ИЬих'ИТУТ ИНЖЕНЕРОВ КРАСНОГО ВОЗДУШНОГО ФЛОТА
вмени Н. Е. ЖУКОВСКОГО.
Проф. Л. П. Смирнов
ПЛАНИМЕТР
(Прибор для механического интегрирования)

МОСКВА
КНИГОИЗДАТЕЛЬСТВО ЦЕКТРАНА
ИНСТИТУТ ИНЖЕНЕРОВ КРАСНОГО ВОЗДУШНОГО ФЛОТА
имени Н. Е. ЖУКОВСКОГО.
Проф. Л. П. Смирнов.
= ПЛАНИМЕТР =
(Прибор для механического интегрирования)
МОСКВА
КНИГОИЗДАТЕЛЬСТВО ЦЕКТРАНА
1922
ПЛАНИМЕТР.
Прибор, служащий для определения площадей различной формы,
носит название планиметра. Наиболее распространенным прибором в
настоящее время надо считать планиметр Амслера—Коради. В дальней-
шем дается краткая теория этого прибора и указываются приемы его
проверки.
§ 1. Теория планиметра.
Планиметр Амслера-Коради состоит из двух рычагов АВ и ВС
соединенных шаровым шарниром в точке В. В точке С рычаг ВС
может вращаться около оси, непо-
движно укрепленной на плоскости
чертежа.
На продолжении рычага АВ
помещается каретка К, в кото-
рой укреплен ролик D так, что
его ось MN строго параллельна
линии ВА.
Ролик D имеет форму, пред-
ставленную на фиг. 2.
Скругленный край и тон-
кая насечка pq по середине
обода дает возможность ролику описывать сложные кривые YX [фиг. 3]
катясь и скользя по ним. Если ось ролика передвигается поступательно
[фиг. 41, а линия YX, описываемая роликом, перпендикулярна к его оси
MN, то ролик будет только вращаться.
Перемещая ось ролика так, что
новое положение оси MjNj будет
совпадать с направлением оси MN
[фиг. 5], мы имеем случай чистого
скольжения ролика, без его враще-
ния и, наконец, в том случае, когда
ролик, оставаясь сам себе парал-
лельным, принужден двигаться по
кривой YX [фиг. 6], он будет ка-
титься и скользить. При переходе
оси MN в положение MjNj, ролик
прокатится на длину b мм., а пе-
редвинется скользя на с мм.
На фиг. 7 представлена схема планиметра и часть^ кривой YX
описываемой штифтом А. Проводя нормали [1,1] и [2,2] к траекториям,
4
описываемым точками А и В до пересечения, получим полюс мгновен-
ного вращения Р. Перемещение ролика D будет направлено перпен-
дикулярно к линии DP и совпадет с на-
правлением скорости VD.
Разложим скорость Vd на две сла-
гающие: Ud скорость качения ролика и
W скорость его скольжения. Если бы
ролик D был продвинут параллельно
самому себе в положение L, так чтобы
его ось
венного
качения,
вой YX
ролика,
видно из следующих соотношений:
— р((Ор), где (<йр)=
MN прошла через полюс мгно-
вращения Р, то скорость его
при движении точки А по кри-
осталась бы та же U, как и для
укрепленного в каретке К, что
Скорость^ ролика L---------U l
АР
Из подобия заштрихованных треугольников имеем:
UD __ Р	ту __ V Р
vrro °”‘^а Ld=v”pd
так как Vd=PD((Op)? то следовательно
и D = Р (фр ) = Ul.
Для любого положения ролика на линии DL
скорость его качения будет та же, что и для ро-
лика, помещенного в каретке К, а потому схему
прибора можно в дальнейшем упростить, помещая
ролик непосредственно на продолжение рычага АВ,
как7 это сделано на фиг. 8.
Если кривая YX, обводимая штифтом А,
представляет из себя дугу круга, описываемого из
неподвижного центра С, то полюс мгновенного
вращения Р совпадет с точкой С и движение
ролика D можно заменить качением ролика Z по
дуге радиуса р, описанного из центра С. Из раз-
меров планиметра можно определить величину р,
для данного радиуса R. Из схемы фиг. 8 имеем:
Поэтому
или
R* = d2 + [a- (р- с)]2
d2 = г2 — (р—с)2,
R2 = а2 — 2а (р— с) + (р— с)2 + г2 — (р— с)2
R2 = a2-|-2ac-|-r2— 2ар..............(1).
Если взять R так, чтобы плоскость
ролика D проходила бы через центр вра-
щения С [фиг. 9], то р=0 и ролик D
не будет катиться по плоскости чертежа,
а лишь скользить. Обозначив радиус R
в этом случае через Ro *) [фиг. 9] получим:
Ro — а2 + 2ас + г2
Поэтому: R2 = Rq—2ар. .
(2)
(3)
*) В дальнейшем радиус Ro будет носить название „радиус нулевого круга0.
Применяя эту формулу к радиусам R, и R2 [фиг, 10], получим:
Ra = Rq — 2ар2
R? = Ro — 2apt
откуда: R2 — R? = 2apt — 2ap2. . (4).
Выражая площадь F[mm2] [фиг. 10] через радиусы и центральный
угол ф, получим:
F[mm2] = (R^) ~ — (Ri<?) —, или
r2
F[mm2J = -A__—I. СрЛ а при помощи формулы (4) имеем:
Л
F[mm2J = api<p — ар2<р
F[mm2] = а (ptf — р2ср)...(5).
(Р1<Р) и м представляют дуги
кругов, на величину которых прокатится
ролик D при движении штифта А по
дугам в к и ml [фиг. 10].
Перемещая штифт А по радиусам
Ь1 и mn один раз по направлению
от центра, а другой раз по направлению
к центру, мы не изменим показания
планиметра, так как пути, описываемые
роликом в обоих случаях, будут тож-
дественны, но взаимно противоположны,
поэтому, двигая штифт А по контуру
[nklnm], мы получим при помощи отсчета
планиметра число мм., соответствующих разности дуг apt и ар2.
Если обозначить эту разность через b мм, то площадь F [mm2] будет
равна Ьа> мм2.
на регистрирующем приборе
и ар2.
Если дан какой-либо контур [фиг. 11] и требуется определить его
площадь, то, разбив его радиусами, проведенными из центра С на ряд
отдельных площадок (ft), (f2), (f3)...., мы можем вычислить в отдельности
каждую площадку, превратив ее в разность двух секторов радиусами
R2 и Rj [фиг. 12].
раздельном подсчете отдельных
Движение штифта А по кривой
nkj можно заменить движением
штифта по радиусу пщ, по дуге
круга ntk и опять по радиусу ккр
Заменяя также часть кривой
через ломанный контур [IJmmJ, мы
получим площадку [f], аналогичную
площадке [F] на фиг. 10.
По формуле [5] можно было-бы
произвести вычисления отдельных
площадок и получить, таким образом,
искомую площадь всей данной фи-
гуры, но, в действительности, в таком
площадок нет надобности.
В этом можно убедиться, если провести окружности из центра С
фиг. 12 через точки в и кх, выделяя часть контура qtp. Из этого
построения видно, что движение штифта А по радиусам ип. и kkt,
когда штифт А описывает всю данную фигуру, компенсируется его
I
— 6
движением по радиусам ppt и qqt, поэтому отсчет, сделанный планимет-
ром, не изменится, будем-ли мы вести штифт А по кривой nkt, а затем,
по кривой pqt или обойдем штифтом ло-
манный контур [niqkkj и контур [pp^qj.
При действительной работе планиметром,
данную фигуру объезжают штифтом А
по контуру, в ту или другую сторону,
непрерывным движением, причем ролик I),
учитывая длины дуг kiq и 1m производит
автоматически их складывание или вычи-
тание. Обойдя весь контур и возвратив-
шись в исходное .положение, мы получим
при помощи регистрирующего прибора
тот путь, на который, в конечном итоге,
прокатился ролик D. Если величину этого
пути обозначить через b мм., то искомая площадь данной фигуры бу-
дет : F=ba [mm2].
Если приходится планиметрировать площадь настолько большую, что
центр (С) нельзя поместить вне ее, то определение площади лишь не-
многим отличается от предшествующего ме-
тода, а именно : к определенной указанным
выше способом площади нужно прибавить
еще площадь (ftR2), как это видно из сле-
дующего рассуждения:
Выделим двумя радиусами Сю и
Сп
элементарный сектор СК1 и представим его
площадь как разность двух площадей : пло-
щади сектора [Cimi] и площади [kmnlj:
площ. [Ск1]=площ. [Стп]— площ. [пшк]].
Выделим, далее, двумя радиусами еще
элементарный сектор Crs и представим его
площадь как сумму двух площадей : пло-
щадь сектора [Cpq] и площадь [pqrs] •
площ. [Crs]—площ. [СрцЦ-площ.рцгз].
Если произвести суммирование таких секторов по всему контуру
данной фигуры, то мы получим искомую площадь:
F [mm2] = 2 площ. (СМ) + 2 площ. (Crs) =
2 площ. (Стп) 4- 2 площ- (Cpq) + 2 площ. (pqrs) — 2 площ. (Нтп). >
Но 2 площ. [Стп] -]~ 2 площ. [Cpq] — ТСП-о
2 площ. [pqrs] = b1a, "где bt
число тт, на которое прокатится
ролик при движении штифта л по
контуру [2sr lpq2].
2 площ. [klnm] —b2a, где Ь2 чи-
ело mm, на которое прокатится ролик
штифта Л по контуру [Ikl 2nml].
Следовательно:
F[mm2] — tcRq + bi a — b2a.
Так как ролик не меняеет своего
показания, когда штифт (А) прохо-
дит дугу круга радиуса (Ro), то
можно ограничиться проведением штифта (А) по данному контуру: [Ikl 2szl].
Разность показаний регистрирующего прибора планиметра, выраженнаго
в mm, даст величину [bt—Ь2].
По формуле [2]: Ro = а2 + 2ас + г2
— 7 —
I
Следовательно, искомая площадь F будет иметь величину:
F[mm2] = а2 2ас 4- г2 4- a (bt—b.2/).
§ 2. Регистрирующий прибор планиметра.
Чтобы иметь возмоткность определять длины дуг, на которые про-
катывается во время работы ролик D, планиметр имеет регистрирую-
щий аппарат, пред-
ставленный на
фиг. 14, он состоит
из цилиндрика Z
слоновой кости или
целлулоида, поса-
женного рядом с
роликом D в ка-
ретке К и разде-
ленного на 100 ча-
стей. При помощи
нониуса ДА, име-
ющего 10 делений
равных 9 делениям
цилиндрика Z,
можно число де-
лений цилиндрика
прочесть с точ-
ностью до одной
десятой.
В планиметрах
системы Амслер-
Коради диаметр
ролика D делается
равным 19 мм., сле-
довательно, одному
делению нониуса соответствует s мм. периферии ролика D, причем:
ж! 59.69
" 1000 ~ 1000 mm-
ком
Если число делений нониуса, получае-
мого как разность отсчета, при объезде дан-
ного контура, будет п, то соответствующее
пространство, на которое прокатится при
этом ролик, будет sn мм., а описываемая
площадь:
F [шш2]=О, 0597. па.
Для удобства подсчета площади, размер
планиметра а выбирают так, чтобы одному
делению нониуса соответствовало 10 мм2:
1 О [mm2j=O,0597. 1. а
откуда	а=167 [шт].
Ось ролика D соединена при помощи червячной передачи с дис-
Q, снабженным делениями от 1 до 10. Каждое деление соответ-
---7--------
*) Размер а для каждого планиметра должен быть найден особо, так как диаметр
ролика D, в виду технических трудностей выполнения, у каждого планиметра несколько
отличаемся от 19 мм.
8 —
ствует одному полному обороту ролика D. Таким образом, регистри-
рующий прибор планиметра дает возможность отметить до 10000 делений
нониуса, что соответствует 100000 мм2 [площадь квадрата со стороной
316 мм.]. Для удобства установки длины рычага АВ он снабжен деле-
ниями на 1/2 мм., а каретка К имеет простой указатель или снабжена
микрометренным винтом и указателем с нониусом, при помощи которого
можно установить длину а на рычаге АВ, с точностью до 1/20 мм.
§ 3. Проверка планиметра.
Проверка планиметра производится при помощи специальной ли-
нейки, прилагаемой к каждому аппарату.
Эта линейка представлена на фиг. 15, она снабжена делениями на
расстоянии 2 см. Нулевое деление имеет острый штифт О, а противо-
окружность определенного радиуса,
ной отметке, вторично записывают г
положныи конец планки скошен и
снабжен • чертой II. Расположив
планиметр и проверочную линейку
так, как это указано на фиг. 16,
ставят отметку на бумаге против
черты И, записывают показания
регистрирующего прибора и обво-
дят линейку вокруг центра О,
штифт Ах описывает при этом
Подведя чер^у Н к первоначаль-
казания регистрирующего прибора.
— 9
Разность показаний дает число делений нониуса, а площадь круга в мм2,
по известному диаметру, дает возможность определить число мм2, при-
ходящееся на каждое деление но-
ниуса. Так например, площадь
круга радиуса 6 см. будет 11308 мм2,
а первый отсчет планиметра дает
цифру 2568, где цифра 2 берется
по диску Q, а цифра 8 по но-
ниусу; второй отсчет получается
равным 3699, следовательно раз-
ность равна 1131 дел. нониуса. Поэтому мы можем положить, что одно
деление нониуса соответствует
11308
1131
О
мм .
Такое исследование можно сделать
с различными диаметрами кругов и
взять сумму всех площадей и сумму
делений нониуса. Разделив суммарную
площадь на сумму делений нониуса мы
получим эквивалент площади для одного
деления нониуса более точный, чем это
можно сделать из одного отсчета.
При планиметрировании больших
площадей, когда центр С приходится
помещать внутри заданной площади,
необходимо знать, как мы видели выше,
величину радиуса „нулевого круга" Ro.
Определять его из вычислений довольно
вместе с бумажной
центра С, мы не
если
0 взята правильно, если
сложно и недостаточно точно, поэтому
удобнее применять прием, указанный на фиг. 17:
Центр С и штифт А располагают на полоске прочной бумаги
тзк, чтобы средняя плоскость ролика D
гая штифт А
полоской вокруг
изменим показаний планиметра,
величина
же показание планиметра меняется, то
необходимо переставить штифт А,
увеличив или уменьшив расстояние
СА. После некоторых попыток удается
выбрать положение штифта А на бу-
мажной полоске так, что ролик не бу-
дет обнаруживать качения. Смерив рас-
стояние СА мьд можем определить
площадь круга ТС Bq.
прошла через центр С. Дви-
§ 4. Производство
После установки и проверки планиметра можно приступить к опре-
делению площади данной фигуры, для чего располагают планиметр и
данный контур так, как указано на фиг. 18. В каком-либо месте кон-
тура, взятом так, чтобы удобно было читать показания нониуса, делают
небольшую пометку карандашем, ставят на нее штифт А и записывают
показания регистрирующего аппарата, затем обводят штифтом А по
10
контуру, следя за тем, чтобы штифт А встал точно в то же положение,
которое было дано ему первоначально. Отметив показание планиметра
делению нониуса, получаем
и сравнив его с первым отсчетом, можно
получить искомую величину площади. Для
более надежной работы следует повторить
определение площади, но прежде чем вести
штифт А вновь вдоль контура, необходимо
заменить показание планиметра новым, для
чего штифт А ведут по какому-либо про-
извольному контуру {показан пунктиром на
фиг. 18].
Поставив штифт А в первоначальное
положение на отметке, записываем показание
регистрирующего прибора, обводим контур
в том же направлении, как в первый раз,
и определяем число делений нониуса, соот-
ветствующее разности отчетов.
Из полученных таким образом двух
наблюдений берут среднюю величину и, умно*
жив на число мм2, соответствующих одному
искомую величину площади [F] в мм2.
Пример: Пусть требуется определить площадь индикаторной диа-
граммы, показанной на фиг. 18:
1-ый отсчет	2~ой отсчет	3-ий отсчет )	4-ый отсчет
7534	7696	8326	8487
	162	161	
	161,5		
Длина планиметра а установлена так, что одному делению но-
ниуса соответствует 10 мм2, следовательно искомая площадь: F = 1615 мм2.
30 ноп. золотом