Текст
Д. к. ФАДДЕЕВ, И. С. СОМИНСКИЙ
СБОРНИК ЗАДАЧ
по
ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ
ИЗДАНИЕ ДЕСЯТОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов физико-математических факультетов
университетов и педагогических институтов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1972
517.1
Ф 15
УДК 512.8(075.8)
2-2-3
21-72
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................................ • 6
»
ЧАСТЬ 1
ЗАДАЧИ
Глава 1. Комплексные числа
§ 1. Действия над комплексными числами .......... 7
§ 2. Комплексные числа в тригонометрической форме ... 9
§ 3. Уравнения третьей и четвертой степени...........15
§ 4. Корни из единицы . . ...........................17
Глава 2. Вычисление определителей
§ 1. Определители 2-го и 3-го порядков...............21
§ 2. Перестановки ...................................22
§ 3. Определение детерминанта........................23
§ 4. Основные свойства определителей.................25
§ 5. Вычисление определителей . . . '. ......... 27
§ 6. Умножение определителей.........................46
§ 7. Различные задачи 51
Глава 3. Системы линейных уравнений
§ 1. Теорема Крамера ................................ 56
§ 2. Ранг матрицы....................................59
§ 3. Системы линейных форм , ........................61
§ 4. Системы линейных уравнений , « . . .............63
Глава 4. Матрицы
§ 1. Действия над квадратными матрицами , , , , , , , 71
§ 2. Прямоугольные матрицы. Некоторые неравенства , , 78
1*
3
Глава 5. Полиномы и рациональные функции от одной пере-
менной
§ 1. Действия над полиномами. Формула Тейлора. Кратные
корни...................................................83
§ 2. Доказательство основной теоремы высшей алгебры и
смежные вопросы.........................................86
§ 3. Разложение на линейные множители. Разложение на
неприводимые множители в поле вещественных чисел.
Соотношения между коэффициентами и корнями ... 88
§ 4. Алгорифм Евклида..................................92
§ 5. Интерполяционная задача и дробная рациональная
функция .....................................................94
§ 6. Рациональные корни полиномов. Приводимость и не-ч
приводимость в поле рациональных чисел.....97
§ 7. Границы корней полинома ................................101
§ 8. Теорема Штурма...................................102
§ 9. Различные теоремы о распределении корней полинома 105
§ 10. Приближенное вычисление корней полинома .... 108
Глава 6. Симметрические функции
§ 1. Выражение симметрических функции через основные.
Вычисление симметрических функций от корней ал-
гебраического уравнения..........................110
§ 2. Степенные суммы ........................................114
§ 3. Преобразование уравнений.........................117
§ 4. Результант и дискриминант..........................118
§ 5. Преобразование Чирнтаузена и уничтожение иррацио-
нальности в знаменателе 122
§ 6. Полиномы, не меняющиеся при четных перестановках
переменных. Полиномы, не меняющиеся при круговых
перестановках переменных.............................124
Глава 7. Линейная алгебра
§ 1. Подпространства и линейные многообразия. Преобра-
зование координат......................................126
§ 2. Элементарная геометрия n-мерного евклидова про-
странства .............................................128
§ 3. Характеристические числа и собственные векторы
матрицы................................................132
§ 4. Квадратичные формы и симметрические матрицы . . . 134
§ 5. ЛИИейнЫе преобразования. Каноническая форма
Жордана................................................139
ЧАСТЬ II
УКАЗАНИЯ
Глава 1. Комплексные числа........................... 144
Глава 2. Вычисление определителей......................146
Глава 4. Матрицы......................................152
Глава 5. Полиномы и рациональные функции от одной пере-
менной ................................................. 153
Глава 6. Симметрические функции.......................157
Глава 7. Линейная алгебра ............................159
ЧАСТЬ III
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Глава 1. Комплексные числа.............................161
Глава 2. Вычисление определителей......................178
Глава 3. Системы линейных уравнений....................187
Г л а в а 4. Матрицы.....................................193
Глава 5. Полиномы и рациональные функции от одной пере-
менной ...................................................210
Глава 6. Симметрические функции........................251
Глава 7. Линейная алгебра .............................275
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый сборник задач по высшей алгебре возник
в результате преподавания в Ленинградском государственном
университете и Педагогическом институте им. Герцена. Сбор-
ник предназначен для студентов младших курсов универси-
тетов и педагогических институтов при прохождении ими
основного курса высшей алгебры.
Задачи сборника довольно резко разделяются на два типа.
С одной стороны, собрано большое количество численных
примеров, предназначенных для выработки вычислительных
навыков и иллюстрирующих основные положения теоретиче-
ского курса. Количество примеров, по мнению авторов, вполне
достаточно для аудиторной работы, работы па дому и для
контрольных работ.
С другой стороны, приводится значительное количество
задач средней трудности и трудных, решение которых тре-
бует от учащихся проявления инициативы и изобретатель-
ности. Многие из задач этой категории сопровождаются ука-
заниями, помещенными во второй части книги. Номера задач,
к которым даны указания, отмечены звездочками.
Все задачи снабжены ответами, для части задач даны
подробные решения.
Авторы
ЧАСТЬ I
ЗАДАЧИ
ГЛАВА 1
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Действия над комплексными числами
1. (1 + 21) х + (3—5Z)j=l—3i.
Найти хну, считая их вещественными.
2. Решить систему, считая х, у, z, t вещественными!
(1 4- i) х + (1 + 2i) у + (1 4- 3i) г + (1 4- 41) t = 1 + 5г,
(3—г)х4-(4 — 20Л-(14-0г4-4И“2—I.
3. Вычислить in, где л—целое число.
4. Проверить тождество
л‘4-4=(х—1—I) (х—14-0(х4- 14-0 (х4-1 —0-
5. Вычислить:
а) (14-2<)»; Ь) (24-07 + (2—О’; с) (1 4-206—0 —206.
6. Выяснить, при каких условиях произведение двух
комплексных чисел чисто мнимо.
7. Выполнить указанные действия:
14-itga. .. а-\-Ы (14.2»)»—(1—i)’.
1 —itga’ a—bi ’ (34-2i)»—
ЧИСЛО,
7
9. Решить системы уравнений:
а) (3 —г)-» + (4 + 2/)^-2 + 6/, (44-2/)х —(2 4-3/) .у =
=5-! 4/;
b) (2-Р/)х + (2—i)y = 6, (32/) х 4-(3—2/)у = 8;
с) x+yi — 2г = 10, x—y + 2iz = 20,
lx 3/y—(1 + i) z = 30.
10. Вычислить:
*11. Пусть © =—
УЗ D
2—. Вычислить:
а) (a 4-ft© 4- cco2) (a-f-W-P cw);
b) (a-}-b) (a 4-ft®) (a-(-ft©2);
c) (a +bw-p c«2)3 + (a 4-boP + ao)3;
d) (a©2 4- bto) (ft©8 4-a©).
12. Найти числа, сопряженные:
а) своему квадрату, Ь) своему кубу.
*13. Доказать теорему;
Если в результате конечного числа рациональных действий
(т. е. сложения, вычитания, умножения и деления) над
числами х,, хг, ... , хп получается число в, то в результате
тех же действий над сопряженными х1, хг, ... , х„ полу-
чится число и, сопряженное с и.
14. Доказать, что х2 4-^2 — +/2)”> если x-[-yl—
= (* + //)"•
15. Вычислить:
а) К 2/; Ь) /=8/; с) /3=4/; d) /—15j-8/;
е) /—3-t4i; f) /—11 4-60/; g) /=8 4- 6/;
h) /—8—6/; i) /8=6/; j) /8^67; k) /2=3/;
1) |/"4 + г-4-/4—г"; m) /1—//5"; n) /=T;
°) У2—//12.
8
16. Va-j-bi = ± (a + fW). Чему равен — а—Ы ?
17. Решить уравнения:
. а) х2 —(2 + «)х-Н—1-Ь7г)=0;
Ь) х2 — (3 — 21} х-~ (5 — 5г) = 0;
с) (2 4-0 х2—(5 —г) х(2 —2г) — 0.
*18. Решить уравнения и левые части их разложить на
множители с вещественными коэффициентами:
а) х46xs9х2 Ч- 100 =-0;
Ь) х4 4- 2х2 — 24x4-72 = 0. •
19. Решить уравнения:
а) х4—Зх24-4 = 0; Ь) х4—ЗОх2 4~ 289 = 0.
20. Составить формулу для решения биквадратного урав-
нения х4 -j-px24- <J = 0 с вещественными коэффициентами,
удобную для случая, когда —7 < 0.
§ 2. Комплексные числа в тригонометрической форме
21. Построить точки, изображающие комплексные числа:
1, —1, —/2, г, —г, г/2, —144 2—Зг.
22. Представить в тригонометрической форме следую-
щие числа:
а) 1; b) —1; с) г; d) —г; е) 1 4-г;
f) —1-4-/; g) —1—i; h) 1 — г; i) 14-гКЗ;
j)—14-г'КЗ; k) —1—г/3; 1)1— г/З; m) 2г;
п) —3; о) /3-г; р) 2 4~КЗ-4
23. Пользуясь таблицами, представить в тригонометри-
ческой форме следующие числа:
а) 34-G Ь) 4—г; с) —2 4-г; d) —1—2г.
24. Найти геометрическое место точек, изображающих
комплексные числа:
а) модуль которых 1; Ь) аргумент которых 4.
9
25. Найти геометрическое место точек, изображающих
числа z, удовлетворяющие неравенствам:
а) | z | < 2; b) \z—1; с) \z—1—i| < 1.
26. Решить уравнения:
а) |х[— x = l-}-2z; b) | х|4-х = 2-|-/.
*27. Доказать тождество
I х + у |2 +1 х— у |2 = 2 (| х |2 +1 у р);
какой геометрический смысл имеет это тождество?
*28. Доказать, что всякое комплексное число z, отлич-
ное от —1, модуль которого ^1, может быть представлено
, 1 4- а .
в форме z— , где t — вещественное число.
J ц
29. При каких условиях модуль суммы двух комплексных
чисел равен разности модулей слагаемых?
30. При каких условиях модуль суммы двух комплексных
чисел равен сумме модулей слагаемых?
*31. z и z'—два комплексных числа, и = Угг'. Дока-
зать, что
УШ* 1 = ---“| + |~
32. Показать, что если |2'|<-^-,то
|(1 +02'3 + ^)<4«
33. Доказать, что
(1 4- i /з) (1 4- О (cos ср 4- i sin ср) =
= 2/2 cos^4-<p)h
v cos <p+i sin®
Упростить ----, T
r coscp— isincp
Вычислить I1-,' (С08?+Л?’7).
2 (l — i) (cos <p—i sin <p)
Вычислить:
34.
35.
36.
d)
(14-О25; Ь) ; С1
(—1+1/"3)18 (—l-t/з)15
(1—1 J2” + (1-Н)20
24
I
10
"37. Доказать, что
а) (1 + 0" = 2Т (cos ™ 4- I sin ;
ь) (К з- О” = 2” (cos 1 sin ;
п—целое число.
*38. Упростить (14-®)", где <о = cos -у 4- isin у
1 V~3” i . V~"3*
39. Полагая = — у 4-z, (d2 =— у—7 ПГ 1
определить ®”4“ю21 гле n — целое число.
*40. Вычислить (1 4-cos а 4-1 sin а)".
*41. Доказать, что если z4-y = 2cos8, то
zm 4- -4- ~ 2 cos т&.
1 zm
.n тт /14-«tga\" H-'tgna
42. Доказать, что ) = 1-lf tg"^-
43. Извлечь корни:
а) 3/Т, b) /2^2?; с) J/=4; d) J/T; е) /^27.
44. Пользуясь таблицами, извлечь корни:
а) 1/2 + 1-, Ь) р/3=7; с) j/2 + З/.
45. Вычислить:
•> ь>
46. Зная, что р является одним из значений а, напи-
сать все значения j/ а.
47. Выразить через cosx и sinx:
a) cos 5х; b) cos 8х; с) sin 6х; d) sin 7х.
48. Выразить tg 6<р через tg <р.
49. Составить формулы, выражающие cos пх и sin пх
через cos х и sin х.
11
50. Представить в виде многочлена первой степени от
тригонометрических функций углов, кратных х:
a) sin3 х; b) sin4 х; с) cos5 х; d) cosc х.
*51. Доказать, что:
т-1
a) 2im cos2"1 х — 2 2 CL cos 2 (от—k)x---CSn‘,
fe = 0
b) 2г” cos2®41 x = 2 C*„+, cos(2/»—2fc-H)x;
*=o
m-1
c) 22m sinam x = 2 2 (—l)m+tC*mcos2(OT — k)x + C^-,
k=0
d) 22m sin2m+1 x = 2 (—sin (2ot — 2fc + l)x.
t=o
*52. Доказать, что 2 cos mx = (2 cos x)m—
—(2 cos x)m~2 + ^ ^,^^(2 cos я)"1-4— ••• +
j )/, от (от—p— l)(m — p—2)...(m—2p4-l)
X (2 cos x)m~2P
*53. Выразить через cosx.
' sinx r
*54. Найти суммы:
a) 1-С2 4-C‘
b) Q-C3 + C5-C’+...
*55. Доказать, что:
a) H-C4 + q+...=4(2"-4-22 cos^;
n \
b) C‘ + C54-C*+...=l(2'1-14-2'?^n^);
С) с* + с* + СГ + ... =y (2“->-2^cos;
d) q + C’-|-C’1 + ...=lf2"-1-2^sin^.
*56. Найти сумму
гт._L ся 4 1 г»__L с14-
^-п 3 ' 9 27 ’
12
57. Доказать, что (х 4- а)т (х 4- аа)т 4- (х + аса2)” =
= Зхп + ЗС^хт-3а9+...+ЗСптхт-пап, где w = cosy4-
, , . 2л ,
4-isiny, а п есть наибольшее целое число, кратное 3 и не
превосходящее т.
58. Доказать, что
a) 14-Q4-Q4-...^±(2”4-2cos^); ’
b) C‘4-CA4-C’+...^1(2«4-2cos^^);
с) C24-C'4-C’+...=1(2«4-2cos^^),
59. Вычислить суммы:
а) 1 4- a cos <р 4~ °2 c°s 2<р 4~ • • • _г а* cos ^Ф1
b) sin ф 4-а sin (ф 4-Л) 4* °2 sin (ф4-2Л)-(-...-|-лЛ sin (ф4-^Л);
с) у 4- cos х 4- cos 2x4- ... 4- cos пх.
60. Показать, что
. п Ч-1 . пх
sm-y-x-siny
sin х 4- sin 2х 4- ... 4- sin пх —--.
sin —
61. Найти
lim fl 4--i-cos x4--]-cos 2x4-... 4-^-cos/гх) .
62. Доказать, что если n—целое положительное, а
0—угол, удовлетворяющий условию siny = yj, то
0 , 30 , , 2п—1 а . а
COS у 4- COS у 4- ... 4- cos —— 0 = п sin Л0.
63. Показать, что
a) cosjj4-cosTi-4-cos-iy4-cos —4- cos-jj = y;
Ь) cos ур 4- cos -у- 4- cos у- -j- cos -j-j- 4- cos уу = — у ;
. л , Зл , 5л , 7л . 9л , 11л 1
С) COS Jg 4- COSyj- 4- COS-jg 4- COSyp + COSyj- 4- COSyy = у .
13
64. Найти суммы:
a) cos а—cos (а 4- h) 4- cos (л -j- 2А) —.,.
... -И—l)n-1cos [а + (я—1) h]\
b) sin а—sin (a-f-Л)-f-sin —...
... +(—1) "-1 sin [a-f- (n— 1) h]-
65. Доказать, что если x меньше единицы по абсолют-
ной величине, то ряды
a) cos a 4- х cos (a 4- p) 4- x2 cos (a 4- 2P) 4- ...
... 4-xn cos (a4~ лР) 4- ...,
b) sin a 4-x sin (a 4-P) 4-№ sin (a4-2P)4-...
... 4- xn sin (a 4- лр) 4- ..,
сходятся и суммы соответственно равны
cos а—хcos (а—Р) sing—хsin (а—Р)
1 — 2х cos Р 4- х2 ’ 1—2xcosP4-*s *
66. Найти суммы:
а) cos х 4- cos 2х 4- .,. 4- Q cos (л 4-1) xj
b) sin х4* Q sin 2х 4- ... 4- С?»sin (л 4- 1) X.
67. Найти суммы:
а) cos х—CJ cos 2х 4- Q cos Зх— ...
... 4-(- l)"C"cos (л4-1)АМ
b) sinx—Qsin2х4-QsinЗх—...
...4-(-l)»C»sin (л4-1)х>
*68. OAt и ОВ—векторы, изображающие 1 и i соответ-
ственно. Из О опущен перпендикуляр OAt иа XjB; из Л2
опущен перпендикуляр АгА3 на O4J из Д8— перпендикуляр
Д3Д4 на АгАг и т. д. по правилу: из А„ перпендикуляр
4„.4п+1 на Найти предел, суммы
ОД 14-^1^2 4*• • •
*69. Найти сумму
sin2 х 4* sin2 Зх 4- . • • + sin2 (2л— 1) х.
70. Показать, что:
а) «.s4 + c0s-2x+... +cos-« = i + £Mt!ii5!»;
Ь) .>л>X+.№2х+... +sin-пх=.
«I ж pill Л
14
*71. Найти суммы:
a) cos3 х + cos3 2х 4* cos8 пх<
b) sin3 х 4-sin3 2x4- • • • -Ь sin® пх.
*72. Найти суммы:
a) cos х 4- 2 cos 2х -f- 3 cos Зх -f-... -{- л cos пх\
b) sin х 4- 2 sin 2х -j- 3 sin Зх -j- ... -f- л sin лх.
/ Ct \'
73. Найти Пт (14-----) при a~a-\-bi.
п-я к п /
74. Определение: еа = lim (1 4-— ) . Доказать!
л->® \ п /
а) е2Л‘= 1; Ь) ел‘ = —1;
с) е“+Р = • еР ; d) (е“)* = еяЛ при целом k.
§ 3. Уравнения третьей и четвертой степени
75. Решить по формуле Кардано уравнения:
а) х3 —6х4-9 = 0; Ь) х34- 12х4-63 = 0;
с) х3 4-9х2 4-18х 4-28 = 0; d) х3 4- 6х2 4- ЗОх 4- 25 = 0;
е) х8—6х-|-4 = 0; f) х34-6х4-2 = 0;
g) х34-18x4-15 = 0; h) х3—Зх2 —Зх-f-11 = 0;
1) х34-3х2 — 6х4-4 = 0; j) х34-9х—26 = 0;
к) х84-24х—56 = 0; 1) х34-45х—98 = 0;
т) х34-3х2—Зх —1 =0; п) х8-6ха4-57х —196 = 0;
о) х34-3х — 2Z — 0; р) х3 — 6zx-f-4 (1—z) = 0;
q) х3—ЗаЬх 4-a3 4-ft3 = 0;
r) x8—3abfgx -f- f3ga3 4- fg*b3 = 0;
s) x3 —4x—1=0; t) x3 — 4x4-2 = 0.
*76. Пользуясь формулой Кардано, доказать, что
(xt—х2)а (xt—х3)2 (х2—х3)а = — 4р8—27^,
если хп х2, х3—корни уравнения х8-f-px 4-^ = 0.
(Выражение —4р3 — 27<?а называется дискриминантом
уравнения х34-рх4-<7 = 0-)
*77. Решить уравнение
(х8—3qx 4- р3—3pq)3—4 (рх 4- q)9 = 0.
15
*78. Вывести формулу для решения уравнения
х*—5ах3 + 5агх—2Ь — 0.
79. Решить уравнения:
a) xi — 2х3 4- 2х2 -j- 4х—8 = 0;
Ь) х4 + 2х3—2х2-г6х—15-0;
с) х4—х3 — х2-\-2х— 2 — 0;
d) х1 —4x34-3x2-f-2x —1 =0;
е) х4 — 3x’-f-xs4-4x — 6 = 0;
f) х4—6x:,-H6x24-27x —56 = 0;
g) х4 — 2х34~4ха— 2х-1-3 = 0;
h) х4—х3—Зх2 + 5х —10 = 0;
i) х4 + 2х3-4- 8х2 4-2x4- 7 = 0;
j) х16х3 ~ бх2 —8 = 0;
к) х4 —6х34-10х2 —2х —3 = 0;
1) х4--2х3 + 4х2 = 2х —5 = 0;
ш) х4—х3 — Зх2-|-х-f-1 = 0;
п) х4 — х3 — 4x24-4x-f- 1 =0;
о) х4 — 2х34-*24-2х—1=0;
р) х4 — 4х3 — 20ха— 8x4-4 = 0;
q) х4 —2х34-3х2—2х—2 = 0;
г) х4 — х34-2х—1=0;
s) 4х4 — 4x3-f-3xa— 2x4- 1=0;
t) 4х4 — 4х3 — 6х24-2x4-1 -0.
80. Способ Феррари для решения уравнения четвертой
степени х4 4- ах3 4- Ьхг -|- сх 4- d = 0 состоит в том, что левая
часть представляется в виде
/ » . а . X
2 4* ~2 х + у у —
и затем X подбирается так, чтобы выражение в квадратной
скобке было квадратом двучлена первой степени. Для этого
необходимо и достаточно, чтобы было
/аХ /а2 , . /X2 Л п
_4^ + Х-^
т, е. X должно быть корнем некоторого вспомогательного
кубического уравнения. Найдя X, раскладываем левую часть
на множители.
Выразить корни вспомогательного уравнения через корни
уравнения четвертой степени.
16
§ 4. Корни из единицы
81. Написать корни из единицы степени:
а) 2; Ь) 3; с) 4; d) 6; е) 8; 1) 12; g) 24. .
82. Выписать первообразные корни степени;
а) 2; Ь) 3; с) 4; d) 6; е) 8; f) 12; g) 24.
83. Какому показателю принадлежит:
a) zk — cos + i sin при fe = 27, 99, 137;
b) zk = cos 4- i sin При fe=10, 35, 60?
' R 144 1 144 r
84. Выписать все корни 28-й степени из 1, принадлежа-
щие показателю 7.
85. Для каждого корня а) 16-й; Ь) 20-й; с) 24-й степени
из единицы указать показатель, которому он принадлежит,
86. Выписать «круговые полиномы» Хп (х) для п, равного;
а) 1; Ь) 2; с) 3; d) 4; е) 5; 1) 6; g) 7; h) 8; i) 9; j) 10;
k) 11; 1) 12; m) 15; n) 105.
*87 . Пусть e—первообразный корень степени 2л из 1.
Вычислить сумму 1 4-е4-еа+• • . 4-е"-1.
*88 . Найти сумму всех корней л-й степени из 1.
*89 . Найти сумму k-x степеней всех корней л-й степени
из 1.
90. В выражение (х-\-а)т подставить вместо а последо-
вательно т корней m-й степени из 1 и полученные резуль-
таты сложить.
*91. Вычислить 1 4-2е4~Зе24~ • • • 4-we““J, где е—корень
л-й степени из 1.
*92. Вычислить 1 4-4е4-9е24~ • • • пгга~1, где в—ко-
рень л-й степени из 1.
93. Найти суммы:
. 2л , „ 4л, , , .. 2(п—1)л
a) cos —4-2cos—4-.. . 4-(л —l)cos -
. , . 2л , „ . 4л , । , ... 2 (п— 1)я
b) sin — 4-2Sin — 4- ... 4-(и—1) sin
*94. Определить сумму первообразных корней: а) 15-й;
Ь) 24-й; с) 30-й степени из единицы.
95. Найти корни 5-й степени из 1, решив уравнение
хь —1—0 алгебраически.
17
96. Используя результат задачи 95, написать sinl8° и
cos 18°.
* 97. Составить простейшее алгебраическое уравнение,
корнем которого является длина стороны правильного
14-угольника, вписанного в круг радиуса 1.
* 98. Разложить х"— 1 на множители первой и второй
степени с вещественными коэффициентами.
* 99. Воспользоваться результатом задачи 98 для дока-
зательства формул:
, . л .2л . (т—1)л Ут
a) SIH • вЩд— . . . 61П 5 = ~~г \
' 2т 2т 2т 2т~1 ’
... л .2л . ти _У2т + \
b) Stn X — • StП н ГТ ’ • • Sin = ГТ = —пт " •
' 2m -{-1 2m 4-1 2m +1 2m
n-1
*100. Доказать, что JJ (a 4- btk) = a" -f- (—1)'’~1£я, где
fc=0
2kn , . . 2fen
»A = cos — 4-tsm —.
n— 1
*101. Доказать, что JI (eg—2еЛ cos 0-|-1)=2 (1—cos«0),
л=о
если
2/гл , . . 2fen
8fr— cos-------Р z sin —.
* n 1 n
102. Доказать, что
тт 1
k=o *
п—\
= П (8*-1)”],
к-1
где et = cos--Н sin — .
К п п
*103. Найти все комплексные числа, удовлетворяющие
условию х = хп~1, где х — сопряженное X.
104. Показать, что корни уравнения X(z—a)“+
-|- ц (z—Ь)п = 0, где X, р, a, b—комплексные, лежат на
одной окружности, которая в частном случае может выро-
диться в прямую (л—натуральное число).
*105. Решить уравнения:
а) (х4-1)“—(х—1)» = 0; Ь) (* + /)•—(х—/)"’ = 0;
с) х"—пах""1— С$агх“~г—.. <—а" — 0.
18
106. Доказать, что вели А—комплексное число, модуль
которого 1, то уравнение
имеет все корни вещественные и различные.
*107. Решить уравнение
cos ф 4- cos (ф + а) х -f- Са cos (ф + 2а) ха + ..,
... 4- С“ cos (ф, 4- ла) хп = 0.
Доказать следующие теоремы:
108. Произведение корня степени а из 1 на корень сте-
пени b из 1 есть корень степени ab из 1.
109. Если а и b взаимно просты, то ха — 1 и хь—1
имеют единственный общий корень.
ПО. Если а и b взаимно просты, то все корни степени
ab из 1 получаются умножением корней степени а из 1 на
корни степени Ь из 1.
111. Если а и b взаимно просты, то произведение перво-
образного корпя степени а из 1 на первообразный корень
степени b из 1 есть первообразный корень степени ab из 1
и обратно.'
112. Обозначив через ф (л) число первообразных корней
л-й степени из 1, доказать, что ф (ab) — ф (а) ф (Ь), если а
и b взаимно просты.
*113. Доказать, что если л = р®»... р^, где рг, р2>...
..., рк—различные простые числа, то
ф (л) = л (1 —Ц (1 —...fl--------,
\ P1J \ Рг/ \ Pk/
114. Показать, что число первообразных корней л-й сте-
пени из единицы четное, если л > 2.
115. Написать полином Хр(х), где р—простое число.
*116. Написать полином Хрт (х), где р—простое число.
*117. Доказать, что при л нечетном, большем 1, Х2„(х) =
=Х„(-х).
118. Доказать, что если d составлено из простых дели-
телей, входящих в л, то каждый первообразный корень из 1
степени nd есть корень степени d из первообразного корня
л-й степени из 1 и обратно.
*119. Доказать, что если л =р“,р£»,.. p£fc, где рп р2,.. ,
pk — различные простые числа, то Хп (х) ^Хп> (хп"), где
I п П
П =р1р2.. .Pk, Я =7-
19
*120. Обозначив через р. (л) сумму первообразных корней
л-й степени из 1, доказать, что ц(л) = 0, если л делится на
квадрат хотя бы одного простого числа; ц(л)=1, если л
есть произведение четного числа различных простых чисел;
р (л) =—1, если л есть произведение нечетного числа раз-,
личных простых чисел.
121. Доказать, что 2м,(^)==®> еслп пробегает все
делители числа л при л =5^=1.
* 122. Доказать, что Хп(х) = П (ха—l)u(rf), где d про-
бегает все делители л.
* 123. Найти Х„(1).
* 124. Найти Х„(—1).
* 125. Определить сумму произведений первообразных кор-
ней л-й степени из 1, взятых по два.
* 126. 5— 1 + е-|-е4 + е9-f-... где е—первооб-
разный корень степени л из 1. Найти | 51.
Г ЛАВА 2
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
§ 1. Определители
2-го
и 3-го порядков
Вычислить определители:
127. а)
2
1
3
4
; Ь)
2
—1
1
2
с)
sin a cos a
—cos a sin a
d)
g)
i)
m)
a c-\-di '
c — di b
cos a sin a
sin p cosp
1 lgb«
lgO^
i
; е)
; h)
; k)
x — 1
x3
1
2л . . . 2л
где со = cos -r- +1 sin -к-;
О □
0)
e 1
—1 e
Л . . . Л
где e == cos -5-+1 sin .
О о
a + P*
у—6/
у + б/
О
sin a cos a
sin p cos p
tga —1
1 tga
a-\-b b-\-d
l + |/2 2 —1/3
2-I-J/3 1—/2
a-\-b a—b
a—b a-]- b
;П) -1
CD
CD
21
128.
1
a) -1
—1
1 1
О 1
— 1 О
О 1
b) 1 о
1 1
1
1
о
с)
а а
а х
ф
1
1
1
1 1
2 3 ;
3 6
1 I
е) —i 1
1— I О
1 + /
О
1
f)
« Л . « . Л л , « . л
1 COS -у + / sin -5- COS ^4- I Sin -г
о о 4 4
я . . п . 2л ... 2л
cos -5-—1 sin -5- 1 cos-5-+ г sin-5-
<5 О О о
л . . л 2л . . 2л .
cos——1 sin — COS-5----1 Sin-5- 1
4 4 3 3
g)
1
1
1
1 1
co co2
co2 co
2л . . . 2л
где co = cos -л- -H sin -x-;
о <J
h)
1
1
co2
1 co
1 co2
co 1
где co = cos -x- -f- i sin -x-.
О о
§ 2. Перестановки
129. Выписать транспозиции, посредством которых от
перестановки 1, 2, 4, 3, 5 можно перейти к перестановке
2. 5, 3, 4, 1.
130. Считая, что 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — исходное
расположение, определить число инверсий в перестановках:
а) 1, 3, 4, 7, 8, 2, 6, 9, 5; Ь) 2, 1, 7, 9, 8, 6, 3, 5, 4;
с) 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.
131. Считая, что 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9—исходное
расположение, подобрать i и k так, чтобы:
а) перестановка 1, 2, 7, 4, ?, 5, 6, k, 9 была четной;
Ь) перестановка 1, г, 2, 5, k, 4, 8, 9, 7 была нечетной.
*132. Определить число инверсий в перестановке
п, п—1, ... , 2, 1, если исходной является перестановка
1,2,...,/?.
22
*133. В перестановке ап а2, ..ап имеется / инверсий.
Сколько инверсий в перестановке а,„ a„_lt at, а2?
134. Определить число инверсий в перестановках:
а) 1, 3, 5, 7, 2л—1, 2, 4, 6, .... 2л;
Ь) 2, 4, 6, 8, .... 2л, 1, 3, 5.....2л —1,
если исходная перестановка 1, 2, 2л.
135. Определить число инверсий в перестановках:
а) 3, 6, 9, ..., Зл, 1, 4, 7, ..., Зл—2, 2, 5, .... Зл—1;
b) 1, 4, 7, .... Зл —2, 2, 5, .... Зл—1, 3, 6, .... Зл,
если исходная перестановка 1, 2, 3, ..., Зл.
136. Доказать, что если а1, аг, .... ап — перестановка
с числом инверсий /, то после приведения ее в исходное
расположение номера 1, 2, ..., л образуют перестановку
с тем же числом инверсий /.
137. Определить четность перестановки букв ф, р, м,
и, а, г, о, л, если за исходное принять их расположение
в словах:
а) логарифм; Ь) алгорифм.
Сравнить и объяснить результаты.
§ 3. Определение детерминанта
138. С каким знаком в определитель 6-го порядка входят
произведения:
a) o23a81a42<z5(a14a(5; b) n82a43a14asla(8a28?
139. Входят ли в определитель 5-го порядка произведения:
а) ^13^24^23^41^55’ ®21®13а34а55®42^
140. Подобрать i и k так, чтобы произведение
йийз2а4Аа2ьа5з входило в определитель 5-го порядка со зна-
ком плюс.
141. Выписать все слагаемые, входящие в состав опре-
делителя 4-го порядка со знаком минус и содержащие мно-
жителем а23.
142. Выписать все слагаемые, входящие в определитель
5-го порядка и имеющие вид aliai3a3aaataaia. Что полу-
чится, если из их суммы вынести altai9 за скобки?
143. С каким знаком входит в определитель л-го порядка
произведение элементов главной диагонали?
23
144. С каким знаком входит в определитель л-го порядка
произведение элементов второй диагонали?
*145. Руководствуясь только определением детерминанта,
доказать, что детерминант
«1 а2 а3 а4 а6
0! 02 03 04 05
Cj а2 О О о
ь± ьг о о о
сх с2 О О О
равен 0.
146. Руководствуясь только определением детерминанта,
вычислить коэффициенты при х4 и х3 в выражении
147. Вычислить определители:
0 0
2 0
0 3
...о
... о
... о
О 0 О ... л
с)
1 а а
0 2а
0 0 3
а
а
а
О 0 0 ... л
Ь)
О О О ... О 1
О 0 0 ... 1 о
1 о о ... о о
Замечание. Во всех задачах, где из условия не ви-
ден порядок определителя и не сделано специальной ого-
ворки, условимся считать его равным л.
148. F(x) = x{x — 1)(х—2) ... (х—л+1).
24
Вычислить определители:
F(l) F(2) • F(n)
a) Л(1) F(2) ^(3) • F(n-]-1)
F(«) F (n + 1) F (л -|- 2) .. F(2«)
b) F(«) Г(л) F'(a) F"(a) F”W . F"'(a) . . FM (a) .. F<"+1>(a)
а) Л(п + 2> («) . .. F(2"'(a)
§ 4. Основные свойства определителей
*149. Доказать, что определитель л-го порядка, у ко-
торого каждый элемент aik является комплексным сопряжен-
ным элементу aki, равен вещественному числу.
*150. Доказать, что определитель нечетного порядка
равен 0, если все элементы его удовлетворяют условию
“Г 0
(кососимметрический определитель).
151. Определитель
Я11 й12 • • • ®1и
я.>1 й22 . .. а2п
равен Д.
ат ап2 • • • апп
Чему равен.определитель
а21 Д22 • агп
а31 а32 . . . азп
............... ?
anl апг • • • апп
а11 а12 • • ат
152. Как изменится определитель, если все столбцы его
написать в обратном порядке?
*153. Чему равна сумма
а1а, а1аг • • •
3^* й2а, й2а, • • • а2ап
anat апаг • • • atmn
25
если суммирование распространяется на все перестановки
а,, аг, . .., а„?
*154. Решить уравнения:
а)
1 X хг ... хп~1 1 Cj af ... а"-1 1 а2 al ... а1}"1 = 0
где at, а2,
1 an-i «п-i ••• «л-1
..., ап_1 все различны;
Ъ)
111... 1
1 1— х 1 ... 1
1 1 2 — х ... 1
01
с)
а1 а2 аз • • « Оп
aj х а3 ... а„
аг аг + а3—х ... ап
<4 аг а3 ... + X
*155. Числа 204, 527 и 255 делятся на 17.Докааать, тго
2 0 4
5 2 7
2 5 5
делится на 17.
*156. Вычислить определитель
а2 (а-Н)2 (а4-2)2 (а4-8)2
Р ф+1)2 ф + 2)2 ф + 8)2
V2 (v+1? (7 + 2)2 (т + 8)2 *
62 (6+1)2 (64- 2)2 (64-З)2
157. Доказать, что
1 1 1
Z>4-c
^14- ci
^4*
с 4* л
Ci4-ai
С» 4-«2
а-\-Ь
а14"^1
а24-^2
а Ъ в
а± bx ct t
®2 ^2 ^2
23
158. Упростить определитель
ат-\-Ьр an + bq
cm-j-dp cn-\-dq
, разло-
жив его па слагаемые.
159. Найти сумму алгебраических дополнений всех эле-
ментов определителей:
а)
аг 0 0 ... О
О а2 0 ... О
Ь)
О 0 ... О аг
О 0 ... аа О
О 0 0 ... ап
ап 0 ... О О
160. Разложить по элементам третьей строки и вычи-
слить определитель
1 о—1—l
0—1—1 1
а b с d ’
—1—1 1 О
161. Разложить по элементам последнего столбца и вы-
числить определитель
2 1 1 х
1 2 1 у
1 1 2 z ’
111/
162. Разложить по элементам первого столбца и вычи-
слить определитель
а 1 1 1
b 0 1 1
с 1 0 1
d 1 1 0
§ 5. Вычисление определителей
Вычислить определители:
*163. 13547 13647 164. 246 427 327
28423 28523 • 1014 5|3 443
—342 721 621
27
165. 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 166. 1 Г 1 1
168. 1 1 1 1 169.
1 2 3 4
1 4 9 16 •
1 8 27 64
170. 2 1 1 1 1 171.
1 3 1 1 1
1 1 4 1 1 •
1 1 1 5 1
1 1 1 1 6
172. 0 1 1 1 173 •
1 0 a b
1 a 0 c •
1 b c 0
174. X 0 —1 0 175.
1 X — 1 0
1 0 X — 1 c 1 •
0 1 —1 л 1
0 1 —1 0 X
1 1 1 167. 12 3 4
2 3 4 2 3 4 1
3 6 10 • 3 4 12
4 10 20 4 12 3
1 2 3 4
-2 1 —4 3
3 —4 — 1 2 •
.4 3 —2 —1
5 6 0 0 0
1 5 6 0 0
0 1 5 6 0 .
0 0 15 6
0 0 0 1 5
X . у х+у
У х+у х
х+у X у
14-Х 1 1 1
1 1— X 1 1
1 1 14-2 1
1 1 11—2
176. 1 1 2 3
1 2—x2 2 3
2 3 1 5
2 3 1 9—x2
177.
cos (a—b)
cos (a 4- b)
sin (a 4-1>)
cos (b—с)
cos (& 4- с)
sin (b + с)
cos (c—a)
cos (c 4- a)
sin (c 4- a)
178. 0 a b c
— a 0 d e
—b — d 0 f
— c — e -/ 0
28
*179. 1 —1 — 1 2 3 . 0 3 . —2 0 . .. п .. п .. п •
—1 —2 —3 . .. 0
*180. 1 . • «п
1 ai + bi . . . ап
1 ах а. ♦, < ап
1 ах *.. ап + Ьп
*181. 1 JCj ... Хп- %п
1 X хг .. . Хг.-1 %п
1 Xj X ... Хн- Хп •
1 Х1 хг ••• X Хп
1 Х1 Хг ... Хп- X
*182. 1 2 3 ... п— 1 п
1 3 3 ... п — 1 п
1 2 5 ... п— 1 п •
1 2 3 ... 2п— 3 п
1 2 3 ... п— 1 2л—1
*183. 1 2 2 ... 2
2 2 2 ... 2
2 2 3 ... 2 •
2 2 2 ... п
*184. Ь, 0 0 ... 0 о
— -1—frf ь3 0 ... - 0 о
A _i ]_frg ьз ... О О
О О О О ... 1—^-1 ьа
d о О О ... —1 1— ьп
*185. a a —|- h a ~|- 2Л . . a-\-{n—1)Л
—a a 0 0
0 —a a 0
0 0 0 . a
*186. a— {a + h) ... (— a a . 0 0 a 0 0 0 a *187. 1 Q C* C* ... СГ 1 <4 Z>3 prt- 1 1 Z"»l /"»2 рз <*«- 1 '-'П-2 ^П-2 ЬП-2 • • • '-'Л- 1 Cl Cl 0 ... 0 1 Cl 0 0 ... 0 я0 flj я2 a3 .,. an- *188. aa —1 0 ... 0 0 flj x —1 ... 0 0 as 0 x ... 0 0 ft О Ф . О Q Q) * 7 а аа аз • j ; дд д 1 • ft О О О О c> - •—1 а * за
an_! 0 0 ... x —1 an 0 0 ... 0 x *189. ЯЛ-1Л-2... 3 2 —1 x 0 ... 0 0 0—1 x ... 0 0 0 0 0 ... —1 x 0 0 0 ... 0 —1 *190. Вычислить разность — 1 0 0 0 ... 0 1 2 0 0 C f(x)= 1 3 3 0 0 1 n C* Q ... C 1 n -|-1 C%+1 C„+1 ... < 1 0 0.1 0 X f{x), где X X® X9 ft “71-/ уП 'П л ^П-1 уЯ+1 'n+i •*’
30
Вычислить определители!
*191. *192.
X «i a2 ... 1 X a a .
аг x a4 ... «„_! 1 a x a .
ai aa x ... a„_1 1 a a x .
a2 as ... x 1 a •a a .
ai a2 as ... a„ 1
193. x a a ... a a
—a x a ... a a
—a —a x ... a a •
. a
. a
. a •
. x
—a —a —a ... —a x
*194. —ai <4 0 ... 0 0
0 ®2 a2 ... 0 0
0 0 —«з ••• 0 0
0 0 0 ... — an
1 1 1 ... 1 1
*195. al - -a2 0 ... 0 )
0 «2 -a, ... 0
0 0 as ••• 0
0 0 0 ... a»-l a„
1 1 1 ... 1 1 -J -an
*196. h - -1 0 0 0
hx h —1 » « » 0
hx* hx h — • • • 0 •
hxn hxn~1 hxn~* hxn~* • « « h
*197. 0 1 1 ...11
1 0 X . . . X X
1 X 0 . . . X X Л
1 X X ... Ox
1 X X ... x 0
31
*198. О 1 1 « » « 1
1 О «14-«. . « • «1 + «л
1 а* + at О «г4-«п •
1 а„ -1-
*199. 1 2%
1 1
1 1
a,. 4- аг ... О
3 ... л—1 п
1 ... 1 1—л
1 ... 1—л 1
1 1—л 1 ... 1 1
*200. 2 1-1 1_1 1 1 2^ п £ п
2 п 1 п п
1 — 1 п
1 — J_ 1 — 1 1 1_ ... 2
п п п
(порядок л 4-1).
*201. 1 а л2 а3 « я • ап
Хц 1 а а2 * « • ап~1
Х21 Х22 1 а . .. ап~2 •
ЛЛ1 ХП2 ХПЗ Хп4 ... 1
«202. 1 2 3 4 ... л
2 1 2 3 ... л— 1
3 2 1 2 ... л— -2
4 3 2 1 ... л— 3
л л— 1 Л — 2 л —3 1
«203. «0 *1 0 о ... 0 0
«1 —Ь3 ьг о ... 0 0
«2 0 />з ... 0 0
«л-1 0 0 0 .. • ^П-2
«л 0 0 0 .. 0 Ьп-1
32
*204.
а а* 0 0 0 0
1 2a-|-fr (a-]-b)2 0 0 0
0 1 2a + 3b (a-J-2l>)2 ... 0 0
0 00 0 ... 2a(2л — \)b (a + nb)2
0 00 0 ... 1
*205. *206.
х у 0 ... 0 0 1+^Л 1+-4J 1 ••• Над
Оху ... 0 0 1 +Х^У1 1 + х^2 ... 1 + х2уп
0 0 0 ... х у 2 ... l+x^„
у 0 0 ... 0 х
207. ах—« '1- Ьъ ... Oj bn
«2 — ^1 С [2 Ь2 ... а2 Ьп •
а«~Л « п Ь2 ... ап—Ь„
*208. 1 + ai + xi «1 + *! а2 + хг .. 1 + а2 + хг • • «1+хп ' а2 + х„
ап + Х1 ап + Х2 • • • 1+аП + Х„
209.
a"—a a"+1—a ... a"*/’-1—a
й«+/»_а a»+F+i_a ... a"+v-i—a
an+p<p-n_a a»+/><p-l) + l_a . .. ап+рг-1_а
210. Доказать, что определитель-
/1 (ai) fl (аг) • • • fl (ап)
ft (ai) ft (az) • • • ft (an)
fn («1) fn (<U • • • fn
равен нулю, если /,(х), /2(х), ..., /„ (x) — многочлены
от х, каждый степени не выше п—2, а числа вх, а,, ...
..., ап—произвольные.
2 Д. К. Фаддеев, И. С. Сочинский
33
Вычислить определители!
*211. 1 2 —1 X 3 0 4 0 • " . п — 0 -1 п 0
0 0 0 0 0 0 0 0 • • X . —1 0 Х‘
*212. ai + xi —Х1 0 а* Х2 Хг аз 0; хз ... ап 0 0 «л 0 0 •
«213. ао —У1 0 - а1 X, У* 0> а» . 0 . х2 • • • а а 0> л-1 0 0 0 0 —хп Хп *214 0 1 1 а 1 0 1 1 0 а ... 2 . . . 1 0 0 •
0 *215. 0 0 ... п!ав (п — —п X 0 — (л —Уп 1)!Й1 -И Хп (п- С л -2)! а (2 1 0 • * • • • • ( 0> 0 ... •
0- 0 С « « « X
216. 1 0 1 «j 1 1 1 0 = 1 0 0 0. а2 г 0 0 о- 0 аз 1 1 0 0 0 «4 Написать.определитель л-го порядка такой структуры и вычислить его.
Вычислить определители:
217. 218.
а + Р ар 0. . .. 0 0 2 10 0. . 0
1 а + р ар- .. 0 0 12 1 0 . . 0
О' 1 а+Р . . 0! 0 • 0.1 21. . 0
0 0 0 .. 1 а + Р 0. О* 00. . 2
34
*219.
220.
2cos0 1 0 .......0 О
1 2 cos 0 1 ... О 0 .
О О 0 ... 1 2 cos 0
cos 0 1 0 ... О
1 2 cos О 1 ... О
О 12 cos 0 ... О •
*221.
х 1 О
1 х 1
О 1 х
ООО
*223.
О О 0 ... 2соз0
*222.
... 0 ЗД ХхУз Х1Уз • • хху„
. . . 0 х2у2 ^2^3' 1 х2уп
... 0 • Xi Уз Х2Уз ХзУз • Х3Уп •
... X ХгУ„ ХзУп ХзУп • .. х„ Уп
1 + ai 1 1 1
1 1 + а2 1 1
1 1 1 + аз 1 •
1 1 1 ... 1Ч-а„
224. 1 1 ... 1 ах+1
1 1 ... аа+1 1
1 ап -1 + 1 1 1
ав+1 1 1 1
*225. flj X' X « • • X
х а2 х • • • X
х х а3 ... X •
XXX • • • аа
*226. *227.
Xi а2 а3 • ап-1 ап Xj. а2Ьх а3Ьх ... anbi
ая х2 аа ... ап_х ап axb 2 ^2 ^3^2 * * *
ах а2 х3 • • а„-1 ап • ахЬ з о2Ь3 х3 ... anb3
«3 • • хп-1 ап ахЬ » ai^n aJ>n • • • Xn
а1 аг аз • • a«-i хп
2*
33
*228. х,—т •Ч X* • » • X
ха—т • . • х
*2 х,—т • . • х,
*1
*4
х3 ... хп—т
229. Решить уравнение
аа ... an-i яп—а,Л
а1 аг • • • ,®n-l ««-1* ап
а1—а1х а2 ... а„_г ап
Вычислить определители:
*230. а 0 0 ... 0 а 0 00а ... 0 0 Ь ... 0 0 b 0 b 0 b 0 0 a 0 0 (порядка 2л).
0 b 0 ... 0 a 0
b 0 0 ... 0 0a
*231. 1 — b — 6 —b ... — b
1 ла —2b —ib ... — (л— \)b
1 (л — 1) а a —3b ... —(fl—1)6
1 (л—2) а a a ... — (fl—1) b
1 2а a a ... a
*232. (x—aj* af • •• On
а? (х- -atY ... a2
а? a2 {х—а,,У
*233. (х—aj2 aifl2 axa„
(л ь2ап
ata„ a2an ... (x —a,,)2
*234. 1—b2 0 0 ... 0
— 1 1—6 2 Ь3 0 ... 0
0 —1 l-fr5 64 ... 0 •
0 0 0 0 ... l-6„
30
*235. •
О Й4 а3 ai .... a^j.a,
*i О а3 а, ... а,,_1 ап
bi Ь2 0 at ... а„_2 а„
^2 ^3 ^4 • • • О dn
^1 ^2 ^3 ^4 • • ^и-1
*236.
1 2 3 4 5... п
1 1 2 3 4..'. л—1
1 х 1 2 3 ... л —2
1 х х 1 2 ... п—3
1 х х х х ... 1
*237.
1 2 3 4 ... п
X 1 2 3 ... л—1
X X 1 2 ... л—2
X X X 1 ... л—3
X X X X' ... 1
*238.
atx" atx“~l аах"-2 ... a„^tx а„
а3х bt О ... О О
а0х2 агх b2 ... О О
аохя~1 CjX"-2 а2х"-3 ... Ь„_2 О
а3хп а^х”-1 а3хп~2 .. . ап_гх Ь„
*239. Доказать, что определитель
«ci*""1 «оз*"-2 • .. a On fl00 a9l a02 • • • a0n
М «и 0 0 aio ail 0 . . 0
• • 0 = xn- a20 a2l a22 • • • 0
атхп ап1хп~1 апгхп~2 . .. a nn an9 anl an2 • • •
Вычислить определители:
*240. *241 •
11 1 ... 1 1 1 ... 1
1 q q ... q q q+i • • • q+n
i q q ... cjUi • c pa pa 'm+i ^m+a • • • vm+/»+i •
1 prt-1 pn-l frt-1 1 vn vn+i • • • v,a«-2 r*n r*n rn '''m+n-1 '-m+n • • • ^m+an-i
37
*242.
*243
1 1 О О ... О
i q q о ... о
1 CJ С* с* ... о
I с; с* с® ...СГ
С ft pft-bl
т ит
pk • r»ft+i
'-'m + l um4 1
/ft r»ft+1
Cft + л
m
Ck+n
ГИ4-1
/°ft+n
um+«
*244.
pm pm*
^k+m '-'ft+m + l
pm pm
'^k+m + i ^k+m+z
pm
^k + tm
pm
*245.
*246.
'm rm
'к + гт • • •
Л+W
1 O' 0 ... 0 1
1 q 0 ... 0 X
1 q ci ... 0 X2 •
i q q ... GT1 xn
1 0 0 0 ... 1
1 1! 0' 0 ... X
1 2 2! 0 ... X2
1 3 3-2 3! ... X2
1 n n(n—1) m(»*—1^,(л>—2).... x"
*247.
a a + 6 a-f+-26 a 4*38 ... a.-|-(n—1,)6
a 2a + 6> 3& + 38 4a + 6S ... C>+ C*8
a 3a + 6 6a-f-46 10a-f-106 .. .CJ+1a + C’ + 16
a СГа+б C^a+C^J C«;‘a+q+26 . .. +<?",/
*248. *249.
X У У • . . У У а а а . . а 0
z X У . . . У У а а а . . 0 ь
z z X ... У^ У • а 0 ь . . ь~ ь
z z z . . • X У 0 ь. ь . . ь ь
z z- Z' Z: X
38
250. •
Oj X X ... X
у a2 X ... x
У У У ап
*252.
1 а а а ... а
b а р р ... р
b р а Р ... р
b р р а ... .р
b р р р ... а
‘251.
ct а а ... а 1
b ca а ...,-а 1
b b с3 ... а 1
b b b ... с„ 1
1 1 1 ... 1 0
*253.
1 2 3 ... п
2 3 -4 ... '1
3 4 5 ... 2
п 1 2 ... п—1
*254. a ah a-]-2h .. a-4-(/z—
a -]- h a+^h a-^-3h . .. a
a + 2h a + ЗЛ a 4Л . .. а-|-Л
а + (л—1)Л а
255.
1 х №... х"”1
х"-1 1 х ... хя-а
X Xs X* . . . 1
257.
а b с d е f g h
b a d c f e h g
c da b ghef
de b a h .g f e
e f g h a b c -d
f e h .g b ad c':
g h e f c d a b
hgfedeba
a-\-h ... a-j-(n—2) h
*256.
a b c d
b a d c
c d a b •
de b a
*258.
x a2 a2 ... aa
at x a2 ... an
a2 ... X
39
*259.
cos"-1 <Pj cosn~2q>1 ,. COS Cpj
cos"-1<p2 cosn-2<p2 .. . cos <p2
cos"-1 <p„. cos"“2<p„ ... .. COS. <p„
260. 1 1 1
sinq>t sin <p2 . sin <p„
sin2 cpj sin2 <p2 .. • sin2<Pn
sin"-1 qjj sin"'1 <p2 .. . sin"-1<p,r
261. 262. a" (a—1)" ... (a—n)n a”-1 (d — I)"-1 ... (a—л)"-1 ^2 ~F X J
a a—1 1 1 (ai + x)n (a2 + x)" ... a—n 1 (o1 + ^n-1 ... (a2 + x)"-‘ ...
(a B+1 + *)n (аП4-1 + х)'2- 1 «n + l + X 1
263. (2л—1)" (2л—I)"’1 S’ S’ 1 1 5J 1 r* . . Л" . . Л" (2л)" -1 (2л)"-1
2л—1 1 2n—2 1 . . Л .. 1 • 2л 1
*264. ,-1 « < <3 « <4 N В g Й Й n N w Й » ьэа mjj 1 1 И*. Ш
a« un * • • un
*265.
1 1 1 ... 1
Xi-f-1 X2+l X3 + 1 ••• xn+l
X14-X1 x224-x2 x24-x3 ... x* + x„
vw-l_i_ v«-2 y.n-1 l y.n-2 y.n- 1 t rrt“2 .
Aj -p Л1 Л2 Aa Ay Ag ...
40
266.
1
1 + sin ф1
sin qtj + sin* <pt
1 ... 1
1 + sin <p2 ___ t -|- sin фв
sin<ps + sin*<p2 .япфя + шп»ф„
в1П"-*ф1'+8!п"-1ф1 sin"~*(p2-|-sin'!_1<p2 . . ,Sin"-aCPn + sl’n'!_I(Pn
267. 1 1 1
Ф1 (xj ф! (х2) . • Ф, (хп)
ф2 (*1) ф2 . • ф2 М
Фи-Л-^) Фи-lW • Фп-lUJ
где фй (x) =? + alkxk~l + ... + akk.
268. t (COS Ф0 F2 (cos «pj 1 Л (cos ф4) ^2 (cos <p2) t ... ^(СОвфя) ... (cos ф„)
^-i(cos (jpj ^n-l^COS ф2) ^п-ЛСОЗф,,)
где Fk (x) = floAx* + alkxk 1 + ... + akk.
*269.
/ X \ x(x—l)...(x—fe+1)
где \k)~ 1-2. ..k
*270. Доказать, что значение определителя
1
1
1
al al ... a""1
a’l ... a"-1
a* ... «Г1
при целых alt а*, ..., ап делится на 1"~» 2"“* ... (л—1).
41
Вычислить определители:
*271.
12 3 ... л
1 28 3я ... л8
। 224-1 з»«-1 t, t -д2”-1
*272.
*1 Хп
!Xj — l *g — 1 ’ ’ ‘ Х„— 1
*1 xt ... хп
.^•2 v*2 у» 2
Л1 Л2 ' « « Ля
1 ла • • ♦ *д
*273. al^bi ... a^”-1
a" апг~гЬ1 ... a^-1 ЬЧ
ал+1 ап+1&п+1 ап+1^п+! • • • fln+l^n+l ^п+1
274.
sin"-1 ctj sin"-8 a, cos а, ... sinaj cos"-8»! cos"-1»!
sin"-1 aa «in"-8 aa cos a3 ... sinag cos"~8,aa cos"-1 a3
sin”-1 an sin"-8 a„cos a„ ... sina„ cos""8 a„ cos"-1 an
*275.
M* T“* + + S-So. ' a a s> a »»g» Mt» 1 1 H- м »a Й ft tot» MIO Э Й I 1. «О » + + t»t* Mio .. а**‘4-аГ1 a? .. a"+1 + e?-1 ♦
a^i + l «ЙТ1+в»+1 л2л"*2 J-A2 a/i4-l an+l •• ал+14"ал+1 fln+i
*276. 1 COS фо 1 COS(f>! cos 2ф0 cos 2<Pi . COS (Л—1)ф0 . COS (Л—1) ф1 •
1 СО8ф„_, tos2v„_j . . COS (Л— 1)фп —j
*277. sin (л 4-1) ac sin (л 4-1) a. sin ла0 .. sin nat .. sin Ао sin at •
sin (л 4-1) a, sin nan .. sina„
*278. 1 JCj (x— 1) xj (xt— 1) 1 ^2 (^2 1) • • • ^2 (-^2 1) • • 1 xn (Xn— 1) xn {xn 1) •
*rj(*2—1) ... x ГЧ*.-!)
42
*279- 1 1 ... 1
xi Х1 . jf S’. лп
х? х2 . . X3 лп
Х1 хп Л2 . . Хп *п
*280; 1 1 ... 1
X, х2. ... хп
у2' у>2
-^1 Л-2 • • • Лп
у. Я-2 Vя-2 ^я~2
Л1 л2- • • • ЛП
уП уП уП
Л/j л 2 • • • лп
281.
*282.
1 1 ... 1
X] х2 . .. х„
у. 2 у*2 у. 2
Л| , лп
1 + хг 1 4- X?
1 + хг 1 + X.2
1 + хп 1 4’ хп • • • 1 + хп-
X?-1 ХГ‘ ...
i.S+1 VS+1 y.S+1
Л] Л 2 • • •
уП уП уЧ
Л1 Л 2 • • •
283. 284;
1 X Xs X3 1 X X2 X3 X1
X3 Хг X 1 1 2х Зх2 4х3 5х4
1 2х Зх2 4х® 1 4х 9х2 1 бх3 25х4
4х3 Зх2 2х 1 1 у у^ у3 у*
1 2у Зу? 1у3 5у4
*285. 1 1 х X2 ... х"
‘ 1 2х Зх2' ... (/?+ 1) хп
1 22х 32j^ ... (/z+l)2x'1
1 2"-1х 3"-»х2 ... (/i‘+l)" ~1хп
1 У уг ... уп
*286. | 1 х х2 ... х"-’
I 1 2х Зх2 ... их"-1
1 22х 32х2 ... п2хп~1
1 2ft-‘x З^х2 ... л'г-1х"-1
1 Ул Ул •. У"'1
1 У* у! ... у;-1
• Уп-k угп_к ... Х-л
43
*287. 1 X хг ... х"-1
0 1 C'tx
0 0 1 СЧ у-п-з • • •
0 0 0
1 У У ... У'-1
0 1 Ъу ...
0 0 0 ... с-?-1/
28g.
а) Написать разложение определителя четвертого порядка
по минорам первых двух строк.
Ь) Вычислить определитель
12 2 1
0 10 2
2 0 11’
0 2 0 1
пользуясь разложением по минорам второго порядка,
с) Вычислить определитель
2 10 0
12 10
0 12 1’
0 0 12
пользуясь разложением по минорам второго порядка,
d) Вычислить определитель задачи 145.
Вычвслить определители:
е) 1 1 10 0 0
2 3 4 0 0 0
3 6 10 0 0 0
4 9 14 1 1 1 :
5 15 24 1 5 9
0 24 38 1 25 81
flj о ьг о
0 с, 0 d,
b2 0 аг О
О d2 0 са
44
g)
1 1 о
x, x2 О
«1 *i 1
a2 b3 xt
as b3 xl
xf xl О
О О I
О О х3
1 1 Cj
•^2 ^2
Xj Xj Cg
О 0 x.
к 0 0 ... 0 а
хх а 0 ... р Л
хг ₽ а ... р Уз
Хп ₽' Р ... а Уп
а 0 0 ... 0 к
i) Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить определитель
задачи 230.
j) Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить определитель
задачи 171.
к) Вычислить определитель
1110 0
I 2 3.0 О
0 1111
О х, х2 х3 х4
О xf xf xj xl
1) Пусть А, В, С, D—определители третьего порядка,
составленные из таблицы
Од b^ ct z/j \
^2 ^2 ^2
,®3 >>3 ^3 ^3i
вычеркиванием соответственно первого, второго, третьего и
четвертого столбцов. Доказать, что
аз С1 fif, 0 0
«2 Ьг С2 0 0
аз Ьз С3 d3 0 0 = AD—BC.
0 0 а1 А С1 ’^1
0 0 «2 *2
0 0 «3 Ь3 d3
*ш) Вычислить определитель пятнадцатого порядка
A Ai А,
А, А А,
A, Aj А
45
составленный указанным образом из клеток
а х X —X —X 1 1 0 0 0 0
х 2а а 0 0 0 2 10 0
А = х а 2а 0 0 , А,= 0 12 0 0
—х 0 0 2а а 0 0 0 2 1
—х 0 0 а 2а / 0 0 0 1 2 к ?
§ 6. Умножение определителей
289. Пользуясь правилом умножения матриц, предста»
вить в виде определителя произведения определителей:
а)
4 3
1 3
1 —2
—3 2
Ъ)
3 2 5
—1 3 6
1 —1 2
—2 3 4
—1—3 5 ;
2 1 —1
2 1 11
—1 2 11
—1—1 21
—1 —1 —1 2
3 1 1—2 1
1 3 '|—1 2
290. Вычислить определитель А посредством умножения
его на определитель S:
1 2 3 4
—1 0 —3 —8
а) Д = —1 1 0 —13
2 3 5 15
1 —2 —3 —И
0 1 0 2
6 = 0 0 1 1
0 0 0 1
ООО
1 0 0
2 1 0
4 2 1
46
с) Л =
а
b
с
d
bed
a d с
dab
с b а
1111
1 1 _1- —1
1—1 1—1
1—1—1 1
291. Вычислить квадрат определителя:
abed
—b а ,—d с
—с d а —b
—d —с b а
292. Определитель
®00 a0t в«2 • • • «0. в-1
®1» а1з ••• а1,п-1
®и-1,0 1 ®В-1, 2 ••• ®в-1,л-1
Чему равен
фо(*1) ф,(*2) ••• ф«(*в)
Ф1РЧ) Ф1(*2> ••• Ф1.(«Я)
Фп-1(л:1) Фй-1 С^г) ••• Фп-1 (хп)
где <р, (х) = а0/ + aitx + ... + a„_it /Х”-1?-
Применить полученные- результат к. решению-задач 265,
267, 268.
Вычислить определители:
*293.
а)
(*..+ ао)я (*i+ «(,)” ••• (^ + а0)п
(К+аУ ... № + а1)я
(*о + «п)" (»i + ««)*-.. (Ьв + апУ
47
1—<х"Р1 1 ~п 1 — pa 1-аДО
1 —CCiPi 1 — а1р« ‘ l-«iPn
1—а"РГ 1 - а?Р? 1-а?р"
Ь) 1—а2р! 1 агРг 1—а2р„
1-айР? 1 —а"Р” 1-а2рй
1 —а„Р1 1—а„Рг J
*294. sin 2«j sin(a2-|- aj sin(aj4-a2) ... sin 2аг sin (04 4- a„) sin(a2-f-a„)
sin (а„ 4- aj sin(a„4-a2) .. sin 2a„
*295. «0 «1 si sa s2 ... ss ••• sn-l Sn 1 X
$n-i sn s M +1 ‘ • * ,s2n - г Xй-1
®n sn + i s 2 •’• S2n-1 xn
где sk = x ‘ + x*4-...
*296.
a b c d I m n p
b —a —d — c m —I p — n
c d —a — b n —p —I m
d —c b —a P n —m —I
I —m —n ~P — a b c d
m I p —n — b —a d — c
n —p I m — c —d —a b
p n —m I — d c —b —a
*297. cos <p sin <p COS ф sin ф
cos 2<p sin 2<p 2 cos 2<p 2 sin 2ф
cos 3<p sin 3<p 3 cos 3<p 3 sin 3<p
cos 4<p sin 4<p 4 cos 4<p 4 sin 4<p
*298.
cos лф л cos лф sin лф' n sin лф
со5(л+1)ф (л+1) cos (л+1) ф 81п(п+1)ф (л 4-1) sin («+1)ф
соз(л4-2)ф (л 4-2) cos (л 4-2) ф 51п(п4-2)ф (л 4-2) sin (л 4-2) ф
соб(л + 3)ф (л-|-3) cos (л4-3) ф з!п(л4-3)ф (л4-3) sin (л4-3) ф
*299.
11 1 ... 1
1 е е2 ... е"-1
1 е2 е4 ... е2"-2
1 е"-1 е2<"-11’ е<п-1>г
*300.
a0 аг . .. a„_j
an-i ao ai ••• ап-г
ai a2 fl3 • • a0
(циклический определитель)
2л ... 2л
где е = cos — + J sin — .
301. Применить результат задачи 300 к определителю
х и z у
у X и Z
z у х и
и Z у X
302. Применить результат задачи
205, 255.
300
задачам
192,
Вычислить определители:
303. 1 С1 сл-1 си ... 1
1 1 . CJ-! ••• си си
Г»Л-2 ьл-1 1 1 ... ^Л-1 г*п-з ^П-1
си Q-! ... 1 1
304. I 1 2а За2 ... ла'1'1
‘ла"-1 1 2а ... (л — 1)а“-3
j 2а За2 4а* ... 1
к
305. « 1-н « <3 1 1 ъ «о «Г <з“ 1 1 Ъ «о со со й » a я 1 м
s—а4 s—а3 ... s—at
1 де s — ах -J- а2 . -J- Oj,.
306. /n-i c^t"-3 ... cut
ст1 tn-l с^а~г ... CJ-3/2 q;-2/
cut Г*п-1 /”-1 . .. С”-4/3 С"-3/3
c\tn~ 2 Qtn~3 C3tn~* • •. си /”-1
49
307.
Р п~р
г--- _ М I II "* ИМ -П... - х „ -.1
—1 —1 ... —1 —1 1 1 ...
1 —1 ... —1 —1 —1 1 ...
1 1 ... —1 —1 —1 —1 ...
—1 —1
—1 1
1 1
*308.
я
COS —
n
2л
COS —
n
я
COS —
n
(n—1)я
cos1---—
n
(n —1)я
.. cos1---—
n
(n—2)n
.. cos 1--—
n
—1
—1
—1
2я
cos —
n
___ Зя
cos —
n
я
cos —
n
300.
cos 0 cos 20
COS Л0 cos 0
cos Л0
cos (л — 1)0
cos 20 cos 30 ...
COS0
310.
ч
1
1
1
—1
sin a sin (a+A)
sin(a-f-(n — 1)Л] sin a
sin(a + 2A) ... sin [я+(п— 1)Л]
sin (a + Л) .... sin [«+(«—2)A]
sin (а4-Л)
*311.
1»
Л®
sin(a-}-2/i) sin(a+3ft) ...
2® 3® ... л®
1» 2® ... {n— 1)®
sin а
2® 3® 4® ... 1®
312. Доказать, что.
Og @1 ^2 ^"2 ^2
Og Oj Og fig
аг at ao ai ai az ai
ai at at ao ai ai at —
fl2 °1 a2 fl2 a0 Q1 ai
fig Oj O'l Og. Og Og. O"1
= (flg + 3o! 4- 3at) (a®—OgOi—аьаг 4- 2af 4- 2a®—
50
313. Вычислить определитель
«1 «3 at ... a„
—«« «i a3 ... а„_г
—an-i ~an «1 ••• «Л—2
flj fig «4 ... flj
(косоциклический определитель).
*314. Доказать, что циклический определитель порядка
2п может быть представлен как произведение циклического
определителя порядка п л косоциклического определителя
порядка п.
315. Вычислить определитель
а1 р«в Р«в-1 «2 «3 ... «и «1 at ... «в-1 ра„ «j ... ав-8
Р«2 ра3 ра4 ... at
§ 7. Различные задачи
316. Доказать, что если
«н (х) «12 (X) • • а1п (X)
Д(х) = «21 (*) a2i (х) .. ain(x)
«П1'(») (х) ' • «вв (^)
то
Д' (х) =
«11 (^) «12 • •
«2! (*) «22 (*) • • •
«171 ( Х)
<Чп (X)
ап1(х) ат{х) ... «„„(х)
«11 (X) Я12(Х) ... Я1В(Х)
«21 (#) «22 {*) • • • «2п (х)
ani(x) апг(х) ... а„п(х)
51
317. Доказать, что
0ц + * <4, + * • • • ain + x
а21 + х агг + х • • агп + х
ani + х апг + х • • • апп + х
«и
®21
а12 • • •
а22 • • • ат
0«i
апг • • • апп
п п
+ х IL S Aik,
*=1i=l
-где Aik—алгебраическое дополнение элемента aik.
318. Пользуясь результатом задачи 317, вычислить опре-
делители задач 200, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 232,
233, 248, 249, 250.
319. Доказать, что сумма алгебраических дополнений
всех элементов определителя
°и аи • • • а1п
а21 ° 22 • • • ат
<*п1 • • • • @пп
равна '
1 1 ... 1
а21 а11 О22 а12 • • • агп
«,.1 0/1-1,1 0/12 0/1-1,2 ••• апП~' ап-1,п
Доказать теоремы:
320. Сумма алгебраических дополнений всех элементов
определителя не изменяется, если ко всем элементам опре-
делителя прибавить одно и то же число.
321. Если все элементы одной строки (столбца) опре-
делителя равны, единице, то; сумма алгебраических дополне-
ний всех элементов определителя равна самому определителю.
322. Вычислить сумму алгебраических дополнений всех
элементов определителя.задачи. 250.
*323. Вычислить определитель
(0< + ^i)-1 К + М"1. ... («1 + У1
(a2 + ^)-i (а2 + Ь^ ... (а1 + &„)-1 ,
• 1^+А)-1 . (0И + ^)-1 .... (0/1+А)'1.
52
324. Обозначив через Рп и Qn определители
ай 1 0 ... О О
—1 ах 1 ... О О
О 00... an_g 1
ООО.. . — 1 а„_!
г, 1 О ... О О
—1 а2 1 ... О О
О 0 0 ... 1
О 0 0 ... —1
доказать, что
Вычислить определители:
*325. 326.
с a 0 ... 0 0 р q 0 ... 00
b с а ... 00 2 р q ... 0 0
0 Ь с ... 0 0 0 1 р ... 0 0
ООО ... с а ООО . .•. р q
0 0 0 ... b с 0 0 0 ... 1 р
*327. Представить определитель
an + X а12 ••• а\п
ап ^гч И” X • • • ачп
а„1 ••• ат + х
в виде многочлена, расположенного ио степеням х.
*328. Вычислить определитель (2л—1)-го порядка, у ко-
торого первые п — 1 элементов главной диагонали равны
единице, остальные элементы главной диагонали равны п.
В каждой из первых п — 1 строк п элементов, находящихся
справа от главной диагонали, равны единице, в каждой из
последних п строк элементы, находящиеся слева от главной
диагонали, суть п<—1, п—2, I. Остальные элементы
определителя равны нулю.
Например, 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0
0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0
1 2 3 0 0 » 0 0 1 1 1 1 1
0 1 2 3 0 1 2 3 4 0 0 Q
0 0 1 2 3 0 1 2 3‘ 4 0 0
0 0 1 2 3 4 0
0 0 0 1 2 3 4
Вычислить определители:
*329. X 1 0 0 ... 0 0
—п х —2 2 0 ... 0 0
0 — (л—1) X — 4 3 ... 0 0
0 0
330 X 1
п — 1 X
0 л —2
О 0 ... — 1 х — 2п
О 0 ... О О
2, 0 ... О О
х 3 . .. О 0 •
О 0 0 0 ... 1 х
331.
X а О- 0 .. 0 0
п(а — 1) х — 1 2а 0 .. 0 0
0 (л — 1) (а — 1) х—2 За .. 0 0
0 0 0 0 .. . а—1 х — п
332. Р-i 2"-1 f 1 «г е СЧ со л”-1 (« +1)"’1
л""1 (л + 1)л-‘ .. (2л —1)”“1
54
333.
_1_ 1 J_ 1
2 У 4 * ’ ’ л-|“ 1 <.
_1_ 1_______1 1
n «4-1 n + 2 ‘ ‘ 2n—1
334. Найти коэффициент при наименьшей степени х в
определителе
(1 + х)а^ (1 ... (1 +х)а*ь»
(l+x)flA ... (l+Jt)»*1’»
(1 4- х)0»6* (1 + х)а«ь» ... (1 + x)a»6«
ГЛАВА 3
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Теорема Крамера
Решить системы уравнений:
335. 2xt— х2— х3 = 4, 336.
3xj4-4*2—2х3 = И,
Зх4— 2х24-4х3 = 11.
337. 3*14-'2х1+ хз= 5> 338.
2*1 4" 3*2 + *3 = 1 >
2xt4~ х24-Зх3 = 11.
339. xt 4- х2 4- 2х3 4- Зх4 — 1,
Зхг— х2— х3—2х4 = —4,
2xt4-3x2— х3— х1 = —6,
х1-]-2хг-]-Зх3 — *4= — 4.
340. х44-2х2 + Зх3 — 2х4 = 6,
2х4— х2 — 2х3—Зх4 —8,
3xt4-2x2— х34~2х4 = 4,
2х4 — Зх2 4“ 2х3 4- х4 = -— 8.
341. х4 4“ 2х2 4~ Зх3 4“ 4х4 = 5,
2*14- х2 4~ 2х3 4- Зх4 —s 1,
3*14- 2х2 4- х34~ 2х4 ~~ 1 f
4xt 4-3*2 4-2х3 4- *4=—5.
342. х2—Зх34-4х4=—5,
х4 — 2х34-Зх4 = — 4,
Зх44-2х2 —5х4 = 12,
4xj4-3x2—5х3 —5.
*14- г + 2*3---1»
2xt—х24- 2х3= —4,
4Xj 4“ *2 4- 4*3 == —2.
х4 4- 2х2 -|- 4х3 = 31,
5Xj4- *2 4-2*3 = 29,
Зх4— *j4- *з=10-
5G
343,-2xt— x2 + Зх3 + 2x4 = 4,
3Xj 4- 3x2 4~ 3x3 + 2x4 = 6,
3xt — x2 — x3 + 2x4 = 6,
3xt— x2 + 3x3— x4 = 6.
344. x4+ x2+ x3+ x4 = 0,
x4 4“ 2x2+ 3x3 4“ 4x4 — 0,
x4 4“ 3x2 4“ 6x3 4~ 10x4 = 0,
Xj 4- 4x2 + 10x3 4- 20x4 = 0.
345. x14i3x24-5x3-|-7'x4 = 12;
3xt 4- 5x2 4- 7x3 4- x4 = 0,
5x14-7x2+’ x34-3x4 — 4,
7x44~ X2 4“ 3X3 4t 5x4 = 16.
346. х44-х24- x3 4* x4 4- x3 — 0,
xi—x2 + 2x,— 2x44- Зх5=ь=0,
*i + -*s + 4x34- 4x44- 9xs = o,
Xi—x24- 8x3— 8x4 4- 27x5 = O,
Xi4-x24- 16x34- 16x44~ 81x5 = O.
347. Xj 4- 2x2 4- 3x3 4- 4x4 = 0,
x4 4" ^2 4" 2x3 4“ 3x4 0,
x4 4~ 3x2 4- x3 4- 2x4 = 0,
x4 -p 5x2 4- 5x3 4~ 2x4 = 0.
348. Xj4- x24- x34- x4 =0,
x24- x3+ x44- x6 = 0,
Xj 4- 2x2 4- 3x3 = 2,
x2 4- 2x3 4- 3x4 = — 2,
хз + 2я4 4- 3x6 = 2.
349. xt 4- 4x2 4- 6x3 4- 4x4 4- хй = 0,
x,4- x2 4-4x3 4-6x4 4-4x6 = 0,
4xt4- x24- x3 4-4x4 4-6xs = 0,
6х(-|-4х24- x34- x4 4-4x6 = 0,
4Xj -j- 6x2 4- 4x3 4- x4 4- xs = 0.
57
350. 2x4-|- X2+ х,4~ #4+ % = 2,
^ + 2^4- x,+ x4+ xe=0,
*1+ ^2+Зх3+ ^4+ Ke = 3,
*1+ *2+ xs + 4x4+ xe=—2,
*14- *s+ *,+ x4 + 5x6 = 5.
351. x4 4“ 2x2 4“ 3x2 4~ 4x4 4~ 3x2 = 13,
2X44* %i 4" 2x# 4" 3x4 4- 4x6 = 10,
2xl4'2x24~ xj 4~ 2x4 4- 3xe -= 11,
2x4 4" 2x2 4- 2xs 4" x44-2xe= 6,
2Xj4" 2x24~ 2xs4~-2x44- xe = 3.
352. Xj4-2x2—3xs4-4x4— x6 = —1,
2Xj— x24-3xs—4x44-2x6 = 8,
3Xi4- x2— x34-.2x4— x6 = 3,
4xx 4- 3x2 4- 4xs 4- 2x4 4- 2x6 = — 2,
Xj— x2-“ Xg4-2x4 —3x6=—3.
353. 2Xj— 3x24- 4x3— 3x4 = 0,
3Xj— х,4-Н-х,— 13x4 = 0,
4Xj4- 5xs— -7uc3— 2x4 = 0,
13x4—25xt 4- *x3 4-1 lx4 = 0.
Проверить, что система имеет решение х4 = xt = х3 = х4 = 1,
и вычислить определитель системы.
354. Доказать, что система
ах 4- by 4- cz 4^d/ ~ 0,
bx—ay-[-dz—ct = Q,
ex — dy—az 4- bt =’ 0,
dx 4- ey—bz—at = 0
имеет единственное решение, если a, b, c, d вещественные,
не все равные нулю.
Решить системы уравнений:
355. ахх 4- ах2 4-... 4- ax„_i 4- 0хя = о„,
ах, 4- ах2 4-... 4- ₽хп_! 4- ах„ = а„_п
0X14- ах24- ... 4- ax„_i 4- ах„ = а1г
тде а^р.
58
356. A' + zTHv + • • • 4-А" =1 ’
bi—Pl bi — p, bi — p„
*1 1 *2 | I Xn ____ 1
Xl, I X2; I I Xn ____ 1
^-рЛ^-fte. ' ’
где Ь1г b2, .... bn, pn p2, ... , p„ все различны.
357. x, +xs 4~ • • • + Лп- =l >
x^j +хва2 Ч-...+x^ =Л
x/zf1 + х2а?-1 + ... + xna”-! =
где otj, а2, ... , а-„ все различны.
358. Xj.-J-XjO4.4- ... 4-хйа?-1 = и1,
Х14- х2а4 + ... + хйа?-‘ = и2,
Xi + xtan + ... + x„a«~l = ий,
где а2, а2 ... , а„ все различны.
359. хъ Xx«t + Х2. + -W .•4-*„ =«!, ••4-*пал =«2.
Xia?' ЧтХ^?- ‘4-.. . 4-x„a"-l = «„,
где ап а2, ... , ай все различны.
360. 1 + Xj + х2 + ... + х„ = 0,
1 +2х, + 2*х2+ ... +2«хп = 0,
1 + пх, + п2х2 4- ... + ппх* — 0.
§ 2. Ранг- матрицы
361. Сколько определителей А-го порядка можно соста-
вить из матрицы, имеющей т строк и п столбцов?
362. Составить матрицу, ранг которой равен: а) 2; Ь) 3.
363. Доказать, что ранг матрицы не изменится, если:
а) заменить строки столбцами;
Ь) умножить элементы строки или столбца на число,
отличное от 0;
с) переставить две строки или два столбца;
59
d) к элементам одной строки (столбца) прибавить эле-
менты другой строки (столбца), умноженные на. некоторое
число.
364. Суммой двух матриц с одинаковым числом строчек
и столбцов называется матрица, элементы которой суть суммы
соответствующих элементов слагаемых матриц. Доказать,
что ранг суммы двух матриц не превосходит суммы рангов
слагающих матриц.
365. Как может измениться ранг матрицы, если приписать
к ней: а) 1 столбец; Ь) 2 столбца?
Вычислить ранг матриц:
366. 367.
/ 0 4 10 1\ /75 0 116 39 0
4 8 18 7 \ / 171 —69 402 123 45
10 18 40 17 Г 1 301 0 87 —411 —169
\ 1 7 17 3/ \114 —46 268 85 г зо
яЯЯУ» 369.
1 2 111 2' /14 12 6 8 2\
1 0 4—1 1 ' 6 104 21 9 17 ’
11 4 56 5 1 « 7 6 3 4 1 •
^2—1 5 — 6у \35 30 15 20 5/
370. 371.
ЧОО 1 4 1—2 3 —1 - -1 —2'
0 10 2 5 2—1 1 0 - -2 —2
0 0 1 3 6 . —2 —5 8 —4 3 —1 •
1 2 3 14 32 6 0—1 2 - -7 —5
4 5 6 32 77 -1 -1 1 -1 2 1J
372. 373.
'2 1 1 1) ' 1 —12 3 4
13 11 2 1—12 0
114 1 —1 2 113 4
1115' 1 5 —8 —5 —12
12 3 4 3 —7 8 9 13
1111,
60
374.' 375.
Г 2 1 3 —1 \ '32—120 Г
3—12 0 А 4 1 0 —3 .0 2
1 3 4—21- 2—1—2 1 1—3
4 —3 1 1 / 3 1 3—9—1 6
3 —1 —5 7 2 —7
к
376. 377.
0 0 1 0 0' ( 1 —1 2 0 0 1
0 10 0 0 0 1—12 0 1
0 0 0 1 0 1 0—10 2 1
11111 . 1—1 0 0 12
1 3 4 5 1 2 0 0 1 —11
Г 2 3 4 5 —1 1 01 12
2 3 4 5 6
378. 379,
10 10 0' / 2 0 2 0 2\
11 0 0 0 ( 0 10 101
0 110 0. 1 2 10 2 11-
0 0 110 \ 0 10 10/
0 10 11
380.
'2 —1 1 3 4
2 — 1 2 1 —2
2 —3 1 2 —2
1 0 1 —2 —6
1 2 1 — 1 0
4 —1 3 —1 —8
§ 3. Системы линейных форм
381. а) Написать две независимые линейные формы.
Ь) Написать три независимые линейные формы.
382. Составить систему четырех линейных форм от пяти
переменных так, чтобы две из них были независимы, а ос-
тальные были нх линейными комбинациями.
61
Найти основные зависимости между формами системы]
383. = 2л\4-2ха +7*3— xt,
я я
Я Я
сч со
я я
я я
со
II И
я я я
Я Я Я
Ю со со
я я я
сч ю
я Я Я
со со со
оо
со
Я Я Я Я
сч со
л V* «V V* VI
я я я я
со ю t-
Я Я Я Я
со оо ю
Я Я Я Я
ф а
Я Я Я Я
со сч со оо
Я
сч
ю
оо
со
я я я
X я Я
сч
Я Я Я
сч
я.я я
ю со
с©
ао
со
§§
со
оо
со
Я Я Я Я
сч со
Я Я Я
сч
сч
Я Я Я я
сч сч ю
я я я я
со сч сч
Я Я Я Я
СЧ со Ф
я я я
СЧ СО
Я Я Я Я
я я я я
Я Я Я Я
Я Я я я
<— сч
Я Я я Я
ео ©
Я Я я Я
сч СО Ф
Я Я я я
Ф
00
со
со
Ф
со
я я я я
Я Я Я Я
Ю СЧ 00
Я Я Я Я
со сч Ю ф
я я я я
сч со
я я я я
сч сч сч
я я я я
со t-
Я
СЧ
сч
<30
ео
я я я
со
393. ,у1 = 2х1— х2 + Зх3 + 4х4— хЪ1
Уг= Xi4-2xa— Зх3+ Х4 + 2х5,
у3 = 5хг—5х2 4-12х3 Ч- 11 х4 — 5х3,
у^ = х2—Зх2 + 6х34~ Зх4—Зх5.
394. yt = Xj + 2x2+ х3—2х4+ х„
Л = 2*1— хз + -^з + 3х44-2хв,
_Уз = Xj— х2 + 2х3— х4 + Зх6,
Л = 2х1+ хг—3%.+ Х4 —2х5)
Л= *1— Ла+Зх3— Х4Ч-7х4.
395. у, =4х1 + 3х1— Х3+ х4— xs,
j4 = 2Xj.+ ха—Зх3 + 2х4—5х6,
Л= *1—Зх4 + xt—2xs,
yt= *1 + 5х24-2х3—2х44-6х5.
396. ^ = х14-2х2— х3+ Зх4— х3-г2хь
уа — 2х1 — хаЧ-Зх3— 4х4+ х&— х4,
.Уз = 3X1+ х2— х3+ 2х4+ х& + 3х4)
У 4 = 4xi — 7х3 + 8х3 — 1 5х4 + 6х5 — 5х6,
Уь = 5*i + 5х2—6х3 + 11 х4 -|- 9хв.
397. yt= Xj + 2x2+ х3— Зх4 + 2х5,
j2 = 2xr+ х2+ х3+ х4—Зх5,
Уз=~- ++ х2 + 2х3+ 2х4 — 2х5,
yt = 2х1 + Зх2—5х3 — 1 7х4 + Хх5.
Подобрать 1 так, чтобы четвертая форма была линейной
комбинацией первых трех.,
§ 4. Системы линейных уравнений
398* Решить систему уравнений?
Xi—2ха + х3+ х^к
Xi—2x,+xs— х4==—1,
Xi—2х2 + х3 + 5х4 = 5.
399. Подобрать X так, чтобы система: уравнений имела
решение:
2X1— *»+ хз+
Х! + 2х4— х3+ 4х4 = 2;
х4 + 7х3-—4xg + 11х4 ~ X.
63
Решить системы уравнений:
400. 401.
*1+ —Зх3= —1, 2Xj+ — 2х8=1} Xi х* -4- Хо — З, *i + 2x2—Зх3 = 1. 2Xi+ x2~i~ хз~^> Xj + 3x2+ х3^=5, Xi + Х2“р5х3~— —7, 2Xj + Зх2 — Зх3 =14.
402. 403.
2хх— х2+ Зх3 = 3, Xj+ Зх2 + 2х3 = 0,
ЗХд + Х2— 5х3 = 0, 2хх— х2 + Зх3 = 0,
4X1— Х2 + хз ~ 3, 3Xj — 5х2 + 4х3 = 0,
хх + Зх2 — 1 Зх3 = — 6. Xj+ 17х2 + 4х3 = 0.
404. 2Xj + х2— х3 + х4 = 1,
3xt — 2х2 + 2х3 — Зх4 = 2,
5X1+ х2 — х3 + 2х4=—I,
2хх— х2 + х3— Зх4 = 4.
405. 2Xj— х2 + х3— х4=1,
2Xj— х2 —Зх4~2,
Зхх — х3 + х4 = —3,
2xt + 2х2 — 2х3 + 5х4 = — 6.
406. 407.
хг — 2ха + Зх3— 4х4 = 4, Xj + 2х2 + Зх3 + 4xt = И,
х2— х3 + х4 =—3, 2Xi + 3x2 + 4x.t+ х4=12,
хх + Зх2 —Зх4 = 1, Зх4 + 4х2 + Хз + 2х4=13,
— 7х2 *+ Зх3 х4 = —3. 4X1 + х2 + 2х3 + Зх4 ~ 14.
408. 409.
2хх + Зх2— х3 + 5х4 = 0, Зхх+ 4х2— 5х3+ 7х4 = 0,
3Xj— х2 + 2х3—7х4 = 0, 2Xj— Зх2+ Зх3— 2х4 = 0,
4х3+ х2— Зх3 + 6х4 = 0, 4Xi+11x2—1 Зх3 + 16х4 = 0,
Xi — 2х3 + 4х3—7х4 = 0. 7X1— 2х2 + х3 + Зх4 —0.
410. хх+ х2 — Зх4— х5 = 0,
Xi— х2 + 2х3— х4 =0,
4х1—2х2 + 6х3 + Зх4 — 4х5 = 0,
2хх + 4х2 — 2х3 + 4х4 — 7х5 = 0.
411. Xi + х2 + х3 + х4 + Х5 7,
Зл\ + 2х2+ х3 + х4 — 3х5= 2,
х2 + 2х3 + 2х4 + 6х5 = 23,
5X1 4х2 Зх3 + Зх4 х3 == 12.
64
412. xt—2x2 + x3— x44- x5 = 0,
2x,+ xs—x84-2x4—3x5 = 0,
3xx—2x2—x8+ x4—2x6 = 0,
2xx—5x4+x8—2x4 4- 2xe = 0.
413. Xj —2x2+ x8+ x4— x6 = 0,
2x4 4* x2 x8 x4 4" Xs “Q,
Xj 4- 7x2 — 5x8—5x4 4- 5x5 = 0,
3x4— x2 — 2x34- x4— x5 = 0.
414. 2x.4- X.— x,— x. + x5 = l,
Л— *.+ *з+ x4 —2x5 = 0,
3x4 4~ 3x2—3Xg — 3x4 4~ 4x& = 2,
4x3 4- 5x 2 ^“5x8—5x4 4* 7x6 3.
415. 2X1— 2x24- xs— x44- x5 —1,
Xj4- 2x2— xs4- x4— 2x5 = 1,
4xt—10x24-5x3—5x44- 7x5 = 1,
2xx — 14x2-[-7x3—7x44- 11x5 = —1.
416. 3x. 4- x,—2x,4- x.— xs = l,
1 * 9 JI 9 О '
2xx— x24-7x3—3x44-5x8 = 2,
Xj4-3x2—2x3-|-5x4 — 7x5 = 3,
3Xj—2x24-7x3 — 5x44~8x5 = 3.
417. X!4-2xs — 3x44-2x5=1,
Xj— X2—3Xg 4- x4—3x6 = 2,
2x, — 3x2 + 4x3— 5x44-2x6 —7,
9xi—9 x2 4- 6x3 — 16x4 4- 2x5 = 25.
. 418. Xi4-3x24-5xs—4x4 — 1,
x14-3x2-|-2x3—2x44-x5= —1,
Xj—2x2-h x3— x4 — x6= 3,
Xi—4x24- x3+ x4—x5««: 3,
Xj 4- 2x2 + Xg — x4 4- x5 = — 1.
419. X1 4- 2Xg ~|~ 3Xg —x4 = 1 f
3Xi-|-2x24- x3 — x4==l,
2Xi4~3x24~ ~ 1>
2xr 4* 2x2 4- 2x3 — xt = 1,
5xx-j-5x2 + 2x3 =2.
420. Xj—2x24~3xs—4x44-2x6 = — 2,
xt4-2x2— x3 — x5=— 3,
x,— x24-2x3—3x4 = 10,
x2— *3+ *4 —2x5 = — 5,
2x!4-3x2— x34- x44-4x6= 1.
3 Д. К. Фаддеев. И. С. Соминский
65
421.Система
ay 4- bx = с.,
ex 4- az=b,
bz-j-cy = a
имеет единственное решение. Доказать, что abc #= 0, и найти
решение.
Решить системы уравнений:
422. кх + у 4- 2=1,
JC + ^+ 2=1,
X 4- у 4- Kz = 1а.
424. х 4- ау 4- a2z = а3,
x-i-by-i-b^z = b3,
x-\-cy\-c2z = с*.
423. 1x4- >4- * + t**\,
X-4-I/4- z-j- t — K
*4- /4-I24- / = 12
*+ ^4- 2 4-1^ = 13
425. х4- /4- z — 1,
axj- by-j-c z — d,
a3x -j- b2y -j- c2z = d2.
426.ax4- /4~z = 4,
x4- 6/4-2 = 3,
х-i- 26/4- z = 4.
427. ax 4- by 4- z = 1
x aby 4- z — b
x 4" by az = 1.
428. ax 4- /4- z — m, 429. x-[- ay-j- a2z = 1,
* + «^+ z — n, x-|- ay\- abz^a,
x4- y~i-az=p. Ьх-^а3у-\-а2Ьг = агЬ.
430. (X4-3)x4- ^4- 22 = 1,
lx4-(l — 2 = 21,
3(14-l)x4- \y 4- (14- 3)2 = 3.
431. lx4-1/4- (14-1)2 = 1,
lx-j-1/4- (1—l)z = l,
(14-1)x4-1/4-(214-3)2= 1.
432. 8*х4-(2Л4-1)/4-(^4-1)г = А,
(2A—l)x 4-(2fc-l)/4-(fc—2)2 = 64-1,
(46 — 1)X4- 36/4- 26z = l.
433. ax 4- 6/4* 2z = 1,
ax4-(26—1)/+ 32 = 1,
ax-4- 6/4-(6-|-3)z = 26 — 1.
434. а) 3дах4-(3/и—7)/4-(m—5) z — m—1,
(2/и—l)x4-(4m—1)/4- 2/»2 = /»4-l,
4z»x 4- (5m—7) у 4- (2m—5) 2 = 0.
66
b) (2да+1)*-- *»>+ —1,
(m—2)х + (м—l)_y+ (»—2)z=*m,
(2«—1)х-|-(да—l)_y4-(2m—l)z«/n.
c) (5X4-t)x+ 2%y + (41 +1) z «• 1 4- A,
(4A—l)x + (A—I)y4-(4A —l)z = —1,
2(3A-M)x+ 2kj/ + (5X + 2)^ = 2 — A.
435. a) (2c4-l)x— ey— (c + l)z»2c,
Sex—(2c——(3c—1)г = с+ 1,
(c4-2)x — y— 2cz = 2.
b) 2 (A 4* 3J+ Az » A 4-4,
(4A—I)x4-(A+I)j4-(2A —l)z = 2A + 2,
(5A—4)x4-(A4-l)_y4-(3A—4)z = A—1.
c) dx-\-(2d—l)y4- (d4-2)z = l,
(d—l)y4- (d—3)z = l 4-d,
dx 4- (3d—2) у 4- (3d 4-1) z = 2 —d.
d) (3a—1)*4- 2ay-f- (3a4- l)z = 1,
2ax-j- 2a_y-[- (3a4-l)z==a,
(a 4- 1 )x 4- (a 4-1) у 4- 2 (a 4- 1) z » a*.
436. Найти уравнение прямой, проходящей через точки
C*i» (^»> Уз)-
437. При каком условии три точки Mt (xv yj; Мг (х2, yt);
М3(х3, Уз} лежат на одной прямой?
438. При каком условии три прямые ахХ 4- Ьгу 4- q »= 0;
a2x|-Z\y|-C3 = 0; asx4-ftay4-c8 = 0 проходят через одну
точку?
439. При каком условии четыре точки 7И0 (х0, у0);
7И1 (xit ух); Мъ (х3, yt); М3 (х3, у3) лежат на одной окружнрсТй?
440. Написать уравнение окружности, проходящей через
точки Mi (2, 1); Л4а(1, 2); Af3(0, 1).
441. Найти уравнение кривой 2-го порядка, проходящей
через точки МДО, 0); УИ2(1, 0); 7И3 (—1, 0); Л44(1, 1) и
Л4в(-1, 1).
442. Найти уравнение параболы 3-й степени, Проходящей
через точки (1, 0); Л4а (0, —1); jWs(—1, —2) и ^(5, 7).
443. Составить уравнение параболы степени п у = 4-
4- в^х"-14- ... 4-а„, проходящей через л-]-1 точекЛ1в (дгв,_ув);
Mi (*1> Л)5 Мг (xv уг)- Мп (х„, у^.
з* 67
444. При каком условии четыре точки ТИ4 (х4, _yn zj;
М2 (х2, у2, z2); М3 (х3, у3, z3); М, (х4, yt, z4) лежат в одной
плоскости?
445. Составить уравнение шара, проходящего через точки
jWJl, 0, 0); М2 (1, 1, 0); 7И3(1, 1, 1); М4(0, 1, 1).
446. При каком условии п точек Af4(x3, _у4); ТИ2(х2, _у2);
М3 (х'3, _у3); ...; Мп (хп, уГ1) лежат на одной прямой?
447. При каком условии п прямых ахх + ^3.У + ci = 0?
а2х + b2y + с2 = 0; апх 4- Ьпу + сп = 0 проходят через
одну точку?
448. При каком условии п точек 7И, (х4, yv zj;
Af2 (х2, у2, г2); .. .; М„ (хп, уп, г„) лежат в одной плоскости
и при каком условии эти точки лежат на одной прямой?
449. При каком условии п плоскостей А (хВ (уС;z +
4-£>( = 0 (/=1, 2, л) проходят через одну точку и
при каком условии все эти плоскости проходят через одну
прямую?
450. Исключить х4, х2, . . х„_4 из системы л равенств:
Н" ° 12-^2 + • • • + а1, п-l^n-l "Г О-Хп — 0,
а21Х1 + а22Х2~Ь • • • 4~ а2, П-1Хп-1 + а2п ~ 0,
ап1Х1 + ап2Х2 + • • • п-1Хп-1 + апп — 0-
451. Пусть
— а41; х2}— а,2; х\'}— <Xin,
•4!, = а31; х<2> = а22; х<,2)=а2п,
_• <*(/71) __ __ <у
Л1 —^mv Л2 —•••’ лп —V'mn
—т решений некоторой системы линейных однородных урав-
нений. Решения эти называются линейно зависимыми, если
существуют такие постоянные с4, с2, ..., ст, не все равные
нулю, что
с4а1(. + с2а214- ... 4- cmam; = 0 (2)
(/= 1, 2, ..., л).
Если же равенства (2) возможны только при с1 = с2=...=
= ст = 0, решения называются линейно независимыми.
Условимся решения записывать строчками матрицы.
68
Так, система решений (1) запишется матрицей
«и а12 ... а1п
«21 «22 • • • «2П
«ml «m2 • • • «тп
Доказать, что если ранг матрицы А равен г, в системе
(1) имеется г линейно независимых решений, а все осталь-
ные решения системы (1) являются их линейными комбина-
циями.
452. Доказать, что если ранг системы т линейных одно-
родных уравнений с п неизвестными равен г, то существует
п—г линейно независимых решений системы, а все ос-
тальные решения системы являются их линейными комбина-
циями.
Такая система п—г решений называется фундаменталь-
ной системой решений.
1—2 1 0 0
1—20 10
0 01—10
1 —2 3 —2 0
453. Является ли
фундаменталь-
ной системой решений системы уравнений
*1 ~1~ *4'1*
Зх2ф-2х3“1" х3ф- %4—Зх3 = О,
xg-f-2x3-f-2x4-f-6xs = 0,
5х2 4ха -J- Зх3 Зх4— х5=-0?
454. Написать фундаментальную систему решений для
системы уравнений задачи 453.
/1 —2 1 0 °\
455. Представляет ли 0 0 - •1 1 0 фупда-
\4 0 0 —6 2/
ментальную систему решений системы задачи 453?
456. Доказать, что если А — матрица ранга г, образую-
щая фундаментальную систему решений системы линейных
однородных уравнений, а В есть произвольная неособенная
матрица г-го порядка, то матрица В А также образует фун-
даментальную систему решений той же системы уравнений.
69
457. Доказать, что если две матрицы А и С ранга г обра-
зуют фундаментальные системы решений некоторой системы
линейных однородных уравнений, то одна из них есть про-
изведение некоторой неособенной матрицы г-го порядка В на
другую, т. е. А = ВС.
/ап а12 ... а1п\
458. Пусть I ^22 ^2" I—фундаментальная си-
arl ап • • • агп
стема решений некоторой системы линейных однородных
уравнений; доказать, что
Xj — -f- сгаг1 + ... +
х* = Cj«ia + с2а22 + ... + crar2,
хп = + с2а2„ + ... + сгагп
есть общее решение этой системы уравнений, т. е. всякое
решение системы может быть получено из него при неко-
торых значениях сх, с2, ..., сг, и обратно.
459. Написать общее решение системы задачи 453.
460. Проверить, что (11 1—7)—фундаментальная система
решений системы задачи 403, и написать общее решение.
461. Написать общие решения систем задач 408, 409,
410, 412, 413.
462. Зная общее решение системы задачи 453 (см. ответ
задачи 459) и то, что х1 =—16, хг = 23, х3 —х4 = х5 = 0
есть частное решен'е системы 411, найти общее решение
системы 411.
463. Написать общие решения систем задач 406, 414, 415.
ГЛАВА 4
МАТРИЦЫ
§ 1. Действия над квадратными матрицами
465. Выполнить действия:
71
(1 _ "
„ я I , а—вещественное число.
— — 1 /
л /
467. Доказать, что если АВ = ВА, то
а) (Л-|-В)2 = А2 + 2АВ + В2-,
Ъ) Д2 —В2 = (Д-|-В)(Д—В);
с.) (Д+В)" = Д“ + р"’1В+... +8".
468. Вычислить АВ—В А, если:
/1 2 1\ / 4 1 1\
а) Д= 2 12 1, 5= —4 2 0 ;
\1 2 3/ \ 1 2 1/
/ 2 1 0\ / 3 1 —2\
Ь) Д = | 1 1 2], В = ( 3 —2 41.
1 2 1/ 3. 5 —1/
469. Найти все матрицы, коммутативные с матрицей Д:
( 1 2\ /1 1\ I .
а) Л = ( _ ; Ь) Д = ( ; с) А= 0 .1 О
4 ' 4 ' \3 1 2
470. Найти /(Д):
/2 1 1\
а) /(х) = х2—х—1, Д=(3 1 2 1;
\1 —1 О/
Ь) /(х) = х2—5х + 3,
удовлетворяет уравнению
471. Доказать, что каждая матрица второго порядка
а b
с d
х2—(а + d) х + (ad—be) = 0.
472. Доказать, что для любой данной матрицы А най-
дется полином f(x) такой, что /(А) = 0, причем все поли-
номы, обладающие этим свойством, делятся па одни из них.
*473. Доказать, что равенство АВ—В А = Е невозможно.
72
474. Пуёть Д6 = 0. Доказать, что (Е—Л)~1 = £’-|-Л-|-
+ Д24- . . . + Д*"1..
475. Найти все матрицы второго порядка, квадраты ко-
торых равны нулевой матрице.
476. Найти все матрицы второго порядка, кубы которых
равны нулевой матрице.
477. Найти все матрицы второго порядка, квадраты ко-
торых равны единичной матрице.
478. Решить и исследовать уравнение ХА=0, где А—
данная и X—искомая матрицы второго порядка.
479. Решить и исследовать уравнение Х^ = А, где А —
данная и X—искомая матрицы второго порядка.
480. Найти обратную матрицу для матрицы А:
d/'
/1 3 —5 7
d>'4= 0 1 2 —3
0 1 2
\о 0 0 1
е)
2
... 1
... е"-1
g2rt-3
1 8"-1« е2п~г ... е(п"1,!
2л , . . 2л
где е —cos---р i sin —
п 1 п
73
к)
1) Л =
'2—1 О ...
—1 2 —1 ...
О'
О
о ;
О О О ... —1 2}
' 1
2л—1
2л—3
3
1
2л —1
3 5
/1
О
О
О
Ьг
О О
1 о
О 1
о о
bt b3
5 7 ... 2л—Г
3 5 ... 2л—3
1 3 ... 2л—5 ;
7 9 ... 1
О с/
О с2
О с8
* ° л
а.
о) Зиая матрицу 5-1, найти обратную матрицу длж
окаймленной
матрицы
В и\
.V а)'
74
481. Найти неизвестную матрицу X из уравнений:
/2 5\ /4 —6Х
а) \1 3/X=SS\2
/1 1 —1\ /1 —1 3\
b) Х-1 2 1 0 1 = 1 4 3 2 1;
\1 — 1 1/ \1 —2 5/
/2 1\ /2 1\ <2 1\ /1 О\
\2 1/* \2 1/’ g) Л\2 V = \O ij'
482. Доказать, что если АВ — ВА, то А~1В = ВА~1.
1 2"\
2 1)'
14-х
483. Вычислить ф(А), где <р (х) = у-, А =
/
484. Найти все вещественные матрицы второго порядка,
кубы которых равны единичной матрице.
485. Найти все вещественные матрицы второго порядка,
четвертые степени которых равны единичной матрице.
75
486. Установить изоморфизм поля комплексных чисел и
( а ь\
множества матриц вида [ ь а ) ПРИ веи*ественных а>
/ а + bi с + di\
487. Установить, что матрицы вида , . при
\— c-j-di а—bi J
вещественных a, b, с, d образуют кольцо, не имеющее дели-
телей нуля.
488. Представить (а? + £>? + с? + rfi) (а1 + + сг + ^1) в ви'
де суммы четырех квадратов билинейных выражений.
489. Доказать, что следующие операции нал матрицей:
а) перестановка двух строчек,
Ъ) добавление к элементам одной строчки чисел, про-
порциональных элементам другой строчки,
с) умножение элементов строчки на число, отличное от О,
— осуществляются посредством умножения матрицы слева
на некоторые неособенные матрицы.
Те же операции над столбцами осуществляются посред-
ством умножения справа.
490. Доказать, что каждая матрица может быть пред-
ставлена в виде PRQ, где Р и Q—неособенные матрицы, а
R— диагональная матрица вида
R =
1
0
0,
*491. Доказать, что каждая матрица может быть пред-
ставлена в виде произведений матриц E-\-aeik, где eik—мат-
рица, у которой элемент z-й строчки и А-го столбца равен 1,
а все остальные элементы равны 0.
*492. Доказать, что ранг произведения двух квадратных
матриц порядка п не меньше —п, где rt и г2—ранги
множителей.
76
493. Доказать, что каждая квадратная матрица ранга 1
имеет вид
^чНг • • \
|
• • • ^пНл /
* 494. Найти все матрицы третьего порядка, квадраты
которых равны 0.
* 495. Найти все матрицы третьего порядка, квадраты
которых равны единичной матрице.
* 496. Пусть прямоугольные матрицы А и В имеют оди-
наковое число строчек. Через (Я, В) обозначим матрицу,
получающуюся, если к матрице Л присоединить все столбцы
матрицы В. Доказать, что ранг (Л,В)^ранг Л-f-ранг В.
* 497. Доказать, что если Л2=Д, то ранг (ДЧ-Л)-^ранг
(Е—А) = п, где п — порядок матрицы Л.
* 498. Доказать, что матрица Л, обладающая свойством
Ла = Д, может быть представлена в виде РВР~\ где Р—не-
особенная, а В — диагональная матрица, все элементы кото-
рой равны ± 1.
499. Найти условие, которому должна удовлетворять мат-
рица с целыми элементами для того, чтобы все элементы
обратной матрицы были целыми.
500. Доказать, что каждая неособенная целочисленная
матрица может быть представлена в виде PR, где У3—цело-
численная унимодулярная матрица, a R — целочисленная тре-
угольная матрица, все элементы которой, лежащие ниже
главной диагонали, равны нулю, диагональные элементы
положительны, а элементы, лежащие выше главной диагонали,
неотрицательны и меньше диагональных элементов того же
столбца.
*501. Объединим в один класс все целочисленные матрицы,
получающиеся одна из другой умножением слева на цело-
численные унимодулярные матрицы. Подсчитать число классов
матриц п-го порядка с данным определителем k.
502. Доказать, что каждая целочисленная матрица может
быть представлена в виде PRQ, где Р и Q—целочисленные
унимодулярные матрицы, R—целочисленная диагональная
матрица.
503. Доказать, что каждая целочисленная унимодулярная
матрица второго порядка с определителем 1 может быть
77
представлена в виде произведения степеней (положительных
и отрицательных) матриц
604. Доказать, что каждая целочисленная унимодулярная
матрица второго порядка может быть представлена в виде
произведения степеней матриц
А
1
1
и
*606. Доказать, что каждая целочисленная матрица треть-
его порядка, отличная от единичной, с положительным опре-
делителем и удовлетворяющая условию А3 — £, может быть
представлена в виде QCQ-1, где Q—целочисленная унимо-
дулярная матрица, а С—одна из матриц
1 0 0\
0 — 1 0] И
0 0 — 17
1 —1 0\
0—1 0
0 0—1
§ 2. Прямоугольные матрицы.
500. Умножить матрицы:
/2 1 1\ /’
а) <8 0 1 " 2!
Некоторые неравенства
3
о
/2\
с) I 1 и (12
\3/
2 Л
/2\
3); d) (1 2 3) и ( 4 |
/8 2 12'
507. Найти определитель произведения матрицы I
на транспонированную.
*>1 сД
, I на транспоиирован-
«V
/А,
508. Умножить матрицу I
\й«
ную н применить теорему об определителе произведения.
509. Выразить минор т-го порядка произведения двух
матриц через миноры множителей.
78
510. Доказать, что все главные (диагональные) миноры
матрицы ЛА неотрицательны. Здесь А—вещественння мат-
рица, А—матрица, транспонированная с А.
511. Доказать, что если все главные мииоры k-ro порядка
матрицы АА равны нулю, то ранги матриц АД и А меньше k.
Здесь А — вещественная матрица, Я—транспонированная
с ней.
512. Доказать, что суммы всех диагональных миноров
данного порядка k, вычисленные для матриц АА и АЛ, оди-
наковы.
513. Используя умножение прямоугольных матриц, дока-
зать тождество
(«!+«£+...+ о№2+&Н...+^)~
—(аЛ + «Л+ • • •
514. Доказать тождество
ял л »
J) I а< I4-\bt I4— atb'i e (2* I afik—akbi I4-
Здесь ab bt — комплексные числа, b'e—числа, сопряженные c bt.
515. Доказать неравенство Буияковского
(п \ 3 п л
2 «А <2 «!-2^
1=1 / 1=1 /=1
для вещественных аь Ь{, исходя из тождества задачи 513.
516. Доказать неравенство
для комплексных ah bt.
*517. Пусть В и С—две вещественные прямоугольные
матрицы такие, что (В, С) = А есть квадратная матрица
[смысл обозначения (В, С) такой же, как в задаче 496].
Доказать, что |А |а^|ВВ|-| СС\.
*518. Пусть А = (В, С)—прямоугольная матрица с веще-
ственными элементами. Доказать, что
|АА | <|ВВ|-|СС|.
79
519. Пусть А — прямоугольная вещественная матрица
(а11 °12 • • • а1п \
°21 • • • а2п |
апл атг • • • атп !
Доказать, что | АА |< У • У afr ... У a2mk.
fr = 1 й =Т й = I ‘
520. Пусть А — прямоугольная матрица с комплексными
элементами, А* — матрица, транспонированная для комплексно
сопряженной с А матрицы. Доказать, что определитель мат-
рицы А*А есть неотрицательное вещественное число и этот
определитель равен 0 в томи только в том случае, когда
ранг А меньше числа столбцов.
521. Пусть А = (В, С) есть комплексная прямоугольная
матрица. Доказать, что |Л*Л |^|В*В|-| С*С|.
522. Доказать, что если \a!k | М, то модуль опреде-’
лителя
аи а12 • • • ат
а21 агг • • • агп
ат ап2 • • • апп
не превосходит Мппп/2.
*523. Доказать, что если aik вещественны и лежат в
интервале 0 то определитель, составленный
из чисел а1к, по абсолютной величине не превосходит
и + 1
Жп2-"(л+1) 2 .
524. Доказать, что для определителей с комплексными
элементами оценка, приведенная в задаче 522, точная и не
может быть улучшена.
525. Доказать, что для определителей с вещественными
элементами оценка, приведенная в задаче 522, точная при
п == 2й.
526. Доказать, что максимум абсолютной величины опре-
делителей порядка и, имеющих вещественные элементы, не
превосходящие 1 по абсолютной величине, есть целое число,
делящееся на 2"-1.
*527. Найти максимум абсолютной величины определителей
порядков 3 и 5, образованных из вещественных чисел, не
превосходящих 1 по абсолютной величине.
80
*528. Матрицей, взаимной с данной матрицей А, назы-
вается матрица, элементами которой являются миноры
(п—1)-го порядка исходной матрицы в естественном распо-
ложении. Доказать, что матрица, взаимная к взаимной, равна
исходной матрице, умноженной на ее определитель в сте-
пени п—2.
*529. Доказать, что миноры /и-ro порядка взаимной матрицы
равны дополнительным минорам к соответствующим минорам
исходной матрицы, умноженным на Д'”-1.
630. Доказать, что матрица, взаимная к произведению
двух матриц, равна произведению взаимных матриц в том
же порядке.
531. Пусть каким-либо способом занумерованы все соче-
тания из номеров 1, 2, ..., п, взятых по т.
Дана квадратная матрица Л = (о/Л) порядка л. Пусть Л
есть минор ти-го порядка матрицы Л, номера строчек которого
образуют сочетание с номером а, номера столбцов — сочета-
ние с номером р. Тогда из всех таких миноров можно по-
строить матрицу Л^ = (Лв?) порядка С%, В частности, Л1 = Л,
Л„_! есть матрица, взаимная с А.
Доказать, что (ЛВ)^ = Л^, В^ = Е, (Л-1)^ = (Л^)-1.
532. Доказать, что если Л есть «треугольная» матрица
вида
/ аи
А — ( °22
то при надлежащей нумерации сочетаний матрица А'т будет
также треугольной.
533. Доказать, что определитель матрицы А'т равен
. 1 Гт-1
|Л | •
534. Пусть установлена каким-либо способом нумерация
пар (z, k); z = l,2, ...,л; k =1,2, Кропекеровским
произведением двух квадратных матриц Л и В порядков л
н т соответственно называется матрица С = ЛхВ порядка
пт с элементами с«,«, = где есть помер пары
(z’j, kx), а2—номер (z2, k2). Доказать:
а) (Л1±Л2)хВ=(Л1ХВ)±(Л2хВ),
b) Ax(B1±B2} = (AxB1)±(AxBt),
с) (Л' х В') • (Л* X В") = (Л' • А") х (В' • В").
*535. Доказать, что определитель А кВ равен | А |т-| В |я.
536. Пусть матрицы А и В порядка тп разбиты на л2
квадратных клеуок, так что они принимают вид:
/Лп Л12 .,. А1п
I А А А
\ЛП1 Ant .,. Ат
(Вц Ви . <. В1Я
I Bti Вм «•. Вш
* • • Вт
где Aik и Bik—квадратные матрицы порядка т. Пусть состав-
лено их произведение С н разбито таким же образом на
клетки Cik. Доказать, что
= • • • +ЛтД|*’
Таким образом, умножение матриц, разбитых на клетки,
производится формально по тому же правилу, как если бы
в клетках находились не матрицы, а числа.
*539. Пусть матрица С порядка тп разбита на л2 рав-
ных квадратных клеток. Пусть матрицы А/к, образованные
элементами отдельных клеток, попарно коммутируют при
умножении. Из матриц Aik составляется «определитель»
Jj±^ia,42«,. • .4лап = В. Этот «определитель» есть некоторая
матрица порядка т. Доказать, что определитель матрицы С
равен определителю матрицы В.
ГЛАВА 5
ПОЛИНОМЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Действия над полиномами. Формула Тейлора.
Кратные корни
638. Умножить полиномы:
а) (2х4—+ 1) (х2—3x4- 1);
Ь) (х34-х2—х— 1)(х2 —2х — 1).
539. Выполнить деление с остатком:
а) 2х4—Зх34-4х2—5x4-6 на х2—Зх 4-1;
Ь) х3—Зх2—х — 1 на Зх2—2х +1.
540. При каком условии полином х3-|-рх + ? делится на
полином вида x2-j-mx—1?
. 541. При каком условии полином х* -}-рх2 +q делится на
полином вида x’-f-^x-f-l?
542. Упростить поллном
. х ,х(х— 1) । , ..„xfx—l). ..(*—«+В
1 Т+ 1-2 .•+( I) я)
543. Выполнить деление с остатком:
а) х4 — 2х34-4х2— 6x-f-8 на х—1;
Ь) 2х* — 5х3 — 8х на x-f-3;
с) 4х34-*2 на х-н-Н’;
d) х3—х2—X на х—1-|- 21.
544, Пользуясь схемой Горнера, вычислить /(х0):
а) /(х) = х4—Зх34-6х2—10x4-16, х0 — 4;
Ь) /(х)- —х54-(1 4-2/)х4—(1 4-3i)xs4-7, х0 = — 2—i.
83
545. Пользуясь схемой Горнера, разложить полином /(х)
по степеням х— х0:
a) f(x) = х44-2х3— Зх2— 4х+1, х0 = —1;
Ь) /(х) = х5, х0 = 1;
с)/(х) = х‘ — 8х3-|-24х2—50х + 90, х0 = 2;
d) f (х) = х44-2/х3— (14-0х2 — Зх4-74-г, х0 = — /;
е) f (*) = х* 4~ (3 — 81) х3 — (21 4- 18г) х2 —
— (33 —20г)х4-74-18/, х0 = — 1 4~2г.
546. Пользуясь схемой Горнера, разложить на простей-
шие дроби:
. х3—x-М . . . х4 —2х2 + 3
а’ (х-2)6 ’ °' (х+1)5 ’
*547. Посредством схемы Горнера разложить по степеням х:
а) /(я + З), где/(х) = х4—х34-1;
Ь) (х—2)4 4- 4 (х — 2)3 4-6 (х — 2)2 4- 10 (х —2) -|- 20.
548. Найти значения полинома /(х) и его производных
при х = х0:
а) /(х) = х5— 4х3-|-6х2 — 8х4-Ю, х0 = 2;
Ь) / (х) = х4 — 3/х3 — 4х2 -(- 5/х — 1, х0 = 1 4- 2/.
549. Чему равен показатель кратности корня:
а) 2 для полинома Xs — 5х44~7х3—2х24~4х — 8;
Ь) —2 для полинома Xs7х4 4-16х3 4~ 8х2— 16х —16?
550. Определить коэффициент а так, чтобы полипом
Xs — ах2 — ах 4- 1 имел — 1 корнем не ниже второй кратности.
551. Определить А и В так, чтобы трехчлен Дх4-|-Вх34- 1
делился на (х — I)2.
552. Определить А и В так, чтобы трехчлен Ахп + 1 -|-
4-Вх"4-1 делился на (х—I)2.
*553. Доказать, что полиномы:
а) х2"—лхп+14~лх"“1 — 1;
b) x2n+l — (2л4-1)хп+14-(2л4-1)хп — 1;
с) (л — 2т) х"— пхп~т А-пхт — (п—2т)
имеют число 1 тройным корнем.
84
554. Доказать, что полином
+ 1 п(п+1)(2п + 1) „я+. , (Я-1)(л + 2)(2л+1) гЯ+1 _
х 6 2
(л-1)(л + 2)(2л+1) , я(п+1)(2л-Ц) ,
2 Х 1 6Х
делится па (х — l)s и не делится на (х—I)6.
*555. Доказать, что для того чтобы полином
f (х) = аох" ajX"-1 + • • - + ип
делился на (х—l)fc+1, необходимо и достаточно выполнение
условий:
ао + а1 + аз+ ••• 4"
~|~ 2 fl2 ~|~ • • • “Ь fl “ 0>
at + 4a,+ ... -|-л2ап = 0,
2^д2 -|- ... -}- п&ап = 0.
55®. Определить показатель кратности корня а полинома
[/' (*)+/'(«)]-/(*) +/(«),
где f (х) — полином.
557. Найти условие, при котором полином х6 + ал;3 + ^
имеет двойной корень, отличный от нуля.
558. Найти условие, при котором полином хь + 10ах3 +
4-5frx + c имеет тройной корень, отличный от нуля.
559. Доказать, что трехчленный полином x"-j- ахп~т + b
не может иметь корней, отличных от нуля, выше второй
кратности.
560. Найти условие, при котором трехчленный полином
х" ахп~т имеет двойной корень, отличный от нуля.
* 561. Доказать, что Л-членный полином
G^xpi + а2хР« + • • ~i~aitxP,‘
не имеет корней выше (k — 1)-й кратности, отличных от нуля.
* 562. Доказать, что каждый не равный пулю корень
(А—1 )-й кратности полинома
а,хР> + а2х₽2 + • • • + akxp<‘
удовлетворяет уравнениям
а^Рчр' (р2) = агхР‘Ц>' (рг) = .. . = алхР'чр' (рк),
где
ф (/) = (/— pjlt— pt) (t—p3)...(/— pk),
и обратно.
85
* 568. Доказать, что полином делится на свою производ-
ную в том и только в том случае, когда он равен at(x—xt)n.
564. Доказать, что полином
у
не имеет кратных корней.
565. Доказать, что для того чтобы хЛ было корнем
кратности k числителя дробной рациональной функции
кп
nl
/(*)
<р(х)
, знаменатель которой w (х) не обращается в
О
при x = xt, необходимо и достаточно, чтобы
/(*«) =Г (*•) = . •. W = 0. Л
566. Доказать, что дробная рациональная функция
/(х)-1И
J ' w (х)
может быть представлена в виде
/(*) =/(*.) + (*-*о) + • • •
где F (х)—полином. Предполагается, что w (хо)=/=О (формула
Тейлора для дробной рациональной функции).
* 567. Доказать, что если х0 есть корень кратности k
для полинома f1(x)f^(x)—ft(x)j\(x), то х0 будет корнем
кратности А-f-l Для полинома Л(х)/2(х0)—/2(х)/1(х0), если
этот последний не равен нулю тождественно, и обратно.
* 568. Доказать, что если f(x) не имеет кратных корней,
то [/' (х)]2—f(x)f"(x) не имеет корней кратности выше
п—1, где п — степень /(х).
* 569. Построить полином /(х) степени л, для которого
[/' (х)]2—/(х)/“(х) имеет корень х0 кратности л—1, не
являющийся корнем /(х).
§ 2. Доказательство основной теоремы высшей
алгебры и смежные вопросы
570. Определить 6 так, чтобы при |х| <6 полином
х5—4х’4-2х
был меньше 0,1 по модулю.
571. Определить 6 так, чтобы |/(х)—/(2)] <0,01 при
всех х, удовлетворяющих неравенству |х — 21 < 6; /(х) =
=х‘—Зх3 -f- 4х -f- 5.
86
572. Определить М так, чтобы при [ х | > М
\x*—4x3 + 4xi + 2\> 100.
573. Найти х так, чтобы |/(х) | < [/(0) |, где:
а) f (х) — х3— 3zx’4-4; b) /(х) — х*—Зх34-4.
574. Найти х так, чтобы |/(х) | < |/(1) |, где:
a) f(x) = x* —4xs4-2;
b) f (x)~x*—4х3-|-6х2—4х + 5|
с) f(x) = x*—4x4-5.
575. Доказать, что если z—i = a(l—/), 0<а<у, то
!/(*)!</5,
где
/(x) = (l 4-Z) z54-(3—5i)z*—(9-f-5Z)z3—
—7 (1 —z)z24-2(1 4-3i)z4-4—i.
*576. Доказать, что если f(z)— полином, отличный от
постоянной, то в сколь угодно малой окрестности zt можно
найти Zt так, что (/(zj | > |/(х0) |.
577. Доказать лемму Даламбера для дробной рациональ-
ной функции.
578. Доказать, что модуль дробной рациональной функ-
ции достигает своей точной нижней границы при изменении
независимой переменной в замкнутой прямоугольной области.
. 579. Очевидно, что теорема о существовании корня не-
верна для дробной рациональной функции. Так, функция
1 тт
— не имеет пи одного корня. Что препятствует «доказатель-
ству» теоремы по той же схеме, как для полинома?
*580 . Пусть /(х) — полином или дробная рациональная
функция. Доказать, что если а является корнем f(z)—f(a)
кратности k и /(«)^0, то при достаточно малом р на
окружности \z—а| = р найдется 2k точек, в которых
|/(х)|=|/(а)|.
*581 .'Доказать, что если а является корнем f(z)—f(a)
кратности k, то при достаточно малом р на окружности
| z—а | = р найдется 2k точек, в которых Re (f(z)) — Re (/(а)),
и 2k точек, в которых Im (f(z)) — 1m (/(а)). Здесь f(z)—по-
лином или дробная рациональная функция.
87
§ 3. Разложение на линейные множители.
Разложение на неприводимые множители
в поле вещественных чисел. Соотношения
между коэффициентами и корнями
582. Разложить на линейные множители полиномы:
а) х3—6х24-11х— 6; b) x4-|-4t с) х44-4х34х21;
d) х‘—10х2 + 1.
*583. Разложить на линейные множители полиномы:
a) cos (лаге cos х);
b) (х cos 9 + i sin 9)" + (х + cos 9 — I sin 9)";
c) x’>-qmx-»+C4mx'»-2- ... + (-!)-» q-.
584. Разложить на неприводимые вещественные множи-
тели полиномы;
а) х4 + 4; b) х’+27; с) х4 + 4х3-{-4х2 + 1;
d) х2п — 2хп + 2; е) х4 —ах2+1, —2 < а < 2;
f) х2"-|-х" + 1.
585. Построить полиномы наименьшей степени по данным
корням:
а) двойной корень 1, простые 2, 3 и 1 -|-Z;
Ь) тройной корень — 1, простые 3 н 4;
с) двойной корень i, простой —1 —I.
586. Найти полином наименьшей степени, корнями ко-
торого являются все корни из 1, степени которых не пре-
восходят п.
587. Построить полином наименьшей степени с вещест-
венными коэффициентами по данным корням:
а) двойной корень 1, простые 2, 3 и l-j-i;
Ь) тройной корень 2 — Зг;
с) двойной корень i, простой —1 —I.
588. Найти наибольший общий делитель полиномов:
а) (х— 1)3(х-|-2)2(х — 3) (аг—4) и (х — I)2 (x-f-2) (x-f-5);
b) (х— 1)(х2— 1)(х3—1) (х4—1) и
(х+ 1) (х2 + 1) (х3 + 1) (х‘ + 1);
с) (х®—1)(х2—2хН~1) и (х2—1)®.
*589. Найти наибольший общий делитель полиномов
хт — 1 их" — 1.
88
590. Найти наибольший общий делитель полиномов
хт -|- ат и Xя-f-а".
591. Найти наибольший общий делитель полинома и его
производной:
а) /(х) = (х-1)3(х4-1)2(х-3);
b) f(X) = (x—1)(х2—1)(х3—1)(х4— 1);
с) f(x) = xm+n—хт—х"+ 1.
592. Полином /(х) не имеет кратных корней. Доказать,
что если х0 есть корень кратности k > 1 для уравнения
/ ( Т° УРавнение имеет х0 корнем
кратности k—1.
Предполагается, что »(хо)^0, v' (х0)У=О.
593. Доказать, что х3®-|-хзя+14-х3^+2 делится на
x2-f-x-f-l.
594. Когда хзт—хзп+1 -}-хзр+з делится на х3—х4~1?
595. При каком условии х3т x3n+l -|-х3^+2 делится на
х44-х24-1?
596. При каком условии x2m4-jem+^ делится на
х3 4-х 4-1?
597. Доказать, что
xftoi4-xfra«+1 4- ... 4-xfra'«+ft_1
делится на х*-14-х*“а4~ • • • 4-1-
598. При каких значениях т (х4-1)т—хт— Г делится
на х2 4-х 4-1?
599. При каких значениях т (х 4- 1)“ + хт 4- 1 делится
на х2-|-х'4- 1?
600. При каких значениях т (x-f-l)1"—хт— 1 делится
на (х24-х4-1)2?
601. При каких значениях т (х4-l)m + x”’4'1 делится
на (х2 4- х -f- 1 )2?
602. Могут ли полиномы (х 4-1)“ 4- хт -|- 1 и (x-J-l)” —
— х®—1 делиться на (х* 4-* 4-1)’?
603. Преобразовать полином
. _ X । 1) _ । /__ I хп х (х 1) ... (х п4~ 1)
1 1-2 • • • -М 1.2. ..п
придавая х последовательно значения 1, 2, ..., п. (Сравнить
с задачей 542.)
604. При каких значениях т Хп(хт) делится на Хя(х)?
(Х„—круговой полином.)
89
Доказать теоремы:.
605. Если/(х”) делится па х—1, то делится и на хп—1.
606. Если f{xn) делится на (х—а)*, то делится и на
(хп—ап)к при а^О.
607. Если F(x) =/i (х3) + х/2 (х3) делится на xs + x-f-l,
то fi(x) и А (х) делятся на х—1.
*608. Если полином f (х) с вещественными коэффициен-
тами удовлетворяет неравенству /(х)^0 при всех веще-
ственных значениях х, то f (х) — [гр, (х)]2 -|- [<р2 (х)]2, где (х)
и <р2 (х)—полиномы с вещественными коэффициентами.
609. Полином /(х) = а0х” + п1х'1-14-...имеет
корни х1т ...,х„. Какие корни имеют полиномы:
a) floxn—alxn-1 + a2x”-2—... +( —1)ла„;
Ь) апхп + ап_1хп~1+ ... 4-а0;
с) /(«)+-»
л! Х ’
d) аохп + а^х"-14- агЬ2х"~2 апЬп?
610. Найти соотношение между коэффициентами куби-
ческого уравнения х34-рх24-^х4-/' = 0, при котором один
корень равен сумме двух других.
611. Проверить, что один из корней уравнения 36х3 —г
— 12х2—5х4-1=0 равен сумме двух других, и решить
уравнение.
612. Найти соотношение между коэффициентами урав-
нения четвертой степени x44-ax3 + i>x24-cx-]-d = 0, при
котором сумма двух корней равна сумме двух других корней.
613. Доказать, что уравнение, удовлетворяющее условию
задачи 612, приводится к биквадратному подстановкой
x=y-f-a при надлежащем .выборе а.
614. Найти соотношение между коэффициентами урав-
нения 4-й степени х44~ах3-|-Ьх2-|-с.* + ^ = 0, при выпол-
нении которого произведение двух корней равно произведе-
нию двух других корней.
615. Доказать, что уравнение, удовлетворяющее условию
задачи 614, решается посредством деления на х2 и подста-
новкой _y = x-f- при а=/=0).
616. Решить уравнения:
а) х*—4х3+ 5х2— 2х—6 =0;
Ь) х4 + 2х34- 2х2 +1 Ох + 25 = 0;
с) х44-2х3+ Зх2+ 2х—3 =0;
d) х4+ х3—10х2— 2x-f-4 =0,
используя задачи 612—615.
90
617. Определить 1 так, чтобы один из корней уравнения
х3—7х = 0 равнялся удвоенному другому.
618. Определить а, Ь, с так, чтобы они были корнями
уравнения
Xs—ах2-{-Ьх—с = 0.
619. Определить а, Ь, с так, чтобы они были корнями
уравнения
№ 4- ах2 4- Ьх 4- с — 0.
620. Сумма двух корней уравнения
2х3 —х2—7x4-1 = 0
равна 1. Определить 1.
621. Определить соотношение между коэффициентами
уравнения х34-рх4-^ = 0, ПРН выполнении которого х3 =
= ±4-U
Х1 хг
622. Найти сумму квадратов корней полинома
являются
*627.
*623. Решить уравнение
х"4-а1хп“14-а2х"-24- ... 4-а„ = 0,
зная коэффициенты ах и а2 и зная, что корни его образуют
арифметическую прогрессию.
624. Образуют ли корни уравнений:
а) 8х3 —12х2 —2x4-3 =0;
. Ь) 2х‘4-8х3 + 7х2 — 2х—2 = 0
арифметические прогрессии?
625. Дана кривая
у = х4 4- ах3 4- Ьхъ -{-cx-j-d.
Найти прямую так, чтобы точки пересечения Af1, Л12, М3, Mt
ее с кривой отсекали три равных отрезка: Af2Af2 = Af2Afs =
При каком условии эта задача имеет решение?
Составить уравнение 4-й степени, корнями которого
1 1
а. —, —а,------------------.
’ а ’ ’ а
Составить уравнение 6-й степени, имеющее корни:
1 , 1,1 1
а, — ,1 —а, -------, 1-----, ----г-.
' а ’ ’1 —а ’ а ’ , 1
1----
а
= A^Af,.
*626.
91
628. Пусть/(х) = (x — xj (х—х2) ... (х—х„).
Найти /' (х;), /"(X,) и доказать, что
д/ (*>') ' f"lv\
dxi 2 7
629. Доказать, что если/(xt) = f" (xt) = 0, по f (хх) ^=0, то
п
630. Корни полинома х" 4- а1хп~1 4- ••• +ап образуют
арифметическую прогрессию. Определить f (х,).
§ 4. Алгорифм Евклида
631. Определить наибольший общий делитель полиномов:
а) х4 + х3 — Зх2 — 4х—1 и х3-|-х2—х—1;
Ь) х6-|-х4—х3 — 2х— 1 и Зх44-2х3-|-х24-2х —2;
с) хв — 7х4Н-8х3 — 7хН-7 и Зх6 —7х3-|-Зх2 —7;
d) х6 — 2х4-|-х34-7х2—12х-|-10
и Зх4 — 6х3-|-5х2 + 2х — 2;
е) х*4-2х4 — 4х3 — Зх2-|-8х — 5 и х6-|-х2 — х -|-1;
f) х64-3х4 —12х3—52х2 —52х—12 и
х4 4- Зх3 — 6х2 — 22х — 12;
g) х64-х4 — х3—Зх2 — Зх—1
и х4 — 2х3 — х2 — 2х-|-1;
h) х4—10х24-1 и х4 — 4]/2 х34-6х2 4-4)/2 х4-1;
1) х44-7х34- 19х24-23х + 10
и х44-7х3-|-18х24-22х4-12;
j) х4 — 4х34-1 и х3 — Зх24-1;
к) 2х« —5х6 — 14х44-36х34-86х24-12х—31 и
2х6 — 9х4 -I- 2х3 4- 37х2 4- 1 Ох — 14;
1) Зх3 — X6 — 9х4 — 14х3 — Их2 — Зх— 1 и
Зх6 8х4 4- 9х3 4- 15х2 4-1 Ох 4- 9.
632. Пользуясь алгорифмом Евклида, подобрать полиномы
Afj (х) и ЛД (х) так, чтобы Д (х) ЛД (х) 4-Д (х) (х) — б (х),
где б(х) — наибольший общий делитель Д(х) и Д(х):
а) Д (х) — х* 4- 2х3 — х2 — 4х —2,
Д (х) = х4-|- х3—х2 — 2х—2;
Ь) Д (х) = х6 4- Зх4 4- х3 4- х2 4- Зх 4-1,
Д (х) = х4 |- 2х3 4- х 4- 2;
92
C) Д (х) = х*—4х6 + 11 х4 — 27х3 + 37х2—35х 4- 35,
Д (х) = х6—Зх4 + 7х3—20х2 +1 Ох—25;
d) /1 (х) = Зх7 + 6х°—Зх6 + 4х4-j- 14х3—6х2—4x4-4,
/2 (х) = Зх«—Зх4 4-7х3—6х 4-2;
е) Л (х) = Зх6 4-5х4 — 16х3—6х2—чбх—6,
Д (х) = Зх4 — 4х3—х2—х — 2;
f) /1(х) = 4х4 —2х3 —16х24-5х4-9,
Д (х) = 2х3—х2—5x4-4.
633. Пользуясь алгорифмом Евклида, подобрать полиномы
ЛД(х) и УИ2(х), так, чтобы Д (х) М2 (х) 4-Д (х) ЛД (х) = 1:
а) Д(х) —Зх3— 2х2-|-х4-2, Д(х) = х2—х4- 1;
Ь) Д(х) = х4— х3 — 4х24-4х-|-1, f2(x') = x2— х—1;
с) /1(х) = х6—5х4—2х3 4-12х2—2x4-12,
Д (х) = х3—5х2—Зх 4- 17;
d) Д (х) —- 2х4 4- Зх3 — Зх2—5х 4- 2,
Д (х) = 2х34~х2—х — 1;
е) Д(х) = 3х4— 5х3-|-4х2 — 2x4-1,
Д (х) = Зх3 — 2х2-|-х — 1;
f) Д (х) = х64-5х44-9х34-7х24-5х4-3,
Д (х) = х4 + 2х3 4- 2х2 4- х 4-1.
634. Способом неопределенных коэффициентов подобрать
ЛД(х) и ЛД (х) так, чтобы Д (х) ЛД (х) 4-Д (х) Мt (х) = 1:
а) Д(х) = х4—4х34-1, Д(х) = х3 — Зх24-1;
Ь) Д(х) = х3, Д(х) = (1—х)2;
_с)Д(х) = х4, Д(х) = (1—х)4.
635. Подобрать полиномы наименьшей степени ЛД (х),
ЛД (х) так, чтобы
а) (х4 — 2х3—4х2 4-6х 4-1) Afj (х) 4-
4-(х3—'5х—3) УИ2 (х) = х4;
Ь) (х44-2х3-|-х4-1) ЛД (х)4-
-|-(х4 4-х3 — 2х24- 2х — 1) ЛД (х) =х3—2х.
636. Определить полином наименьшей степени, дающий
в остатке:
а) 2х прн делении на (х — I)2 и Зх при делении на
(х —2)3;
Ь) х24~х4~1 при делении на х4 — 2х3—2х24-Юх —7
и 2х2 — 3 при делении на х4—2х3—Зх2-|-13х —10.
93
*637. Найти полиномы М (х) и N (х) так, чтобы
х" М (х) + (1 — х)п N(x) = 1.
638. Пусть /, (х) М (х) + /2 (х) N{x) = & (х), где S (х) —
наибольший общий Целитель /х (х) и /2 (х). Чему равен
наибольший общий делитель М (х) и ЛГ(х)?
639. Отделить кратные множители полиномов:
а) хе—6х4—4х3-|-9х2-|-12x4-4;
Ь) Xе—10х3—20х2—15х—4;
с) х° — 15х44-8х34-51ха — 72x4-27;
d) х5 —6х44-16х3 —24х24-20х—8;
е) х’—2х6 — х4—2х3 4-5х8 4-4* 4-4;
f) х?—Зх'4-5х#—7х44-7х3 —5xs4-3x —1;
g) х8 4- 2х? 4- 5х’ 4- 6х6 4- 8х4 4- 6х3 4- 5х2 4- 2х 4-1.
§ 5. Интерполяционная задача н дробная
рациональная функция
640. Пользуясь способом Ньютона, построить полином
наименьшей степени по данной таблице значений;
х 10 1 2 3 4.. х 1—10123
/<х).| I 2 3 4 6 ’ /(х)| 6 3 0 3 2 ’
х
С) —
/(X)
„ ,.о. х 11 2 3 4 6
найти /(2); d) (х) । 5 б j _4 •
641. Построить полином по заданной таблице значений,
пользуясь формулой Лагранжа:
. xl 1 2 3 4 .. xl 1 i -1 -I
а) уТ2~1 4 3 ; Ь) 711 2 3 4*
*642. Найти /(х) по таблице значений;
х|1 61 ц ... е»-, 2лЛ { 2gA
/(х)| 1 2 3 ... п > e*-cos п -t-ls,n п •
643. Полином /(х), степень которого не превосходит
п—1, принимает значения уг, .уп в корнях л-Й сте»
пени из 1. Найти /(0).
*644. Доказать теорему: для того чтобы
f (х) = ~ (хг)+/ (х.) 4-... 4-/ (*„)]
94
для любого полинома f{x), степень которого не превосходит
п — 1, необходимо и достаточно, чтобы точки xt, х„ .,,, ха
были расположены на окружности с центром в х0 и делили ее
на равные части.
*645. Доказать, что если корни х1( х2, ... , хп полинома
<р (х) все различны, то
при —2.
646. Найти сумму У/v\' (обозначения такие же, как
i=iv
и в задаче 645).
647. Вывести интерполяционную формулу Лагранжа по-
средством решения системы уравнений:
ао + аА+ • • г +ал-г*1-1 ~У1>
а0 + аЛ+ • • • +
ао + °1А-п + • • • + ап-1Хп~1 ~Уп-
* 648. Построить полином наименьшей степени по таб-
лице значений
х| 0 1 2 ... п
у | 1 2 4 ... 2"'
* 649. Построить полином наименьшей степени по таб-
лице значений
х|0 1 2 ... п
у|1 а а* ... ап '
* 650. Найти полином степени 2л, дающий при делении
на х (х—2)...(х—2л) в остатке 1, а при делении на
(х—1)(х—3)..,[х—(2л — 1)] в остатке.— 1.
* 651. Построить полином наименьшей степени по таб-
лице значений
х 1 2 3 ... п
* 652. Найти полином не выше (л — 1)-й степени, удов-
летворяющий условию /(х) в точках хх, х2, ... , х„,
Xj^= a, i«= 1, 2, ... , л.
95
* 653. Доказать, что полином степени принимаю-
щий целые значения при л 4-1 последовательных целых
значениях независимой переменной, принимает целые значения
при всех целых значениях независимой переменной.
* 654. Доказать, что полином степени л, принимающий
целые значения при х = 0, 1, 4, 9, . .. , л2, принимает целые
значения при всех квадратах натуральных чисел.
* 655. Разложить на простейшие дроби первого вида:
№ 1
а) (х—1) (x-f-2) (х-|-3) : Ь) (х—1) (х—2) (х—3) (х—4) ’
. 3 + * . р\ 1
с' (х—1)(х2+1): °' х4—1 ’ е) Xs—1 ’
.. 1 . 1 . .. 1
*4+4 ; g) х"—1 j n> *r. + ] !
_________п I__________#
*' х(х—1)(*— 2)...(х— п) ’
П (2")'__________________. к) 1
" х (х2—1) (х2 —4).. .(х2—п2) ' ' cos (п arc.cos х)
*656. Разложить на вещественные простейшие дроби
первого и второго вида:
1г2 1 X2
а) х»-1 ’ Ь) х*— 16’ С) х4 + 4 ’ d) х’4-27’
е) т< 2п+1’
’) . /»<2л4-1;
1 х^т
к) —г; h) с 1» т < «;
67 xtn— 1 • xtn +1 ’
4 X (х24-1) (х2+4).. .(Х2 + п2) •
*657. Разложить на простейшие дроби первого вида:
\ х . ь\ 1 . \ 5х2+6х-23
а) (х2-1)2’ °' (Xs—I)2’ с) (х-1)3(х-Ы)2(х—2) ’
d) (х«—I)2 ’ е) хт(1-х)« ’ (Xs-я2)” ’ а °’
а) _!_____h) -
(х2 -+ а2)” ’ [/ (х)|2 ’
где f(x) = (x—x1)(x—x2).. ,(х—х„)—полином, не имею-
щий кратных корней, и g(x)—полином, степень которого
меньше 2л.
96
658. Разложить на вещественные простейшие дроби пер-
вого и второго вида:
. х . 2х — 1
а' (х4-1) (x2+I)2 ’ ' х(х+1)2(х2 + х-|-1)2’
(х4- I)2 ’ (х2”-1)2 •
659. Пусть ср(х) = (х—л\) (х—х2)...(х—х„).
Выразить через ср (х) суммы:
а) У—1—; Ь) У —; С) У—-Цг-.
' Хй X —X; ' Х — Х/ ' J-л (х—х,)2
*660. Вычислить следующие суммы, зная, что х,, х2, ...
суть корни полинома <р (х):
а) -у-!---------1--^-!—, ср (х) = х3Зх — 1;
' 2 — Xj 1 2—х2 2 —х3 ’ г '
щ 1 I 1 I 1
' x?-3x!+2 + xl-Зх2-|-2 х!-Зх3+2 ’
ср (х) = х3 -f- х2 — 4х + 1 j
. 1 1 I 1
х? —2х!-|-1 Г х| —2х2+1 х2 —2х3+1 ’
ср (х) = X3 + х2 — 1.
661. Определить полином первой степени, приближенно
принимающий таблицу значений
х| 0 12 3 4
у 12,1 2,5 3,0 3,6 4,1 ’
так, чтобы сумма квадратов погрешностей была наименьшей.
• 662. Определить полином второй степени, приближенно
принимающий таблицу значений
х|0 1 2 3 4
у| 1 1,4 2 2,7 3,6 ’
так, чтобы сумма квадратов погрешностей была наименьшей.
§ 6. Рациональные корни полиномов. Приводимость
и неприводимость в поле рациональных чисел
663. Доказать, что если — несократимая рациональная
дробь, являющаяся корнем полинома /(х) = аохп 4- «jX"-1-]-
4- . .. 4- ап с целыми коэффициентами, то:
1) q есть делитель а0;
2) р есть делитель ая;
4 Д. К. Фаддеев, И. С. Соминский
97
8) р—mq есть делитель f(m) при любом целом т.
В частности, р—q есть делитель/(1 ),/>+?—делитель/(—1).
664. Найти рациональные корни полиномов:
а) Xе—6х24~15х—14; b) х4—2х3 —8х2 4-18х—24;
0 х8—7х8 — 12х2 4-6х-|-36;
а) 6х44-19х8—7х2—26x4-12;
е) 24х4—42х8—77х8 4-56x4-60;
f) х’ —2х4—4х34-4х2—5x4-6;
g) 24х84~Юх4—х3 — 19х8—5x4-6;
h) 10х4 —13х84-15х®—18х—24;
1) х44-2х8 —13х2 —38х—24;
к) 2х84-3х84-6х—4; 1) 4х4—7х2 — 5х — 1;
т) х44-4х8—2х2—12x4-9;
п) х8 + х*—бх8—14х2—Пх—3;
о) х"—6х54-11х*—х8 —18х24-20х—8.
* 665. Доказать, что полином /(х) с целыми коэффици-
ентами не имеет целых корней, если /(0) и /(1) — нечетные
числа.
* 666. Доказать, что если полином е целыми коэффициен-
тами принимает значения ± 1 при двух целых значениях хх
и х4 независимой переменной, то он не имеет рациональных
корйей, если |хх—х2|>2. Если же |хх—х21 <2 2, то ра-
циональным корнем может быть только |,(хх4-х2).
* 667. Доказать неприводимость полиномоз, пользуясь
признаком Эйзенштейна:
а) х4—8х8 4-12х8—6x4-2;
Ь) х8—12х84-36х —12; с) х4—х84-2х-|-1.
*668. Доказать неприводимость полинома
хр_________________।
। Р—простое число.
*669.
Доказать неприводимость полинома
хрк — 1
р—простое число.
*670. Доказать, что полином /(х) = а0х”4-вххп-14- ..
...4~ап с целыми коэффициентами, не имеющий рациональных
корней, неприводим, если существует такое простое число р,
что аа не делится на р, а2, а3, ... , ап делятся на р и ап
не делится на р8.
98
*671. Пусть f(x)—полином с целыми коэффициентами,
для которого существует такое простое число р, что ав не
делится на р, ak+l, ak+2, ап делятся на р и ап не
делится на р3. Доказать, что тогда /(х) имеет неприводи-
мый множитель степени п—k.
672. Методом разложения на множители значений поли-
нома при целых значениях переменной разложить на мно-
жители полиномы или доказать их неприводимость:
а) х4 —Зх24-1; Ь) х4 + 5х3 —Зх2 —5х+1;
с) х4 + 3х3 — 2х2— 2х+1; d) х4—х3— Зх2-)-2х-|-2.
673. Доказать, что полином третьей степени неприводим,-
если он не имеет рациональных корней.
674. Доказать, что полином четвертой степени x4-f-ax3-|-
-j-bx2-j-cx-j-d с целыми коэффициентами неприводим, если
он не имеет целых корней и не делится ни на один йз по-
линомов вида
, . ст — ат2 ,
^ + 77?^»,
где т—делители числа d. Полиномы с дробными коэффи-
циентами можно не принимать во внимание. Исключение
могут представить полиномы, «сходные с возвратными»
(задачи 614—615).
675. Доказать, что полином пятой степени x6-j-ax4+
^bx3-j-cx2-j-dx-j-e с целыми коэффициентами неприводим,
если он не имеет целых корней и не делится ни на один
из полиномов с целыми коэффициентами вида
а । am3—cm2—dn-l-be
Х ' т3—п3-\-ае—Ам
х-\-т,
с
где т—делитель, с, п = — .
676. Разложить на множители полиномы или доказать
их неприводимость, пользуясь задачами 674, 675:
а) х4—Зх3 + 2х2 + Зх — 9; Ь) х4 — Зх3-|-2х2 + 2х—6;
с) х4 + 4х3 —6х2 —23х—12;
d) х6 + х4—4х3 + 9х2—6х + 6.
677. Найти необходимые и достаточные условия приво-
димости полинома х4 + рх2-|-0 с рациональными (быть может
дробными) коэффициентами.
4*
99
678. Доказать, что для приводимости полинома четвертой
степени, не имеющего рациональных корней, необходимо
(но не достаточно) существование рационального корня ку-
бического уравнения, получающегося при решении по спо-
собу Феррари.
* 679. Доказать неприводимость полинома /(х) = (х— at)x
Х(х—а2).. .(х— ап) — 1; ап а2, ... ап—различные между со-
бой целые числа.
* 680. Доказать неприводимость полинома/(х)=(х—ajx
X (я—а2)...(х— а„) + 1 при различных между собой целых
а2, а2, ..., ап за исключениями
(х—а) (х—ar— 1) (х—а—2) (х—а — 3) -]- 1 =
= [(х—а — 1)(х—а — 2) — I]2
и
(х—а) (х — а — 2) + 1 = (х — а — I)8.
* 681. Доказать, что если полином л-й степени с . целыми
коэффициентами принимает значения ± 1 более чем при 2/и
целых значениях переменной (п = 2т или 2/м-|-1), то он
неприводим.
* 682. Доказать неприводимость полинома
/(х) = (х—а^Цх—а2у.. .(х —а„)24-1,
если alt а2, ..., ап—различные между собой целые
числа.
* 683. Доказать, что полином /(х) с целыми коэффициен-
тами, принимающий значение + 1 более чем при трех целых
значениях независимой переменной, не может принимать
значение —1 при целых значениях независимой пере-
менной.
* 684. Доказать, что полином л-й степени с целыми коэф-
фициентами, принимающий значения ± 1 более чем при ~
целых значениях независимой переменной, неприводим при
л >12.
* 685. Доказать, что если полином с целыми коэффици-
ентами ах8 + &х+1 неприводим, то неприводим и полином
а [<р(х)]8 + /др(х)-|-1, где ф(х) = (х—aj(x—а2).. .(х—а„)
при л >7. Здесь alt а2...ап — целые, различные между
собой числа.
100
§ 7. Границы корней полинома
686. Доказать, что корни полинома а0х"4-а1хп~1 + ...
. . . + ап с вещественными или комплексными коэффициен-
тами не превосходят по модулю:
а) 1+тах|-у-|, Л=1, 2, л;
Ь) р + тах|—Ц— ,
k — 1, 2, .п, р—любое положительное число;
с) 2 max j/J-y-j, Л = 1, 2, л;
б) |^| + тах к Л=1, 2, л.
687. Доказать, что модули корней полинома дохп-(-
-1-ajX"-1 ап не превосходят единственного положи-
тельного корня уравнения Ьйхп—Z\x"-1—Ь2хп~г—...—Ьп,
где 0 < | а01, b2^\a2\, | а„ |.
688. Доказать, что модули корней полинома/(х) = авхл4:-
-]-агх"~г... 4-а„, вг=/=0, не превосходят:
а) 1 +
О*
«о
k = r,
Ь) р + 1/ max
ац I
аор*-'-|
• • •, я;
k — г, ..., л, р — любое положительное число;
с) i/1^|+max*K|i;|’k=r’ •••• ”•
689. Доказать, что вещественные кбрни полинома с ве-
щественными коэффициентами не превосходят единственного
неотрицательного корня полинома, который получается из
данного выбрасыванием всех членов, кроме старшего, ко-
эффициенты при которых имеют знак, совпадающий со зна-
ком старшего коэффициента.
Доказать теоремы:
690. Вещественные корни полинома aox”-(-a1xn-1-j-...
. ..-f-an с вещественными коэффициентами (при а0 > 0) не
превосходят:
101
a) 1 4- 1/ max —I, где r—номер первого отрицатель-
ного коэффициента, ак—отрицательные коэффициенты по-
линома;
лор*-г
, г—номер первого отрицатель-
ного коэффициента, ак—отрицательные коэффициенты,
р—любое положительное число;
полинома;
г — номер первого отри-
цательного коэффициента, ак—отрицательные коэффи-
циенты.
691. Если все коэффициенты полинома /(*) неотрица-
тельны, то полином не имеет положительных корней.
692. Если /(в) > 0,/'(о) > О, ...,/(п) (а) 0, то все
вещественные корни полинома не превосходят а.
693. Ограничить сверху и снизу вещественные корни
полиномов:
а) *4—4*84-7*2—8*4-3; b) х84-7*8—3;
с) *’ —108*8 —445х84-900х24-801;
d) *«4-4*8—8*2—10*4-14.
§ 8. Теорема Штурма
694. Составить полиномы Штурма й отделить корни по-
линомов:
а) *8—3*—1; Ь) *84-*2—2*—1;
с) *8—7*4-7; d) *8—*4-5; е) *’4-3*—5.
695. Составить полиномы Штурма и отделить корни
полиномов:
а) *4—12*2 —16* — 4; Ь) *4— * — 1;
с) 2*4—8*34-8*2—1; d) *44-*2—1;
е) *44~4*8—12*4-9.
102
696. Составить полиномы Штурма и отделить корни по-
линомов:
а) х*—2х*—4ха4-5х4-5; Ь) х*—2х* + ха—2x4-1;
с) х*—2х*—Зх*4-2х4-1; d) х*—х3-}-х3—х—Г;
е) х*—4х3—4x*4-4x-j-l.
697. Составить ряд Штурма и отделить корни поли-
номов;
а) х*—2х*—7х*4-8х4-1; Ь) х*—4ха4-* + 1;
с) х*—х3—хг—x-f-l; d) х*—4х94-8х*—12x4-8;
е) х*—х3—2x4-1.
698. Составить ряд Штурма и отделить корни полино-
мов:
а) х«—6х2—4x4-2; b) 4х4 —12х*4-8х—1;
с) Зх*4-12х34~9х*—1; d) х*—Xs—4x*4-4x4-lj
е) 9х‘— 126х«—252х—140.
699. Составить ряд Штурма и отделить корни полиномов:
а) 2х*—10х84-Юх—3;
Ь) х*—Зх*—Зх44-11х3—Зх*—3x4-1;
с) х*4-х4—4х*—Зх* 4-3x4-1; d) х*—5х’—10х*4-2.
700. Составить ряд Штурма, используя право делить
функции Штурма на положительные величины, и отделить
корни полиномов:
а) х*4-4х*—1; Ь) х*—2х*4-3х*—9x-f-1;
с) х4—2х*4-2х*—6x4-1;
d) х‘4-5х*4-10х*—5х—3.
701. Пользуясь теоремой Штурма, определить число
вещественных корней уравнения x’-f-px-f-^—O при вещест-
венных р и q.
*702. Определить число вещественных корней уравнения
х” 4~ рх 4~ q = 0.
703. Определить число вещественных корней уравнения
х*—бах3 4- 5а*х 4- 2Ь = 0.
704. Доказать, что если ряд Штурма содержит полиномы
всех степеней от нулевой до л-й, то число перемен знака
в ряду старших коэффициентов полиномов Штурма равно
103
числу пар сопряженных комплексных корней исходного по-
линома.
705. Доказать, что если полиномы /(х), f1 (х), Д (х), ...
..., fk (х) обладают свойствами:
О /(х)Д(х) меняет знак с плюса на минус при переходе
через корень /(х);
2) два рядом стоящих полинома не обращаются в нуль
одновременно;
3) если Д(хо) = О, то Д_! (х0) и Д+1(х0) имеют проти-
воположные знаки;
4) последний полином Д (х) не меняет знака в интервале
(а, Ь),— то число корней полинома /(х) в интервале (а, Ь)
равно приращению числа перемен знака в ряду значений
полиномов Д Д, ..., Д при переходе от а к Ь.
706. Пусть х0—вещественный корень f (х):
Д (х) есть остаток при делении / (х) на Д(х), взятый
с обратным знаком; Д(х) — остаток при делении Д (х) на
Д(х), взятый с обратным знаком, и т. д. Предполагается,
что f (х) не имеет кратных корней. Связать число вещест-
венных корней /(х) с числом перемен знака в ряду значе-
ний построенных полиномов при х = —оо, х = х0 их = -j- сю.
* 707. Построить ряд Штурма для полиномов Эрмита
хг . “7Г
Рп(х) = {_1Гег
и определить число вещественных корней.
* 708. Определить число вещественных корней полиномов
Лагерра
Определить число вещественных корней полиномов:
*709. Дп(х) = 1+^+Й+...+^.
--d,n **' 1 \ & % )
* 710. Рп(х) = (~ 1)п+1х2и+2г * 7 .
п \ / \ f dxn+x
• 711.+
104
* 712. P„(x) = (—l)n(xs + l)"+i $-( r А --1
' dx”\Kxr+T/
* 713. Пусть f(x) — полином третьей степени, не имею-
щий кратных корней. Показать, что полином F(x) —
— 2f(x)f(x) — [f' (х)]» имеет два и только два веществен-
ных корня. Исследовать случаи, когда f(x) имеет двойной
или тройной корень.
714. Доказать, что если все корни полинома f(x) ве-
щественны и различны, то все корни каждого из полиномов
ряда Штурма, составленного посредством алгорифма Евклида,
вещественные и различные.
§ 9. Различные теоремы о распределении корней
полинома
Доказать следующие теоремы:
rfn (х*_IV*
715. Все корни полинома Лежандра Рп(х) =---——
вещественны, различны и заключены в интервале (— 1, +1).
716. Если все корни полинома f{x) вещественны, то все
корни полинома (х)(х) вещественны прн любом ве-
щественном %.
* 717. Если все корни полино'ма /(х) вещественны и все
корни полинома g(x)=atxn а1хп~1 -f-... -|-а„ вещественны,
то все корни полинома
F (х) = aj (х) + aj' (х) + . . . + a„fM (х)
'вещественны.
* 718. Если все корни полинома /(х) = алхп-]- а1хп~1-^-
+ ...-|-ah вещественны, то все корни полинома
аох'' + а1/яхп~1 + а1/я(/к—1)х"-2+ . ..
...~\-апт(т—1) ... (т—л-Н)
вещественны при любом целом положительном т.
♦ 719. Если все корни полинома f (х) = а;|хп4-а1х”_1-|-
+«в вещественны, то все корни полинома
G(x) = aoxn-f-CJjtiiX” 1-|-С2а2х" 24-...~|-лп
вещественны.
720. Доказать вещественность всех корней полинома
х" + • • • + Ь
105
,*721. Определить число вещественных корней полинома
ПХП—ХП-l — Xя-*— . . . — 1.
722. Определить число вещественных корней полинома
jfSn. + l Л2л, + 1 , -|-х2я*+1 а,
723. Определить число вещественных корней полинома
f(x)=(х — а)(х—b)(x—с)—А*(х—а)—Вг(х—Ь)—С*[х—с)
при вещественных а, Ь, с, А, В, С.
724. Доказать, что
не имеет мнимых корней при вещественных а1( аг, ..., а„,
^1» • • ♦»
Доказать следующие теоремы:
72Б. Если полином /(х) имеет вещественные различные
корни, то [/' (х)]2—/(*)/" (х) не имеет вещественных корней.
726. Если корни полиномов /(х) и ф (х) все веществен-
ные, простые и разделяются, т. е. между любыми двумя
корнями /(х) есть корень ф(х) и между любыми двумя
корнями ф(х) есть корень /(х), то все корни уравнения
Х/(х)4-|Дф(х) “0 вещественны при любых вещественных
X и р.
* 727. Если все корни полиномов F (х) = Х/(х) 4-р.ф (х)
вещественны при любых вещественных к и р, то корни
полиномов /(х) и ф(х) разделяются.
♦ 728. Если /'(х) имеет все корни вещественные и раз-
личные и /(х) не имеет кратных корней, то число вещест-
венных корней полинома [/' (х)]2—/(х)/"(х) равно числу
мнимых корней полинома f(х).
* 729. Если корни полиномов Д(х) и /2(х) все вещест-
венные и разделяются, то корни их производных разделяются.
* 730. Если все корни полинома /(х) вещественны, то
все корни полинома F(x) = у/(х)4-(Х4-х)/' (х) веществен-
ны при у > 0 или у < — п и при любом вещественном X.
* 781. Если полином
/(х) = а0 + atx + ... -j- а„хп
имеет только вещественные корни, а полином
Ф (х) = Ьй + btx -j- ... 4- Ькхк
106
имеет вещественные корни, не содержащиеся в интервале
(О, п), то все корни полинома
а0<₽ (0) + (1) х + а2ф (2) х2 + ... 4- а„ср (л) хп
вещественны.
* 732. Если все. корни полинома /(х) = а04-арс-f- ...
... -\-а„хп вещественны, то все корни полинома ав4-вхух-|-
+aiY (Y—1)х2+ • • • +a«Y (Y—1) - - - (Y—л+ 1) х" вещест-
венны при у > л — 1.
* 733. Если все корни полинома / (х) = а0 4-яхх 4- ...
.. . апхп вещественны, то вещественны все корни поли-
нома
а . JL а х । УКуИд j. । ТСУ-О-••<?-?+О а хп
в‘аа1 ^а(а4- 0 °2 'а (а-41)...(«+« —1) а"
при у > л—1, а > 0.
* 734. Если все корни полинома /(x) = a0-f-a1x4-...
...-f-anxn вещественны, то все корни полинома
а0 -j- aT<wx 4- а^х* 4- ... 4- anwn‘xn
вещественны при
* 735. Если все корни полинома а0 -f- ахх 4~ + • • • 4~аих”
вещественны и одного знака, то все корни полинома а0 cos ф-f-
4-ах cos (ф 4- 0) х 4- аг cos (ф 4~ 20) х2 4- ... 4~впсО8(ф4-я0)х'’
вещественны.
* 736. Если все корни полинома
(а0 + ib„) + (ах + 1Ьг) х 4-... 4- (а„ 4- ibn)xn
лежат в верхней полуплоскости, то все корни полиномов
ao + aix+ ...4-а„х” и ^4-^x4-... 4-й„х“
вещественны и разделяются (числа ae, alt ..., а„, Ьй,
bt, Ь„ вещественны).
* 737. Если все корни полиномов ф (х) и ф (х) вещест-
венны и разделяются, то мнимые части корней ф (х) 4-/ф (х)
имеют одинаковые знаки.
* 738. Если все корни полинома f (х) лежат в верхней
полуплоскости, то и все корни его производной находятся
в верхней полуплоскости.
* 739. Если все корни полинома f (х) расположены в не-
которой полуплоскости, то все корни производной располо-
жены в той же полуплоскости.
107
* 740. Корпи производной полинома f(x) заключены внутри
любого выпуклого контура, содержащего внутри себя все
корни полинома f(x).
* 741. Если /(х)—полином степени п с вещественными
корнями, то все корни уравнения [/(х)]4 +й2 [/'(х)]2 = 0
имеют мнимую часть, меньшую kn по абсолютной величине.
742. Если все корни полиномов /(х)— а и /(х)— b ве-
щественны, то все корни полинома f (х)—X вещественны,
если 1 заключено между а и Ь.
* 743. Для того чтобы вещественные части всех корней
полинома +... + ав с вещественными коэффи-
циентами были одного знака, необходимо и достаточно,
чтобы корни полиномов
хп—а2хп~2 4- atxn~*— ...
и
Яр*”-1 — а3хп-3+ • • •
были все вещественны и разделялись.
* 744. Найти условия, необходимые и достаточные для
того, чтобы вещественные части всех корней уравнения
х* + ах2 4-йх-|-с = О с вещественными коэффициентами были
отрицательными.
* 745. Найти необходимые и достаточные условия для от-
рицательности вещественных частей всех корней уравнения
х* + ах* 4- Ьхг 4- сх + </ = 0 с вещественными коэффициентами.
* 746. Найти необходимые и достаточные условия для
того, чтобы все корни уравнения с вещественными коэффи-
циентами х* 4- ах2 4- Ьх + с = 0 не превосходили по модулю
единицы.
* 747. Доказать, что если ад аг а2 ап О,
то все корни полинома /(х) = аох’’-|-а1х',~1-|- ... 4-а„ не
превосходят по модулю единицы.
§ 10. Приближенное вычисление корней полинома
748. Вычислить с точностью до 0,0001 корень уравнения
х*—Зх2—13х—7 = 0, содержащийся в промежутке
(-1, 0).
749. Вычислить с точностью до 0,000001 вещественный
корень уравнения х*—2х—5 = 0.
750. Вычислить с точностью до 0,0001 вещественные
корни уравнений:
а) х3 — 10х—5 = 0; Ь) х* + 2х—30 = 0;
с) х*—Зх2—4х 1 = 0; d) х*—Зх2—х4-2 = 0.
106
751. Полусферу радиуса 1 разделить на две равновели-
кие части плоскостью, параллельной основанию.
752. Вычислить с точностью до 0,0001 -положительный
корень уравнения х3—5х — 3 = 0.
753. Вычислить с точностью до 0,0001 корень уравнения:
а) х44~3х3—9х—9 = 0, содержащийся в промежутке
(1, 2);
Ь) х4—4х3-|-4х2—4 = 0, содержащийся в промежутке
(-1, 0);
с) х4 -f- Зх8 4- 4х2 -f-х—3 = 0, содержащийся в проме-
жутке (0, 1);
d) х4 — 10х2— 16х-|-5 = 0, содержащийся в промежутке
(0, 1);
е) х4—х3—9х2-|-10х —10 = 0, содержащийся в проме-
жутке (—4, —3);
f) х4—6х24-12х—8 = 0, содержащийся в промежутке
(1, 2);
g) х4—Зх2 4-4х—3 = 0, содержащийся в промежутке
(-3, -2);
h) х4—х3—7х2—8х—6 = 0, содержащийся в проме-
жутке (3, 4).
i) х4—Зх34~Зх2—2 = 0, содержащийся в промежутке
(1, 2).
754. Вычислить с точностью до 0,0001 вещественные
корни уравнений:
а) х44-Зх3 — 4х — 1 =0;
Ь) х44-3х8—х2—3x4-1 =0;
с) х4—6х3 4-1 Зх2 —10x4-1 =0;
d) х4 —8х3 —2х2 + 16х—3 = 0;
е) х4—5х34-9х2—5х —1=0;
f) X4 — 2х3 — 6х2 4- 4х 4- 4 = 0;
g) х44-2х3 + 3х24-2х —2 = 0; •
h) х44-4х8 — 4х2 — 16х — 8=0.
ГЛАВА 6
СИММЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Выражение симметрических функций
через основные. Вычислен пе симметрических функций
от корней алгебраического уравнения
755. Выразить через основные симметрические полиномы:
a)
Ь) хfxt + xtxl 4- хfxs + хгх23 + xfxs + xtxl;
с) *14-2xfx^—2x%xl—2xjx|;
d) x[xl 4- xfxl 4- x’x* 4- xfx* 4- xlxf 4- x&l;
e) (х14-х2)(Х14-х3)(х24-х1,);
f) (*?+*?)(*?+*D(^+*D;
g) (2x4—x2—x3) (2xt—xi—x3) (2x3 —Xi—x2);
, h) (Xi—хг)*(хг—x3)»(x2— x,)4.
756. Выразить через основные симметрические полиномы:
а) («14-*») (*1 + *з) (•*!-+-*•> (*а + *з) (*з + (х34-х4);
Ь) (XjX2 4- х3х4) (xtx3 + х2х4) (х1х14- х2х3);
с) (Xi 4-ха—х3—х4) (Xi—х24-х3—х4) (Xi—х2—х3+х4).
757. Выразить через основные симметрические полиномы
моногенные полиномы;
а) •*!+•••; в) xlxfx3 + ...; п) х?х2х3х4+...;
Ь) х?4-...; п) х|х2х3 4-...; о) х?х£х34-..
с) х’х2х34-...; i) x?xi4-...; р)х?х’4-...;
d)x?x|4-...; j) л«х24-..;; q) xfx2x34-..
e)x?x24-...; k)xJ4-...; r)xfxi4-...;
f) x‘4-...; 1)i x^x3x44- . ..; s) x?x2 4-...;
m) xfxlxl+ • • •; t) x? + . ..
110
768. Выразить через основные симметрические полиномы:
а) (—+ xt + х» + • • • + *„)* + (*i—xt + х3 + ...
• • • + х„У + (xt 4- хг—хя +... + хл)‘ + • • •
• • • +(х1 + + *8 + • • • —хп)’;
b) (—Xi4-*.4-*84--..4-*»)(*i—х,4-*»4-.«.
, • • • 4-*я)- • •(*! 4“ха + • • •—Х„).
759. Выразить через основные симметрические полиномы:
а) 2 (**—•**)*: ь) 2 (*<+*л)3;
i> k i> k
c) 2 to—d> 2 (*/+**—*/)’•
i > * i >»
780. Выразить через основные симметрические полиномы
моногенный полином
дф4...44-...
761. Выразить через основные симметрические полиномы
2 + • • • + %xt^.
Сумма распространена на все возможные перестановки
llt i...... z„ номеров 1, 2, .... я.
762. Выразить через основные симметрические полиномы;
а) *1.4-Л*4-2^._1_Л14-2^4-Лк.
Ха х3 Х± Xi х3 х3
(хх—хг)г . (х, х3)« . (х3—хх)\
х1~¥х2 х2~\~х3 ^з4*^1 *
С) (^4-£+£) (£+£+?)• X
\ Х1 Хг Xg / Y *2 *9 *1 ✓
763. Выразить через основные симметрические полиномы:
Х1Х2 I х1х3 | ^1^4 | Х2Х3 I । X3Xi ,
' Х3Х4 XtXt "Г”ХгХ3 ХХХ4 "I" XrX8 XjXj. ’
.. Xj 4- хг . Xj4~x3 . Xj4~Xj i x24~x3 . ха4~х4 । xt—
' x3 + x4 + xi + x4-t-xa4-x^x1 + x4^x1+xJ^x1+xa-
111
764. Выразить через основные симметрические полиномы:
/ > k
765. Вычислить сумму квадратов корней уравнения
х8 + 2х —3 = 0.
766. Вычислить + +
от корней уравнения х3— х2 — 4х-|-1— 0.
767. Определить значение моногенной симметрической
функции
xlx2x3+...
от корней уравнения
х* 4- Xs — 2х2 — Зх -|-1 = 0.
768. Пусть хх, х2, х3— корпи уравнения х3-\-рх-^д =0.
Вычислить;
а) Д1 _l_Z1_|_Лз । h. । Ла. .*1 .
Л2 Ад Л| Л| Aj Ад
b) xlxl + xlxi + xixl + xlxi + xlxl + xjxb
С) (X?—х2х3) (х2—Х1Х3) (х|—x2xt);
d) (Х1 + *2)4(*1 + *з)4и2 + *з)4;
2 2 2
е) х> I хг I *3 .
(*2+1) (*з+О (*1 + О (*з +1) (*i + О (*г+О ’
п Х1 . *2 , *3
' (*i+I)2 (*2+I)2 ' (*з+I)2'
769. Какое соотношение существует между коэффициен-
тами кубического уравнения
х8 ф- ах2 + Ьх ф- с = 0,
если квадрат одного из корней равен сумме квадратов двух
других?
770. Доказать теорему: для того чтобы все корни ку-
бического уравнения х8ф- ах2ф-Ьх + с = 0 имели отрица-
тельные вещественные части, необходимо и достаточно вы-
полнение условий:
а > 0; аЬ — с > 0; с > 0.
112
771. Найти площадь и радиус описанного круга тре-
угольника, стороны которого равны корням кубического
уравнения
№—ах*-\-Ьх— с = 0.
*772. Найти соотношение между коэффициентами урав-
нения, корни которого равны синусам углов треугольника.
773. Вычислить значение симметрической функции от
корней уравнения f(x) — 0:
а) х}х2 + • • •> /(х) = 3х3— 5х2 + 1;
b) х3х3 4- • • •, /(х) = 3х4— 2х3-|-2х2 + х — 1;
с) (X2 + Х2Х2 + X?) (xl + х2х3 + X2) (xl + X9Xi + X2),
/(x) = 5x3— 6x2-|-7x—8.
774, Выразить через коэффициенты уравнения
а0х3 -|- fljX2 + а2х + а3 = О
следующие симметрические функции:
a) «’(х,—х2)2(х1—х3)2(х2 —х3)2;
b) aj (xj—х2х3) (х|—х,х3) (х2 —XjX2);
сч (Xi~Х2)2 УЧ —Хз)2 । (*2 —*з)2.
' XjX2 "г хух3 г х2х3 ’
d) aj (х2 + XjX, + х2) (xl + x2x3 + x2) (x2 + x3x3 + x?).
775. Пусть xn x2, ..., x„ — корни полинома
xn + a1xn-1+ ... + a„.
n
Доказать, что симметрический полином от х2, х3,
можно представить в виде полинома от хР
776. Решить, используя результат задачи 775, задачи
755 е), 755 g), 774 b), 774 d).
п
777. Найти V,, где fk есть A-я основная симметри-
£=1 Х‘
ческая функция от хп х2, ..., х„.
778. Пусть известно выражение симметрической функции
FfX], х2, ..., х„) через основные. Найти выражение через
. V"1 dF
основные симметрические функции для 2--SJ7-
/ — 1
из
Доказать теоремы:
779. Если F(x1( хг, , х„)—симметрическая функция,
обладающая свойством
F^ + a, xt + a, ..... rn + a) = F(x1, х....... хп),
и если Ф(/1, /2, ... ,/„)—ее выражение через основные, то
и обратно.
780. Каждый однородный симметрический полином вто-
рой степени, обладающий свойством задачи 779, равен
а (х,-—хк)\ где a—постоянная.
781. Найти общий вид однородных симметрических по-
линомов третьей степени, имеющих свойство задачи 779.
782. Выразить через основные симметрические полиномы
(Xi—Xj^ (Xi — x/,)* (Xj—Хь)*,
используя результат задачи 779.
783. Доказать, что среди симметрических полиномов
F(Xl, хг, ... , х„), обладающих свойством
P(*i, х........ x„) = F(x1 + a, хг + а, .... x„-j-a),
существует п—1 «основных полиномов» <ра, <р3, ..., <р„,
т. е. таких, что каждый полином рассматриваемого класса
может быть выражен в виде полинома от <р2, <р3, ... , <рп.
784. Выразить через полиномы <ра, <р8 задачи 783 сле-
дующие симметрические функции:
а) (Xj—ха)2 (Xj—х3)*(х2—х3)2;
b) (Xj—x^ + fxj—х3)‘ + (х2—х8)‘.
785. Выразить через полиномы <ра, <р8, <р4 задачи 783
следующие симметрические функции:
а) (х2-|-х2—х8—х4) (х,—х2+х8—х4) (х1—xt—х8+х4);
b) (Xj—x2)’(xj х3)2(х2 я4)2 (х3 х8)2 (х2 х4)» (х3 х4)2.
§ 2. Степенные суммы
786. Найти выражение для s2, s3, sit st, st через ос-
новные симметрические полиномы, пользуясь формулами
Ньютона.
114
787. Выразить /2, /3, /4, /3, /, через степенные сум-
мы sr, s2, .. . , пользуясь формулами Ньютона.
788. Найти сумму пятых степеней корней уравнения
х® — 4х64-3х8— 4х24-х+ 1 = 0.
789. Найти сумму восьмых степеней корней уравнения
х‘—х8 —1 =0.
790. Найти сумму десятых степеней корней уравнейия
х3 — Зх + 1=0.
791. Найти $2, ... , sn от корней уравнения
792. Доказать, что
а* (х{ + х») = (—1 )* -у- &*"» ас + />*-4а2с2 —
—---749(о~5) Ь*~ва3с3 +...1,
если хп х2 — корни квадратного уравнения ах2 -\-Ьх-[- с — 0.
793. Доказать, что для всякого уравнения третьей сте-
пени
'794. Доказать, что если сумма корней уравнения чет-
вертой степени равна нулю, то
795. Доказать, что если для уравнения шестой степени
= $3 = 0, то
$1 _ s6 s2
7 ' 2 •
796. Найти уравнения л-й степени, для которых
«1 = s2 = . .. = =»0.
797. Найти уравнения л-й степени, для которых
= 5s — • • • = sn — 0.
115
798. Найти уравнение л-й степени, для которого
— 1, sg — — ... — sn — $n+i — 0.
799. Выразить х*х* через степенные суммы.
* 800. Выразить 2 (х< + xj)k через степенные суммы.
* 801. Выразить V (xt—xi)tk через степенные суммы.
<</
Л 1 о . . 0
2Д /1 1 . . 0
802. Доказать, что sfc— 3/, А Л • . 0
^А tА-i fk-t ••• А
*1
s2
5з
, 1
чт0 А = й
803, Доказать,
1 0
st 2
s2 3
... О
... О
.. . О
sk sk-t sk-t • • • s’i
х”-1
хп~2
1
О
о
804. Вычислить определитель
1 О
$2 st 2
Sn Sn-l Sn-2
л
*805. Найти sm
от корней уравнения
Л„(х)-0.
* 806. Доказать, что Д, fs и Д от корней уравнения
Х„(х) = 0 могут принимать только значения 0 и ± 1.
* 807. Решить систему уравнений:
xt + хг + • • • + хп — а<
vt + ^+...+x2=a,
x7+x"+...+x2 = a
и найти Xj+1 + xf?+1 + . • • +^"+1-
*808. Вычислить степенные суммы slt s2, ... , s„ от
корней уравнения
х" (а b) xn~l + (a2 + ab + Ь2) х"~2 + . ..
... 4- (а™ 4- а^Ь + ... + Ьп) 0.
116
*809. Вычислить степенные суммы $п $3, .... s„ от
корней уравнения
х"+ (« + *>) х’,-1 + (а2 + ^)*',-2+ • • • + («" + Н = 0.
§ 3. Преобразование уравнений
810. Найти уравнения, корнями которых являются:
a) х^х» xt + x3, Хз + х^
b) (хх—х2)*, (x2—x3)*,
c)
. . . (x3—Xj)*;
X* X2X3, X* XgXi, x3 XrX2,
d) (Xi X2)(X1 x3), (x2 Xj) (x2 x3), (x3 Xi)(x3——x2);
e) x*, x*, x3; f) x3, x|, x|,.
где Xj, x2, x, — корни уравнения x3 + ax* + hxс = 0.
811. Найти уравнение, корнями которого являются
. (Xj + x2e + x3E2)3 и (Xj-i-x2E* + x3e)3,
где е = — у + г‘^2_> xi> хз—корни уравнения
х3 -|- ах2 + Ьх + с = 0.
812. Найти уравнение наименьшей степени, одним из
корней которого является “Г* ’ где х*’ Хз—К0Р'
ни кубического уравнения х8 + ах2 4-^х + с = 0, и коэффи-
циенты которого выражаются рационально через коэффици-
енты данного уравнения.
813. Найти уравнение наименьшей степени, одним из
корней которого является —, где х1; х2, х3—корни урав-
х2
нения х3ах* + fcxс = 0, и коэффициенты которого вы-
ражаются через коэффициенты данного уравнения.
814. Найти уравнение наименьшей степени с коэффици-
ентами, выражающимися рационально через коэффициенты
данного уравнения х4 -f-ах3 4- bx2 -f- ex -|- d — 0,. принимая
за один из корней искомого уравнения:
a) XiX2 + x8x4; Ь) (х,+ х2—х3—х4)*; с) х,х2;
d) Xj4-x2; е) (xt #2)*.
815. Используя результаты задач 814 а) и 814 Ь), вы-
разить корни уравнения четвертой степени через корни
вспомогательного кубического уравнения задачи 814 а).
J17
816. Написать формулу для решения уравнения
х*—вахг-[-Ьх—За2 = 0.
817. Составить уравнение, одним из корней которого
является
(xtxt + х2х3 + х*х4 + Х4Х. + Х6Х4) X
где хх, хг, х9, х4, х6—корни уравнения
х6 + ах -|- Ь = 0.
§ 4. Результант и дискриминант
* 818. Доказать, что результант полиномов
/(х) = х"4-а1хп~1 + ... +а„ и q>(x)-bexm + ... +&m
равен определителю, составленному из коэффициентов ос-
татков при делении ф(х), Хф(х), хп-1ф(х) на f(x).
Предполагается, что остатки расположены в порядке воз-
растания степеней х (способ Эрмита).
Замечание. Остаток rk{x) при делении х*-1ф(х) на
/(х) равен остатку при делении хгк-1{х) на /(х).
* 819. Доказать, что результант полиномов
/ (*) = алхп + ajX'*-1 + ... + ап
И
ф (х) = Ьйхп + ^х"’1
равен определителю, составленному из коэффициентов по-
линомов (л—1)-й степени (или ниже)
фА (х) = (аох*"‘ + а1х*'а+...+аА_1)ф(х) —
_(&ох*-2 + &1х*-*+ ... +bk_1)f(x),
Л = 1, .... п (способ Безу).
Замечание. ф1 = «оф—W,
^ = x4Vi + aft-i4>—bk-if-
* 820. Доказать, что результант полиномов
f (х) = аох« + -|- ... + ап
и
ф (х) = Ьйхт + ^Х”-1 + ... + Ът
при л > т равен определителю, составленному из коэффи-
118
циентов полиномов ив выше (л—1)-й степени ^(х), опре-
деленных по формулам:
X*W »х*~‘ф(х) при 1<2А^л—т;
Х*(х) = (а0х*‘п+я,-14-а1х*-«+"-24- .,.
• • • +вл-п+я-1)*в-я’Ч’(*) —(М*"п+Я,'1 +
(полиномы %* располагаются в порядке возрастающих сте-
пеней х).
Замечание. X»-»+i *= аохп~тср (x)—bllf(x),
Х*-*Х*-1+в*-в+я-1*п_я,Ф (*) —**-„+„-17 (*)
при k > л—m-j-1.
821. Вычислить результант полиномов:
а) х2—3х’4-2x4-1
Ь) 2х3—Зх24- 2x4-1
с) 2х3—Зх’—х + 2
d) Зх’ + 2х’ + х + 1
е) 2х‘—Xs+ 3
f) аохг + агх 4- аг
и 2х’—х—1;
и х2 4- х -f- 3;
и х*—2х’—3x4-4;
и 2х34-х2»-х—1;
и Зх3—х’4-4;
и bBx2 + t^x + bt.
822. При каком значении А полиномы имеют общий
корень:
a) Xs—kx-j-2 и х2 + Ах + 2;
Ь) х3—2Хх + А3 и х2 + Х2—2;
с) х34-Ах!—9 и x3-j-Ax—3?
823. Исключить х из системы уравнений:
а) х’—ху-|-у2 = 3, x2j»4-xj»’ = 6;
’ b) х*—ху—у3 +у = 0, х’4-х—у2—1=0;
с) j; = x3—2х2—6x4-8, у = 2х8—8х’4-5x4-2.
824. Решить системы:
а) у2 — 7х> + 4х24-13х—2у—3 = 0,
у2— 14ху 4- 9х2 + 28х—4у—5 = 0;
Ъ) у2 + Хг—у—Зх = 0,
у2 —вху—х* + Пу + 7х—12 = 0;
с) 5/ —6ху4-5х2 —16 = 0,
у2—ху + 2х2—у—х—4 = 0;
d) ,у24-(х—4)у4-х2—2x4-3 = 0,
5у«4_(х4-7) j4-x3—х2—5х—3 = 0;
е) 2jp—4xjp—(2х2— 12x4-8)j»4~x3 + 6x’—16х = 0,
4_у3 — (3x4- 10) у2—(4х2 — 24x4:16)1»—Зх’-р
4-2х’ —12x4-40 = 0.
119
825. Определить результант полиномов
аохи + й1х',-1+ ... +ап и a()xn~1 + «i-»:',_2+ • • • +а«-1-
826. Доказать, что 5Я (/, «pJ-SH (/, фг)-
*827. Найти результант полиномов
Х„ и хт — 1.
*828. Найти результант полиномов Хт и Хп.
829. Вычислить дискриминант полинома:
а) х3—х2— 2х 4-1; b) х3 4-2х2-|-4х-j-1;
с) Зх3 + Зх’ -j- 5х 4- 2; d) х4—х3—Зх*4-х-(-1;
е) 2х4—х3 — 4х24~х+1.
830. Вычислить дискриминант полинома:
а) х6—5ах34~5а2х—Ь; Ь) (х2—x-j-l)*—А(х2—х)2;
с) ах*—£»х24~(^—За)х-|~а;
d) X4— Ах*4-3 (А—4)х2 — 2 (А — 8)х—4.
831. При каком значении А полином имеет кратные корни:
а) х3—Зх-|-А; Ь) х4—4х4-А;
с) х3 —8х’4-(13 —А) х —(64-2А);
d) х4—4х34-(2—А)х’4-2х—2?
832. Охарактеризовать число вещественных корней по-
линома с вещественными коэффициентами по знаку дискри-
минанта:
а) для полинома третьей степени;
Ь) для полинома четвертой степени;
с) в общем случае.
833. Вычислить дискриминант полинома хи4-й-
*834. Вычислить дискриминант полинома хп -\-рх q.
*835. Вычислить дискриминант полинома
аохт+" 4- + а2-
836. Зная дискриминант полинома
аохл 4- а1х"-14- • • • + ап>
найти дискриминант полинома
апх”+ аи-1х"-1 + • • • + йо-
837. Доказать, что дискриминант полинома четвертой
степени равен дискриминанту его резольвенты Феррари
[задача 814 а) и задача 80].
120 ,
888. Доказать, что
D ((х-a)f(x)) = D(f (х)) [f (а)]2..
*839. Вычислить дискриминант полинома
х"-1 + х"-а+ ... + 1.
*840. Вычислить дискриминант полинома
хп4-ахп~1 + ах"-2 4- • • • + а-
841. Доказать, что дискриминант произведения двух
полиномов равен произведению дискриминантов, умножен-
ному на квадрат их результанта.
842. Найти .дискриминант полинома
*843. Найти дискриминант кругового полинома Хп.
*844. Вычислить дискриминант полинома
(у- у-2 уП \
1+т + й2+---+Й-
*845. Вычислить дискриминант полинома
= х" 4-f х"-1 4-я"’2 4-• • •
, а (а — 1) ... (а —и4-1)
’ • ‘ "г /г!
*846. Вычислить дискриминант полинома Эрмита
Xе
х8 , “тг
—- Нпр *
п\ > \ I fan
*847. Вычислить дискриминант полинома Лагерра
dn (хпр~х\
р (х) = (— 1 \пех .
*848. Вычислить дискриминант полинома Чебышева
2 cos ^лагс cos у) .
*849. Вычислить дискриминант полинома
ап (______________________________!_
Рп = Т 0 + *2)"+1 -..... •
121
*850. Вычислить дискриминант полинома
1. дп
П"(1 +х*)"+т
*851. Вычислить дискриминант полинома
Рп (*) = (- Пв.
*852. Найти максимум дискриминанта полинома
х»4-а1хв-1+...4-ая,
все корни которого вещественны и связаны соотношением
хН-жН-...+*2=л(л-1)/?’.
858. Зная дискриминант /(х), найти дискриминант/(х2).
_ 854. Зная дискриминант /(х), найти дискриминант f (хя).
855. Доказать, что дискриминант F(x)=/(<p (х)) равен
[Я(/)]’П Л(Ф(*)-Х/),
1=1
где т—степень <р(х); хх, ха, хп—корни /(х). Стар-
шие коэффициенты f и <р принимаются равными единице.
§ 5. Преобразование Чнрнгаузена
и уничтожение иррациональности в знаменателе
856. Преобразовать уравнение (х — 1)(х—3)(х-|-4) = 0
подстановкой у — х*—х—1.
857. Преобразовать уравнения:
а) х3—Зх—4 = 0 подстановкой у = х34-х-|-1;
Ь) х3 2х2 4-2 = 0 подстановкой у = ха -|-1;
с) х*—х—2 = 0 подстановкой у = х3—2;
d) х*—х3—х34-1=0 подстановкой у = х84-х34-х4-1.
858. Преобразовать уравнения по Чирнгаузену и найти
обратные преобразования:
а) х3—х-|-2 = 0,
Ь) х*—3x4-1 =0,
с) х*4-5х34-6х2—1 =0,
у=х*4-х;
у=х’4-х;
у — х3 -|- 4х3 4- Зх—1
122
859. Преобразовать уравнение х3—х2—2x4-1 =0 под-,
становкой у — 2— х2 и истолковать получившийся результат,
860. Для того чтобы корни кубического уравнения с ра-
циональными коэффициентами выражались рационально
с рациональными коэффициентами друг через друга, необ-
ходимо и достаточно, чтобы дискриминант был квадратом
рационального числа. Доказать.
861. Исключить иррациональность в знаменателе выра-
жений:
. 1 .. 1 .7
862. Исключить иррациональность в знаменателях вы-
ражений:
а)^, а3—За 4-1=0;
Ь) агт~5~~Т7 > а3 4- а2 4- За 4- 4 = 0;
с) ’ а4—а34-2а4-1 = 0;
d> а3 + зДза-|-2. а44-а3 —4а3 —За4-2 = 0.
863. Доказать, что каждая рациональная функция от
корня Xj кубического уравнения x34-flx24_kr4-c = 0 может
быть представлена в виде с коэффициентами А, В,
С, D, рационально выражающимися через коэффициенты
первоначального выражения и через коэффициенты а, Ь, с.
864. Пусть дискриминант кубического уравнения с ра-
циональными коэффициентами и неприводимого в поле
рациональных чисел есть квадрат рационального числа.
Тогда между корнями можно установить соотношение
Л'2~^+6 ' Какому условию должны удовлетворять коэф-
фициенты а, (3, -у, 6?
865. Сделать преобразование у — х2 в уравнении
аохп 4- а1х"-14-... 4- ап = 0.
866. Сделать преобразование у = х2 в уравнении
а0х"4-а1х"-14- ... 4-а„ = 0.
123
*867. Доказать, что если все корни х; полинома
= + • • •+«»> ««#=0,
с целыми коэффициентами удовлетворяют условию |х(|^1,
то все они являются корнями из единицы.
§ 6. Полиномы, не меняющиеся при четных
перестановках переменных. Полиномы, не меняющиеся
при круговых перестановках переменных
868. Доказать, что если полином не меняется при чет-
ных перестановках и меняет знак при нечетных, то он де-
лится на определитель Вандермонда, составленный из пере-
менных, й частное ОТ деления есть симметрический полином.
869. Доказать, что каждый полином, не меняющийся
при четных перестановках переменных, может быть пред-
ставлен в виде
Л+^Д.
где У7! и /^—симметрические полиномы и Д есть определи-
тель Вандермонда из переменных.
870. Вычислить
1 y 2 2 уЛ+1
1 Л J л 1 • • « Л । 1
1 VZ1 —2
1 Ag "^2
1 V* ® ^*71 'F1
* лп лп • • • лп лп
871. Составить уравнение, корнями которого являются
а*1 + ₽-Ч + Т*з. а*а + ₽*з + ?*1 и ахз + ₽xi + Y*2, W
х1; х2, ха—корни уравнения х34-ах2 + ^х + с — 0.
. 872. Составить уравнение, корнями которого являются
+ хгУг + Xsy3, Х^2 + хгу3 -1- x3yv х±у3 + Х^ + х3уа,
где хп х2, х3—корни уравнения х3+рх + ^4-0, у1г уг,
у3—корни уравнения у3 -]-р'у + q' = 0.
873. Для того чтобы уравнения с рациональными коэф-
фициентами
х’+рх -\-q =0,
У3+Р> + ^' = б
были связаны рациональным преобразованием Чирнгаузена,
необходимо и достаточно, чтобы отношение их днскрими-
124
нантов Д и Д' было квадратом рационального числа и чтобы
одно из уравнений
и3 = Ърр'и 4
2
имело рациональный корень. Доказать.
874. Доказать, что каждый полином от п переменных
х2, ..., хп, не изменяющийся при круговых переста-
новках переменных, можно представить в виде
где Т|х, т]2, . .., T]n_j суть линейные формы:
П1 = xxe + x2ea + •. • + хп,
Г|г = х1еа + х2е4+ ... +х„,
= xtEn-1 + хаеа"~а + ... + х„;
2л . . . 2л
е = cos---h i sin —,
n 1 n ’
причем показатели an a2, ... an_x удовлетворяют условию:
ax + 2a2 + . .. + (n — делится на n.
875. Для рациональных функций, не меняющихся при
круговых перестановках переменных, указать п основных
(дробных и с нерациональными коэффициентами), через ко-
торые все выражаются рационально.
876. Для рациональных функций от трех переменных,
не меняющихся при круговых перестановках, указать три
основные функции с рациональными коэффициентами.
877. Для рациональных функций от четырех переменных,
не меняющихся при круговых перестановках, указать четыре
основные функции с рациональными коэффициентами.
878. Для рациональных функций от пяти переменных,
не меняющихся при круговых перестановках, указать пять
основных функций с рациональными коэффициентами.
ГЛАВА 7
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
В этом отделе приняты следующая терминология и обо-
значения. Термин пространство обозначает векторное про-
странство над полем вещественных чисел, если нет спе-
циальных оговорок. Этот термин применяется независимо
от того, рассматривается ли пространство само по себе или
как часть другого, более обширного пространства. Однако
в случае, когда нужно подчеркнуть это обстоятельство,
применяется термин подпространство. Линейным, многообра-
зием называется множество векторов вида-Xo-j-X, где Хо—
некоторый фиксированный вектор, а X пробегает множество
всех векторов некоторого подпространства.
Равенство Х = (хп х2, ..., означает, что X имеет
координаты х1; х2, ..., хп в некотором фиксированном
базисе пространства, причем в случае, когда речь идет об
евклидовом пространстве, базис предполагается ортогонально
нормированным.
Векторы называются иногда точками, одномерные много-
образия —прямыми, двумерные—плоскостями.
§ 1. Подпространства и линейные многообразия.
Преобразование координат
879. Дано векторное пространство, натянутое на векторы
Xlt Х2, ..., Хт. Определить его базис и размерность:
а) Хх = (2, 1, 3, 1), Х2 = (1, 2, 0, 1),
Х, = (-1, 1, -3, 0);
Ь) Х4 = (2, 0, 1, 3, —1), Х2 = (1, 1, 0, —1, 1),
Х3 = (0, —2, 1, 5, —3), Х4 = (1, —3, 2, 9, —5);
с) Х4 = (2, 1, 3, —1), Х2 = (—1, 1, —3, 1),
Х3 = (4, 5, 3, —1), Х4 = (1, 5, —3, 1).
126
880. Определить базис и размерность суммы и пересе-
чения пространств, натянутых на векторы Xlt .Хк н
П........Ум-
а) %! = (!, 2, 1, 0), Yl = (2, —1, 0, 1),
Х2 = (-1, 1, 1, 1), У3 = (1, -1, 3, 7);
Ь) ^ = (1, 2, —1, —2), ^ = (2, 5, —6, —5),
Х3 = (3, 1, 1, 1), Га= (—1, 2, —7, -3),
Х3 = (-1, 0, 1, -1);
с) ^ = (1, 1, 0, 0), ^ = (0, 0, 1, 1),
Х3 = (1, О, 1, 1), Г3 = (0, 1, 1, 0).
881. Найти координаты вектора X в базисе Еи Et, Ея, Et:
а) Х^(1/2, 1, 1), Et = (1, 1, 1, 1),
£3 = (1, 1, -1, -1),
Е, = (1, —1, 1, —1), £< = (1, —1, —1, 1);
Ь) Х=(0, 0, 0, 1), Et = (l, 1, 0, 1), Ег = (2, 1, 3, 1),
£e = (l, 1, 0, 0), £4 = (0, 1, —1, —1).
882. Составить формулы преобразования координат при
переходе от базиса Ev Е2, Е3, Et к базису Е[, E't, E’t, E't:
a) £i = (l, 0, 0, 0), £3=(0, 1, 0,0), Еа = (0, 0, 1, 0),
Я. = (0, 0, 0, 1), £; = (!, 1, 0, 0), £; = (1, 0, 1, 0),
4 = (1, 0, 0, 1), £; = (!, 1, 1, 1);
Ь) ^ = (1, 2, —1, 0), £3 = (1, —1, 1, 1),
= (-1, 2, 1, 1), £4 = (-1, -1, 0, 1),
£1^(2, 1, 0, 1),
£3 = (0, 1, 2, 2), Е; = (—2, 1, 1, 2),
£;=*(!, 3, 1, 2).
883. Уравнение -«поверхности» относительно некоторого
базиса Elt ..., Et имеет вид xf-^-xf ——1. Найти
уравнение этой же поверхности относительно базиса
£; = (!, 1, 1, 1); £>(1, -1, 1, -1);
е; = (1, 1, -1, —1); £; = (!, -1, -1, 1)
(координаты даны в том же базисе Eit ..., Et).
*884 . В пространстве полиномов не выше л-й степени
от cos х написать формулы преобразования координат для
перехода от базиса 1., cosx, ..., cos"x к базису 1,
cosx, ..., созлх и обратно.
127
885. В четырехмерном пространстве найти прямую, про-
ходящую через начало координат н пересекающую прямые:'
^ = 2 4-3/, х2=1 — t, х3 = —1-|-2/, х4 = 3—2/
и
xr = 7t, х2 = 1, х3 = 1-|-/, xi —— l-j-2/.
Найти точки пересечения этой прямой с данными
прямыми.
886. Доказать, что любые две прямые в л-мерном про-
странстве могут быть погружены в трехмерное линейное
многообразие.
887. Исследовать в общем виде условие разрешимости
задачи 885 для двух прямых в л-мерном пространстве.
888. Доказать, что. любые две плоскости в л-мерном
пространстве могут быть погружены в пятимерпое линейное
многообразие.
889. Дать описание всех возможных случаев взаимного
расположения двух плоскостей в л-мерном пространстве.
890. Доказать, что линейное многообразие может быть
охарактеризовано как множество векторов, содержащее
вместе с любыми двумя векторами Xv Х2 их линейные
комбинации aXj + (l—а)Х2 при любых а.
§ 2. Элементарная геометрия л-мерного евклидова
пространства
891. Определить скалярное произведение векторов X и Y:
а) Х=(2, 1, —1, 2), Г=(3, —1, —2, 1);
Ь) Х=--(1, 2, 1, —1), Г=(—2, 3, —5, —1).
892. Определить угол между векторами X и Yi
а) Х=(2, 1, 3, 2), Г=(1, 2, —2, 1);
Ь) Х=(1, 2, 2, 3), Г=(3, 1, 5, 1);
с) Х=(1, 1, 1, 2), Г=(3, 1, —1, 0).
893. Определить косинусы углов между прямой xt =
= х2 = ... ~хп и осями координат.
894. Определить косинусы внутренних углов треуголь-
ника АВС, заданного координатами вершин:
Л = (1, 2, 1, 2), В = (3, 1, —1, 0), С=(1, 1, 0, 1).
895. Найти длины диагоналей л-мерного куба со сто-
роной, равной 1.
128
896. Найти число диагоналей л-мерного куба, ортого-
нальных к данной диагонали.
897. Найти в л-мерном пространстве л точек с неотри-
цательными координатами так, чтобы расстояния их друг
от друга и от начала координат равнялись 1. Первую из
этих точек расположить на первой оси координат, вторую—
в плоскости, натянутой на первые две оси, и т. д. (Эти
точки вместе с началом координат образуют вершины пра-
вильного симплекса с длиной ребра, равной 1.)
898. Определить координаты центра и радиус сферы,
описанной вокруг симплекса задачи 897.
899. Нормировать вектор (3, 1, 2, 1).
900. Найти нормированный вектор, ортогональный к век-
торам (1, 1, 1, 1); (1, —1,4—1, 1); (2, 1, 1, 3).
901. Построить ортогонально-нормированный базис про-
странства, приняв за два вектора этого базиса векторы
fl 1 1 П и fl 1 1
<2 ’ 2 ’ 2 ’ 2 / \6 ’ 6’ 2 ’ 6 J ’
902. Посредством процесса ортогонализации найти орто-
гональный базис пространства, порожденного векторами
(1, 2, 1, 3); (4, . 1, 1, 1); (3, 1, 1, 0).
903. Пристроить к матрице
/11 12 1\
10 0 1—2
\2 1 — 1 0 2/
еще две строчки, ортогональные между собой и ортого-
нальные к первым трем строчкам.
904. Интерпретировать систему линейных однородных
уравнений
аих1 + «12хг + • • • + а1пх„ = 0,
®21^1 “Ь ^22^2 Н- • • • ~Ь ^ЧпХп =0>
Н атгхг “Ь • • 4* атпхп — ®
и ее фундаментальную систему решений в пространстве л
измерений, считая коэффициенты каждого уравнения коор-
динатами вектора.
905. Найти ортогональную и нормированную фундамен-
тальную систему решений для системы уравнений
3Xj— х2 —х34-х4 = 0,
Х!-|-2х2 — х3—х, — 0.
5 Д. к. Фаддеев, И. С. Сомннскнй
129
906. Разложить вектор X на сумму двух векторов, один
из которых лежит в пространстве, натянутом на векторы
Лх, Л2, ..., Ат, а другой ортогонален к этому простран-
ству (ортогональная проекция и ортогональная составляющая
вектора X):
а) X =(5, 2, —2, 2), Л^г, 1, 1, —1),
Аа = (1, 1, 3, 0);
Ь) Х=(—3, 5, 9, 3), Л1=(1, 1, 1, 1),
Л2 = (2, —1, 1, 1), Л3 = (2, — 7, —1, —1).
907. В предположении линейной независимости векторов
Л2, Л2, ..., Ат дать формулы для вычисления длин со-
ставляющих вектора в задаче 906, поставленной в об-
щем виде.
908. Доказать, что из всех векторов данного простран-
ства Р наименьший угол* с данным вектором X образует
ортогональная проекция вектора X на пространство Р.
909. Найти наименьший угол между векторами простран-
ства Р, натянутого на векторы Л1( ..., Ат, и вектором X:
а) Х=(1, 3, —1, 3), Л1 = (1, —1, 1, 1),
Л3 = (5, 1, —3, 3);
b) X = (2, 2, —1, 1), Л1 = (1, —1, 1, 1),
Л2 = ( — 1, 2, 3, 1), Л3 = (1, 0, 5, 3).
910. Найти наименьший угол, образованный вектором
(1, 1, ..., 1) л-мерного пространства с векторами какого-
либо /«-мерного координатного пространства.
911. Доказать, что из всех векторов X—У, где X—дан-
ный вектор, а У пробегает данное пространство Р, наимень-
шую длину имеет вектор X—X', где X' есть ортогональная
проекция X на Р. (Эта наименьшая длина называется рас-
стоянием от точки X до пространства Р.)
912. Определить расстояние от точки X до линейного
многообразия Лд-^-^Л^ . .. +/„Лт:
а) Х=(1, 2, —1, 1), Ло —(0, —1, 1, 1),
Л1 = (0, —3, —1, 5), Л. = (4, —1, —3, 3);
b) X =-(0, 0, 0, 0), Ло —(1, 1, 1, 1), Л1=(1, 2, 3, 4).
913. Рассматривается пространство полиномов, степени
которых не превосходят л. Скалярное произведение полино-'
1
мов Д, Д определяется как Д (х)Д (х) dx. Найти рассто-
о
130
яние от начала координат до линейного многообразия, со-
стоящего из полиномов хп4-а1х“'14-...
914. Дать способ определения кратчайшего расстояния
между точками двух линейных многообразий Л,-j-P и Y0-j-Q.
916. Вершины л-мерного правильного симплекса (см. за-
дачу 897), длина ребра которого равна 1, разбиты на две
совокупности из /п-4- 1 и п—т вершин. Через эти совокуп-
ности вершин проведены линейные многообразия наименьшей
размерности. Определить кратчайшее расстояние между точ-
ками этих многообразий и определить точки, для которых
оно реализуется.
*916. В четырехмерном пространстве даны две плоско-
сти, натянутые на векторы At, Аг и Bif Вг. Среди углов,
образованных векторами первой плоскости с векторами вто-
рой плоскости, найти наименьший:
а) Лх = (1, 0, 0, 0), А2 = (0, 1, 0, 0), В1==(1, 1, 1, 1),
Вг = (2, —2, 5, 2);
Ь) ^ = (1, 0, 0, 0), Л2 —(0, 1, О, 0), B^f!, 1. 1> 1),
В2 = (1, -1, 1, -1).
*917. Четырехмерный куб пересекается трехмерной «пло-
скостью», проходящей через центр куба и ортогональной
к диагонали. Определить форму тела, получающегося в пере-
сечении.
*918. Дана система линейно независимых векторов В1(
Вг, ..., Вт. Множество точек, являющихся концами век-
торов /А + f2Bt -j- ... + tmBm, .... 1,
называется параллелепипедом, построенным на векторах Вх,
В2, ..., Вт. Определить объем параллелепипеда индуктивно
как объем «основания» [Blt В2, ..., Вст_,], умноженный
на «высоту», равную расстоянию конца вектора Вт до про-
странства, натянутого на основание. «Объем» одномерного
«параллелепипеда» [В/] считается равным длине вектора Bv
а) Составить формулу для вычисления квадрата объема и
убедиться в том, что объем не зависит от нумерации вершин.
Ь) Доказать, что V[cBv В.......... Вт] **= | с | • V [Вх,
В2, . .., В,я].
с) Доказать, что V [Bi -j- Bi, В2, ..., Bm]^V[B[,
В2, ..., Ви] + V [В[, В2, ..., Вга], и выяснить, когда имеет
место знак равенства.
919. Доказать, что объем л-мерного параллелепипеда в
л-мерном пространстве равен абсолютной величине опреде-
лителя, составленного из координат порождающих векторов.
5* 131
*920. Пусть Ct, Сг, ..., Ст суть ортогональные про-
екции векторов Вх, В2, Вт на некоторое пространство.
Доказать, что
m Cm]^V[Blt Bt, .... Вт].
*921. Доказать, что
ПА, Л, А, Л, •••,
(ср. с задачей 518).
922. Доказать, что
ИА, А, .... AJCIAMAI ... IAI
(ср. с задачей 519).
923. Найти объем «-мерного шара, пользуясь принципом
Кавальери.
924. Рассматривается пространство полиномов, степени
которых не превосходят п. За скалярное произведение при-
1
нимается J Д (х) Д (х) dx. Найтн объем параллелепипеда,
о
образованного векторами того базиса, относительно которого
координатами полинома являются его коэффициенты.
§ 3. Характеристические числа и собственные
векторы матрицы
925. Найти характеристические числа и собственные век-
торы матриц:
i 2—1 2\ /0 0 1\ /0 2 1\
f) I & —3 3 \ s) I 0 1 0 |j li) I —2 0 3;
\ — 1 0 —2/ 0 0/ \ —1 —3 О/
/ 3 1 0\ /2 5 —6\
1) — 4 —1 0 ; j) 4 6 —9
\ 4 — 8 —2/’ \3 6 —8/
132
926. Зная характеристические числа матрицы А, найти
характеристические числа матрицы Л-1.
927. Зная характеристические числа матрицы А, найти
характеристические числа матрицы А2.
928. Зная характеристические числа матрицы А, найти
характеристические числа матрицы Л”.
929. Зная характеристический полином F (X) матрицы Л
(порядка л), найти определитель матрицы /(Л), где /(х) =
Ьо (х—и (х—|г) ... (х—1а).
930. Зная характеристические числа матрицы Л, найти
определитель матрицы /(Л), где /(х)—полином.
931. Зная характеристические числа матрицы Л, найти
характеристические числа матрицы /(Л).
932. Доказать, что все собственные векторы матрицы Л
являются собственными векторами матрицы /(Л).
*933. Найти характеристические числа матрицы
(11 1 ... 1
1 е еа ... 8я-1
18* 8* ... 8а(я-1)
I gH-1
2л . . . 2л
где е = cos — + гзш —, п — нечетное число.
п ' п ’
*934. Найти сумму
1 4.8 + 8*+ . . . +8(я-1,а.
93Б. Найти характеристические числа матриц:
' 0 х х ... х ’
у 0 х ... х
а) у у 0 ... х ;
. У У У ••• 0 ,
/Я1 а2 • • ' ап \
Ь) (++•• ап-1 1
+ . . . + /
О 1
— 1 0 1
— 1 О
О 1
— 1 о
133
*936. Зная характеристические числа матриц А и В,
иайти характеристические числа их кронекеровского произ-
ведения.
937. Доказать, что характеристические полиномы Мат-
риц АВ и ВА совпадают при любых квадратных матрицах
А и В.
938. Доказать, что характеристические полиномы матриц
АВ и ВА отличаются только множителем (—Здесь
А—прямоугольная матрица, имеющая т строчек и п столб-
цов, матрица В имеет п строчек и т столбцов, п > т.
§ 4. Квадратичные формы и симметрические
матрицы
939. Преобразовать к сумме квадратов квадратичные
формы:
а) + ^х1хг + 2х| -f- 4х2х3 5х|;
Ь) х*—4x1x2 + 2xix3 + 4x* + xl;
с) х1х2-|-х1!х84-х3х1;
d) xf — 2xlx2 + 2xJx3— 2xlxi-j-xl +
+ 2x2x3 — 4x2x4 + xl—2xl;
e) xf + x^ + x^.
940. Преобразовать квадратичную форму
п
2х?+ Sx,xft
i=l i<k
к диагональному виду.
941. Преобразовать к диагональному виду квадратичную
форму
i^XiXk'
942. Доказать, что все главные миноры положительной
квадратичной формы положительны.
*943. Пусть квадратичная форма
/=- + aux^ + • • • + +
4~ а21х2х14- а31х14~ • • • 4_ азпхзхп 4~
4" ап1ХпХ1 4' ангХпХг 4" • • Т аппхп
134
может быть приведена к диагональной форме а^х? 4*
-! . 4- OLnx'„ «треугольным» преобразованием:
Л'1 = ~Ь Ь12х2 4- • • • + Ь1ахп
Х2~ Х2 4- • • • 4" ^2ПХП
Х’п ~ хп-
Требуется:
а) выразить коэффициенты а,, а2, ..., а„ через коэф-
фициенты aik;
b) выразить дискриминанты форм fk(xk+l, ..., хП) —
. —а^Х/? через коэффициенты д;А.
Найти условие, при котором возможно треугольное пре-
образование укг(заиного вида.
944. Доказать, что необходимым и достаточным условием
положительности квадратичной формы
/= 4- ai2xlx2 atnxlxn 4-
4- 4- а22х* 4-... 4- а2„х2х„ ф-
4" aniXnXl 4- ап»ХпХ2 Н~ • • • ~Ь аппХп
является выполнение неравенств:
«н > 0;
«И «12
Я21 ^22
> 0;
ап аи • • • ат
^21 ^22 • * • ^2л
агП ап% • • • апп
> о
(условия Сильвестра).
*945. Доказать, что если к положительной квадратичной
форме добавить квадрат линейной формы, то ее дискрими-
нант увеличится.
*946. Пусть /(хп х2, .... »„)=‘flllXi+.--—положи-
тельная квадратичная форма,
<р(х2, .... х„)=/(0, х2, .... хп),
Df и £>ф—их дискриминанты. Доказать, что
947. Пусть
f(xlt х2, .... х„) =
• • • +Pp-Pp.i-1^-- - -
135
где /„ /2, lp, lp+iJp-t-2, .. .,1р+д — вещественные линей-
ные формы от х1( х2, х„. Доказать, что число поло-
жительных квадратов при каноническом представлении фор-
мы / не превосходит р, число отрицательных квадратов не
превосходит q.
*948. Пусть $0, ...—степенные суммы от корней
уравнения хп 4- а1хп~1 4-а„ — 0 с вещественными ко-
эффициентами. Доказать, что число отрицательных квадра-
тов при каноническом представлении квадратичной формы
п
2 Si+k+ixixk равно числу пар сопряженных комплексных
f,fe=i
корней данного уравнения.
Доказать теоремы:
949. Для того чтобы все корни уравнения с веществен-
ными коэффициентами были вещественными и различными,
необходимо и достаточно выполнение неравенств:
S0 S1 S2
51 SS
Sl S»
so si
0;
> 0;
...; Д =
5в-1 sn • • •
*950. Если квадратичные формы
/= + • • • 4МЛ>4
Ч~ anx%xl Ч- аггхг + • • • + агпхгхп Ч"
ч- amxnxi ч- anixnxt Ч- • • • ч- аппх*
И
Ф = buxl ч- Ь12хгх2 + ... Ч- Ьу^х,, ч-
+ 4" ЬггХ2 + • • • + btnX2Xn Ч~
4- bnlxnxt 4- bntxnxt ч-... Ч- Ьппх1
неотрицательны, то форма
(/, Ф) = Ч- а1Ф^х!хг 4- •. • ч- а1пЬ1пХ1хп Ч-
+ ailbnxix1 + aMbMxf+ .. . +a2nbinx2xn +
+ anibnlxnx1 + an2bnixnx2+ ... +annbnnx%
неотрицательна.
136
951. Преобразовать к каноническому виду ортогональным
преобразованием квадратичные формы:
а) 2х?4-х|—4ххх3—4х3х3;
b) ха1 + 2х1 + 3х}—4х1х2—4х2х9;
с) Зх?4-4х«4-5х?4-4х1х3—4х3х3;
d) 2х? 4- 5**+бх* + 4XjX2—4хгх3—Зх2х9;
е) х?— 2х|—2х|—4х1х34-4х1х34-8х3х3;
О бх?4-6х?4-4х?— 4хтх2—4х1х9;
g) Зх? 4- 6x1 + Зх3—4х4х3— 8x^3 — 4xsx3;
h) 7x?4-5xJ4~3x|—eXjX,, 4~ 8x3x3;
i) 2x? 4- 2x3 4* 2x| 4- 2xl—4x1x3 4- 2x4x4 4" 2x3x3 — 4x3x4;
j) 2хгх3 4" 2x3xt;
k) x? 4- x* 4- x| 4- x* 4- 2xxx3—2xxx4—2x3x3 4- 2x3x4;
1) 2х4х3 4- 2xjX,— 2XjX4—2x3x3 4- 2x3x4 4- 2x3x4;
m) x? 4- x» 4- 4- xj—2xxx, 4- 6xtx3—4x3x4—
—4x3x3 4- 6x2x4 2x3x4;
n) 8xtxs 4- 2xtx4 4- 2x3x3 4- 8x2x4.
952. Преобразовать к каноническому виду ортогональным
преобразованием квадратичные формы:
а) У^+Ух^-, Ь) Ух^.
/51 “k t<k
953. Преобразовать к каноническому виду ортогональным
преобразованием форму
x1x84-xsx,4-... 4-x„_jX„.
954. Доказать, что если все характеристические числа
вещественной симметрической матрицы А заключены в сег-
менте [a, ft], то квадратичная форма с матрицей А—'КЕ
отрицательна при X > ft и положительна при X < а. Спра-
ведлива и обратная теорема.
955. Доказать, что если все характеристические числа
вещественной симметрической матрицы А заключены в сег-
менте [а, с] и все характеристические числа вещественной
симметрической матрицы В заключены в сегменте [ft, d], то
все характеристические числа матрицы 44-5 заключены в
сегменте [а 4-ft, c4-rf].
956. Назовем арифметическое значение квадратного корня
из наибольшего характеристического числа матрицы АА
137
(Л—вещественная квадратная матрица, А—ее транспониро-
ванная) нормой матрицы А и обозначим ее через ||Л||. До-
казать, что
а) ||Лц = ||Л||;
Ь) | АХ\ < ]] А || >| X], причем для некоторого вектора Хо
имеет место равенство;
с) и Д4-в и с и'л и 4-н я н;
d) II ЛВ II <11 Л ||-|| В ||;
е) модули всех характеристических чисел матрицы А
не превосходят |] А ||.
967. Доказать, что всякая вещественная неособенная
матрица может быть представлена в виде произведения ор-
тогональной матрицы и треугольной вида
^11 ^12 • • •
^22 • • • bin
Ьпп,
с положительными диагональными элементами Ъц и такое
представление единственно.
958. Доказать, что всякая вещественная неособенная
матрица может быть представлена в виде произведения ор-
тогональной матрицы и симметрической, соответствующей
некоторой положительной квадратичной форме.
959. Пусть дана поверхность второго порядка в л-мер-
ном пространстве посредством уравнения
«11*14- «12*1*2 + • • • + “lnXlXn +
+ <*2i*»*i + «22*2 + • • • + ашхгхп +
+ «П1*В*1 + «П2*П*2 + • • • + «Ш,*Я 4-
4- 2&,х! 4-Д^2*г + • • • 4- 2^п*п 4-с =
или в сокращенной записи AX-X-{-2B-X-{-c — Q. Доказать,
что для существования центра поверхности необходимо и
достаточно, чтобы ранг матрицы А был равен рангу -мат-
рицы (Л, В).
138
960. Доказать, что уравнение центральной поверхности
второго порядка может быть приведено посредством пере-
носа начала и ортогонального преобразования к канониче-
скому виду
aixi •+•••+агх< + V = 0-
961, Доказать, что уравнение нецентральной поверхно-
сти второго порядка может быть приведено посредством
переноса начала и ортогонального преобразования к кано-
ническому виду:
а1Х1 + • • • + агХг = %Хг + 1-
§ 5. Линейные преобразования. Каноническая форма
Жордана
962. Установить, что размерность подпространства,, в
которое отображается все пространство при линейном пре-
образовании, равна рангу матрицы этого линейного преобра-
зования.
963. Пусть Q есть подпространство размерности q про-
странства R размерности п, a Q' есть образ Q при линей-
ном преобразовании ранга г пространства R. Доказать,
что размерность q' пространства Q' удовлетворяет нера-
венствам
q-\-г—n^.q' min (q, г).
964. Пользуясь результатом задачи 963, установить, что
ранг р произведения двух матриц рангов гх и rt удовле-
творяет неравенствам
/•i + g—n<p<min(rlt г J.
* 965. Пусть Р и Q—какие-либо взаимно дополнительные
подпространства пространства R. Тогда любой вектор X С R
однозначно разлагается на сумму векторов У£Р и ZgQ.
Преобразование, заключающееся в переходе от вектора X
к его компоненте У, называется проектированием на Р па-
раллельно Q. Доказать, что проектирование есть линейное
преобразование и его матрица А (в любом базисе) удовле-
творяет условию А3 = А. Обратно, всякое линейное преобра-
зование, матрица которого удовлетворяет условию А*= А,
есть проектирование.
139
* 966. Проектирование называется ортогональным, если
Р J_ Q. Доказать, что в любом ортогонально нормированном
базисе матрица ортогонального проектирования симметрична.
Обратно, всякая симметрическая равностепенная матрица
есть матрица ортогонального проектирования.
* 967. Доказать, что все отличные от нуля характеристи-.
ческие числа кососимметрической матрицы чисто мнимы, а
вещественная и мнимая части соответствующих собственных
векторов равны по длине и ортогональны.
* 968. Доказать, что для кососимметрической матрицы А
можно найти такую ортогональную матрицу Р, что
( 0 ах
—ах О
О а,
—а2 О
(все не указанные элементы равны нулю; аи аг, ..., ак —
вещественные числа).
969. Доказать теорему: если А — кососимметрическая
матрица, то матрица (Е—Я) (f-f-^)-1 есть’ортогональная
матрица, не имеющая —1 характеристическим числом. Об-
ратно, каждая ортогональная матрица, не имеющая —1 ха-
рактеристическим числом, может быть представлена ц этой
форме.
* 970. Доказать, что модули всех характеристических
чисел ортогональной матрицы равны 1.
* 971. Доказать, что собственные векторы ортогональной
матрицы, принадлежащие комплексному характеристическому
числу, имеют видЛ'+zF, где X, Y—вещественные векторы,
равные по длине и ортогональные.
* 972. Доказать, что каждая ортогональная матрица мо-
жет быть представлена в виде
Q-1 TQ,
140
где Q—ортогональная матрица, а Т имеет вид
cos <рх—sin фх
sin <рх cos
созф2—sin фа
sin ф, cos фг
(все не обозначенные элементы равны нулю). *
978. Привести к нормальной форме Жордана матрицы-.
/ 1 2 0\ / 4 6 0\
а) ( 0 2 О j; Ь) —3 —5 О I;
\—2 —2 —1/ \—3 —6 1/
/ 18 16 16\ / 3 0 8\
с) — 3 — 7 — 6 ; d) 3—1 6
\— в — 8 — 7/ \—2 -0 —5/
/—4 2 10\ /7 —12 —2\
•) —4 3 7 1; f) I 3 — 4 0 ] J
\—3 1'7/ \—2 0 —2/
/—2 8 6\ / 0 3 3\
g) I —4 10 6 ]; h) I —1 8 6 h
\ 4 —8 —4/ \ 2 —14 —10/
14*
1 Г\ / 8 30—14\
i) —5 21 17 ); j) —6—19 9 ];
\ 6—26—21/ \—6—23 11/
/45 —2\ / 3 7 —3\
к) —2 —2 11; 1) —2 —5 2 ];
\—1 —1 1/ \—4—10 3/
/ 9 22—6\ /1 —1 2\
tn) —1 _ 4 1 ; п) ( 3 — 3 6 ;
\ 8 16—5/ \2 —2 4/
974. Привести к нормальной форме Жордана матрицы:
/ 3 1 0 °\ /1 2 3 4
а) 1 —4 7 —1 1 0 2 ° V 1 )’ ; ь) | 1 0 \ 0 1 0 2 1 3 2
\—17 —6 —1 0/ \о 0 0 1
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... О
О 0 0 ... 1
1 0 0 ... 0)
*975. Доказать, что всякая периодическая матрица А
(удовлетворяющая условию Ат Е при иекоторомнатураль-
ном т) приводится к диагональной канонической форме.
*976. Зная характеристические числа матрицы А, найти
характеристические числа матрицы А'т, составленной из над-
лежащим образом расположенных миноров тя-го порядка
матрицы А (см. задачу 531).
977. Доказать, что любую матрицу А можно преобразо-
вать в транспонированную.
*978. Доказать, что любую матрицу можно представить
в виде произведения двух симметрических матриц, одна из
которых неособенная.
1'42
979. Исходя из данной матрицы А порядка л, строим ряд
матриц посредством следующего процесса:
At = A; Sp Лг =р1; At —ptE = Bt,
В1А = Аг', у5рЛ2=рг; Аг— ргЕ=Вг,
В3А в А3; -g-Sp243=ps, А3 Р3Е = В3,
п рп, Ап рпЕ----В,
где Sp At — след матрицы А,- (сумма диагональных элементов).
Доказать, что: pv рг, ...,рп—коэффициенты характери-
стического полинома матрицы А, записанного в форме
(—1)” [X"—рД"-1—ргЛи-2—...—ри]; матрица Вп нулевая;
наконец, если А—неособенная матрица, то —5П_1 = Д_1.
Рп
*980. Для того чтобы уравнение XY—YX—C^no раз-
решимо в квадратных матрицах X, К, необходймо и доста-
точно, чтобы след матрицы С равнялся нулю. Доказать.
ЧАСТЬ II
УКАЗАНИЯ
Глава 1
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
11. См. задачу 10.
13. Показать справедливость теоремы для каждого из четырех
действий над двумя числами и воспользоваться методом математиче-
ской индукции.
18. Воспользоваться тем, что левые части легко представляются
в виде суммы двух квадратов.
27. Положить x=a+6i, y — c-j-di.
28. Положить z = cos <р+ i sin <р.
31. Положить z = /2; z' = /'а. Использовать задачу 27.
37. Перейти к тригонометрической форме.
38. 1 + w = — <о2. »
40. Перейти к половинному углу.
41. Убедиться, что z- cos 0 ± i sin 0; -^-=cos 0 i sin 0. Вос-
пользоваться формулой Муавра.
51. Положить a=cos x-f-i sinx. Тогда i:os2OTx=»^^i^—)
и T. Д.
52. Показать, что коэффициент при (2 cos х)'в~2/' равен
(—l)P(Cm-p-]-Cm2p-i). Воспользоваться методом математической
индукции.
53. Задача аналогична предыдущей.
54. Воспользоваться разложением по формуле бинома Ньютона
О+О”-
55. Воспользоваться предыдущей задачей.
56. Разложить по формуле бинома Ньютона I l-f-i—g—) •
68. Показать, что задача сводится к вычислению предела суммы
,1 । 9 i — 1Ч- i
1 + a4- a2+ .... где a——.
1 cos 2a
69. Воспользоваться тем, что sin2 a—----—.
71. Воспользоваться тем, что
. cos За , 3cosa , , 3sina sin За
cos8 а=—j--------; sin3 a=—---------=—.
4'4 4 4
144
72. Для вычисления сумм вида 1 -f-2a+3as+... 4-па"-1 и
1 :-22a+32as+...+«гаи-1 их полезно умножить предварительно на
I —а.
76. xv—а+Р; хг = оио4-рша; x3 = a<oa+Pw; a3+P3 = —<7.
3aP = — р.
77. Умножить иа —27 и рассмотреть левую часть как дискри-
минант некоторого кубического уравнения.
78. Положить х=а+р.
87. Показать, что еи = —1.
г- 2л ... 2л
88. Если 8 = cos--|-i sin-^-, то искомая сумма может быть
записана так: 1+ e + es+... Ч-е”-1.
89. Рассмотреть два случая: 1) k делится на п; 2) k не делится иа п.
91, 92. Умножить на 1—е.
94. а) Из суммы всех корней 15-й степени из 1 вычесть сумму
корней, принадлежащих показателям 1, 3 и 5.
97. Длина стороны правильного 14-угольникз, радиус которого 1,
равна 2 sin -jb-. Использовать то обстоятельство, что уравнению
хв+х* + х4+х3+х2+х+1=0 удовлетворяет cos ^ + »sin-^b.
98. 1) Если хх, хг, , х„—корни уравнения aox“-|-a1xn-l+ ...
...+a„=0, то л0х«+а1хи-1+...+аи = а0(х—хх) ... (х—х„).
2) Если е—корень n-й степени из 1, то е, сопряженное с е,
также корень n-й степени из 1.
99. В тождествах, полученных в результате задачи 98, положить
х= 1.
100. Воспользоваться разложением х“—1 иа множители первой
степени.
101. В разложении хп—1 на линейные множители положить:
1) x=cos 6-Н sin 0; 2) x=cos0 — i sin 0.
103. Воспользоваться тем, что модули комплексных сопряженных
чисел равны.
(х-\- ]\я
105. а) Уравнение преобразовать к виду ( । ) = 1.
107. Пусть
S = cos «р-1-Cn-cos (<p4-a) х+ ... +cos (<p+na) хп,
7 = sinф-f-Cn sin (q>4-a) х+ ... 4-sin (<p-|-na)xn.
Вычислить S-j-Ti и S—Ti и определить S из полученных ра-
венств.
113. Доказать сначала, что <p(pa) = pa ^1—( если р—про-
стое число. С этой целью подсчитать количество чисел, не превосхо-
дящих ра и делящихся на р.
116. Доказать, что все корни хРт *—1 и только оии не яв-
ляются первообразными корнями хР —1.
117. Показать, что если л —нечетное, то для получения всех
первообразных корней степени 2п из единицы достаточно все перво-
образные корни степени п умножить на —1.
145
119. Использовать задачу 118.
' 120. Использовать задачи 115, 116, 111 и. показать, что
1) ц(р) = —1, если р—простое; 2) что ц(ра) = 0, если р —простое,
а > 1; 3) и (ab) = p {а) ц (&), если а и b взаимно просты.
гт । • • 2ferr
. 122. Показать, что если e*=cos ——|-isin принадлежит
показателю «1, то х—войдет в правую часть доказываемого ра-
венства в степени У ц Id,). где пробегает все делители
123. Рассмотреть случаи; 1) п—степень простого числа; 2) п —
произведение степеней различных простых. Для случая 1) использо-
вать задачу 116, для 2)—задачи 119 и 122.
124. Рассмотреть Случаи: 1) п — нечетное, большее 1; 2) п = 2“;
3) n = 2n1( .«j — нечетное, большее 1; 4) п = 2*п1( где k> 1, пх — не-
четное, большее 1.
125. Использовать тождество.
Х1Х24-Х1Х3+ . . . +хп-дХп =
_(^i 4~ • 4~*в)8— (*14~*а4~ • 4~хл)
“ - 2
Рассмотреть случаи: 1) п — нечетное; 2) п — 2nt, пг — нечетное;
3) п = 2*Л1, где k> 1, —нечетное.
128. Умножить сумму S на сопряженную и принять во внима-
ние, что е** ие меняется при замене х на x-f-л.
Глава 2
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
132. Иметь в виду, что каждая пара элементов перестановки
образует инверсию.
133. Число инверсий во второй перестановке равно числу по-
рядков в первой.
145. Показать, что в каждое слагаемое входит множителем 0.
149, 150. Заменить строки столбцами.
153. Выяснить, как изменится определитель, если каким-нибудь
образом переставить его столбцы.
154. а) Обратить внимание на то, что при х=а/ определитель
имеет две одинаковые строки.
155. К последнему столбцу прибавить первый, умноженный
на 100, и второй, умноженный на 10.
156. Сначала из каждого столбца вычесть первый.
163. Из второго столбца вычесть первый.
179. Первую строку прибавить ко всем остальным.
180—182. Первую строку вычесть из всех остальных.
183. Вторую строку вычесть из всех остальных.
184. Первую строку прибавить ко второй.
185. Все столбцы прибавить к первому.
186, 187. Из первого столбца вычесть второй, прибавить третий
и т. д.
146
188. Разложить по элементам первого столбца или к последней
строке прибавить первую, умноженную на ха, вторую, умноженную
на х"-1, и т. Д.
189. К последнему столбцу прибавить первый умноженный на
х"-1, второй, умноженный на-х““Л и т. д.
190. Составить определитель, равный /(*+1) — f(x). В получен-
ном определителе из последнего столбца вычесть первый, второй,
умноженный на х, третий, умноженный на ха, и т. д.
191. Последний столбец умножить на at, аг, ... , а„ и вычесть
соответственно из 1-го, 2-го...л-го столбца.
192. Все столбцы прибавить к первому.
194. Все столбцы прибавить к последнему.
195. Из первого столбца вынести alt из второго а2 и т. д.
К последнему столбцу прибавить все предыдущие.
196. Из первого столбца вынести Л; первый столбец прибавить
ко второму.
197. Первую строку и первый столбец умножить на х.
198. Из каждой строки вычесть первую, умноженную последо-
вательно на at, аг, ... , ап. Из каждого столбца вычесть первый,
умноженный последовательно на alt a2, .... aR.
199. Все столбцы прибавить к первому.
200. К первому столбцу прибавить все остальные.
~201. Из каждого столбца, начиная с последнего, вычесть
предшествующий столбец, умноженный на а.
202. Из каждой строки, начиная с последней, вычесть преды-
дущую. Затем к каждому столбцу добавить первый.
203. Умножить первую строку на Ьо, вторую иа bt н т. д. К пер-
вой строке прибавить все последующие.
204. Из первой строки вынести а и из второй вычесть первую.
205. Разложить по элементам первой строки.
206. Представить в виде суммы двух определителей.
208. К каждому элементу, ие стоящему иа главной диагонали,
приписать в качестве слагаемого нуль и представить определитель
в виде суммы 2" определителей. Использовать задачу 20б или 207.
. 211. Первый столбец умножить на х"-1, второй иа хп~2 и т. д.
212. Разложить по элементам последнего столбца и показать,
что Дв=х„Ди_1-|-апх1х2.. .Хи-! (Ди означает определитель порядка л).
Для вычисления определителя воспользоваться методом математиче-
ской индукции.
213. Разложить по элементам последнего столбца и показать,
ЧТО Дп+1=--х„Ди+а„у1у2...у„.
214. Из второго столбца вынести Яц из третьего а2,-..., из
(л+1)-гоха„. У первого столбца изменить знак на противоположный
и прибавить все столбцы к первому.
215. Разложить по элементам первой строки.
216. Разложить по элементам первой строки и показать, что
&п~а1а2 • • • ап-1 Дп-1-
219. Воспользоваться результатом задачи 217.
221. Разложить по элементам первой строки и показать, что
Дп = хДв—! Д„_2.
222. Из последней строки вычесть предпоследнюю, умноженную
ла • Показать, что Д„ - -^2—(х„у„_!—х„-!у„) Д„-1.
Уп-1 Уп—1
147
223. Представить в виде суммы двух определителей и покачать,
что Д„=а„Д„_14-а1а2...аи_1.
225. Представить в виде суммы двух определителей и показать,
что
ди = (ап—х) Д„-1 + х (Я1 — х).,. (an_ 1—х).
226. Положив хп = (хп— a„)-f-a„, представить определитель
в Виде суммы двух определителей и показать, что
дп = (хп — ап) Д„ _ 14- а„ (х 1 — а,) (х2 — а2)... (х„ _ i—а„ _ J.
227. Представить в виде суммы двух определителей и показать,
что
= аМ дп-1+«А(^1—«161)- • -Un-i— an-i b^t).
228. Представить в виде суммы двух определителей и показать,
что
д„ = — + 1)и-1т«-1х„.
230. Разложить по элементам первой строки и показать, что
Д2п = (а2 Ь*) Д2п_2.
231. Из каждой строки вычесть предыдущую и ко второй строке
прибавить все последующие. Далее, разложив определитель по эле-
ментам последней строки, показать, что
ди = [а + (п— О дн-1 + а(а + 6).. .[а+(п — 2) ft],
232. " Представить в виде суммы двух определителей и показать,
что
п- 1
д„ = х(х—2а„) ди_1 + а^х«-1 JJ (х—2а,).
<=1
233. Положив (х—ап)8 = х (х—2ап) + ая, представить определи-
тель в виде суммы двух определителей и показать, что
Д„ = х(х —2а„) Дп-Н-а’х”-1 (х—2at).. .(х— 2a„^i).
234. Представить в виде суммы двух определителей и доказать,
что
235. Последний элемент последней строки представить в виде
ап — ап. Доказать, что
ди = ( 1)” 161&2,. ,6п_1ага- аяД„_1.
236. Из каждой строки вычесть последующую.
237. В левом верхнем углу положить 1=х+(1—х). Определи-
тель представить в виде суммы двух определителей. Использовать
результат задачи 236.
238. Умножить вторую строку на х”-1, третью па хи-г, ... , п-ю
на х. Из первого столбца вынести х”, из второго хп~‘, ... , из n-го х.
239. Использовать указание, данное к предыдущей задаче.
148
240. Из каждого столбца, начиная с последнего, вычесть преды-
дущий. Затем из каждой строки вычесть предыдущую. Доказать,
что Д„ = ДИ_1. При вычислении иметь в виду, что С^ = Cn-i+ Cn-i •
241. Из каждого столбца вычесть предыдущий.
242. Из каждой строки вычесть предыдущую. Доказать, что
Лп —Дп—|. ,
243. Вынести из 1-й строки т, из 2-й т-|-1.из последней
т-\-п. Из 1-го столбца вынести 4-, из 2-го , и т. д. Повторять
К R-f- I
эту операцию до тех пор, пока все элементы 1-го столбца не станут
равными 1.
244. Из каждого столбца вычесть предыдущий. В полученном
определителе из каждого столбца вычесть предыдущий, сохраняя
первые два без изменения. Вновь из каждого столбца вычесть пре-
дыдущий, сохраняя без изменения первые три столбца, и т. д.
После т таких операций получится определитель, у которого все
элементы последнего столбца равны 1. Вычисление этого определи-
теля особых затруднений ие представит.
245. Из каждой строки вычесть предыдущую и показать, что
Дп+1=(*-1)лп-
246< Из каждой строки вычесть предыдущую и показать, что
An + i=(rt— В ! (х—1)
247. Из каждой строки вычесть предыдущую; из каждого столбца
вычесть предыдущий. Доказать, что Ди = аДп_1.
248. Последний элемент последней строки представить в виде
z-j-(x—г). Определитель представить в виде суммы двух определи-
телей. Использовать то обстоятельство, что определитель симметри-
чен относительно у и г.
249. См. указание к задаче 248.
252. Из каждой строки вычесть первую, умноженную на
Р о л
В полученном определителе из первого столбца вынести
и из первого столбца вычесть все остальные.
253. Все столбцы прибавить к первому и из каждой строки
вычесть предшествующую. См. задачу 199.
254. Использовать указание к предыдущей задаче.
256. Рассмотреть определитель как многочлен четвертой степени
от а. Показать, что искомый многочлен делится на следующие
многочлены первой степени относительно а:
a-\-b+c-}-d; a+b—c—d; a-b-f-c—d; а—b—c+d.
258. Добавив все столбцы к первому, выделить множитель
*+ai+ • • • Положив затем х=аг, а2, , ап, убедиться в том,
что определитель делится на х—alt х—а2, , х—ап.
259. Определитель Вандермонда.
264. Разложить по элементам первого столбца.
265. Из второй строки вычесть первую. В полученном опреде-
лителе из третьей строки вычесть вторую и т. д.
269. Из третьей строки вынести из четвертой и т. д.
270. Воспользоваться результатом задачи 269.
149
271. Из второго столбца вынести 2, из третьего 3 и т. д. При
вычислении JJ (1*—А8) полезно представить
П о'2-**)=П а-*)-П (»•+*)•
272. Из первого столбца вынести —; из второго—и т. д.
•Vj 1 Xg r r 1 I
273. Из первой строки вынести а", из второй а2 и т. д.
275. К первому столбцу прибавить второй, умноженный па
Сгп! третий, умноженный иа Сгл. и т. д.
276. Воспользоваться результатом задачи 51.
277. Воспользоваться задачей 53.
278. Приписать строку 1, хх, х2, ... , х„ и столбец 1, 0, 0, ... , 0.
279. Рассмотреть определитель
Сравнить разложение D по элементам последнего столбца с
________________ п
выражением D= JJ (х,—х^)- JJ (г—х,).
и > < > k > I 1 = 1
280. Воспользоваться указанием к предыдущей задаче.
282. Приписать первую строку 1,0....0 и первый столбец
1, 1, 1.....1. Вычесть первый столбец из всех последующих.
285. Разложить по элементам последней строки.
286. Сначала из каждого столбца, начиная с последнего, вычесть
предшествующий, умноженный на х. Затем, после понижения порядка
н вынесения очевидных множителей, преобразовать первые строки
(зависящие от х), используя соотношение
(m+ If—= sms~l т!~г+... +1.
287. Из каждого столбца, начиная с последнего, вычесть пред-
шествующий, умноженный на х.
288. т) Прибавить к первому столбцу шестой и одиннадцатый,
ко второму столбцу седьмой и двенадцатый........к пятому столбцу
десятый и пятнадцатый. Прибавить к шестому столбцу одиннадцатый,
к седьмому столбцу двенадцатый.......к десятому столбцу пятнад-
цатый.
Из пятнадцатой строки вычесть десятую, из четырнадцатой
строки вычесть девятую, ... , из шестой строки вычесть первую.
293. Рассмотреть
1 Спао Спао • • • ао
1 Cn@i C2Oi ... @1
сП ьП
Of) 01 . . . Оп
сП— 1 1Д-1
Оо 01 0п
* ^пап б пал ... ап
1 1 ... 1
150
294. Рассмотреть
sin a, cos otj 0 ... О
sina2 cosa2 0 ... О
sina„ cosa„ 0 ... О
295. Рассмотреть
1 1 ... 1 1
*1 *2 ••• хп х
xl х'г ... хп хп
296. Возвести в квадрат.
297. Вычесть из третьего
рой. Затем умножить на
cos ctj cos a2 ... cos an
sin at sin «2 ... sin a„
0 0 .... 0
0 0 ... 0
1 x, ... ж?-1 0
.1 x2 ... xS-’ о
1 x„ ... хГ‘ 0
0 0 ... 0 1
столбца первый, из четвертого—вто-
cos <p — sin ф
51Пф СОЗф
О О
О О
О О
О О
cos 2ф — sin 2ф
sin 2ф cos 2ф
298. Отнять из второго столбца л-кратный первый, нз четвертого
n-кратный второй. Переставить местами второй н третий столбцы.
Умножить на
cos nip — sin nip 0 0
sin nip cos nip 0 0
0 0 cos («+1) ф — sin (n-|- 1) ф
0 0 81п(п+1)ф cos (n+ 1) ф
299. Возвести в квадрат. Преобразовать как определитель Ван-
дермонда и каждую разность преобразовать к синусу некоторого
угла. Таким образом определится знак.
300. Изучить произведение
й| а2 ... an—i 1 1 1
°л-1 °о а1 ••• an-i 1 е1 . ••• Ел-1
а, а2 а3 ... а0 1 е?-1 ... eJJ-i
2kn , . . 2ta
где e» = cos---psin —
* n ‘ n
308. Ввести в рассмотрение
n-1 r n
k = 0
Л i . Л Гт-
6» = cos-----h i sin —. Тогда
n n
2 81 •
151
311. Использовать задачу 92.
2л-1 .
314. J~p (по + а1еЛ +а28^ + • • • + агп- 1е&П ) =
4=0
Л- 1
= JJ [(До + ап) + (а1 +ал + 1) аг+ • • • + (ап-1 +а2Л-1) dr *]х
г = 0
п— 1
ХП [<ао—ап) + (а1— «n+i)3f+--- +(“«-! —а2п-1)₽"-1]’
s=0
kn , . . kn 2гл , . 2гл
где e» = cos--Н sin—; ar = cos-------H sin—;
* n n r n n
„ (2s+l)n . . (2s+l)n
В= cosJ1—-—кi sin2—!—-—.
n 1 n
323. Из каждой строки вычесть первую, из каждого столбца
вычесть первый.
325. Использовать задачу 217.
327. Представить в виде суммы определителей или положить
х=0 в определителе и его производных.
328. 1) Из (2л—1)-н строки вычесть (2л —2)-ю, из (2л —2)-й
строки вычесть (2л—3)-ю, ... , из (л+1)-й строки вычесть л-ю, из
л-й строки вычесть сумму всех предшествующих.
2) К (л+1)-й строке прибавить 1-ю, 1 = 1, 2.л — 1.
329. К каждой строке прибавить все последующие, из каждого
столбца вычесть предыдущий. Доказать, что
Д„+1(х) = (х—л) Дп (х— 1).
Глава 4
МАТРИЦЫ
466. Воспользоваться результатом задачи 465 е).
473. Рассмотреть сумму диагональных элементов.
491. Воспользоваться результатами задач 489, 490.
492. Воспользоваться результатом задачи 490.
494, 495. Воспользоваться результатами задач 492, 493.
496. Провести доказательство индуктивно по числу столбцов
матрицы В, доказав предварительно, что если присоединение одного
столбца не меняет ранга матрицы В, то оно не меняет и ранга мат-
рицы (А, В).
Можно провести доказательство и не индуктивно, воспользовав-
шись теоремой Лапласа.
497. Воспользоваться результатами задач 496, 492.
498. Из матрицы (Е—A, E-j-A) выбрать неособенную квадрат-
ную матрицу Р и рассмотреть произведения (£—А) Р и (Е-\-А)Р.
500. Воспользоваться результатом задачи 489.
501. Доказать единственность представления в задаче 500 н
свести тем самым задачу к подсчету числа треугольных матриц R
152
с данным определителем k. Обозначив искомое число через Fn (k),
доказать, что если k = a-b при взаимно простых а, Ь, то Fn (k)=
— Fn (a) Fn (6). Наконец, осуществить индуктивное построение фор-
мулы для Fn(pm), где р —простое число.
505. Воспользоваться результатами задач 495, 498. Найти мат-
рицу Р с возможно меньшнм определителем так, чтобы Р~г АР была
диагональной, и затем воспользоваться результатом задачи 500.
517. Воспользоваться теоремой Лапласа и неравенством Буня-
ковского.
518. Установить равенство. | А А | = | ВВ | • | ССI в предположе-
нии, что сумма произведений элементов любого столбца матрицы В
иа соответствующие элементы любого столбца матрицы С равна
нулю. Затем дополнить надлежащим образом матрицу (В, С) до
квадратной н воспользоваться результатом задачи 517.
523. Приписать к определителю слева столбец, все элементы
М
которого равны -у, и сверху строчку, все элементы которой (кро-
ме углового), равны 0, затем вычесть первый столбец из всех ос-
тальных.
527. Воспользоваться результатами задач 522, 526.
528. Установить связь взаимной матрицы с обратной.
529. Для мниора, образованного элементами первых т строчек
и первых т столбцов взаимной матрицы, установить результат, рас-
смотрев произведение матриц:
Лц ... Л/в + 1_ £ ... ЛП1
Л12 ... Ат + 1^ 2 ... Л„2
Л1/я ... Ат + 1т ... Апт
1
1
где A/h — алгебраические дополнения элементов а^.
Аналогичным образом поступить в общем случае.
535. Представить АхВ как (ЛХЕт)-(ЕпхВ).
537. Провести доказательство по индукции, сначала разобрав
случай, когда Лп есть неособенная матрица. Общий случай свести
к этому, добавив к матрице ХС.
Глава 5
ПОЛИНОМЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
547. а) Разложить f (х) по степеням х—3, затем заменить х на
*4-3.
553. Непосредственно продифференцировать п подставить х= 1,
затем выделить максимальную степень х и продолжать дифференци-
рование.
153
555. Ввести в рассмотрение полиномы
fl (х) = nf M—xf (х); fl (x) = n/1 W—xf’1 (x)
и t. д.
561. Доказывать способом математической индукции.
562. Отличный от нуля корень (ft—1)-й кратности полинома f(x)
есть корень (ft—2)-й кратности полинома х/'(х), (ft—3)-й—полинома
X [xf (х)]' и т. д.
Обратно, общий отличный от нуля корень полиномов f (х), xf (х),
х[х/'(х)]', ... (всего ft—1 полином) есть корень f (х) не ниже чем
(ft — 1)-й кратности.
563. Дифференцировать равенство, . показывающее, что полином
делится на свою производную.
t (хУ f (
567. Рассмотреть функцию V- или :.
12 (х) /1 (х)
568.- Связать задачу с рассмотрением корней
Ф (х) = / (х) f (х0) ~-f (х) f (х0),
где Xq—корень [f (х)]2—f (х) f (х).
569. Использовать решение предшествующей задачи и разложить
/(х) по степеням х—х0.
576. Доказывать, как лемму Даламбера.
580, 581. Представить функцию в таком же виде, как при до-
казательстве леммы Даламбера:
/(г) = /(а) + ^р(х—а)* [1 +ф (г)]; <р(а) = 0.
583. Найти корни полиномов и учесть старшие коэффициенты
[в задачах а) и b)J. В задаче с) для разыскаиня корней целесообразно
положить x=tg20.
589. Найти общие корни.
608. Доказать предварительно, что / (х) не имеет вещественных
корней нечетной кратности.
623. Использовать результат задачи 622.
626. Воспользоваться тем, что уравнение не должно изменяться
1
при замене х на —х и х на —.
627.. Уравнение не должно меняться прн замене х на — и х на
1—х.
637. Поделить на (1—х)п и дифференцировать т—1 раз, пола-
гая после каждого дифференцирования х=0. Воспользоваться тем,
что степень У (х) меньше т, степень М (х) меньше п.
642. Воспользоваться формулой Лагранжа. Произвести деление
в каждом слагаемом результата и привести подобные члены, используя
результат задачи 100.
644. Выразить f(x0) через f(xt}, f (х2), .... f (хп), пользуясь
интерполяционной формулой Лагранжа, и сравнить результат с ус-
ловием задачи, принимая во внимание независимость /(Xj), f (х2), ...
..., f (хл). Затем изучить <р(х) = (х—xj (х—х2) ... (х—х„), разло-
жив его по степеням х—х0.
645. Полином Xs представить через свои значении посредством
интерполяционной формулы Лагранжа.
154
648, 649. Составить интерполяционный полином по способу
Ньютона.
650. Найти значения искомого полинома при х=0,1,2, 3...2и.
651. Можно решить задачу, пользуясь способом Ньютона. Короче,
рассмотреть полином F (x)=xf(x)~ 1, где f(x)—искомый полином.
652. Рассмотреть полином (х—a)f(x)—l.
653. Составить полином по способу Ньютона, вводя для удобства
вычислений в знаменатель каждого слагаемого факториал-
654. Рассмотреть полином f (х2), где / (х) — искомый полином.
655. Проще всего по формуле Лагранжа
л
f.W — V* ____f ------- (xit х2, .... ха — корни знаменателя).
ф(*) (*—**) Ф (**)
656. Разложить Сперва по формуле Лагранжа, затем объединить
комплексно сопряженные слагаемые.
657. е) Использовать задачу 631. f) Положить у.
d), h) Искать разложения способом неопределенных коэффици-
ентов. Часть найти подстановкой - х=х1г х2....хп после умноже-
ния на общий знаменатель. Затем продифференцировать и снова
положить x=xlt хг, ..., х„.
660. Использовать задачу 659. В примере Ь) разложить *2_
на простейшие дроби.
665, 666. Воспользоваться задачей 663.
667. В примере с) разложить полином по степеням х—1.
668. Разложить по степеням х—1 (или положить x = y-f-l).
669. Положить х=у + 1 и методом математической индукции
доказать, что все коэффициенты делимого и делителя, кроме стар-
ших, делятся на р.
670, 671. Доказывается, как теорема Эйзенштейна.
679, 680. Допустив приводимость f (х), положить х = а1, а2, •••
..., а„ и сделать заключение о значениях делителей.
681. Подсчитать число равных значений предполагаемых делителей.
682. Воспользоваться тем, что f(x) не имеет вещественных
корней.
683. Доказать, что полином, имеющий более чем три целых кор-
ня, не может иметь своим значением простое число при целом значе-
нии независимой переменной, и применить это к полиному f (х)—1.
684, 685. Воспользоваться результатом задачи 683.
702. Составить ряд Штурма и рассмотреть порознь случаи чет-
ного и нечетного п.
707—712. Вывести рекуррентные соотношения между полиномами
смежных степеней и их производными н построить из них ряд
Штурма. В задаче 708 составить ряд Штурма только для положи-
тельных значений х и убедиться в отсутствии отрицательных корней
из других соображений. В задаче 709 составить 5>яд Штурма для
отрицательных х. х
713. Воспользоваться тем, что F' (x) = 2f (х) f" (х) и что f"' (х) —
постоянная.
717. Разложить g(x) на множители и применить несколько раз
результат задачи 716.
155
718. Применить результат задачи 717 к полиному хт.
719. Воспользоваться тем, что если все корни полинома аохп +
+ ад"-1 + ...+ап-1*+ал вещественны, то все корни полинома
anxn4-<2n-i^n_1+ • • +ао вещественны.
721. Умножить иа х— 1.
727. Доказывать от противного, воспользовавшись теоремой
Ролля и результатом задачи 581.
f (я)
728. Построить график ф(х)=77-7-7 и стр.ого доказать, что
каждый корёнь [f' (х)]2— f (х) /" (х) дает экстремальную точку для
ф (х) и обратно. Доказать, что ф (х) не имеет экстремальных точек
в интервалах между корнями f (х), содержащих корень f (х), и
имеет точно одну экстремальную точку в интервалах, не содержа-
щих корней, f (х).
729. " — —
730.
Использовать результат задач 727 и 726.
Изучить поведение функции
^(х)=Ш+£±^.
Y f W 1 у
731. Решается на основе предыдущей задачи при Л = 0.
732. Доказать индукцией по степени f (х), положив / (х) =
= (x-J-i) h (х), где fi (х)—полином степени л —1.
733. Доказывается двукратным применением результата задачи 732.
734. Если все корни f (х) положительны, то доказательство про-
водитей элементарными средствами, именно индукцией по степени
f (х). В индуктивные предположения следует включить, что корни
xlt х2, .... Хп-х полинома &о+М*+ ..-+bn-ite>l"-1,!xn-’ удо-
влетворяют условию
0 < Xj < х2 < •.. < xn-i и Xi > Xj-iW-2.
Для доказательства теоремы в общем случае следует предста-
вить ш*2 как предел полинома от х с корнями, не содержащимися
в интервале (0, л), и воспользоваться результатом задачи 731.
735. Рассмотреть I 'У I, где
|<р(х) — »ф(х)|
<р (x) = au cos <р+ ... +а„ cos (ф + л0) х",
ф (х)=50 sin ф+... +bn sin (ф+л0) х».
„ Ф(х)4-|ф(х)
736. Рассмотреть модуль > г«е
Ф (х) = а04-aix+ ... + апхп,
Ф (х) = ^о+^1*+• • •
Доказав вещественность корней, умножить ф(х)-]-1ф(х) на
а—и рассмотреть вещественную часть. Воспользоваться резуль-
татом задачи 727.
737. Разложить иа простейшие дроби, исследовать‘знаки
коэффициентов в этом разложении и исследовать мнимую часть
-1[<р (х)-|-1ф(х)] _ ф(х) _ .
ф (х) ф (х)
156
Ff (%\
738. Исследовать мнимую часть ^Цх) ’ Разложив ЭТУ дробь па
простейшие.
739. Сделать замену переменной так, чтобы данная полуплоскость
преобразовалась в полуплоскость Im (х) > 0.
740. Связать с задачей 739.
741.
f (х)
Разложить ' щ иа простейшие дроби и оценить мнимую
Положить x = yi и воспользоваться результатами задач 736
часть.
743. :
и 737.
744,
746. ]
дачи 744.
747. Умножить полином на 1—х и, положив | х| = р > 1, оце-
нить модуль (1—x)f(x).
745. Воспользоваться результатом задачи 743.
Положить х = * и воспользоваться результатом за-
Глава 6
СИММЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
772. Стороны треугольника, подобного данному и вписанного
в круг радиуса }/2, равны синусам углов данного треугольника.
800. Сначала вычислить сумму
2 (х+ *<)*.
затем подставить x = Xj и просуммировать по / от 1 до п. Наконец,
удалить лишние слагаемые и поделить иа 2.
801. Решается, как задача 800.
805. Каждый первообразный корень из единицы степени п, будучи
, „ п
возведен в т-ю степень, дает первообразный корень степени
где d — наибольший общий делитель т и п. В результате этой опе-
рации, проведенной над всеми первообразными корнями степени л из 1,
, п
все первообразные корни степени-^-получаются одинаковое число раз.
806. Воспользоваться результатами задач 805, 117 н 119.
807. Нужно найти уравнение, корнями которого являются
хх, хг хп. Для этого воспользоваться формулами Ньютона или
представлением коэффициентов через степенные суммы в виде опре-
делителя (задача 803).
808. Задача легко решается посредством формул Ньютона или
посредством представления степенных сумм через основные симмет-
рические функции в виде определителей (задача 802). Однако еще
проще умножить уравнение на (х-а)-(х-Ь) и подсчитать степенные
суммы для нового уравнения.
809. Проще всего умножить уравнение на (х—а)-(х—Ь).
818. Считать корни полинома f (х) независимыми переменными.
Умножить определитель из коэффициентов остатков на определитель
Вандермонда.
157
819. Прежде всего доказать, что все полиномы имеют сте-
пень п — 1. Затем умножить определитель из коэффициентов ф* на
определитель Вандермонда.
820. Решается, как задача 819.
827. Воспользоваться тем, что т-е степени первообразных кор-
ней л-й степени из 1 пробегают все первообразные корни степени —
из 1, где d есть наибольший общий делитель т н л.
828. Воспользоваться результатом задачи 827 и тем, что R (Хт, Х„)
есть делитель R(Xm, —1) н R (Х„, хт — 1).
834, 835. Вычислить R (fr, f).
839. Умножить иа х—1.
840. Умножить на х— 1 и воспользоваться результатом задачи 835.
843. Вычислить R (Хп, Xn)- При вычислении значений Хп при
корнях Хп представить Xtl в виде
считая d пробегающим собственные делители л.
844. Воспользоваться соотношением Еп = Еп—хп.
845. Воспользоваться соотношением
(пх— х—а) Fn — X (х +1) Fn +'---—= 0.
846. Воспользоваться соотношениями:
Pn = xPn-i — (л 1) Рп_2; Рп = лРп_j,
847. Воспользоваться соотношениями:
хР^ = пРп + л2Р„_1; Р„ = (х—2п+ 1) P„-i— (л — 1)»Р„_а.
848. Воспользоваться соотношениями:
(4—№)Р^-|-лхР„ = 2лРл_1; Р,— xP„_i+P„_2 = 0.
849. Воспользоваться соотношениями:
Pn-2xP„_1 + (x*+ 1) Р„_2 = 0; ?;=(л-Н 1)
850. Воспользоваться соотношениями:
Рп - (2л -1) xPn _ j + (л - 1 )2 (х2 +1) Р„ _ , = 0; Р'„ = л2Р„ _ р
851. Воспользоваться соотношениями:
Рп — (2лх+1)Р„_1 + л (л — 1)хаР„_2=«=0;
Рп = (л+1) лР„_г
852. Решить задачу методом множителей Лагранжа. Записать
результат приравнивания производных нулю в виде дифференци-
158
ильного уравнения относительно полинома, дающего максимум, и
решить уравнение методом неопределённых коэффициентов.
867. Показать прежде всего, что уравнений с указанными свой-
ствами существует при данном п лишь конечное число. Затем пока-
зать, что свойства не нарушаются при преобразовании* у — хт.
Глава 7
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
884. Использовать результаты задач 51, 52.
916. Наименьший угол следует искать средн углов, образованных
векторами второй плоскости с их ортогональными проекциями на
первую плоскость.
917. Задать куб в системе координат с началом в центре и с
осями, параллельным ребрам. Затем принять за осн четыре взаимно
ортогональных диагонали.
918. Использовать результат задачи 907.
920. Доказывать по индукции.
921. Воспользоваться тем, что V[Ai...Ат, Вх.......В/,]--
= V|A!, ..., Aml-VlBj, .... В*], если A^_|_Sy, и результатом
предыдущей задачи.
933. Прежде всего найти характеристические числа для квадрата
матрицы. Затем для определения знаков при извлечении квадратного
корня воспользоваться тем, что сумма характеристических чисел равна
сумме элементов главной диагонали и что произведение характери-
стических чисел равно определителю. Применить результаты задач
126 и 299.
934. Применить результат задачи 933.
936. Использовать результаты задач 537 и 930.
943. 1) Воспользоваться тем, что определитель треугольного
преобразования равен единице.
2) Положить
jca+i==x*+2= • • • =хп=0.
945. Принять линейную форму, квадрат которой добавляется
к квадратичной форме, за новую независимую переменную.
946. Выделить из формы f одни квадрат и воспользоваться ре-
зультатом задачи 945.
948. Рассмотреть квадратичную форму от переменных u1F и2,... ,ип:
п
/ = 2 («1 -1- U2Xk -(-•••+ UnXk-1)2,
где Xi, х2, ..., хп—корни данного уравнения.
950. Разложить / и ф на сумму квадратов и воспользоваться
дистрибутивностью операции (f, ф).
965. При доказательстве обратной теоремы использовать разло-
жение Х = АХ+(Е —А) X.
966. Записать матрицу проектирования в базисе, получающемся
объединением ортогонально нормированных базисов Р и Q.
159
967. Убедиться в том, что АХ-Х = 0 для любого вещественного
вектора X. Разложить характеристическое число и собственный век-
тор на вещественную и мнимую части.
968. Умножить матрицу А справа на Р, слева на Р-1, где Р —
ортогональная матрица, первые два столбца которой составлены из
нормированных вещественной и мнимой частей собственного вектора.
970, 971. Воспользоваться тем, что для ортогональной матрицы А
AX'AY = X’Y при любых вещественных векторах X и Y.
972. Доказывается на основе результатов задач 970, 971 и так
же, как задача 968, на основании результата задачи 967.
975, 976. Перейти к канонической форме Жордана.
978. Связать с решением предыдущей задачи.
980. Необходимость—см. задачу 473.
Для доказательства достаточности рассмотреть сначала случай,
когда все диагональные элементы матрицы С равны нулю. Далее,
использовать, что если C — XY—YX, то
S-ICS = (S~1XS)(S~1YS)—(S-'YS)(S-iXS).
ЧАСТЬ III
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Глава 1
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
< 4 . 5
!. х— п , у п .
2. х=-2;. г=2;
3. 1, если п = 4й; i, если п = 4й+1; —1, если п=4^+2;
—/, если п = 4й4-3; k—целое число.
w 5. a) 117 + 44i; Ь) —556; cj —76/.
6. В том и только в том случае, когда:
1) ни один из сомножителей не равен нулю;
2) сомножители имеют вид (а + Ы) и A(/>+ai), где А—веще-
ственное число.
1 \ ol-о ky а2—/>2 . 2аЬ 44—51
7. a) cos2а + ism2а; Ь) ; с)
.. — 1—32/ . „
d)—;е)2.
8. г/"-1.
9. а) х— 1 +/, y = i; Ь) х=2+/, у=2—i;
с) х=3—11/, у=—3—9/, г=1 — 7/.
1 1/?
Ю-а) -|-/^.; Ь)!.
11. а) а2+/>2+.с2—(ab-f-bc-f-ac); b) а3+63;
с) 2(а3+63+с3)—3 (a2i + a2c+fe2a-j-62c+c2a+c2d) + 12abc;
d) а2—ab-j-b2.
12. а) О, 1, -1+-Ц1, b) О, 1, i, -1, -/.
15. а) ±(1 + /); Ь) ±(2 — 2/); с) ± (2-/); d) ± (1 +4/)J
е) ±(1—2/); f) ±(5+6/); g) ±(l + 3i); h) ±(l-3/)S
» ± (3-0; I) ± B+0; k) ± /Д+);
6 д. к. Фаддеев, И. С. Соминский 161
1) ±У8 + 2^1^ ,± 1У—8-|-2 У~17 ;tn)±( j/*—i j/*у^ ;
п) £В±Ш; о) а=0, 1, 2, 3.
16. ± (Р-а«)-
17. a) jq=3—i; хг==—14-21; b) х1 = 24-1; хг—I—3i;
4—21
c) x1 = l—i; хг=—g—.
18. a)l±2i; -4 ± 21; (xa—2x4-5) (x24-8x-|-20);
b) 2 ± iV2; — 2 ± 2i /Г; (x2-4x4-6) (x2+4*+ 12).
19. a) x=± ± у; b) ± 4 ± i.
20 +1/ £±,'1/ +
А». ± 2 4 ± 1 у 2 + 4 '
22. a) cosO-f-lsinO; b) cos л 4-1 sin л; c) c<Vtt4-1 sin
£t i
., 3л ... 3л
d) cos-у 4-1 «in-у;
л 1ЛгА Зя , . . Зл\
f) У 2 cos-?- +1 sin t ;
\ 4 4 /
h) У 2 I cos у -f-1 sin -у I ;
j) 2 (cosy-4-1 siny-^ ;
1) 2 (cosy--f-i sin^) ;
n) 3 (cos л 4-1 sinn);
p) (У"2"+ Уб) (cos-^4-1 !
e) У~2 (cos-y-f-i sin-yj i
g) У1Г (cos y-4-1 sinyj ;
i) 2 (cosy + 1 siny) ;
,. _/ 4л , , . 4л \
к) 2 cos—+ 1 Sin— ;
\ <J u /
m) 2 ^cos у + » sin ;
. 11л , . . 11л\
o) 2 cos —7—F» sin -x- ;
\ b b /
л_\
12/ *
Замечание. Здесь приведено одьо из возможных значений
аргумента.
23. а) /ТО (cos 18°26' + / sin 18°26');
Ь) уТ7 (cos 345°57'48" + i sin 345°57'48");
с) У"5 (cos 153°26'6'+/ sin 153°26'6');
d) УТ(соз 243’26'6’ + i sin 243°26'6").
24. а) Окружность радиуса l с центром в начале координат.
b) Луч, выходящий из начала координат под углом у к поло-
жительному направлению вещественной оси.
162
25. а) Внутренность круга радиуса 2 с центром в начале_коор-
динат.
Ь) Внутренность и контур круга радиуса 1 с центром в точке (0, 1).
с) Внутренность круга радиуса 1 с центром в точке (1, 1).
3 3
26. a) x=-j — 2i; b) x—-^ + i.
27. Тождество . выражает известную теорему геометрии: сумма
квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его
сторон.
29. Если разность аргументов этих чисел равна л+2Лл, где
k — целое число.
30. Если разность аргументов этих чисел равна 2ftn, где k — це-
лое число.
34. cos (<р 4- ф) -г i sin (<р4-1|>).
35. ^cos ^2<p-i^4-i sin ^2<р.
36. а) 21г(1 + 0; b) 29(1 — 1/з"); с) (2—/З)12; d)-64.
Ов пл ... пл
38. cos -х- 4-< sm-x-.
о о
39. 2cos^-.
О
40. Решение. 1-f-cos a-j-l sin а =
л , а , л- - а «л а ( а , а
= 2 cos2 4-2i sm -у cos -^-=2 cos -у I cos -у 4-1 sin —
Ал А А Ал \ Ал А
(14-cos a4-i sin а)" — 2п cos" -у ^cos^ 4- < sin ,
.„ яъ 1- +' • — /3 4- i .
43. a) -i, ---g---, -----2----,
b)
с) 14-4 1 — 4 —14-4 — 1
£
2
i
/З . J_ . /3 J . /З
2 ‘ 2 +' 2 ’ 2 1 2 !
Ч-1/-Т 1/-5-34- i /3.3-1/3. 34-1/3.-34-1/3
e) . /3; У 3,------§-------, —g----,-------2----’------2-----1
44. a) $/5 (cos 8’5'18"4-» sin 8°5'18")eA,
где e* = cos 120° A4- i sin 120° k, k = 0, 1,2;
b) v/T6(cos 113’51'20"-|-1 sin 113’51'20") eA,
где e* = cos ^O’fe-f-Tsin 120°ft, ft = 0, 1, 2;
c)v^T3 (cos 11’15'29"4-i sin 11’15'29") eA,
где eA = cos 72’ft 4- t sin 72°ft, ft = 0, 1, 2, 3, 4.
6* 163
ле х 1 ( 24*4-19 , . , 24*+19 \
45. a)^=^cos——n + Zsln——л J ,
где * = 0, 1, 2, 3, 4, 5;
ux 1 / 24* + 5 , . . 24*+5 \
Ь) ^(COS~96“,r + ,sin“98-V
где * = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;
„ 1 / 24*+17 , . . 24*+17 \ , _ , ' . ,
с)^=Цсо8—-г^—n + zsin——nj, где * = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
. а ( ^kn , . . 2*л \ , п , „ ,
46. В cos----Н sin---- , где * = 0, 1, 2, .... п — 1.
г \ п ' nJ
47. а) Решение. Рассмотрим (cosx+i sinx)8. По формуле
Муавра
(cos х + I sin х)8 — cos 5х+ i sin 5х.
С другой стороны,
(cos х+1 sin x)6 = cos6 х+51 cos4 х sin х —10 cos3 x sin2 x—
—101 cos2x sin3 x + 5 cos x sin4 x+1 sin8 x =
= (cos5x—10 cos3 x sin2 x+5 cos x sin4 x) + i (5 cos4 x sin x—
—10 cos2 x sin3 x+ sin8 x).
Сравнивая результаты, имеем:
cos 5x=cos8 x—10 cos3x sin2 x+5 cos x sin4x;
b) cos8x—28 cos6 x sin2 x+70 cos4 x sin4 x—28 cos2x sin6x+ sin8x;
c) 6 cos8 x sin x—20 cos3 x sin3x + 6 cos x sin8 x;
d) 7cos’xsinx—35cos4xsin3x+21 cos2xsin8x—sin’x.
48 2(3tg<p—10tg3<p+3tg8<r)
1 —15 tg2 <p+15 tg4 <p—tg6 <p'
49. cosnx = cos" x—CnCos"-2xsin2x + Cjcos"~4x sin4x—... + Л4,
* n
где Af = (—l)2.sin"x, если n—четное, и
n-1
4f = (—1) n cos x sin"-1 x, если n — нечетное.
sin nx = Cn cos"-1 x sin x—Cn cos"-3x sin3x+ ... +Л4,
л-2
где M = (—1) 2 n cos x sin"-1 x, если n — четное, и
n-1
Af = (—1) 2 sin"x, если n— нечетное.
50. а) Решение. Пусть a = cos x+i sin x. Тогда
a-1 = cosx—1 sinx;
ak = cos *x + i sin *x; a-ft = cos *x—i sin *x.
Л , a* + a-ft . . ak—a~k
Отсюда имеем cos*x=---4?-! sin*x =-----.
164
n UU —1—Ы, -u,
В частности, cos x=—Чг5— ; sin x = :
2 2i
— (a—a-1\3 »3—ЗоН-За-1—g~3(g3—g-3)—3 (a—g-1)
2i
— 8i — 8i
. , 2i sin 3x—6i sin x 3 sin x—sin 3x
Sin3X =
~—'bi 4
.. cos4x—4 cos 2x4-3 . cos 5x4-5 cos 3x-j- 10 cos x
b) -------5-------- ; c)
8
cos 6x 4- 6 cos 4x 4-15 cos 2x 4- 10
16
32
52. Решение.
Cm-p-J- Cm-p-1 —
_ (от —р)(от —p —1) ,,, (m—2p4~l) । (от—p—1) ... (от—2p4- 1)
P! (Р-1)!
от (от—p—1) (m — p—2) ,,, (m—2p4- 1)
~ P-
Обозначим 2cosOTX = Sm; 2cosx=a. Тогда интересующее нас
равенство можно записать так:
$я> = а'»-/Яа'»-*-|-(С£1-2-|- С^-з) .
... +(-1)Р(СЙ-р4- ат~2Р + ...
Нетрудно показать, что
2 cos отх = 2 cos х-2 cos (от— 1) х—2 cos (от—2) х,
или, в наших обозначениях, Sm = aSM_!—Sm_2.
Нетрудно проверить, что для т—1 и от=2 доказываемое ра-
венство справедливо. Допустим, что
Sm-t 1) a™-34. (C^_34-C^_4) п“-34-...
• ••4-(—0^ (Cm-p-14-Cm-p-a) ат~2Р~1 ;
Sra_ 2 = -а- (от-2) а»-а 4- (СД_44- С^_6)а™-3 4- • • •
• • • 4-(— 1)Р-1 (Cm-p-i4-Cm-p-a) ara_2P4- • • •
Тогда Sm = am — rnam-a-|-...
• • • + (— 1)^ (Cm-p-14- Cm-p-a4- Cm-p,-i4- Cm-p-a) am~2P-j- .,,
Имея в виду, что Сп= Cn-i4-Cn-i, получим требуемый результат.
53. •^TS=(2cos-v)'’_1-Cm-2(2cosx)'»-a4-
+ С^_3 (2 cos х)-» -з-... + (-1 )Р СР_Р_! (2 cos х)”> -aP-i 4- ...
и и
ел ч п~9~ Я11 U п~9~ • ЯЛ _а 2“ .ПЛ
54. а) 2 1 2 3 * S cos-7-; Ь) 2 1 sin—— . 56. -r-sin-^-.
' 4 ' 4 и-1 6
3 2
59. а) Решение.
S — 14- a cos <р 4- я2 cos 2<р -|-... 4- в* cos /кр.
165
Составим T = a sin <p+a* sin 2<p + ... + aft sin fe<p;
S4- Ti = 1 -J- a (cos <p+ i sin <p)-j- a2 (cos 2<p + i sin 2<p) + ...
... + a* (cos A<p + i sin Aq>).
aa-1—1 aft+2afc—atl+1a't+1—aa-1~t-l
aa-1— i
a2—a(a+a-1)+ 1
Положив a=cos <p4-i sin <p, имеем
nk +lwft + l- 1
S4-Ti = 1 +aa+o2a2+ ... -\-akall =-—j-----
S равно вещественной части подученной суммы. Имеем
aa— 1
_ о aft+2cosfap—eft+1cos(fe+l)<p—ecosq>+l
Отсюда S --------------»—x— .
a2—2ecos<p+l
gft+Ssin ($>-$-kh)—ak+1 sin [<p ~t~ (fe + 1) h]—о sin (cp—h) + sin <p * 2 3 *
' a2—2a cos Л-f-1
2n -f-1
sin—5—ж
°) —г—.
2>lnf
60. Решение.
T = sin x-f-sin 2x+... +sin nx;
S = cos x+cos 2x+... -f-cos nx.
Пусть a=‘cos-£-4-i sin — . Тогда S-|-77 = a2+a44-... +a2n,
4-L.Ti-,,2 “a“—1 _„2 «n(«n—a-") _
a2—1 a (a—a-1)
n
ii , 1 V Sin -77 X
л~ЬI । . , n+1 \ 2
cos —x4-1 sin —~ x ------
2 2 J x
sm^
3In-o~
Отсюда T = sin —7^— x------.
sin A
2(2—cos x)
Qj ф
5—4 cos x
( , n—I . nA
sin I a-j-g—Al sm
64. a)---------------------, если n—четное,
cos y
/ , n—I , \ nA
cos i a-|-A I cos
. если n — нечетное;
A
cos-
166
{ I Л—1Л •
cos I a -|-J— h j sin -g-
b)-----------7—, если n—четное.
1 h
c°sT
, / . n— 1 . \ nh
sin I a 4- —g— h 1 cos -y
-------------, если n — нечетное.
h
c°sT
66. а) 2й cos"— cos П 2^’ x', b) 2" cos" -y sin —-y x.
- x nn—(n+Z)x .. „„ . „ x . (n + 2) x—tm
67. a) 2" sin" — cos-; b) 2" sin" -y sin -——у----
68. Предел суммы равен вектору, изображающему число -Ф* .
и
о„ п sin 4пх
b9’ Т 4sin.2x ’
„ п+1 . пх 3 (n+1) . Зпх
3cos—5— х sin -и- cos——~—-ж sin——
2 “ I “ ~
3sin хsin~
Ь)------2__----L
4sin-y
. 3(«+1) . Зпх
ип -5—^—- х sin —у-
. . Зх
4sm-y-
_ . (n+1) cos пх—ncos(n+l)x—1
/2» Я) «
4 sina-y
Ь)
(п+ 1) sin пх—п sin (п+1) х
. . 2 X
4 sin2 —
73. еа (cos i>+i sin b).
8, _3; Ы+1; b) -3; 3 = 5/3“ ;
e) —7; -li.VT; d) -1; e) 2; -l±/3;
g) J/9-2^7; ^-y» ..±4L(^+2^); .
h) +>/7.
167
i) -(1+^Г+^У):
-2+^3 +^9 ± (^Г-^>.
j) 2; — l±2i КЗ; к) 2; —l±3i КЗ; 1) 2; — l±4i VT;
m) 1; —2± УЗ; n) 4; —1 ±4i У"з"; о) —2i; i; i;
p) —1—i; —I—i; 2+2i;
q) —(a + 6); ± (a—b);
r) — (аУ Pg+bf/fg*)-,
±42(0^_4г//?)!
s) 2,1149; —0,2541; —1,8608;
t) 1,5981; 0,5115; —2,1007.
76. Решение.
Xi — x2 = a (1 —ш) + Р (1 —<a2) = (1 — co) (a—Pcoa);
*i —x3 = a (1 —co2) + P (1 — co) = (1 — co2) (a—P<o);
x2—x3 = a (co—<o2)-j-P (co2—co) = (co—co2) (a—P);
(x2—x2) (*!—x3) (x2—x3) =3 (co—co2) (a3—P3);
(x, —X,)2 (x. —x3)2 (x2 —x3)2 =
= —27 [(a3 + P3)2—4a3P3] = —27</2—4p3.
77. Решение.
Кубическое уравнение, о котором упоминалось в указании, есть
г3—3 (px+q) г+х3+р3—3qx—Зр<? = 0, имеющее очевидный корень
г = —(х + р). Остальные корни этого уравнения суть г2 3 =
х+р±У~—3(х—р)а+12<? D
=---------------——!-— . В силу задачи 76 левую часть изу-
чаемого уравнения можно представить в виде
— (*,—*>)’(*,—г,Г —*,)* =
> |_3(,_й.+ ,2,! з,> + я+Г-з<«-^+^у Х
Гз(х+р)-/-3 (X-Р)2+ 12^]г
Х L 2 J ~
= [(х—Р)2—4<7](х2 + рх+ра—q)3,
откуда
78.
2
корни легко находятся:
*1,2 = Р ± 2 Х;1 =Х3=~Р~^ -V.^~3£- •
_—р— V4q — Sp3
хъ — хл —----2--------
Левая часть представится в виде
а6 + Рь + 5 (а-?Р) (а2Н-аР4 Ра—а) (оф—а)—26 = 0.
168
Ответ. x = a-j-P, где
a = f/b+ р=|/&—Кб3—a6; ap=a,
79. а) ± КГ; 1 ± i ]/з"; Ь) —1± Кб; ± i УЗ;
c)±K2;iAlfL; а)1±Д;ЦД:
е) £±Из; 1±(-:
g) ± «; 1 ± I КГ ; h) ± Кб ; —;
О ± i; -1 ± I Кб; j) —2±2 КГ; -1 ± {•,
к) 1; 3; 1± КГ; 1) 1; —1; l±2i;
. 1 + КГ ±/22 + 2 Кб . 1 - Кб ± /22—2 Кб
4 4
ч 1 + Кб ± /30—6 Кб 1 — Кб ± /зо+б Кб
п) --------4-----;---------4------;
°) i+2^ ± 4 /-1- 2 КГ;
/=2^±4и-1+2К2;
р) 1+ К? ± /б+2 К?! 1 —К? ±/б—2 КГ;
q) 1 ±/4 КЗ-З 1 ± J/ -4 КЗ-3
2 2
1 + Кб ± K-2-бКб . 1-К5 4: /-2+6 КГ .
г) 4 4
1 + К2± К-5+2 КГ . 1— КГ ± /-5-2 КГ .
з) 4 ’ 4
.. 1 + КТ ± /12 + 2 КГ 1 - КЗ ± /12—2 КЗ
*)'--4 ’ 2 •
80. Решение.
ж4 + ахэ+Ьх2+сх+d =
=^г+4*+4+отх+") (х2+т*+4—тх~п) ’
ад=-у+«; v«=y—«; х-^хл+va-
169
81. a) ±1; b) 1; c) ±1; ± 1;
d) ±1; ± -y ± i’ I e) ±1; ± i; ±-^-H±i);
1 . Уз" Уз i
f) ±i; ±<; ± ~2 i»’~2~; ± —y ± ’
g) ±i; ±f; ±y±«^; ±^d±0; ±^±y;
Кб + уТ . Уб"-УГ. , Уб-Уг Уб + У2"
± 4 ± 1 4 ’ ± 4 ±1 4
82. a) —1; b)-^^; c) ± i; d)-j-±s'l^;
e) ± (i ± 0; 0 ± '-y- ± ;
. , Уб’+Уг , . Уб-Уг. VT-yF . Уб+Уг
g) ± —-j-----± <----4---> ±-----4----± <---4—
83. a) 20; 20; 180; b) 72; 144; 12.
84. cos тр+isin^y где Л=1, 2, 3, 4, 5, 6.
- 2fcn . . 2kn-
8Б. а) Обозначая e* = cos-jg—t-isin-^-, получаем:
показателю 1 принадлежит e0;
показателю 2 принадлежит е8;
показателю 4 принадлежат в4, в12;
показателю 8 принадлежат е2, ев> е10, е14;
первообразные кории 16-й степени еп е3, е5, е7, е9> е11( е13, е16.
,. 2йл . . 21т
Ь) Обозначая eA=cos-эд-+1 sinполучаем:
показателю 1 принадлежит е0;
показателю 2 принадлежит е10;
показателю 4 принадлежат 8б, е15;
показателю 5 принадлежат е4, е8, е12, е1(;
показателю 10 принадлежат е2, е(> в14, е13;
первообразные корни 20-й степени в1( е8, в7, е9, е1(, в13> е1;, е19.
х 2fai , . . 2fai
с) Обозначая Bft = cos |-«sin получаем:
показателю 1 принадлежит в0;
показателю 2 принадлежит в12;
показателю 3 принадлежат в3, в^;
показателю 4 принадлежат в3, в13;
показателю 6 принадлежат в4, в20;
показателю 8 принадлежат в3, в3, в15, в21;
показателю 12 принадлежат в2, в13, е14, вг2;
первообразные корни 24-й степени в3, в?, 8и, в18, в17, bJ9, е33.
170
86. a) A\(x) = x—1; b) X2(x) = x+1;
c) X3 (x) =x»4-x+l; d) /«(*)=**+1;
e) ХБ (x) =x4-i-x34-xa4-x+l;
f) X6(x) =x2—x-j-1;
g) X7(x) =xe4-xs+x4+x3+x24-x+1;
h) X3 (x) =x4 +1;
i) X,(x) =xe4-x»+l;
j) Xl0 (x) =x*—xs+x2—x+1;
к) Хц(x) =x104-x’+x8+x’4-x6 + x5 + x44-xs+x24-x+Г,
1) X12(x)=x*-x»+l;
m) Xn (x) =x®—x’+x6—x4-f-x3—x-f-1;
n) X106 (x) = x«+x‘7 + x46—x43—x42—2x«—x40—
—x®*+x33 + хЗБ+x34 + x33+x32+x31—Xм—Xм —
— x24—x22—x20+x17+x18 + х1Б + x14+x13+x12—
—x’—x8—2x’—x8—x*-f-x2-|-x-|-1.
87. -Д-.
1—8
88. О, если n > 1.
89. n, если k делится иа л; 0, если k ие делится иа л.
90. т(х“4-1).
91. —, если 8^1; если 8=1.
1—8 2
Q л2(1—в) + 2п п (л +1) (2п +1)
92. , если в # 1; —*—!—--------------!—- , если е = 1.
АЛ \ fl « \ fl i.
93. а) —; Ь)------ ctg —.
’ 2 ’ ' 2 & п
94. а) 1; Ь) 0; с) —1.
95. х0=1;
2л ... 2л KiT—1 . i 1/,Л , „,г=-
x1=cos-=-+i sin-=-=—т----[—а-ИЮ+губ ;
О 0 4 4
хг = cos 4?+» sin ^-=— 10—2/5";
xs = cos S-~Hsin~E~=~ 1°—2/б";
0'0 4 4
8л . . . 8л /б"— 1 i i/,n , a ,r=-
x4 = cos-=-4-isin-=-=-г--r V 10 4-2/5.
□ 1 0.4 4
е,з1»-П.°+гИГ.
. 4 4
97. Решение. Разделим обе части уравнения хв4-х64-х4+
х34«хв+«+1я0 иа х®. После некоторого преобразования по-
чнм
МЛ(«+4М*+-9-'-Л
171
Уравнению z34-za—2z—1=0 удовлетворяет z — 2 cos-у—-
=—2sin-j^-. Отсюда Z = 2sin^ удовлетворяют уравнению t3—1г —
—2/+1=0. Полученное уравнение—простейшее в том смысле, что
всякое другое уравнение с рациональными коэффициентами, имеющее
общий корень с этим, имеет более высокую степень. Доказательство
этого требует сведений из последующих отделов курса.
98. Решение. Пусть п = 2т, тогда уравнение хп—1=0 имеет
два вещественных корня 1 и —1 и 2т—2 комплексных. При этом
2Лл . . . 2kn 2 (2m—k)n ,
8* = COS 2т +'SIn~2ffT сопРяжено с е2и-a —cos--2ffj ' +
. . . 2 (2m — k)n
+ i sin —;. Таким образом, имеем
x2m — 1 = (x2— 1) (x—ej (x—ej (x—ea) (x— 72)...
_ • • • (*-««.-!) (x—
x2®—l=(x2—l)[x2—(ei + ejx+l] ... [x2—(em-i + eM_1)x+ 1];
m-i
x2«>—l = (x2-l) П (x2—2x cos —+1
x2i» + l__
Если n = 2m+l, то аналогичным путем получим
m ' 2 о 2/эт
2*cos ^+1
99. P e ш e н и e. а) Имеем
X2»_l Vr I
x2—2xcos
m-1 .
Положив x=l, получим m = 2m~1 TT ( 1 —cos
tn-1
нли m = 22(,®_1) TT sin2-—, и, наконец,
ДА 2m
J^LJffsin^.
2Z®“1 2/n
Формула b) получается аналогичным путем.
Л- 1
100. Решение. В тождестве хп — 1=JJ (х—
ft=o
2ял , . . 2кл а „
где 8л — cos 1 sin , положим х = —. Получим
(у+вА) ИТ. Д.
172
101. Поступая по указанию, имеем
п—1
cos nO-j-i sin П0-1 =П (cos 0-f-i sin 0—eA),
*=o
rt — 1
cos пв—i sin n©—1 = JJ (cos 0—1 sin 0—eA).
ft = 0
Перемножив последние равенства, получим требуемый результат.
102. Решение.
Й* (< + «л)"—1 J.
> t *п
п-1п- 1
П П (* + 8* —8*) =
k = 0 S =0
Л- 1 п- 1 п- I
П П(/-8А(8,-1)]=Д П[/Я-(е,-1)«] =
1 s=0fc = 0 * s=0
я-1
= П (ел—1)«].
fe = i
103. Имеем | х | = | х I”-1, следовательно, |х|=0 или |х| = 1.
Если |х|^0, то х=0. Если же | х |= 1, тохх = 1.
С другой стороны, хх = хп. Следовательно, хп=1. Таким
образом,
Л 2£л . . . 2£л . Л , „ ,
х — 0 и х —cos-----kt sin—, k = 0, 1, 2, .... п—1.
п 1 п
Обратное проверяется легко.
104. Решение. Если г удовлетворяет данному уравнению, то
1г—а\ ”/1 u | _
|-—— у |"5и ’ * еометРическое мссто точек, расстоянии от
которых до двух данных точек находятся в данном отношении, есть
окружность (в частном случае—прямая).
х+1 2Лл . . . 2Лл . .
105. а) Имеем —L-т—вь, где еь —cos-------Pi sin---, Л=1,
’ х—1 я я т 1 т
Еь -4- 1
2.....т—1. Отсюда х—. Преобразование последнего выра-
—1
ksv
жения дает *A = ictg —, 6=1, 2.......т — 1;
b) Xft = ctg^-, Л=1, 2, ..., т—1;
С) Х*=г-------- ,
еА j/2-l
2йл , . . 2йл , „ , „
где eA = cos---Н sin---, k — Q, 1, 2, .
п 1 п • ’ ’ .
п—1.
173
J I J Д.
106. Решение. Пусть A = cos sin <p. Тогда
ф4-26л . . . <р+2Лл ’ _ . , „
где Tib = cos—4--kism—н------, k — 0, 1...m—1. Отсюда
2m 1 2m ’
x.__ nl—1 _ Па—ni1 =t <P + 2ferc .
«(n*+0 «(lU + nfc1) 2m
107. Решение. Поступая по указанию, имеем
S-|-7T = |i (1 7ЬАх)л, S—Ti = n (1 Ax)n,
где A = cosa-f-i sin a, pi = cos <p+ i sin <p. Отсюда
, 2S = p, (l-bXx)n+jT(l + Xx)n.
Уравнение принимает вид ц (1 + Ax)n-|-p (1 + Ах)” = 0;
sin(2fe+^-2<P
л*=~~(2/г+1) л—2ф-^2^а ' k = °’ ’’ 2....L
2п
108. Решение. Пусть а°=1; 0Ь — 1. Тогда (af})°b =
= (ав)».(₽6)°=1.
109. Решение. Пусть в—общий корень х“—1 н х6—1;
s—показатель, которому принадлежит е. Тогда s—общий делитель a
и Ь, s может быть поэтому равно только 1 и в=1. Обратное оче-
видно.
ПО. Решение. Пусть аА и 0$—корни а-й и b-й степеней из 1;
6 = 0, 1, 2...... а—1;' s = 0, 1, 2........b—1. На основании за-
дачи 108 достаточно показать, что все a*0s различны. Допустим, что
а пт а*' п
Тогда —==77-, т. е. а( = р,.
ahi Psi
На основании за-
дачи 109 a,- = Py= 1, т. е. kl—k2; s1 = s2.
111. Р еше ние. Пусть а и 0 — первообразные корни степенна
и b из 1. Пусть (а0),= 1. Тогда a6‘s=l; 0"=!. Выходит, что bs
делится на а, аз делится на Ь. Следовательно, s делится на ab.
Пусть А—первообразный корень степени ab из 1. Тогда A = aft0‘s
(задача 110). Пусть ak принадлежит показателю аг <а. Тогда Аи>6=
=(aft)°i6 (P,r)aib= 1, что невозможно. Точно так же можно показать,
что Р'5—первообразный корень степени b из 1.
112. Непосредственно следует из задачи 111.
113. Поступая по указанию, выпишем все числа, кратные р и ив
превосходящие ря. Именно: 1-р, 2-р, 3-р, ..., р,-1-р. Непосред-
ственно видно, что таких чисел ра-1. Отсюда ф(р») = р«—p«-i =
= р“ ( 1—-Y На основании задачи 112, Ф(п) = ф (р“‘)Ф (₽22) •••
- hpw="('4)('-s) - ('-£>•
114. Р ешение. Если е—первообразный корень степени л из1,
то н е, сопряженное с в,—тоже первообразный корень степени п нз 1.
При этом в # i 1, так как п > 2.
174
115. Xp(x)=xP-1+^-2+---+*+l-
116. Xrm(x)=x<P-Wm~1 + x<P-2»’m-I-l-...+xPa~l 4-1.
117. Указание может быть выполнено сразу на основании
задачи 111.
Пусть ait а2...а® (П> — первообразные корни степени п из 1.
Тогда —«j, —а2.....—а,? (п)—первообразные корни степени 2п
из 1. Имеем
Х2л (*) = (*+ at) (ж+а2)... (х+ ат (л)) = '
= (-1)’’ ,п> (-*-«!)-. ,.(-х-ат
или (задача 114) Х2п(х) = Хп(—х).
118. Решение.
ный корень степени nd из 1,
делим k на п,
о । 2гл
2?л+—
е$=со8
т-. 2Лл . . , 2йл
Пусть e* = cos-^j+( sin первообраз-
е. k и п взаимно просты. Раз-
получим k = nq + г, где 0 < г < п. Отсюда
о । 2гл
2?л+—
-д---Н sin------, т. е. е*—одно из значений
. 2лл', . . 2лл .
корня степени а из т]г = cos ——[-1 sin — ; r]r—первообразный ко-
рень степени п из 1, так как всякий общий делитель лип есть
общий делитель kun.
2лл , . . 2лл .
Пусть теперь т]г = соз ——f-isin-^----первообразный корень
степени п из 1, т. е. г и п взаимно просты.
„ , 2гл _ , 2гл
2?л-4---- 2?л4----------- о / , ч
Составим в cos " -Cisin п -еоч 2’1(г+Л<7) 4-
^ULldDilM Ол—-IUD -т-' 1 —t—I bill , —• LUS '« "T~
4 a ‘ d nd 1
~+ i sin > гДе <7=0> 1. 2, ..., d— 1. e9—первообразный
корень степени nd из 1. Действительно, если бы r-\-nq и nd дели-
лись оба на некоторое простое р, то на р делились бы п и г, а это
невозможно.
119. Решение. Пусть е2.............8<р(<> — первообразные корни
<₽ («')
степени п' из 1. Тогда Хп,(хГ) = Д Пусть> далее,
(х—J (х—8/tt 2)...(х—ей, „") — разложение х" —е* на линейные
*=<₽(«-)
1 = П
множители. Тогда Хп(хп)= JJ (х—еА На основании за-
*=1
i= 1
дачи 118 каждый линейный множитель х—/ входит в разложе-
ние Хп(х) и обратно. Так как, кроме того,’ <р (п) = п'<р (п'), сте-
пени Хп (х) и Хп' (хп ) равны.
Г75
121. Решение. Сумма всех корней степени п из 1 равна 0.
Так как каждый корень я-й степени нз 1 принадлежит показателю d,
являющемуся делителем п, и обратно, то ZjH, (d) = 0.
djn
о „ 2/от , . . 2kn
122. Решение. Пусть вк =cos — +i sin — принадлежит
показателю пх. Тогда множитель х—вк войдет в такие н только такие
двучлены х^—1, где d делится на пх. При этом, если d пробегает
п , п _
все делители п, кратные nlt —пробегает все делители — . Таким
образом, х—вк в правую часть войдет с показателем 2 р. (di).
Сумма эта равна 0, если — 1, н равна 1, если п~пх.
_”1
123. Решение. Если п = р*, где р —простое, то Х„(1) = р.
Если я = р^«р2’ ... р%к, где рх, рг, ..., рк — различные простые, то
(задача 119) X„(l) = Xn, (1), где п' = рхрг ...рк.
Пусть теперь я = РхР2 ... р»; ЛЭа2; пх = —. Заметим, что для
Р*
получения всех делителей я достаточно ко всем делителям пх при-
писать нх произведения на рк. Поэтому
Х„(х) = П(^-1) k =
d/л
d/л, dint
= [ХЯ1(х)]-1-Хл> (*₽*).
Отсюда Х„(1)= 1.
124. Решение. 1) Пусть я—нечетное, большее единицы.
Тогда (задача 117) Хп(—1) = Х2п(1)=1.
уП__1
2) Пусть я = 2*, тогда Х„=—-----=х2+1 и Х„(—1)
х2 —1
равно 0, если Л=1, и равно 2, если k > 1.
3) Пусть п = 2пх, где пх—нечетное, большее единицы. Тогда
(задача 117) Х„(—1) = ХП1(1) н, следовательно, Х„ (—1) или равно р,
если я^—ра (р—простое), или равно 1, если ях £ р*.
4) Пусть я = 2*яь где k > 1, а я1 = р“»р^« ... p“s(Pi> Ра. ...
.... ps—различные нечетные простые числа). В этом случае (задача 119)
X„(x) = X2piPi где Х = 2*-1р^*-1 ... р“«-1. Отсюда сле-
дует, что Х„(—1) = Х„(1)=1.
176
125. Решение. Пусть ej, е2, . ..,8ф(в)— первообразные корни
степени п нз 1:
s=8i82+e]e84-...+8ф(В)_1-е(р(В) =
= [И («)]2 * * s~ ( 8^ + 8^ + • • + 8^, (п))
2
1) Пусть п — нечетное, тогда е2 есть первообразный корень сте-
пени п из 1 и е2 = е2 только при i = j. Поэтому
еНез + --- + еФ(«) = Н(«) и s = fp'-(-^l_~p,(n).
2) Пусть /1 = 2/1!; «!—нечетное. В этом случае—е/ (задача 111)
есть первообразный корень степени п± нз единицы н поэтому (см. 1))
е2 "1‘ еа + • • + 8ф (л) = И (я1) =—И (") Таким образом, в этом случае
|р(я)]2+ц(я)
2
3) Пусть я = 2*Я1, где k > 1, п±—нечетное. В этом случае е2 при-
надлежит показателю у. На основании задачи 118 утверждаем, что
81, е2, ..., ес(в) представляют собой квадратные корни из i)i, tj2, ...
..., т] г „ \ ,’где T)i, т]2, ..., т) fn\—первообразные корни степени
Чт) Ф
у из 1. Отсюда следует, что
8j + 82+...+e*(B) = 2
+ п
ф
n—1 у+п— 1
126. Решение. 3 = У, е*8 = 2
х=0
п-1
е*‘ = 2 80'+Л* при любом
s = О
целом у;
л-1
л— 1
л- 1
п-1
3' = 2 8-^‘; 3'3 = 2 е-^З = 2J 8-J”. 2 8<^+«2 )=
0=0 0=0 0=0 \ s=0 /
л—1л—1 л-1 / л-1 \ л-1 л-1
= 22 82^+^= 2 е’г- 2 е2^ ) = я+ 2 2 (e2s/ = «
0=Os=O s=0\ 0=0 / s=l 0=0
при л нечетном;
п
1+(-1)2.
З5' = я4-яе
(Л- 1
так как 2 e2s->' = 0 при 2s, не делящемся над].
0 = 0 . J
Итак, | 3 | = уп, если п— нечетное, и 131 =
если п—четное.
1+(~1)2
177
Глава 2
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
127. а) 5; Ь) 5; с) 1; d) ab—с2—d2; е) a2-f-P2—у2—б2;
f) sin (a—Р); g) cos(a-|-P); h) sec2_a; i) —2; j) 0; k) (ft—c)(d—a);
1) 4ab; m) — 1; n) —1; o) .
128. а) 1; b) 2; c) 2a2(a + x); d) 1; e) —2; f) — 2— V~2;
g) —3i /3; h) -3.
129. Число транспозиций нечетное.
130. а) 10; b) 18; с) 36. 131. а) 1 = 8; k = 3; b) 1 = 3; * = 6.
132. ft. 133. Cl—I. 134. а) I b) ” (”2+ .
135. a) "-(3w2+»).; b)
136. Рассмотрим пару элементов а, и a«, где i < k. Если эти
элементы не образуют инверсии, то и после приведения перестановки
в исходное расположение а; будет предшествовать ak и, следова-
тельно, номера i и k не будут давать инверсии.
Если же элементы а,- и а* образуют инверсию, то после приведе-
ния перестановки в исходное расположение будет предшество-
вать а; и, таким образом, номера i и k будут давать инверсию.
137. Подстановка в обоих случаях нечетна. Объясняется это тем,
что одно исходное расположение получается из другого посредством
четного числа транспозиций.
138. а) со знаком -|-; Ь) со знаком + .
139. а) не входит; Ь) входит. 140. 1 = 1; Л = 4.
141. airai^a3iaii, а^гагза^а^ н а^агза31а^.
а31 а32 а3й
°41 ai2 а43
аБ1 flS2 aBS
142. —ai4#2s
С2
143. Со знаком 4-. 144. Со знаком (—1) я.
я(га— 1)
146. 2; —1. 147. а) п !; Ь) (—1) 2 ; с) я!.
п (n+1) И (n+ 1)
148. а) (-1) 2 (n!)«+i; Ь) (-1) 2 (я!)"*1.
149. Решение. От замены строк столбцами определитель: 1) не
изменится; 2) превратится в сопряженное комплексное число.
150. Решение. От замены строк столбцами определитель:
1) не изменится; 2) умножится на —1.
л (п-1)
151. (—1)л-1 Д. 152. Умножится на (—1) 2
. 153. 0, так как число четных перестановок я элементов равно
числу их нечетных перестановок.
154. а) *!=«!; х2=а2; ...; хп-1=ая-1;
Ь) д=0; х2 = 1; ...; х„_1 = я—2;
с) x1=al; х2 = а2; ...; x„--1=a„_l.
178
156.0. 158. (mq — пр) “ ° .
| с a I '
159. а) ... an(~ + ~+ • • • +~) J -
\ “x “2 an /
я (я-1) /11 1 \
ь) (-i) 2 °x«2 )
160. 3a—6 + 2c+d. 161. 4/—x—у—z. 162. 2a — b—c—d.
163. —1 487 600. 164. —29 400 000. 165. 48. 166. 1.
167. 160. 168. 12. 169. 900. 170. 394. 171. 665.
172. a24-62-|-c2—2(bc-)-ca+ab). 173. — 2(x34-y3).
174. (x-f-1) (x2—x-|-I)2. 175. x2z2. 176. —3 (x2—1) (x2—4).
177. sin(c—a) sin (c—b) sin (a—b). 178. (af — be-f-cd)2. 179. n!.
180. b±b2 ... bn. 181. (x—Xj)(x—x2)...(x—x„).
182. (n—1)1. 183. — 2 (n—2)! 184. 1.
185. -2L—[2а-Ня— 1)Л]. 186. —[2а+(я—1)Л].
п (п+ 1)
187. (-1) 2 [а0-а1 + а2-...-Н-1)пал].
188. a0xn + a1xn-1+...4-a„. 189. — (х—i)2 ‘
190. (h + 1)1x". 191. (х—at)(x—а2) ... (х—а„).
192. [х+(я— 1)а](х—а)»-1. 193.
194. (— 1)"(л+ 1)0^2 ... а„.
195. а^а2 ... ап (l-f- ——Ь——Ь 4~—У
\ а1 а2 аП )
,196. й(х-|-Л)п. 197. (—I)"-1 (я—1)х"-2.
198. (-1)«2«-Ч^ ... +
\ “1 “2 ап 1
П
201. П (1— axkk). 202. (— l)"-«2»-2(n+ 1).
fe=l
203. (—1)я (ао^Н-а^Н- ... +ал6п) ЬгЬ2 ... bn^l.
204. а (а 4-6) (а 4-26) ... [а4-(«+1) 6].
205. хп4-(— Ця-1 уп. 206. О, если п > 2. 207. О, если я > 2.
208. Пусть я = 2. Поступая по указанию, имеем:
l+ai+*i °1+*2 _
«г+*х 1 + «г+*2
_|1 01 11 ai-b«2 , pi + *x О
| О 1 | j 0 а2 - - ^2 I I ^2 "I” 1
= 1 + [(ах+*х) +
, |ах+хх ax + *2|_
I а2~1~х1 e24**2 I
[а2+*2)] + (Ог—»х) (Х!—хг).
Представляя таким же образом определитель я-го порядка в виде
суммы 2я определителей, получим, что одно нз слагаемых равно
179
, • t Г» « V*- 1J
единице, n слагаемых равны где t=i, 2, ...» п, и ———
слагаемых равны (а,—а*) (xk — X/), где i > k.
Остальные слагаемые равны нулю. Таким образом, имеем ответ:
п
1+ 2 <а<+ *<)+ S (ai — ak)(Xk—Xi).
/=1 l>k
Этот результат можно преобразовать к виду
(1 -И1 + а2+ +ая) (I+^+xjH- .. .+*„)—
— п (а1х1+а2х2+ ... +а„х„).
n-Ll Хп + ! 1
209. 0, если р > 2. 211. 4— ----гз-.
1—х (I—*)2
212. Решение. Легко видеть, что Д2 = х1х2 ( 1.
\. Xi ' х2)
Допустим, что Д„_1=х1х2 ... xn-i( 1+-^- + -^-+... + ^гг1).
\ Х1 Х2 хП-1/
Тогда Д„ = хгх2 ... С1+“+”"+•••+
\ Х1 хг ХП~1 /
+a„XjX2 ... x„-i = XiX2 ... x„( 14-^14-21+...+^).
\ Х1 х2 хп/
213. воХЛ ... х„4-а1у1х2 ... хп4-а2у!у2хз ... хп+...
+апУ1У2 Уп-
214. —ага2 ... ап( — +~—l~---4-—Y
\ “1 а.п )
215. п! (аохп4-а1хл-1+... 4-а„).
216. аха2 ... an-i—ага2 ... а„_24-... 4-(—!)«а14-(—
217. Решение. Разложим определитель по элементам первого
столбца; получим Д„ = (а+Р) Д„_,—ард„_2. Нетрудно проверить,
4 а3—Р3 . а4 —Р4 п . а«-1_рл-1
™ : Дз=^=Т’ Д°п>стим> чт° Ал~2- к_р
л , , оч а”—₽" да”-1 —p«-i
д« = («+₽> -^р— а₽ "а-р
Второй вариант решения.
Представим Дп в виде суммы dn-[-l>n, где
а ар 0 .. 0 0
1 а 4- Р аР .. . 0 0
d„= 0 1 а-i Р 0 0
0 0 0 . 1 а4~Р
₽ 0 0 .. 0 0
1 а4~Р аР .. 0 0
V- 0 1 а4-Р .. 0 0
0 0 0 .. 1 а4-Р
180
Из первой4 строки d„ вынесем a и затем из второй строки вычтем
первую. Получим dn = ad„_1. Легко видеть, что d2 = a2. Пусть
dn-1 = an~1, тогда d„ = an. Разложив 6п по элементам первой стро-
ки, видим, что
Из сказанного следует, что An = а"+ PA„-i. Нетрудно проверить,
@3__Rs ап__йп
что Д2 =----£— . Предположим, что An_2 =-------g-. Тогда
a—~р Ct—"Р
л „ , аа" — ₽" а« + 1 —р»*1
Ай=а« + ₽-^-=-------------2—
218. п+1. 219. sln<n+1)0
sin 0
221. х"—Сп-1Хп-г + С2п_гХп-*—
п- 1
222. (xi+lyi — xiyi+1).
a—p
220. cos nO.
Сравнить с задачей 53.
223.
224.
225.
... <ц1+—j.
n (»-1) , . .
(-1) 2 Ola2 ... an l + 2-+2_+.
\ “1 a2
x^—x) ... (an—x) U-+—1— +...4
ул U1 _Л
226. (%j — a J (x2—a2) ... (xn—an) (1 + 01
\ *1 —ai
an
xn~an
n
227. Д(л;—a,
aibi \
Xi—afti J
228. (—l)«m«
229. Xj = x2= ... =x„-! = 0;
230. (а2—b2)n.
231. a (a + &) ... [a + (n—1) 6]
x
a+ft'^'”*^' e+(n—l)d
n
232. xn~l JJ
iTTl
x—2ai j
/ " 2 \
(x-2az)^+g7-^-j.
n
233. x”-1!!
i=l
234. 1-Ь1 + М2—МЛ+.--+(—1)"ЬЛ ••• bn.
235. (—I)”-1 (bia,a3 ... a„ + 6jh2a3 ... a„+ ... +&Л ... Ь„^ла„).
236. (—!)«-! xn~2. 237. (— l)n[(x— l)n—xn].
181
238. ацХ" JJ (bj — а-}. 240. 1. 241. 1. 242. 1.
i=\
s>n+i z-<n+i z-<rt+i m(zn+l)
243 cm+nCm+n-i- -^m+n-k+i j
* Л1Л + 1лЛ + 1 />И + Х ' ’ *
^k + fl^k+n-l> • «Ьп + 1
245. (x— 1)”. 246. (n — 1)! (n — 2)! ... 1! (x— 1)”. 247. a”.
248. Поступая по указанию, имеем:
Д„ = (х-г) Ди-1+г(х-у)и-1,
Ьп = (х—У) bn-i+y(x—г)”-».
Из полученной системы уравнений находим:
д ^г(х—у)”—у(х—г)”
п г—у
п (п+ 1)
249. —
' ' а—Ь
250. Где Кх) = П (aft-x).
х~ У k=i
251. ^2.-- где /(х) = П (ck-x).
“ k=i
252. (a—₽)« - 2 [la+(n—2) X₽ — (n — 1) ab].
n (»-1)
253. (-1) 2 П"~!. 11+ Ч.
z
n(n- 1)
254. (-1) 2 (лЛ)"-гр+^"2~'^. 255.
256. Если прибавить все столбцы к первому, то за знак опреде-
лителя можно вынести a-J-b-j-c-j-d, и при этом все элементы остав-
шегося определителя — целые выражения относительно а.
Это доказывает, что определитель делитси на a-j-b-j-c-j-d. Если
к первому столбцу прибавить второй, вычесть третий и четвертый,
то обнаружится, что определитель делится на a-j-b—с—d. Так рас-
суждая, покажем, что определитель делится иа a—b-j-c—d и a—b—
— c-j-d. Из сказанного следует, что определитель оказывается равным
X (a+ft-f-c+d) (a-j-b—с—d) (a—b-j-c—d) (a—b—c-}-d). Дли опре-
деления 1 заметим, что коэффициент при а4 должен равняться 1,
поэтому 1=1.
257. (a +b + c+d+e+f+g+h) (а+ b+c+d-e-f-g-h) X
Х(а+Ь—с—d+e+f—g—h) (a-j-b—c—d—e—f+g+h) (a—b-t-c—
-d+e—f+g—h)(a—b+c—d—e+f—g+h)(a—b—c+d-}-e—f —
— g+h) (a—b—c+d—e+f+g—h).
258. (x-t-ar+aj-l- ,,, -|-an) (x—ai)(x—e4).. ,(x—a„).
182
259. 2 2 JJ sin JJ sin 2^—.
260. Ц cosП sin?4^.
261. 1! 2! ... я!. 262. Д (a/—aA).
n+t > ft > Z> 1
263. (—1)” 1! 21 ... n!.
я / " \
264. (-1У»-‘Па, П Етгк)
где f(x) = (x—a1)(x—a2)...(x—an).
265. Ц (xt—xk).
n^i > k^. 1
266. 2^^ Ц cos^ JI siniq^S.
267. Д (Xi—Xb).
n^.i> Л > 1
268.2 2 a01a02...a0'„-1 J[ sin^ii^X
X
269‘ 1!2!..:1(п-Г)!п>П>1^-^-
271. 11 3! 5! ...(2я-1)!. 272. ]J—!=T П (xi~4)-
i=l 1 1 n>Z>*> 1
273. Д (Ь/fl,—akbi). 274. J[ sin (а;—ак).
275. II (at—ак)(арк — 1). •
ККЛ<л+1
276. 2‘-v! П «п?фЕ* J} sin И/.
277. 2" ln+1) sin а0 sin aj...
...sina„ П sin^qp* П sin-q”*-
278. [x2x2...xn (Xj l)...(xn 1)] JI (xi—xk).
sin^=^.
n>i>k>\ 2
183
279. +-Г) JJ (Xi-Xk).
280. (Xi + z2+...+x„) JJ (Xi — Xk).
n>i>k> 1
281. an_, JJ (x;—xk), где ap обозначает сумму всевоз-
можных произведений чисел xlt хг, ..., хп, взятых по р.
282. [2*1Ха...хп-(xi-1) (х2 — 1)...(х„— 1)]X
х П (*/—**)•
B>i> 1
283. х«(№—1)«. 284. 2х3у (х—у)в.
п (п— 1)
285. II 21 31 ... (п— 1)1х 2 (у—х)«.
286. 1! 2! 31 ... (А—1)1х 2 (F1-x)*(ys-x)*...
...(Уп-к-х)к П (У1~У/)-
287. (у—х)* <”-*>.
288. Ь) 9; с) 5; е) 128; f) (агаг — btb2) (ctc2 —djdJ;
g) (*з—хг)* (х3—*i)2 (х2—-ч)2;
h) (^-^(а-РУ’-Ча+^-ПР!;
к) (xt—xj [ (х3 — х2) (xt—х2) — 2 (хя—xj (xt — хг) ];
гл) 27 (a+2)» (а— 1)» (3(а+2)2—4х2| [3 (а— I)2—4х2|2.
Замечание. Эта задача является частным случаем задачи 537.
2 8 17
11—6 5
3 8—3
Ь)
с)
7 5—3 3
-1 5-3 3
—4—4—5 4
—4—4 0 3
290. а) 24; Ь) 18;
с) (a+6+c+d) (a + b—c—d) (a—br(-c—d) (a-b—c-J-d).
291. а) 256; b) 78400; с) (aS + 62+c*+d»)«.
292. D JJ (X{—x^).
n>l>k^1
293. a) C'nCl.. .CS JJ (а,-ak) (bk-bi)-,
b) П («!-«*)(₽/-₽*)
n > I > k > 1
n ___
294. 0, если nS=2. 295. JJ (x—xt) JJ (X[ — x*)2.
/=1
296. —(a3 + fe2+c*+d2 + Z2+m2+n2+p2)‘.
297. 4 sin4 <p. ' 298. 4 sin4 q>.
184
299. Обозначим искомый определитель через Д. Возведение в квад-
fl
рат дает, что |Д| = л2 . С другой стороны, Л = JJ (е*—в1).
п- 1 >4>S^-0
Полагаем е1 = соз-— -Н sin-^-. Тогда е = е* и
Д = П (е* —в1) = JJei+s JJ (ej-s—ef*+s) =
A-l>*>s>0
fl(fl-l) .. . .. .
=JJ ej+s • i 2 Jj2sin-—• Далее, sin^—° ПРИ
n
всех k, s. Следовательно, n 2 =| Д | = l Jj2sin =
In I
n n (n~
- JJ 2sin . Поэтому Л=л 2 i 2 JJ ef+s =
n fl-I >*> s>o
п л(л-1) fl(fl-l)’ л л(я-1) , П1 П (fl-1) (fl + 2)
= Г"=л2 —5~+(я-,) =n2 , 2 .
n -1
300. JJ
4=0
2fen . . , 2kn
где eft= cos — + i sin —.
301. xl — u* + 2*—ul + 4xy2z+ \xzu 2—4x2yu—4y?2u—2x2z2+2y2u2.
303. 2”“*, если n — нечетное; 0, если n — четное.
404 ‘ <,„[(»+l)an-l]'1-n"an(" + 1>
-w*- ( 4 (1—a”)2
n— 1
305. (-!)»-* (n-1) П (“i +«»eft+ ... +o„e?-\
4=0
2fe« , . . 2kn
где e* = cos---f-i sin —.
300. Фо(ОФ1(0--Фл-1(0.
где Фа(/)=11±£|^—1;
26л . , , 2йл
eft = cos—+isin-—.
n n
Согласно результату задачи 102, ответ может быть представлен
л-1
в виде JJ [/" —(е* —1)”].
4 = 1
307. (—2)"-1 (п — 2р), если (п, р) = 1; 0, если (n, р) 1-
308. 2«-2(cos"-2— 1).
309. 2n~*sin"-2y^sin" (?+2)fl — sinfl.
185
310.. (— 1)” 2п~* sin”~4y £cos" cos'* ^a + ^n -
311. (—I)""1 л”~4 [(д + 2)”- n”).
n— 1
313. JJ (aj+a2e^+a36A+...+ane* *),
*=0
(2fe+1) л . . . (2*4-1) л
где Вь=cos i--!—-—f-1 sin -———.
K n n
n
315- П (в| Ьа2Р/ + азР/! + • • • +«вр” 1),
1=1
где Pi, р2, .... р„—корни n-й степени из р.
318. Решение задачи 223. Прибавив ко всем элементам определи-
Oj 0 ... О
О at ... О
по 1, получим определитель Д.
теля
О 0 ... а,,
л п
Имеем Д = в1аг...ап + 2 2 ^4
fe=l 1=1
” " /11 1 \
А=11=1
Решение задачи 250. Обозначим вычисляемый определитель Д.
Имеем:
Д = (в1—х)(а2 —х)...(а„ — x)+x^Aik;
Д = («j — у) (at—у).'.. (ап—у)+у 2 А 1А,
где сумма алгебраических дополнений всех элементов Д.
Д легко определяется из системы уравнений.
323. Д («;-«*) Д (b._6ft)__J------------------,
l<i<ft<n !<!<»<л Д / (+)
I
где ft*) = (*+bi)---(*+W.
325 Гс+ /c2-4ofe]n+1- [c- V^4^b]n+1
2”+J Vc2—4ab
326. fp+ V.P2—4<?]"+ [p— /p4—4?]”
327. xn + ai*n-l+a2*n_2+ • • +an< гДе а*—Сумма всех мино-
ров Л-го порядка определителя
вц ^12 • • • ^]м «
1 полученных из него вычеркиванием n—k
«21 «22 2п строк с номерами а1( а2, ..., а„_й и
................ столбцов с теми же номерами.
«П1 «л2 • • • апп
186
328. (пЧ-1)’-1. 329. (х—п)"+1.
330. (х2— I2) (х2—З2) ... [х2— (2т— I)2], если n = 2m;
х(х2—22)(х2—42) ... (х2—4m2), если n = 2m+l.
331. (x-j-na—n) [x-j-(n—2) а—л+ 1] X
" - x[x+(n—4) a— n-t-H] ... (x—na).
332 < П^ПГ^Ил ПИ» 333 H'2! ... (n-1)!]3
332. (-1) [(n —1)!]". 333. nr(n+01 ' (2n—1)1 •
334. A °2' '! ft2’ b") t где Д —определитель
A (1, 2..................n)
Вандермонда.
Глава 3
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
335. х^ — 3; х2— х2— 1.
336. =1; х2 = 2; х3=—2.
337. хх = 2; х2 =—2; х3 = 3.
338. Xi=3; х2 = 4; х3 = 5.
339. Xj=x2 = — 1; х3 = 0; х4=1.
340. Xi = 1; х3 = 2; х3= —1; х4= —2.
341. Xi=— 2; х2 = 2; х3=—3; х4 = 3.
342. хх = 1; х3 = 2; х3=1; х4=—1.
343. Xi =2; х3 —х3=х4 = 0.
344. Xi=x2 = x3 — х4=0.
345. Xi = 1; х2 = — 1; х3 = 0; х4 = 2.
346. Xi=x3=x3 = x4=x6=0.
347. Xi = x2 = x3=x4=0.
348. хх=1; х2=—1; xs = l; х4=—1; х6 = 1.
349. Xi = x2=x3 = x4=x6 = 0.
350. Xi = l; х2=—1; х3 = 1; х4= —1; х8=1,
351. Xi = 0; х3 = 2; х3=—2; х4 = 0; х8 = 3.
352. Xj = 2; х2=;0; х3=—2; х4=—2; х6=1.
353. Определитель системы равен 0, так как система имеет нену-
левое решение.
354. Определитель системы равен —(a2+52-f-c2+d2)2.
355.
356.
357.
«2 а*~аЖп—1)а+₽1
__ Лю 1
Xi (а—Р) [(n—l)a+PJ ’
у _ f (₽,) гпе f W = (x-5i) (х-62) ... (x-bj,
фЧрЛ’ <р(х)=(*-₽1)(х-р2)...(х-р„).
Xi=(i.—aPf''(a{) ’ Г?е = ••• (x~anY
358. Xj = 2} Н'b ГДе ^х) = (^—ai)-.-(^—an); <Pj, < =
= 2 аЬ аЬ' ,atn-J’ ПРИ этом сУмма берется повеем сочетаниям
/1, t2 1п-г из 1, 2, ..., i — 1, »+1, ..., п.
187
359. = г«е = аг)---(х—“n)i
i=i s
q>; x=2ati ata ПРН этом сУмма берется по всем сочета-
ниям ft, i2, .... t„-i из 1, 2, .... s—1, s+l, .... n.
360. X;—-—~n[gn~f • гДе x"+ai^-1+...+«n=
= (x— l)(x—2)...(x—-n).
361. C^-C^.
365. a) He изменится или увеличится на единицу;
Ь) либо ие изменится, либо увеличится на единицу или на два.
366. 2. 367. 3. 368. 2. 369. 2. 370. 3. 371. 3. 372. 4.
373. 3. 374. 2. 375. 3. 376. 5. 377. 6. 378. 5. 379. 3. 380. 4.
383. Формы независимы. 384. 2ух—J2—у3 = 0.
385. У1 + З1/2—Уз = 0; 2ух—у3—у3 = 0.
386. Формы независимы.
387. У1+У2—Уз—1/4 = 0.
, 388. У1—г/2+Уз = О; 5уг —4у2 + у4 = 0.
389. Формы независимы.
390. Формы независимы.
391. У1 + У2—Уз У1~ 0. 392. 2yi у2 у3 = 0.
393. Зух—у3—у3 = 0; У1—Уз 1/4=0.
• 394. Формы независимы. 395. у^—уг—у3—у4 = 0.
396. Зух — 2уг—у»+у4 = 0; уг—1/2 + 2у3—у5=0.
397. Л, = 10; Зу^ -1- 2у2—5у3—у3 = 0.
398. х3 = 2х3—х1; х4 = 1. 399. Л, = 5.
400. Система решений ие имеет. 401. х. = 1; хг = 2; х3 = —2.
402. жх=1; х2=2; х8 = 1. 403. хх =----; х2 = —у.
404. Система решений не имеет.
405. хх = 0; х3 = 2; х3 = у; xt—— у.
406. Xi= “8; х2 = 3-|-х4; х3 = 6-|-2х4.
467. Xj=2; х2 = х3 = х4=1. 408. хх = х2 = х3 = х4 = 0.
дПп ____Зх3— 13х4 ___19х3 20х4
WO. Xj — .”17 * Л2— 17 *
410. х1 = ух6 —х3; х2 = ух6 + х3; х4 = у.
411. хх =— 16-|-х3-|-х3-|-5х3; х2 = 23—2х3—2х4—6х2.
-^Xt + lXt,' —4xt + 5x3' 4х4—5х6
412. Х1 = —-д----, Хз ------g-----, х3---------8---.
413. х1 = х2 = х3 = 0; х4=х5.
... .. 1 + *». _ 1+Зх3 + Зх4 — 5х6
ч1ч. хх-2—, *2— 2 .
. _ 2-j-xs 1+Зх3—Зх4 + 5х6
415. Xl = -у-, х2 =----------g--------.
'416. Система решений не имеет.
417. Система решений ие имеет.
188
418. Xt = — у; *2= — 1— у; *s=0; xt = — 1— у.
1 + 5*4 1—7*4 1+5*4
419. *, = -<.-; *2 = —д— ; *« =
* 6 1 6 ’ 6
420. Система решений не имеет.
, 62+с2—а2 а2+с2—Ь2 а2 + Ь2—с2
^.х=-^~; У=-^—- г= iah —
422. Если(Х—1)(Х + 2) #0, *=—у=ур2: •
Если X = 1, система имеет решения, зависящие от двух параметров.
Если Х =—2, система решений не имеет.
423. Если (X—1)(Л+3) #0, x=-A>t+3"";
Х2+Х —1 2Х+1 , А3 + ЗХ2 + 2Х +1
У=—i+T-; г=Т+з-; / =-------------х+3---•
Если Х= 1, система имеет решения, зависящие от трех параметров.
Если Х=—3, система решений не имеет.
424. Если а, Ь, с все различны,
x = abc; у= —(ab + ac+bc); г — a-j-b+c.
Если среди а, Ь, с два равных, решения зависят от одного пара-
метра.
Если а = Ь = с, решения зависят от двух параметров.
425. Если а, Ь, с все различны,
(Ь—d)(c—d) (a—d)(c—d) _ (a—d) (b—d)
X~~(b~a)(c—а)’ У~(а—b) (c—b) ’ ~(a—c)(b—c)'
Если a = b; a c; d=a или d = c, решения зависят от одного
параметра.
Еслв Ь=с; а b; d = a или d = b, решения зависят от одного
параметра.
Если а=с; a ^=b; d=a или d = b, решения зависят от одного
параметра.
Если a=b = c=d, решения зависят от двух параметров.
Во всех остальных случаях система решений не имеет.
26—1 1 2ab-4b+l
426. Если 6 (а-1)^0, х = ^-у); У-у! « = '
Еслв а=1; 6 = у, решения зависят от одного параметра.
Во всех остальных случаях система решений не имеет.
427. Если Ь(а— 1)(с»+2) £ 0, * = г = ^_^~а^ 2>;
_ ab-f-b—2
У~6(а— 1)(а + 2) •
Если а~—2; Ь——2, решения зависят от одного параметра.
Если а= 1; 5=1, решения зависят От двух параметров.
Во всех остальных случаях система решений не имеет.
189
428. Если (а— 1) (a-f-2) * 0, х=
(а-г2) (а—1)
(а+2)(а—1) ’ 2 (а-т-2)(а—1)
Если а =—2 и m+n+p = 0, решения зависят от одного пара-
метра.
Если а=1 и т = п = р, решения зависят от двух параметров.
Во всех остальных Случаях система решений ие имеет.
Если a = b=i, решения зависят от двух параметров.
Во всех остальных случаях система решений не имеет.
430. Д = 12(1—1). При 1 = 0; 1=1 система несовместна.
431. Д=—21. Если 1^0, х=1—X; у=1; г = 0. Если 1 = 0,
х=1; г=0; у—любое.
432. Д = (£—!)*(£+1). Если Л=1, решение зависит от одного
параметра. Если к = — 1, система несовместна.
433. Д = а(6—1)(6+1).
1 4
Если а = 0; 6 = 5, у=—; г = -г-; х—любое.
О о
Если а=0; 6^1 и b 5, система несовместна.
Если 6=1, г = 0; у=1—ах; х—любое.
Если 6=— 1, система несовместна.
43 4. а) Д =—ш(ш + 2). При лг=0 и т=—2 система несов-
местна.
Ь) Д = т(т2 —1). Если m = 0; т = 1, система несовместна. Если,
т=—1, решение зависит от одного параметра.
с) Д = 1(1—1) (X-f-1). Если 1=1; 1 =— 1, система несовместна.
Если 1 = 0, решение зависит от одного параметра.
43 5. а) Д = 3(с-|-1)(с—I)2.. Если с= — 1, система несовместна.
Если с=1, решение зависит от двух параметров.
Ь) Д = (1—1) (1—2)(1—3). Если 1 = 2; 1=3, система несов-
местна. Если 1 = 1, решение зависит от одного параметра.
с) A = d(d—1) (d-f-2). Если d=l; d=—2, система несовместна.
Если d=0, решение зависит от одного параметра.
d) Д = (а—1)2(а-Н1). Если а= —1, система несовместна. Если
а = 1, решение зависит от двух параметров.
436.
Xi У1 1 =0.
Уз 1
437. Тогда и только тогда,
когда
438. Только тогда, когда
*1
xt
хз
У1 1
Уз 1 =0.
Уз 1
а1 К С1
#2 ^2 ^2
#2 ^2 ^2
#3 ^3 ^3
=0.
190
439. Только тогда, когда
*о+1/о
*1 + ^1
*1 + ^8
xl+yl
Хо Уо *
*1 У1 1
Xt Уз 1
Х3 Уз 1
=0.
440. (х— 1)*+(у— 1)а=1. 441. уъ—у = 0.
442. у = Х3—1.
1
443.
у Хп Хп~1 ... X2 X
Уй Ml Xq . . . Xq Xq
= 0.
1
„ vn Vя-1 г2 г 1
Уп Хп Хп ... Хп хп *
444. Тогда и только тогда, когда
*i Vi ?i
Хз Уз Хз
ха Уз г3
хз Уз г4
445. x3-\-y3-\-z3—х—у—z=0.
446. Тогда и только тогда,
когда ранг матрицы
xi У1 1
хг уг 1
Хп Уп 1
447. Только тогда, когда
ранг матрицы
(«1 61 Ci
Og С3
ап Ьп сп
меньше трех. меньше трех.
448. В одной плоскости тогда и только тогда, когда ранг матрицы
Х1 У1 21 1
Хз Уз zt Г
Хп Уп Хп 1
меньше четырех; на одной прямой тогда и только тогда, когда ранг
этой матрицы меньше трех.
449. Все плоскости проходят через одну точку только тогда,
когда ранг матрицы
Л1 Вх С, Dt
A3 В3 С3 D3
Ап Вп ^п В>п
меньше четырех; через одну прямую только тогда, когда ранг этой
матрицы меньше трех.
450.
«и
«81
«18
«82
«1. п-1 «1»
«2.П-1 «2/1
«П1 «»2 • • • «и, Л-1 «пп
191
/1—2 10 0\
453. Нет. 454. Например, I 1 —2 0 1 о). 455. Да.
\5 —6 О О 1/
456. Решение. Пусть
(а11 а12 • • • а1н\ All Л12 ... А1Д
a2i а22 ••• 1. ^ = ( ^2l " ^tr )’
аг1 аг2 • • ' ^гп/ Ari ^Г2 • • • ^Г/7
^-lsasn
ВА =
Непосредственно видно, что строки матрицы ВА суть решения
системы. Кроме того, так как | В | /: 0, Л = В-1 (В А), т. е. решения,
записанные матрицей А, суть линейные комбинации решений, запи-
санных матрицей ВА.
457. Решение. Пусть
/ап а1Я ... а1п\ /?ц у1я ... у1п
а21 а22 а2П ]. С = 1 "'?21 ' ^22 ^2П
\ам аг2 ... о-гп/ \Vn Ул • • Ут/
Так как С представляет фундаментальную систему решений, ап =
= ^11Уп+^12Т»1+---+^1гТп и т- Д- т- е- А = ВС, где
С другой стороны, А. также представляет фундаментальную си-
стему решений, н потому | В | £ 0.
459. Например,
Х4 =С14-С»"Ь ^2 — 2С1 2с2 6с3; Х4 = C2J хБ—с3
(см. ответ задачи 454).
460. хх = 11с; 1г=с; х3 = —7с.
461. № 408. хх = х2 = х3 = х4 = 0.
№ 409. х1=3с1+13с2; х2= 19^ + 20^; х3=17с1; х4=—17с2.
№ 410. х1=с1 + 7с2; хя = —с4 + 5с2; х3 = — ct; х4 = 2с2; хБ=6с2.
№ 412. Х1=С1 + 7с2; х2 = С1 + 5сг; х3 = —сх —5с2; х4 = —2ct;
х6 = 8с2.
Ns 413. х4 = 0; х2 = 0; х3 = 0; х4 — с; х3 = с.
462. Х\ —16-|-сх-|-с2“|-5с3; х2 —23—2сх 2с2 6с3;
Хз=с1; х4 = с2; х3=с3.
463. № 406. х4=—8; х2=3+с; х3=6+2с; xt=c.
№ 414. Xi=cs; х2=24-С14-с«—5с3; хя=с1; х4=с2; х3= 1-)-Зся.
№ 415. хх — 1-|-2ся; хя=1-|~вх—’СЯ“|-5ся; хя=2сх; х4 = 2ся;
хь I + без*
192
Глава 4
МАТРИЦЫ
/6 2 —1\ /О О 0\ /19 15\
с) ( 6 1 1 ); d) ( О О О ); е) ( —5 5 9 ) I
\8 —1 4/ \О О О/ \ 12 26 32/
/ a-j-b-j-c аг-^-Ьг-1-сг Ьг-^-2ас \
f) I а + 6+с Ьг + 2ас аг + Ь2+с3 ).
\ 3 а+&+с а+&+с /
465. /7 4 4\ /15 20\ /3 —2\
а)( 9 4 3 ); b) f ); с) ( )j
\3 3 4/ \2О 35/ \4 8/
466.
/cos лф —sin лф \
1J ’ ' \_sin лф cos лф ) '
ct\ _______________
л -j/^j . «8 / созф sin ф
I I V Л2 ’ 81Пф COS ф
где 1§ф = —. Следовательно,
п
j . а*\Т / созлф з!плфА
+ л2/ ' sin лф cos лф/ ’
\ л ‘ /
Предел первого множителя равен 1. 1!тлф=а1!т ^^-=а. По*
вТому
1 -
л
cos a sin а
—sin a cos а
467. а) (А + В)8=А2+АВ + ВА + В«=А«4-2АВ4-В2;
Ь) (А + В)(А — В) = А2—АВ + ВА— В»^А*— В*.
с) Доказывается по индукции.
/—10 -4 —7\ /0 0. 0\
468. а) I 6 14 4 ); Ь) ( 0 0 0 ].
\—7 5 —4/ \0 О О/
«• ч
fx и\ / х У °
ЬЧо х)‘я!(х~У)£+УА‘ с) ( “ v о
' ' \3Z— Зх—и t—'iy—v t
7 Д. К. Фаддеев, И. С. Соминский
193
( \ /о о
470. а) 8 0 3 ; Ь) (“
\-2 I -2/ U
471. Проверяется непосредственным вычислением.
472. Полиномы F (х) = Оо+арс+ ... -f-a^x®, такие, что F (Л) = 0,
существуют, ибо равенство £(Л)=а0£+а1Л 4-... -f-a„Aa=O равно-
сильно системе п* линейных однородных уравнений с от 4-1 неизве-
стными ав, alt которая при от^л* наверное имеет нетри-
виальные решения. Пусть F(x)~ какой-либо полином, для которого
Е(Л) = 0, а /(х)—полином наименьшей степени среди полиномов,
обладающих этим свойством. Тогда F(x) = f (х) q (х) 4- г (х), где г (х) —
полином, степень которого меньше степени f (х). Имеем г (A) = F (Л) —
— / (Л) q (Л)=0, следовательно, г(х) = 0, иначе получилось бы про-
тиворечие с выбором f (х). Итак, F (x) = f (х) q (х).
473. Пусть
• /а11 а13 а1п\ /®и ••• ^1п
Л =.................); В = (...........
'ал1 ат — antJ '^ni — Ьпп
л л
Тогда сумма диагональных элементов матрицы А В равна V V ацЬц.
1=1 *= 1
Совершенно такая же сумма диагональных элементов у матрицы ВЛ.
Следовательно, сумма диагональных элементов матрицы АВ— В А
равна нулю, и равенство АВ — ВА=Е невозможно.
Замечание. Результат неверен для матриц с элементами из
поли характеристики р # 0. Действительно, в поле характеристики р
для матриц р-го порядка:
(0 1 0 ... 0\ /ООО... 0
0 0 1 ... 0 \ /10 0... о
........... , В = О 2 О ... 0
0 0 о' ... 1 / \..................
о о о ... о/ \о О О ... р-1 о
имеем АВ — ВА=Е.
474. (Е — Л)(£4-Л+Лг+...+Л*-») = £-Ак — Е.
475. (а Ь\ , Ьс=—а*.
\с —а)
476. Если Л®—0, то иЛ2 = 0. Действительно, если Л3 = 0, то
| Л |=0. Следовательно (см. 471), Л®=(а+«1)Л, 0 = Ля=(а4-«1) Л® =
= (а-f-d)®Л, откуда a-|-d = 0 н Л* = 0.
477. ± £; (“ a®=l-bc.
\с —а]
478. Если А =0, то X — любая матрица. Если | А | ?£0, то Х=0.
Наконец, если |Л |=0, но Л 0, то строчки матрицы А пропор-
циональны. Пусть а:0 есть отношение соответствующих элементов
, . . _ v (— ₽*
первой и второй строчек матрицы Л. Тогда ПРИ
любых х, у.
479. Пусть Л = /а .
194
1) Если А # 0, но a-|-d=O, ad—Ьс=О, то решений не существует;
2) если a-f-djiO, (a—d)2 + 4bc=0, (a—d), Ь, с не равйы нулю
одновременно, то существует два решения:
X— + 1 /За+d 2Ь \.
-± 2 K2(04-d) \ 2с a+3d/’
3) если a + d'#0, ad — Ьс=О. то существует два решения:
у_., 1 /а 6\.
* /т+d V d?
4) если ad—be / 0, (а—d)s+4bc / 0, то существует четыре ре-
шения:
Х =
/Х24-а—d . \
1 / 2 ° |
XI №—a-j-d )
\ с -----5—/
где Х = ± a-f-d ± 2Vad—be;
5) если a—d —Ь=с = О, то существует бесконечно много решений:
X = ± ]faE и X = Q , где х, у, г связаны соотношением
x2+yz = a.
/2—10
1—3 2 0
\ 31 -19 3
\—23 14 —2
0\
0 I-
—4 Г
3/
/2-л 1 1 ... 1 \
/ 1 2—л 1 ... 1 \
h) —Ц 1 1 2-п ... 1 I;
п— * I Г
1 1 1 ... 2-п
1
1
1
1
I 1
g-l g-2
В~* В*1
. 1
. е~я+*
g-Sn + 2
g-n+i g-ал+а _
. е-(»-1)»
195
g) X ие существует.
Ьл l.(n—1) Ь(л—2) ... Ы
l-(n-l) 2-(n — 1) 2-(n-2) ... 2-1
l-(n-2) 2-(n—2) 3-(n—2) ... 3-1
482. Достаточно умножить равенство АВ = ВА справа и слева
на А-1.
483- (z! z!)-
484. Если As = Е, то | А |3= 1 и, в силу вещественности, | А | = 1.
Положим А = Тогда, приравняв Л-1 и Аг, легко получим,
что А =Е или a + d=— 1, ad—bc=l.
485. А= ±Е или Л = ^ __причем a2-|-6c = J=l.
486. f ? Ь}=аЕ + Ы, где /=f ? ’ Y Тогда /2 = — Е и,
\—Ь а} ^—10/
следовательно, соответствие аЕ-\-Ы—>а^-Ы есть изоморфизм.
487. Положим' =a£ + &/ + cJ + dK, где I —
“(о-/)’ '-(-’о)' Н'»)' Тогда
= — Е, IJ=—JI*=K, JK — —KJ = I, KI= — IK. — J. Отсюда
следует, что произведение двух матриц вида a+i>/-|-cJ+dX есть
матрица такого же вида. То же самое имеет место для суммы и раз-
ности, так что рассматриваемое множество матриц есть кольцо. Да-
лее, |Л| = | I =a2+b24-c2-(-d2/: 0, как только Л #0.
1 1 | —c+di a—bi I
Следовательно, каждая отличная от 0 матрица имеет обратную, и из
равенства А1А2 = 0 (или Л2Л1 = 0) при Лх / 0 следует Л2«=0. Рас-
сматриваемое кольцо матриц реализует так называемую алгебру ква-
тернионов.
488. bj/-j-cj{a2E-\-b2I -^-c2J -\-й2К)~{а-^а2—
— b1b2—c1c2—d1d2) E + (а^ + Ма -j- ctd2—d^) I -j- (a1c2~b1d2±
+ <-1«г+^1Ьа) J +(ald2 + b1c2—c1b2-\-d1a2) К. Переходя к определи-
телям, получим (ai + bi + ci + dj) (a| + bi + ca+db =
= (aiaa~ bi&a—С1Сг — бМ2)г+ («Л + Ma + dica)2 +
+ (a^—b^+Cia2+dib^ + (а^2 + Ьгс2—c^a+^а2)г.
489. Перестановка двух строчек матрицы осуществляется посред-
ством умножения слева иа матрицу
0 ... 1
.1
:-. i
1
1 ... о
197
Операция b осуществляется посредством умножения слева на
матрицу
или
1
а... 1
1 ) I 1J
Операция с осуществляется посредством умножения слева на
матрицу
fl
Операции а, Ь, с над столбцами осуществляются посредством
умножеиия иа те же матрицы справа.
490. Как известие, любая матрица А может быть приведена к
диагональному виду R посредством элементарных преобразований
а, Ь, с иад строчками и столбцами. Поэтому для даииой матрицы А
найдется такая матрица вида R, что /? = С/1£72 ... UmAVjV2 ... V/,,
где U,, ..., Um, Vj, .... V к—матрицы элементарных преобразова-
ний. Все они неособенные и имеют обратные.
Следовательно, A — PRQ, где Р и Q—неособенные матрицы.
491. В силу результатов задач 489, 490; достаточно доказать
теорему для диагональных матриц и матриц, соответствующих опе-
рации а, ибо матрицы, соответствующие операции Ь, имеют требуе-
мый вид. Легко видеть, что операция а сводится к операциям b и с.
Действительно, для того чтобы переставить две строчки, можно до-
бавить первую из них ко второй, затем из первой отнять вторую,
затем ко второй добавить первую и, наконец, умножить первую иа
— 1. Это равносильно матричному тождеству Е—ец—ekkJfeik +
+ ей( = (£—2е^) (£—еы) Для диагональных мат-
риц теорема очевидна:
а1е11 + Д2в22 + • • • + апепп =
+ — 1)еп)(£ + (а2— 1) еи) ... (Е + (а„— 1) е„„)
492. Пусть A = P1RlQi, B — P2R2Q2. где Plt (?,, Р2, <?г—не-
особенные матрицы, а /?! и R2—матрицы, имеющие соответственно
198
г} и r2 единиц на главной диагонали и все остальные элементы ко-
торых равны 0. Тогда АВ = PiRiQiP2RtQt, и ранг АВ равен рангу
RiCRt, где C = QjPa—неособенная матрица. Матрица RiCRt полу-
чается из матрицы С посредством замены всех элементов последних
п — г\ строчек ил — rt столбцов нулями. Ввиду того что вычеркива-
ние одной строчки или одного столбца понижает ранг матрицы не
более, чем на одну единицу, ранг RtCR2 не меньше п—(п—rj) —
— (л—Гг) = Г1-(-Г2 —л.
493. Непосредственно следует из пропорциональности всех стро-
чек матрицы ранга 1.
494. На основании результата задачи 492 ранг искомой матри-
цы А равен 1 или 0. Следовательно,
к2Ц1 л2р2 л2Ц3 I.
к3Щ ^зНз ^зЦз/
Непосредственное умножение дает
0=Лг = (Х1ц1 + Х2ц2-|-Х3р,3) А,
откуда следует, что к1р14-Х2р.24-Х3р.3 = 0.
495. Пусть А дает решение задачи, отличное от тривиального
Л==)=£. Тогда одна из матриц А—Е или A-f-E Имеет ранг 1.
Пусть
/11р.1 Xip3\
A = Л2Ц2 Л2Ц3 1 =
\^зН1 Х3р.2 АгзМ-з/
Тогда Аг=Е—2В + В2 = £ + (к1р14-Хгц2 + Х3р3—2) В, откуда сле-
дует, что для Аг = Е необходимо и достаточно выполнение условия
X1pi + X2U24-k.3p3=2. Аналогично рассматривается и второй случай.
496. Пусть к матрице (Л, В), где
/йц ... al/t \ /Ьц ... bls \
Л-1 .... -. . I, В = (................1,
\йя>1 ... Чтк/ \®|Я1 • bmiJ
(Cl \
с2 \
I, присоединение которого к матрице
ст
В не увеличивает ее ранга. Тогда система линейных уравнений
^и!/1+ А-1>1зУз — с1’
Ьт1У1 4" • • • 4* 1>т1Уз ст
совместна. Но вместе с ней совместна и система
а1Л+ • • • + aikxk~r ЬцУ1 + • • • +^и!/з=С1,
ая»1х1+ • • • +ая>Лхл + ^ж1У1+ • • • ~i~bmsys = c„.
Следовательно, ранг матрицы (Л, В) равен рангу матрицы (А, В, С).
Предположим теперь, что столбцы матрицы В присоединяются
к матрице А постепенно по одному. При атом ранг может воарас-
199
•тать на 1, в силу только что доказанного, лишь тогда, когда возра-
стает ранг В. Следовательно, ранг (Л, В) ранг А + ранг В.
497. Пусть ранг (Е -|- А) = rlt ранг (Е — А) — г2. Ввиду того,
что (Е + Л) -f- (Е — Л) = 2Е, rt -|- г2 п. С другой стороны,
(Е + А) (Е — Л) = 0, поэтому 0Э5гх -|- rt — п. Следовательно, гг +
+ = и.
498. Ранг матрицы (Е -f- Л, Е — Л) равен п. Выберем из этой
матрицы квадратную неособенную матрицу Р порядка п, и пусть
ее первые г столбцов принадлежат матрице Е + Л, а остальные п—г
столбцов принадлежат Е — А. Тогда, в силу (Е + А)(Е — Л) = 0,
будем иметь
/<7И ... qir 0 ... 0\
(Е+Л)Р = Г1. . . _ . . . ),
\7л1 • • Япг 0 • • °/
(е-л)р=<°’:-0‘71’.г:1:7 91я \
\0 ... 0<7п г + 1,... <7„„/
Сложив эти равенства, получим
/7н ... 71г 71, г+1 • • • 71п\
2Р = (...................................1.
\7п1 7лг 7п, г + 1 • • • 7вв/
Вычитая, получим
/711 ••• 71г —71, г + 1 — 71п \
2АР—1...............:..............)=
\7п1 Япг Яп, г + 1 Япп/
= 2Р
Отсюда непосредственно следует то, что требовалось доказать.
499. Если АА~1 = Е и обе матрицы целочисленные, то имеем
| Л | • [ Л-* | = 1, откуда следует, что | Л | = ± 1, ибо | Л | и | Л j-1—це-
лые числа. Условие |Л | = 4z 1, очевидно, также и достаточно для
целочисленности матрицы Л-1.
500. Пусть Л — целочисленная неособенная матрица. Среди эле-
ментов ее первого столбца найдутся отличные от пуля. Посредством
умножения некоторых строчек матрицы Л на — 1 можно добиться
того, что все элементы первого столбца станут неотрицательными.
Выберем среди них наименьший положительный и отнимем соответ-
ствующую ему строчку из какой-либо другой, содержащей положи-
тельный элемент в Первом столбце. Получим снова матрицу с неот-
рицательными элементами в первом столбце, но один из них будет
200
меньше, чем у исходной матрицы. Продолжаем этот процесс до тех
пор, пока это возможно. Через конечное число шагов процесса при-
дем к матрице, у которой все элементы первого столбца, кроме од-
ного положительного, окажутся равными нулю. Тогда перестановкой
двух строчек переведем отличный от 0 элемент первого столбца в
первую строчку. Затем, не трогая первой строчки, теми же опера-
циями добьемся того, чтобы во втором столбце на диагонали ока-
зался положительный элемент, а все лежащие ниже сделались ну-
лями. Затем обращаемся к третьему столбцу и т. д. В конце концов
матрица окажется приведенной к треугольной форме. Тогда добав-
лением (или вычитанием) надлежащее число раз каждой строчки к
лежащим выше добьемся того, чтобы элементы, лежащие выше
главной диагонали, удовлетворяли поставленным требованиям.
Все упомянутые действия равносильны умножениям слева на
некоторые унимодулярные матрицы, откуда непосредственно следует
искомый результат.
501. Пусть A = P1R1 = PiRi, где матрицы Plt Rt и Р., R2
удовлетворяют требованиям задачи 500. Тогда из равенства Р2 Pj =
== R2R11 следует, что целочисленная унимодулярная матрица С =
= P?1Pi также имеет треугольный вид. Пусть
Тогда нз равенства Ri~CR1 заключаем прежде всего, что
611=Сцв11...... Ьпп = сппапп, откуда следует, что все сц положи-
тельны. Но сис2а ... cn„ = |c| = il, следовательно, с11 = с22 =
= ... с„„=1 и ац = Ьн.
Далее, Ъ12=спа12+с1га22 = а12-]-с12ам, откуда с12= 12 012 .
. • “22
Но 0<:£>12 < Ь22 = а22, 0<а12 < а22, следовательно, |с12|<1, и
потому с12 = 0. Таким же образом, сравнивая последовательно (по
столбцам) остальные элементы в матричном равенстве СР1 = Р2, при-
дем к выводу, что все с,^ = 0 прн k > I, т. е. С = £, следовательно,
Pj = P2, ^1 = ^2- Таким образом, в каждом классе найдется одна
И только одна матрица вида R.
Число матриц R с данными диагональными элементами dn d2,...
..., dn, очевидно, равно d2d| ... d£-1, а следовательно, число ма-
триц R с данным определителем k равно F„ (k) =— d>da ... d”-1,
где знак 2 распространен на вСе целые положительные числа dlt
d....... dn, удовлетворяющие условию d2d2 ... d„ = fe. Если k^ab,
(а, &) = 1, то каждый множитель d, в равенстве fe = djd2 ... d„
201
единственным образом распадается на дав множителя а/, Р;, .так
что ... а„ = a, PiP2 • • • Рп = Ь. Следовательно,
Fnw= s d>d> ^-1*=
=» 2 a,a* • • аЯ~1₽«₽? • • • ₽"-1 °
= 2 «.<*»* ... аГ1 2 РзРз РГ^ЗД-ЛЛ*)-
а,а, — а„=а М.-Рп^Ь
Отсюда заключаем, что если йзхр*11 ... р™*—каноническое
разложение й иа простые множители, то Fn (k) — Fn (р™1) ... Fn (р™*).
Остается подсчитать Fn (рт). С этой целью разбиваем сумму для
вычисления Fn(pm) на две части, в первой из которых d„=l, в
во второй dn делится на р, dn = pd„. Это дает формулу Fn(pm)=^
= Fn^1(pm)-\-pn-1Fn(pm~1), из которой легко устанавливается
методом математической индукции, что
(p”+i-l)(p« + 2-l)... (p^-i-l)
п{Р ’ (р-1)(р»-1) ... (p»-i-l)
502. Выбрав наименьший по абсолютной величине отличный от 0
элемент матрицы, переносим его в левый верхний угол перестанов-
кой строчек и столбцов. Затем первую строчку и первый столбец
добавляем ко всем остальным строчкам и столбцам или вычитаем из
них столько раз, чтобы все элементы первой строчки и первого
столбца стали меньше углового элемента по абсолютной величине.
Затем повторяем этот процесс. Он закончится после конечного числа
шагов, ибо после каждого шага в левый верхний угол попадает
элемент, меньший предшествующего по абсолютной величине. Но
процесс может закончиться только тем, что все элементы первой
строчки и первого столбца, кроме углового, обратятся в 0. После
этого преобразуем тем же способом матрицу, образованную 2-й, ...
..., л-й строчками и столбцами. В конце концов матрица преобразуется
к диагональному виду. В силу результата задачи 489, все описан-
ные преобразования равносильны умножениям справа и слева на
уннмодулярныа матрицы.
503. Умножение слева на матрицу Ат равносильно прибавленвю
к первой строчке аторой, умноженной на т. Умножение слева на Вт
равносильно прибавлению ко второй строчке первой, умноженной на т.
(а Ь\ W
)—данная целочисленная матрица с определи-
с dj
толем 1. Поделим с остатком а на с: a**mc+alt 0<a1<|c||
затем поделим с на аг: с^т^+с^ 0^с2 < а,, и т. д., до тех пор,
пока деление не' выполнится без остатка. Тогда A~mU
(д, 5, \ / a, bi \
. ), B-mUi = ) и т. д. В конце концов при-
С d / \Cg Ug/
/ Дд Ьъ \ /0 +
дем к матрице вида ( . ) или I л ). Прн этом,
\0 d*+i/ V* 4k /
202
в силу положительности всех ац, сц и унимодулярности будет
а* = <4+1 = 1 в первом случае, с* = — 6j+1=l—во втором. Таким
/1 &д\ ь /0 —1 \
образом, t^+1 = ( )=ЛР* в первом случае., i/*+i = ( , ) =
\0 I / \1 «ц/
— A~1BAdk-i—во втором. Тем самым теорема доказана.
504. Матрица с определителем —1 посредством умножения на С
преобразуется в матрицу с определителем 1. Каждая такая матрица
есть произведение степеней 'А и В. Но В^=САС.
505. Пусть | А | = 1, 42 = Е, А Е. Тогда (задача 498)
/1 \
Д=Р( —1 )Р-1
\ —1/
при некоторой неособенной матрице Р. Определим матрицу Р так,
чтобы она была целочисленной с возможно меньшим определителем.
/2 \
Ввиду того, что 4+£ = Р( 0 IP-1, матрица Л-f-E имеет
\ 0/
ранг 1 и, следовательно,
Л + Е = (Х2р1 %>2М2 J,
x^ap.j ^зЦз'
причем X1JJ.J 4- Х,р2 + ^зР# = 2 (задача 495). В силу целочисленности
матрицы Д-f-E, числа Х2, Х3 и числа р,, р2, р3 можно считать
целыми.
Составив систему уравнений для компонент матрицы Р, нетрудно
проверить, что в качестве Р можно взять матрицу
(X, 0 —6\
Х3 — qi,/
где б есть общий наибольший делитель р2> Нз> а и> v—такие целые
числа, что ир24-ор3 = б.
Определитель матрицы Р равен 2.
На основании результата задачи 500, P = QR, где Q—унимоду-
лярная, R—одна из семи возможных треугольных матриц с опреде-
лителем 2.
Следовательно, Q-14Q равна одной из семи матриц
/1 \
7? I —1 Средн этих матриц оказываются только три раз-
\ —1/
дичных, причем две нз ннх переходят друг в друга посредством
преобразования уннмодулярной матрицей. Остаются две, указанные
в условии задачи.
/ 9 3\ /10\ /2 4 6\
508. а) ( ) ; Ь) ( ); с) 1 2 3 ); d) 13. 507. 45.
203
608. В результате получится тождество Эйлера:
(а* + 6? + с’) (а2 + 62 + с2) = (ага2 + 6Х62 + cic2)2 +
+ (^162-а2б1)2~к (а1с2-°2С1)2~Ь (61С2 62<?1)2.
509. Мииор, образованный элементами строчек с номерами in
i........im н столбцов с номерами 1гг, k2.km, есть определитель
произведения матрицы, образованной из строчек i2, ..., im пер-
вого множителя, на матрицу, составленную нз столбцов klt k2,..., km
второго. Поэтому он равен сумме всевозможных миноров т-то по-
рядка, составленных из строчек первой матрицы с номерами ilt
i.....im, на соответствующие мнноры, составленные нз столбцов
второй матрицы с номерами klt k2, ..., km.
510. Диагональный мннор матрицы АА равен сумме квадратов
всех миноров матрицы А того же порядка, составленных из элемен-
тов столбцов, имеющих одинаковые номера со столбцами матрицы
АА, содержащими взятый минор. Следовательно, он неотрицателен.
511. Если все главные мнноры £-го порядка матрицы А А равны 0,
то, в силу результата задачи 510, все мнноры порядка k матрицы А
равны 0. _Следовательно, ранг матрицы А, а вместе с ннм и ранг
матрицы АА, меньше k.
512. Сумма всех диагональных миноров порядка k матрицы АА
равна сумме квадратов всех миноров порядка k матрицы А. Тому же
числу равна сумма всех диагональных миноров порядка k матрицы АА.
513. Получается в результате применения теоремы об опреде-
лителе произведения двух матриц к произведению матрицы
(tZi #2 ... й„\
) на транспонированную.
Pi Pj ... Ьп/
514. Получается в результате применения теоремы об определи-
теле произведения к
(О1 61 \
а» Ь’г |
Оп Ьп
515. Непосредственно следует нз тождества задачи 513. Знак
равенства возможен, только если ранг матрицы I )
\ ^2 • • • 0П /
меньше двух, т. е. если числа alt а....... и 6Х, 6........ 6„ про-
порциональны.
516. Непосредственно следует из тождества задачи 514. Знак
равенства возможен только при пропорциональности чисел alt а2, ...
..., ап н 61, 62, ..., Ьп.
517. Пусть матрица В имеет т столбцов, матрица С имеет k
столбцов. По теореме Лапласа | А |=2 B£i> где В1—всевозможные
определители порядка т, составленные нз матрицы В, а С,—их
алгебраические дополнения, равные, с точностью до знаков, опреде-
лителям порядка k, составленным из матрицы С. В силу неравенства
Буняковского (задача 515), | А |а<2 в* 2 2 в*~ I ВВ I ’
£с?=|сс|.
204
518. Пусть
/&и ... blm\ /сц ...
В = 1............1, С = (.........Л=(В, С).
\6П1 ... bnm) 'C„i ... спь/
Доказываемое неравенство тривиально, если tn~k> п; для случая
m+k = n оно установлено в задаче 517. Остается рассмотреть слу-
п
чай < п. Предположим сначала, что 2 = 0 прн любых
/=1
/, s. Тогда
(ВВ 0 \
А А =1 -= н, следовательно, ЛЛ — ВВЫСС .
\0 СС /
В общем случае достаточно решить задачу в предположении, что
ранг матрицы Л равен ибо в противном случае неравенство
тривиально.
Достроим матрицу Л до квадратной матрицы (Л, D) так, чтобы
ранг матрицы D был равен п—т—k, а суммы произведений эле-
ментов любого столбца матрицы D иа элементы любого столбца
матрицы Л равнялись 0. Это можно сделать, например, так.
Сначала достроить матрицу Л до квадратной неособенной матрицы
е' = (Л, D'), что, очевидно, возможно, а затем заменить все элементы
матрицы D' их алгебраическими дополнениями в | s' |. Ранг постро-
енной таким образом матрицы D будет равен числу ее столбцов
п—т—k, ибо она есть часть матрицы, составленной из алгебраи-
ческих дополнений матрицы в', которая лишь множителем | в' | от-
личается от неособенной матрицы (в')-1.
Обозначим (Л, D) через Р,_(С, D) через Q. Тогда, в_силу ре-
зультата задачи 517, | РР | < ВВ | -| QQ |. Но | РР | = | ЛЛ|,|ОО]
н | = | СС | • | DD | . Отсюда следует, так как | DD | > 0, что
| Л А | < | ВВ | • | СС |.
519. Непосредственно следует нз результата задачи 518, приме-
ненного к матрице Л.
520. Определитель А*А есть сумма квадратов модулей всех ми-
норов порядка т матрицы Л, где т—число столбцов матрицы Л.
521. Решение подобно решению задач 517, 518. Для квадратной
матрицы вопрос решается применением тёоремьг Лапласа и неравен-
ства Буняковского. Прямоугольную матрицу надлежит дополнить до
квадратной так, чтобы сумма произведений элементов любого столбца
матрицы Л на числа, сопряженные с элементами любого столбца
дополняющей матрицы, равнялась 0.
522. Применяя несколько раз результат задачи 521 к матрице Л,
принимая за В матрицу, состоящую нз одного столбца, получим
п п п
| Л*Л | = || Л ||2 < 2 I °ii !*• S 1«/2 Iя 2 1а/п[^п^п,
1 = 1 1=1 /=1
откуда следует, что
п
II Л || <71 2 М«.
205
523. Дополним данный определитель А до определителя At по-
рядка n-j-l, приписав слева столбец, все элементы которого равны
4£-, а сверху строчку из нулей. Тогда Д = -^- ДР Из всех столб-
цов определителя At вычтем первый. Получится определитель, все
Л1 „
элементы которого не превосходят -%- . Применение результата за-
дачи 522 дает то, что требовалось доказать.
п
. 524. Граница п 2 Мп достигается, например, для модуля опре-
делителя
11 ... 1
1 е ... е"-1
1 е"-1 ... е(»-”2
где е = cos—4-i sin -^5-.
п п
525. Построим матрицу порядка п = 2т следующим образом.
Прежде всего построим матрицу^ . Затем каждый ее элемент,
равный 1, заменяем матрицей^ _1) 1 а кажДы® элемент, равный
— 1, заменяем матрицей—= 1) • Получим матрицу
4-го порядка
/1 1 1 1\
/1-1 1-11
1 1 —1 —1
\1 -1-1 1/
С ией поступаем таким же образом, получим матрицу 8-го порядка
и т. д.
Легко видеть, что для построенных таким образом матриц
суммы произведений соответствующих элементов двух различных
столбцов равны 0. Следовательно,
/п 0 ... 0^ л
4Л =( °. " .*'/ .° L |лл| = пп,. ||Л|| = л2 .
\0 0 .... л/
Для матрицы МА будет выполнено равенство:
||Л4Д|| = А4плТ.
526. Докажем, что все элементы матрицы, абсолютная величина
определителя которой имеет максимальное значение, равны ±1.
Действительно, если —1. < в,* < 1, Д>0 и Л,-* > 0, то* определи-
тель увеличится от замены а,* на 1, если же ДЭгО и Aik < О,
определитель увеличится от замены а/* на — 1. Если А < 0, то уве-
личение абсолютной величины определителя произойдет при замене
ащ единицей со знаком, противоположным знаку Ац,. Наконец,
206
если А1к=0, то величина определителя не изменится при замене
ац, на Г или—1. Без нарушения общности можно считать, что все
элементы первой строчки и первого столбца максимального опре-
делителя равны 1; этого можно добиться умножением на—1 строчек
и столбцов. Вычтем теперь первую строчку максимального опреде-
лителя нз всех остальных. Тогда определитель сведется к опреде-
лителю порядка п—1, все элементы которого равны 0 или —2.
Этот последний равен 2n~lN, где N—некоторое число.
527. 4 для п=3; 48 для п = 5.
528. Для особенной матрицы А результат тривиален. Пусть
А—неособенная матрица и пусть А—ее транспонированная, А —
ее определитель, А' — взаимная с А. Тогда А' = ЛСА~}С, где
/ — 1 \
/ +1 \
С =1 * ]; это непосредственно следует из правила
составления обратной матрицы. Поэтому
| Д' | = Дп_1и(Д')' = Д’’-1-С(Д')“1С=Дп~1-Д~1Д=Дя~1Л.
529. Пусть минор матрицы Д', взаимной к неособенной мат-
рице Д, образован из строчек с номерами ц < i2 < ... < im и
столбцов с номерами < k2 < ... <km. Пусть jm+1 < /я + 2 < ...
... < in—номера не входящих в минор строчек, km+1 < km+i < ...
... <kn—номера не входящих в мннор столбцов. Умножим рас-
сматриваемый минор на определитель Д матрицы А:
ДЛ*г • • •
АМ, Ajmlh
A . t * A . .
Ahki Aim + ik< ••• Ainkt
Ai\km Aimkm Aim + ikm''' Ain&m
aiiki • • ahkm • aiihn
aimki • • aim*m • • aimkn =
°7пй| ••• ainkn
207
д
4n + i&i ''' + + i *” ^m+i^n
4*, ^n^m + t *** ^'n^n
= д».
1 * ’ ’ 4^
откуда и следует то, что требовалось доказать.
530, 531. Непосредственно следует из теоремы об определителе
произведения двух прямоугольных матриц.
532. Нужно установить лексикографическую нумерацию сочета-
ний, т. е. считать сочетание < /а < ... <i„ предшествующим
сочетанию /г < /2 < ... < jm, если первая отличная от 0 разность
в ряду «j—/1( i2 — j2, ... отрицательна. Тогда каждый минор тре-
угольной матрицы, номера столбцов которого образуют сочетание,
предшествующее сочетанию из номеров строчек, равен 0.
533. В силу результатов задач 531, 491, достаточно доказать
теорему для треугольных матриц. В силу результата задачи 532,
имеем для треугольной матрицы А:
, , , с'7’-1
|ЛтН П 4G °Vm = l Л । П~1'
Zi<G<...*</m
534. Свойства а) н Ь) следуют непосредственно нз определения.
Для установления свойства с) удобно обозначить элементы кронеке-
ровского произведения, снабжая нх в качестве индексов не номерами
пар, а самими парами. Пусть
С = (Д'-4")Х(В'-В"), A'XB' = G, А"ХВ"~Н.
Тогда
п т
= 2 altiaiii ‘ 2 6ftft,=2 al,l bk,kaU, — iJkh.iiki,
1=1 fc=l I, k i, k
откуда C-G-H, что и требовалось доказать.
535. Определитель матрицы АхВ не зависит от способа нуме-
рации пар, ибо изменение нумерации влечет одинаковые переста-
новки строчек н столбцов. Далее,
X В = (Л X Дт) • (Еп X В).
При надлежащей нумерации пар матрица АхЕт имеет вид
(А \
А \
• ), причем матрица А повторяется т раз. Следова-
а/
208
тельно, определитель АхЕт равен | А |т. Таким же образом (но
прн другой нумерации пар) убедимся в том, что определитель ЕпУ.В
равен I В |п. Следовательно, | А ХВ |==| А |от-| В |п.
536. Элемент строчки с номером а н столбца с номером 0 мат-
рицы Cik есть
тп
c(l-l)m+a, (fe-1) m+3“ S a(l-l)m+a, s ^s, (k-1) m+p~
п т
= S S °(/-1) т+а, (/-1) т +о m+v, (ft-1) m+₽-
/ = 1о=1
Но внутренняя сумма в последнем выражения есть элемент матрицы
AijBjk, взятый из строчки с номером а н столбца с номером 0.
п
Таким образом, С^— 2
537. Для п=1 теорема тривиальна. Допустим, что теорема до-
казана для матриц «порядка» п—1 и в этом предположении докажем
ее для матриц «порядка» п.
Сначала рассмотрим случай, когда Лп есть неособенная матрица:
/Ли Л12 ... Л1П\
С = 1 '^22 А»п I
\ЛП1 Ап3 ... Л„п/
Умножим матрицу С справа на матрицу £>, где
/£ —ЛцЛ12 ... —Лц1Л]п\
/ Е \
£>= • |.
Е
Тогда C' = CD будет иметь внд
Мп О,
I ^21 ^22
О '
Ain
"Л ns ... ЛпП'
'Л nl
где Лл = Л,*—ЛцЛи Ли.
Все матрицы, находящиеся в клетках матриц С, D и С , комму-
тируют друг с другом. Легко убедиться в том, что при выполнении
этого условия теорема об определителе произведения двух матриц
верна также и для формальных определителей.
Матрица D имеет формальный определитель Е, настоящий опре-
делитель D равен 1.
Следовательно, | С | = |С'| = | Ли |,
Л22 ... А^п
, а для фор-
Лиг ••• Лии
мального определителя В будем иметь В = А11-В', где В' есть
209
формальный определитель матрицы
/ А и •. • Ащ
. . Ann '
В силу индукционного предположения
Ац ... А
|В'| =
А „2 ... А„п
н, следовательно, | В | = | Аи |-| В' | = | С |, что и требовалось до-
казать.
Для того чтобы избавиться от ограничения | Ап | / 0, можно
поступить следующим образом. Введем в рассмотрение матрицу
(Ai+^e ••• А1п \
Ait ... Аап j
Ant Ааа •. - АПп /
и обозначим через В (к) ее формальный определитель.
Ввиду того что | Ац4-Х£т |=Х“4- ... О, J С (Х)| = | В (к) |.
Оба эти определителя являются полиномами от X. Сравнивая их сво-
бодные. члены, получим | С | = | В |. Этим завершается доказательство.
Глава 5
ПОЛИНОМЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
9
р = — д3 — 1, m = q.
. (х—1)(х —2) ... (х—п)
1 ° l-2-З...л
а) (х— 1) (Xя—х’4-3х—3)4-5;
538. а) 2х*-7х»4-6х4—3х3—х2—2x4-1;
Ъ) х4—х« —4х*4-3х4-1-
539. а) Частное 2х24-Зх4-11, остаток 25г—5.
., „ Зх—7 —26х—2
Ь) Частное —g— , остаток ----5--.
У У
540. р = — д3 — 1, m = q. _____
541. 1) q — p — 1, m = 0; 2) q=\; m=± ^2 — p.
542-
543.
b) (x 4- 3) (2x« —6x3 4- 13x2 — 39x 4-109)—327;
c) (х-f-14-0 [4x2 — (34-41)x-H-14-7i)]4-8-61;
d) (x— 14.21) [x3 — 2ix—5 - 21] -94- 81.
544. a) 136; b) —1—441.
545. a) (x4-l)4-2(x4-l)»—3(x4-l)»4-4(x4-l)4-l;
b) (x— I)44-5 (x-1)44-10 (x-1)34-10 (x—I)34-5 (x—1)4-1;
c) (x—2)*—18 (x —2)4-38;
210
d) (x+i)*-2i <)3-(1 + 0 U+О’-5 («+0 + 7+К;
е) (*+1—2i)‘—(х + 1— 2t)3-f-2(х+ 1 —2i)+1.
548 al 1 i 6 , М , 7
’ ’ (х—2)а+(х— 2)з+(х — 2)4'(х —2)5 ’ ‘
.. 1 4 4 2
*+1 (х4- 1)»' (л+1)» ’(х+1)»-
547. а) х* + 11х3 + 45ха + 81х + 55;
Ь) х*~4х3 + 6х2+2х+8.
548. а) /(2) = 18, /'(2) = 48, /'(2)=124, /'"(2) = 216,
/*v(2)=240, /v(2)=120;
b) f (l + 2i) = — 12 — 21, f (1 + 21) = —16 + 81, /’(1+20 =
= —8 + 301, /"' (1 + 20 = 24 + 300 /,v (1 + 20 = 24.
549; a) 3; b) 4.
550. a = —5.
551. 4=3, B = — 4.
552. A = n, B = —(n+l).
555. Для того чтобы f (x) делилось на (x—1)*+1, необходимо
и достаточно, чтобы /(1) = а04-О1Ч- • • +“п = 0 и /' (х) делилось на
(х— 1)*, для чего, в свою очередь, прн выполнении условия / (1)=0
необходимо и достаточно, чтобы fl(x)=nf (х)—х/'(х) делилось на
(х— 1)к. Рассматривая /1 (х) формально как полином л-й степени,
повторяем то же рассуждение k раз.
558. а есть корень (Л+3)-й кратности, где k — показатель крат-
ности а как корня f"'(x).
557. 31255»+ 108a8 = 0, а * 0.
558. b=9aa, 1728аБ+са = 0.
559. Производная хп~т~1 [лхт + (л—т)а] не имеет кратных
корней, кроме 0.
586. Положив общий наибольший .делитель т и л равным d,
m~dm1, n = dnlt получим условие в виде
(-!)”• („х_т1)^-тчп^ an> = nJ*.
562. Отличный от нуля корень (А—1)-й кратности полинома
а1хр‘ + esxp,+ ... 4- акхРк
удовлетворяет уравнениям;
a1xP1 + а1хр* + ... + аАхр* =0,
Pi“ix₽1 + РЛ*р‘ + • • + W>**₽* = о,
platxp‘ + ргв2хр‘ + ... + р^о*хр* = 0,
р*-2Л1Хр> + р*-2а2хр* + ... +р*“2лахр* =0,
откуда следует, что числа a1xPt, asxp’, .... акхРк пропорциональ-
ны алгебраическим дополнениям элементов последней строчки
211
определителя Вандермонда
1 I 1 ... 1
д _ Pi Рг Рз • • • Pk
fc-i „fc-i k-i k-i
Pi Рз Рз ••• Pk
Легко проверить, что
т-=П (Pi—Р«) = Ф' (₽/)•
ai з^=1
Отсюда следует, что числа a/xpi обратно пропорциональны ф'(р/)»
т. е.
ар^'ф' (р1) = а2хр,ф/ (р2)= ... = аАхр*ф' (рА).
Все приведенные рассуждения обратимы.
563. Если f (х) делится на f (х), то частное есть полином пер-
вой степени со старшим коэффициентом —, где п—степень f (х).
Поэтому nf (х) = (х—х0) f (х). В результате дифференцирования по-
лучаем (п—1)/' (х) = (х—х0) f(x) и т. д., откуда
И*) = fw W=“«(*-*о)п-
Обратное очевидно.
X хп
564. Кратный корень полкнома f(x)=14--j—; должен
1 ш
быть также корнем его производной
V уП —1 уИ
т=1+т+...+—=zw_._.
Следовательно, если f (xa) = f (хо) = О, то хо=О, но 0 не яцляется
корнем f (х).
565. Если f (х) = (х—x0)ft (х), где fj (х)—дробная рациональ-
ная функция, не обращающаяся в 0 при х = х0, то непосредственное
дифференцирование дает:
f (*о) = Г (х0) = ... = /<*-» (х„)=0, (х„) # 0.
Обратно, если f(x0) = f (х0)= ... = (хо)=О н /=<*> (х0) £ 0,
то f (х) = (х—x0)ft fx (х), (х0) 0, ибо если бы f(x)=
= (х—x0)m q (х), <?(хо)/О при т Ф k, то ряд последовательных
производных, обращающихся в 0 при х=х0, был бы короче или
длиннее.
566. Функция
= -У--? = И*)- f (х-х0) —... — £21^ (Х-Хо)»
Vv \Л1 1 tbl
удовлетворяет условию
g (*о)=g' (*о) = • = g(n) (*о)=0.
Следовательно, ф (х) = (х—x0)n+1 F (х), где F (х) — полином, что и
требовалось доказать.
212
567. Если fj (x) fi (xo) — fi to fi to) не равно 0 тождественно, то
можно считать, что ц (х0) jk 0. Рассмотрим дробную рациональную
. fi to fi to)
функцию : . — ' ; ; . Она не равна тождественно нулю н имеет
11\х) fi to)
корнем х0. Кратность этого корня на единицу выше кратности х0
» » fi to fi to—fi to fi to
как корни производной, равной ' f/'77nF~~ — откуда
[fl to]2
справедливость доказываемого утверждения следует непосредственно.
568. Пусть хп —корень кратности k для [/'(х)]2—f to f" to-
Тогда f (хй) £ 0, ибо иначе ха было бы общим корнем для f (х)
и f (х). По предыдущей задаче х0 будет корнем кратности k-\-1 для
полинома / (х) Г to)—fto)P (*)> степень которого не превосходит п.
Следовательно, А-)-1 <л, k^n—1.
569. Полином f (х) f (хп)—f to) f to должен иметь x0 корнем
л-й кратностй, т. е. должен равняться А (х—хд)п, где Л—постоянная.
Разложение по степеням х~ х0 после замены х — х0 = г дает
(°о + а-i2+а2г’ + • • + апг") ai—
—(л1+2а2г-4-За3г2+ ... -\-папгп~') ад — Агп,
причем
a0 = f to) # 0.
Л2 „3
Отсюда — > а3=—х—, ..., ап————. Заменив ——а,
2а0 а23! п 0«->П! а0
получим
(м „ Г. ,а(х—х0) а2(х—х0)2 ап (х—х0)п
' to - «о р -I j I-------jT2 r ’ ’ • 1 л!
570. Например, уже не подходит).
571. Например, д=^=(^ уже не подходит) .
40 \4Ч /
572. Например, Л4=6.
573. Например,
574. Например, а) х=1—р, 0<р<—;
, /. (2fe —1)л . . . (2k—1)л\ - 4/-j.
b) х= 1 + р ( cos --1 sin ----, р < у 8,
с) x=l + pi, р<у=-.
575. Разложение полинома f (г) по степеням г—i~h дает
f (z)= (2-i) [1 + (1 -О Л2 - Д+IL Л*].
Положив Л = а(1—0> получим
Г(«) = (2-0 Г1—4а3+4а3 a2) 1,
213
откуда
при 0 < а < у.
576. Представив полином в виде
f (г) = f (г0) ] 1 + г (cos <р + i siп <р) (г—г0 )* [ 1 + (г—г0) ф (г)]},
положить г—г0=р (cos 0-н sin 0). взять 0=----------—I и взять р
настолько малым, чтобы | (г—г0)ф(г)| < 1. Тогда
I f (г) I = I ! (г0) 11 1 + гр* + гр* (г—г0) ф (г) | > f (г0).
577. Доказывается как для полинома, с использованием формулы
Тейлора для дробной рациональной функции (задача 566), которую
надлежит оборвать после первого члена с отличным от нуля коэф-
фициентом, не считая f (Xg)..
578. Обозначим через М точную нижнюю границу | / (г) | при
изменении г в рассматриваемой области.
Делением области ив части докажем существование точки гв,
в любой окрестности которой точная нижняя граница | f (г) | равна М.
В случае надобности сократим дробь иа г—г0 в возможно более
высокой степени. Пусть /(г)=у-Ф после этого сокращения. Тогда
i|) (г0) £ 0, ибо иначе в достаточно малой окрестности z0 | f (z) | был
бы сколь угодно большим и нижняя грань] f (г) | в достаточно малой
окрестности г0 не могла бы равннться М. Следовательно, f (г) непре-
рывно при г —г0 и в силу непрерывности | f (г0) | = А1, что и требо-
валось доказать.
579. Не хватает леммы о возрастании модуля.
580. При сделанном предположении
f (а) * 0, f (а) =... = f‘*-« (a) =0, f*> (а) # 0
н по формуле Тейлора
f '*> fa)
f(г) -f(a) + - fcj-— (г—а)* 11+Ф (г)], ф (fl) =0.
Положим
1 Р*> (а)
-тут- • =r (cos ф-Н sin ф), г—а = р (cos 0-Н sin 0).
I [а) «I
Возьмем р настолько малым, что | ф (г) | < 1, грк < 1. Тогда | ] (г) | =
=1 f (“)-Н 1 + rP*[cos (ф+й0)Ч-1 sin(ф+*0)]Ч-гр*Х|, где |Х| < 1.
При 0 = ^?—92LZ.T , т= 1, 2.......k, | f (г) | < | f (а) |.
При0 = ^~(Р, «=1,2............k, |f(z)| > |f(a)|.
Таким образом, при изменении 0 от —- 3? до - ^-|-2л функция
I f (г) I—I f (°) I меняет знак 2k раз. Вследствие непрерывности | f (z) | —
— |/(а)| как функции от 0, |/(г)| —jf (а)] обратится в нуль 2k
раз, что и требовалось доказать.
214
681. Так же, как в предыдущей задаче, покажем, что-Re (/(z)) —
— Re (f (а)) н Im (f (г))—Im (f (а)) при г=р (cos 0 + i sin 0) меняют
знак 2k раз при изменении 0 на 2л, если только р достаточно мало.
По формуле Тейлора, положив(а) = г (cos ф+ч'sin ф), получим
,f (г) —f (а)==гр*[cos (<рН-А0) + /sin (<р + А0)1 [1 +<р (г)], <р(а) = О. Вы-
брав р так, чтобы | <р (г) | < 1, получим, положив ф (г) = <pj (г) 4- 1ф2 (г):
Re (f (г))—Re (f (а)) = гр* [cos (<p+fe0) (1 +Ф1 (г)) — sin (<р+ /?0) ф2 (г)];
1m (/ (г))— 1m (/ (а)) = гр* [sin (ф + /?0) (1 + Ф1 (z))+ cos (ф + *0) ф2 (г)].
Положив ф + йО —тл, т = 0, 1, 2, .... 2я, получим
Re (/ (г))—Re (f (a))=rp* (- l)m (1 + s„),
где —соответствующее значение Ф1 (г), | е,я | < 1.
Отсюда следует, что Re (f (г))—Re (f (а)) меняет знак 2т раз при
обходе г окружности |г—а|=р. Аналогичный результат по-
Л
лучим для Im (/(г))—Im (/(а)), положив фЦ-/?0=—-|-тл,
m = 0, 1, .... 2k.
582. а) (х— 1)(х — 2)(х —3);
Ь) (х— 1 — 1) (х— 1 + О (х + 1 — j) (х + 1 +1);
. d)(x-/3-K2)(x-K3 + K2)(xfK3-/2)x
х(х+/3+/2).
583. а) 2”-1 JJ ^х —cos
. 2 (2k-l)n
х— tgs '— >—
4т
584. а) (ха+2x4-2) (х»~ 2x4-2);
Ь) (х»+3) (х»+3х + 3) (ха-Зх+З);
215
d) Д (x»-22j/bos^+/2j;
4=0 ' 7
е) (ха-х К« + 2Ч-1) (ха +х Ка+^+0;
n tV* / а о (3*4-1) 2л ,
0 П (* -2xcos +1 )•
4 = 0 4 '
585. а) (х—1)а(х—2)(х—3) (х— 1— i) =
= хб _ (8+i) Х4 + (24 + 7,-) хз - (34 4-170 х2 4- (23 4-170 х - (6 4- 61);
b) (х4- 1)а (х—3) (х—4) = хБ—4х4 — 6х34- 16ха4-29х4-12;
с) (х— i)a(x4- 14-i)=x»4-(1—0ха4-(1—20х—1—1.
586. Д ХА(х).
4=1
587. a) (x—l)a(x—2)(x—3)(xa—2x4-2)=x«—9xJ4-33x* —
- 65х» 4-74ха—46x4-12;
Ь) (ха—4х4-13)а=х« —12х84-87х4—376х»4-1131ха —
-2028x4-2197;
с) (ха-|-1)а (ха4-2х4-2)=х«4-2х54-4х44-4х34-5ха4-2х4-2.
588. а) (х—1)а(х4-2); b) (х4-1)2 (ха4-1); с) (х— I)3.
589. Xй—1, где d—наибольший общий делитель тип.
590. Xй4-ad, если числа и 4- —нечетные; 1, если хотя бы
d d
одно из них четное; d обозначает наибольший общий делитель тип.
591. а) (х—1)а(х-|-1); Ь) (х—1)3(х4-1);
с) Xй — 1 (d— н. о. д. т н л).
592. Обозначим Хо— “у*0) и разложим f (х) на линейные множи-
тели: f (х) = (х—Хо) (х—Х1).?.(х—XA-i). Тогда £ 10 при / £0.
Далее,
В силу условия задачи и того, что и (х0)—Хуо (х0) = и (х0) (10—1У) 0,
полином и (х) — 'ktp (х) имеет х0 корнем кратности k > 1. Следовательно,
и'(х) — Х0о'(х) имеет х0 корнем кратности k—1. Далее,
f (ТТгн’') ~r ,! Mt w~K«v' W)•••(“' W—^*-1W)-
\ v \х) / [о (х)]*
Все и'(х)—’kjv' (х), j 0, очевидно, не обращаются в 0 при х = х0.
Следовательно, f
имеет х0 корнем кратности k—1, что и
требовалось доказать.
593. Если w—корень полинома х24-*4-Ь т0 «’3 = 1- Следова-
тельно, и3®4-и1зп+14-а13>’+а=14-®4-®’=0.
216
594. Корень X полинома х2—хЦ-1 удовлетворяет уравнению
Х3 =— 1. Следовательно,
X3m_X3n + l + X3/> + 2= (_1)И«_(_1)пД,+ (_1)П2 =
= (-1)®-(-1)/’ + Х [(-iy’-(-l)'’].
Последнее выражение может равняться нулю, только если (—1)® =
= (—1)Р:^(—1)п, т. е. если т, п, р—одновременно четные или
одновременно нечетные числа.
595. x4-f-xa-f-1 = (x24-x-f- 1) (ха— х-f-l)- Множители эти взаимно
просты, х2 + *Ч-1 всегда является делителем х3®+х3п+14-х3/’ + а
(задача 593). Остается выяснить, когда имеет место делимость на
ха—х+1. Подстановка корня 1 этого полинома дает
(_ir+(_l)nx+(-l)W = (-l)'»-(-l)/’ + X[(-l)" + (-l)/’l.
В результате получится 0, только если (— 1)® = (— 1)^ =—(—1)",
т. е. числа т, р и л+1—одновременно четные нлн нечетные.
596. Если т не делится на 3.
597. Все корни полинома x*_1+xft~24- • • • +1 суть корни Л-й
степени из 1. Следовательно, £ftai + £fc<7s+1+ • • •
= 1+£+•••+£ft-1 = 0. Отсюда следует делимость, так как все
корни xfc-14-... + 1 простые.
598. Подстановка корня w полинома xa-f-x-f-l в f (х) = (1 + х)® —
— х®—1 дает (14-ш)т—wm—1. Но 1-|-ш = —а>2 = л— первообраз-
ному корню 6-й степени нз 1. Далее, w= 1а, откуда f (w) = №—ktm— 1 •
При *
f (ш) = — 1 /0;
f (ш) = к —V—1=0;
f (ш) = Ха4-1— 1 ?£0;
^(щ)=-3/0;
f (u>) = — 1+Xa— 1 0;
f(w)~— Xa+X—1=0.
имеет место при m = 6n -f-l и иг = 6л4-5.
т = 6л
т = 6 л + 1
т = 6 л + 2
т = 6 л + 3
т =6л + 4
т = 6л-|-5
Делимость f (х) на х2 + *+ 1
599. При т = 6лЦ-2 и т = 6л + 4.
600. f (w) — m (l-J-ai)®-1—тги®-1 = т [X®-1—X2 (®-1>], f (u») = 0
только при /п = 6л+1.
601. При иг = 6л+ 4.
602. Нет, так как первая н вторая производные не обращаются
в 0 одновременно.
603. При х = k, 1<1г<л,
7 W = 1 -4+ • • • + = <* ~ по-
следовательно, полином делится на (х—1)(х—2)...(х—л). Сравне-
ние старших коэффициентов дает
(__пп
/(х)=-^-(х-1)(х-2)...(х-л).
604. При т, взаимно простых с л.
605. Если f (х«) делится на х—1, то f (1) =0 и, следовательно,
' f (х) делится на х—1, откуда следует, что f(xn) делится на хп — 1.
606. Если Е (x) = f (х«) делится на (х—a)k, то F' (x) = f (хп) лхп-1
делится на (х—а)*-1, откуда следует, что/'(хп) делится на(х—а)*-1.
Таким же образом, f (хп) делится на (х—а)к~2, ..., f(ft-*>(x”)
217
делится на х—а. Отсюда заключаем, что f (an)==ft(an)=...=flk~n(&l)*=O
и, следовательно, f (х) делится на (х—ап)к, f (хп) делится на (х"—ап)к.
607. Если г (х) = f j (х3) 4~ х/2 (х3) делится на ха4-х4-1, то
F M = (1)4-ш/а (1)=0 (ш—корень х34-х4-1) и Г (а>а) = Л (1) 4-
4-а>7а(1) = 0, откуда А(1)=0, fa(l)=0. 4
608. Полином f(x) не имеет вещественных корней нечетной крат-
ности, так как иначе он менял бы знак. Следовательно, f(x) =
= Ifi (х)]а ft (х), где /а (х)—полином, не имеющий вещественных кор-
ней. Комплексные корни полинома ft разделим на две группы, относя
комплексно сопряженные в разные группы. Произведения линейных
множителей, соответствующих корням каждой группы, образуют
полиномы с сопряженными коэффициентами ф] (х)4~(ф2 (х) и ф( (х) —
— (фа(х). Следовательно,
ft (х) = ф1(х)+фа (х) н /(х) = (/1ф1)2+(Лф2)2.
609. а) — х1( —ха..... — хп; Ь) ............X;
Х1 ха х„
с) Xj—а, ха—а, ..., xn—a; d) bxt, bx2, ... bxn.
£
2 ’
610. Один нз корней должен
равняться —
Искомое соотно-
шение: 8r = 4pq— р3.
611. Xi=X,xa=X, х3 — —X 612. а3 — 4а64-8с — 0.
О 2, о
613. При любом а соотношение между корнями сохранится.
а
Взяв а= — —, получим для преобразованного уравнения i/44-a </3-|-
+ &'ya-f-c'y+d' = O а' = 0, а'3—4a'b' 4- 8с' = 0, откуда с' = 0.
614. a«d = ca.
615. Деление на. ха дает хг + ~+а (х 4- 4-5=0.
с dec
Заменив х4— = г, получим xa4--j— ха4--уа = ха—2 — , отку-
UX X UX Q
да для г получаем квадратное уравнение z24~ az 4-5—2 — =0. Опре-
делив г, легко найдем х (обобщенные-возвратные уравнения).
616. а) х— 1 ± КЗ, 1 ± i/ljj) х= I ± 2(, —2 ± (;
.d)„1±n;=3±£E.
617. U±6.
618. 1) 5 = с=0, а—любое; 2) а — —1, 5 =—1, с=1.
619. 1) а=5 = с = 0; 2) а=1, 5=—2, с = 0; 3) ,а=1, U-1,
1 о______1а
с—— 1; 4) 5 = 1, а~—-г-, с ——г—, где I3—21.4-2 = 0.
Л Л
620. 1=—3. 621. <734-р?4~<7 = 0- 622. а? —2аа.
623. х,- = —^4-2‘~у~~1 5, (=1,2.л, где
п. 2
, 1 ч/~ 12 (л—1)а’—24лаа
A = _j/ -----.
218
624. Если бы корни образовывали арифметическую прогрессию,
то по формуле предыдущей задачи они равнялись бы:
ч 113
а)—ту, -5-, -д—оии действительно удовлетворяют уравнению;
& Л А
5 3 11
Ь) —у, — у, ~~~2’ ~2~°НН не УД°влетв0Ряют Уравнению.
625. Пусть у =Ах+В—уравнение искомой прямой. Тогда корни
уравнения xt-f-ax3-j-bx2-{-cx-l-d = Ax-l-B образуют арифметическую
прогрессию. Находим их, согласно задаче 623:
= + 1 = 1, 2, 3, 4,
где
. 1 ,/9а’—246 1 За’—86
А = -2 V —Т5~=-2 У —5— '
Отсюда'
А — с = XiXt (х2 + х3) 4- х2х3 (х, + х4) =
/о2 9 а (а2 1 а а3 — 4аЬ
\16 4/2 \16 4 ) 2 8
d — В = х^х2х3х4=(366—11 а’) (46 4- а’).
1OUU
Следовательно,
А =?3-4а6+ 8с - S = d—^(366-11а’)(46 + а’).
Точки пересечения будут вещественными и не сливающимися,
если За’—86 > 0, т. е. если вторая производная 2 (6х’-|-Зах4-6) ме-
няет знак при изменении х вдоль вещественной оси.
626. х4—ах’+1=0, где а = а .
а’
627. (х’-х+1)’-а(х’-х)’ = 0, .
628. /' (х1) = (х<—xx)...(Xi—Xi-i)(xt—х<+1)...(хг—х„);
Г (^) = 2 ((х,—х2).. .(х,— х{_4) (х{—х, + 1).. .(х,—хп) +
+ (*г —*i) (*z—*з) •••(*<-*/-1) W—я» -ы) - •(*«— хя) +...
... + (х,—xt) (х,-х2).. .{Xi—x;-i) (х;—x1 + i)...
п
.. ,(х,—x„_l)] = 2f' (х/) У --- (если xs х().
Х1 — xs
S=1
(S^O
629. Непосредственно следует'нз задачи 628.
630. Пусть х/=Х! + ((—1)6. Тогда
f (Xi) = (-1(i-1 )1 (п-()! 6"-1.
631. а) х.4-1; Ь) х’4-1; с) х»+ 1; d) х’—2х-|-2;
е) х3—х+1; О * + 3; g) х’4-х-|-1; h) х’ —2х|<2-1; i) х + 2;
j) 1; к) 2х’+х—1; 1) х’+х-4-l.
219
638. 1.
639. a) (x4-l)«(x—2)«; J)) (*+1)« (x—4);
c) (x—1)3(хЦ-3)2(х—3); d) (x—2)(x»—2x+2)2;
e) (Xs— xa—x— 2)*; f) (xa4-l)«(x— I)3;
g) (x« + x3+2xa+x+l)a.
to
640. a) f(x) = x+l+lx(x-l)(x-2)(x-3);
b) /(x) =—x*+4x8—хг—7*+5;
c) f(x) = l+-g-(x-l)—jlg(x-l)(4x-9) +
+ 9^5 (x-l)(4x-9)(x-4),
(2)=1 Щ=1,4116 ... (/7=1,4142 ...);
d) f (x)=x»-9x8+21x-8.
641. a) y=-^-(x-2)(x-3)(x-4) +
+1 (x-1) (x-3) (x—4) —2 (x-1) (x—2) (x—4) +
+ ~(x-1) (x—2) (x-3) =-4 *’+ 10*8-v *+ !5;
4 О О
ь) y=4i5_(i~°x~x2~(i+ox3]-
П-1
642. f(x) = ^—42 (l-»ctg^x*.
Л-1
s=ir
Решение.
(s+l)(x»-l) __
(x—e,) ле»-»
s»o
(s+l)(l-X«) _ 1
1-Х8-» П
n-ln-l
Л-1 n-i n-1
-»S«*L<s+»T“-7L <’+>+
s=0 s=o
«+1
2
n
643. f(x) = ^
k=i
(X —8*) П8«-1
1 у Vk (1 —xn)
n 1— xer* ’
k=i
n
h°)=4S «,*
k=i
221
644. Положим ф (х) = (х—xj (х—х^.. .(х—хп),
Пусть f (х) — произвольный полином не выше (п—1)-й степени,
yt, !/г> •>Уп—его значения при х—Ху, xt, ...,x„. Тогда
гiy >-У1+у«+ - +ув _у
Но) п ф'(*,) (*»-*/)'
*=i
В силу произвольности #1, у.2, ... уп.
Ф (*о) 1
ф' (xk) (х„— хк) п •
Рассмотрим полином
F (х) = л [ф W—ф (х)]-(х0--х) ф' (х).
Степень его меньше п, и он обращается а 0 при х — х1, х2, ..., х„.
Следовательно, /г(х)=0. Разложим ф(х) по степеням (х—х0):
п
ф(*)= 2 <*(x-xa)k.
Лево
П
Имеем 2 (п—Л)с*(х—хо)*=О. Следовательно, c1 = c2 = ...=cn-i=0;
*=i
Ф (х) = (х—х0)п + с0, xz = x0+/=7e.
п
645. х5 = У’ № . Сравнение коэффициентов при
(Х-Х,)ф'(Х,-)
х"-1 дает
646. = —x jVfxO ‘ Сравнение коэффициентов при
х»-1 дает
у х?~'
ф' (х,-)
647. п,
I п
-у£у*А*р W А =
А= 1
1 xt ... ху-1
1 х3 ... X?-'
Д*1—алге-
1 х„ ... х»-1
браическое дополнение элемента А-й строки
определителя А.
и (<+1)-го столбца
л-1 л л-1 л
/(Х)==2°^= Д-11 =
(sO i=0 Лс1
222
где Ад — определитель, получающийся из А заменой элементов k-t
строки на 1, х, ж”-*.
Вычисление определителей Ад и А как определителей Вандермон-
да дает
Ад (х—х1)...(х-хд-1) (х—хд+1)...(х—х„) =
А (Хд— Xt). . . (Хд — Хд-i) (Xk—Хд + 1). . . (х*—х„)
ф(х)
(Х-Хд) <р' (Хд) ’
где ф (х).= (ж—Xj) (х—х2) ... (ж—х„).
Отсюда f (х) = У* т' ) ’ ЧТ° Н требовалось Д°казать-
648. f (ж) = 1 + п+^^Г °+ ' • +--^-~1) -д,(Х-Я+1^
649. / (х) = 1 + (а~1)х4. t
, (п—1)"х(х—1)...(х—Л-Ь1)
‘ п!
650. f(x)=l-y+2*(^~2)+...
, 2х(2х—2)...(2х —4п + 2)
(2л)!
651. f (х) = 1 ~^+ l)3jX~2)- . ♦
... + i)n (х—1)(х—2)...(х—л+1)
— (2—х). .(п—х)
п\ х
652. /= > где <₽(*) = (*—Xi)...(х—Х„).
653. Ищем f (х) в виде
Г («)=л.+л, ?=2+ л, .
, л (х—т) (х— т— 1)...(х—т — л+ 1)
•"+Ля п!
где т, т+1, .... m-j-n—целые значения х, при которых по
условию f (х) принимает целые значения.
Полагая последовательно *x = m, m-f-l, .... m-f-n, получим
равенства для определения Ло,- .А„:
A0 = f(m),
Ak=f (т+й>-лв-А Лд-л,-... -ЙЛ*.,.
k— 1, 2...п,
221
из которых следует, что все коэффициенты А^—целые. При целых
значениях х все слагаемые / (х) обращаются в биномиальные коэф-
фициенты с целыми множителями А* и потому являются целыми чи-
слами. Следовательно, f (х) принимает целые значения при целых
значениях х, что н требовалось доказать.
654. Полином /'(x) = f(x2) степени 2л принимает целые значе-
ния при 2n+1 значениях х=— п, — (п— 1), ..— 1, 0, 1, .... п
и в силу предыдущей задачи принимает целые значения при всех
целых значениях х.
655 я) 1 4 1 9 .
’ ’ 12 (х— 1) 3(х+2)'|-4(х+3)’
Ы 1 4- 1 1 । 1 »
' 6(х-1)+2(х-2) 2(х—3) ' 6(х—4) ‘
2 , -2+< , —2—t .
х— 1 ‘ 2(х—i)‘r2(x4-i) ’
d) 4(х—1) 4(х+1) 4(х—0+4(х+0 ’
е) 3 \Х— 1+х—е"^х—е2 / ’ 2 + 2 ’
4 le^x-l-t^x—1-Н x+l—«тх+1+*/
n-1
n x—e»
k=o *
26л , , . 26л
e* = cos-----H sin-----
” n n
.. 1 V1 (26—1) л , (26—1) л
h) > ———, rib = cos i-------—H sin s--'—
' n X—TU ’ |Я n n
k=i w
k=0 k=-n
k)
/ nt i • 26—1
(—I)*"1 sin -s—л
26—1
X — COS —7;— л
2n
e \ 1 x*4“2
658, 3(x—1) ~3(x2+x+l) 1
.. ;__1________1 , 1 !
' 8 (x— 2) 8(x+2)-r 2 (x2 + 4) ’
1 x+2 1 x—2
C) 8 х»-Ь2х+2 8 x»—2x+2 ’
л _L ( 1 1 2
' 18 V*2+3x-h3 ^x2—3x+ 3 **4-3
224
2n x— 1
2k (m+ 1) л 2kmn
xcos———r cos=—r-т
_____2n-f- 1__2n+l
*,-2хСО32^Г+*
2fe(/n4-l)n , 2kmn
XCOS--£--—j-i-p-COSs—r-r
______2n+l 2n+l
„ , n 2kn . ,
x +2xcos2^M+1
. __- x cub--- I
_L+2y n______________
x+1 ' _ kn . ,
4=1 x2—2xcos-Hl
n
„ (2fe-l)mn (2fe—1) (2m-Fl)n
1 V n 2n
nL « л (24—1) я . ,
4=1 X*—2xcosl s— Fl
2n
1
(П!)2х + 22- (n + 4)!(n —/г)!(х2 + /г2) •
A= 1
857, a) 4 (x—1)*—4 (x+I)2
b) 4 (x+1) 4 (x—1)^4 (x—1)2+4 (x+1)4 ’
. 3 4 1 1___2,1.
c) (X—1)2 (x— I)»-*"x—1 (x+1)2 x+l^x—2’
Г1 2 Л— 1 ”1
<—•
4=0 J
4
•• 11 (*—«*)*
Lk = 0
2kn , , . 2kn
Sk = cos--F1 sin---;
R n n
n n(n+l)
сГ1 I 1 I b2
d)
n (n4-1), .(n-F/n—2)
1-2. ,(m—1)
X
т. m(m+l)
4—1— 1 ______L_+. 1~2_ +
(1— x)"^(l-X)"-1 (1— x)«-2
m (m+1).. .(m + n—2)
, 1-2...(n-1)
1—x
8 д. К, Фаддеев, И. С. Семи некий
225
k = 0
xr_J____________________________+ __J______
[(a — *)"-* (a + x)"-ft
g) —1— V (2a)«-fe " (»+V-••(»+,0 x
81 (4a2)n k\
fc=O
Г 1 1
X [(a—ix)n~* +(a + ix)"-*
.. V g(-xk) , g'(xk)f (xk)-g(xk)f(xk)
’ [f'(*k)]2(x-xk)t {f'(xk)\4x-xk)
fe=l я=1
1 I X~ 1 I X+ 1
858. a) -4(X.+ 1)+4(JC8+1.) + 2(X2_|_1)2:
b)
c)
___1___7 3________6x4-2 _ 3x4-2 .
~~ x x-|-l ' (x4-1)2 x24-x4-l (x24-x4-1)2’
1__________3 , 1 . 3
16 (X- I)2 16 (X-1) 46(x4-1)2^ 16 (X4-1)
_L—!------1___!—.
^4(x24-1) ' 4(x24-l)2 ’
d)
1 [ 1 , 1 2л—1 2л-11 ,
4л2 L(x— I)2 +(*4- I)2 *-l + x4- 1 J +
А
— 2x cos —
-------^4-
, j_ v s'nS!
+ rta 2-
ft=l
kn \ ®
x2—2xcos-----(-1 )
n /
— I q. kjt
i 1 n —sin2-------
ft=I
kn
xcos---
n
659. а)
' <pW
x2 — 2x cos — 4- 1
n
b) хф'(х) —*Ф(х) . c) [ф, (X)P —ф(х) Ф" (X)
[qp (x)J«
qp W
ФЧ2) <p-(l)__ 17. .
qp(2) + <p (1) 5 ’ } '
661. 0,51x4-2,04. 662. i/=y[0,55x2 4-2,35x4-6,98].
660. a) 9; b)
663. Подставив -£ в f (x), получим после умножения иа qn
W + «iP'1- xq 4- • • + an - iP4n ‘1 + an4n = 0,
226
откуда
“ — - (Я1РИ~* + • • +Оп-1РЯа-*+а^)а-l),
(воР"“1 + «1Р”“ *<?+..•+ал -1<?" - *).
В правых частях последних равенств находятся целые числа.
Числа р и q взаимно просты. Следовательно, а0 делится на q,
а„ делится на р.
Расположим теперь f (х) по степеням х—т:
f (х) = а0 (х—т^ + с! (х—т)'1-1-}-. ..+(?„-! (х—т) + с„.
Коэффициенты clt сг, сп—целые числа, так как т—целое.
cn = f(m). Подставив х=~, получим
(p—mq)n+c1 (fi—mq)n~1q+ ... +<„-! (р—mq) qn~x+cnqn = Q,
cnqn J
откуда заключаем, что ——целое число.
p—mq
, p—mq р
Ввиду того, что дробь -----—т несократима, числа
р—mq и q взаимно просты. Следовательно, cn— f (т) делится на
р—mq, что н требовалось доказать.
664. Для примера а) даем подробное решение.
Возможные значения для р; 1, —1, 2, —2, 7, —7, 14, —14.
Для q только 1 (знак считаем присоединенным. к числителю).
/(!)==—4. Следовательно, р— 1 должно быть делителем 4.
Отбрасываются возможности р—\, — 2, 7, —7, 14, — 14. Остается
испытать — 1 и 2.
f(— 1)^0; f(2)=0. Единственный рациональный корень хх=2.
Ь) *1=— 3; с) хх=— 2, х2=3; d) х1=—3, х2=-1;
е)|, —у; 0 1, — 2. 3; g) у.
h) рациональных корней нет; 1) — 1,-—2, —3, +4»
Му! О *1=*а=-у 1 т) х, = х3=1, х8=х4= —3;
п) Xj = 3, ха = х3 = х4 = х5 = — 1; о) х1 = х2 = х3 = 2.
665. По задаче 663 р и p — q—одновременно нечетные числа.
Следовательно, q—четное число и не может равняться единице.
666. По задаче 663 p—x1q=± 1, р—ха<?=± 1, откуда
(х2 —Xj)^=± 2 нлн 0. Значение 0 отпадает, так как q > 0, х2 xv
Положив для определенности х2 > xlt получим (х2—Xj)7=2. Эго
равенство невозможно при ха—хх > 2. Положим теперь, что
х2— хх=1 нлн 2. Единственно 'возможные значения для р и q, при
8* 227
которых возможно равенство (х2— *i)? = 2, есть p»Xi?+'l>
2
,q= ..... , откуда единственная возможность для рационального
Х2 Xi
корня —=%!-]-----—Х1 + *? , что н требовалось доказать.
667. Выполнен признак Эйзенштейна:
а) для р = 2; Ь) для р = 3; с) для р==3, после разложения поли-
нома по степеням х — 1.
668. Хр (х) = (х— 1)P~l + -|- (х—1)₽-«+
+р(р-!)(Х-1)р-з+...+р.
Все коэффициенты С* = де-
лятся на р, ибо felC* = p(p—1)...(р—&+•) делится на р, a k\
взаимно просто с р. Таким образом, для Хр (х) после разложе-
ния по степеням х—1 выполнен признак Эйзенштейна для простого
числа р.
689. Применим признак Эйзенштейна для числа р, положив
- к
Хрк (х) =ф (у)= (у+1)* 71
(</+ 1)₽ -‘-1
Старший коэффициент полинома <р равен 1. Свободный член ф(</),
равный ф(0) = Хр‘ (1) = р, делится на р и не делится на р2. Остается
доказать, что все остальные коэффициенты делятся па р. Для этого
докажем по индукции, что все коэффициенты полинома (у-г1)₽ —1,
кроме старшего, делятся на р. Для ft=l это верно. Допустим,
что это верно для показателя р”-1, т. е. (р-|- 1)р ~ = рр ”4-1 +
+ ршп-1 (у), где wn_j (у) — полипом с целыми коэффициентами.
Тогда (у + 1) р" = (урП ~' + 1 + pwn _ 1 (у)) Р = (урП " * + 1) Р 4- рф (у) =
= урП + 1 ->-pw„ (у); ф(р) и w„ (у)—полиномы с целыми коэффи-
циентами. Итак,
</р Н-ршЛ-1(у)
Wk (у)— ypl’~pl‘~'ttlk-l (у) рк-Рк~1 I , ,
=УР р +р. >w.dL------------------------=ур ° Ч-РХ(У)-
ур +pwk.l(y)
Коэффициенты полинома %(р) — целые, так как % (у) есть частное
от деления полиномов - с целыми коэффициентами и старший коэф-
фициент делителя равен единице. Следовательно, все коэффициенты
полинома ф(у), кроме старшего, делятся на р. Условия теоремы
Эйзенштейна выполнены.
670. Допустим, что полином приводим: f (х) = ф (х) ф (х).
Тогда оба множителя имеют целые коэффициенты и степени их
больше I, так как f (х) по условию не имеет рациональных корней.
228
Пусть
<р(х) = Мй + ^й-1+---+^>
ф(х) = сохя>+с1х’>-1 +... +сга,
fe3;2, m^2, k-\-m = n. Так как b^cm = an делится на р и не
делится на р2, можно принять, что bk делится на р, ст не делится
на р.
Пусть Ь;—первый с конца коэффициент qp (х), не делящийся на р,
iSsO. Такой найдется, так как а0 = &0Со не делится на р. Тогда
am+i = biCm + bi+1Cm-i+. - не делится иа р, так как Ь^т не
делится на р, а Ь,+1, Ьц.г, ... делятся иа р. Это противоречит
условию, ибо tn-1-i^ 2.
67!. Разложив f (х) иа неприводимые множители с целыми коэф-
фициентами, рассмотрим неприводимый множитель qp (х), свободный
член которого делится на р. Такой найдется, так как а„ делится
на р_. Частное от деления f (х) на <р (х) обозначим ф(х). Пусть
<р (х) = Ь<рст + Ь1х“ -1 + ... + Ьт,
ф (х) = сохА+с1хЛ-1 + ... +cft
и bi—первый с конца коэффициент <р (х), не делящийся на р; сй не
делится на р, так как ап = 6шсЛ не делится на р2.
Поэтому afl+i = bick+bi+1c/l-1+ ... не делится на р, откуда сле-
дует h-\-i<k. Следовательно, —k = n-\-i—k^n—k.
672. a) /(0)=l, /(1)=-1, f(-l) = -l.
Если f ДО = ф (x) ф (x) и степень qp(x)<2, то qp (0) = ± 1, qp (1) —
= ±1, qp (—1)=±1, t. e. qp (x) задается одной из таблиц:
Последние 5 таблиц можно выбросить нз рассмотрения, так как
последние 4 определяют полиномы, отличающиеся только знаком от
полиномов, заданных первыми четырьмя таблицами, четвертая же
определяет полином, тождественно равный единице. Первые Три дают
следующие возможности:
qp(x) =—(х2-(-х—1); qp(x) = x2—х—1; qp(x) = 2x2—1,
Испытания посредством деления дают:
f (х) = (х2+х—1)(х2-х—1).
Ь) Неприводим; с) неприводим; d) (х2—х—1)(х2—2).
673. Приводимый полином третьей степени имеет множитель пер-
вой степени с рациональными коэффициентами и потому имеет рацио-
нальный корень.
674. Полином x* + ax3 + 6x2 + cx + d, не имеющий рациональных
корней, может быть разложен, в случае приводимости, только на
множители второй степени с целыми коэффициентами:
х4 + ах3 + Ьхг + сх + d = (х2+Хх + т) (х2 + ЦХ+п).
Число т, очевидно, должно быть делителем d; mn = d. Сравнение
229
коэффициентов при х3 и х дает
X + ц = а, пХ + тц = с.
Эта система неопределенна, только если т = п, с=ат, т. е. если
c2 = a2d (см. задачу 614).
„ , , с—ат ст—ат2 ,
Если жет/л, то Х =--------г= —□-----s—, что и требовалось
п—т d—m2 г
доказать.
675. В случае приводимости необходимо, чтобы
хъ -I-ах*+йх3 + сх2+dx+е = (ха+Хх + т) (х3 + Х'ха + Х*х+ п).
Коэффициенты множителей должны быть целыми.
Сравнение коэффициентов дает тп = е, откуда следует, что т
есть делитель е. Далее,
X-j-Xz
nX+/nX' = d,
т -f- XX' -j- X" = b,
n XX' -j- mX == ct
откуда
mX*—nX' = d—an,
X (mX"—лХ') + таХ'—nX’ = cm—bn
и, следовательно, (d—an)X + maX'—nk"=cm—bn. Решая это урав-
нение совместно с Х + Х' = а, «X-|-mX" = d, получим
а ат3—ст2—dn-f-be
~ т3—п2-\-ае—dm ’
что и требовалось доказать.
676. а) (ха—2х + 3)(ха—х—3); Ь) неприводим;
с) (х»~х—4) (х»+5х+3); d) (ха—2х-|-2) (х3+3х+3).
677. Без нарушения общности можно искать условия, при кото-
рых x*-^px2 + q раскладывается на множители второй степени с раци-
ональными коэффициентами, ибо если полином имеет рациональный
корень xlt то —Xj будет также рациональным корнем н соответст-
вующие им линейные множители можно объединить.
Пусть х1 + рх2 + <7 = (ха+Х1х-|-ц1) (ха+Х2х+р,2). Тогда
- Ха + Ха = О,
+ — О»
Pi + + Ра — Р>
141*2 = <7-
Если Xj=O, то и Ха=0. В этом случае для существования ра-
циональных и р2 необходимо н достаточно, чтобы дискриминант
р2—4q был квадратом рационального числа.
Пусть Xi £ 0. Тогда Ха =—Хь ц2 = |л1 и далее
<7=1*1. 2ц!—р = Х1.
Итак, для приводимости полинома x* + px2-f-q необходимо и
достаточно выполнение одного из двух условий:
а) р2—4q есть квадрат рационального числа;
b) q есть квадрат рационального числа щ, 2щ —р есть квадрат
рационального числа Ха.
230
678. Если х4 + дх3 + Ь*8 + с*+^==(*8+Р1Х+<71) (**+₽»*+|7г)>
то, так как Pi + p2=a, можно записать:
x4 + ax34-ftx2~t-cx4-d= -|--у 8—-^--8 ,
где Jt = ?i + ?2' Отсюда следует, -что вспомогательное кубическое
уравнение имеет.рациональный корень K = qi~}-q2.
679. Пусть f (х) =- (p (х) ф (х) и <р(х), ф (х) имеют целые коэффи-
циенты. Так как f (а,) = — !, то должно быть ф(«;)®1, ф(а,-) = —1
или <р(а() =—1, ф(й7)=1 и, следовательно,
Ф (°/) + Ф (ai) = 0, 1 = 1.2, ..., п.
Если ф (х) и ф (х) оба непостоянные, то степень ф(х) + ф(х) меньше п,
откуда следует, что ф (х) + ф (х) = О тождественно. Итак, должно
быть f (х) =—[<р (х)]2. Это невозможно, так как старший коэффи-
циент f (х) положителен.
680. Если f (х) = ф(х)ф(х), то ф(а,) = ф(а(’)= ±1, так как f(a,)=l.
Следовательно, если ф и ф непостоянные, ф(х) = ф(х) тождественно н
f(x)~[q> (х)]».
Это возможно только при четном п.
Итак, единственное возможное разложение есть
(х—ai) (х—а2).. ,(х—а„)+ 1 =Чф (х)]8.
Отсюда выводим, считая старший коэффициент ф(х) положительным,
что
Ф (Х)+1 =(х—aj)(x—a8). ..(x—an-i)-
Ф(х) —1=(х—а2)(х—а4)...(х—а„).
(Для того чтобы иметь право записать эти равенства, нужно
изменить нумерацию чисел alt а2, ..., ап.) И, наконец,
(х—at) (х —a8).. .(х—вд-!) —(х—а2) (х—а4).. ,(х — а„) = 2.
Положим Oj > а3 > ... > а„-1. Подставив в последнее равенство
. , _ п
х=а2Л, k=i, 2, получим
(а2* — ai) (а2Л— аз)- -(а2к— ап-1) = 2,
. Л
т. е. число 2 должно раскладываться на — целых множителей, распо-
ложенных в порядке возрастания, -j- способами. Это возможно толь-
ко при -^- = 2, 2«=—2-(—1) = 1-2, и при -^- = 1.Эти две возможности
и приводят к двум случаям приводимости полинома f (х), упомяну-
тым в условии задачи.
681. Если полином n-й степени f (х) при л = 2т или
приводим, то степень одного из его множителей ф(х) не превосхо-
дит т. Если f (х) принимает значения ±1 более чем при 2т целых
значениях переменной, то ф(х) тоже принимает значения ±1 при
тех же значениях переменной. Среди этих значений для ф (х) най-
дется более чем т равных -|-1 или —1. Нов Таком случае ф (х) = 4-1
или —1 тождественно.
231
682. Полином f (х) ие имеет вещественных корней. Следовательно,
если он приводим, его множители ф(Х) и if (х) не имеют веществен-
ных корней и потому ие меняют знака при вещественных значениях х.
Можно считать, что ф (х) > С, if (х) > 0 при всех вещественных зна-
чениях х. 'Так как /,(аА)=1, то <p(a*)=if (л*) = 1, Л=1, 2....п.
Если степень $ (х) [или if (х)] меньше п, то <р(х)=1 [или if(x)=l]
тождественно. Следовательно, степени <р(х) и if (х) равны п. Тогда
<p(x) = l+a(x—<h) ... (х—а„), if(x) = l+P(x—^...(х —о„), где а
и Р—некоторые целые числа. Но тогда
f (х) = (х—6?!)» ... (х—a„)a+l = l + (a + P)(x— at) ... (х—а„) +
+ аР(х—до*... (х—ап)*.
Сравнение коэффициентов при х8п и при х" дает систему уравнений
ар = 1, а + Р = 0, не имеющую целых решений. Следовательно, f (х)
неприводим.
683. Пусть f (х) принимает значение 1 более трех раз. Тогда
f (х) — 1 имеет по крайней мере четыре целых корня, т. е.
f (х)—1 =(х—aj(x—a2) (х—a3) (х—a4) h (x),
где alt аг, a3, a4 и коэффициенты полинома h(x) суть целые числа.
При целых значениях х выражение (х—а1)(х—а2) (х—а3) (х—а4)
является произведением различных между собой целых чисел. Два из
них могут равняться +1 и —1, остальные два отличны от ±1.
Следовательно, их произведение не может равняться простому числу,
в частности —2. Итак, f (х) — 1 ^—2 при целых значениях х и,
следовательно, f (х) # —1.
684. Пусть f (х) =<р (х) if (х). Один из миожителей ф(х) имеет сте-
пень < у и принимает значения ±1 более чем при -у целых значе-
ниях х. Так как-у 6, то +ф(х) или —ф (х) принимает значение 1
более трех раз н, в силу результата задачи 683, не может принимать
значения —1. Итак, ф(х) или —ф (х) принимает значение +1 более
чем у раз и, следовательно, ф(х) или —ф (х) равно 1 тождественно.
Следовательно, f (х) неприводим.
Уточняя рассуждение, можно доказать справедливость результата
при п 8.
685. Пусть
о[ф ИР + &Ф W4-1 =ф (х)щ(х).
Один из множителей имеет степень < л; if (х) принимает значения ± 1
при х=а1, а2......ап и, ввиду того, что п 5=7, все эти значения if(x)
должны быть одного знака. Следовательно,
if (х)== ± 1-f-a (х—a4) (х—а2) ... (х—ап) = ± 1 +аф (х).
Если а # 0, то ш(х) тоже имеет степень п и и;(х)=± 1+₽ф(х).
Но равенство
« [Ф (х)]*+5ф (х) + 1 = [ ± 1 + аф (х)] [ ± 1 + ₽ф (х)]
невозможно, так как полином ax2 + bx+l по условию неприводим.
686. а) / (х) =ад" (1 +£ + ...
232
Пусть max А- ==Л. Тогда при 1х| >1
I «о I
| f (x) I | aax„ | Г1 А-J = | a.Xn | АНН >0
L I л I 1 J I •* | — I
при | x | > 1 + -A.
В силу а) для всех корней
-—-=С1 +тах
р
«к
Опр*
, откуда |х|<р + шах
с) Положим р = тах
. Тогда
»k
<м+-1 <Р’
max
*к
«оР*-1
Следовательно, модули всех корней не превосходят
р—j- р = 2р --= 2 шах
• А] 0 I I дй I
d) Положим р = max J/ I Тогда |а*|<а1|р*-1,|^77|
— . Следовательно, модули корней не превосходит
ап I
р + 1 -T-W 44-г-тах 1/" 4*-1.
687. Пусть f (х) = аох" + а1хп~1 + .+ап,
tf(x) — boxn — b1x'^-1—,..—bn•, •
0 < Ьо < | а01, ^SslaJ...b„^|an|. Очевидно, | f (х) | За Ф (| х|).
Далее, <р (х) = М« (1 - А_А_...—А.).
Выражение, стоящее в скобках, возрастает от —оо до 1 при х,
меняющимся от 0 до +»•
Следовательно, ф (х) имеет единственный положительный корень £ и
Ф(х) > 0 при х> g. В силу этого, при |х| >£ имеем (х)|ё=ф(|х|) > 0,
откуда следует, что модули всех корней f (х) ие превосходят
688. а) Пусть Л=тах|-^-|. Очевидно, что
„г/. Л Л А \
И(х)|^:|аох Jr
233
откуда при |х| > 1
If W I > |«0*”I( 1 — |х|г-1(|х|_ 1) ) =
= Ч х |f~* (I * I- П-Л] > 1 г ~ f+1-1(1 XI—1Г — л].
I Л ]- I I Л [ 1
При | х | > 1 + у/А имеем | f (х) | > С.
Ь)
В силу а) для всех корней f (х) имеет место
а*
аор*.
откуда | х | < р +
шах
Qk
с) Положим р = тах у . Тогда |о*|^|аг|р*-г, имодули
всех корней полинома не превосходят
689. Для отрицательных корней полинома утверждение очевидно.
Положим для определенности а0 > 0 и обозначим ф(х) = аоХи—
— b1x"-1—baxn~3—...—b„, где Ьк — 0 при ак> 0, Ьк=—ак при
ак < 0. Тогда при положительном х, очевидно,
{ (х) <р (х).
Далее, <р(х) имеет единственный неотрицательный корень £ (см. за-
дачу 687) и ф (х) > 0 при х > ? Следовательно, f (x)^q> (х) > 0 при х > £.
690. Непосредственно следует из 688, 689, 686 с).
692. Разложив f (х) по степеням х—а, получим при х^а:
f(x) = f (х-а) + (х-о)» 4- ... +1^-(х-а)" > 0.
693. Верхнюю границу корней находим, используя результаты
задач 690, о92. Для определения нижней заменим х на —х:
а) 0 < х/ < 3; Ь) 0 < х(- < 1; с) — 11 < х, < 11; d) —6 < х,- < 2.
694. а) f = x3—Зх—1, Л=х2— 1, /2 = 2х+1, Л=-)-1.
Три вещественных корня в интервалах (—2, —1), (—1, 0), (1, 2).
b) f=x3+x8—2х—1, /j = Зха-|-2х—2, f2 = 2x+ 1, f3= 4-1. Три
вещественных корня в интервалах (—2, —1), (—1, 0), (1, 2).
с) / = х3—7x-f-7, /1==3ха—7, /2 = 2х—3, f3=-f-l. Три вещест-
/ з \ / з \
венных корня в интервалах (—4, —3), ( 1, у 1, (у, 21.
d) / = х3—x-f-5, f1=3xa—1, fa = 2x—15, /3=—1. Один вещест-
венный корень в интервале (—2, —1).
е) / = х34-3х—5, /1 = х24-1. Одни вещественный корень в интер-
вале (1, 2).
234
695. a) f — x*—12x8—16x—4, /1=x3 —6x—4, /2 = 3x84-6x4-2,
f3 = x-|-1, fi — l. Четыре вещественных корня в интервалах ( — 3,-2),
(-2, -1), (-1, 0). (4, 5).
b) f = x*—х—1, ft = 4x3—1, /а = Зх-|-4, /3=-|-1. Два веществен-
ных корня в интервалах (—1, 0) и (1, 2).
с) / = 2х4 —8х34-8х8—1, f1 = x3~3x8-f-2x, /а = 2х8—4x4-1, f3 =
---х—1, /4=1. Четыре вещественных корня в интервалах (—1, 0),
(0,. 1), (1, 2), (2, 3).
d) / = х4 + х2— 1, А = 2х34-х, /2=—х8+2, /3== — х, fi= -1.
Два вещественных корня в интервалах (—1, 0) и (0, 1).
е) / = х44-4х3—12x4-9, /1 = х34-3х8—3, /а = х84-Зх-4, f3 =
= -4х-|-3, /4=1. Вещественных корней нет.
696. а) / = х4— 2х8—4х84-5х-|-5, /1 = 4х3— 6х8—8x4-5, f2 =
= 22х8 — 22х—45, f3 = 2x—1, /4=1. Четыре вещественных корня
в интервалах (1, 2), (2, 3), (—1, 0), (—2, —1).
Ь) / = х4—2х34-х2—2x4-1, Л = 2х3—Зх84-х—1, /2 = х84-5х—3,
/з=—9x4-5, /4= — 1. Два вещественных корня в интервалах (0, 1),
(1.2).
с) / = х4—2х3—3х24-2x4-1, /1 = 2х8-3х8—Зх-)-1, /а = 9х8 —
— Зх—5, /з = 9х4-1, /4=-|-1. Четыре вещественных корня в интер-
валах (—2, —1), (—1, 0), (0, 1), (2, 3).
d) f — х* — х34-х8—х—1, /i = 4x3—Зх84-2х—1, /2 =—5х8 4-
4- 10x4-17, f3 = —8х—5, f3= —1. Два вещественных корня в интер-
валах (1, 2), (— 1, 0).
е) f = х4 — 4х3 — 4х84-4х-|- 1, /х = х3 —Зх8—2х-|- 1, /2=5х8—х—2,
/з = 18х-|-1, /4=-|-1. Четыре вещественных корня в интервалах
(-2,-1). (-1, 0), (0, 1), (4, 5).
697. a) f = x*— 2х3 — 7х84-8х4-1, Л=2х3—Зх8—7х-|-4, f2 =
.—17х8—17х—8, f3 — 2x—1, /4=1. Четыре вещественных корня
в интервалах (—3, —2), (—1, 0), (1, 2), (3, 4).
b) f=x*—4х84-х4-1, fi = 4x3—8x4-1, /а = 8х8—Зх—4,'
/з = 87х—28, /4=4-1. Четыре вещественных корня в интервалах
(-3, -2), (-1, 0), (0, 1), (1. 2).
. с) /=х«—Xs—х2—х4-1,/1 = 4х3—Зх8 —2х—1,/а=11х84-14х —
— 15, /8=—8х-|-7, /4=—1. Два вещественных корня в интервалах
(0, 1) и (1, 2).
d) / = х4 —4х34-8х8— 12x4-8, /i = xs —Зх84-4х—3, /а =—х8 4-
4-5х —5, /3=—9x4-13, /4= —1. Два вещественных корня х^ = 2,
1 < х2 < 2.
ё) /=х4—х3—2x4-1, /1 = 4х3—Зх8—2,-/а = 3х84-24х—14, /3 =
= -56x4-31, /4=—1. Два вещественных корня в интервалах (0, 1)
и (1, 2).
698. а) / = х4—6х8-4х 4-2, /^х8—Зх—1, /а=3х84-3х—2,
/3 = 4х4-5, /4=1. Четыре вещественных корня в интервалах
(-2,-у), (-у, -1), (0, 1), (2,3).
Ь) / = 4х4—12х84-8х—1, /t=2x3—3x4-1,/а = 6х8—6x4-1,/3 =
= 2х—1, /4=1. Четыре вещественных корня в интервалах (—3, —2),
(°. -1-). (i l) »0, Ч.
235
c) f = 3x4+12x3 + 9x2—1, Л = 2х3 + 6х2+3х, /2 = 9х2+9х + 2,
/з= 13х-|-8, /4 = 1. Четыре вещественных корня в интервалах
/ 2 \ / 2 1 \
(-4,-3), (-«.-у), (-у. -у). (О, 1).
d) / = х4-х3 —4х24-4х4-1, /1 = 4х3 —Зх2—8х-|-4,/2 = 7х2 —8х —
— 4, f3 = 4x—5, /4 =1. . Четыре вещественных корня в интервалах
(’’т)’ (у. 2)> (-2,-I), (-1, 0).
е) / = 9х4—126х2—252х—140, /1=х3—7х—7,/а = 9х2 4-27x4-20,
/з = 2х-|-3, /4=1. Четыре вещественных корня в интервалах (4, 5),
(-4-->). (-з--4)- В-4)-
699, a) / = 2х5—10х34-10х—3, h=x*—Зх24-1, /2 = 4х3 —8x4-3,
/з = 4х24-3х—4, ft = x, /6=1. Пять вещественных корней в интервалах
(-2.-I). (-4- ->) (»4)’ GM;0'2)-
Ь) /=х6 —Зх5—Зх4-]- Их3—Зх2— Зх+ 1, /1 = 2х5 —бх4—4х34-
4-Их2—2х—1, f2 = 3x*— 6х3—х2+4х—1, /3 = 4х3 — 6х2 4-1, /4 =
= 26х2 — 26x4-5, f5 = 2x — 1, /в=1. Шесть вещественных корней
в интервалах (— 2, —1), (—1, 0), ^0, -i-) , , 1) , (1, 2), (2, 3).
с) f = х6 +х*—4х3—Зх2 + Зх+1, Л=5х* + 4х3—12х2 —6х + 3,
/а = 4х3+3х2 — 6х—2, /З = 3х2 + 2х—2, /4 = 2х4~1, f6=l.
„ . / Л 3 \
Пять вещественных корней в интервалах I — 2, —I ,
(-4. -1), (-1. 0), (0, 1). (1, 2).
d) / = х5— 5х3—10х24-2, fi = xi—Зх2—4х, /2 = х34-Зх2—1,
/3=—2х2+х+1, /4 =—Зх—1, /5= — 1. Три вещественных корня
в интервалах (—1, 0), (0, 1), (2, 3).
700. a) f=x* + 4x2—1, fi = х, /2=1. Два вещественных корня
в интервалах (—1, 0), (0, 1).
b) f—x*—2х34-3х2—9х+1, /1 = 2х—3, /2=1. Два веществен-
ных корня в интервалах (0, 1) и (2, 3).
с) / = х«-2х3 + 2х2—6х-|-1, /\ = 2х—3, /4=1. Два веществен-
ных корня в интервалах (0, 1) и (2, 3).
d) f=x6-f-5x4-f-10х2—5х—3, Л=х«+4х—1, /2 = бх— 1, f3 = 1.
Три вещественных корня в интервалах (0, 1), (—1, 0), (—6, —5).
701. Ряд Штурма образован полиномами x’-f-px-l-p, 3x2-f-p,
— 2рх—3q, —4р3—27</2. Если —4р3—27^2> 0, то р < 0. Все старшие
коэффициенты полиномов Штурма положительны и потому все корни
x3 + px-f-9 вещественны. Если —4р3—27<?2 < 0, то независимо от
знака р ряд Штурма имеет при — оо две перемены знака, при 4- оо
одну перемену. В этом случае х34-рх-|-<? имеет один веществен-
ный корень.
702. Ряд Штурма образован полиномами xn-j-px-]-q, пхп~1-гр,
. .. ( ~пЯ \п~1
— (n^\)px—nq,—p—n\^—^j .
233
При нечетнюм п знак последнего выражения совпадает со знаком
Д=--—(п— 1)"-1рв—л”?”-1. Если Д > О, то необходимо р < 0.
В этом-случае полином имеет три вещественных корня. Если Д < 0,
то независимо от знака р полином имеет один вещественный корень.
При четном п знак последнего выражения в ряду Штурма сов-
падает со знаком —рД, где Д = (л—1)п-1р"—Распределение
знаков в ряду Штурма при различных комбинациях знаков р и Д
дается в таблице:
f fl fl fi
1. Р > 0, Д > 0 — 00 + — + —
4-00 + + — —
2. р < 0, Д > 0 — 00 + — +
4- 00 + + + +
3. Р > 0, Д < 0 — 00 + — + +
+ 00 + + — +
4. Р < 0, Д < 0 — 00 + — — —
+ оо + + + —
Из рассмотрения этой таблицы следует, что при Л > 0 полином имеет
два вещественных корня, при Д < 0 вещественных корней нет.
703. Ряд Штурма образован полиномами / = х6—5ах34-5а2х+2&,
ft—X4 — 3<zx24-a, f2 = ax3— 2а2х—b, f3 = a(a2x2—Ьх — a3}, ft =
= а (а6 — 62) х, f 5 = 1.
Если Д — а6—Ь2 > 0, то а > 0, и все старшие коэффициенты
полиномов Штурма положительны. В этом случае все пять корней
полинома f вещественны. Если Д < 0, то в зависимости от знака а
корень.
704. Пусть /х и /х+1~Два соседних полинома «полного» ряда
Штурма. Если их старшие коэффициенты имеют одинаковые знаки, то их
значения при 4- оо не образуют перемены знака, а значения при
— оо дают перемену знака, так как степень одного из полиномов
четная, степень другого нечетная. Если же' старшие коэффициенты
имеют противоположные знаки, то значения f\ и />+1 ПРИ + 00 дают
перемену знака, а при —оо не дают. Поэтому, обозначив через Vj и v2
число перемен знака в ряду Штурма при —оо и -|-оо, имеем, что
v1 + v2 = «. С другой стороны, Vj—v2 равно числу N вещественных
„ п — N ,
корней полинома. Следовательно, v2=——, что и требова-
лось доказать.
705. Доказывается, как теорема Штурма, с той только разни-
цей, что нужно проследить увеличение (а не уменьшение) числа пере-
мен знаков на одну единицу при переходе через корень начального
полинома.
237
706. Построенный ряд полиномов есть ряд Штурма для интер-
вала ха < х < 4- во и удовлетворяет условиям задачи /05 для интер-
вала — оо < х < х9. Следовательно, число корней f в интервале- (х,, оо)
равно v(xn)— v(-|- оо), число корней f в интервале (— оо, х0) равно
v(xe)—v(—оо), где v—число перемен знаков соответствующих
значений полиномов.
Общее число вещественных корней равно
2v(x0) — v(+ оо) —v(—оо).
707. Применение теоремы Эйлера к
х2
X3------- хг
2 — dri~l
dx"-1
дает
р„---(-О"-1*’
dn~'e * . ..
х‘
dn-2g~ »
dx»-t
откуда
P n = xPn—i (n 1)PB_J.
С другой стороны, дифференцируя равенство, определяющее
PH-t, получим
Рп-1 = (-
l)n~lxe 2 . „ .
’ dxn~l
откуда
Pn-i = хРп-i Рп.
Сравнивая с предыдущей формулой, получаем P'n-i = (л— 1) РГ1-2
и, следовательно, Pn — nPn-t-
Из выведенных формул следует, что последовательность Р„,
Ря-1. , Pi, Ро=1 есть ряд Штурма для полиномов Р„, так как
Pn-i только множителем п отличается от Р'п, и Рх-i есть взятый
с обратным знаком остаток при делении Р^+1 на Р± с точностью до
положительного множителя.
Все старшие коэффициенты полиномов Р№ равны +1. Следова-
тельно, все корни Рп вещественны.
708. Дифференцируя равенство, определяющее РП1 получим
откуда
Далее
откуда хР'п — пР„ + п*Р№-1,
238
С другой стороны,
р'=(— 1)»пех
dn-4(n—l)x’,-2e~x—x»-1e-x]
dx"~l
откуда Рц=—nPa-i+tiPg-i. Умножив иа х и подставив вместо
хРп и хРп-1 их выражение через Рп, Pn-lt Рп-г< получим
Р„ = (х-2л+ 1) Р^-^п-Л)2 P„_t.
Из этих соотношений видно, что рядом стоящие, полиномы Рп не
обращаются в 0 одновременно, и если Рп_! = 0, то Рп и Р„_2 имеют
п Р„_, 1 . хРп
противоположные знаки. Далее, из " г.— ------|—__ следует,
Рп П п Рп
Рп-1
что " меняет знак с минуса на плюс при переходе через поло-
*п
жительный корень Ра. Таким образом, ряд Р„, Pn-i, .... Pt, Ро=1
есть ряд Штурма для Р„ в интервале (0, оо). Старшие коэффициенты
всех Р„ равны единице. Р„(0) = (—1)лл!. Следовательно, v(0) —
— v(-f-oo) = «, т. е. Р„ имеет п положительных корней.
» ! х" \
709. £«=£„-!• Далее, £п = £„_1 — ( —’ Поэтому поли-
номы £„, £„-! и —образуют ряд Штурма для £„ на интервале
(— оо, —е) при сколь угодно малом е. Распределение знаков дается
следующей таблицей:
— оо | (— 1)« (— I)"-1 (— I)"-1
-в | + + (-1)»-1 •
Следовательно, при четном п полином £„ не имеет отрицательных
корней; при нечетном п полином £„ имеет один отрицательный
корень. Далее, при х^О полином Еп\х) > 0.
710. Преобразуем посредством формулы Эйлера тождество
dn+1 (х2е* )_d”[(2x—1)е*]
dxn+l dx"
Получим
.1 1 - 1
ine “
d"+1e *
dxn+l
4-2(n+l)x
dn~le x
dx"-1
— (2x—1)
1 1
d"ex , „ dn-!ex
dxn + n dx"-1
откуда P„ = (2nx-f-1) ₽„-! — n (n— 1) Рп_ахг. С другой стороны,
дифференцированием равенства, определяющего Рп-и получим
Рп = (2пх+\)Р„-1-ХгР'„-1.
Сравнивая результаты, видим, что Pn-i=n(n—1) Рп-а и, следова-
тельно, £„ = («+ О nPn-i- В силу установленных соотношений ряд
полиномов Рп, Pn-i, Рп-г.....Ра= 1 образует ряд Штурма для Ра.
Старшие коэффициенты всех Рп положительны. Следовательно, все
корни Рп вещественны.
239
711. Подсчитывая двумя способами
получим
p„-2xPB_1+(x»+i)P„_g=o.
Дифференцирование равенства, определяющего Р„_., дает Рп =
ха4-1 ' '
= 2xP„_i-----Рп-1, откуда Рл_1==лР„_3 и, следовательно,
Ри = (л+ 1) Рп-1-
Из выведенных соотношений следует, что Р„, P„_j, , Ро = 1
образуют ряд Штурма для Р„. Все старшие коэффициенты ряда поло-
жительны, следовательно, все корни Р„ вещественны.
Эта задача легко решается непосредственно. Именно,
_L_=±(_L+_U
r24-l 2х \х—i п^дс+1’/
откуда получаем, что
pnW=-~ l(x+i)"+1’-(*-i)n+1].
kst
Легко подсчитать, что корни Р„ суть ctg - , Jfe = 1, 2..п.
712. Развернув по формуле Эйлера тождество
dxn
d»-1-г -
dxa~l
получим
Р„-(2л-1)хР„_1 + (п-1)а(х* + 1)Р„_2 = 0.
Дифференцируя равенство, определяющее P„_j, получим
Р„-(2п-1)хР„_1 + (х2+1)Р;_1 = 0,
откуда
Рп-1 = (л—1)2Р„-2 и Рп = лаРп-1-
Из найденных соотношений следует, что Р„, P„-t, ... . Ро=1 обра-
зуют ряд Штурма.
В силу положительности старших коэффициентов, все корни Р„
вещественны.
713. Функции F (х), F' (х) и [f * (x)Js образуют ряд Штурма для F.
Старшие коэффициенты ряда За*, 12а* и 9а* положительны. Следо-
вательно, число потерь перемен знака при переходе х от — оо
к -|-оо равно 2.
Если f имеет двойной корень, то F имеет один тройной корень
и один простой. Если f имеет тройной корень, то F имеет четырех-
кратный.
714. Если какой-либо из полиномов ряда Штурма имеет кратный
корень х0 или комплексный корень а, то этот полином можно заме-
нить полиномом меньшей степени, поделив его па положительную
240
величину (х—х0)2 или (х—а)(х—а')- Дальнейшие полиномы можно
заменить взятыми с обратными знаками остатками в алгорифме
Евклида для замененного полинома и ему предшествующего. После
этого число перемен знака при х=— оо станет <п-~2, где п—сте-
пень полинома. Следовательно, число вещественных корней по-
давно < п—2.
715. Пусть F (х) = (х2—l)n. F (х) имеет —1 и +1 корнями п-й
кратности. F’ (х) имеет —1 и +1 'корнями кратности п—1 и по
теореме Ролля еще один корень в интервале (—1, +1). F" (х) имеет
—1 и +1 корнями кратности п—2 и два корня в открытом интер-
вале (—1, +1) и т. д. Я">(х) = Р„(х) имеет п корней в открытом
интервале (—1, 1).
716. Пусть .....хь—различные корни f(x) кратностей а,,
ff (х)
а2, .... а*. хх < х2 < х3 <... < хк. Функция ф(х)=^-^- непре-
I W
рывна в открытых интервалах (—оо, хх), (хх, х2), ..., (х^_х, xft)
и (xk, +оо) и изменяется от 0 до —оо в интервале (—оо, хх), от
+ оо до —оо в каждом из интервалов (х/_х, х(-) и от -|-оо до О
в интервале (х*, оо), ябо <р(х)—> оо при х-»х,- и при переходе через
X; меняет знак — иа
Следовательно, ф(х)-)-Х имеет корень в каждом из интервалов
(х(-_х, х,) и, кроме того, при X > 0 один корень в интервале (—оо, хх),
а при X < 0 один корень в интервале (х*, -фоо).
Таким образом, ф (х)-]-Х, а значит, и f (х) |ф(х)+Х1 = Х/ (х) + /' (х)
имеет k корней, отличных от хх, х2, .... х*, при Л^О или k— 1
корень, отличный от хп х2....х^, при Х = 0. Кроме того, Х/(х) +
+/'(х) имеет хх, х2, ..., xk корнями кратности ах— 1, а2 — 1, ...
..., ак—1. Таким образом, общее число вещественных корней (с уче-
том кратности) полинома X/ (х) + f (х) равно ах +а2+ ... + «s при
X # 0 и а1 + а2+...+а^—1 при X = 0, т. е. равно степени полинома
V (*)+/' (*)•
717. Пусть g(x) = a0(x+X1)(x + X2)...(x+Xn), Fo(x) — aof(х),
Fi (x) = F0 (xJ+XjEo (x) — aof (х) + аМ'(х), F2 (х) = Рг (x) +(x)=
= «о/(-«) + ао(^1 + МГ (*) + a0XxX2f(x) и т- Д- Тогда Fn(x) =
= Fn-i (*) + ^nFn-1 (*) = a№f (x)+a1f’ (x) +... +a„/(n> (x), где a0,
ax, ..., an—коэффициенты g. В силу результата задачи 715 все
корни всех полиномов Fo, FT....F„ вещественны.
718. Полином aoxn+axmxn-1 + ...-|-/n(/n—l)...(/n—я-|-1)ап =
=[aox'n+a1(x”’)'+...+an (х™)(п>] xn_,n, а все корни х™ веще-
ственны.
719. Полином anxn-t-nan-1xn~1-j-n (п—1) an_2xn-2 + ... -|-aon1
имеет только вещественные корни. Следовательно, все корни аол!хп+
+а1я(я—1).. .2хп-Ч-...+/wn_xx-]-an вещественны. Применив
еще раз результат задачи 718, получим, что все корни полинома
аоп1х'г-}-а1п-п(п~1)...2хп-1-}-а2п(п — 1)-п(п— l)...3x«-2 + . ,.-]-ann!
вещественны. Остается поделить на «1.
720. Все корни полинома (14-х)”=14-ухфЯ 2
+ ... -j-x” вещественны. Остается применить результат задачи 719.
721. Полином /(х) = яхп—х”-1—х”-2—... — 1 имеет веще-
ственный корень 1. Далее, пусть Л(х) = (х—1) f (x) = nxn+1 —
— (л+1)хп + 1. Тогда F' (х) — п (n-|-1) (х—1)хп-1. При нечетном л
241
полином F (х) имеет единственный минимум при х=1 и, следова-
тельно, не имеет корней, кроме двойного корня х=1. При четном'я
полином F (х) возрастает от —оо до 1 при —оо <х<0, убывает
от 1 до 0 при 0<х<1 и возрастает от 0 до оо при 1<х < оо.
Поэтому F (х) в этом случае имеет единственный корень, кроме
корня х = 1.
722. Производная от интересующего нас полинома положительна
при всех вещественных значениях х. Следовательно, полином имеет
только один вещественный корень.
723. Пусть а < Ь < с; /(—оо)<0; f(a) = B2(b—я)4-С2(с—а) > 0;
f(c) = — Л2(с—а) — Вг(с—6) < 0; /(4-оо)>0. Следовательно, f имеет
вещественные корни в интервалах (—оо, а); (а, с); (с, 4-оо).
724. <р(а+М) = В+ V -----------= В + У ~
т a-\-bi—ak ' Zu (а —а*)*4-Ь2 ’
ft=i fr=i
" Al
Im (<p (а+Ы)) = — 6 у (a_a )я'2|-#8 56 ® ПРИ ь 56 и®° всесла‘
k=i 1
гаемые, находящиеся под знаком суммы, положительны. Следова-
тельно, ф (а+Ы) 0 при b Ф 0. Тот же результат можно получить
также на основании того, что ф(х) меняется от 4~°° до —оо, поках
меняется от а(- до а;+1, ф(х) меняется от 0 до—оо при—00 <,х<а1г
Ф (х) меняется от 4~°° до 0 при ап < х< оо. Здесь предполагается,
что
О) О2 < •
725. -? , > — У -----, тде хк—корни полинома [ (х). Следо-
I w ^и х хк
1
вательно,
« 1
If (X)]2-/(X) Г (х) =1/ (х)12 У > О
““ V* хк>
k=t
при всех вещественных значениях х.
726. Пусть Xj < х2 < ... <хп — корни полинома f (х), у, < у2 < ...
• ••<Ут— корни полинома ф(х).
При выполнении условия задачи т = п, п—1 или я 4-1- Без
нарушения общности можно считать, что х( < yt < х2 < у2 < ...
< Уп-1 < хп или Xj < ух < х2 < у2 < ... < р„-1 < х„ < уп. Будем
считать А, ?£ 0. Перепишем уравнение в виде
т ф(х) А.
Если т=п, то ф (х) меняется:
от-?2- до —оо при —оо < х <_ ух, обращаясь в 0 при x = Xj;
о»
от -f-оо до —оо при ук < х < уь-ц, обращаясь в 0 при х = хл+1;
Лл
от -t-оо до -г2- при уп < х < 4- 00.
°0
242
Здесь и* Ьо—старшие коэффициенты f (х) и ф(х), которые мы
считаем положительными.
Вследствие непрерывности ф(х) в каждом из рассмотренных
интервалов, уравнение ф(х) = — имеет п вещественных корней,
Л
Ц Дл « - IX С1л
если —г тг"» и п—* вещественный корень, если — 4г=т2"- Та-
Л VQ Л Oq
ким образом, число вещественных корней уравнения Л/ (х) + рф (х)
равно его степени.
Аналогично рассматривается случай, когда т—п—1.
727. Кории / (х) и <р (х) необходимо все вещественные, так как
/ (х) и ф(х) получаются из F (х) при Л=1, р = 0 и при р=1, Л = 0.
Допустим, что корни f (х) и ф (х) не разделяются. Без наруше-
ния общности можно считать, что между двумя смежными корнями
f (х)
Xj и х2 полинома f (х) нет корней ф(х). Тогда ф(х)=!-1--^ непре-
ф (х)
рывна при хх<х<х2 и иа концах этого интервала обращается в 0.
По теореме Ролля внутри (хх, х2) найдется точка х0 такая, что
ф'(хо)=0. Тогда ф(х)—ф(х0) имеет х0 корнем кратности k ^2. На
основании результата задачи 581 на окружности |г—х0| = р, ёсли р
достаточно мало, найдется по крайней мере четыре точки, в которых
1т(ф(г)) = 1ш(ф(хо))=0.
Из этих точек по крайней мере одна г0 невещественная. Число
р. = ф (г0) вещественно. Полином F (х) = — f (х) + рф (х) имеет неве-
щественный корень, что противоречит условию.
728. Корни 51 < 52 <• < Ъл-i полинома f (х) разбивают ве-
щественную ось на л интервалов:
(—<», gx), (gi, 5j), ..., (5„_2, g„_x), (£„-!, оо).
В силу теоремы Ролля, в каждом из этих интервалов полином f (х)
имеет не более чем один корень. Далее, полином /'(х) + Л/" (х) при
любом вещественном Л имеет ие более одного корни в каждом из
отмеченных выше интервалов. Следовательно, - f (х) + Л/' (х), в силу
теоремы Ролли, имеет ие более двух корней в каждом из интервалов,
с учетом кратности.
Разобьем теперь все интервалы на два класса. К первому отнесем
те, в4 которых есть корень f (х). Ко второму—те, в которых нет
корня f (х). Рассмотрим функцию ф (х) =
В интервалах первого
класса ф (х) имеет один простой корень и поэтому меняет знак.
В интервалах второго класса ф(х) ие меняет знака. В интервалах
первого класса ф(х)+Л имеет, с учетом кратности, нечетное число
корней. Следовательно, в силу сказанного ранее, ф(х)4-Л в интер-
вале первого класса имеет только один простой корень и кратных
корней не имеет. Поэтому ф' (х) не имеет корней в интервале пер-
вого класса. Исследуем теперь интервалы второго класса. Пусть |0 —
точка в некотором интервале второго класса, в которой абсолютная
величина ф(х) достигает минимума, и пусть Л0 = ф(50)- Для опреде-
ленности будем считать, что ф (х) положительна в этом интервале.
Тогда функция ф(х)—Л ие имеет корней в интересующем нас интер-
вале при X < Ло и имеет по крайней мере два корня при Л > Ло.
243
В силу сказанного ранее, число корней ф(х)—X точно равно
двум при X > Хо и оба корня простые. Далее ф(х)—Хо имеет
кратным, именно двойным корнем.
Итак, ф(х)— X не имеет кратных корней в интервалах первого
класса и имеет только один кратный корень при одном ’значении X
в каждом интервале второго класса. Далее, каждый корень т] поли-
нома/,г(х)—/(х)/’(х) является кратным корнем дляф(х)—ф (ф),
ибо
[ф(*)Г =
Гг(х)-/(х) Г (х)
1Г «Г2
Таким образом, число вещественных корней — f (х) f" (х) равно
числу интервалов второго класса, которое равно, очевидно, числу
мнимых корней f (х).
729. Xf j (х) -j- р./2 (х) имеет все корни вещественные при любых
вещественных постоянных X и у. (задача 726). Следовательно, в силу
теоремы Ролля, Xfl (х) + у./2(х) имеет все корни вещественные. От-
сюда следует (задача 727), что корни ft (х) и /^(х) разделяются.
730. Пусть f (х) ие имеет кратных корней и пусть < g2 <...
f (и х I
— корни f (х). Рассмотрим функцию ф (х) — :^г-|----.
I W У
Очевидно, что lim —|— > 0, если у > 0 или если у <—п.
Х-*оо х п у г
Отсюда следует, что ф(х)-» + оо прн х-»4-оо и ф (х)-*—оо при
х-•» — оо. Кроме того, ф (х) ->—оо при х-»•£;; справа и ф(х)-<+<»
при х->£( слева. Таким образом, ф (х) меняется от —оо до +оо на
каждом из интервалов (—оо, gj, (gv g2), .... (£„-!, оо), оставаясь
непрерывной внутри этих интервалов.
Следовательно, ф(х), а вместе с ней и ее числитель yf (х) +
-f-(х+Х)/'(х) имеет не меньше п различных корней при у > 0 или
у< — п. Но число корней у/(х)+ (*+X) f' (х) и не превышает п,
ибо yf (х) + (хф-Х) f (х) есть полипом степени п. Если f (х) имеет
кратные корни и хъ х2, .... хА— различные корни f (х), то f (х)
имеет k— 1 корней |2..........отличных от хъ х2, ..., хк.
Рассуждением, аналогичным предыдущему, убедимся в существова-
нии k корней ф(х). Все они, кроме —X, если —X находится среди
корней /(х), будут отличны от корней f (х).
Кроме этих корней, yf(x) + (x-|-X)/' (х) будет иметь своими кор-
нями хп х2.....хк с суммой кратностей л—й(если —X не является
корнем /(х)) или п — k-f-l (если —X —корень f (х)).
Общее число вещественных корней yf (x) + (X-j-x) f (х) с учетом
кратностей снова оказывается равным п.
731. Пусть <р (х) = bk (хф- у,) (х + у2)... (х-j- yk). Каждое yi или
больше нуля или меньше —п.
Очевидно, что коэффициенты полинома
Коэффициенты полинома
Fi(x) = yif (x) + xf (х) суть a^Yi-l-i).
Г2 (х) = у-А (х) + xF i (х) суть аг (у, + i) (у2 +1)
и т. д., коэффициенты полинома
Fk W = УЛ -1 (х) + xF/i-1 (*)
244
суть'
а/ (Y1 + 0 (Т2 + 0- • -(Тл + О, * = 1, 2, ..., п.
На основании результата задачи. 730, все корпи всех полиномов
Fj, F2, Fk вещественны. Но
«оф (0) +Д1ф (1) х + ... + ап<р (я) хп = bkFk (х).
732. Пусть f (х) =/х (х) (x-j-X), где X—вещественное число, и
/х(х)—полином (п—1)-й степени, все корни которого вещественны.
Допустим, что для полиномов (п — 1)-й степени теорема справедлива
и в этом предположении докажем ее для полиномов степени п.
Пусть fi (х) = b0 + bix + ... + Ьп~ хх« -1,
f(x) = aa + a1x-f-...+anx”.
Тогда
flo ~ ХЬо,
«1 = Хбх + Ьо,
«2 = Xft24~^i’
ап-1~ ^в-1 + ^n-W
ап ~ bn_i
и
а04-ахух4-«2у(у—1)х24- ... +апу(у—1).. .(у—«4-1)х«=
=М&О+МХ + М (У—1)*2+ • • -4A-1Y (У~ О- •(?—« + 2)х«-1]+
-f-xy [60 + MY — О Х+МТ — О (У—2) *2+ • • • тА-1 (Y— О (Y—2)- • •
.,. (? _ п. 4-1) х« -»] = Лф (х) 4-х [уф (х)—хф' (х)}„
где через ф (х) обозначен полином
&о+М*+М (Y—0 *2+ • • +&bliY (У— О- • -(У — «4-2)х”-1.
В силу сделанного предположения, все корни полинома ф (х)
вещественны. Остается доказать следующую лемму.
Лемма. Если ф(х)—полином степени п—1, имеющий только
вещественные корни, то все корни полинома ф(х) = Хф4-ухф—х*ф'
вещественны при у > п — 1 и при любом вещественном X.
Доказательство. Без нарушения общности можно считать,
что 0 не является корнем ф(х), ибо если ф = хйфх, фх (0) # 0, то
Ф (х) = х* (Хфх 4- (у—k) хфх — xVx) = xft%
и у! = у—k превосходит степень <рх.
Пусть хх, х2, ..., хт — различные корни ф. Полином ф имеет
среди своих корней хх, х2, ..., хт с суммой кратностей п—1—т.
Рассмотрим теперь
Очевидно, что
lim^!M = Y_(n—1) > 0.
Х-КЮ X
Следовательно, ш(х) ->—оо при х->—оо и ш(х)-*4-оо при
х ->4- 00• Кроме того, w (х) ->4- оо при х ->х(- слева и w (х) со
при х -»х(- справа. Вследствие этого, w(x) имеет корни в каждом из
интервалов
(—оо, хх), (хх, х2), ..., (хм_х, хга), (хм, 4-00),
245
Общее число вещественных корней ф (х), с учетом кратности,
оказывается равным л—1—т+ т + 1 —п, т. е. равно степени ф(х),'
что и требовалось доказать.
733. Если все корни полинома яо+я^-f-.... 4-я„хпвещественны,
то все корни полинома яохп4-я1хп-1 яп вещественны. Далее,
все корни полиномов
aoYi (Vi —«+1)хп+а1у1 (Т1— 1) - -
• • (Vi — « + 2) х"-1 + ... +а„_1у1х+ал
И
aoYi (Y1 — В - ••(?! —л +1 )4-«iVi <Ti — 1 )• - •
• • (Yt — л + 2)х+ ... +an_1YiX”-1 +а„х» =
— Г Д | у I I Т — п — 1
“Lo+Yi-«+l (Y1_n+i)(Y n + 2)...(V1-l)
+ (T,-»+I)(T?-»+2>...tZJV' 'V. + 1»
вещественны при Yi > я—1- Положив fi—« + 1=а>0, получим,
что все корни полинома
„ I ai г I аг у2 I ।_____________£«________жя “
0а ^а(а+1) ' ‘ " ^а(а+1)...(« + « —1)
вещественны. Применяя результат задачи 732 второй раз, получим
искомый результат.
734. 1. Положим, что все корни f (х) положительны. Тогда по-
лином a0 + a1i4ix+ ... 4-anmin’xn не может иметь отрицательных кор-
ней. Пусть теорема справедлива для.полиномов степени л—1. Обо-
ф(х)=Ь0 + &1а»х+&2щ*х2+ ...+&п_1а/п-*>2 х"-1.
Пусть 0 < Xj < х2 < ... < Xn-р где xv х2.Xn-j —корни <р(х),
xt ,
и пусть —— > «г1.
Пусть, далее, f (х) = (Х—х) (fte4-bix+ •.. +&n-iX"-1). Коэффи-
циенты полинома f(x) равны
Яд =Х&о,
Я1 “kftj bOi
л» =Xftg—
«я-1— ^Л-1---bn-t,
ап ==— *я-1.
Следовательно,
ф(х)=я0 + я1шх+я2ги4х!+ ... +апшя2х" = Х (&0+&1шх+...
... + Ьп_1ш(п-1,г х”-1)—х(&0а)+&1И’4х+ ... 4-Ьл-1к,п,хп-1) =
= Хд> (х)—хшмр (хт2).
Корни полиномов ф (х) и хф (ха»’) разделяются в силу индуктив-
ного предположения. Следовательно, все корни интересующего нас
полинома Хф(х)4-хо1ф (хси2) вещественны. Остается проверить, что
закон их распределения такой же, как для полинома ф(х).
Обозначим через гь г2, .... г„ корни ф(х). Легко видеть, что
О < < хх < х^-* < г2 < х2 < х2ш-2 < г3 < ...
... < гй-1 < х„_! < *„-1®-2 < г„.
246
Xi — iW"®
Отсюда следует, что —— > !--— w~2, что и требовалось до-
2i-i xt-i
казать.
/ 1 \®
I *2’8'51
2. Рассмотрим фи(х) = \^1----——J .
При , достаточно большом т корни полинома <рт (х), равные
± 1 / т , не содержатся в интервале (0, п). Следовательно (за-
V ig—
5 ш
дача 731), все корни полинома аоф_(0) + ai<pm (1) х4- ... +ап<рга (п) х"
вещественны. Но lim фт (х) = wx‘. Следовательно, в силу непрерыв-
т-> а
ности корней как функций от коэффициентов, все корни aoj-ajwx-l-
4-... + anwn,xn вещественны.
735. Обозначим через хх, х2, ..., х„ корни полинома /(х) = а04-
+ atx4- ... 4-апх". -Без нарушения общности их можно считать по-
ложительными. Пусть, далее,
Ф (х) — а0 cos <р+в! cos (ф+0) х-f-... + ап cos (<р+ п0) х”,
ф (x) = a0 sin ф + Д1 sin (ф + 6)х+... 4-ап sin (ф4-«0)хп.
Тогда
п
Ф (х) (х) = (cos ф +1 sin ф) апJJ (ах—xf),
i = i
П '
Ф(х) — 1ф(х) = (соз qp— i sin ф) ап JJ (а'х—х(),
«=1
где
а = cos 0 4-i sin 0, a' = cos0— i sin 0.
Следовательно,
ф (X) to — cos Ф4-i sin ф tt ax—x,- _
Ф (x)— !ф (x) cos ф—i sin ф A-i а'х—x/
Пусть x = p₽ —корень полинома ф(х). Здесь р = |х|; P = cosX4-
4- i sin X. Тогда | Ф (x) | = 1 и, следовательно,
ио
Ipap—х,- Р (paP—X,) (ра'р'—х,) __
Ipa'p—х/1 (ра'Р —х() (раР' —х,)
__. , рх;- (а —а') (Р' —р) _ 4рх; sin 0 sin А,
|ра'р — xz|2 - ' + j ра'р—х(-12
Отбросим неинтересный случай sin 0=0.
Если sin Л # 0, то все
IpaP—xf |2
|ра'Р—х,|
одновременно больше единицы
247
или одновременно меньше единицы и их произведение ие может,
равняться 1. Следовательно, sin Х = 0, т. е. х вещественное.
736. Пусть х1г х2..... — корни полинома
f (х) = а0++(aj +«&,) х . 4- (а„ + №„) х» = <р (х) + (х).
Мнимые части этих корней положительны. Рассмотрим полином
/(х) = ф (х) — 1ф (х). Его корнями будут, очевидно, xi, х2... х„,
сопряженные с хх, х2, .... х„. Тогда
льлЛт-фЮ + НЧлк ТТ х~х1 . an+'bn
у ф(*)—м*) М*—
Если х0 есть корень ф(х), то
. |ф(*«) 1=П
I = 1 I хо I
Но
Хр-х,-2 fa-x,•)(<-<) , (X,—х;)(хв-х;) _
Xo—x't (х0—х;)(х;—X;-) + |х„ —х,|2
_ _ 4 Im (х0) Im (Х;)
|х0—х;. |2 •
Отсюда, если Im(x0) > 0, то I ——§ < 1 привсех i; если Im(xe)<0,
х0—х". I
xt>—xi
>1 при всех i. (То же самое очень легко получить
геометрически, без вычислений.) Следовательно, равенство | Ф (х0) | = 1
возможно только для вещественного х0, и потому все корни ф(х)
то
Хр—Xt.
вещественны.
Далее, рассмотрим полином
(а— РО [ф (х) + «Ф W1 = аФ (*) + И (х) + i [аф (х) — Рф (*)]•
Его корни не отличаются от корней исходного полинома и, значит,
его вещественная часть а<р (х) + РФ (х) имеет только вещественные
корни при любых вещественных аир. Нов таком случае корни ф(х)
и ф(х) разделяются (задача 727).
737. Пусть х1( х....... корни ф(х); уи уг, .... у„—корни
ф(х). Без нарушения общности можно положить, что старшие коэф-
фициенты ф и ф положительны и
Xi > У! > Х2 > у2 > .. . > Уп-г > Х„> Уп
(уп может отсутствовать).
г> ф (х) . ,
Разложим * до- на простейшие дроби:
W=4 + V_J*_; ЛЛ=Ш.
Ф(Х) ^Хых—xk к ф'(ха)
k=i
248
Легко видеть, что все Ak > 0. Положим х = а-\-Ы и найдем мнимую
часть для
—t (ф (х) + (х))=ф (х)
Ф (х) ф (х) ’
Im/tH-^-i + lm fX -т#-У
<ф(х) ) ~ + xkJ
п
У
fai (а—хь)й-[-Ь2'
Если &>0, то у —<0 и,, следовательно, ф(х) +
4- гф (х) ф 0. Итак, в рассмотренном случае все корни <р (х)-[-/ф (х)
лежат в нижней полуплоскости. Аналогично рассматриваются другие
случаи расположения корней.
738.
п
: **-к°₽ни
Пусть х = а—bi, b > 0. Тогда
Im П' <а~М^ = У > о
{f(a-bi)) ~fat |х-х*|« >0-
Следовательно,
f (a —bi) 0.
739. Пусть полуплоскость задана неравенством
г cos (0—<р) > р, где x = r (cos <р + i sin <р).
Положим х — (x' + pi) (sin 0—i cos 0). Тогда
x' = —pi-|-x(sin0-f-i cos 0) = r sin (0—<p) -f- i [r cos(0—<p)—p].
Отсюда следует, что если х лежит в даииой полуплоскости, то х'
лежит в полуплоскости Im (х') > 0, и обратно. Корни полинома
f [(х'+рО (sin0 — i cos 0)], таким образом, находятся в верхней по-
луплоскости. На основании задачи 738 корни его производной, равной
[sin 0 — i cos 0] f [(x' + pi) (sin 0 — i cos 0)], также находятся в верхней
полуплоскости.
Следовательно, корни полинома f (х) находятся в данной .полу-
плоскости.
740. Непосредственно вытекает из результата задачи 739.
741. Уравнение разбивается на два:
rw , и L«__L=0
f(x)^ki f(x) ki
Разложение на простейшие дроби даёт
^lx—xk±ki=°’
хк—корни /(х), по предположению вещественные. Пусть x = o-f-W;
249
тогда
1
X—Xk
* b I (a—xA)4+&2 < ПЯ ’
Для корней каждого из уравнений должно быть —%- < pyj, откуда
| Ь | < kn.
742. Все корни f (х), очевидно, вещественные. Обозначим их
Si. $2> •••• |я-1- Далее, обозначим через у1г у2, ...,уп корни поли-
нома f (х)—о, через хъ х2, х„— корпи полинома /.(х)—а. Тогда
У1 < 51 < Уг < 52 < • • • < Уп-1 < 5п-1 < Уп>
.Х\ < £i < х2 «С 5г < • • < хп—1 < —1 < хп.
Из этих неравенств следует, что интервалы, ограниченные точ-
ками Хр у;, ие налегают, ибо они заключены в иеналегающих интер-
валах
(—00.51); (51, 52); (5n-j. + ®).
Полином f (х) принимает на концах каждого из рассмотренных ин-
тервалов значений а и b и проходит внутри интервала через все про-
межуточные значения. Следовательно, /(х)—X обращается в 0 на
вещественной оси п раз, что и требовалось доказать.
743. Если вещественные части корней полинома f(x) = x" +
+ ajX"-1-!-... +an имеют одинаковые знаки, то мнимые части кор-
ней полинома
(—ix) = xn-\-ialxn~1—агхп~2—ia3xn~3-f-...
тоже имеют одинаковые знаки, и обратно.
В силу результата задач 736, 737, для этого~необходимо и до-
статочно, чтобы корни полиномов х”—a2xn~2+a4xn~4—... и ajX”-1—
—a3xn-8+a5xn-6—... были вещественны и разделялись.
744. Нужно, чтобы было a > 0 и чтобы корни полиномов х3 — Ьх
и ах2—с были вещественны и разделялись. Для этого необходимо и
достаточно условие 0< у < b или с > 0, ab—с > 0.
Итак, для отрицательности вещественных частей всех корней
уравнения
х8 + ох2+6х+с=0
необходимо и достаточно выполнение неравенств a > 0, с > О,аЬ—с>0.
745. а > 0, с > 0, d > 0, abc — c2—a2d > 0.
j -1- у
746. Положим x=>-j—Легко видеть, что если |х| < 1, то ве-
I — у
ществениая часть у отрицательна, и обратно.
Следовательно, для того чтобы все корни хх, х2, х3 уравнения
/(х) = 0 были по модулю меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы
. /1 -4- у\ -
все корни уравнения / ( у-— ) = 0 имели отрицательные веществен-
ные части. Это уравнение имеет вид
у3 (1 —a-j-b—с)-|- у2 (3 — а — Ь+Зс)+у (3 -|- а — Ь — Зе) +
+ (1 + а + &+с)-0.
250
Легко видеть, кроме того, необходимость условия
l-a+ft-c=(i+xl)(l+x2)(l+x,)>0.
На основании результата задачи 744 получаем необходимые и доста-
точные условия:
1 —а+&—с > 0; 1 +fl+&+c > 0; 3—а—b+Зс > 0;
1—Ь-[ ас—с2 > 0.
747. /(х)(1 — х) = а„ + (а„-.1~а„)х+
+ (а-п-г—ап- J х2 + ... + (а0—а J х"—+1.
Пусть | х| = р > 1. Тогда
I f (х) (1 — х) 13» аор“+’ — I “n+K-i—«») *+ • • •
... + (а0—«г) хп | Ssfl0pn+1—р” (а„+а„_1 —я„+ ...
...+а0—fli)=a0(p»+i—р») > 0.
Следовательно, f (х) # 0 при I х | > 1.
748. -0,6618. 749. 2,094551.
750. а) 3,3876, —0,5136, —2,8741; Ь) 2,8931;
с) 3,9489, 0,2172, —1,1660; d) 3,1149, 0,7459, —0,8608.
751. Задача сводится к вычислению корня уравнения х2—Зх +
+ 1=0, содержащегося в промежутке (0, 1).
Ответ: х=0,347 (с точностью до 0,001).
752. 2,4908.
753. а) 1,7320; Ь) —0,7321; с) 0,6180; d) 0,2679,
е) —3,1623; f) 1,2361; g) —2,3028; h) 3,6457; i) 1,6180.
754. a) 1,0953, —0,2624, —1,4773, —2,3556;
b) 0,8270, 0,3383, —1,2090, —2,9563;
c) 1,4689, 0,1168;
d) 8,0060, 1,2855, 0,1960, —1,4875;
e) 1,5357, —0,1537;
f) 3,3322, 1,0947, —0,6002, —1,8268;
g) 0,4910, —1,4910;
h) 2,1462, -0,6821, —1,3178, —4,1463.
Г л а в a 6
СИММЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
755. Приводим подробное решение примера f):
F(xi, ха, ха) = (х2+х2)(х»+^) (х»+х»).
Старший член полинома F равен х*-х*.
Выпишем показатели в старших членах полиномов, которые бу-
дут оставаться после последовательного исключения старших членов
посредством вычитания подходящих комбинаций основных симметри-
ческих полиномов. Эти показатели:
(4, 2, 0); (4, 1, 1); (3, 3, 0); (3, 2, 1) н (2, 2, 2).
Следовательно, F = fifi+Afifa + Bf$ + Cflf2f3+ Dfa, где А, В, С,
D—численные коэффициенты. Определяем их, задавая частные
251
значения для xt, х2, х3:
2
О
О
2
4
— 1
—2
—1
—1
—2
— 1
—3
—1
О
— 1
2
50
200
8
Для определения А, В, С, D получили систему уравнений:
2=4+В,
50 = —27B-J-4D,
200 = —108Л16D,
8=1— A— B-j-C-j-D,
откуда В =—2, D =—1, А=—2,С = 4.
Итак,
(х’+х®) (xi + x|) (х’+хз)= flfl—2/i/s — 2f® + 4f1/2f3—fl-
Даём ответы для остальных примеров:
а) /?—ЗЛх/.; b) f!f2-3fsi с) /f-4/?/2 + 8/1f3;
d) flft-2/^з-ЗЛ/?+6/^з + 3^3-Ifjl-,
е) Л/з-/3; g) 2/5-9ЛА + 27/3;
h) flfl-iflfa-ifl+^fifafa-^fl.
7S6. a) fj^-flfi-fl b) flfi + fl-iftfe,
c) /i-W2+8/a.
757. a) fi-2fg; b) (1-3^а + 3}3-,
c) fif3-4f4; d) fi-2f1f3 + 2f4;
e) /1/2-Л/з-2/?+4/4; f) fi-4fi/2 + 2fi4-4/J3-4f4;
g) fafa—Sfifa-f-Sfb’ h) flf3—2f2f3 — fi/* + 5/s;
О fifa—2fif3—fsfs + Sfifi—5f6;
j) fifa—if*—fifs-f-tyaf3+ fift—Sfb,
k) /х-б/^/з+б/х^+б/^з-б/з/з-б/х^ + З/з;
1) Ы1-Ч1К+Уа; m) f?-2f2f4 + 2fxfe-2fe;
n) fifi—^faft—/х/з+б/в!
°) fifafa—if *—3/»+4/2/i + 7f if a— 12f e;
p) fa — 3fxf2f84-3fif4-f-3f3—3f2f4—3/j/6-f-3^e;
0) f if a—&f ifafa— fif i + З/з + 2/ 2f4+fif2—6/3;
г) ^2а-2/?/3-2/?+4Л/2^з+2/?/4-3/| + 2^4-6Л/6+е^;
S) fifa~4flfl-fifa + 2fl+7f1f2fg+flft-3fl-6fafi-f1f5-i- 6fe;
252
t) 6/?/'8-2^-12Ш3 -6/^+
+3f 3 + 6/г/ 4 + 6fift —6f *•
758. a) nfj— 8f*
b) _/»+ 4/r7t-8fra/3-f-...+(- 2)» f„.
759. а) (n—l)f[—2nfa, b) (n-1) f?-3 (я-2) ЛЛ+-3 (я-4) f3,
c) («— 1) f‘-4rtf!J2 + 2 (я + 6)/Г,М (я—3) Ыз-4л/4;
d) fl-(3n-l)(n-2)fa.
760. —2fц-ifk+j + 2fh_2fk+i~k-afk+з4' • •
n
761. (n-l)!S
(=1
= (n — 1) IS2sa4-4(n—2) I F2f2,
где
n n
s2=2 a*i> s2;=2 f2= 2 f»- w-
1=1 i=l l<k i<k ‘
762. a) • b) 2 (^1/2—3/1/з— 2/a) c) ^+/1/3—6/1^з+9/з
?3 ftfi—f-з /3
763 а) /»~2^з + 2/4 . b) /1^+^з-6^^з + 6Гз+2/!/4
/* • ’ fif^-flfi-fs
764. а) topi; b) -------2^~gf" c) "fn ;
In in In
d)
e)
fn
fi/n- 1—^ftfn-l — flin . f) fzhi-l — (n — O/lfn
fn fn
765. —4. 766. —35 . 767. 16.
768. a) —3; b) — 2p3—3q*; c) — p3 (x?—xix3 = — p);
di n*- ri ~2P~3<? • f> 2pa—4p-4pl? + 3l?a+6l?
’ q ' } l+P—7 ’ ° (1-4-p—«?)« •
769. Пусть Xi — Xi+хз. Тогда 2x? = xi4-x2+x8 = «a—2b.
Следовательно,
/аа—2Ь -./ a3 —2b
—— или — у —— находится среди кор-
ней данного уравнения. Для этого необходимо н достаточно выпол-
нение условия
а4 (а2—2Ь) = 2 (а3—2ab-f-2c)2.
770. а= — х±—xt—xs,
ab—c=— (Xi+xa) (Xi-f-Xg) (xa+x3),
C = —XjX2X3.
253
Если все корни вещественны и отрицательны, то
а > О, b > 0, с > 0.
Если один корень Xj вещественный, a хг и х3—комплексные сопря-
женные с отрицательной вещественной частью, то х24~х3 < 0, х2х3 > О,
(xi h*a) (Х1+*з) > 0 и, следовательно, тоже а > 0, & > 0 н с > 0.
Необходимость условий доказана.
Допустим теперь, что о > 0, b > 0, с > 0. Если хг—веществен-
ное, х2 и х3—комплексные сопряженные, то хах3 > 0, (xj + x2)(xi 4-*з)>
>0 и из О 0, b > 0 следует хх < 0, 2Re (х2) = х2 + х3 < О.
Если же х2, х2, х3 вещественны, то из с > 0 следует, что один
корень Xj отрицателен, остальные два одного знака. Если ха > 0,
х3 > 0, то
—Xj—х2 > х3 > 0, — Xi—х3 > х3 > 0
и тогда—(Xi+x2) (Xj-f-Xg) (х2-|-х3) < 0, что противоречит условию.
Следовательно, х2 <0, х3 < 0.
Другое решение дано в задаче 744.
771. S=4- V a. (4ab—а3—be), R—----------L____г=т .
4 У a(4ab—a3—bc)
772. a(4ab—а3 — 8с) = 4Л
774. а) аМ—4а?а3 —4а2о0+ —27а?а3;
Ь) а?а3—а?в0; с) —9; d) а’а2—а?а3 — о?а0.
«0^3
775. Достаточно доказать для основных симметрических поли-
номов. Пусть <рА — основная симметрическая функция степени k от
х2, х3, .... х„; fk~основная симметрическая функция от хи х2, ...
.... х„. Очевидно, что ifn — fk—xi^k-i откуда следует:
<fk = fk~Xifk-i + xifk~z—-• • + (— *i)*- Vi + (“- ')**!•
776. Xi + х2 = fi—х3, tfi —Xi) If. — х2) (fi—x3) = f{—f ? + fifi -
— f3 — fifz—fa> 2xi—x2—x3 = 3x, —fi, (3Xi—Л) (3xa—fi) (3x3 — ft) —
= 27fg-9/,/2 + 2/?;
Xi —X,X3 = fiXi —fi,
X? 4- X1X2 -f- X2 = fl—fi — flx3‘
777-
/=1
778. Пусть F (Xj, xit .... х„) = Ф (fi, f.f„). Тогда
Д dF дФ . . , дФ . , , дФ
S dxt ~n dfi +° fl dfi + • ‘• +fa~l dfa •
i=i
254
779. Пусть <p (a) — F (х^ + о, х2-\-а, .... хп-\ а). Тогда
Т'(Д) ~^dF +|Я’ + а............Хп+^ .
Так как ф (о) не зависит от а, то ф'(а) = 0 тождественно, откуда
л л
чгч dF _ dF (xj, х2...х„) п
следует у . -^-—.0. Обратно,. если у л-------------2£=0 тож-
i=i ' t=i 1
п
- > t х dF (*i *n+fl) л
дественно, то <p --------=0, откуда следует,
что ф (а) не зависит от а и <р (а) == <р (0), т. е.
F(x, + a, Xs+a.....x„+a) = F(x1, х2, x„).
Л др
В силу предыдущей задачи, условие У т;т~—0 равносильно условию
<?Ф , . , дФ . , , дФ _
" dfi df2 + ••+^п-,'177 °’
780. Пусть F (xt, хг. ..., xn)—однородный симметрический поли-
ном второй степени. Тогда его выражение через основные симметри-
ческие полиномы имеет вид Ф=Л^-|-В/2. В силу результата задачи
779, должно быть n-2Af1 + (n — 1) В/х=0, откуда Л=(л — 1)а,
В = — 2ла и
F (*i. х2...х„)=а[(л —1)/? —2nfJ = a У (х,—х*)2.
I <к
781. Выражение однородного симметрического полинома третьей
степени через основные имеет вид AfX-^-Bf-J^Cf^ В силу резуль-
тата задачи 779 должно быть ЗЛя/?+лВ/2 + (л —1) В/? + (я—2) Cf2=
— 0, откуда
FfXj, х2, х„) = а [(л—1) (п—2)Зя (л—2) ^г + Зя’/з].
782. (л-2) flfl-2 (л-1) /!/в—4 (л -2) fl +
+(10л-12) Шз-4 (л-1) flfi-Vnfl+Snf^.
783. Можно взять
.......
Каждая функция ф* обладает требуемым свойством. Далее, если
F (Xi, х2...x„) = F(x1+a, х2+а.....х„+а) и F (xt, х„ х„) =
= Ф(/1. ft, •••, fn), то
F(xlt х2....х„) = Ф(0, ф2, фз, ф„)
784. а) — 4<р|— 27ф*; Ь) 18<р^.
785. а) 8ф3;
Ь) —4фафз+ 16фаф4 — 27ф3-|-144фафзф4—128ф|ф4-)-256ф4.
255
786. sa = /?—2/8;
s3~fi — ^fifi 4~3/3;
S4 = /‘i-4f^ + 2f| + 4/J3-4f4;
s6 = f i - 5flf 2 + 5/ 2/| + 5/®/3 - 5f tf 3 - 5f J 4 + 5/6;
s6 = fi-6/ifa +9fIfl + 6ftf3-2fl- -6flft +
+ З/з + 6/2/4 + 6/1/5—Gfe.
787. 2f2 = s2—s2;
6f3 = s?—3sjS2+2s3;
24/4 = Sj — 6s4s2 -f- 8s4s3 -f- 3s2 ~— 6s4;
120f6 = Si— 10siS2 + 20siS3+ 15s4s2 —20s2s3—30s4s4-|-24s5;
720fe = s’ — 15sis2 + 40sis3+45s 4s2 — 1 20s4s2s3 — 15s| —
—90s1s4+40s3+90s2s4+ 144s4s5— 120sg.
788. s6 = 859. 789. s8 = 13. 790. s10 = 621.
791. «! = — !, s2 = s3= ... =s„ = 0.
792. Легко доказывается методом математической индукции при
помощи соотношения
osa + 6sa_1 + csa_2 = 0,
где sA = *i + x2.
793. s6 — Si = 5(f1 — /2) (/3 — fif2); S3 — s’i=3(/3 — Л/г).
794. s6 = — 5f2/3; s3 = 3/3; s2 = —2/2.
795. s7=—7/2/2; s2=—2f2; s6 = 5/5.
796. xn—a = 0.
а а? а.п
797. Xя—T x«-i+T-5х«-2-...+(-!)«—= 0.
*7Ofi и 1 С®) и 1 »» 9 1 1 PП л n n
798. а:л + -1< Xя-1 H—7?7-ixn-2+ ... + , -=0, где P2,...
1 21 nl 12
x’
— dke 2
..., P„—полиномы Эрмита: Pft(x) = (—l)*e 2 ---7—, a — корень
dxK
полинома Эрмита Ря-ы(х).
Решение. Пусть искомое уравнение имеет вид
х”-|- а1хп-1 + а2хп~г+ ... 4* ап = 9.
силу формул Ньютона
а4 = а,
2a2 = aa4 — 1.
За3 = оиг2—а1(
*«Л=а«л-1—«Л-2.
яая = аа„_1—
0 = аа„—ая_4.
256
Из этих соотношений следует, что ak есть полином степени k
от а. Обозначим fel а^ = Р*(а). Тогда, считая Ро=1, получим
Р1=а и Рк—aPjk-j-Hft— l)Pft_2 = 0; —aPn+n/>B_1=O.
Первые соотношения показывают, что Р& есть полином Эрмита от a
(см. задачу 707). Последнее дает Pn+i(a)=0.
799. |U-s2S).
п ft
800. 2 (»+*/)*= 2 ckSk-mxm-,
(=1 m=0
2 2 (*/+*«)*= 2
/ = 1 /=1 m=0
(k \
У C?Sjt_mSm-24).
<n=0 /
2ft
801- У (X{-X/)**=l £
l<i <n=0
802. Второй столбец умножить иа — sv третий на s.......... й-й
на (—l)fc-1s^_l и добавить к первому, В силу формул Ньютона
получим:
Л 1 о ... о
2ft h 1 ... 0
(fe—0fft-i /ft-а Л 1
Wk fk-i ••• fi
0 1.0 ... о
о Л I ... о
0 fk-г fk-з • • • 1
(-l^-^ft fk-1 fk-з fi
= Sft.
803. Второй столбец умножается на —flt третий иа f2.ft-й
на (—и результаты прибавляются к, первому столбцу.
В силу формул Ньютона получается требуемый результат.
804. nl (х»-Ах«-> + М«-»+... +(—!)"/„).
805. —> где есть наибольший общий делитель
Чи)
тип.
800. В силу результата задач 117, 119 достаточно рассмотреть
случай л=Р1Ра ••• РЛ. где pi, р2, ..., р*—различные между собой
нечетные простые числа. В этом случае s1=s2 = s4=(— 1)®; s3 =
= 2 (— I)*-1, если п делится на 3, и s8 = (—!)*, если п не делится
? Д. К. Фаддеев, И. С. Соминский
257
на 3. Вычисления по формулам Ньютона дают:
(—1)*-1— 1
/з = -—~~2----> если п дели™ на 3;
(—l)ft—1
fa — '—, если п не делится на-3;
fl = -—i-g----, если п делится на 3;
(___nt-i । j
= J, если п не делится на 3.
807. S, = sa — ss = ... —sn—a. Следовательно, при k^n
(i-IJ/j.,- «/*-»+... 4-(-!)*-’/„
откуда
kfk^(a-k+i)fk-lt
Очевидно, fi —а; следовательно,
f «(а—О t a (a— 1) ... (a—*4-1)
......................... fk---------ft™ *---------’
и потому xlt ха...xn являются корнями уравнения
„ a _ , , a (a—1) „ , . , ... a (a—I)... (втя + 1) n
xn—j-x"-14-'»j xn~2—... 4-(—1)" ———5—- — 0;
. - P(!—g)(2-g) (n-o)
"+1 «
808. (x—a) (x—b) ft”-Ma 4-6) x»"14-... 4-(а»4-а»-4>4-...
...4-6h)J=(x—a) fxn+14-axh4-a2xn-14- • • -+«nx—
—6(ah4-a"-»64-...4-6")]=x"+2—(a’+2-|-aя64-...4-6я+1)x4-
-|-a6 (a»4-a'»-1ft4-... +6").
Степенные суммы ax, o2, •••• on для нового полинома, очевидно,
равны нулю. Но <r*=as*4-aft4-&ft- Следовательно, sft = —(afc4-&ft) для
1
809. S/e — — ak—blt при нечетном k,
s/t=— \a —b* ) при четном я.
810. а) (х4-а) (ха4-ах4-*)—с=0;
b) х{х—а«4-ЗЬ)2—(а2Ь2-4а3с—4&»4- 18а&с—27с2) = 0;
с) ха 4- (36—а2) ха 4-6 (36—а2) х 4- Ь3 — а2с = 0;
d) х* (х—а24-36)4-(а262 — 4а2с—46»4- 18а6с—27с2)=0;
е) Xs—(а2—26)х24-(62—2ас)х—с2=0;
f) х’+(а8—3ай4-3с)х24-(6*—За6с-|-Зс2)х4-с2~0.
. 811. у24-(2а’—9абЦ-27с)р4-(а2-36)г=0.
258
. Знаки квадратных корней выбираются так, чтобы
где сх, ся, ..., ct — абсолютные постоянные. Для их определения
; » s
положим а= — 1, Ь = 0 и а = 0, Ь= — 1. Получим
а ь Х1 х2 *3 х4 *5 Уг Уз У4 Уз Уз
-1 0 1 i — 1 — 1 0 1 3-4/ 1 1 3 + 4i 1
0 — 1 1 е еа е* 0 -5 —5е4 — 5е3 —5еа — 5е
В первом случае искомое уравнение имеет вид:
(у— О4 (У2~ 6j/ + 25) = 0.
Во втором случае 4-3125//=0. Отсюда мы определим все коэф-
фициенты, кроме с8. Легко проверить, что с8 = 0. Для этого можно
взять, например, а——5, 6 = 4. В этом случае Xj = x2=l, а осталь-
ные корни удовлетворяют уравнению х3 4-2хг 4- Зх4-4 — 0, и все
необходимые вычисления проводятся без труда.
818. Пусть f (х) = (х—xj (х—х2) ... (х —х„), где хь х2....х„—
иезавнснмые переменные. Пусть, далее,
x*-i<p(x) = f (х)<?л(х) + гА(х) и га(х) = сА1+сА2х+...+сАпх'!-1.
Коэффициенты cAs суть, очевидно, некоторые полиномы от
хи х......... хп. Далее,
сн с12 ... cln 1 1 ... 1
c2i с22 ... с2я , Xj х2 ... хя _
Г Г Г Yn~'1 ГП~* Гп~1
Ln\ cnt ••• спп *1 Хг ... хп
'1 ty) rl (*г) • • • 6 (*п)
= МХ1) f|(4) ••• гз(хп) =
гп (^1) ?п (^г) * • • гп (Хп)
ф(*1> Ф (*з) ••• Ф(*я)
Хгф (Xj) х2ф (х2) ... х„<р (х„)
*"~‘ф(*1) *2~4(x2) ••• хя-1ф(хп)
= ф(х,)ф(х2) ... Ф(х„)
1
Х1
1
Х2
„Л-1 „Л-1
Х1 х2
„я“>
Хд
1
п
откуда следует
С11 с12
C2i с22
с1п
С2п
Ф (*1) Ф (хг) ... Ф (х„) = R (f, Ф).
Сп1 СЛ2 • • • спп
260
Последнее’равенство есть тождество между полиномами от неза-
висимых переменных xv х2, .хп и потому остается верным при
всех частных значениях этих переменных. --
819. Прежде всего убедимся в том, что все полиномы фА (х) имеют
степень п— 1. Введем следующие обозначения:
fA(x) = aox*-1+...+a*_J;
Ik (x) = akx"-*+ ...+я„;
<pA(x) = Vft-1+•••+**-!;
Фй (x)=fr*x“-ft+... -H„.
Тогда
f(x)=*»-*+v*(*)+7*W;
Ф (x) =х«-*+1фА, (x) +<pA (x);
Фй (*) = fk (x)[xn~k+»Фй W+Ф* (*)] -
—Фл (*) lx" ~ *+4k to+fk Ml = fk to Фй - ФлГл to -
= (ЯО6Л— Ьвал)х»-1+...
Пусть фА (х) = См+сА2х+ ... +cknxn~1 н пусть х„ х2, хп—
корни полинома f (х). Тогда
С11
С21
Gil
С12 • • С1П
с22 .. • с2п
спЛ • • • с»п
1 1 ... 1
Xi х2 ... хя _
п-1 п-'1 п-1
Xl Х2 ... Хп
М>ж(Ж1) tl(*i) ••• tl(*n)
ф2(*1) Фг(х2) ... ф2(Х„)
Фп(*1) Фп(*г) ••• Фп(*п)
fl to) Ф (*1) f 1 (хг) ф (х2) ... fi (Хп) ф (хп)
ft (х2) ф (Xj) /2(х2)ф(х2) ... (г(хп)<р(ха)
/п(*1)ф(*1) f п (хг) Ф (*2) ••• fn (хп) Ф (хП)
= Ф(Х1)Ф(Х2)
... ф(х„)-
fl (Xl)
fl (Xl)
f 1 (хг)
ft (xt)
fi (xn)
f 2 (Хд)
fn (X1) f n (Xl) ••• fn (xn)
= ф(Х1)ф(Х») ... Ф(Х„) X
«в о ... о
я, яв ... О
ап-1 ап-1 ••• ао
1 I ... 1
Xj Х2 ... Хи
п-1 J1-1 У1-1
Х1 Х2 . . . Хп
= Ф(хОф (х2) ... ф(хя)а".
1 1 ... 1
X] ... хп
yn-l vn-l
Х\ Л2 . . . Хп
261
откуда следует
“ . ”. =4ф(Х1)ф(х.) ••• ф(х„)=я (/.<₽).
Сп1 сп» • • • спп
820. Полиномы х* имеют степени не выше п— 1. Это очевидно
для Kfe<n—т, а для k > п — т »то следует из того, что Хй
суть полиномы Безу i|5*_n+m ДЛ» f(x) и х"-“ф(х). Пусть x*W =
= c*i + cA2*+---+W"'1 и
1 1 ... 1
* * • Хп
п-1 vn-l Vn-I
Л1 Ag * • • Xfl
Тогда
С11 СМ си см • • • «1» • • • с»» .Д = Xi (Xi) Х2(*1) Xi (х») Х1(Х2) • •• Xi(x«) ••• Х2(х„)
СП1 Си2 • • • ®пп Хп (Х1) Хп (х2) ••• Хп(Хп)
= ф(Х1)ф(х«) ••• ф(х„)х
1 1 ... 1
*1 хг ... хп
хп-т-1 Xn*”-1
x-?“m/0(xl) хГ"7в(хЛ
(Xl) 4~mfm-l (X2) . .. i (x„)
= ф(Х1)ф(х») ••• Ф(хп)Д-
“о
а1 «о
ат-\ат—а •»•
= ав*ф(х1)...ф(хя)Д,
откуда непосредственно следует требуемый результат.
821. а) —7; Ь) 243; с) 0; d) —59; е) 4854; f) —
—(^1—*>10о) (»1Я»—5,01).
262.
822, а) При A = 3 и k= —1;
-2- V~2 ± 7]/ 4 0+2
* 2 :
с) Х=± V~^2, Л=± ОП2.
823. a) i^—4j/4 + 3j/2—12^+12 = 0;
b) 5j/6—7j/4 + 6i/3—2у2 — у— 1=0; с) у3 + 4у2—у—4 = 0.
824. а)хх=1, х3 = 2, х3 = 0, х4 = —2,
1/1 = 2; !/з = 3; х3 =— 1; (/4=1.
b) хх = 0, х2 = 3, х3 = 2, х4 = 2,
1/1=1; 1/2 = 0; j/3 = 2; </4= —1.
с)хх=х2=1, х8= —1, х4=2,
' * ' * • О » • '» "0,4 '
У1='1; Уг=3; Уз = 2; J/4=3; yit 3 = l±i^2.
е) хх = 0, х2=0, *3 = 2, *4=х5 = 2, хв =—4,
У1 = 2; у3=— 2; Уз=0; </4=ys = 2; у,=2;
*7 = 4, *з=— 6, х, = — 2/3,
1/?=6; 1/з=4; у3=*/3.
825.
826. Пусть f(x) = a0(x—xt)(x—x2) ... (х—х„);
Ч>! (х) = Ьох*+ • Фг (*)=Co*“+ • • .+ст.
Тогда
Я (/, <Р1-ф2)=О0*+*П ф1 (*;) ф2 (*/)= '
/—I
= ^0*Пф1 (*/)] [4П Фг (*/)] = я (f, Фг).
827. Интересно рассмотреть только случай п > 2. Обозначим
через d наибольший общий делитель тип; g2, ...—первооб-
разные корни из единицы степени n; r)t, т)2, ...—первообразные
п _
корни нз единицы степени -^=п1. Тогда
R(Xn, *'»-1) = П^-1) = П<1-^> =
Ф(») ч>(п)
=[П о-п/)|ф(Л1>[хП1(1)]фта.
Если т делится на п, то R (Хп, хт —1) = 0. Если же т не делится
на п, то nx 1 и, в силу задачи 123, ХП1(1)=1 при пх р\
Xtti(X) = p при пх = рх(р—простое число). Итак, ’
R (Хп, хт —1) = 0 прн п1 = ^-=1;
R(X„, х“—1) = р Ф?«1) при пх=^-=рк;
R(Xn, х"—1)=1 во всех остальных случаях.
263
828. Очевидно, что Хт) есть целое положительное число,
являющееся делителем R(X„, хт — 1) н R (Хт, хп— 1). Обозначим
через d наибольший общий делитель тип. Если т не делится на п
т п ,
н л не делится на т, то -j- н -j- отличны от 1 и взаимно просты.
В силу результата предыдущей задачи, R (Х„, хт—1) и R (Хт, —1)
в этом случае взаимно просты, и потому R(Xn, Хт)=1.
Остается рассмотреть случай, когда одно нз чисел т, п делится
на другое. Допустим, для определенности, что т делится на п.
Если т — п, то R (Хт, Хи) = 0. Если не является степенью
простого числа, то R (Хт, хп — 1) = 1 и, следовательно, R (Хт, Хп) = 1.
Допустим, наконец, что m = npk. Тогда
/ я \
Н(Хт, Xj = Y[R(Xm, J.
6/л
Все множители правой части равны единице, кроме тех, для кото-
т
рых -у есть степень числа р.
Если п не делится на р, то отличный от единицы множитель
останется только один при б = п н
Ф W
R(Xm, Хп) - R (Хт, xn-l^pV = pt W.
Если п делится на р, то отличных от единицы множителей останется
два: при б = п и б = —. Тогда
Р
р/у х«-П ф (т) ф (>П)
р (X X - 'Л|Д’ ______~ = пФ («/я) ф(щр/я)_
R(m’ R(Xm,Xn'p-\) Р
, , I I 1 “I ф (tn)
ф/п "х----------х-----
— р 1У-ЧР-1) PX(P-l)J=p =Р?(Я),
Итак,
R(Xm, Х„)~0 при т = п;
R (Хт, Xn) —pf'п< при m = n/A;
R (Хт, Х„)=1 в остальных случаях.
829. а) 49; Ь) —107; с) —843; d) 725; е) 2777.
830. а) 3125 (62 — 4а5)2; b) X4 (4Х —27)’;
с) (b2—Заб+9а2)2; d) 4 (X2—8Х + 32)3.
831. a) Х=±2; b) Xj=3, Х2дз = 3^-----g- d:
с)Хх = О, Х2=— 3, Х3 = 125;
d)X! =—1, Х2=—-g, Xgj4=—±— i V3.
832. В общем случае, если дискриминант положителен, то число
пар сопряженных комплексных корней четное, если днскрнмииант
отрицателен,— то нечетное.
204
В частности, для полинома третьей степени, если D > 0,. то все
корни вещественны, если D < 0, то два корня комплексно сопряженные.
Для полинома четвертой степени при D > 0 или все корни ве-
щественные, или все корни комплексные. При D < 0 имеется два
вещественных корня и одна пара сопряженных комплексных.
833. f=x" + a;
п (я— 1)
/?(/', = D(/) = (—1) 2 nW-1,
834. f = xn + px+q-, f = nxn-1 + р;
Л " 2 / t л—1 \
Rtf’. Л=«-П
s=o \ " т п /
2л , . . 2л
где е = cos---г 1 sin-----г.
п — 1 1 п—1
/?</'. л=«я [у”-1+(" j • (- (-в*-2]=
= пВ^П-1-|_(_1)П-1(П_1)П-1 р»;
и (и- 1) (л-1) (л-2)
D (/) = (—!) 2 п«<7"-1 + (— 1) 2 (л—
835. Пусть наибольший общий делитель т и л равен d. Введем
обозначения: щх = —-, лх = —, е —первообразный корень л-й сте-
пени из 1, т]—первообразный корень лх-й степени из 1, аохт+п
4- a1xm-j-a2 = f(x). Тогда г (х) = (т+ л) а9хт+п~1 + та1хт~1.
Корни производной суть: £i = £2= ... =tm-i=0,
‘“°.........
Далее,
л-1 г __ 1
/?(/'. Л = (т + п)'я+п^+Х"1П U1+—Г7^еА“| =
*=0 *- rn-\-n j
= (т+л)«+«лГпаГ1 [Д' (^+^) 5«П*] =
fnn,/nmi ат‘ + л*
а?* -|- (—1)т’ + "1-1-—-
2 ' - (m+n)m'+n>af
=а2а7-,[(от + л)'П, + "‘а«*аг,+ (_1)т,+ П,'‘П",отт‘а'?', + /',Г
н, следовательно,
(ЛИ-Л) (Л1 + Л-1)
D(/) = (-l) 2 а«-1<-1[(т + лГ‘+"‘«- +
+ -1 „л^п, ат1 +л, Ji.
838. Дискриминанты равны.
837. x1xt+xtx4—x1x3—xtxt=(x1—xt) (х3—хя);
ХЛ + х2х4—ххх4 — х2х3 = (хх — х2) (хя—х4);
xtx4 + х2хя — xtx2 — ХзХ4=(хх — хя) (х4 — х2).
265
Возведя эти равенства в квадрат и перемножив их, получим -тре-
буемый результат.
888. Пусть f (х)=а0 (х—хх) (х—-х2) ... (х—х„). Тогда
D (f W (•*—«)) = flo" (я— -Ч)2 (fl—xj*...
••• (я-*«)2 П(х/-х*)г=О(/(х))1/(в)Р.
Кк
839. Обозначим <p(x) = xn-J-|-xn“3+ ... -f-1. Тогда(х— 1)<р (х) =
= х”—1, откуда следует
(и-!)(» —2)
D (Ф) [ф (1)]2 = О (Xя—1) = (—1) 2 пя.
Следовательно,
(п-1) (в-2)
О(ф)==(—1) 2 л"-2.
840. Пусть <р (х) = х" + ахп-1-|-ахп-2-|- ... -f-a. Тогда
<р(х) (х—1)=хп+1 + (я —1) Xя—а. Следовательно,
д (« -1)
Итак,
(ла+1)2 О (ф) = (— 1) 2 a«-lI(n+l)"+Jo+nn(l-a)n+1].
841. Пусть f (x)=ae(x—xj (х—х2) ... (х—х„),
ф(х) = Мх— У1)(х—У2) ... (х—ут).
Тогда
Щ/ф) = (вЛ)4“+2'1-2П (Xi-хЛ)2П (у,-у*)2Х
i < к i < к
п т
хПП (*<—//*)2=аоП_2П (*<— Хк)2ЬТ~*Х
.... • - д.
' 2
ХП (У,—Ук)2 aWf[^(Xi-yk) =О(/)О(ф) [/?(/, ф)р.
i<k L i = lfe=l
842. Хрт (хрт —1)=х/^В—1. Следовательно,
D (XFm) D (х^-1-!) [Я (xpm-1-l, хрт)]г =D (х^“—1).
Подставив значения известных величин, получим
— рт~1 (р-1)
D(Xpm') = pmPm-<-m + ^Pm~\— 1) 2
843. Х„Д (х« —l/(~) = (x”-l) Д (хо—1)U( 0 ). Пусть е —
в/« д/д,
W.
корень Х„. Тогда X«(e) = ne”-J TJ
t/n
б^п
266
Для упрощения вычислений найдем сначала абсолютную вели-
чину дискриминанта Х„:
|£>(х„)|=п । х«<е>|=л"ПI]
е й/п е
d 7SH
Ф <2L ц
/ n V
Ф Т
Далее, X п (1) отлично от 1, только если -у есть степень про-
стого числа. С другой стороны, р ("5") отлично от 0, только если
-у не делится на квадрат простого числа. Следовательно, в последнем
произведении нужно сохранить только множители, соответствующие
п
-^=plt ........... где pi, pit ph — различные простые делители
числа п.
Итак,
пФ <”>
* ° (*п) *= Д рФ (л)/р-1 *
р/п
Ввиду того, что все корни Хп комплексны, знак дискриминанта
Ф(«)
равен (—J) 2 . Окончательно
ф(Л)
пч> (п)
Д рф(я)/р~1
pin
844. Еп = п\ (1+£+.
£'-”'(|+т+-+(ЙП)г)-.
Следовательно,
Е'п = Еп—хп-,
R (Е„, Е'„) = f[ = (-1)« [(-!)» п!]« = (я!)»;
/=1
« (Л- 1)
D(EB) = (-1)~2 (я!)«.
845. Нетрудно установить, что
. ч г? а (а—!)...(я—я) „
(пх± п - a) Fn—х (х-j- 1) Fп + =0.
267
Пусть xlt х2, хп—корни Fn. Тогда
Следовательно,
R (Fп> рп) —
сп сп
Пх,П (х, + 1) а (а— 1).. .(a—(а—1)., ,(а—а) ~
п! п!
^а"-1 (а—I)”-2 (а —2)л~’.. (а—п+1)”~2 (а—а)"-1
(а!)”-2 •
D(f„) =
1)«-2(а—2)«-2...(а-а+1)“-2(а —п)"-1
- I О (п|)«-2
846. Pn = nPtt-i' Следовательно,
R(Pn, Р'п) = п»Ц (Р„, Pn_t).
Далее,
Рп — xPn-l + (n— О РП-2=0.
Следовательно, Рп © = — (п— 1) Рп_г (£), если £ есть корень Pn-i-
и потому
R(Pn, P„_1) = (-l)"-i(»-l)«-iR(P„_2, P„_t) =
= (-!)»-! («-!)«-! Р„_2).
Теперь легко установить, что
п In- 1)
R(Pn, P„-i) = (-l) 2 ^-1)л-х(а-2)л-2...22-1.
Окончательно
D (Pn) = 1 -22-33... (n— !)«-*««.
847. О(Рп)=1-23-36...а2л-1.
848. D (Pn) = 2n-1an.
849. D(PB) = (n+l)n-»-2n(«-1>.
850. D(P„) = l-23-35.. .«24-1. Р'п-п.З2’”-2».. ,(2n—3)2.
851. D (Pn) = 22-34...ra2«-2-(ra+ I)"-1.
852. Пусть / (*) —*" + ai*"-1+• • •+an =
= (*—4) (х-хг). ..(x—x„).
О(/) = П(ж,—Xk)2- Ищем максимум D (f) по правилу отыскания
относительного максимума, решая систему уравнений
Xl-f-X2+ ...-)-Хл = п(п—1)Р2,
(D—А. (xi + *2+ ... +х«) ) = 0.
Легко видеть, что
дР Df (Xj)
дх, f’(х^
Таким образом, имеем
(х) D—2Ах//'(х,) = 0 при i = l, 2, п.
268
Следовательно, полином f(x), дающий максимум дискриминанту,
должен удовлетворять дифференциальному уравнению
с/ (х) — 2Хх/' (х) + Df" (х)=О,
где с —некоторая константа. Поделив на — и сравнив коэффи-
циенты при хп, получим, что дифференциальное уравнение должно
иметь вид
nf (x)-xf (x) + c'f" (х)=Ь,
где с' —некоторая новая константа.
Сравнивая коэффициенты при х”-1 и х"~’, находим ^=0,
0,= —Теперь мы можем определить с'. Действительно,
п (л—I) ^«=х?+хг-|- ...+Хп=а2—2аг = п (п— 1) с', откуда c' — R3.
Продолжая сравнение коэффициентов, находим, что f (х) имеет вид
f (х) =х« —ям -2 + д«х«
Легко видеть, что
f(x) = R"P„(±} ,
где Рп — полином Эрмита.
D(f) = Rn <«-»>. 1.22-3»,..nn.
Это и есть искомый максимум дискриминанта.
853. 22-'1 (—1)пяояи (D (f)]2.
854. m“" (— 1) 5
855. F(x) = f[ (<р(х)-х,).
i=l
Следовательно,
Я (О = П D (Ф W — Xi) Г П # (ф М — xt, <Р (X) — X*)]2.
1=1 L< < * J
Очевидно далее, что
/?(ф(х)—X/, Ф(х)— xk)=-(Xl—xk)m.
Поэтому
О(5)=П D(<p(x)-x,) Ц (х,—xft)2“ = [D0]» f[ D(<p(x)-x,),
(=1 i<k i=i
что и требовалось доказать.
856. (р+1)(0-5)(р-19)=О.
857. а) Решение. х3 = Зх-|-4. Пусть у = 1 4-х-|-х2, где х —
корень данного уравнения. Тогда
ух = х+х2 + Xs — х -J-х2 -f- Зх 4 = 4 -|- 4х+х2;
ух3 = 4х 4- 4х2 4- Xs = 4х 4- 4х2 -f- Зх 4~ 4 = 4 4- 7х 4~ 4х2.
269
Исключая х, получим
1-у 1 1
4 4—у 1
4 7 4-у
I/3 — 9уг-\-9у—9 = 0;
Ь) уЗ_7у2 + 3у_1=0;
c)V+5j/3+9y2 + 7i/—6=0;
d) у*— 12i/34-43j/2 — 491/4-20=0.
858. а) у»— 2у24-6у—4 = 0, x=—y~~2^+i ;
b) j/4-9$<34-31j/2 —45j/4-13 = 0, х=-^~^-+-- ;
и
с) i/44-2y3—уг— 2у4-1=0, обратное преобразование не суще-
ствует.
859. J/3—у2 —2у4-1 =0.
Преобразованное уравнение совпадает с исходным. Это значит,
что среди корней исходного уравнения существуют корни *х и xt,
связанные соотношением *2 = 2—xf.
860. Пусть *2 = <р(*х), где <р (*х) —рациональная функция'с ра-
циональными коэффициентами. Без нарушения общности можно счи-
тать, что x2 = axi + bx1 + c. Числа axf4-6*х-f-с, ах%4-Ьх2-\-с,
а*|4-6*3 4-с являются корнями кубического уравнения с рациональ-
ными коэффициентами, один из корней которого совпадает с корнем
*2=а*?4-6*х-|-с данного уравнения. В силу неприводимости данного
уравнения, должны совпадать и остальные корни. Следовательно,
или а*24-5*24-с=*3, а*а4-6*а4-с=*х, или axl-^-bx^-t-c^Xi,
a*s4-6*34-c=*3. Последнее равенство невозможно, так как *3 не
может быть корнем квадратного уравнения с рациональными коэф-
фициентами. Итак, при нашем предположении корни данного урав-
нения связаны соотношениями:
*2 = а*|4-5*х4-с;
*3 = axl+bx2 4- с;
*х=a*i4-6*3 4-с.
Следовательно, '
j/D = (*2 —*х) (*а—*J (*х — *з) =
= [а*?4-(6—1)*х4-с] [о*14-(6—1)*24-с] [а*3-|-(6 — 1)*34-с]
есть рациональное число как симметрическая функция с рациональ-
ными коэффициентами от *х, *2, х3. Необходимость условия до-
казана.
Допустим теперь, что дискриминант D есть квадрат рациональ-
ного числа d. Тогда
_ ' __________d_______d
Х* Хз = (*х - *з) (*1 ~ *з) 3*? 4- 2а*х 4- 6 ’
270
С другой Стороны,
*г+*з=— а~ *1-
Отсюда следует, что х^ и х3 являются рациональными функциями
от хг Достаточность условия доказана.
м. „ а+Кг + Ув .
-3 + 7®/2-®/4
Ь) 23
с) 1 +3^"2 + 2/1- У 8.
862. a) ; b) 17а2—За + 55; с) 3-10а+8а»-За2;
□
d) знаменатель обращается в 0 при одном из корней уравнения.
863. /пх2 + пх1 + ра=
_ (pm—6m24-om«—«2) xt + (amp—«р—cm2)
mxt + ma—n ’
864. Если
„ «*1+0
* V*i+6 ’
то
ахг + р
8 + б ’
_ ах8 + Р (а2 + Р у) х2 + (а+6)0 '
1 + 6 (а + й) ух2 + (ру + б«) *
С
другой стороны, Xj =
—в*а4~ 0
ух8—а
, откуда следует необходимость
соотношения
ай—ру=(а+Л)2.
865. Пусть
atxn+alxn~l+ ...+ап=а0(х—xj (х—х») ... (х—х„).
Тогда
а(>хп-а1х'’-1+...+(—1)п а„ = а0 (x+Xi) (х+х^.. .(х + х^.
Перемножив эти равенства, получим
а? (х2—х?) (х2—х8)... (х2—х„) =
= (а^п + OgX" -2 + ... )2 - (axxn - 2 + ajX” -2 + ... )2.
Отсюда заключаем, что для того чтобы выполнить преобразование
р = х2, нужно заменить х2 на у в уравнении
(ОоХ»+atx” -2 + ... )2 - (а1Х” -1 + а3хп - 2 + ...)» = 0.
866. Искомое уравнение получится посредством замены х* на у
в уравнении
(aexn+asxn-2+ .. ,)2+(a1x"-'+a<x»-*+.. .)»+
+(otx»-2+a»x’’-e+...)2—3(aex“+aex«-24-...) X
X (a1x”-l + a4xB-4+...) (а*х’’-2+<цхп~2+ . ,.)=0.
271
867. Существует лишь конечное число полиномов хп +а1хп~1 + ...
е целыми коэффициентами, модули корней которых не превосходят 1,
ибо коэффициенты таких полиномов, очевидно, ограничены:
I вл I <-------£j---------•
Пусть f — xn-f-a1xn~1+...+a„, а„ # 0,—один из таких поли-
номов и пусть х1( хг...х„ — его корни. Обозначим fm = (x—х?1) X
X (х—Ха1) ... (х—х£). Все полиномы fm имеют целые коэффициенты
и все их корни не превосходят 1 по модулю. Следовательно, среди
них есть только конечное число различных. Выберем такую беско-
нечную последовательность целых чисел та < < тг < ..., что
Л»0=/»>, = Л»,= --- Это значит, что
где (а1, а2, ..., ап) — некоторая перестановка номеров 1, 2, .... я.
Ввиду того, что показателей zn, бесконечно много, а перестановок
лишь конечное число, найдутся два (и бесконечно много) показа-
теля /я,, и т/а, которым соответствует одна и та же перестановка
(«о а2.....а„). Для таких показателей имеют место равенства:
х?'1 = х?'г;.
x^i=x^2;
х™'1 = х™%
показывающие, что хг, ха, .... х„ суть корни степени т,-2—л»/,
из единицы, ибо х2, ха, ..., хп отличны от нуля в силу условия
а„ £ 0.
868. Пусть F {х1г х2.....х„)—полином, меняющий знак при
нечетных перестановках переменных. Так как F (х2, х2, х3, .... хп) =
= —F(x2, х2, .... xn) = 0, F (хи х....... х„) делится на хг—х2.
Аналогично доказывается, что F (xlt ,х2.....х„) делится на все
разности х;—хь. Следовательно, F (х1( х2........ х„) делится на
Д = JJ (х,-—Xh), равное определителю Вандермонда. Ввиду того,
i >k
что определитель Д меняет знак при нечетных перестановках пере-
F _
менных, — — симметрический полином.
869. Пусть <р (хг, х2, .... хп)—полином, не меняющийся при
четных перестановках переменных. Обозначим через ф(х1( х2, ..., х„)
полином, получающийся из <р(х1( х2, .... х„) посредством какой-либо
определенной нечетной перестановки.
Нетрудно проверить, что при каждой нечетной перестановке <р
переходит в ф, ф в <р. Следовательно, ф+ф не меняется при всех
272
перестановках, <p—<р меняет знак при нечетных перестановках.
Далее,
m ф + ф , ф—Ф_р , р л
Ф=—2—И—2~=Г1 + г2Д,
где Д— определитель Вандермонда. На основании результата зада-
чи 868 Г2 есть симметрический полином; —тоже симметрический
полином, так как не меняется при всех перестановках переменных.
870. (fl — /2) Д, где flt f2—основные симметрические полиномы
от ху, хг, .... х„.
871. и3 + а (а + Р + у)и2 + [(аа + ра + уа)6+(а^ + ау+Ру) X
X (а2 — 6)] и + с (а8 + Р3 + у3) + (ааР+офа + а2у+ а?2 4-
+ р2у + PV2) + аР? ~За& + 6с) + (<Х~^ ~Ф /д _ 0,
где Д—дискриминант данного уравнения.
872. и3—Зрр'и — —У ~А- — 0, где Д и А'—дискрими-
нанты данных уравнений.
873. Пусть у = аха + + с—преобразование Чирнгаузена, свя-
зывающее данные уравнения. Тогда при некотором выборе нумерации
*1У1 +*гУа + *зУз =а(Л + *а + *з) + &(*1+Ла+*з) +с(*1 + хл + *з)
будет рациональным числом. Следовательно, одно из уравнений
, „ , 27qq' ± КДД' „
и3—Зрр и —— ------------- О
(задача 872) имеет рациональный корень. Отсюда следует, что VДА'
будет рациональным числом. Необходимость условия доказана.
Обратно, пусть уравнение
.. „ , 77 qq' ± КДД' „ ,*>
и3—Зрр'и 2'---------=0 ( )
имеет рациональный корень и.
Нетрудно убедиться в том, что дискриминант уравнения (*) равен
~4~(у Кд'—КД q')2 и, следовательно, отличается от V Д множите-
лем, равным квадрату рационального числ.а. Следовательно, разность
и’ — и" второго и третьего корней уравнения отличается рациональным
множителем от К Д.
Для уъ у2, у3 имеем систему уравнений:
У1 + Уз + Уз =0>
хлУ1+хгуг + хзУз = и,
{Хз—Хз) у1 + (Хз—Ху)у2 + (х1 — хг) уз = и'—и" = г Кд.
Из этой системы находим
3wxr + (x2 — х3)г КД
У1-----------6^---------•
273
Ho (*g—х8) выражается рационально через хх. Достаточность
условий доказана.
874. Переменные хх, х2, ..., хп можно выразить линейно через flt
Л1' Ла. • ••> Лп-i- Следовательно, каждый полином от х8, х2, ...,х„
можно представить в виде полинома от fu' i)l( tjb, т)„_х:
F(xlt ......хп) =2 л.
При круговой перестановке переменных х., х........ х„ одночлен
Л/®“1)®*г]®’'.. г)^-> приобретает множитель e“'®l+a®*+'" + <ra“
Следовательно, для того чтобы F(xlt х........ х„) не менялся при
круговых перестановках переменных, необходимо и достаточно, чтобы
ai + 2aa+...-|-(п — !)«„-! делилось на п.
875. Можно взять flt т]”, г]2т]Га. •••. ’ln-i’li-<ra-l>>
.876. Пусть т)1 =Х; + х2е-(- х3еа; 1]2 = х1Ч-х8е,+х8е, где
е=—-5”НХг' • Тогда —=<рг+ i УЪ фа, где фх и ф2—некоторые
х z t)2
рациональные функции от х±, ха, х3 с рациональными коэффициен-
тами, не меняющиеся при круговой перестановке хх, ха, х3. Легко
видеть, что через /1=х1-|-х2-|-х3, фх и ф2 рационально выражается
каждая рациональная функция от xt, х2, х3, не изменяющаяся при
круговой перестановке переменных.
Достаточно это доказать для г]аг]Г2 и tj?. Но
/— а___________________________1_______
чП2П1 “фг+гфаКз"1
* / 2
T)J = (31J • — = (ф1 + 1фа КЗ )2 (ф1 — <Фа КЗ).
ХЛа/ . Л1
877. При п=4
Л1 =*i+«а—*з—ixt,
»h=*i—*з +*з—*4.
q3=Xt—ixs—х3 + ixt.
Положим 61=»)1Пз; 0а+1'0з=-^; 0s—«03=-^ •’ 01< 0s. 0з суть
. Лз . ’ll
рациональные функции с рациональными коэффициентами от xlt ха,
х3, х4, не меняющиеся при круговых перестановках. Легко видеть,
что оин вместе с f = xt + ха + х3 + х4 образуют систему основных функ-
ций. Действительно,
—а 0а — «а —з 0а —
w —w -ё;(е;+^8):
4__01 (0а~Ь «0з)
02 — 8'03 ‘
878. Пусть Hi = х1е + *зв2 + х3ъ3 -J- х4е*+хв,
т)а = х18а + хае4+х3е +х4вя+*5.
т1з = х1е»4-ха8 +х88<4-х48а+х5,
tk^^+^e’+x^+x^ +хв.
274
Рассмотрим рациональную функцию Х1=2122 и расположимте
Пз
по степеням е, заменив 1 на —в—8а—е3— еа:
It = Вф1 + е2<р2+е®ф8 + е»ф4.
Коэффициенты фх, фа, ф3, ф4 суть рациональные числа. Заменяя 8
на еа, е® и г*, получим:
х, =е2ф1 + в<ф2+Вфз+е»ф4,
Л1
^=3Г1=83Ф1+«Ра+в*Фз+е«ф4.
^4=^г=84ф14-е3фз+8»ф3+вф4.
Па
За «основные функции» можно взять /, фц ф», ф8, ф4. Дейст-
вительно, через них выражаются рационально Лц Х2, Х3. Х4.
Далее,
'Пв'П! 2 х, Hi’li 4 == 2XjX,3 lX4 *|
HsHi 3==^i 2X2X4l, t)i =Х1Ла1ХзХ4.
Глава 7
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
879. а) Размерность г=2, базнс образован, иапрнмер, Хг и Х2;
Ь) г = 2, базнс образован, например, Xt и Х2;
с) г=2, базнс образован, например, Xt и Х2.
880. а) Размерность пересечения равна 1, базисный вектор
2 = (5, -5, —3, —4)=Хг—4Х2 = ЗУ1-У2.
Размерность суммы равна 3, базис составлен, например, из век-
торов Z, Х2, Fj.
b) Сумма совпадает с первым пространством, пересечение—со
вторым.
с) Сумма есть все четырехмерное пространство, пересечение со-
стоит только из нулевого вектора.
881. а) 1, -1, -1); b) (1, 0, -1, 0).
882. a) +
’ Х1 —*а—*з + *4 • — *1 + -Ч+*» + *4.
*»--------2-------’ --------2--------’
Ь) Х1==х2—Хз+*4> *2=—*1 + Х2, *3=*4>
х2 + х3 —Х4.
883. хл + ^аХ4=-|-.
.276
884. Пусть а0 + at cos *+ at cos2 x + ... + an cos" x =
= ^o + *i cosx+&2 cos 2x+ ... +bn cos nx.
Тогда ao = *o—6a + *4—••••
aA = 2*-i +
4- V ( lv, (* + 2p)(*+p-l)(*+p-2)...(*+l) I
+ 2- (~ } ---------------pi--------------bk+гР J ’
, . ,n-k
1<P<—
^o=ao4~ 2 ^^C^pa^p,
1 p -C -%
bk=V-*(ak + 2 2-2PC?+2Paft+2/,\
\ п~к I •
\ 1<P<— /
14 1 7 11 \
3 ’ 9 ’ 9 ’ 9 )
885. Точка пересечения с первой прямой имеет координаты
, со второй (42, 1, 7, 11).
886. Прямые Xo+ZXt, У0 + /У1 содержится в многообразии
Хо-Н (Уо—Хо) + /1Х14-/гУ1.
887. Для разрешимости задачи для прямых X„+tXlt У0-НУ1
необходимо и достаточно, чтобы векторы Хо, Уо, Xlt Y1 были ли-
нейно зависимы. Это равносильно тому, что прямые можно заклю-
чить в трехмерное подпространство, содержащее начало координат.
888. Плоскости Х0-|-/1Х1 + /2Ха и Уи + ЛУ1+/аУг могут быть
погружены в многообразие Хо+1 (Уо—Хо) + /, Xj + / 2Х2 + <3У, + /4У2.
889. Таких случаев 6:
1) плоскости не имеют общих точек и не могут быть заключены
в четырехмериое линейное многообразие (плоскости абсолютно скре-
щиваются); .
2) плоскости не имеют общих точек, содержатся в четырехмерном
многообразии, но не погружаются в трехмерное (скрещиваются па-
раллельно прямой);
3) плоскости не имеют общих точек и погружаются в трехмер-
ное многообразие (плоскости параллельны);
4) плоскости имеют одну общую точку. В этом случае они по-
гружаются в четырехмерное многообразие, но ие погружаются в
трехмерное;
5) плоскости пересекаются по прямой;
6) плоскости совпадают.
В трехмерном пространстве реализуются только случаи 3, 5, 6.
890. Пусть Q = X0-|-P есть линейное многообразие, Р—линейное
пространство. Если Хг£(? и Xt£Q, то Х1 = Х0+У1, Ха = Х0+У2,
где Уа и У2 принадлежат Р. Тогда aXj + O—а) Х2 = Х(, + ®У1+
+ (1—а)У2С<? при любом а. Обратно, пусть Q—множество векто-
ров, содержащее вместе с векторами X!, Ха их линейную комбинацию
aX1 + (l — а) Х2 при любом а. Пусть Хо—некоторый фиксирован-
ный вектор из Q и Р обозначает множество всех векторов У = Х—Хо.
Если Y£P, то сУ£Р при любом с, ибо сУ-сХ-р(1—с)Х0—Хо.
Далее, если У, = Xt — Х0£Р и У2 = Х2 —Х0£Р, тоаУ14-(1 — а)У2 =
= аХх + 0 —а) Х2 —Х0£Р при любом а. Возьмем теперь некоторое
276
фиксированнее а,, а 0, а?1, и произвольные си са. Тогда
— Y^P, Уа€Р при любых У1( YtgP, а следовательно, и
С1Г1+^Г,=а-^-У1+(1-а)-г^Г,€Р.
Следовательно, Р есть линейное пространство и Q есть линей-
ное многообразие.
Замечание. Результат не вереи, если основное поле есть
поле вычетов по модулю 2.
891.
892.
а) 9; Ь) 0.
3
а) 90°; Ь) 45е; с) cos у= .
893. cos<p=- ->_ .
/и
894. cos А = —т==-, cos В = , cos С = —.
/39 /78 3
895. /л.
896. При нечетном п ортогональных диагоналей нет. При п=2т
число диагоналей, ортогональных к данной, равно C^-i.
897. Координаты точек даются строчками матрицы
1 0
0
1 /4
_1_ 1
2 /1Т
0
0
0
1_1_________— ... __ 1 ,/ЯП-
2 /Т2 /2Г /2л (л—1) V 2п ,
“ ""/тйДтг
Координаты центра:
/11 1 1
\2 ’ /12 ....../2л (л—1) ’ / 2 (л4-1) л J '
899 ( L L 2__________________
\/15 ’ /15 ’ /К ’ /К) ’
900. (0, -4=- ,--, 0У
\ /2 /2 J
901. За остальные два вектора можно взять, например,
-Д=-(0, —4, 3, 1) и —^=-(-13, 5, 6, 2).
/26 3 / 2^
277
902. (1, 2, 1, 3), (10, —1, 1, -3), (19,-87, —61, 72).
903. Например, (jg _3? _gg
904. Система интерпретируется как задача об отыскании векто-
ров, ортогональных к системе векторов, изображающих коэффициенты
уравнений. Множество искомых векторов есть пространство, ортого-
нально дополнительное к пространству, порожденному данными век-
торами. Фундаментальная система решений есть базис пространства
искомых векторов.
905. Например, у^(1, °. 2> “0, р==- (*. ‘2, 8, 17).
906. а) Х' = (3, 1, —1, —2)€Р, Ь) Х'=(1, 7, 3, 3)£Р,
Х" = (2, 1, —1, 4)_[_Р; Х’ = (—4, —2, 6, 0)_1_Р.
907. Пусть Alt А2, .... Ат линейно независимы, Р— натянутое
иа них пространство. Далее, пусть Х = УА-2, У £Р. Х J_ Р.
Положим
У'=С1.А1 + са.|4в+ ... +стАт.
Составим систему уравнений для определения сг, сг, .... ст, ум-
ножив скалярио последнее равенство на А/, t —1, 2........т, и
принимая во внимание, что ГЛ,= ХА/.
Получим
С1Л? +саЛ1Л2+ ... +стА1Ат = ХА1,
С1Л2Л1-|-с4Л» 4-... А-стА2Ат=ХА2,
С1А т А14- сгА „А 2 ... + стА
= ХЛИ.
В силу линейной независимости Л!, Ла.......Ат, определитель А
этой системы отличен от 0.
Найдем сх, са, .. ст и подставим их в выражение для У.
Получим
и
0 XAt ха, —Ai Ai AaAt —a2 AjAj Al ... -Am ... A,Am ... A2Am
ХАт АщА1 ... A2m
X Ai Aa ... A„
AtX At AiAa ... A^n,
AtX A2A} At ... A 2A m
АЯХ AmAj АтАя ... Лт
Эти равенства следует понимать в том смысле, что векторы У и Z
являются линейными комбинациями векторов, находящихся в первой
строчке, с коэффициентами, равными соответствующим алгебраиче-
ским дополнениям.
27»
Отсюда получаем, наконец, что
и
У* = У(Х-2) = УХ=у
Za = 2(X—У) = 2Х=-^
0 —XAt -ХА2 .. . -ХА
AtX а! АгА% .. . AtA
AtX ЯаЛ i Af.. . Л2Л
лтх АтА± ЛдаЛ^ . . . л
Xa XAt ха2 ... хлт
ЛхХ Л? Л1Л2 ...
л2х Л jXi А* ... ЛгЛт
Лтх AmA, ЛтЛ2 ... А2
m
908. Пусть У—какой-либо вектор пространства Р, а X' — орто-
гональная проекция вектора X на Р.
Тогда
XV
cos(X,
X'Y |Х'|-| У l-cos (X', У)
fj-ptosfX', Y),
откуда следует, что наибольшее значение cos (X, У) достигается
для тех У, для которых cos(X', У)=1, т. е. для У = аХ'
при а > 0.
909. а) 45°; Ь) 90’.
911. IX —У|а = |(Х—Х') + (Х' —У)|а = |Х—Х'р + |Х'
X —Х'|а, причем равенство возможно только при У = Х
913.
п!
(n+1) (п + 2).. ,2п К2п+1‘
Искомое кратчайшее расстояние' равно кратчайшему рас-
от точки Хо—Уо до пространства P + Q.
Пусть одна из вершин лежит в начале координат и пусть
..., Хп—векторы, исходящие из начала в остальные вер-
914.
стоянию
915.
Хи Xv
шины. Легко видеть, что Х*=1, Х/Ху=-у. Многообразие, прохо-
дящее через первые m+ 1 вершин, есть пространство /1Х1 + ,..-]-tmXm.
Многообразие, проходящее через остальные п—т вершин, есть
X„+/e+i (Xm+i-Xn)+...+/„-i (Хв_г—Х„). Искомое крат-
чайшее расстояние есть расстояние от Х„ до пространства Р,
порожденного векторами Хг, Хг, ...г Хт, Х„ — Хт + 1, ...,
Хп — Х„-и
279
Пусть
^«=^1^1+ • • • + ^Ха-|-/я+1 (Хя—Xm + 1) + • • •
• ••+<„-! (Хп-Хп-о+У.
где У IP. Составляя скалярное произведение Хп с Хх, .... Хт,
*п ^т + 1’ , ...» лп—A„-lt получим для определения tlt .... in-t
систему уравнений ,
G+'2’^ + _i L / =— '•-Г 2 *т — 2 ’ 1 -1—2 ’
•2’^i + ^a + +1/ =1 • • • Т 2 ‘т 2 ’ “2’^j» + i4-^j»+2"h*-*+'2_^n- _ 1 I— 2 ’
•уЛ+’^’^+'-'+^га —~2 ’
2 *m+i + 2 +2 • • • Ч~ п~ 1 2 ’
Откуда /1 — /2 — • • • — —щ_|_ 1 ’ ^т+1 — tm + 2 • • • — ^п-1 — п т •
Следовательно,
,Л _.XCT+1 + Xm+g+... 4~ХП Х1 + Х,+ ... Ч~Хт
п—т т+1
Таким образом, общим перпендикуляром является вектор, со-
единяющий центры выбранных граней. Кратчайшее расстояние равно
длине этого вектора
я +1
2 (я—/я) (m-1-l)'
916. а)
на первую
cos’ <р
Проекция вектора (Zi-+-2C2, — tr-+-5tz, tt + ZtJ
плоскость есть (/, + 2/j, it—2t2, 0, 0). Следовательно,
2/i + 8/j 2Xa + 8 *
JiA I 07 где Л=Т-- Это выра-
4i? + 14/I/a-f-37/i 41a+141 + 37 tt
8 ,
жение достигает максимума, равного , при 1 =—4.
Ь) Угол между любым вектором второй плоскости с его ортого-
нальной проекцией на первую плоскость остается неизменным
л
и равен -у.
917. Куб есть множество точек, координаты которых удовлетво-
ряют неравенствам — -у <х,- <, i = l, 2, 3, 4. Здесь а есть
длина ребра куба. Перейдем к новым осям, приняв за координатные
, / 1 1 1 1 \ , / 1 1 1 1 \
векторы «! —^2’ 2’ 2’ 2/’ \ 2 ’ 2’ 2' 2/’
,_/! 1 1 _1\ , /1 _1 _1 П
е»-^2 ’ 2’ 2’ 2/ л et~ \2* 2* 2’2/
280
Эти векторы "ортогонально нормированы, и нх направления совпада-
ют с направлениями некоторых диагоналей куба| Координаты
точек куба в этих осях удовлетворяют неравенствам
—a<xj+x' +*'+*' <а.
— а^х*—х'+х'—х'<а,
—а < х; 4- Xg -^х' — х\ < а,
- а «С х* — Х'г — х'3 + х; < а.
Интересующее нас пересечение получим, положив х'=0. Оно
представляет собой тело, расположенное в пространстве, натянутом
на е', е', e't, и координаты точек которого удовлетворяют неравен-
ствам ± х2 ± х'3 ± х' < а.
Это есть правильный октаэдр, ограниченный плоскостями, отсе-
кающими иа осях отрезки длины а.
918. V» [Вх, В2........Вт]
Bi . В1Вт
B%Bi В2 ... В$Вт
BmBj ВтВг ... Вт
Эта формула легко устанавливается по индукции, если принять
во внимание результат задачи 907. Из формулы непосредственно
следует, что объем не зависит от нумерации вершин и что
К[сВ1( В2.....Вя,] = |с|«’И[В1, В2....В„].
Пусть теперь B1 — B1-\-Bi, Сг, С[, Ci —ортогональные проек-
ции векторов B1F Вх и Вх на пространство, ортогонально допол-
нительное к (В2, ..., Вт). Очевидно, что Сх=Сх4-Сх. По опреде-
лению, К[Вх,В2......Bm] = |Ci|.V[B2, ..., Ви], V [В'х, В2..BraJ—
[B2t Bj.yuh, в2............Bm]==|c;|.V[B2t
Так как | | | Ci 14-1 С11, то V [В^В^, . • • BZt . •. tB^j 4-
4-V[Bx, B2, ..., Bm]. Знак равенства возможен, только если Ci
и Сх коллинеарны и одинаково направлены, что, в свою очередь,
имеет место в том н только в том случае, если Bi, Вх лежат в про-
странстве, натянутом на Bj, В2, .... Вт, и коэффициенты при В2
в выражениях В\, Bi через В2, В2......Вт имеют одинаковые знаки,
т. е. В’х, В2 лежат «по одну сторону» от пространства (В2..Вт)
в пространстве (Bt, В2, ..., Вт).
919. V2 [В1( В2,
В? ВхВ2 ... ВхВ„
В2Вх В2 ... В2В„
= |ВВ|=|В|2,
впв, впвг ... Bl
где В—матрица, столбцами которой являются координаты векторов
Вх, В2, ..., Вп.
281
920. Непосредственно из определения получаются еще следую-
щие два свойства объема:
фПВх + Х, Bt, .... BJ-VlB» Bt.........Ва]
при любом X, принадлежащем пространству (В2....В„), ибо точки
Blt Bi 4-Х имеют одинаковые расстояния от (В2, Вт).
е) Bt.........BJOBJ-VIBi...........Вт].
Это следует из того, что «высота», т. е, длина ортогональной
к (В2...Вт) составляющей вектора Blt не превосходит длины
самого вектора Вх.
Пусть теперь С», С2, ..., Ст суть ортогональные проекции век-
торов Bj, В2, .... Вт на пространство Р. Предположим, что нера-
венство V [Сг, ...» Ст]<;У[В2..Вт] уже доказано. Обозначим
через Bi ортогональную к (В2, .... Вт) составляющую вектора В»,
через С[—ее проекцию иа Р. Ввиду того, что в[ — В1^(В2,:..., Вт),
заключаем, что Ci—С£(С2,, ..., Ст) и, следовательно, будет
С2.....cm]=v[c'1( С2........Cj<|c;|.V[C2.........ст\.
Но очевидно, что I Ci |< | | и, по индукционному предположению,
V [С2> • ••» [В2, Следовательно,
V[CX, С2, ..., CJ<|b;|.V[B..................... В...... Вт].
База для индукции имеется, ибо для одномерных параллелепипедов
теорема очевидна.
921. Из формулы для вычисления квадрата объема следует, что
V[Ar Ат, Bj.......Bk] = V [Xj..................В*], если
каждый вектор А{ ортогонален к каждому вектору By. В общем слу-
чае заменим векторы Вх, ..., Bk их проекциями Clt .... С* на про-
странство, ортогонально дополнительное к (4Х, .... Ат). В силу
результата предыдущей задачи, V [Ci, .... Сд] < V [Blt .... Bft],
откуда
И[ЛХ....Ат, Вг.......Bki^ViAi, .... Ат, С1( ...» Сй] =
=ПЛ!.......A^.Vl^..........С*] СИЛ!.......Лт].И(В!.....Вй].
Содержание этой задачи совпадает с содержанием задачи 518.
922. Непосредственно следует нз неравенства ПЛ1.Лт]С
С|Л1|-^Г[Л2, .... Лт], которое, в свою очередь, непосредственно
следует из определения объема.
По своему содержанию эта задача совпадает с задачей 519.
923. Подобное преобразование тела в я-мерном пространстве вле-
чет изменение объема, пропорциональное я-й степени коэффициента
подобия. Для параллелепипеда это непосредственно следует из фор-
мулы для объема, а для всякого другого тела объем есть предел
суммы объемов параллелепипедов. Следовательно, объем V„ (R)
я-мериого шара радиуса R равен У„ (1) R".
Для вычисления Vn(l) разобьем шар системой параллельных
(я — 1)-мёрных «плоскостей» и воспользуемся принципом Кавальери.
Пусть х есть расстояние секущей «плоскости» от центра. Сечеиие
есть (я— 1)-мериый шар радиуса У* 1—х2.
282
Следовательно,
1 1 Я-1
V„(l) = 2 JV„.1(KCT)^=2V„_1(1) * dx =
0 0
I п~~ 1 1
(i-n“2 d/-vn_1(i)s(^, 1) =
Отсюда следует, что
924. Базисом являются полиномы 1, х, хп. Квадрат объема
соответствующего параллелепипеда равен
2 п + 1
11 1
2 3 ••• n-t-2
(1121 ... л!р
(л+ 1)1 (л + 2)1 ... (2п+ 1)!
1____1_ 1
/11 л 2 2« + 1
925. а) >4=1, Х1=с(1, —1); Х2=3, Х2 = с(1, 1);
Ь) >ч = 7, Х1==с(1, 1); Хг=-2, Х2 = с(4, -5);
с) X1 = ai, X!=c(l, 0; Х2 =—•ai, Х2=с(1, —0;
d) >4 = 2, Х1=с1(1, 1, 0, 9) + с2 (1, 0, 1, 0)+с8 (1, 0, 0, 1);
>4 = -2, Х2=с(1, -1, -1, -1);
ё) Х=2, Х=с1(—2, 1, 0)+с8(1, 0. 1);
f) X=—1, Х=с(1, 1, —1);
g) >4 = 1, X1=ci (1, 0. 1)4-с, (0, 1, 0); Х2 = -1, Х2=с(1, 0, -1);
h) >4 = 0, Х!=с(3, —1, 2); 8=±
х2 8=с(з±2 Г=Т4, 13, гфз
i) Xi=l, Xt=c(3, -6, 20); >4=— 2, X2 = c(0, 0, 1);
j) Xi=l. X2=c(l, 1, 1); X2=e, Хг=с(3+2в, 24-3e; 3-f-3e);
X8=e2, X8 = c(3-f-2e2, 2 + 382, 34-3e>),
где
1 , iVi
2 T 2
926. Характеристические числа А-1 суть обратные величины
для характеристических чисел А. Действительно, из [4-1— ХЕ|=О
следует | Е — Х4 | = 0, I А —i- Е | = 0. -
283
9X1. Характеристические числа матрицы А* равны квадратам
характеристических чисел для А. Действительно, пусть
|Л — X£|=(X!-X)(Xt-X) ... (Х„-Х).
Тогда
| А + Х£ | = (Хх + Л) (Х2 + X) ... (Xn + X).
Перемножив эти равенства и заменив Xs на X, получим
. | Л8-Х£| = (Х?—Х).(Х|-Х) ... (Х£-Х).
928. Характеристические числа Ат равны т-м степеням харак-
теристических чисел А.
Для того чтобы в Этом убедиться, проще всего заменить в ра-
венстве
| Л-Х£| = (Х1-Х)(Х2—X) ... (Х„— X)
X на Хе, .Хе8, .... Хе"-1, где
2л . 2л
fe=cos —Н sin —,
п п
перемножить равенства и заменить X" на X.
929. /(Л) = &0(Л—£2£) ... (Л—|т£), следовательно,
... | A —tmE | = tfF(£t) ... £(U)-
930. Пусть
£ (Х) = | Л — Х£ | = (Xj —X)(Х2—X) ... (Х„-Х)
н
f(x) = ba(x—g2) ... (х—gm).
Тогда
I f(4) | =*о" П II = f f • • • f (*»)•
931. Положим
<p(x) = f (*)—X
н применим результат предыдущей задачи.
Получим
|/(Л)-Х£| = (/ (ХО-XXf (Х2)—X) ... а(Х„)-Х),
откуда, следует, что характеристическими числами матрицы f(A)
являются f (Xi),/f7M..../(Х„).
932. Пусть X есть собственный вектор матрицы Л, соответствую-
щий характеристическому числу X.
Тогда
£Х = Х,
ЛХ = ХХ,
ЛгХ = Х8Х,
Л'»Х = Х«’Х.
Умножив эти векторные равенства на произвольные коэффициенты
и сложив, получим для любого иолинома /, что
/(Л}Х = /(Х)Х,
т. е. X есть собственный вектор / (Л), соответствующий характери-
стическому числу /(X).
284
933. Характеристические числа Л* суть п и —л кратностей
л+1 л — 1 _
—g— и —— соответственно. Следовательно, характеристическими
числами А являются +Vn, — + Y^ni и — Y~ni. Обозначим
их показатели кратности через о, b, с, d. Тогда а + Ь = ,
c+d = ——. Сумма характеристических чисел матрицы равна сумме
элементов главной диагонали. ,
Следовательно,
[O_ft+(c—d)i] Frn = l + e+e‘+ ...+е<л“1>’.
Модуль правой части этого равенства равен Y~n (задача 126).
Следовательно,
(a-6)2 + (c-d)2=l.
Ввиду того, что числа с—d и c-f-d одинаковой четности, заклю-
чаем, что
а—Ь = 0, с—d = i 1> если " g ' ~ нечетное число,
и
. , , . л л—I
а — 6 = ± 1, с—d = 0, если — -----четное число.
Следовательно, при л=14-4А
c=d=fe; a=fe4-l, b = k или a = k, Ь — 1г-{-\,
при л = 34-4£
a = 5=£-|-l; c~k+1, d — k или c=k, d=/s-|-l.
Тем самым, характеристические числа определены с точностью
до знака. Чтобы определить знак, воспользуемся тем, что произве-
дение характеристических чисел равно определителю матрицы.
При помощи результата задачи 299 легко получим, что при
Л=1+4/!
a=£-f-l, b=k,
при n=3-|-4fe
с = £-|-1, d = k.
Таким образом, характеристические числа определены до конца.
934. 14-е+е1-|- .,. + У~п' при л = 4А+1.
1 -|-8-f-84-|- ... 4-8(n-l>’= -|-i Уп при л = 4А-|-3.
X
935. а) Положим — = а". Тогда
У
1 -,.ae*—а"
‘-«е*
2fcn , . . 21т , . ,
где eft = cos— -f-isin — , k = 0, 1,
л-1.
285
b) ^«aj + aje* +o»e&+... + aneg-1.
Ьтт
с) Л* = 2i cos —г-, , k = 1, 2, ... , n.
' к n-]-l
936.
(anB—XEm a12B ... alnB
atlB a22B—KEm ... a2„B
aMB an2B ... a„„B—XEm
откуда следует, в силу- результата задачи 537, что
| АхВ— Л£тп | = | ф(В)|,
где
п
Ф (х) = | Ах—кЕ„ | = Д (а,х—Л).
1=1
В силу результата задачи 930,
* |ф(В)1 = Пф^) = ПП(“^-^
»=1 i=I Л=1
Таким образом, характеристическими числами АхВ являются
числа <х$ь> где а,-—характеристические числа A, —характеристи-
ческие числа В.
937. Если А—неособенная матрица, то
ВА — Л£ |=| Л-i (АВ—КЕ) А |=| А'1 |.| АВ —ХЕ |.| А |=| 4В-Л£|.
Избавиться от предположения о неособеиности А можно посред-
ством предельного перехода или применения теоремы о тождестве
полиномов от многих переменных.
Можно также, применяя теорему умножения прямоугольных мат-
риц, непосредственно подсчитать коэффициенты полиномов
\АВ—Л£| и |В4-Л£|
и убедиться в их равенстве.
938. Дополним матрицы А и В до квадратных А' и В' поряд-
ка п, добавив к. А п — т строчек, а к Вп—т столбцов, составлен-
ных из нулей. Тогда ВА — В'А', а А'В' получается из АВ посред-
ством окаймления нулями. Применение результата предыдущей задачи
дает то, что требовалось доказать.
Решения задач 939, 940, 941 не однозначны. Приведенные ниже
ответы соответствуют преобразованию, возможно менее отклоняюще-
муся от «треугольного».
939. а) х? + х22 + хза. b) — х? +x224-x?>
x’i = х1 + х2, *i=Xi,
x'i = x2-|-2x3, 4 = Xi— 2x2,
х'з = x3; = -+-x8;
286
с) х[г —х'г— х?, d) х'1* + х?—х?,
' 1.1
*i=y*i +ух2+*з. Х1=*1—хг + х3— xit
1 1 • , ,
№ = y*l—ух2. х2= *«+*з+ х4.
Хз=* х3; Хз= хг— х34-2х4,
х< = х4;
е) Xi- х'г+х'з*—х'г,
г 1 .
Х1=*1 + уХ2,
г .1
*3 = Y*2-
1,1
*з = у*а+у-Ч.
' 1 1~
*‘ =
940. х;« + 4х?+±х?+...+^х?.
Переменные Xi, х2, ...,х„ выражаются через xit хг, ... , хп
линейно с матрицей
1 1/з V» ... Va
О 1 */3 ... 1/з
0 0 1 i/4 ... i/4
О 0 0 0 ... 1
л—1 г
2 (л— 2)Хп
942. Матрица положительной квадратичной формы равна АА,
где А—неособенная вещественная матрица, осуществляющая переход
от суммы квадратов к дайной форме.
Положительность миноров следует из результата задачи 510.
943. Пусть f=апх? + . • • + ain*i*«+
+ anlxnxl + • • • +«ПЛ*Л
— квадратичная форма.
287
Обозначим
Р1 = а,,х? + ... + а1Лхххл 4-
4*аЛ1хЛ*1 + • • • + °ЛА*Ь
а11 ••• alk
aki ••• <*kk
г—ранг формы /.
Пусть
где
/ = ajxl2 + а2х?4- ... + а„х,ч‘,
*1 = *1 4" ^12*2 + • • • + Ь1пХП>
*2 = х2 4- • 4- Ь2„х„,
получим
х'п= х„.
Ввиду того, что определитель треугольного преобразования ра-
вен 1, t>f= An = a1a2 ... an. Положив »
хл+1=...=х„ = 0,
^)=a1z^4-rf2+...+rftI
Х1 ’ =Х] 4"^12Х2 4- • • •
= х2 4~ • • • +^2axa>
где
<Л>
Xk = хк.
Отсюда следует, что — агаг ... а/, и что необходимым условием
для возможности треугольного преобразования к диагональному виду
является
Д2 # О, Д2 # О......Дг 5= 0.
Легко проверить, что это условие достаточно.
Далее, <хъ = при &<г, аь = 0 при k > г.
Да-i
Дискриминант формы
fk(Xk+i.....*n) = f—•••— Wk2 =a<!+Ixfr+14-..--J-a„Xn2
An
равен aA+1aA+2 ... a„ = -r-.
944. Необходимость условий Сильвестера была доказана в за-
даче 942. Достаточность следует из результата задачи 943.
945. Пусть I—некоторая линейная форма от переменных хъ
х2........хп. Преобразуем форму / посредством преобразования с рав-
ным единице определителем, приняв форму I за последнюю из новых
переменных. Затем сделаем треугольное преобразование формы f к
каноническому виду.
Форма f примет вид
f = ®i*i2 4-а2*г2 4- • • • 4- <хпх'п,
причем хп=1.
Дискриминант формы / равен . а„.
288
Дискриминант формы f + l2 равен ... а,,-, (а„4-1). Он
больше дискриминанта формы /, так как все коэффициенты alt
a2, ..., ап^и ап положительны.
Мв. f (xlt xt, ... , х„) =
. “вц*1+2а!|1*)*1+...+2ав1*1л„4-<р=.
= an (*1 + “*г + • • • 4-T21 +/1 (хг> • • • > *»)>
\ °11 eli /
где
/i=<p—an f-21 x2+... + ~xn\ .
\an an /
Форма положительна, и ее дискриминант равен —, где Df—
«и ’
дискриминант/. На основании результата задачи 945 0^^3—£,чтои
°н
требовалось доказать.
947. Доказывается так же, как закон инерции.
948. Составим линейные формы
/*“«14-«г**4- ,4-1> *=1,2, ...,п,
где *!, х2, .... хп — корни данного уравнения.
Равным корням будут соответствовать равные формы, различ-
ным—линейно независимые, вещественным—вещественные, сопряжен-
ным комплексным —сопряженные комплексные.
Вещественная и мнимая части комплексной формы
будут линейно независимыми между собой и со всеми формами, соот-
ветствующими корням, отличным от и х*.
Составим квадратичную форму
/ («1......“и)= У, («1 + ед + • • • + «л*""1)2.
Раит этой формы равев числу различных корней данного уравнения.
Матрица ее коэффициентов есть
Сумма квадратов сопряженных комплексных линейных форм
= и bi-hi —Фа равна 2к|—Следовательно, число
отрицательных квадратов в любом (по закону инерции) каноническом
представлении формы f равно числу различных пар сопряженных
комплексных корней данного уравнения.
949. Следует из результатов задач 948, 944.
950. Операция (/, <р), очевидно, дистрибутивна. Поэтому доста-
точно провести доказательство для квадратов линейных форм.
Пусть /=(ед 4- агхг + - - - + Мл)2.
<р — (0 jXj + 02*2 4* - • 4- 0д*и)2-
10 д. к. Фаддеев, И. С. СоминскнД 289
Легко видеть, что тогда
(f, <Р) = (“iPi*i 4- а2&2*г + • • • + «пРп*п)2 Ss 0.
•51. а) 4х?4-х?—2х?, , 2 2,1 *1==у *1~у *«+у*з. , 2,1 2 Х2= у Xl+y Х2~ у *3. , { 2 2 *з = ‘3‘ Х1 + у ** + Т *3*’
Ь) 2х{2 — х'г 4-5х?» . 2 1 2 Xl = y Xl—y*S —уХ3,
' 2 ,2 ,1 *2=у *1 +у хг 4—з"ха> z 1 2,2 хз — xt з *2 4- з хз,
с) Txt -\-iXi , 1,2 2 хг — у*, 4-у х2— у х3, 2 ,1 ,2 Хг — у Х1 4"у хг 4-у х3, ' 2 ,2 ,1 Хз——з" *’ 4~у •*« 4"у *»’
d) 10х? + х?4-х?, . 1,2 2 %1 — у “I ^2 *8*
, 2 V 5 К 5 Хг- 5 х, 5 Хг, . 2 У 5 , 4 У 5 , У~5 Х’“ 15 *1+ 15 *г+ 3 Ха’
е) —7X1* 4- 2ха* + 2хз*» , 1,2 2 *i=y*i+ . 2 уъ У 5 Xj 5"*а’ . 2 У 5 , 4 Уд , У 5 ®“ 15 *1 *" 15 "Х1! 1 "3 Xi‘
1) 2*?4-5х?4-8х?, 2 ,1 ,2 Xi у *i 4* у Хг Н—у ха, . 1,2 2 хг = у *1 4-у *2—у *з,
. 2 2 1 Хз— Xj Х2 Хд,
290
g) 7х?-2х?+ 7x'\
*j ~ 2 1 2
2 , 1
ir-y^-r-3
, J<2 2
x3 = —X,
X3,
. ~ . 2
XS = —Xj+—X2+y X3,
/~2 , V~2
3-xa+-g-x3;
h) llxj2+5xj2—xj2,
, 2 2 !
Xl —у x,--— X2--у X3,
, 2 , ! 2
x3 = y Xj+yXj+yX,,
. 1,2 2
x3 = y x( +у x4—yx8;
i) x;2-x;2+3x.;2+5x?,
, 1 ,1 ,i
Xi = у x, 4-— x2+y x3-f-y x\i
1,1 1 1
x3 = у Xi +у x2-g-x.,-yx4,
. 1 1,1 1
x3 — -g- Xj-g- X2-]—g- X3 yX(,
. 1 1 1,1
x4=y x,-y x2-yX3+yX4;
j) x? + x3a—xj2—xf,
к) x?+x32 + 3x34—x?,
K2 Xl=— X, , / 2 1 2 x2,
X3 = *3+ V~2 2 x4,
' V~2 Хз=—— X! _£Lx g X2<
X4 = /2 2 Хз V~2 2 ^4>
’ Г2 X1=—^-x2 + J<2 2
Xs = -g-X1 , Г2 ' 2-X”
. 1,1 1 x3= -g-X14-yXs g- 1 *3-y*4
' 1 x4= -y Xl .1 .1 +Т*»+‘2 1 *l-y*4
to*
291
1) xi+xi-\-X3—3x't,
2
у х2,
.^2 , /2
xt •= —~ хз Ч—2 х,<
. 1 1,1 1
*з=-2 *1 ~2 х*+ 2"Х*“УXf'
, 1 1 1,1
xt — ~2 *i —g" xt —2 х® Ч-^Xi'
Xi =
2
m) x?-x?+7x?-3x?,
• 1 , 1 ,1 ,1
*1 — g' xi Ч""§ Хг~11~~2 хз~^!~~2Х^’
, 1,1 1 1
Ч—g- хз—2 хз—g-^-
, 1 1,1 1
х» — ~2 xi — "2Хг'^~~2 Хз—2Xi'
. 1 1 1,1
xt —2" xi —“g" х2 —2 х®4 2*х4’
п) 5х?—5х? + 3х?—Зх?,
1 . 1
2 Хз+’2
. 1 1,1 1
X» —2 X1 2* Xa 2 Хз 2*Xi’
, 1 1 1,1
*4 = y Xi-^-X2-yXB4-y X4.
952. а) —х.
,, л—1 ,i 1/'«. . 'Ц
Ь) —g—xi —g" w +^з +• • •+*« ),
где
*;=ri=-(*i+*t+. • •+*«);
у n
xz=aftx, +<адс2+.. .+aZnx„, (=2, ..., n,
где (ад, a/g, ..a,-„)—любая ортогональная и нормированная фун-
даментальная система решений уравнения
КЗ. 4’cos _±т4-Д;?С05-^-г
ЛЛ
292
954. Если все характеристические числа матрицы 4 лежат в сег-
менте [а, &], то все характеристические числа матрицы А—ХЕ
отрицательны при X > Ь и положительны при А < а. Следовательно,
квадратичная форма с матрицей А—ХЕ отрицательна при А. > &
и ' положительна при А < а. Обратно, если квадратичная форма
(4—ХЕ)Х-Х отрицательна при А > b и положительна при 1 < а,
то все характеристические числа матрицы А—ХЕ положительны при
А. < а и отрицательны при А > Ь.
Следовательно, все характеристические числа матрицы А лежат
в сегменте [а, 6].
955. Для любого вектора X справедливы неравенства
оХ-Х< АХ-Х^сХ-Х,
bX-X<BX-X*£dX-X,
откуда (а+&)Х-Х<(4 + й) Х-Х«С(c+<f)Х-Х. Следовательно, все
характеристические числа матрицы А А-В заключены в сегменте
[п + 5, е+d].
956. а) Следует из результата задачи 937.
Ь) | АХ |2 = АХ-4Х = Х- А АХ <| X |2-|| А ||».
Знак равенства имеет место для собственного вектора матрицы
^4, принадлежащего характеристическому числу 1| 41|3.
с) |(4 + в)Х|<|4Х| + |вХК(||4|| + ||В||)[Х[ для любого
вектора X. Но для некоторого вектора Х„
|(4 + В)Х0| = (||4 + В||).|Х0|.
Следовательно,
|| 4+В1КЦ А Ц + 11 ВЦ.
d)|4BX|<||4[|.|BX|<[|4|[.|[B||.|X|.
. Применяя это неравенство к вектору Х„, для которого
|| 4В||.|Х0| = |4ВХ0|,
получим
II 4В||<|| 4 ||.||В||.
е) Пусть А=р+?(—характеристическое число матрицы л,
X = Y-f-iZ—соответствующий ему собственный вектор.
Тогда
AY = pY—qZ, AZ = qY+pZ,
откуда
[pF—gZ |2 < || 4 ||2 | F |2,
UF+pZ|2M 4Ца |Z|\
293
Сложив эти неравенства, получим
| Л |« (| Y р +1Z |а) = (р« + д2) (| Г |2 +1Z |2) < || А |р (| У |2 +1Z |»)
и, следовательно,
|А КП А ||.
957. Пусть А — вещественная неособенная матрица; тогда
ААХ>Х=|АХ|2 есть положительная квадратичная форма, которая
может быть приведена к каноническому виду посредством преобразо-
вания переменных с треугольной матрицей В, имеющей положительные
диагональные элементы. Следовательно, АА — ВВ, откуда следует,
что АВ~1’АВ~1 = Е, т. е. АВ~1 = Р есть ортогональная матрица.
Отсюда А—РВ. Единственность следует нз единственности
треугольного преобразования квадратичной формы к каноничес-
кому виду.
958. А А есть симметрическая матрица с положительными харак-
теристическими числами А,!......Хп.
Следовательно,
Построим матрицу
где р./ есть арифметическое значение квадратного корня из А./. Оче-
видно, что В есть снова симметрическая матрица с положительными
характеристическими числами и В* = АА. Отсюда следует, что
AS-! = Q есть ортогональная матрица, A=QB.
959. После перенесения начала координат в центр поверхности
поверхность должна содержать вместе с точкой X также точку —X
и, следовательно, уравнение ие должно содержать текущих координат
в первых степенях. После преобразования параллельного переноса
осей Х = Х0 + Х', где Хп — вектор переноса, уравнение поверхности
преобразуется в
АХ'-Х' + 2(АХ04-В)Х'+АХо-Хо + 2ВХв+С = О.
Поэтому для существования центра необходимо и достаточно, чтобы
уравнение АХ0+В было разрешимо относительно вектора Хо, для
чего, в свою очередь, необходимо н достаточно, чтобы ранг матрицы А
равнялся рангу матрицы (А, В).
294
960. После перенесения начала координат в центр уравнение
поверхности принимает вид
4Х-Х+у=0.
Если г—ранг матрицы А и аь .. аг—отличные от 0 харак-
теристические числа, то после надлежащего ортогонального преобра-
зования координат уравнение примет каноническую форму
оц JCi 4-... -f- а.гХг + 7 = 0.
961. Поверхность не имеет центра, если ранг (Л, В) больше
ранга А, что возможно, только если г = ранг А < п. Обозначим
через R все- пространство, через Р—пространство А/?, через Q—ор-
тогональное. дополнение к Р. Тогда для любого Y £ Q будем иметь
AY =0, ибо
\AY \2 = AY AY = Y-AAY =0,
так как AAY^Pr. Пусть
В = В1.4*Ва, В^Р, Bj^Q.
Тогда- Вг # 0, иначе В принадлежало бы Р, и ранг (А, В) равнялся
бы г. Пусть В1 = АХ’О. После переноса Х^ад-Л' уравнение по-
верхности преобразуется к виду
АХ'-Х' + 2В2Х' + с'=9.
Сделаем еще один перенос Л'=а/^4-Л*. Тогда
АХ'-Х'^ааАВ,-Вг+2аАВ^Х"+АХя-Х“=АХ"-Х",
ибо АВ3=0, и, следовательно, уравнение преобразуется и виду
А Xя-Xя + 2В2Х'+ 2а | В\ |а + с' = U.
Возьмем
, с''
а 2| В2 р •
Тогда уравнение превратится в
AX"-X"+2BzX?*=0.
Теперь сделаем ортогональное преобразование координат, приняв
за базис пространства попарно ортогональные единичные собственные
векторы матрицы А, включив в их число единичный вектор, колли-
неарный вектору В2 и противоположно направленный. Это можно
сделать, так как В2 есть собственный вектор для А. В этом базисе
уравнение примет вид
XjXj 4-... — 2fi2xr+j=0,
Где fJ2 = |B2|. Остается поделить на р2.
962. При линейном преобразовании с матрицей А пространство
отображается на подпространство, натянутое на векторы А,, А2..., Ап,
координаты которых образуют столбцы матрицы А, Отсюда непо-
средственно следует требуемый результат.
295
963. Пусть elt е2, , еч—базис Q. Тогда Q' есть пространство,
натянутое на ei, е2, ... , eq, где ei, е2, ... , eq—образы е1( e2,...,eq
при сделанном линейном преобразовании. Следовательно, q' < q.
Кроме того, очевидно, что q'<г, ибо Q' содержится в /?'. Далее,
пусть Р—пространство, дополнительное к Q, размерности р = п—q,
и Р'—его образ при линейном преобразовании. Его размерность р'
не превосходит п—q. Но ₽'+(?'«=$', следовательно, p'-rq'^r.
Отсюда
q'^zr —p'lar + q — n.
964. Пусть ранг А равен rt, ранг В равен г2 и пусть BR—Q.
Размерность Q равна г2. Тогда р, равное рангу АВ, есть размерность
ABR = AQ. В силу результата предыдущей задачи, г1 + гг—Жр<
min (гр г2).
965. Двукратное выполнение операции проектирования равно-
сильно однократному. Действительно, при первом проектировании и все
векторы пространства R перейдут в векторы подпространства Р, кото-
рые при втором проектировании останутся неизменными. Следова-
тельно, А2 —А. Обратно, пусть А2 = А. Обозначим через Р множе-
ство всех векторов Y = AX, через Q—множество векторов Z таких,
что AZ=*0. Очевидно, что Р и Q—линейные пространства. Их пе-
ресечение есть нулевой вектор, ибо если AX = Z, то АХ*=А2Х =
= AZ = 0. Далее, для любого вектора X имеет место разложение
Х = АХ + (Е—А)Х. Очевидно, что (E—A)X£Q, ибоЛ(£ — А) X =
= (Л—Ла)Х = 0. Поэтому P + Q есть все пространство, т. е. Р и
Q—взаимно дополнительные подпространства. Операция АХ есть
переход от вектора X к его составляющей в Р, т. е. является опе-
рацией проектирования на Р параллельно Q.
966. Пусть Р J.Q.-Выберем ортогонально нормированный базис
всего пространства, объединив ортогонально нормированные базисы Р
и Q. В этом базисе матрица проектирования будет иметь диагональ-
ную форму
1
1
О
* 0 ,
Во всяком другом ортогонально нормированном базисе матрица
проектирования равна Л=В-1Л'В, где В—некоторая ортогональная
матрица. Очевидно, что А симметрична.
Обратно, если А—симметрическая матрица и Ла = Л, то
пространства P = AR и Q = (E—A)R ортогональны, ибо
ЛЛ (£ — Л)У=Х.Л"(£-Л)Г = Х(Л-Л2)У = 0.
296
967. Пусть А — кососимметрическая матрица. Легко видеть, что
АХ-Х = 0 для любого вещественного вектора X, ибо
ДХ-Х = Х-ДХ = Х-(— ДХ)=- АХ-Х.
Пусть Х=а+0/—характеристическое число матрицы A, U —
— X-i-Yi—соответствующий ему собственный вектор. Тогда
ДХ = аХ—₽У, AY^X + aY.
Отсюда следует а([ X |* + [ Y 1*) = ДХ-Х4-ДК-У = 0 и а=0.
Далее, 0Х-У4-а | Y |» = ДГ-У = 0, откуда X-Y = 0 при 0 # 0;
наконец, на равенства 0 (| X |* —| Y l3) = AY-X-}-AX-Y = AY-X —
— X AY =0 следует | = | У\.
968. Пусть
— кососимметрическая матрица. Если все ее характеристические числа
равны нулю, то Д=0. Действительно, сумма произведений по два
всех характеристических чисел равна сумме всех главных миноров
второго порядка 2 од, и равенство нулю этой суммы влечет
/ < к
aih — О при любых i, k, т. е. Д=0.
Пусть А имеет отличное от нуля характеристическое число
Xi = Oii. Нормируем вещественную н мнимую части принадлежащего
ему собственного вектора. Вследствие равенства их длин нормирую-
щий множитель будет один и тот же, и для полученных векторов
будут выполнены равенства
AX — —aYY',
AY = OlX.
Составим ортогональную матрицу, поместив в первые два столбца
векторы X н Y. Тогда
Ввиду того, что матрица Р~1АР кососимметрическая, все не
указанные элементы первых двух строчек равны нулю, а матрица,
образованная элементами 3-й, 4-й, ... , п-й строчки и 3-го, 4-го, ...
... , п-го столбца, будет кососимметрической. Применяя к ней те же
297
рассуждения, выделим еще одну «ячейку»
О Я2\ г,
— о2 0 / ' П₽оцесс ПР°"
должаем до тех пор, пока в левом нижнем углу не останется мат-
рица, все характеристические числа которой равны- нулю. Но все
элементы такой матрицы равны нулю. Задача решена.
969. Пусть
В = (£—4)(£ + Д)-^.
Тогда
В = (£ + 4)-‘ (£-4) = (£-4)-1 (£-М) = В-‘.
Далее,
В-f-£ = (£—Д) (£ + 4}-i + (£ + 4) (£ + Д)-1 =2 (£ 4-4J-а
и, следовательно,
|В + £ | # 0.
Обратно, если
и |В + £| ^0,
то в качестве А можно взять (Е + В)-1 (Е—В). Легко видеть, что
А —кососимметрическая матрица.
970. Пусть А—ортогональная матрица. Тогда
AX-AY =*X'AAY = X-Y
для любых вещественных векторов X н Y. Пусть
л. «s ос 4" Pi
— характеристическое число- матрицы 4,
U = X+Yi
— соответствующий собственный вектор. Тогда
ДХ=аХ —рУ,
ДУ=аУ + рХ,
откуда
| X |2 = Х-Х = 4Х-4Х =а21 X р2 | У |2 —2аРХ-У,
|У р=у.У=4У-4У=аг| У [а + ₽а|Х(г4-2арХ-У.
Сложив эти равенства, получим аа'+Ра = 1.
971. При Р 0 из последних равенств предыдущей задачи по-
лучим
р (| X |а — |У |*) + 2<хХ-У = 0.
С другой стороны,
Х-У=ДХ.ДУ = (аа-Р2)Х-У4-аР(| XI2—|У |2),
откуда
а(|Х|2—|У |2)-2РХ.У=0.
298
Следовательно,
Х-У=| х |2 — |Г |2=0.
972. 1. Пусть X = а 4-= cos <р + < sin ф —комплексное харак-
теристическое число матрицы. Составим ортогональную матрицу А,
первые два столбца которой составляют вещественную и мнимую
части собственного вектора, принадлежащего X. Тогда
COS ф sing) ...
— sin ф совф ...
0 0
0 0 ...
0 0 ...)
Вследствие ортогональности матрицы Q-MQ сумма квадратов
елементов каждой строчки равна 1 и, следовательно, все не обозна-
ченные элементы первых двух строчек равны 0.
2. Пусть = 1—вещественное характеристическое число
матрицы А, X—принадлежащий X нормированный собственный вектор.
Составим ортогональную матрицу, первым столбцом которой
является вектор X. Тогда
Все не обозначенные элементы первой строчки равны 0, так как
сумма квадратов элементов каждой строчки ортогональной матрицы
Q-1AQ равна единице.
Применяя приведенные рассуждения к ортогональным матрицам,
остающимся в левом нижнем углу, получим требуемый результат.
973.
/1 0 0> \ /-2 0 0\ /—3 0 0'
я) ( 0 2 0 ); ь> ( о 1 0 ); с) (011
\0 0 —ь ' \ 0 0 1/ \ 0 0 1
-1 0 °\ /2 1 /2 0 0\
<0 0 - -1 1 ); е) ( 0 2 1) (О -1 0 );
0 0 — 1/ \0 0 2/ \0 0 0/
/2 0 О' / —1 1 0\ /-1 0 0>
Б) । ( 0 2 0 1» h) ( 0—10 It i) (001
\0 0 0 \ 0 0 0/ \ 0 0 0/
/0 1 °\ /1 1 0х /10 0\
( 0 0 1): к) ( 0 1 1 )> 1) (о 1 0
\0 0 0/ \0 0 L \0 0 — iJ
299
2л ... 2л
где е = cos ~+‘ Sln ~
ЛД
1
875. «Ящик»
не может быть периодическим.
. 1
V
Замечание. Результат неверен в поле с отличной от 0 харак-
теристикой. Например, в поле характеристики 2 имеем
976. Пусть Л—данная матрица н В = С~1АС—ее приведение
к канонической форме Жордана. Каноническая матрица В имеет тре-
угольную форму, и ее диагональные элементы равны характеристи-
ческим числам матрицы А, причем каждое из них повторяется
столько раз, какова его кратность в характеристическом уравнении.
Далее, б'„ = (С^)-1ЛтС^ (задача 531). Следовательно, характери-
стические полиномы матриц А,н и Вт совпадают. При надлежащей
нумерации сочетаний матрица Вт имеет треугольную форму и, сле-
довательно, ее характеристические числа равны диагональным эле-
ментам. Они же, очевидно, равны всевозможным произведениям
характеристических чисел матрицы А, взятых по т.
977. Матрицы А — кЕ и А—кЕ имеют, очевидно, совпадающие
элементарные делители. Следовательно, А и Л преобразуются к одной
и той же канонической матрице н, следовательно, они преобразу-
ются одна в другую.
978. Если A=CD, где С, D—симметрические матрицы и мат-
рица С неособенная, то A—DC и, следовательно, Л=С_1ЛС.
300
Таким образом, матрицу С следует искать среди матриц, преобра-
зующих А в X
Пусть A = SBS~l, где В—каноническая матрица:
Тогда А = $~1ВЗ. Обозначим через И/ матрицу
1
1
1’
1
Легко видеть, что и, следовательно,
В = Н~1ВН, где Н=
Таким образом, =S~lH~lS-1ASHS =С-'АС, где
C = SHS. Матрица С, очевидно, симметрична. Положим D = C~1A.
Тогда D = AC“1 = C“1ACC-1 = D. Таким'образом, матрица D тоже
симметрична и A = CD.
979. Пусть | А—КЕ |=(—1)” (Х»~сгХ«-1— саА,»-’-с„).
Очевидно, что Pi=Sp А=с1. Допустим, что уже доказано, что
pi=e1, Pi = Ct,,.., Pk-i = ck-i, и в этом предположении докажем,
что Pk=ck- Согласно конструкции, Ац=Ак—PtAk~l— р*Ак~*—
—...— Pk-\A = А* — с,А*-1 —сгА*~а —...—с^-1А. Следовательно,
SpAft=fep*=Sp Ак — CiSpA*-1 —...—cfc_iSpA
= В*—CjSft-i—... —Сд-А,
где Si, Sh—степенные суммы от характеристических чисел
301
матрицы А. Но по формулам Ныотона —...—Cfc-iSi =
*=Ьсь- Следовательно,
Далее, Вп = Ап— cjA"-1 —...—c„-jA—с„Е=0, в силу соот-
ношения Гамильтона — Кэли. Наконец,
ДВ„_1 = Л„ = с„£,
откуда
BR-i = спЛ-1.
980. Пусть
/ 0 с12
с=(Сг1 о
ГП1 СП2
Рассмотрим диагональную матрицу
диагональные элементы которой произвольны, но попарно различны.
Возьмем
Ь1г ... bt„
^21 ^22 ••• ^2П
^п! ^п2 • • •
Тогда
/ О — «1) ... bln(a„—aj
ХУ_УХ=. ^а’—0 ••• ^2п (ап — аг)
У>И1 («! — «») Ьпг («2—ап) ••• О
и, следовательно, достаточно взять bik=~~~£~ ПРИ Далее,
применяя метод математической индукции, установим, что всякая
матрица со следом, равным нулю, подобна матрице, у которой все
диагональные элементы равны пулю. Ввиду того, что SpC=O,
С^цЕ при р#0 и, следовательно, найдется такой вектор U, что
CU и U линейно независимы. Включив в базис векторы U и CU,
302
получим, что С подобна матрице
о Yu Y13 Т1»\
I ?22 ?23 • • • ?2П \ /0 р
•...................../=(<2 г
о Vm Улз . • Упп /
Очевидно, что Sp Г = Sp С = 0.
Следовательно, по индуктивному предположению, Г = 5-1Г'5,
где Г' — матрица с нулевыми диагональными элементами. Тогда
у матрицы
л 0W'P °И 0 ps
с ДО s) <0 S]~\S-iQ s-irsj
все диагональные элементы равны нулю.
Дмитрий Константинович Фаддеев,
Илья Самуилович Со минский
Сборник задач по вывшей алгебре
М„ 1972 г.. 304 стр.
Редактор В, В. Донченко
Техн. редактор К, Ф. Б руд но
Корректор Т, Q, Вайсберв
Сдано в набор 29/111 1972 г. Подписано к
печати 9/VI 1972 г. Бумага 84x108/32.
Физ. печ. л. 9,5. Уоловн. печ. л. 15,96.
УЧ.-ИЭД. л. 19,11. Тираж 100 000 экз.
Т-10522. Цена книги 64 коп. Заказ 2846.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
117071, Москва, В-71,
Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданов;
Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР
Москва, М-54, Валовая, 28