Тесты по геометрии. К учебнику Л.С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7-9 классы» - Потоскуев Е.В., Звавич Л.И.

Автор: Потоскуев Е.В. Звавич Л.И.
Теги: общее школьное образование общеобразовательная школа геометрия топология математика задачи по математике математика для детей задачи по геометрии издательство экзамен
ISBN: 978-5-377-05369-9
Год: 2013
Похожие
Тематические тесты по геометрии: учебное пособие к учебникам Л.С. Атанасяна и др. 7 класс
Геометрия. 8 класс. Тесты. Часть 2
Геометрия. 8 класс. Тесты. Часть 1
Геометрия. Учебник для 7-11 классов
Текст
                    ЕТРИЯ
ФГОС i
МН
Л.И. Звавич, Е.В. Потоскуев
ТЕСТЫ
по геометрии
К учебнику Л.С. Атанасяна и др.
«Геометрия. 7-9 классы»
учени класса
_________школы__________
класс
ЭКЗАМЕН
Учебно-методический комплект
Л.И.Звавич
Е.В. Потоскуев
Тесты
по геометрии
К учебнику Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова,
С.Б. Кадомцева и др. «Геометрия. 7-9 классы»
(М.: Просвещение)
7 класс
Рекомендовано
Российской Академией Образования
Издательство
«ЭКЗАМЕН»
МОСКВА • 2013
УДК 373:514
ББК 22.151я72
342
Имена авторов и название цитируемого издания указаны на титульном листе данной
книги (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации).
Изображение учебника «Геометрия. 7-9 классы : учеб, для общеобразоват. учреждений /
[Л.С. Атанасян. В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. — М. : Просвещение» приведено на об-
ложке данного издания исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1
части четвертой Гражданского кодекса Российской Федерации).
Звавич, Л.И.
342 Тесты по геометрии. 7 класс : к учебнику Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова,
С.Б. Кадомцева и др. «Геометрия. 7-9 классы» / Л.И. Звавич, Е.В. Потоску-
ев.— М. : Издательство «Экзамен», 2013. — 95, [1] с. (Серия «Учебно-мето-
дический комплект»)
ISBN 978-5-377-05369-9
Данное пособие полностью соответствует федеральному государственному об-
разовательному стандарту (второго поколения).
Сборник тестов по курсу геометрии 7 класса к учебнику Л.С. Атанасяна помо-
жет школьнику научиться быстро решать задачи различной трудности, начать ос-
воение решения геометрических задач в формате ГИА.
Книга даст возможность учителю быстро и достаточно объективно оценить
знания учащихся по предмету, организовать систему дифференцированных зада-
ний.
Сборник может быть использован при изучении геометрии по другим учебни-
кам и пособиям из Федерального перечня, а также для повторения материала при
подготовке к ГИА и ЕГЭ.
Приказом № 729 Министерства образования и науки Российской Федерации
учебные пособия издательства «Экзамен» допущены к использованию в общеобра-
зовательных учреждениях.
УДК 373:514
ББК22.151я72
Формат 70x100.16. Гарнитура «Школьная». Бумага газетная.
Уч.-изд. л. 2,55. Усл. печ. л. 7,8.
Тираж 10 000 экз. Заказ № 6415.
ISBN 978-5-377-05369-9
Звавич Л.И., Потоскуев Е.В., 2013
С Издательство «ЭКЗАМЕН», 2013
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ.................................................4
1.	ОТРЕЗКИ, ЛУЧИ, ПРЯМЫЕ....................................7
Подготовительные задачи...................................7
Тест 1
Вариант 1..................................................11
Вариант 2................................................15
2.	УГЛЫ....................................................19
Подготовительные задачи..................................19
Тест 2
Вариант 1..................................................22
Вариант 2................................................26
3.	ТРЕУГОЛЬНИКИ............................................30
Подготовительные задачи..................................30
Тест 3
Вариант 1..................................................35
Вариант 2................................................40
4.	ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ.....................................45
Подготовительные задачи..................................45
Тест 4
Вариант 1..................................................49
Вариант 2................................................54
5.	СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА................................59
Подготовительные задачи..................................59
Тест 5
Вариант 1..................................................63
Вариант 2................................................68
6.	ВЫСОТЫ, МЕДИАНЫ, БИССЕКТРИСЫ ТРЕУГОЛЬНИКА.
НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА....................................73
Подготовительные задачи...................................73
Тест 6
Вариант 1..................................................76
Вариант 2................................................81
ЗАДАНИЯ-УТВЕРЖДЕНИЯ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ГИА...................86
ОТВЕТЫ.....................................................93
Тест 1...................................................93
Тест 2...................................................93
Тест 3...................................................93
Тест 4...................................................94
Тест 5...................................................94
Тест 6...................................................94
Ответы к заданиям-утверждениям для подготовки к ГИА......95
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Единый государственный экзамен и Государственная итоговая ат-
тестация по математике содеражат множество заданий, которые не яв-
ляются тестами по форме, но очень близки к ним по содержанию и ха-
рактеру поставленных вопросов. Вместе с тем практически ни в одном
школьном учебнике математики нет тестовых заданий.
При рассмотрении различных сборников контрольных работ по
математике обнаруживается, что в контрольных работах по алгебре со-
держится не более 4-5 заданий, а в контрольных работах по геомет-
рии — не более 3-4 заданий, при этом для выполнения каждого зада-
ния требуется произвести все необходимые обоснования и выкладки.
Напротив, первые задания группы В Единого государственного экзаме-
на и задания первой части ГИА рассчитаны на быстрое «черновое» ре-
шение с написанием только ответа, без каких бы то ни было выкладок и
объяснений. Именно для подготовки к этим частям Единого государст-
венного экзамена и Государственной итоговой аттестации учителя
практически не имеют тренировочного заданного материала.
Настоящая книга является первой из трёх книг — сборников тес-
тов по курсу элементарной геометрии. Наличие таких тестов ни в коем
случае не отменяет проведение необходимых контрольных работ, а
также требование грамотной аргументации возникающих утверждений
и соответствующих построений геометрических фигур при решении
каждого задания. Вместе с тем авторы убеждены, что форма тестового
контроля является весьма важной составляющей процесса подготовки
учащихся к итоговой аттестации. В ней проверяются многие умения
учащихся, в частности, умение быстро, за 2-3 минуты, оценить пред-
ложенную в задании теста геометрическую ситуацию: рассмотреть дан-
ный чертёж или эскизно, без чертёжных инструментов, «набросать»
свой рисунок, после чего из предложенных ответов выбрать тот, кото-
рый является верным. Тесты во многом способствуют развитию быстро-
го интуитивного логического мышления.
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Каждый тест, представленный в двух вариантах, содержит 16 за-
даний и рассчитан на 40-45 минут. Разумеется, тесты не будут неожи-
данно «обрушены» на головы учащихся. Перед вариантами приводятся
подготовительные задачи, решение которых учитель перед проведени-
ем теста разберёт на уроке или задаст на дом. Если учителю покажется,
что вопросов в тесте слишком много или какие-то из них слишком
сложны, то он может сократить количество вопросов теста или объя-
вить о необязательности ответов на некоторые из них.
Если учителю покажется, что двух вариантов теста мало, он мо-
жет пойти по следующему пути: не меняя заданий варианта, изменить
номер верного ответа.
Следует заметить, что при малом количестве вопросов и при их
легкости возникает опасность того, что быстро справившийся с тестом
учащийся начнёт «помогать» своим товарищам.
Подбирая задания для предложенных тестов, мы старались, что-
бы часть неверных ответов задания была правдоподобна, а часть, на-
оборот, неправдоподобна. Это поможет учителю в какой-то степени по-
нять, чем руководствовался ученик, отвечая на вопросы того или иного
задания теста, — размышлением или угадыванием.
Заметим, что существуют разные системы оценивания ответов
тестов. Так, например, можно за каждый верный ответ давать одно оч-
ко, а за каждый неверный — ноль очков. Тогда мы бы предложили по
большинству наших тестов за 16 набранных очков ставить две «пятёр-
ки», за 14 или 15 очков — одну «пятёрку», за 12 или 13 очков — «чет-
вёрку», а за 9, 10 или 11 очков — «тройку». Кроме того, учитель, в за-
висимости от уровня математической подготовки класса и своих взгля-
дов, может эту систему оценок скорректировать.
Другой способ оценки состоит в том, чтобы за каждый верный от-
вет давать два балла, за каждый неверный — снимать один балл, а при
отсутствии отмеченного ответа — ставить ноль баллов. В этом случае
диапазон различных результатов теста по баллам становится шире —
от -16 до +32.
Вопросы тестов ранжированы на более лёгкие (один балл) и доста-
точно трудные (двабалла). Последние отмечены «звёздочкой».
5
ПРЕДИСЛОВИЕ
Тесты можно использовать как для фронтального, так и для инди-
видуального контроля уровня знаний, навыков и умений учащихся.
При написании книги мы, главным образом, ориентировались на
изучение геометрии по учебнику Л.С. Атанасяна и др. Однако при оп-
ределенной корректировке данный набор тестов может использоваться
в 7-м классе при изучении планиметрии по любому учебнику геомет-
рии, а также для повторения планиметрического материала в 9-м, 10-м
и 11-м классах.
Заметим, что задания можно предлагать как в виде тестов, так и в
виде самостоятельной работы по решению задач с записью ответа, но
без письменных объяснений.
Отдельным разделом в книге приводятся задания-утверждения, о
каждом из которых ученик должен сказать: верно или неверно. Этот
набор поможет учащимся при подготовке к выполнению заданий в
формате ГИА.
Авторы выражают искреннюю благодарность Тамаре Николаевне
Потоскуевой за неоценимую помощь в подготовке рукописи к печати.
1. ОТРЕЗКИ, ЛУЧИ, ПРЯМЫЕ
Подготовительные задачи
1.	Точка Н — середина отрезка АС, точка К — середина отрезка СН.
Найдите длину отрезка АК, если АС = 57 —.
7
Решение. Точка Н — середина отрезка АС, значит,
НС = 0,5АС.
А так как точка К — середина отрезка СН, то
СКГ = 0,5СН = 0,25АС.
m лтг гч гтг 3 400	300	4О6
Тогда АК = 0,75АС =-----=----= 42 —.
4 7	7	7
6
Ответ: 42 —.
7
2.	Точка Н лежит на лучах АВ и ВА, причем АН : НВ = 1:4. Найди-
те расстояние между точками В и Н, если это расстояние на 9 см
больше, чем расстояние между А и Н.
Решение. Точка Н лежит на лучах АВ и ВА, значит, Н — внутрен-
няя точка отрезка АВ, тогда
АН + НВ = АВ.
Из АН : НВ = 1:4 следует, что ВН = 4АН. Имеем:
ВН - АН = 9 или 4АН - АН = 9,
откуда АН = 3.
Тогда ВН = 4-3 = 12 (см).
Ответ: 12 см.
3.	Точка А — середина отрезка ВС, точка М — середина отрезка АС,
а точка С — середина отрезка ВН. Сколько процентов составляет
длина отрезка МН от длины отрезка ВН7
Решение. Точка А — середина отрезка ВС, точка М — середина от-
резка АС, значит,
МС = 0,5АС = 0,5 0,5ВС = 0,25ВС.
7
1. ОТРЕЗКИ, ЛУЧИ, ПРЯМЫЕ
Далее, точка С — середина отрезка ВН, поэтому ВС = 0,5ВН.
Тогда
МС = 0,25 • 0,5ВН = 0Д25ВН.
Учитывая, что
МН = МС + СН = 0Д25ВН+ 0,5ВН = 0,625 ВН,
приходим к выводу:
МН = 0,625 100% = 62,5% .
Ответ: 62,5%.
4.	Точка Р лежит на отрезке АВ так, что АР : РВ = 0,7. Найдите дли-
ну отрезка АР, если АВ = 102 м.
Решение. Точка Р лежит на отрезке АВ так, что
АР : РВ = 0,7^> АР :РВ = 7 : 10 =i> АР : АВ- 7 : 17
7	7
АР — — АВ = —102 = 42(м).
17	17
Ответ: 42 м.
5.	Точка Н лежит на прямой ВС между точками В и С. Найдите дли-
ну отрезка ВС, если ВН : НС = 8 : 5 и ВН - СН = 18 см.
Решение. Точка Н лежит на прямой ВС между точками В и С, по-
этому
ВН + НС- ВС.
А так как ВН : НС = 8 : 5, то СН : ВС = 5 : 13, значит,
ВН = -СН, ВС = —СН.
Ь	5
Имеем:
ВН-СН- — СН - СН - -СН = 18,
5	5
откуда СН =	- зо.
3
1 3
Тогда ВС = — 30 - 78 (см).
5
Ответ: 78 см.
8
Подготовительные задачи
6.	Общей частью отрезков АВ и CD является отрезок ВС длины 5
(рис. 1). Найдите длину отрезка АО, если АВ = 20, CD = 21.
А С В D
Рис. 1
Решение. Имеем: СВ = 5; АВ + CD = 20 + 21 = 41. Тогда:
(АС + СВ) + (СВ + BD) = AC + BD + 2СВ = АС + BD + 2 • 5 = 41,
откуда АС + BD = 31.
Значит, AD = (АС + BD) + ВС = 31 + 5 = 36.
Ответ: 36.
7.	Найдите расстояние между серединами отрезков АС и BD на ри-
сунке 2, если АВ = 17, ВС = 8, CD = 12.
А М В СК D
Рис. 2
Решение. Пусть точки М и К — середины отрезков соответственно
АС и BD. Тогда:
МС = 0,5АС = 0,5(АВ + ВС) = 12,5;
ВК = 0,5ВВ = 0,5(ВС + CD) = 0,5 • 20 = 10.
Значит, СК = CD - KD = 12-10 = 2. Поэтому
МК = МС + СК = 12,5 + 2 = 14,5.
Ответ: 14,5.
8.	Точки В, С, В, М лежат на одной прямой, причем ВС = 9, BD = 18,
DM = 5. Найдите наименьшую длину отрезка СМ.
В		С	D	М
	В	Рис. 3 С М	D
р ¥		Рис. 4 В	С	
М D		Рис. 5 В	С	
Рис. 6
9
1. ОТРЕЗКИ, ЛУЧИ, ПРЯМЫЕ
Решение. Возможны 4 случая:
1)	точки С и D лежат по одну сторону от точки В (рис. 3, 4), при этом:
а)	точка D лежит между С и М (рис. 3);
б)	точка М лежит между С и D (рис. 4);
2)	точки С и D лежат по разные стороны от точки В (рис. 5, 6), при
этом:
а)	точка М лежит между В и D (рис. 5);
б)	точка D лежит между В и М (рис. 6).
Наименьшую длину, равную 4 = 9-5, отрезок СМ = CD - DM
принимает в случае 1, б (рис. 4).
Ответ: 4.
Вариант 1
1.
2.
3.
ТЕСТ 1 Вариант 1 Точка А не лежит на прямой ВС. Точка М — середина от- резка АС, точка В — середина отрезка СК. Как расположе- ны прямые АВ и КМ1 1)	пересекаются 2)	не имеют общих точек 3)	совпадают 4)	имеют ровно две общие точки 5)	невозможно определить Точки С, D, Т, Н и F делят отрезок АВ на 6 равных частей (рис. 1). Найдите отношение длин отрезков AD и ТВ. Н	В	
	то
	12JL
	[3JL
	[4JL
	[5JL
	^0
	шп
	[2JL
	[3JL
А С Ь Т ’ F Рис. 1 1)	3:4	4) 1:2 2)	2:3	5) 3:2 3)	2 : 1 Точка А является серединой отрезка ВС. Найдите длину от- з резка АВ, если ВС = 57у . 1)	27,(3) 2)	28— 14 з 3)	29— 14 5 4)	28— 7 5)	29^ 2	[4JL
	[5JL
	
	ШЕ
	L2JI_
	[3JL
	|4J|_
	L5JL_
	
11
1. ОТРЕЗКИ, ЛУЧИ, ПРЯМЫЕ
1^1	4.	Точка М лежит на лучах АВ и ВА и равноудалена от точек А и В. Найдите расстояние от М до В, если это расстояние на 8 см меньше, чем расстояние от А до В. 1)	1 2)	2 3)	3 4)	4 5)	другой ответ 5.	Точка А — середина отрезка ВС, точка М — середина от- резка АС, а точка С — середина отрезка КМ. Сколько про- центов составляет длина отрезка ВК от длины отрезка ВС? 1)	25%	4) 28у% 2)	125%	5) 80% 3)	29,3% 6.	Точка Р лежит на отрезке АВ так, что АР : РВ = 0,3. Найди- те длину отрезка АР, если АВ = 91 м. Q 1)	27—	4) 22 13 2)	21	5) 21— 3)	1— 13 7.	Точка Р лежит на прямой АВ, но вне отрезка АВ так, что АР : РВ = 0,3. Найдите длину отрезка АР, если АВ = 91 м. 1)	39 2)	38 3)	21 4)	12 5)	9,3
ш	
[2JU	
L3JLJ	
[4J|_J	
L5JI—1	
	
Ш	
ЩЩ	
L3JU	
L1IU	
[5] 1_1	
	
ши	
щи	
щи	
LUU	
щи	
	
ши	
щи	
щи	
[4JU	
щи	
	
12
Ba	эиант 1
8.	Точка А лежит на прямой ВС между точками В и С. Найди- те длину отрезка ВС, если АВ : АС = 7:2 и АВ - АС = 10 см. 1)	21 см 2)	19 см 3)	20 см 4)	18 см 5)	верного ответа нет 9.	Общей частью отрезков АВ и CD является отрезок длины 3 (рис. 2). Найдите длину отрезка АВ, если АВ = 7, CD = 11. А	С	В	D	
	шп
	[2JU
	L3JU
	[4JLJ
	L5JU
	
	шп
	L2JI—I
	LsJI—l
Рис. 2 1)	17	4) 14 2)	16	5) 12 3)	15 10. Сколько отрезков изображено на рисунке 3?	[4JU
	LsJI—l
	
	ШП
A	BCD Рис. 3 1)	3	4) 6 2)	4	5) верного ответа нет 3)	5 11*. АВ = 7, ВС = 3, CD = 4 (рис. 4). Найдите сумму длин всех изображенных на этом рисунке отрезков.	[2JU
	[3JU
	LUU
	[5JU
	
	шп
	L2JI—I
A	BCD Рис. 4 1)	14	4) 42 2)	28	5) невозможно	определить 3)	45	[ЗО
	[4JU
	|5JL—I
	
13
1. ОТРЕЗКИ, ЛУЧИ, ПРЯМЫЕ
^<0 ш I2JU 13JLJ [4JU L5JU	12*. Найдите расстояние между серединами отрезков АС и CD на рисунке 4, если АВ = 7, ВС = 3, CD = 4. 1)	5	4) 7,5 2)	6	5) верного ответа нет 3)	7
^0 ши ЩЫ L3JU [4JU щи	13*. Найдите расстояние между серединами отрезков АС и BD на рисунке 4, если АВ == 7, ВС = 3, CD = 4. 1)	5	4) 6,5 2)	5,5	5) верного ответа нет 3)	6
^0 ши щи щи [4JU щи	14*. Определите взаимное расположение точек М, КиТ, лежа- щих на одной прямой, если КТ > МК и МК > МТ. 1)	М между КиТ 2)	К между МиТ 3)	Т междуКиМ 4)	верного ответа нет 5)	возможно несколько случаев
ши щи щи щи щи	15*. Точки К, Е, М, Т лежат на одной прямой, причем КТ = 11, КЕ = 3, ТМ = 5. Найдите наименьшую длину отрезка ЕМ. 1)	1	4) 4 2)	2	5) 5 3)	3
^0 ши щи щи щи щи	16*. Точки К, Е, М, Т лежат на одной прямой, причем КТ =11, КЕ = 3, ТМ = 5. Сколько различных значений может при- нимать длина отрезка ЕМ1 1)	1	4) 4 2)	2	5) 5 3)	3
14
Вариант 2
Вариант 2 1.	Точка К не лежит на прямой НС. Точка А — середина от- резка КН, точка С — середина отрезка PH. Как расположе- ны прямые АР и КН? 1)	невозможно определить 2)	не имеют общих точек 3)	совпадают 4)	имеют ровно две общие точки 5)	пересекаются 2.	Точки С, D, Т, Н и F делят отрезок АВ на 6 равных частей (рис. 1). Найдите отношение длин отрезков ВС и DF. Н	В	
	шп
	щи
	13JU
	LULl
	[5JLJ
	
	Ш
	L2JL—1
	L3JLJ
А С Ь Т ’ F Рис. 1 1)	5:3 2)	2:3 3)	2: 1 4)	1:2 5)	3:2 3. Точка К — середина отрезка ВС, точка Р — середина КС. 2 Найдите длину отрезка ВР, если PC = 14— . 7 1)	27,(3) 2)	23^ 7 3)	42 — 7 4)	28— 9 5)	29— 14	(4JU
	LsJI—l
	
	ш
	L2JU
	L3JL—I
	
	I5JLJ
	
15
1. ОТРЕЗКИ, ЛУЧИ, ПРЯМЫЕ
1^1	4.	Точка В лежит на лучах МК и КМ, причем МВ : МК = 2:3. Найдите расстояние между точками М и К, если это рас- стояние на 6 см больше, чем расстояние между М и В. 1)	18 2)	4 3)	5 4)	7 5)	другой ответ 5.	Точка С — середина отрезка АВ, точка М — середина от- резка ВС, а точка В — середина отрезка АК. Сколько про- центов составляет длина отрезка СМ от длины отрезка АК"? 1)	25%	4) 28у% 2)	125%	5) 12,5% 3)	29,3% 6.	Точка Р лежит на отрезке АВ так, что АР : РВ = 0,4. Найди- те длину отрезка АР, если АВ = 84 м. 1)	26	4) 24 2)	21	5) 21— 3)	1— 13 7.	Точка Н лежит на прямой АВ, но вне отрезка АВ так, что АН : НВ = 0,4. Найдите длину отрезка АН, если АВ = 24 м. 1)	3,9 2)	35 3)	21 4)	12 5)	16
шп	
L2JU	
L3JLJ	
[4JU	
[5] LJ	
^0	
шп	
12JU	
[3JU	
LUU	
L5JLJ	
	
ШП	
[2JU	
L3JLJ	
L4JU	
[5JU	
^0	
шп	
[2JU	
L3JI—1	
L4JI—I	
I5JI—1	
	
16
Вариант 2
8.	Точка К лежит на прямой ВС между точками В и С. Найдите длину отрезка ВС, если КВ : КС = 8 : 5 и КВ - КС = 15 см. 1)	21см	4) 18 см 2)	65 см	5) верного ответа нет 3)	20 см 9.	Общей частью отрезков АВ и CD является отрезок длины 7 (рис. 2). Найдите длину отрезка АВ, если АВ = 16, CD =17. А	С	В	D	0
	QD
	L2JLJ
	[3JU L4JU
	L5J1—I
	^0
	шп
	12JLJ
	|3||_1
Рис. 2 1)	19	4) 14 2)	10	5) 26 3)	25 10. Точки А, В, С и К расположены так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Через каждые две из этих точек проведена прямая. Сколько таких прямых проведено? 1)	9 2)	7 3)	6 4)	8 5)	верного ответа нет 11*. АВ = 11, ВС = 5, CD = 7 (рис. 4). Найдите сумму длин всех изображенных на этом рисунке отрезков.	ип
	L5JU
	
	та
	[2JLJ
	[3JU
	LUU
	L5JI—1
	
	ШП
	[2JU
A	BCD Рис. 4 1)	64	4) 74 2)	69	5) невозможно определить 3)	75	[3]П
	L4JU
	[5JU
	
17
1. ОТРЕЗКИ, ЛУЧИ, ПРЯМЫЕ
^$0 12*.
Найдите расстояние между серединами отрезков АС и CD
на рисунке 4, если АВ — 11, ВС — 5, CD = 7.
1) 10
2) 11,5
3) 11
4) 9,5
5) верного ответа нет
13*.
Найдите расстояние между серединами отрезков АС и BD
на рисунке 4, если АВ = 11, ВС = 5, CD = 7.
14*.
15*.
16*.
1)
2)
3)
10
8,5
9
4) 9,5
5) верного ответа нет
Определите взаимное расположение точек С, А и D, лежа-
щих на одной прямой, если AD > СА и СА > CD.
1)
2)
3)
4)
5)
возможно несколько случаев
А между С и D
D между А и С
верного ответа нет
С между А и D
Точки А, К, В, С лежат на одной прямой, причем АС = 34,
АК = 15, ВС = 14. Найдите наименьшую длину отрезка ВК.
1)
2)
3)
6
7
8
4) 5
5) 4
Точки А, К, В, С лежат на одной прямой, причем АС = 34,
АК = 15, ВС = 14. Сколько различных значений может
принимать длина отрезка ВК?
1)
2)
3)
8
3
4
4) 6
5) 5
18
2.	УГЛЫ
Подготовительные задачи
1.	Разность градусных мер двух смежных углов равна 58°. Найдите
градусную меру каждого из этих углов.
Решение. Обозначим: аир — величины смежных углов (а > р).
Тогда имеем:
а + р = 180° (по свойству смежных углов);
а - р = 58° (по условию) => р - а - 58° .
Тогда а + (а -58°) = 180° =>2а = 238° =>а = 119°.
Значит, =>р = 119о-58° = 61°.
Ответ: 119° и 61°.
2.	Градусная мера одного из смежных углов в четыре раза больше
другого. Найдите градусную меру большего из смежных углов.
Решение. Обозначим: аир — величины смежных углов (а > Р).
Имеем: а + р = 180° (по свойству смежных углов);
а = 4р (по условию).
Тогда 4р + р = 180° => 5р = 180° => Р = 36°.
Значит, а = 4 • 36 = 144°.
Ответ: 144°.
3.	Прямые АС и BD пересекаются в точке О. Сумма градусных мер
углов ВОС, COD и AOD равна 237°. Найдите градусную меру угла
ВОС.
Решение. Обозначим: ЛВОС - а , XCOD = р .
Тогда ZAOD = ZBOC = а (как вертикальные).
Имеем: а + р = 180° (по свойству смежных углов),
(а + р) + а = 237° (по условию),
откуда а = 237°-(а + р) = 237°-180° = 57°.
Ответ: 57°.
19
2. УГЛЫ
4.	Углы ВАС, CAD и DAM равны (рис. 1). Сколько процентов состав-
ляет градусная мера угла между лучом AD и биссектрисой АК уг-
ла ВАС от градусной меры угла САМ?
Решение.
Пусть ABAC - ACAD = ADAM = а .
Тогда АКАС = 0,5а,
значит, AKAD = 1,5а .
А так как АСАМ = 2а ,
то AKAD: АСАМ = 1,5а:2а = 0,75,
откуда AKAD = 0,75ZCAM ,
то есть AKAD = 0,75%ZCAM .
Ответ: 75%.
5.	Луч ВК является биссектрисой угла АВС, точка В — середина от-
резка КН. Определите градусную меру угла АВН, если градусная
мера угла АВС равна 48°.
Решение. Имеем: ААВК + АВН = 180° (как смежные углы).
Так как ВК — биссектриса ZABC = 48°, то ААВК = 24°.
Тогда ААВН = 180°-24°-156°.
Ответ: 156°.
6.	Углы МВС и МСВ равны. Точка С — середина отрезков КМ и ВН.
Сумма градусных мер углов МВС и КСН равна 80°. Найдите гра-
дусную меру угла МСН.
Рис. 2
20
Подготовительные задачи
Решение. Имеем (рис. 2):
ZMCB = ZHCK (как вертикальные),
ZMBC = ZMCB (по условию),
откуда Z.MBC = Z.HCK . Тогда:
ZMBC + ZKCH = 2ZKCY = 80° => ZKCH = 40°.
Так как ZMCH и ZKCH — смежные, то ZMCH + ZKCH = 180°.
Поэтому ZMCH = 180° - ZKCH = 180° - 40° = 140°.
Ответ: 140°.
7.	Углы АВС и АСВ равны. Точка С — середина отрезка AD. Градус-
ные меры углов АВС и BCD относятся как 2:7. Найдите градус-
ную меру угла BCD.
Рис. 3
Решение. Имеем (рис. 3):
ZACB + ZBCD = 180° (как смежные),
ZABC = ZACB (по условию). Значит,
ZABC = ZBCD = 180°.
Так как ZABC: ZBCD = 2:7 , то ZABC = 2k ,
ZBCD = 7k (k — коэффициент пропорциональности).
Тогда на основании соотношения ZACB + ZBCD- 180° получаем:
2k +7k = Vk = 180° => k = 20. Откуда: ZBCD = 7-20 = 140°.
Ответ: 140°.
21
2. УГЛЫ
ТЕСТ 2
Вариант 1
1. Сумма градусных мер двух вертикальных углов равна 153°.
Найдите градусную меру каждого из этих углов.
1) 132° и 48°
2) 71°и 71°
3) 76,5°и76°30'
4) 81°и 81°
5) такая ситуация невозможна
3.
UU	
L2JLJ [3JU L4JU [5JU	
^0 L2JI—! [3JU I4JU щи	4.
ШП щи щи ши I5IU	5.
Сумма градусных мер двух смежных углов равна 172°.
Найдите градусную меру каждого из этих углов.
1)	172° и 8°	4) 100° и 72°
2)	110° и 42°	5) такая ситуация невозможна
3)	86°и 86°
Разность градусных мер двух вертикальных углов равна
152°. Найдите градусную меру каждого из этих углов.
1)	14° и 174°	4) 81° и 81°
2)	71° и 71°	5) такая ситуация невозможна
3)	76,5°и76°30'
Разность градусных мер двух смежных углов равна 122°.
Найдите градусную меру каждого из этих углов.
1) 14° и 174°	4) 29° и 151°
2)61°и61°	5) такая ситуация невозможна
3) 19°и 141°
Градусная мера одного из смежных углов в три раза больше
другого. Найдите градусную меру большего из смежных
углов.
1)	122°	4) 144°
2)	135°	5) нет верного ответа
3)	98°
22
Вариант 1
6.
Прямые АС и BD пересекаются в точке О. Сумма градусных ^0
мер углов АОВ, ВОС и COD равна 234°. Найдите градусную Д Д
меру угла COD.	[3JU
1) 126°	4) 166°	L4JU
2) 64°	5) определить невозможно 3) 54°	L5JU
	
7.
Прямые АС и BD пересекаются в точке О. Сумма градусных
мер углов АОВ, ВОС и COD равна 174°. Найдите градусную
меру угла СОВ.
1) 6°
2) 186°
4) 87°
5) такая ситуация невозможна
8.
9*.
3) 93°
Сколько острых углов изображено на рис. 1?
1)
2)
3)
4)
5)
3
4
5
6
7
Углы ВАС, CAD и DAM равны (рис. 2). Сколько процентов
составляет градусная мера угла между биссектрисой угла
ВАС и лучом AD от градусной меры угла между этой бис-
сектрисой и лучом AM?
1)	40%
2)	50%
3)	60%
4)	100%
5)	нет верного ответа
23
2. УГЛЫ
^0	10.
шп	
[2JU	
L3JLJ	
LULJ	
[5IU	
11*
Точка А прямой ВС не лежит на луче ВС, точка С лежит на
луче АВ. Все точки, принадлежащие одновременно лучам
ВС и АВ, образуют
1)	отрезок
2)	луч
3)	прямую
4)	невозможно определить
5)	или луч, или прямую
Точка А прямой ВС не лежит на луче ВС, точка С лежит на
луче АВ. Все точки, принадлежащие хотя бы одному из лу-
чей ВС или АВ, образуют
1)	отрезок
2)	луч
3)	прямую
4)	не возможно определить
5)	или луч, или отрезок
На рис. 3 лучи ОС, OD, ОТ, ОН и OF делят угол АОВ на 6
равных частей. Найдите отношение градусных мер углов
AOD и ТОВ.
1)	3 : 4	4) 1 : 2
2)	2:3	5) 3:2
3)	2: 1
24
Вариант 1
13*. Луч КА является биссектрисой угла ВКС. Укажите градус- ^0
ную меру угла АКВ, если градусная мера угла ВКС = 57°15'. ШО
ип
1)	28°57'50"	ИС
2)	28°37'50"	ИП
3)	29°37'30"	SC
4) 28°37'30"
5) верного ответа нет
14*. Луч КА является биссектрисой угла ВКС, К — середина от- ^0
резка AM, Укажите градусную меру угла МКВ, если гра- Д С
дусная мера угла ВКС = 152°.	Щ |==
1)	76°	4) 104°	ИС
2)	78 50'	5) 124°	SC
3)	129°
15*. Углы КАВ и КВА равны. В — середина отрезков КМ и АТ. ^0
Сумма градусных мер углов КАВ и ТВМ 72°. Найдите гра- Д
дусную меру угла КВТ.	ИС
1)	зб°	НС
2)	72°	®С
3)	118°
4) 144°
5) определить невозможно
16*.
Углы КАВ и КВА равны. Точка В — середина отрезка КМ. ^0
Градусные меры углов КАВ и АВМ относятся как 2:7. Д Д
Найдите градусную меру угла АВМ.
1)	110°
2)	120°
3)	130°
4)	140°
5)	150°
25
2. УГЛЫ
Вариант 2
1.
Сумма градусных мер двух вертикальных углов равна 205°.
Найдите градусную меру каждого из этих углов.
ИП
1)
2)
3)
102,5° и 102°30'
71°и 71°
132°и 48°
4) 81,5°и81°30'
5) такая ситуация невозможна
2.
Сумма градусных мер двух смежных углов равна 149°.
Найдите градусную меру каждого из этих углов.
1)
2)
3)
172°и 8°
110° и 42°
86° и 86°
4)
5)
100° и 49°
такая ситуация невозможна
3.
вертикальных углов равна
Разность градусных мер двух
60°. Найдите градусную меру каждого из этих углов.
4.
5.
1)
2)
3)
14°и 174°
71°и 71°
76,5° и 76°30'
4)
5)
81°и 81°
такая ситуация невозможна
смежных углов равна 36°.
Разность градусных мер двух
Найдите градусную меру каждого из этих углов.
1)
2)
3)
14° и 174°
108° и 72°
19°и 141°
4)	29°и 151°
5)	такая ситуация невозможна
Градусная мера одного из смежных углов в семь раз больше
другого. Найдите градусную меру большего из смежных
углов.
1)
2)
3)
122°
135°
157,5
4) 144°
5) нет верного ответа
26
Вариант 2
6.	Прямые АС и BD пересекаются в точке О. Сумма градусных мер углов ЛОВ, ВОС и COD равна 237°. Найдите градусную меру угла COD. 1)	127°	4) 69° 2)	67°	5) определить невозможно 3)	57° 7.	Прямые АС и BD пересекаются в точке О. Сумма градусных мер углов АОВ, ВОС и COD равна 175°. Найдите градусную меру угла СОВ. 1)	67°	4) 87° 2)	156°	5) такая ситуация невозможна 3)	92°	^0
	шп
	I2JLJ
	I3JLJ
	L4JLJ
	L5JI—1
	^0 шп
	L2JI—1
	L3JU
	I4JLJ
	15JLJ
	
8. Сколько острых углов изображено на рис. 1?
1) 3
2)	4
3)	5
4)	6
5)	7
Рис. 1
9*.
Углы ВАС, CAD и DAM равны (рис. 2). Сколько процентов
составляет градусная мера угла между биссектрисами уг-
лов ВАС и CAD от градусной меры угла между биссектрисой
угла DAM и лучом АВ1
^0
шп
ип
sin
ип
1) 40%
2)	50%
3)	80%
4)	100%
5)	нет верного ответа
Рис. 2
27
2. УГЛЫ
^<0 10.
^0	11*.
шп	
12JU	
[3JLJ	
LUU	
I5JU	
^0 ши	12.
L2JU	
[3JU	
ши	
I5JL1	
Точка А прямой ВС лежит на луче ВС, точка В не лежит на
луче АС. Все точки, принадлежащие одновременно лучам
ВС и СА, образуют
1)	отрезок
2)	луч
3)	прямую
4)	невозможно определить
5)	или луч, или прямую
Точка М прямой КН не лежит на луче КН, точка К лежит
на луче НМ. Все точки луча НК, принадлежащие лучу
МН, образуют
1)	отрезок
2)	луч
3)	прямую
4)	невозможно определить
5)	или луч, или отрезок
На рис. 3 лучи ОВ, ОС, ОН, ОК и ОА делят угол МОТ на 6
равных углов. Найдите отношение градусных мер углов
АОВ и МОН.
1) 3:4
2) 2:3
3) 2 : 1
4) 4:3
5) 3:2
Рис. 3
^<0
3D
3D
3D
30
SO
13*.
Луч ВМ является биссектрисой угла АВС. Укажите градус-
ную меру угла АВМ, если градусная мера угла АВС равна
65°17'.
1) 28°57'50"
2) 32°38'30"
3) 29°37'30"
4) 28°37'30"
5) верного ответа нет
28
Вариант 2
14*.
15*.
16*.
Луч ВК является биссектрисой угла АВС, точка В — сере- дина отрезка КН. Укажите градусную меру угла АВС, если градусная мера угла АВН равна 124°. 1)	76° 2)	78°50' 3)	129° 4)	104° 5)	112° Углы МАС и MCA равны. Точка С — середина отрезков МН и АТ. Сумма градусных мер углов МАС и ТСН равна 60°. Найдите градусную меру угла АСН. 1)	36° 2)	определить невозможно 3)	118° 4)	144° 5)	150° Углы МАВ и MBA равны. Точка А — середина отрезка СМ. Градусные меры углов АВМ и ВАС относятся как 4:5. Най- дите градусную меру угла ВАС. 1)	110° 2)	120° 3)	100° 4)	140° 5)	150°	^0
	ши
	L2JLJ
	L3JU
	I4JU
	L5JI—1
	
	ШП
	щи
	L3JLJ
	UU
	[5JU
	^0
	ши
	щи
	щи
	[4JU
	[5JU
	
29
3. ТРЕУГОЛЬНИКИ
Подготовительные задачи
1.	Периметр треугольника МРК (рис. 1) равен 58 см, а длина его ме-
дианы МН равна 15 см. Определите периметр треугольника МРН,
если МР = МК.
Решение.
Периметр МИРК равен МР + МК + РК = 2МК + РК = 58 см.
Периметр МИРН равен МК + КН + НМ = (МК + i РК) + МН.
2
Имеем: 2МК + РК = 58 => МК + i РК 29 см.
2
Тогда периметр МИРН равен: 29 + 15 = 44 см.
Ответ: 44 см.
2.	Периметр треугольника МРК (рис. 2) равен 34. Точка Н лежит на
стороне МК этого треугольника так, что сумма периметров тре-
угольников МРН и КРН равна 60 см. Найдите длину отрезка PH.
Р
МН	К
Рис. 2
30
Подготовительные задачи
Решение. Имеем (рис. 2):
Ршрк =МР + МК + РК = МР + МН + НК + КР;
Р&мрн = МР + МН + HP; Р^рн =КР + РН + НК.
Тогда: Р^мрн + Р^рн = (МР + МН + HP) + (КР + PH + НК) =
= (MP + МН + НК + КР) + 2РН = 34 + 2РН = 60 =>
=> 2РН = 60 - 34 = 26 => РН = 13.
Ответ: 13.
3.	Отрезок PH — медиана треугольника МРК. Градусные меры уг-
лов РМК и РКМ равны соответственно 33° и 47°. Определите гра-
дусную меру угла АКТ, если точка Н — середина отрезка АР.
Рис. 3
Решение. Так как точка Н — середина отрезков КМ иАР (рис. 3),
то КМ = НМ, РН=АН.
Кроме того, АМНР = ААНК (как вертикальные).
Поэтому Z РНМ = ИАНМ (по двум сторонам и углу между ними),
откуда ЛАКН = МРМН = 33° (как углы, лежащие против равных сто-
рон в равных треугольниках).
Тогда Z АКР = ZАКН + Z МКР = 33° + 47° = 80°.
Ответ: 80°.
4.	Точка М лежит на стороне АВ треугольника АВС (рис. 4). Найдите
угол между биссектрисой угла ВМС и прямой ВС, если
АВ = 16 см, AM = 7 см, СМ = 9 см.
31
3. ТРЕУГОЛЬНИКИ
Рис. 4
Решение. Находим:
ВМ = АВ- AM = 16- 7 = 9.
Получаем:
МС = МВ=>АМВС — равнобедренный.
Тогда биссектриса МК угла ВМС равнобедренного А МВС, проти-
волежащего его основанию ВС, является высотой этого треугольника
^MKLBC^ Л(МК,ВС) = 90°.
Ответ: 90°.
5.
Медианы ВК и СН равнобедренного треугольника АВС (АВ = АС)
пересекаются в точке Р (рис. 5). Сколько образовалось пар равных
друг другу треугольников?
Рис. 5
Указание. АВСК = АСВН (почему?);
Л. АВ К = ^АСН (почему?);
АСРК = АВРН (почему?)
Ответ: три пары.
6.	В треугольнике АВС градусная мера угла ВАС равна 52°, а градус-
ная мера угла СВА равна 86°. Точка Т — середина отрезка АВ.
Прямая, проходящая через точку Т перпендикулярно АВ, пересе-
кает сторону АС в точке К (рис. 6). Найдите градусную меру угла
квс.
А Т В
Рис. 6
32
Подготовительные задачи
Решение. Точка К принадлежит серединному перпендикуляру от-
резка АВ, проходящему через точку Т — середину АВ. Поэтому
ЛАТ К = &ВТК (АТ = ТВ, КТ — общий катет).
Значит, Z ТАК = Z ТВК = 52°.
Тогда Z КВС = Л АВС - ЛАВК = 86° - 52° = 34°.
Ответ: 34°.
7.	Треугольники АВС и АВМ расположены так, что точка С лежит на
отрезке ВМ (рис. 7). Определите градусную меру угла, образован-
ного биссектрисами СК и СТ треугольников соответственно АВС и
АСМ.
Решение. Имеем: ZACB + ZACM = 180° (по свойству смежных уг-
лов) => i(ZACB + ZАСМ)= 90°. Далее:
2
СТ — биссектриса ZACM => Z ACT = i Z ACM’,
СК — биссектриса ZACB => ЛАСК = i ZACB.
Тогда: Z TCK = ЛАСТ + ЛАСК = i ZACM + i ZACB =
2	2
= |(ZACM + ZACB) = 90°.
Таким образом, градусная мера угла, образованного биссектриса-
ми двух смежных углов, равна 90°.
Ответ: 90°.
2№6415
33
3. ТРЕУГОЛЬНИКИ
8.	Периметр равнобедренного треугольника АКС равен 273 см, а
АК: АС = 5:4. Найдите все возможные значения длины отрез-
ка АС.
Решение. Возможны два случая.
л.
Рис. 8
Рикс=2АК+АС = 2
^>АС =	78 (СМ).
5
—АС+АС
1) В равнобедренном ААйГС:
АК = КС, АК>АС (рис. 8)
иАК:АС = 5:4,
5
откуда АК = — АС.
4
Тогда:
= —АС = 273 л
2
Рис. 9
2) В равнобедренном ААХС:
АС = КС, АК> АС (рис. 9)
иАХ:АС = 5 :4.
5
Тогда АК= - АС
к.	13
и = АК+2АС = -АС+2АС = —АС= 273 л
4	4
л АС =
273-4
13
= 84 (см).
Ответ'. 78 см и 84 см.
34
Вариант 1
2.
ТЕСТЗ
Вариант 1
На рисунке 1 в треугольнике АВС отрезки AAlf
являются соответственно
Рис. 1
1)	высотой, медианой, биссектрисой
2)	медианой, высотой, биссектрисой
3)	биссектрисой, высотой, медианой
4)	биссектрисой, медианой, высотой
5)	медианой, биссектрисой, высотой
ВВХ и CCi
Периметр треугольника АВС равен 20 см, а длина его ме-
дианы ВМ равна 4 см. Определите периметр треугольника
АВМ, если АВ = ВС.
1)	И
2)	12
3)	13
4) 14
5) определить невозможно
Периметр треугольника АВС равен 10. Точка К лежит на
стороне АВ этого треугольника так, что сумма периметров
треугольников АКС и ВКС равна 16. Найдите длину отрез-
ка СК.
1) б
2) 5
3) 3
4) 4
5) определить невозможно
шп
ЕС
ЕС
3)С
ЕС
35
3. ТРЕУГОЛЬНИКИ
Отрезок СК — медиана треугольника АВС. Градусные меры
углов САВ и СВА равны соответственно 34° и 57°. Опреде-
лите градусную меру угла СВМ, если точка К — середина
отрезка СМ.
1)	57°
2)	91°
3)	23°
4) 34°
5) определить невозможно
^<0 5. Точка К лежит на стороне АВ треугольника АВС. Найдите
Ши угол между биссектрисой угла АКС и прямой АС, если
® Д АВ = 10 см, СК = 4 см, ВК - 6 см.
L3JI_I
[4]D	1) 90°	4) 45°
ISO	2) 30°	5) определить невозможно
3)	60°
^0	6. На рисунке изобразили все равные друг другу треугольни-
шп	ки со сторонами 6 см, 8 см и 9 см так, что они имеют общую
ио L3JU	сторону длиной 9 см. Сколько всего треугольников изобра- зили на рисунке?
[4JU	
L5JU	1) 1
	2) 2
	3) 3
	4) 4
5) бесконечно много
^0	7. Неравнобедренные треугольники АВС и АВСг равны. Отре- зок CCi пересекает отрезок АВ в точке К. Что можно ска- зать о треугольниках АССГ и BCCj? 1)	равны 2)	неравны 3)	могут быть равны, а могут быть неравны 4)	треугольники всегда совпадают 5)	такая ситуация невозможна
шп	
L2JU	
[3JU	
|4]|_1	
L5JLJ	
	
36
Вариант 1
8. Неравнобедренные треугольники АВС и АВСг равны. Отре- ^0
зок АС пересекает отрезок ВСХ в точке К. Что можно ска-
зать о равенстве треугольников АКСг и ВСК1	।—
1)	равны	[411
2)	неравны	® 1—
3)	могут быть равны, а могут быть неравны
4) треугольники всегда совпадают
5) такая ситуация невозможна
9.
10.
Медианы АТ и СМ равнобедренного треугольника АВС
(АВ = ВС) пересекаются в точке К (рис. 2). Сколько образо-
валось пар равных друг другу треугольников?
1)	одна пара
2)	две пары
3)	три пары
4)	четыре пары
5)	пять пар
Рис. 2
Отрезок ВК — медиана равнобедренного треугольника АВС
(АВ = ВС); ВМ и BN — медианы треугольников соответст-
венно ВСК и АВК (рис. 3). Сколько образовалось пар рав-
ных друг другу треугольников?
1)	одна пара
2)	две пары
3)	три пары
4)	четыре пары
5)	пять пар
В
Л
A N К М С
^$£1
шп
ип
on
ип
Рис. 3
37
3. ТРЕУГОЛЬНИКИ
11.
В треугольнике АВС градусная мера угла ВАС равна 72°, а
градусная мера угла ВСА равна 53°. Точка К — середина
отрезка АС. Прямая, проходящая через точку К перпенди-
кулярно АС, пересекает сторону ВС в точке Т (рис. 4). Най-
дите градусную меру угла ВАТ.
1)	19°
2)	36°
3)	53°
4)	9°
5)	определить невозможно
Рис. 4
^0 12.
ш
[2]П
ED
ип
tsn
Треугольники АВС и ВСК расположены так, что точка С
лежит на отрезке АК. Определите градусную меру угла, об-
разованного биссектрисами СР и СМ треугольников соот-
ветственно АВС и ВСК.
1)	80°
2)	90°
3)	100°
4)	любой острый угол
5)	определить невозможно
13.
и
[а
з
и
В]
Треугольники АВС и ВСК расположены так, что точка С
лежит на отрезке AZC, а углы АВС и КВС равны. Найдите
длины высот CF и СН треугольников соответственно АВС и
ВСК, если сумма длин этих высот равна 40 см.
1)	определить невозможно
2)	15 см и 25 см
3)	20 см и 20 см
4)	10 см и 30 см
5)	любые длины, сумма которых равна 40 см
38
14.
15.
16.
Ba	риант 1
Точка К — середина отрезка АВ. Треугольник СВК равен	
треугольнику САК. Найдите градусную меру угла САК.	ши
	L2JI—I
1) 45°	[3JU
2) 135°	L4JI—I
3)	90° 4)	60° 5)	определить невозможно	I5JLJ
	
Периметр равнобедренного треугольника АВС равен 56 см,	^0
а АВ : ВС = 2:3. Найдите все возможные значения длины отрезка АС.	ши
	L2JLJ
	щи
1) 16 см и 32 см	[4JU
2)	21 см и 42 см 3)	16 см и 21см 4)	бесконечно много различных значений 5)	верного ответа нет	щи
	
Треугольник ОАВ равен треугольнику OCD (АВ = CD). Ок-	^0
ружность с центром О проходит через точки А и В. Как рас- положены относительно этой окружности точки С и D?	ши
	щи
	щи
1) обе точки лежат внутри круга данной окружности	ши
2)	обе точки лежат вне круга данной окружности 3)	одна точка лежит внутри круга, вторая — вне круга дан- ной окружности 4)	обе точки лежат на окружности 5)	верного ответа нет	щи
	
39
3. ТРЕУГОЛЬНИКИ
Вариант 2
На рисунке 1 в треугольнике АВС отрезки ААХ, ВВХ и ССХ
являются соответственно
Рис. 1
1) высотой, медианой, биссектрисой
2) медианой, высотой, биссектрисой
3) биссектрисой, высотой, медианой
4) биссектрисой, медианой, высотой
5) медианой, биссектрисой, высотой
Периметр треугольника АВС равен 72 см, а длина его ме-
дианы AM равна 12 см. Определите периметр треугольника
АВМ, если АВ = АС.
1)	51	4) 42
2)	48	5) определить невозможно
3)	53
Периметр треугольника МРН равен 50. Точка К лежит на
стороне МН этого треугольника так, что сумма периметров
треугольников МРК и РКН равна 64. Найдите длину от-
резка РК.
1)	6	4) 11
2)	9	5) определить невозможно
3)	7
40
Вариант 2
4.	Отрезок АК — медиана треугольника АВС. Градусные меры .gs'B
углов АСВ и АВС равны соответственно 15° и 130°. Опреде-
лите градусную меру угла АВН, если точка К — середина
отрезка АН.
1)	145°	4) 95°	ЕЭС
2)	115°	5) определить невозможно
3)	85°
5.
6.
7.
Точка Н лежит на стороне АС треугольника АВС. Найдите
угол между биссектрисой угла АСВ и прямой ВН, если
АС = 16 см, АН = 6 см, ВС = 10 см.
1)
2)
3)
60°
45°
30°
4)	90°
5)	определить невозможно
На рисунке изобразили все равные друг другу треугольни-
ки со сторонами 3 см, 11 см и 9 см так, что они имеют об-
щую сторону длиной 9 см. Сколько всего треугольников
изобразили на рисунке?
1)
2)
3)
4)
5)
1
4
3
2
бесконечно много
Неравнобедренные треугольники АВМ и АВМХ равны. От-
резок ММХ пересекает отрезок АВ в точке С. Что можно
сказать о треугольниках АММ± и BMMfl
1)
2)
3)
4)
5)
треугольники всегда совпадают
могут быть равны, а могут быть неравны
неравны
равны
такая ситуация невозможна
41
3. ТРЕУГОЛЬНИКИ
mi
[2][
Of
И[
®[
Неравнобедренные треугольники ВСМ и ВСМ1 равны. От-
резок ВМ пересекает отрезок СМХ в точке А. Что можно
сказать о треугольниках АВМг и САМ?
1)	могут быть равны, а могут быть неравны
2)	неравны
3)	равны
4)	треугольники всегда совпадают
5)	такая ситуация невозможна
^0
ШЕ
иг
[3JEZ
Медианы AM и СК равнобедренного треугольника АВС
(АВ = ВС) пересекаются в точке Н (рис. 2). Сколько образо-
валось пар равных друг другу треугольников?

1)	одна пара
2)	пять пар
3)	две пары
4)	четыре пары
5)	три пары
^0 10.
ШП
[ЦП
но
[5]П
Отрезок КА — медиана равнобедренного треугольника
КМС (КС = МК); КВ и КН — медианы соответственно тре-
угольников АСК и АМК (рис. 3). Сколько образовалось пар
равных друг другу треугольников?
1)	одна пара
2)	четыре пары
3)	пять пар
4)	две пары
5)	три пары
Рис. 3
42
Вариант 2
11.
12.
В треугольнике НРК градусная мера угла НРК равна 79°, а
градусная мера угла НКР равна 52°. Точка А — середина
отрезка РК. Прямая, проходящая через точку А перпенди-
кулярно РК, пересекает сторону КН в точке В (рис. 4).
Найдите градусную меру угла ВРН.
1) 19°
2)	37°
3)	151°
4)	27°
5)	определить невозможно
Рис. 4
Треугольники АВК и АСК расположены так, что точка В
лежит на отрезке СК. Определите градусную меру угла, об-
разованного биссектрисами ВН и ВМ треугольников соот-
ветственно АВС и АВК.
1)	70°
2)	определить невозможно
3)	любой острый угол
4)	115°
5)	90°
шп
[2]П
Э1П
ап
ап
13. Треугольники АВК и АСК расположены так, что точка В ^0
лежит на отрезке СК, а углы ВАС и К АВ равны. Найдите
длины высот ВН и ВМ треугольников соответственно ABC
и АВК, если сумма длин этих высот равна 36 см.	j-д-ц—
1)	определить невозможно	SII—
2)	16 см и 20 см
3) 12 см и 24 см
4) 18 см и 18 см
5) любые длины, сумма которых равна 36 см
43
3. ТРЕУГОЛЬНИКИ
^0	14.
шп	
[2JU	
13JU	
LULJ	
t5j|_l	
^0	15.
ш	
[2JU	
[3JU	
14JU	
im	
^0	16.
m
EJ
[3]
ffl
[5]
Точка H — середина отрезка АС. Треугольник АВН равен
треугольнику СВН. Найдите градусную меру угла ВАС.
1)	30°
2)	100°
3)	60°
4)	40°
5)	определить невозможно
Периметр равнобедренного треугольника АВС равен 36 см,
а АС : ВС = 2:5. Найдите все возможные значения длины
отрезка АВ.
1)	10 см и 16 см
2)	верного ответа нет
3)	бесконечно много различных значений
4)	8 см и 15 см
5)	8 см и 20 см
Окружность с центром М проходит через точки К и Н. Тре-
угольник КМН равен треугольнику РМА (КН — РА). Как
расположены относительно этой окружности точки Р и А?
1)	обе точки лежат вне круга данной окружности
2)	обе точки лежат внутри круга данной окружности
3)	одна точка лежит внутри круга, вторая — вне круга
данной окружности
4)	верного ответа нет
5)	обе точки лежат на окружности
44
4. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
Подготовительные задачи
1.	На рисунке 1 при пересечении прямой р с прямыми т и п образо-
вались углы а, р, у, 5, ф, ф, со, ц. Какими являются: а) углы аи 0;
б) углы ф и у; в) углы а и ф; г) углы р и 5; д) углы 6 и ф?
Ответ', а) смежными; б) внутренними накрест лежащими; в) со-
ответственными; г) вертикальными; д) внутренними односторонними.
2.	Три параллельные прямые пересечены четвёртой прямой. Сумма
всех образовавшихся тупых углов с вершинами в точках пересе-
чения равна 840°. Найдите величины каждого из образовавшихся
при этом острых углов.
Решение. При пересечении четвёртой прямой с каждой из трёх
данных параллельных прямых образуется одна пара тупых вертикаль-
ных углов. Так как вертикальные углы равны и равны накрест лежа-
щие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых
третьей, то при данном пересечении образуются шесть равных тупых
углов с вершинами в точках пересечения.
По условию задачи сумма всех этих шести тупых углов равна
840°, значит, каждый из них равен 140°. Тогда каждый смежный с ним
угол является острым и имеет величину, равную 40° = 180° - 140°.
Ответ: все по 40°.
45
4. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
3.	На рисунке 2 через вершину В треугольника ВКН проведена пря-
мая СМ, параллельная прямой КН. Запишите в порядке возрас-
тания градусные меры трёх углов треугольника ВКН, если гра-
дусные меры углов СВК и МВН равны соответственно 57° и 28°.
Рис. 2
Решение. Так как CM II КН, то
Z ВНК = Z МВН = 28° и Z ВКН = Z СВК = 57° (как накрест ле-
жащие).
Тогда: Z КВН = 180° - (Z ВНК + Z ВКН) = 180° - (28° + 57°) = 95°.
Таким образом, ZBHK = 28°, Z ВКН = 57°, Z КВН = 95°.
Ответ-. 28°; 57°; 95°.
4.	На рисунке 3 через вершину В треугольника АВС проведена пря-
мая МТ, параллельная прямой АС. Запишите в порядке убывания
градусные меры трёх углов треугольника АВС, если градусные
меры углов СВМ иАВТ соответственно равны 158° и 120°.
Рис. 3
Решение. Имеем (рис. 3):
ZABT = ZABC + ZCBT = 120°, ZCBM = ZАВС + ZABM = 158°,
значит, ZABC+ (ZABC + ZC ВТ + ZABM) =278°.
Но ZABC + ZCBT + ZABM =180°.
Поэтому ZABC = 278° - (ZABC + ZCBT + ZABM) =
= 278° -180° = 98°.
Тогда: ZABM - ZCBT-ZABC = 158° - 98° = 60°;
ZCBT = ZABT- ZABC = 120° - 98° = 22°.
46
Подготовительные задачи
Далее:
МТ || АС => ZABC = ZCBT = 22°, ZCAB = /АВМ = 60° (как накрест
лежащие).
Таким образом, получаем в треугольнике ABC: /АВС = 98°;
/САВ = 60°; ZACB = 22°.
Ответ: /АВС = 98°; /САВ = 60°; ZACB = 22°.
5.	Прямая MN пересекает параллельные прямые АВ и CD соответст-
венно в точках Р и К так, что ЛАРК = а — острый. Градусную
меру угла АРК сложили с градусными мерами одностороннего с
ним угла, соответственного ему угла и накрест лежащего с ним
угла. Сумма этих четырёх слагаемых оказалась равной 320°. Най-
дите градусную меру угла а .
Решение. При пересечении двух параллельных прямых третьей
прямой равны накрест лежащие углы, соответственные углы, а сумма
двух односторонних углов равна 180°. Поэтому сумма этих четырёх
слагаемых, оговоренных в условии задачи, имеет вид:
а + а + (180° - а) + а.
По условию эта сумма градусных мер углов равна 320°, поэтому
решаем уравнение: а + а + (180° - а) + а = 320°.
Получаем: 2а = 140°, откуда а = 70°.
Ответ: 70°.
6.	Прямые АВ и КН параллельны, ВК — биссектриса угла АВН.
Найдите градусную меру угла ВНК, если градусная мера угла
ВКН равна 42° (рис. 4).
Рис. 4
47
4. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
Решение. АВ\\КН ВК — секущая^ ZABK = ZBKH = 42°
(как накрест лежащие). А так как ВК — биссектриса ААВН, то
ZABK= Z КВН.
Тогда Z ВКН = Z КВН = 42°.
Поэтому ZABH = 2 ZABK = 2 • 42° = 84°,
значит, АВНК = 180° - ААВН = 180° - 84° = 96° (по свойству
внутренних односторонних углов при параллельных и секущей пря-
мых).
Ответ,'. 96°.
7.	Прямые АС и BD пересекаются в точке Н, а прямые АВ и CD па-
раллельны. Градусные меры углов НАВ и НВА треугольника АВН
относятся как 5:7. Сумма градусных мер углов треугольника
CDH, прилежащих к стороне CD, равна 144°. Найдите разность
градусных мер углов HDC и HCD.
Решение. Имеем:
АВ || CD => Z НВА = Z HDC, Z НАВ = Z HCD (почему?)
Тогда градусные меры углов HCD и HDC также находятся в от-
ношении 5 : 7. Это означает, что
Z.HCD = 5/г, AHDC = 7k (k — коэффициент пропорционально-
сти).
А так как сумма 5/г + 7k градусных мер этих углов равна 144°, то
из уравнения 12k = 144° находим: k = 12. Тогда:
ZHDC = 7 • 12 = 84°; Z HCD = 5 • 12= 60°,
значит, ZHDC - ZHCD = 84° - 60° = 24°.
Ответ: 24°.
48
Вариант 1
ТЕСТ 4
Вариант 1
Точки А, В, С, Р, К и Т расположены так, что прямая АВ
параллельна прямой СР, а прямая КТ параллельна прямой
АВ. Как расположены прямые СР и КТ, если точка Р — се-
редина отрезка ВТ?
1)	прямые СР и КТ пересекаются
2)	прямые СР и КТ совпадают
3)	прямые СР и КТ параллельны
4)	прямые СР и КТ параллельны или совпадают
5)	взаимное расположение прямых определить невозможно
На рисунке 1 углы аир являются
1)	смежными
2)	накрест лежащими
3)	соответственными
4)	вертикальными
5)	односторонними
хИ
НЕ
зе
з]Е
ЗЕ
ЗЕ
Рис. 1
з.
На рисунке 1 углы ср и у являются
1)	смежными
2)	накрест лежащими
3)	соответственными
4)	вертикальными
5)	односторонними
На рисунке 1 углы а и ср являются
1)	смежными
2)	накрест лежащими
3)	соответственными
4)	вертикальными
5)	односторонними
49
4. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
^0 ш L2JU ЩЫ	5.	На рисунке 1 углы р и 5 являются 1)	смежными 2)	накрест лежащими 3)	соответственными 4)	вертикальными 5)	односторонними 6.	На рисунке 1 углы б и (р являются 1)	смежными 2)	накрест лежащими 3)	соответственными 4)	вертикальными 5)	односторонними
[4JU	
[5JU ^0	
та щи щи	
L4JLJ	
щи	
	
Три параллельные прямые пересечены четвёртой прямой.
Сумма всех образовавшихся тупых углов с вершинами в
точках пересечения равна 960°. Найдите величины каждо-
го из образовавшихся при этом острых углов.
1)	все по 30
2)	все по 35
3)	все по 20
4) все по 40°
5) определить невозможно
8.
На рисунке 2 через вершину А треугольника АВС проведена
прямая ТМ, параллельная прямой ВС. Запишите в порядке
возрастания градусные меры трёх углов треугольника АВС,
если градусные меры углов ВАМ и CAT равны соответст-
венно 42° и 25°.
1)	35°, 62°, 73°
2)	73°, 62°, 45°
3)	25°, 42°, 113°
4)	45°, 62°, 73°
5)	верного ответа нет
50
Вариант 1
9.
10.
На рисунке 3 через вершину В треугольника АВС проведена
прямая ГР, параллельная прямой АС. Запишите в порядке
убывания градусные меры трёх углов треугольника АВС,
если градусные меры углов СВТ и АВР равны соответствен-
но 143° и 162°.
1)	162°, 143°, 5°
2)	125°, 37°, 18°
3)	5°, 143°, 162°
4)	18°, 37°, 125°
5)	такое положение невозможно
Рис. 3
Прямая MN пересекает параллельные прямые PQ и CD со-
ответственно в точках А и В так, что ZMAP = а — тупой.
Градусную меру угла а сложили с градусными мерами на-
крест лежащего с ним угла, соответственного ему угла и
одностороннего с ним угла. Сумма этих четырёх слагаемых
оказалась равной 480°. Найдите градусную меру угла а.
1)	160°
2) 3) 4) 5)	150° 140° 120° определить невозможно
11*.
На рисунке 4 прямые МК и АТ параллельны, при этом
АК — биссектриса угла ТАМ. Найдите градусную меру угла
АМК, если градусная мера угла АКМ равна 23°.
1)	определить невозможно
2)	124°
3)	144°
4)	157°
5)	134°
^0
ЦП
3]П
зп
ЗП
Рис. 4
51
4. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
^0 шп L2JLJ [3JU L1IU L5JI—]	12*. На рисунке 5 прямые АС и BD пересекаются в точке К, а прямые АВ и CD параллельны. Градусные меры углов К АВ и КВА треугольника КВА относятся как 5:7. Сумма гра- дусных мер углов треугольника KDC, прилежащих к сто- роне DC, равна 132°. Найдите разность градусных мер уг- лов КАВ и КВА. 1)	22°	\/р I 2)	24°	/\Ув 3)	12°	/ 4)	20°	/ 5)	25° Рис. 5
^0 шп L2JU [з]|_1 [4]|_| L5JU	13*. На рисунке 6 прямая АВ параллельна прямой CD, а прямая AD параллельна прямой ВС. Сумма острых углов четырёх- угольника ABCD равна 121°12'. Найдите градусную меру каждого из этих острых углов. 1)	найти невозможно	/	/ А / В 2)	61°12' и 60°		7—  3)	60°36' и 60°36'	/	/ 4)	50°56'и50°16'	/ / п/ /с 5)	60°6'и61°6'	/	/ Рис. 6
^0 шп L2JLJ L3JU LUU 1_5]|_|	14*. Прямая МК пересекает прямые МТ и КР так, что углы РКМ и ТМК равны. Как могут быть расположены прямые МТ и КР? 1)	пересекаются 2)	параллельны 3)	пересекаются или параллельны 4)	перпендикулярны 5)	невозможно определить
52
Вариант 1
15*. Две параллельные прямые а и b пересечены третьей прямой
с так, что разность двух односторонних углов, образовав-
шихся при этом пересечении, равна 55°. Найдите сумму
двух тупых накрест лежащих углов, образовавшихся при
этом пересечении.
1) 2) 3) 4) 5)	117°30 245° 260° верного ответа нет 235°
16*. Градусная мера угла ВАС треугольника АВС равна 160°.
Через точку К — середину стороны ВС — проведены пря-
мые, параллельные сторонам АВ и АС треугольника и пере-
секающие эти стороны соответственно в точках Т и М
(КМ || АВ, КТ || АС). Сколько процентов составляет градус-
ная мера суммы острых углов четырёхугольника AM КТ от
градусной меры суммы его тупых углов?
1)	25%
2)	12,5%
3)	37,5%
4)	50%
5)	определить невозможно
^0
2]П
зс
зс
3EZ
53
4. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
Вариант 2
Точки А, В, С, Р, К и М расположены так, что прямая АВ
параллельна прямой СК, а прямая СК параллельна прямой
МР. Как расположены прямые СК и МР, если точка А —
середина отрезка СР1
1)	прямые СК и МР пересекаются
2)	прямые СК и МР совпадают
3)	взаимное расположение прямых определить невозможно
4)	прямые СК и МР параллельны или совпадают
5)	прямые СК и МР параллельны
^0 та	2.
[2JU	
[3JU	
|4|| |	
I5JLJ	
^0	3.
та	
L2JU	
[3JL1	
[4JU	
I5JU	
^0	4.
та	
L2JLJ	
[3JU	
L1IU	
15JLJ	
На рисунке 1 углы \[/ и [3 являются
1)	смежными
2)	накрест лежащими
3)	соответственными
4)	вертикальными
5)	односторонними
Рис. 1
На рисунке 1 углы а и 6 являются
1)	смежными
2)	накрест лежащими
3)	соответственными
4)	вертикальными
5)	односторонними
На рисунке 1 углы 5 и являются
1)	смежными
2)	накрест лежащими
3)	соответственными
4)	вертикальными
5)	односторонними
54
Вариант 2
5.	На рисунке 1 углы <р и со являются 1)	смежными 2)	накрест лежащими 3)	соответственными 4)	вертикальными 5)	односторонними 6.	На рисунке 1 углы 5 и <р являются 1)	смежными 2)	накрест лежащими 3)	соответственными 4)	вертикальными 5)	односторонними	^0 ши L2JU
	щи
	UU
	L5JU
	
	шп
	щи
	щи
	щи
	щи
	
7.
Три параллельные прямые пересечены четвёртой прямой.
Сумма всех образовавшихся тупых углов с вершинами в
точках пересечения равна 630°. Найдите величины каждо-
го из образовавшихся при этом острых углов.
1)	все по 70°
2)	все по 65°
3)	все по 75°
4) все по 80°
5) определить невозможно
^0
ши
®U
ЩП
ип
[EU
8.
На рисунке 2 через вершину М треугольника МКН прове-
дена прямая АВ, параллельная прямой КН. Запишите в
порядке возрастания градусные меры трёх углов треуголь-
ника МКН, если градусные меры углов АМА" и ВМН равны
соответственно 46° и 35°.
1)	верного ответа нет
2)	73°, 62°, 45°
3)	35°, 62°, 83°
4)	45°, 62°, 73°
5)	35°, 46°, 99°
55
4. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
На рисунке 3 через вершину М треугольника МТК прове-
дена прямая АВ, параллельная прямой ТК. Запишите в по-
рядке убывания градусные меры трёх углов треугольника
МТК, если градусные меры углов ВМТ и AM К соответст-
венно равны 149° и 118°.
1)	87°, 62°, 31°
2)	162°, 143°, 5°
3)	5°, 143°, 162°
4)	125°, 37°, 18°
5)	такое положение невозможно
Рис. 3
^0 шп	10.
[2JU	
[3JU	
1*11—1	
I5JU	
Прямая MN пересекает параллельные прямые PQ и CD со-
ответственно в точках В и А так, что Z МАС = а — тупой.
Градусную меру угла а сложили с градусными мерами на-
крест лежащего с ним угла, соответственного ему угла и
одностороннего с ним угла. Сумма этих четырёх слагаемых
оказалась равной 400°. Найдите градусную меру угла а.
1)	160°
2)	110°
3)	140°
4)	120°
5)	определить невозможно
На рисунке 4 прямые МР и ВС параллельны, при этом
МС — биссектриса угла BMP. Найдите градусную меру уг-
ла МСВ, если градусная мера угла ВМН равна 136°.
1)	определить невозможно
2)	26°
3)	24°
4)	25°
5)	22°
56
Вариант 2
12*.
На рисунке 5 прямые МН и РК пересекаются в точке В, а
прямые МР и КН параллельны. Градусные меры углов
ВКН и ВНК треугольника ВКН относятся как 5:2. Сумма
градусных мер углов треугольника BMP, прилежащих к
стороне МР, равна 140°. Найдите разность градусных мер
углов ВКН и ВНК.
1)	72°
2)	64°
3)	60°
4)	65°
5)	50°
13*.
На рисунке 6 прямая АВ параллельна прямой CD, а прямая АС
не параллельна прямой BD. При этом Z ABD + Z ВАС = 260°.
Найдите градусную меру каждого из острых углов четы-
рёхугольника ABDC, если градусные меры углов BDC и
ACD относятся как 2:3.
1)	найти невозможно
2)	65°и 35°
3)	70°и 30°
4)	40° и 60°
5)	26°и 74°
14*.
Прямая АС пересекает прямые АВ и CD так, что углы САВ и
ACD равны. Как могут быть расположены прямые АВ и CD?
1)	параллельны
2)	невозможно определить
3)	пересекаются
4)	перпендикулярны
5)	пересекаются или параллельны
57
4. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
^0	15*. Две параллельные прямые а и b пересечены третьей прямой с так, что разность двух односторонних углов, образовав- шихся при этом пересечении, равна 47°. Найдите сумму двух острых накрест лежащих углов, образовавшихся при этом пересечении. 1)	127°	4) верного ответа нет 2)	133°	5) 95° 3)	130°
шп	
[2JU	
L3JLJ	
[4JU	
15JLI	
	
^0 шп [2JU [3JU L1IU I5JU	16*. Градусная мера угла АВС равна 144°. Через точку М, рас- положенную внутри угла АВС, проведены прямые, парал- лельные сторонам ВА и ВС этого угла и пересекающие эти стороны соответственно в точках Р и К (МР || ВС, МК || ВА). Сколько процентов составляет градусная мера суммы ост- рых углов четырёугольника ВКМР от градусной меры сум- мы его тупых углов?
1)	25%
2) 3)	определить невозможно 37,5%
4)	20%
5)	40%
58
5. СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
Подготовительные задачи
1.	Два угла треугольника МНК равны 27° и 63°. Найдите разность
градусных мер большего и меньшего углов этого треугольника.
Решение. Пусть известно, что в треугольнике МНК
ZM = 27°, ZH = 63°.
Тогда Z К = 180° - (ZM + ZH) = 180° - (27° + 63°) = 90°.
Значит, в треугольнике МНК наибольшим является /.К = 90°, а
ZM = 27° наименьшим.
Поэтому разность градусных мер большего и меньшего углов этого
треугольника равна: 90° - 27° = 63°.
Ответ'. 63°
2.	Прямые ВС и АН пересекаются в точке К (рис. 1). Сумма градус-
ных мер углов ВАК, АВК, НСК и СНК равна 238°. Найдите гра-
дусную меру угла АйГВ.
Рис. 1
Решение. По условию задачи имеем:
ZBAK + ZABK + ZHCK + ZCHK = 238°.
Так как сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°,
то имеем: в ЛАВ К Z ВАК + Z АВК + ZАКБ = 180°;
в ЛСНК Z НСК + Z СНК + Z СКН =180°.
Значит, ZBAK + ZABK + ZАКБ + ZHCK + ZCHK+ ZCKH =
= (ZBAK+ ZABK + ZHCK+ ZCHK) + (ZAKB+ ZCKH) = 360°
59
5. СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
или 238° + (Z АКБ + Z СКН) = 360°,
откуда ZАКБ + Z СКН = 360° - 238° = 122°.
Учитывая, что Z АКБ = Z СКН (как вертикальные), получаем:
2ЛАКВ= 122° => ZAKB = 61°.
Ответ'. 61°.
3.	В равнобедренном треугольнике градусная мера одного из углов
на 30° больше градусной меры другого угла. Найдите сумму гра-
дусных мер двух равных углов этого треугольника.
Решение. Пусть х — градусная мера меньшего угла в данном рав-
нобедренном треугольнике. Возможны два случая.
1)	Меньшим в данном равнобедренном треугольнике является
угол при его основании. Тогда градусная мера угла при вершине этого
равнобедренного треугольника равна х + 30°.
Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании рав-
ны, а сумма градусных мер всех трёх его углов равна 180°, то получаем:
х + х + (х + 30°) = 180° => х = 50°.
Значит, сумма равных углов данного треугольника равна 100°.
2)	Меньшим в данном равнобедренном треугольнике является
угол при его вершине. Тогда (х + 30°) — градусная мера угла при его
основании, поэтому получаем:
х + (х + 30°) + (х + 30°) = 180° => X = 40°.
Значит, сумма равных углов данного треугольника равна 80°.
Ответ'. 100° или 80°.
4.	В равнобедренном треугольнике градусная мера одного из углов
на 96° меньше градусной меры другого угла. Найдите градусную
меру одного из двух равных углов этого треугольника.
Решение. Пусть х — градусная мера большего угла в данном рав-
нобедренном треугольнике, тогда (х - 96°) — градусная мера его мень-
шего угла. Так как в треугольнике тупым может быть только один угол
(почему?), то в данном равнобедренном треугольнике имеем:
х + (х - 96°) + (х - 96°) = 180° =>х = 124°.
60
Подготовительные задачи
Тогда углы при основании этого треугольника равны и составляют
28° (124°-96° = 28°).
Ответ: 28°.
5*. Градусные меры трёх внешних углов треугольника, взятых по од-
ному у каждой вершины, являются тремя последовательными
чётными числами. Найдите градусную меру большего внутренне-
го угла этого треугольника.
Решение, Пусть х — градусная мера большего из данных трёх дан-
ных углов. Тогда (х - 2°), (х - 4°) — градусные меры двух других внеш-
них его углов.
Каждая вершина треугольника является общей вершиной двух
смежных углов: внутреннего угла треугольника и его внешнего угла
при той же вершине. Мы знаем, что сумма двух смежных углов равна
180° и сумма всех внутренних углов треугольника равна 180°.
Сумма трёх смежных углов данного треугольника, каждый из ко-
торых образован внутренним углом треугольника и смежным с ним
внешним углом, равна 540°. Получаем: число 540° является суммой
всех внутренних углов треугольника и суммой всех его внешних углов,
взятых по одному у каждой вершины. Но сумма всех внутренних углов
треугольника равна 180°, значит, сумма всех его внешних углов, взя-
тых по одному у каждой вершины, равна 360°. Поэтому получаем:
х + (х- 2°) + (х - 4°) = 360° => х = 122° — градусная мера большего
внешнего угла.
Тогда 122° - 4° = 118° — градусная мера меньшего внешнего угла,
поэтому градусная мера большего внутреннего угла данного треуголь-
ника равна 180° - 118° = 62°.
Ответ: 62°.
6*. Градусные меры углов А и В треугольника АВС относятся как
36 : 29. Найдите градусную меру угла С, если известно, что гра-
дусные меры всех углов треугольника выражаются целыми чис-
лами градусов.
61
5. СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
Решение. Пусть градусные меры угловА, В и С находятся в отно-
шении 36 : 29 : х, то есть их градусные меры равны соответственно
36  k, 29  k, х • k, где k — натуральное число (36 и 29 — взаимно про-
сты). Тогда имеем:
36 /?+ 29 /? + х- k = 180 => =.
36 + 29 + х
Так как 36 + 29 + х > 60 и k — натуральное число, то
либо 36 + 29 + х = 90, либо 36 + 29 + х = 180.
Если 36 + 29 + х = 90, то х = 25, k = 2, Z С = 50°.
Если 36 + 29 + х - 180, то х = 115, /г = 1, Z С - 115°.
Ответ: 50° или 115°.
7*. Градусные меры внешних углов треугольника МРН, взятых по
одному при вершинах М, Р и Н, относятся соответственно как
3 : 10 : 11. Найдите отношение градусных мер внутренних углов
треугольника с вершинами М, Р и Н.
Решение. Из условия следует, что градусные меры внешних углов
треугольника МРН, взятых по одному при вершинах М, Р и Н, равны
соответственно 3 k, 10 k, 11 • k.
Так как сумма внешних углов треугольника, взятых по одному
при его вершинах, равна 360° (см. задачу 5), то получаем:
3/? + 10/? + 11/г = 360° => k = 15.
Это означает, что внешние углы треугольника МРН при верши-
нах М, Р, Н равны соответственно 45°, 150°, 165°. Тогда внутренние уг-
лы данного треугольника при вершинах М, Р, Н равны соответственно
135° = 180° - 45°, 30° = 180° - 150°, 15° = 180° - 165°, а их градус-
ные меры относятся как 9:2:1.
Ответ: 9:2:1.
62
Вариант 1
ТЕСТ 5
Вариант 1
1.	Два угла треугольника АВС равны 27° и 75°. Найдите раз-
ность градусных мер большего и меньшего углов этого тре-
угольника.
1)	48°	4) 51°
2)	49°	5) верного ответа нет
3)	50°
2.	Прямые BD и AM пересекаются в точке С (рис. 1). Сумма
градусных мер углов СВА, CAB, CMD и CDM равна 200°.
Найдите градусную меру угла MCD.
1)	160°	4) 42°
2)	80°	5) определить невозможно
3)	80° или 10°
3.	В треугольнике АВС градусная мера угла В равна 125°.
Сколько процентов составляет сумма градусных мер двух
меньших углов треугольника АВС от градусной меры
большего угла этого треугольника?
1)	определить невозможно 4) 30%
2)	60%	5) 44%
3)	72%
^0
ап
ап
[з]П
ап
ап
63
5. СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
^<0	4.	Градусные меры углов треугольника относятся как 2:3:7. Найдите градусную меру меньшего из углов этого тре- угольника. 1)	10°	4) 40° 2)	20°	5) 50° 3)	30° 5.	В равнобедренном треугольнике градусная мера одного из углов на 36° больше градусной меры другого угла. Найдите сумму градусных мер двух равных углов этого треугольни- ка. 1)	96°	4) 191° 2)	144°	5) определить невозможно 3)	96°или 144° 6.	В равнобедренном треугольнике градусная мера одного из углов на 96° меньше градусной меры другого угла. Найдите градусную меру одного из двух равных углов этого тре- угольника. 1)	28°	4) 97° 2)	28° или 12°	5) верного ответа нет 3)	12° 7*. Градусные меры трёх внутренних углов треугольника яв- ляются тремя последовательными чётными числами. Най- дите градусную меру большего внешнего угла этого тре- угольника. 1)	132° 2)	142° 3)	122° 4)	120° 5)	нет верного ответа
ши	
12JU	
[3JU	
ши	
ши	
^0 ши ши ши ши	
ши ^<0	
ши	
ши	
ши	
ши	
ши	
	
ши	
ши	
ши	
ши	
ши	
	
64
Вариант 1
8.	В треугольнике АВС сумма длин сторон ВС и АС равна 4 см, а градусные меры углов А и В равны 60°. Найдите периметр этого треугольника. 1)	12 см	4) 5 см 2)	6 см	5) определить невозможно 3)	8 см 9.	Градусная мера одного из острых углов прямоугольного треугольника составляет 50% градусной меры другого ост- рого угла этого треугольника. Найдите градусную меру меньшего острого угла данного треугольника. 1)	30° 2)	40° 3)	50° 4)	60° 5)	определить невозможно 10.	В треугольниках АВС и ТРК градусные меры углов АВС и РТК равны соответственно 46° и 124°. Найдите градусную меру угла РКТ, если АВ = РТ, ВС = РК к АС = ТК. 1)	46° 2)	124° 3)	10° 4)	30° 5)	нет верного ответа 11.	Окружность с центром А проходит через вершины тре- угольника АВС, при этом градусная мера угла ВАС равна 82°. Найдите градусную меру угла ВСА. 1)	82°	4) 98° 2)	49°	5) 82° или 49° 3)	16°	
	шп
	L2JLJ
	Щ|_|
	ЩЫ Щ|_1
	^0
	шп
	щи
	щи
	[4JU
	щи
	шп
	щи
	щи
	щи
	щи
	^0
	
	|2j|_|
	щи
	LUU
	щи
	
3№6415
65
5. СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
12*.
Все вершины треугольника АВС лежат на окружности с
центром О так, что отрезок ВС является диаметром этой
окружности (рис. 2). Найдите градусную меру угла ВАС,
если градусная мера угла АОВ равна 47°40'.
1)	определить невозможно
2)	60°20'
3)	45°40'
4)	90°
5)	135°
^<0
13*.
ип
[з]П
ип
Градусные меры углов А и В треугольника АВС относятся
как 37 : 62. Найдите градусную меру угла С, если известно,
что градусные меры всех углов треугольника выражаются
целыми числами градусов.
1)	определить невозможно
2)	любое целое число градусов от 1° до 179°
3)	81°
4)	90°
5)	16° или 61°
^<0 14*. Градусные меры углов треугольника относятся как
ШО 7 : 11 : а. Сколько существует таких значений а, при кото-
!=!!==} рых данный треугольник является равнобедренным?
|3JI_I
ИП 1) ни одного	4) одно
2) два	5) бесконечно много
3) три
66
Вариант 1
15*. Градусные меры углов треугольника относятся как 2 : 3 : а.
г	-	шп
Сколько существует таких значении а, при которых дан-
ный треугольник является прямоугольным?	рд~| ।—।
1) ни одного	fflU
2) одно
3) два
4) три
5) бесконечно много
16*. Градусные меры внешних углов треугольника АВС, взятых по одному при вершинах А, В и С, относятся соответственно как 3:4:5. Найдите отношение градусных мер внутренних углов треугольника с вершинами А, В и С.	шп L2JI—1 13JU L4JI—1
1) 5:4:3 2)	4:3:2 3)	определить невозможно 4)	1:2:3 5)	3:2:1	|5JI—1
67
5. СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
Вариант 2
^?0 1.
шп
[2]П
®П
ап
ап
^$0 2.
шп
ШП
ап
ип
ап
Два угла треугольника АКМ равны 22° и 28°. Найдите раз-
ность градусных мер большего и меньшего углов этого тре-
угольника.
1)	100°	4) 108°
2)	верного ответа нет	5) 110°
3)	130°
Прямые ВН и АК пересекаются в точке С (рис. 1). Сумма
градусных мер углов СВА, САВ, СНК и СКН равна 190°.
Найдите градусную меру угла КСН.
1)	95°	4) 95°
2)	85°	5) определить невозможно
3)	70° или 30°
В треугольнике АВС градусная мера угла С равна 144°.
Сколько процентов составляет сумма градусных мер двух
меньших углов треугольника АВС от градусной меры
большего угла этого треугольника?
1)	определить невозможно
2)	30%
3)	42%
4)	40%
5)	25%
68
Ba		риант 2
4.	Градусные меры углов треугольника относятся как 3:5:7. Найдите градусную меру большего из углов этого треуголь- ника. 1)	84°	4) 75° 2)	90°	5) 64° 3)	70°	^0 шп L2JU [3JU 14JU L5JLJ
5.	В равнобедренном треугольнике градусная мера одного из углов на 51° больше градусной меры другого угла. Найдите сумму градусных мер двух равных углов этого треугольни- ка. 1)	106°	4) 191° 2)	134°	5) определить невозможно 3)	86° или 154°	^0 ш L2JLJ [3JU L4JI—1 15JU
6.	В равнобедренном треугольнике градусная мера одного из углов на 78° меньше градусной меры другого угла. Найдите градусную меру одного из двух равных углов этого тре- угольника. 1)	68° или 72° 2)	34° или 86° 3)	верного ответа нет 4)	58° 5)	85°	^0 шп 12JU L3JLJ L4JL_I L5II—I
7*.	В треугольнике МНК градусная мера угла К на 30° меньше градусной меры угла Н, а градусная мера угла М равна по- лусумме градусных мер углов Н и К. Найдите градусную меру меньшего внешнего угла треугольника МНК. 1)	нет верного ответа	4) 130° 2)	120°	5) 115° 3)	105°	ит|Д|со||ю|Д & II II ins
69
5. СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
ХИ 8. В треугольнике НРК сумма длин сторон HP и РК равна
Ш 24 см, а градусные меры углов Н и К равны 60°. Найдите
периметр этого треугольника.
ИО	1) 32 см	4) 35 см
®О	2) 36 см	5) определить невозможно
3) 38 см
9.
Градусная мера одного из острых углов прямоугольного
треугольника составляет 25% градусной меры другого ост-
рого угла этого треугольника. Найдите градусную меру
меньшего острого угла данного треугольника.
1)	определить невозможно
2)	24°
3)	20°
4)	19°
5)	18°
^0 10. В треугольниках АВС и МКР градусные меры углов САВ и
ШО РКМ равны соответственно 45° и 32°. Найдите градусную
।—।	меру угла МРК, если АВ - МК, ВС = РК и АС = МР.
ИП	1) 95°	4) 120°
Г51| I
1—11—1	2) 125°	5) нет верного ответа
3) 103е
jg<0 11. Окружность с центром С проходит через вершины тре-
Ш Д угольника АВС, при этом градусная мера угла ВАС равна
33°. Найдите градусную меру угла МСВ, если СМ — медиа-
|~д~| ।—।	на треугольника АВС.
ЕО	1) 52°
2)	78°
3)	56°
4)	57°
5)	52е или 59°
70
Вариант 2
12*. Все вершины треугольника АВС лежат на окружности с
центром К так, что отрезок АВ является диаметром этой
окружности (рис. 2). Найдите градусную меру угла АСВ,
если градусная мера угла АКС равна 130°40'.
1)	определить невозможно
2)	70°20'
3)	55°40'
4)	90°
5)	35°30'
13*. Градусные меры углов А и В треугольника АВС относятся
как 31 : 29. Найдите градусную меру угла С, если известно,
что градусные меры всех углов треугольника выражаются
целыми числами градусов.
1)	60° или 120°
2)	любое целое число градусов от 61° до 119°
3)	определить невозможно
4)	59°
5)	61° или 149°
14*. Градусные меры углов треугольника относятся как 4 : 9 : а.
Сколько существует таких значений а, при которых дан-
ный треугольник является равнобедренным?
1)	одно	4) два
2)	ни одного	5) бесконечно много
3)	три
и
[2]
13
и
[51
ШП
шп
ШП
шп
шп
71
5. СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
ши щи щи LUU щи	15*. Градусные меры углов треугольника относятся как 1: 8 : а. Сколько существует таких значений а, при которых дан- ный треугольник является прямоугольным? 1)	ни одного 2)	одно 3)	два 4)	три 5)	бесконечно много
ши щи L3JU ши ши	16*. Градусные меры внешних углов треугольника МНК, взя- тых по одному при вершинах М, Н и К, относятся соответ- ственно как 7:8:9. Найдите отношение градусных мер внутренних углов треугольника с вершинами М, Н и К. 1)	5:4:3 2)	4:3:2 3)	определить невозможно 4)	1:2:3 5)	3:2:1
72
6. ВЫСОТЫ, МЕДИАНЫ,
БИССЕКТРИСЫ ТРЕУГОЛЬНИКА.
НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА
Подготовительные задачи
1. Длины двух сторон треугольника равны 4 и 12. Сколько различ-
ных целых значений может принимать длина третьей стороны
этого треугольника?
Решение. Длина каждой стороны треугольника больше разности
длин двух других его сторон, но меньше их суммы. Это означает, что
длина третьей стороны данного треугольника может принимать целые
значения, большие 8 = 12 - 4 и меньшие 16 = 12 -I- 4. Таких значений 7.
Ответ'. 7.
2. Высоты AAi и ССг треугольника АВС пересекаются в точке Н
(рис. 1). Градусные меры углов АгАС и СгСА равны соответственно
47° и 33°. Найдите градусную меру углов: а) АВС; б) АгНС;
в)А1НС1.
Решение. Сумма острых углов прямоугольного треугольника рав-
на 90°. Поэтому в прямоугольном (почему?) ДСАСХ имеем:
Z С .АС = 90°- Z С.С А = 90° - 33° = 57°.
а)	\АВС'. АА.АВ = ABAC - АА.АС = 57° - 47° = 10°. А так как
АААХВ — прямоугольный (почему?), то в этом треугольнике:
ZАВА.= 90° - ZА.АВ = 90° - 10° = 80° = ZABC.
73
6. ВЫСОТЫ, МЕДИАНЫ, БИССЕКТРИСЫ ТРЕУГОЛЬНИКА...
б)	В прямоугольном (почему?) \СВСХ : АСХВС = 80°, значит, в этом
треугольнике: ЛВССХ = 90° - ЛСХВС = 90° - 80° = 10°. А так как
\АХСН — прямоугольный (почему?), то в этом треугольнике:
Z.A.HC = 90° - Z АХСН = 90° - 10° = 80°.
в)	Z.AXHC и Z.AXHCX— смежные, поэтому
ZAjHCj = 180° - Z.AXHC = 180° - 80° = 100° (по свойству смеж-
ных углов).
Ответ'. 80°; 80°; 100°.
3*. В равнобедренном треугольнике МКР (РМ = РК, ЛМРК = 82°)
найдите градусную меру тупого угла, образованного серединными
перпендикулярами равных сторон треугольника.
Решение. Пусть точки А и В — середины равных сторон РК и РМ
равнобедренного \МКР, С — точка пересечения серединных перпен-
дикуляров сторон РМ и РК. Получаем: АРАС и \РВС равны (почему?)
=> АС = ВС. Тогда Z.APC = Z ВРС (в равных треугольниках против рав-
ных сторон лежат равные углы), значит, PC — биссектриса Z.MPK. Это
означает, что
Z АРС ~ Z ВРС - i Z МРК = 41°,
2
откуда Z АСР = Z ВСР - 90° - 41° = 49°.
Поэтому ZACB = 98°.
Ответ'. 98е.
4*. Градусная мера острого угла между прямыми, содержащими вы-
соты ААХ и ККХ треугольника АВК, равна 43°. Сколько различных
значений может принимать градусная мера угла АВК!
Решение. Обозначим Н =ААг г\ККх. Возможны два случая.
1) ДАВК — остроугольный.
74
Подготовительные задачи
Тогда точка Н расположена внутри треугольника АВК (рис. 2),
при этом:
Z А.НК = 43° (по условию) => Z А.КН = 90° - 43° = 47° =>
=> ZX1BX = 90°-47° = 43°.
Таким образом, Z.ABK = АК^ВК ~ 43°.
2) ААВК — тупоугольный.
Тогда точка Н расположена вне треугольника АВК (рис. 3), при
этом:
ZAHK = 43° (по условию) Z АгКН = 90° - 43° = 47°
ZК1ВК = 90° -47° = 43° => Z.ABK = 180° - 43° = 137°.
Ответ', два.
5*. Градусные меры углов А, В и С треугольника АВС равны соответ-
ственно 72°, 72° и 36°. Сумма длин биссектрисы АК и стороны АВ
равна 18 см. Найдите длину отрезка СК.
Решение. АК — биссектриса Z ВАС => Z ВАК = Z САК = 36°.
Это означает:
a)	Z САК = Z.ACK = 36° => АСАХ — равнобедренный,
откуда АХ = СК',
б)	А ВАХ : Z АКБ = 180° - ( Z АВК + Z ВАХ) = 180° - (72° + 36°) = 72°,
значит, А ВАХ — равнобедренный, откуда АХ = АВ.
Таким образом, имеем: АХ + АВ = 18, АХ = АВ => АХ = АВ = 9.
А так как АХ = СК, то СК = 9.
Ответ: 9.
75
6. ВЫСОТЫ, МЕДИАНЫ, БИССЕКТРИСЫ ТРЕУГОЛЬНИКА...
ТЕСТ 6
Вариант 1
^$0
[ЗП
[3D
ИП
^0
шп
[ЗП
ип
ЗП
1. Длины двух сторон треугольника равны 5 и 11. Сколько
различных целых значений может принимать длина треть-
ей стороны этого треугольника?
1) 16
2) 9
3) 6
4) 10
5) бесконечно много
2. Длины двух сторон равнобедренного треугольника равны 3
и 5. Найдите все возможные значения периметра этого тре-
угольника.
1)	И
2)	13
3)	11 или 13
4) любое целое число, большее 9
5) 16
^0
3*. Длины двух сторон равнобедренного треугольника равны 2
и 7. Найдите все возможные значения периметра этого тре-
угольника.
ИП	1) 11	4) любое целое число, большее 9
50	2) 16	5) 14
3) 11 или 16
^<0 4.
Градусные меры угловА и В треугольника АВС (рис. 1) рав-
ны соответственно 27° и 48°. Найдите абсолютную величи-
ну разности градусных мер углов ВСН и АСН, если СН —
высота этого треугольника.
1)	21°
2)	15°
3)	0°
4)	20°
5)	определить невозможно
76
Вариант 1
5.
ММХ и ККХ — высоты треугольника МКР (рис. 2). Градус-
ные меры углов МХМК и КХКМ равны соответственно 37° и
33°. Найдите градусную меру угла МРК.
1)	80°
2)	105°
3)	70°
4)	143°
5)	другой ответ
Рис. 2
ШП
ип
[ЦП
6.	Градусные меры углов А и В треугольника АВС равны соот-
ветственно 26° и 58°; CL — биссектриса этого треугольника.
Найдите градусную меру большего из смежных углов с вер-
шиной L.
1)	определить невозможно
2)	84°
3)	116°
4)	106°
5)	96°
7.	В прямоугольном треугольнике ABC (ZACB = 90°) градус-
ная мера угла А равна 44° (рис. 3). Найдите градусную меру
острого угла, который образован прямыми, содержащими
биссектрисы углов В и С данного треугольника.
LU
[2]
[3
И
[51
1)	78°
2)	58°
3)	определить невозможно
4)	68°
5)	65°
Рис. 3
77
6. ВЫСОТЫ, МЕДИАНЫ, БИССЕКТРИСЫ ТРЕУГОЛЬНИКА...
^"0 8. В прямоугольном треугольнике АВС (рис. 3, Z А = 44°) най-
дите градусную меру тупого угла, который образован пря-
|-д-ц—|	мыми, содержащими биссектрису угла А и высоту, опу-
[~4~[ [ [ щенную на гипотенузу.
1)	110°
2)	112°
3)	120°
4)	135°
5)	верного ответа нет
^<0 9. В прямоугольном треугольнике АВС (рис. 3, ZA = 44°) най-
ШО дите градусную меру острого угла, который образован сере-
Г21| I
динным перпендикуляром отрезка ВС и прямой, содержа-
щ ।—।	щей биссектрису угла А.
[SO	1) 68°
2)	44е
3)	46°
4)	45°
5)	22°
Z0
шо
ио
ио
ио
[SO
ю.
В равнобедренном треугольнике МКР (рис. 4) МК = МР,
ZKMP = 8°. Найдите градусную меру острого угла, кото-
рый образован биссектрисами углов МКР и МРК.
1)	46°
2)	66°
3)	56°
4)	78е
5)	определить невозможно
Рис. 4
78
Вариант 1
11.	В равнобедренном треугольнике МКР (рис. 4, МК = МР, ^0
Z.KMP = 68°) найдите градусную меру тупого угла, кото- ^|==j
рый образован прямыми, содержащими биссектрису угла	।—।
КМР и высоту, опущенную из вершины Р.	Щ | |
Г511 I
1) 119°	4) верного ответа нет	1—11—1
2)	124°	5) 129°
3)	135°
12.	В равнобедренном треугольнике МКР (рис. 4, МК = МР, ^0
Z.KMP = 68°) найдите градусную меру острого угла, кото- Щу
рый образован прямыми, содержащими биссектрису угла^-и—।
МКР и медиану, проведенную к стороне КР.	Щ | |
1)	62°	4) 28°	I
2)	52°	5) определить невозможно
3)	72°
13*.
14*.
В равнобедренном треугольнике МКР (рис. 4, МК = МР, ^0
Z КМР = 68°) найдите градусную меру тупого угла, образо- j=jp=
ванного серединными перпендикулярами равных сторон pg-ц—
треугольника.	Г411
1)
2)
3)
4)
5)
112°
эти прямые образуют четыре прямых угла
102°
120°
135°
Градусная мера острого угла между прямыми, содержащи- ^0
ми высоты AAi и ВВХ треугольника АВК, равна 43°. Сколь-
ко различных значений может принимать градусная мера рд-ц—
угла АКВ ?	Г411
1)
2)
3)
2
3
4)	4
5)	бесконечно много значений
79
6. ВЫСОТЫ, МЕДИАНЫ, БИССЕКТРИСЫ ТРЕУГОЛЬНИКА...
^<0 шп L2JU 13JU L*JLJ [5JU	15*. Градусные меры углов А, В и С треугольника АВС равны соответственно 72°, 72° и 36°. Сумма длин биссектрисы АК и отрезка КС равна 8 см. Найдите длину стороны АВ. 1)	б 2)	5 3)	4 4)	8 5)	определить невозможно
^0 шп [2JU L3JU [4JU L5JU	16*. Сколько существует не равных друг другу треугольников с периметром, равным 10, если длины сторон этих треуголь- ников выражаются целыми числами? 1)	1 2)	2 3)	3 4)	4 5)	5
80
Вариант 2
Вариант 2
1.	Длины двух сторон треугольника равны 4 и 7. Сколько раз- ^0
личных целых значений может принимать длина третьей ШО
стороны этого треугольника?	гпй
UH I_I
1)	И	4) 7	ИП
2)	9	5) бесконечно много	50
3)	6
2.	Длины двух сторон равнобедренного треугольника равны ^0
5 и 7. Найдите все возможные значения периметра этого ЕЮ
треугольника.
1)	17 или 19	4) любое целое число, большее 9 |~4]| |
2)	16	5) 15	50
3)	14
3*. Длины двух сторон равнобедренного треугольника равны ^0
5 и 11. Найдите все возможные значения периметра этого ЕЮ
треугольника.	j=jO
1)	19	4) любое целое число, большее 9 |~4] | |
2)	10 или 16	5) 21	50
3)	27
Градусные меры углов Р и М треугольника РКМ (рис. 1) ^0
равны соответственно 48° и 42°. Найдите абсолютную вели- ШО
чину разности градусных мер углов РКН и МКН, если
51___
КН — высота этого треугольника.	r^-i ।—।
1)	определить невозможно
2)	15°
3)	6°
4)	18°
5)	9°
81
6. ВЫСОТЫ, МЕДИАНЫ, БИССЕКТРИСЫ ТРЕУГОЛЬНИКА...
^0
И[
5.
6.
7.
ММ} и РР} — высоты треугольника МКР (рис. 2). Градус-
ные меры углов МХМР и РХРМ равны соответственно 57° и
63°. Найдите градусную меру угла МКР.
1)	110°
2)	135°
3)	другой ответ
4)	115°
5)	120°
Рис. 2
Градусные меры углов Р и К треугольника МРК равны со-
ответственно 110° и 30°; МН — биссектриса этого тре-
угольника. Найдите градусную меру большего из смежных
углов с вершиной Н.
1)	130е
2)	100°
3)	110
4)	определить невозможно
5)	80°
В прямоугольном треугольнике АВС градусная мера угла А
равна 54° (рис. 3). Найдите градусную меру острого угла,
который образован прямыми, содержащими биссектрисы
углов В и С данного треугольника.
1)	68°
2)	63°
3)	определить невозможно
4)	58е
5)	533
Рис. 3
82
Вариант 2
8.
В прямоугольном треугольнике АВС (рис. 3, Z.A = 54°) ^0
- « ЕЮ
найдите градусную меру тупого угла, который образован
прямыми, содержащими биссектрису угла А и высоту, |-д-ц—।
опущенную на гипотенузу.	Г4] I I
1)
2)
3)
110°
120°
117°
4) 135°
5) верного ответа нет
9.	В прямоугольном треугольнике АВС (рис. 3, Z.A = 54°) ^0
найдите градусную меру острого угла, который образован ПО
DZ.	- ЕЮ
серединным перпендикуляром	к отрезку ВС и прямой, со- fvFjpn
l_3JI_I
держащей биссектрису угла А.	щ ।—।
1)	42°	4)	27°	[ЭП
2)	37°	5)	45°
3)	36°
10.
в
Z АСВ = 62°.
рый образован биссектрисами углов САВ и СВА.
равнобедренном треугольнике АВС (рис. 4) АС = ВС, ^0
Найдите градусную меру острого угла, кото- ЕЮ
1)
2)
3)
4)
5)
46°
69°
59°
74°
и
С
62
В
Рис. 4
определить невозможно
11. В равнобедренном треугольнике АВС (рис. 4, АС = ВС, ^0
ZACB = 62°) найдите градусную меру тупого угла, который [=S!=-
|2||
образован прямыми, содержащими биссектрису угла АСВ и f=if=
LSLII_________________________________________________________
высоту, опущенную из вершины A.	E3EZ
1) 129°	4) 121°	SEZ
2) 131°	5) 120°
3) верного ответа нет
83
6. ВЫСОТЫ, МЕДИАНЫ, БИССЕКТРИСЫ ТРЕУГОЛЬНИКА...
12.
В равнобедренном треугольнике АВС (рис. 4, АС = ВС,
ZACB = 62°) найдите градусную меру острого угла, кото-
рый образован прямыми, содержащими биссектрису угла
САВ и медиану, проведенную к стороне АВ.
1) 52,5°
2) 60,5°
3) 62°
4) 58°
5) определить невозможно
^0 шп ши ши ши ши	13*. В равнобедренном треугольнике АВС (рис. 4, АС = ВС, ZACB = 62°) найдите градусную меру тупого угла, образо- ванного серединными перпендикулярами к равным сторо- нам треугольника. 1)	128° 2)	эти прямые образуют четыре прямых угла 3)	122° 4)	120° 5)	118°
^<0 шп ши ши ши ши	14*. Градусная мера острого угла между прямыми, содержащи- ми высоты ММГ и ККХ треугольника МКР, равна 42°. Сколько различных значений может принимать градусная мера угла МРК? 1)	1	4) 2 2)	4	5) бесконечно много значений 3)	3
^<0 шп ши ши ши ши	15*. Градусные меры углов А, В и С треугольника АВС равны соответственно 72°, 72° и 36°. Сумма длин биссектрис АК" и ВМ равна 38 см. Найдите сумму длин отрезков МС и СК. 1)	38	4) 8 2)	5	5) определить невозможно 3)	6
84
Вариант 2
16*. Сколько существует не равных друг другу треугольников с ^0
периметром, равным 7, если длины сторон этих треуголь- ШП
Г211 I
ников выражаются целыми числами?	ШП
1)	1	ШП
2)	4	ШП
3)	3
4) 2
5) 5
85
ЗАДАНИЯ-УТВЕРЖДЕНИЯ
ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ГИА
Верны ли следующие утверждения?
1.	Если точки А, В и С лежат на одной прямой, то АВ + ВС = АС.
1)	верно	2) неверно
2.	Если луч АС лежит во внутренней области угла ВАМ, то сумма
градусных мер углов ВАС и САМ равна градусной мере угла ВАМ.
1)	верно	2) неверно
3.	Любая высота тупоугольного треугольника лежит вне этого тре-
угольника.
1)	верно	2) неверно
4.	У прямоугольного треугольника только одна высота.
1)	верно	2) неверно
5.	Любая высота остроугольного треугольника лежит внутри этого
треугольника.
1)	верно	2) неверно
6.	Биссектрисы смежных углов параллельны или лежат на одной
прямой.
1)	верно	2) неверно
7.	Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.
1)	верно	2) неверно
8.	Биссектрисы вертикальных углов параллельны или лежат на од-
ной прямой.
1)	верно	2) неверно
9.	Биссектрисы вертикальных углов взаимно перпендикулярны.
1) верно	2) неверно
86
Задания-утверждения для подготовки к ГИА
10.	Медиана любого треугольника проходит через его вершину и сере-
дину одной из сторон.
1)	верно	2) неверно
11.	Если два угла треугольника равны, то этот треугольник равнобед-
ренный.
1)	верно	2) неверно
12.	В равнобедренном треугольнике все углы равны и каждый состав-
ляет 60°.
1)	верно	2) неверно
13.	Если угол между медианой АК и биссектрисой AM треугольника
АВС равен 7°, то углы АВС и АСВ не равны между собой.
1)	верно	2) неверно
14.	Если угол между медианой АК и биссектрисой AM треугольника
АВС равен 7°, то ААВС не может быть равнобедренным.
1)	верно	2) неверно
15.	Если два равнобедренных треугольника имеют общую сторону, то
они равны между собой.
1)	верно	2) неверно
16.	Если два равнобедренных треугольника имеют общую сторону и
общий угол, то они равны между собой.
1)	верно	2) неверно
17.	Любой равносторонний треугольник является равнобедренным.
1)	верно	2) неверно
18.	Любой равнобедренный треугольник является равносторонним.
1) верно	2) неверно
87
Задания-утверждения для подготовки к ГИА
19.	Если один из двух углов равнобедренного треугольника равен 32°,
то и второй равен 32°.
1)	верно	2) неверно
20.	Если угол А равнобедренного треугольника АВС равен 30°, то
АВ = ВС.
1)	верно	2) неверно
21.	Если угол А равнобедренного треугольника АВС равен 130°, то
АВ = ВС.
1)	верно	2) неверно
22.	Если отрезок, соединяющий вершину М треугольника MNK с се-
рединой стороны NK, является биссектрисой этого треугольника,
то MN = МК.
1)	верно	2) неверно
23.	Если две стороны одного равнобедренного треугольника соответ-
ственно равны двум сторонам другого равнобедренного треуголь-
ника, то эти треугольники равны между собой.
1)	верно	2) неверно
24.	Если две неравные между собой стороны одного равнобедренного
треугольника соответственно равны двум сторонам другого равно-
бедренного треугольника, то эти треугольники равны между собой.
1)	верно	2) неверно
25.	Если М — точка пересечения биссектрис ВВХ и ССХ треугольника
АВС, то АВМС — тупоугольный.
1)	верно	2) неверно
26.	Если прямые а и Ъ параллельны прямой с, то прямые а и Ъ парал-
лельны между собой.
1) верно	2) неверно
88
Задания-утверждения для подготовки к ГИА
27.	Если прямые а и Ъ пересекаются с прямой с, то прямые а и b не па-
раллельны между собой.
1)	верно	2) неверно
28.	Если два угла одного треугольника соответственно равны двум уг-
лам другого треугольника, то и третьи углы этих треугольников
равны между собой.
1)	верно	2) неверно
29.	Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум
сторонам другого треугольника, то и третьи стороны этих тре-
угольников равны между собой.
1)	верно	2) неверно
30.	Если два угла треугольника равны соответственно 70° и 40°, то
этот треугольник равнобедренный.
1)	верно	2) неверно
31.	Если три угла одного треугольника соответственно равны трём уг-
лам другого треугольника и у каждого из этих треугольников есть
сторона, равная 8 см, то такие треугольники равны между собой.
1)	верно	2) неверно
32.	Если три угла одного треугольника соответственно равны трём уг-
лам другого треугольника и периметр каждого из этих треуголь-
ников 80 см, то такие треугольники равны между собой.
1)	верно	2) неверно
33.	Медианы равных треугольников, проведенные к равным сторо-
нам, равны между собой.
1)	верно	2) неверно
34.	Биссектрисы равных углов равных треугольников параллельны.
1) верно	2) неверно
89
Задания-утверждения для подготовки к ГИА
35.	Если сумма двух углов треугольника равна его третьему углу, то
этот треугольник — прямоугольный.
1)	верно	2) неверно
36.	Если сумма двух углов треугольника меньше его третьего угла, то
этот треугольник — тупоугольный.
1)	верно	2) неверно
37.	Если сумма двух углов треугольника больше его третьего угла, то
этот треугольник — остроугольный.
1)	верно	2) неверно
38.	Если длина медианы треугольника равна длине его биссектрисы,
то этот треугольник — равнобедренный.
1)	верно	2) неверно
39.	Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот
треугольник — равнобедренный.
1)	верно	2) неверно
40.	Если одна из вершин треугольника совпадает с центром окружно-
сти, а две другие его вершины лежат на этой окружности, то этот
треугольник — равнобедренный.
1)	верно	2) неверно
41.	Через две различные точки всегда можно провести окружность.
1)	верно	2) неверно
42.	Через две различные точки всегда можно провести окружность, и
притом только одну.
1)	верно	2) неверно
43.	Через две различные точки всегда можно провести окружность
данного радиуса.
1) верно	2) неверно
90
Задания-утверждения для подготовки к ГИА
44.	Через две различные точки всегда можно провести окружность
радиуса, равного расстоянию между этими точками, и притом
только одну.
1)	верно	2) неверно
45.	Через две различные точки всегда можно провести окружность
диаметра, равного расстоянию между этими точками, и притом
только одну.
1)	верно	2) неверно
46.	Через три различные точки всегда можно провести окружность.
1)	верно	2) неверно
47.	Если две хорды окружности, длины которых равны радиусу этой
окружности, пересекаются, то точка их пересечения — центр этой
окружности.
1)	верно	2) неверно
48.	Если две хорды окружности, длины которых равны диаметру этой
окружности, пересекаются, то точка их пересечения — центр этой
окружности.
1)	верно	2) неверно
49.	Если отрезок одной из прямых не имеет общих точек с отрезком
другой прямой, то эти прямые параллельны.
1)	верно	2) неверно
50.	Если при пересечении двух данных прямых третьей прямой на-
крест лежащие углы равны, то данные прямые параллельны.
1)	верно	2) неверно
51.	Если при пересечении двух данных прямых третьей прямой соот-
ветствующие углы равны, то данные прямые параллельны.
1) верно	2) неверно
91
Задания-утверждения для подготовки к ГИА
52.	Если при пересечении двух данных прямых третьей прямой одно-
сторонние углы равны, то данные прямые параллельны.
1)	верно	2) неверно
53.	Если при пересечении двух данных прямых третьей прямой на-
крест лежащие углы не равны, то данные прямые не параллельны.
1) верно	2) неверно
54.	Если при пересечении двух данных прямых третьей прямой соот-
ветственные углы не равны, то данные прямые не параллельны.
1)	верно	2) неверно
55.	Если при пересечении двух данных прямых третьей прямой одно-
сторонние углы не равны, то данные прямые не параллельны.
1)	верно	2) неверно
56.	Если при пересечении двух данных прямых третьей прямой сумма
накрест лежащих углов равна 180°, то данные прямые параллельны.
1) верно	2) неверно
57.	Если при пересечении двух данных прямых третьей прямой сумма
соответственных углов равна 180°, то данные прямые параллельны.
1) верно	2) неверно
58.	Если при пересечении двух данных прямых третьей прямой сумма
соответственных углов равна 180°, то данные прямые параллельны.
1) верно	2) неверно
59.	Если прямая, параллельная одной из сторон данного треугольника,
пересекает две другие его стороны, то три угла образовавшегося тре-
угольника соответственно равны трём углам данного треугольника.
1) верно	2) неверно
60.	Если три стороны одного треугольника соответственно параллель-
ны трём сторонам другого треугольника, то эти треугольники рав-
ны между собой.
1)	верно	2) неверно
92
ОТВЕТЫ
Тест 1
Вариант 1
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
1	2	4	5	2	2	1	4	3	4	3	3	2	1	3	4
Вариант 2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
5	1	3	1	5	4	5	2	5	3	4	2	3	5	4	3
Тест 2
Вариант 1
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
3	5	5	4	2	3	5	4	3	2	2	2	4	4	4	4
Вариант 2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
1	5	5	2	3	3	5	4	1	1	1	4	2	5	5	3
ТестЗ Вариант 1															
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
1	4	3	2	1	4	3	1	3	4	1	2	3	5	3	4
Вариант 2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
4	2	3	1	4	2	2	3	5	2	4	5	4	5	4	5
93
Ответы
Тест 4
Вариант 1															
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
3	1	2	3 		4	5	Л_	3	2	2	Ли	1	3	3	5	2
Вариант 2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	। 10 ! 11		12	13	14	15	16
5 		3	1	2	4	5	3	5	1	2	5	3	4	5	2	1
Тест 5
Вариант 1
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
4	2	5	3	3	1	о о	2	1	3	2	4	3	2	3	5
Вариант 2
1	2	3	4	5	6 | 7	8	9	10	। 11 12	13	14	15	16
4	2	5	1	Л	2 i 3	2 		5	з 		4	4	1	4	3	1
Тест 6
Вариант 1
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
А	JL	2	1	3	4	4	2	5 		3 		2	1	1	2	3	2
Вариант 2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
4	1	3	3	5	1	2	3	4	3	4	2	5	4	1	4
94
Ответы к заданиям-утверждениям для подготовки к ГИА
Ответы к заданиям-утверждениям
для подготовки к ГИА
1. Неверно. 2. Верно. 3. Неверно. 4. Неверно. 5. Верно. 6. Неверно.
7. Верно. 8. Неверно. 9. Верно. 10. Верно. 11. Верно. 12. Неверно.
13. Верно. 14. Верно. 15. Неверно. 16. Неверно. 17. Верно. 18. Неверно.
19. Неверно. 20. Неверно. 21. Верно. 22. Верно. 23. Неверно. 24. Верно.
25. Верно. 26. Верно. 27. Неверно. 28. Верно. 29. Неверно. 30. Верно.
31. Неверно. 32. Верно. 33. Верно. 34. Неверно. 35. Верно. 36. Верно.
37. Неверно. 38. Неверно. 39. Верно. 40. Верно. 41. Верно. 42. Неверно.
43. Верно. 44. Неверно. 45. Верно. 46. Неверно. 47. Неверно. 48. Верно.
49. Неверно. 50. Верно. 51. Верно. 52. Неверно. 53. Верно. 54. Верно.
55. Неверно. 56. Неверно. 57. Неверно. 58. Верно. 59. Верно. 60. Неверно.
95
Учебное издание
Звавич Леонид Исаакович
Потоскуев Евгений Викторович
ТЕСТЫ ПО ГЕОМЕТРИИ
7 класс
Издательство «ЭКЗАМЕН»
Гигиенический сертификат
№ РОСС RU. АЕ51. Н 16054 от 28.02.2012 г.
Г лавный редактор Л. Д. Л anno
Редактор Г.А. Донцова
Технический редактор Л.В. Павлова
Корректор О.А. Андрейчик
Дизайн обложки А.Ю. Горелик
Компьютерная верстка М.В. Демина
107045, Москва, Луков пер., д. 8.
www.examen.biz
E-mail: по общим вопросам: info(a;examen.biz;
по вопросам реализации: sale^examen.biz
тел./факс 641-00-30 (многоканальный)
Общероссийский классификатор продукции
ОК 005-93, том 2; 953005 — книги, брошюры, литература учебная
Отпечатано по технологии СТР
в ИПК ООО «Ленинградское издательство»
194044, Санкт-Петербург, ул. Менделеевская, д. 9
Тел./факс: (812) 495-56-10
По вопросам реализации обращаться по тел.:
641-00-30 (многоканальный).