Практическая логика
В. А. Светлов
щдслельство научной 11 PFf*f*

В. А. Светлов
Практическая логика
Москва
Издательство Нобель Пресс

УДК 101
ББК87
В11
В. А. Светлов
В11 Практическая логика / В. А. Светлов - М.: Lennex Corp, — Подготовка макета: Издательство Нобель Пресс, 2013. - 624 с.
ISBN 978-5-518-32161-8
Пособие подготовлено на основе авторских курсов по логике для студентов и аспирантов естественнонаучного и
гуманитарного циклов. Рассчитано на углубленное изучение теоретических оснований логики и возможностей ее
практического применения для решения многочисленных задач в области научного познания, анализа и разрешения конфликтов,
риторики и аргументации.
В пособии излагаются основы традиционной и символической логики логики высказываний и предикатов. Логика
рассматривается как органон решения насущных проблем познания, поведения и общения. Такой подход продолжает
традицию включения логики в общую исследовательскую и педагогическую парадигму научного знания , восходящую
к Аристотелю, и полностью соответствует современным тенденциям по исследованию искусственного интеллекта.
Содержит большое число примеров из научной и художественной литературы.
Предназначено для студентов, аспирантов, преподавателей, а также всех, кто самостоятельно изучает логику и ее
приложения.
ISBN 978-5-518-32161-8
О Издательство Нобель Пресс, 2013
©В. А. Светлов, 2013

В. А. СВЕТЛОВ
ПРАКТИЧЕСКАЯ
ЛОГИКА
Пособие подготовлено на основе авторских курсов по логике для
студентов и аспирантов естественнонаучного и гуманитарного циклов.
Рассчитано на углубленное изучение теоретических оснований логики и
возможностей ее практического применения для решения многочисленных
задач в области научного познания, анализа и разрешения конфликтов,
риторики и аргументации.
В пособии излагаются основы традиционной и символической
логики — логики высказываний и предикатов. Логика рассматривается как
органон решения насущных проблем познания, поведения и общения. Такой
подход продолжает традицию включения логики в общую
исследовательскую и педагогическую парадигму научного знания , восходящую к
Аристотелю, и полностью соответствует современным тенденциям по
исследованию искусственного интеллекта. Содержит большое число примеров
из научной и художественной литературы.
В пособии применена оригинальная техника решения логических
задач традиционной и современной логики. Пособие может быть
использовано в качестве справочного пособия.
Предназначено для студентов, аспирантов, преподавателей, ученых,
а также всех, кто самостоятельно изучает логику и ее приложения.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава I.
Практическая логика как органон познания, поведения и общения человека 11
1. Цель, предпосылки и предмет практической логики 11
2. Логические законы: Природа и функции 13
3. Основные темы и структура учебного пособия 23
Глава II. Понятие 26
1. Общее представление о понятии 26
2. Содержание и объем понятия. Обобщение и ограничение понятий 29
3. Основные требования к конструированию(определению) понятий 39
4. Виды понятий в зависимости от отношений между их объемом и содержанием 48
5. Логические операции с понятиями. Понятие как инвариант логических операций 62
Глава III. Суждение 77
1. Общее представление о суждении 77
2. Простые суждения 80
3. Нормальная форма простых суждений 88
4. Логические преобразования суждений 90
5. Совместимые и несовместимые суждения. Логический квадрат 103
б.Частотная интерпретация логического квадрата. Основное уравнение логического
квадрата 117
7. Простые суждения и пустые классы 120
8. Коммуникативная природа суждений 122
Глава IV. Дедуктивные умозаключения 127
1. Общее представление об умозаключении, доказательстве и опровержении 127
2. Отношение логического следования 131
3. Дедуктивные умозаключения с одной посылкой 148
4. Дедуктивные умозаключения с двумя посылками (силлогизмы) 155
5. Дедуктивные умозаключения с тремя и более посылками (сложныесиллогизмы) 165
6. Восстановление посылок в силлогизмах в простых случаях 172
7. Восстановление посылок в силлогизмах в сложных случаях 179
8. Дедуктивное доказательство и опровержение 184
9. О квантификации предиката простого суждения 199

10. О решении сложных силлогизмов с посылками из трех и более различных
терминов 203
11. Силлогистика без экзистенциальных допущений 213
Глава V. Недедуктивные умозаключения 227
1. Проблема индукции 227
2. Принцип обратной вероятности 230
3. Индуктивные умозаключения первого вида: определение вероятностей гипотез 235
4. Методы открытия и доказательства причинной связи Дж. Ст. Милля как индуктивные
умозаключения о вероятностях гипотез 244
5. Индуктивные умозаключения второго вида: определение вероятностей
предсказаний 255
6. Умозаключения по аналогии 262
7. Вероятностная силлогистика 267
8. Недедуктивное доказательство и опровержение 273
9. О некоторых парадоксах индуктивной вероятности 296
10. Абдукция 303
Глава VI. Логика высказываний и предикатов 328
1. Общее представление о логике высказываний и предикатов 328
2. Язык логики высказываний 334
3. Семантика (смысл) логических союзов 335
4. Понятие логически истинной, логически ложной и логически нейтральной формулы.
Содержание и объем высказывания 342
5. Представление формул логики высказываний в виде деревьев 353
6. Определение вида формул логики высказываний, представленных в виде деревьев... 361
7. Нахождение нетривиальных следствий и допущений 363
8. Понятие дедуктивного умозаключения и вывода в логике высказываний 374
9. Основные модусы правильных умозаключений логики высказываний 388
10. Язык логики предикатов (первого порядка) 393
11. Представление формул логики предикатов в виде деревьев 403
12. Понятие дедуктивного умозаключения и вывода в логике предикатов 405
Глава VII. Логика научного познания 421
1. Общее представление о научном познании 421
2. Основной цикл научного познания 425
3. Изобретение гипотез 427
4. Испытание гипотез 429
5. Завершение цикла научного познания. Проблема научного прогресса 432

Глава VIII. Логика принятия решений 439
1. Общее представление о принятии решений 439
2. Дерево решения и его элементы 441
3. Определение численных значений субъективных вероятностей и полезностей 446
4. Ожидаемое значение полезности. Упрощение дерева решения. Основное правило
принятия решения 450
5. Принятие решений в условиях определенности, риска и неопределенности 453
6. Должен ли был Еватл платить за свое обучение? (Анализ одного парадокса в терминах
теории принятия решений) 462
Глава IX. Логика общения и разрешения конфликтов 467
1. Общее представление о логике общения и разрешения конфликтов 467
2. Решение задач по общению в терминах теории графов 469
3. Вероятностный анализ задач по общению 484
4. Анализ задач по общению в терминах теории игр 495
5. Логика образования коалиций в конфликтных ситуациях 504
6. Логика аффективных конфликтов Бенедикта Спинозы 513
Глава X. Логика аргументации (риторики) 533
1. Общее представление об аргументаци 533
2. Структура аргументации (риторический квадрат) 536
3. Изобретение обращения 538
4. Изложение обращения 541
5. Словесное выражение обращения 546
6. Правила аргументации 552
7. Логический базис теории аргументации 558
8. Главная теорема аргументации 565
Глава XI. Логика диалектики 572
1. Теоретико-групповой анализ диалектического противоречия 572
2. Формальная реконструкция «Учения о бытии» Гегеля и вывод основных прогрессий
«Науки логики» 589
Глава XII. Логика мифа и сказки 599
1. Общее представление о структурном анализе мифов и волшебных сказок 599
2. Диалектическая природа сказок и мифов 602
Приложение. Решение трех классических парадоксов 615
Литература 623

ПРЕДИСЛОВИЕ
Мы забываем о законе природы, гласящем, что гибкость ума
является наградой за опасности, тревоги и превратности жизни.
Существо, которое живет в совершенной гармонии с окружающими
условиями, превращается в простую машину. Природа никогда не
прибегает к разуму до тех пор, пока ей служит привычка и инстинкт.
Там, где нет перемен и необходимости в переменах, разум почивает.
Только те существа обладают им, которые сталкиваются со
всевозможными нуждами и опасностями.
Герберт Уэллс. Машина времени
Ни одна наука не может развиваться, не подвергая периодической
ревизии и переоценке свой предмет, цели и методы. Сказанное относится и
к логике.
Ушли в прошлое те времена, когда приверженцы логики как «науки
о правильном мышлении», с одной стороны, и как «науки о формальных
исчислениях», с другой стороны, считая только свою точку зрения
безусловно истинной, страстно обвиняли друг друга в непонимании
природы логики, стратегических путей ее развития и преподавания.
Непредвзятому читателю все эти недавние дискуссии кажутся наивными и
непродуктивными. Ибо совершенно очевидно, что не существует ни
«правильного мышления», всегда приводящего к безусловно истинным
результатам, ни «абсолютно формального исчисления», независимого от
своей предметной интерпретации, онтологических, познавательных и
ценностных установок его создателя и пользователя и также
гарантирующего получение истинных результатов.
Во-первых, потому что нет тех абсолютных истин и безупречных
методов их достижения, существование которых могло бы послужить
оправданием поиска науки о «правильном мышлении». Во-вторых, потому что
наше мышление в принципе нельзя освободить от жесткой зависимости от
различных неформальных (биологических, психологических и
социальных) особенностей познающего субъекта, а вместе с ней и от ошибок,
возвратов, избыточности, противоречий, интуитивных озарений и прочих не
очень любимых логиками «нелогичных» эффектов. В-третьих, потому что
даже самое полное формальное исчисление — это множество допущений,
истинность которых, по определению, не может быть более достоверной,
чем истинность их следствий в данной предметной области.
Следовательно, каждое такое исчисление в определенной степени произвольно и
субъективно. Неудивительно поэтому, почему одних только правильных син-

таксических преобразований недостаточно даже для построения теории
перевода с одного естественного языка на другой. Все это означает, что
наше мышление в своей основе скорее «неправильно», чем «правильно».
Будучи формальным, оно, тем не менее, всегда привязано к области своей
интерпретации и больше зависит от верификации своих эмпирических
следствий, нежели от истинности принимаемых допущений. Оно дает нам
объективные результаты, но всегда в субъективной форме. Гораздо чаще,
чем нам кажется, наше мышление нелинейно, некумулятивно,
немонотонно и совместимо с противоречиями. Только благодаря способности к
рефлексии, коррекции и обучению на опыте «неправильное» мышление с
течением времени может становиться более «правильным», никогда,
впрочем, не достигая этого предела в абсолютном смысле. Следует поэтому
признать, что законы традиционной логики и формальных исчислений,
привычно рассматриваемые в качестве законов и рецептов «правильного»
мышления, — это не более чем схемы, лишь указывающие пределы
возможного, допустимого многообразия мыслительных актов, но ничего не
говорящие о том, каким мышление должно быть на самом деле. По этой
причине их никак нельзя считать законами реально осуществляющегося
мышления и поведения. Реальный процесс мышления настолько сложен и
своеобразен, что полное понимание определяющих его нелинейную
динамику законов пока еще представляет задачу далекого будущего. Об этом
свидетельствуют также серьезные трудности, с которыми столкнулись
создатели искусственного интеллекта, попытавшиеся отождествить
интеллектуальные операции с логическими. Эти трудности однозначно
свидетельствуют о том, что требуется принципиально новый подход к решению
данной проблемы, уже вне понимания логики и как «науки о правильном
мышлении» и как «науки о формальных исчислениях». Необходимо
вернуть в логику человека, способного заблуждаться и исправлять свои
ошибки, быть субъектом аффективных, когнитивных и поведенческих акций и
реакций, признать за ним способность к спонтанности, нелинейности и
самокоррекции.
Разделившись на множество различных и самостоятельных теорий,
представители которых уже сейчас с трудом понимают друг друга и с не
меньшим трудом находят применение своим построениям, современная
логика утратила также практический, то есть в буквальном смысле
деятельный, характер своего существования. Она перестала быть также
необходимым интеллектуальным орудием познания, поведения и общения, чем
преимущественно являлась в период своего возникновения, перестала
искать принципиальные ответы на фундаментальный со времен Аристотеля
вопрос «ради чего?». Человек, проблемы его существования перестали для
нее быть приоритетными.

Качественно новый уровень развития логики возможен только при
условии возврата этой науки к проблеме человека, ее самого тесного
сотрудничества со всеми другими науками, то есть при выполнении логикой
своего главного предназначения. Человек — главный элемент
социального, технического и информационного прогресса. Знание о том, как он
мыслит, принимает решения и действует в социальной и природной среде,
становится сейчас главным условием сохранения его как вида, так и всего
живого на Земле. Человек снова становится ведущей темой научного анализа,
главной целью индустриального и социального прогресса, и логика не
может игнорировать эту фундаментальную особенность нашего времени.
В некотором смысле указанный подход представляет возрождение
античного понимания логики как специфической деятельности
познающего человека, направленной на создание, трансформацию, коррекцию и
расшифровку смыслов социальных и природных явлений. Человек — субъект,
то есть актер и одновременно режиссер этого процесса. Он может
ошибаться, находить и исправлять ошибки и неточности, двигаться в
смысловом пространстве в любых направлениях, возвращаться и корректировать
ранее полученные результаты, радикально изменять допущения и начинать
все сначала, никогда не зная с полной достоверностью, чем весь этот
процесс завершится. Как это ни парадоксально, но именно в нелинейности,
неспособности мышления действовать по раз и навсегда заданной схеме, и
заключается причина его неограниченной творческой силы. Изучение
механизмов и стратегий творческого мышления и бытия действующего
человека станет, как представляется, определяющим направлением развития
логики в XXI столетии. Такое понимание, как показывает исторический
экскурс, не очень расходится с интерпретацией логики как аналитики в
широком смысле слова (ср., например, «Органон» Аристотеля, «Новый
Органон» Фрэнсиса Бэкона, «Новый Восстановленный Органон» Уильяма
УэвеллаI.
Но логика по своему предназначению представляет не только
универсальный метод конструирования нового знания. Одновременно она
является тем единственным языком, в терминах которого наиболее вероятен
1 Сказанное перекликается с утверждением русского логика И. Е. Орлова о
необходимости создания логики естествознания, обобщающей традиционную и символическую
логики, высказанным почти 80 лет назад. «Но вполне исчерпанной свою задачу логика
может считать только тогда, когда она изложит, кроме учения о доказательстве, также
ars inveniendi (искусство делать открытия), то есть методы эксперимента и методы
построения гипотез. Наиболее общие понятия естествознания, как, например,
причинность, материя, энергия и проч., должны быть рассмотрены в логике, так как то или
иное содержание, вложенное в указанные понятия, определяет тот или иной метод
разработки наук». Орлов И. Е. Логика естествознания. М.-Л., 1925. - С. 65. Если в логику
естествознания И. Е. Орлова включить социогуманитарные понятия и проблемы, тогда
мы получим основные темы и цели «Практической логики».

давно ожидаемый великий синтез математических, естественных и
гуманитарных наук. Чтобы выполнить эту миссию, логика не должна
обособляться от всех других наук, считать себя самодостаточным знанием,
способным развиваться исключительно за счет решения своих внутренних
проблем. Наоборот, как свидетельствует история познания, прогресс
логики всегда был обусловлен попытками решения прежде всего нелогических
проблем.
Преподавание логики, очевидно, не может не учитывать назревшие
изменения в развитии и преподавании данной науки, формирующегося
пересмотра ее места в системе общенаучного знания. Настоящее учебное
пособие представляет программу, в которой изложение логики подчинено
указанной выше общей перспективе. С этой целью главное внимание при
объяснении логических тем уделяется прежде всего следующим
особенностям поведения человека: во-первых, последовательному и
операциональному характеру формирования интеллекта; во-вторых,
комбинаторному, вероятностному, информационному и поведенческому аспектам
совершаемых человеком интеллектуальных действий; в-третьих,
значительному весу недедуктивных умозаключений в его рассуждениях. Принятие
во внимание всех этих особенностей заставило по-новому изложить
традиционную и символическую логики, представив их содержание в виде
последовательно связанных друг с другом уровней формирования единого
интеллекта, и расширить содержание логики как учебной дисциплины,
включив такие разделы, как принятие решений, общение и разрешение
конфликтов, риторику, структурный анализ сказок и мифов в качестве тем,
достойных интереса, теоретического и практического применения.
В более широкой перспективе предложенная программа, названная
для краткости «практическая логика», обозначает контуры новой
парадигмы не только преподавания, но и развития самой логики. Вместо унылого
комментирования законов «правильного мышления» или конструирования
очередного исчисления с неопределенной интерпретацией, данная
программа указывает стратегически более важную и актуальную альтернативу
— исследование законов целостного (аффективно-когнитивного,
коммуникативного и поведенческого уровней) существования человека,
построение и исследование моделей поведения человека2. Соответственно вместо
Интересным свидетельством того, что данная тенденция приобретает общенаучный
характер, стало программное заявление и последовавшая за этим серия специальных
исследований группы английских математиков о необходимости обобщения теории игр
в терминах теории драмы. См.: Howard. Nigel, P. G. Bennett, J. W. Bryant and M.
Bradley. Manifesto for a Theory of Drama and Irrational Choice // J. Opl. Res. Soc. Vol. 44. 1992.
- P. 99-103. Howard. Nigel. Drama Theory and its Relation to Game Theory // Group
Decision and Negotiation. Vol. 3. 1994. - P. 187-206, 207-253. Howard. Nigel. Confrontation
Analysis: How to Win Operations Other than War. CCRP. Department of Defense,
Washington DC. 1999.

изобретения все более изощренных, но все более далеких от
действительного человеческого мышления схем вывода, практическая логика
предлагает единую технику анализа информации исходных данных (посылок),
позволяющую решать все дедуктивные и недедуктивные задачи, и
близкую той, которая используется как обычным человеком, так и реально
работающим менеджером или ученым. Такая альтернатива включает логику
в общий поток современных гуманитарных и естественнонаучных
исследований, ставит перед ней абсолютно новые и имеющие большое
социальное и научное значение задачи и тем самым выводит ее на качественно
новый уровень развития. Данное учебное пособие можно рассматривать как
первый шаг в этом направлении.
Пользуясь случаем, хотим отдать дань уважения тем мыслителям,
чьи идеи были использованы при работе над этой книгой. Жану Пиаже
A896-1980) я обязан пониманием фундаментальной связи логики,
психологии и алгебры. Его концепция последовательного развития интеллекта
используется при изложении традиционной логики. Символическая логика
анализируется как завершающий этап в формировании этой способности.
Льюис Кэрролл (Чарльз Доджсон A832-1898)) научил нас понимать
традиционную логику не как собрание скучных догм, а как веселую и
поучительную символическую игру. В книге предлагается оригинальная версия
известного метода диаграмм Л. Кэрролла, а также используются кэрролов-
ские силлогизмы и сориты. Рудольф Карнап A891-1970) навсегда
определили наш интерес к проблемам теории вероятностей, семантической
информации и индукции. Этот интерес способствовал более глубокой
интерпретации силлогистики, недедуктивной демонстрации и некоторых других
разделов.
Для большей полноты и отражения специфики практической логики
мы включили главы — «Логика научного познания» и «Логика
диалектики», новый параграф — «О некоторых парадоксах индуктивной
вероятности». Были расширены или написаны заново параграфы, посвященные
восстановлению посылок, доказательству и опровержению, вероятностному
анализу задач по общению.
В настоящее пособие включены новые результаты, связанные с
восстановлением посылок в сложных случаях; с решением силлогизмов с
посылками из трех и более различных терминов; с решением силлогизмов,
посылки которых состоят как из простых, так и сложных суждений; с
построением симметричного универсума, в котором законы логического
квадрата выполняются для всех эквивалентных суждений; с определением
объема и содержания простых и сложных суждений; с квантификацией
предиката простого суждения; с выводом заключений из посылок с
пустыми терминами; с решением некоторых парадоксов.

10
Была продолжена работа по более точному выражению
принципиальных положений и определений, конструированию новых примеров,
выявлению ошибок и опечаток.
Настоящее издание настоящего учебного пособия, как мы надеемся,
даст самое полное и точное представление о логике как инструменте
познания, поведения и общения и, возможно, откроет новую страницу в ее
более чем 2500-летнем развитии. И если это произойдет, значит, главная
цель, ради которой была написана это пособие, будет достигнута.
Читателю, выбравшему эту книгу для изучения логики, мы позволим
себе адресовать следующие слова Л. Кэрролла, которые не устарели и
сегодня. Методы логики, с которыми вы познакомитесь, «позволят вам
обрести ясность мысли, способность находить собственное, оригинальное
решение трудных задач, выработают у вас привычку к систематическому
мышлению, и, что особенно ценно, умение обнаруживать логические
ошибки и находить изъяны и пробелы у тех, кто не пытался овладеть
увлекательным искусством логики.
Попытайтесь. Вот все, о чем я прошу вас»3
Данное пособие рекомендуется читать последовательно, начиная с
первой главы и по крайней мере до девятой главы включительно. Читатель
постепенно осваивает логический язык, проблемы и технику решения
задач. Подготовленным читателям настоящее пособие можно читать в любой
последовательности, а также использовать его в качестве справочника.
Кэрролл Л. История с узелками. М., 1973. - С. 193.

11
I. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА КАК ОРГАНОН
ПОЗНАНИЯ, ПОВЕДЕНИЯ И ОБЩЕНИЯ
ЧЕЛОВЕКА
Человек не обладает инстинктивно тем, чем должен быть, ему
надлежит это обрести.
Г. В. Ф. Гегель. Философия права.
1. ЦЕЛЬ, ПРЕДПОСЫЛКИ И ПРЕДМЕТ
ПРАКТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
Слова великого немецкого мыслителя, вынесенные в эпиграф,
выражают главную проблему и основной отличительный признак
человеческого существования. Человеку большую часть своей жизни приходится
самому создавать себя — самому определять смысл своей жизни и самому
добиваться его осуществления. Именно из решения этой фундаментальной
проблемы и возникает то, что обычный человек называет своей судьбой.
Конструирование рациональных способов решения данной проблемы,
учитывающее психологические и социальные составляющие человеческого
поведения, образуют главную цель практической логики.
Практическая логика не является каким-то специальным разделом
общей логики. Под этим термином в данной книге
понимается целенаправленное использование логического знания для анализа и
решения значимых для человека проблем — мыслительных, поведенческих и
коммуникативных. В силу этой своей ориентации практическая логика
самым тесным образом связана со всеми гуманитарными дисциплинами.
Синтетический характер практической логики проявляется также в том,
что кроме логических она использует и математические языки — теории
вероятностей, теории групп, теории графов. Это делает создаваемые
модели универсальными и чрезвычайно эффективными.
Основное допущение практической логики состоит в том, что
человеческое существование представляет результат взаимодействия каждого
из нас со своей физической и социальной средой. Факторы, от которых
зависит наше существование, все вместе образуют, по выражению Курта
Левина4, «жизненное пространство», своеобразный универсум человеческого
существования.
*Lewin К. A Dynamic Theory of Personality. London. 1935.

12
Универсум существования человека — все то, что служит объектом
его размышления, воли и действия и разделяется им в согласии со своими
потребностями и интересами на «свое» и «чужое», «нужное» и
«ненужное», «желательное» и «нежелательное» и так далее Исследование
универсума существования человека, законов его формирования и
трансформаций составляет специфический предмет практической логики, так как
является доказанным фактом, что поведение человека представляет функцию
изменения универсума его существования. Именно по этой причине все
модели практической логики создаются с учетом человека не только как
мыслящего, но и как коммуникативного и действующего существа.
К особенностям практической логики следует отнести и
используемую ею технику получения нового знания. Эта техника в максимальной
степени соответствует тому способу, которым осуществляется наше
повседневное мышление, — мы достигаем нового знания посредством
реструктуризации доступной информации и отбрасывания всего, что либо
является самопротиворечивым, либо противоречит нашим базисным
допущениям. Из оставшейся информации мы принимаем во внимание и то, что
относительно наших допущений кажется нам наиболее вероятным и
поэтому неинформативным, и то, что таким вероятным не кажется и
представляется по этой причине самым информативным. Именно результат
подобной реструктуризации мы и считаем новым знанием. Применяемая
техника получения нового знания является универсальной, так как включает
как дедуктивные, так и недедуктивные методы извлечения релевантной
информации, и конструктивной, так как позволяет сделать это за конечное
число шагов без привлечения какой-либо дополнительной информации.
Хотя очерченное предназначение логики и кажется необычным для
дисциплины, обычно определяемой как наука о правильном мышлении,
оно не является абсолютно новым. Две с половиной тысячи лет назад
рождение и бурное развитие логики было обязано именно установке на
познание законов человеческого существования.
Свои теоретические предпосылки практическая логика находит в
фундаментальных особенностях человеческого существования — его
противоречивости, проблемности, альтернативности, сознательном характере
и социальной обусловленности.
Оно противоречиво, как противоречиво все, что существует. Чтобы
обрести себя, человек должен обрести мир. Чтобы стать самим собой, надо
научиться быть другим, то есть быть с другими и для других. Это рождает
проблемность, альтернативность, социальный и сознательный характер
бытия человека. Из всего многообразия ответов, постулируемых
социальным и культурным окружением, на вопросы кем быть?, как быть?, с кем
быть?, каким быть? каждый должен выбрать те, которые более всего
отвечают его природе. Для этого надо уметь не только формулировать цели,

13
но также уметь предвидеть последствия своего выбора, уметь оценивать их
с точки зрения определенных общезначимых критериев. Только в этом
случае выбор является осознанным и свободным.
Всем перечисленным особенностям человеческого существования
практическая логика стремится придать вид определенных логических
законов (инвариантов), составляющих ее теоретический базис. Возникает
вопрос: как соотносятся эти предполагаемые законы практической логики
с известными законами правильного мышления? Ответ на этот вопрос
содержится в следующем параграфе.
2. ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ: ПРИРОДА И ФУНКЦИИ
Всякое знание, независимо от того, является ли оно научным или
просто вытекающим из здравого смысла, представляет — явно или
скрыто — систему принципов сохранения.
Жан Пиаже. Психология интеллекта.
Теоретическую основу любой науки составляют законы сохранения,
которым подчиняются ее объекты. Закон инерции в механике, закон
сохранения веса в химии, золотое правило нравственности в этике — самые
известные примеры законов сохранения. Существуют такие законы и в
логике.
Традиционный взгляд на данную проблему сводится к перечислению
четырех «основных» законов правильного мышления: противоречия,
тождества, исключенного третьего, достаточного основания — и к их более
или менее подробной демонстрации. Сообщается, что отрицающие друг
друга мысли не могут быть вместе ни истинны, ни ложны (закон
противоречия), что каждая мысль должна быть равна сама себе (закон тождества),
что из двух противоречащих друг другу мыслей одна и только одна
истинна (закон исключенного третьего), что всякая истинная мысль должна быть
обоснована (закон достаточного основания).
Теоретическая неудовлетворительность стандартного взгляда на
логические законы вызвана следующими причинами.
Во-первых, все перечисленные законы считаются законами
правильного мышления. При этом мало обращается внимания на то, что человек
мыслит большей частью неправильно и только методом проб и ошибок
добирается до истины. Ограничивающим условием является также отнесение
данных законов только к сфере мышления. Совершенно непроясненным
остается вопрос о существовании законов деятельности человека,
понимаемой более широко, чем только мыслительная.

14
Во-вторых, не учитывается тот факт, что закон достаточного
основания таковым, то есть логическим законом, в сущности, не является. Лишь в
исключительных случаях человек обладает достаточными основаниями
для мысли, действия, принятия решения и так далее Гораздо чаще ему
приходится действовать на основании неполных, несовершенных, даже
ложных данных и предпосылок. Это относится и к составлению прогнозов,
постановке диагнозов, судебным разбирательствам, научным
исследованиям, историческим оценкам и т. п. Но сказанное имеет место и в обычной
жизни человека. Следует также заметить, что истинность известного
принципа «из лжи следует все, что угодно (включая любую истину)» делает
ложь самым достаточным основанием. Но с этим, кроме лжецов из
известной серии книг Р. Смаллиана5, вряд ли кто-нибудь согласится.
В-третьих, остальные три закона (с указанной формулировкой закона
противоречия) выражают, в сущности, одну и ту же мысль: ни одна вещь
не может принадлежать одновременно какому-либо классу и его
дополнению (классу с противоречащим признаком); каждая вещь либо обладает в
данный момент времени и в данном отношении каким-либо свойством,
либо не обладает. Встает, следовательно, вопрос о достаточности данных
законов. Его решение требует выхода за пределы интерпретации логики как
науки о«правильном мышлении» и, кроме того, поиска структуры, в
терминах которой можно было бы объяснить как формальные свойства
законов, так и их взаимозависимость.
Многократно отмечалось, что двойственность (бинарность,
дуальность, оппозиционность) — неотъемлемая черта всей реальности, как
материальной, так и идеальной. Нет ничего, что не содержало бы явно или
скрыто разделения на два полюса, направления, силы, тенденции и т. п.
Верх и низ, левое и правое, плюс и минус, инь и ян, сакральный и мирской
и тому подобные термины (антонимы) наполняют наш язык и дают
свидетельство двойственности всего, что может быть в нем выражено.
Меньше обращалось внимания на то, что вместе с двойственностью
реальности нам всегда дана некоторая форма целостности, в пределах
которой эта двойственность определяется. Бессмысленно говорить о
двойственности чего-либо, не указывая, о двойственности какой целостности
идет речь.
Логическим аналогом любой формы целостности выступает
универсум — тот класс вещей, на элементах которого определяются все
дальнейшие преобразования. В алгебре универсум обычно именуется
универсальным классом. Если мы, например, собираемся обсуждать класс людей,
образующий «наших знакомых», то универсумом выступает класс «знако-
5 Смаллиан Р. 1) Как же называется эта книга? М., 1981; 2) Принцесса или тигр? М.,
1985; 3) Алиса в стране смекалки. М., 1987.

15
мые». Если мы решаем элементарные арифметические задачи, то
универсумом является класс целых чисел.
Самым абстрактным аналогом двойственности в логике выступает
разбиение (разделение) универсума на два взаимоисключающих и
совместно исчерпывающих его класса. Если я утверждаю: «Яблоко спелое», то
тем самым я разбиваю универсум «яблоки» на два указанных класса —
«спелые яблоки» и «неспелые яблоки». Сложение обоих классов дает нам
универсум: «спелые яблоки» + «неспелые яблоки» = «яблоки». Очевидно,
что один и тот же универсум может быть разбит на классы с указанными
характеристиками по самым разным основаниям. Так, «яблоки» могут
быть разделены на «вкусные» и «невкусные», «дорогие» и «недорогие»,
«зрелые» и «незрелые» и так далее
Допустим, все яблоки разбиты на красные и некрасные. Класс
«красные яблоки» отличается от класса «некрасные яблоки» своей большей
определенностью, конкретностью. Ведь ясно, что среди красных яблок могут
находиться только красные яблоки, тогда как среди некрасных яблок могут
находиться яблоки зеленого, желтого и иного некрасного цвета. Из двух
взаимно исключающих и совместно исчерпывающих универсум класса
тот, который не имеет определенного содержания и обозначается словом,
начинающимся, как правило, с частицы «не», называется дополнением.
Итак, некрасные яблоки являются дополнением красных яблок до
универсума «яблоки».
Одним из свойств двойственности, выраженным на логическом
языке, является запрет на существование вещей, одновременно обладающих
свойствами какого-либо класса и его дополнения. Именно в этом состоит
рациональное содержание закона противоречия, который мы
сформулируем следующим образом.
Закон противоречия: Ни одна вещь из данного универсума не
моэюет принадлежать одновременно какому-либо классу и его дополнению
(область пересечения любого класса со своим дополнением пуста); ни одна
вещь не моэюет в данное время и в данном отношении обладать и не
обладать каким-либо свойством (быть и не быть субъектом какого-либо
отношения).
Понимая под вещью все, что может быть предметом мысли, все, что
может быть названо, то есть иметь имя, мы получаем в форме закона
противоречия утверждение, распространяющееся на все, что существует.
Согласно выдающемуся американскому психологу Дж. Келли6,
человек смотрит на мир посредством созданных им на основе закона
противоречия особых биполярных признаков, названных конструктами,
структурирующими как реальность, так и саму личность. Конструкт чест-
6 Kelly George A, A Theory of Personality: The Psychology of Personality Constructs. New
York, 1963.

16
ный/нечестный позволяет дифференцировать не только людей на
соответствующие классы, но и возможные действия самого субъекта и тем самым
фиксировать его собственную нравственную позицию (выбор).
В более широкой перспективе можно говорить о классификационной
(дихотомической) функции закона противоречия. Определить
местонахождение какой-либо вещи, найти смысл жизни, сформулировать и доказать
мысль можно только предварительно структурировав, согласно этому
закону соответствующий универсум. Не сделав этого, нельзя провести
различие или установить тождество мыслимых вещей, то есть нельзя
выполнить операции, с осуществления которых начинается всякая умственная
деятельность.
Двойственность реальности является причиной другого ее
фундаментального свойства — обратимости. Если есть некоторый процесс,
протекающий в каком-то направлении, то всегда есть ему обратный. Если есть
некоторая сила, отношение, то всегда есть обратная им сила и обратное
отношение. Центробежная сила уравновешивается центростремительной,
движение по поверхности — силой трения. Если одна вещь выше другой,
то вторая ниже первой, если один человек умнее другого, то второй глупее
первого. Если одна величина равна другой, то и вторая равна первой. Ни
одна система не может существовать сколько-нибудь продолжительное
время, если взаимодействие ее частей не состоит из уравновешивающих
друг друга прямых и обратных преобразований. Любая экологическая
система существует устойчиво, если только существует баланс между ее
динамическими составляющими. Уменьшение численности зайцев ведет к
уменьшению численности лисиц, что вызывает рост численности зайцев и,
как следствие, увеличение численности лисиц. Увеличение численности
лисиц ведет к уменьшению численности зайцев, и весь процесс
повторяется. Все описанные колебания совершаются около некоторой точки
равновесия, фиксирующей в чистом виде нейтрализацию прямых и обратных
тенденций.
Как и двойственность, обратимость составляет необходимое условие
существования как живых, так и неживых систем. Самым важным
следствием обратимости является способность всех систем возвращаться в
исходное состояние, сохранять свою устойчивость, определенность. В логике
данное следствие формулируется в виде закона тождества. Этот закон мы
приведем в следующей формулировке.
Закон тождества'. Любая вещь из данного универсума остается
равной самой себе (сохраняет себя, остается инвариантной, неизменной),
если и только если результат любого примененного к ней преобразования
аннулируется ему обратным (для каэюдого преобразования существует
ему обратное, такое что их последовательное выполнение равняется
нулевому преобразованию).

17
Если к 2 прибавить 7, а затем вычесть 7, то мы получим исходное
число 2. Если 2 разделить на 7, а затем полученную дробь умножить на 7,
то мы также будем иметь исходное число 2. Сохранение числа 2 обязано
исключительно наличию в каждом примере прямого и обратного
преобразований. В первом примере — сложению и вычитанию, во втором —
делению и умножению.
Такое понимание закона тождества обладает большими
эвристическими возможностями. Во-первых, эта формулировка делает
несостоятельными обвинения данного закона в пустоте содержания, в тривиальной
констатации, что некоторая вещь равна самой себе. На самом деле
содержание закона тождества бесконечно разнообразно, как разнообразно число
преобразований, в которых участвуют вещи. Во-вторых, этот закон по
своему содержанию противоположен известному второму началу
термодинамики, так как фактически утверждает, что в природе невозможны
процессы, протекающие только в одном направлении, то есть не имеющие
уравновешивающих их обратных сил, тенденций и т. п.
Закон тождества можно также рассматривать как частный случай
такого свойства реальности, как симметрия. Интересно отметить, что даже
отношения людей подчиняются принципам симметрии. Упоминавшееся
золотое правило нравственности представляет собой простейший, но не
единственный принцип такой симметрии: не делай другому того, чего не
хочешь, чтобы сделали тебе7.
Реальность не только двойственна, обратима, но и альтернативна.
Последнее свойство не менее фундаментально, чем первые два. Буквально
оно означает, что реальность в своем становлении имеет всегда множество
возможностей достижения некоторого конечного состояния. Одна и та же
мысль может быть выражена разными словами. Одна и та же задача
решается, как правило, разными способами. Дети одних и тех же родителей
обладают, как свидетельствует опыт, разными наследственными признаками.
Число таких примеров можно умножать неограниченно.
В логике свойство альтернативности выражается в возможности
разбиения универсума на произвольное число классов, соответствующее
числу допустимых способов представления признака, общего всем элементам
универсума. Требования, которые налагаются на альтернативные
представления, сводятся к тому, чтобы пересечение любых двух классов было
пусто, сумма всех полученных классов составляла универсум, а
рассматриваемая вещь обязательно принадлежала какому-то подмножеству этих
классов и не принадлежала его дополнению. Выполнение этих требований
гарантирует, что классифицируемые вещи, явления окажутся членами по
крайней мере одного из полученных классов и никогда не будут
принадлежать противоречащим друг другу множествам классов. Основная ошибка
7 Гуссейнов А. Золотое правило нравственности. М., 1982.

18
при соблюдении данного закона состоит в том, что формируемый класс
альтернатив является неполным, то есть не включает класс или классы,
содержащие решение исходной проблемы. Например, такая ошибка имеет место,
если следователь по тем или иным причинам не включил в список
подозреваемых лиц подлинного виновного; врач при лечении больного не включил
в число возможных причин заболевания истинную причину; ученый не
включил в список проверяемых гипотез истинное допущение.
Требования, накладываемые на альтернативные классы, мы будем
называть критерием полноты. Именно он и составляет рациональное
содержание закона исключенного третьего, который мы приведем в
следующей формулировке.
Закон исключенного третьего (полноты): Множество
альтернативных классов вещей (гипотез, способов достижения цели, решений
проблем и т. п.) является полным (содержит классифицируемые вещи,
включает истинную гипотезу, правильное решение проблемы и так далее), если
и только если оно представляет разбиение соответствующего
универсума согласно закону противоречия на множество взаимоисключающих и
совместно исчерпывающих его классов (гипотез, способов достижения
цели, решений и т, п.) .
Итак, все три закона отражают фундаментальные свойства
реальности — ее двойственность, обратимость и альтернативность и выражаются в
логически развитом мышлении в виде операций с универсумом. Эти
законы находят свое выражение и в действиях, поступках людей. Стоит
отметить следующие наиболее важные виды связи логических законов с
человеческим существованием.
Многократно отмечалось и экспериментально подтверждалось, что
все мы сознательно или бессознательно стремимся иметь согласованные,
то есть не противоречащие друг другу, взгляды, мнения, оценки, суждения.
Аналогично и для наших отношений друг с другом. Наличие противоречия
порождает конфликт и тем самым создает стимул для реорганизации
содержащей его системы. Если некто желает выпить сладкого чая, но
обнаруживает, что дома никаких сладостей нет, то он, чтобы разрешить
возникший конфликт, должен либо отказаться от своего желания, либо
отправиться на поиски сладкого. Если А любит В, а В не любит А, то А и В не
могут долго находиться в подобных не соответствующих друг другу
отношениях. Внутри данной системы отношений обязательно возникают
силы, стремящиеся устранить несоответствие либо изменением отношения А
к В, либо отношение В к А, либо тем и другим. Иными словами,
конфликты и лежащие в их основе противоречия играют роль движущих мотивов в
постоянной перестройке наших взглядов, оценок, желаний, суждений, мне-
См.: Newell A. Unified Theories of Cognition. Cambridge, 1991. - P. 97- 98.

19
ний и отношений. В этом состоит конструктивная роль противоречий в
человеческом существовании.
Добиваясь согласованности своих взглядов и отношений, мы
стремимся тем самым достигнуть наивысшей самооценки, то есть
максимального подтверждения своей личностной определенности, тождественности,
устойчивости.
Как наличие противоречия в посылках лишает их всякой
познавательной ценности (из таких посылок выводимо все, что угодно), так и
наличие противоречия в наших взглядах и отношениях лишает нас
личностной определенности. Необходимым и достаточным условием отсутствия
противоречия является симметричность, то есть эквивалентность прямых и
обратных отношений системы. Быть тождественным самому себе означает
быть субъектом симметричных отношений. При этом конкретное
содержание отношений не имеет никакого значения. Два человека имеют высшую
степень самооценки как в том случае, когда они любят друг друга, так и в
том случае, когда они ненавидят друг друга или безразличны друг другу. В
том, что стабильность личностной определенности обусловлена степенью
симметричности отношений между людьми, проявляется связь закона
тождества с человеческим существованием.
Проектируя свое будущее, каждый из нас мыслит его в виде
определенного множества альтернатив. При этом все они различаются нами не
только по своей значимости (полезности), но и по вероятности своего
осуществления. Особенностью человеческого существования является
стремление конструировать такое множество альтернатив, которое включало бы
альтернативу с наивысшей вероятностью, то есть указывало бы
достоверное событие. Нет ни одного человека, который не хотел бы знать с
определенностью, что его ждет в начатом им деле. Нет ни одного ученого или
следователя, который не желал бы, чтобы в множество его гипотез не
входила истинная. Нет ни одного игрока, который не мечтал бы о том, чтобы
его ставки оказались верными. Иными словами, каждый человек
интуитивно или осознанно стремится выполнить критерий полноты.
Следовательно, человеческое существование подчиняется закону исключенного
третьего.
Даже простой анализ показывает, что нет никаких оснований
ограничивать сферу действия рассматриваемых законов только мышлением.
Их действие рассматривается как минимум на все человеческое
существование.
До сих пор остается дискуссионным вопрос о достаточности данных
законов. Правильный ответ на этот вопрос мы видим в теоретико-
групповой интерпретации логических законов, поскольку только она дает
максимально общее решение поставленной проблемы.

20
Одним из лучших неформальных определений группы (в
алгебраическом смысле) является следующее: «Группу можно определить как
некоторое множество действий или операций А, 5,..., которые могут
объединяться вместе — делай сначала А, затем В. Действие, представляющее
результат объединения каких-либо действий, также должно быть членом
группы; процесс объединения обычно называют «умножением».
Недействие (отсутствие действия, нулевое действие. — В. С. и И. 77.) следует
считать членом группы (ее нейтральным элементом). Каждое действие
должно быть обратимым, при этом объединение какого-либо действия со своим
обращением должно давать недействие, то есть возвращение к исходному
действию. Наконец, результат некоторой последовательности действий...
не должен зависеть от порядка их объединения»9.
Если в качестве элементов взять операции отрицания (дополнения),
обращения, отрицания обращения и тождества (нулевого действия), то мы
получим группу, порождающую все логические преобразования. Это
открытие было сделано Ж. Пиаже при исследовании операций, специфичных
для интеллекта10. Эта группа представляет структуру, лежащую в основе
всех наших интеллектуальных действий, структуру, к которой тяготеет
умственное развитие каждого человека. Она дает объяснение внутренней
симметрии не только рассматриваемых логических законов, но и всего
видимого разнообразия мыслительных действий. Отметим также, что данная
группа является всего лишь одним из возможных примеров более
фундаментальной группы четырех Клейна. Одна из модификаций группы
четырех Клейна применяется при анализе диалектической структуры сказок и
мифов (см. главу XII).
Пусть N = отрицание, R = обращение, С = отрицание обращения
(обращение отрицания), / = тождество. Структура, образованная
перечисленными операциями, была названа Ж. Пиаже группой INRC.
Первое свойство группы требует, чтобы результат объединения
операций снова был одной из исходных операций. Пусть знак «х» обозначает
объединение (умножение) операций и имеет приблизительно тот же
смысл, что и союз «и». Проведем проверку данного свойства
(интерпретация группы в целом будет приведена после рассмотрения ее законов).
NR = С, отрицание х обращение = отрицание обращения.
NC = R, отрицание х отрицание обращения = обращение.
RC = N, обращение х отрицание обращения = отрицание.
NRC = /, отрицание х обращение х отрицание обращения =
тождество.
9 Candy R. «Structures» in Mathematics // Structuralism: An Introduction. Oxford, 1973.
_P. 144-145.
10 Пиаже Жан. Избранные психологические труды. М., 1969. - С. 567-612.

21
NRCN = N, отрицание х обращение х отрицание обращения х
отрицание = отрицание.
И так далее
Смысл рассмотренного свойства состоит в том, что любую
последовательность операций всегда можно заменить равнозначным результатом
их последовательного выполнения, опять принадлежащим исходному
множеству операций.
Второе свойство группы требует наличия тождественного
преобразования. В рассматриваемой группе таким преобразованием является
операция /. Проведем проверку данного свойства.
IN = N, тождество х отрицание = отрицание.
IR = R, тождество х обращение = обращение.
1С = С, тождество х отрицание обращения = отрицание обращения.
INR = NR = С, тождество х отрицание х обращение = отрицание х
обращение = отрицание обращения.
INRC = NRC = I, тождество х отрицание х обращение х отрицание
обращения = тождество.
И так далее
Итак, применить тождественное преобразование означает оставить
все без изменения.
Третье свойство требует, чтобы для каждой операции, являющейся
ее элементом, существовала ей обратная операция. При этом объединение
(последовательное выполнение) прямой и обратной операции должно
давать тождественное преобразование. Особенностью группы INRC является
то, что каждая исходная операция обратна самой себе. Приведем проверку
данного свойства.
NN = /, отрицание х отрицание = тождество.
RR = I обращение х обращение = тождество.
СС = /, отрицание обращения х отрицание обращения = тождество.
// = /, тождество х тождество = тождество.
Из данного свойства следует, что тождество может быть получено
двумя принципиально разными способами - как отрицание отрицания и
как обращение обращения. На этом различии основано различие между
логикой классов с дополнением в качестве отрицания и логикой отношений с
обращением в качестве собственной операции отрицания (логика
отношений включает, конечно, и операцию дополнения).
Четвертое свойство требует, чтобы порядок объединения операций
не влиял на их конечный результат (свойство ассоциативности). Проведем
проверку данного свойства.

22
N (RC) = (NR) С = R (NC) = I, отрицание х (обращение х отрицание
обращения) = (отрицание х обращение) х отрицание обращения =
обращение х (отрицание х отрицание обращения) = тождество.
Очевидно, что ассоциативность является логическим аналогом
свойства альтернативности.
Итак, все свойства группы выполняются. Связь всех операций,
согласно данным свойствам, указана на рис. 1.
R
С
Рис. 1.
Рассмотрим простую интерпретацию группы в целом. Пусть даны
величины А и В такие, что А больше В, (А>В). Тогда операция R
трансформирует А>В в отношение В<А, операция N переводит А>В в отношение
А<В, операция С преобразовывает А>В в отношение В>А (рис. 2).
Все свойства группы можно проверить движением вдоль
соответствующей линии диаграммы на рис. 2.
А>В
R
В<А
В>А
А<В
Рис. 2.
Развитое логическое мышление, структуру которого отображает
группа INRC, основывается на четырех элементарных операциях —
отрицании (дополнении), обращении, отрицании обращения и тождестве. Все
эти операции в равной мере необходимы и вместе достаточны для
порождения всех логических преобразований, свойственных человеческому
интеллекту.

23
Группа INRC синтезирует две основные ступени интеллектуального
развития каждого человека. Первая из них связана с овладением
операциями с классами, что соответствует логике понятий. Вторая ступень связана с
развитием навыков формирования и преобразования отношений, чему
соответствует логика суждений. Синтез обеих ступеней предполагает умение
оперировать как классами, так и отношениями, что отражается в
способности строить отрицания обращений (обращение отрицаний) и соответствует
логике умозаключений. Структура последней и выражается группой INRC.
Группа INRC снимает вопрос о приоритете каких-либо законов в
качестве основных в том смысле, что в полноценном логическом мышлении
операции отрицания, обращения, отрицания обращения и тождества
взаимозависимы и уравновешены. Никакое свойство или комбинация каких-
либо двух свойств недостаточны для порождения логики умозаключений
как высшей способности мыслить.
С учетом симметричной зависимости и уравновешенности всех
элементов рассматриваемой структуры имеет смысл говорить не об
отдельных обособленных логических законах, а об инвариантных чертах
развитого (системного) мышления. К ним относится способность строить классы и
тем самым использовать операцию дополнения; способность строить
отношения и тем самым использовать операцию обращения; способность
строить дополнения обращений и тем самым использовать операцию
отрицания обращений; способность строить дополнения дополнений,
обращения обращений и другие комбинации операций, ведущих к тождеству,
тем самым использовать тождественные преобразования.
Не менее важно также то, что преобразования группы INRC
необходимы и достаточны не только для интеллектуальных, но и для иных
действий человека. Самыми интересными интерпретациями данной групп
можно считать законы диалектического анализа и развития (гл. XI) и
формирования сказочных и мифологических сюжетов (гл. XII). Иными словами,
инвариантность нашего мышления представляет частный случай общей
инвариантности нашего существования. Поэтому человек, развивший
указанные способности, достигает самого важного результата в изучении
логики - он начинает мыслить, общаться и действовать творчески.
3. ОСНОВНЫЕ ТЕМЫ И СТРУКТУРА ПОСОБИЯ
Сделать логику инструментом познания, поведения и общения
означает связать ее с необходимыми условиями человеческого существования.
Первое из таких условий — способность мыслить, то есть строить
идеальные образы реальности, и действовать в соответствии с ними. Под-

24
робный анализ этой способности содержится в главах II—VI. Две идеи
являются основополагающими в этом анализе: идея Жана Пиаже, что логика
умозаключений представляет синтез логики классов и логики отношений
(логики понятий и логики суждений соответственно); все более
настойчиво отстаиваемая специалистами по когнитивной психологии идея, что не
вывод из аксиом и даже не натуральный вывод, а вывод, основанный на
информационной связи посылок и заключений, характерен для
человеческого интеллекта11. Использование этих идей позволило найти новое
решение некоторых старых проблем и главным образом добиться единства в
технике решения задач традиционной и символистической логики,
дедуктивной и недедуктивной демонстрации. Оказалось естественным
применение вероятностных методов (глава V). В главе IV развита перспективная
модификация метода диаграмм Л. Кэрролла, значительно облегчающая
решение силлогизмов и расширяющая границы его применения.
Поведение человека сходно с поведением ученого, утверждают не
без основания многие психологи. Но научное познание обладает и
самостоятельным интересом. В главе VII дан специальный анализ основного
цикла научного познания: исходная проблема — изобретение гипотез —
испытание гипотез — конструирование новой или модификация старой
теории — новая проблема. Данную главу можно рассматривать как
краткое введение в современную логику и методологию науки. В этой же главе
обсуждаются некоторые итоги длящейся уже более 20 лет дискуссии по
проблеме правдоподобия (близости к истине) научных теорий.
Человек мыслит, решая проблемы, делая выбор среди какого-то
множества альтернатив. Конструирование альтернатив, оценка их полезно-
стей и возможностей, выбор наилучшей альтернативы — все эти операции
каждый человек на интуитивном уровне выполняет многократно даже в
течение одного дня. Научить делать все это осмысленно - в этом состоит
основная цель восьмой главы.
Человек — социальное существо. Общение с себе подобными
является необходимым условием его существования. Общаясь, человек
становится субъектом разнонаправленных и разнозначащих отношений. Это
создает предпосылки для возникновения конфликтов и стимулы для
реорганизации тех структур общения, которые их породили. Конфликты
выполняют роль движущей силы общения, постоянной перестройки
отношений между его субъектами. Обсуждаются три способа решения задач по
общению — с помощью теории графов, теории вероятностей и теории игр.
Все эти проблемы рассматриваются в главе IX.
11 Johnson-Laird P. N. Reasoning without logic // Reasoning and Discourse Processes.
London, 1986.-P. 13-49.

25
Тема общения продолжается в главе X, но с новой точки зрения: как
следует убедительно говорить и писать. Ответ на этот вопрос дает древнее
искусство риторики. Последовательно анализируются все этапы
построения риторической (убеждающей) речи — изобретение мыслей,
расположение мыслей и словесное выражение мыслей. Важной разновидностью
риторической речи является спор. В рассматриваемой главе предложена
формализация этого древнейшего искусства и постоянного спутника
человеческой жизни.
В прямом смысле неразрешимой оказалась проблема соотношения
логических и диалектических противоречий. Подобный тупик, среди
прочего, свидетельствует о необходимости поиска принципиально новых
подходов к решению данной проблемы. В главе XI развивается взгляд на
диалектику как множество преобразований, подчиняющихся специальным
законам сохранения. Такой подход совместим со всеми требованиями
обычной логики, представляя фактически новую область ее приложения,
максимально соответствует замыслам основоположников диалектики и в то же
время удовлетворительно решает все задачи диалектического анализа и
развития.
Нет ни одного человека, который бы не слышал или не читал сказок
и мифов. Нет ни одной культуры, которая бы не создавала того или
другого. При этом независимо от места и времени наблюдается удивительное
совпадение большинства сказочных и мифологических сюжетов в своей
глубинной структуре. Ответ на вопрос: о чем рассказывают нам сказки и
мифы, до сих пор остается дискуссионным и открытым для различных
обобщений. В главе XII предложена версия, обобщающая широко
известные формулы В. Я. Проппа и К. Леви-Строса и учитывающая
диалектическое содержание сказок и мифов.
Таким образом, говоря о практической логике как новой программе
развития и обучения основам этой науки, мы имеем в виду, во-первых,
эвристическую и максимально приближенную к мышлению обычного
человека трактовку традиционных логических тем и логической техники,
максимальное сближение их с потребностями «человека думающего». Во-
вторых, это название мы понимаем как расширение обычной логической
тематики за счет включения разделов, относящихся к «человеку
действующему», «человеку общающемуся» и «человеку говорящему и
пишущему».

26
ГЛАВА П. ПОНЯТИЕ
Так как мы способны познавать внешние предметы только
через посредство имеющихся у нас идей, размышления над ними
составляют, быть может, самое важное в логике, ибо на этом
зиждется все остальное.
Арно А., Николь П. Логика, или искусство мыслить.
1. ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О ПНЯТИИ
Мы понимаем какую-либо вещь, включая окружающий мир, самих
себя, свои и чужие поступки, полностью, если и только если используемые
нами слова и словосочетания выражают понятия об этой вещи. Любая
вещь осознается нами как данная вещь только благодаря
соответствующему понятию. «То, что мы называем человеком, — отмечал Б. Спиноза, —
состоит в его соответствии с общей идеей, которую мы имеем о
человеке»12. Все, что существует в качестве наших мыслей, упорядочивается,
организуется как единое целое посредством той системы понятий, которой
мы владеем. Одно и то же событие, интерпретированное в разных
системах понятий (обвинителя и защитника на суде, например), превращается в
различные, а иногда и противоречащие друг другу факты. Понятия —
логические атомы нашей интеллектуальной деятельности, опорные пункты
здравого и научного смысла. Умственное развитие ничего иного, в
сущности, и не представляет, как способность переосмысливать старые и
конструировать новые понятия в соответствии с изменяющимися условиями
жизни. Только понятия придают нашим словам адекватное значение, а
речь превращают в осмысленное рассуждение.
Мы имеем понятие о некоторой вещи, если и только если знаем и
можем словесно выразить, какие условия необходимы и вместе
достаточны для ее однозначного определения (обозначения, указания).
Каждое условие конституирует некоторый класс удовлетворяющих
ему вещей, причем эти вещи необязательно должны существовать реально.
Делимость целых чисел на 2 порождает класс четных чисел. Условие
«сказочный герой» продуцирует класс самых разнообразных вымышленных
персонажей.
Все вещи, образующие один класс, считаются тождественными
(неразличимыми) относительно этого условия. Числа 2, 4, 6 тождественны от-
12 Спиноза Б. Избранные произведения: В 2-х т. М., 1957. Т. 1 . - С. 119.

27
носительно условия «быть четным числом»; «Евгений Онегин»,
«Капитанская дочка» и «Руслан и Людмила» тождественны относительно условия
«автор — А. С. Пушкин».
Для конструирования понятий важны не всякие условия, а только
необходимые и достаточные. Принято называть то условие необходимым
для какой-либо вещи, без наличия которого невозможно ее
существование как данной вещи. Условие «быть сладкой вещью» необходимо для
конфет, так как невозможно существование несладких конфет (в обычном
понимании). Необходимое условие нельзя не только исключить, но и
ослабить, усилить или модифицировать каким-то иным образом без
образования противоречия в существовании рассматриваемой вещи. Необходимо
то, что иначе быть не может {Аристотель).
Принято называть то условие достаточным для какой-либо вещи, из
наличия которого всегда следует ее существование как вещи с данным
качеством. Условие «быть конфетой» достаточно для того, чтобы быть
сладкой вещью. Отрицание достаточного условия в отличие от отрицания
необходимого может быть совместимо с существованием данной вещи.
Например, условие «быть пирожным», несовместимое с условием «быть
конфетой», также достаточно для того, чтобы быть сладкой вещью.
Необходимость и достаточность можно определить и в терминах
свойств. Если некоторая вещь не может существовать без данного
свойства, тогда оно является необходимым для существования этой вещи.
Например, делимость на 2 есть необходимое свойство четных чисел.
Если из существования некоторого свойства вещи следует
существование какого-нибудь другого свойства данной вещи, то оно является
достаточным. Чтобы асфальт, покрывающий улицы, стал мокрым, достаточно
дождя в городе.
Не каждое необходимое условие является достаточным и не каждое
достаточное условие является необходимым. Дождь в городе есть
достаточное условие мокрого асфальта, но не необходимое (возможны и другие
причины, кроме дождя). Быть сладкой вещью есть необходимое, но не
достаточное условие для того, чтобы шоколадной конфетой. Однако
делимость на 2 является необходимой и достаточной одновременно для
четности целых чисел.
Для конструирования понятий особое значение имеет случай, когда
достаточность формируется из необходимых условий. Например, каждое
из условий «быть четырехугольником», «иметь равные стороны», «иметь
равные углы» только необходимо для определения квадрата. Любая пара
названных условий также только необходима. И только все вместе они
необходимы и достаточны для обозначения класса квадратов.
В самом общем виде процесс конструирования понятий протекает
как поиск такого множества необходимых условий, которое было бы дос-

28
таточно для однозначного обозначения требуемого класса вещей.
Особенности этого процесса будут рассмотрены ниже.
Ни одно понятие не существует независимо, не будучи включенным
в какое-либо более общее понятие и не противостоя в нем своему
дополнению. Например, класс конфет включен в класс сладких вещей и
противостоит всем сладким вещам, не являющимся конфетами. В свою очередь,
класс сладких вещей противостоит классу несладких вещей, образуя еще
более общий класс просто вещей13. Следовательно, каждое понятие
продуцирует определенную классификацию иерархически упорядоченных
понятий и не только «вверх», в сторону обобщения, но и «вниз», в сторону
конкретизации, ограничения. Например, класс конфет можно ограничить до
класса шоколадных конфет с дополнением «нешоколадные конфеты».
Определение понятий требует, таким образом, умения складывать и делить
(ограничивать) классы, то есть строить классификации.
Так как каждое понятие выражает сумму каких-то необходимых
условий, то все они носят нормативный характер. Это означает, что в той
реальности, в которой живет и действует человек, не только понятия должны
соответствовать вещам, но и вещи должны соответствовать своим
понятиям. Любая вещь, изготовленная человеком, несет отпечаток того понятия,
которым он руководствовался в процессе его создания. Именно по
основанию, соответствует та или иная вещь, тот или иной поступок
определенному понятию, различают «красивое» и «безобразное», «дорогое» и
«дешевое», «умное» и «глупое», «законное» и «незаконное». Подобная
относительность оценок, особенно заметная при сравнении различных культур
или разных эпох одной культуры, показывает, что понятия не являются
простыми слепками вещей. В понятиях человек не только отражает мир, но
и выражает свое отношение к нему.
Нормативный характер понятий означает также, что могут
существовать понятия, для которых еще не открыты соответствующие вещи.
Такая ситуация часто имеет место в науке, где сначала выдвигаются
гипотезы и только затем совершаются открытия.
Благодаря свойству отражать классы вещей, понятия не являются
чувственно наглядными построениями. Данное свойство отличает их от
чувственных образов и представлений, которые к тому же всегда зависят
от реальных вещей как своих внешних причин.
Итак, когда мы говорим о понятиях, то имеем в виду знание, которое
является: общим и концептуальным, так как отражает свойства классов
вещей; необходимым, так как выражает условия, без которых невозможно
1 В логике «вещью» принято называть все, что может иметь имя (может быть
обозначено тем или иным образом). При этом не имеет значения, существует ли обсуждаемая
вещь реально или только в чьем-либо воображении, является ли она материальным или
идеальным объектом.

29
понимание мыслимых вещей; конструктивным, так как требует
определенной умственной деятельности; классификационным по своей природе,
так как основано на отношении включения и исключения классов;
нормативно-ценностным, так как связано с конкретными культурными
предпосылками и выражает активное отношение человека к окружающему миру.
2. СОДЕРЖАНИЕ И ОБЪЕМ ПОНЯТИЯ. ОБОБЩЕНИЕ
И ОГРАНИЧЕНИЕ ПОНЯТИЙ
Распространенная точка зрения состоит в том, что можно мыслить
какое-либо одно понятие как нечто единичное и независимое. Однако это
неверно. Если я хочу мыслить понятие «яблоки», то не могу это сделать
иначе, как противопоставляя его своему дополнению — понятию
«неяблоки» в пределах объединяющего их оба понятия «фрукты». Не
противопоставляя друг другу яблоки и неяблоки, я не смогу провести между ними
логическую границу и тем самым не смогу определить, какие фрукты
являются яблоками, а какие нет. Не мысля яблоки включенными в класс
фруктов, я не смогу противопоставить их всем неяблокам и, следовательно,
также не смогу определить, какие фрукты называются яблоками. Нельзя
понять, что такое справедливость, не противопоставляя ее
несправедливости в пределах всех возможных отношений между людьми.
Пусть А обозначает рассматриваемое понятие, —А — дополнение, U
— объединяющее А и —А понятие. Если вернуться к примеру с яблоками,
то А = яблоки, -А = неяблоки, U = фрукты. Все эти понятия образуют
систему, согласно следующему уравнению: U = А + (—А). Данное уравнение
может быть представлено двумя равнозначными способами аналитически и
графически (рис. 1).
Универсум U= понятие А + дополнение —А
или

30
Продолжая пример с яблоками, получаем конкретный пример
приведенного равенства:
Фрукты (универсум) = яблоки (понятие) + неяблоки (дополнение)
Итак, элементарная мыслительная система, с формирования и
последующего обогащения различными преобразованиями которой начинается
мышление каждого человека, состоит из данного понятия, его дополнения
и объединяющего их понятия, которое мы будем называть родовым
(включающим, обобщающимI4.
Фундаментальная роль родового понятия состоит в том, что оно
обозначает универсум — тот ближайший обобщающий класс вещей, в
терминах которого определяется рассматриваемое понятие. Универсум
играет ту же роль, что и общий знаменатель при сложении и вычитании
дробей. Как нельзя правильно сложить простые дроби, не приведя их
предварительно к общему знаменателю, так же нельзя осуществить любое
преобразование понятия, не определив предварительно его универсум.
Дипломаты, прежде чем проводить переговоры, сначала обязательно
определяют формат встречи, который и выступает универсумом их действий.
Универсум понятия, суждения или умозаключения задает предметную
область логических действий над ними. Способность определять универсум
рассматриваемой мысли посредством образования ее дополнения является
важнейшим свидетельством развитости мышления. Человек, который под
влиянием рекламы видит в лотерее средство только выигрыша, не
сформировал универсума всех исходов данной игры и обречен в ближайшем
будущем на сильное разочарование.
Универсум любой мысли (понятия, суждения, умозаключения)
состоит как минимум из двух взаимно исключающих и совместно
исчерпывающих его классов. Число таких классов может быть сколь угодно
большим. Как мы увидим, оно зависит только от числа условий, делящих
универсум на такие классы. Если имеется п условий, то общее число классов,
из которых состоит универсум, равно 2п.
Как и всякая мысль, понятие нечто утверждает в качестве истинного
положения дел и нечто исключает в качестве ложного положения дел.
Поскольку каждое понятие определяется в терминах некоторого универсума,
то в качестве утверждаемых и исключаемых положений дел выступают
определенные классы этого универсума. Если U = фрукты, А = спелые
яблоки, то А утверждает существование спелых яблок и исключает все фрук-
14 «Я называю родом то, благодаря чему различающиеся между собой вещи называются
тождественными по сущности». —Аристотель. Соч. в 4-х томах. Т. 1. М., 1976. - С.
259.

31
ты, не являющиеся спелыми или яблоками или и тем и другим
одновременно.
Совокупность необходимых условий, выражаемую каждым
понятием, принято называть его содержанием. Те классы вещей универсума,
которые выполняют условия содержания, принято называть объемом
понятия. Так, условия «быть живым существом», «быть разумным»
составляют содержание понятия «человек». Класс всех живых существ,
выполняющий эти условия, образует объем данного понятия.
Содержание и объем понятия принято считать его самыми главными
логическими характеристиками. Действительно, определить понятие
означает узнать его содержание и объем. Преобразовать каким-либо образом
понятие означает преобразовать его объем и содержание.
Содержание понятия следует рассматривать как способ задания его
объема. Понятия, имеющие один и тот же объем, могут иметь разное
содержание. Классическим в этой связи является пример немецкого логика
Г. Фреге об утренней и вечерней звезде как понятиях с разным
содержанием (разными условиями наблюдения), но с одним и тем же объемом —
классом, состоящим из планеты Венера. Понятия, обозначающие суммы 1
+ A + 1)иA + 1)+ 1, делают это по-разному и имеют, следовательно,
разное содержание, но один и тот же объем — класс, состоящий из числа 3.
Все синонимы могут рассматриваться как понятия с разным содержанием
(разным смыслом), но одинаковым объемом (значением). Главный вывод
такой: если содержание понятия однозначно определяет его объем, то
обратное неверно. Иными словами, из равенства объемов не следует с
необходимостью равенство содержаний сравниваемых понятий. Если
несколько человек независимо друг от друга совершили одно и то же открытие, то
это не означает, что они исходили из одних и тех же предпосылок и
следовали одному и тому же методу. В подобном соотношении содержания и
объема проявляет себя альтернативность нашего мышления, то есть его
способность разными способами достигать поставленной цели, разными
словами выражать одну и ту же мысль.
Допустим, даны два понятия, А к В, имеющие один и тот же
универсум. В каких отношениях могут находиться их содержания и объемы?
Имеется ли закон, которому эти отношения подчиняются? Очевидно, что
содержания А и В могут либо совпадать, либо частично пересекаться, либо
не пересекаться, либо находиться в отношении однонаправленного
подчинения. Аналогично и для соотношения объемов. Имеется также закон,
которому подчиняется отношение между содержанием и объемом
понятий1 . Этот закон утверждает, что если два понятия имеют один и тот
же универсум, то если объем одного из них составляет часть объема
другого, то содержание второго понятия составляет часть содержания
15 См.: Войшвилло Е. К. Понятие как форма мышления . М., 1989. - С. 136.

32
первого. Иными словами, включения содержаний и объемов понятий с
одним и тем же универсумом носят обратный характер. Данный закон также
утверждает, что понятие с большим объемом (меньшим содержанием)
является необходимым следствием понятия с меньшим объемом (большим
содержанием). Обратное следование, конечно, неверно. Только понятия,
имеющие равные объемы (содержания), являются необходимыми
следствиями друг друга. В более широкой перспективе закон обратного
отношения объема и содержания представляет одну из специальных
формулировок отношения логического следования для понятий, суждений и
умозаключений (подробно данное отношение анализируется в гл. 1У, 2).
Более наглядно данный закон обратного соотношения между
объемами и содержаниями понятий можно представить в форме следующих
утверждений.
Пусть А и В — понятия с одним и тем же универсумом.
Тогда:
1. Если объем понятия А является частью объема понятия В, то
содержание В является частью содержания А,
2. Если содержание понятия А является частью содержания понятия
В, то объем В является частью объема А,
Вся проблема теперь состоит в том, что считать элементами
содержаний и объемов и как выразить их включения. При этом наибольшая
трудность касается сравнения содержания понятий, так как для объемов
данная проблема решается обычным теоретико-множественным способом.
Элементами объемов понятий выступают классы. Объем понятия А
составляет часть объема понятия В, если и только если каждый элемент
объема А является элементом объема В .
Напрашивающееся решение считать элементом содержания
отдельное необходимое условие, предлагаемое традиционной логикой, является
узким и приводит к многочисленным парадоксам. Более плодотворным
будет взгляд на содержание понятия как на сообщаемую им
(семантическую) информацию16. В этом случае элементом содержания выступают
исключаемые из универсума классы. Основная идея информационной
трактовки состоит в следующем. Чем больше некоторое понятие
исключает классов из своего универсума, тем больше сообщаемая этим понятием
информация (относительно данного универсума), тем богаче его
содержание.
Информационная интерпретация содержания невозможна без
аналогичной интерпретации объема понятий. С этой точки зрения объем
понятия образуют все классы, в которых оно истинно, а его содержание — все
классы, в которых оно ложно. Иными словами, объем понятия (суждения и
16 Более подробно об этом см. главу IV, 2.

33
умозаключения также, добавим) — это сумма всех условий его
истинности, а содержание —сумма всех условий его ложности. Как будет ясно из
дальнейшего обсуждения, все виды понятий, суждений и умозаключений,
а также все отношения между ними определяются исключительно
комбинацией элементов объема и содержания.
Для обозначения содержания и объема произвольного понятия X
будет использоваться следующая формула:
Понятие X = содержание / объем,
в которой вместо слов «содержание» и «объем» будут подставляться
соответствующие классы (возможно пустые) универсума согласно
следующим равенствам:
Содержание понятия X = U - объем понятия X.
Объем понятия X = U- содержание понятия X.
Содержание понятия Х+ объем понятия X = ?/.
Возможны следующие три принципиально различных случая
отношения между объемом и содержанием произвольного понятия X:
1. Содержание Х= U, объем X = 0; Х= U/0 (понятие X обладает
максимальным содержанием и пустым объемом). На диаграмме понятие с
пустым объемом является подмножеством понятия с наименьшим
непустым объемом.
2. Содержание X = 0, объем X = U; X = 0/U (понятие X обладает
пустым содержанием, но максимальным объемом).
3. 0 < содержание Х< U, 0 < объем X<U\ (объем и содержание
понятия Хне пусты и, следовательно, не максимальны).
Свойства перечисленных случаев исследуются ниже (см. параграф 4
настоящей главы).
Рассмотрим пример. Пусть U = яблоки, А = условие, определяющее
спелость, В = условие, определяющее сладость. Данные условия делят
универсум на следующие классы (рис. 2).
в
A)
А
-5
B)
яблоки
в
C)
--—.
-А
-В
D)
Рис. 2

34
Условия А и В делят универсум на четыре взаимно исключающих и
совместно исчерпывающих класса: С/= A) + B) + C) + D), такие, что A) =
спелые и сладкие яблоки, B) = спелые и несладкие яблоки, C) = неспелые
и сладкие яблоки, D) = неспелые и несладкие яблоки.
Сформулируем следующие три понятия: С = спелые яблоки, D =
спелые и сладкие яблоки, Е = спелые или сладкие яблоки. Если исходить из
числа условий, как это принято в традиционной логике, то может
показаться, что как понятие D богаче по содержанию понятия С (что верно),
так и понятие Е богаче по содержанию понятия С (что неверно). Этот
критерий не позволяет также сравнить содержания понятий D и Е, которые
хотя и состоят из одинакового числа условий, тем не менее сообщают
различную информацию.
Информационная интерпретация содержания понятий позволяет
сделать следующие выводы. Понятие С исключает существование неспелых
(как сладких, так и несладких) яблок, то есть исключает классы C) и D).
Сообщаемая С информация равна сумме исключаемых классов, то есть
равна сумме C) + D). Следовательно, С = C) + D) / A) + B).
Понятие D исключает существование неспелых и несладких или тех
и других яблок одновременно. Следовательно, оно исключает классы B),
C) и D). Сообщаемая этим понятием информация равна сумме B) + C) +
D). Значит, D = B) + C) + D) / A).
Понятие Е исключает существование неспелых и несладких яблок
одновременно, то есть исключает класс D). Сообщаемая этим понятием
информация равна D). Следовательно, Е = D) / A) + B) + C).
Сравнение информации, сообщаемой всеми тремя понятиями,
показывает, что содержание Е является частью содержания как С, так и D; что
содержание С является частью содержания D.
Согласно закону обратного отношения между объемом и
содержанием понятий, получаем:
1. Содержание Е является частью содержания Си/). Содержание С
является частью содержания D. Следовательно, понятие D является самым
богатым по содержанию.
2. Объем D является частью объема С. Объем С является частью
объема Е. Следовательно, понятие Е является самым большим по объему.
Графически полученные результаты представлены на рис. 3.
Умение определять отношения объемов и содержаний понятий
позволяет осуществлять операции обобщения и ограничения понятий.
Обобщением понятия называют конструирование нового понятия с
большим объемом, чем данное (с меньшим содержанием, чем данное).
Ограничением понятия называют конструирование нового понятия с
меньшим объемом, чем данное (с большим содержанием, чем данное).

35
Включения
по объему
Включения
по содержанию
Рис. 3
Из рассмотренного примера следует, что понятие С обобщает
понятие Д а понятие Е обобщает как понятие Д так и понятие С. Обратно,
понятие С ограничивает понятие Е, а понятие D ограничивает понятие С и
тем самым также понятие Е.
Рассмотрим несколько примеров на обобщение (ограничение)
понятий.
Пример 1
Выяснить, связана ли отношением обобщения (ограничения)
следующая пара понятий: С = люди, знающие все европейские языки; D =
люди, знающие все живые европейские языки.
Пусть U = люди, знающие все европейские языки, А = знающие
живые языки.
Условие А делит универсум на следующие два класса:
U= люди, знающие все европейские языки
А
О)
—А
B)
Имеем: U = A) + B) , где A) = люди, знающие все живые
европейские языки, B) = люди, знающие все мертвые европейские языки.
Понятие С ничего не исключает, так как его обьем совпадает с
универсумом, то есть С исключает пустой класс 0. Значит, С= 0/U.
Понятие D исключает людей, знающих все мертвые европейские
языки, то есть исключает класс B). Следовательно, D = B) / A).
Содержание понятия С является частью содержания понятия Д так
как пустой класс является элементом любого класса. Следовательно, объем
С больше объема Д то есть понятие С обобщает понятие D.

36
Пример 2
Решить указанную в предыдущем примере задачу для следующей
тройки понятий: С = число, делящееся на 4 и 7, D = число, делящееся на 4
или на 7 (или на оба одновременно), Е = число, делящееся либо на 4, либо
на 7.
Пусть U= делящиеся числа: А= на 4, В = на 7. Имеем:
в
A)
и=
-
А
^\
деляи
-В
B)
^иеся числа
-А
В
C)
-5
D)
Рис. 3
Получаем: С/ = A) + B) + C) + D), где A) = числа, делящиеся на 4 и
на 7, B) = числа, делящиеся на 4, но не на 7, C) = числа, делящиеся на 7,
но не на 4, D) = числа, не делящиеся на 4 и на 7.
Понятие С исключает все числа, не делящиеся на 4 или на 7, на 4 и
на 7 одновременно, то есть исключает классы B), C) и D). Значит, С = B)
Понятие D исключает все числа, не делящиеся на 4 и 7 одновременно
(все остальные комбинации допускаются), то есть исключают класс D).
Следовательно, D = D) / A) + B) + C).
Понятие Е исключает все числа, делящиеся на 4 и 7 одновременно и
не делящиеся на 4 и 7 одновременно, то есть исключает классы A) и D).
Значит, Е = A) + D) / B) + C).
Содержание понятия D является частью содержания С и частью
содержания Е. Следовательно, объем D больше объема С и больше объема Е.
Иными словами, понятие D обобщает как понятие С, так и понятие Е. Но
ни содержание С не является частью содержания Е, ни содержание Е не
является частью содержания С. Следовательно, понятия СиЕяе находятся
в отношении обобщения (ограничения).
Пример 3 (см.: Мелев Ю. В. Логика. М., 1992. С. 158-159).
Решить указанную в первом примере задачу для следующей пары
понятий: D = число, которое делится на 2, но не делится на 16, и Е = число
такое, что если оно делится на 2, но не делится на 3, то оно не делится и на
16.

37
Пусть U = числа, делящиеся на 2, В = на 3, С = на 16. Данные
условия делят универсум на следующие классы:
= делящиеся числа
Имеем: ?/= A) + B) + C) + D), где A) = числа, делящиеся на 2, на 3 и
на 16; B) = числа, делящиеся на 2 и на 3, но не делящиеся на 16; C) =
числа, делящиеся на 2 и на 16, но не делящиеся на 3; D) = числа, делящиеся на
2, но не делящиеся на 3 и на 16 .
Понятие D исключает все числа, которые делятся на 2 и на 16
одновременно, то есть исключает классы A) и C). Значит, Z) = A) + C) / B) +
D).
Понятие Е исключает все числа, которые делятся на 2, не делятся на
3 и делятся на 16, то есть исключает класс C). Следовательно, Е = C) / A)
+ B) + D).
Содержание понятия D равно сумме A) + C). Содержание понятия Е
равно C). Сравнивая содержания обоих понятий, делаем вывод, что
содержание Е является частью содержания D. Следовательно, объем понятия
Е больше объема понятия Д то есть понятие Е обобщает понятие D
(понятие D ограничивает понятие Е).
Иногда возникает вопрос: существуют ли пределы обобщения и
ограничения понятий? На этот вопрос мы дадим следующий ответ.
Относительно данного универсума и делящих его условий существует предел как
обобщения, так и ограничения рассматриваемых понятий. Пределом
обобщения выступает родовое понятие, пределом ограничения — любой
отдельный класс, представляющий конечный результат деления
универсума.
При снятии указанного условия никаких логических границ
обобщению и ограничению понятий, по всей видимости, нет. С информационной
точки зрения обобщить какое-либо понятие означает найти его логическое
следствие, потому что только содержание следствий является частью
содержания посылок. Поскольку процесс познания протекает как процесс
обобщения существующих знаний, то вряд ли следует ожидать, что когда-
нибудь мы будем иметь далее не обобщаемые пределы естественного и
гуманитарного знания. Также нет никаких логических препятствий для
ограничения, то есть конкретизации, понятий. Для этого достаточно присое-

38
динить к существующему содержанию понятия какое-либо новое условие.
Например, пусть дано понятие «Льюис Кэрролл». Добавляя к его
содержанию последовательно условия «человек с псевдонимом», «преподаватель
математики из колледжа Крайст Черч в Оксфорде», «автор всемирно
известных сказок об Алисе», «автор оригинальной логической теории»,
«застенчивый и заикающийся человек», мы будем получать понятия, все
более ограничивающие объем исходного понятия. При этом следует
учитывать, что нам ничто не мешает увеличивать число условий, а вместе с ней и
степень конкретизации, до любого желаемого нами предела.
Понятие, обозначающее универсум, мы назвали родовым,
подчиняющим. Все остальные понятия, обозначающие какие-либо части
универсума и тем самым виды родового понятия, принято называть видовыми
(подчиненными).
Объем родового понятия, то есть универсум, всегда больше объема
любого видового понятия. Содержание любого видового понятия всегда
богаче содержания родового понятия. Из истинности видового понятия
всегда следует истинность родового понятия, но обратное неверно17. Из
истинности понятия «образованный человек» следует истинность понятия
«человек», но из истинности последнего не следует с необходимостью
истинность первого (не каждый человек является образованным). Причина
подобной истинностной асимметрии в том, что видовое понятие
представляет только достаточное условие истинности родового, а родовое —
только необходимое условие истинности видового.
Объем любого понятия может быть представлен в виде родовой
иерархии, в которой каждое понятие, кроме родового, подчиняется
вышестоящим и, в свою очередь, подчиняет все нижестоящие. Такое
представление объема понятий называется классификацией и будет рассмотрено
ниже.
17 Понятие можно считать истинным (корректно определенным), если и только если
каждый элемент его объема выполняет все условия его содержания. В противном
случае понятие следует считать ложным..

39
3. ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К КОНСТРУИРОВАНИЮ
(ОПРЕДЕЛЕНИЮ) ПОНЯТИЙ
И я предоставляю тебе распорядиться любым названием как тебе
угодно: разъясни лишь, к чему именно относишь ты то имя, которое
произносишь.
Платон. Хармид.
Понятия не являются врожденными или автоматически
приобретаемыми в опыте. Они — продукт специальной умственной деятельности,
которую мы будем называть конструированием (определением).
Сконструировать понятие в общем случае означает задать (выяснить) его содержание
и объем. Определяя понятия, мы, с одной стороны, приписываем словам
нужное значение (указываем их объем), а с другой — познаем суть вещей
(разъясняем их сущность). «Определение, — отмечал Аристотель, —
имеет целью назвать сущность каждого предмета и говорит, что предмет
хорош, плох или еще какой-нибудь»18.
Понятие, которое требуется сконструировать, называется дефиниен-
думом (лат. definiendum), сокращенно dfd. Понятия (условия), с помощью
которых конструируется дефиниендум, называется дефиниенсом (лат.
definiens), сокращенно dfn. Дефиниенс состоит из родового и видовых
понятий. Один и тот же дефиниендум может быть задан с помощью разных
дефиниенсов.
Процесс конструирования понятий удобно представить в виде
следующего алгоритма.
1. Сравниваем мыслимую вещь, понятие о которой необходимо
сконструировать, с другими вещами подобного рода и фиксируем множество
необходимых условий, такое, что одно из них подчиняет все остальные, а
все подчиненные условия не зависят одно от другого.
2. То условие, которое подчиняет все остальные, является родовым,
все остальные условия — видовыми. Находим соответствующий родовому
понятию универсум.
3. Строим дерево определения согласно следующим правилам:
3.1. Каждое видовое условие (понятие) разбивает универсум на два
класса — выполняющий данное условие и выполняющий его дополнение.
3.2. Новый шаг разбиения всегда начинается с класса,
удовлетворяющего предыдущему видовому условию. Классы, являющиеся
дополнениями, в разбиении универсума более не участвуют. Число шагов
разбиения должно быть равно числу видовых условий. Общее число результатов
18
Аристотель. Сочинения: В 4-х т. М., 1983. Т 4. - С. 298.

40
разбиения универсума равно 2", где п — число видовых условий. Число
фактически полученных классов равно п + 1.
4. Устанавливаем достаточность видовых условий для содержания
конструируемого понятия. Критерием достаточности служит равенство
dfd = dfn, согласно которому dfd и dfn являются необходимыми и
достаточными друг для друга. В противном случае имеет место либо dfd>dfn,
что означает слишком узкое определение (dfn содержит только
достаточные условия как, например, в определении «сладости — это конфеты», ибо
ясно, что вещь может не быть конфетой, но быть при этом сладкой), либо
dfd<dfn, что означает слишком широкое определение (dfn содержит только
необходимые условия как, например, в определении «конфеты — это
сладости», так как очевидно, что кроме конфет имеются и другие сладости).
Рассмотрим несколько примеров конструирования понятий согласно
указанному алгоритму.
Пример 1
Допустим, требуется сконструировать понятие «квадрат». Сравнивая
эту вещь с другими четырехугольными фигурами, фиксируем в качестве
необходимых условий «быть четырехугольником», «иметь равные
стороны», «иметь равные углы». Первое из них является родовым.
Следовательно, универсум состоит из класса четырехугольников. Условие «иметь
равные стороны» разбивает универсум на класс «четырехугольники с
равными сторонами» и его дополнение — класс «четырехугольники с неравными
сторонами». Первый из них включает не только квадраты, но и ромбы.
Следовательно, не всякий четырехугольник с равными сторонами является
квадратом. Поэтому требуется дальнейшее разбиение универсума с
помощью условия «иметь равные углы», которое отделяет ромбы от квадратов.
Дерево определения понятия квадрат представлено на рис. 4.
U = четырехугольники
с равными с неравными
сторонами сторонами
с равными с неравными
углами углами
(квадраты)
Рис.4

41
Полное определение квадрата звучит так: «Квадрат — это
четырехугольник (родовое условие) с равными сторонами (первое видовое
условие) и с равными углами (второе видовое условие)». Нетрудно проверить,
что понятие «квадрат» сконструировано правильно. Чтобы убедиться в
этом, достаточно поменять местами дефиниендум и дефиниенс. Получаем:
«Четырехугольник с равными сторонами и углами — это квадрат».
Истинность этого утверждения несомненна. Следовательно, истинно dfd = dfn.
Другим дефиниенсом при определении квадрата может быть такое:
«Четырехугольник с равными сторонами и диагоналями». Нетрудно убедиться в
эквивалентности обоих дефиниенсов.
Слишком широким определением квадрата было бы определение с
дефиниенсом, состоящим только из необходимых условий. Например,
определение «Квадрат — это четырехугольник» является слишком широким,
так как дефиниенс включает (обозначает) не только квадраты, но и другие
четырехугольные фигуры — ромбы, трапеции и так далее Слишком узким
определением квадрата было бы определение, содержащее условия,
которые вместе только достаточны. Например, узким является определение
«Квадрат — это нарисованный на бумаге четырехугольник с равными
сторонами и углами», так как оно содержит только достаточное условие.
Пример 2
Допустим, необходимо сконструировать понятие «себялюбец». Если
обратиться к авторитету Аристотеля, то необходимыми условиями
себялюбца являются: «быть человеком», «делать все ради самого себя», «иметь
выгоду». Первое из этих условий родовое, поэтому универсумом является
класс людей. Дерево определения понятия «себялюбец» приведено на рис.
5.
U = люди
делающие все не делающие все
ради самих себя ради самих себя
с выгодой без выгоды
(себялюбцы)
Рис. 5

42
Полное определение Аристотеля звучит так: «Себялюбец — это тот,
кто все делает ради самого себя в том, что приносит выгоду»19. Нетрудно
убедиться, что данное определение сконструировано правильно, то есть
что выполнено равенство dfd = dfn.
Пример 3
Допустим, нам следует дать определение понятия «шар», учитывая
способ его образования. С этой точки зрения необходимыми условиями
являются: «быть геометрическим телом», «быть образованным вращением
полукруга (круга)», «вокруг своего диаметра». Первое из этих условий
является родовым. Следовательно, универсум состоит из геометрических
тел. Дерево определения представлено на рис. 6.
U = геометрические тела
образованные вращением не образованные вращением
полукруга (круга) полукруга (круга)
вокруг своего не вокруг своего
диаметра диаметра
(шары)
Рис. 6
Полное определение шара таково: «Шар — это геометрическое тело,
образованное вращением полукруга (круга) вокруг своего диаметра».
Меняя местами дефиниендум и дефиниенс, убеждаемся, что полученное
определение является корректным.
Пример 4
Допустим, мы хотим сконструировать понятие «естественное право».
Согласно авторитету в этой области Т. Гоббсу, необходимыми условиями
естественного права являются: «решения, принимаемые людьми»,
«свободно», «по использованию своих сил», «по своему усмотрению», «для
сохранения собственной жизни». Первое из указанных условий — родовое.
Дерево определения естественного права приведено на рис. 7.
19
Аристотель, Сочинения: В 4-х т. Т. 4. М., 1983. - С. 371.

43
U = решения, принимаемые людьми
свободно не свободно
по использова- не по
использованию своих сил нию своих сил
по своему не по своему
усмотрению усмотрению
для сохранения не для сохранения
собственной жизни собственной жизни
{естественное право)
Рис.7
Полное определение: «Естественное право... есть свобода всякого
человека использовать собственные силы по своему усмотрению для
сохранения собственной жизни»20. Легко убедиться, что данное определение
правильно по крайней мере с точки зрения идеалов XVII в.
Пример 5
Допустим, требуется сконструировать понятие «натуральные числа».
Это можно осуществить двумя способами. Согласно первому, для этого
необходимо и достаточно ограничить универсум «целые числа» условием
«не быть отрицательными» (рис.8).
U = целые числа
неотрицательные отрицательные
{натуральные числа)
Рис.8
Согласно второму способу, необходимо и достаточно указать
алгоритм построения натуральных чисел из данного натурального числа (нуля
или единицы). Упрощенный вариант такого определения приведен на рис.
9.
20 Гоббс Г. Сочинения: В 2-х т. М., 1991. Т 2. С. 98.

44
U = целые числа
начинающиеся
с нуля
не начинающиеся
с нуля
возрастающие ровно не возрастающие
на единицу ровно на единицу
{натуральные числа)
Рис.9
Оба способа конструирования понятия «натуральные числа»
отличаются лишь набором видовых условий. Принцип же конструирования
является одинаковым. Данное обстоятельство, может быть, и не приходилось
специально подчеркивать, если бы не проводимое иногда в логической
литературе принципиальное различие между данными определениями.
Полное определение: «Натуральные числа — это целые неотрицательные
числа» (первый вариант) и «Натуральные числа — это ряд целых чисел,
начинающийся с нуля и возрастающий ровно на единицу» (второй вариант).
Оба определения корректны и поэтому взаимозаменяемы.
Пример 6
Рассмотрим пример конструирования понятия с неопределенным
универсумом. Допустим, необходимо определить понятие «одна вещь
предшествует другой» безотносительно к природе вещей и самого
отношения «предшествует». В таких случаях в качестве универсума выступает
множество произвольных вещей. Дерево определения приведено на рис.
10.
U= произвольные вещи
никакая вещь не
предшествуют сама себе
некоторые вещи
предшествуют сами себе
если одна вещь
предшествует второй, а вторая третьей,
то первая предшествует
третьей
(класс вещей, одна из
которых предшествует другой)
если одна вещь
предшествует второй, а вторая третьей,
то первая не всегда
предшествует третьей
Рис. 10

45
Если взять в качестве универсума сконструированного понятия класс
действительных чисел, тогда отношение «предшествует» превращается в
отношение «меньше, чем». Если за универсум принять класс временных
точек (секунд, минут, часов и т. п.), тогда отношение предшествования
становится отношением «раньше, чем». Возможны и другие
интерпретации отношения «предшествует» и его универсума.
Пример 7
Интересно сравнить рассматриваемый метод конструирования
понятий с «диалектическим» методом определения понятий Сократа. Разберем
характерный сократовский диалог21.
Некто Евтидем готовился к государственной деятельности и был
уверен, что способен отличить справедливое от несправедливого. Сократ
выразил желание убедиться в такой способности Евтидема и предложил
заносить справедливые действия в графу «дельта» (начальная буква
греческого слова «справедливость»), а несправедливые — в графу «альфа»
(начальная буква греческого слова «несправедливость»).
На вопрос Сократа, куда занести ложь, обман, воровство, похищение
людей для продажи в рабство, Евтидем уверенно ответил, что все эти
поступки следует занести в графу «альфа» и что ни один из них не может
принадлежать графе «дельта». Первым определением несправедливости
можно считать, следовательно, такое: «Несправедливость — это ложь,
обман, воровство и похищение людей с целью продажи в рабство».
Тогда Сократ задал другой вопрос: будет ли несправедливым
обращение в рабство и продажа жителей несправедливого неприятельского
города. Евтидем отвечал отрицательно, признавая тем самым такое действие
справедливым. Аналогично он отвечал на вопросы Сократа о том, можно
ли обманывать неприятеля, с которым находишься в состоянии войны, а
также воровать и грабить его добро.
В итоге все указанные поступки были перенесены из графы «альфа»
в графу «дельта», если они совершались в отношении врагов.
Соответственно, последовало новое определение, уточняющее первое.
«Несправедливость — это ложь, обман, воровство и похищение людей с целью их
продажи в рабство, совершаемые в отношении друзей, и эти же поступки
являются справедливыми, если они совершаются по отношению к врагам».
В третий раз Сократ спросил, всегда ли нужно быть правдивым со
своими друзьями. И хотя Евтидем поначалу ответил утвердительно,
Сократ быстро его переубедил. Ибо, по мнению Сократа, военачальник
может солгать своим солдатам о приближении подкрепления, чтобы поднять
их дух; отец может обманом заставить больного сына принять
необходимое лекарство; любой может предотвратить самоубийство своего друга,
21 Ксенофонт Афинский. Сократические сочинения. M-JL, 1935. - С. 139-145.

46
украв у него меч или другое оружие.
Наконец, Сократ спросил: «Кто несправедливее: обманывающий
друзей добровольно или невольно?». Евтидем ответил, что добровольный
лжец несправедливее невольного. Интерпретируя добровольный обман как
намерение навредить, получаем окончательное определение
несправедливости. «Несправедливость — это ложь, обман, воровство и похищение
людей с целью их продажи в рабство, совершенные в отношении друзей с
целью им навредить».
Для реконструкции сократовского определения несправедливости
выберем в качестве универсума поступки людей. Видовыми условиями
будут: «представлять обман, ложь, воровство, похищение людей с целью
их продажи в рабство», «совершенные в отношении друзей», «с целью им
навредить». Дерево определения понятия «несправедливость» приведено
на рис. 11.
U= поступки людей
представляющие обман,
ложь, воровство и
похищение людей с целью
продажи их в рабство
не представляющие обмана,
лжи, воровства и похищения
людей с целью продажи их в
рабство
совершенные
в отношении
друзей с
целью
совершенные
в отношении
врагов с
целью
помочь навредить помочь навредить
A) B) C) D)
Рис. 11
Из указанных на рис. 11 четырех исходов первый и четвертый
представляют собой случаи справедливости, второй и третий — случаи
несправедливости. Определение несправедливости, к которому подвел своего
собеседника Сократ, соответствует только второму случаю. Следовательно,
определение с помощью дерева является более полным, позволяющим
учитывать все возможные случаи. В остальном оба метода идентичны.
Знаменитые сократовские вопросы следует рассматривать как эвристиче-

47
ские приемы поиска необходимых условий для содержания определяемого
понятия.
Рассмотренные примеры показывают, что конструирование понятий
представляет однотипный процесс и не зависит от их специфики: мы ищем
универсум и необходимые условия, которые были бы вместе достаточны
для однозначного обозначения объема конструируемого понятия и
выражения его содержания. Поскольку выбор универсума и видовых условий
неоднозначен, то к ним предъявляется требование необходимости и
совместной достаточности. Только это требование отделяет понятия от
описаний, характеристик, пояснений и тому подобных операций, для которых
необходимость и достаточность условий не является обязательной.
В логической литературе определения принято классифицировать по
разным основаниям. Мы не будем обсуждать эту достаточно специальную
тему, отсылая читателя к соответствующей литературе22. Сделаем лишь
несколько замечаний по поводу разделения определений на реальные и
номинальные, с одной стороны, явные и неявные — с другой.
Реальные и номинальные определения различаются на том
основании, что первые определяют вещь, а вторые — ее имя. Учитывая, что
между вещью и ее именем нет необходимой связи, такое различие в принципе
правомерно. Вместе с тем стоит отметить, что разделение определений на
реальные и номинальные является функциональным, зависящим только от
того, в каком направлении мы движемся по периметру треугольника,
указанного на рис. 12.
Вещь как
дефиниендум
Имя как дефиниендум
Реальное
определение
Номинальное
определение
Дефиниенс
Рис. 12
Определяя имя, то есть устанавливая то значение, в котором мы
будем его использовать, мы так или иначе определяем вещь, которую оно
обозначает. И обратно, определяя вещь, мы так или иначе определяем
обозначающее ее имя. Взаимосвязь реальных и номинальных определений
объясняется тем, что их дефиниенсы совпадают. Утверждение Конфуция:
«Когда, совершив ошибку, не исправил ее, это и называется совершить
22
См.: Горский Д. П. Определение . М., 1974; Попа К. Теория определения. М., 1976.

48
ошибку»23 — следует считать номинальным определением, то есть
определением имени «совершенная ошибка». Утверждение же «совершенная
ошибка — это неисправленная ошибка» является реальным определением,
то есть определением такой вещи (поступка), как «совершенная ошибка».
Оба определения имеют один и тот же дефиниенс: «неисправленная
ошибка».
Неявные определения противопоставляются явным, либо на том
основании, что дефиниенс и дефиниендум вообще не выделены в качестве
самостоятельных частей, либо на том основании, что в качестве дефиниен-
са выбран или список аксиом, или описание алгоритма построения дефи-
ниендума, или просто некоторый контекст.
Первая возможность неявных определений отпадает по причине
самопротиворечивости. Если нет дефиниендума или дефиниенса, или того и
другого, то вряд ли имеет смысл говорить об определении.
Вторая возможность неявных определений основана на том, что
дефиниенс не определяет однозначно дефиниендум. Именно в этом состоит
смысл определений с помощью аксиом, контекстов или алгоритмов
построения дефиниендума. Но это означает, что неявные определения — это
слишком широкие определения. Любое неявное определение можно,
следовательно, превратить в явное, добавив соответствующее число
необходимых условий. Примером неявного определения может служить данное
выше определение класса вещей, предшествующих друг другу. Оно
становится явным при конкретизации универсума и соответствующей
интерпретации отношения «предшествует».
Итак, сконструировать, или определить, понятие о какой-либо вещи
означает найти подходящий универсум и с помощью видовых условий
ограничить его до класса, содержащего только определяемую вещь.
Приведенный в начале параграфа алгоритм позволяет сделать это достаточно
эффективно.
4. ВИДЫ ПОНЯТИЙ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ОТНОШЕНИЙ
МЕЖДУ ИХ ОБЪЕМОМ И СОДЕРЖАНИЕМ
Понятия можно различать по разным основаниям, но практическое
значение имеет лишь классификация, основанная на соотношении их
объемов и содержаний. По этому основанию различают следующие виды
понятий.
23 Древнекитайская философия: В 2-х т.М., 1972. Т 1. - С 168.

49
1. Эквивалентные понятия (понятия, находящиеся в отношении
взаимного следования значения истинности).
Объемы (и содержания) таких понятий полностью совпадают. По
этой причине их часто называют также равнообъемными, равнозначными,
тождественными, равносильными. Такие понятия вместе либо истинны,
либо ложны (либо все неопределенны, если хотя бы одно из них
неопределенно). Из истинности (ложности, неопределенности) одного
эквивалентного понятия следует с необходимостью истинность (ложность,
неопределенность) всех других. Эквивалентны понятия «похвала» и
«способ изъяснять величие добродетели какого-нибудь человека»
(Аристотель), «скупость» и «неумеренное желание и любовь к богатствам»
(Б. Спиноза), «человеколюбие» и «такое состояние человека, когда в
сердце у него содержится радостная любовь к другим людям» (Лао-цзы). Все
синонимы выражают равнозначные понятия. О них можно также сказать,
что в равной мере каждое из них подчиняет другое, или что каждое из них
является необходимым следствием другого. Дефиниендум и дефиниенс
правильно построенного определения, как мы видели, состоит из
равнозначных понятий.
2. Независимые (частично пересекающиеся) понятия.
Объемы (и содержания) таких понятий частично пересекаются, что и
послужило основанием для их именования частично пересекающимися.
Однако более правильно было бы назвать понятия с частичным
пересечением объемов независимыми, потому что из истинности (ложности)
любого одного из них не следует с необходимостью ни истинность, ни
ложность всех остальных. Понятия «богатый» и «плачущий» — частично
пересекающиеся, или независимые24. Из того, что некто является богатым, не
следует с необходимостью, что он плачущий человек, так же как не
следует с необходимостью, что он есть неплачущий человек. Есть богатые,
которые плачут, и есть богатые, которые не плачут. Обратное так же верно.
Среди плачущих есть как богатые, так и небогатые люди. Независимые
понятия играют чрезвычайно важную роль во всех разделах научного
знания, и особенно в теории вероятностей. Требование независимости
понятий является обязательным при классификации, а также при
конструировании понятия (для видовых условий).
3. Понятия, находящиеся в отношении однонаправленного
следования истинности (ложности).
В отличие от эквивалентных понятий, для которых отношение
следования истинности действует в обе стороны, существуют понятия, только
одно из которых передает свою истинность (ложность) другому. То
понятие, из истинности которого следует истинность другого понятия (но не
24 От названия получившего известность в начале 90-х годов телевизионного сериала
«Богатые тоже плачут».

50
обратно), принято называть видовым. То понятие, из ложности которого
следует ложность другого понятия (но не обратно), называется родовым.
Объем родового понятия всегда включает в себя объемы всех
подчиненных ему видовых понятий. Наоборот, содержание любого видового
понятия включает в себя в качестве своей части содержание подчиняющего его
родового понятия. Асимметрия включений объемов и содержаний
порождает асимметрию в истинностной зависимости рассматриваемых понятий.
Истинность переносится от видового понятия к родовому, но не
обратно. Наоборот, ложность переносится от родового понятия к видовому,
но не обратно. Если истинно, что некто есть образованный человек, тогда
истинно, что он просто человек (обратное, конечно, в общем неверно).
Если же ложно, что некто является человеком, тогда ложно, что он
образованный человек (обратное, конечно, в общем неверно). Подобная
асимметрия объясняется тем, что только родовое понятие является согласно закону
обратного отношения объема и содержания необходимым следствием
видового, но не наоборот.
Отношение родо-видового подчинения (следования) необходимо
отличать от отношения между целым и его частями. Если каждый вид
обладает всеми свойствами рода, то ни одна часть не обладает свойствами
всего целого. Например, каждому автомобилю присущи все необходимые
свойства средства передвижения, но ни одно автомобильное колесо не
обладает свойствами всего автомобиля.
Назовем любые два понятия сравнимыми, если можно указать общий
для них универсум. Пусть А и В будут сравнимыми понятиями.
Рассмотренные три вида отношений между понятиями графически могут быть
изображены следующим образом (рис. 13).
Случаи полного или частичного пересечения объемов двух
сравниваемых понятий
В
В
А и В — эквива- А и В — частично пере- А — родовое (подчи-
лентные понятия секающиеся (независи- няющее) понятие, В —
(А подчиняет В, В мые) понятия (ни А не видовое (подчинен-
подчиняетЛ) подчиняет В, ни В не ное) понятие
подчиняет Л)
Рис. 13

51
Рассмотренные случаи отношений между понятиями принято
называть случаями совместимости. Такое определение является слишком
широким, так как сама совместимость делится на совместимость по истине
(по объему) и совместимость по лжи (по содержанию). Следовательно,
требуется уточнить, о каком виде совместимости идет речь при анализе
указанных трех видов отношений.
Понятия совместимы по истине, если и только если они могут
быть вместе истинны, или, что то же, их объемы по крайней мере
частично пересекаются; совместимыми по лжи, если и только если они
могут быть вместе ложны, или, что то же, их содержания по крайней мере
частично пересекаются.
Мы будем также считать понятия полностью совместимыми, если и
только если они совместимы по истине и по лжи. Все три указанных выше
вида отношений между понятиями удовлетворяют приведенному
определению, то есть эквивалентные, независимые и родо-видовые понятия
представляют случаи полной совместимости.
Проанализируем теперь случаи, когда объемы сравниваемых
понятий не пересекаются. Такие понятия принято называть несовместимыми.
Но как и совместимость, несовместимость может быть как по истине, так и
по лжи.
Понятия несовместимыми по истине, если и только если они не
могут быть вместе истинны, или, что тоже, их объемы не пересекаются;
несовместимыми по лжи, если и только если они не могут быть вместе
ложны, или, что то же, их содержания не пересекаются.
Понятия несовместимы полностью, если они несовместимы и по
истине и по лжи, и несовместимыми частично, если они несовместимы
только по истине.
Противоречащие понятия
Объемы (и содержания) таких понятий не пересекаются, но вместе
они исчерпывают объем ближайшего родового понятия. Каждое из
противоречащих понятий представляет поэтому дополнение (логическое
отрицание) другого (до ближайшего универсума). То, что является объемом для
одного противоречащего понятия, для другого представляет содержание, и
наоборот. По этой причине противоречащие понятия не могут быть вместе
ни истинны, ни ложны. Если одно из них истинно (ложно), то другое с
необходимостью ложно (истинно). Значит, противоречащие понятия
несовместимы полностью, то есть несовместимы ни по истине, ни по лжи.
В русском языке противоречащие понятия образуются, как правило,
посредством частицы «не», присоединяемой к данному понятию: «высокий
человек» и «невысокий человек» относительно понятия «человек»;
«синий» и «несиний» относительно понятия «цвет»; «радость» и «нерадость»

52
относительно понятия «чувство»; «деньги» и «неденьги» относительно
понятия «средство платежа».
Одно из отрицающих понятий, как правило, не имеет конкретного
(определенного) содержания. Например, если дана последовательность
чисел 1, 2, 3, 4, 5, утверждение, что это число есть не 2, равносильно
утверждению, что это число есть или 1, или 3, или 4, или 5. Но какое конкретно
число — сказать нельзя. Содержание подобных понятий всегда
выражается дизъюнкцией (соединением союзом «или») в исключающем смысле
каких-либо условий (признаков).
Противоположные понятия
Противоположность — наибольшее различие {Аристотель). Объемы
противоположных понятий не пересекаются, но содержания пересекаются,
вместе они не исчерпывают объем ближайшего родового понятия, а
выражаемые ими свойства одинаково удалены в противоположных
направлениях от средней, или нейтральной, точки на некоторой шкале свойств. В
русском языке многие противоположные понятия выражаются с помощью
антонимов. Противоположными являются понятия «консерватор» и
«радикал» относительно нейтральной точки — понятия «центрист», «северный
полюс» и «южный полюс» относительно нейтральной точки — понятия
«экватор». Не всегда можно словесно выразить указанную нейтральную
точку, но она всегда существует. Для шкалы, изображенной на рис. 14,
противоположными относительно точки 3 будут точки 1 и 5, точки 2 и 4
соответственно. Относительно точки 2 противоположными будут точки 1 и
3, относительно точки 4 — точки 3 и 5.
12 3 4 5
Рис. 14
Интересно отметить, что этические концепции Аристотеля и
Конфуция построены на допущении существования нейтральной, или средней,
точки для всех нравственных качеств. Так, у Аристотеля читаем:
«Благородство — это середина между кичливостью и приниженностью»,
«щедрость — среднее между расточительностью и скупостью», «негодование
— середина между завистью и злорадством»25. Аналогично у Конфуция:
25
Аристотель. Сочинения: В 4-х т. М., 1983. Т 4. - С. 320, 321, 322.

53
«Такой принцип, как "золотая середина", представляет собой высший
принцип»26.
Так как объемы противоположных понятий не пересекаются, то они
не могут быть вместе истинны. Но поскольку их содержания
пересекаются, то они могут быть вместе ложны. Последнее условие отличает
противоположные понятия от противоречащих. Из истинности одного
противоположного понятия всегда следует ложность другого, но обратное неверно.
Из ложности одного из противоположных понятий следует только
неопределенность относительно значения истинности другого. Значит,
противоположные понятия несовместимы только по истине. Например, если
данный человек высокого роста, то он не может быть среднего или низкого
роста. Но если неверно, что данный человек высокого роста, то отсюда не
следует с необходимостью, что он низкого роста. Он может оказаться
человеком среднего роста.
Для противоположных понятий всегда существует какая-то
альтернатива, из истинности которой следует совместная ложность
противоположных понятий. Например, данный человек может быть и не высокого и
не низкого, а среднего роста.
Соподчиненные понятия
Такие понятия несовместимы, но они не являются ни
противоречащими, ни противоположными. Их объемы, как и у противоположных
понятий, не пересекаются, но содержания пересекаются, вместе не
исчерпывают объема родного понятия. Между собой противоположные и
соподчиненные понятия различаются только одним условием —
соподчиненные понятия не выражают полярных свойств. Соподчиненными являются
понятия «стол» и «стул» относительно понятия «мебель»; «лейтенант» и
«капитан» относительно понятия «офицер»; «фиолетовый» и «синий»
относительно понятия «цвет». Согласно рис. 14, соподчиненными
относительно всей шкалы являются точки 1 и 2, 1 и 3, 1 и 4, 2 и 3, 2 и 4, 2 и 5, 3 и
4,3 и 5, 4 и 5.
Как и противоположные, соподчиненные понятия не могут быть
вместе истинны, но могут быть вместе ложны, так как их содержания
пересекаются. Из истинности одного соподчиненного понятия всегда следует
ложность другого, но обратное неверно. Из ложности одного из
соподчиненных понятий следует только неопределенность относительно значения
истинности другого. Значит, соподчиненные понятия также несовместимы
только по истине. Например, если данная вещь синего цвета, то она не
может быть вещью красного цвета; но если неверно, что данная вещь синего
цвета, то отсюда не следует, что она обязательно красного цвета.
Соподчиненные понятия, только если они вместе не исчерпывают универсум,
26 Древнекитайская философия: В 2-х т.Т. I. M., 1972. - С. 153.

54
могут быть вместе ложны. Например, данная вещь может быть и не синего
и не красного, а желтого цвета.
Рассмотренные случаи для двух сравниваемых понятий графически
представлены на рис. 15.
Случаи пустого пересечения объемов двух
сравниваемых понятий
А
-пА=В
А
В
А
В
А и В — противоре- А и В — противополож- А и В — соподчинен-
чащие понятия ные понятия ные понятия
Рис. 15
Рассмотрев различные варианты соотношения объемов понятий, мы
получили шесть различных видов отношений между понятиями. Из них
первые три представляют случаи полной совместимости, последние три —
случаи полной и частичной несовместимости. Данная схема деления
понятий является общепринятой в логической литературе. Но является ли она
полной?
Во-первых, в ней отсутствуют частично совместимые понятия, то
есть понятия, совместимые по истине и несовместимые по лжи. То, что такие
понятия существуют, доказывает следующее рассуждение.
Рассмотрим два противоположных понятия — «умный» и «глупый».
Сформулируем дополнение (логическое отрицание) каждого из них.
Получаем «неумный» и «неглупый». Последние два понятия являются частично
совместимыми. Они одновременно истинны, если данный человек
«среднего» ума. Но они не могут быть вместе ложными, так как в противном
случае были бы вместе истинны противоречащие им понятия — «умный»
и «глупый». Но, как мы знаем, противоположные понятия не могут быть
вместе истинны27.
То же можно сказать и о соподчиненных понятиях. Рассмотрим
понятия «белый» и «синий». Их отрицаниями будут понятия «небелый» и
«несиний». Последняя пара понятий одновременно истинна, если вещь,
27
Отношения между всеми четырьмя понятиями соответствуют отношениям
логического квадрата (см.: главу III, 5 ).

55
допустим, оранжевого цвета. Но она не может быть одновременно ложной,
так как в противном случае были бы одновременно истинны
противоречащие им понятия «белый» и «синий». Но так как эти понятия
соподчиненные, то это невозможно.
Итак, все понятия, являющиеся отрицаниями противоположных и
соподчиненных понятий, частично совместимы по истине.
Приведенная схема также неполна в следующем смысле.
Существуют понятия, которые одновременно обладают признаками
противоречивости и противоположности. Речь идет о таких парах понятий, как
«мужчина» и «женщина», «учитель» и «ученик», «муж» и «жена», «обманщик» и
«жертва обмана», «потенциальная энергия» и «кинетическая энергия»,
«потребительная стоимость» и «меновая стоимость» и так далее Каждая
пара таких понятий исчерпывает объем своего родового понятия (признак
противоречивости), выражает полярные свойства (признак
противоположности), имеет пустую область пересечения своих объемов (признак
противоречивости и противоположности). Кроме того, каждая пара таких
понятий либо вместе истинна, либо вместе ложна, так как выражает взаимно
обратные отношения, то есть мы получаем еще один случай полной
совместимости.
Например, объемы понятий «муж» и «жена» исчерпывают вместе
объем родового понятия «супруг». Пересечение объемов понятий «муж» и
«жена» пусто, так как не существует супругов, которые одновременно
являлись и мужьями, и женами. Вместе с тем данная пара понятий выражает
полярные степени различия родового понятия. Наконец, оба понятия
вместе либо истинны, либо ложны, так как они обозначают прямое и обратное
отношения, ибо ясно, что некто может быть мужем тогда и только тогда,
когда он имеет жену (никто не может быть мужем, не имея жены, или быть
женой, не имея мужа).
Как будет показано, понятия, одновременно противоречащие и
противоположные, играют исключительную роль в диалектических
контекстах (см. главу XI).
Приведенные уточнения и добавления показывают, что
общепринятая классификация понятий в зависимости от отношений между их
объемами требует дополнительного анализа и обобщения.
Кроме приведенной классификации понятий возможна также их
классификация, основанная на величине сообщаемой ими информации
(относительно универсума сравнения):
X = U/0, то есть X — логически ложное, ложное во всех классах
универсума, самопротиворечивое понятие, сообщающее максимум
информации и поэтому имеющее пустой объем;

56
X= 0/U, то есть X—логически истинное, истинное во всех классах
универсума, не сообщающее никакой информации понятие и поэтому
имеющее объем, равный универсуму.
X— содержание < U /объем > 0, то есть X—фактически истинное
(ложное) понятие (истинное в одних классах универсума и ложное в
других), сообщающее ограниченную информацию и поэтому имеющее
содержание, меньшее универсума, и непустой объем.
Относительно U = яблоки примером логически ложного, то есть
максимально информативного понятия будет: X = яблоко, спелое и неспелое
одновременно (ложно во всех классах универсума). Относительно этого же
универсума примером логически истинного, то есть максимально
неинформативного понятия будет: X = яблоко, спелое или неспелое (истинно во
всех классах данного универсума). Понятие X— спелое яблоко
относительно указанного универсума истинно, когда оно истинно в одних классах
универсума и ложно в других.
Значит, понятия в зависимости от пустоты содержания и объема
делятся на следующие три класса:
Логически
ложные
понятия
= и
= 0
Фактически
истинные/ложные
понятия
<и
>0
Логически
истинные
понятия
= 0
= и
Объем:
Знание отношений понятий по объему позволяет определять виды
совместимости и несовместимости и тем самым логические свойства
сравниваемых понятий. Рассмотрим в этой связи несколько примеров.
Отметим, что во многих из них ради ясности содержание понятий
формулируется в виде суждений. Например, вместо того чтобы сказать, что А =
сегодняшний день, который является понедельником, мы будем говорить, что
А = сегодня понедельник.
Пример 1
Установить, в каких отношениях совместимости и несовместимости
находятся следующие понятия: А = не сегодня и не вчера; В = не завтра и
не вчера; С = завтра. Пусть U= дни.

57
U= дни
вчера не вчера
I /^
не сегодня сегодня не сегодня
не завтра не завтра завтра не завтра
A) B) C) D)
Для решения этой и подобных ей задач рекомендуется
познакомиться с операциями сложения и умножения понятий (см. гл. II, 5). Все эти
операции производятся с объемами понятий. В данной задаче
А = {A) + C) + D)}х{B) + C) + D)}= C) + D);
В = {B) + C) + D)}х{A) + B) + D)}= B) + D);
С=C).
Из приведенных вычислений следует, что объемы АиВ частично
пересекаются (класс D) является общим элементом), объем С полностью
включен в объем А, объемы В и С не пересекаются. Объемы А, В и С
совместно не исчерпывают U. Следовательно, понятия^ и В — независимые,
понятия А и С находятся в отношении родо-видового подчинения (А —
родовое, С — видовое понятие), понятия В и С — соподчиненные:
с
в
= и
Пример 2
Решить указанную в первом примере задачу для следующих трех
понятий: А = не сегодня или не послезавтра; В = не вчера и [послезавтра или
не сегодня]; С = [не завтра, но и не вчера] или послезавтра. Напоминаем,
что операции, заключенные в скобки, выполняются первыми. Пусть U =
дни.

U= дни
вчера
не сегодня сегодня
не завтра
I
не
послезавтра
A)
58
не вчера
не сегодня
не завтра завтра не завтра
не после- не после- после- не
послезавтра завтра завтра завтра
B) C) D) E)
Здесь U= A) + B) + C) + D) + E);
А = {A) + C) + D) + E)} + {A) + B) + C) + E)} = U;
В = {B) + C) + D)} х{D) + [A) + C) + D) + E)]}
= C) + D) + E);
С = {[A) + B) + D) + E)]х[B) + C) + D) + E)]} + {D)}
= B)+ D)+ E).
Из вычислений следует, что объем А совпадает с универсумом,
объем С частично пересекается с объемом В, но сумма объемов В и С не
исчерпывает U. Следовательно, А обобщает как В, так и С (является для них
родовым понятием); В и С — независимые понятия. Истинна поэтому
следующая диаграмма:
= A = U
Пример 3
Решить указанную в первом примере задачу для следующих трех
понятий: А = [неверно, что послезавтра не четверг] или завтра не вторник; В
= [неверно, что сегодня не вторник] или послезавтра не среда; С =
сегодня вторник и не среда. Пусть U= дни.

59
U= дни
сегодня
вторник
сегодня
не среда
завтра
не вторник
послезавтра
не среда
послезавтра
четверг
со
сегодня
не вторник
сегодня
среда
сегодня
не среда
завтра завтра завтра
не вторник вторник не вторник
послезавтра послезавтра послезавтра
не среда среда не среда
послезавтра послезавтра послезавтра
не четверг не четверг не четверг
B) C) D)
ЗдесьС/=A)
А = -,{B) + C) + D)} + {A) + B) + D)} = A) + B) + D);
В = -,{B) + C) + D)} + {A) + B) + D)} = A) + B) + D);
С = {B) + C) + D)} х {A) + C) + D)} = C) + D).
Из приведенных вычислений следует, что объемы понятий Аи В
равны друг другу, объем понятия С частично пересекается с объемом как А,
так и В. Следовательно, А и В — эквивалентные понятия, а понятие С
является независимым по отношению как к А, так и В. Все вместе они
исчерпывают универсум. В итоге получаем следующую диаграмму:
А, В-
>
С
4
>
= и
Пример 4
Решить указанную в первом примере задачу для следующих трех
понятий: ^ = 2 + 2>4;5 = 2 + 2<4;С = 2 + 2^6. Пусть U = результаты
сложения числа 2 с самим собой.

60
U = результаты сложения
числа 2 с самим собой
= 4
(О
Здесь U= A); А = 0; В = 0; С = A) = U. Откуда следует, что
объемы А и В совпадают друг с другом, так как представляют пустые классы;
объем понятия С равен универсуму. Следовательно, А и В —
эквивалентные понятия, видовые по отношению к понятию С. И поскольку пустой
класс является подклассом наименьшего непустого класса (так как
обладает наибольшим содержанием из сравниваемых понятий), то истинна
следующая диаграмма:
А, В
= с= и
Данный пример доказывает, что понятия с пустым объемом не
только равнозначны, но и являются видовыми понятиями по отношению к
понятиям с непустым объемом.
Пример 5
Решить указанную в примере 4 задачу, но без исключения из
универсума противоречащих условиям задачи возможностей. Получаем
следующее разбиение универсума:
U = результаты сложения
числа 2 с самим собой
Здесь?/=A) + B
Л = B) + C);
ф
6
A)
) + C) + (<
= 6
B)
>4 <4
C) D)

61
В = D);
C=(l)
Из вычислений следует, что объемы А и С частично пересекаются и
совместно исчерпывают универсум, объем В полностью включен в объем
С, но ему не равен. Объемы А и В не пересекаются. Это означает, что
понятия А и С — независимые, понятие С — родовое, а понятие В —
видовое, Аи В — соподчиненные понятия:
4—А-
—>
С
В
= и
Следует отметить, что включение / исключение ложных
возможностей из универсума радикально меняет отношения между сравниваемыми
понятиями. Более общий вывод состоит в том, что сравнивать по
содержанию и объему можно не только истинные (непротиворечивые), но и
ложные (противоречивые) понятия. Первым, кто указал на возможность
сравнения ложных понятий (теорий) по содержанию и объему, был К. Поппер
(см. более подробно об этом гл. УП, 5).
Пример 6
Решить указанную в первом примере задачу для следующих трех
понятий: А = число, меньшее 100 или 80; В = число, большее 80, но меньшее
100; С = число, равное или меньшее 80. Пусть U= числа.
<80
< 100
A)
U=числа
= 80
>80
< 100 < 100 = 100 > 100
B) C) D) E)
Здесь U= A) + B) + C) + D) + E);
А = {A) + B) + C)} + {A)} = A) + B) + C);
В = {C) + D) + E)}х{A) + B) + C)}= C);
С=A) + B).
Из приведенных вычислений следует, что объемы понятий В и С
делят объем понятия А на две взаимно исключающие и совместно
исчерпывающие области. Следовательно, относительно А понятия В и С — проти-

62
воречащие. В то же время объем понятия А меньше универсума. Поэтому
относительно всего универсума понятия В и С не являются
противоречащими, а только соподчиненными. Диаграмма имеет следующий вид:
А
В
С
= и
Пример 7
Решить указанную в первом примере задачу для следующих трех
понятий: А = число, меньшее или большее 100; В = число, большее 80, но не
равное или меньшее 100; С = число, меньшее или равное, или большее 100,
но неверно, что меньшее или равное, или большее 80. Для решения этой
задачи используем разбиение универсума из предыдущей задачи (см.
пример 6). Получаем:
С/= A) + B) + C) + D) + E);
А = {A) + B) + C)} + {E)} = A) + B) + C) + E);
= С/х0 = 0.
Из вычислений следует, что все понятия находятся в
последовательном родо-видовом подчинении, так как пустой объем понятия С включен в
наименьший объем непустого понятия В, а объем последнего включен в
объем понятия А, Объем А не равен универсуму. Итоговая диаграмма
выглядит следующим образом:
= U
5. ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ С ПОНЯТИЯМИ. ПОНЯТИЕ
КАК ИНВАРИАНТ ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ
Когда в наших рассуждениях мы используем союзы 'и' и 'или' (или
их разнообразные эквиваленты), то осознанно или бессознательно мы
выполняем соответственно операции умножения и сложения. Если я утвер-

63
ждаю, что сегодня пасмурно и холодно, то я умножаю сегодняшние
пасмурные дни на сегодняшние холодные дни, имея ввиду, что сегодняшний
день является и пасмурным и холодным одновременно. Если же я
утверждаю, что сегодня пасмурно или холодно, то я складываю сегодняшние
пасмурные дни с сегодняшними холодными днями, подразумевая, что
сегодня может быть или только пасмурно, или только холодно, или
пасмурно и холодно одновременно. Операция вычитания понятий представляет
разновидность операции умножения. Вычесть из сегодняшних пасмурных
дней холодные дни означает умножить сегодняшние дни на нехолодные
дни. Таким образом, базисных логических операций всего две
—умножение и сложение. Производными следует считать операции вычитания,
деления и классификации (разбиения универсума на совместно
исчерпывающие и взаимно исключающие классы).
Более строго под логическими операциями мы будем понимать
определенные способы преобразования одних понятий в другие. К ним
относятся: сложение, умножение, вычитание, деление и классификация
понятий. Для большей ясности рассмотрим указанные операции с двумя
понятиями, обозначенными символами Аи В.
Слоэюением (объединением) понятий А и В называется
конструирование понятия, объем которого включает (без повторения) все элементы
объемов как А, так и В. Пусть «+» обозначает операцию сложения
понятий.
1. А и В — эквивалентные понятия. Тогда А + В = А = В, то есть
результат сложения таких понятий равен объему любого одного из них. Как
частный случай имеем: А + А= А. Например, «сиеста» + «полуденный
отдых» = «сиеста» = «полуденный отдых». «Сиеста» + «сиеста» = «сиеста».
Таким образом, сложение двух равнозначных понятий не приводит к
удвоенной сумме, как это имеет место при сложении натуральных чисел.
Иными словами, сложение понятий не обладает свойством итерации
(прибавления).
2. А и В — частично пересекающиеся (независимые) понятия. Тогда
А + В = (вещи, обладающие свойствами А и В одновременно, +
обладающие только свойствами А + обладающие только свойствами В). Например,
«вкусные вещи» + «сладкие вещи» = «вещи, вкусные и сладкие
одновременно, + только вкусные (вкусные, но не сладкие) + только сладкие
(сладкие, но не вкусные)».
3. А —родовое, В — видовое понятие. Тогда А + В = А. Например,
«человек» + «образованный человек» = «человек».
4. А и В — противоречащие понятия. Тогда А + В = U. Например,
«солнечный день» + «несолнечный день» = «день».

64
5. А и В — противоположные понятия. Тогда А + В = (А либо В, но
не А и В вместе). Например, «радостный человек» + «печальный человек»
= «радостный или печальный человек, но не то и другое вместе».
6. А и В — соподчиненные понятия. Тогда А + В = (А или В, но не оба
вместе). Например, «сосна» + «береза» = «сосна или береза, но не то и
другое вместе). Данный случай совпадает с предыдущим.
7. А и В — частично совместимые понятия. Тогда А + В = U.
Например, «неумные люди» + «неглупые люди» = «люди».
8. А и В — противоречащие и противоположные понятия
одновременно. Тогда А + В = U. Например, «мужчина» + «женщина» = «человек».
Умножением (пересечением) понятий А и В называется
конструирование понятия, объем которого включает только общие для А и В
элементы. Часто данную операцию также определяют как вычисление общей
области пересечения умножаемых понятий. Пусть «х» обозначает операцию
умножения понятий.
1. А и В — эквивалентные понятия. Тогда А х В = А = В, как и при
сложении, то есть областью пересечения эквивалентных понятий является
объем любого одного из них. Например, «любовь» х «наслаждение вещью
и соединение с нею» = «любовь» = «наслаждение вещью и соединение с
нею» (согласно Б. Спинозе). А х А= А как частный случай.
2. А и В — частично пересекающиеся {независимые) понятия. Тогда
А х В = (вещи, обладающие свойствами А и В одновременно). Например,
«счастье» х «неожиданность» = «неожиданное счастье».
3. А —родовое, В — видовое понятие. Тогда А х В = В, то есть
областью пересечения в данном случае выступает объем видового понятия.
Например, «любовь» х «сильное чувство» = «любовь».
4. А и В — противоречащие понятия. Тогда А х В = 0, где символ 0
означает понятие с пустым (недопустимым) объемом. Например, «синий»
х «несиний» = 0, так как невозможно существование цвета, который был
бы синим и несиним одновременно.
5. А и В — противоположные понятия. Тогда А х В = 0, как и в
предыдущем случае. Например, «любовь» х «ненависть» = 0.
6. А и В — соподчиненные понятия. Тогда А х В = 0, как и в
предыдущем случае. Например, «любовь» х «безразличие» = 0.
1. А и В — частично совместимые понятия. Тогда А х В = понятие,
представляющее отрицание как А, так и В (нейтральная точка на шкале
отношений между А и В). Например, «неумные» х «неглупые» = «люди
среднего ума».
8. А и В — противоречащие и противоположные понятия
одновременно. Тогда А х В = 0, если операция умножения определяется для
объемов А и В, и А х В = U, если операция умножения определяется для отно-

65
шений, в которых находятся А и В. В первом случае «мужчина» х
«женщина» = 0; во втором —«мужчина» х «женщина» = «человек».
Вычитанием (разностью), допустим, понятия В из понятия А
называется конструирование понятия, объем которого состоит из элементов
объема А, противоречащих понятию В, то есть обладающих свойством -В,
Данную операцию можно также определить как вычисление области
пересечения объема понятия, из которого вычитают, с объемом дополнения
(логического отрицания) вычитаемого понятия. Пусть «/» обозначает
операцию вычитания понятий.
1. А и В — эквивалентные понятия. Тогда А/В = В/А = 0. В качестве
частного случая имеем А/А = 0. Например, «зависть» / «печаль по поводу
счастья друзей» = «печаль по поводу счастья друзей» / «печаль» = 0
(согласно Сократу). «Печаль» / «печаль» = 0.
2. А и В — частично пересекающиеся {независимые) понятия. Тогда
А/В = (А и —iB)9 В/А = (В и -лА). Например, «справедливость» /
«недействие» = «справедливое действие», «недействие» / «справедливость» =
«несправедливое недействие».
3. А —родовое, В — видовое понятие. Тогда А/В = (А и -гб), В/А = 0.
Например, «чувство» / «ненависть» = «все чувства, не являющиеся
ненавистью». Этот случай вычитания тождествен конструированию дополнения
понятия В до универсума U — А. «Ненависть» / «чувство» = 0.
4. А и В — противоречащие понятия. Тогда А/В = А, В/А = В.
Например, «храбрость» / «нехрабрость» = «храбрость», «нехрабрость» /
«храбрость» = «нехрабрость».
5. А и В — противоположные понятия. Тогда А/В = А, В/А = В, как и
в предыдущем случае. Например, «любовь» / «ненависть» = «любовь,
«ненависть» / «любовь» = «ненависть».
6. А и В — соподчиненные понятия. Тогда А/В = А, В/А = В, как и в
предыдущем случае. Например, «любовь» / «безразличие» = «любовь»,
«безразличие» / «любовь» = «безразличие».
7. А и В — частично совместимые понятия. Тогда А/В = —ьб, В/А =
—Л. Например, «неумные люди» / «неглупые люди» = «глупые люди»,
«неглупые люди» / «неумные люди» = «умные люди».
8. А и В — противоречащие и противоположные понятия
одновременно. Тогда А /В = А, В/А = В, если вычитание определяется для объемов
А и В и А/В = В/А= 0, если вычитание определяется для отношений, в
которых находятся А и В. Например, «муж» / «жена» = «муж», «жена» /
«муж» = «жена» в первом случае и «муж» / «жена» = «жена» / «муж» = 0
во втором случае.
В отличие от других операций, деление как операция, обратная
умножению классов, не является строго определенной. Поэтому оно обычно

66
не рассматривается в учебниках по логике. Для полноты анализа мы
рассмотрим и эту операцию.
Делением понятия на другое понятие, входящее в первое в качестве
одного из сомножителей, называется конструирование понятия,
состоящего из всех сомножителей, за исключением того, на которое производилось
деление. Пусть «:» обозначает операцию деления.
1. А и В — эквивалентные понятия. Тогда (А х В) : А =
(А х В) : В = А = В (первый вариант); (А хВ) : А = (А хВ) : В = U (второй
вариант). В качестве частного случая имеем А : А = А (первый вариант); А : А
= U (второй вариант). Приведем один пример: «студент» : «студент» =
«студент» (первый вариант), «студент» : «студент» = «учащийся» (второй
вариант).
2. А и В — пересекающиеся понятия. Тогда {А х В) : А = В, (А х В) : В
= А. Например, («утро» х «солнце») : «утро» = «солнце», («утро» х
«солнце») : «солнце» = «утро».
3. А —родовое понятие, В — видовое понятие. Тогда (А х В) : А = В,
(А х В) : В = В (первый вариант); (А х В) : В = А (второй вариант).
Например, («мебель» х «стул») : «мебель» = «стул», («мебель» х «стул») : «стул»
= «стул» (первый вариант), («мебель» х «стул») : «стул» = «мебель»
(второй вариант).
4-6. Для противоречащих, противоположных и соподчиненных
понятий операция деления не выполняется, так как логическое произведение
таких понятий всегда пусто.
7-8. А и В — частично совместимые, или противоречащие и
противоположные одновременно понятия, интерпретируемые как взаимно
обратные отношения. Тогда (А х В) : А =В, (А х В) : В = А. Приведем пример:
(«муж» х «жена») : «муж» = = «жена»; («муж» х «жена») : «жена» = муж».
Операцией, синтезирующей все ранее рассмотренные, является
классификация.
Классификацией понятия в традиционном смысле называется
конструирование видовых по отношению к нему понятий на основании
определенного множества условий (оснований). Результатом классификации в
этом смысле является родо-видовая иерархия понятий, раскрывающая
объем классифицируемого понятия. С информационной точки зрения
классификация представляет разбиение объема классифицируемого понятия
(универсума) на множество совместно исчерпывающих и взаимно
исключающих классов на основании заданных условий. При этом одну и ту же
классификацию (разбиение) можно получить на основании различных
множеств условий точно так же, как один и тот же объем может быть задан
с помощью разных определений содержания понятия. Классификацию
нельзя путать с делением какой-либо вещи на части, так как видовые клас-

67
сы обладают всеми признаками родового класса, а части никогда не
обладают признаками целого (автомобильное колесо является частью
автомобиля, но не обладает свойствами всего автомобиля, тогда как, например,
класс «легковой автомобиль» обязательно обладает всеми признаками
родового класса «автомобиль».
Рассмотрим несколько примеров, а затем сформулируем основные
требования к классификации понятий.
Понятие «благо», согласно Аристотелю, классифицированное на
основании условия «находиться в», имеет следующие виды (рис. 16):
Благо
находящееся находящееся находящееся
в душе в теле вне души и тела
{добродетели) {здоровье) {богатство)
Рис. 16
Если выбрать в качестве основания условие «смысл блага», то,
согласно Аристотелю, будет иметь место следующая классификация (рис.
17).
Благо
ценимое хвалимое как возмож- сохраняющее
ность или создающее
другое благо
{ум) {добродетели) {богатство) {гимнастика)
Рис. 17
Рассмотренные классификации построены на изменении условия,
выступающего основанием классификации. Каждый член такой
классификации представляет соподчиненное понятие. Подобные классификации
принято называть классификациями по изменяющемуся основанию.
Возможны также классификации, члены которых представляют
противоречащие понятия. Такие классификации принято называть
дихотомическими (делящими надвое). Пример дихотомической классификации
также можно найти у Аристотеля (рис. 18).

68
Благо
.—
всегда не всегда
заслуживающее избрания заслуживающее избрания
(справедливость) (богатство)
Рис. 18
Основанием дихотомических классификаций служит принцип
логического отрицания (дополнения, противоречия) членов классификации.
Возможны также классификации, в которых используются несколько
оснований. Их называют последовательными классификациями. Пример
последовательной классификации, также принадлежащей Аристотелю,
приведен на рис. 19.
Благо
являющееся целью
(здоровье)
не являющееся
целью
совершенной
(счастье)
несовершенной
(справедливый
нрав)
Рис. 19
Возможны также классификации, в которых условия представляют
сложные признаки (признаки, соединенные базисными союзами «и» и
«или», обозначающими операции умножения и сложения
соответственно). В таких случаях сложные признаки разделяются до образования
простых. С помощью последних строится классификация по обычным
правилам (в качестве примеров см. примеры 1-И6 п. 4).
Рассмотренные примеры позволяют сформулировать несколько
основных требований к классификации.
1. Множество условий (оснований) классификации не должно
быть противоречивым, а объем классифицируемого понятия
(универсум) не должен быть пустым классом. При нарушении любого из этих
условий классификация теряет свой смысл (ее результатом будет
пустой класс).

69
2. Члены классификации должны представлять несовместимые по
истине (непересекающиеся) классы и их логическая сумма на каждом
шаге разбиения долэюна быть равна объему классифицируемого понятия
(универсуму).
В противном случае либо будет пропущено какое-то видовое
понятие, либо будет присутствовать какое-то избыточное видовое понятие. В
первом случае мы имеем неполную классификацию, во втором —
классификацию с лишними членами. Примером первой будет классификация
людей на добрых и жестоких, так как пропущен класс людей, не
являющихся ни первыми, ни вторыми. Избыточность результатов
классификации возможна в двух смыслах: члены классификации являются
лишними, потому что они A) поглощаются другими членами как более
общими понятиями («нежестокие» поглощают «добрых»); B) не
соответствуют принятому основанию классификации (в делении дней на
«солнечные», «пасмурные» и «счастливые» последний член является
избыточным, если в качестве основания выступают погодные условия).
3. Каждый шаг классификации должен проводиться только по
одному условию (основанию). В противном случае члены классификации
не будут исключать друг друга и их сумма не будет равна универсуму
классификации.
Например, классификация людей на богатых и плачущих
произведена по двум основаниям сразу. Члены такой классификации, будучи
независимыми понятиями, не исключают друг друга, так как могут
существовать богатые, которые плачут. Правильной будет классификация,
осуществляемая в два шага (рис. 20).
U = люди
богатые небогатые
плачущие неплачущие плачущие неплачущие
Рис. 20
4. Классификация считается законченной, если и только если при ее
построении использованы все условия (основания) и все ветви, которые
оказались противоречивыми (число которых в случае выполнения
требования 1 может быть нулевым, но не может быть равно общему числу
ветвей), вычеркнуты.

70
Интересный и дискуссионный пример нарушения третьего правила
классификации содержит известный древнегреческий парадокс — тяжба
Протагора с Еватлом28.
Содержание спора сводится к следующему. У известного софиста
Протагора был ученик Еватл, обучавшийся праву. По заключенному
между учителем и учеником договору Еватл должен был заплатить за обучение
лишь в том случае, если он выиграет свой первый процесс. Но, закончив
обучение, Еватл не стал участвовать в процессах. Когда терпение
Протагора иссякло, он подал на своего ученика в суд. Таким образом, Еватл
столкнулся с необходимостью вступить в свой первый процесс.
Свой иск Протагор аргументировал следующим образом. Каким бы
ни было решение суда, Еватл будет обязан заплатить за обучение. Ибо он
либо выиграет, либо проиграет процесс; если выиграет, то заплатит в силу
договора; если проиграет, то заплатит согласно решению суда.
Ответ Еватл а был не менее аргументированным. Действительно, он
либо выиграет, либо проиграет процесс. Если выиграет, то не обязан
платить по решению суда; если проиграет, то не должен платить в силу
договора.
Парадокс данного спора состоит в том, что при любом исходе
судебного процесса Протагор и Еватл имеют равные логические основания
требовать удовлетворения своих взаимоисключающих намерений (рис. 21).
Даже беглого взгляда на рис. 21 достаточно, чтобы оценить
логические последствия парадоксальности спора Протагора с Еватлом. Его итоги,
связанные с каким-либо одним решением суда, не являются
несовместимыми и, следовательно, могут быть одновременно истинными. Именно
такую возможность демонстрируют аргументы обоих участников спора.
Еватл
проигрывает
процесс
выигрывает
процесс
по суду
платит
Еватл
по договору по суду
платит платит
Протагор Протагор
I I
по договору
платит
Еватл
аргументы Еватла
аргументы Протагора
Рис.21
28
См.: Ивин А. А. 1) По законам логики М., 1983. С 185-188; 2) Искусство мыслить.
М., 1990.-С. 194-196.

71
Причина парадокса также очевидна. Классификация результатов
судебного процесса проведена сразу по двум основаниям — «платить по
решению суда» и «платить по договору». Для устранения парадокса
необходимо признать оба условия независимыми и классификацию выполнять
последовательно. Непарадоксальная структура спора имеет следующий
вид (рис. 22).
Цифры «О» и «1» на рис. 22 обозначают вероятности
соответствующих исходов. Те из них, которые отмечены цифрой «О», неосуществимы
по условиям спора. Исходы, отмеченные цифрой «1», по условиям спора
осуществляются обязательно.
Еватл
проигрывает
процесс
платит
по суду
не платит
по суду
платит не
по платит
договору по
договору
выигрывает
процесс
платит
по суду
не платит
по суду
платит не
по платит
договору по
договору
Рис. 22
Таким образом, спор Протагора с Еватлом в зависимости от решения
суда имеет два возможных исхода. Если Еватл проигрывает процесс, то он
платит Протагору по суду и не платит по договору. Если Еватл выигрывает
процесс, то он не платит Протагору по суду, но платит по договору. Как
интерпретировать эти исходы? Оставляя подробный анализ для главы,
посвященной принятию решений (см. гл. VIII, 6), подведем итоги. Если Еватл
проигрывает судебный процесс, то он выигрывает спор, а Протагор
проигрывает; если Еватл выигрывает судебный процесс, то он проигрывает спор,
а Протагор выигрывает. Оба исхода исключают друг друга и не могут быть
вместе истинны. Следовательно, парадокса нет, так как классификация
возможных результатов спора проведена по правилам логики. Некоторое
недоумение может вызвать обратная связь между результатами судебного
разбирательства и исходами спора. Эту связь легко сделать прямой, если
классификацию начать с условия «платить по договору», а не с условия
«платить по решению суда».
Если все условия, на основании которых классифицируется какое-
либо понятие, необходимы, тогда данная операция тождественна конст-

72
руированию (определению) понятий. Пределом классификации в этом
случае выступает требование достаточности оснований (условий)
классификации.
К отмеченным особенностям классификации следует добавить еще
одну, играющую существенную роль в логическом анализе.
Классификация позволяет представить универсум в виде логической
суммы некоторого множества альтернативных возможностей (развития
событий, действий, описаний и так далее). Каждая ветвь классификации
символизирует одну такую возможность. Как отчасти уже было показано (см.
примеры предыдущего параграфа) и более полно будет
продемонстрировано, знания этих возможностей необходимо и достаточно для решения
всех логических, комбинаторных, вероятностных, информационных задач
и задач по принятию решений. Иными словами, правильно выбранный
универсум и корректно построенная классификация позволяют нам решать
любые задачи нашего существования.
Классификация обеспечивает синтез всех ранее рассмотренных
логических операций — сложения, умножения, вычитания и деления. Пусть
А — родовое, В — видовое понятие. Так как А подчиняет 5, то между
объемами этих понятий существует отношение включения. Из существования
отношения включения следует, что А обозначает наименьший верхний
класс, а В — наибольший нижний класс образованной родо-видовой
иерархии, содержащей как А, так и В. Следовательно, имеет место: А = А +
В,В = АхВ (рис. 23).
А=А+В
В = АхВ
Рис. 23
Из рис. 23 следует, что для того чтобы сложить понятия В и —ъб,
необходимо прежде умножить АиаВиАиа —\В соответственно.
Чтобы умножить А на В и А на -ъб, необходимо предварительно
сложить В и —.5, чтобы получить А,
Вычесть из понятия А понятие В (соотв. понятие —\В) означает
вычеркнуть ветвь, соединяющую А с В (соотв. ветвь, соединяющую А с —l8),
то есть означает умножить А на —? (соотв. умножить А на В),
Разделить произведение (АхВ) на В и произведение (Ах-^В) на —ьб,
чтобы получить А, означает сложить результаты умножения А на В и А на
(АхВ) + (Ах-?)= А.

73
Эти рассуждения доказывают взаимосвязь операций сложения,
умножения (вычитания) и деления, а также их необходимость и
достаточность для построения классификации.
Взаимосвязь операций сложения, умножения, вычитания и деления
делает наше мышление независимым от наблюдаемой реальности.
Обладая обратимостью, мышление становится интериоризованным и
символическим процессом, способным достигать целостности и законченности
независимо от конкретных начальных условий. Обратимость лежит в основе
всех инвариантов, или принципов сохранения, с формулировки которых
начинается любая наука. Понятие представляет один из инвариантов
логического мышления.
Правильно сконструировать понятие — то лее самое, что
определить его как инвариант операций сложения, умножения, вычитания и
деления относительно данного универсума.
Мы будем говорить, что некоторое понятие представляет инвариант
указанных логических операций, если существует такой универсум С/, что:
1) это понятие, будучи сложенным или умноженным на любое
другое понятие, принадлежащее С/, дает в результате понятие, принадлежащее
и-,
2) это понятие, умноженное на С/, дает это же понятие;
3) этому понятию соответствует одно и только одно понятие,
называемое логическим отрицанием (дополнением), сложение с которым дает
U;
4) это понятие, будучи умноженным на само себя, снова дает само
себя;
5) сумма этого понятия с любым другим понятием, не являющимся
его дополнением, не зависит от порядка, в котором они сгруппированы.
Ограничение, указанное в пункте 5, означает, что в операциях с
понятиями коммутативность и ассоциативность последних не является
универсальной.
Для классификации, изображенной на рис. 23, перечисленные
условия выполняются:
2.ВхА=В,-ВхА=-тВ.
3.5 + (-тЯ) = А, то есть В =
Однако ассоциативность операций сложения и вычитания еще не
является полной, так как истинно ((В + В) I В)^(В + (В/В)). Это означает, что
логические операции с понятиями еще не образуют группу в обычном
(алгебраическом) смысле и что одних только операций с понятиями недоста-

74
точно для полной и эффективной деятельности мышления. Причина этой
ограниченности лежит в природе самих понятий — в их способности
отражать только классы мыслимых вещей, то есть только тождественность
последних относительно тех или иных условий. Различие и тем самым
упорядоченность вещей относительно этих же условий в терминах
понятий выражены быть уже не могут.
Итак, не существует понятия, не включенного в более общее, или
родовое понятие. В отношении «род — вид» каждое понятие приобретает
свою определенность. Поэтому конструирование понятия равносильно
конструированию классификации, в терминах которой только и может
существовать данное понятие. Родо-видовая иерархия оказывается, таким
образом, существенной чертой нашего мышления. Обобщение и
ограничение понятий были бы невозможны, если бы подобные иерархии не
существовали.
Четыре логические операции — сложение, умножение, вычитание и
деление — необходимы и достаточны для построения любой
классификации. Неразрывная связь понятия и классификации позволяет определить
понятие как инвариант указанных логических операций. С этой точки
зрения понятие — это такая мысль, объем которой при сложении, умножении,
вычитании и делении всегда остается одним и тем же (относительно
данного универсума).
Понятия представляют опорные пункты нашего понимания
окружающего мира и самих себя, но еще не весь процесс понимания в целом.
Обладая только понятиями, мы не можем анализировать отношения между
мыслимыми вещами. Выполнение этой задачи требует умения
образовывать суждения.
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Можно ли понимать какую-либо вещь, не определив ее в терминах
необходимых и достаточных условий?
2. Укажите необходимые и достаточные условия следующих
явлений, свойств, предметов:
а) зимнее утро;
б) нечетное число;
в) справедливость;
г) равные величины;
д) образованный человек;
е) мысль.
3. Выражают ли следующие слова одни и те же понятия:

75
а) педагог, преподаватель, учитель;
б) неконечное, бесконечное, безмерное;
в) несвобода, рабство, неволя;
г) бедный, неимущий, неимеющий;
д) невойна, мир, перемирие;
е) параллельные линии, непересекающиеся линии.
4. Изменится ли содержание понятия «Марс» после того, как на нем
побывают люди?
5. Изменится ли объем понятия «завтрак» после того, как он будет
съеден?
6. Какие из перечисленных понятий находятся в отношения рода и
вида?
а) час, сутки;
б) кислород, газ;
в) прямая, отрезок прямой;
г) город, центр города;
д) тысяча рублей, сто рублей.
7. Изобразите графически, как соотносятся объемы нижеследующих
понятий:
а) геометрия Евклида, неевклидова геометрия, геометрия
Лобачевского, геометрия Римана;
б) мысль, слово, дело;
в) вежливый, приятный, обходительный;
г) дед, отец, сын, внук;
д) забежал, вошел, вбежал, ввалился;
е) дом, здание, квартира, комната.
8. Попробуйте установить, корректны ли следующие толкования
слов в качестве определений:
а) наследовать — получить в наследство от кого-либо что-либо;
б) лучший — самый хороший;
в) отличный — очень хороший, превосходный;
г) хороший — имеющий положительные свойства;
д) дарить — давать что-либо в качестве подарка, безвозмездно;
е) друг — человек, который стремится не отстать от людей,
делающих ему добро (Сократ);
ж) друг — тот, кто любит и взаимно любим (Аристотель);
з) любить — желать кому-нибудь того, что считаешь благом, ради
него, а не ради самого себя, и стараться по мере сил доставлять ему эти
блага (Аристотель),
9. Для нижеследующих понятий выполните операции сложения,
умножения, вычитания и деления (для каждой пары отдельно):
а) натуральное число, четное число;

76
б) море, озеро;
в) звезда, планета;
г) нерадость, непечаль;
д) здоровье, болезнь;
е) веселый, радостный;
ж) хитрец, плут;
з) справедливость, честность.
10. Есть ли ошибка, а если есть, то какая, в нижеследующих
рассуждениях: «Одна жрица не позволяла своему сыну говорить политические
речи, сказав: "Если ты будешь говорить справедливое, тебя возненавидят
люди, а если несправедливое — боги", что, по мнению Аристотеля,
совместимо со следующим возможным ответом сына: "Но можно также
сказать, что должно говорить такие речи, ибо если ты будешь говорить
справедливое, тебя полюбят боги, если несправедливое — люди" {Аристотель.
Риторика).
11. Попробуйте разрешить следующий спор. Крокодил выхватил у
египтянки, стоявшей на берегу Нила, ее ребенка. На просьбу матери
вернуть ребенка крокодил выдвинул условие: мать должна угадать, отдаст
крокодил ребенка или нет. Если мать угадает, то крокодил возвращает
ребенка; если не угадает, то ребенок остается у крокодила. Подумав, мать
ответила, что крокодил не отдаст ей ребенка. Выслушав мать, крокодил
сообщил, что он не может отдать ей ребенка по следующим основаниям.
Мать говорит либо правду, либо неправду. Если она угадала, то крокодил
не должен отдавать ей ребенка, так как в противном случае это не было бы
правдой. Если же сказанное матерью — неправда, то она не угадала и он
не должен отдавать ей ребенка по уговору. Мать не согласилась с
доводами крокодила. По ее мнению, если она угадала, то ребенок должен быть
возвращен ей по уговору, а если не угадала, то ребенок также должен быть
возвращен, так как в противном случае ее ответ не будет неправдой.

77
ГЛАВА III. СУЖДЕНИЕ
Помыслив вещи посредством идей, мы сопоставляем эти идеи;
обнаруживая, что одни из них соответствуют друг другу, а другие
нет, мы связываем их либо разделяем. Это называется утверждать
или отрицать, а в общем — выносить суждение.
А. Арио, П. Николъ. Логика, или искусство мыслить.
1. ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О СУЖДЕНИИ
Если понятия — атомы интеллектуальной деятельности, то,
продолжая эту аналогию, мы можем сказать, что суждения — ее молекулы. Как
молекулы представляют мельчайшие частицы вещества, так и суждения,
связывая понятия, являются элементарными формами мыслительной
деятельности. Любое понятие определяется в форме некоторого суждения.
Рассуждение в целом представляет процесс порождения одних суждений
из других. С помощью понятий мы раскрываем значение естественных или
искусственных знаков, указываем классы, к которым принадлежат или не
принадлежат мыслимые нами вещи. С помощью суждений мы получаем
возможность выражать разнообразные отношения между мыслимыми
вещами.
Ни одна вещь не может существовать, не вступая в отвечающие ее
природе отношения с другими вещами. Свойства вещей могут проявляться
только в их отношениях друг к другу. Узнать, является ли данное белое
кристаллическое вещество кислым, сладким, соленым, горьким или
безвкусным, можно, лишь попробовав его на язык, то есть установив
соответствующее отношение между этим веществом и вкусовыми рецепторами.
«Не зная, что говорят люди, — утверждал Конфуций, — нельзя узнать
людей»29. Познание людей, иными словами, требует установления
соответствующего отношения между изучающим и изучаемыми индивидами.
Познание вещи равносильно поэтому познанию ее отношений к другим
вещам. Конструирование понятий о вещах невозможно без выражения в
терминах суждений отношений этих вещей друг к другу. Как вещи не
существуют вне своих отношений друг к другу, так и понятия не существуют вне
выражающих эти отношения суждений.
29
Древнекитайская философия; В 2-х т.Т. 1. М., 1972. - С. 174.

78
Мы имеем суждение о некоторой вещи, если и только если знаем и
можем выразить словесно ее отношение к какой-либо другой вещи,
включая и ее отношение к самой себе.
Задать некоторое отношение из множества элементов какого-либо
класса означает упорядочить их согласно условию, выражаемому этим
отношением. Вне зависимости от содержания отношения упорядоченность
элементов сводится к требованию различия мест, занимаемых ими. Если 1
меньше 2, то 2 не может быть меньше или равно 1. Если А — отец В, то В
не может быть отцом А. Если С тяжелее Д то D не может быть тяжелее С.
Во всех этих примерах места, занимаемые первым и вторым элементами,
различаются своим порядком, то есть являются упорядоченными. Задать
отношение в самом общем смысле и означает упорядочить элементы
какого-либо класса согласно определенному условию. Этому утверждению не
противоречит существование разнообразных отношений тождества
(равенства). Последние определяются как результат композиции (умножения)
обратно упорядоченных отношений. Например, сказать, что А равно В, —
то же самое, если сказать, что А больше (меньше) В и В больше (меньше) А
одновременно.
Из сказанного следуют два принципиальных отличия суждений от
понятий. Для понятий исходным является допущение тождества,
неразличимости вещей, рассматриваемых в качестве элементов их объемов.
Порядок, в котором рассматриваются эти элементы, не имеет никакого
значения. Для суждений исходным является допущение различия,
упорядоченности вещей, рассматриваемых в качестве их субъектов. Изменение
порядка вещей ведет к изменению смысла суждения. В этом состоит первое
отличие суждений от понятий. Второе отличие есть следствие первого. Для
понятий логическое отрицание равносильно образованию дополнения. Для
суждений мы имеем два вида логического отрицания — дополнение и
уничтожение различия, которое достигается построением симметричного
исходному отношению. Дополнение дает суждение, противоречащее
исходному. Уничтожение различия приводит к образованию суждения
эквивалентности. Суждение «А умнее 5» в первом смысле отрицается
суждением «Неверно, что А умнее 5» или суждением «А не умнее 5». Во втором
смысле суждение «А умнее 5» отрицается суждением «5 умнее А», и оба
вместе делают истинным суждение «А и В оба умны в одинаковой
степени».
Различие между суждениями и понятиями обусловлено, таким
образом, различием уровней отражения реальности. С помощью понятий мы
отражаем реальность в терминах включения и исключения классов. С
помощью суждений мы научаемся отражать не только эти, но и все другие
отношения между мыслимыми вещами.

79
Как и понятия, суждения не совпадают с выражающими их
грамматическими конструкциями. Основной языковой формой выражения
суждений служит повествовательное предложение. Считается, что всякое
суждение выражается в том или ином предложении, но обратное верно только
для повествовательных предложений. Мы не станем придерживаться этого
категорического мнения и будем считать, что любое законченное
предложение явно или неявно выражает некоторое суждение. Ничто не мешает
считать, что вопросу «Кто здесь?» соответствует суждение «Я не знаю, кто
здесь находится, но хочу это узнать». Аналогично приказу «Следуйте за
мной!» соответствует суждение «Я хочу, чтобы вы тотчас же последовали
за мной».
В зависимости от того, имеет ли место выражаемое суждением
отношение, можно говорить об истинности, ложности или неопределенности
суждений. Суждение «А любит 5» истинно, если и только если между А и
В имеет место указанное отношение, ложно в противном случае и
неопределенно, если нет ни первого, ни второго.
Каждое суждение выражает также определенное коммуникативное
отношение между старым, известным знанием (предикатом суждения) и
новым, неизвестным знанием (субъектом суждения). Известное знание
служит своеобразным фильтром, через который происходит оценка нового
знания. Предикат определяет логические границы субъекта суждения,
отвечает на вопросы, что, где, как и почему оно обозначает, служит
аргументом за и против включения в состав старого знания. Связывая или
разъединяя новое и старое знание, суждения, таким образом, обеспечивают
преемственность в развитии представлений и наше понимание всякого нового
сообщения. Мы можем поэтому сказать, что суждения отражают
упорядоченность не только реально существующих вещей, но и наших знаний о
них.
Итак, когда мы говорим о суждениях, то имеем в виду знание,
которое обозначает как некоторое отношение между мыслимыми вещами, так и
упорядоченность самих знаний по шкале «новое, требующее
доказательства знание — старое, доказанное знание»; является в зависимости от того,
выполняется или нет обозначаемое отношение, истинным, ложным или
неопределенным; выражается каким-либо предложением, не обязательно
повествовательным; является конструктивным, так как не совпадает со
своей грамматической формой и для своего выявления требует
специальной умственной деятельности.

80
2. ПРОСТЫЕ СУЖДЕНИЯ
Суждения принято делить на простые и сложные.
Суждение считается простым, если ни одна его правильная часть
сама не является суждением. В противном случае оно является сложным.
Сложные суждения состоят из нескольких простых, соединенных
различными логическими союзами — «и», «или», «если... то», «если и
только если», «или... или». Предложение «Сегодня тихо и пасмурно»
выражает сложное суждение, состоящее из двух простых «Сегодня тихо»,
«Сегодня пасмурно», соединенных союзом «и». Сложным суждением
считается также отрицание любого простого суждения, вводимого оборотом
«Неверно, что» и его различными грамматическими эквивалентами.
Фундаментальный факт, характеризующий отношение между простыми и
сложными суждениями, состоит в том, что последние всегда могут быть
сведены к первым, но обратное, конечно, неверно. В данной главе
рассматриваются только простые суждения. Сложные суждения
анализируются в главе, посвященной логике высказываний и предикатов.
Любое простое суждение состоит из четырех функционально
различных частей:
1) субъекта суждения — класса вещей, о котором нечто
утверждается или отрицается;
2) предиката суждения — класса вещей, принадлежность субъекта
к которому утверждается или отрицается;
3) утвердительной или отрицательной связки — «есть» или «не
есть», соединяющей или разъединяющей субъект и предикат суждения;
4) знака количества - слов «все», «некоторые», «ни один», стоящих,
как правило, перед субъектом суждения и указывающих на то, какая
часть объема субъекта принадлежит или не принадлежит объему
предиката.
Субъект и предикат суждения называются его терминами и
являются не чем иным, как логическим подлежащим и сказуемым
соответственно. Их нельзя путать, конечно, с грамматическим подлежащим и
сказуемым. В суждении «Люди же, воздающие равным за равное, не оскорбляют,
а мстят» (Аристотель) субъектом является понятие «люди, воздающие
равным за равное», а его предикатом — понятие «люди, не оскорбляющие, а
мстящие». Грамматическим же подлежащим является слово «люди», а
сказуемым — словосочетание «не оскорбляют, а мстят».
Связка «есть» или «не есть» выражает качественный аспект
суждения — его утвердительную или отрицательную форму соответственно.
Синонимами слов «есть» и «не есть» служат соответственно глаголы
«суть» и «не суть», «присуще» и «не присуще», «обладает» и «не
обладает», «является» и «не является».

81
Слова «все», «некоторые», «ни один» характеризуют
количественный аспект суждения — соотношение объемов субъекта и предиката.
Синонимами слова «все» являются слова «всякий», «каждый». Слово
«некоторые», как будет показано, не имеет однозначной интерпретации и его
синонимами могут быть такие обороты, как «по крайней мере один или
все», «существует», «по крайней мере один, но не все», «только
некоторые». Синонимами слова «ни один (одна, одно)» служат слова «никто»,
«ничто», «ни за что», «нигде», «никогда». Суждение считается общим,
если оно начинается со слов «все» или «ни один». Суждение является
частным, если оно начинается со слова «некоторые». В общих суждениях
по крайней мере субъект рассматривается во всем объеме. В частных
суждениях, как будет показано, объем субъекта может определяться и
полностью, и частично.
Пусть А обозначает субъект суждения, В — его предикат.
Комбинация качественных и количественных возможностей дает следующую
классификацию простых суждений (рис. 1).
Простыесуждения
Утвердительные
{А есть В)
Отрицательные
{А не есть В)
Общие Частные Общие Частные
(Все А есть В) (Некоторые (Ни одно А (Некоторые А
А есть В) не есть В) не есть В)
Рис. 1
Примером общеутвердительного суждения «Все А есть 5» является
высказывание «Все люди хотят быть счастливыми». Высказывание «Я
люблю читать детективы» также следует считать общеутвердительным,
так как его субъект рассматривается во всем объеме. Все так называемые
единичные суждения, субъект которых грамматически выражается
единственным числом, с логической точки зрения являются
общеутвердительными.
Примером общеотрицательного суждения «Ни одно А не есть 5»
является высказывание «Ни один человек не хочет быть несчастным».
Примером частноутвердительного суждения «Некоторые А есть 5»
является высказывание «Некоторые люди презирают опасности».

82
Примером частноотрицательного суждения «Некоторые А не есть
является высказывание «Некоторые люди не боятся совершать смелые
поступки».
Каждое суждение может быть представлено в виде соотношения
объемов его терминов. За исключением выделительных суждений (с частицей
«только» перед субъектом), все остальные не имеют однозначного
представления.
Общеутвердительное суждение «Все А есть 5» может быть
представлено двумя способами (рис. 2).
Все А есть В
А, В
В
А
Рис. 2
Согласно первому способу (левая диаграмма рис. 2), объемы
субъекта и предиката полностью совпадают. Это имеет место в двух случаях. Во-
первых, когда суждение «Все А есть 5» представляет корректное
определение субъекта А. Например, согласно Аристотелю, изобретательность
«состоит в способности делать то, что направлено к предложенной цели, и
достигать ее»30. Поскольку это корректное определение, объемы субъекта
«способность, называемая изобретательностью» и предиката «способность
делать то, что направлено к предложенной цели, и достигать ее»
полностью совпадают. Во-вторых, объемы субъекта и предиката могут совпадать
полностью, если предикат общеутвердительного суждения относится
только к его субъекту. В этом случае подразумевается или присутствует явно
частица «только» или ее грамматические эквиваленты. Например, если мы
хотим приписать предикат «быть способным отличать добро от зла»
человеку и только ему, то должны выразить эту мысль следующим образом:
«Только человек способен отличать добро от зла». Структура подобных
суждений, которые принято называть утвердительными
общевыделительными, такова: «Только (все) А есть 5». Они представляют сложные
суждения. Рассматриваемое выделительное суждение эквивалентно следующим
двум простым суждениям: «Все А есть 5» и «Все В есть А» и истинно
только тогда, когда они оба вместе истинны (соответственно ложно, если
ложно хотя бы одно из них). Добавим, что суждение «Только А есть 5»
эквивалентно суждению «Только —Л есть -гб».
30
Аристотель. Сочинения: В 4-х т. М., 1983. Т 4. - С. 189.

83
Отметим, что частица «только» всегда делает тот термин, к
которому она относится, необходимым условием истинности другого термина
этого же суждения. Если данная частица стоит перед субъектом
общеутвердительного суждения, это означает, что субъект становится
необходимым условием истинности предиката данного суждения, а поскольку
предикат фактически или необходимо является таковым по условию, то в
результате объемы субъекта и предиката полностью совпадают31. Если же
частица «только» относится лишь к предикату, то суждение «Все А есть
только 5» можно считать эквивалентным суждению «Все А есть 5», если
и только если никаких иных терминов, кроме А и В, в рассматриваемом
универсуме (то есть в его разбиении) не присутствует. В противном случае
данные суждения могут оказаться не эквивалентными друг другу.
Согласно второму способу представления (правая диаграмма рис. 2),
объем субъекта полностью включен в объем предиката, но не равен ему.
Этот вариант представления следует предпочитать в тех случаях, когда нет
специального доказательства равнообъемности субъекта и предиката или
когда очевидно, что объем субъекта составляет лишь часть объема
предиката. Возьмем суждение «Дети любят мороженое». Оно не является
определением, в нем не утверждается и не подразумевается, что только дети
любят мороженое. Следовательно, объем предиката «люди, любящие
мороженое» включает объем субъекта «Люди, являющиеся детьми», но не
равен ему. Это означает, что, кроме детей, существуют люди других
возрастных категорий, также любящие мороженое.
В общеотрицательных суждениях термины несовместимы друг с
другом. Поэтому их объемы не пересекаются. Однако общеотрицательные
суждения можно различать по характеру несовместимости. Так, когда мы
говорим, что «Ни одно А не есть 5», то это может означать или то, что А и
В — противоречащие понятия, как в суждении «Ни один добрый человек
не является недобрым», или то, что А и В — противоположные понятия,
как в суждении «Ни один добрый человек не является злым», или то, что А
и В — соподчиненные понятия, как в суждении «Ни один добрый человек
не является равнодушным». Случай, когда А и В — противоречащие
понятия, соответствует отрицательному общевыделительному суждению
«Только А не есть 5» или, что то же, суждению «Только —Л не есть
Все эти случаи отражены на рис. 3.
31 Более точное различие между выражениями «возможно присуще», «действительно
присуще» и «необходимо присуще» требует введения модальных операторов. См. по
этому поводу гл. 1У, 12.

84
Ни одно А не есть В
А
В
А
В
Рис. 3
Слово «некоторые» в утвердительных суждениях может пониматься
либо как «некоторые или все», либо как «некоторые, но не все», либо как
«только некоторые». Все три варианта отражены на рис. 4, 5, 6
соответственно.
Некоторые (или все) А есть В
А, В
В
А
А
В
А
В
Рис.4
Некоторые (но не все) А есть В
А
Л
В
А
В
Рис. 5
Только некоторые А есть В
А
' В
Рис. 6

85
Мысля «некоторые» как «некоторые или все», мы подразумеваем
равную допустимость всех четырех случаев, указанных на рис. 4.
Интерпретируя «некоторые» как «некоторые, но не все», мы мыслим равную
допустимость только двух случаев, указанных на рис. 5. Только третий
вариант интерпретации слова «некоторые» в утвердительных суждениях имеет
однозначное представление: выделительное суждение «Только некоторые
А есть 5» эквивалентно суждению «Все В есть А».
Суждение «Некоторые из вас могут решить эту задачу» может
пониматься или как «некоторые или все», если задачи подобного типа уже
решались и техника их решения усвоена, или как «некоторые, но не все»,
если задачи подобного типа еще не решались и техника их решения
неизвестна, или как «только некоторые», если все, способные решить эту
задачу, находятся среди тех, кому предстоит ее решить.
В отрицательных суждениях слово «некоторые» также может
пониматься тройственным образом: либо как «некоторые или ни один», либо
как «некоторые, но не ни один», либо как «только некоторые». Эти
варианты приведены на рис. 7, 8, 9 соответственно.
Из рис. 7-9 следует, что только третий вариант интерпретации слова
«некоторые» в отрицательных суждениях имеет однозначное
представление: суждение «Только некоторые А не есть 5» эквивалентно суждению
«Все —\В есть А». Выбор среди этих вариантов диктуется контекстом или
специальным анализом, как и для утвердительных суждений.
Суждение «Некоторым из вас не решить эту задачу» может
пониматься либо как «некоторые или ни один», если задача новая и трудная,
либо как «некоторые, но не ни один», если задача простая или известная,
либо как «только некоторые», если все, кто не способен решить эту задачу,
находятся среди тех, кому она адресуется.
Некоторые (или ни^одно) А не есть В
А
В
А
В
А
В
А
-,В
А
В
Рис.7

86
Некоторые (но не ни одно) А не есть В
А
^В
А
В
Рис.8
Только некоторые А не есть В
А
Рис. 9
С целью придания выражаемой мысли необходимой точности очень
часто в устной и письменной речи используются обороты «Все, за
исключением...» и их всевозможные эквиваленты. Встает вопрос: можно ли
подобные исключающие мысли выразить в терминах простых суждений?
Несложный анализ показывает, что это возможно. Для этого достаточно,
сохранив качественный и количественный параметры суждения, заменить
субъект суждения на противоречащее (противоположное, соподчиненное)
ему понятие, а предикат оставить без изменений. Ниже приведены образцы
переводов исключающих суждений на язык простых суждений (над чертой
— исключающее суждение, под чертой — результат перевода).
Все, за исключением
А, есть В.
Все целые числа, за исключением нечет-
ных, делятся на 2 без остатка.
Все -лА есть В.
Все четные числа делятся на 2 без
остатка.
Ни один, кроме А,
не есть В.
Никто, кроме вас, не способен сделать
это.
Ни один —А
не есть В.
Ни один человек, не являющийся вами,
не способен сделать это

87
Некоторые, помимо
А, есть В.
Некоторые -лА есть В.
Некоторые, кроме А,
есть В.
Некоторые яблоки, помимо привезенных
на прошлой неделе, свежие и вкусные.
Некоторые -Л не
есть В.
Некоторые яблоки, привезенные не на
прошлой неделе, свежие и вкусные.
Некоторые книги, кроме детективов, не
легки для чтения.
Некоторые книги, не являющиеся
детективами, не легки для чтения.
Выделительные и исключающие суждения не являются
несовместимыми, что доказывают следующие схемы переводов этих видов суждений
друг в друга (суждение над чертой эквивалентно обоим суждениям
одновременно под чертой).
Только А есть В.
Ни один, кроме А, не есть В.
Ни один, кроме В, не есть А.
Только А не есть В.
Все, кроме А, есть В.
Ни один, кроме -ъб, не есть А,
Только некоторые А есть В.
Все, кроме А, не есть В,
Некоторые, кроме В, не есть А,
Только некоторые А не есть В.
Все, кроме А, есть В,
Ни один, кроме —ьб, не есть А.
Приведем один содержательный пример:
Только честные справедливы.
Никто, кроме честных, не справедлив.
Ни один, кроме справедливых, не честен.
Из сказанного ясно, что всякое выделительное суждение можно
выразить в терминах исключающих суждений. Но обратное в общем неверно.

88
Поэтому является ложным распространенное толкование, например,
суждения «Ни один, кроме А, не есть 5» как «Только А есть 5». Первое из
этих суждений может быть истинно, а второе тем не менее ложно
(например, когда ложно частное суждение «Некоторые В не есть А»),
3. НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА ПРОСТЫХ СУЖДЕНИЙ
Как и понятия, суждения не совпадают со своим языковым
выражением и требуют поэтому специального анализа для своей формулировки.
Чтобы сформулировать понятие, его необходимо сконструировать. Чтобы
сформулировать суждение, его надо, по выражению Л. Кэрролла, привести
к нормальной форме, то есть указать в явном виде все его основные
характеристики.
Привести суждение к нормальной форме означает:
1. Установить, какое понятие является субъектом суждения.
2. Установить, какое понятие является предикатом суждения.
3. Определить универсум суждения — класс вещей,
разновидностями которого являются субъект и предикат.
4. Заменить глагол, управляемый субъектом суждения, там, где это
необходимо, сочетанием слов, начинающихся со слов «есть» или «не
есть».
5. Определить знак количества суждений, то есть установить, с
какого из слов «все», «ни один», «некоторые» должно начинаться суждение.
6. Расположить полученные сведения в порядке, в котором
формулируются все простые суждения: знак количества— субъект — связка —
предикат.
Рассмотрим несколько примеров приведения суждений к
нормальной форме.
1) Повинную голову и меч не сечет.
1. Субъект — «раскаявшийся».
2. Предикат — «подлежащий наказанию».
3. Универсум — «люди».
4. Связка — «не есть».
5. Знак количества — «ни один».
6. Ни один раскаявшийся человек не есть человек, подлежащий
наказанию.
2) «Только там, где в составе населения средние (слои. — В. С. и К
П.) имеют перевес либо над обеими крайностями, либо над одной из них,
государственный строй может рассчитывать на устойчивость»32.
32
Аристотель. Сочинения: В 4-х т. Т. 4. М., 1983.-С. 511.

89
1. Субъект — «государственный строй, при котором средние слои не
имеют перевеса либо над обеими крайностями, либо над одной из них».
2. Предикат — «государственный строй, могущий рассчитывать на
устойчивость».
3. Универсум — «государственный строй».
4. Связка — «не есть».
5. Знак количества — «ни один».
6. Ни один государственный строй, при котором средние слои не
имеют перевеса либо над обеими крайностями, либо над одной из них, не
есть государственный строй, могущий рассчитывать на устойчивость.
3) Есть люди, которые любят только себя.
1. Субъект — «люди».
2. Предикат — «любящие только себя».
3. Универсум — «живые существа».
4. Связка — «есть».
5. Знак количества — «некоторые».
6. Некоторые живые существа, являющиеся людьми, есть живые
существа, любящие только себя.
4) 5 больше 4, но меньше 6.
1. Субъект — «равные 5».
2. Предикат — «больше 4, но меньше 6».
3. Универсум — «натуральные числа».
4. Знак количества — «все».
6. Все натуральные числа, равные 5, есть числа, которые больше 4,
но меньше 6.
5) Люблю грозу в начале мая.
1. Субъект — «называющий себя "я"».
2. Предикат — «любящие грозу в начале мая».
3. Универсум — «люди».
4. Связка — «есть».
5. Знак количества — «все».
6. Все люди, называющие себя «я», есть люди, любящие грозу в
начале мая.
6) Лишь несколько дней стояла этой осенью теплая и солнечная
погода.
1. Субъект — «дни этой осени».
2. Предикат — «теплые и солнечные дни».
3. Универсум — «дни».
4. Связка — «есть».
5. Знак количества — «некоторые».
6. Только некоторые дни этой осени есть дни, которые были
теплыми и солнечными.

90
7) Не всегда можно положиться на этого человека.
1. Субъект — «этот человек».
2. Предикат — «человек, на которого не всегда можно положиться».
3. Универсум — «люди».
4. Связка — «есть».
5. Знак количества — «все».
6. Все люди, называемые «этот человек», есть люди, на которых не
всегда можно положиться.
8) Никогда не говори «никогда».
1 Субъект — «житейская ситуация».
2. Предикат — «ситуация, в которой следует говорить "никогда"».
3. Универсум — «ситуация».
4. Связка — «не есть».
5. Знак количества — «ни один».
6. Ни одна житейская ситуация не есть ситуация, в которой следует
говорить «никогда».
9) «Лишь самые умные и самые глупые не могут измениться»
(КонфуцийK3.
1. Субъект — «самые умные и самые глупые».
2. Предикат — «которые не могут измениться».
3. Универсум — «люди».
4. Связка — «есть».
5. Знак количества — «все».
6. Только (все) самые умные и самые глупые есть люди, которые не
могут измениться.
Рассмотренные примеры показывают, что к нормальной форме
приводимы не только простые, но и сложные суждения (примеры 2, 4, 6, 9)
имеющие несколько субъектов или предикатов. Умение приводить к
нормальной форме необходимо не только для прояснения логической
структуры суждений, но также для их правильных логических преобразований
и, в конечном счете, для построения правильных умозаключений.
4. ЛОГИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СУЖДЕНИЙ
Каждое суждение выражает некоторое отношение и тем самым
некоторый вид упорядоченности, различия, асимметрии мыслимых вещей. Для
суждения равенства данное утверждение также справедливо, так как любое
равенство определяется в терминах соответствующих неравенств. Сказать,
33 Древнекитайская философия: В 2-х т. Т. 1. М., 1972. - С. 171.

91
что А и В — люди одинакового ума, равносильно сказать, что А умнее
(глупее) В и В умнее (глупее) А одновременно.
Асимметричная природа простых суждений заставляет различать два
вида отрицания: 1) отрицание как построение дополнения и 2) отрицание
как снятие различия, то есть построение симметричного исходному
суждения. Отрицание суждения «А умнее 5» в первом смысле дает нам суждение
«Неверно, что А умнее 5», что равносильно суждению «А не умнее 5».
Суждения, находящиеся в отношении дополнения, образуют, как известно,
противоречие и, следовательно, не могут быть вместе ни истинны, ни
ложны. Отрицание суждения «А умнее 5» во втором смысле дает нам
суждение «5 умнее А». Из обоих суждений следует с необходимостью
истинность суждения равенства «А и В умны в одинаковой степени». Таким
образом, суждения, отрицающие друг друга в первом смысле, вместе
образуют противоречие, тогда как суждения, отрицающие друг друга во втором
смысле и одновременно истинные, образуют суждение равенства. В этом
состоит фундаментальное различие между обоими видами отрицания.
Различие и взаимосвязь обоих видов отрицания суждений
определяют особенности логических преобразований последних.
Логические преобразования суждения позволяют понять его как
целостную мысль, порождаемую определенным множеством обратимых
трансформаций его частей — субъекта и предиката.
Основу логических преобразований суждений составляет умение
находить дополнение субъекта или предиката и фиксировать прямое и
обратное отношение между субъектом и предикатом.
Чтобы определить, какие преобразования необходимы и вместе с тем
достаточны для понимания суждения как целостной мысли, рассмотрим
возможные отношения между субъектом и предикатом (рис. 10).
D)
Рис. 10
Отношения A) и B), с одной стороны, C) и D) — с другой,
различаются лишь обратным направлением упорядоченности. Такие отношения
принято называть обратными. Если прямое и обратное отношения,
выражаемые некоторым общеутвердительным суждением, совпадают, тогда
субъект и предикат эквивалентны друг другу, то есть мы имеем дело с
суждением равенства (объемов).

92
Логическое преобразование, позволяющее по данному отношению
субъекта к предикату (предиката к субъекту) находить ему обратное
отношение предиката к субъекту (субъекта к предикату), принято
называть обращением.
Отношения A) и C) различаются между собой тем, что связывают
один и тот же субъект с несовместимыми (противоречащими,
противоположными или соподчиненными) предикатами. Если субъект находится в
некотором отношении к предикату (дополнению предиката), тогда он
всегда находится в определенном отношении несовместимости с дополнением
этого предиката (предикатом).
Логическое преобразование, позволяющее по данному отношению
субъекта к предикату (дополнению предиката) находить отношение
этого лее субъекта к дополнению предиката (предикату), принято называть
превращением.
Отношения A) и D) различаются между собою не только обратным
направлением упорядоченности, но и тем, что связывают субъект с
несовместимыми друг с другом предикатами. Следовательно, данный случай
синтезирует два предыдущих. Мы будем говорить, что отношения A) и D)
образуют противопоставление, или контрапозицию.
Логическое преобразование, позволяющее по данному отношению
находить ему противостоящее, принято называть противопоставлением
(контр апозицией).
Чтобы получить противопоставление, достаточно, как следует из
рис. 10, выполнить превращение и обращение в указанном порядке.
Самый важный результат состоит в том, что указанных трех
преобразований, за некоторым исключением, достаточно для конструирования
из данного суждения, выражающего некоторое отношение между
субъектом и предикатом, суждений, выражающих все остальные отношения
между его терминами. Учитывая производный характер противопоставления,
необходимыми преобразованиями являются только превращение и
обращение. Это полностью соответствует двум видам отрицания простых
суждений.
Таким образом, понимать простое суждение как некоторую
целостность, как инвариант своих частей означает уметь подвергать его
указанным трем преобразованиям. Рассмотрим их последовательно.
Превращение
Всякое отношение субъекта суждения к предикату уравновешивается
его определенным отношением к дополнению этого же предиката. Если я
знаю, что интересующая меня книга лежит на моем письменном столе, то я
должен также знать, что этой книги нет во всех местах, которые не
являются моим письменным столом. Обратно, если я знаю, что нужная книга

93
находится в комнате, но ее нет во всех местах, которые не являются моим
письменным столом, то я должен знать, что она находится на моем
письменном столе. Иными словами, если некоторый предикат принадлежит
субъекту, то должно быть истинно, что дополнение этого предиката не
принадлежит данному субъекту полностью или частично.
Превращение представляет преобразование, позволяющее по
известному отношению субъекта к предикату определять отношение
субъекта к дополнению этого предиката (или наоборот). С его помощью мы
можем одну и ту же мысль выразить как в утвердительной, так и в
отрицательной форме. Данное преобразование стирает, следовательно, жесткую
грань между утверждением и отрицанием.
Для совершения превращения необходимо и достаточно заменить на
противоречащие связку и предикат данного суждения, оставив его
количественную характеристику без изменения.
Все общеутвердительные суждения превращаются в
общеотрицательные, и наоборот (горизонтальная черта отделяет суждения,
находящиеся в отношении превращения).
Все А есть В.
Каждому из нас свойственно любить кого-
нибудь
Ни одно А не есть -.5. Ни одному из нас не свойственно не
любить кого-нибудь.
Все А есть
Каждому из нас свойственно не любить
каждого.
Ни одно А не есть В.
Ни одному из нас не свойственно любить
каждого.
Все —и4 есть В.
Все неудачники любят ссылаться на
обстоятельства.
Ни одно -лА не
есть
Ни один неудачник не любит не ссылаться
на обстоятельства.
Все -тА есть
Все неудачники любят обвинять не себя.
Ни одно —Л не есть В. Ни один неудачник не любит обвинять
себя.
Для общеутвердительных суждений с частицей «только» приведем
один пример:

Только А есть В.
94
Только новые горы могут быть лучше ста-
рых гор.
Ни одно А не есть —&. Только новые горы не могут не быть
лучше старых гор.
Все частноутвердительные суждения превращаются в частноотрица-
тельные суждения, и наоборот.
Некоторые А есть В. Некоторым из нас свойственно ошибаться.
Некоторые А Некоторые из нас не свойственно не оши-
не есть S. баться.
Некоторые А есть
Некоторым из нас свойственно не
ошибаться.
Некоторые А
не есть В,
Некоторые из нас не свойственно
ошибаться.
Некоторые —Л есть В.
Некоторые неправильные решения нам
дорого обходятся.
Некоторые —А
не есть —&.
Некоторые неправильные решения не
являются для нас дешевыми.
Некоторые —Л
есть
Некоторые неправильные решения
непростительны.
Некоторые —А
не есть В.
Некоторые неправильные решения нельзя
простить.
Для частных суждений с частицей «только» приведем один пример:
Только некоторые
А есть В.
Только некоторым из нас улыбается
счастье.
Только некоторые
А не есть —ьб.
Только некоторые из нас не являются
теми, кому не улыбается счастье.

95
Из приведенных примеров следует, что превращение представляет
симметричное преобразование. Причина подобной симметрии в том, что
замена связки на противоречащую ей равносильна замене предиката на
несовместимый (противоречащий, противоположный или соподчиненный) с
ним. Следовательно, если осуществить обе замены, то мы снова получим
исходное суждение по принципу «отрицание отрицания дает
утверждение». Превращение позволяет любое утвердительное суждение выразить в
отрицательной форме, и наоборот. Знание данного преобразования
усиливает выразительные возможности нашего языка и стирает, как отмечалось,
жесткое различие между утверждением и отрицанием.
Обращение
Каждое отношение имеет не всегда совпадающее с ним и не всегда
следующее из него с необходимостью обратное отношение. Из того, что 3
больше 2, следует, что 2 меньше 3. Но из того факта, что я люблю кого-то,
не следует с необходимостью, что этот кто-то также любит меня. В первом
примере прямое и обратное отношения не совпадают, но обуславливают
значение истинности друг друга. Если одно из них истинно (ложно), то и
другое обязательно истинно (ложно). Во втором примере прямое
отношение никак не определяет значение истинности обратного отношения
(последнее может быть как истинным, так и ложным). Анализ логического
содержания суждения не может считаться поэтому полным, если не
известно прямое отношение субъекта к предикату и обратное отношение
предиката с субъекту. В широком смысле только гармоничный синтез
прямых и обратных отношений обеспечивает устойчивость существования
каждой вещи, включая и человека
Обращение представляет преобразование, позволяющее по
известному отношению субъекта к предикату находить ему обратное.
Для обращения необходимо и достаточно поменять субъект и
предикат данного суждения местами и там, где это необходимо, изменить знак
его количества.
Обращение общеутвердительных суждений распадается на два
случая. Если объемы субъекта и предиката совпадают полностью, то обратное
отношение предиката к субъекту совпадает с исходным отношением
субъекта к предикату. Если же объем предиката больше объема субъекта, то
обратное отношение предиката к субъекту формулируется в виде частно-
утвердительного суждения.
7. Объемы субъекта и предиката совпадают полностью.
Только А есть В. Только приятное быстро кончается.
Только В не есть А. Только то, что быстро кончается, приятно.

96
Только некоторые А Лишь человек не может примириться с тем,
есть -iB. что у кого-то есть преимущество перед
ним.
Только некоторые Лишь не способные примириться с тем, что
. у кого-то есть преимущество перед ними,
есть люди.
Только некоторые Только будучи немолодым, начинаешь по-
-лА есть В. нимать, сколько упущено возможностей.
Только некоторые Только те, кто начинает понимать, сколько
В не есть —А. упущено возможностей, уже не молоды.
Только некоторые —А Только не умеющие любить, не спо-
есть —\В. собны на великодушие.
Только некоторые S не Только те, кто не способен на велико-
есть -тА. душие, не умеют любить.
2. Объем предиката включает объем субъекта, но не равен ему.
Все А есть В. Все осенние дни в этом году пасмурные.
Некоторые В Некоторые пасмурные дни в этом году выдались
есть А. осенью.
Все А есть
Умные люди не выставляют перед дру-
гими свои преимущества.
Некоторые —лВ есть А
Некоторые из тех, кто не выставляет
перед другими свои преимущества, —
умные люди.
Все -лА есть В.
Все нечестные люди трусливы.
Некоторые В есть —А.
Некоторые из трусливых людей
нечестны.
Все —А есть —\В.
Для не знающего, куда плыть, нет по-
путного ветра.
Некоторые —& есть —А. Некоторые, не имеющие попутного
ветра, не знают, куда плыть.
Обращение общеотрицательных суждений является симметричным
преобразованием.

97
Ни одно А не есть В. Ни одно доброе дело не забывается.
Ни одно В не есть А.
Ни одно забываемое дело не является
добрым.
Ни одно А не есть S. Ни одна печаль не беспричинна.
Ни одно —& не есть А,
Ни одно беспричинное состояние не
является печалью.
Ни одно —А не есть В. Ни один не потерянный даром день не
напрасен
Ни одно В не есть —А. Ни один пустой день не является
непотерянным.
Ни одно -лА не есть —лВ. Ни одна неприятность не беспроблемна.
Ни одно —& не есть -лА. Ни одна беспроблемная ситуация не
является неприятной.
Обращение частноутвердительных суждений разделяется на три
случая в соответствии с интерпретацией слова «некоторые»: 1) некоторые или
все; 2) некоторые, но не все; 3) только некоторые. В первом случае
обратное отношение совпадает с исходным, во втором и третьем нет. Приведем
по одному примеру для каждого из трех случаев.
Некоторые (или все) Некоторые молодые люди любят шутить.
А есть В.
Некоторые (или все) Некоторые любители шуток молоды.
В есть А.
Некоторые (но не все А)
есть В.
Некоторые молодые люди любят клас-
сическую музыку, а некоторые нет.
Некоторые (или все) В
есть А.
Некоторые любители классической —
музыки молодые люди.

Только некоторые А есть В.
98
Только несколько мгновений длится
наше счастье.
Все В есть А.
Наше счастье — мгновение .
Частноотрицательные суждения, как правило, не обращаются.
Причина в том, что простая перестановка местами субъекта и предиката
искажает смысл исходного суждения. Например, ложно следующее обращение
(мошенниками могут быть только люди):
Некоторые люди не являются мошенниками.
Некоторые мошенники — не люди.
Преодолеть данное затруднение можно, если частноотрицательное
суждение сначала превратить в частноутвердительное, перенеся отрицание
со связки на предикат, и только затем совершить обращение и новое
превращение для приведения к соответствию результата обращения
исходному суждению.
Например:
1. Некоторые люди не являются мошенниками (допущение).
2. Некоторые люди есть немошенники. A, превращение).
3. Некоторые немошенники есть люди. B, обращение).
4. Некоторые немошенники не есть нелюди C, превращение;
обращение первого суждения).
Первое и четвертое суждения находятся в отношении обращения, и,
как будет показано ниже, противопоставления также.
Обращение выделительных частноотрицательных суждений также
допустимо согласно указанному способу.
Например:
Только некоторые люди не являются мошенниками.
Все немошенники — люди.
Рассмотренные примеры убеждают, что полное понимание смысла
простого суждения требует его обязательного обращения. Причина этого в
асимметричной природе большинства простых суждений, требующих как
прямого, так и обратного «прочтения» их содержания.
Отношение субъекта к предикату уравновешивается, таким образом,
не только определенным отношением субъекта к дополнению предиката,
но также обратным отношением предиката к субъекту. Существует логи-

99
ческое преобразование, объединяющее превращение и обращение в одно и
синтезирующее тем самым все указанные отношения субъекта и
предиката. Оно называется противопоставлением, или контрапозицией.
Противопоставление (контрапозиция)
Каждое отношение субъекта к предикату порождает определенное
отношение дополнения предиката к субъекту. Если в данный момент я
нахожусь в библиотеке и читаю «Книгу перемен», то все люди, находящиеся
в этой библиотеке, но не читающие эту книгу, не являются мною. Данное
преобразование является основной логической схемой рассуждения
ученых, медиков и сыщиков: если истинно предположение //, то должны быть
истинны следствия (симптомы, улики, факты) Е; но, как оказалось или
было доказано, следствия Е ложны; значит, сделанное предположение Н
также ложно. Но обычные люди также рассуждают аналогичным образом:
например, если вчера был вторник, значит, сегодня должна быть среда; но
сегодня не среда. Следовательно, вчера был не вторник.
Из рис. 10 следует, что для того, чтобы получить
противопоставление, необходимо сначала совершить превращение и только затем
обращение. К этой последовательности мы добавим еще одно превращение, чтобы
получить суждение, противостоящее исходному, но совпадающее с ним
своим качеством.
Полная формула противопоставления, следовательно, такова:
Противопоставление = превращение + обращение + превращение.
Порядок, в котором должны совершаться преобразования слева от
знака равенства, является существенным. Все другие комбинации не дают
противопоставления. Сравним в этой связи две последовательности
преобразований:
1. Все храбрые люди пользуются уважением (допущение).
2. Ни один храбрый человек не есть человек, не пользующийся
уважением A, превращение).
3. Ни один человек, не пользующийся уважением, не является
храбрым B, обращение).
4. Все не пользующиеся уважением — нехрабрые люди C,
превращение; противопоставление первого суждения).
В приведенной последовательности первый и четвертый члены
(суждения) находятся в отношении противопоставления. Но этого нельзя
сказать о следующей последовательности преобразований:
1. Все храбрые люди пользуются уважением (допущение).
2. Некоторые из пользующихся уважением — храбрые люди A,
обращение).
3. Некоторые из пользующихся уважением не являются нехрабрыми
людьми B, превращение).

100
4. Некоторые из пользующихся уважением — храбрые люди C,
превращение).
Причиной отсутствия противопоставления во второй
последовательности является некоммутативность в общем случае превращения и
обращения, то есть их чувствительность к порядку выполнения.
Рассмотрим примеры противопоставления разных видов суждений.
1. Общеутвердительные суждения
Для общеутвердительных суждений, у которых объем предиката
больше объема субъекта, имеем следующие примеры.
Все А есть В. Все кошки грациозны.
Все —\В есть -тА. Все неграциозные животные — не кошки.
Все А есть —iff. Настоящие друзья не разлучаются
Все В есть —А. Все, кто разлучаются, не настоящие друзья.
Все —А есть В. Все неудачники любят обвинять не себя
Все —\В есть^4. Все не любящие обвинять не себя, —
удачливые люди.
Все —А есть -iB. Несладкие булочки всегда невкусные.
Все В есть А, Вкусные булочки всегда сладкие.
Для общеутвердительных суждений, у которых субъект и предикат
эквивалентны, противопоставляется не только субъект отрицанию
предиката, но и предикат отрицанию субъекта.
Только А есть В. Только лягушки квакают.
Все —лВ есть —А. Все неквакающие — не лягушки.
Все —А есть -lS. Все не лягушки не квакают.
Только А есть -гб. Только влюбленные не замечают часов.
Все В есть —А. Все замечающие часы — не влюбленные.
Все -А есть В, Все невлюбленные замечают часы
Только -лА есть В. Только неблагодарность достойна презрения.
Все -iB есть А, Все не достойное презрения —благодарность.

101
Все А есть —.5. Благодарность не достойна презрения
Только —А есть —\В. Только нехотящие суть незнающие.
Все В есть А. Все знающие есть хотящие.
Все А есть 5. Все хотящие есть знающие
Противопоставление общеутвердительных суждений выявляет
следующую закономерность. Если истинно, что субъект обладает некоторым
признаком, обозначаемым предикатом, тогда должно быть истинно, что
противоречащий ему признак присущ только дополнению субъекта.
2. Частноутвердительные суждения
Частноутвердительные суждения противопоставлению, как правило,
не подвергаются. Но использование общей формулы противопоставления
позволяет применять данное преобразование и к частноутвердительным
суждениям. Результат противопоставления в этом случае совпадает с
результатом обращения. Например, из суждения «Некоторые А есть 5» мы
можем получить только суждение «Некоторые В есть А». Для
выделительных частноутвердительных суждений сказанное также истинно.
Следовательно, для любых частных суждений обращение и
противопоставление представляют тождественные преобразования.
3. Общеотрицательные суждения
Противопоставление общеотрицательных суждений совершается по
схеме:
1. Ни одно А не есть В (допущение).
2. Все А есть —& A, превращение).
3. Некоторые —& есть А B, обращение).
4. Некоторые —& не есть —Л C, превращение; противопоставление
первого суждения).
Противопоставление, совершаемое по данной схеме, называется
противопоставлением с ограничением, так как в этом преобразовании посылка
(допущение) общая, а заключение частное. Рассмотрим несколько
примеров противопоставления с ограничением.
Ни один рак не щука.
Некоторые не щуки — не раки.
Ни одно доброе дело не забывается.
Некоторые незабываемые дела не являются недобрыми.

102
Ни одно излишество не полезно.
Некоторые неполезные страсти не являются
умеренными.
Ни одно нужное дело не стоит откладывать.
Некоторые дела, которые не стоит откладывать, не
являются ненужными.
4. Частноотрицательные суждения
Противопоставление частноотрицательных суждений совершается
по схеме:
1. Некоторые А не есть В (допущение).
2. Некоторые А есть —& A, превращение).
3. Некоторые В есть А B, обращение).
4. Некоторые —лВ не есть -ъ4 C, превращение; противопоставление
первого суждения).
Рассмотрим несколько примеров.
Некоторые А есть В.
Некоторые удовольствия не
необходимы.
Некоторые S не есть —А.
Некоторые ненеобходимые ощущения
не являются неудовольствиями.
Некоторые А не есть
Некоторые наши шаги не являются
преждевременными
Некоторые В есть —А.
Некоторые преждевременные
действия не наши шаги.
Некоторые —А не есть В.
Некоторая небрежность в одежде не
случайна.
Некоторые —? не есть А.
Некоторые неслучайности не
относятся к порядку в одежде.
Некоторые —А не есть
Некоторые лгуны не счастливы.
Некоторые В не есть А,
Некоторые несчастливые не правдивы.

103
В качестве заключения попробуем конкретизировать высказанный
ранее тезис о необходимости рассмотренных преобразований для
понимания суждения как целостной мысли. Асимметричная природа простых
суждений является той причиной, которая вынуждает нас искать для данного
отношения субъекта к предикату целый ряд уравновешивающих его и тем
самым создающих целостную картину отношений. Как нельзя понимать
полностью сложение без вычитания или наоборот, так нельзя понимать
суждение без превращения, обращения и противопоставления его
терминов. Смысл данных преобразований и состоит в том, чтобы посредством
перегруппировки частей суждения составить мнение о его содержании в
целом. Следует, однако, указать на формальную недостаточность этих
преобразований в достижении указанной цели. Как уже отмечалось,
превращение и обращение не коммутативные преобразования.
Противопоставление суждений также не является однозначным преобразованием, так
как определяется в терминах превращения и обращения. Эти и другие
ограничения свидетельствуют, что изученные преобразования еще не
составляют группу симметричных преобразований содержания суждения и
поэтому допускают его частичную утрату или искажение. Требуется, по-
видимому, более полная теория простых суждений.
5. СОВМЕСТИМЫЕ И НЕСОВМЕСТИМЫЕ СУЖДЕНИЯ.
ЛОГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ
Суждения, как и понятия, могут быть совместимыми и
несовместимыми.
Напомним: совместимость может быть как по истине, так и по лжи;
то же и для несовместимости. Суждения полностью совместимы, если они
могут быть вместе как истинны, так и ложны. Суждения частично
совместимы, если они могут быть вместе только истинны. Суждения полностью
несовместимы, если они не могут быть вместе истинны или ложны.
Суждения частично несовместимы, если они не могут быть вместе истинны.
Имеется несколько случаев совместимости и несовместимости суждений.
Рассмотрим их последовательно.
Любые два суждения совместимы полностью, если они
эквивалентны, то есть каждое из них является необходимым следствием
истинности (ложности, неопределенности) другого. Эквивалентные суждения,
как и понятия, имеют одинаковый объем и одинаковое содержание^.
34 О вычислении содержаний и объемов суждений см. гл. ГУ, 2. Напоминаем: элементы
(классы) объема указывают условия истинности, а элементы (классы) содержания —
условия ложности рассматриваемого предмета мысли.

104
Из приведенного определения следует, что эквивалентные суждения
вместе либо истинны, либо ложны, либо неопределенны. С помощью
превращения, обращения и контрапозиции из данных суждений можно
получать им эквивалентные, если эти преобразования совершаются без
ограничений по количеству (примеры см. выше для соответствующих
преобразований).
Любые два суждения совместимы полностью, если только одно из
них является необходимым следствием истинности (ложности) другого.
Суждение, истинность которого определяет истинность другого
суждения принято называть подчиняющим, а суждение, истинность которого
зависит от истинности другого суждения, принято называть подчиненным.
Подчиняющее и подчиненное суждения связаны асимметричным
образом в следующем смысле. Объем подчиняющего суждения полностью
включен в объем подчиненного суждения, а содержание подчиненного
суждения является частью содержания подчиняющего суждения. По этой
причине из истинности подчиняющего суждения всегда следует
истинность подчиненного, но обратное в общем неверно. Наоборот, из ложности
подчиненного суждения всегда следует ложность подчиняющего, но
обратное также в общем неверно. Все частные суждения являются
необходимым следствием подчиняющих их общих суждений. Простые общие
суждения представляют следствие подчиняющих их общевыделительных
суждений. Обратные следования, конечно, неверны. (Ниже приведены
примеры односторонних следований, число которых может быть
увеличено за счет превращения, обращения и контрапозиции.)
Из «Все А есть 5» следует «Некоторые А есть 5» и «Некоторые —А
есть —ь8».
Из «Все А есть —¦#» следует «Некоторые А есть —lS» «Некоторые —А
есть 5».
Из «Все -лА есть 5» следует «Некоторые —\А есть 5» и «Некоторые А
есть —\В».
Из «Только А есть 5» следует «Все А есть 5», «Все -А есть —¦?»,
«Некоторые А есть 5», «Некоторые —\А есть —lS» и «Только некоторые А
есть 5».
Из «Только А есть —?» следует «Все А есть —15», «Все —\А есть 5»,
«Некоторые А есть —lS», «Некоторые —\А есть 5» и «Только некоторые А
есть —lS».
Например, из истинности общего суждения «Все дни на прошлой
неделе были пасмурными» следует истинность суждения «Некоторые дни
на прошлой неделе были пасмурными», но обратное утверждение не
является необходимо истинным. Аналогично из истинности
общевыделительного суждения «Только ящики моего стола не закрываются» следует ис-

105
тинность суждения «Ни один ящик моего стола не закрывается», а также
следует истинность суждения «Некоторые ящики моего стола не
закрываются». Из ложности частного суждения «Некоторые ящики моего стола не
закрываются» следует ложность общего суждения «Ни один ящик моего
стола не закрывается», а также следует ложность общевыделительного
суждения «Только ящики моего стола не закрываются». Соответственно из
ложности подчиняющих суждений не следует с необходимостью ложность
подчиненных им простых и частных суждений. Если суждение «Только на
стульях в этой комнате нельзя сидеть» ложно, то значение истинности
таких суждений, как «Ни на одном из стульев в этой комнате нельзя сидеть»
и «На некоторых из стульев в этой комнате нельзя сидеть» остается
неопределенным.
Любые два суждения совместимы полностью, если они независимы,
то есть когда значение истинности любого одного из них никак не
определяет значение истинности другого. Объемы и содержания таких
понятий частично пересекаются.
Из приведенного определения следует, что независимые суждения,
как и понятия, могут быть истинны и ложны в любой комбинации.
Следовательно, из истинности или ложности любого одного из независимых
суждений не следует с необходимостью ни истинность, ни ложность всех
остальных. Частичное пересечение содержаний независимых суждений
говорит о том, что они могут быть вместе ложны, а частичное пересечение их
объемов, что они могут быть вместе истинны.
Независимыми являются, например, следующие пары суждений (в
симметричном универсуме35):
а) «Некоторые А есть 5» и «Некоторые —\А есть 5»;
б) «Некоторые А есть 5» и «Некоторые -ъ4 есть —¦?»;
в) «Некоторые А есть —&у> и «Некоторые —Л есть
г) «Некоторые А есть —&» и «Некоторые —Л есть
д) «Все А есть 5» и «Все —\А есть -ъВ»;
е) «Все А есть —?» и «Все —\А есть
ж) «Все -лА есть 5» и «Все —Л есть
Число примеров независимых суждений легко увеличить за счет
превращения, обращения и контрапозиции указанных.
В симметричном универсуме не является независимой такая пара
суждений, как «Все А есть 5» и «Все —Л есть 5». Причина этого в том, что
логическое следствие первого из них — суждение «Некоторые —\А есть
—iB» опровергает второе, а логическое следствие второго из них —
суждение «Некоторые А есть —¦?» опровергает первое. Следовательно, оба этих
35 То есть в универсуме, в котором для эквивалентных суждений выполняются все
законы логического квадрата. Более подробно об этом см. гл. 1У, 2.

106
суждения не могут быть вместе истинны. Значит, они не являются
независимыми.
К независимым следует отнести также суждения с разными
универсумами.
Например, независимыми являются суждения Л. Кэрролла
«Незрелый художник не напишет ничего подлинно ценного» и «Некоторые
картины свидетельствуют о зрелости их авторов», потому что универсум
первого из них состоит из художников, а универсум второго — из
произведений живописи.
Любые два суждения совместимы частично, если они могут быть
вместе истинны, но не могут быть вместе ложными (то есть они
совместимы только по истине). Объемы таких понятий частично
пересекаются, а содержания нет.
Данный вид совместимости характерен для частных суждений,
отличающихся друг от друга лишь качеством:
а) «Некоторые А есть 5» и «Некоторые А не есть 5»;
б) «Только некоторые А есть 5» и «Только некоторые А не есть 5».
Например, суждения «Некоторые напитки утоляют жажду» и
«Некоторые напитки не утоляют жажду» не следуют друг из друга, но могут
быть вместе истинны. Однако частично совместимые суждения не могут
быть вместе ложными, потому что противоречащие им общие суждения не
могут быть вместе истинными.
Несовместимость простых суждений делится на три вида.
Любые два суждения несовместимы полностью, если и только если
они не могут быть вместе ни истинны, ни ложны, то есть образуют
противоречие. Ни объемы, ни содержания таких противоречащих
суждений не пересекаются.
Из приведенного определения следует, что объем каждого из таких
суждений образует содержание противоречащего ему суждения, а
содержание каждого их них — объем противоречащего ему суждения
соответственно. Противоречащим данному суждению будет это же суждение,
предваряемое словами «Неверно, что...». Эти слова порождают внешнее
отрицание суждения, которое всегда может быть внесено вовнутрь
отрицаемого суждения по следующей схеме (с произвольным распределением
знаков отрицания субъекта и предиката):
«Неверно, что все А есть 5» равносильно «Некоторые А не есть 5».
«Неверно, что некоторые А есть 5» равносильно «Ни одно А не есть
«Неверно, что некоторые А не есть 5» равносильно «Все А есть
«Неверно, что ни одно А не есть 5» равносильно «Некоторые А есть

107
«Неверно, что только А есть 5» равносильно «Только некоторые А не
есть
«Неверно, что только некоторые А есть 5» равносильно «Только А не
есть 5».
«Неверно, что только некоторые А не есть 5» равносильно «Только А
есть 5».
«Неверно, что только А не есть 5» равносильно «Только некоторые А
есть 5».
«Неверно, что все, кроме А, есть 5» равносильно «Некоторые, кроме
А, не есть 5» и «Некоторые —Л не есть 5».
«Неверно, что некоторые, кроме А, есть 5» равносильно «Ни один,
кроме А, не есть 5» и «Ни один —Л не есть 5».
«Неверно, что некоторые, кроме А, не есть 5» равносильно «Все,
кроме А, есть 5» и «Все -ъ4 есть 5».
«Неверно, что ни один, кроме А, не есть 5» равносильно
«Некоторые, кроме А, есть 5» и «Некоторые —Л есть 5».
Напомним, что как для совместимых, так и для несовместимых
суждений требуется, чтобы они состояли из одинаковых терминов. Это
условие обязательно для выделительных и исключающих суждений также. Для
выполнения отношения противоречия между выделительными
суждениями в указанной интерпретации необходимы дополнительные условия, о
которых речь пойдет ниже.
В качестве примера противоречащих суждений можно привести
следующие: «Все рыболовы любят преувеличивать свои достижения» и
«Некоторые рыболовы не любят преувеличивать свои достижения»; «Ни одно
путешествие не обходится без приключений» и «Некоторые путешествия
обходятся без приключений»; «Только эти картины написаны мастером» и
«Некоторые, но не все, из этих картин или только они не написаны
мастером»; «Только эти часы не ходят точно» и «Некоторые, но не все, из этих
часов или только они ходят точно»; «Все задачи, кроме логических, мне
скучны» и «Некоторые задачи, кроме логических, мне не скучны»; «Ни
один ребенок, кроме моих собственных, не пристает ко мне с вопросами» и
«Некоторые дети, кроме моих собственных, пристают ко мне с вопросами».
Любые два суждения несовместимы частично, если они не могут
быть вместе истинны, но могут быть оба ложны (то есть они
совместимы только по лжи). Такой вид несовместимости порождается
противоположностью или соподчинением.
Объемы противоположных и соподчиненных суждений не
пересекаются, а содержания пересекаются, что и объясняет их свойства. Для
противоположных и соподчиненных суждений, как для противоположных и
соподчиненных понятий, всегда существует третья возможность истинности.

108
Противоположными суждениями могут быть только общие
суждения с одинаковыми терминами и противоречащими связками.
Противоположными суждениями в симметричном универсуме
являются:
а) «Все А есть 5» и «Все А есть —¦?»;
б) «Все А есть 5» и «Все —Л есть 5»;
в) «Все А есть —&» и «Все —\А есть —S»;
г) «Только некоторые А есть 5» и «Только некоторые А есть
д) «Только А есть 5» и «Только А есть
е) «Только А есть 5» и «Только -ъ4 есть
Так, противоположны следующие пары суждений: «Всякое
страдание есть зло» и «Ни одно страдание не есть зло»; «Только люди
улыбаются» и «Только люди не улыбаются»; «Все люди, за исключением мудрецов,
стремятся к славе» и «Все люди, за исключением мудрецов, не стремятся к
славе». Если оба противоположных суждения ложны, тогда истинны
вместе противоречащие им частные суждения. Например, очевидно ложной
является первая пара противоположных суждений. Соответственно
одновременно истинны следующие частные суждения, противоречащие общим:
«Некоторое страдание есть зло» и «Некоторое страдание не есть зло».
В отношении соподчинения находятся несовместимые суждения,
одно из которых является простым, а другое входит в качестве части в какое-
нибудь сложное (выделительное) суждение.
Соподчиненными в симметричном универсуме являются следующие
суждения:
а) «Только некоторые А есть 5» и «Некоторые —Л есть 5»;
б) «Только некоторые А есть —&» и «Некоторые —\А есть —\В»\
в) «Только А есть 5» и «Некоторые А есть —ьб», «Некоторые —Л есть
«Все А есть —ь8», «Все —Л есть 5»;
г) «Только А есть —S» и «Некоторые А есть 5», «Некоторые —Л есть
, «Все А есть 5», и «Все —Л есть —&».
Например, в отношении соподчинения находятся суждения «Только
мудрость добродетельна» и «Существует мудрость, не являющаяся
добродетелью» или «Ни одна мудрость не добродетельна».
Допустим, сравниваемые суждения состоят из терминов,
обозначающих одни и те же классы общего для них универсума.
Тогда простой методической схемой, позволяющей для любого
суждения находить совместимые (кроме независимых) и несовместимые
(кроме соподчиненных) с ним суждения, является логический квадрат (рис.
и).

109
ъ с о Противоположность
Все S есть Р ^ Ни
Подчинение
Некоторые S есть
Частичная
совместимость
одно 5 не есть
Подчинение
Некоторые S не есть Р
Рис. И
1. Противоречащие (полностью несовместимые) суждения
соединяются диагоналями (левой и правой);
2. Противополоэюные (частично несовместимые) суждения
соединяются верхней горизонтальной линией;
3. Суждения, подчиняющие друг друга (полностью совместимые),
соединяются левой и правой вертикальными линиями (верхнее суждение
подчиняет нижнее);
4. Частично совместимые (по истине) суждения соединяются
нижней горизонтальной линией.
Независимые, а также соподчиненные суждения, как следует из их
определения, сравнивать с помощью логического квадрата нельзя.
Пусть знаки иу л, ? обозначают соответственно истину, ложь и
неопределенность рассматриваемого суждения. Пусть знаки и и л,
выделенные полужирным шрифтом, обозначают значения истины и лжи,
задаваемые по условию. Тогда в зависимости от того, какое суждение,
расположенное на одной из вершин логического квадрата, истинно, ложно или
неопределенно по условию, возникают различные распределения значений
истинности:
и
л
и

по
л
и
и
л
Логический квадрат вместе с превращением, обращением и
противопоставлением позволяет решать и более общую задачу — вычисление
значений истинности произвольного множества суждений, если известна
истинность или ложность одного из сравниваемых суждений.
Для этого с помощью указанных преобразований все сравниваемые
суждения сначала приводятся к виду, эквивалентному исходным
суждениям, но удобному для использования логического квадрата (субъекты и
предикаты суждений стоят на одинаковых местах). Затем методом
попарного сравнения определяется, какие суждения эквивалентны, частично
совместимы, противоречат, противоположны или соподчинены и
независимы друг от друга. Наконец, на основании установленных отношений
между суждениями вычисляются значения истинности самих суждений (по
правилам логического квадрата). В том случае, когда суждение нельзя
квалифицировать ни как истинное, ни как ложное, оно считается
неопределенным.
При вычислении значений истинности суждений полезно
использовать нижеследующую таблицу, в которой представлены все виды
совместимых и несовместимых суждений и их истинностное значение в
зависимости от допущения истинности /ложности одного из них (табл. 1).
Таблица 1
X и Y— произвольные
суждения
X эквивалентно Y
Y— необходимое
следствие Х9 но не наоборот
X и Y не зависят друг от
друга
X и Y противоречат друг
другу
Хи Y противоположны
друг другу
X и Y частично
совместимы друг с другом
X
истинно
Y истинно
Y истинно
Y
неопределенно
Y ложно
Y ложно

Yнеопределенно
ложно
Y ложно
Y
неопределенно

Yнеопределенно
Y истинно

Yнеопределенно
Y истинно
истинно
X истинно
X
неопределенно
X
неопределенно
Сложно
Сложно
X
неопределенно
ложно
Сложно
Сложно

^неопределенно
X истинно
X истинно
Пусть дано следующее базисное множество суждений:

Ill
1. Все А есть В.
2. Все А есть—\В.
3. Все—\А есть В.
4. Все —А есть —¦?.
5. Ни одно А не есть В
6. Ни одно А не есть
7. Ни одно —и4 не есть В,
8. Ни одно —\А не есть —&.
9. Некоторые ^4 есть В.
10. Некоторые Л есть —\В.
11. Некоторые —Л есть 5.
12.. Некоторые —и4 есть —&.
13. Некоторые ^4 не есть В.
14. Некоторые Л не есть —¦#.
15. Некоторые —\А не есть 5.
16. Некоторые —Л не есть —$.
17. Все В есть Л.
18. Все В есть—А.
19. Все—& есть А.
20. Все —& есть —^4.
21. Ни одно В не есть А.
22. Ни одно 5 не есть -А.
23. Ни одно —& не есть А.
24. Ни одно —\В не есть —^4.
25. Некоторые 5 есть ^4.
26.Некоторые 5 есть —Л.
27. Некоторые —lS есть А.
28. Некоторые —lS есть —Л,
28. Некоторые —¦# есть —\А.
30. Некоторые В не есть —^4.
31. Некоторые —& не есть А.
32. Некоторые —? не есть —\А.
Допустим, истинно суждение 1 из приведенного множества. Тогда
суждения 6, 20 и 23 также истинны, так как они эквивалентны первому.
Суждения 9, 12, 14, 15, 25, 28, 30 и 31 также истинны, потому что они
подчиняются первому. Суждения 2, 5, 18, 21 ложны, так как они
противоположны первому. Суждения 10, 13, 27, 32 ложны, потому что они
противоречат первому. Истинностный статус остальных суждений остается
неопределенным. В симметричном универсуме из истинности суждения 1
следует дополнительно ложность суждений 3, 8, 19 и 24.
Предположим, что истинно суждение 9. Тогда суждения 14, 25 и 30
истинны, так как они эквивалентны девятому. Суждения 2, 5, 18 и 21
ложны, так как противоречат девятому. Истинностный статус остальных
суждений остается неопределенным.
Из допущения ложности какого-либо суждения также следует
некоторое распределение истинностных значений. Допустим, ложно суждение
11. Тогда ложны суждения 16, 26, 29, так как они эквивалентны
одиннадцатому. Суждения 4, 7, 17, 22 истинны, так как они противоречат
одиннадцатому. Суждения 9, 14, 25, 30 истинны, так как частично совместимы с
одиннадцатым и не могут с ним быть одновременно ложными.
Истинностный статус остальных суждений остается неопределенным.
Рассмотрим другой пример.
Допустим, даны следующие пять суждений:
1. Честность — лучшая политика.
2. Не всякая честность — лучшая политика.
3. Не существует лучшей и честной политики.

112
4. Никакая нечестная политика не является нелучшей.
5. Единственная худшая политика — нечестная.
Приводим первое суждение к нормальной форме: Все S есть Р, где S
= честная, Р = лучшая и U = политика. Символизируем остальные
суждения из списка, используя обозначения терминов первого суждения. Строим
таблицу значений истинности всех суждений в зависимости от значений
истинности, задаваемых по условию (табл. 2):
Таблица 2
1.
2.
3.
4.
5.
Все Sесть Р
Некоторые S есть -\Р
Ни один Р не есть S
Ни один —iiS не есть -iP
Только -iP есть -uS
и
л
л
л
7
Л
И
7
7
Л
Л
И
7
7
Л
И
Л
л
л
7
Л
И
И
7
Л
7
7
Л
7
7
Л
И
7
И
Л
7
7
7
Л
7
И
Л
Л
Л
И
7
7
7
7
Л
Объяснение: При решении этой задачи сделано допущение о
симметричности универсума, то есть об обязательном выполнении
эквивалентными суждениями всех законов логического квадрата (более подробно
об этом допущении см. гл. 1У, 2). Тогда суждения 1 и 2 противоречат друг
другу и совместно исчерпывают определенный универсум.
Следовательно, если одно из них истинно (ложно), другое ложно (истинно); если одно
из них неопределенно, другое также неопределенно. Суждения 1 и 3
противоположны друг другу. Значит, если одно из них истинно, то другое
ложно, но обратное неверно. Кроме того, они оба могут быть
одновременно ложны. Следовательно, если одно из них ложно, значение истинности
другого неопределенно. Суждения 3 и 4 независимые, то есть ни одно из
них не определяет значение истинности другого. Суждения 3 и 4 оба
вместе подчиняют суждение 2, а суждение 5 подчиняет суждение 1.
Следовательно, если суждения 5, 3 и 4 истинны, то также соответственно
истинны суждения 1 и 2, и если суждения 1 и 2 ложны, то подчиняющие их
суждения также ложны. Во всех остальных случаях их отношения
неопределенны. Суждения 2и5,3и5,4и5 попарно не противоположны, но
несовместимы друг с другом по истине. Следовательно, они не могут быть
вместе истинны, но могут быть вместе ложны. Из истинности любого одного
суждения из каждой пары следует ложность другого, но из его ложности
следует только неопределенность другого.
Данный пример и ему подобные можно решать методом, который
использовался при сравнении понятий, то есть посредством сравнения
содержания и объемов суждений (более подробно этот вопрос обсуждается в
гл. 1У, 2).

113
Пусть U = простые суждения, А = Все S есть Р, В = Некоторые
S есть —\Р, С = Ни одно Р не есть S, D = Ни одно —iS не есть —.Р, E = Только
—\Р есть —iiS.
Строим классификацию:
U = простые суждения
Имеем: С/= A) + B) + C) + D) + E) + F); А= C) + D) + E) + F) / A)
+ B); В = A) + B) / C) + D) + E) + F); С = A) + B) + E) + F) / C) + D); D
= A) + B) + D) + F) / C) + E); Е=B) + C) + D) + E) + F) / A).
Из этих вычислений следует подтверждение сделанных ранее
выводов о совместимости / несовместимости рассматриваемых суждений:
4 Л
<-Е >
—>?>
Г»
= и
Умение решать задачи, подобные только что разобранной, является
особенно актуальным для тех специалистов (например, юристов), которые
по роду своей работы обязаны сравнивать какие-либо тексты с другими
текстами, считающимися в силу тех или иных обстоятельств или условий
истинными.
Логический квадрат для выделительных суждений сохраняет все
свои свойства, но с некоторыми ограничениями. Дело в том, что суждение
«Только некоторые А есть 5», интерпретируемое как «Все В есть А» и
достаточное для обычных логических преобразований, в строгом смысле не
образует противоречия с суждением «Только А не есть 5» (они оба могут
быть вместе и ложны и истинны). Аналогично и для пары «Только
некоторые А не есть 5» и «Только А есть 5». Поэтому для доказательства, что
законы логического квадрата выполняются и выделительными суждения-

114
ми, необходимо определенное ограничение в интерпретации частных
выделительных суждений.
В качестве такого ограничения выступает следующее допущение: из
суждений «Некоторые А есть 5», «Некоторые А есть —ьб», «Некоторые —iA
есть 5» и «Некоторые —Л есть —\В» первые два должны быть всегда
истинны, а последние два всегда ложны. Данное допущение можно
сформулировать иначе: в том универсуме, в котором рассматриваются выделительные
суждения, должна существовать хотя бы одна вещь, обладающая
свойствами субъекта А и предиката В, субъекта А и дополнения предиката -В и не
должно существовать ни одной вещи, обладающей свойствами дополнения
субъекта -лА. Если такое допущение принимается, тогда суждение «Только
некоторые А есть 5» эквивалентно сложному суждению «Некоторые А
есть и не есть В или только А есть 5», или «Некоторые, но не все А есть В,
или только А есть 5». Соответственно суждение Только некоторые А не
есть 5» эквивалентно сложному суждению «Некоторые А есть и не есть В
или только А не есть 5», или «Некоторые, но не все А есть В, или только А
не есть 5».
Напомним, что обычные частные суждения интерпретируются
аналогичным образом. Суждение «Некоторые (или все) А есть 5»
эквивалентно суждению «Некоторые, но не все А есть В или все А есть 5» и тем
самым равносильно суждению «Некоторые А есть и не есть В или все А есть
5», а суждение «Некоторые (или ни один) А не есть 5» эквивалентно
суждению «Некоторые, но не все А есть В или ни одно А не есть 5» и тем
самым равносильно суждению «Некоторые А есть и не есть В или ни один А
не есть 5».
В случае принятия указанного допущения выделительные суждения
выполняют все законы логического квадрата (рис. 12).
Только А есть В
Некоторые А есть и
не есть В или только
А есть В
Только А не есть В
Некоторые А есть и не
есть В или только А не
есть В
Рис. 12

115
Поскольку это утверждение неочевидно, рассмотрим простое
доказательство.
Пусть универсум состоит из чисел 1, 2 и 3, А обозначает признак
«эти числа», В — признак «четное число». Пусть под «этими числами»
понимается множество, состоящее из числа 2. Тогда суждения «Только А
есть 5» и «Только некоторые А есть 5» оба истинны, а суждения «Только А
не есть 5» и «Только некоторые А не есть 5» оба ложны. Пусть под «этими
числами» понимается множество, состоящее из чисел 1 и 3. Тогда
суждения «Только А есть 5» и «Только некоторые А есть 5» оба ложны, а
суждения «Только А не есть 5» и «Только некоторые А не есть 5» оба истинны.
Это доказывает выполнимость отношения противоречия между
суждениями, соединенными диагоналями логического квадрата на рис. 12.
Допустим, при указанном универсуме под «этими числами»
понимается множество, состоящее из чисел 1 и 2. Тогда суждения «Только А есть
5» и «Только А не есть 5» оба ложны, а суждения «Только некоторые А
есть 5» и «Только некоторые А не есть 5» оба истинны. Следовательно,
для первой пары выделительных суждений выполняется отношение
противоположности, для второй пары выделительных суждений — отношение
частичной совместимости.
Объединяя полученные результаты, получаем, что для
выделительных суждений, различающихся лишь количественно, справедливо и
отношение подчинения: только из истинности общего суждения следует
истинность частного, только из ложности частного суждения следует ложность
общего.
Итак, мы доказали выполнимость отношений противоречия,
противоположности, частичной совместимости и подчинения и для
выделительных суждений (при указанных ограничениях в интерпретации).
Любое выделительное суждение может быть выражено в терминах
простых суждений. «Только А есть 5» эквивалентно обоим суждениям
«Все А есть 5» и «Все —\А есть —&» одновременно. Суждение «Только А не
есть 5» эквивалентно обоим суждениям «Все А есть —¦?» и «Все —Л есть
5» одновременно. В обычной интерпретации суждение «Только некоторые
А есть 5» эквивалентно «Все В есть А», суждение «Только некоторые А не
есть 5» эквивалентно «Все —\В есть А».
Допуская истинность или ложность какого-либо выделительного
суждения, мы получаем определенное распределение истинностных
значений на базисном множестве простых суждений, сформулированном на стр.
43. Например, если истинно суждение «Только А есть 5», то также
истинны суждения 1 и 4, 6 и 7, 17и 20, 22 и 23 как попарно ему эквивалентные.
Суждения 9, 12, 14, 15, 25, 28, 30, 31 истинны как подчиненные данному.
Все остальные суждения соответственно ложны как несовместимые с ним

116
(некоторые комбинации этих суждений будут противоречить, а некоторые
будут противоположны или соподчинены данному суждению).
Из истинности суждения «Только некоторые А есть 5»,
интерпретируемого обычным способом («Все В есть А»9)9 следует истинность
суждений 4, 7, 17, 22 как ему эквивалентных, истинность суждений 9, 14, 25,
30, как ему подчиненных; ложность суждений 2, 3, 5, 8, 11, 16, 18, 19, 21,
24 26, 29 как ему противоречащих или частично несовместимых.
Истинностный статус остальных суждений остается неопределенным.
Из истинности суждения «Только некоторые А есть 5»,
интерпретируемого как «Некоторые А есть и не есть В или только А есть 5», следует
истинность суждений 9, 10, 13, 14, 25, 27, 30, 32 и/или попарная
истинность 1 и 4, 6 и 7, 17и 20, 22 и 23 как ему подчиненных, ложность
суждений 11, 16, 26, 29 как ему противоречащих и ложность суждений 12, 15, 28,
31 как исключаемых допущением, обеспечивающим совместимость
данного выделительного суждения с законами логического квадрата.
Логический квадрат выполняется также и для исключающих
суждений (рис. 13).
Все, кроме А9
есть В
Некоторые, кроме А9
есть В
Ни один, кроме А9
не есть В
Некоторые, кроме А9
не есть В
Рис. 13
Каждое исключающее суждение может быть выражено в терминах
простых суждений. Из истинности суждения «Все, кроме А, есть 5»
следует истинность суждений 3, 8, 19, 24 как ему эквивалентных, истинность
суждений 10, 11, 13, 16, 26, 27, 29, 32 как ему подчиненных, ложность
суждений 4, 7, 17, 22 как ему противоположных, ложность суждений 12, 15,
28, 31 как ему противоречащих. Истинность остальных суждений является
неопределенной.

117
Итак, отношения совместимости / несовместимости действительны
не только для простых, но и на выделительных и исключающих суждений.
Кроме того, любое выделительное или исключающее суждение в случае
своей истинности может быть редуцировано к некоторому подмножеству
множества простых суждений, указанного выше.
6. ЧАСТОТНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЛОГИЧЕСКОГО
КВАДРАТА. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ
ЛОГИЧЕСКОГО КВАДРАТА
Все простые суждения обладают количественной характеристикой,
выражаемой соответствующими словами «все», «некоторые», «ни один».
Эту характеристику можно сделать более точной, если построить,
например, частотную интерпретацию простых суждений. Мы не будем
обсуждать все детали решения этой проблемы, а ограничимся анализом ее
небольшого фрагмента — логического квадрата. С этой целью рассмотрим
следующую простую модель.
Пусть дана урна с шарами красного и синего цвета. Пусть п
обозначает число вытащенных из урны шаров, т — число красных вытащенных
шаров, (п—т) — число синих (некрасных) вытащенных шаров. Каждое
простое суждение определяет некоторое значение чисел т и (п-т), то есть
некоторое значение абсолютной частоты вытащенных красных или синих
шаров. Рассматривая числа т и (п—т) по отношению к числу п, получаем
значения относительных частот вытащенных красных и синих шаров —
т/п и (п—т)/п соответственно. Из сказанного следует главная особенность
предлагаемой интерпретации: в ней учитываются только вытащенные
шары. Пусть А обозначает признак «вытащенный шар», В — признак
«красный шар», —\В — признак «синий шар». С учетом этих обозначений и
обстоятельства, что невытащенные шары не рассматриваются, получаем
следующую таблицу перевода простых суждений на язык абсолютных и
относительных частот (табл. 3).

118
Таблица 3
Суждение
Все А есть В
Некоторые (или все)
А есть В
Некоторые (но не все)
А есть В
Только некоторые
А есть В
Только А есть В
Ни одно А не есть В
Некоторые (или ни один) А
не есть В
Некоторые (но не ни один)
А не есть В
Только некоторые
А не есть В
Только А не есть В
Абсолютная
частота
красных шаров
т = п
0<т<п
0<т<п
0<т<п
т = п
т = 0
0 < (п-т) < п
0 < (п-т) < п
0 < (п-т) < п
т = 0
Относительная
частота
красных шаров
т = п п
п
0<т<п
п
0<т<п
п
т = п п
п п
/77=0 0
п п
0 < (п - т) <п
п
0 < (п - т) < п
п
0<(п-т) <п
п
/77=0 0
п п
Интерпретация «некоторые или все» и «некоторые или ни один»
поглощают все остальные. С учетом этого замечания логический квадрат для
вытаскиваемых красных шаров будет иметь следующий вид (рис. 14).
п
п
0 <т<п
п
п
0 < (п-т) < п
п
Рис.14

119
Логический квадрат для вытаскиваемых синих шаров будет
зеркальным отображением предшествующего квадрата (рис. 15).
п
О < (п-т) < п
п
п
п
О <т<п
п
Рис.15
Допустим, число вытащенных шаров больше нуля, то есть п > 0. При
этом допущении истинно следующее основное уравнение логического
квадрата:
п/п + 0/п + т/п + (п — тIп == 1
(*)
Смысл уравнения (*) состоит в том, что допущение
истинности/ложности любого значения частоты, представляющего тот или иной
вид простого суждения, превращает его в тождество. Все такие допущения
вместе образуют корни уравнения (*). Рассмотрим следующие случаи,
доказывающие истинность последнего утверждения.
Если истинна частота п/п, тогда ложны частоты 0/п, {п-т)/п и п/п +
т/п = п/п. Следовательно, истинно п/п +0 + 0 + 0 = 1. Если истинна частота
т/п, тогда истинна или ложна частота п/п. Если частота п/п истинна, тогда
мы возвращаемся к рассмотренному случаю. Допустим, частота nln
ложная. Из истинности т/п следует ложность частоты 0/п. Кроме того, (п—т)/п
= \—т/п. Следовательно, истинно 0 + 0 + т/п + 1—т/п = 1.
Если истинна частота 0/п, тогда ложны частоты п/п, т/п, 0/п + {п—
т)/п, где п/п обозначает частоту признака, противоположного признаку с
частотой 0/п. Следовательно, истинно 0 + 0 + 0 + п/п = 1.
Если истинна частота (п-т)/п, тогда истинна или ложна частота 0/п.
Если частота 0/п истинна, то мы имеем предшествующий случай.
Допустим, частота 0/п ложная. Из истинности (n-m)/n следует ложность частоты

120
n/n, mln = 1— (n — m)ln. Следовательно, истинно 0 + 0 + \—{n—m)/n+(n—m)/n
= 1.
Допущения ложности соответствующих частот возвращают нас к
рассмотренным случаям. Их анализ поэтому опускается.
Предложенная частотная интерпретация является элементарной.
Она, в частности, не позволяет различать некоторые виды частных
суждений. Но ее преимущества несомненны. В ее терминах легко доказываются
основные свойства логического квадрата, а сам он сводится к простому
уравнению, корнями которого выступают допущения
истинности/ложности соответствующих частот. Данная интерпретация доказывает также
необходимую связь логических преобразований простых суждений с тем
фрагментом объективной реальности, который может быть выражен на
языке абсолютных и относительных частот.
7. ПРОСТЫЕ СУЖДЕНИЯ И ПУСТЫЕ КЛАССЫ
Выражая некоторое отношение между субъектом и предикатом,
простое суждение негласно связано с допущением, что объемы субъекта и
предиката не являются пустыми классами. Напомним, что объем какого-
либо термина эквивалентен пустому классу, если и только если этот
термин самопротиворечив или противоречит каким-либо истинным
положениям. Что изменится в истинностных свойствах простых суждений, если
отказаться от требования непустоты объемов их терминов?
Пусть субъектом является класс «эти стулья», предикатом — класс
«виды мебели, пригодные для сидения». Сформулируем суждение «На
всех этих стульях можно сидеть». Допустим, объем субъекта «эти стулья»
пуст. Тогда данное суждение истинно, хотя в действительности нет ни
одного из «этих стульев», просто потому, что ложно противоречащее ему
суждение «На некоторых из этих стульев нельзя сидеть». В общем случае
для истинности общеутвердительного суждения достаточно выполнения
любой одной из следующих возможностей: 1) субъект и предикат
истинны; 2) только предикат истинный; 3) субъект и предикат оба ложные.
Следовательно, данное суждение истинно не только тогда, когда нет одного из
«этих стульев», но и тогда, когда вообще нет ни одного вида мебели,
годного для сидения.
Рассмотрим суждение «Ни на одном из этих стульев нельзя сидеть».
Допустим, объем субъекта «эти стулья» пуст. Тогда данное суждение
истинно, так как ложно противоречащее ему суждение «На некоторых из
этих стульев можно сидеть». В общем случае для истинности
общеотрицательного суждения достаточно выполнения одной из следующих возмож-

121
ностей: 1) только субъект истинный; 2) только предикат истинный; 3)
субъект и предикат оба ложные. Следовательно, рассматриваемое
суждение истинно не только тогда, когда нет ни одного из «этих стульев», но и
тогда, когда имеются какие-то виды мебели, пригодные для сидения.
Рассмотрим суждение «На некоторых из этих стульев можно
сидеть». Допустим, объем субъекта «эти стулья» пуст. Тогда данное
суждение ложно, потому что для его истинности необходимо, чтобы субъект и
предикат были оба истинны хотя бы для одного из элементов класса «эти
стулья». Но так как этот класс пуст, то рассматриваемое суждение ложно.
Данное суждение также ложно, когда только предикат ложный или когда
субъект и предикат оба ложные.
Рассмотрим суждение «На некоторых из этих стульев нельзя сидеть».
Допустим, объем субъекта «эти стулья» пуст. Тогда данное суждение
ложно, так как для его истинности требуется одновременная истинность
субъекта и дополнения предиката, хотя бы для одного из элементов класса «эти
стулья». При всех остальных комбинациях это суждение также ложно.
Объединяя полученные результаты, получаем следующие выводы.
Общеутвердительные и общеотрицательные суждения при допущении
пустых классов более не являются противоположными, так как могут быть
вместе истинны.
Частноутвердительные и частноотрицательные суждения при
допущении пустых классов не являются более частично совместимыми, так как
могут быть вместе ложными.
Общеутвердительные суждения при допущении пустых классов
более не подчиняют частноутвердительные, а общеотрицательные суждения
более не подчиняют частноотрицательные, так как общие суждения могут
быть истинны, а частные ложными в одно и то же время. Становится
незаконным поэтому обращение с ограничением общеутвердительных
суждений и контрапозиция с ограничением общеотрицательных суждений.
Отношение противоречия между соответствующими параметрами
общих и частных суждений сохраняет свою силу. Законными остаются и
все логические преобразования, не ведущие к ограничению своих
результатов. Логический квадрат редуцируется к следующей системе отношений,
на которой отсутствие линии между какими-либо точками означает
отсутствие логических отношений между ними (рис. 16).
Техника вывода необходимых заключений из посылок с пустыми
терминами подробно обсуждается в главе 1У, 11.

122
Все S есть Р Ни одно S не есть Р
Некоторые S есть Р Некоторые S не есть Р
Рис. 16
8. КОММУНИКАТИВНАЯ ПРИРОДА СУЖДЕНИЙ
Суждения выражают отношения не только между мыслимыми
вещами, но и между индивидами, адресующими эти суждения друг другу. В
отношениях последнего вида проявляется коммуникативная природа
суждений — их использование с целью сообщения и получения новой
информации. Характерной чертой всякой коммуникации является начальное
познавательное неравенство тех, кто сообщает информацию, и тех, кто ее
получает. Именно такое неравенство создает стимул для объединения
источника информации и ее потребителя в одно коммуникативное целое. Книга
прочитывается до конца только в том случае, если она сообщает новую
информацию как для ума, так и для сердца. В противном случае никакого
диалога писателя с читателем быть не может. В процессе коммуникации,
то есть передачи информации, происходит выравнивание
информационного потенциала участвующих сторон. И как только такое выравнивание
происходит, коммуникация лишается своего основного стимула и теряет
по крайней мере информационный смысл. Отмеченные особенности
коммуникации находят отражение и в структуре суждений — в особом
коммуникативном статусе субъекта и предиката суждения, в их
информационном различии.
Коммуникативное назначение субъекта суждения состоит в том,
чтобы обозначать новое знание, истинность которого еще требует своего
доказательства. Коммуникативное назначение предиката суждения,
наоборот, состоит в том, чтобы обозначать старое, известное знание, истинность
которого уже доказана. Коммуникативный смысл суждения в целом
выражается в связи со старым, в синтезе того, что известно, исследовано, с тем,
что еще не известно, не исследовано. С этой точки зрения высказывать

123
суждение означает определять, доказывать, объяснять, истолковывать
нечто новое, проблематичное на основании известного,
непроблематичного, разделяемого всеми участниками коммуникативного процесса.
Чтобы суждение выполнило свою коммуникативную задачу, оно
должно удовлетворять следующим требованиям.
Во-первых, субъект суждения должен обозначать либо новое, ранее
неизвестное знание, либо известное, но по каким-то причинам требующее
нового истолкования, объяснения, доказательства. В любом случае субъект
суждения должен представлять познавательную или эмоциональную
проблему, трудность, загадку, а его предикат соответственно — решение
проблемы, трудности, отгадку. В противном случае нет причины
коммуникации и ее главного результата — получения новой информации. В
утверждении «Любовь есть сон» (Ф. И. Тютчев) субъект «любовь» обозначает
именно загадку, тогда как предикат «сон» — ее (очередную) отгадку.
Ученый, десятки раз ставивший какой-либо опыт и получавший одинаковые
результаты, не может не заинтересоваться исходом, ранее не имевшим
места. В этом случае именно новый результат становится предметом
дальнейшего анализа ученого, его коммуникации с природой.
Во-вторых, чтобы объяснение, понимание, истолкование и тому
подобные формы коммуникации состоялись, необходимо, чтобы предикат
суждения был более известен, чем его субъект. Мать, объясняющая
маленькому сыну, что «Тигр — это большая полосатая кошка», предполагает,
что последнему известно, что такое кошка, что такое полосы, что такое
большое животное (большой предмет). В противном случае
коммуникация невозможна, как, например, в рассказе А.П. Чехова «Экзамен на
чин», когда на вопрос экзаменатора: «Какое правление в Турции?» —
был дан ответ: «Известно какое... турецкое».
В-третьих, предикат суждения должен быть менее проблематичным,
чем субъект, то есть должен иметь больше оснований считаться истинным
знанием, чем субъект. В противном случае предикат не может выполнить
функцию аргумента, обосновывающего истинность субъекта суждения.
Так, по мнению героя рассказа А. П. Чехова «Письмо к ученому соседу»,
жизнь людей на Луне невозможна, в частности, потому, что последняя
«существует только ночью, а днем исчезает». Этот аргумент соответствует
показаниям наших органов чувств, но он является ложным с точки зрения
нашего разума.
В-четвертых, предикат суждения должен признаваться истинным
всеми участниками коммуникации. В противном случае одни и те же
факты, положения могут оцениваться одновременно как истинные и как
ложные. На вопрос Джульетты, как Ромео попал в ее сад, последний
отвечает:

124
Я перенесся на крыльях любви:
Ей не преграда — каменные стены,
Любовь на все дерзает, что возможно,
И не помеха мне твои родные.
Любовь выступает в глазах Ромео и Джульетты тем единственным
аргументом, которым только и можно объяснить их неожиданную и
опасную встречу. Любое наказание достигает своей цели только тогда, когда
его справедливость признается не только теми, кто наказывает, но и тем,
кого наказывают.
Выполнение указанных требований гарантирует эффективность
коммуникации, то есть гарантирует, что новое знание, сообщаемое субъектом,
будет принято или не принято в старое знание, обозначаемое предикатом.
Вопросы и упражнения
I. Приведите к нормальной форме следующие суждения:
а) Вверх по лестнице, ведущей вниз.
б) Круглый стол с острыми углами.
в) Один ум хорошо, а два лучше.
г) С глаз долой — из сердца вон.
д) С милым рай и в шалаше.
е) Свято место пусто не бывает.
ж) Без меня меня женили.
з) Сколько веревочку не вить, а концу быть,
и) С кем поведешься, от того и наберешься.
П. Постройте превращение, обращение и контрапозицию для
каждого суждения из предыдущего упражнения.
III. Найдите противоречащее, противоположное и подчиненное
суждения для каждого из следующих суждений:
а) Все, что можешь отдать, и является твоим богатством.
б) Человек по природе своей самолюбив.
в) Ни один человек не может быть счастлив в этом мире, если он не
научился жить в соответствии с тем, что он делает.
г) Человек свободный, живущий среди невежд, старается, насколько
возможно, отклонять от себя их благодеяния (Б. Спиноза).
д) Не желай другому того, чего не желаешь самому себе.
е) Благоразумный человек считает себя ответственным только за то,
что налагается на него обязанностями (Адам Смит).
ж) Нельзя требовать от других того, чего сам не можешь или не
хочешь сделать.
з) Человек может спешить, но он никогда не должен ничего делать
наспех.

125
и) Ни один человек не принимается за что бы то ни было, не
опираясь на то или другое мнение, которое служит для него мотивом его
действия (Джон Локк).
IV. Что можно сказать о значении истинности предложений в
следующих множествах при допущении, что первое предложение в каждом
множестве истинно?
1.1. Человек от природы не склонен мыслить.
2. Некоторые люди от природы не склонны к мышлению.
3. Ни один человек от природы не есть человек, несклонный к
мышлению.
4. Некоторые, несклонные к мышлению, есть люди.
5. Все, склонные к мышлению, есть не люди.
2.1. Ни одно доброе дело не забывается.
2. Некоторые забываемые дела не являются добрыми.
3. Ни одно забываемое дело не является недобрым.
4. Все добрые дела забываются.
5. Некоторые добрые дела забываются.
3.1. Некоторые общие понятия о совершенствовании
законодательства бесспорно необходимы для государственного человека.
2. Некоторые общие понятия, бесспорно необходимые для
государственного человека, есть общие понятия о совершенствовании
законодательства.
3. Ни одно общее понятие о совершенствовании законодательства не
есть понятие, бесспорно необходимое для государственного человека.
4. Все общие понятия о совершенствовании законодательства
бесспорно необходимы для государственного человека.
5. Некоторые небесспорно необходимые понятия для
государственного человека являются общими.
4.1. Ни одно дело, сделанное наполовину, не есть хорошо сделанное
дело.
2. Все хорошо сделанные дела не сделаны наполовину.
3. Некоторые дела, сделанные наполовину, не являются хорошо
сделанными делами.
4. Некоторые хорошо сделанные дела есть наполовину сделанные
дела.
5. Некоторые хорошо сделанные дела есть не наполовину сделанные
дела.
V. Укажите, какие суждения истинны, а какие ложны или
неопределенны и почему, при допущении, что первое суждение из приведенного
множества истинно.
1. Здравый смысл — самый лучший из всех смыслов.

126
2. Ни один смысл, являющийся здравым, не является не самым
лучшим из всех смыслов.
3. Все не самые лучшие из всех смыслов являются нездравым
смыслом.
4. Ни один не самый лучший из всех смыслов не является здравым.
5. Некоторые самые лучшие из всех смыслов есть здравые смыслы.
6. Некоторые смыслы, являющиеся здравыми, не есть не самые
лучшие из всех смыслов.
7. Некоторые самые лучшие из всех смыслов не являются
нездравыми.
8. Некоторые смыслы, являющиеся здравыми, не есть не самые
лучшие из всех смыслов.
9. Некоторые смыслы, являющиеся здравыми, есть не самые лучшие
из всех смыслов.
10. Некоторые не самые лучшие из всех смыслов не являются
нездравыми смыслами.
11. Некоторые нездравые смыслы — не самые лучшие из всех
смыслов.
12. Некоторые не самые лучшие из всех смыслов не являются
здравыми.
13. Ни один из самых лучших смыслов не является здравым.
14. Ни один здравый смысл не является самым лучшим из всех
смыслов.
15. Все здравые смыслы есть лучшие из всех смыслов.
16. Все самые лучшие из всех смыслов — нездравые смыслы.
VI. Можно ли сформулировать мысль, не содержащую суждение?
Аргументируйте свой ответ.
VII. Сохраняется ли отношение подчинения между общим и частным
суждениями с одними и теми же терминами, если слово «некоторые»
интерпретировать так, как указано на рис. 5 и 6 для утвердительных
суждений и на рис. 8 и 9 для отрицательных суждений? Аргументируйте свой
ответ.
VIII. Попробуйте проверить истинность превращения, обращения и
контрапозиции в терминах частотной интерпретации простых суждений.
Расширьте с этой целью таблицу перевода простых суждений на язык
абсолютных и относительных частот.

127
ГЛАВА IV. ДЕДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ
Необходимость умозаключения коренится в ограниченности
человеческого ума
А. Арно и П. Николь. Логика, или искусство мыслить.
Мы еще не поняли многих вещей, которые можно постичь
только разумом. Посредством умозаключений можно решить такие
задачи, которые ставили в тупик всех, кто искал их решение с
помощью своих чувств.
А. Конан Дойль. Пять апельсиновых зернышек. (Из
разговора Шерлока Холмса с доктором Ватсоном).
Для доказательства, так же как и для сомнения, нужно
совершать умозаключения, то есть находить следствия по данным
основаниям и находить основания по данным следствиям.
И. Е. Орлов. Логика естествознания. Общее представление
об умозаключении, доказательстве и и опровержении.
1. ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБ УМОЗАКЛЮЧЕНИИ,
ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ И ОПРОВЕРЖЕНИИ
Если понятия — атомы, а суждения — молекулы нашей умственной
деятельности, то, завершая эту аналогию, можно сказать, что
умозаключения — это и есть сама умственная деятельность. Рассуждать, задавать
вопросы, искать ответы, объяснять, предсказывать, доказывать, опровергать,
убеждать, подвергать сомнению, просить, требовать, разрешать, запрещать
— все эти и другие формы мыслительной деятельности имеют вид
определенных умозаключений. Мы вправе поэтому утверждать, что мыслить и
делать умозаключения — одно и то же.
Логическая универсальность умозаключений представляет собой
результат синтеза логики классов, порождаемой преобразованием понятий, и
логики отношений, порождаемой преобразованиями суждений. В этом
синтезе обе логики сохраняют свои особенности, но между ними возникает
взаимная дополнительность до более универсальной логики
умозаключений. Синтез, в частности, состоит в том, что достигается равновесие между
отрицанием как дополнением, характерном для логики классов, и отрица-

128
нием как снятием различия, характерном для логики отношений. Оба вида
отрицания образуют единую систему обратимых преобразований,
обладающую свойствами алгебраической группы36. Наше мышление на уровне
умозаключений приобретает возможность осуществлять без каких либо
принципиальных ограничений все преобразования с классами и
отношениями и тем самым строить максимально общие модели исследуемой
реальности.
Мышление, достигнув способности конструировать умозаключения,
становится формальным, или символическим, в полном смысле этого
слова. Непосредственный анализ действительности, свойственный, например,
детям в раннем возрасте, заменяется анализом понятий и суждений о
реальности. Мы не проверяем лично, да и большей частью не способны
сделать это физически, все, что нам сообщается. Но мы способны установить
истинность или ложность требуемых суждений в процессе
умозаключений. Вряд ли когда-либо удастся измерить температуру внутри Солнца
непосредственно. Однако с определенной погрешностью это можно сделать с
помощью соответствующих умозаключений, не покидая поверхности
Земли. Благодаря способности к умозаключениям, человек преодолевает свою
привязанность к наблюдению как самому достоверному источнику знания.
Формальный характер умозаключений открывает возможность узнать
ненаблюдаемую, но не менее реальную сферу нашего бытия — законы
природы и общества. Процесс познания, как свидетельствует история,
возможен лишь на пути совершенствования формальной стороны нашего
мышления.
Благодаря способности и умозаключениям наше мышление, и это
является развитием его формальной способности, приобретает
гипотетический характер. Каждая вещь мыслится не только как она «есть», но и как
она «могла быть» и как она «может быть». Другими словами, каждая вещь
мыслится в единстве со всеми возможностями своего прошлого,
настоящего и будущего бытия. Возможное, гипотетическое играет в мышлении не
меньшую роль, чем действительное, достоверное. Реальность всегда
открывается мыслящему уму в виде комбинаций каких-то возможностей,
которые он формулирует на языке гипотез, предположений и из которых он
стремится выбрать наиболее правдоподобную.
Умение мыслить реальность как принципиально гипотетическую
систему событий связано с комбинаторной природой нашего мышления, с
его способностью строить классификации классификаций и тем самым
учитывать все возможные альтернативы развития. Пусть А обозначает су-
36 Пиаже Жан. Избранные психологические труды. М., 1969. - С. 567-612.

129
ждение «Подул сильный ветер», В — суждение «Тучи заволокли небо».
Обычная дихотомическая классификация этих суждений приводит к
следующим результатам: I) А и В оба истинны, 2) А истинно и В ложно, 3) А
ложно и В истинно, 4) А и В оба ложны. Если полученные результаты
подвергнуть новой классификации по основанию «существует», то получим 24
= 16 возможностей реализации событий, обозначаемых суждениями А и В,
Во множество этих возможностей попадает как та альтернатива, согласно
которой оба события имеют место, так и та, согласно которой ни одно из
них не имеет места. Таким образом, мы получаем не только 16 гипотез о
возможности развития событий, но и, что самое главное, исчерпывающий
перечень логических связей суждений А и В друг с другом. Это означает,
что сформулировать какое-либо суждение о связи АиВ — то же самое, что
выбрать из множества всех альтернатив некоторое подмножество. Иными
словами, умозаключать — означает выбирать, решать определенную
комбинаторную задачу.
Более распространенным является определение умозаключения как
деятельности, позволяющей получать новое знание из уже имеющегося. На
этом основании в каждом умозаключении выделяют: 1) суждения,
обозначающие исходное знание и называемые посылками; 2) суждения
(суждение), обозначающие новое знание и называемые заключениями; 3)
подразумеваемые или явно сформулированные правила получения нового знания
из данного (заключения из посылок). В повседневных рассуждениях такие
правила обычно только подразумеваются. При логическом анализе
подобные правила тщательно обсуждаются и формулируются в явном виде.
Исходное знание может быть знанием либо причин, законов, либо их
следствий. Соответственно новое знание также может быть двоякого вида.
Если нам известны причины, то новым знанием будет знание их следствий.
Если нам известны следствия, то новым знанием будет знание их причин.
В зависимости от того, ищем ли мы по известным причинам их
следствия или, наоборот, по известным следствиям их возможные причины,
принято различать два вида умозаключений — дедуктивные и
недедуктивные.
Когда мы выводим из данного знания его необходимые следствия, то
мы умозаключаем дедуктивно (от лат. deductio — выведение). Дедуктивно
умозаключать не означает ничего иного, как умение находить (выводить)
необходимые следствия из данных суждений. По этой причине дедукцию
иногда определяют как обоснование необходимых условий истинности
данного знания.
Когда мы ищем на основании данного знания о некотором событии
его возможную причину, то мы используем недедуктивные умозаключе-

130
ния. Среди них важнейшими считаются индуктивные умозаключения и
умозаключения по аналогии. Типичным примером индуктивного
умозаключения, или индукции (от лат. inductio — наведение), является поиск для
наблюдаемых фактов объясняющих их причин и законов. Поскольку
никакого однозначного пути от фактов к их причинам или законам нет, то
процесс индукции представляет, в сущности, процесс выдвижения догадок,
гипотез и их последующего испытания и выбора наиболее
правдоподобной. Если некоторое событие объясняется или предсказывается на
основании структурного, функционального или какого-то другого сходства с
другим и уже изученным событием, то в этом случае имеет место
умозаключение по аналогии, или просто аналогия (от греч. analogia — соответствие,
сходство, подобие). Делать недедуктивные умозаключения означает или
искать возможные причины, или предсказывать что-либо на основании
возможных причин. В любом случае отличительным признаком
недедуктивных умозаключений является поиск достаточных условий истинности
исходного или предсказываемого знания.
В итоге мы имеем две обратно направленные стратегии познания.
Одна из них сводится к обоснованию необходимых условий нашего знания
и осуществляется посредством дедуктивных умозаключений. С помощью
дедукции из принятых аксиом мы выводим теоремы, из установленных
законов или причин — их необходимые следствия. Если посылки истинны,
правила вывода также истинны, то и дедуктивные заключения необходимо
истинны. Обратная стратегия состоит в открытии по крайней мере
достаточных условий нашего знания. Двигаться в этом направлении означает
делать догадки, выдвигать гипотезы, испытывать их и отбирать наиболее
правдоподобные. Здесь не может быть, как правило, достоверных
заключений, но только вероятные. С помощью индукции и аналогии мы
совершаем открытие новых законов и причин и тем самым качественно
расширяем сферу нашего знания.
Указанные стратегии носят исчерпывающий характер. Для любого
данного события они дают ответы на такие вопросы, как «Почему оно
произошло?» и «Что следует ожидать от его осуществления?». Эти
вопросы, как и ответы на них, характеризуют самые существенные элементы
нашего понимания любой вещи. Ибо понимать — не означает ничего
иного, как знать причины и их следствия.
Оба вида знания могут быть получены только посредством
умозаключений. С помощью умозаключений мы открываем для себя мир,
невидимый, неслышимый и неосязаемый, но не менее реальный, чем мир,
воспринимаемый чувствами. Умозаключения не только открывают нам этот

131
мир, но и позволяют в нем успешно ориентироваться, различая истину,
ложь, разные степени правдоподобия.
Когда мы ищем истину, мы доказываем. Когда разоблачаем ложь,
опровергаем. Доказательство и опровержение невозможны без
умозаключений, но не сводятся к ним. Необходимо также знать правила, которым
подчиняется истинное знание, ложное знание, правдоподобное знание. Без
этих правил невозможно ни доказательство, ни опровержение ни в
дедуктивном, ни в недедуктивном смыслах.
Доказательство и опровержение являются составной частью более
общей теории аргументации (демонстрации), или риторики. Анализ этой
теории будет дан в одной из следующих глав.
Итак, когда мы говорим об умозаключениях, то имеем в виду
умственную деятельность, которая обеспечивает нас необходимыми и
достаточными условиями истинности исходного знания; связывает в одно целое
понятия и суждения; имеет комбинаторную и гипотетическую природу;
объединяет отрицание как дополнение и отрицание как снятие различия;
позволяет искать истину, разоблачать ложь, определять различные степени
правдоподобия; позволяет познавать причины, законы и их необходимые
следствия; обладает наивысшими приспособительными возможностями,
носит конструктивный, в высшей степени творческий характер и не имеет
в своем развитии никаких принципиальных ограничений.
2. ОТНОШЕНИЕ ЛОГИЧЕСКОГО СЛЕДОВАНИЯ
Назначение всех дедуктивных умозаключений состоит в выводе
необходимых следствий из данных посылок или, наоборот, поиске таких
посылок, из которых данные следствия выводятся необходимым образом.
Следствие, или следствия, принято называть заключением. Более строго
определить посылки и заключения можно так. Суждения, являющиеся
вместе достаточным условием истинности какого-либо другого,
необязательно отличающегося от каждого из них, суждения, называются
посылками умозаключения. Если выводимое суждение является необходимым
условием истинности данных посылок, то оно называется заключением
(дедуктивного) умозаключения. Но что делает некоторое суждение
необходимым следствием других суждений, включая и самого себя? Ответить на
этот вопрос означает задать отношение логического следования. Ибо если
нет логического следования одних суждений из других, то нет и дедуктив-

132
ного умозаключения. Если есть дедуктивное умозаключение, то истинно и
отношение логического следования, есть посылка и заключение.
Существуют разные толкования отношения логического следования.
Желая достигнуть единообразия при решении различных проблем, а также
более тесно связать предыдущее изложение с настоящим, при его
определении мы будем исходить из идей, лежащих в основе теории логической
(семантической) информации37.
Как известно из главы II, логическая информация, сообщаемая
понятием, то есть его содержание, прямо пропорциональна числу
исключаемых им классов универсума. Соответственно все не исключаемые данным
понятием классы образуют его объем по формуле:
Понятие = содержание / объем
= исключаемые классы / разрешаемые классы.
При этом было установлено, что понятие Y является логическим
следствием понятия X тогда и только тогда, когда объем X полностью
включен в объем Y (содержание Y является частью содержания X) или, что
то же, понятие Y является родовым, обобщающим понятие X (понятие X
является видовым, ограничивающим понятие У).
Аналогично и для суждений, но с необходимыми логическими и
терминологическими отличиями. Вместо исключаемых и разрешаемых
классов в теории семантической информации принято говорить об
исключаемых и разрешаемых возможных мирах. Возможный мир, или возможное
положение дел, — это любое непротиворечивое состояние (ветвь
классификации, разбиения) универсума, в котором истинно или ложно
рассматриваемое суждение.
Каждый возможный мир, как будет показано, представляет
логическую функцию от распределения значений истинности среди множества
частных суждений, изображенных в виде дерева на рис. 1.
37 См.: Гришкин И.И. Понятие информации: Логико-методологический аспект. М.,
1973.-С. 33-72.

133
U = простые суждения
А-
Рис. 1
Каждая из четырех ветвей дерева на рис. 1 символизирует
определенное частное суждение: A) = Некоторые А есть В, B) = Некоторые А
есть -.5 = Некоторые А не есть В, C) = Некоторые -Л есть В, D) =
Некоторые -Л есть -.5 = Некоторые -Л не есть В. Каждое из этих частных
суждений может быть истинно или ложно. Следовательно, всего возможно 16
различных распределений значений истинности, то есть 16 различных
деревьев с информацией об истинности или ложности каждой ветви дерева,
изображенного на рис. 1.
Дерево с информацией об истинности или ложности каждой своей
ветви представляет определенный возможный мир — элементарную
единицу семантической информации любого (простого или сложного)
суждения. Такие возможные миры более правильно называть сложными, или
экзистенциальными, поскольку они представляют функции от значений
истинности (существования) определенных частных суждений, именно
функции от простых (исходных) возможных миров, порождаемых ветвями
дерева на рис. 1. Сложные возможные миры будут обозначаться
латинскими буквами, заключенными в круглые скобки.
В терминах возможных миров решаются абсолютно все
теоретические и практические задачи логики умозаключений. Для этого достаточно
научиться вычислять значения истинности всех ветвей дерева на
основании информации, сообщаемой посылками, и использовать означенное
дерево по определенным правилам. Однако работать с деревьями,
аналогичными изображенному на рис. 1, неудобно. Поэтому ниже будет предложен
эквивалентный, но практически более эффективный метод решения задач
логики умозаключений.
По аналогии с логикой понятий имеет место следующая формула:
Суждение = содержание /объем
= исключаемые миры / разрешаемые миры.
Существует четыре вида простых суждений. Рассмотрим
последовательно, какие именно возможные миры каждое из них исключает и разре-

134
шает. При этом мы будем исходить из следующих основополагающих для
всех последующих рассуждений допущений.
Допущение непустоты универсума: в рассматриваемом универсуме
должна существовать хотя бы одна вещь, обладающая свойствами
субъекта (А) обсуждаемого суждения.
Данное допущение исключает из 16 сложных возможных миров те 4
мира, в которых одновременно ложны частные суждения «Некоторые А
есть 5» и «Некоторые А не есть 5».
Главные следствия отказа от этого допущения будут обсуждаться
специально (см. п. 10 данной главы).
Допущение симметричности универсума: эквивалентные суждения
симметричны относительно всех законов (преобразований) логического
квадрата.
Невыполнение данного допущения приводит среди прочего к
следующей коллизии. Например, пусть истинно общеутвердительное
суждение «Все А есть 5». Тогда истинно частное суждение «Некоторые А есть
5» и общее суждение «Все -лВ есть -А» как подчиненное и эквивалентное
ему соответственно. Однако суждение «Все -\В есть —А» может быть
истинно даже тогда, когда ложно подчиненное ему частное суждение
«Некоторые -лВ есть —А» (просто потому что ложно противоречащее последнему
суждение «Некоторые -i5 есть ^4»). Но тогда получается, что два
эквивалентных суждения обладают разными свойствами: оба они истинны, но из
подчиненных им частных суждений одно истинно, а другое ложно. Это
означает, что не все требования логического квадрата выполняются для
суждений, которые по определению должны обладать одинаковыми
свойствами. Следовательно, рассматриваемый универсум не является
симметричным относительно законов логического квадрата.
Принимая допущение симметричности универсума, мы исключаем
(после выполнения допущения непустоты) из оставшихся 12 сложных
возможных миров еще 4. Окончательный универсум состоит, таким образом,
из 8 сложных возможных миров.
Введенные допущения не являются независимыми: из истинности
допущения симметричности универсума следует истинность допущения
непустоты, а из ложности последнего следует ложность первого.
Основные шаги конструирования симметричного универсума
следующие.
Допустим, истинно частноутвердительное суждение «Некоторые А
есть 5». В этом случае логический квадрат порождает следующее
распределение значений истинности среди частных суждений (правая диагональ
игнорируется):

135
Если исключить вершину логического квадрата, связанную с
суждением «Ни одно А не есть 5», то логический квадрат превратится в
логический треугольник:
Исключение вершины, обозначающей суждение «Все А есть 5»,
оставляет линию, связывающую только частные суждения:
Данная линия доказывает следующий фундаментальный факт для
частноутвердительных суждений: истинность частноутвердительного
суждения «Некоторые А есть 5» равносильна одновременной истинности
самого этого суждения и неопределенности частично совместимого с ним
суждения «Некоторые А не есть 5».
Оба частных суждения состоят из одних и тех же терминов —
субъекта А и предиката 5, но различаются качеством и значением своей
истинности. Так как суждение «Некоторые А не есть 5» эквивалентно суждению
«Некоторые А есть —lS», to всю информацию, которую выражает частно-
утвердительное суждение «Некоторые А есть 5», мы можем представить в
виде следующего маркированного дерева (рис. 2).

136
Некоторые А есть В
А
+ /ч ?
В
Рис. 2
Левая ветвь дерева на рис. 2, отмеченная знаком «+», читается:
суждение «Некоторые А есть 5» истинно. Правая ветвь рассматриваемого
дерева, будучи отмеченной знаком «?», читается: значение истинности
суждения «Некоторые А не есть 5» неопределенно (то есть последнее может
быть как истинно, так и ложно).
Рассматриваемое дерево позволяет вычислять значения истинности
левой части дерева на рис. 1 с вершиной, обозначенной буквой А, Но что
можно сказать о правой части этого дерева с вершиной —А, то есть о
значениях истинности таких частных суждений, как «Некоторые —\А есть 5»
и «Некоторые -ъ4 не есть 5»? Очевидный ответ состоит в том, что для
этого необходимо и достаточно использовать обращение и
противопоставление исходного суждения «Некоторые А есть 5» или, что то же, построить
дополнительно два дерева — одно обратное и другое обратно-противо-
пололожное дереву, изображенному на рис. 2.
Назовем дерево суждения, символизирующее связь субъекта А с
предикатов В и его дополнением —lS, прямым; связь предиката В с
субъектом А и его дополнением —А, — обратным', связь дополнения предиката
—& с субъектом А и его дополнением —А, — обратно-противоположным.
Построение прямого дерева суждения эквивалентно выполнению его
превращения, построение обратного дерева — выполнению его обращения,
построение обратно-противоположного дерева — выполнению его
противопоставления (контрапозиции). Главный результат состоит в том, что
логическая сумма прямого, обратного и обратно-противоположного деревьев
эквивалентна дереву на рис. 1:

137
В
АВ А АА А АА
A) B) A) C) B) D)
Прямая Обратная Обратно-
форма форма противоположная форма
Рис. 3
Обозначения ветвей дерева на рис. 3 соответствуют обозначению
этих ветвей на рис. 1. Сложив без повторения ветви на рис. 3, мы получим
все ветви дерева на рис.1. Это доказывает тезис о необходимости и
достаточности превращения, обращения и противопоставления для вычисления
значений истинности всех частных суждений, образующих дерево на рис.
1, и тем самым для конструирования симметричного универсума.
Из обращения истинного суждения «Некоторые А есть 5»,
совпадающего с его противопоставлением, следует истинность суждения
«Некоторые В есть А» и неопределенность суждений «Некоторые В есть —\А»,
«Некоторые —\В есть А» и «Некоторые —& есть —Л». Следовательно, ветвь
A) дерева на рис. 1 должна быть отмечена знаком «+», а ветви B), C) и D)
этого же дерева — знаком «?». Суммируя все вычисления, получаем
следующее окончательное распределение значений истинности,
соответствующее истинности суждения «Некоторые А есть 5» (рис. 4).
Некоторые А есть В
А-
Рис.4
Каждое из трех суждений на рис. 4, отмеченное знаком «?», может
быть истинным и ложным. Следовательно, обсуждаемое суждение
«Некоторые А есть 5», может быть истинно в любом из следующих восьми
случаев, которые ранее были названы сложными (экзистенциальными)
возможными мирами и которые для удобства обозначены латинскими
буквами:
Некоторые А есть В = {(а) = 0 / A) + B) + C) + D);

138
Однако из указанных восьми случаев два мира — (g) и (i)
несовместимы с допущением симметричности универсума. В этих мирах
одновременно истинны суждения «Все А есть 5» и «Все —Л есть 5». Из истинности
суждения «Все А есть 5», которое эквивалентно суждению «Все —? есть
—и4», должна следовать истинность суждения «Некоторые —А есть —¦?».
Но последнее противоречит суждению «Все —А есть 5». Следовательно,
миры (g) и (i) должны быть вычеркнуты из указанного списка как
несимметричные с точки зрения требований логического квадрата.
Окончательный список сложных и симметричных возможных миров,
в каждом из которых истинно частноутвердительное суждение
«Некоторые А есть 5», такой:
Некоторые А есть В = {(а) = 0 / A) + B) + C) + D);
Перечисленные шесть сложных возможных миров, в которых
истинно суждение «Некоторые А есть 5», вместе образуют объем данного
суждения (его логическое содержание можно будет вычислить после
вычисления всех возможных миров, образующих симметричный универсум). Все
эти шесть возможностей символизируются деревом на рис. 4 и в наиболее
удобном для вычислений виде — деревом на рис. 2. Именно оно и будет
использоваться при решении логических задач..
Общей формулой суждения «Некоторые А есть 5» будет,
следовательно:
Некоторые А есть 5 = 0/A) + B?) + C?) + D?);
= (а) + (Ь) + (с) + (d) + (е) + (h).
Приведенная формула читается следующим образом: суждение
«Некоторые А есть 5» не исключает ни одной ветви дерева на рис. 1 и
поэтому в терминах простых возможных миров имеет нулевое содержание;
вместе с тем оно утверждает истинность первой ветви этого дерева, которая в
терминах простых возможных миров образует его объем, и оставляет
неопределенными все остальные ветви (их номера отмечены дополнительно
знаком «?») указанного дерева. В терминах сложных возможных миров,
как мы увидим, данное суждение имеет ненулевое содержание.

139
Допустим, истинно суждение «Все А есть 5». Из свойств логического
квадрата следует такое распределение значений истинности среди частных
суждений:
Если исключить вершину логического квадрата, связанную с
суждением «Ни одно А не есть 5» как избыточную для нашего анализа, то
логический квадрат превратится в логический треугольник:
Данный треугольник доказывает следующий фундаментальный факт
для общеутвердительных суждений: истинность общеутвердительного
суждения «Все А есть 5» равносильна одновременной истинности частноут-
вердительного суждения «Некоторые А есть 5» и ложности частноотрица-
тельного суждения «Некоторые А не есть 5».
Все, что сообщает общеутвердительное суждение «Все А есть 5» о
связи субъекта А с предикатом В и его дополнением —¦?, можно
представить в виде следующего дерева (рис. 5).
Все А есть В
А
о
В
Рис.5
Левая ветвь дерева на рис. 5, отмеченная знаком «+», читается:
суждение «Некоторые А есть 5» истинно. Правая ветвь рассматриваемого де-

140
рева, будучи отмеченной знаком «о», читается: суждение «Некоторые А не
есть 5» ложно. Вся диаграмма с одинаковым успехом может читаться как
«Все А есть 5» и как «Ни одно А не есть —15», доказывая истинность
превращения общеутвердительного суждения. Значения истинности
остальных суждений, соответствующих ветвям дерева на рис. 1, определяются с
помощью обращения и противопоставления суждения «Все А есть 5». В
итоге мы получаем следующее окончательное распределение значений
истинности рассматриваемого суждения (рис. 6).
Все А есть В
Рис. 6
Неопределенность суждения «Некоторые —Л есть 5» означает, что
оно может быть как истинно, так и ложно. Следовательно, общая формула
суждения «Все А есть 5» такова:
Все А есть В = {B) / A) + C?) + D)};
= {B)/A)+C)+D)} +{B) + C)/A) + D)};
Дерево на рис. 5 в сжатом виде содержит все возможности
истинности данного суждения. Поэтому при решении задач оно будет
использоваться в качестве базисного.
Суждение «Все А есть 5» обладает ненулевым содержанием в
терминах как простых, так и сложных возможных миров.
Допустим, истинно частноотрицательное суждение «Некоторые А не
есть 5». Для этого суждения логический квадрат дает следующее
распределение значений истинности среди частных суждений:
и

141
Устранение избыточной части логического квадрата дает нам
соответствующий логический треугольник:
Исключение вершины, обозначающей суждение «Ни одно А не есть
оставляет линию, соединяющую только частные суждения:
Данная линия доказывает следующий фундаментальный факт для
частноотрицательных суждений: истинность частноотрицательного
суждения «Некоторые А не есть 5» равносильна одновременной истинности
самого этого суждения и неопределенности частноутвердительного
суждения «Некоторые А есть 5».
Все, что сообщает частноотрицательное суждение «Некоторые А не
есть 5» о связи субъекта А с предикатом В и его дополнением —ьб, можно
представить в виде следующего дерева (рис. 7).
Некоторые А не есть В
А
Рис.7
Левая ветвь дерева на рис. 7, отмеченная знаком «?», читается: част-
ноутвердительное суждение «Некоторые А есть 5» неопределенно; правая
ветвь, отмеченная знаком «+», читается: частноотрицательное суждение
«Некоторые А не есть 5» истинно. Обращение рассматриваемого
суждения, совпадающее с его противопоставлением, дает нам эквивалентное
суждение «Некоторые —& не есть —Л». Следовательно, кроме первой ветви
дерева на рис. 1, неопределенными являются также третья и четвертая
ветви этого дерева (рис. 8).

142
Некоторые А не есть В
А-
Рис.8
Каждая из ветвей, отмеченная знаком «?», может быть истинна или
ложна. Следовательно, частноотрицательное суждение «Некоторые А не
есть 5» может быть истинно в следующих восьми случаях (сложных
возможных мирах):
Некоторые А не есть В = {(а) = 0 / A) + B) + C) + D);
Однако из указанных восьми случаев два — (к) и (т) несовместимы
с допущением симметричности универсума. В этих мирах одновременно
истинны суждения «Все А есть —¦#» и «Все —Л есть —¦#». Из истинности
суждения «Все А есть —?», которое эквивалентно суждению «Все В есть
—А», должна следовать истинность частного суждения «Некоторые -\А
есть 5». Но последнее противоречит суждению «Все —Л есть —¦?».
Следовательно, данные миры несимметричны с точки зрения требований
логического квадрата. Оба они вычеркиваются поэтому из объема суждения
«Некоторые А не есть 5».
Окончательный список возможных миров, в которых истинно
рассматриваемое суждение, таков:
Некоторые А не есть В = {(а) = 0 / A) + B) + C) + D);
Общая формула суждения «Некоторые А не есть 5» выглядит
следующим образом:
Некоторые А не есть В= {0 / A?) + B) + C?) + D?)};
Приведенная формула читается следующим образом: суждение
«Некоторые А не есть 5» не исключает ни одной ветви дерева на рис. 1 и по-

143
этому в терминах простых возможных миров имеет нулевое содержание;
вместе с тем оно утверждает истинность второй ветви этого дерева,
которая в терминах простых возможных миров образует его объем, и оставляет
неопределенными все остальные ветви (их номера отмечены
дополнительно знаком «?») указанного дерева. В терминах сложных возможных миров,
как мы увидим, данное суждение имеет ненулевое содержание.
Допустим, истинно общеотрицательное суждение «Ни одно А не есть
5». Из свойств логического квадрата следует такое распределение
значений истинности среди частных суждений:
Если исключить вершину логического квадрата, связанную с
суждением «Все А есть 5» как избыточную, то логический квадрат превратится в
логический треугольник:
и
Данный треугольник доказывает следующий фундаментальный факт
для общеотрицательных суждений: истинность общеутвердительного
суждения «Ни одно А не есть 5» равносильна одновременной истинности ча-
стноотрицательного суждения «Некоторые А не есть 5» и ложности част-
ноутвердительного суждения «Некоторые А есть 5».
Все, что выражает общеотрицательное суждение «Ни одно А не есть
5» о связи субъекта А с предикатом В и его дополнением —ь8, можно
представить в виде следующего дерева (рис. 9).

144
Ни одно А не есть В
А
о /\ +
В
Рис. 9
Левая ветвь дерева на рис. 9, отмеченная знаком «о», читается:
суждение «Некоторые А есть 5» ложно. Правая ветвь рассматриваемого
дерева, будучи отмеченной знаком «+», читается: суждение «Некоторые А не
есть 5» истинно. Вся диаграмма с одинаковым успехом может читаться
как «Ни одно А не есть 5» и как «Все А есть —ьб», доказывая истинность
превращения общеутвеотрицательного суждения.
Значения истинности остальных суждений, соответствующих ветвям
дерева на рис. 1, определяются с помощью обращения и
противопоставления суждения «Ни одно А не есть 5». В итоге мы получаем следующее
окончательное распределение значений истинности рассматриваемого
суждения (рис. 10).
Ни одно А не есть В
Рис. 10
Неопределенность суждения «Некоторые —Л есть —iB» означает, что
оно может быть как истинно, так и ложно. Следовательно, общая формула
суждения «Ни одно А не есть 5» такова:
Ни одно А не есть В = {A) / B) + C) + D?)};
- {A)/B) + C) + D)} + {A)+ D) / B) + C)};
Дерево на рис. 9 в сжатом виде содержит все возможности
истинности данного суждения. Поэтому при решении задач оно будет
использоваться в качестве базисного.
Суждение «Ни одно А не есть 5» обладает ненулевым содержанием
в терминах как простых, так и сложных возможных миров.
Логическая сумма возможных миров, образующая объемы любой
пары противоречащих друг другу суждений, например, «Все А есть В» и

145
«Некоторые А не есть 5», или частично совместимых суждений
«Некоторые А есть 5» и «Некоторые А не есть 5», дает нам универсум,
симметричный относительно законов логического квадрата, для всех видов суждений,
выразимых в терминах А и В (со знаками отрицания и без них) и
удовлетворяющих требованию непустоты: С/= (а) + (Ь) + (с) + (d) + (е) + (h)+ (j) +
(О-
Тот факт, что объемы противоречащих суждений вместе
исчерпывают данный универсум и область их пересечения пуста, доказывает
невозможность их одновременной истинности и ложности.
Сравнивая объемы частных суждений «Некоторые А есть 5» и
«Некоторые А не есть 5» между собой, мы видим, что область пересечения их
объемов не пуста и равна следующему подмножеству множества сложных
возможных миров — {а, с, d, h}. Значит, эти суждения могут быть вместе
истинны. С другой стороны, их содержания — соответственно миры {j, 1}
и {Ь, е} не пересекаются. Значит, они не могут быть вместе ложны. Вместе
оба эти факта доказывают частичную совместимость данных частных
суждений и тем самым подтверждают свойства логического квадрата.
Объемы противоположных суждений — «Все А есть 5» и «Ни одно
А не есть 5» не пересекаются и поэтому они никогда не могут быть вместе
истинны. Но их содержания — {а, с, d, h, j, 1} и {a, b, с, d, e, h}
соответственно пересекаются. Значит, они могут быть вместе ложны.
Все эти факты доказывают выполнимость законов логического
квадрата в симметричном универсуме.
Содержания и объемы основных видов простых суждений указаны
ниже:
Некоторые А есть В = (j) + A) / (а) + (Ь) + (с) + (d) + (е) + (h);
Некоторые А есть -тД = (Ь) + (е) / (а) + (с) + (d) + (h) + (j) + A);
Некоторые -А есть В = (с) + (е) + (h) / (а) + (b) + (d) + (j) + A);
Некоторые -А есть -тВ = (d) + (h) + A) / (а) + (b) + (с) + (е) + Q);
Некоторые, но не все А есть В = (b)+(e)+(j)+(l)/(a) + (с) + (d) + (h);
Некоторые, но не все —А есть В = (c)+(d)+(e)+(h) + A)/(а) + (b) + G)?
Все А есть В = (а) + (с) + (d) + (h) + (j) + A) / (b) + (e);
Все А есть -.5 = (a) + (b) + (c) + (d) + (h) + A) / (j) + A);
Все -А есть В = (а) + (b) + (c) + (e) + (j) / (Ф + (h) + A);
Все -А есть -,? = (a) + (b) + (d) + (j) + A) / (c) + (e) + (h);
Только некоторые А есть В = (a)+(b)+(c)+(d)+(j) + A) / (e) + (h);
Только некоторые А есть —¦? = (a)+(b)+(c)+(d)+(e) + (j) / (h) + A);
Только А есть В = (а) + (b) + (c) + (d) + (h) + (j) + A) / (e);
Только А есть -.5 = (a) + (b) + (c) + (d) + (e) + (h) + (j) + /A).
С помощью превращения, обращения и контрапозиции из
приведенного списка суждений можно получать новые — эквивалентные или
подчиненные им суждения.

146
Главный вывод состоит в том, что в определенном симметричном
универсуме объем и логическое содержание любого простого суждения
независимо от распределения знаков отрицания по его терминам могут
быть выражены в виде определенной комбинации исключаемых и
разрешаемых сложных возможных миров, представляющих функции от
распределения значений истинности среди частных суждений, образующих
дерево на рис. 1. При этом все эквивалентные суждения симметричны
относительно всех законов (преобразований) логического квадрата.
Данный результат позволяет ввести следующее общее определение
отношения логического следования..
Пусть X и Y обозначают любые непустые множества суждений.
Тогда множество суждений Y логически следует из множества суждений X
(является необходимым условием X), если и только если
A) множество возможных миров, разрешаемых X, представляет
подмножество множества возможных миров, разрешаемых У, и
B) множество возможных миров, исключаемых У, является
подмножеством множества миров, исключаемых X.
Очевидно, что данное определение представляет обобщение ранее
введенного определения логического следования для понятий, а также
закона обратного отношения объема и содержания понятий и их
родовидового подчинения (глава II, 2, 4).
Теперь допустим, что X и Y— два произвольных простых суждения.
Если суждение Y является логическим следствием суждения X, то согласно
общему определению отношения логического следования это означает,
что:
1. Объем X полностью включен в объем Y;
2. Содержание ^полностью включено в содержание У.
С целью демонстрации выясним, между какими из следующих
суждений действует отношение логического следования:
S = Некоторые А есть В, X = Некоторые А не есть В, Y— Некоторые,
но не все А есть В, Z = Только некоторые А есть В, V= Все А есть В, W =
Только А есть В, Напомним, что первое из них интерпретируется как
«некоторые или все», а второе как «некоторые или ни один». Отношения
включения между объемами и содержаниями рассматриваемых понятий
позволяют сделать следующие выводы (отметим, что каждое суждение
тривиально является логическим следствием самого себя):

147
Посылка
S
X
Y
Z
V
w
Заключение
(необходимое следствие)
{S}
{X)
{S, X, Y}
{S,Z}
{S,V}
{S,Z, V, W).
Суждение W оказалось самым информативным из приведенного
списка: оно имеет больше всех неэквивалентных самому себе логических
следствий. Частные суждения S и X, наоборот, можно назвать самыми
неинформативными суждениями из данного списка: кроме самих себя они не
имеют никаких следствий. Данное обстоятельство свидетельствует о
следующем среди прочих различии между общими и частными суждениями:
только общие посылки увеличивают число нетривиальных суждений.
К сказанному можно добавить, что противоречащие суждения (типа
X и V) являются симметричными в следующем смысле: то, что для одного
является содержанием, для другого — объемом и наоборот (что одно из
них утверждает, другое отрицает и наоборот).
Включения объемов рассматриваемых суждений можно представить
и графически (рис. 11).
<—s
>
z—>
4
X—>
Рис. 11
Техника вывода необходимых следствий из нескольких посылок
будет рассмотрена ниже. В целом мы вправе сделать следующий вывод.
Введенное определение отношения логического следования распространяется
как на понятия, так и на суждения и умозаключения. Оно образует
фундамент всей дедуктивной логики (традиционной и современной). Отличаться
могут только способы вывода заключений, удовлетворяющие этому
отношению, но само оно является незыблемым для всех дедуктивных логик.

148
Отношение логического следования в случае истинности посылок
гарантирует истинность заключения. На этом основании многие
рационалисты считали, что при выборе надлежащих посылок одних только
дедуктивных рассуждений достаточно для познания всей природы. Но так ли
оправданы эти надежды? Информационная трактовка отношения
логического следования позволяет дать следующий ответ. Дедуктивные
умозаключения действительно гарантируют перенос истинности с посылок на
заключение, но при этом происходит неизбежная потеря информации. При
последовательном выведении следствий каждое новое следствие не может
исключать больше, чем ему предшествующее. Поэтому чем длиннее цепь
дедуктивных следствий, тем тривиальнее последнее из них.
Рассмотрим в этой связи следующий пример. Напомним, что
семантическая информация суждения пропорциональна числу исключаемых им
возможных миров. Допустим, универсум является симметричным, то есть
состоит из восьми определенных выше сложных возможных миров. Тогда
семантическая информация суждения «Только А есть 5» равна 7/8,
суждения «Все А есть 5» равна 6/8, суждения «Некоторые А есть 5» равна 2/8.
При этом, как было продемонстрировано, все три суждения связаны
отношением логического следования: второе является необходимым
следствием первого, а третье — необходимым следствием как первого, так и
второго. Таким образом, если истинно первое, то с необходимостью истинны
второе и третье; если истинно второе, то обязательно истинно третье.
Будучи все истинными, каждое из них имеет разное информационное
содержание, убывающее по мере увеличения длины цепи следствий. По этой
причине вывод одних только истинных следствий нельзя считать
исчерпывающим критерием дедуктивного рассуждения. Необходимо также
учитывать информативность выводимых следствий. Из рассмотренного примера
следует также, что своеобразным пределом дедуктивного рассуждения
выступает логически истинное суждение, наподобие «Некоторые А есть В
или —&». Информативность таких суждений равна нулю. Следовательно,
все попытки получить знание о мире с помощью одной только дедукции
обречены по крайней мере на информационное бесплодие.
3. ДЕДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ С ОДНОЙ
ПОСЫЛКОЙ
Одним из оснований, по которому различаются дедуктивные
умозаключения, служит число посылок. Умозаключения с одной посылкой
называют непосредственными, с двумя или более посылками —
опосредованными. Непосредственные умозаключения — это обычные преобразова-

149
ния суждений, о которых говорилось в предыдущей главе, но
рассматриваемые в терминах отношения логического следования.
Два простых суждения образуют умозаключения, если:
1) все четыре термина являются независимыми понятиями с одним
ближайшим общим универсумом;
2) по крайней мере одно из данных суждений является необходимым
условием истинности другого, то есть его заключением.
Назовем доказательство, что два суждения образуют умозаключение,
решением этого умозаключения.
Решить умозаключение с одной посылкой означает доказать, что
между двумя рассматриваемыми суждениями существует отношение
логического следования.
Комбинаторный базис решения умозаключения образует дерево
возможных миров, образованное из терминов посылки. Пусть X и Y
представляют переменные, чьими значениями выступают буквы А, В, С, ...,
обозначающие термины суждений как со знаками отрицания, так и без них. Это
означает, что вместо, например, X можно подставлять как А, так и —Л, как
В, так и —\В. Аналогично и для Y. Пусть ^обозначает субъект посылки, a Y
— ее предикат. Вершиной дерева умозаключения может быть субъект
посылки (прямая форма), предикат посылки (обратная форма), отрицание
предиката посылки (обратно-противоположная форма). Примеры таких
деревьев приведены на рис. 12 (который является копией рис. 3 данной
главы).
X Y -.7
\Y
Прямая Обратная Обратно-
форма форма противоположная форма
Рис. 12
Чтобы решить умозаключение, сначала необходимо перенести
информацию, содержащуюся в посылке, на дерево умозаключения. Действия
этого вида будут регулироваться правилами маркировки путей дерева.
Затем необходимо совершить обратное действие — перенести информацию,
содержащуюся на дереве, на язык простых суждений и сформулировать,
таким образом, заключения.
В качестве знаков маркировки выступают ранее введенные знаки
«+», «о» и «?», обозначающие соответственно истинный, ложный и
неопределенный (простой) возможный мир. Вместо слов «возможный мир» или

150
«ветвь» при формулировке правил маркировки будет использоваться
эквивалентный, но более удобный в этой процедуре термин «путь».
Правила маркировки
Ml. Там, где это необходимо, посылка с помощью преобразований
приводится к виду, при котором субъект посылки совпадает с вершиной
рассматриваемой формы дерева.
М2. Если посылка имеет вид «Все X есть 7», то путь от
Xк —17маркируется знаком «о», а противоположный ему путь от! кГ —
знаком «+». Пример см. на рис. 5.
МЗ. Если посылка имеет вид «Ни один X не есть 7», то путь от X к 7
маркируется знаком «о», а противоположный ему путь от X к -.7—
знаком «+». Пример см. на рис. 9.
М4. Если посылка имеет вид «Некоторые X есть 7», то путь от X к 7
маркируется знаком «+», а противоположный ему путь от X к —>7—
знаком «?». Пример см. на рис. 2.
М5. Если посылка имеет вид «Некоторые X не есть 7», то путь отХк
—>7маркируется знаком «+», а противоположный ему путь от X к 7—
знаком «?». Пример см. на рис. 7.
Допустим, посылка имеет вид «Только X есть 7». Поскольку она
эквивалентна суждениям «Все X есть 7» и «Все —тХесть —17», то из этих
суждений выбирается то, которое соответствует рассматриваемому дереву.
Допустим, посылка имеет вид «Только некоторые X есть 7». Так как
она эквивалентна по соглашению суждению «Все 7 есть X», то данный
случай подчиняется правилу М2.
Допустим, посылка имеет вид «Только некоторые X не есть 7». Так
как она эквивалентна по соглашению суждению «Все —X есть 7», то
данный случай подчиняется правилу М2.
Допустим, посылка имеет вид «Все, кроме X, есть 7». Она
эквивалентна суждению «Все —тХесть 7», которое подчиняется правилу М2.
Допустим, посылка имеет вид «Ни один, кроме X, не есть 7». Она
эквивалентна суждению «Ни один —X не есть 7» и следовательно,
подчиняется правилу МЗ.
Допустим, посылка имеет вид «Некоторые, кроме X, есть 7». Она
эквивалентна суждению «Некоторые —тХесть 7» и подчиняется правилу М4.
Допустим, посылка имеет вид «Некоторые, кроме X, не есть 7». Она
эквивалентна суждению «Некоторые —JC не есть 7» и подчиняется правилу
М5.
Таким образом, какое бы простое суждение ни фигурировало в
качестве посылки, сообщаемая им информация полностью переносится с
помощью правил маркировки на дерево умозаключения. Это утверждение
истинно и для суждений, начинающихся со слов «Неверно, что...» и их эк-

151
вивалентов, выражающих внешнее отрицание. Ибо мы знаем из
предыдущего обсуждения, что внешнее отрицание, перенесенное вовнутрь,
трансформирует общие суждения в частные и наоборот. Следовательно, и в
этом случае мы не выходим за пределы указанных правил маркировки.
Заслуживает внимания небольшой комментарий по поводу
указанной последовательности нанесения знаков маркировки. Если посылка
представляет общее суждение, то первым всегда наносится его
отличительный маркер — знак исключения «о». Это позволяет без колебаний на
противоположной ветви поставить знак «+». Иными словами, напротив
«о» всегда должен стоять «+». Обратная последовательность в общем
случае является неверной. Если посылка является частной, то первым
наносится его отличительный маркер — знак разрешения «+». Это позволяет
без колебаний на противоположной ветви поставить знак «?». Другими
словами, если знак «+» был поставлен первым, то напротив его должен
стоять знак «?». Такая последовательность диктуется законами
логического квадрата (см. гл. III, 5).
Правила вывода
В1. Для получения заключения достаточно рассмотреть любую одну
из трех форм дерева умозаключения — прямую, обратную или обратно-
противоположную.
а) Если в рассматриваемом дереве путь от X к Y маркирован знаком
«+», а противоположный ему путь от X к -.7— знаком «о», то в качестве
заключения следует «Все X есть 7» или (в неразделительном смысле) «Ни
один Хне есть -Т».
б) Если в рассматриваемом дереве путь от X к Y маркирован знаком
«+», а противоположный ему путь от X к -.7— знаком «?», то в качестве
заключения следует «Некоторые X есть У» или (в неразделительном
смысле) «Некоторые Хне есть —iF».
в) Из любых других распределений знаков «+», «о» и «?», кроме
указанных в пунктах а) и б) из рассматриваемого дерева ничего не следует.
Различие между пунктами а) и б) основано на различии между
общими и частными суждениями. Как мы знаем, из истинности общих
суждений следует истинность подчиненных им частных суждений, но
обратное в общем неверно.
Сформулированных правил маркировки и вывода достаточно, чтобы
сделать заключение из любого простого суждения. Поскольку каждое
суждение тривиально является следствием самого себя, то мы будем считать
заключением только то суждение, которое отличается от самой посылки
либо качеством, либо количеством, либо и тем и другим.
Можно предложить следующий алгоритм решения умозаключений с
одной посылкой.

152
1. Формулируем посылку на естественном языке.
2. Приводим посылку к нормальной форме.
3. Формулируем посылку символически.
4. Строим из терминов посылки дерево умозаключения (прямую,
обратную или обратно-противоположную форму).
5. Маркируем ветви дерева согласно правилам М1-М5.
6. Выводим заключение (не совпадающее с посылкой) согласно
правилу В1.
Рассмотрим несколько примеров решения умозаключения с одной
посылкой.
Пример 1
1. Все, кто всерьез жаждет обрести прочные знания, должны
работать упорно.
2. Все молодые люди, всерьез жаждущие обрести прочные знания
(А), есть молодые люди, которые должны работать упорно (В).
3. Все^4 есть В,
4-5.
А В
6. Заключение: 1) Ни один молодой человек, всерьез жаждущий
обрести прочные знания, не есть молодой человек, который не должен
работать упорно (превращение посылки); 2) Некоторые молодые люди,
которые должны работать упорно, есть молодые люди, всерьез жаждущие
обрести прочные знания (обращение посылки); 3) Все молодые люди,
которые не должны работать упорно, есть молодые люди, всерьез не жаж-
дущие обрести прочные знания (контрапозиция посылки) .
Пример 2
1. Некоторые сладкие вещи не полезны для здоровья.
2. Некоторые сладкие вещи (А) не есть вещи, полезные для здоровья
(В).
3. Некоторые А не есть В.
4-5.
38 Все формы дерева умозаключения рассматриваются только в первых двух
примерах.

153
А В
6. Заключение: 1) Некоторые сладкие вещи есть вещи, которые
вредны для здоровья (превращение посылки); 2) Некоторые вредные для
здоровья вещи есть сладкие вещи (обращение посылки, совпадающее с ее
контрапозицией). Обратного заключения не существует (знак
неопределенности на обеих ветвях).
В нижеследующих примерах ссылки на характер преобразования
опущены.
Пример 3
1. Только несдержанные люди берутся за все.
2. Только несдержанные люди (А) есть люди, берущиеся решать все
проблемы (В).
3. Только А есть В = Все А есть В и Все В есть А.
4-5.
6. Заключение: 1) Ни один несдержанный человек не есть человек, не
берущийся решать все проблемы; 2) Ни один человек, берущийся решать
все проблемы, не есть сдержанный человек; 3) Ни один сдержанный
человек не есть человек, берущийся решать все проблемы; 4) Ни один не
берущийся решать все проблемы человек не есть несдержанный человек.
(Читателю предлагается прочитать все заключения в утвердительной форме.)
Пример 4
1. Только некоторые люди исполняют свои обещания.
2. Только некоторые разумные существа, относящиеся к людям (А),
есть разумные существа, исполняющие свои обещания (В).
3. Только некоторые А есть В = Все В есть А.
4-5.

154
6. Заключение: 1) Некоторые разумные существа, являющиеся
людьми, исполняют свои обещания; 2) Ни одно разумное существо,
исполняющее свое обещание, не есть разумное существо, не являющееся человеком;
3) Некоторые разумные существа, не исполняющие свои обещания, есть
существа, не являющиеся людьми.
Пример 5
1. Ни одно критическое замечание в мой адрес не оставляет меня
равнодушным.
2. Ни одно замечание в мой адрес, являющееся критическим (А), не
есть замечание, оставляющее меня равнодушным (В),
3. Ни одно А не есть В,
4-5.
А В
4 д
—ю
6. Заключение: 1) Все критические замечания в мой адрес есть
замечания, не оставляющие меня равнодушным; 2) Все замечания,
оставляющие меня равнодушным, есть замечания не в мой адрес; 3) Некоторые
замечания, не оставляющие меня равнодушным, не есть некритические
замечания в мой адрес.
Пример 6. Неверно, что если принимать каждого по заслугам, то
никто не избежит кнута39.
2. Некоторые люди, которых принимают по заслугам (А), есть люди,
избежавшие кнута (В),
3. Некоторые А есть В,
4-5.
А В
ч
АА
6. Заключение: 1) Некоторые люди, которых принимают по заслугам,
не есть люди, не избежавшие кнута; 2) Некоторые люди, избежавшие
кнута, есть люди, которых принимают по заслугам. Обратно-проти-
39 Отрицание известного утверждения Гамлета (акт II, сцена 2).

155
воположного заключения не существует, так как знак неопределенности
расположен на обеих ветвях.
Пример 7
1. Кроме неразумных людей, никто не надеется на невозможное.
2. Все люди, кроме неразумных (А), есть люди, не надеющиеся на
невозможное (В).
3. Все, кроме А, есть В = Все -А есть В,
4-5.
А В -.Я
+
6. Заключение: 1) Некоторые неразумные люди надеются на
невозможное; 2) Некоторые из людей, не надеющихся на невозможное, есть
разумные люди; 3) Все люди, надеющиеся на невозможное, есть неразумные
люди.
Итак, каждое умозаключение с одной посылкой — это тот или иной
вид преобразования суждения, но выраженный в терминах отношения
логического следования. Так как преобразований несколько, то и заключений
также несколько, при этом некоторые из них могут быть эквивалентны
друг другу. Выбор одного из них диктуется целями преобразования
суждения. Если такой цели нет, тогда рассматриваются все возможные
заключения.
Несмотря на всю важность, дедуктивные умозаключения с одной
посылкой еще не выводят нас за пределы преобразований суждений, то есть
еще не являются умозаключениями в наиболее интересном смысле слова.
4. ДЕДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ С ДВУМЯ
ПОСЫЛКАМИ (СИЛЛОГИЗМЫ)
Дедуктивные умозаключения с двумя посылками, известные более
как (простые) силлогизмы (греч. syllogismos — «сосчитывание»,
«выведение»), были впервые детально проанализированы Аристотелем. С тех пор
решение силлогизмов составляет важнейшую часть любого учебника по
традиционной логике.
Три суждения образуют (простой) силлогизм, если
1) Все шесть терминов являются независимыми понятиями с одним
ближайшим общим универсумом;

156
2) Одна из посылок содержит субъект заключения и исключаемый
термин, другая — предикат заключения и исключаемый термин;
исключаемый термин в заключении отсутствует (по этой причине он так и
называется);
3) Все суждения связаны отношением логического следования таким
образом, что одно из них (заключение) является необходимым условием
истинности двух других (посылок).
Посылки силлогизма пишутся, как правило, одна над другой и
отделяются горизонтальной чертой от заключения. Например:
Все росинки на солнце сверкают.
Эта капелька на солнце не сверкает.
Эта капелька — не сверкает.
Пусть А обозначает субъект заключения, В — исключаемый термин,
С — предикат заключения. В приведенном примере эти буквы имеют
следующее значение: А = эта капелька, В = капелька, сверкающая на солнце, С
= капелька, являющаяся росинкой. Весь силлогизм в символической
записи выглядит следующим образом:
Все С есть 5.
Все А есть -.5.
Все А есть
Порядок посылок в силлогизме не существен, так же, впрочем, как
несущественно, каким термином А или С, обозначается субъект
заключения. Существенным для любого силлогизма является правильное
определение исключаемого термина В, который может входить в посылки как со
знаком отрицания, так и без него. Основная функция исключаемого
термина — логическая связь субъекта и предиката заключения, то есть
соединение посылок в одно смысловое целое. Чтобы правильно определить
исключаемый термин, необходимо найти понятие, входящее в обе посылки.
Других таких понятий в силлогизме не должно быть.
Для правильного решения силлогизма важное значение имеет
выполнение пункта 1 определения силлогизма, то есть нахождение
ближайшего общего универсума для всех шести терминов. Если такой универсум
определить нельзя, то силлогизм решения не имеет. Например,
подавляющее большинство начинающих изучать логику пытается сделать вывод из
следующего силлогизма Л. Кэрролла:

157
Сахар сладкий.
Все дети любят сладкое.
не обращая внимания на то, что посылки этого силлогизма не имеют
(ближайшего) общего универсума. В первой посылке говорится о
продуктах питания, во второй — о людях. Напомним, что универсум понятия
должен представлять объем ближайшего родового понятия; универсум
суждения — ближайший класс вещей, обобщающий оба его термина;
универсум силлогизма — ближайший класс вещей, обобщающий все шесть
его терминов.
Следующий алгоритм позволяет быстро и надежно привести любой
силлогизм к виду, удобному для формального решения.
1. Формулируем посылки силлогизма.
2. Приводим обе посылки к нормальной форме и определяем
ближайший общий универсум силлогизма. Если такой находится, переходим к
следующему пункту. Если такой универсум найти нельзя, значит данный
силлогизм решения не имеет.
3. Ищем понятие, которое входит в обе посылки в утвердительной
или отрицательной форме. Если такое понятие есть и оно единственное, то
это исключаемый термин. Обозначаем его буквой В. Если такого понятия
нет или оно не единственное, то данный силлогизм решения не имеет.
4. Рассматриваем первую посылку. То понятие, которое не является
исключаемым термином, определяем как субъект заключения и
обозначаем буквой А.
5. Рассматриваем вторую посылку. То понятие, которое не является
исключаемым термином, определяем как предикат заключения и
обозначаем буквой С.
6. Формулируем обе посылки в символической форме и решаем
силлогизм.
7. Если силлогизм имеет решение, переводим заключение с
символического языка на естественный.
Для решения силлогизмов необходимо знать правила. Как и в случае
с одной посылкой, такие правила разделяются на правила маркировки и
правила вывода заключения. Прежде чем их сформулировать, введем
понятие силлогистического дерева.
Комбинаторный базис решения силлогизма образует
силлогистическое дерево, вершиной которого может быть субъект заключения (прямая
форма), предикат заключения (обратная форма), отрицание предиката
заключения (обратно-противоположная форма).

158
Пусть переменные X и Y пробегают по буквам А и С как со знаками
отрицания, так и без них. Различные формы силлогистического дерева
могут быть представлены следующим образом (рис. 13).
X X -X
Прямая форма Обратная форма Обратно-
противоположная форма
Рис. 13
Обязательным условием правильного построения силлогистического
дерева является среднее положение исключаемого термина,
оправдывающее его функцию связующего звена.
В качестве знаков маркировки используются ранее введенные знаки
«+», «о», «?». Для удобства сохранена система обозначений правил
маркировки и правил вывода.
Правила маркировки
ММ1. Маркировка путей силлогистического дерева начинается с
вершины и проводится с помощью правил маркировки М1-М5. Первой
используется та посылка, которая содержит термин, обозначающий
вершину рассматриваемой формы дерева.
ММ2. Если в результате первой маркировки какой-либо один путь от
вершины к среднему узлу отмечен знаком «+», а противоположный ему
путь — знаком «о» или «?», то во второй маркировке участвует только
первый путь (отмеченный знаком «+»).
ММЗ. Если в результате первой маркировки оба пути от вершины к
средним узлам отмечены знаком «?», то данная форма силлогистического
дерева во второй маркировке не участвует и в выводе не используется.
ММ4. После приведения второй посылки к виду, при котором ее
субъект совпадает с термином, обозначающим средний узел, и соединен с
вершиной знаком «+», разрешается маркировка нижней половины
силлогистического термина в соответствии с правилами М2-М5.

159
Правила вывода
881. Пусть путь от вершины X к среднему узлу (В или -,B) и путь от
этого же среднего узла к конечному узлу Y оба маркированы знаком «+».
а) Если путь из вершины и путь из среднего узла, противоположные
маркированным знаком «+», оба отмечены знаком «о», то в качестве
заключения силлогизма следует суждение «Все X есть У» или «Ни одно X не
есть —^Y».
б) Если путь из вершины к среднему узлу, противоположный
маркированному знаком «+», отмечен знаком «?» и путь из среднего узла,
противоположный маркированному знаком «+», отмечен знаком «о», то в
качестве заключения силлогизма следует суждение «Некоторые X есть 7» или
суждение «Некоторые Xне есть -.У».
в) При всех других комбинациях знаков маркировки данное
силлогистическое дерево заключения не имеет.
882. Правило ВВ1 применяется к любой из трех форм
силлогистического дерева.
В том случае, если ни из прямой, ни из обратной, ни из обратно-
противоположной форм силлогистического дерева ничего не следует,
данный силлогизм решения не имеет.
Рассмотрим несколько примеров решения силлогизмов согласно
указанному алгоритму. Силлогизмы заимствованы из книги Л. Кэрролла
«Логическая игра»40.
Пример 1
1. Боль подтачивает силы человека.
Никакая боль не желательна.
2. Все ощущения, называемые болью, есть ощущения
подтачивающие силы человека.
Ни одно ощущение, называемое болью, не есть ощущение, которое
желательно.
3-5. U = ощущения, В = болезненные, А = подтачивающие силы
человека, С = желательные.
6.
Все В есть А.
Все В есть —лС.
Некоторые А есть —лС.
Некоторые А не есть —лС.
Некоторые -iC есть А,
Некоторые —.С не есть —Л,
40 Кэрролл JI. Логическая игра. М., 1991. - С. 57-62.

160
А С -,С
+ /\? о/\+ +.
.о
С —iC л —iA A
Ничего не следует
7. Заключение: 1) Некоторые ощущения, подтачивающие силы
человека, есть нежелательные ощущения; 2) Некоторые ощущения,
подтачивающие силы человека, не являются желательными ощущениями; 3)
Некоторые нежелательные ощущения есть ощущения, подтачивающие силы
человека; 4) Некоторые нежелательные ощущения не есть ощущения, не
подтачивающие силы человека.
Пример 2
1. Тем, кто лыс, расческа не нужна.
Ни одна ящерица не имеет волос.
2. Ни одно лысое существо не есть существо, которому нужна
расческа.
Ни одно живое существо, являющееся ящерицей, не есть существо,
имеющее волосы.
3-5. U= живое существо, В = лысое, А = нуждающееся в расческе , С
= являющееся ящерицей.
6.
Ни одно В не есть А.
Ни одно С не есть —iB.
Все А есть —>С
Ни одно А не есть С.
Все Сесть-vi.
Ни одно С не есть А,
С -,С
-l4 A
Ничего не следует
7. Заключение: 1) Все живые существа, которым нужна расческа,
есть не ящерицы; 2) Ни одно живое существо, которому нужна расческа,

161
не является ящерицей; 3) Все ящерицы есть существа, которым не нужна
расческа; 4) Ни одна ящерица не есть живое существо, которому нужна
расческа.
В дальнейшем, для краткости, заключение будет формулироваться
только в утвердительной форме.
Пример 3
1. Все невнимательные люди совершают оплошности.
Ни один внимательный человек не забывает своих обещаний.
2. Все невнимательные люди есть люди, совершающие оплошности.
Ни один внимательный человек не есть человек, забывающий свои
обещания.
3-5. U = люди, В = внимательные, А = совершающие оплошности, С
= забывающие о своих обещаниях.
6.
Все —лВ есть А.
Ни одно В не есть С.
Все С есть А.
С
С
Ничего не следует Ничего не следует
7. Заключение: Все забывающие о своих обещаниях есть люди,
совершающие оплошности.
Пример 4
1. Мне Джон не нравится.
Некоторым из моих друзей Джон нравится.
2. Все люди, называющие себя «я», есть люди, которым Джон не
нравится.
Некоторые мои друзья есть люди, которым Джон нравится.
3-5. U = люди, В = которым Джон нравится, А = называющие себя
«я», С = мои друзья.
6.

162
LJ
Ничего
А
/\
не следует
Все А есть
Некоторые
Все С есть
/
и
С А —А
С есть В.
-А.
С
ч.
Ничего не следует
7. Заключение: Некоторые мои друзья — это не я.
Пример 5
1. Картошка — не ананас.
Все ананасы приятны на вкус.
2. Ни один плод, называемый картошкой, не есть плод, называемый
ананасом.
Все плоды, называемые ананасами, есть плоды, приятные на вкус.
3-5. U — плоды, В = называемые ананасами, А = называемые
картошкой, С = приятные на вкус.
6.
Ни одно А не есть В.
Все В есть С.
и
Ничего
А
/ч
не следует
Все
°/
'АХ
С
1
JL
Л
есть
г
}
-А
-Л.
С
ч,
А -А
Ничего не следует
7. Заключение: 1) Некоторые плоды, приятные на вкус, не
картошка.

163
Пример 6
1. Ни одна булавка не имеет честолюбивых намерений.
Ни одна иголка — не булавка.
2. Ни одно изделие, называемое булавкой, не есть изделие, имеющее
честолюбивые намерения.
Ни одно изделие, называемое иголкой, не есть изделие, называемое
булавкой.
3-5. U — изделия, В = называемое булавками, А = имеющие
честолюбивые намерения, С = называемые иголками.
6.
Ни одно В не есть А.
Все С есть В.
Некоторые —>С есть —А.
с
... \\
—iA Л -лА
Ничего не следует Ничего не следует
7. Заключение: Некоторые неиголки есть изделия, не имеющие
честолюбивых намерений.
Пример 7
1. Все эти блюда отлично приготовлены.
Некоторые блюда, если их плохо приготовить, вредны для здоровья.
2. Все блюда, относящиеся к «этим», есть отлично приготовленные
блюда.
Некоторые плохо приготовленные блюда есть блюда, вредные для
здоровья.
3-5. U — блюда, В = отлично приготовленные, А = эти, С= вредные
для здоровья.
6.
Все А есть В.
Некоторые -.2? есть С.
Некоторые С есть —Л,

164
А С -,С
Ничего не следует Ничего не следует
7. Заключение: Некоторые вредные для здоровья блюда не
принадлежат к числу этих блюд.
Пример 8
1. Некоторые сорта герани красного цвета.
Все эти цветы красные.
2. Некоторые сорта герани есть цветы красного цвета.
Все эти цветы красного цвета.
3-5. U= цветы, В = красного цвета, А = сорта герани, С = эти.
6.
Некоторые А есть В,
Все С есть В.
С
АА А -А
Ничего не следует Ничего не следует Ничего не следует
7. Заключения нет, то есть данный силлогизм решения не имеет.

165
5. ДЕДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ С ТРЕМЯ И БОЛЕЕ
ПОСЫЛКАМИ (СЛОЖНЫЕ СИЛЛОГИЗМЫ)
Силлогизм называется сложным, если в нем более двух посылок.
Посылки сложных силлогизмов формулируются всегда в виде общих
суждений. Тем не менее возможен вывод и с одной частной посылкой (см.
правило вывода ВВВ2). Рассмотрим сначала пример, а потом укажем общий
алгоритм решения сложных силлогизмов.
Пусть дан следующий силлогизм:
1. Ни одно С не есть D.
2. Все А есть D.
3. Все В есть С.
Все А есть В.
В каждом правильно построенном сложном силлогизме должно быть
два различных термина, которые входят в посылки только один раз и
образуют соответственно субъект и предикат заключения. В нашем примере
такими терминами являются А и В, Все остальные термины, именно Си/),
являются исключаемыми, так как их единственная функция состоит в том,
чтобы связать субъект и предикат заключения. Таким образом, в сложных
силлогизмах имеется более одного исключаемого термина.
Найдя два термина, входящие в посылки один раз, выбираем любой
из них в качестве вершины силлогистического дерева. Пусть А будет таким
термином. Из терминов силлогизма строим силлогистическое дерево и
маркируем его ветви в соответствии с правилами М1-М4. Получаем:
Первая посылка
Вторая посылка
Третья посылка
Двигаясь от вершины А по путям, отмеченным знаком «+», и
принимая во внимание, что все противоположные им пути отмечены знаком «о»,
читаем окончательный ответ — «Все А есть -.5».

166
Если выбрать в качестве вершины силлогистического дерева термин
В, то мы получим контрапозицию первого заключения, именно суждение
«Все В есть —А».
Из терминов силлогизма строим силлогистическое дерево и
маркируем его ветви в соответствии с правилами М1-М4. Получаем:
Первая посылка
Третья посылка
Вторая посылка
Оба заключения эквивалентны друг другу. Следовательно,
достаточно получить какой-то один из них.
Рассмотренный пример позволяет сформулировать следующий
общий алгоритм решения сложных силлогизмов.
1. Формулируем посылки сложного силлогизма.
2. Приводим посылки к нормальной форме.
3. Определяем универсум силлогизма и обозначаем термины в
алфавитном порядке.
4. Записываем все посылки в символической форме и решаем
силлогизм.
5. Если силлогизм имеет решение, переводим заключение с
символического языка на естественный.
Поскольку сложный силлогизм — это умноженный простой
силлогизм, то правила маркировки и вывода заключения не имеют
принципиальных отличий от соответствующих правил для простых силлогизмов.
Правила маркировки
МММ1. Маркировка путей силлогистического дерева начинается с
вершины и проводится с помощью правил М1-М5. Первой используется та
посылка, которая содержит в качестве субъекта термин, обозначающий
вершину дерева.
МММ2. Каждая посылка используется только один раз и только для
продолжения пути, отмеченного знаком «+», то есть пути, отмеченные
знаком «о», продолжению не подлежат.

167
Правила вывода
8881. Если существует путь от вершины силлогистического дерева
X до какого-либо конечного узла 7, отмеченный знаком «+», а все
противоположные ему пути отмечены знаком «о», то в качестве заключения
следует суждение «Все X есть 7».
8882. Если существует путь от вершины силлогистического дерева
X до какого-либо конечного узла 7, отмеченный знаком «+», и первый
противоположный путь (то есть исходящий из вершины) отмечен знаком «?»,
а все остальные противоположные пути отмечены знаком «о», то в
качестве заключения следует суждение «Некоторые X есть 7».
Решение сложных силлогизмов имеет две особенности. Во-первых,
для них обратная и обратно-противоположная форма силлогистического
дерева совпадают. Во-вторых, частная посылка должна быть не только
единственной, как и в простом силлогизме, но и использоваться первой. В
противном случае силлогизм не имеет решения.
Рассмотрим несколько примеров решения сложных силлогизмов41.
Пример 1.
AI. Малые дети неразумны.
2. Тот, кто способен укрощать крокодилов, заслуживает уважения.
3. Неразумные люди не заслуживают уважения.
B) 1. Люди, называемые малыми детьми, есть неразумные люди.
2. Все люди, способные укрощать крокодилов, есть люди,
заслуживающие уважения.
3. Все неразумные люди есть люди, не заслуживающие уважения.
C) U = люди, А = малые дети, В = неразумные, С = способные
укрощать крокодилов, D = заслуживающие уважения.
D)
1. Все А есть В,
2. Все С есть D.
3. Все В есть —D.
Все А есть —лС.
Все Сесть —Л.
41 Кэрролл Л. История с узелками. М., 1973. - С. 291-304.

168
С
E) Заключение: 1) Все малые дети не способны укрощать
крокодилов; 2) Все способные укрощать крокодилов не являются малыми детьми.
Пример 2
AI. Мои кастрюли — единственные из принадлежащих мне вещей,
которые сделаны из олова.
2. Все ваши подарки чрезвычайно полезны.
3. Ни от одной из моих кастрюль нет никакой пользы.
B) 1. Только некоторые из моих вещей, именно кастрюли, есть вещи,
которые сделаны из олова.
2. Все мои вещи, являющиеся вашими подарками, есть чрезвычайно
полезные вещи.
3. Ни одна моя вещь, являющаяся кастрюлей, не есть вещь, которая
полезна.
C) U = мои вещи, А = кастрюли, В = сделанные из олова, С = ваши
подарки, D = чрезвычайно полезные.
D)
1. Все В есть А.
2. Все С есть/).
3. Ни одно А есть D.
Все В есть -.С.
Все С есть
С
В

169
E) Заключение: 1) Все мои вещи, сделанные из олова, есть не ваши
подарки; 2) Все ваши подарки сделаны не из олова.
Пример 3
A) 1. Ни один из товаров, который был куплен и оплачен, не
находится более в продаже в этом магазине.
2. Ни один из этих товаров нельзя вынести из магазина, если на нем
нет ярлычка с надписью «Продано».
3. Ни на одном из этих товаров нет ярлычка с надписью «Продано»,
если он не куплен и не оплачен.
B) 1. Ни один из товаров в этом магазине, который был куплен и
оплачен, не есть товар, который находится в продаже в этом магазине.
2. Ни один из этих товаров, если на нем нет ярлычка с надписью
«Продано», не есть товар, который можно вынести из этого магазина.
3. Ни один из товаров в этом магазине, если он не куплен и не
оплачен, не есть товар, на котором имеется ярлычок с надписью «Продано».
C) U = товары в этом магазине, А = купленные и оплаченные, В =
находящиеся в продаже, С = с ярлычком с надписью «Продано», D =
которые можно вынести из этого магазина.
D)
1. Ни одно А не есть В,
2. Ни одно -.С не есть D.
3. Ни одно —Л не есть С.
Все В есть —D.
Все D есть -&.
D
E) Заключение: 1) Все товары в этом магазине, находящиеся в
продаже, нельзя вынести из этого магазина; 2) Все товары, которые можно
вынести из этого магазина, не находятся в продаже.
В следующих примерах пункт 2, связанный с приведением посылок к
нормальной форме, опускается.

170
Пример 4
AI. Вещи, продаваемые на улице, не имеют особой ценности.
2. Только дрянь можно купить за грош.
3. Яйца большой гагарки представляют большую ценность.
4. Лишь то, что продается на улице, и есть настоящая дрянь.
B)-C) U = вещи, А = продаваемые на улице, В = имеющие особую
ценность, С = дрянные вещи, D = которые можно купить за грош, Е = яйца
большой гагарки.
D)
1. Все А есть —&.
2. Только С есть D.
3. Bce?" есть В.
4. Все —А есть -iC.
Все Е есть
Все D есть
D
E) Заключение: 1) Яйца большой гагарки нельзя купить за грош; 2)
Все вещи, которые можно купить за грош, не яйца большой гагарки.
Пример 5.
AI. Ни одна интересная поэма не останется не признанной людьми
с тонким вкусом.
2. Ни одна современная поэма не свободна от аффектации.
3. Все ваши поэмы написаны о мыльных пузырях.
4. Ни одна аффектированная поэма не находит признания у людей с
тонким вкусом.
5. Ни одна древняя поэма не написана о мыльных пузырях.

171
B)-C) U= поэмы, А = интересные, В = получившие признание у
людей с тонким вкусом, С = современные, D = аффектированные, Е = ваши, Я
= написанные о мыльных пузырях.
D)
1. Ни одно А не есть
2. Ни одно С не есть
3. Все Е есть Я.
4. Ни одно D не есть В.
5. Ни одно -iC не есть Я.
Все А есть —JE.
Все Е есть —Л,
E) Заключение: 1) Все интересные поэмы написаны не вами; 2) Все
ваши поэмы не интересны.
Пример 6
AI. Ни один муж, дарящий жене новые платья, не может быть
несговорчивым.
2. Аккуратный муж всегда возвращается домой к чаю.
3. Жене нелегко приводить в порядок одежду мужа, если он имеет
обыкновение вешать свою шляпу на газовый рожок.
4. Хороший муж всегда дарит жене новые платья.
5. Ни один муж не может не быть несговорчивым, если жена не
следит за его одеждой.
6. Неаккуратный муж всегда вешает свою шляпу на газовый рожок.

172
B)-C) U = мужья, А = дарящие жене новые платья, С = аккуратные,
D = всегда возвращающиеся домой к чаю, Е = вешающие свою шляпу на
газовый рожок, Н = за одеждой которых жена следит, К = хорошие.
D)
1. Ни одно А не есть В.
2. Все Сесть/).
3. Все Е есть^Я.
4. Все /Тесть А.
5. Ни одно —1# не есть -lS.
6. Все -.С есть Е.
Все К есть D.
Все —iD есть
E) Заключение: 1) Все хорошие мужья всегда возвращаются домой к
чаю; 2) Все не возвращающиеся домой к чаю мужья есть нехорошие
мужья.
6. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПОСЫЛОК В СИЛЛОГИЗМАХ
В ПРОСТЫХ СЛУЧАЯХ
Выведение заключений или необходимых следствий из данных
посылок составляет прямую и основную задачу дедуктивного умозаключе-

173
ния, но не единственную. Обратной задачей является нахождение всех или
некоторых посылок, из которых следует данное заключение. Если
требуется найти все посылки для данного заключения, то мы сталкиваемся с
задачей его доказательства, о чем речь пойдет в следующем параграфе.
Все случаи восстановления посылок мы разделим на простые и
сложные. К простым случаям мы отнесем те, в которых субъект
заключения совпадает с субъектом одной из имеющихся посылок, вследствие чего
данная посылка становится вершиной дерева доказательства, и/или
заключение ослабляет посылки силлогизма. Соответственно к сложным случаям
относятся те, в которых не выполняется хотя бы одно из указанных
свойств.
Допустим, дано умозаключение «Раб есть человек, а потому не
следует держать его в неволе»42. Приводим его к нормальной форме:
U = существа, В = люди, А = рабы, С = которых следует держать в
неволе;
Все рабы есть люди. Все А есть В.
Ни один раб не есть существо, Ни одно А не есть С.
которое следует держать в неволе.
Очевидно, что из указанной посылки «Все А есть 5» заключение «Ни
одно А не есть С» не может следовать с необходимостью и требуется по
крайней мере еще одна посылка для его вывода.
Как восстанавливать недостающую (-щие) посылку (-ки)? Сначала
исследуем заключение «Ни одно А не есть С». Оно представляет общее
суждение. Следовательно, все посылки также должны быть общими
суждениями. Посылка «Все А есть 5» удовлетворяет этому условию.
Обращаем также внимание на то, что субъекты посылки и заключения совпадают.
Это означает, что дерево посылки должно стать верхней частью, а дерево
заключения после замены субъекта А субъектом В (так как истинно, что
все А есть В) — нижней частью объединенного дерева:
Дерево посылки
Дерево
заключения
42 Все примеры, рассматриваемые в данном параграфе, заимствованы из: Минто В.
Дедуктивная и индуктивная логика. СПб., 1995. - С. 411-421.

174
Чтение нижней части объединенного дерева дает нам требуемую
посылку — «Ни одно В не есть С», или «Ни одного человека не следует
держать в неволе». Восстановленный силлогизм выглядит следующим
образом:
Все рабы есть люди. Все А есть В.
Ни одного человека не следует Ни одно В не есть С.
держать в неволе.
Ни один раб не есть существо, Ни одно А не есть С.
которое следует держать в неволе.
Таким образом, восстановление пропущенной посылки и тем самым
силлогизма было сведено к построению объединенного дерева, на
основании информации, содержащейся в заключении и посылке.
Двух посылок оказалось достаточно, чтобы получить заключение
«Ни одно А не есть С». Но ничто не мешает получить это же заключение
из большего числа посылок, построив соответствующий сложный
силлогизм.
Допустим, нас не удовлетворяет выявленная посылка «Ни одного
человека не следует держать в неволе» отсутствием основания такого
суждения. Рассуждаем следующим образом. Необходимым признаком
каждого раба является быть человеком. Связь обоих признаков зафиксирована
первой посылкой. Задаем вопрос: какой признак человека несовместим с
его жизнью в неволе? Возможным ответом может быть следующий:
обладать правом на свободу при отсутствии правонарушений, за которые
изолируют от общества. Помня о том, что все посылки должны быть общими,
получаем сложный силлогизм (термин D обозначает указанный выше
признак):
Все рабы есть люди. Все А есть В.
Все люди есть существа, обладающие Все В есть D.
правом на свободу при отсутствии
правонарушений, за которые
изолируют от общества.
Ни одно существо, обладающее пра- Ни одно D не есть С.
вом на свободу при отсутствии
правонарушений, за которые изолируют от
общества, не есть существо, которое
следует держать в неволе.
Ни один раб не есть существо, которое
следует держать в неволе.
Ни один А не есть С.

175
Построив соответствующее дерево, нетрудно убедиться в
правильности полученного силлогизма.
Рассмотрим несколько примеров на восстановление посылок.
Пример 1
Дано умозаключение «Истинный философ не зависит от прихотей
судьбы, так как он находит свое главное счастье в умственном и
нравственном совершенствовании». Приводим его к нормальной форме: U=
философы, В = находящие свое главное счастье в умственном и нравственном
совершенствовании, А = истинные, С = зависящие от прихотей судьбы;
Все А есть В,
Ни одно А не есть С.
Строим объединенное дерево:
из нижней части которого следует, что недостающей посылкой должно
быть суждение «Ни одно В не есть С», или «Ни один философ, находящий
свое главное счастье в умственном и нравственном совершенствовании, не
зависит от прихотей судьбы».
Пример 2
Дано умозаключение «Солона следует считать мудрым
законодателем ввиду того, что он приспособил свои законы к характеру афинян».
Приводим его к нормальной форме: U = люди, В = приспособившие свои
законы к характеру афинян, А = Солон, С = мудрые законодатели;
Все А есть В.
Все А есть С.
Строим объединенное дерево:

176
из нижней части которого следует, что недостающей посылкой должно
быть суждение «Все В есть С», или «Всех людей, приспособивших свои
законы к характеру афинян, следует считать мудрыми законодателями».
Пример 3
Дано умозаключение «Не всякий совет благоразумен, так как многие
советы не хороши». Приводим его к нормальной форме: U = пожелания, В
= хорошие, А = советы, С = благоразумные;
Некоторые А не есть В,
Некоторые А не есть С.
Если заключение частное, то только одна посылка может быть
частной. Кроме того, она должна обозначать вершину объединенного дерева.
Приведенная посылка «Некоторые А не есть 5» удовлетворяет этим
условиям. Следовательно, восстанавливаемая посылка должна быть общей.
Строим объединенное дерево:
из нижней части которого следует, что второй посылкой должно быть
суждение «Ни одно —S не есть С», или «Ни одно плохое пожелание не
является благоразумным».
Пример 4
Дано умозаключение: «Многие оспариваемые положения
заслуживают тем не менее внимания, потому что многие из таких утверждений
могут оказаться верными». Приводим его к нормальной форме: U —
положения, В = могущие оказаться верными, А = оспариваемые, С =
заслуживающие тем не менее внимания;

177
Некоторые А есть В.
Некоторые А есть С.
из нижней части которого следует, что второй посылкой должно быть
суждение «Все В есть С», или «Все положения, могущие оказаться верными,
заслуживают тем не менее внимания».
Пример 5
Дано умозаключение: «Государству необходимо увеличить
подоходный налог, так как оно должно быть готово к войне». Приводим его к
нормальной форме: U = государства, В = которые должны быть готовы к
войне, С = которым необходимо увеличить подоходный налог;
Все А есть
Все А есть С.
Учитывая, что связь признаков «быть готовым к войне» и
«необходимо увеличить подоходный налог» является неочевидной, мы должны
объяснить ее, введя очевидные промежуточные переменные между В и С,
то есть должны построить сложный силлогизм. Будем рассуждать
следующим образом. Готовность к войне требует много денег. Чтобы иметь
много денег, государству необходимо увеличить налоги, но таким образом,
чтобы не подорвать ресурсы страны. По этой причине из всех налогов
предпочтительным является подоходный, так как его увеличение
затрагивает лишь состоятельную часть населения. Вводим дополнительные
термины: D = которым требуется много денег, Е = увеличивающие налоги, Н
= стремящиеся подорвать ресурсы своей страны, К = увеличивающие
налог на состоятельную часть населения.
Строим объединенное дерево:

178
из нижней части которого следует, что дополнительными посылками
должны быть следующие суждения: «Все В есть ?>», «Все D есть Е», «Ни
одно Е не есть Я», «Все -J/ есть К» и «Все К есть С». Читателю в качестве
самостоятельного упражнения предлагается перевести все эти посылки на
естественный язык.
Кроме формальных требований к поиску посылок, начиная с
Аристотеля, предъявляется и одно содержательное: исключаемый термин
(исключаемые термины) должен обозначать истинную причину связи
субъекта и предиката заключения. В противном случае заключение, будучи
правильным формально, остается недоказанным по существу. Сравним
следующие два простых силлогизма.
Каждый подброшенный вверх камень испытывает
воздействие силы тяжести Земли.
Каждое тело, испытывающее воздействие силы тяжести Зем-
ли, стремится упасть на нее.
Каждый подброшенный вверх камень стремится упасть на
Землю.
Каждый подброшенный вверх камень отклоняется от своего
естественного места (поверхности Земли).
Каждое тело, отклоняющееся от своего естественного места,
стремится вернуться к нему (упасть на Землю).
Каждый подброшенный вверх камень стремится упасть на
Землю.

179
Оба силлогизма имеют одинаковое заключение, но только первый
сегодня считается истинным объяснением. Причина этого в том, что в
физической картине мира Галилея — Ньютона, пришедшей на смену физике
Аристотеля и его последователей, истинной причиной падения тел на
Землю признается не их стремление вернуться к естественному месту, а сила
земного притяжения.
Из всего этого следует, что нельзя смешивать формальную
выводимость заключения с его доказательством. Последнее, кроме выводимости,
требует выполнения дополнительного ряда условий (см. п. 8).
7. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПОСЫЛОК В СИЛЛОГИЗМАХ
В СЛОЖНЫХ СЛУЧАЯХ
Напомним, что к сложным случаям восстановления посылок были
отнесены те, в которых субъект заключения не совпадает с субъектом ни
одной из имеющихся посылок и/или заключение не ослабляет посылок
силлогизма. Рассмотрим несколько примеров, показывающих, как можно
использовать технику деревьев для решения подобных задач.
Пример 1
Восстановить пропущенные посылки в следующем умозаключении.
Ни один человек с нечистой совестью не спит
спокойно.
Уверенные в себе люди спят спокойно.
Алгоритм решения подобных задач следующий.
1. Приводим к нормальной форме и формализуем имеющуюся
посылку и заключение. Получаем: U — люди, А = уверенные в себе, В = с
нечистой совестью, С = спящие спокойно.
Ни одно В есть С.
Все А есть С.
2. Строим базисное дерево доказательства, связывающее субъект
заключения А с предикатом С как через термин В, так и через термин —?:

180
3. Маркировку ветвей построенного дерева начинаем с информации,
содержащейся в посылке. Получаем:
Из частично маркированного дерева следует, что его вершина (буква
А) не может быть связана знаком «+» с буквой С посредством В, как того
требует заключение, так как буквы В и С несовместимы. Однако буквы А
и С можно связать знаком «+» посредством термина —ьб. Учитывая, что
заключение рассматриваемого силлогизма общее, ветвь, связывающая А с
—ьб, должна быть отмечена знаком "+", а ветвь, связывающая А с В —
знаком «о». В результате получаем (ветви, исходящие из В, для большей
ясности оставляем):
Последней проблемой, которую остается решить, является вопрос,
как быть со знаком «?», запрещающим делать заключения с
использованием буквы В. Заменив «?» на «о», решаем и эту проблему. Полностью
маркированное дерево доказательства имеет следующий вид:

181
4. Переводим информацию, сообщаемую деревом доказательства, на
язык суждений. Верхняя часть дерева говорит нам, что первой
недостающей посылкой должно быть суждение «Ни одно А не есть 5». Нижняя
часть дерева сообщает нам, что независимо от информации, содержащейся
в верхней части дерева, одновременно истинны следующие два суждения
— «Ни одно В не есть С» и «Ни одно —& не есть —iC». Первое из них
совпадает с имеющейся посылкой. Следовательно, второй недостающей
посылкой должно быть суждение «Ни одно —iB не есть —.С». Но суждения
«Ни одно В не есть С» и «Ни одно —\В не есть —iC» вместе эквивалентны
суждению «Только В не есть С». Если это выделительное суждение
истинно, то обязательно истинно и суждение «Ни одно В не есть С» (обратное в
общем, конечно, неверно). Поэтому полный (восстановленный) силлогизм
выглядит следующим образом:
Ни одно А не есть В.
Только В не есть С.
Все А есть С.
5. Формулируем посылки и заключение восстановленного
силлогизма на естественном языке.
Ни один уверенный в себе человек не является
человеком с нечистой совестью.
Только люди с нечистой совестью не спит спокойно.
Уверенные в себе люди спят спокойно.
Пример 2
Решить указанную в предыдущем примере задачу для следующего
умозаключения.
Все безупречное вызывает восторг.
Все гениальное — безупречно.
1. U = творения, А = безупречные, В = вызывающие восторг, С =
гениальные.

182
2.-3.
4.
5.
Все А есть В.
Все С есть А.
Все С есть В,
Только В есть
Все В есть
Все гениальное вызывает восторг.
Лишь вызывающее восторг безупречно.
Все гениальное — безупречно.
Пример 3
Решить указанную в первом примере задачу для следующего
умозаключения.
Тем, кого любят, делают подарки.
Только некоторым из тех, кого не
любят, делают замечания
1.
2.
U = люди, А = кого любят, В = кому делают подарки, С
кому делают замечания.
Все А есть В.
Только некоторые -лА есть С.

183
2.-3.
4.
5.
Все С есть -i
Все ^ есть В.
Все С есть —А = Только
некоторые -лА есть С.
Тем, кому делают замечания, не делают подарков.
Тем, кого любят, делают подарки.
Только некоторым из тех, кого не любят, делают
замечания.
Пример 4
Решить указанную в первом примере задачу для следующего
умозаключения.
Суеверные люди недооценивают себя.
Многие из несуеверных людей
добиваются своего.
1. U = люди, А = несуеверные, В = достойно ценящие себя, С =
добивающиеся своего.
Все —А есть
Некоторые А есть С.

184
2.-3.
4.
Все —А есть -lS.
Все В есть С.
Некоторые А есть С.
5.
Суеверные люди недооценивают себя.
Те, кто достойно оценивают себя, добиваются своего.
Многие из несуеверных людей добиваются своего.
8. ДЕДУКТИВНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО И ОПРОВЕРЖЕНИЕ
Тот, кто хочет что-то обосновать, должен рассмотреть, при
существовании чего будет существовать обсуждаемый предмет (ибо если
доказано, что то налицо, будет доказано и существование
обсуждаемого предмета). Тот же, кто хочет что-то опровергнуть, должен
рассмотреть, что же существует, если существует обсуждаемый
предмет, ибо если мы докажем, что то, что следует из обсуждаемого
предмета, не существует, то мы опровергнем и обсуждаемый
предмет.
Аристотель. Топика.
Если умозаключение составляет суть умственной деятельности, то
дедуктивное доказательство и опровержение образуют одни из ее
важнейших целей. Доказывая, мы ищем истину; опровергая, мы разоблачаем
ложь. Именно поиски истины и разоблачение лжи превращают
умозаключение в доказательство или опровержение соответственно.
Мы будем называть дедуктивным доказательством любое
умозаключение, из посылок которого с необходимостью следует истинность об-

185
суждаемого суждения. Соответственно дедуктивным опровержением
будем считать любое умозаключение, из посылок которого с
необходимостью следует ложность обсуждаемого суждения.
Между дедуктивным доказательством и опровержением существует
определенная симметрия. Если мы доказываем истину, то одновременно
опровергаем все несовместимые с ней ложные суждения. Наоборот,
опровергая какую-нибудь ложь, мы тем самым доказываем противоречащую ей
истину. Эта симметрия показывает, что между доказательством и
опровержением нет жесткой границы. Различие между ними функциональное.
Существуют три канонических вопроса, на которые необходимо дать
ответ прежде, чем начинать доказательство или опровержение. Первый
вопрос: что именно следует доказывать или опровергать? Второй вопрос: на
основании чего следует доказывать или опровергать? Третий вопрос: как
именно следует доказывать или опровергать?
Отвечая на первый вопрос, мы формулируем тезис (от греч. thesis —
утверждение) доказательства или опровержения, то есть суждение,
истинность или ложность которого должна обосновываться. Отвечая на второй
вопрос, мы формулируем аргументы (от лат. argumentum — довод,
основание) доказательства или опровержения, то есть суждения, с помощью
которых обосновывается истинность или ложность тезиса. Отвечая на
третий вопрос, мы формулируем демонстрацию (от лат. demonstratio —
показывание) доказательства или опровержения, то есть то умозаключение, с
помощью которого логически связываются тезис и аргументы.
Доказательство и опровержение невозможны хотя бы без одной из
указанных частей. В самом деле, если нет тезиса, то мы не знаем, что
доказывать или опровергать; если нет аргументов, то мы не знаем, с помощью
каких суждений доказывать или опровергать тезис; если нет
демонстрации, то мы не знаем, как построить процесс доказательства или
опровержения тезиса, чтобы он был логически убедительным.
В качестве тезиса может быть выставлено любое суждение,
истинность или ложность которого нуждается в обосновании. Тезисом может
быть теорема, гипотеза, судебная версия, предсказание, истинность или
ложность которых еще предстоит установить. Суждение, противоречащее
тезису, называется антитезисом. Из истинности тезиса следует ложность
антитезиса. Из ложности тезиса следует истинность антитезиса.
Следовательно, доказательство истинности тезиса можно заменить в некоторых
случаях опровержением ложности антитезиса, а опровержение ложности
тезиса — доказательством истинности антитезиса.
В качестве аргументов могут выступать любые суждения, если они,
во-первых, истинны и, во-вторых, имеют отношение к обосновываемому
тезису. Например, при доказательстве какого-либо морального суждения
вряд ли будет уместным приведение в качестве аргумента истинного зако-

186
на всемирного тяготения Ньютона. Истинность аргументов доказывается
всегда независимо от тезиса. Подбор аргументов требует в большинстве
случаев глубокого проникновения в суть решаемой проблемы, богатого
воображения и тонкой интуиции.
По типу используемых умозаключений демонстрации можно
разделить на дедуктивные и недедуктивные. Следует, однако, помнить, что
всякая демонстрация — это нечто большее, чем используемое в ней
умозаключение. Как отмечал В. Ф. Асмус, демонстрация — это умозаключение
об умозаключении43, так как она связывает умозаключение с
определенными условиями его истинности и ложности. Разделим дедуктивную
демонстрацию на дедуктивное доказательство и дедуктивное опровержение и
рассмотрим их последовательно.
Дедуктивное доказательство
Пусть Т обозначает тезис, -.Г антитезис, А — множество
аргументов. Дедуктивное доказательство может совершаться прямо или косвенно.
Прямое доказательство — обоснование того, что тезис является
логическим следствием представленных истинных аргументов. Прямое
доказательство имеет вид следующего умозаключения:
Из А логически следует Т.
А истинно. A)
Г истинно.
Простейшим примером прямого доказательства является силлогизм,
посылки которого необходимо истинны. В этом случае посылки
превращаются в аргументы, а заключение силлогизма — в тезис.
При косвенном доказательстве обосновывается ложность антитезиса,
из чего делается вывод, что тезис истинный. Ложность антитезиса может
быть обоснована двумя способами. Согласно первому, из антитезиса
выводится или следствие, несовместимое с аргументами, или противоречие. В
том и другом случае имеются основания сделать вывод о ложности
антитезиса и истинности тезиса. Доказательство имеет вид следующего
умозаключения:
Из —\Т выводимо или следствие,
несовместимое с А, или противоречие.
А истинно. ^ '
Г истинно.
43 Асмус В. Ф. Логика. М., 1947. -С. 345-346.

187
Для косвенного доказательства вторым способом требуется сначала
сформировать множество таких альтернатив, чтобы они, во-первых,
исключали друг друга; во-вторых, вместе исчерпывали все возможные
решения обсуждаемой проблемы и, следовательно, содержали истинное
решение; в-третьих, включали тезис как один из вариантов решения. Если с
помощью аргументов удается исключить все альтернативы, кроме
обозначаемой тезисом, то истинность последнего доказывается косвенно.
Рассматриваемое доказательство имеет вид следующего умозаключения:
Истинно или Г, или Т\,
или Г2, ..., или Т„.
А несовместимо с Гь Г2, ..., Т„.
А истинно. ^ '
Г истинно.
Считается, что прямое доказательство убедительнее косвенного. С
этим необходимо согласиться. При прямом доказательстве мы
конструируем тезис, а при косвенном лишь доказываем невозможность
существования антитезиса. Из прямого доказательства всегда следует косвенное, но
обратное в общем неверно.
Дедуктивное опровержение
Дедуктивное опровержение различают в зависимости от того, что
опровергается — тезис, аргументы или демонстрация. Если опровергается
тезис, то доказывается его ложность. Если опровергаются аргументы или
демонстрация, то обосновывается только недоказанность тезиса, которую
нельзя путать с его ложностью. Тезис может быть истинным, даже если
аргументы ложные.
Тезис можно дедуктивно опровергнуть прямым и косвенным
способом. Прямое опровержение имеет вид следующего умозаключения:
Из Т выводимо или следствие,
несовместимое с А, или
противоречие. D)
А истинно.
Г ложно.
Косвенное опровержение, как и косвенное доказательство, может
быть выполнено двумя способами. Во-первых, можно использовать
умозаключение:

188
Из А логически следует -Т.
А истинно. E)
Г ложно.
Во-вторых, можно рассуждать и следующим образом:
Истинно или -Г, или Гь
Или Г2, ..., или Т„
А несовместимо с Т\, Г2, ..., Т„.
А истинно. F)
Г ложно.
По причинам, указанным для доказательства, прямое опровержение
считается более предпочтительным, чем косвенное. Опровержение
аргументов и демонстрации обосновывает не ложность тезиса, а только его
недоказанность. Опровержение аргументов имеет вид следующего
умозаключения:
Из А следует Г.
А ложно (противоречиво).
гп
Т не доказано
G)
Недоказанность тезиса означает, что мы не можем приписать ему ни
значение «истинно», ни значение «ложно». Доказывая ложность
аргументов нашего оппонента, мы лишаем его возможности категорически
утверждать истинность обсуждаемого тезиса. Умозаключение G) показывает,
что отношения «следует» и «доказывает» не являются в общем
эквивалентными.
Опровержение демонстрации строится в виде следующего
умозаключения:
Из А не следует логически ни Г, ни -Г.
А истинно. (8)
Т не доказано.
Эффект опровержения демонстрации тот же, что и опровержения
аргументов — обоснование недоказанности тезиса.
Итак, для дедуктивной демонстрации принципиальное значение
имеет истинность аргументов. Она необходима как для доказательства, так и

189
для опровержения. Кроме того, необходимо также, чтобы или тезис, или
антитезис являлся логическим следствием аргументов. Эти две
особенности определяют специфику дедуктивного доказательства и опровержения.
При построении доказательств и опровержений необходимо также
учитывать следующие особенности (знак «<->» читается как « необходимо
и достаточно»):
1. Доказательство _ Опровержение част-
общего тезиса ~ ного антитезиса
2. Опровержение _ Доказательство част-
общего тезиса ~ ного антитезиса
3. Для доказательства общего тезиса необходимы только общие
аргументы (относящиеся ко всем вещам универсума).
4. Для доказательства частного тезиса необходимо и достаточно
установить существование хотя бы одной вещи универсума, обладающей
свойствами субъекта и предиката (для частноутвердительных суждений), и
обладающей свойствами субъекта и отрицания предиката (для частноотри-
цательных суждений).
Остальные рекомендации содержатся в анализе нижеследующих
примеров.
Пример 1
Допустим, требуется доказать прямым способом тезис Т = число 222
делится на 3. Приводим тезис к нормальной форме (букву А резервируем
для обозначения аргументов): U — натуральные числа, В = равные 222, С =
делящиеся на 3, Т= Все В есть С.
Построить прямое доказательство указанного тезиса,
представляющего общеутвердительное суждение, означает обосновать, что каждая
вещь, обладающая признаком В, также обладает и признаком С. Но
поскольку связь В и С является неочевидной, требуется доказательство. С
чего же его начинать? — С поиска аргументов.
Если логический переход от субъекта тезиса В к его предикату С не
очевиден, то его разбивают на несколько коротких, но зато более
очевидных переходов от В к X, от X к У, ..., от Z к С (где X, ..., Z — признаки,
отличающиеся как друг от друга, так и от В и С), каждый из которых
формулируется в виде отдельного аргумента. Иными словами, каждый аргумент
— это некоторый ранее доказанный или очевидный в силу каких-то
причин переход от одного признака к другому. Минимальное доказательство
требует всего двух аргументов — для обоснования переходов от В к X и от
X к С. В общем случае число аргументов прямо пропорционально требова-

190
нию очевидности, то есть чем более явным хотят сделать доказательство,
тем больше приводят аргументов, очевидных для аудитории.
Общее направление поиска аргументов задается следующим
вопросом: «Какое свойство ^связывает В и С таким образом, что 1)
^необходимо для В и 2) С необходимо для X ?» Если признака X оказалось
недостаточно для построения очевидного доказательства, отыскивается новый
признак Y согласно тому же вопросу «Какое свойство Y связывает X и С
таким образом, что 1) Y необходимы для X и 2) С необходимо для 7?»
Данная процедура формулировки аргументов продолжается до тех пор,
пока переход от В к С не будет представлен в виде цепочки более
коротких и очевидных переходов:
В нашем примере признаком, промежуточным между В и С и
удовлетворяющим указанным требованиям, является признак делимости чисел
на 3, т.е. признак D = число, сумма цифр которого делится на 3. Так как
промежуточный признак один, то имеем следующие два аргумента: А\ =
все числа, равные 222, есть числа, сумма цифр которых делится на 3; А2 =
все числа, сумма цифр которых делится на 3, есть числа, делящиеся на 3.
Строим и проверяем силлогизм:
А\ = Все В есть/).
А2 = Все D есть С.
Т = Все В есть С.
Так как аргументы истинны (очевидны) и тезис следует из них с
необходимостью, то его согласно умозаключению A) следует считать
доказанным прямым способом.
Пример 2
Доказать первым косвенным способом тезис Т = число 222 делится
на 3. Чтобы доказать таким способом тезис Г, необходимо опровергнуть
антитезис —лТ = существует число 222, которое не делится на 3.
Приведенный к нормальной форме (см. предыдущий пример), антитезис
символизируется следующим образом — «Некоторые В не есть С».
Антитезис утверждает, что существует по крайней мере одно число,
равное 222, которое не делится на 3. Для его опровержения необходимо
показать, что нет ни одного числа, равного 222, не делящегося на 3, то
есть необходимо показать, что ни одному В не присуще свойство -iC =
быть неделящимся на 3. А это равносильно доказательству, что никакого
очевидного перехода от В к —\С построить нельзя, или, что то же, связь В и

191
—iС является противоречивой. Противоречивость (несовместимость) в
косвенных доказательствах становится критерием их успешности.
Для проверки противоречивости связи В и -iC временно допускаем,
что наш антитезис истинный, т.е. что существует по крайней мере одно
число, равное 222, которое не делится на 3, и присоединяем его к уже
известным аргументам (см. первый пример) А\ и Аг.
Строим и проверяем сложный силлогизм44:
-iT= Некоторые В не есть С.
А\ = Все В есть/).
А2 = Все D есть С.
Противоречие
Наличие противоречия говорит о том, что не существует аргументов,
обосновывающих переход от В к -iC, и что временно принятый в качестве
истинного антитезис является его причиной (так как аргументы истинны).
Поскольку антитезис опровергается, то согласно умозаключению B)
следует косвенное доказательство истинности тезиса Т= Все В есть С.
Пример 3
Доказать вторым косвенным способом тезис Т = число 2, сложенное
само с собой, равно 4. Приведем тезис к нормальной форме: U =
натуральные числа, В = число 2, сложенное с самим собой, С = равное 4, Т =
Все В есть С.
При косвенном доказательстве вторым способом антитезис
формулируется в виде множества взаимно исключающих альтернатив, которые
вместе с тезисом исчерпывают решения поставленной проблемы
(результатов сложения числа 2 с самим собой в нашем примере). Если тезис
утверждает, что результатом сложения числа 2 с самим собой должно быть
число 4, то его альтернативами будут следующие два антитезиса: -пТ\ =
Некоторые числа, равные 2 и сложенные сами с собой, больше 4; —лТ2 =
Некоторые числа, равные 2 и сложенные сами с собой, меньше 4.
Логическая сумма -iT\ и -лТг дает нам общий антитезис —лТ = Некоторые числа,
равные 2 и сложенные сами с собой, не равны 4. Таким образом, при кос-
44 Читателю предлагается самостоятельно построить дерево рассматриваемого
силлогизма. В качестве подсказки заметим, что вершиной дерева опровергающего
силлогизма должно быть частное суждение (в данном случае суждение «Некоторые В не есть
С», символизирующее антитезис —\Т). Начинаться дерево должно с буквы —лС
(почему?).

192
венном доказательстве вторым способом мы поставлены перед
необходимостью опровергать не общий антитезис, как при косвенном
доказательстве первым способом, а все его частные случаи.
Приводим —\Т\ и ->Г2 к нормальной форме: -iC\ = больше 4; -.С2 =
меньше 4, —лТ\ = Некоторые В есть —\С\, —лТ2 = Некоторые В есть —iC2. Для
опровержения —лТ\ и —лТ2 необходимо доказать, что не существует
разумных переходов от В к —iCi и к ->С2, или, что то же, доказать, что связь В
как с —\С\ так и с —iC2 ведет к противоречию. Признаком, необходимо
связанным с В, является признак D = быть разложимым на сумму четырех
единиц. Получаем следующие аргументы: А\ = Все В есть Д иА2 = Все D
есть С.
Строим и проверяем два силлогизма (для —\Т\ и —>Г2 соответственно):
—i7"i = Некоторые В есть -iCi.
^i = Все В есть/)
^42 = Все D есть Сь
Противоречие
(—\Т\ опровергается)
—лТг = Некоторые В есть —iC2.
>4i = Все 5 есть/)
^2 = Все D есть С2.
Противоречие
(-iT\ опровергается)
Из трех взаимно исключающих и совместно исчерпывающих
альтернатив Г, -iT\ и -iT2 последние две оказались опровергнутыми
(исключенными). Следовательно, тезис Т согласно умозаключению C) можно
считать косвенно доказанным.
Пример 4
Построить прямое опровержение тезиса Т = число 4 простое.
Приводим его к нормальной форме: U = натуральные числа, В = равные 4, С =
простые, Т = Все В есть С.
Опровергнуть прямым способом тезис Т означает обосновать
противоречивость (несовместимость) связи признаков В и С. Ищем признаки,
необходимо связанные с С и В: D = делиться только на себя и на 1, Е =
делиться на себя, на 1 и 2. Так как промежуточных признаков два, то
получаем три аргумента: А\ = Все С есть Д А2 = Все В есть Е, Аз = Ни одно Е не
есть D.
Строим и проверяем сложный силлогизм:

193
Т = Все В есть С.
А1 = Все С есть D.
А2 = Все В есть ?.
А3 = Ни одно ?> есть Е.
Все 5 есть -ъб.
С помощью >4i мы вывели из Т следствие «Все В есть ?>», которое
контрарно несовместимо с аргументами А2 и А^ что и отражает
полученное ложное заключение. Так как аргументы А\, А2 и у4з истинны, то тезис Т
опровергается.
Пример 5
Построить первым косвенным способом опровержение тезиса Т =
число 4 простое. Формулируем антитезис -iT= существует число 4,
которое не является простым, и приводим его к нормальной формуле: U —
натуральные числа, В = равные 4, С = простые, -iT= Некоторые В не есть С.
Опровергнуть первым косвенным способом тезис Т означает
доказать прямым способом антитезис —лТ. Так как антитезис представляет
частное суждение, то достаточно показать, что свойство С не присуще по
крайней мере одному В. Ищем признак, необходимо присущий В, но
несовместимый с С: Е = делиться на себя, на 1 и 2 (см. предыдущий пример).
Получаем следующие аргументы: А\ = Некоторые В есть Е, А2 = Ни одно Е
не есть С.
Строим и проверяем силлогизм:
А\ = Некоторые В есть Е.
А2 = Ни одно Е не есть С.
—>Г= Некоторые В не есть С.
Так как аргументы истинны и антитезис является их необходимым
следствием, то он получает прямое доказательство, а тезис Т = Все В есть
С согласно умозаключению E) косвенное опровержение первым
способом.
Пример 6
Опровергнуть вторым косвенным способом тезис Т = существует
число 2, сложенное с самим собой, не равное 4. Данный тезис равен
логической сумме двух тезисов: Т\ = существует число 2, сложенное с
самим собой, больше 4; Т2 = существует число 2, сложенное с самим собой,
меньше 4. Их общим антитезисом является суждение —\Т = число 2,
сложенное с самим собой, равно 4. Приводим все суждения к нормальной
форме (см. пример 3): U = натуральные числа, В = число 2, сложенное с

194
самим собой, С = равное 4, -iC\ = больше 4, ->С2 = меньше 4, Т=
Некоторые В не есть С, Т\ = Некоторые В есть —iCi, Г2 = Некоторые 5 есть —1С2,
-пГ= Все ? есть С.
Опровергнуть тезис Т вторым косвенным способом означает
доказать вторым косвенным способом истинность антитезиса -нГ, то есть
опровергнуть все альтернативы —лТ. Используя аргументы А\ и А2 из примера
3, строим необходимые силлогизмы и убеждаемся, что тезисы Т\ и Т2
опровергаются. Так как аргументы А\иА2 истинны и несовместимы как с Т\,
так и с Г2, то согласно умозаключению F) тезис Т является косвенно
опровергнутым вторым способом.
Из рассмотренных примеров следует, что умозаключения косвенного
опровержения E) и F) не являются самостоятельными и имеют скорее
теоретический, чем практический характер.
Рассмотрим несколько примеров доказательства и опровержения,
заимствованных из художественной и научной литературы.
Пример 7
«Вы изволили сочинить, что человек произошел от обезьянских
племен мартышек, орангуташек и т. п. Простите меня, старичка, но я с Вами
касательно этого пункта не согласен и могу Вам запятую поставить. Ибо,
если человек, властитель мира, умнейшее из дыхательных существ,
произошел от глупой и невежественной обезьяны, то у него был бы хвост и
дикий голос» (А. П. Чехов. Письмо к ученому соседу).
Рассуждение чеховского героя содержит опровержение, в котором U
= живые существа, В = люди, С = произошедшие от обезьян, D = имеющие
хвост и дикий голос. Опровергаемым тезисом является суждение «Все
люди произошли от обезьян», то есть Т = Все В есть С. Первым аргументом
является суждение «Все живые существа, произошедшие от обезьян,
обязаны иметь хвост и дикий голос», то есть А\ = Все С есть D. Вторым
аргументом следует считать суждение «Люди не имеют хвоста и дикого
голоса», то есть А2 = Ни одно В не есть D. Второй аргумент в явном виде не
присутствует в рассуждении, но подразумевается как самоочевидный факт.
Опровержение строится как доказательство несовместимости по
истине тезиса с аргументами А\ и А2, то есть по схеме D).
Для проверки построим следующее сложное умозаключение:
Т = Все В есть С.
А\ = Все Сесть/).
А2 = Ни одно В не есть D.
Все В есть

195
Заключение силлогизма свидетельствует о контрарной
несовместимости его посылок. Так как герой рассказа признает истинными оба
аргумента и так как несовместимые суждения вместе истинными быть не
могут, то тезис необходимо является ложным.
Опровержение в целом имеет вид следующего умозаключения:
Из ТиА\ выводимо суждение
«Все В есть D».
А2 несовместимо с суждением
«Все В есть D».
А\ИА2 ИСТИННЫ.
Г ложно.
В отличие от чеховского героя мы посчитали бы первый аргумент
ложным. В этом случае опровержение теряет свою силу, то есть ложность
тезиса остается недоказанной.
Пример 8
«Итак, предположим, что все тела уничтожены. То, что остается,
называют абсолютным пространством; при этом все отношения,
следующие из расположения тел и расстояний между телами, исчезли
вместе с телами. Кроме того, такое пространство является бесконечным,
неподвижным, неделимым, не воспринимаемым чувствами, лишенным
связей и различий. Другими словами, все его атрибуты отрицательны,
или негативны. Таким образом, оказывается, что это есть просто ничто.
Единственное несущественное затруднение состоит в том, что оно
протяженно, а протяженность — положительное качество. Но что это за
протяженность, я спрашиваю, которая не может быть ни разделена, ни
измерена, любая часть которой недоступна ни чувственному
восприятию, ни воображению?.. Чистый интеллект также ничего не знает об
абсолютном пространстве. Эта способность находится в соотношении
только с духовными непротяженными вещами, такими, как наши мысли,
их модусы, страсти, добродетели и т. п. Уберите из абсолютного
пространства само название, и от него ничего не останется ни в чувстве, ни
в воображении, ни в интеллекте»45.
В приведенном рассуждении содержится опровержение введенного
И. Ньютоном понятия абсолютного пространства. В этом рассуждении U
= вещи и их отношения друг к другу, В = существующие, С =
наблюдаемые, измеримые, познаваемые, D = образующие абсолютное
пространство. Тезисом выступает суждение «Абсолютное пространство существу-
45
Беркли Дж. Сочинения. М., 1978. - С. 379.

196
ет», Т = Некоторые D есть В, Первый аргумент — суждение «Все
существующие вещи есть вещи, наблюдаемые, измеряемые, познаваемые», А\ =
Все В есть С. Второй аргумент — суждение «Абсолютное пространство
есть вещь, но не познаваемая, не измеряемая, не наблюдаемая», А2 = Все
D есть -С. Опровержение строится как доказательство несовместимости
тезиса с истинными аргументами. Для проверки построим следующий
сложный силлогизм:
Т = Некоторые D есть В.
А\ = Все В есть С.
А2 = Все D есть -iC
Противоречие
Из несовместимости тезиса и аргументов и истинности последних
следует знаменитое опровержение Дж. Беркли:
Из ТиА\ следует «Некоторые D есть С».
А2 несовместимо с «Некоторые D есть С».
А\ И А2 ИСТИННЫ.
Г ложно.
Таким образом, Дж. Беркли рассуждал в приведенном отрывке
согласно схеме D).
Пример 9
«— Общие рассуждения! — продолжал Пигасов. — Смерть моя —
эти общие рассуждения, обозрения, заключения! Все это основано на так
называемых убеждениях; всякий толкует о своих убеждениях и еще
уважения к ним требует, носится с ними... Эх!
И Пигасов потряс кулаком в воздухе. Пиндалевский рассмеялся.
— Прекрасно! — промолвил Рудин. — Стало быть, по-вашему,
убеждений нет?
— Нет — и не существует.
— Это ваше убеждение?
— Да.
— Как же вы говорите, что их нет? Вот вам уже одно, на первый
случай.
Все в комнате улыбнулись и переглянулись».
(И. С. Тургенев. Рудин).
Приведенный диалог интересен тем, что один из его участников,
Пигасов, пытаясь обосновать свою точку зрения, приводит противоречивое

197
множество аргументов и тем самым оставляет свой тезис без
доказательства. Чтобы увидеть это, формализуем процесс рассуждения. Пусть U =
рассуждения, В = общие, С = пустые, D = основанные на убеждениях. Тезис,
который Пигасов пытается обосновать, представляет суждение «Все общие
рассуждения — пустые», Т = Все В есть С. Убеждения, согласно Пигасову,
составляют необходимое условие истинности общих рассуждений.
Первым аргументом поэтому является суждение «Все общие рассуждения есть
рассуждения, основанные на убеждениях», А\ = Все В есть D. Вторым
аргументом является мысль Пигасова о том, что убеждений не существует.
Эту мысль выражает суждение «Все рассуждения, основанные на
убеждениях, есть пустые (то есть несуществующие) рассуждения», А2 = Все D
есть С. К этим аргументам, в пылу полемики, Пигасов добавил еще один,
разрушивший построенную демонстрацию. Таким аргументом стала
мысль, что некоторые убеждения существуют. Эта мысль выражается
суждением «Некоторые рассуждения, основанные на убеждениях, есть
непустые (то есть существующие) рассуждения», А3 = Некоторые D есть -С. Для
того чтобы проверить противоречивость выдвинутых аргументов,
построим следующий сложный силлогизм:
А\ = Все В есть/).
А2 = Все D есть С.
А3 = Некоторые D есть -iC.
Противоречие
Итак, аргументы Пигасова образуют противоречие. Как мы знаем,
любое суждение является логическим следствием противоречивой
системы посылок. Следовательно, тезис Пигасова следует из его аргументов, но
ими не доказывается. Его рассуждение соответствует схеме G):
Из А\9 А2 и Аз логически
следует Т.
А\9 А2 и Аз вместе образуют
противоречие.
Т не доказано.
Еще раз убеждаемся, что логическое следование некоторого тезиса
из аргументов не означает его доказательство этими аргументами.
Пример 10
«Установив такое начало (что мир есть тело в высшей степени
совершенное, упорядоченное. — В. С. и К П.), мы можем непосредственно

198
из него сделать тот вывод, что если тела, составляющие вселенную,
должны по природе своей обладать движением, то невозможно, чтобы
движения их были прямолинейными и вообще какими бы то ни было, кроме как
круговыми; основание этого просто и ясно. Ведь то, что движется
прямолинейным движением, меняет место, и если движение продолжается, то
движущееся тело все больше и больше удаляется от своей исходной точки
и от всех тех мест, которые оно последовательно прошло; а если такое
движение ему естественно присуще, то оно с самого начала не находилось
на своем естественном месте, и значит, части вселенной не расположены в
совершенном порядке; однако мы предполагаем, что они подчинены
совершенному порядку; значит невозможно допустить, чтобы им, как
таковым, по природе было свойственно менять места, то есть, следовательно,
двигаться прямолинейно»46.
В приведенном рассуждении Галилея объединены вместе прямое и
косвенное доказательство естественности кругового движения. Пусть U =
движения, В = естественные, С = круговые, D = подчиненные
совершенному порядку. Доказываемым тезисом служит суждение «Естественное
движение является круговым», то есть Т = Все В есть С. Первый аргумент —
суждение «Естественное движение подчиняется совершенному порядку»,
то есть А\ = Все В есть D. Второй аргумент — суждение «Движение,
подчиненное совершенному порядку, является круговым», то есть А2 = Все D
есть С. Прямое доказательство требует, чтобы тезис следовал из
аргументов. Проверим это.
А\ = Все В есть/).
Аг — Все D есть С.
Т= Все В есть С.
Итак, тезис из аргументов следует и последние истинны.
Следовательно, имеет место умозаключение:
Из А1 и А2 логически следует Т.
А\ИА2 ИСТИННЫ.
Г истинно.
Косвенное доказательство строится как обоснование невозможности
прямолинейного движения, то есть как обоснование ложности антитезиса.
Антитезисом является суждение «Некоторые естественные движения
не являются круговыми», то есть —лТ = Некоторые В не есть С. Для косвен-
46 Галилео Галилей. Избранные труды: В 2-х томах. М., 1964. Т. 1. - С. 115—116.

199
ного доказательства требуется несовместимость аргументов с антитезисом.
Проверяем это условие:
—лТ= Некоторые В не есть С.
А\ = Все В есть/).
А2 = Все D есть С.
Противоречие
Аргументы несовместимы с антитезисом и истинны. Следовательно,
имеет место следующее умозаключение:
Из —лТ, А\ и А2 выводимо
противоречие.
А\,А2 истинны.
Т истинно.
Косвенное доказательство в общем является избыточным, когда
имеется прямое. Но вместе, как свидетельствует рассуждение Галилея, они
усиливают психологическое восприятие истинности тезиса. А это иногда
не менее важно, чем логически обоснованное доказательство.
Более подробно о связи логики и психологии доказательства и
опровержения будет рассказано в главе, посвященной риторике.
Следующие четыре параграфа предназначены преподавателям
логики и читателям, желающим расширить свои знания и навыки в решении
более сложных логических задач.
9. О КВАНТИФИКАЦИИ ПРЕДИКАТА ПРОСТОГО
СУЖДЕНИЯ
В логической литературе периодически возникает интерес к
проблеме квантификации предикатов простых суждений. Впервые эта проблема
была сформулирована английским ботаником Джорджем Бентаном и
подробно проанализирована шотландским логиком Уильямом Гамильтоном в
начале XIX столетия (См.: Стяжкин Н. И, Формирование математической
логики. М., Наука. 1987. С. 291- 299). Здесь мы покажем, как суждения с
квалифицированными предикатами можно выражать в терминах простых
суждений, в которых квантифицированы только субъекты. Везде
подразумевается, что знак количества «некоторые» в утвердительных суждениях
интерпретируется как «некоторые или все», а в отрицательных как
«некоторые или ни один».

200
Допустим, дано суждение «Все А есть все 5». Его обращением будет
суждение «Все В есть все А», Первое их них исключает истинность
обычных частных суждений «Некоторые -лА есть 5» и «Некоторые А есть -5».
Второе исключает истинность частных суждений «Некоторые -iB есть А» и
«Некоторые В есть —i^». Это означает, что объемы терминов А и В
совпадают и рассматриваемое суждение эквивалентно утвердительному
общевыделительному суждению «Только А есть 5» или, что то же, суждению
«Только —А есть —15». Анализируемому суждению соответствует дерево на
рис. 1.
Все А есть все В
Рис. 1
Допустим, дано суждение «Все А есть некоторые 5». Его
обращением будет суждение «Некоторые В есть все А», Первое их них исключает
истинность обычного суждения «Некоторые А есть -5». Второе не
исключает ни одного такого частного суждения. Это означает, что объем термина
А полностью включен в объем термина В, но ему не равен. Следовательно,
данное суждение эквивалентно общеутвердительному суждению «Все А
есть 5». Анализируемому суждению соответствует дерево на рис. 2.
Все А есть некоторые В
Рис.2
Допустим, дано суждение «Некоторые А есть все 5». Его
обращением будет суждение «Все В есть некоторые А». Первое их них не исключает
ни одного обычного частного суждения. Второе исключает частное
суждение «Некоторые В есть —А».. Это означает, что объем термина В
полностью включен в объем термина А, но ему не равен. Следовательно данное
суждение эквивалентно общеутвердительному суждению «Все В есть А»,
Анализируемому суждению соответствует дерево на рис. 3.

201
Некоторые А есть все В
Рис. 3
Допустим, дано суждение «Некоторые А есть некоторые 5». Его
обращением будет суждение «Некоторые В есть некоторые А». Ни одно из
них не исключает ни одного обычного частного суждения. Это означает,
что объемы терминов А и В могут находится во всех мыслимых
отношениях пересечения друг с другом (см. гл. III. 2). Рассматриваемое суждение
эквивалентно обычному частноутвердительному суждению «Некоторые А
есть 5». Анализируемому суждению соответствует дерево на рис. 4.
Некоторые А есть некоторые В
Рис.4
Допустим, дано суждение «Все А есть некоторые —?». Его
обращением будет суждение «Некоторые —\В есть все А». Первое их них
исключает истинность обычного суждения «Некоторые А есть 5». Второе не
исключает ни одного обычного частного суждения. Это означает, что объемы
терминов А и В не пересекаются, но в сумме не исчерпывают универсум.
По этой причине данное суждение эквивалентно общеотрицательному
суждению «Ни одно А не есть 5», в котором А и В — противоположные или
соподчиненные понятия. Анализируемому суждению соответствует дерево
на рис. 5.
Все А есть некоторые —лВ
Рис. 5
Допустим, дано суждение «Все А есть все —&». Его обращением
будет суждение «Все -iB есть все А», Первое их них исключает истинность
обычного частного суждения «Некоторые А есть 5». Второе исключает ис-

202
тинность частного суждения «Некоторые —лВ есть —А». Это означает, что
объемы термина А и В не пересекаются, но вместе исчерпывают
универсум. Следовательно, данное суждение эквивалентно отрицательному
общевыделительному суждению «Только А не есть 5» или, что то же,
суждению «Только -лА не есть —ъб», в котором А и В — противоречащие понятия.
Анализируемому суждению соответствует дерево на рис. 6.
Все А есть все
Рис. 6
Допустим, дано суждение «Некоторые А есть все -l8». Его
обращением будет суждение «Все —? есть некоторые А», Первое их них не
исключает ни одного обычного частного суждения. Второе исключает
частное суждение «Некоторые S есть —А», Это означает, что объем термина
-& полностью включен в объем термина А, но ему не равен.
Следовательно данное суждение эквивалентно общеотрицательному суждению «Ни
одно -А не есть -.5». Анализируемому суждению соответствует дерево на
рис. 7.
Некоторые А есть все
Рис. 7
Допустим, дано суждение «Некоторые А есть некоторые —l8». Его
обращением будет суждение «Некоторые —лВ есть некоторые А». Ни одно
из них не исключает ни одного обычного частного суждения. Это означает,
что объемы терминов Аи В могут находится во всех мыслимых
отношениях исключения друг с другом (см. гл. III. 2). Рассматриваемое суждение
эквивалентно обычному частноотрицательному суждению «Некоторые А не
есть 5». Анализируемому суждению соответствует дерево на рис. 8.

203
Некоторые А есть некоторые —&
Рис. 8
Рассмотренные случаи исчерпывают все возможные комбинации
квантификации предиката в простом суждении. Все они сводятся к
известным из предыдущего обсуждения суждениям и, так как в сущности, не
добавляют ничего нового, то могут считаться избыточными.
10. О РЕШЕНИИ СЛОЖНЫХ СИЛЛОГИЗМОВ С
ПОСЫЛКАМИ ИЗ ТРЕХ И БОЛЕЕ
РАЗЛИЧНЫХ ТЕРМИНОВ
Среди многих открытий Л Кэрролла имеется одно, которое даже не
упоминается в учебниках по традиционной логике. Речь идет о решении
сложных силлогизмов с посылками, состоящими из трех и более
различных терминов (Lewis Carroll"s Symbolic Logic. N. Y. 1977. P. 285-319.)
Ниже описывается метод решения подобных силлогизмов, основанный на
использовании техники деревьев.
Все посылки рассматриваемых деревьев представляют общие
суждения. Другой их особенностью является логическое соединение с помощью
союзов «и» (конъюнкция) и «или» (неисключающая дизъюнкция)
нескольких терминов в качестве субъекта и/или предиката посылки.47 Типичная
посылка имеет вид «Все XY есть Z» или «Все X есть Y или Z», где
комплекс XY, обозначающий субъект, читается как «Хи Y».
Пусть дан следующий силлогизм из семи посылок:
1. Все ИМ есть -JC. 4. Ни одно ВР не есть
2. Ни одно -nT-iE не есть -пС. 5. Все СК есть М
3. Ни одно Н-уК не есть -Л, 6. Все H-iC есть
4. Ни одно ВР не есть -пЯ. 7. Все ВА есть К.
Все ВР есть Г.
47 Более подробно о логических свойствах конъюнкции и неисключающей дизъюнкции
см. главу У1, 3.

204
Алгоритм решения подобных силлогизмов следующий.
1. Определяем термины, которые должны входить в субъект и
предикат заключения. Если в обычном сложном силлогизме с посылками,
состоящими из двух различных терминов, для этого достаточно найти два,
входящие ровно один раз, то в рассматриваемом случае это правило не
работает. Термины, образующие заключение, могут входить в посылки более
одного раза. Поэтому разумно воспользоваться правилом Л Кэрролла: из
общего числа различных терминов, входящих в посылки решаемого
силлогизма, отбрасываются те, которые входят в посылки как со знаком
отрицания, так и без него, Такие термины являются исключаемыми. Оставшиеся
термины образуют заключение силлогизма. При решении этой проблемы
следует помнить, что сравниваемые посылки должны быть одного
качества, а сравниваемые термины должны одновременно находиться либо на
месте субъекта, либо на месте предиката.
Например, сравнивая посылки 1 и 4, мы видим, что термин Н входит
в них как со знаком отрицания, так и без него. Но поскольку Н занимает в
первой посылке место субъекта, а в четвертой — место предиката, мы не
имеем права делать вывод, что Н исключаемый термин. Но такой вывод
становится правомерным после приведения посылок к требуемому виду.
Преобразовав посылку «Ни одно ВР не есть -Я» в суждение «Ни одно -Н
не есть ВР» и сравнив его с первой посылкой, мы можем сделать вывод,
что термин Н является исключаемым. Этот же вывод мы получим, если
преобразуем первую посылку в суждение «Ни одно М не есть НК».
Проделав подобную операцию со всеми терминами, мы убеждаемся, что кроме Н
исключаемыми терминами являются также А, С, Е, К и М. Следовательно,
термины В, ТиР входят в заключение.
2. Строим дерево, доказывающее, что неисключенные термины ВТ и
Р образуют заключение указанного силлогизма. Ищем посылку, субъект
которой состоит из одного или двух неисключенных терминов. Субъект
четвертой посылки удовлетворяет данному требованию. Следовательно,
термины В и Р обозначают субъект, а термин Т— предикат заключения.
Соответственно В и Р образуют вершину силлогистического дерева. Цель
построения дерева состоит в демонстрации, что его вершина связана
непротиворечивым образом только с теми ветвями (одной или более), в
число которых входят термины, обозначающие предикат заключения. В
нашем примере цель построения дерева доказательства состоит в
демонстрации, что вершина (субъект) ВР совместима только с термином
(заключением 7).
Правила построения дерева доказательства
Ш. Дерево доказательства может быть прямым (вершина дерева
совпадает с субъектом заключения) или обратно- противоположным (вершина

205
дерева совпадает с отрицанием предиката заключения). В зависимости от
порядка, в котором используются посылки, возможно несколько вариантов
как прямого, так и обратно-противоположного деревьев доказательства.
Для упрощения процедуры построения деревьев принимаются
следующие соглашения: A) ветви, которые следует маркировать знаком «+»,
остаются невычеркнутыми, но этим знаком более не отмечаются; B) ветви,
которые следует маркировать знаком «о», вычеркиваются с самого начала.
Таким образом,
X
вместо +/ \^о теперь рисуем
Y Y
П2. Для продолжения какой-либо ветви используется любая
посылка, в число терминов которой входит последний термин данной ветви. С
этой целью посылка преобразуется таким образом, чтобы ее термин,
стоящий на месте субъекта, соответствовал с точностью до знака отрицания
последнему термину ветви, требующей продолжения. Например, если
ветвь, требующая продолжения, оканчивается на //, и если, допустим,
третья посылка уже использована, то мы можем выбрать первую или шестую
посылку. Если выбирается первая, она преобразуется в суждение «Все Н
есть -М или -К» и ветвь, требующая продолжение, разделяется на две,
оканчивающиеся на -М и -К соответственно. Если выбирается шестая
посылка, она преобразуется в суждение «Все Н есть С или -Е». В этом случае
ветвь, требующая продолжения, разделяется на две, оканчивающиеся на С
и -Е соответственно.48
Ветвью, требующей продолжения, считается та, которая не является
противоречивой (не содержит, по крайней мере, двух терминов, один из
которых является логическим отрицанием другого) и не включает термин,
обозначающий предикат заключения.
ПЗ. Ни одна ветвь не дублируется, но любая посылка используется
столько раз, сколько необходимо, чтобы доказать, что данная ветвь либо
противоречива, либо оканчивается на термин обозначающий предикат
заключения рассматриваемого силлогизма.
48 Полезно запомнить следующие эквивалентности: Все XYесть Z = Ни одно XYне есть
-¦Z = Все X есть -.7 или Z = Ни один X не есть 7-.Z = Все У есть —JC или Z = Ни одно У
не есть X—.Z = Все -.Z есть —X или -|У= Ни одно —.Z не есть XY.

206
Правила вывода
В. Пусть Ху Y, Z— неисключенные термины силлогизма и пусть
комплекс AT обозначают субъект, а термин Z— предикат заключения.
Если хотя бы одна ветвь построенного дерева доказательства
содержит термин Z, а все остальные противоречивы, тогда следует в качестве
заключения «Все AT есть Z ».
Пусть знак #, помещенный под ветвью, обозначает ее
противоречивость. Тогда деревом, доказывающим, что вышеприведенный силлогизм
имеет решение, будет следующее:
Из шести ветвей, исходящих из общей вершины, пять оказались
противоречивыми. Единственная непротиворечивая ветвь включает все три
неисключенных термина —лВР и Т. Следовательно, согласно правилу
вывода В из посылок рассматриваемого силлогизма с необходимостью следует
«Все ВР есть Г».
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1
Построить прямое и обратно-противоположное дерево
доказательства для следующего силлогизма:
1. Все КР есть Т.
2. Все СИ есть Е.
3. Ни одно 5—1Г не есть
4. Все —\Р есть -.0 или Е.
5. Все АН есть С.
6. Все Р есть -.5 или К.
7. Все —ЕМ есть —лТ.
8. Все-пО^ЯестьР.
Все В есть Е или —л
Все -лЕМ есть -В.

207
Прямое дерево доказательства после применения правил упрощения
(см. правила У 1-ьУ7 п. 7, гл. У1) редуцируется к дереву
Обратно-противоположное дерево доказательства имеет следующий
вид:
Оба дерева доказывают, что прямое и обратно-противоположное
заключения следуют с необходимостью из приведенных посылок.
Пример 2
Решить следующий силлогизм:
1. Все недальновидные и не 5. Все, кто не сомневается в
верящие в свою судьбу не своих силах, хотя и малообра-
подозревают, какие возможно- зован, честолюбивы.
сти они упускают.
2. Все, кто способен достичь 6. Всем, кто сомневается в
многого, но не честолюбив, своих силах и подозревает

208
совершают непростительную
ошибку.
3. Все, кто малообразован, но
не хочет учиться,
подозревают, какие возможности они
упускают.
4. Все, кто дальновиден, хотя и
сомневается в своих силах,
способен достичь многого.
об упущенных возможностях,
уже ничем нельзя помочь.
7. Все, кто не честолюбив и
кому уже ничем нельзя
помочь, не верят в свою судьбу.
8. Все, кто честолюбив, хотя и
подозревает об упущенных
возможностях, хотят учиться.
Решение
U= люди, А = честолюбивые, В = которым уже ничем нельзя помочь,
С = совершающие непростительную ошибку, Е = хотящие учиться, Н =
сомневающиеся в своих силах, К = способные достичь многого, М =
подозревающие, какие возможности они упускают, О = дальновидные, Р =
верящие в свою судьбу, Т= малообразованные.
1. Все-.ОтР есть-
2. Все К-Л есть С.
З.Все Г-н?естьМ
4. Все ОН есть К.
М. 5. Все -лНТ есть А,
6. Все ИМ есть 5.
7. Все -лАВ есть -т
8. Все AM есть Е.
Все Т-Е есть С.
Прямое дерево доказательства имеет следующий вид:

209
Согласно приведенному дереву заключение силлогизма «Все, кто
малообразован и не хочет учиться, совершает непростительную ошибку»
представляет необходимое следствие приведенных посылок.
Пример 3
Решить следующий силлогизм:
1. Тот, кого побаиваются и кто к
тому же неразборчив в
средствах, всегда скрытен.
2. Все, кто умеет ясно излагать
свои мысли и не любит
произносить длинные речи
заслуживает всяческих похвал.
3 Тот, кого побаиваются и кто
умеет хранить тайну, способен
оказывать влияние на других.
4. Нелюбящие произносить
длинные и занимающиеся
благотворительностью
представляют украшение общества.
5. Незанимающиеся
благотворительностью не понимают
природы человека.
6. Женщин, способных хранить
тайну, следует побаиваться и
выдвигать в члены парламента.
7. Любой, кто умеет хранить
тайну, умеет ясно излагать свои
мысли.
8. Всякий, кого выдвигают в
члены парламента и кто не
заслуживает всяческих похвал,
неразборчив в средствах.
9. Всегда скрытные женщины не
любят произносить длинных
речей.
10. Тот, кого не следует
выдвигать в члены парламента и кто
не понимает природы человека,
не способен оказывать влияние
на других.
Решение
U = люди, А = которых побаиваются, В = всегда скрытные, С =
умеющие ясно излагать свои мысли, D = женщины, Е = кого следует выдвигать
в члены парламента, Н = занимающиеся благотворительностью, К =
понимающие природу человека, L = заслуживающие всяческих похвал, М=
любящие произносить длинные речи, N = разборчивые в средствах, Р =
способные хранить тайну, R = представляющие украшение общества, Т =
способные оказывать влияние на других.

1. Все A—N есть В.
2. Все C-iA/есть L.
3. Все АР есть Г.
4. Все ОН есть /Г.
5. Все К есть Я.
210
6. Все DP есть АЕ.
7. Все РЛ есть С.
8. Все Е—\L есть —ЛУ.
9. Все DB есть -,М
10. Все -ъЕ-^К есть -,Г.
Все DP есть L.
Прямое дерево доказательства имеет следующий вид:
D
Согласно приведенному дереву заключение силлогизма «Женщины,
способные хранить тайну, заслуживают всяческих похвал» представляет
необходимое следствие приведенных посылок.
Примеры силлогизмов, аналогичных разобранным выше, можно
найти в: Лъюис Кэрролл, История с узелками. М., 1973. - С. 354-361.
Распространение рассмотренной техники вывода с помощью
деревьев на силлогизмы, чьи посылки содержат более трех различных терминов,
не представляет принципиальных трудностей и предлагается читателю в
качестве самостоятельного упражнения.
Продемонстрированная техника решения силлогизмов позволяет
решать умозаключения, чьи посылки включают сложные высказывания.
Приоритет в решении таких умозаключений, насколько можно судить,
также принадлежит Л. Кэрроллу.

211
Пример 4
Решить следующий силлогизм:
1. Все сыщики стремятся быть похожими на Шерлока Холмса.
2. Все бывалые граждане стремятся вести себя осмотрительно.
3. Если некоторые преступники испытывают угрызения
совести, а некоторые нет, то некоторые сыщики не
стремятся быть похожими на Шерлока Холмса.
4. Если все сыщики стремятся быть похожими на Шерлока
Холмса, то или некоторые преступники испытывают
угрызения совести, или некоторые бывалые граждане
не стремятся вести себя осмотрительно.
Решение
U = люди, А = преступники, В = которых мучают угрызения совести,
С = сыщики, D = стремящиеся быть похожими на Шерлока Холмса, Е =
бывалые граждане, F = которые стремятся вести себя осмотрительно.
1. Все С есть D.
2. Все Е есть F.
3. Если некоторые А есть В, а некоторые А
не есть В, то некоторые С не есть D.
4. Если все С есть D, то или некоторые А
есть В, или некоторые Е не есть F.
5. Все К есть Н.
Все А есть В,
Прямое дерево доказательства смешанного силлогизма выглядит
следующим образом.
Все С есть D
Все Е 'есть F
Некоторые А есть В Некоторые Е есть -.F
Все А есть В Некоторые С есть —D

212
Объяснение. Использование первой второй и четвертой посылок при
построении дерева доказательства не вызывает вопросов. Третья посылка
преобразуется в сложное суждение «Если некоторые А есть В, то все А есть
В или некоторые С не есть D» (по схеме: «Если XY, то Z» равносильно
«Если Ху то —>7или Z»).
Заключение «Все преступники испытывают угрызения совести»
представляют необходимое следствие указанных посылок.
Пример 5
1. Если некоторые поступки не являются мотивированными, то ни
одно душевное состояние не предсказуемо.
2. Если ни один поступок не мотивирован и если некоторые
душевные состояния не предсказуемы, то некоторые события из
жизни людей не имеют объяснения.
3. Некоторые душевные состояния мотивированы а некоторые нет.
4. Если некоторые поступки мотивированы и если пророчества
сбываются, то ни одно событие из жизни людей не имеет
объяснения
5. Все события из жизни людей имеют объяснение.
Решение
U = явления, А = поступки, В = мотивированные, С = душевные
состояния, D = предсказуемые, Е = события из жизни людей, F = имеющие
объяснения, G = пророчества, Н— сбывающиеся.
1. Если некоторые А не есть В, то ни одно С не есть D.
2. Если ни одно А не есть В и если некоторые С не
есть D, то некоторые Е не есть F.
3. Некоторые С есть D и некоторые С не есть D.
4. Если некоторые А есть В и если некоторые G есть
Я, то ни одно Е не есть F.
5. Все Е есть F.
Все G есть —Л.
Прямое дерево доказательства имеет следующий вид.

213
Некоторые С есть D
Некоторые С не есть D
Все
Все А 'есть В
Некоторые"Хесть5 """"Все С есть D
Все G1хтъ^// 13се7Гесть -iF
*
Объяснение. Третья и пятая посылки дают первую вторую и третью
линии дерева доказательства. Четвертая линия появляется как результат
контрапозиции первой посылки. Вторая и четвертая посылки заканчивают
построение дерева доказательства.
Итак, заключение «Ни одно пророчество не сбывается» представляет
необходимое следствие приведенных посылок.
11. СИЛЛОГИСТИКА БЕЗ ЭКЗИСТЕНЦИАЛЬНЫХ
ДОПУЩЕНИЙ
В главе III, 7 были рассмотрены некоторые следствия отказа от
допущения непустоты (и тем самым от допущения симметричности)
универсума. Само это допущение подробно анализировалось во втором параграфе
настоящей главы. Здесь мы сделаем шаг вперед и обсудим изменения в
технике решения простых силлогизмов (как наиболее интересном случае),
которые неизбежны при отказе от указанного допущения.
Назовем силлогистику, свободную от допущения непустоты,
силлогистикой без экзистенциальных допущений. Ее суть выражает
неэкзистенциальная версия силлогистического вывода. Основные шаги построения
такого вывода следующие.
О пустоте универсума (простого силлогизма) можно говорить в
относительном смысле, когда один или два термина обозначают классы
несуществующих вещей, и абсолютном смысле, когда все три термина
обозначают классы несуществующих вещей.
Условие пустоты какого-либо термина или комбинации терминов
формулируется в виде самостоятельной посылки, добавляемой к посылкам
рассматриваемого силлогизма.
К базисным правилам маркировки Ml -s- M5 добавляется новое:
Мб. Если посылка имеет вид «Термин X пуст» (не существует ни
одной вещи, обладающей свойством X), то все ветви, которые исходят из X,

214
отмечаются знаком «о» (независимо от вида знака на противоположных
ветвях).
Специальные правила маркировки силлогистического дерева ММ1 -s-
ММ4 теперь используются с учетом добавленного правила Мб.
При решении силлогизмов используются прямая, обратная и
обратно-противоположная формы силлогистического дерева.
Правило вывода
НЭВ 1) Пусть оба пути (через В и —iB) из вершины X к конечному
узлу Y маркированы в верхней и/или нижней части рассматриваемого
дерева хотя бы один раз знаком «о».
Тогда независимо от расположения других знаков маркировки («+» и
а) Если оба пути маркированы знаком «о» в верхней части дерева, в
качестве заключения следует «Все Хесть 7» и «Все Хесть —17»
одновременно.
б) При всех расположениях знака «о», нежели указанном в условии
16), в качестве заключения следует «Все X есть —iY».
2) При все иных комбинациях знаков маркировки, нежели указанном
в условии 1а), из данной формы силлогистического дерева ничего не
следует.
3) Если из прямой, обратной и из обратно-противоположной формы
дерева ничего не следует, то данный силлогизм решения не имеет.
С целью демонстрации техники вывода рассмотрим несколько
примеров.
Пример 1
Доказать, что из указанных посылок выводимы следующие
противоположные и обратно-противоположные заключения.
А — пустой термин. Сократ не существует.
Все А есть В. Сократ - человек.
Все В есть С. Все люди бессмертны.
Все А есть С. Сократ смертен.
Все А есть —.С. Сократ бессмертен.
Все С есть -ъ4. Все смертные — не Сократы.
Все —\С есть —А. Все бессмертные — не Сократы.
Прямая форма силлогистического дерева имеет следующий вид:

215
и редуцируется к дереву заключения:
А
согласно следующим соображениям. Знак ветви АС дерева заключения
равен логической сумме знаков ветвей ABC и A—iBC дерева посылок. В свою
очередь, знаки ветвей ABC и A—iBC равны соответственно произведению
знаков ветвей АВ и ВС, A—iB и —?С. И так как умножение знака «о» на
любой другой знак дает снова «о», то обе ветви ABC и А-^ВС в качестве
окончательного получают знак «о». Но тогда и ветвь АС дерева заключения
должна быть маркирована знаком «о». Иными словами, из ложности
первой и третьей ветвей дерева посылок следует ложность частного суждения
«Некоторые А есть С» и тем самым истинность ему противоречащего
общего суждения «Все А есть —iC».
Знак ветви А—\С дерева заключения равен логической сумме знаков
ветвей AB—iC и A—iB—iC дерева посылок. Знаки последних равны
соответственно произведению ветвей АВ и В—iC, А—? и —?—\С Поскольку знаки
ветвей AB—iC и A—iB—iC равны «о», то следует что ветвь А—лС также должна
быть маркирована знаком «о». Иными словами, из ложности второй и
четвертой ветвей следует ложность частного суждения «Некоторые А не есть
5» и истинность противоречащего ему общего суждения «Все А есть С».
Значит, из допущения пустоты субъекта заключения следует
одновременная истинность противоположных суждений «Все А есть С» и «Все А есть
—iC», которые более не являются несовместимыми.
Обратная форма силлогистического дерева имеет вид:
и редуцируется к дереву заключения:

216
Ветви СВА и С-лВА обе ложны. Значит, частное суждение
«Некоторые С есть А» ложно и тем самым истинно противоречащее ему общее
суждение «Все С есть —Л». Однако истинностное значение ветвей CB—iA и
С—\В-тА остается неопределенным, так как умножение знака «+» на знак
«?» снова дает «?» Следовательно, ветвь С—А дерева заключения может
быть маркирована только знаком «?» Добавим, что такая маркировка ветви
С-А обязательна и в случае истинностной неопределенности любой одной
из ветвей СВ—Л и C—iB—\A. Таким образом, вопрос об истинности суждения
«Все С есть А» согласно имеющейся информации остается открытым.
Обратно-противоположная форма силлогистического дерева имеет
вид:
и редуцируется к дереву заключения:
-.С
Данное дерево однозначно читается как «Все —\С есть —Л», так как
ветви —iCBA и —.С—SA обе ложны, а из ветвей —iCB—iA и —iC-B—iA первая
ложна а вторая истинна (отмечена знаком «+»). Разумеется, данное
заключение можно прочитать и как «Ни одно —\С не есть А», так как ветвь —\СА
отмечена знаком «о».
Пример 2 (Содержательная интерпретация этого и следующих
примеров предоставляется читателю.)
В — пустой термин.
Некоторые А есть В.
Все В есть С.

217
Приведенный силлогизм не имеет решения, что свидетельствует о
том, что пустота термина В является одним из решающих условий
решения силлогизмов. Данный силлогизм имеет решение, если допустить, что
термин А или термин С пуст (см. следующие два примера).
Пример 3
А — пустой термин.
Некоторые А есть В,
Все В есть С.
Все А есть С.
Все А есть —\С.
Все Сесть-гЛ.
Все —\С есть -ъ4.

218
Пример 4
С — пустой термин.
Некоторые А есть В.
Все В есть С.
Все А есть —.С.
Все С есть А.
Все Сесть —\А.
Ничего не следует

219
При допущении пустоты тех или иных терминов неправильные
силлогизмы также могут иметь дедуктивное решение (см. следующие два
примера).
Пример 5
А — пустой термин.
Все А есть В.
Некоторые В есть С.
Все А есть С.
Все А есть —.С.
Все Сесть —Л.
Все—.Сесть—Л.
С
Пример 6
А — пустой термин.
Некоторые А есть В.
Некоторые В есть С
Все А есть С.
Все А есть —iC.
Все Сесть —Л.
Все—.Сесть—и4.

220
С
с
А
о ^^ 7
С
,С
Но при допущении пустоты термина В данный силлогизм
дедуктивного решения не имеет (см. следующий пример).
Пример 7
В — пустой термин.
Некоторые А есть В,
Некоторые В есть С.
7 Л. 9
С ^С
Ничего не следует
А
С
Ничего не следует
Ничего не следует

221
Различие между правильными и неправильными силлогизмами
исчезает полностью, если допускается пустота всех трех терминов силлогизма,
то есть пустота всего универсума. В этом случае все силлогизмы имеют
дедуктивное решение. Данное заключение можно доказать строго, но мы
ограничимся иллюстрацией (см. следующий пример).
Пример 8
А, В и С— пустые термины.
Некоторые А есть В.
Некоторые В есть С.
Все А есть С.
Все А есть —iC.
Все Сесть —Л.
Все —|Сесть —Л.
Сделаем общий вывод. Отказ от допущения непустоты универсума в
относительной или абсолютной форме влечет ложность частных
заключений, но зато расширяет множество общих заключений. Среди них могут
присутствовать и противоположные суждения, которые в обычном случае,
когда выполняются все законы логического квадрата, несовместимы.
Кроме того, общие посылки и заключения могут быть истинны даже в случае

222
ложности подчиненных им частных суждений, что также запрещается
логическим квадратом. Но несмотря на все эти ограничения силлогистика без
экзистенциальных допущений имеет право на существование и нет
никаких оснований пренебрегать ее изучением в обычном курсе традиционной
логики. Тем более, что без ее специального анализа трудно понять
характерные особенности обычной силлогистики.
Возможность неэкзистенциальной силлогистики также доказывает
уже подчеркивавшийся фундаментальный факт - никакая логика не
свободна от нелогических допущений. Выявление, систематизация и анализ
логических следствий принятия каждого из них составляет задачу уже
конкретного исследования.
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Решите, если это возможно, следующие кэрролловские
силлогизмы.
1) Он дал мне пять фунтов стерлингов.
Я был в восторге.
2) Он всегда поет меньше часа.
Слушать пение в течение часа утомительно.
3) Ни один лентяй не достоин славы.
Некоторые художники — не лентяи.
4) Все бледные люди флегматичны.
Только те, кто бледен, имеют поэтическую внешность.
5) Ричард вне себя от гнева.
Никто, кроме Ричарда, не может ездить верхом на этой лошади.
6) Предусмотрительные путешественники имеют при себе деньги на
мелкие расходы.
Непредусмотрительные путешественники теряют свой багаж.
7) Золото тяжелое.
Ничто, кроме золота, не заставит его замолчать.
8) Скучные люди наводят тоску.
Когда скучный человек собирается уходить из гостей, его никогда
не просят остаться.
9) Все совы приятны.
Некоторые извинения неприятны.
10) Некоторые барашки распускаются на вербе.
Все барашки кудрявые.
11) Некоторые лысые люди носят парики.
У всех людей свои волосы.

223
12) Ласки иногда спят.
Все животные иногда спят.
2. Решите следующие кэрролловские сложные силлогизмы.
AI. Всякий, кто находится в здравом уме, может заниматься
логикой.
2. Ни один лунатик не может быть присяжным заседателем.
3. Ни один из ваших сыновей не может заниматься логикой.
B) 1. Никто не станет выписывать газету «Тайме», если он не
получил хорошего образования.
2. Ни один дикообраз не умеет читать.
3. Те, кто не умеет читать, не получили хорошего образования.
CI. Яркие цветы всегда благоухают.
2. Я не люблю цветов, выросших на открытом воздухе.
3. Ни один цветок, выросший на открытом воздухе, не имеет
бледной окраски.
D) 1. Мой доктор разрешает мне есть лишь не очень калорийные
блюда.
2. То, что я могу есть, вполне подходит для ужина.
3. Свадебные пироги всегда очень калорийны.
4. Мой доктор разрешает мне есть все, что подходит для ужина.
E) 1. Ни у одной продаваемой здесь книги, кроме тех книг, которые
выставлены на витрине, нет золоченого обреза.
2. Все авторские издания снабжены красным ярлычком.
3. Все книги с красными ярлычками продаются по цене от 5
шиллингов и выше.
4. Лишь авторские издания выставляются на витрине.
F) 1. Те, кто нарушают свои обещания, не заслуживают доверия.
2. Любители выпить очень общительны.
3. Человек, выполняющий свои обещания, честен.
4. Ни один трезвенник не ростовщик.
5. Тому, кто общителен, всегда можно верить.
G) 1. Все авторы литературных произведений, постигшие природу,
умные люди.
2. Ни одного автора нельзя считать истинным поэтом, если он не
способен волновать сердца людей.
3. Шекспир написал «Гамлета».
4. Ни один автор, не постигший природу человека, не способен
волновать сердца людей.
5. Только истинный поэт мог написать «Гамлета».

224
(8) 1. Любая моя мысль, которую нельзя выразить в виде силлогизма,
поистине смешна.
2. Моя мечта о сдобных булочках не стоит того, чтобы ее
записывать на бумаге.
3. Ни одну мою несбыточную мечту нельзя выразить в виде
силлогизма.
4. Мне не приходило в голову ни одной действительно смешной
мысли, о которой бы я не сообщил своему поверенному.
5. Я только и мечтаю, что о сдобных булочках.
6. Я никогда не высказывал своему поверенному ни одной мысли,
если она не стоила того, чтобы ее записать на бумаге.
(9) 1. Животные, которые не брыкаются, всегда невозмутимы.
2. У осла нет рогов.
3. Буйвол всегда может перебросить вас через ограду.
4. Животных, которые брыкаются, не легко проглотить.
5. Животное, у которого нет рогов, не может перебросить вас
через ограду.
6. Все животные, кроме буйвола, легко приходят в ярость.
3. Восстановите пропущенные посылки в следующих
умозаключениях:
1. Слово не воробей, вылетит — не поймаешь.
2. Скоро сказка сказывается, да не скоро дело делается.
3. Сколько веревку не вить, а концу быть.
4. Любишь кататься, люби и саночки возить.
5. Красна птица перьем, а человек ученьем.
4. Можно ли считать логическое следование тезиса из аргументов
достаточным условием его истинности? Аргументируйте свой ответ.
5. Определите в каждом из приведенных ниже отрывков вид
доказательства или опровержения. Проверьте правильность заключения.
«Количество движения, получаемое, если взять сумму количеств
движения, когда они совершаются в одну сторону, и разность, когда они
совершаются в стороны противоположные, не изменяется от
взаимодействия тел между собою.
Так как по закону III (третий закон движения Ньютона. — В, С. и К
П.) действие и противодействие между собой равны и противоположны, то
по закону II (второй закон движения Ньютона. — В. С. и И. П.) они
производят равные изменения количеств движения, направленные в
противоположные стороны. Таким образом, если движения двух тел направлены в

225
одну сторону, то что приложится к количеству движения тела, идущего
впереди, то вычтется из количества движения тела, за ним следующего, и
сумма количеств движения обоих тел останется прежняя. Если же тела
движутся в противоположные стороны, то вычтется поровну из количеств
движения каждого из них, и, следовательно, разность количеств движения,
направленных в обратные стороны, останется без перемены» {Ньютон И.
Математические начала натуральной философии. М.? 1989. - С. 45-46).
«Сальвиати. Если память не изменяет мне, первый аргумент,
приведенный синьором Симпличио, таков. Земля не может двигаться
кругообразно, так как подобное движение было бы для нее насильственным, а
потому не могло бы продолжаться вечно; далее, объяснение, почему оно
было бы насильственным, заключалось в том, что, будь оно естественным,
части Земли также естественно вращались бы, что невозможно, так как
этим частям по природе присуще прямолинейное движение вниз. На это
отвечу так: мне было бы желательно, чтобы Аристотель выразился точнее,
утверждая, что части Земли также двигались кругообразно; ведь это
кругообразное движение можно понимать двояко: во-первых, так, что всякая
частица, отделившаяся от своего целого, двигалась бы кругообразно
вокруг естественного центра, описывая свои маленькие кружочки; во-
вторых, так, что при вращении всего шара вокруг своего центра в двадцать
четыре часа и части также вращались бы вокруг того же центра в двадцать
четыре часа. Первое было бы несообразностью не меньшей, чем если бы
кто сказал, что всякой части круга надлежит быть кругом... Но если оно
понимается во втором смысле, то есть что части, подражая целому,
естественно движутся вокруг центра всего шара в двадцать четыре часа, то я
утверждаю, что они это и делают, и вам (собеседникам — В. С. и И. П.)
вместо Аристотеля надлежит доказать, что этого нет» (Галилео Галилей.
Избранные труды в 2-х томах. М, 1964. Т. 1. - С. 232).
«В самом деле, если планеты переносятся вокруг Солнца вихрями, то
число вихрей, расположенных в смежности с какою-нибудь планетою,
должны быть одной с ней плотности, как уже сказано выше. Таким
образом, вся материя, расположенная на орбите Земли, должна иметь ту же
плотность, как Земля, та же материя, которая лежит между орбитою Земли
и орбитою Сатурна, должна иметь или такую же плотность, или большую,
ибо для того, чтобы строение вихря могло сохраняться, необходимо, чтобы
менее плотные части были ближе к центру, более плотные — дальше от
центра... Таким образом, вся притом значительно большая часть вихря,
расположенная снаружи земной орбиты, будет обладать плотностью, а

226
значит, и силою инерции на каждый объем материи не меньшею, нежели
плотность и сила инерции Земли.
Следовательно, проходящие через вихрь кометы будут встречать
громадное сопротивление, которое и проявилось бы весьма ощутительно,
если только оно не оказалось бы достаточным, чтобы поглотить и
прекратить движение.
Чрезвычайно же правильное движение комет показывает, что они
подвержены даже в малейшей степени ощутительному сопротивлению.
Отсюда следует, что кометы совершенно не проникают в такую среду,
которая обладала бы каким бы то ни было сопротивлением или какою бы то
ни было инерцией...» {Ньютон И. Математические начала натуральной
философии. М., 1989. -С. 16-17).
«Рассмотрим в первую очередь последствия принятия
иррационализма. Иррационализм настаивает на том, что не столько разум, сколько
чувства и страсти являются основной движущейся силой человеческих
действий... Мое твердое убеждение состоит в том, что это иррационали-
стическое выпячивание страстей и эмоций должно в конечном счете
приводить к тому, что нельзя определить иначе, как преступление. Я считаю
так, потому что такое выпячивание страстей представляет собой в лучшем
случае одну из форм смирения перед иррациональной природой
человеческого бытия. В худшем же случае оно есть выражение презрения к
человеческому разуму, из чего следует обращение к принуждению и грубой силе
как последним арбитрам в любом споре» {Поппер К. Открытое общество и
его враги. М., 1992. Т.2. - С. 270).

227
ГЛАВА V. НЕДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ
Вся трудность физики, как будет видно, состоит в том, чтобы
по явлениям движения распознать силы природы, а затем по этим
силам объяснить остальные явления.
Исаак Ньютон. Математические начала натуральной
философии.
Всякое индуктивное умозаключение есть только обратное
применение дедуктивного умозаключения. Обладая известными
частными фактами или явлениями, выраженными в предложениях, мы
придумываем какое-нибудь общее предложение, выражающее
существование закона или причины; и выводя частные результаты из
этого предполагаемого общего предложения, мы наблюдаем,
согласуются ли они с имеющимися фактами. Значит, всегда
употребляется гипотеза, сознательно или бессознательно.
Джевонс С. Основы науки: Трактат о логике и научном
методе.
1. ПРОБЛЕМА ИНДУКЦИИ
Отличительная черта дедукции, используемой с научной целью, —
вывод необходимых заключений из известных и истинных посылок,
объяснение с помощью установленных причин их следствий. Но как
доказывается истинность самих посылок? Как становятся известными причины
наблюдаемых явлений? Если предположить, что истинность посылок
доказывается также дедуктивно, то есть что они являются следствием других и,
как правило, более общих утверждений, то это не дает ответа на
поставленный вопрос, а только передвигает его на новый уровень. Ибо мы снова
должны спросить себя, откуда мы знаем, что и новые посылки также
истинны. Принципиальный ответ может состоять лишь в том, чтобы
допустить существование недедуктивных умозаключений, с помощью которых
мы можем отбирать наиболее вероятных кандидатов на роль истинного
закона или причины49. Недедуктивно мыслить и не означает ничего иного,
как в согласии с опытом отгадывать, придумывать, предполагать, изобре-
49 «Поэтому дело опыта — доставлять начала каждого явления. Я имею в виду,
например, что опыт в знании о небесных светилах должен доставлять начала для учения о
небесных светилах, ибо лишь тогда, когда имеется достаточное число наблюдений
небесных явлений, можно найти доказательства (дедуктивные. — В. С. И И. П., И.П.) в
учении о небесных светилах. Равным образом обстоит дело и во всяком другом
искусстве и науке ...». Аристотель. Собр. соч. в четырех томах. Т. 2. М., 1978. - С. 182.

228
тать гипотезы, дающие объяснение какому-либо факту, событию, явлению.
Гипотезы, выдержавшие проверку, становятся посылками дедуктивных
умозаключений, пока не обнаружится новый факт, требующий
выдвижения и проверки новых гипотез. Этот процесс не может быть остановлен
или как-то радикально изменен. Нет прямого, то есть дедуктивного, пути
от частных фактов к общим причинам. Поэтому человек обречен по мере
расширения своего опыта изобретать и проверять гипотезы, чтобы найти
новое объяснение или решение. И поскольку каждый из нас делает это
ежедневно, то мы можем предположить, что недедуктивное мышление более
свойственно человеку, чем дедуктивное50.
Все недедуктивные умозаключения принято делить на индуктивные
и умозаключения по аналогии. Последние являются разновидностью
первых, так как обладают некоторой спецификой. Рассмотрим сначала
особенности индуктивных умозаключений.
Все индуктивные умозаключения связаны с решением проблемы
индукции, одной из труднейших и интереснейших в истории познания.
Ученый сталкивается с новыми фактами, которые не объясняются на
основании существующих законов. Возникает необходимость открытия нового
закона или уточнения старых. Произошло преступление. Необходимо
раскрыть его, то есть построить убедительную версию случившегося. В
поведении какого-либо человека возникли неожиданные изменения. Знакомые
этого человека попытаются отгадать их причину. Все эти ситуации
воспроизводят, хотя и в разных терминах, одну и ту же проблему. Есть факты,
которые нельзя объяснить существующими способами, так как причины
или законы, которым они подчиняются, неизвестны. Встает вопрос: как на
основании единичных фактов, событий получить знание управляющих
ими законов и причин? Данный вопрос выражает суть проблемы индукции
— проблемы восхождения от знания единичного к знанию общего. Вся
трудность решения этой проблемы состоит в невозможности
сформулировать однозначный алгоритм ее решения.
Простой пример поясняет смысл проблемы индукции. Пусть Г
обозначает выпадение герба и Р(Г) — вероятность выпадения герба.
Допустим, дана монета, вероятность выпадения герба которой неизвестна. В
первом бросании выпал герб. Какое устойчивое значение вероятности на ос-
50 «Из всего вышесказанного вытекает необходимость другого (индуктивного. — В. С.
И И. П.) пути для доказательства общих законов. Необходимо исходить из достоверных
фактов. Но эти факты следует рассматривать не как посылки, а как заключения каких-
то еще неизвестных силлогизмов, и гипотетически подбирать к ним, как у
заключениям, возможные посылки. ... Это процесс творческий, чуждый сухости традиционной
силлогистики. Само собой разумеется, он не представляет чего-либо нового,
неизвестного науке. ... Мы прибегаем к индуктивному методу значительно чаще, нежели об
этом думают». Орлов И. Е. Логика естествознания. M.-JL, 1925. — С. 17-18.

229
новании данного факта мы можем предположить? Так как выпал герб, то
исключается гипотеза, что устойчивое значение вероятности выпадения
герба равно нулю, но все остальные значения из этого интервала 0 < Р(Г)<
1 допустимы. Доказать, какое из этого бесконечного числа значений
вероятности истинно, и означает решить данную индуктивную проблему.
В процессе дедукции из посылок выводят заключения и первые
более известны, чем вторые. При индукции, наоборот, заключения, точнее
следствия, более известны, чем их посылки. Дедукция связана с
предположением, что все альтернативы данным посылкам ложны. Индукция,
наоборот, связана с предположением, что допустимо любое количество
гипотез, лишь бы они были совместимы с объясняемыми фактами. При
дедукции мы движемся в направлении отношения логического следования — от
истинности посылок к их истинным следствиям. При индукции наше
движение является обратным — от истинных следствий к их правдоподобным
посылкам. На этом основании индукцию часто определяют как обратную
дедукцию. Это правильное, но узкое определение. Оно не учитывает того
обстоятельства, что могут быть не только необходимые, но и
ненеобходимые следствия. Последний вид следствий дедукцией не охватывается. В
процессе дедукции мы не можем отбросить ни одного следствия, если оно
логически следует из посылок. В процессе индукции любая посылка может
быть отброшена, заменена другой, лишь бы она была совместима с
рассматриваемыми фактами. Выражаясь метафорически, мы можем сказать,
что при дедукции знание, выражаемое посылками, подчиняет себе
реальность; при индукции, наоборот, реальность, выраженная в знании фактов,
подчиняет себе знание, выражаемое посылками. Дедукция,
рассматриваемая вместе с индукцией, приобретает новую особенность. Индуктивно
обоснованные посылки имеют не достоверный, а гипотетический характер.
Вместо дедукции из аксиом мы получаем дедукцию из гипотез или, как
принято говорить, гипотетико-дедуктивную систему знания (рис. 1).
Индукция
Объясняющие
и предсказывающие
гипотезы
Дедукция
Факты, требующие
объяснения
и предсказания
Следствия
(объясненные
и предсказанные факты)
Рис. 1

230
Знак « на рис. 1 означает, что соответствие дедуцированных
следствий фактам, требующим объяснения или предсказания, всегда находится
под вопросом. Та гипотеза, чье следствие согласуется с фактами, считается
подтвержденной и временно принимается. Все гипотезы, чьи следствия не
согласуются с фактами, отбрасываются как неподтвержденные.
Можно выделить следующие обязательные стадии
функционирования гипотетико-дедуктивной системы.
1. В соответствии с фактами, требующими объяснения или
предсказания, и, возможно, другими данными изобретаются гипотезы о характере
предполагаемой причины или закона. Минимальное число возможных
гипотез равно двум — самой гипотезе и ее дополнению (логическому
отрицанию). Максимальное число возможных гипотез ничем, кроме
соображений удобства при проверке, не ограничивается.
2. Если рассматриваемая гипотеза не имеет логических следствий,
релевантных для объясняемых и предсказываемых фактов, то
осуществляется необходимая дедукция (вопрос о нелогических следствиях пока
анализироваться не будет). В окончательном списке остаются только те
гипотезы, которые обладают указанными следствиями.
3. С помощью техники обратной вероятности, которая объясняется в
следующем параграфе, определяется, какая из гипотез наиболее вероятна
(правдоподобна) относительно данных фактов.
4. Если ни одна из гипотез не получила необходимого
подтверждения, значит, истинная гипотеза не попала в первоначальный список. В этом
случае происходит возвращение к первой стадии и все повторяется вновь.
При решении проблемы индукции мы сталкиваемся с
необходимостью, во-первых, определять вероятности гипотез и, во-вторых,
вероятности предсказаний, основанных на этих гипотезах. В соответствии с этим
различают два вида индуктивных умозаключений. К первому из них
относятся те умозаключения, с помощью которых определяется наиболее
вероятная гипотеза. Ко второму виду относятся умозаключения,
позволяющие определять вероятности предсказаний различных единичных
событий. Теоретический базис обоих видов индуктивных умозаключений
составляет принцип обратной вероятности, который играет для
недедуктивных умозаключений ту же роль, что и понятие логического следования для
дедуктивных умозаключений.
2. ПРИНЦИП ОБРАТНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
История познания содержит много оригинальных попыток найти
общее решение проблемы индукции. Из них особого внимания заслужива-

231
ет принцип обратной вероятности, известный также как концепция
вероятности гипотез (причин, законов), как концепция индуктивной
вероятности51.
Пусть дано некоторое суждение А, а Р(А) обозначает его
вероятность. Как понимать выражение Р(А)? С точки зрения принципа обратной
вероятности вероятность любого суждения выражает некоторую меру его
истинности. Если А истинно, то Р(А) = 1. Если А ложно, то Р(А) = 0. Если А
не истинно и не ложно, то оно правдоподобно и значение вероятности А
лежит в интервале 0<Р(А) <1.
Пусть даны два суждения: А и В, Как связаны между собой их
вероятности? Ответить на этот вопрос просто, если А и В связаны каким-либо
логическим отношением. Допустим, В является логическим следствием А.
Тогда, предполагая А, мы всегда будем иметь В, Поэтому вероятность В
при условии, что дано А, равна 1. Это записывается как Р(В/А) = 1, где знак
«/» отделяет суждение В от его условия А. По этой причине вероятности
вида Р{А), Р(В) принято называть абсолютными (безусловными), а
вероятности вида Р(В/А) — условными. Если В несовместимо с А и Р(А)>0, то
Р(В/А) = 0. В тех случаях, когда суждение В представляет гипотезу, а
суждение А описывает некоторое наблюдаемое событие, то вероятность Р(В/А)
= 0 означает, что А опровергает В, Если Аи В эквивалентны, то Р(А) = Р(В)
и Р{А1В) = Р(В/А) = 1. Вероятность того, что суждения А и В истинны
одновременно, равна произведению Р(А)Р(В), если эти суждения
независимы, и произведению Р(А)Р(В/А) = Р(В)Р(А/В), если они зависимы.
Напомним, что два суждения считаются независимыми, если и только если из
истинности или ложности одного из них логически не следует ни
истинность, ни ложность другого. Вероятность, что А или В истинно, или оба
вместе истинны, равна Р(А) + Р(В) - Р(АВ), где Р(АВ) обозначает
вероятность одновременной истинности суждений А и В. Если А и В исключают
друг друга, тогда Р(АВ) = 0 и вероятность того, что А или В истинно, равна
Р{А) + Р{В). Сказанное суммируется следующим множеством аксиом,
достаточным для вероятностных вычислений.
Р2. Если В логически следует из А и Р(А)>0, то Р(В/А) = 1.
РЗ. Если А и В независимые суждения, то Р(АВ) = =Р(А)Р(В).
Р4. Если Aw В исключают друг друга, то Р(А или В) = Р(А) + Р(В).
Первая аксиома, Р1, устанавливает интервал значений вероятности
произвольного суждения А. Вторая аксиома, Р2, определяет вероятность
51 Об основных положениях и достигнутых результатах этой концепции см.: Светлое
В. А. Современные индуктивные концепции. Логико-методологический анализ. Л.,
1988.-С. 163-188.

232
логических следствий при допущении, что посылки не являются ложными.
Третья аксиома, РЗ, позволяет определить вероятность одновременной
истинности нескольких независимых суждений. Эту аксиому также
называют аксиомой умножения вероятностей. Четвертая аксиома, Р4, указывает
условие, при котором вероятности можно складывать. Поэтому ее часто
называют аксиомой сложения вероятностей.
Рассмотрим два важных следствия приведенных аксиом. Пусть дано
произвольное суждение А. Чему равна вероятность его дополнения —А!
Чтобы узнать ответ, заменим в Р4 суждение В на —А. Получаем Р(А или
—Л) = 1, так как сложное суждение (А или —А) является логически
истинным. Следовательно, истинно 1 = Р(А) + P(—iA). Откуда следует, что Р(—А)
= \-Р(А).
Вторым важным следствием является обсуждаемый принцип
обратной вероятности. Но прежде, чем остановиться на его содержании,
рассмотрим кратко, в чем состоит принцип прямого применения вероятности.
Допустим, у нас имеется монета, при бросании которой вероятность
выпадения герба точно известна. Этому случаю соответствует
предположение, что имеется только одна гипотеза о значении вероятности герба и
она истинна. Определим вероятность выпадения герба как причину, а
вероятности наблюдаемых относительных частот как ее следствия. Прямое
применение вероятности означает, что если мы знаем вероятность
(причину), то мы всегда можем определить вероятность наблюдаемого в опыте
значения относительной частоты (следствия). Пусть вероятность
выпадения герба известна и равна 1/2. Чему равна вероятность, что в пяти
бросаниях монеты герб выпадет пять раз? Ответить на этот вопрос означает
решить задачу прямого применения вероятностей. Так как событие «В пяти
бросаниях монеты герб выпал пять раз» может реализоваться всего одним
способом и так как все бросания независимы, то, согласно РЗ, следует, что
Р(ГГГГГ) = Р(Г)Р(Г)Р(Г)Р(Г)Р(Г) = A/2M =1/32.
Итак, прямое применение вероятности основывается на следующем
методологическом принципе: если известна причина, то мы всегда можем
узнать ее следствие. Здесь под причиной понимается устойчивое значение
вероятности, а под следствием — предсказываемая вероятность ее
наблюдаемого проявления, то есть фиксируемой в опыте относительной частоты.
Из закона больших чисел мы знаем, что по мере увеличения числа
испытаний наблюдаемая частота стремится совпасть с устойчивым значением
вероятности.
Смысл обратного применения вероятности основывается на
принципе, обратном только что сформулированному: если нам известны
следствия, то мы можем выдвигать предположения об их причинах и выбирать из

233
них наиболее правдоподобное. Само же обратное применение вероятности
означает нахождение по известной из опыта относительной частоте
устойчивого значения вероятности.
Более точно принцип обратной вероятности можно сформулировать
так:
Вероятность причины (устойчивого значения вероятности) на
основании следствия (наблюдаемой частоты) пропорциональна произведению
абсолютной вероятности этой причины на условную вероятность
следствия относительно данной причины:
ДПричина/Следствие) « ДПричина)
х ДСледствие/Причина).
Чтобы получить вероятностный аналог A), введем новые
обозначения. Пусть Н обозначает гипотезу об устойчивом значении вероятности
интересующего нас события, Е — некоторое наблюдаемое событие,
вероятность которого мы хотим определить. Мы будем говорить, что Р(Н)
является априорной (доопытной, начальной) вероятностью гипотезы Н,
Р(Н1Е) —апостериорной (послеопытной) вероятностью гипотезы Н, Р(Е/Н)
— правдоподобием гипотезы Н. Априорная вероятность гипотезы
указывает меру ее истинности до проведения опыта, апостериорная вероятность
— после проведения опыта — наблюдения события Е. Правдоподобие
гипотезы Н при происшедшем событии Е выражает ее вероятность как
причины этого события (если Е только предсказывается, то Р(Е/Н) выражает
степень благоприятствования Е гипотезе Н как своей возможной причине).
Эта вероятность интересна тем, что иллюстрирует очень важный
гносеологический принцип: то, что мы наблюдаем, не является абсолютно
объективным, а всегда обусловлено определенными допущениями или
гипотезами о причинах наблюдаемого.
С учетом сделанных разъяснений и обозначений получаем
вероятностный аналог A):

234
1. P(E)P(H IE) = Р(Н)Р(Е IH) {симметричность
вероятностной меры)
2.Р(Е)Р(Н/Е) =
Р{НЕ)
З.Р(Н/Е) =
Р(Е)
:0 B)
Е) \
Р{Е)
Содержание B) можно прочитать так: апостериорная вероятность
причины, обозначаемой //, пропорциональна произведению априорной
вероятности этой причины, умноженной на ее правдоподобие, и обратно
пропорциональна вероятности ее предполагаемого следствия.
Как указывалось, минимальное число гипотез равно двум — самой
гипотезе и ее дополнению. Пусть —лН обозначает дополнение гипотезы Н.
Очевидным обобщением B) является формула
Формула C) принципиально ничем не отличается от B) и говорит,
что вероятность причины на основании следствия должна рассматриваться
относительно суммы вероятности этой причины и ее дополнения на
основании одного и того же следствия.
Теперь допустим, что имеется несколько взаимно исключающих и
совместно исчерпывающих базисное знание гипотез Н\9 Н2, ..., Нп. В этом
случае C) обобщается до
P(Hf IЕ) = / ^ V J— D)
/Я,)'
i=\
Существуют и другие обобщения C), но они здесь рассматриваться
не будут. Формула D) позволяет находить вероятности гипотез и тем
самым позволяет решать индуктивные умозаключения первого вида.
Нас могут интересовать не только вероятности гипотез, но и
вероятности предсказываемых событий. Пусть Еп>т обозначает, что в п
испытаниях было т успешных исходов. Иными словами, Еп>т обозначает
относительную частоту т/п рассматриваемого события. Зная вероятность Еп>т,
мы можем вычислить вероятность успеха в п + 1 испытании, то есть веро-

235
ятность события Еп+^т+и или вероятность относительной частоты (т+1) /
(/7+1). Из D) следует, что эта вероятность равна:
п
УРН/Б -1 ' E)
Формулы D) и E) вместе с обосновывающими их логико-
математическими и методологическими положениями образуют
концепцию обратной вероятности (вероятности гипотез, индуктивной
вероятности). Ее основным тезисом является признание сложной концептуальной
природы вероятности гипотез и совершаемых на их основе предсказаний.
Эта вероятность не сводится ни к наблюдаемым частотам, ни к логическим
особенностям языка, в терминах которого формулируется индуктивное
умозаключение, ни к личной вере исследователя в правоту или ложность
рассматриваемой гипотезы, а скорее объединяет их и выражает в
некоторой интегральной форме. Это — источник и слабости и силы концепции
обратной вероятности. Слабость заключается в том, что в некоторых
случаях очень сложно определить вероятность гипотезы, закона или причины
достаточно надежно, а сила — в том, что, будучи чувствительными к
концептуальным допущениям, индуктивные вероятности могут отражать
влияние не только непосредственно наблюдаемых факторов, но и более
фундаментальных факторов, скрытых, как правило, от наших глаз. Сила
индуктивных вероятностей состоит также в том, что они представляют
собой гибкий инструмент познания. Изменяясь в соответствии с
накапливаемыми данными, индуктивные вероятности позволяют успешно учиться на
опыте и, что самое главное, исправлять допущенные ранее ошибки и
неточности.
3. ИНДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ ПЕРВОГО
ВИДА: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ГИПОТЕЗ
Рассматриваемые индуктивные умозаключения имеют следующий
общий вид. Произошло событие Е и имеется несколько альтернативных
гипотез о его причинах или законах, которым оно подчиняется: Ни Н^ ...,
Нп. Необходимо определить наиболее вероятную гипотезу (причину,
закон).

236
Допустим, что априорные вероятности гипотез одинаковы и событие
Е происходит ровно один раз. Тогда формулы C) и D) принимают более
простой вид:
Р(Н; I E) =
Р(Е/Н) + Р(Е/-Н)
P(E/Hj)
Из F) и G) следует, что главным элементом в определении
вероятности гипотез является их правдоподобие. Напомним, что правдоподобие
гипотезы Н относительно происшедшего события Е обозначает ее
вероятность как причины этого события. Согласно F) и G), вероятность того, что
причина события Е указывается гипотезой Н или Щ пропорциональна ее
правдоподобию, деленному на сумму правдоподобий всех
рассматриваемых гипотез.
В тех случаях, когда рассматриваются последовательности
повторяющихся и независимых испытаний (опытов), то правдоподобия
вычисляются согласно следующим формулам.
Пусть дана последовательность из п одинаковых и независимых
испытаний с двумя возможными исходами («успех» или «неудача»). Такая
последовательность генерируется, например, бросанием монеты. Пусть
ЕПуШ обозначает событие т/п — относительную частоту т успешных
исходов в п испытаниях. Пусть х обозначает вероятность успеха, A-х) —
неудачи согласно при предположении истинности гипотезы //,
С™ =п\т\(п-т)\ — общее число возможностей осуществления события Е^т,
равное числу сочетаний из п по т. При этих допущениях правдоподобие
гипотезы //равно:
(8)
Допустим, монета бросалась пять раз и два раза выпадал герб. Тогда
рассматриваемым событием будет ?5,2- Допустим, Н = вероятность
выпадения герба равна 1/4. Тогда правдоподобие этой гипотезы относительно
происшедшего события равно:

237
P(E52 IH) = C52(l/4JC/4K;5!/2!3!x 1/16x27/64 = 0,264.
Пусть дана последовательность из п одинаковых и независимых
испытаний с к возможными исходами, к>2. При к = 6 такая
последовательность генерируется бросанием игральной кости. Так как имеется к
возможных исходов, то событие Еп>т представляет некоторую комбинацию из
Emh Етъ„Етк возможных исходов, где т\, 7W2,...,/w* — целые
неотрицательные числа и гп\ + ni2+...+mk=m. Согласно гипотезе //, каждый
возможный исход Ет имеет некоторую вероятность х/? такую, что jti+jt2+...+JCk=l.
Общее число возможностей осуществления события Ет>п равно
п\1т\ \т2\...9тк» При этих допущениях правдоподобие гипотезы //равно:
Р (Еп>т/Н) = п\1тх\т2\...тк\хтх хт\.. хщ . (9)
При т=т\+т2 формула (9) эквивалентна (8).
Предположим, что в четырех бросаниях игральной кости три раза
выпало шесть очков и один раз два очка. Тогда событие Е^т эквивалентно
следующему распределению:
/7 = О F = ] F — О F = О F = О F =1
Допустим, Н = вероятность выпадения шести очков равна 3/8, а всех
остальных — 1/8. Из формулы (9) следует:
-4x1/8x27/512 = 0,026.
Определим понятия подтверждения и дисподтверждения гипотезы.
Мы будем говорить, что гипотеза Н подтверждается событием Е, если и
только если
Р(Н/Е)>Р(Н); A0)
что гипотеза Н дисподтверждается событием Е, если и только если
Р{Н1Е)<Р{Н)\ A1)
что гипотеза Н не подтверждается и не дисподтверждается событием Е,
если и только если
Р(Н1Е)=Р(Н). A2)

238
Таким образом, гипотеза Я подтверждается событием Е, если и
только если его наблюдение увеличивает апостериорную вероятность Я в
сравнении с ее априорной вероятностью; дисподтверждается событием Е,
если и только если его наблюдение уменьшает апостериорную вероятность
Я в сравнении с ее априорной вероятностью; не подтверждается и не
дисподтверждается событием Е, если и только если его наблюдение не
увеличивает и не уменьшает апостериорную вероятность Я в сравнении с ее
априорной вероятностью.
Рассмотрим несколько примеров индуктивных умозаключений
рассматриваемого вида.
Пример 1
Брошенная один раз монета выпала гербом (Т), то есть Е = Е\\.
Истинное значение вероятности выпадения герба неизвестно, но имеется пять
гипотез относительно этого значения. Н\\ Р(Г) = О, Я2: Р(Г) = 1/4, Я3: Р(Г)
= 1/2, Я4: Р(Г) = 3/4, Я5: Р(Г) = 1. Все гипотезы равновероятны, Р{Н\) =
Р(Н2) = ДЯ3) = ДН4) = Р(Н$) =1/5. Какое значение вероятности выпадения
герба, то есть какая причина, наиболее вероятно на основании Е\\1
Правдоподобия гипотез равны соответственно: Р(Е\\/Н\) = О,
Р(ЕХЛ1Н2) = 1/4, Р(Еи/Н3) = 1/2, Р(Е1Л/Н4) = 3/4, Р(Еи1/Н5) = 1. Их сумма
равна: 0 + 1/4 + 1/2 + 3/4 + 1 - 10/4.
Так как априорные вероятности гипотез равны, то используем
формулу G). Получаем: Р(НХ1ЕХЛ) = 0, Р(Н2/Е1Л) = 1/10, Р(Н3/Е1Л) = 2/10,
Р(Н4/Е1А) = 3/10, Р(Н5/Е1Л) = 4/10.
Сумма апостериорных вероятностей всех гипотез равна 1. Это
означает, что какая-то одна из них указывает на истинное значение
вероятности (истинную причину события ?). Результаты вычислений показывают,
что Н{ опровергается, Я2 дисподтверждается, Я3 не подтверждается и не
дисподтверждается, Я4 и Я5 подтверждаются событием Е. Но
апостериорная вероятность Я5 больше апостериорной вероятности Я4.
Следовательно, Hs более вероятна в качестве истинной причины события Е.
Пример 2
В четырех бросаниях монеты из первого примера три раза выпал
герб. Следовательно, Е = Е4уз. Какая из гипотез Я2, Я3, Я4, Я5 наиболее
вероятна относительно Е1 Допустим снова, что все гипотезы равновероятны
до проведения испытаний. Из (8) следует:
Р(Е4,ъ IЩ = с\ A/4KC/4) = 4x1/64x3/4 = 3/64
()() = 4x1/8x1/2- 16/64
Р(?4,з / Я4) = с\ C/4KA/4) = 4x27/64x1/4 = 27/64

239
P(E4j/H5) = c\ (lK@) = 4x1x0 = 0 .
Сумма правдоподобий всех гипотез равна 46/64. Следовательно,
P(H2/E4j) = 3/46, ДЯ3/?4,з) = 16/46, Р(Я4/Я4,з) = 27/46, ДЯ5/Я4,з) = 0.
Априорная вероятность каждой из гипотез равна 1/4. Следовательно,
Я2 дисподтверждается, Яз и Н4 подтверждаются, а Я5 опровергается. Из Я3
и Н4 более вероятной является Н4. Значит, эта гипотеза более вероятна в
качестве причины Е.
Пример 3
Десять раз бросается монета с неизвестным значением герба.
Имеется гипотеза о его возможном значении, Я: Р{Г) = 2/5. Дополнением Я
будет предположение -Я: Р(Г) = 3/5. Требуется определить для каждого т =
0, 1,2, ..., 10 апостериорные вероятности каждой из гипотез. Допустим, что
гипотезы равновероятны, Р(Н) = Р(-Н) =1/2.
Вычислим сначала отношение правдоподобий Я и -Я друг к другу:
_с;B/5ГC/5Г'" =B/5ГC/5Г"' =
Из формулы C) следует:
Р(Епт IH)
Р{Н1Еп<т) =
Р{Епт IН) + Р{Епт I -Н)
Результаты вычислений представлены в табл. 1.

240
Таблица 1
Изменение апостериорных вероятностей гипотез// и -i//c
равными априорными вероятностями в зависимости от изменения
значения /// в последовательности из 10 бросаний монеты
м
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Р(Н/Е10.т)
0,98295
0,96245
0,91929
0,83505
0,69231
0,50000
0,30769
0,16195
0.08071
0,03755
0,01705
P(—iH/Ew<m)
0,01705
0,03755
0,08071
0,16495
0,30769
0.50000
0,69231
0,83505
0,91929
0,96245
0,98295
Из таблицы 1 следует, что гипотеза Н подтверждается, если в 10
бросаниях монеты зафиксирована хотя бы одна из следующих частот
выпадения герба — 0/10, 1/10, 2/10, 3/10, 4/10.Ее дополнение подтверждается, если
зафиксирована хотя бы одна из частот — 6/10, 7/10, 8/10, 9/10, 10/10. Обе
гипотезы индуктивно независимы при частоте 5/10. Подтверждение
//влечет дисподтверждение —i// и наоборот. Можно сделать следующий вывод:
когда мы сравниваем апостериорные вероятности некоторой гипотезы и ее
дополнения, то их изменения носят противоположный характер.
Пример 4
В трех бросаниях игральной кости один раз выпало три очка и два
раза шесть очков. Следовательно, Ет = 0, Ет = 0, Етъ= 1, Ещ= 0, Ет = 0,
Етв= 2. Имеются две гипотезы о вероятностях выпадения очков. Согласно
первой, кость симметричная и вероятность выпадения каждого очка равна
1/6. Следовательно, Н\\ jci=jc2=jc3=jc4=X5=jc6=1/6. Согласно второй гипотезе
центр тяжести кости немного смещен в сторону шести очков, Я2:
Xi=X2=jc3=jc4=jc5=1/7, хб=2/7. Априорные вероятности гипотез одинаковы.
Какая из них более вероятна относительно Е1 Ответ следует из
применения формул (9) и F).
Р(Е/НХ) = 3!/0!0!1!0!0!2!хA/6)° A/6)° A/6) A/6)° A/6)° A/6J =
= 3x1x1x1/6x1x1x1/36 = 3/216 = 0,0139 .

241
Р{Е/Н2) = 3!/0!0!1!0!0!2!хA/7)° A/7)° A/7) A/7)° A/7)° B/7J =
= 3x1x1x1/7x1x1x4/49 = 12/343 = 0,0350 .
Сумма правдоподобий гипотез равна 0,0489. Следовательно, Р(Н\/Е)
= 0,284 и Р(Н2/Е) = 0. 716. Итак, Н2 более вероятна, чем Н\. Кроме того, Н2
подтверждается, тогда как Н\ дисподтверждается.
Рассмотрим несколько примеров, когда априорные вероятности
гипотез не равны.
Пример 5
В комнате имеется несколько урн с шарами красного и синего цвета.
Известно, что в некоторых урнах относительная частота красных шаров
равна 4/5, а в остальных — 3/8. Вероятность выбрать урну с относительной
частотой 3/8 равна 2/3. Из произвольно выбранной урны наугад был
вытащен красный шар. Из урны какого вида более всего вероятно вытаскивание
этого шара?
В данной задаче вид урны следует интерпретировать как возможную
причину осуществившегося события — вытаскивания красного шара.
Поскольку видов урн два, то мы имеем две возможные причины. Априорные
вероятности этих причин неодинаковы, что говорит о разных начальных
условиях, в которых они должны сравниваться. Пусть Н\ обозначает урны
с относительной частотой красный шаров 4/5 и Н2 — урны с
относительной частотой красных шаров 3/8. Их априорные вероятности равны
соответственно 1/3 и 2/3. Это означает, что до всякого опыта гипотеза Н\ менее
правдоподобна, чем гипотеза Н2. Сможет ли опыт изменить эту априорную
несимметричность?
Правдоподобия гипотез равны: Р{Е1Н\) = 4/5, Р{Е1Н2) = =3/8, где Е
обозначает случайное вытаскивание красного шара из произвольно
выбранной урны. Гипотезы Н\ и Н2 логически исключают друг друга. Из
формулы C) следует:
Р{НХ,Е) =
1/3x4/5 =16/31
1/3x4/5 + 2/3x3/8

242
Итак, хотя априори Н\ менее вероятна, чем Я2, она более вероятна
апостериори. Гипотеза Н\9 кроме того, получила подтверждение, так как
Р{Н\1Е) = 0,516 > Р(Н\) = 0,333, а гипотеза Н2 — дисподтверждение, так
как Р(Н2/Е) = 0,484 < Р(Н2) = 0,667. Неточно выбранные априорные
вероятности были заменены более точными апостериорными вероятностями.
Именно в изменении вероятностей наших базисных допущений о мире и
состоит смысл фразы «учиться на опыте». Более полно эта мысль
иллюстрируется следующим примером.
Пример 6
За исключением значений априорных вероятностей, все остальные
условия как и в третьем примере. Пусть Р(Н) = 0,8 и Р(—Л) = 0,2.
Априорное доверие к //, таким образом, значительно выше, чем к ее дополнению.
Имеем:
P{H)P{EnmIH)
0,8 x г2"-""
P(HIEnJ =
0,82+0,2
Р{-,Н1Епт)^\-Р{Н/Епт).
Остальные данные указаны в табл. 2.
Из табл. 2 следует, что частоты 0/10, 1/10, 2/10, 3/10, 4/10
подтверждают гипотезу Н и дисподтверждают гипотезу —Л. Частоты 6/10, 7/10,
8/10, 9/10, 10/10 подтверждают гипотезу —Л и дисподтверждают гипотезу
Н. Частота 5/10 не подтверждает и не дисподтверждает ни одну из этих
гипотез. Как и в случае с равными априорными вероятностями,
апостериорные вероятности изменяются в зависимости от результатов опыта. Эти
изменения демонстрируют важный факт теории индуктивных
умозаключений: апостериорная вероятность истинной гипотезы при неограниченном
увеличении числа независимых испытаний достигает единицы, а
апостериорные вероятности всех ее альтернатив — нуля как своих пределов.

243
Таблица 2
Изменение апостериорных вероятностей гипотез Н и —i// с
неравными априорными вероятностями @,8 и 0,2 соответственно) в зависимости
от изменения значения т в последовательности из 10 бросаний монеты
м
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Д#/Я,о,т)
0,99568
0,99034
0,97852
0,95294
0,90000
0.80000
0,64000
0,44138
0,25980
0,13550
0,06487
Р(^Н/Е10,т)
0,00432
0,00966
0,02148
0,04706
0.10000
0,20000
0.36000
0.55862
0,74010
0.86450
0,93513
Из табл. 2 следует, что частоты 0/10, 1/10, 2/10, 3/10, 4/10
подтверждают гипотезу Н и дисподтверждают гипотезу -и//. Частоты 6/10, 7/10,
8/10, 9/10, 10/10 подтверждают гипотезу —Л и дисподтверждают гипотезу
Н. Частота 5/10 не подтверждает и не дисподтверждает ни одну из этих
гипотез. Как и в случае с равными априорными вероятностями,
апостериорные вероятности изменяются в зависимости от результатов опыта. Эти
изменения демонстрируют важный факт теории индуктивных
умозаключений: апостериорная вероятность истинной гипотезы при неограниченном
увеличении числа независимых испытаний достигает единицы, а
апостериорные вероятности всех ее альтернатив — нуля как своих пределов.
Пример 7
Пусть дана игральная кость, стороны с нечетными очками которой
окрашены в желтый цвет, а стороны с четными очками — в голубой.
Имеются две гипотезы о вероятностях выпадения очков. Согласно первой,
вероятность выпадения всех очков одинаковая и равна соответственно 1/6.
Согласно второй гипотезе, вероятность выпадения шести очков равна 2/6, а
остальных очков — 2/15. Обе гипотезы имеют равные априорные
вероятности. Допустим, при бросании кость выпала голубой стороной.
Подтверждается ли вторая гипотеза?

244
Пусть Н обозначает первую гипотезу, —\Н — вторую, Е — выпадение
голубой стороной. В голубой цвет окрашена сторона с двумя, четырьмя и
шестью очками. Следовательно, Е эквивалентно или #2, или Е*9 или Ев, где
Eit i = 2, 4, 6, обозначает сторону с соответствующим числом очков. По
условию Р(Н) = Д-пЯ) - 1/2.
Имеем:
= Р(Е2/Н)+Р(ЕА/Н)+Р(Е6/Н) = 1/6+1/6+1/6-1/2
Р(Е/Н)+Р(Е/^Н) = 1/2+3/5 = 11/10.
Следовательно, Р{Н1Е) = 6/11 = 0,545 и Р(-^Н) = 5/11 = = 0,455. Так
как Р(Н/Е) > Р(Н) и Р(—Л/Е) < Р(-тН)9 то делаем вывод, что вторая
гипотеза не подтверждается.
4. МЕТОДЫ ОТКРЫТИЯ И ДОКАЗАТЛЬСТВА
ПРИЧИННОЙ СВЯЗИ Дж. Ст. МИЛЛЯ КАК
ИНДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ О
ВЕРОЯТНОСТЯХ ГИПОТЕЗ
Джону Стюарту Миллю A806-1873), одному из корифеев логики и
методологии XIX в., принадлежит попытка создать одинаково
убедительную теорию доказательства как для математических, так и для
нематематических наук52. Если для первых, по мнению Милля, более или менее
удовлетворительной теорией доказательства является силлогистика
Аристотеля, то для вторых никакой теории доказательства, дающей
достоверные заключения, не существует. Обобщив результаты трудов своих
предшественников, Милль попытался исправить эту асимметрию. Им было
сформулировано пять методов открытия и доказательства причинной
связи, которые, по его замыслу, должны были поставить гуманитарные и
естественные науки на надежную основу, а их заключения сделать
убедительными для всех.
Рассмотрим эти методы последовательно, но прежде укажем, что
Милль понимал под причинной связью. Согласно Миллю, событие А
является причиной события В, если и только если A) В является необходимым
условием существования А и B) -iB является необходимым условием
существования -А. Данным определением исключаются ситуации, в которых
52 Милль Д. С. Система логики силлогистической и индуктивной. М., 1900.

245
событие А есть, а события В нет, а также ситуации, в которых события А
нет, а событие В есть. Иными словами, если А и В связаны причинной
связью, то они в равной степени необходимы друг для друга. Это объясняет,
почему Милль одно и то же событие часто называет и причиной и
следствием одновременно.
Метод сходства
«Если два или более случая подлежащего исследованию явления
имеют общим лишь одно обстоятельство, то это обстоятельство, в котором
только и согласуются все эти случаи, есть причина (или следствие)
данного явления»53.
Следующее шутливое рассуждение иллюстрирует данный метод.
Позавчера утром черная кошка перебежала мне дорогу, и к вечеру у меня
испортилось настроение. Вчера днем и в другом месте черная кошка снова
перебежала мне дорогу, и к вечеру у меня опять было скверное
настроение. Я делаю вывод, что черная кошка, вероятнее всего, является причиной
моего плохого вечернего настроения, так как она представляет
единственное общее обстоятельство последних двух дней.
Сразу же отметим, что наш анализ преследует цель найти общее
решение поставленных Миллем проблем, не зависящее от вероятностей
конкретных событий и даже от того, могут ли они вообще быть
интерпретированы вероятностным образом.
Сформулируем данный метод на языке индуктивных умозаключений
о вероятностях гипотез. Пусть Е обозначает исследуемое явление, АВ —
первую последовательность предшествовавших Е событий, АС — вторую
последовательность предшествовавших Е событий.
Умозаключение в целом имеет следующий вид.
Если события АВ и АС предшествовали появлению события Е, то
правдоподобно считать событие А причиной события Е.
Из А, В, С и Е можно образовать 24 = 16 возможных миров, в
которых могут быть истинны или ложны обозначаемые этими буквами
события. Если известны вероятности возможных миров, в сумме равные 1,
тогда легко вычислить вероятности интересующих нас комбинаций. Весь
вопрос в том, как распределить вероятности возможных миров, не
исключенных условиями рассматриваемого примера. Ведь в общем случае это
можно сделать бесконечным числом способов.
Примем следующий принцип распределения вероятностей
возможных миров в том случае, когда нам неизвестны фактические частоты
рассматриваемых событий: эквивалентные (симметричные) возможные ми-
53 Милль Д. С. Указ. соч. - С. 313.

246
ры, представляющие одну и ту лее частоту знака отрицания, должны
иметь равные вероятности. Несмотря на свою простоту этот принцип
настолько фундаментальный, что без всякого преувеличения можно сказать
— без его выполнения никакое успешное познание из опыта невозможно.
Рассмотрим возможные миры (АВ—iQ, (А—лВС), {—ЛВС). Несмотря на
то, что в этих мирах разные буквы входят со знаком отрицания, сами миры
являются эквивалентными (симметричными). Причина симметрии — в
представлении одной и той же частоты знака отрицания, именно 1/3.
Возможные миры (A-iB-iC), (-AB-iC) и (-А-^ВС) также симметричны, но уже
относительно частоты 2/3. Возможный мир (ABC) эквивалентен только
самому себе относительно частоты 0/3. Возможный мир (—А—&—\С) также
эквивалентен только самому себе относительно частоты 3/3.
Кратко данный принцип мы будем называть принципом симметрии,
имея в виду симметрию возможных миров относительно некоторого
значения частоты знака отрицания. Данный принцип должен выполняться для
любого числа неисключенных условиями умозаключения возможных
миров. Минимальное число таких возможных миров равно единице. В этом и
только в этом случае он автоматически получает вероятность 1.
Симметричное распределение вероятностей в указанном смысле
осуществляется только над теми возможными мирами, которые не
исключаются условиями решаемой задачи. В нашем случае исключению подлежат
возможные миры (ABC-iE), (AB-iC—iE), (A—iBC^E), так как, по
определению причинной связи, Е является необходимым условием существования
предшествовавших событий АВ к АС. По этим же соображениям
исключается возможный мир (—A-iB-iCE), так как, по этому же определению, по
крайней мере одно из событий А, В или С является необходимым условием
существования Е.
В итоге мы получаем следующее распределение вероятностей
возможных миров для проверки справедливости метода сходства (табл. 3).
Поясним процесс распределения вероятностей. Распределение
знаков отрицания по четырем терминам дает следующие значения
относительных частот: 0/4, 1/4, 2/4, 3/4, 4/4. Принцип симметрии вынуждает нас
считать все эти частоты равновероятными. Следовательно, каждая из них
получает вероятность 1/5. Частоту 0/4 представляет только один
возможный мир — (АВСЕ). По этой причине его вероятность равна 1/5.
Частоту 1/4 представляют возможные миры под номерами 2, 3, 6. Так как
симметричные миры должны иметь равные вероятности, то каждый из них
получает вероятность 1/15. Для проверки правильности проведенного
распределения вероятностей вероятности симметричных возможных миров
полезно сложить, чтобы убедиться, что их сумма равна вероятности
представляемой относительной частоты. Проверяем: 1/15 + 1/15 + 1/15 = 1/5.
Значит, распределение вероятностей проведено правильно.

247
Таблица 3
Распределение вероятностей возможных миров для проверки
метода сходства
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
АВСЕ
АВ^СЕ
А^ВСЕ
А^В^СЕ
А^В^С^Е
-АВСЕ
-ABC-iE
-ЛВ^СЕ
-ЛВ^С^Е
-Л-^ВСЕ
-Л-SC^E
-А^В^С^Е
1/5
1/15
1/15
1/20
1/15
1/15
1/20
1/20
1/15
1/20
1/15
1/5
Частоту 2/4 представляют возможные миры под номерами 4, 7, 8, 10.
Поскольку их четыре, то каждый из них получает вероятность 1/20. Если
сложить эти вероятности, то мы получим 1/5 — вероятность частоты 2/4.
Частоту 3/4 представляют возможные миры под номерами 5, 9, 11.
Каждый из них получает вероятность 1/15 ив сумме они также дают 1/5.
Частоту 4/4 представляет только один возможный мир,
(—Л—\В—\С—лЕ). Его вероятность поэтому равна 1/5.
Если сложить вероятности всех возможных миров, то мы получим 1,
что означает, что распределение вероятностей проведено правильно.
Если известны вероятности возможных миров, то легко вычисляются
вероятности, условные и безусловные, любого термина, выразимого в
терминах А, В, С, Е. Абсолютная вероятность события равна сумме
вероятностей тех возможных миров, членом которых он является. Например, мы
хотим вычислить вероятность события АВ без каких-либо условий.
Получаем: Р(АВ) = Р(АВСЕ) + Р(АВ-^СЕ) = 1/5 + 1/15 = 4/15.
Абсолютные вероятности остальных событий вычисляются
аналогично.
Для вычисления условных вероятностей перепишем формулу B)
следующим образом:
Р(Н/ Е) =
Р(НЕ)
Р(Е)
Р(Е)>0
A3)

248
где Н и Е могут обозначать любые события. Согласно A3), условная
вероятность события равна результату деления вероятности этого события
вместе с условием на вероятность условия. Так, условная вероятность события
В при условии А равна:
Р(А) 27/60
После этих разъяснений вернемся к теме обсуждения. Нас
интересует, может ли А считаться вероятной причиной события Е. Нас интересует,
следовательно, значение вероятности Р(А/Е) в сравнении, во-первых, с
априорной вероятностью А, Р(А), и с вероятностью дополнения А
относительно Е, Р(-Л/Е). Из табл. 3 следует: Р{А) = 27/60 = 0,45; Р(-Л) =
=1-ДЛ)=0,55; Р(А/Е)=23/33=09697; Р(-А/Е)=\-Р(А/Е)=0,303. На основании
этих вычислений можем сделать однозначный вывод: при указанных
условиях метод сходства гарантирует, что событие А в качестве причины
события Е более вероятно, чем все его альтернативы, выражаемые событием
—\А. Из вычислений следует также, что Е подтверждает А и одновременно
дисподтверждает —А, Если бы А предшествовало Е в большем числе
случаев, чем рассматривалось, тогда результаты подтверждения и диспод-
тверждения были бы более контрастными. Иными словами, чем больше
наблюдается подтверждающих гипотезу событий, тем выше ее
апостериорная вероятность в качестве причины (закона) этих событий. В этом и
состоит основная идея метода сходства.
Отметим, что заключение, полученное с помощью метода сходства,
перестает быть необходимым и может быть даже ложным при
несимметричных распределениях вероятностей возможных миров. Допустим,
например, такое распределение: вероятность возможного мира (-АВСЕ)
равна 1, а всех остальных возможных миров — 0. Такое распределение не
является симметричным, но оно удовлетворяет условиям метода сходства.
Следует: Р(А) = Р(А/Е) = 0, Р(-А) = Р(-Л/Е) = 1. Вместо подтверждения А в
качестве причины Е мы получили опровержение этого предположения.
Данный пример свидетельствует о том, что симметричное распределение
вероятностей является достаточным и необходимым условием не только
метода сходства и остальных методов Милля, но и всякого другого метода
познания из опыта. Добавим, что приведенная версия распределения
вероятностей не исчерпывает всех возможностей реализации принципа
симметрии.

249
Метод различия
«Если случай, в котором исследуемое явление наступает, и случай, в
котором оно не наступает, сходны во всех обстоятельствах, кроме одного,
встречающегося лишь в первом случае, то это обстоятельство, в котором
одном только и разнятся эти два случая, есть следствие, или причина, или
необходимая часть причины явления»54.
В качестве примера можно привести следующее умозаключение.
Если утром я пью кофе, то весь день у меня хорошее настроение. Сегодня я
не пил утром кофе, и весь день у меня плохое настроение. Следовательно,
кофе, выпитый утром, является причиной хорошего дневного настроения.
Сформулируем данный метод в индуктивных терминах. Пусть Е
обозначает исследуемое явление, -^Е — его отсутствие, ABC — события,
предшествовавшие Е, -ЛВС — события, предшествовавшие -*Е.
Умозаключение в целом имеет следующий вид:
Если события ABC предшествовали событию Е и события -ABC
предшествовали событию —iE, то правдоподобно считать событие А
причиной события Е.
Условие, по которому после ABC наблюдалось событие Е, исключает
возможный мир (ABC-iE). Условие, по которому после -ЛВС наблюдалось
событие —\Е, исключает возможный мир (-АВСЕ). Исключается также
возможный мир (—А^В^СЕ), так как он утверждает, что событию Е не
предшествовали ни А, ни В, ни С. С учетом этих исключений и принципов
симметрии получаем следующее распределение вероятностей (табл. 4).
Таблица 4
Распределение вероятностей возможных миров для проверки
метода различия
1
2
3
4
5
6
7
АВСЕ
АВ^СЕ
АВ-,С-,Е
А^ВСЕ
А^ВС-пЕ
А-пВ^СЕ
А^В^С^Е
6/30
3/30
1/30
3/30
1/30
1/30
2/30
8
9
10
11
12
13
-АВС^Е
-АВ^СЕ
-АВ^С^Е
-А-^ВСЕ
-А^ВС^Е
-А-^В^С^Е
1/30
1/30
2/30
1/30
2/30
6/30
54
Из табл. 4 следует:
МилльД. С. Указ. соч. - С. 314.

250
Р(А) = 17/30 = 0,567; Р(-А) = 0,433; Р(А/Е) = 13/15= 0,867; Р(-А/Е) =
0,133.
Таким образом, событие А более вероятно в качестве причины Е, чем
событие —А. Это отражается в том, что Е подтверждает А и одновременно
д исподтверждает^4.
Индуктивное содержание метода различия сводится к следующей
идее: если некоторое наблюдаемое событие исключает гипотезу или
понижает ее апостериорную вероятность, то должна возрастать апостериорная
вероятность логического отрицания этой гипотезы. Иными словами, мы
имеем индуктивный аналог закона исключенного третьего.
Отметим, что заключение метода различия перестает быть
необходимым и может быть даже ложным при несимметричных распределениях
вероятностей возможных миров. Доказательство этого утверждения
выносится в качестве упражнения.
Соединенный метод сходства и различия
Пытаясь объединить преимущества накопления подтверждающих
примеров и исключения ложных гипотез, Милль формулирует
соединенный метод сходства: «Если два или более случая возникновения явления
имеют общим лишь одно обстоятельство и два или более случая
невозникновения того же явления имеют общим только отсутствие того же самого
обстоятельства, то это обстоятельство, в котором только и разнятся оба
ряда случаев, есть или следствие, или причина, или необходимая часть
причины изучаемого явления»55.
В качестве примера рассуждения согласно соединенному методу
сходства и различия можно привести следующее умозаключение. В
прошлом году на этом месте я собрал много грибов, и в этом году на этом же
месте я также собрал много грибов. В других местах ни в прошлом, ни в
этом году я столько грибов не собирал. Следовательно, это место является
причиной большого числа грибов.
Сформулируем рассматриваемый метод в индуктивных терминах.
Пусть Е обозначает исследуемое явление, АВ и АС — события,
предшествовавшие возникновению Е, -АВ и -АС — события, предшествовавшие
невозникновению Е (возникновению —Е).
Умозаключение в целом имеет следующий вид:
Ели события АВ и АС предшествовали последовательно событию Е,
а события —АВ и -АС — событию -лЕ, то правдоподобно считать
событие А причиной события Е.
55 Милль Д. С Указ. соч. - С. 317-318.

251
Условия соединенного метода сходства и различия исключают
(АВС-тЕ), (АВ-гС-тЕ), (А-тВС-iE), (-ЛВСЕ), {-^АВ^СЕ\ (-Л-?СЕ),
{-лА-^В-лСЕ), (-xA-iB-iCE). С учетом этих исключений и принципов
симметрии получаем следующее распределение вероятностей (табл. 5).
Таблица 5
Распределение вероятностей возможных миров для проверки
соединенного метода сходства и различия
1
2
3
4
5
6
7
8
9
АВСЕ
АВ^СЕ
А^ВСЕ
А-,В^СЕ
А^В^С^Е
-ЛВС^Е
-АВ-.СЕ
-А^ВС-^Е
-А^В^С^Е
6/30
3/30
3/30
3/30
2/30
3/30
2/30
2/30
6/30
Из табл. 5 следует: Р(А) = 17/30 = 0,567; Р{-Л) = 0,433; Р(А/Е) = 1;
Р(—лА1Е) = 0. Таким образом, гипотеза, что событие А является причиной Е,
не только получила подтверждение. Она превратилась в достоверное
условное утверждение. Логическое отрицание этой гипотезы получило
нулевое значение апостериорной вероятности, то есть оказалось
опровергнутым. Высокое подтверждение требует, следовательно, в определенных
случаях опровержения всех альтернатив. Такой результат, как мы видели,
не следует из применения методов сходства или различия, используемых
отдельно друг от друга. По этой причине соединенный метод сходства и
различия следует считать удачным методологическим открытием.
Метод остатков
«Если из явления вычесть ту его часть, которая, как известно из
прежних индукций, есть следствие некоторых определенных предыдущих
(обстоятельств. — В. С. и И. П.), то остаток данного явления должен быть
следствием остальных предыдущих (обстоятельств. — В. С. и И. Я.)»56.
Примером рассуждения по методу остатков может служить
следующее умозаключение. Я смешал два белых порошка и смесь бросил в стакан
с водой. Раствор получился кисло-сладким на вкус. При этом я точно знаю,
56
МидяьД. С. Указ. соч. - С. 319.

252
что одним из компонентов является сахарный песок. Я делаю вывод, что
причиной кислого вкуса, вероятнее всего, является аскорбиновая кислота.
Сформулируем данный метод в индуктивных терминах. Пусть Е\ и
Е2 обозначают части исследуемого явления, АВ — предшествующие
события, такие, что В, как установлено, является причиной Е2.
Умозаключение имеет следующий вид:
Если события АВ предшествовали появлению Е1Е2 и при этом
известно, что В есть причина Е2, то правдоподобно считать событие А
причиной события Ej.
Первое условие метода исключает возможные миры, в которых есть
АВ, но нет Е\ или Е2, или Е\ и Е2 вместе. Этим же условием исключаются
возможные миры, в котором есть Е\ и Е2, но нет АВ. Второе условие
исключает возможные миры, в которых есть В, но нет Е2 или, наоборот, есть
Е2, но нет В. С учетом этих исключений и принципов симметрии получаем
следующее распределение вероятностей (табл. 6).
Из табл. 6 следует: Р(А) = 0,4; Р(-А) = 0,6; Р(А/Е{) = Р(-Л1ЕХ) = 0,5.
Таким образом, гипотеза, что А есть причина Еи немного, но
подтверждается, а ее дополнение дисподтверждается.
Как и для предыдущих методов, заключение метода остатков
перестает быть необходимым и может быть даже ложным при несимметричных
распределениях вероятностей возможных миров.
Таблица 6
Распределение вероятностей возможных миров для проверки
метода остатков
1
2
3
4
5
6
7
АВЕхЕг
А-^ВЕх-,
A-BEx-^i
-АВЕхЕ
-АВ-,Ех
-Л-^ВЕх
-лА-^В-м
Е2
Е2
Е2
-Д2
Ех-^Ег
6/30
3/30
3/30
3/30
2/30
3/30
2/30
Индуктивный статус метода остатков более проблематичен, чем
статус других методов Милля. Когда гипотеза представляет собой сложное
суждение, состоящее из нескольких простых суждений как своих
логических частей, причем и сама гипотеза, и некоторые ее части
подтверждаются, то отсюда не следует с необходимостью, что и другие части этой гипо-

253
тезы также подтверждаются. Они могут подтверждаться, но могут быть и
индуктивно нейтральными и даже дисподтверждаться. Общий эффект
подтверждения гипотезы может погашать дисподтверждение ее отдельных
частей. К этому необходимо добавить, что общий результат
подтверждения никогда не равен вследствие взаимозависимости всех частей сумме их
подтверждений. Данный метод поднимает ряд сложных индуктивных
проблем, решение которых еще предстоит искать.
Метод сопутствующих изменений
«Всякое явление, изменяющееся определенным образом всякий раз,
когда некоторым особенным образом изменяется другое явление, есть
либо причина, либо следствие этого явления, либо соединено с ним какою-
либо причинной связью»57.
В качестве иллюстрации рассуждения согласно данному методу
можно привести следующее умозаключение. Если я прочитаю одну
серьезную книгу, то поумнею на определенную величину. Следовательно,
чтение серьезных книг есть причина изменения (моего) ума.
Сформулируем данный метод в индуктивных терминах. Пусть А\ и
А2 обозначают величины явления А, Е\ и Е2 — величины явления Е, такие,
что А\ Ф А2и Е\Ф Е2. Пусть А является необходимым условием своих
величин. Допустим, далее, что А\ предшествует Е\ и А2 предшествует Е2.
Умозаключение в целом таково:
Если А есть необходимое условие величин Aj и А2, E есть
необходимое условие величин Ei и Е2, причем Aj ^А2 и Е1 ^ Е2, и если Aj
предшествует Ei и А2 предшествует Е2, то правдоподобно считать событие А
причиной изменения события Е.
Условиями данного метода исключаются все возможные миры, в
которых есть А\ или А2 (или оба), но нет А, есть Е\ или Е2 (или оба), но нет Е,
есть А\, но нет Еи есть А2, но нет Е2, есть Ей но нет А\, есть Е2, но нет А2. С
учетом этих исключений и принципов симметрии получаем следующее
распределение вероятностей (табл. 7).
Из табл. 7 следует: Р(А) = 3/4 = 0,75, Р(-А) = 0,25, Р{А1Е) = 6/7 =
0,857, Р{-лА1Е) = 0,143. Таким образом, гипотеза о том, что изменение
величины А есть причина изменения величины Е, подтверждается, а ее
дополнение дисподтверждается. Добавим, что изменения могут быть как
прямыми, так и обратными. Для данного метода симметричное распределение
вероятностей также является необходимым условием. В противном случае
его заключение перестает быть необходимым и может быть ложным.
57
МилльД. С. Указ. соч. С. 322.

254
Рассмотренные методы исчерпывают список методов открытия и
доказательства причиной связи Милля. Сделаем общий вывод.
Таблица 7
Распределение вероятностей возможных миров для проверки
метода сопутствующих изменений
1
2
3
4
5
6
7
АА\А2ЕЕХЕ2
AAiA2->EEiE2
AAl^A2EEl-,E2
А-лАх-Л2Е^Е\^Е2
A^Al^A2-^E-iEl-^E2
—i/L—1/41 —l/12^—\tL \—\lL'2
—l/i—1/± \—l/42—\tL—\lL \—ll>2
1/6
1/6
1/6
1/6
1/12
1/12
1/6
Анализ показал, что в той формулировке, в которой Милль приводит
свои методы, они являются индуктивно ложными. Для их истинности
необходимо симметричное распределение вероятностей. В этом и только в
этом случае мы можем использовать эти методы для открытия и
доказательства причинной связи.
Милль также ошибался, когда резко противопоставил методы
открытия и доказательства причинной связи методу выдвижения и испытания
гипотез на том основании, что первые являются методами «прямой
индукции», а второй — косвенной и поэтому более проблематичной индукции.
На самом деле никакая «прямая индукция» невозможна, потому что опыт
не состоит из одних наблюдаемых явлений, а всегда предполагает какие-то
теоретические и методологические допущения. Определение причинности,
которым пользуется Милль, и является таким допущением. Оно лишает
наблюдение безусловной достоверности. Соответственно и заключения
методов Милля также оказываются зависящими от данного определения
причинной связи. Еще более отдаляет нас от непосредственного, прямого
усмотрения причинных связей допущение о симметричном распределении
вероятностей. Следовательно, всякое познание из опыта является
косвенным, зависящим от внеопытных допущений и предположений.
Принципиального различия между методом выдвижения и испытания гипотез и
методами открытия и доказательства причинной связи нет также потому, что,
как было показано, последние без каких-либо ограничений
формулируются в терминах испытаний гипотез.
В остальном рассмотренные методы представляют несомненный
интерес и, как отмечалось, ставят ряд важных индуктивных проблем.

255
5. ИНДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ ВТОРОГО
ВИДА: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ПРЕДСКАЗАНИЙ
Основная задача индуктивных умозаключений второго вида —
определение вероятности осуществления какого-либо события, если
известно, сколько раз оно происходило и не происходило в прошлом.
Поскольку речь идет о вероятностях событий, которые еще не наступили, то мы
имеем дело с вероятностями предсказаний. Кроме определения
вероятности предсказываемого события, мы можем оценить точность самого
предсказания, чтобы решить вопрос о принятии или неприятии гипотезы, на
основании которой это предсказание совершается.
Имеется глубокая связь между индуктивными умозаключениями
первого и второго рода. С помощью первых мы познаем на основании
накопленного опыта, какие из предполагаемых причин, законов наиболее
вероятны. С помощью вторых мы познаем наиболее вероятные следствия
индуктивно установленных причин и законов.
Предсказания событий разделяются на два случая в зависимости от
того, известна вероятность их осуществления или не известна.
Случай, когда вероятность осуществления события известна,
соответствует прямому применению вероятности. Мы пользуемся формулами
(8) и (9) для вычислений абсолютных вероятностей событий. Вероятность
предсказания вычисляется согласно формуле условной вероятности A3).
Независимо от конкретных условий решаемой задачи мы получаем один и
тот же результат: вероятность предсказываемого события всегда равна
известному значению вероятности осуществления этого события. Допустим,
монета бросалась п раз и т раз выпал герб. Пусть Еп>т обозначает это
событие. Допустим далее, что вероятность выпадения герба известна и равна
х. Чему будет равна вероятность выпадения герба в п+\ бросании монеты?
Ответ очевиден — эта вероятность равна х. Чтобы увидеть это, обозначим
выпадение герба в п+\ бросании монеты посредством Еп+\,т+\. Согласно
A3) получаем:
)(я + 1)-(|Я+1)
= X
m
х
Вероятность выпадения герба в /7+1 бросании монеты равна
известному значению вероятности х. Отсюда следует важный вывод: если веро-

256
ятность предсказываемого события известна, то она не зависит от
результатов прошлых испытаний. Следовательно, никакого познания из опыта
мы не имеем. И причина этого в том, что вероятность интересующего нас
события известна. Вопрос состоит в том, всегда ли мы точно знаем
вероятности происходящих событий. Если такой уверенности нет, тогда мы
имеем дело со вторым случаем предсказаний.
В тех ситуациях, когда значение вероятности предсказываемого
события неизвестно, необходимо иметь гипотезы относительно
предполагаемого значения. Предсказываемая вероятность будет равна взвешенному
среднему всех выдвинутых гипотез с их апостериорными вероятностями в
качестве весов. Вычисления проводятся согласно формулам (8), (9) и E).
Главный результат предсказаний с неизвестным значением вероятности
состоит в следующем: чем больше опыт, то есть чем длиннее
последовательность испытаний, тем ближе предсказываемая вероятность к своему
истинному значению. В отличие от первого случая здесь мы имеем
познание из опыта.
Рассмотрим несколько примеров предсказаний с неизвестным
значением вероятности.
Пример 1
В пяти бросаниях монеты два раза выпал герб. Было выдвинуто две
равновероятных гипотезы о вероятности выпадения герба: Н\\х = 2/5, Иг. х
= 1/2.
Какова вероятность выпадения герба в шестом бросании монеты?
Другими словами, какова вероятность события Ев^ на основании события
Согласно E), F) и (8) получаем
) = P(Hl/E52)P(E63/HlE52) +
+ Р(Н2Е52 )Р(Е631Н2Е52) = 0,525 х 2 / 5 + 0,475 х 1 / 2 = 0,448.
Где
Р(Е521Я,) = С52B/5JC/5K = 10х 4/25 х 27/ 125 = 0,3456
Р(?52/#2) = С2A/2JA/2K = 10x1/4x1/8 = 0,3125
Р(Е521 Я,) + Р(Е52 /Н2) = 0,6581

257
Р(Н{/Е52) =
Р(Н2 /Е52) = 1-Р(Я, /ЕЪ2) = 0,475
Р(?6>3/Я,?5>2) = 2/5
P(Eei/H2E52) = 1/2.
го
Пример 2 (пример С. Джевонса)
Имеется урна с шарами белого и черного цвета. Какова вероятность
вытаскивания белого шара, если известно, что было вытащено с
возвращением три белых и один черный шар и если имеется три равновероятных
гипотезы об относительной частоте белого шара: Н\\х= 1/4, Я2: х = 21 А, Я3:
х = 3/4.
Имеем:
Р(Е5А I ?43) = Р{НХ I Е4^А ;
+ Р(Н2Е43)Р(Е5А I Н2ЕЛЪ) + Р(Н,Е42)Р(Е54 IНЪЕ4Ъ)
= 0,065 х 1 / 4 + 0,348 х 2 / 4 + 0,587 х 3 / 4 - 0,63 ,
Где
Р(Е4 з / Я2) = С43B / 4KB / 4) = 4 х 8 / 64 х 2 / 4 = 0,250
Р(Е4 з / Я3) = С43C/4KA /4) = 4 х 27 / 64 х 1 / 4 = 0,422
Р(Е4Ъ I Я,) + Р(Е4 з / Я2) + Р(Е4 з / Я3) = 0,719
= 0,065
Р{Н21 Е4Ъ) = ^^- = 0,348
2 4>3 0,719
= ^И = 0,587
0?19
P(E5A/H3E4j) = 3/4.
58 Джевонс С. Основы науки: Трактат о логике и научном методе. СПб., 1881. - С.
212-214.

258
Пример 3
Бросается монета, вероятность выпадения герба которой неизвестна.
Имеются две гипотезы о значении этой вероятности: Н\\х = 0,4, Н2. х = 0,6.
Гипотезы имеют неравные априорные вероятности: Р(Н\) = 0,9, Р(Н2) =
0,1. Какова вероятность относительной частоты выпадения герба 3/5, то
есть вероятность события Е„,т9 где т = 3/5, в 10, 20, 40, 60, 80 и 100
бросаниях монеты?
Следует:
+ Р(Н2 I Епт)Р{Еп+Хт+х I Н2Епт) -
0,9 х Р{Епт I Нх) х 0,4 + ОД х Р(Епт I H2) x 0,6
0,9 х Р(ЕЯ9
0,1 хР{ЕП9т/Н2)
(*)
B/3Jт-"х0,36
0,1 + B / 3Jт~" х 0,9
Результаты вычислений согласно (*) отражены в табл. 8.
Таблица 8
Изменение вероятности предсказания Р(Еп+\,т+\1Еп,т) в
зависимости от изменения значений пит
N
0
10
20
40
60
80
100
т
0
6
12
24
36
48
60
Р{Еп+\т+\1Еп^
0,420
0,440
0,472
0,548
0,587
0,597
0,599
Таблица 8 дает ответ на поставленный вопрос и одновременно
показывает один из самых важных результатов индуктивного познания:
вероятность предсказываемого события по мере расширения опыта неуклонно
стремится совпасть с устойчивым значением наблюдаемой относительной
частоты, то есть с частотой 3/5. Одновременно гипотеза, предсказывающая
вероятность, совпадающую с наблюдаемой относительной частотой, полу-

259
чает высокое подтверждение, а ее альтернатива — высокое дисподтвер-
ждение: Р(Н{ I Етв0) = 0,9999 и Р(Н2 I Е1ООво) = 0,0001.
Сравнивая эти апостериорные вероятности гипотез с их априорными
вероятностями, мы убеждаемся, что опыт исправил априорную
асимметрию гипотез.
В итоге мы получаем следующую картину, которую полезно сравнить
со схемой гипотетико-дедуктивного знания, изображенной на рис. 1.
Наблюдаемое в опыте значение относительной частоты подтверждает гипотезу
//2, дисподтверждает гипотезу Н\. Вероятность предсказываемой частоты по
мере расширения опыта стремится совпасть с устойчивым значением
наблюдаемой частоты. Подтверждение истинной гипотезы и возрастающая
точность предсказаний оказываются процессами взаимосвязанными и
поддерживающими друг друга (рис. 2).
Подтверждение Я2, P(#2/?ioo,6o) = 0,9999
Дисподтверждение Н\, Р(Н\/Е\оо,6о) = 0,0001
Индукция
Дедукция
Наблюдаемая
относительная
частота 0,6
Предсказываемая
вероятность 0,599
Рис.2
Иногда требуется оценить интервал апостериорных вероятностей,
позволяющий принять гипотезу в качестве истинной. Следующий пример
показывает, как это можно сделать в простейших случаях.
Пример 4
Монета бросалась 10 раз. Имеются две гипотезы о вероятности
выпадения герба: Н\\ х = 4/10, Н2'. x = 6/10. Априорные вероятности гипотез
одинаковые. Допустим, что гипотеза считается индуктивно истинной, то
есть может быть принятой, если ее апостериорная вероятность больше 1-я,
где s= 0,1. Какова вероятность принятия Яь Яг в качестве индуктивно
истинных гипотез? Ответ содержится в табл. 9. Пояснения приведены ниже.
Параметр s = 0,1 задает интервал, в который должна попасть
апостериорная вероятность гипотезы, чтобы быть принятой, [1 - 0,1, 1]. Ниж-

260
ним пределом для Н\ будет относительная частота 2/10, так как P(Hi/E\02)
= 0,919 ~ 0,9. Соответственно нижним пределом для Н2 будет частота 8/10,
так как P{H2IE\$$) = 0,919 « 0,9. Следовательно, при s = 0,1 для принятия
Н\ и Н2 в 10 бросаниях монеты и при равных априорных вероятностях
достаточно соответственно га = 0, 1, 2 и га = 8, 9, 10.
Вероятность принятия истинной гипотезы (Я1 или Я2) подсчитывает-
ся следующим образом. Н\ истинна, если га = 0, 1,2. Складываем
правдоподобия Н\ при этих значениях га и умножаем на 1/2 — априорную
вероятность этой гипотезы. Получаем: @,0060 + 0,0403 + 0,1209) х 1/2 = 0,0836.
Н2 истинна, если га = 8, 9, 10. Складываем правдоподобия при этих
значениях га и умножаем на 1/2 — априорную вероятность данной гипотезы.
Получаем: @,1209 + 0,0403 + 0,0060) х 1/2= =0,0836. Истинной гипотезой
может быть Н\ или Н2. Следовательно, вероятность принятия истинной
гипотезы равна: 0,0836 + 0,0836 = 0,1672.
Таблица 9
Зависимость принятия равновероятных гипотез Н\ и Я2 от
параметра принятия е= 0,1 в десяти бросаниях монеты
м
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Р(Ею,т/Н0
0,0060
0,0403
0,1209
0,2150
0,2508
0,2007
0,1115
0,0425
0,0106
0,0016
0,0001
Р(Ею>т/Н2)
0,0001
0,0016
0,0106
0,0425
0,1115
0,2007
0,2508
0,2150
0,1209
0,0403
0,0060
s=0,l
Принимается
я,
Ни одна из
гипотез не
принимается
Принимается
Вероятность принятия ложной гипотезы подсчитывается аналогично.
Н\ является ложной при т = 8, 9, 10. Откуда следует: @,0106 + 0,0016 +
0,0001) х 1/2 = 0,00615. Н2 является ложной при т = 0, 1,2, что также дает
0,00615. Складывая обе вероятности, получаем общую вероятность
принятия ложной гипотезы, Hi или Я2: 0,00615 + 0,00615 = 0,0123.
Вероятность непринятия ни одной из гипотез может быть вычислена
так же, как это делалось в предыдущих двух случаях, или вычитанием из 1
вероятности принятия истинной и ложной гипотез вместе: 1—0,1672—0,0123
= 0,821.

261
Из табл. 9 следует, что 10 бросаний монеты недостаточно для
принятия какой-либо одной гипотезы. Вероятность непринятия ни одной из
гипотез достаточно высока, что означает необходимость дальнейшего
увеличения числа испытаний.
Вопрос о принятии гипотез можно решать не только на основании
попадания их апостериорных вероятностей в заранее заданный интервал,
но и на основании точности предсказаний. Для этого необходимо ввести
параметр оценки точности предсказания | Р(Еп+\^т+\ I Еп>т)—х <?, где 0< s
<0,1. Пусть s =0,1. Попробуем с его помощью оценить точность
предсказаний из табл. 8. Интервал, в который должны попасть успешные
предсказания, равен [0; 0,1], х = 0,6. Остальные данные указаны в табл. 10.
Из табл. 10 следует, что при е = 0,1 и значениях пит, равных или
больших п = 40, т = 24, все предсказываемые вероятности удовлетворяют
выдвинутому критерию и должны считаться успешными.
Итак, для обоих индуктивных умозаключений характерна
зависимость их истинности от числа проведенных испытаний.
Таблица 9
Оценка точности предсказаний устойчивого значения
относительной частоты|на основании данных из табл. 8 € = 0,1
п
0
10
20
40
60
80
100
т
0
6
12
24
36
48
60
Р(Еп+\,т+\ 1
п,т
0,420
0,440
0,472
0,548
0.587
0,597
0,599
Абсолютная
ошибка
0.180
0,160
0,128
0,052
0,013
0.003
0.001
Оценка
точности
предсказаний
Неточное
Неточное
Неточное
Точное
Точное
Точное
Точное
Эту зависимость более точно можно выразить следующим образом.
Пусть Р(Н) > 0, Р(Епт/Н) Ф P(Enm/-iH). Тогда для индуктивных
умозаключений первого вида при п —> °° следует, что вероятность того, что
апостериорная вероятность гипотезы Н будет больше любого
фиксированного числа s, 0 < s <0,5, равна 1:
\\тР(Р(Н 1Епт) >!-*) =
A4)

262
При этих же допущениях для индуктивных умозаключений второго
вида следует, что расхождение предсказываемой вероятности и
устойчивого значения относительной частоты будет меньше любого фиксированного
числа ?, также равна 1:
lim Р\\Р(Еп+Хт+1 I Епт)- х\ < в] = 1. A5)
и—>оо V J v 7
На основании предельных выражений A4) и A5) можно сделать
общий вывод, что индуктивные умозаключения могут быть
достоверными в любых практически значимых границах. Если дедуктивное
умозаключение не может обосновать свои собственные посылки и полностью
зависит от специальных доказательств их истинности, то индуктивные
умозаключения позволяют корректировать свои посылки в соответствии с
результатами опыта и добиваться их истинности с любой желаемой
степенью точности. Иными словами, индукция обладает свойством
самокоррекции своих посылок. Таким свойством не обладает никакой другой вид
умозаключений. Именно благодаря этому свойству, индуктивные
умозаключения становятся незаменимыми в тех ситуациях, в которых
необходимо учиться на опыте в самом непосредственном смысле этого слова.
6. УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ ПО АНАЛОГИИ
Рассуждения, в которых заключение делается на основании
структурного, функционального или какого-либо иного сходства сравниваемых
вещей, принято называть умозаключениями по аналогии. Принцип всякой
аналогии: если сравниваемые вещи сходны в одном отношении,
следовательно, они могут быть сходны и в других отношениях. Если передо мной
лежат две книги, написанные одним и тем же автором, и если одну из них
я прочитал и не получил никакого удовольствия, то я вправе
предположить, что и вторая книга этого автора также не доставит мне
удовольствия. Другие возможные формулировки принципа аналогии — сходные
причины имеют сходные следствия, сходные следствия имеют сходные
причины, подобное производит подобное. Очень редко заключения
рассуждений по аналогии бывают достоверными. По этой причине они
относятся к недедуктивным умозаключениям.
Решающее условие всякого рассуждения по аналогии — наличие
сходства сравниваемых вещей. Но что означает, что некоторые вещи
сходны? Мы будем говорить, что любые две вещи сходны, если и только если
они обладают по крайней мере одним общим свойством или отношением

263
или, что то же самое, они принадлежат по крайней мере к одному и тому
же классу вещей. Если вещи обладают общим свойством или отношением
необходимо, тогда их сходство также является необходимым. В противном
случае сходство не является необходимым. Люди необходимо обладают
признаком «разумное животное». Следовательно, их сходство
относительно данного признака также является необходимым. Но этого нельзя,
например, утверждать относительно признака «иметь приятную внешность».
Пусть А и В обозначают сравниваемые вещи, С и D — свойства,
которыми эти вещи могут обладать. Типичное умозаключение по аналогии
имеет следующий вид:
1. Вещи А и В необходимо или ненеобходимо обладают
общим свойством С (необходимо или ненеобходимо
сходны относительно С).
2. Вещь В необходимо или ненеобходимо обладает
свойством D.
3. Вероятность, что вещь А обладает свойством ?>,
больше вероятности, что А не обладает свойством
P(D/A):
Умозаключение A6) включает две возможности — свойства
принадлежат вещам необходимо и свойства не принадлежат вещам необходимо.
Рассмотрим обе возможности последовательно.
Из букв А, В, С и D можно построить 24 = 16 возможных миров, из
которых по условию A6) исключаются возможные миры, содержащие
вместе А и —iC, В и —iC, В и —Ю. Применение принципов симметрии к
оставшимся возможным мирам дает следующее распределение вероятности
(табл. 11).
Таблица 11
Распределение вероятностей возможных миров для проверки
умозаключения по аналогии с необходимыми свойствами
1
2
3
4
5
6
7
8
ABCD
A-.BCD
A-.BC-.D
-ABCD
-Л-^BCD
-лА-^BC^D
-лА-^B^CD
A^B^C^D
2/10
1/10
1/10
1/10
1/10
1/10
1/10
2/10

264
Из табл. 11 следует: P(D/A) = 3/4 = 0,75; P(-JD/A) = 0,25. Это
означает, что заключение A6) при указанных условиях выполняется.
Докажем, что заключение A6) истинно, даже если свойства
ненеобходимо принадлежат сравниваемым вещам. В этом случае ни один из
возможных миров не исключается и, согласно принципам симметрии, мы
получаем следующее распределение вероятностей (табл. 12).
Из табл. 12 следует: P(DIA) = 2/3 = 0,667; P(-,D/A) = 0,333. Таким
образом, при симметричном распределении вероятностей даже с
ненеобходимыми свойствами умозаключение по аналогии является корректным.
Это в общем неудивительно, так как при симметричном распределении
вероятностей максимально сходные возможные миры получают наивысшую
вероятность.
Таблица 12
Распределение вероятностей возможных миров для проверки
умозаключения по аналогии с ненеобходимыми свойствами
1
2
3
4
5
6
7
8
ABCD
ABC^D
AB^CD
AB-,C^D
A-^BCD
A-^BC^D
A-,B-,CD
A^B^C^D
12/60
3/60
3/60
2/60
3/60
2/60
2/60
3/60
9
10
11
12
13
14
15
16
-ABCD
-ABC^D
-AB-^CD
-AB-nC-iD
-A^BCD
-tA^BC^D
-tA^B^CD
-Л-^B^C^D
3/60
2/60
2/60
3/60
2/60
3/60
3/60
12/60
Можно ли увеличить степень достоверности заключения по
аналогии? Умозаключение по аналогии превращается в дедуктивное
умозаключение, если к его условиям добавляется допущение, что свойство D
является необходимым следствием свойства С. В этом случае исключаются
возможные миры, содержащие вместе С и —D. Для необходимых свойств
(см. табл. 11) это дает следующее распределение вероятностей (табл. 13).

265
Таблица 13
Распределение вероятностей возможных миров для проверки
умозаключения по аналогии с необходимыми свойствами и допущением,
что свойство D является необходимым следствием свойства С
1
2
3
4
5
6
ABCD
A^BCD
-ABCD
-A^BCD
-A^B^CD
-,/1-,«-,Г-,Л
2/10
1/10
1/10
2/10
2/10
2/10
Из табл. 13 следует: P(D/A) = 1, Р(-лО1А) = 0. Согласно полученному
заключению, свойство D необходимо принадлежит вещи А. Хотя данное
заключение и является максимально достоверным, его уже трудно назвать
заключением по аналогии. Оно является типичным дедуктивным
заключением. Таким образом, если мы хотим сохранить специфику рассуждений
по аналогии, мы не должны требовать чрезмерной достоверности их
заключений.
Допустим теперь, что свойства ненеобходимо принадлежат
сравниваемым вещам, но свойство D по-прежнему является необходимым
следствием свойства С. Эти условия порождают следующее распределение
вероятностей (табл. 14).
Из табл. 14 следует: P(DIA) = 23/30 = 0,767; P(-^D/A) = 0,233. При
этом полученные значения предсказаний выше соответствующих
значений из табл. 12. Таким образом, допущение о том, что предсказываемое
свойство является необходимым следствием общего для сравниваемых
вещей свойства, повышает вероятность заключения по аналогии даже
тогда, когда сходство этих вещей не является необходимым.

266
Таблица 14
Распределение вероятностей возможных миров для проверки
умозаключения по аналогии с необходимыми свойствами и
допущением, что D не является необходимым следствием свойства С
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
ABCD
AB-nCD
AB-nC^D
A-iBCD
A-,B^CD
A^B^C^D
-ABCD
-AB^CD
-AB-iC^D
-A-^BCD
-AS^CD
-A-nB^C^D
12/60
4/60
3/60
4/60
3/60
4/60
4/60
3/60
4/60
3/60
4/60
12/60
Как и индуктивные умозаключения, умозаключения по аналогии
требуют в качестве необходимого условия своей истинности симметричного
распределения вероятностей. Именно такое распределение вероятностей
предопределяет успешность рассуждения по аналогии. Ведь только
симметричное распределение вероятностей приписывает сходным возможным
мирам, представляющим одну и ту же частоту, не только равные, но и
наивысшие вероятности. Иными словами, принцип аналогии заложен в
механизм познания из опыта, так сказать, изначально. Это заключение
подтверждает мнение тех психологов и нейрофизиологов, которые
утверждают, что способность учиться на опыте, делать аналогии является
врожденной, то есть предопределена механизмами работы нашего головного мозга.
Как и от индуктивных умозаключений, от умозаключений по
аналогии не следует требовать максимальной достоверности, так как стремление
к такой цели ведет к тривиальным заключениям. Основная задача,
решаемая умозаключениями по аналогии, как и всеми недедуктивными
умозаключениями, состоит в качественном расширении наших знаний, в
открытии новых перспектив и горизонтов. Для решения подобных задач важны
не столько высоковероятные, сколько высокоинформативные
предположения, допущения, гипотезы, что, конечно, не освобождает нас от
последующей проверки результатов аналогии или индукции и либо
отбрасывания их как ложных, либо принятия как истинных или правдоподобных.

267
7. ВЕРОЯТНОСТНАЯ СИЛЛОГИСТИКА
С вероятностной точки зрения все, что существует, связано друг с
другом посредством условной вероятности. Для любых двух суждений Хи
У, которые могут быть и вероятностными утверждениями, мы имеем три
различающихся случая вероятностной связи:
\)P(X/Y)=\;
2) P{XIY) = 0;
3H <P(X/Y)< 1.
Первые два случая характерны для дедуктивной зависимости,
последний — для недедуктивной зависимости. Самый удивительный
результат вероятностного анализа состоит в том, что хотя существуют суждения,
которые не связаны друг с другом дедуктивно, но не существует суждений,
не связанных друг с другом вероятностным образом, если и только если
речь идет о суждениях как элементах одного и того же вероятностного
универсума — множества возможных миров, образованных из терминов
суждений, с соответствующим распределением вероятностей.
Если все суждения связаны друг с другом в вероятностном смысле
(дедуктивно или недедуктивно), тогда мы можем принять следующее
базисное определение:
Суждение X следует в вероятностном смысле из суждения У, если и
только если истинно
0<P(X/Y)<\. A7)
Определение A7) позволяет существенным образом расширить наши
представления об умозаключениях. В этом параграфе мы обсудим
результаты такого расширения применительно к дедуктивным умозаключениям с
двумя посылками — силлогизмам.
Пусть, как и прежде, А обозначает субъект заключения, С —
предикат заключения, В — исключаемый термин. Вывести заключение в
вероятностном смысле из посылок какого-либо силлогизма означает определить
вторичную вероятность условной вероятности Р(С/А), где А и С могут
входить как со знаками отрицания, так и без них. Силлогизм имеет
дедуктивное заключение, если и только если вторичная вероятность последнего
равна 1. Во всех остальных случаях силлогизм имеет недедуктивное
заключение.
Из А, В и С можно образовать 23 = 8 возможных миров, значение
вероятностей которых позволяет вычислить вероятность заключения
согласно следующим двум базисным формулам:

268
P(C/A) =
P(A) P(ABQ + P(AB-,Q + P(A-nBQ +
Р(В/А)Р(С/ АВ) + Р(-^В I А)Р(С IА-^В)
= P(B I A)P(C IB) + P(-^B I A)P(C I -^B) A8)
при условии, что как Р(С/В), так и P(CIS) вычисляются только
относительно А.
Аналогично доказывается, что
.В) A9)
при условии, что как Р(С/В), так и P(C/-iB) вычисляются только
относительно —А.
Формулы A8) и A9) позволяют вывести заключение — дедуктивное
или недедуктивное — из любой комбинации двух посылок, состоящих из
трех различных терминов, один из которых является исключаемым. То, что
с помощью A8) и A9) можно вычислять вероятности частных суждений,
следует из равенств Р(С/А) = Р(СА) и Р(С/—А) = Р(С-тА), истинных при
указанном допущении Р(А) = 1 или Р(—А) = 1.
Рассмотрим несколько примеров, в которых для большей ясности
приведены два варианта доказательства — без и с числовыми значениями
соответствующих вероятностей. Для большей простоты во всех примерах
принимается допущение, согласно которому все возможные миры имеют
одинаковые вероятности.
Символ Р[—] ниже обозначает вторичную вероятность выражения,
заключенного в квадратные скобки.
Пример 1
Вес А есть 5. Р(В/А)= 1.
Все В есть С. Р(С/В)= 1.
Все А есть С. Р [Р(С/А) = 1] = 1.
Доказательство
1. Из A8) следует: Р(С/А) = 1х1+0х[0<ДСАЯ)<1] = 1.

269
2. Посылки исключают возможные миры, содержащие А и -\В, В и
-iC. Принимая во внимание только А, получаем следующее окончательное
распределение вероятностей:
\.ABC 1
Откуда следует: Р(В/А) = 1; Р(С1В) = 1; 0<ДС/-?)<1;
ДС/Л) =1x1 +0х [0<Р(С/^В)< 1 ]= 1.
Пример 2
Некоторые А есть 5. 0<Р(В/А) < 1.
Все В есть С. Р(С1В)= 1.
Некоторые /4 есть С. Р [(КДС/Л) < 1]= 1.
Доказательство
1. Из посылок дополнительно следует:
0<Р(-,В/А) < 1; 0<Р(С/-,В) < 1.
Из A8) следует:
2. Первая посылка ничего не исключает. Вторая исключает все
возможные миры, содержащие В и —.С Для А получаем следующее
окончательное распределение вероятностей:
1./45С
2. Л-,ЯС
3. ^^5-
Откуда следует:
1/3
; 1/з
iC 1/3
Р(В1А)=\1Ъ; Р{С1В) = 1; Р{-,В1А)=21Ъ; Р{С1^В)=\12\
Р{С1А)= 1/3x1+2/3x1/2=2/3.
Пример 3
Все —|Л есть 5.
Некоторые В есть С.
P{-SIA)= 1.
0<Р(С/Я)<1.
Дедуктивного решения нет. 0<Р[@<Р(С-ту4)< 1 ]< 1.
Доказательство
1. Из посылок дополнительно следует:

270
ИзA9)следует:
Р(С/-Л) = 1х[0 <Р(С/В) <1]+0х[0
2. Первая посылка исключает все возможные миры, содержащие
буквы -лА и —ьб. Вторая посылка ничего не исключает. Для —А получаем
следующее окончательное распределение вероятностей:
Х.^АВС 1/2
2. -ЛВ-.С 1/2
Откуда следует:
Р(В/-Л) = \\Р(С/В) = 1/2; Р(-,В/-А) = 0;
Р(С/А) = 1x1/2+0x0=1/2; ДС/-^4)=1/2.
Пример 4
Ни одно А не есть В. P(-iB/A)= 1.
Ни одно В не есть С. р{—}С/В) = 1.
Некоторые -А есть -С. Р[0 <Р(-пС/^4) < 1 ]=1
Доказательства
1. Из посылок дополнительно следует:
0 <Р(В/-пА) <1; 0 <Р(-пВ/^А) <1; 0 <Р{-
Согласно A9) имеем:
[0 <Р(В/-А) <1]
2. Первая посылка исключает все возможные миры, содержащие А и
5, вторая — все возможные миры, содержащие В и С. Для —и4 получаем
следующее окончательное распределение вероятностей:
1.
2.
3.
-ЛЯ-,
-Л-,5
-\А—,В
С
С
—>с
1/3
1/3
1/3
Откуда следует:
Р(В/-А) = 1/3; Р(-,Д/-Л) = 2/3; Д-,С/5)=1;
С/^В) = 1/2. Д-,С/-и4) = 1/3x1+2/3x1/2=2/3.

271
Пример 5
Некоторые А есть В. О <Р(В1А) <1.
Некоторые В есть С 0<Р(С/В)<1.
Дедуктивного решения нет. 0<Р[0 <Р(С/А) <1]<1.
Доказательство
1. Из посылок дополнительно следует:
Согласно A8) получаем:
Р(С/А) = [0<Р(В/А)<1] х [0<Р(С/В)<\] + [0<Р(
х [0<Д-1С/В)<1].
2. Обе посылки ничего не исключают. Для А получаем следующее
окончательное распределение вероятностей:
1.АВС 1/4 З.А^ВС 1/4
l.AB-^C 1/4 4.i4-i5-,C 1/4
В результате получаем:
Р(В/А)= 1/2; Р(С/В) =1/2; P(S/A)=\I2;
Р(С/А)= 1/2x1/2+1/2x1/2=1/2.
Пример 6
Ни одно-Л не есть 5. Р(-^В/-А) = 1.
Все С есть -нД. Р(^В/С)= 1.
Некоторые Л есть -,С. Р[0<Д-.С/4)<1]=1.
Доказательство
1. Из посылок дополнительно следует:
О <Р(-пВ/А) <1; 0 < Р(-пС
Согласно A8) получаем:
2. Первая посылка исключает все возможные миры, содержащие —А
и В, вторая — все возможные миры, содержащие С и В. Для ^4 получаем
следующее окончательное распределение вероятностей:

272
Х.АВЧС 1/3
2. А-&С 1/3
С 1/3
Откуда следует:
Р(В/А) = 1/3; Р(-,С/В) = 1; P(S/A) = 2/3;
Р(-пС/-п5) = 1/2; Д-пСАтЛ) = 1/3x1+2/3x1/2=2/3.
Пример 7
Ни одно ^4 не есть 5. P{SIA) = 1.
Ни одно -.5 не есть С. Р(-хС/-В) = 1.
Все Л есть -.С
Доказател ь ство
1. Из посылок дополнительно следует: Р(В/А) = 0; 0<P(-iC/B) <l.
Согласно A8) получаем: Р(-,СЛ4)=0х[0<Р(-1С/5<1]+1х1=1.
2. Первая посылка исключает все возможные миры, содержащие —&
и С. Относительно ^4 получаем следующее окончательное распределение
вероятностей:
l.A-?-iC 1
Откуда следует:
Р(В/А) = 0; Р{-^С1В) относительно Л не определяется Р(-*В1А) = 1;
Следует отметить, что, хотя дедуктивные заключения силлогизмов и
формулируются в виде некоторых утверждений об условных вероятностях
суждений, сами эти заключения следуют из посылок с необходимостью.
Иными словами, вероятность того, что вероятностное заключение
0<Р(С/А)<\ истинно, равна 1. В. Н. Костюк был первым из отечественных
логиков, кто ясно указал на то, что недедуктивные рассуждения должны
изучаться дедуктивными средствами59. Фактически это означает
необходимость определения нового, более высокого уровня распределения
вероятностей, контролирующего исходный, первый уровень распределения
вероятностей. Как оказывается, без такого контроля невозможно построить
разумную теорию недедуктивных умозаключений.
59 Костюк В. К Элементы модальной логики. Киев, 1978. - С. 108.

273
Следующее простое рассуждение доказывает необходимость
вторичного распределения вероятностей.
Пусть X представляет произвольное вероятностное утверждение о
связи терминов А и В; У представляет вероятностное утверждение о связи
В и С; Z представляет вероятностное утверждение о связи А и С. Термины
А, В, С могут входить с любым распределением знаков отрицания. Таким
образом, суждения X, У, Z обозначают вероятности первого уровня.
Ввести вторичное распределение вероятностей означает задать
распределение вероятностей по всем возможным мирам, составленным из Х9
У, Z. Если суждение Z является необходимым следствием суждений X, У,
тогда возможный мир (XY-Z) получает нулевую вероятность. В противном
случае этот возможный мир имеет ненулевое значение вероятности.
Правдоподобие Z относительно X и У вычисляется согласно формуле
P(XYZ) +
и равно 1 тогда и только тогда, когда Z является необходимым
следствием X и У. Во всех остальных случаях правдоподобие Z меньше 1.
Так, в примере 1: Х= [Р(В/А) = 1], У = [Р(С/В) = 1], Z = [Р(С/А) = 1] и
P(Z/XY) = 1; в примере 3: X = ЩВ1-А) = 1], У = [0<ДС/Я)<1], Z =
[0<Р(С/-тЛ)<1] и P(Z/XY) < 1 (при равной вероятности возможных миров
вероятность P(Z/XY) = 1/2).
8. НЕДУКТИВНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
И ОПРОВЕРЖЕНИЕ
Как было выяснено, доказательство и опровержение представляют
собой важнейшие цели нашей умственной деятельности. Без них любое
умозаключение превращается в чисто формальную игру ума. Доказывая,
мы ищем истину; опровергая, разоблачаем ложь.
В соответствии с типом умозаключения все доказательства и
опровержения были разделены на дедуктивные и недедуктивные. К последним
относятся индуктивные и по аналогии. Первые анализировались в
предыдущей главе. Здесь мы постараемся ответить на вопрос: в каком смысле
возможно недедуктивное доказательство и опровержение?
Дедуктивно доказать тезис означает обосновать, что он является
необходимым следствием истинных аргументов — аксиом, принципов, зако-

274
нов, определений. Дедуктивно опровергнуть тезис означает обосновать,
что он несовместим с истинными аргументами или, что то же, доказать,
что антитезис является необходимым следствием истинных аргументов. И
при доказательстве, и при опровержении аргументы должны быть не только
истинны, но и уместны для целей аргументации. Закон всемирного
тяготения Ньютона уместен в рассуждениях о гравитационных явлениях, но не о
нравственных явлениях.
Исчерпывает ли дедуктивная аргументация все виды доказательства
и опровержения? Нет, конечно. Существует огромное число ситуаций, в
которых имеет смысл говорить о недедуктивном доказательстве и
опровержении. К ним, в первую очередь относятся ситуации подтверждения,
опровержения и дисподтверждения гипотез. Аргументами в этом случае
являются факты, тезисом — объясняющая или предсказывающая гипотеза.
В отличие от дедуктивной аргументации здесь не тезис является
следствием аргументов, а аргументы, как правило, являются логическим
следствием выдвинутой гипотезы.
Если для дедуктивной аргументации истинность аргументов и
логическое следование из них тезиса или антитезиса оказывается вместе
достаточными, то этого нельзя сказать о недедуктивной аргументации. Здесь
аргументы могут быть истинны и представлять логическое следствие тезиса
и тем не менее не доказывать его. Они могут быть только более или менее
благоприятными для тезиса. Цель дедуктивной аргументации состоит в
том, чтобы выводить из истинных посылок истинные следствия. Цель
недедуктивной аргументации— искать для истинных следствий наиболее
правдоподобные (вероятные) посылки. Правдоподобие как мера истинности
играет в недедуктивной аргументации центральную роль.
Чтобы отделить недедуктивную аргументацию от дедуктивной,
изменим символику. Пусть Е обозначает некоторое множество аргументов
(свидетельство, в индуктивной терминологии), Н — тезис (гипотезу).
Назовем вероятность Р(Н1Е) правдоподобием тезиса Н относительно
аргументов Е. В подавляющем числе случаев Н не является логическим
следствием Е и тем самым не является максимально правдоподобным
относительно Е. Поэтому разумно исследовать: увеличивают, уменьшают или
оставляют без изменений правдоподобие Н представленные аргументы Е.
Эти размышления оправдывают следующие определения.
Аргументы Е недедуктивно доказывают тезис Н, если и только если
Р(Н/Е)>(Н). B0)
Аргументы Е недедуктивно опровергают тезис Н, если и только
если Р(Н/Е)<Р(Н). B1)
Аргументы Е недедуктивно не доказывают и не опровергают тезис
Н, если и только если Р(Н/Е) = Р{Н). B2)

275
Согласно B0), аргументы Е благоприятны для тезиса //, так как они
увеличивают его правдоподобие в сравнении с априорным (начальным)
правдоподобием этой гипотезы. Согласно B1), аргументы Е
неблагоприятны для тезиса //, так как они уменьшают правдоподобие тезиса в
сравнении с его априорным правдоподобием. Согласно B2), аргументы Е
индуктивно нейтральны для Н, так как они не увеличивают и не уменьшают
правдоподобие тезиса в сравнении с априорным правдоподобием.
Введем понятие дедуктивного опровержения в новой терминологии.
Аргументы Е дедуктивно опровергают тезис Н, если и только если
Р(Н/Е) = 0, B3)
Пусть —\Н обозначает антитезис. Из B0) следует косвенное
недедуктивное опровержение антитезиса —Л; из B1) — его косвенное
недедуктивное доказательство; из B2) — опровержение способа демонстрации, так
как доказывается, что между Н и Е нет не только логической связи, но и
индуктивной; из B3) — косвенное дедуктивное доказательство антитезиса
Если Р(Н) = 1, Р(Е) = 1, то Н и Е — истинные суждения; если Р(Н) =
0, Р(Е) = 0, то Я и Е — ложные суждения; если 0 < Р(Н) < 1, 0 < Р(Е) < 1,
то Н и Е — правдоподобные суждения. Фундаментальное отличие
правдоподобных суждений от истинных и ложных состоит в том, что они могут
изменять свою вероятность. Истинные и ложные суждения таким
свойством не обладают. Истину и ложь можно рассматривать как пределы
изменения правдоподобия.
Базисными формулами при решении задач недедуктивной
аргументации являются следующие:
Р(Н)=Р(НЕ)+Р(Н-Е) B4)
B5)
= Р(НЕ)+Р(-НЕ) B6)
B7)
дЯ/?)= ^^ B8)
ДЯ?)+ДЯ?)

276
Р(-Н/Е)=\-Р(Н/Е) B9)
Р(-пН1^Е) = \-Р(Н1-пЕ) C1)
Р(Е/Н)= 3S
Р(НЕ)+Р(Н^Е)
C3)
C5)
Для упрощения вычислений, а также в силу очевидности мы не
будем делать специальных ссылок на используемые формулы.
Все умозаключения, используемые при недедуктивной
аргументации, можно разделить в зависимости от вида рассматриваемой ситуации.
Это, во-первых, ситуации, в которых аргументы логически следуют
из тезиса.
Во-вторых, ситуации, в которых аргументы и тезис несовместимы по
истине.
В-третьих, ситуации, в которых аргументы и тезис эквивалентны. В-
четвертых, когда они взаимно исключают друг друга. Особый интерес
представляют ситуации, в которых имеется несколько альтернативных
аргументов или тезисов и необходимо среди них выбрать наиболее
правдоподобные. Каждую из указанных ситуаций можно далее разделить в
зависимости от того, являются ли аргументы истинными, правдоподобными
или ложными.
Предложенная классификация не является, конечно,
исчерпывающей. Она, в частности, не включает методы открытия и доказательства
причинной связи Милля, умозаключения по аналогии, которые
рассматриваются отдельно. Все эти пропуски легко могут быть восстановлены. Цель
предложенной классификации состоит в том, чтобы дать общее
представление о специфике недедуктивной аргументации.

277
Аргументы логически следуют из тезиса, Р(Е/Н) = 1
Собраны факты, свидетельства. Придуманы гипотезы, из которых
логически следуют суждения об этих фактах, свидетельствах. Как будет
меняться правдоподобие гипотез, если свидетельства оказались
истинными, правдоподобными, ложными? Ответ на этот вопрос дают следующие
умозаключения (везде предполагается, что Я правдоподобно, 0 < Р{Н) < 1).
Из Я следует ?, Р(Н-Е) = 0.
Е истинно, Р(Е) = 1.
Т
Е не доказывает и не опровергает
недедуктивно Я, Р(Н/Е) = Р(Я).
Заключение C6) может показаться удивительным: истинные
аргументы не изменяют правдоподобия той гипотезы, из которой они
выводятся в качестве необходимого следствия. Однако ничего удивительного
здесь нет. Истина передается только в направлении действия отношения
логического следования. Кроме того, умозаключение C6) подтверждает
известное правило, согласно которому истинное следствие не зависит от
своих посылок или, что то же, истина следует из чего угодно. Но если
следствия не зависят от своих посылок, то они и не изменяют их
правдоподобие. Условиям C6) соответствует следующее распределение
вероятностей:
\.НЕ 1/2 З.^НЕ 1/2
2. Н^Е 0 4,-гН-тЕ О
Из приведенного распределения вероятностей следует: Р(Н/Е) = Р(Н)
= 1/2, что оправдывает заключение C6). Соответственно, данное
заключение истинно и при других числовых значениях вероятностей,
удовлетворяющих условиям C6).
Из Я следует Е, Р(Н-,Е) = 0.
Е правдоподобно, 0 < Р(Е) < 1. C7)
Е не дедуктивно доказывает Я, Р{Н1Е) > Р(Н).
Умозаключение C7), называемое принципом обратной дедукции,
является наиболее распространенным в гуманитарных и естественных
науках. Содержание C7) выражают следующие утверждения (знак «—>»
означает предельный переход):
A. Если Р(Н) = const, Р(Е) -> ДЯ), то Р(Н/Е) -> 1.
B. Если Р(Н) = const, Р{Е) -> 1, то Р(Н/Е) -> Р(Н).

278
С. Если Р(Е) = const, Р(Н) -> 0, то Р(Н/Е) -> 0.
Из утверждений А и В следует, что правдоподобие Е лежит в
интервале Р(Н) < Р(Е) < 1 и не может быть меньше априорного правдоподобия
гипотезы. Правдоподобие гипотезы достигает максимума при Р(Е) = Р(Н).
Отсюда следует, что малоправдоподобные гипотезы могут высоко
подтверждаться только малоправдоподобными следствиями. Условиям C7)
удовлетворяет следующее распределение вероятностей:
1.НЕ 1/3 Ъ.^НЕ 1/3
I.H-уЕ О 4,-тЯ-тЯ 1/3
Из приведенного распределения вероятностей следует: Р(Н) = 1/3,
Р{Н1Е) =1/2. Следовательно, заключение C7) выполняется. Недедуктивное
доказательство Н влечет косвенное недедуктивное опровержение этой
гипотезы. В самом деле, из приведенного распределения следует также
Р(—\Н) = 2/3, Р(-тН/-тЕ) = 1/2, что, согласно определению B1), означает
недедуктивное опровержение Н аргументами Е.
Из Я следует Е, Р(Н-?) = 0.
Е ложно, Р(Е) = 0.
недедуктивно опровергает //, Р{Н1-Е) = 0.
C8)
Умозаключение C8) характеризует ситуацию приведения к абсурду
— выведение ложных следствий для опровержения той гипотезы, из
которой они следуют. Иными словами, неправдоподобные следствия делают
неправдоподобными и свои гипотезы. Условиям C8) соответствует
следующее распределение вероятностей:
1.НЕ 0 Ъ.^НЕ 0
2. Н-уЕ 0 4.
Из приведенного распределения вероятностей следует Р(Н/—?) = 0,
что оправдывает заключение C8).
Аргументы не следуют логически из тезиса Р(Е/НI=1, но
совместимы с huMj Р(НЕ) ч? 0
Если гипотеза имеет дедуктивное следствие, то истинно Р(Е/Н) = 1.
Но что можно сказать о бесконечном числе случаев, для которых истинно
0 < Р(Е/Н) < 1? Если вероятность Е относительно Н больше нуля, значит

279
между ними имеется определенное сходство, позволяющее считать Е
недедуктивным следствием Я.
Условие 0 < Р(Е1Н) < 1 исключает из рассмотрения возможность,
когда Е истинно, так как истина, как объяснялось, является следствием
любого суждения. Условие совместимости Я и Е исключает из рассмотрения
возможность, когда Е ложно. Остается следующая возможность:
Е не следует из Я, Р{Н-Е) ф О,
но совместимо с Я, Р(НЕ) ф 0.
Е правдоподобно, 0 < Р(Е) < 1.
Е недедуктивно доказывает Я, если и только если
Р(Е/Н)
Согласно C9), гипотеза может подтверждаться и
недедуктивными следствиями. Необходимым и достаточным условием для этого
является требование Р{Е1Н) > Р(Е). Как его интерпретировать? Буквально оно
означает, что вероятность аргументов Е, рассматриваемых безотносительно к
Я, меньше вероятности этих же аргументов, рассматриваемых
относительно данной гипотезы. Иными словами, аргументы Е более правдоподобны,
когда они рассматриваются вместе с гипотезой, чем без нее. Такой факт
может говорить только об одном — гипотеза содержит правдоподобное
объяснение данных аргументов.
Требование Р(Е/Н) > Р(Е) эквивалентно в свою очередь требованию
Р(Е/Н) >P(E/-iH). Следовательно, гипотеза подтверждается не
дедуктивными следствиями, если и только если вероятность Е относительно Я
больше вероятности Е относительно дополнения Я. Другими словами, Е
должно быть более правдоподобно относительно Я, чем относительно всех
ее альтернатив, выражаемых дополнением —Л.
Требование Р(Е/Н) > P(E/-iH) выполняется в том и только в том
случае, если симметричные возможные миры, представляющие одну и ту же
частоту, имеют равные вероятности. Именно такое распределение
вероятностей обеспечивает успешное познание из опыта. Следовательно,
гипотеза подтверждается своими недедуктивными следствиями, если и только
если она позволяет учиться на опыте.
Следующие распределения вероятностей дают примеры нарушения и
выполнения указанных требований:
I. HE
9 J-f F*
1/4
1/4
2/6
1/6
4. -,#-n.
1/4
E 1/4
И
1/6
2/6
(*•)

280
Из распределения (*) следует Р(Е) = Р(Е/Н) = 1/2, Р(Н) = Р(Н/Е) =
1/2. Таким образом, данное распределение вероятностей не выполняет
требование симметричности и не обеспечивает познания из опыта. Из
распределения (**) следует Р(Е) = 1/2, Р(Е/Н) = 2/3, Р(Н) = 1/2, Р{Н1Е) = 2/3.
Данное распределение выполняет все требования и позволяет познавать из
опыта.
К сказанному добавим, что если выполняется требование (Е/Н)>Р(Е),
то автоматически выполняется требование аналогии между Я и Е. Когда
мы можем учиться на опыте, то это предполагает в качестве необходимого
условия и наличие аналогии между гипотезой и ее свидетельством.
Аргументы и тезис несовместимы по (истине) друг с другом,
Р(НЕ) = 0
Между гипотезой и свидетельством, или аргументами, могут быть
отношения не только совместимости, но и несовместимости. Как влияет в
этом случае изменение истинностного значения аргументов на
правдоподобие гипотезы? Ответ на этот вопрос дают следующие умозаключения:
Ни Е несовместимы, Р(НЕ) = 0.
Е истинно, Р(Е) = 1.
Е дедуктивно опровергает Я, Р(Н/Е) = 0.
D0)
С помощью D0) обеспечивается прямое дедуктивное опровержение
гипотезы, а также косвенное дедуктивное доказательство ее дополнения.
Так как из Р(Н/Е) = 0 следует Р(—Н/Е) = 1. Условиям D0) соответствует
следующее распределение вероятностей:
\.НЕ 0 Ъ.^НЕ 1
2.Н-лЕ 0 4. -Л-тЕ 0
Из приведенного распределения вероятностей следует: Р(Н/Е) = 0 и
Р(-лН1Е) = 1, что оправдывает заключение D0). Так как Р(Н) = 0 и Р(Н/Е) =
0, то следует, что Е не опровергает недедуктивно гипотезу Я.
Я и Е несовместимы, Р(НЕ) = 0.
Е правдоподобно, 0 < Р(Е) < 1.
Е опровергает Я дедуктивно, Р(Н/Е) = 0, D1)
и недедуктивно, Р(Н/Е) < Р(Н).
Из D0) и D1) вместе следует, что в случае несовместимости Я и Е
для опровержения Я достаточно выполнения условия Р(Е) > 0. Если же
аргументы только правдоподобны, тогда гарантируется и дедуктивное, и не-

281
дедуктивное опровержение. Условиям D1) соответствует следующее
распределение вероятностей:
\.НЕ О З.^НЕ 1/3
2.#-п? 1/3 4.-.Н-.Е 1/3
Из приведенного распределения вероятностей следует Р(Н) = 1/3 и
Р{Н1Е) = 0? что оправдывает заключение D1). Так как Р(-Л) = 2/3 и
P(—iH/E) = 1, то с помощью данного умозаключения можно также косвенно
доказать как дедуктивно, так и недедуктивно дополнение рассматриваемой
гипотезы.
Н и Е несовместимы, Р(НЕ) = О,
Е ложно, Р(Е) = 0.
Е не доказывает Н ни дедуктивно, D2)
ни недедуктивно.
Умозаключение D2) воспроизводит известный принцип: из
ложности какого-либо одного из несовместимых суждений не следует с
необходимостью истинность другого. Условиям D2) соответствует следующее
распределение вероятностей:
\.НЕ 0 3.-п#? 0
1/2 4.^Н-пЕ 1/2
Из приведенного распределения вероятностей следует: Р(Н) = 1/2 и
Р(Н/Е) = не определяется, что оправдывает заключение D2).
Аргументы и тезис эквивалентны, Р(Н-тЕ)= Р(—НЕ)
Случай, когда тезис и аргументы эквивалентны, является достаточно
редким. Если гипотеза универсальная, то ее эквивалентность со
свидетельством в естественных науках вообще исключается. Для полноты анализа
эту ситуацию мы тем не менее рассмотрим.
Е и Н эквивалентны, Р(Н^Е) = Р(^НЕ) = 0.
Е истинно, Р(Е) = 1.
ЕиН доказывают друг друга дедуктивно, /43 ч
но не недедуктивно,
Р(Н/Е) = Р(Е/Н) = \=Р(Н).

282
Умозаключение D3) представляет результат объединения C6) вместе
со своим обращением (которое не анализировалось). Условиям D3)
соответствует следующее распределение вероятностей:
1.НЕ 1 Ъ.^НЕ О
2.Н-Е 0 4. -п#-пЯ О
Из приведенного распределения вероятностей следует: Р(Н) = Р(Е) =
Р(Н1Е) = Р(Е1Н) = 1, что оправдывает заключение D3).
Е и Я эквивалентны, Р(Н-лЕ) = Р(-тНЕ) = 0.
Е правдоподобно, 0 < Р(Е) < 1.
Е и Я доказывают друг друга дедуктивно, D4)
Р(Н1Е) = Р(Е/Н) = 1, и недедуктивно,
Р{Н1Е) >Р(Н), Р(Е/Н)
Умозаключение D4) представляет результат объединения C7) и его
обращения (которое не рассматривалось). Условиям D4) соответствует
следующее распределение вероятностей:
1.НЕ 1/2 Ъ.^НЕ 0
2.#-п? 0 4. ^Я-ъЕ 1/2
Следует Р(Н) = Р(Е) = 1/2, Р(Н/Е) = Р(Е/Н) = 1, что оправдывает
заключение D4). Таким образом, если суждение только правдоподобно,
тогда оно доказывает себя и дедуктивно, и недедуктивно. Следовательно, не
всегда повторение какой-либо одной и той же мысли можно считать
бессмысленным.
Эквивалентность включает также и случай ложности тезиса и
аргументов.
D5)
Е и Я эквивалентны, Р(Н-Е) = Р(-^НЕ) = 0.
Е ложно, Р(Е) = 0.
—Л дедуктивно опровергает Е, Р(Е/—Л) = 0.
дедуктивно опровергает Я, P(H/-iE) = 0.
Умозаключение D5) представляет результат объединения C8) со
своим обращением (которое не рассматривалось). Данное суждение можно
рассматривать как вероятностный аналог контрапозиции суждения.
Условиям D5) соответствует распределение вероятностей, приведенное для
C8).

283
Аргументы и тезис взаимно исключают друг друга, Р(НЕ) =
Е) = О
Аргументы и тезис могут быть не только несовместимы друг с
другом, но также и исключать друг друга. Взаимное исключение представляет
логическое отрицание эквивалентности. Ответ на вопрос, как изменится
правдоподобие гипотез в зависимости от истинностного значения
свидетельства, дает следующее умозаключение:
Я и Е взаимно исключают друг друга,
Р{НЕ) = Р{-,Н^Е) = 0. D6)
Е истинно, Р(Е) = 1.
Е дедуктивно опровергает Я, Р(Н/Е) = 0.
Заключение D6) эквивалентно заключению D0). Истинность какого-
либо суждения влечет дедуктивное опровержение всех несовместимых с
ним суждений, включая и те, которые он исключает. Распределение
вероятностей для D6) совпадает с распределением вероятностей для D0).
Ни Е взаимно исключают друг друга,
Р(НЕ) = Р(-^Н-пЕ) = 0.
Е правдоподобно, 0 <Р(Е) <1. D7)
Е опровергает Я дедуктивно, Р(Н1Е) = 0, и
недедуктивно, Р(Н1Е) < Р(Н).
Заключение D7) эквивалентно заключению D1). Как и в
предыдущем случае, это означает, что при указанных условиях принципиального
различия между несовместимостью и взаимным исключением нет.
Условиям D7) удовлетворяет следующее распределение вероятностей:
\.НЕ 0 З.-ЛЕ 1/2
2. Н-пЕ 1/2 4.-Л-уЕ 0
Следует Р(Н) = 1/2, Р(Н1Е) = 0, что оправдывает заключение D7).
НиЕ взаимно исключают друг друга,
Р{НЕ) = Р(-,Н^Е) - 0.
Е ложно, Р(Е) -0. D8)
-лЕ дедуктивно доказывает Я, Р(Н/^Е) = 1.

284
Умозаключение D8) характеризует единственный случай, когда
взаимное исключение не совпадает с несовместимостью. Это несовпадение
становится наглядным, если сравнить умозаключения D2) и D8). Только
при взаимном исключении мы можем заключать от ложности одного
суждения к истинности другого.
Условиям D8) удовлетворяет следующее распределение
вероятностей:
1.НЕ О Ъ.^НЕ О
2.#-п? 1 А.^Н^Е О
Из приведенного распределения вероятностей следует P(H)=P(H/-iE)
= 1, что оправдывает заключение D8).
Выбор среди аргументов и тезисов на основании сравнения их
априорного правдоподобия
Допустим, имеется несколько аргументов в защиту одного и того же
тезиса, причем тезис является логическим следствием каждого из этих
аргументов. Какой аргумент в этой ситуации следует предпочесть? Ответ дает
следующее умозаключение:
Из Ех следует Я, Р{-^НЕХ) = 0.
Из Е2 следует Я, Р(-^НЕ2) = 0.
Е\ более правдоподобно, чем Е2, Р{Е\) > Р(Е2) > 0. D9)
Ei более правдоподобно относительно Я, чем Е2,
Р{ЕХ1Н) >Р(Е21Н).
Рассматриваемая ситуация характерна для дедуктивной
аргументации. Однако она интересна тем, что несмотря на дедуктивные отношения
между Я, Е\ и Е2 решающим условием оказывается различие априорных
правдоподобий сравниваемых аргументов. Согласно D9), когда тезис
следует сразу из нескольких аргументов, необходимо предпочитать те из них,
которые обладают большим начальным правдоподобием. Именно такие
аргументы более вероятны в качестве истинных причин.
Условиям D9) удовлетворяет следующее распределение
вероятностей:
1.
2.
3.
НЕХЕ2
НЕ\—Е2
H—iE\E2
1/10
6/10
1/10
4.
5.
Я—\Е\—\Е2
—Я—Е\—Е2
1/10
1/10

285
Из приведенного распределения вероятностей следует: Р(Е{1Н) = 7/9,
Р(Е2/Н) = 2/9, Р(ЕХ) = 7/10, Р(Е2) =2/10. Кроме того, истинно Р(Н/Е{) =
Р(Н/Е2) = 1. Эти вероятности оправдывают заключение D9).
Сохраняется ли в силе заключение D9), если тезис не является
логическим следствием представленных аргументов, но совместим с каждым из
них? Ответ на этот вопрос дает следующее умозаключение.
Н не следует из Ей Р{-^НЕ\) ф 0.
Я не следует из Еъ Р(-^НЕ2) ф 0.
Н совместимо с Е\ и Е2, Р(НЕ\Е2) ф 0.
Е\ более правдоподобно, чем Е2. Р{Е\) >Р{Е2).
Е\ более правдоподобно относительно //, чем Е2,
Р(Е\1Н) >Р(Е2Н).
Умозаключение E0) характерно для недедуктивной аргументации.
Однако D9) и E0) имеют одно и то же заключение — аргументы с
большим правдоподобием безотносительно к тезису более правдоподобны и
относительно тезиса, если тезис и аргументы совместимы друг с другом.
Условиям E0) удовлетворяет следующее распределение вероятностей:
1.
2.
3.
4.
НЕхЕг
НЕх^Е2
Н^ЕхЕ2
Н^Ех->Е2
1/10
2/10
1/10
1/10
5.
6.
7.
8.
—\НЕ\ Е2
-лНЕх-^Ег
—,Н—)ЕхЕ2
.-Н^Ех^Е,
1/10
2/10
1/10
1/10
Из приведенного распределения вероятностей следует: /*(Z?i) = 6/10,
Р(Е2) = 4/10, ад///) = 6/10, Р(Е2/Н) = 4/10. Также следует Р{Н1ЕХ) =
Р(Н/Е2) = 1/2, что оправдывает заключение E0).
Допустим, даны аргументы, из которых следует несколько тезисов.
Какой из тезисов следует предпочесть, если каждый из них доказывается
дедуктивно и относительно них обладает поэтому высшим
правдоподобием? Ответ на этот вопрос дает следующее умозаключение.
Из Е следует Яь Р{-^НХЕ) = 0.
Из Е следует Я2, Р(-^Н2Е) = 0.
Н\ более правдоподобно, чем Я2, Р(Н\) >Р(Н2).
Е более правдоподобно относительно //2, ^ ^
чем относительно Н\9 Р(Е/Н{) <Р(Е1Н2).

286
Согласно E1), тот тезис обеспечивает большее правдоподобие
аргументам, который обладает меньшей начальной вероятностью. Иными
словами, если из какого-либо множества аргументов следует несколько
тезисов, то предпочитать следует тезис с наименьшей начальной вероятностью
или, что то же, с наивысшей начальной информативностью. Именно такие
тезисы обеспечивают аргументам наибольшее правдоподобие. Условиям
E1) соответствует распределение вероятностей:
1.
2.
3.
НХН2Е
Н\Н2-^Е
Н\—\Г12—Е
1/10
1/10
6/10
4.
5.
TJ IT Z7
—ai\tl2—lC
—\Н\ —\Н.2—Е
1/10
1/10
Из приведенного распределения вероятностей следует: Р(Н\) = 8/10,
Р(Н2) = 3/10, Р{Е1НХ) = 1/8, Р(Е/Н2) = = 1/3, Р(НХ1Е) = Р(Н2/Е) = 1, что
оправдывает заключение E1).
Для тезисов, не являющихся логическими следствиями аргументов,
заключение, аналогичное E1), получить нельзя.
Умозаключения E0) и E1) позволяют сделать общий вывод. Когда
имеется несколько альтернативных аргументов, с которыми
рассматриваемый тезис совместим, мы должны выбирать аргументы с большим
априорным правдоподобием. Именно относительно такого тезиса аргументы
обладают наивысшим правдоподобием. Когда имеется несколько тезисов,
каждый из которых следует из данных аргументов, то, наоборот, следует
предпочитать тезис с наименьшим начальным правдоподобием.
Кратко суть обоих умозаключений можно выразить так: мы должны
стремиться к наиболее вероятным посылкам и к наименее вероятным
следствиям — тогда наша аргументация будет наиболее убедительной.
Допустим, тезис является следствием нескольких аргументов.
Увеличивается ли их правдоподобие, если они рассматриваются одновременно
относительно тезиса? Ответ на этот вопрос дает следующее
умозаключение.
Из Ех следует Я, Р{-^НЕХ) = 0.
Из Е2 следует Я, Р(-,НЕ2) = 0.
Е{ и Е2 правдоподобны, 0 < Р(Е{) <1, 0 <Р(Е2) <1.
(Е\Е2) менее правдоподобно относительно Я, чем E2)
Е\ или Е2 относительно Я по отдельности,
P{ExE2IH)<P{EiIH)J=\,2.

287
Умозаключение E2) оправдывает правило аргументации, согласно
которому, если имеется несколько аргументов в защиту тезиса, то каждый
аргумент должен выставляться независимо от других.
Условиям E2) соответствует следующее распределение
вероятностей:
1.
2.
3.
НЕХЕ2
НЕ \—\Е2
Н—Е\Е2
2/8
1/8
2/8
4.Я-
5.-Л
^Е^Е2
1/8
2/8
Из приведенного распределения вероятностей следует: Р{Е\1Н) =
Р(Е2/Н) = 1/2, Р(Е\Е21Н) =1/3, что оправдывает заключение E2).
Допустим, из одних и тех же аргументов следует несколько тезисов.
Увеличивается ли их правдоподобие, если тезисы рассматриваются
одновременно? Ответ на этот вопрос дает следующее умозаключение.
Из Е следует Ни Р{-^НХЕ) = 0.
Из Е следует Я2, Р(-^Н2Е) = 0.
Е правдоподобно, 0 <Р(Е) <1 ,„.
Е более правдоподобно относительно (Н\Н2),
чем относительно Н\ или Н2 по отдельности,
Р(Е1НХН2) >Р(Е/Щ, /=1,2.
Умозаключение E3) оправдывает правило аргументации, согласно
которому рекомендуется выставлять все тезисы, так как рассматриваемые
все вместе они повышают правдоподобие приведенных аргументов.
Условиям E3) соответствует следующее распределение вероятностей:
1.
2.
3.
НХН2Е
Н\Н2—Е
Н\ —\Hi—\E
2/8
2/8
1/8
4.
5.
-Mil
—\Н\-
Ч2~л1
-\Н2-
У
J
1/8
2/8
Из приведенного распределения вероятностей следует: Р(Е1Н\) =
Р(Е/Н2) = 2/5, Р(Е1НХН2) = 1/2, что оправдывает E3).
Умозаключения E2) и E3) характерны для дедуктивной
аргументации. Их недедуктивными аналогами являются следующие умозаключения:

288
Из Я следует Еи Р{Н-^ЕХ) = О
Из Я следует Е2, Р(Н-хЕ2) = О.
Я правдоподобно, О <Р(Н) <1.
Я более правдоподобно относительно (Е\Е2),
чем относительно Е\ или #2 по отдельности,
Р(Н/Е{Е2)
E4)
Согласно E4), правдоподобие гипотезы монотонно возрастает
вместе с увеличением числа подтверждающих ее свидетельств.
Эквивалентность заключений E3) и E4) доказывает симметричность недедуктивного
доказательства: если аргументы увеличивают правдоподобие гипотезы, то
и гипотеза увеличивает правдоподобие своих свидетельств.
Доказательство истинности E4) такое же, как и E3). Поэтому оно опускается.
Из Hi следует Е, Р(Нх-тЕ) = 0.
Из Я2 следует Е, Р(Н2-^Е) = 0.
Н\ и Н2 правдоподобны, 0 <Р(Я/)<1, / = 1,2
(Н\Н2) менее правдоподобно относительно Е, E5)
чем Н\ или Н2 относительно Е по отдельности,
Р(НХН21Е) <Р(ЩЕ)9 /=1,2.
Согласно E5), каждую гипотезу рекомендуется доказывать
отдельно, так как только в этом случае их правдоподобие относительно
свидетельства выше. Заключение E5) эквивалентно заключению E2), то есть
отношение недедуктивного опровержения симметрично, как и отношение
недедуктивного доказательства. Если свидетельство уменьшает
правдоподобие гипотезы, то и гипотеза уменьшает правдоподобие
свидетельства. Доказательство E5) аналогично доказательству E2).
Допустим, имеется несколько альтернативных гипотез, образующих
полное множество, то есть такое множество, которое необходимо
содержит истинную гипотезу. Пусть каждая гипотеза из этого множества имеет
некоторое логическое следствие. Как изменится правдоподобие гипотез,
если правдоподобие следствия одной из гипотез будет больше
правдоподобия следствий всех остальных гипотез? Ответ на этот вопрос дает
следующее умозаключение.

289
Н\ и Н2 образуют полное
множество, Р(Н{) + Р(Н2) = 1.
Из #i следует Еи Р(Нх-^Ех) = 0.
Из #i следует Еи Р(Нх^Ех) 0.
Из Я2 следует Е2, Р(Н2-,Е2) = 0.
Правдоподобие Е\ больше правдоподобия Е2,
Р(Е{)> Р(Е2)> 0.
Правдоподобие Н\ относительно Е\ больше
правдоподобия Н2 относительно Е2, Р(Н\1Е\) >Р{Н21Е2).
Умозаключение E6) характеризует одну из самых распространенных
ситуаций недедуктивной аргументации. С логической точки зрения оно
представляет индуктивный вариант закона исключенного третьего
дедуктивной аргументации: из нескольких взаимоисключающих гипотез та
подтверждается сильнее, которая имеет более правдоподобное свидетельство.
E6) интересно тем, что объединяет две важнейшие индуктивные стратегии
— подтверждение истинной гипотезы и опровержение (исключение)
ложных гипотез. Условиям E6) удовлетворяет следующее распределение
вероятностей:
l.Hx-nH2EiE2 1/Ю Ъ.^НХН2ЕХЕ2 1/10
2.H{^H2E^E2 7/10 A.^HXH2-?XE2 1/10
Из приведенного распределения вероятностей следует: Р(Е\) = 9/10,
Р(Е2) = 3/10, Р(НХ1Е\) = 8/9, Р(Н2/Е2) = 2/3. Полученные вероятности
оправдывают заключение E6). Это умозаключение истинно при любом
числе п альтернативных гипотез, образующих полное множество, п > 2.
Допустим, дано произвольное множество суждений А, В, ...., М,
последовательно связанных друг с другом отношений недедуктивного
доказательства Р(В/А)> Р{В), Р(С/В) > ДС),... Можно ли в этом случае
говорить о транзитивности отношения недедуктивного доказательства?
Можно, если и только если вероятностный универсум следующего
умозаключения является симметричным.
Р(В/А) >Р(В)
Р(С/В) >P(Q
P(D/Q>P(D) K }
P(D/A)>P(D)
Символы в E7) могут обозначать произвольные суждения. Главное
условие — чтобы они находились в последовательном отношении
недедуктивного доказательства. Не требуется, чтобы посылки
формулировались только в общеутвердительных суждениях.

290
Допустим для простоты доказательства, что каждое последующее
суждение является необходимым следствием предыдущего суждения. В
этом случае условиям E7) удовлетворяет следующее распределение
вероятностей.
1.
2.
3.
ABCD
-ABCD
—A-iBCD
1/5
1/5
1/5
4.
5.
-A-iB^C
-A-^B^C
D 1/5
'^D 1/5
Из приведенного распределения вероятностей следует: Р(В/А)=\,
Р(В)=2/5, Р(С/В)=\, P(Q=3/5, P(D/Q=l, P(D) = 4/5, P(D/A) = 1, что
оправдывает заключение E7).
Рассмотрим несколько примеров недедуктивной аргументации из
научной и художественной литературы.
Пример 1
«Доводы, которые заставляют меня сомневаться в том, чтобы
естественные виды могли изменяться так же внезапно, как иногда изменялись
домашние расы, и окончательно отвергнуть тот чудесный способ их
изменения, который предлагает м-р Майварт, — следующие. Согласно всему
нашему опыту, внезапные и резко выраженные изменения проявляются у
наших домашних рас как единственные случаи и через длинные
промежутки времени. Если такие изменения проявлялись в естественном
состоянии, они, как было пояснено ранее, весьма легко исчезали бы вследствие
различных случайных причин и в силу последующего скрещивания; то же
оказывается верным и по отношению к домашним породам, если только
эти внезапные изменения не будут особенно тщательно охраняться и
изолироваться человеком. Отсюда предложенный м-ром Майвартом способ
внезапного возникновения нового вида обязательно потребовал бы,
вопреки всяким аналогиям, того допущения, что несколько таким чудесным
образом измененных особей появилось одновременно в одной и той же
области. Это затруднение, как и в случае бессознательного отбора человеком,
устраняется, по теории постепенной эволюции, сохранением большого
числа особей, более или менее изменяющихся в каком-либо
благоприятном направлении, и истреблением большого числа особей, изменявшихся в
обратном направлении». (Дарвин Ч. Происхождение видов путем
естественного отбора. Книга для учителя. М.,1986.С. 174- 175).
Спор Ч. Дарвина со своим оппонентом можно представить в виде
соперничества двух конкурирующих гипотез: Н\ = виды животных
изменяются постоянно путем естественного отбора (гипотеза Ч. Дарвина), Н2 =
виды животных изменяются внезапно и сразу, благодаря некоторой
внутренней силе самих животных (гипотеза Майварта).

291
Свидетельством, поддерживающим Н\ и чрезвычайно
правдоподобным, благодаря многочисленным наблюдениям, является утверждение Е\ =
большое число особей сохраняется, если их изменения происходят в
благоприятном направлении, и истребляется, если их изменения происходят в
неблагоприятном направлении. Свидетельством Е2, поддерживающим //2,
является утверждение, что новые виды появляются внезапно и независимо
от изменения внешних условий жизни животных. Правдоподобие Е2
Ч. Дарвин подвергает сомнению на том основании, что такие изменения
очень редко наблюдаются, и только через длинные промежутки времени, и
что они очень неустойчивы, легко исчезают под воздействием внешних
факторов.
Допустим, что Н\ и Н2 составляют полное множество гипотез, то
есть что одна из них необходимо истинна. Тогда Р(Н\) + Р(Н2) = 1.
Подвергая сомнению правдоподобие свидетельства Е2, Ч. Дарвин тем самым
доказывает, чт Р(Е\) >Р(Е2)> 0. Учитывая, что Е\ и Е2 являются
логическими следствиями соответствующих гипотез, получаем условия
умозаключения E6). В качестве заключения следует Р(Н\1Е\) >Р(Н2/Е2), то есть
гипотеза об естественном отборе доказывается сильнее, чем ее
альтернатива.
Пример 2
«— Интересно, что он там высматривает? — спросил я (доктор Ват-
сон. — В. С. и И. /7.), показывая на дюжего, просто одетого человека,
который медленно шагал по другой стороне улицы, вглядываясь в номера
домов. В руке он держал большой синий конверт — очевидно, это был
посыльный.
— Кто, этот отставной флотский сержант? — сказал Шерлок
Холмс...
— Как же Вы догадались? — спросил я.
— О чем? — хмуро отозвался он.
— Да о том, что он отставной флотский сержант?..
— Мне легче понять, чем объяснить, как я догадался... Даже через
улицу я заметил на его руке татуировку — большой синий якорь. Тут уже
запахло морем. Выправка у него военная, и он носит баки военного
образца. Стало быть, перед нами флотский. Держится он с достоинством,
пожалуй, начальственно. Вы должны были бы заметить, как высоко он держит
голову и как помахивает своей палкой, а с виду он степенный мужчина
средних лет — вот и все приметы, по которым я узнал, что он был
сержантом» (Конан Дойль А. Этюд а багровых тонах // Англия. М., 1991. С. 19-
21).
Приведенный отрывок содержит один из типичных примеров
применения великим сыщиком своего «дедуктивного» метода. Попробуем этот

292
пример проанализировать и понять, как Шерлок Холмс смог угадать
правильное заключение, которое затем полностью подтвердилось.
Благодаря своей способности наблюдать Холмс быстро подметил
основные приметы и составил из них свидетельство (аргумент) Е = этот
человек сильный, степенный, средних лет, просто одет, имеет морскую
татуировку, военную выправку, баки военного образца, держится
начальственно, служит посыльным.
Мы не ошибемся, если скажем, что для Холмса данное свидетельство
было только правдоподобным, так как формировалось на основании
визуальных примет. Таким образом, 0 < Р(Е) < 1.
Догадка Холмса представляет гипотезу Н = этот человек —
отставной сержант флота. Здесь возникают два вопроса. Во-первых, почему
появилась именно эта гипотеза? Во-вторых, доказывается ли она
установленным свидетельством? Хотя логики не любят отвечать на вопросы,
подобные первому, относя их к психологии творчества, мы рискнем дать
следующий ответ. Интуитивно или осознанно Холмс исходил из требования,
что гипотеза, претендующая на статус истинной, должна придавать
свидетельству большее правдоподобие, чем ее возможные альтернативы.
Именно выдвинутая гипотеза и отвечает данному требованию. В самом деле, не
быть отставным сержантом флота и иметь при этом морскую татуировку,
военную выправку, баки военного образца, держаться начальственно,
служить посыльным выглядит малоправдоподобным сочетанием. Однако все
перечисленные приметы становятся весьма правдоподобными при
допущении, что данный человек когда-то был сержантом флота. Иными
словами, для Холмса очевидным стало неравенство Р(Е/Н) >P(E/—JT), где Н
обозначает его догадку, —Л — все ее альтернативы, Е — приметы,
составившие свидетельство. Итак, логический смысл всякой догадки состоит в том,
чтобы сделать обсуждаемое событие максимально правдоподобным.
Гипотеза Н была выдвинута Холмсом для объяснения свидетельства
Е. Следовательно, она не может быть несовместимой с этим
свидетельством. Она также не может быть эквивалентной свидетельству или быть его
логическим следствием. В противном случае доктор Ватсон, а вместе с
ним и мы, читатели, без труда смогли догадаться, кем ранее был
посыльный. Остаются две возможности: свидетельство Е является или
логическим, или нелогическим следствием Н. Первая возможность соответствует
умозаключению C7), вторая — умозаключению C9). И в том и в другом
случае гарантируется недедуктивное доказательство гипотезы Н
свидетельством Е. Таким образом, независимо от того, мыслил ли Холмс
согласно C7) или согласно C9), его догадка получает недедуктивное
доказательство. К тому, что Холмс сказал своему другу, он мог бы добавить, что
если некоторая догадка повышает правдоподобие обсуждаемого события,
факта, то симметрично и событие, факт подтверждают эту догадку.

293
Пример 3
«— Вот что, Ватсон, — промолвил он (Шерлок Холмс. — В. С. и И.
/7.), — мы оставим вопрос, кто убил Стрэкера, и будем думать, что
произошло с лошадью. Предположим, Серебряный (имя лошади. — В. С. и И.
Я.) в момент преступления или немного позже ускакал. Но куда? Лошадь
очень привязана к человеку. Предоставленный самому себе, Серебряный
мог вернуться с Кингс-Пайленд или убежать в Кейплтон. Что ему одному
делать в поле? И уж, конечно, кто-нибудь да увидел бы его там. Теперь
цыгане, — зачем им было красть его?.. Украсть ее — большой риск, а
выгоды — никакой. Это вне всякого сомнения.
— Где же тогда Серебряный?
— Я уже сказал, что он или вернулся в Кингс-Пайленд или поскакал
в Кейплтон. В Кингс-Пайленде его нет. Значит, он в Кейплтоне. Примем
это за рабочую гипотезу и посмотрим, куда она нас приведет. Земля, как
заметил инспектор, высохла и стала тверже камня, но местность слегка
понижается к Кейплтону, и в той лощине ночью в понедельник, наверное,
было очень сыро. Если наше предположение правильно, Серебряный
скакал в этом направлении, и там нужно искать его следы.
Беседуя, мы быстро шли вперед и через несколько минут
спустились в лощину. Холмс попросил меня обойти ее справа, а сам взял левее,
но не успел сделать и пяти-десяти шагов, как он закричал мне и замахал
рукой. На мягкой глине у его ног виднелся отчетливый конский след.
Холмс вынул из кармана подкову, которая как раз пришлась по
отпечатку.
— Вот что значит воображение, — улыбнулся Холмс. — Мы
представили себе, что могло бы произойти, стали проверять предположение,
и оно подтвердилось» {Конан Дойль А. Серебряный // Из досье Шерлока
Холмса. М., 1991. С. 129).
В предыдущем примере гипотеза выдвигалась для объяснения
существующего свидетельства. В этом примере гипотеза предлагается для
того, чтобы найти подтверждающее или дисподтверждающее ее
свидетельство.
Пропал известный во всей Англии рысак Серебряный, а его тренер
Стрэкер найден убитым. Холмс ставит задачу найти в первую очередь
пропавшую лошадь и выдвигает последовательно четыре гипотезы о ее
возможном местонахождении. Н\ = Серебряный остался в поле, рядом с
местом преступления; Н^ — Серебряный вернулся в конюшню в Кингс-
Пайленд; //3 = Серебряный убежал в Кейплтон (место, где находится
конюшня конкурента); Я4 = Серебряного украли цыгане. Так как никаких
других гипотез не предлагалось, то будем считать, что перечисленные
гипотезы образуют полное множество. Следовательно, истинно Р{Н\) +

294
Свидетельствами, подтверждающими эти гипотезы, были бы
соответственно следующие факты: Е\ = Серебряный пасется в поле, Е2 =
Серебряный в Кингс-Пайленде, ?3 = Серебряный в Кейплтоне, Е4 =
Серебряный у цыган. Встает вопрос о правдоподобии этих свидетельств. Холмс
подвергает сомнению Е\, так как лошадь долго оставаться без человека не
может и, кроме того, ее бы заметили; правдоподобие Е2 приравнивается к
нулю, так как Серебряный в родную конюшню не возвращался;
правдоподобие Е4 также приравнивается к нулю, потому что украсть известного
рысака большой риск и его невозможно потом продать. В итоге имеет
место Р{ЕХ) + Р(Е2) + Р(Е4) = 0.
Е\ является логическим следствием Н\, но Р(Е\) = 0. Согласно D8),
гипотеза Н\ опровергается. Аналогично Р(Е2) = 0 опровергает Я2, Р(Е4) =
0 опровергает Я4. Опровержение Н\, Я2, Н4 косвенно доказывает,
согласно E6), гипотезу Я3. Но проблема для Холмса заключается в том, что
конюшня в Кейплтоне уже осматривалась и Серебряного там не нашли.
Поэтому Холмс временно допускает, что Щ истинна, и ищет свидетельство,
подтверждающее ее прямо, то есть ищет Еъ.
Скоро такое свидетельство в виде отпечатков Серебряного
обнаруживается. Очевидно, что правдоподобие Е^ больше нуля.
Объединяя все полученные данные, получаем расширенный
вариант умозаключения E6):
Н\, Н2, Щ и Н4 образуют полное множество,
ДЯ 0 + Р{Н2) + Р(Я3) + ДЯ4) = 1.
Из Нх следует Еи Р{НХ-^ЕХ) = 0.
Из Я2 следует Еъ Р(Н2-^Е2) = 0.
Из Я3 следует ?3, Р(НЪ-^ЕЪ) = 0.
Из Я4 следует Е4, Р{Н4-^Е4) = 0.
Правдоподобие ?з больше правдоподобия всех
остальных свидетельств, Р(ЕЪ) > P(Et), i= I, 2, 4.
Яь Я2, Я3 и Я4 образуют полное множество,
Р(НХ) + ДЯ2) + ДЯз) + Р(Н4) = 1.
Из Нх следует Еи Р(НХ-,Е{) = 0.
Из Я2 следует Еъ Р(Н2-^Е2) = 0.
Правдоподобие Яз относительно свидетельства Е^ подобия
всех остальных гипотез относительно своих свидетельств,
P(H3/E3)=l>P(Hi/Ei)9i=l9294.
Заключение Холмса подтвердилось полностью, когда Серебряного
нашли в Кеплтоне.

295
Итак, «дедуктивный метод» Шерлока Холмса на самом деле
представляет обычный гипотетико-дедуктивный метод, широко известный во
времена А. Конан Дойля. Этот метод может использоваться как для
объяснения уже существующих фактов, так и для поиска новых. На этом
основании мы должны отклонить обвинение, что Шерлок Холмс был против
современной логики60. Наоборот, именно ей он обязан своими
поражающими открытиями и проницательными догадками.
Пример 4
«Посещение пчелами необходимо для оплодотворения некоторых
видов клевера... Только шмели посещают красный клевер, так как другие
пчелы не могут добраться до его нектара... Отсюда мы вправе с большой
вероятностью заключить, что, если бы здесь род шмелей вымер или стал
бы очень редок в Англии, и красный клевер стал бы так же редким или
совсем исчез. Число шмелей в стране зависит в значительной степени от
численности полевых мышей, истребляющих их соты и гнезда... Но число
мышей, как всякий знает, в значительной степени зависит от количества
кошек... Отсюда становится вполне вероятным, что присутствие большого
числа животных кошачьей породы в известной местности определяет,
через посредство, во-первых, мышей, а затем шмелей, изобилие в этой
местности некоторых цветковых растений!» {Дарвин Ч. Происхождение видов
путем естественного отбора. Книга для учителя. С. 60-61).
В данном отрывке Ч. Дарвин иллюстрирует идею взаимозависимости
животных и растений. Элементами рассматриваемой системы выступают
кошки, полевые мыши, шмели, красный клевер. Пусть А обозначает
красный клевер, В — шмелей, С — полевых мышей, D — кошек.
В качестве первой посылки выступает утверждение, что шмели
представляют собой необходимое условие существования красного клевера.
Следовательно, истинно Р(В/А) >Р(А). В качестве второй посылки следует
утверждение, что численность шмелей контролируется полевыми мышами.
Следовательно, истинно Р(В/С) >Р(В). Третьей посылкой выступает
суждение, что численность мышей в местах проживания человека
контролируется кошками. Следовательно, истинно P(C/D) >P(C).
Согласно E7), из указанных посылок с необходимостью следует
суждение P(A/D) > P{A), то есть, что существование кошек
опосредованным образом (через мышей и шмелей) влияет на существование красного
клевера (в местах проживания человека).
60 Хинтикка Я., Хинтикка М. Шерлок Холмс против современной логики // Язык и
моделирование социального взаимодействия. М., 1987. - С. 265-281.

296
9. О НЕКОТОРЫХ ПАРАДОКСАХ ИНДУКТИВНОЙ
ВЕРОЯТНОСТИ
Трудно найти область логического знания более богатую на
различные парадоксы, чем концепция индуктивной вероятности. Как показывает
анализ, логической причиной большинства парадоксов является
чувствительность отношения подтверждения к различного рода неявным
допущениям, влияющим нередко независимо от воли автора концепции на
результаты индуктивного анализа.
Одним из первых и самых известных является парадокс
подтверждения Карла Гемпеля61.
Пусть дано обобщение «Все вороны черные». Очевидно, что
наблюдение черного ворона будет подтверждающим свидетельством для этого
обобщения. Но данное обобщение эквивалентно обобщению «Все
нечерные вещи есть невороны», подтверждающим примером для которого будет
наблюдение любой вещи, не являющейся черной и вороном одновременно,
например белого ботинка. Поскольку оба обобщения эквивалентны друг
другу, то выглядит парадоксальным фактом, что гипотеза о воронах может
подтверждаться наблюдением произвольных вещей, не являющихся
воронами и черными.
Причина рассматриваемого парадокса в чувствительности
отношения подтверждения к предметной области, или универсуму, на элементах
которого оно определяется, не учтенной явным, то есть формальным,
образом. Решить данный парадокс означает построить модель подтверждения,
в которой подтверждение зависит от выбора универсума. Самый простой
способ сделать это — ввести допущение об универсуме в свидетельство
гипотезы. Рассмотрим поясняющий пример.
Пусть П обозначает птицу, В — ворона, Ч — черное существо и
пусть обследованная область состоит из 1000 живых существ со
следующим количественным распределением признаков:
ПЧВ =80 -ЛЧВ =0
ПЧ-.В =20 -ЛЧ^В =200
П^ЧВ =20 -Л-.ЧВ =0
П^Ч^В -280
61 Hempel С. Studies in the Logie of Confirmation // Mind. 1945. Vol. 54. - P. 97-121.

297
Пусть даны следующие три гипотезы: Я = все вороны черные, —\Н =
некоторые вороны нечерные, Я* = все нечерные существа невороны. По
правилу противопоставления (контрапозиции) следует, что —\Н
представляет логическое отрицание Я, а Я эквивалентно Я*.
Допустим, имеются следующие свидетельства: Е{ = все
обследованные существа черные вороны, Е2 = все обследованные существа нечерные
вороны, Еъ = все обследованные существа черные невороны, Е4 = все
обследованные существа нечерные невороны. Кроме того, истинно
Р(Е{) = 0,08 Р(Е3) = 0,22
Р(Е2) =0,02
Пусть имеются два альтернативных допущения об универсуме
подтверждения: U\ = все обследованные существа птицы, U2 = все
обследованные существа нептицы. Наша задача теперь заключается в том, чтобы
убедиться в зависимости индуктивных вероятностей от выбора U\ или С/г.
С этой целью вычислим правдоподобие гипотез Я, —i//, и Я* как с учетом
этой информации, так и безотносительно к ней. .
Гипотеза Я эквивалентна Я*. Следовательно, все вычисления
равносильны для обеих гипотез.
P(EiH) = 0,08 P(E^H) = 0
= 0,02
= 0,22
= 0,68
= 0
= 0,02
= 0,02
= 0,28
P{EiHU2) = Р(Ег-Ми2) = 0, i = 1,..., 4.
Напомним, что в общем случае правдоподобие гипотезы Я
относительно свидетельства Е равно
Р{Е1Н)=
P(E2H)
P{E?,H)
PiEtH)
P(E{HU{) =
P{E2HUX) =
P(E3HU{) =
P(E^HU\) =
0
0,22
0,68
0,08
0
0,02
0,28
Р{ЕН) + Р(Е^Н)
Следовательно, истинно

298
P{ExlH)
P{E2IH)
Р{Еъ/Н)
PiEJH)
1
0
0
0
r(
,5
,5
P{EX
P{E2
Р(Ез
P(Ea
= 0,/ =
IH
IH
IH
IH
1,.
?/.
Ux
U\
Ui
¦••>
)
)
)
)
4.
= 1
= 0
= 0
- 0
,5
,5
Аналогично
= 0 P{EXI^HUX) = 0
= 0,5 P(E2/^HUi) = 0,5
P{EaI^H) = 0,5 P(E4/^HUi) = 0,5
Полученные результаты свидетельствуют о следующем.
Правдоподобие гипотез действительно зависит от выбора универсума:
правдоподобие Н и —i// при переходе от универсума U\9 состоящего из птиц, к
универсуму С/г, состоящему из нептиц, становится равным нулю. Таким образом,
только птицы индуктивно релевантны при обсуждении гипотез о птицах.
Этот вывод также подтверждается тем фактом, что правдоподобие Н и —Л
на основании свидетельств Еъ и Я4, относящихся к нептицам и неворонам,
всегда равно 0,5 независимо от {ненулевого) распределения реальных
частот. Следовательно, гипотеза о черных птицах может подтверждаться или
дисподтверждаться наблюдением только черных или нечерных птиц.
Таким образом, при явной формулировке допущения о
рассматриваемом универсуме индуктивная вероятность гипотез становится
чувствительной к выбору предметной области и, что самое главное, эта
чувствительность находит свое явное выражение в вероятностях гипотез. Но
именно в этом и заключается смысл разрешения парадокса подтверждения
Гемпеля.
Одним из последних, но не менее известных, является парадокс,
сформулированный Карлом Поппером (совместно с Д. МиллеромN2. Цель
парадокса — в доказательстве, что «Никакой индуктивной вероятной
поддержки не существует. Всякая вероятностная поддержка дедуктивна»63.
В случае истинности этого доказательства следовала бы невозможность
62 Miller D., Popper К. A Proof of the Impossipility Inductive Probability // Nature. 1983.
Vol. 393.-P. 687-688.
63 Popper K. The Calculus of Probability forbids Ampliative Probabilistic Inductive //
Abstracts of the 7th Congress of Logic, Methodology and Philosophy of Science. Salzburg,
1983. Vol. l.-P. 251.

299
вероятностного обсуждения индуктивных проблем, то есть невозможность
концепции индуктивной вероятности.
По аналогии с B0), B1) и B2) введем следующие определения.
Пусть Н обозначает произвольную (не истинную и не ложную логически)
гипотезу, Е — свидетельство. Пусть далее Г (Я, Е) обозначает, что
гипотеза Н позитивно индуцируется (недедуктивно доказывается,
подтверждается, поддерживается) свидетельством Е; /"(//, Е) — гипотеза Н негативно
индуцируется (недедуктивно опровергается, дисподтверждается, контр-
поддерживается) свидетельством Е\ fp{H, E) — иррелевантно
индуцируется (не подтверждается и не дисподтверждается) свидетельством Е согласно
следующим определениям:
Г (Я, Е), если и только если Р {PIE) > Р{Н) E8)
Г (Я, ?), если и только если Р {PIE) < P{H) E9)
Гр (Я, Е), если и только если Р {PIE) = P{H) F0)
Доказательство Поппера строится по следующей схеме.
A. Вероятностная поддержка гипотезы Я свидетельством Е может
быть либо дедуктивной, либо индуктивной.
Б. Логическое содержание Я относительно Е эквивалентно
конъюнкции двух факторов — (Я v E) и (Я v —ЕN4. Первый из них включает то
содержание Я, которое следует из Е дедуктивно; второй — то содержание
Я, которое не следует из Е дедуктивно.
B. При наличии Е фактор (//v E) может игнорироваться, так как
P{Hv Е/Е) = 1 и при Р{Н1Е) * 1 * Р{Е) вероятность Р{Н1Е) равна
Р{Н v^E/E)P{H v E/E)=P{H v -Е/Е).
Г. При указанных в посылке В условиях свидетельство Е всегда
негативно индуцирует фактор G/v—,?), то есть всегда истинно неравенство
Тезис. Так как (ffv ?) постоянно поддерживается дедуктивно, а
(Я v—E) постоянно контрподдерживается свидетельством Е, то следует, что
ни одна часть содержания Я относительно Е не получает индуктивной
поддержки со стороны Е. Другими словами, если вероятностная поддержка и
существует, то она всегда дедуктивна.
Решающей посылкой в доказательстве Поппера является А. От того,
что понимается под дихотомией вероятностной поддержки на
дедуктивную и индуктивную, зависит принятие тезиса этого доказательства.
64 Конъюнкция — операция объединения с помощью союза «и». Знак « v » обозначает
дизъюнкцию — операцию объединения с помощью союза «или». Более подробно об
этих операциях см.: глава VI, 3.

300
По мнению Поппера, адекватное определение дедуктивной
вероятностной поддержки указывает теорема
Т1. Если Р(Н)>0, 0<Р(Е)<1 и Н \-Е, то F(H, ?N5.
Данная теорема эквивалентна умозаключению C7) и определяет
только достаточный критерий подтверждения. Ведь очевидно, что
свидетельство может подтверждать гипотезу, даже если оно не является ее
дедуктивным следствием.
Необходимое и достаточное условия подтверждения указывает
Т2. Г (Я, ?), если и только если Р(Е/Н)>Р(Е/-пН).
Данная теорема эквивалентна умозаключению C9). Теорема Т1
истинна, когда имеет место Р(Е/Н)= 1 и Р{Е1-лН) = 0. Теорема Т2 истинна не
только в этих двух экстремальных случаях, но и в бесконечном числе
других случаев, когда выполняется 1> Р(Е/Н)> Р(Е/—Л) > 0.
Для иллюстрации истинности Т1 Поппер приводит следующий
пример.
Пусть дана симметричная игральная кость с распределением очков и
цвета сторон, указанным в табл. 15.
Таблица 15
Цвет
Желтый
Голубой
Очки
1,3,5
2,4,6
Пусть Е = кость выпала желтой стороной, Я = в следующем
бросании выпадает 5 очков. Тогда следует: Р(Е) = 3/6, Р{Н) = 1/6, Р(Е/Н)=\,
Р(Е/-пН) = 0, Р(Н/Е) = 2/6. Следовательно выполняется как Т1, так и Т2.
Более важно, что из истинности Т1 следует истинность Т2.
Для иллюстрации, что обратное не имеет места, модифицируем
пример Поппера. Пусть для той же игральной кости распределение очков и
цвета сторон задано табл. 16.
Таблица 16
Цвет
Желтый
Голубой
Очки
1,2,5
3,4,6
65
Знак «Ь» читается как «следует», «выводимо», «доказуемо».

301
Пусть Е = кость выпала желтой стороной, Я = в следующем
бросании выпадет нечетное число очков. Тогда следует: Р(Е) = Р(Н) = 3/6,
Р(Е/Н) = 4/6, Р(Е/—Л) = 2/6. Следовательно, выполняется Т2, но не Т1.
Иными словами, из истинности Т2 не следует истинность Т1. Но тем
самым является ложным утверждение Поппера о том, что «всякая
вероятностная поддержка дедуктивна». Наоборот, дедуктивная вероятностная
поддержка в смысле Т1 является частным случаем индуктивной
вероятностной поддержки в смысле Т2. Следовательно, вопреки Попперу мы
должны сделать противоположный вывод, именно: всякая вероятностная
поддержка индуктивна. Но если это так, то решающая посылка попперовско-
го доказательства (А) должна быть отброшена как ложная. И тезис
Поппера следует считать недоказанным.
Докажем ложность тезиса Поппера, предварительно формализовав
его следующим образом:
ТЗ. Для всех Я и Е, если Р(Н1Е) * 1 * Р(Е) и если
Г (Я v Я, Е), Г (Я v -п?, Е), то Г'И?(Н, Е),
где Г'И?(Н, Е) обозначает негативную либо иррелевантную индуци-
руемость Я на основании Е. Доказать ложность ТЗ означает доказать
возможность следования из условий ТЗ позитивной индуцируемости Я на
основании Е.
Пусть «+», «-», «о» обозначают соответственно позитивную,
негативную и иррелевантную индуцируемость возможных миров (НЕ), (Я—\Е)9
(—\НЕ) и (—¦//—¦?) на основании Е. Тогда условиям ТЗ соответствует
следующее распределение знаков индуцируемости (табл. 17).
Таблица 17
(НЕ) (Н-.Е) (-.НЕ)
Я HvE)
1.
2.
В правой части табл. 17 указаны знаки индуцируемости Я, G/v E),
(Я v —1?), на основании Е, вычисленные в результате сложения знаков
индуцируемости соответствующих возможных миров.
Согласно первой строке табл. 17, свидетельство Е может
индуцировать Я позитивно, негативно и иррелевантно, потому что сложение знаков
индуцируемости (НЕ) и (H-iE) не дает однозначного ответа. Конкретный
знак индуцируемости зависит от принимаемого типа распределения
вероятностей. Поскольку в индуктивной концепции вероятностей принимается
только симметричное распределение вероятностей (так как только оно по-

302
зволяет «учиться на опыте»), то сразу же следует, что при указанных в
первой строке знаках индуцируемости гипотеза Я может индуцироваться Е
только позитивно. Этой строке соответствуют условие и заключение Т2.
Вторая строка табл. 17 воспроизводит ситуацию подтверждения,
когда Е является дедуктивным следствием Я, что соответствует условиям и
заключению Т1.
Объединяя полученные результаты, имеем:
Т4. Для всех Н и Е, если Р{Н1Е) ф 1 ^ Р(Е), если истинно
симметричное распределение вероятности и если Г (Я v Е, Е) и 7" (Я v —Е, 7Г), то
Из табл. 16 получаем следующие вероятности для проверки первой
строки табл. 17:
Р{НЕ1Е) =4/6> Р(НЕ) =2/6, то есть Г (НЕ, Е)
Р{Н-,Е1Е) = 0 <Р(Н-тЕ) = 1/6, то есть Г (Я-и?, Е)
Р(-пНЕ/Е) = 2/6> Р(-пНЕ) = 1/6, то есть 7" (^Я?, Е)
Р(-^Н-пЕ/Е) = 0 < Р(-^Н-пЕ) = 2/6, то есть 7" (^Я-п?, Е)
P(HvE/E) - 1 > P(HvE) = 4/6, то есть F(HvE,E)
Р(Н v-tEIE) = 2/3 < Р(Н v-n?) = 5/6, то есть f (Я v^?, E)
Р(Н/Е) = 4/6 >Р(Н) =3/6, то есть 7" (Я, F).
Из таблицы 15 получаем вероятности для проверки второй строки
табл. 17.
Р{НЕ1Е) = 2/6> Р(НЕ) = 1/6, то есть Г {НЕ, Е)
Р(Н-,Е/Е) =0 = ДЯ-nF), то есть Гр (Н^Е, Е)
Р(-пНЕ/Е) = 4/6 > Р(-пНЕ) = 2/6, то есть 7" (^ЯЯ, Е)
Р(-^Н^Е/Е) = 0< Р(-^Н-^Е) = 3/6, то есть f (^Я-тЯ, Я)
P(HvE/E) = 1 > P(HvE) = 3/6, то есть f(HvE,E)
Р(Н V-.E/E) = 1/6 < ДЯ v -,?) = 4/6, то есть f(Hv^E,E)
Р(Н/Е) = 2/6 > 7>G7) = 1/6, то есть 7" (Я, ?)
Из двух возможных распределений знаков индуцируемости табл. 17,
удовлетворяющих условиям Т4, следует с необходимостью позитивная
индуцируемость Я на основании Е.
Но если Т4 истинна, то ТЗ ложна, так как их условия одинаковы, а
заключения несовместимы. Из ложности ТЗ следует ложность тезиса Поп-
пера о том, что всякая вероятностная поддержка дедуктивна.
Суммируя сказанное, мы можем сделать вывод, что причиной
парадокса в данном случае явилось недостаточно глубокое проникновение в

303
суть поставленной проблемы, что, в свою очередь, можно объяснить
только крайним антииндуктивизмом Карла Поппера.
ГЛАВА 10. АБДУКЦИЯ
Понятие абдукции как разновидности недедуктивного
рассуждения привлекло внимание логиков и методологов науки во второй
половине XX столетия. Такое внимание было вызвано попытками найти
удовлетворительное объяснение возникновения новых объясняющих
гипотез. В настоящее время проблема абдукции является стандартным
местом в учебниках по логике и методологии науки.
Определение абдукции
Автор термина абдукция (от лат. abductio - отведение в сторону) и
первый теоретик абдукции - американский философ, логик и математик Ч.
С. Пирс A839-1914).
Согласно Пирсу, необходимость абдукции как самостоятельной
стадии научного исследования следует из ответа на вопрос: «Как вообще
происходит, что человек создает истинные теории о природе? Благодаря
индукции мы знаем, что человек владеет теориями, которые истинны, потому
что их предсказания выполняются. Но благодаря какому умственному
процессу они появлялись в его уме?»66. Пирс отвечает, что таким
процессом является абдукция: «Если мы назовем дедукцией, индукцией и
абдукцией три основных класса вывода, тогда к дедукции следует отнести все
виды математического доказательства ... к индукции - согласие, иногда
требующее количественной модификации, с уже выдвинутым
высказыванием ... тогда как к абдукции - все операции, с помощью которых
создаются теории и понятия»67.
Абдукция инициируется потребностью исследователя устранить
сомнение, выйти из познавательного тупика, возникшего из-за наблюдения
аномального факта и не объясняемого существующими теориями. Чтобы
разрушить привычку, изменить убеждение, необходимо настоящее
сомнение или, что то же самое, подлинное удивление. Существует,
следовательно, лишь один способ изменения убеждения.
Абдукция - творческая реакция ученого на возникшее сомнение,
озарение, позволяющее выдвинуть гипотезу, объясняющую аномальный факт
как его причину. Уникальное назначение абдукции состоит в том, чтобы
изобретать новое знание. «Абдуктивное предположение приходит к нам
66 Peirce С. S. Pragmatism and Pragmatic ism// С. S. Pearce. CP [5.591]
67 Peirce С S. Pragmatism and Pragmaticism // C. S. Pearce. CP [5.590]

304
наподобие вспышки. Оно — акт озарения, хотя и чреватый заблуждениями.
Верно, что различные элементы гипотезы известны нам еще до ее
появления; но ее смысл состоит в том, чтобы связать вместе то, что мыслилось до
ее появления как несвязанное, чтобы озарить нас новым предположением
/'О
еще до нашего размышления» .
Пирс настаивает на том, что абдукция — единственный способ
порождения нового знания. «Абдукция представляет процесс формирования
объяснительной гипотезы. Она - единственная логическая операция, с
помощью которой вводится новая идея; ибо индукция только определяет
истинностное значение гипотезы, а дедукция используется для вывода из нее
необходимых следствий. Дедукция доказывает, что нечто должно быть;
индукция обосновывает, что это нечто действительно существует и
действует; абдукция предполагает, что данное нечто может иметь место.
Ее единственным оправданием служит дедукция из предложенной
гипотезы следствия, которое можно испытать индуктивно. Вообще, если мы
должны что-нибудь узнать, понять какие-либо явления, это может быть
сделано только посредством абдукции»69.
Наблюдение аномального факта - причина, запускающая процесс
абдукции ради модификации какой-либо теории или создания новой. Факт
внезапного одновременного появления разнообразных многоклеточных
около 540 миллионов лет назад долго называли «кошмаром Дарвина», т.е.
аномальным фактом, потому что ни Чарльз Дарвин, ни его последователи в
течении ста лет не могли объяснить его. Согласно теории естественного
отбора виды животных формируются постепенно в ходе пошагового
приспособления к условиям среды. А никаких следов жизни более раннего
периода во времена Дарвина и в XX веке не находили. Если бы совсем
недавно не было доказано, что «кошмар Дарвина» представляет иллюзию, и
простейшая жизнь существовала и ранее указанного периода, в так
называемый докембрийский период, то он мог бы стать фактом, существенно
ослабляющим позиции теории естественного отбора.
Аномальный факт - факт, не объясняемый существующим знанием
(законом, теорией)
До сих пор продолжается спор, как именно возникает новое знание.
Рационалисты были уверены, что оно дедуктивно выводится из неких
врожденных и бесспорных истин. Эмпирики доказывали, что всякое
знание представляет результат индуктивного обобщения опыта. Открытие
абдукции показывает, что ошибались и те и другие. Ни дедукция, ни
индукция не являются логиками открытия. Заключение дедуктивного умозаклю-
68 Peirce С. S. Pragmatism and Abduction // С. S. Pearce. CP [5.181]
69 Peirce С S. Three Types of Reasoning // C. S. Pearce. CP [5.171]

305
чения не может утверждать больше, чем его заранее доказанные посылки;
заключение индукции - не более чем обобщение знания, содержащегося в
посылках. Только абдукция наводит на заключение, не содержащееся
полностью в посылках, как в дедукции, и не являющееся их простым
обобщением, как в индукции.
Таким образом, проблема абдукции состоит в том, что ее
заключение, символизирующее новое знание, нельзя вывести из известных
посылок ни дедуктивными, ни индуктивными средствами. Абдукция
предназначена не для вывода необходимых следствий или обобщения фактов, а
для поиска новых причинных объяснений, шире - нового, не
предопределяемого полностью посылками знания.
Проблема абдукции - процесс открытия (изобретения) нового
знания, не имеющее дедуктивного или индуктивного решения.
Простейший вариант абдукции - силлогистический. Классический
пример Пирса с фасолинами поясняет различие между дедукцией,
индукцией и абдукцией в силлогистическом случае.
Дедукция
Закон Все фасолины в этом мешке
белые.
Наблюдение Эти фасолины - из этого мешка.
Дедуктивное заключение: Эти фасолины белые.
объяснение (предсказание),
основанное на законе
Дедукция объяснения (предсказания) «Эти фасолины белые»
основана на независимом доказательстве закона исследуемой части природы -
«Все фасолины в этом мешке белые» и надежных результатах наблюдения
(эксперимента) - «Эти фасолины - из этого мешка». Таким образом,
дедукция требует, чтобы посылки были известны заранее и было независимо
доказано, что они истинны. Только при этих условиях ее заключение
необходимо истинно. В самом деле, если предположить, что заключение
ложно и эти фасолины не белые, тогда согласно закону они не из этого
мешка, что невозможно, так как противоречит установленным данным.
Следовательно, сделанное предположение неверно и фасолины белые.

306
Индукция
Факт 1 Эти фасолины - из этого мешка.
Факт 2 Эти фасолины белые.
Индуктивное заключение: Все фасолины в этом мешке бе-
закон как правдоподобное лые.
обобщение частных фактов
Индукция закона «Все фасолины в этом мешке белые» основана на
двух надежных данных наблюдения (эксперимента). Так как заключение
индукции носит расширяющий характер, оно может быть ложным, даже
если ее посылки «Эти фасолины - из этого мешка» и «Эти фасолины
белые» оба истинны. Если допустить, что заключение индукции неверно,
тогда некоторые фасолины из этого мешка не белого цвета. Но это
допущение совместимо как с фактом 1, что эти фасолины из этого мешка, так и с
фактом 2, что они белые. Следовательно, с посылками индуктивного
умозаключения совместимо как заключение, так и его отрицание. Только
большая последовательность экспериментов способна оправдать с
практически значимой степенью достоверности сделанное индуктивное
заключение.
Абдукция
Закон Все фасолины в этом мешке
белые.
Аномальный факт Эти фасолины белые.
Абдуктивное заключение: Эти фасолины - из этого мешка.
объяснительная гипотеза о
причине аномального
факта
Абдукция объяснительной гипотезы «Эти фасолины — из этого
мешка» основана на двух методологически различных посылках - ранее
доказанного закона «Все фасолины в этом мешке белые» и требующего
объяснения аномального факта «Эти фасолины белые». Аномальный факт
запускает процесс изобретения новой объяснительной гипотезы. После его
завершения гипотеза принимается в качестве одной из посылок
дедуктивного объяснения (предсказания). Иными словами, абдукция - один из
способов доказательства посылок для дедукции. При этом ясно, заключение
абдуктивного умозаключения может оказаться ложным, даже если его
посылки истинны. Значит, абдуктивное умозаключение отличается от
дедуктивного. Оно также отличается от индуктивного умозаключения, так как

307
заключение абдукции - причина аномального факта, а не обобщение.
Наконец, абдуктивное умозаключение своеобразно и тем, что в принципе
может иметь бесконечное число удовлетворяющих его посылкам
неэквивалентных заключений.
Несиллогистическое определение абдукции, которое Пирс считал
самым точным и которое в настоящее время оценивается как
каноническое, выглядит так.
1. Наблюдается удивительный (аномальный) факт Е.
2. Если бы гипотеза Н была истинна, факт Е получил бы
необходимое объяснение.
3. Имеется основание считать гипотезу Я правдоподобной.
Допустим, десять раз подбрасывалась монета, и все десять раз
выпадал герб. Такое событие можно считать аномальным фактом, потому что
оно несовместимо с общепринятым допущением, что все стандартные
монеты симметричные. Если отказаться от этого допущения и
предположить, что монета нестандартная и несимметричная, вероятность выпадения
ее герба равна 1 или очень близка к этому значению, тогда аномальный
факт получает разумное объяснение.
Если аномальный факт объясняется несколькими конкурирующими
гипотезами, в этом случае должна предпочитаться более простая гипотеза.
Это означает, что предпочитаемая гипотеза должна иметь большее
правдоподобие, т.е. давать более вероятное объяснение аномального факта при
допущении ее истинности. Именно такие гипотезы и считаются более
простыми. Правдоподобие гипотезы, что монета симметричная, при
десятикратном выпадении герба равно 1/210 = 0, 001. Такое значение
правдоподобия делает данное событие практически недостоверным. Соответственно
правдоподобие суммы всех альтернативных гипотез равно 0, 999, что
означает, что какая-то одна из них, если продолжать опыт достаточно долго,
обязательно осуществится.
В указанное выше определение абдукции обычно добавляют закон
или основополагающую теорию, которые вводят определенные
ограничения на состав возможных гипотез,
Следующий принцип суммирует сказанное и определяет, какое
заключение абдукции можно считать самым успешным:
Принцип абдукции. Та догадка ближе к истине, которая
обеспечивает более правдоподобное объяснение
аномального факта относительно данного закона (теории) в случае ее
принятия, чем непринятия (принятия любой из ее
альтернатив).

308
Алгоритм решения проблемы абдукции для простых суждений
Как отмечалось, проблема абдукции и не имеет дедуктивного или
индуктивного решения. Это не означает, что вообще не существует
никакого алгоритма ее решения. Исследуем сначала случай с простыми
суждениями.
Допустим, даны закон «Все люди смертны» и аномальный факт
«Сократ смертен». Требуется найти гипотезу, которая вместе с указанным
законом объясняет данный факт. Как это сделать?
Если предположить, что некоторая объяснительная гипотеза вместе с
законом (теорией) успешно объясняет аномальный факт, то очевидно, что
они не могут быть совместимы с его отрицанием. Иными словами, если
объяснение плодотворно, отрицание истинности аномального факта не
может быть совместимо с объясняющей гипотезой, базисным законом или
теорией. Это наблюдение, аналогичное введению допущения косвенного
доказательства, подсказывает следующее решение проблемы.
Введем ряд определений. Примем допущение, что все утверждения
об аномальных фактах, законах и объяснительных гипотезах
формулируются в терминах простых категорических суждений. Вместо абдуктивного
умозаключения мы будем говорить «абдуктивный вывод».
Дерево абдукции - непустое множество ветвей, исходящих
из общей вершины.
Ветвь дерева абдукции - множество суждений,
расположенных вертикально одно под другим и исходящих из общей
вершины.
Всякая ветвь дерева абдукции, как и само оно, могут быть замкнуты
или не замкнуты согласно следующим определениям.
Ветвь дерева абдукции замкнута, если и только если она
содержит хотя бы одну пару несовместимых (противоречащих,
противоположных) суждений. В противном случае она не
замкнута.
Дерево абдукции замкнуто, если и только если все его ветви
замкнуты. В противном случае оно не замкнуто.
Пусть знак * обозначает замыкание и ставится под той ветвью,
которая содержит противоречие.
Независимо от того, имеет ли дерево абдукции одну ветвь или
несколько, оно делится на три методологически различных уровня.

309
Вершина Допущение, отрицающее аномальный факт
дерева
Средняя Суждение (-ния), символизирующее закон или
часть дерева теорию
Нижняя Суждение (-ния), символизирующее гипотети-
часть дерева ческое объяснение (возможное заключение
абдуктивного вывода)
Понятие абдуктивного вывода основано на принятии допущения
косвенного доказательства - отрицания истинности аномального факта. Если
объясняющая аномальный факт гипотеза вместе с законом (теорией)
противоречат допущению абдуктивного вывода и при этом истинность закона
(теории) доказана ранее, значит, именно гипотеза является причиной
возникшего противоречия.
Однако для принятия гипотезы недостаточно, чтобы она вместе с
теорией была несовместима с отрицанием истинности аномального факта.
Кроме этого, требуется сравнение степени ее правдоподобия с ее
альтернативами. Лишь после того, как будет установлено, что ее степень
правдоподобия выше степени правдоподобия на определенную величину, она может
быть принята в качестве удовлетворительного объяснения.
Правило абдуктивного вывода. Суждение из нижней части
дерева абдукции считается объяснительной гипотезой
(заключением абдуктивного вывода), если и только если после
присоединения к вершине дерева суждений средней части его
присоединение замыкает все оставшиеся незамкнутыми ветви.
Обоснование правила абдуктивного вывода может создать
впечатление, что проблема абдукции имеет чисто дедуктивное решение. Но это
неверно. С помощью этого правила гипотезы только порождаются. Выбор же
среди них наиболее достойных подчиняется уже другим, недедуктивным
правилам. Кроме того, процесс порождения новых гипотез носит
ограниченный ресурсами теории и не всегда детерминируемый полностью ее
законами характер поиска замыкающих суждений. Эти особенности станут
более понятны после анализа примеров (напоминаем, что знак *
обозначает замыкание той ветви, под которой он стоит).
Пример 1
Аномальный факт: «Сократ смертен».
Теория: {«Все люди смертны»}.
Дерево абдукции:

310
«Сократ бессмертен» (допущение)
«Все люди смертны» (закон)
«Сократ - человек» (гипотеза)
«Сократ смертен» (следствие закона и гипотезы)
*
Объяснение. Дерево абдукции имеет единственную ветвь, два
суждения которой «Сократ бессмертен» и «Сократ смертен» противоречат друг
другу. Значит, ветвь и дерево замкнуты. Истинность закона «Все люди
смертны» установлена ранее. Следовательно, причина замыкания -
несовместимость гипотезы «Сократ - человек» с отрицанием аномального
факта. Так как все альтернативы гипотезы невероятны, она обладает
максимальной степенью правдоподобия,
Пример 2
Аномальный факт: «Все ромашки имеют душу».
Теория: {«Все растения - живые существа», «Все цветы - растения»,
«Все ромашки - цветы»}.
Дерево абдукции:
«Некоторые ромашки не имеют души» (допущение)
« Все растения - живые существа»"
« Все цветы - растения»
Теория
«Все ромашки - цветы»
«Все живые существа имеют душу» (гипотеза)
«Все ромашки имеют душу» (следствие теории и гипотезы)
*
Объяснение. Дерево абдукции имеет единственную ветвь, два
суждения которой «Некоторые ромашки не имеют души» и «Все ромашки
имеют душу» противоречат друг другу. Значит, дерево замкнуто. Истинность
теории установлена ранее и не вызывает сомнений. Следовательно,
причина замыкания - принятие гипотезы «Все живые существа имеют душу».

311
Несмотря на замыкание, обсуждаемая гипотеза обладает минимальной
степенью правдоподобия, ибо ее альтернатива высоко вероятна. Никаких
подтверждений достоверности факта «Все ромашки имеют душу» на
сегодняшний день не существует.
70
Пример 3
Аномальный факт: «Ни одно страдание не тревожит нашу душу»/и.
Теория: {«Состояния, вредные для тела, представляют телесные
страдания», «Состояния, вредные для души, представляют душевные
страдания», «Телесные страдания вызывают жалобы тела», «Душевные
страдания вызывают жалобы души», «Жалобы тела не воспринимаются
душой», «Жалобы души подавляются силами самой души», «То, что не
воспринимается душой, ее не тревожит», «То, что подавляется силами самой
души, ее не тревожит»}.
Дерево абдукции:
«Некоторые страдания тревожат нашу душу» (допущение)
«Всякое страдание есть телесная или душевная боль»
«Телесная боль вызывает
жалобы тела»
«Жалобы тела не
воспринимаются душой»
«То, что не воспринимается
душой, ее не тревожит»
«Телесная боль
не тревожит нашу душу»
Теория
Гипотеза
«Душевная боль вызывает
жалобы души»
«Жалобы души
подавляются самой душой»
«То, что подавляется самой
душой, ее не тревожит»
«Душевная боль
не тревожит нашу душу»
«Никакое страдание не тревожит нашу душу»
*
В соответствии с делением всех страданий на телесные и душевные
гипотеза формулируется в виде сложного суждения: «Телесная или
душевная боль не тревожит нашу душу».
Объяснение. По причине двойственной природы страданий дерево
абдукции в средней (теоретической) части делится на две ветви, которые
вновь объединяются в нижней части. Из теории и гипотезы следует суж-
70
Модернизация известного рассуждения римского стоика и императора Марка
Аврелия A21-180) о способности нашей души игнорировать страдания. См.: Аврелий Марк.
Размышления // Римские стоики. Сенека, Эпиктет, Марк Аврелий. М., 1998. - С. 398

312
дение, противоречащее сделанному допущению. В итоге обе части дерева
и дерево в целом оказываются замкнутыми. Если согласиться с Марком
Аврелием в том, что теория стоиков верна, тогда выдвинутая гипотеза
объясняет аномальный факт «Никакое страдание не тревожит нашу душу».
Но с современной точки зрения на связь соматических и психических
состояний ни теорию Марка Аврелия, ни его гипотезу нельзя признать
правдоподобными в достаточной степени.
Алгоритм решения проблемы абдукции для сложных суждений
Решение проблемы абдукции для сложных суждений ничем
принципиально не отличается от алгоритма для простых суждений. К ранее
введенным определениям следует только добавить правила построения
деревьев для сложных суждений.
Сложные суждения образуются из простых с помощью логических
союзов, их которых нас интересовать будут следующие шесть: «и», «или»,
«если.. .то» и их логические отрицания.
Правило для сложного суждения, образованного из простых
с помощью союза «и». Дерево начинается с образования ветви,
состоящей из всех простых суждений, соединенных союзом «и»
и расположенных одно под другим, или, если ветви уже
существуют, каждая из них продолжается столько раз, сколько
простых суждений соединено союзом «и».
Допустим, дано сложное суждение «А и 5». Если дерево абдукции
начинается с данного сложного суждения, возникает следующая
диаграмма:
А
I
В
Если же сложное суждение «А и 5» продолжает дерево абдукции,
начинающееся, допустим, с суждения С или сложного суждения «С или
?>», тогда возникают следующие две возможности:
С CD
i i i
А или А А
i i i
в в в

313
Указанные случаи построения дерева абдукции и его продолжения
распространяются на любое число ветвей и простых суждений,
соединенных союзом «и».
Правило для сложного суждения, образованного с помощью
союза «или». Дерево начинается с образования ветвей,
расходящихся из общей вершины по числу простых суждений,
соединенных союзом «или», или, если ветви уже существуют,
каждая из них продолжается аналогичным образом.
Допустим, дано сложное суждение «А или 5». Если дерево абдукции
начинается с данного суждения, получаем следующую диаграмму:
А В
Если же сложное суждение «А или В» продолжает дерево абдукции с
одной ветвью (например, С), тогда возникает следующая возможность:
С
А В
Приведенный случай построения дерева абдукции может быть
распространен на любое число ветвей и простых суждений, соединенных
союзом «или».
Правило для сложного суждения, образованного с помощью
союза «если...то». Дерево стоится аналогично дереву сложного
суждения с союзом «или» с логическим отрицанием простого
суждения, стоящего после союза «если».
Допустим, дано сложное суждение «Если А, то 5». Так как оно
эквивалентно сложному суждению «—А или 5», то дерево абдукции начинается
с диаграммы:
-Л В
Если дерево абдукции уже имеет одну ветвь (например, С), тогда
возникает следующая возможность, которая может быть распространена
на любое число ветвей:

314
С
-
-А В
Правило для отрицания сложного суждения, образованного с
помощью союза «и». Дерево стоится аналогично дереву
сложного суждения с союзом «или» с логическим отрицанием
каждого простого суждения.
Допустим, дано сложное суждение «Неверно, что А и 5». Так как оно
эквивалентно сложному суждению «—Л или —15», дерево абдукции
начинается со следующего рисунка:
-А -.В
Если же сложное суждение «Неверно, что А и 5» продолжает дерево
абдукции с уже имеющимися одной ветвью, тогда возникает следующая
возможность, которая может быть распространена на любое число ветвей:
С
-Л -лВ
Правило для отрицания сложного суждения, образованного с
помощью союза «или». Дерево строится аналогично дереву
сложного суждения с союзом «и» с логическим отрицанием
каждого простого суждения.
Допустим, дано сложное суждение «Неверно, что А или В». В этом
случае дерево абдукции начинается следующей диаграммой:
Если же данное сложное суждение продолжает дерево абдукции с
одной ветвью, скажем С, тогда возникает следующая возможность,
которая может быть распространена на любое число ветвей:

315
С
I
-л
Правило для отрицания сложного суждения, образованного с
помощью союза «если...то». Дерево начинается с ветви,
образованной простым суждением, стоящим после союза «если», и
логическим отрицанием простого суждения, стоящего после
частицы «то», или, если ветви уже существуют, каждая из них
продолжается аналогичным образом
Допустим, дано сложное суждение «Неверно, что если А, то 5». Оно
эквивалентно сложному суждению «А и -iB» и дерево абдукции
начинается следующим рисунком:
Если же данное сложное суждение продолжает дерево абдукции с
одной ветвью, тогда возникает следующая возможность, которая может
быть распространена на любое число ветвей:
С
А
Напомним, что двойное (и вообще всякое четное) отрицание любого
суждения эквивалентно его утверждению.
Правило двойного (четного) отрицания простого суждения.
Дерево начинается или продолжается простым суждением в
утвердительной форме.

316
Допустим, преобразования привели к возникновению суждения с
двойным отрицанием: —i—A. В этом случае оно входит в любую ветвь
дерева как А,
Правила замыкания дерева абдукции, введенные в предшествующем
параграфе, остаются в силе.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1
Для многих людей, особенно верующих, доказательство
существования Бога не представляет неразрешимой проблемы. Тем более интересно,
что такой крупный философ, как И. Кант A724-1804), был убежден в
невозможности совершенного доказательства бытия Бога. Такая точка зрения
выглядит аномальной. Докажем, что гипотеза, с помощью которой Кант ее
обосновывал, достаточно правдоподобна.
В этом и следующих примерах сначала приводятся простые
суждения и их формальные обозначения. Затем указывается, какие из простых
суждений обозначают аномальный факт, какие - теорию и какие -
объяснительную гипотезу. Затем строится дерево абдукции согласно ранее
введенным правилам.
А = «Мы не имеем абсолютного доказательства существования
Бога».
В = «Наша воля непреодолимо принуждается совершать
высоконравственные поступки».
С = «Мы обладаем свободной волей».
Аномальный факт: —А.
Теория: {«Если А, то В», «Если В, то -iC»}.
Гипотеза: С.
Дерево абдукции:
А
-А В
С
*
Объяснительная гипотеза и теория вместе несовместимы с
отрицанием аномального факта существования абсолютного доказательства Бога.
Дерево абдукции замкнуто. Значит, гипотеза Канта о свободной воле как о

317
неодолимом препятствии когда-либо получить такое доказательство имеет
определенное основание. Достаточность основания обусловлена тем, что
каждый знает, что там, где нет свободы выбора, там нет и свободы.
Пример 2
Сокращение государством расходов на образование и науку при
падающем объеме производства, повышении налогов и тарифов многими
экономистами и политиками оценивается как аномальный факт. Докажем,
что при указанных условиях сокращение расходов на образование и науку
является для государства самым легким и социально безопасным способом
уменьшения дефицита бюджета.
А = «Государство повышает налоги и тарифы».
В = «Государство повышает тарифы».
С = «Объем производства падает».
D = «В бюджете возникает дефицит».
Е = «Дефицит легче и безопаснее всего уменьшить за счет
сокращения расходов на образование и науку».
F= «Государство сокращает расходы на образование и науку».
Аномальный факт: F.
Теория: {«АиВи С», «Если А и В и С, то ?>», Е).
Гипотеза: «Если D и Е, то F».
Дерево абдукции:
А
В
-лА -,? -,С D
* * * |
Е
* * *
Дерево абдукции замкнуто. Теория и гипотеза вместе несовместимы
с отрицанием аномального факта. Опыт кризисов и циклического развития
экономики с высокой вероятностью подтверждают выдвинутую гипотезу.

318
Ибо разумный выход из кризиса требует инноваций и модернизации
производства, а без развития науки и образования это невозможно.
Пример 3
Чувство комфорта, получаемое от отдыха в комнате, ценимо
многими людьми, особенно в холодную погоду. Однако, немногие знают, что
радиатор под окном - главная физическая причина достижения внутренней
гармонии души. Многим людям такая причина кажется аномальной.
Докажем, что, радиатор, установленный под окном и выравнивающий
температуру в комнате, представляет правдоподобное причинное объяснение
чувства комфорта.
А = «Окна - самая холодная часть комнаты».
В = «Воздух, поступающий в комнату через окно, холодный».
С = «Холодный воздух опускается вниз».
D = «Нагреваясь, холодный воздух поднимается вверх».
Е = «Воздух разной температуры в одной комнате вызывает чувство
дискомфорта».
F = «Комфорт — главное достоинство отдыха в комнате».
G = «Чувство дискомфорта устраняется установкой радиатора под
окном».
Н = «Радиаторы, уставленные под окном, выравнивают температуру
воздуха в комнате»
Аномальный факт: G.
Теория: {А, «Если А, то 5», «Если В, то С и ?)», «Если С и D, то ?»,
F, «Если Е и F, то //», «Если //, то G»}.
Гипотеза: Я.
Дерево абдукции:
п Продолжение дерева
-А В
* д г
—\D С
*
D
Т~
* *
Гипотеза вместе с теорией замыкают дерево абдукции и доказывают
высокое правдоподобие гипотезы о радиаторе, установленном под окном

319
комнаты, как причине достижения внутреннего удовлетворения и
спокойствия.
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Возможно ли, кроме индуктивного абдуктивного и по аналогии,
какое-либо иное обоснование посылок?
2. Почему необходимо различать вероятности и частоты событий?
3. Чем отличаются вероятности наблюдаемых событий от
вероятностей гипотез?
4. Чем различаются принципы прямого и обратного применения
вероятности и почему нельзя ограничиться каким-либо одним принципом?
5. Попробуйте самостоятельно доказать (вывести из аксиом)
формулы C) и D).
6. Изменится ли ваше предположение о симметричности монеты,
если при ее бросании десять раз подряд выпал герб и а) вероятность
выпадения герба вам известна, б) вероятность выпадения герба вам точно не
известна?
7. В комнате стоит пять урн с шарами красного и синего цвета. В
первой урне имеется 10 красных и 90 синих шаров; во второй урне — 50
красных и 80 синих шаров; в третьей урне — 50 красных и 50 синих
шаров; в четвертой урне — 80 красных и 20 синих шаров; в пятой урне — 90
красных и 10 синих шаров. Вероятность выбора любой урны одинаковая.
Все вытащенные шары возвращаются обратно в ту урну, из которой они
были вытащены. Из какой урны более вероятно вытащить подряд:
1) пять красных шаров;
2) четыре красных и один синий шар;
3) три красных и два синих шара;
4) два красных и три синих шара;
5) один красный и четыре синих шара;
6) пять синих шаров?
8. Каким методам открытия и доказательства причинной связи Мил-
ля соответствуют следующие рассуждения?
1) Много будешь знать, скоро состаришься.
2)
Змея Юпитера просила,
Чтоб голос дать ей соловья.
Исполнил Юпитер Змеи прошенье;

320
Прекрасным соловьем Змея моя запела,
И стая было птиц отовсюду к ней подсела;
Но, воззряся в певца, все с дерева дождем.
Кому понравится такой прием?
«Ужли вам голос мой противен?» —
В досаде говорит Змея.
«Нет, — отвечал скворец, — он звучен, дивен,
Поешь, конечно, ты не хуже соловья;
Но, признаюсь, в нас сердце задрожало,
Когда увидели твое мы жало...
(И. А. Крылов, Змея)
3) Как волка ни корми, он все равно в лес смотрит.
4) Каков поп, таков и приход.
5)
Мужик на лето в огород,
Наняв Осла, приставил
Ворон и воробьев гонять нахальный род.
Осел был самых честных правил:
Но Мужику барыш был с огорода плох.
Осел, гоняя птиц, со всех ослиных ног
По всем грядам и вдоль и поперек,
Такую поднял скачку,
Что в огороде все примял и притоптал.
Увидя тут, что труд его пропал,
Крестьянин на спине ослиной
Убыток выместил дубиной.
«И ништо! — все кричат, — скотине поделом!
С его ль умом
За это дело браться?»
А я скажу, не с тем, чтоб за Осла вступаться;
Он, точно, виноват (с ним сделан и расчет),
Но, кажется, не прав и тот,
Кто поручил Ослу стеречь свой огород.
(И. А. Крылов. Осел и огород)
9. Чем отличаются вероятности предсказаний от вероятностей
гипотез?

321
10. Какова вероятность выпадения герба, если в десяти бросаниях
монеты герб не выпал ни разу и 1) монета симметричная; 2) вероятность
выпадения герба равна либо 0, либо 1/2?
11. Решите задачу из примера 4, параграфа 5, со следующим
условием: априорные вероятности Н\ и Н2 равны соответственно 0,9 и 0,1.
12. Оцените убедительность следующего рассуждения по аналогии.
«Человек назван древними малым миром, — и нет спора, что это
название уместно, ибо как человек составлен из земли, воды, воздуха и огня,
так и тело земли. Если в человеке есть кости, служащие ему опорой, и
покровы из мяса — в мире есть скалы, опоры земли; если в человеке есть
кровяное озеро, — там, где легкое растет и убывает при дыхании, — у тела
земли есть свой океан, который также растет и убывает каждые 6 часов,
при дыхании мира; если от названного кровяного озера берут начало
жилы, которые, ветвясь, расходятся по человеческому телу, то точно так же и
океан наполняет тело земли бесконечными водными жилами. В теле земли
отсутствуют сухожилия, которых нет потому, что сухожилия созданы ради
движения, а так как мир находится в постоянном равновесии, то движения
здесь не бывает, и так как не бывает движения, то и сухожилия не нужны.
Но во всем прочем они весьма сходны» {Леонардо да Винчи, Избранные
произведения. М.-Л., 1935. С. 252).
13. Определите схему и правильность умозаключений,
содержащихся в нижеприведенных текстах.
« — Как же вы (Вопрос д-ра Ватсона Шерлоку Холмсу. — В. С)
узнаете, кто он (владелец шляпы. — В. С)?
— Только путем размышлений.
— Размышлений над этой шляпой?
— Конечно.
— Вы шутите! Что можно извлечь из этого старого, рваного фетра?
Холмс взял шляпу в руки и стал пристально разглядывать ее
проницательным взглядом, свойственным ему одному.
— Конечно, не все достаточно ясно, — заметил он, — но кое-что
можно установить наверняка, а кое-что предположить с разумной долей
вероятия. Совершенно очевидно, например, что владелец ее — человек
большого ума и что три года назад у него были изрядные деньги, а теперь
настали черные дни. Он всегда был предусмотрителен, заботился о
завтрашнем дне, но мало-помалу опустился, благосостояние его упало, и мы
вправе предположить, что он пристрастился к какому-нибудь пороку, —
может быть, и пьянству. По-видимому, из-за этого и жена его разлюбила...
— Дорогой Холмс...
— Но в какой-то степени он еще сохранил свое достоинство, —
продолжал Холмс, не обращая внимания на мое восклицание. — Он ведет
сидячий образ жизни, редко выходит из дому, совершенно не занимается

322
спортом. Это человек средних лет, у него седые волосы, он мажет их
помадой и недавно подстригся. Вдобавок я почти уверен, что в доме у него
нет газового отопления.
— Вы, конечно, шутите, Холмс.
— Ничуть. Неужели даже теперь, когда я все рассказал, вы не
понимаете, как я узнал об этом?
— Считайте меня идиотом, но должен признаться, что я не в
состоянии уследить за ходом ваших мыслей. Например, откуда вы взяли, что он
умен?
Вместо ответа Холмс нахлобучил шляпу себе на голову. Шляпа
закрыла его лоб и уперлась в переносицу.
— Видите, какой размер! — сказал он. — Не может быть
совершенно пустым такой большой череп.
— Ну, а откуда вы взяли, что он обеднел?
— Этой шляпе три года. Тогда были модными плоские поля,
загнутые по краям. Шляпа лучшего качества. Взгляните-ка на эту шелковую
ленту, на превосходную подкладку. Если три года назад человек был в
состоянии купить дорогую шляпу и с тех пор не покупал ни одной, значит,
дела его пошатнулись.
— Ну ладно, в этом, пожалуй, вы правы. Но откуда вы могли узнать,
что он человек предусмотрительный, а в настоящее время переживает
душевный упадок?
— Предусмотрительность — вот она, — сказал он, показывая на
петельку от шляпной резинки. — Резинки не продают вместе со шляпой, их
нужно покупать отдельно. Раз этот человек купил резинку и велел
прикрепить к шляпе, значит, он заботился о том, чтобы уберечь ее от ветра. Но
когда резинка оторвалась, а он не стал прилаживать новую, это значит, что
он перестал следить за своей наружностью, опустился. Однако, с другой
стороны, он пытался замазать чернилами пятна на шляпе, то есть не
окончательно потерял чувство собственного достоинства.
— Все это очень похоже на правду.
— Что он человек средних лет, что у него седина, что он недавно
стригся, что он помадит волосы — все станет ясным, если внимательно
посмотреть на нижнюю часть подкладки в шляпе. В лупу видны приставшие
к подкладке волосы, аккуратно срезанные ножницами парикмахера и
пахнущие помадой. Заметьте, что пыль на шляпе не уличная — серая и
жесткая, а домашняя — бурая, пушистая. Значит, шляпа большей частью
висела дома. А следы влажности на внутренней ее стороне говорят о том, как
быстро потеет ее владелец, потому что не привык много двигаться.
— А как вы узнали, что его разлюбила жена?
— Шляпа не чищена несколько недель. Мой дорогой Ватсон, если
бы я увидел, что ваша шляпа не чищена хотя бы неделю и вам позволяют

323
выходить в таком виде, у меня появилось бы опасение, что вы имели
несчастье утратить расположение вашей супруги...
— Но откуда вы знаете, что в его доме нет газа?
— Одно-два сальных пятна на шляпе — случайность. Но когда я
вижу их не меньше пяти, я не сомневаюсь, что человеку часто приходится
пользоваться сальной свечой, — может быть он поднимается ночью по
лестнице, держа в одной руке шляпу, а в другой оплывшую свечу. Во всяком
случае от газа не бывает сальных пятен... Вы согласны со мною?» {Конан
Дойль А. Голубой карбункул // Из досье Шерлока Холмса. М., 1991. С. 21-
24).
«— Послушайте меня, Ватсон, — сказал он (Шерлок Холмс. — В. С.
), когда убрали со стола. — Садитесь в это кресло, и я изложу вам то
немногое, что мне известно. Я не знаю, что мне делать. Мне нужен ваш
совет. Закуривайте, я сейчас начну.
— Пожалуйста.
— Так вот, вас поразили два пункта в рассказе молодого Мак-Карти;
меня они настроили в его пользу, а вас восстановили против него. Во-
первых, то, что отец закричал «Коу», не видя его. Во-вторых, что
умирающий помянул крысу. Он пробормотал несколько слов, но сын уловил лишь
одно. Наше расследование должно начаться с этих двух пунктов.
Предположим, что все сказанное юношей — абсолютная правда.
— А что такое «Коу»?
— Очевидно, он звал кого-то другого. Он считал, что сын в
Бристоле. Сын совершенно случайно услышал этот зов. Криком «Коу» он звал
того, кто назначил ему свидание. Но «Коу» — австралийское слово, оно в
ходу только между австралийцами. Это доказывает, что человек, с
которым Мак-Карти должен был встретиться у Боскомского омута, был
австралийцем.
— Ну а крыса?
Шерлок Холмс достал из кармана сложенный лист бумаги,
расправил его на столе.
— Это карта штата Виктория, в Австралии, — сказал он.
Я телеграфировал прошлой ночью в Бристоль, чтобы мне
ее прислали. Он прикрыл ладонью часть карты. — Прочтите-ка, —
попросил он.
— Рэт (крыса {англ.). — B.C.), — прочитал я. — Крыса?
— А теперь? — он поднял руку.
— Балларэт.
— Совершенно верно. Это и произнес умирающий, но сын уловил
только последний слог. Он попытался рассказать об убийце. Такой-то из

324
Балларэта» {Конан Дойль А. Тайна Боскомской долины // Из досье
Шерлока Холмса. М, 1991. С. 51-52).
«Когда мы наблюдаем, что одно тело действует на другое на
расстоянии, то прежде, чем принять, что это — действие прямое и
непосредственное, мы обыкновенно исследуем, нет ли между телами какой-либо
материальной связи; и если находим, что тела соединены нитями,
стержнями или каким-либо механизмом, способным дать нам отчет в
наблюдаемых действиях одного тела на другое, мы предпочитаем скорее объяснить
действия при помощи этих промежуточных звеньев, нежели допустить
понятие о прямом действии на расстоянии.
Так, когда мы дергаем за проволоку, заставляя звонить колокольчик,
то последовательные части проволоки сначала натягиваются, а затем
приходят в движение, пока наконец звонок не зазвонит на расстоянии
посредством процесса, в котором принимали участие все промежуточные
частицы проволоки одна за другой. Мы можем заставить колокольчик звонить
на расстоянии и иначе, например нагнетая воздух в длинную трубку, на
другом конце которой находится цилиндр с поршнем, движение которого
передается звонку. Мы можем также пользоваться проволокой, но вместо
того, чтобы дергать ее, можем соединить ее на одном конце с
электрической батарейкой, а на другом — с электромагнитом и, таким образом,
заставим звонить колокольчик посредством электричества.
Здесь мы указали три различных способа приводить звонок в
движение. Но во всех этих способах есть то общее, что между звонящим лицом и
звонком находится непрерывная соединительная линия и что в каждой
точке этой линии совершается некоторый физический процесс,
посредством которого действие передается с одного конца на другой. Процесс
передачи — не мгновенный, а постепенный; так что, после того как на одном
конце соединительной линии дан импульс, проходит некоторый
промежуток времени, в течение которого этот импульс совершает свой путь, пока
не достигнет другого конца.
Ясно, следовательно, что в некоторых случаях действие между
телами на расстоянии можно объяснить себе тем, что в ряду тел, занимающих
промежуточное пространство, совершается ряд действий между каждыми
двумя смежными телами ряда; и сторонники действия посредствующей
среды спрашивают: не разумнее ли в тех случаях, когда никаких
посредствующих агентов мы не замечаем, — не разумнее ли будет, говорят они,
допустить в этих случаях существование среды, которую указать пока не
можем, нежели утверждать, что тело может действовать там, где его нет.
Кому свойства воздуха незнакомы, тому передача силы посредством
этой невидимой среды будет казаться столь же непонятной, как и всякий
другой пример действия на расстоянии, и, однако, в этом случае мы можем

325
объяснить весь процесс и определить скорость, с которой действие
передается от одного участка среды до другого.
Почему не можем мы допустить, что знакомый нам способ
сообщения движения посредством толчка и тяги нашими руками является типом и
наглядным примером всякого действия между телами, даже в тех случаях,
когда мы не можем заметить между телами ничего такого, что видимо
принимало бы участие в этом действии» {Максвелл Д. К. Речи и статьи: О
действиях на расстоянии. М.-Л., 1940. С. 55-57).
«Спрашивается, каков смысл этих жертвоприношений при
заключении договоров и произнесении клятв? Почему состоявшееся соглашение
или принесенную клятву стороны скрепляют тем, что убивают животное,
разрезают его на куски, становятся на них ногами или проходят между
ними, мажут свое тело кровью животного? Для объяснения этих обрядов
были выдвинуты две теории; одну из них можно назвать теорией возмездия, а
другую — сакраментальной, или очистительной. Рассмотрим сначала
первую. По этой теории, убийство животного и разрезывание его на куски
есть символ возмездия, которое ожидает человека, нарушившего договор
или преступившего клятву: он погибает насильственной смертью, подобно
принесенному в жертву животному... Но спрашивается, как можно теорией
возмездия объяснить особенность еврейского и греческого обряда, которая
состоит в том, что приносящие в жертву проходят между частями убитого
животного и становятся на них ногами? Поэтому Робертсон-Смит
предложил такое толкование обряда, которое можно назвать сакраментальным,
или очистительным. Он предполагает, что «стороны становятся между
частями животного, символизируя этим свое приобщение к мистической
жизни жертвы». В подтверждение этой теории он ссылается на
соблюдение того же обычая в других случаях, в которым неприменима идея
наказания или возмездия, но которые, если не всегда, то по крайней мере часто,
могут быть объяснены как способы торжественного очищения. Так, в
Беотии формой общественного очищения служило разрезание собаки на части
и прохождение между этими частями.
Возвращаясь теперь к нашему исходному пункту, можно поставить
вопрос: что лежало в основании древнееврейской формы заключения
договора путем прохождения между частями жертвенного животного — идея
возмездия или идея очищения? Иными словами, был ли это символический
способ призывания смерти на голову клятвопреступника, или же это
магическое средство очищения договаривающихся сторон от пагубных
влияний, самозащиты против некоторой угрожающей им опасности? Все
остальные приведенные мной случаи обращения к этому обряду говорят в
пользу очистительного, или охранительного, значения еврейского обычая:
ни один из этих примеров не может быть истолкован в духе теории воз-

326
мездия, ибо некоторые из них полностью исключают возможность такого
толкования, а другие не могут быть поняты иначе, как с точки зрения
очистительной, или охранительной, теории, как об этом иногда прямо
свидетельствуют те самые племена, которые соблюдают данный обычай, а
именно арабы и чины» {Фрэзер Джеймс Дж. Фольклор в Ветхом Завете.
М, 1986. С. 178-184).
14. Проанализируйте следующий парадокс К. Поппера, также
направленный против индуктивной концепции вероятностей (Op. cit. P. 252).
Пусть Е = все лебеди в Австрии белые, Н\ = все лебеди белые, Н2 =
все лебеди, за исключением лебедей в Австрии, зеленые. Поппер
формулирует теорему:
Р{НХ1Е) Р(НХ)
Р(Н21Е) Р(Н2У
на основании которой утверждает, что в терминах индуктивных
вероятностей нельзя провести принципиальное различие между
индуктивным обобщением Н\ и контриндуктивным обобщением //2.
Найдите ошибку в доказательстве Поппера и проведите требуемое
индуктивное различие (в терминах правдоподобий гипотез).
15. Ответьте на вопрос, имеется ли что-либо общее между решением
проблемы абдукции и решением простых и сложных энтимем. Можно ли
отождествить обе процедуры? Если нет, то почему?
16. Докажите, что если аномальный факт описывается суждением
«Все А есть С», теория — суждениями {«Все А есть 5», «Все D есть Е»,
«Все Е есть С»}, то наиболее правдоподобной гипотезой, объясняющей
аномальный факт, будет суждение «Только D есть 5».
17. Допустим, аномальный факт описывается суждением «Логика
есть дело, которым следует заниматься всю жизнь», теория — суждениями
{«Все, на что следует тратить время, следует делать в первую очередь»,
«Все, что не позволяет совершать непоправимых ошибок, не создает
фрустрации», «Только то, чем не следует заниматься, всю жизнь, не является
самым важным делом», «Все, на что не следует тратить время, не
гарантирует успех», «Ничто так не повышает самоуважение, как то, что не ведет к
фрустрации», «Все, что следует делать в первую очередь, является самым
важным», «Все, что не гарантирует успех, не повышает самоуважения»,
«Все, что дисциплинирует ум, не позволяет совершать непоправимых
ошибок»}. Докажите, что наиболее правдоподобной гипотезой,
объясняющей аномальный факт, будет суждение «Ничто так не дисциплинирует
ум, как занятие логикой».

327
18. Докажите, что если аномальный факт символизируется
суждением А, теория — суждениями {«Если В и С, то А», «Если D, то С»}, то
следующие две правдоподобные гипотезы объясняют аномальный факт А -
суждение «С и 5» и суждение «D и 5».
19. Докажите, что если аномальный факт символизируется
суждением «Я существую», теория — суждениями {«Если я знаю, что существую,
тогда я существую», «Если я знаю кое-что удивительное, тогда я
существую»}, то суждение «Если я знаю, что не существую, тогда я знаю кое-что
удивительное» представляет правдоподобную гипотезу, объясняющую
указанный аномальный факт.

328
ГЛАВА VI. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
И ПРЕДИКАТОВ
И хотя давно уже некоторые выдающиеся мужи выдвинули идею
некоего универсального языка, или универсальной характеристики,
никто, однако, не попытался создать язык, или характеристику, в
которой одновременно содержалось бы искусство открытия и
искусство суждения... Когда же я отдался этому исследованию более
усердно, я поневоле натолкнулся на ту замечательную идею, что
можно придумать некий алфавит человеческих мыслей и с
помощью комбинаций букв этого алфавита и анализа слов, из них
составленных, все может быть открыто и разрешено.
Лейбниц Г. В. История идеи универсальной характеристики.
То, что может быть познано в математике и математическими
средствами, можно дедуцировать из чистой логики.
Рассел Б. Введение в математическую философию.
1. ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О ЛОГИКЕ
ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Идея создания универсального логического языка, столь образно
выраженная Г. В. Лейбницем и Б. Расселом, лежит в основе всей современной
логики. Заменить операции с мыслями чисто формальными действиями со
знаками некоторого базисного языка, сформулировать надежные правила
открытия и доказательства новых истин, которые можно было бы
применять чисто механически, вывести из небольшого числа достоверных
аксиом законы всех остальных наук — эти цели вдохновляли не одно
поколение логиков, философов и математиков. Главным результатом этих усилий
стало создание классической (стандартной) символической логики (логики
высказываний и предикатов).
Классическая символическая логика возникла на рубеже XIX и XX
столетий как результат реализации Готтлобом Фреге A848-1925),
Бертраном Расселом A872-1970), Альфредом Уайтхедом A861-1947) программы
сведения математики к логике и Давидом Гильбертом A862-1943) и его
последователями программы формализации всей математики. В новой
логике ее создатели видели главное средство изгнания парадоксов из теории
множеств, доказательство непротиворечивости всей классической
математики и ее полной независимости от психологических и опытных
допущений. Ни одна из поставленных программных задач не была решена и, как
позже было доказано, и не могла быть решена по принципиальным осно-

329
ваниям. Но новая логика получила право на существование и стала
развиваться уже по своим законам.
Долгое время логика высказываний и предикатов считалась теорией,
настолько универсальной и совершенной, что никакие другие логики не
принимались во внимание или их рассматривали как курьез. Но в
последней трети прошлого столетия в связи с потребностями конструирования
искусственного интеллекта и программирования процесс создания новых
логик принял настолько бурный характер, что игнорировать это явление
было уже невозможно. Стало ясно, — наступил новый,
«плюралистический» этап в развитии символической логики. Все новые логические
теории объединили под общим названием «неклассическая логика».
Лишь в первой трети нашего столетия К. Геделем была показана
неосуществимость этой идеи в полном объеме. Но как часто бывает в
истории, именно попытки осуществить эту нереализуемую идею — освободить
человечество от мук творчества — привели к созданию современной
логики.
Современная логика — это символическая логика. Принципиальное
отличие ее от традиционной лучше всего выражает следующее
определение. Символическая логика — это логика, использующая искусственные,
формализованные языки. В таких языках все используемые знаки и
правила оперирования с ними тщательно определяются. Каждый введенный знак
имеет свой точный смысл. Каждое правило трактуется однозначно.
Благодаря такой определенности, удается точно выражать логическую структуру
рассуждений, логические связи между ними, эффективно преобразовывать
одни рассуждения в другие. Именно эти особенности обеспечили широкое
использование символической логики в исследованиях по основаниям
математики, искусственному интеллекту, информатике, лингвистике и
многим другим областям научного знания.
В настоящее время символическая логика представляет достаточно
обширную и дифференцированную совокупность теорий и исследований.
Тем не менее, можно выделить логику высказываний и ее расширение —
логику предикатов в качестве общего базиса.
Логика высказываний и логика предикатов основаны на
определенных допущениях и общих понятиях. Рассмотрим их последовательно.
Исходным в логике высказываний является понятие высказывания.
Последнее обозначает любое предложение, выражающее некоторое
суждение. Одно и то же высказывание может выражаться разными
предложениями.
В отличие от традиционной логики и логики предикатов внутренняя
структура высказываний во внимание не принимается. Учитывается только
логическое значение высказывания — истинность и ложность.
Высказывание считается истинным, если истинно образующее его содержание суж-

330
дение. В противном случае высказывание считается ложным. Таким
образом, предложение «5 больше 3» выражает истинное высказывание, потому
что истинно соответствующее суждение. Предложение «3 больше 5»,
наоборот, выражает ложное высказывание, потому что ложно
соответствующее суждение.
В логике высказываний допускается, что каждое высказывание либо
истинно, либо ложно.
Нейтральные в логическом отношении высказывания не
рассматриваются. Кроме того, принимается допущение, что ни одно высказывание
не может быть истинным и ложным одновременно.
Вторым по значению и логике высказываний является понятие
логического союза (связки).
В естественном языке логические союзы выражаются словами «не»,
«если..., то», «или», «либо..., либо», «если и только если», «ни..., ни» и их
многочисленными синонимами. С помощью логических союзов
образуются сложные высказывания.
Высказывание считается простым (элементарным), если и только
если оно не содержит логических союзов. В противном случае высказывание
является сложным.
Высказывание «Сегодня среда» — простое. Высказывание «Сегодня
среда или четверг» — сложное, так как состоит из двух простых
высказываний «Сегодня среда», «Сегодня четверг», соединенных союзом «или».
Сложным будет высказывание «Неверно, что сегодня среда», так как оно
представляет отрицание простого высказывания «Сегодня среда», с
помощью логического союза «неверно, что...», эквивалентного союзу «не».
Важнейшее допущение логики высказываний состоит в том, что
логическое значение любого сложного высказывания однозначно
определяется логическими значениями образующих его простых высказываний.
Например, если высказывание «Сегодня среда» истинно, то ложно
высказывание «Неверно, что сегодня среда» и истинно высказывание
«Сегодня или среда, или четверг».
Указанное допущение логики высказываний фактически означает,
что каждое сложное высказывание представляет некоторую функцию от
логических значений образующих его простых высказываний. При этом
возможны следующие три случая зависимости логического значения
сложного высказывания от логических значений составляющих его
простых высказываний. Во-первых, сложное высказывание может быть
истинно независимо от того, как распределены логические значения простых
высказываний (все истинны, все ложны, или некоторые истинны и
некоторые ложны). Во-вторых, сложное высказывание может быть ложно
независимо от распределения логических значений простых высказываний.
Наконец, сложное высказывание может быть истинно при одних распределе-

331
ниях логических значений и ложно при других. Высказывания, которые
истинны при любых распределениях логических значений своих простых
высказываний, принято называть логически истинными. Высказывания,
которые ложны при любых распределениях логических значений своих
простых высказываний, принято называть логически ложными.
Высказывания, которые истинны при одних распределениях и ложны при других,
принято называть нейтральными или фактически истинными.
Высказывание «Сегодня среда или не среда» — логически истинное, так как оно
истинно в любой день недели. Высказывание «Сегодня среда и не среда» —
логически ложное, так как оно ложно в любой день недели. Высказывание
«Сегодня среда» фактически истинное, так как оно истинно по средам и
ложно во все остальные дни.
Простым высказываниям соответствуют пропозициональные (лат.
propositio — высказывание) переменные, которые будут обозначаться
заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С,... С помощью логических
союзов из пропозициональных переменных будут строиться формулы
логики высказываний, обозначающих сложные высказывания.
Как будет показано, все задачи логики высказываний так или иначе
связаны с построением алгоритма, позволяющего определить для
произвольной формулы, обозначает ли она логически истинное, логически
ложное или фактически истинное высказывание.
Логика предикатов представляет обобщение логики высказываний,
позволяющее учитывать логические связи не только между простыми
высказываниями, но и между субъектами и предикатами последних. Логика
предикатов объединяет вместе особенности традиционной логики и логики
высказываний и, таким образом, представляет чрезвычайно эффективную
логическую теорию. Указанное обобщение достигается за счет введения
новых базисных понятий и допущений.
Как и в традиционной логике, важную роль в логике предикатов
играет понятие универсума. Без задания универсума невозможна
интерпретация формул логики предикатов — их квалификация как истинных и
ложных.
Понятие субъекта в логике предикатов заменяется понятием терма,
под которым понимают имя (знак), обозначающее либо конкретную, либо
произвольную вещь универсума. В первом случае термом является имя
собственное — «Москва», «А. С. Пушкин» и т. п., во втором — так
называемая индивидная (предметная) переменная ху у,..., обозначающая
произвольную вещь универсума. Иногда в объем понятия терма включают и
различные функциональные знаки, обозначающие какие-либо
специфические операции — сложение, умножение и т. п.
Предикат определяется как логическая функция одного или
нескольких термов в зависимости от того, выражает ли он свойство или от-

332
ношение. Элементарные предикатные выражения будут обозначаться
следующим образом:
Ах = произвольная вещь х универсума U обладает свойством А; -лАх
= произвольная вещь х универсума. U не обладает свойством А (обладает
свойством не-А)\ Аху = произвольные вещи х и у универсума U находятся в
отношении А друг к другу; -Аху = произвольные вещи универсума U не
находятся в отношении А друг к другу (находятся в отношении не-А друг к
К исходным знакам языка логики предикатов добавляются также так
называемые кванторы (лат. quantum — сколько) существования и
(все)общностиу выполняющие ту же роль, что и слова «некоторые» и «все»
в традиционной логике соответственно. Вместо слов «все х универсума
?/...» мы будем писать (х) и ставить этот знак перед тем предикатным
выражением, к которому он относится: (х)Ах = все х универсума U обладают
свойством А; (х)(у)Аху = все х и все у универсума U находятся в отношении
А друг к другу. Вместо слов «некоторые х универсума ?/...» мы будем
писать знак (Ех) и ставить этот знак перед тем предикатным выражением, к
которому он относится: (Ех)Ах = некоторые х универсума U обладают
свойством А; (Ех)(Еу)Аху = некоторые х и некоторые у находятся в
отношении А друг к другу.
О произвольной формуле логики предикатов мы можем судить как
об истинной или ложной, если и только если: (а) задан универсум, (б)
каждому терму, обозначающему имя собственное, поставлен в соответствие
определенный элемент универсума, (в) каждый терм, не обозначающий
имя собственное, функциональный символ, обозначает произвольный
элемент универсума, (г) каждому предикатному знаку поставлено в
соответствие свойство или отношение, (д) каждому пропозициональному
выражению, входящему в формулу, приписано определенное логическое
значение (истина или ложь). При выполнении всех этих условий говорят о том,
что рассматриваемая формула логики предикатов получила
интерпретацию. Для сравнения укажем, что в логике высказываний интерпретацией
формулы называется задание некоторого распределения логических
значений образующих ее пропозициональных переменных.
Формула логики предикатов является логически истинной, если и
только если она истинна при всех возможных интерпретациях; является
логически ложной, если и только если она ложна при всех возможных
интерпретациях; является фактически истинной во всех остальных случаях.
Как и в логике высказываний, все задачи логики предикатов так или
иначе связаны с построением алгоритма, позволяющего устанавливать, к
какому из указанных классов относится рассматриваемая формула.
Однако, как было доказано, для логики предикатов построить общий алгоритм
нельзя. Этим логика предикатов принципиально отличается от логики вы-

333
сказываний, для которой построение подобного алгоритма возможно. Из
сказанного не следует, что в логике предикатов невозможны
доказательства.
Итак, когда мы говорим о логике высказываний и логике предикатов,
то имеем в виду искусственные (формализованные) языки, позволяющие
по определенным правилам из одних выражений чисто формально
получать новые выражения без каких-либо ссылок на их содержание; при этом
в логике высказываний учитываются только логические связи между
простыми высказываниями, тогда как в логике предикатов дополнительно
учитываются субъектно-предикатные отношения простых высказываний.
Обсуждаемая в данной главе логика предикатов официально
именуется логикой предикатов первого порядка (ступени). Подразумевается, что
переменные относятся только к вещам универсума, но не к их свойствам
или отношениям. Поскольку никакой другой логики предикатов
рассматриваться не будет, то признак «первого порядка» будет опускаться.
Во второй половине XX столетия получили бурное развитие так
называемые неклассические логики, прежде всего модальная логика.
Возникновение неклассической логики принято объяснять как результат
критики классической символической логики и прежде всего лежащего в ее
основе отношения логического следования. Последнее, по мнению его
критиков, обладает многими парадоксальными свойствами и требует
улучшения в нескольких отношениях. Парадоксальными считаются,
например, такие свойства, как «Из лжи следует все, что угодно», «Истина
следует из чего угодно» и такие высказывания, как «Если два больше трех,
то Луна сделана из зеленого сыра», которые логически истинны, хотя
между образующими его простыми высказываниями нет никакой связи по
смыслу.
Однако если иметь в виду допущения, на которых построена
классическая логика высказываний и предикатов, то все эти парадоксы получают
естественное объяснение. Классическая логика высказываний и
предикатов — логика функций истинности и она предназначена исключительно
для объяснения истинностной связи высказываний. Поскольку такая связь
является максимально широкой, то за счет различных ограничений,
накладываемых на свойства отношения логического следования, ее можно
сделать чувствительной к любому заданному смыслу высказываний.
Например, были созданы логики, чувствительные к смыслу операторов
«необходимо» и «возможно», «обязательно» и «позволено», «знаю» и «верю» и т.
п. Но поскольку все они образуются посредством присоединения к
стандартной логике, следует, что каждая неклассическая логика — это
ограниченная в том или ином отношении классическая логика. Никакого
антагонизма классической и неклассической логик на самом деле не
существует.

334
2. ЯЗЫК ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Язык логики высказываний включает три вида знаков (символов).
1. Знаки для обозначения высказываний (пропозициональные
переменные): А, В, С, ..., Аи В\, Сь...
2. Знак для обозначения логических союзов:
«—I» — знак отрицания (читается «не», «неверно, что...»);
«&» — знак конъюнкции (читается «и»);
«v» — знак дизъюнкции (читается «или»);
«з» — знак импликации (читается «если..., то»);
«=» — знак эквивалентности (читается как «тогда и только тогда,
когда»;
«?» — знак исключающей дизъюнкции (читается как «либо...
либо»).
Ь — знак дедуктивной выводимости, разделяющий
последовательности формул на посылки и заключения (читается как «формулы слева
необходимо следуют из формул справа»).
* — знак замыкания (знак противоречивости какой-либо ветви
дерева формул; обозначает невыполнимость данной ветви).
3. Технические знаки:
(— левая скобка,
) — правая скобка.
, — запятая.
Иных знаков, кроме указанных в пп. 1-3, в логике высказываний нет.
Из перечисленных знаков можно образовывать формулы — знаковые
эквиваленты простых и сложных высказываний, согласно следующему
определению:
1. Пропозициональная переменная есть формула.
2. Если А — произвольная формула, то —А — тоже формула.
3. Если АиВ — произвольные формулы, то (А & В), (A v В), (A z> В),
(А= В), (А ? В) — тоже формулы. Иных формул, кроме указанных в пп.
1-3, в логике высказываний нет. Следовательно, такие выражения, как
(Av)9 (-А), формулами не являются. В каждой формуле со скобкой число
левых и правых скобок должно быть одинаковым.
Некоторые части формулы могут быть сами формулами. В этом
случае говорят о подформулах данной формулы. Например, подформулами
формулы (А & В) zd (A v В) являются формулы (А & В) и (A v В), формулы
А и В, а также вся данная формула, так как считается, что она является
частью самой себя.

335
В формуле (А & В) подформулы А и В называются конъюнктами.
Эти же подформулы в формуле (A v В) называются дизъюнктами, В
формуле (A z> В) подформулу А принято называть антецедентом (лат.
antecedens — предшествующий), а подформулу В — консеквентом (лат.
consequens — следствие).
В каждой формуле, если в ней более одной переменной, имеется
логический союз, который считается главным. Если в формуле один
логический союз, то он и является главным. Если в формуле несколько
логических союзов, главным считается тот, который при ее построении вводится
последним. Например, в формуле (AvB) единственным и главным
логическим союзом является v; в формуле (A id (A v В)) главным логическим
союзом является z>, так как именно он вводится последним.
Скобки вводятся для указания границ действия главного логического
союза формулы или ее подформулы.
Любую формулу логики высказываний можно превратить в истинное
или ложное высказывание, если заменить входящие в нее переменные
истинными или ложными высказываниями (не обязательно простыми). Если
некоторая переменная входит несколько раз, то соответствующее ей
высказывание должно подставляться во все места ее вхождения. Кроме этого,
необходимо также знать точный смысл логических союзов, объединяющих
простые высказывания и одно сложное.
3. СЕМАНТИКА (СМЫСЛ) ЛОГИЧЕСКИХ СОЮЗОВ
Для вычисления логического значения сложного высказывания
необходимо знать не только логические значения образующих его простых
высказываний, но также смысл соединяющих их логических союзов. Этот
смысл задается следующими определениями.
1. Отрицанием формулы А называется формула —А, которая
истинна, если А — ложна, и ложна, если А — истинна.
Смысл данного определения поясняет таблица:
А
и
л
-Л
л
и
Первый столбец таблицы указывает все возможные логические
значения формулы А — истина (и) и ложъ (л).Второй столбец содержит соот-

336
ветствующие логические значения формулы —А. Мы видим, что
отрицающие друг друга формулы не могут быть вместе ни истинны, ни ложны.
Если одна из них истинна, то другая ложна, и наоборот. При этом переменная
А может обозначать как простое, так и сложное высказывание.
2. Конъюнкцией формул А и В называется формула (А&В), которая
истинна тогда и только тогда, когда истинна формула А и истинна формула
В, Смысл данного определения поясняет таблица:
А
и
и
л
л
В
и
л
и
л
(А&В)
и
л
л
л
Каждая формула может быть либо истинной, либо ложной.
Следовательно, для двух формул мы имеем четыре возможности: А и В обе
истинны; А истинна, но В ложна; А ложна, но В истинна; Аи В обе ложны. В
общем, если имеется п формул, то существует 2п возможностей их
истинности. Читая третий столбец, мы видим, что формула (А&В) получает
значение «истина» только в случае совместной истинности формул А и В. Во
всех остальных случаях она получает значение «ложь».
Пусть А = «я вставил ключ в замок», В = «дверь открылась». Тогда
высказывание «Я вставил ключ в замок, и дверь открылась» представляет
конъюнкцию (А&В) и истинно тогда и только тогда, когда истинно
высказывание «Я вставил ключ в замок» и истинно высказывание «Дверь
открылась». Если же хотя бы одно из них ложно, то ложно и образованное из них
конъюнктивное высказывание.
Конъюнкция считается самым сильным логическим союзом, так как
для своей истинности требует истинности каждого конъюнкта. В
естественном языке конъюнкция, кроме союза «и», выражается также союзами
«вместе с», «как..., так и», «не только..., но и», «..., хотя и», «а также ...» и
некоторыми другими.
В формализованном языке перестановка местами конъюнктов не
ведет к изменению логического значения формулы. Иными словами,
формулы (А&В) и (В&А) эквивалентны (имеют одно и то же логическое
значение). В естественном языке конъюнктивная связь часто выражает
упорядоченную последовательность событий и перестановка местами ее членов
искажает смысл всего высказывания. Высказывания «Он почистил зубы и
лег спать» и «Он лег спать и почистил зубы» вряд ли кто-нибудь посчитает
эквивалентными.

337
3. Дизъюнкцией формул А к В называется формула (AvB), которая
истинна тогда и только тогда, когда истинна хотя бы одна из них. Смысл
данного определения поясняет таблица:
А
и
и
л
л
В
и
л
и
л
(AvB)
и
и
и
л
Согласно определению, формула (AvB) ложна, если и только если
ложны все ее дизъюнкты. Во всех остальных случаях она истинна. Пусть А
= «я отдыхаю», В = «я читаю книгу». Высказывание «Я отдыхаю или я
читаю книгу» ложно, если и только если я не отдыхаю и не читаю книгу. Во
всех остальных случаях оно истинно. Определенная таким образом
дизъюнкция носит неисключающий характер — могут быть одновременно
истинны все ее члены. В естественном языке, кроме союза «или», неисклю-
чающая дизъюнкция выражается словами «и/или», «... или..., или оба», «по
крайней мере». В отличие от конъюнкции дизъюнктивные члены могут
переставляться в любом порядке без потери смысла как в
формализованном, так и естественном языке.
4. Импликацией формул А и В называется формула (AidB), которая
ложна тогда и только тогда, когда А истинна, а В ложна, и истинна во всех
остальных случаях. Смысл данного определения поясняет таблица:
А
и
и
л
л
В
и
л
и
л
И
л
и
и
Из таблицы следует, что импликация однозначно истинна в двух
случаях: или ее антецедент (формула А) ложен, или ее консеквент (формула В)
истинен. Допустим, А обозначает причину (я нажал выключатель), а В ее
результат (лампочка зажглась). Первая строка таблицы говорит о том, что
если причина и ее результат оба имеют место, тогда их связь следует
считать истинной. Вторая строка таблицы говорит о том, что если причина на-

338
ступила, а ее результат нет, то только в этом случае их связь должна быть
признана ложной (если есть причина, всегда должен быть ее результат).
Третья строка говорит о том, что, согласно принципу альтернативности,
всякий результат может быть получен независимо от данной причины
(лампочка может загореться, будучи подключенной к другой
электрической цепи). Таким образом, данная строка не опровергает необходимую
связь результата со своей причиной и получает соответственно значение
«истина». Четвертая строка говорит о том, что ни причина, ни ее результат
оба не имели места. Следовательно, и эта возможность не опровергает
необходимой связи причины со своим результатом, и она получает общее
значение «истина».
В естественном языке союз «если..., то», кроме причинной связи,
может выражать временную последовательность событий, связь условия и
средства ее достижения, условие какого-либо договора или соглашения.
Однако в логике высказываний данному союзу придается только одно
значение, которое зафиксировано таблицей: антецедент есть только
достаточное условие истинности консеквента, консеквент есть только
необходимое условие истинности антецедента. Из-за такой асимметрии
перестановка местами членов импликации в общем случае неправомерна.
Достаточно с этой целью сравнить следующие два высказывания: «Если пойдет
дождь, то я раскрою зонт» и «Если я раскрою зонт, то пойдет дождь».
В естественном языке высказывание «Если А, то 5» может
выражаться такими синонимами, как «А достаточно для 5», «5 необходимо для
А», «А, только если 5», «5, если А», «В, потому что А», «В, так как А»,
«когда А, тогда 5», «А, значит (следовательно) 5».
5. Эквивалентностью (равносильностью) формул А и В называется
формула (А=В)9 которая истинна тогда и только тогда, когда формулы А и
В обе истинны или ложны одновременно. Смысл данного определения
поясняет таблица:
А
и
и
л
л
В
и
л
и
л
(А = В)
и
л
л
и
Из таблицы следует, что формулы А и В эквивалентны, если и только
если каждая из них необходима и достаточна для истинности другой
формулы. Или, что то же, если истинна как прямая импликация (A z> В), так и
ей обратная (В id A),

339
В естественном языке эквивалентность формул А и В может
выражаться оборотами «А равносильно 5», «А необходимо и достаточно для 5»,
«5 необходимо и достаточно для А», «А равносильно 5», «А, если и только
если 5», «Из А следует В и из В следует А»,
Эквивалентные формулы могут переставляться местами без потери
смысла высказывания, которое они образуют.
6. Исключающей дизъюнкцией формул А и В называется формула
(AW), которая истинна тогда и только тогда, когда либо А истинно и В
ложно, либо А ложно и В истинно. Смысл данного определения поясняет
таблица:
А
и
и
л
л
В
и
л
и
л
(А ±В)
л
и
и
л
Исключающая дизъюнкция представляет собой отрицание
эквивалентности и отличается от неисключающей дизъюнкциями только одним
условием — запрещением одновременной истинности всех дизъюнктов. В
естественном языке исключающая дизъюнкция чаще всего выражается
словами «либо..., либо». В терминах исключающей дизъюнкции обычно
формулируются альтернативные объяснения, версии какого-либо события,
одно из которых обязательно должно быть истинно, а все остальные
ложны.
Знание смысла логических союзов позволяет осуществлять перевод с
естественного языка на искусственный, то есть на язык логики
высказываний. Алгоритм такого перевода следующий. Сначала отыскиваются
простые высказывания. Каждое из них обозначается новой буквой, если и
только если оно не эквивалентно ни одному из уже обозначенных
высказываний. Затем фиксируются логические союзы, связывающие простые
высказывания. Наконец, конструируется формула, каждая переменная
которой обозначает некоторое простое высказывание, а сама она выражает
логическую структуру переводимого выражения. Чтобы сделать процесс
перевода более понятным, рассмотрим несколько примеров.
Пример 1
«Пока родители живы, не уезжай далеко; а если уехал, обязательно
живи в определенном месте» (Конфуций),

340
Простые высказывания: А = твои родители живы, В = тебе не следует
уезжать далеко, С = ты уехал, D = тебе обязательно следует жить в
определенном месте.
Логические союзы: z>, &.
Логическая структура: ((A z> 5) & (С z> Z))).
Пример 2
«Добродетель, милый мой студент, не делится на части; или она есть,
или ее нет» (О. Бальзак, Отец Горио).
Простые высказывания: А = добродетель, милый мой студент, не
делится на части, В = добродетель есть.
Логические союзы: &, ?, —>.
Логическая структура: (А &(В
Пример 3
«Ибо нет другого способа оградить себя от лести, как внушив людям,
что если они выскажут тебе всю правду, ты не будешь на них в обиде, но
когда каждый сможет говорить тебе правду, тебе перестанут оказывать
должное почтение» (Я. Макиавелли, Государь).
Простые высказывания: А = ты внушишь людям, В = они выскажут
тебе всю правду, С = ты не будешь на них в обиде, D = ты оградишь себя
от лести, Е = каждый сможет говорить тебе правду, Н = люди перестанут
оказывать тебе должное почтение.
Логические союзы: z>, &.
Логическая структура: (D z> (A z> (В z> Q) &(?d Я)).
Пример 4
«Альтернатива известна: либо мы не свободны и ответ за зло лежит
на всемогущем боге, либо мы свободны и ответственны, а бог не
всемогущ» (А. Камю. Бунтующий человек).
Простые высказывания: А = альтернатива известна; В = мы
свободны, С = ответ за зло лежит на всемогущем боге, D = мы ответственны, Е =
бог всемогущ.
Логические союзы: &, ?, —..
Логическая структура: (А & ((-i5 &Qm(B &D&
Пример 5
Анна и Денис любили друг друга.
Простое высказывание: А = Анна и Денис любили друг друга/
Было бы ошибкой считать, что здесь мы имеем дело со сложным
высказыванием: свойство «любили друг друга» не может быть приписано ни

341
Анне, ни Денису в отдельности, а только им обоим вместе.
Логические союзы: нет.
Логическая структура: А.
Пример 6
Желание возникает из разума, только если оно не может быть
чрезмерным.
Простые высказывания: А = желание возникает из разума, В =
желание не может быть чрезмерным.
Логические союзы: з.
Логическая структура: {Azi В).
Пример 7
«Поскольку всех счастливее в этом мире тот, кто довольствуется
малым, то власть имущих и честолюбцев надо считать самыми несчастными
людьми, потому что для счастья им нужно несметное множество благ»
{Франсуа де Ларошфуко).
Простые высказывания: А = «Всех счастливее в этом мире тот, кто
умеет довольствоваться малым», В = «Власть имущих надо считать
самыми несчастными людьми», С = «Честолюбцев надо считать самыми
несчастными людьми», D = «Для счастья им нужно несметное множество благ».
Логические союзы: z>, &.
Формула: (А о (D z> (В & С))).
Пример 8
Только одно из высказываний А, В и С истинно.
Допустим, высказывание истинно, если и только если оно входит в
формулу без знака отрицания (это допущение распространяется на данный
и следующие примеры).
Простые высказывания: А, В, С.
Логические союзы: &, —i, v.
Логическая структура: (А & S & -^С) v {-^A &B & -,Q v {-A & -,5
&С).
Пример 9
По крайней мере одно из высказываний А, В и С истинно.
Простые высказывания: А, В, С.
Логические союзы: v.
Логическая структура: (A v В v С).

342
Пример 10
Только одно из высказываний А, В к С ложно.
Простые высказывания: А9 В, С.
Логические союзы: -., &, v.
Логическая структура: {-A &B&Qv(A&^B&C)v(A&B& -пС).
Пример 11
Только два из высказываний А, В кС истинны.
Простые высказывания: А, В, С.
Логические союзы: &, -., v.
Логическая структура: (-Л &В &Qv (A &-^B & Qv (A &B & -,С).
Пример 12
Только два из высказываний А, В и С ложны.
Простые высказывания: А, В, С.
Логические союзы: -., &, v.
Логическая структура: (А & -i5 & -iQ v (-Л & В & -,Q v (^4 & -тЯ
&O-
Пример 13
Самое большее два из высказываний А, В и С истинны.
Простые высказывания: А, В, С.
Логические союзы: v, -,, &.
Логическая структура: ((Л v В) & -,С) v((^vQ& -.Д) & (E v Q &
4. ПОНЯТИЕ ЛОГИЧЕСКИ ИСТИННОЙ, ЛОГИЧЕСКИ
ЛОЖНОЙ И ЛОГИЧЕСКИ НЙТРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ.
СОДЕРЖАНИЕ И ОБЪЕМ ВЫСКАЗЫВАНИЯ
Логическое значение каждой формулы логики высказываний
представляет определенную функцию от логических значений ее переменных.
Различают три вида подобной функциональной зависимости и в
соответствии с этим — три класса формул логики высказываний.
Формула имеет логическое значение «истина» независимо от
распределения логических значений своих переменных — все истинны, все
ложны или только некоторые истинны, а все остальные ложны. Такие
формулы мы будем называть логически истинными, то есть истинными
только благодаря своей логической структуре.

343
Формула (A v -,A) является логически истинной независимо от того,
каким истинностным статусом обладает высказывание А, Высказывание А
может быть как истинно, так и ложно. В любом случае сложное
высказывание (A v -пА) логически истинно.
Логически истинные формулы не исключают ни одного класса
универсума и тем самым не несут никакой информации. Сказать «Сегодня
пойдет дождь или не пойдет дождь», означает сообщить нулевую
информацию о данном погодном явлении. Обладая нулевой информативностью,
логически истинные формулы вместе с тем максимально вероятны. Данное
обстоятельство объясняет, почему логически истинные формулы следуют
из любых посылок, включая ложные. Иными словами, логическая истина
является всеобщим следствием.
Формула имеет логическое значение «ложь» независимо от
логических значений своих переменных. Такие формулы мы будем называть
логически ложными. Они ложны только в силу своей логической структуры.
Формула (А & -лА) логически ложна независимо от того, каков
истинностный статус высказывания А. При любом значении А сложное
высказывание будет необходимо ложно.
Логически ложные формулы исключают все возможные состояния
дел и тем самым сообщают максимальную информацию. Однако
вероятность таких формул всегда равна нулю. Если логическая истина является
всеобщим следствием, то логическая ложь, наоборот, является всеобщей
посылкой. Иными словами, из лжи следует все, что угодно, включая и
истину.
Формула истинна при одних значениях своих переменных и ложна
при других. Такие формулы мы будем называть нейтральными.
Нейтральные формулы всегда нечто разрешают и нечто исключают, то есть
сообщают информацию, которая истинна при одних условиях и ложна при
других.
Сказать «Хлеб — полезный продукт» означает сообщить фактически
истинную информацию, ибо в пределах срока годности хлеб
действительно является полезным продуктом, но за его пределами он перестает быть
таковым. Вероятность нейтральных формул всегда больше нуля и меньше
единицы. При рассмотрении недедуктивных умозаключений выражаемые
такими формулами высказывания назывались правдоподобными.
Итак, все формулы логики высказываний делятся на логически
истинные, логически ложные и нейтральные. Принято объединять логически
истинные и нейтральные формулы в класс выполнимых формул —
формул, могущих иметь логическое значение «истина». Соответственно
логически ложные формулы принято называть невыполнимыми, ибо они ни
при каких обстоятельствах не могут иметь логическое значение «истина».

344
Простейшим методом, позволяющим распознавать вид формулы,
является построение таблицы истинности. Для этого сначала выписываются
все распределения логических значений переменных рассматриваемой
формулы, затем вычисляется логическое значение всей формулы в
соответствии с ее структурой. Приведем несколько примеров построения
таблицы истинности и определения вида формулы. Если последний столбец
таблицы, относящийся ко всей формуле, будет содержать только значение
«истина», тогда рассматриваемая формула является логически истинной;
если последний столбец будет содержать только значение «ложь», то
рассматриваемая формула является логически ложной; если последний
столбец будет содержать хотя бы одно значение «истина» и хотя бы одно
значение «ложь», то рассматриваемая формула является нейтральной.
Пример 1
Формула: {A z> {A v В)),
Таблица истинности:
А
и
и
л
л
В
и
л
и
л
(AvB)
и
и
и
л
{А-
э (Л v 5))
и
и
и
И
Объяснение. Первые два столбца таблицы содержат все возможные
распределения логических значений переменных Аи В. Третий столбец
указывает логическое значение подформулы (A v В), вычисленное согласно
таблице для логического союза v. Последний столбец указывает логическое
значение формулы (A id (A v 5)), вычисленное согласно таблице для z>. Он
содержит только логическое значение «истина». Следовательно,
рассматриваемая формула является логически истинной.
Пример 2
Формула: ((А => В) &
Таблица истинности:
v В)).

345
А
и
и
л
Л
В
и
л
и
л
(А=>В)
и
л
и
и
-А
л
л
и
и
(-tAvB)
и
л
и
и
-,(-*4 v 5)
л
и
л
л
((Л з 5) & -,(^4v5))
л
л
л
Л
Объяснение. Как и в предыдущем примере, мы имеем две переменных
и, следовательно, четыре возможных распределения значений истинности.
Сначала вычисляется логическое значение подформулы (А^В)9 затем
подформулы —1(—AvB) и наконец всей формулы. Последний столбец содержит
только значения «ложь». Следовательно, рассматриваемая формула
является логически ложной.
Пример 3
Формула: {{А ^(В± В)) z> (А з Q).
Таблица истинности:
А
и
и
и
и
л
л
л
л
в
и
и
л
л
и
и
л
л
с
и
л
и
л
и
л
и
л
(втв)
л
л
л
л
л
л
л
л
и
л
и
л
и
и
и
и
(Л =>(?*?))
л
л
л
л
и
и
и
и
ЦА=>{Вт B))^(A^Q)
и
и
и
и
и
и
и
и
Объяснение. В рассматриваемой формуле три переменных — А, В и С.
Следовательно, имеется восемь возможных распределений значений
истинности. Последний столбец содержит только значения «истина». Поэтому
данная формула является логически истинной.
Пример 4
Формула: (А&(В^> А)).
Таблица истинности:

346
А
и
и
л
л
В
и
л
и
л
(В^А)
и
и
л
и
(А&(В^А))
и
и
л
Л
Объяснение. Последний столбец таблицы содержит как значения
«истина», так и значения «ложь». Следовательно, рассматриваемая формула
является нейтральной.
Таблицы истинности, как нетрудно убедиться, представляют
означенные классификации, то есть классификации, ветви (строки таблицы,
представляющие все возможные наборы значений истинности
переменных) которых получают значение «истина» или «ложь». Следовательно, с
помощью таблиц истинности, перестроенных в виде классификации,
можно вычислять содержания и объемы простых и сложных высказываний и
производить с ними соответствующие операции. Напомним, что в качестве
логического содержания понятий, суждений (высказываний) выступают
классы универсума, которые они исключают, а в качестве объема —
классы универсума, которые они разрешают:
Высказывание = содержание / объем
= исключаемые классы / разрешаемые классы
= ложные ветви / истинные ветви
= условия ложности / условия истинности.
Для пояснения сказанного построим классификацию из двух
переменных — А и В, которую полезно сравнить с любой таблицей истинности
для двух переменных:
Каждая ветвь построенной классификации представляет
конъюнкцию переменных А и В с различным распределением знаков отрицания по
ним и соответствует определенной строке таблицы истинности из этих
формул. Допустим, переменная без знака отрицания истинна. Тогда фор-

347
мулы А и В в первой ветви обе истинны, во второй ветви истинна только
формула А, а в третьей — только В, в четвертой ветви формулы А и В обе
ложны. Противоположное допущение ничего не меняет. Используя знания
о свойствах конъюнкции, дизъюнкции (исключающей и неисключающей),
импликации и эквивалентности, убеждаемся в истинности следующих
вычислений:
А = C) + D) /A) + B); -Л = A) + B) /C) + D);
В = B) + D) /A) + C); -,В = A) + C) 1B) + D).
Формула А принадлежит первой и второй ветви классификации.
Следовательно, ее объем равен дизъюнкции (логической сумме) этих ветвей:
((А & В) v (А & —15)) = А. Эти ветви составляют объем формулы А и по
закону обратного отношения объема и содержания — содержание
противоречащей ей формулы —Л. Формула А ложна в третьей и четвертой ветвях
классификации. Следовательно, ее содержание эквивалентно дизъюнкции
этих ветвей: ((—А & В) v (-A & -lS)) = -Л. Данные ветви соответствуют
содержанию формулы А и тем самым объему противоречащей ей формулы
—А, Противоречащие друг другу формулы оказались симметричными в
следующем смысле: то, что одна из них утверждает, другая обязательно
исключает и наоборот. По этой причине противоречащие формулы не
могут быть вместе ни истинны, ни ложны.
Так как объем каждой конъюнкции состоит только из одного класса,
то это означает, что любая конъюнкция истинна лишь в одном случае —
когда истинны все ее конъюнкты, и ложна, если хотя бы один из них не
является истинным. Например, конъюнкция (-A&-iB) истинна, если и только
если истинна формула -лА и истинна формула —Д которые обе
принадлежат четвертой ветви, и ложна во всех остальных случаях (первой, второй и
третьей ветвях). Соответственно четвертая ветвь составляет объем данной
конъюнкции, а все остальные ветви — ее содержание.
Конъюнкция произвольной формулы со своим логическим
отрицанием образует логически ложную (противоречивую) формулу, объем которой
равен пустому классу, а содержание — дизъюнкции всех классов
универсума:

348
(А & -А) = (В & -п5) = A) + B) + C) + D) / 0.
Так как содержание логически ложных формул эквивалентно
дизъюнкции все классов универсума, то такие формулы ложны во всех ветвях
соответствующей классификации. Следовательно, они не могут быть
истинны ни при каких условиях. По этой причине их объем равен пустому
классу.
Содержание каждой дизъюнкции состоит из одного класса.
Следовательно, дизъюнкция ложна только в одном случае — когда ложны все ее
дизъюнкты, и истинна, если истинен хотя бы один ее дизъюнкт. Например,
дизъюнкция (Aw—\B) ложна, если и только если ложна формула А и формула
-гб, что соответствует третьей ветви, и истинна, если истинна хотя бы одна
из остальных ветвей — первая, вторая или четвертая.
Дизъюнкция произвольной формулы со своим логическим
отрицанием эквивалентна логически истинной формуле — формуле, чей объем равен
сумме всех ветвей классификации универсума, а объем равен пустому
классу:
(A v -А) = (В v-тЯ) = 0 / A) + B) + C) + D).
Так как содержание логически истинных формул равно пустому
классу, то такие формулы не могут ложны ни при каких условиях. По этой
причине объем таких формул эквивалентен дизъюнкции всех классов
универсума.
Конъюнкция и дизъюнкция обладают определенной симметрией: для
истинности конъюнкции формул требуется истинность всех ее конъюнктов,
для ложности дизъюнкции формул требуется ложность всех ее дизъюнктов;
отрицание конъюнкции эквивалентно дизъюнкции отрицаний ее
конъюнктов и, наоборот, отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнкции
отрицаний ее дизъюнктов. Подобная симметрия конъюнкции и дизъюнкции
получила специальное название — их часто называют двойственными
операциями и формулами. Сравнивая объемы и содержания формул и используя
свойства противоречащих друг другу формул, легко убедиться в
истинности следующих равносильностей, раскрывающих смысл указанной
двойственности:

349
п(Л & В)
¦iA & S)
п(-Л & Я)
vB)
(Л v
(Av
v-,5) =
v
v-,B) =
(A&B)
(-A&.B)
(A & -,B)
(A & 5).
Как уже отмечалось (см. гл. II, 5), операции логического отрицания,
конъюнкции (логического умножения) и дизъюнкции (логического
сложения) являются исходными, то есть не сводимыми к каким-либо другим
операциям. Значит, все другие операции можно выразить в терминах
исходных. С помощью сравнения объемов и содержаний высказываний нетрудно
убедиться в истинности следующих равносильностей, которые позволяют
исключать знак импликации, заменяя его конъюнкцией или дизъюнкцией:
D
(A
b
=M)
3 ^g)
- Eз
= (^5
= (Д =>
3^4)
3^)
Л)
= (-A v B) =
= (-^4v -,B) =
= (Av B) =
= (Av -,B) =
i (A & -tj
-n 04 & 5)
-.(-1Л&-
-.(-v4&i
Исключать можно также знаки эквивалентности и исключающей
дизъюнкции:
((A &B)v(-1A&-
((-A vB)&(Av-
B) + C)/(l) + D).
тв) =
*-Л)
= ((А &
= (А = ^
v (-A & В))
= Ч^-^)

350
Допустим, мы хотим вычислить, чему будет эквивалентна
конъюнкция формул (^d5)h(Bd А), Действуем следующим образом:
Я) & (Я => Л) = {объем (А з В)} х {объем (В з А)}
= объем (А = В)
- D s В).
Допустим, нас интересует логическое значение формулы (А & В) з (В
1 А). Вычисления выполняются следующим образом:
((А&В) з (В=>А)) = -iA &B)v(B ^A)
= {объем -.(Л & В)} + {объем (В
= U
= Логическая истина.
Допустим, нас интересует, являются ли формулы А и (—А з А)
необходимыми следствиями друг друга (являются ли они эквивалентными).
Вычисления выполняются следующим образом:
Объем Л = A) + B)
Объем (-А =>А) = объем (А & А)
— объем А
Что и требовалось доказать
Доказать, что формула (A v В) представляет необходимое следствие
формулы (А & -гб), то есть что логически истинна импликация (А &
(A v В). Вычисления выполняются следующим образом:

351
Объем (ASc-tB) = B)
у Я) = A) + B) + C)
Так как {B)} а {A) + B) + C)}, то
согласно определению отношения
логического следования (см. гл. 1У, 2) формула
(A v В) представляет необходимое
следствие формулы (А & -ii?). Обратное
отношение, как нетрудно убедиться,
неверно.
Что и требовалось доказать
Аналогично решаются и все остальные проблемы логики
высказываний. Обобщая сказанное, можно сделать вывод: все вычисления с
помощью таблиц истинности можно заменить вычислениями, производимыми с
помощью объемов и содержаний высказываний. Следовательно, техника
решения задач логики высказываний ничем принципиально не отличается
от техники решения задач традиционной логики. Данный факт
свидетельствует, во-первых, о фундаментальном единстве всех разделов логики. Во-
вторых, он открывает возможность использовать метод деревьев в
качестве общего и чрезвычайно эффективного метода логического анализа.
С помощью таблиц истинности можно решить любую задачу логики
высказываний. Однако этот метод становится малопригодным при
возрастании числа переменных. Например, для шести различных переменных
требуется составить таблицу, имеющую 64 строки. Кроме того, он
становится неэффективным при решении задач логики предикатов. Поэтому в
следующих параграфах будет предложен более удобный метод, связанный
с построением и упрощением деревьев, выражающих логическую
структуру формул. Этот метод основан на только что продемонстрированной
возможности вычисления объема и содержания простых и сложных
высказываний и представляет модификацию метода деревьев, использовавшегося
при решении задач традиционной логики.
В качестве самостоятельного упражнения предлагается проверить с
помощью таблиц истинности или сравнения объемов и содержаний
высказываний следующие базисные восемнадцать равносильностей, часть из
которых упоминалась выше, и которые будут использоваться в следующих
параграфах.
Пусть X, Y и Z — произвольные (простые или сложные) формулы
логики высказываний. Тогда истинны следующие равносильности.

352
1. X = -i -i X. Двойное отрицание формулы равносильно
утверждению формулы.
2. (X z> У) = (^Iv У). Импликация равносильна дизъюнкции
отрицания ее антецедента и утверждения консеквента, то есть дизъюнкции
условий своей истинности.
3. (Х= Y) = ((Xz> У)&( 7dI))e(^v Y)&(Xv-nY) = (X& Y) v
(—X&-iY). Эквивалентность можно заменять: конъюнкцией прямой и
обратной импликаций; а также конъюнкцией результатов исключения
прямой и обратной импликаций; дизъюнкцией конъюнкций, выражающих
условия истинности данной эквивалентности.
4. (X т У) = (ЛГз -.У) & (-^з У) = (^Xv-пУ) & (Xv У) = (-Х& У) v
(X & —iУ). Исключающую дизъюнкцию можно заменять: конъюнкцией
импликаций, выражающих обоюдную несовместимость дизъюнктов;
конъюнкцией результатов исключения соответствующих импликаций;
дизъюнкцией конъюнкций, выражающих условия истинности данной
исключающей дизъюнкции.
5. —\{Х & Y) = (-Xv -.У). Отрицание конъюнкции равносильно
дизъюнкции отрицаний ее конъюнктов.
6. -i(Iv У) = (-лХ & -,У). Отрицание дизъюнкции равносильно
конъюнкции отрицаний дизъюнктов.
7. пAз У) = (X & -|У). Отрицание импликации равносильно
конъюнкции антецедента и отрицания ее консеквента, то есть конъюнкции
условий ее ложности)
8. (X & (X v У)) = X. Конъюнктивное добавление к формуле X
дизъюнкции, содержащей формулу X в качестве дизъюнкта, равносильно
формуле X.
9. (X v (X & У)) = X. Дизъюнктивное добавление к формуле X
конъюнкции, содержащей формулу X в качестве конъюнкта, равносильно
формуле X.
10. (X & (У v —.У)) =Х. К формуле X можно добавлять в качестве
конъюнкта логически истинную формулу.
l2.((X&Y)v(X&-nY)) =X.
13. (Х&Х& ... &Х) =Х. w-кратное вхождение формулыXв качестве
конъюнкта можно заменить ее единственным вхождением.
14. (X v X v... v X) =Х. w-кратное вхождение формулы X в качестве
дизъюнкта можно заменить ее единственным вхождением.
15. ((X&Y) v (Z&-nY)) = ((X&Z) v (X& У) v (Z & -пУ)). К дизъюнкции
можно добавлять дополнительные не ложные логически дизъюнкты.

353
16. ((Х& Y) v (X& Z)) =(X& GvZ)). В дизъюнкции общий
конъюнкт можно выносить за скобки.
17. (Х& Y) = (Y&X). Конъюнкты можно переставлять местами.
18. (X v У) = G v X).Дизъюнкты можно переставлять местами.
С помощью приведенных равносильностей можно исключать
формулы с двойным отрицанием, содержащие знаки z>, =, ?, вносить
отрицание вовнутрь формул. Равносильности (8-14) позволяют упрощать
формулы; равносильность A5) выявлять дополнительные дизъюнкты;
равносильность A6) выносить за скобки общий конъюнкт; равносильности A7-
18) переставлять местами конъюнкты и дизъюнкты.
В следующих параграфах перечисленные равносильности
используются в качестве правил для представления и преобразования формул в
виде деревьев.
5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФОРМУЛ ЛОГИКИ
ВЫСКАЗЫВАНИЙ В ВИДЕ ДЕРЕВЬЕВ
Каждая формула логики высказываний может быть представлена не
только аналитически, но и графически — в виде дерева, воспроизводящего
ее логическую структуру. Каждая ветвь такого дерева указывает условие
истинности рассматриваемой формулы, а все вместе они составляют ее
объем. Опыт показывает, что умение графически представлять структуру
формул значительно облегчает решение большинства задач логики
высказываний.
Представление и преобразование формул в виде деревьев позволяет
наглядно выразить главную идею информационной интерпретации
отношения логического следования — информация, содержащаяся в
дедуктивных следствиях, всегда является частью информации, содержащейся в
посылках умозаключения. Поэтому, вместо того чтобы строить, как это
обычно делается, вывод заключения из посылок, используя специальные
правила и ранее доказанные формулы, нам будет достаточно чисто
графически выделить или в дереве посылок ту его (конъюнктивную) часть,
которая совпадает с деревом заключения, или в дереве заключения ту его
(дизъюнктивную) часть, которая совпадает с деревом посылок. Есть все
основания предполагать, что именно таким способом —
реструктуризацией полученной информации и осуществляется наше повседневное
мышление. При этом базисными операциями реструктуризации, не считая
операции логического отрицания, являются всего две — конъюнктивное соеди-

354
нение и дизъюнктивное разъединение выделенных информационных
единиц знания.
Графически изобразить структуру какой-либо формулы означает
построить дерево формулы согласно следующим правилам. Большая часть из
них является не более чем графическим аналогом равносильностей,
определенных в предшествующем параграфе.
Ш. Дерево формулы строится сверху вниз, начиная с представления
главного логического союза формулы и продолжается до тех пор, пока
каждая конечная ветвь не будет содержать только переменную или ее
отрицание.
П2. Пусть подформула рассматриваемой формулы имеет вид (Х& У),
где X и У— произвольные формулы логики высказываний. Тогда ветвь
дерева, в которую входит (X & У), продолжается рисунком
X
Y
ПЗ. Пусть подформула рассматриваемой формулы имеет вид (Xv У).
Тогда ветвь дерева, в которую входит (X v У), продолжается рисунком
X
П4. Пусть подформула рассматриваемой формулы имеет вид (Id У).
Тогда ветвь дерева, содержащая (Id У), продолжается рисунком
П5. Пусть подформула рассматриваемой формулы имеет вид (Х= У).
Тогда ветвь дерева, содержащая (Х= У), продолжается рисунком

355
X
I
У
П6. Пусть подформула рассматриваемой формулы имеет вид (X
Y). Тогда ветвь дерева, содержащая (X ? У), продолжается рисунком
X
П7. Пусть подформула рассматриваемой формулы имеет вид —
(X&Y). Тогда ветвь дерева, содержащая —>(Х& Y), продолжается рисунком
П8. Пусть подформула рассматриваемой формулы имеет вид —>(Х v
Y). Тогда ветвь дерева, содержащая —,(Xv У), продолжается рисунком
П9. Пусть подформула рассматриваемой формулы имеет вид —\{Х
У). Тогда ветвь дерева, содержащая -i (Id F), продолжается рисунком
X
I

356
ШО. Пусть подформула рассматриваемой формулы имеет вид -i(X =
У). Такая формула равносильна формуле (X ? У). Поэтому ветвь дерева,
содержащая —. (X = У), продолжается согласно правилу П6.
П11. Пусть подформула рассматриваемой формулы имеет вид —\(Х ?
У). Такая формула равносильна формуле (X = У). Поэтому ветвь дерева,
содержащая —i (X ? У), продолжается согласно правилу П5.
П12. Пусть подформула рассматриваемой формулы имеет вид —. —X.
Такая формула равносильна формуле X Поэтому ветвь дерева,
содержащая —I —X, продолжается формулой X.
ШЗ. Если ветвь дерева содержит две и более формулы, по крайней
мере одна из которых в качестве главного логического союза содержит v?
тогда все остальные формулы последовательно присоединяются к каждой
из образующихся ветвей.
В качестве иллюстрации правила 13 рассмотрим случай, когда две
формулы — (A v В) и ( С з D) — принадлежат одной и той же ветви.
Дерево, образованное этими формулами, согласно правилам ШЗ, ПЗ и П4,
имеет следующий вид:
В -пС D
или /\ /\
D -пС D А В А В
Большая часть приведенных правил основана на равносильностях,
введенных в предыдущем параграфе, и является их графическим
аналогом. Согласно этим правилам, все виды логических связей сводятся к двум
— конъюнктивной и дизъюнктивной. Если переменные связаны конъюнк-
тивно, то они соединяются одной линией; если — дизъюнктивно, тогда
они соединяются разными линиями, исходящими из общей вершины.
Иными словами, конъюнктивно связанные переменные принадлежат к
одной и той же ветви; дизъюнктивно связанные переменные — разным
ветвям, исходящим из общей вершины.
Рассмотрим несколько примеров представления формул в виде
деревьев. Ссылка на правила ввиду их элементарного характера опускается.
Пример 1
Формула: (A&(Bv Q).
Дерево формулы:

357
А
В С
Пример 2
Формула: (A v (В & С)).
Дерево формулы:
Пример 3
Формула: (А & В & Q.
Дерево формулы:
Пример 4
Формула: {A v В v С).
Дерево формулы:
Пример 5
Формула: {A id (В & С)).
Дерево формулы:
А
I
В
I
С
в
I
с
в с
-А В
I
С

358
Пример 6
Формула: ((А & В) z> A).
Дерево формулы:
Пример 7
Формула: (Azd(Av В)).
Дерево формулы:
-А А В
Пример 8
Формула: {A zd (В z> A)).
Дерево формулы:
-Л
Пример 9
Формула: ((А & (A z> В))
Дерево формулы:
В
Пример 10
Формула: (((Az^B) & -п?) z> -Л).
Дерево формулы:

359
Пример 11
Формула: (((A v В) & -,?) з А).
Дерево формулы:
.—-——~.
к
Пример 12
Формула: (((А э5)&(ЬС))э(Ь Q).
Дерево формулы:
Пример 13
Формула: (((А з В) & (С з D) & (A v Q) з (В v D)).
Дерево формулы:
С ^4 5 D
Пример 14
Формула: (((А & В) =
Дерево формулы:
А ~~
1
i
в
-л
t^{A
-пВ
¦—"" —¦
-л
1
1
А
1
1
В
.
1
1
А
1
1
В

360
Пример 15
Формула: {{А э(ЬС))з ((А з В) з (А з С))).
Дерево формулы:
А А -Л С
I I
В
Пример 16
Формула: (А = (А & А)),
Дерево формулы:
-А
А
I
А
Пример 17
Формула: (A = (Av A)).
Дерево формулы:
А А -А
I
-Л
Как следует из рассмотренных примеров, представление формулы в
виде дерева совершается в порядке, обратном тому, как происходит
конструирование формулы. Он начинается с главного логического союза и
продолжается согласно правилам построения дерева формулы до тех пор,
пока ветви дерева не будут содержать только переменные или их
отрицания.

361
6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДА ФОРМУЛ ЛОГИКИ
ВЫСКАЗЫВАНИЙ, ПРЕДСТАВЛЕКННЫХ
В ВИДЕ ДЕРЕВЬЕВ
Для определения вида формулы логики высказываний достаточно
обследовать ветви дерева, представляющего ее структуру. При этом
возможны следующие три случая.
1. Каждая ветвь дерева содержит некоторую переменную вместе с ее
отрицанием, то есть является противоречивой ветвью. В этом случае
формула является логически ложной. Например, формула ((A v В) & —1(—u4 id
В)) логически ложна, так как каждая ее ветвь содержит переменную вместе
с ее отрицанием:
А В
I I
-А -А
2. Существуют по крайней мере две ветви с общей нулевой
вершиной (вершиной, не содержащей формул и не продолжающей какую-либо
ветвь), одна из которых содержит в качестве единственного узла какую-
либо переменную, а другая также в качестве единственного узла содержит
ее отрицание. В этом случае формула является логически истинной.
Простейший пример логически истинной формулы указывает дерево:
А -А
3. Либо только некоторые ветви являются противоречивыми, либо ни
одна из ветвей не является противоречивой и не существует ни одной пары
ветвей с общей нулевой вершиной, одна из которых содержит
переменную, а другая — ее отрицание. В этом случае формула является
нейтральной.
Рассмотрим несколько примеров на определение логического вида
формулы.
Пример 1
Формула: {A v (В z> —Л)).

362
Дерево формулы:
А
Вид формулы: логическая истина. Формулы А и -лА являются
дизъюнктами с общей нулевой вершиной. Следовательно, по правилу 2 вся
формула — логическая истина.
Пример 2
Формула: -i(A zd(Av A)).
Дерево формулы:
-А
Вид формулы: логическая ложь. Рассматриваемая формула содержит
единственную ветвь, в которую в качестве конъюнктов входят формулы А
и —i^. Следовательно, по правилу 1 данная формула — логическая ложь.
Пример 3
Формула: ((A vB)d(Bv(^ A))).
Дерево формулы:
-А В -Л А
Вид формулы: логическая истина. Имеются три формулы А, А и —Л
(первое, третье и четвертое вхождения), которые являются дизъюнктами с
общей нулевой вершиной. Следовательно, по правилу 2 формула в целом
логически истинна.
Пример 4
Формула: (^зEэ(Ъ С))).
Дерево формулы:

363
-А -^В -А А
Вид формулы: логически нейтральная. Рассматриваемая формула не
является ни логической истиной, ни логической ложью. Следовательно, по
правилу 3 данная формула логически нейтральная.
Пример 5
Формула: (((A &(BvQ)z^A) = В),
Дерево формулы:
В S
-А -В А
Вид формулы: нейтральная. Правая ветвь рассматриваемой
формулы, начинающаяся с формулы —ьб, содержит в качестве конъюнктов
формулы -лА и А и поэтому представляет логически ложную подформулу
независимо от значений истинности формул В и С. Левая ветвь этой
формулы, начинающаяся с переменной В, разделяется на три ветви, две из
которых, заканчивающиеся формулами А и —А, нейтральны, а центральная
логически ложная. Наличие одной нейтральной формулы достаточно, чтобы
вся формула также считалась логически нейтральной.
Если дерево формулы содержит большое количество ветвей и/или
переменных, то для более быстрого определения вида формулы следует
использовать правила упрощения ее дерева, которые сформулированы в
следующем параграфе.
7. НАХОЖДЕНИЕ НЕТРИВИАЛЬНЫХ
СЛЕДСТВИЙ И ДОПУЩЕНИЙ
Если формула символизирует посылки какого-либо рассуждения, то
нас интересует, что из нее следует с необходимостью. Поскольку каждая

364
формула имеет бесконечное множество необходимых следствий, то нас
обычно интересуют лишь логически наиболее сильные из них, которые
принято называть нетривиальными следствиями.
Мы будем называть следствие нетривиальным, если оно логически
не подчиняется никакому другому следствию рассматриваемой формулы
(не является необходимым следствием какого-нибудь другого следствия
той же самой формулы).
Например, формулы А и {A v В) обе являются необходимыми
следствиями формулы {А & В). Но только формула А представляет
нетривиальное следствие (А & В), потому что формула (A v В) подчиняется А, то
есть представляет ее необходимое следствие (следовательно, формула (А
zd(Av В)) является логической истиной).
Каждое нетривиальное следствие — конъюнкт, представляющий
либо неповторяющуюся переменную (со знаком отрицания или без него),
либо кратную дизъюнкцию, не являющуюся логической истиной и также
состоящую из неповторяющихся переменных. Множество всех
нетривиальных следствий эквивалентно, следовательно, конъюнкции указанных
формул.
Обратной по отношению к нахождению нетривиальных следствий
является задача выявления нетривиальных допущений, при которых
истинна рассматриваемая формула.
Мы будем называть допущение какой-либо формулы
нетривиальным, если оно не подчиняется никакому другому допущению, из которого
следует эта формула. Частным случаем данной задачи является
восстановление пропущенных посылок.
При выявлении нетривиальных допущений используются те же
самые правила упрощения, что и для поиска нетривиальных допущений.
Конечная цель упрощения при поиске нетривиального допущения
состоит в том, чтобы получить формулу, имеющую вид дизъюнкции, в которой
нет одинаковых дизъюнктов, а в дизъюнктах нет повторяющихся
переменных: каждый дизъюнкт, то есть ветвь упрощенного дерева,
указывает допущение, при котором истинна рассматриваемая формула. В
качестве дизъюнктов выступают переменные или их конъюнкции.
Предельно простым допущением является какая-либо переменная или ее
отрицание.
Логически истинные и логически ложные формулы
рассматриваться не будут по причинам, указанным в предыдущем параграфе.
Процесс нахождения нетривиальных следствий и допущений
равносилен упрощению дерева формулы согласно следующим правилам.

365
У1. Дерево вида
X
или вида X . . . X
X
может быть заменено деревом вида X (см. равносильности A3) и A4) п. 4
соответственно).
Правило У1 допускает инверсию, то есть любое дерево вида X может
быть конъюнктивно или дизъюнктивно расширено неограниченное число
раз.
У2. Дерево вида
X X
I I
Y Z
может быть заменено на дерево вида
X
——- ——
Y Z
(см. равносильность A6) п. 4). Частные случаи правила У2:
(а) Деревья вида
X XX X X
I I I -
Y -,У Y X Y
можно заменить деревом, содержащим только формулу X, (см.
равносильности (9), A2) и (8) п. 4 соответственно);
(б) Дерево вида

366
X -X
I
Y
можно заменить деревом
X
(см. равносильность A1) п. 4).
Допускаются также следующие инверсии правила У2:
(а) Дерево вида
X
Z
может быть заменено на дерево вида
X X
I I
Y Z
Такая инверсия полезна при поиске нетривиальных допущений (см.
равносильность A6) п. 4).
(б) Дерево вида, где X и Y не являются противоречащими друг
другу формулами,
X
может быть заменено деревом с дополнительной ветвью вида
X X
I I
Z Y

367
Эта инверсия полезна для выявления дополнительных
нетривиальных следствий и допущений (см. равносильность A5) п. 4).
УЗ. Деревья вида
X
I и вида X
исключаются (как логически ложные и логически истинные формулы
соответственно).
У4. Деревья вида
X
I и вида X Y.
Y
можно заменять деревом вида
Y __
I и вида Y X
X
(см. равносильности A7) и A8) п. 4 соответственно).
Конечная цель упрощения дерева формулы — получить дерево,
эквивалентное исходному, но с наименьшим числом ветвей, исходящих из
общей вершины, и с наименьшим числом неповторяющихся переменных
или их отрицаний в каждой из ветвей. В этом состоит формальная сторона
поиска нетривиальных допущений и следствий заданных формул.
Возможные результаты упрощения формул и их расшифровка в
качестве нетривиальных следствий и допущений сводится к следующим
каноническим случаям.
A) Допустим, исходная формула в результате упрощения приведена
к виду: X.
Тогда переменная X является единственным нетривиальным
следствием и допущением исходной формулы.
B) Допустим, исходная формула в результате упрощения приведена
к виду:

368
X
I
Y
Тогда и переменная X, и переменная Y независимо друг от друга
являются нетривиальными следствиями исходной формулы. В качестве
нетривиального допущения выступает вся конъюнкция (X&Y).
C) Допустим, исходная формула в результате упрощения
приведена к виду:
X
I
Y
I
Z
Тогда каждая из трех переменных — Ху Y и Z является
нетривиальным следствием исходной формулы, конъюнкция из всех трех
переменных— ее нетривиальным допущением.
Ясно, что увеличение числа переменных на одной ветви ведет к
линейному росту числа нетривиальных следствий, но не числа допущений
исходной формулы.
D) Допустим, исходная формула в результате упрощения приведена
к виду:
X Y
Тогда дизъюнкция (X v У) является единственным нетривиальным
следствием исходной формулы. В качестве нетривиальных допущений
выступают переменные XhY.
E) Допустим, исходная формула в результате упрощения приведена
к виду:
X

369
Тогда переменная Xи дизъюнкция (Yv Z) являются нетривиальными
следствиями исходной формулы, а конъюнкции (X & У) и (X & Z) ее
нетривиальными допущениями.
Из рассмотренных примеров ясно, что в качестве нетривиальных
следствий формулы выступают переменные, расположенные либо на
одном уровне, либо на разных, но всегда принадлежащие разным ветвям
дерева формулы и поэтому соединенные знаком дизъюнкции (одиночная
переменная представляет вырожденный случай дизъюнкции и конъюнкции);
в качестве нетривиальных допущений — все переменные какой-либо одной
ветви, соединенные знаком конъюнкции. Множество всех ветвей,
исходящих из общей вершины, равно множеству всех допущений, из которых с
необходимостью следует данная формула.
F) Допустим, исходная формула в результате упрощения приведена
к виду:
Тогда дизъюнкции переменных всех уровней («этажей»), по одной
переменной из каждой ветви (для удобства чтения соединенных друг с
другом линиями, за исключением вертикальных), — (X v У), (X v W), (Z v
Y), (Z v W) представляют нетривиальные следствия исходной формулы.
Конъюнкции (X & Z) и (Y & W) будут представлять нетривиальные
допущения исходной формулы.
G) Допустим, исходная формула в результате упрощения приведена
к виду:

370
Тогда дизъюнкции переменных всех уровней, по одной из каждой
ветви, для удобства чтения соединенных друг с другом линиями, за
исключением вертикальных, — (Xv Yv Z), (Xv Y v Г), (Xv S v Z), (Iv5v
T), (Wv Yv Z), (Wv Yv 7), (Wv Sv Z), (Wv Sv T) представляют
нетривиальные следствия. Соответственно конъюнкции (X & W), (Y & S) и (Z &
7) будут нетривиальными допущениями данной формулы.
Рассмотренные случаи являются принципиальными и их
дальнейшее обобщение не вызывает трудностей. При поиске нетривиальных
следствий и допущений полезно помнить, что дерево правильно упрощенной
формулы не должно содержать противоречивых ветвей (конъюнкций),
потому что они являются всеобщими допущениями, то есть из них следует
все, что угодно; но может включать логически истинные дизъюнкции
переменных. Такие дизъюнкции исключаются из списка нетривиальных
следствий, потому что являются всеобщими следствиями, то есть следуют
из чего угодно.
Так как некоторые посылки умозаключения также попадают в число
нетривиальных следствий, то по соглашению они будут специально
отмечаться.
Рассмотрим несколько примеров нахождения нетривиальных
следствий и допущений согласно указанным правилам.
Пример 1
Формула: ((A v В) & (В z> A)).
Дерево формулы:
А В
-,5
Упрощенное дерево: А
Нетривиальное следствие и допущение: А.
Пример 2.
Формула: (((А & В) з С) & В).
Дерево формулы:
В
С

371
Упрощенное дерево:
В
-——-—
С
Нетривиальные следствия: В и {—A v Q. Нетривиальные допущения:
(В & А) или (В & Q.
Пример 3
Формула: ((С гэ А) & (А з В) & С).
Дерево формулы:
С
В
Упрощенное дерево:
С
А
I
В
Нетривиальные следствия: А, В и С. Нетривиальное допущение (А &
B&Q.
Пример 4
Формула: (М(Ь(Ь(Ь С)))).
Дерево формулы:
В
-Л -Л -,? С
Упрощенное дерево:

372
В
-а с
Нетривиальные следствия: В и (—A v С). Нетривиальные
допущения: (В & А) или (В & С).
Пример 5
Формула: (-,(Л &B)v (-Л & В & Q) &(-Лч -,((А &B)v
Дерево формулы:
-А
-А В -А В
I I
С
В
I
-А
Упрощенное дерево: —А.
Нетривиальное следствие и допущение: —А.
Поиск нетривиальных следствий тождественен дедуктивному
решению какой-либо задачи. Поиск нетривиальных допущений — нахождению
всех условий, при которых истинна рассматриваемая формула.
Рассмотрим несколько конкретных задач на поиск нетривиальных
следствий и допущений. (Задачи заимствованы из: Смаллиан P.M. «Как же
называется эта книга?» (М., 1981), «Принцесса или тигр?» (М., 1985),
«Алиса в стране смекалки» (М., 1987). Калбертсон Дж. Т. Математика и
логика цифровых устройств. М., 1965.).
Пример 6
Один из А и В — рыцарь (всегда говорит правду), а другой лжец
(всегда говорит ложь). А утверждает: «По крайней мере один из нас лжец».
Кто из них рыцарь, а кто лжец?
Для задач подобного типа примем соглашение: если какая-то буква
(А, В, ...) пишется без знака отрицания, то она обозначает рыцаря, если со
знаком отрицания — лжеца.

373
Формализация условий задачи дает следующий результат: (А & (—А
Эта формула дизъюнктивно объединяет два допущения:
А — рыцарь, и следовательно, то, что он говорит, правда, и А — лжец, и
следовательно, то, что он говорит, ложь. Утверждение А равносильно
формуле (—A v ^B).
Упрощенное дерево:
А
Нетривиальные следствия: (А & —&), то есть А — рыцарь, а В —
лжец.
Пример 7
Путник спросил у А: «Вы — рыцарь или лжец?». Тот ответил
неразборчиво. Тогда путник обратился к В: «Что сказал ^4?».
«А сказал, что он лжец», — ответил В,
«Не верьте В\ Он лжет!» — вмешался С.
Кто из В и С рыцарь и кто лжец? Если некто говорит о самом себе,
что он лжец, значит, он утверждает противоречие. Следовательно, то, что
сказал А, символизируется формулой: (А&-А). Полностью условия задачи
выражаются следующей формулой: ((С & —? & -л{А & —A)) v (-,С & В &
-,ЫА & -А)))У
Упрощенное дерево формулы:
Нетривиальные следствия: (С & -.Я), то есть С — рыцарь и В —
лжец.
Пример 8
Путник спросил у А: «Сколько рыцарей среди вас?». А ответил
неразборчиво. Тогда путник обратился к В: «Что сказал ^4?»
В ответил: «А сказал, что среди нас один рыцарь».
Тогда С закричал: «Не верьте В\ Он лжет!»
Кто из Я и С рыцарь и кто лжец?
Так как только рыцарь мог сказать, что среди них один рыцарь, то
утверждение А символизируется следующей формулой: (А&-В&-С). Пол-

374
ностью условия задачи выражаются формулой: ((С&—& &—A &-i(A &
& -,Q) v (-.С&В&А&-п(-п(А &^В &
Упрощенное дерево:
Нетривиальные следствия: (—А & -iB & С), то есть А и В — лжецы, а
С — рыцарь.
Пример 9
А говорит: «Я — лжец или В — рыцарь». Кто из А и В — рыцарь и
кто лжец?
Условия задачи символизируются следующей формулой: ((А & (—А
v(-u4&^(-u4v В))).
Упрощенное дерево:
В
Нетривиальные следствия: (А&В), то есть А и В — оба рыцари.
Пример 10
Из троих (А, В и С) один рыцарь, один лжец и один нормальный
человек (иногда говорит правду, иногда ложь). Кто кем является, если А
утверждает: «Я нормальный человек»; В его поддерживает: «Это правда»; С
называет себя ненормальным.
Изменим систему обозначений. Пусть Ар обозначает, что
А — рыцарь, Ан — что А — нормальный человек, Ал — что А — лжец. Для
остальных участников индексация такая же.
Утверждение А эквивалентно дизъюнкции (Ан v Ал), так как рыцарь
не может назвать себя нормальным человеком. Утверждение В
эквивалентно дизъюнкции (Вр v В„), так как в противном случае, то есть когда В
лжец, А должен быть рыцарем, что невозможно. Утверждение С
эквивалентно констатации истинности СР9 так как лжец не мог назвать себя
ненормальным человеком. Полностью условия задачи символизируются
следующей формулой: ((Ан v Ал) & (Вр v Вн) & Ср).

375
Упрощенное дерево (учитывая, что среди А, В и С только один
рыцарь, один лжец и один нормальный человек):
I
Ал
I
Вн
Нетривиальные следствия: (Ал & Вн & Ср), то есть ^4 — лжец,
В — нормальный человек, С — рыцарь.
Пример 11
Любой, кто желает жениться на принцессе, должен угадать, в какой
комнате она находится. Имеется две комнаты, в каждой из которых может
находиться либо принцесса, либо тигр. Это означает, что правильный
выбор гарантирует свадьбу, неправильный выбор — смерть. На двери каждой
комнаты висит табличка. На обеих табличках написано: «В обеих комнатах
находятся принцессы». Если в первой комнате принцесса, то надпись
истинная, если же тигр, то ложная. Если во второй комнате принцесса, то
надпись ложная, если же тигр, то истинная.
В какой из комнат (первой или второй) принцесса, а в какой тигр,
учитывая, что в одной из комнат находится принцесса, а в другой тигр?
Пусть П\ означает, что принцесса в первой комнате, П2 - что она во
второй. Соответственно Т\ означает, что тигр в первой комнате, и Т2 — что
тигр во второй. -Л\ или -i/72 будет обозначать отсутствие принцессы в
соответствующих комнатах, —iT\ или ->Г2 — отсутствие тигра в
соответствующих комнатах.
Условия задачи символизируется формулой: {П\ & Т2& П\& П2)) v
(П2 8сТх8с (-JTi v -J72)).
Упрощенное дерево:
Нетривиальные следствия: (П2& Т\), то есть принцесса находится во
второй комнате, тигр — в первой.
Пример 12
Королева Пик думает, что Король Пик думает, что она не в своем
уме. Кто из них в здравом уме, а кто нет (находящиеся не в своем уме обо

376
всем судят превратно)? Пусть переменная без знака отрицания обозначает
находящегося в не своем уме.
Пусть К обозначает Короля Пик и КР — Королеву Пик. Сначала
формализуем, что думает Король Пик: (К & —JCP) v (—J{ & КР).
Теперь формализуем, что думает Королева Пик: КР & -\(К & —J(P) v
(г^К & КР)) v {-ЖР & (К&^КР) v (-^К&КР)).
Упрощенное дерево формулы: К.
Нетривиальное следствие: Король Пик не в своем уме.
Пример 13
В здравом ли уме Грифон, Черепаха Квази и Омар, если известны
следующие их высказывания?
Омар: Грифон думает, что только один из нас в здравом уме.
Черепаха Квази: Грифон в здравом уме.
Пусть Г обозначает Грифона, Ч — Черепаху Квази, О — Омара.
Пусть переменная без знака отрицания обозначает находящегося не в
своем уме.
Сначала формализуем то, что думает Черепаха Квази: (Г & У) v (—lT
& -i4). Полученная формула означает, что черепаха Квази и Грифон либо
оба не в своем уме, либо оба в своем. Учитывая это обстоятельство, теперь
формализуем то, что говорит Грифон:
(Г& Ч-.ЦГ& -пО & Ч) v (-T& 0&4)v (Г& О & -,4)) v (^Г& -,*/
& ((Г& 40 & Ч) v (^Г& 0&4)v (Г& О & ^Ч)).
Упрощенное дерево того, что думает Грифон имеет следующий вид:
Г
О
Ч
Теперь формализуем то, что думает Омар: (О & -.(Г& О & Ч)) v (-,0
&(Г&0& Ч)).
Упрощенное дерево всей формулы (с учетом того, что Грифон и
Черепаха Квази думают одинаково):
О

377
Нетривиальное следствие: Омар не в своем уме, Грифон и Черепаха
Квази в своем.
Пример 14
Найти недостающие посылки для вывода формулы (В d Q из
формулы А. Образуем импликацию {A z> (В id Q). Строим и упрощаем дерево
этой формулы:
-тД С
Нетривиальные посылки: —u4, -iB или С.
Продемонстрированная техника вывода нетривиальных следствий и
поиска нетривиальных допущений или недостающих посылок позволяет
эффективно решать данные дедуктивные проблемы. Они характеризуют
ситуации, когда известны посылки и необходимо вычислить, что из них
следует, или заключения и необходимо вычислить те допущения
(посылки), из которых они следуют.
К дедуктивным проблемам относятся также ситуации, когда
известны и посылки и заключения, но требуется специальное доказательство
наличия между ними отношения логического следования, то есть
доказательство, что они образуют дедуктивное умозаключение. Как решать подобные
проблемы с помощью техники деревьев, объясняется в следующем
параграфе.
8. ПОНИЯТИЕ ДЕДУКТИВНОГО УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ
В ЛОГИКЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Общее представление о дедуктивном умозаключении было
изложено ранее (см. гл. IV, п. 1 и 2). Отличительная черта дедуктивных
умозаключений, рассматриваемых в логике высказываний, состоит в том, что в
них учитываются логические связи только между простыми
высказываниями. Внутренняя, то есть субъектно-предикатная, структура последних
игнорируется. Назначение дедуктивных умозаключений тем не менее
остается неизменным: с их помощью из посылок выводятся необходимые
следствия.
Каждое умозаключение, сформулированное в языке логики
высказываний, можно представить в виде кратной импликации
(Х,=>(Х2=>...(ХЯ=> Y)...)), A)

378
в которой антецедент Xh i = 1,2, ..., п, обозначает /-тую посылку, консек-
вент Y— заключение. Формула A) читается: если (истинны) Хи X2,...Jtm то
(истинно) Y. В качестве посылок и заключения могут фигурировать как
простые, так и сложные высказывания.
Пусть дана формула {{А & В) з (В з А)). Если в качестве Х\ взять {А
& В), а в качестве Y— формулу (В з А), то исходная формула сводится к
импликации вида (Х\ з У). Если же в качестве Х\ взять (А & В), в качестве
Х2 — формулу В, в качестве Y— формулу А, то исходная формула
принимает вид (Х\ з (Х2 з У)).
Мы будем говорить, что формула, представленная в виде кратной
импликации, выражает (правильное, корректное) дедуктивное
умозаключение, если и только если консеквент этой импликации является
необходимым следствием ее антецедентов. Доказательство этого факта мы будем
называть выводом заключения из посылок. Иными словами, доказать
какое-либо умозаключение, означает построить вывод его заключения из его
посылок. В соответствии с делением доказательств на прямые и косвенные
правила вывода также принято делить на прямые и косвенные.
Правила прямого вывода
Пусть рассматриваемое умозаключение представлено в виде кратной
импликации по формуле A8). Назовем деревом посылок дерево,
выражающее логическую структуру формулы (Х\ & Х2 & ... Хп), и деревом
заключения — дерево, выражающее логическую структуру заключения Y.
81. Если в результате упрощения дерево заключения воспроизводит
конъюнктивно входящую часть дерева посылок (для дерева с одною
ветвью — по крайней мере одну переменную; для деревьев с более чем одной
ветвью — по крайней мере одну переменную из каждой ветви), тогда
заключение следует из посылок с необходимостью.
82. Если в результате упрощения дерево посылок воспроизводит
дизъюнктивно входящую часть дерева заключения (по крайней мере одну
полную ветвь — от вершины до основание), тогда заключение следует из
посылок с необходимостью.
83. Если в результате упрощения дерево посылок и дерево
заключения воспроизводит одно и то же дерево (с одним и тем же количеством
ветвей и набором переменных или их отрицаний на каждой из них), тогда
посылки и заключение следуют друг из друга с необходимостью.
84. Если в результате упрощения в дереве посылок оказались
противоречивыми все ветви дерева, то независимо от вида дерева заключения
заключение следует из посылок с необходимостью.
85. Если умозаключение состоит только из заключения и если в
результате упрощения дерево последнего содержит хотя бы одну пару пере-

379
менных с общей нулевой вершиной, одна из которых является отрицанием
другой, тогда данное заключение является необходимым (логически
истинным).
В6. При всех других, кроме указанных в правилах В1-В5,
отношениях между упрощенными деревьями посылок и заключения заключение из
посылок не следует с необходимостью.
Рассмотрим несколько примеров прямого вывода.
Пример 1
1. Умозаключение: {{А & В) id A).
2. Посылка: (А & В),
3. Заключение: А.
4. Дерево посылок:
В
5.Дерево заключения: А.
6. Заключение следует из посылки согласно правилу В1.
Пример 2
1. Умозаключение: (^э (А & В)),
2. Посылка: А.
3. Заключение: (А & В),
4. Дерево посылок: А.
5. Дерево заключения:
В
6. Заключение не следует из посылки согласно правилу В6. Формула
(А & В) не является ни конъюнктивной, ни дизъюнктивной частью
формулы А, Формула (А & В) не эквивалентна формуле А, Формула А не является
противоречивой.
Пример 3
1. Умозаключение: (А з (A v В)),
2. Посылка: А,
3.Заключение: (^ v В),
4. Дерево посылок: А,

380
5. Дерево заключения:
В
6. Заключение следует из посылки согласно правилу В2.
Пример 4
1. Умозаключение: {{A vB)dA).
2. Посылка: {A v 5).
3. Заключение:^.
4. Дерево посылок:
А В
5. Дерево заключения: А.
6. Заключение не следует из посылки согласно правилу В6.
Пример 7 (Здесь и далее структурный знак => обозначает переход к
упрощенной форме дерева)
1. Умозаключение: {А = (А & А)).
2.Посылка: А.
3. Заключение: (А &А).
4. Дерево посылок: А.
5. Дерево заключения:
А
I => A
А
6. Заключение следует из посылки и посылка следует из заключения
согласно правилу ВЗ (посылка и заключение являются равносильными
формулами).
Пример 8
1. Умозаключение: (A = (Av A)).
2. Посылка: А.
3. Заключение: (A v А).
4. Дерево посылок: А,
5. Дерево заключения:

381
6. Заключение следует из посылки и посылка следует из заключения
согласно правилу ВЗ.
Данный и предыдущий примеры доказывают, что несколько
конъюнктивных или дизъюнктивных вхождений одной и той же переменной
равносильны ее единственному вхождению.
Пример 9
1. Умозаключение: {{{A vB)&(Av -,В)) = ((A &B)v(A& S))).
2. Посылка: ((A v B)&(Av
3. Заключение: ((A &B)v (А &
4. Дерево посылок:
В
5. Дерево заключения:
В S
6. Заключение следует из посылки и посылка следует из заключения
согласно правилу ВЗ.
Пример 10
1. Умозаключение: ((А =В) = ((A id В) & (В id A))).
2. Посылки: (А = В),
3. Заключение: ((A idB)&(Bz> A)),
4 . Дерево посылок:
А
I
В

382
5. Дерево заключения:
В
6. Посылка и заключение в равной мере следуют друг из друга
согласно правилу ВЗ.
Пример 11
1. Умозаключение: ((A id(B & —*В)) з —\А).
2. Посылки: А, (В & -п?).
3. Заключение: —Л.
3. Дерево посылок: 0
4. Дерево заключения: —Л.
5. Заключение следует из посылок согласно правилу В4.
Пример 15
1. Умозаключение: {{{А э5)&(ЬС))э(Ь С)).
2. Посылки: {A z> 5), E z> С).
3. Заключение: (^4 z> С).
4. Дерево посылок:
С
5. Дерево заключения:
-А С
6. Заключение следует из посылок согласно правилу В1.
Вывод заключения из посылок составляет смысл прямого
доказательства. Косвенное доказательство строится как вывод несовместимости
посылок с отрицанием заключения, которое вводится в качестве
допущения косвенного доказательства. К косвенному доказательству обращают-

383
ся тогда, когда прямое доказательство либо затруднительно, либо
невозможно.
Путь А обозначает посылку, В — заключение. Косвенно доказать,
что В следует из А, означает построить вывод формулы -п(А & —\В) —
неверно, что посылка А истинна, а заключение В ложно. Откуда делают
вывод, что допущение косвенного доказательства ложно и истинно, что
формула В логически следует А,
Пусть даны две произвольные формулы X и Y и построены их
упрощенные деревья. Мы будем называть конъюнктивным расширением
дерева формулы X деревом формулы Y построение дерева формулы (X &
У). В нижеследующих правилах косвенного вывода термин «дерево»
везде употребляется в смысле «упрощенное дерево».
Назовем ветвь дерева замкнутой, если она содержит хотя бы одну
переменную вместе со своим отрицанием. Каждая замкнутая ветвь —
противоречивая ветвь. Замкнутые ветви будут отмечаться знаком *.
Правило косвенного вывода
КВ1. Если в результате конъюнктивного расширения дерева посылок
деревом отрицания заключения каждая ветвь объединенного дерева
оказалась замкнутой, тогда заключение следует из посылок с необходимостью.
КВ2. При всех других результатах конъюнктивного расширения
дерева посылок, чем указано в КВ1, заключение не является необходимым.
КВЗ. Если умозаключение допускает прямое и обратное применение
правила КВ1, тогда его посылки и заключение представляют
равносильные формулы.
Рассмотрим несколько примеров косвенного доказательства.
Пример 1
1. Умозаключение: ((А з —A) z> —А).
2. Посылка: (A z> —A).
3. Заключение: —А.
4. Отрицание заключения: А.
5. Дерево посылок: —А.
6. Дерево отрицания заключения: А.
7. Объединенное дерево:
-Л
I
А

384
8. Единственная ветвь объединенного дерева замкнута.
Следовательно, заключение следует из посылок согласно правилу КВ1.
Пример 2
1. Умозаключение: (-А. zd(A^> -лА)).
2. Посылка: -лА.
3. Заключение: (А з —А).
4. Отрицание заключения: -\(А z> -А).
5. Дерево посылок: —А.
6. Дерево отрицания заключения: А.
7. Объединенное дерево:
-А
А
*
8. Заключение следует из посылок согласно правилу КВ1.
Нетрудно убедиться, что умозаключения из обоих рассмотренных
примеров допускают обратное применение правила КВ1. Следовательно,
их посылки и заключения равносильны друг другу.
Пример 3
1. Умозаключение: ((A dB)d((MQdE& С))).
2. Посылка: (A z> В),
3. Заключение: ((А & С) z> E & С)).
4. Отрицание заключения: -п((Л & С) z> (В & С)).
5. Дерево посылок:
-А В
6. Дерево отрицания заключения:
А
I
С

385
7. Объединенное дерево:
¦—¦
-Л В
I I
А А
I I
С С
I I
—\L> —\L>
* *
6. Заключение следует из посылок согласно правилу КВ1.
Пример 4
1. Умозаключение: ((A dB)^((^&Qd(B& С))).
2. Посылки: (А => 5), (Л & С).
3. Заключение: E & С).
4. Отрицание заключения: -.E & С).
5. Дерево посылок:
В
А
I
С
6. Дерево отрицания заключения:
7. Объединенное дерево:
В
I
А
I
С
-.С
*

386
8. Заключение следует из посылок согласно правилу КВ1.
Пример 5
1. Умозаключение: (((А & С) z> (В & С)) z> {A
2. Посылка: ((Л & С) z> (В & Q).
3. Заключение: (A id 5).
4. Отрицание заключения: -i(A z> 5).
5. Дерево посылок:
6. Дерево отрицания заключения:
7. Объединенное дерево:
В
А
I
* *
8. Средняя ветвь объединенного дерева не замкнута. Следовательно,
согласно правилу КВЗ, заключение не является необходимым.
Пример 6
Доказать прямым и косвенным способом следующее умозаключение.
«Если никто, кроме А, В и С, не участвовал в ограблении и если А не
виновен или В виновен, то С виновен, и если А не виновен, то С не виновен.
Следовательно, А виновен.»

387
Пусть вхождение какой-либо переменной без знака отрицания
означает виновность, а со знаком отрицания — невиновность. Тогда
приведенное умозаключение символизируется формулой:
Ш-iA v В) z> С) &
Прямое доказательство.
1. Посылки: ((^4 v В) z> С), (-н4 з
2. Заключение:^.
3. Отрицание заключения: —А.
4. Дерево посылок:
S С
5. Дерево заключения: А.
6. Заключение следует из посылок согласно правилу В1 (независимо
от виновности остальных участников А виновен бесспорно).
Косвенное доказательство.
1. Дерево посылок:
-? С
2. Дерево отрицания заключения: —А.
3. Объединенное дерево:
.В С
I I
-Л
* *
4. Заключение следует из посылок согласно правилу КВ1.

388
9. ОСНОВНЫЕ МОДУСЫ ПРАВИЛЬНЫХ
УМОЗАКЛЮЧЕНИЙ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Все умозаключения ЛВ принято делить на условные и
разделительные. Каждый из указанных классов имеет свои разновидности, или
модусы. Если модус умозаключения правильный, значит, соответствующая ему
формула представляет логическую истину (закон логики, тавтологию).
Ниже приводятся и иллюстрируются простейшие и наиболее
распространенные в практической аргументации модусы правильных умозаключений
логики высказываний. Проверка каждого из них с помощью таблиц
истинности или метода деревьев предоставляется читателю в качестве
самостоятельного упражнения.
Условные умозаключения
Условно-категорическим умозаключением называют умозаключение,
одна из посылок которого представляет категорическое высказывание, а
другая — условное (импликативное) высказывание.
Условно-категорические умозаключения делятся на две разновидности: modus ponens
(утверждающий способ рассуждения) и modus tollens (отрицающий способ
рассуждения).
В утверждающем модусе доказывается истинность первого
антецедента условной связи для того, чтобы доказать истинность ее последнего
консеквента (следствия). В отрицающем модусе, наоборот, доказывается
ложность последнего консеквента условной связи с тем, чтобы доказать
ложность ее первого антецедента.
Формула утверждающего модуса условно-категорического
умозаключения:
в
Пример: «Если сегодня понедельник, будет лекция по логике. Но
сегодня действительно понедельник. Значит, сегодня будет лекция по
логике».
Формула отрицающего модуса условно-категорического
умозаключения:
{A id B\
-А

389
Пример: «Если число три четное, оно должно делиться на два без
остатка. Но число три не делится на два без остатка. Значит, число три
нечетное».
Разделительные умозаключения
Разделительно-категорическим умозаключением называют
умозаключение, одна из посылок которого представляет категорическое
высказывание, а другая — разделительное высказывание. Разделительно-
категорические умозаключения принято делить на две разновидности:
modus ponendo tollens (утверждающе отрицающий способ рассуждения) и
modus tollendo ponens (отрицающе утверждающий способ рассуждения).
В утверждающе отрицающем модусе доказывается истинность одной
из альтернатив для того, чтобы опровергнуть все остальные. В отрицающе
утверждающем модусе, наоборот, доказывается ложность некоторых
альтернатив с тем, чтобы доказать истинность всех остальных.
Формула утверждающе отрицающего модуса разделительно-
категорического умозаключения:
(А т В\ В
Пример: «Подброшенная монета выпадет либо гербом, либо цифрой.
Она выпала гербом. Значит, она не выпала цифрой».
Формула отрицающе утверждающего модуса разделительно-
категорического умозаключения:
{А ± В\
Пример: «Отсюда можно выйти либо через дверь, либо через окно.
Но дверь заперта снаружи. Значит, отсюда можно выйти только через
окно».
Условно-разделительные умозаключения
Условно-разделительным умозаключением называют умозаключение,
посылки которого состоят из нескольких условных и одного
разделительного высказывания. Подобные умозаключения используют тогда, когда

390
предстоит сделать выбор из нескольких вариантов действий, способов
решения задач и т. п. В зависимости от числа дизъюнктов (альтернатив)
разделительной посылки различают дилеммы (две альтернативы), полилеммы
(число альтернатив более двух). Для простоты изложения ограничимся
здесь дилеммами. Последние принято делить на простые и сложные,
конструктивные и деструктивные.
Формула простой конструктивной дилеммы:
{А
С
Пример: «Если изучать логику, требуется время и терпение. Если
изучать английский язык, также требуется время и терпение. Необходимо
изучать логику или английский язык. Значит, требуется время и терпение».
Формула сложной конструктивной дилеммы:
(А эС),(й з D), {A v В)
(CvD)
Пример: «Если плыть по реке, нужны лодки. Если ехать по шоссе,
требуются велосипеды. Необходимо плыть по реке или ехать по шоссе.
Значит, требуются лодки или велосипеды».
Формула простой деструктивной дилеммы:
(А з В), (А з С), (^g v -,Q
Пример: «Если сегодня понедельник, то будет лекция по логике.
Если сегодня понедельник, то будут занятия по английскому языку. Но
сегодня не будет логики или не будет занятий по английскому языку. Значит,
сегодня не понедельник».
Формула сложной деструктивной дилеммы:
{A z>Q9(B рД),Ку
V

391
Пример: «Если книга интересна, то она читается быстро. Если книга
полезна, то она читается постоянно. Но книга не читается быстро или не
читается постоянно. Значит, книга не интересна или не полезна».
Правило дедукции (введение импликации)
Если тезис имеет импликативную форму вида {А з В), то для его
обоснования достаточно доказать, что его консеквент (высказывание В)
выводим из конъюнкции множества аргументов а и его антецедента
(высказывания А). Умозаключение, позволяющее это сделать, называется
правилом дедукции.
Формула правила дедукции:
а, А V В
а \-(АиВ)
Пример: «Если из того, что это число кратно 2 и 15 (а) и делится на
10 (А), доказуемо, что это число делится на 6 (В), тогда утверждение, что
если это число делится на 10, то оно делится на 6 (A zd В), доказуемо
только из того, что это число кратно 2 и 15 (а)».
Рассуждение от противного
Для обоснования выводимости вида ah p часто допускают ложность
тезиса р, то есть истинность формулы -ip, и проверяют, совместимо ли -.р
с множеством аргументов а. Если оказывается, что формула —ip
несовместима с аргументами а (конъюнкция а и —ip противоречива), тогда делают
вывод об истинности указанной выводимости. Такое рассуждение лежит в
основе косвенного вывода (косвенного доказательства).
Формула рассуждения от противного:
a,
а h р
Пример: «Чтобы доказать, что если сегодня понедельник, то завтра
вторник, можно рассуждать так. Допустим, завтра не вторник. Но это
допущение несовместимо с истинным утверждением, что сегодня
понедельник. Значит, завтра действительно вторник (если сегодня понедельник)».

392
Приведение к абсурду
Если требуется опровергнуть тезис р, тогда подбираются такие
истинные аргументы а, с помощью которых можно вывести из конъюнкции
(а & р) противоречие. Если это удается, тогда тезис р считается
опровергнутым (относительно приведенных аргументов а).
Формула приведения к абсурду.
а,
а Ь
Пример: «Если необходимо доказать, что сегодня не вторник,
допускаем временно, что на самом деле сегодня вторник. Из этого допущения и
множества аргументов, из которых следует, что вчера было воскресенье,
выводим противоречие ( сегодня понедельник и сегодня вторник. Значит,
принятое допущение неверно, а верно его отрицание ( сегодня не
вторник».
Разбор случаев
Если из допущения А выводимо следствие С, из допущения (случая)
В выводимо следствие С, тогда истинно, что следствие С выводимо из
дизъюнкции допущений {A v В). Сказанное означает, что доказательство
выводимости тезиса С из сложного аргумента {A v В) можно свести к
доказательству его выводимости из отдельных дизъюнктов — А к В, что и
называется доказательство посредством разбора случаев.
Формула разбора случаев:
А Ь С
BV С
(AvB)\- С
Пример: «Если сегодня понедельник, то завтра не четверг. Если
сегодня вторник, завтра не четверг. Значит, если сегодня понедельник или
вторник, то завтра не четверг».

393
10. ЯЗЫК ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ (ПЕРВОГО ПОРЯДКА)
Если мы попытаемся с помощью логики высказываний доказать
корректное умозаключение «Каждый человек любит кого-нибудь. Я —
человек. Следовательно, я люблю кого-нибудь», то у нас не получится вывода.
Причина этой неудачи — в игнорировании логикой высказываний субъ-
ектно-предикатной структуры простых высказываний. Возникает вопрос:
возможна ли логика, сохраняющая все достоинства логики высказываний и
одновременно позволяющая делать выводы, учитывающие внутреннюю
структуру простых высказываний? Логика предикатов является той
минимальной логической системой, которая позволяет делать такие выводы.
Пусть дан некоторый универсум U. Образующие его вещи обладают
свойствами и находятся в разнообразных отношениях друг с другом.
Чтобы конструировать высказывания о свойствах вещей и их отношениях,
необходимо расширить алфавит логики высказываний новыми знаками.
Прежде чем такое расширение произвести, выскажем несколько
предварительных замечаний.
Если мы хотим обозначить высказывание, чья субъектно-преди-
катная структура нас не интересует, мы будем использовать известные из
логики высказываний пропозициональные переменные А, В, С,...
Допустим, мы хотим сказать, что некоторая вещь обладает
свойством А. Здесь различаются два случая: 1) собственное имя данной вещи
известно и 2) собственное имя данной вещи не известно. Для первого случая
мы будем использовать знаки ау Ь, с,... Для второго случая мы будем
использовать знаки х, у, z,... Выражение Аа читается: «вещь а из универсума
U обладает свойством А». Выражение Ах читается «произвольная вещь х из
универсума U обладает свойством А». Фундаментальное различие между
обоими случаями состоит в том, что выражение вида А а, АЪ,...мы можем
оценивать как истинные или ложные, а выражения вида Ах, Ау, ... не
можем. Например, пусть U = пищевые продукты, А = сладкий, а = сахар, Ъ =
соль. Тогда выражение Аа - « сахар сладкий», истинно, а выражение АЪ =
«соль сладкая» ложно. Но сказать, что Ах = «произвольный пищевой
продукт сладкий» истинно или ложно мы не можем, так как не знаем, о каком
пищевом продукте идет речь. Знак х обозначает любую съедобную вещь,
или как говорят, «пробегает» все вещи рассматриваемого универсума. По
этой причине знаки х, у, z,... принято называть индивидными
переменными, на место которых может быть подставлено любое имя собственное
вещи из данного универсума. Соответственно знаки а, Ьу с,... принято
называть индивидными константами, подставляемыми вместо индивидных
переменных и превращающих выражения логики предикатов в истинные или
ложные высказывания.

394
Допустим, мы хотим сказать, что некоторая вещь находится в
определенном отношении к другой вещи. Здесь также различаются указанные
выше два случая. Выражение вида Аху означает «произвольные вещи х и у
из универсума U находятся в отношении А друг к другу». Сказать о Аху,
истинно оно или ложно, мы не можем, так как не известно, какие вещи
обозначают переменные х и у. Пусть U = числа, а = 3, b = 4, А = больше.
Тогда неопределенное с истинностной точки зрения выражение Аху
превращается в ложное высказывание АаЪ = 3 больше 4.
Выражения вида Ах принято называть одноместными предикатами.
Их отличительная особенность в том, что они обозначают свойства вещей.
Выражения вида Аху принято называть двухместными предикатами. Их
особенностью является то, что они обозначают бинарные отношения.
Возможно существование ^-местных предикатов вида Ап, обозначающих п-
местные отношения.
Из сказанного ясно, что предикаты — это логические функции,
отображающие собственные имена вещей (индивидные константы) в
множество логических значений {и, л}.
Пусть универсум состоит из трех вещей, каждая из которых имеет
свое имя, U ={а, Ь, с). Если мы хотим сказать, что все вещи нашего
универсума обладают свойством А, то это можно сделать двумя способами.
Во-первых, можно построить конъюнкцию: (Аа & АЪ & Ас), которая
истинна, если и только если истинны все ее члены. Во-вторых, можно
использовать специальное сокращение, называемое квантором
(все)общности и ставящееся перед тем выражением, количественную
характеристику которого оно определяет: (х)Ах.
Выражение (х)Ах читается «каждый х обладает свойством А», «для
всех х имеет свойство А». Выражение -i(x)A читается «неверно, что
каждый х обладает свойством А».
Если мы хотим сказать, что некоторые вещи из нашего универсума
обладают свойством А, то также можем сделать это двумя способами. Во-
первых, можно построить дизъюнкцию (Аа v Ab v Ac), которая истинна,
если и только если истинен по крайней мере один ее член. Во-вторых, мы
можем использовать специальное сокращение, называемое квантором
существования и ставящееся перед тем выражением, количественную
характеристику которого оно определяет: (Ех)Ах.
Выражение (Ех)Ах читается «существует такой х, который обладает
свойством А», «по крайней мере для одного х имеет место А». Выражение
-i(Ex)Ax читается «неверно, что существует такой х, который обладает
свойством Л».
Алфавит логики предикатов включает знаки следующего вида.
1. Знаки для обозначения высказываний: А, В, С,..., Аи Ви С\...
2. Знаки для обозначения логических союзов:

395
«—I» — знак отрицания;
«&» — знак конъюнкции;
«v» — знак дизъюнкции;
«з» — знак импликации;
«=» — знак эквивалентности»;
— знак исключающей дизъюнкции.
3. Знаки для обозначения /7-местных предикатов: Ап9 Вп, С, А\9 В\п,
СД...,и>1
4. Знаки для обозначения индивидных переменных: х, у, z,..., х\9 у\9
z\>...
5. Знаки для обозначения индивидных констант (имен собственных):
а, Ь, с, ..., аи Ь\9 сь ...
6. Знаки для обозначения кванторов общности и существования: (х),
(Ех)
7. Знаки для обозначения /7-местных функций: / g, h, ...9f\9g\9h\,...
h — знак дедуктивной выводимости, разделяющий
последовательности формул на посылки и заключения (читается как «формулы слева
необходимо следуют из формул справа»).
* — знак замыкания (знак противоречивости какой-либо ветви
дерева формул; обозначает невыполнимость данной ветви).
8. Технические знаки:
(— левая скобка;
) — правая скобка;
, — запятая.
Иных знаков, кроме указанных в пп. 1-8, в логике предикатов нет.
В логике предикатов понятие субъекта заменяется понятием терма.
Более точно терм определяется следующим образом:
1. Индивидная константа есть терм.
2. Индивидная переменная есть терм.
3. Если/— /7-местный функциональный знак и t\9...9tn — термы, то
flti, ...Л) — терм.
4. Никаких других термов, кроме указанных в пп. 1-3, в логике
предикатов нет.
Формулы логики предикатов порождаются согласно следующему
определению:
1. An(t\,...Jn), где Ап — /7-местный предикат, t\,...Jn — произвольные
термы, есть формула логики предикатов.
2. Пропозициональная переменная есть формула логики предикатов.

396
3. Если А и В — формулы логики предикатов и х индивидная
переменная, то -А, {А & 5), (A v В), (А з В\ {А = В), (А ? В\ (х)А, (Ех)А —
формулы логики предикатов.
Иных формул, кроме указанных в пп. 1-3, в логике предикатов нет.
В формулах вида (х)А и (Ех)А выражение А, которое может и не
содержать переменной х, называется областью действия соответственно
кванторов общности и существования. В формуле (х)(Еу)Аху областью
действия квантора существования (Еу) является выражение Аху9 областью
действия квантора общности (х) — выражение (Ех)Аху. В формуле {х){Ах з
Вх) областью действия квантора общности (х) является выражение (Ах z>
Вх).
Назовем вхождение индивидной переменной х связанным, если и
только если х совпадает с вхождением в квантор (х) или (Ех), или
находится в области действия по крайней мере одного из них. Всякое иное
вхождение переменной х называется свободным.
В формуле (х)Аху переменная х связана, а переменная у свободна.
Одна и та же переменная может входить в формулу свободно и связанно
одновременно. Например, в формуле (х)Аху & (у)Ву переменная у входит
свободно в конъюнкт (х)Аху и связанно в конъюнкт (у)Ву.
Если некоторая формула содержит вхождения свободных
переменных, то на их место могут подставляться термы. Пусть A(xlt) обозначает
операцию подстановки терма t на место свободной переменной х в
формуле Ах. Результатом подстановки становится формула At. Итак, A(xli) <-> At.
Чтобы подстановка оказалась правильной, необходимо выполнить
следующие условия.
1. Если t — индивидная константа, то подстановка проводится без
ограничений.
2. Если t — индивидная переменная, то ни одно вхождение t не
должно оказаться связанным в результате подстановки t на место
переменной х в Ах.
Подстановка (x)Ax(ylz) = (x)Axz является правильной. Подстановка
(х)Ах(у/х) = (х)Ахх является неправильной, так как подстановка терма
(переменной) х на место переменной^ оказалось связанным.
В логике высказываний для определения вида формулы достаточно
построить ее таблицу истинности, то есть достаточно рассмотреть все
возможные распределения логических значений, образующих ее переменных.
В логике предикатов этого недостаточно, так как кроме
пропозициональных переменных ее формулы содержат предикатные символы, индивидные
переменные и константы, функциональные символы и кванторы общности
и существования. Каждый из этих знаков интерпретируется особым обра-

397
зом. Мы будем говорить, что формула логики предикатов имеет
интерпретацию, если и только если:
1. Задан универсум интерпретации U.
2. Каждой индивидной константе поставлен в соответствие
некоторый элемент (вещь) U.
3. Каждому /7-местному предикатному символу Ап поставлено в
соответствие некоторое свойство или /7-местное отношение между элементами
U.
4. Каждому /7-местному функциональному символу поставлено в
соответствие отображение из If в U (то есть поставлена в соответствие
упорядоченная /7-ка элементов U, соответствующая результату выполнения п-
местной операции на элементах универсума U).
5. Каждой пропозициональной переменной приписано некоторое
логическое значение — «истина» или «ложь».
6.Каждая свободная переменная заменена некоторой индивидной
константой.
7. Индивидные переменные пробегают по всем элементам
универсума U.
Если некоторая формула получила интерпретацию, то, согласно
следующим правилам, можно вычислить ее логическое значение.
1. Логические значения формул вида —А, (А & В), (A v В), (A z> В), (А
= В), (А ? В) вычисляются согласно правилам логики высказываний
(таблицам истинности соответствующих знаков).
2. (х)Ах получает значение «истина», если и только если формула Ах
получает значение «истина» для каждого элемента U; в противном случае
(х)Ах получает значение «ложь».
3. Ех)Ах получает значение «истина», если и только если формула Ах
получает значение «истина» хотя бы для одного элемента U; в противном
случае (Ех)Ах получает значение «ложь».
4. Формула вида An(t\,...,tn)9 где tx - /-тый терм, / = 1, 2,..., /7, получает
значение «истина», если и только если упорядоченная я-ка элементов
универсума С/, соответствующая набору < t\9...,tn>, принадлежит области
значений отношения Ап (свойства, если п = 1). В противном случае данная
формула получает значение «ложь».
Формула логики предикатов считается выполнимой, если и только
если она истинна хотя бы при одной интерпретации; является логической
истиной, если и только если истинна при всех интерпретациях; является
логической ложъю, то есть невыполнимой, если и только если она ложна
при всех интерпретациях.
В отличие от логики высказываний формализация выражений
естественного языка средствами логики предикатов представляет более
сложную задачу.

398
Рассмотрим в этой связи несколько примеров.
Пример 1
а, Ъ, с — имена спортивных команд (индивидные константы). А2 =
выиграл (двухместный предикат).
а выиграл у b\ A ab.
Ъ выиграл у а: А2Ьа.
а выиграл у Ъ и Ъ выиграл у с: (A2ab & А2Ьс).
а выиграл у Ъ или с: (A2ab v A2ac).
а выиграл либо у Ъ, либо у с: (A2ab ? А 2ас).
Если а выиграл у Ъ, то с выиграл у a: (A2ab z> A2ca).
Ъ не выиграл у с, но выиграл у а: {-лА2Ьс & А2Ьа).
Пример 2
U = люди, х = индивидная переменная, А = теряющий, В =
находящий, С = счастливый.
Все обладают свойством терять: (х)Ах.
Некоторые обладают свойством терять: (Ех)Ах.
Некоторые не обладают свойством находить: (JEjc) -iBx.
Не все счастливы: —i (x)Cx.
Никто не счастлив: (х) -.Сх.
Неверно, что некоторые не обладают свойством терять: -\(Ех)—Ах.
Все либо теряют, либо находят: (х)(Ах Ф Вх).
Либо все теряют, либо все находят: (х)Ах ? (х)Вх.
Если некоторые теряют, то все находят: (Ех)Ах z> (x)Bx.
Каждый теряющий и находящий счастливы: (х)((Ах & Вх) z> Cx).
Все теряющие есть находящие: {х){Ах z> Вх).
Некоторые теряющие не являются счастливыми: (Ех)(Ах & —лСх).
Только теряющие есть находящие: (х)((Ах id Вх)&( -лАх z> -iBx)).
Только некоторые находящие счастливы: (Ех)(Вх&Сх) & (Ех)(Вх
&—iCjc) или (jc)(Cjc з Вх).
Пример 3
U = люди; х, у — индивидные переменные; Аху = х любит у (здесь и
далее показатель местности отношения опускается, так как он дублируется
числом индивидных переменных или констант, приписываемых
пропозициональной букве в качестве аргументов).
Каждый любит каждого: (х)(у)Аху.
Не каждый любит каждого: -i(x)(y)Axy.
Каждый любит не каждого: (х) —\(у)Аху.

399
Не каждый любит не каждого: —i(x) —\(y)Axy.
Никто не любит всех: (х)(у) -лАху.
Не все не любят всех: —i(jc)(y) --Аху.
Не все не любят не всех: —i(x) —.(у) —Аху.
Все любят кого-нибудь: (х)(Еу)Аху.
Не все любят кого-нибудь: —\(х)(Еу)Аху.
Неверно, что кто-нибудь любим всеми: (х) -i(Ey)Axy.
Все не любят кого-нибудь: (х)(Еу) -Аху.
Кто-нибудь нелюбим не каждым: —\(х)(Еу) —Аху.
Неверно, что кто-нибудь не любим не каждым: -i(jc) -у(Еу) -Axy.
Кто-нибудь любит кого-нибудь: (Ех)(Еу)Аху.
Неверно, что кто-нибудь любит кого-нибудь: —л(Ех)(Еу)Аху.
Неверно, что кто-нибудь любим кем-нибудь: (Ex) -i(Ey)Axy.
Неверно, что кто-нибудь любит кого-нибудь, и неверно, что кто-
нибудь любим кем-нибудь: —(Ех ) —\(Еу)Аху.
Кто-нибудь не любит кого-нибудь: (Ех)(Еу) —Аху.
Неверно, что кто-нибудь не любит кого-нибудь: —л(Ех)(Еу) —Аху.
Неверно, что кто-нибудь нелюбим кем-нибудь: (Ех) -^(Еу) -Аху.
Неверно, что кто-нибудь не любит кого-нибудь и неверно, что кто-
нибудь не любим кем-нибудь: -(Ех) -^(Еу) --Аху.
Пример 4
U = люди; х, у — индивидные переменные; я, Ъ — инди- видные
константы; Аху = х — учитель у.
Если а учитель Ь, то а чей-то учитель: АаЪ з (Еу)Аау.
Если а учитель 6, то Ъ чей-то ученик: АаЪ з (Ех)АхЬ.
Каждый чей-то учитель и чей-то ученик: (х)(Еу)Аху & (Ех)(у)Аху
Или Ъ ученик а, или Ь свой собственный ученик: АаЬ v Abb.
Если все свои собственные учителя, то а свой собственный учитель и
Ъ свой собственный учитель: {х)Ахх з (Ааа & Abb).
Каждый — учитель кого-нибудь тогда и только тогда, когда кто-
нибудь — ученик каждого: (х)(Еу)Аху = (Еу)(х)Аху.
Неверно, что если а не учитель 6, то Ъ не чей-то ученик:
-.(-АаЬ з -,(Ех)АхЬ)
Пример 5
1. Некоторые студенты выполняют все задания: Ех)(Ах & (у)(Ву з
Сху\ где U = вещи; Ах = х — студент, By = у — задание, Сху = х выполняет
У-

400
2. Только Гегель понимал «Науку логики»: АаЪ & (х)((х # a) z>
—ЛхЪ)), где U = вещи; а = Гегель, Ъ = «Наука логики», Аху = х понимал у,
(х = у) = х тождественен у.
3. Все, кроме равнодушных, любят кого-нибудь: (х)((Ах & —i5y) z>
Cry), где U = существа; Ах = х — человек, By = у — равнодушное
существо, Сху = х любит у.
4. Существует по крайней мере одна вещь со свойством А:
(Ех)Ах, где U= вещи; Ах = х обладает свойством А
5. Существует точно одна вещь со свойством А: (Ех)(Ах & (у)(Ау z> (x
= у)), где U = вещи; Ах = х обладает свойством А, Это означает, что
существует по крайней мере одна вещь со свойством А и что таких вещей самое
большее — одна.
6. Существует самое большее одна вещь со свойством А:
(х)(Ах id (y)(Ay z> (х = у))), где С/= вещи; Ах = х обладает свойством А,
7. Существует не более двух вещей со свойством А: (х)(у)((Ах & Ау)
& (хфу)) & (z)(Az zd ((r = z) v (y = z)))), где U= вещи; Ах = х обладает
свойством А. Значит, если две произвольные вещи х и у обладают свойством А
и при этом не равны друг другу, то каждая вещь z со свойством А равна
либо х, либо^.
Рассмотрим несколько задач на удаление кванторов в формулах,
интерпретируемых в универсуме с фиксированным числом индивидов.
Такую процедуру принято называть расширением формул.
Пример 6
1. Построить расширение формулы (х)(у)Аху в U= {a, b}.
Подставляя вместо переменной х в выражение (у)Аху константы а и Ъ
и соединяя их знаком конъюнкции, получаем сначала формулу (у)Аау &
(у)АЬу. Поступая аналогично в отношении переменной у, получаем
окончательную формулу (Ааа & АаЪ) & (Aba & АЬЬу\ свободную от кванторов
всеобщности.
2. Построить расширение формулы (Ех)(Еу)Аху в U = {а, Ь}.
Подставляя вместо переменной х в выражение (Еу)Аху константы а и Ъ и
соединяя их знаком дизъюнкции, получаем сначала формулу (Еу)Аау v
(Ey)Aby. Поступая аналогично в отношении переменной у, получаем
окончательную формулу (Ааа v АаЪ) v (Aba v Abb), свободную от кванторов
существования.
3. Построить расширение формулы (х)(Еу)Аху в U= {a, b}. Сначала
получаем формулу (Еу)Аау & (Еу)АЬу. Затем — формулу (Ааа v АаЪ) &
(Aba v Abb).
4. Построить расширение формулы (Еу)(х)Аху в U= {a, b). Сначала
получаем формулу (х)Аха v (x)Axb. Затем — формулу (Ааа & Aba) v (АаЪ

401
& Abb). Так как дизъюнкция и конъюнкция дистрибутивны относительно
друг друга, то последняя формула равносильна формуле ((Ааа v Aab) &
(Ааа v Abb) & (Aba v ^4я6) & (А6я v Abb)). Сравнивая расширения формул
(x)(Ey)Axy и (?у)(х)^4ху для одного и того же универсума, делаем вывод,
что импликация (х)(Еу)Аху z> (/у/)(хLху логически истинна, а обратная ей
нет. Значит, перестановка местами кванторов в одной и той же формуле
меняет, как правило, ее логический смысл.
Рассмотрим несколько примеров вычисления логических значений
формул логики предикатов при фиксированной интерпретации их знаков.
Пример 7
1. Вычислить логическое значение формул (х)Ах, (Ех)Ах при
следующей интерпретации: ?/={1,2}, Ах = х — четное число, А(\) = л, АB) =
и. Получаем: (х)Ах = А(\) & АB) = л & и = л, (Ех)Ах = A(\)v АB) = л v и =
и. Так как не для каждого значения х формула (х)Ах истинна, то в данной
интерпретации она ложна. С другой стороны, формула (Ех)Ах в данной
интерпретации истинна, так как она истинна при х = 2.
2. Вычислить логическое значение формулы (х)(Еу)Аху при
следующей интерпретации: U— {а, Ь}, Аху = х любит у, Ааа = и, Aab = л, Aba =
л, Abb = и. Допустим, х = а. Тогда (Еу)Аау = Ааа v Aab = и v л = и.
Допустим, х = Ь. Тогда (Ey)Aby = Aba v Abb = л v и = и. Следовательно,
(х)(Еу)Аху = ((Ааа v АаЪ) & (Aba v Abb)) = и&и = и.
Таким образом, при указанной интерпретации формула (х)(Еу)Аху
истинна для каждого значения х. Следовательно, она истинна в данной
интерпретации.
3. Вычислить логическое значение формулы (Ех)Ах з (х)Ах при
следующей интерпретации: U= {\,2},Ах = х — нечетное число, А(\) = и, АB)
= л. (Ех)Ах = A(l) v АB) = и^л = и. (х)Ах = А(\) & АB) = и &л=л.
Следовательно, (Ех)Ах zd (х)Ах = и^л=л.
Таким образом, при данной интерпретации рассматриваемая
формула неверна, так как ее антецедент истинен, а консеквент ложен в данном
универсуме.
4. Вычислить логическое значение формулы АаЪ id (Ex)(Ey)Axy при
следующей интерпретации: U= {а, 6}, Аху = х учитель у, Ааа = л, АаЬ = и,
АЪа = л, Abb = л. (?х)(Ду)^ху = (Ляя v Aab v Лбя v Л66) = лч uv лч л = и.
Следовательно, ^4я6 z> (?х)(?^)^ху = uzi и = и.
Таким образом, при указанной интерпретации рассматриваемая
формула истинна.
5. Вычислить логическое значение формулы (у)(Ех)Аху id (Ex)(y)Axy
при следующей интерпретации: U= {1, 2}, Аху = х больше^, А(\, 1) = А(\9
2) = АB, 2) = л, АB, 1) = и. (у)(Ех)Аху = (Ех)Ах(\) & (Ех)АхB) = (A(l, \) v

402
АB, 1)) & (Д1, 2) v АB9 2)) = (л v u) & (л v л) = w & л = л. (?
О)ЛA)у v (у)ЛB)у - (ЛA, 1) & ЛA, 2)) v (АB, 1) & ЛB, 2)) = (л & л) v (и &
л) = л vл = л. (у)(Ех)Аху id B?c)(y);4jty = л id л = и.
Таким образом, при указанной интерпретации данная формула
истинна. Очевидно, что обратная ей формула также истинна.
6. Вычислить логическое значение формулы (у)(Ех)Аху z> (Ex)(y)Axy
при следующей интерпретации: U= {1,2}, Аху = х равное, A(l, 1) = и,АA,
2) = АB, 1) = л, АB, 2) = w. (у)(?г)Лху = (Ех)Ах(\) & (Ех)АхB) = {А{\9 I) v
, 1)) & (Д1, 2) v ^B, 2)) = (и v л) & (л v w) = и & w = м. (?х)(у)Лху =
v (уМB> = (АA9 1)&АA, 2)) v (АB, 1)&АB9 2)) = (w & л) v (л &
и) = л v л = л. (y)(?jc)^4xy id (?х)(уLху = и^л = л.
Таким образом, при указанной интерпретации данная формула
неверна. Однако ей обратная формула истинна. Следовательно, перестановка
местами кванторов существования и всеобщности не всегда порождает
эквивалентные суждения. На результат перестановки кванторов
существования и всеобщности решающее влияние оказывает сочетание двух
факторов: конечен или бесконечен универсум и симметрично или асимметрично
рассматриваемое отношение.
7. Вычислить логическое значение формулы (Ех)(Ах z> Bf(x)a) при
следующей интерпретации: С/= {1, 2}, а = l.flx) = х — 1, если х — четное
число и Дх) = х + 1, если х — нечетное число, Ах = х — нечетное число,
BJ{x)a = \f(x) = а]. Откуда следует, чтоД1) = 2, Д2) - 1, А{\) = и, АB) = л,
5A, 1) = и, 5B, 1) - л. (Ег)(Л* з ВЯх)а) = ((ЛA) id Я/1, 1)) v (AB) id 5/2,
1))) = (и zd и) v (л з л) = uv и = и.
Таким образом, рассматриваемая формула в данной интерпретации
истинна.
8. Вычислить логическое значение формулы (x)(Aflx)vB(xf{a)) при
интерпретации, указанной в предыдущем примере, к которой мы добавим
5A, 2)-л. При* = 1 (x)(AJ[x) vBWLa)) = AAl)vB(l9/Ll)) = AB) v 5A, 2)
= лчл=л. При х = 2 (х)DЛ*) v 5(jc/a)) - 4Д2) v BB9JB)) = A(\)v 5B, 1) =
и v л = w. В целом: (х)DДх) v B(xj(a)) = л &и = л.
Следовательно, данная формула в указанной интерпретации неверна.
9. Вычислить логическое значение формулы A(g(f(a), J{b)\ g(a, b))
при следующей интерпретации: U = {целые положительные числа}, а = 1,
6 = 2, Хл) = a2, fib) = Ъ\ g(Aa),Ab)) =Яа) +АЬ), Аху = х > у, где х = g{f{a),
ЛЬ)), у = g(a, b). A(g(Ka),Ab)), g(l, 2)) = A(g(l2, 22), g(l, 2)) = A{{\ + 4), A +
2)) = 5 > 3 = и. Таким образом, при указанной интерпретации
рассматриваемая формула истинна.
В следующих двух примерах доказываются результаты, которые
будут использованы в дальнейшем.

403
Пример 8
Докажем равносильность: -л(х)Ах = (Ех) —Ах. Допустим, истинно -
{х)Ах. Тогда существует интерпретация, при которой по крайней мере один
элемент универсума не обладает свойством А. Пусть константа а является
именем этого элемента. Тогда истинно —Аа и тем самым истинно (Ех) —Ах.
Обратное утверждение доказывается аналогично. Следовательно,
отрицание квантора всеобщности равносильно введению квантора существования
с одновременным отрицанием всего выражения, представляющего область
его действия.
Пример 9
Докажем равносильность: (х)Ах = —\(Ех) —Ах. Допустим, имеется
интерпретация, при которой истинно (jc)^jc и (Ех)-Ах. Из истинности (х)Ах
следует, что все элементы универсума обладают свойством А. Из
истинности (Ех)—Ах следует, что по крайней мере один элемент универсума не
обладает свойством А. Получаем противоречие, из которого следует, что
такой интерпретации не существует. Следовательно, -i(Ex) —Ax является
необходимым следствием (х)Ах. Обратное утверждение доказывается
аналогично.
Итак, отрицание любого квантора равносильно замене его на
противоположный ему квантор при одновременном отрицании области действия
последнего.
11. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФОРМУЛ ЛОГИКИ
ПРЕДИКАТОВ В ВИДЕ ДЕРЕВЬЕВ
Каждая формула логики предикатов может быть представлена в виде
дерева, отражающего ее логическую структуру. С этой целью используется
следующий алгоритм.
1. Если формула содержит знаки импликации, эквивалентности или
исключающей дизъюнкции, то они устраняются согласно равносильностям
логики высказываний и равносильностям отрицания кванторов.
2. Исключаем кванторы существования согласно следующим
правилам:
а) Каждый квантор существования, не находящийся в области
действия квантора общности, заменяется новой индивидной константой, ранее
не входившей в формулу. Например, (Ех)Ах заменяется на Аа} (Ех)АхЬ — на
Aab, (Ex)(Ey)Aabxy — на Aabcd, (Ex)(Ey)(z)Axyz — на (z)Aabz.
б) Квантор существования, находящийся в области действия
квантора общности, заменяется новой функцией, ранее не входившей в формулу.
Такая функция будет напоминать о том, что переменная квантора сущест-

404
вования зависит каким-то образом от переменной квантора общности. При
этом конкретный вид зависимости нас интересовать не будет. Например,
(х)(Еу)Аху заменяется на {x)Axflx), (x)(Ey)(Ez)Axyz — на (x)Axj{x)g(x).
(x)(y)(Ez)Axyz — на (x)(y)Axyf{xy), (Ex)(y)(z)(v)(Ew)Axyzvw — на
(y)(z)(v)Aayzvj(yzv).
3. Исключаем кванторы общности при условии, что каждая
связанная индивидная переменная по-прежнему остается связанной, то есть
может быть заменена на любую индивидную константу или функцию.
Например, (х)(у)Аху сначала заменяется яаАху ив U= (a,b) может быть далее
заменена на Ааа или Aab, или АЬау или Abb; (х)(Еу)Аху —на AxJ(x) и в U =
(a,b) может быть далее заменена uaAaJ{a) или AbJ{b).
4. Если формула содержит свободные вхождения переменных, то
последние заменяются последовательно на новые индивидные константы,
ранее не входившие в формулу. Например, Ах з (Еу)Ау заменяется на Аа —>
АЪ, Ах z> (у)Ау заменяется на Аа z> Ay, где индивидная переменная у
является связанной.
5. Строим дерево формулы согласно правилам П1-П1 упрощаем его
согласно правилам У1-У7 логики высказываний.
Пример 1
1.Формула: (х)(Ах z> (Ех)Вх).
2.Исключение знака импликации: (х)( —Ах v (Ex)Bx).
3.Исключение квантора существования: (х)( —Ах v Bf{x)).
4. Исключение квантора общности: {--Ах v Bflx)).
5. Дерево формулы:
-Ах BJ{x)
Пример 2
1. Формула: (x)(y)(Ez)((Axz & Ayz) z> (Ez)Cxyz)).
2. Исключение знака импликации и кванторов существования:
(х)(у)ЫАхАху) & Ayjixy)) v Cxyg(xy)).
3. Исключение кванторов общности и внесение знака отрицания
вовнутрь антецедента: (—AxJ(xy) v —Ayf(xy)) v Cxyg(xy)).
4. Дерево формулы:
Cxyg(xy)

405
Пример 3
1. Формула: (х)((Ах & Вх) id Сх) з (Ех)(Ах &-п?х).
2. Исключение знаков импликации: (Ех)(Ах & Вх & v Сх) v (?х)(,4х
& -п5х).
3. Исключение кванторов существования: (Аа & Ва & -лСа) v (^46 &
4. Дерево формулы:
Аа АЪ
Ва
Пример 4
1. Формула: (Ех)(Еу)Аху.
2. Исключение кванторов существования: Aab.
3. Дерево формулы: Aab.
Пример 5
1. Формула: (Ех)(у)Аху z> (у)(?х)^ху.
2.Исключение кванторов существования: (х) —^4jc/(x) v
3. Исключение кванторов всеобщности: -*Axj(x) v
4. Дерево формулы:
Afiy)y
12. ПОНЯТИЕ ДЕДУКТИВНОГО УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ
И ВЫВОДА В ЛОГИКЕ ПРЕДИКАТОВ
Как и в логике высказываний, каждое умозаключение в логике
предикатов может быть представлено в виде кратной импликации. Если кон-
секвент такой импликации следует с необходимостью из антецедентов, то
умозаключение является правильным. Доказательство правильности
умозаключения называется выводом заключения из посылок.
В отличие от логики высказываний в логике предикатов нельзя
указать алгоритм, позволяющий за конечное число шагов определить
правильность произвольного умозаключения. Невозможность построения та-

406
кого алгоритма видна хотя бы из того факта, что логически истинная
формула логики предикатов истинна при любой интерпретации, включая и
бесконечные универсумы. Однако для логически истинных формул логики
предикатов такой алгоритм указать можно. Он сводится к косвенному
способу доказательства. Ибо если исходная формула логически истинна, тогда
ее отрицание должно быть логически ложной формулой. Обратное также
верно. Следовательно, достаточно доказать, что отрицание
рассматриваемой формулы логически ложно, чтобы сделать вывод о ее логической
истинности.
Назовем ветвь дерева формулы логики предикатов замкнутой, если и
только если она содержит хотя бы одну пропозициональную переменную
вместе со своим отрицанием или хотя бы один /7-местный предикатный
знак X1 вместе со своим отрицанием -^Х" такие, что либо а) каждый из них
содержит п связанных переменных (не обязательно различных), либо
б) если кроме связанных переменных имеются также константы или
функциональные знаки: то оба в результате правильных подстановок термов
вместо связанных переменных могут быть приведены к виду Хп ...,„ и
-\Хп ... tn (порядок следования термов является существенным).
Как и в логике высказываний, замкнутые ветви отмечаются знаком
противоречивости *.
Правила косвенного вывода в логике предикатов
КШ. Если в результате конъюнктивного расширения дерева
посылок деревом отрицания заключения все ветви объединенного дерева
оказались замкнутыми, то заключение следует из посылок с необходимостью.
КП2. Если умозаключение допускает прямое и обратное применение
правила КШ, то его посылки и заключение эквивалентны друг другу.
КПЗ. При всех других, кроме указанных в КШ, результатах
конъюнктивного расширения дерева посылок заключение не следует из
посылок с необходимостью.
Рассмотрим несколько примеров косвенного доказательства в логике
предикатов (деревья посылок и отрицания заключения строятся после
исключения кванторов).
Пример 1
1. Умозаключение: (((х)(Ах з Вх) & (Ex) -iBx) z> (Ex) --Ах).
2. Посылки: (х)(Ах z> Bx\ (Ex) -^Bx.
3. Заключение: (Ex) —Ax,
4. Отрицание заключения: (х)Ах.
5. Дерево посылок:

407
—\Ах Вх —Ах
6. Дерево отрицания заключения: Ах
7. Объединенное дерево:
-Ах
*
8.Заключение следует из посылок согласно правилу КШ.
Пример 2
1. Умозаключение: (х)(у)(((Ау id (Bxy id Cry)) & (Ab &
Cab\
2. Посылки: (x)(y)(Ay id (Bxy id Cxy)),
3. Заключение: Cab.
4. Отрицание заключения: -лСаЬ.
5. Дерево посылок:
лАу
1
i
АЬ
*
ixy
1
АЬ
Bab
*
Осу
1
i
Ab =
Bab
Сху
l
i
> Ab
1
Bab
6. Дерево отрицания заключения:
7. Объединенное дерево:

408
Сху Cab
I I
Ab Ab
I => I
Bab Bab
*
8. Заключение следует из посылок согласно правилу КП1. Так как в
формуле Сху переменные хну связаны кванторами общности, то эта
формула должна быть истинна, в частности, и для х = а ,у = Ъ, что и отражено
в переходе от Сху к Cab.
Пример 3
1. Умозаключение: (х)((Ах => (Вх & Сх)) & (Ех)(Ах & Dx)) z> (Ex)(Dx &
Сх).
2. Посылки: (х)(Ах => (Вх & Сх)), (Ех)(Ах & Dx).
3. Заключение: (Ex)(Dx & Сх).
4. Отрицание заключения: (х)( Dx v -Cx).
5. Дерево посылок:
*
Вх
i
1
Сх
1
Аа
1
Da
Вх
|
1
=> Сх
Аа
1
Da
6. Дерево отрицания заключения:
-.Сх
7.Объединенное дерево:

409
Вх Вх
Сх Са
I => I
Аа Аа
I I
Da Da
* *
8. Заключение следует из посылок согласно правилу КП1.
Пример 4
1. Умозаключение: (Ех)(Ах & (у)(Ву з Сху)) & (х)(Ах з (y)(Dy
2. Посылки: (?х)(^х с& (у)(Ву з Сху)), (jc)(/4jc з (y)(Dy з
3. Заключение: (х)(Вх з -iDjc).
4. Отрицание заключения: (Ех)(Вх & Z)x).
5. Дерево посылок:
Аа
-^Ву Сху
—Dy —iCxy —Dy
6. Дерево отрицания заключения:
ВЪ
I
Db
7. Объединенное дерево:

410
Bb
I
Db
I
Aa
—iBy Cxy
—Dy -iCxy —Юу
8.Заключение следует из посылок согласно правилу КШ.
Пример 5
1. Умозаключение: (Ех)Ах z> (x)(Ax v Bx).
2. Посылка: (Ех)Ах.
3. Заключение: {х)(Ах v 5jc).
4. Отрицание заключения: (Ех)(—Ах & -iBx).
5. Дерево посылок: Аа.
6. Дерево отрицания заключения:
-АЪ
7. Объединенное дерево:
I
-ЛЪ
I
8. Единственная ветвь объединенного дерева не замкнута.
Следовательно, согласно правилу КПЗ, заключение не является необходимым, или,
что то же самое, умозаключение неправильное.
Пример 6
1. Умозаключение: (х)(Еу)Аху з {Еу){х)Аху.

411
2. Посылка: {х)(Еу)Аху.
3. Заключение: (Еу)(х)Аху.
4. Отрицание заключения: (у)(Ех) -лАху.
5. Дерево посылок: Axf{x).
6. Дерево отрицания заключения: -vig(y)y.
7. Объединенное дерево:
6. Никакая подстановка термов не делает единственную ветвь
объединенного дерева замкнутой. Следовательно, согласно правилу КПЗ,
заключение не является необходимым, а умозаключение правильным.
Содержательной интерпретацией, объясняющей принципиальное
различие между восьмым и девятым примерами, может быть такая. Пусть
Аху = х меньше у. Тогда формула (х)(Еу)Аху утверждает, что для любого
данного числа х существует некоторое число у, которое больше х. Это
утверждение следует считать арифметической истиной. Формула (Еу)(х)Аху,
наоборот, выражает ложное арифметическое суждение, так как
утверждает, что существует некоторое число у, которое больше любого данного
числа х. Из логики высказываний известно, что истина следует из лжи, но
обратное невозможно, так как это влечет опровержение истины.
Пример 7
1. Умозаключение: (х)Ахс v (x)Bx id (x)(Ax v Bx).
2. Посылка: (х)Ах v (x)Bx.
3. Заключение: (х)(Ах v Bx).
4. Отрицание заключения: (Ех)(—Ах & —?х).
5. Дерево посылок:
Ах Вх
6. Дерево отрицания заключения:
—Ах
7. Объединенное дерево с подстановкой констант:

412
Аа Ва
-лАЬ
8. Заключение следует из посылки согласно правилу КШ.
Относительно дизъюнкции квантор всеобщности дистрибутивен только в одну
сторону (от каждого дизъюнкта в отдельности ко всей дизъюнкции в
целом). Обратное умозаключение в общем неверно, что доказывает
следующий пример.
Пример 8
1. Умозаключение: Студенты суть граждане. Следовательно, голоса
студентов суть голоса граждан.
2. Формализация посылок и заключения: U— люди, Ах = «х—
студент», Вх = «х — гражданин», Сху = «х есть голос у». (y)(Ay з By) з
(х)((Еу)(Ау & Сху) з (Ez)(Bz & Cxz))
3. Посылка: (у)(Ау з By).
4. Заключение: (х)((Еу)(Ау & Сху) з (Ez)(Bz & Cxz)).
5. Отрицание заключения: (Ех)((Еу)(Ау & Сху) & (Sz v —iCxz)).
6. Дерево посылок:
—Ау~
7. Дерево отрицания заключения:
АЪ
I
Cab
8. Объединенное дерево:

413
Ab
I
Cab
-Ab Bb
9. Заключение следует из посылок согласно правилу КП1.
Довольно часто в научной и обыденной речи встречаются суждения,
выражающие равенство или описание какой-нибудь единственной в своем
роде вещи. Следующие два примера показывают, как доказываются
умозаключения в этих случаях.
Пример 9
1. Умозаключение: «Человек, который написал "Приключения
Алисы в стране чудес", сочинял только необыкновенные сказки.
Следовательно, "Приключения Алисы в стране чудес" — необыкновенная сказка».
2. Формализация умозаключения: а = «Приключения Алисы в
стране чудес», Ах = х — человек, Вха = х написал я, Сх = х — необыкновенная
сказка.
(Ех)(((Ах & Вха) & (у)((Ау & Вуа) id (х=у))) & (z)(Bxz з Cz)) з Са.
3. Посылки: (Ех)(Ах & Вха), (Ех)(у)((Ау & Вуа) z> (jc = у)),
(Ex)(z)(Bxz з Cz),
4. Заключение: Са.
5. Отрицание заключения: -iCa.
6. Дерево посылок:
АЬ
ВЪа
\
х=у
Са
*

414
7. Дерево отрицания заключения: —\Са.
8. Объединенное дерево:
АЪ
I
ВЪа
\
х=у
\
Са
I
-Са
*
9. Единственная ветвь объединенного дерева замкнута.
Следовательно, согласно правилу КП1 данное умозаключение правильное.
Пример 10
1. Умозаключение: «Каждый, читающий больше других, более умен,
чем все остальные. Существует некто, отличный от всех остальных,
который читает больше всех. Следовательно, существует некто, отличный от
всех остальных, который умнее всех».
2. Формализация умозаключения: Аху = х читает больше, чем у; Вху =
х более умен, чем у.
{(x)(y)((Axy & (х *у)) з Вху) & (Ех)(у)((х *у) з Аху)} z> (Ex)(y)(x *у)
з Вху).
3. Посылки: (х)(у)((Аху &(х* у)) z> Вху), (Ех)(у)((х ^у)^> Аху).
4. Заключение: (Ех)(у)(х * у) z> Вху).
5. Отрицание заключения: (х)(Еу)(х ф у) & -iBxflx)).
6. Дерево посылок:
-лАау а=у Bay
I I
Аау Аау
*
7. Дерево отрицания заключения:

415
X *f(x)
-,Bxf(x)
8. Объединенное дерево:
a *f(a)
a =f(a) Baf(a)
* *
9. Все ветви объединенного дерева замкнуты. Следовательно
согласно правилу КШ данное умозаключение правильное.
Пример 11
1. Умозаключение: «Каждый, кто читает книги, приобретает новые
знания. Следовательно, если не существует новых знаний, значит никто не
читает никаких книг».
2. Формализация умозаключения: Ах = х — книги, Вху = х читает у,
Сх = х — новые знания, Dxy = x приобретает^.
(х){ (Еу)(Ау & Вху) з (Еу)(Су & Dxy)} з -,(?jc)Cjc з (х)(у)(Вху з -Ау).
3. Посылки: (х)(Еу)(Ау & Вху\ (х)(Еу)(Су & Dxy).
4. Заключение: -i(Ex)Cx з (х)(у)(Вху з -тАу).
5. Отрицание заключения: (х) —лСх & (Ех)(Еу)(Вху & Ау).
6. Дерево посылок:
-Ау -.Вху Cj[x)
I
Dxj{x)
7. Дерево отрицания заключения:

416
Bab
I
Ab
8. Объединенное дерево:
I
Bab
Ab
-ЛЬ
*
-^Bab
*
Cflfl)
1
Daf[a)
*
9.Так как все ветви замкнуты, согласно правилу КП1 данное
умозаключение является правильным.
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Укажите соотношение объемов понятия «традиционная логика»,
«символическая логика», «логика высказываний» и «логика предикатов».
2. Оставляет ли символическая логика место для творчества,
интуиции в мыслительных действиях? Если да, то в чем именно? Если нет, то
почему?
3. Формализуйте в терминах логики высказываний следующие
выражения:
а) Только в среду или четверг мы освободились и принялись за
работу.
б) Выбираем ли мы одну ценовую политику или другую, ни уровень
занятости, ни качество потребления существенно не изменится.
в) Сколько веревку не вить, а концу быть.
г) Требуется значительное терпение, чтобы заниматься логикой.

417
д) Наш уровень жизни возрастет, только если инфляция вновь не
сделает скачок вверх.
е) Не место красит человека, а человек место.
ж) «Если я долго не приезжал в город, то, значит, я был болен или
что-нибудь случилось со мной, и они оба сильно беспокоились»
(А. П. Чехов),
з) Если не будут увеличены налоги, то количество свободных денег
будет расти, если, конечно, не возрастут цены.
4. Используя технику упрощения деревьев, найдите нетривиальные
следствия (примеры заимствованы из книги: Смаллиан Р. М. Алиса в
стране смекалки. М., 1987. - С. 17-29).
а) Кто украл варенье! Известно, что могли украсть Мартовский Заяц
или Болванщик; Мартовский Заяц утверждает, что он не крал; Болванщик
заявил, что украл один из них, но не он; Соня — что по крайней мере один
из них (Мартовский Заяц или Болванщик) говорил правду, но не оба.
Известно также, что Соня и Мартовский Заяц не могли одновременно
говорить правду.
б) Кто украл муку! Известно, что муку могли украсть Мартовский
Заяц, Болванщик или Соня; Мартовский Заяц заявил, что муку украл
Болванщик. Известно также, что муку украл лишь один и что именно он дал
правдивые показания.
в) Кто украл перец! Известно, что перец могли украсть Мартовский
Заяц, Болванщик или Соня. Крадущие перец никогда не говорят правды.
Мартовский Заяц заявил, что Болванщик невиновен. Болванщик заявил,
что Соня невиновна.
г) Кто лее украл перец! Под подозрение попали Грифон, Черепаха
Квази и Омар. Грифон заявил, что Черепаха Квази невиновен, а Черепаха
Квази утверждал, что виновен Омар. Известно, что ни один невиновный
не лгал и ни один виновный не говорил правды.
д) Кто украл сахар! Сахар был обнаружен в доме Герцогини, и, как
показало расследование, украла его либо Герцогиня, либо ее кухарка, но
не обе вместе. Герцогиня заявила, что кухарка не крала сахар. Кухарка
заявила, что сахар украла Герцогиня. Тот, кто украл сахар, лгал.
е) Кто украл соль! Кражу могли совершить Гусеница, Ящерка Билль
или Чеширский Кот. Гусеница заявила, что соль съел Ящерка Билль.
Последний подтвердил это. Чеширский Кот заявил, что он никогда не ел
соль. По крайней мере один из них лгал и один говорил правду.
ж) Кто украл сковороду! В число подозреваемых попали Лягушонок,
Лакей-Лещ и Валет Червей. Лягушонок заявил, что украл Лакей-Лещ.
Лакей-Лещ это отрицал. Валет Червей сознался, что он украл. Не более чем
один подсудимый лгал.

418
з) Кто украл поваренную книгу! Могли украсть кухарка, Герцогиня
или Чеширский Кот. Герцогиня заявила, что украл Чеширский Кот.
Последний с этим согласился. Кухарка отрицала, что она украла поваренную
книгу. Лгал тот, кто украл поваренную книгу, и по крайней мере один из
остальных обвиняемых говорил правду.
и) Кто украл поваренную книгу второй раз! Подозрение пало на
Герцогиню, кухарку и Чеширского Кота. Были сделаны те же заявления,
что и в прошлый раз (см. предыдущий пример). Лгал тот, кто украл
поваренную книгу. Два других обвиняемых либо оба солгали, либо оба сказали
правду.
к) Кто украл молоко, масло и яйца! Украсть могли Мартовский Заяц,
Болванщик и Соня. Мартовский Заяц заявил, что масло украл Болванщик.
Болванщик утверждает, что яйца украла Соня. Соня созналась, что она
украла молоко. Кто украл масло, говорил правду. Тот кто украл яйца, лгал.
Кто что украл?
л) Кто украл крендели! Виновен либо Грифон либо Черепаха Квази.
Герцогиня заявила, что Грифон не крал крендели, на что кухарка
возразила, что Грифону случалось красть другие вещи. Чеширский Кот утверждал,
что Черепаха Квази никогда ничего не крал. Гусеница на это заметила, что
Чеширскому Коту случалось красть вещи. Мартовский Заяц заявил, что
кухарка и Чеширский Кот говорят правду. Соня заявила, что кухарка и
Гусеница говорят правду. Болванщик утверждал, что Чеширский Кот или
Гусеница или оба говорят правду. Валет Червей заявил, что кухарка и
Болванщик оба говорят правду. Белый Кролик добавил, что Ящерка Билль
говорит правду, а Валет Червей лжет. Ящерка Билль, со своей стороны,
заявил, что либо Мартовский Заяц, либо Соня говорят правду, а может быть, и
оба. По поводу всех этих заявлений Алиса заметила, что Белый Кролик и
Гусеница дали показания, которые либо истинны, либо оба ложны.
Замечание Алисы оказалось правдивым.
5. В качестве примеров на нахождение нетривиальных допущений
решите следующие задачи.
а) В комнате с узником две двери: «дверь свободы» и «дверь смерти»
— и двое стражников, один из которых всегда говорит правду, а другой
ложь. Какой следует задать вопрос, чтобы стать свободным?
б) Узник находится в комнате с двумя дверьми, как и прежде, но с
одним слугой. Этот слуга либо всегда говорит правду, либо всегда лжет,
либо иногда говорит правду, либо иногда лжет. Он никогда не
высказывается противоречиво: каждое его утверждение однозначно либо истинно,
либо ложно. Какой следует задать вопрос, чтобы стать свободным?
6. Докажите прямым или косвенным способом следующие
умозаключения:
а) (((С з А) & (А з В) & С) з В).

419
б) (((A з В) & (С & А)) з (В v ?>)).
в) ((((Л з 5) v Q & -В & -пС)
г) (((Л & D) з -пС) & E v E) з (Л & D) & (-пСз -, (^ &
-^QidB)&A&(Av -Л) з (Я & К)) з (Я & Я) v В).
е) ((((Л с? В) v С) & (E & Л) з D) & -iD) з (С & -nD)).
ж) ((-и4 & ((С v А) з 5) & (Л v D) & ((D v E) з С)) з 5).
з) ((((В &CKD)&CKEv ?>)).
и) ((-u4 v -.5) з ((^ с? 5) з -п5)).
7. Формализуйте в терминах логики предикатов следующие
выражения:
а) Каждый автор имеет хотя бы одну книгу, которую он хотел бы
переписать заново.
б) Всякому случается попасть в неожиданные ситуации, но не
каждый выходит из них достойно.
в) Если ты даешь кому-нибудь что-нибудь, то тем самым ты
оказываешь услугу и вправе надеяться на благодарность.
г) Каждый человек мыслит. Следовательно, некоторые животные
мыслят.
д) Все люди любят, чтобы с ними обходились вежливо, но только
некоторые из них вежливы сами.
е) Некоторые животные живут на свободе, а некоторые нет.
ж) Если 3. Фрейд прав, то человек в своей основе иррациональное
существо.
з) Все товары, купленные на прошлой неделе, за исключением
товаров фирмы N, оказались некачественными.
8. Докажите косвенным способом следующие умозаключения:
а) ((х)((Ах v Вх) з -,Ос) & (Ex) -i(-*4jc &^Bx) з (Еу) -,Су).
б) ((х)(Ах з -пВх) & (Ех)(Сх & Dx) з (Ех)(Сх & -Лх)).
в) ((х)((Ах & Вх) з Сх) &Ва& (х)Ах з Са).
г) ((х)((Ах v Вх) з (Сх & Dx)) & -,(x)(Dx & Сх) з (Ех) -тВх).
д) ((х)(Ах з ^Вх) з -п(Ех)(Ах & Вх)).
е) ((х)((А х з Вх) & (Ех)(Сх & -Л>х) & (х)(-Лх v Ax)) з (Ех)(Сх &
-Лх)).
ж) (-п(Ех)(Аха & ^Bxb) & -^(Ех)(Схс & Cbx) & (x)(Bdx з Схе) з
-{Adb & Сес)).
9. {Задача Эйнштейна) Есть 5 домов каждый разного цвета. В
каждом доме живет по одному человеку отличной друг от друга
национальности. Каждый жилец пьет только один определенный напиток, курит
определенную марку сигарет и держит определенное животное. Никто из 5 че-

420
ловек не пьет одинаковые с другими напитки, не курит одинаковые
сигареты и не держит одинаковое животное.
Также известно, что:
A) Англичанин живет в красном доме.
B) Швед держит собаку.
C) Датчанин пьет чай.
D) Зеленый дом стоит слева от белого.
E) Жилец зеленого дома пьет кофе.
F) Человек, который курит Pall Mall, держит птицу.
G) Жилец среднего дома пьет молоко.
(8) Жилец из желтого дома курит Dunhill.
(9) Норвежец живет в первом доме.
A0) Курильщик Marlboro живет около того, кто держит кошку.
A1) Человек, который содержит лошадь, живет коло того, кто курит
Dunhill
A2) Курильщик сигарет Winfield пьет пиво.
A3) Норвежец живет около голубого дома.
A4) Немец курит Rothmans.
A5) Курильщик Marlboro живет по соседству с человеком, который
пьет воду.
Доказать прямым и косвенным способом, что рыба принадлежит
немцу.

421
ГЛАВА VII. ЛОГИКА НАУЧНОГО ПОЗНАНИЯ
Следовательно, тому, кому случается открывать законы
природы, приходится изобретать много предположений, прежде чем он
натолкнется на правильное... Поэтому способность к изобретению
гипотез не недостаток исследователя, а совершенно необходимое
свойство его интеллекта.
Проверка ошибочности догадок для большинства людей
представляет единственный способ натолкнуться на истинную.
William Whewell. Novum Organon Renovatum.
Лучше держаться такой гипотезы, которая может оказаться
со временем неверною, чем никакой.
Д. И. Менделеев. Основы химии.
1. ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О НАУЧНОМ
ПОЗНАНИИ
Когда мы хотим знать законы той реальности, в которой живем и
творим, тогда мы нуждаемся в научном знании о ней. Последнее
представляет результат научного познания и обладает рядом отличительных
признаков.
К какой бы предметной области научное знание ни относилось —
природе, обществу или человеку, оно всегда является знанием об общем,
инвариантном, регулярном, необходимом и формулируется в виде законов
или более сложных конструкций — универсальных теорий.
Необходимость научного знания обусловлена диалектическим разделением
действительности на законы, скрытые от непосредственного восприятия, и
разнообразные формы их видимого проявления. Так как «если бы форма
проявления и сущность вещей непосредственно совпадали, то всякая наука была
бы излишня»71.
Каждый научный закон представляет определенную идеализацию
(упрощение) объективно существующей закономерности, позволяющую в
установленных границах более или менее точно воспроизводить ее
необходимые свойства. Ни один научный закон не может сделать это
исчерпывающим образом, выступая в общем прогрессивном развитии науки лишь
более точной идеализацией, чем все предшествующие, и более грубой, чем
все последующие.
71 Маркс К, Энгельс Ф. Соч., 2-е изд. Т. 25. Ч. 2. - С. 384.

422
С логической точки зрения научный закон — это универсально кван-
тифицированное высказывание (суждение), содержащее, по крайней мере,
один теоретический термин (понятие, принадлежащее теории и
обозначающее, как правило, ненаблюдаемую сущность). Высказывание «Дерево
не тонет в воде, потому что оно легче ее» представляет результат
повседневного обобщения и не является научным законом, потому что не
содержит теоретических терминов и относится только к некоторым видам
дерева и жидкости. Высказывание же «Твердое тело, будучи погруженным
в жидкость, остается плавать на ее поверхности, если и только если его
удельный вес меньше удельного веса жидкости» уже можно считать
научным законом. Оно содержит теоретический термин «удельный вес»,
является следствием закона Архимеда и относится ко всем видам твердых тел и
жидкостей.
Научная теория представляет более системную и исчерпывающую
идеализацию исследуемой реальности, так как объединяет (конъюнктив-
но), как правило, несколько научных законов. Из этих законов, как первых
посылок вместе с некоторыми начальными условиями, адаптирующими
теорию к рассматриваемой предметной области, дедуктивно выводятся
следствия для объяснения или предсказания наблюдаемых событий. На
этом основании теорию часто определяют как множество утверждений,
замкнутых относительно дедукции, то естьвыводимых логически из
основных утверждений (законов) данной теории.
В зависимости от истинностной связи научного закона со своими
следствиями его можно квалифицировать либо как аксиому, либо как
гипотезу. Научный закон обладает статусом аксиомы, если и только если
истинность всех его следствий полностью зависит от его собственной
истинности. Это означает, что истинность аксиомы более достоверна, чем
истинность всех ее следствий. Наоборот, научный закон обладает статусом
гипотезы, если и только если его собственная истинность зависит от
истинности каждого его следствия. Это означает, что истинность гипотезы
менее достоверна, чем истинность ее следствий.
Если все законы какой-либо теории обладают статусом аксиомы,
такая теория считается аксиоматической (аксиоматически построенной).
Известные каждому школьнику «Начала» Евклида представляют первую в
истории науки аксиоматически построенную научную теорию. Для таких
теорий не существует проблемы доказательства эмпирической (опытной)
истинности следствий. Ибо из истинных аксиом дедуктивно выводятся
только истинные утверждения. Развертывание содержания теории
сводится к доказательству теорем (дедуктивных следствий), то естьк выводу их
из данного списка аксиом. По этой причине аксиоматический способ
построения теорий более предпочтителен в тех науках, в которых проблема
эмпирической истинности следствий не является главной.

423
Если же хотя бы один закон научной теории имеет статус гипотезы,
то вся теория считается гипотетико-дедуктивной. Для таких теорий
проблема подтверждения в опыте дедуктивных следствий выдвигается на
первое место, потому что от значения истинности любого из них зависит
истинность всей теории. Неудивительно поэтому, что большая часть
научного знания о природе, обществе и человеке представлена именно в
гипотетико-дедуктивной форме. В этих областях очень трудно сформулировать
научный закон, обладающий статусом общепринятой аксиомы.
Принято называть метод построения гипотетико-дедуктивных
теорий гипотетико-дедуктивным методом научного познания (ГДМ).
Основное допущение ГДМ состоит в том, что научные законы, теории — это
результат не прямого или постепенного обобщения опытных данных, как
предполагали индуктивисты, и не интеллектуальной интуиции (прямого
усмотрения истины), как настаивали рационалисты, а свободного, ничем
непосредственно не детерминируемого открытия, изобретения и
последующего испытания гипотез. Пока некоторая теория Т объясняет и
предсказывает подтверждаемые в опыте факты — опытные данные,
интерпретированные в языке Г, обычно к ней не предъявляется претензий. Но если
встречается аномальный факт Еп, не объясняемый Г, тогда изобретается
гипотеза (научный закон) Н для объяснения Еп. Поскольку Н может быть
неверной или случайной догадкой, то ее подвергают испытанию. Для этого
из //дедуцируется новое следствие (предсказание) Е„+\9 которое в случае
своей истинности подтверждает Н. Гипотеза Н временно принимается и
присоединяется к теории Г. Последняя в результате присоединения Н
модифицируется в теорию ТТ , обладающую большей объяснительной и
предсказательной силой.
Различие между объяснением и предсказанием согласно ГДМ
состоит в следующем. Путь Н — гипотеза, С — совокупность начальных
условий (значение переменных Н) объяснения или предсказания, Е —
дедуктивное следствие Ни С:
(#&С)ЬЯ, A)
где символ «Ь» является знаком дедуктивной выводимости.
Выражение A) читается: из конъюнкции Н и С дедуктивно следует (выводимо)
высказывание Е.
Выражение A) превращается в (дедуктивное) объяснение, если
истинность Е установлена раньше, чем истинность дедуцируемости Е из
конъюнкции Я и С. Иными словами, при объяснении мы ищем для
события, описываемого Е, подходящую гипотезу Н и доказываем, что Е есть
следствие Н и начальных условий С.

424
Выражение A) представляет (дедуктивное) предсказание, если
истинность дедуцируемости Е из Н и С установлена раньше, чем истинность
существования события, описываемого Е. Это отвечает сути предсказания,
так как то, что предсказывается, еще требует своего опытного
подтверждения.
Историки и методологи науки утверждают, что научные теории
являются элементами более общих системных образований, называемых
научными программами, — последовательностей теорий, реализующих
одни и те же философские принципы, но отличающихся друг от друга
объяснительными и предсказательными способностями таким образом, что
каждая последующая теория превосходит по этим параметрам все
предшествующие. Основное допущение методологии научных программ состоит в
том, что научные теории не рождаются из ничего. Существенную роль в их
изобретении играют философские взгляды ученых. Как отмечал историк
науки А. Койре, «научная мысль никогда не была полностью отделена от
философской мысли», «великие научные революции всегда определялись
катастрофой или изменением философских концепций»72.
Еще более крупной единицей научного знания является научная
картина мира — совокупность альтернативных научных программ,
реализующих несовместимые философские принципы какой-либо общей
мировоззренческой структуры. Например, Новое время было отмечено
господством так называемой механической картины мира, а в ее рамках —
борьбой декартовой и ньютоновской научных программ.
Несмотря на бесспорно актуальный характер анализа развития
науки, в терминах научных программ и научных картин мира с логической
точки зрения в этом направлении мало что сделано. Результаты
исторического анализа более впечатляющи73.
Еще более запутанным оказалось решение проблемы научного
прогресса. Сложившийся к началу XVIII столетия взгляд на научный прогресс
как постепенное накопление неизменяемых истин, плавное приближение к
абсолютно истинной и завершенной картине мира был поколеблен
методологами и историками XIX и XX столетия. Было обращено, в частности,
внимание на то, что прогресс науки не является строго кумулятивным, а
периодически нарушается научными революциями — глобальными
концептуальными изменениями, обеспечивающими более глубокий взгляд на
реальность. Было также указано, что никаких неизменяемых истин в науке
не существует. Научное знание даже в области формальных наук не явля-
72 Койре А. Очерки истории философской мысли. О влиянии философских концепций
на развитие научных теорий. М., 1985. - С. 14, 15.
73 Кун Т. Структура научных революций. М., 1975. Физическая теория. М., 1980. Хол~
тон Дж. Тематический анализ науки. М., 1981. Идеалы и нормы научного
исследования. Минск, 1981. Структура и развитие науки. М., 1978.

425
ется безусловно истинным. Открытие относительных истин всегда
происходит путем ошибок и их последующего исправления. И хотя с идеей
неравномерного, с исправлением и уточнением уже установленных теорий,
научного прогресса согласны многие методологи, конкретные версии
прогрессивного развития часто различны, а иногда и несовместимы.
Очевидно, что для кардинального решения данной проблемы необходим более
широкий взгляд на ее содержание и способы решения.
Таким образом, когда мы говорим о научном познании, то имеем в
виду определенную процедуру получения научного знания — знания
законов той реальности, в которой существует человек и элементом которой он
является. Научное познание никогда не может дать исчерпывающей
картины мира, но оно может бесконечно и прогрессивно приближаться к ней,
давая все более универсальное и более точное знание.
2. ОСНОВНОЙ ЦИКЛ НАУЧНОГО ПОЗНАНИЯ
Хотя реальный процесс научного познания кажется непрерывным и
плохо прогнозируемым, в нем легко выделяется регулярно повторяющийся
цикл, начинающийся с решения некоторой проблемы и завершающийся
постановкой новой научной проблемы (рис. 1).
Проблема
Конструирование новой или тт г
rj v „ Изобретение гипотез
модернизация старой теории
Испытание
гипотез
Рис. 1. Основной цикл научного познания.
Научные проблемы являются разновидностью познавательных
противоречий и свидетельствуют прежде всего о неспособности известных
законов, теорий как определенных когнитивных структур объяснить новые,
так называемые аномальные факты. Появление аномальных фактов
сигнализирует об определенном ограничении объяснительных возможностей
закона или теории и о необходимости либо их модернизации, либо замене
новыми идеализациями. Противоречие между аномальным фактом и
теорией не исчерпывает, конечно, всех видов научных проблем. Но это про-

426
тиворечие является существенным для понимания научного прогресса,
который имеет место только тогда, когда теория, не способная объяснить
аномальный факт, замещается новой теорией, способной сделать это.
Открытие в Древней Греции иррациональности V2 стало
аномальным фактом для теории рациональных чисел, которая не объясняла и не
предсказывала существование подобных чисел. Лишь с созданием более
общей теории действительных чисел удалось объяснить существование
иррациональных чисел. Другой пример. Долгое время считалось
достоверным обобщение «Все лебеди белые», пока в процессе колонизации
Австралии в начале XVII столетия не было открыто существование черных
лебедей. Этот аномальный факт опроверг универсальную истинность
рассматриваемого обобщения и, кроме того, поставил проблему поиска
фактора, определяющего деление всех лебедей на белых и черных.
Сказанное позволяет представить структуру научной
проблемы следующим образом (знак «и» обозначает объединение):
Научная
проблема = теория и аномальный факт
= известное знание и
неизвестное, но требуемое
знание
= проверенное знание и
гипотетическое, требующее
проверки знание.
Структура научной проблемы определяет весь дальнейший цикл
научного познания. Смысл решения проблемы состоит в том, чтобы из
известного знания (теории) получить требуемое неизвестное знание,
расширяющее границы применимости известного знания. С этой целью
продуцируется множество гипотез как возможных альтернативных решений
исходной проблемы. Следующим шагом является выбор истинной гипотезы,
для чего все они подвергаются проверке. Выдержавшая испытание
гипотеза либо присоединяется к старой теории, модифицируя ее, либо служит
основой для создания новой теории. В любом случае главным результатом
становится расширение границ исходного знания, то естьрасширение
объема объясняемых и предсказываемых фактов. Но такое расширение всегда
является временным. Появление новых аномальных фактов ведет к
постановке новых научных проблем и тем самым к повторению цикла научного
познания.

427
Не всегда исходная проблема получает позитивное решение.
Нередко доказывается ее неразрешимость, что, как это ни парадоксально, также
увеличивает наше истинное знание. Возможны случаи, когда проблема
получает неверное решение. Тогда цикл научного познания начинается с
анализа причин неверного решения. Все эти исходы не отменяют того
фундаментального факта, что «прогресс знания состоит в постановке,
уточнении и решении новых проблем»74.
3. ИЗОБРЕТЕНИЕ ГИПОТЕЗ
Решить научную проблему означает в общем случае разрешить
лежащее в ее основе познавательное противоречие, то естьполучить
требуемое неизвестное знание. Но как это сделать? Ответить на этот вопрос
означает объяснить, как возникает новое научное знание, что всегда считалось
одной из труднейших проблем психологии творчества. Драматизм
ситуации открытия позволяет почувствовать следующий отрывок из
платоновского диалога «Менон»:
«МЕНОН. Но каким же образом, Сократ, ты будешь искать вещь, не
зная даже, что она такое? Какую из известных тебе вещей изберешь ты
предметом исследования? Или если в лучшем случае даже натолкнешься
на нее, откуда ты знаешь, что она именно то, чего ты не знал?
СОКРАТ. Я понимаю, что ты хочешь сказать, Менон. Видишь, какой
довод ты приводишь! Значит, человек, знает он или не знает, не может
искать. Ни тот, кто знает, не станет искать: ведь он уже знает, и ему нет
нужды в поисках; ни тот, кто не знает: ведь он не знает, что именно надо
искать»75.
Если дилемма Сократа верна, то никакое открытие и научный
прогресс в целом невозможны. Это, конечно, не так. Между тем проблема
появления нового знания остается. Как открывается новый научный закон,
если ученый имеет дело с уже известными данными опыта,
теоретическими предпосылками и своей головой? Лежащую в основе нового знания
закономерность нельзя непосредственно усмотреть ни в данных опыта, ни в
своей голове. Согласно ГДМ есть только один путь — изобретать и
проверять гипотезы. Именно способностью изобретать эффективные гипотезы
измеряется творческий потенциал ученого. Здесь нет никаких формальных
правил. Чем меньше ограничений принимается во внимание, тем больше
шансов достигнуть цели. Воображение, интуиция, проницательность,
здоровый скептицизм в отношении уже открытых истин — главные состав-
74 Карпович В. Н. Проблема, гипотеза, закон. Новосибирск, 1980. - С. 13.
75 Платон. Соч.: в 4-х томах. Т. 1. М., 1990. - С. 588.

428
ляющие успеха. «Такой проницательности нельзя научить. Обычно она
следует за догадкой, и этот успех, по-видимому, выглядит как
формирование нескольких пробных гипотез и выбор истинной из них. Но множество
подходящих гипотез нельзя сконструировать, полагаясь на правила. Здесь
помощь может оказать только изобретательный талант исследователя»76.
Тем не менее можно указать некоторые ограничения, которые
необходимо соблюдать при изобретении гипотез.
Во-первых, придумываемые гипотезы не должны быть
противоречивыми, так как в противном случае они лишаются всякой познавательной
ценности.
Во-вторых, изобретаемые гипотезы должны быть совместимы с
принципиальными теоретическими установками ученого, то естьне
должны быть случайными. При этом они могут быть несовместимы с
отдельными теоретическими положениями, которые в случае истинности
изобретенной гипотезы будут считаться опровергнутыми.
В-третьих, изобретаемые гипотезы должны объяснять и
предсказывать все ранее установленные факты, то естьдолжны как минимум
обладать такой же объяснительной и предсказательной способностью, что и
прежнее теоретическое знание.
В-четвертых, формируемые гипотезы должны объяснять аномальные
факты и предсказывать некоторые новые факты (факты нового вида), что
считается решающим признаком их научной плодотворности
(информативности).
Наконец, необходимо стремиться, чтобы список изобретаемых
гипотез был полным, то естьвключал истинную гипотезу. Для этого гипотезы
должны исключать друг друга, а вместе исчерпывать все возможные
решения исходной проблемы. Например, И. Кеплеру пришлось выдвинуть 19
гипотез о возможной траектории Марса вокруг Солнца, одна из которых
(движение по эллипсу) оказалась истинной. Следовательно, множество
гипотез И. Кеплера было полным.
Выполнение указанных ограничений гарантирует, что все
сконструированные гипотезы объясняют и предсказывают не меньше, чем
прежняя теория; дополнительно объясняют аномальные факты; не являются
противоречивыми и совместимы с некоторыми фундаментальными
положениями; что одна из них обязательно истинна. Посредством испытания
осталось установить, какой из гипотез следует отдать предпочтение.
76
William Whewell. Novum Organon Renovatum. London, 1858. - P. 59-60.

429
4. ИСПЫТАНИЕ ГИПОТЕЗ
Испытание гипотез считается менее творческой и более
контролируемой стадией, чем их изобретение. Однако из-за многочисленных
парадоксов именно испытание гипотез выглядит нередко более
проблематичным предприятием.
Стандартная процедура испытания гипотез согласно ГДМ состоит в
следующем. Пусть Е„ — аномальный факт для теории Г. Возникшая
научная проблема решается посредством изобретения гипотезы Н,
объясняющей вместе с начальными условиями С факт Еп. Согласно A) это влечет
истинность
(Н & С) Ь Еп B)
Но истинности B) недостаточно даже для временного принятия Я,
так как гипотеза может оказаться, как это нередко случалось в истории
науки, специально придуманной для данного случая. Чтобы отбросить все
сомнения, из гипотезы стремятся дедуцировать предсказание нового, ранее
не наблюдавшегося факта Еп+\\
(Н&С)^Еп+иЕпФЕп+1 C)
Проверка истинности предсказываемого факта Е„+\ считается
решающим аргументом в пользу принятия гипотезы Н\ в случае истинности
умозаключений B) и C) исследователь делает вывод об эмпирическом
подтверждении Н и о необходимости ее (временного) принятия. В случае
же ложности C) истинность B) ставится под сомнение, и гипотеза Н
отвергается как не выдержавшая решающее испытание.
Рассмотрим ситуации подтверждения и опровержения более
подробно. Их логические характеристики исследовались раньше (см.
умозаключение C7) и D0) гл. V, 8). Остановимся теперь на методологических
аспектах.
Вопреки распространенному мнению ни одна научная гипотеза не
подвергается испытанию как изолированное утверждение. По
определению, научный закон, обладающий статусом гипотезы, не может иметь
априорную вероятность, равную 1. Только аксиомы обладают такой
вероятностью, что и освобождает их от опытной проверки. Но если априорная
вероятность гипотезы меньше 1, значит, априорная вероятность ее
дополнения (дизъюнкции всех ее альтернатив) всегда больше 0. В итоге
испытание гипотезы представляет баланс подтверждения (дисподтверждения) ги-

430
потезы и дисподтверждения (подтверждения) ее дополнения. Вернемся для
краткости к символам формулы A). Результат испытания гипотезы Н как
дедуктивными, так и недедуктивными наблюдаемыми следствиями
вычисляется согласно
Р(Н)Р(С&Е/Н) + Р(Н)Р(С&Е/Н) к }
Если испытываются только дедуктивные следствия гипотезы //,
тогда Р(С&Е/Н) = 1. Допуская также Р(Н) = Р(—Л), получаем из D)
Формула E) наглядно свидетельствует, что при дедуктивном
испытании гипотезы Н ее апостериорная вероятность обратно пропорциональна
правдоподобию ее отрицания —Л и полностью определяется величиной
последнего фактора. Если Р(С & Е1-лН) —> 0, то {HI C& Е)->\. Обратное
также верно.
Из формул D) и E) следует достаточно неожиданный факт, что
гипотеза может получить максимальное подтверждение в одном
единственном испытании. Для этого достаточно доказать истинность выражения
P(C&E/—iH) = 0. В качестве примера, иллюстрирующего такую
возможность, можно указать на следующий факт из творчества Галилея77. В
теории движения Аристотеля считалось аксиоматически истинным
утверждение, что более тяжелое тело падает быстрее легкого. После некоторых
размышлений Галилей пришел к выводу о самопротиворечивости указанного
утверждения и предположил, что тяжелые и легкие тела должны падать с
одинаковой скоростью. Для подтверждения своей гипотезы Галилей
сбросил с высоты 60 м пушечное ядро массой 80 кг и мушкетную пулю массой
200 г. Оба тела достигли поверхности Земли одновременно. Данный
результат не просто подтвердил гипотезу Галилея, он сделал ее достоверным
утверждением.
Чтобы увидеть это, допустим, что Тху = х тяжелее у, Вху = х
достигает поверхности Земли одновременно с у (при условии, что хм у
сбрасываются с одной высоты и в одно и то же время), а — пушечное ядро массой
80 кг, Ъ = мушкетная пуля массой 200 г. Утверждение Аристотеля можно
символизировать как НА = (х)(у)(Тху z> Sxy\ а утверждение Галилея как
77 Липсон Г. Великие эксперименты в физике. М., 1972. - С. 12-13.

431
Яг = (х)(у)(Тху idВху). Тогда С = Tab иЕ = Bab, Р(С & Е / Нг)= \, Р(С & Е /
НА) = 0. Допуская Р(НГ) > 0 для D) или Р{НЛ) = Р(НГ) = 1/2 для E),
получаем в том и другом случае Р(НГ I С & Е)= 1.
Известным методологом и философом науки Карлом Поппером
часто утверждалось, что испытанию следует подвергать только
высокоинформативные, то есть маловероятные, смелые, рискованные гипотезы.
Опровержение таких гипотез дает максимум научной информации и по этой
причине составляет единственную цель научного познания. Несмотря на
78
кажущуюся очевидность, данное утверждение оказалось ложным .
Пусть С{Н) обозначает меру информативности гипотезы Н (меру
логического содержания Н) и пусть С{Н) = 1 - Р{Н). Таким образом, чем
тривиальнее гипотеза, то есть чем меньше информации она сообщает, тем
выше ее вероятность. Наоборот, чем информативнее гипотеза, чем она
смелее, тем меньше вероятность.
Допустим, гипотеза Н подвергается испытанию. Если Н выдержит
испытание, то, приняв ее, мы приобретаем С{Н) в качестве меры научной
информации. Если Н не выдержит испытание, то, отвергнув ее, мы
приобретаем С(—\Н) = 1 — P(—iH) = Р(Н) в качестве меры научной информации.
Откуда следует, что если Н смелая, рискованная гипотеза, то значение
меры С(Н) высоко, а значение меры Р{Н) мало. Принимая Н9 мы приобретаем
много информации. Но если Н опровергается, то наш выигрыш, равный
Р(Н)9 мал. Поэтому чем более смелую гипотезу мы опровергаем, тем
меньшую информацию мы приобретаем; чем более вероятную гипотезу мы
отвергаем, тем большую информацию мы получаем.
Учитывая все эти результаты, ученый должен стремиться
опровергать высоковероятные, пользующиеся максимальным доверием научного
сообщества гипотезы, так как только в этом случае он приобретает
максимум научной информации. И он не должен стремиться, как предполагал
Поппер, опровергать смелые гипотезы, так как это приносит ему
минимальную информацию. Наоборот, подтверждать следует стремиться
смелые гипотезы, так как в случае успеха ученый получает максимум
информации. Подтверждение высоковероятных гипотез приносит минимальную
информацию.
78 Niiniluoto I. Notes on Popper as Fellow of Whewell and Peirce // Ajatus. 1978. Vol. 37.
P. 272-327.

432
5. ЗАВЕРШЕНИЕ ЦИКЛА НАУЧНОГО ПОЗНАНИЯ.
ПРОБЛЕМА НАУЧНОГО ПРОГРЕССА
Если испытание научной гипотезы проведено корректно, то оно
обычно имеет два исхода — гипотеза подтверждается или опровергается.
В последнем случае гипотеза или отбрасывается и заменяется новой, или
совершенствуется с учетом полученного отрицательного результата, чтобы
снова подвергнуться проверке. В случае подтверждения гипотеза
принимается и присоединяется к некоторой базисной теории в качестве ее
нового элемента или служит основанием для конструирования новой теории. В
том и другом случае имеет место прогрессивное изменение научного
знания, так как новая или модифицированная старая теория обладает
большим объяснительным и предсказательным потенциалом, то естьсодержит
больше истинных утверждений об изучаемой предметной области.
Пусть как и прежде Т— научная теория, Я— гипотеза, С—
начальные условия, необходимые для объяснения и предсказания, Еп —
аномальный факт, Еп+\ — предсказание, необходимое для испытания Я. Тогда
основной цикл научного познания, изображенный на рис.1, может быть
представлен аналитически следующим образом.
1. (Г & С) У- Еп (возникновение проблемы, т.е. появление
аномального факта ЕП9 не объясняемого и не предсказываемого Г; знак «ff »
читается как «не выводимо», «не следует»).
2. (Я & С) V Е\& ... & Е„ (для решения проблемы изобретается
гипотеза Я, объясняющая все факты, объясняемые Г, плюс дополнительно
аномальный факт Еп).
3. (Я& С) Ь Еп+\ (для испытания Я дедуцируется решающее
предсказание Еп+\):
За. Еп+\ истинно (Я подтверждается и присоединяется к Т или
служит основанием для конструирования новой теории Т').
ЗЬ. Еп+\ ложно (Я опровергается или отбрасывается и заменяется
новой гипотезой, или модифицируется).
4а. (Т & Я & С) V Е\ & ... & Еп& Еп+\ (Н присоединяется к исходной
теории Г, увеличивая ее объяснительный и предсказательный потенциал).
4Ь. (Г* & С) Ь Е\ & ... & Е„ & Еп+\ (Я служит основанием для
конструирования новой теории Г*).
5а. (Г* & Н & С) Н- Еп+2 (возникновение новой проблемы, появление
нового аномального факта Е„+2).
5Ь. G^ & С) ff En+2 (аналогично 5а).

433
Таким образом, основной цикл научного познания начинается и
заканчивается постановкой научной проблемы, что не означает, что
увеличение числа и качества решаемых проблем является единственным
показателем прогрессивности сделанного за полный цикл шага. Другими, не
менее важными показателями научного прогресса являются — рост объема
объясняемых и предсказываемых фактов, концептуальные изменения —
появление новых теорий, научных программ и картин мира, происходящие
в форме научных революций. Очевидно, что все эти показатели так или
иначе связаны друг с другом и поэтому вполне закономерен вопрос о
существовании некоторой интегральной меры научного прогресса. Более
строго этот вопрос звучит следующим образом. Если каждый успешно
завершившийся цикл научного познания приводит к созданию новой теории
или модификации старой, то может ли этот прогрессивный шаг от теории
Г к более прогрессивной теории Г* выражен формально?
Согласно классической схеме научного прогресса, связанной с
допущением постепенного накопления неизменяемых далее истин, обе
теории, Т и Г*, следует считать истинными, каждую в своей предметной
области, но при этом Г* является логически более универсальной, чем Г.
Иными словами, Т следует рассматривать как логическое следствие Г*.
Таким образом, научный прогресс представляет последовательность
теорий, такую, что каждый член является истинным дедуктивным следствием
всех последующих теорий (рис.2).
<= ... Г** h Г* Ь Г... <=
Рис. 2. Классическая схема научного прогресса.
Классическая схема научного прогресса была подвергнута в XIX и
особенно в XX столетии существенной ревизии. Доказывалось, в
частности, что теории, связанные с прогрессивным шагом, несоизмеримы в
значениях своих базисных терминов, а при объяснении одной и той же
предметной области они часто несовместимы. На этом основании отношение
дедуктивного следования в качестве базисного и универсального
отношения научного прогресса было отвергнуто.
Карлом Поппером была высказана и более радикальная точка зрения:
прогрессивно связанные теории не только не находятся в отношении
дедуктивного следования, но они также не являются и истинными. Каждая
теория, полагает он, если она является научной, рано или поздно
фальсифицируема, то есть опровергаема, и поэтому актуально или потенциально
ложная. По его мнению, научный прогресс скорее состоит в переходе от
более ложной к менее ложной теории, чем от истинной к другой истинной,

434
но более универсальной теории. Для доказательства своего тезиса Поппер
ввел понятие правдоподобия как меры близости к истине и попытался
представить прогрессивный шаг от одной ложной теории к другой как
увеличение правдоподобия79.
Если сегодня понедельник, то суждения «сегодня — вторник» и
«сегодня — среда» оба ложные. Но первое из них, как подсказывает
интуиция, ближе к истине, чем второе. Используя эту интуицию, Поппер
следующим образом определил понятие правдоподобия теории. Каждая
ложная теория обладает как ложным содержанием (классом всех ложных
следствий), так и истинным содержанием (классом всех истинных следствий).
Если имеются две сравнимые по содержанию ложные теории Т и Г*, то,
считает Поппер, Г* является более правдоподобной, если и только если
выполняется любое одно из следующих условий:
1. Истинное содержание Т' больше истинного содержания Т и
ложное содержание Г* меньше или равно ложному содержанию Г.
2. Ложное содержание Г* меньше ложного содержания Т и
истинное содержание Г* больше или равно истинному содержанию Г.
В последовавшей дискуссии, которая продолжается и в настоящее
время, попперовское определение правдоподобия было отвергнуто как
формально противоречивое . С его помощью можно сравнивать
правдоподобие только истинных теорий. Одновременно участники дискуссии
признали
огромную методологическую ценность понятия правдоподобия и
сосредоточили усилия на построении адекватной меры правдоподобия,
применимой как к ложным, так и к истинным теориям.
Одним из основных итогов дискуссии стало открытие целого
множества мер правдоподобия, позволяющих сравнивать истинные и ложные
теории81. В основе всех этих методов лежит техника сравнения подобия
возможных миров, описываемых высказываниями некоторого
формализованного языка.
В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример.
Сформулируем три простых высказывания в языке логики высказываний: А =
сегодня понедельник, В = сегодня морозно, С = сегодня солнечно. В
терминах этих высказываний можно образовать следующие восемь возможных
миров:
79 Popper К. Objective Knowledge. Oxford, 1972.
80Светлов В. А. К философским итогам дискуссии по проблеме научных теорий //
Вопросы философии. 1983. № 3. - С. 134-142.
81 NiiniluotoL Truthlikeness. Dordrecht. 1987.

435
1, ABC 5.^ABC
2. AB-^C 6.
4. A^B-^C 8.
Назовем сложное высказывание, описывающее тот или иной
возможный мир, конституентой и поставим конституенты и возможные миры
во взаимно однозначное соответствие. Таким образом, мы имеем восемь
конституент: К\9 К2, ..., К%. В терминах данных конституент можно
выразить содержание любого простого и сложного высказывания,
образованного с помощью А, В и С.
Пусть истинным высказыванием будет /^сегодня понедельник,
морозно и солнечно. Содержание К\ эквивалентно конъюнкции ABC, то есть-
первому возможному миру. Тогда ложными будут следующие
высказывания: Т= К2 = сегодня понедельник, морозно, но не солнечно; Т* = К4 =
сегодня понедельник, но не морозно и не солнечно; Г'** = К% = сегодня не
понедельник, не морозно и не солнечно. Хотя высказывания Г, Т *, Г**
являются ложными, но они различаются количеством ложных элементов (в
сравнении с истинным высказыванием К\). В Т имеется один ложный
элемент, в Г* = два, в Г** — три. Сравним теперь правдоподобие Г, Г* и Г**
относительно К\.
Оценим сначала степень подобия всех сравниваемых высказываний с
истинным высказыванием К\ по следующей формуле:
j?\- конституент, которым эквивалентна Т{ ,^\
Сумма ложных элементов всех
конституент, которым эквивален
Число конституент, которым эквивалентна Т.
Из F) следует: d(Ku K{) = О,
d(T9 /Г,) =1/1 = 1,
d(T*, K{) = 2/1 = 2,
d(T**9 #0 = 3/1=3.
Выберем в качестве меры правдоподобия следующее равенство:
G)
Число простых высказывании

436
Из G) следует: М(Ки #0=1-0=1,
М(Т, Кх)=1- 1/3 = 2/3,
М(Т*,К{)= 1-2/3 = 1/3,
*,#0 = 1-3/3 = 0.
Сравнив полученные результаты, мы можем сделать следующий
общий вывод: увеличение числа ложных элементов научной теории
уменьшает ее правдоподобие, наоборот, уменьшение числа ложных
элементов увеличивает правдоподобие научной теории.
Проанализируем теперь связь правдоподобия с отношением
логического следования истинных теорий.
Сформулируем следующие истинные высказывания: Т = сегодня
понедельник и морозно, Г* = сегодня понедельник. Очевидно, что Т = K\V
K2nT* = Klv K2v K3v K4. При этом истинно: К{\- Т\- Г*.
Из F) следует: d(T9 #0 = 0+ 1/2 = 1/2,
d(T*9 #0 = 0+ 1/4 + 1/4 + 2/4 = 4/4 = 1.
Из G) следует: М(Г, #0=1- 1/Bx3) = 5/6,
М(Г*,#0= 1-1/Ax3) = 4/6.
На основании полученных результатов можно сделать следующий
общий вывод: для истинных теорий правдоподобие прямо
пропорционально их логической силе, то есть логически более сильная теория
самая правдоподобная.
С помощью формул F) и G) можно сравнивать правдоподобие и
ложных теорий, находящихся в отношении логического следования.
Сформулируем следующие ложные высказывания: Т= сегодня не
понедельник, не морозно и не солнечно; Т*_= сегодня не понедельник и не
морозно; Г** = сегодня не понедельник. Очевидно, что Т= #8> Т'= K7v #8
T** = K5v K6v K7v #8. Также истинно: Т Ь Г* Ь Г**.
Из F) следует: d(T, К{) = 3/1 = 3,
d(T*9 #0 = 2 /2 + 3/2 = 5/2,
d(T**9 #0 = 1/4 + 2/4 + 2/4 + 3/4= 8/4 = 2.
Из G) следует: М(Г, К{)=\- 3/3 - 0,
М(Т*9К{)= 1-5/2x3 = 1/6,
М(Т**9К{)= 1-2/3 = 2/6.
Полученные результаты позволяют сделать следующий общий
вывод: для ложных теорий правдоподобие обратно пропорционально их

437
логической силе, то есть логически более сильная теория наименее
правдоподобная.
Таким образом, при надлежащем измерении правдоподобие не
совпадает ни с отношением дедуктивного следования, ни с вероятностью
сравниваемых теорий (высказываний), а представляет самостоятельную и
очень важную логико-методологическую характеристику. Правдоподобие
как мера близости к истине также показывает, насколько многофакторным
является реальный процесс научного познания и насколько сложным
является баланс его основных параметров.
Сказанное позволяет ввести следующее определение: завершенный
цикл научного познания представляет прогрессивный шаг, если и только
если правдоподобие новой или модифицированной теории больше
правдоподобия исходной теории. При этом более правдоподобная теория может
быть логически более сильной, а может и не быть. Такая неоднозначность
отчасти объясняет неопределенность реального научного прогресса.
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Выделите и проанализируйте основной цикл научного познания из
истории той научной дисциплины, в которой вы собираетесь
совершенствоваться.
2. Дайте логический анализ открытия планеты Нептун: «Проблема
заключалась не в том, чтобы астрономическими наблюдениями
ненаправленного характера обнаружить новый объект, а в том, чтобы объяснить
"аномалии" в наблюдаемом поведении Урана. Эта аномалия заключалась
в расхождении между опытными и теоретическими данными о
местоположении этой планеты. Поскольку вычисленные координаты не
соответствовали наблюдаемым, то должна была содержаться ошибка в тех
допущениях, которые использовались для вычисления. Фактически их было
четыре:
A) Солнечная система представляет собой устойчивую систему из-
за большой удаленности от остальных небесных тел;
B) Уран является последней планетой Солнечной системы, и,
следовательно, его движение определяется только воздействием Солнца и
других планет;
C) верны законы механики Ньютона;
D) верен закон притяжения Ньютона.
Проблема объяснения обнаруженных аномалий в движении Урана
заключалась в обнаружении ложного допущения среди четырех
приведенных утверждений. Поскольку гипотезы C) и D) были подтверждены

438
независимыми проверками, подозрение пало на гипотезы A) и B). Из
этих двух гипотез первая также не могла подвергаться сомнению,
поскольку внешние возмущающие влияния сказывались бы не только на
движении Урана, но и на движении других планет. Исходя из этих
соображений, Ф. Бессель предположил, что ложной является гипотеза B), то
есть Уран не представляет последней планеты Солнечной системы и что
существует по крайней мере еще одна планета... Некоторое время спустя
Адаме A843) и Лаверье A846) независимо друг от друга и от Бесселя
теоретически обосновали ту же самую гипотезу, но несколько более
подробно, рассчитав эллиптическую орбиту новой планеты, ее массу и скорость
так, чтобы полученные параметры объясняли наблюдаемое поведение
Урана. При этом проведенные вычисления имели и наблюдаемое
следствие: точное указание, когда именно и в какое время следует направить
телескоп, чтобы увидеть "вычисленную" планету. В ночь с 23 на 24
сентября 1846 г. Галле действительно обнаружил в предсказанном месте
планету и дал ей имя "Нептун"». {Карпович В. К Проблема, гипотеза, закон.
Новосибирск, 1980.-С. 101-102).
3. Используя технику вероятностного анализа главы V, попробуйте
построить примеры недедуктивного подтверждения и опровержения
гипотез.
4. Попробуйте самостоятельно доказать логическую
противоречивость определения правдоподобия Карла Поппера.
5. Определите логические отношения между теориями Т и Г*, если
известно, что Г* более правдоподобна, чем Г, в следующих случаях:
а) Г и Г*' обе истинны.
б) Г ложно, Г*' истинно.
в) Т истинно, Т * ложно.
г) Г и Г* обе ложны.
6. Имеется ли какая-нибудь зависимость между правдоподобием и
информативностью научных теорий?

439
ГЛАВА VIII. ЛОГИКА ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
Из двух благ мы по руководству разума будем следовать
большему, а из двух зол — меньшему.
Спиноза Б. Этика.
Всякий предмет осматривай со всех сторон. Всякое деяние
осматривай со стороны его вреда и его пользы. При всяком деянии
рассматривай, сколькими способами оно может быть сделано и
который из этих способов лучший. Рассматривай причины всякого
явления и могущие от него быть следствия.
Толстой Л.Н.. Правила для развития обдуманности
Неопределенность — постоянная спутница людей, вышедших на
широкую дорогу цивилизации.
Тойнби А. Дж.. Постижение истории
1. ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О ПРИНЯТИИ РЕШЕНИЙ
«Правила для развития обдуманности» Л. Н. Толстого, вынесенные в
эпиграф, выражают суть процесса принятия решения. Делать выбор между
разными способами достижения поставленной цели на основании
сравнения их возможных следствий — значит принимать решение. Многие
психологи утверждают, что принятие решений и сознательное поведение
настолько глубоко связаны друг с другом, что в сущности это один и тот же
процесс. Привычные действия не требуют осознания. Сознание
«включается» лишь тогда, когда происходит нарушение сложившегося
стереотипа, становится невозможным продолжение ранее начатого действия.
Подобную блокаду привычного действия принято называть проблемой.
Именно появление проблемы инициирует сознательный акт поведения как
средство ее решения. Последний в классической форме был описан Джо-
ном Дьюи в книге «Как мы мыслим» .
1. Определяем (идентифицируем) проблему.
2. Конструируем (изобретаем) альтернативные способы решения
проблемы.
3. Выбираем лучшую альтернативу.
82 Переведена на русский язык под названием «Психология и педагогика мышления»
(М., 1919.-С. 1-12).

440
Определить, или идентифицировать, проблему означает выяснить
причину блокады. В некоторых случаях это сделать достаточно легко.
Если поездка за город откладывается из-за дождя, то причина блокады
очевидна. Если же человек внезапно ломает прежний образ жизни, то
причины могут быть самые разные.
После того как причина блокады установлена, начинается этап
изобретения возможных действий, направленных на решение возникшей
проблемы. Это наиболее творческая часть процесса принятия решения.
Именно по способности изобретать такие действия психологи различают
шаблонное (нетворческое) и нешаблонное (творческое) мышление83.
Каждое возможное действие, направленное на решение возникшей
проблемы, мы будем для краткости называть альтернативой. Изобретение
альтернатив составляет ту часть процесса принятия решения, которая
зависит от субъекта, принимающего решение, его опыта, интуиции, желания.
Однако в каждом процессе принятия решения есть то, что не зависит от
субъекта, имеет объективный характер. Мы будем называть факторы, не
зависящие от субъекта, принимающего решение, объективными
событиями. Такие факторы часто называют также состояниями природы. В
примере с поездкой за город дождь является объективным событием, или
состоянием природы.
Иногда вероятности объективных событий известны, иногда
неизвестны. В последнем случае субъекту, принимающему решение,
приходится давать свои, личные вероятностные оценки, которые принято называть
субъективными вероятностями. Как и объективные вероятности, они
должны выполнять аксиомы исчисления вероятностей (см. гл. V, 2). В
зависимости от того, известны объективные или субъективные вероятности
событий или нет, различают принятие решений в условиях
определенности, риска и неопределенности. Если известно с достоверностью, какое из
событий осуществится, тогда мы принимаем решение с определенностью.
Вы знаете дни и часы работы магазина и с полной определенностью
принимаете решение о его посещении. Если же ни одно из событий, от
которых зависит принятие решения, не является достоверным, но вероятности
их известны, тогда мы принимаем решение с риском. Если известно, что
вероятность дождя равна 0,4, то вопрос о поездке за город воспроизводит
типичную ситуацию принятия решения с риском. Когда ни объективные,
ни субъективные вероятности событий неизвестны, решение принимается
в условиях неопределенности. В этом случае используются специальные
критерии. Решая вопрос о покупке нового товара, о потребительских
свойствах которого у вас нет никакой предварительной информации, вы
принимаете решение в условиях неопределенности. К перечисленным видам
83 Боно Э. де. Рождение новой идеи. М., 1976; Акофф Р. Искусство решения проблем.
М., 1982.

441
следует добавить принятие решений в условиях конфликта. В этом случае
субъекту, принимающему решение, противостоит не какое-либо
объективное событие, а такой же целеустремленный и умный субъект:
альтернативы разрабатываются с учетом ответных ходов обоих соперников. Этот вид
принятия решения анализируется в следующей главе.
Последний этап принятия решения состоит в выборе лучшей
альтернативы из имеющихся. Чтобы сделать выбор разумно, субъект,
принимающий решение, должен знать, к каким исходам (следствиям,
результатам) приводит каждая альтернатива и какова их полезность для него.
Полезности исходов могут выражаться в самых разнообразных единицах —
деньгах, времени, расстоянии, весе, степени желательности и так далее
Она может быть положительной и отрицательной. В первом случае
субъект, принимающий решение, отражает величину полезности исходов в
числах больше нуля, во втором случае — в числах меньше нуля.
Нейтральные полезности приравниваются к нулю. Таким образом, определить
полезность исходов означает отразить степень их субъективной
значимости на определенной числовой шкале.
Выбирай ту альтернативу, которая обладает наивысшей полез-
ностъю, — таково основное правило принятия решения.
Фактически оно означает, что из всех возможных решений проблемы
субъект должен выбирать то, которое, с его точки зрения, при данных
объективных условиях является наиболее эффективным.
Итак, когда мы говорим о принятии решения, то имеем в виду
определенное действие, направленное на решение возникшей проблемы и
выражающееся в конструировании альтернативных способов решения и
выборе из них наиболее эффективного.
2. ДЕРЕВО РЕШЕНИЯ И ЕГО ЭЛЕМЕНТЫ
Чтобы принять решение, нужно обладать определенной
информацией. Существует простой и наглядный способ представления такой
информации — дерево решения.
В общем случае построить дерево решения означает определить:
1. Множество альтернативных действий, каждое из которых
указывает один из возможных способов решения рассматриваемой проблемы,

442
2. Множество объективных, то есть не зависящих от субъекта,
принимающего решение, событий (обстоятельств, условий), влияющих на
исходы альтернатив, одно из которых обязательно должно осуществиться,
-, Оп.
3. Множество вероятностей (вероятностных оценок) объективных
событий, влияющих на исходы альтернативных действий
i=\
4. Множество исходов (результатов, следствий) альтернативных
действий в зависимости от того, какое из объективных событий произойдет
(общее число исходов равно т х и),
Q1' Q 2 > • • • 9 Q „, С21,..., С2 „,..., Ст!,..., Стп, где
5. Множество субъективных значений исходов для лица,
принимающего решение, называемых также их полезностями,
Полученные данные располагаются в виде следующего дерева:
Альтернативы События и их
вероятности
Исходы и их
полезности
Знак ? обозначает вершину дерева, а также те ветви, выбор которых
зависит только от лица, принимающего решение. Знаком «о» обозначаются
ветви, выбор которых зависит только от объективных обстоятельств. На

443
таких ветвях обычно указываются и необходимые вероятности. Каждая
ветвь дерева заканчивается указанием соответствующего исхода и его
полезности. Дерево решения изображается, как правило, горизонтально.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1
Имеется 1000 рублей и две альтернативные возможности вложения
денег в банк: в банк Б\ или в банк Б2. Банк Б\ выплачивает 20 % годовых,
банк Б2 — 25 % годовых.
Имеем: А\ = вложить деньги в банк Би А2 = вложить деньги в банк Б2,
Аз = деньги никуда не вкладывать. В этом примере нет никаких событий,
не зависящих от субъекта, принимающего решение. Пусть полезность
каждого действия измеряется суммой вложенных денег и начисленных по
ним процентов за год. Тогда и(А\) = и(С\) = 1200 рублей, и(А2) = = и(С2) =
1250 рублей, и(Аз) = м(С3) = 1000 рублей. Дерево решения имеет
следующий вид:
w(Ci)= 1200 рублей
и(С2)= 1250 рублей
м(С3)= 1000 рублей
Пример 2
Молодому человеку предстоит поездка на автобусе из одного района
города в другой. У него нет проездного билета, и он должен решить,
покупать ему билет или нет. Если он купит билет, то потратит 10 рублей84. Если
не купит, то сэкономит 10 рублей. Однако с вероятностью 0,2 на данной
маршрутной линии может появиться контролер. Это событие вносит
элемент риска, так как штраф за безбилетный проезд составляет 180 рублей.
Имеем: А\ = покупать билет, А2 = не покупать билет. О\ = контролер
появится, О2 = контролер не появится. Р(О\) = 0,2. Р(О2) = 0,8. Си = билет
куплен, контролер появился. С\2 = билет куплен, контролер не появился.
С2\ = билет не куплен, контролер появился. С22 = билет не куплен,
контролер не появился. Допустим, полезность исходов измеряется только
деньгами. Тогда и(Сц) = -10 рублей, и{С\2) = -10 рублей, и(С2\) = -180 рублей,
84 В ценах 1992 года.

444
и(С22) = 10 рублей (отрицательные значения полезности означают потерю,
положительные — приобретение). Дерево решения имеет следующий вид:
—10 рублей
—10 рублей
-10 рублей
10 рублей
Пример 3
Желающим предлагается сыграть в одну из следующих двух игр.
Первая игра: бросается симметричная монета. Если выпадает герб, игрок
получает 100 рублей. Если выпадает цифра, игрок отдает 15 рублей.
Вторая игра: бросается симметричная монета. Если выпадает герб, игрок
получает 10 рублей, если цифра, игрок отдает 1 рубль.
Имеем: А\ = играть в первую игру, А2 = играть во вторую игру, А^ =
отказаться играть. О\ = выпадает герб, О2 = выпадает цифра. С\ \ = выбрана
вторая игра и выпал герб. С\2 = выбрана первая игра и выпала цифра. С2\ =
выбрана вторая игра и выпал герб. С22 = выбрана вторая игра и выпала
цифра. Допустим, полезность исходов измеряется только деньгами. Тогда
и(С\\) = 100 рублей, и(С\2) = -50 рублей, и(С2\) = 10 рублей, и(С22) = -1
рубль. Дерево решения имеет следующий вид:
100 рублей
—50 рублей
0 рублей
10 рублей
—1 рубль
Пример 4
«Много лет назад, когда человека, задолжавшего кому-нибудь
деньги, могли бросить в долговую тюрьму, жил в Лондоне один купец,
имевший большое несчастье задолжать большую сумму денег некоему
ростовщику. Последний — старый и уродливый — влюбился в юную дочь купца

445
и предложил такого рода сделку: он простит долг, если купец отдаст за
него свою дочь.
Несчастный отец пришел в ужас от подобного предложения. Тогда
коварный ростовщик предложил бросить жребий: положить в пустую
сумку два камешка, черный и белый, и пусть девушка вытащит один из них.
Если она вытащит черный камешек, то станет его женой, если же белый, то
останется с отцом. В обоих случаях долг будет считаться погашенным.
Если же девушка откажется тянуть жребий, то ее отца бросят в долговую
тюрьму, а сама она станет нищей и умрет с голоду.
Неохотно, очень неохотно согласились купец и его дочь на это
предложение. Этот разговор происходил в саду, на усыпанной гравием
дорожке. Когда ростовщик наклонился, чтобы найти камешки для жребия, дочь
купца заметила, что тот положил в сумку два черных камня. Затем он
попросил девушку вытащить один из них, чтобы решить таким образом ее
участь и участь ее отца» (Боно Э. де. Рождение новой идеи. - С. 11).
Рассмотрим всю ситуацию с точки зрения дочери купца. Ее проблема
состоит в том, чтобы спасти отца от долговой тюрьмы, а себя от брака с
ростовщиком. Возможными действиями девушки являются: А\ =
отказаться участвовать в заведомо нечестном пари, А2 = отказаться участвовать в
пари с одновременным разоблачением мошенничества ростовщика, A$ =
принять участие в пари на условиях ростовщика, А4 принять участие в
пари, ответив хитростью на его хитрость. Обстоятельством, вносящим
элемент риска в данный процесс решения, является возможность
разоблачения ответной хитрости девушки. Пусть О\ = хитрость девушки удается,
02 = хитрость девушки не удается. Р{0\) = х, Р{02) = (I -х). С\ = С2 = С42 =
отец в долговой тюрьме, девушка нищая. Сз = долг отца аннулируется,
девушка выходит замуж за ростовщика. С4\ = долг отца аннулируется,
девушка не выходит замуж за ростовщика. Допустим, полезности указанных
исходов выражаются следующими объединенными единицами
материального и морального ущерба: и(С\) = и(С2) = и(С42) = —100, и(С?) = -50, и(С4\)
= 100. Дерево решения имеет следующий вид:
A -х)

446
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
СУБЪЕКТИВНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ПОЛЕЗНОСТЕЙ
Не всегда субъект, принимающий решение, имеет под рукой
надежные объективные данные о вероятностях событий и полезностях исходов.
Но даже, имея такие данные, субъект так или иначе вынужден
интерпретировать их со своей точки зрения, исходя из существа рассматриваемой
проблемы, своих интересов, опыта и возможностей. Иными словами,
субъекту в подавляющем числе случаев приходится давать субъективную
оценку всех элементов дерева решения. Вычисление объективных
вероятностей и полезностей является самым важным элементом в такой
интерпретации. Рассмотрим некоторые приемы вычислений.
Если дерево решения включает события, наступление которых не
зависит от субъекта, то он желает знать их вероятности. Он может, конечно,
воспользоваться какой-нибудь статистикой. Но, во-первых, ее может и не
быть под рукой. Во-вторых, она может вообще отсутствовать из-за
уникальности рассматриваемого события. Как должен поступать субъект,
принимающий решение, в таких случаях?
Наиболее распространенный метод вычисления субъективных
вероятностей состоит в следующем. Пусть О является событием, субъективную
вероятность которого необходимо вычислить. Берем любую игру,
генерирующую случайные исходы (бросание симметричной монеты, игральной
кости и т. п.), и задаем себе вопрос, что для нас более предпочтительно,
заключить пари на то, что выпадет, допустим, герб, или на то, что
вероятность события О равна 0,5. Если мы предпочитаем заключить пари о
выпадении герба, тогда субъективная вероятность события О для нас меньше
0,5. Если же нам одинаково предпочтительны оба пари, тогда и только
тогда мы можем сделать вывод, что Р(О) = 0,5. Результат Р(О) < 0,5
заставляет нас искать другую игру, вероятность исходов которой меньше 0,5.
Описанная процедура продолжается до тех пор, пока не будет найдена
игра, заключить пари на которую так же предпочтительно, как и заключить
пари на то, что вероятность события О равна некоторому числу из
интервала @,1).
Очевидно, что если субъективная вероятность того, что событие О
произойдет, равна х, тогда субъективная вероятность того, что О не
произойдет, должна быть равна A —х).
Допустим, деловому человеку требуется попасть из Санкт-
Петербурга в Москву. Он может лететь самолетом или ехать поездом. Если
в Москве нет тумана, то перелет займет 1 час, если туман — 10 часов.
Безотносительно к тому, есть в Москве туман или нет, скорый поезд прибыва-

447
Of
ет в Москву через 8 часов . Допустим, время, сэкономленное на дороге,
является для нашего делового человека единственной полезностью. Чтобы
принять верное решение, он должен знать вероятность, с которой в Москве
случаются туманы. Однако он этого не знает и пытается вычислить
субъективную вероятность данного события. Допустим, он предпочитает игру,
чей случайный исход равен 0,5 — пари, что в Москве будет туман с
вероятностью 0,5. Из этого следует, что субъективная вероятность
обсуждаемого события для делового человека меньше 0,5. Тогда он сравнивает
возможность сыграть в игру, чей случайный исход, допустим, равен 0,1, с
пари, что субъективная вероятность тумана в Москве равна 0,1.
Предположим, что оба пари ему предпочтительны в одинаковой степени. Тогда
следует, что субъективная вероятность тумана в Москве равна 0,1.
Соответственно, вероятность, что тумана в Москве нет, равна A - 0,1) = 0,9.
Зная субъективную вероятность события, влияющего на принятие
решения, деловой человек строит следующее дерево:
где А\ = выбрать самолет, А2 = выбрать скорый поезд, О\ = в Москве туман,
О2 = в Москве нет тумана, Р(О\) = 0,1 и Р(О2) = 0,9. Сц = лететь самолетом,
в Москве туман. С\2 = лететь самолетом, в Москве нет тумана. С2\ — ехать
поездом, в Москве туман. С22 = ехать поездом, в Москве нет тумана. Так
как время, сэкономленное в пути, является единственной полезностью, то
w(Cii) = -10, w(C,2) = -1, w(C2i) = -8, и(С22) = -8.
Рассмотрим теперь, как вычислять полезности исходов. В этом
случае необходимо руководствоваться следующими правилами.
Ш. Относительно любых двух исходов субъект, принимающий
решение, должен или предпочесть один другому, или признать их
равноценными.
П2. Если один исход предпочитается другому, то его полезность
должна быть больше полезности последнего.
85 Речь идет о начале 90-х годов прошлого века, когда еще не было «Сапсанов»

448
ПЗ. Если имеются три таких исхода, что первый из них
предпочитается второму, второй — третьему, то первый исход должен также
предпочитаться третьему.
П4. Если имеются три таких исхода, что первый предпочитается
второму, второй — третьему, то существует некоторое значение вероятности
х, такое что субъекту, принимающему решение, безразлично, выбирать
второй исход или заключать пари на получение первого исхода с
вероятностью х и третьего исхода с вероятностью A — х).
Применение данных правил приводит к построению функции полез-
О/Г
ности исходов дерева решения. Приведем поясняющий пример.
Некий молодой человек, увидев на противоположной стороне улицы
привлекательную девушку, решает, переходить ему улицу, чтобы
познакомиться и в перспективе жениться на ней, или не переходить.
Пересечение улицы является небезопасным делом: имеется вероятность быть
сбитым машиной.
Пусть А\ = переходить улицу, А2 = не переходить улицу. О\ = быть
сбитым, О2 = не быть сбитым. Р(О\) = х, Р(О2) = A — jc). Си = быть сбитым
при переходе, С\2 = благополучно перейти улицу, С2 = не переходить
улицу. Пусть значения полезностей исходов учитывают возможность
жениться на привлекательной девушке, быть сбитым и остаться холостым: и(Сп)
= -10, и(С\2)= 10, и(С2) = ? Дерево решения имеет следующий вид:
-10 рублей
10 рублей
Допустим, молодой человек, руководствуясь правилами Ш- ПЗ,
приходит к выводу, что для него жениться на привлекательной девушке
более предпочтительно, чем остаться холостым, и остаться холостым более
предпочтительно, чем быть сбитым машиной. Оба предпочтения
порождают следующее упорядочение полезностей исходов:
w(Ci2)>w(C2)>w(Cii).
По условиям задачи полезности исходов С\2 и Си известны, а
значение полезности исхода С2 не известно. Чтобы его вычислить, обратимся к
86
Чернов Г., Мозес Л. Элементарная теория статистических решений. М., 1962. - С.
90-91.

449
правилу П4. Согласно этому правилу, значение полезности и(С2) равно при
некотором значении х взвешенной смеси исхода С\2с вероятностью х и
исхода Си с вероятностью A — х), то есть
и{С2) = и(С12)х + м(Сп)A - jc) = IOjc + (-10)A -*) = 20х - 10.
Итак, мы получили, что и(С2) = 20.x — 10. Иными словами, значение
полезности исхода С2 определяется исключительно значением
субъективной вероятности благополучного перехода улицы. При х = 1 и(С2) = и(С\2),
при х = 0 и(С2) = и{С\\). Во всех остальных случаях значение полезности
располагается где-то между указанными величинами. Таким образом,
задача вычисления полезности оказалась сведенной к задаче вычисления
субъективной вероятности. Кроме того, рассматривая вероятностные оценки в
качестве аргументов, мы получаем для приведенного упорядочения исходов
некоторую функцию полезности.
Теперь допустим, что для молодого человека быть холостым более
предпочтительно, чем быть женатым, и быть женатым более
предпочтительно, чем быть сбитым. В этом случае упорядочение исходов имеет
следующий вид: и(С2)> >и(С\2) > м(Сц). Согласно правилу П4, составляем
уравнение и решаем его: u(Ci2) = и(С2)х + м(Сц)A —х). и(С2) = 20/х - 10.
И для данного упорядочения исходов задача вычисления полезности
С2 свелась к вычислению субъективной вероятности благополучного
перехода через улицу. Как и в первом случае, вероятностные оценки
определяют функцию полезности рассматриваемых исходов, отличающуюся по
своим значениям от функции, определенной первым упорядочением. В
частности, хотя при х = 1 и(С2) = и(С\2), но при х —> 0 и{С2) —> оо.
Соответственно значение х = 0 исключается. Иными словами, если молодой человек
желает остаться холостым, то даже гарантированный переход через улицу
обладает наименьшей полезностью. Наоборот, чем больше риск быть
сбитым при переходе, тем больше для него значение полезности исхода «не
переходить улицу и остаться холостым». Таким образом, расчеты лишь
подтверждают упорядочение исходов.
Приведенные правила вычисления полезностей позволяют
обходиться без конкретных числовых значений. Достаточно лишь установить
между исходами отношение предпочтения. Допустим, мы имеем следующее
упорядочение: и(С\2) > и(С2) > и(С\\). Приравниваем наивысшее значение
полезности единице, наименьшее значение — нулю. Получаем 1 > и(С2) >
0. Далее действуем по известному правилу: составляем и решаем
уравнение и(С2) = и(С\2) + и(С\\){\ -х) = х. Его результат говорит о том, что,
значение полезности исхода С2 совпадает со значением субъективной
вероятности благополучного перехода улицы. Определенная таким образом функ-

450
ция полезности в качественном отношении ничем не отличается от ранее
рассмотренных.
4. ОЖИДАЕМОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПОЛЕЗНОСТИ.
УПРОЩЕНИЕ ДЕРЕВА РЕШЕНИЯ.
ОСНОВНОЕ ПРАВИЛО ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЯ
Допустим, игроку необходимо сделать выбор между двумя играми.
Первая игра: игрок бросает симметричную монету и выигрывает 100
рублей, если выпадает герб, и проигрывает 50 рублей, если выпадает цифра.
Вторая игра: игрок бросает ту же монету и выигрывает 5 рублей, если
выпадет герб, и проигрывает 2 рубля, если выпадет цифра.
В этом примере: А\ = играть в первую игру, А2 = играть во вторую
игру. О\ = выпадает герб, О2 = выпадает цифра. Р(О\) = Р(О2) = 0,5. Си = в
первой игре выпадает герб, С\2 = в первой игре выпадает цифра. Пусть
полезность исходов измеряется только деньгами. Тогда и(С\\) = 100, и(С\2) =
-50, и(С2\) = 5, и(С22)= -2. Дерево решения имеет следующий вид:
Каждая альтернатива имеет два возможных исхода, зависящие от
того, какое объективное событие произойдет — выпадет герб или цифра.
Следовательно, оценивая альтернативы, мы должны как-то учитывать
вероятности и полезности исходов. Простым приемом, позволяющим
сделать это, является вычисление ожидаемого значения альтернативы
по известным вероятностям и полезностям ее исходов. Ожидаемое
значение альтернативы равно взвешенной сумме значений ее исходов, где в
качестве весов выступают вероятности соответствующих исходов. Так,
ожидаемое значение А\ равно 0,5 хЮО + 0,5 х (-50) = 25. Ожидаемое
значение А2 равно 0,5 х 5 +0,5 х (-2) = 1,5.
О чем говорит ожидаемое значение той или иной альтернативы?
Оно не является действительным значением полезности. Это тот резуль-

451
тат, который можно ожидать в среднем при многократном бросании
монеты, причем он тем точнее, чем больше бросаний монеты
производится.
Вычисление ожидаемых значений полезности позволяет упрощать
дерево решения.
Усложним наш пример с бросанием монеты. Добавим третью
альтернативу: если монета выпадает гербом, то игрок получает 200 рублей,
а если цифрой, то проигрывает 100 рублей. Если монета первый раз
выпадает гербом, то игроку разрешается бросить правильную игральную
кость. При выпадении шести очков игрок получает 1000 рублей, в
противном случае проигрывает 400 рублей.
Новым объективным событием, от которого зависит выбор
альтернатив, является игральная кость. Имеем: О3 = выпадает шесть очков, <94
= выпадает любое очко, кроме шести. Р{О^) = 1/6, Р(О*) = 5/6. Сз\ =
выпадает герб и шесть очков, С32 = выпадает герб и любое очко, кроме
шести, Сзз = выпадает цифра, а затем герб, С34 = выпадает цифра, а затем
снова цифра, и{Съх) = 1000, и(С32) = -400, и(С33) -200, и(С34) = -100. В
целом дерево решений имеет следующий вид:
200
-100
Ожидаемые значения первой и второй альтернатив нам известны.
Вычислим ожидаемое значение полезности третьей альтернативы.
Сначала примем во внимание последнее бросание монеты и игральной
кости. Получаем: 1/6 х 1000 + 5/6 х(-400) = -166,7; 0,5 х 200 + 0,5 х (-100) =
50.
С этими и предыдущими значениями полезности дерево решения
упрощается до:

452
Так как альтернатива Аз содержит точку ветвления, то продолжаем
наши вычисления: 0,5х (-166,7) + 0,5 х 50 = -58,3. Окончательный вариант
упрощенного дерева имеет следующий вид:
Итак, упростить дерево решения означает вычислить там, где
неизвестны действительные значения полезности, ожидаемые значения
полезности альтернатив. Только после приведения дерева к упрощенному виду
можно производить выбор среди альтернатив, то есть принимать решение
в собственном смысле слова.
Основное правило принятия решения было сформулировано
английским математиком Т. Байесом (XVIII в.): принимай ту альтернативу,
чья ожидаемая или действительная полезность больше. С этим
правилом мы уже сталкивались при обсуждении техники вычисления полезно-
стей исходов (см. П2).
Согласно основному правилу принятия решения, в последнем
примере мы должны предпочесть альтернативу^!, то есть выбрать первую
игру. Только А\ гарантирует в среднем выигрыш. Прочие альтернативы ведут
также в среднем к проигрышу, причем наиболее значительный ожидает
игрока при выборе A$.

453
5. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ
ОПРЕДЕЛЕННОСТИ, РИСКА И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
В зависимости от того, известны вероятности объективных событий,
влияющих на решение, или нет, различают три вида решения проблемы:
1) принятия решения в условиях определенности, когда достоверно
известно, какое из событий произойдет;
2) принятие решения в условиях риска, когда вероятности события
известны, но ни одно не происходит с достоверностью;
3) принятие решения в условиях неопределенности, когда
вероятности событий неизвестны. Рассмотрим их последовательно.
Принимать решение в условиях определенности — означает знать,
какое из событий произойдет обязательно. Выбирается та альтернатива,
которая при данном событии имеет наивысшее значение полезности для
субъекта, принимающего решение. Если мы знаем, что дождь пойдет с
определенностью, то из двух альтернатив: А\ = брать зонт и Ai = не брать
зонт — предпочтение, без всякого сомнения, будет отдано первой, как
имеющей относительно данного события наивысшее значение полезности.
Знание событий с достоверностью представляет исключение.
Поэтому самой распространенной ситуацией является принятие решений в
условиях риска — вероятности событий известны, но ни одна из них не
является максимальной.
Когда решение принимается в условиях риска, дерево решения
включает ветви с вероятностями. Поэтому дерево решения сначала упрощается
до тех пор, пока не будут известны ожидаемые значения полезностей
каждой из альтернатив. Затем выбирается альтернатива с наибольшим
значением ожидаемой полезности.
Упрощение дерева решения из второго примера параграфа 2 дает
следующий результат:
-10
-28
Так как первая альтернатива имеет большее значение ожидаемой
полезности, то ее и следует предпочесть, то есть молодому человеку следует
купить билет. В противном случае он рискует потерять гораздо больше.

454
Упрощение дерева из третьего примера параграфа 2 дает следующий
результат:
25
4,5
О
В этом примере следует предпочесть первую альтернативу, то есть
выбрать первую игру.
В четвертом примере параграфа 2, как нетрудно подсчитать, девушке
имеет смысл выбрать альтернативу А4 в том случае, если субъективная
вероятность ее контрхитрости больше 0,25. Допустим, для примера, что х =
0,3. Тогда дерево решения упрощается до вида
-100
-100
-50
-40
Из всех приведенных альтернатив А4 имеет наибольшее значение
ожидаемой полезности. Следовательно, девушке имеет смысл ответить
хитростью на хитрость ростовщика (что и рекомендует Эдвард де Боно в
качестве примера творческого решения данной проблемы).
Итак, принять решение в условиях риска означает выбрать ту
альтернативу, которая имеет наибольшую ожидаемую полезность для
данных объективных событий.
Под неопределенностью в теории принятия решений понимается
отсутствие всяких знаний о вероятностях объективных событий. Такая
ситуация, как и полная определенность, весьма редка, но все-таки
возможна. Как действовать в таком случае?

455
Предложенные способы решения легче всего объяснить с
помощью конкретного примера.
Директор фабрики, чтобы увеличить прибыль, должен выбрать
одно из двух действий: А\ = выпустить новый товар, А2 = модернизировать
старый. Объективными событиями, влияющими на выбор, являются: О\
= производство должно быть расширено, О2 = производство должно
остаться в прежнем объеме. Вероятности этих событий директору
неизвестны, так как подобный товар ранее не выпускался. Сц = новый товар
выпущен, производство расширено. С\2 = новый товар выпущен,
производство оставлено в прежнем объеме. С2\ — модернизирован старый
товар, производство расширено. С22 = модернизирован старый товар,
производство оставлено в прежнем объеме. Была вычислена ожидаемая
прибыль в единицах годового дохода (млн. рублей): и(Сц) = 50, и(С\2) =
30, и(С2\) = 25, и(С22) =10. Дерево решения имеет следующий вид:
Приведенное дерево не содержит никаких вероятностей
объективных событий. Поэтому директору следует принимать решение,
основываясь на следующих критериях и здравом смысле руководителя.
Критерий Гурвица*1
Согласно этому наиболее оптимистичному критерию, объективные
события всегда благоприятствуют субъекту, принимающему решение.
Следовательно, сначала для каждой альтернативы оставляем исходы с
максимальным значением полезности. В результате исходное дерево
упрощается до:
87 Этот и следующие два критерия носят имена их авторов. Л. Гурвиц, А. Вальд,
Л. Сэвидж — крупные специалисты в области теории и практики принятия решений.

456
50
25
Затем из оставшихся альтернатив выбираем ту, которая имеет
наивысшее значение полезности, то есть выбираем А\.
Оптимизм, присущий данному критерию, может быть уменьшен
введением различных коэффициентов осторожности. Например, пусть
директор считает, что вероятность максимальной прибыли для каждой
альтернативы равна 0.7. Тогда 0,7 х 50 + 0,3 х 30 = 44 и 0,7 х 25 + 0,3 х 10 = 20,5. В
этом случае исходное дерево упрощается до:
44
20,5
С данным коэффициентом осторожности директор снова должен
предпочесть альтернативу А \.
Критерий Вальда
Данный критерий противоположен только что рассмотренному, так
как основан на допущении, что объективные события всегда против
субъекта, принимающего решение. Согласно этому критерию, следует
предпочитать для каждой альтернативы исходы с минимальными значениями
полезности и уже среди них выбирать альтернативу, обладающую
наибольшим значением полезности. Согласно данному критерию, исходное дерево
упрощается до:
30
10
и выбирается альтернатива А\, как обладающая большей полезностью.

457
Критерий Сэвиджа
Данный критерий основан на предположении, что субъект,
принимающий решение, может испытывать сожаление после того, как решение
принято и то или иное событие произошло. Следовательно, субъекту
желательно минимизировать величину сожаления до принятия решения.
Величина сожаления равна разнице между максимально возможным значением
и актуальным значением полезности исхода для данного действия и
события.
Вернемся к исходному дереву. Если директор выбирает А\
и произойдет О и то он получит максимум из того, что возможно.
Следовательно, величина сожаления в этом случае равна: 50-50 = 0. Если директор
выбирает Аг и произойдет событие О\, то величина сожаления будет равна:
50-25 = 25. Теперь допустим, что директор выбирает Аи но происходит
событие 02. Тогда величина сожаления равна: 30—10 = 20. В итоге
исходное дерево превращается в следующее дерево сожаления:
0
0
о
Дерево сожаления упрощается согласно следующему правилу: для
каждой альтернативы отыскиваются исходы с максимальным значением
сожаления; остальные отбрасываются. Упрощенное дерево сожаления
имеет следующий вид:
0
20
Если директор желает застраховать себя от сожаления, то ему
следует выбрать альтернативу А \.

458
Критерий Лапласа
Данный критерий носит имя известного французского математика
П. Лапласа, но фактически он был известен еще в античные времена. Суть
критерия проста: когда нет оснований считать одни события более (менее)
вероятными, чем другие, тогда их следует считать равновероятными. Этим
критерием вводятся вероятности событий и порождается следующее
дерево решения:
50
30
25
10
которое упрощается до:
40
17,5
Согласно общему правилу принятия решения, директор должен
выбрать альтернативу Аи как обладающую наибольшим значением
ожидаемой полезности (прибыли).
В приведенном примере все критерии рекомендуют выбирать
первую альтернативу. Такой результат является случайным совпадением. На
самом деле рекомендуемые выборы, как правило, не совпадают. В качестве
подтверждения рассмотрим другой пример88.
На скачках каждый участник имеет следующие альтернативы: А\ =
не заключать пари; А2 = заключить пари, что лошадь займет первое место;
Аъ = заключить пари, что лошадь займет второе место; А^ = заключить
пари, что лошадь займет третье место. Объективными событиями являются:
О\ = лошадь заняла первое место; О2 = лошадь заняла второе место; 03 =
лошадь заняла третье место; О4 = лошадь проиграла (не заняла ни одного
призового места). Не выписывая всех исходов, что предлагается сделать
88 Shuchman A. Scientific Decision Making in Business: Readings in Operations Research
for Nonmathematicians. New York, 1963. -P. 313- 332.

459
читателю, приведем дерево решения (значения полезностей измеряются в
долларах):
?
О
о,
о2
Оз
о4
о,
о2
Оз
о4
О,
о2
Оз
о4
8
-2
-2
-2
2
-2
-2
1
2
3
-2
Для применения критерия Гурвица допустим, что коэффициент
осторожности равен 0,5. Оставив для каждой альтернативы худший и самый
худший исходы, получаем
?
которое упрощается до
0
3
1,5
0,5

460
ритерий Гурвица рекомендует выбирать альтернативу с
наибольшим значением полезности. Такой альтернативой является А2.
Чтобы применить критерий Вальда, оставим для каждой
альтернативы исходы с наименьшим значением полезности. Получаем
следующее дерево:
0
-2
-2
-2
Согласно данному критерию, среди наихудших исходов надо найти
альтернативу с наибольшим значением полезности. Таковой альтернативой
является^!.
Для применения критерия Сэвиджа строим сначала дерево
сожалений:
?
8
5
3
О
О
7
5
2
о2
03
о4
о.
о2
О3
о4
6
0
5
2
7
3
0
2
Оставляя для каждой альтернативы максимальное значение
сожаления, упрощаем дерево сожалений:

461
8
7
6
7
Согласно критерию Сэвиджа, мы должны выбрать из наибольших
значений сожаления наименьший. Следовательно, нам следует выбрать^.
Если признать все события равновероятными, как того требует
критерий Лапласа, тогда после очевидных вычислений получаем следующее
дерево решения:
О
0,5
0,75
1
Применяя общее правило принятия решения, получаем, что нам
следует выбрать А^ так как только эта альтернатива обладает наивысшим
значением полезности.
Итак, согласно критерию Гурвица, нам следует заключить пари на
первое место. Согласно критерию Вальда, лучше всего вообще не
заключать пари. Критерий Сэвиджа рекомендует заключить пари на второе
место. Наконец, согласно критерию Лапласа, вероятнее всего, что лошадь
займет третье место. Какой выбор сделать в данном случае? Ответ на этот
вопрос после теоретического анализа следует, очевидно, искать, опираясь
уже на здравый смысл и личный опыт.

462
6. ДОЛЖЕН ЛИ БЫЛ ЕВАТЛ ПЛАТИТЬ
ЗА СВОЕ ОБУЧЕНИЕ?
(Анализ одного парадокса в терминах теории принятия решений)
Содержание парадокса и предварительный анализ были изложены
ранее (см. гл. II, 5). Было установлено, что спор Протагора с Еватлом в
зависимости от решения суда имеет два альтернативных исхода. Если Еватл
проигрывает процесс, то он платит Протагору по суду и не платит по
договору. Если Еватл выигрывает процесс, то он не платит Протагору по суду,
но платит по договору.
Как интерпретировать указанные исходы? Ответ на этот вопрос
составляет содержание данного параграфа.
Имеются три возможности интерпретации. Во-первых, можно
считать, что независимо от решения суда Протагор выигрывает спор,
поскольку в случае проигрыша в суде Еватл платит за обучение по суду, а в случае
выигрыша — по договору. Однако это неверно, потому что при этом не
учитывается обратная направленность платежных действий, входящих в
одну и ту же альтернативу. Во-вторых, если принять последнее замечание
к сведению, можно считать, что обратная направленность платежей по
суду и по договору приводит к общему нулевому исходу независимо от
решения суда. Однако и эта возможность неверна, потому что упускает из
виду начальное состояние спора, именно, что Еватл является должником
Протагора. Учет этого фактора рождает третью возможность, которую
необходимо исследовать более подробно.
Пусть X обозначает стоимость обучения Еватла у Протагора. По
условиям спора Еватл прошел курс обучения у Протагора, но не заплатил за
него. Следовательно, Еватл приобрел X единиц стоимости, а Протагор
потерял X единиц стоимости или, что то же самое, приобрел -А" единиц
стоимости.
Рассмотрим первую альтернативу: Еватл платит за обучение по суду
и не платит по договору. Отметим, что освобождение Еватла от платы за
обучение по суду или по договору равносильно внесению этой платы
самим Протагором в форме соответствующих издержек, понесенных в
процессе обучения. Согласно данной альтернативе, имеет место следующая
цепочка платежей. Еватл — владелец X единиц стоимости по условию
спора; Еватл платит Протагору X единиц стоимости по суду: X - X = 0;
Еватл освобождается от уплаты обучения по договору: 0 + Х= X. Общий
исход спора для Еватла в данном случае положительный: он сохраняет
начальные X единиц стоимости, то есть не платит Протагору за свое
обучение и, таким образом, выигрывает спор.

463
Эта же альтернатива с точки зрения Протагора выглядит так.
Протагор — владелец -X единиц стоимости по условию спора; Еватл платит
Протагору по суду за обучение ^единиц стоимости: —X + X— 0; Еватл
освобождается от платы за обучение по договору, то есть платит Протагор: 0
—X = —X. Общий исход для Протагора, согласно данной альтернативе,
отрицательный: он не получает платы за обучение от Еватла, не возмещает
свои издержки и тем самым проигрывает спор.
Рассмотрим теперь вторую альтернативу: Еватл не платит по суду,
но платит за обучение по договору. С точки зрения Еватла, имеет место
следующая цепочка платежей. Еватл — владелец X единиц стоимости по
условиям спора; Еватл освобождается от платы за обучение по суду: X — 0
= Х\ Еватл платит Протагору за обучение по договору: X — X = 0. Общий
исход для Еватла, согласно данной альтернативе, отрицательный: он
вынужден заплатить Протагору за свое обучение и, таким образом, проиграть
спор.
С точки зрения Протагора, имеет место следующая цепочка
платежей. Протагор — владелец -X единиц стоимости по условиям спора; Еватл
освобождается от платы за обучение по суду: —Х+ 0 = -X; Еватл платит за
обучение по договору: —X + X = 0. Общий исход спора для Протагора,
согласно данной альтернативе, положительный: он получает от Еватла плату
за обучение, покрывает свои издержки и, таким образом, выигрывает спор.
Для большей ясности все платежи сведены в таблицу.
Участники спора
Платежи в
начале спора
Решение суда
Плата по суду
Плата по договору
Окончательные
платежи
Итоги спора
Еватл
X
Проиграл
Х-Х
Х-Х + Х
X
Выиграл
Выиграл
Х-0
Х-О-Х
0
Приграл
Протагор
-X
Проиграл
-Х+0
-X + 0 + X
0
Выиграл
Выиграл
-Х + Х
-х + х-х
-X
Проиграл
В условиях спора не содержится никакой информации о шансах на
победу его участников. В этой ситуации разумно допустить, что как
Протагор, так и Еватл имеют равные шансы на выигрыш.
Другими словами, победа любого из них представляет случайное
событие. В этом состоит логическое содержание рассматриваемого спора,
которое, как очевидно, не исчерпывает всей проблемы. Чтобы увидеть это,
расширим рамки нашего анализа и допустим, что Протагор еще только
раздумывает, подавать ему в суд на Еватла или нет. Допустим также, что

464
между решением суда и исходами спора установлена прямая связь (см. об
этом с. 66).
В этой ситуации имеются следующие возможности. Протагор либо
подает в суд на Еватла, либо не подает. Если не подает, то теряет не только
X единиц стоимости, но и определенную часть своей репутации как
учителя. Обозначим этот исход как С\. Если Протагор подает в суд на Еватла,
то, как уже установлено, он с равной вероятностью может выиграть или
проиграть судебный процесс. Обозначим этот сложный исход,
включающий две возможности, как С2. Если Протагор выигрывает процесс, то он не
только компенсирует X единиц стоимости, но и подтверждает свой
авторитет как учителя. Обозначим этот исход как С\2. Если Протагор
проигрывает процесс, то он не только теряет X единиц стоимости, но и подрывает
свою репутацию как учителя. Обозначим этот исход как С22. Очевидно, что
полезность исходов С\9 С2\ и С22 для Протагора неодинакова. Отобразим
полезности указанных исходов на шкалу от 0 до 1 таким образом, что
и{Сг\) = 1, и(С22) = 0. Остается вычислить полезность исхода С\. Допуская,
что значение полезности С\ находится между 0 и 1, получаем следующее
упорядочение: и(С2\) > и(С\) < и(С22). Подставляя числовые значения,
получаем: 1 < и{С\) < 0, откуда следует, что и(С\) = х (х — некоторое
значение вероятности). Итак, значение полезности того, что Протагор не подаст
в суд на Еватла, равно субъективной вероятности этого исхода.
Построим дерево решения с точки зрения Протагора. Пусть А \ =
подавать в суд на Еватла, А2 = не подавать в суд на Еватла. Дерево решения
имеет следующий вид:
А
В приведенном дереве значение х лежит в интервале @, 1), исходы
С2\ и С22 равновероятны ввиду случайного выигрыша участников спора.
Приведенное дерево упрощается до:
0,5

465
Из анализа упрощенного дерева немедленно следует, что для того,
чтобы Протагор предпочел А\ альтернативе А^ то есть подал в суд на
Еватла, субъективная вероятность А2 должна быть меньше 0,5. Можно с
большой уверенностью предположить, что одних только требований
престижа будет достаточно, чтобы приписать А2 вероятность, меньшую 0,5.
Иными словами, очень вероятно, что даже при равных с Еватлом шансах
выиграть Протагор подаст на него в суд.
Таким образом, теория принятия решений позволяет учитывать,
кроме логических, также и психологические условия поведения человека.
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Попробуйте привести дополнительные аргументы в защиту тезиса,
что совершать осознанное действие и принимать решение — это одно и то
же. Если вы не согласны с данным тезисом, приведите контраргументы.
2. Попробуйте сформулировать нетворческую и творческую
альтернативы в решении следующей проблемы. Требуется четырьмя прямыми
линиями соединить девять точек, образующих квадрат, не отрывая
карандаша от бумаги (см. рисунок) (Р. Акофф. Искусство решения проблем. М.,
1982.-С. 11-14.).
3. Постройте дерево решения с учетом указанных И. А. Крыловым
альтернатив, вероятностей и полезностей исходов в следующей басне.
КОТИ ПОВАР
Какой-то Повар, грамотей,
С поварни побежал своей
В кабак (он набожных был правил
И в этот день по куме тризну правил),
А дома стеречь съестное от мышей

466
Кота оставил.
Но что же, возвратясь, он видит? На полу
Объедки пирога; а Васька-Кот в углу,
Припав за уксусным бочонком,
Мурлыча и ворча, трудится над курчонком.
«Ах ты, обжора! ах злодей! —
Тут Ваську Повар укоряет, —
Не стыдно ль стен тебе, не только что людей?
(А Васька все-таки курчонка убирает).
Тут ритор мой, дав волю слов теченью,
Не находил конца нравоученью,
Но что ж? Пока он пел,
Кот Васька все жаркое съел.
А я бы повару иному
Велел на стенке зарубить:
Чтоб там речей не тратить по-пустому,
Где нужно власть употребить.
4. Проанализируйте в терминах принятия решений следующие
рассуждения:
а) Одна жрица не позволяла своему сыну говорить политические
речи на том основании, что если он будет говорить справедливое, его
возненавидят люди, а если несправедливое — боги. На что сын, согласно
Аристотелю, мог бы ответить, что он может говорить политические речи, так
как если он будет говорить справедливое, то его полюбят боги, если
несправедливое — люди {Аристотель. Риторика // Античные риторики. М.,
1978. С. 116).
б) Крокодил выхватил у египтянки, стоявшей на берегу Нила, ее
ребенка. На просьбу матери вернуть ребенка крокодил выдвинул условие:
мать должна угадать, отдаст он ребенка или нет. Если мать угадает, то
крокодил возвращает ребенка; если не угадает, ребенок остается у
крокодила. Подумав, мать ответила, что крокодил не отдаст ей ребенка.
Выслушав мать, крокодил сообщил, что не может отдать ей ребенка
по следующим причинам. Мать говорит либо правду, либо неправду. Если
мать угадала, то крокодил не должен отдавать ей ребенка, так как в
противном случае это не было бы правдой. Если же нет, то мать не угадала, и
он не должен отдавать ей ребенка по уговору.
Мать не согласилась с доводами крокодила. По ее мнению, если она
угадала, то ребенок должен быть возвращен ей по уговору, а если не
угадала, то ребенок должен быть также возвращен, так как в противном
случае ее ответ не будет неправдой.

467
ГЛАВА IX. ЛОГИКА ОБЩЕНИЯ И РАЗРЕШЕНИЯ
КОНФЛИКТОВ
Так как приятно все согласное с природой, а все родственное
соответствует друг другу по природе, то по большей части все
родственное и подобное приятно, например человек приятен для
человека, лошадь для лошади, юноша для юноши, откуда и произошли
поговорки, что сверстники веселят сверстника, что всякий ищет себе
подобного...
Аристотель. Риторика.
Если мы любим какой-нибудь подобный нам предмет, то мы
стараемся, насколько возможно, сделать так, чтобы и он нас любил.
Б. Спиноза. Этика.
Конфликт составляет начальный смысл бытия—для—других.
Ж. П. Сартр. Бытие и ничто.
1. ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О ЛОГИКЕ ОБЩЕНИЯ
И РАЗРЕШЕНИЯ КОНФЛИКТОВ89
Почему люди всегда ищут себе подобных? Почему они стремятся к
соответствию, согласованности своих мыслей, поступков и отношений с
другими людьми, включая самих себя? Почему, тем не менее, конфликты
являются неотъемлемой частью человеческого существования? Среди
многих ответов на эти вопросы, данных в разное время и разными авторами,
особого внимания заслуживают два. Один из них получил название теории
on
когнитивного диссонанса , другой — теории структурного баланса
восприятия и оценки межличностных отношений х. Обе теории были
подвергнуты тщательному анализу, многократным экспериментальным проверкам
и различным обобщениям.
Согласно теории когнитивного диссонанса, человек не просто
обладает определенными знаниями, убеждениями, представлениями о себе,
других людях, вещах, событиях и т. п. Каждый человек стремится к тому,
чтобы все эти когнитивные элементы (когниции, в терминологии
Л. Фестингера), во-первых, соответствовали реальности и, во-вторых,
соответствовали друг другу. В противном случае человек попадает в состоя-
89 Систематическое изложение всех тем настоящей главы содержится в: Светлов В. А.
Введение в единую теорию анализа и разрешения конфликтов. М., «Либроком» 2012.
90 Festinger L. Theory of Cognitive Dissonance. Stanford, 1957.
91 Heider F. The Psychology of Interpersonal Relations. New York, 1959. - P. 174-217.

468
ние когнитивного диссонанса (несоответствия, противоречия). У молодого
человека, начавшего курить, возникает диссонанс между желанием
казаться мужественным и знанием о вредных последствиях этой привычки.
Основное допущение теории когнитивного диссонанса состоит в
том, что человек, находящийся в состоянии когнитивного диссонанса,
будет разными способами стремиться уменьшить или устранить его
полностью. Молодой курильщик может сделать это двумя способами. Во-
первых, он может уменьшить субъективное значение вредных последствий
курения, сославшись на получаемое удовольствие, имидж смельчака,
презирающего опасности, информацию о том, что некоторые заядлые
курильщики дожили до глубокой старости и т. п. Во-вторых, он может
бросить курить. Какую из этих альтернатив выберет молодой человек?
Данный вопрос не является основным для теории когнитивного диссонанса.
Главное состоит в том, что молодой человек должен сделать выбор.
Теория структурного баланса расширяет концепцию когнитивного
диссонанса, включая в число ее базисных элементов не только когниции,
но и межличностные отношения. Соответственно понятие «когнитивный
диссонанс» заменяется на более общее понятие «структурный дисбаланс».
Основное допущение теории структурного баланса состоит в
следующем. Если в некоторой системе межличностных отношений нет
состояния баланса (соответствия), тогда возникают силы, стремящиеся эту
систему сбалансировать посредством изменения отношений внутри
системы, когниции субъектов или того и другого одновременно. Если же
никакие изменения невозможны, то в несбалансированной системе будет
возрастать напряжение. Например, несбалансированной является система
отношений «А любит В. В безразличен к А». Состояние баланса может быть
достигнуто либо изменением отношения А к В, либо отношения В к А,
либо тем и другим.
Обе теории в разных терминах утверждают, в сущности, одно и то
же: если когниции какого-либо человека несовместимы друг с другом или
с реальностью, если его отношения с самим собой или с другими людьми
не сбалансированы, то он находится в состоянии конфликта и вынужден
развить деятельность по его разрешению или устранению. С этой точки
зрения конфликт представляет собой не деструктивную, а конструктивную
силу, именно — движущую силу человеческого поведения, тот жизненный
импульс, без которого невозможна никакая активность.
Понятие «конфликт» достаточно многозначно.
Мы понимаем под конфликтом любое несоответствие мыслей,
желаний, намерений, действий и их результатов, отношений людей либо друг
к другу, либо реальности, становящееся причиной направленных действий
по его уменьшению, разрешению или устранению.

469
Конфликт представляет особую разновидность асимметрии,
присущей всей природе, и может быть без всякого преувеличения назван
движущей силой человеческого поведения.
Несмотря на бесконечное разнообразие видов конфликта,
существует всего лишь одно требование к их рациональному разрешению.
Неформально оно звучит так: любой конфликт переходит в стадию (не
обязательно эффективного) разрешения, если и только если его субъекты
(элементы) оказываются в равных (симметричных) отношениях друг с
другом. Только при таких отношениях люди обладают равными
возможностями воздействия друг на друга или на какую-то вещь. Только при таких
отношениях люди достигают максимума комфорта, свободы, состояния
безопасности. Неудивительно поэтому, что все мы стремимся к общению с
себе подобными и избегаем всех неравноценных ситуаций.
Парадокс, однако, состоит в том, что по независящим от человека
причинам он не может пребывать в бесконфликтном состоянии бесконечно
долго. Большая часть жизненного универсума человека изменяется
независимо от него. Чтобы выжить, ему приходится периодически перестраивать
свои отношения, приобретать новых друзей и новых врагов, то есть
разрешать одни конфликты, становиться субъектом и объектом других.
Итак, когда мы говорим об общении, то имеем в виду не некоторое
статическое состояние, а динамический процесс, целью которого является
достижение баланса, соответствия всех элементов коммуникационной
системы, а движущей причиной — присущий этой системе конфликт.
2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ОБЩЕНИЮ
В ТЕРМИНАХ ТЕОРИИ ГРАФОВ
Задачи по общению (разрешению конфликтов) можно решать
различными методами. Наиболее простым и эффективным является анализ в
терминах теории графов92.
Введем несколько предварительных понятий.
Линейный граф, или просто граф, состоит из конечного непустого
множества неупорядоченных точек А, В, С, ..., некоторые или все пары
которого соединены линиями.
Направленный граф, или диграф, есть граф, все или некоторые пары
точек которого упорядочены (отображают отношения). Упорядоченные
пары точек обозначаются АВ, ВАУ ... В паре АВ первым элементом
является точка А, в паре В А первым элементом является точка В.
92 Harary F., Norman /?., Cartwright D. Structural models: An Introduction to the Theory of
Directed Graphs. New York, 1965. P. 339-361.

470
Каждая точка графа или диграфа обозначает некоторый элемент
коммуникативной системы — субъекта, вещь, идею, ценность, свойство и так
далее Неупорядоченная пара точек обозначает ненаправленную связь,
упорядоченная пара точек — направленную связь. Мы будем называть связь
позитивной, если она выражает некоторую форму единства элементов
коммуникативной системы — подобие, принадлежность, включенность,
симпатию, обладание и т. п. Связь будет называться негативной, если она
выражает некоторую форму разъединения элементов. Позитивные связи
будут обозначаться знаком «+», негативные связи — знаком «—».
Означенный граф, или s-граф, есть граф, некоторые линии которого
обозначены как позитивные, а все остальные как негативные.
Означенный диграф, или s-диграф, есть диграф, некоторые линии
которого обозначены как позитивные, а все остальные как негативные.
Примеры графа, диграфа, s-графа, s-диграфа приведены на рис. 1.
В В
А + С А + С
граф диграф s-граф s-диграф
Рис. 1
Путем графа называется множество линий графа вида АВ, ВС, ...,
DE, где точки А, В, С, ..., D, E различны и пары вида АВ и В А не
различаются.
Цикл графа состоит из указанного пути вместе с линией ЕА (линией,
объединяющей первый и последний элементы пути). Длина цикла равна
числу линий в нем.
Путем диграфа называется множество упорядоченных линий вида
АВ, ВС, ..., DE , где точки А, В, С, D, Е различны и пары вида АВ и В А
считаются различными (место, занимаемое каждой буквой, является
существенным).
Цикл диграфа состоит из указанного пути вместе с линией ЕА.
Полуциклом диграфа называется множество линий, образованное
взятием точно одной линии из каждой пары АВ или ВА, ВС или СВ, ..., DE
или ED, АЕ или ЕА.

471
Каждый цикл необходимо является полуциклом. Полуцикл длиной 2
необходимо образует цикл.
Диграф, изображенный на рис. 2, имеет следующие полуциклы:
1. AD, DA (является циклом).
2. AD, DB, АВ (не является циклом).
3. DA, DB, AB (не является циклом).
Рис. 2
Назовем знаком цикла (полуцикла) результат произведения знаков
его линий.
Определение: s-граф сбалансирован, если и только если все его
циклы имеют позитивный знак.
Рассмотрим следующие четыре s-графа (рис. 3).
В
+
а)
С А
В
б)
С
в)
С А
г)
С
Рис. 3
Все четыре 5-графа, изображенные на рис. 3, имеют один и тот же
цикл: АВ, ВС, СА. Вычисление знака каждого из них дает следующий
результат:

472
Согласно определению баланса s-графа, первые два s-графа на рис. 3
сбалансированы, последние два — нет.
Рассмотрим следующие два s-графа (рис. 4).
Рис.4
Каждый из s-графов, изображенных на рис. 4, имеет семь циклов:
\.АВ,ВС,СА
2. АВ, BD, DA
3.BC,CD,DB
4. AC, CD, DA
5. АВ, ВС, CD, DA
6. АВ, BD, DC, CA
7. ВС, CA, AD, DB.
Вычисление знаков циклов доказывает, что первый s-граф на рис. 4
сбалансирован, второй — нет.
Определение: s-диграф сбалансирован, если и только если все его
полуциклы имеют позитивный знак.
Рассмотрим следующие три s-диграфа (рис. 5).
В
В
б)
в)
Рис. 5
Каждый из диграфов, изображенных на рис. 5, содержит три
полуцикла:

473
I.AC, CA\
2.AB, CB, CA;
3.AB, CByAC.
Вычисление знаков s-диграфов показывает, что только средний из
них сбалансирован.
s-Графы и s-диграфы представляют собой графические
интерпретации известных треугольников (и состоящих из них более сложных фигур)
межличностных отношений Ф. Хайдера. Вернемся к s-диграфам на рис. 5.
Пусть А и С — субъекты, В — вещь или идея, к которой оба субъекта
имеют определенные отношения. При этих условиях s-диграф 5а)
читается: если два субъекта симпатизируют друг другу, но противоположным
образом относятся к чему-то значимому для них третьему (то есть к В), то
вся система отношений является несбалансированной, s-диграф 56)
читается: если два субъекта не симпатизируют друг к другу и при этом
противоположным образом относятся друг к другу и чему-то значимому для них
третьему, то вся система отношений является сбалансированной. s-Диграф
5в) читается: если два субъекта противоположным образом относятся друг
к другу и к чему-то значимому для них третьему, то вся система
отношений является несбалансированной.
Назовем несбалансированную систему межличностных отношений
конфликтной.
Основное свойство всех конфликтных систем состоит в следующем.
Если некоторая система отношений оказалась несбалансированной, то в
ней возникают силы, стремящиеся вывести данную систему из состояния
конфликта посредством изменения либо отношений между элементами,
либо знаков отношений, либо того и другого вместе. Данное свойство
является универсальным. Кроме того, оно позволяет прогнозировать
возможные способы разрешения конфликтов.
Рассмотрим несколько примеров по определению конфликтов и
возможных способов их разрешения.
Пример 1
Является ли конфликтной система «У меня болит зуб»? Элементы: А
= я,В = зуб, С = боль.
s-Граф:
+ / \ +
С

474
Интерпретация: так как речь идет о моем зубе, связь между А и В
отмечена знаком «+»; так как зуб болит, связь между В и С отмечена знаком
«+»; так как зубная боль мне неприятна, связь между А и С отмечена
знаком «—».
Цикл системы: АВ, ВС, СА.
Знак цикла: (+) х (+) х (—) = (—).
Ответ: система является конфликтной.
Пример 2
Перечислить все возможные способы разрешения конфликта,
содержащегося в системе «У меня болит зуб», и указать наиболее вероятные из
них.
Определение числа возможных способов разрешения какого-либо
конфликта эквивалентно следующей комбинаторной задаче. Если имеется
цикл (полуцикл) длиной /7, то число возможных способов получения этим
циклом позитивного знака равно 272 = 2(п~!). Общее число возможных
способов разрешения конфликта для s-графа равно числу способов получения
наибольшим циклом (циклом с наибольшей длиной) позитивного знака;
для s-диграфа это число равно числу способов получения наибольшим
полуциклом позитивного знака.
Система «У меня болит зуб» имеет один цикл: АВ, ВС,
СА, Следовательно, общее число способов разрешения конфликта,
содержащегося в данной системе, равно 2C-1)= 4. Перечислим их.
1.(+)х(+)х (+) = (+)
2. (+) х (-) х (-) = (+)
3. (-) х(+)х (-) = (+)
4. В х В х (+) = (+)
Интерпретация.
1. Я не удаляю и не лечу больной зуб, но изменяю негативное
отношение к зубной боли на позитивное.
2. Я вылечиваю больной зуб. Негативное отношение к зубной боли
не изменяется.
3. Я удаляю больной зуб, не вылечивая его. Негативное отношение к
зубной боли не изменяется.
4. Я удаляю больной зуб даже после его лечения. Изменяю
негативное отношение к зубной боли на позитивное.
Из всех возможных способов разрешения конфликта наиболее
вероятными при обычных условиях следует считать второй и третий.

475
Пример 3
Доказать: «Кто воображает, что то, что он ненавидит, уничтожается,
будет чувствовать удовольствие» (Спиноза Б. Избранные произведения.
Т.1.М., 1957.-С. 473).
Элементы: А = человек, В = вещь, С = другая вещь (человек).
Условия: А негативно относится к В, между В и С негативная связь (С
уничтожает В).
Тезис: А позитивно относится к С, или что следующий s-диграф
является единственно возможным:
Доказательство. Полуциклы s-диграфа: АВ, СВ, АС. Знаки первых
двух линий известны по условию, общий знак полуцикла должен быть
позитивным. Составляем уравнение: (—) х (—) х (?) = (+), решая которое,
получаем, что упорядоченная пара АС должна иметь знак (+). Что и
требовалось доказать.
Пример 4
Доказать: «Если мы воображаем, что кто-либо причиняет
удовольствие предмету, который мы ненавидим, то мы будем и его ненавидеть.
Наоборот, если мы воображаем, что он причиняет этому предмету
неудовольствие, мы будем любить его» (Спиноза Б. Избранные произведения. Т. 1. -
С. 475).
Элементы: А = мы, В = вещь, С = произвольный человек, не
принадлежащий к нам.
В приведенном рассуждении содержатся две теоремы. Условиями
первой являются: А негативно относится к В; С позитивно относится к 5.
Условиями второй теоремы являются: А негативно относится к В; С
негативно относится к В. Первый тезис: А негативно относится к С. Второй
тезис: А позитивно относится к С. Иными словами, требуется доказать
единственность следующих д-диграфов соответственно:

476
в в
Доказательство. Оба s-диграфа имеют один и тот же полуцикл: АВ,
СВ, АС. Для первого из них в качестве уравнения получаем: (—) х (+) х (?)
= (+), решая которое получаем, что упорядоченная пара АС должна иметь
знак (—). Для второго s-диграфа в качестве уравнения получаем (-) х (-) х
(?) = (+), решение которого дает нам знак (+). Что и требовалось доказать.
Пример 5
Найти все возможные способы разрешения конфликта в басне
И. А. Крылова «Стрекоза и муравей».
Попрыгунья Стрекоза
Лето красное пропела;
Оглянуться не успела,
Как зима катит в глаза.
Злой тоской удручена
К Муравью ползет она:
«Не оставь меня, кум милой!
Дай ты мне собраться с силой
И до вешних только дней
Прокорми и обогрей!» —
«Кумушка, мне странно это:
Да работала ль ты в лето?» —
Говорит ей Муравей.
«До того ль, голубчик, было?
В мягких муравах у нас
Песни, резвость всякий час.
Так, что голову вскружило». —
«А, так ты...» — «Я без души
Лето целое все пела». —
«Ты все пела? это дело:
Так поди же, попляши!»

477
Элементы: А = Муравей, В = Стрекоза, С = труд, д-диграф басни:
Полуцикл АВ, ВС, АС. Знак полуцикла: (—) х (—) х (+) = (+).
Интерпретация. Муравей и Стрекоза противоположным образом
относятся к лету: первый считает этот сезон временем подготовки к зиме,
вторая — временем безудержного отдыха и веселья. Следовательно,
негативное отношение Муравья к Стрекозе логически обосновано. В
противном случае имел бы место конфликт. Назовем способ разрешения
конфликта, указанный И. А. Крыловым, первым. Другими возможными
способами являются. (-) х (+) х (-) = (+): Муравей меняет свое отношение к
труду на негативное, но продолжает негативно относиться к Стрекозе, так
как она изменила свое отношение к труду на позитивное. (+) х (-) х
х (-) = (+): Муравей меняет свое отношение к труду на негативное и
позитивно относится к Стрекозе, так как та продолжает негативно относиться к
труду. (+) х (+) х (+) = (+): Стрекоза меняет негативное отношение к труду
на позитивное и, как следствие, Муравей начинает позитивно относиться к
Стрекозе.
Второй способ разрешения конфликта представляет зеркальное
отображение первого (Муравей выполняет функции Стрекозы, Стрекоза —
функции Муравья). Третий способ основан на трансформации Муравья в
лентяя и возникновении на этой основе чувства симпатии между обоими
героями. Четвертый способ представляет инверсию третьего. Только здесь
Стрекоза меняет на обратное свое отношение к труду. Если исходить из
общей задачи басни — поучать, давать наставление, то совершенно
очевидно, что И. А. Крылов предложил наиболее убедительный способ
разрешения конфликта.
Пример 6
Выразить с помощью s-диграфов стадии формирования и
разрешения конфликта, изображенного в басне И. А. Крылова «Лисица и
виноград».
Голодная кума Лиса залезла в сад;

478
В нем винограду кисти рделись.
У кумушки глаза и зубы разгорелись,
А кисти сочные, как яхонты горят;
Лишь то беда, висят они высоко:
Отколь и как она к ним ни зайдет,
Хоть видит око,
Да зуб неймет.
Пробившись попусту час целой,
Пошла и говорит с досадою:
«Ну что ж! На взгляд-то он хорош,
Да зелен — ягодки нет зрелой:
Тотчас оскомину набьешь».
Элементы: А = Лисица, В = виноград. s-Диграф, соответствующий
началу басни:
А 4 > В
Полуцикл и его знак: АВ, ВА = (+) х(-) = (-).
Интерпретация: Лисице нравится виноград, но он ей недоступен.
s-Диграф, соответствующий концу басни:
В
Полуцикл и его знак: АВ, ВА = (—) х(-) = (+).
Интерпретация: Лисица меняет позитивное отношение к винограду
на негативное и тем самым разрешает возникший конфликт.
Пример 7
Найти все возможные способы разрешения конфликта в басне
И. А. Крылова «Ворона и Лисица»:
Вороне где-то бог послал кусочек сыру;
На ель Ворона взгромоздясь,
Позавтракать совсем уж было собралась,
Да призадумалась, а сыр во рту держала.
На ту беду Лиса близехонько бежала;

479
Плутовка к дереву на цыпочках подходит;
Вертит хвостом, с Вороны глаз не сводит
И говорит так сладко, чуть дыша:
«Спой, светик, не стыдись! Что, ежели, сестрица,
При красоте такой и петь ты мастерица, —
Ведь ты б у нас была царь-птица!»
Вещуньина с похвал вскружилась голова,
От радости в зобу дыханье сперло, —
И на приветливы Лисицыны слова
Ворона каркнула во все воронье горло:
Сыр выпал — с ним была плутовка такова.
Элементы: А = Ворона, В = сыр, С = Лисица. s-Диграф басни:
Полуциклы системы и их знаки:
I. АВ, ВС, СА = (+) х (-) х (-) = (+).
2.АВ, ВС, АС = (+) х (-) х (+) = (-).
3. АВ, СВ, СА = (+) х (+) х (-) = (-).
4. АВ, СВ, АС = (+) х (+) х (+) = (+).
5. ВА, ВС, СА = (+) х (-) х (-) = (+).
6. ВА, ВС, АС = (+) х (-) х (+) = (-).
7. ВА , СВ, СА = (+) х (+) х (-) = (-).
8. ВА , СВ, АС = (+) х (+) х (+) = (+).
9. АВ, ВА= (+)х (+) = (+).
10. ВС, СВ=(г)х (+) = (-).
II. АС,СА=(+)х (-) = (-).
Интерпретация. Вороне сыр нравится, и он ей принадлежит. Лисе
сыр также нравится, но он ей не принадлежит. Ворона верит обманным ре-

480
чам Лисы, отношение последней к Вороне негативное, так как содержит
умысел отобрать сыр.
Возможные способы разрешения конфликта:
1. Знаки линий АВ, В А и АС меняем на негативные. Знак ВС меняем
на позитивный. Иными словами, Лиса обманом отбирает сыр, вызывая
негативное отношение к себе со стороны Вороны. Этот способ указан
И. А. Крыловым.
2. Знаки линий АС и СВ меняем на негативные. Иными словами,
Ворона перестает верить Лисе, а последняя, увидев это, отказывается от
попытки получить сыр.
3. Знаки САУ ВС меняем на позитивные. Иными словами, Ворона
делится сыром с Лисой и Лиса начинает позитивно относиться к Вороне
(отказывается от умысла отобрать весь сыр).
4. Знаки АВ, В А, СВ меняем на негативные, а знак С А — на
позитивный. Иными словами, Ворона и Лиса обе отказываются от сыра и, как
следствие, начинают позитивно относиться друг к другу.
Поскольку общее число способов разрешения конфликта
определяется по наибольшему полуциклу, то приведенные способы исчерпывают
все возможные варианты. Читателю предлагается самостоятельно обсудить
их достоинства.
Пример 8
Доказать, что действия отца в следующем описании были логически
обоснованными. «Ребенок плохо прибавлял в весе и не хотел есть. Его
родители применяли обычный метод. Они сердились и постоянно приставали
к нему: "Мама хочет, чтобы ты съел то-то и то-то", "Папа хочет, чтобы ты
вырос и стал сильным человеком".
Обращал ли мальчик внимание на эти просьбы? Примерно столько
же, сколько вы обращаете на одну из песчинок на песчаном пляже...
В конце концов он (отец. — В.С.) понял свою ошибку и сказал
самому себе: "Чего хочет мальчик? Как мне связать, что я хочу, с тем, чего
хочет он?"
Когда он стал рассуждать таким образом, все пошло хорошо. У
мальчика был трехколесный велосипед, на котором он любил ездить взад и
вперед по тротуару перед домом в Бруклине. Через несколько домов на
этой улице жил, как выражаются в Голливуде, "бука" — мальчик более
старшего возраста, который стаскивал нашего малыша с его велосипеда и
катался на нем сам.
Естественно, что ребенок с плачем бежал к матери, и ей приходилось
выходить на улицу, снимать "буку" с велосипеда и снова сажать на него
своего ребенка. Это повторялось почти каждый день.

481
Чего хотел мальчуган? Чтобы ответить на этот вопрос, не нужно
быть Шерлоком Холмсом. Его гордость, его гнев, его стремление к
ощущению собственной значительности — все самые сильные эмоции его
натуры — побуждали его взять реванш, ударить "буку" изо всех сил по носу.
И когда отец сказал ему, что в один прекрасный день он сможет
хорошенько отдубасить старшего мальчишку, если только будет есть то, что
ему дает мама, когда отец обещал ему это, проблема питания перестала
существовать» {Карнеги Д. Как завоевывать друзей и оказывать влияние на
людей... Минск, 1990. - С. 65).
Элементы: А = малыш, В = отец, С = пища, D = физическая сила,
необходимая для наказания обидчика.
s-Граф, выражающий конфликт:
С
Цикл и его знак: АВ, ВС, СА = (+) х (+) х (-) = (-).
s-Граф, соответствующий разрешенному конфликту:
С + D
Так как негативные знаки в последнем д-графе отсутствуют, то все
его циклы позитивные, а сам он является сбалансированным
(бесконфликтным). Содержательно данный s-граф читается следующим образом.
Малыш хочет стать физически сильным и отомстить своему обидчику. Но
физическая сила позитивно связана с пищей, которую ему готовят
родители. Чтобы избежать несоответствия между своей целью и негативным
отношением к пище, малыш меняет последнее на позитивное. Конфликт,
таким образом, успешно разрешается.

482
Пример 9
В цитированной книге «Как завоевывать друзей и оказывать влияние
на людей...» Д. Карнеги предложил множество правил, позволяющих
предупреждать или разрешать конфликты в самых разнообразных сферах
человеческих взаимоотношений. Проанализируем типичное правило из
серии «Девять правил, соблюдение которых позволяет воздействовать на
людей, не оскорбляя их и не вызывая у них чувства обиды» (Указ. соч. С.
193-222): «Начинайте с похвалы и искреннего признания достоинств
собеседника».
Данное правило Д. Карнеги иллюстрирует следующим примером.
Фирма «Уорк компани» заключила контракт на строительство и отделку
большого служебного здания в Филадельфии. Здание было почти готово,
когда один из субподрядчиков, изготавливавший бронзовые украшения
для фасада, заявил, что не сможет поставить их вовремя. Задержка грозила
огромными финансовыми убытками из-за срыва установленного
контрактом срока строительства. Переговоры по телефону, споры,
препирательства ничего не дали. Тогда фирма решила командировать своего сотрудника
У. П. Гоу в Нью-Йорк, на завод бронзовых изделий.
Войдя в кабинет президента фирмы бронзовых изделий, Гоу сначала
обратил его внимание на то, что он носит очень редкую фамилию, затем
рассказал о своем благоприятном впечатлении о заводе. Во время обхода
завода похвалил разработанную президентом систему производства,
отметил новые станки, изобретенные президентом фирмы. В результате Гоу
был приглашен на завтрак, после которого получил заверение в том, что
заказ фирмы «Уорк компани» будет выполнен в срок. «Гоу получил все,
что ему было нужно, даже не заикнувшись о своей просьбе».
Данный пример указывает наиболее эффективный, с точки зрения
Д. Карнеги, способ разрешения конфликта. Проанализируем его.
Элементы: А = заказ фирмы «Уорк компани», В = руководство
фирмы «Уорк компани», С = президент фирмы бронзовых изделий, D =
встреча представителя руководства «Уорк компани» с президентом фирмы
бронзовых изделий.
s-Граф, характеризующий суть конфликта:
С

483
Цикл и его знак: АВ, ВС, СА = (+) х (+) х (-) = (-).
Интерпретация. Заказ фирмы «Уорк компани» не может быть
выполнен в срок из-за отказа субподрядчика поставить вовремя бронзовые
украшения. По этой причине связь между А и С отмечена знаком (-).
Руководство фирмы «Уорк компани» заинтересовано в позитивном решении
возникшей проблемы. Поэтому связи между А и В, В и С отмечены знаком
(+)¦
s-Граф, характеризующий неудачное для фирмы «Уорк компани»
разрешение конфликта:
С
Цикл и его знак: АВ, ВС, СА = (+) х (-) х (-) = (+).
Интерпретация. Упреки, препирательства не привели к изменению
позиции президента фирмы бронзовых изделий. Продолжение данной
стратегии становилось бессмысленным из-за ее устойчивости: чем больше
длились взаимные обвинения, тем непреклоннее становилась позиция
президента фирмы бронзовых изделий.
д-Граф, характеризующий удачное для фирмы «Уорк компани»
разрешение конфликта:
С + D
Циклы и их знаки:
АВ, ВС, СА = (+) х (+) х (+) = (+).
ВС, CD, DB = (+) х (+) х (+) = (+).
АВ, BD, DC, СА - (+) х (+) х (+) х (+) = (+).

484
Интерпретация. Умело проведенная встреча Гоу с президентом
фирмы бронзовых изделий не только сбалансировала всю систему отношений,
но и привела к нужному для фирмы «Уорк компани» исходу.
Таким образом, разрешение конфликта само по себе еще не
гарантирует наилучшего исхода. Все правила Д. Карнеги говорят о том, что из
всех возможных способов разрешения конфликтов лучший тот, который
гарантирует отсутствие негативных знаков между элементами
коммуникативной системы. Ибо, как отметил в свое время Б. Спиноза, «ненависть
никогда не может быть хороша»93.
3. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧ ПО ОБЩЕНИЮ
Несмотря на свою эффективность, решение задач по общению в
терминах теории графов имеет одно принципиальное ограничение. Оно не
позволяет сравнивать однородные связи (позитивные и негативные)
элементов коммуникативной системы по их величине. Какая-то вещь может
одного человека приводить в восторг, а другому она покажется только
интересной. Не учитывая подобные нюансы, нельзя анализировать ситуации
общения, в которых наряду с позитивными и негативными отношениями
встречаются отношения безразличия или в которых одна и та же вещь
(субъект, ценность, идея и т. п.) одновременно оценивается и позитивно, и
негативно.
Преодоление указанного ограничения требует использования языков,
позволяющих учитывать не только знаки, но и величины отношений.
Лучшим для этих целей является вероятностный язык94.
Рассмотрим сначала коммуникативную систему, состоящую из двух
субъектов — Аи В. Все возможные связи между ними задаются некоторым
распределением вероятностей возможных миров (АВ), (A-iB), (—АВ),
(-tA-iB). Сумма вероятностей всех возможных миров должна быть равна 1.
Допустим, нас интересует отношение А к В. В этом случае мы
учитываем только те возможные миры, в которые А входит без знака
отрицания, то есть миры (АВ) и (А—ьб). Мы будем говорить, что отношение А к В
непротиворечиво (бесконфликтно), если и только если
Р(АВ) + Р(А-тВ)=1. A)
Если же нас интересует отношение В к А, тогда учитываются только
те возможные миры, в которые В входит без знака отрицания, то есть миры
(АВ) и (-АВ). Отношение В кА непротиворечиво, если и только если
93
Спиноза Б. Избранные произведения: В 2-х т. Т. 1. - С. 559.
94 О вероятностях, возможных мирах см. гл. V.

485
l. B)
Допустим, нас интересует отношение А к В и отношение В к А, В
этом случае принимаются во внимание лишь те возможные миры, в
которые или А, или В, или А и В вместе входят без знака отрицания, то есть
миры (АВ), (A-iB) и (-АВ). Отношения А к В и В к А образуют
непротиворечивую коммуникативную систему, если и только если
Р(А-В) = Р(-ЛВ). C)
Требования A) и B) определяют баланс для коммуникативных
систем, состоящих из одного субъекта и одной вещи. В таких системах можно
определить отношение только от субъекта к вещи. Обратное отношение,
как правило, отсутствует. Требование C) дает определение баланса для
систем, в которых, кроме прямого, возможно и обратное отношение.
Мы будем говорить, что А безразличен к В, если и только если
Р(АВ) = Р(А-пВ) = 0,5. D)
Иными словами, безразличие А к В определяется как равная
вероятность для А быть с В и не быть в В, обладать В или не обладать 5.
Аналогично В безразличен к А, если и только если
Р(АВ) = Р(-ЛВ) = ^5. E)
Безразличие представляет нейтральную точку на некоторой шкале
отношений, по одну сторону которой располагаются все позитивные
отношения, по другую — все негативные. Пусть любовь является самым
сильным из позитивных отношений, а ненависть — самым сильным из
негативных.
Между ними располагаются все остальные отношения (рис. 6).
Любовь Безразличие Ненависть
| i i i i i i | 1 i I i i i |
позитивные негативные
отношения отношения
Рис. 6. Шкала отношений
Мы будем говорить, что А позитивно относится к В, если и только
если 0,5 < Р{АВ) < 1 и 0 < Р(А-^В) < 0.5; А негативно относится к В, если и
только если 0 < Р(АВ) < 0,5 и 0,5 < P(A-iB) < 1. Аналогично В позитивно
относится к А, если и только если 0,5 < Р(АВ) < 1 и 0 <Р{-лАВ) < 0,5; В
негативно относится к А, если и только если 0 < Р(АВ) < 0,5 и
0,5 <Р(-пАВ)< 1.

486
Из сказанного следует, что А любит В, если и только если Р(АВ) = 1 и
Р{А-В) = 0; В любит А, если и только если Р{АВ) = 1 и Р(—АВ) = 0;А
ненавидит 5, если и только если Р(АВ) = 0 и P(A-iB) = \; В ненавидит ^4, если и
только если Р(АВ) = 0 и Р(-лАВ) = 1.
Рассмотрим наиболее интересные сочетания разных типов
отношений.
1. А любит В и В любит A. P(A-iB) = Р(-АВ) = 0. Система
бесконфликтна.
2. А любит В, но В ненавидит A, P(A-iB) = 0 ^ Р(—АВ) = 1. Система
конфликтна.
3. Л любит В, но 5 безразличен к А, Р(А-В) = 0 * Р(-АВ) = 0,5.
Система конфликтна.
4. ^4 ненавидит В и В ненавидит A. P(A-iB)= Р{—ЛВ) = 1. Система
бесконфликтна.
5. А ненавидит В, но В безразличен к A. P(A-iB) = 1 ф Р(-АВ) = 0,5.
Система конфликтна.
6. А безразличен к В и В безразличен к A. P(A-iB) = P(-iAB) = 0,5.
Система бесконфликтна.
7. А любит В и В без любви, но позитивно относится к А. Р(А-В) = 0
Ф Р{-лАВ) > 0. Система конфликтна.
8. А ненавидит В, но В позитивно относится к A. P(A-iB) = = 1 ф Р(-
АВ) < 0,5. Система конфликтна.
9. А безразличен к В, но В позитивно относится к A. P(A-iB) = 0,5 ф
Р(—АВ) < 0,5. Система конфликтна.
10. А безразличен к В, но В негативно относится к A. P(A-iB) = 0,5 ф
Р(—АВ) > 0,5. Система конфликтна.
Равенства A)-C) позволяют прогнозировать отношения субъектов.
Например, если А позитивно относится к 5, то А, чтобы избежать
конфликта, должен негативно относиться к —лВ (отрицанию В), согласно A); и
аналогично В, чтобы избежать конфликта, должен позитивно относиться к А,
согласно C). Если В безразличен к А, то он должен быть безразличен также
и к -А, согласно B), и одновременно А должен быть безразличен к 5,
согласно C).
На основании A) и B) можно ввести новый, психологически более
оправданный критерий бесконфликтного состояния любой
коммуникативной системы. Отметим сначала, что из A) и B) следует Р{А) = 1 и Р(В) = 1.
Это необходимо и достаточно для Р(-тА/А) = 0 и
Р{-^В1В) = 0. На основании данных фактов получаем следующее
определение.

487
Определение. Коммуникативная система из двух и более субъектов
бесконфликтна, если и только если вероятность позитивного отношения
каждого из них к самому себе максимальна (равна 1).
Допустим, коммуникативная система состоит из трех субъектов: А9 В
и С. Известны отношения А к В и В к С. Требуется определить, какое
отношение А к С или С к А гарантирует отсутствие/наличие конфликта в
системе в целом. В данном случае базисным является равенство:
P(ABQ + P(AB-Q + P(A-BQ + Р(А-В-С) = 1. F)
(I) (II) (III) (IV)
Каждый компонент равенства F) для удобства пронумерован
римскими цифрами.
ИзF)следует:
Р(АВ) = (I) + (II); Р{А-,В) = (III) + (IV);
P(AQ = (I) + (III); P(A-,Q = (II) + (IV).
Следовательно, А позитивно относится к В, если и только если 0.5 <
((I) + (II)) < 1; А негативно относится к 5, если и только если 0 < ((I) + (II))
< 0,5; А безразличен к В, если и только если (I) + (II) = 0,5; А любит В, если
и только если (I) + (II) = 1 и (III) + (IV) = 0; А ненавидит 5, если и только
если (I) + (II) = 0 и (III) + (IV) = 1.
Аналогично и для отношения А к С. А позитивно относится к С, если
и только если 0,5 < ((I) + (III)) < \\ А негативно относится к С, если и
только если 0 < ((I) + (Ш)) < 0,5; А безразличен к С, если и только если (I) +
(III) = 0,5; А любит С, если и только если (I) + (III) = 1 и (II) + (IV) = 0; А
ненавидит С, если и только если (I) + (III) = 0 и (II) + (IV) = 1.
Из равенства F) также следует, что В позитивно относится к С, если
и только если 0 < (II) < 0,5; В негативно относится к С, если и только если
0 < (I) < 0,5; В безразличен к С, если и только если (I) = 0,5; В любит С,
если и только если (II) = 0; В ненавидит С, если и только если (I) = 0.
При решении некоторых задач по общению вероятностным способом
следует помнить, что все виды отношений между субъектами могут быть
подвергнуты противопоставлению. Если, например, В и С относятся друг к
другу позитивно, то —\В и —лС также связаны позитивной связью.
Рассмотрим наиболее интересные сочетания отношений системы из
трех субъектов (или двух субъектов и одной вещи).
1. А любит 5. В любит С. А любит С.
Система бесконфликтна. Доказательство: (I) + (II) = 1 и (III) + (IV) =
0; (II) = 0; (I) + (III) = 1. Подстановка в равенство F) дает: 1+0 + 0 + 0=1.

488
В данной коммуникативной системе отношение А к С является
логическим следствием отношений А к В и В к С. Но таким свойством, как мы
увидим, обладают не все виды отношений. Другими словами, отсутствие
конфликта является лишь необходимым условием логического следования
отношений.
2. А любит В, В любит С. А безразличен к С.
Система конфликтна. Доказательство: (I) + (II) = 1 и (III) + (IV) = 0;
(II) = 0; (I) + (III) = 0,5. Никакая подстановка в равенство F) без
противоречия невозможна.
3. А любит В, В ненавидит С. А ненавидит С.
Система бесконфликтна. Доказательство: (I) + (II) = 1 и (III) + (IV) =
0; (I) = 0; (I) + (III) = 0. Подстановка в равенство F) дает: 0+1+0 + 0=1.
4. А любит В. В ненавидит С. А безразличен к С.
Система конфликтна. Доказательство: (I) + (II) = 1 и (III) + (IV) = 0;
(I) = 0; (I) + (III) = 0,5. Никакая подстановка в равенство F) без
противоречия невозможна.
5. А ненавидит В, В любит С. А ненавидит С.
Система бесконфликтна. Доказательство: (I) + (II) = 0 и (III) + (IV) =
1; (II) = 0; (I) + (III) = 0. Подстановка в F) дает: 0 + 0 + 0+1 = 1.
6. А ненавидит В. В ненавидит С. А любит С.
Система бесконфликтна. Доказательство: (I) + (II) = 0 и (III) + (IV) =
1; (I) = 0; (I) + (III) = 1 и (II) + (IV) = 0. Подстановка в равенство F) дает:
0+0+1+0=1.
7. А любит В, В безразличен к С. А любит С.
Система конфликтна. Доказательство: (I) + (II) = 1 и (II) + (IV) = 0; (I)
= (II) = 0,5; (I) + (III) = 1 и (II) + (IV) = 0. Никакая подстановка в равенство
F) без противоречия невозможна.
8. А безразличен к В. В любит С. А ненавидит С.
Система конфликтна. Доказательство: (I) + (II) = 0,5 = (III) + (IV); (II)
= 0; (I) + (III) = 1. Никакая подстановка в равенство F) без противоречия
невозможна.
9. А ненавидит В. В безразличен к С. А ненавидит С.

489
Система конфликтна. Доказательство: (I) + (II) = 0 и (II) + (IV) = 1; (I)
= (II) = 0,5; (I) + (III) = 0 и (II) + (IV) = 1. Никакая подстановка в равенство
F) без противоречия невозможна.
10. А безразличен к В, В ненавидит С. А ненавидит С.
Система конфликтна. Доказательство: (I) + (II) = 0,5 = (II) + (IV); (I) =
0; (I) + (III) = 0 и (II) + (IV) = 1. Никакая подстановка в равенство F) без
противоречия невозможна.
11. А любит В. В безразличен к С. А безразличен к С.
Система бесконфликтна. Доказательство: (I) + (II) = 1 и (II) + (IV) =
0; (I) = (II) = 0,5; (I) + (III) = 0,5. Подстановка в равенство F) дает: 0,5 + 0,5
+ 0 + 0= 1.
12. А безразличен к В. В любит С. А безразличен к С.
Система бесконфликтна. Доказательство: (I) + (II) = 0,5 = (III) + (IV);
(II) = 0; (I) + (III) = 0,5. Подстановка в равенство F) дает: 0,5 + 0 + 0 + 0,5 =
1.
13. А безразличен к В. В ненавидит С. А безразличен к С. Система
бесконфликтна. Доказательство: (I) + (II) = 0,5; (I) = 0; (I) + (III) = 0,5.
Подстановка в F) дает: 0 + 0,5 + 0,5 + 0=1.
Рассмотренные примеры показывают, в частности, что если мы
безразличны к чему-либо (кому-нибудь), то мы можем без противоречия
любить или ненавидеть того, кто безразличен к этому чему-нибудь (кому-
нибудь). Можно также быть безразличным к тому, кто любит или
ненавидит то (кого), к чему (кому) мы сами безразличны.
Однако в общем случае отношения любви и безразличия, ненависти
и безразличия не коммутативны. Иными словами, для каждой пары таких
отношений важен порядок их действия.
Рассмотрим несколько примеров из научной литературы.
Пример 1
Согласно 3. Фрейду, если человек испытывает какой-нибудь
патогенный (несовместимый с системой базисных принципов) аффект и не
может обеспечить его нормальную нейтрализацию, то наиболее вероятным
способом самозащиты психики человека от возникшего конфликта
становится вытеснение патогенного аффекта в сферу бессознательного.
Вытесненный аффект продолжает существовать и периодически активизируется,
посылая от себя в сознание своего искаженного заместителя — симптом.
Симптом избавлен от критики сознания и вместо разрешения конфликта

490
наступает период бесконечного страдания. Так возникают неврозы,
причина которых скрыта от больных.
Проанализируем эту точку зрения. Элементами коммуникативной
системы являются: А = больной, В = система базисных принципов
больного, С = патогенный аффект. Для возникновения конфликта между
патогенным аффектом, перенесенным в сферу бессознательного, и сознанием
больного необходимо следующее распределение знаков отношений: А
позитивно связано с В и с С, но между В и С негативная связь. В терминах
вероятностей это равносильно: 0,25 < ((I) + (II)) < 1; 0 < (II) < 0,5; 0,5 < ((I)
+ (III)) < 1; 0 < ((II) + (IV)) < 0,5. Никакая подстановка в F) указанных
значений без противоречия невозможна. Это доказывает наличие конфликта.
Как объяснялось, для конфликтных треугольников существует всего
лишь четыре возможных способа разрешения. Сформулируем их.
1. Патогенный аффект осознается и признается
Законным полностью, нередко сублимируясь в выдающиеся
достижения науки и искусства. Имеем:
0 < (II) < 0,5;
Подстановка в равенство F) дает:
0,25 < (I) + 0,5 > (II) + 0,5 > (III) + 0,5 > (IV)= 1.
2. Патогенный аффект осознается и признается незаконным с точки
зрения базисных принципов больного. Получаем:
0 < (I) < 0,5;
0 < ((I) + (III)) < 0,5.
Подстановка в F) дает:
0,5 > (I) + 0,25 < (II) + 0,5 > (III) + 0,5 > (IV)= 1.
3.Больной отвергает систему базисных принципов, несовместимую с
патогенным аффектом, и позитивно относится к последнему. Имеем:
0 < ((I) + (II)) < 0,5;
0 < (I) < 0,5;
Подстановка в равенство F) дает:
0,5 > (I) + 0,5 > (И) + 0,25 < (III) + 0,5 > (IV) = 1.
4. Больной устанавливает совместимость патогенного аффекта с
системой базисных принципов, но отвергает и то, и другое. Получаем:
0 < ((I) + (II)) < 0,5;

491
Подстановка в F) дает:
0,5 > (I) + 0,5 > (II) + 0,5 > (III) + 0,25 < (IV) = 1.
Из указанных возможных способов разрешения невротического
конфликта 3. Фрейд наилучшими считал первый и второй.
Пример 2
«Кто воображает, что предмет его ненависти получил
неудовольствие, будет чувствовать удовольствие; наоборот, если он воображает его
получившим удовольствие, будет чувствовать неудовольствие; и каждый
из этих аффектов будет тем больше или меньше, чем больше
противоположный ему аффект в том, что он ненавидит» {Спиноза Б. Избранные
произведения. М., 1957. Т. 1. - С. 474^75).
Элементы: А = первый субъект, В = второй субъект системы, С =
причина удовольствия (неудовольствия).
В утверждении Б. Спинозы содержатся две теоремы. Первая из них
соответствует коммуникативной системе 6, вторая— системе 5. Так как
обе системы бесконфликтны, то утверждение Б. Спинозы корректно.
Остается доказать лишь ту часть утверждения, которая касается зависимости
величин соответствующих отношений.
Следующее дерево определяет структуру зависимости указанных
трех элементов:
Пусть Р{С1А) обозначает величину удовольствия, испытываемую
субъектом А. Из дерева вероятностей следует, что она в общем случае
равна:
Р{С1А) = P{ABQ + P{A-^BQ = ху + A- x)z.
Вероятность х характеризует величину позитивного отношения А к
В, вероятность A-х) — величину негативного отношения А к В.
Вероятности у и z выражают величину удовольствия, получаемого В и —&
соответственно.
Величина удовольствия, испытываемая А, максимальна, то есть
Р{С/А) = 1 истинно, в двух случаях: либо при ху = 1, либо при A— x)z = 1

492
Первый случай означает, что А получает максимум удовольствия, потому
что А любит В и В получает максимум удовольствия. Второй случай
означает, что А получает максимум удовольствия, потому что А ненавидит В и
В получает максимум неудовольствия. Этот второй случай соответствует
утверждению Б. Спинозы, что величина удовольствия, получаемого А,
прямо пропорциональна величине неудовольствия, получаемого В тогда,
когда В становится предметом негативного отношения А. В итоге
получаем следующее утверждение: если A— jc)z ^ 1, то Р{С1А) —> 1.
Доказательство следует из того факта, что х + A— х) = 1. Поэтому если истинно A—x)z
—> 1, то истинно также х -^ 0 и ху —> 0.
Величина неудовольствия, испытываемого А, максимальна, то есть
Р(С/А) = 0 истинно, только в одном случае: ху = 0 и A- y)z = 0. Это
возможно либо тогда, когда х = 1 и у = 0, либо тогда, когда х = 0 и z = 0.
Первая возможность говорит о том, что А испытывает максимум
неудовольствия, потому что А любит В, а В получает максимум неудовольствия.
Вторая возможность говорит о том, что А имеет максимум неудовольствия,
потому что А ненавидит В, то есть любит —ьб, a —iB не получает никакого
удовольствия. Вторая возможность соответствует утверждению. Спинозы
о том, что величина неудовольствия, испытываемого А, обратно
пропорциональна величине удовольствия, получаемого В тогда, когда В является
предметом ненависти А, Имеет место: если истинно х —> 0 и z —> 0, то
(С/А) —> 0. Доказательство следует из факта, что при х^>0 истинно ху —» 0,
а при z —> 0 истинно A - x)z —> 0. Следовательно, ху + {\— x)z —> 0 также.
Итак, утверждение Б. Спинозы корректно во всех рассмотренных
смыслах.
Доказательство задач по общению вероятностным способом
значительно облегчается, если каждый вид межличностного отношения
маркируется определенной числовой константой из интервала @, 1).
Допустим, нас интересуют только следующие отношения —
«любит», «ненавидит», «безразличен», «позитивно относится», «негативно
относится».
Допустим, нас интересуют только следующие отношения—
«любит», «ненавидит», «безразличен», «позитивно относится», «негативно
относится». Пусть X и 7 пробегают по переменным А, В и С как со знаками
отрицания, так и без них. Указанные отношения маркируются согласно
следующим определениям.
Опр.1. Xлюбит 7, если и только если P(YIX) = 1.
Опр.2. X позитивно относится к У, если и только если
) = 0,7.
Опр.З. ^безразличен к 7, если и только если P(Y/X) = 0,5.
Опр.4. ^негативно относится к 7, если и только если P(Y/X) = 0,3.
Опр.5. ^ненавидит 7, если и только если P(YIX) = 0.

493
Правила построения деревьев из переменных А, В и С, где
переменная В (—\В) занимает промежуточное положение между А и С,
предполагаются известными (см. гл. IV).
Правила маркировки
Пусть «х» обозначает некоторое число, О < х < 1.
Ml. Если некоторый путь отмечен числом х, то ему
противоположный должен быть отмечен числом 1-х.
М2. Общая вероятность пути от А к С равна произведению
вероятностей пути от А к В (—лВ) и от B(-iB) к С.
Правила вывода
Назовем путь от А к С через переменную В первым и путь от А к С
через переменную -В вторым.
В. Если сумма вероятностей первого и второго пути от А к С
(а) равна 1, то А любит С;
(б) меньше 1, но больше 1/2, то А позитивно относится к С;
(в) равна 1/2, то А безразличен к С;
(г) меньше 1/2, но больше 0, то А негативно относится к С;
(д) равна 0, то А ненавидит С.
В качестве иллюстрации докажем несколько аффективных теорем
из «Этики» Б. Спинозы.
Пример 3
«Если мы воображаем, что кто-либо причиняет любимому нами
предмету удовольствие, мы будем чувствовать к нему любовь. Наоборот,
если воображаем, что он причиняет ему неудовольствие, будем
чувствовать к нему ненависть» (Спиноза Б. Указ соч. - С. 474).
В данной теореме содержатся два заключения, что потребует
построения двух деревьев. Согласно условиям теоремы имеем: А = мы, В =
предмет, С = некто, А любит В (так как В является любимым предметом А),
С причиняет удовольствие В, С причиняет неудовольствие В. «Причинять
удовольствие» можно интерпретировать в сильном смысле как «любить» и
слабом смысле как «относиться позитивно». Аналогично «причинять
неудовольствие» также можно интерпретировать в сильном смысле как
«ненавидеть» и в слабом смысле как «относиться негативно». Судя по
заключениям теоремы, Спиноза склонялся в данном случае к сильной
интерпретации обоих отношений. Учитывая это, получаем в соответствии с
правилами маркировки следующие два дерева (верхнее для заключения «А
любит С», нижнее для заключения «А ненавидит С»):

494
В верхнем дереве сумма вероятностей первого и второго пути от А к
С (первая и третья ветви дерева) равна 1+ 0 = 1. Поэтому согласно правилу
В(а) следует «А любит С».
В нижнем дереве сумма вероятностей первого и второго пути от А к
С равна 0 + 0 = 0. Поэтому согласно правилу В(д) следует «А ненавидит
С».
Пример 4
«Мы стремимся утверждать о ненавидимом нами предмете все то,
что, по нашему воображению, причиняет ему неудовольствие, и, наоборот,
отрицать все то, что, по нашему воображению, причиняет ему
удовольствие» (Спиноза Б. Указ. соч. - С. 476).
Для доказательства этой теоремы нам также потребуется два дерева.
Согласно условиям теоремы, имеем: А = мы, В = предмет, С = то, что нами
утверждается, А ненавидит 5, С причиняет неудовольствие 5, С причиняет
удовольствие В. Заключениями теоремы выступают отношения «А
позитивно относится к С (когда С причиняет неудовольствие 5)» и «А
негативно относится к С (когда С причиняет удовольствие 5)». В соответствии с
правилами маркировки строим два дерева (верхнее для первого
заключения, нижнее для второго):

495
В верхнем дереве сумма вероятностей первого и второго пути от А к
С равна 0 + 0,7 = 0,7. Поэтому согласно правилу В(б) следует «А позитивно
относится к С».
В правом дереве сумма вероятностей первого и второго пути от А к С
равна 0 + 0,3 = 0,3. Поэтому согласно правилу В(г) следует «А негативно
относится к С».
Пример 5
Доказать, что величина отношений А к С, выступающих
заключением теоремы из примера 4, обратно пропорциональна отношению С к В,
Доказательство элементарно. Маркируем негативное отношение С к
В новой числовой константой 0,1; позитивное отношение С к В —
константой 0,9. Построив соответствующие деревья, убеждаемся, что
заключения теоремы по-прежнему верны, но величины отношений А к С
изменились. Увеличение негативного отношения С к В привело к увеличению
позитивного отношения А к С ( с 0,7 до 0,9), а увеличение позитивного
отношения С к В привело к увеличению негативного отношения А к С ( с 0,3
до 0,1). Что и требовалось доказать.
4. АНАЛИЗ ЗАДАЧ ПО ОБЩЕНИЮ
В ТЕРМИНАХ ТЕОРИИ ИГР
Существует большой класс ситуаций общения, в которых действия
субъектов являются не просто конфликтными, но и основанными на
предвидении тех действий, которые каждый из них собирается сделать. К ним
прежде всего относятся различные виды соперничества, начиная от игры в
шахматы и кончая военными столкновениями. Взаимная рефлексия
действий и контрдействий является обязательной для ситуаций соперничества,
соревнований, конкуренции и т. п. Играя в шахматы, я должен каждое свое
действие совершать не только с учетом расположения своих и чужих
фигур, но и с учетом действий и контрдействий своего соперника. При этом
предполагается, что мы оба разумные субъекты и совершаем только такие
действия, которые нам выгодны. Существует специальный раздел общей

496
теории принятия решений, называемый теорией игр, исследующий
принятие решений в условиях соперничества. Из всех видов противоборства
наиболее изучен тот, при котором интересы соперников являются
противоположными, то есть выигрыш одного в точности совпадает с
проигрышем другого. Математической моделью таких ситуаций служит игра двух
лиц с нулевой суммой95.
Мы будем называть игрой двух лиц с нулевой суммой такую модель
конфликта:
1. Имеются два игрока (участника, соперника),
2. Выигрыш одного равен проигрышу другого.
3. Оба игрока обладают некоторым множеством альтернатив
(стратегий), причем каждому из них известны альтернативы своего соперника.
4. Обоим игрокам известны платежи, связанные с выбором каждым
из них тех или иных альтернатив.
5. Каждый игрок из любых двух платежей способен либо
предпочесть один другому, либо признать их равноценными, то есть каждый из
них обладает некоторой функцией предпочтения. Оба игрока, другими
словами, знакомы с функциями предпочтения друг друга.
Понятие платежа эквивалентно понятию полезности в общей теории
решений.
Для объяснения дальнейших деталей мы воспользуемся примером96.
Альберт и Билли являются соперниками в следующей игре. У каждого из
них имеется три карточки разного цвета: у Альберта — зеленая, темно-
красная и оранжевая; у Билли — красная, голубая и желтая. Игра
заключается в одновременном вытаскивании обоими игроками по одной карточке.
Платежи игроков зависят от того, какие карточки будут вытащены (рис. 7).
Билли
красная голубая желтая
зеленая
Альберт темно-
красная
оранжевая
Рис. 7. Матрица платежей
3
4
-5
2
-1
-2
4
-2
5
95 Льюис Р. Д., Райфа Ч Игры и решения. М., 1961. - С. 89-124.
96 Nicholson M. Rationality and the Analysis of International Conflict. Cambridge
University Press. 1992.-P. 90-91.

497
Платежи осуществляются в фунтах стерлингов. Если платеж указан в
матрице положительным числом, то платит Билли, если отрицательным —
платит Альберт. Матрица платежей читается следующим образом.
Допустим, Альберт вытаскивает зеленую карточку. Если Билли достанет
красную карточку, то платит Альберту 3 фунта; если голубую, то 2 фунта, если
же желтую, что 4 фунта. Остальные строчки читаются аналогично.
Возникает вопрос: если Альберт и Билли считают себя разумными
людьми, как они должны играть в эту игру? Поскольку карточки
достаются одновременно, то ни один из них не знает с достоверностью, какую
карточку вытащит его соперник. На первый взгляд, данная игра более выгодна
Альберту, так как из девяти возможных платежей пять в его пользу.
Однако такое допущение неверно. Допустим, Альберт вытаскивает оранжевую
карточку. Если Билли достанет желтую, то Альберт получит пять фунтов,
но если Билли вытащит красную, то Альберт потеряет пять фунтов.
Подобные колебания платежей не устраивают Альберта. Ему хочется иметь
стратегию получения выигрыша независимо от действий Билли. Как было
доказано фон Нейманом и О. Моргенштерном, такая стратегия существует.
Альберт должен исходить из того, что матрица платежей известна и
Билли. Следовательно, на каждое действие Альберта, направленное на
получение максимальной прибыли, Билли будет отвечать действием,
сводящим этот выигрыш до минимума. Поэтому для Альберта лучшей
стратегией будет выбор альтернативы, гарантирующий максимальный выигрыш
среди минимально возможных. С этой целью он рассматривает
последовательно каждый ряд платежей матрицы и отмечает наихудшие для себя
платежи, из которых он затем выбирает наибольший. Практически вся
процедура состоит в том, чтобы найти наименьшее число в каждом ряду
платежной матрицы и выбрать из них наибольшее. Руководствуясь этим
правилом, Альберт исследует матрицу платежей и выписывает наименьшие
для себя выигрыши из каждого ряда: 2, -2, -5. Из них наибольшим числом
является 2. Следовательно, чтобы получить максимальный выигрыш,
Альберт должен вытащить зеленую карточку. Таким образом, независимо от
действий Билли Альберт гарантирует получение пусть небольшого, но
выигрыша. Правило, которому должен следовать Альберт, называется мак-
симином (максимизацией минимального выигрыша). При принятии
решений в условиях неопределенности данное правило соответствует критерию
Вальда — выбирай из худших вариантов лучшие.
Проанализируем теперь данную игру с точки зрения Билли. Как и
Альберт, Билли хочет действовать разумно. Поэтому он будет всячески
стремиться минимизировать свой возможный максимальный проигрыш. С
этой целью он последовательно исследует колонки платежной матрицы и
выписывает свои максимальные проигрыши, среди которых отмечает
наименьший. В результате он получает следующий ряд чисел: 4, 2, 5. В этом

498
ряду число 2 является наименьшим. Правило, которому должен следовать
Билли, называется минимаксом (минимизацией максимального
проигрыша). Руководствуясь этим правилом, Билли должен вытаскивать голубую
карточку.
Итак, мы видим, что гарантированный результат для Альберта —
минимальный выигрыш двух фунтов совпадает с гарантированным
результатом для Билли — максимальным проигрышем двух фунтов. Тот элемент
матрицы, который обеспечивает равенство правил максимина и минимак-
са, принято называть точкой равновесия, а альтернативы, гарантирующие
эту точку, стратегиями равновесия. В нашем примере точкой равновесия
выступает число 2, а стратегиями равновесия — Альберт вытаскивает
зеленую карточку, Билли — голубую. Для игр с нулевой суммой точка
равновесия обозначает цену игры. В рассматриваемом примере она является
положительным числом. Следовательно, данная игра выгодна для
Альберта и невыгодна для Билли.
Правило максимина, требующее выбирать из минимальных
выигрышей максимальный, предполагает, что ваш соперник никогда не рискует
и заботится лишь о том, чтобы уменьшить ваш выигрыш. Если ваш
соперник обладает другими качествами, это правило не работает. Но поскольку
оно составляет идейную основу всей теории игр, то его защищают
аргументами такого рода: разумные люди — это люди, при всех
обстоятельствах стремящиеся увеличить свой выигрыш и уменьшить выигрыш своих
соперников. Такое допущение представляет, конечно, очень сильную
идеализацию человеческих действий. Тем не менее для определенного класса
ситуаций соперничества правило максимина работает.
Не каждая игра имеет точку равновесия. Обозначим игроков буквами
А и В. Эти же буквы с индексами будут обозначать доступные каждому из
игроков альтернативы. В следующей игре не существует точки равновесия,
то есть нет ни одного элемента матрицы платежей, который был бы
наименьшим в своем ряду и наибольшим в своей колонке (рис.8).
в
Вх В2
-3 2
-2 -6
Рис. 8
Если какая-то игра не имеет точки равновесия, значит не существует
и стратегий равновесия, то есть в разных случаях необходимо выбирать

499
разные альтернативы. Иными словами, при отсутствии чистых стратегий
необходимо пользоваться смешанными стратегиями. Существует простой
алгоритм нахождения оптимальной смешанной стратегии для каждого
игрока.
Вернемся к игре на рис. 8. На первом шаге вычитаем меньшие
платежи из больших в каждом ряду и в каждой колонке. Получаем:
в
А
Ах
А2
Вх
-3
-2
= 1
Вг
2
-6
= 8
= 5
= 4
На втором шаге меняем местами результаты вычитания. Получаем:
В
В7
-3
-2
= 8
2
-6
= 1
= 4
= 5
На третьем шаге определяются вероятности альтернатив каждого из
игроков. С этой целью А складывает 4 и 5 и делит каждое слагаемое на
сумму. Аналогично поступает В. Получаем следующие вероятности:
5,
В
Я2
-3
-2
8/9
2
-6
1/9
4/9
5/9
Полученные вероятности означают, что игрок А в каждых девяти
играх должен в среднем отдавать предпочтение первой альтернативе четыре
раза, второй — пять раз. Игрок В в каждых девяти играх должен в среднем

500
отдавать предпочтение первой альтернативе восемь раз, второй — один
раз.
Цена игры для А определяется согласно следующему рассуждению.
Когда В выбирает альтернативу В\ с вероятностью 8/9, А проигрывает 3
единицы платежа с вероятностью 4/9 и проигрывает 2 единицы платежа с
вероятностью 5/9. Когда В выбирает альтернативу В2, А выигрывает 2
единицы платежа с вероятностью 4/9 и проигрывает 6 единиц платежа с
вероятностью 5/9. Общий ожидаемый выигрыш А равен:
цена игры для А = 8/9D/9(-3) + 5/9(-2)) + 1/9D/9B) + 5/9(-6))
= -198/81= -2,44.
Полученная цена игры означает, что, играя в данную игру, А будет
проигрывать в среднем 2,44 единицы платежа.
Цена игры для В определяется аналогично. Когда А выбирает
альтернативу А\ с вероятностью 4/9, В проигрывает 3 единицы платежа с
вероятностью 8/9 и проигрывает 2 единицы платежа с вероятностью 1/9.
Когда А выбирает альтернативу А2 с вероятностью 5/9, В выигрывает 2
единицы платежа с вероятностью 8/9 и 6 единиц платежа с вероятностью 1/9.
Общий ожидаемый выигрыш В равен:
цена игры для В = 4/9(8/9C) + 1/9(-2)) + 5/9(8/9B) + 1/9F))
= 198/81=2,44.
Итак, играя в данную игру, В будет выигрывать в среднем 2,44
единицы платежа. Поскольку выигрыш В равен проигрышу А, то мы имеем
игру с нулевой суммой, но не равными шансами для обоих участников.
Рассмотрим несколько примеров теоретико-игрового анализа
конфликтов.
Пример 1
Сын совершил проступок, и отец размышляет, наказывать его или
нет. При этом отцу известно, что сын может согласиться с наказанием, а
может и не согласиться. Как поступить отцу?
Пусть А = отец, В = сын. Тогда А\ = наказывать, А2 = не наказывать,
В\ = соглашаться с наказанием, В2 = не соглашаться с наказанием.
Вычислим матрицу платежей в единицах морального
удовлетворения: 0 = отец и сын не имеют никаких претензий друг к другу, 1 = сын
имеет претензии к отцу, -1 = отец имеет претензии к сыну. Полностью
матрица платежей имеет следующий вид:

501
А
Ах
А2
Вх
0
-1
В
Вг
1
0
Из приведенной матрицы следует существование точки равновесия
— числа 0, соответствующего выбору альтернатив А\ и В\. Это означает,
что лучшей стратегией в разрешении возникшего конфликта является
выбор такого наказания, с которым были бы согласны и отец и сын.
Пример 2
Вы собираетесь купить некоторую вещь за 10 000 рублей^ уличного
торговца. Вы знаете, что он может продать вам вещь, настоящая цена
которой вдвое меньше. Какое решение вам следует принять?
Пусть А = вы, В = уличный торговец. Соответственно А\ = купить, А2
= не купить, В\ = предложить вещь стоимостью 10 000 рублей, В2 =
предложить вещь стоимостью 5 000 рублей. Имеет место матрица платежей
(учитывается только теряемая стоимость):
В
Вх
О -5000
О О
Данная игра имеет точку равновесия — число 0, соответствующее
выбору Аг и В2. Это означает, что вам лучше воздержаться от покупки, так
как вы исходите из того, что деньги терять понапрасну нельзя.
Пример 3
Допустим, что все условия такие же, как и в предыдущем примере, за
исключением одного. Критерием ваших действий становится
приобретаемая стоимость. В этом случае платежная матрица имеет следующий вид:
В
B2
А2
А six ЮООО 5000
0 0

502
Точкой равновесия в этой игре является платеж, соответствующий
выбору А\ и52. Иными словами, вы согласны даже на обман со стороны
торговца, так как главное для вас — приобрести стоимость.
Пример 4
Американский психолог Э. Берн в книге «Игры, в которые играют
люди. Люди, которые играют в игры» (Л., 1992) утверждает, что наше Я
(эго) может находиться в трех состояниях — Родителя, Взрослого и
Ребенка. Первое из них выполняет роль критика, судьи, цензора. Второе
ответственно за объективную оценку происходящего. Третье состояние
проявляет себя либо в послушном поведении, либо в спонтанном, бунтарском,
творческом порыве.
Основная гипотеза Э. Берна состоит в том, что общение субъектов
происходит без конфликтов, если и только если их стимулы и реакции
исходят либо из одних и тех же Я—состояний, либо из состояний Родителя и
Ребенка. При этом все акты общения должны быть явными, или
вербализованными.
Допустим, в согласии с Э. Берном, что состояние Взрослого имеет
психологическое преимущество перед состоянием Родителя и Ребенка.
Получаем следующую платежную матрицу для двух общающихся
субъектов^ и В:
В
Родитель Взрослый Ребенок
Родитель
Взрослый
Ребенок
Число 0 в данной матрице означает психологическую гармонию
соответствующих состояний. Число -1 означает, что если субъект находится
в состоянии Родителя (Ребенка), а субъект В — в состоянии Взрослого, то
субъект В обладает преимуществом перед субъектом А. Наоборот, число 1
означает, что субъект А, находящийся в состоянии Взрослого, получает
преимущество перед субъектом В,
Данная игра имеет точку равновесия, соответствующую платежу
выбора состояния Взрослого как субъектом А, так и субъектом В. Согласно
этой стратегии, когда на ваш вопрос: «Где моя тетрадь?» (состояние
Взрослого) отвечают «Не надо быть растяпой!» (состояние Родителя),
необходимо вызвать в себе не состояние Родителя («Сам растяпа!»), не со-
0
1
0
0
-1
0
1
0

503
стояние Ребенка («Наверно, я ее потерял»), а состояние Взрослого («Она
лежит под твоей книгой»).
Пример 5.
А и В играют в следующую игру: они одновременно показывают
друг другу пальцы, не более двух. Если оба показывают по одному пальцу,
то В платит А 50 рублей; если оба показывают по два пальца, то В платит А
20 рублей; если число пальцев разное, то В платит А 100 рублей. Перед
каждым показыванием А платит В в качестве компенсации 35 рублей.
Справедлива ли данная компенсация? Какой стратегии следует придерживаться
В?
Пусть А\ = А показывает один палец, А2 = А показывает два пальца,
В\ — В показывает один палец, В2 = В показывает два пальца. Получаем
следующую матрицу платежей:
Вх
50
20
В
Вг
20
100
Данная игра не имеет точки равновесия. Следовательно, В должен
пользоваться смешанной стратегией. Вычисление вероятностей
альтернатив обоих игроков дает следующие результаты:
В
Вг
А /11 2 8/11
А ¦ - ' з/п
-3
-2
3/11
2
-6
8/11
Если игрок А будет показывать все время один палец, то средние
потери В составляют: 8/11 х 50 + 3/11 х 20 = 41,81
Если игрок А будет показывать все время два пальца, то средние
потери В составят: 8/11 х 20+ 3/11 х 100 = 41,81.
Чтобы сделать игру справедливой, то есть одинаково выгодной как
для А, так и для В, игрок В должен потребовать в качестве компенсации не
35 рублей, а 41 рубль 81 коп.

504
5. ЛОГИКА ОБРАЗОВАНИЯ КОАЛИЦИЙ
В КОНФЛИКТНЫХ СИТУАЦИЯХ
Коалиция представляет собой объединение сил двух или более
субъектов (индивидов или групп) против некоторого противника в
общем конфликте.
Каплоу Т. Элементарная социология.
Неоднократно отмечалось и экспериментально подтверждалось, что
многие конфликты развиваются с привлечением третьих сторон и
образованием коалиций против общего противника. Образование коалиций
характерно в военных, политических, дипломатических конфликтах, но
наблюдается также и повседневном общении.
Наиболее изученными оказались коалиции «два против одного»97.
Подобные коалиции возникают в конфликтных триадах, когда два
противника объединяют свои силы для борьбы с третьим членом триады.
Для логического анализа образования коалиций в конфликтных
триадах введем следующие допущения.
Д1. Члены конфликтной триады, которые будут обозначаться А, В и
С, могут различаться своей силой (военной, экономической, политической,
моральной и так далее). Более сильный член получает возможность
контролировать более слабых.
Д2. Каждый член конфликтной триады стремится контролировать
других членов этой триады.
ДЗ. Сила членов конфликтной триады аддитивна, то есть сила
коалиции равна сумме образующих ее членов.
Д4. Выигрышной считается та коалиция, чья сила больше силы
противостоящего ей члена конфликтной триады.
Д5. Каждый член конфликтной триады предпочитает выигрышную
коалицию невыигрышной, а среди выигрышных ту, которая возможна с
наиболее слабым противником.
Последнее допущение представляет основное правило образования
коалиций в конфликтных триадах.
Согласно Д1, члены конфликтной триады могут различаться своей
силой, что является основанием для образования различных коалиций.
Рассмотрим в этой связи типичные ситуации.
97
Caplow Th. A Theory of Coalitions in Triad // American Sociological Review. Vol. 21.
1956.-P. 489-493.
Garrison W. A Theory of Coalition Formation // American Sociological Review. Vol. 26.
1961.-P. 373-382.

505
Ситуация 1
Силы А9 В и С равны; А = В = С.
В этом простейшем, хотя и редком, случае допустимы все
возможные коалиции — АВ, АС, ВС. Каждый член конфликтной триады стремится
объединиться с равным ему по силе противником и противопоставить
созданную коалицию третьему члену триады.
Доказател ъство.
С равной вероятностью А, В иС могут предпочитать друг друга.
Следовательно, имеет место следующее распределение предпочтений
1..АВС 5.-ЛВС
2. АВ-пС 6. -АВ-^С
З.А-.ВС l.
4. А-пВ-пС 8.
все комбинации которого равновероятны, а последняя из них, восьмая,
может игнорироваться как иррелевантная для анализа коалиционных
задач. Первая и вторая комбинации эквивалентны А В, первая и третья — АС,
третья и пятая — ВС. Следовательно, равное распределение сил членов
конфликтной триады порождает равное распределение предпочтений и тем
самым равные шансы всех возможных коалиций.
Ситуация 2
Силы В и С равны, и каждый из них в отдельности слабее А, но
объединенные силы В и С превосходят силу А; В = С,
А > Я, А < (В + Q.
Хотя при указанном распределении сил А сильнее В и С,
рассматриваемых по отдельности, но, в конечном счете, он оказывается в
проигрыше, так как В и С выгодно образовать коалицию против А. Иными
словами, сила А становится причиной его слабости.
Доказательство.
При данном распределении сил А будет стремиться к объединению с
В или С, что исключает четвертую комбинацию предпочтений; В будет
стремиться заключить союз с С, а С будет стремиться объединиться с 5,
что исключает вторую, третью, шестую и седьмую комбинации
предпочтений. Оставшиеся, первая и пятая, комбинации эквивалентны ВС.
Следовательно, при данном распределении сил и предпочтений коалиция ВС
наиболее вероятна.
Данный пример иллюстрирует очевидное правило, согласно
которому та коалиция более вероятна, в которой оба члена одновременно
предпочитают друг друга.

506
Ситуация 3
Силы В и С равны, но А слабее каждого из них по отдельности; В =
С,А<В.
В данной ситуации слабость А создает для него реальное основание
образовать выигрышную коалицию либо с В, либо с С. Таким образом,
быть слабым в конфликтной триаде не всегда означает быть проигравшим.
Доказательство.
При указанном распределении сил А будет стремиться к союзу с В
или С, что исключает четвертую комбинацию предпочтений; В будет
стремиться увеличить свою силу союзом с А, аналогично и для С, что
исключает пятую, шестую и седьмую комбинации. Оставшиеся, первая, вторая и
третья, комбинации эквивалентны ABvAC. Следовательно, в
рассматриваемой ситуации наиболее вероятны коалиции или АВ, или А С.
Ситуация 4
Силы В и С равны, но А сильнее их объединения; В = С, А > (В + С).
В этой ситуации В и С не имеют никакого желания объединяться
друг с другом, ибо их совместная сила все равно не превышает силы А.
Аналогично А не имеет никакого мотива для объединения с В и С, так как
он сильнее их обоих вместе взятых. Следовательно, при данном
распределении сил и предпочтений никакая коалиция невозможна.
Доказательство.
А не стремится к объединению ни с 5, ни с С. Следовательно,
исключаются первая, вторая и третья комбинации предпочтений. В не желает
объединения с С, а С не желает объединения с В, что исключает первую и
пятую комбинации предпочтений. Оставшиеся, четвертая, шестая и
седьмая комбинации не эквивалентны ни одной из возможных комбинаций —
АВ, АС или ВС. Следовательно, ни одна из соответствующих им коалиций
невозможна.
Рассматриваемая ситуация характерна для диктаторских режимов,
когда один человек (группа) контролирует всю ситуацию и по этой
причине не желает вступать в какие-либо коалиции с теми, кого он
контролирует.
Ситуация 5
А сильнее В, В сильнее С, но А слабее объединенных В и С; А > В >
С,А<{В + С).
Данная ситуация аналогична второй в том, что несмотря на свою
силу А оказывается в проигрыше. Взаимное предпочтение В и С друг друга
обеспечивает им выигрышную коалицию против А.
Доказательство.

507
При указанных условиях А будет стремиться к союзу с С, что
исключает вторую и четвертую комбинации предпочтений; В также будет
стремиться к объединению с С, а С аналогично будет предпочитать В, что
исключает вторую, третью, шестую и седьмую комбинации. Следовательно,
коалиция ВС при данных условиях является наиболее вероятной.
Ситуация 6
А сильнее В, В сильнее С,иА сильнее объединенных сил В и С; А > В
> С, А > (В + С).
Данная ситуация аналогична четвертой. Поскольку А контролирует
всех своих противников и сильнее их вместе взятых, то он не намерен
вступать ни в какие коалиции. Доказательство аналогично
вышеприведенному.
Ситуация 7
А сильнее В, В сильнее С, но объединенная сила В и С равна силе А;
А >В> С,А = (В + С).
При указанном распределении сил А будет стремиться к союзу с С.
Аналогично С будет искать союза с А. Следовательно, наиболее вероятной
коалицией является АС.
Доказательство.
Стремление А к союзу с С исключает вторую и четвертую
комбинации предпочтений; стремление С к союзу с А исключает пятую и седьмую
комбинации предпочтений. Из оставшихся первая и третья комбинации
эквивалентны А С. Следовательно, АС является самой вероятной коалицией
при данных условиях.
Ситуация 8
Силы В и С равны, их объединение равно силе А; В = С, А = (В + С).
В данной ситуации А будет искать союза с В или С, так как силы
последних равны. Аналогично В и С будут добиваться союза с А, так как их
объединение друг с другом не создает выигрышной коалиции.
Следовательно, наиболее вероятна коалиция АВ или АС.
Доказательство.
Стремление А к союзу с В или С исключает четвертую комбинацию
предпочтений; стремление В или С к союзу с А исключает пятую, шестую
и седьмую комбинации предпочтений. Оставшиеся, первая, вторая и третья
комбинации эквивалентны АВ v AC. Следовательно, АВ или АС наиболее
вероятны в качестве коалиции при данных условиях.

508
Рассмотрим один содержательный пример98. По свидетельству
Г. Зиммеля, общим правилом у инков было разделение только что
покоренного племени на две примерно равные части и назначение для
управления ими своих руководителей. Чтобы вызвать среди них острое
соперничество и предотвратить тем самым образование выигрышной коалиции
против руководителя, управлявшего всей завоеванной территорией, оба
начальника наделялись слегка различающимися полномочиями (статусом).
При этом инки рассуждали так. Как одинаковые, так и сильно
различающиеся полномочия легко могли вынудить обоих руководителей к
образованию коалиции против общего начальника и внести тем самым
диссонанс в управлении всей территорией. При равных полномочиях вероятнее
всего одинаковое распределение ответственности при принятии какого-
либо решения. При сильном различии полномочий лидерство одного
руководителя также не вызвало бы никакой конфронтации у другого. Только
небольшое различие в полномочиях провоцирует на взаимные претензии быть
единоличным лидером.
Эти рассуждения можно интерпретировать следующим образом.
Пусть А обозначает руководителя всей завоеванной территории, В и С —
подчиненных ему руководителей. То, чего добивались инки, соответствует
ситуации б, когда общий руководитель наделен диктаторскими
полномочиями и никакие коалиции между А, В и С невозможны.
Случай с равными полномочиями соответствует ситуации 2,
согласно которой В и С могут образовать выигрышную коалицию против А.
Случай с резким различием полномочий соответствует ситуации 5,
согласно которой В и С могут образовать выигрышную коалицию против
А.
Чтобы не допускать выигрышной коалиции против А, инки с самого
начала порождали ситуацию б.
Каждая из восьми изученных триад со структурной точки зрения
символизирует особый порядок (отношение) доминирования среди ее
членов, чем и отличается от всех остальных. В зависимости от того, меняется
ли порядок доминирования между членами триады после образования
коалиции, коалиции можно разделить на следующие три класса.
A) Коалиция членов конфликтной триады консервативна, если она
сохраняет начальный порядок их доминирования.
B) Коалиция членов конфликтной триады революционна, если она
меняет начальный порядок доминирования хотя бы двух ее членов на
противоположный (сильный член триады становится слабым, слабый —
сильным).
98 Wolff К. The Sociology of Georg Simmel. Glencoe. 1950. - P. 165-166.

509
C) Коалиция членов конфликтной триады амбивалентна, если она не
является ни консервативной, ни революционной.
Для пояснения введенных определений вернемся к ситуации 5.
Согласно ее условиям наиболее вероятно формирование коалиции ВС. Если
она действительно возникнет, тогда А лишится статуса самой сильной
державы, так как благодаря коалиции с С член коалиции В получит власть
над А и продолжит доминировать над С как член коалиции. Это означает,
что коалиция ВС устанавливает новое распределение силы в триаде, меня
местами в иерархии власти государства А и В, и носит согласно
определению 10 революционный характер.
Предвидя свое возможное свержение как самого сильного члена
триады и стараясь ему воспрепятствовать, А будет стремиться
сформировать коалицию АВ или коалицию АС. При этом коалиция АВ, если она
возникнет, не изменит порядка доминирования в триаде, А продолжит
доминировать над государством В в пределах коалиции и над С за ее
пределами, точно также, как и В над С. Следовательно, коалиция АВ носит
согласно определению 9 консервативный характер.
Если же государству А для сохранения статуса удастся
сформировать коалицию А С, то последняя окажется амбивалентной в следующем
смысле. По условиям ситуации 5, С как член триады слабее В, но как член
коалиции АС, С сильнее В. Таким образом, отношения доминирования
между В и С становятся амбивалентными: ни один из членов триады не имеет
устойчивого доминирования над другим.
Из сказанного следует, что ни революционная, ни амбивалентная
коалиции нельзя считать стабильными решениями конфликта. Первый вид
коалиции нестабилен потому, что сильный член триады будет всеми
возможными средствами противодействовать своему смещению. Второй тип
коалиции потому, что он противоречив по определению. Значит,
справедливо следующее утверждение.
Коалиция членов конфликтной триады стабильна (представляет
стабильное решение конфликта триады), если и только если она
консервативна.
В триаде первого типа (см. ситуацию /), в которой силы всех членов
равны друг другу, любая из трех коалиций — АВ, ВС или АС носит
революционный характер, потому что опровергает начальное распределение
силы между членами триады. Значит, такая триада не допускает
образования консервативных и амбивалентных коалиций. Также следует, что она
представляет динамически неустойчивое решение конфликта. Любой из
членов триады осознает, что он проиграет, если его соперники
объединятся, и будет прилагать все силы, чтобы сформировать коалицию первым.
Иными словами, степень соперничества в триадах подобного типа
ожидается чрезвычайно высокой.

510
Триада второго типа (см. ситуацию 2) допускает образование одной
революционной коалиции — ВС и двух амбивалентных — АВ и АС.
Значит, данная триада не допускает образование консервативных коалиций, и,
следовательно, все ее решения представляют динамически неустойчивые
решения конфликта. Действительно, член триады А, обеспокоенный
возможным объединением двух по отдельности более слабых, но совместно
превосходящих его членов В и С, будет стремиться сформировать
коалиции АС или А С, но каждая из них амбивалентна: силы В и С по условию
одинаковы, но какой-то один из этих членов должен получить тем не
менее власть над другим.
Коалиции триады третьего типа (см. ситуацию 3) могут быть
стабильными и нестабильными решениями конфликта. Если члены триады В
и С, равные по своей силе и доминирующие порознь над А, образуют
амбивалентные коалиции с А —АВ или А С, то они по определению 12
динамически нестабильны. Если же В и С образуют коалицию друг с другом, то
последняя будет консервативной и динамически стабильной. Данный тип
триады является единственным, в котором самый сильный член триады
может выбирать между революционной коалицией, понижающей его
статус, и консервативной коалицией, сохраняющей status quo.
В триадах четвертого типа (см. ситуацию 4) образование
революционных коалиций невозможно. Зато возможны консервативная коалиция ВС
и амбивалентные коалиции АВ или АС. Если для консервативной коалиции
существует мотив, так как члены В и С, хотя и не достигают силы А, все-
таки ее увеличивают, то для амбивалентных коалиций никаких
рациональных мотивов нет: независимо от того, объединятся ли вместе В и С, член
триады А остается в этого типа триаде самым сильным.
В триадах пятого типа (см. ситуацию 5) коалиция ВС революционна
и наиболее ожидаема, коалиция АВ консервативна, коалиция АС
амбивалентна. В первом случае В смещает с поста лидера члена триады А; во
втором А остается лидером, а В продолжает доминировать над С; в третьем
случае С, более слабый чем 5, как член коалиции будет доминировать над
В.
В триадах шестого типа (см. ситуацию 6), как и в триадах
четвертого типа, революционные коалиции невозможны. Абсолютное господство А
исключает эту возможность. Зато здесь возможны две консервативные
коалиции АВ и ВС и одна амбивалентная АС.
В триадах седьмого типа (см. ситуацию 7) возможна одна
консервативная коалиция АВ и две амбивалентных АС (самая ожидаемая) и ВС.
Коалиция ВС амбивалентна по причине блокирования А, но без господства
над ним (так как устанавливается отношение равенства сил между А и
ВС). Такая коалиция создает своеобразный тупик в отношениях между
членами триады. Но этот тупик, как указывает Т. Кэплоу, может иметь при

511
определенных обстоятельствах, например, при бойкоте, революционные
последствия".
Триады восьмого типа (см. ситуацию 8) представляют
своеобразную противоположность триадам первого типа: все ее коалиции
амбивалентны (все коалиции первого типа революционны). Триады данного типа
динамически самые неустойчивые, так все решения конфликта,
определяемого ее порядком доминирования, противоречивы. Член триады А не
может сформировать ни одной коалиции, сохраняющей начальный
порядок доминирования. У В и С нет никаких шансов лишить А статуса лидера.
Если сформируется коалиция ВС, активность членов триады будет
парализована. Если же возникнет коалиция АВ или А С, триада данного типа
трансформируется в триаду пятого типа.
Следующая таблица суммирует сказанное о свойствах коалиций в
триадах.
Тип
триады
1
2
3
4
5
6
7
8
А
А
А
А
А
А
А
А
Распределение
силы
= В = С
>В,В = С,А <(В + С)
= В,В>С
> (B + Q,B = C
>В>С,А< (B + Q
>В>С,А> (B + Q
>В>С,А= (B + Q
= (в + о, в = с
Возможные коалиции

Консервативная
АВ
ВС
АВ
АВ.ВС
АВ

Революционная
АВ, ВС, АС
ВС
АС, ВС
ВС

Амбивалентная
АВ, АС
АВ.АС
АС
АС
ВС, АС
АВ, ВС, АС
Несмотря на деление коалиций на три класса с различными
свойствами, отметим, что не существует абсолютно «хороших» или «плохих»
коалиций в триадах. Каждая (консервативная, революционная или
амбивалентная) коалиция имеет свои достоинства и недостатки в зависимости от
характера триады, целей ее членов и многих других привходящих
факторов, задаваемых более общей системой. Например, историки, как правило,
оправдывают свержение тирана или деспота. Наоборот, свержение
законного правительства или президента подвергается ими осуждению.
Основанием обоих случаев служит одна и та же модель — формирование
революционной коалиции.
Амбивалентные коалиции также отражают реально существующее
распределение сил в социальных системах. Одна из причин амбивалентно-
99
Caplow Т. Two Against One. New Jersey. 1968. - P. 55.

512
сти семейных отношений — несовместимость родительской коалиции
(мать-отец) с коалицией матери и ребенка. «Типичной жертвой
амбивалентности является сын, вступивший в тесную коалицию с матерью против
доминирующего отца. ... Развивая этот принцип (баланса отношений. —В.
С. и ИМ.) далее, можно понять, почему амбивалентность представляет
само собой подразумеваемую черту большинства до сих пор наблюдавшихся
семейных систем. Семья начинается с коалиции родителей и даже если
солидарность ее членов слабеет, она должна периодически возрождаться,
чтобы противостоять всяким непредвиденным случайностям. Между тем
коалиция матери и ребенка, возможно, — одна из самых фундаментальных
форм человеческой связи и, хотя она по мере взросления ребенка
ослабляется, полностью очень редко, когда она полностью исчезает. Разделение
труда и разделение половых ролей в семье создают поводы для
образования коалиций мужчин против женщин или наоборот. Родительская
коалиция несовместима с коалицией "мать и ребенок" и с коалициями,
основанными на равенстве полов. Коалиция "мать и сын" несовместима с
коалицией "отец и сын"»100.
Аналогично и для государств. Амбивалентны все коалиции, которые
возникают между противниками из-за общей внешней угрозы.
«Отношение мусульман к этой войне (Саддама Хусейна против Кувейта в 1990 г. —
В. С. и И.П.) против ислама способствовало ослаблению или временному
прекращению конфликтов внутри исламского мира. Прежние разногласия
утратили свою значимость рядом с важнейшим спором между исламом и
Западом»101.
Дальнейшее изучение всего комплекса проблем, возникающих с
образованием триад, их композицией в более сложные структуры,
трансформацией триад одного типа в триады другого типа, которые здесь не
рассматривались, — актуальные задачи будущих исследований.
100
Caplow Т. Two Against One. New Jersey. 1968. - P. 78-79.
101 Хантингтон С. Столкновение цивилизаций. М., 2003. - С. 402.

513
6. ЛОГИКА АФФЕКТИВНЫХ КОНФЛИКТОВ
БЕНЕДИКТА СПИНОЗЫ
Человеческое бессилие в укрощении и ограничении аффектов я
называю рабством. Итак, так как могущество души, как я выше
показал, определяется одной только ее познавательной способностью,
то только в одном познании найдем мы средства против аффектов...
и из этого познания мы выведем все, что относится к блаженству
души.
Бенедикт Спиноза. Этика
Вызывает удивление тот факт, что учение Б. Спинозы об аффектах,
предвосхитившее главные идеи и результаты теории когнитивного
диссонанса Л. Фестингера и структурного баланса Ф. Хайдера102, даже не
упоминаются в современных исследованиях по когнитивной психологии. Это
учение также вносит выдающийся вклад в теорию межличностных
конфликтов, так как задолго до 3. Фрейда и его последователей Б. Спиноза
сформулировал основную идею лечения аффективных расстройств.
Человек — часть природы, результат ее целесообразной
деятельности. Его жизнь не может не быть поэтому демонстрацией могущества и
всеобщности законов природы. Ошибочно представлять человека, считает
Б. Спиноза, государством в государстве, своеобразной самодостаточной
субстанцией. Природа едина, все подчиняется одним и тем же законам,
никакой свободы воли, способной идти вопреки природной
необходимости, нет и быть не может. То, что люди обычно называют свободой, — это
не более чем плод их воображения, незнание подлинных причин своих
поступков.
Душа и тело суть две стороны одной и той же природной вещи,
называемой человеком. Способности души являются способностями тела.
Обратное также верно. При этом ни душа не определяет телесные
состояния, ни тело не определяет идеи души в качестве последствий, или
окончательной причины. Душа по своей сути — это прежде всего идея
собственного тела. Функция души — познавать и составлять собственное мнение
об окружающем мире посредством знания состояний собственного тела.
Душа не может знать о внешнем и внутреннем мире без своего тела, без
воздействия на него других тел, без изменения состояний своего тела.
Тело, другими словами, — главный и единственный объект души.
102 Festinger L. Theory of Cognitive Dissonance. Stanford. 1957. Heider F. The Psychology
of Interpersonal Relations. New York. 1959.

514
Сущность человека «не заключает в себе необходимого
существования, то есть в порядке природы является возможным как то, чтобы тот
человек или другой человек существовал, так и то, чтобы он не существо-
юз ГЛ ~ ~ ~
вал» . Следовательно, человеку, как и всякой иной конечной вещи,
ничего не остается в качестве главного закона своего существования, как
постоянно стремиться к самосохранению.
Стремление к сохранению своего бытия называется влечением и
является для человека сущностным.
Все, что способствует удовлетворению этого стремления, Б. Спиноза
называет благом (добром), а все, что ему препятствует, — злом. И благо и
зло — категории субъективные, относительные, имеющие смысл только
для тех вещей, которые обладают влечением к самосохранению. В природе
же как таковой нет никакого блага и никакого зла.
Из всех причин, благоприятствующих или не благоприятствующих
сохранению существования человека, особое место занимают аффекты.
«Под аффектами я разумею состояния тела, которые увеличивают или
уменьшают способность самого тела к действию, благоприятствуют или
ограничивают ее, а вместе с тем и идеи этих состояний (то есть состояния
души. — В. С. и И. П.)»104. Аффект, отмечает Б. Спиноза в другом месте
«Этики», — это страсть души, смутная идея (самая первая идея, которая
еще не полностью подчинена телу), с помощью которой душа утверждает
«большую или меньшую, чем прежде, силу существования своего тела или
какой-либо его части и которой сама душа определяется к мышлению
одного преимущественно перед другим»105.
Значит, аффект — это исходное знание, которое имеет наша душа о
своем теле, внешнем мире, о своем благе, и одновременно начальный
мотив всех наших состояний и действий. По своей природе аффекты
характеризуют прежде всего пассивные, страдательные состояния тела и души,
выражают несвободу человека из-за смутного выражения ими его
подлинного блага и тем более находятся в его власти, чем точнее и глубже он
знает их причины (чем более ясны, адекватны идеи души об их причинах).
Следовательно, только знание причин аффектов дает нам власть над
ними, а вместе с ней и нашу свободу.
Все аффекты Б. Спиноза делит на три вида: удовольствие,
неудовольствие и влечение к самосохранению.
Влечение к самосохранению, как отмечалось, выражает сущностную
природу человека. Его можно считать родовым аффектом,
присутствующим в той или форме в любом другом аффекте.
103 Спиноза Б. Избранные произведения: В 2-х т. М., 1957. Т.1. - С. 103.
104 Спиноза Б. Указ. соч. - С. 456.
105 Спиноза Б. Указ. соч. - С 519.

515
Специфика удовольствия и неудовольствия состоит в том, что они
представляют аффекты, способствующие или тормозящие проявление
влечения человека к самосохранению. «Под удовольствием ... я буду
разуметь в дальнейшем такое пассивное состояние, через которое душа
переходит к большему совершенствуt под неудовольствием ... лее такое,
через которое она переходит к меньшему совершенству»1 6.
Принимая во внимание приведенные определения Б. Спинозы, мы не
ошибемся, если приравняем аффект удовольствия к позитивному
отношению, аффект неудовольствия — к негативному отношению, а полную
независимость от аффектов, которую Б. Спиноза называет свободой, жизнью
согласно предписаниям исключительно разума, — безразличием
(интеллектуальным и эмоциональным равновесием души и тела).
Удовольствие и неудовольствие, сопровождаемые идеей внешней
причины, Б. Спиноза определяет как любовь и ненависть соответственно.
Данные аффекты представляют наиболее сильные проявления
удовольствия и неудовольствия. . Кроме того, они являются аффектами, которые
всегда имеют внешний объект и сопровождаются идеей причинной связи с
этим объектом.
Анализу природы аффектов, их роли в человеческой жизни Б.
Спиноза посвятил три из пяти частей своей знаменитой «Этики». Содержание
этих частей образует около 170 теорем, доказанных «в геометрическом
порядке». Нет смысла рассматривать в данной работе все теоремы,
остановимся только на тех которые имеют прямое отношение к анализу внутри-
личностных и межличностных конфликтов.
Внутриличностные конфликты
Согласно Б. Спинозе, субъектом внутриличностных конфликтов
является душа. В терминах современной интеракционистской психологии и
социологии (Ч. X. Кули и Дж. Г. Мид) душа — это ego человека, то есть
совокупность устойчивых аттитюдов по отношению к самому себе.
Поэтому все, что Б. Спиноза говорит о душе, будет интерпретироваться в
указанном выше смысле о трех видах отношений. Для отделения утверждений
(теорем) Б. Спинозы от утверждений, представляющих их
конфликтологическое истолкование, последние будут начинаться с заглавной буквы А,
выделенной полужирным шрифтом.
Сущность души, как и любой другой конечной вещи, выражается в
стремлении сохранить свое существование. Это означает, что душа не
содержит в самой себе ничего, что могло бы стать внутренней причиной ее
гибели (прекращения своего собственного существования). Отсюда
следует, что душа находится в фундаментально позитивном, то есть бескон-
106 Спиноза Б. Указ. соч. - С. 465.

516
фликтном отношении к самой себе, ибо только такое отношение способно
гарантировать ее самосохранение.
Приведем основные утверждения Б. Спинозы на данную тему.
«Стремление вещи пребывать в своем существовании есть не что
иное, как действительная (актуальная) сущность самой вещи... Душа
стремится пребывать в своем существовании в продолжение
неопределенного времени и сознает это свое стремление... Никакой идеи,
исключающей существование нашего тела в нашей душе существовать не может:
такая идея нашей душе противна»107.
Сказанное Б. Спинозой можно суммировать и интерпретировать
следующим образом.
А1. Сущностное стремление нашего ego представляет его
потребность в поддержании и сохранении уважения к самому себе 8.
А2. Модальность существенного отношения нашего ego к самому
себе необходимо позитивна.
A3. Существенное отношение нашего ego к самому себе необходимо
бесконфликтно.
А4. Без воздействия внешних факторов наше ego стремится
сохранить уважение к самому себе и тем самым бесконфликтное состояние
сколь угодно долго.
Человек познает самого себя только через состояния своего тела и
получаемые от него идеи. О других телах и внешнем мире в целом он
также узнает посредством своего тела. Поэтому удовлетворение стремления
души к сохранению своего бытия и и бытия своего тела, что, согласно Б.
Спинозе, одно и то же, возможно, только если она будет воображать
(созерцать) все, что способствует этому базисному влечению и исключать все,
что ему противодействует. Выполняя первое и второе, душа осознает свою
способность к действию, становится более совершенной.испытывает
удовольствие и приобретает блага (пользу от сохранения своего
существования). Не выполняя первого и/или второго, душа осознает свою
неспособность к действию, становится менее совершенной, испытывает
неудовольствие и приобретает зло (некоторую разновидность ущерба от
неспособности сохранить свое существование на должном уровне). Неспособность
души обеспечить сохранение своего бытия проявляется в неудовольствии,
которое она испытывает, в ее конфликтных состояниях, называемых Б.
Спинозой душевными колебаниями109.
107
Спиноза Б. Указ. соч. - С. 463, 464, 435. Теоремы 7, 9 и 10.
108 «Люди охотнее всего предпринимают те действия из своего репертуара, которые
сохраняют их самооценку» - Zetterberg H.L. On Motivation // Sociological Theories in
Progress/ V. 1. New York. 1956. - P. 125.
109 Спиноза Б. Указ. соч. - С. 465-467, 470, 497-501. Теоремы И, 12, 13, 17, 53-55.

517
Поскольку идея собственного тела — важнейшая для души, то
практическая реализация ее стремления к самосохранению начинается с заботы
о существовании своего тела.
Для формализации приведенного утверждения и его анализа введем
следующие обозначения. Пусть S обозначает душу, В — тело, /— идею,
воображаемую душой, Р — позитивное отношение (самосохранение,
удовольствие), N — негативное отношение (уничтожение, неудовольствие)
чего-либо к чему-нибудь. Следующие означенные диграфы (Рис. 9(а) и
9F)) поясняют приведенные мысли Б. Спинозы о самосохранении души.
Рис. 9
Рис. 9{а) символизирует ситуацию самосохранения, при которой
душа воображает идею /, которая увеличивает способность тела В к
действию. Рис. 9F) обозначает ситуацию самосохранения, при которой душа
воображает идею /ь которая уничтожает идею /2, уменьшающую
способность тела В к действию.
Сказанное можно суммировать следующим образом.
А5. Для практической реализации своего сущностного стремления к
самосохранению, позитивному отношению к самому себе,
бесконфликтному состоянию и адекватному познанию самого себя наше ego
нуждается во внешнем мире, начиная с потребности иметь свое собственное
тело,
А6. Наше ego реализует свое стремление к самосохранению,
позитивному отношению к самому себе, бесконфликтному состоянию тогда и
только тогда, когда во внешнем мире все, что с ним и его телом
несовместимо, отрицается (исключается как зло), а все, что с ним
совместимо, наоборот, утверждается (принимается как благо). В противном
случае ego попадает в состояние аффективного конфликта и теряет
способность к адекватным действиям по сохранению своего существования.
Аффективный конфликт, в терминологии Б. Спинозы, — душевное
колебание, которое возникает тогда, когда мы находимся под воздействием

518
взаимно исключающих влечений. Ибо когда мы «воображаем, что вещь,
которая обычно причиняет нам неудовольствие, имеет что-либо сходное с
другой вещью, обыкновенно причиняющей нам столь же большое
удовольствие, то мы будем в одно и то же время и ненавидеть и любить ее»110.
Диграф, символизирующий структуру аффективного конфликта
выглядит так (S = мы = душа; 1\ = образ вещи, причиняющей неудовольствие;
/2 = образ вещи, причиняющей удовольствие):
N
/, Р h
Рис. 10. Структура аффективного конфликта
Причиной аффективного конфликта выступает противоречивое
отношение души к своим собственным позитивно связанным идеям. От
первой идеи душа получает неудовольствие, от второй — удовольствие. И так
как обе идеи связаны друг с другом позитивно, аффективное противоречие
нейтрализует любые действия души по освобождению от любой из своих
идей. В этом и состоит суть «душевного колебания», по Б. Спинозе.
Сказанное позволяет утверждать
А7. Внутриличностные конфликты возникают из-за
противоречивого отношения нашего ego к своим собственным идеям, влечениям,
образам, оценкам и тому подобным когнитивным элементам.
Непосредственным следствием возникновения аффективного
конфликта становится появление новых системных сил, направленных на его
разрешение и прямо пропорциональных его тормозящей силе. «Если в
одном и том же субъекте возбуждаются два противоположных действия, то
или в обоих из них, или в одном должно происходить изменение до тех
пор, пока они не перестанут быть противоположными. Могущество
действия определяется могуществом его причины в силу того, что сущность
действия выражается и определяется сущностью его причины»111.
Отмеченное позволяет утверждать следующее.
110 Спиноза Б. Указ. соч. - С. 470. Теорема 17.
111 Спиноза Б. Указ. соч. - С. 591. Аксиомы 1 и 2.

519
А8. Всякий внутриличностный конфликт становится причиной
специальных аффективных и мыслительных действий нашего ego, целью
которых является по меньшей мере значительное ослабление противоречия
(противоположности) существенных для него когнитивных элементов.
Противоречие разрешается при достижении как минимум качественной
симметрии между противодействующими элементами. Сила защитных
процессов прямо пропорциональна той опасности, которую представляет
данное противоречие для ego.
В качестве демонстрации справедливости утверждений Б. Спинозы
формализуем и оценим следующее его типичное рассуждение о внутри-
личностных конфликтах. «Кто воображает, что предмет его ненависти
получил неудовольствие, будет чувствовать удовольствие; наоборот, если он
воображает его получившим удовольствие, будет чувствовать
неудовольствие; и каждый из этих аффектов будет тем больше или меньше, чем
больше противоположный ему аффект в том, что он ненавидит»112.
Пусть: S = душа, /; = воображаемый предмет ненависти души, 1г =
воображаемая причина удовольствия (неудовольствия) души.
В утверждении Б. Спинозы содержатся две теоремы (рис. 10):
Рис. 10
Согласно рис. 10(а) душа S получает удовольствие от того, что
предмет ее ненависти 1\ получает неудовольствие от /2. Согласно рис. 10F)
душа S получает неудовольствие от того, что предмет ее ненависти 1\
получает удовольствие от /2.
Оба диграфа качественно бесконфликтны. Поэтому утверждение
Б. Спинозы корректно в качественном смысле. Остается доказать лишь ту
часть утверждения, которая касается зависимости величин
соответствующих аффектов.
Следующее дерево определяет структуру зависимости указанных
трех когнитивных элементов:
112 Спиноза Б. Указ. соч. - С. 474-475. Теорема 23.

520
Пусть P(I2/S) обозначает величину удовольствия, испытываемую
душой S от воображаемой причины удовольствия (неудовольствия) /2. Из
дерева вероятностей следует, что она в общем случае равна:
P(I2/S) = PiShh) + PiS-JA) = ху + A - x)z.
Вероятность х характеризует величину удовольствия (позитивного
отношения) S к Ih вероятность A — х) — величину неудовольствия
(негативного отношения) S к //. Вероятности у и z выражают величину
удовольствия, получаемого предметом ненависти души /у от 12 и предметом ее
любви —./1 от 12 соответственно.
Величина удовольствия, испытываемая S, максимальна, то есть
Pih/S) = 1 истинно, в двух случаях: либо при ху = 1, либо при A - x)z = 1
Первый случай означает, что S получает максимум удовольствия от 12,
потому что S любит /1 и / / получает максимум удовольствия от / 2. Но этот
случай не соответствует условиям рассматриваемой теоремы. Второй
случай означает, что S получает максимум удовольствия от /2, потому что S
ненавидит // и Ij получает максимум неудовольствия от /2. Этот второй
случай соответствует утверждению Б. Спинозы, что величина
удовольствия, получаемого S от /2, прямо пропорциональна величине
неудовольствия, получаемого /; от /2. В итоге получаем первое утверждение
рассматриваемой теоремы: если A —x)z—> 1, то P{hlS) —> 1. Доказательство
следует из того факта, что х + A — х) = 1. Поэтому если истинно A — x)z —> 1, то
также истинно х -> 0 и ху —> 0.
Величина неудовольствия, получаемого S от 12, максимальна, то есть
P(hlS) = 0 истинно, только в одном случае: ху = 0 и A — y)z = 0. Это
возможно либо тогда, когда х = 1 и у = 0, либо тогда, когда х = 0 и z = 0.
Первая возможность говорит о том, что S испытывает максимум
неудовольствия от /2, потому что S любит /;, а // получает максимум неудовольствия от
/2. Но она не соответствует условиям теоремы. Вторая возможность
говорит о том, что S имеет максимум неудовольствия от /2, потому что S
ненавидит /у, то есть любит —Jl9 a -J; получает максимум неудовольствия от 12,
Вторая возможность соответствует утверждению Б. Спинозы о том, что
величина неудовольствия, испытываемого S от 12, обратно
пропорциональна величине удовольствия, получаемого Ij от 12. В итоге получаем второе

521
утверждение рассматриваемой теоремы: если истинно х —> 0 и z —> 0, то
P{hlS) —> 0. Доказательство следует из факта, что при х —> 0 истинно ху —>
0, а при z —> 0 истинно A — x)z —> 0. Следовательно, ху + A — jc)z —> 0 также
истинно.
Неизменным условием обоих утверждений является ненависть души
S к 1\. Считая это условие константой, получаем, что величина
удовольствия или неудовольствия, испытываемого S от /2, прямо пропорциональна
величине вероятности z. Полагая модальность и величину z в качестве
причины возможного внутриличностного конфликта, а модальность и
величину отношения /2 к S как силу, возникающую для его устранения,
получаем справедливость утверждения Б. Спинозы о прямой зависимости силы,
направленной на разрешение конфликта от важности и силы самого
конфликта.
Итак, утверждение Б. Спинозы корректно во всех рассмотренных
смыслах. Для большей ясности рассмотрим числовую иллюстрацию. Так
как по условию душа S ненавидит //, то х = w(SIj) = 0. Значит, ху = w(SIjI2)
= 0, x(l-y) = w(SI1-J2) =0, A — jc)= wE'-i//)=1h (l-x)z = w(S-nIII2) =
z = w(S 12) = P(hlS). Следовательно, при 0 < z < 0,5 истинно первое
утверждение рассматриваемой теоремы Б. Спинозы, а при 0,5 < z < 1 истинно
ее второе утверждение. Иными словами, задавая определенное значение
вероятности z из указанных интервалов, немедленно получаем первое или
второе утверждение теоремы (при указанных условиях). Из равенства z =
w(SI 2) = P{hlS), кроме того, следует, что величина силы, нейтрализующей
конфликт, то есть Д/У 5), прямо пропорциональна величине силы,
способной такой конфликт создать, то есть z.
Порядок и связь идей, утверждает Б. Спиноза, совпадает с порядком
и связью вещей (телесных состояний, образов вещей). Поэтому если мы
«отделим душевное движение, то есть аффект, от представления внешней
причины и соединим его с другими представлениями, то любовь или
ненависть к этой внешней причине, равно как и душевные волнения,
возникающие из этих аффектов, уничтожаются. ... Аффект, составляющий
пассивное состояние, перестает быть им, как скоро мы образуем ясную и
отчетливую идею его»113. В этих словах кратко, но точно выражен смысл
программы разрешения аффективных конфликтов.
Все люди родятся незнающими причин вещей и стремящимися к
полезному для себя. При этом они осознают прежде всего свои желания и
аффекты и, не зная их причин, считают себя свободными. Но природа
аффектов такова, что одна и та же вещь может быть причиной
несовместимых и тем не менее одновременно истинных оценок. Никто, исходя только
из требований разума, не посчитает одновременно истинными суждения 2
113
Спиноза Б. Указ. соч. - С. 592. Теоремы 2 и 3.

522
+ 2 = 4и2 + 2^4. Второе из этих суждений, если речь идет о натуральных
числах, обязательно будет названо ложным. Однако никакая аффективная
оценка какого-либо события типа «это прекрасно» не исключает прямо ей
противоположную — «это безобразно» и обе они могут быть поэтому
одновременно истинными. Значит, тот, кто руководствуется только
аффектами, обречен на субъективизм и произвол в определении и достижении
даже собственных целей, на душевные колебания и тревоги по любому даже
самому незначительному поводу. Кроме того, такой человек никогда не
способен вырваться из своеобразного порочного аффективного круга,
когда избавление от одного аффекта возможно только при образовании более
сильного аффекта и так далее вплоть до полной потери всякой
способности управлять самим собой. Только разум способен указать человеку, в чем
состоит его истинное удовольствие и неудовольствие, благо и зло. Причем
разум указывает эти цели как всеобщие, имеющие смысл для всех людей.
Значит, только разум способен объединять людей, аффекты же, будучи
всегда субъективными и произвольными, никогда. Наконец, только разум
способен сформировать адекватную идею о собственном теле, а с ее
помощью и идеи о других телах. Следовательно, только разум способен
заменить аффект, являющийся смутной идеей о состоянии тела,
соответствующей адекватной идеей и избавить душу от аффективных конфликтов,
волнений и тревог.
А9. Необходимым и достаточным условием разрешения любого
аффективного конфликта является отделение аффекта от его
воображаемой (смутной) причины и объяснение его происхождения познанием
действительной (разумной) причины.
Главным результатом успешного разрешения аффективного
конфликта становится устранение аффектов, несовместимых с всеобщими
критериями разума, достижение душевного спокойствия, восстановление
соответствия между порядком и связью идей в нашем разуме и порядком и
связью состояний нашего тела. «Пока мы не волнуемся аффектами,
противными нашей природе, до тех пор мы сохраняем способность приводить
состояния тела в порядок и связь сообразно с порядком разума»114.
Разрешая аффективные конфликты именно таким образом, мы доказываем свою
принадлежность единой природе, способность понимать и достигать ее
цели. Но именно в этом и заключается подлинная, то есть разумная свобода
человека.
Межличностные конфликты
«Этика» содержит значительное количество теорем, интересных с
точки зрения анализа межличностных отношений и конфликтов. Типичной
114 Спиноза Б. Указ. соч. - С. 597. Теорема 10.

523
является, например, следующая теорема. «Если мы воображаем, что кто-
либо причиняет удовольствие предмету, который мы ненавидим, то мы
будем и его ненавидеть. Наоборот, если мы воображаем, что он причиняет
этому предмету неудовольствие, то мы будем любить его»115.
Легко убедиться, что описываемая приведенной теоремой ситуация
межличностного общения состоит из трех элементов, один из которых
может быть как одушевленной, так и неодушевленной вещью, и отношений
разной модальности — ненависти, удовольствия, неудовольствия и любви.
Интерес поэтому вызывает прежде всего проблема бесконфликтных
комбинаций отношений разной модальности для трех различных субъектов,
которую Б. Спиноза хотя явно и не формулирует, но имплицитно решает.
В теоремах, аналогичных утверждению «Если мы любим какой-либо
подобный нам предмет, то мы стремимся, насколько возможно, сделать
так, чтобы и он нас любил»116, интерес представляет проблема тенденции
к симметрии прямых и обратных отношений разной модальности как
способ качественного и количественного разрешения конфликтных
ситуаций117. Проанализируем эти проблемы по порядку.
Пусть даны три разных субъекта — А, В и С, которые могут
находиться друг с другом в отношениях следующей модальности — L
(любовь), Р (позитивное отношение, удовольствие), IR (безразличие), N
(негативное отношение, неудовольствие), Н (ненависть). В строчной записи
ради сокращения часто будут использоваться выражения вида ALB, AIRC,
BNA, которые обозначают соответственно, что А любит В, А безразличен к
С, В негативно относится к А.
Точные определения данных отношений вместе с их
вероятностными весами и маркерами таковы.
ALB = А любит В, если и только если
• вес линии от А к В равен 1
• вес линии от А к -iB равен О
• Р(В/А)= 1
• Р(-пВ/А) = 0.
АРВ = А позитивно относится к В, если и только если
• вес линии от А к В равен 0,7
115 Спиноза Б. Указ. соч. - С. 475. Теорема 24.
116 Спиноза Б. Указ. соч. - С. 482. Теорема 33.
117 В социально-психологической литературе эта проблема получила название
феномена комплементарных реакций. «Взаимные поступки людей стремятся (с вероятностью,
значительно большей чем простое совпадение) порождать, вызывать, пробуждать
скорее взаимную комплементарность, чем простое повторение предыдущих действий». —
Kiestler D. J, The 1982 Interpersonal Circle: A Taxonomy for Complimentarity in Human
Transactions // Psychological Review, 90, No 3. 1983. - P. 200-201.

524
• вес линии от А к -iB равен 0,3
• Р(В/ А) = 0,7
• P(-iB/A) = 0,3.
AIRB = А безразличен к В, если и только если
• вес линии от А к В равен 0,5
• вес линии от А к -.5 равен 0,5
• Р(В/А) = 0,5
= А негативно относится к В, если и только если
• вес линии от А к В равен 0,3
• вес линии от А к -iB равен 0,7
• Р(В/А) = 0,3
• Р(-,В/А) = 0,7.
=4 ненавидит В, если и только если
• вес линии от А к В равен 0
• вес линии от А к -iB равен 1
• Р(В/А) = 0
• Р(-^В/А)= 1.
Так как каждый из трех субъектов А, В и С может независимо от
двух остальных находиться в любом из указанных модальных отношений,
то всего возможно 5x5x5 = 125 различных комбинаций отношений, 55 из
которых не повторяются, 25 являются бесконфликтными, а 15
бесконфликтными и коммутативными (независимыми от порядка сочетания
модальностей отношений) одновременно. Чтобы не рисовать диграфы и
деревья вероятностей в качестве доказательства, мы будем использовать
аналитическую (силлогистическую) запись условий и заключения теоремы и
аналитический аналог дерева вероятностей (будут указываться только
вероятности соответствующих ветвей дерева). Условия теоремы будут
отделяться от заключения горизонтальной чертой. Коммутативность посылок
означает, что комбинация, например, посылок ALB, BNC эквивалентна
комбинации ANB, BLC и из них обеих следует в качестве достаточного и
необходимого условия бесконфликтности одно и то же требование АРС.
Бесконфликтные ситуации будут обозначаться заглавной буквой К,
пронумерованной и выделенной полужирным шрифтом.

525
Бесконфликтные комбинации отношений
для трех различных субъектов
К1 Л любит В. P(ABQ = 1
В любит С. Р(АВ-,О = О
А любит С. P(A-iBQ = О
l?>—iC ) ~~ U
КЗ влюбит В, Р(АВС)
В безразличен к С.
А безразличен к С.
= 1
К2 Л любит 5. Р(ЛЯС) = 0,7
В позитивно относится к С. Р(АВ-\С) = 0,3
^4 позитивно относится к С. P(A-iBC) = 0
Л-nQ = 0
= 1
= 0
= 0
= 0
= 0
,5
,5
= 1
К4 Л любит В. Р(АВС) = 0,5
В негативно относится к С. P(AB-iC) = 0,5
А негативно относится к С. Р(А—*ВС) = 0
S^O = 0
= 1
К5 А любит В. Р(АВС) = 0
5 ненавидит С. Р(АВ-^С) = 1
Л ненавидит С. Р(А—>ВС) = 0
,5-,С) _^ 0_
= 1

Кб
К7
К8
K9
K10
526
А позитивно относится к В. Р{АВС)
В позитивно относится к С.
А позитивно относится к С.
А позитивно относится к В.
В безразличен к С.
А безразличен к С.
Р(АВС)
А позитивно относится к В,
В негативно относится к С.
Р(АВС)
А негативно относится к С. Р{А-*ВС)
А позитивно относится к В.
В ненавидит С.
А негативно относится к С.
Р{АВС)
А безразличен к В.
В безразличен к С.
Р(АВС)
А безразличен к С.
0,49
0,21
0,09
0,21
= 1
0,35
0,35
0,15
0,15
= 1
0,21
0,49
0,21
0,09
= 1
= 0
= 0
= 0
= 0
,7
,3
= 1
0,25
0,25
0,25
0,25
= 1
К11 А безразличен к В.
В негативно относится к С.
А безразличен к С.
Р(АВС)
0,15
0,35
0,35
0,15

527
= 1
К12 А безразличен к В. Р(АВС) = О
В ненавидит С. Р{АВ-^С) = 0,5
А безразличен к С. P(A-iBC) = 0,5
,В-^С) = О
= 1
К13 А негативно относится к В. Р(АВС) = 0,09
В негативно относится к С. P(AB-iC) = 0,21
А позитивно относится к С. Р(А^ВС) = 0,49
lD—iC) ~~ U,Z1
= 1
К14 ^4 негативно относится к В,
В ненавидит С.
А позитивно относится к С.
и t /ж I /J I\ у I
'= 1
К15 Л ненавидит В. P(ABQ = 0
В ненавидит С. Р(АВ—,С) = 0
P(ABQ
P(AB-,Q
Р(А-,ВС)
Р(А-^В^С)
= 0
= 0,3
= 0,7
= 0
А любит С. Р(А->ВС) = 1
«Я-.О = 0
= 1
Особенностью представленных комбинаций модальностей
отношений для трех различных субъектов является следующая межличностная
проблема. Допустим, известна модальность отношения субъекта А к
субъекту В и модальность отношения субъекта В к субъекту С. Какую
модальность тогда должно иметь отношение субъекта А к субъекту С, чтобы вся
комбинация отношений не оказалась конфликтной по крайней мере
качественно? Проделанные вычисления дают следующий ответ: для трех
различных субъектов и пяти выделенных модальностей отношений возможно
всего 15 качественно и количественно бесконфликтных комбинаций.
Можно поэтому утверждать, что в «Этике» нет ни одной теоремы,
объясняющей какие-либо отношения между тремя различными вещами, которая
не воспроизводила бы условия и заключение одной из данных 15 комбина-

528
ций. Например, условия и заключение теоремы 24, которая цитировалась
выше, соответствуют с учетом коммутативности посылок комбинациям К5
и К15. Аналогично и для остальных теорем. Тот факт, что Б. Спиноза
очень часто приравнивает удовольствие к любви и неудовольствие к
ненависти, свидетельствует о том, что для него существенным является не
столько различие в силе этих аффектов, сколько наличие у аффектов
любви и ненависти внешнего объекта. Удовольствие превращается в любовь, а
неудовольствие — в ненависть, если осознается внешний объект в
качестве его причины. Это, конечно, не означает, что сила аффектов никак не
учитывается Б. Спинозой. Влияние данного фактора в межличностных
отношениях и конфликтах требует привлечения динамической модели
конфликта, которая здесь не обсуждается.
Теорема Б. Спинозы под номером 33 и ряд подобных ей содержат
другую проблему, определенный вклад в решение которой также по праву
принадлежит Б. Спинозе. Кратко ее можно назвать проблемой взаимной
конвергенции прямых и обратных отношений к симметрии.
Каждый знает об известном еще в глубокой древности «золотом
правиле нравственности», согласно которому следует относиться к другим
так, как ты хотел, чтобы они относились к тебе; о популярных житейских
принципах: друг моего друга — мой друг, враг моего друга — мой враг и
т. д. и т. п. Подобные правила очень хорошо иллюстрируют принцип
симметрии и его главный эффект — бесконфликтность всей системы
отношений, подчиняющихся им. Но пока что никто не мог объяснить формальный
механизм появления и действия тенденции к симметрии отношений и тем
самым тенденции к разрешению конфликтов. Проницательная догадка
была, на наш взгляд, высказана Б. Спинозой в его анализе аффекта любви118.
Пытаясь ответить на вопрос, почему любовь стремится породить ответную
любовь, он связывает ее с подобием, которое субъект любви приписывает
объекту своей любви, и с желанием не только доставлять максимальное
удовольствие этому объекту, но и связать это удовольствие с самим собой
как его причиной. Иными словами, если мы любим кого-нибудь, то мы,
конечно, стремимся доставить объекту своей любви максимум
удовольствия, но это только половина всей правды. Другая половина состоит в том,
что под воздействием воображаемого нами подобия с любимым объектом
мы сознательно или бессознательно стремимся исключить все источники
его удовольствия, не связанные с нами. Но именно эта тенденция и
выражает наше желание заставить любимый нами объект полюбить нас как
свой единственный источник наслаждения.
Более формально тенденция к симметрии прямых и обратных
отношений может быть представлена так. Пусть истинно ALB, то есть истинно,
118 Спиноза Б. Указ. соч. - С. 483.

529
что А любит В, но В безразличен или даже негативно относится к А. Тогда
согласно теореме 33, которая цитировалась выше, А будет стремиться
поступать так, чтобы В полюбил его также, то есть чтобы было истинно BLA.
Пусть —А обозначает все иные, кроме А, источники (объекты) удовольствия
для В. Аналогично пусть -В обозначает все иные, кроме В, источники
(объекты) удовольствия для А, Тогда истинным является следующий
означенный граф (рис. 11):
Рис. 11. Граф симметричных отношений
Согласно s-графу на рис. 11 утверждать, например, что А любит В,
означает утверждать, что
А стремится
A) позитивно связать себя с В;
B) негативно связать себя со всеми -ъб;
C) негативно связать себя со всеми -А,
И как необходимое следствие намерений A)-C) получаем, что А
стремится
D) негативно связать все —А с В\
E) позитивно связать все -А. со всеми —\В.
По теореме контрапозиции логики высказываний (суждение (-А id
-i5) эквивалентно суждению (В z> А) к противоречит суждению {—Л & В))
из позитивной связи —А с S и негативной связи —А с В следует
позитивная связь В с А и негативная связь В с —А. Следовательно, Б. Спиноза
абсолютно прав, утверждая, что если А любит 5, то он всегда будет
стремиться сделать так, чтобы и В полюбил его, то есть было истинно BLA, и
возненавидел все —А, то есть было истинно ВН-А потому что подобные
стремления обусловлены системной природой отношения любви и, в
конечном счете, обуславливающего его отношения самосохранения. Проще
говоря, любить кого-нибудь и не желать такой же ответной любви
означает поступать вопреки самой сущности обоих указанных отношений. Ко-

530
нечно, это не означает, что подобные намерения любящих обязательно
осуществляются. Но то, что стремление к симметрии отношений
составляет необходимую часть любого, а не только любовного отношения, это
положение является истинным и представляет важное открытие Б.
Спинозы.
Принцип взаимной конвергенции прямых и обратных отношений к
симметрии можно суммировать в виде следующих утверждений (по числу
модальностей отношений):
A) Если ALB, то А будет стремиться сделать так, чтобы было
истинно и BLA;
B) Если АРВ, то А будет стремиться сделать так, чтобы было
истинно и ВРА;
C) Если AIRB, то А будет стремиться сделать так, чтобы было
истинно и BIRA;
D) Если ANB, то А будет стремиться сделать так, чтобы было
истинно и BNA;
E) Если АНВУ то А будет стремиться сделать так, чтобы было
истинно и ВНА.
Доказательство утверждений B)-E) аналогично приведенному
доказательству A) и предоставляется читателю в качестве самостоятельного
упражнения. Анализ проблемы, когда имеется как минимум две
несовместимых тенденции и побеждает какая-либо одна из них, требует
привлечения динамической модели конфликта и здесь не рассматривается.
В целом вклад Б. Спинозы в теорию анализа и разрешения
конфликтов можно оценить как выдающийся. Немногие из современных
исследователей внутриличностных и межличностных конфликтов могут
сравниться с ним по глубине и проницательности в постановке проблем и никто не
превзошел его в их теоретическом решении. Поэтому полная оценка
полученных Б. Спинозой результатов еще впереди.
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Укажите, как соотносятся объемы понятий «когнитивный
диссонанс», «структурный дисбаланс», «конфликт» и «противоречие».
2. Докажите любым способом следующие теоремы из «Этики»
Б. Спинозы.
1) «Если мы воображаем, что вещь, которая обыкновенно причиняет
нам неудовольствие, имеет что-либо сходное с другой вещью,
обыкновенно причиняющей нам столь же большое удовольствие, то мы будем в одно
и то же время и ненавидеть, и любить ее» (Спиноза Б. Указ. соч. - С. 470).

531
2) «Если мы воображаем, что кто-либо получает удовольствие от
чего-либо, владеть чем может только он один, то мы будем стремиться
сделать так, чтобы он не владел этим» (Указ. соч. - С. 482).
3) «Чем более аффект, который, по нашему воображению, питает к
нам любимый нами предмет, тем более мы будем гордиться» (Указ. соч. С.
483).
4) «Ненависть увеличивается вследствие взаимной ненависти и,
наоборот, может быть уничтожена любовью» (Указ. соч. - С. 490).
3. Разрешим ли, на ващ взгляд, следующий парадокс. А и В—
поклонники девушки С. Почему тогда, восхищаясь С, они будут испытывать
друг к другу неприязнь?
4. Постройте платежную матрицу для возможных действий героев
басни И. А. Крылова «Волк на псарне»:
Волк ночью, думая залезть в овчарню,
Попал на псарню.
Поднялся вдруг весь псарный двор.
В минуту псарня стала адом.
Мой волк сидит, прижавшись в угол задом,
Зубами щелкая и ощетиня шерсть,
Глазами, кажется, хотел бы всех он съесть;
Но, видя то, что тут не перед стадом,
И что приходит, наконец,
Ему расчесться за овец, —
Пустился мой хитрец в переговоры.
«Послушай-ка, сосед, —
Тут ловчий перервал в ответ, —
Ты сер, а я, приятель, сед,
И волчью вашу я давно натуру знаю;
А потому обычай мой:
С волками иначе не делать мировой,
Как снявши шкуру с них долой».
И тут же выпустил на Волка гончих стаю.
5. Проанализируйте в терминах теории игр спор Протагора с Еват-
лом и крокодила с матерью (см. гл. VIII, 6).
6. Проанализируйте в терминах образования коалиций следующее
рассуждение: «В чужой по обычаям и языку стране завоевателю следует
также сделаться главой и защитником более слабых соседей и постараться

532
ослабить сильных, а кроме того, следить за тем, чтобы в страну как-нибудь
не проник чужеземный правитель, не уступающий ему силой»
{Макиавелли Н. Государь. М., 1990. С. 8).
7. Проанализируйте коммуникативные системы, включающие
позитивные, негативные и иррелевантные отношения между их элементами
(используйте художественную литературу).

533
ГЛАВА X. ЛОГИКА АРГУМЕНТАЦИИ (РИТОРИКИ)
Итак, определим риторику как способность находить возможные
способы убеждения относительно каждого данного предмета.
Аристотель. Риторика.
Таким образом, все построение убедительной речи основывается
на трех вещах: доказать правоту того, что мы защищаем;
расположить к себе тех, перед кем мы выступаем; направить их мысль в
нужную для дела сторону.
Марк Туллий Цицерон. Об ораторе.
Наконец, скажем, что цель общей риторики состоит в том, чтобы
раскрыть все способности ума, дать рассудку и нравственному
чувству надлежащее направление, возбудить и усилить в душах
учащихся живую любовь ко всему благородному, великому и
прекрасному, и вместе с тем научить выражать сии чувства.
Кошанский Н. Общая риторика.
1. ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБ АРГУМЕНТАЦИИ
Даже если истина открыта, развита и обоснована на опыте, она в
большинстве случаев нуждается в публичной защите. Причина в том,
что новой истине всегда противостоят устаревшие, но привычные
истины и их сторонники. Новая истина должна завоевать общественное
признание в борьбе со своими соперницами. Для этого сторонники новой
истины обязаны убедить сообщество в ее преимуществах и вынудить
своих оппонентов признать свое поражение. Убеждение и диалог —
ключевые признаки аргументации.
В общем смысле аргументация означает умение изобретать,
приводить нужные аргументы в защиту (против) доказываемой
(опровергаемой) точки зрения в различных формах диалога — споре, дискуссии,
дебатах, переговорах и т.д. Именно так определяется искусство
аргументации в классической риторике, исторически первой теории
аргументации. Риторика — наука о законах построения убеждающей речи была
создана Аристотелем в IV веке до н.э.
Риторика — искусство изобретения и применения аргументов для
убеждения в правоте или ложности какой-либо точки зрения.

534
Во второй половине XX века было предпринято множество
попыток модернизировать классическую риторику. Модернизация была
вызвана необходимостью исследования все более усиливающейся ролью
языка и методов убеждения в социальной жизни. Растущее влияние
средств массовой информации и рекламы на общественное поведение
породили потребность в более тщательном анализе методов речевого (и
не только) воздействия на аудиторию. В результате слияния усилий
лингвистов, логиков, теоретиков риторики и специалистов в области
искусственного интеллекта в последней трети XX века было создано новое
направление, названное теорией аргументации, а также неформальной
логикой. По сути, оно представляет междисциплинарное течение, целью
которого является исследование, как люди должны, как они могут и как
они на самом деле достигают согласия в проблемных ситуациях.
Изучение логических и нелогических правил достижения общественного
консенсуса при решении общезначимых — главная цель теории
аргументации.
Теория аргументации возникла и развивается в определенной
оппозиции к классической (дедуктивной и индуктивной) логике, как
стремление преодолеть присущие ей ограничения. Главными из них, по
мнению теоретиков аргументации, являются следующие.
Во-первых, классическая логика в отличие от риторики чрезмерно
абстрагируется от социально-психологического контекста
доказательства — решаемой проблемы, места, времени, мотивов и целей участников
дискуссии.
Во-вторых, классическая логика монологична и не учитывает
диалогический и критический характер рассуждений. Для любого
рассуждения, даже если оно касается одного и того же человека, характерно
разделение его субъектов на пропонентов119 и оппонентов120,
попеременное выставление тезисов и аргументов с той и другой стороны и их
взаимная критика.
В-третьих, классическая логика запрещает изменение
истинностного статуса посылок и заключения в процессе одного и того же
доказательства. В реальных рассуждениях, наоборот, такое изменение является
характерной чертой: если один аргумент (заключение) не выдерживает
испытания или не помогает достигнуть желаемой цели, его заменяют
другим. Этим объясняется интерес теоретиков аргументации к методам
неклассической логики, в которых данное ограничение снимается.
В-четвертых, классическая логика, следуя традициям силлогистики,
ограничивается анализом одних лишь простых суждений в качестве
аргументов и заключений. Более важный случай, когда аргументами являются
119 Участник(-ки) диалога, выступающий(-е) в защиту кого-либо, чего-либо.
120 Участник(-ки) диалога, выступающий(-е) против кого-либо, чего-либо.

535
доказательства, — сложные суждения, символизирующие дедуктивный
или недедуктивный переход от посылок к заключению, классической
логикой детально не исследуется.
Своей отличительной особенностью теория аргументации считает
обязательный учет зависимости доказательств от определенного
социально-психологического и лингвистического контекста. Своим
основным методом — разработку разнообразных компьютерных программ,
позволяющих привлекать экспертов для решения проблем достижения
общественного консенсуса. С этой целью теория аргументации исполь-
121
зует методы неклассическои логики .
Если исключить дистанцирование теории аргументации от
классической логики как издержки роста, со всем остальным можно
согласиться. Действительно, социальная проблема по определению поляризует
своих субъектов на противостоящие друг другу стороны и порождает
между ними определенный диалог, в ходе которого они пытаются
достичь разумного компромисса. Можно поэтому согласиться, что
социальная проблема — начало всякой аргументации, а диалог — социально
санкционируемая форма ее решения и тем самым ведущая форма
аргументации.
Диалог представляет взаимный обмен аргументами и
доказательствами, которые могут приниматься, отклоняться и подвергаться
сомнению всеми его участниками. Каждый из них резонно считает, что
главная цель его аргументации в том, чтобы остальные участники приняли
именно его аргументы и доказательства. Соответственно теория
аргументации должна уметь объяснить, при каких условиях аргументы и
доказательства принимаются, отклоняются или подвергаются сомнению
(требуют дальнейшего изучения).
На основании всего сказанного аргументацию (в риторическом и
современном смыслах) можно определить следующим образом.
Аргументация — теория обоснования и искусство применения
участниками диалога правил принятия, отклонения и сомнения аргументов и
доказательств друг друга в процессе решения какой-либо социально
значимой проблемы.
Объяснению принципов классической риторики посвящены
следующие четыре параграфа; принципов современной теории аргументации
— последние три параграфа данной главы.
121 На русском языке с проблемами и методами применения теории аргументации в
исследованиях по искусственному интеллекту можно познакомиться по: Вагин В. Н.,
Головина Е. Ю., Загорянская А. А., Фомина М В. Достоверный и правдоподобный вывод в
интеллектуальных системах. М.,2004. - С.419-444.

536
2. СТРУКТУРА АРГУМЕНТАЦИИ
(РИТОРИЧЕСКИЙ КВАДРАТ)
Мы рассуждаем риторически, когда, решая какую-либо проблему,
стремимся склонить кого-либо, включая и самих себя, к некоторой точке
зрения, совершить какое-либо действие, принять решение, или получить
ответ на поставленный вопрос. Как это сделать наилучшим образом —
определяет специфику риторической речи. Ее задачи и правила в
канонической форме были сформулированы Цицероном: «Все силы и способности
оратора служат выполнению пяти задач: во-первых, он должен приискать
содержание для своей речи; во-вторых, расположить найденное по
порядку, взвесив и оценив каждый довод; в-третьих, облечь и украсить все это
словами; в-четвертых, укрепить речь в памяти; в-пятых, произнести ее с
достоинством и приятностью. Далее я узнал и понял, что прежде чем
приступить к делу, надо вначале расположить слушателей в свою
пользу, далее разъяснить дело, после этого установить предмет спора, затем
доказать то, на чем мы настаиваем, потом опровергнуть возражения; а в
конце речи все то, что говорит за нас, развернуть и возвеличить, а то,
что за противника, поколебать и лишить значения»122.
В каждой риторической речи выделяются автор, его аудитория,
обращение (автора), основание (аргумент, причина) обращения. Все вместе
они образуют риторический квадрат (рис. 1).
Аудитория
Обращение
Автор
Основание
Рис. 1
Автор {субъект) риторической речи — человек, организация (группа
людей, организаций), который убеждает аудиторию совершить некоторое
действие, занять определенную позицию, принять нужное решение.
Аудитория риторической речи — человек, организация (группа людей, органи-
122
Цицерон Марк Туллий. Об ораторе // Три трактата об ораторском искусстве. М.,
1994.-С. 31.

537
заций), которым автор адресует свое обращение. Один и тот же субъект
риторической речи может совмещать функции автора и аудитории.
Обращение — тезисы, которые автор предлагает аудитории принять или
отвергнуть. Основание обращения — аргументы, с помощью которых автор
убеждает аудиторию в истинности своих тезисов и ложности им
противоречащих или противоположных.
Когда Моська из известной басни И. А. Крылова отвечает: «Пускай
же говорят собаки: "Аи Моська! знать она сильна, что лает на Слона!"», то
она выступает автором, собаки — ее аудиторией, нападки на Слона —
аргументом, признание ее силы — тем тезисом, в истинности которого она
хочет убедить аудиторию.
Когда я убеждаю себя захватить зонт в связи с ожидаемым ливнем, я
выступаю и автором, и аудиторией одновременно, возможность
промокнуть — аргументом, взять зонт — требуемым тезисом (действием).
Объединяет элементы риторического квадрата в одну систему
проблема, которую автор и аудитория вынуждены решать с использованием
определенной техники аргументации. Это может быть любая проблема
автора, решение которой зависит от диалога с определенной аудиторией, —
личная, образовательная, научная, судебная, торговая, политическая,
военная. В каждом из этих случаев используется специфический вид
аргументации. Общим моментом является потребность взаимодействия автора с
внешней средой.
Всякая риторическая деятельность управляется правилами, которые
по традиции принято делить на правила, относящиеся к изобретению
необходимых мыслей; правила, регулирующие расположение изобретенных
мыслей; правила словесного выражения мыслей, позволяющего
воздействовать на разум и на чувство аудитории. К риторическим правилам следует
причислить и правила спора, так как спор представляет разновидность
риторической речи, в которой автор и аудитория периодически меняются
своими ролями (табл. 1).
Таблица 1
Правила риторики
1. Правила изобретения обращения
2. Правила расположения обращения
3. Правила словесного выражения обращения
4. Правила диалога
Рассмотрим все правила последовательно.

538
3. ИЗОБРЕТЕНИЕ ОБРАЩЕНИЯ
Риторическая деятельность начинается с осознания риторической
проблемы — кто, кого, в чем должен убеждать или подвергать сомнению,
восхвалять или порицать, защищать или осуждать для решения проблемы
аргументации. Ответ на вопрос кто! определяет автора, на вопрос кого? —
аудиторию, на вопрос в чем? — обращение. Каждый из данных вопросов
конкретизирует одну из вершин риторического треугольника (рис. 2).
Кого?
В чем?
Кто?
Почему?
Рис. 2
Если вернуться к примеру с Моськой из басни И. А. Крылова,
получим следующие ответы (рис. 3).
Собаки
Моська
Признать
сильной
Лает на слона
Рис.3
Ответы на вопросы кто?, кому? и что? определяют главное
предложение риторической речи. После его конструирования риторическая
деятельность протекает в виде распространения риторического предложения.
Распространить предложение означает уточнить его элементы и
присоединить полученные сведения в виде дополнительных предложений к главно-

539
му. Главное предложение вместе с уточняющими его дополнительными
образует простой период — основную единицу риторической речи. Таким
образом, изобретение обращения сводится к построению одного или
нескольких связанных друг с другом простых периодов.
Первой целью распространения является формулировка аргументов,
убеждающих аудиторию в том или ином риторическом тезисе (действии).
Сформулировать аргументы означает ответить на вопрос, почему
аудитории следует поддержать автора. Аргументы присоединяются к главному
предложению в качестве причинных придаточных предложений.
Второй целью распространения главного предложения является
формулировка различных условий, обстоятельств, места и времени
совершения риторического действия. Требуемые мысли рождаются как ответы
на вопросы когда?, где?, при каких условиях? и вводятся в структуру
главного предложения в качестве различных определений и уточнений
подлежащего.
Третьей целью распространения главного предложения следует
считать создание положительного образа автора риторической деятельности.
Эта цель особенно важна, если целью обращения является рекламное
действие. Необходимые мысли представляют ответ на вопрос, почему вы
(аудитория) должны доверять мне {автору)? Он также вводится в структуру
главного предложения в качестве уточняющего обстоятельства.
Попробуем реконструировать процесс изобретения обращения на
нескольких примерах.
Пример 1
Печенье не черствеет!
Питательнее, выгоднее булки!
Продает Моссельпром,
Отделения в каждом переулке.
(В. В. Маяковский)
Главное предложение возникает при ответе на указанные четыре
вопроса, т.е. при конкретизации вершин риторического квадрата (рис. 4):
Главное предложение: Моссельпром предлагает жителям и гостям
Москвы покупать печенье.
Хотя главное предложение и выражает суть решения риторической
проблемы, оно еще малоэффективно, так как не указывает аргументов,
почему нужно покупать печенье. Другими словами, главное предложение
требует распространения. Аргументы: печенье не черствеет, питательнее
и выгоднее булки. Удобные места покупки: отделения в каждом переулке.

540
Жители
Покупать
и гости
Москвы ' ' печенье
Не черствеет,
питательнее, выгоднее
булки, продается в
Моссельпром
каждом переулке
Рис.4
Присоединив полученные сведения к главному предложению,
получаем распространенное предложение: Моссельпром, отделения которого в
каэюдом переулке, предлагает эюителям и гостям Москвы покупать
печенье, потому что оно не черствеет, питательнее и выгоднее булки.
На этом процесс изобретения мыслей можно считать законченным.
Проблемы изложения и словесного оформления мыслей рассматриваются
в следующих параграфах.
Пример 2
С разбором выбирай друзей.
Когда корысть себя личиной дружбы кроет, —
Она тебе лишь яму роет.
{И. А. Крылов)
Конкретизация вершин риторического квадрата дает следующее
главное предложение: автор (И. А. Крылов) просит читателей
разборчиво выбирать друзей. Распространение главного предложения состоит в
указании аргументов, почему необходимо разборчиво выбирать друзей.
Аргументы: в противном случае можно поплатиться жизнью.
Распространенное предложение звучит следующим образом: автор
просит читателей разборчиво выбирать себе друзей, так как в
противном случае они рискуют поплатиться жизнью.
Пример 3
Кто б ни был ты, о мой читатель,
Друг, недруг, я хочу с тобой
Расстаться нынче как приятель.
(А. С. Пушкин)

541
В приведенном отрывке А. С. Пушкин обращается к читателю
романа «Евгений Онегин». Цель обращения — прощание. Главное
предложение: я хочу расстаться с тобой. Вопросы с кем?, с каким?, каким
образом?, когда? уточняют предмет расставания: читатель, мой, друг, недруг,
как приятель, нынче.
Распространенное предложение имеет следующий вид: я хочу
расстаться с тобой, мой читатель, друг, недруг, нынче как приятель.
Итак, искусство изобретения мыслей сводится к умению задавать
канонические вопросы и давать на них ответы согласно вершинам
риторического квадрата.
Изобрести мысли необходимо, но еще недостаточно для решения
риторической проблемы. Найденные мысли еще необходимо правильно
расположить, а также надлежащим образом выразить их словесно.
4. ИЗЛОЖЕНИЕ ОБРАЩЕНИЯ
Правильно изложить обращение не менее важно, чем изобрести его
отдельные части (периоды). Привести их во внутреннее соответствие,
найти для каждой части свое место — такова цель данной стадии
риторической деятельности.
В развернутой форме изложение включает, как правило, следующие
части (табл. 2).
Таблица 2
Введение Автор стремится вызвать доверие у аудитории к
самому себе, своему обращению, готовность
выслушать изложение до конца и поддержать свои тезисы.
Обозначение В тех случаях, когда тема обращения сложна для
темы обращения восприятия или аудитория настроена неоднозначно,
автор кратко формулирует свою тему перед началом
изложения. Тем самым он помогает аудитории более
быстро понять главную цель и мотивы обращения.
Повествование Приводятся факты. Раскрывается их связь друг с
другом и темой обращения. Формулируются тезисы.
Доказательство Излагаются аргументы, доказывающие истинность
и опровержение приведенных фактов, тезисов и опровергаются
точки зрения, противоречащие авторской.
Заключение Включает резюме выдвинутых аргументов. Автор
стремится возбудить у аудитории необходимый
эмоциональный отклик на изложенное обращение.

542
Не каждое обращение содержит все указанные части. Их наличие
зависит от темы обращения, автора, аудитории, места, времени и других
условий риторической речи.
Цель введения может быть достигнута разными способами. Во-
первых, автор обращения может продемонстрировать, почему важно для
аудитории то, что он собирается сказать или написать. Тем самым он
устанавливает положительную связь между собой и аудиторией. При этой
стратегии автору следует тщательно продумать ответ на вопрос: почему
то, что он хочет сказать, важно и для аудитории?
Во-вторых, можно исходить из интересов аудитории. В этом случае
автор апеллирует не к своему опыту, знанию, а к потребностям аудитории.
Их удовлетворение он делает своей главной целью. При выборе данной
стратегии автору полезно продумать ответ на вопрос: что он, автор,
может предложить для решения проблем аудитории?
В-третьих, можно объединить интересы автора и аудитории. Такая
стратегия достигает, как правило, наибольшего эффекта. При выборе такой
стратегии уместно продумать ответ на вопрос: что автор и аудитория
вместе могут сделать для решения их общей проблемы?
Иногда аудитория состоит из людей, явно или скрыто настроенных
против автора или темы его обращения или против того и другого вместе.
В такой ситуации необходимо предварительно разобраться в причинах
конфронтации, установить степень их объективности и в соответствии с
этим решить, что следует сделать для установления дружественных
контактов с аудиторией. Дать ли новую информацию или воздействовать на
чувства и моральные принципы аудитории? В любом случае
рекомендуется начать с вопросов с большим согласием и лишь после их рассмотрения
переходить к вопросам с меньшим согласием. Полезно также с самого
начала добиться согласия относительно используемых критериев оценок.
Примером первой стратегии является следующее обращение к
читателям: «Чтобы правильно понять данный труд, его следует рассматривать
не как метафизический и тем более не как теологический трактат, а
единственно и исключительно как научную работу»123.
В этом обращении автор исходит из предположения, что научный
характер его работы более важен для читателя, чем все другие.
Примером второй стратегии может служить обращение, типичное
для рекламных изданий: «Вы найдете у нас то, что ищете». Интересы
аудитории (покупателей) являются в данном случае приоритетными для
автора (рекламодателя).
В качестве примера третьей стратегии можно привести следующее
обращение к читателям: «Плодотворное влияние великих философских
систем заключается не в том, что философ становится для нас авторите-
1 Шарден П. Т. де. Феномен человека. М., 1987. - С. 36.

543
том, а в том, что, подняв нас на свои плечи, он открывает нам новые
горизонты и заставляет строить новое, более широкое мировоззрение, чем то,
какое было возможно в его время»124. Использование местоимения «нас»
сближает автора и читателей в решении нелегкой задачи — чтении
«Критики чистого разума» И. Канта.
Повествование, т.е. изложение фактической стороны дела,
осуществляется посредством описания. Описание всегда следует предмету,
событию, явлению, отражает ритм их развития и упадка.
Всякое описание, претендующее на полноту, должно иметь начало,
середину и конец.
Начало описания строится как обращение к предмету описания или
как указание времени, места, обстоятельств, имени героя и т. п. Например:
«Итак, она звалась Татьяной» (А. С. Пушкин); «Зима!.. Крестьянин
торжествуя, на дровнях обновляет путь» (А. С. Пушкин); «Мужик, на лето в
огород наняв Осла, приставил ворон и воробьев гонять нахальный род»
(И. А. Крылов),
Середина описания может состоять из нескольких частей и включает
все, что хочет сказать автор. Если предмет описания неодушевленный, то
последовательно рассматриваются все его части, состояния, изменения во
времени. Если одушевленный — то также последовательно описываются
его действия, состояния, размышления. Единственное правило, которое
здесь следует соблюдать, — следовать естественному ритму предмета
описания. Например:
Кончен пир, умолкли хоры,
Опрокинуты амфоры,
Опрокинуты корзины,
Не допиты в кубках вины,
На глазах венки измяты, —
Лишь курятся ароматы
В опустевшей светлой зале...
(Ф. И. Тютчев)
Конец описания может представлять авторское обращение к
предмету описания, моральную сентенцию, уподобление или
противопоставление, повторение начала описания, обобщение. Главное требование к концу
описания — краткое выражение главной цели повествования. Например:
«Стой же ты, утес могучий!» (Ф. И. Тютчев); «И я скажу — совет хорош,
не ложно; да плыть на парусах без ветру невозможно» {И, А. Крылов).
124 Лосский Н. О. Предисловие переводчика // Кант И. Критика чистого разума. СПб.,
1993.-С. 7.

544
После изложения фактов следуют аргументы, с помощью которых
указываются причины описанных явлений, отвергаются противоречащие и
противоположные точки зрения. Логические вопросы аргументации будут
рассмотрены ниже. Здесь мы остановимся на риторических аспектах
аргументации.
Уже было установлено, что когда истинность одних утверждений
доказывается на основании других, ранее установленных, тогда имеет
место аргументация (изобретение и использование аргументов). Сказанным
определяется главная особенность аргументов. Ими могут быть только те
утверждения, которые истинны или правдоподобны и которые признаются
таковыми как автором, так и его аудиторией.
Все аргументы в риторическом смысле делятся на доводы «от лица»
и аргументы «от вещей». Первые порождаются вопросами типа кто?,
какого пола?, возраст?, какими профессиями владеет? и т. п. Вторые —
вопросами типа почему?, где?, когда?, как?, посредством чего?, что это?, из
каких частей состоит?, какие имеет виды?, с чем подобно?, от чего
отличается? и т.п. В качестве аргументов могут выступать различные
примеры и свидетельства.
Часть изложения, которая посвящена доказательствам и
опровержениям, также обычно делится на начало, середину и конец.
В начале формулируется тезис. Тезис выставляется либо автором,
либо навязывается ему его оппонентами.
В середине приводятся аргументы, доказывающие тезис и
опровергающие антитезис, — причины, следствия, примеры, свидетельства.
В конце или повторяется тезис, или приводится его основное
следствие.
Рассмотрим несколько примеров доказательств и опровержений в
риторическом изложении125.
Пример 1
Начало Тезис: Наука делает человека благородным.
Причина: Ибо она, образуя ум, имеет сильное
влияние на образ мыслей и поступки.
Причина причины: Так как образованный ум не
Середина может колебаться в выборе между низким и
благородным.
Пример: Философ Эзоп, будучи рабом,
пользовался уважением своего господина.
Конец Заключение: Значит, учение есть путь к
благородству.
125
Первые два примера заимствованы из: Кошанский Н.Ф. Общая риторика. СПб.,
1829.-С. 83.

545
Пример 2
Начало
Середина
Конец
Пример 3
Начало
Середина
Конец
Тезис: Должно умерять страсти.
Причина: Ибо следствия пылких страстей
пагубны.
Сравнение: Человек — корабль в море; страсти —
ветры; умеренные направляют к желанной цели,
бури разбивают корабль.
Пример 1: Страсть к завоеваниям губит
честолюбцев — Наполеон.
Пример 2: Страсть к наслаждениям убивает душу
и тело — Сарданапал126.
Заключение: Заключение: Напротив, тихие и
умеренные движения сердца благодетельны для
человека.
Тезис: Трудолюбие приносит пользу.
Причина 1: Труд — отец любого богатства
Причина 2: Праздность — мать всех
пороков.
Заключение: Начать трудиться никогда не
поздно.
Заключения, как и аргументы, бывают двоякого рода. Одни
относятся «к вещам», другие — «к чувствам». Первые состоят в кратком
повторении сути дела, но с большей энергией и пафосом. Вторые — в
возбуждении соответствующих чувств у аудитории. В любом случае цель
заключения состоит в том, чтобы закрепить и усилить риторический эффект
предыдущих частей изложения. В баснях заключение формулируется в виде
«морали», в судебных речах — в виде повторения тезиса или его
основного следствия, в лирических стихах достаточно часто — в виде повторения
первых строк.
Итак, правильно расположить части обращения означает для его
автора вызвать к себе уважение, возбудить интерес к теме обращения, дать
126
Сарданапал (IX в. до н.э.) - один из последних ассирийских царей, отличавшийся
любовью к роскоши и удовольствиям. Довел страну до мятежа, попытался подавить
бунт, но безуспешно. Покончил жизнь самоубийством, превратив свой трон в
погребальный костер.

546
исчерпывающее описание и обоснование, суметь кратко выразить в
заключении все изложенное ранее, но с еще большим чувством.
Мысли изобретены и расположены. Риторическая деятельность
вступает в новую стадию — словесное оформление. Между мыслью и
словом нет однозначной связи. Одна и та же мысль может быть выражена
разными словами. Одно и то же слово может возбуждать разные мысли.
Словесное выражение, кроме поиска слов, точно передающих ту или иную
мысль, должно создавать определенное настроение, ассоциации,
порождать образы, вызывать желания, связывать автора и аудиторию общим
чувством.
5. СЛОВЕСНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ОБРАЩЕНИЯ
Когда автор рассматривает слова «обман», «надувательство»,
«мистификация» в качестве языковых эквивалентов мысли «намеренное или
ненамеренное заблуждение», то он вступает в стадию словесного
выражения своей мысли. Последнее менее всего регулируется правилами. Однако
некоторые рекомендации, как лучше выразить в слове мысль, риторика
дает.
Искусство выражать мысль устно или письменно в общем случае
означает умение владеть словом (стилем). Обычно требуется, чтобы слог был
ясным (предмет обдуман со всех сторон, значение каждого слова твердо
установлено), убедительным (все мысли логически связаны друг с другом
и с темой обращения), понятным (все слова имеют однозначное
толкование, по крайней мере для данной аудитории), воздействующим на чувства
и воображение. Первые три требования — логико-грамматического
характера. Последнее — чисто риторическое. Для его выполнения следует уметь
пользоваться тропами и фигурами.
Тропы и фигуры — главные средства украшения языка, возбуждения
чувств, разжигания воображения. Рассмотрим их последовательно.
Троп (греч. trope — поворот, перемена) — любое изменение
логического значения слова, любое использование слова в его несобственном
значении. Употребить троп означает придать слову несвойственное ему
значение на основании некоторого критерия. Обычно различают
следующие критерии для образования тропов — подобие, качество, количество и
противоположность.
Основным тропом по подобию является метафора (букв,
«перенос»). Наш язык буквально насыщен метафорами: кисть винограда, ручка
двери, ножка стола, природа жаждет, воспламененный страстью, луга
смеются, каменное сердце, золотая осень, золотые руки, небо нахмури-

547
лось. В основе всякой метафоры лежит сравнение. Если можно сравнить
какие-либо две вещи — значит, можно построить и метафору. Например:
лев как царь зверей (сравнение); лев — царь зверей (метафора). Употребить
метафору означает увидеть подобие между вещами с разными родовыми
признаками, соединить вместе то, что, как правило, не соединяется.
Глубинная функция метафор связана с потребностью человека объяснять
окружающие его вещи в терминах своего личного опыта и делать тем самым
их понятными.
Главным тропом по качеству является метонимия (букв,
переименование) (табл. 3).
Таблица 3
Метонимия
Предыдущего вместо последующего, и наоборот
Действия вместо причины, и наоборот
Создателя вместо созданного, и наоборот
Знака вместо значения, и наоборот
Использование Содержимого вместо содержащего, и наоборот
Владельца вместо собственности, и наоборот
Свойства вместо вещи, и наоборот
Места вместо вещи, и наоборот
Времени вместо вещи, и наоборот
Если какие-либо две вещи связаны некоторым образом, то имя
каждой из них может использоваться вместо имени другой. Метонимия также
распространена в нашей речи. Примеры: читать Пушкина (то есть
сочинения А. С. Пушкина), обнажить меч (то есть начать войну), наполнить чашу
Вакхом (т.е. вином), соединиться узами Гименея (то есть вступить в брак),
жить трудами (то есть на деньги, полученные за труд), съесть тарелку супа
(то есть суп, налитый в тарелку).
Разновидностью метонимии является синекдоха (букв, подразуме-
ваемость) — главный троп по количеству (табл. 4).
Таблица 4
Синекдоха
Рода вместо вида, и наоборот
Целого вместо части, и наоборот
Единственного числа вместо множественного,
Использование и наоборот
Абстрактного вместо конкретного, и наоборот
Собственного имени вместо нарицательного,
и наоборот

548
Примеры: иметь хлеб (то есть изобилие), быть Крезом (то есть очень
богатым), иметь колеса (то есть автомобиль), иметь крышу (то есть дом),
иметь голову (то есть ум), человек (то есть люди).
Основным тропом по противопоставлению является ирония
(буквально «притворство») — употребление слова в противоположном
значении. «"Отколе, умная, бредешь ты, голова?" — Лисица, встретяся с Ослом,
его спросила» {И. А. Крылов). Не менее распространенным тропом данного
вида является антитеза (букв, «противоположение») —
противопоставление. «Богатый и в будни пирует, а бедный и в праздник горюет»
(пословица). Когда противоположные мысли объединяются, тогда возникает
оксюморон (букв, «остроумно-глупое») — соединение в одном словосочетании
слов с противоположным значением. Примеры: мудрое безумие, темный
свет, горькая радость; дорога вверх, ведущая вниз.
Указанные тропы не исчерпывают всего списка. Желающие
разобраться более детально должны обратиться к специальной литературе127.
Использование тропов предполагает умение преобразовывать
понятия. Все метафоры основаны на умножении понятий. Метонимия и
синекдоха предполагает умение образовывать родовые понятия, находить их
виды. Ирония, антитеза и оксюморон невозможны без умения
конструировать противоположные и противоречащие понятия. Объединяющей все
тропы структурой является пропорция.
Рассмотрим метафору «золотая осень». Запишем ее в виде
пропорции:
Осень Золото
Время года Драгоценный металл
Пропорция читается: отношение осени к временам года равно
отношению золота к драгоценным металлам. Из пропорции следует:
^ Золото
Осень = Время года х -
Драгоценный металл
= Время года, обладающее свойствами золота
В полученном определении видовой признак «обладать свойствами
золота» не является собственным для родового понятия «время года», то
есть не свойственно ему по основному смыслу. Следовательно, метафора
127 Дюбуа Ж. и др. Общая риторика. М., 1988. - С. 168-260.

549
представляет определение, в котором видовой признак не является
собственным для родового.
Если метафора требует знания всех членов пропорции, строится
посредством умножения ее членов, то при метонимии и синекдохе задан, как
правило, только один член пропорции. Отношение его частей и составляет
суть данных тропов.
Рассмотрим метонимию «съесть тарелку». Она образуется пропорци-
ей:
Суп Содержимое
Тарелка ~ Содержащее
Употребление содержащего вместо содержимого и создает данный
троп. Рассмотрим синекдоху «иметь крышу». Она образуется пропорцией:
Крыша Часть
Дом "~ Целое
Употребление части вместо целого образует данный троп. При
иронии один член пропорции должен быть действительным отношением,
другой — провозглашаемым. При этом члены, расположенные на одной
диагонали, должны совпадать, а расположенные на другой — быть
антонимами.
Вернемся к басне И. А. Крылова «Лисица и Осел». Ирония
обращения Лисицы к Ослу «Отколе, умная, бредешь ты, голова?» возникает из
следующей пропорции:
Ум Осел
Осел Глупость
в которой правый член характеризует действительное (подразумеваемое)
отношение, а левый член — провозглашаемое отношение. Пропорция
читается: ум присущ Ослу в той же степени (провозглашается), в какой Ослу
присуща в действительности глупость (подразумевается).
При антитезе по крайней мере один член пропорции состоит из
антонимов. Рассмотрим антитезу «Ты богат, я очень беден» (А. С. Пушкин),
Ее порождает пропорция:
Я Ты
Бедность Богатство

550
Примером антитезы, в которой все члены базисной пропорции
состоят из антонимов, является приводившаяся пословица «Богатый и в
будни пирует, а бедный и в праздники горюет»:
Богатый _ В будни пирует
Бедный ~ В праздники горюет
При оксюмороне верхние или нижние члены пропорции состоят из
антонимов, а противоположные им совпадают.
Рассмотрим оксюморон «горькая радость». Он порождается
пропорцией:
Горечь _ Радость
Состояние души ~ Состояние души
Если с помощью тропов изменяются значения слов, то с помощью
фигур изменяется значение словосочетаний и предложений.
Риторической фигурой называется любое отступление от
некоторой общепринятой нормы. Как и в случае с тропами, это делается для
воздействия на воображение и чувства аудитории.
Все фигуры принято делить на фигуры мысли и фигуры речи,
понимая под этим разные приемы усиления мыслей и более эффектного их
словесного выражения.
Среди фигур, усиливающих наши мысли, наиболее часто
применяемыми являются:
Риторический вопрос — вопрос, задаваемый автором не для
получения ответа, так как он очевиден для аудитории, а для большего убеждения
аудитории.
Уступка — соглашение автора с противоположной точкой зрения с
целью более эффектного ее опровержения.
Предварение — автор сам формулирует возможные возражения
своих оппонентов и сам на них отвечает.
Сомнение — автор спрашивает себя, с чего начать, что сказать, чем
закончить и т.д., не потому, что не знает ответов на эти вопросы, а потому,
что стремится увеличить степень доверия аудитории к себе и своему
обращению.
Обращение — автор вопросом что бы вы сделали на моем месте?
как бы меняется местами с аудиторией, побуждая ее более активно следить
за его мыслью, более энергично поддерживать его.
Разделение — указание видов вместо рода, частей вместо целого.
Среди фигур, усиливающих эффект словесного выражения мыслей,
наиболее часто применяются следующие.

551
Анафора — повторение звуков, слов, оборотов в начале нескольких
предложений. «Кто клеветы про нас не сеет / Кто нас заботливо лелеет?»
(А. С. Пушкин).
Эпифора — повторение звуков, слов, оборотов в конце нескольких
предложений. «Милый друг, и в этом тихом доме / лихорадка бьет меня.
Не найти мне места в тихом доме / возле мирного огня» {А. А. Блок).
Повторение связывающих частей — многократное употребление
каких-либо связывающих частиц. «И в одиночестве жестоком сильнее
страсть ее горит, / и об Онегине далеком ей сердце громче говорит» {А. С.
Пушкин).
Повторение слова подряд или через несколько слов. «Всегда скромна,
всегда послушна, всегда как утро весела» (А. С. Пушкин).
Повторение слова в разных падежах или употребление слов с общим
корнем. «Живя, умей все пережить» (Ф. И. Тютчев). «Ворона каркнула во
все воронье горло» {И. А. Крылов).
Инверсия — повторение слов, оборотов в обратном порядке. «Не для
того живем, чтобы есть; а для того едим, чтобы жить» (пословица).
Бессоюзная связь. «Откажут — мигом утешался; изменят — рад был
отдохнуть» (А .С. Пушкин).
Совпадение последнего слова предыдущей мысли с первым словом
последующей. «За сим расстанемся, прости! Прости ж и ты, мой спутник
странный...» (А. С. Пушкин).
Умолчание — легко восстанавливаемый аудиторией пропуск в
авторской речи. «Нет, я хотел... быть может, вы... я думал, что уж барону
время умереть» (А. С. Пушкин).
Омонимия — употребление одинаково звучащих слов с разными
значениями. «И прерывал его меж тем разумный толк без пошлых тем...»
(А. С. Пушкин).
Синонимия — употребление неодинаково звучащих слов с одним и
тем же значением. «О рьяный конь... то смирный, ласково-ручной...»
(Ф. И. Тютчев).
Рассмотренные тропы и фигуры не исчерпывают всего богатства
риторических способов словесного выражения. Лучшим учебником в этом
отношении следует считать русскую поэзию и прозу.
Подбор тропов и фигур завершает основную часть риторической
деятельности. Мысли изобретены, расположены и выражены. Реакция
аудитории даст ответ, насколько успешно все это было сделано.

552
6. ПРАВИЛА АРГУМЕНТАЦИИ
Если классическая риторика уделяла основное внимание стадиям
изобретения, расположения и выражения мыслей, современная теория
аргументации делает акцент на логическом анализе риторической
деятельности. Анализ диалога, спора, дебатов, дискуссии, переговоров, обучения и
познания как его важнейших видов, умение задавать вопросы и отвечать
на них, критическое обсуждение аргументов и контраргументов,
логическая защищенность позиций участников диалога признаны центральными
проблемами современной теории аргументации.
Диалог — такая разновидность риторической деятельности, в
которой его участники, руководствуясь определенными
правилами, с помощью последовательно задаваемых вопросов и
получаемых ответов стремятся выяснить, насколько защищена
позиция их оппонента.
Автора и аудиторию классической риторики теория аргументации
заменяет на пропонента (защитника) и оппонента (противника). Эти роли
носят функциональный характер. Участники диалога по мере его развития
периодически выступают то в роли пропонента, то в роли оппонента.
Всякий диалог предполагает наличие определенной процедуры —
правил принятия, отклонения аргументов, а также сомнения в их
истинности. Все правила можно разделить на общие и специфические. Общие
правила распространяются на все виды диалога, специфические — на
специальные. Очевидно, что судебная тяжба, научные дискуссии, торговые,
военные, научные или конфессиональные переговоры в силу специфики
решаемых проблем не могут не отличаться друг от друга своими частными
процедурными правилами. Выявление, описание, систематизация общих и
специфических правил для каждого вида решаемой проблемы — основная
цель теории аргументации.
В данном параграфе рассматриваются только общие правила
диалога.
Во всяком диалоге можно обнаружить следующие структурные
элементы (табл. 5).

553
Таблица 5
Элементы диалога
1. Тема (проблема)
2. Участники (пропонент и оппонент)
3. Допустимые действия (ходы и контр ходы)
4. Правила совершения допустимых действий и критерий
победы (поражения)
Диалог был определен как динамическое явление, развивающееся в
процессе ходов и контрходов его участников и подчиняющееся
определенным правилам. Все общие правила, регулирующие диалог, можно
разделить на правила, определяющие последовательность разрешенных
действий, которые в дальнейшем будут называться ходами и контрходами;
правила, определяющие формирование банка аргументов каждого участника;
правила, определяющие условия выигрыша (проигрыша) в диалоге (табл.
6).
Таблица 6
Список и последовательность ходов и контрходов
Каждый участник диалога имеет право
А1 Выдвигать любое суждение, имеющее отношение к теме диалога, в
качестве тезиса или аргумента в форме утверждения (ход «выдвигаю») или
в форме вопроса (ход «разве неверно, что..?»).
А2 Соглашаться с любым суждением, высказанным другим участником
(ход «согласен»).
A3 Подвергать сомнению любое суждение, высказанное другим участником
(ход «приведите аргументы, докажите»).
А4 Отвергать любое суждение, высказанное другим участником (ход «не
согласен»).
А5 Взять назад любое суждение, высказанное ранее (ход «беру назад»).
Каждый участник диалога обязан
А6 На ход собеседника «выдвигаю», «разве неверно, что..?» отвечать
контрходами «согласен», «не согласен» или «приведите аргументы».
А7 На ход «приведите аргументы» отвечать контрходами «выдвигаю» или
«разве неверно, что..?».
А8 На ход «согласен» отвечать контрходами «выдвигаю» или «разве
неверно, что..?».
А9 На ход «не согласен» отвечать контрходом «выдвигаю», «разве неверно,
что..?», «приведите аргументы» или «беру назад».
А10 На ход «беру назад» отвечать контрходами «согласен», «не согласен»
или «приведите аргументы».
АН На ход «разве неверно, что..?» отвечать контрходами «согласен» или «не
согласен».

554
Продолжение таблицы 6
Правила формирования банка аргументов
81 Участник, сделавший ход «выдвигаю» или «согласен», заносит
соответствующее суждение в свой банк аргументов.
82 Участник, сделавший ход «беру назад», вычеркивает соответствующее
суждение из своего банка аргументов.
83 Ни одно суждение не может быть взято участником диалога назад, если
доказано, что он является следствием его банка аргументов.
84 Если доказано, что некоторое суждение является следствием банка
аргументов какого-либо участника, то оно включается в этот банк в
качестве нового члена.
85 Ход «приведите аргументы», сделанный участником относительно
некоторого суждения, помещает последнее в банк аргументов оппонента.
Правила победы (поражения)
С1 Участники заранее договариваются о времени, которое они могут
потратить на диалог, в течение которого он считается действительным.
С2 Выигравшим считается участник, который первым докажет, что его
тезис является логическим следствием банка аргументов его оппонента
или что банк аргументов последнего содержит противоречие.
СЗ Если в отведенное время никто из участников не побеждает, диалог
заканчивается ничьей.
Приведенные правила не являются полными в том смысле, что
охватывают все ситуации диалога. С логической точки зрения правила победы
С1 и СЗ не являются к тому же обязательными во всех ситуациях диалога.
Но они достаточны для иллюстрации техники анализа диалога.
Пусть X обозначает произвольное суждение. Указанные в правилах
ходы можно формализовать следующим образом (табл.7).
Таблица 7
X = выдвигаю, предлагаю, утверждаю суждение X:
—X = беру назад суждение Х\
X! = согласен, что суждение ^истинно (имеет место);
—Х\ = не согласен, что ^истинно (имеет место);
X? = приведите аргументы, докажите суждение X;
IX - разве неверно, что суждение ^истинно?
Проанализируем несколько диалогов, заимствованных из известных
басен И. А. Крылова.

555
Пример 1
Крестьянин и змея
Мужик с Змеею подружился.
Известно, что Змея умна:
Так вкралась к Мужику она,
Что ею только он и клялся и божился.
С тех пор все прежние приятели, родня,
Никто к нему ногой не побывает.
«Помилуйте, — Мужик пеняет, —
За что вы все покинули меня!
Иль угостить жена вас не умела?
Или хлеб-соль моя вам надоела?» —
«Нет, — кум Матвей сказал ему в ответ, —
К тебе бы рады мы, сосед,
И никогда ты нас (об этом слова нет)
Не огорчил ничем, не опечалил:
Но что за радость, рассуди,
Коль, сидя у тебя, того лишь и гляди,
Чтобы твой друг кого, подползши, не ужалил?»
Участники диалога — Мужик и кум Матвей, представляющие
интересы родственников. Тема диалога — ходить или не ходить в гости к
Мужику, заведшему нового друга, — Змею. Мужик отстаивает тезис Т =
«Следует продолжать ходить ко мне в гости». Кум Матвей защищает
антитезис -iT = «He следует продолжать ходить к Мужику в гости».
Используемые обоими участниками аргументы: А\ = «Жена умела вас угостить»,
А2 = «Нам было чем вас угостить», Аз = «Змея может нас ужалить».
Последовательность ходов и контрходов приведена в табл. 8.
№
1.
4.
6.
Кум
Ход
-,Г
(Л,иЛ2)!
Аз
Если Аз
истинно,
то
истинно и Г
Матвей
Матвей
Расшифровка
Выдвигаю
антитезис —.Г
Согласен как
сА\9 так ис^2
Выдвигаю
аргумент Аз
Если Змея может
ужалить, то к
тебе в гости
лучше не ходить
побеждает
№
2.
3.
5.
Таблица 8
Мужик
Контрход Расшифровка
-.7? Приведите
аргументы
?(^1или^2) Разве А \ или Аг не
имело места?
Аз\ Согласен, что
Аз истинно
Мужик проигрывает

556
Выдвинутый кумом Матвеем решающий аргумент Аз принимается
Мужиком и, согласно правилу В1, включается в его банк данных.
Следовательно, согласно правилу С2, кум Матвей побеждает в данном диалоге.
Пример 2
Свинья под дубом
Свинья под Дубом вековым
Наелась желудей досыта, до отвала;
Наевшись, выспалась под ним;
Потом, глаза продравши, встала
И рылом подрывать у Дуба корни стала.
«Ведь это дереву вредит, —
Ей с Дубу Ворон говорит, —
Коль корни обнажишь, оно засохнуть может». —
«Пусть сохнет, — говорит Свинья, —
Ничуть меня то не тревожит;
В нем проку мало вижу я;
Хоть век его не будь, ничуть не пожалею,
Лишь были б желуди: ведь я от них жирею». —
«Неблагодарная! — промолвил Дуб ей тут, —
Когда бы вверх могла поднять ты рыло,
Тебе бы видно было,
Что эти желуди на мне растут».
Участники диалога — Свинья, с одной стороны, Дуб и Ворон, с
другой. Тема диалога — подрывать корни Дуба или не подрывать. Ворон и
Дуб отстаивают тезис Т = «Корни Дуба подрывать нельзя». Свинья
защищает антитезис —\Т = «Корни Дуба подрывать можно». Используемые
аргументы: А\ = «Дуб может засохнуть», А2 = «Я нуждаюсь только в
желудях». Последовательность ходов и контрходов приведена в табл. 9.
№
1.
4.
5.
Ход
-<Г
Ах\
А2
Свинья
Расшифровка
Выдвигаю
антитезис —,Т
Согласна сА\
Выдвигаю
аргумент А2
№
2.
3.
Таблица 9
Ворон и Дуб
Контрход Расшифровка
Т\ Не согласны
с—Г
А1 Выдвигаем А \
Свинья проигрывает Ворон и Дуб побеждают

557
Дуб и Ворон побеждают в данном диалоге, потому что Свинья,
соглашаясь с аргументом А\ (принимая его в свой банк аргументов), делает
тем самым свой банк аргументов противоречивым.
Пример 3
Паук и пчела
Купец на ярмарку привез полотны;
Они такой товар, что надобно для всех.
Купцу на торг пожаловаться грех:
Покупщиков отбою нет; у лавки
Доходит иногда до давки.
Увидя, что товар так ходко идет с рук,
Завистливый Паук
На барыши купца прельстился;
Задумал на продажу ткать,
Купца затеял подорвать
И лавочку открыть в окошке сам решился.
Основу основал, проткал насквозь всю ночь,
Поставил свой товар на диво,
Засел, надувшися, спесиво,
От лавки не отходит прочь
И думает: лишь только день настанет,
То всех покупщиков к себе он переманит.
Вот день настал: но что ж? Проказника метлой
Смели и с лавочки долой.
Паук мой бесится с досады,
«Вот, — говорит, — жди праведной награды!
На весь я свет сошлюсь, чье тонее тканье:
Купцово иль мое?» —
«Твое: кто в этом спорить смеет? —
Пчела ответствует. — Известно то давно;
Да что в нем проку, коль оно
Не одевает и не греет?»
Участники диалога — Паук и Пчела. Тема диалога — полезна ли
ткань Паука. Паук отстаивает тезис Т = «Моя ткань полезна». Пчела
защищает антитезис -.Г = «Твоя ткань бесполезна». Аргументы участников
спора: А\ = «Моя ткань тоньше», А2 = «Ткань должна одевать и греть».
Последовательность ходов и контрходов указана в табл. 10.
Так как Паук принимает аргумент А\, Пчела немедленно побеждает.
Ибо, хотя ткань Паука и тоньше, но она не одевает, не греет и,
следовательно, бесполезна.

558
№
1.
4.
Ход
Т
А\
Паук
Паук
Расшифровка
Выдвигаю
тезис Т
Выдвигаю
аргумент А \
проигрывает
№
2.
3.
5.
6.
Таблица 10
Пчела
Контрход
77
-,Т
Ail
Из истинности
А1 и ложности
А 2 следует
истинность
антитезиса —J1
Расшифровка
Приведите
аргументы
Выдвигаю
антитезис —iT
Согласна c^i!
Пчела выигрывает
7. ЛОГИЧЕСКИЙ БАЗИС ТЕОРИИ АРГУМЕНТАЦИИ
Логический базис теории аргументации — теоремы,
устанавливающие необходимые связи между тремя основными видами допустимых
действий участников диалога — принятием, отклонением и сомнением в
убедительности аргументов.
Следующие определения и теоремы, приведенные для простоты без
доказательства, составляют логический базис теории аргументации.
Пусть А, В обозначают произвольные аргументы (простые суждения,
элементарные доказательства), —А, —& — противоречащие или
противоположные им контраргументы.
Пусть «А и 5», «А или 5», «Если А, то 5» обозначают сложные
аргументы — логическое произведение, логическое сложение и условную
связь аргументов А и В соответственно.
Назовем общий банк данных участников диалога базисным
множеством аргументов. Все аргументативные действия совершаются
относительно такого множества. Учитывая это обстоятельство, ссылка на
базисное множество аргументов в большинстве случаев опускается.
Определение элементарных понятий «аргумент принимается»,
«аргумент отклоняется» и «аргумент сомнителен» приведено в табл. 11.
Таблица 11

559
Участники диалога принимают аргумент А, если и только
если они отклоняют контраргумент —А,
Участники диалога отклоняют аргумент А, если и только
если они принимают контраргумент —А,
Участники диалога считают сомнительным (требующим
нового исследования) аргумент А, если и только если они не
принимают и не отклоняют А.
Следующая теорема указывает, что действия «принимать аргумент»,
«отклонять аргумент» и «сомневаться в доказательстве» исключают друг
друга и вместе исчерпывают все возможные аргументативные действия
участников диалога.
(Теорема полноты аргументации) Всякий аргумент А Т1
участники диалога могут либо принять, либо отклонить,
либо подвергнуть сомнению.
Согласно теореме Т1 список возможных видов аргументативных
действий участников любого диалога ограничен принятием, отклонением
аргументов и сомнением в их принятии и отклонении. Следовательно,
никакое иное действие аргументативного характера участники диалога
совершить не могут.
Из теоремы Т1 немедленно следует истинность следующих двух
утверждений, устанавливающих логическую связь между принятием
аргумента, его отклонением и сомнением в аргументе..
Участники диалога принимают аргумент А, только если Т2
они не отклоняют его и не считают его сомнительным.
Участники диалога не принимают аргумент А, только ТЗ
если они отклоняют его или считают сомнительным.
Два вида сложных суждений — логически истинные «А или —А» и
логически ложные «А и —А» приобретают в теории аргументации особый
аргументативный статус: первые всегда принимаются, вторые всегда
отклоняются.
Участники диалога обязаны принять любой сложный Т4
аргумент, имеющий вид логической истины «А или —А».

560
Теорема Т4 напоминает, что истина — всеобщее следствие. Кроме
того, если не принимать истину, это означает либо сомневаться в ней, либо
отвергать ее. И то и другое ведет к противоречию. Сомнение в истине
невозможно, потому что смысл сомнения состоит в том, чтобы лишить
рассматриваемое суждение конкретного истинностного значения. Но
участники диалога не могут, не впадая в противоречие с собой, приравнять
логическую истину к утверждению, которое не совместимо ни с истиной, ни
с ложью. Из невозможности сомнения в подобной истине следует, что ее
отклонение также невозможно, так как влечет принятие участниками
диалога логической лжи.
Участники диалога обязаны отклонить любой сложный Т5
аргумент, имеющий вид логической лжи «А и —А».
Участники диалога обязаны при любых обстоятельствах отклонять
логическую ложь, так как в противном случае это означало бы
присоединение к банку данных диалога противоречия и превращение его в
самопротиворечивое и тем самым ничего не доказывающее множество аргументов.
Согласно следующим двум теоремам в теории аргументации
действуют два закона противоречия, а не один, как в обычной логике.
(Первый закон противоречия). Невозможно, чтобы в Т6
одном и том же диалоге участники диалога принимали и
не принимали один и тот же аргумент А,
(Второй закон противоречия) Невозможно, чтобы уча- Т7
стники диалога одновременно принимали как аргумент А,
так и контраргумент —Л.
Различие между двумя законами противоречия весьма существенно.
Первый из них (Т6) запрещает одновременное принятие и непринятие
одного и того лее аргумента', второй (Т7) — принятие противоречащих друг
другу аргументов.
Теорема Т8 указывает очевидное следствие обоих законов
противоречия.
Если участники диалога принимают аргумент А, они Т8
обязаны отклонить контраргумент —Л.
Из теоремы Т1 следуют два варианта закона исключенного третьего
— один для принятия, а второй для отклонения аргументов.

561
{Первый закон исключенного третьего) Участники диа- Т9
лога либо принимают аргумент А, либо не принимают
его.
(Второй закон исключенного третьего) Участники Т10
диалога либо отклоняют аргумент А, либо не отклоняют
его.
В практической аргументации наиболее употребительны следующие
схемы сложных аргументов: «А и 5», «А или 5» и «Если А, то 5», где Aw В
— элементарные аргументы. Первые две схемы могут включать
произвольное конечное число аргументов. Как связаны между собой принятие
сложных аргументов и принятие образующих их элементарных
аргументов, разъясняют следующие три теоремы.
Если участники диалога принимают сложный аргу- Т11
мент «А и 5», они обязаны принять как аргумент А, так
и аргумент В.
Если участники диалога принимают аргумент А или Т12
принимают аргумент В, они обязаны принять и сложный
аргумент «А или 5».
Если участники диалога принимают сложный аргумент Т13
«Если А, то В», они обязаны принять аргумент А иие
отклонять аргумент В (так как несмотря на принятие А9 не
исключается, что аргумент В сомнителен).
Утверждения, обратные Т11-Т13, все неверны. Приняв аргумент А =
«Существуют вещи приятные», и приняв аргумент В = «Существуют вещи
полезные», мы не обязаны принимать сложный аргумент С = «А и В» =
«Существуют вещи приятные и полезные одновременно», так как он более
информативен и тем самым менее вероятен, чем каждый из образующих
его элементарных аргументов. Следовательно, принятие аргумента С не
может быть необходимым следствием принятия доказательств А и В.
Отсюда следует невозможность обратной теоремы для Т11.
Аналогично, из принятия сложного аргумента «А или 5» не следует
с необходимостью, что мы обязуемся принять каждую из его альтернатив
— аргумент А и аргумент В, Дело в том, что для принятия сложного
аргумента «А или 5» достаточно принятия любой одной из перечисленных
альтернатив. Поэтому принимая подобный сложный аргумент, большей
частью, особенно когда альтернатив более двух, мы остаемся в неведении,

562
какая именно из них гарантирует его принятие. Отсюда следует
невозможность обратной теоремы для Т12.
Невозможность обращения Т13 следует из истинности общего
принципа аргументации, который принципиально отличает ее от
дедуктивной логики: принятие любого суждения не гарантирует
автоматического принятия каждого его следствия.
Следующие семь теорем позволяют более подробно познакомиться
со свойствами отношения «отклонение аргумента» и его логического
отрицания «не отклонение аргумента» на множестве элементарных и
сложных аргументов.
Если участники диалога отклоняют аргумент А, они Т14
обязаны также отклонить сложный аргумент вида «А и
5», где В — независимый от А аргумент.
Теорема Т14 обозначает очень важное правило аргументации: если
отклоняется какой-либо аргумент, то присоединение к нему посредством
логического умножения новых аргументов не может отменить первое
отклонение. Если я отклоняю суждение «Эта вещь полезная», я обязан
отклонить и сложное суждение «Эта вещь полезная и приятная».
Если участники диалога отклоняют сложный аргумент Т15
«А или 5», они обязаны отклонить как аргумент А, так и
аргумент В.
Если участники диалога отклоняют сложный аргумент Т16
«А или 5», они обязаны отклонить сложный аргумент «А
и
Отклонение логической суммы двух и более альтернатив влечет
согласно Т15 необходимость отклонения каждой их них в отдельности, а
согласно Т16 необходимость отклонения также и результата их логического
умножения.
Если участники диалога отклоняют аргумент А или от- Т17
клоняют аргумент В, они обязаны отклонить также и
сложный аргумент «А или 5».
Согласно Т17 для отклонения всей суммы альтернатив достаточно
отклонить любую одну из них.

563
Если участники диалога отклоняют аргумент А, они Т18
обязаны принять сложный аргумент «Если А, то 5».
Теорема Т18 является аналогом известного логического закона,
согласно которому условное суждение истинно только в одном
единственном случае — когда условие истинно, а следствие ложно. Во всех трех
оставшихся случаях — (условие истинно, следствие истинно); (условие
ложно, следствие истинно); (условие и следствие оба ложные) — оно
считается истинным. Вместе эти три возможности говорят о том, истинность
следствия в общем случае не зависит от истинности своего условия (например,
потому что его истинность зависит от какого-то другого условия). Т18
выражает данное логическое правило в терминах теории аргументации:
сложный аргумент «Если А, то 5» может быть принят независимо от того,
принимается или нет аргумент А.
Отношение «отклонение» аргумента, эквивалентное принятию
контраргумента, значительно отличается по своим логическим свойствам
от отношения «принятие» аргумента. Для последнего отношения не
существует аналогов теорем Т14- Т18.
Если участники диалога не отклоняют сложный аргу- Т19
мент «А и 5», они не могут отклонить ни аргумент А, ни
аргумент 5..
Если участники диалога не отклоняют аргумент А или Т20
не отклоняют аргумент В, они не могут отклонить и
сложный аргумент «А или 5».
Обратные теоремам Т19 и Т20 утверждения в общем случае неверны.
Обе теоремы говорят о несимметричности отношения «не отклонение»
аргумента относительного логического умножения и логического сложения
аргументов.
Следующие теоремы раскрывают взаимную связь отношений
«принятие» и «не отклонение» аргументов.
Если участники диалога принимают аргумент А и Т21
аргумент В, они не могут отклонить сложный аргумент
(А и В),
Если участники диалога принимают сложный аргумент Т22
«А или 5», они не могут отклонить аргумент А или
отклонить аргумент В,

564
Если участники диалога принимают сложный аргумент Т23
«Если А, то 5», то из невозможности отклонения
аргумента^, следует невозможность отклонения аргумента В,
Невозможно, чтобы участники диалога принимали Т24
сложный аргумент «А или 5» и при этом отклоняли как
аргумент А, так и аргумент В.
Следующие три теоремы объясняют возможные смыслы, в которых
может употребляться отношение «сомнение» в принятии или отклонении
аргумента.
Аргумент А сомнителен, если и только если неверно, Т25
что участники диалога принимают А и неверно, что
участники диалога принимают контраргумент —Л.
Аргумент А сомнителен, если и только если участ- Т26
ники диалога не отклоняют ни А, ни контраргумент
-А.
(Аргумент А сомнителен, если и только если уча- Т27
стники диалога сомневаются как в А, так и в
контраргументе —А.
Связь отношений «принятие» и «отклонение» аргументов с
доказательством их истинности и ложности раскрывают следующие теоремы.
Принятие участниками диалога аргумента А не гаран- Т28
тирует доказательство его истинности.
Отклонение участниками диалога аргумента А не га- Т29
рантирует доказательство его ложности.
Нелогическая (фактическая) истинность аргумента А ТЗО
не гарантирует, что он не может быть отклонен
участниками диалога.
Из теорем Т28-Т30 следует, что принятие и отклонение аргументов
не доказывают их истинности и ложности соответственно. Принимаемый
аргумент может оказаться как истинным, так и ложным, аналогично и для
отклоняемого аргумента. Принятие и отклонение аргументов свидетельст-

565
вуют лишь об их совместимости и несовместимости с некоторым
фрагментом существующего знания. Фактическая истинность аргумента не
запрещает его дальнейшее исследование и отклонение. Решение этого вопроса
возвращает к стадиям абдукции, дедукции и индукции.
8. ГЛАВНАЯ ТЕОРЕМА АРГУМЕНТАЦИ
Ниже формулируется и объясняется теорема, которая дает ответ на
один из самых обсуждаемых в теории аргументации вопросов — при каких
общих условиях сформулированное для решения какой-либо проблемы
базисное множество аргументов отклоняется и не отклоняется. Ввиду
особого интереса к данной проблеме теорема была названа основной.
Пусть S обозначает базисное множество аргументов, выполняющее
роль аргументативного универсума и состоящее из подмножества
собственно аргументов S\ и подмножества, возможно пустого, контраргументов
S2. Тогда истинна следующая теорема.
Главная теорема аргументации
Участники диалога
(I) Принимают базисное множество простых и сложных
аргументов S, если и только если S делится на два подмножества:
множество аргументов S\ и множество контраргументов S2,
таких, что S\ nS2 = 0; S\U S2 = S;h S2 пусто.
(II) He отклоняют множество S, если и только если S\ и S2
оба не пусты и ни в 5Ь ни в 52 не существует ни одной пары
аргументов, в которой хотя бы один аргумент отклонял другой; в
каждой паре аргументов, один из которых принадлежит S\, a
другой S2, каждый аргумент отклоняет другой.
(III) Отклоняют множество S и заменяют его новым
множеством S*9 если и только если оба его подмножества, S\ и S2,
одновременно отклоняются каким-либо новым аргументом.
(IV) Отклоняют и заменяют базисное множество
аргументов S столько раз, сколько раз против него и его улучшений
приводится опровергающих аргументов.

566
Обсуждаемая теорема указывает условия принятия (без какого-либо
сомнения) базисного множества аргументов S, его не отклонения
(принятия, не исключающего сомнение) и отклонения.
Для принятия любого множества аргументов S\ необходимо и
достаточно, чтобы множество его контраргументов 5г было пусто, S\ = S. Ведь
если нет контраргументов, не может быть ни отклонения, ни сомнения в
аргументах.
Для не отклонения множества аргументов необходимо и достаточно,
чтобы множество его контраргументов было не пусто, чтобы оба они
исчерпывали все аргументы по данному вопросу. В этом случае все элементы
множества S\ и множества 5г связаны отношением принятия, так как не
содержат ни одного противоречащего или противоположного себе
аргумента. В то же время каждый элемент S\ связан с каждым элементом $2
отношением отклонения, так как эти множества символизируют множества
противоречащих или противоположных друг другу аргументов. Обратное
утверждение также верно, Значит, отношение отклонения между
элементами S\ и S2 является взаимным. Так как оно взаимно, то, следовательно,
четно и ни один аргумент из S\ или S2 не отклоняет себя сам по правилу
«отклонение отклонения равно принятию». Внутренняя и внешняя
сбалансированность множеств аргументов и контраргументов означает, что ни
одно из них не может быть отклонено и требуют дальнейшего изучения.
Налицо типичная ситуация сомнения.
Базисное множество аргументов S отклоняется полностью каким-
либо новым аргументом, если и только если отклоняются оба его
подмножества — Si и S2. После отклонения S новый аргумент включается в
состав нового базисного множества аргументов.
Рассмотрим несколько примеров применения главной теоремы
аргументации.
Пример 1
Пусть участники диалога решают проблему, летает или не летает
Твити128 и располагают следующим базисным множеством аргументов S =
{А = «Твити летает, будучи птицей», В = «Твити не летает, так как он —
пингвин»}. Аргументы А и В взаимно отклоняют друг друга. Поэтому S\ =
{A}, S2= {В}. Аргументы А и В равносильны в том смысле, что ни один из
них не имеет шансов считаться более надежным, чем другой. Значит,
участникам диалога остается подвергнуть сомнению оба аргумента и
продолжить свое исследование.
128
Твити (англ. Tweety) — анимированный мультипликационный желтый кенар.

567
Пример 2
Допустим, участникам диалога удалось провести дополнительное
расследование и установить новый элементарный аргумент: «Твити —
мультипликационная канарейка». Данный аргумент отклоняет
элементарные аргументы «Твити — птица», «Твити — пингвин», а также сложные
аргументы А и В. Множество аргументов S отклоняется полностью и
заменяется новым: S* = {«Твити — мультипликационный кенар»}. Принятие
данного аргумента влечет принятие другого элементарного аргумента
«Твити не летает» и вместе с ним сложного аргумента С = «Твити не
летает, так как он — мультипликационный кенар». В итоге возникает
следующее множество аргументов S* = S*\ = {С}. Так как множество
контраргументов S 2 пусто, множество S принимается, проблема решена, диалог
участников завершается.
Пример 3
Изобразить графически, в виде аргументативной схемы, этапы
развития диалога о Твити (см. примеры 1 и 2). Пусть знак * обозначает
отклонение всей ветви, под которой он поставлен. Граф диалога о Твити
изображен на рис. 5.
s*
Твити не летает
Твити - птица
Твити - пингвин
S =5*,
Твити - мультиплика
ционный кенар
Si
Твити летает
S2
Твити не летает
Твити - мультиплика
ционный кенар
Твити -
мультипликационный кенар
Рис. 5.

568
Первые две ветви графа на рис. 5 замкнуты, следовательно,
противоречивы. Остается для рассмотрения только третья ветвь, которая сообщает,
что Твити — .мультипликационная канарейка и по этой причине он не
летает.
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
A) Возможна ли нериторическая речь? Аргументируйте свой ответ.
B) Распространите следующие предложения:
Юность — лучшее время жизни.
Опыт — наш лучший учитель.
Добродетель — путь к счастью.
Праздность рождает пороки.
C) Проанализируйте расположение частей в басне И. А. Крылова
«Фортуна в гостях». Выделите в каждой части простые периоды и
образующие их главные предложения:
На укоризну мы Фортуне тароваты:
Кто не в чинах, кто не богат,
За все, про все ее бранят,
А поглядишь, так сами виноваты.
Слепое счастие, шатаясь меж людей,
Не вечно у вельмож гостит и у царей,
Оно и в хижине твоей,
Быть может, погостить когда-нибудь пристанет:
Лишь время не терять умей,
Когда оно к тебе заглянет;
Минута с ним одна, кто ею дорожит,
Терпенья годы наградит.
Когда ж ты не умел при счастье поживиться,
То не Фортуне ты, себе за то пеняй
И знай,
Что, может, век она к тебе не возвратится.
Домишка старенький край города стоял;
Три брата жили в нем и не могли разжиться:
Ни в чем им как-то не спорится.
Кто что из них ни затевал,
Все остается без успеха,
Везде потеря иль помеха;
По их словам, вина Фортуны в том была.
Вот невидимкой к ним Фортуна забрела
И, тронувшись их бедностью большою,

569
Им помогать решилась всей душою,
Какие бы они ни начали дела,
И прогостить у них все лето.
Все лето: шутка ль это!
Пошли у бедняков дела другой статьей.
Один из них хоть был торгаш плохой,
А тут, что ни продаст, ни купит,
Барыш на всем большой он слупит;
Забыл совсем, что есть наклад,
И скоро стал, как Крез, богат.
Другой в Приказ пошел: иною бы порою
Завяз он в писарях с своею головою;
Теперь ему со всех сторон Удача:
Что даст обед, что сходит на поклон —
Иль чин, иль место схватит он;
Посмотришь, у него деревня, дом и дача.
Теперь вы спросите: что ж третий получил?
Ведь, верно, и ему Фортуна помогала?
Конечно: с ним она почти не отдыхала.
Но третий брат все лето мух ловил,
И так счастливо,
Что диво!
Не знаю, прежде он бывал ли в том горазд:
А тут труды его не втуне.
Как ни взмахнет рукой, благодаря Фортуне
Ни разу промаху не даст.
Вот гостья между тем у братьев нагостилась
И дале в путь пустилась.
Два брата в барышах: один из них богат,
Другой еще притом в чинах; а третий брат
Клянет судьбу, что он Фортуной злою
Оставлен лишь с сумою.
Читатель, будь ты сам судьею,
Кто ж в этом виноват?
D) Найдите тропы и фигуры в следующем стихотворении
Ф. И. Тютчева.
ПОЛДЕНЬ
Лениво дышит полдень мглистый;
Лениво катится река,
И в тверди пламенной и чистой
Лениво тают облака.
И всю природу, как туман,
Дремота жаркая объемлет;
И сам теперь великий пан
В пещере нимф покойно дремлет.

570
И чувства нет в твоих очах,
И правды нет в твоих речах,
И нет души в тебе.
Мужайся, сердце, до конца:
И нет в творении творца!
И смысла нет в мольбе!
E) Попробуйте самостоятельно усилить или ослабить правила спора
за счет включения или исключения каких-либо вопросов и ответов к ним.
F) Проанализируйте структуру спора персонажей из басни
И. А. Крылова «Муха и Пчела»:
В саду, весной, при легком ветерке,
На тонком стебельке
Качалась Муха, сидя,
И, на цветке Пчелу увидя,
Спесиво говорит: «Уж как тебе не лень
С утра до вечера трудиться целый день!
На месте бы твоем я в сутки захирела.
Вот, например, мое
Так, право, райское житье!
За мною только лишь и дела:
Летать по балам, по гостям:
И молвить, не хвалясь, мне в городе знакомы
Вельмож и богачей все домы».
«Все это знаю я, — ответствует Пчела. —
Но и о том дошли мне слухи,
Что никому ты не мила,
Что на пирах лишь морщатся от мухи,
Что даже часто, где покажешься ты в дом,
Тебя гоняют со стыдом». —
«Вот, — Муха говорит, — гоняют! Что ж такое?
Коль выгонят в окно, так я влечу в другое».
G) Определите проблему диалога, участников, их ходы и контрходы
в басне И. А. Крылова «Белка».
В деревне, в праздник, под окном
Помещичьих хором,
Народ толпился.
На Белку в колесе зевал он и дивился.
Вблизи с березы ей дивился тоже Дрозд:
Так бегала она, что лапки лишь мелькали

571
И раздувался пышный хвост.
"Землячка старая, - спросил тут Дрозд, - нельзя ли
Сказать, что делаешь ты здесь?" -
"Ох, милый друг! тружусь день весь:
Я по делам гонцом у барина большого;
Ну, некогда ни пить, ни есть,
Ни даже духу перевесть".
И Белка в колесе бежать пустилась снова.
"Да, - улетая, Дрозд сказал: - то ясно мне,
Что ты бежишь, а все на том же ты окне".
Посмотришь на дельца иного:
Хлопочет, мечется, ему дивятся все:
Он, кажется, из кожи рвется,
Да только все вперед не подается,
Как Белка в колесе.

572
ГЛАВА XI. ЛОГИКА ДИАЛЕКТИКИ
Противоречие — вот что на деле движет миром, и смешно
говорить, что противоречие нельзя мыслить.
Г. В. Ф. Гегель. Энциклопедия философских наук.
Противоречие выступает только там, где есть отношение.
Г В. Ф. Гегель. Лекции по истории философии.
1. ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВОЙ АНАЛИЗ
ДИАЛЕКТИЧЕСКОГО ПРОТИВОРЕЧИЯ
Не было за последние 180 лет, прошедшие после публикации
третьего, последнего тома «Науки логики» Гегеля, более запутанной и
дискуссионной логической проблемы, чем формальная реконструкция гегелевской
диалектики, и в первую очередь ее главного понятия — «диалектическое
противоречие».
Аристотелевскому началу начал бытия и познания — «невозможно,
чтобы одно и то же в одно и то же время было и не было присуще одному
и тому же в одном и том же отношении»129 Гегель противопоставил
взаимно исключающее, но не менее достоверное начало бытия и всех наук —
«нет вообще абсолютно ничего, в чем мы не могли бы и не были
вынуждены обнаружить противоречие»130. И хотя идея о всеобщей
противоречивости высказывалась и до Гегеля, но никому не удавалось разработать ее
систематически, охватив концепцией глобального развития все ущество-
вавшие в его время отрасли научного знания. Вызов, брошенный Гегелем,
не мог остаться без ответа131. Все, кто поверил в несовместимость
формальной и диалектической традиций анализа, были вынуждены
становиться сторонниками одной из них и противниками другой. Скрытым
основанием веры в подобную несовместимость следует считать убеждение, что
логическое и диалектическое противоречие имеют одну и ту же структуру.
В этом и только в этом случае действительно необходимо делать выбор
между законом противоречия (формальной логикой) и диалектическим
129 Аристотель. Соч.: В 4-х т. T.I. М., 1976. -С. 125.
130 Гегель Г Ф. В. Энциклопедия философских наук. В 3-х т. Т. 1. М., 1974. - С. 227.
131 Сегодня преобладает следующая оценка гегелевской диалектики: «... Причина
признания Гегелем противоречий заключается в том, что он стремился остановить
рациональный спор, а вместе с ним научный и интеллектуальный прогресс». Поппер К.
Открытое общество и его враги. В 2-х т. Т. 2. М., 1992. - С.50.

573
противоречием (диалектикой). И хотя обе альтернативы имеют
многочисленных сторонников и в настоящее время, они должны быть отвергнуты
вместе с допущением о совпадении структуры логического и
диалектического противоречия, из которого они следуют. Ведь результаты
формального и диалектического анализа являются такими элементами
человеческой культуры, между которыми более вероятна совместимость, чем
несовместимость.
Но и те, кто не поверил в несовместимость формальной логики и
диалектики, также не добились общепризнанных результатов. Об этом
свидетельствуют итоги недавних обсуждений различных вариантов
рациональной реконструкции основных понятий гегелевской диалектики132.
В этой ситуации не остается ничего иного, как проанализировать
проблему соотношения логического и диалектического противоречия с
более общей точки зрения, чем это делалось до сих пор133.
Нелегко понять, почему многие исследователи, пытавшиеся
реконструировать формальными средствами диалектику Гегеля, не придали
серьезного значения тому, что все ее основные понятия, включая и
понятие диалектического противоречия, сформулированы в терминах
отношений. И что, следовательно, все удивительные на первый взгляд свойства
диалектического мышления и развития порождаются самыми обычными
преобразованиями отношений.
Пусть дан произвольный универсум U. Определим на нем непустое
бинарное отношение строгого порядка R(A, В), Нетрудно убедиться, что
такое отношение допускает только четыре инверсии (перестановки) своих
элементов — субъектов А и В,
Во-первых, можно изменить на обратный порядок субъектов, не
изменяя их реляционных, т.е. обусловленных данным отношением, качеств.
Обозначим эту инверсию буквой С. Во-вторых, можно инвертировать
реляционные качества субъектов, не изменяя порядок самих субъектов.
Обозначим эту инверсию буквой К. В-третьих, можно изменить на обратный
порядок субъектов и одновременно инвертировать их реляционные
качества. Такая инверсия соответствует результату последовательного
выполнения в любом порядке С- и /f-инверсий. Обозначим ее буквой М Наконец,
можно перевести данное отношение в само себя, то есть оставить без
изменения порядок субъектов и их реляционные качества. Это —
тождественная инверсия. Обозначим ее буквой Т.
132 См.: Диалектическое противоречие. М., 1979. Диалектика отрицания отрицания.
М, 1983. Философия Гегеля: Проблемы диалектики. М., 1987.
133 Светлов В. А. Диалектическое противоречие как логическая проблема.
(Реабилитация «Науки логики» Гегеля) // Логика и развитие научного знания. СПб., 1992. С.
128-142.

574
Таким образом, С-инверсия трансформирует отношение R(A, В) в
отношение R'1 (В, А), которое принято называть обратным, или просто
обращением исходного отношения; /Sf-инверсия переводит отношение R(A, В) в
отношение R~\A, В); М-инверсия преобразует отношение R{A, В) в
отношение R(B, А), которое принято называть симметричным исходному
отношению; Г-инверсия переводит R(A, В) в отношение R(A, В), то
есть оставляет без изменения.
Пусть R(A, В) = А больше В. Тогда применение С-инверсии дает «5
меньше А»; применение /f-инверсии порождает «А меньше 5»; применение
М-инверсии дает «В больше А»; применение Г-инверсии оставляет
исходное отношение без изменения, то есть производит «А больше 5».
Между всеми четырьмя инверсиями существует взаимная связь,
такая что вместе они образуют группу (в алгебраическом смысле) взаимно
обратимых преобразований (рис. 1).
R, (А, В)
С
R Л(ВЧ А)
(А, В)
R(B, A)
Рис. 1
Порядок этой группы равен числу инверсий, то есть четырем. Другие
свойства группы проверяются движением вдоль соответствующих линий
диаграммы.
Ассоциативность: С(КМ) = (СК)М= К(СМ).
Тождественность: СКМ = Т, ТС = С, ТК = К,ТМ= М.
Обратимость: С С = Г, КК = Г, ММ= Г, ТТ = Г (каждый элемент
группы является обратным по отношению к самому себе).
Композиция: СК = М, СМ = К, МК = С (умножение любых
инверсий, кроме Г-инверсии, порождает третью инверсию данной группы).
Группа четырех, выполняющая указанные выше свойства,
представляет пример известной клейновской группы четырех. Важность этой
группы состоит в том, что ее свойства необходимы и достаточны для
рациональной реконструкции диалектики Гегеля. Не ставя цель осуществить
такую реконструкцию в полном объеме, мы проанализируем понятия диа-

575
лектического противоречия (внутреннего и внешнего), диалектического
отрицания, отрицания отрицания. Анализ «Учения о бытии» и вывод
основных прогрессий «Науки логики» будет дан в следующем параграфе.
Полученные результаты также используются в главе, посвященной логике
мифов и сказок.
Если диалектическое противоречие возникает и развивается в
некотором отношении, то исходным пунктом диалектического анализа должен
стать анализ этого отношения.
Каждое отношение, порождающее диалектическое противоречие,
является отношением строгого порядка, то есть таким отношением, в
котором места, занимаемые его субъектами, существенно различны. В
отношении «А больше 5» субъекты А и В нельзя поменять местами, не изменив
радикально смысл отношения. Все отношения строгого порядка
воспроизводят ситуацию неравенства своих субъектов, что и создает импульс для
возникновения и развития диалектического противоречия.
Рассмотрим отношение «обучение». Оно истинно, если существует
по крайней мере одна пара индивидов, один из которых выполняет роль
учителя, то есть обучающего, а другой выполняет роль ученика, то есть
обучаемого. Данное отношение воспроизводит ситуацию познавательного
неравенства, так как учителем может быть только тот, кто знает больше
своих учеников. Обратно, учеником может быть только тот, кто знает
меньше своих учителей. Также ясно, что такое познавательное неравенство
является необходимым условием истинности отношения «обучение».
Индивиды, обладающие равным познавательным статусом, не могут быть
субъектами данного отношения, то есть они являются познавательно
независимыми субъектами. «Каждый, кто идет в учебу, чтобы учиться какой-
либо науке, — отмечал И. Фихте, — предполагает, что учитель знает об
этом больше, чем он; иначе он не шел бы учиться; то же самое
предполагает и учитель, в противном случае он не принял бы этого предложения. Но
первый, конечно, не презирает себя из-за того, ибо он надеется понять эту
науку столь же хорошо, как и его учитель, и именно это и является его
целью»134.
Пусть индивиды А и В являются субъектами отношения «обучение».
Тогда один из них — «учитель», другой — «ученик». Ясно, что в других
отношениях А и В будут обладать иными реляционными качествами.
Допустим, А является учителем, а В — его учеником. Символически это
можно записать так: R (А, В) = А учитель В, Назовем отношение «А учитель 5»
прямым. Ему обратным будет тогда отношение /Г1 (В, А) = В ученик А.
Итак, анализ (родового) отношения «обучение» мы свели к анализу его
видовых отношений — «учитель» и «ученик».
134 Фихте Г. Ясное, как солнце, сообщение широкой публике о подлинной сущности
новейшей философии. Попытка принудить читателя к пониманию. М., 1837. - С. 66.

576
Ясно, что быть учителем и быть учеником — значит обладать
противоположными реляционными качествами, противоположным
познавательным статусом. Никто в одно и то же время в одном и том же отношении
не может совмещать оба эти качества. Следовательно, истинно
неравенство — Аф В в отношении R = «обучение».
В то же время ясно, что невозможно быть учителем, не имея хотя бы
одного ученика, так же как невозможно быть учеником, не имея хотя бы
одного учителя. Следовательно, истинна эквивалентность R(A, В) <-> R \В,
А), то есть А является учителем В тогда и только тогда, когда В является
учеником^.
В итоге мы получили, что бытие учителя противоположно бытию
ученика и вместе оба они являются необходимыми друг для друга. Но
именно в этом и состоит смысл диалектического противоречия: его
противоположности одновременно и исключат друг друга и тождественны друг
другу.
Назовем отношения R(А, В) и R 1(В, А) внешними диалектическими
противоположностями, так как А и В — различные индивиды и каждый из
них является субъектом строго определенного реляционного качества.
Исходя из сказанного, получаем следующее определение.
Взаимно обратные отношения R(A, В) и R 1(В, А) образуют
внешнее диалектическое противоречие, если и только если
А * В в отношении R и R{A, В) = /Г1 (Я, А), A)
Согласно одному из основных положений гегелевской диалектики
все, что существует, имеет определенное внутреннее основание. Обратно,
всякое внутреннее основание требует внешнего проявления для
доказательства своей силы. Если некто считает себя учителем, то он может
подтвердить это, только найдя хотя бы одного ученика, признающего его в
качестве своего учителя. Обратно, если некто считает себя учеником, то он
может подтвердить свое намерение, только найдя хотя бы одного учителя,
признающего его в качестве своего ученика. Разделение на внутреннее и
внешнее относится и к диалектическим противоречиям. Каждое внешнее
диалектическое противоречие представляет результат проявления
внутреннего диалектического противоречия. Разрешение внешнего
противоречия порождает новое внутреннее диалектическое противоречие и тем
самым новый цикл диалектического развития (рис.2).

577
Исходное Развитие и разре- Новое
внутреннее и> шение внешнего :z> внутреннее
противоречие противоречия противоречие
Рис. 2. Цикл диалектического развития.
Формально различие между внешними и внутренними
диалектическими противоречиями выражается в том, что первые имеют разных
индивидов в качестве своих субъектов, а вторые — одного и того же индивида в
качестве своего субъекта. Иными словами, внутренние диалектические
противоречия порождаются рефлексивными отношениями субъектов этих
противоречий.
Пусть R (А, А) = А является своим собственным учителем, R ~1 (А, А)
= А является своим собственным учеником. Назовем отношения R (А, А) и
/Г1 (А, А) внутренними диалектическими противоположностями. В
соответствии со сказанным имеем следующее определение.
Взаимно обратные отношения R (А, А) и R {А, А) образуют
внутреннее диалектическое противоречие, если и только если
АфАв отношении RuR(A,A) = RT[ (A, A), B)
Реальное, то есть внешнее, бытие А как учителя состоит в том, что
имеется по крайней мере один отличный от него индивид В,
подтверждающий и инициирующий бытие А в данном качестве. Потенциальное, то
есть внутреннее, бытие А как учителя состоит в том, что он сам, а не кто-
нибудь другой, подтверждает и инициирует свое бытие в данном качестве.
А это невозможно, если А не будет относиться к самому себе как к
учителю и ученику одновременно, но не реально, иначе нарушается закон
логического противоречия, а потенциально135. Истина подобных рефлексивных
отношений состоит в том, что учитель всегда оценивает себя не только
своими «учительскими» глазами, но и глазами своих учеников.
Аналогично ученик всегда оценивает себя не только со своей ученической точки
зрения, но и с точки зрения своих учителей.
135 «Таким образом, способность к противоположностям наличествует в одно и то же
время, но сами противоположности не могут наличествовать в одно и то же время;
невозможно также, чтобы у одного и того же противоположные состояния
наличествовали в действительности в одно и то же время (например, невозможно быть в одно и то
же время и здоровым и больным)». —Аристотель. Метафизика . Соч. в 4-х т. T.I. M.,
1976.-С. 248-249.

578
Внутренние и внешние диалектические противоречия не существуют
изолированно друг от друга. Их взаимная связь может быть пояснена
графически (рис. 3).
R (А, В)
R(A,A) { A^ ^й) R(B,B)
R(B,A)
Рис. 3.
Содержание рис. 3 может быть выражено аналитически. Пусть «о»
обозначает композицию (умножение) отношений. Тогда истинно
R (А, А) = [R~\A, A) = R {А, В) о RTl(B, A)]
R(B, В) = [RT1 (В, В) = R\B, A)oR (А, В)]. C)
Согласно C) любое, внутреннее отношение можно разложить на
взаимно обратные отношения, а последние можно синтезировать в
определенное внутреннее отношение. Например, отношение «человек»
синтезируется из отношений «мужчина» и «женщина»; отношение «супруг»
можно разложить на отношения «муж» и «жена»; отношение «рынок»
синтезируется из отношений «купля» и «продажа».
Противоположность качеств и одновременная взаимозависимость
субъектов диалектического противоречия создает основу для его
разрешения. Самое важное при этом состоит в том, что независимо от конкретного
содержания исходного отношения разрешение диалектического
противоречия всегда идет в одном и том же направлении — выравнивании
исходного неравенства субъектов, в трансформации взаимно обратных
отношений в симметричные отношения.
Если А учитель В, то процесс обучения, а вместе с ним и процесс
разрешения соответствующего познавательного противоречия длится до тех
пор, пока В не будет знать по крайней мере столько же, сколько и А. Но
как только это произойдет, так обратное отношение R1 (В, А) = В ученик А
трансформируется в отношение R (В, А) = В учитель А, которое
симметрично исходному отношению R (А, В) = А учитель В. Симметричность
отношений, в которых теперь находятся А и В, говорит о том, что начального
познавательного неравенства — деления субъектов отношения на «учите-

579
ля» и «ученика» и служившего источником соответствующего
диалектического противоречия более не существует. Иными словами, состояние
симметрии, в котором оказываются оба субъекта, свидетельствует о
разрешении диалектического противоречия.
Сказанное подтверждает следующий отрывок из повести братьев
Вайнеров «Визит к Минотавру», в котором описывается сцена окончания
учебы Антонио Страдивари у Никколо Амати.
«Страдивари начал стремительно бледнеть, а Никколо сказал
торжественно и грустно:
— Сегодня самый счастливый день моей жизни. И самый грустный,
потому что является он знамением моего конца. Ты ведь сварил вовсе не
лак Амати...
Антонио так рванулся из-за стола, что деревянная резная скамейка
упала на пол. Амати так же поспешно закончил:
— Это лак Страдивари. И он... лучше знаменитого лака Амати...
Антонио хрипло сказал:
— Учитель...
Амати перебил его:
— Не называй так больше меня, сынок. Ты больше не ученик. Ты
мастер, и сейчас я счастлив, что спустя века люди будут вспоминать обо
мне хотя бы потому, что я смог многому научить тебя. Ты сделал гораздо
больше, чем я»136.
Сказанное позволяет ввести следующее определение.
1. Внутреннее диалектическое противоречие разрешается
тогда и только тогда, когда разрешается внешнее
диалектическое противоречие.
2. Внешнее диалектическое противоречие разрешается
тогда и только тогда, когда оба его субъекта оказываются
в симметричных (равных, но обратно направленных) от- D)
ношениях друг к другу.
Разрешение внешнего диалектического противоречия не влечет
уничтожение исходного внутреннего противоречия, если хотя бы один из
прежних индивидов снова способен стать субъектом исходного
отношения. В результате возникает внутреннее противоречие более высокого
уровня, которое инициирует новый цикл диалектического развития.
В гегелевской диалектике формирование нового цикла развития
объясняется в терминах диалектического отрицания и отрицания отрицания
(двойного отрицания). Как хорошо известно, смысл диалектического
отрицания состоит в том, что «каждое явление, развиваясь до конца, превраща-
136
Аркадий Вайнер, Георгий Вайнер. Избр.: В 3-х т. Т. 1. М., 1991. - С. 111.

580
ется в свою противоположность»137. В нашем примере ученик, достигнув
высот своего учителя, превращается в свою противоположность —
учителя. Учитель, подняв ученика до своего уровня, превращается в свою
противоположность — ученика. Иными словами, разрешение диалектического
противоречия инвертирует реляционные качества его субъектов в
противоположные и тем самым ставит этих субъектов в диалектически
отрицающие отношения. Сказанное можно суммировать следующим
определением.
Взаимно обратные отношения R(A, В) и R~l(B, А)
превращаются в диалектически отрицающие друг друга тогда и только
тогда, когда отношение ВТ1 (В, А) трансформируется в отношение
R(B, А) или, что то же, внешнее диалектическое противоречие
достигает стадии разрешения. E)
Если известно, что отношения R (А, В) и R(B, А) диалектически
отрицают друг друга, тогда легко вычислить отношение, выражающее
результат двойного отрицания. Интерпретируя R(A, В) как «тезис», R(B, А) как
«антитезис», операцию композиции «о» как их «синтез», получаем по
аналогии с C):
R (А, В) о R(B, A) = R2{A, A) = RT2 (А, А)
R (В, А) о R(A, В) = R2{B, В) = R~2 (Я, В). F)
Обобщением C) и F) выступает закон раскручивающейся спирали
R2n (А, А), где п — число витков спирали, для субъектов, способных
находиться в симметричных отношениях, и R2n (А, В), где В — любой отличный
от А субъект, в противном случае.
Неформально сходство и различие между C) и F) можно пояснить,
сравнив содержание отношений R(А, А) и R2(A, А). Первое из них говорит,
что А является учителем (и учеником) самого себя, второе — что А
является учителем учителя (и учеником ученика) самого себя. Если отвлечься от
рефлексивной формы обоих отношений, то их сходство состоит в том, что
А в первом и во втором случае является учителем. Но в отношении R2(A, A)
это качество итерируется, указывая на главный результат разрешения
внешнего диалектического противоречия — подтверждение А своего
бытия в качестве учителя. Ведь ясно, что учитель только тогда учитель, когда
поднимает ученика до своего уровня, делая его учителем, а самого себя —
учителем учителя. Таким образом, разрешение диалектического противо-
137 Плеханов Г. В. Избранные философские произведения:. В 5-ти т. Т. I. M., 1956. - С.
572.

581
речия выражается, кроме прочего, в двукратном увеличении степени
исходного отношения и тем самым в соответствующей итерации
реляционных качеств. Особую роль двукратного увеличения степени отмечал и
Гегель. Квадрат, по его мнению, — «величина, выходящая вовне себя,
перемещающая себя во второе измерение и тем самым увеличивающая себя, но
увеличивающая себя согласно своей собственной, а не чужой
определенности. Она делает саму себя границей этого расширения, и в ее иностанов-
лении она, таким образом, относится лишь с собой»138.
Проинтерпретируем полученные результаты в терминах группы
взаимосвязанных инверсий, о которой говорилось в начале параграфа. Все
основные понятия гегелевской диалектики были выражены в терминах
преобразований отношений. При этом ни одно из них не потребовало
выхода за пределы указанных четырех инверсий. Мы вправе поэтому
утверждать, что диалектические преобразования образуют группу
взаимозависимых преобразований и подчиняются специальным законам
(инвариантам) сохранения.
Нетрудно убедиться, что С-инверсия связывает отношения,
выражающие диалектические противоположности и, следовательно, порождает
как внутренние, так и внешние диалектические противоречия. Также легко
проверить, что М-инверсия, ставя субъектов в симметричные отношения,
порождает отношение диалектического отрицания. Даже умножение
симметричных отношений, выражающее смысл синтеза диалектически
отрицающих противоположностей, не выводит нас за пределы данной группы
преобразований, так как получаем хотя и итерированное, но то же
исходное отношение. Необходимым и достаточным условием разрешения
внутреннего и внешнего диалектического противоречия является выполнение
/f-инверсии. В гегелевской диалектике такой шаг объясняется в терминах
перехода количественных изменений в качественные. В нашем примере
выполнение /f-инверсии означает переход от отношения К~1(В, А) = В
ученик А к отношению R(B, A) = В учитель А. Но такая трансформация может
произойти только тогда, когда процесс обучения приведет к
количественному выравниванию знаний ученика и учителя. Как только такое
равенство наступает, так А и В оказываются субъектами симметричных
отношений, их реляционные качества инвертируются, а диалектическое
противоречие разрешается.
Итак, С-инверсия порождает диалектическое (внутреннее и внешнее)
противоречие; /f-инверсия трансформирует диалектическое противоречие
в стадию разрешения; М-инверсия, представляющая результат
последовательного выполнения С- и /f-инверсий, характеризует момент разрешения
диалектического противоречия, а композиция связываемых М-инверсией
отношений выражает результат его разрешения.
138
Гегель Г. Ф. В. Энциклопедия философских наук. Т.2. М., 1975. - С. 83.

582
И поскольку ни одно из рассмотренных базисных диалектических
преобразований не выходит за пределы указанной группы инверсий, мы
можем с полной уверенностью заключить, что гегелевский вариант
диалектики полностью совместим с требованиями формальной логики. Более
того, он указывает абсолютно новое и совершенно неисследованное
направление формального анализа, честь открытия которого принадлежит по
праву Гегелю.
Рассмотрим еще один пример диалектического анализа. В
«Капитале» К. Маркс подробно исследует двойственную природу товара и
доказывает, в частности, что появление сначала денег, а затем капитала
представляет результат разрешения присущего каждому товару внутреннего
противоречия между относительной и эквивалентными формами стоимости.
Формализуем первую часть марксова анализа.
Исходное отношение — отношение простого (безденежного)
товарного обмена. Таким образом, R(—, —) = простой товарный обмен.
Пусть А иВ — товары, имеющие разные потребительские стоимости
(удовлетворяющие разные потребности) и являющиеся субъектами
отношения простого товарного обмена. Товар А находится в эквивалентной
форме стоимости, если в нем выражается стоимость товара В, то есть если
А выступает эквивалентом стоимости В, Соответственно товар В находится
в меновой стоимости, так как его стоимость выражается в другом товаре,
именно товаре А. Согласно К. Марксу, «относительная форма стоимости и
эквивалентная форма — это соотносительные, взаимно друг друга
обусловливающие, нераздельные моменты, но в то же время друг друга
исключающие или противоположные крайности, то есть полюсы одного и
того же выражения стоимости»139. При этом «один и тот же товар в одном
и том же выражении стоимости не может принимать одновременно обе
формы. Более того, последние полярно исключают друг друга»140.
Одновременное единство и взаимное исключение обеими формами стоимости
друг друга выражает внутреннее диалектическое противоречие, присущее
каждому товару и служащее основанием для его разрешения в процессе
товарного обмена.
Пусть Э(А, А) = А является эквивалентом своей собственной
стоимости; тогда Э (А, А) = О(А, А) = А служит относительной формой своей
собственной стоимости. Исходное внутреннее противоречие товара А:
товар А не может совмещать в одно и то же время в одном и том же
отношении эквивалентную и меновую формы стоимости; и вместе с тем истинно
Э(А, А) = О(А, А), то есть эквивалентная и относительная форма стоимости
являются необходимым условием существования друг друга.
139
Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд. Т. 23. - С. 57.
140 Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд. Т. 23. - С. 58.

583
Каждое внутреннее противоречие разрешается во внешнем.
«Скрытая в товаре внутренняя противоположность потребительной стоимости и
стоимости выражается, таким образом, через внешнюю
противоположность, то есть через отношение двух товаров, в котором один товар тот,
стоимость которого выражается, — непосредственно играет роль лишь
потребительной стоимости, а другой товар — тот, в котором стоимость
141
выражается, — непосредственно играет роль лишь меновой стоимости» .
Противоречие между потребительной стоимостью и стоимостью, о
котором говорит К. Маркс, лишь по-иному выражает противоречие между
относительной формой стоимости, в которой выступает потребительная
стоимость, и эквивалентной формой стоимости, выражающей стоимость.
Итак, исходное внутреннее диалектическое противоречие товара
разрешается во внешнем, то есть в обмене товаров. Пусть Э(А, В) = товар
является эквивалентной формой стоимости товара В, Тогда О(В, А) = товар В
является относительной формой стоимости товара^. Внешнее
диалектическое противоречие: ни один товар не может в одно и то же время и в одном
и том же отношении совмещать обе формы стоимости; вместе с тем
истинно Э(А, В) = О(В, А), то есть каждая форма стоимости является
необходимым условием существования другой.
Результат разрешения внешнего диалектического противоречия:
Э(А,В) о Э(В, А) = Л товарная форма своей стоимости.
= А эквивалент эквивалента своей
стоимости;
= А денежное, то есть всеобщее,
выражение своей собственной стоимости;
= О2 (А, А);
= А — относительная форма
относительной формы своей стоимости;
= А товарная форма своей стоимости.
Присущее каждому товару внутреннее диалектическое противоречие
между относительной и эквивалентной формами его стоимости после
разрешения внешнего диалектического противоречия не исчезает, а
возрождается на новом уровне — как внутреннее противоречие товара между его
денежной и товарной формами стоимости. Товар А не может в одно и то
же время и в одном и том же отношении совмещать денежную и товарную
формы стоимости. Но в то же время обе формы являются необходимыми
условиями существования друг друга. Следовательно, истинно Э2 (А, А) =
О2 (А, А).
141
Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд. Т. 23. - С. 71.

584
Для разрешения нового внутреннего противоречия требуется
проанализировать отношение опосредованного товарного обмена (товар —
деньги — товар).
Рассмотренный пример нельзя понимать в том смысле, что одного
акта простого товарного обмена оказалось достаточным для появления
денег. Закрепление за одним товаром функций всеобщего эквивалента
представлял долгий исторический процесс. Данный пример воспроизводит
логику появления такого всеобщего эквивалента, то есть логику
трансформации простого товарного обмена в опосредованный (деньгами) обмен.
Подведем итоги, сделаем некоторые разъяснения и обобщения.
Диалектическое противоречие порождается нелогической несовместимостью
диалектических противоположностей. Три особенности отличают
нелогическую несовместимость от логической. Во-первых, противоположные
понятия, в терминах которых выражается нелогическая несовместимость,
обозначают взаимно обратные отношения. Например, если А — муж В, то
В — жена А. Во-вторых, правила, которые определяют смысл
нелогической несовместимости, являются фактическими, а не логическими.
Правила, по которым различаются социальные роли мужа и жены,
обуславливаются типом культуры, конкретно-историческими условиями
существования семьи. В-третьих, хотя качества субъектов отношений, в терминах
которых выражается нелогическая несовместимость, несовместимы,
поскольку противоположны, отношения, в которых они находятся, тем не
менее, совместимы, потому что эквивалентны. Например, ни один субъект
не может одновременно обладать качествами «муж» и «жена»; каждый их
них либо «муж», либо «жена». Но «муж» и «жена», рассматриваемые в
качестве взаимно обратных отношений, представляют эквивалентные
отношения: некто может быть мужем тогда и только тогда, когда имеет жену.
Каждое отношение, рассматриваемое в качестве родового,
порождает определенное семейство видовых взаимно обратных отношений.
Семейство таких отношений вместе с их субъектами и функциональными
качествами образует совокупность диалектических противоположностей. Если
родовое отношение — бинарное (двухчленное), то существует ровно две
диалектические противоположности. Например, «муж» и «жена»
относительно родового отношения «супруг», «учитель» и «ученик» относительно
родового отношения «обучение». В общем случае число диалектических
противоположностей зависит только от числа функционально различных
субъектов родового отношения. Для л-членного (п > 2) отношения число
диалектических противоположностей равно п\ (эн-факториал).
Например, если родовое отношение «семья» состоит из трех
различных субъектов — отца, матери и сына, то общее число диалектических
противоположностей (взаимно обратных отношений) равно 3! = 6.

585
Первая диалектическая противоположность, представляющая
результат композиции отношения отца к матери и отношения матери к сыну
(отношение отца к сыну).
Вторая диалектическая противоположность, представляющая
результат композиции отношения отца к сыну и отношения сына к матери
(отношение отца к матери).
Третья диалектическая противоположность, представляющая
результат композиции отношения матери к отцу и отношения отца к сыну
(отношение матери к сыну).
Четвертая диалектическая противоположность, представляющая
результат композиции отношения матери к сыну и отношения сына к отцу
(отношение матери к отцу).
Пятая диалектическая противоположность, представляющая
результат композиции отношения сына к матери и отношения матери к отцу
(отношение сына к отцу).
Шестая диалектическая противоположность, представляющая
результат композиции отношения сына к отцу и отношения отца к матери
(отношение сына к матери).
Свойства логических и диалектических противоположностей
суммированы в табл. 1.
Таблица 1
Логические
(контрадикторные)
противоположности
1. Не могут быть
одновременно истинны
2. Не могут быть
одновременно ложны
3. Из истинности одной
следует ложность другой
4. Из ложности одной
следует истинность другой
Диалектические
противоположности
1. Истинны одновременно
2. Ложны одновременно
3. Из истинности одной
следует истинность других
4. Из ложности одной следует
ложность других
Самым интересным и вызывающим до сих пор споры свойством
диалектических противоречий является то, что они не нарушают закон
противоречия, то есть формулируются в логически непротиворечивой форме.
Диалектической противоположностью отношения «А учитель 5» будет
отношение «5 ученик А», логической противоположностью — отношение «А

586
не учитель 5»; диалектической противоположностью отношения «5
ученик А» будет отношение «А учитель 5», логической противоположностью
— отношение «А не учитель 5». Из чего следует, что А не может в одно и
то же время быть и не быть учителем В, а В — учеником А. Кроме того,
если истинно (ложно), что А учитель В, тогда ложно (истинно), что А не
учитель В, Обратное также верно. Все эти заключения — следствия закона
логического противоречия. Но если истинно (ложно) отношение «А учитель
5», тогда также истинно (ложно) отношение «5 ученик А». Обратное также
верно: оба отношения либо одновременно истинны, либо одновременно
ложны. Эти заключения — следствия закона диалектического
противоречия.
Разрешение диалектического противоречия образует
самостоятельный цикл развития — возвращение вещи к исходному качеству на новом
уровне. Одновременно воспроизводится в новой форме и внутреннее
противоречие, создающее стимул для развертывания нового цикла развития.
Развитие продолжается до тех пор, пока вещь не исчерпает все
возможности качественной трансформации в данном отношении, и имеет форму
раскручивающейся спирали.
Пусть R(А, В) обозначает отношение «А отец 5», является тезисом, то
есть исходным пунктом развития. Антитезисом будет отношение R(B, С) =
«В отец С», а синтезом — квадрат исходного отношения «А отец 5», то
есть отношение «А дед С». В данном примере синтезирующее качество
«дед» обобщает качество тезиса «отец», ибо всякий дед есть по
определению чей-то отец, и качество антитезиса «сын, ставший отцом». Быть дедом
означает быть прежде всего отцом (первый уровень), но не просто отцом, а
отцом сына, ставшего отцом, то есть отцом отца (второй уровень).
Пусть «->» представляет графический аналог отношения «отец» и
пусть имеется субъектов мужского пола, последовательно связанных этим
отношением:
Л-> Я-> С-> ?>-> ?-> F-> G-> #->//
Противоречие первого уровня порождается отношением «отец» и
означает единство противоположных качеств (отношений) «отец» и «сын».
Субъектами этого противоречия выступают А и В, В и С, С и Д D и Е, Е и
F,FhG, GkH,HhI.
Разрешение противоречия первого уровня создает противоречие
второго уровня — единство противоположных качеств (отношений) «дед» и
«внук». Субъектами этого противоречия являются соответственно А и С, С
и Е, Е и G, G и /. Качества «дед» и «внук» представляют результаты
отрицания отрицания качеств «отец» и «сын».

587
Разрешение противоречия второго уровня порождает противоречие
третьего уровня — единство противоположных качеств (отношений)
«прапрадед» («дед деда») и «праправнук» («внук внука»). Субъектами этого
противоречия являются соответственно А и Е, Е и /. Качества «прапрадед»
и «праправнук» представляют результаты отрицания отрицания качеств
«дед» и «внук».
Разрешение противоречия третьего уровня порождает противоречие
четвертого уровня — единство противоположных качеств (отношений)
«прапрапрапрадед» («прапрадед прапрадеда») и «прапрапраправнук»
(«праправнук праправнука»). Субъектами этого противоречия являются
соответственно А и /. Их качества представляют результаты отрицания
отрицания качеств «прапрадед» и «праправнук» соответственно.
Снова обозначим отношение «отец» буквой /?. Тогда R2 будет
обозначать отношение «дед», R4 — отношение «прапрадед», /?8 — отношение
«прапрапрапрадед». Спираль разрешения внутреннего противоречия
отношения «отец», определенного на множестве мужчин и состоящая из трех
циклов, изображена на рис. 4.
R4
t
Рис.4
Рассматриваемый пример позволяет более подробно
прокомментировать связь внутренних и внешних диалектических противоречий.
Внешнее диалектическое противоречие первого уровня между
отношениями «отец» и «сын» порождается внутренним диалектическим
противоречием, свойственным отношению «отец»: чтобы быть отцом
необходимо иметь (по условию примера) сына. Поскольку никто не может быть
своим собственным сыном и отцом, то возникает внутреннее
противоречие.
Разрешение указанного внутреннего противоречия во внешнем не
уничтожает первого, а придает ему новую форму и более богатое содержа-

588
ние. Это означает, что исходное внутреннее противоречие
воспроизводится при каждом новом внешнем разрешении в новом качестве согласно
операции отрицания отрицания. Сравним с этой целью результаты отрицания
отрицания исходного качества (отношения) «отец», разложив их
предварительно на составляющие признаки, один из которых должен
характеризовать исходное качество. Проделав эту операцию, мы получаем следующее
множество равенств (знак «х» обозначает умножение логических
признаков):
1. Отец = мужчина х родитель, имеющий сына
(по условию примера).
2. Дед = отец х отец
= отец х родитель, имеющий сына.
3. Прапрадед = дед х дед
= дед х отец х отец
= дед х отец х мужчина х родитель,
имеющий сына.
4. Прапрапрапрадед = прапрадед х прапрадед
= прапрадед х дед х дед
= прапрадед х дед х отец х отец
= прапрадед х дед х отец х мужчинах
родитель, имеющий сына.
Реляционный характер исходного качества «отец» задается
признаком «родитель, имеющий сына». Этот признак и связанное с ним
внутреннее противоречие воспроизводятся при каждом разрешении последнего в
новом качестве — отца, деда, прапрадеда и прапрапрапрадеда. При этом
отрицанию каждый раз подлежит старая форма, но не содержание
исходного качества. Например, качество «дед» отрицает качество «отец» по
форме, но не по содержанию, так как признаки отца — «мужчина» и
«родитель, имеющий сына» сохраняются без изменения в качестве «дед».
Сказанное доказывает фундаментальную роль внутренних
диалектических противоречий в качестве источника развития, а также их
неразрывную связь с внешними диалектическими противоречиями как формой
своего развития и разрешения.

589
2. ФОРМАЛЬНАЯ РЕКОНСТРУКЦИЯ
«УЧЕНИЯ О БЫТИИ» ГЕГЕЛЯ И ВЫВОД ОСНОВНЫХ
ПРОГРЕССИЙ «НАУКИ ЛОГИКИ»
Учение о бытии, учение о сущности и учение о понятии — три
основные части «Науки логики». Каждая из них делится на три раздела.
Каждый раздел состоит из трех частей. Если учитывать, что каждая триада в
гегелевской диалектике фиксирует определенное противоречие, то
содержание «Науки логики» структурируется в виде следующей пирамиды: на
нижнем уровне располагаются двадцать семь базисных противоречий, на
среднем — три, на высшем, образующем вершину, одно. Вершина
пирамиды контролирует средний уровень, а тот — ее основание. В итоге
объяснение диалектической архитектоники «Науки логики» сводится к
объяснению тридцати одного противоречия.
Нет необходимости выполнять данную задачу в полном объеме.
Вполне будет достаточно проанализировать учение о бытии и на
основании этого анализа сделать общие выводы.
Основными определениями бытия в его развитии выступают
качество, количество и мера. Каждая из этих частей имеет свой внутренний цикл
развития, включающий следующие уровни: 1) в-себе-бытие
(неопределенное качество, количество и мера); 2) бытие-для-иного (определенное
качество, количество и мера); 3) для-себя-бытие (синтез предшествующих
уровней развития качества, количества и меры, возвращение к себе на
новой основе).
На каждом уровне следует различать внутреннее противоречие
качества, количества и меры, их внешнее противоречие и результат разрешения
последнего, переводящий развитие на более высокий уровень. Рассмотрим
этот процесс сначала неформально.
Качество
Внутреннее противоречие качества как неопределенного бытия
образует непосредственное единство чистого бытия и чистого ничто, внешнее
противоречие — опосредованное единство этих же противоположностей
— становление. Становление распадается на два равных и обратно
направленных отношения — переход чистого бытия в чистое ничто
(уничтожение, прехождение) и переход чистого ничто в чистое бытие
(возникновение). Результатом разрешения внешнего противоречия становится
бытие, включившее в себя в процессе становления ничто, то есть ставшее,
наличное бытие. Наличное бытие представляет уровень определенного
бытия.

590
Внутреннее противоречие качества как определенного бытия
образует единство нечто и иного, внешнее противоречие — опосредованное
единство данных противоположностей — изменение (становление иным).
Изменение распадается на два равных и обратно направленных отношения
— переход нечто в иное и переход иного в (первое) нечто. Результатом
разрешения внешнего противоречия становится нечто, включившее в себя
в процессе изменения свое иное, или для-себя-бытие. Если наличное
бытие представляет отрицание неопределенного бытия, то для-себя-бытие,
являясь отрицанием наличного бытия, становится отрицанием отрицания
неопределенного бытия.
Внутреннее противоречие качества как для-себя-бытия образует
непосредственное единство одного и много, внешнее противоречие —
становление тем же самым (порождение класса эквивалентных «одних»).
«Одно» характеризует завершенность наличного бытия, неизменность его
абстрактных единиц, «многое» — неограниченную повторяемость
«одного». Становление тем же самым распадается на два равных и обратно
направленных отношения — переход одного в многое (отталкивание) и
переход много в одно (притяжение). Результатом разрешения внешнего
противоречия является «одно», включившее в себя в процессе становления тем
же самым «многое», бытие, безразличное к качеству, способное лишь
увеличиваться или уменьшаться, неопределенное количество.
Так, в силу внутреннего самоотрицания развитие бытия как качества
перешло в новую фазу — количество. Теперь представим этот процесс
самоотрицания качества более формально.
Пусть Б обозначает чистое бытие, Н — чистое ничто, П(Б, Н) —
переход чистого бытия в чистое ничто (уничтожение), П(Н, Б) — переход
чистого ничто в нечистое бытие (возникновение), знак «х» — логическое
умножение признаков. Этот знак будет использоваться для выражения
структуры диалектических противоречий в нереляционной форме в тех
случаях, когда это более удобно.
Внутреннее противоречие
неопределенного бытия = чистое бытие х чистое ничто
= БхН
Внешнее противоречие
неопределенного бытия = уничтожениех возникновение
= Я(ДЯ)оЯ(Я, Б)
= возникновение х уничтожение
= ЩН9 Б) о П(Б, Н)
Результат становления = П2(Б, Б)
= Б2 (нечто)

591
= П\Н,Н)
= Я2 (иное).
Отношения Я2(/>, Б) и П2(Н, Н) представляют два главных результата
становления. Первое из них означает возвращение чистого бытия через
ничто к самому себе, второе — возвращение чистого ничто через бытие к
самому себе. Оба отношения взаимно обратны, и истинность одного влечет
истинность другого. Как Я2(/>, Б), так и П2(Н, Н) представляют двойные
отрицания соответствующих тезисов и антитезисов. Для Я2(/>, Б) тезисом
является П(Б, Н) и антитезисом — П(Н, Б). Для П2{Н,Н) тезисом является
/7G/, Б) и антитезисом — //(/>, Я). В гегелевской терминологии данные
результаты выражают: 1) движение от чистого бытия (Б) к чистому ничто (Я)
и от него к бытию бытия (Б2), или нечто; 2) движение от чистого ничто (Я)
к чистому бытию (Б) и от него к ничто ничто (Я2), или иному.
Разрешение внешнего противоречия неопределенного бытия
завершило становление и трансформировало развитие качества на новый
уровень — уровень определенного бытия. Выразилась эта трансформация в
переходе от внутреннего противоречия неопределенного бытия —
непосредственного единства чистого бытия и чистого ничто к внутреннему
противоречию определенного бытия — непосредственному единству нечто
и иного. Из сказанного следует, что Б2 должно обозначать нечто, Я2 —
иное, Я(/>2, Я2) — переход нечто в иное, ЩН2, Б2) — переход иного в
нечто.
Внутреннее противоречие
определенного бытия
Внешнее противоречие
определенного бытия
Результат изменения
нечто х иное
Б2хН2
изменение
переход нечто в иное х
переход иного в нечто
Я(?2, Я2) о П{Н2, Б2)
переход иного в нечто х
переход нечто в иное
Я(Я2,?2)оЯ(?2,Я2)
?
= Ь4 (одно)
= Н4 (многое).

592
Отношения П2(Б2, Б2) и П2(Н2, Н2) характеризуют главные
результаты изменения. Каждое из них выражает возвращение соответствующего
тезиса после синтеза со своим антитезисом к самому себе. Следовательно,
П2(Б2, Б2) представляет двойное отрицание тезиса П(Б2, Н2) и четверное
отрицание исходного тезиса ЩБ, Я). Аналогично отношение П2(Н2, Н2)
является двойным отрицанием антитезиса П{Б2, Н2) и четверным
отрицанием начального антитезиса ЩН, Б). Оба цикла состоят из следующих
этапов: 1) от нечто (Б2) к иному (Я2) и к нечто нечто (J?4), или одному; 2) от
иного (Я2) к нечто (Б2) и к иному иного (Я4), или многому.
Разрешение внешнего противоречия определенного бытия завершает
изменение и переводит развитие качества на высший уровень — для-себя-
бытие. Внутреннее противоречие последнего образует непосредственное
единство одного и многого.
Тогда следует, что J?4 должно обозначать одно, Я4 — многое, Я^Б4,
Я4) — переход одного во многое (отталкивание), ЩН4, J?4) — переход
многого в одно (притяжение).
Внутреннее противоречие
для-себя-бытия = одно х многое
= ^xfl4
Внешнее противоречие
для-себя-бытия = становление тем же самым
= отталкивание х притяжение
= Я(?*, Я4) о ЩИ4, Я4)
= притяжение х отталкивание
4444
Результат становления тем
же самым = if {Б, Б)
= Б"8 (непрерывность)
?
= Я8 (дискретность).
Отношения Я2 (Б4, Ь4) и U2{lt\ Я4) представляют главные
результаты самоотрицания для-себя-бытия и качества в целом. Это означает,
что бытие в своем развитии покидает сферу качества и переходит в
сферу количества, изменения, безразличного к своей определенности.
Я2(^, J?4) дважды отрицает тезис П2{Б2, Я2), четырежды — тезис
ЩБ2, Я2) и восемь раз тезис П{Б,Н). Аналогично ^(Н4, Я4) дважды от-

593
рицает антитезис П2(Н2, Б2), четырежды — антитезис П (Я2, Б2) и восемь
раз — антитезис /7(Я, Б). Оба цикла самоотрицания для-себя-бытия
проходят следующие этапы: 1) от одного (Ь4) ко многому (Н4) и к
одному одного (?8), или непрерывности; 2) от многого (Н4) к одному (Ь4) и к
многому многого (Я8), или дискретности. Непрерывность и
дискретность являются противоположностями неопределенного количества.
Все полученные результаты развития бытия в сфере качества
сведены в таблицу (табл. 1).
Качество
Таблица 1
Внутреннее
противоречие
Неопределенное
бытие
Единство чистого
бытия и чистого ничто
БхН
Определенное
бытие
Единство нечто
и иного
Б2хН2
Для-себя-бытие
Становление тем же
самым
Внешнее
противоречие
Единство уничтожения
и возникновения
ЩБ, Н) и ЩН, Б)
Единство переходов
нечто в иное и обратно
ЩБ\ Н2) и ЩН2, Б2)
Единство отталкивания
и притяжения
, Я4) и ЩН4, Б")
Результат
разрешения
Возникновение
определенного
бытия
Б2 (нечто)
Возникновение
для-себя-бытия
Б4 (одно)
Возникновение
неопределенного
количества
Б* (непрерывность)
Количество
Внутреннее противоречие количества как неопределенного бытия
образует непосредственное единство непрерывности и дискретности,
внешнее противоречие — опосредованное единство этих
противоположностей — ограничение. Ограничение распадается на два равных и
обратно направленных отношения — ограничение непрерывности
дискретностью и ограничение дискретности непрерывностью. Результат разрешения
внешнего противоречия составляет непрерывность, ограниченная
дискретностью (или дискретность, ограниченная непрерывностью), то есть
определенное (ограниченное) количество, или число.
Внутреннее противоречие определенного количества образует
непосредственное единство множественности составляющих число единиц и

594
их единства, внешнее противоречие — опосредованное единство этих
противоположностей — исчисление как бесконечное изменение (уменьшение
или увеличение) определенного количества. Исчисление распадается на
два равных и обратно направленных отношения — определение единства
во множественности (интенсивность) и определение множественности в
единстве (экстенсивность). Результатом разрешения внешнего
противоречия определенного количества становится количественное отношение.
Внутреннее противоречие количественного отношения составляет
непосредственное единство двух определенных количеств — одного как
единицы отношения, другого как численности отношения; внешнее
противоречие — опосредованное единство этих противоположностей —
показатель отношения. Показатель отношения состоит из двух равных и
обратно направленных отношений — отношения единицы к численности и
отношения численности к единице. Результатом разрешения внешнего
противоречия становится степенное отношение, когда единица и
численность равны друг другу, а их показатель равен степени любой из этих
противоположностей. Данный результат, согласно Гегелю, вводит качество
(отношение) в количественное изменение и представляет поэтому
абстрактное единство качества и количества, или неопределенную меру.
Учитывая, что все определенные количества представимы как те или
иные степени чистого бытия и чистого ничто, а также опуская как
очевидные все подготовительные разъяснения, получаем следующие результаты
(табл. 2).
Внутреннее
противоречие
Неопределенное
количество
Единство
непрерывности и
дискретности
Определенное
количество
Единство единства и
множественности
?16хЯ16
Количественное
Количество
Внешнее
противоречие
Единство взаимного
ограничения
дискретности и
непрерывности
\ 8 и ®
Единство
интенсивности
и экстенсивности
Таблица 2
Результат
разрешения
Возникновение
определенного
количества
Б16 (нечто)
Возникновение
количественного
отношения
^(одно)

595
отношение
Единство единицы и
численности
Единство прямого и
обратного
отношения единицы и
численности
Возникновение
неопределенной меры
ЩБ32, Н32) и Я(#32, Б32) Б64 (непрерывность)
Мера
Внутреннее противоречие неопределенной меры образует
непосредственное единство количества, определяющего границы данного качества
(внутренней величины, меры), и количества, к ним безразличного
(внешней величины, меры). Внешнее противоречие неопределенной меры
составляет опосредованное единство указанных противоположностей —
спецификация (специфицирующее отношение). Спецификация
распадается на два равных и обратно направленных отношения — определение
внутренней меры во внешней и определение внешней меры во
внутренней. Результатом разрешения внешнего противоречия становится реальная
мера — количественное отношение (показатель) двух качеств друг к
другу.
Внутреннее противоречие реальной меры составляет неопределенное
единство мер нечто и иного, то есть единство устойчивости нечто и его
изменчивости, внешнее противоречие — опосредованное единство данных
противоположностей — узловая линия отношений меры. Последняя
состоит из двух равных и обратно направленных отношений — перехода
меры нечто в меру иного и перехода меры иного в меру нечто. Результатом
разрешения внешнего противоречия становится взаимный переход
качества в количество и выявление его субстрата — качественной основы
реальной меры.
Внутреннее противоречие субстрата образует непосредственное
единство (неразличенность) двух его качеств, различающихся между собой
лишь количественно; внешнее противоречие — опосредованное единство
данных противоположностей — их обратное качественное и
количественное отношение друг к другу, или противоречие. Последнее состоит из двух
инвертированных качеств, находящихся в количественном равновесии
таким образом, что насколько увеличивается (убывает) одно, настолько же
убывает (увеличивается) другое. Результатом разрешения внешнего
противоречия становится исчезновение различия между качеством и
количеством, потеря всякой непосредственной различенности, переход в сущность
— бытие, моменты которого на фоне общего единства находятся в
бесконечно отрицательном отношении друг к другу.

596
Как и определения количества, все определения меры также предста-
вимы через различные степени чистого бытия и чистого ничто. Опуская и
здесь очевидные разъяснения, получаем следующие результаты (табл. 3).
Таблица 3
Внутреннее
противоречие
Неопределенная
мера
Единство
внутренней
и внешней меры
Б64 х Я64
Определенная
мера
Единство меры нечто
и иного
?128 х ^128
Субстрат
Единство субстратов
как
противоположностей
Б256 х Я256
Количество
Внешнее
противоречие
Взаимное ограничение
внутренней и внешней
мер
7~7/П^^ гi64\ yjs г/64 zr^4\
llKD 9 Tj. ) И llKIi 9 Z) )
Взаимные переходы мер
нечто и иного
ЩБт, Я128)
и Я(Я128, ?128)
Единство
количественных уменьшений и
увеличений
противоположных субстратов
гт/ г»256 r/256\
Y/(Jb , /7 j
и Я(Я256,5256)
Результат
разрешения
Возникновение
определенной
меры
Бт (нечто)
Возникновение
субстрата
?256(одно)
Возникновение
неопределенной меры
Б512 (сущность)
Переход в сферу сущности завершает развитие не только меры, но и
бытия в целом как первой из трех частей «Науки логики».
Проанализированного материала достаточно, чтобы сделать некоторые общие выводы.
Диалектическая структура остальных частей, то есть «Сущности» и
«Понятия», аналогична структуре «Бытия». Следовательно, остается
объяснить связь всех частей «Науки логики» в целом.
Проведенный анализ показал, что диалектическое развитие
совершается в форме возрастающей прогрессии степеней чистого бытия (для
сравнения укажем, что в «Капитале» К. Маркса развитие капитала объясняется
в форме возрастающей прогрессии степеней стоимости). Знаменатель
(показатель степени) равен 2. Это согласуется с теоретико-групповой
интерпретацией диалектического противоречия, согласно которой разрешение
любого диалектического противоречия влечет увеличение степени
исходного отношения в два раза. Однако общая картина диалектического
развития является более сложной, потому что на указанную прогрессию накла-

597
дываются еще две прогрессии. Появление трех взаимосвязанных
прогрессий вызвано тем фактом, что в «Науке логики» двойному отрицанию
подлежит не только каждое из 27 базисных определений логической идеи, но
также каждое третье и каждое девятое из них. Вычислим общую формулу
для всех трех прогрессий.
Каждый цикл развития, или разрешения противоречия, необходимо
имеет форму триады. Цикл более высокого, чем первый, уровня включает
три триады первого уровня. Цикл еще более высокого уровня включает
три триады второго уровня и девять триад первого уровня. Высший
уровень развития идеи в сфере логики представляет цикл из бытия сущности и
понятия. Каждый член этой триады сам является триадой, но уже более
низкого уровня, каждый член которой, в свою очередь, также представляет
триаду исходного уровня. Следовательно, полный цикл развития идеи в
сфере логики требует прохождения девяти циклов на среднем и двадцати
семи циклов на исходном уровне. Число 27 и представляет предельный для
«Науки логики» показатель степени диалектических самоотрицаний
чистого бытия.
Для исходного уровня формула прогрессии имеет следующий вид: Б„
= Б2" , где п = 1,2, ..., 27 и обозначает члена данной прогрессии.
Например, сфера бытия ограничена членами с Б\ по Бд включительно. В этой
последовательности члены с Б\ по Бз представляют качественную ступень
развития бытия, с Б^ по Бв — количественную ступень и с 2>7 по Б9 —
ступень меры. Сфера сущности начинается с 2>10 = Б2 = Б512 (см. табл. 3) и
сфера понятия — с Б\д = Б2 .
Для среднего уровня формула прогрессии такова: Бк =
= Б , где к = 1, 2, ...,9 (согласно условию к = Ъп) и обозначает члена
данной прогрессии. Ее члены с Б\ по 2>з охватывают сферу бытия, с Б^ по Бв —
сферу сущности и с Б1 по Бд — сферу понятия.
Для высшего уровня формула прогрессии равна: Б( =
= Б2 '" , где t = 1, 2, 3 (согласно условию t = 9ri) и обозначает члена этой
прогрессии. Б\ = Б2 соответствует бытию, i>2 = = Б2 — сущности и />з
= Б — понятию.
Объединяя полученные результаты, получаем общую
формулу прогрессивного развития идеи в сфере логики:
Д™ = Б1™" * гДе /и=1,3, 9ии=1,2, ..., 27 для т = 1; п = 1, 2, ... ,9 для т =
3; п = 1, 2, 3 для т = 9.
При п = 21 идея достигает последнего пункта своего развития в
сфере логики — абсолютной истины, отрицание которого равносильно
отчуждению идеи в природу. Число 227 можно поэтому интерпретировать как
количественный показатель конкретности развития идеи в «Науке логики»,

598
ее восхождения от абстрактного бытия к конкретному, от абстрактной
истины к абсолютной.
Легко проверить, что полый цикл развития идеи, включающий
прохождение сфер логики, природы и духа, подчиняется той же общей
формуле прогрессии со следующими значениями переменных: т = 1, 3, 9, 27 и
/7=1,2, ..., 81 для т = 1; п = 1, 2, ..., 27 для т = 3; п = 1, 2, ..., 9 для т = 9\п
= 1, 2, 3 для т = 27. Число 281 характеризует, таким образом, достижение
идеей состояния «абсолютного духа», логика, природа и история для
которого суть только этапы возвращения к себе.
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
A) Раскройте диалектическую природу отношений:
а) «Мать»;
б) «Равномерное и прямолинейное движение»;
в) «Равноускоренное прямолинейное отношение»;
г) «Самосознание».
B) Изобразите графически отношения объемов понятий «логическое
противоречие», «диалектическое противоречие», «нелогическое
противоречие».
C) Используйте «Энциклопедию философских наук» Гегеля для
того, чтобы самостоятельно вычислить формулу прогрессии развития
Абсолюта.
D) Возможны ли какие-нибудь другие варианты формального
анализа диалектического противоречия?
E) Оцените убедительность аргументов современных оппонентов
гегелевской диалектики.

599
ГЛАВА XII. ЛОГИКА МИФА И СКАЗКИ
Все волшебные сказки однотипны по своему строению.
В. Я. Пропп. Морфология сказки.
Приходится признать, что изучение мифов приводит нас к
противоречивым заключениям. В мифе все может быть; кажется, что
последовательность событий в нем не подчиняется правилам логики и
нарушает законы причинности. Любой субъект может иметь здесь
любой предикат, любые мыслимые связи возможны, и при этой
кажущейся произвольности одни и те же мифы с теми же
отличительными чертами и зачастую с теми же подробностями встречаются во
многих областях земного шара. Встает вопрос: если содержание
мифов абсолютно случайно,как объяснить их сходство в разных
местах Земли?
К. Леви-Строс. Структура мифов.
1. Общее представление о структурном анализе мифов и
волшебных сказок
Неутихающие дискуссии специалистов по фольклору, мифологии,
культуре, антропологии, истории, философии, психологии, лингвистике о
том, что такое миф и сказка, породили множество разнообразных
толкований. Мы обсудим те из них, которые основаны на так называемом
структурном анализе.
Цель структурного анализа, где бы он ни проводился, заключается в
выявлении структуры изучаемого объекта. Под структурой обычно
понимается внутренний закон, обеспечивающий устойчивое единство
элементов исследуемого объекта. По этой причине структурный анализ решает,
как правило, две основные задачи. Во-первых, определяет элементы, из
комбинации которых состоит изучаемый объект. Во-вторых, формулирует
закон связи этих элементов.
Кажется само собой разумеющимся считать элементами сказок и
мифов их сюжеты.
Однако, как было показано В. Я. Проппом в отношении русской
волшебной сказки142 и К. Леви-Стросом в отношении мифов американских
142 Пропп В. Я. Морфология сказки. Изд. 2-е. М., 1969. (Первое издание — в 1928 г.)

Нанесение
ущерба
герою
Промежуточные
—у действия =
героев
Восстановление
^ нанесенного
ущерба
600
143 г-
индейцев , сюжеты представляют слишком сложные единицы, чтобы
считаться элементами. В каждом сюжете есть не только постоянные, но и
переменные величины. Например, ущерб, наносимый герою, с описания
которого начинается почти каждая сказка, образует постоянную величину.
Конкретные виды этого ущерба и способы его нанесения, определяющие
своеобразие каждой сказки, представляют переменную величину.
Согласно В. Я. Проппу, действительными элементами волшебной
сказки являются функции ее героев. Число таких функций ограничено
(равно 31), их последовательность всегда одинакова, а все вместе они
образуют структуру сказки. Упорядоченный характер последовательности
функций образует закон их связи. В самом общем виде он может быть
выражен следующим образом:
A)
Решая аналогичную задачу в отношении мифов, К. Леви-Строс
сужает число функций, рассматриваемых в качестве элементов, до четырех и
более точно определяет закон их последовательности.
Пусть Fx обозначает негативную функцию (роль), Fy — позитивную
функцию, а и Ъ — героев мифа. Согласно К. Леви-Стросу, содержание
мифа распадается на две взаимосвязанные ситуации — начальную и
конечную. В начальной ситуации один герой выполняет негативную функцию и
становится вредителем, другой герой выполняет позитивную функцию и
превращается в жертву. Таким образом, начальная ситуация фиксирует
отношение нанесения ущерба одним героем другому, что записывается как
Fx{a) : Fy(b). Формализация читается: а наносит ущерб Ь и превращает
последнего в свою жертву. В конечной ситуации происходит инверсия
функций и перестановка местами героев таким образом, что тот, кто был
жертвой в начальной ситуации, превращается во вредителя, а тот, кто был
вредителем, становится жертвой. Таким образом, конечная ситуация также
воспроизводит отношение нанесения ущерба, но уже с учетом указанных
инверсий и перестановок. Конечная ситуация формализуется следующим
образом: Fx(b) : Fa~l (у). Она читается: Ъ наносит ущерб а таким образом,
что негативный герой а «уничтожается», а нанесенный им ущерб
восполняется. Об этом говорит то, что позитивная функция у становится
субъектом мифа и выполняет роль уничтожителя героя-вредителя а.
143
Леви-Строс К, Структура мифов // Структурная антропология. М., 1983. - С. 183—
207.

601
Приблизительное равенство начальной и конечной ситуации и
образует, согласно К. Леви-Стросу, структуру мифа:
Fx(a) : Fy(b) « Fx(b) : Fa1 (у). B)
Формулу B) можно прочитать так: ущерб, наносимый негативным
героем мифа, нейтрализуется приблизительно таким же ущербом,
наносимым позитивным героем негативному в конце мифа.
Имеется сходство и различие между формулами A) и B). Сходство
состоит в том, что в разных терминах они воспроизводят один и тот же
шаблон, по которому строятся все мифы и сказки: если негативный герой
нарушает начальное равновесие, то позитивный герой обязательно его
восстанавливает, как правило, с некоторым перевесом для себя. Обе формулы
различаются уровнем логической отработанности. Формула A) родилась в
результате сравнительного анализа большого числа сказок. И тем не менее
ей не хватает логической завершенности. Не все из выделенной 31
функции являются необходимыми. Некоторые из них дублируют друг друга,
некоторые находятся в отношении подчинения, некоторые варьируются.
Иными словами, формула A) еще в большой степени зависит от различных
нелогических допущений. Все эти особенности отмечал и сам В. Я. Пропп.
Формула B) в логическом отношении более совершенна. По
предположению К. Леви-Строса, порождаемая этой формулой система
преобразований выполняет законы алгебраической теории групп. Из этого, по его
мнению, следуют два вывода. Во-первых, каждая функция, входящая в B),
необходима, а вместе они достаточны для порождения любого
мифологического текста. Во-вторых, мышление первобытного человека столь же
логично, как и мышление современного человека.
С предположением К. Леви-Строса о тесной связи его формулы с
теорией групп расходится мнение некоторых исследователей. «К
несчастью, эта формула (структуры мифа К. Леви-Строса. — В. С. и И.П.)
никогда не объяснялась. По всей видимости, вместо того чтобы рассматривать
ее буквально, нам следует считать эту формулу выражением, лишь
ассоциативно связанным с определенными математическими понятиями, но не
эквивалентным ни одному из них. Без точного определения эта формула
144
остается средством риторики, но не анализа» .
Определенные основания для такой оценки имеются: не все
функции, как предполагал К. Леви-Строс, являются на самом деле
необходимыми. Результат разрешения мифа, т. е. Fa'1 (у), такой функцией не
является. По этой причине связь B) и теории групп действительно является
ассоциативной.
144
Harary F., Hage P. Structural Models in Anthropology. Cambridge, 1983. - P. 131.

602
Означает ли отмеченное формальное ограничение, что формула
мифа и сказки, точно воспроизводящая их структуру и удовлетворяющая
самым строгим формальным требованиям, невозможна? Все мифы и сказки
имеют диалектическую природу145. Поэтому, чтобы дать положительный
ответ на данный вопрос, необходимо привести формулу B) в соответствие
с требованиями диалектического анализа. Иными словами, формула B)
должна соответствовать формуле F) гл. XI, 1.
2. ДИАЛЕКТИЧЕСКАЯ ПРИРОДА СКАЗКИ И МИФА
Проделанный в предыдущей главе анализ диалектики позволяет
предложить формулу, выражающую структуру большинства сказок и
мифов и в то же время лишенную формальных ограничений, присущих
формулам В. Я. Проппа и К. Леви-Строса.
Пусть А и В — субъекты отношения /?(-,-), определяющего развитие
какого-либо сказочного или мифологического сюжета. Тогда независимо
от содержания этого сюжета он имеет следующую структуру:
R (А, В) : RT1 (В, A) <R {В, А) : R2 (А, А). C)
Формула C) почти полностью соответствует леви-стросовской
формуле мифа B). Первая часть формулы, R(AtB) : R~l(B, А), характеризует
начальную ситуацию сказки или мифа, т. е. возникновение и развитие
диалектического противоречия между субъектами А и В, Вторая часть
формулы, R(B, A) : R2(A, А), характеризует конечную ситуацию сказки или мифа,
т. е. разрешение диалектического противоречия между А и В, Вся формула
читается следующим образом. Если А своими действиями нарушает
равновесие, то В обратными действиями восстанавливает равновесие. При этом
результат разрешения диалектического противоречия может быть двоякого
рода. Во-первых, отношение R2(A, А) может означать, что А наносит
самому себе какой-либо (физический, моральный) ущерб. Во-вторых, это же
отношение может означать, что действия А оказались успешными и
принесли ему какой-то вид выгоды. Какой из данных результатов имеет место
— зависит от содержания мифа и сказки.
Рассмотрим несколько примеров.
45 Голосовкер Я. Э. Логика мифа. М., 1987; Маранда П., Кенгас-Маранла Э.
Структурные модели в фольклоре // Зарубежные исследования по семиотике фольклора. М.,
1985.-С. 194-260.

603
СКАЗКА О РЫБАКЕ И РЫБКЕ
(А. С. ПУШКИН)
Сюжет сказки. Случайно пойманная стариком золотая рыбка просит
вернуть ей свободу и обещает дорогой откуп. По мнению старика,
случившееся настолько выходит за рамки обычной человеческой жизни —
поймана не простая, а золотая рыбка, владычица синего моря, что он
отказывается от вознаграждения и отпускает рыбку в море. По-другому
оценивает происшедшее старуха (жена старика). С ее точки зрения, услуга,
оказанная стариком рыбке, должна быть оплачена, и она последовательно
требует в качестве откупа новое корыто, новую избу, звание дворянки,
царицы и морской владычицы. Первые четыре требования удовлетворяются,
пятое — нет. Более того, оно не просто не выполняется, а лишает старуху
всех прежних приобретений, возвращает ее к землянке и разбитому
корыту.
Анализ. Основу сюжета сказки составляет возникновение, развитие и
разрешение диалектического противоречия между благодарностью и
щедростью того, кому оказана услуга, и корыстным использованием этих
качеств тем, кто ее оказал. Субъектами противоречия являются
соответственно рыбка и старуха. Старик введен в сказку лишь для объяснения,
каким образом старуха получила право на требование вознаграждения от
рыбки. Рыбка приобретает в этом противоречии качество «благодарность и
щедрость к тому, кто вернул свободу», а старуха — качество
«неблагодарность и жадность к тому, кто получил свободу и должен за нее заплатить».
Отношение старухи к рыбке диктуется исключительно жаждой
наживы, власти. Обратное отношение рыбки к старухе обусловлено
желанием отблагодарить за возвращенную свободу. Развитие противоречия
происходит в форме роста величин образующих его противоположных
качеств. Жадность и неблагодарность старухи возрастают с каждым
удовлетворенным требованием. Аналогично возрастают щедрость и
благодарность рыбки. Пределом количественного роста величин противоположных
качеств становится требование старухи сделать ее морской владычицей, а
рыбку — ее постоянной служанкой. Смысл этого требования сводится к
тому, что рыбка в качестве благодарности за свое освобождение должна
пожертвовать своей же свободой. Но платой за свободу не может быть
сама свобода. По этой причине рыбка отказывается удовлетворить последнее
требование старухи, рыбка инвертирует свое качество «благодарность и
щедрость к тому, кто вернул свободу» на противоположное качество
«неблагодарность и жадность к тому, кто вернул свободу». Но как только такая
инверсия происходит, рыбка и старуха оказываются в симметричных
отношениях жадности и неблагодарности друг к другу. Такие отношения

604
диалектически отрицают друг друга, а их достижение характеризует
стадию разрешения диалектического противоречия.
Пусть С обозначает старуху, Р — рыбку, Ж(С,Р) — отношение
жадности и неблагодарности старухи к рыбке, Б(Р, С) — отношение
благодарности и щедрости рыбки к старухе, Ж(Р, С) - отношение жадности и
неблагодарности рыбки к старухе.
Начальная ситуация, т. е. возникновение и развитие противоречия,
задается пропорцией отношений Ж(С, Р): Б(Р, С).
Конечная ситуация, т. е. разрешение противоречия, возникает в тот
момент, когда отношение Б{Р,С) трансформируется в отношение Ж(Р, С).
Синтез отношений Ж(С, Р) и Ж(Р, С) порождает отношение Ж2 (С, С),
которое представляет главный результат разрешения противоречия. Ж2 (С, С)
буквально означает: старуха является жертвой своей собственной
жадности. В более широком контексте этот результат означает, что всякая
жадность и неблагодарность уничтожается ими же самими порожденными и
обратно направленными жадностью и неблагодарностью. Следовательно,
конечная ситуация задается пропорцией отношений Ж(Р, С) : Ж2 (С, С).
В целом структура сказки имеет следующий вид:
Ж(С, Р) : Б(Р9 Q < Ж(Р9 Q : Ж2 (С, Q.
Вся формула читается так: ущерб, нанесенный рыбке жадностью и
неблагодарностью старухи, равен или меньше ущерба, нанесенного старухе
жадностью и неблагодарностью рыбки.
Развитие и разрешение противоречия носит спиралевидный
характер: жадность и неблагодарность старухи к рыбке (тезис) отрицаются
жадностью и неблагодарностью рыбки к старухе (антитезис) и синтезируются
в жадности и неблагодарности старухи по отношению к самой себе
(синтез). В сказке эта спираль выражена художественными средствами — как
возвращение старухи в исходное состояние, к землянке и разбитому
корыту, т. е. в состояние нищеты. Но эта нищета уже является следствием
самоуничтожения жадности и неблагодарности старухи, т. е. ее социального
падения, и поэтому должна отличаться от нищеты как следствия старости,
с описания которой начинается сказка.
СКАЗКА О ПОПЕ И О РАБОТНИКЕ ЕГО БАЛДЕ
(А. С. ПУШКИН)
Сюжет сказки. Жадный и хитроватый поп заключает с Балдой
договор: за три щелчка по лбу Балда обязуется в течение года усердно
выполнять обязанности повара, конюха и плотника. Надежды попа на то, что

605
Балда не справится со своими обязанностями, не оправдываются. По
совету попадьи поп поручает Балде рискованное для человека задание: собрать
с чертей несуществующий оброк за три года. Черти устраивают Балде
испытание, из которого он выходит победителем. Выполнив поручение попа,
Балда требует расплаты. Поп получает три щелчка и теряет способность
говорить и мыслить.
Анализ. Сюжет сказки основан на двух однотипных противоречиях,
одно из которых включено в другое как условие его разрешения. Общим
является противоречие между хозяином, пытающимся хитростью избавить
себя от расплаты по договору, и работником, честно выполняющим свои
обязанности и желающим получить установленную плату. Подчиненным
является противоречие между соперниками, один из которых
принципиально не может вести честную борьбу. Субъекты общего противоречия —
поп и Балда с реляционными качествами соответственно «хитрый хозяин»
и «честный работник». Субъекты подчиненного противоречия — нечистая
сила (черти) и Балда с реляционными качествами соответственно
«нечестный соперник» и «честный соперник».
Общее противоречие возникает в момент заключения договора, ибо
уже тогда поп надеется, что Балда не сможет добросовестно выполнять
свои многочисленные и трудоемкие обязанности. Фактически
выполняемый перечень последних — повар, конюх, плотник и нянька — можно
рассматривать как этапы количественного роста величин
противоположностей этого противоречия. Вершиной этого роста становится поручение
попа собрать с чертей оброк за три года и согласие Балды выполнить его:
хитрость попа и честность Балды достигают максимума. Но здесь же
рождается новое противоречие, которое было названо подчиненным.
Никакого оброка черти попу в действительности не должны.
Нечистая сила также известна своей хитростью и способностями,
превосходящими возможности человека. Но Балда как добросовестный работник не
может не выполнить данное ему поручение. Поэтому он сразу инвертирует
свое качество «честный соперник» на противоположное качество
«нечестный соперник» и тем самым переводит противоречие между собой и
нечистой силой в стадию разрешения. Хитрости и способности нечистой силы
Балда противопоставляет хитрость и способность человека: не выиграв ни
одного состязания, Балда тем не менее искусно создает видимость своих
побед.
Выполненное Балдой последнее поручение делает неизбежным
разрешение общего противоречия. Продемонстрированная Балдой хитрость в
отношении нечистой силы автоматически распространяется и на попа как
автора данного поручения. Это означает, что для Балды поп и черти стали
частями одного общего функционального субъекта «хитрый хозяин».
Поэтому, когда Балда противопоставляет хитрости чертей свою хитрость, он

606
одновременно противопоставляет ее также хитрости попа. В результате
поп и черти, с одной стороны, Балда — с другой, оказываются в
симметричных отношениях друг к другу.
Пусть 77 обозначает попа, Б — Балду, Х{П, Б) — хитрость попа по
отношению к Балде, Ч(Б, 77) — честность Балды по отношению к попу,
Х(Б, 77) — хитрость Балды по отношению к попу и чертям.
Начальная ситуация задается пропорцией отношений Х(П, Б) :
ЩБ, 77).
Конечная ситуация возникает в тот момент, когда Балда, выполнив
все поручения, инвертирует свое отношение к попу на обратное, т. е. на
отношение Х(Б, 77). Синтез отношений Д77, Б) и Х(Б, 77) порождает
отношение X2 G7, 77), представляющее главный результат разрешения
противоречия. Буквально X2 G7, 77) означает, что поп и его помощники-черти стали
жертвой собственной хитрости. В более широком контексте оно означает,
что всякая хитрость уничтожается ею же самой порожденной и обратно
направленной хитростью.
Структура сказки имеет следующий вид:
Д77, Б) : Ч(Б, П)<Х(Б, 77) : X2 G7, 77).
Полученная формула читается: ущерб, причиненный Балде
хитростью попа, меньше или равен ущербу, причиненному попу хитростью
Балды.
Спиралевидный характер разрешения основного противоречия
сказки очевиден. В начале сказки и в ее конце поп показан человеком,
лишенным способности здраво мыслить и говорить, т. е. критически оценивать
ситуацию; но в конце сказки поп лишается этой способности уже
физически в результате собственной недальновидной хитрости.
СКАЗКА О ЦАРЕ САЛТАНЕ
(А. С. ПУШКИН)
Сюжет сказки. Из трех сестер царь Салтан выбирает в жены ту,
которая обещает ему родить сына-богатыря. Из зависти к сестре, ставшей
царицей, две другие сестры и их мать клевещут на нее и пытаются
уничтожить ее и родившегося царевича, бросив их в бочке в океан. Растущий не
по дням, а по часам царевич сначала спасает себя и мать, затем
заколдованную в лебедя девицу. Спасенная девица делает царевича князем
большого города, помогает ему три раза тайно — в виде комара, мухи и шмеля
— посетить отца Салтана, приобрести чудо—белку, чудо-богатырей и
чудо-жену. Салтан, прослышав про необыкновенного князя и его чудеса, ре-

607
шается, наконец, посетить его. Встретившись с ним, Салтан узнает своих
жену и сына. Тетки и бабка раскаиваются в своих поступках и, будучи
наказаны еще ранее, отпускаются домой с миром.
Анализ. В основе сюжета лежит общее противоречие, порождаемое
отношением «зависть». Его субъектами являются тетки и бабка царевича, с
одной стороны, царевич и его мать — с другой. Первые приобретают
реляционное качество «завистник», вторые — качество «жертва зависти».
Этапами количественного роста противоположностей общего
противоречия являются попытки теток и бабки помешать воссоединению Салта-
на с его женой и сыном. Первая попытка заключалась в намерении
физически уничтожить царевича и царицу; вторая — в намерении
воспрепятствовать отъезду Салтана рассказом о чудо-белке; третья — помешать
отъезду Салтана рассказом о чудо-богатырях; четвертая и последняя —
задержать Салтана рассказом о чудо-царевне. Этим попыткам царевич
противопоставил деятельность, направленную на уничтожение их
последствий. Сначала он спасает себя и мать, затем свою будущую жену и
становится князем большого города. Потом последовательно приобретает все
чудеса света, способные привлечь Салтана к встрече с сыном и женой. Таким
образом, царевич восстанавливает соответствующий своему званию образ
жизни и, кроме того, нейтрализует все попытки завистниц помешать
воссоединению с отцом.
Каждая указанная попытка и ее нейтрализация должны
рассматриваться как возникновение и разрешение подчиненного общему
противоречия. По числу попыток можно говорить о четырех подчиненных
противоречиях. Все они разрешаются по одной и той же схеме: зависти теток и
бабки противопоставляется зависть царевича и царицы к теткам и бабке. В
результате тетки и бабка наказывают себя, приобретая тот или иной вид
уродства, а царевич, кроме чудес света, добивается устранения всех
препятствий к встрече с отцом.
Пусть Ц обозначает царевича и его мать, Т — его теток и бабку,
3(Г, Ц) — отношение зависти теток и бабки к царевичу и его матери,
Ж(Ц, Т) — отношение «царевич является вместе со своей матерью жертвой
зависти теток и бабки», 3(Ц, Т) — отношение зависти царевича и его
матери к теткам.
Начальная ситуация характеризуется пропорцией отношений 3(Т, Ц)
: Ж(Ц, 7), конечная ситуация — пропорцией отношений 3(Ц, Т) : З2 (Г, 7).
Отношение З2 (Г, 7) появляется как синтез отношений 3(Т, Ц) и 3(Ц, Т) и
буквально означает, что тетки и бабка стали жертвами своей собственной
зависти. В более широком контексте данный результат означает, что
всякая зависть уничтожается ею же самой порожденной и обратно
направленной завистью.
Структура сказки имеет следующий вид:

608
3(Т, Ц) : ЖЩ, Т) < ЗЩ, Т) : З2 (Г, 7).
Полученная формула читается: ущерб, нанесенный тетками и бабкой
царевичу и его матери, меньше или равен ущербу, нанесенному царевичем
и его матерью теткам и бабке.
Спиралевидный характер разрешения противоречия выражается в
том, что до возникновения противоречия завистницы были просто
нравственными уродами, после же его разрешения они стали также и
физическими уродами.
СКАЗКА О МЕРТВОЙ ЦАРЕВНЕ И СЕМИ БОГАТЫРЯХ
(А. С. ПУШКИН)
Сюжет сказки. Царица, претендующая на звание первой красавицы,
однажды узнает, что молодая царевна-падчерица красивее ее. Воспылав
черной завистью, царица принимает решение тайно погубить царевну.
Первая попытка — связать и оставить ее одну в лесу — не удается:
девушка остается жить и попадает под защиту семи богатырей. Вторая
попытка — отравить — удается. На розыски пропавшей царевны пускается
жених — королевич Елисей. С помощью различных сил природы он находит
гроб своей невесты, разбивает его, и царевна оживает. Царица, узнав о
воскрешении своей соперницы, умирает.
Анализ. Основу сюжета составляет противоречие между жизнью и
смертью. Его субъектами являются соответственно царица-мачеха и
царевна-падчерица с реляционными качествами «несущая смерть» и «жертва
смерти».
Царица решает вернуть себе звание первой красавицы, убив свою
соперницу. Так возникает противоречие. Этапами его развития являются
попытки мачехи достигнуть своей цели.
Первая попытка заканчивается изгнанием царевны из отцовского
дома. Тем самым цель царицы достигнута только наполовину: царевны
нет, но она продолжает жить. Вторая попытка приводит к гибели царевны
и полному осуществлению замысла царицы. Реляционные качества
субъектов противоречия достигают максимальной величины. Но именно в этот
момент королевич спасает царевну и происходит инверсия ее качества: из
жертвы она превращается в несущую смерть. Такое превращение
закономерно, потому что подготовлено всем предыдущим развитием сюжета.
Царица олицетворяет ложную красоту, царевна — истинную. Жизнь ложной
красоты равносильна смерти истинной красоты, и, наоборот, жизнь
истинной красоты означает гибель ложной. По этой причине воскрешение
царевны ставит ее и царицу в симметричные отношения.

609
Пусть М обозначает мачеху, П — падчерицу, С(М, 77) — отношение
«мачеха несет смерть падчерице», ЖG7, М) — отношение «падчерица
является жертвой мачехи», СG7, М) — отношение «падчерица несет смерть
мачехе».
Начальная ситуация характеризуется пропорцией отношений
С(М, 77) : ЖG7, М), конечная ситуация — пропорцией отношений С(П, М) :
С2(Л/, М). Отношение С2(Л/, М) появляется как результат композиции
отношений С(М, 77) и СG7, М). Буквально оно означает, что мачеха является
причиной собственной смерти (своим собственным убийцей). В более
широком контексте оно означает, что всякая смерть уничтожается ею же
порожденной и обратно направленной смертью.
Структура сказки имеет следующий вид:
С(М9 77) : Ж(Я, М) < СG7, М) : С\М, М).
Полученная формула читается: ущерб, нанесенный мачехой
падчерице, меньше или равен ущербу, нанесенному падчерице мачехой.
Спиралевидный характер разрешения противоречия сказки
обнаруживается в том, что до его возникновения царица была мертва только
духовно, а после его разрешения — также и физически.
СКАЗКА О ЗОЛОТОМ ПЕТУШКЕ
(А. С. ПУШКИН)
Сюжет сказки. Постаревшему и некогда грозному царю Дадону
осмелевшие соседи мешают жить в покое. Мудрец дарит царю золотого
петушка, который своим криком предупреждает о возможном направлении
неприятельского нападения. Восхищенный Дадон обещает мудрецу
исполнить первую же его просьбу. Однажды по поднятой петушком тревоге
царю приходится посылать сначала двух своих сыновей с войском, а затем
и ехать самому. Прибыв на место предполагаемого сражения, Дадон
находит погибшими в междоусобной войне своих сыновей и их войско.
Встречает также шамаханскую царицу, увидев которую, тут же забывает и
смерть своих сыновей, и цель похода. На просьбу мудреца отдать ему
царицу Дадон отвечает отказом и в перепалке убивает его. При въезде в
город петушок клюет царя в темя, и тот умирает. Шамаханская царица
бесследно исчезает.
Анализ. Сюжет сказки основан на противоречии между верностью и
предательством. Его субъектами являются петушок и царь Дадон с
реляционными качествами «жертва предательства» и «предатель». Петушок

610
олицетворяет военную и житейскую верность долгу и слову, Дадон —
вероломство и предательство.
Противоречие возникает в тот момент, когда царь просит о помощи в
защите от внешних врагов и получает ее от мудреца в виде золотого
петушка. В эпизоде с шамаханской царицей реляционные качества Дадона и
петушка достигают максимальной величины. Царь полностью забывает об
убитых сыновьях, пирует с царицей, везет ее в столицу. Между тем
предупреждения петушка о гибельности встречи с царицей были самыми
тревожными. Убийство Д ад оном мудреца становится его последним актом
предательства. Петушок меняет свое качество «жертва предательства» на
противоположное качество «предатель». Поставленный когда-то на защиту
Дадона и его царства от врагов, петушок после убийства своего хозяина
превращается в первого врага царя. Дадон и петушок оказываются в
симметричных отношениях.
Пусть Д обозначает царя Дадона, 77 — золотого петушка, ПР(Д, 77)
— предательство Дадоном петушка, ЖG7,Д) —
отношение «петушок — жертва предательства Дадона», 77Д77, Д) —
отношение «предательство петушком Дадона».
Начальная ситуация характеризуется пропорцией отношений
ПР(Д, 77) : ЖG7, Д), конечная ситуация — пропорцией отношений 77Д77, Д)
: ПР1 (Д,Д). Отношение ПР1 (Д,Д) появляется как результат композиции
отношений ПР(Д, 77) и 77Д77, Д) и буквально оно означает, что Дадон
является причиной собственного предательства. В более широком контексте
оно означает, что всякое предательство уничтожается им же порожденным
и обратно направленным предательством.
Структура сказки имеет следующий вид:
ПР(Д, 77) : ЖG7, Д) < ПР(П, Д) : ЯР2 (Д, Д).
Полученная формула читается: ущерб, нанесенный Дадоном
петушку, меньше или равен ущербу, нанесенному петушком Дадону.
Спиралевидный характер разрешения противоречия нашел
отражение в изображенной логике предательства: оно начинается с посторонних
(соседи Дадона), переходит на близких и доверенных лиц (сыновья,
мудрец) и заканчивается предательством самого себя.
МИФ О ЦАРЕ МИДАСЕ
Сюжет мифа. Мидас, царь Фригии, славился своим богатством.
Однажды ему удалось напоить заблудившегося Силена — любимого демона
плодородия бога Диониса и увести его в свой дворец. Силен рассказал

611
Мидасу о существовании неведомой земли, населенной крупными
животными и людьми-великанами. Эти люди построили много городов и жили в
золотых домах с золотой мебелью. Мидас загорелся желанием жить в
золотом доме. В награду за спасение Силена Дионис обещал исполнить
любое желание Мидаса. Долго не раздумывая, Мидас попросил, чтобы все, к
чему он прикоснется, становилось золотым. Недолгой была радость
Мидаса, так как в золото превращались также пища и вода. Чтобы не умереть от
голода и жажды, Мидас был вынужден просить Диониса забрать свой дар.
Анализ. Основу сюжета составляет возникновение и разрешение
противоречия, свойственного стремлению к безраздельному господству.
Поскольку золото является символом власти, то обладание им равносильно
обладанию всем. Пока Мидас был обыкновенным царем, он господствовал
над золотом. Ситуация изменилась на обратную, когда Дионис исполнил
желание Мидаса. Теперь золото стало господствовать над Мидасом.
Синтез этих двух отношений порождает главный результат мифа: Мидас
становится жертвой своей неуемной алчности и чуть не погибает от голода и
жажды.
Пусть М обозначает Мидаса, 3 — золото, В(М, 3) — власть Мидаса
над золотом, ПC, М) — подчинение золота Мидасу, ВC, М) — власть
золота над Мидасом.
Начальная ситуация характеризуется пропорцией отношений В(М, 3)
: /7C, М), конечная ситуация возникает тогда, когда Дионис выполняет
просьбу Мидаса, т. е. когда отношение ЯC, М) инвертируется в отношение
ВC, М). Синтез обоих отношений дает отношение В2(М, М), которое
буквально означает, что Мидас становится жертвой своего собственного
стремления к абсолютной власти.
Структура мифа имеет следующий вид:
В(М, 3): /7C, М) < 5C, М) : В2{М, М).
Полученная формула читается: ущерб, причиненный желанием
Мидаса господствовать над золотом, меньше или равен ущербу,
причиненному абсолютной властью золота над Мидасом.
Спиралевидный характер разрешения противоречия проявляется в
том, что до его возникновения золото удовлетворяло потребности Мидаса
как человека и как царя, а после его разрешения едва не стало причиной
его гибели. Следовательно, если в начале мифа Мидас верит в абсолютные
возможности золота, то после его разрешения у него такой веры уже нет,
хотя у него и имелась возможность обладать золотом в неограниченном
количестве. Иными словами, стремление к абсолютной власти всегда
заканчивается для его субъекта если не физической, то моральной гибелью.

612
МИФ О ТИРЕСИИ
Сюжет мифа. Тиресий, сын нимфы Харикло, случайно увидел
Афину обнаженной во время купания, а это категорически запрещалось
смертным. В наказание Афина вырвала Тиресию глаза. Будучи подругой Афины,
мать Тиресия попросила у богини прощения за неумышленный поступок
сына. Афина сжалилась над Тиресием и возместила потерю зрения
способностью понимать волю богов, голоса птиц и зверей, видеть грядущее.
Так Тиресий стал одним из самых известных прорицателей.
Анализ. Основу сюжета составляет возникновение и разрешение
противоречия, свойственного несправедливому наказанию. Проступок
Тиресия был неумышленным. Поэтому понесенное им наказание оказалось
чрезмерным. Просьба матери пробуждает у Афины чувство вины перед
Тиресием
за чересчур суровое наказание. Взаимная вина Тиресия и Афины друг
перед другом освобождает их обоих от этого чувства.
Пусть Т обозначает Тиресия, А — Афину, 5(Г, А) — вину Тересия
перед Афиной, У(А, Т) — ущерб, нанесенный Тиресием Афине, В(А, Т) —
вину Афины перед Тиресием, В2(Т, Т) — освобождение Тиресия от
чувства вины.
Начальная ситуация характеризуется пропорцией отношений В(Т,А)
: У (А, 7). Конечная ситуация возникает после разговора матери Тиресия с
Афиной. Так как Афина соглашается удовлетворить просьбу матери, то
отношение У {А, Т) инвертируется в отношение В(А, 7). Синтез отношений
В(Т, А) и В(А, Т) порождает отношение В2(Т, 7), которое буквально
означает, что вина Тиресия перед Афиной нейтрализуется виной Афины перед
Тиресием.
Структура мифа, следовательно, такова:
В(Т, А): У(А, Т) < В(А, Т) : В2{Т, 7).
Полученная формула читается: вина Тиресия компенсируется
обратной виной Афины перед ним с выгодой для него. В самом деле,
человеческое зрение не помогло Тиресию избежать неприятного инцидента. Зрение,
которым наградила его Афина, приравняло его к богам.
Спиралевидный характер разрешения противоречия очевиден. В
начале мифа Тиресий обладает обычным зрением, свойственным каждому
человеку. В конце мифа Тиресий — обладатель божественного зрения.

613
МИФ ОБ ЭДИПЕ
Сюжет мифа. Фиванскому царю Лаю была предсказана Аполлоном
смерть от руки собственного сына. Пытаясь избежать такого наказания,
Лай приказывает своей жене Иокасте избавиться от новорожденного,
предварительно проколов ему сухожилия у лодыжек. Однако мальчик
остался жив и попал к бездетному царю Полибу, который назвал его Эдипом
(букв, «с опухшими ногами»). Эдип случайно узнает, что он приемный
сын и пытается узнать о своих настоящих родителях. Дельфийский оракул
вместо ответа сообщает Эдипу, что тот должен убить своего отца и
жениться на своей матери. В ужасе Эдип покидает приемных родителей,
чтобы попытать счастья на чужбине. Однако предсказание сбывается. В
случайной ссоре Эдип убивает своего отца, не подозревая об этом. Освободив
Фивы от Сфинкса, становится их царем и женится на своей матери, также
не подозревая об этом. У них рождаются два сына и две дочери. Двадцать
лет царствовал Эдип в Фивах, пока на город не обрушились различные
несчастья. Дельфийский оракул называет причину несчастий — убийца Лая
живет в Фивах. Эдип проводит расследование и устанавливает, что он —
убийца. Иокаста, узнав, кто был ее мужем последние двадцать лет, кончает
жизнь самоубийством. Эдип выкалывает себе глаза и через некоторое
время покидает Фивы с любимой дочерью Антигоной в поисках лучшей доли.
Сыновья Эдипа остаются в Фивах в надежде занять царский трон. Эдип
проклинает сыновей и предрекает им гибель в междоусобной войне. Эдип
также предвидит, что в будущей войне афинян с фиванцами победа
окажется на той стороне, на чьей земле он найдет последнее прибежище. На
земле Афин Эдип заканчивает свой жизненный путь. Оба его предсказания
сбываются.
Анализ146. Основу сюжета составляет возникновение и разрешение
противоречия, свойственного способности человека предвидеть свою
судьбу. Человеку только кажется, что он предвидит свою судьбу и
управляет ею. На самом деле его собственная судьба скрыта от него. Эдип не
смог, хотя и пытался, избежать ни одного из предсказанных ему роковых
действий — отцеубийства и женитьбы на матери. Только отказавшись от
своего зрения, а вместе с ним и от человеческой самонадеянности, Эдип
достигает высшего уровня познания — он начинает предвидеть свою
судьбу и судьбу других людей.
Пусть Э обозначает Эдипа, С — его судьбу, С/7(Э, С) — слепоту
Эдипа в отношении к своей судьбе, 3(С, Э) — зрячесть судьбы в
отношении Эдипа, СЛ(С, Э) — слепоту судьбы в отношении Эдипа, С/72 (Э, Э) —
прозрение (слепоту слепоты) Эдипа.
146
См. также: Голосовкер Я. Э. Логика мифа. М., 1987. - С. 53-54.

614
Начальная ситуация характеризуется пропорцией отношений
С/7(Э, С) : 3(С, Э), говорящей о невозможности обмануть судьбу, с одной
стороны, и слепоте человеческих усилий сделать это — с другой.
Противоречие достигает апогея в тот момент, когда Эдип в ходе расследования
узнает правду, и переходит в стадию разрешения, когда Эдип лишает себя
зрения. Отношение 3(С, Э) инвертируется в отношение С/7(С, Э), так как
Эдип прозревает и начинает предвидеть свою судьбу и судьбу других
людей. Синтез отношений С/7(Э, С) и С/7(С, Э) порождает отношение С/72
(Э, Э), которое буквально озна-чает прозрение Эдипа — уничтожение его
слепоты в отношении своей судьбы слепотой судьбы в отношении Эдипа.
Конечная ситуация характеризуется пропорцией отношений С/7(Э, С) :
С/72(Э, Э).
Структура мифа имеет следующий вид:
С/7(Э, С) : 3(С, Э) < С/7(Э, С) : С/72 (Э, Э).
Формула читается: слепота в отношении своей судьбы
компенсируется с выгодой для него слепотой судьбы в отношении Эдипа в результате
его прозрения.
Спиралевидный характер разрешения противоречия, как и в мифе о
Тиресии, проявляется в качественной трансформации понятий «видеть» и
«понимать». В начале мифа — это человеческая способность, в конце
мифа — божественная.
ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Проанализируйте следующие сказки Г. X. Андерсена: «Соловей»,
«Стойкий оловянный солдатик», «Сказка о гадком утенке», «Принцесса на
горошине».
2. Используя «Мифологический словарь» (М., 1991),
проанализируйте миф о Кассандре, о циклопе Полифеме, о грехопадении человека.
3. Попробуйте самостоятельно применить изложенную технику
анализа к другим литературным текстам — басням, рассказам, повестям,
романам.

615
ПРИЛОЖЕНИЕ.
РЕШЕНИЕ ТРЕХ КЛАССИЧЕСКИХ ПАРАДОКСОВ
Эти потрепанные и пустые парадоксы хороши лишь для
увеселения подвыпивших глупцов.
Шекспир. Отелло. Акт II. Сцена 1.
(Перевод В.А.Светлова)
В данном приложении содержится анализ и решение трех самых
известных классических логических парадоксов. Они были сформулированы
еще в античности разными авторами и с разными целями. Однако их
истинное значение превышает буквальное значение слова «парадокс».
Как известно, слово парадокс греческого происхождения {«para» - за
пределами, вне, против, «doxa» - мнение) и обозначает мысль,
выражающую истину, находящуюся за пределами обычного понимания, часто ему
противоположную. История познания свидетельствует, что именно такие
мысли становятся главными стимулами развития научного мышления в
новом направлении.
1. АХИЛЛЕС И ЧЕРЕПАХА
Зенон Элейский (V в. до н. э.) приводит четыре опровержения
движения, основанные на возможности бесконечной делимости пространства
и времен. Одно из этих опровержений {апорий - «безвыходное
положение») получило название «Ахиллес и черепаха». Лучший бегун Греции
Ахиллес никогда не сможет догнать черепаху после того, как она отползет
от линии старта на некоторое расстояние в направлении финиша, потому
что «преследующему необходимо прежде всего прийти в место, откуда
уже двинулось убегающее, так что более медленное всегда должно будет
на какое-то расстояние опережать преследующего»147.
Парадокс допускает две интерпретации. Во-первых, Зенон мог иметь
ввиду, что Ахиллес должен сначала преодолеть половину расстояния
между собой и уползающей черепахой, затем четверть оставшегося
расстояния, затем его восьмую часть и т. д. до бесконечности. Но если это так,
тогда, Ахиллес никогда не сможет догнать черепаху в конечное время.
Такое заключение является парадоксальным.
147 Аристотель. Сочинения. В 4-х т. Т. 3. М., 1981. -С. 199.

616
Во-вторых, Зенон мог иметь ввиду, что прежде чем Ахиллес
достигнет половины пути между собой и черепахой, он должен преодолеть его
четверть, а для этого он должен пробежать его восьмую часть и так далее
до бесконечности. Но если это так, тогда Ахиллес не сможет даже начать
движение в конечное время. Данное заключение, соответствующее апории
Зенона «Дихотомия», также парадоксально.
Обе интерпретации допускают обобщение: «Ни одно движение не
может быть закончено в конечное время» и «Ни одно движение не может
быть начато в конечное время». Нетрудно увидеть, что оба обобщения
эквивалентны. Если истинно первое, то всегда истинно второе; а если
истинно второе, то необходимо истинно и первое. Значит, каждая из
интерпретаций является необходимым следствием другой и они эквивалентны друг
другу.
Доказательство Зенона символизирует следующее умозаключение.
1. Движение либо возможно, либо невозможно.
2. Если движение возможно, тогда Ахиллес может
пробежать бесконечное число непрерывно
уменьшающихся отрезков за конечное время.
3. Ахиллес не может пробежать бесконечное число
непрерывно уменьшающихся отрезков за конечное A)
время, так как движение не может начаться или, что
то же самое, никогда не может закончиться в конеч-
ное время.
Значит, движение невозможно.
Умозаключение A) общезначимо, то есть заключение следует из
указанных посылок. Но оно противоречит обыденному и научному опыту.
Значит, причина парадокса в недостоверности по крайней мере одной из
его посылок. Первая посылка указывает альтернативы доказательства.
Список альтернатив удовлетворяет требованию полноты. Значит, первая
посылка истинна. Вторая посылка также истинна, так как при допущении
возможности движения предел суммы $A/2 + 1/4 + ... + 1/2"), где п —> оо и s
- конечное расстояние, равен s. Сомнение может вызывать только третья
посылка. Основные доводы против истинности этой посылки были
высказаны Аристотелем.
Согласно Аристотелю, «...ошибочно рассуждение Зенона, в котором
предполагается, что невозможно пройти бесконечное множество предме-

617
тов или коснуться каждого из них в конечное время»148, потому что
«бесконечного в количественном отношении нельзя коснуться в конечное
время, а бесконечного в отношении деления можно, так как само время беско-
149
нечно именно в таком смысле» . Делимость времени прямо
пропорциональна делимости расстояния. Это очевидно при рассмотрении
равномерного движения. Ведь в этом случае «все движение будет проделано во
столько разных промежутков времени, сколько таких частей (расстояния. -
В. С.) будет в целом» и, следовательно, «всякое тело, движущееся с равной
скоростью, необходимо проходит конечное расстояние в конечное вре-
мя»150.
Ложность третьей посылки разрушает доказательство Зенона, то есть
лишает умозаключение A) всякой логической силы. Следующая простая
модель позволяет предсказывать, когда именно Ахиллес догонит черепаху.
Пусть s обозначает расстояние, которое Ахиллесу необходимо
пробежать, чтобы догнать черепаху, t - время, которое ему необходимо на
это потратить. Из курса школьной физики известно, что они связаны
следующим уравнением:
v = slt\ B)
Допустим, скорость Ахиллеса равна vA = 10 м/с, скорость черепахи
v4 = 0,1 м/с; скорости обоих бегунов постоянны и Ахиллес стартует как
только она отползет на 99 метров. Значит, s0 = 99 м. При этих условиях
Ахиллес догонит черепаху ровно через 10 секунд.
Доказательство
h = so/vA.
S\ =V4th
h = Sj/vA =
tn =
Общее время Г, необходимое Ахиллесу, чтобы догнать черепаху,
равно сумме всех временных отрезков tn:
T=Z so/щ [уч/va + (v4/vAJ + (v4/vAK + ... ] C)
tn
148 Аристотель. Сочинения. В 4-х т. Т. 3. М., 1981. -С. 183.
149 Аристотель. Сочинения. В 4-х т. Т. 3. М., 1981. -С. 183.
150 Аристотель. Сочинения. В 4-х т. Т. 3. М., 1981. -С. 194.

618
= SO/VA [1 + Уц/Va + (V4/VAJ
= so/(vA - vA).
Откуда следует после подстановки начальных значений:
Т= 99 м/A0 м/с - 0,1 м/с) = 10 сек.
Значит, Ахиллес, бегущий с постоянной скоростью 10 м/с, догонит
черепаху, уползающую от него с постоянной скоростью 0, 1 м/с, ровно
через 10 секунд мосле того, как преодолеет 100 метров. Подставляя в C)
конкретные значения, получаем для первых трех отрезков времени:
Т= 9, 9 с [1+0,01 +0,0001]
= 9, 9 с + 0, 099 с + 0, 00099 с
= 9, 99999 сек.
Полученное значение является очень хорошим приближением к 10 с,
полученным ранее. Соответственно общее расстояние, которое Ахиллес
должен будет преодолеть в указанные временные интервалы, равно сумме
пространственных отрезков:
S = 99 м + 0, 99 м + 0, 0099 м
= 99, 9999 м,
что тоже является хорошим приближением к расчетному значению
100 м.
Итак, данный парадокс разрешается, только если деление
(прохождение) пространства обусловлено делимостью времени. Отношение
проходимого пространства к потраченному времени дает нам производную,
называемую скоростью.
2. ДВИЖЕТСЯ ЛИ ЛЕТЯЩАЯ СТРЕЛА
Другое не менее известное опровержение возможности движения
представляет апория Зенона «летящая стрела». «Если всегда - говорит он
(Зенон. - В. С) - всякое тело покоится, когда оно находится в равном себе
месте, а перемещающееся тело в момент "теперь" всегда находится в рав-

619
ном себе месте, то летящая стрела неподвижна»151. Содержание апории
выражает следующее умозаключение.
1. Движение либо возможно, либо невозможно.
2. В каждый момент времени «теперь» летящая стрела
занимает место, равное своей длине.
3. Если в каждый момент времени «теперь» полета
стрела занимает место, равное своей длине, она D)
покоится.
Значит, летящая стрела покоится, что абсурдно,
поэтому движение невозможно.
Заключение D) следует из приведенных посылок, но не доказывается
ими. Причина - ложность второй посылки.
Доказательство
Допустим, расстояние, которое пролетает стрела, равно 50 м, длина
стрелы / равна 1 м. Все расстояние s, пролетаемое стрелой, равно сумме
пятидесяти отрезков длиной 1 м: s = 50 /.
Вторая посылка утверждает, что на каждом отрезке полета Si (/ = 1, 2,
..., 50), равном собственной длине /, стрела покоится, то есть ее скорость
равна нулю, v = 0. Это равносильно утверждению истинности следующих
утверждений:
Если S] = /, то v = 0;
Если ^ = /, то v = 0;
Если S3 = /, то v = 0;
ЕСЛИ S50 = /, ТО V = 0.
Из условия второй посылки и начальных допущений следует, что
стрела движется и ее длина больше нуля. Значит, антецедент каждого
утверждения Зенона ложен, так как st• = I > 0 и tt > 0 для всех / для всех
рассматриваемых отрезков. Из этого следует, что каждый отрезок дистанции
полета st (i = 1, 2, ..., 50) включает не только длину стрелы, но и
расстояние, которое она преодолевает в соответствующий промежуток
времени. Это означает, что антецеденты зеноновских утверждений должны быть
модифицированы следующим образом.
151
Аристотель. Сочинения. В 4-х т. Т. 3. М., 1981. -С. 199.

620
S3 = I + S] + S2\
S5o = 1 + S} + S2+ ... + S48 + S49.
Допустим, скорость полета стрелы равна 10 м/с. Тогда стрела
пролетает расстояние, равное своей длине / = 1 м9 за 0, 1 с. Значит, вторая
посылка с учетом модифицированных антецедентов эквивалентна
конъюнкции следующих утверждений:
Если sj = /, то v = l/tj = 1 м /0, 1 с =10 м/с;
Если ^ = / + sj9 то v = (/ + si)lt2 = 2 м I 0, 2 с = 10 л*/с;
Если 1Sj = / + ^ + 52,TOv = (/ + ,Sy + я/УО = 3 л/ / 0, 3 с = 10 м/с;
Если S50 = / + 5/ + s2 + ... + 5^ + S49,
то v = (/ + sj + ^/ + ... + ?,ю + S49)lt50 = 50м / 5 с = 10м/с.
Из сказанного следует, что в каждый момент времени полета «s,- (/ = 1,
2, ..., 50) стрела действительно занимает место, равное своей длине, но так
как она движется с ненулевой скоростью, то пролетаемое ею расстояние
всегда больше ее длины. Приведенные расчеты не зависят от фактической
длины стрелы. Требуется только, чтобы она не была равна нулю.
Данный парадокс разрешается, только если принимается во
внимание, что каждое «здесь» летящей стрелы включает не только ее длину, но и
все расстояние, которое она преодолевает в рассматриваемый отрезок
времени «теперь». Движение как бы увеличивает место, занимаемой стрелой,
на величину, пропорциональную ее скорости. Поэтому нет никакого
противоречия в известном утверждении Гегеля, что «двигаться означает быть
в данном месте и в то же время не быть в нем, - следовательно,
находиться в обоих местах одновременно»152.
3. ПАРАДОКС ЛЖЕЦА
Парадокс лжеца известен как король логических парадоксов.
Популярный вариант парадокса таков. Допустим, некто говорит, что
он лжет. Что он утверждает на самом деле - истину или ложь? Если
допустить, что он говорит истину, тогда то, что он утверждает, истинно, и,
следовательно, он лжет. Если же он лжет, то, что он утверждает, ложно, и тем
152
Гегель Г. В. Ф.. Лекции по истории философии. Книга первая. СПб, 1993. - С. 282

621
самым он утверждает истину. Парадокс видят в том, что невозможно
однозначно определить значение истинности суждения «Я лгу».
Вернемся к понятию эквивалентного класса, введенному в п. 1.3.
Пусть выделенным свойством эквивалентного класса будет отношение
«быть своим собственным следствием». Тогда произвольные суждения А и
—А попадают в два (несовместимых) эквивалентных класса, такие что
каждое из них является собственным следствием только в своем классе (рис.
3; отношение несовместимости обозначено пунктирной линией).
Рис. 3
0
Согласно рис. 3 каждое из противоречащих друг другу суждений А и
является элементом только своего эквивалентного класса, совместимо
только с самим собой и только себе оказывает поддержку. Подобную
самореференцию можно назвать позитивной, сохраняющей истинность
суждения. Ее основным свойством является поддержка суждением самого
себя независимо от того, истинно оно или ложно.
Логическая структура суждения «Я лгу» совсем иная: «Из А следует
-лА и из —\А следует А». Если мы попытаемся определить, к какому из
эквивалентных классов на рис. 3 оно принадлежит, увидим, что оно
принадлежит обоим несовместимым классам одновременно (рис. 4; отношение
совместимости обозначено непрерывной упорядоченной линией).
-л
©
Рис.4

622
Суждение «Из А следует -лА и из -лА следует А» сложное и состоит
из двух простых — «Из -Л следует А» и «А следует -Л». Первое из них
эквивалентно суждению А, второе суждению —А. Следовательно,
суждение «Из А следует -лА и из —А следует А» принадлежит обоим
эквивалентным классам одновременно. Но это недопустимо, ибо эквивалентные
классы несовместимы друг с другом по определению. Возникает парадокс:
суждение является элементом двух несовместимых классов, что
категорически запрещается законами логики и математики.
Свойство принадлежать несовместимым классам присуще только
противоречивым суждениям вида «А и —А», то есть всем тем, которые
сами несовместимы со своей истинностью и со своей ложностью.
Было предложено бесчисленное множество решений парадокса
лжеца. Мы не будем их рассматривать, ибо для этого необходимо знакомство
со специальными разделами логики. Кроме того, особой необходимости в
этом и нет. Достаточно вспомнить параллели между логикой и теорией
множеств.
В теории множеств синонимом логического противоречия выступает
пустой класс, синонимом логической истины - универсальный класс. Еще
никто не пытался освободить теорию множеств от обоих понятий, ибо
означало бы разрушение теории множеств и всей математики. Но если это
так, тогда почему подобное допущение нельзя отстаивать и в логике?
Парадокс лжеца — синонимичная формулировка логического
противоречия. Если известны свойства логической лжи, то оказывается, что
никакого парадокса на самом деле нет. Соответственно отпадает
необходимость в поиске очередного хитроумного способа исключения логических
противоречий из наших рассуждений, ибо без них невозможны косвенные
доказательства. Своеобразие логической лжи в том, что она являются
подмножеством любого множества и тем самым всех эквивалентных
классов одновременно. Иными словами, логически ложные суждения не
образуют эквивалентного класса, они не являются дополнением
логических истинных и правдоподобных суждений. Но все это — не
парадоксальные, а необходимые свойства логической лжи.
Причина возникновения парадокса лжеца — в нарушении
субординации суждений разного логического вида. Напомним основные правила
иерархии суждений. Из логически ложных суждений следуют логически
ложные, правдоподобные и логически истинные суждения. Из
правдоподобных суждений следуют только правдоподобные и логически истинные
суждения. Из логически истинных суждений следуют только они сами. Все
обратные следования неверны. Соблюдение этих нехитрых правил
позволит избежать не только парадокса лжеца, но и любых других.

623
ЛИТЕРАТУРА
Аккоф Р. Искусство решения проблем. М., 1982.
Аристотель. Сочинения в 4-х томах. М., 1971—1983.
Аристотель. Риторика // Античные риторики. М., 1978. С. 15-164.
Арно А., Николь П. Логика, или Искусство мыслить. М.5 1991.
Асмус В. Ф. Логика. М, 1947.
Безменова Н.А. Очерки по теории и истории риторики. М., 1991.
Берн Э. Игры, в которые играют люди. Люди, которые играют в
игры. Л., 1988.
Боно Э. де. Рождение новое идеи. М., 1976.
Вентцель Е. С. Исследование операций. Задачи. Принципы.
Методология. М., 1980.
Вейтгеймер М. Продуктивное мышление. М., 1987.
Вильяме Дж. Д. Совершенный стратег, или Букварь по теории
стратегических игр. М., 1960.
Войшеилло Е. К. Понятие как форма мышления. М., 1989.
Войшвилло Е. К. Символическая логика: Классическая и релевантная.
М., 1989.
Гетманова А. Д. Логика. М., 1986.
Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. М., 1947.
Голосовкер Я. А. Логика мифа. М., 1987.
Горский Д. П. Логика. М, 1963.
Горский Д.П. Определение. М., 1974.
Гроссман И., Магнус В. Группы и их графы. М., 1971.
Грешилов А. А. Как принять наилучшее решение в реальных
условиях. М., 1991.
Древнекитайская философия. В 2-х томах. М., 1972-1973.
Дюбуа Ж, Эделин Ф., Клинкенберг Ж.-М., Мэнге Ф., Тринон А.
Общая риторика. М., 1986.
Ивин А. А. Искусство правильно мыслить. М, 1990.
ИвлевЮ. В. Логика. М., 1992.
Карнеги Д. Как завоевывать друзей и оказывать влияние на людей.
Как вырабатывать уверенность в себе и влиять на людей, выступая
публично. Как перестать беспокоиться и начать жить. Минск, 1990.
Кемени Дж., Снел Дж., Томпсон Дж. Введение в конечную
математику. М., 1962.
Кириллов В. И., Старченко А. А. Логика. М., 1987.
Клини С. Математическая логика. М., 1973.
Кондаков Н. И. Логический словарь-справочник. М., 1975.
Костюк В. Н. Элементы модальной логики. Киев, 1978.
Кошанский Н. Ф. Общая риторика. СПб., 1829.

624
Кэрролл Л. Символическая логика // История с узелками. М., 1973.
С. 189-361.
Кэрролл Л. Логическая игра. М., 1991.
Леви-Строс К. Структурная антропология. М., 1983.
Логика. Минск, 1974.
Льюис Р. Д., РайфаХ. Игры и решения. М., 1961.
Маранда П., Кенгас-Маранда Э. Структурные модели в фольклоре //
Зарубежные исследования по семиотике фольклора. М., 1985.
С. 194-260.
Мельников В. Н. Логические задачи. Киев; Одесса, 1989.
Меськов В. С, Карпинская О. Ю., Лященко О. В., Шрамко Я.В.
Логика: Наука и искусство. М., 1992.
Науман Э. Принять решение — но как? М., 1987.
Орлов И. Е. Логика естествознания. М.-Л., 1925.
Пиаже Жан. Избранные психологические труды. М, 1969.
Поварнин С. И. Искусство спора. Пг., 1923.
Пропп В. Я. Морфология сказки. М., 1969.
РайфаГ. Анализ решений. М., 1977.
СвинцовВ.К Логика. М., 1987.
Слупецкий Е., Борковский Л. Элементы математической логики
теории множеств. М., 1965.
Смаллиан Р. Как же называется эта книга? М., 1981.
Смаллиан Р. Принцесса или тигр? М., 1985.
Смаллиан Р. Алиса в стране смекалки. М., 1987.
Спиноза Б. Избранные произведения в 2-х томах. М., 1957.
Стяжкин Н. К Формирование математической логики. М., 1961.
Теория метафоры. М., 1990.
Уемов А. И. Задачи и упражнения по логике. М., 1961.
Уемов А. //. Основы практической логики с задачами и
упражнениями. Одесса. 1997.
Фестингер Л. Введение в теорию диссонанса // Философия. Логика.
Язык. М., 1987.-С. 18-47.
Формальная логика. Л., 1977.
Фреге Г. Логика и логическая семантика. Сборник трудов. М., 2000.
ХинтиккаЯ. Логико-эпистемологические исследования. М., 1980.
Хинтикка Я., Хинтикка М. Шерлок Холмс против современной
логики // Язык и моделирование социального взаимодействия. М., 1987. -С.
265-281.
Чернов Н., Мозес Л. Элементарная теория статистических решений.
М., 1962.
Черч А. Введение в математическую логику. Т. 1. М., 1960.

Издание напечатано по технологии
Print-on-Demand (печать по требованию)
в одном экземпляре, по индивидуальному заказу.

Светлов Виктор Александрович - профессор
Петербургского государственного университета
путей сообщения, доктор философских наук
Пособие подготовлено на основе авторских курсов по логике для
студентов и аспирантов естественнонаучного и гуманитарного
циклов. Рассчитано на углубленное изучение теоретических оснований
логики и возможностей ее практического применения для решения
многочисленных задач в области научного познания, анализа и
разрешения конфликтов, риторики и аргументации.
В пособии излагаются основы традиционной и символической
логики логики высказываний и предикатов. Логика рассматривается как
органон решения насущных проблем познания, поведения и
общения. Такой подход продолжает традицию включения логики в общую
исследовательскую и педагогическую парадигму научного знания ,
восходящую к Аристотелю, и полностью соответствует современным
тенденциям по исследованию искусственного интеллекта. Содержит
большое число примеров из научной и художественной литературы.
Предназначено для студентов, аспирантов, преподавателей, а также
всех, кто самостоятельно изучает логику и ее приложения.
Мы ищем авторов! Nobelpress.ru
Телефон +7 D95) 221-89-80
E-mail: author@nobelpress.ru