В.М.МИРСАЛИМОВ
НЕОДНОМЕРНЫЕ
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЕ
ЗАДАЧИ
МОСКВА "НАУКА"
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1987

M64
УДК 539.3
Мирсалимов В.М. Неодномерные упругопластические за-
задачи. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. — 256 с.
Изучены неодномерные упругопластические задачи, сложность которых
состоит не только в нелинейности уравнений теории пластичности в пластичес-
пластических зонах, но, прежде всего, в том, что форма и размеры пластической облас-
области не известны заранее и подлежат определению. Рассмотрены сдвиг, круче-
кручение, плоская деформация, плоское напряженное состояние ,и некоторые дру-
другие вопросы. Даны не только все наиболее значительные аналитические реше-
решения, но и сводка некоторых численных результатов в этой области.
Для аспирантов и научных работников, специализирующихся по механике
твердого деформируемого тела, а также для инженеров, занимающихся рас-
расчетами на прочность.
Табл. 29. Ил. 87. Библиогр. 291 назв.
Рецензент доктор физико-математических наук В.А. Пальмов
Вагиф Мирахмедович Мирсалимов
НЕОДНОМЕРНЫЕ
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЕ
ЗАДАЧИ
Редакторы Я. Л. Марку зон, ИМ. Бокова
Художественный редактор Т.Н. Кольченко
Технические редакторы СВ. Геворкян, В.Н. Никитина
Корректоры Н.П. Круглова, Т.А. Печко
Набор осуществлен в издательстве
на наборно-печатающих автоматах
ИБ№» 12959
Сдано в набор 20.11.86. Подписано к печати 24.02.87. Т- 08740
Формат 60 X 90 1/16. Бумага офсетная № 1
Гарнитура Пресс-Роман. Печать офсетная
Усл. печ. л. 16,00. Усл. кр.-отт. 16,00. Уч.-изд. л. 17,36
Тираж 2150 экз. Тип. зак. ^60. Цена 2 р. 90 к.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство "Наука**
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства "Наука"
630077 г. Новосибирск-77, ул. Станиславского, 25
1703040000-090
М 053 @2)-87 75"87
© Издательство "Наука".
Главная редакция
физико-математической литературы, 1987
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
ГЛАВА 1. ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ 6
§ 1. Основные уравнения. Краткий обзор 6
§ 2. Метод функциональных уравнений , g
§ 3. Задача Галина yi
§ 4. Некоторые обобщения решения Галина у]
§ 5. Плоскость, ослабленная двумя круговыми отверстиями 28
§ 6. Метод малого параметра 41
§ 7. Плоскость, ослабленная периодической системой круговых отверс-
отверстий [71] 47
§ 8. Плоскость, ослабленная двоякопериодической системой круговых
отверстий [66, 69] 56
§ 9. Некоторые численные результаты 67
§ 10. Структура пластических деформаций в вершине трещины 74
ГЛАВА 2. ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ 82
§ 1. Основные уравнения. Краткий обзор g2
§ 2. Пластинка с круговым отверстием g3
§ 3. Периодические решения с пластическими линиями разрыва Ц6
§ 4. Периодическая упругопластическая задача для тонкой пластины 123
§ 5. Двояко периодические решения с пластическими линиями разрыва 129
§ 6. Упругопластическая задача для тонкой пластины, ослабленной дво-
двоякопериодической системой круговых отверстий \ 35
§ 7. Численные результаты „
ГЛАВА 3. КРУЧЕНИЕ. СЛОЖНЫЙ СДВИГ 147
§ 1. Основные уравнения. Краткий обзор J47
§ 2. Решение Соколовского
§ 3. Решение Галина
§ 4. Решения с пластическими линиями разрыва J64
§ 5. Численные результаты t
§ 6. Решение Раиса для полуплоскости с угловым вырезом при произ-
произвольном законе упрочнения ;
ГЛАВА 4. НЕКОТОРЫЕ РОДСТВЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ 192
§ 1. Краткий обзор jQ2
§ 2. Обратная задача теории упругости для анизотропной среды 194
§ 3. Обратные задачи теории упругости для горного массива 197
§ 4. Оптимальная форма отверстий при изгибе перфорированной пластины 203
'* з

§ 5. Обратная двоякопериодическая задача термоупругости ^
S 6 Давление двух твердых тел на пластину
§ 1. Контактная задача для пластины с трещиной, усиленной ребрами ^
жесткости
235
Приложение ч
235
§ 1 Линейная краевая задача Римана ¦ • • ¦ • • ¦
§ 2. Формулы Шварца и Гильберта. Сведение граничной задачи Гильберта
к линейной задаче Римана. Обращение интеграла типа Коши 239
§ 3. Численный метод решения сингулярного интегрального уравнения ^
первого рода
246
Литература
ПРЕДИСЛОВИЕ
При достаточно высоком уровне нагрузок вблизи отверстий,
выточек, углов, шелей и тому подобных конструкционных или тех-
технологических образований возникают местные пластические зоны.
Учет этих зон особенно важен для расчета на прочность, так как раз-
разрушению большинства конструкционных элементов всегда пред-
предшествует локальная пластическая деформация.
Настоящая монография посвящена неодномерным упругоплас-
тическим задачам. Сложность этих задач состоит не только в нели-
нелинейности уравнений теории пластичности (имеющих место в пласти-
пластических зонах), но, прежде всего, в том, что форма и размеры пласти-
пластической области не известны заранее и подлежат определению. Эта
проблема родственна задачам трансзвуковой аэродинамики обтека-
обтекания с местными сверхзвуковыми зонами, однако гораздо сложнее.
В книге рассмотрены сдвиг, кручение, плоская деформация, плос-
плоское напряженное состояние и некоторые другие вопросы. Даны не
только все наиболее значительные аналитические решения, но приве-
приведена также сводка некоторых численных результатов в этой области.
В богатой монографической литературе по математической теории
пластичности отражены в основном решения одномерных упруго-
пластических задач; решения же (гораздо более сложных математи-
математически) неодномерных задач в большинстве рассеяны по журнальным
статьям. Учитывая, что библиография только по теории идеальной
пластичности содержит более двух тысяч источников, в монографии
приводятся только те работы, которые имеют непосредственное от-
отношение к содержанию книги.
Многие результаты, составившие разделы книги, неоднократно
обсуждались на научных семинарах кафедры теории пластичности
МГУ им. М.В. Ломоносова и Института проблем механики АН СССР.
Это обсуждения стимулировали работу автора по данной проблеме
и способствовали улучшению представляемых материалов.
В книге используется локальная нумерация параграфов для всех
глав и приложения. Для формул принята тройная нумерация, для ри-
рисунков и таблиц - двойная.

ГЛАВА 1
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
§ 1. Основные уравнения. Краткий обзор
При плоской деформации поле напряжений и смещений таково, что
и=и(х,у), v = v(x,y), н> = 0,
Ох = Ох (X,y), Oy = Oy (X,y), Txy = Txy (X, y) , A.1.1)
oz = oz(x,y), тХ2=0, туг=0.
Компоненты напряжений плоскодеформированного состояния при отсут-
отсутствии объемных сил удовлетворяют двум уравнениям равновесия
Ьох 9tvV 9tvV dov
—^- + —^ =0, —^ + —^ =0. A.1.2)
Эх Эу Эх ду
В упругой области имеем следующие соотношения:
закон Гука
1 1
= — (ох — р„ av), ev = — (av - vt ox),
E y y E y
A.1.3)
[X 1 - v
условие совместности деформаций, которое в напряжениях приводит к
выражению
А(ох+оу) = 0;
связь между перемещениями и деформациями
Эм dv ди dv
Эх ' у ду ' ху ду Эх '
В пластической области имеем следующие соотношения:
условие пластичности
f(ox,oy,TXy)-k = 0;
ассоциированный закон пластического течения
depx=\
дах
depy =X
dov
Уху
дтг
\jx uuy utxy
соотношения кинематической связи смешений с деформациями
dey =dey +
dixy = dyZy y
Индекс е относится к упругой области, индекс р — к пластической.
6
A.1.4)
A.1.5)
A.1.6)
A.1.7)
A.1.8)
Приращения упругих деформаций в пластической области связаны с
напряжениями законом Гука. Если на границе тела заданы нагрузки
то имеется полная система уравнений для определения напряжений в плас-
пластической области независимо от деформаций, т.е. задача статически опре-
определима.
Известно, что на границе упругой и пластической областей напряжения
и смешения непрерывны.
Основные успехи в рассмотрении упруго пластических плоских задач
для тел с отверстиями (см. также гл. II) связаны с полным охватом отверс-
отверстия пластической зоной. В этом случае соответствующая математическая
задача для идеального пластического тела весьма часто может быть сведе-
сведена к некоторой краевой задаче для бигармонического уравнения в области
границы которой не известны заранее и должны быть определены в процес-
процессе решения из дополнительного краевого условия. В таких проблемах
весьма полезными оказываются основные соотношения плоской теории
упругости, полученные Г.В. Колосовым и Н.И. Мусхелишвили:
ох + Оу = аг + ов = 4Re Ф (z),
оу~ах+ 2пху = е-2'"9 (ав - аг
2ц (и + w) = 2цет (иг + iue) = к<р (z) - г*'(z) -~ф (z).
A.1.9)
Здесь к = 3 - Av для плоской деформации, к = C - v)j (I + v) - для плоско-
плоского напряженного состояния.
Решение ряда задач о плоской деформации было получено применением методов
теории функций комплексного переменного и краевой задачи Римана-Гильберта
(Л.А. Галин, Г.П. Черепанов). Некоторые упругопластические задачи сводятся к крае-
краевым задачам для функций комплексного переменного с аналитическими коэффици-
коэффициентами; для решения этих задач был разработан метод функциональных уравнений
основанный на обобщенном принципе аналитического продолжения (Г.П. Черепанов) '
В 1946 г. Л.А. Галин дал точное решение задачи о распределении напряжений в ок-
окрестности кругового отверстия плоскодеформнрованного тела, к контуру которого
приложены постоянные нормальные усилия, а напряжения на бесконечности представ-
представляют собой полиномиальные функции координат (в частности, постоянные или линей-
линейные u J). Решение удалось найти благодаря бигармоничности функции напряжений в
пластической области. Смещения в пластической области для этой задачи былииссле-
БЛАн^ЛТр1 Ь МеТ°Д ЛАГалина б"Л применен А.И.Кузнецовым,
ь.д. анниным, Т.Л. Рева для решения аналогичных задач в случае специальных неод-
неоднородных пластических тел [3-6] и некоторого класса условий пластичности, отлич-
отличных от обычного условия Мизеса и Треска-Сен-Венана и хорошо аппроксимирующих
условие пластичности горных пород.
г 7 ^iC'napa?°K мтН' СаВШ РассмотРели некоторое обобщение задачи Л.А. Галина
l/-»J. В работе [10] это обобщение методом функциональных уравнений было рас-
распространено на случай неоднородных пластических тел.
В работе [11 ] ГЛ. Черепанов нашел класс точных решений плоской упругопласти-
ческой задачи, определяемый следующими требованиями: а) контур тела является
многоугольником, все углы которого кратны тг/2; б) касательная нагрузка на всем
контуре равна нулю; в) часть границы многоугольника нагружена постоянными нор-
нормальными напряжениями и целиком охвачена пластической зоной; г) на оставшейся
^Г1"' Л6ЖаЩеЙ В УПРУГОЙ области, задано кусочно-линейное нормальное
п Ра?СМ0ТРены лишь некоторые простейшие задачи этого малоисследованного класса
Д.Д. ивлев методом малого параметра решил несколько плоских упругопластических
задач для идеально пластического тела с отверстием; при этом форма отверстия счи-
7

талась эллиптической, но близкой к окружности, а напряженное состояние на беско-
бесконечности - близким к всестороннему сжатию [12, 13]. Л.В. Ершову и Д.Д. Ивлеву ана-
аналогичным способом удалось решить упругопластическую задачу для эллиптической
трубы под давлением [14]. А.С. Космодамианский [15] и В.М. Мирсалимов [16, 17]
рассмотрели упругопластические задачи с бесконечным рядом одинаковых круговых
отверстий. Л.М. Куршин и И.Д. Суздальницкий [18] решили упругопластическую за-
задачу для плоскости, ослабленной двоякопериодической системой круговых отверстий.
П.И. Перлии, используя численный метод, решил ряд задач о распределении напря-
напряжений вокруг отверстий в форме окружности и различных эллипсов; при этом были
рассмотрены также случан частичного охвата отверстия пластической зоной и случай
двухсвязной области, занимаемой телом [ 19-21 ]. Тот же метод был применен B.C. Ca-
жиным при решении упругопластической задачи для плоскости при наличии отверстия,
близкого к квадрату; предполагалось, что на бесконечности имеет место всестороннее
сжатие, а пластическая область охватывает все отверстие [22, 23 ]. B.C. Сажин рассмот-
рассмотрел также другие интересные задачи применнтельно к проблеме проявления горного
давления вблизи выработок различной формы [24, 25].
В работе [26] указан способ алгебраизации упругопластической задачи в случае
полного охвата пластической зоной со статически определимым состоянием произ-
произвольного отверстия. Ноттрот и Тимман [27] и Ноттрот [28] применили этот способ
для численного решення некоторых конкретных задач такого типа (без ссьшки на ра-
работу [26]).
Саусвелл и Аллен рассмотрели полосу с симметричными полукруглыми и угло-
угловыми выточками [29]. Е.И. Теплицкий решил плоскую задачу о давлении жесткого
штампа на упругопластическое полупространство [30]. Н.В. Баничук методом локаль-
локальных вариаций получил решение задачи о штампе, внедряемом в идеально упругоплас-
упругопластическое тело [31]. В работах [32, 33] также рассматривалась задача о вдавливании
жесткого штампа в идеальную упругопластическую среду. Решение в [32] было полу-
получено релаксационным методом, а в [33] применялся метод конечных элементов. В ра-
работах [34, 35] были численно решены упругопластические задачи для щели.
§ 2. Метод функциональных уравнений
Пусть на неизвестном замкнутом контуре L в плоскости комплексно-
комплексного переменного z = х + iy заданы вторые производные бигармонической
функции, являющиеся известными функциями координат х иу. Требуется
определить границу L и бигармоническую функцию. К такой математичес-
математической постановке сводится упругопластическая задача для тела, находящего-
находящегося в условиях плоской деформации или плоского напряженного состояния,
в том случае, когда пластическая зона целиком прилегает к контуру тела,
так как напряжения в пластической области, как правило, определяются
непосредственно по граничным нагрузкам [36—38]. К аналогичной мате-
математической задаче приводятся некоторые задачи выпучивания пластин и
разрушения материалов. В случае, когда заданные граничные функции яв-
являются соответствующими вторыми производными бигармонической функ-
функции задача может быть решена методом Л.А. Галина [1]. Рассмотрим дру-
другой метод решения некоторого класса указанных задач [39], в котором
граничные функции могут и не удовлетворять последнему условию.
1. Постановка задачи. Пусть бесконечное упругопластическое
тело, находящееся в условиях плоской деформации (или плоского напря-
напряженного состояния), имеет отверстие, загруженное произвольной нормаль-
нормальной и касательной нагрузкой. На бесконечности действуют напряжения,
являющиеся полиномиальными функциями декартовых координат х к у.
Выберем начало координат внутри отверстия. Считая все отверстие цели-
целиком охваченным пластической зоной, предположим, что напряжение в плас-
пластической области определяются только формой контура отверстия и гра-
8
ничной нагрузкой и не зависят от напряженного состояния в упругой
области. Тогда напряжения находятся из решения уравнений теории плас-
пластичности [36—38]. Будем считать их известными функциями х и у.
Компоненты напряжений ах, ау, тху определяются по формулам Коло-
сова-Мусхелишвили [40] через две функции fl>(z) и ^(z). Здесь Ф(г) и
ty(z) - аналитические функции z = х + iy, которые в бесконечно удален-
удаленной точке ведут себя следующим образом:
Ф (z) =/„z"+ ...+/„+О (z-1), О-2-1)
где dt, /,- — известные постоянные.
Используя непрерывность напряжений на неизвестном контуре L, разде-
разделяющем упругую и пластическую области, и формулы Колосова—Мусхели-
швили A.1.9), получаем следующую граничную задачу для внешности
контура L:
Ф (г) + Ф (z) =/, (х, у), 1Ф (z) + * (z) =/2 (х, у) на L. A.2.2)
Здесь /i (x, у) и /2 (х, у) - непрерывные функции, известные из решения
соответствующей задачи теории пластичности (первая из них действитель-
действительная, вторая — комплексная).
Таким образом, требуется найти контур L и функции Ф(г) и *(г) на
основании краевых условий A.2.1) и A.2.2).
Совершенно аналогично ставится внутренняя плоская упругопластичес-
упругопластическая задача, когда упругая область занимает внутренность контура (при
этом потребность в условии A.2.1), естественно, отпадает). Везде в даль-
дальнейшем для краткости будем рассматривать только внешнюю упругоплас-
упругопластическую задачу.
При решении упругопластических задач примем обычные предположе-
предположения [36, 38]:
1) каждая характеристика, исходящая из контура тела, пересекает
неизвестный контур L в одной точке;
2) при нагружении контуры раздела упругой и пластической зон после-
последовательно охватывают друг друга.
2. Метод решения краевой з а дачи. Перейдем на парамет-
параметрическую плоскость комплексного переменного f при помощи преобразо-
преобразования z = co(f). Аналитическая функция w(f) конформно отображает
внешность единичного круга плоскости f на внешность неизвестного конту-
контура L в плоскости z с соответствием бесконечно удаленных точек со (°°) =°°;
она должна быть определена в процессе решения задачи.
Обозначим
A.2.3)
'(?)>"(?)]=/*{ - [wi
Jfc= 1,2.
В принятых обозначениях из граничного условия A.2.2) получаем на
плоскости f следующую краевую задачу для определения трех аналитичес-
9

ких функций
), со(Г)] при |П=1,
A.2.4)
"(Г) „
(Г),
при i r i = 1.
В бесконечно удаленной точке на основании A.2.1) функции
исо(?) ведут себя следующим образом:
^(Г)=О(П, *(?) = О(Г), ш(Г)=О(Г). A.2.5)
Рассмотрим второе краевое условие A.2.4). Оно представляет некото-
некоторое конечное уравнение относительно со (f ).
Предложение 1. Пусть второе краевое условие A.2.4) разрешимо
относительно
со (О = г [со (Г),
A.2.6)
Х(Г)=Г[со(Г), *(f), *'№'(?)] A-2.7)
является аналитической во внешности единичного круга If | > 1, за исклю-
исключением, быть может, конечного числа изолированных особых точек одно-
однозначного характера. Тогда краевая задача A.2.4) решается в замкнутом
виде.
Действительно, пусть при f -*°° функции co(f) и х(?) имеют вид
к = 1
A.2.8)
Здесь Хо (О — функция, аналитическая в плоскости f, за исключением осо-
особых точек функции х(?)> в которых Хо (О имеет особенности, совпадаю-
совпадающие с особенностями функции х(?); считаем, что функция Хо (?) извест-
известна с точностью, быть может, до неопределенных постоянных. Тогда реше-
решение краевой задачи A.2.4) можно записать в форме
A-2.9)
где pv (?) — полином v-n степени с неопределенными пока коэффициента-
коэффициентами. После этого функция i^(f) находится из решения задачи Дирихле
A.2.4). Неизвестные постоянные определяются из системы уравнений,
полученных разложением найденных функций у (f), ф($) и co(f) в окрест-
окрестности особых точек функции х(О и на бесконечности и использованием
равенства A.2.7).
В указанном только что предложении условие аналитичности функ-
функции х(?) во внешности единичного круга является апостериорным. Ука-
Укажем прием, который удобно использовать при практическом применении
упомянутого предложения.
Рассмотрим следующее функциональное уравнение:
A.2.10)
ю
Функция co(l/f), очевидно, аналитична внутри единичного круга I ? I < 1,
за исключением начала координат, в котором она имеет полюс первого
порядка.
Предложение 2. Пусть функция со (О является аналитической во
всей плоскости f, за исключением бесконечно удаленной точки, в которой
она имеет полюс первого порядка, и, может быть, конечного числа изоли-
изолированных точек однозначного характера, расположенных внутри единично-
единичного круга | f | < 1. Тогда второе краевое условие A.2.4) может быть анали-
аналитически продолжено во внешность единичного круга | f | > 1 при помощи
функционального уравнения A.2.10).
Действительно, в названных предположениях функция co(f) может быть
записана в форме A.2.9). В частности, как это показано в рассматриваемых
ниже примерах, функция Хо (f) может быть тождественно равной нулю.
Тогда
+(Г) A2П)
и левая часть функционального уравнения A.2.10) является аналитической
во внешности единичного круга функцией, за исключением бесконечно уда-
удаленной точки и, быть может, конечного числа особых точек однозначного
характера. Тогда и правая часть функционального уравнения A.2.10) —
функция Fi [co(f), co(l/f)] — должна быть аналитической во внешности
единичного круга, за исключением бесконечно удаленной точки и, быть
может, конечного числа особых точек, особенности в которых совпадают
с соответствующими особенностями левой части. При этом второе краевое
условие A.2.4) будет удовлетворено.
Таким образом, необходимым признаком того, что функция co(f) име-
имеет вид A.2.9), является аналитичность правой части функционального урав-
уравнения A.2.10) во внешности единичного круга | f| > 1, за исключением
конечного числа особых точек однозначного характера. Этот признак бу-
будет и достаточным, если особенности правой и левой частей функциональ-
функционального уравнения A.2.10) можно выбрать так, чтобы они совпадали. Этот
признак позволяет иногда весьма просто находить замкнутые решения
краевой задачи A.2.10) и в том случае, когда неизвестно, аналитична ли
функция F2 fco(f), co(l/f)] при I f I > 1. Для этого следует формально
подставить выражения A.2.9) и A.2,11) для функций co(f) и co(l/f) в
функциональное уравнение A.2.10), потребовать аналитичности функции
Рг [w(?)> <^A/О] почти всюду в | f | > 1 и приравнять особенности левой
и правой частей функционального уравнения A.2.10).
Если некоторым выбором неопределенных коэффициентов и функций
этим условиям можно удовлетворять, то существование решения A.2.9)
является доказанным.
3. Некоторое обобщение. Высказанные соображения справед-
справедливы не только для второго краевого условия A.2.4), но и для краевого
условия более общего вида.
Пусть на контуре единичного круга | % \ = 1 задано граничное условие
вида
fW (Г), со (Г), а, (Г), • • . , ап (Г)] = 0. A.2.12)
Здесь co(f) — функция, аналитическая во внешности единичного круга,
11

за исключением, быть может, бесконечно удаленной точки, в которой она
может иметь полюс; дх (f),..., я„(?) — некоторые функции (часть или
даже все д,- (f) могут быть неизвестными заранее); / — некоторая-заданная
функция своих переменных.
Рассмотрим функциональное уравнение
/[«(О,
. «I(О.•••.««(»] = 0.
A.2.13)
Выясним, в какой мере и при каких условиях функциональное уравне-
уравнение A.2.13) может заменить исходное граничное условие A.2.12). Имеет
место следующая теорема [41].
Теорема. Пусть коэффициенты задачи я,-(О и функция co(f) пред-
представляют собой функции, аналитические в полной плоскости f, за исключе-
исключением конечного числа изолированных особых точек, а /(со, со, дь ..., ап) -
аналитическая функция всех своих аргументов, за исключением конеч-
конечного числа изолированных особых точек. Тогда: 1) функциональное урав-
уравнение A.2.13) справедливо в полной плоскости f; 2) всякое решение
функционального уравнения A.2.13) в указанном классе функций удов-
удовлетворяет граничному условию A.2.12) и наоборот.
Теорему нетрудно доказать, используя аналитическое продолжение и
теорему единственности аналитических функций. Можно обобщить ее также
для класса функций, естественная граница которых отлична от выколотых
точек и является некоторой областью. Аналогичная теорема справедлива
для системы граничных условий и нескольких искомых функций.
Для решения функционального уравнения естественно разложить все
аналитические функции в ряды в окрестности некоторой точки и свести за-
задачу к решению получающейся бесконечной.системы уравнений относитель-
относительно неизвестных коэффициентов. В некоторых случаях бесконечная система
вырождается в конечную, и тогда решение исходной задачи удается полу-
получить в замкнутом виде.
Некоторые конкретные примеры решения различных функциональных
уравнений типа A.2.12) приведены в гл. 1, 2,4.
§ 3. Задача Галина
Пусть бесконечное тело, находящееся в условиях плоской деформации,
с круговым отверстием радиуса R, к контуру которого приложены посто-
постоянные внешние усилия
°г = Р, ггв = т, A.3.1)
растягивается на бесконечности постоянными напряжениями
При растяжении тела в окрестности отверстия имеет место концентрация
напряжений. При достаточно больших значениях нагрузок а" и 6у° возника-
возникает пластические области. Примем, что пластическая зона целиком охватыва-
охватывает круговое отверстие. В этом случае напряжения пластической области
определяются непосредственно по граничным нагрузкам.
12
Напряжения в пластической области выражаются формулами С.Г. Мих-
лина [421:
ar = eA: 21n(vV2 - А + у/г2 + А) - -
+ Вк,
A.3.2)
R2-A) - — у/Й*- A2 J
(г, в - полярные координаты). Здесь к — константа пластичности, е - ± 1 —
легко выбирается из физических соображений.
На основании соотношений A.1.9) и формул A.3.2) граничные условия
на неизвестном контуре L, разделяющем упругую и пластическую область,
представим так:
4Re Ф(г) = 4eA;ln(vV -A+y/r2+A) + 2Вк,
при z
Чтобы получить решение краевой задачи, перейдем на параметрическую
плоскость комплексного переменного f при помощи преобразования
z = со (О. Аналитическая функция co(f) конформно отображает внешность
единичного круга плоскости f на внешность неизвестного контура плоско-
плоскости z с соответствием бесконечно удаленных точек со@0) = 00; функция
co(f) должна быть определена в процессе решения задачи.
Обозначим
В принятых обозначениях из граничного условия A.3.3) получаем на
плоскости f следующую краевую задачу для определения трех аналитиче-
аналитических функций ?>(f), ф(О и со (О :
при |f | = 1
)-Л +Vco(f)co(f)
A.3.4)
13

При f-юо
1
4
1
2
Рассмотрим функциональное уравнение
A.3.5)
справедливое в полной плоскости f в широком классе аналитических
функций ip(f), ф($), w(f), имеющих лишь изолированные особые точки.
Ищем решение функционального уравнения A.3.5) в виде
A.3.6)
Здесь р„(?) - полином v-к степени с неопределенными пока коэффициен-
коэффициентами.
Подставляя выражение A3.6) в функциональное уравнение A.3.5) и
раскладывая все функции в ряд в окрестности бесконечно удаленной
точки, нетрудно заметить, что v = 1; если функция w(f) имеет вид A.3.6),
то она необходимо равна
"Ш = с0Г+^. A.3.7)
Здесь с0, С] - неопределенные постоянные (из условий симметрии следует,
что они действительны). Постоянные с0 и ct следует выбирать, так, чтобы
правая часть функционального уравнения A.3.5) была аналитической
функцией во внешности единичного круга. Для этого в свою очередь необ-
необходимо и достаточно потребовать, чтобы корни уравнения
A.3.8)
или попарно совпадали, или были все расположены внутри единичного
круга | ? | < 1 •
Анализ уравнения A.3.8) показывает, что оно имеет попарно совпадаю-
совпадающие корни тогда и только тогда, когда А = 0. Решая при А = 0 задачу Дирих-
Дирихле A.3.4) для функции (/>(О и используя условия на бесконечности, полу-
получаем классическое решение Л.А. Галина [1]:
' - ке шт ке
A.3.9)
ЯГ
Г"'(
14
1
f
4ек
Можно показать, что при А Ф 0 всегда существует корень уравнения
A.3.8), расположенный вне единичного круга, так что в этом случае усло-
условию аналитичности правой части функционального уравнения A.3.5)
нельзя удовлетворить функцией <МХ) вида A.3.6). Однако результат,
полученный в работе [7] при А Ф 0, можно непосредственно получить из
функционального уравнения A.3.5) и первого краевого условия A.3.4),
записанного также в виде функционального уравнения.
Граница между упругой и пластической областью будет эллипсом
х2 v2
_ г+ . У =1, A.3.10)
где
2ке
В частном случае, когда а" = а" Ф 0, границей между упругой и пласти-
пластической областью будет окружность радиуса
с0 =Лехр| —
+р-к
)¦
A.3.11)
Напряжения и смещения в упругой области определяются по формулам
A.1.9), а напряжения в пластической области — по формулам A.3.2).
Рассмотрим пределы применения полученного решения. Решение задачи
справедливо только для путей нагружения, при которых контуры раздела
упругой и пластической областей последовательно охватывают друг друга
или по крайней мере соприкасаются на некоторых участках. Припишем
величинам в предыдущий момент нагружения индекс 1, в последующий —
индекс 2. Тогда будет иметь место
+00. еО2A -
(L3.12)
Неравенства A.3.12) и соотношения для с0 и /3 определяют искомые
пределы изменения усилий aj,a~,p. Для полученного решения сущест-
существенно, чтобы пластическая область охватывала окружность r=R. Для
этого необходимо, чтобы было выполнено условие
/ о. —av\ I ах + оу р 1
11+ — -Jexpl— - --
\ 2к I \ 4к 2к 2
A.3.13)
Для справедливости полученного решения необходимо, чтобы любая
точка в пластической области могла быть соединена с контуром отверстия
двумя линиями скольжения, целиком расположенными внутри пластиче-
пластической зоны. Это будет иметь место при выполнении неравенства
0< 0,171. A.3.14)
Для определения смещений в пластической области воспользуемся
ассоциированным законом пластического течения A.1.7) и условием
пластичности Треска — Сен-Венана.
В рассматриваемом случае будем иметь
-X, dyPe = 0. A.3.15)
15

Для отыскания смещений в пластической области получим систему урав-
уравнений
ег +ев = 0, 7г9= 0 A.3.16)
или в компонентах смещения
Ъиг иг 1 Ъив Ъив ив 1 Ъиг
— + — + = 0, — — — + = 0.
Ъг г г Ъв Ъг г г Ъв
A.3.17)
Можно показать, что система уравнений A.3.17) гиперболического типа.
Уравнения A.3.17) могут быть решены численно. Эта система уравнений
была решена Д.Д. Ивлевым [2] методом малого параметра, позволяющим
получить для смещений приближенные аналитические выражения
4цие 2 / 2 1 \
J-— = - -2/3(р+ - -- )cos20 +
кс0 р \ р р /
,Г2 / 1 1\ 1 Г2 /4 5\ ]
+ /32-+4(--г+ — )cos40 +/33 — cos 20 -21 - - - I cos 60 +...,
L p \ p3 p5 / J L p3 \p5 p7 J
кс0
_ _ + — Sin40 +
4цир 2
ken
A.3.18)
= — -4/3 cos(\/31np) + -psin(\/31np) cos 20 +
PL V3 J
2/32 f Г 3 1
+— -2/33 cos(v^"lnp)--7^sin(v^"lnp) cos 20 +
P IL V3 J
[3 I 1
cos(V35 lnp)- -— sin(\/351np) cos 60 }+...,
V35 J )
4uvp Г / 1 \ I
=2/3 2cos(V3 lnp)+ -ZT-V3 sin(V31np) sin20 +
kc0 L \V3 / J
+ 2/32 cos(vT5lnp) + — sin(VT51np) sin40 -
L vis J
-/33| 2cos(\/31np)+( — +V3jsin(\/Ilnp) sin20 +
Г2 __ /1 V35\ __ 1 1
+ - cos(V351np)+ —=r + )sin(V351np) sin60 +. . .
L 3 \v35 3 / 1 >
Индекс е относится к упругой, а индекс р — к пластической области,
Р = г/с0.
16
Приведенные приближения показывают, что при двуосном растяжении
контур отверстия увеличивается, приобретая некоторую вытянутость в
направлении большей из действующих сил.
§ 4. Некоторые обобщения решения Галина
1. [44] Пусть находящееся в условиях плоской деформации бесконечное
тело с круговым отверстием единичного радиуса, к контуру которого
приложены постоянные внешние усилия
ог=~Р, тгв=0, A.4.1)
растягивается на бесконечности постоянными напряжениями
ох -ах
- 0.
,ху-и. A.4.2)
Очевидно, выбор кругового отверстия единичного радиуса не нарушает
общности рассматриваемой задачи. Будем считать, что имеет место стацио-
стационарное тепловое поле и температура Т(х, у) является решением уравнения
Лапласа AT = 0 при граничном условии Г = /@)на контуре отверстия и
условии ограниченности на бесконечности. Здесь г, в — полярные координа-
координаты на плоскости.
Предполагаем, что тепловое поле термоизолировано, упругие постоян-
постоянные и предел текучести в рассматриваемом интервале изменения температу-
температуры постоянны, а пластическая зона целиком охватывает круговое отвер-
отверстие. Напряжения в пластической зоне определяются непосредственно
формой контура отверстия и граничной нагрузкой. Поэтому для напряже-
напряжений можно принять
ор -ор = ±2к(ог,ов,г). A.4.3)
Здесь знаки плюс и минус выбираются из физических соображений.
Если функция напряжений в пластической зоне удовлетворяет бигармо-
ническому уравнению, то наиболее общее распределение напряжений в
пластической области будет иметь вид
а
А
А
р - _ —
г2
+21nr)
A.4.4)
<* = '
где А, В и С — постоянные величины.
Напряжения в упругой области могут быть выражены через две аналити-
аналитические функции Ф(г) иФ(г) при помощи формул
ах + Оу = 4 Re <i>0(z), оу-ох+ Итху = 2 [гФ'0{г) +
A.4.5)
1 \ + v ,
Здесь Ф0(г)= Ф(г)- —да — F
2 \ —V '
2. В.М. Мирсалимов
F (zQ - аналитическая функция,
17

действительной частью которой является Т(х,у), а — коэффициент линей-
линейного температурного расширения.
Нетрудно показать, что функция F'(z) имеет вид
F'(z)= 2 Akz
к = О
~k
f(9)efkf>d9
О
г
О-
A.4.6)
Отметим, что только член Ахг вызывает температурные напряжения,
все другие члены дают лишь осевые напряжения az [431 ¦
Используя A.4.2), A.4.4) и A.4.5), выпишем граничные условия на
неизвестном контуре L, разделяющем упругую и пластическую области,
в следующем виде:
4Re Ф0(г) = 2Bh(zz) + ЦВ + С),
z A
' B- --;
Z Z2
при z -*¦ °°
Ф0B) = - (а" + а") + - + O(z~2),
4 z
A.4.7)
Здесь у= -Ы.
+ v)l(l - v) .
t
Перейдем на параметрическую плоскость комплексного переменного
при помощи преобразования z = со(?). Обозначим
В принятых обозначениях на основании соотношений A.4.7) краевая
задача на параметрической плоскости f для определения трех аналитиче-
аналитических функций <ро(Ь,Ф($) иш(О запишется в виде:
при |f | = 1
+4E +С),
при f
A.4.8)
2 со?
Для решения краевой задачи применим метод функциональных урав-
уравнений.
18
Рассмотрим функциональное уравнение
) A
(?)
"(?) M?)f '
A.4.9)
справедливое в полной плоскости ?.
Ищем решение функционального уравнения A.4.9) в виде
w(O=c + co? + c1?-1 +саГ2 + .-- A.4.10)
Подставляя выражение A.4.10) в функциональное уравнение A.4.9) и
раскладывая все функции в ряд в окрестности бесконечно удаленной
точки, нетрудно заметить, что
w(?)=c + c-o? + c1?-1. A.4.11)
Здесь с, с0 и С] — неопределенные постоянные.
Решая задачу Дирихле A.4.8) для функции <^о(?) и используя условие
на бесконечности, получаем [44]
со = ехр — { а" + а" - 4(В + Q} ,
A.4.12)
с = - — jua
2 1 —
со
В рассматриваемом случае контур Z-, разделяющий пластическую зону
от упругой, оказывается эллписом A.4.11), однако, в отличие от случая
Т = 0, его центр смещен относительно центра кругового отверстия. Величи-
Величина смещения определяется температурным полем. Напряжения в упругой
области равны
ах + ау = а: + а" - 4i?Reln(^ + /- -^4).
\2 4 z1 )
а у - ox + 2 hxy = 2B
Здесь
1
2A _
2А
,2
A.4.13)
? = — {(г - с) +V(z - сJ - 4j3cg }, 0 = -^ — .
2с0 2В
Граничное условие на контуре отверстия A.4.1) и условие текучести
определяют величины А, В и С.
Рассмотрим частные случаи.
Для условия пластичности Треска — Сен-Венана ав — аг= 2к упругопла-
стическая задача решена в работе [45] при условии, что аг= - р = 0 на
контуре отверстия. В этом случае
= 0,
С=-к/2.
При Т= 0 задача решена Л.А. Галиным [1].
2*
A.4.14)
19

Для экспоненциального условия текучести
постоянные определяются так (на контуре отверстия аг = - р = 0) :
A.4.15)
On
= -ke2f2, В=-к, C= — -k\nt.
A.4.16)
Здесь Аг>Оисто>О — постоянные, имеющие размерность напряжений,
t — постоянная, являющаяся корнем уравнения
При Т= 0 получаем результаты работы Б.Д. Аннина [4] .
Принимая, что предел текучести является функцией координат вида
2, A.4.17)
A.4.18)
будем иметь для постоянных следующие значения:
А=-Ак,
), С= - [Ак - р
При Т= 0 для этого решения задача рассмотрена А.И. Кузнецовым [3].
Рассмотрим функции
[Ъ I Сто Or + СГд\1
г2 У\ к 2к /J
[Ъ к I ст0 стг+стД]
A.4.19)
описывающие неоднородной упрочняющийся материал [6]. Пусть стг > О,
аг = — р = 0 на контуре отверстия; тогда для постоянных имеем следующие
значения:
для функции
2 2 A.4.20)
= Ъ-ке2Г2, В=-к, С=—+ - 1п(Г2);
Здесь' t — постоянная, являющаяся корнем уравнения
Ъ
к'1 сто - 1 + — = е 2 Г2 + 21n t, t > е 1,
к
для функции к2
А = Ь-ке'Ч'2, В=-к, С= а0 + к]п(Г2), A.4.21)
где t - корень уравнения
Ъ
2Г1 сто - 1 + - = 21пг2 + е-1 Г2 (Г > ех).
к
При Т= 0 задача рассмотрена в работе [6].
2. Приведем еще одно обобщение решения Л.А. Галина при условии
пластичности В.В, Соколовского.
20
Пусть в пластической зоне материал подчиняется следующему условию
[36]:
(ст. -ст„J +4r2 =4A:2sin
/сто_стх_+стД
U 2к )'
¦п 1
сто - — к < — (стх + ау) < Сто.
A.4.22)
Здесь к > 0, сто > 0 — постоянные материала, имеющие размерность напря-
напряжения.
Найдем распределение напряжений в бесконечной плоскости с круго-
круговым отверстием радиуса R, к контуру которого приложены постоянные
внешние усилия A.4.1), а на бесконечности имеет место однородное напря-
напряженное состояние A.4.2).
Поскольку в пластической зоне напряжения определяются только фор-
формой контура отверстия и граничной нагрузкой, напряжения будут зависеть
только от радиуса. Решая совместно уравнения равновесия и учитывая
условие пластичности, можно показать [5, 46], что напряжения в пластиче-
пластической области имеют вид
/55 г- -\
аг = 2к\ arcsin — + — у/г —Ъ)-т,
\ г г2 I
I 6 5 г Л
00 = 2к\ arcsin — y/r —Si—m, тге - 0.
\ г т I
Здесь постоянная 5 определяется из уравнения
/55 ,_ -\
2A:larcsin - + — VK2 - 52 I - m = р,
\ R R I
ш~ nk — oq.
A.4.23)
A.4.24)
Для определения напряжений в упругой области и упругопластической
границы L получаем следующую краевую задачу на L:
Ф(г) + Ф(г)= — m + 2к arcsin — ,
г
2кЪ
A.4.25)
при z
= J ("Г
= Х- (о; - ст").
Перейдем на параметрическую плоскость комплексного переменного
при помощи преобразования г = co(f). Обозначим
В принятых обозначениях на основании соотношений A.4.25) краевая
задача во внешности единичного круга плоскости ? для определения трех
21

аналитических функций ip(?)> \И?) и ш@ запишется в виде:
при|?| = 1
5
- т + 2к arcsin —
A.4.26)
A.4.27)
при
-
A.4.28)
Применяя метод функциональных уравнений, получим решение гранич-
граничной задачи A.4,26) - A.4.28) [46]
со(П = с0Г + — +р,
т к * 5
л Г t) = - — + — f arcsin
2 2я_„
arcsin
A.4.29)
+2<7,(c0 + c3)cos20 +Co + c?
4сос3
Постоянные с0, с^ и с3 определяются из решения следующих уравнений:
-52) + 8<?о<:з = 0,
с\(с0
с\
1 fc т 5
— (ст" + ст") + m = — / arcsin -==. dd,
2 я _я \0.(в)
A.4.30)
Запишем уравнение упругопластической границы в параметрическом виде
x(t)= (<?o +Ci)cos t + c3 cos 3r, С14 3П
y(t)=(c0 - с,) sin t- c3 sin 3t, 0<Г<2я.
22
r
1
2
3
4
5
6
°Jk
0,02
P/k
0
-0,5-
6
0,970
0,725
°x/k
-1,270
-1,397
-1,046
-1,130
-1,646
-1,713
o°°yik
-0,870
-0,997
-1,205
-1,330
-1,846
-1,913
c.
1,15
1,2
1,15
1,2
1,15
1,2
T аб л
с,
0,142
0,170
-0,673
-0,087
-0,141
-0,158
иц а 1.1
сэ
0,016
0,018
0,004
0,005
0,007
0,008
В табл. 1.1 приведены значения постоянных со, ct и с3 вычисленных
на ЭВМ для некоторых значений внешних нагрузок при R = 1 [46].
3. Рассмотрим еще одно обобщение задачи Галина [10]. Пусть беско-
бесконечное упругопластическое тело, находящееся в условиях плоской дефор-
деформации, имеет круговое отверстие радиуса Л, к контуру которого приложе-
приложены постоянные внешние усилия A.4.1). На бесконечности действуют
напряжения, являющиеся полиномиальными функциями декартовых коор-
координат х и у. Предполагается, что под действием заданных условий все
круговое отверстие охвачено пластической зоной.
Будем считать, что в упругой зоне материал однородный, а в пластиче-
пластической зоне может быть и неоднородным. Для напряжений в пластической
зоне принимаем соотношения A.4.4). В плоской задаче теории упругости
компоненты тензора напряжений ах, ау, тху определяются по формулам
Колосова-Мусхелишвили A.1.9), где Ф(г) и ч>(г) - аналитические функ-
функции z-x+iy, которые в бесконечно удаленной точке ведут себя следую-
следующим образом:
Ф(г) = д0 +aiz +a2z2 + .. . + amzm, A.4.32)
4>(z)=i0 +b!Z + b2z2 +. . .+bmzm. A.4.33)
Используя формулы A.1.9), A.4.4), A.4.32), A.4.33), получим сле-
следующую граничную задачу для внешности неизвестного контура L, разде-
разделяющего упругую и пластическую области:
4КеФ(г)=2В\п(г!) + 4(В + С), /л л ,л.
A.4.34)
z A
при z
*(z)=bo+b1z+b2z2 +... + bmzm.
Перейдем на параметрическую плоскость комплексного переменного
при помощи преобразования z = co(f). задающей конформное преобразова-
преобразование внешности единичного круга плоскости f на внешность неизвестного
контура L физической плоскости z.
23

Обозначим
В принятых обозначениях на основании соотношений A.4.34) краевая
задача на параметрической плоскости f для определения трех аналитиче-
аналитических функций ip(f), ф($) и co(f) запишется в виде:
при |Г | = 1
4 Re .p(f) = 2Я In(oo(f)oo(f)) + ЦВ + С),
A.4.35)
при
co(f)
Решая задачу Дирихле A.4.35) для функции
на бесконечности A.4.37), находим
a1 —
A.4.36)
A.4.37)
и используя условие
-: + ...+атс?Г -*тс? —
1
1
Г
A.4.38)
co=expj-[Reao -
Рассмотрим функциональное уравнение
"(Г1) v,w,,,, „а(Г') А
"(О [
справедливое в полной плоскости f.
Ищем решение функционального уравнения в виде
A.4.39)
C2
—
A.4.40)
Подставляя выражение A.4.40) в функциональное уравнение A.4.39),
раскладывая все функции в ряд в окрестности бесконечно удаленной точки
и сравнивая члены с одинаковыми степенями f, получим бесконечную
систему уравнений для определения коэффициентов ск. После определения
24
функции w(f) из функционального уравнения A.4.39) находим
+ 2a2cof + 2 а2 —— ...
А
татс0
i.m + 1
A.4.41)
Граничные условия на контуре отверстия и условия текучести определяют
величины А, В и С.
Рассмотрим частные случаи.
Для условия пластичности Треска-Сен-Венана а0 аг - 2 к упругопла-
стическая задача рассмотрена Г.Н.Савиным и О.С.Парасюком [8, 9]. Слу-
Случай чистого изгиба был рассмотрен ранее Л.А. Галиным [1 ]. При этом
А=0,
С-
р + к
A.4.42)
Принимая, что предел текучести является функцией координат вида
ста -ar = fc(r) = fco +*Л 7 )
(ко и fci - постоянные), получим для постоянных А,В, С следующие
значения:
A = -kiR2, В = к0, С= -~(ki -р - к0 - 2 к0 1пЛ).
Для экспоненциального условия текучести
A.4.43)
в предположении, что стг = —р = 0 при г = R, постоянные имеют вид
сто
A = -ke-2r2R, B = -Jc, C = -j-k\n(t/R).
Здесь t - постоянная, являющаяся корнем уравнения
к'1 сто - 1 = 2 In t +e'2t'2
Рассмотрим функции
A.4.44)
описывающие неоднородный упрочняющийся материал [6]. Пусть стг > 0,
стг = 0 на контуре отверстия. Тогда для постоянных имеем следующие
значения:
25

для функции
A = b-ke-2t'2R\ B = -k, C = — + -\n(r2R2),
где t — постоянная, являющаяся корнем уравнения
A.4.45)
kR2
для функции кг
A=b-ke-lr2R
где t — корень уравнения
Ъ
21пГ
В = -к, С= а0 + к + In (Г2Л2),
A.4.46)
kR2
21п Л =
(Г > е-1).
Выбирая полиномы A.4.33) определенного вида, найдем решения ряда
практически важных задач.
а) Чистый изгиб полосы (балки). В этом случае полино-
полиномы A.4.33) имеют вид
М
М
= -i-z,
A.4.47)
где М — изгибающий момент, / — момент инерции поперечного сечения
балки.
На основании A.4.38)
= Я In
—
4/
4/
A.4.48)
Сравнивая коэффициенты при положительных степенях f, из функцио-
функционального уравнения A.4.39) в рассматриваемом случае получим следую-
следующую бесконечную систему линейных алгебраических уравнений относи-
относительно коэффицинетов с^ функции w(f) :
В~сх + а~сг =0,
ac"i - В с? - а~с3 = соа,
асг - Ясз - ас4 =0, A.4.49)
а сп -Всп + 1 - асп+2 = 0, и = 2,3,4,...
Ш
Здесь а = — с0.
4/
26
Решение системы A.4.49), как показано в [1], имеет вид
_ Со Со X
С' ~ 1 +f,X+X2 ' С2~ 1 -ц,д+х2 '
При этом
В
X = - .
A.4.50)
~~2~а + V 7a~2
Суммируя ряд A.4.40) с учетом A.4.50), найдем
z = co(f) =
Сп 1 С0Х 1
A.4.51)
б) Изгиб полосы при постоянной перерезываю-
перерезывающей силе. В этом случае полиномы A.4.33) следует взять в виде:
8/
z —
4/
iQh2
A.4.52)
где Q — перерезывающая сила, I — а — расстояние до центра отверстия от
свободного конца полосы, 2 h — высота полосы.
На основании A.4.38)
^(а) = 51п—-+Я + С + 0Г + - + -?2+— • A.4.53)
Здесь
/3 =
со,
5 =
4/ " 4/
Из функционального уравнения A.4.39) получим следующую систему
/равнений:
5с0 - /??¦] - 0с2 - б съ -olco - бс( ,
рс~: -5с2-0с3-бс4=0со,
б с, +0с2 -В~сг -0С4 -6cs =6с0, A.4.54)
-5с6=0,
=0
27

Здесь
а = г
Qh*
21
Решение системы A.4.54) имеет вид [47]
Ci-C
с\- с
"г -
A.4.55)
1,2 =
a[l+iyo/2
iy0
J^T, — - Vl-(yo/2J .
Здесь у о - действительный корень уравнения
-у3 + ft/ + D - аг)у - ЛЬ = 0,
где
а = 0/6, /ft = 5/6.
Коэффициент c~i определяются из уравнения
с,5 -ci[5 + 0(i^j +i^2) + 5(i^j +1^,1^2 +"!)] =
= СО{а-6-[0(^1 +^2) + 6(^? +!/,!/, +|/|)]}.
Суммируя ряд A.4.40) с учетом A.4.55), окончательно найдем
Axv\
к
A.4.56)
A.4.57)
§ 5. Плоскость, ослабленная двумя круговыми отверстиями
1.Постановка задачи [67]. Пусть бесконечное упруго пласти-
пластическое тело, находящееся в условиях плоской деформации, ослаблено
двумя одинаковыми круговыми отверстиями радиуса R, к контурам кото-
которых приложены постоянные внешние усилия ог = —р, тгв = 0. На беско-
бесконечности имеет место однородное напряженное состояние
= CTv
о у = а у
тху = 0.
A.5.1)
Центры отверстий расположены на оси х и находятся на расстоянии 2 / друг
28
I 1
21
1 1 \'\ J I
Рис. 1.1
от друга (рис. 1.1). Начало координат О выбрано в точке, равноудаленной
от центров отверстий.
Пусть под действием заданных усилий возникают пластические зоны,
полностью охватывающие отверстия, но не сливающиеся друг с другом.
Так как напряжения в пластической области определяются лишь формой
контура отверстия и граничной нагрузкой и не зависят от напряженного
состояния в упругой области, то в каждой пластической области они будут
такими же, как и в случае с одним отверстием. Будем считать, что поле
напряжений в пластической области описывается формулами A.4.4). Как
показано в § 4, эти формулы описывают не только случай условия
Губера—Мизеса или Треска-Сен-Венана в пластической области, но
также и некоторые другие случаи, учитывающие пластическую неод-
неоднородность.
На неизвестном контуре Lj (/ =1,2), разделяющем упругую и пласти-
пластическую области, все напряжения непрерывны.
На основании граничных условий и соотношений Колосова—Мусхелишви-
ли A.1.9) получаем краевую задачу для определения аналитических функ-
функций Ф(г), ^„(z) и неизвестного контура:
4 Re Ф(г) = 25 In (zz ) + 4E+С)-(стГ + ^°
1 , оо о,
I-A
z z2
на
A.5.2)
A.5.3)
2. Решение краевой задачи. Перейдем на параметрическую
плоскость f с помощью преобразования
z-l =
скГк)-
A.5.4)
к = О
Аналитическая функция со(?) задает конформное преобразование внеш-
внешности единичного круга плоскости f на внешность неизвестного конту-
29

pa L, физической плоскости z. Представим функции Ф(г) иФф(г) в виде
Ф[со«")] =
A.5.5)
fc = 2
- е3а3 +е4д4, Л, = -2а2е3 + 3е4д3,
Дх =-2й2е3+3е4й3, Д2=3е4й2,
A.5.6)
: f + 2 скГк A-5-7)
к = 1
В соотношениях A.5.5) функции <^, (f) и \pt (f) разложены в ряды по
малому параметру вблизи контура L i. Учитывая, что взаимное влияние
отверстий может привести к смещению центра пластической зоны относи-
относительно центра кругового отверстия, в качестве малого параметра прини-
принимается неизвестная величина е = d/2(l + Cod). Решая задачу Дирихле
A.5.2) для функции ^ (f ) и используя условия на бесконечности, находим
2 - р- + 2с, -
—{
A.5.8)
=#k
-coc + —|-
-A2{\ +c\ +2c3),
. A-5.9)
Используя соотношение A.5.8), краевое условие A.5.3) запишем в виде
A.5.10)
где
30
Подставляя выражение A.5.7) для функции coo(f) в функциональное
уравнение A.5.10), раскладывая все функции в ряд в окрестности беско-
бесконечно удаленной точки и сравнивая члены с одинаковыми степенями f,
получим бесконечную систему уравнений для определения коэффициен-
коэффициентов Ск'-
-B-2A2)+Ai?2
2А2~сх
2А2~сг
+А1'с5
= -2А2 -D,
—Bx,
2с; = 2А2 - В2,
{с6 =0,
i nn 3 = 0,
и = 2,3,4,...
Решение системы A.5.11) имеет вид
с2 =kxv\ +Аг2у2, ..., с„ =кгр" +к2р" ,
где v,, v2 являются корнями уравнения
2Л2И +A1v3-Bi>2+Alv + 2A2=0, \vt\<l, \v2\<\,
а с\, ki, k2 определяются из системы алгебраических уравнений
A.5.11)
A.5.12)
=At -В1г
где
F1(v1) = Ayi +2A2v3,
+ 2A2v\ -Bv\,
-Bv\ +А^1 +2A2i>\.
Суммируя ряд A.5.7) с учетом A.5.12), получим
k2v\
Теперь из функционального уравнения A.5.10) находим
A.5.13)
A.5.14)
A.5.15)
31

Условия на бесконечности дают следующие уравнения:
Ъ2 =B(l-2ci)+
Таблица 1.2
2 со А
b4=3c3D~4c3B+A1(c2+c4)+2A2(cl+Cs-l)+3Bi(c1c2+c4)
+Зс1
ABCl -3cl)
A.5.16)
3 Анализ решения. Нелинейная система, состоящая из одиннад-
одиннадцати алгебраических уравнений A.5.9), A.5.13) и A.5.16) служит для
определения постоянных d, с0, си ки к2, а2, а3, а4, Ъ2, Ъъ, й4- Так как
в эту систему входит несколько параметров, то ее целесообразно решать
приближенными аналитическими методами. Наиболее подходящим являет-
является метод малого параметра. Ниже приводятся результаты решения этой
системы (с точностью до е3) с использованием метода малого параметра:
1 -
+Ci2e2, Ci2=b20/B,
\ d0 = exp^ {[(a
A.5.17)
4B*
-A/dl, d2=docio, a2 = a20 + a22 e2
a20=Bc10, a22=b20,
е3,
а3 =В(с2 -
Ъ2 - Ъ2о + Ъ22 е , Ъ22
Ь3 = с2\ол
= -2
2A
2А
dl
— co-2[a2O(l-c2O)-b2oc2o]e3
d
do
Решение задачи можно считать законченным, однако для полноты решения
следовало бы выяснить, когда принятая схема реализуется. Это сводится
к определению условий, при которых круговой контур лежит внутри кон-
контура A.5.4), т.е. к решению задачи на условный экстремум. Анализ (ввиду
громоздкости не приводится) показал, что область изменения внешних
32
°х/к
2,8
2,6
2,4
2,0
1,8
1,6
1,5
3,0
2,8
2,6
2,4
2,2
2,0
1,8
1,6
1,5
1,45
d/R
1,897
1,837
1,776
1,648
1,584
1,519
1,487
2,07
1,982
1,894
1,810
1,728
1,648
1,572
1,498
1,462
1,427
со
о™ =2 к, р =
0,026
0,021
0,014
0
- 0,007
- 0,013
- 0,016
а" = 2 к, р '
0,004
0,003
0,002
0,001
0,0009
0
- 0,0008
- 0,002
- 0,002
- 0,002
с,
0, 1/R =2,5
-0,117
- 0,071
- 0,018
0,108
0,181
0,259
0,299
= 0, 1/R = 5
0,403
- 0,323
- 0,239
- 0,152
- 0,063
0,027
0,120
0,214
0,262
0,309
с2
- 0,275
- 0,206
- 0,151
- 0,072
- 0,046
- 0,027
- 0,020
0,053
- 0,039
- 0,028
- 0,019
- 0,013
- 0,008
- 0,005
- 0,003
- 0,002
- 0,001
V у
0,043
0,029
0,018
0
- 0,006
- 0,011
-0,013
0,008
0,006
0,004
0,002
0,001
0
- 0,0008
- 0,001
- 0,001
- 0,001
нагрузок, при которых реализуется принятая схема, существует. Ниже
в табл. 1.2 приведены результаты вычислений по формулам A.5.17) для
условия пластичности Треска-Сен-Венана или Губера - Мизеса. Значения
ст" = 3,0 Л и аГ = 1,5 к являются предельными для IJR = 2,5, а значения
ст~ = 3,0 к и ст" = 1,45 к предельными для 1/R = 5.
В случае одного отверстия при а~ = ст" = 2 к упругопластическая грани-
граница будет окружностью радиуса 1,64 R.
Уравнение контура L t, разделяющего упругую и пластическую области,
представим в параметрическом виде
(cos2t - Vi cost)
x — l = d\ co+(l+Ci)cost+^i^i +
1 +vj -~2v\ cost
(cos 2 t - v2 cos t
1 + v\ -2v2 cost
A.5.18)
у ~d\(\ -ci)sin t
(v i sint - sin 2 t)
1 + v, - 2 v, cos t
(y2 sinr- sin 2 t)~
1 + v\ —2v2 cos t .
3. B.M. Мирсалимов
33

Рис. 1.2
На рис. 1.2 показано при 1/R = 4, р = 0, ст~ = 2,8 к изменение упругопласти-
упругопластической границы для двух значений параметра ст" = 3 к (кривая 1) и
о™ = 2к (кривая2).
На рис. 1.3 показано при ст" = ст~ = 2fc, p = О изменение (половины
контура) упругопластической границы для двух значений геометрического
параметра 1/R = 5; 2,5 (кривые 7-2). О i - центр кругового отверстия.
4. Полоса (балка), ослабленная двумя одинако-
одинаковыми круговыми отверстиями. Пустьупругопластическое
тело, находящееся в условиях плоской деформации, ослаблено. двумя
одинаковыми круговыми отверстиями радиуса R, к контурам которых
приложены постоянные внешние усилия аг - — р; тгв = 0. На бесконеч-
бесконечности действуют напряжения, являющиеся линейными функциями декарто-
декартовых координат х и у, так что потенциалы Колосова—Мусхелишвили Ф(г)
и Ф(*) ведут себя следующим образом:
Ф(г) =
при
A.5.19)
где до, я'ь &о, b'i — известные комплексные постоянные. Такое поведе-
поведение напряжений на бесконечности имеет место, например, в балке с заглуб-
заглубленными отверстиями (характерный размер которого мал по сравнению
с шириной балки), изгибаемой постоянным моментом. В дальнейшем под-
подразумевается именно этот физический случай (изгиб полос (балок) ).
Предположим как обычно, что под действием заданных усилий возни-
возникают пластические зоны, целиком охватывающие отверстия, но не сливаю-
сливающиеся между собой. Тогда напряжения в каждой пластической области бу-
будут такими же, как и в случае с одним отверстием (см. форму-
формулы A.4.4)).
Будем считать, что центры отверстий расположены на оси х и находятся
на расстоянии 2/ друг от друга. Начало координат выбрано в точке, равно-
равноудаленной от центров отверстий.
34
Введем следующие функции:
A.5.20)
+ а0
, (z).
Согласно A.5.19) при z -»«> функции Ф,(г) и *»»(г) стремятся к нулю.
В случае чистого изгиба форма линий, разделяющих упругую и пласти-
пластическую зоны, будет одинаковой вокруг каждого кругового отверстия.
На неизвестном контуре Lj (/ = 0, 1), разделяющем упругую и пласти-
пластическую области вокруг отверстия, все. напряжения непрерывны. На основа-
основании граничных условий и соотношений Колосова—Мусхелишвили получаем
краевую задачу для определения аналитических функций Ф(г) и ^(z) и
неизвестного контура Lj
4 Re Ф(г) = 2 В In (z z ) + 4(В + С),
z A A-5-21)
z Ф (z) + Щг) = В .
z z2
Перейдем на параметрическую плоскость f с помошью преобразования
A.5.4) .Обозначим
ФМ01=?>($). *["($)] =
A.5.22)
С учетом A.5.19) и A.5.22) можно записать
*i+M0 • A-5.23)
Используя метод малого параметра [48], представим функции ip,(?)
и ф0 (f) в виде
A.5.24)
-к
где
=(e2 +2c,e4)e2 -
=-2e3a2 +3e4a3,
=3e4a2,
A.5.25)
A5.26)
2
k=l
Bj аналогично определяются через bk {к = 2, 3, 4). В качестве малого пара-
параметра принимается неизвестная величина е =d/2(l + cod)
3* 35

Решая задачу Дирихле A.5.21) для функции *.„ и используя условия
на бесконечности, получим
, - 1 A2
+ (а i,-^i ) — - jT" •
Дс0 -i4ic, +(ald-^"i)-2/l2c2 =0,
/ l
мл
A.5.27)
A.5.28)
+C4),
Й4 — J
+ 2c?).
Для определения функций *0о@ и ы(П рассмотрим функциональное
уравнение
^4
споаведливое в полной плоскости. „оч
Подставляя вьФажение A.5.26) в функциональное уравнение (L5.29)
раскладывая все функции в ряд в окрестности бесконечно удаленной точ-
кГГс^внивая члены с одинаковыми степенями f, получим бесконечную
систему уравнений для определения коэффициентов ск
(со - со)(«1 d +A,) + 2Л2A - с,) - ci(a', -^i)~ *(*i - О +
+ 2с3А2 -В = В0 -В2сх -Ь'о +Cib\,
= -B2 -b\d2,
2А2с2 +(o'ld+Al)c3 -
(a'1d+A1)c4- Bcs -
\d -
+2A2c6=0,
+2A 2c7 =0,
2A2cn+(a[d+Al)cn+1 -Bcn+2-(a'1-Al)cn+3+2A2cn+4=0
(и-2,3,4,...).
Решение системы A.5.30) имеет вид
36
где w1 и »»2 являются корнями уравнения
2Л г»*4 — (a \d — Ai)v3 — Bv2 +{a\d +/4j)f + 2v42 =0 (l^i К1, \v2 Kl),
а постоянные Cj, #i и к2 определяются из первых трех уравнений алгебраи-
алгебраической системы A.5.30).
Суммируя ряд A.5.26) с учетом A.5.31), получим
После определения функции соо (?) из функционального уравнения
A.5.29) находим функцию ф(?). Удовлетворяя условию на бесконеч-
бесконечности, получим три уравнения, определяющие постоянные Ь2,Ь3,Ь4. Эти
три уравнения и соотношения A.5.28) с учетом A.5.31) служат для на-
нахождения постоянных d,co,a2ta3,a4 и Ь2,Ь3,Ь4. Для этого удобно ис-
использовать метод малого параметра.
В случае чистого изгиба, как известно, имеем
, . М
a, =i —
4/
ei=0,
\ -I —~ , Ьо -0,
4/
A.5.33)
где М — величина изгибающего момента, / — момент инерции поперечного
сечения балки.
5.Напряжения в массиве, ослабленном двумя оди-
одинаковыми круговыми выработками, при условии
пластичности Соколовского. Предполагаются, что уровень напря-
напряжений и расстояние между отверстиями таковы,что круговые отверстия це-
целиком охватываются соответствующей пластической зоной, но в то же вре-
время пластические области не пересекаются. Используется способ аппрокси-
аппроксимации функции напряжений в пластической области бигармонической
функцией [50].
Пусть в пластическом состоянии материал удовлетворяет условию
пластичности A.4.22).
Напомним, что соответствующая этому условию текучести предельная
кривая в плоскости Мора определяет дугу циклоиды, которая в интервале
я
0о — — Л<ст„<ст0 позволяет получить достаточное приближение при об-
обработке экспериментальных данных для многих материалов (различных
горных пород и малопластичных металлов) [36].
Найдем распределение напряжений в массиве, ослабленном двумя оди-
одинаковыми круговыми выработками радиуса R, к контурам которых при-
приложены внешние условия а, = — р, тг$ =0. На бесконечности имеет место
однородное напряженное состояние
°х = о°°х , оу = о~, тху=0. A.5.34)
Центры отверстий расположены на оси х и находятся на расстоянии
2/ друг от друга. Начало координат выбрано в точке, равноудаленной
от центров отверстий. Напряжения в пластической области (см. п. 4) в
каждой пластической зоне будут такими же, как и в случае с одним от-
отверстием.
Функция напряжений ?/,, через которую выражаются напряжения
A.4.22), не является бигармонической, однако, как показывает точное
37

решение A.4.29) упрутопластической задачи для плоскости с одним от-
отверстием, контур раздела упругих и пластических деформаций весьма
близок к эллипсу. Поэтому для получения эффективного решения задачи
для многосвязной области будет вполне оправдана аппроксимация функ-
функции напряжений С/, бигармонической функцией t/j *:
?/,' =A\nr+Br2\nr+Dr2 +M. A.5.35)
Здесь постоянные A,B,D,M следует подобрать так, чтобы погрешность в
определении упругопластической границы и напряжений в упругой зоне
была наименьшей, постоянная М не существенна.
Для напряжений в упругой области справедливы формулы
+ оу = 4 Re Ф(г) + ст~ + а " ,
- а + 2irxy = 2 [(г - г)Ф\г) + Ф. (г)] +о~-о\
A.5.36)
A.5.37)
Вследствие силовой и геометрической симметрии форма контура Lj,
разделяющего упругую и пластическую зоны, будет одинаковой вокруг
каждого кругового отверстия.
Вычисляя напряжения в пластической области по функции A.5.35)
и считая, что на неизвестном контуре Lj все напряжения непрерывны,
с помощью формул A.5.36) - A.5.37) получим краевую задачу A.5.2)-
A.5.3) для определения аналитических функций Ф(г), Ф(г) и неизвест-
неизвестного контура Lj.
Поэтому можно воспользоваться решением п. 2. Приведем решение
краевой задачи с точностью е4:
+B
1
Г 1
+о-)-Ао+АМ-— <Oo($)
Г 1
A.5.38)
/ 1 В Л coo(l/f)
^Во^- (а~ - а" ),
-Л,с3 =ВХ -А1г
-Вс3 =0,
A.5.41)
Г„ +i4,cn+2 -Bcn+i =0, и = 2,3,4,...
38
A.5.39)
2 c*f~*). A.5.40)
Для определения коэффициента с^ в этом случае получается следующая |
бесконечная система: а
Решение этой системы A.5.41) имеет вид
BBt - AtB+А1[В0+0,5(а^ -<
2 -A] -AlVlB
A.5.42)
1
= "i сг,
. ,ся+1 =
Постоянные d, е, с0, а2, а3и Ь2, Ь3 определяются из следующей нелинейной
алгебраической системы уравнений:
1
d = eM4B —*
Всо=А1A+с1),
-«/ !
й2 -ХЯ С] — —
\ 2
~ 4(в
4Л0] ,
A.5.43)
-сос, + ^-
[i?o
_ 2cI)+c,[i
72 '
-с1 - с3)
2 Л Ср
d2 '
е =
Решение этой системы методом малого параметра приведено в начале
параграфа.
Постоянные А,В,С,М находятся из условия равенства первых четырех
членов разложения функций ?/, и ?/,• в ряд Тейлора в окрестности точки,
радиус^ектор гср которой равен полусумме наименьшего и наибольшего
39

радиуса-векторов точек контура:
D=-~
2
5
+ к arcsin —
кЬ
A.5.44)
In г
ср .
здесь 5 определяется из уравнения A.4.24).
Запишем уравнение упругопластической границы L в параметрическом
виде
c2(cos2r - i>,cosr)
+c0
1 +v\ -2vx cos?
L 1 +">? -2^,cosr
A.5.45)
Если при решении задачи ограничиться точностью до порядка е2, то уп-
ругопластическая граница оказывается эллипсом с полуосями d{\ +ct),
В этом случае условия, накладываемые на внешние усилия для реализа-
реализации Принятой схемы, имеют вид
d(l-Cl)>R,
1 -с,
Предельная кривая в плоскости Мора для условия текучести A.4.22)
имеет вид [36]
а„ = — Dг - sin At) - m,
к
т„ | = -
cosГ)
V 4 2
A.5.46)
Здесь а„,т„- нормальная и касательная компоненты вектора напряжения,
действующего по различным наклонным площадкам.
Для многих горных пород (уголь, песчаник, железная руда и др.) экспе-
экспериментальные предельные точки хорошо аппроксимируются уравнением
Г / а Ъ \ Т-з/8
|г„|=0,73д1 +(—-—) , A.5.47)
гдед>0, Ь>0- постоянные, имеющие размерность напряжения [51 ].
ПриА:=д, Ь>0 расчет показывает, что расхождение между кривыми
A.5.46) и A.5.47) не превышает точности аппроксимации посредством
экспериментальной кривой A.5.47) [51].
40
§ 6. Метод малого параметра
Весьма полезен при решении упругопластических задач метод малого
параметра, позволяющий находить решение, близкое к уже известному
точному. Возмущению можно подвергать как форму тела, так и граничные
условия.
Следуя Д.Д. Ивлеву [12, 13], рассмотрим решение некоторых плоских
упругопластических задач для идеально пластического тела с криволиней-
криволинейным отверстием, близким к круговому.
Решение задачи ишем в виде рядов по степеням малого параметра
ар= ? е*а<*>, ад = ? е* ов{к\ трв = ? ек TpV ¦ A.6.1)
к=0 Р fc=O k=0
Здесь Ор, ав , трв - компоненты напряжений в полярных координатах р, в,
е — малый параметр, характеризующий отклонение формы отверстия от
кругового.
В качестве условия пластичности для плоской деформации примем ус-
условие
- (ор-овJ +Грв = 1. A.6.2)
4
Здесь и в дальнейшем компоненты напряжений отнесены к постоянной,
стоящей в правой части условия пластичности.
Подставляя в условие пластичности A.6.2) разложение A.6.1) и прирав-
приравнивая члены при одинаковых степенях е npitrffi = 0, получим
Р
рв рв
(аD)_„D)M+_(аB) _аB)J+2тA) C) +гBJ =0
v р V ' л Р в рв рв рв
A.6.3)
где 5 = sign (а° - а° ).
Пусть на контуре отверстия L заданы нормальное и касательное напря-
напряжения
°п=Р, тгп=т. A.6.4)
Здесь t и п — направления соответственно касательной и нормали к конту-
pyl.
Уравнение контура отверстия L представим в виде
р= 2 екрк@) (ро= const).
к=0
A.6.5)
Подставляя в граничные условия A.6.4) разложения A.6.5) и учитывая,
41

что для компонент напряжений ап и rtn справедливы разложения
On = 2 e*
k=0
получим
2 2 e
= 2
m = 0
= Y
к=0
A.6.6)
dp
oo oo
2 2 ek+m
0
p
,m
d'
n
dpm
(Pi
> (p
+ ep2
от!
(Pi
, +ep2 +
от!
+ ...г
+ ep2 + .
*
¦•)
.)'"
m
A.6.7)
= 2
dpm от!
rf"V (p, +ep2 +...)
dpm от!
A.6.8)
В линеаризованных задачах теории пластичности необходимо записать
граничные условия через компоненты основной системы координат. По
формулам теории упругости имеем
ап = ор cos20* +ав sin20* +2трв sin б* cos б*,
Тм =(<>е -op)sine* cosfl* +трв(со&2в* -sin20*). A.6.9)
Здесь в* =0,-0 (рис. 1.4).
Рис. 1.4
После преобразований искомые линеаризованные граничные условия бу-
будут иметь вид
р +
dp
, Pi -~7~Pl'
dp dp
Трв -(Од -ap )Ri=
dp
42
dp
da,
@)
dp2
2!
dp
dp2 2! + dp
dp2 2! dp
P2,
iap d ap Pl d of
dp dp2 2! dp3
-RlRt)
dp
dr
(i)
dp3 3!
.C) - (i
da
<°>
dp
da,
@)
¦ p2 +-
dp dp
d3p Pi d2p
P1P2
dp2
dp
@) „@)
Рз
A.6.10)
-R1R1 -
d
dp
7T [гр7(аГ^Г)Л
dp
d3r p? d2r dr
+
P?
dp
77 7
dp3 3!
—-7- P1P2 +— Рз-
dp2 dp
(i)
Здесь Rf = Pj/Po, a R = dR/dd означает дифференцирование по в.
На границе Ls раздела упругой и пластической зон все компоненты на-
напряжений непрерывны ')
[оР] = [ов]=[трв]=0. A.6.11)
Если уравнение контура Ls представить в виде
р= 2 ekpks(§),
к = О
A.6.12)
') Ниже, как обычно, квадратные скобки означают скачок значений функции,
заключенной в них, при переходе через границу Ls. Равенство нулю соответствует
отсутствию скачка.
43

то можно получить линеаризованные условия сопряжения
.О)
Трв
do
(О)
-Pu
A)
Од +
.С)
dr,
(О)
Рв
dp
Psi =0,
dp
Psi +¦
Psi
dp
do,
Pls\ =
@)
2!
P*2 = 0,
B)
B)
pf,
@)
dp
dr,
(i)
Pe
dp
Psi
dp2
2!
"P*2
и
A.6.13)
dr
@)
2!
dp
Psi =
.@)
При rp0 = 0 из уравнений равновесия и условий сопряжения следует,
что [do(p0)/dp]=0mLs.
Таким образом, при определении А:-го приближения условия ор и трв
не содержат члена PkS- Величина Pks определяется из условия сопряжения
(*) (*) (к)
компоненты ов , а ор итрв играют роль граничных условии для опре-
определения напряжений в упругой области.
Уравнения равновесия
Ъо
¦P , qP~qg +.
Этп
дтп
2тп
A.6.14)
dp р р Ъв рЪв Ър р
будут удовлетворены, если напряжения выразить через функцию напряже-
напряжений
P Эр
P
(fc)
A.6.15)
Эр2
Э
^P
/1 9t/<fc>\
\ р Эб /
Подставив A.6.15) в линеаризованные условия пластичности A.6.3),
получим последовательность линейных уравнений для определения функ-
функции напряжений
Наибольшую трудность и интерес представляет отыскание границы Ls
пластической области.
Рассмотрим некоторые приближенные решения.
1. Двуосное растяжение толстой пластины с круго-
круговым отверстием радиуса й усилиями о^ио". Для кон-
контура границы пластической зоны имеем
3 , 5
ps= I +ecos26 - - е2 A -4cos0)+ - е3 (-cos 20 + cos60)+
8
+ — е4 (-1 - 4 cos 40 +5 cos 86) + . ..
64
A.6.16)
Здесь е = (a~ - a
Разложение A.6.16) совпадает с разложением уравнения эллипса с полу-
полуосями A + е), A — е), являющимся точным решением этой задачи.
2. Эксцентрическая труба под действием внут-
внутреннего давления. Рассмотрим упругопластическое напряженное со-
состояние эксцентричной трубы, радиусы которой равны а и Ъ, эксцентриситет
ff
Рис. 1.5
00! = с, находящейся под действием внутреннего давленияр (рис. 1.5).
Уравнение внешнего контура трубы будет
(х-сJ +у2=Ъ2.
Так как х = г cos 0, у = г sin 0, то будем иметь
р= 1 +ecos0 - — e2 sin20 +...
2
Здесь е = с/b, р = r/b.
Для границы пластической области можно получить
p. = fi0 - e cos0 +e2 { — rr
1-Й I A -Po)(l-Po?
Фо - IL
^o4
О-0О4)
4J
O-0o)
[0
-^o2)
2\2
-^2J -4A +4/Зо4)]
cos 20 J +.
гдеА,=г,°/Ь.
На рис. 1.5 приведена граница пластической области при &
вая 1 — первое приближение, кривая 2 — второе приближение).
A.6.17)
= 0,6 (кри-
45

3. Эллиптическая труба под действием внутрен-
внутреннего давления. Рассмотрим упругопластическое напряжение состоя-
состояние трубы с малой эллипсностью, находящейся под действием внутреннего
даления р, при плоской деформации. Решение ищем вблизи осесимметрич-
ного напряженного состояния круглой трубы под действием внутреннего
давления при плоской деформации. Запишем уравнения внешней и внутрен-
внутренней границ эллипса соответственно в следующем виде:
р= 1 +ed2 cos2@-0o), p = - A + edx cos20),
b
где a, b - внутренний и внешний радиусы осесимметричной трубы, p = rjb,
d\,d2 — параметры.
Метод малого параметра позволяет легко получить напряжения в пласти-
пластической области [14]:
ip 2dta Г / г \ 1 г \ 1
ор = V3 sink/^ln- -cos v^In - cos26,
r t- \ a I \ all
iP 2dxa Г / Л I r- г\Л
°в = V3 sinl V3 In —I -cosl V3 1n— I cos20, A.6.18)
r I \ a/ \ a 'I > к >
\p Adxa I r\
Tre = ~ cos I V3 In — I sin 20.
Ввиду громоздкости выражения для напряжений в упругой области не
приводим. В частном случае, когда 0О =0,
20 I Г 1 1 1
арв = ~ V,—ТгТТ I d*Po A + 200 ) + 30.4 -— - 20^ B +0^) -— +
U -01) I L р4 р2 J
dxa ,
+ -L-\ B
Г
-
+go A+ 3gg >i-
(.1 -Po
y/3 dxa
dxa
трв =
y/3dxa
1 11/ r° \ 1
— - 2 A + 2fo2) -г cos ( V3"ln — cos 20,
p p J V a / >
L p
46
[ B + 0o2) + 30O2 4r - 6p2 j cos( V3"ln — ) } cos 26,
20o f Г + 2 4 _[_ 2 2 2
ixa Г 242
!o)bL ° °
A.6.19)
1
^)— -C+/302)p2
p4
-3p2 +A +2/302) \ cos( V31n—jj sin26.
Для границы пластической области в этом частном случае имеем
a
IA
n^- cos 20.
A.6.20)
§ 7. Плоскость, ослабленная периодической системой
круговых отверстий [71 ].
1. Постановка задачи. Рассмотрим упругопластические задачи
для плоскости, ослабленной бесконечным рядом круговых отверстий
(рис. 1.6). Предполагается, что уровень напряжений и расстояние между
отверстиями таковы, что круговые отверстия целиком охватываются соот-
соответствующей пластической зоной, но в то же время соседние пластические
области не сливаются.
Пусть имеется плоскость с круговыми отверстиями, имеющими ради-
радиус R (R < 1) и центры в точках Рт = тш (т = 0 ± 1, ±2) со = 2. Обозначим
контур отверстия с центром в точке Рт через Lm, соответствующую упру-
гопластическую границу через Гт, а внешность Гт — через Dz.
На контуре отверстия Lm граничные условия имеют вид
Ог = -Р, тгв =0. A.7.1)
t t f I It t
j I I I I I I
Рис. 1.6
47

Будем считать, что поле напряжений в пластической зоне имеет вид
А
аг= — +ВA +21пг) + 2С,
А A.7.2)
oe=-— + ЯC+21пг) + 2С, т>в=0,
г2
где А, В и С — некоторые постоянные величины.
Выражение A.7.2) для осесимметричного поля напряжений характери-
характеризуется тем, что при соответствующем подборе коэффициентов оно удов-
удовлетворяет некоторым условиям пластичности, учитывающим пластичес-
пластическую неоднородность.
В упругой области напряжения определяются по формулам Колосо-
Колосова — Мусхелишвили A.1.9).
На неизвестном контуре Гт, разделяющем упругую и пластическую
области, все напряжения непрерывны. Используя формулы A.1.9) и A.7.2),
получим граничные условия на контуре
1
Re<J> (z) = — In (zг) + В + С,
z
Z
А
A.7.3)
A.7.4)
2. Решение краевой задачи. Перейдем на параметрическую
плоскость f с помощью преобразования z = co(f). Аналитическая функция
z=co(f) осуществляет конформное отображение области Dz на область D$
в плоскости f, являющуюся внешностью окружностей lm радиуса X с цент-
центрами в точках Рт.
Для определения трех аналитических функций i^(f) = <D[co(f)], i//(f) =
= Ф [со (f) ] и со (f) получаем нелинейную краевую задачу на 1т
Re^.(f) = 5 + C+ - 1п(со(Г)со1Г)), A.7.5)
A.7.6)
Решая задачу Дирихле A.7.5), найдем, что в области D$
^(f) = ? + C + lnco(f)-51n- . A.7.7)
X
Учитывая A.7.7), граничное условие A.7.6) можно преобразовать к виду
"'(Г) (Г) *«•) = *-
со2 (f) -Аи' (Г),
Искомые функции у (f), iA(?) и со (f) ишем в виде рядов
A.7.8)
A.7.9)
48
co(f) = f+ 2
k = 0
A.7.10)
BЛ + 1)!
где
Р(Г):
=/_n_\2 i
"\со/ sin2Gr
f/co) 3 \co
JL L
Знак штрих у суммы означает, что при суммировании исключается ин-
индекс т = 0.
Приведем зависимости, которым должны удовлетворять коэффициен-
коэффициенты выражений A.7.9)-A.7.10). Из условий симметрии относительно коор-
координатных осей находим, что
°, k = 0, 1,2,... A.7.11)
Нетрудно убедиться, что соотношения A.7.9) —A.7.11) определяют
класс симметричных задач с периодическим распределением напряжений.
Из условия равенства нулю главного вектора сил, действующих на дугу,
соединяющие две конгруэнтные точки в ?>{¦, следует, что
7Г
24
A.7.12)
В силу выполнения условий периодичности система граничных усло-
условий A.7.8) на 1т (т =0, ±1, ±2,...) заменяется одним функциональным
уравнением, например, на контуре /о •
Для составления уравнения относительно остальных коэффициентов вы-
выражений A.7.9) —A.7.10) функций i^(f), ф (f). w(f) разложим эти функ-
функции в ряды Лорана в окрестности точки f = 0:
«2fc + 2
+ ! <*2k+2X2k+2 2 Чк?1, A.7.13)
к = О / = О
/ = о
2
= 0
2
/ = о
«2fc+2
A.7.14)
k=o
2k+2
t2fc + l
k = 0
4. B.M. Ми реал и mob
/ = О 2/ + 1
A.7.15)
49

Здесь
1
l)!22'"
+2k+2
m
2j+2k+2
Подставив в граничные условия A.7.5), A.7.8) на контуре /0 (f = Хе'в)
вместо у(Г). ^(f) и w(f) их разложения A.7.13) —A.7.15) и сравнивая
коэффициенты при e2ike (к = 0, ± 1, ±2,...), получим (продифференциро-
(продифференцировав условие A.7.5) предварительно по в) бесконечную систему нелиней-
нелинейных алгебраических уравнений относительно <х2к,р2к,А2к- Ниже приводят-
приводятся уравнения первого приближения
XD + YD2 +ZDt =B(Da-A2D1 +alD2)--^ ,
x о-7-16)
AA2
XD2 + ZD = B(D2a-A2Dl)-AA2\2ri0,
2a2(l+X4rlt0)d = Bdl,
+A2y0, Y = ap
2$2\*rx<0, a= 1 + A
ол, D1=-2aA1,
= - A2X4r1>0,
= a2 - -
D2 = - A2aX4r0>1,
7/
+ ^ Xlor?,o). dl=-7aA2 \\ - - X4r1>0),
+ /V/,i X2/+4 - 2 B/ + 2)a2X2>+2/y,0, / = 0,1.
3. Анализ решения. Для получения соотношения, связываю-
связывающего параметр X с приложенной нагрузкой р, подставим выражения для
i^(f) из первой формулы A.7.9) и w(f) из формулы A.7.10) в краевое
условие A.7.5), умножим полученное выражение на l/27r/f и проинтегри-
проинтегрируем по круговому контуру /0. В результате получим
а0
) •
¦^2k+2r = В + C + В In ( X+ 2
fc = 0 ' к = О
A.7.17)
Граничные условия на контуре отверстия Lm A.7.1) и условия текучес-
текучести определяют величины А, В и С.
Рассмотрим некоторые частные случаи.
а) Условие пластичности Т ре с к а-С е н-В ен а н а или
Губера—Мизес а. Пусть в пластической зоне выполняются соотноше-
соотношения I ов — ог | = 2к (к — постоянная пластичности).
В этом случае, согласно A.7.1), A.7.2), имеем
/4=0, В=±к, С=-— - — 0 +21пЛ).
2 2
50
Л
0,6
0,4
0,2
/
у
1
//
/
V
1/
/f
/
/
1
9
*/
L
!
f /
/
у
Is
1
1
1
/
1
/
2
Рис. 1.7
р/к0
Здесь знак при к выбирается из физических соображений. Результаты
расчета на ЭВМ в первых двух приближениях даны в табл. 1.3. На рис. 1.7
представлены зависимости (сплошными линиями) параметра X от прило-
приложенной нагрузки р/к для значений радиуса Л = 0,5 -^ 0,1 (кривые 7-5).
б) Неоднородно-пластический материал. Пусть теперь
условие пластичности имеет вид
ов - ог = 2 к0 + кг I —
Здесь к0 и &i — постоянные материала.
Это условие пластичности можно рассматривать как обычное условие
Треска—Сен-Венана с пределом текучести, зависящим от радиуса. В этом
случае, согласно A.7.1) и A.7.2), имеем
1
С= -
-к0 -p-2kolnR).
Результаты во втором приближении даны в табл. 1.4 для следующих зна-
значений параметров неоднородности klR2jk0 - 0,09; —0,045.
На рис. 1.7 штриховыми кривыми 6, 7 для сравнения представлены за-
зависимости X от величины р/к0 при R - 0,3 для следующих значений парамет-
параметров неоднородности кi/k0 = 1; —0,5 соответственно.
в) Экспоненциальное условие текучести. Пусть усло-
условие пластичности имеет вид
+ов
ог-ов = 2к\ 1 - ехр I
сти имеет вид
Г / О0 Ог + Од \ 1
Здесь к > 0 и
пряжений.
о0 > 0 — постоянные материала, имеющие размерность на-
51

Й
Таблица 1.3
X
02 Ik
0jk
Аг
cjk
02/к
0,1k
0jk
л,
л.
а, /к
а,/к
0,2
1,00060
0,029082
-0,02904
0,02902
1,00061
0,02911
0,00238
-0,02903
-0,00155
0,29010
0,00010
0,3
1,00319
0,05733
-0,05697
0,05676
1,00322
0,05757
0,00888
-0,05687
-0,00558
0,05667
0,00030
0,4
0,5
Первое приближение
1,00769
0,08726
-0,08592
0,085028
1,01406
0,11607
-0,11278
0,11005
Втрое приближение
1,00758
0,08783
0,01821
-0,08549
-0,01048
0,08460
0,00009
1,01348
0,11650
0,02492
-0,11169
-0,01131
0,10898
-0,00176
0,6
1,02267
0,14352
-0,13708
0,13037
1,02066
0,14264
0,02467
-0,13500
-0,00477
0,12846
-0,00605
0,7
1,03506
0,17129
-0,16003
0,14586
1,03017
0,16793
0,02195
-0,15631
0,00414
0,14284
-0,01104
0,8
1,05520
0,20279
-0,18362
0,15692
1,04468
0,19617
0,02734
-0,17599
0,00573
0,15130
-0,01312
Таблица 1.4
X
Pjk,
0,Ло
0JK
А*
А,
<*,/*„
<*„/*«
04 Ik,
0«До
Аг
<4,
"г/к.
ajk.
0,09
-0,045
0,2
3,27270
-0,33527
0,10828
-0,09458
-0,00504
0,09394
-0,0027
-0,12456
-0,01161
-0,00038
0,00362
0,00019
-0,00361
-0,00007
0,3
2,03026
-0,11637
0,08492
-0,11431
-0,01117
0,11326
-0,00266
0,49874
0,05709
0,00252
-0,02838
-0,00279
0,02828
0,00055
0,4
1,60176
-0,01791
0,08469
-0,13470
-0,01644
0,13269
-0,00317
0,71809
0,09746
0,00752
-0,06123
-0,00754
0,06061
0,00082
0,5
1,40915
0,04315
0,08652
-0,15362
-0,01554
0,14946
-0,00562
0,82206
0,12858
0,01133
-0,09112
-0,00927
0,08891
-0,00048
0,6
1,31016
0,08694
0,08332
-0,17103
-0,00635
0,16259
-0,01059
0,88155
0,15494
0,00938
-0,17739
-0,004.11
0,11164
-0,00424
0,7
1,25783
0,12304
0,08017
-0,18771
0,00402
0,17172
-0,01577
0,92148
0,17975
0,00501
-0,14098
0,00399
0,12865
-0,00899
0,8
1,23598
0,16020
0,08842
-0,20369
0,00494
0,17564
-0,01715
0,95417
0,20669
0,00808
-0,16248
0,00580
0,13937
-0,01128

Это условие текучести описывает предельное состояние некоторых гор-
горных пород [4]. В этом случае, согласно A.7.1), A.7.2), имеем
А = -ке~2Г2Я2, В=-к, С=— -klntR-1,
где t — постоянная, являющаяся корнем уравнения
к~1 (а0 +р)- 1 = е~2Г2 + 21iU
г) Условия текучести в пластической зоне A.4.19).
В этом случае, согласно A.7.1), A.7.2), постоянные Л, В и С будут иметь
значения
2r2R-2, B=-k, C=2y~1 [ao+kln(R2r2)].
Рис. 1.8
Здесь t — постоянная, являющаяся корнем уравнения
к'1 I а0 +р + — | - 1 =е~2Г2 +21nr,- t>e~l при 7 = 0,
к'1 [2а0+р+ —f)-l+2]nR=4\nt+e'lt'2, t>e'1 при у=\.
\ R. '
Положив в A.7.15) f = \eie, получим уравнение упругопластической
границы
г=!со(Хе'в)|=/@).
В первом приближении
г2 =X2(rf+diCos20),
причем
=х
!
/ = о 2/ +1
1+Х2 2
2
у = о 2/ + 1
A.7.18)
A.7.19)
На рис. 1.8 упругоппастическая граница представлена при условии теку-
текучести Треска—Сен-Венана для случая
Л =0,3, р = 2,12Л (Х = 0,7, rmax=0,81, rmin=0,58).
54
Из условия /"min ^ R определяется наименьшая нагрузка, при которой
контур отверстия целиком охватывается пластической зоной. Соотноше-
Соотношение A.7.18) при rmax < 1 позволяет найти наибольшую нагрузку, при ко-
которой пластические зоны касаются одна другой.
До сих пор средние напряжения в плоскости принимались равными
нулю. Пусть в плоскости имеют место средние напряжения (растяжение или
сжатие на бесконечности)
= 0. A.7.20)
а у - а у
ах их > "у ~ иу > 'ху
В этом случае комплексные потенциалы отыскиваются в виде
а.
"х +ау
+*>«¦),
av — ах
= У
+ Ф (Г),
определены соотношением A.7.9).
4. Метод возмущений. Теперь рассмотрим решение периоди-
периодической упругопластической задачи методом, изложенным в § 5, т.е. с ис-
использованием метода возмущений. Решение этой задачи во втором прибли-
приближении, т.е. с точностью до порядка е4,определяется соотношениями A.5.5),
(-1.5.8), A.5.15) § 5, в которых следует положить
е2 +2ciae4)a2 +ае4д4, Аг=0, Аг=1пгеАаг,
I *2 , Л
= 1 — е2 +2ciae4la2
1 d
2 -г, е = т,
п = 1 П I
ВеличиныBj,j = 0,2 аналогично связаны сЪк,к = 2,4,
S
= [242
...Л
Г ($ ~
,, |,
) J
1
Постоянные d, ak, Ьк определяются из системы алгебраических уравнений
A.5.9), A.5.11), A.5.12), A.5.16) §5, в которой нужно положить с0 =0,
сг =с4 =0, с5 =с3Х2.
В первом приближении (с точностью порядка е2) для условия пластич-
пластичности Треска—Сен-Венана упругопластическая задача решена А.С. Космода-
мианским [15]; для экспоненциального условия текучести задача рассмот-
рассмотрена Б.Д. Анниным [5].
55

§ 8. Плоскость, ослабленная двоякопериодической системой
круговых отверстий [66,69]
1. Квадратная сетка отверстий. Рассмотримупругоплас-
тические задачи для бесконечной перфорированной плоскости с квадрат-
квадратной сеткой круговых отверстий. Предполагается, что уровень напряжений
и шаг сетки таковы, что круговые отверстия охватываются соответствую-
соответствующей пластической зоной, но в то же время соседние пластические области
не сливаются.
Пусть имеется двоякопериодическая квадратная решетка с круговыми
отверстиями, имеющими радиус Л (R > 1) и центры в точках
Рт„=тш1 +пш2 (т,п=0,±\,±2,...) ш1=2, со2 = 2/.
Обозначим контур отверстия с центром в точке Ртп через Lmn, соот-
соответствующую упругопластическую границу через Тт'„, а внешность конту-
контуров Гт„ через Dz.
На контуре отверстия Lmn граничные условия имеют вид
ог = -Р, тгв=0. A.8.1)
Будем считать, что поле напряжений в пластической зоне имеет вид
A.7.2). Ради удобства повторим формулировку краевой задачи. На неиз-
неизвестном контуре Гт„, разделяющем упругую и пластическую области, все
напряжения непрерывны. Используя формулы A.7.2) и соотношения Коло-
Колосова—Мусхелишвили A.1.9), получим на контуре следующие условия:
КеФ(г)=В
1
— In (zl),
z z2
A.8.2)
A.8.3)
Перейдем на плоскость f с помощью преобразования z = со (f), осуществ-
осуществляющего конформное отображение области Dz на область ?>? в плоскости
fTявляющуюся внешностью окружностей утп радиуса X, с центрами в точ-
точках Ртп.
Для определения трех аналитических функций <^>(f) = O[w(f)L lK?) =
*[(f)] w(f) получаем нелинейную краевую задачу A.75)— A.76)
A.8.4)
A.8.5)
A.8.6)
Искомые функции ищем в виде рядов
к = О
2 а2к+2
к = О
(Г) = А. + 2
к = О
к = О
Bk ¦>
^2k + 2
56
BА;
Где 7(f) _ эллиптическая функция Вейерштрасса, G(f) - специальная
мероморфная функция.
Приведем зависимости, которым должны удовлетворять коэффициен-
коэффициенты представлений A.8.4)-A.8.6). Из условия равенства нулю главного
вектора сил, действующих на дугу, соединяющую две конгруэнтные точки
-, следует, что
8
A-8.7)
Условия симметрии для квадратной решетки приводят к соотношениям
*,l,... О-8-8)
Для составления уравнений относительно остальных коэффициентов
выражений A.8.4)-A.8.6) функций ^>(f). iKf) и w(f)' разложим эти
функции в ряды Лорана в окрестности точки f = 0:
+ 2
Г"
1 \\
*>(Г) = ао + 2 aAkl — 1
к — 1 \ S /
k=0
2
k=0
Х 2
1 = 0
2 ггигк_х?',
1=0
/ = <
-A.8.9)
j.4/42 _
A.8.10)
W(S)af-k?il*^"^
+ 2 А4к\Ак 2
oo r2j,2k-l{-
к = i / = о 4/ + 1
Здесь
л* B/)!B*+1)!22>+2*+2
,n 7127
A.8.11)
A.8.12)
1)!22/+2к+2
,= 2'
m, л
Г=уРт„.
A.8.13)
Подставив в граничные условия A.7.5), A.7.8) на контуре7оо (f = ^в)
вместо i^(f). «/'(f) и co(f) их разложения в ряды Лорана и сравнив коэф-
коэффициенты при е'Аке (к = 0, 1, ...), получим бесконечную систему нели-
нелифф 0
ф р ( )
нейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов аАк, *
Ак (условие A.7.5) было предварительно продифференцировано по в).
57

Таблица 1.5
0,2
ft/*
0jk
Л,
««/*
0,/к
0,/к
0i о А
Л,
At
ajk
а,/к
1,0000
0,0028
0,0028
0,0009
1,0000
0,0028
О
- 0,0028
О
0,0009
О
0,3
1,0000
0,0142
-0,0142
0,0047
1,0000
0,0142
0,0003
- 0,0142
0
0,0047
0
0,4
Первое приближение
1,0006
0,0425
- 0,0424
0,0141
Второе приближение
1,0006
0,0425
0,0022
- 0,0424
- 0,0004
0,0141
0,0002
0,5
1,0026
0,0878
- 0,0876
0,0291
1,0026
0,0879
0,0083
- 0,0876
- 0,0006
0,0291
0,0003
™ " —
0,6
1,0059
0,1298
- 0,1289
0,0424
1,0059
0,1299
0,0084
-0,1294
0,0085
0,0425
- 0,0036
0,7
1,0431
0,2671
¦ 0,2634
0,0956
1,0634
0,2423
0,0147
0,2357
0,0208
0,1236
0,0107
Таблица 1.6
Pi К
*./*.
Со/*о
А,
Л,
",/*о
<*./*о
01 До
0JK
0io/*o
Л4
Ль
<*,/*„
с. До
ktR*/k0
0,09
-0,045
0,2
3,25
0,0009
0
- 0,0092
0
0,0031
0
- 0,125
- 0,0005
0
0,0003
0
- 0,0001
0
0,3
2,0004
0,017
0,0007
- 0,0284
- 0,0001
0,0095
0
0,5
0,0085
0
- 0,0071
0
0,0024
0
0,4
1,5645
0,0515
0,0044
- 0,0663
- 0,0006
0,0221
0,0002
0,7189
0,0339
0,0012
- 0,0305
- 0,0003
0,0102
0,0001
0,5
1,3664
0,1023
0,0134
-0,1192
- 0,0008
0,0396
0,0003
0,8213
0,0771
0,006
- 0,0717
- 0,0005
0,0238
0,0002
0,6
1,2625
0,1472
0,0101
-0,1622
- 0,0109
0,0532
- 0,0046
0,8785
0,119
0,007
-0,113
0,0073
0,0371
- 0,0031
0,7
1,1957
0,2847
0,0191
- 0,2901
0,0207
0,1471
- 0,01 Z7
0,9147
0,2213
0,0132
- 0,2149
0,0167
0,1138
- 0,0093

Ниже приводятся уравнения первого приближения
Аа
Xci + Yc2 +Zc3 =B(aCi +c2b +c3cA) — >
Xc3
Xc2
X = ab
Z = ay0
+ ac2)-AAAr2l X6,
A.8.14)
a=
2
15
r2A-
= y &44X8r2
~
* -*** (y - j X'ratl),
A.8.15)
^4/+6 (/ = 0, 1).
Для получения соотношения, связывающего параметр X с приложенной
нагрузкой р, подставим формулы A.8.4) и A.8.6) в краевое условие
A.7.5), умножим полученное выражение на l/27r/f и проинтегрируем по
круговому контуру 7оо- В результате получим
= 1
к = 1
A.8.16)
Граничные условия на контуре отверстия Lmn A.8.1) и условия теку-
текучести определяют величины А, В и С.
Рассмотрим некоторые частные случаи. Для условия пластичности Трес-
Треска— Сен-Венана или Губера—Мизеса результаты расчета в первых двух приб-
приближениях даны в табл. 1.5.
На рис. 1.9 представлены зависимости (сплошными линиями) парамет-
параметра X от приложенной нагрузки р/к для некоторых значений радиуса от-
отверстия R = 0,5 -г 0,1.
Для неоднородно-пластического материала результаты расчета во втором
приближении даны в табл. 1.6 для следующих значений параметров неод-
неоднородности kiR*lk0 =0,09;-0,045.
На рис. 1.9 кривыми 1, 2 (штриховыми линиями) для сравнения пред-
представлены зависимости параметра X от величины нагрузки р/к0 при R = 0,3
для значений параметров неоднородности к^ /к0 - 1; —0,5 соответственно.
Положив в A.8.11) f = Хе'в, получим уравнение упругопластической
границы
60
В первом приближении
г2 =\2(d-2dlCos4e),
A.8.17)
причем
'¦I-T-M.^7^-
A.8.18)
A.8.19)
Из условия rmjn > R определяется наименьшая нагрузка, при которой
контур отверстия целиком охватывается пластической зоной. Соотноше-
Соотношение ('.8.18) при rmax < 1 позволяет найти наибольшую нагрузку, при ко-
которой пластические зоны касаются одна другой.
2. Треугольная сетка отверстий. Рассмотрим упруго-
пластические задачи для бесконечной перфорированной плоскости с тре-
треугольной сеткой круговых отверстий. Предполагается, что уровень напря-
напряжений и шаг сетки таковы, что круговые отверстия целиком охватываются
соответствующей пластической зоной, но в то же время соседние пласти-
пластические области не сливаются.
Рассмотрим двоякопериодическую решетку с треугольной сеткой кру-
круговых отверстий, имеющих радиус R (R < 1) и центры в точках
т, п =0, ±1, ±2,.. .,
oji =2, со2 = 2е
Обозначим контур отверстия с центром в точке Ртп через Lmn, соответ-
соответствующую упругопластическую границу через Гт„, а внешность конту-
контуров Гт„ через Dz.
На контуре отверстия Lmn граничные условия имеют вид
= 0. A.8.20)
ог = -Р,
'гв
Будем считать, что поле напряжений в пластической зоне описывается
формулой A.7.2).
Л
0,6
0,4
0,2
/
w у
/
I
4
*'.
/
f
ц
У
/
у
\
У/
//
/
>
7
1
Ф
/
1
If
j
/
3
1
1
Рис. 1.9
61

В упругой области напряжения определяются по формулам Колосова-
Мусхелишвили A.1.9). На неизвестном контуре Гт„, разделяющем упру-
упругую и пластическую области, все напряжения непрерывны. Используя фор-
формулы A.7.2Х и A.1.9), получим граничные условия A.8.2), A.8.3) на
контуре ГОо-
Введем аналитическую функцию z = w(f), конформно отображающую
область Dz на область D$, являющуюся внешностью окружностей утп ра-
радиуса Л с центрами в точках Рт„.
Для определения трех аналитических функций (/>(f) = <X>[w(f)]> Ф($) =
= Я?[ш (f)] и w(f) получаем нелинейную краевую задачу A.7.5) —A.7.6)
на Too-
Искомые функции ищем в виде рядов A.8.4) - A.8.6).
Приведем теперь зависимости, которым должны удовлетворять коэффи-
коэффициенты выражений A.8.4)-A.8.6). Из условия равенства нулю главного
вектора сил, действующих на дугу, соединяющую две конгруэнтные точки
в D$, следует, что
ао=ч/3"/12тг^Х2, А>=0. A.8.21)
Условия симметрии для треугольной решетки имеют вид
3 )=е 3 фЦ), Me3
приводят к соотношениям
a6fc±2
при к = О, 1,. . .
A.8.22)
A.8.23)
1Я составления уравнений относительно остальных коэффициентов функ-
й ^(f). Ф($) и w(f) разложим эти функции в ряды Лорана в окрест-
сти точки f = 0:
1=0
r3/ 3fc_,
6fc+2
- S
/ = <
1-6/+4
A-8.24)
A.8.25)
+ S
: S
/ = о
6/+1
A.8.26)
вторяя рассуждения п. 1, получим уравнения первого приближения:
Аа
Хсу + Усг + %Сз =В(ас1 +СгЬ )
АА
Хсг + YCl = B(bct +ac3) - -~
Хсг
a6(l
+ac2)-AA6r32\10,
A.8.27)
где
= 07о +^6Ti + ¦<'
= -~Л6Х12г32, с, =а2
= — &46Х12г32, с3 =
2, а=1+Л6Х%2,
2
35
2
— оЛ6,
1
Л Т -х о —
0 = 0,1).
Для получения соотношения, связьюающего параметр X с приложенной
нагрузкой р, подставим формулы A.8.4) и A.8.6) в краевое условие A.7.5),
0,8
А
0
4
/
/
у
У
г
1
3 р/кп
= l
Рис. 1.10
умножим полученное выражение на 1/27п? и проинтегрируем по круговому
контуру у00. В результате получим
А6кК гО,Ък-\>-
A.8.28)
Приведем результаты расчетов для некоторых частных случаев.
а) Неоднородно-пластический материал. Результаты
расчета в первых двух приближениях для следующих безразмерных значе-
значений параметров неоднородности: klR2/k0 - 0,09; —0,045 даны в табл. 1.7.
На рис. 1.10 кривыми 1, 2, 3 представлены зависимости параметра X
от приложенной нагрузки р/к0 при R = 0,3 для значений параметров неод-
неоднородности ki/к0 = 1;0; -0,5 соответственно.
63

Таблица 1.7
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
ftAo
ftA.
ftAo
ftA.
ftAo
<4.
«.До
ftAo
ftAo
3,25
0,00005
- 0,00047
0,00009
3,25
0,00005
0
• 0,00047
0
0,00009
0
-0,125
- 0,00003
0,00002
0
0,125
0,00003
0,09
2,0
0,002
0,0033
0,00066
2,0
0,002
0,00001
0,0033
0
0,00066
0
0,5
0,001
0,00083
0,00016
0,5
0,001
Первое приближение
1,5625
0,0113
- 0,0146
0,0029
Второе приближение
1,5625
0,0113
0,00017
-0,0146
0
0,0029
0
klRtlkl> =-0,045
Первое приближение
0,7187
0,0075
- 0,0067
0,0013
Второе приближение
0,7187
0,0074
1,3605
0,0412
- 0,0481
0,0096
1,3605
0,0409
0,0023
- 0,0473
0
0,0096
- 0,00004
0,8201
0,0311
- 0,029
0,0058
0,8201
0,0309
1,2538
0,1128
0,1248
0,0249
1,2532
0,1090
0,0122
¦ 0,1209
0,00078
0,0241
0,00036
0,8766
0,0919
- 0,0874
0,0174
0,8764
0,0888
1,20
0,23
- 0,2427
0,0477
1,1947
0,2018
0,0180
- 0,217
0,0216
0,0428
0,0029
0,9198
0,1955
0,0874
0,0367
0,9139
0,1719
во
2
43
S
в
Л,,
«.А.
о
0,00002
О
О
О
О
0,00083
О
0,00016
о
0,00005
- 0,0067
О
0,0013
О
0,0009
0,0288
О
0,0058
0,00002
0,007
0,0846
0,0054
0,0169
0,00019
0,0135
- 0,166
0,0164
0,0327
- 0,0021
Таблица 1.8
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
а =0,01
ftA
ftA
/з,4 А
Ас
Л, 2
в. А
а,, А
ftA
ftA
0,4 А
Аб
Л, 2
а. А
а,, А
у, _________
-0,75
- 0,00012
0
-0,00011
0
- 0,00002
0
1,5
0,00044
0
0,00022
0
0,00004
0
- 0,8888
- 0,0015
0
- 0,0015
0
- 0,00029
0
1,1111
0,00027
0
0,00019
0
0,00003
0
- 0,9375
- 0,0089
- 0,00008
- 0,0088
0
-0,0017
0
е-*г2112 =0,1
- 0,375
- 0,0044
- 0,00002
- 0,0035
0
- 0,0007
0
- 0,9602
- 0,0343
- 0,0012
- 0,0338
0
- 0,0067
0,00002
- 0,6
- 0,0245
- 0,00052
-0,0211
0
- 0,0042
0
- 0,974
- 0,0951
- 0,0084
- 0,0939
0,0006
- 0,0187
0,00023
- 0,723
- 0,077'5
-0,0051
- 0,0698
0,00044
-0,0139
0,00014
- 0,9865
- 0,1807
-0,0148
- 0,1792
0,0178
-0,0353
0,0023
- 0,7999
- 0,1568
-0,0113
- 0,1453
0,0144
- 0,0286
0,0017

20
10
p/k
Рис. 1.11
Рис. 1.12
б) Экспоненциальное условие текучести. Результа-
Результаты расчета по втором приближении для безразмерных значений e~2t'2R2 =
= 0,01 и 0,1 приводятся в табл. 1.8. На рис. 1.11 показана зависимость па-
параметра г от приложенной нагрузки р/к для некоторых значений постоян-
постоянВ первом приближении
г2 =
ной о0/к. Положив в A.8.26) f = Хе'в, получим уравнение упругопласти-
ческой границы
= /(б)-
i же нии
A.8.29)
A.8.30)
A.8.31)
При этом
''ma» = X
Х6 ?
/=0 6/ + 1
f = 0 6/ + 1
Из условия rmin > R определяется наименьшая нагрузка, при которой
контур отверстая целиком охватывается пластической зоной. Соотношение
A.8.31) при гтлх < 1 позволяет найти наибольшую нагрузку, при которой
пластические зоны касаются одна другой. На рис. 1.12 показана упруго-
пластическая граница для случая R = 0,3, р/к = 2,24, X = 0,7, rmax = 0,730,
>min= 0,667.
В работе [18] рассмотрен случай, когда материал плоскости удовлетво-
удовлетворяет условию пластичности Треска — Сен-Венана или же условию Губера—
Мизеса.
66
§ 9. Некоторые численные результаты
1. Полоса, ослабленная полукруговыми вырезами.Уп-
ругопластическая задача при растяжении полосы с полукруговыми выреза-
вырезами бьша решена Саусвеллом и Алленом релаксационным методом [29].
При этом материал считался идеальным упругопластическим с пределом
текучести к при простом сдвиге и удовлетворяющим условию пластичности
Губера—Мизеса. Расчеты были проведены для полосы, ширина которой
равна четырем радиусам полукругового выреза. Постепенное развитие
пластических зон изображено на рис. 1.13. Цифрами на упругопластических
границах обозначено среднее напряжение в долях 2к.
2. Полоса, ослабленная угловыми вырезами. Расче-
Расчеты проводились релаксационным методом для полосы с угловым вырезом
раствора 90° и глубины, равной одной четверга ширины полосы [29].
Рис. 1.13
5*
Рис. 1.14
67

я
X
с;
ю
"I •*".

о о
о о
о_ о_
оооооо'оо
I I
2 So
§ S.8.
о о о о о о о
I
I
*t ^ f
О .-н -ч
ООО
О О О
«Л OS С** VS
О -ч ОМ
О О О О
О_ Ок О^ О_ О_ О_ О_
о о о о о о" о" о о' о" о о" о" о" о о
II I I III
Tf ч© OS OS
oof 2
о о о о
о о о о
о"о"о"оооооооооо
I I I I II III
Г
о о
о о_
О
о
о
00
in
О
SO с*) О
u^osos
О <N <N
о, о„ о_
о 55 о о —1 <n r-t
О^ О О О, О^ ©^ Оп
о о о о о о о о о о о 6 о о о
I I I I I I I I ! I I I
"Л
00 ОО
ул <*"> m
¦>*¦ о о
os
о
¦^ Tf Оч "«*¦ О\ «л
о" о* о* о" о' о" о о" о" о о* о о~ о о"
I I I I I I I I III I
68
Материал полосы считался идеальным упругопластическим с пределом
текучести к при простом сдвиге и подчиняющимся условию пластичности
Губера—Мизеса. Развитие пластических областей показано на рис. 1.14.
Цифрами на упругопластаческих границах обозначено среднее напряжение,
отнесенное к 2к.
3. Плоскость с круговым отверстием. Рассмотрим
плоскость с круговым отверстием единичного радиуса, контур которой
свободен от нагрузок. На бесконечности приложены напряжения а" ио*.
Материал идеальный упругопластический с пределом текучески к при
простом сдвиге. Пусть пластическая область целиком охватьтает круговое
отверстие. Для упругопластической границы получены следующие резуль-
результаты [27]:
Напряжения в пластической области даются соотношениями
ах +ay = 2Bzz- l)k, Gy-Gx+2iTxy = 2kz2. A.9.1)
Напряжения в упругой зоне определяются соотношениями Колосова—
Мусхелишвили
ох +оу = 4Re</>(f),
оу-ох+ 2пху = 2 f
+ Ф (f)],
где потенциал (/)(f) имеет вид
а2к{
2к
-9'2>
A.9.3)
а2 =2(cci +cic3 +C3C5 +csc7 +
a* =2(cc3 +C1C5 +c3c7 +C5C9),
a6 =2(ccs +C1C7 +C3C9),
а функция ф (f) определяется соотношением
A.9.4)
Значения коэффициентов с,- для различных уровней нагружения ах /к
и о^°/А: даны в табл. 1.9.
4. Плоскость, ослабленная эллиптическим отверстием.
Упругопластаческая граница для плоскости, ослабленной эллипсом с ося-
осями 2а и 2Ь, представлена на рис. 1.15 и 1.16 [28]. На бесконечности прило-
приложены напряжения ах = 2,5к, Оу° = Ък.
Контур отверстия свободен от нагрузок. Материал идеальный упруго-
пластический с пределом текучести к при простом сдвиге.
5. Плоскость с квадратным отверстием. Приближен-
Приближенное решение упругопластической задачи для бесконечной плоскости с квад-
квадратным отверстием, к контуру которого приложены внешние усилия а„ -р,
69

У,
J
П
/
Ч
у
^*
s
ч
-
0
¦ч
Ч
—4
*
у
П 7К ¦
\
У
\
1
X
Рис. 1.15
(
\
У
*>*
0
а
^^
*-
а
\
)
0.5
X
Рис. 1.16
тш = 0, когда на бесконечности действуют напряжения о" = а~ , получен-
полученное методом П.И. Перлина, имеет следующий вид [22, 23].
В упругой области
"(О
¦*('-¦?¦)•
«3
A.9.5)
во = 1,09/fc + 0,5р, (ц = -0,43А:, в2 = -0,19fc, аъ = 0,03fc,
fe2=_l,40fc, fe3=-0,44fc;
Рис. 1.17
упрутопластическая граница L проходит через точки
Г,=1, Г2=1,* Юе'"/4, Гз = 1,15е/7Г/9> f4 =0,98e'7r/36;
этому контуру соответствуют следующие напряжения на бесконечности:
о? =
=2,Ж+р.
В пластической области
A.9.6)
= -2ke-2i't'. A.9.7)
Здесь к — безразмерная переменная, у — угол, составляемый главным
нормальным напряжением а\ с осью Ох.
6. Двусвязная область. Решение упругопластической задачи
для двусвязной области, когда внутренний контур L2 образован двумя
параллельными прямыми длины 2с?, сопряженными между собой дугами
полуокружностей радиуса г, а внешний контур L2 представляет окруж-
окружность радиуса R (рис. 1.17), было получено в работе [20]1). За контур,
до которого проводилось аналитическое продолжение, принимался эллипс
w(f) = с(? + 7/f) • Вычисления были проведены при следующих значениях
безразмерных параметров:
d/r = O,S, Rilr = 4, a/r = 2,2, c/r = 2, 7 = 0,1
и при наличии двух промежуточных точек (рис. 1.17)
/, =1,8л", h =l,54r+ 1,26л,
где а = ON - расстояние от начала координат до точки пересечения упру-
упругопластической границы с осью Ох.
Нормальное усилие на внутреннем контуре оказалось равным р =
= 0,85505. Для бесконечной плоскости, ослабленной таким же отвер-
отверстием Ьг, под действием такого же нормального усилия р и растягиваю-
На рис. 1.17 изображена четверть области.
70
71

Точка N
l,28r
l,50r
l,84r
2,6 Or
Промежуточные точки lj
h
1,28ri
1,48r/
1,1 Art
г мп
h
A,24 + 1,24;>
(l,62 + l,92/)r
P/os
0,664
0,830
0,950
1,100
Таблица 1.1С
)
0,031
0.044
0,065
0,163
al/°S
0,0001
0,0006
0,0036
0,0094
0.0040
- 0.0023
all°S
0,00035
- 0,00015
щих усилий на бесконечности при условии прохождения упругопласти-
упругопластической границы через точки 1,8п и 2,2г, напряжения на бесконечности
оказались равными
а~ = -О,О65а*, а~ = 0,1650,.
Приведем решение упругопластической задачи для двухсвязной области,
когда внутренний контур L2 является окружностью радиуса г, а внешний —
овал L1.
Функция z = соf + Cif3 отображает внутренность единичного круга
в плоскости f на внутренность овала L2 в плоскости z. На контуре L%
приложено нормальное усилие р, а контур Lt свободен от нагрузок.
Решение имеет следующий вид:
а функция
¦ » • 4>
определяется из уравнения
A.9.8)
=0
при If 1=1. A.9.9)
Вычисления при значениях безразмерных параметров
со/г =3,5, с2/г = 0,49, 1,3 <а/г < 2,6,
приведены в табл. 1.10.
7. Задача о штампе, внедряемом в упругопласти-
ческое тело.
а) Рассмотрим задачу о сжатии прямоугольного бруска двумя жесткими
штампами. Уравнение поверхности контакта верхнего из штампов у = /,
\х\ <0,5/ (нижний штамп вдавливается по всей боковой поверхности
у = 0) (рис. 1.18). Предполагается отсутствие трения на поверхностях кон-
контакта. Численное решение рассматриваемой задачи методом локальных
вариаций было получено в работе [31]. При этом использовалась теория
течения Прандтля—Рейсса и условие пластичности Губера—Мизеса.
Момент возникновения пластических деформаций в области, прилежа-
прилежащей к углу штампа, оказался равным U = 1,197 (см. рис. 1.19); на рис. 1.18
показаны упругопластические границы с номерами п -5, 10, 20, 25, 42
72
для моментов времени (сближения
штампов)
Г„ = tt + и At, At = 0,02
(t = -Ev/lk безразмерная величина,
характеризующая глубину вдавливания
штампа, / — характерный линейный раз-
размер тела, к - предел текучести при
простом сдвиге).
С возрастанием и области пластичес-
пластических деформаций, соответствующие
этим номерам, все больше распростра-
распространяются в глубь тела. Суммарная сила давления на верхний штамп
р=р,11к приведена на рис. 1.19 (кривая 2) в зависимости от t (или,
что то же, от и). Там же кривой 1 изображено суммарное давле-
давление на штамп при сжатии прямоугольного бруска двумя жесткими
штампами, перекрывающими всю боковую поверхность у = 0, у = I
(t, означает также момент возникновения пластических деформаций).
Штриховой линией приведено точное решение.
б) Приведем результаты численного решения задачи о вдавливании в
полосу конечной ширины двух плоских штампов. Материал полосы считает-
считается идеальным упругопластическим удовлетворяющим условию пластич-
пластичности Губера-Мизеса. Расчеты проводились релаксационным методом[31].
Для случая, когда Я// = 1,14 B# - толщина полосы, 2/ - ширина штам-
штампа) на рис. 1.20 показан постепенный рост пластической области. Цифры
на границах упругопластических зон обозначают приложенную нагрузку
на штамп, отнесенную к пределу текучести as. Впервые пластические дефор-
деформации появляются, когда приложенная нагрузка p = as.
Для случая Н/1 = 2,5 область пластических деформаций возникает на не-
некотором удалении от горизонтальной оси симметрии полосы. На рис. 1.21
изображено постепенное развитие пластической области в зависимости от
1/2
Рис. 1.18
73

in no
Рис. 1.20
Рис. 1.21
приложенной нагрузки. Впервые пластическое течение возникает при
p/as = 1,163 в точке, заключенной в интервале
0,358 <у/Н< 0,395.
При достижении нагрузкой величины p/os = 1,290 пластическая зона распро-
распространяется до срединной плоскоста полосы, касаясь ее в точке пересечения
двух осей симметрии.
§ 10. Структура пластических деформаций в вершине трещины
Особенности распределения пластических деформаций у конца трещины
определяют условия ее дальнейшего развитая. Поэтому исследование
пластической деформации в окрестное™ трещин имеет фундаментальное
значение для описания процесса и установления критериев разрушения.
С достижениями в этой области можно познакомиться в работах [92
93,95,96].
1. Постановка задачи. Пусть однородное изотропное тело из
идеально упругопластаческого материала содержит трещины нормального
разрыва, удовлетворяющие условию локальной симметрии. Предположим,
кроме того, что выполняется следующее условие:
L>d>p. A.10.1)
Здесь L - характерный линейный размер тела, d — характерный размер
пластической области, р - радиус кривизны конца трещины. Условие
A.10.1) выполняется, например, для многих металлических конструк-
конструкций в широком диапазоне их размеров, температур, скоростей деформиро-
деформирования и имеющих место начальных трещин [78]. При этом задачу о тонкой
структуре конца трещины (т.е. о распределении напряжений и деформаций
74
на расстояниях г от конца трещины, удовлетворяющих условию L>r> р)
можно ставить следующим образом.
Рассмотрим окрестность конца трещины, которая мала по сравнению с
характерным линейным размером тела, но велика сравнительно с характер-
характерным размером пластической области. Тогда трещина на плоскости ху
представится полубесконечным разрезом вдоль у = 0, - °° < х < 0, свобод-
свободным от внешних нагрузок. При этом в окрестности начала координат
имеется пластическая область, подлежащая определению, а в бесконечно
удаленной точке известна асимптотика
при у = 0,
lim (oyy/2nx)=Kl. A.10.2)
X -* «о
Здесь Ki — коэффициент интенсивности напряжений.
Предположим, что пластические деформации локализованы вдоль неко-
некоторых линий скольжения, выходящих из вершины трещины. Из опыта
хорошо известна общая тенденция к формированию пластических областей
в начале процесса нагружения в виде узких полос скольжения [79]. В осо-
особенности это характерно для малоуглеродистых сталей, склонных к
запаздыванию текучести. Линии скольжения, очевидно, могут быть только
прямыми. Действительно, в указанной постановке задача автомодельна,
роль времени в ней играет параметр K2/2irfi2, а соответствующие автомо-
автомодельные безразмерные переменные таковы:
2-nxfi2 _ 2ттуи2
х* ~ 7^> ' У* ~ 77~->—'
а; =
_ "г
2тшд2
'ху
_ ТХу
м
A.10.3)
7 =
м
Здесь и — вектор смещения *), rs = k - предел текучеста на сдвиг.
Экспериментальные данные по плоской деформации свидетельствуют
о том, что начальные пластические деформации в окрестное™ конца трещи-
трещины локализуются вдоль узких полос под углом 45° к направлению трещи-
трещины [80-82].
Для тонких пластан экспериментальные результаты более разноречивы.
Согласно работам [80, 83, 84] начальные пластические деформации лока-
локализуются вдоль полос под углом 45° к направлению трещины, в других
работах [85-88] отмечено появление узких зон на продолжении трещины,
что соответствует гипотезе Дагдейла. Интересна работа [89], в которой
было найдено, что вначале распространяется линия скольжения по направле-
направлению трещины, затем ее развитие останавливается и начинают расти боковые
полосы пластичное™. Возможность наличия двух систем линий скольжения
в тонких пластинах (по нормали к плоскости пластины, аналогично плос-
плоской деформации и под углом 45° к плоскоста пластины) хорошо согласу-
согласуется с теорией плосконапряженного состояния для идеальной пластичности.
1) В дальнейшем для простоты звездочку будем опускать.
75

Точные вычисления позволяют установить тенденцию к локализации
пластической области в линию скольжения одного из указанных типов [29,
39]. Так, например, согласно точному решению упругопластическои задачи
о двуосном растяжении пластины с круговым отверстием, найденному в
работе [39], уже при отклонении напряженного состояния на бесконечнос-
бесконечности от всестороннего на 0,1 пластическая зона из круговой превращается
в продолговатую область с отношением ширины к длине приблизитель-
приблизительно 1 :4.
На основании изложенного представляет интерес постановка и решение
задачи плоской теории упругости [91] для безграничной плоскости с
полубесконечной трещиной (рис. 1.22) :
при у = 0, -<=°<х<0 оу = тху = 0,
0, 0<х<а оу = 2т, тху=0,
при
при у = ±х,
A104)
—_ тгв=т, [ав]=0, [ив] =0,
у/2
при у = 0 lim (ау\/2тгх) - 1.
X —* °°
Здесь г, в - полярные координаты, квадратная скобка означает скачок
Рис. 1.22
величины при переходе через линию разрыва, а и Ъ — безразмерные парамет-
параметры, подлежащие определению.
В частности, случай а = 0 отвечает плоской деформации, а при Ъ = 0
получается известная постановка Дагдейла. Во второй и третьей строках
записаны обычные условия на поверхности разрыва тангенциального сме-
смещения в идеальном упругопластическом теле [37]. Случай а Ф 0 физически
реализуется только в тонких пластинах (шейка) и соответствует плоскости
скольжения под углом 45° к плоскости пластины.
2. Решение краевой задачи. Вначале получим точное реше-
решение следующей плоской задачи теории упругости:
при у = 0, —
оу = тху = 0,
ау = 2т, тху = 0,
у ху у у
при у = ±х, 0<х<Ь/уД [oe-ir,.e] =0, [щ-шв] =Дг), A.10.5)
при у = 0 lim (Оу\Дюс) = 1.
х °
76
Условимся обходить пластическую линию в направлении от А к А'
(рис. 1.22); пусть при этом скачок величины X равен [X] = Х+ - X".
Будем использовать соотношения Колосова-Мусхелишвили A.1.9).
При помощи представлений A.1.9) граничную задачу A.10.5) можно запи-
записать в следующем виде:
Ф() Ф() '() )
= 0,
A.10.6)
при у = 0, 0<x<a <
при у=±х, 0<x<b/\/2
[Ф(г) + Ф(г) ± iz Ф'(г) ± г
[K</>(z)-Z</
кроме того,
1
lim {л/2тгг Ф(г)}= — ,
z ->»> 2
-Wj] = 2f(r)e±'"/
Urn {
1
-
4
A.10.7)
Верхние знаки соответствуют разрезу ОА', а нижние — -40 (рис. 1.22).
Введя вспомогательную аналитическую функцию
J2(z) = гФ'(г) + Ф(г), A.10.8)
граничную задачу A.10.6) можно свести к следующей краевой задаче тео-
теории аналитических функций:
при у = 0, -°°<*<0 Ф(г) + Ф(г) + fi(z) = О,
V = 0, 0<jc<a Ф(г) + Ф(г) + J2(z) = 2r,
а также
lim
= 0.
Здесь
2/»
к+1
2
к + 1
= — {rf(r) ± 2if\r) ±
+ 1
A.10.10)
Верхние знаки соответствуют разрезу ОА', а нижние - АО (рис. 1. 22).
Будем искать решение краевой задачи A.10.9) в следующей форме:
Ф(г) =
1
gi(t)dt
2тг/ L r-z
1 , g2(t)dt
27Г1
t - z
с,
с2
z - z0
с.
A.10.11)
z -zo
77

Здесь контур L образован отрезками АО и О А'', проходимыми от А к
А' (рис. 1.22), С( и с2 — пока произвольные постоянные, смысл которых
будет ясен из последующего изложения. Функции Фо(г) и ?Iq(z) аналитич-
ны всюду вне разреза у = 0, х <а. При помощи A.10.11) краевая задача
A.10.9) сводится к следующей:
при у = 0, -<*><х<0
Фо(г) + Ф0(г) + ^o(z) = F(x),
A.10.12)
при у= 0, 0<jc <a
Фо(г) + Ф0(г)
= 2т + F(x),
где
яг L t-x vi L t-x { x-z0
Так как напряжения в идеально упругопластическом теле ограничены,
решение задачи A.10.12) следует искать в классе всюду ограниченных
функций. Теперь заметим, что в силу условий симметрии относительно
оси х функция F(x) действительна, поэтому на основании A.10.12) на
всей действительной оси будет ImJ20= 0. Следовательно, учитывая еще
условие на бесконечности, получаем ?20(z) = 0.
Решение задачи Дирихле для функции Фо(г) запишется так (см. При-
Приложение- § 2):
y/z~- а о F(x)dx I I iy[a-y[z~-a\
Ф0(г) = -г— / rll, + г( 1 _ — in v , A.10.13)
\ тгг iy/a + y/z - а ]
2тгг _
Здесь \/z — а считается положительным прид> = 0, x > а, корень под интег-
интегралом представляет собой значение функции \/z — а на верхнем берегу
разреза у = 0, х<а. Согласно условию на бесконечности должно выпол-
выполняться соотношение
1 а F(x)dx Ату/а
г / —, + = 1-
f _ оо v^ — а тг
A.10.14)
Постоянные сх и с2 найдем из условия отсутствия сосредоточенных сил
в конце пластической линии при г = be±ln/4 и задании скачка вектора
смещения при обходе этой же точки. Необходимость последнего допол-
дополнительного условия является следствием дифференцирования скачка
смещения при преобразовании граничного условия A.10.6) в A.10.9).
Упомянутые условия имеют следующий вид:
Здесь Л - контур обхода точек z = be ± l7!/4 (рис. 1.22) .
После выполнения соответствующих элементарных выкладок находим
сг =
2тг
I)
тг/A
A.10.15)
78
Итак, формулы A.10.10)-A.10.15) дают полное решение для пласти-
пластической линии (дислокации) произвольной мощности.
3.Приближенное решение краевой задачи для пло-
плоской деформации. Потребуем из физических соображений, чтобы
функция /(/¦) удовлетворяла условиям lim f(r) = lim f(r) = 0.
r-> ft r-+ ft
При этом решение A.10.11) с учетом A.10.13) и A.10.15) будет иметь
такую форму:
1
Ф(г) = ;—
2
\fz~-a а F(x)dx
/
2тгг L t-z
1 iy/a - y/z - а
— In
тгг iy/a +y/z - a
1
A.10.16)
2тгг
/
t-z
где
1 gl(t)dt 1 rgi(t)dt
r(x)- -— J -—— J .
ni L t - x 2тгг L t - x
Используя формулу перестановки Пуанкаре-Бертрана [94], выражение
для функции Ф(г) и соотношение A.10.14) выразим так:
Ф(г) =
dt-
A.10.17)
A.10.18)
1.
В дальнейшем будем рассматривать случай а = 0, который отвечает
плоской деформации.
Решение краевой задачи для пластической линии произвольной мощно-
мощности в случае плоскодеформированного состояния будет иметь следующий
вид:
Ф(г) = I
A I
I ^
Am I (t-z)y/t
1 g*(t)dt
A-ni L t-z
A.10.19)
t-z
79

Условие разрешимости A.1.18) краевой задачи с учетом A.10.10) запишет-
запишется так:
/
о
dr=-
\/Г "' 2 (sin я/8 + cos я/8) '
Функцию/(г) будем искать в виде
/(/¦) = А(Ь -гJ.
A.10.20)
A.10.21)
Здесь А и Ъ подлежат определению.
Для этого, помимо условия A.10.20), будем использовать следующее
приближенное соотношение:
ь
JTredr = Tb. A.10.22)
о
Используя A.10.19), (J.10.10) A.10.21) и выполняя необходимые
выкладки, в рассматриваемом случае будем иметь для функций Ф(г) и
S2(z) следующие выражения:
2А ( I п \ z-
Ф(г) = {ilb - z cos — 1 In
\ 4 / z-.
-z0 , n (z -zo)(z-zo)
— Z Sin — In ;
- 2i[ b - 3z cos— Jin — ¦=
\ 4/ s/F+JFZ
A.10.23)
4A
2b\n
Здесь z0 = be '4.
lF-zcos^)ln-
+ /\/2zln
z —
После интегрирования A.10.20) можно записать так:
4АЬ3'2=-
A.10.24)
2 (sin я/8 + cos я/8)'
Соотношения A.10.23), A.1.9) и A.10.8) определяют тгв. Удовлетворяя
условию A.10.22), будем иметь
7,52АЬ
т=
Окончательно из A.10.24) и A.10.25) найдем
1
Ъ = 0,502—,
т
А =0,81A + к) г3.
A.10.25)
A.10.26)
A.10.27)
Используя A.1.9), A.10.8) и A.10.27),найдем раскрытие в конце трещины
б = 0,308A+к) 1/г. A.10.28)
80
Перейдя к размерным единицам, для размера пластической зоны будем
иметь следующее выражение:
Ъ = 1,004
TTOJ
A.10.29)
Для материала с коэффициентом Пуассона v = 03 соотношение A.10.28)
в размерных единицах дает
б =0,432
К] К]
—— = 2,25—-
тгЕог
A.10.30)
Напомним, что протяженность пластической зоны d и раскрытие б в конце
трещины для плосконапряженного состояния равны
8а2
б=-
И
Сравнение полученных результатов показывает, что b = 0,8<i, а раскры-
раскрытие в конце трещины б при плоском напряженном состоянии примерно
в полтора раза больше, чем раскрытие в случае плоской деформации.
Приведенные значения близки к результатам, полученным Райсом [90]
совершенно иным путем.
6. В.М. Мирсалимов
81

ГЛАВА 2
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
§ 1. Основные уравнения. Краткий обзор
Плоское напряженное состояние приближенно имеет место в тонкой
пластинке, нагруженной только в своей плоскости. Так как толщина пла-
пластинки мала по сравнению с поперечными размерами и основания пластины
свободны от нагрузок, то компоненты тензора напряжений az, тХ2, ту2
малы по сравнению с остальными напряжениями ах, ау, тху, которые
мало изменяются по толщине. В дальнейшем напряжения ох,оу, тху можно
заменить их средними значениями по толщине, а напряжения а2, тХ2, ту2
положить равными нулю. Толщина пластины в этом случае не имеет значе-
значения, поэтому в дальнейшем она принимается равной единице.
Компоненты напряжений плоского напряженного состояния при отсут-
отсутствии объемных сил удовлетворяют двум дифференциальным уравнениям
равновесия
•+¦
Ът
-=
Ът
ху
Ъа
у _
= 0.
Эх Ъу Эх Ъу
В упругой области имеют место следующие соотношения:
закон Гука
1
= ~ О* -
1
€у= ~
Тху
ху ,
B.1.1)
B.1.2)
условие совместности деформаций, которое в напряжениях имеет вид
А(ох+оу) = 0, B.1.3)
связь между смещениями и деформациями
• Ъи bv ди bv
— с = я/ — 4-
Ъу У Ъу
B.1.4)
Эх ¦ ' Ъу ' "' Ъу Эх
Приведем теперь соотношения, имеющие место в пластической области:
условия пластичности
ассоциированный закон пластического течения
1 ху
Ътг
dex = Х — -
Ъох у Ъву „,ху
соотношения кинематической связи смещений с деформациями
dey=deey
,
ху
B.1.5)
B.1.6)
B.1.7)
82
Приращения упругих деформаций в пластической области связаны с напря-
напряжениями законом Гука.
Как уже отмечалось в гл. 1, плоская задача теории идеальной пластич-
пластичности является статически определимой, если граничные условия заданы в
напряжениях.
В 1963 г. г.П. Черепанов дал точное решение задачи о распределении напряжений в
окрестности кругового отверстия плосконапряженного тела, к контуру которого
приложены постоянные нормальные усилия, а поле напряжений на бесконечности
однородно [1,2].
Предполагалось, что материал удовлетворяет условию пластичности Треска-Сен-
Венана. Решение было найдено методом функциональных уравнений.
Указанная задача приближенно изучалась ранее А.П. Соколовым [4], Б.В. Заслав-
Заславским [5],И.И. Фаербергом [6], П.И. Перлиным [7],ДД. Ивлевым [8].
В работе [9] рассмотрена упругопластическая задача для тонкой пластины с беско-
бесконечным рядом одинаковых круговых отверстий. При помощи метода упругих реше-
решений А.А. Ильюшина В.М. Панферов рассмотрел задачу с эллиптическим отверстием
[10].
В конечно-разностной интерпретации метод А.А. Ильюшина был успешно применен
Ю.Г. Коротких для численного решения нелинейноупругих задач [11, 12].
Саусвелл и Аллен рассмотрели полосу с двумя симметричными полукруглыми и
угловыми выточками [16]. Г.П. Черепанов и др. дали численное решение некоторых
упругопластических задач для тонких пластинок с прямоугольными разрезами [17].
В [18] рассматривалась упругопластическая задача для бесконечной пластинки с
круговым отверстием, находящейся под действием одноосного растяжения, в случае
степенного упрочнения материала.
В случае плосконапряженного, состояния имеется отдельный класс решений упруго-
пластической задачи, представляющей особенно большой интерес для механики разру-
разрушения [19]. Во многих задачах плосконапряженного состояния пластические деформа-
деформации сконцентрированы вдоль.линий ("шейка") ; решение таких задач находится мето-
методами теории упругости. Впервые решение такого типа для одной щели в пластинке,
растягиваемой на бесконечности по направлению, перпендикулярному линии разреза,
было указано Дагдейлом [20], который подтвердил также экспериментально это
решение. Почти одновременно аналогичные решения были весьма полно изучены
М.Я. Леоновым и его коллегами П.М, Витвицким, С.Я. Яремой в цикле работ
[21-26].
За рубежом предположение о концентрации пластических деформаций вдоль
отрезка на продолжении трещины получило название "гипотезы Дагдейла". Последняя
обсуждалась также в статье Гудьера и Филда [27]. В этой постановке Л.А. Галин и
Г.П. Черепанов получили решение контактной упругопластической задачи в условиях
плосконапряженного состояния как для жесткого штампа, так и для случая контакта
двух упругопластических тел [28].
§ 2. Пластинка с круговым отверстием
1. Пусть [1] бесконечная пластинка, находящаяся в плосконапряженном
состоянии, имеет круговое отверстие радиуса/? с центром в начале коорди-
координат. К контуру отверстия приложена постоянная нормальная нагрузка
°г~ Р (тгв ~ 0). В бесконечно удаленной точке имеет место однородное
напряженное состояние
B.2.1)
= av
тху - 0.
Считаем, что под действием заданной системы внешних усилий пласти-
пластическая область охватывает все круговое отверстие. В качестве условия
пластичности в пластической области возьмем условие пластичности Тре-
ска-Сен-Венана. Предположим, что в пластической области имеет место
6* 83

неравенство ав> ar> 0. Тогда [29] характеристики в пластической
области будут радиальными прямыми, а напряжения будут определяться
формулами
= 0 B.2.2)
R
¦(P-Os)- ,
г
°в =
(Oj — постоянная пластичности) .
Для выполнения неравенства од > аг > 0 нагрузка р, очевидно, должна
удовлетворять условию 0 < р < а^.
Используя B.2.2) и A.1.9) , представим граничные условия на неизвест-
неизвестном контуре L, разделяющем упругую и пластическую области, в виде
4Re<b(z)=2os+
R(p-as)
B.2.3)
При z -* °°
Ф(г) = ^- (а" + а"
= j (<? - а") + O(z). B.2.4)
Перейдем на параметрическую плоскость комплексного переменного f
при помощи преобразования г = to(f). Аналитическая функция co(f)
конформно отображает внешность единичного круга плоскости f на внеш-
внешность неизвестного контура L плоскости z с соответствием бесконечно
удаленных точек со(°о) = оо. Функция co(f) должна быть определена в
процессе решения задачи.
Обозначим
*(Г) = *МГ)], * (Г) = *["«)]¦
В принятых обозначениях на основании B.2.3) получаем на плоскости f
следующую краевую задачу для определения трех аналитических функций
)
при 1П=1,
"'(Г)
На основании B.2.4) функции
следующим образом:
B.2.5)
Г 1=1.
и i//(f) на бесконечности ведут себя
2), B.2.6)
Рассмотрим функциональное уравнение
'(Г) _ /
6J I —
U
B.2.7)
84
Ищем решение функционального уравнения B.2.7) в виде [1]
сЧП = соГ+Р~„A/О. B.2.8)
где Р - полином v степени с неопределенными пока коэффициентами.
Подставляя B.2.8) в B.2.7) и раскладывая все функции в ряд в окрест-
окрестности бесконечно удаленной точки, нетрудно заметить, что v= 3, так что
если функция co(f) имеет вид B.2.8), то она необходимо равна
ь— + — + — B.2.9)
Из условий симметрии следует, что постоянная с2 равна нулю, а остальные
постоянные действительны. Покажем, что их можно выбрать таким обра-
образом, чтобы правая часть функционального уравнения B.2.7) была анали-
аналитической во внешности единичного круга. Функция co(f) имеет, очевидно,
четыре нуля, расположенных внутри единичного круга If I < 1, а у функции
со A/f) все четыре нуля расположены вне единичного круга. Для того чтобы
правая часть функционального уравнения B.2.7) была аналитической
во внешности единичного круга, необходимо и достаточно потребовать
попарного совпадения нулей функции co(l/f). Так как функция co(l/f)
равна
1 \ 1
I, B.2.10)
то для попарно совпадения нулей достаточно потребовать равенства нулю
дискриминанта биквадратного уравнения
с\=4с0с3. B.2.11)
Используя условие B.2.11), функции co(f) и w(l/f) можно записать в
виде
B.2.13)
Из функционального уравнения B.2.7) находим
'(Г)
со —
Найдем функцию i^(f). Первое краевое условие B.2.5), используя
формулы B.2.12), удобно представить в виде
= 2а4
Ci(c3 - Со)
при |f|=l.
+ c1/2c3)(r2+ci/2co)
Г2 Г2
cxl2c3
B.2.14)
85

Функция F+(f), равная
- +
- os)
B.2.15)
ci(c3 -co) (Г2 +Ci/2c3) '
аналитична всюду внутри единичного круга | f I < 1, а функция F~(i;),
равная. .
R(p - os)y/c0c3 f 2
- 2os + -^ " , , B.2.16)
с1(сз-Со)(Г2+с1/2со)
аналитична всюду вне единичного круга | f | > 1.
Краевое условие B.2.14) можно представить в виде
F+e) = F~U) при |f |=1. B.2.17)
Следовательно, функции F+(f) и F~(f) являются аналитическим продол-
продолжением друг друга через единичную окружность. По теореме Ж. Лиувилля
они равны тождественно одной и той же постоянной. Отсюда, а также из
условия на бесконечности B.2.6) для | f I > 1 легко получить
1 Я(р-о5)у/со~сэ~$2
*(Г)=а,--(<$+а-)- —7 ™ „ , , B-2.18)
4 у ci(c3 -co)(f2+ci/2co)
причем между тремя неизвестными пока коэффициентами должна сущест-
существовать следующая связь:
- 2 os
Ci(c3 -со)
= 0.
Из формулы B.2.18) находим
/F3R(p-os)
со (с3 - со) f3
B.2.19)
B.2.20)
при
(C0.-C3)
Используя условия на бесконечности B.2.6) и B.2.20), по формуле
B.2.13) получим еще одно соотношение между коэффициентами со, с i,c3
B.2.21)
Итак, функции ^(f)> "И?) и w(f) определяются по формулам B.2.12),
B.2.13) и B.2.18) , а коэффициенты с{ находятся из решения трех конеч-
конечных уравнений B.2.11), B.2.19) и B.2.21). Легко проверить, что при этом
все граничные условия и условия на бесконечности удовлетворены.
Решение системы уравнений B.2.11), B.2.19) и B.2.21) можно предста-
представить в виде
4R
с0 =
AaR
сз =
а(а2 -4)
a2R
а(а2 - 4)
а(а2 -4)
B.2.22)
86
где а является действительным корнем кубического уравнения
t_ 8(о; - о?)
д3+4д+|3=0,
ОО л
ах - 2as
B.2.23)
Так как дискриминант D =-> 44 - 27j32 кубического уравнения B.2.23)
всегда отрицателен, то уравнение B.2.23) всегда имеет один действитель-
действительный и два сопряженных комплексных корня [31].
Окончательно исходные функции w(f), i^(f) и ф (f), согласно формулам
B.2.12), B.2.13), B.2.18) и B.2.22), примут вид
RBt;2+af
(r)
= °s-~л (ох +оу)-
B.2.24)
2. Исследуем полученное решение B.2.24). Уравнение контура L, разде-
разделяющего упругую и пластическую области, представим в параметрическом
виде
x*(t) = 4A + a) cos t + a2 cos 31,
y*(t)= 4A - a) sin t -a2 sin 3t. B.2.25)
Здесь обозначено
Rx\t) = a(a2 -4)x(f), Я;р*@ = «(«2 -4)j>(f).
Параметры задачи а и а должны удовлетворять определенным неравен-
неравенствам, вытекающим из условия полного охвата кругового отверстия
пластической зоной и условия однолистности функции co(f). Эти неравен-
неравенства определяют границы существования решения B.2.24). Для определен-
определенности считаем
Оу > Ох > 0.
Кроме того, должно выполняться очевидное неравенство os> Оу . Отсюда
вытекают неравенства a < 0, /3 < 0, а > 0. Для того чтобы пластическая
зона охватывала все отверстие, необходимо, чтобы имело место неравен-
неравенство iR < w(/). Отсюда следует, что параметр а должен удовлетворять
еще одному неравенству
а < 2
1 + a
1 -a
Собирая все неравенства вместе, получаем
1 +<х
0>а>-1, 2
1 -а
> а > 0, 2 > а > 0.
B.2.26)
B.2.27)
87

Производная выражения B.2.24) для w(f) будет
"'(Г) =
B.2.28)
Для конформности отображения, производимого аналитической функ-
функцией w(f), необходимо, чтобы всюду во внешности единичного круга ее
производная была отлична от нуля. В противном случае на контуре L,
разделяющем упругую и пластическую области, появляется петля неодно-
неоднозначности, которая не имеет физического смысла. Для выполнения условия
однолистности параметр а, согласно B.2.28), должен удовлетворять
неравенству
О < а < 2/3. B.2.29)
Окончательные границы существования решения B.2.24) определяются
неравенствами
2 > а > 0, 0 < д <-| , -1<а<-4- B.2.30)
1 -а л 1
Как видно, решение B.2.24) существует лишь до появления точки воз-
возврата на контуре раздела упругой и пластической областей.
3. Решение краевой задачи B.2.24) искалось в классе функций, ограни-
ограниченных всюду в упругой области, включая неизвестную границу.
Можно построить другое решение этой задачи, неограниченное в некото-
некоторых точках упругой области (почти всюду ограниченное). Действительно,
пусть решение функционального уравнения B.2.7) выражается по-преж-
по-прежнему формулами B.2.12) и B.2.13). Для определенности считаем
о™ ** о™ 1^ 0. Ищем решение краевой задачи Дирихле B.2.5) для функ-
функции i^(f) в классе функций, имеющих полюсы в точках f = ± 1. Так как
сосредоточенная сила в соответствующих точках неизвестного контура
физической плоскости z отсутствует, то в точках f = ± 1 должно выпол-
выполняться при этом условие
со'(+ 1) = 0. B.2.31)
Условие B.2.31) означает, что неизвестный заранее контур раздела упругой
и пластической областей всегда имеет точки возврата в точках, соответ-
соответствующих f = ± 1. При этом напряжения в упругой области в окрестности
точки возврата имеют особенность типа 1/ \/~s~. Математическое допущение
о неограниченности напряжения в окрестности точки возврата физически
объясняется наличием местных статически неопределимых пластических
зон в окрестности точки возврата, и в этом смысле второе решение
является приближенным.
Учитывая формулу B.2.12), из условия B.2.31) получим
2 со = 3ci. B.2.32)
Легко показать, что решение задачи Дирихле B.2.14) в указанном клас-
классе функций, не удовлетворяющее пока условию на бесконечности,
88
имеет вид
9R(p-as)
32 со
B.2.33)
где А — действительная постоянная. Здесь были использованы соотношения
B.2.11) и B.2.32).
Для определения постоянных со и А служат два условия на бесконеч-
бесконечности B.2.6). Используя соотношение B.2.6), а также формулы B.2.33),
B.2.13), B.2.11) и B.2.33), получаем
6R(as-p)
4 а,+7 о? _ и а- ' B 2 34)
37 „о 17 „о 5
~ 64 °* ~Тб~а'"
А = 64
Функции w(f) и ф($) можно записать в виде
-да-тК'Ч)'-
*(" 6««' + 1/3)! u'(t) \ll
B.2.35)
Запишем уравнение контура, разделяющего упругую и пластическую
области, в параметрическом виде
B.2.36)
*@ =-f со( 5 cos Г + у cos 3 Л
Как видно, контур раздела упругой и пластической областей при всех
значениях параметров нагружения остается подобным контуру решения
B.2.24) при критическом значении параметра а, равном 2/3, при превыше-
превышении которого решение B.2.24) теряет физический смысл. Функция w(f)
является однолистной при всех значениях параметров нагружения всюду во
внешности единичного круга.
Решение B.2.33)-B.2.35) существует при всех значениях параметров
нагружения, удовлетворяющих условию полного охвата кругового
отверстия
4 со > 9R. B.2.37)
4. Рассмотрим вопрос о существовании и единственности решения исход-
исходной упругопластической задачи. Найдем сначала области существования ре-
решения B.2.24) и решения B.2.33)-B.2.35). Эти решения зависят от трех
параметров нагружения р* = p/as, ai = a" /as, а2 = а" /as, которые обра-
образуют трехмерное пространство параметров нагружения. В целях простоты и
наглядности положим р* = 0, так что областью изменения двух параметров
нагружения ai и а% будет треугольник с вершинами @,0), @,1) и A,1)
в плоскости Ох а2 (вследствие неравенства as > ау > а"> 0).
89

1,0
0.5;
О
0,9
Рис. 2.1
1,0
Области существования решений изображены на рис. 2.1. Горизонтальны-
Горизонтальными штрихами покрыта область существования решения B.2.33)—B.2.35),
а наклонными - область существования решения B.2.24).
Прямая АВНЕ задает параметры нагружения, при которых контур раз-
раздела упругой и пластической зон решения B.2.33) - B.2.35) касается кру-
кругового отверстия; ее уравнение на основании B.2.37) имеет вид
21 а2 - 33 а, + 4 = 0. B.2.38)
Прямая AGF имеет уравнение <% — ai = 0. Кривая GBCD задает пара-
параметры нагружения, при которых контур, разделяющий упругую и пласти-
пластическую зоны, согласно решению B.2.24), касается кругового отверстия;
уравнение кривой на основании B.2.30), B.2.22) и B.2.23) имеет вид
/ at
\ 3 -
- аг
3 - ai - а2 2 - а, — а2
B.2.39)
Прямая CHF задает параметры нагружения, при которых на контуре
раздела упругой и пластической зон в решении B.2.24) появляется точка
возврата; ее уравнение на основании B.2.30), B.2.22) и B.2.23) записы-
записывается в виде
37 а2 - 17 а, -20 = 0. B.2.40)
Как видно из рис. 2.1, в областях /,/// и IV решение единственно,
а в области // имеется два решения. Можно показать, что при априорном
предположении об единственности решения функционального уравнения
(в классе почти всюду ограниченных функций) однолистных решений
исходной краевой задачи B.2.4), отличных от решения B.2.24) и от реше-
решения B.2.33)-B.2.35), больше не существует. Действительно, единствен-
единственность решения B.2.24) в классе всюду ограниченных функций следует из
единственности решения задачи Дирихле B.2.5) для функции <р (f ), а един-
единственность решения B.2.33)—B.2.35) в классе неограниченных в некото-
90
рых точках функций является следствием того факта, что производная
функции w(O> определяемой формулой B.2.12), может обращаться
в нуль лишь в точках f = ± 1 единичного круга (при а" > а" > 0).
Решение краевой задачи B.2.4) назовем [1] корректным, если оно яв-
является непрерывной функцией всех параметров задачи почти всюду
в области изменения независимых переменных х и у. От решения краевой
задачи B.2.4) потребуем, чтобы оно было корректным. Каждое из указан-
указанных ранее двух решений является непрерывной функцией параметров
всюду внутри области существования решения на плоскости о^ог ¦ Остается
проверить непрерывность решений на границах областей существования.
Нетрудно найти, что в областях / и II решение B.2.33) —B.2.35) является
некорректным, так как на прямой AGF оно не переходит в известное осе-
симметричное решение исходной задачи. С этой точки зрения решение
B.2.24) является корректным всюду в областях существования // и III,
так как при ai = Oz оно непрерывно переходит в осесимметричное решение.
Вопрос же о непрерывности решения краевой задачи B.2.4) на грани-
границе GB С остается открытым, так как решение упругопластической задачи
при частичном охвате кругового отверстия пластической зоной неизвестно.
Априори предполагаем решение B.2.24) непрерывным на границе GBCH,
а решение B.2.33) —B.2.35) — непрерывным на отрезке НЕ. Легко прове-
проверить, что на отрезке прямой HF решение B.2.24) совпадает с решением
B.2.33) —B.2.35). Отсюда следует, что решение краевой задачи B.2.4)
при вышеупомянутых априорных предположениях существует в областях
II, III, IV изменения параметров нагружения и единственно в классе кор-
корректных, почти всюду ограниченных решений, причем в областях // и 111
решение (всюду ограниченное) дается формулами B.2.24), а в области IV
решение определяется формулами B.2.33) — B.2.35).
5. Везде ранее в настоящем параграфе предполагалось, что нагрузка р
удовлетворяет неравенству 0 < р < as. Пусть теперь нагрузка р изменяется
в пределах 0 > р> — as. Тогда из условия пластичности Треска—Сен-Венана
следует, что напряженное состояние в пластической области описывается
формулами, найденными впервые В З.Соколовским:
при R < г < R ехр
Н)
аг =
= 0,
B.2.41)
00 = Р + os + as In д ,
при г > flexpf- — \
oe=os, тгв=0.
При этом, очевидно, все полученные ранее решения упругопластической
задачи будут справедливыми лишь при условии, что контур раздела упру-
91

гой и пластической зон целиком охватывает круг радиуса R exp(— p/as).
Для этого везде в решениях достаточно формально заменить р на нуль,
a R на R e\p{—p/as). Интересно отметить, что в рассматриваемом случае
упругопластическая задача обладает всей гаммой типов уравнений: в об-
области R < г </? ехр(— p/as) определяющая система уравнений принадле-
принадлежит гиперболическому типу (два семейства характеристик являются лога-
логарифмическими спиралями); в области, заключенной между кругом ра-
радиуса R exp(— p/as) л границей упругой и пластической зон, определяю-
определяющие уравнения — параболического типа (единственное семейство характе-
характеристик образовано радиальными прямыми); в упругой области опреде-
определяющие уравнения принадлежат эллиптическому типу.
6. Для определения смещений в пластической области воспользуемся
ассоциированным законом пластического течения B.1.6). В рассматри-
рассматриваемом случае будем иметь
P
deP = О, dee = X,
dePe = 0.
B.2.42)
Так как в рассматриваемой задаче деформации малы, то можно перейти
к составляющим скорости vr и v д '¦
ег =
uur
Ъг
1
Г
J
Ъиг
Ъв
to
1
г
ЪЬд
Ъг
OVg
Ъв '
vg
г
иг
г
B.2.43)
(точка означает дифференцирование по времени).
Для скоростей vr и ид в пластической области будем иметь уравнения
Ъvr Ъиг
= 0, + г
Ъв
ve =0.
в
Ъг Ъв Ъг
Интегрируя первое уравнение, получим
Учитывая B.2.45), второе уравнение B.2.44) запишем так:
of
-ve =o.
B.2.44)
B.2.45)
B.2.46)
B.2.47)
B.2.48)
Формулы B.2.45) и B.2.48) определяют скорости vr и Vg, при этом
функции vr и vg на найденной выше границе раздела упругой и пласти-
92
Введем р = In г. Тогда уравнение B.2.46) примет вид
Интегрируя последнее уравнение, находим
ческой областей должны равняться соответствующим упругим скоростям
точек границы, известным из решения упругопластической задачи.
Смещения в упругой области равны
Г2 B Г
+ я2)!
-(*-1)
+ д) J
2D-д2)
!2
B-д)D-д2)
2B р +а)
--Vr27B-^)arctgV|rj}-
B.2.49)
Для определения функций /(в) и с@) необходимо продифференци-
продифференцировать по времени выражение B.2.49) для упругих смещений при
f = 1/f, соответствующих L {а, а, р, о™ и а" , — вообще говоря, некото-
некоторые функции времени), и приравнять упругие скорости иег и ид к ско-
скоростям Vr И Vg .
Не приводя чрезвычайно громоздких выражений, в результате найдем
= -Ver
С(в) =
B.2.50)
где г = го (в) есть уравнение контура L.
1. При растяжении пластинки вдоль одной из осей координат область
пластических деформаций может не охватывать целиком кругового отвер-
отверстия. Как уже отмечалось, точное решение упругопластической задачи при
частичном охвате кругового отверстия пластической зоны неизвестно,
поэтому приведем результаты приближенного решения, основанного на
теории упругопластического изгиба кривого бруса [6].
Пусть тонкая пластинка толщиной h с круговым отверстием, контур
которой свободен от внешних усилий, растягивается вдоль оси ординат
усилиями
о™ = ipash.
Здесь <р - безразмерный параметр @ < у < 1).
При <р = 0,33 появляются пластические деформации. На рис. 2.2, 2.3
показаны изменения упругопластической границы в зависимости от величи-
величины внешней нагрузки для пластинки из материала D - 16 Т с отношением
ширины пластинки b к диаметру кругового отверстия 2R, равным
п = bj2R, п = 7 и п - 6. Диаграмма растяжения материала пластинки, кото-
которая в расчетах была заменена двумя прямолинейными участками О А и АВ
(к = Ер/Е = 0,0167), показана на рис. 2.4. Как видно из рис. 2.2 и 2.3,
93

k=0,01S7
n-7
4 3 2
Рис. 2.2
7
к-0,0167
п-6
4 3
Рис. 2.3
в, кгс/см
4000
94
с увеличением нагрузки о~ пластические деформации после их появления
быстро распространяются вдоль контура кругового отверстия.
При дальнейшем увеличении внешней нагрузки (о~ > 0,65 а,-Л) об-
ласть пластических деформаций растет в направлении ширины пластинки
уменьшаясь возле самого отверстия. На рис. 2.5 и 2.6 изображены эпюры
нормальных напряжений по ширине ослабленного сечения. С ростом внеш-
внешней нагрузки происходит выравнивание напряжения вдоль ширины сечения,
приводящее к уменьшению концентрации напряжении.
Это решение было обобщено О.Г.Рыбакиной [32] для случая больших
пластических деформаций с учетом истинного закона упрочнения.
8 Рассмотрим [9] бесконечное упругопластическое тело (пластинку),
находящееся в условиях плосконапряженного состояния, и ослабленное
двумТодинаковыми круговыми отверстиями радиуса R, к контурам.кото-
контурам.которых приложены внешние усилия ог = р, т.гв = 0 (см. рис 1.1). Предполо-
Предположим что на бесконечности имеет место однородное напряженное состояние
' _ оо _а~ г =0 B.2.51)
Как" обычно, предполагаем, что образующиеся пластические зоны пол-
полностью охватывают отверстия и не сливаются друг с другом. Как было
отмеченортнее, напряжения в пластической области будут такими же, как и
ТоГнГГГз^-РЯжешй в этической ^
летворять уравнениям равновесия и условию пластичности. Вх»
условия пластичности возьмем условие пластичности Треска-Сен-Венана.
Считая, что в пластической области имеет место неравенство ав>аг ^и,
для напряжений будем иметь
oe=os, or = os + (p-os)-r, r,e =0 B-2-52)
( as - постоянная пластичности).
Для выполнения неравенства ов > о, > 0 нагрузка, очевидно, должна
удовлетворять условию 0 < р < as.
Функция напряжений, через которую выражаются напряжения B.2.52),
имеет вид
B.2.53)
/i = os-j- + (p-os)rR,
Аппроксимируем функцию напряжений B.2.53) бигармонической
функцией
•-' In +(B\nr + C)r2 +D B.2.54)
Здесь постоянные А, В и С, D следует подобрать так, чтобы погреш-
погрешность в определении упругопластической границы и напряжении в упругой
зоне была наименьшей.
Для напряжений в упругой области справедливы формулы
ax+ay = a~+a;+4Re<l>(z), B_2_55)
95

У
/I
/ у
^^
~*—
7 6
J
4/
———¦
-
к'0.01В7 п-7
<
/
/ /
*
/ t
/
/
У
, „ А*. У
5
1 1
/
/
/
7 1
1,0
0,8
0,6
0,4
Рис. 2.5
Рис. 2.6
Й
96
Вследствие силовой и геометрической симметрии форма линий L i и Х2,
разделяющих упругую и пластическую зоны, будет одинаковой вокруг
каждого кругового отверстия.
Вычисляя напряжения в пластической области по функции B.2.54) и
считая, что на неизвестном контуре L, разделяющем упругую и пластиче-
пластическую области, все напряжения непрерывны, с помощью формул B.2.55) по-
получим граничную задачу для определения аналитических функций Ф (z ),
Ф, (z) и неизвестного контура L:
4 Re Ф(г) = 2 В In (z z ) + 4 E + С) - а" -
4
B.2.56)
B.2.57)
Краевая задача B.2.56), B.2.57) совпадает с граничной задачей A.5.2),
A.5.3). Поэтому можно воспользоваться решением § 5 гл. 1.
Постоянные А, В, С м D находятся из условия равенства первых четырех
членов разложения функций Ux и U* в ряд Тейлора в окрестности точки,
радиус-вектор которой гср равен полусумме меньшего и наибольшего ра-
радиус-векторов точек контура
(о,- P)R
'ср > "
А--\
В =
4 г,
Ср
. ,
B.2.58)
До сих пор предполагалось, что нагрузка р удовлетворяет неравенству
О < р < as. Пусть нормальное давление изменяется в пределах 0>р> -2as.
В этом случае напряжения в пластической зоне при условии текучести
Треска-Сен-Венана определяются формулами [29]:
при R < г <R exp I - — j
ог = р + as In ^ , тгв = О,
B.2.59)
ов = р + а, + as In jjj,
при г > Я exp/- — J
- ar =
a$ ( p \
ar = as — — Л exp I— — I, ae=as, rre=0.
B.2.60)
Отметим, что все полученные ранее решения упругопластическои задачи бу-
будут справедливы в этом случае лишь при условии, что упругопластическая
7. В.М. Мирсапимов 97

граница целиком охватывает круг радиуса Re pl"s. При этом везде в ре-
решениях достаточно формально заменить р на нуль, a R на R exp(— p/os).
В первом приближении (с точностью до порядка б2) решение упруго пла-
пластической задачи можно получить, не применяя аппроксимацию функции
напряжений в пластической области B.2.53). В этом случае, используя ме-
метод Г.П.Черепанова [1] (см. п. 1), получим решение упругопластической
задачи в виде
сЛсз-d)
С\
С3
.АО Г-
B.2.61)
Л 1 , »
Постоянные d, сь с3 и а2, Ьг, входящие в формулы B.2.61), опреде-
определяются из следующей алгебраической системы:
р) \fdcl
= О,
аг -
R(os
d
b, =
R(p-og) /
Чсз-d) V
-p)Vc7 di
\fT d-
R(os-p)\fc3~
°3
d ' Cl
c3
(Oy
c3
(d-3c3)
Cl
/
где e = d/2/ — малый параметр.
9. Рассмотрим теперь бесконечную изотропную тонкую пластину, изго-
изготовленную из идеального упругопластического материала с одной прямо-
прямолинейной трещиной длиной 2 / [57]. Берега трещины свободны от внешних
усилий. К пластине приклепаны поперечные ребра жесткости в точках
z = ±L ±iy0. Выбор системы координат и обозначения поясняются на
рис. 2.7. На бесконечности действует однородное растягивающее напряже-
напряжение а" = а0. Действие приклепанных подкрепляющих ребер на схеме заме-
заменено четырьмя сосредоточенными силами, приложенными в местах распо-
расположения заклепок (рис. 2.7). Материал пластины будем считать удовлетво-
удовлетворяющим условию пластичности Треска—Сен-Венана, согласно которому
98
«ММ
ММ
¦21
2L
\\ \\
Рис. 2.7
максимальное касательное напряжение в каждой точке тела не превышает
предела текучести на сдвиг ts B ts = as).
Под действием нагрузки оь и сосредоточенных сил Р, подлежащих опре-
определению в ходе решения задачи, в кончике трещины будут возникать
области пластических деформаций. Рассмотрим задачу о начальном разви-
развитии пластических деформаций в конце трещины. В соответствии со схемой
Леонова—Панасюка-Дагдейла пластическая область будет представлять
собой узкий слой на продолжении трещины, толщина которого равна нулю
в рамках применяемой теории малых деформаций.
Из опыта хорошо известна общая тенденция к формированию пласти-
пластических областей на первых стадиях развития в виде узких слоев скольже-
скольжения, занимающих незначительный объем тела по сравнению с его упругой
зоной [34, 36]. Особенно это типично для материалов, обладающих четко
выраженной площадкой текучести (для металлов типа мягкой стали,
склонных к запаздыванию текучести и обычно лучше описывающихся
условием Треска—Сен-Венана), а также при наличии напряженного состоя-
состояния с достаточно большим градиентом напряжений.
Как показывают опыты, пластические зоны будут представлять в таких
случаях отрезки длины d. Физически в тонких пластинах она может реали-
реализоваться в виде плоскости скольжения, направленной под углом 45° к
плоскости пластины. Граничные условия рассматриваемой задачи имеют
вид
B.2.62)
Oy— hxy=0 при у=0, |х|</ на берегах трещины,
Oy = os при y-0, /<|x|</+d на пластической линии.
На основании формул Колосова—Мусхелишвили и граничных условий
7* 99

B.2.62) задача сводится к определению двух аналитических функций
Ф(г) иФ(;) из краевых условий
Ф(г)+Ф(г)+гФ'(г)+*(г) = 0 при у = 0, | х | < /,
)= os при у=0, K\x\<I+d.
B.2.63)
Длина d пластической зоны подлежит определению в процессе решения
краевой задачи.
Решение краевой задачи B.2.63) ищем в виде
*(z) = ?>o(z)+*i(z), Ф(г) = Ф0(г) + ф1(г), B.2.64)
причем v'(z) = Ф(г), ф'(г) = ^(z), ^o(z) и фо(г) определяют поле
напряжений и деформаций сплошной пластины. В нашем случае в качестве
и фо(г) следует взять [30]
4
к =
4
4
2тгA
-iYk) In (z-
B.2.65)
* zk(iYk) ш а0
2 + — z.
. Z — Zu I
Здесь ( Ajt, У^) — сосредоточенные силы, приложенные в точках zk
(zi=L+iy0, z2:=L-iyOt z3=-L + iy0, zA = -L-iy0,
Xk =0, Г, = -P, Y2 =P, Y3 = -P, F4 =P).
Для определения аналитических функций Ф i (z ) и S21 (z ) =
= гФ5 (z) + ^i(z) на основании B.2.64), B.2.65) получим следующую
граничную задачу:
^О, K\x\<l+d
B.2.66)
где /(*) = -[Фо
Так как напряжения в идеальном упругопластическом теле ограничены,
то решение краевой задачи B.2.66) следует искать в классе всюду ограни-
ограниченных функций. Теперь заметим, что в силу условий симметрии относи-
относительно оси х, функция /(z) действительна; поэтому на основании B.2.66)
на всей действительной оси будет Im J2t (z) = 0. Следовательно, учитывая
еще условия на бесконечности, получаем
S2,(z) = 0.
Итак, на основании B.2.66) для функции Ф] (z ) получаем задачу Дирихле
прид^О, К\х\<Ь Re Ф,(г) = Й(о,+/(х)), B.2.67)
при z -* оо, Ф](г) -> 0.
Краевой задаче B.2.67) соответствует следующая задача сопряжения:
К \х\ <Ь. B.2.68)
Требуется найти решение B.2.68), удовлетворяющее условию
Ф,(г) = Ф,(г).
Соответствующая однородная задача имеет вид
Ф\(х)+Фг(х) = 0, -Ъ < х < Ъ. B.2.69)
За частное решение однородной задачи B.2.69) возьмем функцию
X(z) = ч/г2 -Ь2 ,
подразумевая ту ветвь, для которой имеет место равенство
Х\х) = -Х'(х) на \х I < Ъ. B.2.70)
На основании соотношений B.2.70) задачу сопряжения B.2.69) перепи-
перепишем так:
Ф\(х) _ Ф\(х)
Х\х) Х'(х)
= 0
на -Ь
Ъ.
B.2.71)
Из краевого условия B.2.71) следует, что решение однородной задачи,
исчезающее на бесконечности, равно нулю.
Неоднородную задачу сопряжения B.2.68) представим в следующем
виде:
Ф\(х)
F(x)
Х\х) Х\х) ' Х\х)
Обозначим
на -Ъ < х < Ъ.
B.2.72)
F,(x) = F(x)IX*{x),
тогда граничное условие B.2.72) примет вид
0 = F,(x) на -Ь < х < Ъ.
К (г) -
100
101

Здесь функция Ff(x) имеет вид
fix)
запишется так:
F,(x) =
F.(x) =
yjx2 -b2
os + f(x)
при I x I < /,
при / < I x I < b.
B.2.73)
yjx2-b2
Искомое решение задачи B.2.67) запишем так:
ь
I
ДГ - Z
B.2.74)
Согласно поведению функции Ф](г) на бесконечности условие разреши-
разрешимости краевой задачи имеет вид
f(x)dx
asdx
= 0.
B.2.75)
Это соотношение служит для определения размера пластической зоны.
Займемся теперь вычислением интегралов в B.2.74), B.2.75). Интег-
Интеграл B.2.74) представим в виде
f(x)dx
B.2.76)
Для вычисления первого интеграла в фигурных скобках используем тео-
теорию вьиетов (см. [30], формулу C) § 70).
Будем иметь
ъ f(x)dx
(^o.()I(J()
V^4() Wz2-b2
B.2.77)
Здесь Ga>(z),Gl(z), G2(z), G3(z), G*(z) - главные части функции
f(z)/\/z2 -ft2 в точкахг =°°,zl,z2,z3,z^ соответственно,
(x - Lf
B.2.78)
+Oo.
fA +v)
nh[y20+(x+Lf] [ 2 Jyl+(x+LJ
После нахождения главных частей функции f(z)/y/z2 -b2 в полюсах
Zi,z2,z3,z4 и z=°°, а также вьиисления двух других интегралов в
B.2.76) окончательное решение задачи Дирихле для функции Фх(г)
102
2nh[y20+(z-LJ]
Ру0 Г 3 + v
2nh[y2o+{z+LJ]
РУо
2ni
2уо(г - z4)
l-z os y/'b2r- I2 yjb2 -z2 +lz+b2
l + z 2rri ^/b2 -f-yjb2 -z2 -lz+b2
B.2.79)
Здесь под функцией уй*-г*подразумевается та ветвь, которая при боль-
больших | z | имеет вид y/b2 -z2 =i y/z2 -b2 =iz(l -b2j2z2 +...).
Кроме того, In F = In | F \ + i arg F, причем -n < arg F < n.
Условие разрешимости краевой задачи B.2.75), которое служит для
нахождения длины пластической зоны, после интегрирования принимает
вид
aon — ¦
РУо
+k)L
3y20G-K)L3
АА у/А -B + 2L2 А2(А +B-2L2)y/A -B + 2L2
2 A -4L2)
2A2y/A-B
= 2os<irccosQlb).
ЗаесъВ=у20 +b2 +L2,
4A3(A +B - 2L2)y/A-B+ 2L2
B.2.80)
А=у/в2 -4Ь2Ь*.
Для определения величины Р используем закон Гука. Согласно этому
закону искомая величина сосредоточенной силы Р, действуюшей на каж-
каждую заклепку со стороны ребра жесткости, равна
P =
2у0
Av.
Здесь Es — модуль Юнга материала ребра жесткости, F — площадь попереч-
поперечного сечения ребра, 2у0 - расстояние между заклепками, Av - взаимное
смешение заклепок, равное удлинению ребра. Радиус заклепки обозна-
обозначим через г. Принимаем естественное допущение о том, что взаимное сме-
103

шение точек z =+L + i(y0 -r), z =+L -i(y0 -г) в рассматриваемой
задаче равно указанному взаимному смешению заклепок Av. Отмеченное
дополнительное условие совместности позволяет эффективно найти реше-
решение поставленной выше задачи.
Для этого необходимо найти взаимное смешение точек z = L + i(yo —r)
и z =L —i(y0 -r) в рассматриваемой задаче. Используя соотношения
A.1.9), B.2.64), B.2.65), B.2.76), B.2.78), после выполнения элемен-
элементарных, хотя и несколько громоздких выкладок найдем
Av = Av! + Av2,
[ r2DL
) к 1л : -
+ф\ (г-2у0J
+r2)
2пцA
32уоЬ2(Уо-г)
[4L2+By0-rf]
B
1
Av2= —
f(t)F(t)dt os ь F(t)dt
+ /
о Vй" -*' nV '
ЗдесьF(t) = (к + 1)/, (г) + 2{у0 -r)f2(t),
D2 cos2 v+(D sin </> —\/b2 -t2f
?>2cos2
sinip+\/b2 -t2)
B.2.81)
D [L(d cos <0 - di simp) - (y0 -r)(dxcosip +d sin </>)] ,
V = — arctg , d = Г2
2 В
Z) = E2 + </2I/4.
Искомая силаР определяется следующим соотношением:
Р=
+
Здесь
-а-Ь.)
4а0 * F(t)dt
?о_ j? F(t)dt +4а^ ъ F(t)dt 1
B.2.82)
X к1п
*• =
r2DL2 +r2)
32y0L2(y0 -r)
2 [4L2 + By0 - rJ ] DL2 + r
lyoL'jyo -r) )
¦2)[4L2 +By0 -rJ])'
2яду0А о уЬ -?
B.2.83)
B.2.84)
104
где функция /о (t) определяется соотношением
-fo(t)=f(t)-o0.
h
B.2.85)
Полученное соотношение B.2.82) содержит неизвестный параметр Ъ
(длина пластической зоны). Поэтому уравнения B.2.80) и B.2.82) долж-
должны решаться совместно. Решая их, можно определить длину пластической
зоны и величину силы Р в зависимости от геометрических и физических
параметров задачи, а также приложенной внешней нагрузки а0.
Исключая из уравнения B.2.80) и B.2.82) величину силы Р, придем
к соотношению, которое позволяет определить длину пластической зоны
в зависимости от приложенной внешней нагрузки. После замены интег-
интегралов квадратурными формулами Гаусса и перехода к безразмерным пе-
переменным это уравнение будет иметь вид
оп X
B.2.86)
о* Y
X = arc cos
г о+о
ь, [
(l+v)e
(*•-/•)
(8A -а -Ы) М
Зе2G-к)
¦i I sin л -^zrrrz: X
\ 2М /y/bl-tll
G -k)BB-A-4)
A2(A+B-2)y/A
2A2y/A-B
е2G -к)(В+А)BВ-А -4)
4А3(А +В - 2)у/А -В+ 2
\
п
у=— -
A
X
8A
A+к)
¦— 2 F(rm) X
¦5 + 2 А2(А +В -2)у/А -5 + 2
G-к)B5-Л-4) е2G-к)
2A2y/A -B
4A3(A +B-2WA-B+2
y0 r b I 2m - 1
e = — , e, = — , b, = — , /, = — , тт = cos
L L L L 2M
f = e2 +Ы +1,
1 +v
a =
к In
-4bl ,
e?D+e?)
3 -v
к =
32e(e-e
1 +v
(е,-2еJ[4 + Bе-е1J] D + е2
/o(r«)F(Tm),
105

15 -к 7 -к (Ь.тт -
/o(Tm)= я[е2+(Ь,гт-1JП 4 4 e
15-к 7-к (b, tot+1J
2+(Z>,rm-lJJ
. гт+1J][ 4
4 е2
Ь. тт+1J 1
+ (й,тт+1J J'
= D sin
D2cos24> + (D sin </> - А. л/1 -rmJ
?>2 cos2</>+(?> sin (/> + й. V1 -TmJ
2 +4(e-e,J,
fi (*m) = D Sin у +
2 f
-rj, In
?J cos2<? + (D sin ^ - у/Ы - t2m
—
Z) cosV + (?) sin i/) +
fl(fm) =
-/.)
При записи этих соотношений для упрошения было принято
Es = E, Fly^h = 1.
На рис. 2.8, 2.9 представлены графики зависимости безразмерной длины
полос пластичности (й, - /,) от безразмерной нагрузки %\as для следую-
следующих значений свободных параметров:
v = 0,3, d =0,01, е = 0,2; 0,5, /„= 0,5; 0,75; 1,0.
При расчете на ЭВМ было принято М = 40.
10. Пусть имеется тонкая пластина, ослабленная круговым отверстием
радиуса R [57]. К пластине приклепаны поперечные ребра в точках z =
= ± L ± /.Ио • Выбор системы координат и обозначения поясняются на
рис. 2.10.
Контур отверстия свободен от внешних усилий, а на бесконечности
действует однородное растягиваюшее напряжение о™ = %. Действие при-
приклепанных подкрепляющих ребер на схеме заменено четырьмя сосредо-
сосредоточенными силами, величина которых должна быть определена в процес-
процессе решения задачи.
Будем считать, что материал пластины является идеальным упруго-
пластическим, удовлетворяющим условию Треска—Сен-Венана. Из упру-
106
гого решения задачи об одноосном растяжении пластины постоянными
усилиями известно, что максимальные напряжения возникают в точках
х = ±R, у = 0 и имеет место соотношение
оу(х. 0)> ах(х, 0)>oz(x,y) = 0, B.2.87)
тху(х, 0) = 0.
Следовательно, условие пластичности на оси абцисс имеет вид
оу = а,. B.2.88)
107

f I
\ \ \ \
Рис. 2.10
При некоторой величине внешней нагрузки здесь будут возникать области
пластических деформаций.
Рассмотрим задачу о начальном развитии пластических деформаций в
тонкой пластине. Будем считать, что пластические деформации сосредоточе-
сосредоточены вдоль некоторых линий скольжения, исходящих из контура отверстия.
Как показывают опыты, пластические области будут представлять в таких
случаях отрезки длины d(d = l -R) вдоль оси Ох (рис. 2.10). Физичес-
Физически в тонких пластинах пластическая область может реализоваться в виде
плоскости скольжения, направленной под углом 45 ° к плоскости пластины.
При пластических сдвигах по площадкам скольжения на этих зонах возни-
возникает локальное утоньшение пластинки, что является следствием разрыва
нормальной к оси Ох составляющей v(x, 0) вектора смешений.
Граничные условия в рассматриваемой задаче имеют вид
ог - ibe =0 при \z \ = R,
oy-irxy = os при у = 0, R<\x\<l. B.2.89)
На основании формул Колосова-Мусхелишвили A.1.9) и граничных
условий на контуре кругового отверстия и на пластических линиях задача
сводится к определению двух аналитических функций Ф(г) ,иФ(г) из крае-
краевых условий
Ф(т)+Ф(т)-[тФ'(т)+*(т)]е2'в=0, B.2.90)
0, , B.2.91)
где т =Re'e , t — аффикс точек полос пластичности. Решение краевой за-
задачи B.2.90), B.2.91) ищем в виде
*)• B.2.92)
108
Здесь потенциалы Ф0(г) и Ф0(г) описывают поле напряжений и деформа-
деформаций в сплошной пластине и определяются следующими формулами:
X Б
(Xk-iYk)
1
2k
4 zk(Xk+iYk)
B.2.93)
к = 1 Z - Zk
где (Xk, Yk) - сосредоточенные силы, приложенные в точках zk
1 g(Q<ft / \~— f\lHLr _1^1
2 Я L t -Z 21T L I t ~Z [I — Z)
dt.
Интегралы в B.2.94) берутся по линии L = {[-/, -R] + [R,l]) ¦ Неизвест-
Неизвестная функция g(x) и потенциалы Ф2(г) и *3(z) должны быть определены
из краевых условий B.2.90)-B.2.91). Для нахождения функций Ф,(г)
и *г(г) представим граничное условие B.2.90) в виде
Ф2(г) + фГО0-[гФ;(г) + Ф2(т)] еа/в =
= _Ф.(г)-Ф.(г) +ва'в[тФ:(г)+Ф.(г)], B-2-95)
Для решения краевой задачи B.2.95) воспользуемся решением Мусхелиш-
вили [30]
dT+l' B.2.96)
2ffiz
1
T-Z
~2К" 2Wz7r(r-z) z2 z z
Здесь /, -ih =Ф.(г) +ФДГ) -е2'9[ГФ'.(г) +*.(r)], «i =«'i =0, так
как равен нулю главный вектор усилий, приложенных к контуру кругово-
кругового отверстия у.
Подставив в B.2.96) выражение/, -//2, после вычисления интегралов
с помощью теории вычетов найдем
1 _f2 z-t 1 .. . о0 _
2яA
a0
4 /rfc(zfczfc-l) к J
IJ
= iz(zzfc -
B.2.97)
Vz-z-t
2t(z-t)
4
2
= i(z2zfc -z)
z(l -zrJ
fc=lZ2Zfc
109

В формулах B.2.97) принято R = 1, т.е. все линейные размеры отнесены к
радиусу кругового отверстия.
Требуя, чтобы функции B.2.92) удовлетворяли краевому условию
B.2.91), получим сингулярное интегральное уравнение относительно g (x)
1
Я L t -X
Здесь
1
- JK(t,x)g(t)dt =-Р0(х)-Рг(х).
Я L
B.2.98)
х -t
1
'' xt(l-txJ x2t
2x3 -x -2t + 2t2x ~хг*2
2t(x-i)(x2 -1)
*A ~txK
X2(l-tXJ
2Py0
°
4
Г
[
^~~' "" яA +K)h[(x2 +yl+L2J -4x2L2
a2(x2 +L2 +y20)-32x2L2(x2 +L2 +y20)
[(x2 +y20+L2J -4x2L2]2
РУо ( (L2 +yl - 1
B.2.99)
B.2.100)
¦—IX
x
2
x2(L2 +y20)
ff(l+K)A I (L2 +Уо)
(A] +4x2L2Ja-32x2L2A1
(A\ -4x2L2J
~2) Ai2A\ 2r2 +^2 +^o -1H -*2)x
x2/ A\ -4x2L2
cAjjA] +12x2L2)-CAJ +4x2L2)l2x2L2
(A2-4x2L2K
(A] +4x2L2JCl -8x2L2Ai
1 \
3 a0
2xl
B.2.101)
(A2 -4x2L2f
a=x2CL2 -yl) + l, At=x2(L2
c = a + 2, Ci=x2A, a2=3(x2 +L2)-yl.
Сингулярное интегральное уравнение B.2.98) содержит неизвестную вели-
величину Р. Займемся определением этой величины. Для определения величи-
величины Р поступаем так, как изложено в предыдущем пункте. Для этого необ-
необходимо найти взаимное смещение точек z =L +i (y0 ~r)nz=L—i (y0 -r)
в рассматриваемой задаче. Используя соотношения A.1.9), B.2.92) —
B.2.94) и B.2.97), получим:
h +Av2,
Р I r2DL2 +r2)
B.2.102)
Av0 = { к In
2ядA +K)h\ (r- 2y0J [4L2 + Bу0 - гJ ]
32y0L2(y0-r) ) о0
110
DL2
B.2.103)
1 Г 2(yo-L)(t-L)l
Л(к + 1)у- л -\g(t)dt, B.2.104)
2пц
V = arctg^^ , A=(t- Lf + (у о - гJ,
t — J-t
«о ( "СУо -г)
Av2 = —
B\ \B2
Вт.
В2
t(yo -г)
-t2)(y0-r) 2t(l-tL)(yo-r)(L-t) (Уо~г),
В2
г~) , Л ГР-'а)Р+'
--^•->Л 7ХГ
2 / l Ах
[A-tLJ -t2(y0-i
[A _ tLy _ t\yQ _ rJ\(L -i)- 2t(l - tL)(y0 -rf
A\
B-t2+t3-t) yo-r 2t(yo~r) .
1 arctg-^ +—— +Dt2 +I)v5, +
t L B2
2t3(y0-r)[(l-tLJ- t2(y0-rJ]- 2(t2 + !-2t3)(l-tL) t(y0
A\
РП
B.2.105)
где
2L2yor-A2C
„ ci +a
C23+r2
1Уог1 « (Ci+C3)(Cl+CS) \
L2 \ 2 (C2+L2r2)(C23+L2r2))
-L2r2) + 2y0LrCL(Ci - C\)
" (Ci+C2J
f[ (C2+I2r2J
2yorC3-L(Cl-r2L2) _ L(Cl-Cl)-2y0C,C2 1 |
(C%+r2L'f C22+C2
к \LC-Lr(yo-r) LCi+C^yo-r)^
B2
C2+L2r2
+ Ci J/ 1 + к \
C\+Cl
1
T2
(C2 +L2r2
111

yo(Cj -
(Cl+гЧ2?
(Уо -r)c
B2l C\+L2r2 ^2
-(.Ко -r)Ci_ (y0 -r)C2
C\ +L2r2
a + c\
г—>
0 -r)
(C]+Cl)(C22+C2)
где
= arctg-
fi = a2-^J+4LV§, 2*,=L2+j>8, A2=L2-y20,
B2=L2 +(yo-rJ, B3=L2+y20-l,
C\ ~ 1 -L2 +7oGo -r), C= 1 -L2 -уо(Уо -г),
C2=l+L2 -yo(yo-r), C3 = l+L2
Выражение для искомой силы Р имеет следующий вид:
к + 1 2Z,2
sF I
—1°о(Уо -г)
5| U2 ~ Jin L
Г (Д'о -г)A -Г2) I /1
kLj, + \-L[ —
L М, J \52
-A -Г/,J +Г2(>-0 -гJ +2ГA -tL)(L~t)
В\ \В2
— 1 +
t B2
2t(l-tL)(yo-rJ-\ Г 2 B-t2+t3-t) yo-r
, 2гGо-г)
52
-2?(^о-О
{il +1 -2Г3)A -Г/,)
a. =
4я^0АA+«I (г-2_иоJ{412
112
+ 32y0L2(y0 r) j b.=EsFni4rr»yoh. B.2.106)
DL2+r2)[4L2+By0-rJ) )'
После нахождения величины силы Р можно приступить к решению уравне-
уравнения B.2.98). Подставляя в B.2.98) вместо Р выражение B.2.106), а также
учитывая, что g (x) - —g (—x) и применяя замену переменных, сингулярное
интегральное уравнение приведем к следующему виду:
р(т)с1т 1
^2+
1
- / P(t)B(V,
Я -1
os.
Я -1 Т-Т?
Здесь р(т)=^(О, и=^(т+1) + 1, и0 = с?(т?+1) + 1,
-О,
[ и0 -и 4(и0 -
— + +
B.2.107)
ии0
к + 1
arctg
а2
al+4L2a2
к 2\Jua
+ arctg +
2и1A +L2)as +2L[2u(uL + l)
2Z,A+и)а4
2и2оГ +2uL2]
ЧИ[
(os - 2и/,2 )A - и)
а7а4
а6и
BZ,2 +1)а4 -4и1
2<*5 11
J "
2olL
arctg +
/2-и\ а 2а /4и + 1\ 2\/иа
+ [ ) arctg- -— - =- 1 arctg -
\ и ) L В2 \2\П1) а3
а[2иа7а4 -8и2/,2а5 -2(и + 1 +2и21)а4]
а[(8и2/,+4и2/,2 +4и/,2)а5]
«2
-а» -й»)
а2(и0+АJ-8(и0+А)В1 B+к)(ио+А)
[(и0 +АJ -1
+BiJa-8AlB1 2
B2 u0A
Bk + 1 +—)—+4(Л -1)A-и0)
V u0/ В
Al(u+2)(A\+3Bl)-3BlCA2l+Bl)
"о
8. B.M. Ми реал и мов
113

+ 4кA -—)
V "о/
(A\ +Bi)uqA -.
В2
где
(
2 Uo
"o
ч
к + 1
-rf ,
+2u(y0 -rf(uL2 + 1),
* +l)-u(y0 -r).
a2=(u-L2)-(y0 -rf,
a4 = [(uL2 + l) + «0\> -rf
a6=(uL2 -IJ +u2(y0 -r
as =(uL2 +l)+u(y0 -rf
Величина /, характеризующая длину полос пластичности, войдет в решение
уравнения B.2.107) как неизвестный параметр, подлежащий определению.
Так как напряжения в идеальном упруго пластическом материале ограниче-
ограничены, то решение сингулярного интегрального уравнения B.2.107) следует
искать в классе всюду ограниченных функций (напряжений). Условие
ограниченности напряжений в концах z = ± / служит для определения пара-
параметра /, зная который можно найти длину пластических зон. Решение
сингулярного интегрального уравнения B.2.107) представим в виде
B-2.108)
Здесь po(v) непрерывна по Гельдеру на [—1, 1], причем функция po(v)
заменяется интерполяционным полиномом Лагранжа, построенным по
чебышевским узлам:
П k = 1
- COS0fc
B.2.109)
Р°к=Ро(Пк), T? = COS0, TJm=COS0OT,
вп, =
2m- 1
2и
m =1,2,...,n.
Используя B.2.109) и соотношения
cosnrdT sinnd
1
о cos 7 — cos 0 sin 0
0< 0< я,
" F(x)dx
I I—T
0 V 1 - ДГ
П k = 1
B.2.110)
114
получаем квадратурные формулы
1
— /
2я -i
— /
2ff -I
р(т)с1т
1 " "-»
2 р? 2 cosm0fcsinm0,
)t = i m=o
= — ? p°kB(ji,rk),
In k = \
B.2.111)
Формулы B.2.111) позволяют заменить интегральное уравнение B.2.107)
системой алгебраических уравнений относительно приближенных значе-
значений pi искомой функции в узловых точках. После некоторых преобразо-
преобразований интегральное уравнение заменяется следующей системой алгебраи-
алгебраических уравнений:
=
1
1
= ~ [os +f(Vm)],
2
"mk
2и L sin
sin0.
B.2.112)
B.2.113)
В рассматриваемой задаче полоса пластичности одним концом выходит
на поверхность свободного отверстия. Напряжения на этом конце полосы
пластичности ограничены. Поэтому к полученным уравнениям B.2.112),
B.2.113) необходимо добавить следующие алгебраические уравнения:
? (-i
-^=o, ek=
2
2к — 1
2и
B.2.114)
обеспечивающие конечность напряжений в точках x = ±R, x = ±l. Полу-
Полученная алгебраическая система B.2.112)-B.2.114) является нелинейной
0,8
0,6
0,4
0,1
0.1
0,6
1,1
Рис. 2.11
1.6
115

относительно неизвестного параметра /. Решение этой системы при задан-
заданной нагрузке а0 по этой причине затруднительно. Поэтому проще считать
заданным /, а определять соответствующую нагрузку о0, действующую
на пластину. На рис. 2.11 дана зависимость между длиной полосы пластич-
пластичности d=(l—R)/R и безразмерным значением внешней нагрузки o0/os
для v= 0,3, е, =0,01, е = 0,2, L/R = 3.
§ 3. Периодические решения с пластическими линиями разрыва
1. Пусть [46] имеется тонкая пластина, ослабленная периодической
системой круглых отверстий радиуса X (X < 1) с центрами в точках Рт =
= ти>(т = 0, ± 1, ±2,...), со =2. Будем считать, что материал пластины
является идеально упругопластическим, удовлетворяющим условию Трес-
ка-Сен-Венана. Из упругого решения задачи об одноосном растяжении
пластины постоянными усилиями известно, что максимальные напряже-
напряжения имеют место в точках х = ± X + тсо, у = 0 (т=0,±1,±2,...). При
некоторой величине внешней нагрузки здесь будут возникать области
пластических деформаций. Рассмотрим задачу о начальном развитии плас-
пластических деформаций в тонкой пластине при одноосном растяжении ее по
направлению оси Оу усилиями а". Будем считать, что пластические де-
деформации сосредоточены вдоль некоторых линий скольжения, исходящих
из контура отверстий. Из опыта хорошо известна обшая тенденция к фор-
формированию пластических областей на первых стадиях их развития в виде
узких полос скольжения, занимаюших незначительный объем тела по срав-
сравнению с его упругой частью [34, 36]. В особенности это характерно для
материалов, обладаюших четко выраженной плошадкой текучести (для
материалов типа мягкой стали, склонных к запаздыванию текучести и
обычно лучше описываюшихся условием Треска-Сен-Венана), а также
при наличии напряженного состояния с достаточно большим градиентом
напряжений. Согласно точным вычислениям пластические области имеют
тенденцию к локализации в линию скольжения [16, 1]. Так, например,
согласно точному решению [1] упругопластической задачи о двухосном
растяжении пластины с круговым отверстием, уже при отклонении напря-
t
J
t
1
•y
t
\
1
\
У,<
\
n
J
t f
J
1 \
\
r~\
\
\
X
\
Рис. 2.12
116
женного состояния на бесконечности от всестороннего на 0,1 (Да/а»
^0,1) пластическая зона из круговой преврашается в вытянутую область
с отношением ширины к длине примерно 1 : 4. Как показывают опыты,
пластические области будут представлять в таких случаях отрезки длины
d (d = l - X) вдоль оси Ох (рис. 2.12). Толшину зоны можно считать рав-
равной нулю. Физически в тонких пластинах она может реализоваться в виде
плоскости скольжения, направленной под углом 45 ° к плоскости пластины.
В силу симметрии граничных условий и геометрии области D, занятой
материалом среды, напряжения являются периодическими функциями с
периодом со.
Напомним (см. гл. 1), что в упругой области
(z=x+iy), B.3.1)
оу-ох+ 2irxy =
2ц(и + iv) =
Ф(г) = ?>'(*); *(z) =*'(*);
к = C - v)/(l + v) для плоского напряженного состояния,
At и v — модуль сдвига и коэффициент Пуассона соответственно.
На основании формул B.3.1) и граничных условий на контурах круго-
круговых отверстий и на пластических линиях задача сводится к определению
двух аналитических в области D функций <?(z) иФ (z) из краевых усло-
условий
B.3.2)
B.3.3)
Ф(т)+Ф(т)-[тФ'(т)+Ф(т)] е2'9=0,
= as
где
T = Xe'9+mco, m = 0, + l,±2,... ,
t — аффикс точек полос пластичности, as - предел текучести материала
на растяжение.
Решение краевой задачи B.3.2) - B.3.3) ищем в виде
z\ B.3.4)
1 я
i (z) = -— / g(t) ctg — (t - z)dt,
2co l со
^-г / g(t) sin  — (t - z)dt.
7Г
СО
= — o" +a0
4
<*2fc + 2
B.3.5)
B,3.6)
fc=0
Bk+ 1I
— Zj ftofr + o
Bk + 1)!
где
m [(Z-Pm? Pi
117

интегралы в B.3.5)берутся по сумме двух отрезков линии ? = {[-/, -X] +
Г-ч ¦ "I »
g(x) =
к + 1 d х
, где *(*) = v(x, +0) - v(x, -0) на L .
В силу симметрии h(—x) = h(x). Функция h(x) (разрыв нормальных
смешений) считается непрерывной на L и равной нулю при I х \ =±1.
Вместо h (х) удобно рассматривать функцию
7
к +1
-/
g(-x)=-g(x),
которую формально можно истолковать как плотность прямолинейных
непрерывно расположенных по оси х дислокаций, векторы Бюргерса ко-
которых параллельны оси.у.
Искомая функция g(x) удовлетворяет дополнительному условию,
вытекающему из физического смысла задачи:
g(x)dx- fg(x)dx = 0.
/
B:3.7)
Приведем теперь зависимости, которым должны удовлетворять коэф-
коэффициенты выражений B-3.6). Из условий симметрии относительно коор-
координатных осей находим, что
Ima2fc+2 =Im/32fc+2 = 0, * = 0,1, 2,... B.3.8)
Можно убедиться, что соотношения B-3.4) — Bг3.8) определяют класс
симметричных задач с периодическим распределением напряжений. Из ус-
условий постоянства главного вектора всех сил, действуюших на дугу, соеди-
няюшую две конгруэнтные точки в D, следует
<*о =¦
24
Неизвестная функция g(x) и постоянные а.2к+2, lh.k+2 должны быть опре-
определены из краевых условий B.3.2) - B.3.3). В силу выполнения условий
периодичности система граничных условий B.3.2) заменяется одним функ-
функциональным уравнением, например, на контуре т = Хе'9, а система условий
B.3.3) краевым условием наL.
Для составления уравнений относительно коэффициентов а2к+2 и
fak+2 функций Ф2 (z) и Ф2 (z) представим граничное условие B.3.2)
в виде
2(г)+Ф2(т)]е2'е =/i@) +г/2(б),
Ф2(г) + Ф2(г) -
где
B.3.9)
B.3.10)
= _ Ф, (Т) _ ф, (т) + [ т Ф,'(т) + Ф, (г)] е
21в
Относительно функции f\ (в) + if2 (в) будем считать, что она разлагает-
разлагается на | т \ = X в ряд Фурье.
118
В силу симметрии этот ряд имеет вид
/i@) + '/2F)= _2 A2ke~2tke, Im<42fc=0,
1
А2к =
B.3.11)
* = 0,±1,±2,...
2тг о
Подставив сюда выражение B.3.10) и поменяв порядок интегрирования,
после вычисления интегралов с помошью теории вычетов найдем
1
= - — / g(f)hk(t)dt, B.3.12)
/
2со ь
, /2@=-—
Bk)!
B*-3)!
A: = 1,2,...,
Подставив в левую часть краевого условия B.3.9) вместо Ф2 (t), Ф2 (t),
Ф2 (t) и Ф2 (t) их разложения в ряды Лорана в окрестности z =0, а в
правую часть B.3.9) ряд Фурье B.3.11) и сравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях е 1в, получим две бесконечные системы алгебраи-
алгебраических уравнений относительно коэффициентов а2к+2,$гк+г- После не-
некоторых преобразований приходим к бесконечной системе линейных ал-
алгебраических уравнений относительно а2 к±2
к=0
aj,k
и -а»
Ьо -Аг -
/ = 0,1,2,...,
L_2fc-2 , А2 =А2 +— ау ,
bj-A2j+2
fc
B.3.13)
fc=o Bf)\Bk+3)\22'+2k+* -™-i,
A > A ' - * ,  ^ О V J
e/ifc= B/+ 1 )</,-.
3 1
119

B/
2)!22/+2k+4
/ + 2i + 1)!Bk + 2f + 1)!
-n- л -n * -
~°. */.o-O; ft/.*
/=1,2,..., *=1,2,...
Постоянные /32t+2 определяются из следующих равенств:
1
B.3.14)
А/+4 = B/ + 3)в2/+2 -
v
Требуя, чтобы функции B.3.4) удовлетворяли краевому условию на
пластической линии L, получаем сингулярное интегральное уравнение от-
относительно g (х)
1 тг
- / g@ctg — (t- x)dt + H(x) = о, ,
СО L СО
Н(х) = 2 Ф2 (х) + хФ'2 (х) + Ф2 (х).
B.3.15)
Системы B.3.13) и B.3.14) совместно с сингулярным уравнением
B.3.15) являются основными уравнениями задачи, позволяющими оп-
определить функцию g(x) и коэффициенты a2jt+2> $2k+2- Зная функции
#(¦*)> *2 (z) и Ф2 (z), можно найти напряженное состояние упругопласги-
ческой пластины.
2. Если воспользоваться разложением
Z7
¦П 7Г 1
— ctg — z = 2
СО СО Z /=0
LO
уравнение B.3.15) можно привести к обычной форме
1 g(t)dt 1
¦П L t -X Л L
B.3.16)
1=0
f2/+l
.,2/+2
на
Преобразуем уравнение B.3.16) к виду, более удобному для нахожде-
нахождения его приближенного решения. Условие B.3.7) определяет симметрич-
симметричное решение задачи. Учитывая, что g(x) = -g (-x), уравнение B.3.16)
120
приведем к виду
Г-So
B.3.17)
—
Сделаем замену переменных
1-Х]
0+Х?. B.3.18)
2 ^-
При этом отрезок интегрирования [X,, 1 ] переходит в отрезок [—1,1].
а преобразованное уравнение B.3.17) принимает стандартную форму
T)dr 1 '
^+ / р(т)В(пт)</т+Я(т?) = О. B.3.19)
Я -1
-1
1-ь2 -
Здесь р(т) = р(?), В(п, т) = - —-— Д ^/+1
/ / \2/+2
1 —I
\ 2 /
1 -2-3
¦С
«о/ Г
Для простоты записи полагаем Я, (т?) = Я (? 0) — о,.
Сингулярное интегральное уравнение обычно регуляризуют по Карлема-
ну-Векуа путем сведения к уравнению Фредгольма. Однако при решении
задач, представляющих интерес для приложений, по-видимому, целесооб-
целесообразнее использовать один из способов прямого решения сингулярных урав-
уравнений [37-39]. Ниже применяется способ, развитый в работе [40] и рас-
рассмотренный в п. 10 § 2.
Решение представим в виде
B.3.20)
1+П
Здесь Ро (т?) непрерывна по Гельдеру на отрезке [-1,1], причем функ-
функция Ро (т?) заменяется интерполяционным полиномом Лагранжа, построен-
построенным по чебышевским узлам (см. формулу B.2.109)).
Используя B.2.109), соотношения B.2.110), а также выражения
B.3.12), B.3.18), получаем квадратурные формулы
" 1
со. m
B.3.21)
j j 1 "
— f p(r)B(rj,T)dT= — 2 A -tv)p°vB(v,tv),
2тг -i 2и- v=\
121

f 2 к (T) =/1 k (|2 ),
) = —
B.3.22)
(,).
Формулы B.3.21), B.3.22) позволяют заменить основные уравнения
B.3.13), B.3.14) и B.3.19) бесконечной системой линейных алгебраи-
алгебраических уравнений относительно приближенных значений р°и искомой функ-
функции в узловых точках, а также коэффициентов а2к, fa к- После некоторых
выкладок сингулярное уравнение заменяется следующей системой, анало-
аналогичной системе B.2.112) :
и
2 а„
v=l
-ы-
+tg-
Ctg
+ 2 sin2 у B(rtm,T
B.3.23)
Система B.3.23) замыкается двумя бесконечными системами B.3.13)
и B.3.14), в которых вместо Агк подставлено соотношение B.3.22).
Величина /, характеризующая длину полос пластичности, входит в реше-
решение уравнения B.3.15) как неизвестный параметр, подлежащий опреде-
определению.
Так как напряжения в идеальном упругопластическом материале огра-
ограничены, то решение сингулярного интегрального уравнения следует искать
в классе всюду ограниченных функций (напряжений). Условие ограничен-
ограниченности напряжений в концах служит для определения параметра /, зная
который можно найти длину пластических зон.
Это значит, что при решении уравнения B.3.19) в классе B.3.20) сов-
совместно с двумя бесконечными системами B.3.13) и B.3.14) к системе
B.3.23) следует присоединить уравнение B.2.114).
3. Для численной реализации изложенного способа были выполнены
расчеты на ЭВМ. Исследовалось растяжение усилиями о?° (а^° = 0). Система
B.3.22) решалась методом Гаусса с выбором главного элемента для раз-
разных значений порядка п в зависимости от расстояния между отверстиями.
Каждая из бесконечных систем B.3.13), B.3.14) заменялась конечным
числом уравнений в зависимости от расстояния между отверстиями. При
этом с помощью B.3.14) из уравнений B.3.23) исключались неизвестные
/32аг- Оказалось, что для 0,1 <Х<0,6 значения коэффициента интенсивнос-
интенсивности напряжений, а также коэффициенты а2* и /32* по существу не меняются
(совпадают с точностью до шестого знака), начиная с п = 20. В диапазоне
изменения 0,6<Х<0,8 оказалось достаточным взять и = 40, а в системах
B.3.13), B.3.14) оставлять 12 уравнений (решения совпадают с точностью
до четвертого знака). Для Х>0,8, начиная с и = 80, решения совпадают
с точностью до третьего знака, при этом в системах B.3.13), B.3.14) ос-
оставлялось 30 уравнений. Заметим, что значения параметра Х>0,8 выпада-
выпадают из рабочего диапазона изменения X.
122
Быстрая сходимость решений найденных систем уравнений в диапазоне
0<Х<0,8 объясняется тем, что коэффициенты систем B.3.13), B.3.14),
а также формулы для функций /2fc (О содержат высокие степени парамет-
параметра X.
На рис. 2.13 приведены графики зависимости длины полосы пластич-
пластичности И от безразмерного значения внешней нагрузки о™/ as для некото-
некоторых значений радиуса отверстия X = 0,7 — 0,2 (кривые 1 — 6). Там же
(штриховой линией) для сравнения дан график зависимости длины полосы
пластичности в случае одного отверстия.
§ 4. Периодическая упругопластическая задача для тонкой пластины
1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу [43] об определении
границ, разделяющих упругую и пластические области неограниченной
тонкой пластины, находящейся в условиях плосконапряженного состояния
и ослабленной бесконечным рядом одинаковых круговых отверстий. Пред-
Предполагается, что уровень напряжений и расстояние между отверстиями та-
таковы, что круговые отверстия целиком охватываются соответствующей
пластической зоной, но в то же время, соседние пластические области
не пересекаются.
Пусть имеется пластина с одинаковыми круговыми отверстиями имею-
имеющими радиус/? (R < 1) и центры в точках
Pm-mu), m = 0,±l,±2,... ,со = 2.
Обозначим контур отверстия с центром в точке Рт через Lm, соответ-
123

ствующую упругопластическую границу через Гт, а внешность контуров
Гт через Dz. К контуру отверстия приложена постоянная нормальная
нагрузка аг =р (г, в - полярные координаты), а напряжения на бесконеч-
бесконечности ах = ст~, оу =а^)Тху=0.
В качестве условия пластичности принимается условие Треска-Сен-Венана
и предполагается, что в пластической области выполняется неравенство
Од > аг > 0. Характеристики в пластической зоне будут радиальными пря-
прямыми; напряжения [29] даются формулами
R
ar = as+(p-as) , ав = as, тгв = 0. B.4.1)
Здесь as — предел текучести материала при простом растяжении.
Для выполнения неравенства Од > щ- > 0 нагрузка, очевидно, должна
удовлетворять условию p<as.
В упругой области напряжения определяются по формулам Колосова—
Мусхелишвили [30]:
ar+ae=4Re<l>(z), B.4.2)
0в - о, + 2z7,e = 2[z Ф '(z) + Ф(г)] e2W.
На неизвестном контуре Гт , разделяющем упругую и пластическую,
области, все напряжения непрерывны. Используя B.4.1) и B.4.2), по-
получим на контуре Гт условия
е~21в
B.4.3)
2. Решение краевой задачи. Используем аналитическую
функцию z = co(f), которая конформно отображает область Dz на область
?>$-, являющуюся внешностью окружностей 1т радиуса X с центрами в
точках Рт.
Для определения трех аналитических функций </>(?) = Ф[со(?) ], i^(f) =
= Ф [co(f) } и co(f) получаем нелинейную краевую задачу на 1т
B.4.4)
B.4.5)
B.4.6)
Искомые функции ишем в виде рядов
t=o
BЛг +1)!
t=o
1)!
*=о
к=0
BJ4.7)
B.4.8)
124
= 0,±l,±2,...
Знак штрих у суммы означает, что при суммировании исключается индекс
т=0. Приведем теперь зависимости, которым должны удовлетворять
коэффициенты выражений B.4.6) - B.4.8). Из условий симметрии отно-
относительно координатных осей находим, что
Из условий равенства нулю главного вектора сил, действующих на дугу,
соединяющую две конгруэнтные точки в ?>f, следует, что
24
в силу выполнения условий периодичности система граничных условий
B.4.4), B.4.5) на \т {т = 0, ± 1, ± 2,.. .) заменяется двумя функциональ-
функциональными уравнениями, например, на контуре /о.
Для составления уравнений относительно остальных коэффициентов
функций <р($),Ф(О и со(?) разложим эти функции в ряды Лорана в ок-
окрестности точки f = 0.
Разлагая правые части B.4.4), B.4.5) в ряды Лорана, а также подста-
подставив в граничные условия B.4.4), B.4.5) на контуре /0 (? = \е1в) вместо
<^(?). 4>($) и со(?) их разложения B.4.9) - B.4.11) и сравнив коэффи-
коэффициенты при е21кв (к = 0, ± 1, ±2,...), получим бесконечную систему не-
нелинейных алгебраических уравнений относительно a2k , /32ft, Агк . Ниже
приводятся уравнения первого приближения:
aX+al
aY-A2X=B[-
(Аг, +Аг2)*, ,
/ 1 \
= В\к2Ь + — bik), 2a2(l+Xr10) Bbx,
\ 2 )
— (a~ + a~) - as + 2(a0 + a2X2r0 0) = - Bb,
X2L^2+^*l2)+2rf1WI] = l, <#*1+rfI(*2+^*I2)=0,
X=2a2A2 + —
0
*г10 +А2у0,
= 2aa2\*r10 +ay0 +A2yy
ro,o>
1,0'
125

я
s
к
ю
I
I
ГЧ
00
CO
Г-.
cf
00
о
CO
,83
о
CO
\o
ГМ
оч
о
oo
\o
о
«ч
ч-
ч-
ГМ
,29
-я
00
oo
>J3
t-l
l~-
(S
r~
o
v±
ГМ*
l~-
4-
»—<
о
1
ч-
о
CO
о
1
r~
u->
.—t
о
1
о
1~-
о
о
1
оо
СО
о
о*
1
оч
оо
5ч
о
о
1
оо
оч
,07
о
1
ГМ
•л
¦*
•ч
СО
о"
1
оч
оч
оо
ГМ
о
1
г
оч
ГМ
о
1
со
Оч
о
ГМ
ГМ
о
1
1~-
00
1~-
о"
1
о
1
со
оо
оо
,05
о
1
о
1^-

о"
со
Г-
ГЧ
со
о
Г-»
ГЧ
со
.-Н
о
00
00
ГЧ
о
VO
Г-
00
,11
о
г-
*п
о
о
со
in
,07
о
1~-
го
о
1~-
"г
о
1~-
1~-
-я
г~
о
•о
оо
-я
•о
СО
1~-
ГМ
<ч
СО
•о
о
,58
ГМ
СО
Г-
со
со
ГЧ
,01
«о
ч-
о
сч
чо_
о"
1
ГМ
•о
ГМ
S
о
1
СО
о
*-*
«л
о
1
ГМ
•о
сч

о
1
ч-
1~-
о
,48
о
1
ч-
г~
г~
о
ч-
о
1
СО
с~-
о
о
СО
о"
1
а
:ен
~J
<§
1 при
1
00
¦*
о
г»
со
,83
о
ч-
оо
«л
гч
о>
о
\о
,0669
-я
ГМ
ГМ
о>
ч-
оо
оо
1~-
гм
1~-
о
"X
ГМ
ГМ
>J3
СО
«л
о
1
ч-
ГМ
ГМ
СО
о
1
\о
оо
о
1
«о
•о
1~-
о
о
1
1~-
ч-
о
о
1
г~
о>
,09
о
1
оо
о>
,07
о
1
to
to
00
00
о
со
о
«о
о
о
Г-»
ГЧ
о
со
Г--
S
о
с-
(*-
00
VO
о
о
г-»
00
00
со
о
о
to
^-
,01
о
о>
t—
со
ГМ
СО
о
1
оо
1~-
оо
ГМ
о
1
>J3
«о
ч-
ГМ
о
1
оо
\о
ГМ
,22
о
1
ON
ГМ
|~-
о
1
00
*о
о
1
со
00
оо
,05
о
1
ГМ
1~-
*о
оо
о
1
ГМ
ГМ
о>
о
1
1~-
оо
о
о
1
«о
ч-
1~-
>J3
о
о
1
\о
,04
о
1
со
гч
о
о
1
*о
о
о
о
1
1~-
ОЧ
ГМ
ч-
о
СО
«о
оо
СО
о
оо
ч-
СО
1—(
о
СО
г~
оо
ГМ
о
СО
ОЧ
оо
о
\о
о
о
СО
*о
1~-
о
о
\о
СО
ГМ
о
о
1
«о
о
ГМ
о
о
1
9
«о
о
о
1
СО
о
о
1
ГМ
с~-
S
о
1
оо
(S
о
о
о
1
ОЧ
оо
о
о
о
о
1
ч-
ГМ
г~
|~-
V,
ч-
ч-
оо
1~-
>J3
_,
VO
«л
оо
_,
оо
оо
<s
ГМ
ч-
о
,58
V0
,37.
СО
гч
Ч"
о
«о
оо
«о
ГМ
>J3
\О
о
1
о
г~
о
>J3
о
1
S
to
\О
to
о
1
Г--
оо
52;
о
1
ГМ
оо
о
9
о
1
СО
оо
о
ч-
о
1
СО
о
1
\о
оо
ч-
1~-
о
о
ОЧ
(S
г~
о
о
21.
00
to
о
о
о>
гч
о>
со
о
о
to
гч
,02
о
о
о
о
*о
со
о
о
о
-9. -S.
«а «а
а -о -о -о
126
ах =
к2 =(
dx =-
1,0»
= -R(as-p),
-1),
1 .
= a2
7i =02Х4г, 0 + /33Х6г, , -8а2Х4гьо.
3. Анализ решения. Результаты расчета на ЭВМ в первых двух
приближениях при о~ = а" = q даны в табл. 2.1, в которой at = 2В. Отобра-
Отображающая функция co(f) построена так, что параметр X изменяется в преде-
пределах 0 < X < 1 (поскольку со = 2). Структура бесконечной системы нелиней-
нелинейных алгебраических уравнений такова, что в диапазоне изменения парамет-
параметра 0 < X <0,6 достаточно оставить в системе семь уравнений A-е прибли-
приближение). Это объясняется тем, что коэффициенты системы содержат
высокие степени параметра X. В диапазоне изменения 0,6 <Х <0,8 доста-
достаточно оставить 11 уравнений B-е приближение). Это подтверждено расчета-
расчетами, причем добавление новых уравнений практически не вносит в первые
неизвестные никаких поправок (см. таблицу). Если же X > 0,8, то число
уравнений должно быть велико. Однако значения параметра X > 0,8 не со-
соответствуют постановке рассматриваемой задачи, так как при этих значе-
значениях параметра пластические зоны, целиком охватывающие отверстия,
пересекаются (при Х = 0,8, гтах = 1,0).
Зависимость параметра X от приложенной нагрузки находится в процессе
решения. Однако проще считать заданным параметр X и определять соот-
соответствующую нагрузку.
На рис. 2.14 представлены зависимости параметра X от величины прило-
приложенной нагрузки qjas при р = 0 для некоторых значений радиуса отверстия
R = 0,5 - 0,1 (кривые 1 - 5).
Положив в разложении B.48) f = Хе'э, получим уравнение упруго
пластической границы
г=|ы(Хе'в)|=Дв).
В первом приближении
г2 =
При этом
1+Л21-1+Х22 -^ГХ"I,
2\ /=о 2/ + 1 /J
Г/,0
2/ + 1
X2'
B.4.9)
B.4.10)
B.4.11)
На рис. 2.15 упругопластическая граница представлена для случая R -
= 0,3; Х=0,7; р = 0, q/os = 0,627 (rmax =0,851; rmin =0,419).
127

0,6
0,4
0,2
1
1
2
J
A
. —-
/
/
/
0,3
0,4
0,5 0,6
Рис. 2.14
0,7
0,8 q/<ss
Рис. 2.15
Из условия rmin > R определяется наименьшая нагрузка, при которой
контур отверстия целиком охватывается пластической зоной. Соотноше-
Соотношение B.4.10) при гтах < 1 позволяет найти наибольшую нагрузку, при кото-
которой пластические зоны касаются одна другой.
До сих пор предполагалось, что нагрузка р удовлетворяет неравенству
0 <р < os. Пусть теперь нагрузка р изменяется в пределах 0 > р > - а„.
В этом случае напряжения в пластической зоне при условии текучести
Треска-Сен-Венана определяются формулами B.2.41).
Отметим, что все полученные ранее решения упругопластической задачи
будут справедливы в этом случае лишь при условии, что упругопластиче-
ская граница целиком охватывает круг радиуса R exp(—p/os). При этом
везде в решениях достаточно формально заменить р на нуль, а Л на
R exp(- p/ds).
128
§ 5. Двоякопериодические решения с пластическими линиями разрыва
1-. Постановка задачи. Пусть [47] имеетсядвоякопериодиче-
ская решетка с круговыми отверстиями, имеющими радиус X (X < 1) и
центры в точках
Ртп =тшх + исо2, т, и = 0, + 1,±2,...,
со, =2, со2 = 2heia, h > 0, Im co2 > 0.
Предположим, что материал перфорированной пластины является идеально
упругопластическим, подчиняющимся условию Треска—Сен-Венана, соглас-
согласно которому максимальное касательное напряжение в каждой точке тела
не превышает предела текучести на сдвиг ts Bts ~ as, где as — предел те-
текучести на растяжение). Из упругого решения задачи о растяжении перфо-
перфорированной пластины известно, что максимальные напряжения ау имеют
место в точках / = ± X + тиц + пш2 (т, и = 0, ± 1, ± 2,...); При некоторой
нагрузке здесь будут возникать области пластических деформаций.
Рассмотрим задачу о начальном развитии пластических деформаций при
одноосном растяжении тонкой перфорированной пластины постоянными
усилиями о™. Будем считать, что пластические деформации сосредоточены
вдоль некоторых линий скольжения, исходящих из контура отверстия.
Как показывают опыты, пластические области будут представлять в таких
случаях отрезки длины (d = / — X) (рис. 2.16). Толщину зоны можно счи-
считать равной нулю. В силу симметрии граничных условий и геометрии
области D, занятой материалом пластины, напряжения являются двояко-
периодическими функциями с основными периодами coi и со2.
Напряжения и смещения представим через потенциалы Колосова—Мусхе-
лишвили B.3.1).
На основании формул B.3.1) и граничных условий на контурах круго-
круговых отверстий и на полосах пластичности задача сводится к определению
двух аналитических в области D функций Ф(г) и Ф(г) из краевых условий
Ф(г) + Ф(г) - [7Ф'G) + Ф(т)]е2'е=0, B.5.1)
Ф@
= as
B.5.2)
Рис. 2.16
9.В.М. Мирсалимов
129

где т = \е1в + тсо! + исо2 (т, п - О, ± 1, ± 2,...), t - аффикс точек полос
Р
где т е ! 2 (, , , ,), фф
пластичности, as — предел текучести материала на растяжении. Решение
краевой задачи B.5.2), B.5.3) ищем в виде
= Ф,(г) + Ф2(г),
—
2тт
B.5.3)
B.5.4)
Х2к+27B%)
X2k+27Bk)(f)
<*2fc + 2~
B.5.5)
B* + l)!
= 0,
где интегралы в B.5.4) берутся по линии L = {[- /, -X] + [X, /]}, y(z),
f(z) — функции Вейерштрасса, Q(z) — специальная мероморфная функция
[41], g(x) - искомая функция, А и В константы.
К соотношениям B.5.3) - B.5.5) следует добавить дополнительное
условие, вытекающее из физического смысла задачи
fg(x)dx=0. B.5.6)
L
Функции y(z), ?(z) nQ(z) в конгруэнтных точках удовлетворяет усло-
условиям [41]
7(z + co/)-7(z)=0, Г(z + со,) - Г(z) = 5,, /=1,2,
Q(z + со,) - Q(z) = co,7(z) + 7/, B.5.7)
5, = 2?(со,/2), 5, со2 - S2 coi = 2т,
Условие равенства нулю главного вектора сил, действующих на дугу,
соединяющую две конгруэнтные точки в D, эквивалентно равенствам
q{z - со,) - q(z) = 0, /=1,2;
Ь B.5.8)
и с учетом B.5.6), B.5.7) приводит к соотношению
(Л + А)шк + 2?сок = 5кд + ука + Sk(a +д) + Х2а2 (8к
в =
2тг
Нетрудно убедиться, что функции B.5.3)-B.5.5) при условии B.5.6)
130
(*=1,2).
определяют класс симметричных задач с двоякопериодическим распреде-
распределением напряжений.
2. Решение краевой задачи. Неизвестная функция g(x) и
постоянные a2t+2. 02t+2 должны быть определены из краевых усло-
условий B.5.1) и B.5.2).
В силу выполнения условий двоякопериодичности система граничных
условий B.5.1) заменяется одним функциональным уравнением, например
на контуре т = Хе'9, а система условий B.5.2) краевым условием на L.
Для составления уравнений относительно коэффициентов a2t+2 и /32к+2
функций Ф2(г) иФ2(г) представим граничное условие B.5.1) в виде
Ф2(г) + Ф2(т) - [тФ2(т)
=/,(в)
B.5.9)
где
+ '/
= - Ф, (т) - Ф, (т) + [тФ| (т) + Ф,(т)]е 2'е.
Относительно функции /i@) + г/2(б) будем считать, что она разлагается
на I т | = X в ряд Фурье. В силу симметрии этот ряд имеет вид
к =—о
1тАук =0,
= --— Jg(x)f2lc(x)dx,
iTt L
B.5.10)
fik(*) = — / B
2тг о
+ f(jc - \e'e)]} e~2ikede -
- \eie) + Q(x - \ew) -
f
2n 0
- xy(x - \ete)
Вычисляя интегралы с помощью теории вычетов, найдем
B.5.11)
Ао=-А-А-~ fg(t)fo(t)dt,
1
2к~ 2ir
/o@ = 2f@, Mt)=~'
1
2тг
fg(t)f2(t)dt, B.5.12)
l
'7@ - Г@ - 6@,
2А:!
ц2к-2
Bk - 2)!
/-2*@=-
, *=2,з,...,
B*)!
к-О(»).
=1,2,
131

Подставив в левую часть краевого условия B.5.9) вместо Ф2(т), Ф2(т),
Ф2(т) и У2(т) их разложения в ряды Лорана в окрестности z = 0, а в пра-
правую часть B.5.9) ряд Фурье B.5.10), и сравнивая коэффициенты при оди-
одинаковых степенях ew, получим две бесконечные системы алгебраических
уравнений относительно коэффициентов а2к и /32t
' t = o "
/ = 0,1,...,
= -^х2
8
B.5.13)
2\2КОКЪ
¦Li+4
2!Bifc+2)!2
2k+4
+ 2X* ***".... +
A -Ж,Х2J
2J2к+2
» B* + l)!BiO'22*+4'+4
B/Ч-2)р/+1 B/Ч- 4)!g/+2 (
2/+2 2!B/ + 2)!22/+4
= 1
B/+l)!Bi)!24/+4/+4
/ = 1,2,...,
l)!22'+2k+2
B/ + 2A:
+
22/+2k+4
B/ + 2i + l)!Bfc + 2i + \y.gi+i+lgk+i+l X4'42
4ЛГД2 1
1-2AT1X2)
- B/ + 2i + l)!Bfc + 2i + \y.gi+i+lgk+i+l X4'42
+ ,=o B/ + l)!BJt + l)!Bi + 1)!B/)!22'+2*+4/+4 ' '• * = *' 2' • • • •
2k+4
1 2/+2
2/+2
Bj+\)Aogi+l
- Z
~ A
-B5l4)
+
i
132
B/ + 2)!Bifc + 1)! 22/+2k+4
-^_2/-2. /=0, I,
Обозначения постоянных двоякопериодической решетки соответствуют
употребляемым в [41].
Требуя, чтобы функции B.5.4) удовлетворяли краевому условию на по-
полосе пластичности L, получаем сингулярное интегральное уравнение отно-
относительно ()
1
fg(t) K{t - x) dt + H(x) = а, на L,
B.5.15)
H(x) =А+А+В + 2Ф2(х)+ хФ'2 (х) + Я>2 (х).
Сингулярное уравнение B.5.15) совместно с системами B.5.13) и
B.5.14) являются основными уравнениями задачи, позволяющими опре-
определить функцию ? (х) и коэффициенты а2к+2»Д2к+2- Зная функции Ф2(г),
*г(г) и g(x), можно найти напряженное состояние перфорированной
пластины.
Используя в основном параллелограмме периодов следующие разло-
разложения:
1
it i 22/+2
B/ + 2)p,+ l
n,n T
т=-Р
2k
приведем уравнение B.5.15) после некоторых простых преобразований
к виду:
1 . Pft) 1
B.5.16)
L % -
IT L
_ X
/ \2/+2
x, 1]},
со,
(+5
tt).
), /=1,2,
/\2/+2
133

К сингулярному интегральному уравнению следует добавить дополни-
дополнительное условие B.3.7), преобразованное к виду
Условие B.3.7) определяет симметричное решение задачи. Учитывая, что
I= -Р(-?), запишем уравнение B.5.16) так:
B.5.17)
:о'«,Ыв*о(*-&>) + *о« + &>),
Преобразуем уравнение B.5.17) к виду, более удобному для нахожде-
нахождения его приближенного решения. Для этого сделаем замену переменных
1-Х? , 1-Х?
?2=« = —^—(г+1) + Х2, ^=«о = — (т? + 1) + Х?. B.5.18)
При этом отрезок интегрирования [X, 1] переходите отрезок [—I, 1],
а преобразованное уравнение B.5.17) принимает стандартную форму
- Гр(г)В(п,т)«/г+Я..(п) = О. B.5.19)
7Г -1 Т - Т?
Здесь р(т) =
-1
; B(tj, г) =
1-х?
(Л/ -
i \2'42
)...1 / и \Л
/ + 1) \ «о / I"
+
1 - 2 - 3 ... B/
Для простоты записи полагаем Я„(т?) =#,(i-0) — Oj- Напомним, что функ-
функция Яфф(т?) содержит неизвестные коэффициенты &2к+2> 02t+2-
Решение уравнения B.5.19) должно быть ограниченно на концах; зто
решение ищем в виде B.3.20), используя метод, изложенный в п. 10 § 2.
Используя соотношения B.2.110) и выражения B.5.12), B.5.18),полу-
B.5.18),получаем квадратурные формулы B.3.23) и B.3.22). В последней формуле
Формулы B.3.21), B.3.22) позволяют произвести алгебраизацию основ-
основных уравнений задачи.
В результате сингулярное уравнение B.5.19) заменяется системой
B.3.23), связанной двумя бесконечными системами B.5.13) и B.5.14),
в которых вместо А^^ поставлено соотношение B.3.22).
При решении уравнения B.5.16) в классе B.3.20) к системе B.3.23)
следует присоединить уравнение B.2.114), обеспечивающее конеч-
конечность напряжений при т? = — 1.
3. Анализ решения. Для численных расчетов была взята правиль-
ная треугольная решетка
134
i = 2, со2 = 2е ). Расчеты были выполнены на
ЭВМ методом Гаусса с выбором главного элемента. В системе B.3.23)
полагалось п = 10; 20; 30, что отвечает разбиению интервала на 10, 20, 30
чебышевских узлов соответственно. Каждая из бесконечных систем уре-
урезалась до пяти уравнений. Оказалось, что значения длины полосы пластич-
пластичности, а также коэффициенты <х2к и /32t по существу не меняются, начиная
с п = 20.
На рис. 2.17 для треугольной сетки отверстий приведены графики за-
зависимости длины полосы пластичности d от безразмерного значения внеш-
внешней нагрузки о™'/as для некоторых значений радиуса отверстия X =
= 0,6 - 0,2 (кривые 1-5).
§ 6. Упругопластическая задача для тонкой пластины,
ослабленной двоякопериодической системой круговых отверстий
1. Постановка задачи. Рассмотрим [42, 45], упругопласти-
ческие задачи для бесконечной перфорированной пластины, находящейся
в условиях плосконапряженного состояния, с квадратной или треугольной
сеткой круговых отверстий. Согласно предположению уровень напряжений
и шаг сетки таковы, что круговые отверстия целиком охватываются соот-
соответствующей пластической зоной, но в то же время соседние пластические
области не пересекаются.
Пусть имеется двоякопериодическая решетка с круговыми отверстиями,
имеющими радиус/? (R < 1) и центры в точках
Рт„ =тсо1 +исо2, т, п = 0, ±1, ±2,...,
со! = 2, со2 = 2heia, h > 0, Im co2 > 0.
135

Обозначим контур отверстия с центром в точке Ртп через Lmn, соответ-
соответствующую упругопластическую границу через Ттп, а внешность конту-
контуров Гт„ через Dz.
К контуру отверстия Lmn приложена постоянная нормальная нагрузка
аг = р, а в решетке имеют место постоянные средние напряжения 0i = а2 -
= q (растяжение на бесконечности).
Будем считать, что в пластической области напряжения описываются
формулами B.4.1). Используя формулы B.4.1) и соотношения Колосова-
Мусхелишвили, получим на контуре Тт„ краевые условия B.4.3).
Как обычно, перейдем на параметрическую плоскость f с помощью пре-
преобразования z = co(f), которое осуществляет конформное отображение
области Dz на ?>$., являющуюся внешностью окружностей утп радиуса X,
с центрами в точках Рт„.
Для определения трех аналитических функций (<р(?) = Ф[со(?I> Ф(?) =
= *[co(f)] и co(f)) получаем нелинейную краевую задачу B.4.4), B.4.5)
на-уоо.
Искомые функции ищем в виде рядов
к =0
Bk
B.6.1)
Bk + 1)!
t=o
a2k+2
B* + 1)!
B.6.2)
t=o
2k+2
—'- ^, B.6.3)
Bk + 1)!
где 7(f) - эллиптическая функция Вейерштрасса, G(f) — специальная
мероморфная функция.
2. Квадратная сетка отверстий. Приведем зависимости,
которым должны удовлетворять коэффициенты представлений B.6.1) —
B.6.3). Из условия равенства нулю главного вектора сил, действующих на
дугу, соединяющую две конгруэнтные точки в ?>$-, следует, что
<*о = — Х202» До =0-
8
Условия симметрии для квадратной решетки приводят к соотношениям
= 0 при к = О, 1,. ..
Для составления уравнений относительно остальных коэффициентов
выражений B.6.1)—B.6.3) функций v>(f). Ф($) и co(f) разложим эти
функции в ряды Лорана в окрестности точки f = 0.
Разлагая правые части B.4.4)-B.4.5) в ряды Лорана, а также подставив
•д
в граничные условия B.4.4), B.4.5) на контуре 7оо (? = ^е ) вместо
v(f)> iKf) и u(f) их разложения в ряды Лорана и сравнив коэффициенты
при е'лкв (к = 0, ± 1, ± 2,... ), получим бесконечную систему нелинейных
алгебраических уравнений относительно аЛк, /34t+2. ^4t-
136
я
S
к
ю
I
1
1
о
1
гм
<Q
г~
О
ч-
ОО
о
,00640
—
оо
,251
_-f
СЧ
ОО
ЧО
1-4
001
о

(S
со
СО
о
о
о\
«о
СО
о
о
,03004
о
,017
о
оо
оо
8
о
\о
СО
ГМ
о
о
о
оо
о
1
оо
00
«о
гм
о
1
,17468
о
1
гм
г-
,084
о
1
ю
СО
оо
,02
о
1
\о
\о
«о
§
о
1
«Л
,03
о
сЯ
о
о
,02910
о
«о
оо
,017
о
оо
8
о
СО
<ч
о
о
о
о
оо
ГМ
СО
оо
о
оо
-ч
66S00'
ГМ
\©
¦о
501
гм
¦о
СО
СО
СО
СО
о
о
о
о
«о
го
ч-
о
1
15
.—(
о
1
,11669
о
1
СО
о
о
о
1
•о
СО
о
о
1
о>
о
о
о
1
жение
3
1
1
s
05
,73
о
«о
ч^
оо
о
,00660
—
оо
,251
СО
—Г
о
о
о

ГМ
ч^
,02
о
ч-
оо
СО
о
о
,03119
о
ГМ
ГМ
оо
о
о
^.
о
сГ
\о
СО
ГМ
,00
о
СО
,01
о
со
00
о
о
,02009
о
г^
,005
о
оо
оо
8
о"
о
оо
го
СО
о
1
(S
о
1
,17704
о
1
ч-
СО
,085
о
1
ГМ
ч-
оо
,02
о
1
\о
«о
8
о
1
s
о
го
(S
о
о
о
,00749
о
1
ГМ
ГМ
,002
о
1
«о
ГМ
о
,00
о
1
100
о
о
о
1
гм
,03
о
СО
ч-
СО
о
о
,02985
о
оо
о
о
,00
о
\о
СО
ГМ
§
о
§
о
1
оо
«о
гм
о
о
о
1
,00078
о
1
оо
,000
о
1
ГМ
8
о"
1
о
СО
I—(
о
оо
—н
,00614
гм
00
о
•о
ГМ
\о
СО
СО
СО
СО*
о
§
•о
г~
о
1
о
о
1
,11968
о
1
«о
о
о
1
ч-
СО
о"
1
•о
g
о
1
1^
,02
о
г-
ГМ
о
о
о
,00313
о
СО
,000
о
о
о
,00
о
о
-9. -5.
-S. -S. о
<а а «Г
а -о -о -с"
137

Ниже приводятся уравнения первого приближения:
a2Z=B(}iblk+k1b),
= B(k2b + lAkbx), 2а4A +\*r2 ,) = -Bbu
q -as+2(a0 +a4X4r0 ,) = -Bb,
\2[d(b2 + 1Ab2) + 2d1bbi]=\, dbbr + dl(b2 + lAb]) = O,
Х=^13а4А4+^5Ала4\16г1л + aC2 +AAp6\*r2,i + AAy0,
Y= -4a4a+ap6 +A^2, Z=4a4a\*r2 , + ay0 + A4yt + /
4
a=l +A4\4r0l, а, ='/5Л4Х8г2>1,
k = a2-43Ai+4sAl\16rlfl, к\=аА
k2 =aA4(\*r2l -1/3), d = a2 + A24D9
dx =aA4Ds^r2tl -'/3),
, В = lAR(as - p),
Результаты расчета в первых двух приближениях даны в табл. 2.2, в ко-
которой at = (dj — р)Л. На рис. 2.18 представлены зависимости параметра X
от величины приложенной нагрузки qjas при р = 0 для некоторых значений
радиуса отверстия X = 0,5 ^0,1 (кривые 1 - J).
Положив в разложении B.6.3) f = Хе'9, получим уравнение упруго-
пластической границы.
В первом приближении (так же как и в § 4)
г2 = X2(rf+ 2<*1 cos 40),
причем
B.6.4)
, = o 4/+1
¦И"
B.6.6)
На рис. 2.19 упругопластическая граница представлена для случая R =
= 0,3, р = 0, <//а, = 0;731, (Х = 0,7, rmax =0,754, rmin =0,610).
Из условия Tmin ^ R определяется наименьшая нагрузка, при которой
контур отверстия целиком охватьшается пластической зоной. Соотноше-
Соотношение B.6.5) при rmax ^ 1 позволяет найти наибольшую нагрузку, при кото-
которой пластические зоны касаются одна другой. До сих пор предполагалось,
что нагрузка р удовлетворяет неравенству 0 < р < as. Пусть теперь нагруз-
нагрузка р изменяется в пределах 0 > р > — as. В этом случае напряжения в
пластической зоне при условии текучести Треска-Сен-Венана определяются
формулами B.2.41).
Отметим, что все полученные ранее решения упругопластической задачи
будут справедливы в этом случае лишь при условии, что упругопластиче-
упругопластическая граница целиком охватывает круг радиуса R exp(— p/os). При этом
везде в решениях достаточно формально заменить р на нуль, a R
на R exp(- p/os).
138
0,5
0,1
0,4
7/
/у
ч
i
/
0,6 0,8 q/ss
Рис. 2.18
Рис. 2.19
Рис. 2.20
Рис. 2.21
3. Треугольная сетка отверстий. Пусть имеется двояко-
периодическая треугольная решетка с круговыми отверстиями, имею-
имеющими радиус R (R < 1) и центры в точках Pmn = /nco! +исо2 (т,п =
= 0,±1,±2,...), со, =2, <о2=2е1/'1>.
Рассмотрим задачу об определении границ, разделяющих упругую и
пластические области для треугольной решётки, находящейся в условиях
плосконапряженного состояния. Для получения решения следует повторить
рассуждения п. 1.2. настоящего параграфа.
Приведем результаты решения. Функции </>(f), ф($) и co(f) определяют-
определяются рядами B.5.1) —B.5.3). При этом а0 = тгХ2K2/4\/3", /30=0, a6k±2 =
= Рыс+2±2 = Аыс+2 = 0 при к = 0, 1, ... Результаты расчета в первых двух
приближениях даны в табл. 2.3.
139

я
s
к
«о
'Г v> О ~н О
N « и ^ »,
» « ОО ОО »
~* Г- О <N <N
I-; О "*_ О •*_
о" О о" О -н"
i-i О ^н Оч "fr
?- Г- (N Ю ОО
f> О О\ ^О УО
W V) Л н *О
00 О 1—i О ЧО
О" О О О -Г
I
<N
О fO V) 00 t*- Г- О *-н
N Ю н «о М ^ Г- ^
CJr-fOOO*r><NO<r>
Г-^ О О fO О О О ^
о" о* о о" о" о" о* ^н*
I
О Г-
О
S
О
О гч Г^ О
о о о о
н О О О
I
о о t~ m о
| S ь
О -ч о
О О О
о о о"
О
О
t^ О О so
so г- гъ w>
SO ¦-< f*l О
SO О О О
» о о о
-н" о" О О"
SOOSOto<NSOooO
fO»n^HO\O^HOsO
0000-h_OOoso
о о о о" о о о" -н"
Ю Ov -н t~
«О rt t^ 1Л
О rt (N О
О (N О Г^
О О О О
-н О о" О
I
to О
О t^
О О
О О
о о
I
S
I
I
а
S
05
о
о
О 00
О »—|
о о
о о
I
о т
О <N
о О
о^ о
о о
I
о
о
о
о
000
002
о
о
002
о
о*
000
о
о
000
о
1Л
О
О
1О
Г- Г- rf <«¦ SO
so so o f*l wy
SO ^ч О гъ О
SO О О О О
» о о о о
~н О О О О с?
I
<N <Ч О
О О О
о о о
о" о о о о о
Соотношение, связывающее параметр X с внешними нагрузками, во вто-
втором приближении имеет вид
На рис. 2.20 представлены зависимости параметра X от значения прило-
приложенной нагрузки qjos при р = 0 для некоторых значений радиуса отверстия
R = 0,5 -г 0,1 (кривые 1-5). Обратим внимание на почти полную идентич-
идентичность указанных зависимостей для случаев квадратной и треугольной сеток
отверстий.
Уравнения упругопластической границы в первом приближении имеет
вид г2 =X2(d + 2diCos6d),
602
На рис. 2.21 упругопластическая граница представлена для случая R=0,3,
р = 0, q/os= 0,697 (Х=0,7, rmax = 0,748, rmin= 0,642).
§ 7. Численные результаты
1. Пластинка с эллиптическим отверстием, а) Пусть
на бесконечности приложены напряжения а~ ru". Считаем, что пласти-
пластическая область целиком охватывает отверстие. Для пластинки с отверстием
в форме эллипсах2 + 4у2 —4 = 0 при условии пластичности Треска—Сен-Ве-
нана в предположении, что упругопластическая граница проходит через
точки А = 3 и В = -1,5/, методом П.И. Перлина получены следующие ре-
результаты [13].
Потенциалы Колосова—Мусхелишвили в упругой зоне имеют вид
Г2
62 Ьц Ьб
0,33 \
оо оо
= 4д0, оу - ах - 2Ь.
140
Значения коэффициентов at, bh полученные в работе [13] (в зависимости от
числа промежуточных точек /,•), приведены в табл. 2.4.
Табл. 2.5 характеризует тенденцию изменения а~ и а~ при изменении
размеров упругопластической границы. Изменение положения точки В
влияет в основном на изменение напряжения а~.
б) Рассмотрим бесконечную плоскость с эллиптическим отверстием,
растягиваемую на бесконечности взаимно перпендикулярными усилия-
усилиями d<ip\ и d-ipi, направленными под углом 0О к главным центральным
осям эллипса (d^ — некоторый параметр).
141

•с"
«
•С*
«о
а
в*
Q
в*
Q
|ж
8.8
&8
<N
1 1 о
1
,029
1 1 о
1
•<t о
*ч 00
1 о о"
О «о О
-ч р- О
о" о" о
,035
,104
107
о о о
1 1
,f
55
8
1 1 о
00
- 0,01
1
^5 so
t-- t—
О О
о о
1 о О
1 1
о о о\
1— с^ 00
о о о
о о" о"
00 <N О
"* >О ю
о о о"
О *-1 f*>
в
!
очны
н
\
q
о
&
л
к
i
ж
о
1
о
н
I
о
&
*
э
3
•*•
~"
<
г*
(N
о
1 о"
1
о
1 о*
00
1 о"
0,02
VO
tN
1 о"
00
<N
1 о"
О О
о о
^ т
о" о"
00 «1
(N -н
о" о
.
^•_
т
Г'
ч^
,23
т
<N
О <N
-н" о*
¦ |
1 г
О <N
<N <N
Таблица 2.5
НапряХ Характерные точки
жения \ упругопластической
раницы
/4=3
В = -1,251
/4=3
В= -1,5/
/4 = 3
В = - 2i
0.794aj
0,594av
0,600 а.
0,854as
0,626aj
Приведем результаты, полученные методом малого параметра [8].
Уравнение эллиптического отверстия представим в виде
„ 3ad,
р = a + ead!cos20 - е2 A - cos 46) + ...
4
Здесь a = R\r ° (/? — радиус исходного кругового отверстия, rj - раз-
размерный радиус пластической зоны нулевого приближения), dx — параметр,
e = (Pi -РгI2.
Для контура отверстия, свободного от внешних усилий, уравнение гра-
границы пластической зоны Ls имеет вид
р = 1 +*[4^22F» 6») + 3d26l] +*2 Id2 (
+8c?22)
e*2 Id,2 (- 8a4 )-
I \ 4 /
16d22cos40o) cos40
']¦
16<222sin40o) jsin40
Здесь 6* = e/a.
При di = 0, 0O = 0, c?2 = 1 получаем решение для двуосного растяжения
тонкой пластинки с круговым отверстием, при d^ = 0, d\ = 1 — решение
для равномерного растяжения тонкой пластинки с эллиптическим отвер-
отверстием. В последнем случае граница пластической области имеет вид
р =1 +3ecos20
( 8а2 )-( 8a -)
L\4 / \ 4 2a2/
cos40 +..
J
142
На рис. 2.22 приведены контуры границы пластической области при
двуосном растяжении тонкой пластинки с эллиптическим отверстием L l
усилиями рх и р2, направленными под углом 45° к главным осям эллипса,
при значениях параметров е = 0,20 и е* = 0,05. Штриховой линией показана
граница пластической области в случае двуосного растяжения пластинки
с круговым отверстием i2 теми же силами (кривая 1 — первое приближе-
приближение; кривая 2 — второе приближение).
На рис. 2.23 изображена граница пластической области в случае равно-
равномерного растяжения пластинки с эллиптическим отверстием при е = 0,166,
a = 0,5 (кривая 1 первое, а кривая 2 второе приближение).
143

Таблица 2.6
Рис. 2.23
0,56
Рис. 2.24
0,279
0,268
аг
0,105
0,085
«4
-0,05
-0,01
"в
0,014
<*о
0,105
0,079
*г
0,220
0,306
<*4
0,01
-0,082
<**
0,035
2. Пластинка с круговым отверстием. Рассмотрим
упругопластическую задачу для тонкой пластины с круговым отверстием
единичного радиуса при частичном охвате отверстия пластической областью.
Приближенное решение рассматриваемой задачи для идеальной пластич-
пластичности было получено П.И. Перлиным [7]:
ff~ +Oy -4д0, Oy-Ox -2d0.
Значения коэффициентов at и dt приведены в табл. 2.6 (в первой строке
для промежуточной точки В = /, во второй строке для промежуточных то-
точек В = /, By = 0,65 + 0,74/). За контур, до которого проводилось анали-
аналитическое продолжение, принимался эллипс
Коэффициенты с и С\ определяются из условия, что эллипс проходит через
точки а =0,74 + /0,65 и Z> = 1,5.
3. Полоса, ослабленная полукруговыми вырезами.
Упругопластическая задача при растяжении полосы с полукруговыми вы-
Рис. 2.25
144
10. В.М. Ми реал и мов
145

т
)\
/Т\
7i
Рис. 2.26
резами, находящейся в условиях плоско-
плосконапряженного состояния, была решена
Саусвеллом и Алленом релаксационным
методом [16]. Материал считался идеаль-
идеальным упругопластическим с пределом те-
текучести при простом сдвиге и подчиняю-
подчиняющимся условию пластичности Губера—
Мизеса. Расчеты были проведены для
полосы, ширина которой равна четырем
радиусам полукругового выреза.
На рис. 2.24 показано развитие пласти-
пластических областей. Цифрами наупругоплас-
тических границах обозначено среднее
напряжение, отнесенное к 2к.
4. Полоса, ослабленная уг-
угловыми вырезами. Материал по-
полосы идеальный упругопластической с
пределом текучести к при простом сдвиге
и удовлетворяющий условию пластичнос-
пластичности Губера-Мизеса. Расчеты проводились
релаксационным методом [16] для поло-
полосы с угловым вырезом, глубина которо-
которого равна четверти ширины полосы, а
угол раствора равен 90°.
Развитие пластических зон показано
на рис. 2.25. Цифрами на упругопласти-
ческих границах обозначено среднее нап-
напряжение, отнесенное к 2к.
5. Прямоугольная пластин-
пластинка с вырезом. На рис. 2.26 показаны
при растяжении прямоугольной плас-
стали с модулем упругости
упругопластические границы
тинки с вырезом из хромоникелевой
Е = 2 ¦ 10*кН/м2 и коэффициентом Пуассона в упругой зоне у =0,3 в
зависимости от растягивающей нагрузки р (кривые 1, 2, 3, 4, соответству-
соответствуют нагрузкам 3 • 10s кН/м2, 2,5 • 10s кН/м2, 2,2 ¦ 10s кН/м2 и
2,01 10s кН/м2). Решение получено конечно-разностным методом [12].
ГЛАВА 3
КРУЧЕНИЕ. СЛОЖНЫЙ СДВИГ
§ 1. Основные уравнения. Краткий обзор
Рассмотрим упругопластическое кручение цилиндрических или призма-
призматических стержней. Введем систему декартовых координат xyz, направив
ось г по оси стержня. Следуя обычной теории кручения призматических
стержней [1], будем считать, что все поперечные сечения испытывают
жесткий поворот в своей плоскости и искривляются в направлении оси z.
В принятых предположениях компоненты смещения будут
w = w(x,у, со), C.1.1)
где со — угол кручения на единицу длины стержня, a w(x, у, со) — неизвест-
неизвестная функция, характеризующая депланацию поперечного сечения.
Поля деформаций и напряжений таковы, что
ех ~ еу = е2 = уху = 0,
dw
dw
ох=оу-ог= тху = О,
Txz = rxz(X, j), 7>2 = Tyz (X, J) .
Уравнения равновесия в рассматриваемом случае сводятся к одному диф-
дифференциальному уравнению
Эт-
xz + дТу
= 0.
Ъх ду
При этом в упругой области из условия совместности имеем
Эту
= - 2/ico.
ду дх
Введем функцию напряжений <р так, чтобы
dtp
C.1.3)
C.1.4)
Tv, = —
ду
дх
Функция <р в упругой области удовлетворяет дифференциальному уравне-
уравнению кручения
дх'
В пластической области имеет место условие пластичности
т
10*
т2 +т2 -к}
тхг т Tyz K
C.1.5)
C.1.6)
147

yz
и ассоциированный закон пластического течения [2, 3]
,(— +сах)=0. C.1.7)
ЛЪу I
Здесь к = оя1уД по условию Мизеса, к = os/2 по условию Треска-Сен-Вена-
на, os - предел текучести при растяжении. Из условия текучести для функ-
функции напряжений в пластической области получим следующее дифферен-
дифференциальное уравнение:
C.1.8)
Будем считать, что при переходе через границу между упругой и пласти-
пластической зонами все компоненты напряжений и смещение остаются непре-
непрерывными.
Так как боковая поверхность скручиваемого стержня свободна от
напряжений, контур тела является одной из линий напряжений и вектор
касательного напряжения направлен по касательной к линии напряжений
C.1.9)
Х2
dx
Крутящий момент М может быть выражен в следующем виде:
C.1.10)
Здесь интегрирование распространяется на всю площадь поперечного сечения.
Перейдем к краткому обзору по упругопластическому кручению.
В задачах кручения нашли широкое применение полуобратные методы: задавались
заранее некоторые характеристики искомого решения, по которым восстанавлива-
восстанавливались само решение и соответствующая форма границы тела.
У пру го пластическая задача для сложного сдвига исследуется достаточно полно
аналитическими средствами. В более сложной задаче кручения, когда пластическая
зона становится сравнимой с размером поперечного сечения стержня, результатов зна-
значительно меньше. Здесь следует прежде всего упомянуть точное решение В.В. Соко-
Соколовского для стрежня овальной формы, близкой к эллипсу [5]. Это решение получено
полуобратным методом в 1942 г. Другим полуобратным методом Л.А. Галин [6] ре-
решил несколько упругопластических задач для стержней с сечением, близким к поли-
полигональному (в частности, близким к прямоугольному сечению). Л.А. Галин также
привел задачу кручения стержня полигонального сечения к решению дифференциаль-
дифференциального уравнения класса Фукса [7], что позволило ему найти эффективное решение
некоторых задач (например, для квадратного сечения).
Л.М. Качалов вариационным методом получил решение для стержня квадратного
сечения [8]. Саусвелл и Такаси релаксационными методами решали упругопласти-
ческие задачи для углового, квадратного и треугольного профилей [9], а также для
круглого стержня с шестью полукруглыми выточками [10]. Другие типы профилей
тем же способом рассмотрели Кристоферсон [ 11 ], Шо [12], Окубо [ 13].
Дэвис и Туба методом упругих решений численно исследовали [14] кручение
сплошного и полого валов с внешними и внутренними выточками при произвольного
вида диаграмме напряжение - деформация. Указанный метод рассмотрен также
Г.Я.Амосовым [15].
Н.В. Баничук, В.М. Петров, Ф.Л. Черноусько методом локальных вариаций решили
упругопластическую задачу в случае квадратного сечения, а также для одного много-
многоугольника частного вида [161. Указанный метод применялся также для решения упру-
упругопластических задач в работах [17, 18].
П.И. Перлин получил решение для стержня овальной формы при частичном охвате
пластической зоной упругого ядра [19].
148
Вопрос о существовании решения упругопластической задачи кручения призмати-
призматических стержней обсуждался Л.А. Галиным и другими авторами [20-22, 35]. Несколь-
Несколько позже появились работы [36—40], свидетельствующие об интенсивных разработ-
разработках, проводимых Г. Ланшон и другими сотрудниками Парижского университета в
области численного решения упругопластических задач кручения для призматических
тел с многосвязным поперечным сечением. Этими же авторами исследовались вопросы
существования и единственности решений.
Отметим также работы [41, 42] Ю.В. Не ми ров с ко го и Э.Э. Сакс, посвященные
упругопластическому кручению тел вращения.
Впервые задачи о сложном сдвиге рассмотрел Треффтц в 1922 г. Им дано решение
задачи о сложном сдвиге для идеального упругопластического тела в случае профиля
уголкового сечения с прямым углом раствора, а также аналогичной задачи для внеш-
внешности кругового отверстия [43, 44]. При этом были использованы методы перехода
на плоскость годографа (см. § 6) и методы теории функций комплексного пере-
переменного, аналогичные методам плоской гидродинамики идеальной несжимаемой жид-
жидкости. Впоследствии Халт и Мак-Клинток [45-47], Коскинен [48] и Райе [49, 50]
этим же методом получили решение для полуплоскости с угловым вырезом. В рабо-
работе [50] также получено решение для полосы конечной ширины, ослабленной угловым
вырезом. Филд [51], Эрдоган [52], Б.В. Костров и Л.В.Никитин [53] рассмотрели
задачи о сложном сдвиге для тел с трещинами; предполагалось, что пластическая
зона сконцентрирована в бесконечно узком слое на продолжении трещины.
Г.П. Черепанов [54] дал метод решения в квадратурах задач о сложном сдвиге
идеально упругопластического тела для любого контура, образованного отрезками
прямых и кривых линий в том случае, когда отрезки прямых свободны от напряже-
напряжений, а отрезки кривых дуг, произвольно нагруженные, целиком охвачены пластической
зоной. Решения этих задач существенно основаны на решении одной нелинейной крае-
краевой задачи [55 ]. Любопытно, что решение упругой задачи для тел соответствующей
формы не выражается в квадратурах, так что принципиально упругопластическая
задача оказывается проще чисто упругой.
В работе [56] дан метод нахождения замкнутого решения аналогичного класса
контактных упругопластических задач о сложном сдвиге. Этими методами в работах
Л.И Сухих [57 ]. а также в [54, 56] были найдены точные решения для:
а) тела с трещиной, выходящей на границу полуплоскости;
б) случая жесткого штампа, действующего на свободной границе полуплоскости;
в) тела с выточкой с закругленным дном;
г) случая периодической системы трещин, выходящих на границу полуплоскости.
Пластические зоны, возникающие в полуплоскости с вырезом, образованным дву-
двумя прямолинейными, вообще говоря, непараллельными отрезками, сопряженными
дугой, подробно исследовались в работе [58].
Г. Нейбер [59] и В.В. Соколовский [60] рассмотрели некоторые задачи для упроч-
упрочняющегося тела в условиях сложного сдвига при специально подобранных аналити-
аналитических зависимостях между напряжениями и деформациями, аппроксимирующих
реальные диаграммы. Заметим, что в случае упрочнения уравнения задачи для сложно-
сложного сдвига аналогичны уравнениям плоского течения сжимаемой идеальной жидкости,
а применяемый прием аналогичен методу Чаплыгина. В работах [59-60], а также в
статье В.Л.Добровольского [61] этим методом получены точные решения для
некоторых форм выточек в полуплоскости и полосе. В. Пенс рассмотрел сдвиг приз-
призматического тела с симметричными острыми надрезами при кусочно-линейном законе
"напряжение-^деформация" [62]. В работе Раиса [63] методом годографа исчерпываю-
исчерпывающе исследована задача для полуплоскости с угловым вырезом при произвольном
законе упрочнения.
В работе Туба [64] обсуждалась теория возмущений упругопластических деформа-
деформаций при сложном сдвиге, причем в качестве примера рассмотрена задача для плоскости
с круговым отверстием.
В работе [65] В.А.Ибрагимов, используя метод годографа и обобщение метода
Раиса, получил решение задачи для упрочняющегося упругопластического материала,
заполняющего полупространство с трапецеидальным продольным вырезом. Опреде-
Определены формы пластических зон для квадратного выреза при степенях упрочнения
равных 0,5; 0,1; 0. Этим же автором [66] рассмотрена упругопластическая задача
о продольном сдвиге пространства, ослабленного трещиной с разрезом длины 2/.
149

§ 2. Решение Соколовского
Если известны направления нормалей к контуру, то напряженное состоя-
состояние в пластических областях может быть найдено, так как в каждой точке
этих областей известны величина и направление вектора касательного
напряжения. Это позволяет развить полуобратные методы решения упруго-
пластических задач при кручении.
Рассмотрим решение Соколовского [5]. В.В. Соколовский предложил
следующую задачу: задаваясь формой упругого ядра, ограниченного
эллипсом
X
a1
C.2.1)
найти форму контура поперечного сечения стержня.
Функция напряжений для упругого ядра, удовлетворяющего условию
текучести C.1.6) вдоль эллипса C.2.1), имеет вид
1 + Ьх2
C.2.2)
ay1
а + Ь
а соответствующие ей напряжения равны
тХ2 = - 2//CJ
a+b
У,
= 2//CJ
a+b
х,
отметим, что
ab
2//CJ
a + b
= *.
C.2.3)
C.2.4)
где к — предел текучести.
Выразим компоненты напряжений туг и тхг в пластической области в
виде
тх2 = - ksind, Tyz = kcosd.
Здесь функция в(х, у) удовлетворяет уравнению
дв дв
cos в — + sin в — = 0.
дх Ъу
C.2.5)
C.2.6)
Характеристики дифференциального уравнения C.2.6) представляют
собой семейство прямых j =xtg0 +/@), в = const (где Д0) - произвольная
функция), совпадающих с линиями скольжения. Параметрическое пред-
представление эллипса имеет вид
x = acosd, y = bsin6.
Для функции Д0) получаем
/@)=-(a-ft)sin0.
Следовательно, в пластической зоне будем иметь
у = х tg в — (а — b) sin в.
C.2.7)
C.2.8)
C.2.9)
150
Подставляя C.2.9) в C.1.9) с учетом C.2.5) и интегрируя полученное
уравнение, найдем искомый контур поперечного сечения стержня
x=[c + (c-d)sin2e]cosd, y=[d-(c-d)cos2e]sin6, C.2.10)
где обозначено c = m+n, d=m — n, m — произвольная постоянная, и =
(
Полученные уравнения определяют овал с полуосями cud, близкий к
эллипсу с теми же полуосями.
Итак, при кручении стержня с поперечным сечением, ограниченным
контуром C.2.10), и при появлении пластических деформаций вдоль всего
контура упругое ядро будет эллипсом с полуосями а и Ъ. Решение уравне-
уравнений C.2.10) и C.2.4) дает для полуосей а и Ъ следующие выражения:
М-
Ъ )
2цсо
± (с -
C.2.11)
Решение имеет смысл, если эллипс C.2.1) целиком лежит внутри овала
C.2.10). Это будет иметь место лишь при
a < с или
C.2.12)
к cBd-c)
При возрастании из пластическая зона занимает все поперечное сечение,
а упругое ядро в пределе вырождается в линию разрыва. Найдем по форму-
формуле C.1.10) выражение для крутящего момента
М
= - nkfm3
— mn2
2
An2 - -
la-b)b2.
C.2.13)
Отсюда нетрудно получить значение крутящего момента для предельного
случая
2 / 9и2 4\
М= - nkmHl-—-+4— . C.2.14)
3 \ 2т2 тг1
Определим смещение w. В упругой области w определяется путем интег-
интегрирования C.1.2) с использованием закона Гука и выражений C.2.3).
В результате получим
w- —nojxyia + b)
C.2.15)
В пластической области для осевого смещения будет иметь место диффе-
дифференциальное уравнение C.1.7)
dw dw
•yz
дх
~Tx
Ъу
Подставляя в это уравнение вместо компонент напряжения их выражения
через в C.2.5), получим
dw dw
— cos в + sin в — = со(у cos в - x sin в) .
дх Ъу
Здесь в (х, у) определена при помощи выражения C.2.9).
C.2.16)
151

пластическая зона
Рис. 3.1
Интегрируя уравнение C.2.16), получим
w=-(a-6)co*sin0 +ф(в), y = xtgd -(a-b)sind, C.2.17)
где ф(в) — произвольная функция, которая легко находится из условия
непрерывности смещения w при переходе через границу между упругой
и пластической зонами.
Окончательно имеем
w = - (а - Ь) со sin 0 + (с - d) (Л с - d +
у = х tg в — (а - b) sin в.
jc-tf+vf ) +(с-сО2
+(c-df sin 26,
C.2.18)
Приведем результаты расчета при т = 4 см, п = 0,6 см [5].
На рис. 3.1 показана сплошной линией четверть сечения, ограниченного
кривой C.2.10). Штрих-пунктиром здесь же нанесен эллипс, построенный
на тех же полуосях. Размеры полуосей а и Ъ упругого эллиптического ядра
при к1ц = 0,002, со = 0,0007 см будут а = 4,44 см, Ъ = 2,04 см.
Штриховой линией нанесены горизонтали поверхности, в которую пере-
переходит первоначально плоское поперечное сечение.
Этим же методом Р. Мизес [23] получил решение упругопластической
задачи, исходя из решения упругой задачи для поперечного сечения в форме
равностороннего треугольника.
§ 3. Решение Галина
1. Прямой метод [7]. Рассмотрим упругопластическое кручение
призматических стержней выпуклого полигонального сечения. Поверхность
пластических напряжений z = у>р (х, у) будет поверхностью с постоянным
углом ската, проходящей через заданный контур на плоскости ху. В случае
152
полигонального контура поверхность z = ipp(x.y) состоит из отдельных
плоскостей. Найдем эту поверхность. Пусть на участке AVAVBVBV (рис. 3.2),
соответствующем стороне многоугольника AVBV, уравнение для z имеет
вид
z = a'vx+b'vy +c'v.
Допустим, что уравнение стороны AVBV многоугольника будет
mavx + mbvy+mcv=O. C.3.1)
Здесь т -некоторая постоянная.
Н
о *
Рис. 3.2
Поскольку при z = 0 поверхность проходит через прямую A VBV, то будем
иметь
а'„х + Ь'„у +с'„ = mavx + mbvy +тс„,
откуда следует, что
a'v=mav, b'v= mbv, с'„ = mcv. {23.2)
Из условия C.1.8) для постоянной т получаем
к
т = - > - ,-
\fal + bl
Следовательно,
ка„
C.3.3)
C.3.4)
Найдем уравнение прямой AVA'V - проекции на плоскость ху ребра
поверхности ур. На соседнем участке с индексом v - 1 уравнение для <рр
будет иметь вид
^р = z = а |,_ i х + b p_ i у + с р_!.
Отсюда для уравнения проекции лииии AVA'V пересечения двух плоскостей
имеем
(a'v-a'v_l)xHb'v-b'v_l)yHc'v- c'^J^O. C3.5)
153

Л ?
Рис. 3.3
Напряжения в пластической области, соответствующей участку v, будут
ryz=-a'
C.3.6)
Напряжения txz и т„г в упругой зоне можно выразить через одну гармони-
гармоническую функцию* ^ [1J
Tr, =
dip
C.3.7)
На участках AVCV и DVBV (рис. 3.3, а) границы упругой зоны совпадают
с внешним контуром призматического стержня. На этих участках имеем
txz cos(w,x) + тугcos(n,y)=0
(и — направление нормали), причем
cos(«, х)= , " ¦ cos (и, >-) =
\/al + bf; ¦
Учитывая выражения C.3.7), получим следующее условие:
dip dip
av— +bv— +bvx ~avy =
ox dy
Cr3.8)
Вследствие непрерывности напряжений тХ2 птуг в точках упругого ядра,
которые граничат с областями пластической деформации, соответствующи-
соответствующими стороне многоугольника с индексом v, будем иметь
C.3.9)
C.3.10)
Введем две аналитические функции
=z= х
dip dip
vv2 = i — = u2 + iv2.
dx dy
Будем рассматривать их как функции параметрической комплексной пере-
переменной f. Пусть функция w! (f) = z (f) производит конформное отображе-
154
ние упругой области на верхнюю полуплоскость, так что точкам упругой
области А„, С„, Dv и В„ соответствуют некоторые точки а„, yv, 6„ и j3v
действительной оси % (рис. 3.3, б). Граничные условия для определения
wi(f) Hvv2(f) на отрезке действительной осиavyv6ufiv будут: на участках
+ 6„м, -avvi =0,
= -с„;
на участке 7„6
-v2
C.3.11)
C.3.12)
Если число сторон многоугольника равно л, то в предположении, что
пластические области будут появляться на каждой из сторон, общее коли-
количество точек на действительной оси будет Зл. Если же число пластических
областей р меньше л, то число точек на действительной оси будет п -У 2р.
Это следует из того, что каждой стороне многоугольника соответствуют
четыре точки, а каждая вершина многоугольника принадлежит одновре-
одновременно двум сторонам. Следовательно, при нахождении решения надо
заранее, задавать число пластических областей. Для определения положения
точек ctv,yv,bv и j3p будет использовать следующие условия [7] :
l(ep-ei-l)«l +(*:,- С l)"l +(CV-Cv_l)}t=av=°> ОЗЛЗ)
-п'\и. +(h'..., ~b..)v, +(c,,4.i -с„)Ь = я =0, C.3.14)
(- bvu2
- avv2
-avv2
C.3.15)
C.3.16)
До сих пор мы предполагали, что часть контура упругой зоны совпадает
с внешней границей. В работе [7] показано, что это предположение действи-
действительно имеет место, что подтверждается и экспериментом.
Следуя работе [7], приведем задачу к дифференциальному уравнению
класса Фукса.
Введем функции
C.3.17)
Для определения введенных функций используем условия C.3.11) и
C3.12). После дифференцирования по х имеем на участках а„у„и bv$v
avU2+bvV2 -av
на участке yvbv
, =0,
, =0;
F2+i/i=0.
C.3.18)
C.3.19)
155

Учитывая, что
= ехр(/в„),
где 0р — угол, который образует касательная к стороне с индексом v. с дей-
действительной осью, граничные условия для определения функций Wi(f) и
W2(f) можно записать в виде:
на участках avyv и 6VAV
Im[-exp(-/0,,)Wi + iexp(idv)W2) =0,
C.3.20)
1т[/ехр(-/0„) Wi] =0;
на участке у„д„
Im[- Ffi + iW2\ = 0, Im[/W, - W2] = 0. C.3.21)
Давая индексу v значения от 1 до и, получаем условия на всей действи-
действительной оси.
Поставленная задача может быть приведена к отысканию дифферен-
дифференциального уравнения класса Фукса, линейной комбинацией линейно
Рис. 3.4
независимых интегралов которого являются введенные функции
C.3.22)
Дифференциальное уравнение класса Фукса имеет вид
U
U=i
156
Зл+ 1 г
П (Г - hk) П (Г - /*)
к = 1 к = 1
C.3.23)
Здесь
Ai=e,, A2=7i.
= y2;ti3n= Pn, n>2.
Точки /fc соответствуют положению точек /ifc на плоскости годографа отно-
отношения W2/Wi.
В уравнении C.3.23) через бзл+г-з(?) обозначен некоторый полином
степени Зи + г — 3, содержащий постоянные, подлежащие определению.
После нахождения Wi(f) и W2(f) легко найти также функции Wi(f) и
^2@ • Функция wi (f) определяет форму упругой зоны.
2. Полуобратный метод. Будем считать, что упругая область /
всюду охвачена пластической областью// (рис. 3.4). В этом случае упругой
области /в физической плоскости z будет соответствовать единичный
круг параметрической плоскости комплексного переменного f.
Напряжения в силу уравнений C.3.7) можно выразить через функции
C.3.24)
Tyz = Re{jucj(w1(f)+ /
Напряжения, которые имеют место на границе упругой области, выразим
через некоторую \//(т) следующим образом:
Txz=ksm\l/(r), Tyz = к cos ф(т). C.3.25)
Применяя формулу Шварца [24, 25] (см. Приложение, § 2) к соотно-
соотношениям
Re{ jiu[
получим
= e,r= * cos
/sin ^(r) -j—- dt,
/cos
Из уравнений C.3.26) найдем
e" +
df.
1 ? . .е
— Г cos
'r
C.3.26)
sin m7
C.3.27)
Поскольку функция w,(f) конформно отображает упругую область
на единичный круг, то координаты точки А{х*,у*) на контуре области
157

(рис. 3.4) имеют следующие выражения:
к f 1 » е" + f i "
-т- А - — / sin
/
C.3.28)
-п Л - — / sin
Вспоминая, что при f = eI
Re —
Г 1 * е" +
= /(г),
2тг
C.3.29)
получим следующие выражения для координат точки Л на контуре:
1 *
/
т-t
Г 1 т-t 1
\cos ф(т)+— / sin ^ (r) ctg ——dt\,
2тг
1 " т - t
— / cos i//(f) ctg dt - sin ф(т) \.
C.3.30)
Рассмотрим прямую, проходящую через точку А перпендикулярно к
направлению вектора касательного напряжения в этой точке. Вдоль прямой
АВ в пластической области компонента напряжения, действующая по
направлению, перпендикулярному к этой прямой, равна к, а компонента
напряжения, направленная по прямой, равна нулю. Если построить траек-
траекторию, ортогональную к семейству полученных прямых, то компонента
напряжения, действующая по нормали к этой ортогональной траектории,
будет равна нулю. Следовательно на ней выполняется условие, которое
должно иметь место на контуре, ограничивающем поперечное сечение
стержня. Таким образом, если полученная ортогональная траектория будет
замкнутой кривой, то она может быть контуром сечения некоторого стерж-
стержня, подвергнутого упругопластическому кручению (рис. 3.4) .
Для тангенса угла в между осью х и направлением, нормальным к
направлению вектора касательного напряжения в точке А, имеем
lyz
C.3.31)
На основании C.3.31) уравнение прямой АВ будет
2тг
/ cos
т -1 1
ctg dt - sin ф(т) =
2 J
= -tgiKr){x-
C.3.32)
158
Преобразуем уравнение C.3.32) к виду
к ( 1 » г -t tg ф(т) п
+ { — /cos ф(т)ctg dt + / sin
2jucj I 2n _„ 2 2n _„
Введем следующие обозначения:
*(r)=-tgiKr),
т - t
ctg dt).
2
47TjUCJ
{it
/
cos ф (r) ctg
т — t
+ tg ф(т) / sin ф( i) ctg
C.3.33)
ctg
dt.
Найдем ортогональную траекторию к семейству прямых, определяемых
уравнением
у = к(т)х + Ь(т). C.3.34)
Пусть уравнение искомой линии имеет параметрическое представление
х=х(т), у=у(т).
В этом случае для наклона нормали будем иметь
х'(т)
Кт>~ ~~ ¦ C-3.35)
У (г)
Используя C.3.34), после дифференцирования по т и учитывая C.3.35),
получим
к(т) Ь'(т) + к(т)х(т) + [1 + к2(т)] х'(т) = 0. C.3.36)
Отсюда находим дифференциальное уравнение для определения х(т):
Кт)к\т) _ ч_ J{
х '(г)
Ь <
C.3.37)
+ Jt2(r)"v" 1+к2(т)
Продифференцируем уравнение C.3.34) по т. Учитывая C.3.35), будем
иметь
d Ь(т) , d у(т)
dr к(т) y)Jfy) dr к(т)
Отсюда находим дифференциальное уравнение для определения у(т):
*'М- k<{j\ v(r^-^-. C.3.38)
Функция х(т), удовлетворяющая уравнению C.3.37), имеет вид
с, Кт)Ь(т) 1 rk'(j)b(r)dT
х(т) =
+А:2(т)]1/2 1 +кг(т)
/
+A;2(r)]3/2
• C-3.39)
159

Функция.у(г).удовлетворяющая уравнению C.3.38), будет
г *«№ (зз4О)
J [1 + *2()]3/2 ' 1 ' '
Здесь с\ - С2 = с.
Заменив в уравнениях C.3.9) и C.3.40) неопределенные интегралы
определенными, окончательно получим
+к2(т)
l/TI7^><3-3-41)
сАг(т)
к(т)
k'(X)b(X)d\
+А:2(т)]1/2_
-C.3.42)
Подставляя в уравнения C.3.41) и C.3.42) значения А:(г) и Ь(т), полу-
получим решение поставленной задачи:
к ( т
л:(г) = с cos ф(т) + { sin ф(т) cos ^(т) / sin \p(t)[tg \p(t) +
47 l
т - t т Г "
+ tg ф(т)] ctg dt + cos фA) / /sin ip(t)[tg
2 _я L-я
+ tg *(X)] ctg-^-'rff 1 cos ф(\)ф'№к J,
C.3.43)
= - с sin
+ tg
ctg
г -
т г
/
т г
dt + sin ^(т) / /sin ^(O[tg
Х-Г 1
C.3.44)
Полученные выражения дают координаты точек контура, ограничиваю-
ограничивающего поперечное сечение призматического стержня. Причем координаты
этих точек определяются с помощью функции ф (г). Функции \р(т) соответ-
соответствует множество контуров, которые получаются при различных значениях
постоянной с.
Найдем теперь условия, которым должна удовлетворять функция \р (г).
Так как полученная ортогональная траектория должна являться контуром
поперечного сечения стержня, то она должна быть замкнутой кривой, не
имеющей двойных точек, т.е. не обладающей петлями.
Ортогональная траектория будет замкнутой кривой в том случае, когда
C.3.45)
так как координаты х(т) и у(т) являются непрерывными функциями
параметра г. Это в свою очередь требует, чтобы функции, фигурирующие
160
в выражениях C.3.43) и C.3.44), были периодическими с периодом,
равным 27г, а это будет иметь место, когда при —7г<г<7г выполняется
следующее неравенство:
1><1Иг)О + 27г. C.3.46)
Если период окажется больше 27г, то необходимая периодичность функ-
функции осуществляется, однако ортогональная траектория будет обладать
петлями.
Из уравнений C.3.43) и C.3.44) следует, что для выполнения условия
C.3.45) должно иметь место следующее соотношение:
/sin
= /| / cos iKO ctg —- dt +
+ tg i//(X) /sin ^@ ctg
cos^(X)^'(X)dX=0.
C.3.47)
Условие C.3.4) будет выполнятся, в частности, когда ф(т) является
нечетной функцией от г. В этом случае сечение призматического стержня
будет симметрично относительно оси х. Выражения
г_
/cos ^(r)ctg <tfr, /sin
ctg
T - Г
л
будут четными и нечетными функциями от г соответственно. Ортогональ-
Ортогональная траектория к семейству прямых не будет обладать петлями ни при
каком значении постоянной с, если угол в будет непрерывно возрастать.
При этом ортогональная траектория нигде не будет пересекаться сама
с собой.
Из соотношения C.3.43) следует, что должно иметь место
ф (t) Ф 0, v <7г < v + 2п. C.3.48)
Заметим, что если условие C.3.48), которое является чрезмерно ограни-
ограничивающим, не будет выполняться, то все же возможны при не слишком
больших значениях с ортогональные траектории, не обладающие петлями,
которые могут быть контурами призматического стержня.
Все условия C.3.46) — C.3.48) будут выполнены, когда ф(т) является
нечетной монотонной функцией от г, меняющейся в пределах от — тг до п.
В этом случае контур сечения стержня будет симметричным.
Для решения прямой задачи необходимо определить функцию ф(т),
когда известна зависимость между у(т) и х(т). Следовательно, условие
y(j) = F[x(T)] C.3.49)
совместно с уравнениями C.3.43) и C.3.44) позволяет построить нелиней-
нелинейное интегральное уравнение для определения функции ф(т).
Рассмотрим несколько приложений полученных результатов. Если
положить ф(т) = т, то мы получим решение задачи о кручении стержня
кругового сечения.
11. В.М. Мирсалимов 

R
п
a-b
\0
Рис. 3.5
Из уравнения C.3.30) следует, что координаты точек на контуре упру-
упругой области L будут
к
х * = — cos г,
к
—
у * = — — sin г,
При этом b(j) = 0; поэтому координаты точек на контуре стержня таковы:
х = с cos г, у = — с sin г.
Итак, оба этих контура будут круговыми.
Рассмотрим теперь случай, когда функция \р(т) равна различным по-
постоянным на разных частях интервала —яг < г < я. Пусть контур призмати-
призматического стержня близок к некоторому прямоугольнику SPQR со сторонами
а и b (рис. 3.5, а). Напряжения тХ1 и туг на частях контура! легко опреде-
определяются.
С помощью соотношений C.3.25) определяются значения функции \р(т):
2, 0<г<к;
C.3.50)
=п, к<т<1г;
71, 7Г+К<Т<0.
На основании выражения C.3.27) с учетом C.3.50) определим функ-
функцию уi{t), отображающую на единичный круг область, близкую к упругой
области (рис. 3.5, б). Для функции wi(f) имеем выражение
к / 1-f e'K-?\
-A + 0\1п -На- -V
C.3.51)
Параметр к должен быть таким, чтобы найденная при этом упругая область
соответствовала контуру, ограничивающему поперечное сечение стержня.
Он подлежит определению.
Разность сторон прямоугольника а — Ъ будет представлять собой расстоя-
расстояние между точками М N
162
На основании C.3.51) можно установить, что
а-Ь=-
Ik
к
In tg - .
Отсюда для параметра к имеем
(а - Ь)тщш
к = 2 arctg exp
2к
C.3.52)
C.3.53)
Давая углу кручения различные значения, мы будем получать различные
виды границы между упругой и пластической областью. На рис. 3.6 показа-
показано постепенное продвижение границы пластической области при увеличении
угла кручения (крутящего момента), приложенного к призматическому
стержню прямоугольного сечения.
Рассмотрим теперь задачу о кручении призматического стержня с попе-
поперечным сечением, близким к равностороннему треугольнику. В рассматри-
рассматриваемом случае величины тхг, туг и ф(т), соответствующие различным
Рис. 3.7
11*
163

участкам контура единичного круга, таковы, что
к ' \/Т п 2п
rXz = ~ , Tyz = -—- к, ф(т) = - 0 < т < — ,
2
к
Txz = - >
k' 6 ' 3
Зтг 4тг
На основании выражения C.3.27), с учетом C.3.54) определим функ-
функцию a>,(f):
C.3.55)
На рис. 3.7 показано продвижение пластической зоны при увеличении
угла кручения.
Форма контура при различных значениях угла кручения будет меняться,
как это показывают штриховые кривые на рис. 3.7, однако это изменение
незначительно влияет на распределение напряжений.
§ 4. Решения с пластическими линиями разрыва
Пластическая деформация тел сопровождается развитием линий сколь-
скольжения. При незначительном градиенте напряжений линии скольжения могут
равномерно распределяться по всему объему тела. Такая закономерность
имеет место при развитой пластической деформации для упрочняющегося
материала. Для материалов, обладающих четко выраженной площадкой
текучести (для металлов типа мягкой стали, склонных к запаздыванию
текучести), а также при наличии неоднородного поля напряжений с боль-
большим градиентом появляются изолированные линии скольжения, занимаю-
занимающие незначительный объем тела по сравнению с упругой частью [4]. Следова-
Следовательно, изучение пластических деформаций на первых стадиях их развития
может быть сведено к разрывным задачам линейной теории упругости.
Этот факт впервые был отмечен и изучен М.Я.Леоновым и его сотрудни-
сотрудниками [26,27].
1.Элементарные разрывные деформации. Найдем
распределение напряжений для тела, имеющего линии разрыва деформаций.
Деформация тела описывается единственным неравным нулю смещением
w (х> У) ¦ В плоскости z = 0 смещения w (x, у) считаем всюду непрерывны-
непрерывными, за исключением простых гладких линий L. На линии L пусть выпол-
выполняется условие.
= s(O-
C-4.1)
Здесь w* (t) и w (t) означают значения w при стремлении к точке t
контура L слева и справа соответственно, 6(s) — функция дуги s конту-
164
pa L, удовлетворяющая вместе со своей производной g(s) = 8'(s ) условию
Гельдера.
Предполагая, что линия разрыва L состоит из отрезков, расположенных
вдоль оси у, и учитывая, что функция w(x, у) удовлетворяет уравнению
Лапласа, по граничному условию C.4.1) найдем
6(s)dt\
г/ J t-s У t = h' f = *+ iy' (ЗА2)
Li
Для напряжений тХ2 = nbw/Ьхи Tyz ~ ixbw/by с учетом C.4.2) и усло-
условия 5 (s) = 0 на концах линии разрыва L получим следующее соотношение:
g(s)dt
rxz - iryz = —
J'Z
Пусть концы (ак, Ьк) линии L имеют координаты
ak=i(mH-h), bk=i(mH + h), m = 0,±1, ±2,..., ±2п,
а функция g (s) удовлетворяет условию
gBmH + а) = -gBmH- a)=g[Bm + 1)Я- а] =
= -g[Bm + l)H+o]=g(o), -h < а < h. C.4.4)
При принятых предположениях соотношение C.4.3) после выполнения
предельного перехода и-*•«>, суммирования и интегрирования можно
записать так:
g(a)da
C.4.5)
2. Пластический сдвиг при кручении стержня
прямоугольного сечения. Рассмотрим пластические линии
165

скольжения при кручении стержня с поперечным сечением в виде прямо-
прямоугольника. Линии скольжения возникнут по нормали к контуру в точках,
расположенных посредине длинных стержней поперечного сечения. Предпо-
Предполагая глубину линий скольжения h малой по сравнению с длиной / попе-
поперечного сечения, можно рассматривать поперечное сечение как бесконечную
полосу шириной Я (рис. 3.8).
Смещение w и компоненты напряжений ищем в виде суммы
w(x, у) = w°(x, у) + wA)(*, у),
Tyz ~ Tyz
-0 0
A)
Tyz ¦
C.4.6)
Здесь w° (*, у), Txz. Tyz — депланация и касательные напряжения, опре-
определенные без учета пластической деформации, a w **' (х,у), txz . Tyl ~
депланация и напряжения, вызванные пластической деформацией.
Очевидно, имеет место равенство
), C.4.7)
C.4.8)
откуда для 2w *V (— 0,у) - 5 (у) получаем б (Я — у) = — 8 (у) .
Функция g(y) = 5'(j) удовлетворяет условию
g(H~y)=g(y).
Напряжения, вызванные пластической деформацией, при выполнении
условия C.4.8) определяются соотношением C.4.5).
Для удовлетворения граничных условий на боковой поверхности полосы
Tyz (х, 0) = туг (х, Я) = 0 функцию g(o) следует считать нечетной.
На линиях скольжения считается, что касательные напряжения направле-
направлены противоположно сдвигу и равны по величине постоянной гс (нижний
предел текучести), т.е. имеет место равенство
гс при 0<y<h,
—тс при Я-А< у < Я
Удобно перейти к новым переменным
Тогда формула C.4.5) примет вид
TiV-^V-r-Vi+u8 /~
C.4.9)
C.4.10)
C.4.11)
где
ш, =tg
nh
Н
g[(H/n) arctgg]
По формуле C.4.11) найдем тХ2 @, у) и подставим в равенст-
равенство C.4.9). В результате получим следующее интегральное уравнение для
определения функции g,(?) :
C.4.13)
Здесь
S1 ьн '
/.a1) = -~=:[rxoz(o,^arctg?1)-rcl 0
It у/1 +Й L ' J
C.4.14)
Кроме того, для функции /j (?) из C.4.13) следует /, (-?) = /i(?).
Можно показать, что в классе всюду ограниченных функций (напряжений)
решение уравнения C.4.13) имеет вид (см. Приложение)
C.4.15)
-I)
При этом должно выполняться условие разрешимости
C.4.16)
которое определяет глубину линии скольжения h.
Если функция ^«(?) известна, то по формуле C.4.11) можно найти
напряжения тх1 и Ту\' ¦
Приведем соотношение, непосредственно связывающее напряжения
tx1z кТуУ через функцию/i(?) [26]:
C.4.17)
В старых переменных f и а формулы C.4.15) —C.4.17) примут вид
1 л/cos 2ny/H- cos 27гЛ/Я
g{y)=jj — X
cos тту/Н
(cosn<i/H)f(a)da
-л v cos 2na^H- cos2nh/Hsinn(y-s)IH
* f(a)da
C.4.12) _й ,Jcos2no/H-cos2nh/H
¦= 0.
166
C.4.18)
C.4.19)
167

- cos2nh/H
ГУ )
iH cos fff /iH
(casno/H)f(o)do
=
V cos 2тго/Н - cos2nh/H
C.4.20)
Здесь
0 < a < A, /(-a) = /(a).
C.4.21)
3. Случай полупространства. Пусть глубина линии сколь-
скольжения h мала по сравнению с размерами поперечного сечения. Стержень
можно рассматривать как полупространство (рис. 3.9).
У
Рис. 3.9
Выполнив предельный переход Я -* оо в формулах C.4.18)-C.4.20),
найдем
* f(o)do
ч/ й* — у' I
7Г
SW = Г ч/й2 -/ /
C.4.22)
C.4.23.)
C.4.24)
-h
В рассматриваемом случае напряжение r°z @, у) при 0 <y<h с доста-
достаточной точностью можно представить в виде
т%г@,у) = атт - by.
C.4.25)
Здесь а к b — некоторые постоянные, зависящие от величины крутящего
момента и формы поперечного сечения, тт — верхний предел текучести.
168
Используя выражения C.4.24), для функции f(y), согласно C.4.21),
найдем
/00 =
2ц-1[(атт -
при
при -h<y<0.
C.4.26)
Учитывала соотношениях C.4.22)-C.4.24) равенства C.4.26) и вычисляя
интегралы, окончательно получаем
g(y) =
Л by
¦nil
In
У
h = п
- тс
2b
= -(OTM - Гс) 1 - —- In — .
I 2h ,/t* +h2-h -I
C.4.27)
C.4.28)
C.4.29)
В формуле C.4.29) под логарифмом подразумевается аналитическая в
плоскости f = * + iy с разрезом по отрезку (-/А, /А) ветвь, принимающая
на оси * действительные значения. Заметим, что формулы для напряжений
и глубины пластической линии скольжения выражаются в замкнутом виде
через элементарные функции и в том случае, когда r°z@, у) при 0 <у < h
аппроксимируется полиномом любой степени.
Найдем депланацию w^(x, у). Так как g(y) = 8'(у) и 5(А) = 0, то для
функции 8(у) получаем
НУ) = fg(o)da.
Вычисляя интеграл C.4.30) с учетом C.4.27), будем иметь
C.4.30)
2Ь
'nix
Учитывая соотношение C.4.31), для
чательно найдем
4*.^)=
C.4.31)
(x,y) по формуле C.4.2) окон-
окон2 пу.
C.4.32)
4. Пластический сдвиг при кручении призмати-
призматического стержня с мелким полуцилиндрическим
пазом на поверхности. Рассмотрим кручение стержня с продоль-
продольным пазом на поверхности. Считаем радиус а паза малым по сравнению
169

с поперечными размерами стержня и контур поперечного сечения стержня
в окрестности паза прямолинейным (рис. 3.10).
Приведем окончательные результаты [27]:
g(y) =
ds
¦-S
C.4.33)
•У*
2ni
/(«)<*»
C.4.34)
Условие разрешимости задачи, определяющее глубину пластической линии
скольжения, имеет вид
skf(s)ds
( = 0 к = 0,1. C.4.35)
i s/(n2-s2)(s2-m2)
Контур L состоит из двух симметричных относительно оси 0* отрезков
[—п, -т] и [п, т], где n = a+h, m=a2l(a+h), функция f(y)
определяется по формуле C.4.21) на участке д< у < а + h, на остальной части
контура L f(a) определяется соотношениями
f(-y) = f(y).
-^ = V/оо,
В рассматриваемом случае для напряжения т\*г @,у), используя решение
для профиля Вебера [28], имеем соотношение
C.4.36)
а < у < а + h.
П 3
\
\
\
\
\
ч
ч
\
а
1,0
Рис. 3.11
Найдя функцию f(y) согласно C.4.21), подставив эту функцию в усло-
условие C.4.35) и выполнив интегрирование, получим для глубины пласти-
пластической линии скольжения h соотношение
C.4.34)
, fj = 0.
Здесь р = атт/тс, q = а /а + A; F, Е — эллиптические интегралы соот-
соответственно первого и второго рода, аА:= \Л — <?4 и У- arctg q.
На рис. 3.11 приведен график зависимости величин р и q.
§ 5, Численные результаты
1.Стержень квадратного поперечного сечения.
Приведем результаты решения задачи упругопластического кручения
стержня квадратного поперечного сечения со стороной 2д [8] вариацион-
вариационным методом. Зависимость г = т(у) предполагалась состоящей из двух
линейных участков
г =
A9,40 + 24 • 10-у) кН/см2
при у < 0,0025,
при у > 0,0025,
C.5.1)
модуль сдвига и = 8-Ю3 кН/см2. Зависимость C.5.1) описывает, напри-
например, поведение никелевой стали. .
Функция напряжений разыскивалась в виде
р(к) = c(fc)Fi + с(^)р2 C.5.2)
171
170

Таблица 3.1
Номер приближе-
приближения к
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
с(*>-10-
ci 1и
0,070125
0,018023
0,017872
0,017728
0,017554
0,017551
0,017543
0,017461
0,017469
0,017404
„(*>.
10"
0,014217
-0,003382
-0,003765
-0,003802
-0,003641
-0,003740
-0,003889
-0,003757
-0,003663
-0,003699
Здесь с j и с2 - произвольные постоянные, а
C.5.3)
(к ) (к)
В табл. 3.1 приведены значения коэффициентов с\ , Сг ¦ Вычисления
были проведены для аш = 0,015 (w - угол кручения на единицу длины
стержня).
Упругопластическая граница найдена по условию г = 20,00 кН/см2 и
показана на рис. 3.12.
2. Стержень треугольного поперечного сечения.
На рис. 3.13 кривыми 1—3 изображены упругопластические границы для
следующих стадий кручения ш = 1,333 w0; 2щ; 4ы0. Здесь ш0 представ-
представляет собой угол кручения на единицу длины стержня, соответствующий
возникновению пластических деформаций. Материал стержня идеально
упругопластический. Решение получено релаксационным методом [9].
На рис. 3.14 приведена зависимость безразмерного крутящего момен-
момента М/Мо от безразмерного угла кручения w/w0-
3. Стержень коробчатого прямоугольного попе-
поперечного сечения. Линии уровня интенсивности г касательных
напряжений и упругопластическая граница при кручении стержня коробча-
коробчатого прямоугольного поперечного сечения показаны на рис. 3.15 при значе-
значениях oj = 1,85 wo (wo — угол кручения на единицу длины стержня, при
котором впервые возникают пластические деформации во входящих
углах сечения). Материал стержня считается идеально упругопластическим.
Решение получено методом релаксации [9, 12] (значения г на рис. 3.15
даны в кН/см2 ).
172
с
7
Рис. 3.12
1,50
1,00
0,50
Рис. 3.13
I
/
/
/
/
/
_-——
. ¦—"
Рис. 3.14
Г
\|
1L
\|
15
8,7,
0*
У /
-/
i
?
15,75^
ч
1
V
/
У/
ч
ш
\
\
'fi
16,46
15,75
14,00
Рис. 3.15
173

Рис. 3.18
4. Стержень квадратного поперечного сечения.
На рис. 3.16 показаны области пластических деформаций при кручении
стержня квадратного поперечного сечения. Материал стержня идеально
упруго пластический. Решение получено методом релаксации [29]. Кри-
Кривая 1 соответствует крутящему моменту М\ = 1,25 М0)а кривая 2 соот-
соответствует моменту М2 = 1,5 Мо- Здесь Мо — максимальный упругий мо-
момент кручения, соответствующий возникновению пластических деформа-
174
ций в центральной точке стороны поперечного сечения
Мо = 1,372/iojoa4,
C.5.4)
где wo — угол кручения, соответствующий возникновению пластических
деформаций, а — размер поперечного сечения.
Зависимость крутящего момента М/Мо от угла кручения cj/ojo изобра-
изображена на рис. 3.17.
5.Круглый стержень, ослабленный шестью полу-
полукруглыми выточками. Материал стержня считается идеально
упругопластическим. Решение получено методом релаксации [10].
На рис. 3.18 кривые 1—3 изображают упругопластическую границу для
следующих стадий кручения: ш = 1,448 ш0; 2,173 ш0; 4,345 w0 соот-
соответственно.
Зависимость безразмерного крутящего момента от безразмерного угла
кручения показана на рис. 3.19.
6. Овал Соколовского. Приближенное решение упругопласти-
ческой задачи кручения стержня, имеющего сечение в виде овала Соколов-
Соколовского C.2.10), при частичном охвате пластической зоной упругого ядра
имеет следующий вид [19]:
C.5.5)
+iaszs
где F(z) — комплексная функция кручения.
В табл. 3.2 приведены значения коэффициентов д7- в зависимости от
числа промежуточных точек.
Таблица 3.2
Точ-
Точка I
2,0
2,0
2,0
п
1
1,5
2
3
5
Промежуточные точки lj
'.
h
1,96+1-0,36
1,96+1-0,36 0,6 + М,25
1,96+1-0,36 0,6 + 1-1,25
2,9629
2,3585
2,1505
2,0305
2,0020
0,1040
0,1155
0,1230
0,1335
0,1455
20
а = 1~
0,1558
0,2778
0,3989
0,6403
1,1188
h
0,3 + М
а= 10
0,1620
0,2855
0,4096
0,6548
1,1375
"i
0,296
0,256
,42 0,244
а = 20
0,1660
0,2897
0,4136
0,6606
1,1508
"з
-0,005
-0,013
0,01
а = 40
0,1662
0,2904
0,4150
0,6627
1,1560
-0,0006
0,007
Т абл
а = 80
0,1662
0,2904
0,4150
0,6630
1,1560 .
м
°к
0,675
0,61
0,555
и ц а 3.3
(Х—са
0,1667
0,2917
0,4166
0,6667
1,1667
175

Рис. 3.20
Рис. 3.21
Рис. 3.22
Впервые пластические деформации возникают при w = 0,545 к/ц.
7. Стержни прямоугольного и многоугольного
поперечного сечений. Приведем результаты расчетов по упруго-
пластическому кручению, полученные методом локальных вариаций
[16, 17]. Расчеты были проведены для стержней прямоугольного и много-
многоугольного поперечного сечений. Во всех расчетах материал тела считался
идеальным упругопластическим с пределом текучести к при простом сдви-
сдвиге. Вычисления проводились для стержней прямоугольного поперечного
сечения со сторонами а = 1, Ъ = п (где п принимает значения п = 1; 1,5;
2; 3; 5) при следующих значениях безразмерного угла кручения а = 20/3;
10; 20; 40.
На рис. 3.20 и 3.21 для прямоугольников с отношением сторон п- b/а =
= 1; 1,5; 3 и для значений угла кручения а = 20/3; 10; 20 кривыми 1,2,3
изображены упругопластические границы. Границы упругих и пластических
176
областей пронумерованы в том порядке, в каком указаны значения угла
кручения а.
На рис. 3.22 приведена зависимость безразмерного крутящего момен-
момента т от угла кручения а для стержня квадратного поперечного сечения.
Выше в табл. 3.3 даны значения безразмерного крутящего момента для
прямоугольных областей с отношением сторон п = 1; 1,5; 2; 3; 5, получен-
полученные при различных значениях угла кручения а.
2цша М
Здесь а = , т = —, а0 — безразмерный угол кручения, соответ-
к 2ка3
ствующий возникновению пластических деформаций, т0 - безразмерный
Рис. 3.24
12. В.М. Мирсалимов
177

крутящий момент, при котором впервые появляются пластические дефор-
деформации, а = оо соответствует чисто пластическому кручению.
На рис. 3.23-3.27 для значений угла кручения а = 20/3; 10; 20изобра-
20изображены кривыми 1,2,3 соответствующие упругопластические границы для
стержней с сечениями, показанными на рисунках.
На рис. 3.28 приведена зависимость крутящего момента т от угла круче-
кручения а для стержней с сечениями, показанными на рис. 3.23—3.27 (кри-
(кривые 1-5 соответственно).
Рис. 3.25
Рис. 3.26
0,100 ¦
0,05
Рис. 3.27
Ю t5
Рис. 3.28
25 ас
Рис. 3.29
178
12'
179

Для этих областей имеем ао = Мо = 0, так как во внутренних угловых
точках при сколь угодно малых углах кручения возникают неограниченные
напряжения.
Зависимость т (а), вообще говоря, не имеет линейного участка. Практи-
Практически зависимость крутящего момента от угла кручения при малых а ока-
оказывается линейной, поскольку зоны пластических деформаций пренебрежи-
пренебрежимо малы, и соответствующий вклад этих областей в крутящий момент мал.
8.Составные стержни. Рассмотрим призматический стержень
квадратного поперечного сечения D, образованного двумя прямоугольны-
прямоугольными областями Di иО2: D = Dx +ZJ. Пусть
Материал стержня является упругооднородным Mi = Мг = М с кусочно-по-
кусочно-постоянным поперечным.распределением пластических свойств k2/ki = 0,65.
Здесь kj — пределы текучести, соответствующие подобластям О,-
(' =1,2).
Решение задачи упругопластического кручения проводилось для следую-
следующих значений безразмерного угла кручения a i = 2,4; 4; 10; 25, Пр" ¦"¦"»*
2jucj M
М2 =¦
кг
т =
2к1
Чисто упругие деформации имеют место до достижения касательными
напряжениями меньшего из пределов текучести к = кг-
Из упругого решения было найдено предельное значение угла кручения
а0 = 1,927 и крутящего момента то = 0,0676. Соответственно величины
угла кручения и крутящего момента, при которых впервые возникают
пластические деформации в области с большим пределом текучести к = к\,
оказались равны
а'о = 2,963, т'о = 0,104.
Итак, при угле кручения
ао < <*! < ао
пластические деформации возникают лишь в материале с меньшим преде-
пределом текучести, а при а{> < а i пластические зоны будут в обоих материалах.
Таблица 3.4
«0
= 1,927 ,
т
«„ = 0,0676
DP
0
а0 = 1,927
т
= 0,0676
°Р
0
2,5
4
10
0,0876
0,1145
0,1358
0,07
0,20
0,58
25
0,1387
0,1390
0,83
1,00
180
На рис. 3.29, а, б, в, г показаны пластические области (заштрихованы)
для значений а! = 2,4; 4; 10; 25, полученные методом локальных ва-
вариаций [18].
Выше в табл. 3.4 приводятся значения крутящего момента, соответствую-
соответствующие различным величинам угла кручения a i, и площадь поверхности
пластических областей в сечении стержня Dp.
§ 6. Решение Раиса для полуплоскости с угловым вырезом
при произвольном законе упрочнения
Нелинейные уравнения задач сложного сдвига могут быть сведены к ли-
линейным, если перейти к плоскости годографа, т.е. физические величины
рассмотреть как функции напряжений
X = X{rxz,jyz), Y=Y(Txz,Tyz)
или, что эквивалентно, от деформаций
X = X(yxz,yyz), Y=Y(yxz,yyz).
Вообще говоря, метод годографа не является универсальным, так как
переход к плоскости годографа хотя преобразует уравнения в линейные,
однако усложняет краевые условия.
В новых независимых переменных условие совместности деформаций и
уравнение равновесия можно записать так:
ЪХ
bY
= 0,
C.6.1)
ЪХ
= 0.
C.6.2)
Считается, что якобиан функций yxz и yyz , txz и туг по переменным X
и Y отличен от нуля.
Введем векторное обозначение
Txz^x "*" ''уг'у У Тхг'х
V т - ix
¦
+ / v
ъи
, V у = i
37xz
C.6.3)
C.6.4)
где ix, iy — единичные векторы в направлениях хну.
Уравнения C.6.1) и C.6,2) перепишем следующим образом:
V7r = 0, VTr = O. C.6.5)
Здесь г = Xix + Yiy — положение вектора точки в физической плос-
плоскости.
С помошью связи между напряжением и деформацией выражение для
градиента от напряжений преобразуем к соотношению, зависящему от
деформаций. По определению градиента для изменений (dy, dr) векто-
181

ров (у, г) имеем
dTVT=dyVy. C.6.6)
Согласно Деформационной теории пластичности векторы у, у + dy коллине-
арны с векторами т,т + dr. Вектор dy представляет собой результирующую
вектора в направлении dr и вектора в направлении у. Вклад в dy в направ-
направлении dr равен (у/т) dr, а величина составляющей в направлении у равна,
с учетом членов первого порядка,dy — (у/т) dr. Учитывая,что dr = (т/т) dr =
= (у/7) dr, вклад в направлении у запишется так:
(dl_l\l(ldT\
\dr т ) y\y j
Суммируя обе составляющие, получим
т \ \у dr /7\7
Подставляя полученное соотношение для dy в уравнение C.6.6), находим
Теперь, учитывая связь т = т(у) между напряжением и деформацией, полу-
получим следующее соотношение:
7
Уравнения C.6.5) в плоскости деформаций в зависимости от координат
окончательно примут вид
C.6.8)
ту
-1 - -
г =0.
C.6.9)
¦уТ'(у)
Уравнение C.6.8) будет тождественно удовлетворено, если координаты
задать через скалярную потенциальную функцию ф = 1^G) следующим
образом:
г = Чуф. C.6.10)
Тогда уравнение C.6.9) примет вид
0. C.6.11)
Дифференциальное уравнение C.6.11) принимает более простой вид,
если использовать в плоскости деформаций полярную систему координат,
состоящую из главной деформации у и угла в между направлением у и
осью у. В этой полярной системе координат имеем
О la Ъ
Vy=iy— + — —, C.6.12)
у у Ъу у Ъв
ъф cose ъф ъф sine ъф
X=-sin0— , 7=cos0 — - —: -. C.6.13)
Ъу у Ъв Ъу у Ъв
182
Рис. 3.31
Уравнение C.6.11) для функции ф(у, в) запишется так:
тG) д2ф [ 1 [ 1 Ъ2ф
ут'(у) Ъу2 7 72 Эе2
= 0.
C.6.14)
Рассмотрим задачу сложного сдвига для полуплоскости с вырезом с
углом 2а и глубиной /. На бесконечности заданы напряжения тХ2 = 0,
туг = Too (рис. 3.30). Предполагаем, что в начальной стадии деформирова-
деформирования материал является линейным, а в области упрочнения зависимость
т =т(у) является общей.
В плоскости деформаций упругая область отобразится во внутренность
кругового сектора с разрезом (рис. 3.31) (ys соответствует началу пласти-
пластической деформации, 7~ - деформация на бесконечности). При этом гранич-
граничные условия примут следующий вид
Ъф
Ъух
Ъф
Ъв
Ъф
Ъв
Ixz = О
1 Ъф
у Ъв
= -I на АВ и DE,
е = о
= 0 на ВС,
в = п/2 - а
= 0 на CD.
в = я/2 + а
C.6.15)
C.6.16)
/= 0,
Функция ф удовлетворяет в упругой области уравнению Лапласа
а в пластической области уравнению C.6.14).
1. Решение в упругой области G < 7s) • С помощью пре-
преобразования
C.6.17)
отобразим сектор с разрезом (рис. 3.31) в полукруг с разрезом в плоскос-
плоскости f (рис. 3.32). Разрез занимает отрезок 0 < ? < s оси %. Здесь X и х опре-
183

делены соотношениями
7Г
Лт) -(
тг-2а
Функцию ф можно рассматривать как мнимую часть некоторой аналити-
аналитической функции.
Имеет место соотношение
Ъф
у Ьв ду
)-
C.6.19)
Учитывая соотношение C.6.19), находим, что на оси т?, а также на разрезе
граничные условия C.6.15)
/
/
1
1 г-
-А -S-
\
\
\
\
•"¦+/
б
\
\
TS
j
/
Рис. 3.32
и C.6.16) переходят в следующие граничные условия
дф
Ъф
= О на оси т?,
{= о
Г) = О
C.6.20)
C.6.21)
Сделаем аналитическое продолжение для функции/(f) в область % < 0.
Учитывая равенство
Эт?
на основании граничных условий на верхнем берегу разреза и его аналити-
аналитического продолжения получим ')
2/7*
C.6.22)
' (I) 1+ + [/' (I)]" =
s
•) Здесь и далее функции [F(O]+ и [F(?)]~ обозначают значения функции
при стремлении ? к оси { сверху или снизу соответственно.
184
Для нижнего берега разреза будем иметь
C.6.23)
Из соотношений C.6.22) и C.6.23) следует, что функция /'(О -/'(О
аналитична во внутренности единичного круга I f I < 1, включая точки
вдоль разреза.
Так как
77 «.0) =/'(О-/'«), 1>UI>»,
то ввиду аналитичности функция /' (О — / ' (?) будет равна нулю всюду
в единичном круге. Учитывая последнее заключение, соотношения C.6.22)
и C.6.23) могут быть приведены к виду
[/'(ОГ
C.6.24)
Таким образом, определение функции/'^) свелось к задаче Римана.
Можно показать, что решение задачи C.6.24) имеет вид (см. Приложе-
Приложение, § 2)
C.6.25)
Здесь g (?) аналитична всюду внутри круга | f I < 1 и ее разложение в
ряд Тейлора содержит только четные степени аргумента.
Обозначая t = (ju/x)~x, соотношение C.6.19) перепишем следующим
образом:
2/
f
C.6.26)
2. Решение в пластической области G > 7s) • Решение
уравнения C.6.14) будем искать методом разделения переменных у и в:
ф= 2 Dkfk G)sin Bk-\)\6,
к = 1
C.6.27)
где Dk — постоянные.
Подставляя выражение C.6.27) в C.6.14), для fk G) получаем урав-
уравнение
-Т- Л" G) + " Л G) - B*-1)аХ' Л G) = 0 C.6.28)
при следующих условиях:
C.6.29)
185

Для физических координат на упругопластической границе можно
записать:
+ [Bk - 1)Х -7./* G,)] е'<2*-»*в } . C.6.30)
3. Соединение решений. Оба полученных решения должны
совпадать на упругопластической границе 7 = 7s- Из этого условия совпа-
совпадения найдем неизвестную функцию g (f) и постоянные Dk.
Обозначим через а - е1хв значение f на у = ys. В соотношении C.6.26)
положим f = аи приравняем выражению C.6.30).
Таким образом, требуемое условие непрерывности решения будет
иметь вид
2Xll2 dt
? Dk
fc = 1
У*)]о-2"}. C.6.31)
Правая часть C.6.31) может быть разложена в ряд по четным степеням а,
содержащим отрицательные и положительные степени, в то время как левая
часть содержит лишь положительные степени а. Следовательно, положив
равными нулю коэффициенты при о~2 ,о~4,..., а~2к, получим бесконечную
систему линейных уравнений для определения Dk. После нахождения Dk и
подстановки их в C.6.31), а также замены стна f, найдем^(Г)- ЗнаяО* и
функцию g (f), легко определить физические координаты точек, деформи-
деформируемых в упругой и пластической областях.
Поскольку решение системы уравнений для Dk в замкнутом виде за-
затруднительно, то целесообразно применять разложения по малому пара-
параметру s = G-/7*)* = (Too/ts)x.
Приведем решение уравнения C.6.31) с точностью порядка s12 [63]:
Dx =-
X-7*/i Gj) I 2 4
1
j(Bi+2eo)C, +^B0Cf Is10} ,
D2=-
ЗХ-7,/2'1
186
+ — BoCfs6 + - f ( B+ - Bo) C2 + ^ B0Cl J x8 +
64 L\
- b0
2
7i +B0C? I s
5X - 7,/3' G,)
5 5
7X - ysf4 (Уа)
35 й 35
128
Ds =
256
9X-7./s'G.)
1 3
+ - 53 + - B:
2 8
5оС2^
5
ПХ-7»/б'G»)
1 3
- 54 + - B3 +
16
35
35
128
Cfe =
B*-1)Х-7.Л'G.)
,= 2
;
63
256"
63
256"
.).
10
C.6.32)
C.6.33)
C.6.34)
C.6.35)
Bp-3)
Кроме того, имеем уравнения для определения dk>}-:
— t dkJs2', A: =1,2,.
,m
C.6.36)
187

Сравнивая формулы C.6.32) с уравнениями C.6.36), можно найти dkj,
затем по соотношениям C.6.35) определить функцию g (f).
Рассмотрим предельный случай. При низком уровне параметра натруже-
ния s - (tx/ts)x размеры пластической зоны пренебрежимо малы по срав-
сравнению с глубиной выреза /. В этом случае, пренебрегая всеми членами по-
порядка s2 по сравнению с единицей, найдем
k>2,
- Jsfl
C.6.37)
C.6.38)
По формулам C.6.13) определим физические координаты в пластичес-
пластической области
x =
0,2
0,4
0,6
0,8
0,2
0,4
0,6
0,8
0,2
0,4
0,6
0,8
0,2
0,4
0,6
0,8
188
- 7,/; G.)
Vi G)
cos 0 cos X0 +// G) sin 0 sin X0 ,
G)
sin0 cosX0 -//G)cos0 sinX0 | .
C.6.39)
Таблица 3.5
-DJysl
-D4/ysl -Dshsl -Df/ysl
N = 0
0,0408
1,1740
0,4414
0,9735
0,0370
0,1557
0,3851
0,8059
0,0311
0,1286
0,3072
0,6022
0,0268
0,1096
0,2556
0,4810
0,0004
0,0070
0,0398
0,1553
0,0004
0,0057
0,0318
0,1182
0,0003
0,0046
0,0249
0,0869
0,0002
0,0040
0,0212
0,0709
0
0,0006
0,0071
0,0489
N=0,1
0
0,0004
0,0055
0,0363
N=0,3
0
0,0004
0,0044
0,0270
TV =0,5
0
0,0003
0,0037
0,0223
0
0,0001
0,0016
0,0186
0
0
0,0012
0,0139
0
0
0,0010
0,0105
0
0
0,0008
0,0088
0
0
0,0004
0,0078
0
0
0,0003
0,0058
0
0
0,0002
0,0046
0
0
0,0002
0,0039
0
0
0,0001
0,0028
0,2
0
0,0001
0,0022
0
0
0,0001
0,0019
0
0
0,0001
0,0017
Таблица 3.6
Тоо/7-.s
-D,/ysl
-D3/ysl -DJysl -Ds/ysl -DJysl
0,2
0,4
0,6
0,8
0,2
0,4
0,6
0,8
0,2
0,4
0,6
0,8
0,2
0,4
0,6
0,8
0,0248
0,1297
0,3670
0,8804
0,0220
0,1141
0,3157
0,7160
0,0184
0,0942
0,2535
0,5405
0,0160
0,0814
0,2151
0,4423
0,0001
0,0026
0,0221
0,1156
0,0001
0,0021
0,0175
0,0862
0,0001
0,0018
0,0139
0,0645
0
0,0015
0,0121
0,0537
0
0,0001
0,0028
0,0311
7V=0,l
0
0,0001
0,0021
0,0227
N=0,3
0
0,0001
0,0017
0,0171
7V=0,5
0
0,0001
0,0015
0,0143
0
0
0,0004
0,0103
0
0
0,0003
0,0075
0
0
0,0003
0,0057
0
0
0,0002
0,0048
0
0
0,0001
0,0037
0
0
0,0001
0,0027
0
0
0
0,0021
0
0
0
0,0018
0
0
0
0,0012
0
0
0
0,0009
0
0
0
0,0008
0
0
0
0,0007
Если положить а = 0, получим задачу для трещины длины /. В этом слу-
случае X = 1. Из уравнений C.6.28) и C.6.29) функция/i G) определяется с
помощью одной квадратуры и имеет следующий вид:
/.G) =
du
Is У* U2T(U)
du
у U2T(U)
C.6.40)
В этом нетрудно убедиться путем подстановки. Подставим C.6.40) в
C.6.39) и, замечая, что, согласно C.6.34), Во = 1, найдем
du
у U T (U)
sinfl.
C.6.41)
Величину А"ш = TooVttT'= Tss\ZnTB механике разрушения [69, 70] при-
принято называть коэффициентом интенсивности напряжений. Выражение
C.6.41) можно переписать так:
- du 1
7/ -ттт sin0- C-6-42)
7 М Т(М) J
Формулы C.6.13) с учетом выражения C.6.42) позволяют определить
физические координаты, соответствующие деформациям в пластической
— к-2
189

зоне:
Х =
Y =
у*т« Г оо du
-^- cos 29+ 2г,т, f
ут G) L
7sTs
у U2T(U) JT(y)
27Г7? УТ (у)
sin 20.
C.6.43)
Граница упругих и пластических деформаций в случае трещины представ-
представляет собой окружность с центром
Г G,) =
Кш Г - du
2у.т. f
7s U2T(U)
-1
и радиусом
В заключение настоящего параграфа приведем численные результаты [63].
Для материала, упрочняющегося по степенному закону т (у) = та (т/")^)^,
решение уравнений C.6.28) и C.6.29) для/* G) имеет следующий вид:
\7s /
"'
Too/Tj
0,2
0,4
0,6
0,8
0,2
0,4
0,6
0,8
0,2
0,4
0,6
0,8
0,2
0,4
0,6
0,8
-DJysl
0,0089
0,0721
0,2571
0,7216
0,0077
0,0618
0,2168
0,5769
0,0064
0,0511
0,1766
0,4471
0,0056
0,0449
0,1534
0,3378
-DJysl
0
0,0004
0,0072
0,0656
0
0,0003
0,0056
0,0483
0
0,0003
0,0046
0,0374
0
0,0002
0,0041
0,0320
-A,/T4»
# = 0
0
0
0,0004
0,0129
N=0,1
0
0
0,0003
0,0093
# = 0,3
0
0
0,0003
0,0072
#=0,5
0
0
0,0003
0,0062
-A,/7,»
0
0
0
0,0032
0
0
0
0,0023
0
0
0
0,0018
0
0
0
0,0015
Та
-D,/ysl
0
0
0
0,0009
0
0
0
0,0006
0
0
0
0,0005
0
0
0
0,0004
блица 3.7
-DJysl
0
0
0
0,0002
0
0
0
0,0002
0
0
0
0,0001
0
0
0
0,0001
190
Рис. 3.33
Рис. 3.34
где введено следующее обозначение
A-ЛП2 1 Ч2
(i-ло
C.6.44)
В этом случае с помощью соотношений C.6.32) —C.6.35) можно численно
определить постоянные D^ для различных значений угла выреза и показа-
показателя упрочнения.
Выше в табл. 3.5 —3.7 приведены результаты счета соответственно: а) для
трещины а = 0; б) для 45°-ного V-образного -выреза (а = 22,5°); в) для
90°-ного V-образного выреза (а = 45°). С помощью интерполирования ве-
величин, приведенных в таблицах, можно определить значения D^ для широ-
широкого класса задач.
На рис. 3.33, 3.34 показаны границы пластической зоны для слабо упроч-
упрочняющегося (N = 0,1) и для сильно упрочняющихся (N=0,3) материалов
для двух значений нагружения т» = 0,6тs ит« - 0,8тs (кривые 1, 2).
Рис. 3.33, 3.34 показывают тенденцию перехода от круглых пластических
зон при наличии пластических деформаций в малой области к вытянутым
зонам при большой области пластичности.
191

ГЛАВА 4
НЕКОТОРЫЕ РОДСТВЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ
§ 1. Краткий обзор
В связи с рассмотрением упругопластических задач уместно отметить три типа
проблем, близких как по своей постановке, так и по методам решений. Это местное
выпучивание мембран, обратная задача теории упругости и пластичности и контактная
задача теории упругости о давлении жесткого параболоида на мембрану.
При растяжении тонких упругих пластин с отверстиями вблизи отверстий, вообще
говоря, возникают области сжимающих напряжений. Сжимающие напряжения могут
достигнуть такой величины, что в области их действия пластинка теряет устойчивость
и выпучивается. При этом напряженное состояние в оставшейся невыпученной области
пластины кардинально изменяется. Выпучивание области вблизи отверстия на тонкой
пластине при ее растяжении хорошо заметно при эксперименте. Учет выпучивания
тонких пластин с отверстиями при растяжении необходим для правильного расчета
на прочность (и, в частности, для правильного расчета концентраций напряжений
вблизи отверстия). В случае пластин с нулевой изгибной жесткостью проблема выпу-
выпучивания допускает точную математическую постановку и может быть эффективно
решена для большого числа практически важных задач [1]. Г.П. Черепановым [1, 2]
рассмотрена постановка и дано эффективное решение некоторых задач о выпучи-
выпучивании плоской мембраны с отверстиями при растяжении. Математически задача сво-
сводится к решению некоторой квазилинейной системы уравнений в частных производ-
производных первого порядка параболического типа в выпученной области и классических
уравнений плоской задачи теории упругости в невыпученной области, причем граница
выпученной зоны заранее не известна и должна быть определена в процессе решения
задачи. Задача о местном выпучивании мембран оказывается тесно связанной с
задачей разрушения при сжатии упругого тела, прочность которого на растяжение
гораздо меньше прочности на сжатие.
Вторая проблема - обратная задача теории упругости и пластичности, характери-
характеризующаяся поисками таких геометрических конфигураций тела и его физических
свойств, при которых материал "работал" бы наиболее равномерно и в теле не было
бы каких-либо предпочтительных для разрушения мест (равнопрочные тела).
Под обратной задачей теории упругости понимается задача определения всего
контура тела или некоторой его части по условиям, накладываемым на распределе-
распределение напряжений в упругом теле. Обратные задачи механики сплошных сред тесно
связаны с обратными краевыми задачами аналитических функций.
К обратным краевым задачам относят задачи, в которых требуется найти контур
области по некоторым величинам, заданным на нем [3]. При этом на искомом кон-
контуре краевых условий задается на единицу больше, чем их требуется для решения
обычной краевой задачи. Дополнительное краевое условие служит для отыскания
контура области. Известные в настоящее время приложения обратных краевых задач
аналитических функций относятся в основном к гидромеханике. В монографии
Г.Г. Тумашева и М.Т. Нужина [4] изложены все встретившиеся приложения обрат-
обратных краевых задач и приведена обширная библиография. Значительное число техни-
технических приложений рассмотрено в работах казанских механиков (см. [3], [4]).
В современной технике находят широкое применение детали в виде пластин, ослаб-
ослабленных разнообразными отверстиями. При нагружении этих деталей внешними уси-
усилиями вблизи отверстий возникает значительная концентрация напряжений, вследст-
вследствие чего разрушение пластины или необратимые деформации происходят сначала в
местах наибольшей концентрации напряжений. Поэтому концентрация напряжений
является крайне нежелательной в машиностроении- Представляет интерес отыскание
такого контура отверстия тела, который не имеет каких-либо предпочтительных
192
для хрупкого разрушения или пластической деформации участков. Такой контур
называют равнопрочным. В работе [5] Г.П. Черепановым показано, что на равно-
равнопрочном контуре хрупкого тела должно выполняться дополнительное граничное
условие ot = а, где постоянная а определяется в процессе решения.
Если же материал тела является упругопластическим, а пластическая деформа-
деформация впервые возникает на контуре тела, причем в момент зарождения охватывает
сразу весь контур тела, не проникая вглубь, то дополнительное граничное условие
на контуре будет таким же. Однако в этом случае постоянная о в граничном условии
задается. Заметим, что условие такого типа для сложного сдвига было поставлено
впервые Л.А. Галиным.
В работе [7] М.Т. Нужина исследованы некоторые обратные краевые задачи анали-
аналитических функций, которые были затем использованы для нахождения оптимальной
формы сечений скручиваемых стержней. Л.И. Сухих [6,8] найдена оптимальная
форма продольной выточки при кручении валов, а также закругления при кручении
прямого угла. Для решения этих задач использовался метод годографа.
Л.М. Куршин [9] рассмотрел задачу об определении формы сечения призматичес-
призматического стержня, имеющего максимальную крутильную жесткость при заданной площади
сечения. Задача сформулирована как вариационная задача о стационарном значении
функционала в области с подвижной границей при дополнительном условии. В рабо-
работе [10] Л.М. Куршин и П.Н. Оноприенко рассмотрели задачу нахождения формы
поперечного сечения призматического стержня с призматической продольной по-
полостью заданной формы, работающего на кручение, из условия, чтобы при заданной
площади поперечного сечения жесткость кручения была бы наибольшей. Приведены
расчеты очертаний сечений при отверстиях различной формы. Задачи оптимизации
границ исследовал Н.В. Баничук [11,12] в связи с определением форм скручиваемых
стержней, обладающих максимальной крутильной жесткостью.
Г.П. Черепановым [5,13] были рассмотрены задачи об отыскании равнопрочного
отверстия в плите, находящейся в однородном поле напряжений, и равнопрочной
выработки в горном массиве.
Постановка и решение некоторых задач подобного типа об определении равнопроч-
равнопрочного отверстия содержится в работах [14-22].
В работе [23] рассмотрена методом электромоделирования обратная задача термо-
термоупругости, в которой по заданной величине термоупругих напряжений определяются
необходимые граничные условия нагрева конструкций.
СБ. Вигдергаузом [24] обратная задача теории упругости сведена с помощью
интегралов типа Коши к интегральному уравнению Фредгольма, для решения кото-
которого предложено использовать метод наименьших квадратов. Этим же автором в
работе [25] доказана теорема о наибольшей прочности равнопрочных контуров в
случае постоянной нагрузки. Н.В. Баничук [26] доказал, что оптимальными являются
отверстия с равно напряженными границами. В монографии [27] значительное внима-
внимание уделено задачам оптимизации с неизвестными границами теории упругости.
В работе [28] рассмотрена обратная задача теории упругости для бесконечной
плоскости с заданным полем напряжений. Плоскость ослаблена отверстием. Опреде-
Определяется форма отверстия при условии, что среднее напряжение всюду в плоскости
оставалось неизменным. Авторы такой контур отверстия называют гармоническим.
Поставленная задача сводится к сингулярному интегро-дифференциальному уравне-
уравнению относительно функции, определяющей конформное преобразование плоскости
с единичным кругом на плоскость с гармоническим вырезом. Полученное уравнение
существенно нелинейно относительно неизвестной функции.
Плоская упругопластическая задача и задача о давлении твердого тела на пластину
тесно связаны между собой. Эта аналогия впервые была установлена Л.А. Галиным,
который предложил ее использовать для экспериментального решения плоской упру-
гопластической задачи [29].
Большой интерес представляют контактные задачи с неизвестной заранее поверх-
поверхностью контакта. Первые работы, посвященные контактным задачам теории упругос-
упругости, принадлежат Герцу [30] и Буссинеску [31]. С тех пор было решено большое
число контактных задач.
Обширную библиографию работ по контактным задачам можно найти в моногра-
монографиях Л.А. Галина [32] и И.Я. Штаермана [33],а также в обзорных ста.ъях сборни-
сборника [34].
13. В.М. Мирсалимов 193

Задача о давлении жесткого параболоида на бесконечную пластину была решена
впервые Л.А. Галиным [35].В работе [36] Г.П. Черепановым рассмотрена задача о
давлении жесткого параболоида вращения на пластины или мембраны, контур кото-
которых состоит из отрезков прямых. При этом предполагалось, что пластина свободно
оперта. Т.Л. Рева [37] рассмотрела задачу о давлении твердого жесткого тела в
круглую, защемленную по контуру пластину. Задача решалась по уточненной теории
изгиба тонких пластин. Дано сравнение этого решения с результатами Л.А. Галина.
§ 2. Обратная задача теории упругости для анизотропной среды
Рассмотрим [48] плоскую задачу об определении равнопрочного конту-
контура отверстия в анизотропной среде, находящейся вдали от отверстия в
однородном поле напряжений:
Ох ~ Ох> Оу = Оу, Тху ~ 0- D.2.1)
Пусть на неизвестном контуре отверстия L приложена постоянная нор-
нормальная нагрузка
оп = -Р, Ttn = 0; D.2.2)
t и пнаправления касательной и нормали к Z,.
Критерием, определяющим равнопрочную форму отверстия, служит
условие отсутствия концентрации напряжений на контуре отверстия.
Требуется, чтобы во всех точках неизвестного контура L выполнялось
соотношение
аг-а„- const. D.2.3)
Постоянная ст* подлежит определению в процессе решения задачи.
Напряжения ах, ау, тху в плоской задаче теории упругости анизотропно-
анизотропного тела определяются через две аналитические функции VBi) и ф(г2)
[38] по формулам
D.2.4)
тху = ~
где 0 (*0 = —; , ^ (z2) =—: — *i = x
dzx dz2
причем s x =Oix + /0!, s2 =oc2 +i$2 являются корнями уравнения
вц«4 -2a16s3 + Bal2 + a66)s2 -2a26s+a22 =0
(здесь а/, к — упругие постоянные).
Наряду с заданной плоскостью z = х + iy будем рассматривать плоскос-
плоскости Zx и z2i получаемые из плоскости z с помощью аффинного преобра-
преобразования
zi=x+sly=x1 +iyu z2=x + s2y = x2 +iy2. D.2.5)
При этом преобразовании неизвестный контур переходит в контуры L\
и L2 на плоскости zx и z2. Граничные условия на L аналитических функ-
функций ip(z{) и ф(гг) при заданных внешних условиях D.2.2), D.2.3) можно
194
представить в виде [38, 39]
A + и
+ A +/J,HB,) +
+ A +ts2)t(z2) + ( ~'
 )ФB2)=-рг + const,
+ A - is2 )ф(г2)
const,
D.2.6)
D.2.7)
¦о+5?) *'(*!) +
+ A + *1) Ф \z2) = - (а* - р). D.2.8)
Функции 0B!) и ф(г2) на бесконечности ведут себя следующим образом:
Ф1)=В*21 +о(~J, Ф(г2)=В\ z2 +o(—V D.2.9)
где
^х+(«2+|322)ст;
о™ -2аха2 о" -о
С* =
[(а? - 0?)а2 -
а
2[(а2-а1J-((%-Р2)]($2
Постоянную в правой части соотношения D.2.6) и D.2.7) можно поло-
положить равной нулю.
Перейдем на параметрическую плоскость f при помощи преобразова-
преобразования z = со(П,где
к=1
D.2.10)
Аналитическая функция w(f) осуществляет конформное преобразова-
преобразование внешности единичного круга плоскости f на внешность контура L
физической плоскости z; R —постоянная.
При этом функции zx = о>! (?) и z2 = со2 (О осуществляют соответст-
соответственно конформное преобразование внешности единичного круга плос-
плоскости f на внешность контуров L\ и L2, причем точкам М, и Мх, М2
контуров L,Lx nL2, находящимся в аффинном соответствии, соответ-
соответствует одна точка на контуре единичного круга.
Обозначим 0@ = 0 К (?)] ,*(?>** 1^2 (Щ
На основании граничных условий D.2.6) - D.2.7) для определения
трех аналитических функций 0 (f), ^(f) и со (f) получаем следующую нели-
13* 195

нейную краевую задачу при I f I = 1:
D-2.11)
-/«a
0 -
D.2.12)
D.2.13)
Применяя метод функциональных уравнений, найдем решение краевой
задачи D.2.11-4.2.13):
- O+Ci -/si
2/(Ja -
/(«2 -"«:
2/(si -s2)f
- {(l-isa)ciP-[/(«a -'
C, +/S2 -/T2CiM* + p(
, -/s2 +/s2c,M4 +
{A -/j,)pc, -[/(л -i
с, +гТ2 -/T2ciM* +p(
oo oo
+ P-
D.2.16)
Постоянная ci определяется из следующего алгебраического уравне-
уравнения:
2A +Xi)(l +Ci -is2 +/s2c,)[(l +c, +is, -is,c,)fi* -2д_, ] +
+ 2A +si)(l +ci -/si +isic,)[(l +c, +/s2 -/s2c,MT -2u_,] =0.
Полагая в D.2.18) 0i = ft = 1, найдем С! для случая изотропного тела
D.2.17)
Соотношение D.2.17) значительно упрошается, когда si =/|3i,s2 =/|32.
В этом частном случае D.2.17) принимает вид
Л,с? +Л2С] +Л3 =0,
i4i=(l-Ui)(l-&)«-ffx), D.2.18)
А2 =At +A +C,)A ~;)
ОО ОО
а
-2p - a x - a
Равнопрочные контуры отверстия D.2.16) представляют собой семейст-
семейство подобных эллипсов
A+с,J A-е,J
= R2.
Напряженное состояние определяется по формулам D.2.4), в которые
надо подставить соотношения D.2.14) и D.2.15), заменив в них предва-
предварительно f соответственно на f, =fi (r) и f2 ~$i(z), получаемые обра-
обращением формул z i = со, (f) и г 2 = cj2 (f).
Рис. 4.1
На рис. 4.1 изображена четверть искомого контура при р = 0; а~ = 0,5 aj)°
для пластинки, изготовленной из авиационной фанеры со следующими уп-
упругими постоянными [38]:
а„ = — =0,83 -Ю0 м2/Н,
«12 =-"^ =-0,59-10-1Ом2/Н, в,6=0,
Д22 = = 1,66 -Ю0 М2/Н,
Е
196
Две = = 14,28 • 10'10 м2/Н,
Gxy
и комплексными параметрами
s, =4,11 |, s2 =0,343/.
Там же штриховой линией для сравнения приводится четверть контура
для изотропной пластины.
§ 3. Обратные задачи теории упругости для горного массива
Для горного дела представляет значительный интерес задача об отыска-
отыскании формы выработки в тяжелом массиве, обеспечивающей максималь-
максимальную прочность. Ниже рассматривается эта задача для горного массива, ос-
ослабленного рядом одинаковых выработок, в предположении, что горная
197

порода является однородным и изотропным телом, а выработки распо-
расположены достаточно далеко от поверхности Земли.
Пусть тяжелое упругое полупространство у<Н ослаблено системой
одинаковых туннелей, представляющих собой цилиндры с осью, парал-
параллельной поверхности полупространства. Рассмотрим задачу об отыскании
формы туннелей, обеспечивающих максимальную прочность [49]. Задача
считается плоской. Центры отверстий расположены на оси х и находятся
на расстоянии / друг от друга. Известно, что напряженное состояние гор-
горного массива формируется главным образом действием тектонических
и гравитационных усилий. Примем, что тектонические усилия не зависят
от глубины массива. Распределение напряжений в массиве от гравитацион-
гравитационных усилий, согласно гипотезе А,Н. Динника [40], таково:
- у),
тху =0.
Здесь ах, ау — горизонтальные и вертикальные нормальные напряжения
соответственно, тху — касательные напряжения, Л=»»/A — *») — коэффи-
коэффициент бокового распора породы, v — коэффициент Пуассона, р — средняя
плотность горного массива, g — ускорение силы тяжести, Н -у - глубина
рассматриваемой точки массива от поверхности Земли.
Пусть к неизвестной пока поверхности туннеля приложено нормальное
давление а„ = —р (р> 0) (касательная нагрузка отсутствует). Кроме того,
считаем, что вдали от выработок все упругое полупространство находится
в поле напряжений (имитирующих тектонические усилия)
= a
1 ху
= о,
а на- поверхность полупространства у=Н действует постоянная нормаль-
нормальная нагрузка ау = 0™.
Необходимо, кроме того, сформулировать еще одно (дополнительное) _
граничное условие на неизвестной поверхности для определения искомой
формы выработки. В работе [13] было показано, что в тяжелом массиве
не существует такого отверстия, что напряжение at, действующее на его
контуре, было постоянной величиной. Иначе говоря, в тяжелом массиве не
существует отверстия, вблизи которого не возникала бн концентрация
напряжений. Поэтому естественно допустить в ослабленном массиве лишь
такую концентрацию напряжений, которая существовала бы и без выра-
выработки.
Следовательно, граничные условия на неизвестном контуре выработки/,
запишутся в виде
а„ = -р, тг„ =0, at = о + уу, а = const, t = const, D.3.1)
t Yin — направление касательной и нормали к контуру.
Последнее граничное условие D.3.1) является дополнительным усло-
условием для определения искомого контура выработок. Условия, накладывае-
накладываемые на а и у, определяются в процессе решения задачи. Сравнение отверс-
отверстий, определенных на основании условий D.3.1), в горном массиве с дру-
другими отверстиями показывает, что максимальное напряжение at на них
меньше, чем на любых других контурах отверстий. Поэтому искомое
отверстие обладает свойством наибольшей прочности по сравнению со
всеми другими отверстиями.
198
Учитывая, что туннели расположены достаточно далеко от поверхности
полупространства, будем удовлетворять граничные условия на контуре
выработки точно, а условия на границе полупространства приближенно,
ассимптотически.
Сравнение с решениями плоских задач для отверстия вблизи границы
тела [41] показывает, что для этого практически достаточно, чтобы глу-
глубина Н равнялась 2R, где Л —характерный линейный размер выработки.
Выразим напряжения при помощи формул
Pg
2A -v)
{z-z - 2Hi),
{A3.2)
pg{\ - 2v)
(Z-T-2H0.
2/A -v)
Перейдем на параметрическую плоскость f с помощью преобразования
*-»/ = ы(П = Г+ ? скГк. D.3.3)
При этом принято R = 1, т.е. введен определенный масштаб.
Аналитические функции Ф(г) нФ, (г) могут быть представлены в виде
ряда по малому параметру е = 1/1. При сохранении членов с е4 будем иметь
D.3.4)
*.
На основании равенств [42]
at-aH+ 2irtn = а—¦- (ау - ах + 2/тху), D.3.5)
Pi ш (S J
Or + «Ъ = <** + <*у (f = Pie'e)
и формул D.3.1) —D.3.4) краевая задача на параметрической плоскости f
для определения аналитических функций tp (f), "НО и Ш(И запишется в
виде
Pg
2/A - *)
- 2Hi] =
- 2А2 [со2(Г) -
- 2Аг [со3(О -77@] при I П = 1,
D.3.6)
199

.
t
2 (J) -
a J
при I ? | = 1.
D.3.7)
Перейдем к решению краевой задачи. Функция F ~ (?), равная
pg 7 1
1^ -— +2^, c
D.3.8)
аналитична вне единичного круга, за исключением бесконечно удален-
удаленной точки, где она имеет полюс с главной частью
[ре >v 1
— -fr +2Л,
2гA -у) 2г \
а функция F * (f), равная
D.3.9)
- ) +2Я/|+а-р- — ш (~
Г/ J 2/ Vf
D.3.10)
аналитична внутри единичного круга, за исключением точки ? = 0, в кото-
которой она имеет полюс с главной частью
На основании краевого условия D.3.6) функции F+(f) yiF (f) являются
аналитическим продолжением одна другой через единичную окружность:
F*(X) = F~(t) при If I =1. D.3.12)
По теореме Ж. Лиувилля единая аналитическая функция F (f) равна
,2 _
2А;
D.3.13)
-2(AQ -
причем должно выполняться следуюшее условие:
PgH
200
-6А3с2 =
D.3.14)
На основании формул D.3.8) и D.3.13) получаем
1
4/
~
Учитывая условия на бесконечности, находим
п\ =?)A — Ci) — j4!A + Ci) — 2с2А2 — А$Cс i — Зс3 — Зс2),
-А2(\ +с2 +2с3),
D.3.15)
D.3.16)
а4=-Л4(с?+2с!Сз)-Зс?с2.4з, /) = — (
4 \1-v
4
Для определения функций а>(?) и ф($), применяя метод функциональ-
функциональных уравнений, получим
V
D.3.17)
4/A -v)
w(J)-w -)-
2w'(J)
— 1 +
D.3.18)
Уравнения D.3.14), D.3.16), а также условия на бесконечности для функ-
функций ф($) служат для определения постоянных o,y,al,a2,a3,a4,bl,b2,b3,
й4, сг,с2,с3- Ввиду громоздкости система нелинейных алгебраических
уравнений не приводится. Ее решение получается методом малого
параметра.
Рассмотрим частные случаи.
1.Периодическая система отверстий. В этом случае
- 1
о={- е2 +2с!
+ад4е4,
= i п
А2 =тга2е', А3 = -
201

Постоянные Во, В1г В2, В3 определяются по этим же формулам, если
в них ак заменить на Ьк.
Контуры искомых отверстий, обеспечивающих максимальную проч-
прочность, в первом приближении оказываются семейством подобных эллипсов
Постоянные а, у, д,, а2, 6,, Ъ2 в этом случае имеют вид
х-ау-
pgH 1 ^
, с,=с10+с12е2, с,0=-—
1 —V у
pg [2p + o°°x + q" - pgHI(\ - v)\ A - 2у)
я*
3
, a2 =0, al0 = —
4i
Pg
1 ( PS \
-cf0),
=— с,оA -с20)(р + а).
Приведем формулы, дающие решение при о?° = а" = р = 0, т.е. когда стенки
отверстия и граница полупространства свободны от нагрузок:
1 -V
+ —
202
4тг
= l-2i;, с,2 = —— v(v- I), a, =0, fl2=0,
6,2 =
62 =62
Й10 У,
1A-V)
E-18i>.+ 26i>2 -12V3),
V
4
, b2O=2pgHv, 622 = - n
-2v)v.
2. Два одинаковых отверстия. Пусть центры туннелей
расположены на оси х и находятся на расстоянии 21 друг от друга. Начало
координат выберем в точке, равноудаленной от центров отверстий. В этом
случае
*-/=«($), е=-/,
Ао =
=д,е2 -
+3е4д3,
By (/ = 0; 3) аналогично определяются через bk (к = 1 -s-4). Ввиду громозд-
громоздкости выражений для постоянных а, у, аи а2, а3, а4. 6,, 62, 63, 64, с,, с2,
с3 они не приводятся.
§ 4. Оптимальная форма отверстий
при изгибе перфорированной пластины
Рассмотрим [50] задачу об отыскании оптимальной формы отверстия
при изгибе жестких пластин, перфорированных треугольной или квадрат-
квадратной сеткой криволинейных отверстий. Критерием, определяющим опти-
оптимальную форму отверстия, служит условие отсутствия концентрации
напряжений на контуре отверстия или требование зарождения пластичес-
пластической области сразу по всему контуру отверстия.
1. Напомним все необходимые соотношения теории изгиба жестких
пластин [43].
Смещение пластины и>, нормальное к ее поверхности, удовлетворяет
уравнению
^^ D.4.1)
D
Здесь D = Eh3/12 A —v2) — цилиндрическая жесткость пластины, q (x, у) —
поперечная нагрузка, h - толщина пластины, Е и v — модуль упругости
и коэффициент Пуассона материала пластины, А — оператор Лапласа. В
203

случае q = 0 имеют место основные представления [44]
Мх
+ p)Re<t>(z),
D.4.2)
Здесь Mx, My и Нху - соответственно удельные изгибающие и крутящий
моменты, Nx и Ny - удельные поперечные силы, Ф(г) и 4>(z) аналити-
аналитические функции комплексного переменного z =x + гу-
2. Пусть имеется двоякопериодическая треугольная решетка с неизвест-
неизвестными криволинейными отверстиями, имеющими центры в точках
1
— in
Ртп=тш1 + п-ш2, т, п=0, ±1, ±2,.. ., ш, =2, со2=2<?3 .
Обозначим контур отверстия с центром в точке Ртп через Lmn, а внеш-
внешность контуров Lmn через ZX,. На неизвестном контуре отверстия Lmn
граничные условия имеют вид
М„=М0, Hnt = О, Mt=Mt = const, N„=0, Nt = 0 D.4.3)
(t и и обозначают направление касательной и нормали к контуру тела).
В случае упругого тела величина Mt = const подлежит определению
в процессе решения. Для упругопластаческого материала соотношение
D.4.3) представляет собой условие, накладываемое на развитие пласти-
пластической зоны, т.е. сводится к требованию, чтобы пластическая зона в момент
зарождения охватывала сразу весь контур отверстия, не проникая в глубь
тела. В этом случае Mt = const — заданная величина, например, при условии
пластичности Треска—Сен-Венана Mt = Ms = as h2 /4 (os — постоянная
пластичности при растяжении).
Перейдем на параметрическую плоскость комплексного переменного J
с помощью преобразования z = w(f)- Аналитическая функция co(f) осу-
осуществляет конформное отображение области Dz на область D$ в плос-
плоскости f, являющуюся внешностью окружностей Гтп радиуса X с центрами
в точках Ртп. На основании равенств [42]
Мх + Му = М„ + Mt
Mt-Mn+ 2iHnt =
- Мх + 2iHxv)
D-4.4)
A2 co'tf)
и граничных условий D.4.3) для определения трех аналитических функций
(^(f) = Ф[о>(?)], ф($) =*[w(f)] и w(?) получаем нелинейную краевую
задачу на Гоо
Reip(f) = a, D.4.5)
f2[w(f)v'(?) + w'(?) <МГ)] = А2Ьс7(Ю, D.4.6)
где
а = —
204
Из решения задачи Дирихле D.4.5) следует, что в области ?>$¦
С учетом D.4.7) граничное условие D.4.6) наГ00 запишется в виде
Функции ^(f) и co(f) ищем в виде рядов
D.4.8)
D.4.9)
D.4.10)
где т (П - эллиптическая функция Вейерштрасса.
Приведем теперь зависимости, которым должны удовлетворять коэф-
коэффициенты выражений D.4.9), D.4.10). Из условия равенства нулю главно-
главного вектора сил, действующих на дугу, соединяющую две конгруэнтные
точки в Z)f, следует, что
а = —
D.4.11)
Условия симметрии для перфорированной пластаны с треугольной сеткой
отверстий имеют вид
е 3
3 3
и приводят к соотношениям
Л° при
0,1,... D-4.12)
Для составления уравнений относительно остальных коэффициентов пред-
представлений D.4.9), D.4.10) функций ф (f) и w(f) разложим эти функции
в ряды Лорана в окрестности точки ? = 0:
U6fc
?- 6/ +4
/=
-1 \ Г
Г3/, 3fc-l
/=о 6/
D.4.13)
D.4.14)
Здесь
1
•» Т2'+2к+2
9
205

Таблица 4.1
0,2
0,3
0,4
o,s
0,6
0,7
Первое приближение
0,00003
1,03777
0,00003
0,00003
0,00000
1,03777
0,00003
0,00000
0,00033
-1,08920
0,00036
0,00033
0,00001
-1,08920
0,00036
0,00001
0,00188
-1,17040
0,00219
Второе приближение
0,00188
0,00065
-1,17040
0,00219
0,00007
0,00716
-1,29441
0,00926
0,00716
0,00025
-1,29441
0,00926
0,00026
0,02136
-1,48620
0,03170
0,02137
0,00075
-1,48620
0,03171
0,00043
0,05374
-1,79550
0,09551
0,05392
0,00188
-1,79547
0,09585
-0,00187
Таблица 4.2
0,2
0,3
0,4
O.S
0,6
0,7
0,00095
-1,03305
0,00097
0,00097
0,00000
-1,03305
0,00100
-0,00000
0,00478
1,07756
0,00516
0,00515
0,00000
1,07756
0,00555
0,00002
Первое приближение
0,01513
-1,14649
0,01733
Второе приближение
0,01733
0,00008
-1,14644
0,01986
-0,00026
0,03694
-1,24479
0,04597
0,04605
0,00045
-1,24736
0,05730
-0,00207
0,07668
-1,39320
0,10558
0,10671
0,00197
-1,38893
0,14658
-0,01292
0,14250
-1,59478
0,21805
0,22750
0,00700
-1,56897
0,34295
-0,06713

Подставив в граничное условие D.4.8) на контуре Г0о (? = Хе'в) вместо
I, со'(?) и co'(f) их разложения в ряды Лорана и сравнивая коэф-
коэффициенты при е'6кв (к = 0, 1, 2,...), получим бесконечную систему
нелинейных алгебраических уравнений относительно C6fc+2,^6fc- Ниже при-
приводятся уравнения первого приближения
=Ъс,
D.4.15)
~ЪА
6,
где
,3X6/+12 (/ = 0,1) •
Результаты расчета на ЭВМ в первых двух приближениях даны в табл. 4.1,
в которой Mi =M0ID(\ -v). Положив в D.4.14) f=X<?'e, получим
уравнение оптимальной формы отверстия . Это уравнение в первом приб-
приближении имеет вид
/?2=;
где
cos 60),
D.4.16)
{is+ h
Постоянная Mt ранна
M. = —
V3
-Mo
D.4.18)
Для упругопластической пластины это соотношение представляет собой
условие разрешимости исходной задачи.
3. Пусть теперь имеется двоякопериодическая квадратная решетка с не-
неизвестными криволинейными отверстиями, имеющими центры в точках
fmn=mw, +п«2, т, п = 0,±1, ±2,.. ., a>i = 2, w2=2/.
Для получения решения следует повторить рассуждения предыдущего
пункта. Поэтому приведем готовое решение:
Мо + М* 7Г 1 - V
*(О = -— =- Ь*2- С4-4-19)
4D(l+v) 8 l+v
Функции Ф($)н со (f) определяются рядами D.4.9), D.4.10). При этом
До = 0» 04Л -А^к + г =- 0 ПРИ * = 0, 1,... Результаты расчета в первых двух
приближениях даны в табл. 4.2.
Постоянная М, равна
М, =- D{\ -*)
D.4.20)
Уравнение оптимальной формы отверстия в первом приближении имеет
вид
R2 =*2(d+dr cos 4 в), D.4.21)
208
dt =
с=1+^4Х4г01. D.4.22)
На рис. 4.2 и 4.3, соответственно для треугольной и квадратной решетки,
показано изменение искомого контура (четверти контура) отверстия по ме-
мере нарастания параметра X.
4. Рассмотрим [53] задачу об отыскании оптимальной формы отверстия
при поперечном изгибе двоякопериодической решетки, жестко зашемлен-
ной по краям отверстий. Предполагается, что пластина находится под дейст-
действием поперечной нагрузки, равномерно распределенной по ее поверхности
с постоянной интенсивностью^. Требуется найти форму отверстий решетки,
14. В.М. Мирсалимов
209

чтобы удельный тангенциальный изгибающий момент Mt, действующий
на этих контурах, был постоянной величиной, одинаковой на всех отверс-
отверстиях. Таким образом, на всех неизвестных контурах отверстий должны
выполняться граничные условия
+/
=0,
D.4.23)
Ъх Ъу
Mt =M, = const. D.4.24)
Усилия и моменты, возникающие в решетке, представим через потенциалы
Колосова—Мусхелишвили в следующем виде:
Мх+Му = -4A + v)\ 2q Re Ф(г) W'
bzbz
Му - Mx + 2Шху = 4A - z;) I q [z Ф '(z) + '
93w, 1
9z9z2J
D.4.25)
ЛГ» - iNy = -
Здесь Wi(x, у) — частное решение уравнения D.4.1). В случае q - const
частное решение-можно выбрать в виде
qz2z2
64D
D.4.26)
Граничные условия D.4.23), D.4.24) на неизвестных контурах отверстий
представим в виде
-A +у)<7 |~ +8 Re'
zz
32
Здесь
- e
2ia [z
+ Re F(z) = 2M,,
z) + *(z)l=0.
D.4.27)
D.4.28)
( z
= e2l0l(\ -v)q\— +4[гФ'(г)
18
а - угол между внешней нормалью к контуру и осью х, отсчитываемый
ОТ X К П.
Переходя с помощью аналитической функции z = а>(?) на параметри-
параметрическую плоскость f, будем иметь
ufttw(t)
32
D.4.29)
D.4.30)
210
где *($) =
+ w'(J) ф(J),
Искомые функции
^(f) и cj(f) ищем в виде рядов
2 <*2fc+2
fco
x2fc+2
BJfc+l)!
¦ 2.
к =0
BA + 1)!
где К8 П /(О*
а) Треугольная решетка. Удовлетворяя краевым условиям
D.4.29) и D.4.30) на контуре ? = ~Ке'в, условиям симметрии, а также ус-
условиям двоякопериодичности смещений, получим бесконечную систему
нелинейных алгебраических уравнений относительно abk, C6fc+2, A6k.
Уравнения первого приближения имеют вид
k2(ad +A6dtb) + 2та +A6m1b - р - Х= 0,
kiiqdi +dA6\l2r32)+ami +2mA6\12r32 - pl - Y=0,
k2(A6d +adx) + 2mA(> +aml -p2-Z = 0,
8(km
Г
-A +v)q\
+ 4A -
(kd
-0^)dT«
2A -v)q[FAbb+a(Fl +F2)] =
+mik)
= 0, 1,
+a6X6rOi2,
=a6b - —
6
0 2,
14*
211

я
s
г;
ю
н
э
о.
к
я
X
Л
О
о.
н
ижени
«5
иры
§
8-
о"
1
00
о
,07
о
1
00
,037
о
1
0919
о"
1
с—
с*
о
о"
1
с-
<ч
о
о
о
о"
1
Л)
ижени
<§
при
а
в
аз
,07
о
1
,042
о
1
0934
о.
о
1
с—
с*
о
о"
I
с-
о
о
о
о"
1
с-
о
,00
о
1
1
о"
1
о
о
о
X
н
э
ю
Си
bt
X
я
о.
н
я
а
ижени
«S
при
§
о.
о
о"
1
о*
1
00
,091
о
1
5391
о
о"
1
т
о
о"
1
§
о
о"
1
ижени
i§
при
a
аз
о
о'
I
1
о"
1
о
,085
о
I
6091
о
о"
1
8
о
о"
J
о
о
о"
1
о
с
о
8
о
о
000
о
0008
о
о"
о
о
о"
1
о
о
о"
I
о
I
о
о
о"
+ja6A6
1
Pi =
k=a2
-6а6д, p
2 2), it, =
=a$i\4 — — abl A6bx,
466,, /fc2=X2/32,
¦*[(-7;
, =X2^ac, +y
+ Pi+Y\,
Результаты расчета для функции co(f) в первых двух приближениях при
v = 0,3 приведены в табл. 4.3.
б) квадратная решетка. В этом случае уравнения первого
приближения имеют вид
к2 ifld + A$d\ b) + 2tva + тп\Аа,Ъ — p — D — 0,
k2(ad\ +j44c?X8r2 1)+am1 +2тЛ4Х8г2?1 —р\ —D\ =0,
k2(adi +cL44) ^ami + 2тЛ4 - p2 — ?J = 0,
+ 8(mk +
-A +^)^|-r(W + :
+ 4(l-v)
/ m, \1
lmki + —k
\ 2 / J
+ 4A -«^[^Fu+aCF! +F2)] =2\2Mtk1.
Здесь использованы обозначения:
д=1
= 1+Х8г
21,
/ 1 1 \
I — XV2 , ,
\ 5 ' 3 /
=a2
k=a
,4 25
+ Х16г2;1),
32
1
5
b, =4e4X8r2>, -
212
213

Pi =
l -4a4a, p2 =abx -
t + ad2X2
+A4y0
,0Х4>+4 + &г2/+1,аХ4'+в -4a4s2/+1>1X4''+6,
+ a4X4r0>1, ш, =a4b Ar0iIX4,
+—
/ = O,
= X2 *2f дс- — Л4с, +— Л4с2Х8г2>1 J+p+?> •
, = X2I k2( aci + —^4cX8r2>1j+p, +?
p2 +D2 I ;
c2 =
Кроме того,
К-}).
4тг
32тг2
Результаты расчета по определению отображающей функции co(f) для
случая квадратной решетки в первых двух приближениях при v = 0,3
также даны в табл. 4.3.
§ 5. Обратная двоякопериодическая задача термоупругости
1. Постановка задачи. При проектировании некоторых типов
тепловыделяющих элементов приходится проводить расчет температурных
напряжений в сплошной среде, пронизанной цилиндрическими каналами с
параллельными осями [45, 46]. Для предотвращения концентрации напря-
напряжений представляет интерес отыскание такой формы цилиндрических ка-
каналов, при которой нет каких-либо участков, благоприятствующих хруп-
хрупкому разрушению или возникновению пластических деформаций в отдель-
отдельных местах.
Рассмотрим [52] задачу об отыскании равнопрочной формы каналов при
условии, что по всему объему тела интенсивность тепловыделения равно-
214
мерна, тело может свободно расширяться и система находится в стационар-
стационарном состоянии, а теплосъем реализуется через поверхности каналов. Крите-
Критерием, определяющим равнопрочную форму канала, служит условие отсут-
отсутствия концентрации напряжений на поверхности канала или требование
зарождения пластической области сразу по всей поверхности канала. Счи-
Считается, что каналы расположены в вершинах двоякопериодической сетки,
максимальный температурный перепад в среде невелик, и свойства мате-
материала постоянны в пределах этого перепада.
Пусть имеется двоякопериодическая решетка с неизвестными криволи-
криволинейными отверстиями, имеющими центры в точках
Ртп =
+пш2,
= 0,±1,±2,. ..,
=2, ш2=21е!а,
Imco2>0.
Обозначим контур отверстия с центром в точке Ртп через Lmn,z. внешность
контуров Lmn через Dz.
На неизвестном контуре отверстия L тп граничные условия имеют вид
ЪТ h
— = -G-0-7),
Эй 5
D.5.1)
at = at = const, D.5.2)
где t и п — направление касательной и нормали к контуру тела, Т(х, у) -
температура в области Dz, То — температура охлаждающей среды, 5 —
коэффициент теплопроводности материала тела, h — коэффициент тепло-
теплоотдачи.
В случае упругого тела величина а. = const подлежит определению в про-
процессе решения. Для упругопластического материала соотношение at = at
представляет собой условие, накладываемое на развитие пластической зо-
зоны, т.е. сводится к требованию, что пластическая зона в момент зарождения
охватывала сразу весь контур отверстия, не проникая в глубь тела. В этом
случае а. — заданная величина. Температура Т(х, у) в области Dz является
решением уравнения теплопроводности
АТ(х, v) + — =0.
5
Термоупругие напряжения определяются по формулам A.4.5).
Перейдем на параметрическую плоскость комплексного переменного f
с помощью преобразования z = co(f). Аналитическая функция z = co(f)
осуществляет конформное отображение области Dz на область ?>? в
плоскости f, являющуюся внешностью окружностей Ттп радиуса X с цент-
центрами в точках Ртп. Обозначим
I = Ф MJ)], t(Г, ?) = Г[со(Г), соЯ)].
D.5.3)
215
Для температуры t($, f) в ?>j будем иметь
Г, {)=2ReF(f)-—-
45

Здесь F (f) — аналитическая в ?>j функция, удовлетворяющая на конту-
контуре Гтп нелинейному краевому условию
_<7
45
45
"(О I = 7 х '
J 5
С4-5 -
На основе равенств D.3.5) и граничных условий D.5.2), а также форму-
формулы D.5.3) для определения трех аналитических функций <р(?)> Ф($) и
(f) получим нелинейную краевую задачу на Гтп:
a,+p, D.5.5)
~ w({)w(O,
2. Решение краевой з ад ач и. Искомые функции F ($),
$)п со (О ищем в виде рядов
a0 + 2 a2fc+2-
fc = O
*2- —АГ.(
4
of
fc=O
D.5.6)
i2k+2~
1)!
где т(?) — эллиптическая функция Вейерштрасса, G(f) — специальная ме-
роморфная функция, КП=-Я7@*. ?.(?> = - /G(J)*-
Приведем зависимости, которым должны удовлетворять коэффициенты
представлений D.5.6). Из условия периодичности поля температур, напря-
напряжений, а также в силу самоуравновешенности задачи и периодичности глав-
главного вектора сил, действующих на дугу, соединяющую две конгруэнтные
точки в ?>j., следует:
S2OJ\ q СО1Ш2 —
, 0, = -
m 85 m
165
d =
64m
1 +X2E,
216
aE
¦)-
+X2E2
a2 J
- 2a0co2 -
/ 3
3, (*, - 7
3 _ _. 1
4
24
/ 3 _ _ 1 _ 1
3il k2 - — 52co2 +-52co2co2 - —"
V о 4 24
24
)"
aEan
В силу выполнения условий периодичности система граничных условий
D.5.4), D.5.5) на Ттп (т, п = 0, ± 1, ± 2, ... ) заменяется системой трех
функциональных уравнений для одного контура, например для конту-
контура Гоо- Для составления уравнений относительно остальных коэффициен-
коэффициентов функций F(f), i?(?)> ф(?) и w(f) разложим эти функции в ряды Ло-
Лорана в окрестности точки ? = 0. Подставив эти разложения в граничные ус-
условия D.5.4), D.5.5) на контуре ГОо (? =Хе|в) и сравнивая коэффициен-
коэффициенты при одинаковых степенях е'в, получим бесконечную систему нелиней-
нелинейных алгебраических уравнений относительно А2к, а2к, Ргк-, агк- Постоянная
а» определяется из соотношения
Г aE
8 tt0 aQ +
L 4
q"
—
32
aE
В Pi In X +
4
+ 2 rOjfcX
fc = l
2k+2
\a2k+2—-
'в
где В — коэффициент при нулевой степени е'в в разложении функции/-2 =
= co(f)a)(f). Отметим, что в случае, когда коэффициент теплоотдачи h
очень велик, условие D.5.1) можно заменить условием постоянства темпе-
температуры на кромках отверстий.
217

Таблица 4.4
0,1
0,29285'
0,00000
0,00001
0
0,29285
О
О
¦ 0,00001
О
О
О
0,3
0,4
Первое приближение
0,20293
0,00005
0,00027
0
0,20294
0,00005
0
0,00027
0
0
0
0,15379
0,00029
- 0,00197
0
Второе прибли»
0,15379
0,00028
0
- 0,00197
0
0
0
0,12136
0,00102
0,00914
0,00002
0,12137
0,00099
0,00001
0,00934
О
0,00002
О
0,5
0,09799
0,00302
- 0,03581
- 0,00013
0,09798
0,00322
0,00017
¦ 0,04176
¦ 0,00012
0,00015
О
0,6
0,08012
0,04048
0,63077
0,00287
0,08713
0,04156
0,00103
0,42301
0,00094
0,00298
0,00001
Таблица 4.5
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
А,
<**/я*
0,36788
0,00060
-0,00162
О
0,36788
0,00065
О
0,00178
О
О
О
0,26385
0,00239
0,00913
0
0,26385
0,00275
0,00003
0,01059
0
0,00001
0
Первое приближение
0,20714
0,00520
- 0,02537
- 0,00003
Вюрое приближение
0,20712
0,00620
0,00019
-0,03127
0
- 0,00009
0
0,17008
0,00850
- 0,05110
- 0,00010
0,16996
0,01047
0,00069
- 0,06726
0,00003
- 0,00032
0
0,14395
0,01145
0,08190
0,00024
0,14361
0,01385
0,00147
0,11344
0,00067
0,00083
0,00001
0,12527
0,01169
- 0,10057
- 0,00050
0,12480
0,01222
0,00109
-0,13352
0,00470
- 0,00148
0,00001

3. Анализ решения. В случае треугольной решетки (u>i = 2,
1 .
000=0,
4 а. ,
2тг о
\/3
Условия симметрии для треугольной решетки приводят к соотношениям
«6fc±2 =Рбк+2±2 =Л6к±2 =а6к±2 =0 при Л = 0, 1,. ..
Результаты расчета для функции oj(f) в первых двух приближениях при
р = 0 представлены в табл. 4.4.
Рис. 4.4
В первом приближении уравнение равнопрочного контура отверстия
имеет вид D.4.16).
В случае квадратной решетки (coi =2, w2 = 2/)
ft>o=0,
= 0,
*о)=^02Л2+^[
/2 , 4эт [
d =
5
12я
g2
я
-
4
Условия симметрии для квадратной решетки приводят к соотношениям
«4fc + 2 =04fc =^4fc + 2 =«4fc + 2 =0 При ? = 0,1,...
Результаты расчета для функции w(f) в первых двух приближениях при
р = 0 даны в табл. 4.5.
В первом приближении уравнение равнопрочного контура отверстия оп-
определяется формулой D.4.20).
На рис. 4.4 представлена равнопрочная форма отверстия для X = 0,6.
220
§ 6. Давление двух твердых тел на пластину
1. Постановка задачи. Рассмотрим [54] задачу о давлении
двух одинаковых жестких твердых тел на круговую пластину радиуса/?,
контур которой заделан. Уравнения поверхности твердых тел в зоне кон-
контакта соответственно имеют вид: z = А(х - II +Ву2, z -А{х + IJ +Ву2,
причем начальное соприкосновение будет иметь место в точках х = ± I, a
на каждое тело действует силар/2, направленная по оси симметрии.
Требуется определить форму и размеры площадки контакта, а также
смещения и напряжения в пластине.
Впервые задача о давлении одного твердого тела на пластину была ре-
решена Л.А. Галиным [35]. Позднее другим методом зта задача была
рассмотрена Г.П. Черепановым [36]. Следуя работе [32], примем такие
предположения: 1) толщина пластины мала по сравнению с размерами пло-
площадки контакта; 2) размеры площадки контакта малы по сравнению с
радиусом пластины; 3) размеры площадки контакта малы по сравнению с
величинами радиусов кривизны тела.
Напомним (см. § 4), что смещение пластины w, нормальное к ее по-
поверхности, удовлетворяет уравнению
DAAw=q(x,y). D.6.1)
Вне площадок контакта (q = 0) имеют место основные представления
92w d2w
* =4ReФ(z), z = x + iy,
D.6.2)
дх
ду2
dx'
by2
Ъх Ъу
— аналитические функции комплексного переменного
где Ф(г) и
z = x +iy.
На контуре площадки контакта Lj (j = 1,2), которая подлежит опре-
определению, имеем граничные условия
2 Re Ф(г) = - (А +В), гФ'(г) + *(z) = В - А. D.6.3)
Эти условия являются следствием непрерывности смещения, углов на-
наклона касательной у изогнутой поверхности пластины и величины изгибаю-
изгибающих моментов при переходе через границу контактной площадки.
На достаточном удалении от площадок контакта прогиб пластины опре-
определяется формулой (см. [43])
-\
D.6.4)
w =
la
r2=x2 +y2.
Асимптотическое соотношение D.6.4) имеет место при достаточно боль-
больших г, так как действие твердых тел в этом случае можно рассматривать
как действие сосредоточенных сил.
Введем функцию Ф *(z), определяемую равенством
Ф* (z) = *(z) + гФ'(г), D.6.5)
При больших z (z -+°°) аналитические функции Ф(г) и **(z) можно
221

представить в виде
а а
D.6.6)
*•(*) =
8uD
В формулах D.6.6) Ф0(г) и ^l{z) — аналитические функции, исчезаю-
исчезающие на бесконечности.
Следуя работе [47] и учитывая симметрию задачи, функции Ф0(г) и
^o(z) представим в виде
l(tl)dtl D.6.7)
f l(-tl
+ z
2т
+z
Функции Фо i (z) и ^oi(z) аналитичны всюду вне контура L-.
2. Решение краевой задачи. Перейдем на параметрическую
плоскость комплексного переменного f при помощи функции w(f):
D.6.8)
Аналитическая функция w(f) задает конформное отображение внеш-
внешности единичного круга плоскости f на внешность неизвестного контура L х
физической плоскости z.
Разлагая интегралы типа Коши в формулах D.6.7) в ряды по малому
параметру е = R/21 и ограничиваясь слагаемыми, содержащими е в степени
не выше четвертой, функции Ф0(г) и ^o(z) на параметрической плоскос-
плоскости f представим в виде
), D.6.9)
fc=2
где
А0=(е2
А1=-2е3а2+Зе*а3, А2=3е*а2.
Коэффициенты В,- (J = 0,2) аналогично определяются через Ьк (к = 2,3,4).
После подстановки соотношений D.6.6), D.6.8) и D.6.9) в D.6.3)
получаем на контуре I f I = 1 нелинейную краевую задачу для трех аналити-
аналитических функций (/>i(f), i//i(f) и сооШ-
Решая задачу Дирихле, найдем
*i($) = 0. D.6.10)
При этом должно выполняться соотношение
I 4irD 1 / I2 \\
R=aexp[ r(A+B)--\\- — Jj . D.6.11)
222
Из второго граничного условия получаем
..,« = ,.*!L + ?! + ?L, D.6.12)
D.6.13)
Постоянные ск и Ък определяются из следующей нелинейной алгебраи-
алгебраической системы:
-В— -т- i-u.r, =r_ л - Д„. D.6.14)
8irD
SirD
Р с3 =-Въ,
b2=c2Bt +Вг(с\ +с3) + -7 +с1[Во-(В-А)] +—- Bci -1),
+B(cl +2c
-(в
+3с2
8itD
3. Анализ решения. Алгебраическая система D.6.14) решается
методом малого параметра.
Приведем значения постоянных с^, определяющих границу контактной
площадки:
8irD
сю= (В-А), сц=
b20,
b2o ~
С14 ='
D.6.15)
24-nD
.].
с2 =
4
b20e .
Р ~ Р
В первом приближении, с точностью до порядка е2, граница контактной
площадки является эллипсом с полуосями т, п.
m=R(l +с10 +е2с12), и=ЯA -с10 -е2с12).
Так как на площадках контакта прогибы пластины будут равны
w = 8-A(x±lJ -By2, D.6.16)
где 5 — перемещение твердого тела, то на основании D.6.16) и D.6.1)
давления на площадках контакта равны нулю. Сила р уравновешивается
перерезывающими силами, действующими на границах контактных пло-
площадок.
223

§ 7. Контактная задача для пластины с трещиной,
усиленной ребрами жесткости
Известно, что приклепанные ребра жесткости способны служить серьез-
серьезными препятствиями на пути трещины, предотвращая тем самым катастро-
катастрофическое развитие трещины и разрушение конструкции. Укреплящие эле-
элементы уменьшают деформацию растягиваемой пластины в направлении,
перпендикулярном трещине, и в связи с этим снижается коэффициент
интенсивности напряжений в кончике трещины. Следует ожидать, что при
некотором соотношении физических и геометрических параметров пласти-
пластины, усиленной ребрами жесткости, будут возникать зоны сжимающих на-
напряжений, в которых берега трещины на некотором участке войдут в
контакт. Это приведет к появлению контактных напряжений на данном
участке берегов трещины.
Рассмотрим [55] упругую изотропную пластину с одной прямолинейной
трещиной длиною 21. К пластине приклепаны поперечные стрингеры в точ-
точках z = ± L ± iyQ.
Выбор системы декартовых координат и обозначения поясняются на
рис. 4.5. На бесконечности действует однородное растягивающее напря-
напряжение а у = а0.
Действие приклепанных подкреплящих ребер на схеме заменено четырь-
четырьмя сосредоточенными силами в местах расположения заклепок (рис. 4.5).
Под действием нагрузки а0 и сосредоточенных сил Р, подлежащих опреде-
определению в ходе решения задачи, в зоне сжимающих напряжений берега трещи-
трещины на некотором участке Xt <jc < Х2, где — / <Xt, X2 </, войдут в контакт,
что будет способствовать появлению контактных напряжений на данном
участке. Вне этого участка берега трещины будут свободны от контактных
t
1-
1-
1
1
1
t
-A
1
У
\
\
1
1
0
2L
\
\
A
\
\
I
\
\
\
v
\
p '
P
\
Рис. 4.5
напряжений. Параметры Xt, Х2, характеризующие границу области контак-
контакта между берегами трещины, должны быть определены в процессе решения
задачи. Следует отметить, что для рассматриваемой задачи можно заранее
ответить, что зона контакта между берегами трещины будет всегда на-
начинаться с концевых точек трещины, находящейся в области сжимающих
напряжений. Следовательно, один из параметров Xt или Х2 будет заранее
известен, а именно Х2 = -Xt = X.
Рассматриваемая задача состоит в определении контактных напряжений
на участках —/ <дс <—X и X <х </, величины силы Р, напряженно-деформи-
напряженно-деформированного состояния вне трещины. Краевые условия на берегах трещины
для рассматриваемой задачи имеют следующий вид:
на участке контакта, т.е. при у = О, X < | х | < I,
о*(х, 0) = а-(х, 0), v+(x,0) = v-(x,0) = 0; D.7.1)
на неконтактирующих участках берегов трещины
а;<*,0) = а;(х,0)=0. D.7.2)
Здесь о+(х,0) = оу(х,Щ, <j-(x,0) = oy(x,-0),
»*(*, 0) = v(x, ± 0).
Кроме того, считается, что касательные напряжения на берегах трещины
подчиняются закону Кулона
т^у(х,0) = ра;(х,0) при |х|</, D.7.3)
где р - коэффициент трения.
В рассматриваемой задаче внешние нагрузки симметричны относитель-
относительно плоскости расположения трещин, и поэтому тху (х, 0) = 0. Тогда р = 0.
Для определения функций Ф(г) и S2(z) имеем задачу линейного сопря-
сопряжения (см. Приложение, § 2)
[Ф(х) + П(х)]+ + [Ф(*) + П(х)Г = 2р(х), D.7.4)
[Ф(х) - п(х)]+ - [Ф(х) - П(х)Г= 0, D.7.5)
где — / < х < / — аффикс точек контура трещины,"
{Оу (х, 0) на участке контура X < | х | < /,
0 на неконтактирующих участках берегов трещины,
Решение краевой задачи D.7.4), D.7.5) ищем в виде
Фо(г) =_
2тгA
к = 1
Z -
*o(z)
224
2тгA+к)А
IS. B.M. Мирсалимов
D.7.7)
225

4 1
X Б (Xk-iYk)
к = 1 Z - Zfc
1
Б
K)h k= \ (z - 2fcJ
Здесь h - толщина пластины, (Xk, Yk) - сосредоточенные силы, приложен-
приложенные в точках zk, потенциалы Фо(г) и ?lo(z) описывают напряженно-де-
напряженно-деформированное состояние сплошного тела под действием четырех сосредо-
сосредоточенных сил Р. Комплексные потенциалы Ф1 (z) и fi t (z) должны быть
определены из краевых условий D.7.4), D.7.5). Для нахождения функций
Ф] (z) и 12х (z) представим краевые условия D.7.4), D.7.5) в виде
= 2p(x) + 2q(x), D.7.8)
= 0, D.7.9)
где
2q(x) = -
,0()
Так как при больших | г | функция
а„/4, П, (z)
D.7.10)
Ф1(г)-П1(г) = -- ст0,
то общее решение краевой задачи D.7.9) будет
Ф^-Л^г) = -Йа0.
Общее решение краевой задачи D.7.8), ограниченное на бесконечности,
будет
1 ' V'2 - /2 g(t)dt
D.7.11)
/l2 -' t-z y/z2-l2
где /'(z) = cQz + ci, а под функцией (z2 —I2)~ll2 подразумевается ветвь,
имеющая при больших | z | вид
Окончательно имеем
2ms/z*-l2 -i
P(z)
+ — Сто-
D.7.12)
D.7.13)
226
Для определения коэффициентов с0 и ct необходимо функцию D.7.12)
разложить в ряд по степеням z в окрестности точки | z | = °° и сопоста-
сопоставить это разложение с выражением
В результате получим
с0 = Сто/2, сх = 0.
Для окончательного определения потенциалов Ф(г) и ?2(z) необходимо
еще найти контактные напряжения ву (х) на участке контакта между
кромками трещины, т.е. при X < |х | </, а "также величину сосредоточен-
сосредоточенных сил Р, входящих в формулы для q (х), Ф0(г) и!20(г)-
Для определения функции Оу (х) рассмотрим формулу
Эй Эи \
— + i — )= к
D.7.14)
и сопряженную с ней формулу. На основании этих двух формул, осущест-
осуществляя предельный переход на контур трещины при .у ->± 0, получим следую-
следующее краевое соотношение:
4м/1 — - 1 = к [Ф+(х) - ф-(х) + Ф\х) - Ф'(х)] +
\дх Ъх I
+ [?Г(х) - п~(х) + й+(х) ~й-(х)]. D.7.15)
Функции ?1+(х) и ?2"(х) по соотношениям D.7.10) —D.7.11) выражают-
выражаются .через Ф+ (х) и Ф~(х). Для установления связи между функциями
Ф+(х), Ф'(х), U* (х), й~(х) и Ф+(х), Ф~(х) с помощью формулы A.1.9)
и граничных условий D.7.1) при z -*¦ х ± 0 составим следующие краевые
задачи:
[Ф(х) + Ф(х) -Щх)- й(х)]+ - [Ф(х) + Ф(х) -П(х)- Щх)]- = 0, D.7.16)
[Ф(х) - Ф(х) + Щх) - й(х)]+ + [Ф(х) - Ф>) + П(х) - й(х)]- = 0. D.7.17)
Решая задачу сопряжения D.7.16) с учетом формул D.7.6), D.7.7) найдем
Ф1B)+Ф1B)-П1B)-Й1B)= -СТ0. D.7.18)
Решение краевой задачи D.7.17), ограниченное на бесконечности, име-
имеет вид
Лог +
D.7.19)
Фг(г)-
Для определения коэффициентов Ао и^, необходимо функции Ф1 (z),
Ф^г), S2t(z) и fii (z) разложить в ряд по степеням z в окрестности
точки | z | = °° и сопоставить это разложение с выражением
227

В результате получим
Ао=0, Аг=0.
Складывая и вычитая полученные соотношения D.7.18), D.7.19), найдем
2Ф,B)-2П,B) = -а0, 2$,(z)-2n,(z) = -а0.
Отсюда имеем
ft(z) = П,(г) - ?~, Й,(г) = Ф,(г) + — . D.7.20)
По формулам D.7.20) можно определить граничные значения функций
^x(z~) и ?2i(z) на контуре трещины. Теперь, если граничные значения
Фх(г) и ?2i(z) подставить в краевое условие D.7.15) и учесть, что
Ф+(х) - Ф"(я) = П+(*) - П "(*) = Ф?(*) - *Г(*).
то в результате некоторых преобразований получим
/ Эи+ Эй" \
2щу— - — j = (к + 1) [ФГ(х) - ФГ(х)] .
Используя формулы Сохоцкого - Племеля [3] и учитывая соотноше-
соотношения D.7.12), найдем
1
A.7.22)
Полученное выражение D.7.22) подставим в уравнение D.7.21) и учиты-
учитывая, что на участке контакта между берегами трещины
Эи+ _ Эи~
- — - 0,
D.7.21)
получим для определения неизвестных контактных напряжений
р(х)= а;(х,0)
следующее сингулярное интегральное уравнение:
1 г - • /1
t-X
Так как
\ Vg^PW. dt -
-I Г-х
то сингулярное интегральное уравнение примет вид
D.7.23)
Займемся теперь вычислением интеграла
я -г Г- х
где
15 -к
1 -к
У\
*-?J 1
+ (x-LJ J
Г 15 -к 1~к (x+LJ I
I 8 ~ 4 7o+(x+/:JJ"
D.7.24)
яА[у2+(*+?J] L 8
Для вычисления интеграла используем теорию вычетов; тогда
/= -2 <7„(х), |х| </.
л = 1
Здесь Gi(z),G2(z), G3 (z) и G4 (z) - главные части функцииy/z2 — l2q(z)
в ее полюсах, т.е. в точках zx, z2, z$, z4 соответственно. Имеем:
1 -к
- G
2nh
G2(z) =
>(z-z,) J'
27o(z-z,) 16(z-z,J 16(z2-/2)
—7 Г ' _ 7-k _ G-k)z2 1
L27o(z-z2) 16(z-z2J 16(zf-/2)(z-z2) J'
1 -K
G
z3) 16(z-z3J 16(z|-
G-«)z4
2nh
16(z-z4J 16(z|-/2)(z-z4)
где
= L + iy0,
=L -iy0, z3 = -L + (y0, z4 = -L - iy0.
Условие ограниченности контактных напряжений при х = X служит для
определения неизвестного параметра \. Для решения сингулярного ин-
интегрального уравнения D.7.23) необходимо найти величину сосредоточен-
сосредоточенных сил Р. Согласно закону Гука величина сосредоточенной силы Р, дейст-
действующей на каждую заклепку со стороны ребра жесткости, равна
2у0
Д».
228
D.7.25)
229

Здесь Es - модуль Юнга-материала ребра жесткости^ — площадь попереч-
поперечного сечения ребра, 2уо — расстояние между заклепками, Av — взаимное
смещение заклепок, равное удлинению ребра. Обозначим через г радиус
заклепки. Примем естественное допущение о том, что взаимное упругое
смещение точек z = +L + i(y0 — г) и z = +L — i(yQ — г) в рассматриваемой
задаче теории упругости равно указанному взаимному смещению закле-
заклепок Av. Это дополнительное условие совместности позволяет эффектив-
эффективно найти решение поставленной выше задачи. Используя соотношения
A.1.9), D.7.6), D.7.12) и D.7.13), как и в § 2 гл. 2, найдем, что
Аи = 2
Ai>i =
D.7.26)
r2DL2 + r2)
1 1
S
о
Г2 fy/p-t2f2{t,l)q(t)dt.
Здесь
fl{t'1) =
4L2Oo-02. В = L2 -Q0-rJ -,
D2cos2<p + (Z) sin <p - yfl2^!2J
D2cos2vj + (D sin <p + V/2 - f2J '
L (d cos tp — dt sin (/>) + (jo — r) (c? sin <p — с
1 rfl
ip = — arctg — t d^- 2L(yQ ~r),
2 В
D = у/А, d = t2 -L2 +(yo-rJ.
Искомая сила Р определяется по формулам D.7.25) и D.7.26)
•o0EsF (I 1 + к
Р = ? {— C - к) (у0 - г) +
Оо - 2) , . I
/А-В -
Здесь
D-7-27)
к In
r2DL2 +r2)
4ядуоA + к)* I (T-2yoJ[4L2 +Bуо-гJ]
32y0L2(y0-r)
— [ ffiV, l)f(t)dt - 40о - г) /V/^fVafr 0/@*1.
о^ о о
Ъ =
где функция /(г) определяется соотношением
Р
D.7.28)
Итак, полученное соотношение D.7.27) и сингулярное интегральное урав-
уравнение D.7.23) должны решаться совместно.
dt
-—B(x)fK(t)P(t)dt =
2п д.
2\/2"
[Ly/A+B + Оо -г)у/А
D.7.29)
Здесь
-a+b) '
40 = /i(f. 0 - 4(y0 - r)y/l2 -t2f2(t, I),
D.7.30)
Интегральное уравнение D.7.29) может быть представлено в каноническом
виде
g(t)dt 1 1
7 У
D.7.31)
При этом, поскольку нас интересует решение, ограниченное на концах,
то оно существует при дополнительном условии [3]
1 K(t,x) I f(x)dx
D.7.32)
Преобразуем уравнения D.7.29), D.7.30) к виду, более удобному для на-
231
230

хождения его приближенного решения. Для этого сделаем замену пере-
переменных
Х + / /-Х Х + /
t =
т,
/-X
2
D.7.33)
При этом отрезок интегрирования [X, /] переходит в отрезок [—1, 1],
а преобразованное уравнение D.7.29) принимает форму
1 / /_лч ' -К2 ~
я VT
2я V 2 / -1
f
= ао/о(т?).
D.7.34)
Для простоты записи полагаем g(r) = p (t), /0 (т?) = /0 (х), Bt G7) = В (х).
Представим решение в виде
g(T) = Vl-r2*o(r). D.7.35)
Здесь go(r) непрерывна по Гельдеру на [—1, 1], причем функция
go (т) заменяется интерполяционным полиномом, построенным по чебы-
шевским узлам. С помощью квадратурных формул Гаусса будем иметь
1 1 у/р~?
я -г t2-x2
М 1
Я/71 v'2 — {т
sin2 "
D.7.36)
, ! ( М 1 ,
- / Kt(T)>/l-i*go(T)dT = Г sin
Я -1
Тт = COS
я/я
М+1
1
m = 1,2,... ,M,
1
Y mt 1 М+1
sin
f(jm)
- - (^+1) D-т?2)'
Формулы D.7.36) позволяют заменить интегральное уравнение D.7.34)
системой М+1 алгебраических уравнений относительно приближенных
значений ?0 (Тт) искомой функции в узловых точках. В результате после
некоторых преобразований получим следующую алгебраическую систему:
2 <4,«А =/г°. г = 1,2,...,М+1, D.7.37)
т = 1
где gm=go(Tm)IOo>
1 urn Г /. - А. V/2 - 4
^rm = SU12 — — -
M+l M + U 2 tjn-x2
232
X sin^
(M-
X sin ^
2(M+l)m=i (M+l) (г2,-!?2)
2r-l
= cos
C =
ir, г = 1,2,...,М+1,
_ E,F
2A -д+й)
yohE
a =
«In
2яA+к) I (е,-:
326F-6.) ]
Bе-е,J] )
1
Be-e,J]
— sin
я/я
М+1
sin
я/я
M+l m=l M +
']}¦
ZJcos2(/> + (Z)sin(/) + /ф у/\ -тт J
(cfф cos</> + di sinip) + (е - е.) (d, simp ¦
/.-А.
Tm = COS
rnn
M+l
m= 1,2 M,
+ тт,
IS-к 7-k (/.rw - IJ
= e* Г IS-к 7-k (/.rw
/(Tm)= тг[е2 +(/.rm - IJ] I
s
4 e2 +(/.rm - IJ
e Г IS-к 7-k (/.rw + lJ 1
тг[е2 + (/.rM + IJ ] I 8 4 e2 + (/.rm + IJ J '
1+K
233

/. = l/L, X, = X/L, e=yo/L, e, = r/L,
D2 cos2 y + (D sin у- y/ll - t2m f
D2 cos2 # + (D sin^ + V* - f« J
iriip) + (e — e,) (c?sin^> - J, с
Me c,)v7; /;„
D(d2 + d2)
+4(e e,J =D2, d = t2n - 1 + (e - eiJ, </, =2F-6,),
-arctg-^--
2 д
5=1 -(e-e,J -/2,
Суммируя M + 1 уравнений D.7.37), можно убедиться, что получим
0,4
0,6
0,8
1,0
1.2
Таблица 4.6
1,5 2,0
\, 0,1576 0,2363 0,3146 0,4105 0,4923 0,6067 0,8020
равенство, которое точно соответствует дополнительному условию D.7.32),
записанному с помощью квадратурной формулы Гаусса. Полученная ал-
алгебраическая система из М + 1 уравнения, служащая для определения не-
неизвестных g\, g° #Jf и А,, обеспечивает удовлетворение дополни-
дополнительного условия. Из-за неизвестного параметра X, система D.7.37)
является нелинейной, и ее решение наталкивается на большие математи-
математические трудности. В связи с этим для решения системы D.7.37) исполь-
использовался метод последовательных приближений, суть которого состоит в
следующем.
Решаем систему D.7.37), состоящую из первых М уравнений при неко-
некотором определенном значении X, (например, при X, = / ,/2) относительно М
неизвестных g?, g°,..., g°f. Неизвестные g°i,g°, ¦ ¦ ¦ ,g^ входят в систему
линейным образом. Это обстоятельство оправдывает использование изла-
излагаемого ниже способа.
Значение X, и найденные величины ??, ?2,..., g^ подставляются
в М + 1 уравнение системы D.7.37), другими словами, подставляются в
неиспользованное уравнение системы D.7.37). Взятое значение параметра
X, и соответствующие ему значения ??, ??. • • ¦ > S& не будут, вообще
говоря, удовлетворять М + 1 уравнению системы D.7.37). Поэтому, под-
подбирая значения параметра Х„ будем многократно повторять вычисления
до тех пор, пока последнее уравнение системы D.7.37) не будет удовлет-
удовлетворяться с заданной точностью.
Для определения значения параметра X в зависимости от геометри-
геометрических параметров задачи при v = 0,3, е1 = r\L = 0,01, Е = Es, F/yoh = 1
были выполнены расчеты на ЭВМ.
Выше в табл. 4.6 приводятся значения параметра Х,= X/L в зависимости
от длины трещины I, = 1/L при e=yo/L = 0,2.
234
ПРИЛОЖЕНИЕ
Многие задачи механики сплошных сред, в частности теории упругости
и пластичности, могут быть весьма просто и эффективно решены путем
приведения их к краевой задаче теории аналитических функций, обычно
называемой задачей Римана или задачей сопряжения. Хорошей иллюстра-
иллюстрацией этого является материал, изложенный в основном тексте книги.
Для удобства чтения книги напомним некоторые сведения, относящиеся
к краевым задачам теории аналитических функций. Подробное изложение
теории краевых задач аналитических функций имеется в классических
монографиях НЛ. Мусхелишвили [1] и Ф.Д. Гахова [2]. Там же можно
найти библиографию по этому вопросу.
§ 1. Линейная краевая задача Римана
Обозначим через L контур, образованный совокупностью конечного
числа непересекающихся разомкнутых гладких контуров Lk (к = 1, 2,...
..., р) плоскости комплексного переменного z. Будем считать, что на
каждой дуге или контуре, входящих в L, выбрано определенное положи-
положительное направление. Разомкнутые дуги будем обозначать через а^Ь^
(к = 1, 2,...), выбирая обозначения так, чтобы положительное направле-
направление вело от flfc к ftfc. Функцию F(z) называют кусочно-аналитической,
если она удовлетворяет следующим условиям:
а) функция F(z) аналитична в плоскости комплексного переменного z,
разрезанной вдоль L;
б) функция F' (z) непрерывно продолжима на L слева и справа, за
исключением конечного числа точек Ci,c2, ¦ ¦ ¦, сп линии L;
в) в окрестности концов точек ск (к = 1, 2,. .., и) имеет место не-
неравенство
|F(z)|< , (П.1.1)
\z-ck\x
где А и X — положительные постоянные, причем X < 1. .
Линейной краевой задачей Римана называют следующую задачу: найти
кусочно-аналитическую функцию F(z), удовлетворяющую вдоль конту-
контура L условию
F*(t) = G(t)F-{t)+g(t) на L, (П.1.2)
где G(t) ng(t) — заданные на L функции; при 3tomG(?) Ф 0 всюду на L,
F + (t) и F~(t) — граничные значения на L искомой функции F(z) соот-
соответственно слева и справа.
235

Предположим, что функции G(t) и g(t) удовлетворяют условию Гель-
дера на L, кроме конечного числа точек разрыва первого рода. Говорят,
что функция ip(t) удовлетворяет на кривой условию Гельдера, если для
любых двух точек t2,11 этой кривой имеет место неравенство
\4>(h)-v(t1)\<B\t2 -Ыа,
где В, а — положительные числа, причем а < 1.
Простой случай задачи (П.1.2) получается прл G(t) = 1. В этом случае
задача сводится к определению кусочно-аналитической функции F(z)
по заданному скачку g(t) на L:
F+(t)-F-(t) = g(t) на L. (П.1.3)
Решение задачи (П.1.3) на основании формул Сохоцкого—Племеля
- -g(t)
2
2-ni l
1
J
T- t
dr,
f dr.
2-ni l т -t
выражающих граничные значения интеграла
1 g(t)
F(z) = — / dt,
2-ni l t - z
(П.1.4)
(П.1.5)
в предположении, что искомая функция F{z) кусочно-аналитическая
всюду, кроме бесконечно удаленной точки, где она может иметь полюс
порядка не выше т, имеет следующий вид:
F(z) =
2ui l t — z
Pm(z).
.1.6)
Здесь на основании теоремы Ж. Лиувилля (согласно которой функция
Fo (z) аналитическая на всей плоскости комплексного переменного, за
исключением бесконечно удаленной точки, где она имеет полюс порядка
не выше т, есть полином степени т) Pm(z) - произвольный полином
степени не выше т
Переходим к решению задачи (П.1.2). Ограничимся случаем, когда
функция G(t) в граничном условии (П.1.2) является кусочно-постоянной.
Вначале найдем решение для соответствующей однородной задачи
F*(f) = G(t)F-(t) на L. (П.1.8)
Для построения решения поступим следующим образом: разобьем
контур L точками разрыва ct функции G(t) на конечное число участков
Llt L2,..., Lk Lp. На каждом из этих участков Lk функция G(t)
остается постоянной (G(t) = Gk = const). Предварительно найдем решение
для соответствующей однородной задачи (П.1.8) в предположении, что
граничная линия состоит лишь из дуг Lk, т.е. все контуры, составляющие L,
кроме одного контура Lk, отброшены. Будем считать, что контур Lk co-
236
стоит из п простых разомкнутых гладких дуг (обозначим их по-прежнему
через djbj).
Частное решение Хк (z) вспомогательной задачи ищем в виде
Xk(z)= П (z - a)~7k(z - Ь)Ук~1, (П.1.9)
где ук = ак + фк — постоянная.
Функция Xk(z) аналитична на плоскости комплексного переменного z,
разрезанной вдоль Lk, если под функцией подразумевать определенную
ветвь. Будем считать, что
lirn^ [z"Xk(z)] = 1.
Нетрудно убедиться, что имеет место равенство
(П.1.10)
Следовательно, если е2п Ук = Gk, то Xk(z) будет удовлетворять условию
(П.1.8). Таким образом,
^.-/J^I^ii. (П.1.Ц)
2тп 2-п 2я
Здесь вк обозначает аргумент постоянной Gk.
Частное решение Xk(z) принято называть каноническим.
Контуры Lt, L2,..., Lk,..., Lp, на которые мы разбили линию L,
имеют концы си с2,..., ct, попарно совпадающие. Можно подобрать
целые числа X i, А2,..., X/ так, чтобы функция
X{z) = {z-cr)Xl(z-c2)Kl . . .(z - c,)X'Ari(z) • X2(z) ¦ ¦ ¦ Xp(z) (П.1.12)
была каноническим решением.
Покажем, как производится подбор целых чисел Xt, Х2,... , X/. Выби-
Выбираем некоторую точку alt являющуюся концом линии L, за начальную и
определяем в ней arg G(^1 + 0). Будем перемещать точку t, начиная с по-
положения at, в положительном направлении, пока не дойдем до первой точ-
точки разрыва ct; при этом будет вполне определено значение arg G(ct - 0).
Величина arg G(ct + 0) определяется согласно следующему правилу:
1
К Ul= — arg
2я
- 0)
0)
< 0,
если ищутся решения, неограниченные в точке ct, и
1
0< <*i = — arg
2я
G(cx - 0)
0)
< 1,
(П.1.13)
(П.1.14)
если ищутся решения, ограниченные в этой точке.
Аналогично поступаем во всех остальных точках разрыва первого рода.
Целые числа X t, Х2,..., Х^,..., X/ определяем такими, что
-\<ак+\к< 0 (П.1.15)
237

или
0< ак +\к< 1
в зависимости от допустимого класса решений.
Так как X(z) есть решение задачи (П.1.8), то можно записать
X+(t) = G(t)X-(t) ни L,
откуда
(П.1.16)
(П.1.17)
G(t)=
X (t)
на L.
(П.1.18)
Учитывая (П.1.18), граничное условие (П.1.8) можно записать так:
F\t) F-(t)
X\t) X-{t)
на L.
(П.1.19)
Из соотношения (П.1.19) следует, что функция F,(z) = F(z)/X(z) анали-
тична на всей плоскости, кроме бесконечно удаленной точки, где она имеет
полюс.
На основании теоремы Ж. Лиувилля Ft(z) - полином. Таким образом,
общее решение однородной задачи (П.1.8) имеет следующий вид:
F(z) = X(z)P{z), (П.1.20)
где P(z) — произвольный полином.
С учетом (П.1.18) граничное условие (П.1.2) запишем в виде
F\t) F-{t) g{t)
X\t) X'{t) X+(t)
на _.
(П.1.21)
Если ввести обозначения Ft(z) = F{z)jX{z), gt(t) = g{t)jX* (г), то по-
последнее граничное условие можно переписать так:
Применяя теперь сказанное о задаче (П.1.3), получаем
X(z) g
(П.1.22)
(П.1.23)
I X\t) (t-z)
где Р (z) — произвольный полином.
При к - — _Xfc < 0 для существования решения F(°°) = 0 должны
выполняться условия разрешимости
(П.1.24)
и, кроме того, следует считать Р (z) = 0.
238
§ 2. Формулы Шварца и Гильберта.
Сведение граничной задачи Гильберта к линейной задаче Римана.
Обращение интеграла типа Коши
1. Формулы Шварца и Гильберта. Рассмотрим функцию
^(z) = и(х, у) + iv(x, у), аналитическую в единичном круге плоскости
комплексного переменного z = х + iy.
Интеграл [3, 4]
= — f "О)
2
da + iC
(П.2.1)
— Z
позволяет выразить аналитическую в единичном круге функцию </>(z)
через значения ее реальной части и{а), заданные на окружности с точ-
точностью до постоянного мнимого слагаемого.
Соотношение (П.2.1) называют формулой Шварца, а выражение
(eia + z)l(e'a - z) - ядром Шварца.
Если в (П.2.1) положить z = 0 и вспомнить теорему о среднем, то най-
найдем, что ДО) = м@) + iC; следовательно, постоянную С можно принять
равной
1 *
С=и@, 0)= — / v(a)da.
2п -п
(П.2.2)
Между ядрами Шварца и Коши имеется простая связь. Обозначим че-
через t аффикс точки окружности (t = eia). Тогда можно записать:
+ z 2 dt
da= —
-z i t-z
-da.
Учитывая (П.2.3), найдем
1 *•
2я -я
и (а)
eia +z
-do =
(П.2.3)
2и(о) 1 ?
/ —— Л / u(a)da. (П.2.4)
t - z
2iT -rr
Применяя формулы Сохоцкого—Племеля (П.1.4) ю нвсдеднему выраже-
выражению, получим
1 2и(а) 1 *•
2-ni ь
т - t0 2u -
Теперь,используя (П.2.4), выражение (П.2.5) запишем так:
1
C. (П.2.5)
/ и (а)
eia +eis
2я/ -7Г
Учитывая равенство
+е
eia - eis
da + C.
1 a -s
= -ctg -—
I 2
(П.2.6)
239

выражение (П.2.6) можно привести к виду
1 я а - s
и(х) = / «(a)ctg da + C.
2тг -я 2
(П.2.7)
Соотношение (П.2.7) позволяет выразить граничное значение мнимой
части аналитической функции через реальную.
Рассмотрим функцию -if(z) = v - iu. Применяя к ней формулу (П.2.7),
найдем
u(s) = / v(a)ctg da + u@). (П.2.8)
2эт -я 2
Формулы (П.2.7) и (П.2.8) называют формулами обращения Гильберта,
а - s
а выражение ctg — ядром Гильберта.
2. Сведение гранич-ной задачи Гильберта к ли-
линейной задаче Римана. Пусть D* - конечная или бесконечная
область плоскости комплексного переменного, ограниченная одним непе-
непересекающимся гладким замкнутым контуром L. Граничной задачей Гиль-
Гильберта называют следующую задачу: найти аналитическую в D*, непре-
непрерывно продолжимую на L функцию <p(z) = и + iv по граничному условию
a(t)u(t) + b(t)v(t) = c(t) на L, (П.2.9)
где a(t), b(t), c(t) — заданные на L действительные непрерывные функ-
функции.
Будем считать в дальнейшем, что контур L есть прямая или окруж-
окружность.
В линейной задаче Римана отыскивается кусочно-аналитическая функ-
функция, определенная во всей плоскости, в то время как в задаче Гильбер-
Гильберта требуется найти аналитическую функцию в области D*. Поэтому для
сведения задачи Гильберта к линейной задаче Римана необходимо дооп-
доопределить искомую в D* функцию <p(z) функцией <pt(z) в области D~
так, чтобы получить кусочно-аналитическую функцию, определенную во
всей плоскости.
Граничное условие (П.2.9) можно, очевидно, записать так:
где а = a(t), b = b(t), с =c(t) — заданные непрерывные действительные
функции точки t на L, удовлетворяющие условию Гельдера.
а) Пусть D* - круг \z \ < 1, a L - единичная окружность. Доопределим
искомую в D* функцию ?>(z) функцией v>,(z) , считая, что в точках, сим-
симметричных относительно контура, функции принимают сопряженные
значения
/ 1 \ _/ ]Д
= ?>(-. (П.2.11)
\ Z /
Функции <fi(z) и ?>,(z) можно рассматривать как одну кусочно-анали-
кусочно-аналитическую функцию. Учитывая, что для точек окружности — = t, по
240 Г
формуле (П.2.11) найдем
*, @ = /(О-
(П.2.12)
Выражение (П.2.12) позволяет граничное условие (П.2.10) записать в виде
краевого условия задачи Римана
на L,
(П.2.13)
где
G(t) = -
a(t)-ib(t) '
2c(f)
a(t)-ib(t)
Таким образом, граничная задача Гильберта свелась к линейной задаче
Римана. Следовательно, решение задачи Римана дает решение задачи Гиль-
Гильберта при условии, что для любого z, не лежащего на контуре L, выпол-
выполняется равенство (П.2.11).
б) Пусть D* vi D~ обозначают соответственно верхнюю и нижнюю полу-
полуплоскости, а контур L — действительная ось. Доопределим искомую в D*
функцию у (z ) функцией у ,(z ) , считая, что в точках, симметричных отно-
относительно контура, функции принимают сопряженные значения
w(z) = v( z ) = v(z)- (П.2.14)
Учитывая, что для точек действительной оси t = t, по формуле (П.2.14)
найдем
?>"(О = /О)- (П2.15)
Граничное условие (П2.10) и в этом случае можно записать в виде краево-
краевого условия задачи Римана (П.2.13) .
в) Рассмотрим задачу Дирихле, т.е. задачу об определении функции гар-
гармонической вй*и непрерывной в D* + L по граничному условию
и = f(t) на L. (П.2.16)
Задача Дирихле получается как частный случай граничной задачи Гильберта
при «@ = 1, b(t)=O, c(t)=f(t).
3.Обращение интеграла типа Кош и. Рассмотрим сле-
следующее интегральное уравнение:
Т- t
dr = f(t), a < t
(П.2.17)
где /(г) — заданная, а
Рассмотрим функцию
—искомая функция.
*(*) =
1
2ni a т-z
16. В.М. Ми реал и мов
(П.2.18)
241

удовлетворяющую условию Ф(<») = 0. В силу формул Сохоцкого—Племе-
ля (П.1.4) для функции Ф(г) найдем
(П.2.19)
¦dt.
Я/ а Т - t
Итак, интегральное уравнение эквивалентно следующей линейной задаче
Римана:
Ф*(О + Ф"(О = /(О, а < t <Ь. (П.2.20)
Ищем решение задачи (П.2.20) в классе всюду ограниченных функций.
В качестве частного решения соответствующей однородной задачи (П.2.20)
возьмем функцию X(t) = \/ (t — a)(t - b) . При этом будет иметь место
равенство
X\t) = -X'{t) на а < t < b,
(П.2.21)
X\t) = X'(t) на -oc<f<a, ft<f<oc.
Соответствующая однородная задача с учетом (П.2.21) примет вид
( — = 0, -оо < t < °°. (П.2.22)
X*(t) X'(t)
Решение задачи (П.2.22), исчезающее на бесконечности, равно нулю.
Граничное условие (П.2.20) можно записать так:
Ф + (О Ф"(О /(О
x*(t)
X\t)
на —с
(П.2.23)
Искомое решение задачи (П.2.20) запишется так:
y/(t-g)(t-b)
/
2я/ а у/(т-а)(т-Ь)
При этом должно выполняться условие
(П.2.24)
(П.2.25)
После нахождения Ф(О искомая функция <?>(?) найдется по первой фор-
формуле (П.2.19)
= — V (t - a)(t -b) f
f(T)dT
(П2.26)
Подробное изложение рассматриваемой задачи обращения в общем слу-
случае содержится в монографии Н.И.Мусхелишвили [1].
242
§ 3. Численный метод решения
сингулярного интегрального уравнения первого рода
Обычный метод решения сингулярного интегрального уравнения состоит
в регуляризации по Карлеману—Векуа и в последующем численном реше-
решении полученного интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Такой
подход очень трудоемок. В последнее время при решении задач, представ-
представляющих интерес для приложений, наибольшее распространение получили
прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений, которые,
минуя регуляризацию, приводят к решению конечных систем алгеб-
алгебраических уравнений. Среди этих методов можно отметить метод
Мультоппа—Каландия [5], основанный на определенных формулах для
интерполяционного полинома и квадратурных формулах для сингулярного
интеграла.
Рассмотрим сингулярное уравнение вида
-1
t-x
1
fk(x,t)g(t)dt=2np(.x), \х\<1,
где ядро к(х, Г) и свободный член р(х) — заданные на отрезке [—1,1] не-
непрерывные функции своих аргументов.
Уравнение часто встречается в задачах механики сплошных сред
(см. М.А.Лаврентьев [6]. НЛ.Мусхелишвили [1], АЛ.Каландия [7],
АД.Панченков [8], В.В.Панасюк, МЛ.Саврук и АЛ.Дацыщин [9], а так-
также гл. 1—4 настоящей книги). Вопросы приближенного решения сингу-
сингулярного уравнения (П.3.1) исследовались многими авторами (см. В Б.Ива-
Б.Иванов [10], а также обзор БТ.Габдулхаева, ПЛ.Душкова [11]).
Следуя работе [5], изложим способ приближенного решения уравне-
уравнения (П.3.1).
а) Решение, разрывное на концах. В задачах теории тре-
трещин наиболее часто решение уравнения (П3.1) имеет корневую осо-
особенность, т.е.
*(*) = -^=Г . (П.3.2)
y/l -X2
где go(x) — ограниченная функция на [-1,1]. Подставим x=cos 0(f=cos т)
и выражение (П.3.2) в уравнение (П.3.1). Аргумент 9 меняется в преде-
пределах 0 < в < п. Тогда уравнение (П.3.1) примет вид (для функций.go(x),
р(х) оставлены прежние обозначения)
/ V
0
/ fc(cos0, cos r)g0 (r)dT = 2 np (в).
о
(П.З.З)
cos т — cos в
Заменяем функцию go(T) интерполяционным полиномом Лагранжа, по-
построенного по чебышевским узлам.
xm =cos0m;
2m- I
9m = 2п я,
2,..., и,
•sin i
(П.3.4)
=1
COS0 —COS 0fc
, (x=cos0), \gl=g°k<xk)].
16*
243

Дробь в правой части выражения (П.3.4) при любом к есть четный тригоно-
тригонометрический полином не более п — 1 степени, коэффициенты которого
определяются с помощью равенств
I я cosn т dr sin /2 0
If . t О<0<я; /2 = 0,1,... (П3.5)
II 0 cos т — cos 0 sin 0
После определения коэффициентов полинома формулу (П.3.4) запишем
в виде
и- 1
fc= 1 га = О
и Z
к= 1
На основании (П.3.5) и (П.3.6) находим квадратурную формулу для сингу-
сингулярного интеграла
— / = 2 gt 2 cos/и 0fc sin/и 0.
2jt , Г —дг и sin0 . _ , „
(П.3.7)
Формула (П.3.7) справедлива, если go(x) - полином степени не выше и-1.
Применяя ко второму интегралу в левой части уравнения (П.3.1) фор-
формулу типа Гаусса
(П.3.8)
-1
к = 1
справедливую всегда, когда F(x) — полином порядка < 2и—1, будем
иметь
J cos0fc). (П.3.9)
-1
2/2
fc =1
Использование квадратурных формул (П.3.7) и (П.3.9) позволяет заменить
сингулярное уравнение (П.3.1) системой алгебраических уравнений относи-
относительно приближенных значений g% функции go(x) в узловых точках
amkgl-pm,
к=
где
1
1
/И = 1, 2, ..., /2,
0m+(-l)""-fcl0fc
(П.3.10)
1
+fc(cos0m,cos0fc)J, pm=p(xm).
].
2/2Lsin0m 2
(П.3.11)
Решив систему (П.3.10), приближенное решение уравнения (П.3.1)
найдем по формулам (П.3.2) и (П.3.4) .
б) Решение, ограниченное на одном конце. В этом
случае исходим из представления
*0О
1 -х
*>(*)
(П.3.12)
244
и заменяем g0 (х ) полиномом (П .3.4) . С помощью соотношений (П .3.5) и
(П.3.6) для интегралов, входящих в уравнение (П.3.1), получаются квадра-
квадратурные формулы
\ g(t)dt l+cos0
t-x
п sin 0
2
к = 1
п - 1
¦ 2
га = О
1 "
cos/H0jfcSin/H0 +— 2
= — 2
(П.3.13)
-1
Использование квадратурных формул (П.3.13) опять приводит к систе-
системе (П.3.10) с элементами
amk-\
— ctg-
¦ + (l+cos0k)A:(cos0m, cos 0fc).
(П.3.14)
В некоторых задачах механики разрушения (трещины выходят на по-
поверхность тела или линию раздела разных упругих сред) решение уравнения
(П.3.1) может иметь особенности, отличающиеся от (П.3.2) и (П.3.12).
В этом случае после установления характера особенности из анализа сингу-
сингулярного интегрального уравнения (П.3.1) (см. [12]) можно применить
метод решения уравнения (П.3.1), построенный на основе квадратурной
формулы Гаусса—Якоби.
В основном тексте книги использовался другой способ численного ре-
решения уравнения (П.3.1), основанный на следующем физическом факте.
В точках выхода трещины на поверхность тела или на линию раздела
разных упругих сред порядок сингулярности функции g(x) меньше
чем 1/2. Коэффициент интенсивности напряжений в смысле
К, = -Шп [>/2я|*-/| ¦*(*)]
равен нулю.

ЛИТЕРАТУРА
К главе 1
1. Галин Л.А. Плоская упруго-пластическая задача. - ПММ, 1946,т. 10, вып. 3.
2. Ивлев ДД. Об определении перемещений в задаче Л.А.Галина. - ПММ, 1957,
т. 21, вып. 5.
3. Кузнецов А.И Плоская деформация неоднородных пластических тел. - Вест-
Вестник ЛГУ, 1958, № 13.
4. Аннин Б М- Одна плоская упруго-пластическая задача при экспоненциальном
условии текучести. - Инж. ж., МТТ, 1966, № 3.
5. Аннин Б.Д. Двумерные упруго-пластические задачи. - Новосибирск: Изд-во НГУ,
1968.
6. Рева Т.Л. О бигармонических решениях задач для упруго-пластических тел. -
Прикладная механика, 1971, вып. 4.
7. Парасюк О.С. Упруго-пластическая задача с небигармоническим пластическим
состоянием. - ДАН СССР, 1948, т. 63, № 4.
8. Савин Г.Н., Парасюк О.С. Вплив неоднор1дного напружного поля на пластичну
зону бшя отвору. - ДАН УРСР, 1948, № 3.
9. Савин Г.Н., Парасюк О.С. Пластические зоны возле отверстия в неоднородном
напряженном плоском поле. - Уч. зап. Львовского ун-та, сер. физ.-мат., 1949,
т. 12, №3.
10. Мирсалимов В.М. О бигармонических решениях задач для упруго-пластических
тел при наличии неоднородности напряженного поля. - Изв. АН АзССР,
сер. ФТМН, 1972, №3.
11. Черепанов Г.П. Об одном классе точных решений плоской упруго-пластической
задачи. - Изв. АН СССР,ОТН,мех.и машиностр., 1963,№ 3.
12. Ивлев ДМ- Приближенное решение упруго-пластических задач теории идеальной
пластичности методом малого параметра. - ДАН СССР, 1957,т. 113, № 2.
13. Ивлев ДД. Приближенное решение плоских упруго-пластических задач теории
идеальной пластичности методом малого параметра. - Вестник МГУ, 1957, № 5.
14. Ершов Л.В., Ивлев ДМ. Упруго-пластическое состояние эллиптической трубы,
находящейся под действием внутреннего давления. - Изв. АН СССР, ОТН,
1957,№9.
15. Космодамианский А.С Упруго-пластическая задача для изотропного массива,
ослабленного бесконечным рядом одинаковых круговых выработок. - Изв.
АН СССР, ОТН, мех.и машиностр., 1961, № 4.
16. Мирсалимов В.М. О решениях упруго-пластических задач для плоскости с одно-
периодической системой круговых отверстий. - ДАН АзССР, 1973, № 1.
17. Мирсалимов В.М. Решение некоторых плоских упруго-пластических задач. -
В кн.: Механика деформируемых твердых тел. - Баку: Элм 1975.
18. Куршин Л.М., Суздальницкий ИД. Упруго-пластическая задача для плоскости,
ослабленной двояко периодической системой круглых отверстий. - ПММ, 1968,
т. 32, вып. 3.
19. Перлин П.И. Упруго-пластическое распределение напряжений вокруг отверстий. -
В кн.: Исследования по механике и прикладной математике. - М.: Тр. МФТИ,
вып. 5,1960.
20. Перлин ИИ. Решение плоских упруго-пластических задач для двухсвязных об-
областей. - Инж. ж., 1961, т. 1,вып. 4.
21. Перлин ИИ Приближенный метод решения упруго-пластических задач. -
Инж. сб., 1960, т. 28.
22. Сажин B.C. Упруго-пластическое распределение напряжений вокруг отверстия,
близкого к квадрату. - Инж.ж., 1964, т. 4, вып. 2.
246
23. Сажин B.C. Упруго-пластическая задача для бесконечной плоскости с квадратным
отверстием. — Прикладная механика, 1965, т. II,№ 11.
24. Сажин B.C. Упруго-пластическое распределение напряжений вокруг выработок
квадратной, овальной и сводчатой форм. — В кн.: Основания, фундаменты и под-
подземные сооружения. - М.: Стройиздат, 1967.
25. Сажин B.C. Определение области неупругих деформаций с учетом изменения сцеп-
сцепления породы. - Физико-технические проблемы разработки полезных иско-
ископаемых. СО АН СССР, 1967, № 6.
26. Черепанов Г.П. Некоторые задачи теории упругости и пластичности с неизвестной
границей. - В кн.: Приложения теории функций в механике сплошной среды,
т. 1. -М.: Наука, 1965.
27. Nottrot R.y Timman R. General method of solving the plane elasto-plastic problem. -
J. Engng Math., 1967, vol. 1,№1.
28. Nottrot R. On the numerical solution of the plane elastoplastic problem. - J. Engng
Math., 1967, vol. 1,№2.
29. Southwell R., de Allen D.N. Relaxation methods applied to engineering problems. -
Philos. Trans. Roy. Soc. London, ser. A, 1950, vol. 242.
30. Теплицький E. Плоска задача теори пружноси теори гранично ртновачи про
контакт штампа з ni в простором що деформуеться. — Прикладна мехашка, 1957,
т. 3,вып. 3.
31. Баничук Н.В. Расчет нагружения упруго-пластического тела. - Изв. АН СССР,
МТТ, 1969, №1.
32. Уэснер, Вайнштейн. Применение вычислительного варианта релаксационного мето-
метода к решению задачи о штампе для случая плоской деформации. - Теоретические
основы инженерных расчетов. Труды амер. об-ва инж .-мех. - М.: Мир, т. 91, № 4,
1969 (пер.с англ.).
33. Lee C.H. and Kobayashi Sh. Elasto-plastic of plane-strain and axisymmetric flat punch
indentation by the finite-element method. - Intern. J. Mech. Sci., 1970, № 12.
34. Levy N.f Mareal P.V., Ostergren W.J, and Rice J.R. Small scale yielding near a crack in
plane strain: a finite element analysis. - Intern. J. Fracture Mech., 1971, vol. 7, № 2.
35. Кудрявцев Б.А., Партон В.З., Песков Ю.А., Черепанов Г.П. О локальной пластиче-
пластической зоне вблизи конца щели (плоская деформация). - Изв. АН СССР, МТТ,
1970, №5.
36. Соколовский В.В. Теория пластичности. - М.: Высшая школа, 1969.
37. Кочанов ЛМ. Основы теории пластичности. - М.: Наука, 1969.
38. Хилл Р. Математическая теория пластичности - М.: Гостехиздат, 1956.
39. Черепанов Г.П. Об одном методе решения упруго-пластических задач. - ПММ,
1963, т. 27, вып. 3.
40. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упру-
упругости. - М.: Наука, 1966.
41. Черепанов Г.П. Краевые задачи с аналитическими коэффициентами. - ДАН СССР,
1965, т. 161, №2.
42.Михлин С.Г. Математическая теория пластичности. - В кн.: Некоторые новые
вопросы механики сплошной среды. - М.: Изд. АН СССР, 1938.
АЗ.Мелан Э., Парку с Г. Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными тем-
температурными полями. - М.: Физматгиз, 1958.
44. Мирсалимов В.М. Решение упруго-пластических задач для плоскости с круговым
отверстием при наличии неравномерного температурного поля. - ДАН АзССР,
1973, №10.
45. Фомин В.Л. Упруго-пластическое равновесие плоскости с круговым вырезом при
наличии стационарного температурного поля.-Ученые записки. ЛГУ, 1960, №280,
вып. 35.
46. Остросаблин Н.И Об одной упруго-пластической задаче. - В кн.: Физико-техни-
Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. СО АН СССР, 1969, № 4.
47. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. - Киев: Наукова думка,
1968.
48. Во ров и ч И.И., Космодамианский А.С. Упругое равновесие изотропной пластинки,
ослабленной бесконечным рядом одинаковых отверстий. - Изв. АН СССР, ОТН,
мех. и машиностр., 1959, вып. 4.
247

49. Григолюк Э.И., Филыитинский Л.А. Перфорированные пластины и оболочки. -
М.: Наука, 1970.
50. Заславский Б.В. Пластические области возле кругового отверстия при дв у о сном
растяжении тонкой пластинки. - В кн.: Труды МАИ, 1956, вып. 69.
51. Протодьяконов ММ. Обобщенное уравнение огибающих к предельным кругам
напряжений Мора. - В кн.: Исследование физ.-механ. свойств горн, пород примен.
к задачам управ, горн, дав л. - М.; Изд-во АН СССР, 1962.
52. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. - М.: Изд-во МГУ, 1979,
208 с.
53. ИвлевД.Д. Теория идеальной пластичности. - М.: Наука, 1966.
54. Ивлев Д.Д., Быковцев Г.И. Теория упрочняющегося пластического тела. - М.:
Наука, 1971.
55. Ивлев Д. Д., Ершов Л.В. Метод возмущений в теории упруго пластического тела. -
М.: Наука, 1978.
56. Куршин Л.М., Суздальницкий И.Д. Влияние жестких включений на распростране-
распространение пластических зон в двоякопериодической упруго пластической задаче. - Изв.
АН СССР, МТТ, 1982, № 2, с. 76^82.
57. Иванов Г.М., Семениха А.С, Упруго-пластическая задача для изотропного массива,
ослабленного двумя круговыми выработками. - Прикладная механика, 1973,
т. 9,№3.
58. Аннин Б.Д. Упруго-пластическое распределение напряжений в плоскости, ослаблен-
ослабленной двумя круговыми отверстиями. - В кн.: Динамика сплошной среды, вып. 1. -
Новосибирск: Наука, 1969, с. 234-241.
59. Остросаблин Н.И. Упруго-пластическое распределение напряжений в плоскости,
ослабленной конечным числом круговых отверстий. - Прикладная механика,
1973, т. 9, №10.
60. Мухамедиев Ш.А., Никитин Л.В., ЮнгаС.Л. Применение модифицированного мето-
метода локальных вариаций к задачам нелинейной механики разрушения. - Изв.
АН СССР, МТТ, 1976, №1.
61. Проценко A.M. Экстремальные краевые задачи для упруго-пластического тела. -
Изв. АН СССР, МТТ, 1974, № 1.
62. Проценко А.М. Теория упруго-идеально пластических систем. - М.: Наука, 1982.
63. Паутов А.Н., Угодников А.Г., Чепелева ИВ. К решению задач о концентрации
напряжений в двухсвязных пластинках при пластических деформациях. - В кн.:
Концентрация напряжения. - Киев: Наукова думка, 1971, вып. 3, с. 112-116.
64. Кузнецов В.В. Об определении деформированного состояния упруго-пластической
толстой пластины с эллиптическим отверстием. — Прикладная механика, 1973,
т. 9, №9, с. 133-137.
65. Мирсалимов В.М. О влиянии пластических деформаций на развитие трещины. -
Проблемы прочности, 1973, № 1,с. 63-65.
66. Мирсалимов В.М. Некоторые упруго-пластические задачи для плоскости, ослаблен-
ослабленной двоякопериодической системой круглых отверстий. - ПМТФ, 1974, № 4,
с. 133-138.
67. Мирсалимов В.М. Упруго-пластическая задача для массива, ослабленного отвер-
отверстиями. - Изв. АН СССР, МТТ, 1975, № 2, с. 83-88.
68. Мирсалимов В.М. Об одной упруго-пластической задаче для массива, ослабленного
двумя одинаковыми круговыми выработками. - Физико-технические проблемы
разработки полезных ископаемых, 1975, № 5, с. 142-146.
69. Мирсалимов В.М. Некоторые двоя коп ериодические упругопластические задачи
в условиях плоской деформации. - Изв. АН СССР, МТТ, 1975, № 6, с. 75-81.
70. Мирсалимов В.М. Решение некоторых периодических упруго-пластических задач. -
ПМТФ, 1975, №6, с. 115-121.
71. Мирсалимов В.М. Некоторые упруго-пластические задачи для плоскости, ослаб-
ослабленной периодической системой круглых отверстий! - ПММ, 1976, № 1,
с. 152-158.
72. Мирсалимов В.М. Решение двоякопериодической задачи термопластичности, -
Проблемы прочности, 1976, № 9, с. 51-54.
73. Мирсалимов В.М. Распределение напряжений в изотропном массиве, ослабленном
двоякопериодической системой круглых выработок, при упруго-пластических
деформациях. - Изв. АН АзССР, серия физ.-техн. и мат. наук, 1976, № 3, с. 38-42.
248
74. Мирсалимов В.М. Решение периодической задачи термопластичности. - Приклад-
Прикладная механика, 1977, № 6, с. 47-51.
75. Пальмов ВА. Колебания упруго-пластических тел. - М.: Наука, 1976, 328 с.
76. Johnson С. An elasto-plastic contact problem. - Anal. Numer., 1978, vol. 12, №1,
p. 59-74.
77. Orr J.f Brown D.K. Elasto-plastic solution for a cylindrical inclusion in plane straine. -
Eng. Fract. Mech., 1974, vol. 6, № 2, p. 261-274.
78. Прикладные вопросы вязкости разрушения. - М.: Мир, 1968.
79. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т. 1. - М.: ИЛ, 1954.
80. Кошелев П.Ф., Ужик Г.В. Исследование пластической деформации методом трав-
травления. -- Изв. АН СССР, мех. и машиностр., 1959, № 1.
81. Ault R.T., Spretnak J.W. Initial yelding and Fracture in notched sheet molybdenium. -
Int. J. Mech. Sci., 1965, №7.
82. Hahn G.T., Rosen field A.R. Experimental determination of plastic constraint ahead of a
sharp crack under plane strain conditions. - Ship Structure Committee Report, SSC-180,
1966.
83. Работное Ю.Н., Станкевич О.Ф. Экспериментальное выявление пластических зон
на моделях из титанового сплава. - Изв. АН СССР, механика, 1965, № 2.
84. Gerberich W.W. Plastic strains and energy density in cracked plates. - J. Experimental
Techniques and Results Experimental mech., 1964, p. 335-344.
85. Hahn G.T., Rosenfield A.R. Local yelding and extension of a crack under plane stress. -
Acta Metallurg, 1965, voL 13, № 3.
86. Dugdale D.S. Yelding of steel sheets containing slits. - J. Mech. Phys. Solids, 1960,
vol. 8, №2.
87. Rosenfield A.R., Dai P.K., Hahn G.T. Crack entension and propagation under plane
stress. - In: Proc. Intern. Conf. on Fract., Sendai, Japan, 1965, № 1, p. 179-266.
88. Forman G.G. Experimental program to determine effect of crack buckling and specimen
dimensions of fracture toughness of thin sheet materials. - Aerospace Res. Lab. Rep.,
№ AFFDL-TR-65-146, Wright-Patterson. Air Force Bace, 1966.
89. Леонов МЯ., Витвицкий ИМ., Ярема С.Я. Полосы пластичности при растяжении
пластин с трешиновидным концентратом. - ДАН СССР, .1963, т. 148, № 3.
90. Rice J.R. A path independent integral and the approximate analysis of strain concentra-
concentration by notches and cracks. - J. Appl. Mech. Trans. ASME, ser. E, 1968, № 2.
91. Мирсалимов В.М. О структуре пластических деформаций в вершине трещины. -
Изв. АН АзССР, ФТМН, 1970, № 6.
92. Партон В.З., Морозов ЕМ. Механика упругопластического разрушения. - М.:
Наука, 1985.
93. Витвицкий ПМ,, Панасюк В.В., Ярема С.Я. Пластические деформации в окрест-
окрестностях трещин и критерии разрушения (обзор). - Проблемы прочности, 1973, № 2.
94. Мусхелишвили Н.И Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Наука, 1968.
95. Морозов ЕМ., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разруше-
разрушения. -М.: Наука, 1980.
96. Мирсалимов В.М. Разрушение упругих и упругопластических тел с трещинами. -
Баку: Элм, 1984.
К главе 2
1. Черепанов Г.П. Об одном методе решения упруго-пластических задач. - ПММ,
1963, т. 27, вып. 3.
2. Черепанов ГЛ. К решению некоторых задач теории упругости и пластичности с
неизвестной границей. - ПММ, 1964, т. 28, вып. 1.
3. Черепанов Г.П. Краевые задачи с аналитическими коэффициентами. - ДАН СССР,
1965,т.161,№2.
4. Соколов АЛ. Об упруго-пластическом состоянии пластинки. - ДАН СССР, 1948,
т.60,№1.
5. Заславский Б.В. Пластические области возле кругового отверстия при двуосном
растяжении тонкой пластинки. - Тр. МАИ, 1956, вып. 69.
6. Фаерберг ИМ. Растяжение пластинки с круговым отверстием за пределом упру-
упругости. - Тр. ЦАГИ, 1947, № 615.
249

7. Перлин П.И. Упруго-пластическое распределение напряжений вокруг отверстий. -
В кн.: Исследования по механике и прикладной математике. - Тр. МФТИ, 1960,
вып. 5.
8. Ивлев Д.Д. Приближенное решение плоских упруго-пластических задач тео-
теории идеальной пластичности методом малого параметра. - Вестник МГУ,
1957, №5.
9. Мирсалимов ВМ. Решение некоторых плоских упруго-пластических задач. -
В кн.: Механика деформируемых твердых тел. - Баку: Элм, 1975.
10. Панферов В.М. Концентрация напряжений при упруго-пластических деформа-
деформациях. - Изв. АН СССР, ОТН, 1954, №4.
11. Коротких Ю.Г. К решению на ЭЦВМ-нелинейной плоской задачи теории упругости
и задач теории пластичности для сжимаемого упрочняющегося материала. - В кн.:
Строительная механика и теория упругости - Горький: Тр. Горьковск. инж.-стро-
ит. ин-та, 1967,'вып. 50.
12. Коротких Ю.Г, Решение плоской задачи для физически нелинейных материалов
методом конечных разностей. - Прикладная механика, 1966, вып. 3.
13. Солодилов Ю.И. Упруго-пластическое распределение напряжений в пластине с
овальным отверстием. - Инж. ж., 1961, т. 1, вып. 4.
14. Б ирг ер И.А. Метод дополнительных деформаций в задачах теории пластичности. -
Изв. АН СССР, ОТН, мех. и машиностр., 1963, № 1.
15. Биргер И.А. Методы упругих решений в теории пластического течения. - Изв.
АН СССР, ОТН, мех. и машиностр., 1964, № 2.
16. Southwell R., Allen G. Relaxation methods applied to engineering problems. - Philos.
Trans. Roy. Soc. London, ser. A, 1950, vol. 242, № 850.
17. Кудрявцев Б. А., Пар тон В.З., Песков Ю.А., Черепанов Г.И О локальной пласти-
пластической зоне вблизи конца щели. - Изв. АН СССР, МТТ, 1970, № 1.
18. Керимов Р.Ю. Развитие пластических зон возле кругового отверстия при одно-
одноосном растяжении пластинки. - Прикладная механика, 1965, т. 1, № 9.
19. Черепанов Г.И О квазихрупком разрушении. - ПММ, 1968, т. 33, вып. 6.
20. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits. - J. Mech. Phys. Solids, 1960,
vol. 8, №2.
21. Витвицкий ИМ., Леонов М.Я. Про руйнувания пластинки зщшиною.- Прикладна
мехашка, 1961, т. 7, вып. 5.
22. Витвицкий ПМ., Леонов М.Я. Растяжение за пределом упругости пластинки с кру-
круговым отверстием. - ПМТФ, 1962, № 1.
23. Витвицкий ИМ., Леонов М.Я. Полосы скольжения при неоднородной деформации
пластинки. - В кн.: Вопросы механики реального твердого тела. - Киев: Изд-во
АН УССР, 1962, вып. 1.
24. Витвицкий ИМ. Полосы скольжения при растяжении тонких пластин с прямо-
прямолинейными разрезами. - В кн.: Концентрация напряжений. - Киев: Науковадум-
Науковадумка, 1965, вып. 1.
25. Витвицкий ИМ. Про розвиток пластичных деформащй бшя юнщв шдлини в тонюй
пластинщ. - Доповад АН УРСР, 1969, № 4.
26. Леонов М.Я., Витвицкий ИМ., Ярема С.Я. Полосы пластичности при растяжении
пластин с трещиновидным концентратом. - ДАН СССР, 1963, т. 148, № 3.
27. Goodier J.N., Field FA. Plastic energy dissipation in crack propagation. - In: Fracture
of Solids, N.Y., Intersci., 1963.
28. Галин Л.А., Черепанов Г.П. Контактная упруго-пластическая задача для пластин. -
ДАН СССР, 1967, т. 177, № 1.
29. Соколовский В.В. Теория пластичности. - М.: Высшая школа, 1969.
30. Myсхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упруго-
упругости. - М.: Наука, 1966.
31. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Физматгиз, 1962.
32. Рыбакина О.Г. Растяжение полосы с отверстиями при больших пластических
деформациях. - Изв. АН СССР, мех. и машиностр., 1963, №4.
33. Хома И.Ю> Концентрация напряжений в тонкой пластинке, ослабленной бесконеч-
бесконечным числом круговых отверстий, при упругопластических деформациях. Тр.
IV Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин A962). - Ереван: Изд. АН СССР,
1964.
34. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т. 1. - М.: ИЛ, 1954.
250
35. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. - М.: Изд-во МГУ, 1979,
208 с.
36. Ко шел ев П.Ф., Ужик Г.В. Исследование пластической деформации в местах кон-
концентрации напряжений методом травления. - Изв. АН СССР, мех. и машиностр.,
1959, №1.
37. Габдулхаев Б.Г., Душков ПН. О прямых методах решения сингулярных инте-
интегральных уравнений первого рода. - Изв. вузов, Математика, 1973, № 7.
38. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному реше-
решению сингулярных интегральных уравнений. - Киев: Наукова думка, 1968.
39. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. - М.: Наука, 1973.
40. Каландия А.И. О приближенном решении одного класса сингулярных интеграль-
нах уравнений. - ДАН СССР, 1959, т. 125, №4.
41. Григолюк Э.И., Фильштинский Л.А. Перфорированные пластины и оболочки. - М.:
Наука, 1970.
42. Мирсалимов В.М. Упруго-пластическая задача для тонкой пластины, ослабленной
двояко периодической системой круглых отверстий? - Прикладная механика,
1976, №3, с. 78-83.
43. Мирсалимов В.М. Упруго-пластическая задача для тонкой пластины, ослабленной
периодической системой круглых отверстий. - ПМТФ, 1976, № 5, с. 174-179.
44. Мирсалимов ВМ. Исследование предельного поля напряжений возле трещин,
исходящих из контуров отверстий перфорированной пластины. - ПМТФ, 1977,
№2, с. 147-154.
45. Мирсалимов ВМ. Упруго-пластическая задача для тонкой пластины, ослабленной
двоякопериодической системой круглых отверстий. - Изв. АН АзССР, серия
физ.-техн. и мат. наук, 1978, № 3, с. 51-57.
46. Мирсалимов В.М. Упруго-пластическое равновесие тонкой пластины, ослабленной
периодической системой круглых отверстий с трещинами. — Прикладная механи-
механика, 1978, № 10, с. 96-101.
47. Мирсалимов В.М. Упруго-пластическое равновесие пластины с двоякопериодиче-
двоякопериодической системой круглых отверстий с трещинами, выходящими на контур отвер-
отверстий. - Изв. АН АзССР, серия физ.-техн. и мат. наук, 1979, № 2, с. 118-125.
48. Мирсалимов В.М. Хрупкое разрушение пластины, ослабленной периодической
системой круглых отверстий с выходящими на их контуры трещинами. - При-
Прикладная механика, 1980, № 11, с. 73-79.
49. Кудрявцев Б.А., Партон В.З., Черепанов Г.Н Упруго-пластическая задача для
плоскости с прямолинейными щелями, - Изв. АН СССР, МТТ, 1969, № 3.
50. Лазарев М.И., Лазарев П.И. К решению плоской упруго-пластической задачи для
пластины с отверстием. - Прикладная механика, 1976, т. 12, № 9.
51. Кулиев В Д. О пластической деформации на конце краевой трещины. - ПММ,
1978, т. 42, №1.
52. Панасюк В.В., Витвицкий ПМ., Кутень СИ. Про пластичну деформащю руйнування
пластинки з крайовош тршшною. - Доповцц АН УССР, 1975, № 4.
53. Терегулов ИТ., Могилевкин Л.К Распределение пластической зоны в пластинке
в окрестности сосредоточенной силы. - В кн.: Труды семинара по теории оболо-
оболочек. - Казань: Казанский физ.-техн. ин-т АН СССР, 1975, вып. 6, с. 98-103.
54. Панасюк В.В., Витвицкий ИМ., Кутень СИ. Упруго-пластическое равновесие пла-
пластинки с круговым отверстием и трещинами, выходящими на его контур. -
Физико-химическая механика материалов, 1976, № 1.
55. Howard J.C, Otter H.R. On the elastic-plastic deformation of a sheet containing an edge
crack. - J. Mech. and Phys. Solids, 1975, vol. 13, № 2, p. 139-149.
56. Jshikawa H. Stresses in the plastic range around a circular hole in an finite sheet subjected
to equal biaxial tension. - ZAMM, 1975, Bd. 55, № 3, s. 171-177.
57. Мирсалимов ВМ. Некоторые задачи конструкционного торможения трещины. -
ФХММ, 1986, т. 22, №1.
К главе 3
Х.Арутюнян Н.Х., Абрамян Б.Л. Кручение упругих тел. - М.: Физматгиз, 1963.
2. Соколовский В.В. Теория пластичности. - М.: Высшая школа, 1969.
3. Качанов ЛМ. Основы теории пластичности. - М.: Наука, 1969.
251

4. НадаиА. Пластичность и разрушение твердых тел. - М.: ИЛ, 1954.
5. Соколовский В.В. Об одной задаче упруго-пластического кручения. - ПММ, 1942,
т. 6, вып. 2-3.
6. Галин Л.А. Упруго-пластическое кручение призматических стержней. - ПММ, 1949,
т. 13, вып. 3.
7. Галин Л.А. Упруго-пластическое кручение призматических стержней полигональ-
полигонального сечения. - ПММ, 1944, т. 8, вып. 4.
8. Кочанов Л.М. Пример решения вариационным методом задачи упруго-пластичес-
упруго-пластического кручения. — В кн.: Исследования по упругости и пластичности, т. 1. - Л.:
Изд-во ЛГУ, 1961.
9. Southwell R.V. Relaxation methods in theoretical physics. Oxford University Press, v. 1,
1946; v. 2, 1956.
10. Takaci N. On elastic-plastic torsion of a shaft with six semi-circular longitudinal gooves. -
Trans. Japan. Soc. Mech. Engrs, 1963, vol. 29, № 197.
11. Christopherson D.G. A theoretical investigation of plastic torsion in an I-beam. - Appl.
Mech., 1940, vol. 7, №1-4.
12. Shaw F.S. The torsion of solid and hollow prism in the elastic and plastic and range by
relaxation methods. - Australian council for aeronautics. - Rep. ACA-11, 1944.
13. Okubo H. The approximative decision of problem of torsion of a shaft with ring groove. -
The Reports, Inst. High Speed Mech., part 3,1953.
14. Davis E.A., Tuba I.S. Elastic-plastic solutions for notched shafts in torsion. - Trans.
ASME, ser. E. J. Appl. Mech., 1966, vol. 33, № 1 (рус. перев.: Прикладная механика.
Труды Амер. о б-в а инж.-мех., 1966, № 1).
15. Амосов Г.Я. О кручении призматических стержней при упруго-пластических де-
деформациях. — Вестник МГУ, 1966, № 1.
16. Баничук Н.В., Петров В.М., Черноусько Ф.Л. Численное решение вариационных
и краевых задач методом локальных вариаций. — Ж. вычисл. мат. и мат. физ.,
1966, т. 6, №6.
17. Баничук Н.В. Расчет упруго-пластического кручения стержней методом локаль-
локальных вариаций. - Инж. ж., МТТ, 1967, № 1.
18. Дембская А., Медуховский А. Упруго-пластическое кручение составных стерж-
стержней. - Изв. АН СССР, МТТ, 1969, № 6.
19. Перлин П.И. Упруго-пластическое кручение стержней овального поперечного се-
сечения. - Инж. сб., 1961, т. 31.
20. Галин Л.А. О существовании решения упруго-пластической задачи кручения приз-
призматических стержней. — ПММ, 1949, т. 13, вып. 6.
21. Ting T.W. Elastic-plastic torsion of a square bar. - Trans. Amer. Math. Soc, Д966,
vol. 123, №2.
22. Ting T. W. Elastic-plastic torsion. - Archive for Ration Mech. and Analysis, 1967,
vol. 25, №5.
23. Mises R. Three remarks on the theory of the ideal plastic body. - Reissner Anniversary
Volume. Ann Arbor, Michigan/1949.
24. Гахов ФД. Краевые задачи. - M.: Физматгиз, 1963.
25. Мусхелишвили НИ. Сингулярные интегральные, уравнения. - М.; Наука, 1968.
26. Леонов М.Я., Швайко Н.Ю. О разрывных деформациях твердого тела. - ПМТФ,
1961,№2.
27. Леонов М.Я., Швайко Н.Ю. Упруго-пластическая деформация при кручении стерж-
стержня с мелким полуцилиндрическим пазом на поверхности. - В кн.: Вопросы меха-
механики реального твердого тела, вып. 1. - Киев: Изд-во АН СССР, 1962.
28. Новожилов В.В. Теория упругости. - М.: Судпромгиз, 1958.
29. Сальвадоры МДж. Численные методы в технике. - М.: ИЛ, 1954.
30. Розе СМ. О сходимости метода Л.М. Качалова. - Вестник ЛГУ, сер. мат., мех.,
астрой., 1961, № 19, вып. 4.
31. Аннин Б.Д., Ильин В.П., Лебедев СВ. Численное решение задачи упруго-пластичес-
упруго-пластического кручения. - В кн.: Труды конференции по численным методам решения за-
задач теории упругости и пластичности. - Новосибирск, СО АН СССР, 1969.
32. Hodge P.G., Jr., Herakovich СТ., Stout R.B. On numerical comparisons in elastic-plastic
torsion. - Trans. ASME, ser. E. J. Appl. Mech., 1968, vol. 35, № 3.
33. Heracovich C.T., Hodge P.G., Jr. Elastic-plastic torsion of hollow bars by quadratic prog-
programming. - Intern. J. Mech. Sci., 1969, vol. 11, № 1.
252
i
34. Stout Ray В., Hodge P.G., Jr. Elastic-plastic torsion of hollow cylinders. - Intern. -
J. Mech, Sci., 1970, vol. 12, № 1.
35. Аннин Б.Д. Существование и единственность решения упруго-пластической за-
задачи кручения цилиндрического стержня овального сечения. - ПММ, 1965,
т.29,№2.
36. Lanchon Н, Duvant G. Sur la solution du probleme de torsion elastoplastique d'une
barre cylindrique de section quelconque. - C.R. Acad. sci. Paris, 1967, t. 264,
p. 520-523.
37. Lanchon H. Solution du probleme de torsion elastoplastique d'une barre cylindrique de
section quelconque. - C.R. Acad. sci. Paris., 1969, t. 269, p. 791-794.
38. Lanchon H. Sur la solution du probleme de torsion d'une barre cylindrique de section
quelconque. - C.R. Acad. sci. Paris, 1969, t. 269, p. 791-794.
39. Lanchon H. Torsion elastoplactique d'une arble cilindrique de section simplement ou
multiplement connexe. -^ J. Mech., 1974, vol. 13, №2, p. 267-320.
40. Glowinski R., Lanchon H. Torsion elastoplastique d'une barre cilindrique de section
multiconnexe. - J. Mech., 1973, vol. 12, №1, p. 151-171.
41. Немировский Ю.В., СаксЭ.Э. Сложное упруго-пластическое кручение цилиндричес-
цилиндрических валов. — Прикладная механика, 1973, т. 9, № 9.
42. Немиро в ский Ю.В., Сакс Э.Э. Упруго-пластическое кручение тел вращения. Проб-
Проблемы прочности. - 1974, № 12. •
43. Trefftz Е. Uber die Spannungsverteilung in fordierten Staben bei teiweiser Uberschrei-
tung der Fliessrenze. - ZAMM, 1925, Bd 5, H. 1.
44. Trefftz E. Uber die Wirkung einer Abrundungauf die* Torsionsspannungen in die inneren
Eckeeines Winkeleisens. - ZAMM, 1922, Bd 2, #. 4.
45. Мак-Клинток Ф. Неустойчивость пластического разрушения при сдвиге. "Механи-
"Механика". Сб. перев. и обз. ин. период, лит., 1959, № 6.
46. Халт Я. Экспериментальное изучение распространения усталостной трещины
при кручении. "Механика". Сб. перев. и обз. ин. период, лит., 1959, № 6.
47. Халт Я., Мак-Клинток Ф. Упруго-пластическое распределение напряжений и дефор-
деформаций вокруг острой выточки при повторном сдвиге. "Механика". Сб. перев. и
обз. ин. период, лит., 195$, № 6.
48. Koskinen M.F. Elastic-plastic deformation of a single grooved flat plate under longitu-
longitudinal shear. - Trans. ASME, ser. D, J. Basic Eng., 1963, vol. 85, №4.
49. Rice J.R. Plastic yelding near a crack tip. - Prdc. 1st Jntern Conf. on Fracture. Sendai,
Japan, 1965. — Japan, 1966, vol. 1.
50. Rice J.R. Contained plastic deformation near cracks and notches under longitudial
shear. — Jntern. J. Fracture Mech., 1966, vol. 2, №2.
51. Fild F.A. Yelding ш a cracked plate under longitudinal shear. - Trans. ASME, ser. E,
1963, vol. 30.
52. Erdogan F. Elastic-plastic anti-plane problems for bonded dissimilar media containing
cracks and cavitas. — Jntern. — J. Solids and Structures, 1966, vol. 2.
53. Костров Б.В., Никитин Л.В. Трещина продольного сдвига с бесконечно узкой
.пластической зоной. - ПММ, 1967, т. 81, вып. 2.
54. Черепанов Г.П. Упруго-пластическая задача в условиях антиплоской деформа-
деформации. - ПММ, 1962, т. 26, вып. 4.
55. Черепанов Г.П. Об одной нелинейной граничной задаче теории аналитических
функций, встречающейся в некоторых упруго-пластических задачах. — ДАН СССР,
1962, т. 147, №3.
56. Черепанов Г.П. К решению статически неопределимых упруго-пластических задач
в условиях сдвига. - Инж. ж., 1965, № 6.
57. Сухих Л.И. Упруго-пластическое кручение стержня с продольной выточкой. -
Прикладная механика, 1968, т. 4, вып. 5.
58. Сегалов А.Е. О форме пластических зон, возникающих при антиплоской деформа-
деформации полупространства, ослабленного вырезом конечной ширины. — Изв. АН СССР,
МТТ, 1970, №5.
59. Нейбер Г Теория концентрации напряжений в призматических стержнях, работаю-
работающих в условиях сдвига, для любого нелинейного закона, связывающего напряже-
напряжения и деформации. Механика. Сб. перев. и обз. ин. период, лит., 1961, № 4.
60. Соколовский В.В. Концентрация касательных напряжений при нелинейном зако-
законе деформаций. - Инж. ж., 1962, т. 2, вып. 2.
253

61. Добровольский В.Л. Решение некоторых задач теории упругости о концентрации
напряжений. - Инж. ж., 1963, т. 3, вып. 4.
62. Рапс V. Theory of elastic-plastic stress state for shear strained prismatical bodies with
symmetrical sharp notches. - Acta technica, 1965, vol. 10, №3.
63. Rice J.R. Stresses due to a sharp notch in a workhardening elactic-plastic material loaded
by longitudinal shear. - Trans. ASME, ser. E, J. Appl. Mech., 1969, vol. 34, № 2.
64. Tuba J.S. A perturbation theory of antiplane elastic-plastic deformations. - Int. J.
Non-Zinear Mech., 1969, vol. 4, № 1.
65. Ибрагимов В.А. Антиплоская деформация около выреза в упрочняющемся упру-
упруго-пластическом материале. - Изв. АН СССР, МТТ, 1973, № 1.
66. Ибрагимов В.А. Об одном классе решений упруго-пластической задачи в усло-
условиях антиплоского состояния. - Изв. АН СССР, МТТ, 1978, № 3.
67. Мирсалимов В.М. Об одном способе торможения растущих трещин. — Изв.
АН АзССР, серия ФТМН, 1972, № 1.
68. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругос-
упругости. - М.: Наука, 1966.
69. Мирсалимов В.М. Влияние разгружающих отверстий на развитие трещины. - Проб-
Проблемы прочности, 1971, № 4.
70. Баренблатт Г.И., Черепанов Г.П. О хрупких трещинах продольного сдвига. - ПММ,
1961, т. 25, вып. 6.
71. Клюшников BJJ. Математическая теория пластичности. - М.: Изд-во МГУ, 1979.
К главе 4
1. Черепанов Г.П. О выпучивании мембран с отверстиями при растяжении,. - ПММ,
1963, т. 27, вып. 2.
2. Черепанов Г.П. О местном выпучивании мембран. - Инж. ж., МТТ, 1966, № 1.
3. Гахов ФД. Краевые задачи. - М.: Физматгиз, 1963.
4. Тумашев Г.Г., Нужин М.Т. Обратные краевые задачи. - Казань: Изд-во КГУ, 1965.
5. Черепанов Г.П. Обратная упруго-пластичная задача в условиях плоской деформа-
деформации. - Изв. АН СССР, ОТН, мех. и машиностр., 1963, № 1.
6. Сухих Л.И. К определению оптимальной формы продольной выточки при круче-
кручении валов. - Изв. АН СССР, ОТН, мех. и машиностр., 1963, № 2.
7. Нужин М.Т. О некоторых краевых задачах и их применении к определению формы
сечений скручиваемых стержней. - Учен. зап. Казанского ун-та, т. 109, кн. 1,1949.
8. Сухих Л.И. Определение оптимального закругления при кручении прямого угла. -
Прикладная механика, 1967, т. 3, № 11.
9. Куршин Л.М. К задаче об определении формы сечения стержня максимальной кру-
крутильной жесткости. - ДАН СССР, 1975, т. 223, № 3, с. 585-588.
10. Куршин Л.М., Оноприенко П.Н. Определение форм двухсвязных сечений стержней
максимальной жесткости. - ПММ, 1976, т. 40, вып. 6.
11. Баничук Н.В. Об одной вариационной задаче с неизвестной границей и определении
оптимальных форм упругих тел. - ПММ, 1975, т. 39, вып. 6.
12. Баничук Н.В. Об одной двумерной задаче оптимизации в теории кручения упру-
упругих стержней. - Изв. АН СССР, МТТ, 1976, № 5, с. 45-52.
13. Черепанов Г.П. Одна обратная задача теории упругости. - Инж. ж., МТТ, 1966, № 3.
14. Черепанов Г.П. Некоторые задачи теории упругости и пластичности с неизвестной
границей. - В кн.: Приложение теории функций в механике сплошной среды. -
М.: Наука, 1965, т. 1.
15. Галин Л.А., Черепанов Г.П. О напряженном состоянии вблизи отверстий в пластин-
пластинках из полимерных материалов. - ДАН СССР, 1966, т. 167, № 1.
16. Иванов Г.М., Космодамианский О.С. Обернена пружно-готастична перюдична за-
задача. - ДАН УССР, сер. А, 1971, № 10.
17. Иванов Г.М., Космодамианский О.С. Обернена подвШно-перюдична задача плос-
Koi теорп пружности. - ДАН УССР, сер. А, 1972, № 9.
18. Иванов Г.М., Космодамианский А.С. Обратные задачи изгиба тонких изотропных
плит. - Изв. АН СССР, МТТ, 1974, № 5, с. 53-56.
19. Черепанов Г.П. Обратные задачи плоской теории упругости. - ПММ, 1974, т. 38,
вып. 6, с. 963-979.
254
i
20. Мирсалимов В.М. Обратная упругая задача для плоскости, ослабленной двумя
одинаковыми отверстиями. - В кн.: Материалы республиканской конференции. -
Баку: Элм, 1971.
21. Neuber H. Zur Optimering der Spannungskonzentration. - В кн.: Механика сплошной
среды и родственные проблемы анализа. М.: Наука, 1972, с. 375-380.
22. Мирсалимов В.М. Оптимальная форма отверстий для перфорированной пласти-
пластины. - Изв. АН АзССР, серия ФТ и МН, 1975, № 5, с. 93-96.
23. Каменецкий Ю.М., Куршин Л.М. Решение одной обратной задачи термоупругости
методом электромоделирования. - Инж. физ. журн., 1973, т. 25, № 4, с. 730-735.
24. Вигдергауз СБ. Интегральное уравнение обратной задачи плоской теории упругос-
упругости. - ПММ, 1976, т. 40, вып. 3, с. 566-569.
25. Вигдергауз СБ. Об одном случае обратной задачи двумерной теории упругости. -
ПММ, 1977, т. 41, вып. 5, с. 902-908.
26. Баничук Н.В. Условия оптимальности в задаче отыскания форм отверстий в упру-
упругих телах. - ПММ, 1977, т. 41, вып. 5, с. 920-925.
27. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. - М.: Наука, 1980.
28. Bjorkman G.S., Jr. Richards R., Jr. Harmonic holes an inverse problem in elasticity.
Trans. ASME, 1976, ser. E, v. 43, №3, p. 414-418.
29. Галин Л.А. Аналогия для плоской упруго-пластической задачи. - ПММ, 1949, т. 13,
вып. 6.
30. Hertz Н. Gesammelte werke, Bd 1. - Leipzig, 1895, s. 179-195.
31. Boussinesque J. Application des potentiels a l'etude de l'equilibre et de mouvement
des solids elastiques. - Paris: Gauthier - Villars, 1885.
32. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1953.
33. Штаерман И.Я. Контактная задача теории упругости. М.: Гостехиздат, 1949.
34. Развитие теории контактных задач в СССР. Сб. статей под ред. Л.А. Галина. - М.:
Наука, 1976.
35. Галин Л.А. О давлении твердого тела на пластинку. - ПММ, 1948, т. 12, вып. 3.
36. Черепанов Г.П. Давление твердого тела на пластины и мембраны. - ПММ, 1965,
т. 29, вып. 1.
37. Рева Т.Л. Задача сопряжения для бианалитических функций, ее связь с упруго-
пластической задачей. - Прикладная механика, 1972, т. 8, № 10.
38. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. - М.: Гостехиздат, 1957.
39. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. - Киев: Наукова Думка,
1968.
40. Динник А.Н., Моргаевский А.Б., Савин Г.Н. Распределение напряжений вокруг
подземных выработок. - В кн.: Труды совещания по управлению горным давле-
давлением. - М.: Изд-во АН СССР, 1938.
АХ.Шерман ДМ. Упругая весомая среда, ослабленная незаглубленным отверстием
эллиптической формы. - В кн.: Проблемы механики сплошной среды. - М.:
Изд-во АН СССР, 1961.
42. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругос-
упругости. - М.: Наука, 1966.
43. Тимошенко СП., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. - М.: Наука, 1966.
44. Савин Г.Н. Концентрация напряжений около отверстий. - М.: Гостехиздат, 1951.
45. Гольденблат ИМ., Николаенко Н.А. Расчеты температурных напряжений в ядер-
ядерных реакторах. - М.: Госатомиздат, 1962.
46. Соболев СМ., Мухин Г.В. Определение термических напряжений в среде с пусто-
пустотами. - Атомная энергия, 1958, т. 5, вып. 2, с. 178-181.
47. Ворович ИМ., Космодамианский А.С. Упругое равновесие изотропной пластинки,
ослабленной бесконечным рядом одинаковых отверстий. - Изв. АН СССР, ОТН
мех. и машиностр., 1959, вып. 4, с. 69-76.
48. Мирсалимов В.М. Обратная задача теории упругости для анизотропной среды. -
ПМТФ, 1975, № 4, с. 190-193.
49. Мирсалимов В.М. Равнопрочная выработка в горном массиве. - Физико-техни-
Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых, 1979, № 4, с. 24-28.
50. Мирсалимов В.М. Об оптимальной форме отверстия для перфорированной пласти-
пластины при изгибе. - ПМТФ, 1974, № 6, с. 133-136.
51. Мирсалимов В.М. Обратная задача термоупругости для плоскости, ослабленной
бесконечным рядом одинаковых отверстий. - Изв. АН АзССР, ФТМН, 1976,
№2, с. 110-114.

52. Мирсалимов В.М. Обратная двоякопериодическая задача термоупругости. - Изв.
АН СССР, МТТ, 1977, № 4, с. 165-168.
53. Мирсалимов В.М. Обратная неоднородная задача изгиба решеток. - Изв. АН АзССР,
ФТМН, 1978, №2.
54. Мирсалимов В.М. Об одной контактной задаче теории упругости. -. Прикладная
механика, 1975, №9, с. 122-125.
55. Мирсалимов В.М., Алиева Г.М. Контактная задача для пластины с трещиной, уси-
усиленной ребрами жесткости. - Изв. АН АзССР, ФТМН, 1985, № 3.
Литература к приложению
1. МусхелишвилиН.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Наука, 1968.
2. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.: Физматгиз, 1963.
Ъ. Лаврентьев МА., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменно-
переменного. - М.: Наука, 1965.
4. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т. IV. - М.: Наука, 1967.
5. Каландия А.И. О приближенном* решении одного класса сингулярных интеграль-
интегральных уравнений. -ДАН СССР, 1959,т.*125,№4, с. 715-718.
6. Лаврентьев М.А. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы. - Тр.
ЦАГИ, 1932, вып. 118.
7. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. - М.: Наука, 1973.
8. Панченков А.Н. Гидромеханика подводного крыла. - Киев: Наукова думка, 1965.
9. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около тре-
трещин в пластинах и оболочках. - Киев: Наукова думка, 1976.
10. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному реше-
решению сингулярных интегральных уравнений. - Киев: Наукова думка, 1968.
11. Габдулхаев Б.Г., Душков П.Н. О прямых методах решения сингулярных интег-
интегральных уравнений первого рода.- Изв. вузов. Математика, 1973, с. 1-24.
12. Erdogan F.E., Gupta G.D., Cook T.S. The numerical solution of singular integral equa-
equation. — In: Methods of Analysis and solutions of crack problems. - Leyden: Noordhoff
Intern. Publ., 1973, p. 368-425.

В.М.МЙГСАЛИМОВ
НЕОДНОМЕРНЫЕ
У ПРУ ГОПЛ АСТИЧЕСКИЕ
ЗАДАЧИ