Б. А. Кордемский
Топологические опыты своими руками
Лист Мёбиуса и переплетение  колец
Поверхность кольца, надеваемого на палец, имеет две стороны (рис. 1). Одной стороной кольцо соприкасается с пальцем, вторая сторона — наружная. У этих сторон две границы (дща края), каждая имеет форму окружности. Если какая-нибудь букашка захочет переползти с наружной стороны кольца на внутреннюю, то она при этом непременно должна пересечь ту  или другую  границу.
Легко приготовить простую модель поверхности совсем другого «фасона» — не двухсторонней, как поверхность кольца, а односторонней поверхности (рис. 2). Первым описал такую поверхность Август Мёбиус (в 1863 году). Перекрутите на полоборота один конец прямоугольной бумажной полоски и приклейте его к другому концу той же полоски. Получится модель поверхности, у которой   нет  двух   сторон — «внутрен-
См. «Квант, J974, № 2, с. 58.
ней»   и   «внешней».   Эту   модель  так и   называют:   <;лист  Мёбиуса».
Чтобы убедиться в том, что у поверхности jrtiCTa Мёбиуса только одна сторона, возьмите цветной карандаш и начните последовательно закрашивать лист, не отрывая карандаша от его поверхности и не пересекая края листа. Вернувшись к тому месту, с которого начали, вы увидите, что окажется окрашенной вся поверхность листа, хотя его край вы и не пересекали ни разу.
Возьмите теперь несколько листов бумаги поплотней, клей, ножницы и проделайте несколько практических упражнений с листом Мёбиуса и другими моделями, изготовляемыми из прямоугольных полосок бумаги.
Опыт 1. Что получится, если обыкновенное (не перекрученное) бумажное колечко разрезать вдоль его средней линии? Очевидно — два колечка, причем длина окружности каждого будет такой же, как длина ок-
Рис.  1.
Рис. 2.
73

Рис. 3.
Рис. 4.
ружности первоначально взятого колечка. А если вы разрежете лист Мёбиуса вдоль его средней линии, то  получится...
Проделайте и посмотрите, что получится.
Опыт 2. Приготовьте второй лист Мёбиуса из достаточно широкой полоски и разрезайте его ножницами так, чтобы линия разреза все время шла вдвое ближе к левому краю полоски, чем к правому (линия разреза сбойдет лист Мёбиуса дважды). Вот теперь образуется...
Тот же результат получится, если вновь взять бумажную полоску; один ее конец перекрутить на полный оборот (на 360 ), приклеить к другому концу и разрезать получившуюся модель   по   средней   линии.
Опыт 3. Надрежьте концы бумажной полоски, как показано на рисунке 3. Склейте концы А и D. Пропустите конец В под А и приклейте его к Е. Пропустите конец С между В и А, а конец F между D и Е, после чего склейте концы С и F. Все склеивания концов производите прямо, то есть без предварительного  перекручивания.
а)	Теперь каждый начатый разрез продолжайте вдоль всей модели.  Получится...
б)	Если вы ошибетесь и конец С . приклеите к концу F, не пропустив С
между В и А, то после указанного разрезания  получится...
Опыт 4 (предложен Э. Стень- оном в  1930 году).   Еще раз приго
товьте бумажную полоску с надрезами (рис. 3). Поверните конец Е направо (верхним концом от себя) и склейте с концом С. Поверните конец F направо и приклейте к концу В. Пропустите конец А под В и склейте его с концом D без перекручивания. Теперь продолжайте первый и второй разрезы вдоль всей модели — получится...
Опыт 5. Любопытно решение такой задачи: подготовить из бумажной полоски модель, из которой можно было бы получить переплетение (в частности, обычную цепь) п колец при помощи лишь одного сквозного разрезания. (Авторы темы М. Brooke   and   J.   Madachy.)
Секрет решения заключен в пер- варительном сгибании полоски по ее длине еще до разрезания и в способе склеивания надрезанных концов  согнутой   полоски.
Начните с полоски, перегнутой по длине один раз (рис. 4). Перекрутите ее на полный оборот (360 ) и склейте концы, накладывая «домиком» один конец на другой. Теперь разрежьте двойной слой склеенной ленты по ее средней линии — получатся три кольца, сцепленные попарно.
Опыт 6. Согните бумажную полоску и сделайте надрезы, как показано на рисунке 5. Не перекручивая, склейте концы согнутой полоски, так, как показано на рисунке 6. Продолжайте разрез вдоль всей модели по двойному слою.
74

Рис. 5.
Рис. 6.
Рис. 7.
а)	Если   сделано   все   точно,   то получится...
б)	Если  вы допустите  некоторое отклонение от инструкции, то могут получиться...
Опыт 7. Чтобы получить цепь из колец с помощью всего лишь одного сквозного разреза, возьмите достаточно широкую полоску бумаги и согните ее «гармошкой» (рис. 7). Надрежьте концы, как показано на рисунке, придайте согнутой полоске форму кольца и склеивайте такие концы: CmC,DhD,EuE — прямо, как они соединялись бы при смыкании концов полоски для образования простого кольца; В и В — предварительно протащив один из этих концов под кольцами СС и DD; А и А — предварительно протащив один из этих концов под кольцами СС и   ЕЕ.
а)	Теперь    продолжайте    разрез вдоль   модели   по   всем   складкам — получится...
б)	Если  работа  будет  выполнена с некоторым отклонением от инструкции (по ошибке или преднамеренно), то   все   равно   получится ...
Ответы к предыдущим задачам и опытам приведены в конце журнала. К следующим шести опытам указаний не будет. Придется самостоятельно искать пути решения. Ставим такое условие: добиться результатов с помощью одного сквозного разреза модели, сконструированной из бумажной полоски, некоторым образом сог
нутой, надрезанной и концы которой склеены.
Опыт 8. Изготовить цепь в 4 кольца.
Опыт 9. Изготовить две отдельные цепи в 2 и 3 кольца каждая.
Опыт 10. Изготовить цепь в 3 кольца с четвертым кольцом, зацепившимся   за  среднее   кольцо.
Опыт 11. Изготовить цепь в 9  колец.
Опыт 12. Изготовить три отдельных куска цепи по 3 кольца в каждом куске (из одной бумажной полоски).
Опыт 13. Изготовить отдельный кусок цепи в 4 кольца и второй отдельный кусок цепи в 5 колец (ия одной  бумажной  полоски).
75
'