ГЕОМ ЕТРИЯ
ГЕОМЕТРИЯ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
ДЛЯ 8 КЛАССА
СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Под редакцией
А. Н. Колмогорова
Утверждено
Министерством
просвещения СССР
ИЗДАНИЕ 4-е
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1976
513(075)
Г35
A. H. КОЛМОГОРОВ, А. Ф. СЕМЕНОВИЧ
В. А. ГУСЕВ, Р. С. ЧЕРКАСОВ
и 60601— П8
Г 103(03)-76,тф- ПЯСЬМ°
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава VII. Повороты и тригонометрические функции
98.	Как задавать повороты? ............................. Б
99.	Композиция поворотов с общим	центром ...... 8
100.	Некоторые повороты и осевые симметрии на координатной
плоскости .............................................. 10
101.	Синус и косинус ................................... 12
102.	Некоторые тождества для функций sin а и cos а ..... 16
103.	Таблицы синусов н косинусов	..........18
104.	Координаты вектора .................................20
105.	Тангенс ........................................... 22
106.	Соотношения между сторонами и углами прямоугольного тре-
угольника .............................................. 23
Глава VIII. Метрические соотношения в треугольнике
107.	Теорема косинусов	......................... 28
108.	Формулы для вычисления площадей треугольников ...	31
109.	Теорема синусов	......................... 33
110.	Решение треугольников ............................. 34
Задачи на повторение к	главам VII—VIII ................  37
Глава IX. Вписанные и описанные многоугольники
§ 1. Вписанные и описанные треугольники .................... 39
111.	Вписанный угол ..................................... —
112.	Вписанные и описанные треугольники................. 41
§ 2. Вписанные и описанные четырехугольники ................ 44
113.	Вписанные четырехугольники.......................... —
114.	Описанные Четырехугольники......................... 46
$ 3. Правильные многоугольники .................	43
115.	Построение правильных многоугольников .............. —
116.	Выражение сторон правильных	многоугольников через радиус
описанной окружности ............................... 51
117.	Площадь правильного многоугольника ................ 53
§ 4. Длина окружности и площадь круга .............	54
118.	Длина окружности ................................... —
119.	Площадь круга ..................................... 55
Задачи на повторение к главе IX......................... 57
3
Глава X. Начальные сведения из стереометрии
S 1. Взаимное положение точек, прямых и плоскостей в пространстве .	69
120.	Основные свойства прямых н плоскостей .................. —
121.	Взаимное расположение прямых. Взаимное расположение
плоскостей ................................................. 61
122.	Взаимное расположение прямой и плоскости. Перпендикуляр
к плоскости ................................................ 63
123.	Ортогональное проектирование .......................... 68
§ 2. Площади поверхностей и объемы некоторых тел ................ 68
124.	Прямая призма .......................................    —
12S.	Общие свойства объемов ................................ 72
126.	Пирамиды ............................................   74
127.	Цилиндр................................................ 77
128.	Конус ................................................. 79
129.	Шар.................................................... 81
Зада	чи на повторение к главе X ........................... 83
Глава XI. Логическое строение геометрии
§ 1.	Система аксиом планиметрии ................................. 87
130.	Введение ............................................... —
131.	Аксиомы принадлежности................................. 88
132.	Аксиомы расстояния	  89
133.	Аксиомы порядка ....................................... 90
134.	Аксиома подвижности плоскости.......................... 92
135.	Аксиома параллельных.................................... —
§ 2.	Логический анализ системы аксиом ........................... 93
136.	Отсутствие противоречий ................................ —
137.	Независимость аксиом .................................. 95
138.	Заключение ............................................ 96
Задачи на повторение по курсу VI—VIII классов ...............98
Ответы и указания...........................................103
Главе VII.
ПОВОРОТЫ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
98.	Как задавать повороты!
Из курса геометрии VI и VII классов мы уже знаем, что
поворот определяется заданием:
а)	его центра О,
б)	угла поворота а,
в)	направления поворота.
Угол поворота а при этом считается заключенным в пре-
делах
Поворот на 0° — это тождественное отображение плоскости:
Е (X) = X.
Для любого центра О повороты на 180° в обоих направле-
ниях совпадают и являются центральной симметрией (отно-
сительно центра поворота О).
Мы познакомимся теперь с другой системой задания по-
воротов, преимущества которой выясняются постепенно.
Выберем какое-либо направление поворота в качестве
положительного, а противоположное будем считать отрица-
тельным. Положительным обычно считают направление пово-
рота против часовой стрелки. Например, поворот на 709
против часовой стрелки будем называть просто поворотом
на 70°, поворот же на 70° по часовой стрелке — поворотом
на минус 70° (рис. 1). При таком соглашении поворот пол-
ностью определяется заданием:
а)	его центра О,	/
б)	угла поворота а.	/
Угол поворота теперь считается на- /
правленной величиной, числовое значе- /\709
ние которой может быть как положи- о ( )	—
тельным, так и отрицательным. Пово-
рот с центром О на угол а обозначается
Ro. Например, повороты, указанные
стрелками на рисунке 1, обозначаются
-70'
Рис. 1
------------------Итак, любой поворот может быть
ys”"_____х задан указанием его- центра и угла по-
/	\ в ворота а, лежащего в пределах
[	\	—180’ < а < 180°.	(1)
I \ТЮ° <с\~90л I Удобно, однако, рассматривать и
I	I (Л\л I повороты на углы, не лежащие в ука-
\	X.	/	занных пределах (1). Например, рису-
\	нок 2 поясняет, почему поворот на
-/*1	—90° совпадает с поворотом на +270°:
Д+27О° = Д-К)°	(2)
Рис. 2	„
Поворот мы представляем теперь
как результат вращения. Чтобы на-
глядно представить себе вращение, положите на лист бу-
маги лист кальки и приколите оба листа булавкой в не-
которой точке О. На листе бумаги заранее нарисуйте
те или иные фигуры. Скопируйте эти фигуры на кальку и
после этого вращайте кальку вокруг точки О. Точка О будет
оставаться неподвижной, любая же другая отмеченная на
кальке точка X будет двигаться по окружности. Если вна-
чале она занимала на плоскости положение Хо, то после
вращения на 270° против часовой стрелки она займет поло-
жение Хх (рис. 2). Тот же результат получится и при вра-
щении по часовой стрелке на 90°. Поэтому мы и считаем,
что записи 7?270° и R~ei>Q являются просто разными обозна-
чениями одного и того же поворота. Тот же поворот можно
получить при помощи вращения бесконечным числом спосо-
бов. В самом деле, в результате вращения на 360° по часо-
вой стрелке (или против часовой стрелки) все нанесенные
на кальку точки возвращаются на прежние места, поэтому
поворот можно получить в результате вращения на
следующие углы: —90°; —90° + 360° = 27©°; — 90°+360°-2 =
= 630°; ... —90°—360° =—450°; —90° —360° • 2 = —810° ...
Вообще, поворот Ra получается не только вращением на
угол а, но и на угол
а + 360° • в,
где п — любое целое число.
Итак, если Р =а+360°-л, где л—целое, и —180°^а	180°,
то поворотом на угол р называется поворот -R“. (Поворо-
ты на угол а, лежащие в пределах (1), были определены
ранее.)
* Рассматривая повороты с каким-либо одним заданным центром, мы
пишем вместо Aq просто Ra, опуская букву О.
С
Например:
Д1200’ _ Д120° +360° 3 _ Д120» .
Д720° _ Д360».2_ Д9» _ £.
Д-1200» _ Д-120» — 8ОТ°.3 _ Д-120»
Рассматривая выше конкретные примеры поворотов на определенный
угол, мы рассуждали так, как это принято в физике при изучении враща-
тельного движения. В курсе геометрии мы не исследуем движения (про-
цесса, протекающего во времени), а интересуемся только перемещениями.
Но использованные нами представления из области кинематики (раздел
мекашжи, занимающийся описанием различных видов движения) помогают
понять определение и свойства поворотов.
Вопросы и задачи
1.	При выполнении каких условий говорят, что «поворот
задан»?
2.	Пр а к тиче ска я р а б о т а. Отметьте на листе бумаги
центр поворота О и некоторую точку М.
Найдите образ точки М при поворотах на следующие углы:
а) 35°; б) 70°; в) 125°; г) 160°; д) 145°; е) 110°.
3.	В одном и том же или различных направлениях представ-
ляется направление вращения колес движущегося вело-
сипеда двум наблюдателям, стоящим по разные стороны
от этого велосипеда?
4.	На рисунке 3 стрелкой показано направление вращения
одной из шестерен. Какие из указанных шестерен будут
при этом вращаться в положительном и какие в отрица-
тельном направлениях?
5.	а) При повороте около центра О на 40° точка М отобра-
жается на точку Mi. Укажите, при каких других значе-
ниях углов поворота точка М будет отображаться на
эту же точку Mr.	>
б)	При повороте около центра Она —130° точка М отобра-
жается на точку Мг. Укажите, при каких других значе-
ниях углов поворота точка М будет отображаться на эту
же точку Мг.
6.	Будут ли повороты Б180° и Б-1800 различны? Как по-дру-
гому называются эти перемещения?
7.	Запишите с использова-
нием обозначения Б“
(где —180° <а <180°) по-
вороты на угол: а) 660°;
б) —270°; в) — 1000°;
г) 890°; д) 720°.
8.	При каких значениях чис-
ла k будет справедлива
следующая запись:
= дР+360°-А.?
7
180°
Рис. 4
99. Композиция поворотов с общим
центром
Рассмотрим повороты Л20” и Л8®0 с
общим центром О, В результате их по*
следовательного выполнения получится
поворот вокруг того же центра О на
50°. Например, точка X (рис. 4, а) при
повороте /?20° отобразится на точку У,
а второй поворот 7?3|)О отобразит точку
У на точку Z\
У = Л20’ (X); Z = Д3°° (У).
Значит,
Я30° (Я200 (X)) == R5a° (X).
Напомним, что результат последова-
тельного выполнения двух отображений
f и q обозначается qof и называется
композицией отображений f и q (пункт
77). В нашем примере композиция по*
воротов 7?2|,° и R33° оказалась поворо-
том Л60’ :
ДЭО» о Д20» _ Д50» ##
Вообще, при любых углах поворота
аир справедливо равенство:
, .X о Ra = Я“+р.	(1)
Полное доказательство формулы (1)
требовало бы разбора ряда частных
случаев. Ограничимся примерами
(рис. 4, б, в, г):
Д120" о Д120®	= Д240» = Д-120’ (рис. 4> g).
Д180« о Д180» = ДЗОО’ _ ДО» __ Д (рис# 4>в).
Д-вО’ о Д120’ =Дво» (рис> 4> г)ф
Так как всегда
а + Р = Р + а,
то
R^ о Ra = /?а+₽= /?Р+“ = А“оЛ\
т. е. композиция поворотов с общим цент-
ром переместительна:
Яро Ra = RaoR\
* Запись композиции поворотов с общим
центром R® ORa может быть и такой: (Н“(Х)),
где X — произвольная точка плоскости.
8
X
X X
X
В случае различных центров это не так. Например, при композиции
двух центральных симметрий
_ р180°	7	_ „180°
^01 ~ -“о, ’ ZO, — ло,
с центрами Oi и О2 получаются параллельные переносы (векторы):
ZO1 ° 2О. = 2О1РЯ и ZOi о %ог = 2O2Oi
(попробуйте доказать самостоятельно (рис. 5)).
Примечание. Говоря о поворотах на угол в 500° или
—500°, мы не связываем со словом «угол» представление
о геометрической фигуре. Мы говорим здесь об угловых ве-
личинах в новом обобщенном понимании. В кинематике они
полезны при изучении вращательного движения.
В геометрии только введение таких обобщенных угловых величин по-
зволяет без всяких ограничений пользоваться формулой (1) для композиции
поворотов с общим центром.
Укажем различные случаи употребления угловых величин:
1)	величина а угла (геометрической фигуры) лежит в
пределах
0° < а < 360°;
2)	угол между двумя лучами и угол между двумя направ-
лениями лежит в пределах
0° < а < 180°;
3)	угол между двумя прямыми лежит в пределах
0° < а < 90°;
4)	вращательное движение характеризуется любыми
углами
— оо <а < 4* оо;
5)	при задании поворотов тоже пользуются любыми углами
—оо < а < +<эо,
хотя любой поворот можно охарактеризовать углом, лежа-
щим в пределах —180° < а 180°.
9
Вопросы и задачи
1.	Каким одним поворотом на угол а, где —180° а 180°,
можно заменить два последовательных поворота: а) на
25° и —60°; б) на —35° и 180°; в) на 70° и 20°; г) на
245° и 135°; д) на —170° и —20°? Запишите результаты
в принятых обозначениях.
2.	При каких значениях к верно равенство
В® о К» = да + Р + Л • Зв»»
(каковы бы ни были а и (3)?
3.	Найдите значение ос, если:
а) К70° о Ra = Б30’ ;	б) В70’ о R~a = В“ ;
в) К70° о	= К70’ ;	г) К70° о Ra = Е.
4.	Найдите поворот, для которого при всехХКа (Яа(Х)) = Х
(короче: Rao Ra = Е). Сколько различных решений имеет
задача?
5*. Сколько существует различных поворотов (при заданном
общем центре), для которых Rao Rao Rn = ЕЧ
6*. Исследуйте, обладает ли композиция поворотов с общим
центром свойством сочетательности.
7.	а) Композиция каких трех поворотов на один и тот же
угол дает поворот на 90°?
б) Композиция каких двух поворотов на один и тот же
угол дает поворот на 180°?
8*. Как с помощью поворотов на 19° получить поворот:
а) на 10°? б) на 20°?
9*. Точки Ох и О2 являются (соответственно) серединами
сторон АВ и АС треугольника АВС.
1)	Постройте образы точки А при выполнении отобра-
жений: a) ZOi о Z01; б) Zot о ZOl.
2)	Докажите, что: a) Z0loZot = СВ\ 6)Z01o ZOt = ВС.
10*. Докажите, что композиция двух осевых симметрий от-
носительно двух пересекающихся прямых дает поворот
с центром в точке пересечения осей. При каком условии
этот поворот будет центральной симметрией?
100. Некоторые повороты и осевые симметрии
на координатной плоскости
Пусть на плоскости дана прямоугольная система коорди-
нат хОу*.
Мы познакомимся с координатной записью некоторых
перемещений.	.
1)	При осевой симметрии относительно оси Оу точка
* В дальнейшем, говоря о системе координат, мы будем иметь в виду
прямоугольную систему.
10
р (х, у) отображается НА точку Р* с
координатами:
х' = —х;
У' = У (рис. 6).
2)	При осевой симметрии относи-
тельно оси Ох точка Р (х, у) отоб-
ражается на точку Р' с координатами!
х' = х;
У' = —У (рис. 7).
3)	При повороте на 90° вокруг на-
чала координат ось Ох отображается
на ось Оу так, что положительное на-
правление переходит в положительное,
а ось Оу отображается на ось Ох так,
что положительное направление пере-
ходит в отрицательное. Поэтому Р(х, у)
отображается иа точку Р' (рис. 8) с
координатами:
х' = —у,
У' = х.
4)	При центральной симметрии Zo =
— R о° каждая из осей координат ото-
бражается иа себя, ио так, что поло-
жительное направление оси пере-
ходит в отрицательное и наоборот:
отрицательное в положительное. По-
этому (рис. 9) точка Р (х, у) отобража-
ется на точку Р' с координатами:
х' = — х;
У' = -у-
Сведем полученные результаты в таб-
лицу:
Рис. 9
Soy	Sox	.«о ло	__	_1МО Zo=Ro
х' = —X	х' = X	*' =— У	Х' =~ —X
У' = У	у' = — V	у’ =Х	/ = — У
11
Вопросы и задачи
1.	На координатной плоскости дана точка А (3, 4). Укажите
координаты точкиАц если: а) Ах = Soy (А); б) Al=Sox (А);
в) Аг = ДГ (А); г) Ах = ЯГ (А).
2.	На плоскости дана система координат хОу. а) На какие
прямые отобразятся оси Ох и Оу при повороте систе-
мы координат около точки О на —90°? б) Каково будет
направление осей координат после поворота?
3.	В системе координат хОу дана точка М с координатами х
му. Каковы будут координаты точки Mv если известно, что:
а) Мх = Л90’ (М); б) Мх = Д-вз°(М); в) М1=Д-180° (М);
г) Mi = SOx (М); д) Mi = Soy (М); е) Мх =SOy (SOx (М));
ж) Mi = Л18о°	(М)У,	з) Mi = Sox(SoHM));
и) Mi = Ц-*°° (Л18э° (М));	к) Mi = Л180° (Л18о° (М))?
4.	В системе координат хОу дана точка Р с координатами
х, у. Какие значения может принимать координата х
(координата у) при повороте точки Р около точки О на
угол от 0° до 90°, если | OP | = 1 см? Будет ли изменяться
при таком повороте сумма координат точки Р? Сумма
квадратов координат точки Р? (Ответ пояснить.)
101. Синус и косинус
Рис. ю
Рве. 11
Из курса алгебры нам известно урав-
нение окружности радиуса г с центром
в начале прямоугольной системы коор-
динат (рис. 10):
х3 + у3 = г2.	(1)
Уравнению (1) удовлетворяют коор-
динаты любой точки данной окружности.
Если же точка не принадлежит этой
окружности, то ее координаты не удовле-
творяют уравнению.
Рассмотрим окружность с центром в
начале координат и радиусом, равным 1.
Будем такую окружность называть
единичной окружностью (рис. 11). Ее урав-
нение
х3 + у3 = 1.
Обозначим через Ро точку с координа-
тами (1, 0) (рис. 12). Поворот Я® на угол
а вокруг начала координат отображает
точку Ро на точку
Ра = Я* (Л).
которая, как и точка Ро, лежит на еди-
12
вичной окружности (рве. 12). Координаты
ха я Уа точки Ра имеют специальные на-
звания (рве. 13): ордината точки Ра
называется синусом угла а, абсцисса
точки Ра называется косинусом угла а,
т. е. ха = cos а, уа = gin а. Любому углу
поворота а будет соответствовать одна
вполне определенная точка Ра.
sin а и cos а являютсяфункциями угла а.
Чтобы наглядно представить себе по-
ведение функций sin а и cos а при измене-
нии угла а, выберем какой-либо масштаб
изображения величин углов отрезками
прямой. На рис. 14 и 15 один милли-
метр соответствует 5°. Построение графи-
ков функций sin а и cos а в пределах
—180°180° ясно из этих рисунков*.
* Обратите внимание на то, что на рисунке 15
ось Ох направлена вертикально вверх, а ось Оу —
горизонтально влево. Объясните сами, почему это
обеспечивает некоторые удобства построения.
13
Задание. Постройте графики sin а и соэ а в большем
масштабе и по большему числу точек (например, с шагом
в 15°).
Мы знаем, что при любом целом п поворот на угол
Р=а+36О°-л совпадает с поворотом на угол а. Поэтому при
любом целом п
-Pa-f-360’n = Pat
^а+ЗОО’-п =	Уа4-Зб0’-п = У а »
т. е.
sin (а + 360° • л) = sin а;
cos (а + 360° • л) = cos а.
Любой угол Р можно представить в виде
р = а + 360° • л,
где л — целое число, а а находится в пределах —180°	^180°.
Поэтому достаточно изучить поведение функций sin а и
cos а на отрезке [—180°, 180°] оси а.
Равенства (1) обозначают, что функции sin а и cos а периодические с
«периодом* 360Q. Подробнее вы займетесь свойствами периодичности триго-
нометрических функций в IX классе. Но отметим здесь, что наличие у
синуса и косинуса периода в 360’ позволяет без большого труда предста-
вить себе, как выглядят графики этих функций и за пределами отрезка
[—180°, 180°]. Это показано на рисунках 16 и 17.
14
Вопросы и задачи
1.	Постройте окружность, уравнение которой х2 4- у* = 4.
Запишите координаты нескольких точек, лежащих на
этой окружности.
2.	На окружности, уравнение которой х2 + у2 = 1, дана
точка М с координатами (0,8; 0,6). Какие координаты
будет иметь точка, симметричная точке М относительно:
а) начала координат; б) оси Оу; в) оси Ох?
3.	На окружности, уравнение которой х2 + у2 = 1, дана точ-
ка М с координатами (хх, yj. Постройте эту окружность
и укажите возможное положение точки М, если известно,
что:
а) | хх| = 0,5; б) | ух| = 0,5; в) хх = 0,3; г) ух = 0,3;
Д) = УГ. е) хх = — ух.
4.	Какие координаты имеют точки единичной окружности:
а) Р9о»; б) Pi8o°; в) Р-м’5 г) P_i8o°; Д) Рг7о°» е) Р-27ос?
5.	Чему равны синус и косинус следующих углов: 90°;
180°; —90°; —180°; 270°; —270°?
6.	Найдется ли такой угол а, для которого: a) sin а — 0;
б)	sina = —1; B)sina =——; г) sin а= —; д) sin а =— —;
6	2	6
е) sin а = —2?
7.	Определите знаки значений функции sin а для следую-
щих углов: а) 122°; б) 90° 30'; в) —103°; г) 270°; д) 450°;
е) —725°; ж) 1100°.
8.	На миллиметровой бумаге постройте окружность еди-
ничного радиуса, отметьте на ней точки Pjq«; Р^; Рее;
Рво”. Найдите значения sin 20°; sin 45°; sin 60°; sin 80°.
Указание. При построении указанных точек восполь-
зоваться транспортиром.
9.	Запишите в порядке возрастания значений: sin 20°;
sin 45°; sin 90°; sin 30°; sin 60°; sin 70°.
10.	Найдется ли такой угол а, для которого:
2
а) cos a = —1;	б) cos a = 0; в) cos a = —;
3
г) cos a = —i;	д) cos a = e) cos a = —2?
11.	Определите знаки значений косинуса следующих углов:
а) 170°; б) —91°; в) 0°20'; г) 290°; д) —640°; е) 530°;
ж) 3660°.
12.	На миллиметровой бумаге постройте окружность еди-
ничного радиуса, отметьте на ней точки Рго»; Р««; Рбо’5
Рво° и найдите значения cos 20°; cos 45°; cos 60°; cos 80°.
13.	Запишите в порядке возрастания значений: cos 20°;
cos 45°; cos 90°; cos 30°; cos 60°; cos 70°.
16
102. Некоторые тождества для функций sin а и cos а
Так как точка Ра лежит на единичной окружности, то
при любом а
= 1.	Ю
т. е.
sin2 а + cos2 а = 1.	(2)
Далее нам понадобятся такие тождества:
sin (180° — а) = sin а;
cos (180° — а) = —cos а.
sin (—а) = —sin а;
cos (—а) = cos а.
sin (90° + а) = cos а;
cos (90° + а) = —sin а.
Чтобы установить равенства (3), заметим, что точка
Р|80»_а получается из точки Ра при симметрии относительно
оси Оу (рис. 18, а). Поэтому координаты точки P^q..^ равны:
JT180’-а = Va= sin
''180°—а = -Ха = ~C0S “•
а это значит, что
sin (180° — а) = sin а; cos (180° — а) = —cos а.
Для вывода равенств (4) заметим, что точки Ра и Р_я
симметричны относительно оси Ох (рис. 18, б). Поэтому:
sin (—а) = у_а= — уа = —sin а;
cos (—а) = х_а = хя = cos а.
Рис. 18
16
Вывод равенств (5) (рис. 18, в) основан на том, что при
повороте на 90° точка Ра отображается на точку -Р90»_|_а:
поэтому
sin (90° + а) = у^0+а = ха = cos а;
cos (90° + а) = х90„+а = —уа = —sin а.
П римечание. Из первой формулы (5) вытекает, что
график sin а отличается от графика cos а только тем, что
он сдвинут вдоль оси Ох влево на расстояние, соответ-
ствующее углу 90° (рис. 19).
Вопросы и задачи
2.
Вычислите значение cos а, если дано значение sin а;
a)	sin а = 0,6, 0°<а<90°; г) sina=l, 90°<а<180;
б)	sin а = 0,96, 90°<а<180°; д) sin а=^у-, 0° <а <180°.
в)	sin а = 0,8, 0° <а <90°;
Вычислите значение sin а, если дано значение cos а:
3.
. 1
a) cos a = —,
3
б) cos a = —0,5,
в) cos a = 0,6,
0° <a < 90°; г) cos a = — -, 90° <a < 180°;
3
90° <a < 180°; д) cos a=ly-, 0° <a < 180°.
0°<a<90°;
Упростите следующие выражения:
а) 1 —cos2 a; 6) sin2 a —1; в) _С0Е1?_ • r) sin a(l—cos2a);
1— sinaa
4.
д) sin2 a + cos2 a — 1; e) 2 sin2 a + cos2 a — 1;
ж) 2 — sin2 a — cos2 a.
Выразите следующие тригонометрические функции через
тригонометрические функции положительных углов, мень-
ших 90°:
а) sin 100°; б) sin 160°; в) cos 110°; г) cos 170°; д)бт95°16';
е) sin 103°45'; ж) cos 124°15'; з) cos 165°35'.
17
5. Выразите следующие тригонометрические функции через)
тригонометрические функции положительных углов,
меньших 90°:
a) sin (—70°); б) cos(—70°); в) sin(—20°); г) cos (—20°);
д) sin (—45°); е) cos (—45°).
6. Докажите, что: a) sin (а + 180°) = —sin а;
б) cos (а 180°) = —cos а.
103. Таблицы синусов и косинусов
Значения синусов и косинусов углов а в пределах
0° а 90° находят по таблицам. В школе употребляются
«Четырехзначные математические таблицы» В. М. Врадиса.
Рассмотрим примеры нахождения значений синуса и ко-
синуса по их аргументам, используя только несколько
строк указанных таблиц.
Синусы															
А	О'	6'	12'	18'	24'	30'	36'	42'	48'	54'	60'		1'	2'	S'
70° 71° 72° 73° 74°	0,9397 9455 9511 9563 9613	9403 9461 9516 9568 9617	9409 9466 9521 9573 9622	9415 9472 9527 9578 9627	9421 9478 9532 9583 9632	9426 9483 9537 9588 9636	9432 9489 9542 9593 9641	9438 9494 9548 9598 9646	9444 9500 9553 9603 9650	9449 9505 9558 9608 9655	0,9455 9511 9563 9613 9659	19° 18° 17° 16° 15°	1 1 1 1 1	2 2 2 2 2	3 3 3 2 2
	6(У	54'	48'	42'	36'	30'	24'	18'	12'	6'	О'	А	1'	2'	У
Косинусы															
Пример 1. Найдите sin 70°36'.
Находим число градусов в крайнем левом столбце таб-
лицы, число минут — в верхней части таблицы. На пересе-
чении соответствующей строки и столбца находим искомое
число sin 70°36' = 0,9432.
Пример 2. Найдите sin 74°55'.
В таблице находим синус угла, ближайшего к данному:
sin 74°54' = 0,9655. Затем в столбцах поправок (в правой сто-
роне таблицы) находим поправку на 1'. Эта поправка равна
0,0001. Учитывая, что при возрастании угла от 0° до 90°
синус также возрастает, найденную поправку прибавляем.
Таким образом, имеем:
sin 74°55' = 0,9655 + 0,0001 = 0,9656.
18
Пример 3. Найдите cos 16°12'.
Число градусов ищем в правой стороне таблицы
(в столбце А), число минут — в нижней части таблицы. На
пересечении соответствующих строки и столбца находим
искомое число: cos 16°12' = 0,9603.
Пример 4. Найдите cos 18°50'.
По таблицам находим значение косинуса угла, ближай-
шего к данному: cos 18°48' = 0,9466. В столбце поправок на-
ходим поправку на 2'. Эта поправка равна 0,0002. Учиты-
вая, что при возрастании аргумента от 0° до 90° значения
косинуса убывают, найденную поправку надо вычесть. Таким
образом, имеем:
cos 18°50' = 0,9464.
По этим же таблицам можно решать и задачи, обратные
рассмотренным: по данным значениям синуса и косинуса
неизвестного угла находить этот угол.
В таблице вы видите, что
sin 71° = cos 19°, sin 72° = cos 18°.
Это не случайно. Мы докажем сейчас тождества:
sin (90° — а) = cos а;	,г->
cos (90° — а) = sin а.	' f
Доказательство основано на тождествах (4) и (5) предыду-
щего пункта:
sin (90° — а) = sin (90° +(—a))=cos (—a)=cos а;
cos (90° — а) = cos (90° + (—а)) = —sin (—а) = sin а.
Тождества (6) и дают возможность построить одну общую
таблицу для синусов и косинусов.
По таблицам можно найти (за небольшим исключением)
тодько приближенные значения синуса и косинуса. Вот не-
которые углы, для которых имеются простые точные выра-
жения их синусов и косинусов.
	а°	зг	45*	66"	90°
sina	•	£ 2	ЕЕ 2	ЕЕ 2	1
cos a	i	ЕЕ 2	ЕЕ 2	1 2	0
Формулы (3), (4), (5) из пункта 102 позволяют свести
отыскание синуса и косинуса любого угла к нахождению
синуса и косинуса угла, лежащего в пределах от 0° до 90°.
19
Примеры.
1)	sin (—72°) = —sin 72° = —0,9511.
2)	cos (—108°) = cos 108°=cos (90° +18°)=— sinl8°=—0,3090.
3)	sin 430° = sin (360° + 70°) = sin 70° = 0,9397.
4)	cos 550° = cos (2 • 360° — 170°) = cos (—170°) =
= cos (180° — 10°) = —cos 10° = —0,9848.
Вопросы и задачи
1. Найдите по таблицам значения синусов и косинусов слё-
дующих углов:
а) 40°; б) 14°36'; в) 25°54'; г) 40°56'; д) 80°03'; е) 89°50';
ж) 0°54'; з) 105°; и) 160°; к) 170°; л) —40°; м) —110°;
н) —1000°; о) 1100°.
2. Найдите по таблицам значения острых углов, соответ-
ствующих данным значениям синуса и косинуса этих
углов:
a) sin х = 0,0175; б) sin х = 0,5015; в) sin х = 0,5814;
г) cos х = 0,0670; д) cos х = 0,5673; е) cos х = 0,9047.
104. Координаты вектора
На координатной плоскости будем откладывать векторы
от начала координат:
а = ОА.
Каждому вектору будет соответствовать вполне опреде-
ленная точка А, каждой точке А плоскости — вполне опре-
деленный вектор а = ОА. Точку А будем называть концом
  ►
вектора ОА (рис. 20). Координатами вектора называются
координаты его конца (рис. 21), которые будем обозначать
х-. и у-.,
о а
>
Координаты нулевого вектора 0 = ОО равны
20
Если вектор а = О А ненулевой, то он имеет определенное
 ►
направление. Направление вектора О А — это не что иное,
как направление, заданное лучом ОА. Этот луч можно по-
лучить поворотом Ra из луча Ох (положительного луча оси
абсцисс) (рис. 21).
Если ограничить угол а условиями
—180° < а < 180°,
*"
то угол а определяется по вектору а = О А однозначно*.
Говорят, что вектор а образует угол а с положительным
направлением оси абсцисс. Ненулевой вектор полностью
определяется заданием его длины | а | и угла а, который он
образует с положительным направлением оси абсцисс.
Вектор единичной длины называется единичным вектором.
Конец единичного вектора лежит на единичной -окружности.
Поэтому единичный вектор, образующий с положительным
направлением оси абсцисс угол а, записывается в виде
е J = ОРа.
Его координаты равны
х->- = cos а; = sin ос.
е	е
Возьмем единичный вектор 9 того же направления, что и
вектор а.
При любом угле а отношения —и —будут равны. Ра-
|а|	1е|
венство абсолютных величин этих отношений следует из
подобия треугольников OAN и OEM (рис. 22). Знаки орди-
нат у~ и у-> одинаковы.
а 8
Но
у- = sin ос; 1 е | = 1. д е Значит, sin а =	, 1°1 откуда у- = | а | sin а.	(1) а Аналогично получаем: ха _ х7 	 1<Г| 1е| * Обратите внимание, что слева мы поставили знак строгого неравенства.	У А а 1 0	М ' N X Рис. 22
21
Равенство абсолютных величин этих
отношений следует из подобия тре-
угольников О AN и OEM (рис. 23).
Знаки абсцисс х-> и одинаковы.
а	е
Значит,
Хд _ cos а
|а|	|е|
Отсюда
х-, = | а | cos ct.
Итак, вектор а, образующий
лением оси абсцисс угол а, имеет
с положительным наира в-
координаты
= | а | cos а;
а
Вопросы и задачи
у- = | а | sin а.
1.	Изобразите на координатной плоскости вектор, коорди-
наты которого:
а) (1, 0);	б) (0, 1);	в) (-1, 0);
г) (-1, 1);	д) (1, -1);	е) (1, 1).
Какова величина угла, образованного этим вектором
с положительным направлением оси Ох?
2.	Изобразите вектор, имеющий координаты:
а) °); б) (0, б); в) (2, ~2); г) (-3, ~2)-
3.	Найдите значения тригонометрических функций углов а,
образованных вектором с положительным направлением
оси Ох, если даны координаты этого вектора:
а) (-1, 1); б) (2, 0); в) (—1,
г) (-2, -3); д) (3, -1).
105. Тангенс
Отношение —п- называется тангенсом угла а и ОбОЗНаЧа-
COSa
ется tg а.
Функция tg а определена для всех тех углов а, для ко-
торых cos а =/= 0. На отрезке [—180°, 180°] имеются два угла,
для которых cos а = 0 и tg а не определен. Это углы 90°
и —90°.
На рисунке 24 показано, как строится график тангенса
для углов — 90° < а < 90°. Здесь при а > 0° —01 Ма' =
|ОЕI |ОМа |
22
Bin a ,
= ----- = tga в силу подо-
coe a
бия треугольников OEQa и
OMaPa.
Но | ОЕ | = 1; следова-
тельно,
I EQa | = tg a.
Значения функции tg а
для углов а от 0° до 90° даны
в четырехзначных математи-
ческих таблицах. Подробное
описание правил использова-
ния таблиц содержится в объ-
яснительном тексте к ним.
Вопросы и задачи
1.	Не прибегая к табли-
цам, укажите наимень-
шее положительное значе-
ние а, при котором:
а) tg а = 1;
б)	tg а = —1.
2.	Докажите, что:
а)	tg (—a) = —tg a;
б)	1 + tg2a = -Ц-.
cos’ a
Puc. 24
3.	При помощи таблиц найдите значения тангенса следую-
щих углов:
а) 5°; б) 25°; в) 35°42'; г) 46°56'; д) 80°03'; е) 89°50\
4.	При помощи таблиц найдите острые углы х, если известно,
что:
а) tg х = 0,3227; б) tg х = 0,7846; в) tg х = 1,4632;
г) tg х = 6,152;	д) tg х = 17,89;	е) tg х = 156,3.
106. Соотношения между сторонами и углами
прямоугольного треугольника
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с катетами
а и Ъ и гипотенузой с. Поместим этот треугольник в прямо-
угольной системе координат хОу так, как это показано на
рисунке 25. В этом случае а и b являются координатами
 >
вектора OB (а — ордината, Ъ — абсцисса), с — jspiina. векто-
ра ОВ.
23
Поэтому
b — с cos А, а = с sin А.
Из этих формул находим:
sin А = —;
с
cos А = —;
с
а
С = —--t
sin А
Ъ
С=----
cos Д
Для прямоугольного треугольника из формул а = с sin А
я b = с cos А находим:
а
ь
^- = tgA
cos А
Следовательно, в прямоугольном треугольнике
а = b tg А;
b = a tg В.
Итак:
1.	Катет прямоугольного треугольника равен гипотенузе,
умноженной на косинус угла, прилежащего к этому катету.
2.	Катет прямоугольного треугольника равен гипотенузе,
умноженной на синус угла, противолежащего этому
катету.
3.	Гипотенуза прямоугольного треугольника равна катету,
деленному на синус угла, противолежащего этому катету.
4.	Гипотенуза прямоугольного треугольника равна катету,
деленному на косинус угла, прилежащего к этому катету.
5.	Катет прямоугольного треугольника равен другому ка-
тету, умноженному на тангенс угла, противолежащего
первому катету.
Полученные соотношения позволяют вычислять по из-
вестным элементам треугольника его неизвестные элементы.
Треугольник, как мы знаем, определяется тремя основ-
ными элементами, из которых по меньшей мере один
линейный.
В прямоугольном треугольнике один элемент всегда
известен (прямой угол). Поэтому прямоугольный треуголь-
ник определяется двумя другими основными элементами, из
которых хотя бы один является линейным.
24
Для удобства использования известных уже нам формул
выпишем их:	А + В = 90°;	(1) а2 + Ь2 = с2;	(2) tg2=4;tgB=±;	(3) sin А = —; sin В = —;	(4) с	с cos А = —; cos В = —.	(5) с	с
Задача 1. Дано: а, Ъ. Требуется найти: А, В, с. По фор*
муле (3) находим: tg А = а затем по таблице находим А.
По формуле (1) находим: В = 90° — А.
а
По формуле (4) находим: с = —“ .
Bin А
Для проверки правильности вычислений можно исполь-
зовать ту из формул, которая связывает искомые элементы
и не употреблялась при решении; в нашей задаче можно
взять, например, первую формулу (5). Можно для проверки
воспользоваться и теоремой Пифагора: с2 = а2 + Ь2. Однако
вычисления по этой формуле оказываются более громоздкими.
Задача 2. Дано: а, с. Требуется найти: А, В, Ь.
По формуле (4) sin А = — . Из таблиц находим А.
С
По формуле (1) В = 90° — А. Л
По второй формуле (4) b = с sin В.
Для проверки правильности вычислений можно взять
формулу (2).	Л	Л
Задача 3. Дано: а, А. Требуется найти: В, Ь, с.
По формуле (1) В = 90° — А.
По формуле (3) b = a tg В.
а
По формуле (4) с = —~ .
Bin А
Для проверки можно взять формулу (2).
Задача 4. Дано: а, В. Требуется найти: А, Ъ, с.
По формуле (1) А = 90° — В.
По формуле (3) b = a tg В.
а
По формуле (4) с = —~ .
sin А
Для проверки можно взять формулу (2).
Задача 5. Дано: с, А. Требуется найти: В, а, Ъ.
По формуле (1) В = 90° — А,
25
У
Рие. 26
По формуле (4) а = с sin А.
По формуле (5) b = с cos А.
Для проверки результатов можно
взять формулу (2).
Конечно, эти задачи можно решать,
применяя и другие из перечисленных
выше формул.
В заключение рассмотрим такую
задачу.
Возьмем прямую Z, проходящую че-
рез начало координат. Ее уравнением
является у = kx. Коэффициент k называют угловым коэф-
фициентом этой прямой.
Пусть М — произвольная точка прямой I. Ее координа-
тами будут: х = |ОМ| cosa иу= |ОМ| sin а (см. пункт 104).
Координаты точки М удовлетворяют уравнению прямой I.
— > >
Поэтому |ОМ| sin а = k |OJlf| cosa.
Отсюда
___________________________sin a
т. e.______________________cos a*
k = tg a.
Прямые с уравнениями y = kxwy = kx + b параллетаны
(рис. 26). Их угловые коэффициенты равны. Верно и обрат-
ное: если угловые коэффициенты двух прямых равны, то эти
прямые параллельны.
Вопросы и задачи
1.	Найдите, не прибегая к таблицам, значения: а) sin 30°;
б) sin 45°; в?) sin 60°; г) sin 90°; д) cos 45°; е) cos 60°;
ж) tg 30°; з) tg 45°; и) tg 60°.
2.	Вычислите неизвестные стороны и углы прямоугольных
треугольников по следующим данным:
а)	Даны два катета:
1)	a	= 2,61,	Ъ = 3,80;	3)	a = 4,35,	Ь = 1,45;
2)	а	= 13,6,	b = 8,23;	4)	а = 156,	b = 133.
б)	Даны гипотенуза и катет:
1)	с	= 65,	а = €3;	3)	с = 113,	Ь = 112;
2)	с	= 6,97,	а = 5,23;	4)	с = 0,140, Ъ = 0,100.
в)	Даны катет и противолежащий острый угол:
1)	a = 63,7, А = 85°25';	3)5 = 1,74, В = 24°05';
2)	a = 18,0,2 = 17°;	4) b = 2,95, В = 25°36'.
г)	Даны катет и прилежащий угол:
1)	a = 6,37, В = 29°42';	3) Ъ = 528, А = 49°15';
2)	а = 380, В = 34°29';	4) b - 3,92, А = 65°14'.
26
N
Рис. 27
д)	Даны гипотенуза и острый угол:
1)	с = 4,67, А = 65°15';	3) с = 0„798, В = 45°30';
2)	с = 62,8, А = 23°32';	4) с = 9,42, В = 68°04'.
3.	Найдите расстояние от наблюдателя, находящегося на
высоте 30 м, до автомашины, которая видна наблюда-
телю под углом понижения 20° (рис. 27).
4.	Пользуясь рисунком 28, объясните, как можно опреде-
лить угол подъема (а) дороги, зная пройденное по до-
роге расстояние (?) и высоту подъема (Л).
5.	Найдите угол подъема шоссейной дороги, если на рас-
стоянии 200 лс высота подъема составила 6 м.
в. Горная железная дорога на одаом из перегонов подни-
мается на 1 ж на каждые 60 м пути. Найдите угол
подъема дороги на взятом участке.
7.	На какую высоту поднялся пешеход, прошедший а км
по прямой дороге, поднимающейся под углом а к го-
ризонту? Произведите вычисления для: а) а = 1,6 км,
а = 4° 30'; б) а = 3 км, а = 8°18'.
8.	Насыпь, поперечное сечение которой представляет собой
равнобедренную трапецию, имеет у основания ширину
12 м. Высота насыпи 3 лс. Какова ширина верхней части
насыпи, если при ее постройке откос составлял 39°?
9.	Столб дает тень зам, когда высота солнца равна а.
Найдите высоту этого столба.
Произведите вычисления для
случаев: а) а = 15 м, а = 47°;
б)	а = 18 м, а = 43°30'.	,
10.	Найдите угловые коэффициен-	—
ты прямых: а) 2х— у + З = 0;	н*—
б) 4х+4у— 5=0; в) у=5х—7;	----1------L-1
г) у = х; д) у = 5.	Рис. 28
27
Глава VIII.
МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ
107. Теореме косинусов
59. Теоре ма. Квадрат стороны треугольника равен сумме
квадратов двух других сторон без. удвоенного произведения
этих сторон на косинус угла между ними.
Случай 1. Сторона треугольника лежит против острого
угла.
Рассмотрим треугольник АВС, в котором угол А острый.
Проведем через вершину С перпендикуляр CD к прямой АВ
(рис. 29, а). Получим прямоугольные треугольники ACD
и BDC.
Из треугольника BDC по теореме Пифагора
а2 = h2 + а2.	(1)
Вычислим отдельно h2 и а2.
Из треугольника ACD находим:
h2 = Ь2 — Ь2.
Найдем теперь а2.
Заметим, что при этом могут быть два случая:
1) ас = с — Ъс (рис. 29, а); 2) ас = Ъс — с (рис. 29, б).
Следовательно,
а2 = (с - Ье)2 = (6С - с? = с2 - 2сЪс + %.
Подставляя выражения h2 и а2 в равенство (1), получим:
а2 = &2 _	+ # _ 2сЪс + Ь2С = Ь2 + с2 — 2сЪс.
Но в треугольнике ACD
Ьс = Ь cos а.
Рис. 29
28
Окончательно получаем:
а2= Ь2 + с2 — 2Ьс cos а.
Что и требовалось доказать.
Случай 2. Сторона треугольника лежит против тупого
угла.
Рассмотрим треугольник АВС, в котором угол А тупой
(рис. 29, в). Проведем через вершину С перпендикуляр CD
к прямой АВ. Получим прямоугольные треугольники ACD
и BCD.
Из треугольника BCD по теореме Пифагора
«2 = Щ + а2.	(1)
Из треугольника ACD находим:
h2 = Ь2 — Ь2.
Найдем теперь а2 = (Ъс + с)2; а2 = Ь2 + 2сЪс 4-е2.
Подставляя выражения h2 л а2с в равенство (1), получим:
а2 = Ъ2 — Ъ2С + Ь2 + 2еЬс+ с2 = Ь2 + 2сЬс + с2.
Но в треугольнике ACD
bc = b cos (180° — а) = — Ъ cos а.
Окончательно получаем:
а2= Ь2 + с2— 2bc cos а.
Теорема доказана.
Следствие. Если две стороны, одного треугольника со-
ответственно равны двум сторонам другого треугольника,
а углы, заключенные между этими сторонами, не равны, то
против большего угла лежит и большая сторона.
В самом деле, пусть стороны Ъ и с треугольника АВС
соответственно равны сторонам Ъг и Ci треугольника А1В1С1,
а угол а первого треугольника больше угла аг второго
треугольника. Тогда по теореме косинусов имеем:
а2 = Ъ2 + с2 — 2Ьс cos*;
в? = bl + с? — 2k1C1 COS*!.
Произведя почленное вычитание, после упрощения, по-
лучим:
•2 — «? = 2bc (cos «1 — cos *),
но правая часть равенства всегда положительна (так как
cosa! > cosa), следовательно: a2 > al, или а > ax.
Примечание. В целях упрощения записей в дальней-
шем величины углов А, В л С треугольника АВС будут
обозначаться соответственно через а, 0 и у.
29
Формулы
аа = Ьа + са — 2bc cos а;
Ьг = а2 + са — 2ас cos 0;	(1)
с2 = а? + Ь2 — 2аЬ cos у
позволяют вычислять длину одной из сторон треугольника
по данным длинам двух других сторон и величине угла;
лежащего против неизвестной стороны.
Теорема косинусов позволяет также по данным величи-
нам сторон треугольника вычислять величины его углов.
В самом деле, из равенств (1) следует:
cos а =
COS0 =
cosy =
Ьа4-с —аа ,
2Ьс	’
2ас	’
аа 4- ba _ с»
2аЪ
Вопросы и задачи
1.	Запишите выражение квадрата стороны с треугольника
АВС по теореме косинусов, если у = 60°.
2.	Будет ли верна теорема косинусов в случае, когда угол,
заключенный между двумя данными сторонами, прямой?
3.	По формуле аа=Ь2+са—2bc cos а исследуйте, как будет
изменяться сторона а при возрастании угла а от 0° до
180° (при постоянных значениях & и с).
4.	Укажите, при каких значениях угла а квадрат стороны
треугольника, лежащей против этого угла, будет:
а) меньше суммы квадратов двух других сторон, б) ра-
вен сумме квадратов двух других сторон, в) больше
суммы квадратов двух других сторон.
5.	Даны числовые значения длин сторон треугольника ABCt
а) 7; 8; 12; б) 0,3; 0,4; 0,5; в) 15; 15; 15; г) 8; 10; 12.
Не вычисляя величины углов треугольника, укажите
вид каждого из треугольников (относительно углов).
6.	Вычислите неизвестную сторону треугольника АВС по
следующим данным:
а) а = 7, Ь = 10, у = 56°29';	б) а=2, с = 3, 0 = 123°17';
в) Ъ = 0,4, с = 1,2, а = 23°28'.
7.	Вычислите диагонали параллелограмма, если его сторо-
ны а и Ь, а один из углов а; произвести вычисления при:
а) а = 12 дм, Ъ = 15 дм, а = 52°;
б)	а = 3,5 см, Ъ = 3,5 см, а = 100°.
8.	Вычислите наибольший из углов треугольника АВС,
если даны три его стороны:
а) а = 3, Ъ = 4, с = 6; б) а = 40, Ъ = 13, с = 37.
30
9*. Две силы Р = 100и и Q — 200н приложены к матери-
альной точке под углом а = 50° друг к другу. Опреде-
лите величину равнодействующей R и углы, которые
она составляет с силами Р и Q.
108. Формулы для вычисления площадей треугольников
Мы уже занимались вычислением площадей треугольни-
ков. Известно, что площадь треугольника равна половине
произведения основания на высоту.
Рассмотрим треугольник АВС, в котором CD — высота
(рис. 29).
A ACD — прямоугольный. Возможны два случая:
hc = Ь sin а (рис. 29, а);
hc = Ь sin (180° — а) = b sin а (рис. 29, в).
Мы выразили высоту треугольника АВС через сторону Ъ
и еинус угла а. Теперь найдем площадь этого треуголь-
ника:
Ядлвг= 4 chc.
Подставляя в эту формулу найденное значение hc, по-
лучим:
5длвс=4ьс8та.
Л
Мы доказали теорему:
£0> Теорема. Площадь треугольника равна половине произ-
‘ ведения двух сторон на синус угла между ними.
Примечание. Заметим, что если угол а прямой, то
sin а = 1 и формула тоже верна.
Древнегреческий математик Герои Александрийский
вывел замечательную формулу для вычисления площади
треугольника по его трем сторонам.
Дадим ее вывод.
Пусть а, Ъ, с — стороны треугольника, а а, р, у — величины его углов.
Обозначим через р полупериметр этого треугольника,
а + Ь + е
Р= 2
По теореме косинусов
а3 = Ъ2 + с2 — 2Ъе cos а.
Отсюда	Ъ2 + е2 — а2
cos а=--------.
26с
Из формулы 5д = — be sin а находим:
Но sin2 а + cos2 а = 1.
31
Поэтому
/25д\2	/Ь8 + е8 — о8 \2
\ Ъс / "^ \ 2Ье /
Отсюда
л2 469с8 _ (б« + с8 — а2)9	[(6 + с)9 — в2] • [а9 — (Ъ — с)2]
~	19	“	16
а + b + с b + с — а о + с — & a -f- b — с
2	'	2	’	2	’	2	=
= р • (р —а) • (р — &) • (р —с).
5Д= /рТр^аЙР^ьПр^сГ’
Эту формулу называют формулой Героаа.
Вопросы и задачи
1.	По формуле для вычисления площади треугольника АВС
(S = i-absiny) исследуйте, как будет изменяться пло-
щадь треугольника АВС при возрастании у от 0° до 180°
при неизменных значениях а и Ь. При каком значе-
нии у площадь треугольника АВС будет наибольшей?
2.	Вычислите площадь равнобедренного треугольника, бо-
ковая сторона которого Ь = 10 м, а угол при вершине
а = 75°20'.
3.	Вычислите площадь треугольника АВС по следующим
данным:
а)	а = 125 м,	Ъ = 160 м,	у = 52°;
б)	Ь = 20 см,	с = 35 см,	а = 79°06'.
4.	Докажите, что площадь параллелограмма равна произ-
ведению длин его смежных сторон на синус угла между
ними.
5.	Докажите, что площадь параллелограмма равна поло-
вине произведения его диагоналей на синус угла между
, ними.
6.	Вычислите площадь ромба: а) по его стороне а = 7,5 см
и острому углу в = 22°10'; б) по его диагонали т = 4,5 см
и углу а = 150°, лежащему против этой диагонали.
7.	Диагональ прямоугольника равна т, угол между
диагоналями а. При каком значении а площадь прямо-
угольника будет наибольшей?
8.	Диагонали параллелограмма равны т и п. Угол между
диагоналями а. При каком значении а площадь этого
параллелограмма будет наибольшей? Какой вид имеет
параллелограмм в этом случае?
9*. По формуле Герона вычислите площадь треугольника
по сторонам: 32 см, 18 см и 22 см-
10*. Упростите формулу Герона для случая равностороннего
треугольника.
32
109. Теорема синусов
Рассмотрим треугольник АВС со сторонами а, Ь, с и
углами а, 0, у.
По теореме 60 из предыдущего пункта мы можем записать
формулы для вычисления площади данного треугольника:
S&ABC =	1 L • — со sin а; 2	S&ABC-	1 , = — ab 2	1 sin y\	i 8ьавс= ± ас sin 0.
Откуда	since	— •	sin y=	2S,	. д 2S Sin0= —.
		cb		ab	ac
Тогда	1		cb	1		ab	1 	ac
	Bin а	2S'	sin у	2S	’ sin 0	2S’
	а	abc	c	abc	b	abc
или				«	
	sin а	2S ’	sin у	2S	sin p 2S
Из полученных равенств следует:
а   b с
sin a	sin р	sin у
Итак, доказана теорема, называемая теоремой синусов:
61, Теорема. Стороны треугольника пропорциональны сину-
сам противоположных углов.
Теорема синусов позволяет по двум данным сторонам и
углу, лежащему против одной из них (или по стороне и
двум углам), вычислять остальные элементы треугольника.
Вопросы и задачи
1. Докажите теорему синусов для прямоугольного тре-
угольника. Чему будет равно каждое из полученных
отношений в случае прямоугольного треугольника? г
2*. Одна из диагоналей параллелограмма равна т. Углы па-
раллелограмма делятся этой диагональю на части, величи-
ны которых а и 0. Вычислите длины сторон параллело-
грамма.
3. Вычислите стороны и углы треугольника по следующим
данным:
a) а = 109, 0 = 33°24', б) c = 16, а = 143°08',	у = 66°59'; 0 = 22°37';
,в) а = 20, b = 13,	а = 67°23';
r) a = 37, c = 59,	у = 23°20'.
4. В треугольнике ABC известны: a) две стороны а и b и	
угол у; б) две стороны а и	b и угол а; в) три стороны
а, b и с. Для каждого из	этих случаев запишите фор-
мулу, по которой может б	>ыть вычислен один из неиз-
вестных элементов треугольника АВС.
2 Геометрия, 8 кл.
33
110.* Решение треугольников
Рассмотренные в пункте 106 задачи на вычисление эле-
ментов прямоугольного треугольника являются частным
случаем задач, которые принято называть задачами на ре-
шение треугольников.
В VI классе мы строили треугольники по трем элементам:
1) по двум сторонам и углу между ними; 2) по стороне и
двум прилежащим к ней углам; 3) по трем сторонам; 4) по
двум сторонам и углу против одной из них. Теперь рассмо-
трим задачи на вычисление элементов треугольника по трем
данным элементам.
Задача 1. Дано: а, Ь, у. Требуется найти: с, а, р.
1)	По теореме косинусов
с = У а2 3 * * * * + Ь2 — 2ab cos у.
2)	По теореме косинусов
а2 = Ъ2 + с2 — 2Ьс cos а.
Отсюда cos а = Ь с ~а- . По таблицам находим а.
26с
3)	р = 180° — (а + Y).
Задача 2. Дано: а, р, у. Требуется найти: Ь, с, а.
1) а = 180° - (р + у).
2) По теореме синусов
а   Ь   с
sin а	sin р sin у
Отсюда 6=^; с =
sin а sin а
Задача 3. Дано: а, Ъ, с. Требуется найти: а, р, у,
1) По теореме косинусов а2 = Ъ2 + с2 — 2bc cos а.
Отсюда cos а = - +-с.~а  . По таблицам находим а.
26с
2) По теореме синусов sin Р = — sin а. По таблицам нахо-
•	а
ДИМ р.
3) у = 180° - (а + Р).
Примечание. Найдя по таблицам косинусов значение а,
мы можем найти площадь треугольника по формуле: £>д =
= -i be sin ct, Это значительно проще, чем обращение к фор-
муле Герона.
Задача 4. Дано: a, b, ct. Требуется найти: с, р, у.
1) По теореме синусов
а __ Ь
ein a sin (3
Отсюда sin Р = —8-п °. По таблицам находим р.
34
2) у = 180° - (а + ₽).
„	a sin v
3) По теореме синусов с --------Ч
sin а
Проведем исследование решения задачи 4. При любых ли
данных задача имеет решение и сколько различных решений
может иметь задача при указанном наборе данных элементов?
При различных значениях данных элементов а, Ъ п а
могут встретиться три случая:
1)
Ь sin а
а
>1;” 2)
Ь sin а
а
= 1;
3)
bsin а
а
< 1.
В первом случае задача не имеет решений, так как sin Р =
b sin и
== ---не может быть больше 1.
а
Во втором случае sin р = 1 и Р = 90°. В этом случае тре-
угольник будет прямоугольным. Решение единственное.
В третьем случае sin Р < 1 и, значит, задача имеет реше-
ние. Угол р может быть найден по таблицам. Но мы знаем,
что существуют два угла между 0° и 180°, для которых синус
имеет одно и то же значение, меньшее 1, так как sin а =
= sin (180° — а). Поэтому могут существовать два угла, удов-
летворяющие условиям задачи, один из которых острый,
другой — тупой. Итак, в третьем случае задача может иметь
два решения.	;
Интересно рассмотреть геометрический смысл указанных
выше неравенств.
1)	-ai-n-- > 1. Это неравенство будет выполняться, если
а
b sin а > а. Так как b sin а = h (рис. 30), то последнее нера-
венство означает, что h > а. А это неверно. Поэтому и не
существует треугольника, для которого выполняется нера-
b sin а . ,
венство-----> 1.
а
2)	-sl--q = 1. Это равенство будет выполняться, если
а
b sin а = а, т. е. если h — а (рис. 31). Последнее означает, что
треугольник АВС будет прямоугольным. Решение единст-
венно, так как гипотенуза Ъ и катет а определяют прямо-
угольный треугольник.
2*
35
Рис. 32
3)	b а1п-а < 1. Это неравенство будет выполняться, если
а
Л < а и h < Ъ. На стороне данного угла А могут находиться
две точки, отстоящие от точки С на расстоянии а. Если
а = Ъ, то одна из этих точек совпадает с точкой А. Задача
имеет одно решение: искомый треугольник равнобедренный
(рис. 32, а). Если а< Ь, угол В может принимать два зна-
чения. Существуют два треугольника, удовлетворяющие
условиям задачи. Задача имеет два решения (рис. 32, б).
Если а > Ь, то задача имеет одно решение. (Вторая точка
пересечения рассматриваемой окружности лежит на продол-
жении стороны угла (рис. 32, в).)
Мы рассмотрели здесь основные случаи решения треуголь-
ников. Элементы треугольника можно вычислять и в других
случаях: когда в число данных входят его высоты, медианы,
площадь и т. д.
Вопросы и задачи
1. Решите треугольник по двум сторонам и углу, заключен-
ному между ними, по следующим данным:
1) а = 28, с = 42, 0 = 124°; 2) а = 13, Ь = 20, у = 75°01';
3) с = 143, Ь = 260,а = 82°07'; 4)а = 325, с=728, 0=97°53'.
2. Решите треугольник по стороне и двум углам по следу-
ющим данным:
1)	а =	13,	а	=	52 08 ,
2)	Ь =	8,5,	а	=	81°12',
3)	с = 4,	0	=	24°57',
4)	а =	37,	0	=	86°03',
3. Решите треугольник по
данным:
1)	а	= 37,	Ь = 13,	с
2)	а	= 44,	Ь = 37,	с
3)	а	= 19,	Ъ = 34,	с
4)	а	= 16,	Ъ = 12,	с
0 = 67 23 ;
0 = 24°1Г;
у = 57°30';
у = 50°56'.
трем сторонам по следующим
= 40;
= 15;
= 49;
= 20.
86
Задачи на повторение к главам VII—VIII
1.	На единичной окружности найдите такие точки Ра, для
которых: _
a)gina = l^-; 6)sina=-; n) ccs- ; г) c°scc=—
В каждом из этих случаев:
а)	укажите наименьшие положительные значения а;
б)	запишите все множество углов поворота, соответст-
вующих точке Ра.
2.	Какие значения может принимать сумма: a) sin х + 1;
б) cos х 4- 0,5; в) sin3 х 4- cos2 х?
3.	Какие из следующих равенств возможны:
я) соя се = 2]Лпя. б) sin <Х= 7П 4-— . в) COS«= ”3 + д3
'	т + п	т ’	т» — л*
где т и п — положительные числа?
4.	Укажите знак каждой из следующих разностей:
a) sin 31° — sin 30°;	б) sin 26° — sin 27°;
в) cos 30° — cos 31°;	г) cos 27° — cos 26°.
5.	Дан треугольник ABC. Докажите, что:
a) sin А = sin (В + С); б) cos А = — сов (В + С).
6.	Чтобы определить высоту Н предмета, основание кото-
рого доступно, измеряют базис АС и угол Сх прямо-
угольного треугольника АгВС! (рис. 33). Докажите, что
Н = | АС | • tga 4- Л, где Л—высота угломерного инстру-
мента.
7.	Чтобы измерить расстояние | АВ | между двумя точками,
одна из которых (В) недоступна, на местности измеряют
базис АС и определяют углы аир, образованные пря-
мой АС с лучами АВ и СВ (рис. 34). Покажите, что
расстояние LABI = Л вычисляется по формуле Л =—Ьз1пР—,
sin (a 4- Р)
37.
8.	Для измерения высоты предмета, основание (А) которого
недоступно (рис. 35), выбирают некоторую точку В и на
прямой АВ измеряют базис | FB | = т. Из точек F и В из-
меряют углы о и р, под которыми видна наивысшая
точка (С) этого объекта. Доказать, что Н = m 8in а sln + Л,
sin (а — Р)
где h — высота угломерного инструмента и А = 90°.
9.	Решите треугольник по двум сторонам и углу, лежащему
против одной из них, по следующим данным:
а)	а =	34,	Ъ - 93,	А =	14°15';
б)	с -	24,	Ъ = 83,	С =	26°45';
в)	а =	360,	с = 309,	С =	2Г14'.
10.	На рисунке 36 дан четырехугольник ABCD и указаны
длина его стороны | AD | = а, величины углов A, BDA,
BDC, CBD.
Найдите расстояния: а) | ВС | ; б) | АС | .
11.	По одну сторону реки отмечены две точки А и В. Рас-
стояние | АВ | =0=3784 ле. Вычислите расстояние между
точками С и D, находящимися по другую сторону реки,
если ВАС =а = 87°25', BAD = р=47°32', АВС=6 = 46°34',
ABD = у = 84°35'.
Глава IX.
ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
§ 1. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ
111.	Вписанный угол
Поэтому рассмот-
переносе ВО. Это
Рис. 37
Угол, вершина которого принадлежит окружности, а сто-
роны пересекают ее, называется вписанным в эту окружность.
На рисунке 37 угол АВС вписанный. Он опирается на
дугу АС.
62, Теорема. Величина вписанного угла равна половине уг-
ловой величины дуги, на которую он опирается.-
Для доказательства этой теоремы рассмотрим три воз-
можных случая расположения центра окружности относи-
тельно данного вписанного угла.
1. Центр окружности лежит на стороне вписанного угла
(рис. 38).
Мы знаем, что величина центрального угла равна угло-
вой величине соответствующей ему дуги,
рим образ угла АВС при параллельном
будет центральный угол ЕОС. Его вели-
чина равна угловой величине дуги СЕ.
Осталось сравнить дугу СЕ с дугой
АС; [ОЕ) || [ВА) (как образ луча ВА при
параллельном переносе ВО).
Обозначим через D вторую точку пе-
ресечения прямой ОЕ с данной окружно-
стью. Тогда:
оАЕ^ч>ВР (как дуги, заключенные
между параллельными
хордами);
Z-DOB^Z-EOC (как вертикальные);
•^BD^^CE (как дуги, соответствую-
щие конгруэнтным цент-
ральным углам).
Значит, ^СЕ^'^АЕ.
Поэтому угловая величина дуги СЕ
равна половине угловой величины дуги
АС. Следовательно, величина угла АВС
равна половине угловой величины дуги
АС. Теорема для первого случая дока-
зана.
39
в
Рис. 39
2. Центр окружности лежит внутри
вписанного угла АВС (рис. 39).
Проведя луч ВО, разобьем данный
угол на два угла, для которых имеет ме-
сто рас смотренный, у же случай теоремы:
АВС = ABD + DBC.
Величина угла ABD равна половине
угловой величины дуги AD. Величина
угла DBC равна половине угловой ве-
личины дуги DC. Тогда величина угла
АВС равна половине угловой величины
дуги АС. Теорема доказана и для вто-
рого случая.
3. Центр окружности лежит вне впи-
санного угла (рис. 40).
Задание. Проведите доказательст-
во самостоятельно.
Следствие. Вписанный угол, опира-
ющийся на диаметр (значит, и на по-
луокружность), прямой.
Вопросы и задачи
1.	Окружность разделена на пять конгруэнтных дуг:
^AB^^BC^^iCD^^DE ЕА. Вычислите величи-
ны вписанных в эту окружность углов, стороны которых
проходят через точки А, В, С, D, Е (взятые попарно).
2.	Хорда АВ делит окружность на две дуги АМВ и АТВ
так, что: а) АМВ : АТВ = 2:3; б) АМВ-.АТВ = 4Я. Вы-
числите величины вписанных в эту окружность углов
АМВ и АТВ.
3.	Углы АМС и АТС — вписанные в одну и ту же окруж-
ность. Что можно сказать о величинах этих углов?
4.	Центральный угол на 35° больше вписанного угла, опи-
рающегося на ту же дугу. Вычислите величину каждого
из этих углов.
5.	Хорда рассекает окружность на две дуги, угловые, вели-
чины которых относятся как: а) 5:4; б) 7:3. Под какими
углами видна хорда из точек окружности?
6.	Постройте центр вычерченной окружности с помощью
только одного чертежного угольника.
7.	Конгруэнтные углы АВС и ADC опираются на отрезок
АС, и их вершины лежат по одну сторону от прямой
АС. Докажите, что точки А, В, С и D принадлежат
одной окружности.
40
-3* .Из двух вершин треугольника проведены высоты. Дока-
жите, что эти вершины и основания высот принадлежат
одной окружности. Как воспользоваться этой теоремой
для построения высот треугольника?
9*. Через точку, не принадлежащую окружности, проведите
перпендикуляр к ее диаметру, пользуясь только линей-
кой.
10.	Докажите, что величина угла, образованного касатель-
ной и хордой, имеющими общую точку на окружности,
равна половине угловой величины дуги, лежащей внутри
этого угла (заключенной между его сторонами).
11.	Докажите, что величина угла между двумя касатель-
ными к окружности, проведенными через одну точку,
равна полуразности угловых величин дуг, заключенных
между его сторонами.
12*. Докажите, что величина угла с вершиной внутри круга
равна полусумме угловых величин двух дуг, из которых
одна заключена между сторонами этого угла, а другая —
между продолжениями сторон.
13*. Докажите, что величина угла между двумя секущими,
пересекающимися вне круга, равна полуразности угло-
вых величин большей и меньшей дуг, заключенных
между его сторонами.
112. Вписанные и описанные треугольники
Многоугольник, все вершины которого принадлежат
окружности, называется вписанным в эту
окружность — описанной около этого много-
угольника (рис. 41).
Многоугольник, все стороны которого
касаются окружности, называется описан-
ным около этой окружности, а окруж-
ность — вписанной в этот многоугольник
(рис. 42).
В пункте 62 было доказано, что около
всякого треугольника можно описать
окружность, и притом только одну. Центр
описанной около . треугольника окружно-
сти является точкой пересечения сере-
динных перпендикуляров к сторонам
этого треугольника. Оказывается, центр
окружности, описанной около треуголь-
ника, лежит внутри его, если он остро-
угольный (рис. 43, а), и вне — если тупо-
угольный (рис. 43, б). Докажите, что
центр окружности, описанной около
41
в
а)
Рис. 44
прямоугольного треугольника, является
серединой его гипотенузы.
Пусть | ВО | = R—радиус описанной около тре-
угольника АВС окружности (рис. 43, в). [OZ>] _L[BC],
Тогда
BOD = А (см. пункт 111);
|ВЛ| |ВВ|
sin А — sin BOD = —— = ——- .
|ВО| R
Значит,
R sin А = | BD | = — а.
2
Аналогично:
-Ч	1
R sin В = — Ъ;
2
1
R sin С = — с.
2
а	Ь с
Отсюда X ~	’ Z. = 2R.
sin A	sin В	sin С
Получили другое доказательство теоремы синусов.
Выясним теперь, во всякий ли тре-
угольник можно вписать окружность.
Центр такой окружности должен быть
одинаково удален от всех сторон тре-
угольника. Точки, равноудаленные от
сторон АВ и АС треугольника АВС,
лежат на биссектрисе угла А (рис. 44).
Точки, равноудаленные от сторон АВ
и ВС, лежат на биссектрисе угла В.
Обозначим точку пересечения этих бис-
сектрис через О. Тогда точка О равноуда-
лена от всех сторон этого треугольника
и потому является центром вписанной в
него окружности. Радиус этой окруж-
ности равен расстоянию от точки О до
любой стороны треугольника АВС. По-
скольку центр О и радиус г вписанной
окружности определились однозначно,
то такая окружность для треугольника
АВС единственна. Таким образом, дока-
зана следующая теорема:
63.	Теорема. Во всякий треугольник можно вписать окруж-
ность, и притом только одну.
Вопросы и задачи
1.	а) В данную окружность впишите равносторонний тре-
угольник.
б)	Около данного равностороннего треугольника опи-
шите окружность.
2.	Вычислите радиус окружности, описанной около пря-
моугольного треугольника, если отношение его катетов
4
равно —, а высота, проведенная к гипотенузе, равна
12 см.
3.	В прямоугольном треугольнике катеты равны 12 см и
16 см. Вычислите радиус вписанной в него окруж-
ности.
4.	Вычислите радиус окружности, вписанной в равносто-
ронний треугольник, высота которого h (h = 1 см\
2,5 еле).
5.	Вычислите радиус окружности, описанной около равно-
стороннего треугольника, медиана которого т (т = 1 car,
2,5 см).
6.	Какой вид имеет треугольник, если: а) центры вписан-
ной и описанной около него окружности совпа-
дают;
б)	центр описанной окружности лежит на его сто-
роне;
в)	центр вписанной окружности лежит на одной из его
высот;
г)	центр описанной окружности лежит на одной из его
высот?
7.	Какой вид имеет треугольник, который отображается
сам на себя при некотором повороте, отличном от
нулевого? Каков угол такого поворота?
8.	Постройте окружность, касающуюся трех данных пря-
мых, попарно пересекающихся и не проходящих через
одну точку.
9.	Впишите в данную окружность треугольник, подобный
данному.
10.	Докажите, что площадь треугольника равна произведе-
нию его полупериметра на радиус вписанной окружно-
сти.
11*. Докажите, что радиус R окружности, описанной около
треугольника, может быть вычислен по формулам:
аЬс
“ 4S '
43
§ 2. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
113. Вписанные четырехугольники
64.	Теорема. Сумма противоположных углов вписанного
четырехугольника равна 2 d.
Пусть четырехугольник ABCD
д	(рис. 45) вписан в окружность (О, Я). Тогда
л2 = | вед
\
'Уд Следовательно,
Рис. 45	А+С = 1BCD+ ± DAB.
а	а
Поэтому
С = j (BCD 4- DAB).
Но дуги BCD и DAB составляют окружность.
Следовательно, величина суммы углов А и С равна угло-
вой величине половины окружности, т. е. А + С = 2d.
Ясно, что описать окружность можно не около всякого
четырехугольника. Найдем некоторые условия, при которых
около четырехугольника можно описать окружность.
65,	Теорема. Если в четырехугольнике сумма двух противо-
положных углов равна 2d, то около этого четырехугольника
можно описать окружность.
Пусть в четырехугольнике ABCD имеем:
В + D = 2d.
Проведем через точки А, В, С окружность. Как будет
расположена точка D относительно этой окружности? Воз-
можно лишь одно из трех положений: 1) точка D лежит
внутри окружности, 2) вне окружности, 3) на окружности.
Допустим, что точка D лежит внутри окружности
(рис. 46). Тогда В + D = 2d (по условию теоремы),
В + Е = 2d (по доказанной теореме).
Отсюда D = Е, что невозможно (внешний угол D треуголь-
ника EDC не может быть конгруэнтным его внутреннему
углу Е). Значит, допущение неверно. Следовательно, точка
D не может занять положение внутри построенной окруж-
ности.
44
в
Рис. 47
Аналогично доказывается, что вершина D не может лежать
и вне этой окружности (рис. 47).
Итак, вершина D не может лежать ни внутри построен-
ной окружности, ни вне ее. Следовательно, точка D должна
лежать на этой окружности, т. е. около четырехугольника
ABCD можно описать окружность. Теорема доказана.
Следствие 1. Около любого прямоугольника можно
описать окружность.
Следствие 2. Около любой равнобедренной трапеции
можно описать окружность.
Вопросы и задачи
1.	Сформулируйте необходимое и достаточное условие того,
чтобы около четырехугольника можно было описать
окружность.
2.	Можно ли описать окружность около четырехугольника,
углы которого, взятые последовательно, равны: а) 00°,
90°, 60°, 120°; б) 70°, 130°, 110°, 50°; в) 45°, 75°, IBS0,
105°?
3.	Можно ли описать окружность около четырехугольника,
углы которого, взятые последовательно, относятся как
числа: а) 2;3;4;3; б) 7;2;4;5?
4.	Докажите, что: а) всякая трапеция, вписанная в окруж-
ность, равнобедренная; б) всякий параллелограмм, впи-
санный в окружность, — прямоугольник; в) всякий ромб,
вписанный в окружность, — квадрат.
5.	Какой вид имеет четырехугольник, который отобра-
жается на себя при некотором повороте, отличном от
нулевого? Каков угол такого поворота?
6.	Может ли четырехугольник, вписанный в окружность,
иметь: а) только одну ось симметрии, б) только Две
оси симметрии, в) четыре оси симметрии?
7*. Докажите, что около четырехугольника, имеющего ось
симметрии, не проходящую через его вершину, можно
описать окружность.
45
8.	Постройте квадрат по радиусу описанной около него
ОКРУЖНОСТИ.
9.	Постройте прямоугольник по радиусу описанной около
него окружности и углу между диагоналями.
10.	Впишите в данную окружность прямоугольник, подоб-
ный данному.
11.	Общая хорда двух пересекающихся окружностей длиной
т служит для одной из них стороной равностороннего
вписанного треугольника, а для другой — стороной
вписанного квадрата. Вычислите расстояние между
центрами окружностей (т = 2 см).
114. Описанные четырехугольники
46. Теорема. В описанном четырехугольнике суммы длин
противоположных сторон равны между собой.
Пусть стороны четырехугольника ABCD касаются окруж-
ности (О, г) в точках М, Р, Q, N (рис. 48). Тогда [AM| =
= |А7Л, |ВМ| = |ВР|, |CQ| = |СР|, |DQ| = |DjV| (соедините
точки касания сторон и вершины четырехугольника с цент-
ром и рассмотрите полученные прямоугольные треуголь-
ники).
Сложив эти равенства почленно, получим:
| АВ | + | CD | = | AD | + | ВС | ,
что и требовалось доказать.
Верна и теорема, обратная доказанной.
67. Теорема. Если в четырехугольнике суммы длин проти-
воположных сторон равны между собой, то в этот четырех-
угольник можно вписать окружность.
Пусть в четырехугольнике ABCD | АВ | + | CD | = | AD | + | ВС |.
Возможны два случая: 1) | АВ |	| ВС | и 2) | АВ |= |ВС|. Рассмотрим их.
1) Пусть | АВ | Ф | ВС|. Предположим, что | АВ | < | ВС |. Тогда
| D А | < | DC | (в силу условия теоремы).
Отложим на луче ВС отрезок ВМ, конгруэнтный отрезку АВ (рис. 49).
Аналогично на луче DC отложим [DF] = [ПА].
Рис. 49
4&
Серединные перпендикуляры сторон треугольника AFAf пересекаются
в одной точке. Обозначим ее через О. Стороны треугольника АРМ являются
основаниями равнобедренных треугольников ADF, FCM и MBA. Поэтому
серединные перпендикуляры сторон треугольника АРМ являются биссект-
рисами углов ADF, FCM и MBA. Следовательно, их точка пересечения
(точка О) равноудалена от прямых DA, DC, СВ, ВА. Поэтому точка О
является центром вписанной в четырехугольник ABCD окружности.
2) Пусть | АВ | = | ВС |. Тогда ABCD—выпуклый четырехугольник, со-
ставленный из двух равнобедренных треугольников о общий основанием
(такой четырехугольник называется дельтоидом), и точка пересечения бис-
сектрис его углов будет центром вписанной окружности. Теорема доказана.
Вопросы и задачи
1. Сформулируйте необходимое и достаточное условие
того, чтобы в четырехугольник можно было вписать
окружность.
2. Можно ли вписать окружность в четырехугольник,
стороны которого, взятые последовательно, относятся
как числа: а) 2;2;3;3; б) 2;5;3;4; в) 3;5;3;1?
3°.Найдите сторону квадрата, описанного около окруж-
ности радиуса г. Найдите отношение периметров опи-
санного rf вписанного квадратов.
4. Вычислите площадь трапеции, если радиус вписанной
в нее окружности равен г, а сумма боковых сторон
равна т.
5. Постройте ромб по радиусу вписанной окружности и
стороне т (г = 1 см, т = 10 см).
6*. Постройте четырехугольник по двум сторонам а, Ь,
углу а между ними и радиусу вписанной окружности г.
7. Постройте четырехугольник по трем углам и радиусу
вписанной окружности.
8*«' Докажите, что прямые, соединяющие точки касания
противоположных сторон описанной равнобедренной
трапеции, проходят через точку пересечения диаго-
налей.
9*. Докажите, что теорема, аналогичная сформулированной
в предыдущей задаче, верна для любого описанного
четырехугольника.
10. Может ли четырехугольник, описанный около окруж-
ности, иметь: а) тольку одну ось симметрий, б) только
две оси симметрии, в) четыре оси симметрии?
11*.Если выпуклый четырехугольник имеет ось симметрии,
проходящую через одну из его вершин, то в этот че-
тырехугольник можно вписать окружность. Докажите.
§ 3. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
115. Построение правильных многоугольников
Разделим окружность на п конгруэнтных дуг (и > 2).
Это можно сделать, построив последовательно центральные
360°
углы, величина каждого из которых равна------- (рис. 50).
п
Соединим последовательно точки деления хордами. Получим
n-угольник, вписанный в эту окружность. Поворот вокруг
360°
центра окружности на угол а = ---- отобразит построенный
п
n-угольник на себя. Значит, в таком n-угольнике все сто-
роны конгруэнтны и все углы конгруэнтны.
Определение. Многоугольник, у которого все стороны
конгруэнтны и все углы конгруэнтны, называется правильным.
Правильный многоугольник можно построить также и
следующим образом. Разделим окружность на п конгру-
энтных дуг (и > 2). Через точки деления проведем касатель-
ные к этой окружности (рис. 51). Образованный при этом
многоугольник будет правильным (его вершинами служат
точки пересечения касательных, проведенных через соседние
точки деления). Доказательство аналогично приведенному
выше.
Задача. Постройте правильный n-угольник с помощью
транспортира, циркуля и линейки.
Для этого окружность надо разделить на п конгруэнт-
ных дуг. Угловая величина каждой из этих дуг будет рав-
360°	„
на ----. Поэтому, построив с помощью транспортира цен-
п
„	360°
тральный угол в ------, получим две, а затем, выполняя
п
360°
последовательные повороты этого угла на ------ около цен-
п
тра О, и все другие вершины искомого n-угольника (рис. 52).
Мы уже строили правильные многоугольники, вписанные
в окружность. Естественно, возникает вопрос: около всякого
ли правильного многоугольника можно описать окружность?
Рис. 51
48
с
Рис. 53
Рис. 54
Пусть ABC...L — правильный многоугольник (рис. 53).
Построим биссектрисы двух соседних его углов А и В. Они
пересекутся, так как 1 + 2 < 2d. Точку пересечения этих
биссектрис О соединим отрезками с остальными вершинами
данного многоугольника.
Так как углы А и В конгруэнтны, то конгруэнтны и их по-
ловины: Z-l^Z-2. Значит, и треугольник АО В равнобед-
ренный. Поэтому [ОА] s [О-В].
Теперь сравним треугольники АОВ и ВОС. В них ОВ —
общая сторона, [АВ]^ [ВС] (по условию), Z.2 = АЗ (как
половины угла В). Следовательно, ЛАОВ^ЛВОС, откуда
[ОВ] ~ [ОС].
Итак, [ОА] ~ [ОВ] [ОС].
Продолжая сравнение соседних треугольников, получим:
[ОА] ~ [ОВ] = [ОС] s ... s [ОВ].
Отсюда следует, что все вершины данного многоугольника
лежат на Окружности с центром О. Таким образом, мы до-
казали следующую теорему:
68. Теорема. Около всякого правильного многоугольника
можно описать окружность.
Выясним, можно ли в правильный многоугольник впи-
сать окружность.
Проведем через центр О окружности, описанной около
правильного n-угольника АВС...М, перпендикуляры к его
сторонам (рис. 54). Обозначим их основания через Ах, В1( ...
... , Mi. Поворот вокруг центра О на угол -^2- отобразит
/7	п
многоугольник на себя. При этом точка Ах перейдет в точ-
ку Вх. Точка Вг — в точку Сх и т. д. Точка Мг перейдет
в точку Аг. Следовательно, [ОАХ] з: [ОВХ] = [ОСХ] =...^ [OMj]
и точки Ап Вь Clt ... , Mt будут лежать на одной окруж-
ности^ центром О. Любая сторона данного многоугольника
будет касаться этой окружности.
Итак, доказана теорема:
49.
Теорема. Во всякий правильный
многоугольник можно вписать окруж-
ность.
Центр вписанной и описанной около
правильного многоугольника окружности
называется также центром правильного
многоугольника.
Он является центром поворота (на
360° \ s
угол---- , отображающего этот правиль-
п )
ный многоугольник на себя. Отрезок перпендикуляра, про-
веденного из центра правильного многоугольника к его сто-
роне, называется апофемой этого правильного многоуголь-
ника (апофема является радиусом вписанной окружности).
Замечание. Иногда для краткости многоугольником
называют любую замкнутую ломаную. В частности, непростая
замкнутая ломаная может образовать звездчатый много-
угольник. На рисунке 55 изображен правильный звездчатый
пятиугольник.
Вопросы и задачи
1.	Постройте правильный треугольник, вписанный в дан-
ную окружность.
2.	Постройте два правильных треугольника, вписанных
в данную окружность, так, чтобы их стороны были
соответственно параллельны.
3.	Постройте правильный четырехугольник, вписанный
в данную окружность.
4.	Постройте два правильных четырехугольника, вписанных
в данную окружность, так, чтобы противоположные
стороны одного из них были параллельны диагоналям
другого четырехугольника.
5.	Вычислите внутренние и внешние углы правильного
n-угольника (п = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12).
6.	Определите число сторон правильного многоугольника,
если:
1)	каждый из его внутренних углов имеет величину:
а) 135°; б) 150°; в) 140°;
2)	каждый из его внешних углов имеет величину:
а) 36°; б) 24°; в) 60°.
7.	Докажите, что центральный угол правильного много-
угольника конгруэнтен его внешнему углу.
8.	Постройте правильный n-уголышк по его стороне а
(п = 5, 6, 8).
9.	Впишите в данную окружность правильный: а) восьми-
угольник; б) двенадцатиугольник.
60
10.	Опишите около данной окружности правильный: а) тре-
угольник, б) четырехугольник, в) шестиугольник,
г) восьмиугольник.
11*.Из заготовки цилиндрической формы выточен болт с
квадратной головкой наибольших размеров. Каково
расстояние между противоположными гранями этой го-
ловки, если диаметр заготовки равен: а) 20 леи; б) 8 лслс?
12*.Из заготовки, имеющей форму правильной шестиуголь-
ной призмы, выточен цилиндр наибольшего диаметра.
Вычислите диаметр цилиндра, если расстояние между
противоположными боковыми ребрами заготовки равно:
а) 16 мм; б) 12 мм.
13.	а) Сколько осей симметрии имеет правильный п-угодь-
ник?
б)	Каждый ли правильный многоугольник имеет центр
симметрии?
14.	1) Сколько существует перемещений, отображающих на
себя: а) правильный пятиугольник; б) правильный шести-
угольник?
2) Из числа этих перемещений сколько будет: а) пово-
ротов; б) осевых симметрий?
116. Выражение сторон правильных многоугольников
через радиус описанной окружности
Пусть АВ — сторона n-угольника, вписанного в окруж-
ность радиуса В (рис. 56). Построим апофему ОМ. В пря-
моугольном треугольнике АОМ имеем:
1 х-х	1 360°	180°
АОМ = ЛОВ ------ ------= —,
&	£	Tl	Т1
180°
| AM | = | АО | sin АОМ = В • sin
Но | АВ | = 2 | AM | .
Следовательно, | АВ | = 2В sin ^-.
п
Сторону правильного n-угольника принято обозначать ап.
70. Теорема. Сторона ап правильного п-уголъника выра-
жается через радиус R описанной около него окружности
формулой
180°
ап = 2R sin-.
п
Следствие 1. а,- = R.
Действительно,
ае = 2В sin — = 2В sin 30°= 2Д. - = В.
6	2
Рис. 56
51
Следствие 2. ai = R\r2.
а. = 2R-sin — = 2R • sin45°= 2R -Kl = Л1/2?
4	2
Следствие 3. а3 = 2?|/Л3.
a3 = 2R • sin — = 2R sin 60° = 2R . KE = Rl^.
J	3	2
Вопросы и задачи
1.	Выразите радиус окружности, описанной около пра-
вильного n-угольника, через данную сторону ап этого
многоугольника (п = 3, 4, 6).
2.	Выразите через радиус г вписанной окружности сто-
рону ап правильного n-угольника (п = 3, 4, 6).
3.	Вычислите сторону правильного многоугольника, если
известны радиусы R и г описанной и вписанной окруж-
ностей.
4.	Выразите радиус г вписанной окружности через радиус R
описанной около правильного n-угольника окружности
(и = 3, 4, 6).
5.	В окружность радиуса 6 см вписан правильный тре-
угольник, на стороне которого построен квадрат. Вы-
числите радиус окружности, описанной около этого
квадрата.
6.	При каких значениях п сторона правильного вписанного
п-угольника:
а) больше радиуса описанной окружности; б) равна
радиусу описанной окружности; в) меньше радиуса опи-
санной окружности?
7*. п конгруэнтных окружностей, касающихся между собой
попарно, касаются внешним образом окружности ра-
диуса Л. Вычислите радиусы этих окружностей (Л = 2 cat,
п = 3).
8. По данной стороне а правильного вписанного п-уголь-
ника найдите сторону Ъ правильного описанного
п-угольника.
9*. Вычислите наименьшую диагональ правильного науголь-
ника, сторона которого равна а (а = 1 см, п = 5; а = о см,
п = 6).
10*. Через середины двух смежных сторон правильного
четырехугольника, вписанного в окружность радиуса R,
проведена хорда. Какова длина этой хорды? Произве-
дите вычисления при R = 2 см; R = 3 см.
62
117. Площадь правильного многоугольника
Для отыскания площади правильного
n-угольника разобьем его на п конгру-
энтных треугольников, соединяя отрезками
вершины с центром (рис. 57). Площадь одного
такого треугольника будет равна апг, где
г — радиус вписанной окружности.
Площадь всего многоугольника будет рав-
на -i апт. Но апп — периметр Р много-
угольника. Следовательно,
Sn = ^P-r.
а
71. Теорема. Площадь правильного мно-
гоугольника равна половине произведения
его периметра на радиус вписанной окруж-
ности.
Найдем теперь выражение площади пра-
вильного многоугольника через радиус R
описанной окружности (рис. 58):
saob = 0А । • I ов 1 • sin -АОВ;
е 1 „2 • 360°
Saob = — -R2sm----.
2	n
Тогда для площади правильного п-угольника имеем:
о 1	• 360°
Sn= — R • п  sin-.
2	п
Рис. 58
л
Вопросы и задачи
1.	Вычислите площадь правильного n-угольника, вписан-
ного в окружность радиуса Л; R = 8 см (п = 3, 4, 6).
2.	Вычислите площадь правильного n-угольника, описан-
ного около окружности радиуса г; г=4 см (п = 3, 4, 6).
3.	Стороны двух правильных одноименных многоугольни-
ков равны а и Ь. Как относятся: а) периметры этих
многоугольников; б) площади многоугольников?
4.	В окружность радиуса R вписаны и около нее описаны
правильные n-угольники. Вычислите отношение: а) их
периметров; б) их площадей (п = 3, 4, 6).
5.	Докажите, что площадь правильного n-угольника, впи-
санного в окружность радиуса R, может быть вычислена
по формуле:
Sn = — Р • R • cos^^ (где Р — периметр многоугольника).
2	п
63
§ 4. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА
118.	Длина окружности
В учебнике VI класса (пункт 7) дано определение длины
ломаной. Точное определение длины кривой линии опирается
на понятие предела числовой последовательности, с которым
вы познакомитесь в IX классе. Поэтому все сказанное в этом
пункте о длине окружности имеет предварительный характер.
Вы знаете, что любые две окружности подобны друг другу
с коэффициентом подобия, равным отношению их диаметров.
В том же отношении находятся и длины окружностей. Обозна-
чим длину окружности через С. Для длин Сг и С2 двух окруж-
ностей с диаметрами dx и d2 имеем:
С, : Сг = d, : d,, или — - —а.
L я	к A9	j	
“1 “а
Значит, длины окружностей пропорциональны их диаметрам.
Следовательно, мы можем записать это в таком виде: — =л,
d
где л (произносится «пи») :— название греческой буквы л.
Буквой л принято обозначать отношение длины окружности
к диаметру. Итак,
С = nd.
Через радиус длина окружности выражается формулой:
С = 2пт.
Длина дуги в п° вычисляется по формуле:
, 2лг	пт
360	180
«О	1
так как длина дуги в	1 равна ---длины	окружности.
360
Вопросы и задачи
1.	Как изменится длина окружности, если: а) радиус уве-
личится в п раз; б) радиус уменьшится в п раз?
2.	Вычислите длину окружности, если радиус ее равен:
а) 12,5 см\ б) 6 дм.
3.	Вычислите радиус окружности, длина которой равна:
а) 78,5 см', б) 12,42 дм.
4.	Чтобы найти толщину дерева (диаметр), измерили его
обхват (длину окружности). Вычислите толщину дерева,
обхват которого: а) 2 м\ б) 1,5 м.
5.	Сторона треугольника равна 3 см. Вычислите длину
окружности: а) вписанной в этот треугольник; б) описан-
ной около него.
в. Сторона квадрата равна 4 см. Вычислите длину окруж-
ности: а) вписанной в него; б) описанной около него.
7*. Постройте окружность, длина которой равна: а) 12 см',
б) 18 см (построение приближенно).
64
8. Минутная стрелка Кремлевских курантов имеет длину
3,6 м. Какова длина дуги, которую описывает конец
стрелки в течение: а) 5 мин; б) 1 ч?
9*. Сколько оборотов в секунду должен делать точильный
круг диаметром 160 мм, чтобы линейная скорость была
равна 1,4 м/сек1
10.	Выведите формулу, выражающую зависимость между
разностью длин двух окружностей, ограничивающих
кольцо, и толщиной кольца.
11.	Какова угловая величина дуги, длина которой равна
радиусу?
12.	Вычислите длину дуги земного экватора в 1' (радиус
земного экватора приближенно равен 6400 хле).
13.	Две дуги разных окружностей имеют одну и ту же длину.
Вычислите отношение радиусов этих дуг, если угловая
величина одной из них 25°, а другой — 45°.
119. Площадь круга
Известно, что отношение площадей двух подобных фигур
равно квадрату их коэффициента подобия.
Любые два круга подобны. Коэффициент подобия двух
кругов равен отношению их диаметров или радиусов. Сле-
довательно, площади двух кругов относятся как квадраты
их радиусов. Обозначим площадь круга через S. Отношение
площадей Sx и S2 двух кругов, радиусы которых гх и га,
записывается так:
Sx: S2 = г2: г2, или & =
Г1 г2
Итак, площади кругов пропорциональны квадратам их
радиусов. Оказывается, что коэффициент пропорциональ-
ности равен числу л. Таким образом:
S
— = л,
ИЛИ	г2
S = лг2.*
Через диаметр площадь круга выражается формулой:
S=^.
4
Часть круга, ограниченная двумя его радиусами, назы-
вается сектором.
Площадь сектора, дуга которого содержит 1°, равна ----------
360
площади круга. Поэтому площадь сектора, дуга которого
содержит п°, равна
о _ ЛГ2Л
сеК 360 ’
* Точный вывод полученной формулы будет дан в старших классах.
55
Вопросы и задачи
1.	Вычислите площадь круга, диа-
метр которого равен:
а) 4 см, б) 10 лс.
2.	Как изменится площадь круга
и длина его окружности, если:
а) диаметр уменьшить в 4 раза,
в п раз;
б)	радиус увеличить в 3 раза,
в п раз?
3.	Выразите площадь круга через
, длину его окружности.
4.	Вычислите площадь сечения
провода, если его диаметр равен:
а) 3 мм, б) 0,2 леле.
5.	Произведите необходимые изме-
рения и вычислите площади фи-
гур, изображенных на рисун-
ке 59.
6.	Обхват дерева (длина окружности): а) 88 см, б) 4 дм.
Какова площадь поперечного сечения этого дерева?
7.	Из квадратного листа жести вырезают круг наибольшей
площади. Какая часть листа уходит в обрез?
8.
В древнем Египте площадь круга принимали равной
_	8
площади квадрата, сторона которого равна — диаметра
9
этого круга. Каким значением числа л пользовались
египетские математики?
9.	Постройте круг, площадь которого была бы равна:
а) 4 смг, б) 16 № (построение приближенно).
10*.Постройте окружность, которая делила бы данный круг
на две равновеликие фигуры: кольцо и круг.
Рис. 60
11. Докажите, что сумма площадей
полукругов, построенных на ка-
тетах прямоугольного треуголь-
ника, как на диаметрах, равна
площади полукруга, построен-
ного на гипотенузе.
12. Докажите, что сумма площадей
двух заштрихованных луночек
(рис. 60) равна площади прямо-
угольного треугольника.
56
Задачи на повторение к главе IX
1.	Две окружности с центрами в точках О и Ot пересе-
каются в точках А и В. Через точку А проведены диа-
метры этих окружностей AAj и ABj. Докажите, что
точки Лр В и В± лежат на одной прямой.
2.	Постройте множество всех точек, из которых данный
отрезок виден под данным углом а.
3.	Докажите, что из всех треугольников, имеющих одно
и то же основание и равные углы при вершине, наиболь-
шую площадь имеет равнобедренный треугольник.
4.	Докажите, что из всех треугольников, вписанных в дан-
ную окружность, наибольшую площадь имеет равносто-
ронний треугольник.
5.	Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника
равна половине произведения его диагоналей на синус
угла между ними.
6.	Докажите, что из всех четырехугольников, вписанных
в окружность, наибольшую площадь имеет квадрат.
7.	Какое множество точек образуют середины всех хорд
данной окружности, проходящих через одну и ту же
точку?
8.	Даны две окружности, имеющие внешнее касание. Каксе
множество точек образуют те точки, из которых можно
провести к этим окружностям касательные равной длины?
9.	Постройте треугольник, вписанный в данную окружность,
если известны точки пересечения с окружностью продол-
жения биссектрисы, медианы и высоты треугольника,
проведенных из одной и той же вершины.
10.	В окружности проведены два диаметра. Постройте хорду,
которая делится этими диаметрами на три равные ча-
сти.
11.	Площадь кругового кольца равна площади круга, диа-
метром которого является хорда большей из окружно-
стей, касающаяся меньшей окружности. Докажите.
12.	Даны две окружности (О, г) и (Oj, гх) и прямая АВ.
Провести к данным окружностям секущую, параллель-
ную (АВ) так, чтобы сумма длин хорд этих окружностей
равнялась s.
13.	Постройте окружность, касающуюся сторсн данного
угла и проходящую через данную внутри угла точку.
14*.Постройте равносторонний треугольник, вершины кото-
рого лежат на трех данных прямых.
15*.Постройте квадрат, если даны точки А, В, С, D, лежа-
щие на его сторонах (на каждой стороне по одной).
16*.Внутри квадрата А1А2А3А4 взята точка Р. Из вершины А4
проведена прямая, перпендикулярная к прямой АйР, из
вершины А2 — к прямой А3Р, из вершины Аэ—к прямой
57
АцР и из вершины Л4 — к прямой Л4Р. Докажите, что
все четыре перпендикуляра пересекаются в одной точке.
17. В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС
с углом при вершине В = 36°. Из вершины угла А про-
ведена биссектриса, пересекающая окружность в точке D.
Докажите, что отрезок BD — сторона правильного пяти-
угольника, вписанного в эту окружность.
18.	В данную окружность впишите правильный десяти-
угольник.
19.	Около правильного многоугольника со стороной а опи-
сана окружность, в него вписана другая окружность.
Вычислите площадь образовавшегося кольца.
20.	Правильный n-угольник вращается вокруг своего центра.
При каких значениях угла поворота а этот п-угольник
будет совмещаться сам с собой?
21.	Вычислите сторону правильного вписанного и описан-
ного: а) десятиугольника; б) двенадцатиугольника;
в) пятнадцатиугольника, зная радиус г окружности.
22.	Пусть точка О лежит на серединном перпендикуляре к
отрезку АВ. При вращении плоскости вокруг центра О
отрезок АВ заметает кольцо, определяемое окружностя-
ми с центром О. Докажите, что площадь кольца не за-
висит от расстояния точки О до отрезка АВ.
Глава X.
НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СТЕРЕОМЕТРИИ
§ 1. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧЕК,
ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ
Часть геометрии, в которой изучаются пространственные
фигуры, называется стереометрией. В этой главе в большин-
стве случаев без доказательств даны лишь начальные све-
дения из стереометрии. Систематический курс стереометрии
будет изучаться в IX—X классах средней школы.
120. Основные свойстве прямых и плоскостей
Два основных свойства прямых и плоскостей вы уже
знаете. Они сформулированы в аксиомах:
1. Через любые две различные точки проходит одна и
только одна прямая.
2. Прямая, проходящая через две различные точки плос-
кости, лежит в этой плоскости.
В стереометрии нужны еще и другие аксиомы, выражаю-
щие свойства прямых и плоскостей.
Проведем некоторые наблюдения. На рисунке 61,а вы
видите три стержня разной длины, укрепленные вертикально.
Их начала расположены в одной плоскости. На концах стерж-
ней лежит плоская пластина. На рисунке 61,6 четыре
стержня. Лежат ли их концы в одной плоскости? Можно ли
через них провести плоскость? На рисунке 61,в два стержня.
Определяют ли их концы плоскость?
59
Вывод, который можно сделать из этих наблюдений, таков:
3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, про-
ходит одна и только одна плоскость.
На рисунке можно изобразить лишь часть плоскости.
Например, на рисунке 62,а изображена плоскость <в с про-
веденной в ней прямой АВ. На рисунке 62,6 — плоскость а
и в ней параллельные прямые а и Ъ.
Представьте, что две различные плоскости имеют общую
точку. (Покажите такие плоскости в окружающей обстановке.)
Только ли одну общую точку имеют эти плоскости? Как
расположены такие точки? Ответив на последние вопросы,
вы пришли еще к одному свойству прямых и плоскостей.
Его мы также примем за аксиому.
4.	Если две различные плоскости имеют общую точку, то
они имеют общую прямую, проходящую через эту точку.
На основе принятых аксиом можно доказать многие свой-
ства прямых и плоскостей. Например:
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит одна
и только одна плоскость.
Доказательство. Пусть даны прямая а и точка В
вне ее. Возьмем на прямой а какие-либо две точки: С и D
(рис. 63). Тогда плоскость, проходящая через прямую а и
точку В, должна проходить через три точки: В, С и D. По
аксиоме 3 через такие три точки проходит только одна
плоскость а. Она и есть единственная плоскость, проходя-
щая через точку В и прямую а (см. аксиому 2).
Вопросы и задачи
1°. Какой фигурой является множество общих точек двух
различных плоскостей?
2°. Почему штативы фотоаппаратов, геодезических приборов
имеют три опорные ножки? Почему стол, имеющий че-
тыре ножки, не всегда устойчив?
3°. Могут ли две плоскости иметь только одну общую точку?
4°. Что можно утверждать о двух плоскостях, имеющих три
общие точки?
5°. Можно ли утверждать, что плоский выпуклый много-
угольник принадлежит плоскости а, если известно, что
60
этой плоскости принадлежит:
~ а) одна его точка; б) две его точ-
ки; в) три вершины многоуголь-
ника?
6.	На рисунке 64 изображен куб.
Сколько он имеет граней? ребер?
вершин? Какими фигурами явля-
ются его грани? Лежат ли в одной
плоскости точки: a) A, D,Dlt т41;
б) A, D, Clt Вх; в) В, D, Dlt В^,
r)D, С, С15 Вв д) В, D, Clt Ах?
Указание. В случаях б) и
в) учтите, что две параллельные
прямые определяют
единственную плоскость.
7.	Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая
не могут иметь более одной общей точки.
8.	Докажите, что через две пересекающиеся прямые про-
ходит одна и только одна плоскость.
121. Взаимное расположение прямых.
Взаимное расположение плоскостей
Вы уже знаете, что две прямые на плоскости могут пере-
секаться или быть параллельными. В пространстве возможны
не только эти случаи.
Возьмем куб (рис. 64). Рассмотрим три пары прямых:
ААХ и АхВц AD и AiDlt AD и AxBj.
Прямые ААХ и A^j пересекаются. Прямые AD и AxDx
параллельны. А что можно сказать о прямых AD и AxBi?
Они не пересекаются, но и не параллельны. Эти прямые
не лежат в одной плоскости.
Определение. Две прямые, которые не пересекаются
и не параллельны, называются скрещивающимися.
Наблюдения показывают, что две прямые в пространстве
могут:
1) лежать в одной плоскости: а) пересекаться, б) быть
параллельными;
2) не лежать в одной плоскости — быть скрещивающимися.
Попытайтесь представить с помощью моделей случаи вза-
имного расположения двух плоскостей* (рис. 65). Таких
случаев три:
1.	Две плоскости не имеют общих точек. Примером та-
ких плоскостей являются плоскости потолка и пола комнаты.
2.	Две различные плоскости имеют общую точку. Тогда
они имеют и общую прямую (по аксиоме 4). В этом случае
они называются пересекающимися. Примером пересекаю-
* Здесь мы имеем в виду д#е рамичцые плоскости.
•1
Рис. 65
щихся плоскостей являются плоскости потолка и одной из
стен комнаты.
3.	Две плоскости имеют три общие точки, не лежащие
на одной прямой. Тогда они совпадают (по аксиоме 3).
В случаях 1 и 3 две плоскости называются параллельными.
Определение. Две плоскости называются параллель-
ными, если они не имеют общих точек или совпадают.
Для параллельности плоскостей, как и для параллель-
ности прямых, выполняется свойство транзитивности:
если а || р и р || V, то а || у.
Вопросы и задачи
1°.Каким может быть взаимное расположение двух прямых
на плоскости? двух прямых в пространстве? Покажите
на моделях.
2°.В каких случаях две прямые определяют плоскость, со-
держащую эти прямые?
3°.Верно ли высказывание: если две прямые в простран-
стве не пересекаются, то они параллельны?
4°.Приведите примеры скрещивающихся прямых из окру-
жающей обстановки. Чем отличаются скрещивающиеся
прямые от параллельных?
5°.Укажите несколько примеров параллельных прямых на
моделях из окружающей среды.
6°.Может ли прямая быть параллельна: а) только одному
ребру куба; б) только двум; в) только трем?
7°. Две прямые одной плоскости параллельны двум пря-
мым другой плоскости. Верно ли высказывание, что
такие плоскости всегда параллельны? (Воспользуйтесь
моделью.)
в. Верно ли высказывание: прямые пересечения двух па-
раллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны
между собой? (При ответе воспользуйтесь примерами из
окружающей обстановки.)
9.	На рисунке 66 изображен прямоугольный параллелепи-
цед. а) Каково взаимное расположение прямых и
CCj? AAL и ВС? BLC и CCj? DB1hD1C? ВВ± и D±C?
62
Рис. 66
б)	Определяют ли плоскость прямые
AD и BiCi? DC и PCr? DtC и BrD?
ААГ и DBJ
10.	В пространстве дан угол. Будут ли ле-
жать в одной плоскости все прямые,
каждая из которых: а) пересекает сто-
роны этого угла в двух различных точ-
ках; б) проходит через вершину угла;
в) пересекает одну из сторон угла и па-
раллельна другой стороне; г) пересекает
одну из сторон и не имеет общих точек
с другой стороной?
11.	Прямая а пересекает плоскость ос. Может ли в плоско-
сти ос лежать прямая, параллельная прямой а?
12.	Какие из следующих высказываний верны и какие ложны
для плоскости, для пространства: а) через точку, лежа-
щую на данной прямой, можно провести только одну
прямую, перпендикулярную этой прямой; б) через точку,
лежащую вне данной прямой, можно провести к этой
прямой перпендикуляр, и только один; в) прямые, пер-
пендикулярные к одной и той же прямой, параллельны
между собой; г) прямая, пересекающая одну из двух
параллельных прямых, пересекает и другую; д) два
перпендикуляра к двум пересекающимся прямым пере-
секаются?
13.	Две пересекающиеся плоскости пересечены третьей пло-
скостью. Могут ли прямые пересечения этих плоскостей
быть: а) параллельными, б) пересекающимися, в) скре-
щивающимися? (Рассмотрите модели.)
122.	Взаимное расположение прямой и плоскости.
Перпендикуляр к плоскости
Представьте себе различные случаи взаимного располо-
жения прямой и плоскости (рис. 67). Покажите их на мо-
делях. Таких случаев три:
1)	Прямая не имеет с плоско-
стью общих точек.
2)	Прямая имеет с плоскостью
две общие точки. Тогда она лежит
в этой плоскости (по аксиоме 2).
В этих случаях прямую называют
параллельной плоскости.
Прямая параллельна плоско-
сти, если она не имеет с этой плоско-
стью общих точек или лежит в
ней.
63
3)	Прямая имеет с плоско-
стью только одну общую точку.
Тогда прямая называется пере-
секающей эту плоскость. На
рисунке 67 прямая Ъ пересека-
ет плоскость (0.
Рассмотрим случай, когда
прямая, пересекающая пло-
скость, перпендикулярна этой
плоскости. На рисунке 68 из-
ображена модель, состоящая из
трех стержней. Стержни АВ и CD жестко прикреплены к
стержню MN в точке М и перпендикулярны ему.
Поставим такую модель на какую-нибудь плоскость, на-
пример на плоскость стола, так, чтобы стержни АВ и CD
лежали на ней.
Теперь представьте, что мы вращаем прямую АВ вокруг
оси MN. При таком вращении прямые АВ и CD будут
скользить по поверхности стола. Наблюдения приводят к вы-
воду, что все перпендикуляры к прямой MN, проведенные
через ее точку М, лежат в одной плоскости. Эта плоскость а
(рис. 68) называется перпендикулярной к прямой MN, а пря-
мая MN— перпендикулярной плоскости а (или перпендику-
ляром к а).
Перпендикулярность прямой MN и плоскости а обозна-
чается так: (MN) ± а.
Примем без доказательства три теоремы.
1.	Если прямая MN пересекает плоскость а в точке М
и перпендикулярна двум различным прямым АВ и CD этой
плоскости, проходящим через данную точку М, то данная пря-
мая MN перпендикулярна плоскости а.
2.	Через любую точку можно провести перпендикуляр к
данной плоскости, и только один.
3.	Два перпендикуляра к одной и той же плоскости
параллельны (рис. 69).
64
Если через точку А (рис. 70)
провести перпендикуляр АО к
плоскости а (О € а), то длина от-
резка АО называется расстоянием
от точки А до плоскости а (точка
О — основание этого перпендику-
ляра).
Если две плоскости параллель-
ны, то расстояния от каждой из
точек одной плоскости до другой
плоскости равны (покажите это на
моделях). Поэтому расстояние от
любой точки одной из двух па-
раллельных плоскостей до другой из них называют рассто-
янием между этими плоскостями. Например, длина любого
из отрезков AAlt BBlt CClt DDt (рис. 71) есть расстояние
между параллельными плоскостями а и ах.
Вопросы и задачи
1.	Проиллюстрируйте все возможные случаи взаимного рас-
положения прямой и плоскости на модели куба и на его
рисунке.
2.	Покажите на моделях из окружающей обстановки перпен-
дикуляры к одной и той же плоскости. Что можно ска-
зать о взаимном расположении этих перпендикуляров?
3.	Прямые АВ и CD перпендикулярны плоскости а. Су-
ществует ли плоскость, проходящая через эти прямые?
4.	Как расположены две плоскости, перпендикулярные
одной и той же прямой?
5°. Ребро куба равно а. Чему равно расстояние от одной
из вершин куба: а) до его граней; б) до его вершин?
6°. Сторона основания куба равна а. Чему равно расстоя-
ние: а) между противоположными гранями куба; б) между
ребрами куба?
7.	По рисунку прямоугольного параллелепипеда (см. рис. 66)
укажите: 1) каким граням перпендикулярно ребро:
а) ААХ; б) АВ\ в) ВгСх', 2) каким
ребрам перпендикулярна грань
DCCpDp	д
8. На рисунке 72 изображена треуголь-	А
ная пирамида; углы DC A, DC В и /1\.
АС В — прямые. Каким ребрам пер- / / \
пендикулярны грани ACD\ DCB\ АС В?	/ I \
9. Верны ли следующие высказы- / !с \
вания: а) прямая перпендикулярна
плоскости, если она перпендикулярна А	" В
двум различным прямым, лежащим Рис. 72
3 Геометрия, 8 кл. |	Q&
в этой плоскости; б) две прямые, перпендикулярные
одной и той же прямой, параллельны?
10.	а) Как на практике (с помощью отвеса) можно прове-
рить вертикальность установки столба? б) Как с по-
мощью уровня может быть проверена горизонтальность
установки подставки для прибора?
11.	Как определяется расстояние* от точки М, данной вне
плоскости а: а) до плоскости а; б) до прямой, лежащей
в плоскости а; в) до точки, лежащей в плоскости а;
г) до отрезка, лежащего в плоскости а?
12.	а) Сколько можно провести прямых, параллельных дан-
ной плоскости и проходящих через данную точку At
б) Сколько плоскостей можно провести через одну из
двух параллельных прямых параллельно другой прямой?
13.	Может ли плоскость пересекать: а) только одну из двух
параллельных прямых; б) только одну из двух пересе-
кающихся прямых?
14*. Дано: а || Ь, а || а. Каким может быть взаимное располо-
жение прямой b и плоскости а?
15*. Дано: а П а = -А, b || а. Каким может быть взаимное рас-
положение прямых а и &?
123. Ортогональное проектирование
Пусть даны прямая I и точка А вне ее (рис. 73). Прове-
дем через точку А перпендикуляр к прямой I. Основание
этого перпендикуляра — точка — называется ортогональной
проекцией точки А на прямую I. На рисунке 74 отрезок CD
является ортогональной проекцией отрезка АВ на прямую а.
(Отрезки АВ и CD лежат в одной плоскости.)
Пусть даны плоскость <в и точка А вне ее (рис. 75). Про-
ведем через точку А перпендикуляр к плоскости <о. Осно-
вание этого перпендикуляра—точка Aj—называется орто-
* За расстояние от точки А до фигуры Ф принимается наименьшее из
расстояний между точкой А я точками фигуры Ф. За расстояние между
двумя фигурами Ф и Ф1 принимается наименьшее из всех расстояний между
точками фигуры Ф и точками фигуры Ф1.
вб
тональной проекцией точки А на
плоскость о. Точка В (рие. 75) лежит
на плоскости о. Ее проекцией яв-
ляется она сама (Bt = В).
Пусть прямая АВ не перпендику-
лярна плоскости (рис. 76). Тогда ор-
тогональные проекции точек прямой
АВ на плоскость ш будут лежать
на одной прямой А1В1.
Прямая	—ортогональная про-
екция прямой АВ на плоскость.
Вопросы и задачи
1.	Покажите на модели куба проек-
ции точек (отрезков, параллель-
ных отрезков) на плоскость ос-
нования куба.
2.	Верно ли высказывание: ортого-
нальные проекции параллель-
ных прямых на плоскость также
параллельны, если данные пря-
мые не перпендикулярны этой
плоскости (рис. 77)?
3.	На плоскость спроектированы
три точки. Сколько различных
точек может получиться при этом
на плоскости проекций?
4.	На плоскость спроектированы:
а) две параллельные прямые;
б) две пересекающиеся прямые;
в) две скрещивающиеся прямые.
Какими фигурами могут ока-
заться эти проекции?
5.	На рисунке 78 дан прямоугольный
параллелепипед ABCDAiBjCiPi.
Найдите проекции на нижнее
основание: а) точки At; б) точки В;
в) ребра AjBi; г) ребра АА^,
д) ребра BiC-l', е) отрезка PiBj;
ж) отрезка ВС; з) отрезка BDi’,
и) верхнего основания; к) гра-
ни ВСС^В-^, л) диагонали ADt.
6.	Верны ли высказывания: а) про-
екции двух конгруэнтных отрез-
ков на данную Плоскость конг-
руэнтны; б) если проекции двух
прямых пересекаются, то и сами
3*
прямые пересекаются; в) если отрезки лежат на одной
прямой, то их проекции на данную плоскость лежат
на одной прямой?
7*. Покажите на моделях, в каких случаях проекцией рав-
ностороннего треугольника на плоскость может быть:
а) равносторонний треугольник; б) равнобедренный тре-
угольник; в) разносторонний треугольник; г) отрезок.
§ 2. ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ОБЪЕМЫ НЕКОТОРЫХ ТЕЛ
124. Прямая призма
Представьте себе две параллельные плоскости а и cclt
На одной из них взят многоугольник, например пятиуголь-
ник ABCDE (рис. 79). Через его вершины проведены пер-
пендикуляры к плоскостям а и ос1. Точки пересечения их
со второй плоскостью обозначены соответственно через Л^Вх,
Di, Ei. Четырехугольники ААхВхВ, ВВ^С и т. д.—пря-
моугольники. Полученный пятиугольник AiBiCiDiEi будет
конгруэнтен пятиугольнику ABCDE. Поверхность, состоящая
из двух указанных пятиугольников и пяти прямоугольни-
ков (рис. 80), разбивает множество не принадлежащих ей
точек пространства на две области — внешнюю и внутрен-
нюю. Объединение этой поверхности с внутренней областью
называется пятиугольной прямой призмой.
На рисунке 81 изображены треугольные и четырехуголь-
ные прямые призмы.
Многоугольники, из которых состоит поверхность прямой
призмы, называют ее гранями. У всякой прямой призмы
имеются две конгруэнтные между собой грани, лежащие в
параллельных плоскостях. Это—основания призмы. Осталь-
ные грани—прямоугольники. Их называют боковыми гра-
нями. Стороны граней призмы называются ее ребрами, а
Рис. 79
Рис. 80
«б
Рис. 81
концы ребер—вершинами. Ребра, не лежащие в основании
призмы, называют боковыми ребрами.
Все боковые ребра прямой призмы перпендикулярны ее
основаниям и конгруэнтны между собой. Боковое ребро
прямой призмы является ее высотой.
Прямая призма называется правильной, если ее основа-
нием является правильный многоугольник.
Прямая призма, в основании которой лежит параллело-
грамм, называется прямым параллелепипедом. Если же
в основании прямой призмы лежит прямоугольник, то она
называется прямоугольным параллелепипедом. Прямоуголь-
ный параллелепипед, все ребра которого конгруэнтны между
собой, называется кубом.
Длины трек ребер прямоугольного параллелепипеда, вы-
ходящих из какой-нибудь одной его вершины, называются
измерениями прямоугольного параллелепипеда.
Задание. Постройте на листе бумаги два симметрич-
ных, относительно оси, многоугольника так, чтобы одна сто-
рона многоугольника была параллельна оси MN. (На ри-
сунке 82 взяты пятиугольники.) Затем пристройте прямо-
Рис. 82
99
угольники, как на рисунке: |АВ2| = |АВ|,
|В2Са| ~ |ВС|, |С2В2| = |CD|, |Z>2E2|=|DE|.
Получите развертку прямой пятиуголь-
ной призмы. Если согнуть ее надлежащим
образом по сторонам прямоугольников, то
получится поверхность прямой пяти-
угольной призмы (рис. 83).
Площадь боковой поверхности призмы
является суммой площадей прямоугольни-
ков, являющихся боковыми гранями ее.
Обозначив через h высоту призмы и через
а, Ь, ..., f стороны основания (рис. 83),
получим следующую формулу для вычисления площади бо-
ковой поверхности прямой призмы:
Вбок = оЛ + ЬЛ + •••	—
= (а + Ъ + ... + n h = Ph,
где Р — периметр основания призмы.
Вбок — Ph-
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна про-
изведению периметра основания призмы на ее высоту.
Площадь поверхности* прямой призмы равна сумме пло-
щади боковой поверхности и площадей обеих ее оснований.
Впр = Вбок + SSocn,
где S0CII — площадь основания.
В младших классах вы уже вычисляли объем прямо-
угольного параллелепипеда по формуле:
V = abc,	(1)
где а, Ъ и с — соответственно длина, ширина и высота парал-
лелепипеда (рис. 84). Формулу (1) можно записать в виде:
V = Sh.
(2)
S = ab — площадь основания, h = с — вы-
сота. Оказывается, формула (2) верна для
любой призмы.
Объем прямой призмы равен произве-
дению площади ее основания иа высоту.
* Иногда вместо слов «поверхность призмы» го-
ворят «полная поверхность призмы».
ТО
Вопросы и задачи
1.	Нарисуйте правильную тре-
угольную и правильную четы-
рехугольную призмы.
2.	Вычертите развертку правиль-
ной треугольной призмы.
3.	а) Сколько граней имеет «-уголь-
ная призма? б) Какой много-
. угольник служит основанием призмы, имеющей п
граней? в) Сколько граней имеет неочиненный шести-
гранный карандаш?
4.	Какова зависимость между числом боковых граней пря-
мой призмы и числом ребер ее основания?
5.	Какое наименьшее число граней (ребер, вершин) может
иметь прямая призма?
6.	Какими фигурами являются грани прямого параллеле-
пипеда, все измерения которого равны?
7.	Существует ли призма, число ребер которой равно:
а) 8; б) 15; в) 13?
8.	Основанием прямой призмы служит прямоугольный
треугольник с катетами 5 см и 6 см. Высота призмы
8 см. Вычислите площадь поверхности и объем призмы.
9.	Основанием прямой призмы служит ромб с диагоналями
6 см и 8 см. Высота призмы 12 см. Вычислите Площадь
боковой поверхности и объем призмы.
10.	На рисунке 85 изображен сарай с двускатной крышей,
длина которого 12 м. Остальные размеры указаны на
рисунке. Вычислите: а) площадь кровли сарая; б) ем-
кость чердачного помещения; в) емкость всего сарая.
11.	Найдите расстояние от вершины А до вершины
прямоугольного параллелепипеда, зная его измерения:
а = 3 см, Ъ = 4 см и с = 5 см (рис. 86).
12.	Практическая работа. Сделайте развертку пря-
мой призмы, основание которой — прямоугольный тре-
угольник с катетами 3 см а 4 см. Согните и Оклейте ее
так, чтобы получилась модель поверхности призмы
(предварительно сообрази-
те, какие выступы нужно
сделать у этой развертки
для склеивания).
13.	Выполните необходимые
измерения и вычислите по
двум ортогональным . про-
екциям прямой треуголь-
ной призмы на горизон-
тальную и вертикальную
плоскости (рис. 87):
71
Рис. 88
а) площади боковых гра-
ней; б) площадь основа-
ния.
14. Практическая ра-
бота. Возьмите модель
прямой треугольной при-
змы, выполните необхо-
димые измерения и вы-
числите площадь поверх-
ности призмы.
15. Из листа картона, раз-
меры которого 240 мм х
X 160 мм, вырезали по углам квадраты со стороной 40 мм
и из получившейся крестовины (рис. 88), загнув края,
склеили открытую сверху коробку. Вычислите площадь
дна, площадь всех боковых стенок этой коробки и ее
объем.
125.	Общие свойства объемов
Более подробно мы займемся вычислением объемов в X
классе. В VIII классе необходимо усвоить без вывода не-
сколько формул объемов простейших тел. Но уже сейчас
мы познакомимся с точной постановкой задачи измерения
объемов (рекомендуем сравнивать эту задачу с задачей из-
мерения площадей, о которой говорилось в пункте 51 учеб-
ника для VII класса).
Единицей измерения объема будем считать объем куба
с длиной ребра е (где е — единица измерения длины).
Этот объем обозначается е3. Любой объем V выражается
через эту единицу измерения в виде: V = ге3, где v — число-
вое значение объема (при данной единице измерения). В даль-
нейшем, считая единицу измерения выбранной, будем гово-
рить о числовых значениях объемов. Задача состоит в том,
чтобы всем многогранникам, а по возможности и другим
фигурам Ф поставить в соответствие определенные числа
V (Ф) > 0, обладающие такими свойствами:
1.	Если фигуры Фх и Ф2 конгруэнтны, то
V (Фх) = V (Ф2).
2.	Если многогранник Ф является объединением много-
гранников Фх и Ф2, не имеющих общих внутренних точек, то
V (Ф) = V (Фх) + V (Ф2).
3.	Если фигура Ф есть часть фигуры Фг (т. е. подмно-
жество Фх), то
V (Ф)< V (Фх).
72
V (Е) = 1.
Можно доказать, что при заданной единице длины е эта
задача для многогранников имеет одно единственное реше-
ние. Только одним единственным образом можно всем много-
гранникам ф поставить в соответствие числа V (Ф) с соблю-
дением требований 1— 4. Покажем это для прямоугольных
параллелепипедов, длина, ширина и высота которых выра-
жаются рациональными числами. Приведя числовые значе-
ния длины, ширины и высоты параллелепипеда к общему
знаменателю, запишем в виде:
р g г
п ’ п ’ п
Легко видеть (рис. 89), что взятый параллелепипед состав-
лен из т = pqr кубиков с ребром — • е (на рисунке р = 10,
п
?=11, г=9). Так как куб с ребром е составляется из п® таких
кубиков, числовое значение объема каждого из них есть 1: п3.
Следовательно, числовое значение объема всего парал-
лелепипеда есть V = р-q-r-— = — • — • —, что и требовалось
п9- п п п
Г»

Рис. 90
доказать. Объем произвольной фигуры можно оценить при-
ближенно сверху и снизу, подобно тому как это было пока-
зано в пункте 51 на примере площади круга (подробнее об
этом будет сказано в пункте 127).
Задание. По данным, указанным на рисунке 89, най-
дите числовое значение объема соответствующего паралле-
лепипеда.
Вопросы и задачи
Практические работы.
1. На модели прямого параллелепипеда выполните необхо-
димые измерения и вычислите ее объем.
2. На модели прямой треугольной призмы выполните необ-
ходимые измерения и вычислите ее объем.
126. Пирамиды
На рисунке 90 изображены пирамиды.
Как можно получить пирамиду? Возьмем какой-нибудь
многоугольник. Он будет основанием пирамиды. Вне пло-
скости этого многоугольника возьмем точку S (рис. 91).
Соединим ее отрезками со всеми вершинами многоугольника
(рис. 92). Треугольники SAB, SBC и т. д. называются боко-
выми гранями пирамиды, точка S — вершиной пирямиды,
Поверхность пирамиды состоит из многоугольника (основа-
ния пирамиды) и треугольников (боковых граней). Разли-
чают треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д.
74
пирамиды, в зависимости от вида многоугольника, лежа*
щего в основании пирамиды. (Рассмотрите различные виды
пирамид на моделях.)
Прямые призмы и пирамиды являются частными видами
многогранников. Другие примеры многогранников даны на
рисунке 93. Поверхность каждого из многогранников со-
стоит из многоугольников.
Высотой пирамиды (рис. 94) называется отрезок перпен-
дикуляра, проведенного через вершину пирамиды к пло-
скости ее основания (концами этого отрезка являются вер-
шина пирамиды и основание перпендикуляра). На рисунке
SO — высота.
Пирамида называется правильной, если основанием ее
является правильный многоугольник, а вершина проекти-
руется в центр основания.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведен-
ная из вершины пирамиды, называется апофемой пирамиды
(рис. 95). На рисунке SM и SN — апофемы. Все апофемы
правильной пирамиды конгруэнтны между собой (н больше
апофемы основания).
Площадь одной боковой грани правильной п-угольной
пирамиды равна — ап*^бок> гДе ап—сторона основания, й6ок —
2
апофема пирамиды.
Рис. 94
75
Так как все боковые грани правильной пирамиды кон-
груэнтны, то площадь боковой поверхности пирамиды равна:
1-1, „   О'П'Лбок	Р'^бок
«— Д* П&п„ЧЬ — 1	1 —	f
2	2	2
где Р — периметр основания пирамиды.
Итак,
Если апофему основания пирамиды обозначить через
йос„, то полная поверхность правильной пирамиды будет
равна:
Япир =	| Р • (Лбок + Лоев).
А	А	А
Объем любой пирамиды равен одной трети произведения
площади ее основания на высоту:
^пир = 7Г ®осн"Л.
О
Вывод этой замечательной формулы довольно труден и
будет дан только в X классе.
Вопросы и задачи
1.	Сколько ребер и сколько граней имеет n-угольная пи-
рамида?
2.	Назовите многогранники, которые вам уже известны.
3.	Нарисуйте треугольную и четырехугольную пирамиды.
4.	Какое наименьшее число граней может иметь много-
гранник?
б.	Какое наименьшее число вершин может иметь много-
гранник?
в. Какое наименьшее число ребер может иметь много-
гранник?
7.	Вычислите площадь поверхности и объем каждой из
правильных пирамид, изображенных на рисунке 96.
Рис. 96
Гв
8.	Вычислите объем правильной а) треугольной; б) четы-
рехугольной; в) шестиугольной пирамиды, сторона осно-
вания которой равна а и высота h (а = 16 см, h = 20 см).
9.	Вычислите объем правильной четырехугольной Пира-
миды, боковое ребро которой Ь, а радиус окружности,
описанной около основания, R.
10.	Вычислите площадь поверхности и объем правильной
четырехугольной пирамиды, высота которой h, а радиус
вписанной в основание окружности г.
Практические работы.
11.	На модели треугольной пирамиды выполните необходи-
мые измерения и вычислите площади ее боковых граней,
площадь основания и объем этой пирамиды.
12.	На модели четырехугольной пирамиды, в основании
которой лежит прямоугольник, выполните необходимые
измерения и вычислите площади боковых граней, пло-
щадь основания и объем этой пирамиды.
13.	Начертите развертку треугольной пирамиды, в основа-
нии которой лежит равносторонний треугольник, а все
боковые ребра имеют одну и ту же длину. Изготовьте
из этой развертки модель пирамиды.
14.	Начертите развертку четырехугольной пирамиды, в ос-
новании которой лежит квадрат, а все боковые ребра
имеют одну и ту же длину. Изготовьте из этой раз-
вертки модель Пирамиды.
127. Цилиндр
Цилиндрическую форму имеют многие предметы (приве-
дите примеры).
Наглядное представление о цилиндре можно получить,
вращая прямоугольник вокруг одной из его сторон (рис. 97).
Основания цилиндра — конгруэнтные между собой круги.
Боковая поверхность — кривая поверхность, называемая
цилиндрической (рис. 98).	_____
Если развернуть боковую поверх-
ность цилиндра, то получится прямо-	_____
угольник, длина стороны которого |
равна длине окружности основания
рис. т
Рис. 88
п
Рис. 99
цилиндра, а высота — высоте
цилиндра. Следовательно,
развертка цилиндра . состоит
из прямоугольника и двух
кругов (рис. 99).
Зная радиус основания
цилиндра и его высоту, мож-
но вычислить площадь по-
верхности цилиндра.
Площадь основания равна
лВ2, площадь обоих основа-
ний 2лЯ2.
Площадь боковой поверх-
ности цилиндра равна пло-
щади прямоугольника, основание которого равно 2лЯ, а
высота h, т. е. равна 2лЯЛ.
Площадь поверхности цилиндра будет:
Яцнд = 2лЯ2 + 2лЯй = 2лЯ (Я + А).
Объем цилиндра равен произведению площади его осно-
вания на высоту:
76
Доказательство этой формулы дается в X классе. Но вы
можете понять ее происхождение из следующего наглядного
примера. На рисунке 100 показано, что цилиндр с диа-
метром основания и высотой е помещается полностью в
объединении 88 • 10 = 880 кубиков с ребром е : 10 и содержит
в себе объединение 60 • 10 = 600 неперекрывающихся таких
же кубиков. Поэтому числовое значение объема этого ци-
линдра заключено в пределах
600
1009
880
1000
Пользуясь кубиком с ребром е : п при достаточно большом п,
можно было бы оценить объем взятого цилиндра со сколь
угодно большой точностью.
Вопросы и задачи
1.	Нарисуйте цилиндр.
2.	Начертите развертку цилиндра, размеры которого выбе-
рите сами.
3.	Вычислите площадь поверхности и объем цилиндра по
следующим данным: а) диаметр основания равен 12 см,
высота 3,5 см', б) радиус основания 18 см, высота 2,5 дм.
4.	Выразите объем цилиндра через высоту его и длину
окружности основания.
5.	Сравните объемы трех цилиндров: два из них получаются
вращением прямоугольника со сторонами 6 см и 10 см
вокруг каждой из двух смежных сторон, а третий — вра-
щением квадрата, периметр которого равен периметру
этого прямоугольника, вокруг
стороны.
6.	Практическаяработа. На
модели цилиндра проведите необ-
ходимые измерения и вычислите:
а) площадь боковой поверхности;
б) площадь поверхности; в) объем
модели.
7*. Вычислите массу стального коль-
' ца (рис. 101), если плотность стали
7,9 г/см?. (На рисунке размеры
даны в миллиметрах.)
128. Конус
Наглядное представление о конусе можно получить, вра-
щая прямоугольный треугольник около одного из его кате-
тов (рис. 102). Катет SO при этом будет высотой конуса.
79
Рис. 102
Второй катет ОА описывает круг,
который называется основанием кону-
са. Гипотенуза SA описывает боковую
поверхность конуса; отрезок SA на-
зывается образующей конуса.
Развертка конуса состоит из сек-
тора, радиус которого есть [SA], и
круга, лежащего в основании конуса
(рис. 103, а).
Площадь боковой поверхности ко-
нуса равна площади сектора SAB
(рис. 103, б):
Q _ п^2д
б°к — 360 ’
где L — длина образующей SA, п—ве-
личина угла ASB.
Из пункта 118 известно, что дуга
, лЛп
в п градусов имеет длину I =
Тогда
с	лЛ2п	nZn L	, L
°°к	360	180	2	2
Но длина I дуги АВ есть длина ок-
ружности основания конуса. Если ра-
диус основания конуса обозначить
через R, то I = 2лЯ, и поэтому площадь
боковой поверхности конуса будет:
^бок.кон = I ‘	~ ~т~  2лЯ = лЛХ.
22 а
^бок.кон = лЛХ.
Площадь поверхности конуса равна:
SK0H = nj?Z + nB2 = nB (Я + L).
®кои = n-R (-R + L).
Объем конуса равен одной трети
произведения площади его основания
на высоту:
Ик0н = -1лЯ2й.
О
Формула объема конуса выглядит точ-
но так же, как формула объема пи-
рамиды. Это не удивительно, так как
конус очень похож на пирамиду с
основанием в виде правильного много-
угольника с достаточно большим чис-
лом сторон (рис. 104).
Рис. 104
80
Вопросы и задачи
1.	Нарисуйте конус.
2.	Постройте развертку конуса, размеры которого выберите
сами.
3.	Может ли длина образующей конуса равняться: а) его
высоте; б) радиусу окружности основания? Ответ обо-
сновать.
4.	Вычислите высоту конуса, если его образующая 13 см, а
диаметр основания 10 см.
5.	Вычислите площадь поверхности и объем конуса по сле-
дующим данным: а) образующая равна 1,6 дм и радиус
основания 4 см; б) образующая равна 15 ем и высота
10 см; в) высота равна 2,4 дм и радиус основания 15 см.
6.	Прямоугольный треугольник с катетами 40 см и 20 ем
вращается вокруг большего из катетов. Вычислите объем
и площадь поверхности полученного при вращении
конуса.
7.	Как изменится объем конуса, если: а) его высота увели-
чится в п раз, а радиус окружности основания не изме-
нится; б) радиус окружности основания увеличится в п
раз, а высота не изменится?
8.	Вычислите объем вырытой в земле конической воронки,
образующая которой равна 2 м, а длина окружности 8 м.
9.	Практическая работа. На моделях правильной
пирамиды, цилиндра, конуса произведите необходимые
измерения и вычислите площади поверхностей и объемы
этих тел.
129. Шар
Множество всех точек пространства, находящихся на
данном расстоянии от данной точки, называется сферой.
Данная точка называется центром сферы. Отрезок, соединяю-
щий центр сферы с одной из ее точек, называется радиусом
сферы.	,
Множество всех точек простран-
ства, находящихся от данной точки
на расстоянии, не большем данного,
называется шаром. Центр сферы назы*	у/////// '//////ж
вается также и центром шара. Радиус	в
сферы называется и радиусом шара.	у4**—-j——"'у
Наглядное представление о сфере \	! у
можно получить, вращая полу-
окружность около своего диаметра	*
(рис. 105).	Рис. 105
4 Геометрия, 8 и.	81
Рис. 106
Отрезок, соединяющий две точки
поверхности шара (сферы) и проходя-
щий через его центр, называется диа-
метром шара.
Можно доказать, что в сечении
шара любой плоскостью получается
круг (рис. 106).
Если секущая плоскость проходит
через центр шара, то в сечении полу-
чается круг, радиус которого равен
радиусу шара. Такой круг называется большим кругом.
Окружностями больших кругов на глобусе, например, являют-
ся экватор и меридианы.
Боковые поверхности конуса и цилиндра были кривыми
поверхностями. Но их можно было, «разгибая», превратить
в плоские (т. е. положить на плоскость, развернуть). По-
верхность шара, оказывается, никаким «разгибанием» нельзя
сделать плоской. Поэтому формулу для площади поверхно-
сти шара невозможно найти, пользуясь разверткой. Эта
формула (как и формула объема шара) будет выведена в
X классе, а пока мы воспользуемся готовыми результатами.
Площадь поверхности шара равна учетверенной площади
большого круга.
= 4лй2, или Зш = лЯ2,
где R — радиус шара, D —	шара.
Объем шара равен — лЯ®.
8 Гш = лЯ’.
Вопросы и задачи
1.	а) Какая фигура получается в сечении шара плоскостью?
б)	Какой получится диаметр наибольшего круга в сече-
нии шара радиуса R плоскостью?
2.	Полукруг, радиус которого равен а, .вращается около
своего диаметра. Найдите площадь поверхности и объем
шара, полученного при таком вращении.
Произведите вычисления, если а равно: а) 4 см-, б) 2,5 см\
в) 16,8 мм-, г) 1 дм.
3.	Вычислите площадь поверхности и объем шара, диаметр
которого равен q (q = 0,5 лг, q = 8 м).
4.	Практическая работа. Вычислите объем и пло-
щадь поверхности детали или специально изготовлен-
ной модели, имеющей форму шара, выполнив предвари-
тельно необходимые измерения.
5.	Как относятся объемы двух шаров, радиусы которых
и г2? Вычислите это отношение при: а) гх = 5 слг,
г2 = 3 «г, б) rj = 6,8 см, г2 = 1,6 см.
82
6.	Как относятся площади поверхностей
двух шаров, радиусы которых rL и га?
Вычислите это отношение при: а) гL = 7 см,
га = 5 см‘, б) т\ — 5,4 см, га = 0,7 см.

7. Как относятся радиусы двух шаров, если
отношение объемов этих шаров равно:
а4; б>£; в)1; г)0’8?
8. Принимая, что Земля имеет форму шара
с радиусом 6400 км, вычислите: а) сколько
квадратных километров занимает площадь
поверхности Земли; б) сколько квадратных 
километров Земли занимает суша, если она ю?
составляет около 30% всей поверхности
Земли; в) чему равна длина земного эква-
тора.
9.	Вычислите объем и площадь поверхности полушара,
радиус которого г (г = 12 м; г = 7 л).
10.	Резервуар, наибольшая глубина которого равна 4 м,
имеет форму полушара. Какова вместимость этого ре-
зервуара?
11.	Деталь (осевое сечение которой дано на рис. 107) имеет
форму полушара с приставленным в центральной части
большого круга цилиндром. Найдите объем детали по
размерам, указанным на рисунке.
12.	Вычислите массу шаров диаметром 10 см, изготовленных
из свинца, стали, меди, алюминия. Необходимые для
решения задачи дополнительные данные взять из соот-
ветствующего справочника.
13.	Сколько дробинок диаметром 2 мм можно изготовить
из 1 кг свинца?
14.	Медный цилиндр, диаметр основания и высота которого
равны 8 см, переплавлен в шар. Каков диаметр полу-
ченного шара?
15.	Шар вложен в цилиндрическую коробку так, что он ка-
сается цилиндрической поверхности, дна и крышки
этой коробки. Вычислите: а) объем шара и объем ци-
линдрической коробки; б) площадь поверхности шара
и площадь полной внутренней поверхности цилиндри-
ческой коробки, если известно, что внутренний диаметр
дна коробки равен 18 см.
Задачи на повторение к главе X
1.	Ребро куба (рис. 108) равно а. Вычислите расстояние
между: а) ребрами АВ и CCi, б) ребром AD и диаго-
налью ВС?! грани BCCiB^ в) диагоналями DAl и BCt
противолежащих боковых граней.
4»
83
Рис. 109
2.	Из точки А, не принадлежащей плоскости а, проведе-
ны к этой плоскости перпендикуляр и наклонные. Верны
ли следующие высказывания: а) перпендикуляр короче
любой наклонной; б) наклонные равны, если равны
их проекции; в) из двух наклонных большую длину
имеет та, проекция которой больше?
3.	Плоскость делит пространство на две части. На сколько
частей (областей) делят пространство: а) две плоскости;
б) три плоскости? (Рассмотрите различные возможные
случаи взаимного положения плоскостей.)
4*. Ребро куба имеет длину а. Найдите (графически) длину
кратчайшего пути по граням куба из точки А в точку
Сг (рис. 108).
5. На рисунке 109 изображена треугольная пирамида.
М и N — точки пересечения медиан двух боковых гра-
ней. Вычислите длину отрезка MN, если ребро АС
имеет длину а (а = 24 мм).
в. Покажите, что куб можно разрезать на три четырех-
угольные пирамиды.
7.	Вообразите, что лучи света перпендикулярны стене
(экрану). Какой может быть тень: а) прямоугольника
(отличного от квадрата); б) квадрата; в) куба?
8.	Представьте себе, что вы смотрите на куб вдоль его
диагонали. Нарисуйте, что вы увидите. Для проверки возь-
мите модель куба и посмотрите на нее вдоль диагонали.
9.	Может ли быть сечение куба плоскостью: а) треуголь-
ником (равнобедренным, равносторонним, разносторон-
ним, прямоугольным); б) квадратом; в) прямоугольни-
ком, отличным от квадрата; г) трапецией; д) пятиуголь-
ником; е) шестиугольником; ж) семиугольником?
10.	Боковые грани деревянного куба с ребром 10 см окра-
сили, а остальные оставили непокрашенными. Затем
этот куб разрезали на кубики с ребром в 2 см. Сколь-
ко будет кубиков: а) с двумя окрашенными гранями;
б) с одной окрашенной гранью; в) совсем не имеющих
окрашенных граней?
84
Рис. 110
11.	Окрасили все грани куба и разрезали его, как в задаче 10.
Сколько получили кубиков: а) с тремя окрашенными
гранями; б) с двумя; в) с одной; г) совсем не окрашенных?
12.	Какие размеры может иметь прямоугольный лист бу-
маги, чтобы из него можно было вырезать развертку
куба с ребром 4 см?
13.	Какие из данных фигур (рис. 110) являются разверт-
ками куба?
14.	Какие из данных фигур (рис. 111) являются разверт-
ками прямоугольного параллелепипеда?
15.	Открытый бак, имеющий форму куба с ребром а, стоит
на плоскости, наклоненной под углом а к горизонту
(рис. 112). Какой наибольший объем воды может вме-
стить бак в таком положении?
Выполните вычисления при: 1) а = 1,5 м, а = 30°; 2) а =
= 1,5 м, а = 10°.
Рис. 111
85
Рис. 112
16.	Вычислите объем правильной
треугольной пирамиды, боковое
ребро которой равно т, а плоские
углы при вершине пирамиды
прямые.
17.	Какую часть объема куба отсе-
кает плоскость, проходящая че-
рез концы трех ребер куба,
выходящих из одной вершины?
18.	Вычислите объемы и площади
полных поверхностей геометри-
ческих тел, представляющих со-
бой комбинацию: а) двух конусов
(рис. 113, а); б) цилиндра и двух
конусов (рис. 113,6), если диаметр
основания цилиндра и конусов
равен 5 сл; в) цилиндра и
двух полушаров (рис. 113, в);
г) конуса и полушара (рис. 113,г).
Необходимые размеры даны на
чертежах.
От конуса, диаметр основания
которого 40 см, отсечен плоско-
стью, параллельной основанию,
другой конус. Вычислите объем
оставшейся части (усеченного
конуса), если ее высота 50 см,
а диаметр окружности сечения
равен 30 см.
Вычислите массу дюралюминие-
вого пустотелого шара, внеш-
ний диаметр которого равен
2 л, а толщина стенок 3 см (плот-
ность дюралюминия 2,8 г/смя).
Утонет ли
шар, масса
такой пустотелый
которого найдена в
предыдущей задаче, если его
погрузить в воду при условии,
что внутри шара находится груз
в 200 кг?
22*.Диаметр Луны составляет 0,25
диаметра Земли. Вычислите:
а) какую часть площади поверх-
ности Земли составляет площадь
поверхности Луны; б) какую
часть объема Земли составляет
объем Луны.
Рис. 113
Глава XL
ЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ*
§ 1.	СИСТЕМА АКСИОМ ПЛАНИМЕТРИИ
130. Введение
Первые сведения о логическом строении геометрии даны
в пункте 10. Там было сказано, что систематический курс
геометрии строится следующим образом:
1.	Перечисляются основные геометрические понятия, ко-
торые вводятся без определений.
2.	При их помощи даются определения всех остальных
геометрических понятий.
3.	Формулируются аксиомы.
4.	На основе аксиом и определений доказываются тео-
ремы.
Теперь нам предстоит более подробно рассмотреть, как
этот план осуществляется в применении к планиметрии.
В планиметрии изучаются только фигуры, лежащие в
какой-либо одной плоскости. Эти фигуры рассматриваются
как подмножества множества <о всех точек этой плоско-
сти. Так как другие точки мы не рассматриваем, то будем
говорить, что «плоскость» и есть множество о. А что такое
«точка», мы не определяем. Некоторые подмножества мно-
жества со являются лежащими на плоскости <в прямыми. То,
что «прямая» есть множество точек, будет высказано в одной
из аксиом. Но определения понятия «прямая» мы тоже да-
вать не будем. Наконец, в одной из аксиом будет сказано,
что для любых двух точек А а В существует величина
| АВ | , называемая «расстоянием» от А до В. Но явного
ответа на вопрос, что такое расстояние | АВ | , мы тоже не
даем. Таким образом, за основные понятия приняты три:
«точка», «прямая», «расстояние». В следующих пунктах будут
перечислены те относящиеся к этим основным понятиям ак-
сиомы, на которых может быть построена вся планиметрия.
Следует только заметить, что при построении' плани-
метрии мы будем пользоваться правилами логики и об-
щими свойствами множеств как известными. После того
* По содержанию этой главы проводится заключительная беседа учи-
теля. Обстоятельное знакомство с главой «Логическое строение геометрии»
рекомендуется проводить на факультативных занятиях.
87
как в одной из аксиом будет сказано, что расстояние от
точки до точки есть неотрицательная величина, мы будем
пользоваться также изучаемыми в алгебре свойствами
величин.
Задание. Вспомните определения окружности, круга,
понятия «точка А лежит между точками В и С» и т. д.
Проверьте, какие из известных вам геометрических понятий
вы умеете определить через перечисленные выше основные
понятия.
Так как наше изложение планиметрии было не совсем
полным, в некоторых случаях вам не удастся пцлучить
удовлетворительные определения. Например, по поводу
величины АВС говорится, что с ней знакомятся еще в млад-
ших классах. Но точного определения величины угла не да-
но. Полное изложение теории измерения углов, опирающееся
только на принятые нами основные понятия и перечисляе-
мые далее аксиомы, является довольно трудным делом, ио
оно может быть проведено с полной строгостью. Поэтому мы
и не считаем величину угла еще одним основным понятием.
Вопросы и задачи
1.	Сформулируйте определение отрезка, не пользуясь поня-
тием «между».
2.	Сформулируйте определения понятий: а) середина отрезка;
б)	длина отрезка.
3.	Дайте определение понятия «направление».
4.	Как определить смысл выражения «величина угла АВС
равна половине величины угла DEM»?
131.	Аксиомы принадлежности
Эги аксиомы формулируются при помощи понятий «точка»
и «прямая», а также понятий «множество» и «элемент мно-
жества».
Предложение «х есть элемент множества М» записывается
х £ М
и может читаться: «х принадлежит М» или «М содержит х».
Отсюда и название «аксиомы принадлежности».
Аксиома 1г. Каждая прямая есть множество точек.
Так как мы условились, говоря о точках, иметь в виду
только точки одной плоскости, то каждая прямая есть под-
множество плоскости.
Аксиома 12. Для любых двух отличных друг от друга
точек существует одна и только одна содержащая их прямая.
Эта аксиома вам хорошо известна. Уже на ее примере
можно показать, как на основе аксиом доказывают теоремы.
88
Теорема. Две отличные друг от друга прямые могут
иметь не более одной общей точки.
Доказательство. Если бы две прямые а и Ъ а имели
две общие точки Р и Q, то эти две точки принадлежали бы
двум различным прямым, что противоречит аксиоме 12.
В пункте 120 были перечислены аксиомы принадлеж-
ности, которые нужны для построения стереометрии. Но в
планиметрии, кроме аксиом 1Х и 121 достаточно принять еще
только одну аксиому принадлежности.
Аксиома 13. Существует хотя бы одна прямая, и каж-
дой прямой принадлежит хотя бы одна точка.
Эта аксиома может показаться вам несколько странной
и говорящей слишком мало. Но вместе с аксиомами порядка,
которые приводятся в пункте 133, она приведет к более
содержательным следствиям.
132.	Аксиомы расстояния
Аксиома Их. Для любых двух точек А а В имеется
неотрицательная величина, называемая расстоянием от А
до В. Расстояние равно нулю в том и только в том случае,
если точки А и В совпадают.
Расстояние от А до В обозначается | АВ |.
Аксиома П2. Расстояние от точки А до точки В равно
расстоянию от точки В до точки А: | АВ | — | ВА |.
А к с и о м а П3. Для любых трех точек Л, В, С расстоя-
ние от А до С не больше суммы расстояний от А до Я и
от В до С.
|АС | < |АВ | + |ВС | .
В пункте 4 был приведен пример теоремы, которую
можно доказать, пользуясь лишь тремя аксиомами рас-
стояния.
Для дальнейшего построения геометрии очень важно,
что при помощи понятия «расстояние» можно определить
понятие «точка X лежит между точками А и В» и понятие
«отрезок». Об этом сказано в пункте б.
Заметьте, что отрезок АВ целиком лежит на прямой
АВ, но это вытекает лишь из аксиом следующей группы.
Вопросы и задачи
1.	Даны четыре точки А, В, С, D. Докажите, что
| АВ | + | ВС | + | CD | > | AD |.
2.	Если никакие три из четырех точек А, В, С, D не лежат
на одной прямой, то | AC | + |BD)^| A.B| + |BC|+|CZ>| +
+.| DA |. Верно ли это предложение?
89
133.	Аксиомы порядка
Аксиомы этой группы формулируются довольно сложно.
Они вам уже знакомы по пунктам 5 и 8, но теперь они
формулируются более тщательно.
Аксиома Illi. Любая точка О прямой р разбивает мно-
жество всех отличных от О точек прямой р на два непустых
множества так, что: а) для любых двух точек А и В, при*
надлежащих разным множествам, точка О лежит между А
и В; б) если точки А и В принадлежат одному и тому же
множеству, то одна из них лежит между другой точкой и
точкой О.
С этой аксиомой связаны определения важных понятий
«открытый луч» и «луч». Приняв аксиому Illi, мы имеем
право дать названия тем двум множествам, которые опре-
деляются заданием прямой р и принадлежащей ей точки О.
Эти два множества называются открытыми лучами с нача-
лом О. Объединение каждого из них с точкой О называется
лучом с началом О (было бы логично сказать «замкнутым
лучом», но для краткости именно замкнутый луч называют
просто «лучом»).
Аксиома Ш2. Для любого расстояния а на заданном
луче с началом О существует одна и только одна точка А,
расстояние которой от точки О равно а: | О А | = а.
Из аксиом Illi и Ш2 вместе с аксиомами 13, Пх и П3 выте-
кает, что каждой прямой принадлежит бесконечное число
точек (докажите самостоятельно).
Аксиома 1П3. Если точка С лежит между точками А
и В, то точки А, В, С принадлежат одной прямой.
Из этой аксиомы легко вывести, что отрезок АВ есть
подмножество прямой АВ (докажите). Кроме того, из нее
и аксиом расстояния вытекает важное следствие.
Следствие. Для трех точек А, В, С, не лежащих на
одной прямой, выполняется неравенство |АВ| <|В<7| + |А(7|.
(Докажите самостоятельно.)
Перед формулировкой последней аксиомы порядка введем
следующее определение:
Определение. Прямая р разделяет не принадлежащие
ей точки А и В, если отрезок АВ имеет непустое пересе-
чение с прямой р.
Аксиома Ш4. Любая прямая р разбивает множество
не принадлежащих ей точек плоскости на два непустых
множества так, что: а) любые две точки, принадлежащие
разным множествам, разделены прямой р‘, б) любые две
точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не
разделены прямой р.
Множества, о которых говорит эта аксиома, называются
открытыми полуплоскостями, ограниченными прямой р,
90
Объединение каждой из этих открытых полуплоскостей с
прямой р называется просто полуплоскостью, ограниченной
прямой р.
При этом прямая р называется границей полуплоскости.
Заметьте, что из аксиомы Ш4 вытекает, что для любой
прямой на плоскости существуют точки, ей не принадле-
жащие.
Теперь можно дать определения ломаной, угла, много-
угольника.
В виде примера применения аксиомы 1П4 докажем сле-
дующее предложение:
Теорема. Если прямая пересекает одну из сторон тре-
угольника, то она пересекает и одну из двух других его сторон.
Доказательство. Пусть прямая р пересекает сторону
АВ треугольника АВС. Тогда точки А и В принадлежат
разным полуплоскостям а и ₽, ограниченным прямой р.
Точка С принадлежит одной из этих полуплоскостей и,
следовательно, разделена с одной из точек Ав В прямой
р. Поэтому прямая р пересекает один из отрезков — АС
или ВС*.
Заметим, впрочем, что аккуратное доказательство всех
таких фактов, которые часто неявно используются в рас-
суждениях, довольно кропотливо.
Вопросы и задачи
1.	Докажите, что плоскость есть бесконечное множество
точек.
2.	Проверьте, что аксиомы принадлежности и аксиомы рас-
стояния выполняются на конечном множестве точек и
прямых (рассмотрите три точки, не принадлежащие одной
прямой).
3.	Докажите, что сумма диагоналей выпуклого четырехуголь-
ника меньше его периметра, но больше полупериметра.
4.	Как вводятся координаты точек на прямой?
5.	Дайте определение ломаной, угла, многоугольника.
6.	Если . точка А лежит между точками В и С, а точка С
лежит между точками В и D, то точки А, В, С и D при-
надлежат одной прямой и точка А лежит между точками
В и D. Докажите.
7.	Докажите, что все точки отрезка принадлежат одной
прямой.
* При доказательстве мы предположили, что ни одна из точек А, В, С
не лежит на прямой р. Проведите доказательство для других случаев.
«1
134.	Аксиома подвижности плоскости
Большую роль в построении геометрии играют допуще-
ния о возможности «перемещать» фигуры по плоскости и
всю плоскость по самой себе с сохранением расстояний
между точками. Такого рода допущения мы принимали без
доказательства в пункте 16 (существование поворотов вокруг
заданного центра) и в пункте 18 (существование осевой
симметрии). Вспомните определение перемещения из пункта 16
и прочтите пункт 20. Он поможет вам понять наглядный
смысл такого утверждения:
Аксиома IV. Если расстояние | АВ | положительно и
равно расстоянию | А1В1|, то существуют два и только два
перемещения, каждое из которых отображает точку А на
точку Alt а точку В на точку Вх.
Если а — полуплоскость, ограниченная прямой АВ, то
она этими двумя перемещениями отображается на две раз-
личные полуплоскости at и 6Х, ограниченные прямой А^.
Аксиома IV является довольно сильным допущением.
Можно было бы ее вывести из допущений более специаль-
ного характера. Но она удобна, так как ее легко приме-
нять и она сразу характеризует разнообразие перемещений
плоскости.
Покажем, например, что из аксиомы IV можно вывести
существование перемещения, называемого осевой симмет-
рией. Пусть задана прямая р. Выберем на ней две точки
А и В. По аксиоме IV (когда Ах = А, ВХ = В) существуют
два перемещения, которые отображают каждую из точек
А и В на самое себя. Если аир — полуплоскости, ограни-
ченные прямой р, то одно из этих перемещений отображает
а на самое себя, а другое — на полуплоскость 0. Второе
перемещение и будет искомой осевой симметрией. Остается
доказать, что оно отображает на себя каждую точку’ X пря-
мой р. Докажите это самостоятельно и объясните, на какие
аксиомы вы при этом опираетесь.
Вопросы и задачи
1.	Докажите признаки конгруэнтности треугольников.
2.	Дайте определение прямого угла. Докажите существова-
ние прямого угла.
3.	Докажите конгруэнтность любых двух лучей.
4.	Докажите конгруэнтность любых двух прямых.
135.	Аксиома параллельных
Среди теорем, которые можно доказать на основе пере-
численных в пунктах 131—134 одиннадцати аксиом,
находится доказанное в пункте 29 следствие к теореме 13.
08
Следствие. Через любую точку А можно провести пря-
мую, параллельную данной прямой р.
Но без новой аксиомы нам не удалось бы доказать, что
такая параллельная существует только одна. Приходится
ввести еще одну аксиому (аксиому параллельных):
Аксиома V. Через точку А проходит не более одной
прямой, параллельной данной прямой р.
Из указанного следствия и аксиомы V вытекает, что к
каждой прямой р черев данную точку А проходит одна
и только одна параллельная.
Сформулированных двенадцати аксиом достаточно для
строгого построения всей планиметрии. По поводу аксиомы
параллельных заметим следующее. Она нам понадобилась
сравнительно поздно. Все теоремы, помещенные в первых
29 пунктах учебника VI класса, можно совершенно строго
доказать на основе одиннадцати аксиом, предшествующих
в нашем изложении аксиоме параллельных. Математиков
с давних пор интересовал вопрос о том, нужна ли вообще
аксиома параллельных для построения планиметрии. Может
быть, ее можно доказать в качестве теоремы на основе
других аксиом (в нашем изложении — одиннадцати аксиом
пунктов 131—134)? Было предложено много «доказательств»
аксиомы параллельных, но все они оказались ошибочными.
Любители математики и до сих пор присылают в Академию
наук и в университеты такие «доказательства». Их усилия»
однако, заведомо безнадежны.
Установлено, что аксиому V нельзя доказать на основе
предыдущих одиннадцати аксиом.
Одним из первых ето понял и обосновал великий рус-
ский математик Николай Иванович Лобачевский (1792—
1856). Он показал, что, приняв вместо аксиомы V противо-
речащее ей допущение «через не принадлежащую прямой р
точку А можно провести не менее двух параллельных к
прямой р», мы получим отличную от евклидовой, но строй-
ную и не содержащую логических противоречий новую
геометрию. Этой геометрии присвоено название геометрии
Лобачевского.
§ 2.	ЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СИСТЕМЫ АКСИОМ
136.	Отсутствие противоречий
Свою геометрию Лобачевский называл «воображаемой».
Он не утверждал, что она лучше, чем евклидова, отражает
свойства реального пространства, в котором мы живем.
Утверждение Лобачевского сводилась к тому, что в его
геометрии, хотя она и отличаетсй от обычной, евклидовой,
не может возникнуть внутренних противоречий.
el
Вопрос об отсутствии противоречий не так прост и в
применении к обычной, евклидовой геометрии, которой мы
с иямм занимались. Ссылка на опыт здесь недостаточна.
Еще в самом начале учебника было сказано, что основные
геометрические понятия абстрактны: они отражают реаль-
ные свойства физических тел и их взаимного расположения
в упрощенном, схематизированном виде. В аксиомах геомет-
рии геометрическим фигурам приписываются свойства, ко-
торые на опыте обращения с реальными телами проверены
только приближенно. Не может ли оказаться, что, обра-
щаясь так неосторожно с данными опыта, мы придем к
внутренне противоречивой системе аксиом?
Познакомимся с методами доказательства непротиворе-
чивости системы аксиом на очень простом примере. Примем
в качестве основных понятий только два: «точка» и «пря-
мая». Имея в виду построение планиметрии, скажем, что
ьшожество со всех точек есть «плоскость». Примем аксиомы:
А1. Каждая прямая есть множество точек (т. е. подмно-
жество множества со).
А2. Для любых двух отличных друг от друга точек су-
ществует одна и только одна содержащая их прямая.
АЗ. Каждой прямой принадлежат по меньшей мере две
точки.
А4. Существуют по меньшей мере три точки, не принад-
лежащие одной прямой.
А5. Для любой прямой р и любой точки А существует
содержащая точку А прямая, параллельная прямой р.
А6. Для любой прямой р и любой точки А существует
не более одной содержащей точку А прямой, параллельной
прямой р.
Естественно, что в аксиомах А5 и А6 подразумевается
известное вам определение параллельности прямых. Наши
аксиомы позволяют доказывать некоторые теоремы. Напри-
мер, из первых пяти аксиом А1 — А5 можно вывести сле-
дующую теорему:
Теорема. На плоскости существуют четыре точки.
Доказательство. По аксиоме А4 на плоскости имеют-
ся три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. По
аксиоме А2 точки В и С принадлежат прямой р. По аксио-
ме А5 существует содержащая точку А прямая q, парал-
лельная прямой р. Так как прямая q содержит точку А,
а прямая р эту точку А не содержит, прямые q и р раз-
личны и, следовательно, по определению параллельности не
имеют общих точек. Но по аксиоме АЗ прямой q, кроме А,
принадлежит еще хотя бы одна точка D. Мы получили
четыре попарно различные точки плоскости А, В, С, D.
Дальше продвинуться на основе принятых аксиом нельзя.
Нельзя из этих аксиом вывести существование на плоскости
94
пяти точек. Это показывает такая модель А
плоскости; ©i есть просто множество
©! = {А, В, С, D)
букв, называемых «точками», в котором вы-
делены шесть подмножеств:
{Л, В}, {А, С},{A, D},{B, C},{B,D},{C,D}, °
называемых «прямыми*. Рисунок 114 пояс-
няет устройство этой модельной «плоскости». Легко проверить,
что на этой «плоскости» выполнены все наши аксиомы.
Например, через точку А проходит одна и только одна па-
раллельная {А, В} к прямой {В, С} (на модели у них нет
общих точек).
Существование модели, в которой выполнены требования
некоторой системы аксиом, и доказывает непротиворечивость
этой системы аксиом. Мы видим, что система аксиом А1—А6
непротиворечива. Аналогичное доказательство непротиворе-
чивости принятой нами системы двенадцати аксиом евклидо-
вой геометрии является делом более сложным, так как из
этих аксиом вытекает, что множество всех точек бесконечно.
Поэтому при построении модельной «плоскости», на которой
выполняются все аксиомы планиметрии, нельзя ограничиться
конечным множеством точек.
137.	Независимость аксиом
Поставим вопрос: нельзя ли на основе аксиом А1—Аб
доказать утверждение аксиомы А6, т. е. аксиомы парал-
лельных V? Ответ получается при помощи модели плос-
кости ©2, пять точек которой есть не что иное, как пять
букв А, В, С, D, Е:
©2 = {А, В, С, D, Е}.
Прямых на этой плоскости десять: это все двухбуквен-
ные множества: {А, В}, {А, С}, {A, D}, {А, Е}, {В, С).
{В, D), {В, В}, {С, D}, {С, Е}, {D, Е}
Устройство этой модельной плоскости*
поясняет рисунок 115. Проверьте, что здесь
выполнены аксиомы А1—А5, но, например,
через точку А проходят две прямые {Д, В}
и {А, С}, параллельные прямой {D, £}.
Построить модель «воображаемой» гео-
метрии Лобачевского, в которой выполнены
наши первые одиннадцать аксиом из пунк-
тов 131—135, но неверна аксиома парад-
_ дельности V, значитель-
7___________ но труднее, но тоже воз-
. можно.
Построив модельные
С£ ПЛОСКОСТИ (Oj И ©2, мы
доказали независимость
Рис. 117 аксиомы А6 от аксиом
А1—А5: аксиомы А1—
А5 выполняются в обе-
их моделях, но в первой из них аксиома А6 верна, а во
второй не верна. В том же смысле аксиома параллельности V
независима от одиннадцати аксиом из пунктов 131—135.
Вопросы и задачи
1.	Какие из аксиом А1—Аб выполнены в модели
со3 = {А, В, С},
в которой прямыми считаются множества {А, В), {В, С}
и {С, А) (рис. 116)?
2.	Можно ли сказать, что аксиома А5 независима от аксиом
Al—А4?
3.	Какие из аксиом А1—А6 выполнены в модели
©4 = {А, В, С, D},
в которой прямыми считаются множества {А, В) и {С, D}
(рис. 117)?
4.	Можно ли сказать, что аксиома А2 независима от осталь-
ных пяти аксиом А1 и АЗ—А6?
138. Заключение
Модель плоскости, в которой выполнены все двенад-
цать аксиом § 1, может быть построена так. «Точками» счи-
таются пары действительных чисел
(х, у),
а «прямыми» — множества решений линейных уравнений
ах + Ъу = с,
где хотя бы один из коэффициентов, а или Ъ, отличен от
нуля. За числовое значение расстояния между точками (хх, ух)
и (хя> У г) принимаем число ]/ (ха—Xi)a+(y2—yi)a. Можно чисто
алгебраическими средствами доказать, что в этой модели
выполнены все наши двенадцать аксиом.
И
Значительно сложнее, но в принципе аналогично и по-
строение модели, в которой верны первые одиннадцать наших
аксиом, вместо же аксиомы V соблюдается аксиома Лоба-
чевского:
V. Через любую точку А, не принадлежащую прямой р,
проходят по меньшей мере две прямые, параллельные пря-
мой р*.
Таким образом, с отвлеченной, чисто логической точки
зрения евклидова геометрия и геометрия Лобачевского рав-
ноправны: обе они применимы в надлежащих моделях. Су-
ществует и еще много логически возможных «геометрий»,
например таких, которые действуют в построенных нами
модельных плоскостях, имеющих всего три, четыре или пять
точек. Разобранные нами примеры необычных «плоскостей»
имеют несколько игрушечный характер. Они были приве-
дены лишь для того, чтобы показать, как исследуют на
моделях вопросы о непротиворечивости системы аксиом и
зависимости между аксиомами. Вопрос о более широком
значении различных построенных математиками «неевклидо-
вых геометрий» выходит за рамки нашего учебника.
Остается еще заметить, что выбор аксиом в большой мере
произволен. Например, пользуясь аксиомой параллельных,
можно доказать теорему: перпендикуляр п наклонная к пря-
мой пересекаются. Но, приняв это предложение за аксиому,
из нее вместе с первыми нашими одиннадцатью аксиомами
можно доказать аксиому параллельных.
* Сам Лобачевский говорил о двух прямых, не пересекающихся с пря-
мой р. Термину «параллельность» он придавал в своей геометрии другой
смысл.
ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ ПО КУРСУ VI— VIII КЛАССОВ
1.	Какие основные свойства расстояний вы знаете? Что
можно сказать (помимо этих общих свойств) о расстоя-
ниях между точками прямой?
2.	Условимся считать «расстоянием» между точками А и В
окружности длину той дуги АВ этой окружности, кото-
рая не превосходит полуокружности. Выполняются ли
для таких «расстояний» на окружности основные свой-
ства расстояний?
3.	В озеро впадает река (рис. 118). По реке и озеру дви-
жется моторная лодка. Ее собственная скорость больше
скорости течения реки. На озере течения нет. «Расстоя-
ние» между пунктами будем оценивать по времени, необ-
ходимому для того, чтобы лодка пришла из одного
пункта в другой. Какие из основных свойств расстояний
будут выполняться для такого «расстояния» при любом
выборе пунктов на берегах реки и озера? Что можно
сказать о таком «расстоянии», если пункты выбираются
только на берегу озера?
4.	Точка М принадлежит треугольнику АВС. Докажите,
что сумма расстояний от М до вершин треугольника
больше его полупериметра, но меньше периметра.
5.	В плоскости даны две точки А и В. Какой фигурой
является множество всех таких точек М этой плоскости,
для которых:
а) |МЛ| < |МВ|; б) |МА| > |МВ|; в) |МА| = |ДГВ |?
6. Дан угол АВС. Какой фигурой является множество всех
таких точек М этого угла, для которых:
а)	расстояние от точки М до сторо-
ны ВА больше расстояния от
точки М до стороны ВС;
б)	расстояния от точки М до сто-
рон угла не равны?
7.	Докажите, что сумма диагоналей
выпуклого четырехугольника боль-
ше его полупернметра, но меньше
периметра.
98
8.	В каких случаях является выпуклой фигурой:
а)	объединение отрезков;
б)	объединение кругов?
9.	Покажите на примерах, что объединение двух углов (пе-
ресечение двух углов) может быть как выпуклой, так и
невыпуклой фигурой.
10.	1) Может ли объединение выпуклой и невыпуклой фигур
быть фигурой выпуклой?
2)	Докажите, что пересечение двух выпуклых фигур
является выпуклой фигурой.
11.	Может ли пересечение выпуклой и невыпуклой фигур
быть фигурой выпуклой?
12.	Дайте определения следующих фигур как пересечений
двух или трех других известных вам фигур: а) треуголь-
ника, б) параллелограмма, в) прямоугольника, г) ромба,
д) квадрата, е) трапеции.
13.	Какие из указанных ниже условий являются:
а)	необходимыми, но недостаточными;
б)	необходимыми и достаточными;
в)	достаточными, но не необходимыми для того, чтобы
различные точки А, В, С являлись вершинами тре-
угольника:
1) |АС| + |ВС| >|АВ|;	2) [АВ| + |ВС| >[АС|,
[АВ| + |АС|>|ВС[;
3)	1АВ| + |ВС1 >[АС[,
[АВ| + |АС|>1ВС|,
[АС[ + [ВС| >|АВ[;
4)	[АВ1=|ВС[ = |АС|;
5)	А $ (ВС);
6)	[АВ) Л [АС) = А?
14.	Сформулируйте несколько необходимых и достаточных
условий для того, чтобы четыре точки А, В, С, D явля-
лись парптинятоги параллелограмма.
15.	Докажите, что наибольшая из площадей треугольников,
Зг»Уз
вписанных в окружность радиуса г, равна —~—.
16.	Докажите, что наибольшая из площадей четырехуголь-
ников, вписанных в окружность радиуса г, равна 2га.
17.	Данный отрезок разделите на две части в отношении
1 : J/2. (Указание. Воспользуйтесь тем, что отношение
квадратов катетов равно отношению их проекций на
гипотенузу.)
18.	Проведите прямую, параллельную одной из сторон дан-
ного треугольника, так, чтобы площадь треугольника
делилась этой прямой пополам.
19.	Даны отрезки а и Ь, Постройте отрезок х — ]/а&.
99
20.	Постройте квадрат, площадь которого равна площади
данного треугольника.
21.	Даны отрезки а, Ъ, с. Постройте отрезок х = —.
С
22.	На данном отрезке как на основании постройте прямо-
угольник, равновеликий данному прямоугольнику.
23.	На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника
как на сходственных сторонах построены подобные
многоугольники. Докажите, что площадь многоуголь-
ника, построенного на гипотенузе, равна сумме площа-
дей многоугольников, построенных на катетах.
24.	Докажите, что площадь круга, диаметр которого равен
гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме
площадей двух кругов, диаметры которых соответственно
равны катетам этого треугольника.
25.	В плоскости а даны две точки А и В. Какой фигурой
является множество всех проекций точки А на прямые,
проходящие через точку В и лежащие в плоскости а?
26.	Какой фигурой является множество середин всех кон-
груэнтных хорд данной окружности?
27.	Какой фигурой является множество середин всех хорд
данного круга, проходящих через одну и ту же точку,
принадлежащую этому кругу?
28.	Через точку, лежащую вне данной окружности, прове-
дены к этой окружности секущие. Какой фигурой яв-
ляется множество середин всех образовавшихся хорд?
29.	Докажите, что продолжения боковых сторон трапеции
и прямая, проходящая через середины ее оснований,
пересекаются в одной точке.
30.	Докажите, что диагонали описанного четырехугольника
и прямые, проходящие через точки касания его про-
тивоположных сторон, пересекаются в одной точке.
31.	Докажите, что прямая, проходящая через точку пересе-
чения продолжений боковых сторон трапеции и точку
пересечения ее диагоналей, проходит через середины
оснований трапеции.
32.	Дай параллелограмм ABCD и произвольная точка О.
Докажите, что
ОА + ОС = OB + OD.
33.	Что можно сказать о векторах а и Ь, если для них вы-
полняются следующие равенства:
а)	| а 4- Ь | = | а — Ь |;
в) | а + Ь | = 1 а |- | Ь |;
б)	| а + Ъ | = |о 1+ | Ъ |;
г) | а - Ь | = | а | + | ft |?
100
34.	Докажите, что в параллелограмме ABCD найдется един*
 >  >  >  >
ственная такая точка О, что ОА+ОВ4-ОС+ОР=0.
35.	Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Докажите,
4ToAB + AC + AD + AB + AF = 3 AD.
36.	Точка О является центром тяжести треугольника АВС.
Докажите, что О А + ОВ 4- ОС = 0.
37.	Постройте треугольник по двум углам и радиусу вписан-
ной окружности.
38.	Постройте треугольник по двум углам и периметру.
39.	В данный треугольник впишите треугольник, ему подоб-
ный, так, чтобы вершины построенного треугольника
лежали на сторонах данного (на каждой стороне по
одной).
40.	В данный четырехугольник впишите четырехугольник,
ему подобный, так, чтобы вершины построенного четырех-
угольника лежали на сторонах данного (на каждой
стороне по одной).
41.	Сколько центров гомотетии имеют:
а)	два конгруэнтных круга;
б)	два неконгруэнтных круга (к ответам дайте соответ-
ствующие рисунки)?
42.	Определяют ли единственную плоскость:
а)	отрезок и точка, лежащая вне этого отрезка;
б)	луч и точка, лежащая вне этого луча;
в)	два пересекающихся отрезка;
г)	два луча, имеющих общее начало? (Ответы обосно-
вать.)
43.	Сколько различных прямых и сколько различных пло-
скостей определяют четыре различные точки, не лежащие
в одной плоскости?
44.	Какое множество точек образуют все точки простран-
ства, равноудаленные от двух данных точек?
45.	На поверхности куба найдите множество всех точек:
а)	равноудаленных от концов данного ребра;
б)	равноудаленных от сторон угла, образованного двумя
данными ребрами куба;
в)	равноудаленных от концов диагоналей одной из его
граней;
г)	равноудаленных от двух противоположных граней.
46.	На поверхности шара найдите множество всех точек,
равноудаленных от концов данного диаметра шара.
47.	По данным, приведенным в таблице, вычислите:
1)	какую часть площади поверхности Земли состав-
ляет площадь поверхности каждой из планет (если при-
нять, что планеты имеют форму шара);
101
2) какую часть объема Земли составляет объем каждой
из планет.
Планета	Экваториальный диаметр (за единицу измерения принят диаметр Земли)
1. Меркурий	0,39
2. Венера	0,97
8. Марс	0,63
4. Юпитер	11,26
б. Сатурн	9,4
6. Уран	4,2
7. Нептун	3,9
8. Плутон	1
48.	Какими перемещениями отображается сама на себя фи*
гура, являющаяся объединением двух конгруэнтных
кругов?
49.	Какими перемещениями отображается на себя правиль-
ный п-угольник?
50.	Какими перемещениями может быть отображена сама
на себя плоскость, из которой «выколота» одна точка?
51.	Какими перемещениями может быть отображена сама
на себя плоскость, из которой «выколоты» две точки?
52.	Какими перемещениями может быть отображена сама на
себя фигура, являющаяся объединением двух открытых
полуплоскостей, содержащихся в одной и той же пло-
скости?
53.	Какие из указанных в предыдущих пяти задачах фигуры
могут быть отображены сами на себя гомотетией?
54.	Докажите, что композиция двух осевых симметрий отно-
сительно взаимно перпендикулярных осей есть централь-
ная симметрия.
55.	Докажите, что композиция двух осевых симметрий отно-
сительно параллельных осей есть параллельный перенос.
58.	Докажите, что композиция двух симметрий, оси которых
пересекаются под углом а, есть поворот, причем центром
поворота является точка пересечения осей, а угол пово-
рота равен 2а.
57.	Может ли композиция двух поворотов, имеющих разные
центры, быть параллельным переносом?
58.	Покажите, что композиция двух поворотов, имеющих
общий центр, есть поворот.
59.	Покажите, что композиция двух гомотетий с различными
центрами может быть: а) гомотетией; б) параллельным
переносом; в) центральной симметрией.
60.	Покажите, что преобразование подобия есть композиция
гомотетии и перемещения.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
Глава VII
Пункт 98.
3. Для одного наблюдателя направление вращения будет положитель-
ным, для другого — отрицательным.
4. Первая и третья шестерни вращаются в отрицательном направлении,
вторая шестерня — в положительном направлении.
б.	а) 40° + 360’ • в;
б)	—130е + 360° • п (где п — любое целое число).
б.	Не будут. Указанные повороты называются центральной симметрией.
7.	а) Л66С° =	4-360° • 2 _ д-60°.
б)	Я-27»0 = й90э-360° = л90°.
В) Я-1909’ = д80’-360’-3	д80°.
г)	Л890°= R 170’4-Зб0°,2	д170°.
д)	д720» _ л0’+Э60°-2 -= д0»е
8.	Равенство выполняется при любых целых значениях Л.
Пункт 99.
1.	а) Я"60’ » Я23’ = В"33’;
б)	л1№ой-35* = Я143’;
в)	Я29’- В70’ = Я90’;
г)	я133°о Я243°= Я38^ Я20°;
д) Л-20’оЯ-170° = Я-190<, = Я170’.
2.	Равенство выполняется при любых целых еначениях к.
3.	а) —40°-Н-360°; б) Зб’+АЛвО’; в) Л-ЗбО’; г) —70“+А-Зб0в (где А—
любое целое число).
4.	Яао Яа =Я, если а = к- 180е (Л — любое целое число). Задача имеет
бесконечно много решений.
б*, я129’* (к — любое целое число).
6*. Указание. Следует показать, что (Я® oflP )оЯ* =Яа®(Я^ оЯ*), так
как Y + (? + а) = (у + Р) + а.
7. а) Я“ оЯа оЯа = RK°, если а = 309 + 120°л (в — любое целое число)|
б) ЛаоЯ“ = Я180°, если а = 90°+180вв (в—любое целое число).
8*. Указание.
aj д19’.19О _ д3510° _ j^0o+360°.1P== ЛЮ».
б) д19°-380 _ д7220° _ $20"+35Q°'j!0— ^20°.
108
9*. Указание. Учтите, что композиция перемещений выполняется
«справа налево*.
10*. Указание. Пусть пересекак>щиеся оси симметрии образуют
угол а. Тогда композиция двух осевых симметрий дает поворот _К2а. Если
оси симметрии взаимно перпендикулярны (я = 90°), то полученный поворот
будет центральной симметрией.
Пункт 100.
1. а) (—3, 4); (3, —4); в) (—4, 3); г) (—3, —4).
2. Ось Ох отобразится на ось Оу (с переменой направления); ось Оу —
на ось Ох.
8» а) (.—У, *); б) (у, —х); в) (—х, —у); г) (х, —у); д) (—х, у);
е) (—х, —уУ, ж) (—у, х); з) (—х, —у); и) (—у, х); к) (х, у).
4. Абсцисса х может изменяться от 1 до 0. Ордината у может изме-
няться от 0 до 1. (За единицу масштаба берется 1 еле.)
Сумма координат при повороте изменяется. Сумма квадратов координат
остается постоянной и равна 1 (так как точка Р лежит на окружности
единичного радиуса).
Пункт 101.
1.	Например, (2, 0); (0, —2); (/У, 1); (1, — /3).
2.	а) (—0,8, —0,6); б) (—0,8; 0,6); в) (0,8; —0,6).
4.	а) (0, 1); б) (-1, 0); в) (0, -1); г) (-1, 0); д) (0, -1); е) (0, 1).
5.	sin 90° = 1, cos 90q = 0; sin (—90°) = —1, cos (—90°) = 0;
sin 180q = 0, cos 180° = —1; sin 270Q = —1, cos 270q = 0;
sin (—270°) = 1, cos (—270°) = 0.
6.	а), б), в), д) Углы а, соответствующие указанным значениям sin а,
существуют (точки Ра на единичной окружности могут быть построены);
г), е) невозможные случаи.
7.	а), б), д), ж) Положителен;
в), г, е) отрицателен.
9.	sin 20Q < sin 30’ < sin 45° < sin 60° < sin 70° < sin 90q.
10.	а), б), в), д) Углы, соответствующие указанным значениям cos а,
существуют»
г), е) невозможные случаи.
11.	в), г), д), ж) Положителен;
а), б), е) отрицателен.
13. сое 90’ < cos 70° < cos 60° < cos 45q < cos 304 < cos 20°.
Пункт 102. ,
2/2	//
1. a) 0,8; 6) —0,28; в) 0,6; г)-— = —0,943; д) ± ~	± 0,707.
2/2	/8	/б
2. a) —— ss —0,943; 6)	- s 0,866; в) 0,8' r) -— sx 0,746;
3	2	3
Vz
Д) -T“ ~ °'707’
л
104
3. a) sin2a; 6) —cos3 a; в) 1; г) sin3 a; д) 0; e) sin2 a; ж) 1.
а) sin 100° =	cos 10’ = sin 80°;
б) sin 160’ =	cos 70’ = sin 20°;
в) cos 110’ =	—cos 70’ = —sin 20°;
г) cos 170’ =	—cos 10° = —sin 80°;
д) sin 95’16' =	= sin 84’44' = cos 5°16';
е) sin 103°45'	= sin 76’15' = cos 13’45'
ж) cos 124’15' = —cos 55’45' = —sin 34°15';
3) cos 165’35' = —cos 14’25' = —sin 75°35'.
5. a) sin (—70°) = —sin 70’ = —cos 20°;
6) cos (—70°) = cos 70° = sin 20°;
в) sin (—20°) = —sin 20° = —cos 70°;
r) cos (—20°) = cos 20° = sin 70°;
д)	sin (—45°) = —sin 45° = —cos 45°;
e)	cos (—45°) = cos 45° = sin 45°.
6*. Указание. Воспользоваться тем, что точки Ра и PigQo_|.a сим-
метричны относительно начала координат.
Пункт 104.
1—2. Указание. Векторы откладываются от начала координат.
Воспользоваться тем, что координатами вектора являются координаты
его конца.
У
3. Указание. Учесть, что sin a = -—- и cos a =
I a |
. .	/2	/2
a)	sin a =-,	cos a = —-;
2	2
6) sin a = 0,
/2
в) sin a = ----,
2
3
r) sin a = — —
/13
1
д) sin a = — ——
/10
cos a = 1;
/2”
cos a = —----;
2
2
cos a = — —
/13
3
cos a = —
/10
Пункт 105.
1.	a) a = 45е; 6) a = 135е.
2.	Указание, а) Предварительно выразить tg а и tg ( —а) через
тригонометрические функции sin а и cos a.
б)	Предварительно выразить tg а через sin а и cos а, затем упрос-
тить полученные выражения.
3. а) 0,0875; б) 0,4663; в) 0,7186; г) 1,0698; д) 5,700; е) 6,314;
4. а) х = 17°53'; б) х=38°07'; в) х = 55°38'; г) х = 80°46'; д) X = 86°48';
е) х = 89’38'.
105
Пункт 106.
		°	ь	с	А	В
а)	1)	2,61	3,80	4,61	34’29'	55’31'
	2)	13,6	8,23	15,9	бвЧЭ'	31’11'
	3)	4,35	1,45	4,59	71’34'	18’26'
	4)	156	133	205	49’33'	40’27'
б)	1)	63	16	65	75’45'	14’15'
	2)	5,28	4,55	6,97	49’15’	40’45'
	3)	15	112	113	7’36'	82’24'
	4)	0,098	0,100	0,140	44’25'	45’35'
в)	1)	63,7	5,11	63,9	85’25'	4’35'
	2)	18,0	58,9	61,6	17’	73’
	3)	'	3,89	1,74	4,26	65’55'	24’05'
	4)	6,16	2,95	6,83	64’24'	25’36'
г)	1)	6,37	3,63	7,33	60’18'	29°4Х
	2)	380	261	461	55’31'	34’29'
	3)	613	528	809	49’16'	40’45'
	4)	8,49	3,92	9,35	65’14'	24’46'
Д)	1)	4,24	1,95	4,67	65’15'	24’45'
	2)	25,0	57,6	62,8	23’32'	66’28'
	3)	0,559	0,569	0,798	44’30'	45’30'
	4)	3,52	8,74	9,42	21’56'	68’04'
8. ~ 88 м.
5.	=1°43'.
6.	=0’57'.
7.	a sin а; а) =118 лг; 6) =433 м.
8.	= 4,6 м.
9.	a tg а; а) =16 лг; б) =17 м.
10.	а) 2; б) —1; в) 5.
Глава VIII
Пункт 107.
1. с2 = аа + Ь* — ab.
2. Теорема верна для любых треугольников.
8. При возрастании угла а от 0° до 90° значение а возрастает, так как
cos а при этом убывает, оставаясь положительным. При дальнейшем возра-
стании угла а от 90° до 180° значения cos а убывают от 0 до —1, Следова-
тельно, значения а при этом продолжают возрастать,
6.	а) с = 8,5*, б) Ь » 4,8; в) а = 0,8.
7.	а) =24,3 дм и =12,1 дм-, б) =5,4; =4,5,
в. а) =117°17'; б) 93’42'.
9.	=275 н; =15’57'; =34’03',
106
Пункт 108.
1.	При возрастании угла у от 0° до 90е площадь треугольника возра-
стает. При дальнейшем возрастании угла у от 90° до 180° площадь треуголь-
ника убывает. Наибольшее значение площади при у ~ 90е.
2.	48,4 м2.	' 8. а = 90°. Ромб.
3.	а) =7 880 ж2; б) =344 см3; 9*. =190,8 сча.
Лз 1^3
6. а) =21,2 см2; б) =2,7 еж4. 10*. -	.
4
7. а = 90°.
Пункт 109.
1. Каждое из отношений равно длине гипотенузы.
q т Bin а	т sin 0
в1п(а + 0) И в!п(а + р)
3.	а) 5 = 61; с = 102; а = 79°37'; в) ₽ = Э6°52'; у=75е45'; е = 21;
б)	а = 39; й = 25; у = 14’15'; г) а=15°23'; 0 = 141*17'$ Ь = 94,7.
Пункт НО.
1.	1) b = 62,1; а = 22’20'; у = 33°40'; 3) а = 279; у=30’30'; 0=67°23';
2) с = 20,8; 0 = 68’07'; а = 36’52'; 4) Ъ = 837; а = 22’37'; у=59°30'.
2.	1) Ь = 15; с = 14; у = 60’29';
2)	а = 20,5; с = 20; у = 74°37';
3)	а = 4,7; Ь = 2; а = 97°33';
4)	Ъ » 54,1; е = 41,3; а = 43°01'.
3.	1) а = 67°23'; 0 = 18’55'; у = 93’42';
2)	а = 1О7°57'; у = 18’55'; 0 = 53’08';
3)	а = 16’25'; 0 = 30’24'; у = 133’11';
4)	а = 53’08'; 0 = 36’52'; у - 90’.
Глава IX
Пункт 111.
1. 36°; 72°; 108°; 144°.	2. а) 108° и 72°; 6) 100° и 80”.
3. АМС = АТС или АМС + АТС = 180’.
4. 35° и 70’.	5. а) 100’ или 80°; б) 54’ или 126’.
Пункт 112.
й	2т
2. 12,3 см. 3. 4 см. 4. — .	5. ——-.
3	8
6.	а) Треугольник равносторонний; 6) треугольник прямоугольный;
в), г) треугольник равнобедренный.
7.	Треугольник равносторонний: 120’; —120’.
Пункт 113.
2.	а) Нельзя; б), в) можно. 3. а) Можно; 6) нельзя.
5.	Параллелограмм отображается на себя при углах поворота 180е и
—180° (центр поворота — точка пересечения диагоналей). Если параллело-
грамм — квадрат, то возможные углы поворота ±90’, ±180°, ±270^.
107
6.	а), б), в) Да, может.
11. (з±/з).
О
Пункт 114.
2. а) Да; б) нет; в) да. 3. 2r; У4. Г7П*
Пункт 115.
5. а) 60°, 120°; б) 90d, 90°; в) 108°, 72°; г) 120°, 60е; д) 135е, 45'; е) 144d,
36е; ж) 150°, 30°.
6. 1) а) 8, б) 12, в) 9; 2) а) 10, б) 15.
11.	a) si 14,1 ле ле, 6) si 5,6 мм.
12.	a) si 13,8 мм, б) si 10,3 мм.
13.	а) п осей симметрии; 6) центр симметрии имеют только правильные
многоугольники с четным числом сторон.
14.	1. а) 10, нз них 5 осевых симметрий и 5 поворотов (включая тож-
дественный); 6) 12, из них поворотов 6 (включая тождественный), осевых
симметрий 6.
Пункт 116.
1.	аа. 3. а„ = 2 Уя2—г2.
3	2
aaySa-; 2J±I.	«£».
3	2	2	2
5.	3}^6 см si 7,3 ем.
6.	а) При п < 6; б) при п = 6; в) при п > 6.
1—	sin----	cos----
п	п
10*. #Кз"; » 3,46 см; si 5,20 ем.
Пункт 117.
1.	а) =; 83 ем1; б) st 128 еле2; в) sz 166 еле2.
180°
2.	S = nr1 tg —;
a) si 83,1 еле2; б) 64 еле2; в) si 55,4 еле2.
4. а) —;	, £1; б) -,	-.
’ 2 ’	2 ’ 2 ’ 7 4 ’ 2 ’ 4
108
Пункт 118.
2.	а)	~ 78,5 еле;	б)	~ 37,7 дм.	в.	а)	12,6	еле;	б)	~	17,8	еле.
3.	а)	=2 12,5 еле;	б)	= 2 дм.	8.	а)	=	22,6	ле;	б)	==	1,9	ле.
4.	а)	== 64 еле;	б)	~ 48 еле.	9.	~	2,8.
5.	а)	=; 5,4 см;	б)	=; 10,9 еле.
10. Ci — С2 = 2л1, где Ci — длина внешней окружности, С2—длина внут-
ренней окружности, I — толщина кольца.
11. ~ 57°,3.	12. ~ 1,9 км. 13. 1,8.
Пункт 119.
1.	а) ~ 12,6 еле8; б) ~ 78,5 см2.
2.	а) Уменьшится в 16 раз (в п2 раз); уменьшится в 4 раза (в п раз);
б) увеличится в 9 раз (в п2 раз), увеличится в 3 раза (в п раз).
С2
3.	— .	6. а) =: 616 см2; б) « 1,27 Зле2.
4л
4.	а) ~ 7,1 леле2; б) ~ 0,03 леле2. 7. ~ 0,22.
8.	~ 3,16.
Глава X
Пункт 120.
1.	Множеством общих точек двух различных плоскостей может быть:
а) прямая; б) пустое множество.
2.	Три различные точки всегда лежат в одной плоскости. Этим объяс-
няется устойчивость «треножников», возможная неустойчивость стола и дру-
гих устройств, имеющих четыре опорные точки.
3.	Не могут.
4.	а) Эти плоскости совпадают, если три данные точки не лежат на
одной прямой.
б)	Плоскости могут совпадать или могут иметь только одну обитую
прямую, если три данные точки лежат на одной прямой.
5.	а), 6) Нельзя; в) можно.
7.	Указание. Доказательство ведется методом от противного.
8.	Указа в.й е. Для доказательства возьмите две точки на одной из
данных прямых и одну точку на второй прямой. Докажите, что проходя-
щая через эти точки плоскость единственна и что она содержит обе данные
прямые.
Пункт 121.
2.	Две пересекающиеся или две различные параллельные прямые опре-
деляют единственную плоскость, содержащую эти прямые.
3.	Высказывание неверное.
в. Указание. Если прямая параллельна одному на ребер куба, то
она параллельна и еще трем другим его ребрам.
7. Такое высказывание будет неверным. Рассматриваемые плоскости
могут и пересекаться.
8. Высказывание верное.
10.	В случаях а), в) прямые лежат в одной плоскости. В случаях б),
г) прямые не лежат в одной плоскости.
109
11.	Her, не может.
12.	Предложения а), б), e)f г), д) верны для плоскости] предложе-
ние б) верно и для пространства.
13.	Полученные прямые могут быть: параллельными; пересекающимися.
Пункт 122.
3. Прямые АВ к CD параллельны. Следовательно, существует плоскость,
проходящая через эти прямые.
4. Такие плоскости параллельны.
б, а) 0; а; б) 0; a; aYfy аУЛ.
в. а) а; б) 0; a; a УН.
9. а) Высказывание неверное]
б) высказывание неверное.
12. а), б) Бесконечное множество.
18. а) Не может; б) может.
14. Ь II а.
15. Прямые а и Ъ могут быть пересекающимися или скрещивающимися.
Пункт 123.
2. Высказывание верное.
8. Три, две цли одна, точка.
4. а) Одна прямая, две параллельные прямые, две точки;
б) одна прямая, две пересекающиеся прямые;
в) две пересекающиеся прямые, две параллельные прямые, прямая
и точка.
в. Высказывания а) и б) неверные, в) верное.
Пункт 124.
8. а) л -f- 2; б) многоугольник, имеющий п —2 сторон; в) 8.
5. 5 граней, 9 ребер, 6 вершин.
7.	б) Существует (пятиугольная призма); а), в) не существует.
8.	Sn х 180,6 см2, V = 120 еле3.
9.	S6oK = 240 еле8; V = 288 сл*3.
10.	а) х 114 л»8; б) » 125 л»3; в) х 413 лс*.
11.	х 7,1 см.
15. 128 ел»’; 192 ем8; 512 еле3.
Пункт 126.
1. 2л ребер, л + 1 граней.
4.	4.
5.	4.
6.	6.
8. .> «2Д; о •) *!Д.
10. S = 4г (r-f- /fc’-f-r8); V = 4 г8Л.
3
110
Пункт 127.
8. а) — 358 еж8; я 396 еж*; 6)	48,6 дм2-, я 26,4 «ж3.
. С8Л
4.	.
4л
6. Vi = 600л еж»; V2 = 360л еж»; V, = 512л еж»; V» < V» < И.
7. т = - як (Л[ — Яд) ~ 1,06 кг.
Пункт 128.
3.	Не может. (Рассмотрите соответствующий прямоугольный треуголь-
ник.)
4.	12 см.
5.	а) 3 я 251 еж®, V я 260 еж8;
б) S х 920 см2, V я 1309 еж»; в) S я 20,4 8ж8, V я 5,7 «ж*.
в. V я 16 760 еж8, 3 я 4067 еж2.
8. я 2,6 ж».
Пункт 129.
2. а) яг 201 см2, яг 268 еж»; б) я 78,5 еж8, 65,4 еж
в) яг 3550 жж8, я 19 860 жж®; г) я 12,6 Зж8, я 4,2 dtf.
3. а) 3 я 0,79 ж8, V я 0,065 ж»; б) 3 я 201 ж8, V я 268 ж®,
г?
5.	-у; а) я 4,63; б) я 76,77.
'г
2
6.	-j; а) 1,96; б) я 59,5.
*2
1	2
7.	а) -; б) — ; в) я 0,843; г) я 0,928.
8.	а) 5,10 • 10® кж®; б) 1,5  10« кж8; в) 40 • 10* ж.
9.	а) я 8619 ж8, я 1357 ж8; б) я 718 ж®, я 462 ж*.
10.	я 134 ж®.
13.	Около 1750 дробинок.
14.	я 9,2 см.
15.	а) я 3054 еж*, я 4580 еж*;
б) я 1018 еж®, я 1527 сж8.
Андрей Николаевич Колмогоров
Александр Федорович Семенович
Валерий Александрович Гуеев
Ростислав Семенович Черкасов
ГЕОМЕТРИЯ
Учебное ноообио для 8 класса
Редактор И. С. Михеев
Художественный редактор Е. Н. Карасик
Технический редактор Е. В. Богданова
Корректоры И. И. Котельникова
и О. С. Захарова
Сдано в набор 31/1*1975 г.
Подписано к печати 19/VI-1975 г.
60 X 90!/1в. Бумага трп. №1 Печ. л. 7,0.
Уч.-изд. л. 6,19. Тираж 2700 тыс.
(1—1100000) экз.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство «Просвещение» Государствен-
ного комитета Совета Министров РСФСР
по делам издательств, полиграфии и
книжной торговли. Москва, 3-й проезд
Марьиной рощи, 41.
Ордена Трудового Красного Знамени
полиграфический комбинат Росглавполи-
графпрома Государственного комитета
Совета Министров РСФСР по делам изда-
тельств, полиграфии и книжной торговли.
Саратов, ул. Чернышевского, 59.
Зак. 264.
Цена 8 коп.
Цена 8 коп.