), или 2Ж+1 ^ ж + 3,
поэтому 2Ж+1 > ж + 2.
Пример 9.2. Доказать неравенство
(
п=1 ?тг=1
Доказательство. Рассмотрим функцию
к	к
гп	п
\
п=1 т=1
в области [0,+оо). Имеем
к	к
п=1 га=1
следовательно, для х > 0 hf(x) ^ 0, поэтому /гA) ^ /г@) = 0, т.е.
У ( V ^Ьо.
-^ \ /-^ т + п I
=1 Кт = 1	7

§9. Использование производной и интеграла	127
Теорема 9.2. Если f(b) ^ g(b) и в области I h'(x) $J 0 (h(x) =
= f(x) — g(x)), то в I имеет место неравенство (9.1), где I = [а, Ь]
или I = (—оо, Ь].
Доказательство. Если в области / h'(x) ^ 0, то функция
h(x) в этой области не возрастает и принимает свое наименьшее зна-
значение в точке х = Ь. Но h(b) ^ 0, следовательно, для любого х
из / h(x) ^ 0.
То есть в области / f(x) — g(x) ^ 0, или, что то же самое,
/(*) > g{x).
Теорема 9.3. Если для любого х из области I имеет место
неравенство (9.1), то имеет место таксисе неравенство
j,	(9.2)
а
где I = [а,Ь] или I = [а, + оо).
Доказательство. Если имеет место неравенство (9.1), то име-
имеет место и неравенство F'{x) ^ С7(ж), где F'{x) = /(ж), G'(x) = g(x)
и F(a) = G(a) = 0.
Отсюда следует, что также имеет место неравенство F{x) ^ G(x),
X	X
откуда, принимая F(x) = \f(t)dt, G(x) = \ g(t) dt, получим
a	a
неравенство (9.2).
Пример 9.3. Доказать неравенство
-ж(тг - х) - —тг2,
когда
7Г ТТЛ
' 2У"
Доказательство. Рассмотрим неравенство ctgх > — — ж,
справедливость которого следует из известного неравенства tga > a
f 0 < а < — J с заменой а на ( — — х).
Интегрируя рассматриваемое неравенство, получим
Г
f ctg* ей > Г| -
^/6	тг/6
откуда ln(sinх)-\п-> 1-х-— )-[-•---[-) ,
2 \2	2 1 \2Ь 2 \ о / I
или
lnBsin х) > - х(тт — х) — — тг2.

128	§9. Использование производной и интеграла
УПРАЖНЕНИЯ
Доказать неравенства 9.1-9.22.
9.1.	За3 + 7Ь3 ^ 9а62, где а, b ^ 0.
9.2.	2п~1(хп + уп) ^ (ж + у)п, где ж,у>0, n G N:
ж2	ж3
a) cos ж ^ 1	—;	б) sin ж ^ ж - —-;
2i	о!
2	4	3	5
^ТГ»	Гр	Гр	Гр
в) cos ж ^ 1 - — + —; r)sina;^a:-- + -;
где ж ^ 0 (используйте справедливое неравенство sin ж ^ ж).
9.4.	ж - sin ж ^ 1 - cos ж ^ ж а/2 - sin ж, где 0 ^ ж ^ —.
9.5.	tg ж + sin ж ^ 2ж, где 0 ^ ж < —.
хг
2
2п+1
2п +1 :
2п+2
2п + 2~
1С) \ Ж
2
' 2п + 1
где ж ^ 0, п G N.
Ж2	7Г
9.7.	1п(со8ж) ^ ~^ гДе 0 ^ ж < —.
no-	^ ХGГ — Х)	п ^ ^ К
9.8.	sin ж ^ —^——-, где 0 ^ ж ^ —.
, з
9.9.	tga; - ^^ ^ ж, где 0 ^ ж < ^.
9.10.	(х-\—Jarcctgж>l, где ж > 0.
9.11.	—^— + —^— + . . . + -!- < 1пЗ, где п G N.
п + 1п + 2	Зп
Л -. Л 3 cos х	sin ж	3	_	. тг
9.12.	——	 < 	 <	, где 0 < ж ^ -.
1 + 2 cos х	х	4 - cos x	2
р	j q	^	^
9.13.	ab^—-\	„ где a,b,p,q>0, - + - = 1.
р q	p q
р 	 1 р	п in
9'14' ар + ЪР > ап + Ъп ' ГД6 а > Ь > °' Р > П'
9.15. A + ж*I/* _ A + ж*)-1/*^ ж, где ж ^ 0, t ^ 2.

Упражнения	129
9.16. ab ^ еа + ЬAпЬ- 1), где
9.17. B + ^^\пх<: ^—^, где
V	3 У	ж
9.18. 2sinx + 2СО8Ж ^ 3, где 0 ^ ж ^ |.
к+1	,	-, ч /с + 1 к+1
f < 1* + 2* + + * < A + )
9.19. f— < 1* + 2* + ... + п* < A + -) -т-гт, где n, fe G N.
к + 1	\ п)	к +1
9.20. а) (-) < п!, где п е N;
/п\п
б) га! < га ( -J , где га ^ 7, га G N.
9.21. (аа + б"I/" > (а^3 + Ь?I^, где а, 6 > 0, 0 < а < C.
9.23.	Вычислите целую часть числа -—= + —-= + . . . + —-=
"	о /л	6 /г	о/-1 г
9.24.	Докаж:ите неравенство
где п G N, n ^ 2.
9.25.	Докажите неравенство Бернулли:
а)	A + ж)а > 1 + аж, если а > 1, ж > —1, ж ^ 0;
б)	A + ж)а < 1 + аж, если 0 < а < 1, ж > -1, ж / 0.
9.26.	Пусть /(ж) = ai sin ж + a<i я1п2ж + . . . + ап ятпж, где ai,...
... , ап — действительные числа, а п — натуральное число. Известно,
что |/(ж)| ^ |sin ж| для всех действительных чисел ж. Докажите, что
|ai + 2а2 + . . . + пап\ ^ 1.
Докажите неравенства 9.27-9.32.
9.27.	ж2 ^ A + жIп2A + ж), где ж > -1.
9.28.	п+\/п + 1 < ^/п, где га ^ 3, га G N.
9.29.	axbl + a2&2 + • • • + an^ ^ «i + • • • + ап, где a^, Ъ{ > 0,
г = 1,2,...,п, б^1 ...6^ = 1, ж > 0.
9.30. хх > а [±^г) , где - < ж, a > 0.
\а + 1/	a
9 Н.М. Седракян, A.M. Авоян

130	§ 9. Использование производной и интеграла
9.31. (°? + °? + - + °у > (с4±4±^±А)'\ где
а2, . . . , ап > 0, а ^ /3, а, /3 ^ 0.
9.32. а) л/об < ¦ a~f , < ^Ц^, где а, 6 > 0, а ф Ь;
v	In a — In о	1
<\ 2ж	,	ч ж(ж + 2)
б)^Т^<1п(ш + 1)<^ТТ)' где ж>0;
ч	1П Ж	1	Гк	/ 1
в)	 < —=, где ж > 0, х ф 1;
ж — 1 уж
д)	|ж - у\ ^ |1пж - In2/|, где 0 < х,у ^ 1;
ч . 1 In х — In v
е)	In - < 	-, где 0 < у < х ^ 1;
У х - у
ж)	In A + - ) < 	-, где х,у > 0 и х + у ^1.
V у/	ж - у
2	3	2fc
Ж	Ж	Ж
9.33.	а) Докажите неравенство 1 — х + —— — + ...+ . > О,
Z!	о!	(^/С)!
где /г G N.
б) Докажите, что если многочлен п-й степени Р(х) неотрицателен
при любом значении ж, то Р(х) + Р'(х) + Р/7(ж) + . . . + Рм(х) ^ 0
при всех значениях х.
9.34.	Докажите неравенство ar — br + cr ^ (a — 6 + с)г, где а ^
> Ь> с>0 и г ^ 1.
РЕШЕНИЯ
9.1.	Рассмотрим функцию h(a) = За3 + 7b3 — 9ab2 в области
[0, +ос). В случае b > 0
/г@) = 763 > 0, ft'(a) = 9a2 - 962 = 9(a - 6)(a + b).
Функция h(a) в области [0,6] убывает, а в [6, +оо) возрастает, и
так как h(b) = 363 + 7Ь3 - 963 = б3 > 0, то h(a) > 0 в области
[0,+ос), следовательно, За3 + 7b3 > 9ab2. В случае 6 = 0 очевидно,
что 3a3 + 763 ^ 9ab2.
9.2.	Рассмотрим функцию h(y) = 2п(жп + уп) - (х + у)п в
области [0,+оо). Имеем
h'(y) = п2"-1?/"-1 - п(х + у)" =

Решения	131
h'(y) = 0, если у = ж, /^(у) < О при О ^ у < х и hf(y) > О при
у > х. Это означает что на [0, ж] /г(у) убывает, а на [ж,+оо)
возрастает, и так как h(x) = 0, то в области [0, +оо) /г(у) ^ 0, т.е.
1(	) (	)
9.3. а) Воспользуемся неравенством sin ж ^ ж, интегрируя которое,
получим sin t dt ^ \tdt или — cos t
о	о
ИЛИ	^2
, т. е. - cos х + 1 ^ —-
о
y	(9.3)
б)	Согласно теореме 9.3 для неравенства (9.3) имеем
[cost Л ^ [ 1 - у
о	о
откуда следует справедливость данного неравенства.
в)	Из неравенства б) согласно теореме 9.3 можем написать
fsint dt ^ f t- ^ j dt,
откуда и получается данное неравенство.
г)	Доказательство получается из п. в) и теоремы 9.3.
9.4.	Оценим разность sin x — cos x. Учитывая, что sin x + cos x =
= у/2 sin (х + —), нетрудно заметить, что в случае 0 $J х ^ — име-
имеет место неравенство 1 $J sin x + cos х ^ у/2, интегрируя которое,
получим
XX	X
\ldt^\ (cost + smt)dt^ \ y/2 dt,
0	0	0
откуда и получаем х $J sin x — cos x + 1 ^ х у/2.
9.5.	Согласно неравенству C.2) имеем
cos х Л	^— ^ 2 \ / cos ж	^— = 2
cos ж	V	cos ж	V cos ж
а согласно теореме 9.3 имеет место также неравенство
dt
2
J	cos2t
о	о
откуда получается данное неравенство.

132	§ 9. Использование производной и интеграла
9.6. Сначала покажем, что
1 - х + х2 - ... + х2п - х2п+1 SC —*— «С 1 - х + х2 - ... + х2п, (9.4)
-L ~\~ X
где ж ^ 0.
Воспользовавшись формулой для суммы геометрической прогрес-
прогрессии, получим
Л	2п+2	-,	-, . 2п + 1
1 + ж	1 + ж	1 + ж'	'
или 1-ж2п+2^Ю + ж2п+1.
Из теоремы 9.3 и двойного неравенства (9.3) получим данное.
( ж У
9.7.	Поскольку Aп(со8ж)У = — tg#, ( — — I = —ж, то из нера-
неравенства — tga; $J —х (О ^ х < —) и теоремы 9.3 получим данное
неравенство.
9.8.	Рассмотрим функцию F{x) = sin ж —	—- в области
0, — и функцию G(x) = F'(x) = cos x + х — — в области 0, — .
Поскольку G'(x) ^ 0, то в случае х ^ — имеем G(a?) ^ G ( — J, или
^(ж) = cos ж + ж - | ^ 0, и так как х ^ 0, то F(a;) ^ F@) = 0.
Таким образом, sin х	 ^ 0.
tff^ X	Г 7Г Л
9.9.	Рассмотрим функцию /(ж) = ж—tga;+—-— вобласти 0, — J.
Имеем /7(ж) = 1 — (tg x)r + tg2 ж(tg x)r = tg4 ж ^ 0, следовательно,
/(ж) > /@) = 0, т.е. х > tgx - -^.
9.10.	Докажем, что в случае ж > 0 имеем arcctgж > 	~-
1 + х
Рассмотрим функцию fix) = arcctgж	~ в области @, +оо);
1 + X
1	1 — ж2	2
f'(x) =	«	9~т =	9~т < 0^ значит, функция f(x)
J У J	1 + ж2 A + ж2J	A + ж2J	^	М ;
вобласти @, +оо) убывает, следовательно, /(ж) > 0, lim / (ж) = 0.
9.11.	Имеем
п+к	п+к
	г dx <	— с^ж, /и = 1, 2,. . . , 2п,
J п + /с	J ж
n+fe-l	n+fe-1
откуда

Решения	133
n+l	n+2	3n
-^— + -^ + ... + -!-< f - da: + [ - cte + . . . + f - da; =
n + ln + 2	3n J ж	J ж	J ж
3n
I
n+l	3n-l
3
3n
= — dx = \n x
X
n
= ln3.
9.12. Сначала докажем, что в случае 0 < х ^ —
sin ж	3 cos ж
1 + 2 cos ж '
_	7Г
или при 0 < х < —
+ 2 sin ж > Зж.
Действительно, рассмотрим функцию f(x) = tgж + 2 sin ж — Зж.
Тогда / @) = 0, и производная функции в области @, — J положи-
положительна. Так как cos ж ф —«—-> т0 согласно неравенству из упр. 2.1
cos х
f'(x) = 	2	1" ^ COS Ж — 3 = 	2	1"
cos ж + cos ж — .
cos "ж
>3{/	2 -3 = 0.
V cos ж
Следовательно, функция /(ж) в области 0, — j возрастает, откуда
f(x)>f@).
sin ж	3	-	/„ тг \
Неравенство 	 <	 в области 0, — I эквивалентно
ж	4-cos ж	V 2 /
неравенству 4 sin ж — sin ж cos ж < Зж, для доказательства которого
рассмотрим функцию F(x) = 4 sin ж — sin ж cos ж — Зж в заданной
области. Так как
F'(x) = 4 cos ж - соз2ж - 3 = 4 cos ж - 2со82ж - 2 = -2(со8ж - IJ < 0
то в области 0, — ) функция F (ж) убывает, следовательно, F (ж) <
< F @) = 0.
хр~г Ъя~г
9.13. Рассмотрим функцию fix) = —	1	в области @, +оо):
ро	qx
р — I xp~2 bq~1 xp — bq
/'(ж) =	о- = 	о—, следовательно, /'(ж) > 0 при
р о	qX	qbx
х > bqIP и /'(ж) < 0 при 0 < ж < bqIP.

134	§ 9. Использование производной и интеграла
Таким образом, в области @, bq/p] функция убывает, а в области
[6д/р,+оо) возрастает. Следовательно, функция/(х) принимает свое
наименьшее значение при х = 6д/р, т.е.
xp-i ъя-^ {у/»)»-1 У'1 1 1
ъ^ {у)	У _ 1 1 _
pb qx ^ pb qbq/p p q
хр bq
или	1	^ жб, откуда в случае х = а получим данное неравенство.
Р иР
9.14. Обозначим — через с. В этом случае с > 1 и —р	г^ =
о	а -\- о
ср -1 ап-6п сп-1
с - 1
Рассмотрим функцию /(ж) = —^—- в области (—оо,+оо): ff(x) =
2сх\пс	с, +	,, ч
= 	2 ^ v, следовательно, функция jyx) в рассматриваемой
(с +1)
ср — 1
области возрастает, значит, в случае р > п f(p)> f{n), т.е. -р—- >
сп-1
9.15. Нетрудно доказать, что данное неравенство эквивалентно
/1 , tM/t ^ x+ Vх2 + 4
неравенству A + х ) ' ^ 	*—	, доказательство которого сле-
гл ^-1	/-I	9\1 /9 / Ж + Л/Ж2 + 4
дует из упр. 9.21 и неравенства A + х ) ' ^	*
9.16. Рассмотрим функцию f(x) = ех + 6Aп 6 — 1) — хЪ в области
(—оо,+оо): f'(x) = еж — 6, следовательно, функция /(ж) в области
[1п6,+оо) возрастает, а в области (—оо,1п6] убывает. Поэтому в
случае х = In b функция примет свое наименьшее значение, т. е.
/(ж) ^/AпЬ), откуда f(a) ^ elnb + b(\nb - 1) - Ъ\пЪ = 0.
)
х2 — 1	In3 ж
2 I
х — 1 In ж
9.17. Рассмотрим функцию f(x) =	2 In ж	—- в области
X	О
[1,+оо). Имеем
In2 ж
Для выяснения знака функции f'(x) рассмотрим знак функции
g(x) =	In2 ж в заданной области:
4 '	х
, = х^. _ 21пж = ^-21пж
ж2	х	2ж
ж2 - 1
Теперь рассмотрим функцию F{x) =	2 In ж в области [1,+счэ).

Решения	135
ж2 + 1 2 (х — IJ
Поскольку F'(x) = 	о	= 	2~^ ^0, то в случае ж ^ 1
ж	ж	ж
F(#) ^ F(l) = 0, следовательно, gf(x) ^ 0, откуда g(x) ^ g(l) = 0,
и, наконец, /'(ж) ^ 0, т.е. f(x) ^ /A) = 0.
9.18. Рассмотрим функцию f(x) = 2sinx + 2СО8Ж - 3 в области
Имеем /'(ж) = 2COSX cos ж In 2Bsin Ж-СО8 ж - tgx) ^ 0, так как
2sinx~cosx -tgx ^ 0.
Действительно, рассматривая функцию F{x) = sin ж — cos ж —
— log2 tg х в области f 0, — , получим
F'(х) = cos ж + sin х	:	—- =
sin x cos ж In 2
= 	( ^— sin ( х -\— ) sin 2x — -— ) <
sin ж cos ж V 2	V 4/	In 2/
sin ж cos ж \ 2 In 2/ '
следовательно, F(x) ^ F (^\ = 0, или 2sinx-QOSX - tga; ^ 0.
Таким образом, /'(ж) ^ 0, значит, /(ж) ^ /@) = 0.
7Г	7Г „ /7Г	\\п
В случае — ^ ж ^ — ^ ( —- — д^ ) ^ 0; воспользовавшись тожде-
4	А	\ A	J
ством /(ж) = / ( — — жК получим /(ж) ^ 0.
9.19. Имеем
2	3	п+1	п+1
Ж
\xkdx+\xkdx + ...+ xkdx =
12	n	1
Ч^ГТ^ - 7ГГТ < ("^}1*+1 = С1 + ^
гъ ~~г~ -L	гъ ~~г~ -L	гъ ~~г~ -L	\	/6 у
1	К -\- 1	К -\- L	К -\- L	\	П/	к -\-1
Аналогично имеем
12	п	п
~i к _|_ с\к _|_	_|_ к >.	/е j _|_ rpkrfrp _i_	_i_	^r rt^r — т* /¦
о
0	1	n-1	0
Ж

136	§ 9. Использование производной и интеграла
9.20. а) Имеем
In 2 + In 3 + . . . + In n >
2	3	п	п
> In х dx + In x dx + . . . + In x dx = In x dx =
n-1
= (x In x — x)
= П\ПП — 71 + 1 > nlnn-П,
следовательно, n! > ( — ) .
/7\7
б) Нетрудно проверить, что 7! < 7( - j . Пусть n ^ 8. Имеем
n+l
In 2 + In 3 + . . . + In n < In 7! + f In x dx + . . . + Г In x dx = In 7! +
n+l
n+l
p	n+l
In ж ob = In 7! + (x\nx - x)	< (ra + 1) (In (n + 1) - 1) -
J	8
8
- 8 (In 8 - 1) + 8 In 7 - 7 < (n + 1) In n - n,
fn\n
или n\ < n [— J (см. упр. 3.16,6)).
9.21. Рассмотрим функцию /(ж) = (а^ + б^I/^ в области @,+оо).
Имеем
f(~\ — (r,x _l hx\i/x °>Х ln аХ + ^Ж 1п ^Ж ~ Щах + ^ж)а
/W-(a +b )	\х + Ъх)
Рассмотрим функцию F(t) = t\nt + с\пс — (t + с) ln(? + с) в области
@, с], где с > 0:
F7(t) = 1 + In t - 1 - \n(t + с) = ln (—^—) < In 1 = 0,
следовательно, F(t) ^ F(c) = 2clnc — 2cln2c < 0.
Пусть ax ^ bx. Приняв с = аж, t = bx, получим аж1паж +
+ bx \nbx - (ax + bx) \n[ax + 6Ж) < 0, следовательно, f'(x) < 0, т.е.
функция f(x) в области @, +oo) убывает, следовательно, в случае
/3 > a > 0
ха
9.22. Рассмотрим функцию f(x) = 	-^ в области @,+счэ).
(х + d)a
ха~г
Имеем f (х) = 	a+b+1 (ad — bx), следовательно, если 0 < х <
ух + и)

Решения
137
< —, то f'(x) > 0, а когда х > —, то f'(x) < 0. Таким образом,
функция f(x) в области @, — возрастает, а в области -—, +оо J
убывает. Следовательно, в точке х = —— функция принимает свое
о
наибольшее значение. Таким образом, f(x) ^ / ( ~г~) ? следовательно,
,м . , (ad\	са	\ ь )
/(с) ^ /(т), или	-
9.23. Имеем
откуда получаем
4	5
/То» J ^ J ^
10b
= f
+ . . . +
= 14997
10°
J v^
106-l
14997.
Аналогично имеем также
dx
dx
106
10b + l
J y/~a
io6
= § Ю4 - I v/16 = 1500 - §
= 14996 +
> 14996.
Таким образом, 14996 < -t-f= + • • • + о, < 14997, следовательно,
/4	/W
у/	y/
целая часть данного числа равна 14996.
9.24. Имеем
111
- Н	7= Н	7= + • • •
2 Зу^ 4a/3
п \/п

138	§ 9. Использование производной и интеграла
Зу^ 4у/з 5^/4
п
Г 1
¦ . . . + —-i= dx =
J х у ж
п-1
п
11 1 1 Г 1
= о +	Т +	Т + 77^ + 	7= dx =
2 За/2 4a/3 Ю J жу^
4
^ Ю 3 у2 4 у3	уп	3 у2 4 у3
1 , 1	2у/2+у^З 2-1,5 + 1,8 . А
таккак —^ + ^ = —[д— < ц =0,4.
Следовательно, - Н	-р + . . . Н	-^= < 2.
9.25.	а) Рассмотрим функцию
/(ж) = A + ж)а — 1 — аж
в области (—1,+оо). Поскольку /'(ж) = аA + ж)" — а и а > 1,
то в случае — 1 < ж < 0 /7(ж) < 0, следовательно, /(ж) > /@) = 0,
и в случае ж > 0 /7(ж) > 0, следовательно, /(ж) > /@) = 0.
б) См. решение п. а).
9.26.	Имеем — |sinж| ^ /(ж) $J |sin#|.
Когда 0 ^ ж ^ —, имеем —sin ж ^ f(x) ^ sin ж, откуда
А
sin ж f(x) . sin ж
следовательно,
sin ж /(ж) sin ж	,	,
-1 = -hm	 ^ hm ^^-^ ^ hm 	 = 1 (ж > 0).
JL	X—Уи Л	X—Уи Л
С другой стороны,
hm ^ = lim /(ж)~^иу = /7@) = п1 + 2а2 + . . . + п • ап.
х^-0 X	х^О Ж — 0
Таким образом, получили, что — 1 ^ а\ + 2а2 + • . • + п • ап ^ 1.
9.27. Когда ж ^ 0, данное неравенство эквивалентно неравенству
ж
1пA+ж), для доказательства которого рассмотрим функцию
у/х + 1
/(ж) =	- 1пA + ж) в области (—1,+оо).
l +
y +
Поскольку /7(ж) = ^	— ^0, то в случае х ^ 0 /(ж)
2/ + 1( + 1)
Когда — 1 < ж ^ 0, данное неравенство эквивалентно неравенству
/ (х) < / @) = 0.

Решения	139
In х
9.28.	Рассмотрим функцию f(x) = 	 в области @,+оо).
Поскольку ff(x) = 	2—•> то в области (е,+оо) функция /(ж)
х
убывает, следовательно, в случае п + 1 > п ^ 3 /(п + 1) < /(^), или
1п(п + 1) Inn
п + 1
9.29.	Сначала докажем, что при х ^ 0 /(ж) = 6Ж - 1 - ж In b ^ 0,
так как ff(x) = \nb(bx - 1). Когда 6^1, то In6 ^ 0 и 6Ж - 1 ^ О,
следовательно, /'(ж) ^ 0. Когда 0 < b < 1, то In b < 0 и 6Ж —
— 1^0, следовательно, /'(ж) ^ 0. Таким образом, получили, что
f'(x) ^ 0, т.е. f(x) ^ /@), таким образом, Ьх ^ 1 + ж1п6, откуда
можем получить
aibx + a2bx + . . . + dnb^ ^
^ ai(l + xlnbi) + a2(l + ж1п62) + . • . + an(l + x\nbn) =
= ai + а2 + • • • + ап + ж \п(Ь^ Ь%2 . . . ^п) = ai + а2 + . . . + ап.
9.30.	Данное неравенство эквивалентно неравенству
х -\-1
ж In ж > In a + (x + 1) In	.
v	y a +1
Рассмотрим функцию
х -\- 1
/(ж) = ж In ж — In а — (ж + 1) In	-
г Г1 , \ ^// ч 1 х(а + 1) Л	1
в области — ,+ooj: J [х) = In —^	—^ > 0, когда ж > —, следо-
вательно, функция /(ж) в заданной области возрастает, значит, при
9.31. Рассмотрим функцию
в областях (—оо,0) и @, +оо). Имеем
af lnai + . . . + a%lnan _ af +
w/_\ _	af + . . . + ag
x1
(ax In ax + • . . + ап In ап ^ а1 + . . . + ап .
п
п
так как функция f(t) = t\nt в области @; +оо) выпуклая. Действи-
Действительно, f'(t) = \nt + 1 и /"(*) = - > 0.

140	§ 9. Использование производной и интеграла
Следовательно, когда а ^ C > 0 или 0 > а ^ /3, имеем
А когда а > 0 > /3, имеем
? + ; +"°)"° > ("? + ^ + °
следовательно,
9.32. а) Без ограничения общности можем принять, что а ^ 6.
В этом случае данные неравенства эквивалентны неравенствам
< In v
< In
а	Ъ
b
х — 1
Исследуем функцию /(ж) = In ж — 2 •	 в области [1, +оо).
х ~\~ J-
(х - IJ
Имеем ff(x) = —	—~ > 0 (ж > 1), следовательно, в области
х(х + 1)
[1,+оо) функция f(x) возрастает и при х > 1 /(ж) > /A) = 0.
2 — _ А
Взяв ж = —, получим неравенство ——	 < In—. Для доказа-
+ 1
тельства второго неравенства обозначим \ — = х ив области [1, +счэ)
исследуем следующую функцию: g(x) = 2\пх — х -\—.
X
(х - IJ
Имеем g'(x) = —	^— < 0 [х > 1), следовательно, функция
ж
g(:z) в области [1,+оо) убывает: g(x) < g(l) = 0, т.е. In — < W--
а
б) Возьмем а = х + 1 и 6 = 1. Воспользовавшись неравенством
из упр. 9.32, а), имеем
?х л , _, ч	х
——г < ЩХ + 1) < ^—-¦
ж ж(ж + 2)
Остается заметить, что —,	< —т	гт-

Решения
141
<
в) Взяв а = ж, 6 = 1 и воспользовавшись неравенством
а — 6	/— х — 1	In ж	1
/ <	<
имеем
<
откуда
<
In a — In о	v	In ж	ж — 1
v —
г) Взяв a = ж + 1, b = х и воспользовавшись неравенством из
упр. 9.32, а), имеем
1	. ж + (ж + 1)
Остается заметить, что
д) Написав неравенство
приняв во внимание, что
1П CL In 0
а — b	_
> 0, имеем
для чисел ж и у и
In a — In b
х - у
или
In х — In 2/
- Inу\
ж т~
так как 0 < ж, г/ ^ 1, а х = у\ получим справедливое неравенство.
е)	Пусть / = @,1], Ж1 = г/, ^2 = ж, жз = 1 и /(ж) = — Inx. Тогда
из неравенства из упр. 7.12, а) следует, что
х In у — In у ^ у In ж — In х > у In у — In ж.
ж)	Согласно неравенству из упр. 9.25,6) имеем
у
у
У
откуда получаем In ( 1 -\— )
9.33. а) Обозначим
In ж — In у
х - у
Когда х $J 0, имеем Pk(x) > 0.
Теперь докажем, что когда ж > 0, имеем р&(ж) — е~ж > 0. При
/с = 0 имеем справедливое неравенство ро(ж) ~ е~х = 1 — е~х > 0.
Предположим, что при к = п (когда ж > 0) неравенство рп(х) —
— е~х > 0 справедливо, и покажем, что оно справедливо и в случае
к = п + 1. (То есть имеет место неравенство pn+i(x) — е~х > 0.)

142	§ 9. Использование производной и интеграла
Действительно, пусть f(x) = pn+i(x) — e~x\ в этом случае f"(x) =
= рп(х) — е~х > О, когда х > 0. Следовательно, f'(x) > /'(О) = 0,
значит, в случае х > 0 f(x) > /@) = 0. Таким образом, получили,
что Pk(x) > е~х, когда х > 0. Следовательно, при х > 0 имеем
Рк(х) > 0.
б) Поскольку для всех х р(х) ^0, то п — четное число. С другой
стороны, многочлен F(x) = P(x) + Pf(x) + . . . + Р(п\х) имеет степень
п. Нетрудно доказать, что F(x) имеет наименьшее значение. Пусть
min F(x) = F(xo), в таком случае F'(xq) = 0. Таким образом,
(-оо, + оо)
F'(x0) = Р'(хо) + Р"Ы + ... + Р(п)(х0) + Р{п+1\х0) =
= Р'(х0) + Р"(х0) + ... + рМ(х0) = 0,
a F{x0) = Р(х0) + Р'(х0) + Р"(х0) + ... + Р(")(ж0) = Р(х0) ^ 0,
следовательно, F(x) ^ F(xo) ^ 0, т.е. F(x) ^ 0 для всех значений ж.
2
Взяв Р{х) =
(упр. 9.33, а)).
х2п
- Bп)!' пол>часм
2п 2п-1
Bп)! ' Bп-1
9.34. Рассмотрим функцию
в области [0,6]:
f(x) - гх^1
а — b ^
f(x) = ar-br +
— г(а — b + x)r x
> П ТЯ 1- 1 Ъ- П ТЛ
л + ... + u
жг — (а — 6 -
-гж1-1^
^0
Ьж)г
/ а- 6
V ж
^0	^0, ,	, л	[0, ] фуц
X
f(x) не возрастает, поэтому f(x) ^ f(b) = 0, т.е. /(с) ^ 0 или
аг -Ъг + сг > (а-6 + с)г.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Доказать неравенства 1-13, 16-18.
1. 2sinх ^ —Ь (ж	)сояж, где 0 ^ х ^ —.
2 \	Z /	L
L
хр — 1 ж9 — 1
2. 	 > 	, где р > q > 0.
Р	<7
3. ^/1+^/2 + ...+ д/п > - п а/п, где n G N.
о

Задачи для самостоятельного решения	143
4.	ех ^ хе, где х > 0.
_	sin а Л а2	_	тг
5.	-^- > 1 - —, где 0 < а < -.
6.	2 sin a + tg а > За, где 0 < а < —.
п . , sin 2ж , sin3z _	_
7. sin х Л	1	— > 0, где 0 < х < тг.
2i	о
9.	е~е < ^Р^{Ь + а) + 1, где 0 ^ а < b ^ с.
о — а	2с
10.	а)^>^, гдеО<а</3<|.
б) ^ < ^f, где 0 < а < C < ?.
2	тг
11.	— х < sin ж < ж, где О < х < —.
тг	2
12.	(sin ж) ^ ж~2 + 1	о > гДе О < ж < тг-
тг	^
3
13.	a) tga; > х + —-, где О < х < —;
б)	ж cos ж < 0,6, где 0 < х < —;
x/sinaA	тг
в) 	 ^ cos ж, где 0 < ж < —.
\ х J	2
14.	рп и дп являются периметрами правильных п-угольников,
соответственно вписанных и описанных относительно окружности
радиусом -. Разделим промежуток (pn, qn) на три равные части.
В какой части находится число тг?
15.	Найдите такие действительные значения ж, при которых ах ^
^ жа, где ж ^ 0 и а ^ 1.
^ч а + 6	c + rf
б) а + Ь + 2аЬ + c + d + 2cd

144	§ 9. Использование производной и интеграла
17.	хр + х~р + 2р ^ (ж + ж)р + 2, где х>0 и р ^ 2.
3(ж2 — 1)
18.	a) In ж > —о^	—, где х > 1;
ж + 4ж + 1
-ч а — b	1
б> IW^bb < 3

§ 10. МЕТОД ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СВОЙСТВ ФУНКЦИЙ
Пусть требуется доказать неравенство
,x2, • • •, хп)
при некоторых значениях переменных х\, ж2, • • • , хп.
Преобразовав это неравенство к виду
i, ж2, . . . , хп) - g(#i, ж2, . . . , жп) ^ 0,
исследуем зависимость от ж^ A ^ г ^ гг) функции
F(Xi) =
(переменные жх, ж2, • • • , ж^_х9 Жг+i, . . . , жп рассматриваются как по-
постоянные).
Пример 10.1. Доказать неравенство
{х\ + х\ + . . . + Ж^) COS	 ^ Ж1Ж2 + Ж2Ж3 + • • • + ЖП_1ЖП,
где п G N, n ^ 2.
Доказательство. Рассмотрим функцию
F (zi) = cos ^у ж? - х2хх + (ж| + . . . + х2п) cos ^у -
Она принимает свое наименьшее значение при х\ = 	, сле-
2 cos
п + 1
довательно,
F(Xl) =
w»	I	I /-Y»	\ УЛ y~v *™1	/-Y» /-yj	^^_ /yj	*^У*	^^^ гУ I
, 2 cos
Нетрудно доказать, что
о	П I	\ о •	2?Г	7r
, 2 cos	/ \ 2 sin	cos
n + 1	n + 1 n + 1

146	§10. Метод использования свойств функций
( Х2 \
Рассмотрим квадратичную функцию G(x2) = FI 	 ), по-
лучим	п + 1
2тг \ / 4тг
sin	 \ /	sin
3/ n
\ 2 sin	cos	-
n + 1 /	х	n + i п + 1
7Г
X COS	 — Ж3Ж4 — ... — Хп-\Хп.
п + 1
Проведя аналогичные рассуждения для переменных жз, • • • , хп, по-
получим
cos -^- = О,
n7r	эт
2 sin	cos
п+1 п+1
следовательно,
^	+
{х\ + ^2 + . . . + а?) cos
При доказательстве некоторых неравенств можно использовать
следующие свойства функций.
1°. Если функция f(x) определена в области [а, Ь] и убывает
в области [а, с], а в области [с, Ь] возрастает, тогда в области [с/, е]
функция f(x) принимает свое наибольшее значение в одной из гра-
граничных точек области [б/, е] (a $J d < е ^ Ь).
2°. Если функция f(x) определена в области [а, Ь] и в области
[а, с] возрастает, а в области [с, Ь] убывает, то в области [d, e] функция
f(x) принимает свое наименьшее значение в одной из граничных точек
области [d, e] (a $J d < e $J b).
Нетрудно заметить, что если функция f'(x) в области [а, Ь]
возрастает, то функция / (х) в области [а, Ь] принимает наибольшее
значение в точках а или 6, а если ff(x) убывает в области [а, 6],
то функция f(x) в области [а, 6] принимает наименьшее значение в
точке а или Ь.
Эти свойства функций можно использовать при доказательстве
некоторых неравенств.
Пример 10.2. Доказать неравенство
а2 + Ь2 + с2 ^ а26 + 62с + с2а + 1,
где 0 ^ а, 6, с ^ 1.
Доказательство. Рассмотрим функцию / (а) = а2A — Ь) —
- с2а + Ь2 + с2 - be2 - 1 в области [0,1].

Упражнения	147
Если Ъ ф\, то f(a) является квадратным трехчленом по а, ветви
графика которого направлены вверх. Следовательно, функция /(а)
принимает наибольшее значение в одной из точек на концах отрезка
[0,1]. Поскольку
/ @) = б2 + с2 - б2 с - 1 = A - с) (Ь2 - A + с)) ^ 0,
/ A) = 1 - b - с2 + Ь2 + с2 - Ъ2с - 1 = Ъ F - 1) - Ь2с <: 0,
то на отрезке [0,1] f(a) ^ 0, что и требовалось доказать.
Если 6 = 1, то доказательство проводится аналогично.
Пример 10.3. Доказать неравенство
Х\ + Х2 + Х3 - XiX2 — Х2Х3 - Х3Х1 ^ 1,
где 0^х{^1, г = 1,2,3.
Доказательство. Рассмотрим монотонную функцию
f(x) = Х + Х2 +Ж3 — ХХ2 — Х2Х3 — ХХ3 = хA — Х2
которая принимает наибольшее значение в одной крайних точек отрез-
отрезка [0,1]:
/ @) = Х2 + Х3 - Х2Х% = 1 + A - Ж3) (Х2 — 1) ^ 1,
/ A) = 1 - Х3 - Х2 + Х2 + Х% - Х2Х3 = 1 - Х2Хз ^ 1.
Следовательно, на отрезке [0,1] / (х) ^ 1 или же f(x\) = х\ + Х2 +
УПРАЖНЕНИЯ
Доказать неравенства 10.2-10.10.
ЮЛ. Докажите, что если неравенство \ах2 + Ьх + с\ ^ 1 имеет
место для всех чисел отрезка [—1,1], то для этих х имеет место
также неравенство \сх2 — bx + a\ $J 2.
10.2. (а + 6 + с) < 4(а6 + 6с + ас), где а, 6 и с — стороны
некоторого треугольника.
10-3- бТттт + ^тт + ^т1тт+A-а)A-6)A-с^1'где
0 ^ а, 6, с ^ 1.
b с
где 0 < p $J a, 6, c, d, e ^ g.
10*

148	§10. Метод использования свойств функций
, п	\ / П	\	П
10.5. a) I 2_jmiai ) ( 2^rni^)i ) ^ 2_jmiCLibi (неравенство Чебы-
4 = 1	' 4=1	'	г = 1
шева), где аг ^ а2 ^ . . . ^ ап, Ьх ^ Ъ2 ^ . . . ^ bn, J^ тг = 1, га*
> 0, г = 1, . . . ,п;
б) ( ^ m^ai j ( ^2 тгЪ{ \ ^ ^2 miaibi, ГДе а» ^ а2 ^ . . . ^ ап,
^	^ ^	^	г=1
raj = 1, mi > 0, г = 1, . . . , п.
10.6. A + ах) A + а2) . . . A + ап) ^ 1 + аг + а2 + . . . + ап, где аь
, • • • , ап ^ —2 и числа а\, а2, . . . , ап одного знака.
10.7.	(а?1 + ... + *„)(-! + ... + -L) ^ (^^ где Жь...
... , жп G [а, 6], 0 < а < Ь.
10.8.	Е-'И1-») ^ A-С)A-«-; + С)> где 0 < а ^ с ^ 6,
ао	с (а + о — с)
а + Ь < 1.
10.9.	h	г ^	1	г-, где 1 < а < т < Ь.
1 + а 1 + 6 1 + ш 1 , «б
г?г
10.10.	абс ^ - (ра + qb + re) , где а, 6, с > 0, p,q,r G 0, - , а +
о	L ^ J
РЕШЕНИЯ
10.1. Имеем
— с\ + |с — 6ж + а =
= |с|A — х ) + |с — Ьх + а| ^ \с\ + |с —
Если ж = 0, то из неравенства \ах2 -\-bx-\- с\ ^ 1 следует, что \с\ ^ 1.
Таким образом, \сх2 — Ьх + а\ ^ 1 + \с — Ьх + а\.
Остается заметить, что функция / (ж) = \с — Ьх + а\ на отрезке
[—1,1] принимает наибольшее значение в одной из крайних точек.
Следовательно,
f(x)
т. е. сх2 - Ьх + а\ ^ 1 + 1 = 2.

Решения	149
10.2.	Поскольку a, 6 и с — стороны треугольника, то |6 — с\ <
< а < 6 + с. Без ограничения общности можем считать, что b ^ с.
Рассмотрим функцию / (а) = (а + 6 + с) — 4 (аб + be + ас) в
области [Ь — с, 6 + с].
Имеем / (а) = а2—2а (Ь + с)+62+с2 — 26с. Графиком этой функции
является парабола с ветвями направленными вверх. Следовательно, в
заданной области f(a) принимает свое наибольшее значение в одной
из точек b — с, b + с:
/ (Ь - с) = 4с (с - Ь) ^ 0, / F + с) = -46с < 0.
Таким образом, в области (Ь — с, b + с) /(а) < 0.
10.3.	Рассмотрим функцию
в области [0,1]. Очевидно, что производная
в области [0,1] возрастает, следовательно, она обладает свойством 1°,
т.е. f(a) принимает наибольшее значение в одной из точек 0 или 1.
Мы фактически доказали, что функция /(а) принимает наиболь-
наибольшее значение в одной из точек а = 0, а = 1. Заменив а на 0 или 1 и
далее рассматривая полученную функцию как функцию 6, получим,
что она тоже принимает наибольшее значение в одной из точек 6 = 0,
6 = 1 соответственно.
Поскольку рассматриваемое неравенство симметрично относитель-
относительно а, 6 и с, то получим, что выражение в левой части неравенства при-
примет наибольшее значение в случае одного из троек @, 0, 0), @, 0, 1),
@, 1, 1), A, 1, 1). Во всех случаях левая часть данного неравенства
равна 1.
10.4. Рассмотрим функцию
или / (а) = Аа-\	\-АВ + 1, где А = --\	1--; + -, В = b + c + d + e.
а	о с а е
ту
Поскольку /' (а) = А	% (^>0)> т0 /(а) возрастает в области
а
[р, q], следовательно, она принимает наибольшее значение в одной из
точек р, q. Из сказанного ясно, что / (а) ^ max (/ (р) , / (q)).
Теперь рассмотрим функцию

150	§10. Метод использования свойств функций
, /,Ч	/	,	х/1	1	1	1	1\	г	п
или h (о ) = (q + b + c + d+e) [- + --{	1~ 3 + ~ ) на отрезке [р, q\.
\ См	к)	С	(JL	G- /
Аналогично получим, что
g(b) ^ max(g(p),g(g)) и h(b) ^ max (h(p), h(q)).
Продолжая эти рассуждения относительно переменных с, d и е,
получим, что выражение принимает свое наибольшее значение в том
случае, когда некоторые из переменных равны р, а остальные — q.
Таким образом,
(тр + nq) (т —\- п - J ,
где т, п ^ 0, т + п = 5, т,п ? Z.
Теперь докажем неравенство
v 2
Действительно,
т +п -\	I	^ 25 + 6 [ \ - + \ -
q	р	\\/ q V Vj
(т + пJ + тп(- + - -2) ^ 25 + 6 f- + - - 2V
\q p )	\q р )
25 + тп (^ + ^ - 2W 25 + 6 (^ + ^ - 2V
\q p J	\q p )
так как нетрудно заметить, что тп ^ 6.
Замечание. Неравенство из упр. 10.4 обобщается следующим
образом.
Докажите, что если 0 < р < «i, B2, . . . , ап < д, то имеет место
неравенство
/ i—	i—х 2
1	1
l a2	anj	\\q V V j
где
Сначала ознакомьтесь с упр. 10.7.
= 1,2,...),
; + l (A = 0,1,2,...).

Решения	151
10.5. а) Рассмотрим функцию
/	п	\ / п	\	п
f(x)=(m2x + ^2 т%аЛ\^2т%Ь%\ - ^ т^Ь* - m2xb2
в области [«1, аз]. Поскольку f(x) — линейная функция, то она свое
наибольшее значение принимает в одной из точек а\, а%. В выражении
М = f(a2) заменим а2 на а\ или аз и в полученном выражении
заменим аз на ж и аналогично докажем, что это выражение при-
принимает наибольшее значение в одной из точек ai, a^. Продолжая эти
рассуждения для чисел а^ . . . , an_i, b2, 63, . . . , 6п-ъ получим
М ^ (aai + Can)(jbi + J6n) - kaibi — (a - k)aibn —
- E - a + k) anbn - (C + a - 5 - к) an6i,
где «G)—сумма тех ttt^, соответствующие которым a^ F^) заменили
на а\ (bi) и с^ + /3 = 1, 7 + ^ = 1^ & i()
Имеем
М ^ «7^161 + (aS - a) aibn + (/З7 - /3 - a + J) an6i +
+ (PS — S + a) anbn — kaibi + kaibn + kanbi — kanbn =
= c^7ai6i - a^axbn — a^anbi + ajanbn - к (ах - an) F1 - 6n) =
= ((^7 - A:) (ai - an) F1 - ftn) ^ 0,
так как к = а или к = ^ и 0 ^ a, 7 ^ 1-
б) Запишем неравенство а) этого упражнения для чисел а\ ^
^ а2 ^ . . . ^ ап и —Ь\ ^ —62 ^ . . . ^ — Ьп. Получим
умножив обе части последнего на —1, получим рассматриваемое
неравенство.
10.6. Если ai, a2, • . • , an > 0, то в этом случае достаточно рас-
раскрыть скобки в левой части неравенства.
Если — 2 $J ai, a2, . . . an < 0, рассмотрим функцию
f(x) = A + х)A + a2) . . . A + an) - 1 - x - a2 - . . . - an
на отрезке [—2,0]. Поскольку это линейная функция, то она принимает
свое наименьшее значение в области в одной из точек —2, 0.
Нетрудно убедиться, что из указанных фактов следует, что вы-
выражение A + а\) . . . A + ап) — 1 — а\ — а2 — . . . — ап принимает
наименьшее значение в том случае, когда некоторые из чисел равны
—2, а остальные — 0. Таким образом, когда а\ = . . . = ап = 0,
имеем
A + ai) . . . A + ап) - 1 - ai — а2 — . . . — ап = 1-1 = 0.

152	§10. Метод использования свойств функций
Если некоторые из чисел равны —2, получим
A + ах) . . . A + ап) - 1 - ai - а2 - . . . - ап = (-1)к - 1 + 2/с ^ О,
где к — количество —2.
10.7. Рассмотрим функцию
в области [a, b]. Эту функцию можно записать в виде
f(x) = 1 + — + Вх + АВ,
где А = х2 + • • • + хп, В =	h • • • Н	•
Поскольку ff(x) = В	о (# > 0), то fix) возрастает на [а, 6],
ж
следовательно, она принимает наибольшее значение в одной из то-
точек a, b. Отсюда /(#i) ^ max(/(a),/(&)).
Аналогично, рассматривая функцию
или
в области [а, 6], получим g(x2) ^ max(g(a),
Повторяя то же самое для переменных жз, • • • , хп, получим, что
выражение [х\-\- . . . -\- хп) (	Ь . . . Н	) примет наибольшее зна-
V Х\	хп /
чение, когда часть переменных будет равна а, а остальная часть — Ь.
Примем х\ = . . . = Xk = a, Xk+i = • • • = хп = Ь.
г\ // , / 7\l\ (k , n — k\ (a-\-bJ о
Остается доказать, что (&а + [п — к)о) ( —|	— ) ^	• п .
Справедливость последнего вытекает из эквивалентного ему неравен-
неравенства ((п - 2к)а - (п - 2к)ЬJ ^ 0.
10.8. Рассмотрим функцию f(x) =	7^	г	 в области
х[а + о — х)
[а,Ь]. Нетрудно убедиться, что
1 1 1	1 \
- + - + — + ... + ^1
а ж жз	жп/
тд	ti ( \ Bж - (а + 6)) (а + 6) / 1	1 \
Имеем /' (х) =	^	 2—-	 - 1 , следовательно,
ж (а + 6 — ж)	\а + о /
функция / (ж) убывает в области а, —-— , а в области —-—, b\
возрастает. Это означает, что в области [a, b] f(x) принимает наи-
наибольшее значение в одной из точек а, Ь.

Задачи для самостоятельного решения	153
Поскольку / (а) = / F) = A ~ ^ ~ 6), то
f(x)<
; (Х) ^	аЬ
где, приняв х = с, получим заданное неравенство.
10.9. Рассмотрим функцию
f ( \ — 1 , 1 _ 1 , -, _
в области [а, Ь].
Так как f (х) =	—	^-———^-—-, то в области [a, \fab]
(х + 1) (ж + аб)
функция f(x) убывает, а в [ л/аб, Ь] возрастает, следовательно,
/(zK max (f(a), f(b)).
Поскольку / (а) = / (b) =	\-	 и a $J гтг ^ 6, то / (гтг) ^
^ 1 + а + 1 + 6'
10.10. Заметим, что — — g ^ р ^ — 5 тогда для функции /(р) =
= pa + qb + A — р — q)c имеем
= min ^- - gj a + qb + - с, -а + дб + ^- - gj cj ^
^ min у- а + - с; - 6 + - с; -а+-!)|.
Пусть min B а + 2 С' 2 Ь + 2 С' 2 а + 2 Ь) = 2 ^ + С^' слеДователь-
но
но,
pa + g& + гс ^ - (а + с) ^ (а + с) 2 (а + с) A - (а + с)) =
Sabc.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Докажите неравенства 2-13, 15-20.
1. Известно, что 0 $J p ^ I, O^r^l и что также имеет место
тождество (рх + A — р)у)(гх + A — г)у) = ах2 -\-bxy + су2. Докажите,
,	4
что одно из чисел а, о, с не меньше -.
у

154	§10. Метод использования свойств функций
[п~\
О $J xi ^ 1, г = 1,...,п и п ^ 3, п ? N.
3. (ж! + ж2 + . . . + жп + 1J ^ 4(ж2 + . . . + ж2), где хъ . . . ,хп е [О,1].
4- vt=1,./ ^ ' < V «b Jab] , где о < о < Oi < Д
Чг=1
О < b ^ bi ^ В, г = 1,... ,п.
5.	а262 + б2с2 + с2а2 > -(а4 + б4 + с4), где а, Ь, с — стороны
некоторого треугольника.
6.	а) х2 + у2 + z2 + жу + yz + гж + ж + у + z + | ^ 0;
8
^ I О^ л j f  	 -у | I 1 I *У ( ~\ 	 О^ I I /у> -у [ 1 	 /if | <""' 1	Т~1 ГТО П <^ Т* Ой *У <^ 1
VJ} Jb if I -L	/<•/ "т" (у /6 11	tb у ~Г" «iy /<• I -L	(у J -<^ ± ^ 1 /i,v/ \J -^ Jb ^ у ^ А/ <^ X •
7. 2n ^ A + ai) . . . (l + an) + (l-ai) . . . (l-an) ^ 2, где 0
г = 1, . . . , п.
8.	2а+ь + 26+с + 2с+а < 1 + 2а+6+с+1, где а, 6, с> 0.
9.	min [(а - бJ, (Ь - сJ, (а - сJ] ^	.
10.	а + ab + b ^ 4а 6 + а 6, где а, 6 ^ 0.
11.	аВ + &С + сЛ < к2, где а, 6, с, Л, Б, С > 0 и а + Л = 6 + Б =
с + С = к.
12.	A - Х1х2 . . . жп)т + A - у?) . . . A - j?») ^ 1, где 0 ^ хи уи
+ yi = 1, г = 1, 2, . . . , п, m G N.
13.
—^— + —^—¦ + —^—¦ ^ 2, где а,6,се [0,1].
6с + 1 са + 1 аб + 1	l 7 j
14. Докажите, что периметр любого четырехугольного сечения
правильного тетраэдра с ребром а меньше За.
х 2
' где а1"--'а" >0 и
0 < т ^ ж^ ^ М, г = 1, . . . , п.

Задачи для самостоятельного решения
155
16. 8ас +
17. a)
а2 + Ъ2 - с2
а + b — с
За2 + ЗЬ2 + Зс2 + 3d2 + ab + be + cd + da, где
а + b — 2, где 2 ^ а, 6, с ^ 3;
2.2 2	2.2 2	2.2 2
i\ -\- а2 — о-з а2 ~г о-з — ^4	®"п ~г а^ — а2
+ аз —
где п ^ 3, 2 ^ а^ ^ 3, г = 1, . . . , п.
— а2
+ 2а2 + . . . + 2ап - 2п,
19.	«7 - /З2 ^ 0, где a-f - 26/3 + са = О и ас - б2 > О.
20.	(ах + а2 + . . . + ап - Ь1 - Ь2 - . . . - ЬпJ +
- a3bi| + • • • + 2\an_1bn - an6n_i
. . . + 2|an_ian - 6n_i
где ai,a2j. • • ,an,6b62,. . . , 6n > 0 и n ^ 2.

§ 11. МЕТОД ПРИМЕНЕНИЯ НЕРАВЕНСТВА ЙЕНСЕНА
Теорема 11.1*). Если имеет место неравенство
f(a) + f(b) ^f(a + b)	AL1)
2	V 2 /
{соответственно	— $J / (	J	A1.2)
для любых чисел а и b из области D(f) = /, то для любых ai,. . .
... ,ап Е Q+, где а\ + . . . + ап = 1, и любых чисел х\,. . . ,жп Е /
имеет, место неравенство**)
' (жх) + . . . + ап/ (жп) ^ / («i^i + • • • + апхп)	A1.3)
[соответственно a\f (х\) + . . . + anf (хп) ^ / (aiXi + . . . + апхп)].
A1.4)
Пример 11.1. Доказать неравенство
COS#1 + . . . + COS#n
cos
/Ж1 + . . . + Хп\
п	>/'
где жь. . . ,хп [ J
Доказательство. Докажем, что для любых чисел a, b E
Е 0, — имеет место условие A1.2) теоремы A1.1), т.е.
L 2i J
cos а + cos b . а + b
	2	 <cos^--
„ „ cos а + cos b	a + b a — b . a + b „
Действительно,	 = cos —-— cos —-— ^ cos —-—. Очи-
тая, что а\ = . . . = an = —, и воспользовавшись неравенством A1.4),
получим
1 /	,	,	ч / fxi + . . . + хп\
— (cos х\ + . . . + cos хп) ^ cos 	 .
п	\	п	/
Теорема 11.2***). Если для любых чисел а и b из интервала
D(f) = I и любых а, C таких, что а,/3 ^0, а + C = 1, имеет
место неравенство
af{a)+pf{bJf{aa + pb)	A1.5)
*) Доказательство см. в упр. 7.8.
**) Это неравенство называется неравенством Йенсена.
***) Доказательство см. в упр. 7.9.

§11. Метод применения неравенства Йенсена	157
[соответственно af (a) + /3f (b) $J / (аа + /36)],	A1.6)
то для любых ai,. . . ,an, a?i,. . . ,хп имеет место неравенство
aif {x-i) + . . . + ап/ (жп) ^ / (ai^i + . . . + апхп)	A1.7)
[соответственно a\f (х\) + . . . + anf (хп) $J / (ol\Xi + . . . + апхп)],
A1.8)
где ai,. . . ,ап ^ О, ai + . . . + ап = 1, а жь . . . ,жп G /.
Заметим, что если в области I функция f(x) удовлетворяет усло-
условию A1.5), то будем говорить что она в этой области выпуклая, а если
удовлетворяет условию A1.6), то будем говорить, что функция вогну-
вогнутая.
Теорема 11.3. Если для f(x) функции в области D(f) = /
имеет место условие
f"(xJ0	A1.9)
[соответственно ///(ж)^0],	A1.10)
то имеет место также условие A1.7) [соответственно A1.8)].
Доказательство. Пусть имеет место условие A1.9). Сначала
докажем, что имеет место A1.5).
Действительно, воспользовавшись формулой конечных прираще-
приращений находим, что
f3x2) =
= a(f (Xl) - f {ax, + fix*)) + /3 (/ (x2) - f (aXl + /3x2)) =
= af (ci) (xi - otxx - /ЗХ2) + /3f (c2) (x2 - otx\ - /3x2) =
= a/3 (/' (c2) - /' (ci)) (x2 - Xl) = a/3f" (c) (c2 -
где xi < ci < axi + /Зж2 < c2 < x2 и ci < с < c2.
Следовательно, знак левой части совпадает со знаком f" (с), что
означает, что A1.5) справедливо.
Согласно теореме 11.2 справедливо также A1.7).
Пример 11.2. Доказать неравенство
4=1
где бц, с^ > 0, г = 1, . . . , п и /с ^ @,1)

158	§11. Метод применения неравенства Йенсена
Доказательство. Рассмотрим функцию / (ж) = хк в области
@,+оо). Поскольку f" (х) = к (к — 1) хк~2 ^ 0, то, приняв ot{ =
( )
= —^—, Х{ = ( — ) , где г = 1, . . . , га, согласно теореме 11.3 получим
?4 Vci/
—: \Сг / x-^ h \ -—: ^i ^-^ k
uj .
откуда и получается данное неравенство.
УПРАЖНЕНИЯ
Докажите неравенства 11.1-11.21.
Пл и±х± tAj i | ... ~\~ Sill X 77, . . X\ \~ . . . \~ X fX
.1. 	 ^ sin	, где хл, . . . ,xn G
n	n
e [о,тг].
^^ 2 a "г" ° "г" C <^ aa/(a+6+c) . ^6/(a+6+c) . cc/(a+6+c) < fl tP fC
#'3^	^a+6+c'
где a,b,c G N.
.3. ^1 + —^— J ^1 + —^— J ^1 + —^J ^ 1, где а, Ъ, с -
стороны некоторого треугольника и a,b,c ? Q.
11.4.	a26 (a — b) + b2c (b — c) + c2a (c — a) ^ 0, где a, 6, с — стороны
некоторого треугольника.
11.5.	a3b-\-b3c + c3a ^ a2bc + b2ca + c2ab, где a, 6, с > 0.
11.6.	(lH— J (lH— I (lH— J ^ 64, где x,y,z>0 и ж + 2/ + г =
= 1.
11-7.
j=Г Гг	^ ^Т + ^т + Г
у a + у 6 + ус + у rf у a + у Ь л/а + ус \/a
1	1	1	.
+	+	bd>0
11.8. ——h — ^ гагга, где rra, га, p, g > 0 и —|— = 1.
- q	V Я
11.9. д/а (а + с - 6) + д/Ь (а + 6 - с) + \/^ (Ь + с - а)

Упражнения
159
где a, b и с — стороны некоторого треугольника.
11.10.
=1
=1
У
4=1 7 чг = 1 7	чг=1
... , an, ci, . . . , сп > 0 и 0 < к < 1.
П	\1/р/П	ч 1/д
=1
>i, где аь...,.
... ,ЬП > 0, р,9 > 0, i + i = 1.
11.13.
а2
ai + а2 + • • • + ftn-i — Q"n п — 2
где ai, а2
11.14.	^
и m ^ 2.
11.15.	а)
го ..
б)
. . . , ап — стороны некоторого п-угольника.
п	п	п
т
+
- Х\	Х\ + Ж
Жп_1
Ж2 Н~ Жп	Жз Н~ Жх
L, . . . ,Хп > 0.
Хг,
где dlj..
-, где a?i, Ж2, х% > 0;
2, где п ^ 4,
Ж1+ Жп_1
11.16.
ж у ^ 2/ z x
у z х х у
— стороны некоторого треугольника.
11.17. а)
а, 6, с, б/ > 0;
Л ху + yz + xz\
V ж + у + z /
с	„
^> — гле
a + c + d ' a + 6 + rf ' a + b + c ^ 3'
б)
: + аз + • • • + an ai + аз + . . • + ап
+ а2 + . . . + an_i ^ n — 1'
где п > 1, аь а2, . . . , ап > 0.

160	§11. Метод применения неравенства Йенсена
11.18.	-г^- + -^— + ^— + -±-г > 2, где a, b,c,d> 0.
о + с с + а а + а а + о
111ft	L	а2 + Ь2 Ь2 + с2 с2 + а2 а3 б3 с3
11.19.	а + Ь + с^ —	+ —	+	^ — + — + —, где
2с	2а	26	be ca ab
а,Ь,с> 0.
11ОП	а3	, б3 ,	с3	. а + 6 + с
11.20.	-^	~ -\	^	о Н—о	о ^ 	, где
а2 + аЪ + б2 б2 + be + с2 с2 + са + а2 ^	3 ' Л
а,Ь,с > 0.
11.22.	Рассмотрите последовательность с положительных членами
(жп), в которой 1 = жо ^ ^i ^ Ж2 ^ • • • ^ жп ^ . . . Докажите, что
существует такое п, что для любой такой последовательности (хп)
^ + ^ + ... + ^ > 3,999.
Х\	Х2	Хп
11.23.	Из внутренней точки М треугольника ABC проведены
перпендикуляры MAi, MB\, МС\ к сторонам ВС', С А и А В
соответственно. Для какой точки М треугольника ABC величина
ВС , СА АВ
+ МВ7 + МСГ пРимет наименьшее значение?
МВ
11.24. Пусть «1, . . . , ап, 6Ь . . . , Ьп > 0 и J С {1, . . . , п}. Извест-
Известно, что для любого J 2_j^i^ (z_-/a0 ' где ?тг ^ ^' Докажите5 чт0
iJ	iJ
?Ti+l
РЕШЕНИЯ
11.1. Для любых чисел a, b E [0, тг] имеет место условие
sin а + sin b . . а + b
т-г „ sin а + sin 6 .а + 6 а — 6 _ . а + 6 „
Действительно,	 = sin—-—cos—-— ^ sin—-—. Взяв
ol\ = ... = ап = — и воспользовавшись неравенством A1.4), полу-
77/
1 / .	,	. .	ч . . Х\ + . . . + Хп
чим — (sin;ri + . . . + sin?n) < sin
(i + +	n)
п	п

Решения	161
11.2. Поскольку для любых чисел а, Ь > 0 имеет место неравенство
\ga-\-\gb , a-\-b	a	о
	 ^ l? 	1 ТО? ВЗЯВ OL\ = 	:	, СКо = 	;	, С^З =
2	2	а + О + с	а + О + с
Q
, согласно неравенству A1.4) имеем ailga + a2\gb +
=
+ a3\gc^:\g(a1a + a2b + a3c), откуда
aa/(a+6+c)^6/(a+6+C)cc/(a+b+c) < <? + Ь* + С2
^ a + 6 + с
Теперь рассмотрим функцию /(ж) = х\пх в области @,+оо).
Поскольку f" (х) = — > 0, то для функции / (ж) имеет место A1.7).
X
Взяв ol\ = с^2 = с^з = ~5 имеем
о
- (a In a + b In 6 + с In c) ^ - (a + 6 + c) In
«W * (i±|^)"+'+I,
(a In a + b In 6 + с In с) ^ (а + b + с) In
о	о	о
откуда а о с ^ (	1	, или
11.3.	Пусть f(x) = \gx, xi = И	, х2 = И	г—, ж3 =
а — b	a	b	с
Н	,	OL\ = 	:	, OL2 = 	:	, <^3 = 	;	5 ПОЛУЧИМ
с '	a + b + c'	a + b + c'	a + b + с' J
(л , 6~с\аЛ , с-а\6Л , а-Ь\с ^л
откуда A + —) A + -^-j A + —) ^ 1.
11.4. Рассмотрим функцию / (х) = х2. Нетрудно проверить, что
для любых чисел тип имеет место неравенство
af (т) + /3/ (п) ^ / (am + fin) , где a, /3 ^ 0, a + /3 = 1.
Согласно теореме 11.2 имеет место неравенство A1.7), где, взяв х\ =
,	а -\- с — b	b + с — а	а-\- b — с
= с, ж2 = о, х3 = a, ai = , ,	а2 = , ,	«з = , , , ?
а+о+с	а+о+с	а+о+с
получим
2а + с — 62° + с — а, 2а + °~с>
11 Н.М. Седракян, A.M. Авоян

162	§11. Метод применения неравенства Йенсена
ас + с2 - be + b2 + be - ab + a2 + ab - с ~ ч
откуда
с2 ((a + сJ - б2) + б2 ((& + сJ - а2) + а2 ((а + бJ - с2) ^
/2	2	2\2
или а26 (а - Ь) + б2 с F - с) + с2 а (с - а) ^ 0.
11.5.	Указание. Принять / (ж) = ж2, Ж1 = a + b — с, Ж2 = a +
ft	6	С
Второй способ. Заметим, что
а о + ос + с a — (а ос + о са + с at?) =
= a6 (a — с) + 6с F — а) + ас F — с) ^ 0.
11.6.	Рассмотрим функцию / (?) = In f 1 + - J в области @,+ос).
Поскольку /" (t) = ~2	2 ^ 0? т0 имеет место неравенство
A1.7). Взяв ai = «2 = с^з = —, t\ = ж, t2 = 2/, ?з = ^^ получим
3	y
откуда, приняв во внимание, что х + у + z = 1, получим
)()>(V
у) \ z) \ x + y + z
VK
K=64-
j
11.7. Рассмотрим функцию / (ж) = — в области @,+оо). По-
1/1 1\ ^ 2
скольку имеет место неравенство — ( —hr ^ 	г, то согласно
2 \а о/ а + о
теореме 1, взяв х\ = ^/а + у^б, Ж2 = у/а + д/с, жз = у/а +
ж4 = y/b+ у/с, хъ = y/b+ y/d, х6 = у/с+ yfd\ olx = а2 . . . = а6 = -,
получим данное неравенство.
11.8. Рассмотрим функцию /(ж) = 1пж в области @,+счэ). По-
Поскольку f" (ж) =	^ < 0, то имеет место A1.6) неравенство, где,
х
взяв a = — /3 = -, a = гтгр, b = nq, получим данное неравенство.
р	q
11.9. Рассмотрим функцию / (ж) = уж в области @,+счэ). Не-
Нетрудно проверить, что для функции / (ж) имеет место условие A1.10).

Решения	163
а+с—Ъ	a+b—c	с+Ъ—а
Взяв а\ =	, а2 = , , <^з = , , Ж1 = а, ж2 = о,
а + о + с	а + о + с	а + о + с
жз = с, приведем неравенство A1.8) к данному виду.
Замечание. При а = 9, 6 = 4, с = 1 неравенство неверно.
11.10. Пусть с2 + . . . + с2 ^ 0- Рассмотрим функцию / (ж) = ж2.
2	2
Поскольку f"(x) > 0, то, взяв OL{ = ~2	2", ж» = ( — ) , где
Сг + . . . + Сп	\Ci J
г = 1, . . . , п, согласно теореме 11.3 получим
откуда и получается данное неравенство.
Когда с\ = С2 = • • • = сп = 0, получим очевидное неравенство.
11.11.	Доказательство аналогично примеру 11.2 с учетом того, что
f"(x)<0.
11.12.	Доказательство аналогично примеру 11.2 с заменой к на р
и Ci на h\lv.
11.13.	Рассмотрим функцию / (х) = — в области @,+оо).
Взяв Xi = ai + . . . + сц_1 - a,i + . . . + an, a^ = 	¦	^	, где
i = 1, . . . , n A1.7), получим
n
	I	V	^	^
ai + . . . + an ^-^ ai + . . . + a^-i — a« + . . . + an
г=1
^ (ai + . . . + an) —	,
откуда
п
ai
Е
так как n (a2 + . . . + а2) ^ (ai + . . . + ап) (см. упр. 2.2).
11.14. В неравенстве примера 11.2, приняв С{ = 1, получим
1
, или —
п -
1=1
11*

164	§11. Метод применения неравенства Йенсена
п	, п	ч т/2
1	ш	Iе?	1 \~^ тт ^ I 1 \~^ #2 \
откуда, взяв к = —, бц = aj, получим — > а^ ^ I — > а^ I
i=l	v i=l 7
1 п	, п v m/2
Аналогично получим также неравенство — N^ б^71 ^ I N 6
П
г 1	il
Почленно перемнож:ая полученные неравенства и воспользовавшись
неравенством из упр. 11.10, получим
п	п
2
11.15. Рассмотрим функцию / (ж) = — в области @,+оо).
ж ¦
а) Взяв а^ =	, г = 1,2,3, имеем
Х\ + Х2 + Жз
Ж1	1Ж21Хз1
+	1	III	III	I	^"^
'Ш* C\ —I— /й^ О /l^ Г\ I f)f* r>	/l* -i I f)f* c\ —I— 'i^ О /l^ -1 I f§* <->	f§* -f I f§* f\ I ill* (-) if* -* ^^ if* n
Ju2 \^ «^3 «^2 \^ *^o *Ju\ \^ *Ь2, \^ «л^З «^ 1 n^ «^3 *Ju\ \^ *Ju2 n^ «^3 «^1 n^ «^2
	l
^	Ж1	/	,	\ ,	Ж2	/	,	\ ,	Ж3	/	.	ч :
(ж2 + жз) H	(Ж1 + жз) Н	(Ж1 + ж2)
Х\ -\- Х2 + Жз	Ж1 + Ж2
Ж1 , Ж2	,
1	;	1
Ж2 + Жз	Хг + Жз	Хг + Ж2 ^ 2 (Ж1Ж2 + Ж2Ж3 + Ж1Ж3) '
^	Ж? + Ж2 + Жз . /ЖХ + Ж2+ЖЗЛ	о ,
Согласно неравенству	 ^ (	1 , или х( +
+ Ж2Ж3 + Ж1Ж3, имеем
(ж1 + Ж2 + жзJ _ 1 ж2 + xl + Жз	-, . 3
2 (Ж1Ж2 + Ж2Ж3 + Ж1Ж3) 2 Ж1Ж2 + Ж2Ж3 + Ж1Ж3 ^2'
Ж1	Ж 2	Ж о 8
откуда ^ , „ + ^ , „ +
11^ •
Ж2 + Жз	Ж1 + Жз	Ж1 + Ж2	2
б) Взяв Oi{ = т	г, г = 1, .... п, имеем
(Ж1 +	+ Х)
1 +
Ж1 + . . . + Жп Ж2 + Хп	Xl + . . . + Жп Ж1 + Жз	Ж1 + . . . + Жп
1 >
^р -J —I— ?р „	-|	Ж]_(СС2 ~\ X Ti ) \~ X 2 1^3 ~г Ж ]_ ) ~|~ • • • ~(~ X у\ \Х\ \~ X yi — г )
х\ -\- . . . -\- хп
откуда
1* л	То	If
2 + 2 +... + ^^— >
to 2 | «^ 77-	^ 1 I «^ 3	**-* 1 I «^ ТЬ — 1

Решения	165
\Ж1 ~г . . . ~г Хп)
¦ Ж2Жз + Ж2Жх + . . . + Хп \Х\ -\- Хп — \)
(тл 4- +т ^2
	 	У^1 ~г • • • ~г л,п)	 ^ 2
2 1 Of* -t /У* <r\ I Of» л ^у> _ I	I /у»	_i /у»	I /у» /у» , \
\ *Ju \ tju 2t \^ ш 2i **s 3 \^ • • • \^ *Ju <fi — \ tju fi \^ tju fi tju j_ I
(см. решение упр. 7.6).
гл	Ж1	Ж2	Жп
Следовательно,	1	\- . . . -\	^ 2.
ч/Lj ^ | ч/Lj Y\f	d** 1 I d** о	d** 1 I d** y% — X
X U Z U Z X
11.16. Пусть A = —h — H	—	^ 0. Рассмотрим функцию
у z x x у z
f (ж) = — в области @, +оо). Возьмем
у -\- z — х	у + ж — z	z + ж — у
а1 — —;	;—^	а2 = —:	:—,	<^з = —:	;—•
у + z + ж	у + z + ж	у + ^ + ж
В этом случае
- ж ж + у - z z + х - у\	1
х2 + у2 + z2
х + у + z
о л \ (ж + у + ^)
или 6 — Л ^ ^о	2^	^> откуда
ж +2/ + z
х -\- у -\- z	V х* -\- у* -\-
Нетрудно показать, что ху + xz + yz > - (х2 + у2 + z2), следова-
следовательно, Л < 1.
11.17. б) Имеем
а\	1
^
+
а\ + . . . + ап а\ + . . . + an_i
ai (а2 + • • . + an) + a2 (ai + а3 + . . . + ап) + . . . + an (ai + . . . + an_i)
ai + . . . + ата
откуда
(ai + ¦ ¦ . + anJ
^ (ai + . . . + anJ - (a2 + . . . + a2) ^ n - 1'
поскольку n (a2 + . . . + a2) ^ (ai + . . . + an) .

166	§11. Метод применения неравенства Йенсена
11.18. Имеем
1
с + d 6 -Ь с а-Ьб-Ьс-bdc-bd аН-6 + cH-ddH-a
d	1 .	1
~г
a+6+c+da+6 ^ а (Ь + с) + 6 (с + d) + с (d + а) + d (а + Ъ) '
а + 6 + с + с/
откуда
a j ^ ! с | rf > 	(g + fr + c + oQ2	 > 2
6 + с с -\- d d + a a + 6^a6 + ac + 6c + 6(i + C(i + ac + ac/ + c/6^ '
поскольку
(а + 6 + с + dJ - 2 (аб + ас + be + 6d + cd + ас + ad + bd) =
= (a - cf + F - a7J ^0.
11.19. Рассмотрим функцию f (x) = — в области @,+оо). Взяв
al a6
с
получим
a
2 (a 4- 6 + с
2 (a 4-
-c)'
1
) с ' 2i
a
2 (a
6 + c)'
с
a'
6
¦ + 6 + C
С
2 6, ^3
1 +
¦ с) с 2 (
6
:) 6 ' 2 (a
3 2
a
6' 3
6
a + 6 +
a
+ 6 + C
(a + i
1
с) а
b
1
) b
h + r
a
c'
- +
6
c'
с 1
2 (a, + 6 + с) а
с
2c + 2a+ 26
6
a'
- +
с	a	2(a + 6 + c)
Второе неравенство получается аналогично:
a3 63 с3 1 / о
7Г + — + "Г = о а
6ccaa6 2\
b
2 I 6a	ac J ^ 2 2abc 2 2a6c 2	2a6c ~
с	6
_ a2 + 62 a2 + 62	a2 + c2 a2 + c2 b2 + c2 62 + c2	a2 + 62 a2 + c2
~ 2c 2a6 H	26 2ac H 2a 26c ^ 2c	' 26 *~
/2.2
О + С
H 2a '
11.20. Рассмотрим функцию / (х) = — в области @,+оо). Взяв
б2	с2

Решения	167
a2 + ab + b2	b2 + bc + с2	с2 + ca + a2
x\ = 	, x2 =
a
получим
1	b2
a2 + b2 + c2 a2 + ab + b2 + a2 + 62 + c2 b2 + 6c + c2
a	6
1
a2 + b2 + c2 c2 + ac + a2
с
1
^ as + a2b + ab2 + bs+ b2c + bc2 + cs + c2a + a2c '
a2 + 62 + c2
ИЛИ
3	/3	3	/ 2 , »2 . 2\2
a	+	6	,	с	^	(a +b +c)	_
a + ab + b b -\- be -\- с с + ac + a (a + o + c)(a+o+c)
,2 . 2
о + с ^ a
a+6+c	3
11.21. Рассмотрим функцию / (x) = —\nx в области @,+оо).
Она выпуклая, следовательно,
b d\ ^ a . с	b . d
{ а с	b d\ . a . с	b . d
	г - Н	г -г ^	Г In	г In - ,
\a-\-ba а + о b)	а + о а а + о о
или
Замечание. Если а\, . . . , ап, 6i, . . . , bn > 0, то
+... + Ьп /	^ U1 у ¦" ¦ Un / '
11.22. Рассмотрим функцию / (х) = — в области @,+оо).
Взяв а^ = 	—	 (г = 1, 2, . . . , гг), получим
Х0 + Ж1 + . . . + Жгг-1
2
X2	Хп
1	Хп-1
' " '
XI + . . . + Жта-1 Ж1	Хо + Ж1 + . . . + Жта-1
+ Ж1 + . . . + Жп-l)

168	§11. Метод применения неравенства Йенсена
Теперь докажем, что существует такое натуральное по, для которого
при п > по получим кп ^ 3,999.
Действительно,
I ЛиQ | JUх | • • • | Лиyi	X /	O*t/i/t/ I Лих I Л/2 I • • • | Лиyi	X I ть) ^^
^ 0,001 (п -1)хп- 3,999жп ^ 0,
3 999
когда п > ' +1, т.е. можно принять, что по = 4000.
11.23. Рассмотрим функцию f (х) = — в области @,+оо). Взяв
_	ВС	_	СА	_	АВ
ai ~ ВС + АС + АВ' а<2 ~ ВС + АС + АВ' ^3 ~ ВС + АС + АВ'
х\ = МЛ1, X2 = МВ\, жз = MCi, получим
ВС СА АВ _ (	ВС	1__
+
Cj ^BC + AC + AB)
БС + ЛС + АВ МВХ ВС + АС + АВ Md,
2	2
^ (ВС + ЛС + АВJ(ВСМА1 + ЛСМБ1 + ЛБМСО = ^-=Щ-,
ВС СА АВ
следовательно, наименьшее значение выражения -rj——\-	+
2р2
2р
равно ——, и это значение достигается, когда MAi = МВ\ = МС\.
11.24. Без ограничения общности можем считать, что а\ ^
^ п2 ^ • • • ^ ап. Согласно упр. 14.10, а) имеем
^2 aibi = bi(ai ~ a2) + (bi + Ь2)(а2 - а3) + . . .
г = 1
. . . + (bi + . . . + 6n_i)(an_i - an) + Fi + . . . + bn)an,
следовательно,
i - a2) + (ai + a2)m(a2 - a3) + . . .
. . . + (ai + . . . + an-i)m(an_i - an) + (ax + . . . + an)man = Л.
Поскольку функция f(x) = жт выпуклая в области [0,+оо), то
^^±? + {-^^>(ai + a2)m + ¦¦¦
. . . H	(ai + . . . + an_ij H	{ai + . . . + an)

Задачи для самостоятельного решения	169
. ai(ai — a?) (ai + a2)(fl2 — Q3)	(ai + • • • + an-i)(fln-i — o>n)
/	\	\ "«-	/2.2.	I 2
(ai + . . . + an)an ^ _ ^ ax + a2 + . . . + a,
Таким образом, получили, что
=1
+ . , .
гл	/ХЛ i \ ^ / 9 . 9 .	,9\т + 1
Следовательно, > аф^ \ ^ \а\ + а^ + . . . + a^j
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Докажите, что если а, /3, 7 — углы треугольника, то:
а)	cos a + cos /3 + cos 7^9'
б)	—^ + —Цт + —^ ^ 12;
У.2«	.2/3	.27
sin — sin — sin —
2	2	2
cos — cos — cos —
2	2	2
. a	. /0	.7
sin — sin — sin —
2	2	2
2. Докажите, что если а, /3, 7 — углы некоторого остроугольного
треугольника, то:
х у/1 + 8 cos2 a y/l + 8 cos2 /3 ^1 + 8 cos2 7
а)	;	т~	: ~р>	~г	:
7	sin a	sin/3	sin7
cos p cos 7
3. Докажите, что если для выпуклого четырехугольника ЛВСD
. ZA . ZB . ZC . ZD 1
имеет место соотношение sin	sin	sin	sin	 = -, то это
прямоугольник.

170	§11. Метод применения неравенства Йенсена
4.	Докажите неравенство
XI	Х2	Хп-х	Хп	П
+	1	_|_	* * *	_|_	_|_	^^ О '
где ж^ > 0, г = 1, . . . , 71, 3 ^ п $J 6.
5.	Докажите, что из всех выпуклых тг-угольников, вписанных в
данную окружность, наибольшую площадь имеет правильный.
6.	Докажите, что из всех выпуклых тг-угольников, вписанных в
данную окружность, наибольший периметр имеет правильный.
7.	Докажите неравенство	\-	\-. . . +	— ^ 	,
1 + ха\ 1 + хп2	1 + хап п + х
где «1, . . . , ап ^ 0, х > 0, а\ + . . . + ап = 1.
8.	Докажите неравенство
sin a sin /3 + sin f3 sin 7 + sin 7 sin J + sin S sin a ^ 2,
где су + /3 + 7 + E = тг, a,/3,7,J>0.
9.	Пусть ж1? Ж2, . • • , жп — любые действительные числа.
а) Докажите, что когда Л ^ 2 или Л < 0, имеет место неравенство
Л/2
б) Докажите, что когда 0 < Л < 2, имеет место неравенство
I tb 2 —I— • • • —I— «^77-	^
(в левой части производится суммирование по всем комбинациям зна-
знаков + и —).
10.	Докажите неравенство
2 '
.1	, . 1
где а ^ -, 6 ^ -.
11.	Докажите неравенство
где а, жь ... ,ж„ > 0 и У^ж^ — 1-
г=1

Задачи для самостоятельного решения	171
12. а) Докажите неравенство
агхг + . . . + апхп ^ х . . . х"п,
где ах + . . . + ап = 1, х{ > 0, а; ^ 0, г = 1, 2, . . . , п.
б) Пусть a,ij ^ 0 и ^а^ = 1,	^а^ = 1 (г, j = 1, 2, . . . , п).
г = 1	j = l
Докаж:ите, что
а12ж2 + • • • + alnx
. . . T~ Q"nn%n)
где жх, Ж2, . . . , жп ^ 0.
в) Докажите неравенство
(их + vy + wz)(vx + wy + uz)(wx + uy + vz) ^
^ (y + z - ж)(г + x - y)(x + y - z),
где и + v + w = 1, и, v, w, ж, у, z ^ 0.
13. Докаж;ите, что
-2/)^
/(!-»)(!-у)V
256
где x,y,z>0 и х + у + z = 1.
14. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения:
а)	——- + —	-—, где а,Ъ,с> 0;
a + о о + с а + с
п-1
б)	V"	^	^—, где xi, х2, • • • , хп > 0, п ^ 3.
^^ Ж^ + Ж^ + 1	Ж1 + Хп

§ 12. НЕРАВЕНСТВА, СВЯЗАННЫЕ
С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМИ
В данном параграфе будут рассмотрены неравенства, связанные
с последовательностями (в частности, заданными рекуррентными со-
соотношениями), которые доказываются различными способами.
УПРАЖНЕНИЯ
2
12.1.	Докажите, что если жп+1 = хп -\	\ и 0 < х\ < 1, то
тъ
последовательность (хп) ограниченна.
12.2.	Докажите, что если а\ = 1, ап = —^—|	, п = 2, 3, . . .
I an-i
... , 10, то 0 < а10 - у/2 < Ю-370.
12.3.	В последовательности (ип) и\ = 1, un+i = un-\	(п ^ 1).
Докажите, что 14,2 < г^юо < 14,22.
12.4.	В последовательности и\ = 1, ип+\ = ип -\	^ (п ^ 1).
ип
Докажите, что 30 < г^эооо < 30,01.
12.5.	Докажите, что если г^о = 0,001, ип+\ = ипA — ип) (п ^ 0),
то «юоо < ^
/ 2
12.6.	Дана последовательность а\ = 1, ап+\ = -?¦ + \ ~г Н
2 у 4 ап
(п = 1, 2, . . .). Докажите, что эта последовательность неограниченна.
12.7.	Известно, что а$ = ап = 0 и сц > 0 (г = 1, 2, . . . , п — 1),
a1 + a+1 > os cos (!) , n, fc G N, n ^ 2.
Докажите, что п ^ к.
{0,	если жп = 0,
1 Г 1

Решения	173
Докажите, что
где Fx = F2 = 1 и Fn+2 = Fn+1 + Fn (n = 1, 2,.. .)•
12.9.	Пусть n ^ 2 — целое число. Найдите наименьшее значение
суммы ао + «1 + • • • + ап, если ао, ai, . . . , ап — неотрицательные
числа, причем ао = 1 и а» ^ a^+i + а^+2, г = 0,1, . . . , п — 2.
12.10.	Дана последовательность положительных чисел Ж]_, #2? • • •
... , жп, . . ., удовлетворяющих условиям
п-1
Докажите, что 2 - -—^ ^ жп < 2 - ^т.
12.11.	Пусть ao, ai, а2, . . . , ап, . . . — бесконечная последователь-
последовательность положительных чисел. Докажите, что неравенство 1 + ап >
> д/2,7ап_1 верно для бесконечного числа п.
12.12.	Дана последовательность an = тах(жпA - х) + A - ж)пж)
[0;i]
(п = 1, 2, . . .). Докажите, что ап+1 ^ -an, n = 1, 2, . . .
РЕШЕНИЯ
12.1. Методом математической индукции докажем, что
хп ^	=-	-=, п = 1, 2, 3, ...
A - л/х1)п+ л/хг
В случае п = 1 имеем справедливое неравенство
^	= х\.
1 ^
A -
Пусть данное неравенство справедливо в случае п = к, т.е. Ж& ^
. Тогда докажем, что оно справедливо также в
случае п = к + 1, т.е. /+	^
^ A-
Так как жЛ+1 = хк + -у	и ж*. ^	^=-	^=, то
/	A	) + /
ж?

174	§12. Неравенства, связанные с последовательностями
к2A— y/xi) + к у/х\ + х\ ^	(к + l)aji
поскольку
Таким образом, оба требования индукции выполняются, следова-
следовательно, для любого натурального значения п справедливо неравенство
О < хп ^
т. е. последовательность (хп) ограниченна.
12.2. Докажем, что ап — у/2 > 0, где п = 2, 3, . . .
/	9 \	/	9
Имеем ап = 0,5(an_i + 	) ^ \ c^n-i	 = л/2, откуда
V	an_i/	у	an_i
ап ~ у2 ^ 0. Равенство не имеет места, так как все члены последова-
последовательности — рациональные числа, следовательно, ап — у 2 > 0.
Теперь рассмотрим последовательность Ьп = ап — у 2. Имеем
оп = ап - у/2 = 0,5( an_i -\
V
an_i
2an_i	2an_i'
Ь*п-1
откуда Ьп < —-=,
2 л/2
О	-1	L-^
Поскольку 62 = а2 - \Д = - - у/2 < — и 6n < ^S^, то
h2
2а/2 1022v/2'	104Bv/2J2v/2'
и, продолж:ая таким образом, получим, что
Ью <
111	111
10 1028By/2f B^2f'y/2 10256B
11	1	1лГ
;м, что —^^	,- ок, < —^тг, или 10
Ю256 BV/2J55 Ю370
= 2382 л/2. Так как 210 > 103, то 10114 < 2380 < 2382 л/2.
Теперь докажем, что —^	^^тг < —ято> ИЛИ Ю114 < B л/2J55 =
F Л	,	1Q256 B ^255	10370^	V V )

Решения	175
Таким образом, Ью < —^ъ%	г 255 < —зТо^ откуда и получаем
«ю — у 2 < 10~
12.3 Из условия упражнения имеем, что и^,-^ = i^ + 2 Н	^. То
есть
Складывая эти равенства, получим
^2 =2n+J_ +J_ + _ + _!_5 n ^ 3.	A2.11)
^2	^3	ип-1
п,	1	1	1	П
1аккак г^п_1 > ?in_2 > . . . > и2 = 2, то —г+ ^- + . • • + —г— < т-
и2 и3	ип_г 4
Следовательно,
2п < и2 < -п (п > 2).	A2.12)
Из условий A2.11) и A2.12) следует, что в случае п = 100 имеем
Оценим сумму - + - + . . . + — снизу и сверху:
Z о	УУ
> 1,675 + 0,346 + In |* + In ^ > 4,021,
, 34	. 100
так как In — > 1 и In —— > 1;
QQ	QQ
< 1,675 + 0,347 + In ^ + In || = 2,022 + 2 In 3 < 4,222,
11	оо

176	§12. Неравенства, связанные с последовательностями
так как 1пЗ < 1,1, следовательно, 201,787 < г^00 < 202,111, откуда
14,2 < и100 < 14,22.
В процессе доказательства мы воспользовались неравенствами
I	, 1 ,	, 1 , гп + 1
Т + ^ТТ + • • • Н	> 1п —-j—
к к + 1	m	к
и
II	1 . m
т + i—гт + ... + —< In
к ' к + 1	m	к - 1'
Докажем их:
/с + 1	/с+2	т+1
1 г 1 , г 1	Г 1 ,
— = т dx+ —— dx	+ . . . + — dx >
m ] к J& + 1	J m
к /с + 1	m
/с+2 т+1	т+1
[ 1 , Г 1 , Г 1 i	f 1 , ,771 + 1
— dx + — dx + . . . + — dx = — dx = In —:—
x x x	x к
11
к к -\- 1	m
к	/с + 1
k + 1	/с+2	т+1	т+1
[ 1 ,
> — dx
/с + 1
/с+2	m+1
} + r^—r + ... + — = у dx+ j^—- dx + . . . + — dx <
к к -\-l	m ) к	J& + 1	J m
к	k + l	m
к	/c + l	m	m
К	1 ,	f 1 ,	f 1
< - dx + - da; + . . . + -d^= -
X	X	X	X
J	J	J	J
= I — dx = In	-.
x	к — 1
/c-l	/c	m-1	/c-1
о	-j
12.4 Имеем, что гх^+1 = г^ + ЗН—g"H—g-, где п = 1, 2, . . . Таким
образом,
Складывая полученные равенства, получим
^з =3п + з(—+ +±-) + A-
3
следовательно, г^+1 > Зп -\	g = 3(п + 1) или un+i > уЗ(п + 1),
откуда и получаем

Решения	177
С другой стороны,
Поскольку — Ч- — Ч- - . - Ч— < Inn (см. решение упр. 12.3) и
А о	77/
1-2 ' 2-3	(п-1)п
то ut . ! < 3(n + l) + l + lnn+-, следовательно,
9
^9000 < 2702 + ln 9000 < 2702 + ln 2^ < 2727 < C0 + jTjn) '
Таким образом, figooo < 30,01.
12.5. Так как ип+\ = un(l — un), то
Un+1	Un(l — Un)	Un	1 — Un '
Таким образом,
111111	111
uo 1 — г^о' U2 u\ 1 — ui '	' глюоо ^999 1 — ^999
Складывая эти равенства, получим
^1000	Uo	1 — Uo	1 — 1^999	1 — Uo	1 — ^999
> 103 + 1 + . . . + 1 = 2000,
1
откуда fiiooo <	.
В данном случае мы воспользовались неравенствами 0 < ип < 1,
которые можно доказать следующим образом:
/7/ _|_ (Л — II } \ 2	1
- мп) ^ (^	^	J = - < 1, п = 0, 1, 2,...
Если ип ^ 0, то из равенства ип = ?in_i(l — ип-\) получится,
что ип-\ ^ 0. Продолжая таким образом, получим г^о ^ 0, которое не
справедливо, следовательно, ип > 0.
12 Н.М. Седракян, A.M. Авоян

178	§12. Неравенства, связанные с последовательностями
12.6. Предположим, что последовательность (ап) ограниченна,
т. е. т < ап < М (п = 1, 2, 3, . . .), где М > 0, так как ап > 0.
тд	2	11
Из условия задачи следует, что а^+1 — an+ian = —, или — =
ап	ап
=	1—2—2—• Таким образом,
аа
22
an+i апап+1
+
I
I
-- + — -- + —
—	' 2 2 '	—	I 2 2 ' * * * '	—	2 2
а>г а>2 а1а2 а2 ^з a2as	&n «n+i anan+1
Складывая полученные равенства, получим
111	1	11	1 _
или М4 > п, что неверно, следовательно, последовательность (ап)
неограниченна.
12.7.	Предположим, что п < /с. В этом случае — < —, следова-
следовала п
тельно, cos — > cos —. Отсюда получается
к	п
п2 > 2ai cos —, а\ + а^ > 2a2 cos —, . . . , an-2 > 2an_i cos —.
Tl	71	71
Обе части первого неравенства умножим на sin —, второго — на
. 2тг	. (га-1)тг ^
sin — и т. д., последнего — на sin	. Складывая все полученные
п	п
неравенства, получим неверное неравенство 0 > 0. Следовательно,
наше предположение неверно. Поэтому п ^ к.
12.8.	Без нарушения общности можем считать, что хп ф 0.
Имеем Xk = \	к к = 2,...,п, следовательно, Xk G @,1),
/и = 1, 2, . . . , 71, И
= 1, 2, . . . , 71 - 1, (*)
где /(я;) = ^.
Лемма. Е'сли функция f(x) в области I убывает, а функция
х + f(x) возрастает, то функция g(x) = х + /(ж) + /(/(ж)) + . . .
••• + /(/(••• /(ж) • • •)) в области I возрастает, где т Е N.

Решения	179
Действительно, заметим, что функция /(/(• • • f(x) •••))•> & ? N, в
2k
области / будет возрастать; следовательно, функция
в области / также возрастает, а функция g(x) = x +f(x) +f(f(x)) +
+ f(f(f(x))) + • • • будет суммой возрастающих функций, т.е. она в
области / возрастает.
Нетрудно проверить, что функция f(x) =	 в области / = [0,1]
удовлетворяет условиям леммы. Таким образом, согласно лемме и (*)
имеем
х1 + х2 + • • • + хп ^ f(x2) + х2 + х3
^ хз + f(x3) + f(f(x3))
(... /A) ...)) = ? + ^ + • • •
п-1
поскольку 1 = — и / I —— = ——, г = 1, 2, . . . , п - 1.
^2	\-Гг + 1/	^г + 2
12.9. Методом математической индукции докажем следующую
лемму.
Лемма. Если п ^ 2, со = 0, сп ^ 0 и Ci ^ c^+i + Q+2, * =
= 1,2,. . . ,п - 2, mo c0 + ci + . . . + сп ^ 0.
Действительно, при п = 2 и гг = 3 имеем cq + с\ + С2 ^ 2cq = 0
и с0 + с\ + с2 + с3 ^ 2с0 + с3 ^ 0.
Пусть в случае п ^ к утверждение леммы верно. Докажем, что
оно верно также в случае п = к + 1 (к ^ 3).
Рассмотрим два случая.
а)	ci ^ 0; так как 0 ^ с\ ^ с2 + сз, то для чисел 0, с2, сз, . . . , Ck+i
выполняются условия леммы, следовательно, О+С2 + С3 + . . . + c&+i ^ 0,
откуда с0 + с\ + с2 + . . . + ск+\ ^ с2 + с3 + . . . + ск+1 ^ 0.
б)	ci < 0; имеем с2 ^ — с\ > 0, для чисел 0, сз, С4, . . . , с&+1
выполняются условия леммы, следовательно, О+С3 + С4 + . . . + с^_|_1 ^ 0,
с другой стороны,
со + ci + с2 + с3 + . . . + ск+1 ^ 2с0 + с3 + . . . + ск+1 ^ 0.
Лемма доказана.
12*

180	§ 12. Неравенства, связанные с последовательностями
Fn-i
Заметим, что числа С{ = а\ — ™ г, г = 0,1,. . . , п, где Fq =
г п
= 0, F\ = 1 и Fi+2 = ^г+i + ^г? г = 0,1, . . . , п — 2, удовлетворяют
условиям леммы. Следовательно, со + ci + . . . + сп ^ 0, или ао +
rp	rp	гр
+ ai + . . . + ап ^ -^ Н	^—^ + . . . + —-; с другой стороны, числа
a,i = ™~г удовлетворяют условиям задачи, поэтому наименьшее
значение суммы ao + ai + . . . + ап будет равно —	^—^——	-.
Методом математической индукции нетрудно доказать, что Fq-\-
12.10. Заметим, что х\ = 1 и жп > 1 при п = 2,3,...
жп - 1
Следовательно, при п > 1 имеем ж^ = —-—-, или ж^B — хп) = 1.
жп 1
Пусть хп = 2 - г/п, тогда 0 < уп < 1 при п = 2, 3, . . . и упB -
- уп)п = 1. Нужно доказать, что ^п < уп ^ т^гт ПРИ п = 2, 3, . . .
Имеем уп = -г-	г^ > -^ (при п = 2, 3, . . .). Согласно неравенству
(^ — Уп) *
Бернулли имеем
1 = УпB - УпТ = УпA + A - Уп)Т > УпA + пA - Уп)),
следовательно, уп ^ —, поэтому
п
при п = 2, 3, . . .
12.11. Докажем от противного: предположим, что неравенство
1 + ап > ^/2,7an_i верно для конечного числа п. Следовательно,
существует натуральное число по такое, что для всех п ^ по 1 +
/ 1\п
Поскольку lim A -\— ) = е, существует натуральное число
п—>-оо \	П/
/	1 \П
rii такое, что при п ^ щ A + -) > 2,7 (е = 2,718281828...).
Следовательно, для п ^ га, где га = тах(тго, Tii), имеем 1 + an ^
^ an_i л/2,7 < 	«п-1, поэтому	 -\	 < 	. 1аким
п	n + ln + 1	п
образом,
О"т-1
771 + 1	771	771 + 1	771 + 2	771 + 1	771 + 2
¦¦¦'шТА: < i

Задачи для самостоятельного решения	181
Складывая эти неравенства, получаем
1	1	1	^ flm-l	«m+fc-l ^ «m-1
771 + &	771	772 + &	77l'
1 Л . 1 .	1\ ^ am_i
следовательно,	 1 + - + ... + — < 	, т. е. последователь-
га + 1 V 2 к) га
ность чисел Xf~ = 1 Н	Ь • • • + т ограниченна, что неверно, так как
%2п — хп ^ о5 гДе п ? N. Действительно, ж2п = жп -\	 + . . .
2	п + 1
12.12. Докажем методом математической индукции. Имеем а\ =
11	. 1
= 2' a2 = 4' поэтому a2 ^ 2 аь
Пусть am+i ^ -am, где т G N, докажем, что am+2 ^ ^ат+1.
Пусть ж0 G [0,1] такое, что am+i = ж^+1A - х0) + хоA - жо)ш+1;
тогда
«т+2 ^
= (х™*1 A - ж0) + х0 A - жо)т+1) (ж0
- ж0 A - ж0) (жд1 A - жо) + жо A - жо)т) ^ am+i - ж0 A - ж0) ат =
= —2	1	2	жо A - жо) ат ^ —	h — - х0 A - ж0) ат =
2
«т+1 .	/1	\ . «т+1
^ 1
следовательно, am+2 ^ -am+i-
Значит, an+i ^ -an, n = 1, 2, . . .
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. В последовательности (ип) и\ = 109, ип+\ = —^	 (n ^ 1).
Докажите, что 0 < г^3б - \Д < Ю
13
2. Пусть даны действительные числа ai, a2, . . . , an, которые удо-
удовлетворяют следующим условиям:
= |an_i
Докаж;ите, что

182	§ 12. Неравенства, связанные с последовательностями
3.	Пусть последовательность ai, а2, • . • , ап, . . . получена следую-
следующим образом: а\ = 1, an+i = ап -\—^ (п = 1, 2, . . .). Верно ли, что
ап
эта последовательность ограниченна?
4.	Последовательность (an) неубывающая и а$ = 0. Известно
также, что последовательность Ьп = ап — ап-\ {п ^ 1) не возрастает.
Докажите, что последовательность сп = —- (п ^ 1) также не
возрастает.	п
5. Последовательность (хп) задана рекуррентным соотношением
= 2, жп+1 =
для всех п > 1.
= 2, жп+1 = —	 (п = 1,2, . . .). Докажите, что - < хп ^ -
lU3?	О	4
an . I al, , 1
6.	Дана последовательность а\ = 1, an+i = -^ + \ -^ -\	(п =
= 1, 2, 3, . . .). Докажите, что а2ъо < Ю.
7.	Дана последовательность ^i = 2, жп+1 = ж^ — хп + 1 (п = 1,
2, . . .). Докажите, что	1	Ь . . . Н	< 1.
8.	Даны последовательности (ап) и Fn): ai = 1, an+i = an +
+ \J'a\ + 1, bn = —^ (n ^ 1). Докажите, что последовательность FП)
ограниченна.
9.	Известно, что Zt^i = 1, Яп+1 = 1 + -тг— (n ^ 1). Докажите, что
а2
10.	Известно, что an+i = ап + —-. Докаж;ите, что существует
п
число А такое, что 0 < п(А — ап) < А3.
11.	Дана последовательность an+i = ап-\	, а$ = 2. Докажите,
что 12 < а70 < 12,25.
12.	Даны последовательности (an) (an >0, n = l,2,...) и х\ =
= 1, ^2 = 2, жп+2 + «пжп+1 + жп = 0 (п = 1,2, . . .). Докажите,
что последовательность (жп) содержит бесконечное число как поло-
положительных, так и отрицательных членов.
13.	Дана последовательность а\ = 1, ап = an_i H	, п =
= 2,3,... Докажите, что

Задачи для самостоятельного решения	183
Жп + 9
14.	Дана последовательность х\ = 2, хп+\ = —^-	. Докажите,
что 1 - Ю-10 < х1Оо ^ 1 + Ю-10.
15.	а) Дана последовательность а\ ^ 2, an+i = а^ — 2, п = 1, 2, . . .
Докажите, что	1	1	\-. . . + ¦
CL\ U\U2 a,iCL2CL3
б) Пусть а > 2 и ао = 1, ai = а, an+i = —^	2 ап (п = 1,
2, . . .). Докажите, что	1	Ь . . . Н	< - B + а — д/а2 — 4).
a a	а 2
16.	При каких значениях х\ все члены последовательности
п+1 = 2ж^ —1 (п = 1, 2, . . .) будут отрицательными.
n+i 1
17.	Дана последовательность жп = ^^ -. Докажите, что хпк_1 >
г
i=2
> kxn-i, где п, /и G N и п > 1, /с > 1.
18. Дана последовательность
ai = 1, an+i = y/(ai + . . . + апJ + 1 (n = 1, 2, . . .).
Докажите, что	1	\- . . . -\	< 2,5.
ai a2	an
п — 1
19.	Дана последовательность ?ii = 1, ип = п\ -\	ип-\, п =
п
= 2,3,... Докажите, что	1	h . . . Н	< 1.
20.	Дана монотонная последовательность (хп) положительных
чисел. Докажите, что
Хг ,Х2	Xn-i Хп	(#2 — SCi) , (Ж3 — Жг)	(жп -Жп-l)
I г* • «Н	I ^ ^Н	I	г* • «Н	5
Ж2 Ж3	Жп	Ж1
где п ^ 2.
Ж9	Ж
Указание. Пусть —	= 1 + а1? ..., 	 = 1 + an_i; тогда
Ж1	Хп-1

§ 13. НЕРАВЕНСТВА ИЗ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
УПРАЖНЕНИЯ
Докажите неравенства 13.1-13.3.
13.1.	— < л/2 Г1 - -?-) , где — < л/2, га, n ? N.
13.2.	(ny/d+i)\sin(ir<\/dn)\^l, где n, d G N и л/d ^ N.
13.3.	S ^ pq	-, где 5,p,gG N: S делится на а, а при
Я -Р
делении на р дает остаток 1 и q > р, S < pq.
13.4.	Пусть га, к G N и известно, что все простые делители числа
m не превышают п и га ^ п'*5"*)'2. Докажите, что число га можно
представить в виде произведения к натуральных чисел, каждое из
которых не превышает п.
13.5.	Пусть п G N и а (п) — сумма всех делителей числа п
(пример: а C) = 4, а F) = 12, а A2) = 28). Докажите, что если
а (а) > 2а и b G N, то сг (aft) > 2aft.
13.6.	Найдите все те числа а, для которых имеет место следующее
условие: для любого натурального числа п существует целое число га
такое, что
т
а
п
1
Зп'
13.7.	Будем говорить, что число интересное, если оно является
произведением двух простых чисел. Какое наибольшее число после-
последовательных чисел могут быть интересными?
13.8.	Докажите, что существует бесконечное число натуральных
значений п, для которых S Bn) > *S'Bn+1), где S (а) — сумма
цифр натурального числа а.
13.9.	Пусть натуральное число п представлено в виде суммы
натуральных чисел. Обозначим число всех таких представлений через
Р (п) (например, РD) = 5, 4 = 4, 4 = 3 + 1, 4 = 2 + 2, 4 = 2 + 1 +
+ 1,4 = 1 + 1 + 1 + 1). Докажите, что Р (п + 1) + Р (п - 1) ^ 2Р (п),
п = 2,3,...
13.10.	Пусть натуральное число а разделили «уголком» на нату-
натуральное числа b и получили число c§,c\c<ic?> • • • Известно, что cn+i =
= сп+2 = . . . = сп+& = 9 для некоторого п G {0,1, . . .}, к G N.

Решения	185
Докажите, что: а) к $J — ; б) к $J [lg 6].
13.11.	Для каждого натурального числа п найдите наибольшее
число / (п) такое, чтобы можно было из чисел 1, 2, . . . , п выбрать
/ (п) чисел таких, что отношение любых двух из них не равно 2.
13.12.	Докажите, что натуральное число п можно представить в
виде суммы квадратов т натуральных чисел, где 3[log4 п] + 5 ^
^ т < п — 14.
РЕШЕНИЯ
13.1. Имеем неравенство
rz т у/2 п — т	2п2 — т2	1
V ^ — — = 	 = 	~г^	 ^ 	~г^	1
п	п	п(у/2п + т) п(у/2п + т)
так как 2п2 — т2 — положительное целое число. С другой стороны,
т < \/2п, следовательно,
rz т ^	1	1	1
п ' п(у/2п + т) п(у/2п+ у/2п) 2у/2п2'
ггп <- rz m	I	m
1аким образом, получили неравенство у/А	> —-р—-, или — <
13.2. Пусть [yfdn] = /и, следовательно, к < yfdn < к + 1.
Рассмотрим два случая:
а) к < y/d п < к -\—, в этом случае
(п \fd-\- l)|sinтг \fdn\ = (п \fd-\-1)|sin тг( \fdп — к)\ ^
y/dn-\-k y/dn-\-k
n ж
(его можно доказать с помощью производных).
этом с
- yfdn)\ ^ 2nV^+2 > L
к + 1 + у/ d n
13.3. Согласно условию задачи S можно представить в следующем
виде: S = p(q-i) + 1 = pq - (pi - 1) = pq - qj, где г, j G N.
Здесь мы воспользовались неравенством sin ж ^ — ж, где О $J x $J —
7Г	2
д	щ производных).
б) к + - < y/dn < к + 1, в этом случае

186	§13. Неравенства из теории чисел
Имеем pi — 1 = qj и q > р, следовательно, г > j, где г ^ j' +1 и
<7J ^ Р 0' + 1) ~ 1? или (я — р) j ^ Р — 1- Отсюда получим S = pq —
()
13.4. Рассмотрим все возможные представления т =
где «1 $J а2 ^ • • • ^ а/, и ai,fl2,...,flfe G N. Ясно, что их
число конечно. Пусть т = a\a<i . . . а& — то представление из этих
представлений, при котором а^ наименьшее.
Если а/, ^ п, то задача решена. Предположим, что а^ > п, тогда
dk не простое число, поскольку т \ а^. Пусть р — наименьший
простой делитель а&, в этом случае р ^ \/а&.
Имеем т = (pai) a<i . . . a^-i ( —- ), поэтому pai ^ а/,, где а\ ^
>
Таким образом, т = п\п2 • • • ak-\a>k > ( уп) п = 7тл^+1" 2, что
невозможно.
13.5.	Пусть числа 1 = а\ < a<i < ... < а& = а — все делители
числа а, в этом случае числа Ьа\ < 6а2 < . . . < Ьа^ будут делите-
делителями аб, следовательно, a (ab) ^ 6ai + 6a2 + . . . + bdk = ba (a) > 2ab.
13.6.	Без ограничения общности можно считать, что а Е [0,1),
m I г т ??г — fain
поскольку а	= N а ^	1-^—
п Г J	п
Заметим, что a = 0 удовлетворяет задачи условию, достаточно
взять т = 0. Докажем, что если 0 < а < 1, то существует на-
натуральное число п такое, что для любого целого числа т имеем
а
^ Зга"
Если а Е Q, то а = -, где 0 < р < q, p, q ? Z. Предположим, что
а удовлетворяет условию задачи. Если n = g,g + l,..., 2g, то числа
aq = p, a (q + 1) , . . . , a2g = 2p должны принадлежать объединению
областей
Так как количество этих чисел равно q + 1, а число областей рав-
равно р + 1, то согласно принципу Дирихле существуют такие г, j E
? {#> <7 + 1? • • • ? 2g}, i Ф 31 чт0 числа a^, ctj принадлеж;ат одной
2
области, откуда получаем a < -. С другой стороны, существует
о
такое / Е {g, g + 1, . . . , 2g}, что числа al и a (/ + 1) принадлежат
различным областям, следовательно, а > -. Таким образом, если
12	,
- < a < -, то в таком случае при п = 1 не существует целого
о	о

Решения
187
числа га такого, что \а — га| < —. Последнее противоречит нашему
предположению.
Если а — иррациональное число, то существует no E N такое, что
/ + \ < ап0 < I + f, где I e Z (см. упр. 14.25).
о	о
1
Предположим, что
ЕСЛИ / ф 77lo, т0
Z и
а —
По
4
\ап0 - гао| = \ап0 -
Если же / = то, то
- 7тго| ^ |/ - то\-\апо - l\
I	/I 2 !
— ттго = с^^о ~ Ц > ^ > тг-
1 5 3
Таким образом, условию задачи удовлетворяют только целые числа.
Второе р е ш е н и е. Пусть п Е N, к,т ? Z и
т
а
п
2п
< —-. Если к ф 2т, то \к — 2m\ ^ 1, следовательно,
т
п
In
а —
2п
т
	а
п
что невозможно. Пусть /с = 0,1,2,..., а
а —
7721	772fc
ТОГДа 777-0 = ~^- = . . . = —дГ =
значит, а = гао Е ^.
3-2*
И 777,/g E
|	|
следовательно, |а — гтт-о | <
^
Если a G Z, то очевидно, что при m = an имеем, что га Е
т
а
п
= 0 <
Зп'
13.7.	Приведем пример трех последовательных интересных чисел:
33 = 3-11, 34 = 2-17, 35 = 5-7.
Докажем, что не существует четырех последовательных интерес-
интересных чисел. Если таковые существуют, то одно из этих чисел будет
делиться на 4, поэтому оно будет равно 4. В таком случае одно из
чисел будет равно 5 или 3, которые не интересные.
13.8.	Предположим, что существует конечное число натураль-
натуральных тг, для которых S Bп) > S Bn+1). Следовательно, существует
число По такое, что для всех п ^ по, п Е N
S B") < S Bn+1).	A3.1)
Заметим, что S BП) ф #Bn+1), поскольку в противном случае
2п = 2n+1 - 2п \ 9, что невозможно.
Докажем следующие леммы.
Лемма 1. Если п ^ п0, то S Bп+6) ^ 5 BП) + 27.

188	§13. Неравенства из теории чисел
Действительно, при делении чисел 2n, 2n+1, 2n+2, . . . , 2п+6 на 9
получаются такие остатки, каковыми являются семь последовательных
членов периодической последовательности 1, 2, 4, 8, 7, 5, 1, 2, 4, 8, 7,
5, 1, 2, ... Из сказанного и A3.1) ясно, что
S Bп+6) - S BП) = S Bп+6) - 5 BП+5) + 5 BП+5) - 5 BП+4) +
+ S BП+4) - 5 BП+3) + 5 BП+3) - 5 BП+2) + 5 BП+2) - 5 Bn+1) +
+ S Bn+1) - S Bn) ^1 + 2 + 4 + 8 + 7 + 5 = 27.
Воспользовавшись леммой 1, методом математической индукции не-
нетрудно доказать лемму 2.
Лемма 2. S Bn°+6/c) ^ S BП°) + 27/с, где /с ? N.
Лемма 3. S BПо+6/е) < 9га + 18 к, где к ? N, am- количество
цифр числа 2п°.
Действительно, имеем 2n° < 10m, где 2По+6/с < 10т+2/е, поэтому
количество цифр числа 2По+6/е не больше га + 2&, следовательно,
Остается заметить, что лемма 2 и лемма 3 противоречат друг другу,
следовательно, наше предположение неверно.
13.9.	Пусть xi,X2, . . . Xk G N, xi ^ x2 ^ . . . ^ Xk и n = #i +
+X2 + • • • + Xk, следовательно, n + 1 = x\ + Ж2 + • • • + Xk + 1; таким
образом, можно создать взаимно однозначное соответствие между раз-
разбиениями числа п и теми разбиениями числа п + 1, которые содержат
слагаемое 1. Действительно,
Из сказанного ясно, что число р (п -\- 1) — р (п) будет равно числу
разбиений п + 1, не содержащих слагаемого 1.
Если п = у\ + у2 + • • • + у и где у1 ^ у2 ^ . . . ^ у\ ^ 2, то п + 1 =
= (yi + 1) + у2 + • • • + yi-, т.е. число разбиений п + 1, не содержащих
слагаемого 1, не меньше таких же разбиений числа п. Таким образом,
р (п + 1) — р (п) ^ р (п) — р(п — 1), или р (п + 1) + р (п — 1) ^ 2р (п),
п = 2,3...
13.10.	Пусть
10an+i
Юап
+2

Решения	189
Имеем
n+i-96 = an+2, 10an+2-96 = an+3, . . . , 10an+k-9b = an
где 0 < an+i < 6, i = 1, 2, . . . , к, ап+к+1 ^ О, откуда
96
— ^ an+i, an+2, • • • , ап+/, < o.
а) Предположим, что к > — ; в этом случае среди чисел an+i,
ап+2> • • • •, ап+к какие-нибудь два окажутся равными; действительно,
А =	^ ^
откуда Л ^ — — 1 < А; — 1, т.е. существуют р < q чисел таких,
что an+p = an+g. Следовательно,
— 9b = an+p+i, 10an+p+i — 9b = an
. . . , lOaT^+g-i — 9b = an+g = an_|_p.
Складывая полученные равенства, получим an+p + . . . + an+g_i =
= (q — p) 6, что невозможно. Таким образом, /с ^ — .
б) Обозначим an+i = b — 6П+^ г = 1, 2, . . . , /г + 1. В этом случае
1 ^ Ьп+1? Ьп+2, • • • , &п+/с < Ь И 1 ^ Ьп+к + 1 ^ 6.
Заметим, что 6п+2 = Ю6П+Ь 6П+3 = Ю6п+2,. . . , bn+k+1 =
следовательно, 6n+/g+i = lO^^n+i, где fc	k
Замечание. Если 6 = 10^ и а = 99 . . . 9, то | = 0, 99 . . . 9.
к	\gb
13.11. Рассмотрим множество
X = {4aq | 4ag ^ п, а ? Zo, g нечетно}.
Ясно, что отношение никаких двух элементов множества X не равно 2,
следовательно, / (п) ^ \Х\, где через |Х| обозначено число элементов
множества X.
Пусть Y С {1,2, ...,п} и \Y\ > |X|, поставим любому числу a
из X в соответствие пару (а, 2а). Имеем 2а ^ X и |{(а,2а)}| = |Х|,
следовательно, для какого-то а а Е Y, 2a E Y. Отсюда следует, что
/(п)^|Х|, поэтому f(n) = \X\.
Пусть n = 2fcl + 2к2 + . . . + 2fc™, где fei > к2 > . . . > /cm ^ 0.
Рассмотрим следующие множества:
Хо = {2^ + 2^2 + . . . + 2ki | г е {1, 2, . . . , ш} , к{ четно},
X» = {2Г1 + 2Г2 + . . . + 2ri | п > г2 > . . . > гг > 0, п четно
и п = къ г2 = к2, • • • , г*_1 = *»_1, г^ < fcj.

190	§13. Неравенства из теории чисел
Ясно, что множества Xq, Х\, . . . , Хт попарно не пересекаются и
X = Хо U Xi U ... U Xm, следовательно,
Обозначим количество четных чисел среди чисел &i, &2, . . . , /гш через
Л, а количество нечетных — через \i.
Имеем \Х§\ = Л. Докажем, что
нечетно,
четно.
о
Действительно, пусть к{ четно. Заметим, что \Х{\ на единицу меньше
количества чисел из BTi + . . . + 2r* ^ 2ki — 1) 1,2,..., 2^% канониче-
каноническое разложение которых содержит четную степень 2, т. е.
fc+1	2ki+1 - 2
=
= -2-1	= 3 '
В случае нечетного к{ доказательство аналогично. Таким образом,
±( \ х _l 2 2 /х 2 , Л-/х 2 , (-l)fcl + ... + (-l)fc-
/(п) = Л+-п--А-- = -п+-з- = -п+^!	з	•
13.12. Имеем n = I2 + . . . + 12^ n = 32 + 32 + I2 + . . . + l2 и
n слагаемых	(n-18) слагаемых
n = 22 + 22 + 32 + I2 + . . . + I2 , следовательно, число п можно
(n —17) слагаемых
представить в виде суммы квадратов т натуральных чисел, где т Е
Е {п- 16, п- 14, п}.
С другой стороны, если п = 4^ + 4fc + 4fc + 4к + ж2 + . . . + ж2п_4, то
n = 4/c+1 + ж2 + . . . + ж2п_4, где /и = 0,1,...; следовательно, п можно
представить также в виде суммы квадратов т — 3 натуральных чисел.
Таким образом, учитывая, что п = I2 + . . . + 12^, и вышесказанное,
п слагаемых
получим, что число п можно представить в виде суммы квадра-
квадратов т натуральных чисел, где т Е {п, п — 3, п — 6, . . .} и т ^
^ со + ci + . . . + с/г, a c/eC/g-i ... Со — запись гг в 4-й системе.
Следовательно, с0 + ci + . . . + ск ^ 3 (к + 1) и 4^ ^ n <
откуда /с = [Iog47i]. Для завершения решения достаточно заметить,
что
{71,71-3,71- 6,. ..} U
U {п - 14, 71 - 17, 71 - 20,. . .} U {п - 16, 71 - 19, 71 - 22,. . .} э
D {п - 14, 71 - 13, 71 - 12,. . ., 3[log4 n] + 5} .

Задачи для самостоятельного решения	191
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Докажите неравенства 1-4.
1.
р + aq
Р + Я
-, где a,p,q <E N, у/а ? N и
1.
2.	a) S (тп) ^ 5 (га) 5(п), где n,mGN.
б) 5 (га + гс) ^ 5 (га) + 5 (п), где гс, га <Е N.
(См. упр. 13.8.)
3.	5A981П) ^ 19, где п ? N.
4.	5 A998П) > 106 для всех натуральных п, начиная с какого-то
числа.
5.	Докажите, что для любого числа М существует такое натураль-
натуральное п, что —W- > М.
S{n)
6.	Докажите, что число Б21 можно представить в виде суммы
квадратов га, где / G N и 1 ^ га ^ 21.
7.	Найдите наименьшее натуральное число п, при котором при
любом разбиении натуральных чисел 1, 2, . . . , п на две группы в одной
из них найдутся три числа составляющих геометрическую прогрессию.
8.	Пусть целые числа ai, a2, • . • , а^ такие, что 1 < а\ < а<± < . . .
. . . < a/г ^ п и a\a<i...a,k не делится на а?, г = 1,2,..., /с.
Докажите, что /с ^ тт(^), где тг (п) — количество простых чисел
не превышающих п.
9.	Пусть /с — заданное натуральное число. Докажите, что после-
довательность / ' будет ограниченна тогда и только тогда, когда
о(кп)
к = 2а-^, где а,/Зе{0,1,...}.
10.	Пусть х ^ 1 и А(х) — наименьшее общее кратное чисел
1, 2, . . . , [х]. Докажите, что:
а)А (?) /г[1'ч2 > л(ж)' где х >2; б) л(ж) <5"
([])
в) ЛBп)Л (Щ) > А (п) Р§, где п > 2, n € N;
г)	АBп) > А (п) А (д/^n), где n G N, n ^ 100;
д)	в области (п, 2п) имеется простое число, где п G N, п > 1.

192	§13. Неравенства из теории чисел
Указание, д) Докажите, что если предположить, что в интер-
интервале (п, 2п) нет простого числа, то А(п)А ( у/2п) \ АBп).
11.	Докажите, что Щ^ + ^ + . . . + Щ- < 2,78, где d{k) -
12	п
количество натуральных делителей числа к.
12.	Найдите все те числа а, для которых имеет место следующее
условие: для любого натурального числа п существует целое число т
такое, что
т
а
п
1
3n'
13.	Пусть а\ ^ п2 ^ • • • ^ ап — такие натуральные числа, что
никакая сумма некоторых из них не равна сумме некоторых других.
Докажите, что:
а) ах + а2 + . . . + ак ^ 2к - 1, к = 1, 2, . . . , щ
J ax a2	ап	2	2
14.	Пусть ai, a2, • . • , ап — различные натуральные числа. Дока-
Докажите, что
а\ + а\ + . . . + al ^ (сц + а2 + . . . + anJ.
Указание. Пусть ai < а2 < . . . < an и а^ = г + 6^; тогда
bi ^ ^2 ^ • • • ^ Ъп.

§ 14. РАЗЛИЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
В данном параграфе рассмотрим неравенства из таких разделов
математики и доказываемые такими способами, для которых не преду-
предусмотрен отдельный параграф.
УПРАЖНЕНИЯ
Докажите неравенства 14.1—14.5.
mo
14.3. х2 —хг ^ [Х2 — а) —\Х\ — а) , где 0 ^ a ^ ^i ^ Ж2,
n G N.
14.4.	| ^а? + . . . + а- - V6i +--- + 6Zl
где аь . . . , ак, Ьг, . . . , Ьк > 0, n G N.
14.5. 	Ц^ + ^1 + . . . +
ак -
> 24.
14.6. Известно, что а2-4а + 62-26 + 2 ^ 0, c2-4c + d2-2d + 2 ^ О
и е2 — 4е + /2 — 2/ + 2 ^ 0. Найдите наибольшее значение выражения
d) + (c-e)F-d).
14.7. Докажите, что если последовательность положительных чи-
чисел ax, a2, • • • , ап, . . . неограниченна и возрастает, то для достаточно
больших к справедливо следующее неравенство:
а)	1	h • • • Н
а2 а3
. , 1
< /г - -;
2
аз
- 1985.

194	§14- Различные неравенства
14.8. Докажите неравенство Минковского
1/г	, п	v 1/г	, п v 1/г
(Е0 (Е0
где г > 1, a,i,bi^0, г = 1, . . . , п.
14.9.	Докажите, что если функция / (ж) в области [0, +оо) воз-
а	Ъ
растает и непрерывна, / @) = 0, то / (х) dx-\- f~x (x) dx ^ аб, где
о	о
f~l (х) — функция, обратная f(x) и a, b > 0.
14.10.	а) Докажите тождество
= хг (yi - 2/2) + (^1 + ж2) {У2 ~ Уз) + (^1 + х2
. . . + (ж1 + . . . + ж„_1) B/„_1 - 2/n) + {xi + • • • + хп) уп.
б) Докажите, что если х1 ^ х2 ^ • • • ^ жп и yi ^ у2 ^ • • • ^ Уп,
то
+ • • • + xnyin
где числа г1,г2, . . . ,гп — это некоторое расположение чисел 1, 2, ...
... ,п.
14.11. Докажите неравенства:
а) х1 + . . . + хп ^ гг, где жь . . . , хп > 0, a?i . . . хп = 1;
ai(a2 + 1) ' ' ' an_i(an + 1) an(ai + 1) ^ 1 + ai • . . . • ап '
п ^ 2, (п - 3)(ai - 1) ^ 0, а^ > 0, г = 1, . . . , п.
^	AMS+1
где Л, М, ^ > 0;
14.12. Докажите неравенство
. . . + <р {хп) ^ <р B/i) + . . . + <р (уп) ,

Упражнения	195
где уг ^ у2 ^ • • • ^ уп, Ж1 + . . . + жл ^ 2/1 + . . . + Ук (* = 1, . . . ,гс - 1),
жх + . . . + жп = у\ + . . . + уп и для любого х из области / у?" (ж) > О
(жь. . . ,жп,2/1,. . . ,2/n G /)•
14.13. Докажите неравенство &i + . . . + bn ^ «i + . . . + ап, где
а\ ^ а2 ^ • • • ^ ап > 0, fri ^ «i, ^1^2 ^ «i^? • . • , ^1^2 • • • bn ^
^	. • . ап.
14.14.	Докажите, что для углов а,/3,7 остроугольного треуголь-
треугольника справедливо двойное неравенство
Г	ol	в	7 3
V2 < sin - + sin - + sin - ^ -.
14.15.	Докаж;ите, что для углов а,/3,7 тупоугольного треуголь-
треугольника справедливо двойное неравенство
О < ysina + A/sin/3 + ysiri7 < 1 + у8-
14.16.	Докажите неравенство 1 -\	-= -\	-= +. . . Н	^= > 2 л/п-2,
V2 V3	Vп
где n G N.
14.17.	Докажите, что a, b, с, d > 0, если Si = a + 6 + c + (i>0,
S2 = аб + be + cd + ad + ас + 6d > О, S3 = abc + bed + cda + abd > 0,
S4 = abed > 0.
14.18.	Докажите неравенство п\ < n { — ) , где n G N и n ^ 8.
14.19.	Докажите, что (l + i) (l + i) (l + i) . . . (l + ^) < 3,
где п G N.
14.20.	Докажите, что если g(:r) — выпуклая функция на отрезке
[0, ai] (см. § 1) и ai ^ a2 ^ . . . ^ a2m ^ a2m+i ^ 0, то
g (ai)-g (a2)+g (a3)-. • -+g (fl2m+i) ^ g («i - a2 + a3 - . . . + a2m+i) .
14.21.	Пусть абсолютное значение многочлена Р (х) = ах3 + Ьх2 +
+ еж + d на отрезке [—1,1] не превышает 1. Докажите, что \а\ ^ 4.
14.22.	Пусть многочлен Р (ж) = хп + ап-\хп~1 + . . . + «о (^ >
> 1) имеет п отрицательных корней. Докажите, что aiP(l) ^ 2n2ao-
14.23.	Полный граф имеет п вершин, и каждая из ребер окрашена
в один из двух заданных цветов. Обозначим через t (n) число тех
треугольников, стороны которых окрашены в один и тот же цвет.
13*

196
§14- Различные неравенства
Докажите, что
t(n)
к(к-1)(к-2)
п = 2к,
- Л (Л - 1) DЛ + 1) , гс = 4Л + 1,
о
| Л (Л + 1) DЛ - 1) , п = 4& + 3.
О
14.24. Граф имеет п (п ^ 3) вершин. Число его ребер больше —-.
Докажите, что треугольников, образованных этими ребрами не мень-
ше [?]•
14.25.	Докажите, что если а (а > 0) — иррациональное число и
0 < а < 6 < 1, то существует такое натуральное число п, что а <
< {па} < Ь.
14.26.	Пусть х\ + . . . + хп = 0 и Xi G [га, М], г = 1, . . . , п.
Докажите, что:
п	п
а) ^ ж? ^ -тМщ б) ^ х\ ^ -тМп (га2 + М2 + гаМ).
- ymf,
14.27.	Докажите неравенство (ж2 + у2)™ ^ 2тжтут +
где гтг Е N.
14.28.	Докажите неравенство
cos (а — /3) cos (f3 — 7) cos G — а) ^ 8 cos a cos /3 cos 7,
где а, /3, 7 — углы некоторого треугольника.
14.29.	Докажите неравенство
14.30.	Докажите неравенство
а\ + а,2 CL2 + аз fln-i + ап ап +
sin x +
< 3.
аз
аз
где 0 < ai ^ п2 ^ • • • ^ ап и п ^ 3.
14.31. Докажите, что если ж,у,г
= 1, то:
2 '
yz
xy

Решения
197
14.32. При каких значениях Л неравенство
а	.	b		с
Va2 + Лбе Vb2 + Xac Vc2 + Xab
верно для любых положительных чисел а, 6, с?
РЕШЕНИЯ
14.1. Рассмотрим совокупность точек
A4.1)
Поскольку A\A<i + Л2Лз + . . . + ЛпЛп+1
Ja\ + 6? + л/о| + ^ + . . . + л/«п + К >
i + b2 + • . • + bn).
i, следовательно,
(ах
. . . + bnf.
а2 л_ ъ2
14.2. Преобразуем выражение у —	yfab к следующему
виду:
Таким образом, остается доказать двойное неравенство
а + b
+ \fab ^ а + 6,
левая часть которого очевидна, так как
Для доказательства правой части докажем неравенство
или неравенство

198
§14- Различные неравенства
которое также очевидно, так как
14.3. Имеем
/а2 + 62
> Jab.
1/п _ 1/п _
X г\	X -1 —
Х2 — XI
(Х2
1/п\П — 1
/ )
1/п\П — 1
/ )
Х2 - X!
х2 - сО^Т + @*2 - *I/п)
= (х2 - а) - (х1 - а)
п/г,™ _1_	_L г,™	nlhXb 1_	_1 Un
у ai + • • • + ак - у &i + • • • + ьк
где А = ^/a^ + ... + a^, Б = Vbi + • • • + ЬЕ-
Таким образом,
14.4. Преобразуем выражение \J'а^ + . . . + а? - ^/6^ + . . . +
следующим образом:
(а™ +. . . + 6™ ) +. . .+ (ад. — бд.) (а
•Г1
-• • • + О и
+ . . . +
гг~1 + . . . + В71-1
. . . + \ак - Ьк\
а?-г + .-- + Ь1
2
л/9997+ л/9999
1	1
	^Н
1
/9997+ л/9999
1
1	1
	^Н	7=
А71-1 + . . . + В™
^ \аг - Ьг\ + . . . + \ак - Ьк\
так как А > сц > О, В > bi > 0 (г = 1,. . . , п).
14.5. Имеем
л/9997 + л/9999
1
Н
л/З-1
/9997+ л/9999 л/9999 + л/10001
,
!
л/7-
л/Ю001 - л/9999 _ л/10001 - 1 100-1
откуда
1
л/3 л/5+
/9997 + л/9999
> 24.

Решения	199
14.6. Точки А (а, 6), B(c,d), С (е, /) находятся внутри окруж-
окружности с центром О B,1) и радиусом уЗ.
Рассмотрим векторы ВЛ = {а — с, 6 — d}, ВE = {е — с, / — б/} и
= {/ — б/, с — е}. Заметим, что Е?E • BD = 0, следовательно,
BA-BD
= |90°-/?|, или 90° + /3, где ПЙ, В<5) = /3. То есть
= В A- BD- |cos(90° =Ь /5)| =
= В А - BDsmfi = В А • ВС sin /3 = 2SAabc-
Таким образом,
\(а -c)(f-d) + (c-e)(b-d)\^ 2SAABC < 2 ^ = ^,
так как из всех треугольников, вписанных в окружность радиусом у 3,
наибольшую площадь имеет равносторонний (см. решение упр. 2.7).
Остается заметить, что выражение (а — с) (/ — d) + (с — е) (b — d)
может принять значение	. Значит, наибольшее значение данного
2
выражения есть —^—.
14.7. а) Обозначим — = 1 + ai, — = 1 + 0:2? • • • ?	 = 1 +
а2	а3	afe+i
В этом случае —1 < ai, «2, • . • , otk < 0. Имеем
Так как a/г неограниченна, то существует такое число ко, что в
случае к ^ ко 	 < -? следовательно,
i > A + ai) (I + о^2) • • • A + ак) > 1 + аг + . . . + ак
(упр. 10.6), откуда следует — -\—- + . . . -\	— < к — -.
а2 аз	ак+1	2
б) Пусть числа fci, &2, • • • , ^21985 такие, что
ai	пкг	,	1
	Г • • • Н	< /ь1 — -,
«2	flfei+1	2
^^ < (Ae _ ^_х) _ I (S = 2 .1985).

200	§14- Различные неравенства
Складывая полученные неравенства, получим
— Н—- + . . . Н	— < ks — S - - = ks — 1985.
Следовательно, при к ^ ks
^ + ... + ^<А;_ 1985,
аз	а
так как 	 < 1.
п
14.8. Е(о* + bt)r = Ё <**(ai + bif-1 + Y,bi(ai + bi)r-\
Согласно неравенству из упр. 11.10
1/Г	X П	„	.ч (г-1)/г
г=1
г=1	^г = 1 '	^г=1
Следовательно,
г=1
ИЛИ
1/г	/ П	ч 1/г	/ П	ч 1/г
(Е (Е)
а	Ь
14.9. При b < f(a) имеем f/(ж) da = 5Х + S2, [/~1
о
а	6
= #з, где Si + S3 = аб, следовательно, ab ^ / (ж) е/ж + /-1 (ж) <
о	о
Доказательство в случае b ^ f(a) аналогично.
14.10. а) Ж1 (у1 - 2/2) + {xi + ж2) B/2 - Уз) +
+ (ж1 + ж2 + ж3) B/з - Уа) + • • • + {xi + . . . + xn-i) B/n-i - Уп) +
^J^l ~|~ • • • ~r A>n) Уп — «^lyl ~r \Ji->\ ~v «^2 «^ 1 / i/2 ~T • • •
—I— I I If -1 —I—	—I— T* I
• • •П^^уь*^! \^ • • • П^ «*/ 77, у
б) Имеем
+ T* 7/' — 7/* iTi — Tn I —I— ( 7/•
ТЪ\)Ъп	УЪ\ \гЛ-> i.	**-' А) I \&1\
Hi ~г • • • ~г Угп-\) \хп — 1 ~~ жпу ~г (Уг

Решения	201
^ ух {хг - х2) + B/1 + 2/2) (х2 - х3) + . . .
+ (yi + . . . + Уп) Хп = жi2/i + . . . + жп2М-
Второе неравенство доказывается аналогично.
14.11. а) Пусть х\ = —, х2 = —, .... хп-\ =	, где «i,
а2	аз	ап
а2, . . . ,ап > 0.
В этом случае жп = —-. Используя неравенство из упр. 14.10,6)
а\
для чисел ai, а2, . . . , ап и —,—, ...,—, получим
а\ а2	ап
1 _L	X_L	_L	X^	1_L	г_Ь	_L	T_L	X
ai	h a2	\- . . . -\- an— ^ a,\	\- a2	\- . . . -\- dn—\	г an — ?
a\	u2	an	ft2	аз	ап	a\
или n ^ X\ + x2 + . . . + xn.
6) Заметим, что
A + aia2 ...an) ( * + ... + a (a1i + 1)) =
1	1	a2...an	ttitt2...an—i .
= —-,	—г + ... H	7^	—-r H	—- + • • • H	^	= A-
a\ ya2 ~r lj	fln^Q-i H~ lj tt2 + 1	Q-i + l
При n ^ 3 получим
л ^	1	,	1	, aia2 , a2a3 ,	, aian _,
Л >	+ ... +	+	+	+ ... +	= Б.
^ai(a2 + l) "'" an(ai + l) ai + 1 a2 + 1 "'" an +1
Нетрудно доказать, что числа —, 6 и	, 	 (a, 6 > 0)
а	о + 1 a + 1
имеют одинаковую упорядоченность, и поэтому
(см. упр. 14.10,6)).
Согласно A) получим
в > ( г + а2 } + ( г + аз } + + ( г + ai
+ 1 ^ а2 + 1У Va2 + 1 а3 + 1У	Van + 1
~ Ui + 1 ai + l)	\an + 1 ап
Поэтому
A + ai . . .ап) (—	—- + . . . Н	—— ) ^ п.
v	/Vai(a2 + 1)	an(ai + l)/
При п = 2 имеем ai,a2 ^ 1, следовательно,

202	§14- Различные неравенства
~Г
а\ + 1 a2 + 1 a\ (a2 + 1) a2 (ai + 1) ^
^	1	1	1	= 2.
ai + 1 a2 + 1 ai + 1 a2 + 1
в) Достаточно заметить, что
1 1 1 А М S
+ + + ~А + М + ~S + M + " + Л _
тогда остается использовать неравенство из упр. 14.11,6) при п = 3.
г) Пусть
1
аA + Ь) + 6A +с)	+ сA + а) ^ аA + с) + сA + 6) + 6A + а)'
тогда, поскольку
1	1	11	1	1
+	+	^	+	+
аA + 6) 6A +с) сA + а) ^ аA + а) 6A + 6) сA + с)
(см. упр. 14.10,6)), имеем
111
+
+ a)J ^ 1
l + 6) + 6A +с) + c(l + a)J ^ 1 + абс
(см. упр. 14.11,6)).
14.12. Сначала докажем, что (р (и) ^ у? (х) + (г^ — x)tpf (x). Дей-
Действительно, рассмотрим функцию f(x) = if (и) — (р (х) + (х — u)(pf (ж);
тогда /' (х) = (х — u)(p/f (х). Следовательно, в случае х > и f(x)
возрастает, а при х < и f(x) убывает, т.е. f(x) ^ f(u) = 0, или
(р (и) ^ (р (х) + (и — x)(pf (ж), откуда
Ч> (^i) ^ ^ (z/i) + (xi ~ 2/1) ^ B/i) j
^ (Жп) ^ (р (уп)
Получаем
^ ^ (z/i) + • • • + Ч> (Уп) + (Ж1 - 2/i) ^ (г/1) + • • • + (жп - Уп) Ч>* (Уп) •
Теперь докажем, что (х± - ух) (р' (yi) + . . . + (хп - уп) <р' (уп) ^ 0.
Действительно, согласно тождеству из упр. 14.10, а) имеем

Решения	203
(Ж1 - 2/i) у/ B/i) + . • . + (жп - Уп) Ч>' (уп) = (хг ~ 2/1) (у>' (?/i) - ф' B/2)) +
+ (Ж1 - 2/1 + ж2 - 2/2) (<?' B/2) - <?' (Уз)) + • • •
. . . + (ж1 - 2/i + х2 - У2 + • • • + хп - уп) (pf (уп) ^ 0,
так как хх + х2 + . . • + хк ^ 2/1 + 2/2 + • • • + У/с и <р' B/fc-i) - у>' (ук) ^ О
(/и = 1, . . . , п — 1; <// (ж) возрастает).
Таким образом, (р (xi) + . . . + (р (хп) ^ (р (уг) + . . . + (р (уп).
14.13.	Рассмотрим числа lnai, Ina2, . . . , \пап и ln^i, In 62, . . .
... , In ftn_i, In b'n [vj\e b'n = ^ ^П J и Функцию (p (x) = ex; в этом
случае имеют место условия неравенства из упр. 14.12, следовательно,
(р (Ьг) + . . . + (р (Ь'п) ^ <р (аг) + . . . + <р (а„), или
Ьг + . . . + bn-i + bfn^ п! + .. . + ап.
С другой стороны, Ь1 = -—' '' ^ 6П, следовательно,
01 ••• Оп-1
bi + . . . + bn ^ ai + . . . + an.
14.14.	Рассмотрим функцию / (х) = —sin— в области (О, — ).
Имеем f" (х) = - sin — > 0, когда х Е f 0, — J.
Пусть с^ ^ /3 ^ 75 в этом случае имеем
следовательно, согласно неравенству из упр. 14.12 имеем
или
sin- + sin- + sin- ^ -.
С другой стороны,
следовательно, /(|) + /(f) + /(°) > /(<*) +
V^ < sin ^ + sin - + sin ^.
14.15. Доказательство неравенства ^/sina+ \/sin/3+ \/sin7 > 0
очевидно. Докажем второе неравенство. Рассмотрим функцию / (х) =
области @, тг); в этом случае
„„ , ч 2 sin ж + cos ж
/ ()	> °
4 sin х v sin ж

204
§14- Различные неравенства
когда х G @, тг).
Поскольку в случае а ^ j3 ^ 7
то согласно неравенству из упр. 14.12
Да)
или
sin а + д/sin/? + л/sin 7 < 1 +
Второе решение. Заметим, что х + у $J л/%(х2 + у2), следо-
7Г
вательно при а > —
sin 7) ^ 1 + W4sin ^y^ < 1 +
= 2 л/n + 1 - 2 > 2лД-2.
^ 1 +
14.16. Имеем
= 2
14.17.	Рассмотрим многочлен Р (х) = (х — а) (х — Ь) (х — с) (х — d).
Поскольку Р (х) = х4 — S±x3 + S2X2 — S3X + ?4 и Р (а) = 0, то
а4 = Ski3 - S2a2 + #3а - 54.
Когда a $J 0, имеем б^а3 — ^а2 + S^a — S4 < 0, а а4 ^ 0, и
полученные неравенства противоречат тождеству, следовательно, а >
> 0. Аналогично докажем, что 6, с, б/ > 0.
п\
14.18.	Рассмотрим последовательность ап = — \ п. В этом
случае
n+l
(упр. 9.32,г)), следовательно, an+i <
an. Далее,
/n — 1
an_i
— 1 \ln — 2
yn
an_2
/n-1 л/п-2

Решения	205
в	в
Таким образом, ап < —^=, следовательно, в случае п ) 8 а„ < —т= <
yn	V8
< 1.
14.19. Пользуясь методом математической индукции, нетрудно до-
доказать, что 2п ^ п2 — 1, n G N. Следовательно,
п2	Зп
< '
~ 2 13 24 " ' (п - 1)(га + 1) ~ п + 1
14.20. Пусть a,b,c G [0, «i] и а ^ b ^ с. Когда 6 ^ —-—, имеют
место условия
а ^ а — b + с, а + с = (а — 6 + с) + 6, а — 6 + с ^ 6,
следовательно, согласно упр. 2.8 g(a) + g(c) ^ g(a — 6 + с) + gF), или
g(a)-g(b)+g(c)^g(a-b + c).
Ьсли же о ^ 	, имеют место условия
a^6, a + c = 6 + (a —6 + с), Ь^а — 6 + с,
следовательно, снова g(a) + g(c) ^ g(a — 6 + с) +
Таким образом, и в этом случае g(a) — g(b) + g(c) ^ g(a — b + с).
Из последнего и упр. 7.5 и получим доказательство рассматривае-
рассматриваемого неравенства (взять f(x) = g(x) — g@)).
14.21. Рассмотрим многочлен F(x) = а + bx + еж2 + б/ж3. В этом
случае согласно формуле Лагранжа*)
+ F(!)
|
F
+ F
*) Если Р(х) — многочлен n-й степени, а х\, Ж2, • • • , хп, жп+1 — различные
действительные числа, то
Р(х) = P(xi) (Ж ~ Ж2) (Ж ~ Жз)(Ж ~ Ж) (Ж ~ Ж+1)
(Ж1 - Ж2) (Ж1 - Жз) • • • (Ж1 - Жта) (Ж1 - Жп+1)
ж - Ж4) . . . (ж - Жта) (ж -
2 - Ж4) • • • (Ж2 - Жта) (Ж
- SCl) (Ж - Ж2) ... (Ж - ЖП_1) (Ж - ХП)
, р/ ч	(ж - Ж1) (ж - Жз) (ж - Ж4) . . . (ж - Жта) (ж - Жп + l)
(Ж2 - Xi) (Ж2 - Жз) (Ж2 - Ж4) • • • (Ж2 - Жта) (Ж2 - Хп+1)
• • • ~г 1 \Хп
(жп+1 — х\) (жп+1 — жг) • • • (жп+1 — жп_1) (жп+1 — жп)

206	§14- Различные неравенства
следовательно,
а = F@) = Et^L + |F(_!) + |FA) _ 1 FB).
С другой стороны, F{x) = х3р( — ), х ф 0, откуда
F(-2) = -8p(~), F(l)=p(l), F(-l) = -p(-l).
Таким образом,
следовательно,
О	\ ^ / |	О	О	О	гУ	гУ	гУ	гУ
Заметим, что многочлен F(x) = 4ж3 — Зж удовлетворяет условию
задачи (если обозначить х = cos а, то F(x) = cos За).
14.22. Пусть корни многочлена Р(х) — числа — &i, — 62, . . . , — bn,
где Ъ{ > 0, г = 1,2,. . . , гг.
Имеем Р(ж) = (ж + 6i)(;r + 62) ... (ж + 6П), откуда ао = 6162 . . . Ьп
и (ц = clq [ -—h . . . + -— 1. Таким образом, необходимо доказать, что
\01	Ьп)
(^- + . . . + -?-) A + 6i) A + Ъ2) . . . A + Ьп) > 2гг2, п = 2, 3,. . .
Воспользуемся неравенством Коши	1- . . . + -—
bi	Ьп
+ + ^ ^ ^V1 (г = 1"'"п);
п —1 членов
получим
^ + • • • + ?) A + bi) A + Ы • •. A + ьп)
Для завершения доказательства мы воспользовались неравенством
Бернулли.
14.23. Назовем два отрезка, имеющих общую вершину птичкой,
а сами отрезки — крыльями. Число не одноцветных треугольников
равно С^ — t(n). Каждый не одноцветный треугольник содержит
птички с разноцветными крыльями. Следовательно, число птичек с
разноцветными крыльями равно 2(С3 —t(n)). С другой стороны, если
из какой-нибудь вершины выходит к отрезков первого цвета и п —
— 1 — к отрезков второго цвета, то количество птичек с разноцветными

Решения	207
крыльями, содержащих эту вершину (оба крыла содержат эту верши-
вершину), равно к (п — 1 — к).
Заметим, что
п- 1\2
—-— I , если п нечетно,
п (п \
— ( — — 11, если п четно.
Отсюда получим
(п- 1Jп
	—-—, если п нечетно,
-2 /п Л
если п четно.
2 V2
Итак, получим:
когда п = 2&,
, v п (п - 1) (п - 2) п2 (п - 2) _ к (к - 1) (к - 2) т
^ "	6	8 ~	3	'
когда п = Ак + 1,
,^^^ n(n-l)(n-2) n(n-lJ ^
когда п = 4& + 3,
14.24 Докажем методом математической индукции. В случае п =
= 3,4 утверждение задачи правильное.
Пусть утверждение задачи справедливо для п $J к — 1 точек.
Докажем, что оно справедливо также для п = к точек (/с ^ 5).
Выделим два случая.
а)	Любое ребро образует треугольник.
В этом случае число образованных треугольников больше —-, еле-
довательно не меньше — , /с = 5,6,...
б)	Существует ребро Л В, которое не образует треугольник. Обо-
Обозначим остальные вершины графа через Лх, Л2,...,Л&_2- В этом
случае или вершина А{ не соединена или с Л, или с Б (г = 1, 2, . . . ,
. . . , к — 2). Следовательно, число ребер с вершинами Лх, Лг,. . ., Л/г_2
больше I —— (/и — 1) I, поэтому число треугольников, образованных
(\кЛ Л fk2 (и л\ (k~2f\
данными вершинами, не меньше (hr ~ 1) ( — (^~1)= —. I •

208	§14- Различные неравенства
Пусть одним из этих треугольников является Л1Л2Л3. Если ни
одна из вершин А{ не соединена ни с Л, ни с В, то мы не будем
рассматривать отрезок А\А^. В этом случае точки Лх, Л2,. . ., А^-2
опять соединены -—-—— отрезками, Значит, существует по краи-
Г*П 1	л л л г	\кЛ
ней мере — — 1 треугольников, и вместе с A\A<iA% будет —
L 2, J	V 2, \
треугольников.
Осталось рассмотреть случай, когда А соединен с вершинами Лх,
Л2, . . . , Лт, а, В с остальными. Если отрезок A^Aj является реб-
ребром для каких-либо (i;j), г < j ^ га или т < г < j, то задача
снова решена. В противном случае число ребер с вершинами Лх,
Л2, . . . , Л/,_2 не больше га(/г — 2 — га), что невозможно, так как
т(к-2-т) ^ (^~2) .
14.25. Заметим, что числа {па} отличаются друг от друга. Дей-
Действительно, пусть {га} = {ja}, г ф j; в этом случае ia = ja + к,
к
к ? Z, откуда а = 	 Е Q, что невозможно.
* - J
Пусть 7тг Е N и — < min(a; 6 — а; 1 — Ь). Ясно что существуют
такие натуральные числа г > j, что |{га} — {ja}| < — (достаточно
разбить отрезок [0,1] на m + 1 равных частей и воспользоваться
принципом Дирихле).
Следовательно, |(г — j) a — [ia] + [jo]\ < —, откуда {(г — j) a} <
< — или {(г — j) a} > 1	.
Пусть {(i-j)a}<—, (i- j)a = x + k, keZ, a = {(i-j)a}.
Рассмотрим числа ж, 2ж, Зж, . . . Одно из этих чисел принадлежит
области (а, 6), пусть а < /ж < 6, / Е N.
Имеем / (г — j) а = 1х + &/, откуда {/ (г — j) a} = lx E (a, 6).
Пусть {(г — j) a} > 1	, (г — j) a = ж+/г, /и G Z, ж = {(г — j) a}.
Имеем 1 — x < —.
m
Рассмотрим числа 1 — ж, 2A — ж), ... Одно из этих чисел принад-
принадлежит области A — 6,1 — а). Пусть
1 - b < 1A - х) < 1 - а, /(г - j)a = lx + 1к = -1A - х) + / + 1к,
откуда
/(/с + 1) + a - 1 < l(i - j)a < I(к + 1) + b - 1,
или a < {I (i — j)} < b.

Решения	209
14.26. а) Имеем ^J (xi — га) (М — xi) ^ 0; следовательно,
i=i
2_j х2 ^ —птМ.
г = 1
б) Заметим, что М ^ 0 ^ га; следовательно,
п
^2	~ гп) (М3 - х\) - га (ж3 - га3) (М - х{)) ^ 0,
п
откуда (М — 7тг)У^ж^ ^ —п(МАт — тАМ). Следовательно, когда
i=i
п
М ф 7тг, имеем V~^ ж^ ^ —тМп (т2 + М2 + тМ). Когда т = М =
г=1
п
= 0, имеем У^ х\ = 0 = -тМп (га2 + М2 + тМ).
i=i
14.27. Имеем
2	^
^ ^тХ У "т" °тЖ 2/ -h . . . -h От Ж у — lZ ~ А)х У •
Здесь мы воспользовались неравенствами
(х2)к (y2)m~k + (х2)т~к (у2)' > 2 ^2т • У2т > 2Жгоуго,
/с = 1, . . . , га — 1.
Таким образом, (х2 + у2)™ - х2т - у2ш ^ Bт - 2) хшут, или
(х2 + у2)т ^ (хт - ymf + 2-^j/-.
14.28. В случае а,/3,1^— имеем
sin a cos(C — 7) = - (si
/л \ ^ \/sin27sin2/5 /-.
откуда cos(p — 7) ^ 	:	• Следовательно,
sin a,
cos(a — f3) cos(/3 — 7) cosG — ex) ^
. л/ sin 2a sin 2/3 J sin 27 sin 2/3 л/ sin 2a sin 27 _	_
^ —	:	— —	r1	— —	:—7,	~ = 8 COS a COS в COS 7.
sin 7	sin a	sinp
14 H.M. Седракян, A.M. Авоян

210
§ Ц ¦ Различные неравенства
Пусть теперь а ^ /3 < — < 7- Если j ^ — + а или j ^ — +
Z	z	z
то
cos(a — /3) cos(/3 — 7) cosG — о) ^ 0 > 8 cos a cos /3 cos 7-
Если же —
—
.2
, т0
0 < — cosG — а) < — cos 7,
0 < cos(a - /3) cosG - /3) < cos(/3 - а) <
< 4 cos(/3 — а) + 4 cos(a + C) = 8 cos a cos /3,
следовательно,
cos(a - /3) cos(/3 - 7) cosG - a) > 8 cos a cos /3 cos 7.
14.29. Рассмотрим два случая:
x
а) когда sin — = 0, имеем х = 2тгп, п Е Z и
sin ж Н
h . . . Н
= 0 < 3.
б) когда sin — ^ 0, существует такое натуральное число т, что
. X
sin-
1
m
При п ^ т имеем
sin ж Н
h . . . Н
sin
Isin2ж|
Isin ж I + Isin ж I + . . . + Isin а? I ^ m sin ж| ^ 2т
sin —
п членов
(см. упр. 1.13 и 7.4, а)).
Теперь оценим выражение
Согласно упр. 14.10 имеем
sin(m
smnx
2 A4.3)
При П > 771.
sin(m + 1)х
т + 1
(sin(m
sin(m + 2)х)
. . . + (sin(m + 1)х + . . . + sin(n - l)x) (	J
+ (sin(ra + l)x + . . . + sin nx) —.
Следовательно,

Решения
211
sin(m + 1)ж	s'mnx
+ |sin(m + l)x + sin(m + 2)x|
. . . + |sin(m + l)x + . . . + sin(n — l)x f	)
14	'	v	' \n — 1 n)
?
1
x
sin —
2
+ |sin(m + l)x + . . . + sinna:|— ^
77/
4771 + 1	771 + 2 " " " П — 1	77-	П
sin —
2
значит,
sinGTi
+ ...+
771 + 1	71
Здесь мы воспользовались неравенством
| sin kx + sin(& + ]
Докажем его. Действительно,
I sin к
< 1.
A4.4)
x
sin —
2
2 sin — sin kx + . . . + 2 sin — sin px
2	2
cos f Aj — - J ж — cos (k-\--\x-\- cos f & + - j x —
- cos (k + 1 + - J x + . . . + cos (p - - j x - cos (p + - J
cos (к	J x — cos (p + - J x	2
sin —
sin —
sin —
Теперь, используя неравенства A4.3) и A4.4), нетрудно доказать,
что
sin2#	s'mnx
sin x H	h • • • Н
< 3.
14.30. Требуется доказать, что
д _ (си + Q2
14*

212	§14- Различные неравенства
Докажем A4.5) методом математической индукции,
а) При п = 3
o\ -\- 0,2 0,2 ~\~ а3 а3 -\- ai . о з/ о\ -\- а2 а2 ~Ь а3 а3 -\- <
+ а2 + а3 =	+	+	 ^ 3' '
следовательно,
(ai + a2 + a3)(a2 + a3 + ai)(a3 + ai + a2)
^
+ О2){о2 + а,з)(аз + а\)
\ (ai + CL2) («2 + cts) («з + &i)
2	2	2	_ C\
а2)(а2 + а3)(а3 + а\)	\2/
з*5
б) Пусть n ^ 4 и неравенство A4.5) верно для га —1 чисел. Сначала
докажем неравенство A4.5) в случае, когда а\ = а2 или an_i = an.
Когда а\ = а2, имеем
. _ Bа2 + а3)(а2 + а3 + а4) • • • (an-
2(
2а2(а2 + а3) . . . (an_i + ап)(ап + а2)
Bа2 + оз)(оп + 2а2) (а2 + а3 + а^) . . . (an_i + ап + а2)(ап + а2 + а3)
2а2(ап + а2 + а3)	(а2 + а3) . . . (an_i + ап)(ап + аг)
_ [Z02 ~г Оз)[оп -\- Z02) /o\	. о /o\	. / о \
^	—	 I — I	^ — I — I	^ I — I
za2^an -\- 02 ~г 03) \Z/	z \Z/	\Z/
поскольку неравенство Ba2 + as)(an + 2a2) ^ 3a2(an + a2 + аз)
эквивалентно неравенству (a2 — аз)(а2 — an) ^ 0.
Доказательство в случае an_i = ап аналогично.
Теперь докажем, что если а\ < а2 и an_i < ап, и если последова-
последовательность чисел ai, a2, . . . , an_i, ап заменить числами а[ = а\ + ж,
а2, . . . , ап_ь ап - ж = а7п, где 0 ^ ж ^ min(a2 - аъ ап - an_i), то
величина А от этого не возрастет, т. е.
А> -г
+ х + a2)(a2 + a3) . . . (an_i + ап — х)(ап + ai)
х (ai + a2 + аз + ж)(а2 + аз + а4) . • . (ап_2 + an_i + ап — ж) х
х (an_i + an + ai)(an + ai + a2),
или
(ai + а2 + аз)(ап-2 + an-i + an) .
(ai + a2)(an_i + an)
(ai + a2 + a3 + x)(an-2 + an_i + an — x) , . ч
^ 	7	i	i	\7	i	\	• (I4-")
yO\ -\- X -\~ O2)\On — i -\- On — X)
Заметим, что последнее неравенство можно записать в виде
аж2 + Ьх + с ^ 0,

Решения	213
(ai + a2 + a3)(an_2 + an_i + an)
где a =	-,	^7	г	 — 1 > 0, с = О, следовательно,
(ai + a2j(an_i + an)
для доказательства A4.6) достаточно доказать его для значений х = 0
и ж = CL4 — ai при п = 4, х = а$ -\- ад — а>2 ~ ai ПРИ 71 = 5, а при
п ^ б ж = а2 — а\ (так как min(a2 — «i, an — an-i) ^ a2 — «i ^ ^4 —
— a\ ^ a4 — ai + B5 — аг).
В случае х = 0 доказательство неравенства A4.6) очевидно.
В случае п = 4, ж = сц — ai необходимо доказать, что
(ai + a2 + аз)(а2 + аз + 04) > (а2 + аз + а4)(а2 + аз + ai)
(ai + а2)(а3 + а4)	^	(а2 + a4)(ai + а3)	'
ИЛИ («4 — fll)(^3 "" а2) ^ 0.
В случае п = 5, ж = а5 + а4~а2~а1 доказательство неравенства
A4.6) очевидно.
При п ^ 6, ж = п2 — а,\ необходимо доказать, что ах + Ь ^ 0 т. е.
/(ai + a2 + аз)(ап-2 + an-i + ап)
\71\
a2j(an_i + an)
+ f an + an_i + an_2 - ai - a2 — a3 —
(ai + a2 + аз)(ап-2 + an-i + an)
-+
а2
. + а2 + а3)(ап_2 + an-i + an)N
o,n-i
или
a3(an_i + an) + an_2(ai + a2))(a2 - аг) (
	h I an-2 — as —
\
(ai +a2)(an_i + an)
(an-i + an — a\ — а2)(азап_2 + аз(ата-1 + ап) + an_2(ai + a2)) \
(ai + a2)(an-i + an)	J^ '
(a3an_2 + a3(an_i + an) + an_2(ai + a2))Ba2 - an - an_i) +
+ (an-2 ~ a3)(a1 + a2)(an_i + an) ^ 0,
2a2an_2(ai + a2 + a3) +
+ (an_i + an)(a2a3 - a3an_2 ~ «3«n-i - a3an - a3ai) ^ 0,
2a2an_2(ai + a2 + a3) ^ (a3an_i + asan)(an-2 + an_i + an + a\ — a2);
последнее неравенство справедливо, так как
2a2an_2 ^ a3an_2 + a3an_2 ^ a3an_i + a3an,
ai + a2 + a3 ^ an_2 + an_i + an + ai - a2.
Взяв x = min(a2 — ai, an — an_i), получим для чисел a^, a2, . • .
... ,an_i, a^ случай a[ = a2 или an_i = a^, причем a7x ^

214	§14- Различные неравенства
a>n-i ^ ап-> следовательно,
аз + Q4) • • • (а» + Qi + Q2)
3\П
2/
д >
^	(ai + а2)(а2 + а3) . . . (а^ + ах)
и, таким образом, заданное неравенство доказано.
14.31. а) Заметим, что yz < 1, xz < 1, ху < 1, следовательно,
1-2/2'1-2ж'1-ж2/*^ ' *
2 2
Ж	U	2	17 Ч~ 2
значит,	1	1	> 1. Заметим также, что yz ^ 	.
1 — yzl — zxl — xy	2
^ 22+Ж2	^ Ж2+' °
Ж2/ ^	, следовательно,
1-y	у	у + ^	_ ^ + ж	_
2	2
2
2ж | 2у | 22:
1 + ж2 1 + у2 1 + ^2
Кроме того, заметим, что
2(х-уJ(х + у)A-ху)
следовательно, согласно неравенству (8.57) получим
2х	2у	2z < G{x + y + z) <
1 2
<
1 + ж2 1 + у2 1 + z2 ^ 3 + ж2 + у2 + z2
Т	?7	Z	3 л/3
Таким образом,	\-	\-	 ^ д (см. также упр. 5.17).
1-2/2 1- zx 1- ху	2 v	^^	7
б) Имеем
+ + =
1 + 2/2 1 + ?ж 1 + ху х +
Согласно неравенству (8.4)
х	у	2	(ж + 2/Н
1 + 2/2	1 + 2Ж	1 + Ж2/^Ж + 2/ + 2
х + у + 2 + Зж2/2
Ж + 2/ + 2 + ЗЖ2/2
- z) + Ж2/2 + Ж2/ + 2/^ + 2Ж
Ж + у + 2 + Ж2/2 + Ху + 2/2 + 2Ж
^	Ж + 2/ + 2 + ЗЖ2/2	'

Решения	215
следовательно,	1	1	> 1.
1 + 2/2 1 + zx 1 + ху
Если xyz = 0, например, х = 0, то
Докажем, что если ж, у, z ^ 0 и ж2 + у2 + z2 = 1, то
1 + yz 1 + zx 1 -\- ху ^
Заметим, что если а ^ 0, то	 ^ 1 — а + а2, следовательно,
1 + а
+ хA — ху + х2у2) = х -\- у -\- z — Zxyz + xyz(yz + xz -\- xy).
Кроме того, ху + уz + zx ^ х2 + у2 + z2, следовательно,
^—	Н ^—	Н ^—	 ^ х + у + z - 2xyz.
1 + yz 1 -\- zx 1 -\- ху
Докажем, что х + у + z — 2жуг ^ ^/^^ гДе х-> У-, z ^ 05 ж2 + у2 +
+ Z2 = 1.
Действительно, пусть тах(ж,у,г) = z. Тогда 3z2 ^ x2-\-y2-\-z2 =
= 1, следовательно, 2z2 + 2 ^z - 1 ^ 2z2 + 2 y^2z2 - 1 > 3z2 - 1 ^ О,
поэтому из неравенства
4z4 - 8z2 + 4 v/2z - 1 = (^ - lJBz2 + 2 V^z - 1) ^ О
следует, что
или
z(x + уJ - (ж + у) + z3 - 2z + а/2 ^ О,
ж + у + z - ((ж + уJ + z2 - 1) z ^ а/2, ж + у + z - 2ж^ ^ л/2-
14.32. Докажем, что если неравенство A4.1) выполняется при всех
положительных а,Ь,с, то А ^ 8 или А = 0.
Действительно, если А ф 0, то для а = 1, b = с = —, из A4.1)
получаем
1	+ 1 . 1 . 3
Теперь при п —>• +оо получаем 1 ^	, следовательно, А ^ 8
v 1 + А
(если А < 0, то выражение д/1 + ^А не определено для п > —у)-

216
§ Ц ¦ Различные неравенства
Докажем, что для Л ^ 8 и а, 6, с > О неравенство A4.1)
справедливо.
Лемма 1. Если х > О, у > 0 и ху $J 9, то
Действительно, имеем
/1 + 2/
1.
у) = 2 + ж + у
+ 2 у A + v^7J + (л/ж - y/yf ^2 + ж + ?/ + 2
= A + х){1 + у) + 4 - (V^ - IJ
таким образом, л/1 + ж + у/\ + у ^ л/l + ж-y/l + у.
Лемма 2. Е'слгл ж > 0, у > 0 гл ху ^ 9, шо
+ ж)(! +
Требуется доказать, что
Имеем (VI + ж + V! + yJ i1 + V^) ^ D + х + 2/ V
(см. доказательство леммы 1). Теперь докажем неравенство
D + х + у + 2л/^7) A + у/ху) ^ 4A + ж)A + у),
или, что то же самое, (у/ху — 3) (у/х — у/у) ^ 0, которое очевидно.
_,	^	Лбе	Лас	Лаб
Введем следующие обозначения: х = —2~,	у = —2~5	z = —2~5
а	6	с
тогда ж, у, z > 0, жуг = Л3. Докажем, что для	Л ^ 8
Действительно, пусть max (ж, у, z) = z; тогда z ^ Л. Если
9, то согласно лемме 1 имеем
1	1	1	1	1 ^ . ^ 3
Vl + х y/l + y Vl + z Vl + x y/l + y
Если же ху ^ 9, то согласно лемме 2 имеем
1	1
(так как z\ ^ Л2 ^ 64 > 9). Складывая полученные неравенства,
получаем
1
1

Задачи для самостоятельного решения
217
Теперь, так как ^Jxy ^ 3 и \fz\ ^ Л, то ^fxy\Tz\ ^ ЗА ^ 24 > 9,
следовательно, снова согласно лемме 2
= +
1
Таким образом,
1
V1 + х у/1 + у VI + z V1 + Л V1 + Л
и неравенство A4.1) доказано.
Замечание. Аналогично можно доказывать, что если а\, а2, . . .
... , ап > 0, n ^ 2, то

п —1 , / 2
1 + (п —
(п — I)aiu2 • • • CLn-i
1.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Докажите неравенства 1-17.
2.
где ( х
3. ^а2 + A - a2)
где п ^ 2.
4.
7i e N.
5.
- a3J
2 ,
j, где
6. 0
= , где 7i G N.

218
§14- Различные неравенства
7. а)
ху + у2 +
yz + z2
x2 + x
z2;
б) с ^/а2 + б2 — аб + а
с > 0.
— 6с ^ 6 л/а2 + с2 + ас, где а, 6,
8.
3	3
9. 9 < j fyx4 + ldx + j ^Дс4 - ldx < 9,0001.
10. —
	I	z±	h • • • H	—
C2	x\ + Ж2Ж3 + x\	X2n-\- XnXi + x\
1
3
где a?i, . . . , жп > 0, n ^ 3.
11.
x\ + 2x1x2 + 2Ж1Ж3 + Ж2 Ж2 +
+ 2ж2жз + жз
- 2жпЖх + ж^ Ь
где n ^ 3, a?i, . . . , жп > 0.
12. 3n + 4n + . . . + (n + l)n + (n + 2)n < (n + 3)n, где п ^ 6 и
га G N.
13.
1983	1
<
1983	1982 1982'
14.	tgx ^ ж3, где же @, ^-).
15.	^
i, где n ^ 3, 0 ^ c^^ < ^, г = 1,
2,...,гг и
e^ = 1.
16.	а3
17.	—
6а6с ^ -(а
I - 2f
18. Сравнить числа ( - )
100
+ ( о
19. Докажите, что если а
^1987 = 0^ т0 аЗ + ^3
сK, где а, 6, с > 0.
рттр 1* II 7е ^^ О HP —I— 7/ —I— ^ — 1
00 / 1 \100 / 1 \100
¦Ы +('-^) ¦
+ d = 0 и а + б1987 + б1987 +

Задачи для самостоятельного решения	219
20. Докажите, что если неравенство
справедливо для любых положительных чисел а, 6, то a $J -.
21. Докажите, что если \ai\ + |аг| + • • • + |^п| < ? < ^> т0
22. Функция / определена на множестве Q и /@)/A) < 0.
Докажите, что существуют такие рациональные числа г\ и Г2, что
а — с
23.	Найдите наибольшее значение выражения \а — b\\b — с\
при условии а, 6, с ^ 0 и a + 6 + c^l.
24.	Докажите, что если а, /3, 7 — углы некоторого треугольника, а
а,Ь,с — его стороны, то:
а)	0 < sin a + sin /3 + sin 7 ^	;
б)	0 < у sin q^ + у sin /3 + у sin 7 ^ 3 ( - j ;
q /q
в)	0 < sin a sin /3 sin 7 ^ ^ ;
Г) 2 <«. (H) +«. (f) +«- (i
д) cos q^ cos/3 cos 7 ^ -;
eH<cos(|)cos(f)cos(|)^;
, 1 a2 + b2 + c2 1
Ж^ 3^ (a + b + cf <Г
ч 1 ab -\- be -\- ac 1
3> 4 ^ (a + 6 + cJ ^ 3;
ч 1 . (a + fe) F + c) (a + c) _8_
Hj 4^	(a + 6 + cK	" 27'
25. Докажите для углов остроугольного треугольника a, /3, 7 сле-
следующие неравенства:
о /q
а) 2 < sin a + sin /3 + sin 7 ^	;

220	§14- Различные неравенства
					 /3\1/4
б) 2 < у/ sin а + у sin /3 + у sin 7 ^ 3 ( - J ;
3
г) 1 < cos a + cos /3 + cos 7 ^ тт 5
е)	- < ее
ж)	3<m+2}/2 ^ tgm a + tgm /3 + tgm 7 ^ 1, где т ^ 1.
26. Докажите для тупоугольного треугольника с углами а, /3, 7 и
сторонами а,Ь,с следующие неравенства:
а)	0 < sin a + sin /3 + sin 7^1+ \f^\
б)	0 < sin a sin /3 sin 7^9'
в)	0 < cos (f) cos (f) cos (I) ^i^;
ч 1 + cos a cos /3 cos 7 . _
r)	 > z;
sin a sin /3 sin 7
ч 1 a2 + 62 + c2 3
A) 3 ^ "(^ТбТ^J" ^ 8'
ч 5 a6 + 6c + ac . 1
e) T^ < (a + b + c)> < з;
Ж^ 32 <	(a + 6 + cK	^27'
27.	Докажите, что если 0 < a\ ^ a2 $J . . . ^ an и 0 < b\ $J 62 ^ • • •
... ^ 6n, то
(ai + 61) (a2 + 62) ... (an + bn) ^ (ax + 6^) (a2 + 6»2) • • • (an + 6in) ^
^ (ai + 6n) (a2 + bn-i) . . . (an-i + b2) {an + 61) ,
где числа zi, 22, . . . , in являются некоторым перераспределением чи-
чисел 1, 2,.. . , п.
28.	Для чисел бц, bi (г = 1, 2, . . . , п) выполняются условия преды-
предыдущего упражнения и g — неубывающая выпуклая функция (см. § 11).
Докажите, что

Задачи для самостоятельного решения	221
29. Пусть g — выпуклая функция на отрезке [0, а\] и g@) $J 0.
Докажите неравенство
где а\ ^ а2 ^ • • • ^ а>гп > О-
30.	Докажите, что если ai, B2, . . . , an > 0, то
\ ft2 /	\ Bз /	V Q-n /	\ fti /	tt2 Q-3	ftn	ftl
31.	Пусть многочлен р(х) = аж2 + Ьх + с удовлетворяет следую-
следующему условию: 0 ^ р(—1) ^ 1, 0 ^ р@) ^ 1, 0 ^ рA) $J 1. Докажите,
9
что для любого х G [0,1] имеет место неравенство р(ж) ^ -.
о
32.	Известно, что для трехчлена р(х) = ах2 + Ьх + с на отрезке
ж G [0,1] имеет место неравенство |р(ж)| ^ 1. Докажите, что |6| ^8.
33.	Известно, что для трехчлена р(х) = ах2 + Ьх + с на отрезке
х G [—1,1] имеет место неравенство |р(ж)| ^ 1. Докаж:ите, что на том
же отрезке справедливо неравенство |//(ж)| ^ 4.
Замечание. Для любого многочлена р(х) справедливо нера-
неравенство
\р(х)\ ^ ттах|р(ж)|,
о — а [а,Ь]
где х G [a, 6] и п — степень р(ж).
34.	Степень многочлена р(х) не превышает 2п. Известно, что
для любого целого числа к G [—n, n] \p(k)\ ^ 1. Докажите, что для
любого числа х G [—п, п] справедливо неравенство |р(ж)| $J 22n.
35.	Пусть жд < Х\ < . . . < хп — целые числа. Докажите, что
п\
хотя бы одно из чисел |р(жо)|? |р(ж1)? • • • ? |р(жп)| не меньше —^, где
р(х) = хп + аххп-х + а2хп-2 + . . . + ап.
36. Пусть на отрезке [—1,1] заданы отличные друг от друга числа
х\ < Х2 < • • • < Xk, к ^ 3. Докажите, что
XI — Ж2||Ж1 — Жз • • • Хг — Хк	\Х2 — Х\\\Х2 ~ Хг • • • \Х2 —
— Xk-l\

222	§14- Различные неравенства
37. Докажите, что если а, 6, с > О, то
+ У +
38.	Пусть р(ж) = ах3 + 6ж2 + еж + d и для всех х на отрезке
[—1,1] имеет место неравенство |р(ж)| ^ 1. Докажите, что |а| + |6| +
+ |c| + |d| ^7.
39.	а) хх(х - у)(х -z) + ух{у - х)(у - z) + zx(z - x)(z - у) ^ О,
где x,y,z > 0;
б) g(x)(f(x) - f(y))(f(x) - /(z)) +g(y)(/(y) - f(x))(f(y) - f())
+g(z)(f(z)-f(x))(f(z)-f(y))^O, где ?/(g)c@;+oo) и функции
/ и g монотонны.
40.	Полный граф имеет п вершин, каждое из его ребер окрашено
одним из трех цветов. Докажите, что существует одноцветный связный
,	„	„ „	п
подграф, имеющий по крайней мере — вершин.
41.	Докаж;ите неравенство
V'а\ + С(п) л/а2 + С(п) . . . \Jап + С(п),
п — 1
где п ^ 2, аь . . . , an ^ 0, C(n) = (n_2)/(n_1) •
42. Докаж;ите неравенство
_ . . sin2# sinna? _ /т:
0 ^ sin х + ——- + . . . +	 < 2 V2,
Л	Tl
где 0 ^ х ^ —.
Указание. Если х ф 0, то существует натуральное число
такое, что
./9	. Ж ./9
< sin - <
2(m + l)	2 ^ 2т'
43. Пусть /: 1Z —> 1Z. Докажите, что / — постоянная, если:
а)	для любых действительных х и у имеет место неравенство
\f(x) - f(y)\ <: С\х - у\а, где С> 0, а > 1;
б)	для любых чисел а,Ь, с, d, составляющих арифметическую
прогрессию, имеет место неравенство \f(a) — f(d)\ ^ A\f(c) — f(b)\,
где А > 3.

§ 15. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
УПРАЖНЕНИЯ
15.1.	Внутри угла задана точка М. Проведите через точку М
прямую так, чтобы площадь треугольника, ограниченного этой прямой
и сторонами угла, была наименьшей.
15.2.	На сторонах ВС, АВ и АС треугольника ABC даны
соответственно точки D, Е и F. При этом около четырехугольника
Sdef EF2
AFDE можно описать окружность. Докажите, что 4 —	 $С 	~.
Ьавс AD
15.3.	Докажите, что:
а)	если длины трех биссектрис треугольника меньше 1, то его пло-
площадь меньше ——;
о
б)	если длины трех биссектрис треугольника больше 1, то его пло-
площадь больше ^—.
о
15.4.	Докажите неравенство ab+bc+ac ^ 4у/35', где S — площадь
треугольника со сторонами а, 6, с.
15.5.	Пусть а,Ь, с — стороны некоторого треугольника. Докажите,
что a2b(a - b) + b2c(b - с) + с2а(с - а) ^ 0.
15.6.	Пусть а,Ь,с — стороны некоторого треугольника. Докажите,
что а2 + Ь2 + с2 + Aabc ^ -.
15.7.	Докажите неравенство
МА2 МА2 • МА3	МАп-Х • МАп ^ МАХ • МАп '
где М, t4i, . . . , Ап — отличные друг от друга точки и п ^ 3. Когда
имеет место равенство?
15.8. Докажите неравенство
л/О А2 + О В2 - 2 • О А • О В • cos
+ ОС2 - 2 • О В • ОС • cos 2ZBOC ^
^ л/ОА2 + ОС2 - 2 • О А - ОС - cos 2/ЛОС,

224	§15. Геометрические неравенства
где О, Л, В, С — отличные друг от друга точки.
15.9.	На сторонах АВ и CD квадрата ABCD заданы соответ-
соответственно точки U и V. Пусть прямые DU и AV пересекаются в
точке Р, а прямые CU и BV — в точке Q. Докажите, что:
a) PQ ^ т:АВ\ б) Supvq ^ -aSabcd-
15.10.	В выпуклом шестиугольнике ABCDEF противоположные
стороны параллельны (AB\\DE, BC\\EF, CD\\FA). Докажите нера-
неравенство Ra + Rc + Re ^ Р, где Яд, Яс, Re — радиусы окружностей,
описанных около треугольников F АВ, BCD и DEF соответствен-
соответственно, а Р — полупериметр шестиугольника ABCDEF.
15.11.	Внутри квадрата со сторонами равными 1 заданы квадраты
со сторонами а и 6, не имеющие общих точек. Докажите, что а +
+ 6 < 1.
15.12.	Правильный n-угольник со стороной b находится внутри п-
угольника со стороной а и не содержит центр окружности, описанной
около последнего. Докажите, что b < 	.
2n
15.13.	Докажите, что для любых точек Л, В, G, D, Е, F имеет
место неравенство
2 (АВ2 + ВС2 + CD2 + DE2 + EF2 + FA2) ^ AD2 + BE2 + СF2.
15.14.	Даны положительные числа mi, 7712, • . • , тпп и точки А\,
п
Л2, . . . , Ап. Пусть Мо — такая точка, что 2_JVfli^i — 0> гДе $1 =
i=i
, г = 1,2,...,п. Докажите неравенство
г=1	i=l
где М — произвольная точка.
15.15. Даны положительные числа mi, 7712, . . . , mn и точки
Л2, . . . , Лп, причем
Е^
mn, где а =	, г = 1, 2, ...
Л 4
п	п —1
... , п — 1. Докажите неравенство У^гт^^МЛ^ ^ У^^^г^п^г? ГДе А^ —
г=1	г=1
произвольная точка.

Упражнения	225
15.16. Даны положительные числа mi, 777,2, • • • ? шп и выпуклые
многоугольники А\А2 . . . Лп и В\В2 . . . #П5 причем многоугольник
В\В2. . . Вп вписан в многоугольник А\А2 . . . Ап (В\ G А\А2, В2 G
G Л2Л3,...,?П G AnAi) и
= А2А3(т1е1 - т2е2) = . . .
. . . = v4nv4i(mn_ien_i - mnen) = 0,
где ё^ = рг рг—, г = 1,2,...,п, Вп+\ = ^i. Докажите неравенство
п	п
^rriiCiCi+x ^ ^miBiBi+1,
г = 1	г=1
где Ci G Л1Л2, С2 G Л2Л3, • • • , <?n G ЛПЛ1 и Cn+i = d.
15.17. Внутри треугольника ABC дана точка М, а на сторонах
А В, ВС и С А — точки Р, Q и Я соответственно. При этом
/РМЛ, ZPMB, ZQMB, ZQMC, ZRMA, ZRMC < ?.
Докажите неравенство
МЛ + МБ + МС ^ 2 а/МЛ • MB • cos /ЛМР • cos ZBMP +
+ 2 v/МБ • МС • cos ZBMQ - cos ZCMQ +
+ 2 а/МЛ • MC • cos /ЛМЯ • cos ZCMR.
15.18.	Внутри выпуклого многоугольника А\А2 . . . An дана точка
M. Обозначим расстояние точки М от прямых Л^Лг+i через d{,
Ап+1 = Ль МА{ = Ru i = 1, 2,..., п.
Докажите неравенство cosn — R\R2 . . . Rn ^ d\d2 . . . dn.
n
15.19.	Внутри куба с единичным ребром даны три точки. Докажи-
Докажите, что расстояние между какими-нибудь двумя из них не больше у 2.
15.20.	Внутри куба с единичным ребром задана пирамида ABCD.
Докажите неравенство А В • С D • d $J 2, где d — расстояние между
прямыми А В и CD.
15.21.	Треугольная пирамида находится внутри параллелепипеда.
Докажите, что объем пирамиды не больше - объема параллелепипеда.
о
15.22.	Куб с ребром а находится внутри куба с единичным ребром.
При этом он не содержит центр единичного куба. Докажите, что а < -.
15 Н.М. Седракян, A.M. Авоян

226
§15. Геометрические неравенства
15.23.	На плоскости даны два произвольных треугольника. Пусть
Р — сумма их периметров, a Q — сумма расстояний вершин одного
треугольника от вершин другого. Докажите, что Р $J Q.
15.24.	Внутри квадрата с единичной стороной даны 1998 взаимно
не пересекающихся кругов. Известно, что сумма их площадей не мень-
меньше -. Докажите, что существует такая прямая, что сумма длин хорд,
*	-	г
образовавшихся при пересечении этой прямой с кругами, не меньше — •
15.25.	Выпуклый многоугольник М находится внутри треуголь-
треугольника ABC. Докажите, что какую-нибудь из сторон многоугольника
можно положить на одну из сторон треугольника так, что многоуголь-
многоугольник М снова будет находиться внутри треугольника ABC.
РЕШЕНИЯ
15.1. Пусть прямая, проведенная из точки М, пересекает стороны
треугольника в точках А и В. Проведем из точки М прямые,
параллельные сторонам угла (рис. 1): МС \\ О В и MD \\ О А.
Имеем ААСМ ~ ААОВ и AMDB ~ ААОВ; следовательно,
Saob у Saob
откуда нетрудно получить, что
СМ + BD
ОБ
= 1,
= 2\/SamcSbmd ^ Samc + Sbmd,
или Saob ^ ^Socmd- Следовательно, площадь треугольника АО В
будет наименьшей, когда Samc = Sbmd, т.е. АС = MD = ОС.
D
D
С
Рис. 1
Рис. 2
15.2. На стороне АВ выберем точку Е' так, что DE'\\AC
(рис. 2). При решении упр. 15.1 мы доказали, что
Sabc
= 4

Решения
227
EF2
л
откуда 4	«
У	Sabc AD2
15.3. а) Рассмотрим два случая.
1. Длина какой-нибудь стороны треугольника ABC меньше
2
В таком случае, если а < —т=, то
V3
5 =
aha
<\
1 =
2. Длина каждой стороны треугольника ABC не меньше —-=.
Предположим, что величина угла А этого треугольника наибольшая,
тогда /-А ^ 60°. Проведем из вершины А прямую / так, чтобы
она образовала со стороной А В угол 60° (рис. 3). В таком случае
С
В
Рис.3
с
Рис. 4
биссектриса угла В не меньше ВН (ВН1.1) и ВН = АВ sin 60°
что невозможно.
б) Пусть AD — биссектриса угла А и А ^ 60°. Имеем
1,
Sabc
AD2 sin2 -
[	±
2sinZA
(см. решение упр. 15.2).
15.4. При доказательстве неравенств, связанных со сторонами тре-
треугольника, иногда бывает целесообразно ввести следующие обозначе-
обозначения: а = т + n, b = п + к, с = т + к, где m = р — 6, п = р — с,
к = р — а, причем га, п, /с > 0 (рис.4).
Воспользовавшись неравенством (ж + у + zJ ^ 3(жу + yz + гж),
получим
аб + be + ас = (га + п + /сJ + ran + пк + га& ^ 4(гап + п/г + га&) ^
пк -\- пк - тк + ran • га&) = 4
15.5. Снова вводя обозначения a = 7n + n, b = п + к, с = т + к,
где т = р — Ь, п = р — с, к = р — а, га, п, & > 0, получим
15*

228	§15. Геометрические неравенства
a2b(a - b) + b2c(b - с) + с2а(с - а) = km3 + ran3 + пк3 - птк2 -
— пкт2 — ктп2 = кт(т — пJ + тп(п — кJ + пк(к — гаJ ^ 0.
15.6.	Введем обозначения а = р — к = - — к, с = р — b -\- к = - —
—	b + к, где к = р — а > 0.
Доказываемое неравенство эквивалентно неравенству (к — Ь)х
хA — 2Ь) ^ 0, которое очевидно, так как b < р = - и с = р —
—	b + к < р, т.е. к < Ь.
15.7.	На луче М А{ выберем точку В{ так, что MBi =	,
lvl /\%
г = 1,2,...,га. Докажем следующую лемму.
Лемма. Справедливо равенство В{ Bj =	Л. .
Выделим два случая.
а) Лучи МAi и MAj не находятся на одной прямой. Заметим, что
И, ~ AMBiBj, следовательно, -±-± = ±
откуда
г • MAj '
б) Лучи МAi и MAj находятся на одной прямой. Имеем
1 ± г
Таким образом, заданное неравенство эквивалентно известному нера-
неравенству ВХВ2 + ?2#з + • • • + Вп-ХВп ^ Bi^n.
Равенство имеет место, когда все точки В\, B<i, . . . , Вп находятся
на одной прямой в заданной последовательности. Если М G В\Вп,
то в этом случае v4i, Л2, . . . , Ап G В\Вп, причем нетрудно по-
понять, что точки М, t4i, Л25 • • • 5 ^п находятся на одной прямой или
в последовательности М, А\, Ач, • • • , ^4П, или в последовательности
М, Лп, Лп_1, . . . , Л1, или же для некоторого к в последовательно-
последовательности Л/,, v4/g_i,. . . , Л1, М, Ап,. . . , Лд._|_1, или в последовательности
Когда М ^ В\Вп, около четырехугольника МA\A<iA% можно
описать окружность. Действительно,
s = 180°.
Так же доказывается, что около четырехугольников МА2А%А^, . . .
... , МАп_2Ап_\Ап можно описать окружность. Таким образом, око-
около многоугольника М А\А2 . . . Ап можно описать окружность, при

Решения
229
этом М принадлежит той дуге А\Ап, которая не содержит точки
15.8. Выделим два случая.
a) 2ZAOB + 2ZBOC ^ тг.
Пусть О А = а, ОВ = 6, ОС = с, ZAOB = 7, /#ОС = а,
ZAOC = /3. Рассмотрим на плоскости такие точки О', Л7, В', С',
что О'А' = а, О'?' = 6, О'С" = с, ZA'O'B' = 27, ZB'O'C = 2а,
/Л'О'С" = 27 + 2а.
Имеем Л'Б' + Б'С' ^ Л'С7, т.е.
-2a6cos27+ л/b2 + с2 -26с cos 2а
^ л/а2 + с2 - 2accosB7 + 2а) ^ V/а2 + с2 - 2accos2/3.
Последнее неравенство справедливо, так как 2/3 ^ 27 + 2а ^ тг.
б) 27 + 2а > тг, в этом случае
27>тг-2а.	A5.1)
Без ограничения общности можем считать, что а, 7 ^ —. Действи-
Действительно, если а,7> —, то рассмотрим точки О, Л, С, i?i, где i?i и
5 симметричны относительно точки О. А если а > — ^ 7, то рас-
рассмотрим точки 0,74,5,G1, где Ci и С симметричны относительно
точки О.
Следовательно, учитывая A5.1) и решение для случая а), получаем
-2a6cos27+ л/b2 + с2 -26с cos 2а
a2 + б2 - 2a6cos(Tr - 2а) + \А2 + с2 -26с cos 2а
а2 + с2 - 2accos(Tr - 2а + 2а) = а + с ^ х/а2 + с2 -2accos2/3.
15.9. а) Пусть BU ^ CV. В этом случае AU $J DV. Проведем
в квадрате среднюю линию MN (рис. 5) и PPi\\QQi\\ AB. Заме-
Заметим, что проекции РР\ и QQi на
А В не могут иметь общих точек, следо- ц	М Qx	q
вательно,	'^^
PQ ^ АВ - (PPi + QQi) =
б) Имеем Squv =
_ BQ _ Sbqc
Sbuq
Squv
следовательно,
D

230
§15. Геометрические неравенства
Subcv =
Аналогично докажем, что Sauvd ^ ^Supv- Следовательно,
Sauvd + Subcv Sabcd
х о
+ O
uqv
15.10. Рассмотрим рис. 6. Имеем
MN + PK
MN и
этому
, или
sin a
(a sin /3 + / sin 7) + (c sin 7 + d sin /3)
P/f, no-
Следовательно, Ra ^ -(a + d)—	Ь -(/ + с)—	.
4V	ysina 4W ysina
M
В b
F e E
Рис. 6
Таким же образом получаем
^ ^ 1 / /» ч sin a 1/7
К
sin/3
sin7
sin/3 4
sin/
Складывая эти неравенства и воспользовавшись неравенством ж +
Н— ^2 (ж > 0), имеем
х
Ra + Rc + Re^ \{а + d) + \{Ь + е) + i(/ + с) = р.
Замечания. 1. Равенство имеет место тогда и только тогда,
когда ABCDEF — правильный шестиугольник.
2. В общем случае это неравенство неверно. Например, ZA = 90°,
ZB = ZF = 135°, ZC = ZD = ZE = 120° и ВС = CD = DE = EF.

Решения
231
МР N Р
3. Рассмотрим рис. 7; Ra + Re + Re ^ Р или —	1—	\-
К Р	2	2
-\	—- ^ РВ + PD + PF, а это известное неравенство Эрдёша-
Морделлы.
Рис. 7
15.11. Сначала докажем следующую лемму.
Лемма. Если квадрат PQRS со стороной а вписан в прямо-
прямоугольник ABCD (рис. 8), то ABCD — тоже квадрат и квадрат
со стороной а можно поместить в пятиугольник ABQRD так,
чтобы стороны квадрата были параллельны А В и AD.
Действительно, рассмотрим поворот квадрата PQRS вокруг его
центра О на угол 90°.
При этом точка R перейдет в точку Q, следовательно, прямая CD
перейдет в прямую ВС и, значит, точка О равноудалена от сторон
CD и ВС. Аналогично получаем, что точка О равноудалена от
Рис. 8
сторон А В и ВС, AD и АВ. Из сказанного следует, что ABC D —
квадрат с центром О.
Рассмотрим квадрат PiQiRiSi с центром О, стороны которого
параллельны А В и AD и P\Q\ = PQ (см. рис. 8).

232	§15. Геометрические неравенства
Осуществим параллельный перенос вектором QiQ2. При этом
квадрат P\QiR\Si перейдет в квадрат P'Q1RfS'', который находит-
находится внутри пятиугольника ABQRD, так как, как
нетрудно доказать, Q\Q2 = РР2 = SS2. Лемма
доказана.
Воспользовавшись леммой, мы можем распо-
расположить квадрат со стороной а внутри квадрата
со стороной 1 так, чтобы их стороны были па-
параллельны и чтобы квадрат со стороной а снова
не имел общих точек с квадратом со стороной b
(рис. 9). Воспользовавшись леммой еще один раз,
рис 9	получим, что стороны квадратов со сторонами
а и 6, не имеющих общих точек, параллельны
сторонам квадрата со стороной 1. Теперь нетрудно доказать, что а +
+ 6 < 1.
15.12. Сначала покажем, что окружность, описанная около пра-
правильного n-угольника со стороной 6, не имеет точек вне окружно-
окружности, описанной около правильного n-угольника со стороной а. Дей-
Действительно, предположим, что окружности пересекаются. На большей
окружности выберем точку М так, чтобы она не была вершиной
правильного n-угольника со стороной а и находилась внутри меньшей
окружности.
Пусть заданы правильные n-угольники А\А2 . . . Ап (AiA2 = a)
и В\В2 . . . Вп, причем точка М находится на малой дуге А\А2.
Имеем ZAiMA2 = —	 и многоугольник А\А2 . . . Ап нахо-
находится внутри угла /_А\МА2.
Следовательно, многоугольник В\В2 . . . Вп также находится
внутри этого угла.
Поэтому /_А\МА2 > mdixZBiMBj = —	-, что невозможно.
ij	J	п
Обозначим радиусы этих окружностей через Ra и Я&, а центры
этих окружностей — через О и О\. Из сказанного ясно, что Ra ^ Rb +
-\-OOi, а поскольку О не находится внутри многоугольника В\В2 . . .
... Вп, то ОО\ > гъ, где гъ — радиус окружности, вписанной в
В1В2 . . . Вп.
Таким образом, Ra > Яь + гь, или 		>	1	,
2 sin-	2 sin- 2tg-
а	п	п	п
откуда получаем, что b < 	.
2п
15.13. Введем обозначения АЁ = а, ВС = 6, CLJ = с, DE =
= б/, EF = ё. Тогда нужно доказать, что

Решения	233
2(а2 + b2 + с2 + d1 + e2 + (а + 6 + с + d + е) ) ^
^ (а + 6 + сJ + F + с + dJ + (с + d + еJ,
а это неравенство эквивалентно очевидному неравенству
(а + с + еJ + (а + dJ + F + ef + (а + Ь + d + еJ ^ 0.
15.14. Имеем
г=1
Замечание. Равенство имеет место в том и только том случае,
когда М = Мо.
15.15. Имеем
71—1	71—1
г=1	i=l
71 — 1	71 — 1	71 — 1
0 + ~MAn)ei =
Замечание. Равенство имеет место в том и только том случае,
когда М = Ап.
15.16. Имеем
1=1	1=1
г = 1	г=1
где то = гап, ёо = ?п.
п
Таким образом, 22rni^i^i^~1
г=1

234	§15. Геометрические неравенства
15.17. Имеем
/л^ъ /пд^г^ cos (ZAMP + ZBMP)+ 1 о ZAMP
cos ZAMP cos ZBMP ^ 	^	^	}—— ^ cos2	,
A	A
следовательно, правая часть доказываемого неравенства не больше
(^ т~А—тут; zamb _ г—-=——-z zbmc
2 ^МА • MB cos	h 2 V МБ • МС cos	h
V	А	А
+ 2 д/МЛ • МС cos	),
A J
которое не больше МА-\-МВ-\-МС, так как (MAi + MCi — MEi) ^
^ 0. Выберем точки Лх, В\ и Ci так, чтобы
х|= JWa,
(mX^M^i) = ^^, (M^i, Шг) =
ZAMB	'ТГТ^ГТл-^ - АВМС
fc> 1, 1VI О -
zлмc
(МЛ1,М^1) = тг-
2
15.18. Имеем
(см. решение упр. 15.17). Пусть ifi = 	г——-—, г = 1,...,гг.
Необходимо доказать неравенство
( COS — 1 ^ COS (fi COS Ц>2 • • • COS y?n,
где 0 < 9?i < — и (?>i + (f2 -\- s -\- (pn = тт.
Последнее доказывается методом Штурма. Достаточно заметить,
7Г
что, если (pi < — < (fj, то
COS (y?i + у?3-) + COS ((fi — (fj)
COS (pi COS y?j = 	—			—	^^^ <
/	2тг\
<	— = cos (ipi + (fj	) cos —.
15.19. Пусть это точки Ai{xi,yi, Zi), а вершины куба — точки
@,0,0), @,1,0),..., A,1,1).
Имеем Xi^yi^Zi G [0,1], i = 1,2,3. Следовательно,
- Л3Л2 $J 2 max (x{ — Xj)
+ 2 max (у{ - yjJ + 2 max (zi - ZjJ ^ 6,

Решения	235
откуда min(^i^2, А2А3,А3А1) ^ у/2.
15.20. Обозначим середины отрезков АВ и CD через М и N.
Докажем, что АВ2 + CD2 + 2MN2 ^ 6.
Действительно, рассмотрим точки Л', В', С", D', М',Л/7, симмет-
симметричные точкам А, В,С, D, M, TV относительно центра куба. Рассмот-
Рассмотрим параллелограммы D'CDC, ABA'В' и MNM'N'. Поскольку
сумма квадратов двух смежных сторон параллелограмма не боль-
больше квадрата большей диагонали этого параллелограмма, то CD2 +
+ 7V7V/2 ^ 3 и АВ2 + ММ'2 ^ 3, следовательно, CD2 + АВ2 +
+ NN'2 + ММ'2 <: 6, или CD2 + AB2 + 2MN2 + 2MN'2 ^6, откуда
2 + ЛБ2 + 2M7V2 ^6.
Таким образом,
6 ^ CD2 + АВ2 + 2M7V2 ^ 31/CD2- AB2-2MN2,
или 2 ^ CD • ЛБ • MiV ^ AB-CDd.
15.21.	Пусть пирамида ABCD находится внутри параллелепипе-
параллелепипеда объемом V. Из точки Л проведем прямую, параллельную грани
BCD. Эта прямая пересекает одну из граней параллелепипеда в точке
Ль Тогда Vabcd = Va1bcd-
Из точки А\ проведем прямую, которая пересечет ребра паралле-
параллелепипеда в точках Лз и А2. В этом случае
Vaxbcd ^ тах(Уд3вс?>, Va2bcd) = Va3bcd-
Если Лз принадлежит ребру Л5Л4 параллелепипеда, то
Va3bcd ^ max(VA5?CD, Va4bcd)-
Таким образом, мы доказали, что существует такая вершина Л о
параллелепипеда, для которой Vabcd ^ Vaobcd- Аналогично, су-
существуют такие вершины Во, Со и Do параллелепипеда, что
Vabcd ^ Vaobcd ^ Vaobocd ^ Vaobocod ^ Vaobocodo-
Остается заметить, что Vaobocodo равно - V или - V.
о	о
15.22.	Нетрудно доказать, что куб ребром а и центр единичного
куба находятся по разные стороны плоскости а, содержащей одну из
граней куба с ребром а.
Рассмотрим два случая:
а)	а параллельна одному из ребер единичного куба;
б)	а не параллельна ни одному из ребер единичного куба.
В случае а) доказательство получается, если спроектировать куб
с ребром а и симметричный ему куб относительно центра единичного
куба на ту грань единичного куба, которая перпендикулярна плоско-
плоскости а (см. упр. 15.11).
б) Пусть куб с ребром а находится внутри пирамиды ABCD, где
Л — вершина единичного куба и полупрямые Л Б, Л G, AD содержат

236	§15. Геометрические неравенства
три ребра, выходящих из вершины А единичного куба, причем плос-
плоскость (BCD) совпадает с плоскостью а.
Рассмотрим плоскость (B'C'D'), которая параллельна (BCD) и
которой принадлежит одна из граней куба с ребром а, причем В' ?
G АВ, С G AC, D' G AD. Воспользовавшись упр. 15.25, получим,
что куб с ребром а можно вложить в пирамиду ABCD так, что одно
из его ребер будет принадлежать, например, отрезку В'С'.
Теперь рассмотрим плоскости C и /З7, которые содержат грани
куба с ребром а и перпендикулярны прямой В'С. Воспользовав-
Воспользовавшись тем фактом, что квадрат, находящийся внутри прямоугольного
треугольника, можно расположить так, что две смежные стороны квад-
квадрата находятся на катетах треугольника (доказательство этого можно
получить, используя леммы из упр. 15.25 и упр. 15.11), получим, что
куб с ребром а расположен внутри пирамиды ABCD, причем одна
из граней куба принадлежит грани ABC. Повторяя эти рассуждения
еще один раз, получим решение задачи.
15.23. На плоскости имеем точки X и У. Возьмем произволь-
произвольную прямую /о- Пусть ХУ составляет с прямой /q угол а. Возьмем
на прямой /q некоторую точку О. Обозначим через /^ образ прямой
/о, получающийся при повороте плоскости вокруг точки О против
часовой стрелки на угол (р. Проекции точек X и У на прямую
/^ обозначим Ху и У^ соответственно. Очевидно, что Х^У^ =
Отсюда получаем
ХуУф d(p = ХУ|cos (ip — а)\ dip = ХУ |cos ((p — а)\ d(p.
J	J	J
oo	о
Справедливо равенство
a	g(a)
Г	Г
ъ	g(b)
Положив в нем а = тг, 6 = 0, g (ip) = ip — a, f (j3) = |cos/3|, получим
тг	тг — а
XY\\cos((p- a)\ d<p = ХУ [ |cos/3| d/3.
0	-a
Поскольку интеграл периодической функции |cos/3| с периодом тг
на отрезке длины тг не зависит от положения этого отрезка, то
тг —а	тг	тг/2
ХУ f | cos /31 dp = ХУ Г | cos /31 dyS = 2ХУ [cos/3d/3 = 2Xy.
-a	0	0

Решения	237
Получили
^	A5.2)
Теперь докажем, что для произвольных треугольников ЛВС и
AiBiCi имеет место неравенство
АВ + ВС + С А + АгВг + BiCi + С1А1 ^
^ ААХ + ЛБХ + АСХ + BAi + ВВг + ?Ci + CMi + CB1 + <7<7i.
Доказательство последнего сначала получим в том случае, когда точки
Л, В, G, v4i, Bi, Gi лежат на одной прямой. Поскольку неравенство
симметрично относительно троек точек Л, В, С и Л]_, ^i, Ci, то мож:но
считать, что точка В находится между точками А и G, а точка i?i —
между точками Л]_ и Ci. В этом случае р = 2 А С + 2А\С\, и согласно
неравенству треугольника ЛG ^ АВ\ + BiG, Л1С1 ^ А\В + BGi,
следовательно,
ЛG + AiCi ^ ЛБХ + ВХС + ЛХБ + БGь
Аналогично имеем АС + AiCi ^ {ААг + i4Gi) + (CAi + GGi).
Таким образом,
р = (АС + AxCi) + (ЛG + AiCi) ^ (АВ1 + Б^ + ЛХБ + ВСг) +
+ САг + ACi + ССг) ^ Q,
т.е.р^ Q.
Теперь возьмем какую-нибудь прямую /q и точку О на ней.
Обозначим через Л у?, В</?, G у?, Ai<p, B\tp, C\^p проекции точек Л, В,
G, Л1, Bi, C\ на прямую /^, получающиеся при повороте плоскости
вокруг точки О против часовой стрелки на угол (р. В этом случае,
согласно неравенству полученному выше, имеем
р {ф) = А^Вр + В^Ср + С^Ар + А1(рВ1(р + В1(рС1(р + С1(рА1(р ^
^^Лх^ + ВфВ\ф + ВфС\ф +
^Л^ + С^Б^ + C^Ciy, = Q {ф).
Если р(^) ^ Q(^), то
J^ Jy-	A5.3)
о	о
Из A5.2) и A5.3) имеем
+ ВС + ЛС + АгВ! + ВХСХ + yljd <
+ AB1 + Ad + BAi + ВВх + BCi + CAi + CB1 +

238	§15. Геометрические неравенства
15.24. Проведем координатные оси так, чтобы они проходили через
стороны данного квадрата. Обозначим через fi(x) длину отрезка,
получающегося при пересечении перпендикуляра к оси Ох в точке х
и г-го круга (если пересечения нет, то fi(x) = 0). В этом случае Si =
1
= fi (x) dx, где Si — площадь г-го круга. Следовательно,
о
1
Si + S2 + • • • + #1988 = I (fl(x) + • • • + fn(x)) dx ^ -.
0
1
Ясно, что существует такое число жо, что Jlv-uy	jn\^vj ^
А
(если такая точка не существует, то Д (х) + . . . + Д (х) < - и
1
о
Именно для этой точки ж0 сумма длин отрезков, получающихся
при пересечении перпендикуляра к оси Ох в точке xq и заданных
1
кругов, не меньше — •
А
Рис. 10
15.25. Достаточно решить задачу для треугольника А\В\С\. Вы-
Выделим два случая (рис. 10 и рис. 11).
Рассмотрим рис. 10. Произведем поворот вокруг вершины Сч на
такой угол, при котором одна из сторон с вершинами С^-, Bi, ^2 мно-
многоугольника М впервые станет параллельна прямым А\В\,В\С\
и Л1С1 соответственно. Пусть и Е [^1,^2], причем и\ и u<i —
значения и для двух описанных выше поворотов (в положительном и
отрицательном направлениях). Обозначим через Ми образ, который
получается при повороте многоугольника М вокруг Сч и последую-
последующих преобразованиях подобия с центрами А\ и В\ который снова
вписан в треугольник A\BiCi.

Задачи для самостоятельного решения
239
Понятно, что какие-нибудь стороны многоугольников MUl и MU2
будут находиться на одной из сторон треугольника А\В\С\. Пусть
C2B2 = mf(u), A2B2 = nf(u).
Докажем, что функция f(u) на отрезке [1x1,1x2] принимает наи-
наибольшее значение в токах и\ или и2.
Рис. 11
Действительно, имеем
=A1B2 + B2d =
sin 7
- и),
откуда
/(«) =
А\С\ sin a sin 7
А\С\ sin а sin 7
m sin г^ sin 7 + nsm(ip — и) sin a
где а, (р и (pi — постоянные. Так как при и Е [iXi,iX2] f(u) > 0, т.е.
sin(?x + (fi) > 0, то sin(?x + (fi) принимает свое наименьшее значение
на отрезке [1x1,1x2] в точках и\ или и2.
Случай на рис. 11 доказывается аналогично.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1.	Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 1. Дока-
Докажите, что периметр этого треугольника не меньше 6 у 3.
2.	Докажите, что среднее арифметическое длин сторон выпуклого
n-угольника меньше среднего арифметического длин его диагоналей,
где п ^ 4.
3.	Задан выпуклый четырехугольник с единичной площадью. До-
Докажите, что внутри этого четырехугольника можно выбрать четыре
такие точки, что площадь треугольника, образованного любой тройкой
этих точек, будет не меньше —.

240	§15. Геометрические неравенства
4.	Докажите, что на разных сторонах треугольника с площадью S
существуют такие три точки, которые являются вершинами правиль-
правильного треугольника с площадью не больше —.
5.	Площадь треугольника ABC равна 1, причем точки D, Е на-
находятся на сторонах АВ и АС соответственно. Пусть отрезки BE
и CD пересекаются в точке Р. Докажите, что Spde ^ 5 л/2 — 7, если
Sbced —
6.	Через точку пересечения медиан треугольника ABC проведена
прямая, которая пересекает стороны ВС и АС в точках Р и Q,
2
соответственно. Докажите, что Smpq ^ -5авс5 гДе М — середина
стороны АВ.
7.	Пусть Лх, В\, С\ — точки, симметричные вершинам Л, В и С
треугольника ABC относительно прямых ВС, АС и АВ соответ-
соответственно. Докажите, что SaxbxCx ^ ^$авс-
8.	Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются
в точке О. Докажите, что л/Sabo + \/~Scdo ^ \JSabcd-
9.	Биссектрисы внутренних углов А, В и С треугольника ABC
второй раз пересекают окружность, описанную около ABC в точках
Лх, В\ и С\ соответственно. Докажите, что АА\ + ВВ\ + СС\ >
> АВ + ВС + АС.
10.	Пусть h — наименьшая высота треугольника ABC. Докажите,
что внутри треугольника ABC можно расположить по крайней мере
29 квадратов со стороной — так, что никакие два из них не будут
о
иметь общих внутренних точек.
11.	На стороне А В треугольника ABC вне его построен квадрат
с центром в точке О. Пусть М и N — середины сторон ВС и АС.
Докажите, что ОМ + ON ^ ^2 + * (ВС + АС).
2
12.	Пусть та, тъ и гпс — медианы остроугольного треугольника
со сторонами а, Ь, с, а расстояния ортоцентра от вершин треугольника
, , , „	А ^ А ^ А ^ а" + Ь2 + С"
равны аа, аъ, dc. Докажите, что mada + тп^аь + mcdc ^	.
13.	Пусть М — внутренняя точка треугольника ABC, причем
прямые AM, BM, СМ пересекают стороны ВС, А В и АС в
u	AM BM CM ^Q
точках r, Q и К соответственно. Докажите, что	^ 8.
14.	Радиус окружности, вписанной в равнобочный треугольник
ABC (АВ = ВС), равен г. Докажите, что, АВ > Зг.

Задачи для самостоятельного решения	241
15.	Диагонали АС и BD выпуклого четырехугольника ЛВСD
пересекаются в точке О. Обозначим центры окружностей, описанных
около треугольников ЛОВ и COD, через Р и Q соответственно.
и ПГЛ AB + CD
Докажите, что FQ >	.
16.	Пусть окружность, вписанная в треугольник ЛВС, касается
его сторон ВС, АС и ЛВ в точках А\, В\, С\ соответственно.
Пусть длины малых дуг В\С\, А\С\ и А\В\ равны /1? /2 и /3
п ВС , АС , АВ	а/3
соответственно. Докажите, что —	1—	1—-— ^ 9 ——.
/l	/2	/3	7Г
17.	Известно, что прямоугольный треугольник ABC можно по-
крыть двумя единичными кругами. Докажите, что Saabc ^ У •
18.	На плоскости заданы 111 единичных векторов, сумма кото-
которых — нулевой вектор. Докажите, что из этих 111 можно выбрать 55
таких векторов, модуль суммы которых будет не больше 1.
19.	Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Докажите, что
произведение боковых сторон трапеции не меньше произведения осно-
оснований.
20.	В треугольнике ЛВС ZMAC = 15°, где М — середина
стороны ВС. Докажите, что ZABC $J 105°.
21.	В круге диаметром 5 заданы десять точек. Докажите, что
расстояние между какими-нибудь двумя точками из этих десяти не
больше 2.
22.	Прямые, содержащие боковые стороны А В и CD трапеции
ABCD, описанной около окружности, пересекаются в точке М, а
диагонали АС и BD — в точке N. Докажите, что 90° < ZAND <
< 90° + \ZAMD.
23.	Известно, что в четырехугольнике ABCD, описанном около
окружности, наибольшая сторона равна AD. Прямые, содержащие
стороны А В и CD, пересекаются в точке М, а диагонали АС и
BD — в точке N. Докажите, что 90° ^ ZAND ^ 90° + - ZAMD
24.	Известно, что треугольник ABC разбит на 1995 таких тре-
треугольника, что никакие два из них не имеют общих внутренних точек и
в каждом из них один угол больше 120°. Докажите, что треугольник
ABC можно также разбить на 1994 таких треугольника.
25.	В выпуклом шестиугольнике ЛВС DE F дано, что А В = ВС,
CD = DE, EF = FA и ZABC-\-ZCDE-\-ZEFA = 360°. Докажите,
что Ra + Re + Re ^ V (см- обозначения упр. 15.10).
16 H.M. Седракян, A.M. Авоян

242	§15. Геометрические неравенства
26.	Докажите, что из всех выпуклых четырехугольников со сто-
сторонами а, 6, с, d наибольшую площадь имеет тот четырехугольник,
около которого можно описать окружность.
27.	Известно, что прямоугольник ABCD можно вложить в пря-
прямоугольный треугольник так, чтобы сторона А В находилась на ги-
гипотенузе, а также так, чтобы сторона AD находилась на гипотенузе.
Докажите, что этот прямоугольник можно вложить в прямоугольный
треугольник так, чтобы одна из вершин прямоугольника совпадала с
вершиной прямого угла треугольника.
28.	Докажите, что из треугольников, вписанных в окружность ра-
радиусом Я, равносторонний треугольник имеет наибольшие:
а)	площадь;
б)	периметр;
в)	отношение площади к полупериметру (т. е. радиус вписанной
окружности);
г)	отношение площади к квадрату полупериметра.
29.	Известно, что прямоугольник со сторонами a, b находится
внутри прямоугольника со сторонами с и d и что max(a, b) >
> max(c,(i). Докажите, что 2ab < cd.
30.	В выпуклом шестиугольнике ABCDEF противоположные
стороны параллельны. Обозначим середины сторон АВ, ВС', CD, DE,
EF, FA через Лх, Bi, С\, Di, E\ и F\ соответственно.
Докажите, что:
а)	из отрезков A\D\, B\E\, C\F\ можно построить треугольник;
б)	« Sabdf < Si ^ Sabdf, где Si — площадь треугольника со
сторонами AiDi, BiEi и CxFx.
31.	Докажите неравенство
п			, п \2	/ п ч 2	п	п
г=1	^ ^г = 1 ^	^г = 1 ^	г = 1 г=1
где |А;| ^ 2.
32.	Докажите, что если а,/3,7,^>0 и с^ +/3 + 7 + ^ = ^^ т0
sin 2a + sin 2/3 + sin 27 + sin 28 ^ 16 sin a sin /3 sin 7 sin E.
33.	Докажите неравенство
sin 2a + sin 2/3 + sin 27 ^ cos (? + ^) + cos f ^ + f) + cos f ^ + |) ,

Задачи для самостоятельного решения	243
где а, /3, 7 — углы некоторого треугольника.
34.	Докажите, что если 0 < ol{ < —, i = 1, 2, . . . , п, и cos2 ol\ +
+ . . . + cos2 an > 1, то ax + a2 + • • • + olu < ^ (n - 1).
35.	Координаты всех вершин остроугольного треугольника — це-
целые числа, а стороны не меньше у 65. Какую наименьшую площадь
может иметь такой треугольник?
36.	Внутри треугольника ЛВС взята точка М. Докажите, что
сумма углов МАВ, МВС и МСА больше меньшего угла треуголь-
треугольника и меньше суммы двух других углов.
37.	а) Треугольник AiBiCi подобен треугольнику ABC, и его
вершины лежат на разных сторонах последнего. Докажите, что
г2
где г и R — радиусы окружностей, соответственно вписанных в
треугольник ABC и описанных вокруг треугольника ABC.
б) Докажите, что R ^ 2г, где R и г — радиусы окружностей,
соответственно описанных вокруг треугольника ABC и вписанных в
треугольник ABC.
38.	Докажите, что не существуют пять таких векторов, что угол,
образованный любыми двумя из них, тупой.
39.	Докажите, что если выпуклый n-угольник, вписанный в
окружность, содержит центр окружности и длины его сторон меньше
длины вписанного в эту окружность правильного пятиугольника, то
площадь пятиугольника меньше площади п-угольника.
40.	Докажите, что площадь треугольника, вписанного в окруж-
окружность, меньше половины площади этого круга.
41.	Докажите, что сумма расстояний центра тяжести треугольника
от сторон треугольника не меньше трех радиусов вписанной окружно-
окружности.
42.	Докажите, что периметр остроугольного треугольника больше
4Я, где R — радиус окружности, описанной около этого треугольника.
43.	Докажите, что для любого остроугольного треугольника с пло-
площадью 1 можно найти прямоугольный треугольник с площадью не
больше а/3, в который можно вложить данный треугольник.
44.	В квадрате со стороной 50 задана ломаная такая, что для
любой точки А внутри квадрата существует какая нибудь точка В
16*

244	§15. Геометрические неравенства
на ломаной, что А В ^ 1. Докажите, что длина ломаной не меньше
1248.
45.	В треугольной пирамиде ABCD AD2 + ВС2 = BD2 + АС2 =
= Л??2 + CD2. Докажите, что какая-нибудь грань пирамиды является
остроугольным треугольником.
46.	Докажите, что площадь любого сечения куба плоскостью, про-
проходящей через центр куба, не меньше площади грани куба.
47.	В четырехугольнике ABCD дано АВ = 3, ВС = 2, CD = 4
и AD = 7. Точки М, Л/", /С, ?/ являются серединами сторон ЛВ,
ВС, CD и Л?) соответственно. Найдите наибольшее значение суммы
МК + NE.
48.	Решите предыдущую задачу при условии АВ = а, ВС = Ь,
CD = с, AD = d.
49.	Для векторов а,Ь,с имеет место неравенство
>
Докажите, что a,b,c не параллельны одной плоскости.
50.	Заданы 101 прямоугольник, стороны которых — целые числа,
не превышающие 100. Докажите, что из этих прямоугольников можно
выбрать прямоугольники А, В, С такие, что их можно вложить друг
в друга, т.е. А С В С С.
51.	Докажите, что площадь правильного треугольника, вписанного
в другой правильный треугольник площадью S не меньше 0,25*9.
52.	Около окружности описан четырехугольник ABCD
(AD\\BC). Докажите, что АВ + CD ^ 2 л/S, где S — площадь
четырехугольника ABCD.
53.	Пусть S = а-\-Ь + с и t = ab + bc-\- са, где a, b и с — длины
сторон некоторого треугольника. Докажите, что 3? ^ S2 < 4?.
54.	Докажите неравенство
in - + sin - + sin -J ^ctg - + ctg - + ctg -J
где c^, /3, 7 — углы некоторого треугольника.

Задачи для самостоятельного решения	245
55.	Докажите неравенство
1	sin A	sin В	sin С
~2 ^ (а-Ъ)(а-с) + (Ь - а)(Ь - с) + (с - а)(с - b) < '
где а, 6, с — длины сторон треугольника ABC.
56.	Докажите следующие неравенства:
а)	(а2 + б2 - Л2I/2 + F2 + С2 _ Л2I/2 + (с2 + fl2 _ ^2I/2 ^ 6д.
3	5
б)	- (аб + be + са) ^ татъ + тьтс + тста ^ - (аб + 6с + са);
г) ^ , 1ъ	1с < 3уЗ
^6 + с а + с а + 6^ 4'
Здесь 1а — биссектриса угла А треугольника со сторонами a,b,c, a
ha и 7тга — высота и медиана, опущенные на сторону а соответственно.
57.	На верхней стороне параллельной оси Ох любого из п прямо-
прямоугольников, стороны которых параллельных координатным осям, по-
построены равные им прямоугольники. Докажите, что площадь фигуры,
получающейся при объединении этих 2п прямоугольников, не боль-
больше 2*9, где S — площадь фигуры, получающейся при объединении п
прямоугольников.
58.	На плоскости заданы 2п точек, никакие три из которых не
принадлежат одной прямой. Докажите, что существуют по крайней
мере п прямых таких, что каждая из них проходит через две из
заданных точек и что по каждую сторону от нее имеется п — 1 точек.
59.	На плоскости заданы точки А\, Л2, . . . , Ап. Докажите, что:
п
а)	существует прямая / такая, что сумма 2_^rnihi{l) минимальна,
i=i
где через h{(l) обозначено расстояние точки А{ от прямой /, a mi —
постоянные положительные числа;
б)	прямая / совпадает с одной из прямых A{Aj.
60.	В выпуклом шестиугольнике ABCDEF известно, что А В =
= ВС, CD = DE, EF = FA.
п	ВС DE FA ^3
Докажите неравенство ^г— + ——¦ + —— ^ -.
id hi и /\ г и z
61.	Пусть внутри треугольника ABC задана точка М. Докажите,
что
гшп(МЛ, МБ, МС) + МА + MB + МС < ААХ + ВВХ + ССи
где Ai, В\, С\ — середины сторон ВС, АС, АВ соответственно.

246	§15. Геометрические неравенства
62. Пусть 0\ и 0<i — центры окружностей, вписанных в треуголь-
треугольники А\В\С\ и А2В2С2 соответственно, а р\ и р2 — их периметры.
Докажите, что
Аг А2 + BXB2 + СгС2 2 max(pi, р2)'
где О\ и О2 не совпадают.

§ 16. СТО ИЗБРАННЫХ НЕРАВЕНСТВ
Докажите следующие неравенства.
. х\
, где
2.	ai + . . . + ап ^ п, где а\ cos х + a<i cos 2ж + . . . + ап cos пх ^ —1
для любого значения х.
3.	ж2* + х3* + . . . + хпХ ^ 2*2 + Зж3 + . . . + пжП, где х ^ n, n ^ 2,
п <Е N.
4.	0,785п2 - п < ^п2 -1 + v/n2 - 22 + . . .
где n G N.
. . . + v/n2 - (п - IJ < 0,79п2,
5.	тах(ж, у, z) — тт(ж, у, z) ^ - \J'а2 — 36, где ж + у + z = a,
о
- + yz + гж = 6, х,у, z > 0.
6.	(ai +. . . + с
, где
= 1, к ^ 2, fceN, жь. . . ,жп > 0.
8.	ж27 + ух > 1, где ж, у > 0.
п	п
9.	max П \х — а* < 108n max П |ж — аЛ.
10.	A - рп)ш + A - gm)n ^ 1, где р + <7 = 1, р, g ^ 0, т, г G N.
11.	(^
12
си Л
—	^ГаГ)
, где p,k,q,leN,
к
+ ... + an_i/
2; 0 < /с ^ 1 и аь . . . , ап > 0.
(п -
:, где
13.	(аб + be + ас) 1	— ^ а^?	+ be	+ ас — - , где а,
abc	cab
6, с > 0.
14.	пA + а2п) ^ а271 + а2п~2 + . . . + а2 + а, где п е N.
15.	aJ12uvw + и2 + г>2 + w2 ^ 1, где u^v^w^O, и + v + w = 1.
1 -
1
абс
^^
1
^^
с
_1_
6с-
1
а
ас —
1
Ь

248
§16. Сто избранных неравенств
(a b c\	111
16. 2 I -—|	1— I ^ a + b-\- c-\	h — H—, где abc = 1, a, 6, с > 0.
V6 с a/	a b с
17.
1,1,1
1+a+c 2+a 2 + 6 2 + c'
abc = 1, а,Ь,с > 0.
18. a + 6 + c + d ^ - (a6 + ac + ad + be + bd + cd), где a, 6, с, d ^ 0
о
и 2 (a6 + ас + ad + be + bd + cd) + абс + abd + acd + 6cd = 16.
p
-, где аь 6^ > 0, i = 1, 2,. . . , n, p ^ 2.
20. ^/a — 1 + \Jb — 1 + ^/c — 1 ^ ^Jabc + с, где a,b,c ^ 1.
21. 5P + 5, -
1, где
77/
22.	a,i ^ 0 (i = 1, . . . , n), где <ц = an = 0,
(k = 2,...n- 1).
23.	a4 + 64 + c4 - 2 (a262 + 62c2 + a2c2)
a,b, с ^ 0.
^ 2ak
0, где
24.	a4 + b4 + c4 - 2 (a2b2 + 62c2 + a2c2) + 3 (abcL/3 ^ 0, где а, 6,
о.
25.	л/7 - — > —, где л/7 - — > 0, m G Z, n G N.
26. л/а2 + a2. + a2. + л/а| + a^ + a\ + . . . + л/а2 + a2 + a\
27. Eai +4a2 + 2a3) л/3
л/а2 + 2a2 + 3 л/а2 + 2a2 + 7 л/2а2 + а2.
28.
— In 2, где жх . . . x
2 л/2^	2-4-...-2n	2 y^5
30. (ai — a2) (ai — a3) (ai — a4) (ai — a$) +
+ (a2 — ai) (a2 — a3) (a2 — a4) (a2 — a§) + . . .
. . . + (a5 - ai) (a5 - a2) (a5 - a3) (a5 - a4) ^ 0.

§16. Сто избранных неравенств
249
n (n - 1) / 1	1
31. - |	+ —
•••+-4^D
dn-lCln/	\Cbl +
где «i, . . . , an > 0.
+
CL2 сы
a2
-^2, где p e Z, g G N.
33. am + an ^ 77im + nn, где a =
^ ao + . . . + an ai + . . . + an_i ^ <
-й—, m,n G N.
n + 1	n — 1	n	n
n > 1, сц > 0 (г = 0,1, . . . , ra), ai_iai+i ^ a? (г = 1, . . . , n - 1).
, где
35.
\
2.
36. a/3 (ab + 6c + ac) (9 (a + b + c) + ab + 6c + ac)
где
0.
37.	sin2ai + . . . + sin2an ^ -, где аь . . . , an > 0, ai + . . .
. . . + an = тт.
38.	(a + b + 3c) (a + 36 + c) Ca + b + c) + 8 (ab + 6c + ac + a6c)
где a, 6, с > О,
32 7
с = 1.
39.
0 и ^ a»
40.	sin (#i + X2) + sin (ж2 + xs) + . . .
. . . + sin (жп_1 + xn) + sin (жп + xi) > 2,
где 7i ^ 3, 71 G N, a?i, . . . , жп > 0, a?i + . . . + xn = —.
41.	a3 + 63 + c3 ^ a2 Bc - 6) + 62 Ba - c)-\-c2 B6 - a), где a, 6, с >
42.	(—ai + п2 + a3 + a4) (ai — a2 + a3 + a4) (ai + a2 — a3 + a4) x

250
§16. Сто избранных неравенств
где ai, а2, аз, «4 > 0.
43.
44.
I	\^o/22i 2 2\
0-2 ~г аЗ ~ а4) <z о ^tt^<24 ~г а2а-з^5
/с = 1
= 1, . . . , п), а\ $J а2 ^ • • • ^ ап или
Абеля).
^ 1, где а, о, с > 0.
2|а„|), где \Ьг + . . . + Ък\ <: В (к =
а2 ^ . . . ^ ап (неравенство
45.
«2
/с = 1
к к
i^ai, где |&i + . . . + Ьк\ ^
О (неравенство Абеля).
к	л , к
В, (Aj = 1, . . . ,n) и
m=l n=l	Sin- n=1	т=1
—I— = 1, di,bi ^ 0, г = 1, . . . , 71 (неравенство Гильберта).
Где
	jfe	J ^ \^г) 2^а^
... , an ^ 0 (неравенство Харди).
48.
к=1
49. а)
(неравенство Карлесона).
k=i	k=i
; б) бд, ^ bk-ihk+i, где /с = 2, . . ., п — 1, 6& =
. . . + an_/c+ian_/e+2 . . .an (A: = 1, . . . ,тг) и ab...,an>0 (неравен-
(неравенство Ньютона).
50. \/6ife ^ /c+^/6/e+i (/c = 2, . . . , 7i — 1), где 6/г определены в
предыдущей задаче (неравенство Мерсенна).
51.
п
= 0,
0, г = 1,...,п и
52. (жг/ + yz + ^z)
> 0.
(y + zJ (x + z)
9
4'

§16. Сто избранных неравенств
251
53. 21/241/4 . . . BпI/2П < 4, где п ? N.
- 2 П	2
2	^ ^+ Х^
54.
7 где
... , жп > О и ai + . . . + ап = а?! + . . . + хп = 1.
N
55.
• • • ап < 1, где N ^ 2 — натуральное число, ап =
= р1 + . . . + pk , a pi,p2, • • • ,Pk — все различные простые делители
натурального числа п.
56.
\
Е
xn+i(xn+i-Xi), где
+х2 + • • • + хп = жп+1 и хг, х2, • • • , хп > О
57. а2ж + 62у + c2z > d2
а, 6, с, б/ — стороны некоторого четырехугольника.
d2, где ж,2/,г > 0, - Н	h -
Ж 2/ "
58.
l-/i
2
Е
0 =
• • • < ^2П+1 = 1 и ж^+1 — Xi ^ h, г = 1, 2, . . . , 2п.
59.	2П • п! ^ у^—T~Y} ^ (т2 + ш)п, где п ^ т и ш, n G N.
60.	уа + 6 — с + у 6 + с — а + у с + а — b ^ уо + yb + у с, где
а,Ь,с — стороны некоторого треугольника.
61.	loga (loga ^) + log6 (log6 c) + logc (logc a) > 0, где 1 < a < b < с
62.	(p(xy)J ^p(x2)p(y2), где р(х) =
63. -^
с > 0.
64.
a + b° + i
+ -4
+ -^r
+ c3 + a6c ' c3 + a3 + abc ^ a^c'
1, где a, 6 G Z, а ф b.
a — b
65. (у3 + ж) (z3 + у) (ж3 + z) ^ 125жуг, где ж, у, z ^ 2.
3
4
G N и n ^ 2.

252
§16. Сто избранных неравенств
67.
г=1
68. \Jx + у +
i,^—), где Ж1,ж2,жз,ж4 > 0 и
- 1 + \А ~~ 1? гДе ж> 2/, ^ > 1 и
ж у
х
8	5 1	1
69. ж — х	1—j ^ О? гДе ж — отличное от 0 действительное
ж х
число.
70.
. . .tgan ^ nn+1, где ао,аи. . . , ап <Е (^0, ^J и
tg (ао - ^) + tg ^1 - ^J + . . . + tg (an - Yj ^ n - 1.
71.
'"Жп ^ 1998, где п ^ 2, жь . . . , хп > 0 и
п — 1
1 +^ + + х
72.
> Х\
1998 Ж2 + 1998 '" жп +1998 1998'
^^+ ++ +
- х2
хп + 2п, где
Хп.
74. ai + —- + — + ... Н	^ ап, где ai+j ^ а^ + а^ при любых
*,i = 1,2,...
= 2, fin+2 =
75.	?in+2 + г^п ^ 2 + ^^±1 где п е N и ixi = 1
= Зг*п+1 - гхп, п = 1,2, . . .
76.	max (ai, . . . , ап) ^ 2, где п > 3, ai + . . . + ап ^ п и а^ + . . .
^ 2
77. 7
, где р,д,
|
|
Ж2 + Жз + Ж4 + Ж5+Же + 5	Ж1+Жз + Ж4 + Ж5+Же + 5
+	^	 <3
Жх + Жз + Жз + Ж4 + Ж5 + 5 ^ 5 '
где 0 ^ a?i, Ж2, • • • , xq ^ 1.
79.	(а + 36) (Ъ + 4с) (с + 2а) ^ бОабс, где 0 ^ а ^ 6 ^ с.
80.	ж3 + у3 ^ 2, где ж, у > 0 и х2 + у3 ^ ж3 + у4.

§16. Сто избранных неравенств
253
Ill	h h h
81.	—r + —r + —r ^ x* + y* + z , где & ^ 2,
ж 2/ *
ж г/г = 1, —|	\--^x + y + z.
x у z
82.	xx + ж2 + . . . + xn ^	-
<^ To <^	<^ T	W Tn	T^N
, t*^ ^ -4 • • • , 4Aj y\ *^ **>* X 5 * * * 5 *^ 77/ ^—	*
S4	1.1,	,	1
П — 1 + Ж1	П — 1 + Ж2	П — 1 + Жп
. . . , Xn > О И Ж1Ж2 . . . Xn = 1.
fi>| 1	1	1.11,	1
^»Z1. 	 —— 	 ——	—— 	 <C 	 —— 	 ——	—— 	 "Г17T^ 'T*-i	O^* 11-t
Ori •	|	| • • • |	<!^	|	| • • • |	• 1 JSX^ *JU X ? * ' * ? Tt 1 v X ? • • •
... , yn > О, Ж1У1 < Х2У2 < • • . < жпуп и x\ + ж2 + . . . + Xk ^ y\ +
+ 2/2 + • • • + У/с, к = 1, 2,. . . , п.
85.	а3 + б3 + с3 ^ а + 6 + с, где а, 6, с > 0 и аб + be + ас ^ Забс.
86.	"
1, где хг,х2,. • •
87.
, где
a2
an.
88.	x у + у z + г2ж ^ —, где ж, у, z ^ О и ж + у + z = 1.
89.	L	LJ!
1 + ао
_^!, где а,6,с>0 и
са 2
90.
(а + Ь)(а + с) ^ F +с) F +а) ^ (с + а) (с + Ъ) ^ 4'
с > 0.
91. р (ж2 + у2) ^ р Bжу), где р (t) = t2 - U и х,у^ 1.
92. п!
, где n G N.
где а,
га +
93.
94. А/2
>
х, где 0 < х < 1.
2, где п ^ 2, n G N.
95. л/а2 + аб + б2 + v^2 + 6с + с2 + Vе
+
^ 3 \JаЪ + 6с + ас,
где а,Ь, с > 0.
96. sin па ^ 0, где n G N, since + sin2ce + . . . + sin na ^ 0 и
О < а < тг.

254
§16. Сто избранных неравенств
97. sin (п + 1) а ^ 0, где п G N, sin a + sin 2а + . . . + sin па ^ О
и О < а < тг.
98. sin2/3sin — sin (а + —j > sin 2а sin —sin f/3 + — j, где О
< a < C и а + /3<тг.
99.
100.
п
л
-1
г-^ cos
к=1
(п-
к
п-1
^-^ cos (п -
к = 1
)
к
7Г
к) х
-к)х
п-1
^-^ cos (
hi
п-1
^-^ cos
/с = 1
п + /г) х
к
(п -\- к) х
к
< 6, где n ^ 2, n G N.
< 4 л/2, где п ^ 2, n e

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Василевский А.Б. Методы решения задач. — Минск: Высшая школа,
1974.
2.	Гальперин Г.А., Толпыго А.К. Московские математические олимпиа-
олимпиады. — М.: Просвещение, 1986.
3.	Кюршак Й. и др. Венгерские математические олимпиады. — М.: Мир,
1976.
4.	Маршалл А., Олкин И. Неравенства, теория мажоризации и ее
приложения / Пер. с англ. — М.: Мир, 1983.
5.	Сборник задач киевских математических олимпиад. — Киев: Вища
школа, 1984.
6.	Тоноян Г.А. Избранные теоремы и задачи по математике. — Ереван:
Луйс, 1970 (на арм. яз.).
7.	Физико-математические олимпиады. — М.: Знание, 1977.
8.	Харди Г., Литтлъвуд Д. Полиа Г. Неравенства / Пер. с англ. — М.:
1948.
9.	Gazeta matematika, Bucuresti, 1978-1986.
10.	Квант, М., 1970-1997.
11.	Korepiskolai matimatikai lapok, Budapest, 1972-1984.
12.	Математика и физика в школе, Ереван, 1972-1984 (на арм. яз.).
13.	Математика в школе, М., 1970-1996.
14.	Математика, Софиа, 1975-1986.
15.	Matematyka, Warszawa, 1974-1985.
16.	Mathematik in der Schule, Berlin, 1967-1986.
17.	Crux with Mathematical Mayhem, Ottawa (Ontario), 1998-2000.

Учебное издание
СЕ ДРАК ЯН Наири Моликович,
АВОЯН Амбарцум Мамиконович
НЕРАВЕНСТВА. МЕТОДЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
Редактор Е. Ю. Ходан
Оригинал-макет Е. Ю. Морозова
Оформление обложки А. Ю. Алехиной
ЛР № 071930 от 06.07.99. Подписано в печать 11.07.02.
Формат 60x90/16. Бумага типографская. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 16. Уч.-изд. л. 16. Тираж: 3000 экз.
Заказ тип. №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117864 Москва, Профсоюзная, 90
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ФГУП «Ивановская областная типография»
153008, г. Иваново, ул. Типографская, 6
-9221- 273-7
9785922 102735