И. П. ТРУНОВ
ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ
РАБОТЫ
НА МЕСТНОСТИ
В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
МОСКВА 1956
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время перед всеми учителями встают
важнейшие задачи, разрешение которых должно зна-
чительно повысить уровень знании учащихся и, глав-
ное, научить их применять эти знания на практике.
В числе других задач, которые должны разрешить
учителя математики, осуществляя принцип политех-
низаций, является привитие учащимся практических
навыков и, в частности, проведение всевозможных
измерительных работ на местности.
Однако до сего времени измерительным работам
на местности не уделялось почти никакого внимания,
и если некоторые из учителей и проводили со своими
учащимися эти работы, то характер их был случай-
ный, и выполнялись они преимущественно учащимися
VIII классов.
Целью настоящей работы является оказание по-
мощи учителям математики при проведении измери-
тельных работ на местности.
Приведённые в настоящем сборнике задачи дадут
возможность учителю увязать теоретический мате-
риал с практикой (построение перпендикуляра к пря-
мой методом засечек, применение равенства треуголь-
ников, свойства средней линии треугольника и т. п.).
э
Достаточное количество разбираемых ниже задач
позволит учителю отобрать из них те, выполнение
которых он найдёт наиболее целесообразным в усло-
виях своей школы, своего класса.
Желательно на проведение измерительных работ от-
вести:
В	V	классе	8 — 9	учебных	часов
	VI	»	10 —12	»	
	VII		6 — 8		э
	VIII	»	10 —12	»	»
,•5,	IX		5 — 6	»	
»	X		5 — 6	»	£
Работы	на местности не следует обязательно от-				
носить на весенний период; их можно проводить в
любое время года (даже зимой, в хорошие солнечные
дни), особенно те, выполнение которых целиком ба-
зируется на изучаемом теоретическом материале
(построение перпендикуляра методом засечек, прове-
шиванйе прямой, параллельной данной прямой, опре-
деление расстояния между двумя точками примене-
нием свойства средней линии треугольника и многие
другие).
Работы рассчитаны на выполнение их с помощью
самодельных приборов: эккера, астролябии, мензулы,
эклиметра, высотометра, уровня, отвеса, реек, вешек
и мерной верёвки (если нет рулетки).
Описание устройства измерительных приборов и
соответствующие чертежи даны в конце книги.
ПЕРЕЧЕНЬ РАБОТ
Приводим перечень рекомендуемых работ для
V—VII и для VIII—X классов с указанием теоретиче-
ского материала, знание которого необходимо для
проведения данной работы.
.4 «/п	Класс	Наименование работ	Какой теоретический материал используется
1 2	IV-V IV-V	IV—VII классы А. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ РАБОТЫ Определение средней длины шага Определение расстоя- ний иа глаз с по- следующей провер- кой шагами	
3	IV-V	Провешивание прямой и её измерение Построение прямого угла:	Понятие о прямой линии
4	IV-V	а) при помощи эккера (два случая)	Понятие о прямом угле
5	VI	б) методом засечек (два случая)	Построение	перпен- дикуляра к прямой из точки, взятой на прямой и вне её
6	VI	Измерение и построе- ние углов при по- мощи астролябии	Измерение централь- ных углов с по- мощью дуг
В
№ Ч/п	Класс	Наименование работ	Какой теоретический материал используется
7	VI	Провешивание	пря- мой, параллельной данной прямой и проходящей через данную точку Б. ИЗМЕРЕНИЕ И ПОСТРОЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ Измерение площадей	Свойство параллель- ных прямых
8	IV-V	а) прямоугольника	
9	V	б) параллелограма	
10	V	в) треугольника	Г еометрический ма -
11	V	г) трапеции	териал в курсе
12	IV-V	Построение	прямо- угольника и квад- рата В. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЙ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ Определение расстоя- ния между двумя точками, одна из ко торых недоступна:	арифметики
£3	VI	а) построением прямо- угольного равнобед- ренного треуголь- ника	Равенство и построе- ние треугольников
14	VI	б) построением рав- ных прямоугольных треугольников	•
15	VI	в) построением рав- ных косоугольных треугольников	•
16	VII	Определение расстоя- ния между двумя точками, к каждой нз которых можно подойти	построе- нием	прямоуголь-	Свойство прямо- угольника
		ника	
6
f* п/п	Класс	Наименование работ	Какой теоретический материал используете*
17	VI	Определение расстоя- ния между двумя точками, к каждой из которых можно подойти, но из од- ной другую видеть нельзя: а) построением рав-	Равенство и построение
18	VII	иых треугольников б) по свойству сред	треугольников Свойство средней линии
19	VII	ней линии треуголь- ника (два случая) Определение расстоя-	треугольника Свойство параллело-
20	VI	ния между двумя недоступными точ- ками построением параллелограма г. определение ВЫСОТЫ ПРЕДМЕТА Определение высоты предмета, к осно- ванию которого мож- но подойти: а) при помощи прямо-	грама Свойства прямоуголь-
21	VI	угольного равнобед- ренного треуголь- ника б) при помощи ЭКЛИ-	ного равнобедренного треугольника Построение прямоуголь-
22	VI	метра Определение высоты	ного треугольника Построение косоуголь-
		предмета, к основа- нию которого подой-	ного и прямоуголь- ного треугольников
23	VI	ти нельзя Д. НИВЕЛИРОВАНИЕ Определение глубины	
24	VI	оврага Е. СЪЕМКА ПЛАНОВ Съёмка плана за-	Построение треугольни-
		строенного участка методом триангуля- ции	ка по трём сторонам
7
№ пуп	Класс	Наименование работ	Какой теоретический материал используется
25	VI	Съёмка плана обходом	Применение масшта ба
26	VII	Съёмка плана с маги- страли методом ко- ординат VIII—X класс ы*) А. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ РАБОТЫ	Построение многоуголь- ника по координатам его вершин
27	VIII	Построение прямого угла при помощи египетского	тре- угольника	Теорема Пифагора
58	VIII	Определение расстоя- ний при помощи дальномера Б. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЙ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ Определение расстоя- ния до недоступной точки:	Подобие треугольни ков
29	VIII	а) построением подоб- ных треугольников	
30	VIII	б) построением и ре- шением прямоуголь-	Решение	прямо- угольных треуголь
ЗГ		ного треугольника	ников
	X	в) построением и ре- шением косоуголь- ного треугольника Определение расстоя- ния между двумя точками, каждая из которых доступна, но из одной другую видеть нельзя:	Решение косоуголь ных треугольников
32	VIII	а) построением и ре- шением прямоуголь- ного треугольника	Решение	треуголь- ников
*) Если в предшествующих классах измерительные работы
не проводились, необходимо в обязательном порядке провести
работы 3, 4, 6.
8
№ л/п	Класс	Наименование работ	Какой теоретический материал используется
33	X	б) построением и ре- шением косоуголь- ного треугольника	Решение косоуголь- ных треугольников
34	X	Определение расстоя- ния между двумя недоступными точка- ми с базиса при по- мощи астролябии В. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫСОТЫ ПРЕДМЕТА Определение высоты предмета, к осно- ванию которого мож- но подойти:	»
35	VIII	а)	при помощи экли- метра б)	при помощи тени	Решение прямоугольно- го треугольника Подобие треугольников
36 37	VIII VIII	в) при помощи высото- мера лесовода	»
38	VIII	г) при помощи зер- кала Определение высоты предмета, к основа- нию которого по- дойти нельзя:	»
39	IX-X	а) при помощи экли- метра	Решение треугольников
40	VIII	б) при помощи высото- мера лесовода	Подобие треугольников
41	VIII	в) при помощи зер- кала Г. СЪЕМКА ПЛАНОВ	»
42	VIII	Маршрутная съёмка	Понятие об азимуте и румбах
43	VIII	Глазомерная съёмка плана местности об- ходом при помощи румбов	»
44	VIII	Мензульная съёмка плана полярным спо- собом	Подобное преобразова- ние
45	VIII	Мензульная съёмка плана с базиса ме- тодом засечек	»
9
ОРГАНИЗАЦИЯ РАБОТ
1.	Для практических работ каждый из учащихся
должен иметь полевой журнал, куда во время работы
заносятся все результаты измерений, схематические
зарисовки и вычисления.
2.	Ещё до выхода на местность каждая работа
должна быть разобрана в классе на уроках.
Исключительный эффект даёт разъяснительная
работа учителя в классе на настольном полигоне. На
большой чертёжной доске 60 см X 100 см (рис. 1)
наклеивается чертёжная бумага, на неё наносятся
река, роща и другие объекты, относительно которых
предстоит решить те или иные задачи. Изготовляются
модели эккера, астролябии и вешек. Все эти модели
устанавливаются на полигоне с помощью катушек
(из-под ниток), распиленных на две части.
При помощи таких вешек-моделей учитель в классе
демонстрирует, как проводится провешивание прямой,
как строятся углы с помощью эккера и с помощью
астролябии. На этом же настольном полигоне ре-
шаются задачи, которые затем будут решаться уча-
щимися на местности: построение равных и подобных
треугольников при определении расстояний до недо-
ступных точек и др.
В нужных случаях учащиеся в своих полевых жур-
налах должны подготовить по указанию учителя
10
таблицы, которые при работе на местности запол-
няются числовыми данными произведённых измерений.
3.	Необходимый инструмент учащиеся изготов-
ляют заранее сами в нужном количестве по указанию
и под руководством учителя (если школа не распо-
лагает готовым).
Рис. I
4.	Устройство всех измерительных приборов и
приёмы пользования ими должны быть хорошо изучены
учащимися ещё до выхода в поле.
5.	Перед первым выходом в поле в классе должны
быть созданы бригады с количеством учащихся от 4
до 6 в каждой.
Бригады подбираются равноценными по теорети-
ческой подготовке и по активности их членов. Во
главе каждой бригады должен стоять бригадир из
числа наиболее инициативных, аккуратных и дисцип-
линированных учащихся.
6.	На обязанности бригадира лежит подготовка
и сдача всех принадлежностей для производства pa-
ll
бот, расстановка членов бригады и наблюдение за
правильностью хода работ в бригаде в целом.
7.	Внутри бригады в каждом отдельном случае
работа распределяется равномерно между членами
бригады и притом так, чтобы в результате всех про-
ведённых работ каждый из учащихся изучил приёмы
работ с каждым из измерительных приборов.
8.	Измерение каждого из отдельных элементов
(углов, расстояний и т. п.) производится по возмож-
ности 3—4 раза и находится среднее значение этих
измерений.
Обработка материала
Обработка материала каждой проведённой практи-
ческой работы производится коллективно членами
всей данной бригады под общим руководством бри-
гадира.
В соответствии с записями и зарисовками в инди-
видуальных полевых журналах согласовываются чис-
ловые результаты произведённых измерений; на осно-
ве их решается данная задача отдельно каждым из
членов бригады. При наличии единства ответов
бригада приступает к оформлению бригадного днев-
ника (отчёта).
В дневник заносятся:
1.	Список членов бригады.
2.	Номер работы.
3.	Наименование работы.
4.	Эскиз или план (при съёмках плана).
5.	Таблица с результатами произведённых изме-
рений..
6.	Описание всего процесса выполнения работы.
7.	Вычисления с надлежащим объяснением.
При оформлении дневника должен осуществляться
принцип разделения труда: один из членов бригады
(2
составляет описание всего процесса работы и даёт
решение задачи с объяснением (вчерне), другой
оформляет чертежи, третий переписывает весь ма-
териал по данной работе.
В работу по оформлению последующих задач во-
влекаются другие члены бригады, чтобы таким обра-
зом все члены бригады приняли посильное участие
в оформлении дневника.
Оценка работы
Оценка производится учителем на основе записей
в бригадном журнале, просмотра индивидуальных
тетрадей-журналов, наблюдений за активностью и сте-
пенью самостоятельности каждого учащегося при
проведении измерительных работ и, наконец, на осно-
ве индивидуального опроса учащихся по итогам про-
изведённых работ.
Чтобы повысить ответственность учащихся за пол-
ную самостоятельность при выполнении измеритель-
ных работ на местности, следует включать описание
решения некоторых практических задач в контроль-
ные классные работы, а также в экзаменационные
билеты.
УКАЗАНИЯ К ПРОВЕДЕНИЮ РАБОТ
Работа № 1
Определение средней длины шага
Принадлежности: рулетка и два колышка.
Учитель заранее отмеряет определённое расстояние
(например, 60 м) и отмечает колышками начальную
и конечную точки. Учащиеся раньше времени это
расстояние знать не должны. Каждый из учащихся
свободным, обычным шагом измеряет расстояние
три-четыре раза и результаты заносит в таблицу:
№ измерений	I	11	III	IV	Среднее
Количество шагов . . .	88,5	92,0	90,5	91,5	90,625
Когда все учащиеся найдут среднее число шагов
в измеряемом расстоянии, учитель объявляет рас-
стояние — 60 м.
Учащиеся вычисляют среднюю длину шага:
60:90,625 = 0,662 (м).
Окончательный результат для измерений, не тре-
бующий большой точности, округляется до десятых
долей (в нашем случае — 0,7 м).
Эту среднюю длину своего шага в метрах каж-
дый учащийся должен хорошо помнить.
Для более точных измерений полезно каждому уче-
нику составить таблицу перевода шагов в метры,
пользуясь более точным значением длины шага.
Число шагов	Длина в метрах
1
10
100
1000
0,7
6,6
66,2
662,0
Пример пользования таблицей:
Пусть учащийся сделал 1267 шагов. Тогда рас-
стояние в метрах вычисляется так:
1000 шагов	—	662,0 м
200	»	—	132,4 »
60	»	—	39,6 »
7	»	—	4,9 »
1267 шагов	—	838,9 м
При прогулках, во время экскурсий, вообще при
ходьбе, достаточно пользоваться приближённым значе-
нием длины шага (0,7); при шагомерных измерениях сле-
дует пользоваться приведённой таблицей перевода.
Проведению этой работы должно предшествовать
изучение учащимися устройства рулетки и привитие им
достаточных навыков пользования ею путём корот-
ких, но многократных измерений в пределах класса
или школы.
Работа №2
Определение расстояния на глаз с последующей
проверкой шагами
Весьма часто оказывается необходимым определять
расстояние до какого-либо предмета без всяких ин-
струментов, приближённо, но всё же достаточно точ-
но. В таких случаях необходимы навыки глазомер-
15
ного определения расстояний. Приобретаются они
длительной тренировкой, которую учащиеся должны
проводить сами при каждом удобном случае, прове-
ряя каждый раз результаты промером шагами с по-
следующим переводом в метры.
Учащихся необходимо познакомить с таблицей, в ко-
торой приведены предельные расстояния, с которых
предметы становятся видимыми.
№ п/п	Предметы	С какого расстояния видны
1	Крупные сооружения, боль-	
	шие башни		18—20 км
2	Ветряные мельницы, завод-	
	ские трубы		15 .
3	Деревни, большие дома . . .	8 .
4	Группы отдельных домов. .	5 .
5	Окна в домах 		4 „
6	Трубы на крышах		3 ,
7	Отдельные деревья и оди-	
	ночные лкии (как точки) .	2 .
8	Километровые столбы . . ,	1 ,
9	Стволы деревьев 		850 м
10	Движения ног лошадей . . .	650 .
11	Оконные переплеты ....	500 .
12	Движение рук 		400 ,
13	Части одежды и её цвет . .	250 »
14	Черепица и доски на кпышах	200 .
15	Липа людей. Пуговицы на	
	платье 		150 .
16	Выражение лица		100 »
17	Глаза 		60 .
18	Белки глаз 		20 ,
Необходимо знать, как влияют на глазомерное оп-
ределение расстояний условия, в которых производят-
ся наблюдения.
Предметы кажутся находящимися ближе, чем в
действительности:
1)	если они ярко освещены или окрашены в яркие
цвета;
16
2)	если на пути между наблюдаемым предметом и
глазом наблюдателя нет других предметов (например,
при наблюдении в открытой степи или на воде);
3)	если предмет находится на горе;
4)	если наблюдение производится в лежачем по-
ложении;
5)	если человек стоит, он кажется ближе, чем если
человек лежит;
6)	группа людей кажется ближе, чем один, при
одинаковых расстояниях до них;
7)	человек в тёмной одежде на фоне снежного
покрова.
Предметы кажутся находящимися на расстоянии
большем, чем в действительности:
1)	во время дождя или тумана;
2)	если между наблюдаемым предметом и глазом
наблюдателя есть промежуточные предметы;
3)	если наблюдаемый предмет находится внизу, а
наблюдатель на горе;
4)	летом, если наблюдаемый предмет окрашен в
защитный цвет.
Упражнять учащихся в определении расстояния
на глаз необходимо при всяком удобном случае, на-
пример, при производстве каждой работы на местно-
сти, связанной с измерением расстояний, при экскур-
сиях и прогулках. Помимо этого, необходимо про-
вести специальное занятие на тему «Измерение рас-
стояния на местности на глаз с последующей про-
веркой шагами и переводом результата в метры».
Перед проведением этой работы учитель должен
сам определить расстояние от исходной точки до на-
меченного предмета (дерева, дома, стога сена и т. п.),
не сообщая его ученикам.
Расстояния следует научиться определять не только
от наблюдателя до какого-либо объекта, но и между
двумя намеченными точками.
11
Работа №3
Провешивание прямой и её измерение (рис. 2)
Принадлежности: 5—6 вешек.
Один из учащихся устанавливает вешку в исход-
ной точке А и смотрит на неё так, чтобы она нахо-
дилась на одной прямой с вешкой М (или каким-либо
объектом — столбом, стволом дерева и т. п.), установ-
ленной в конце провешиваемой прямой.
В это время другой ученик устанавливает свою
вешку на расстоянии 8—10 м от М в такой точке В,
чтобы все три вешки А, В и М находились на одной
прямой.
Установка вешки В корректируется движением
руки наблюдателя, который смотрит от вешки А вправо
Рис. 2
или влево. Когда вешка стала на линии AM, наблю-
датель подаёт сигнал движением руки сверху вниз,
после чего вешка закрепляется. Необходимо при этом
следить, чтобы вешка стояла вертикально.
18
Аналогично устанавливаются остальные вешки по
линии от М кА, после чего измеряется расстояние AM.
Такое провешивание называется провешиванием
«на себя», но оно может производиться и «от себя».
Провешивание «от себя» даёт большую ошибку в пра-
вильности установки вешек.
Работа №4
Построение прямого угла при помощи эккера
(рис. 3)
Принадлежности: эккер, 6—8 вешек.
Случай /. Точка О задана на данной прямой АВ.
Провешивается прямая АВ. Один из учащихся
устанавливает эккер в данной точке О так, чтобы ди-
Рис. 3
оптры а и с лежали на прямой АВ. Второй ученик
смотрит по направлению db в то время, как третий и
четвёртый провешивают прямую ОМ. Угол АОМ и бу-
дет искомый (90°).
19
Случай 11. Точка М задана вне данной прямой АВ.
Провешивается прямая АВ. Один из учащихся уста-
навливает вешку в данной точке М. Двое других
перемешаются с эккером вдоль АВ до тех пор, пока
установят его так, чтобы диоптры а и с находились
на прямой АВ, а точка М—на продолжении прямой
db, после чего провешивается прямая МО.
Угол АОМ будет искомый (90°).
Работа №5
Построение прямого угла методом засечек
Принадлежности: 6—8 вешек, 2 колышка,
верёвка длиной 12—15 м.
Случай I (рис. 4). Точка О задана на данной пря-
мой АВ.
Рис. 4
Провешивается прямая АВ. От данной точки О в
обе стороны отмеряют на прямой АВ произвольные,
но равные между собой расстояния ОК и OL (длина KL
20
должна быть меньше длины всей верёвки); в точках
Ки L вбивают колышки. Двое учащихся держат концы
верёвки у колышков К и L, а третий, держа верёвку
за середину, отходит от точки О до тех пор, пока
обе половины верёвки будут одинаково натянуты.
В точке М, в которой окажется середина верёвки,
ставится вешка и провешивается прямая ОМ. Тре-
угольник KML— равнобедренный (так как М — сере-
дина верёвки), МО — его медиана (так как OK=OL).
Следовательно, ОМ — высота и угол АОМ — прямой.
Случай II (рис. 5). Точка О задана вне данной
прямой АВ.
Один из учащихся закрепляет конец верёвки в дан-
ной точке О. Второй, держа другой конец верёвки,
становится на прямой АВ в такой точке К, чтобы
Рис. 5
верёвка оказалась натянутой. Отметив эту точку колыш-
ком, учащийся таким же способом отмечает вторую
точку L на той же прямой АВ (OL=OK). С помощью
21
той же верёвки находится середина KL в точке М.
После этого провешивается прямая МО. Треугольник
KOL— равнобедренный (по построению OK=OL),
МО — медиана (так как М — середина KL). Следова-
тельно, МО — высота и угол АМО—прямой.
Работа № 6
Измерение и построение углов при помощи
астролябии
Принадлежности: астролябия, 5—6 вешек.
1. Измерение угла (рис. 6).
Астролябия устанавливается в вершине А изме-
ряемого угла так, чтобы диск её был расположен в
Рис. 6
горизонтальной плоскости. Устанавливают алидаду в
направлении SK и делают первый отсчёт на круге т°;
повернув её и установив по направлению SL, делают
второй отсчёт — п°.
22
Искомый Z_BAC=nQ—т°.
Если при повороте алидады из положения SC в
положение SB (рис. 7) пришлось сделать переход через
нуль лимба, расчёт услож- 1 \ g
няется. В этом случае вто-
рой отсчёт п° меньше первого
т°, и потому ко второму от-
счёту следует прибавить 360°.
Искомый угол будет равен:
360 4-/го —т°
2. Провешивание прямой
АС под данным углом <р к
данной прямой АВ (рис. 8).
Устанавливают астролябию
в точке А, в которой должна
находиться вершина угла. На-
правляют алидаду вдоль про-
вешенной прямой АВ и дел
Поворачивают алидаду так, чтобы новый отсчёт п°
был равен т°4- <р, провешивают АС.
Рис. 8
23
Тогда ^BAC—n°—т. е. направление АС
будет искомое.
Р а б о т а № 7
Провешивание прямой, параллельной данной прямой АВ
и проходящей через данную точку N
Способ I (рис. 9).
Принадлежности: эккер, 8—10 вешек.
Провешивают прямую АВ. Из данной точки N опу-
скают перпендикуляр MN на прямую АВ. Измеряют
Рис. 9
ММ=а. Эккер переносят в произвольную точку К
прямой АВ, строят перпендикуляр и откладывают
KL=a. Провешивают прямую NL. Прямая NL — ис-
комая.
«4
Способ II (рис. 10).
Принадлежности: астролябия и 8—10 вешек
Провешивают прямую АВ. Устанавливают астроля-
бию в произвольной точке М и измеряют Z_AMN—&.
Рис. 10
Переносят астролябию в данную точку N и провеши-
вают прямую NL под углом а к MN, т. е. под углом
MNL, равным углу AMN. Прямая NL — искомая.
Объяснения к работам № 8—11 опускаются вслед-
ствие их простоты.
Р а б ота № 12
Построение прямоугольника по данным его сторонам
(рис. 11)
Принадлежности: эккер, рулетка и 12—16
вешек.
Провешивают в нужном направлении прямую MN.
Устанавливают в одной из вершин, например в точке
25
А, эккер и строят прямой угол, провешивая прямую AD.
Откладывают АВ=а и AD=b. Переносят эккер в
точку В, строят прямой угол
АВС, провешивая прямую ВС.
Откладывают ВС=Ь. Четырёх-
угольник ABCD — искомый
прямоугольник.
В правильности построе-
ния следует убедиться, про-
верив с помощью эккера углы
С и D (достаточно проверить
один из них) и измерив сто-
рону CD.
Построение квадрата вы-
полняется тем же приёмом.
Проверку можно выпол-
нить, измерив и сравнив дли-
Рис. 11	чы диагоналей.
Р а б о т а № 13
Определение расстояния до недоступной точки М
построением прямоугольного равнобедренного
треугольника (рис. 12)
Принадлежности: эккер, рулетка, 4—5 вешек.
Для определения расстояния от данной точки А
до заданной недоступной точки М устанавливают в
данной точке А эккер и строят прямой угол МАВ.
Двое из учащихся находят на прямой АВ такую точ-
ку С, из которой точка М будет видна под углом 45°
к прямой АВ. Это достигается установкой эккера в
такой точке, чтобы диоптры сит лежали на прямой
СМ в то время, как диоптры с и а находились на
прямой ВА. Измеряют расстояние AC=d.
26
Рис. 12
JuIm-nM,. !
Из треугольника САМ следует, что АМ=ЛС. Сле-
довательно, X—d.
Р а б от а № 14
Определение расстояния до недоступной точки М
построением равных прямоугольных треугольников
(рис. 13)
Принадлежности: эккер, рулетка, 7—8 вешек.
____________________М
Пусть требуется	опре-	./'1—
делить расстояние	от	дан-	i
ной точки А до	недоступ-
ной точки М.
В-данной точке А уста-
навливают эккер и строят
прямой угол МАВ. Прове-
шивают и измеряют базис
АВ (например, равный 20 м).
В середине ft базиса ставят
вешку. Переносят эккер в
точку В и строят прямой
27
угол АВС. Провешивают ВС и на прямой ВС находят
точку D, лежащую на одной прямой с точками Я и
М. Измеряют расстояние BD. Из равенства треугольни-
ков следует, что BD=AM.
Следовательно, X=AM=BD=d; X=d.
Работа№ 15
Определение расстояния до недоступной точки М
построением равных косоугольных треугольников
(рис. 14)
Принадлежности: астролябия, рулетка, 7—8
вешек.
От точки А в произволь-
ном направлении откла-
дывают базис АВ. С по-
мощью астролябии измеря-
ют /_МАВ=а.. В середине
К базиса устанавливают
вешку. На другом конце В
базиса устанавливают астро-
лябию и строят /ДВС=а-
Провешивают прямую ВС
и на ней находят точку D,
лежащую на одной прямой
с точками К и М. Измеря-
ют расстояние BD=d, ко-
торое и будет искомым.
Работа № 16
Определение расстояния между двумя точками,
к каждой из которых можно подойти, построением
прямоугольника (рис. 15)
Принадлежности: эккер, рулетка, 8—10 вешек.
Устанавливают эккер в данной точке А и строят
прямой угол ВАС. Провешивают АС и откладывают
28
произвольную длину АС=а. Так же поступают в точ-
ке В. Провешивают и измеряют расстояние CD=d.
По свойству прямоугольника имеем АВ—CD и, сле-
довательно, X=d.
Рис. 15
Этот способ позволяет сделать проверку: углы
С и D должны быть прямыми, что проверяется с по-
мощью эккера.
Р а бота № 17
Определение расстояния между двумя точками,
к каждой из которых можно подойти, но из одной
другую видеть нельзя, построением равных
треугольников (рис. 16)
Принадлежности: рулетка, 10—12 вешек.
Провешивают по произвольным направлениям две
пересекающиеся прямые АЕ и BD. Измеряют расстоя-
29
НИЯ АС и ВС и отмеряют СЕ = АС и CD = BC. Прове-
шивают и измеряют ЕЕ. Из равенства треугольников
DCE и АВС следует: DE=AB, откуда X=d.
Рис. 16
РаботаМ 18
Определение расстояния между двумя точками,
к каждой из которых можно подойти, но из одной
другую видеть нельзя, по свойству средней линии
треугольника (рис. 17)
Принадлежности: рулетка, 8—10 вешек.
Провешивают из данных точек А и В две произ-
вольные пересекающиеся прямые АС и ВС и измеря-
ют их длины. Отмечают их середины — точки D и Е.
Провешивают и измеряют DE=d. По свойству сред-
ней линии треугольника DE = АВ, откуда X = 2 d.
Если окажется, что среднюю линию DE прове-
шить и измерить нельзя (рис. 17), то расстояния ЕС
30
и DC делят опять пополам и провешивают и из-
меряют KL = di. Очевидно, KL = DE = -^-АВ, откуда
Х=4 di.
Рис. 17
Работа № 19
Определение расстояния между двумя недоступными
точками построением параллелограма (рис. 18)
Принадлежности: эккер, рулетка, 10—12 ве-
шек.
Провешивают произвольную прямую MN и на ней
с помощью эккера находят такие две точки К и L,
чтобы углы AKN и BLM были прямые. Устанавлива-
ют вешку в точке О — середине KL.
Провешивают прямую АКС и на ней находят точ-
ку Е, лежащую на одной прямой с О и В. Точно так
же находят точку F на прямой BLD.
Провешивают и измеряют прямую EF = d.
31
f\AKO=/\OLF, так как KO—OL и Z АКО—FLO—
=90° (по построению) и </AOK=Z_FOL (как верти-
кальные), откуда следует, что АО—OF. По аналогии
(Я
Рис. 18
ВО=ОЕ. В четырёхугольнике ABFE диагонали делят-
ся взаимно пополам; следовательно, этот четырёх-
угольник есть параллелограм, откуда AB=EF-, X=d.
Работа № 20
Определение высоты предмета, к основанию которого
можно подойти, при помощи прямоугольного
равнобедренного треугольника (рис. 19)
Принадлежности: прямоугольный равнобед-
ренный треугольник с отвесом, рулетка.
От измеряемого предмета АВ ученик отходит на
такое расстояние, чтобы верхняя точка В предмета
была видна по направлению гипотенузы DE угольни-
ка при вертикальном положении катета EF, что вто-
рой ученик проверяет по отвесу на угольнике. Изме-
ряется расстояние AK==d.
Легко видеть, что треугольник CBD прямоуголь-
эе
ный и равнобедренный (так как Z_BCD=90° и Z_BDC=*
= 15°), откуда BC=CD—AK.
Измеряется высота глаза D над уровнем земли
DK=a.
Рис. 19
Искомая высота h—BA=BC+CA=AK+DK, отку-
да h—d+a.
Работа №21
Определение высоты предмета, к основанию которого
можно подойти, при помощи эклиметра (рис. 20)
Принадлежности: эклиметр, рулетка, транс-
портир.
Измеряют расстояние AK=d от наблюдателя до
основания измеряемого предмета.
С помощью эклиметра измеряют /_BDC=^/OMN =
= ct.
По катету d и прилежащему острому углу а, поль-
зуясь транспортиром, строят в определённом масшта-
33
бе прямоугольный треугольник BCD. Дальше изме-
ряют второй катет и, пользуясь тем же масштабом,
Рис. 20
вычисляют высоту предмета над уровнем глаза, т. е.
ВС=Х. Находят высоту всего предмета ВА=ВС+СА,
или h=x+a.
Работа № 22
Определение высоты предмета, к основанию
которого подойти нельзя (рис. 21)
Принадлежности: эклиметр, рулетка, транс-
портир, 3—4 вешки.
На некотором расстоянии от измеряемого предме-
та устанавливают эклиметр и измеряют угол а, под
которым видна часть ВС измеряемого предмета. Про-
вешивают по тому же направлению базис К.Кл и из-
меряют его: KK.i=d. Измеряют угол р, под которым
ВС видно из второго конца базиса.
34
С помощью транспортира в определённом масшта-
бе строят сначала треугольник BED по стороне d и
прилежащим углам р и (180° — а). Треугольник BED
Рис. 21
достраивают до прямоугольного треугольника BCD,
после чего вычисляют катет ВС=х и, наконец, иско-
мую высоту ВА=ВС+СА, или h=x+a.
Работа № 23
Определение глубины оврага (рис. 22)
Принадлежности: 2 рейки по 2 м, планка дли-
ной 1'/2—2 м, уровень.
В начале понижения на краю оврага устанавлива-
ют рейку А; вторую рейку устанавливают от первой
на расстоянии, равном длине планки Р или несколь-
ко меньшем. Планку кладут одним концом у основа-
ния первой рейки и с помощью уровня I проверяют
её горизонтальное положение. По второй рейке В
35
отсчитывают понижение hi. Рейку переносят из Л в С
и операции повторяют, пока последняя рейка окажется
установленной на дне оврага.
Рис. 22
Из чертежа легко видеть, что глубина оврага бу-
дет
Работа № 24
Съёмка плана застроенного участка методом
триангуляции (рис. 23)
Принадлежности: рулетка.
Всю съёмку выполняют построением ряда треуголь-
ников по трём сторонам.
Предварительно выполняют от руки, на глаз эскиз
усадьбы со всеми объектами, подлежащими нанесе-
нию на план (абрис).
Сначала делают «привязку» здания; для этого по
направлению стены ЕР на пограничной линии КР
36
усадьбы в точке 1 устанавливают вешку, измеряют
расстояния EF и F1 и результаты наносят на эскиз.
Аналогично делают вторую привязку и измеряют рас-
стояния 1—2, FA, АВ и А2.
Затем последовательно измеряют с нанесением на
эскиз стороны треугольников АК, К2; АЗ и ВЗ и т. д.
с таким расчётом, чтобы здесь же производилась
и проверка. Так, например, когда построят треуголь-
ник КАВ и АЗВ по трём сторонам, расстояние меж-
ду нанесёнными на план вершинами К и 3 должно
будет равняться расстоянию, непосредственно изме-
ренному вдоль пограничной линии KL усадьбы.
Когда вся сеть треугольников будет нанесена,
сделаны и записаны все промеры, измерительные ра.
боты можно будет считать законченными.
План вычерчивается в каком-либо заданном мас-
штабе, причём само построение сводится к построе-
нию ряда треугольников в той же последовательно-
сти, в какой производилась съёмка. Вершины тре-
угольников определят положение всех необходимых
для плана точек и позволят проверить правильность
произведённых измерений.
37
Для выполнения данной работы, ввиду многочис-
ленности измерений, можно привлечь одновременно
все бригады данного класса, поручив каждой из них
выполнение работы на отдельных участках усадьбы.
Например, одна бригада работает на участке 1—3
(считая по контуру плана), вторая на участке 3—4,
третья на участке 4—5 и т. д.
Перед вычерчиванием плана под руководством
учителя проводят сверку данных. План всей усадьбы
каждая бригада выполняет отдельно и самостоятельно.
Р а б о т а № 25
Съёмка плана обходом (рис. 24)
Принадлежности: астролябия, рулетка, 6—8
вешек.
Устанавливают астролябию в вершине А и измеря-
ют угол а между направлениями АЕ и АВ. Провеши-
вают и измеряют сторону АВ. Измеряют угол ₽ меж-
Рис. 24
38
ду ВА и ВС. Провешивают и измеряют ВС и т. д.,
пока не придут вновь в исходную точку А.
После каждого измерения результат заносится в
журнал по прилагаемой схеме:
Возможная вследствие неточ-
ности измерений «невязка» в уг-
лах устанавливается проверкой
суммы углов по формуле:
5=180° (л—2).
Если невязка не превышает
3°, то развёрстывается равномер-
но между всеми углами.
План вычерчивается в задан-
ном масштабе, причём углы стро-
Внутренние углы в градусах	Расстоя- ния в метрах
а = 76	АВ = 36
Р = 140	ВС = 28
8= 86	CD = 33
I = Ю1	DE = 34
© = 135	ЕЛ = 21
Сумма углов 538	
ятся с помощью транспортира.
При нанесении плана на бумагу («накладка плана»)
всегда получается незамкнутость контура, т. е. невязка
фигуры, происходящая от накопления ошибок, допу-
Рис. 25
щенных как при измерении длин сторон и углов, так
и при нанесении их на бумагу. Ошибки эти получаются
вследствие несовершенства измерительных инстру-
ментов и чертёжных приборов.
8»
На рисунке 25 показана накладка плана в виде
нез-амкнутого контура ABCDEAi. Конечная точка Д|
не совпала с начальной точкой А. Невязка выражает-
ся отрезком AiA.
Для уничтожения невязки применяется следующий
графический способ параллельных линий.
Измеряют невязку ДД1 (пусть она на плане оказа-
лась равной 7,5 мм). Из всех вершин проводят прямые,
параллельные ДД|( и на них откладывают отрезки,
которые можно получить графическим способом так:
На прямой ОХ откладывают в произвольном мас-
штабе отрезки OK, K.L, LM, MN и NP, пропорциональ-
ные длинам сторон многоугольника, наносимого на
бумагу.
В конечной точке Р восстанавливают перпендикуляр
PPi и на нём откладывают всю невязку (в нашем
случае PPi=7,5 мм). Точку Pi соединяют с О. Отрез-
ки KKi, LLi, MMi и AW, откладывают на соответ-
ствующих параллелях, проведённых из вершин незамк-
нутого контура, а именно: BB\=KKv, CCi—LLi; DDi=
=MMi\ EEt=NNi и AIA=PPI. Точка At сольётся с
точкой А, и мы на бумаге получим замкнутый много-
угольник ABt Ci Di Er
P а б о т a № 26
Съёмка плана с магистрали методом координат
(рис. 26)
Принадлежности: эккер, рулетка, 6—8 вешек.
В качестве магистрали выбирают одну из диагона-
лей многоугольника, притом такую, чтобы на неё
можно было спроектировать все остальные вершины
участка, например диагональ AD. Провешивают её и
измеряют. С. помощью эккера строят перпендикуляры
на эту магистраль из вершин В, F, С и Е. Измеряют
40
по магистрали расстояния от А до основания каждо-
го перпендикуляра и длину каждого из них. Резуль-
таты измерений заносят в журнал по следующей схеме:
Расстояния по магистрали в метрах	Расстояния от магистрали до вершины в метрах
АВ. = 15 AF. = 21 АС. =34 АЕ. = 43 /1D = 54	’ll ’ll II ’ll 1 — 1 <о to оэ
Знак минус указывает, что эти вершины лежат по
другую сторону от магистрали.
Рис. 26
План наносится непосредственно по полученным
координатам вершин многоугольника в заданном мас-
штабе.
В том случае, когда на диагональ нельзя спроек-
тировать некоторые из вершин многоугольника, в ка-
честве магистрали выбирается произвольная прямая
41
MN (рис. 27) с таким расчётом, чтобы на неё можно
было спроектировать все вершины. Дальнейшая ра-
бота выполняется так же, как и в первом случае.
в
Рис. 27
Р а б о т а № 27
Построение прямого угла при помощи египетского
треугольника (рис. 28)
Принадлежности: верёвка 12 м и 5—6 вешек.
На верёвке в точках М и К на расстояниях 3 м
и 4 л от её концов навязывают из цветной тесьмы
Рис. 28
42
«отметки». Соединяют свободные концы верёвки.
Далее, держа верёвку в отмеченных точках, растяги-
вают её. Получаем прямоугольный треугольник с
катетами 3 м и 4 м и гипотенузой в 5 м.
При построении перпендикуляра к провешенной
прямой АВ в данной точке О двое из учащихся рас-
полагают катет ОД=3 м вдоль прямой АВ так,
чтобы вершина прямого угла (сомкнутые концы ве-
рёвки) находилась в данной точке О. Третий ученик
отходит от прямой АВ, держа верёвку в точке М
и натягивая обе стороны верёвки. Тогда сторона ОМ
составит с АВ прямой угол. После этого провеши-
вается прямая ОМ.
Р а б о т а № 28
Определение расстояний при помощи дальномера
(рис. 29)
Принадлежности: дальномер.
Этот способ даёт более точные результаты в том
случае, если мы можем более точно знать высоту
того предмета, расстояние до которого мы хотим оп-
ределить.
Рис. 29
43
Пусть, например, мы желаем определить расстоя-
ние до здания. Берём дальномер и, держа его на вы-
тянутой руке в вертикальном положении, устанавли-
ваем выдвижную линейку дальномера так, чтобы
стена здания поместилась в образовавшемся просвете
дальномера АС.
Из чертежа имеем: МК и MN— лучи зрения, иду-
щие к крайним точкам предмета, NK — высота на-
блюдаемого предмета (стены дома), АС — отверстие
дальномера. Зная расстояние дальномера от глаза
MC=d, высоту предмета NK=h и величину просве-
та дальномера АС=а, искомое расстояние х=МК,
найдём из подобия треугольников MNK. и МАС.
МК _ МС . х _ d. -h.L
KN AC ' h a' X~ a'
Обычно расстояние d принимают равным 60 см. Тогда
При отсутствии дальномера полезно показать уча-
щимся, как можно приближённо определить расстоя-
ние до недоступного предмета с помощью каран-
даша, спички и т. п. В этом случае вместо дально-
мера держат на вытянутой руке карандаш так, чтобы
высота предмета, до которого измеряется расстоя-
ние, укладывалась между верхним концом карандаша
и большим пальцем руки, в которой держат каран-
даш. Длина отрезка карандаша измеряется миллимет-
ровой линейкой и заменяет при расчётах величину
отверстия дальномера.
Работа № 29
Определение расстояния до недоступной точки
построением подобных треугольников (рис. 30)
Принадлежности: эккер, рулетка, 6—8 вешек.
Работа в основном проводится аналогично работе
№ 14, но искомое расстояние AM определяется не
44
из равенства, а из подобия треугольников АМК и
DBK:
AM = АК
BD ~ ВК'
Если при этом отношение взять равным, на-
пример, 2:1, то
х _ 2
BD ~ Г
откуда: x=2BD.
Работа № 30
Определение расстояния до недоступной точки
построением и решением прямоугольного
треугольника (рис. 31)
Принадлежности: астролябия, рулетка, 5—6
вешек.
Устанавливают астролябию в данной точке В
и строят прямой угол АВС. Строят базис BC—d.
Измеряют /^ВСА=а.. Решая треугольник АВС, полу-
чают х = d : tg а.
45
Р а бота № 31
Определение расстояния до недоступной точки
построением и решением косоугольного
треугольника (рис. 32)
Принадлежности: астролябия, рулетка, 5—6
вешек.
Рис. 32
Строят базис BC—d и измеряют /_АВС—а. и
/_АСВ=$. Решая треугольник АВС, находят:
АВ _ ВСЪ
sinP ~ sinBXC’
откуда:	_	d sin ₽
sin [180°—(а+ р)]
Р а б о т а № 32
Определение расстояния между двумя точками,
каждая из которых доступна, но из одной другую
видеть нельзя, построением и решением
прямоугольного треугольника (рис. 33)
Принадлежности: эккер, рулетка, 6—8 ве-
шек.
46
Провешивают вблизи препятствия (леса) прямую
BD и на ней с помощью эккера находят такую точ-
ку С, чтобы из неё видеть вторую данную точку А
под прямым углом kBD. Измеряют ВС—а и АС=Ь и по
теореме Пифагора находят:
ДВ2=ВС2+ДС2; x=V а2+д2. ’
Р а б о т а № 33
Определение расстояния между двумя точками,
каждая из которых доступна, но из одной другую
видеть нельзя, построением и решением
косоугольного треугольника (рис. 34)
Принадлежности: астролябия, рулетка, 6—8
вешек.
Устанавливают астролябию в такой точке С, из
которой можно провешить и измерить прямые
ВС=а и АС—b. Измеряют /_АСВ= а. После этого,
47
решая треугольник АВС по двум сторонам и углу между
ними, находят АВ:
х = "Иа2 + Ь2 — 2 ab cosa.
Рис. 34
Р а б о т а № 34
Определение расстояния между двумя недоступными
точками с базиса при помощи астролябии (рис. 35)
Принадлежности: астролябия, рулетка, 5—б
вешек.
Провешивают и измеряют базис MN=d. Измеряют:
/ДМЛ/ = а,	и	=
После этого решают треугольники, примерно, в та-
кой последовательности: из треугольника AMN по
стороне d и двум углам а и S находят сторону AN
48
и из треугольника MBN по стороне d и двум углам ?
и f находят сторону BN:
zJV-________d Sin а_____BN-_____________________
sin[180°—(а + о)] ’ Dl ~sin[180°—ф-f-7)].
Рис. 35
Вычислив длины сторон AN и BN, находят иско-
мое расстояние АВ =х из треугольника ABN:
х = VAN2 BN2 — 2AN  BN  cos (7 —8).
Работа № 35
Определение высоты предмета
при помощи эклиметра
(рис. 36)
Принадлежности: эк.
лиметр, рулетка.
Измерения производят те
же, что и в работе № 21, и
решают прямоугольный тре-
угольник BJCD:
к — CD iga. — d tg а, откуда:
h — d tg a -]- a
Рис. Зв
49
Работа № 36
Определение высоты предмета, к основанию
которого можно подойти, при помощи тени (рис. 37)
Принадлежности: шест, отвес, рулетка.
АВ — измеряемый предмет, АС — длина его тени,
КВ — вертикально установленный шест, а — его длина,
Рис. 37
Ь — длина его тени. Измеряют длины теней AC=d
и КМ=Ь. Из подобия треугольников АВС и ВКМ
, ,	ad
находят: х : а=а : о, откуда: х =
60
Работа № 37
Определение высоты предмета, к основанию
которого можно подойти, при помощи
высотомера лесовода (рис. 38)
Принадлежности: высотомер и рулетка.
Отсчитывают от основания А измеряемого пред-
мета определённое расстояние AE=d (например, 20 м,
Рис. 38
если расстояние ОМ на высотомере было взято
20 см) и располагают верхний край высотомера по
лучу зрения, направленному на верхнюю точку пред-
мета.
Отвес займёт положение ОР. Тогда /^М0К=
=Z_BDC (как углы с соответственно перпендику-
лярными сторонами).
A BCD -ДОМК, откуда:
Тогда BC=CD -у—; х=20	’> х = МК метров.
51
Таким образом, высота предмета над уровнем
глаза в метрах равна расстоянию МК по высотомеру
в сантиметрах. Полная высота предмета h=MK+a.
Этот способ определения высоты предмета сле-
дует рекомендовать, так как он при вполне доста-
точной степени точности требует минимальной за-
траты времени.
Работа № 38
Определение высоты предмета при помощи зеркала
(рис. 39)
Принадлежности: зеркало, уровень, рулетка;
На произвольном расстоянии от основания пред-
мета кладут на землю зеркало М в горизонтальной
Рис. 39
плоскости, что проверяют по уровню. Отступают от
зеркала по прямой AM на такое расстояние МС,
чтобы наш глаз D видел в зеркале изображение вер-
62
шины В измеряемого предмета. По законам отраже-
ния устанавливают равенство углов ВМА и DMC.
Тогда из подобия треугольников АВМ и DMC бу-
дут иметь: АВ : DC=AM : МС. Измеряют AM = d,
МС=с и DC—а. Получают: x:a=d:c, откуда:
ad
Р а б о т а № 39
Определение высоты предмета, к основанию
которого подойти нельзя, при помощи эклиметра
(рис. 40)
Способ 1. Измеряют с помощью эклиметра
/^BCD—a^ /_BD}C = р и расстояние ЕЕ\ = d.
В
Рис. 40
Тогда из треугольника BCD находят: CD=
*=ВС ctg а или #=xctg а, (1), а из треугольника
BCDi: CDi—BQ- ctg р или y-\-d—x ctg р (2).
63
Вычитая из второго уравнения первое, получают:
y-\-d—y=x ctg р~xctg а,
откуда:
d=x(ctg Р — ctg а), х— ——гг~~—;--.
' г 7 ctg р — ctg а
После преобразования:
_ d sina sin р
X ~~ sin( a — pj'
Определив значение x, находят и ft=x-(-a или
(Способ II для учащихся X класса.)
Произведя те же измерения, решают треугольник
DBDt по стороне DDi—d и двум углам р и (180°—а)
и находят BD:
BD _______DDi_____др _ d sin ft
sin p — sinDBDi ’	— sin (a — P)’
Из треугольника BDC находят:
ВС = BD • sin a;
d sina sin P
x —	----а.г-,
sin(a—p)
откуда:
, d sin a sin p ,
ft =	----д-,- 4- a.
sin(a — p)
Формула та же, что и при первом способе решения.
Р а б о т а № 40
Определение высоты предмета, к основанию
которого подойти нельзя, при помощи высотомера
лесовода (рис. 41)
Обозначив неизвестное расстояние АЕ от измеряе-
мого предмета до наблюдателя через у, определяют,
как было указано в работе № 37:
ВС _ МК
CD ~ ОМ
54
или, обозначая ОМ=т и MK=nt находят:
X _ п
у ~ т
откуда:	'
п т
(1)
В
Рис. 41.
Отойдя дальше от измеряемого предмета по на-
правлению АЕ на расстояние EEi=d и произведя
новое измерение, находят:
ВС _ MKt х _ пх
CDT ~ ОМ ИЛИ ^+d ~ ~т~'
откуда:
— =	(2)
шт
Вычитая из второго уравнения первое, получают:
х х _ уd _ у гп — л«1 _ y-f-d —у. х (n—tij) _ d
« т т' nnt т ' ппх т ’
55
откуда:
dnn^
т(п—И1) *
d nni
После этого находят:
h =	. v -г
т(п—п.1)
Если d выбрать численно равным стольким метрам,
сколько сантиметров содержит tn (—ОМ), то формула
упрощается:
, ПП\
п =-----
п—т
Работа № 41
Определение высоты предмета при помощи зеркала
(рис. 42)
Из точек D и Di производят измерения, как было
указано в работе № 38. Обозначая ME—d', MtEi=dr,
DE—а и MMi—c, находят в первом случае:
АВ	AM	х	у
DE	ME	a	d
откуда:	dx = ay.	(1)
Во втором случае:
АВ	AMi	х	у 4-с
D^Ei	MiEi	a di
откуда: diX=ay-}-ac.	(2)
Вычитая первое уравнение из второго, получают:
diX—dx=ay-\-ac—ay, х (di—d) —ас,
откуда:
ас
d\—d'
ПОНЯТИЕ ОБ АЗИМУТЕ И РУМБЕ
Магнитным азимутом данной прямой Линии назы-
вается угол между осью магнитной стрелки и гори-
зонтальной проекцией данной линии.
Азимуты линий определяются с помощью компаса
и отсчитываются от точки севера вправо (через во-
сток, юг н запад) от 0 до 360°. Так, например, азимут
линии АВ (рис. 43) будет Z_NAB=at, алимут линии
АС будет ^НАС=а3.
Для определения направления линий употребляют-
ся, кроме азимутов, ещё магнитные румбы. Румб —
это угол между осью магнитной стрелки и горизон-
тальной проекцией данной прямой линии. Отсчиты-
S7
ваются румбы от точек севера и юга в обе стороны
от 0 до 90°. Вследствие этого градусная величина
румбов сопровождается наименованием той четверти,
в которой лежит данное направление: СВ—северо-
восток, ЮВ — юго-восток, ЮЗ — юго-запад и СЗ —
северо-запад.
Направление АК (рис. 44) записывают так: СВ и0;
направление AL запишется: ЮЗ rf; направление АР —
Ю3гз° и направление AQ—С3п°.
Необходимо установить связь между азимутом
и румбом данной линии. Эту связь легко обнаружить
из чертежа (рис. 45): для первой четверти av=rt (СВ),
для второй — а2:=180° — гг (ЮВ), для третьей — a3i=
= 180°-|-гз (ЮЗ) и для четвёртой — а4 = 360° — п (СЗ).
Из того же чертежа можно определить румб линии,
зная её азимут: если a(i<90°, то румб СВ Г\= а,; если
90°<а2<Ч80°, то румб ЮВ Г2=180° — а2; если
180°<а3<270°, то румб ЮЗ гз=а3 — 180° и, наконец,
если а4;>270°, то румб СЗ Г4=360° — а4.
Проведение на бумаге линий по их азимутам или
румбам выполняется с помощью обыкновенного транс-
портира, при этом азимуты предварительно перево-
дятся в румбы.
58
Пусть в точке А на бумаге требуется провести
прямую под румбом СЗ 38° (рис. 46). Проводят линию
магнитного меридиана NS и накладывают транспортир
так, чтобы ребро транспортира pq заняло требуемое
>•4
Рис. 46
положение, т. е. под углом в 38° к линии магнитного
меридиана NS. После этого прикладывают к транс-
портиру угольник KLM и линейку, как показано на
59
чертеже. Затем, отняв транспортир, передвигают уголь-
ник в положение K1L1M1 и через точку А прочерчивают
прямую АВ, которая и будет иметь данное направление
Работа № 42
Маршрутная съёмка (рис. 47)
Принадлежности: планшет с наклеенной на
него бумагой, штатив, компас, визирная линейка,
иголка, спичка.
Рис. 47
Выполнение намеченного учителем маршрута на
местности учащиеся производят с записями в полевых
журналах и с одновременным нанесением маршрута
на планшет. Точки стояния (1, 2, 3, 4, 5) выбирают
произвольно и отмечают вехами, если в этих точках
нет каких-либо объектов (дерево, телеграфный столб
и др.), удобных для визирования.
В исходной точке стояния 1 устанавливают на
штативе планшет так, чтобы линия NS, нанесённая
60
параллельно левому краю планшета, совпадала с на-
правлением магнитной стрелки компаса.
Первую точку стояния наносят на планшет с таким
расчётом, чтобы маршрут, вычерченный в выбранном
масштабе, мог полностью поместиться на бумаге, и в
этой точке втыкают иголку. К игле вплотную прикла-
дывают линейку, которую визируют в направлении
предстоящего пути следования, т. е. на вторую точку
стояния. На бумаге прочерчивают из точки 1 прямую,
на которой в выбранном масштабе, после перехода
во вторую точку стояния, откладывают измеренное в
шагах с переводом в метры пройденное расстояние 1—2.
Одновременно с нанесением на планшет направле-
ния 1—2 определяют в градусах с помощью компаса
и положенной на него спички (параллельно направле-
нию визирной линейки) азимут прочерченной прямой
и записывают в таблицу в полевом журнале.
Те же операции проделывают в каждой из сле-
дующих точек стояния.
В каждой из точек стояния определяют на глаз
или с помощью упрощённого дальномера (см. ра-
боту № 28) расстояния до различных предметов и их
азимуты, которые также заносят на планшет в услов-
ных обозначениях.
В результате съёмки на планшете получают план
маршрута (рис. 47), а в журнале следующую запись:
Точки стояния	| Азимуты магнит- ные в градусах	Расстояния	
		в шагах	в метрах1
1	240	30	21
2	180	25	17,5
S	90	40	28
4	135	20	14
5	225	30	21
1 Длина шага взята равной 0,7 м.
61
Работа № 43
Глазомерная съёмка плана местности обходом
при помощи румбов (рис. 48)
Принадлежности: планшет с наклеенной на
него бумагой, штатив, компас, визирная линейка,
иголка, спичка.
Учитель определяет границы полигона, подлежа-
щего съёмке. В нашем случае определены следую-
щие точки стояния: 1 — перекрёсток улиц в с. Голы-
гино, 2 — перекрёсток шоссейных дорог, 3 — начало
тропы, идущей от шоссе к грунтовой дороге, 4 — выход
с тропы на эту дорогу и 5 — перекрёсток этой дороги
с дорогой, ведущей на Голыгино.
62
Съёмку производят так же, как и маршрутную о
той разницей, что направления линий определяют не
по азимутам, а по румбам (что практически удобнее). Рас-
стояния от одной точки стояния до другой определяют или
шагами (с переводом в метры), или с помощью дально-
мера.
Зарисовку на планшете и запись в журнале производят
аналогично тому, как это было описано в предыдущей
работе.
Запись в журнале:
Точки стояния	Румбы магнитные в градусах	Расстояния	
		в шагах	в метрах
1—2	СВ 40	618	432,6
2—3	ЮВ 50	672	400,4
3—4	ЮВ 5	320	224,0
4—5	ЮЗ 80	829	580,3
5—1	СЗ 40	610	427,0
План в этом случае выполняется с нанесением на него
более подробной ситуации, как это видно из чертежа.
Работа № 44
Мензульная съёмка плана полярным способом
(рис. 49)
Принадлежности: мензула, рулетка, масштабная
линейка, 8—10 вешек.
Мензулу устанавливают внутри или вне участка в та-
кой точке, из которой можно видеть каждую из вешек,
установленных в вершинах снимаемого участка.
В центре О листа бумаги, укреплённого на планшете,
устанавливают иглу. Прижимая визирную линейку к игле,
63
прочерчивают на бумаге направления ОА, ОВ, ОС, OD
и ОЕ.
Измеряют расстояния от мензулы до каждой угловой
вехи и в заданном масштабе наносят эти расстояния Оа,
ОЬ, Ос и т. д. на план. На планшете получается готовый
план участка abode.
Работа № 45
Мензульная съёмка плана с базиса методом засечек
(рис. 50)
Принадлежности: мензула, рулетка, масштабная
линейка, 8—10 вешек.
Выбирают две точки М и N на расстоянии, примерно,
20 м друг от друга, притом такие, чтобы из каждой из них
были видны все вехи, установленные в вершинах участка
ABCDE, и ни одна из вершин не лежала бы на направле-
нии MN.
Базис MN провешивают и тщательно измеряют. Мен-
зулу устанавливают в крайней точке М базиса так, чтобы
планшет занимал горизонтальное положение. На листе
бумаги, укреплённом на планшете, наносят базис тп в
определённом масштабе так, чтобы направление тп сов-
падало с направлением базиса MN. Укрепив иголку в точ-
64
ке т, прикладывают к ней линейку и визируют её на веш-
ку Л; вдоль линейки прочерчивают это направление — mA;
поворачивают линейку, не отнимая её от иглы, и визируют
на веху В; прочерчивают направление тВ.
Рис. 50
Так же отмечают на планшете остальные направления
тС, mD и тЕ.
После этого мензулу переносят в другую крайнюю
точку N базиса и устанавливают так, чтобы направление
тп совпадало опять с направлением базиса NM. Иголку
укрепляют в точке п и, как и в первом случае, наносят на
планшете направления nA, пВ, пС, nD и пЕ. Эти лучи,
пересекаясь с лучами, проведёнными из точки т, дадут
точки а, Ь, с, d и е. Соединив их последовательно, получа-
ют многоугольник abcde, который будет подобен много-
угольнику ABCDE, а следовательно, и будет являться
планом данного участка в избранном масштабе.
Масштаб надо выбрать такой, чтобы весь план мог
поместиться на листе, укреплённом на планшете.
ОПИСАНИЕ УСТРОЙСТВА ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ
ПРИБОРОВ
1.	Мерная верёвка
Берут тонкую бечеву длиной несколько больше 10 м.
Чтобы её длина не подвергалась изменениям под влиянием
колебаний влажности, её предварительно следует прова-
рить в масле. Концы верёвки заплетают так, чтобы она при
работах не расплеталась. Через каждый метр в верёвку
вплетают цветные полоски из материи. Для измерения
долей метра, помимо верёвки, надо иметь сантиметровую
ленту (портновский метр) или деревянный метр, разде-
лённый на сантиметры.
2.	Рейки
Деревянные линейки длиной 2 м, шириной 4—5 см и
толщиной 2 см. Лицевая сторона рейки имеет сантимет-
ровые деления, выкрашенные поочерёдно в белый и крас-
ный цвета.
3.	Вешки
Колышки длиной 150 см, сечением 2 см?, заострённые
с одного конца.
4.	Эккер (крестообразный) (рис. 51)
Из двух дощечек длиной 20 см, шириной 3 см и
толщиной 1 y см изготовляют «крестовину». Вдоль дощечек
66
проводят две взаимно перпендикулярные прямые АВ и CD.
На каждой из них, на равных расстояниях от точки пере-
сечения О, втыкают иголки перпендикулярно к плоскости
дощечек. Делают проверку правильности установки иголок
путём измерения расстояний между ними так, чтобы выпол-
нялось условие AC=CB=BD=DA и АВ—CD.
Рис. 51
В качестве штатива берут колышек длиной в НО—
115 см, сечением в 5—6 см2. На верхней его части укреп-
ляют квадратную «подушку» (дощечка размером
7 см'Х! см~ХЗ см).
Крестовину прикрепляют к подушке гвоздём так, чтобы
её можно было вращать вокруг точки О.
Плоскость крестовины должна быть перпендикулярна
к штативу. Штатив снабжают отвесом, заостряют внизу и
обивают жестью. Несколько выше наконечника к штативу
прикрепляют деревянный клин т, чтобы надавливанием
на него ногой можно было вгонять штатив в твёрдый грунт.
67
5.	Астролябия (школьная)
(рис. 52)
Из толстой фанеры или из тонкой дощечки (тол-
щиной 4—6 мм) вырезают круг диаметром от 15 см до
20 см. Круг прикрепляют наглухо к подушке (размеры
подушки те же, что и для эккера). На круг наклеи-
вают заготовленный заранее кружок из ватманской
бумаги с начерченной на нём окружностью, разделён-
Рис. 52
ной на градусы с помощью транспортира. Получен-
ный таким образом круг является лимбом. Алидадой
может служить деревянная пластинка длиной 12—17 см,
шириной 1,5 см и толщиной около 1 см. Вдоль пла-
стинки прочерчивают прямую. В середине пластинки
делают отверстие для гвоздя или винта, которым
алидада укрепляется на лимбе так, чтобы гвоздь
проходил точно через центр лимба. На расстоянии
около 1 см от каждого края алидады устанавливают
вертикальные иголки-диоптры на одной прямой с гвоз-
дём, которым алидада прикрепляется к лимбу. В каче-
стве указателей для отсчёта по лимбу следует
воткнуть по половине иголки в алидаду с обеих её
концов по направлению прочерченной на ней прямой.
68
Проверку правильности астролябии производят
так: устанавливают указатель алидады на 0° лимба,
тогда второй указатель должен стоять па 180°. После
этого поворачивают алидаду на 180°. Если опять один
указатель окажется на 0°, а другой на 180°, то астро-
лябия устроена правильно. Астролябия насаживается
на штатив, описание которого дано на странице 67.
6.	Эклиметр (рис. 53)
В качестве основной части эклиметра луч
использовать классный транспортир, к которому
дует прибить небольшой деревянный квадратик
из
фанеры 6 см X 6 см так, чтобы центр его прихо-
дился в центре полукруга М. На транспортире по
его внешней окружности следует нанести деления
от 0° в обе стороны до 90° (как показано на чертеже).
Транспортир прикрепляют в точке М к штативу дли-
ной в 130 см так, чтобы он мог вращаться около
этой точки. В той же точке М прикрепляют отвес.
69
7.	Дальномер (рис. 54)
Дальномер представляет собой планку длиной
12—15 см, шириной 4 см. В пазу этой планки сколь-
зит Т-образная линейка MN. Вдоль
линеики на планку наклеивают мил-
лиметровую бумагу.
вают ой
бумаги с i
Рис. 54
Когда линейка опущена так,
что её край АВ соприкасается
с верхним краем CD планки, ниж-
ний конец линейки должен сов-
падать с нулевым делением шка-
лы. В таком случае с поднятием
линейки величина просвета АС
будет в точности равна расстоя-
нию нижнего конца линейки от
нулевого деления шкалы и, сле-
довательно, может быть измерена.
При пользовании дальномером дер-
жат его так, чтобы наблюдаемый
предмет целиком поместился в
просвете АС.
8.	Высотомер лесовода (рис. 55)
Кусок фанеры прямоугольной формы размером
25 смХ 30 см укрепляют на подрамнике (для предохра-
нения от коробления). На лицевую сторону фанеры
наклеивают миллиметровую бумагу.
Можно ограничиться наклеиванием двух отдель-
ных полосок по двум взаимно перпендикулярным на-
правлениям (по линиям ОМ и MN). На бумаге про-
черчивают MN10M и СМ4=20 см. В точке О закреп-
ляют нить отвеса ОР.
При измерении высоты предмета высотомер держат
в руках и направляют сторону ВА по направлению
70
луча зрения, идущего к верхней точке измеряемого
предмета.
9. Мензула (рис. 56)
Мензульный столик состоит из планшета, укреп-
лённого на треножнике.
Планшет изготовляется так: У
кусок фанеры размером I
35 см X 35 см наклеивают на
подрамник с крестовиной в
середине, как показано на
рисунке 5G. Подрамник и
крестовину делают шириной 1
в 5—6 см и толщиной в 2 см.
Фанера должна быть совер-
шенно гладкая. Па крестовину
снизу накладывают подушку
размером 10 см X 10 см, толщиной 2,5—3 см. В центре
подушки и крестовины высверливают отверстие диа-
71
метром 2 см, глубиной 3—4 см для насадки планшета
на треножник. Треножник (рис. 57а) состоит из трёх-
гранной призмы высотой 10 см и со стороной осно-
вания 10 см. В призму в её центре врезают цилинд-
рический шпенёк на глубину 4—5 см с выступающей
Рис. 576
частью в 3—3,5 см для укрепления планшета (или
астролябии).
Ножки штатива, сечением 2 см X 3 см и длиной 130 см
с заострением на концах, прикрепляют к боковым
граням призмы или болтиками (рис. 57а) или на фор-
точных петлях (рис. 576).
В качестве кипрегеля может служить обыкновен-
ный уровень, по оси которого на его концах вбиты
две иголки, заменяющие диоптры, или визирная (мас-
штабная) линейка.
От редакции.
Второе издание печатается без изменения с первого
издания.
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Введение ........................................ 3
Перечень работ .................................. Б
Организация работ ...............................10
Указания к проведению	работ......................14
Описание устройства измерительных приборов.......66
Трунов Иван Петрович.
Измерительные работы на местности в курсе математики среднее школы.
Редактор Н. И. Лепёшкина.
Технический редактор А. А. Пономарёва.
Сдано в набор 13/VI 1955 г. Подписано к печати 30/XI 1955 г.
84ХЮ81/з2- Печ. л. 4.5 (3.69). Уч.-изд. л. 2,82. Тираж 35 000 экз.
А06493 Заказ № 4550.
Учпедгиз. Москва, Чистые пруды, 6.
Цена 75 коп.
Воронеж, типогр. взд.ва «Коммуиа», пр. Революции, 51.