Автор: Григорьев А.Д. Янкевич В.Б.
Теги: электротехника проектирование свч расчет резонаторы
Год: 1984
Текст
А. Д. ГРИГОРЬЕВ, В. Б. ЯНКЕВИЧ
РЕЗОНАТОРЫ и РЕЗОНАТОРНЫЕ
ЗАМЕДЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ СВЧ
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
И ПРОЕКТИРОВАНИЯ
Е
МОСКВА «РАДИО И СВЯЗЬ» 1984
УДК [621.385.64 621.384.64]:621.372.8
Григорьев А. Д., Янкевич В. Б. Резонаторы и резонаторные за-
медляющие системы СВЧ Численные методы расчета и проектиро-
вания — М Радио и связь, 1984 —248 с, пл
Рассматриваются численные методы расчета основных типов
объемных резонаторов, резонаторных замедляющих систем и регу-
ляторных волноводов с однородным изотропным заполнением, при-
меняемых в электровакуумных приборах СВЧ и высокочастотных
ускорителях Сравниваются известные алгоритмы и вычислительные
программы и даются примеры расчета различных систем Обсужда-
ются вопросы автоматизированного проектирования электро динами-
ческих систем электронных приборов
Для научных работников
Табл 26 Ил 95 Библиогр 151
Рецензенты д-р техн наук В А Афанасьев,
д-р техн наук В Т Овчаров, д р техн наук Р А Силин
Редакция литературы по электронной технике
2403000000—141
Г----------------- 40—84
046(01)—84
© Издательство «Радио и связь», 1984.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Принцип действия электронных приборов сверхвы-
соких частот (ЭП СВЧ) и высокочастотных ускорителей
заряженных частиц основан на взаимодействии потоков
заряженных частиц с электромагнитным полем, созда-
ваемым в электродинамической системе (ЭС) прибо-
ра. Достигнутое в последнее время существенное улуч-
шение эксплуатационных параметров и характеристик
ЭП СВЧ и ускорителей в значительной степени обуслов-
лено разработкой и применением более совершенных
ЭС, обеспечивающих максимальную эффективность
указанного взаимодействия.
Сложность конструкции современных ЭП СВЧ и
ускорителей заряженных частиц, трудность анализа
происходящих в них физических процессов вызвали не-
обходимость разработки численных методов расчета
как отдельных узлов и процессов, так и прибора в це-
лом. На базе этих методов создана и развивается си-
стема автоматизированного проектирования ЭП СВЧ
[69, 2], составной частью которой являются приклад-
ные программы анализа и оптимизации электродинами-
ческих систем.
До недавнего времени в электродинамике ЭП СВЧ и
высокочастотных ускорителей господствовали аналити-
ческие и численно-аналитические методы, включая ши-'
роко распространенный метод эквивалентных схем. По
мере усложнения ЭС эти методы оказывались либо
неприменимыми, либо не обеспечивающими требуемой
точности. Однако успехи прикладной электродинамики
и вычислительной математики, увеличение производи-
тельности и объема памяти ЭВМ сделали возможной
разработку численных методов расчета ЭС, основан-
ных на непосредственном решении уравнений электро-
динамики. В результате за последние 10—15 лет в
СССР и за рубежом появился ряд соответствующих
алгоритмов и программ.
Накопленный опыт нашел отражение в моногра-
фиях, посвященных аналитическим и численным Мето-
дам расчета замедляющих систем [91, 99], полосковых
и микрополосковых устройств [76, 77], открытых резо-
наторов и волноводов. Однако численные методы рас-
чета и проектирования полых резонаторов и резонатор-
1* 3
ных замедляющих систем в монографиях практически
не рассматриваются. Основной областью применения
этих ЭС, характеризующихся вакуумным заполнением
и сложной формой граничной поверхности, является ин-
тенсивно развивающаяся СВЧ электроника больших
мощностей.
В данной книге делается попытка обобщить и изло-
жить с единых позиций имеющийся материал по чис-
ленным методам расчета резонаторных ЭС. Глава 1
посвящена описанию объекта расчета. В ней приводят-
ся классификация ЭС, определения их основных па-
раметров и характеристик, рассматриваются типы и
конструкции резонаторных ЭС. Особое внимание об-
ращается на факторы, определяющие эффективность
взаимодействия электромагнитного поля ЭС с пото-
ком заряженных частиц.
В гл. 2 обсуждается постановка задач о свободных
колебаниях закрытых ЭС. Подробно рассматривается
важная с алгоритмической точки зрения возможность
уменьшения числа неизвестных функций задачи и их
размерности, приводится классификация численных ме-
тодов решения внутренних задач электродинамики.
В гл. 3 описываются численные методы решения
двумерных задач электродинамики, нашедшие примене-
ние в программах, разработанных в СССР и за рубе-
жом. На основании предложенных критериев эффектив-
ности дается сравнительная характеристика различных
алгоритмов, позволяющая оценить их достоинства и не-
достатки.
В гл. 4 рассматриваются численные методы вычис-
ления параметров ЭС, специальные приемы, позво-
ляющие уменьшить погрешность этих вычислений, свя-
занную с дискретностью функций, приближенно описы-
вающих электромагнитное поле ЭС. Приведены так-
же методы определения чувствительности параметров к
изменению размеров ЭС, позволяющие рассчитывать
допуски на их изготовление.
В гл. 5 излагаются численные методы решения трех-
мерных задач электродинамики. Ввиду отсутствия уни-
версальных алгоритмов изложение строится на приме-
рах решения конкретных задач, таких как расчет элек-
тромагнитного поля и параметров высших видов коле-
баний аксиально-симметричных и многозазорных резо-
наторов, расчет параметров и характеристик замедляю-
щих систем типа «цепочка связанных резонаторов».
4
В гл. 6 рассматривается проблема автоматизации
проектирования резонаторных ЭС, включая методы
выбора исходного варианта и его оптимизации. Как из-
вестно, алгоритм оптимизации любого устройства вклю-
чает построение целевой функции, служащей мерой
оптимальности устройства, и последующую ее миними-
зацию методами математического программирования.
Эти методы достаточно хорошо описаны в литературе
и в данной книге не рассматриваются. Способы по-
строения целевых функций, однако, специфичны для
каждой задачи. Особенностью алгоритмов оптимизации
ЭС является сравнительно большой объем вычисле-
ний, что требует правильного выбора исходного вари-
анта конструкции и использования специальных прие-
мов экономии машинного времени. Эти вопросы подроб-
но рассматриваются в книге. Обсуждаются также прин-
ципы построения подсистем автоматизированного про-
ектирования ЭС.
Изложение материала сопровождается описанием
вычислительных программ. Приводятся примеры реше-
ния практических задач расчета и проектирования
ЭС.
Авторы не задавались целью описать все известные
численные методы расчета ЭС. В частности, в книге
не рассматривается интенсивно развивающийся в по-
следнее время метод декомпозиции, которому посвяще-
на недавно вышедшая монография [77].
Предисловие, введение, гл. 1, 2, § 3.1, 3.5 — 3.8, 4.1,
5.1, 5.3, 6.1—6.5 написаны А. Д. Григорьевым, § 3.2, 4.3,
5.2 — В. Б. Янкевичем, § 3.3, 3.4, 3.9, 4.2, 6.6 написаны
авторами совместно.
Авторы выражают глубокую благодарность рецен-
зентам докторам техн, наук Р. А. Силину, В. А. Афа-
насьеву и В. Т. Овчарову за ценные советы и замеча-
ния, которые были учтены при подготовке рукописи к
печати и позволили улучшить ее содержание, и будут
признательны за все критические замечания, которые
просят направлять в адрес издательства «Радио и
связь»: Москва, Главпочтамт, а/я 693.
Авторы искренне благодарны В. А. Мейеву и
С. А. Силаеву, хотя и не принимавшим участие в на-
писании книги, но сотрудничавшим при разработке
программ и проведении расчетов, а также К- Г. Шити-
ковой за помощь в оформлении рукописи.
5
ВВЕДЕНИЕ
Электродинамическая система электронного прибора
СВЧ или высокочастотного ускорителя заряженных ча-
стиц 1 предназначена для создания электромагнитного
поля заданных частоты и конфигурации. В связи с этим
любая задача расчета ЭС, не учитывающая кванто-
вых эффектов, включает решение системы уравнений
Максвелла:
• rotH = + оЕ + ГЧ (ВЛ)
rotE=-д(рН)/(Д; (В.2)
div (pH) =0; (В.З) div(sE)^pc, (В.4)
где E(r, t) и H(r, t)—напряженности электрического
и магнитного полей; е(г), ц(г) и о (г) —диэлектриче-
ская и магнитная проницаемости и проводимость сре-
ды; JT (г, t), рс (г, i)—плотности стороннего тока и
заряда; г — радиус-вектор точки наблюдения; t — вре-
мя. Искомые функции Е и Н должны удовлетворять
определенным условиям на границе 5 области V, в ко-
торой ищется решение, а также начальным условиям
при t=0.
Нельзя не удивляться разнообразию физических
явлений, которые описываются этими замечательными
уравнениями, — от , электромагнитных полей галактик,
звезд и планет до электрических и магнитных полей
грозового облака и маленьких кусочков янтаря и же-
лезной руды, благодаря которым были открыты элек-
тричество и магнетизм. К этому надо добавить элек-
тромагнитные поля, созданные человеком, — от беско-
нечно слабых радиоволн, приходящих к нам от авто-
матических межпланетных станций, до сверхсильных
полей, используемых в энер! етике и экспериментальной
физике. Такое обилие возможных решений позволяет
предположить, что нахождение среди них нужного ре-
1 В дальнейшем для краткости в понятие ЭС ЭП включаются
и ЭС высокочастотных ускорителей.
6
шения, удовлетворяющего начальным и граничным
условиям задачи, весьма сложно. Действительно, в на-
стоящее время решение уравнений Максвелла в обла-
стях произвольной формы с произвольным заполнением
находится за пределами возможностей математики и
вычислительной техники.
Для упрощения уравнений в дальнейшем предпола-
гаем гармоническую зависимость всех переменных ве-
личин От времени:
a(r, t) = Re |а(г)е'“Д = ат (г) cos (wt Д <р), (В.5)
где d (г) = ат (г) ei’’—комплексная- амплитуда. С уче-
том (В.5) получим уравнения Максвелла для комплекс-
ных амплитуд:
rotH— iwsE = jCT; (В.6) rot Ё-J-= 0; (В.7)
div (sE) = pc; (В.8) div (pH) = 0, (В.9)
в которые входят комплексные диэлектрическая и маг-
нитная проницаемости е = е'—ie"; е/=е; е/,=кт/<а; ц =
= ц'—-ip".
Так как в дальнейшем используются, как правило,
комплексные величины, точки над их обозначениями
опускаются. Слова «комплексная амплитуда» также
опускаются, если это не вызывает неправильного тол-
кования. Например, вместо термина «комплексная
амплитуда напряженности электрического поля» ис-
пользуется выражение «напряженность электрического
поля», или просто «электрическое поле».
Уравнения (В.6) — (В.9) описывают электромагнит-
ное поле, возбуждаемое сторонним током плотностью
JCT. Если в изолированном от внешней среды объеме
ЭС JCT=0, возникает задача о свободных колебаниях
(волнах), состоящая в решении однородной системы
уравнений Максвелла:
rotH — i<oeE — 0; rot Е + iwpH = 0; (В. 10)
div($E)=:0; div (pH) = 0. (В. 11)
Как известно [15], электромагнитное поле вынужден-
ных колебаний (волн), описываемых неоднородными
уравнениями (В.6) — (В.9), может быть найдено в виде
суперпозиции различных решений системы (В. 10) —
(В.11).
В зависимости от формы облает V и электрофизи-
ческих свойств заполняющей ее среды для решения
уравнений Максвелла используются различные методы.
7
В областях простой правильной формы (шар, цилиндр,
параллелепипед и т. п.) с однородным изотропным за-
полнением известны аналитические решения, т. е. фор-
мулы, выражающие напряженности электрического и
магнитного полей через известные математические
функции координат и времени (или в виде бесконеч-
ных рядов по этим функциям). Такие решения явля-
ются «точными» в том смысле, что их можно вычислить
с любой заданной точностью. В более сложных обла-
стях точное решение задачи найти не удается и при-
ходится решать ее приближенно. Процесс приближен-
ного решения можно разбить на следующие этапы:
1. Постановка задачи — определение целей расчета
и класса рассчитываемых объектов, их количественное
описание, определение необходимого объема выходной
информации и требуемой точности результатов реше-
ния.
2. Аналитическая обработка — построение матема-
тической модели и исходных уравнений, преобразова-
ние их к наиболее простому виду с учетом особенностей
данной задачи, исследование свойств полученных урав-
нений и их решений.
3. Дискретизация — переход от непрерывных функ-
ций к дискретным и от функциональных уравнений к
алгебраическим, в определенном смысле приближаю-
щимся к исходным функциям и уравнениям.
4. Решение полученной системы алгебраических
уравнений с заданной точностью.
5. Обработка результатов — расчет параметров и
характеристик ЭС по данным, полученным в резуль-
тате выполнения предыдущего этапа.
Одной из наиболее важных характеристик числен-
ного метода является погрешность получаемых с его
помощью результатов, которая складывается из по-
грешностей, вносимых на каждом из этапов. В соответ-
ствии с принятой классификацией к составляющим об-
щей погрешности решения относятся: неустранимая по-
грешность, возникающая на первом этапе решения за
счет неточности исходных данных. Как показывает на-
звание, эта погрешность не может быть устранена на
дальнейших этапах, однако она может существенно
увеличиваться при решении так называемых некоррект-
ных задач; погрешность математической модели, возни-
кающая на втором этапе вследствие неадэкватности
используемой модели реальному физическому объекту;
8
погрешность метода, возникающая в результате дискре-
тизации задачи; вычислительная погрешность, возни-
кающая на этапах 4 и 5 в связи с конечной точностью
представления чисел и конечным числом операций над
ними.
До появления ЭВМ основная погрешность обычно
вносилась за счет описания реальной системы сравни-
тельно простой математической моделью. Величину этой
погрешности оценить заранее обычно не представляется!
возможным. В то же время простая модель позволяет
применять на последующих этапах несложные и доста-
точно точные алгоритмы.
По мере развития вычислительной математики и со-
вершенствования ЭВМ появилась возможность исполь-
зовать все более сложные математические модели, до-
статочно точно и полно отражающие свойства реальной
системы. При этом основная погрешность возникает на
этапах 3, 4 решения. Средства вычислительной матема-
тики позволяют заранее оценить погрешность многих
алгоритмов. Тем самым в современных методах решения
неконтролируемая погрешность математической модели
играет все более незначительную роль.
В настоящее время для расчета ЭС ЭП применя-
ются математические модели различных уровней (све-
дения о математическом аппарате моделей приводятся
для стационарного режима работы).
Эквивалентные схемы с сосредоточенными элемен-
тами. Модель предполагает представление реальной
ЭС в виде электрической цепи, содержащей сосредото-
ченные элементы — активные сопротивления, емкости,
индуктивности, генераторы тока и напряжения. Для
многих типов ЭС не существует формализованных
методов составления эквивалентной схемы и расчета ее
элементов, что вносит существенную неконтролируемую
погрешность. Другой источник погрешности обусловлен
заменой реальной системы с бесконечным числом сте-'
пеней свободы эквивалентной схемой, имеющей конеч-
ное число степеней свободы. В то же время эта модель
пригодна для приближенного описания самого широко-
го класса ЭС. Математическим аппаратом модели яв-
ляется система линейных алгебраических уравнений
(уравнений Кирхгофа), для решения которой можно ис-
пользовать простые и точные алгоритмы.
Эквивалентные схемы с распределенными элемен-
тами. Реальная система представляется эквивалентной
9
схемой, содержащей отрезки линий передач и, возмож-
но, сосредоточенные элементы. Такое представление во
многих случаях может быть сделано однозначно в со-
ответствии с геометрией реальной системы. Расчет па-
раметров отрезков линий передачи может производить-
ся аналитическими или численными методами. В места
сочленения распределенных элементов могут быть вклю-
чены сосредоточенные реактивности, учитывающие крае-
вые эффекты. Основная погрешность модели связана с
обычно вводимым предположением о возможности рас-
пространения в каждом отрезке линии передачи только
одного типа волн. Модель адэкватно описывает свойст-
ва реальной ЭС в том случае, когда длина эквива-
лентных отрезков линии передачи оказывается не слиш-
ком малой по сравнению с их поперечными размерами.
Математическим аппаратом модели является система
обыкновенных дифференциальных уравнений (телеграф-
ных уравнений), для решения которой могут быть ис-
пользованы как аналитические, так и численные ме-
тоды.
Полевая модель. Модель основана на непосредст-
венном решении системы уравнений Максвелла или эк-
вивалентных ей уравнений, описывающих электромаг-
нитное поле ЭС. Погрешность модели обычно связана
с неточным описанием формы и электрофизических
свойств граничных поверхностей ЭС и среды, ее за-
полняющей (например, металлические поверхности ча-
сто полагаются идеально проводящими, не учитывают-
ся отклонения размеров от номинальных и т. п.). Тем не
менее полевая модель позволяет наиболее полно опи-
сать свойства реальной ЭС. Ее математическим аппа-
ратом являются дифференциальные уравнения в част-
ных производных либо эквивалентные им интегральные
или вариационные соотношения. Решение производится,
как правило, численными методами, реализация кото-
рых возможна далеко не во всех случаях. Это обстоя-
тельство ограничивает применимость полевых моделей
для расчета сложных ЭС.
Регрессионная модель. Модель позволяет найти
свнзъ между характеристиками ЭС и ее «входными»
параметрами (например, геометрическими) с помощью
специально спланированного физического или численно-
го эксперимента. Она в значительной степени абстра-
гируется от сущности физических явлений, происходя-
щих в ЭС, и поэтому пригодна для описания самых
10
различных объектов. Регрессионная модель ЭС, постро-
енная с помощью одной из вышеперечисленных моде-
лей, позволяет резко сократить время расчета и в ряде
случаев уменьшить погрешность вычислений подбором
уточняющих коэффициентов. Математическим аппара-
том модели является система алгебраических уравне-
ний, позволяющая определить коэффициенты регресси-
онного многочлена.
Любой метод расчета ЭС предполагает проведение
на определенных этапах операций над числами. В связи
с этим необходимо уточнить, что имеется в виду под
«численными методами расчета электродинамических
систем», которые рассматриваются в книге. По-видимо-
му, строгое определение этого понятия дать достаточно
трудно. В то же время можно отметить следующие осо-
бенности численных методов решения физических задач:
решение задачи получается в результате выполнения
определенной конечной последовательности арифметиче-
ских действий (алгоритма), которая не может быть вы-
ражена с помощью математической формулы; алгоритм
решения должен предусматривать полностью формали-
зованные методы получения всех промежуточных ре-
зультатов из строго определенного набора исходных
данных. Для задач электродинамики, например, таким
набором являются геометрия ЭС, электрофизические
свойства образующих ее тел, сторонние по отношению
к данной ЭС токи и поля.
С этой точки зрения метод эквивалентных схем, ис-
пользующий модели первого уровня, можно назвать
численным в том случае, если он включает определен-
ный алгоритм построения эквивалентной схемы и вы-
числения параметров ее элементов по геометрии и элек-
трофизическим свойствам ЭС. Так как часто этот этап
решения задачи производится «вручную», а также в
связи с тем, что метод эквивалентных схем наиболее
полно отражен в литературе, в данной книге он не рас-
сматривается. Основное внимание уделяется моделям
второго и третьего уровней, которые позволяют форма-
лизовать процесс решения и получить наиболее полную
информацию о свойствах реальных ЭС.
Общая теория регрессионных моделей (методы пла-
нирования эксперимента) также достаточно подробно
описана в [74J, поэтому в книге рассматривается толь-
ко конкретное применение этой теории к расчету ЭС..
П
Глава 1
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
ЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРОВ СВЧ
1.1. НАЗНАЧЕНИЕ И КЛАССИФИКАЦИЯ
Электронные приборы сверхвысоких частот (ЭП
СВЧ) предназначены для усиления, генерирования и
преобразования электромагнитных колебаний в диапа-
зоне частот 3-108—3-Ю’2 Гц. Преобразование энергии
в ЭП СВЧ происходит в результате взаимодействия пе-
ременного электромагнитного поля и потоков заряжен-
ных частиц (в дальнейшем для краткости называемых
электронными потоками). Этот же механизм исполь-
зуется в высокочастотных ускорителях заряженных ча-
стиц.
В соответствии с принципом действия основными
узлами электронного прибора СВЧ и высокочастотного
ускорителя являются электронно-оптическая система
(ЭОС), служащая для создания и транспортировки
электронного потока, и электродинамическая система
(ЭС), необходимая для формирования электромагнит-
ного поля заданной частоты и структуры, а также для
связи прибора с источником сигнала и нагрузкой. Свой-
ства электродинамической системы во многом опреде-
ляют все важнейшие эксплуатационные параметры и
характеристики прибора. Широкий диапазон частот и
мощностей, разнообразное назначение современных
электронных приборов обусловливают многочисленность
типов и конструкций ЭС, классификация и краткая
характеристика которых приведены ниже.
Электродинамические системы делятся на два боль-
ших класса—открытые и закрытые (рис. 1.1). Элек-
тромагнитное поле открытых ЭС пространственно не
ограничено, хотя обычно оно быстро убывает по мере
удаления от системы. В закрытых ЭС, напротив, элек-
тромагнитное поле существует в замкнутой области,
ограниченной металлическими поверхностями. Несмот-
ря на то, что указанное деление в известной степени
условно (открытые ЭС, например, могут помещаться
в экран), оно отражает существенные особенности элек-
тромагнитного поля, областей применения и методов
расчета ЭС каждого класса. Так как открытые ЭС
12
не рассматриваются в данной книге, их Ьолее детальная
классификация не приводится.
Электромагнитное поле закрытых ЭС можно пред-
ставить в виде суперпозиции стоячих и бегущих волн.
В зависимости от соотношения амплитуд этих волн раз-
личают нерезонансные и резонансные ЭС. В электро-
магнитном поле первых преобладают бегущие волны, а
вторых — стоячие (хотя имеются резонансные ЭС и с
бегущей волной). Частотные характеристики этих клас-
сов ЭС существенно различаются, что обусловливает
их использование в приборах различных типов.
Рис. 1.1. Классификация ЭС ЭП:
7 — открытые; 2 — закрытые; 3 — нерезонансные; 4 — нерегулярные; 5 — регу-
лярные, 6 — гладкие; 7 — периодические; 8 — резонансные; 9 — с квазисосредо-
точенными параметрами; 10— с распределенными параметрами; 11— линей-
ные распределенные резонаторы; 12 •— кольцевые
Нерезонансные ЭС делятся на нерегулярные (раз-
личные волноводные узлы и линии передачи с произ-
вольно меняющимися по длине параметрами) и регу-
лярные (волноводы с постоянными по длине или меня-
ющимися по периодическому закону свойствами). На
основе нерегулярных ЭС выполняются согласующие
устройства, сумматоры и делители мощности, волновод-
ные окна и элементы связи. Расчету и проектированию
этих устройств посвящена обширная литература [57,
71J.
Регулярные ЭС — это гладкие и периодические ли-
нии передачи. Гладкие линии передачи (волноводы раз-
личной формы поперечного сечения) используются для
ввода и вывода энергии в ЭП СВЧ, а также для осу-
ществления взаимодействия в гиротронах и клистронах
бегущей волны. Периодические ЭС (замедляющие си-
стемы) применяются в приборах с длительным взаимо-
действием О- и М-типов, в линейных ускорителях элек-
тронов. Подробная классификация замедляющих систем
13
(ЗС), а также большое число их конструкций приведены
в обзорах [89, 43—47]. В данной книге рассматривается
один из наиболее важных и многочисленных классов
ЗС — резонаторные замедляющие системы (цепочки
связанных резонаторов).
Резонансные ЭС (объемные резонаторы) разделя-
ются на системы с квазисосредоточенными и распре-
деленными параметрами. В ЭС первого типа электри-
ческое и магнитное поля пространственно разделены.
К ним относятся различные типы тороидальных и коак-
сиальных резонаторов. В системах с распределенными
параметрами электрическое и магнитное поля распре-
делены по объему ЭС более или менее равномерно,
причем напряженность электрического поля, как пра-
вило, меняет знак вдоль траектории электронного пото-
ка, пронизывающего резонатор. Эти ЭС представля-
ют собой отрезки гладких или периодических линий
передачи, имеющие на концах отражающие элементы
или замкнутые в кольцо. Незамкнутые ЭС (распреде-
ленные резонаторы) используются в гибридных прибо-
рах О-типа (клистрон с распределенным взаимодейст-
вием, резонансная лампа обратной волны). Основной
областью применения замкнутых ЭС (кольцевых резо-
наторов) являются приборы М-типа. Отметим, что в за-
висимости от способа возбуждения в кольцевых резо-
наторах устанавливается либо стоячая, либо бегущая
волна.
Большинство сложных электродинамических систем
(например, резонаторные ЗС, распределенные резона-
торы) допускает декомпозицию на более простые эле-
менты— резонаторы с квазисосредоточенными парамет-
рами и отрезки регулярных волноводов, которые имеют
и самостоятельное значение как ЭС ЭП. Принцип де-
композиции позволяет объединить все эти системы в
единую группу резонаторных ЭС, отличающихся об-
щностью конструкций, параметров и методов численно-
го расчета.
1.2. ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
Полная система уравнений, описывающая процессы
взаимодействия в электронных приборах, включает
уравнения Максвелла и уравнения движения заряжен-
ных частиц. Строгое решение этой системы не требует
введения каких-либо параметров, характеризующих
14
ЭС. Известные методы расчета электрднных приборов,
однако, основаны на разделении уравнений электроди-
намики и электроники с последующим нахождением са-
мосогласованного решения. При этом в уравнения элек-
троники входят «холодные» параметры ЭС, описыва-
ющие интегральные свойства электромагнитного поля
ее свободных колебаний (волн). Ниже приведены опре-
деления основных параметров резонаторных ЭС.
Собственной круговой частотой данного вида коле-
баний объемного резонатора ад, а>' 1ш", где /=1,
2,... — номер вида, называется круговая частота, на ко-
торой однородные уравнения Максвелла (В.10), (В.П)
имеют ненулевые решения Еу, Ну. Используя эти урав-
нения, после несложных преобразований и применения
формулы (П1.7) получаем
f | rotHJ W + ia>,.s $[Е,, H)]dS
<»]=--- —-----------------------*------------- , (1.1)
su. J 1 Ну I 2 dV
v
где V’—объем резонатора; 5— ограничивающая его
замкнутая поверхность (оболочка). Обозначим
(£[Е,., 2(р; + ip;),
где P'j —средняя за период колебаний мощность потерь
в оболочке резонатора. Вводя тангенсы углов диэлек-
трических и магнитных потерь tg8s = s"/e', tgolx = р/'/рЛ
а также tg 8 = tg o2 + tg ои, полагая tg6<^Cl и пренебре-
гая членами второго порядка малости, разделим в (1.1)
действительную и мнимую части:
- (Ш; р] + ш;р;) (i - tg (1.2)
i _j_/э" (i _ tg 8)/(2 1Гуо))) ’
где Wj — 0,5 j p | H, | 2dV —средняя за период энер-
v
гпя электромагнитного поля резонатора;
| rot Ну | 2 сП//
(1-4)
15
Из (1.3) видйо, что собственная частота действитель-
на, если потери в стенках и среде, заполняющей резона-
тор, отсутствуют (Pj =0, е" = ц" = 0). При малых поте-
рях (wj С ш') выражения (1.2) и (1.3) упрощаются:
(1.5) Ш;^(р;+р/д)/(2и7;), (1.6)
где Р/д = 0,5а/, /Js" I Еу I MI/+ У р." | Н; I wUmoiu-
\v V /
ность потерь в среде, заполняющей резонатор.
Электромагнитное поле вынужденных колебаний ре-
зонатора может быть найдено в виде разложений
ео оо
Е = 2 «л-н = К0ЭФФиЦиенты которых про-
/“1 /=1
порциональны функции
Лу(ш) — (ш2— шу)-1, (1.7)
где со — частота возбуждения. Приравняв нулю произ-
водную этого выражения, найдем, что максимальная
амплитуда колебаний наблюдается на частоте
Шур = и>;.[1-(и>;/ш;)2р/2. (i,8)
называемой резонансной частотой данного вида колеба-
ний в резонаторе.
Собственная добротность резонатора
Q0j = (1-9)
Так как coj связана со скоростью затухания энергии сво-
бодных колебаний, из определения добротности следует
QOy =2nN, где N— число периодов колебаний, за кото-
рое их энергия уменьшается в е раз. С другой стороны,
из (1.7) QOy^i си'/Дш, где д,|) — | — о>у21 —ширина ре-
зонансной кривой; соу2 —частота, на которой амплитуда
вынужденных колебаний уменьшается в |/ 2 раз по
сравнению с резонансным значением. Последнее выра-
жение обеспечивает удовлетворительную точность толь-
ко при высоких добротностях. Более подробно этот во-
прос применительно к распределенным резонаторам об-
суждается в [102]. Используя приближенные выраже-
ния (1.5), (1.6), для собственной добротности резонато-
ра получаем (] ,10)
где Pj — P’j + Pja — суммарная мощность потерь в ре-
зонаторе.
16
Волновое сопротивление резонатора
ру = ] Uj 12/(2ш;^), (1.11)
где Uj = — J EdL— эквивалентное напряжение между
заданными точками на оболочке резонатора по задан-
ному пути. Обычно в качестве пути интегрирования вы-
бирается траектория заряженных частиц, взаимодейст-
вующих с полем резонатора.
Приведенное определение непригодно, когда напря-
женность электрического поля меняет знак вдоль тра-
ектории частицы, что характерно для распределенных
резонаторов. Поскольку в литературе приводятся сведе-
ния в основном о свойствах гладких распределенных
резонаторов [102, 106], рассмотрим более подробно
электромагнитное поле и параметры распределенных
ЭС, выполненных в виде цепочки связанных резонато-
ров (ячеек) с квазисосредоточенными параметрами. Та-
кие резонаторы называют многозазорными.
Рис. 1.2. Схема многозазорного резонатора (а) и распределение
электрического поля по его длине на 0-виде (б) и л-виде (а) коле-
баний
На рис. 1.2,а изображен многозазорный резонатор
(МР), состоящий из N ячеек длиной D. Каждая ячейка
имеет узкий зазор, электрическое поле которого взаи-
модействует с электронным потоком. При резонансе в
МР устанавливается стоячая волна, причем число полу-
волн, укладывающихся на длине резонатора, р = 0, 1,...
...,N—1 [91]. Таким образом, каждому виду колебаний
ячейки соответствует N видов колебаний МР, отличаю-
щихся собственными частотами и распределением поля
по длине резонатора.
Так как электрическое поле МР сосредоточено в уз-
ких зазорах, зависимость Ег =f(z) имеет вид ступенча-
той функции, nQKaaaHHQauja.jjHC. 1.2,6, р.=
2—1271 ц
= N—1 соответственно. В первом случае амплитуды и
фазы во всех зазорах одинаковые (0-вид колебаний), во
втором — фазы в соседних зазорах противоположны (л-
вид колебаний), а амплитуды в крайних зазорах мень-
ше, чем в остальных. В обоих случаях существует ряд
значений скорости частицы, обеспечивающих прохожде-
ние ею всех зазоров в одной и той же фазе (условие
синхронизма). Эффекты взаимодействия в каждом за-
зоре при этом суммируются, и эквивалентное напряже-
ние МР
ND N
U}=$ \E2j(z)\dz = ^Ujn, (1.12)
О л=1
где UJn —эквивалентное напряжение n-й ячейки. Если
напряжения и запасенные энергии в каждой ячейке оди-
наковы, волновое сопротивление МР р,- — N2 | Ujn | 2/
(2о)у NWjn} = NpJ0, где ру0 —волновое сопротивление
ячейки МР. Полученная формула является приближен-
ной, так как не учитывает энергии, запасенной в эле-
ментах связи ячеек и отличия собственной частоты МР
от собственных частот отдельных ячеек. Тем не менее
из нее следует, что МР могут иметь большие волновые
сопротивления.
Рис. 1.3 Схема многозазорного резонатора, ячейки которого имеют
плоскость симметрии (а) и распределение электрического поля по
его длине на 0-виде (б), л-виде (а) и л/2-виде (г) колебаний
Если ячейка имеет вертикальную плоскость симмет-
рии, проходящую посередине зазора, МР может быть
образован размещением закорачивающих металличе-
ских стенок в этих плоскостях (рис. 1.3,а). В таком ре-
зонаторе возможно существование Л’+l видов колеба-
18
ний с индексами р = 0, причем амплитуды поля
в зазорах на О— (р = 0) ил— (p = N) видах колебаний
имеют одинаковую амплитуду (рис. 1.3,5, в). Крометого,
синхронное взаимодействие может осуществляться и на
так называемом л/2-виде колебаний {p = Nf2, N — чет-
ное), продольное электрическое поле которого сущест-
вует в каждом втором зазоре (рис. 1.3,г). Стремление
устранить из пространства взаимодействия «холостые»
ячейки, в зазорах которых продольное электрическое
поле отсутствует, привело к появлению бипериодических
структур, широко используемых в линейных ускорителях
со стоячей волной.
На СВЧ время пролета частицы в резонаторе соиз-
меримо с периодом колебаний. Поэтому реальное изме-
нение ее энергии в результате взаимодействия всегда
меньше, чем е17у. Если частица движется вдоль оси z
с постоянной скоростью ve, амплитуда продольной со-
ставляющей напряженности электрического поля, дей-
ствующая на нее в данной точке, Ez (г) = Ezj exp (—i^z),
где = шу/ve —«электронная» постоянная распрост-
ранения. Отсюда изменение энергии частицы в резуль-
2
тате взаимодействия ~ eU'. ~—е J Ez(z)dz. Отно-
1
шение U' IUj называется коэффициентом взаимодей-
ствия резонатора на данном виде колебаний
2 I 2
M}^Ezje-'h'dz J | Ezj | dz. (1.13)
1 ’ 1
Заменив в формуле (1.11) на получим эф-
фективное волновое сопротивление резонатора
2
Ре/ = I М, | 2Ру = | JEzje~^ dz I 2/(2ш;.Ц/у). (1.14)
i
Эффективное волновое сопротивление определяет ин-
тенсивность взаимодействия частицы с полем резонато-
ра при данной энергии колебаний.
Для регулярных волноводов параметром, аналогич-
ным собственной частоте резонатора, служит критиче-
ская круговая частота данного типа волны ссс;-, кото-
рая связана с электромагнитным полем волновода со-
отношением
2* 19
f I Vfy 12dD - ф ф*(<?^/<?д)dL
2 D ‘l
(I)2 — ------------------------ ,
C! c
s;j. I Ф; I 2d.D
b
где tyj=EJZ для f-волн, фу~/Тугдля Я-волн и Х7фу=Е
для Т-волн; D — поперечное сечение волновода; L — его
направляющая. Критические частоты действительны,
если отсутствуют потери в среде (е" = ц" = 0) и стенках
волновода. Постоянные фазы 0у- и затухания ау- вычис-
ляются как действительная и мнимая части продольного
волнового числа
Й2У. = ру. - iay. = k [1 - (1.15)
где k = (u V ер — волновое число; о) —частота возбужде-
ния.
Волновое сопротивление волновода ру- может быть
определено различными способами. В электронике и
технике СВЧ наиболее часто используется определение
Р; = | Ц | */(2Ру), (1.16)
где Uj — — JЕоЪ —эквивалентное напряжение меж-
ду заданными точками на оболочке волновода по за-
данному пути, лежащему в плоскости его поперечного
сечения.
В замедляющих системах электромагнитное поле
данного типа волны может быть представлено в виде
разложения по пространственным гармоникам. На-
пример,
Ег = 2 ^e-Me-V, (1-17)
— OQ
где Егр—амплитуды пространственных гармоник; =
= ((p + 2np)/L — их фазовые постоянные; L — простран-
ственный период ЗС; ф— сдвиг фазы на период; а —
постоянная затухания, общая для всех гармоник. Фа-
зовая и групповая скорости гармоник определяются со-
отношениями: vp — о)/РР; vg = L (dw/dcp). Направления
этих скоростей у различных гармоник могут совпадать
(прямые гармоники) или быть противоположными (об-
ратные гармоники). Тип дисперсии ЗС (прямая или
обратная) совпадает с типом дисперсии ее основной
пространственной гармоники (/? = 0).
20
Основными параметрами ЗС являются: замедление
фазовой скорости пр^=с/х)р’, крутизна дисперсионной
характеристики = (ljvp)/(dvp/'d\oy, сопротивление свя-
зи RCp = | Егр | 2/(2£jP); шунтовое сопротивление Rlu =
= | Ег | 2/Pv В этих выражениях Хо = 2лс/<в — длина
волны в свободном пространстве; Р — передаваемая
мощность; Pi — мощность потерь на единицу длины ЗС.
Указанные параметры являются функциями длины вол-
ны Хо, a RCp и /?ш, кроме того, поперечных координат.
Так, для азимутально-однородной волны в осесиммет-
ричных ЗС Rcp(r) = RCp(ty Pfapr), где/?ср(0)—значе-
ние сопротивления связи на оси системы; /0(х) —моди-
фицированная функция Бесселя первого рода нулево-
го порядка; ~ (В2 — k2)'12 —поперечное волновое чис-
ло медленной волны.
1.3. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ И КОНСТРУКЦИИ
РЕЗОНАТОРНЫХ ЭС ЭЛЕКТРОННЫХ
ПРИБОРОВ СВЧ
Приведенная в § 1.1 классификация ЭС говорит о
таком их многообразии, которое делает практически не-
возможным детальный обзор конструкций ЭС ЭП в
настоящей книге. Учтя хорошие обзоры [89, 43—47],
посвященные замедляющим системам ЭП СВЧ и линей-
ных ускорителей, рассмотрим основные типы резонато-
ров и резонаторных ЗС мошных ЭП СВЧ с линейным
пучком, численные методы расчета которых составляют
основное содержание книги. Более подробные сведения
о конструкции и технологии изготовления резонаторов
и ЗС можно найти в [26].
Одним из наиболее распространенных типов ЭС
ЭП является тороидальный резонатор, основой конст-
рукции которого служит цилиндрическая оболочка
(рис. 1.4,а). Продольная составляющая напряженности
электрического поля основного вида колебаний Ео;о
имеет максимум на оси резонатора, где и пропускается
электронный поток. Для увеличения коэффициента
взаимодействия М необходимо в соответствии с форму-
лой (1.13) уменьшить время пролета электронов в резо-
наторе, что достигается введением в цилиндрическую
оболочку полого выступа (пролетной трубы), торец ко-
торого может быть закрыт прозрачной для электронов
и непрозрачной для поля сеткой (рис. 1.4,6) либо
21
оставлен открытым (рис. 1.4,в). В последнем случае
пролетную трубу можно рассматривать как запредель-
ный волновод, поле в котором быстро затухает по мере
удаления от торца. Наличие выступа приводит к кон-
центрации электрического поля основного вида коле-
баний в области, примыкающей к торцу трубы (высо-
Р и с. 14 Цилиндрический (а) и однозазорные квазистационарные
тороидальные резонаторы с сеточным (б) и бессеточным (в) зазо-
рами
части внутреннего объема (рис. 1.5). Таким образом,
тороидальный резонатор относится к ЭС с квазисосре-
доточенными параметрами. Тороидальные резонаторы
могут выполняться несимметричными (рис. 1.5,а) или
иметь вертикальную плоскость симметрии (рис. 1.5,6).
Отметим, что при одинаковой ширине зазора волновое
сопротивление симметричных резонаторов выше, чем
несимметричных, однако конструкция последних более
технологична.
Эффективность использования резонатора в ЭП СВЧ
зависит от тока заряженных частиц, который можно
пропустить через резонатор и однородности электриче-
Р и с. 1.5. Электромагнитное поле основного вида колебаний торо-
идального резонатора без плоскости симметрии (а) и с вертикаль-
ной плоскостью симметрии (б)
22
ского поля в пространстве взаимодействия. Так как
плотность конвекционного тока частиц ограничена, не-
обходимо увеличивав поперечные размеры области су-
ществования однородного поля (площадь взаимодейст-
вия). С этой целью конструируются резонаторы с ма-
лой шириной зазора и увеличенным диаметром выступа
(рис. 1.6,о), однако волновое сопротивление таких кон-
струкций весьма мало. Другой способ достижения той
же цели заключается в применении кольцевого выступа
и трубчатого электронного потока (рис. 1.6,6).
дачьиых резонаторов с увели ский резонатор с труб-
чениым диаметром выступа (а) чатым электройиым no-
ri с кольцевым выстхпом током (а) и распределе-
ние электрического поля
вида Е020 в резонаторе
(б)
Площадь взаимодействия можно также увеличить,
возбуждая в цилиндрическом резонаторе высший вид
колебаний Е020 и пропуская трубчатый электронный
поток в области второго максимума электрического по-
ля (рис. 1 7). Поскольку напряженность электрического
поля равна нулю на цилиндрической поверхности г = гх
(рис. 1.7,5), ее можно металлизировать, не нарушив
условий в наружной части объема. Таким образом, по-
лучается коаксиальный резонатор (рис. 1.8,а), имеющий
за счет исключения энергии, запасенной внутри области
г<Гь увеличенное по сравнению с цилиндрическим вол-
новое сопротивление. Для уменьшения времени пролета
в коаксиальные резонаторы, так же как и в тороидаль-
ные, вводятся осесимметричные выступы (рис 1.8,5).
Резонаторы такого типа называются кольцевыми.
В настоящее время вместо цилиндрических и труб-
чатых электронных потоков большого поперечного се-
23
чения широко применяются многолучевые потоки с чис-
лом отдельных лучей до нескольких десятков [40].
Каждый луч пропускается через индивидуальный про-
летный канал в выступе резонатора (рис. 1.9). Малый
диаметр каналов позволяет с достаточной степенью точ-
ности рассматривать такой выступ как сплошной.
Рис. 1.8 Коаксиальный
(а) и однозазорный квази-
стационарный кольцевой
(б) резонаторы
Рис. 19. Тороидальный резонатор
для многолучевого электронного по-
тока
Добротность резонатора определяется распределе-
нием электромагнитного поля данного вида колебаний,
материалом стенок и отношением их площади к объему
резонатора. Так как наименьшее значение указанного
отношения имеет шар, резонаторы с повышенной доб-
ротностью отличаются сложной формой образующей.'
Так, на рис. 1.10 изображено поперечное сечение такого!
резонатора (Й-структуры), разработанного для исполь-«
зования в замедляющих системах линейных ускорителей
электронов.
Рассмотренные структуры могут служить ячейками
многозазорных резонаторов, некоторые конструкции ко-
торых, отличающиеся числом зазоров и способами креп-
ления пролетных труб, рассмотрены ниже. В конструк-
ции двухзазорного резонатора, изображенной на
рис. 1.11,а, средняя пролетная труба крепится на ра-
диальных стержнях, число которых может быть различ-
но. Наиболее низкую собственную частоту в таком ре-
зонаторе имеет л-вид колебаний. Следующим, в поряд-
ке возрастания частоты, является 0-вид колебаний, соб-
ственная частота которого близка к частоте основного
24
вида колебаний тороидального резонатора, образован-
ного заменой стержней сплошной металлической пере-
городкой.
Резонатор, показанный на рис. 1.11,6, можно рас-
сматривать как отрезок коаксиальной линии, закоро-
ченный на одном конце и нагруженный емкостью за-
зоров на другом. Резонанс в такой конструкции наблю-
дается, когда длина отрезка линии близка к четверти
длины волны колебаний, при этом электрические поля
в зазорах имеют противоположные направления (л-вид
колебаний). Такой резонатор отличается очень хоро-
шим разделением частот, так как следующий вид коле-
баний имеет собственную частоту почти в 3 раза выше,
чем основной (длина линии равна 3/4 длины волны). В
то же время добротность резонаторов данной конструк-
ции сравнительно невелика.
I и с. 1.10. Образую-
щая тороидального
резонатора повышен-
ной добротности
Рис. 1.11. Двухзазор-
иые резонаторы:
<2—с радиальными стерж-
нями; б — четвертьволно-
вой коаксиальный; в —
с диафрагмами и щеля-
ми связи, г—кольцевой
25
На рис. 1.11,в показан двухзазорный резонатор,
средняя пролетная груба которого крепится на диа-
фрагме со щелями. Основным в таком резонаторе
является л-вид колебаний. Разделение между ним и
ближайшим по частоте 0-видом колебаний увеличи-
вается при увеличении размера щелей.
Кольцевые резонаторы также можно выполнить
двухзазорными (рис. 1.11,г). Особенностью этой конст-
рукции является сохранение аксиальной симметрии, что
облегчает ее расчет. Более низкую собственную частоту
в кольцевом резонаторе имеет 0-вид колебаний. Разде-
ление частот между ним и л-видом определяется сте-
пенью связи между ячейками.
Конструкции многозазорных резонаторов с крепле-
нием пролетных труб на радиальных стержнях и диаф-
рагмах показаны на рис. 1.12. В первой конструкции
(структуре Альвареца) основным при достаточно тонких
и длинных стержнях (рис. 1.12,а) является 0-вид коле-
баний. При этом на длине резонатора укладывается
половина длины волны колебаний. Такие резонаторы
используются в ускорителях ионов, причем зазоры меж-
ду трубами могут быть неодинаковыми, увеличиваясь
по мере увеличения скорости частиц.
ffj
Рис 112 Миогозазорные резонаторы-
а — со стержнями (ускоряющая структура Альвареца), б —с диафрагмами
и щелями связи
Многозазорный резонатор с диафрагмами и щелями
(рис. 1.12,6) применяется в основном в мощных кли-
стронах с распределенным взаимодействием. Рабочим в
этом резонаторе является л-вид колебаний, имеющий
самую низкую собственную частоту.
26
На рис. 1.13 изображен многозазорный резонатор,
выполненный из отрезка бипериодической замедляющей
системы (структура Андреева) Проводящие шайбы,
расположенные внутри резонатора, крепятся на несколь-
ких продольных проводящих или изолирующих стерж-
нях, закрепленных во внешней оболочке. Такой резона-
тор можно рассматривать как последовательность ак-
тивных и пассивных ячеек, причем полный период со-
держит одну активную и одну пассивную ячейки. В ка-
честве рабочего в таком резонаторе используется л/2-
вид колебаний, продольная составляющая электрическо-
го поля которого максимальна в активных ячейках и
равна нулю в пассивных (рис. 1.3,а). Однако, поскольку
пассивные ячейки вынесены из пространства взаимодей-
ствия, эффективность резонатора не снижается (по
сравнению с 0- или л-видом), так как в каждом высоко-
частотном зазоре, находящемся на пути заряженных
частиц, существует максимальное электрическое поле.
Такие резонаторы широко применяются в линейных
ускорителях со стоячей волной.
Рис 113 Многозазорный резонатор (ускоряющая структура Ан-
дреева):
1 — диафрагма, 2 — штанга, 3 — активная ячейка 4 — ячейка связи (пассивная)
Простейшая конструкция ЗС типа «цепочка связан-
ных резонаторов» (ЦСР)—круглый диафрагмирован-
ный волновод (КДВ)—показана на рис. 1.14,а. Дис-
персия этой ЗС прямая, а замедление и ширина полосы
пропускания определяются периодом и диаметром от-
верстия в диафрагме. Для получения больших замедле-
ний необходимо уменьшать диаметр отверстия, что при-
водит к сужению полосы пропускания. Это обстоятель-
ство ограничивает использование КДВ в лампах бегу-
щей волны. Основное применение эти ЗС находят в ли-
нейных ускорителях электронов, где требуемое замедле-
ние п0~ 1.
Цепочка связанных резонаторов с индуктивными ще-
лями связи (рис. 1.14,6) служит основным типом ЗС
27
мощных ламп бегущей волны О-типа. Форма и число
щелей s, а также угол их взаимного смещения § в
смежных диафрагмах могут быть различными
(рис. 1.15), однако наиболее распространены системы с
s = l, |=л. Рассматриваемая ЗС имеет обратную дис-
персию, поэтому при ее применении в ЛЕВ в качестве
рабочей используется минус первая пространственная
гармоника (р =—1). Максимальное сопротивление свя-
зи этой гармоники достигается при сравнительно малой
ширине высокочастотного зазора, что приводит к необ-
ходимости введения в конструкцию пролетных труб
Рис. 1.14. Резонаторные ЗС с цилиндрической оболочкой:
« — круглый диафрагмированный волновод; б — цепочка резонаторов с индук-
тивными щелями связи
Рис. 1,15. Формы щелей связи в ЦСР:
а — секторная; б — фасолевидная; в — гантельная; г — сегментная
28
(рис. 1.14,6). Ширина полосы пропускания этой ЗС
определяется в основном числом и размерами щелей
связи. Характерным для нее является наличие «щеле-
вой» полосы пропускания, расположенной сравнительно'
близко к рабочей (основной).
Стремление получить прямую дисперсию основной
гармоники с тем, чтобы использовать ее в качестве ра-
бочей, привело к разработке ЦСР типа «клеверный
лист», а также с S-образными петлями связи [99]. Од-
нако вследствие сложной конструкции и ряда других
недостатков они не нашли широкого применения.
Рис. 1.16. Гребенчатые одинарные (а) и двойные (б) резонатор-
ные ЗС:
1 — открытые; 2 — закрытые
Наряду с осесимметричными в СВЧ электронике
широко применяются «плоскосимметричные» ЦСР, к ко-
торым относятся прежде всего различные типы гребен-
чатых ЗС (рис. 1.16). Эти системы используются в при-
борах О- и М-типов для взаимодействия с плоскими
электронными потоками.
Глава 2
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧ
РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
ЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРОВ
2.1. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнения Максвелла (В.6)— (В.9) являются системой и»
восьми дифференциальных уравнений первого порядка в частных
производных относительно шести трехмерных неизвестных функ-
29-
ций — проекций векторов Е и Н на оси координат. Исключая из
первых двух уравнений поочередно Е н Н, получаем уравнения
второго порядка (неоднородные уравнения Гельмгольца):
V2E -|- £2Е = iwiiJCT (iwe)-1 grad div JCT;
V2H + ^H = —rotJCT.
Решив одно из этих уравнений (например, для Е) и определив
тем самым электрическое поле, магнитное поле можно найти с
помощью уравнения (В.7). Полученные решения должны, кроме
того, удовлетворять уравнениям (В.8) и (В.9).
Для описания электромагнитного поля в однородной и изо-
тропной средах удобно использовать электрический и магнитный
векторы Герца Ге и Гт (последний иногда называют вектором
Фитцджеральда), связанные с электрическим и магнитным по-
лями соотношениями:
Е = grad div Ге -|- ^2Ге — — iwp. rot Гт — (iwe)-1 JCT; (2.1)
Н- : iojs rot ~ grad div Г"‘+ ^2Гт. (2.2)
Подставив эти выражения в уравнения Максвелла, можно убе-
диться, что векторы Герца удовлетворяют уравнениям Гельмгольца:
v2p4-yfe2rr. -- (iws)-1 JCT; (2.3)
72Гт + k2rm — — &-2rotJCT. (2.4)
В записанных выше уравнениях наиболее простую правую
часть имеет уравнение (2.3). Его решение записывается в виде
P(Q) = - (iws)-i J УЦР) G(P, Q) dVp, (2.5)
и
тде Q — точка, в которой вычисляется поле (точка наблюдения),
Р — точка, в которой определяются плотность стороннего тока
(точка источника); G(P, Q) — функция Грина уравнения' Гельм-
гольца. Отметим, что направление вектора Герца совпадает с на-
правлением возбуждающего его тока.
В трехмерном пространстве функция Грина
G(P, Q) =
тде Rpq—расстояние между точками Р и Q. В двумерном про-
странстве она выражается через функцию Ханкеля второго рода
нулевого порядка: О (Р, Q) = (4i)-1 (kRpQ) •
Эти выражения описывают волны, расходящиеся от источника.
Аналогично можно записать функции Грина для сходящихся волн.
Для замкнутых областей, в которых волны многократно отража-
ются от границ, удобно использовать линейную комбинацию функ-
ций, соответствующих сходящимся и расходящимся волнам и опи-
сывающую стоячие волны. В трехмерном пространстве такой ком-
бинацией является
G(P, Q) — cos (kRpQ)l(^RpQ), (2.6)
а в двумерном —
G(P, Q) = YQ(kRPQ), (2.7)
тде К0(х)—функция Бесселя второго рода нулевого порядка.
30
Таким образом, система уравнений Максвелла сводится к век-
торным уравнениям второго порядка (2 3) или (2 4) Решения этих
уравнений определяют электромагнитное поле в данной области с
помощью соотношений (2 4) и (2 2)
2 2. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
В электродинамических системах имеются среды с различными
электрофизическими параметрами На поверхностях раздела сред
должны выполняться условия
№ — е2Е2) По - pCi; [n0, (Et — Е2)| = 0;
(piHi Р2Н2) п0 — 0; [п0, (Hj — Н2)] = Jy,
гДе Pcs н — поверхностные плотности заряда и тока, п0 — орт
нормали к поверхности раздела, направленный из среды 2 в сре-
ду 1 (рис 2 1)
Рассмотрим поверхность раздела между диэлектриком и ме-
таллом Как известно, на высоких частотах электромагнитное поле
проникает в металл на небольшую глубину, затухая по мере уда-
ления ог поверхности по экспоненциальному закону |Д(х)| =
= |Ло|ехр(—х/6), где А (х)—амплитуда поля на расстоянии х от
поверхности металла, 6=(2/йро)12 —глубина проникновения
(толщина скин слоя) Для меди, например, на частоте f=10 ГГц
6=0,7 мкм, а на расстоянии 10 мкм от
поверхности амплитуда поля уменьша-
ется в 1,6 • 106 раз
В наиболее строгой постановке за-
дача расчета электромагнитного поля в
ЭС, содержащих металлические тела,
требует проведения границы расчетной
области в глубине металла на расстоя-
нии %оЗ>6 от его поверхности На этой
границе задаются нулевые значения Е
и Н Однако такой путь сильно услож-
А пй
1
777ТГТ7Т7-ГГГГГГГГГГГ
г e2>/“z
Рис. 21 Поверхность
раздела сред
няет решение задачи, так как даже при однородном заполнении
ЭС среда внутри рассчитываемой области V становится кусочно-
неодиородной, включающей часть объема металлических тел ЭС
Вследствие малой глубины проникновения достаточно высокая
точность решения получается при совмещении границы рассчиты-
ваемой области с поверхностью металла и задании на ней прибли-
женного граничного условия Леонтовича Ет = Zs [Н, п0]> где п0 —
орт нормали к поверхности, направленный в глубь металла (орт
внешней нормали), Е, — вектор касательной составляющей на-
пряженности электрическою поля, Zs— (l+i)/o6 — поверхностное
сопротивление металла Условия Леонтовича справедливы, если ра-
диус кривизны поверхности металла /?Э>6
С достаточной для большинства практических расчетов точ-
ностью металлическую поверхность ЭС можно считать идеально-
проводящей, т е положить Zs = 0 На такой поверхности должны
выполняться граничные условия
Е- = 0; {Н, n0] = Js. (2.8>
Так как первое из этих условий можно записать как (rot Н) ^=0г
из него следует, что на идеально проводящей поверхности Н„=0
31
Часто ЭС имеют одну или несколько плоскостей симметрии.
Относительно этой плоскости нормальная к ней составляющая век-
тора Е может быть распределена либо симметрично (рис. 2.2,а),
либо антисимметрично (рис. 2 2,6). В первом случае на плоскости
симметрии выполняются условия (2.8), и она может быть заменена
идеально проводящей поверхностью без нарушения структуры
поля. Граничные условия (2.8) называются условиями короткого
замыкания, а поверхность, на которой они выполняются, — элек-
трической стенкой. Во втором случае на плоскости симметрии вы-
полняются дуальные по отношению к (2.8) условия Нх=0; [п0,
Е]=0, которые называются условиями холостого хода, а сама
плоскость симметрии — магнитной стенкой. Использование гранич-
ных условий на плоскостях симметрии позволяет уменьшить раз-
меры и упростить форму области, в которой рассчитывается элек-
тромагнитное поле, а также получить решения с заранее задан-
ными свойствами симметрии.
а)
Рис. 2.2. Распределение
электрического поля вблизи
плоскости симметрии систе-
мы:
1 — симметричное; б — антисим-
метричное, -------силовые ли-
нии электрического поля;
-------силовые линии магнит-
ного поля
Рис. 2.3. К расчету элек-
тромагнитного поля вблизи
ребра
Найдем условия, которым должны удовлетворять векторы Гер-
да на электрической и магнитной стейках. На электрической стен-
ке St (Ех = 0, Н„ = 0) из выражений (2.1) и (2.2) получаем
Г* = 0; (rot Гт)т — &~2J". (2.9)
На магнитной стенке S2 (Е„ = 0, Н_ = 0) аналогично предыдущему
^=0; (rotr-)„ = A-2J7. (2.10)
Таким образом, граничные условия для магнитного вектора
Герца, вообще говоря, неоднородны и связаны с плотностью сто-
роннего тока вблизи поверхности. Если последняя равна нулю, эти
условия упрощаются:
^W = 0,xeSi;r»(x) = 0,xGS2. (2.11)
Поверхности раздела сред в ЭДС часто содержат острые реб-
ра, вблизи которых наблюдается концентрация электромагнитного
поля. Как показано в монографии [57], для того чтобы электро-
магнитная энергия, запасенная в любом конечном объеме вблизи
ребра, оставалась конечной, любая составляющая векторов Е и Н
32
при приближении к ребру должна расти не быстрее чем г +\
т>0:
Е, Н = О(г-!-), г-0, (2.12)
где г — расстояние от точки наблюдения до ребра *. Величина т
определяется электрофизическими свойствами сред, образующих
ребро, и формой поверхностей раздела между ними.
В качестве примера, имеющего важное практическое значение,
рассмотрим поле вблизи ребра, образованного идеально проводя-
щими плоскостями 0 = 0 и 0 = а, граничащими с однородным изо-
тропным диэлектриком (рис. 2.3). Пусть в области V JCT =0, р = 0-
Рассмотрим поле, описываемое электрическим вектором Герца, на-
правленным вдоль ребра, и предположим для простоты, что оно
не зависит от координаты z. т. е. положим Ге — (г, 0) ez. Част-
ное решение уравнения (2.3) при этих условиях имеет вид
ф,(г, 0) = (fer)(/?., cos vO -|-С, sin v0). (2.13)
Так как при 0 = 0 и 0 = а вектор Герца должен удовлетворять
условию (2.9), В,, =0, v=mn/a, т = 0, ±1, ±2, ... Вблизи ребра
(йг<С1) справедливо соотношение Л (Аг)=»[Г(1+м)]—1(^г/2)'’, где
Г(х)—гамма-функция Эйлера. Использование этого приближения
и граничных условий позволяет записать общее решение уравнения
(2.3) вблизи ребра в виде
оо
Ф (г, 0) = Dmrm'^ sin (пнй/л), kr^\. (2.14)
/71 = —во
Подставив это решение в (2.1) и (2.2) и учитывая, что VTe=
= ch|)/dz=0, найдем электромагнитное поле:
Е..— Dmrmr^ sin (ткб/а);
т=-оо
Нг — 1<о$ (тпк/а) DrnrmrJi',~1 cos (тптс0/а);
/71=—оо
оо "
Из = — iws (щк/а) sin (ffi~0/a).
/7/= — ОО
Сравнивая полученные выражения с условием (2.12), видим, что
оно выполняется, если £)от=0 для всех т<0 и
т = к/а. (2.15)
Таким образом, при а>л поперечные составляющие магнитно-
го поля вблизи ребра имеют сингулярности. Продольные состав-
ляющие электрического поля и вектор Герца особенностей вблизи
ребра не имеют. Проделав аналогичный вывод для поля, описы-
ваемого магнитным вектором Герца, можно показать, что в этом
случае особенностью вблизи ребра обладают поперечные состав-
1 f(x) = O(g(x)) при х->х0, если существует постоянная А та-
кая, что |f(x) |<|g(x) 14, х->х0.
3—1271 33
ляющие электрического поля, причем т также определяется выра-
жением (2.15). В общем случае электромагнитное поле является
суперпозицией полей, рассмотренных выше. Читателю предлагается
убедиться, что полученные результаты справедливы и в том слу-
чае, когда зависимость вектора Герца от г описывается дважды
дифференцируемой функцией. Отметим, что выражения для Нг,
(или для ЕГ, Et) в случае магнитного вектора Герца) совпадают
с решениями уравнения Лапласа. Следовательно, вблизи ребра
электромагнитное поле близко к магнитостатическому (электроста-
тическому). Учет особенностей поведения электромагнитного поля
во многих случаях позволяет ускорить сходимость алгоритма вы-
числения поля и увеличить точность получаемых результатов.
2.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ
Изложенные выше сведения позволяют следующим образом
сформулировать задачу расчета электромагнитного поля в ЭС:
найти в заданной области V векторную функцию и, удовлетворяю-
щую уравнению
Zu /.u F (2.16)
внутри области V и граничному условию
^u = Ff (2.17)
на ее границе S. В этих выражениях $ и % — линейные диффе-
ренциальные выражения; F и FiS. —заданные функции, определен-
ные соответственно в области V и на ее границе S; А,=—k2
Отметим, что любую задачу (2.16), (2.17) с неоднородными
граничными условиями (F5 #=0) можно свести к задаче с однород-
ными граничными условиями
<S?su=O. (2,18)
Действительно, подобрав функцию V, удовлетворяющую гранич-
ным условиям (2.17), неизвестную функцию и можно найти в ви-
де суммы u = v+w, где w есть решение уравнения вида (2.16);
— Xw = Ft, а функции Ft= F—соответствуют однородные
граничные условия вида (2.18). В связи с этим в дальнейшем, если
это ие оговорено особо, граничные условия будут полагаться од-
нородными.
Дифференциальное выражение S? вместе с граничными усло-
виями (2.18) образует линейный дифференциальный оператор. Тео-
рия таких операторов составляет предмет функционального анали-
за [72, 53]. Некоторые сведения из этой теории, необходимые для
понимания дальнейшего, приведены в приложении 2.
Свойства операторов существенно зависят от вида области V.
В связи с этим различают внешние краевые задачи электродина-
мики, возникающие, когда решение ищется в неограниченной об-
ласти, и внутренние задачи, когда область V существования поля
ограничена замкнутой поверхностью S. Численные методы реше-
ния последних составляют основное содержание книги. Внутренние
краевые задачи электродинамики, как отмечалось, делятся на за-
дачи о свободных и вынужденных колебаниях (волнах). Задачи
34
первого типа возникают, когда правая часть уравнения (2.16) тож-
дественно равна нулю, а граничные условия однородны. Физически
это означает, что в области V отсутствуют сторонние токи и за-
ряды, а на границе S — сторонние электромагнитные поля. В про-
тивном случае возникает задача о вынужденных колебаниях (вол-
нах) .
Важное значение для правильной постановки задач электро-
динамики имеют теоремы существования и единственности реше-
ния. В частности, нетривиальные (т. е. не равные тождественно
нулю) решения задачи о свободных колебаниях существуют толь-
ко при определенных значениях Z=X,-, i=l, 2, ..., называемых соб-
ственными значениями оператора 5£. Каждому собственному зна-
чению соответствует одно или несколько решений, называемых соб-
ственными функциями этого оператора. Эти решения определены
с точностью до постоянного множителя.
Задача о вынужденных колебаниях имеет единственное реше-
ние тогда и только тогда, когда сопряженная задача
£v (х) — Xv (х) =: 0, х £ И; (£) — 0, ? ЕЕ 5,
имеет только тривиальное решение v(x) = 0, т. е. когда где
Л,- — собственные значения сопряженной задачи. Если же сопря-
женная задача имеет ненулевые решения V/, /=1, 2, .... задача
о вынужденных колебаниях разрешима, только если выполняются
так называемые условия ортогональности (F, V;) = 1 Fv( <1 V = О,
j=l,2,...,N. ~ v
Определения сопряженного оператора $8, сопряженных крае-
вых условий и скалярного произведения функций (F, Vу) приве-
дены в приложении 2.
Важным классом дифференциальных операторов являются са-
мосопряженные (эрмитовы) операторы (см. приложение 2), особая
роль которых связана с тем, что каждый самосопряженный опе-
ратор порождает оргонормированную систему собственных функций
{и,}: (и;, иу) = 8(-у, где 8,-у—символ Кронекера. Каждая функ-
ция w, определенная в области V, может быть разложена в ряд
СО
Фурье по полной системе собственных функций {u,}: w = ^ аги,-,
i=l
коэффициенты которого определяются по формулам a^=(w, uj =
— J wu*dV'.
v
Полученные результаты справедливы и для так называемой
обобщенной задачи иа собственные значения
S?u-X@u = 0, (2.19)
где Q — положительная тензорная весовая функция, если опре-
делить скалярное произведение в соответствии с формулой (u, v)=
= J © и v* d V.
v
Найдем условия самосопряженности важнейших электродина-
мических операторов. Для этого необходимо вычислить их комму-
3* 35
татор (см приложение 2) и определить, в каких случаях он обра-
щается в нуль
1 Оператор = rot rot Используя векторную формул} (П1 7),
получаем
Су = j* v* rot rotudlZ — fu rot rot N*dV —
1 V V
— f rot v*rot udV(j) [rot u, v*] dS — J rot u rot N*dV —
V S V
— (j) [rot v:\ u] dS.
s
Отсюда следует, что условиями самосопряженности оператора
являются
и- = 0 или (rot и), = 0 на S. (2.20)
Покажем, что собственные функции оператора (при W=0)
описывают электромагнитное поле собственных колебаний в обла-
сти V, удовлетворяющее однородным уравнениям Максвелла
на-
что
(2.1)
виде
урав-
что и требовалось
rot Ну — rot Еу =
на собственной частоте Wy. Так, беря в качестве функции Uy,
пример, электрический вектор Герца Uj — Ге и учитывая,
div Uy = Ху1 div lot lot Uy = 0, Ху 0, с помощью выражений
и (2 2) получаем
Ну — lay rot u,; Ey = k?Uj = (toy)-1 k? л-1 rot H,
Первое уравнение с учетом второго можно переписать в
Ну = (юу) k~^ rot Еу Последние два уравнения совпадают с ;
пениями Максвелла, если положить =
доказать
2 Оператор S?2= grad div Используя формулу векторного
анализа (Ш 6) для коммутатора С получаем
Су = J v* grad div udV — Ju grad div v*dV =
2 V V
— d) v* div ur/S — J div u div vvrZ V—
s V
— d)udivv*dS+ J div v* div urfIZ.
S V
Таким образом, оператор SS2 самосопряжен, если
un — 0 или dlvu = 0 на S. (2-21)
36
3. Оператор Х^ ='^2, действующий иа векторную функцию.
Так как V2=giaddiv—rotrot=S?2—5?,, условия самосопряжен-
ности этою оператора должны включать условия (2 20) и (2 21).
Таким образом, оператор является самосопряженным, если
U-— 0 и divu —0 на S или ип = 0 на S. (2.23), (2.22)
Сравнив эти условия с выражениями (2 9) — (2.11), можно
сделать вывод, что для электрического вектора Герца условия
(2 22) выполняются на электрической стенке, а условия (2 23)—-
иа магнитной При этом условие divu=0 следует из выражения
(2 1) и граничного условия Ет =0 на электрической стенке Для
магнитного вектора Герца условия (2 22) выполняются на магнит-
ной, а условия (2 23) — на электрической стенках в том случае,
если на поверхности S JCT = 0.
4 Оператор Лапласа Х^ =Д, действующий на скалярную
функцию Воспользовавшись формулой Грина (П1 15), получим
= \ v*\udV — J uAv*dV =; — J \;u^v*dV
V V V
+ Фг»* dS-\- [yv^udV -&иdS,
s дп •(, $ дп
т е оператор Х$ является самосопряженным, если на границе
выполняются условия Дирихле (и=0) или Неймана (ди/дп=0).
В проведенных вычислениях использовался тот факт, что любой
самосопряженный оператор X допускает преобразование (Ш 17)
(Ж V) (Ли, ЛV) 4- § [Л.и,
5
где первое слагаемое правой части симметрично относительно и и
V, а поверхностный интеграл исчезает при соответствующем выбо-
ре граничных условий Дифференциальные выражения Л и
определяются видом оператора X-
Отмеченное свойство позволяет легко выяснить знакоопреде-
ленность самосопряженного оператора (см. приложение 2) На-
пример, для оператора SS\
(Зги, u) — J u*rotroturZl/ =
v
= J | rot и | 2 d72 J ] и | 2dV
v v
для всех u^const Таким образом, оператор является поло-
жительно определенным и неограниченным, так как можно подо-
брать такую быстроменяющуюся функцию и, что у2 будет больше
любого наперед заданного числа Аналогично можно доказать, что
самосопряженные операторы ^2, Х3 и являются неограни-
ченными отрицательно определенными.
37
Изложенное позволяет утверждать (см. приложение 2), что
при выполнении условий самосопряженности спектр рассмотрен-
ных операторов содержит бесконечное счетное множество действи-
тельных собственных значений, которые можно пронумеровать в
порядке возрастания их модулей O = Zo<|ZI|<|X2|< .... а собст-
венные функции образуют полную в области V ортонормирован-
ную систему. При этом собственные значения оператора поло-
жительны (за исключением Zo), а операторов 2:2, S£z, — отрица-
тельны.
Отметим важное различие между операторами % и ’£3- За-
писав для первого из них задачу на собственные значения
rot rotu —Au, увидим, что собственное значение Хо = О является вы-
рожденным, так как любая функция up = gradq) удовлетворяет
этому уравнению при Х = 0. Эти функции образуют так называе-
мую потенциальную подсистему, которая должна быть добавлена
в систему собственных функций оператора для того, чтобы
последняя была полной [146, 15] В то же время аналогичная за-
дача для оператора ^35?jU=grad divu—rotrotu=Zu при Z=0 име-
ет только тривиальное решение u= const, так что вырождение это-
го собственного значения отсутствует.
2.4. ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Рассмотрим внутреннюю краевую задачу электродинамики
(2 16), (2.17), записанную для самосопряженного положительно
определенного оператора и положительной весовой функции (Д,
Составим выражение Fi(u)=(2 и — и) — (F, и) — (и, F), ко-
торое ставит в соответствие каждой функции и из области опре-
деления оператора число F\. Такое выражение называется функ-
ционалом (см. приложение 2).
Справедлива следующая теорема [72]. Если уравнение (2.16)
имеет решение и0, то оно сообщает функционалу /д наименьшее
возможное значение. И наоборот, функция из области определе-
ния S), т. е. удовлетворяющая условиям на границе (2 17) и име-
ющая необходимое число производных, сообщающая минимум
функционалу F}, удовлетворяет уравнению (2 16)
Задаче на собственные значения (2.18), (2.19) поставим в со-
ответствие функционал
(u) = (<S?u, u)/(Qu, и), (2.24)
для которого справедлива теорема: если существует функция и0,
сообщающая функционалу минимально возможное значение, то
юна удовлетворяет уравнению (2.19) при Z = 4, где Ч — наимень-
шее собственное значение задачи (2.18), (2.19), а функционал
-F2(u0)=Z|. И наоборот, при подстановке в (2.24) собственной
функции И], соответствующей наименьшему собственному значению
Л], функционал F2 принимает минимально возможное значение
Е2(и1)=Х1.
Приведем доказательство этой теоремы, которая используется
для обоснования большинства численных методов решения внут-
ренних краевых задач электродинамики. Пусть и0 доставляет Е2
38
минимальное значение Это означает, что разность Fs(u)—F2(Uo)>0.
Положим u = u04-Su, где 8ие=О^,. Если функции и и и0 мало от-
личаются друг от друга, из записанного неравенства следует, что
вариация функционала, т. е линейная относительно би часть при-
ращения, 6r2=F2(u0+8u) — f2(u0) =0. Так как при вычислении ва-
риации можно использовать обычные правила дифференцирования
[72], обозначив Е=(^и, u), R =(@ и, и), получим 6Е2 = [6Р—
—Е2(и)б/?]//? = 0.
Знаменатель этого выражения при и=4=0 всегда больше нуля.
Отсюда условие стационарности функционала F2
SP— F2(u)’8/? = 0 (2.25)
ИЛИ
(^Uo + ^5u, u04-ou) — (£u0, u0) — p2[(@uo +
UoH-ou) — (@u0; u0)] = (£8u, u0) + (Suq, 8u) +
4 (^8u, 8u)—F2[(@8u, u0) + (Qu0, 8u) + (@8u, 8u)] = (L
Так как оператор 5£ самосопряжен, а функция &. положительна,
(£?8u, u0)=(^ u0, Bu)*; ((Sou, u0)=((S u0, Bu)* Используя эти ра-
венства и опуская квадратичные относительно би члены, получаем
2Re КХ и0 — Ft («о) @ и0, ои)] = 0.
Ввиду произвольности функции би полученное равенство воз-
можно, только если и0 есть решение уравнения (2.19), a f2(u0) =
=A(. Так как оператор 5? положительно определен, Xj является
его минимальным собственным числом.
Сформулированные теоремы позволяют свести решение задач
(2.16) — (2.19) к вариационной задаче нахождения функций, реа-
лизующих минимум функционалов Fi и F2 соответственно.
Для высших собственных значений справедливы соотношения
— min F2 (u), (@u, uz) : 0, i~\, 2, ..., k — 1, (2.26)
t. e. функция u сообщает функционалу F2 минимум, равный соб-
ственному значению X#, если она ортогональна ко всем собствен-
ным функциям, имеющим меныпие собственные значения.
Отмечая тот факт, что функционалы F-. и F2 принимают ми-
нимальные значения при подстановке в них решений задач (2 16)
и (2.19), говорят, что они стационарны на решениях соответствую-
щих задач. Это свойство функционалов часто используется для
приближенного определения собственного значения по неточно из-
вестной собственной функции, так как вследствие стационарности
ошибка в определении собственного значения имеет более высо-
кий порядок малости, чем ошибка в задании собственной функции.
Для нахождения минимума функционалов Ft и F2 необходимо
использовать функции из области определения оператора 2", т. е.
удовлетворяющие граничному условию (2.17) или (2.18). Часто
нахождение таких функций представляет значительные трудности.
Используя соотношение (П1 17), вместо указанных функционалов
можно построить новые, добавив к /ц и F2 соответствующие по-
верхностные интегралы
F3 = (A^u)-(F, u)-(u, F); (2.27)
= (Ли, Ли)/(@и, и). (2.28)
39
Минимальные значения этим функционалам доставляют функции,
удовлетворяющие уравнению (2.16) или (2.19) и обращающие в
нуль поверхностный интеграл в (П1.17), т. е. удовлетворяющие
определенным граничным условиям, которые называются естест-
венными для соответствующих функционалов. Если эти условия
совпадают с граничным условием (2.17) или (2.18), решение мож-
но искать на множестве функций, не удовлетворяющих естествен-
ным условиям заранее (не принадлежащих S)cg)- Эта возможность
обусловила широкое использование функционалов (2 27), (2.28)
при решении практических задач. Если же граничные условия за-
дачи отличаются от естественных для используемого функционала
(в этом случае их называют главными), множество функций, на.
которых ищется решение, должно обязательно принадлежать об-
ласти определения оператора SE т. е. удовлетворять граничному
условию (2.17) или (2.18).
Приведем без вывода, который читатели могут легко проде-
лать самостоятельно или посмотреть в [72], симметричные формы
функционалов для основных электродинамических операторов.
1. Для оператора <2?i=rotrol
F5 =j* | rot u | 2 dV/ Jq ( u [ 2dV (2.29)
V V
с естественным граничным условием (rotu)T=0, иа электриче-
ской стейке для u = Н и на магнитной стенке для u= Е.
2. Для оператора V2= grad div—rot rot
F6 — J ( | div u | 2 — j rotu | 2) dV/§ @ | u [ 2 dV
V K
с естественными граничными условиями (rot u), =0, divu =0.
3. Для оператора Лапласа Д
F-t = J [ vu | ! u 1 2dV
V V
с естественным граничным условием du!dn=Q. Таким образом, на-
ряду с дифференциальной формулировкой внутренние задачи элек-
тродинамики допускают эквивалентную вариационную формули-
ровку.
Альтернативная формулировка задачи связана с возможностью
обращения дифференциальных электродинамических операторов.
Линейную краевую задачу
Ли (х) = F (х), х ЕЕ V', <4su (х) = 0, xEES, (2.30)
можно рассматривать как преобразование функции и в функцию
F. Если существует обратная операция, ее можно записать в ви-
де интегрального преобразования u (х) = f G (х, 5) F ($) d \\,
V
где ядро G(x, g)—тензорная функция Грина задачи (2.30). Ре-
шение задачи с неоднородными граничными условиями ,_/?и (х)=-
= 0, х$\'; Л$и(х) --= Fs (x), x^S, можно записать в аналогич-
40
ном виде и (х) = Ср Gs (х, s) FiS (?) dS^, где ядро Gs называется
S
тензорной функцией Грина второго рода. Так как любую задачу с
неоднородными граничными условиями можно свести к задаче
(2.30), функции Грина G и Gs связаны между собой.
Если существует тензор Грина оператора Si, краевая задача
(2.16), (2.17) эквивалентна интегральному уравнению Фредгольма
второго рода [53]
uU) — х J К(х, l)u^)dv^= ф(х),
V
где
К(х, $) = G(x, $)©($); Ф(л) = 1о(х, ()Р(Ш
V
Формально решение этого уравнения записывается в виде
и(х) = Ф(х) + Х X)F(S)rfIZe,
v
где R(x, g; Х) = (Ж —М)-1 — резольвента Грина оператора Si.
К сожалению, нахождение резольвенты Грнна — задача, немногим
менее сложная, чем решение исходного уравнения (2.16).
Таким образом, внутренняя краевая задача электродинамики
допускает три эквивалентные формулировки: дифференциальную,
вариационную и интегральную, каждая из которых порождает
соответствующую группу численных методов.
2.5. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О СВОБОДНЫХ
КОЛЕБАНИЯХ (ВОЛНАХ)
Как отмечено во введении, задача расчета электромагнитного
поля свободных колебаний (волн) состоит в решении однородных
уравнений Максвелла (В.10), (В.11) в объеме V, ограниченном
металлической поверхностью S. Вместо уравнений Максвелла
можно решать эквивалентные им однородные уравнения Гельм-
гольца
?2Г-|-А2Г = О (2.31)
относительно электрического или магнитного вектора Герца. От-
меченные уравнения и граничные условия сводятся к задаче на
собственные значения (2 18), (2.19).
Если ЭС имеет плоскости симметрии, решение можно искать
в части ее объема, ограниченной этими плоскостями и поверх-
ностью S. На плоскостях симметрии в зависимости от структуры
рассчитываемого поля могут задаваться граничные условия типа
электрической или магнитной стенки. На металлических поверхно-
стях можно задать условия короткого замыкания или граничные
условия Леонтовича, учитывающие конечную проводимость ме-
талла. В первом случае оператор задачи является самосопряжен-
ным, его собственные значения — действительными, а собственные'
функции — ортогональными. Каждая собствеииая функция описы-
41
вает определенный вид колебаний (моду) объемного резонатора,
а собственное значение — его собственную частоту Так как kt =
= Р^+л(, где верхний знак соответствует оператору S\, а ниж-
ний— операторам SE2, и Х7'4, волновые числа ki всегда ока-
зываются действительными Ввиду ортогональности собственных
функций различные виды колебаний не взаимодействуют друг с
другом
При использовании граничных условий Леонтовича операторы
jg, и оказываются несамосопряженными, их собствен-
ные значения — комплексными, а собственные функции — неортого-
нальными Учет потерь
Рис 24 Регуляр-
ный волновод
в стенках с помощью граничных условии
позволяет исследовать взаимодействие раз-
личных мод в поле вынужденных колеба-
ний ЭС Ввиду того, что использование
граничных условий Леонтовича существен-
но усложняет решение задачи о собствен-
ных колебаниях, обычно при нахождении
электромагнитного поля и собственных ча-
стот стенки резонатора полагают идеально
проводящими, а влияние их конечной про-
водимости оценивают косвенным методом,
рассчитывая мощность, выделяющуюся в
стенках резонатора под действием проте-
кающих в них токов, индуцированных маг-
нитным полем, рассчитанным без учета потерь
Задача расчета электромагнитного поля свободных волн в ре
гулярном закрытом волноводе сводится к решению уравнения
(2 19) с граничными условиями (2 18) в области, представляющей
собой цилиндр сложного поперечного сечения (рис 2 4) Строго
говоря, эта задача не является внутренней, так как регулярный
волновод имеет неограниченную длину. Гем не менее ее можно
свести к внутренней задаче электродинамики [75], используя тот
факт, что электромагнитное поле в регулярном волноводе пред-
ставляет собой бегущую волну и — и0 е 4 . При отсутствии по-
терь (#г=|3) такое поле удовлетворяет условию периодичности
и(г + А) = u(z), где А=2л/|3— длина волны в волноводе В связи
с этим в волноводе можно выделить конечный объем V, ограни-
ченный идеально проводящей оболочкой волновода S(4 и двумя
плоскостями S] и S2, перпендикулярными оси волновода и отстоя-
щими друг от друга на расстоянии А Введя обобщенно-цилиндри-
ческую систему координат х1г х2, хз, ось х3 которой совпадает с
осью волновода, поставленную задачу можно сформулировать сле-
дующим образом найти решения задачи (2 18), (2 19) в огра-
ниченной области V, удовлетворяющие граничным условиям на элек-
трической и магнитной сетках
ит(л) 0 или un(x) = 0, x^S6\
u(xlt Х2, Хз-j-A) u(x,, х2, х3).
Нетрудно показать, что операторы с такими гра-
ничными условиями являются самосопряженными и знакоопреде-
ленными Следовательно, решения поставленной задачи образуют
1/2
бесконечную последовательность собственных частот = (X(/e[i)
42
и собственных функции и„ соответствующих различным типам
воли в волноводе Поскольку значения со, и вид функций ut, во-
обще говоря, зависят от Л, решая задачу для произвольной длины
волны, можно получить дисперсионные характеристики различных
типов волн в волноводе <•>, = <o,(A) и зависимость электромагнит-
ных полей этих типов волн от длины волны Л
При наличии потерь постоянная распространения kz стано-
вится комплексной, и условия периодичности не выполняются В
этом случае условия периодичности можно сохранить, введя ком-
плексную длину волны Л=2л/Аг [75], однако решение задачи су-
щественно усложняется Ниже показано, что задача о свободных
волнах в волноводе допускает более удобную «двумерную» фор
мулировку, естественным образом включающую потери
Рассмотрим в заключение задачу расчета поля в замедляющей
системе Электромагнитные поля в поперечных сечениях такой
структуры, отстоящих друг от друга на расстоянии одного периода
L, удовлетворяют теореме Флоке
u(z-]-Z.) = u(z)e-1!f, 0<<pO, (2.32)
где ф — угол сдвига фаз на период (вообще говоря, комплексный)
Поставив задачу (2 18), (2 19) для объема V, ограниченного иде-
ально проводящей оболочкой Sg и плоскостями S( и S2 с периоди-
ческими граничными условиями (2 32), можно убедиться, что все
электродинамические операторы, рассмотренные ранее, и в этом
случае являются самосопряженными и знакоопределенными [75],
если угол сдвига фаз ф — действительный Полученная в резуль
тате решения последовательность собственных значений At (ф) и
собственных функций u((r, ф) характеризует различные типы волн,
которые могут распространяться в данной периодической струк-
туре При наличии затухания необходимо вводить комплексный
уюл сдвига фаз ф таким образом, чтобы частоты <о( (ср) =
1/2
= [ | К, (ср) | /(ер)] оставались действительными Таким образом,
расчет электромагнитного поля в ЗС также сводится к решению
внутренней задачи электродинамики
2.6. ЧИСЛО НЕИЗВЕСТНЫХ ФУНКЦИЙ
И ИХ РАЗМЕРНОСТЬ В ЗАДАЧЕ О СВОБОДНЫХ
КОЛЕБАНИЯХ
В § 2 5 задача расчета электромагнитного поля свободных ко-
лебаний резонатора сформулирована как задача на собственные
значения (2 18), (2 19) относительно трех трехмерных неизвестных
функций — проекций вектора Г на оси координат Найдем усло-
вия, при которых число подлежащих определению функций и (или)
их размерность могут быть уменьшены В ряде случаев это можно
сделать, используя градиентную инвариантность векторов Герца’
если вектор Г удовлетворяет однородному уравнению Гельмголь-
ца (2 31) ив соответствии с выражениями (2 1), (2 2) определяет
некоторое поле Е, Н, то вектор Г=Г—Уф, где ф — любое решение
уравнения
Дф -]- А2<о = О,
(2.33)
также удовлетворяет уравнению (2 31) и описывает то же самое
поле
43
Введем ортогональную криволинейную систему координат xlt
Х2, х3 с метрическими коэффициентами /i:, h2, h3 и ортами еь е2, е3
и выберем функцию <ре таким образом, чтобы
Г1 = Гее1 = Л — = 0. (2.34)
Вектор Г6’ содержит только две проекции, следовательно, уравне-
ние (2 31) является системой с двумя неизвестными. Функция (ре,
однако, в этом случае, кроме уравнения (2.33), должна удовлетво-
рять еще и условию (2.34). Не обсуждая возможности одновре-
менного выполнения этих условий, отметим, что любое электро-
магнитное поле свободных колебаний (волн) может быть описано
с помощью двух скалярных функций — проекций вектора Ге на
любые две координатные оси То же самое справедливо и для маг-
нитного вектора Герца при соответствующем выборе скалярной
функции <рт. Таким образом, для описания поля можно использо-
вать либо две проекции вектора Ге, либо две проекции векто-
ра Г'ж.
Можно, однако, поступить иначе. Из выражений (2 1) и (2 2)
следует связь между векторами Герца
rot Гт -- iweP. (2.35)
Выбрав функции уе и так, чтобы = Г™ = 0, из выражения
(235) получаем формулы
1
hih2
_____1_
Mi
~~ (V2m)
дх.
±- (h3rT) =
(/^2
позволяющие выразить проекцию электрического вектора Герца на
ось х2 через проекцию магнитною вектора Герца на координатную
ось х3, н наоборот. Это дает возможность использовать для опи-
сания электромагнитного поля две скалярные функции — проекции
электрического и магнитного векторов Герца на одно и то же
направление, т. е. принять Ге = Гее3, Гт = Гте3. Электромагнитное
поле в этом случае можно рассматривать как суперпозицию поля
«электрического» типа (/Г-типа), определяемого скалярной функ-
цией Ге,
Ее = grad div (Гее3) -|- k2ree3; Не = 1<»г rot (Гее3)
и поля «магнитного» типа (//-типа/, определяемого функцией Гт,
Ет = — iwp. rot (Гте3); Н"' = grad div (Гте3) -|- (г2Гте3.
Из полученных выражений следует, что в поле В-типа перпенди-
кулярно направлению е3 расположен вектор Н, а в поле //-типа —
•вектор В
Необходимость одновременного выполнения условий (2.33) и
'(2 34) для функции ср6", аналогичных условий для функции <рт, а
также условия (2.35), связывающего обе функции, налагает опре-
деленные ограничения на метрические коэффициенты системы ко-
44
ординат, в которой возможно представление \дектромагнитного
поля в виде суперпозиции полей Е- и //-типов. К В. Кисунько
[50] показал, что указанное представление возможно\прн выпол-
нении следующих соотношении
_jL 4^4=0; = (2.36)
дх3 \ Л2 / dxt дх2
Уравнение (2 31) при этом принимает вид
1 ' д / Л2 дГ \ / /г, дГ V 1 —
hih2 . дхх \ h3 дхх / дх2 \ Л2 дх2 /_
1 О'2 Г
+ 44" k2r = 0, (2.37)
где под Г можно понимать Ге или Гт.
Таким образом, задача о свободных колебаниях при использо-
вании системы координат, удовлетворяющей условиям (2 36), сво-
дится к решению двух уравнений (2 37) для функций Ге и Гт.
Отметим, что в этих уравнениях неизвестные функции разделены
и связь их возможна только через граничные условия Наличие
этой связи определяется формой граничных поверхностей Посколь-
ку векторы Ге и Гт имеют в данной системе координдат опреде-
ленное направление, граничные условия (2 9) и (2 11) могут вы-
полняться для каждого из этих векторов в отдельности, только
если уравнения граничной поверхности имеют вид
/(лр х2) — 0 или х3 = const. (2.38)
В первом случае направление нормали к поверхности перпендику-
лярно направлению оси х3, а во втором эти направления совпа
дают Ес пи уравнение граничной поверхности имеет вид, отличный
от (2 38), граничные условия (2 9) — (2 11) неприменимы, так как
направления векторов Герца не совпадают с направлениями ка-
сательной и нормали к поверхности В этом случае необходимо
использовать граничное условие Ет = + Е™ = 0 и пи Нт =
= Н? ф = 0, которое связывает функции Ее и Гт.
В электродинамических системах, форма поверхности которых
допускает разделение граничных условий, возможно независимое
существование полей Е- и Н типов Нахождение поля каждого
типа сводится к решению уравнения (2 37) с соответствующими
граничными условиями Таким образом, вместо системы из трех
уравнении с тремя неизвестными достаточно решить одно уравне-
ние с граничными условиями, соответствующими полю Е- или Н-
типа
Условия разделения полей Е- и //-типов (2 36) могут быть
ослаблены, если заранее известно, что искомые функции Ге и Гт,
а следовательно, и векторы Е н Н не зависят от координаты х3
Как показано в [50], в этом случае достаточно потребовать, чтобы
-А_ [АЛ - 0; -А_ - 0; -А_ - 0. (2.39)
дх3 \ Л2 / дх3 дх3
45
Условия независимого существования полей Е- и Я-типов (2.38)
при этом сохраняются, а функции Ге и Гт должны удовлетво-
рять двумерному уравнению
I Г д / h2 д (/г,Г) \ + hAh2 L dxi \ hih3 дхх / + + &Г = 0. (2.40) ох2 \ h2h3 дх2 ]
Рассмотрим возможность уменьшения размерности подлежа-
щих определению функций Ге и Гт, для чего представим их в
виде произведения двух функций меньшей размерности (метод
разделения переменных Фурье)
Г(х1, х2, х3) = ф(х1, л2)Цх3). (2.41)
Такое представление возможно, если уравнения граничной поверх-
ности имеют вид (2.38). В самом деле, предположим, что уравне-
ние граничной поверхности имеет более общий вид f(xt, х2, х3)=0.
Выразив отсюда х3=§(хь х2) и подставив в (2.41), получим, что
иа границе С(х3) =C[g’(xi> *2)], что противоречит первоначальному
предположению.
Если метрические коэффициенты используемой системы коор-
динат удовлетворяют условиям (2.36) и дополнительным условиям
[50]
h1 = M(x3)ft(xt, х2); A2 = M(x3)f2(xJ, х2), (2.42)
то уравнение (2.37) при подстановке в него выражения (2.41)
распадается на два уравнения:
ЛЛ+^>? = 0; (2.43)
k? \
А2------— |С = 0, (2.44)
/И2 )
й2 д \ । д / hi д
hi dxi J дх2 \ h2 дх2
«поперечный» оператор Лапласа; й2 — не зависящая от координат
константа разделения.
Отметим, что наиболее важными частными случаями систем
координат, удовлетворяющих условиям (2.36) и (2.42), являются
обобщенно-цилиндрическая (Л4(х3) = 1) и обобщенно-сферическая
(М(х3)=х3).
Таким образом, при использовании системы координат, удо-
влетворяющей условиям (2.36) или (2.39) и (2.42), уравнения гра-
ничных поверхностей в которой имеют вид (2.38), задача о свобод-
ных колебаниях (волнах) может быть сведена к решению двумер-
ного уравнения (2.40) или (2.43) и одномерного уравнения (2.44)
(если дГ/дху^й) с соответствующими граничными условиями. За-
дачи, в которых перечисленные условия могут быть выполнены, в
дальнейшем называются двухмерными, в отличие от трехмерных
задач, для которых сокращение размерности уравнений невозможно.
46
СК /
Дх2 +
- 1 [ Ч
dxi \
2.7. КЛАССИФИКАЦИЯ ЧИСЛЕННЫЙ ^МЕТОДОВ
РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Задачи расчета ЭС формулируются следующим образом.
Анализ — расчет электромагнитного поля и электрических^ па-
раметров ЭС по заданным электрофизическим параметрам (е, |л,
<т), конфигурации и размерам
Синтез — определение геометрии и (или) электрофизических
параметров ЭС по заданному электромагнитному полю В мате-
матической постановке эта задача сводится к нахождению коэф-
фициентов функциональных уравнений и граничных условий по
заданным решениям Несмотря на отдельные достижения в этой
области (см §61), сколько нибудь универсальные методы решения
задач синтеза ЭС ЭП в настоящее время еще не разработаны.
В практике автоматизированного проектирования важную роль
играют задачи оптимизации, алгоритм которых включает много-
кратное решение задачи анализа для различных вариантов ЭС
с целью выбора наилучшего
Наиболее развиты численные методы (ЧМ) решения задачи
анализа, что вызывает необходимость их систематизации и клас-
сификации Хотя разными авторами и делались такие попытки
[66, 36], общепринятой схемы классификации в настоящее время ие
существует Не вполне установилась и терминология в этой обла-
сти Предлагаемая на рис 2 5 одна из возможных схем классифи-
кации численных методов расчета ЭС использует идеи, высказан-
ные Дж Дэвисом [125]
Рис 25 Классификация численных методов решения внутренних
задач электродинамики
Прежде всего выделяются группы методов, позволяющих на
ходить решения уравнений Максвелла во временной (/) н частот-
ной (ю) областях Первая группа предназначена для анализа не-
стационарных процессов и сводится к краевой задаче гиперболи-
ческого типа К немногочисленным представителям этой группы
относятся разработанный П Джонсом [131, 132] метод матричной
47
линии передачи (ММЛП) и предложенный А С Рошалем и
В. А Лейтаном [86] метод прямых (МП)
Методы решения уравнений Максвелла в частотной области
разработаны значительно лучше Их можно разбить на две боль-
шие группы Первая группа методов, условно названных здесь
глобальными (ГМ), предполагает определение поля системы одно-
временно во всей области V Вторая группа использует разбиение
ЭС на частичные области простой геометрической формы, неза-
висимое нахождение решений в каждой из этих областей с после-
дующим «сшиванием» полей на границах раздела Эта группа по-
лучила название методов частичных областей (МЧО)
Переходя к характеристике глобальных методов, отметим, что,
поскольку аналитические решения уравнения Гельмгольца в раз-
личных системах координат известны, существуют методы, исполь-
зующие для построения решения суперпозицию функций, точно
удовлетворяющих уравнению Гельмгольца в области V Задача
при этом сводится к тому, чтобы приближенно удовлетворить гра-
ничным условиям. Преимущество таких «поверхностных» методов
(ПВМ) состоит в уменьшении размерности — объемная задача
сводится к поверхностной, а поверхностная — к контурной
В качестве решений уравнений Гельмгольца можно использо
вать функции Грина точечных или линейных источников (МФГ).
В результате наложения граничных условий в этом случае возни-
кает интегральное уравнение относительно неизвестной плотности
распределения источников на поверхности S. Такой подход ис-
пользуется в методе сингулярных интегральных уравнений
(МСИУ) Для исключения сингулярности источники могут быть
отодвинуты вглубь металла (метод вспомогательных источников
МВИ)
Другая возможность состоит в отыскании решения в виде ря-
да по частным решениям уравнения Гельмгольца, имеющим вид
стоячих волн (метод коллокаций MKl Коэффициенты ряда нахо-
дятся исходя из точного удовлетворения граничным условиям в
заданном числе точек границы (метод точечного согласования
МТСО) или исходя из условия обращения в нуль поля за преде-
лами области V (метод нулевого поля МНП)
Дискретизация исходных уравнений перечисленными методами
приводит к матричному уравнению С(£)Х — F, где C(k)—плотная
квадратная матрица, элементы которой нелинейно зависят от вол-
нового числа k; X — вектор, аппроксимирующий неизвестную функ-
цию, F — вектор, аппроксимирующий заданные источники В слу-
чае задачи о свободных колебаниях F = 0 и для нахождения соб-
ственных значений необходимо решать нелинейное уравнение
detC(£)=O, что является достаточно трудоемкой задачей Таким
образом, описанная группа методов лучше приспособлена к реше-
нию задач о вынужденных колебаниях, когда k — заданная вели-
чина и элементы матрицы С могут быть легко вычислены по извест-
ным формулам
Отказ от функций, точно удовлетворяющих уравнению Гельм-
гольца внутри области V, с одной стороны, увеличивает объем
вычислений, а с другой — позволяет упростить их за счет построе-
ния решения в виде суперпозиции простых, например полиномиаль-
ных, функций Основными разновидностями группы методов, ис-
пользующих приближенные решения в объеме — «объемных мето-
дов» (ОМ), — являются метод конечных разностей (МКР) и про-
екционные методы (ПМ), различающиеся по виду базисных функ-
48
ций, применяемых для приближенного представления решения. С
этой точки зрения можно выделить классические проекционные
методы (КПМ), использующие базисные функции, вообще говоря,
отличные от нуля во всей области V, и метод конечных элементов
(МКЭ), основанный на введении базисных функций специального
вида, отличных от нуля только в небольшой части области V (в
конечном элементе) Отметим также вариационный метод (ВМ),
который можно рассматривать как разновидность проекционного.
Дискретизация исходной задачи объемными методами приво-
дит к матричному уравнению вида (A+A2B)X=F. Матрицы А и В
могут быть как плотными (КПМ), так и редкими (МКЭ) Для
нахождения собственных значений задачи о свободных колебаниях
(F-=0) можно применять известные методы вычисления собствен-
ных чисел и векторов матриц Необходимо отметить, что, напри-
мер, в цилиндрической системе координат выражения для матрич-
ных элементов могут быть весьма сложными
Метод конечных разностей основан на приближенной замене
дифференциальных выражений разностными и в процессе дискре-
тизации не использует вариационных принципов, поэтому его мож-
но применить и в тех случаях, когда стационарные функционалы
построить невозможно (несамосопряженный или незнакоопреде-
ленный оператор задачи). Дискретизация в данном случае приво-
дит к наиболее простому матричному уравнению AX-]-#2X = F с
редкой матрицей А, элементы которой легко вычисляются.
Методы, основанные на разделении ЭС на частичные обла-
сти, более разнородны Расчет электромагнитного поля в разных
частичных областях даже одной ЭС может быть произведен
различными методами — аналитическими, численными, методами
эквивалентных схем и т. п. В соответствии с этим в МЧО могут
применяться математические модели различного уровня, а также
смешанные модели. Электромагнитное поле в частичных областях
должно удовлетворять всем граничным условиям задачи, за ис-
ключением условий на поверхности раздела с другими частичными
областями В связи с этим поля в частичных областях определя-
ются с точностью до совокупности произвольных постоянных При
сшивании полей на поверхностях раздела возникает система алге-
браических уравнений относительно этих постоянных, т. е проис-
ходит дискретизация задачи В связи с важной ролью, которую
играет этот процесс в методах частичных областей, целесообразно
классифицировать их по методам сшивания.
Метод сшивания в отдельных точках границы раздела (метод
точечного сшивания — МТСШ) позволяет обеспечить непрерывность
полей в фиксированном числе точек границы.
Лучшие результаты дает метод сшивания усредненных по гра-
нице раздела полей (МУП), разновидностями которого являются
энергетический метод (МЭ), основанный на приравнивании пото-
ков вектора Умова—Пойнтинга по обе стороны границы раздела,
и импедансный метод (МИ), согласно которому приравнивается
нулю сумма полных сопротивлений частичных областей, располо-
женных по обе стороны от границы раздела. При определенных
соответствующим образом полных сопротивлениях энергетический
и импедансный методы по существу совпадают Альтернативный
подход заключается в задании на границе раздела «пробного» рас-
пределения электрического поля и расчете возбуждаемых этим по-
лем колебаний в частичных областях. Записав условие непрерыв-
ности магнитного поля вынужтенных колебаний на поверхности
ч—1271 49
раздела, получим функционал или интегральное уравнение относи-
тельно пробного поля. В первом случае метод называют вариа-
ционным методом частичных областей (ВМЧО), во втором—'Ме-
тодом интегральных уравнений в частичных областях (МИУЧО).
Отметим еще метод собственных функций (МСФ), согласно кото-
рому решается самосогласованная задача возбуждения двух или
нескольких смежных частичных областей полем, заданным на гра-
нице их раздела. При этом в интегралы возбуждения различных
видов колебаний каждой из областей входят коэффициенты раз-
ложения поля смежной области по ее собственным функциям. В
результате получается система однородных линейных уравнений
относительно неизвестных коэффициентов разложения поля в каж-
дой области. Приравнивая ее определитель нулю, можно найти
собственные частоты всей области.
Отдельную группу образуют методы декомпозиции [77], об-
ладающие многими особенностями глобальных методов (единооб-
разное представление поля во всей области, регулярный метод
дискретизации). Эти методы используют разбиение объема ЭС
координатными поверхностями на достаточно малые «параллеле-
пипеды», противоположные грани которых образуют виртуальные
волноводы. Записав для этих волноводов соответствующие матри-
цы рассеяния или проводимости, можно с учетом граничных усло-
вий получить систему уравнений относительно амплитуд парциаль-
ных волн в виртуальных волноводах (метод минимальных авто-
номных блоков — ММАБ).
Глава 3
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ ВНУТРЕННИХ
КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
3.1. ПОСТАНОВКА ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ
В § 2.5 показано, что задача расчета ЭС является
двумерной, если выполняются следующие условия:
1. ЭС заполнена однородной изотропной средой, а на
ограничивающей ее поверхности выполняются условия
короткого замыкания (Ет =0) или холостого хода (Нт =
= 0). 2. Существует ортогональная криволинейная си-
стема координат хь х2, х3, в которой уравнения гранич-
ной поверхности ЭС имеют вид (2.38) и метрические
коэффициенты hb h2, h3 удовлетворяют соотношениям
(2.36), (2.42).
Если заранее известно, что электромагнитное поле
ЭС не зависит от координаты х3(д/дх3 = 0), условия
(2.36) могут быть заменены на более слабые (2.39).
Одной из наиболее важных систем координат, удо-
влетворяющих условиям (2.36) и (2.42), является обоб-
щенно-цилиндрическая система хь х2, z, для которой
50
й3=1; Af(x3)=l. Первое из уравнений (2.38) в этой
системе есть уравнение цилиндрической поверхности,
направляющая которой удовлетворяет этому же урав-
нению. Если направляющая замкнута, эту цилиндриче-
скую поверхность можно рассматривать как боковую
поверхность 5б регулярного волновода (РВ) с произ-
вольной формой поперечного сечения (рис. 3.1,а).
Рис. 3.1. Регулярный волновод (а) и цилиндрический резонатор (б)
Добавив к уравнению цилиндрической поверхности
два уравнения z=zt и z — z2, получим замкнутую по-
верхность, образующую цилиндрический резонатор
(ЦР) длиной l=z2—zx, причем первое из уравнений
(2.38) описывает его боковую поверхность 5б, а вто-
рое— торцевые поверхности 5112 (рис. 3.1,6).
Как показано' в § 2.5, электромагнитное поле в РВ
и ЦР описывается одной скалярной функцией
Г = ф(хь x2)C(z), ' (3.1)
для нахождения которой необходимо решить уравне-
НИЯ: Дхф + ^ф = О; (3.2)
о!2С/а!г2 + А2(;^О, (3.3)
где Л2 Ч- &2 — k2- (3.4)
Общее решение уравнения (3.3) С — Д1 e-iV + Д2е!<!/
описывает падающую и отраженную волны в регуляр-
ном волноводе.
Найдем граничные условия, которым должны удо-
влетворять функции ф и £ на электрической и магнит-
ной стенках. Отметим прежде всего, что электромаг-
нитное поле Е-типа выражается через функции ф и £
следующим образом:
Е = grad div (фС е2) -ф- Л2фС е2 = С'7хф ф- С"ф е2 + &2фС е2;
Н — iwsrot (фСе2). Л
4'
51
Учитывая уравнение (3.3) и соотношение (3.4), по-
лученные выражения можно упростить:
Е = Сухф + ^ф:е2; (3.5)
Н — iwe^lvx, ф е2], (3.6)
где Vj. — поперечный оператор Гамильтона, действую-
щи и только на ставлении: координаты х2. В координатном пред-
я- 1 di ^Ф . и _ г
1 А. dz дх\ h> дх2
я2^~L Н2= — ; (3.7)
h2 dz дх2 A] dxt
Нг = 0.
На идеально проводящей боковой поверхности вол-
новода S6 должно выполняться условие Ет =0. Пред-
ставив орт касательной к поверхности е- = е2 + е; в
виде суммы двух составляющих, одна из которых на-
правлена по оси г, а другая лежит в плоскости z =
= const (см. рис. 3.1,п), получим два условия, которые
должны выполняться на боковой поверхности волновода:
Е е2 = kffi, = 0; Е ez = Z'd^ldl = 0.
Если из первого условия следует i|: = 0, что
удовлетворяет и второму условию. Если k2c=0, первое
условие выполняется автоматически и тогда из второго
условия следует, что <?ф/д/=О или ф = const на 56.
Отметим, что при kc=0 электромагнитное поле
является чисто поперечным (поле Ё-типа). Так как
уравнение (3.2) в этом случае превращается в уравне-
ние Лапласа, из условия на границе -ф = const следует,
что Т-поле может существовать только в многосвязных
областях.
Выражения для электромагнитного поля Я-типа
можно получить из (3.5) и (3.6), воспользовавшись пе-
рестановочной двойственностью:
Е = - [v±, фег]; (3.8)
н :тм + О’ег]; (3.9)
Е _ _ WC дф . _ С дф .
А2 дх2 А, дх^
дхх ’ 2 h2 дх2
Я2 = 0; Я2=^Ж.
52
Граничные условия на боковой поверхности волно-
вода найдем, приравняв нулю Е;:
Eez = — iwpX([v±, йе2], ez) = — 1шр£(у^, е„) =
= - icop.^6/^ = 0, (3.10)
откуда dty/dn = 0 на Eg.
Таким образом, для расчета электромагнитного поля
в волноводе с идеально проводящими боковыми стен-
ками необходимо решить уравнение (3.2) с граничными
условиями:
ф = 0 для поля Е-типа; (3.11)
д^/дп = 0 для поля Я-гипа; (3.12)
i|? = const для поля Т-типа. (3.13)
На магнитной стенке выполняются дуальные гранич-
ные условия д$1дп = 0 для поля Е-типа и ф = 0 для поля
Я-типа. Так как оператор уравнения (3.2) с граничны-
ми условиями (3.11) и (3.12) является самосопряжен-
ным, решения этого уравнения образуют бесконечную
последовательность действительных собственных значе-
ний k2cl, k22, ... и соответствующих им собственных
функций ф1, ф2, Каждая собственная функция ф, опи-
сывает электромагнитное поле определенного типа сво-
бодных волн (моду) в волноводе, а соответствующее
собственное значение k2. равно квадрату критического
волнового числа.
Переходя к решению уравнения (3.3), отмечаем, что
для регулярного волновода из условия затухания поля
на бесконечности полагают А2 = 0. При расчете цилин-
дрических резонаторов коэффициенты и А2 опреде-
ляются граничными условиями для функции £. Считая,
что торцевые поверхности 5ь2(г = г1 и z = z2) идеально
проводящие, с помощью выражений (3.5) и (3.8) нахо-
дим d^/dz — О для Е-поля и £ = 0 для Я-поля. Отсюда,
положив z{ = 0, для Е-поля
С = A cos (npz[l), p — Q, 1, 2, ... (3.14)
Аналогично для Я-поля
:= A sin (r.pz/1), р- 1, 2, 3, ... (3.15)
Таким образом, задача расчета поля в регулярном
волноводе и цилиндрическом резонаторе сводится к ре-
шению двумерного уравнения (3.2) с граничными усло-
виями (3.11), (3.12) или (3.13).
53
При расчете волноводов аналитическими методами
для каждого типа волновода обычно подбирается систе-
ма координат, в которой уравнение направляющей
(2.38) записывается наиболее просто. Однако при раз-
работке универсальных численных методов расчета вол-
новодов произвольного поперечного сечения целесооб-
разно выбирать такую систему координат, в которой
наиболее простой вид имеет уравнение (3.2). Обычно
используется цилиндрическая или прямоугольная си-
стема координат. Для последней, в частности, уравне-
ние (3.2) принимает вид
= (3.16)
дх2 ду2 с
Рассмотрим теперь замкнутую поверхность, опреде-
ляемую уравнением
Г(хп г) = 0 (3.17)
в обобщенно-цилиндрической системе координат. Так
как в него не входит координата х2, эта поверхность на-
зывается обобщенной поверхностью вращения. Заменив
обозначения осей координат x't = z; х'2 = х{; х'5 = х2,
уравнение (3.17) можно привести к виду (2.38), однако
метрический коэффициент h'3=h2 не удовлетворяет ус-
ловию (2.36) (здесь не рассматривается прямоугольная
система координат, так как этот случай не дает ничего
нового). Для проверки возможности выполнения усло-
вия (2.39) вычислим частные производные:
д Г 1
д { h\
дх'3 \ h2 J
д
дх2
дх2
(%,, х2) J
dh2
дх2
-— [A2(xt, х2)].
(7%2
д
Отсюда следует, что метрические коэффициенты hi и h2
не должны зависеть от координаты х2. Этим свойством
обладает, в частности, цилиндрическая система коорди-
нат (Х! = г; х2=0; Л] = 1, h2 = r). Уравнение (3.17) в
этом случае описывает оболочку аксиально-симметрич-
ного резонатора (АСР) с произвольной формой обра-
зующей (рис. 3.2). Если электромагнитное поле не за-
висит от координаты х'.л =х2=0, его расчет сводится к
54
решению уравнения (2.40), которое можно переписать
в виде
д / 1 д{гГ) \ д / 1 д(гГ) \ + _ Q
dr \ г dr / ' dz \ г dz J
Так как по предположению поле не зависит от коор-
динаты 0, введем двумерную функцию ф(г, z) =гГ(г, z),
^~ + R = 0. (3.19)
dz2
Рис 32 Аксиально-
симметричный резонатор
Электромагнитное поле определяется по найденно-
му вектору Герца с помощью выражений (2.1), (2.2).
Учитывая, что Г = г~!фе9 и d/d0 = O, получим для коле-
баний Е-типа (Г=Ге):
Ее = &2г-1<Ь; Н' = — \mer~ldi>ldz-,
(3.20)
Er = Ez = EE = 0; Нг = 1шгг-’^г.
Для колебаний Я-типа (Г=Гт):
ЕЕ — к2г~}<\>, Er — ww~xdtyldz\
(3.21)
EIr — Hz — E^=:Q-, Ez — — 1о>[хг-1<?ф/<?г.
Таким образом, в АСР функция ф пропорциональна
азимутальной составляющей электрического или маг-
нитного поля (помноженной на г). Приведенная клас-
сификация Е- и Я-типов колебаний отличается от об-
щепринятой, однако она логически следует из того фак-
та, что как в РВ, так и в АСР существует выделенная
«координата разделения», по отношению к которой не-
обходимо рассматривать структуру поля. В регулярных
55
волноводах такой координатой является координата z,
а в АСР — координата 0.
Найдем граничные условия на идеально проводящей
оболочке резонатора, орт касательной к которой мож-
но разложить на две составляющие (см. рис. 3.2) е- =
= ее + ez. Напряженность электрического поля на обо-
лочке резонатора удовлетворяет условиям
Ев = Еее = 0; Et = Eez = 0.
Для колебаний Я-типа второе условие выполняется
автоматически, а первое дает ф = 0 на 5. Для колеба-
ний Е-типа первое условие выполняется автоматически,
а второе можно записать в виде
нор. / dty . дФ \ <?Ф „
Eez = —— ( ----— sin а-----— cos а =------------— = 0,
г \ dz dr ) г dn
vjifi cosa —(ez, ez), откуда следует дф/д/г = О на 5.
Таким образом, и в данном случае граничные условия
имеют вид (3.11) и (3 12). На магнитной стенке долж-
ны выполняться дуальные граничные условия '.
Уравнение (3.18) и выражения (3.20) и (3.21) име-
ют особенность при г->0. Из физических соображений
следует, что электромагнитное поле и функция ф вблизи
оси резонатора должны быть непрерывными и конечны-
ми. Разложив функцию ф в степенной ряд
Ф(г, г) = ай (z) 4- ах (г) г Д- а2 (z) г1 2 + ...;
<?ф(г, z)/dr — ах (z)-f- 2/z2(z) r-f- ...
и подставив это разложение в (3.20), из перечисленных
условий получим a0(z) = ax(z) =0, т. е.
ф — 0; dtyjdr — 0 при г — 0. (3.22)
Нетрудно убедиться, что оператор уравнения (3.18)
с граничными условиями (3.11), (3.22) или (3.12),
(3.22), является самосопряженным. В то же время опе-
ратор уравнения (3.19) с теми же граничными условия-
ми свойством самосопряженности не обладает.
Итак, двумерная задача расчета электромагнитного
поля свободных колебаний сводится к решению урав-
нения
ЖФ(%1, х2)— л@ (хх, х2)ф(х1? х2) = 0, (3.23)
1 В дальнейшем используются исторически сложившиеся обо-
значения видов колебании в АСР выражения (3 20) и граничные
условия (3 11) соответствуют колебаниям //-типа, а (321) w
(3 12) — Е-типа.
56
где SC — дифференциальный оператор; @ —положи-
тельная весовая функция. Искомая функция ф опреде-
лена в двумерной области D и должна удовлетворять
условиям (3.11), (3.12) или (3.13) на ее границе L,
уравнение которой имеет вид F(xt, х2)=0. На оси (г=
= 0) дополнительно должны выполняться условия ф = 0;
dty/dn = 0. В частности, для РВ и ЦР Xi=x, х2=у, об-
ласть D есть поперечное сечение волновода,
X - d-idx2 + d2/dy2; @ = 1. (3.24)
Для АСР xx = r, x2 = z, область D есть меридиональ-
ная плоскость резонатора,
х = ~ (— АЛ _|_ А_ ( А_ .A'); @ = —, (з.25)
dr \ г dr ) dz \ г дг ) г
или
d2 1 d d2
--------+ ;@=zl. (3.26)
dr2 г dr dz2
Подставив операторы (3.24) и (3.25) в функционал
(2.28), найдем, что для регулярного волновода и акси-
ально-симметричного резонатора он принимает соответ-
ственно вид
F = J I V4» | 2dDt J | ф j 2dD, (3.27)
D D
или
F = J г-1 | | 2dD/ J r-1 | Ф I 2dD. (3.28)
D D
Отметим, что кроме обобщенно-цилиндрической име-
ется ряд других систем координат, допускающих раз-
деление переменных и типов поля. Соответственно су-
ществует ряд других ЭС, задача расчета которых
является по определению двумерной. Однако они либо
сводятся к рассмотренным выше системам (например,
сферический резонатор можно рассматривать как част-
ный случай АСР), либо представляют ограниченный
практический интерес.
3.2. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
В основе метода конечных разностей (МКР), под-
робно описанного в литературе (см., например, [14,
87]), лежит аппроксимация производных в исходном
57
дифференциальном уравнении конечными разностями, а
непрерывной функции ф— сеточной функцией ф,Л)|,
определенной в точках пересечения линий сетки (уз-
лах), наложенной на область D, в которой ищется ре-
шение. Известно много способов разностных аппрокси-
маций, зависящих от конфигурации сетки и вида раз-
ностной схемы. В дальнейшем используются наиболее
распространенные ввиду их простоты регулярная квад-
ратная сетка и пятиточечная разностная схема (или пя-
титочечный шаблон). Конечно-разностные аппроксима-
ции производных функции ф(х) обычно получают с по-
мощью разложения ее в ряд Тейлора на интервале
х0±Л, где h— шаг сетки. Для первой ф^. и второй ф^.
производных имеем:
ф; = (2Й)-1 ('К+Л - фХ|_Л) + О (Д2); (3.29)
<?; = А-2 (фхо+Л - 2'Д0+ фА_Л) + О (Й2). (3.30)
Рис. 3 3. Квадратичная ин-
терполяция одномерной
функции ф(х)
Здесь фг0, —-значения ф(х) в соответствующих
точках. Из (3.29) и (3.30) видно, что для приближенно-
го вычисления первой и вто-
рой производных достаточно
соответственно двух и трех
значений ф(х).
Другой способ получения
конечно-разностных аппрокси-
маций заключается в сле-
дующем [147]. Предположим,
что парабола
ф (х) = ах2 + Ьх 4- с (3.31)
проходит через три указанные
точки (рис. 3.3). Положим для
простоты Хо=0. Подставляя в
(3.31) х=—h, х = 0, x—h и решая полученную систему
уравнений, найдем
а = (фЛ-2фо + ф_Л)/(2А2); (з.32)
й = (фЛ-ф_Л)/(2А); (3.33) с = ф0. (3.34)
Дифференцируя (3.31) и подставляя х = 0, приходим
с учетом (3.32) —(3.34) к тем же выражениям (3.29) и
(3.30) для <|4 и ф4 Таким образом, производные от
функций, определенных в дискретных точках, могут
быть найдены дифференцированием интерполяционно-
58
го полинома, совпадающего с данной функцией в этих
точках. Этот прием часто используется в книге. Очевид-
но, что п-я производная функции может быть вычисле-
на, только если известны ее значения по крайней мере
в п+1 точках. Однако необходимо отметить, что, если
значения функции в этих точках известны неточно, про-
изводные будут «ненадежными». Заметим также, что
точность численного дифференцирования не может не-
ограниченно возрастать с уменьшением h, даже если
функция известна в любой точке. Дифференцирование
включает вычисление разности чисел, которые почти
равны при малых интервалах. Вследствие этого влияние
ошибок округления может сильно увеличиваться, так
чю нижний предел h ограничен длиной машинного сло-
ва конкретной ЭВМ.
Повышение точности аппроксимации производных
возможно за счет повышения степени интерполяционно-
го полинома и за счет использования большего числа
точек, чем это необходимо для вычисления производной
данного порядка. Например, вместо (3.30) вторая про-
изводная может быть получена из выражения [14]
Фд. — ( — '?Л0-2Л + 16'Ь-о-А — 30фГ(| + 1 6фди + /г —
-<рХо+2Л)/(12А2) (3.35)
с погрешностью О (Л4).
Точки, с помощью которых вычисляются производ-
ные, могут быть расположены и на неодинаковом рас-
стоянии друг от друга. Конечно-разностная аппроксима-
ция остается справедливой, поскольку интерполяцион-
ный полином может быть построен и для этого случая.
Например, если имеются точки х0—h, х0 и x0+ah, где
а — действительное число, то выражение для второй
производной с учетом (3.31) имеет вид
'К = —/1 |2 ал/ 1°^°-* — (!+“)К + 'K+^L (3-36)
а (1 а) h2
что совпадает с (3.30) при а=1. Однако при вы-
ражение (3.36) обеспечивает меньшую точность аппро-
ксимации.
Изложенное позволяет записать разностный аналог
двумерного дифференциального уравнения (3.23) с опе-
раторами (3.24) и (3.26). Пронумеруем все узлы квад-
ратной сетки с шагом h индексами i, / так, чтобы коор-
59
динаты любого узла, например, в цилиндрической си-
стеме координат определялись выражениями z( = ihT
i = 0, 1, ..., Np r}=jh, j = 0, 1, ..., NJt где Nj—число
узлов на горизонтальной и вертикальной линиях сетки
соответственно, и обозначим ф(гр г;) или Ф(х(, у})
через Ф(,;. Для равноудаленных (регулярных) узлов
(рис. 3.4) с учетом (3.29) и (3.30) после несложных пре-
образований получим разностные уравнения относитель-
но значения <bt>; в центральном узле i, j:
f'?; + !,у + Фоу+l — + (^С^)2'К/ - О-'
(3.37)
['К+ь7 + Фч,;+1 (1 — 1/(2/)) — 4ф„; + +
+ (1 + 1/(2/))] + (W’K, = 0- (3.38)
Выражения, взятые в квадратные скобки, представля-
ют разностные аппроксимации дифференциальных опе-
раторов (3.24) и (3.26) соответственно и называются
пятиточечными равноплечими разностными оператора-
ми. Заметим, что хотя оператор (3.26) не самосопря-
женный, записанное для него разностное уравнение
(3.38) обычно используется для расчета узловых значе-
ний виду его простоты.
Рис 3 4 Пятигочечный
равноплечий разностный
оператор
Рис 35 К интегрированию одномерной
функции ф(х) по правилу трапеций
(один интервал) и по правилу Симпсо-
на (два интервала)
Собственные значения задачи (3.23) находятся с по-
мощью функционалов (3.27) и (3.28), которые содержат
интегралы по области D. Для аналитического вычисле-
ния этих интегралов также применяется интерполяцион-
ный полином, совпадающий с функцией ф в конечном
числе дискретных точек. На рис 3.5 показаны примеры
60
интегрирования одномерной функции ф(х). При ее за-
мене полиномом первой степени приходим к формуле
трапеций для одного интервала J tydx = А(ф(_1 + ф,)/2“
x—h
с погрешностью вычисления порядка Л3. Повышая сте-
пень полинома до двух и интегрируя в этом случае в
пределах двух смежных интервалов (см. рис. 3 5), по-
лучаем формулу Симпсона с погрешностью 0(/г5). Про-
цедура численного интегрирования более «надежна»,
чем дифференцирования, поскольку она усредняет ошиб-
ку по всему интервалу. Однако и здесь вследствие воз-
растания ошибок округления невозможно бесконечно-
уменьшать шаг h для повышения точности. Oтмeчeннoe^
иллюстрируется на рис. 3 6.
Рис 36 Зависимость
погрешности численного
расчета 6 от интервала
1 — погрешность округле
ния, 2 — погрешность дис
кретизации 3 — суммар
ная погрешность
В двумерном случае областью интегрирования ф(хг
у) служит ячейка сетки Применяя для вычислениям
xt + h yt+h
двойного интеграла /<«> = J dx J ty(x, y)dy фор-
xi У}
мулу трапеций, получаем
+ Ф<+1,7 + ф(+1„+1 + Ф„ ;+1)/4. (3.39>
На рис. 3.7 цифры в узлах сетки иллюстрируют ал-
горитм вычисления интегралов.
Теперь нетрудно вычислить интегралы в выражени-
ях (3 27) и (3.28), представляя их в виде суммы инте-
тралов по ячейкам q=l, 2, ..., М, где М— число-
ячеек. Для упрощения вычислений и записи окончатель-
ных выражений введем локальную систему координат
z', г', связанную с глобальной г, г соотношениями z —
~z' + ih\ r = r'+jh, и пронумеруем узлы так, как
показано на рис. 3.8 Для интерполяции функции ф(г\
6Е
г') (или ф(х'', у')) внутри DW воспользуемся двумер-
ным полиномом первой степени (билинейная интерполя-
ция [14J)
ф (z', г') — hr2 [ф1 (А — z') (h — г'} 4- ф2з' (А — г') +
+ ^sz'r' + (Л—z') г'\. (3.40)
А
Oh
fj*p(x,y)dxdy
0 0
h h
-h-h
)--------®------------(L). .,
Рис. 3 7. К интегрированию двумерной функции ф(х, у) по прави-
лу трапеций (а) и по правилу Симпсона (б)
Подставляя (3.40) в (3.27) и (3.28) и используя (3.39),
приходим к следующим
Рис. 3.8. К интегрированию
двумерной функции ф(х, у)
на основе ее билинейной
интерполяции внутри регу-
лярной ячейки сетки
приближенным формулам ин-
тегрирования по ячейке
для функционала (3.27):
— J | | ^dx'dy’ ~
D<?)
^2/3(фН^+^ + Ф1)-
—1/3 (Ф1 фг+ФгФз+ФзФ* + Ф«Ф1) ~
-З/З^фз+фуЬ); (3.41)
/?<?)= f ’ipdx'dy'^
d<«)
^Л2/9(^+ф2 4-ф2 + ^ + '?1ф2+
+ Фг'-Рз + Ф3Ф4 + Ф*Ф1 +
+0,5ф1фз + 0.5ф2ф4): (3.42)
«2
для функционала (3.28):
= J (г' + jh)~y | V'l> | ^dz'dr'
+ (Ф2 — Фз)2_Ь (Ф1 — Ф<) (Фг — Фз)] In 1 \—
(3.43)
= J (X 4- jhy^dz'dr' h
(/ + I)2 In
— / — 1,5 (ф2 + + Ф1Ф2) Ч—~ “2^ (/ + 1) X
6
(3.44)
Суммируя с учетом введенной ранее сквозной нумера-
ции узлов интегралы (3.41), (3.42) по всем ячейкам
сетки, получим
ного значения
формулу для приближенного собствен-
л; . м
?-1 ' 9—
уравнения (3.37), (3.38) справедливы
(3.45)
Разностные
для регулярных узлов сетки, лежащих внутри D на рас-
стоянии d~^>h от границы. Для нерегулярных узлов, рас-
положенных вблизи границы (c?</i), в разностных
уравнениях приходится использовать значения функции
ф в узлах, лежащих как внутри области D и на ее гра-
нице L, так и за ее пределами («фиктивных» узлах).
При построении таких разностных уравнений должны
учитываться заданные граничные условия и, таким об-
разом, возникает задача их аппроксимации. При этом
предполагается, что искомое решение существует и вне
исследуемой области на расстоянии порядка h
[14, 48].
63
Рассмотрим сначала более простое условие Дирихле
(для общности неоднородное)
ф(£) = Ф- (3.46)
Если контур L проходит по узлам сетки (рис. 3.9,а),
то для узла i +1, / имеем
Ф1 = Ф/-н,/-'Р- (3-47)
В противном случае простейшим способом является
снос заданных граничных значений функции в ближай-
шие к границе «фиктивные» узлы сетки, например
(рис. 3.9,6): , ,
7 = Фо = ?• (3.48)
Рис. 3.9. Способы аппроксимации граничных условий Дирихле (я, б),
Неймана (в, г) н способ интегрирования функции ф(х, у) на осно-
•ве ее билинейной интерполяции внутри нерегулярных ячеек
(б, е)
Уравнения (3.37) и (3.38) при этом не меняются, по-
скольку разностный оператор остается равноплечим.
Погрешность аппроксимации (3.48) имеет порядок h.
Более точная аппроксимация (аппроксимация Коллат-
ца) строится следующим образом. Предполагая, что
функция ф на интервале 11' 0 является линейной, и вы-
бирая центр локальной системы координат в узле 1, по-
лучаем , 1/1 \1 /о 4m
Ф1 =[<Р-фо(1— а)]Л> (3.49)
Д4
что при a = /ior jh=\ (рис. 3.9,6) совпадает с (3.47).
Погрешность такой аппроксимации имеет порядок h2.
Для определения ф0 вновь теперь можно воспользовать-
ся уравнениями (3.37) и (3.38). Однако можно посту-
пить и иначе. Сместив центр локальной системы коорди-
нат в узел 0 и привлекая узел 3, сразу получим интер-
поляционную формулу:
Фо =? + (Фз — ?)[“/(!+ “)]• (3-50)
Заметим, что формула (3.50) не зависит от вида ис-
ходного дифференциального оператора. Другой подход
(аппроксимация Шортли—Уэллера) приводит к видо-
измененным уравнениям (3.37) и (3.38) с неравнопле-
чим оператором. Так, для случая, показанного на
рис. 3.9,6, разностное уравнение, например (3.38), с уче-
том (3.36) принимает вид
2
а(1 4- 7)
_____О __ф
о • то
2/ / a
+ Фз--^—+ -?Jl + -L-V(W^o=0. (3.51}
1 + a \ 2/ )
Нетрудно видеть, что при а=1 (3.51) совпадает с
(3.38). Погрешность уравнения (3.51) имеет порядок h.
Порядок аппроксимации можно увеличить за счет до-
полнительных узлов и аппроксимировать функцию ф
полиномом более высокой степени, например второй.
Тогда погрешность будет иметь порядок h3 [48]. Такие
формулы целесообразно применять, если для регуляр-
ных узлов используются разностные уравнения повы-
шенной точности, например (3.35).
Более трудную задачу представляет аппроксимация
граничных условий Неймана
d'b(L)ldn = g. (3.52)
Расчет ф0 в нерегулярном узле при этом невозможен,
пока на границе или в «фиктивных» узлах не будут
найдены значения самой функции. Для примера на
рис. 3.9,а условие (3.52) с учетом (3.29) переписы-
вается в виде
(ф5 ~ Фо)'2Л = £, (3.53)
что позволяет найти значение функции в «фиктивном»
узле 5. При g~Q имеем условие «зеркальной» симмет-
рии ф5=фо- Для наиболее общего случая (рис. 3.9,6)
укажем два способа, основанных на предположении,
5—1271 65
что функция вдоль нормали к границе изменяется по
квадратичному закону (3.31) и ее производная по нор-
мали в точке пересечения с фактической границей удо-
влетворяет условию (3.52). Различаются же они тем, в
каких узлах — «фиктивном» 1 или граничном 1' — нахо-
дится значение ф. В первом случае после определения
ф1 можно пользоваться уравнениями (3.37), (3.38) для
равноплечего оператора [110J, что эквивалентно замене
фактической границы линией Lh, проходящей через узлы
сетки (рис. 3.9,е). Во втором случае такая замена,
обычно снижающая точность расчета, не производится,
а после определения фг расчет ф0 производится по
формулам вида (3.51) с неравноплечим оператором.
Учитывая (3.31) и помещая центр локальной системы
координат в узел 1', получаем интерполяционную фор-
мулу
ф,- фл - 'Ь - ‘Anrf^A ~ Пв} - gnA. (3.54)
Здесь пА и Пв — расстояние вдоль нормали от узла Iх
до узлов А и В (рис. 3.9,г). Погрешность этой формулы
имеет порядок /г2. Другие способы аппроксимации гра-
ничных условий Дирихле и Неймана можно найти в
[119, 48, 61].
Желание учесть положение фактической границы
приводит к дополнительным трудностям при вычисле-
нии интегралов (3.41)— (3.44) по нерегулярным ячей-
кам, форма которых отлична от квадратной. Можно
предложить следующее [33, 34]. Нерегулярную ячейку
ОТ 2'2 (рис. 3.9,<5) представим в виде объединения двух
ячеек треугольной формы 01' 2' и 02' 2 (замена L на L
происходит только на небольшом участке границы 1'2').
Значения фи и фг' находятся, если это необходимо, по
формуле (3.54). По аналогии с (3.40) для интерполя-
ции функции ф внутри треугольника общего вида £>(?>
(рис. 3.9,е) воспользуемся полиномом первой степени
Ф(гх, г') = (ad—-be)-1 {ф0[ad — be-]-(<? — </)z' -\-
-|- (b — a)r'\ —j—ф2 (e/2:z—br'} 4 ф3(аг'— cz')}, (3.55)
где а, с и b, d — координаты узлов 2 и 3 в локальной
системе координат z', г' с центром в узле 0. Интегриро-
вание можно упростить, представив интеграл по тре-
угольнику Z)(?) в виде суммы и разности простых инте-
гралов:
66
[ f(z', r’)dDM= (dz'^f f(z', r')dr'+
J?) О 0
a k^z'+p a k^z'
J dz' J f(z’, r')dr' — ^dz' J f(z', r')dr', (3.56)
be 0 0
где )(z', r') —одно из подынтегральных выражений в
формулах (3.27) и (3.28); k?j = d!b\ k^= (d—с)/(Ь—а);
р = с—к$а; k2 = c/a.
Выражение (3.56) позволяет легко вычислить вклад
в суммы (3.45) треугольника любого типа. Например,
для треугольника 01' 2' (рис. 3.9,5) с=0 и третий инте-
грал в (3.56) исчезает. Конечные выражения для ин-
тегралов в уравнениях (3.27) и (3.28) с учетом (3.55) и
(3.56) оказываются хотя и простыми, но весьма гро-
моздкими, требующими для вычисления большого чис-
ла арифметических операций.
Отметим также следующее. Билинейная интерполя-
ция (3.40) позволяет получить для первых производных
функции ф(г', г') входящих в формулы (3.41) и
(3.43) соотношения (d^/dr')0 = h-1 (ф4—ip!); (dty/dz') =
= й-!(ф2—^j), что совпадает с их аппроксимацией од-
носторонними разностями с погрешностью 0(/г), в то
время как разностные уравнения для регулярных узлов
имеют погрешность аппроксимации 0(/г2). В связи с
этим описанный способ вычисления интегралов обеспе-
чивает удовлетворительную точность оценки л(Л) с по-
мощью формулы (3.45) при достаточно большом числе
N узлов сетки (JV>5000)—см. § 4.2. Другой способ
вычисления интегралов в выражениях (3.27) и (3.28)
основан на использовании квадратурных формул. Пусть
для определенности f(z, г) = (1/r) | Vip|2, g(z, г) =
= (1/г)ф2. Обозначим
Zj(r)
F(r) = j f(z, r)dz, (3.57)
гЦг)
ТОГДа rmax
f(z, r)dzdr — J F(r)dr. (3.58)
® rmin
В этих выражениях rmln и rmax—минимальный и макси-
мальный размеры области D по координате г; гДг) и
е2(г)—кривые, описывающие контур L. Применяя к
5* 67
интегралу в правой части (3.58) одну из квадратурных
формул, получаем
Nj
J f(z, г) dzdr^y A}F (Г}, (3.59)
где г, ЕЕ: lamin’ rmaJ; Aj—постоянные коэффициенты, за-
висящие от вида формул. Значения ТДг,) также нахо-
дятся ло некоторым формулам квадратур
F(r})= (3 60>
1=0
где Bt] — соответствующие постоянные. Проделав ана-
логичные преобразования для функций g(z, г), оконча-
тельно получим
nj Ni । Nj Nt
i'*> = 22 АМг" r>> 2 2 A>B-S r> (3 61
l = ll=l 1 7 = 1 l=i
Следовательно, находится с помощью линейных
комбинаций подынтегральных функций в узлах сетки
7И1; Л42, .. , Mk, .., ЛДу. Для определения коэффици-
ентов СД — AjBt] воспользуемся квадратурными форму-
лами трапеций для неравноудаленных узлов с остаточ-
ным членом 7?(/г2). Тогда после несложных вычислений
имеем
ч —
' h2 для регулярных узлов Мк (рис. 3.10,а);
(1/4) (/4+/13) (/i2 + ^i) для нерегулярного уз-
ла 0 (рис. 3 10,6);
(l/4)/ii (h2 + й4) для граничного узла 1
(рис. 3.10,6).
Для остальных граничных узлов выражения для
CtJ получаются аналогичными. Таким образом, коэф-
фициенты СtJ численно равны площади ячейки
содержащей узел (г,, гу).
Для расчетов по формуле (3.61) нужно знать значе-
ния подынтегральных функций в узлах Л4А(г(, г}у.
f(Mk) = (1/г7)[(6ф/6г)2 + (6ф/6г)2]; (3.62)
£(ЛМ=(1/г,)ф2. (3.63)
С учетом (3.29) для регулярного узла
(д^дг) (1/2Л) (Ф2 - ф4); (6ф/аг) (1/2Л) (<?, - ф3)- (3-64)
68
Для нерегулярных узлов (см. рис. 3.10,6), используя
(3.31):
~ 'М4 — Ф<^2 + Фо (А2 — .
dr ~
d't _ ФЛ1-~Фз^ + Фо(^— .о fie,
dz ~ hxh3 (hi + /13) '
Аналогично для граничного узла 1 (см. рис. 3.10,6):
Л _ Ф1 Фг^ — Ф^2 + Фо (fi22 — .
dr Фо А2А4(А2Д-А4)
6ф ~ (Ф1-фэ)Л? + ((р0-ф1)(Л] ч- Аз)2
dz ~ АЛ (А, + А3) • (J-bbJ
Существенно, что все разностные аппроксимации
(3.64) — (3.66) имеют погрешность 0(А2) [87].
По сравнению с описанным выше приведенный спо-
соб вычисления интегралов имеет два преимущества.
Во-первых, он позволяет резко сократить число арифме-
тических операций и, во-вторых, обеспечивает при рав-
ном числе узлов сетки меньшую погрешность расчета
Х<й> (см. § 4.2, 5.1) [151].
Рис 3 11. К расчету элек-
тромагнитного поля вблизи
ребра:
* — особые узлы: О — ведущие
узлы
Рис 310 К интегрирова-
нию ф(х, у) на основе квад-
ратурных формул:
а — для регулярных, б — для не
регулярных ячеек сетки
Если граница рассчитываемой области L содержит
внутренние углы и (или) точки смены граничных усло-
вий, функция ф или ее производная имеет в этих точках
особенности (§ 2.2), увеличивающие погрешность конеч-
69
но-разностных аппроксимации и ухудшающие сходи-
мость итерационных методов решения конечно-разно-
стных уравнений. Для уменьшения этих нежелательных
эффектов необходимо сгущать сетку во всей области
или вблизи особенности, что значительно увеличивает
объем вычислений. Учитывая, однако, что закон изме-
нения электромагнитного поля вблизи ребра известен
и описывается формулами (2.13), (2.14), можно по-
строить специальные разностные формулы, имеющие
повышенную точность аппроксимации. Использование
этих формул позволяет обеспечить приблизительно оди-
наковую погрешность решения во всей области D без
сгущения сетки вблизи особенностей.
Один из наиболее простых способов учета особенно-
стей поля на ребре при решении уравнений Лапласа и
Гельмгольца методом конечных разностей использован
в [138, 148J.
Рассмотрим участок области D вблизи ребра
(рис. 3.11). Как показано в § 2.2, функцию ф, удовле-
творяющую уравнению Гельмгольца, в окрестности реб-
ра можно представить в виде ряда
ф = Dпгпг * cos (птЛ з) (3.67)
л = 0
Выберем вблизи ребра jV0+ 1 узлов сетки, например
Вь Вг, Вз, Bi, В5, и ограничимся в разложении (3 67)
jV0+ 1 членами. Записав выражения для функции ф в
каждом узле
\ Dnr"rа cos(nit9(/a), i = 1, ..., Ng-L-l, (3.68)
л=0
получим систему уравнений, решив которую найдем
коэффициенты разложения Dп. Используя затем ряд
(3.67) с известными коэффициентами, получаем значе-
ния функции ф в узлах Л]...Л5. Таким образом, для
определения значений искомой функции в «ведущих»
узлах В1...В5 используются обычные разностные фор-
мулы, а для вычисления значений ф в «специальных»
узлах At... Д5 — выражения типа (3.68).
Как отмечается в [148], использование данного ме-
тода для расчета волнового сопротивления полосковой
линии при пяти специальных узлах позволяет получить
такую же точность решения, как и без учета особенно-
сти на сетке с шагом, уменьшенным в 3 раза.
70
При этом время решения уменьшается более чем в
10 раз. Обобщение этого метода на случай, когда асимп-
тотические выражения типа (2.14) для поля вблизи осо-
бенности неизвестны, предложено в 1144].
Конечно-разностные формулы достаточно общего ви-
да, учитывающие особенности поля вблизи внутренних
углов, точек смены граничных условий, точек разрыва
граничной функции и ее производной, получены
И. В. Фрязиновым [105]. При выводе этих формул так-
же используется аналитическое представление поля,
вблизи особой точки (угла) вида (2.14). Решение урав-
нения = F вблизи угла представляется в виде сум-
мы ф = ц + и, где функция и содержит гладкую часть
решения однородного уравнения —0 и первый член
ряда (2.14), а функция v содержит сумму всех осталь-
ных членов и главную часть решения задачи. v =
= 0(rXa )+0(r2 In г), где X2(Q) = 1,5л/а в точках смены
граничных условий и =2л/а в остальных особых
точках. Коэффициенты разностных формул выбираются
таким образом, чтобы в окрестности особой точки поток
функции и через границу ячейки сетки определялся точ-
но. При этом вся ошибка аппроксимации сосредоточи-
вается в функции v, что обеспечивает погрешность раз-
ностной схемы О (h32 + hx) | In А | , где x = minX2(Q);
Q — особая точка. Таким образом, порядок аппроксима-
ции рассмотренной схемы в 2-—3 раза выше, чем обыч-
ных разностных схем на прямоугольных сетках.
Разностные формулы, полученные в [105], исполь-
зованы в пакете прикладных программ ЭДИП для ре-
шения двумерных задач электродинамики [23, 24]. Как
показывают результаты решения тест-задач [24], ис-
пользование этих формул позволяет увеличить точность
решения без увеличения числа узлов сетки. Необходи-
мо отметить, однако, что в то время как целесообраз-
ность учета особенностей не вызывает сомнений при
расчете систем с острыми ребрами (например, микро-
полосковых линий передачи), для ЭС мощных прибо-
ров СВЧ учет особенностей может приводить к увели-
чению погрешности расчета по сравнению с данными
эксперимента, так как в действительности они не содер-
жат острых ребер, снижающих электрическую проч-
ность ЭС. Поэтому, за исключением указанного паке-
та, специальные методы учета особенностей в универ-
сальных программах расчета РВ и АСР, насколько из-
вестно авторам, не используются.
71
Суммируем процесс построения разностного аналога
задачи (3.23). Записывая для регулярных узлов уравне-
ние (3.37) или (3.38), для нерегулярных и граничных,
например, уравнения (3.51) и (3.54), получаем систему
линейных алгебраических уравнений, которую удобно
представить в матричной форме:
(А—Х1)Х = 0. (3.69)
Здесь А — квадратная матрица порядка N (N— общее
число узлов сетки); I—единичная матрица;Х=[%, ф2, ...
..., 'флг]г —вектор-столбец узловых значений ф. Вводя
обозначение А—XI = С, окончательно имеем СХ = 0.
Матрица С — редкая, поскольку каждая ее строка со-
держит не более пяти ненулевых элементов (для пяти-
точечного оператора), в то время как порядок N состав-
ляет обычно несколько тысяч. При использовании само-
сопряженных операторов (3.24) и (3.25) эта матрица
симметрична, если граница области проходит по линиям
сетки и (или) по диагоналям ячеек. Симметрия нару-
шается при использовании несамосопряженного опера-
тора (3.26), а также за счет уравнений для нерегуляр-
ных и граничных узлов при криволинейных и полиго-
нальных границах и при использовании нерегулярных
сеток. Нарушение симметрии матрицы С ухудшает схо-
димость методов решения матричного уравнения (3.69)
(см. § 3.8).
3.3. ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
Группа тесно связанных между собой методов дис-
кретизации, объединяемых под названием проекцион-
ные, является одним из наиболее мощных средств чис-
ленного решения краевых задач математической физи-
ки. Теория этих методов хорошо разработана [72, 67,
68], подробно исследованы также вопросы их примене-
ния к решению внутренних краевых задач электроди-
намики [75]. Не стремясь к максимальной общности
изложения, опишем алгоритм проекционного метода ре-
шения задачи на собственные значения (2.19), (2.18)
следующим образом ’.
Пусть операторы Ж и Q в (2.19) (не обязательно
самосопряженные) действуют в гильбертовом простран-
1 Для чтения этого параграфа читателю полезно ознакомиться
с приложением 2.
72
стве L2. Введем в этом пространстве две полные системы
линейно-независимых функций — базисную (координат-
ную) {ф;} и проекционную (весовую) {<р;}, причем
i=l, 2,... Это означает, в частности, что все
функции ф; должны удовлетворять граничным условиям
(2.18) (в ряде случаев это требование можно ослабить).
Представим приближенное решение задачи (2.18),
(2.19) в виде
N
''w=2 (370)
/=1
Подставив (3.70) в (2.19), получим
(Ж — XQ)0W = -/?<">, (3.71)
где R<N> = (Ж — XQ) (О— фМ)—функция, зависящая от
разности между точным и приближенным решениями
(невязка). Алгоритм проекционного метода предусмат-
ривает минимизацию невязки с тем, чтобы точное и при-
ближенное решения возможно меньше отличались друг
от друга. Тождественное обращение невязки в нуль при
численном решении задачи, очевидно, невозможно. Мож-
но потребовать, однако, чтобы обращалась в нуль про-
екция невязки на множество функций {r-py }<7V) = ("-Pi»
®2, ..., <ру). Если это требование выполнено, все скаляр-
ные произведения (/?(Л,), ®,), /= 1, 2, ..., N, равны нулю.
Используя значение RlV) из (3.71), получим (S 'УЛ,) —
— XQdW, ®;.) —0, /=1, 2, ..., N. После подстановки в эти
соотношения (3.70) получим систему однородных ли-
нейных алгебраических уравнений относительно коэф-
фициентов az
(А - ?.В) X = 0, (3.72)
где А и В — квадратные матрицы порядка N с элемен-
тами
аи = (5^, ®7); ьи = Ог, Ъ); (3.73)
X=|ai, аг, •••, ад |Г —вектор коэффициентов разложе-
ния. Собственные числа и векторы матричной задачи
(3.72) есть приближенное решение исходной задачи.
Описанный алгоритм известен под названием мето-
да моментов (метод Галеркина, метод Галеркина —
Петрова) и является наиболее важным частным случа-
ем проекционного метода. В свою очередь, известны ча-
стные случаи метода моментов, имеющие специальные
73
названия. Так, в методе Бубнова — Галеркина базисная
система функций совпадает с проекционной, = ф,,
t=l, 2, ..., а в методе наименьших квадратов о,- =
В первом случае матричные элементы имеют вид
= = (3.74)
во втором
«<7 = bH = ОЖ W-
Если — самосопряженный положительно опреде-
ленный оператор, к матричному уравнению (3.72) мож-
но прийти, используя вариационный метод (ВМ). Как
отмечено в § 2.4, решение задачи (2.18), (2.19) эквива-
лентно нахождению функции, сообщающей минимум
функционалу (2.24). Подставив в этот функционал при-
ближенное решение задачи в виде (3.70), получим
N N I N Я
гт=22 /22•>)-
Z=l/=l /
Так как ЯМ есть функция коэффициентов разложения
а*, для нахождения его экстремума необходимо при-
равнять производные ] = 1, 2, ..., N, нулю. Ис-
пользуя обычные правила дифференцирования, получа-
ем систему уравнений
N N
2 v-F(N)2a‘(Q^ = у=1> 2’ м
t=I i=l
коэффициенты которой совпадают с матричными эле-
ментами (3.74), полученными методом Бубнова — Га-
леркина. Описанная процедура дискретизации получила
название метода Ритца.
Важной проблемой при реализации проекционных
методов является выбор базисной и проекционной си-
стем функций, к которым предъявляются следующие
требования [68].'
1. Линейная независимость и полнота.
2. Принадлежность базисных, а в ряде алгоритмов
и проекционных функций к области определения опера-
тора X. Для дифференциальных операторов это озна-
чает, что функции должны иметь производные соответ-
ствующего порядка и, кроме того, удовлетворять крае-
вым условиям задачи.
3. Минимальность ошибки аппроксимации (3.70)
при заданном числе функций М.
74
4. Устойчивость решения при увеличении числа
функций, т. е. при увеличении порядка системы (3.72).
К этому можно добавить требование простоты —ми-
нимального числа арифметических операций, необходи-
мого для вычисления функции с заданной точностью.
Заметим, что, если граничные условия задачи для
используемого в методе Ритца функционала оказыва-
ются естественными (см. § 2.4), базисные функции мо-
гут им не удовлетворять. Это относится и к методу
Бубнова — Галеркина [68], а также к некоторым дру-
гим разновидностям проекционного метода. Отмеченное
обстоятельство существенно облегчает выбор базисных
функций для областей сложной формы. В то же время
сходимость алгоритмов с базисными функциями, не удо-
влетворяющими краевым условиям, как правило, ока-
зывается слабой.
При выборе конкретной системы функций необходи-
мо учитывать форму области D и вид используемой си-
стемы координат. Для двумерных задач с естественны-
ми граничными условиями и прямоугольной системы
координат наиболее часто применяются полиномиаль-
ные базисные и проекционные функции порядка Т [127]
ф, — хтуп, т, т-\-п < Г; N = 0,5(Г + 1)(Г-]-2),
(3.75)
позволяющие легко вычислять матричные элементы
(3.73). Например, для функционала (3.27)
ab= ^3)dD\ b^-^WjdD.
О D
Пусть ф( = xpyq\ = xrys. Тогда
J(prxp+T~'1 yq+s + дхр+гуч+3~~2)с1хdy,
D
=. J xp+ryq+sdxdy
D
и определение матричных элементов сводится к вычис-
лению интегралов вида Imn = J xmyndx dy по двумер-
D
ной области D. Если эта область полигональна
(рис. 3.12,a), Imn целесообразно представить как сумму
интегралов по трапециям (заштрихованная часть D,
рис. 3.12,6) с последующим вычитанием аналогичных
интегралов по области, внешней по отношению к D (за-
75
штрихованный треугольник на рис. 3.12,в). После ин-
тегрирования по х имеем интеграл от одной переменной
4n = (^4-i)-1
Уо
где Y=су + Ь — уравнение прямой, проходящей через
вершины трапеции с координатами (х0, у0), (xlt yt) (см.
рис. 3.12,6). Последний интеграл наиболее экономично
вычисляется с помощью квадратурных формул. Описан-
ный алгоритм использован для расчета электромагнит-
ного поля //-волн регулярного волновода в [121J.
Рис. 3.12. Способ разбиения полигональной области D иа простые
подобласти
Рис. 3.13. Область
D и расширенная
область Do
К недостаткам полиномиальных систем функций сле-
дует отнести их неортогональность даже в областях про-
стой формы. Поэтому в результате их применения полу-
чаются плотные матрицы А и В, диагональные элемен-
ты которых имеют тот же порядок, что и недиагональ-
ные (отсутствует диагональное пре-
обладание) . Это обстоятельство за-
трудняет решение алгебраической
задачи на собственные значения
(3.72). Получить матрицы с диаго-
нальным преобладанием позволяют
проекционные методы на вспомога-
тельном базисе [75]. В качестве ба-
зисных в этих методах используют-
ся собственные функции задачи
(2.18), (2.19) для области пра-
вильной формы в которую
вписана исследуемая область D
(рис. 3.13). При совпадении областей D и Д(0) матрица
А получается диагональной, а матрица В — единичной,
так как собственные функции области D(0) (для само-
сопряженного оператора 36) ортогональны с весом Q.
Когда эти области не совпадают, элементы матриц А и
76
В, полученные методом Ритца или Бубнова — Галерки-
на, имеют вид (дляДюрмированных функций фД
AD ' AD
где л <°)—собственные значения задачи (2.18), (2.19)
для области О0; —символ Кронекера, при этом ин-
тегрирование ведется по внешней по отношению к D
части ZX°>. Если отличие области D от Z)(0) невелико,
матрицы А и В обладают свойством диагонального пре-
обладания. Кроме того, базисные функции удовлетворя-
ют всем условиям задачи на совпадающих участках
границы областей D и О(о).
Вспомогательный базис использован в программе
расчета волноводов [75], а также в программе расчета
азимутально-однородных Е-видов колебаний аксиально-
симметричных резонаторов ВАРАКС.
Для представления азимутальной составляющей
электромагнитного поля резонатора в этой программе
используются собственные функции цилиндрического
объема единичного радиуса и единичной длины, огра-
ниченного электрическими стенками (на торцевой по-
верхности 2=1 могут быть заданы условия типа элек-
трической или магнитной стенки):
= 2a,N,Jt cos <3,76)
Z=1
где Ari - (х0)—нормировочный множи-
тель; р = 0, 1, 2, ..., хл—n-й корень функции Бесселя
нулевого порядка; Др=1, если р = 0; Др=2 при р^О;
£=1 или Е,=0,5 для граничных условий типа электриче-
ской или магнитной стенки на торцевой поверхности 2 =
= 1; uj<°) = [(у2 4- it2p^2)/sol1o]l/z —собственные частоты
i-ro вида колебаний в цилиндре.
В результате подстановки (3.76) в функционал
(2.29) и применения метода Ритца получается матрич-
ное уравнение (QMQ)X—®2ВХ = 0, где
оц
и>т О О
О О
О 0 mW
77
—диагональная матрица собственных частот и вектор ко-
эффициентов разложения соответственно; Ми В —
квадратные симметричные матрицы порядка N с эле-
ментами:
( '^PiPi \ Г ,
= 1 + —тг2- J w М х
\ / ДО
X cos (-p^.z) cos (npfiz)
Wptp}
Л (V) Л (*/) X
X sin (it/?;Cz) sin (npfa)] r drdz\
f
bij = soHo ~~ 7 Px — j J Ji (V)A(y) cos (кр£г)Х
bD
X cos (npjZz)] r dr dz.
Программа позволяет рассчитывать резонаторы, обра-
зующая которых образована произвольным числом от-
резков прямых г = const, z = const.
Рассмотренные системы базисных функций не удо-
влетворяют граничным условиям задачи. Если эти усло-
вия естественны, отмеченное свойство ухудшает сходи-
мость алгоритма; если же они главные, решение вообще
не может быть получено. В связи с этим разрабатыва-
ются специальные способы построения базисных функ-
ций, удовлетворяющих всем граничным условиям
задачи в областях сложной формы. Один из таких спо-
собов основан на использовании /^-функций, предло-
женных В. Л. Рвачевым [85]. Будучи функциями не-
прерывных аргументов, /^-функции обладают в то же
время некоторыми свойствами функций алгебры логики
и широко применяются для решения задач теории упру-
гости, расчета пластин и оболочек. Известны примеры
их использования для расчета электродинамических си-
стем [2, 88, 90], из которых следует, что для задач с гра-
ничными условиями Неймана достаточно быстрая схо-
димость не обеспечивается.
Другой способ построения базисных функций, удо-
влетворяющих условиям Дирихле на границе L двумер-
ной области/) (главным для функционала (3.27)), пред-
ложен в [122]. Решение задачи ищется на множестве R
полиномиальных функций (3.75) порядка Т. Предполо-
жим, что из R можно выделить подмножество S функ-
ций, обращающихся в нуль на границе L, уравнение
которой запишем в виде g (х, у) =0. Тогда все функции
78
из S имеют вид {g4f>b £ф2, ..., где £(х> У) —поли-
ном степени Tg. Отсюда максимальная степень полино-
мов i|';GESrA1=T—а их число Л1 = 0,5 {Тм~ 1)(7’м+
+ 2). Функции из S удовлетворяют главным граничным
условиям, поэтому приближенное решение задачи мож-
но представить в виде 1
м
(3-77)
l=i
Так как степень полинома gfy не превышает Т, пред-
ставим его в виде разложения по базисным функциям
(3-78)
/ ” 1
Подставив это разложение в (3.77) и изменив порядок
суммирования, получим
Л’ м
i=i j=t
Из сравнения этого выражения с (3.70) следует
м
ai = ^s)Pij> 1~ ’> 2> ->
/=1
или X = PS, (3.79)
где S=|sb s2, •••, Р — прямоугольная матрица,
содержащая N строк и М столбцов, которая осущест-
вляет преобразование вектора S в вектор X. После под-
становки (3.79) в (3.72) и умножения слева на Рг по-
лучаем систему уравнений порядка М относительно
коэффициентов разложения sf: (РГАР) — X (РГВР) S = О.
От функции g(xK у) требуется, чтобы она обраща-
лась в нуль на границе области D, но не внутри ее.
Один из способов нахождения таких функций состоит
в минимизации функционала Ф— g2dL/ § g2dD, что
I о
эквивалентно решению задачи
(G — р.В) С = 0, (3.80)
собственные векторы которой определяют различные-
функции g в. соответствии с (3.78). Оказывается [122],’
79
что для выпуклых областей и достаточно больших Т
функция g(x, у) всегда может быть найдена. При этом
наименьшая степень Т g этой функции соответствует наи-
меньшему собственному значению задачи (3.80). Полу-
ченные описанным способом функции g необходимо
дополнительно проверить на отсутствие нулей внутри
области D.
3.4. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Метод конечных элементов (МКЭ) [80, 96, 78] от-
носится к группе проекционных методов, однако, в от-
личие от алгоритмов, изложенных в предыдущем пара-
графе, для приближенного представления решения
(3.70) в нем используются специальные финитные функ-
ции, отличные от нуля только в небольшой части обла-
сти D, в которой ищется решение задачи. Построение
таких функций производится следующим образом:
1. Область D разбивается на конечное число Р не-
пересекающихся подобластей произвольной формы D(9),
<7=1, ..., Р, называемых конечными элементами.
2. В каждом элементе D(9> фиксируется №> точек
(узлов) МЧ) i= 1, ..., uV<’), которые могут распола-
гаться как внутри элемента, так и на его границе. Если
граница конечного элемента £<?> не совпадает с грани-
цей L области D, узлы, находящиеся на А(9), принадле-
жат двум или более элементам, поэтому общее число
р
узлов в области DN<. М?).
?=1
3. В каждом элементе вводится N® базисных
функций j = 1, ..., равных нулю вне данно-
го элемента и обладающих свойством
<рЧ)(/И<«)) = 8о, (3.81)
которое позволяет записать приближенное решение в
пределах элемента ф(?) в виде
ip(?)
(3.82)
Здесь = ф (Му7)) — значение функции ф в узле М&>.
Поскольку вне элемента £)(9) все <р(” = 0, формально
80
конечно-элементная аппроксимация функции ф во всей
области D имеет вид
р n(9}
ф(Л0=22 <3-83>
«=| j=i
Возможность построения систем функций {ф*?)}, об-
ладающих свойством (3.81), доказывается следующим
образом. Представим ф(9) в виде суммы линейно-неза-
висимых функций:
zv<9)
ф(в) г= 2 (3.84)
z=i
где с(«'>— числовые коэффициенты. Записывая для каж-
дого узла / равенство
N
^ciuu> J 2> •••> N’
1=1
где Чц~ Ui(Mj), а индекс q опущен, получаем систему
уравнений, которая в матричной форме имеет вид
X = UC, (3.85)
где X = [фь ф2, • ••» ’Ыг-
Поскольку элементы матрицы U известны, уравнение
(3.85) можно решить относительно С:
N
С = U-IX или сг = 2 bu’i/j, (3.86)
/=i
где Ьц есть элементы обратной матрицы U-1. Подста-
вив (3.86) в (3.84) и изменив порядок суммирования,
получим
N N
^=2^2^-
i-i i-i
Сравнив это выражение с (3.88), видим, что функции
{ф7-} есть линейные комбинации функций {ut}:
т<«)= (3.87)
Z=1
6—1271
81
Следовательно, функции ф^7’ также линейно-независи-
мы и могут быть построены, если матрица U(<7) не осо-
бенная.
Представление (3.83) обеспечивает непрерывность
функций ф и, возможно, ее производных, вплоть до
некоторого порядка, в узлах, расположенных на грани-
це смежных элементов. Точность его увеличивается как
за счет использования большего числа базисных функ-
ций и узлов в каждом элементе, так и за счет более мел-
кого разбиения области на конечные элементы с сохра-
нением постоянного числа базисных функций в каждом
из них.
Базисные функции в конечных элементах, примыкаю-
щих к границе области D, должны удовлетворять глав-
ным и (желательно) естественным краевым условиям
задачи. Поскольку локальная аппроксимация ф<9>
(3.82) на элементе может осуществляться незави-
симо от ее аппроксимации на других элементах, то по-
строение подходящей системы {ф^1} в МКЭ упрощается,
так как граничным условиям проще удовлетворить на
стороне одного (граничного) элемента, чем сразу на
всей границе области.
В представлении (3.83) значение функции ф в одном
и том же узле, принадлежащем нескольким конечным
элементам, встречается несколько раз. Чтобы избежать
этого, введем сквозную нумерацию узлов во всей обла-
сти D'.M^ = Мп, /г=1, 2, , ..., N. Пусть узел Мп
принадлежит нескольким смежным элементам D^,
q—q„,i, qn,2, , qn,pn, p^- Поскольку в каждом из
этих элементов существует одна и только одна базисная
функция 1< t=l, 2, ..., рп, выра-
жение (3.83) приводится к виду
N
= 2 (3-88)
п~\
Р п
где ?п — ° —функции, определенные в области
z=i
Dn, содержащей все элементы D^\ которым принадле-
жит узел — значение функции ф в этом узле.
Подставляя разложение (3.88) в функционал (2.28)
и используя в соответствии с методом Ритца условие
82
стационарности (2.25), получаем стандартное матрич-
ное уравнение (3.72) порядка N. Элементы матриц А и
В определяются выражениями
атп = J* bmn = f ln(£mdD. (3.89)
D D
Поскольку оператор X самосопряженный, матрицы А
и В симметричны. Ненулевые значения этих элементов
соответствуют тому случаю, когда области определения
функций и 'гт перекрываются, т. е. когда узлы Мп и
Мт принадлежат одному элементу. При разбиении об-
ласти D на большое число элементов с малым числом
узлов в каждом из них матрицы А и В получаются ред-
кими.
В качестве базисных функций <p<A определенных
внутри каждого конечного элемента, обычно выбирают-
ся полиномы вида (3.75), причем для разных элементов
DW порядок полиномов может быть различным. Ко-
нечный элемент называется линейным, если функции
линейны, т. е. ТЮ =1. В этом случае =3 и в
качестве конечного элемента выбирают треугольник,
расположив узлы в его вершинах (рис. 3.14). Процесс
Рис. 3.15. Расположение
узлов в треугольных эле-
ментах высших степеней
Рис. 3.14. Пример триангу-
ляции полигональной обла-
сти D
разбиения области на треугольники называется триан-
гуляцией. Конечные элементы треугольной формы ис-
пользуются наиболее часто ввиду простоты и возможно-
сти плотно покрыть ими любую полигональную область.
Полагая в (3.84) = xrys, вводя локаль-
6* 83
ную систему координат х'у' (см. рис. 3.14) и используя
(3.87) и (3.55), получаем:
з
ф(?) z= (3-90)
/-1
ср, — G~l [ad — be (с — d) х' 4- (b — а) у'];
ср2 = G-1 (dx' - by')- (3.91)
?з= G~* (ay' — ex'),
где G = ad—be — удвоенная площадь треугольника (ин-
декс q в этих выражениях опущен). Функции (3.91)
называют пирамидальными. Другим частным примером
разложения (3.82) служит формула (3.40), полученная
для квадратного элемента (см. рис. 3.8). На практике
часто используются конечные элементы более высоких
степеней, например квадратичные (7’(?) = 2, — 6),
кубические (7W = 3, М«> — 10) и т. д. Примеры распо-
ложения узлов в таких элементах показаны на рис. 3.15.
Если на границе L (см. рис. 3.14) заданы условия
Дирихле ф(Е)=0, то значения функции ф в граничных
узлах известны и число неизвестных [порядок системы
(3.72)] определяется только внутренними узлами. Так,
для примера, изображенного на рис. 3.14, порядок си-
стемы уравнений N' = 3, в то время как N = 9. Так как в
случае краевых условий Неймана значения функции в
граничных узлах неизвестны, порядок системы (3.72)
для того же примера возрастает до 9.
Полиномиальные базисные функции (3.75), вообще
говоря, не удовлетворяют краевым условиям Неймана,
однако их использование для представления решения в
приграничных конечных элементах возможно потому,
что эти граничные условия для функционалов (3.27),
(3.28) являются естественными. Сходимость МКЭ при
использовании функций, не удовлетворяющих естествен-
ным граничным условиям, ухудшается меньше, чем
классических проекционных методов, так как эти функ-
ции аппроксимируют решение только в приграничной
части области D. Нерегулярные сетки треугольных эле-
ментов используются для расчета РВ и АСР в [133,
143].
Рассмотрим регулярную треугольную сетку, показан-
ную на рис. 3.16,а. Такая сетка позволяет составить
одинаковые уравнения для всех внутренних узлов, так
как форма и число элементов, окружающих каждый
84
регулярный узел 4 (в отличие от сетки, показанной на
рис. 3.16,6), остаются неизменными во всей области.
Из рисунка видно, что число элементов, содержащих
узел 4, Pi = 6. Считая функцию в каждом треугольнике
линейной, воспользуемся разложением (3.90). Поместив
Рис. 3.16. Регулярная треугольная сетка с одной (а) и двумя (б)
диагоналями
центр локальной системы координат в узел 4 и введя
сквозную нумерацию узлов (п=1, 2, ..., 8), с помощью
формул (3.91) найдем, что для <1=1
<?*)~ О”’*? ! ?51)==Т(Л, — У ): ?8,=Ty/’
где h — шаг сетки. Подобным образом можно получить
выражения для базисных функций во всех шести эле-
ментах. Пусть для определенности оператор двумерного
скалярного уравнения (3.23) имеет вид (3.24). Тогда,
раскрывая скалярные произведения в выражениях для
матричных элементов (3.89), получаем, например, чет-
вертое уравнение системы (3.72)
— Фг ~ <?з + — ф5 — ф7 — — X
+ — (Ф1 + 4*2 + 4*з + 'h + 'К + 4*з)
о
(3.92)
Из уравнения (3.92) следует, что матрица В в (3.72),
в отличие от матрицы I в (3.69), не является единич-
85
ной, а содержит до семи ненулевых элементов в каждой
строке. Если положить
Ф« = — (Ф1 + фг + Фз + Фб + Фт + фз),
о
т. е. если вместо значения ф4 в центральном узле взять
значение ф, усредненное в окрестности этого узла, то
(3.92) совпадает с конечно-разностным аналогом (3.37)
исходного дифференциального уравнения (3.23). Для
уравнения Лапласа (йс = 0) оба разностных аналога
одинаковы. Таким образом, метод конечных элементов
можно рассматривать как вариационный метод построе-
ния разностных уравнений.
Введем обозначения:
а = 4; b = — ф2—Фз — Фб — Ф?!
с — 1/2; d — 1/12 (ipj -|- ф2 + Фз + Фб + Ф? + Ф«)-
Тогда (3.92) можно переписать следующим образом:
Ф4 = [(М)2 d-b\j\a - (kcli?c\. (3.93)
Нетрудно убедиться в том, что (3.93) сводится к ко-
нечно-разностному уравнению (3.37) при а=4; Ь =
——фг—фз—Фб—фг; с=1; d—О и к уравнению (3.38)
при а=4; b - — -р2 (14- — ф3 — ф7 /1 _-1_А _ ф5;
\ 2/ / \ 2/ )
с = 1; d = 0, где j — rjh.
Раскрывая аналогичным образом скалярные произ-
ведения в выражениях (3.89) для оператора (3.25), по-
лучаем:
а = 31п^-±-?--2/In---J— ;
/-1 /2-1
86
d= 4[(3>2+ 1) In-
to
)44
£
2
'_±J—y(3 + /2)in_^L—бЛ >
y — l У2 — 1 J
.y(y+i)inJ_±2_ + y + _Lj(lp7 +
-% (Ф1 + Фг),
— Hi — i) in
/>1.
Регулярные треугольные сетки для расчета РВ и
АСР использовались в работах [112, 142, 111, 33].
Из изложенного следует, что в зависимости от вы-
бранного способа разбиения области на элементы и
способа локальной аппроксимации ф(9) на каждом эле-
менте получаются либо плотные матрицы малого по-
рядка (как в вариационном методе), либо редкие боль-
шого порядка (как в методе конечных разностей).
Для получения системы алгебраических уравнений
(3.72) наряду с методом Ритца можно использовать раз-
личные модификации метода моментов (§ 3.3), не ис-
пользующего условий стационарности функционалов и
тем самым пригодного для решения более широ-
кого круга задач. В качестве примера рассмотрим
алгоритм дискретизации, использованный в программе
SUPERFISH [130] и основанный на методе, предло-
женном Уинслоу [149] для решения нелинейного урав-
нения Пуассона. Электромагнитное поле азимутально-
однородных видов колебаний в аксиально-симметрич-
ных резонаторах удовлетворяет уравнению (см. § 2.3).
rot rotu — &2u = 0, (3.94)
где и = Яе0 для колебаний £-типа и и = £е8 для коле-
баний Я-типа, а также соответствующим граничным
условиям £ = 0, дН;дп = 0 на электрической стенке и
Я = 0, дЕ/дп = 0 на магнитной. Для решения (3.94) ме-
тодом конечных элементов меридиональное сечение ре-
зонатора D покрывается топологически регулярной тре-
угольной сеткойпри этом образующая резонатора
аппроксимируется ломаной линией (рис. 3.17). Сопо-
ставим каждой вершине (узлу сетки) два числа: i=l, ...
1 В топологически регулярной сетке любая вершина, располо-
женная внутри области D, является общей для шести треугольни-
ков.
87
..., 7; /=1, J, где I, —числа узлов по осям z
и г соответственно. Тогда общее число узлов сетки JV=
=IJ. Введем вторичную сетку из двенадцатиугольников
q=l, N, образованных линиями, соединяющими
центры масс всех шести треугольников, примыкающих
к данной вершине, с серединами их сторон (рис. 3.18).
лярная треугольная сетка, по-
крывающая двумерную об-
ласть D
Рис. 3.18. Топологически регу-
лярная треугольная сетка
(-----) и вторичная сетка из
двенадцатиугольников
(------------)
Рис. 3.17. Топологически регу-
Проинтегрировав (3.94) по площади двенадцатиугольни-
ка и применив теорему Стокса (П1.13), получим
(j) rotudL — A2 J udD = 0, (3.95)
£(?) £>(«)
где Ыч)— граница двенадцатиугольника £><«>. Функ-
цию Е или Н представим в виде разложения по
базисным функциям (3.82), использовав в качестве по-
следних полиномы первого порядка. Так как базисные
функции выражаются через значения неизвестной функ-
ции в вершинах треугольников, подставив (3.82) в
(3.95), получим
?+б
2 MWUZ,) = O. (3.96)
Здесь фп—значения функций Е или Н в центральном
(п = <7) и окружающих его узлах, а коэффициенты Vn
и Wn зависят только от координат этих узлов. (Каждо-
му индексу п соответствует определенная комбинация
индексов i, /.) Соотношение (3.95) после подстановки
в него (3.82) можно рассматривать как частный случай
88
формулы моментов (3.71), если приравнять в (3.73)
весовые функции <рг=1, г=|1, 2, ..., N. Когда централь-
ный узел находится на границе, интегрирование в (3.95)
необходимо проводить только по внутренней части мно-
гоугольника (см. рис. 3.17). Отсюда следует, что для
условий Дирихле в (3.96) ф^=0; 1^=0; — 1; Wn =
= Vn —Q, n q. Для условий Неймана линейный инте-
грал в (3.95) по границе расчетной области равен нулю
и вклад в (3.95) дают только внутренние узлы.
Записав уравнения (3.96) для всех двенадцатиуголь-
ников сетки, получим матричное уравнение
где — I tt-ijiiy... Су—квадратные матрицы по-
рядка I, причем Сп содержат по три ненулевых эле-
мента в каждой строке, а Со- (?¥=/) — не больше трех,
так что в каждой строке (3.97) находится не более семи
ненулевых элементов. Используя блочную структуру
матрицы С, можно преобразовать ее в верхнюю тре-
угольную, что облегчает последующие вычисления. Для
этого все диагональные блоки С/(- трансформируются
в единичные матрицы, а нижние недиагональные ис-
ключаются методом Гаусса. Такое преобразование воз-
можно, если в систему уравнений (3.97) включены внеш-
ние по отношению к рассматриваемой области узлы
сетки.
Дискретизацию однородных уравнений Максвелла
(В.10), (В.11) возможно проводить также методом Буб-
нова—Галеркина. Выберем систему базисных функций
{фД, которая в частности, может совпадать с (3.81).
Помножив (В.10) на фу и проинтегрировав по области
D<4>, получим:
J 'Д-rotEi/D =— 1в)(1 фуНс/D;
о(«) Д'?)
J rot HdD = i<os J фуЕсЮ.
D(«) o(«)
89
Используя соотношения (П1.8) и (П1.13), преобразуем
эти выражения к виду:
J [vfy, Е] e$dD—j* ф7НегДТЭ — ^jfyEcfL;
dw d{9)
[v'i;) H] e0d£>1<UE j tyjEefidD— <pyHdL.
DW
N N
Подставив разложения £0 = — 2 ^n^n>
n=l n=l
приходим к однородной системе 2М алгебраических
уравнений относительно коэффициентов ап, Ьп
С R
М D
где С, D. R, М — квадратные матрицы порядка N,
структура которых подобна структуре матрицы С в
(3.97); X и Y — векторы-столбцы, содержащие узловые
значения функций Е0 и /70.
В областях с криволинейными границами примене-
ние многоугольных элементов не обеспечивает точного
отображения формы области. Возможно применение
элементов с криволинейными границами, однако в этом
случае сильно усложняется определение матричных эле-
ментов. Так, в формулах (3.89) необходимо вычислять
интегралы по криволинейным областям. Другая воз-
можность состоит во введении для каждого криволиней-
ного элемента локальной системы координат (|, ?]) та-
ким образом, чтобы его границы в этой системе описы-
вались уравнениями g = const, T] = const (изопараметри-
ческие элементы) [96].- Функция ф аппроксимируется
полиномами относительно новых координат, и интегра-
лы (3.89) вычисляются по областям простой формы в
криволинейных координатах g, ц. Затем из полученного
решения X(g, г]) с помощью обратного преобразования
получают Х(х, у). Введение изопараметрических эле-
ментов иллюстрируется на рис. 3.19. Пример использо-
вания таких элементов для расчета АСР приводится в
[82].
Серьезной проблемой МКЭ является автоматизация
процесса разбиения области на элементы. Полностью
автоматизированные подпрограммы триангуляции под-
ходят для выпуклых областей, однако если область име-
90
ет углы, то предварительную грубую триангуляцию
(или разбиение области на элементы какой-либо дру-
гой формы) приходится производить вручную. Сгуще-
ние грубой сетки может достигаться разбиением каж-
дого треугольника на четыре подобных (что почти экви-
валентно увеличению аппроксимации, см. рис. 3.15).
Следует отметить, однако, что различные конфигурации
сеток для одних и тех же задач могут приводить к раз-
личным численным результатам (см. § 3.9).
Рис. 3.19. Криволинейный элемент (а, б) и его отображение (в)
Эффективным способом повышения точности числен-
ного решения в задачах с особенностями является ло-
кальное сгущение сетки за счет увеличения порядка
аппроксимации в элементах, содержащих данную осо-
бенность. Другой подход заключается в добавлении к
последовательности (3.82) таких сингулярных функций
t
фс, что функция 2 получается глад-
/=1
кой. Существенно, чго сингулярные функции достаточно
ввести только в локальной подобласти около каждой
особенности. Эта идея во многом аналогична изложен-
ной в § 3.2 и детально обсуждается в [96].
3.5. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Как отмечалось в гл. 2, электромагнитное поле сво-
бодных колебаний в ЭС может быть найдено в резуль-
тате решения однородного интегрального уравнения. В
общем случаё этот метод связан с использованием тен-
зорной функции Грина [75]. Однако в ряде случаев
удается ввести скалярную функцию Грина, что значи-
тельно упрощает решение. Такая возможность возни-
кает, в частности, в связи с тем, что решение уравнений
(2.3) может быть записано в виде (2.5).
91
ле, по поверхности S
et(M)
1ц
Рис. 3.20. К вычислению
электромагнитного поля
методом интегральных
уравнений
Рассмотрим замкнутую область V, окруженную иде-
ально проводящей поверхностью 3 (рис. 3.20). Решая
задачу о свободных колебаниях, полагаем, что внутри
области V сторонние токи и заряды отсутствуют
(JCT — рс = 0). Если в V существует электромагнитное по-
течет ток, имеющий поверхност-
ную плотность Jj. (Р), где Р—
точка, принадлежащая поверхно-
сти S. Используя выражение
(2.5), можно определить вектор
Герца в точке Q, лежащей внут-
ри области V:
H(Q) = -(M-1 X
X $ JXP)G(P, Q; k)dSP. (3.98)
Выражение (3.98) обладает свой-
ствами потенциала простого слоя
[100]. На идеально проводящей
поверхности вектор Герца дол-
жен удовлетворять граничному
условию (2.9) Г® (1И)=0, где М — точка поверхности S.
Так как потенциал простого слоя непрерывен при
справедливо равенство
— iu>sP(Al)=^JS(P)G(P, М; k)dSp, еДМ)) = 0. (3.99)
Векторное уравнение (3.99) эквивалентно системе
интегральных уравнений Фредгольма первого рода от-
носительно проекций вектора поверхностной плотности
тока J5 (Р) на оси выбранной системы координат. По-
скольку функция Грина имеет особенность при Rpq ->0,
уравнение (3.99) сингулярно. Ненулевые решения этого
однородного уравнения возможны только при опреде-
ленных значениях волнового числа k, являющихся соб-
ственными значениями данной задачи.
Другую формулировку рассматриваемой задачи по-
лучим, использовав граничное условие для магнитного
поля lim[n0(Af), H(Q)] = — J,(A1), М £ S, Q £ V.
Q-M
Так как H(Q) = — iwe [vq, P(Q)], применяя выра-
жение (3.98), имеем
J,(A1) = lim d) [n0 (Al), [JS(P), Vq]]G(P, Q; k) dSP. (3.100)
92
Поскольку в подынтегральное выражение входят прост-
ранственные производные функции Грина, записанный
интеграл обладает свойствами потенциала двойного'
слоя [100J, имеющего разрыв на поверхности S. Пере-
ходя в выражении (3.100) к пределу и учитывая ука-
занное свойство, получаем уравнение Фредгольма вто-
рого рода
1,5JS(M) - ^[п0(Л1), [J/P), Vm]]G(P, Ж; k)dSP = Qr
s
(3.101)
ядро которого имеет более слабую особенность, чем яд-
ро (3.90). Поэтому в ряде случаев, несмотря на слож-
ность уравнения (3.101), его использование более целе-
сообразно.
Рассмотрим применение полученных уравнений для
расчета поля в регулярных волноводах. Из выражений
(3.7) — (3.10) и условия (2.8) следует, что на критиче-
ской частоте (у = 0) J5 (Р) — Js (Р) ег для Е-волн и
JS(P) — ./s(P)e{ для //-волн, где ez (Р) —орт касатель-
ной к контуру направляющей в точке Р (см. рис. 3.1).
Так как зависимость от координаты z отсутствует (t —
= const), решение задачи ищем в двумерной области DT
расположенной в плоскости поперечного сечения волно-
вода и ограниченной контуром направляющей L. Ис-
пользуя функцию Грина двумерного уравнения Гельм-
гольца (2.7), уравнение (3.99) для Е-волн запишем в
виде
$ Ja (Р) Го (kRPM) dLP = 0. (3.102)
L
Для Н-волн получаем несколько более сложное вы-
ражение
$ J, (Р) (е, (Р), е, (М)) Yo (fePPM) dLp = 0. (3.103)
i
Наиболее распространенным методом дискретизации
уравнений (3.102) и (3.103) является метод моментов-
(§ 3.3). В данном случае, однако, целесообразно ис-
пользовать одномерные базисные {фт (/)} и весовые-
{<р„ (/)} функции, определенные на контуре направляю-
щей L. Соответствующим образом необходимо опреде-
лить и скалярное произведение: (Ъ’
L
9Э
Приближенное решение уравнений (3.102) и (3.103)
представляется в виде разложения по базисным функ-
циям JW = ЛФп- Используя далее стандартную
я—1
процедуру метода моментов, получаем матричное урав-
нение
ZI — 0, (3.104)
где 1=-| Ц, h, ..., In ]7 —вектор-столбец неизвестных
коэффициентов разложения; Z— квадратная матрица
порядка с коэффициентами:
2тп = $<Ям$<ДЛ1) $„(/>)
L I
Y^kRpMjdLp для ZT-волн;
zmn = §dLM§ <p*m (М) (Р) (е, (М), (Р)) Го (ЛРрм) dLP
L L
ДЛЯ //-ВОЛН.
Критические волновые числа волновода kcl находятся
из условия равенства нулю определителя системы
(3.104): detZ(&)=0. Затем для каждого найденного
значения kci с помощью (3.104) находим распределе-
ние токов на стенках волновода (с точностью до посто-
янного множителя).
Одним из наиболее ответственных моментов при реа-
лизации изложенного метода является выбор базисных
и весовых функций, который должен осуществляться
так, чтобы исключить бесконечные (или очень боль-
шие) значения диагональных элементов матрицы Z,
•обусловленные сингулярностью исходных интегральных
уравнений.
В работе [145] в качестве базисных и весовых ис-
пользуются «треугольные» функции, для построения ко-
торых направляющая поверхности волновода L точка-
ми l\, I2, ..., In+i =li разбивается на N сегментов не-
равной длины (см. рис. 3.20). На каждом сегменте оп-
ределяются векторные функции
4.„ = <p„ = T(Z-Z„)a„, л=1, 2..N, (3.105)
где
0, Z^Z^, Z>Z„+1;
(Z-Z^J^-Z^), Z,,., < ZCZ„;
.1 — (Z —Z„)/(Z„+1 — Z„), Z„ < Z < Z„+1
-94
— треугольная функция; I — координата, отсчитываемая
вдоль направляющей; а„ — единичный вектор, направ-
ленный из точки 1п в точку /л+1. Как отмечается в [145],
применение таких функций обеспечивает получение хо-
рошо обусловленной матрицы Z и увеличение скорости
сходимости примерно в 2 раза по сравнению с алго-
ритмами, использующими импульсные функции. Исхо-
дя из интегрального уравнения 0,25 imp ^[1-|-
L
+ JS(P) (k RPM) d Lp = 0 и используя
(3.105), получаем следующее выражение для матрич-
ных элементов:
i t
т + \ л+1
zmn =—0,25/ J dLu [iwp Т (1м— lm)T(lP — Z„)X
т~1 п — 1
X (атал) + (icoe)-i Г (1м - lm) г (lP - Z„)] H^(kRMP) dLP.
(3.106>
Вычисление интегралов в полученном выражении про-
водится методом прямоугольников. Сегмент (/A-i, lk+^
разбивается на четыре участка AZ^>, s = 1, 2, 3, 4, и по-
лагается, что функция Т принимает постоянное значе-
ние в пределах каждого участка:
д/(*) = /0’5 2; y(*j _ (0>25, s—1, 4;
* (0,5(Za+1 — lk), s = 3, 4; ‘ [0,75,5 = 2,3.
Так как
р= dT _ fl/AZa, 5=1,2;
~ dl ” (— 1/AZS, 5=3, 4,
формула для матричных элементов принимает вид
^> = (16^)-* 2 [4(*Ч)(Ш9) ГЛ(а9> aj+ l]G?i,
J. q—4
где (3.107>
1 2Z T^AZ.
Gas = 1-------In —----, q—-s, m — n\
Q к 8e
Gqs = H^(kRPQ), q + S,
у — постоянная Эйлера.
95
Верхний знак в выражении (3.107) ставится, если
з>3 и q>3 или s<2 и q<2. Величины с индексом s от-
носятся к сегменту с индексом т, с индексом q — к сег-
менту с индексом п. Для Д-волн выражение для мат-
ричных элементов упрощается:
4
= (4<ое)-‘ У k? Ы, klqTsT G .
S. 9-1
Другой подход к выбору базисных функций исполь-
зуется в так называемом «методе вспомогательных ис-
точников» [79J, согласно которому электромагнитное
поле в ЭС представляется в виде суперпозиции по-
лей, создаваемых элементарными диполями, располо-
женными вне рассматриваемой области на определен-
ном расстоянии от нее. Моменты i/V диполей находятся
исходя из удовлетворения граничных условий в N точ-
ках границы. Задание точечных источников за границей
области эквивалентно в соответствии с принципом Гюй-
генса использованию определенной функции распреде-
ления источников на ее границе. Эти функции и слу-
жат базисными в рассматриваемом методе. Так как
граничные условия удовлетворяются в отдельных точ-
ках границы, в качестве весовых используются импульс-
ные функции. Расстояния от вспомогательных источни-
ков до границы и между соседними источниками сле-
дует выбирать таким образом, чтобы матрица задачи
была хорошо обусловленной. Такой результат получает-
ся, в частности, при использовании так называемого
«правила квадратов», в соответствии с которым ука-
занные расстояния должны быть одинаковы. Выпол-
нение этого правила, одиако, затруднено вблизи ребер
.ЭС. Описанный метод был использован [12, 79] для
решения задачи о распространении Е- и л-волн в ре-
гулярном волноводе произвольного сечения, задачи о
собственных колебаниях в АСР и ряда других задач.
В [8] предложен эффективный метод расчета кри-
тических частот и волновых проводимостей волноводов
сложного сечения, основанный на решении интегрально-
го уравнения
~Н-'> + t (£ G (Р, М) Et (М)-------5-
k £, k дпм
(3.108)
96
где iEi = k-'dHidn = хЕл п —внутренняя нормаль
к контуру £ь охватывающему часть поперечного сече-
ния волновода. Метод основан на вычислении волновой
проводимости волновода р~1 = 2Р/| Т/л.вР, где Ua.b —
в ~
= EtdL — эквивалентное напряжение между точками
А
А и В, находящимися на стенках волновода. Отрезок
АВ контура Lx разбивает поперечное сечение волновода
на области I и II. Поле £z вдоль АВ представляется в
виде усеченного ряда
= и = 11\АВ\>
л-1
по ортонормированной на отрезке (0, 1) системе функ-
ций, которые могут содержать те же особенности, что и
искомое поле.
На остальных участках контура Lly совпадающих с
направляющей волновода, Et =0.
Уравнение (3.108) решается методом Галеркина, для
чего на каждом из отрезков контура L, поле Н пред-
ставляется в виде
я(?)
«(п9) Фл («). 0 < « < 1,
л=1
где и — относительное расстояние вдоль q-ro отрезка.
Для численного решения используются квадратурная
форма Гаусса и способ устранения логарифмической
особенности ядра, предложенный И. Ш. Белугой [7].
Аналогично вычисляется магнитное поле в области II.
Из условия непрерывности поля Н на границе раз-
дела областей можно получить систему линейных одно-
родных уравнений
N
2УтЛ = °- w = ’’ ’ N>
п=\
где Утп~ Ут\~\~Утп' У(тп~ап^ 1, ...» N,
если отрезку АВ присвоен номер q=l. Величины у тп
есть элементы матриц входных проводимостей областей
I и II.
Изложенный метод реализован в программе расчета
П-образных волноводов [8], а затем обобщен на волно-
7—1271 97
воды более сложного сечения [9|. Как отмечается в [9],
он отличается высокими быстродействием и точностью.
3.6. МЕТОД КОЛЛОКАЦИИ
Рассмотрим скалярное двумерное уравнение Гельм-
гольца (3.2), к решению которого сводится задача о
свободных волнах в регулярном волноводе. Как извест-
но, в полярной системе координат (рис. 3.21) общее ре-
шение этого уравнения имеет вид
Рис. 3.21. к вычислению
электромагнитного поля ме-
тодом коллокаций
Ф = amJm(kr)Q~^, (3.109)
где, в отличие от предыдущего раздела, используются
не функции, описывающие поля точечных или линейных
источников, а функции,
имеющие вид стоячих волн.
Функция ф точно удовле-
творяет уравнению (3.2) в
двумерной области D, и за-
дача сводится к подбору
коэффициентов ат ряда
(3.109) таким образом, что-
бы она удовлетворяла и
граничным условиям за-
дачи.
Одним из наиболее про-
стых способов определения
коэффициентов разложения
(3.109) является метод кол-
локаций (точечного согласо-
вания) [134J, в соответствии с которым граничные усло-
вия удовлетворяются точно в конечном числе точек гра-
ницы.
Рассмотрим волны Е-типа. В соответствии с § 2.5
в этом случае Г* = фег и на направляющей L идеально
проводящей оболочки волновода ф = 0. Ограничимся в
разложении (3.109) конечным числом 2Af-f-l членов, на
направляющей L выберем 2Af-f-1 точек Р„(рп, <р„) и по-
требуем точного выполнения граничного условия в этих
точках (см. рис. 3.21)
м
2 ^(Ч)е-^ = 0, «=1, ..., 2Ж+1.
т=—М
98
Полученную систему линейных алгебраических урав-
нений запишем в матричном виде
СХ = 0, (3.111)
где С — квадратная матрица с коэффициентами
стп = /т(йРя)е-'^я; (3.112)
X — вектор-столбец коэффициентов разложения. Нену-
левые решения уравнения (3.112) возможны, только
если detC = O. Определив из этого уравнения собствен-
ные значения, затем обычными методами (например,
вычеркиванием строки и столбца из матрицы С) найдем
коэффициенты разложения.
Близкий к описанному алгоритму подход (метод ну-
левого поля) основан на приравнивании нулю электро-
магнитного поля вне оболочки волновода. Используя
условия излучения Зоммерфельда, электрическое поле
вне волновода можно записать в виде [139]
Ez(Q) = - O,25<o;i Jsz (Р) //ст (kRPQ) dLP, (3.113)
L
где Jsz (P) — поверхностная плотность тока на стенках
волновода.
Используя теорему сложения для бесселевых функ-
ций [16], функцию Ганкеля в (3.113) можно разложить
в ряд
т
Ez (г, 6) = е"‘те Ф’ e’im<P dl’ r > р°’
m=— L (3.1 M)
где через p, <p обозначены координаты точки на контуре
волновода; p0 = max(p) максимальное значение р на
направляющей L (см. рис. 3.21). Чтобы Ez на L обра-
щалась в нуль, все коэффициенты разложения в (3.114)
должны равняться нулю:
$> dl = 0, m — 0, +1, +2, ...
L
Разобьем контур L на 2М +1 отрезков, в каждом из
которых выберем точку с координатами р„, <р„. На каж-
дом отрезке полагаем Jsz(l) = Jsz(pn, <рп) = Jn, п. — 1, ...
.... 2/H-f-l.Ограничившись в разложении (3.114) 2Af +1
членами, имеем систему уравнений
2М + 1
2 JmJn (*Р„) е-^ = 0, — М<т<М, (3.115)
я-1
7*
99
которую можно получить из (3.110) взаимной заменой
строк на столбцы. Записав уравнение (3.115) в матрич-
ной форме DX = 0, видим, что D = Cr и, следовательно,
определители матриц С и D совпадают. Это означает,
что найденные из уравнения (3.111) и аналогичного
уравнения DX = 0 собственные значения одинаковы.
Для Я-волн продольная составляющая магнитного
поля
Н,(г, Ц = Г +
4 f [ г
— cos (а 4- 9 — <р) ——
дг
H^{kRPQ) dL,
где Js[ (I)—поверхностная плотность тока, текущего
вдоль контура L; cos а — (ег, ел). Применив вышеизло-
женную методику дискретизации, получим уравнение
detQ = O, где Q — квадратная матрица порядка 24-1+1,
элементы которой
Чтп — 14-1 (*РЯ) e-ia« — 4+1 (*Р«) (3.116)
Матричным элементам (3.112) и (3.116) можно при-
дать более удобный с вычислительной точки зрения вид,
умножив (3.115) на г'яе,/”'Р. Просуммировав по т и
использовав интегральное представление функций Бес-
селя, получим
^>4(z)exp [i/sp„ cos (ф — <p„)] dL = 0, п=\, ..., N,
что приводит к однородной системе уравнений вида
(3.115) с матричными коэффициентами
стп-exp(iftp„ cos (фт — <р„)). (3.117)
В отличие от (3.112), все матричные коэффициенты
(3.117) имеют один и тот же порядок.
Для Я-волн аналогичное преобразование позволяет
получить матричные элементы qmn = exp [i£p„ cos (фт —
— <P„)]cos (a„- ?„ + фт).
Детальное сравнение метода точечного согласования
с методом нулевого поля проведено в [114—117]. В
частности, в [116] показано, что разложение (3.109)
для поля внутри волновода не является полным’для не-
выпуклых областей, не обладающих плоскостью сим-
метрии. Действительно, используя точное решение
100
(3.113) и теорему сложения, можно записать выраже-
ния для Ez вне и внутри направляющей волновода:
Ez = 2 г>р0;
zn==—<» L
©о
Ez = 2 Jm (*r) eim0 $ Az (0 (Ap) e--? dL, r < Po.
e° L
Выберем некоторую точку Р(гР, 9P) на контуре L и раз-
делим этот контур на две части а(гр) и Р(Гр), на ко-
торых г<^Гр и г>Гр соответственно. Исходя из запи-
санных выше формул, электрическое поле в точке Р
Ег(гР, 6Р) = 2
ГЙг= —оо
(krP) J Jsz (I) Jm (Ap) dL +
a
+ Jm(Arp) ^Jsz(l)H^(k?)^dL
eim0p.
(3.118)
Сравнив разложения (3.109) и (3.118), видим, что
первое не является полным, так как в нем отсутствуют
члены с H%(krp). Эти члены играют существенную
роль, если контур L сильно отличается от окружности.
В то же время, если контур L симметричен относитель-
но прямой 0 = 0, a Isz (/) —действительная и четная или
мнимая и нечетная функции (что справедливо для лю-
бого волновода с плоскостью симметрии на симметрич-
ном или антисимметричном типе волны), выражение
(3.109) является действительной частью (3.118). Так
как действительная и мнимая части (3.118) должны
приравниваться нулю по отдельности, это доказывает
применимость метода точечного согласования для на-
хождения критических частот волновода. В то же время
при вычислении поля метод может давать существен-
ную погрешность.
Отмеченных недостатков лишен метод нулевого по-
ля, который, как отмечается в [139], дает хорошие ре-
зультаты, если функции, аппроксимирующие распреде-
ление плотности тока по контуру волновода, содержат
такую же особенность, как и указанное распределение
вблизи острых ребер.
Избежать трудностей, связанных с неполнотой раз-
ложения (3.109), позволяет также метод [20], основан-
ный на использовании решений уравнения Гельмголь-
101
ца, полученных И. Н. Векуа. Им показано, чго все ре-
шения уравнения (3.2), регулярные в односвязной об-
ласти D комплексной плоскости w = k (х + iy), ограничен-
ной контуром L, можно представить в виде
W
у) — «0Л0(г-/4) 4- Re (/) Ло [w*(w —
о
где ао = Ф(О, 0); Ло(оу)—лямбда-функция нулевого по-
рядка; г = | w |; (f(t)—произвольная аналитическая в
области D функция. Вычислив с помощью этой форму-
лы значения ф в А заранее выбранных точках границы
и использовав граничные условия, можно получить од-
нородную систему линейных уравнений относительно
значений функции ср в этих точках. Приравняв опреде-
литель этой системы нулю, получим уравнение для опре-
деления критических волновых чисел волновода.
3.7. МЕТОД ЧАСТИЧНЫХ ОБЛАСТЕЙ
Л»
b ///.''///СР///////
т>>-
z
Рис. 3 22. Разбиение
объема тороидального
резонатора на частич-
ные области
Не пытаясь в данной
d h
Разделение объема ЭС на области простой фор-
мы— исторически первый способ численного расчета
сложных закрытых электродинамических систем. Даль-
нейшее его развитие привело к созданию метода частич-
ных областей (МЧО), который благодаря своей просто-
те и эффективности в настоя-
щее время применяется для
решения самых различных за-
дач электродинамики СВЧ, в
том числе задач расчета резо-
наторных ЗС (см. § 5.3), резо-
наторов и волноводов сложной
формы.
Как отмечалось в § 2.8, су-
ществует много модификаций
МЧО, отличающихся способа-
ми разбиения ЭС на частич-
ные области и сшивания по-
тей на границах раздела,
книге описать все эти раз-
новидности (более полные сведения имеются в [92]),
рассмотрим сущность метода на простом примере рас-
чета азимутально-однородных видов свободных колеба-
нии в тороидальном резонаторе с цилиндрическими обо-
102
.точкой н втулкой (рис. 3.22). Для определенности огра-
ничимся колебаниями £-типа.
В соответствии с § 3.1 для описания электромагнит-
ного поля в резонаторе используем функцию ф(г, z),
удовлетворяющую уравнению (3.18), а также гранич-
ным условиям (3.11) на образующей идеально прово-
дящих стенок резонатора и (3.22) на его оси. Электро-
магнитное поле выражается через функцию ф с по-
мощью соотношений (3.21). Разделим меридиональное
сечение резонатора D (рис. 3.22) линией АА на две ча-
стичные области прямоугольной формы. Общее решение
уравнения (3.18), удовлетворяющее граничным услови-
ям (3.11) и (3.22) в каждой из областей, имеет вид:
оо
'?ii) 2 cos
л = 0
(3.119)
(3.120)
= 2 BmFb (V) COS lmZ,
m = 0
где
f > (Timr) = YД (-qmb) - J, (rlmr) YJ (7jmfe);
:я = пф; = mr./d-, J = ?m.
В соответствии с выражениями (3.21) электромагнит-
ное поле рассматриваемых видов колебаний содержит
три отличные от нуля составляющие: Er, Ez и /7е. По-
требовав их непрерывности на границе раздела обла-
стей, получим условия сшивания:
фОДа, 2) - Д?)(а, z); (3.121)
d'''W (а’ Z} - г)-, 0 < z < d, (3.122)
дг дг
которые используются для нахождения неизвестных ко-
эффициентов в выражениях (3.119) и (3.120).
Один из наиболее распространенных способов удовле-
творения условиям сшивания — задание функции рас-
пределения поля на границе раздела областей. Пусть,
например, Ez(a, z) = — iwia f (z), 0cz<.h, тогда
<Д(|’2)(Й1 г) =f(z). Функция распределения f (z) может
быть задана исходя из физических соображений или
данных эксперимента. Для резонаторов с закруглен-
ным ребром втулки в первом приближении f(z)=const
[11]. Для втулки с острыми ребрами часто используют
103
функцию f(2) = [l — (z/d)2JT-учитывающую наличие
особенности поля вблизи ребра [92] (см. § 2.2). В со-
ответствии с формулой (2.15) т = 2/3 для втулок без
пролетной трубы (сеточный зазор) и т= 1/2 для тонких
втулок с пролетными трубами (бессеточный зазор).. На
промежутке d^z^h, f(z) — 0. Продифференцировав
(3.119) и (3.120) по г и приравняв результат разложе-
нию функции f(z) в ряд Фурье на промежутке (0, d),
получим:
2s d
Л = ~Т , ГГ f cos М dz' <3-123)
d*nJx (V*) J
2e„ 1
Вп = ----— /(г) cos &nz)dz, (3.124)
где sn = 1 /2, если n = 0; гп — 1, если п =/= 0.
В выражения (3.123) и (3.124) входит неизвестное
собственное волновое число k. Для его определения под-
ставим 13 123) и (3.124) в (3.121), предварительно ус-
< днив ->•*' и <р(2) по промежутку (0, d):
V, Vo(V) i , i
Z ----7Д------- /(*) C0S <mzdz C0S lmzdz ~
__ 2/0 (усД)
(zoa) J
Взяв конечное число членов ряда, стоящего в левой ча-
сти этого выражения, получим уравнение для опреде-
ления собственных частот резонатора.
Введем входные проводимости частичных областей
на границе раздела
d
2шб/-1 [ (a, z)dz
ГС. 2) - +-------—2------------------=
[ ДС’2) ^2
о
d
2^\akd~x [ф<1’2)(а, z)dz
b
d
7)0 \f{z)dz
b
104
Как видно, условие (3.121) равносильно приравнива-
нию нулю суммы входных проводимостей частичных об-
ластей на поверхности раздела. Описанный метод ре-
шения используется для расчета диафрагмированных
волноводов, гребенчатых ЗС [99], а также в данной
книге (см. § 5.3). Основной его недостаток связан с ис-
пользованием заданной функции распределения поля
f(z), что может привести при неправильном ее выборе
к неверным результатам.
Более строгий метод сшивания не требует предвари-
тельного задания функции f(z). Подставив (3.123) и
(3.124) в (3.121), получим интегральное уравнение от-
носительно этой функции
•A) (z«^)
Л (*л)
Fo
°° 2е
У—
Йо
00 2е
'V т
Йо
а
cos J f(z0) cos e„zodzo —
О
d
Ft (Vma) ' C°S 1?^ C°S "Aoq
(8.125)
или в операторной форме
£C/(z) = O.
(3.126)
Уравнение (3.126) можно решать различными числен-
ными методами, в частности методом Бубнова—Галер-
кина (см. § 3.3). Будем искать приближенное решение
уравнения (3.125) в виде
= <3-127)
/=1
где — полная система базисных функций. Подста-
вив это разложение в (3.125) и наложив условия орто-
гональности
d
= /=1,2, ..., /V,
6
получим систему алгебраических уравнений D(£)A = 0,
где А= |аь а2, •••, а^]Т —вектор коэффициентов разло-
жения (3.127); D — квадратная матрица порядка N с
элементами
105
dP4 ~ £^dz = 2 —т ~r,—г 'К(2o) cos ^2о£/г°x
0J ~0 **d M 0J
* ж~ 2$Л Л>(и,«) r
X f (г) cos ^zdz - V —— —---------- ф*(г0) cos tnzodzo X
о £o Mv) g
d
X j фр (z) cos 4nzdz. (3.128)
0
Собственные волновые числа определяются как корни
уравнения detD = O, после чего с помощью матрицы D
вычисляются собственные векторы Az, i=l, 2, N,
определяющие распределение поля на границе раздела
(г—а). Коэффициенты разложения полей в частичных
областях находятся по известной функции f(z) с по-
мощью формул (3.123), (3.124). Отметим, что вычисле-
ние каждого элемента матрицы D требует суммирования
бесконечных рядов (3.128), которые сходятся достаточ-
но медленно. На практике в этих суммах необходимо
учитывать несколько десятков членов.
В качестве базисных функций можно использовать
полиномы, тригонометрические функции [137] и другие
системы. Существенное увеличение скорости сходимо-
сти решения при увеличении порядка матрицы D может
быть достигнуто за счет введения базисных функций,
обладающих той же особенностью вблизи ребра втул-
ки, что и искомое решение. В частности, в [64] приме-
няется ортогональная на промежутке (0, d) с весом
p(z) система функций, каждая из которых имеет тре-
буемую особенность и удовлетворяет граничным усло-
виям задачи приг= 0: =p{z)C^+b(z/d), гдер(г) = [1 —
—(z/d)2]-1'3; C%f+b— полином Гегенбауэра; Ь = 0 при
д^/ду = О и & = 1 при ф = 0 на границе z = 0. Использо-
вание этих функций приводит к следующему выраже-
нию для матричных элементов [64]:
(х„д)
4MW)~
sZo Ьл)
(т(ла)
X (£nd) Jm t^dd)’
где J, (x) = Л (x) x_I's; v — 0, 1; o> : = 1, 0.
106
Несмотря на простоту численной реализации метода
частичных областей, он мало пригоден для создания
программ расчета ЭС произвольной формы. Этот не-
достаток связан с тем, что аналитические решения урав-
нений Максвелла существуют только для областей про-
стой формы (круг, прямоугольник и т. д.). Кроме того,
для каждой формы области используется своя система
функций. Увеличение универсальности МЧО возможно
за счет перехода к численному расчету полей в частич-
ных областях. Эта возможность рассматривается в §5.3.
3.8. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ
ЧИСЕЛ И ВЕКТОРОВ
Рассмотрим систему линейных однородных алгебраических
уравнений
C(Z>)X^0, (3.129)
которая получается в результате дискретизации исходной задачи
одним из описанных выше методов. Здесь С — квадратная матри-
ца порядка N, коэффициенты которой зависят от волнового чис-
ла k; X — вектор-столбец, компоненты которого приближенно опи-
сывают электромагнитное поле собственных колебаний. Ненулевые
решения этой системы возможны при
detC(£) = O. (3.130)
Корни этого уравнения ki, k2,... есть приближенные значения соб-
ственных волновых чисел различных видов свободных колебаний
(волн) ЭС. Если уравнение (3.130) решено, собственный вектор,
соответствующий волновому числу kj, легко находится из уравне-
ния (3.129) вычеркиванием любой строки и любого столбца мат-
рицы С. Действительно, подставив в (3.129) k = kj, определим все
элементы стп матрицы С. Положив затем xj = 1 и вычеркнув /-ю
строку, получим систему N—1 уравнений, определяющую собствен-
ный вектор
\ = | х<‘>, х%\ ..., xj.% 1, х^, -, х<‘>|4
*-11с12 •• С], у—1 С], у+1 -.-Cxn
Cj—l, 1 Q-1, 2-••£/—!, j— 1 С j—1, y+l’-’C/- 1, N
CJi-i, 1 Q+l, 2---C/ + 1, J-1 Cj+1, j-t-x -..Cj + 1' N
Cn\CN2 •Cn. /-I Cn, i+1
X«>
X/-!
x/+l
xN
CNN
(3.131)
Таким образом, поставленная задача принципиально решена. В то.
же время практические трудности, возникающие в процессе реше-
ния, могут быть настолько велики, что достижение конечного ре-
107
зультата окажется невозможным. В связи с этим в зависимости от
свойств матрицы С, которые определяются методом дискретизации,
для нахождения собственных чисел и векторов используются раз-
личные специальные методы
Применение интегральных методов, методов коллокаций, ча-
стичных областей приводит к появлению плотных матриц С, ко-
эффициенты которых нелинейно зависят от k (как правило, волно-
вое число входит в аргумент тригонометрических или специальных
функций). Практически единственным способом вычисления собст-
венных чисел в этом случае является решение уравнения (3.130)
одним из численных методов: деления пополам, парабол, Ньютона
и т. п. Эффективность всех этих методов сильно зависит от началь-
ного приближения /г(°), которое должно находиться в интервале
между искомым собственным числом и ближайшими к нему. Если
эти интервалы заранее неизвестны, необходимо их определить, вы-
числяя det С при изменении k с заданным шагом, выбрать нуж-
ный интервал и затем уточнить значение корня. Эта процедура
трудно поддается автоматизации. Отметим также, что для больших
А определитель в промежутке между корнями может иметь очень
большие или очень малые значения, что вызывает переполнение
разрядной сетки ЭВМ или потерю значащих цифр. Вследствие оши-
бок округления при больших N det С может не обращаться в нуль
при любых k, и вместо уравнения (3.130) для вычисления корней
необходимо решать более сложную задачу — находить минимумы
абсолютного значения определителя det С. После определения соб-
ственного числа система (3.131), как правило, решается прямыми
методами и не представляет трудностей, за исключением случаев
кратных или близко расположенных собственных чисел.
Использование для дискретизации таких методов, как проек-
ционные, конечных разностей, конечных элементов, приводит к
матрице С специального вида С=А—кВ, где А и В — квадратные
матрицы порядка N, часто симметричные; Л,=—k2. Нахождение соб-
ственных волновых чисел в этом случае сводится к решению обоб-
щенной матричной задачи на собственные значения
(А —ХВ)Х = 0, (3.132)
для решения которой разработаны эффективные численные методы
[10, 95, 65, 103]. При выборе наиболее подходящего алгоритма
необходимо учитывать, что иа практике интерес представляет одно
или несколько наименьших собственных чисел и соответствующих
им векторов (частичная проблема собственных значений). Если
порядок матриц А и В сравнительно невысок (Ас 150) и они
плотные, что характерно для проекционных методов, можно ис-
пользовать практически любые известные методы. Так как приме-
нение Q/^-алгоритма, метода вращений и других, решающих пол-
ную проблему собственных значений, в данном случае нецелесо-
образно, наибольшее распространение получил обратный степенной
метод со сдвигом, хорошо приспособленный для нахождения не-
скольких наименьших собственных значений.
Введем матрицу D=A—аВ и подставим ее в (3.132). Спектр
«собственных значений полученной задачи
(D-hB)X=0 (3.133)
сдвинут относительно спектра задачи (3.132) на а, так как
= /.—а. Умножив (3.133) на В-1, приведем это уравнение к виду
108
GX = $X,
(3.134)
где G=B-‘D, £=1/ц. Наименьшему по модулю собственному чис-
лу задачи (3.133) соответствует наибольшее собственное число
матрицы G. Теперь, начиная с произвольного ненулевого вектора
Х<°> построим итерационный процесс
Х(Л) _ GX^-», п = 1, 2, ... (3.135)
Представлв в виде разложения по собственным векторам мат-
рицы G
N
Х<°) = 2а'Х‘' (3.136)
1=1
и, используя (3.134), найдем, что
XW = a1^X1 + a2S«X2+ - +a^NXN= °' X, +
— а)л
а2
(Х? - а)л
х2+... +
(*лг— а)л
Выбрав параметр сдвига cr-z.y, обеспечим преимущественный рост
/-го члена разложения (3.136). Таким образом, в результате ите-
рационного процесса вектор Х^ приближается к собственному
вектору Ху. Собственное значение можно определить как частное
от деления любых компонент векторов Х(л) и Х(л-1\ но для
симметричных матриц А лучше использовать выражение
(BX<n-4, x<n~’>)
(DXI"-1» Х<л-») ’
(3.137)
усредняющее ошибки вычисления отдельных компонент вектора.
Итерационный процесс (3.135) продолжается до выполнения кри-
терия внутренней сходимости (р.^—- р.уЛ-|) )/р/.л) < ел, где ех—ма'
лое число. Искомое собственное число /.у = ру + а. Параметр сдви-
га а выбирается исходя из предварительных сведений о собст-
венном числе Лу. В процессе итераций возможно уточнение пара-
метра сдвига: что значительно улучшает сходимость.
Если вычисляется наименьшее собственное значение A,t, параметр
сдвига а можно положить равным нулю.
На практике обычно не обращают матрицу В, а строят итера-
ционный процесс (3.135) по схеме
Y(«-i) = DX’"-1); (3.138) ВХ<Л> = ¥<л-'), (3.139)
используя для решения системы уравнений (3.139) один из числен-
ных методов. Кроме того, в процессе итераций необходимо мас-
штабировать вектор Х(л\ например, периодически деля его на пер-
вую компоненту х|л' с тем, чтобы избежать быстрого роста или
уменьшения модуля этого вектора. Описанный алгоритм приме-
няется, например, в программе LANS [49].
109
Другой алгоритм нахождения собственных чисел, пригодный
для матриц не слишком большого порядка (Л;<1500), описан в
[130, 38, 39]. Задав некоторое значение k0, положив в системе
уравнений (3.129) х(у0| = 1 и вычеркнув ее /-ю строку, получим си-
стему (3.131), решив которую найдем х^, ..., ,
х$. Подставив теперь эти значения в вычеркнутую строку, найдем
новое значение^0 = — (с., rr(l0) 4-.-+«j4]^xf\ + с. х^ 'г ...
... + Cj, xx$)lcjj- Невязка /л) (k)= 1—x<jn\ очевидно, должна
обращаться в нуль, когда заданное значение k(tl^ совпадает с од-
ним из собственных значений задачи. Вычисление собственных чи-
сел сводится, таким образом, к нахождению нулей невязки I(k).
Данный способ имеет преимущества по сравнению с непосредст-
венным решением уравнения (3.130;, поскольку он не требует вы-
числения определителя матрицы С, а система (3.131) хорошо обу-
словлена [130]. Кроме того, одновременно с собственным значе-
нием вычисляется и собственный вектор. Для решения системы
(3.131) используются специальные методы, учитывающие разре-
женность матрицы С и позволяющие хранить в памяти ЭВМ толь-
ко ее ненулевые коэффициенты.
Метод конечных разностей и некоторые модификации метода
конечных элементов приводят к задаче (3.132) с разреженными
матрицами очень высокого порядка (Л?=5000—30 000). Элементы
таких матриц не хранятся в памяти ЭВМ, а генерируются в про-
цессе вычислений, что исключает использование описанных выше
алгоритмов нахождения собственных чисел. В том случае, когда
матрица B = I (I — единичная матрица), наиболее простым и на-
дежным, хотя и медленным методом решения задачи, является сте-
пенной: начиная с некоторого вектора Х(°) строится последова-
тельность
Х<л> = АХ(л~'), п = 1, 2, ... (3 140)
Представив Х(°) в виде разложения по собственным векторам мат-
N
рицы А, Х(°*= У, &/Х/, и использовав (3.132), получим
1=1
Х<я> = + a2'i^X2 -'г ... + + awX^X.v-
(предполагается, что собственные числа пронумерованы в порядке
возрастания модуля).
Таким образом, с ростом п вектор Х^л| стремится к собствен-
ному вектору Хдг, соответствующему наибольшему по модулю
собственному числу матрицы А. Аналогично (3.137) это число
определяется с помощью скалярного произведения
Х(л) (АХ<Л-Р, Х<л~'))
л' (Х<л~'>, Х(л-'))
Итерационный процесс останавливается при выполнении критерия
внутренней сходимости
(Х<"> _ X('>-i))/V«)<sx. (3.142)
ПО
Скорость сходимости процесса (3.140) определяется отноше-
нием которое при больших N может быть очень близ-
ким к единице. 1 ак как порядок матрицы N равен числу узлов
•сетки, наложенной на область D, вычисления целесообразно вы-
полнять на последовательности сеток, увеличивая число узлов каж-
дый раз после выполнения критерия (3.142) и интерполируя най-
денные узловые значения в новые узлы. Эта процедура легко вы-
полняется при использовании регулярных сеток.
Повысить точность приближенного решения можно путем экс-
траполяции значений собственных чисел и векторов, полученных на
нескольких сетках к бесконечному числу узлов (экстраполяция
Ричардсона [67]). Так, если для дискретизации используется по-
следовательность сеток с уменьшающимся в 2 раза шагом Л, экс-
траполированные значения находятся по формулам
Х„ = (4 3) ХЛ 2 - (1/3) ХЛ; = (4/3) Хл/2 - (1 /3)
где ХЛ;2, лл,2, X/;, лл — значения собственных векторов и чисел на
последней и предпоследней сетках.
Вычисление наименьшего собственного значения можно произ-
водить степенным методом со сдвигом. Введя матрицу D и поло-
жив а = ЛЛг + б, ^>0, видим, что наименьшему собственному числу
/.[ матрицы А соответствует наибольшее по модулю собственное
число u.v матрицы D. Итерационный процесс (3.140) с матрицей D,
таким образом, сходится к piдг, и искомое собственное число
/.<") = Д + (DX<"-'< Х<'’-1))/(Х('1-1), Х^-1)).
Оценку верхней границы спектра матрицы А, полезную при
выборе параметра сдвига а, дает теорема Гершгорина [103]:
N
Хунтах 2 i atj I > = 1. •••• N.
Если матрицы А и В симметричные и положительно опреде-
ленные, для вычисления наименьшего собственного значения за-
дачи можно использовать эффективный метод последовательной
верхней релаксации (ПВР). Представим матрицу С = А—/.В в виде
суммы нижней треугольной L, диагональной D и верхней треуголь-
ной L' матриц: C = L + D4-U. Начиная с произвольного вектора
Х(0), построим итерационный процесс
Х(") = (D + wL)-1 [(1 — О>) D — О)U] Х^-1) = Н (о>, Л) XI"-1),
л =1,2,..., (3.143)
где постоянная со(1<со<2) называется коэффициентом релакса-
ции. Очевидно, что метод ПВР эквивалентен степенному методу с
матрицей Н. Разложив X*0’ по собственным векторам этой матри-
цы Х(0) = 2 aipi’ получим х<л) = «iP, Pt + ... йд_| РЛ,_1 +
1-1
+ «\' ЗдР/v- Собственные векторы матрицы Н совпадают с собствен-
ными векторами задачи (3.132), и при /. = /./ модуль наибольшего
111
собственного числа pw, соответствующего вектору Рд, = X;, ра-
вен единице [147]. Поэтому Х^ стремится к собственному векто-
ру X,-. Если Х¥=Х/, i=l, 2, N, наибольшее собственное число
матрицы Н соответствует наименьшему собственному числу задачи
(3.132) и отлично от единицы. В результате Х^л) стремится к соб-
ственному вектору Х[ (с точностью до постоянного множителя),
увеличиваясь или уменьшаясь по модулю. Скорость сходимости
определяется отношением 1> которое зависит от коэффици-
ента релаксации со, порядка матрицы А и текущего значения X.
В связи с этим необходимо в процессе вычислений уточнять зна-
чение Л с помощью функционалов (3.27) или (3.28) или частного
Рэлея
Х<") = (АХ(л"’>, Х<л-1))/(ВХ<л-1>, Х'"-1’). (3.144)
Уточнение можно проводить каждый раз после выполнения опреде-
ленного числа (4—10) итераций (3.143). Хотя сходимость такого
двойного итерационного процесса не доказана [147], он широко
используется на практике [ПО, 61, 32]. Скорость сходимости ме-
тода ПВР существенно увеличивается при проведении вычислений
на последовательности сеток. Наблюдавшиеся случаи расходимо-
сти этого метода [130] связаны, по-видимому, с использованием
матриц очень большого порядка (А>15 000) и одной сетки.
Оптимальное значение коэффициента релаксации w, обеспечи-
вающее наибольшую скорость сходимости, зависит от порядка
матрицы А и степени приближения вектора Х*л> к собственному
вектору. Теоретическая оценка wOpt дается формулой Янга [14,
95]: <оор[ = 2/(1 4“ 1 — | 1 2). Однако, поскольку значение Цу
неизвестно, часто применяется формула [123]
^tH) = 2[i <3-145)
Г N
где ₽<л’ = 5 (х™ — 4Л_1))2/ S — 4Л-2’)2
— относительная невязка вектора X; <о/л^ —текущее значение коэф-
фициента релаксации. С помощью формулы (3.145) значение <oOpt
может уточняться в процессе вычислений. Более простая формула
имеет вид
“opt ==2/(1 + <?Zr),
(3.146)
где с>0, <т>0 •—константы, выбор которых зависит от конкретной
задачи. Последняя формула дает хорошие результаты при прове-
дении вычислений на последовательности сеток.
Для выполнения итерационного процесса методом ПВР нет
необходимости обращать матрицу (D + wL). Действительно, выра-
жение (3.143) может быть представлено в виде Х*л’ = Х*л-1^ —
- wD-1 [LX<"> + (D + U) Х(л~])].
Для задачи (3.37), например, эта формула приводит к следующим
уравнениям (рис. 3.8):
XW = А'/"-» - О) [Х(.л-О. + х<л-/> + Х\”Х ] + Х^_х
— (4 — А2Л2)
112
Таким образом, вектор * заменяется в памяти ЭВМ на Х(л' по
мере вычисления его компонент.
Как следует из (3.132), спектр матрицы С сдвинут относитель-
но спектра матрицы А на Л. Поэтому при наименьшее соб-
ственное значение матрицы С равно нулю, а при это зна-
чение становится отрицательным. Следовательно, при матри-
ца С теряет знакоопределенность, что нарушает сходимость ПВР
[147]. Таким образом, этот метод можно использовать только для
нахождения одного (наименьшего) собственного значения задачи
(3.132). Это утверждение справедливо, очевидно, и для степенных
методов.
Собственное значение Х9(9>1) будет наименьшим для задачи
(3.132), если искать ее решение в подпространстве векторов, орто-
гональных к собственным векторам Хц Х2, Х9-Р Таким образом,
если в итерационном процессе предусмотреть ортогонализацию ис-
комого вектора Х(л' к векторам Хц ..., X9-i, например, с помощью
формулы Грама—Шмидта [95]
9-1
XW = X<«)-2 (Xm,BX^))/(XW, BXW), (3.147)
m=l
где Х^л) — приближенное решение задачи, получаемое на и-м ша-
ге, то итерационный процесс (3.140) или (3.143) сходится к соб-
ственному вектору Х?. Такая ортогонализация должна проводить-
ся через каждые несколько шагов итерационного процесса. По-
скольку в используемую формулу (3.147) входят собственные век-
торы Xi, ..., Xg-i, для вычисления q-ro собственного вектора и
соответствующего ему собственного числа необходимо предвари-
тельно решить задачу (3.132) для q=\, 2, ..., q—1, каждый раз
запоминая результат решения. Это обстоятельство несколько сни-
жает достоинства метода ортогонализации.
Другой способ вычисления высших собственных чисел и век-
торов [120] основан на введении матрицы D = CCr и замене за-
дачи (3.129) уравнением
DX=0. (3.148)
Так как det D = det Сг det С= (det С)2, матрица D имеет те же соб-
ственные значения, что и С (по модулю). Кроме того, матрица D
всегда симметрична и положительно определена для всех /.
Поэтому применение метода ПВР к решению задачи (3.148) обес-
печивает сходимость Х(л’ к собственному вектору, соответствующе-
му тому собственному числу (включая и высшие собственные
числа), к которому оказывается ближе всего начальное значение
Х<°)- Так как матрица С имеет очень высокий порядок (А= (5—
10) • 103), непосредственное вычисление D невозможно. В связи
с этим необходимо применять специальные способы вычисления ко-
эффициентов этой матрицы, учитывающие разряженность матрицы
С. Описанный алгоритм использован в программе расчета высших
типов волн в волноводах произвольного сечения методом конечных
разностей [120]. Начальные значения Х^о> находятся с по-
мощью грубой сеткн (~60 узлов) прямым методом. В работе от-
мечается, что для успешного решения задачи необходимо задавать
8—1271 ИЗ
хорошие начальные приближения собственного числа и собственно-
го вектора.
В последнее время для решения частичной проблемы собствен-
ных значений широко используется метод итераций в подпростран-
стве [118], позволяющий одновременно вычислять несколько пер-
вых собственных чисел и векторов, в том числе и вырожденных.
•Одновременно получаются оценки и для нескольких следующих
собственных чисел.
Итерационный процесс решения задачи (3.132) начинается с
произвольной (начальной) матрицы Р^0) размерности NxM, где
7И=тш(2р, р+8); р—число собственных чисел и векторов, кото-
рые требуется найти. Столбцами матрицы Р<0’ служат начальные
приближения собственных векторов Х^, Х^0),..., Х^1. На первом
шаге с помощью соотношения AS<"' = ВР^ находится матрица
Это соотношение эквивалентно М системам линейных алге-
браических уравнений, каждая из которых позволяет определить
один столбец матрицы S</!\ Решение систем можно проводить, на-
пример, методом ПВР. Далее вычисляются две матрицы размерно-
сти МХМ-. Т<Л+1)=5(Л’ГА5<Я>; R(n +I)=S<'I>7’BS<',>—и решается обоб-
щенная задача на собственные значения размерности М;
T(«+I)Q(« + I) = R(»+i)Q(n+i)A(«+i); где А(Л+1) _ диагональная
матрица, элементы которой есть приближенные значения собствен-
ных чисел задачи (3.132). Для решения этой задачи ввиду ее не-
большой размерности целесообразно использовать прямые методы
[23]. Наконец, находится следующее приближение собственных
векторов Р("+1) =S*n*Q<"+ Ч, после чего итерационный цикл повто-
ряется до выполнения условия (3.142), где в качестве ^п'1 берется
р-н элемент матрицы Л<л-). При этом все собственные числа, мень-
шие тУ'К находятся с погрешностью cej, а оставшиеся элементы
матрицы соответствуют большим, чем Х<л\ собственным числам за-
дачи (3.132), погрешность вычисления которых, однако, не может
быть оценена. Наряду с достоинствами метод имеет и недостатки,
связанные с относительной сложностью алгоритма и повышенными
требованиями к памяти ЭВМ. Описанный алгоритм использован в
программах расчета регулярных волноводов и аксиально-симмет-
ричных резонаторов [23, 82].
3.9. СРАВНИТЕЛЬНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ И АЛГОРИТМОВ
Интенсивное развитие численных методов расчета
электродинамических систем началось с середины 60-х
годов, когда появились первые универсальные програм-
мы расчета регулярных волноводов и аксиально-сим-
метричных резонаторов. Накопленный с этого момента
опыт позволяет сформулировать критерии, степень со-
ответствия которым определяет пригодность метода для
решения того или иного класса задач. К этим критери-
ям относятся [125J:
114
1. Форма области, в которой рассчитывается элек-
тромагнитное поле, в частности может ли она быть не-
выпуклой, многосвязной, иметь криволинейную границу.
2. Возможность расчета высших видов колебаний
(типов волн).
3. Зависимость времени решения от требуемой точ-
ности и практически достижимая точность решения.
4. Удобство реализации в вычислительной програм-
ме, т. е. пригодность для решения широкого класса за-
дач и разумные затраты времени и средств на разработ-
ку и сопровождение программы.
Поскольку перечисленные требования во многом про-
тиворечивы, метода, наилучшего для решения большин-
ства встречающихся на практике задач, по-видимому,
не существует. Этим, наряду с другими причинами, объ-
ясняются разнообразие используемых численных мето-
дов и многочисленность созданных на их основе вычис-
лительных программ. Сравнение основных характери-
стик этих программ позволяет сделать определенные
выводы об области применимости того или иного мето-
да. Ценная попытка такого сравнения сделана в обзоре
[МО], где сведены в таблицу данные о зарубежных
программах расчета полей в регулярных волноводах.
Ниже приводится эта интересная таблица для описан-
ных в настоящей главе методов, дополненная появив-
шимися в последние годы отечественными и зарубеж-
ными универсальными (пригодными для расчета полей
в двумерных областях произвольной формы) програм-
мами, по которым опубликована необходимая для срав-
нения информация (табл. 3.1).
Из таблицы видно, что процесс развития численных
методов решения внутренних краевых задач электроди-
намики можно разделить на два периода. Первый
(1965—1972 гг.) характеризуется применением различ-
ных численных методов, причем в начале большое вни-
мание уделялось методам коллокаций и конечных раз-
ностей. (Отметим, что одними из первых в 1966 г. по-
явились универсальные программы расчета регулярных
волноводов [126] и аксиально-симметричных резонато-
ров [ПО], использующие метод конечных разностей.)
Несколько позже появились программы, реализующие
вариационные методы, а также методы интегральных
уравнений и конечных элементов. Эксплуатация этих
программ позволила оценить их достоинства и недостат-
ки, сосредоточить усилия исследователей на полной реа-
8* 115
Основные характеристики универсальных
электромагнитных полей свободных волн
и аксиально-симметричных
Чис- ленный метод Название прог- раммы, источник Год опуб- ликова- ния Свойства и порядок W матрицы, необходи- мые для расчета fe(£c) с погрешностью не более 0,1% Метод решения матричного уравнения
1 1 2 1 3 4 5
МКР LALA [НО] 1966 Редкая, А = 5000— 15 000 ПВР
PDSOR[120j 1968 Редкая, А=5000— 20 000 —»—
{141] 1969 Редкая, А = 5000— 10 000 —»—
[61] 1975 Редкая, А=5000— 10 000 —»—
EXTEL [34] 1978 Редкая, А = 5000— 8000 —»—
ЕДИП [23] 1980 Редкая, А=5000— 15 000 Итерации в под- пространстве
[63] 1980 Редкая, А = 5000— 10 000 ПВР
AZIMUTH [32] 1981 Редкая, А=5000— 20 000 ПВР, степенной со сдвигом спектра
GNOM [13] 1982 Редкая, А = 5000— 50 000 Ускоренный метод Лнбмана с элемен-
тами верхней ре- лаксации [65]
вм EHPOL[12I, 122] 1969, 1970 Плотная, А=30—40 Прямой
ВАРАКС (§ 3.3) 1972 Плотная, А=30—40 —»—
116
Таблица 3.1
программ расчета двумерных
и колебаний в полых волноводах
резонаторах
Форма обтасти, число р собственных значе- ний для Б- и (или) //-колебаний (волн) Требуемая память ЭВМ Время решения на один тип (внд) волн (колебаний), для тест-задач, тип ЭВМ Примечание
6 7 1 8 9
Произвольный ре- зонатор; р=1 (Е) Произвольный вол- новод; р = 6 низ- ших (Е. Н) 140—220 Кбайт 15—20 мин1 5—8 мин, IBM 360/65 1 ч на БЭСМ-6 Преобразование D = CCr (§ 3.8)
Произвольный вол- новод. р = 3 низ- ших (Е, И) I мин, IBM 7094 Ортогонализация (§ 3.8)
Произвольный вол- новод и резонатор; р=1 (Е, Н) — БЭСМ-6 Кусочно - неодно- родное заполне- ние [62]
Произвольный вол- новод и резонатор; р = 1 (Е, И) 9000 ма- шинных слов 1,5 мин, БЭСМ-6 Анализ допусков (§ 4.3), оптимиза- ция (§ 6.6)
Произвольный вол- новод и резонатор; Р=1 (Е. И) — 5 мин, БЭСМ-6 Учет особенностей (§ 3.2), прямо- угольная сетка
Произвольный ре- зонатор; р = 3 (Е) Азимутально - не- однородные виды колебаний; метод исчерпывания [10] для высших видов колебаний
Произвольный ре- зонатор; р= 10 низ- ших (Е, Н) 29 000 ма- шинных слов 1 мин. БЭСМ-6 Ортогонализация (§ 3.8), азимуталь- но - неоднородные виды колебаний (§ 5.1)
Произвольный ре- зонатор: р — лю- бое (Е, Н} 30 Кбайт 15—20 с, ЕС-1052 —
Произвольный вол- новод; р=10 низ- ших (Е, Н) 70 Кбайт 70 с, IBM 360/65 Слабая сходи- мость для невы- пуклых областей
Произвольный ре- зонатор; p=l (Е) 8000 слов 4 мин, «Минск-22» Вспомогательный базис
117
1 2 3 4 5
МКЭ [143] 1969 Плотная, блочно- диагональная, N= =30—100 Прямой
IFEM [142] 1971 Редкая, jV=5000— 10 000 ПВР
[111] 1976 Редкая, А =1000— 1500 —»—
SUPER- FISH, [130] 1976 Редкая, ленточ- ная, jV= 1500 Решение уравне- ния I(k) =0 (§ 3 8)
LANS, [49] 1979 Редкая, ленточная, М= 500—2500 Итераций обрат* ной матрицей
SUPER- FISH-1 [38] 1980 Редкая, ленточная, Ас 3000 см. SUPERFISH
MULTI- MODE ]82] 1982 Редкая, ленточная, N = 300—1500 Итерации в под- пространстве
МИУ [145] 1972 Плотная, N= 10— 30 Решение уравне- ния detz(Ac)=O (§ 3 5)
мк [150] 1965 Плотная, М=8—12 То же
[139] 1972 —»— .—»—
1 Для области сложной формы.
2 Время вычисления невязки.
118
Окончание табл. 3.1
6 7 1 8 I 9
Произвольный вол- новод: Р = 7 низ- ших (Я) 200 Кбайт 40 с1, IBM 7094 Нерегулярная тре- угольная сетка, Т = 1—4, см. также [133]
Произвольный вол невод: р = 6 низ- ших (Е, Я) 1 мин, IBM 7094 Регулярная тре- угольная сетка, Т=1, ортогонализация (§ 3.8)
Произвольный вол- новод: р=8 низ- ших (Е, Я) — 3 мин1, БЭСМ-6 Кусочно - неодно- родное заполнение
Произвольный ре- зонатор; р — лю- бое (Е) 11Я+ при Я>1500 требуется использо- вание внеш- ней памяти 10 с3, С DC 7600 Топологически ре- гулярная сетка (§ 3.4), Г=1
То же То же 20 мин1, ODRA 1306 То же
Произвольный вол- новод и резонатор; р — любое (Е, Я) —»— 20 с3, ICL 1906А —»—
То же — 30—40 с’, ICL 1906А Четырехугольные биквадратичные элементы
Произвольный вол- новод; р= 1 (Е, Я) Произвольный вол- новод; р = 7 низ- ших (Я) 100 Кбайт 16 Кбайт Не приводится, отмечается как значительное 3—4 мин1 Поле вблизи гра- ницы рассчитыва- ется неточно (см. также [9]) Слабая сходимость для невыпуклых областей, поле рас- считывается не- точно
То же 70 Кбайт 5 мин1, IBM 360/44 Более точный рас- чет поля (см. так- же [20])
119
лизации возможностей наиболее перспективных мето-
дов. Действительно, как видно из табл. 3.1, все про-
граммы, созданные после 1972 г., реализуют только
методы конечных разностей и конечных элементов.
Количественное сравнение различных численных ме-
тодов затруднено в связи с тем, что реализующие их
программы составлены разными группами исследова-
телей, проверяются на разных задачах и адаптированы
к различным типам ЭВМ. Тем не менее для МКР и
МКЭ опубликован ряд данных, позволяющих оценить
их характеристики при решении одних и тех же задач.
Имеются также некоторые сведения по решению этих
задач вариационным методом и методом интегральных
уравнений.
Одной из классических тест-задач служит расчет
критических волновых чисел различных типов волн в
круглом волноводе (задача для выпуклой области с
гладкими криволинейными границами). Относительная
погрешность 6 этого расчета с помощью программ, реа-
лизующих МКР, ВМ и МКЭ, приведена в табл. 3.2.
Таблица 3.2
Относительная погрешность расчета
критических волновых чисел kc различных типов
волн в круглом волноводе радиуса а
Тип волны Аналити- ческое зна- чение ^са Относительная погрешность 6 Ю4
PDSOR EHPOL 1FEM
Eoi 2,4048 —2,9 0 0,83
Еи 3,8317 —2.9 0 0,78
Ец 5,1356 —3,1 0 0,78
Еоч 5,5201 —41,6 0 —
Е31 6,3802 —2,7 0 —
£12 7,0156 —5,5 0,28 —
1,8412 3,25 0 1,6
Н31 3,0542 —13,1 0 4,25
Hoi 3,8317 12,0 0 26
Н31 4,2012 —3,6 0 —
Нц 5,3176 —9,4 0,19 —
Н\2 5,3314 10,1 0 —
В табл. 3.3 приведены результаты расчета основных
Е- и //-видов колебаний цилиндрического резонатора,
длина которого I равна радиусу а, методами конечных
разностей и конечных элементов, реализованными в од-
ной программе [33]. Расчеты проводились на одинако-
во
вой последовательности сеток с максимальным числом
узлов Л^гаах = 5500. Указаны отношение шага сетки h к
радиусу резонатора, относительная погрешность расче-
та 6 и число итераций п на каждой сетке. При расчете
используются квадратная регулярная сетка и пятито-
чечный оператор (МКР), треугольная регулярная сет-
ка и полиномы первого порядка Т = 1 (МКЭ).
Таблица 3.3
Результаты расчета собственных волновых чисел двух видов
колебаний в цилиндрическом резонаторе методами конечных
разностей и конечных элементов
h а ^010 «о..
МКР МКЭ МКР МКЭ
6, % п 8, % п 6, °/о п 8, °/о п
1 118 0,28 104 0,32 72 0,30 48 0,63 40
1 36 0,11 16 о,и 16 0,11 16 0,2Ю 16
_1 72 0,06 8 0,03 16 0,07 16 0,07 16
Аналогичные результаты, полученные с помощью
программы ВАРАКС (см. § 3.3) для цилиндрических
резонаторов различных размеров с использованием раз-
личных систем базисных функций, приведены в табл. 3.4.
Таблица 3.4
Относительная погрешность расчета собственных частот двух видов
колебаний в цилиндрических резонаторах вариационным методом
на вспомогательном базисе
а а..: 1Ца 0,6, 1 1, 0,7
С 1 0,5 1 0,5 05
Внд колебаний £о1О £01, Сло £oio Ьоп
<5-106 —8,8 —5,0 —,11,6 +64,0 —,11,0
Через «о и /о обозначены радиус и длина расширен-
ной области (цилиндрического резонатора), собствен-
ные функции которой (всего 32) использовались в каче-
стве базисных. Система функций с £=1 соответствует
колебаниям £о, п, ip в расширенной области, а система
121
функций с Х = 0.5 — колебаниям вида Ео 2p+i>P = 0. I,
2,... Отметим исключительно малую погрешность расче-
та даже при использовании «неподходящей» системы
функций (предпоследний столбец табл. 3.4).
На рис. 3.23 показана зависимость погрешности рас-
чета критического волнового числа методами конечных
разностей и конечных элементов от шага сетки [142].
В МКЭ использовались элементы первого порядка на
регулярной треугольной сетке. Повышенная погреш-
ность МКЭ на сетках с большим шагом объясняется
меньшим по сравнению с МКР порядком интерполяции
поля между узлами (первым \ МКЭ и вторым у МКР).
На сетках с малым шагом погрешности обоих методов
практически одинаковы.
Рис. 3.23 Зависимость по-
грешности расчета собствен-
ных значений от шага сет-
ки по МКР (PDSOR) и
МКЭ (IFEM)
Рис. 3.24. Зависимость по-
грешности расчета kc волны
Яз1 в прямоугольном вол-
новоде для различных зна-
чений порядка полинома Т
Р. Сильвестр [143] исследовал скорость сходимости
МКЭ при различных комбинациях порядка полиномов
Т в различных элементах и числа элементов Р. Числен-
ные результаты приводятся только для волны Н31 в
прямоугольном волноводе (рис. 3.24), из которых мож-
но сделать вывод о том, что для простых областей луч-
ше выбирать наименьшее число элементов и наиболь-
ший порядок полинома в них. Однако для практических
задач оптимальное соотношение между Т и Р заранее
установить трудно — для этого требуется немалый опыт.
Этот последний вывод подтверждается данными А. Кон-
рада [133], который при различных вариантах триан-
гуляции получал системы уравнений порядка 77, 104,
113. Рассчитывался резонатор типа «омега»-структ\ ры
122
(см. рис. 1.10) (детально исследованный X. Хойтом
[110J), для более точного описания формы которого
использовалась нерегулярная треугольная сетка, сгу-
щаемая вблизи криволинейных границ, где Г=1. Во
внутренних элементах большой площади порядок поли-
нома выбирался равным 3. Расхождение с данными
X. Хойта уменьшалось соответственно с 0,93 до 0,55 и
0,40%. В этой работе указывается также, что погреш-
ность расчета основных волновых чисел цилиндрическо-
го и коаксиального резонаторов в сравнении с аналити-
ческими решениями при двух элементах с полиномами
«очень высокого порядка составляет 0,1% и меньше».
В рассмотренных выше примерах погрешность чис-
ленных расчетов оценивалась в сравнении с аналитиче-
скими решениями, известными для анализируемых об-
ластей простой формы. Не менее важное значение для
оценки возможностей метода имеют результаты расчета
областей сложной формы, однако отсутствие аналити-
ческих решений для этих случаев затрудняет оценку
погрешности расчета. В табл. 3.5, 3.6 представлены ре-
зультаты расчета критических волновых чисел различ-
ных типов волн в П-образном волноводе с соотноше-
нием размеров а : b : с : d = 2 : 4 : 2 : 1 (рис. 3.25), полу-
ченные с помощью разных программ.
Таблица 3.5
Расчетные значения критических волновых чисел
основных типов волн П-образного волновода
Программа /г са
Е, /Л
PDSOR 12,1416 2,2412
EHPOL — 2,2604
[145] 12,1640 2,2566
[33] 12,1584 2,2492
ЕДИП 12,4164 —
[Н2] — 2,2500
Таблица 3.6
Расчетные значения критических волновых чисел kca высших типов
волн П-образного волновода
Программа Е> Н2
PDSOR 12,4280 4,8460 15,5892 6,4532 16,6468 7,5788
EHPOL — 4,9252 — 6 4876 — 7,5248
123
Погрешности расчета основного вида колебаний то-
роидального резонатора методами конечных элементов
и конечных разностей приведены в табл. 3.7. Указано
Р и с. 3.25 Поперечное
сечение П-образнсго
волновода
также число итераций п на
каждой сетке. Результаты рас-
чета этого же резонатора ва-
риационным методом на вспо-
могательном базисе (програм-
ма ВАРАКС) показаны на
рис. 3.26 и 3.27 (использова-
лись 40 базисных функций с
ь=1).
Погрешности оценивались
в сравнении с результатами эк-
сперимента. Отметим, что по-
грешность расчета собственных частот по программе
ВАРАКС имеет тот же порядок, что и погрешность рас-
чета постоянной распространения в П-образном волно-
воде по программе В. Г. Феоктистова [75], также реали-
зующей вариационный метод на вспомогательном ба-
зисе.
Р и с. 3.26. Зависимость расчет-
ных значений собственной дли-
ны волны (/) и волнового со-
противления (2) тороидального
резонатора от числа базисных
функций
Рис. 3.27. Зависимость
погрешности расчета соб-
ственной длины волны
тороидального резонато-
ра от зазора
Таблица 3.7
Результаты расчета основного вида колебаний тороидального
резонатора методами конечных разностей и конечных элементов
h а МКР МКЭ
г. % п 3, % п
1 27 1,59 136 0,70 104
1 54 0,29 40 0,09 40
124
Представленный материал позволяет сделать сле-
дующие выводы:
1. Наиболее универсальными методами решения
двумерных задач электродинамики на собственные зна-
чения являются МКР и МКЭ. Возможности этих мето-
дов на регулярных сетках и элементах первого порядка
практически совпадают; МКЭ имеет несколько более
быструю сходимость и меньшую погрешность при рас-
чете поля в аксиально-симметричных резонаторах со
сложной формой образующей (табл. 3.7). Однако более
сложные формулы для матричных элементов делают
время решения обоими методами практически одинако-
выми. Этот вывод справедлив и для волноводов. Пре-
имущества метода конечных элементов наиболее полно
раскрываются при использовании нерегулярных сеток
и полиномов высокого порядка [82], однако при этом
резко увеличивается объем входной информации.
Строгая теория метода конечных элементов, гибкость
(методом конечных элементов можно, в принципе, ре-
шить любую практическую задачу) и широкие возмож-
ности удовлетворения таким противоречивым требова-
ниям, как точность решения и ограниченный объем па-
мяти ЭВМ, обеспечили ему большую популярность.
И все же сложившуюся в настоящее время ситуацию
можно охарактеризовать как переход от оптимизма к
сдержанности. Серьезной проблемой остается сведение
к разумному минимуму объема входной информации,
времени на ее подготовку (что уменьшает вероятность
ошибок в задании на расчет). Это особенно важно для
пользователей программ — разработчиков приборов,,
обычно не являющихся специалистами в области чис-
ленных методов. Нам остается процитировать Г. Стрэн-
га, одного из активных сторонников метода конечных
элементов: «...это хорошо, но будет еще лучше, если мы
научимся решать те же задачи с меньшими затратами».
Минимальный объем входной информации в сочета-
нии с простотой алгоритма, достаточной точностью и
приемлемым временем решения достигаются при реали-
зации метода конечных разностей. Эти особенности
обусловливают неослабевающий интерес к МКР разра-
ботчиков программ. По-видимому, возможности этого-
метода, так же как и МКЭ, еще далеко не исчерпаны.
2. Вариационные методы характеризуются исключи-
тельно малой погрешностью расчета поля в выпуклых
областях (табл. 3.2, 3.4). Для невыпуклых областей по-
125-
грешность, однако, сильно возрастает (табл. 3.5, 3.6,
рис. 3.26, 3.27).
Активное развитие вариационных методов обнару-
жило их недостатки, связанные со значительным объ-
емом предварительной обработки задачи, трудностью
построения координатных функций, которые отражали
бы основные свойства ее решений (особенно в обла-
стях сложной формы) и при сравнительно малом числе
этих функций давали бы удовлетворительную аппрокси-
мацию решения. Кроме того, для сложных областей не-
редко оказывается, что, хотя точность решения и воз-
растает с увеличением порядка N, эта зависимость име-
ет немонотонный характер, так что сходимость в этих
случаях ухудшается.
3. Методы интегральных уравнений и коллокаций
характеризуются системами уравнений наименьшего
порядка, однако их реализация связана с нахождением
минимума определителей систем, что требует значитель-
ных затрат машинного времени. Кроме того, для не-
выпуклых областей высокая точность расчета поля мо-
жет быть достигнута только при удачном выборе систем
функций, использующихся для разложения в ряд по-
верхностного тока [139], в противном случае возмож-
на, как и в вариационном методе, немонотонная сходи-
мость к решению [150]. Однако точность расчета эти-
ми методами собственных значений может быть весьма
высокой. Так, сравнение результатов расчета критиче-
ского волнового числа волны Я31 в прямоугольном вол-
новоде методом коллокаций [139] и методом конечных
элементов [143] показало, что одинаковая относитель-
ная погрешность (0,02%) была получена при N = 3
(МК) и М—70 (МКЭ). Заметим, что авторам неизвест-
ны программы, реализующие интегральные методы и
методы коллокаций для расчета резонаторов.
Рассмотрим в заключение возможности различных
численных методов для расчета трехмерных систем, от-
личительной особенностью которого является необходи-
мость хранения и обработки больших объемов инфор-
мации. Предположим, что ЭВМ может хранить и обра-
батывать за разумное время Л4 единиц информации
(чисел). Учитывая, что для описания поля в трехмер-
ной ЭС необходимы, по крайней мере, две скалярные
функции (§ 2.6), в результате дискретизации задачи
получаем систему уравнений СХ=^0 порядка 2V. При
применении поверхностных методов (см. §2.8). С—плот-
126
ная матрица, все элементы которой необходимо хранить
в памяти ЭВМ; А— число элементов, на которые разби-
вается поверхность ЭС. Отсюда Лпов ~0,5Л41/2. Ис-
пользование объемных методов (за исключением про-
екционных) приводит к редкой матрице С, элементы
которой не хранятся в памяти вычислительной машины.
Вместо этого в память записываются значения неизве-
стных функций в A-узлах, расположенных в объеме
ЭС и на ее поверхности. При равномерном распреде-
лении число узлов, находящихся на поверхности ЭС,
МОб~(М/2)2 3~0,63Л12''3. В двумерном случае соответственно»
А/’пов= А^об«А4|/2. Таким образом, при решении трехмер-
ных задач объемные методы (МКР и МКЭ) получают
дополнительные преимущества.
Глава 4
МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПАРАМЕТРОВ
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
4.1. РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ РЕГУЛЯРНЫХ
волноводов и аксиально-симметричных:
РЕЗОНАТОРОВ
Как отмечалось в гл. 1, ЭС ЭП характеризуются
определенными параметрами, позволяющими оценить
эффективность их взаимодействия с электронным пото-
ком. Определения этих параметров, приведенные в
§ 1.2, связывают их значения с электромагнитным по-
лем свободных колебаний (волн) в ЭС. Это поле в.
свою очередь описывается скалярными функциями, при-
ближенные значения которых находятся при решении
задачи на собственные значения изложенными в гл. 3-
численными методами. Таким образом, необходимо ис-
пользовать специальные методы расчета параметров-
ЭС по результатам численного решения задачи о сво-
бодных колебаниях. Эти методы применительно к регу-
лярным волноводам и аксиально-симметричным резона-
торам рассматриваются в настоящем параграфе.
Начнем с волнового сопротивления регулярного вол-
новода. Электромагнитное поле Я-волн связано с соб-
ственной функцией волновода ф соотношениями (3.8) иг
(3.9), из которых следует, что для падающей волны
127
(С = e-i&zZ) Ej. = ZE [Hj, ег], где ZE=^/kz=; ^k/k,.
Таким образом,
2P = T]0Re [(Wj | H± |2dSl = 7]0 Re («J Ml2rf5. (4.1)
s
5
Определим теперь числитель выражения (1.16)
U |2
= I - J Edl|2
1
= |io>pj [Vj., фег] ezcZZ |2 -=
i
где dty/дп — производная от функции ф по нормали к
пути интегрирования. Обычно в качестве этого пути вы-
2
бирают прямую х = х0. Тогда | t7|2 = co2|i2| [<?ф (х0,
1
y)/dx]dy\2. Подставив это выражение в (1.16), полу-
чим
2
k \ ] (д<\>/дх) dy\2
p=7ioX • (4-2)
D
Если (D^OO, kz—^k. Поэтому удобно ввести
2
| {(д^/дп) dl\2
р“ = 7io 'j'MI2^ ’ (4'3)
D
а соответствующая данной частоте величина р(&) =
= Poo[l_(W]-.,2.
Для Е-волн электрическое поле связано с собствен-
ной функцией волновода соотношениями (3.5), (3.6).
Отсюда
2 2
U = — jEdl=- С J (y^,et)dl =
I 1
2
= - С j (db'dl) dl = (ф, — <ь2).
1
(4.4)
На идеально проводящих стенках волновода функция
ф = 0. Таким образом, если точки 1 и 2, между которы-
128
ми ведется интегрирование, расположены на стенках
волновода, его волновое сопротивление, определенное с
помощью выражения (1.16), тождественно равно нулю.
Это определение в данном случае непригодно, и волно-
вое сопротивление для В-волн следует вычислять, на-
пример, через эквивалентный ток I [57].
Для волн Г-типа в многоавязанных линиях передачи
kc = 0, kz = k. Напряжение в этом случае определяется
формулой (4.4), где интегрирование ведется между по-
верхностями различных проводников. Использовав (2.1)
и положив kc=Q, найдем передаваемую мощность
Р = -r\~lk2 уф |2 dD. (4.5)
b
Таким образом,
Р =''lo I Ф2 ~ |2/f I (4.6)
b
Постоянная затухания а в линии передачи опреде-
ляется выражением (1.15). Для малых потерь (а<С₽)
из него следует, что а = Р\12Р, где Рх = Pic-\- Ри—
мощность, рассеиваемая в линии передачи единичной
длины, которая слагается из мощности, рассеиваемой в
стенках линии, Р1с = 0,5 ReZc | Нх |2 dS и в заполняю-
s
щем ее диэлектрике 2Р]д = о> f (е"|Е|2 + v"\H\2)dV.
V
Эти величины с достаточной степенью точности вычис-
ляются по распределению электромагнитного поля, най-
денному в предположении идеальной проводимости сте-
нок. Проводя необходимые преобразования, получаем:
Р1(.= 0,5А2 (Rs/t[2) (^| dty/dn\2dl для Е- и Т-волн;
Pic=0,5Re/?^[A2^ 1 dty/dn \2dL Д-&2 <£ | ф \2dL для /7-волн.
L JL
Следовательно,
(£ | д^[дп |2 dL
2 710 J I уф |2 dD ’
D
9-1271
129
k
ctf = ---д?'*, (4*8)
kz
($\d^dn\2dL ki $\^dL\
a-H = — — I ±---------------P —£- ---------- I (4’9>
2 710 A I f 17Ф12dD 2 J1?<b \2dD I
\ D D /
Рассмотрим резонатор, выполненный из отрезка ре-
гулярного волновода длиной I. Поля собственных коле-
баний Е- и //-видов в таком резонаторе описываются
формулой
Г2(х,у,г) = ф(х,у)ЗШ ^-z, /’ = 0,1,2,..., (4.10)
cos I
причем функции поперечного распределения поля в ре-
зонаторе и волноводе того же сечения на данной часто-
те совпадают. Энергия, запасенная в таком резонаторе,
W=2Pl/vg, где сг = </(й/</р — групповая скорость, а мно-
житель 2 учитывает, что полная энергия поля в резона-
торе равна сумме энергий падающей и отраженной
волн. По той же причине можно записать Ехр = 2Ех,
где Ех — амплитуда поля бегущей волны в волноводе.
Отсюда волновое сопротивление резонатора
2
рР = = 2р^/(%0- (4.11)
Поскольку vg = ck-Jk, k0 = <»0/с0 — k2 + к2/?2//2, выра-
жение (4.11) принимает вид
Рр = р2я/?/(М)2. /’ = 1,2,... (4.12)
Эта формула не применима при р^>1, так как в этом
случае вследствие затухания распределение поля в ре-
зонаторе не описывается формулой (4.10).
Добротность резонатора Q определяется выражени-
ем (1.10), причем входящая в него мощность потерь в
стенках
P'^0,5ReZc $\EK\2dS. (4.13)
s
Отсюда добротность резонатора, выполненного из от-
резка волновода, Q = А2/(2£2а). Данное выражение не
130
(4.14)
учитывает мощности, рассеиваемой в торцевых стенках
резонатора.
Получим формулы для вычисления параметров ак-
сиально-симметричных резонаторов на азимутально-од-
нородных видах колебаний. В соответствии с выраже-
ниями (3.21) электромагнитное поле колебаний Е-вида
связано с функцией ф следующим образом:
Е = ------ —*-е2 ; Н = — <j»ee.
1«>ег \ ог or / г
Подставив эти выражения в (1.11), получим
2
р== J_ J_______________________
2к [ г-11 ф |2 drdz
b
Если волновое сопротивление вычисляется между точ-
ками, лежащими на оси резонатора, в подынтегральном
выражении числителя возникает неопределенность вида
0/0 (см. § 3.1), раскрыв которую получим
2
| \ (д2^/дг2) dz\2
р (0) = 3>- ’ J----------------. (4.
2тс k° §r~y\ty]2drdz
D
Добротность резонатора также может быть вычисле-
на с помощью его собственной функции
Jr-1 |ф \2drdz
= ------------• (4.16)
L
Коэффициент взаимодействия определяется по фор-
муле, которая очевидным образом получается из (1.13):
2
f г-1 (<?ф/<?г) (cos 8ez Д- i sin fiez) dz
M = -i---------J-----------------------. (4.17)
[ г-1 (дф/dr) dz
i
(Предполагается, что электроны движутся параллельно
оси резонатора.)
у* 131
Когда электронный поток имеет достаточно боль-
шие поперечные размеры, волновое сопротивление и ко-
эффициент взаимодействия могут существенно отли-
чаться в разных точках его поперечного сечения. В этом
случае качество резонатора целесообразно характери-
зовать усредненным по сечению потока эффективным
волновым сопротивлением
Peep = (р И |2)ср = /-1 f Р (г) | М (г) I2 Jz (г, 0) rdrdb,
5П
где Jг (г, 0) — плотность конвекционного тока электрон-
ного потока; 1— f JzdS —полный конвекционный ток;
5л
5П —площадь потока. При постоянной плотности тока в
пучке записанную формулу можно упростить:
(p|M|2)cp = 0,5(r2-r2)-‘ J р|M\2rdr, (4.18)
г,
где rh r2 — внутренний и внешний радиусы потока.
Рассмотрим в заключение методы вычисления инте-
гралов от собственных функций, фигурирующих в за-
писанных выше выражениях. Если решение задачи на
собственные значения проводилось одним из методов,
использующих разложение собственной функции в ряд,
ф = 2 результатом решения задачи являются
i=i
собственное значение kc или k0 и коэффициенты разло-
жения {at}. Производные от собственной функции мож-
но вычислить аналитически, однако для вычисления
большинства интегралов потребуется довольно трудо-
емкая операция перемножения рядов. Поскольку функ-
ции ф/( как правило, неортогональны, для определения
каждого интеграла придется вычислить № криволиней-
ных или двойных интегралов от произведений функций
или их производных.
В результате решения задачи на собственные значе-
ния методами конечных элементов или конечных разно-
стей получаются собственное значение Х = —А2 и се-
точная функция X, аппроксимирующая собственную
функцию ф. Причем если задача решается методом
верхней релаксации с уточнением собственного числа с
помощью функционала (3.27) или (3.28), то один из
интегралов, фигурирующих в выражениях (4.3), (4.6),
(4.7), (4.14), (4.16), оказывается вычисленным, что на-
132
половину сокращает объем расчетов. Для нахождения
других интегралов можно использовать простые квадра-
турные формулы. В то же время при вычислении вол-
нового сопротивления по формуле (4.14) приходится
дифференцировать сеточную функцию, а в (4.15) нахо-
дить ее вторую производную. Это обстоятельство увели-
чивает погрешность вычислений, особенно если вдоль
пути интегрирования укладывается всего несколько уз-
лов сетки.
В [37] авторы предложили метод расчета волнового
сопротивления, лишенный указанного недостатка. Рас-
смотрим интеграл, стоящий в числителе выражений
(4.3) и (4.14). Так как на металлической поверхности
волновода и резонатора выполняется условие dty/dn = 0,
контур интегрирования можно замкнуть по этой поверх-
ности, не меняя значения интеграла. Воспользовавшись
затем первой формулой Грина, записанной в обобщен-
ном виде (П1.17), и положив т = 2; <р = 1; а12=а21 = 0;
ац=а22=а = 1—для волновода и аи = а22 = а = г~1 для
АСР, получим
где Di—площадь, ограниченная контуром образующей
ЭС и кривой, по которой производится интегрирование
между точками 1 и 2. Учитывая, что функция ф удо-
влетворяет уравнению (3.16) или (3.18), запишем
2
У a.(dtyldn)dl~k2 J a-^dD. Подставив это соотношение
1 о,
в (4.3) и (4.14), получим соответственно:
для волновода
If
poo = tU:4 —--------; (4.19)
‘° f|<p|2<ZO
D
для аксиально-симметричного резонатора
| f r-'^drdz^
= Dt___________
P 2- f r-11 ф |2 drdz
D
(4.20)
133
причем этой формулой можно пользоваться и для на-
хождения р на оси резонатора, положив £>[ = £>. Изло-
женный метод был реализован в программе EXTEL
[34], а затем в программах ЕДИП [23] и AZIMUTH
[32]. Он позволил уменьшить погрешность расчета вол-
нового сопротивления более чем на порядок.
Отметим, что при вычислении коэффициента взаимо-
действия существенного увеличения погрешности за
счет дифференцирования сеточных функций не проис-
ходит, так как их производные стоят и в числителе, и в
знаменателе (4.17). Ошибки вычисления, таким обра-
зом, в значительной степени компенсируются.
4.2. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ПАРАМЕТРОВ
РЕЗОНАТОРОВ
Проиллюстрируем изложенное некоторыми примера-
ми расчета рабочих параметров АСР. В табл. 4.1, 4.2
приведены результаты расчета волнового числа основ-
Таблица 4.1
Результаты расчета цилиндрического резонатора (£010, Z/a = l,
Утат=10 000)
Номер сетки hla п А а 6.1С3
1 ,1/12 35 2,39797 —2,9
2 1/24 15 2,40229 —1,1
3 1/48 15 2,40349 —0.6
4 1/96 10 2,40467 —0,06
— 0 — 2,40516 0,09
Примечание: /=60 с; йаанал = 2,40483.
Таблица 4.2
Результаты расчета сферического резонатора
(Won, Ушах = 10 000)
Номер сетки h а п | А а 6 1С3
1 1/12 25 4,42405 —15,4
2 1/24 20 4,47582 —3,9
3 1/48 15 4,48898 —0,9
4 1/96 10 4,49232 —0,2
— 0 •— 4,49344 0,006
Примечание: / = 45 с; йаанал=4,49341.
134
ного вида колебаний цилиндрического и сферического
резонаторов методом конечных разностей с помощью
программы AZIMUTH. Указаны шаг каждой сетки h,
число итераций п, вычисленные и экстраполированные
к нулевому шагу сетки значения ka (k — собственное
волновое число; а —радиус резонатора), погрешность
вычисления по сравнению с аналитическим решением 6
и общее время счета (процессорное время) t (на ЭВМ
БЭСМ-6). Для цилиндрического резонатора указана
также его длина I.
Сравнение таблиц показывает, что граничные усло-
вия типа Дирихле (колебания НОц) обеспечивают бо-
лее быструю сходимость, чем типа Неймана (Дно)- По-
вышенная погрешность расчета сферического резонато-
ра на малом числе узлов сетки объясняется более слож-
ной формой его поверхности. Погрешность расчета соб-
ственной частоты на последней сетке (Атах =10 000) не
превышает нескольких сотых процента, причем экстра-
поляция к нулевому шагу сетки не всегда приводит к
повышению точности (табл. 4.1).
В табл. 4.3, 4.4 приведены результаты расчета выс-
ших азимутально-однородных видов колебаний в ци-
линдрическом, коаксиальном и сферическом резонато-
рах. Вычисления проводились на последовательности из
четырех сеток. Указаны число узлов последней сетки
Л^пах, значения полученных на ней волновых чисел, по-
грешности вычисления по сравнению с аналитическими
значениями, а также время решения задачи, включаю-
щей вычисление четырех видов колебаний. Для коакси-
ального резонатора приведено также отношение внут-
реннего к наружному радиусу Ь/а.
Таблица 4.3
Результаты расчета высших видов колебаний в цилиндрическом
резонаторе (//а = 2, т = 0, ?Vmax = 5000)
Вид колебаний k а 6 Юз Вид колебаний 1 k а в.103
•Бою 2,40493 0,04 Уон 4,14131 0,03
•Бон 2,87311 0,25 Уо12 4.95503 0,02
^012 3,95747 0,28 Уои 6,07366 0,01
£*020 5,51709 -0,54 У 021 7,19020 0,13
t, мин 3,3 t, мин 3,5
135
Таблица 4.4
Результаты расчета высших видов колебаний в коаксиальном
и сферическом резонаторах (m=0, Nmах = 5000)
Коаксиальный //«“0,5; Ыа = 0,5 Сферический
Вид колебаний k а о-103 Вид колебаний k а
Дно 3,1324 —0,9 4,4896 —0,85
£()20 6,2716 —0,4 Но12 5,7516 —2,0
т 6,2777 —0,8 6,9881 0,03
£<ш 7,0017 —2,5 Н022 7,6976 —3,4
t, мин 5,0 t, мин 3,1
Данные табл. 4.3 свидетельствуют о достаточно ма-
лой погрешности расчета (особенно Н колебаний с гра-
ничными условиями Дирихле) даже на сетках с умерен-
ным числом узлов.
Из табл. 4.4 следует, что погрешность и время рас-
чета коаксиальных резонаторов выше, чем цилиндриче-
ских (табл. 4.3). Эта закономерность связана с тем,
что в данном случае условия Неймана задаются на всей
границе области, а в процессе получения решения его
необходимо ортогонализировать к единице (см. § 3.8).
Повышенная погрешность вычисления собственных ча-
стот сферического резонатора связана с криволиней-
ностью его поверхности, затрудняющей аппроксимацию
граничных условий. Отметим, что использованный в
программе метод нахождения высших собственных зна-
чений успешно работает, даже когда они почти вырож-
дены (колебания Ета и Т, табл. 4.4).
Наряду с собственными частотами программа
AZIMUTH позволяет вычислять и другие параметры ре-
зонаторов. Для иллюстрации в табл. 4.5 приведены ре-
зультаты расчета добротности и волнового сопротивле-
ния на оси для цилиндрических резонаторов различной
формы. Погрешности определены по сравнению с ана-
литическими значениями параметров. При вычислении
добротности предполагается, что стенки резонатора вы-
полнены из меди.
Как следует из таблицы, погрешность расчета р до-
статочно мала, что объясняется использованием в про-
грамме интегрального метода вычисления.
136
Таблица 4.5
Добротность и волновое сопротивление цилиндрических
резонаторов (7/тах = 10 ООО)
1 а f 010 ^-020
Q Sq-103 р, Ом 5р -1О- Q -10* р, Ом 6р 10®
0,2 839 —4,7 37,25 5,7 , 1266 —9,3 37,30 -8,0
0,3 1160 —6,8 55,65 1*6 1755 —7,9 56,04 —6,4
0,4 1442 —2,7 74,22 1,9 2173 —7,7 74,81 —5,2
0,5 1676 —6,5 93,07 5,1 2528 -10 93,32 —7,2
В табл. 4.6 приведены данные по расчету тороидаль-
ного резонатора (рис. 4.1), включающие оценку погреш-
ности вычисления волнового сопротивления и время ре-
шения задач прн числе узлов сетки Л?гаах =7600. По-
грешности оценивались по сравнению с данными экспе-
римента и результатами расчета по программе EXTEL,
приведенными в [55].
Таблица 4.6
Результаты расчета тороидального резонатора на основном виде
колебаний
d, мм 5,0 3,0 2,0 1,0 0,75 0,5
Rs, мм 37,0 35,05 32 24,8 20,25 14,3
/э, ГГц 2,984 2,9794 3,0138 2,9928 3.0213 2,9913
/0, ГГц 3,002 3,0007 2,9998 3,0002 3,0002 3,0003
В/, % 0,5 0,7 —0.4 0,2 —0,7 0,3
(2>, ГГц 2,999 2,9799 3,0112 2,9895 3,0153 2,9838
В/> % 0,50 0,02 -0,09 —0,11 —0,20 —0,25
Рэ, Ом 53,5 61,7 67,1 66,4 62,0 45,6
р’\ Ом 52,6 59,0 63,5 64,6 59,6 43,9
Вр, % —1,7 —4.5 —5,7 —2.8 —4,0 —3,8
р2>, Ом 56,4 62,2 70,0 65.8 60,8 47,8
Вр, % 5,42 0,81 4,32 —0,90 —1,93 4,82
/0, мин 18,5 19,0 19,7 19,0 21,4 25,0
f2>, мин 2,2 2,5 3,2 4,5 4.7 3,7
О По программе EXTEL.
2) По программе AZIMUTH.
В широком диапазоне изменения ширины зазора по-
грешность по частоте не превышает 0,5%, а по волново-
му сопротивлению — 5% (погрешность измерения р в
[55] не оценивается, хотя и принят ряд мер к ее умень-
шению).
137
На рис. 4.1 и 4.2 показаны зависимости собственной
длины волны, волнового сопротивления и добротности
основного вида колебаний от ширины сеточного зазора
тороидального резонатора с различным отношением ра-
диусов втулки и внешней оболочки, рассчитанные по
программе EXTEL. Расчет проводился в режиме пере-
Is не. 4.1. Зависимость собственной длины вол-
ны (1) и волнового сопротивления (2) от ши-
рины зазора тороидальных резонаторов с раз-
личным отношением радиусов пролетной трубы
и внешней оболочки:
a — JJj/«2=0,66; б
Рис. 4.2. Зависи-
мость добротности то-
роидального резона-
тора от ширины за-
зора:
1 - £,/«,,=0,66; 2 -
£,/«2=0,45; Н/£2=0,96
бора вариантов, для которого в исходной информации
задаются геометрия только начального варианта и шаг
варьирования (начальный) того размера, влияние кото-
рого исследуется. Число вариантов для каждой из за-
дач составляло 10. При числе узлов сетки порядка 7000
и жестком критерии сходимости (ех = 0,0001) время
счета составило на ЭВМ БЭСМ-6 соответственно 53 и
55 мин, т. е. в среднем около 5 мин на анализ одного
варианта. Заметим, однако, что наибольшее время сче-
та имеет место для узких зазоров, при малых значе-
ниях d//?2<0,3. Ухудшение сходимости в таких задачах
отмечается и в других работах [61, 133]. При d//?2>0,3
время анализа одного варианта при тех же условиях
составляет 1—2 мин. Погрешность расчета длины волны
не превышает 0,5%, волнового сопротивления и доброт-
ности 6% по сравнению с результатами эксперимента,
представленными С. В. Куриловым.
Зависимость основных параметров тороидального
резонатора, включая эффективное волновое сопротивле-
ние, усредненное по сечению потока, показана на
138
рис. 4.3. Тринадцать вариантов этой конструкции были
рассчитаны за 45 мин. Для анализа восьми вариантов
с целью определения влияния высоты резонатора не-
сколько другой конструкции на частоту и волновое со-
противление потребовалось около 10 мин машинного
времени (рис. 4.4).
Рис. 4.3. Зависи-
мость рабочих пара-
метров тороидально-
го резонатора с соот-
ношением размеров
Я/Я2=0,26; RiIR2=
=0,61 от ширины за-
зора при ускоряющем
напряжении 17=8,5 кВ
На практике представляет интерес распределение
электрического поля в объеме резонатора. В качестве
примера на рис. 4.5, 4.6 показаны зависимости продоль-
ной Ег и поперечной Ег составляющих электрического
поля тороидального резонатора с кольцевым зазором.
Обе составляющие нормированы к максимальному зна-
чению Ezmax, которое, как следует из рисунков, находит-
ся вблизи угла с координатами z/d=l и г = Еср—f/2.
При расчете резонатора многолучевого прибора, пока-
занного на рис. 4.7,а, предполагалось, что пролетные
каналы, расположенные в объеме втулки, имеют, за ис-
ключением осевого, кольцевую форму. В таком прибли-
жении задача остается двумерной, а расчетная область
с учетом аксиальной симметрии имеет вид, изображен-
ный на рис. 4.6,6. Полученные на ЭВМ графики зависи-
мостей составляющих поля Ez и Ег от продольной и
поперечных координат (рис. 4.8) свидетельствуют о
сильной неравномерности распределения поля'вдоль ра-
диуса втулки, а следовательно, и о неодинаковой эффек-
тивности взаимодействия различных электронных пото-
ков с полем резонатора. Ширина и расположение за-
штрихованных на рис. 4.8,6 прямоугольников соответ-
ствуют ширине и расположению стенок пролетных труб.
139
^InL
Рис 4.4. Зависимость рабочей
частоты и волнового сопротив-
ления от высоты тороидально-
го резонатора:
7?! = 30 мм; 7?2=75 мм; <7=27,5 мм
Рис. 4.5. Схематичное изображение резона-
тора с кольцевым зазором. Т?Ср/^2=0,33 (а) и
распределение радиальной (б) и продольной
(в) составляющих напряженности электриче-
ского поля:
7 — г=7? 0,57; 2-r = R • З - r = R,.n+0,57
С L U I р
Использование условий различного типа на плоско-
стях симметрии ЭС позволяет упростить форму обла-
сти, в которой ищется решение (см. § 2.2). Так, на
рис. 4.9 показаны картины силовых линий электриче-
ского поля в ячейке ускоряющей структуры Андреева,
соответствующие различным сдвигам фазы на период
системы. Электромагнитное поле рассчитывается как
Рис. 4.7. Меридиональное сечение
многолучевого резонатора (а) и
форма области (б) для расчета
его параметров
Рис. 4.6. Распределение про-
дольной составляющей элек-
трического поля по радиусу ре-
зонатора, изображенного на
рис. 4.5,а
Рис. 4.8. Распределение составляющих электрического поля в много-
лучевом резонаторе, изображенном на рис. 4.7:
о — по продольной координате; б —по радиальной координате при z/d=0,6
поле различных видов собственных колебаний резонато-
ров, образованных одним периодом или полупериодом
структуры и ограниченных электрическими или магнит-
ными стенками (рис. 4.9). Картины поля, соответствую-
щие сдвигу фаз <р = 0, л/4, л/2, соответствует основному
141
виду колебаний в резонаторе Ео1, а Зл/4 и л —высше-
му виду Е02. Построенная по результатам этих расчетов,
дисперсионная характеристика показана на рис. 4.10.
Рис. 4.10. Дисперсионная ха-
рактеристика ускоряющей
структуры Андреева
Рис. 4.9. Картины силовых линий
электрического поля в ячейке уско-
ряющей структуры Андреева лля
различных углов фазового сдвига-
------электрическая стенка:--------
магнитная сгенка
4.3. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
ПАРАМЕТРОВ ЭС ЭП К ИЗМЕНЕНИЮ
РАЗМЕРОВ
Электродинамические системы, как и любые изде-
лия, изготавливаются с определенными отклонениями от
номинальных размеров, что приводит к соответствую-
щему изменению рабочих параметров ЭС по сравне-
нию с расчетными. В связи с этим в процессе конструи-
рования необходимо задавать допуски на изготовление
деталей ЭС, учитывая, что слишком малая точность
изготовления приводит к большому разбросу рабочих
параметров, а слишком большая усложняет технологию
и удорожает изделия. Задача назначения обоснованных
погрешностей изготовления в настоящее время решает-
ся методами общей теории допусков [25, 104], которая
базируется на следующих основных положениях.
142
Пусть некоторое изделие характеризуется совокуп-
ностью входных параметров (размеров) xk, fe=l, ... т,
выходным (рабочим) параметром у и пусть известна
зависимость
y = f(xi,x2,...,xk,...,xm).
(4-21)
Разложим (4.21) в ряд Тейлора вокруг точки, соответ-
ствующей номинальным значениям параметров х10,
Х20, •••, Мд, •••> -'-mO-
У = У о Н—'°) (М ~ хю) + • • • +
+ MM(Xm_Xmo)+... (4.22)
дхт
Полагая отклонения входных параметров от номиналь-
ных значений Ьхк = хк — хк0 независимыми и малыми,
< хка, ограничимся в разложении (4.22) линейными
членами. Тогда отклонение выходного параметра от его
номинального значения Уо — у (xw, x2Q,хка, хт0)
т
Ду = У - Уо = 2 (4-23)
fc=l
где Sk=(.df;dxk)0—функция чувствительности пара-
метра у к отклонению параметра хк. Для перехода к
относительным величинам поделим (4.23) на (4.21):
т
— (4.24)
У k-i хк
Здесь Kvk— коэффициент влияния. Величины S%bxk и
KVkb.xk!xk называются частными отклонениями вход-
ных параметров. Предполагается, что отклонение
] Дх J < oft, где — поле допуска параметра хк. Откло-
нение \хк в пределах поля допуска дк, как правило,
является случайным и может быть описано различными
законами распределения — равномерным, по Гауссу
и т. д. В связи с этим для оценки отклонения Ау обыч-
но пользуются среднеквадратическим законом сложения
частных отклонений. Можно показать [25], что в слу-
чае равномерного распределения Axk выражения для
среднеквадратического абсолютного и относительного
отклонений параметра у имеют вид соответственно:
143
D (Ду) =
m
2 W(W:
Ы
(4.25)
/ m
D (Ду/у) =1/2 (s*) W <4-26)
J Л = 1
Таким образом, для решения задач анализа (расчет
Ду по заданным dft) и синтеза допусков (расчет Ь k по
заданному допустимому Ду) необходимо знать функции
чувствительности (коэффициенты влияния). Рассмот-
рим методы вычисления этих функций для аксиально-
симметричного резонатора, предположив, что отклоне-
ния размеров от номинальных значений не изменяют
его симметрии.
Метод малых возмущений. Погрешность изготовле-
ния резонатора можно рассматривать как возмущение
его формы и (или) размеров. Полагая это возмущение
малым, воспользуемся теоремой возмущения Слэтера,
которая позволяет получить соотношение
— = (H|H|2-e|EP)dlZ (4.27)
«>о 41И iv
между изменением собственной частоты Ди и положе-
нием, формой и материалом возмущающего тела. В
этом соотношении ио—«невозмущенная» собственная ча-
стота резонатора; W— энергия, запасенная в резонато-
ре. Интегрирование ведется по объему возмущающего
тела ДИ, формой которого определяется коэффициент
А. В частности, если при ДИ->0 электромагнитное поле
резонатора Е, Н стремится к невозмущенному состоя-
нию Ео, Но, то /4 = 1. В рассматриваемом случае под ДИ
следует понимать изменение объема резонатора за счет
отклонения какого-либо его размера наДхл. Полагая за-
висимость (o=f(Axft) линейной, всегда можно считать,
что отклонение размера приводит к уменьшению объема
резонатора. В этом случае в (4.27) можно положить
ц=цо, е=®о, Е~Е0, Н«Н0. Учитывая аксиальную сим-
метрию задачи и выражение (3.21), соотношение (4.27)
записываем в виде
( г-11 ф |2 dzdr 4- k~2 J г-' 17ф |2 dzdr
ДО) , Дй,.
— — А --------------------------------*----------------, (4.28)
<оо 2 | г-11 ф |2 dzdr
D
144
где Dk — «возм^Ьценное» меридиональное сечение резо-
натора; &Dk=D\Dk—область, ограниченная невоз-
мущенной и возмущенной образующими резонатора и
определяемая изменением размера i\xk.
Из (4.28) следует, что для расчета отклонения До
и последующего определения функции чувствительности
5“ = необходимо вычислить интегралы по
малой области Д£>Л, прилегающей к образующей резо-
натора. Эту задачу следует признать трудной для чис-
ленных методов ввиду невысокой точности решения (и
особенно его производных) вблизи границы. К недо-
статкам этого метода относится также то, что теорема
возмущений непосредственно не устанавливает связи
между изменением объема резонатора и отклонением
других его рабочих параметров'. ~~
Метод конечных приращений. Зависимость y=f(xk)
может быть найдена в результате численного экспери-
мента. Пример такой зависимости приведен на рис. 4.1,
где, в частности, у —К (или ,у = р), xk — d. Метод предпо-
лагает замену производной Sy = dy]dxk конечной раз-
ностью. Для получения достаточной точности вычисле-
ний целесообразно использовать центральную разность
(3.29)
Sy = (1/2А) [у (хм + А) - у (хм -А)], (4.29)
причем /06^. Заметим, однако, что рабочие параметры
У (Л'*о)> У (х*о ± А) и т. д. вычисляются с определенной
погрешностью А, от которой, как и от выбранного ин-
тервала xk0±h, существенно зависит погрешность вы-
числения §Ук. Ниже показано, что существует опреде-
ленное значение Aopt, при котором погрешность расчета
функции чувствительности минимальна.
Аппроксимируем y=f(xk) интерполяционным мно-
гочленом Лагранжа [6] (в дальнейшем индекс k для
упрощения записи опустим):
" „ х — х, У(Л’(НЛ
у(Л) = 2 У/П——(4-30)
Л/ ---------- Л г tL\ *
}4=i 1 J /=1
где уг —у(хг)— фиксированные значения, совпадаю-
щие с у=/(х) в узлах интерполяции хг, i= 1, 2, ..., п.
Второе слагаемое в (4.30) представляет остаточный
член, где «/<") (|) —n-я производная в точке хл].
Ю—1271 145
Выбрав в качестве узлов интерполяции Xi=x0—х2 =
=х0, x3—x0 + h, получим многочлен Второй степени
у(х) = Р2(х) + /?2(х). (4.31)
Здесь: Р2(х) = £ У Pi (ХУ (4-32)
z=i
/Ы-ч = ^П<* <4.зз)
а функции «).(%)= П * —— X;).
Рис. 4.11. Зависимость интео-
поляционных полиномов от
знака погрешности расчета
±Az/:
1 — действительная зависимость;
2 — интерполяционный полином
Р*2(Х)
Рис. 4.12. Зависимость отно-
сительной погрешности расчета
функций чувствительности е*
и ер от нормированного интер-
вала интерполяции для торо-
идального резонатора, показан-
ного на рис. 4.1
Аналогично аппроксимируем расчетную (приближен-
ную) зависимость
з
y*(x)=/’;w=2^w- (4-34>
i-i
где — + (рис. 4.11). Первая производная по-
линома Р*2 (х) совпадает с центральной разностью
(4.29) и, следовательно, равна приближенному значе-
нию функции чувствительности 8%. Разность
£ = />;(') (х)-уО(х) (4.35)
146
определяет абсолютную погрешность вычисления функ-
ции чувствительности. Для ее оценки в рабочей точке
раскроем (4.35), с учетом (4.31) и (4.34)
e = (-bt + &3)/2fi-R2(l). (4.36)
Из (4.36) видно, что е максимальна, если знаки А] и Д3
противоположны (см. рис. 4.11). Заметим также, что
при квадратичной интерполяции на симметричном ин-
тервале (х2—%1=х3—x2 = h) погрешность расчета Д2 в
середине интервала не влияет на погрешность вычисле-
ния производной в этой точке. Положим Ai = A3 = A, тог-
да с учетом изложенного
smax = ^-Д+4-|У(3)^1Л2- (4'37>
h 6
Для перехода к относительным погрешностям поделим
обе части (4.37) на известное значение «/*<'> (х2):
еотн _ У* (Х2) / A0™ I I У(3) G) I il2\ /л
max /(1)(^)\ fl 6у*(х2) Г
где Д°™ = Д/у*(х2).
Анализ выражения (4.38) показывает, что при h-^-0
и й->оо 8^™ —<-оо. Дифференцируя (4.38) по h и прирав-
нивая результат к нулю, находим оптимальный шаг
(—) (4.39)
\ /opt Х2 у(3) (£) у
при котором максимальная относительная погрешность
вычисления функции чувствительности минимальна:
С..1п = 1Л4 I /’>(S)рт. (4.40)
Из формул (4.39) и (4.40) следует, что для опреде-
ления hopt и соответствующей ему б“™х ш!п (в дальней-
шем просто бу) необходимо оценить третью производ-
ную t/<3>(g). С этой целью воспользуемся представле-
нием (4.30) для п = 5 (многочлен четвертой степени).
Предположим, что /?4(х)=0, все А, =0, i=l, 2, ..., 5, и
положим g=x2. При этих условиях, записав (4.30) в ви-
де у*(х) = Р*(х) = 2 получим приближенную
оценку у(3)(?)« у*(3) (х2) = 6а4 + 24а5х2.
i0* ’ 147
В табл. 4.7, 4.8 представлены результаты расчета
функций чувствительности Sj, S?d и соответствующих
им погрешностей ек и ер для резонатора, показанного
на рис. 4.1, с номинальными размерами Т?2=Ю,6 мм;
Я— 10,2 мм; d = 4,0 мм.
Таблица 4.7
Функция чувствительности Sj для резонаторов с различным
отношением Ri/R2
Rl k(d), мм 5^, мм/мм x(3)(d), мм/мм4 а. | »• О к £d
0,66 44,08 —6,67 —0,96 0,28 0,09
0,45 45,91 —6,26 —0,72 0,31 0,09
Таблица 4.8
Функция чувствительности для резонаторов с различным
отношением Ri/R2
(—'I \ ) p(d), Ом 5^, Ом/мм p(3)(d), Ом/мм3 (—)р \ d /°pt
0,66 0,45 50,91 72,00 13,56 11,03 1,26 1,38 0,57 0,63 0,25 0,39
Относительные погрешности расчета принимались
равными Аотн (%) =0,01; А °™ (р)=0,10.
Из представленных на рис. 4.12 зависимостей ех’ ? =
=f(hld) видно, что оптимальные значения (W)oPt и
(W)opt неодинаковы. Это объясняется существенно
различным характером зависимостей X и р от ширины
зазора (см. рис. 4.1). В рассмотренном наихудшем слу-
чае погрешности расчета функций чувствительности
<10% и е^<40%. Действительные значения г* и
меньше, поскольку погрешность расчета рабочих пара-
метров с помощью программы EXTEL является систе-
матической, т. е. знаки А] и Аз одинаковы, а их абсо-
лютные значения почти в 2 раза меньше использован-
ных для оценки е^- ?.
Описанный алгоритм реализован в программе
EXTEL и позволяет анализировать влияние отклонений
различных размеров аксиально-симметричных резонато-
ров на собственную длину волны и волновое сопротив-
ление.
148
Таблица 4.9
Результаты анализа влияния погрешности изготовления резонатора
/о, МГц Ро, Ом ^0 МГц/мм , Ом/мм «о 5-f, , МГц/мм А 20 Л 20 Ом/мм
7210 76,40 +845 +21,19 —1113 +9,90
В качестве примера в табл. 4.9 представлены резуль-
таты расчета функций чувствительности собственной
частоты и волнового сопротивления при отклонениях
ширины зазора и внешнего радиуса в пределах задан-
ных полей допусков bd = ±0,05 и б#2 =±0,03 для резо-
натора с 7?i/7?2 = O,8O. При равномерном законе распре-
деления отклонений среднеквадратические абсолютное
(4.25) и относительное (4.26) отклонения указанных
рабочих параметров составляют соответственно: D(f) =
= 31 МГц; Д(Д///)=0.43%; £>(Р)=0,63 Ом; Д(ДР/Р) =
= 0,82%.
Глава 5
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ЗАДАЧ
РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
5.1. РАСЧЕТ АЗИМУТАЛЬНО-НЕОДНОРОДНЫХ
ВИДОВ КОЛЕБАНИЙ В АКСИАЛЬНО-
СИММЕТРИЧНЫХ РЕЗОНАТОРАХ
Постановка задачи. Рассмотренные в гл. 3 алгорит-
мы позволяют рассчитывать те виды свободных коле-
баний АСР, электромагнитное поле которых не имеет
вариаций по азимуту. В то же время в гирорезонансных
приборах, гироконах, высокочастотных сепараторах и
ряде других приборов в качестве рабочих используются
азимутально-неоднородные виды колебаний. Эти виды
колебаний могут также возбуждаться в ЭС других
СВЧ приборов как паразитные, нарушающие их нор-
мальную работу. В связи с этим полный анализ акси-
ально-симметричных резонаторов должен включать воз-
можность вычисления всех видов колебаний, включая
азимутально-неоднородные. Особенность последней за-
дачи состоит в том, что электромагнитное поле азиму-
149
тально-неоднородных видов колебаний в резонаторах с
произвольной формой образующей содержит все шесть
составляющих и не может быть описано одной функцией
(см. § 2.6). Поэтому для вычисления поля и собствен-
ных частот этих видов колебаний необходимо решать
векторные однородные уравнения Максвелла или экви-
валентные им уравнения Гельмгольца относительно Е,
Н или векторов Герца Р, Гт. В зависимости от выбора
исходных уравнений и способа их преобразования к ви-
ду, удобному для численного решения, возможны раз-
личные постановки рассматриваемой задачи, каждая из
которых имеет свои достоинства и недостатки.
В [63] в качестве исходного используется однородное
векторное уравнение Гельмгольца для напряженности
электрического поля. Записав это уравнение в проек-
циях на оси цилиндрической системы координат и вве-
дя три двумерные функции 7? (г, z), Ф(г, z), Ч^г, z),
связанные с составляющими напряженности электриче-
ского поля резонатора
Ег^г — 7? cos тпб; f9j/r = Osin mB; Ezy/~r ='Г cos m3,
т = 0,1,2,...,
получим систему из трех уравнений
d2R , d2R 2т т2 + 0,75
-----------------------Ф 4- -------!:-----
дг2 dz2 г2 \ г2
<72Ф . <?Ф 2т п , т2 + 0,75
--------------------------% -L ---------------------
dr2 dz2 г2 \ г2
(5.1)
д2Ч
"dr2
т2 — 0,25
г2
Ф = 0
с граничными условиями 7?/(2r)+<57?/<5r + <54f/<5z=O;
Ф = 0; Wctga—R= 0, где а — угол между касательной к
образующей резонатора и осью г.
Решение этой системы проводится методом последо-
вательной верхней релаксации с использованием функ-
ционала (2.28) для уточнения наименьшего собственно-
го значения. Однако, поскольку оператор задачи (5.1)
не является знакоопределенным, сходимость итерацион-
ного процесса не может быть гарантирована. Кроме то-
го, использование трех двумерных функций для описа-
ния поля усложняет алгоритм решения и предъявляет
повышенные требования к памяти ЭВМ.
150
В работе [21] электромагнитное поле азимутально-
неоднородных видов колебаний в АСР рассматривается
как суперпозиция полей Е- и //-типов, каждое из кото-
рых описывается двумерной скалярной функцией Г\ (г,
z) и Г2(г, z) соответственно. Эти функции удовлетворя-
ют уравнениям
2_ дГч । 1.2. . Л>2- —Г12 = 0 (5.2)
5г2 г dr dz2 + \ г2 I '
и граничным условиям
sin а;
ш
г
дГ\ , дГ2 п
dz ~ ! dr
на образующей идеально проводящей поверхности резо-
натора. Они связаны с проекциями векторов Герца со-
отношениями Лг = 7'1е±1'”9; Г“ = Г2е±1тв. Отметим, что
в (5.2) функции Г] и Г2 разделены и свя^ь их осущест-
вляется только через граничные условия. Решение си-
стемы (5.2) проводится на комплексной плоскости w =
= z + '\r с использованием интегральных представлений
искомых функций с помощью функций Римана. Хотя
результатов расчета азимутально-неоднородных полей в
указанной работе не приводится, можно ожидать, что
ввиду сложности граничных условий, в которые входят
вторые производные неизвестных функций, применение
этого метода сопряжено со значительными вычислитель-
ными трудностями.
Другой подход предложен в [28], где уравнения
Максвелла сведены к системе двух уравнений
д / г ди\ . г д2и 2mr dv . k2 п
dr V R2 dr ) R2 dz2 ~ kRi dz г ..
(О. о)
д ( г dv \ , г d2v _ 2mr ди , k2 п
dr \ R2 dr R2 dz2 kRi dz г
относительно двумерных функций w(r, z) и у (г, г), свя-
занных с электромагнитным полем резонатора соотно-
шениями:
1т)о Л du , dv
—— kr-------± m----
(kR)2 dz dr
cos
sin
151
dv _ du\ sin .
— + m — mv;
dz dr / cos
sin c „ 1
m0; Ho = — и
cos r
dv \ cos .
---- mS;
dz / sin
du \ sin 0
dz ) cos
cos д
zn0;
sin
Hr = ——
(kR)2
r
W \ dr
„ 1 / , dv _
H, =----- — kr------h m
2 (kR)2 \ dr
где R2=r2—(m/k)2. Используя эти соотношения, легко
получить граничные условия, которым должны удовле-
творять функции и и v:
17 = 0; du/dn-—0 на A; v=u=dvldr=du/dr=0, г=0. (5.4)
Таким образом, в отличие от [21], все составляю-
щие электромагнитного поля выражаются через первые
производные функций и и v, а граничные условия для
этих функций разделены и имеют наиболее простой
вид. )
Особенностью уравнений (5.3) и выражений для по-
ля является сингулярность коэффициентов на линии г=
= m[k. Так как все составляющие поля на этой линии
должны быть конечными, функции и и v на ней должны
удовлетворять условиям
to Л^_о. to._^=0. (S5)
dz dr dr dz
Уравнения (5.3) можно записать в виде обобщенной
задачи на собственные значения
ЛХ —Х@Х=О, (5.6)
где
Л = ; @= Г-1 ° -
— Л2 0 г-1
матричные оператор и весовая функция; Х=|ы, —
векторная функция; К = —k2-,
Я — ( г \ . d I г d \
"~~дг 7г У + dz \^~dz/
.____2тг д
~ kR^ dz
152
Определив на множестве векторных функций, принадле-
жащих области определения оператора Л скаляр-
ное произведение и норму
(и, +цуи*) dZ); I) и || == (и, и)1/2, (5.7)
Ъ
где w=|MiW2|7’, v = |UiU2|т, и вычислив и [| Ли ||,
можно показать, что оператор Л является самосопря-
женным и знаконеопределенным. Важными особенно-
стями оператора Л, затрудняющими решение уравне-
ния (5.6), являются его зависимость от собственного
значения и сингулярность коэффициентов на линии г =
= m)k, всегда пересекающей область D. Эти особенно-
сти делают задачу нахождения собственных значений
нелинейной.
Уравнения (5.3) использованы для построения алго-
ритмов расчета азимутально-неоднородных полей в
[28] и [39]. В первой из работ приводятся результаты
расчета критических частот и электромагнитных полей
различных видов волн в круглом волноводе (5/5z=0).
Поскольку для этой задачи известны аналитические ре-
шения, она решалась в качестве тестовой. Дискретиза-
ция уравнений (5.3) производится методом конечных
элементов с применением в качестве базисных функций
полиномов первого порядка, за исключением элементов,
примыкающих к оси волновода (г=0) и содержащих
линию r=mlk, где вводятся полиномы второго порядка,
удовлетворяющие условиям (5.4) и (5.5). Так как метод
последовательной верхней релаксации ввиду знаконе-
определенности оператора Л неприменим, собственные
числа матричной задачи, полученной в результате дис-
кретизации, находятся как корни уравнения det(«^ —
— ^@)=0, а собственные векторы — вычеркиванием
строки и столбца исходной матрицы с последующим ре-
шением полученной системы уравнений методом исклю-
чения Гаусса. При равномерном разбиении радиуса вол-
новода на 13 элементов погрешность вычисления крити-
ческих частот составляет от —0,5% для азимутально-
однородных типов волн £'ol и Hpi до —1,5% для типов
волн с двумя вариациями по азимуту £22 и Я2г- По-
грешность вычисления поля для этих типов волн состав-
ляет 3—5%. Необходимо отметить, что ввиду нелиней-
ности задачи на собственные значения наряду с корня-
ми определителя, соответствующими критическим ча-
153
стотам различных типов волн в волноводе, в процессе
решения получались и «лишние» корни, не имеющие
физического смысла.
В [39] описан универсальный алгоритм расчета ази-
мутально-неоднородных видов колебаний в АСР, осно-
ванный на решении системы уравнений (5.3). Их дис-
кретизация методом Уинслоу (см. § 3.4) приводит к си-
стеме 2А-линейных алгебраических уравнений
2 (ЗД + М? = $ r-^vdL-,
lw (5.8)
У, (— bijUj + atjVj) = (j) r-^WudL, i = 1,2,..., N,
/-1 L(<)
где
Л..= f (V<pW, v?(5) dD\
1 J(P W
N — число треугольных элементов, на которые разби-
вается область D; — контур элемента D^; ut, —
значения искомых функций и, v в вершинах треугольни-
ков; qj —базисные функции, определенные внутри эле-
мента D(r>.
Так как коэффициенты уравнений (5.8) имеют осо-
бенности на линии kr = m, область D разбивается на две
подобласти &r<m, kr>m и триангуляция производится
отдельно для каждой подобласти. При вычислении мат-
ричных коэффициентов узлы, лежащие на линии kr = m,
разносятся на малое расстояние е=±10^6 от этой ли-
нии. Значения неизвестных функций в этих узлах при-
равниваются, что обеспечивает приближенное выполне-
ние условий (5.5).
Решение матричной задачи на собственные значения
производится прямым методом, аналогичным использо-
ванному в программе SUPERFISH (см. § 3.4). Для не-
которого значения k строится согласованная с k триан-
гуляция. В одном из узлов полагается и„ = 1 (либо vn =
= 1), и методом исключения Гаусса вычисляются зна-
чения функций и и v в остальных узлах. Затем из урав-
нения (5.8) находится значение ип (k) и определяется
154
невязка I(k) — 1—un(k). При резонансе I(k) =0, что по-
зволяет свести задачу к определению нулей /(&).
Изложенный алгоритм позволяет вычислять любое
собственное значение при удачно выбранном начальном
k. В то же время в процессе нахождения нулей невязки
приходится многократно решать задачу для различных k,
каждый! раз заново производя триангуляцию области.
Прямой метод решения системы уравнений предъявляет
повышенные требования к памяти ЭВМ и ограничивает
число узлов сетки до ~1500 (на ЭВМ ICL— 1906А).
Как отмечалось выше, возможно и существование «лиш-
них» нулей функции I(k), для идентификации которых
необходимы дополнительные затраты ресурсов.
В [39] отмечается, что при заданном k для решения
задачи на сетке, содержащей — 1000 узлов, требуется
1—3 мин процессорного времени ЭВМ. Погрешность
вычисления, определенная по сравнению с аналитиче-
скими решениями и результатами эксперимента, состав-
ляет менее 10-3 для собственной частоты и (1—5) X
Х10-3 для поля на сетке, содержащей — 1500 узлов.
Подготовка данных для программы занимает 5—20 мин,
причем большинство процессов, таких как построение
триангуляций, оптимальная нумерация узлов с целью
минимизации ширины ленты матрицы, выбор оптималь-
ного положения точки возбуждения, согласование сетки
с текущим значением волнового числа, выполняются
автоматически. Тем не менее эффективность работы с
программой зависит от опыта пользователя.
Необходимость решения системы уравнений (5.3) с
сингулярными коэффициентами, как отмечалось, су-
щественно затрудняет расчет азимутально-неоднород-
ных видов колебаний в АСР. В связи с этим рассмотрим
алгоритм такого расчета, использующий систему урав-
нений более простого вида [32]. Запишем однородное
уравнение Гельмгольца для электрического Гг или маг-
нитного Гт вектора Герца в цилиндрической системе
координат:
д 7 1 д(гГг)
дг \ г дг
1 д2Гг д2Гг
г2 (562 dz2
— + k2rr = 0;
г2 (56
(5.9)
155
д_ М д(гГц) \1 д2Гь д'2 Гц
дг \ г дг / г2 5'j2 dz2
2 дГ
+ ——-4-^2Ге=0; (5.10)
г2 56
1 5 / 1 д?Гг
г dr \ dr J г2 502
д2Г
+ 4^- + ^Гг=0. (5.11)
dz2
Введем вектор Г'=Г—V<p, положив d(p/dz — Fz. Вслед-
ствие градиентной инвариантности (см. § 2.6) вектор Г'
описывает то же самое поле, причем левая часть урав-
нения (5.11) тождественно обращается в нуль. Задача
сводится, таким образом, к совместному решению урав-
нений (5.9) и (5.10) для вектора Герца Г' (в дальней-
шем штрих опускаем).
Ввиду аксиальной симметрии оболочки резонатора
воспользуемся для решения системы (5.9), (5.10) ме-
тодом разделения переменных. Пусть
гГг = <£(/•,?)©! (9); гГ9 = Т(г,г)в2(6). (5.12)
Подставив (5.12) в (5.9) и (5.10), после несложных пре-
образований получим:
4-лф=
©: ф ©;
©г + 2ф-^;
©; ®
©2 ©2 ’
где
Л = г3 — I—
дг \ г
д \ д2
Т~ + г" /ЛЦ-
dr J dz2
Левая часть этих выражений не зависит от 0, следова-
тельно, правая часть также не должна зависеть от этой
координаты. Ввиду линейной независимости функций Ф
и V последнее возможно в том случае, если ©J/01 = C1;
©"/©2 = С2; ©2/©! = ^; ©;/©2 = С4‘
где С], ..., Ct — постоянные. Учитывая периодичность
функций ©[, ©2, решения записанных уравнений можно
записать в виде
©1==sinOT0; ©2==cosm0> от = 0, 1,2,... (5.13)
cos sin
156
Таким образом, все виды колебаний в аксиально-сим-
метричных резонаторах (кроме азимутально-однород-
ных) двукратно вырождены.
Подставив (5.12) и (5.13) в (5.9) и (5.10), получим
систему уравнений относительно двумерных скалярных
функций Ф(г, г) и Т (г, г):
г А(± J») + ± 25.Ф+ 5Ц Г = 0;
дг V г dr / dz2 г2 \ г2 )
г — (— —+ — ± — Ф+/^г_ ^\ф=о, (5.14>
дг \ г dr / dz2 г2 \ г2 )
решив которую, можно найти электромагнитное поле ре-
зонатора. Вид выражений для поля и граничных усло-
вий для функций Тиф определяется выбором вектора
Герца. В большинстве задач расчета АСР наибольший
интерес представляет электрическое поле. Относительно-
напряженности электрического поля записываются и
граничные условия, например, на идеально проводящей
поверхности. В таких задачах целесообразно использо-
вать магнитный вектор Герца, так как электрическое по-
ле связано с первыми производными этого вектора (см.
§ 2.1). При этом получаются следующие выражения для
электромагнитного поля АСР:
£ top дг cosw8. (515>
г dz sin
„ 1<О|Л <?Ф Sin „ /Е
Ео =---------—-------- mb; (5.16}
г dz cos
(5.17>
г \ дг г ) sin
д / 1 ЗФ _ т \ k2 ,1 sin 0 /c.10v
--- (--------Н ф _| Ф /П0; (5. 18}
дг \ г дг г2-) г Jcos
1 д / <?Ф _ т
"а +
г dz \ дг г
1 “Sm«;
dr sin
sin
cos
тО.
(5.19).
(5.20}
Найдем граничные условия для функций Y и Ф на
образующей L идеально проводящей поверхности ре-
зонатора. Из условия Ет = 0 следует: £g = 0; Eez =0 на
157"
L, где ez —орт касательной к образующей оболочки
АСР. Из первого условия и формулы (5.16)
<?Ф/(?г = 0 на L. (5.21)
Второе условие можно записать в виде £zcosa +
+ Er sina = 0. Подставив (5.15) и (5.17) в это выраже-
ние, получим
dxVidn е= + тг-1Ф cos a. (5.22)
Так как напряженности электрического и магнитно-
го полей должны быть конечны всюду в объеме резо-
натора (за исключением, быть может, окрестностей
острых ребер), из выражений (5.15) — (5.20) следует,
что на оси резонатора должны выполняться условия
Ф = 'Г = 0; дФ1дг = дЧПдг = 0. (5.23)
Если резонатор имеет плоскость симметрии z= const,
•она в зависимости от типа симметрии поля служит
электрической или магнитной стенкой. В последнем слу-
чае на плоскости симметрии Ег — 0; Нг — Нц = 0. Ис-
пользовав эти условия, из (5.17) получим dW/dr=
= ±тФ/г. Подставив это равенство в (5.18) и (5.19) и
приравняв полученные выражения нулю, найдем гранич-
ные условия для функций и Ф:
52Ф п 1Т. _ пгг дФ
dz2 k2r2 — т2 dr
(5.24)
При m = 0, т. е. при отсутствии вариаций поля по
азимуту, уравнения (5.14), выражения для поля
(5.15) — (5.20) и граничные условия (5.21) — (5.24) рас-
падаются на две независимые группы, описывающие Е-
и //-виды азимутально-однородных колебаний в АСР
(§ 3.1).
Систему (5.14) можно записать в операторном виде
£S=A@S, (5.25)
^матричные оператор и весовая функция;
тзекторная функция; Л=—&2;
5 / 1 д д. д ( 1 П
dr \r dr ) dz \ r dz
S = |W|r —
_ та2 -
г3 ’
158
Введем на множестве функций, принадлежащих об-
ласти определения оператора 36, скалярное произведе-
ние и норму (5.7) и вычислим коммутатор операто-
ра 26: »
С % — (и, SZv) — (Eta, v) = J uxSt{v\dD +
D
-j- j uxEL2v2dD + J u^^dD ф J u^C^dD —
DOO
— J v\ELxUidD — J v\X2u.2dD— J v2EL2uxdD —
D D D
- f v^u2dD.
Используя формулу (П1.17), можно показать, что
Преобразуем выражения в скобках с учетом граничных:
условий (5.21) и (5.22):
&v* дщ т
и. -----TJ* -=— — + (u.D* — v*u2)---cos а;
1 дп 1 дп ~v 2 1 11 г
ди2 dv* / dv*. ди2 ди. dv* \ г
I*___£____и ______1 (___L_____-______________1 __________•
2 дп 2 дп ~ \ дп дп дп дп ) mcosa
Ввиду того что функции и и v удовлетворяют одинако-
вым условиям на контуре L, правые части полученных
выражений равны нулю, что доказывает самосопря-
женность матричного оператора 26. В то же время из.
выражения для скалярного произведения
(26м, и) = — [ г-1 (| v«( |2 4- | v«212) dD —
b
|2 + |«2|W +
D
, л 1 ( « । * \ t t _
+ f r-1 U*2 —-t dL +
J \ дп dn
l 4
+ 2/n [ r-1 («!«* -]- «*м2) dD
D
159»
следует, что при т=^0 оно может иметь любой знак и,
следовательно, оператор S6 не является знакоопреде-
ленным. Это обстоятельство создает определенные труд-
ности при построении численных методов решения за-
дачи на собственные значения (5.25).
Уравнения (5.14) симметричны относительно функ-
ций V и Ф. Введя функцию
О / Ч 2 дФ . 2т т _ о
2 (г, z) =----------1-----IF, (5.26)
г dr г
+ /fe2_ 2=о. (5.28)
г dr dz2 \ г2
их можно привести к виду:
52Ф , 1 <?Ф , d2<t
~д^
522
~д^
"При подстановке (5.26) в (5.15) — (5.20) получим:
т dz \ dr % }
„ / k2 1 \
г [г 2 dr J
„ ia)[i 5Ф
£е =---------— ;
г dz
Т/9 = ± —
т
дФ г ! т2 \
------1--к1-----------
2 \ г2 )
т \ dz2 2 dr ) 2 2 dz
где гармоническая зависимость составляющих поля от
азимута для краткости опущена.
Так как на образующей резонатора 5Ф/5г = 0, гра-
ничное условие для функции Q имеет вид dQ/dn —
= 2&2r2sina. На оси резонатора Q = 5Q/dr = 0.
Использование системы уравнений (5.27), (5.28)
вместо системы (5.14) в ряде случаев предпочтительнее,
так как уравнение (5.28) содержит только одну функ-
цию Q. Если, как часто бывает на практике, образую-
щая резонатора состоит из отрезков прямых r = const и
z = const, граничные условия для функций Ф и Й раз-
деляются. Действительно, на прямых z = const sina = 0.
160
На прямых г = const дф/дг = (), т. е. Ф = const. Положив
эту константу равной нулю, получим
дФ/dz = dQ/dz — О на прямых z = const; (5.29)
Ф = дЙ/дг = 0 на прямых г = const.
Уравнение (5.28) в этом случае решается независимо от
(5.27). Поскольку оператор (5.28) положительно опре-
делен, для нахождения наименьшего собственного зна-
чения можно применить быстро сходящийся метод верх-
ней релаксации с уточнением собственного числа с по-
мощью частного Рэлея. Найденное собственное значе-
ние и собственную функцию можно затем использовать
для решения уравнения (5.27) с целью последующего
нахождения поля в резонаторе.
Заметим, что уравнение (5.28) с однородными гра-
ничными условиями Неймана (5.29) имеет наименьшее
собственное значение &2 = 0 с собственной функцией й==
= const [35]. Поэтому для нахождения наименьшего
ненулевого собственного значения в процессе решения
необходимо применять ортогонализацию (см. § 3.8).
Кроме того, для определения напряженностей поля не-
обходимо вычислять вторые производные сеточных
функций, что существенно увеличивает погрешность рас-
чета. Поэтому использование уравнения (5.28) оправда-
но лишь в тех случаях, когда необходимо с наименьши-
ми затратами определить собственные частоты азиму-
тально-неоднородных видов колебаний резонатора.
В заключение отметим, что, подставив в уравнение
(5.28) функцию Q из (5.27), получим уравнение четвер-
того порядка
ДДФ — 2 (k2-—\ + 2^ k2- —^-^-4-
\ г2 / дг2 \ г2 / dz2
. о m--±-k2r2 дФ . / , т2 \2 1
“г J--------------I ------------------------
г3 дг \ г2 / г4
где
АЛ <?4 , 2
ДД--------—|------
дг4 г
д3
дг3
2 д3
г дгдг2
д‘
dr2dz2
1 д2 \ д . д*
г2 дг2 г3 dr dz1
бигармонический оператор, записанный в цилиндриче-
ской системе координат.
11—1271 161
Р М
R S
Алгоритм численного решения. Дискретизация систе-
мы уравнений (5.14) производится методом конечных
разностей. Для квадратной сетки с шагом h и пятито-
чечного шаблона разностные уравнения для узла с ко-
ординатами r = jh, z = ih имеют вид
“Ф»-1, ! + “Ф/ +1, j + а1Ф», / —1 4* a2^i. /+1 4* аоФу+ а3®’у= ^Ij’
а®’/—1,1 + a'F/+i, / + ai'F<, /—1 + а2®"г /+14~
+ а0Ф0.±а3Ф;; = кФф
где Ф/, j — Ф (ih,jhy, (ih, jh)\ а=1; а1=1-{-1/(2/);
а2—1 —1/(2/); а3 = 2?га//2; а0 = — 4 — m2IJ2; Х = —(fe/z)2.
Аппроксимация граничных условий (5.21) — (5.24) осу-
ществляется с помощью квадратичной экстраполяции
значений функций Ф и Чг по нормали к границе.
Записав разностные уравнения для каждого регу-
лярного узла сетки и добавив уравнения для нерегуляр-
ных узлов, получим систему 2N алгебраических уравне-
ний LX='A,X, где X = |Фр ..., 'Fi,..., !г — вектор-
столбец значений функций Ф и Д’ в узлах сетки; L =
— клеточная квадратная матрица порядка 2ЛГ;
Р, S — ленточные квадратные матрицы порядка N, име-
ющие не более пяти ненулевых элементов в строке; М.
и R — диагональные квадратные матрицы порядка N.
Для азимутально-однородных видов колебаний (т = 0)
матрица L для колебаний f-типа совпадает с матрицей
S, а для колебаний //-типа — с матрицей Р; М и R—
нулевые матрицы.
Наименьшее собственное значение для азимутально-
однородных видов колебаний находится методом после-
довательной верхней релаксации с уточнением собствен-
ного значения с помощью частного Рэлея. Для азиму-
тально-неоднородных видов колебаний (т=£0) этот ме-
тод неприменим, так как матрица L не является поло-
жительно определенной. Поэтому ее наименьшее соб-
ственное число определяется степенным методом со>
сдвигом спектра собственных чисел (см. § 3.8). В обоих
случаях итерационный процесс проводится на последо-
вательности сеток. Для нахождения высших собствен-
ных значений используется ортогонализация (3.146) к
ранее найденным собственным векторам.
Полученная в результате решения задачи на собст-
венные значения информация используется для опреде-
162
ления электромагнитного поля и параметров резона-
тора.
Все составляющие векторов Е и Н находятся с по-
мощью формул (5.15) — (5.20), производные в которых
заменяются конечными разностями. Волновое сопротив-
ление на данном виде колебаний (1.11) определяется
по методике, изложенной в § 4.1, в соответствии с ко-
торой эквивалентное напряжение
и = 1<т rot VmdL — iwp. J rot rot VmdD =
£, /J,
= icup. <j) (grad div Г"1 -J- &2Гт) dD = i<up. J Htsdrdz,
Di Di
где D> — область, ограниченная образующей резонато-
ра и кривой, по которой производится интегрирование.
Выразив Не через функции Чг и Ф, получим
Запасенную энергию также можно
занные функции:
= —е0 (|E|2rfI/ = — <d2|
2 v 2
1 <?Ф 2 1
si'n 2 /и9 Н----------f- — Ф
г2 дг г
выразить через ука-
Цг2
_ т
дг
г2
dz
2
cos2 /и8 X
Проведя
дг г
X rdrdftdz. (5.30)
соответствующие вычисления, получим
/и <?Ф 1 , ,
------drdz
_____________________г дг _______
k fl ?Ф|2+ — 2+— Ф* — + —| ф pl rfrdz
& г ' 1 dz г дг г21
w2 \
k? - ЛЬ рг +
г2 / “
_ 2т)о
Ро — ,
2
2
Значение р0 в этом выражении соответствует углу 0О,
для которого продольная составляющая напряженности
электрического поля максимальна. Для других углов
волновое сопротивление определяется по формуле
р(0) = ро cos2[m(0—0О) J -
Добротность Q находится из (1.10) без учета потерь
в диэлектрике. Входящая в это выражение запасенная
энергия вычисляется по формуле (5.30), а мощность no-
li* 163
терь в стенках связана с магнитным полем резонатора
соотношением (4.13).
Очевидно, | /7J2 == | Н$ |2 -|-1 cos “ + Hr sin а j2. Вы-
разив составляющие напряженности магнитного поля
резонатора через функции Ф и Т, получим
,„ т2 \ , т дФ
k2 — ------I Ф ±------------
г2 / г дг
2
dL-Y
— >тЛ
-I-----ЧГ sin Я +
г2 /
1 6*2Ф
г drdz
_ т д'У\
+---------cos а
г2 дг /
2
dL
Коэффициент взаимодействия М на прямой г = const
вычисляется по формуле (1.13), где Ez определяется с
помощью выражения (5.17). При этом плоскость з=0
совмещается с серединой зазора. Поэтому для симмет-
ричных резонаторов коэффициент взаимодействия полу-
чается вещественный. Кроме того, для азимутально-од-
нородных видов колебаний вычисляется усредненное по
сечению электронного потока эффективное волновое со-
противление резонатора (1.14).
Алгоритм позволяет также вычислять параметры
кольцевых резонаторов с бегущей волной. Действитель-
но, азимутально-неоднородный вид колебаний в кольце-
вом резонаторе можно рассматривать как азимуталь-
ную стоячую волну, образованную суперпозицией двух
одинаковых волн, бегущих в противоположных направ-
лениях. Если одну из этих волн исключить, получим ре-
зонатор, работающий в режиме бегущей волны. При
этом запасенная в резонаторе энергия, мощность потерь
в стенках и эквивалентное напряжение на зазоре умень-
шается в 2 раза. Следовательно, коэффициент взаимо-
действия и добротность останутся без изменения, а вол-
новое сопротивление также уменьшится в 2 раза.
Примеры расчета. Изложенный алгоритм реализо-
ван в программе AZIMUTH, составленной на языке
ФОРТРАН для ЭВМ БЭСМ-6 и ЕС. Исходными данны-
ми для программы служат: форма образующей резона-
тора, наличие плоскостей симметрии и вид граничных
условий на них, число вариаций поля по азимуту т,
число рассчитываемых видов колебаний М для задан-
ного т(Л1<10) и их тип (для т = 0), максимальное
число узлов сетки Атах, параметры, регулирующие объ-
164
ем выходной информации. Форма образующей (граница
области D, в которой ищется решение) определяется
произвольным числом элементов — отрезков прямых и
дуг окружностей, причем область D может быть и мно-
госвязной. Каждый элемент определяется координатами
его конечной точки на плоскости г, z (за исключением
первого, для которого дополнительно задаются коорди-
наты начальной точки). Для дуг окружностей^дфйме
того, указываются координаты любой промежуточной
точки дуги.
Программа вычисляет частоты задаКных/йцдов соб-
ственных колебаний и распределение/их эдёктфомагнит-
ного поля, которое может быть вы&вденр/в вцде таблиц и
(или) графиков. Возможно так^е получение картины
силовых линий электрическогр/лоля/на графопостроите-
ле. Кроме того, вычисляютсудобр-относ/ь резонатора Q
на данном виде колераний/егр%олновое сопротивление
ро, коэффициент взаи^щредстейя М и7эффективное вол-
новое сопротивление ре на любой линии r=const, а так-
же значение ре, усредненное по /Течению электронного
потока. Программа иуё/г оверлейную структуру и тре-
бует 29К слов оперативной памяти (версия БЭСМ-6). В
версии, предназначенной для''работы под управлением
ОС ЕС, дополнительно имеется возможность вычислять
шунтовое сопротивление дш, эффективное шунтовое со-
противление кше = /?/| М |2, а также коэффициен-
ты перенапряжения /1\ = Ет!Ейт и 1\ — Ет1Е0^, где
Ет—максимальное/значение напряженности электри-
ческого поля у стенки резонатора; ЕОт и £Оср — макси-
мальное и среднее значения напряженности электриче-
ского поля на ецо оси. В этой версии программа зани-
мает 280К байт оперативной памяти. Режим работы
программы в обеих версиях-—пакетный. Максимальное
число узлов сетки 20 000 в версии БЭСМ-6 и 30 000 в
версии ОС ЕС.
Начальный шаг сетки hx выбирается автоматически
исходя из максимального числа узлов числа рас-
считываемых видов колебаний М и выполнения расчета
на последовательности из четырех сеток, каждая по-
следующая из которых имеет шаг, в два раза меньший,
чем предыдущая. В процессе построения сетки прове-
ряется возможность размещения в самой узкой части
области D хотя бы одного узла, что необходимо для вы-
полнения вычислений. Если это условие не выполняет-
165
ся, шаг автоматически делится пополам и снова проис-
ходит указанная выше проверка. Вычисления при этом
производятся на соответственно уменьшенном числе
сеток.
Решение матричной задачи на собственные значения
производится методом последовательной верхней релак-
сации (т = 0) или степенным методом со сдвигом спек-
тра собственных чисел (при т=£0). Оба метода описаны
в § 3.8. В первом случае коэффициент релаксации опре-
деляется по формуле (3.146), где принято о=1; с=
= (3/i1)-1. Его можно также задавать постоянным.
Уточнение собственного числа производится через каж-
дые 5 итераций с помощью функционала (3.28), для
вычисления которого используются квадратурные фор-
мулы, согласованные по порядку аппроксимации с раз-
ностными уравнениями (см. § 3.2). Во втором случае
параметр сдвига а выбирается исходя из теоремы Герш-
горина, собственные числа находятся по (3.141). При
расчете высших видов колебаний в обоих случаях про-
водится ортогонализация решения к ранее найденным
собственным векторам (см. § 3.8). Эта процедура вы-
полняется через каждые пять итераций.
На первой, самой грубой, сетке в качестве началь-
ных задаются единичные сеточные функции W и Ф и
соответствующее им собственное число k = 0. Итераци-
онный процесс продолжается до выполнения критерия
внутренней сходимости по собственному числу ех =iA-1,
где N — число узлов сетки. Имеется возможность зада-
вать и фиксированное значение 8Х. В частности, боль-
шинство приводимых ниже результатов получено при
sx=2-10“4. Вычисленные на каждой сетке собственные
числа запоминаются, что дает возможность использо-
вать экстраполяцию Ричардсона (см. § 3.8) к нулевому
шагу сетки.
Некоторые результаты расчета азимутально-однород-
ных видов колебаний по программе AZIMUTH приведе-
ны в § 3.9 и 4.2. Ниже приводятся данные, характери-
зующие возможности расчета азимутально-неоднород-
ных видов колебаний. Таблица 5.1 позволяет сопоста-
вить результаты расчета собственных частот указанных
видов колебаний в цилиндрическом резонаторе двумя
методами — решением системы уравнений (5.14) и ре-
шением одного уравнения (5.28). Оба метода обеспечи-
вают достаточно малую погрешность расчета, однако
166
время решения одного уравнения существенно меньше,
чем системы. Этот результат подтверждает целесооб-
разность использования уравнения (5.28) для быстрой
оценки собственных частот азимутально-неоднородных
видов колебаний в резонаторах с «простой» формой об-
разующей (образованной отрезками прямых г = const и
z = const, односвязной).
Таблица 5.1
Результаты расчета азимутально-неоднородных видов колебаний
в цилиндрическом резонаторе (//а=2, т=1, Л/m ах = 5000)
Вид колебаний По системе (5.14) По уравнению (5.28)
k а 5. IQ3 k а 8-103
нм 2,4209 0,3 2,4201 —0,06
Н 112 3,6436 0,6 3,6408 —0,14
£110 3,8355 1,0 3,8313 —0,33
t, мин 6,5 2,0
Однако метод, основанный на решении системы урав-
нений (5.14), более универсален и позволяет одновре-
менно с собственной частотой вычислять электромаг-
нитное поле и параметры резонаторов с произвольной
формой образующей, что и обусловило его использова-
ние в программе AZIMUTH. В табл. 5.2 сведены резуль-
таты расчета свободных колебаний в коаксиальном ре-
зонаторе, имеющих одну и две вариации поля по азиму-
ту. Так как граница рассчитываемой области не вклю-
чает оси резонатора, на которой выполняются однород-
Таблица 5.2
Результаты расчета азимутально-неоднородных видов колебаний
в коаксиальном резонаторе (//а=0,16, &/а=0,67, Лгшах=2000)
Вид колебаний k а 5-103 Вид колебаний k а S-103
£110 3,1669 1,9 £210 3,2458 2,7
£120 6,2409 —8,3 £220 6,2855 —7,4
6,9891 —6,3 £211 7,0231 —6,3
t, мин 8,0 /, мин 10,1
167
ные краевые условия Дирихле для функций Y и Ф, для
расчета основного вида колебаний для данного т ис-
пользовалась ортогонализация к единичному вектору.
Погрешность расчета собственных частот и в этом слу-
чае составляет десятые доли процента, а время расчета
несколько выше, чем для цилиндрического резонатора.
Наряду с тест-задачами, имеющими аналитическое
решение, важное значение для оценки погрешности рас-
чета имеют расчеты сложных ЭС, параметры которых
определены экспериментально. В табл. 5.3 приведены
Таблица 5.3
Результаты расчета различных видов колебаний в резонаторе
для трансформации энергии электронных пучков
Вид d, см 18,0 17,7 17,7 15,4 14,6
колебаний а, см 13,85 12,85 12,15 12,85 13,85
^010 /о, МГц 367,1 346.9 339.0 339,0 318,1
5, % 0,74 —0,66 —0.52 —0,34 0,79
£оп /о, МГц | 777,3 782,3 778,9 772,7 766,7
5, % 0,12 0,51 0,10 0.17 0,78
нш /о, МГц 518,5 516,4 525,8 494,2 489,5
5, % 1,86 11,13 1,27 1,32 1.94
/о, МГц 787,9 813,6 827,9 779,5 771,1
Нщ б. % 1.47 1.40 1.26 1,19 1,78
собственные частоты различных видов колебаний не-
скольких вариантов конструкции резонатора для транс-
формации энергии электронных пучков [83], форма ко-
торого показана на рис. 5.1. В ней указаны также обо-
значения видов колебаний цилиндрического резонатора,
к электромагнитному полю которых стремится поле со-
ответствующих видов колебаний исследуемого резонато-
ра при непрерывной деформации его стенок с целью при-
дания резонатору формы цилиндра. Погрешность расче-
та частоты указана по отношению к результатам экспе-
римента [83]. Для однородных видов колебаний она не
превышает 1%, для неоднородных — 2%. Сравнительно
168
высокая погрешность расчета связана, по-видимому, с
тем, что рассчитываемая область имеет узкий и длин-
ный выступ, ухудшающий и даже нарушающий сходи-
мость большинства численных методов. В данном слу-
чае, однако, время решения оставалось достаточно ма-
лым (2 и 5 мин на расчет одного азимутально-однород-
ного и неоднородного видов соответственно).
Рис. 5.1. Резонатор для тоанс-
формации энергии электронных
пучков:
//=320 мм; /?2=15о мм
Рис. 5.2. Тороидальный ре-
зонатор:
Я2/Я3 = 0,423; ///Я3=0,76; /?,//?3“
=0,12; ft1//?3=0,24; d/H=Q,4
Для широко распространенного тороидального резо-
натора (рис. 5.2) погрешность расчета собственной ча-
стоты, определенная по результатам измерений, состав-
ляет <1% для квази-f и <1,5% для квази-// видов
азимутально-неоднородных колебаний в аксиально-сим-
метричных резонаторах (табл. 5.4).
Таблица 5.4
Результаты расчета азимутально-неоднородных видов колебаний
в тороидальном резонаторе
а, град
Вид колеба- ний 0 10 20 30
KIRi 8. °/о V S, °1а а, % *о/*з S, %
Wni 2,4296 —0,58 2,3533 —0,63 2,2928 —0,6 2,2408 —0,71
^211 1,7674 —0,8 1,7346 —0,75 1,7179 —0,43 L7053 —0.37
Язи 1,3631 —0,29 1,3509 —0,34 1,3463 —0,32 11,3404 —0.42
Нщ 1,1057 —0,23 1,1028 —0,31 1,1020 —0,28 1,0995 —0,43
1,2926 —1,13 1,2801 —1,42 1,2766 —1,27 1,2786 —0,94
^210 1,1008 —0,87 1,0978 — 1,15 1,1028 —1,24 1,1157 —0,95
На рис. 5.3 и 5.4 показаны зависимости собственных
длин волн различных видов колебаний тороидального
резонатора от ширины зазора и радиуса втулки, полу-
ченные по программе AZIMUTH. Анализ этих зависи-
169
мостей позволяет сделать вывод о том, что в доста-
точно широком интервале значений радиуса втулки
собственные длины волн азимутально-неоднородных ви-
дов колебаний слабо зависят от ширины зазора d.
Рис. 5.4. Зависимость соб-
ственных длин волн различ-
ных видов колебаний торо-
идального резонатора от ра-
диуса втулки
Рис. 5.3. Зависимость
собственных длин волн
различных видов колеба-
ний тороидального резо-
натора от ширины зазора
Программа AZIMUTH использовалась также для ис-
следования различных видов колебаний в кольцевом
двухзазорном резонаторе бегущей волны полоскового
типа (рис. 5.5). Результаты этих исследований приве-
дены в табл. 5.5, где указаны собственные длины волн
и волновые сопротивления для видов колебаний, отли-
чающихся числом длин волн, укладывающихся по ок-
ружности резонатора (т), и числом вариаций поля
вдоль оси z(p). Волновое сопротивление рассчитыва-
лось на линии г = с.
Виды колебаний с р=0 имеют синфазные напряже-
ния в зазорах резонатора, а с р = 1—противофазные.
Результаты расчетов показывают, что волновое сопро-
тивление противофазных видов колебаний больше, чем
синфазных, что можно объяснить меньшим значением
170
Таблица 5.5
Результаты расчета параметров кольцевых резонаторов
бегущей волны
р I 0
т I 2 3 1 2 3
0,109 kb 3,412 4,885 6,088 4,845 4.918 5,651
р, Ом 59,6 22,3 6,8 60 0,01 0
0,218 kb 4,351 5,419 6,523 4,402 5,669 5,899
р, Ом 49,0 19,4 5,96 43.6 16.3 0,12
Рис. 5.5 Рис. 5.6
Рис. 5.5. Двухзазорный кольцевой резонатор полоскового типа:
///*=0,873; с/*=0,509; «/* = 0,073; //*=0,18; г(/*=0,073
Рис. 5.6. Зависимость собственных волновых чисел синфазного и
противофазного видов колебаний двухзазорного кольцевого резона-
тора от числа вариаций поля по азимуту:
I) <//*=0,109; 2) <//*=0,218
— Р = О;-------р=1
емкости центрального проводника. Спектр собственных
частот синфазных колебаний с различным т сущест-
венно не эквидистантный (рис. 5.6), что свидетельствует
о сильной дисперсии в полосковой линии, возбуждаю-
щейся на высшем типе волны.
В то же время спектр частот противофазных видов
колебаний, которым соответствует волна Т-типа в по-
лосковой линии, практически эквидистантный. Наи-
большие отклонения от линейной зависимости объясня-
ются дисперсией, возникающей за счет изгиба провод-
ников.
171
5.2. РАСЧЕТ МНОГОЗАЗОРНЫХ ЭС МЕТОДОМ
СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИИ
Рассмотрим многозазорную ЭС, состоящую из N
резонаторов связь между которыми осуществляется
через поверхности раздела Ц(г> (рис. 5.7). На форму
оболочки каждого резонатора (объема) У'?) и поверх-
ностей раздела D'9' никакие ограничения не налага-
ются. Искомое поле в объеме Vм представим в виде
разложения по его собственным функциям.
№ 5^
--1-Ч z f-г
111
[/W
6)
а.)
Р и с. 5.7. Схемы многозазорного (а) и двухзазорного (б) резона-
торов:
— ячейки (<7—нечетное); И®-1) — элементы связи
Для объема с нечетным номером q
Е<’>= а^Е^; НЧ) = (5.30)
fe=l А=1
Для объема с четным номером q
Е<«’ = Н<«> = 2 (5.31)
М /=1
Эти поля удовлетворяют уравнениям Максвелла на
собственных частотах ЭС со:
rot Е(г) = — 1(ор.Н(г); (5.32)
rot Н(<7> = 1<оеЕ<г) (5.33)
с граничными условиями:
[п,Е<«’| = 0 на SW; (5.34)
Е(9)==Е(«-1»; Н(г) = Н(9-1) на
(5.35)
Е<«) — Е(9+1); Н<«> = Н<’+1> на £)<«>,
где и DW—поверхности, через которые осущест-
вляется связь КЧ) с объемами ЦЧ-i) и соответ-
ственно. Собственные функции Е^\ Е^’, НЧ> удо-
J72
влетворяют уравнениям Максвелла на собственных ча-
стотах и
rot Е!?) = — rot Н(</) = ku^'sE!^
К Ц ' к Я к Я
и условию ортонормировки
j eEWE;<^dI/^= f = (5.36)
Предположим, что объемы V(?) с нечетными индек-
сами q представляют собой резонаторы (ячейки), с по-
лями которых взаимодействует электронный поток. Ра-
бочими в этих резонаторах являются обычно колебания
Е-типа, тогда смежным объемам Г’(</ соответствуют
элементы связи, в которых возбуждаются колебания
Я-типа. Граничные условия для собственных функций
необходимо выбирать так, чтобы поток энергии через
поверхности раздела £)(?) между ячейками и элемен-
тами связи не был равен нулю. Такой выбор позволяет
•ограничиться наименьшим числом членов в разложе-
ниях (5.30) и (5.31). С учетом изложенного
[п,Е^']=0 на q — нечетное. (5.37)
Условия (5.37) есть условия короткого замыкания,
и, следовательно, они соответствуют колебаниям пол-
ностью закрытого резонатора (связь отсутствует)
(п, Е]9)] = 0 на 5(<б; (п, Е'У) = 0 на D^\ q—четное. (5.38)
В последнем случае на поверхности заданы гра-
ничные условия холостого хода. Заметим, что в после-
довательности собственных функций Н(А9) (5.30) и Е)9)
(5.31) включены потенциальные подсистемы [75]. Умно-
жив уравнение (5.32) на Н*^’, а (5.33) на Е*(?> и про-
интегрировав по объему получим:
f (rot Е‘«> + 1ш|хН'»’) = 0,
j (rot Н^> - mE«7>) E*^dV^ =. 0, (5.39)
поскольку выражения в скобках равны нулю. Интегри-
руя каждое из равенств (5.39) по частям и подставляя
выражения для Е(<^ и в виде ортогональных рядов
173
(5.30), коэффициенты которых подлежат определению,
получаем с учетом (5.36):
для нечетного q:
(j) dS^ = — 4- (5.40)
sw
(j) Н(?>] dSW = - iwaOz); (5.41)
s(?)
для четного q:
§ [E<?>, dS^ = - (5.42)
s<’>
f [E*4 IP>] dSW = i<u*«7)&(<7) — (5.43)
sw
Рассмотрим интегралы в уравнениях (5.40) — (5.43).
Из условий (5.34), (5.35) следует, что для нечетного q
$ [№>, = J [Е(*-'>, Н;^>] dD<’> +
s(9) D(q)
+ J [E^+O, H*(«] d№. (5.44)
£)(<Ц
Учитывая (5.37), получаем J [E2?), = 0.
sw
Далее из условий (5.34) и (5.38) следует, что для чет-
ного q
(j) [EW, н;<’)] dS™ = 0, а с учетом (5.35)
з<’>
(J) [Е*<4 Н<’>] dS = J [EW.H^-OJdDw)-]-
s<’> dW
+ J [E*W, (5.45)
d<«)
П
Введем обозначения:
J [E'’+1>,H;w]rfD(?) = Q^; (5.46)
174
[ЕЖ Н(?-1И rfD(?> = Р(’>;
J l. J J /Л
flW)
Л
J [ЕЖ, Н‘»+1)] dD<?> = P<?n>. (5.47)
4?)
Тогда уравнения (5.40) и (5.41) с учетом выражений
(5.44) и (5.46) принимают вид:
— = QGz);
iw*W/> — iwa^) = 0; (5.48)
Qft7’ = QH + Qft’n- Я — нечетное.
Решая систему уравнений (5.48) относительно коэф-
фициентов разложения, получаем:
<5'49)
^’ = W>Q?>. №'= „ЖуГ' <5'50)
Уравнения (5.42), (5.43) с учетом выражений (5.45)
и (5.47) преобразуются к виду:
_ iwby?) -[- = 0;
— iway?) = ру?>; (5.51)
Р^?> = р(.«)Р<?), q — четное.
Решение системы уравнений (5.51) имеет вид:
= ^-(^у ’ (5-52)
«.,) = iawpw aw = ’ .. (5.53)
/ 11 ] о/ — х
Из формул (5.49), (5.50), (5.52) и (5.53) видно, что
неизвестные коэффициенты разложения рядов (5.30) и
(5.31) выражаются через интегралы Q^> и Р<«>, назы-
ваемые интегралами возбуждения. Рассмотрим их более
подробно. Подставляя в (5.46) ряды (5.31), получаем
для нечетного q
J [№-'),н*^)]да) = 2<5-54)
D(<?) /=i
175
где
Qj*) = J [E’*-1’, dD<»>; (5.55)
a(?)
Л
<S-S6>
/=1
где Q<% = j [Е^'.Н^да.
д(<7)
Из (5.47) с учетом (5.30) имеем для четного д'.
Л=1
Р$л = J [EW,H‘/-')]dD^;
д(?)
(5.57)
рЙ'=2''?+,’₽®.-р8!,= f |e;m',H'««)J</DW. (5.58)
k=l n<?)
ип
Таким образом, если известны собственные функции
Еад и н$)> то все интегралы возбуждения вычисляют-
ся. Складывая теперь (5.54) с (5.56) и (5.57) с (5.58),
получаем для каждого объема V(9) систему уравнений
относительно коэффициентов разложения и
Поскольку эти коэффициенты выражаются друг через
друга с помощью и то систему уравнений мож-
но упростить. При этом в качестве неизвестных, подле-
жащих определению, целесообразно использовать Ь(^
для нечетных объемов и aSf* для четных. Ограничиваясь
в разложениях (5.30) и (5.31) конечным числом членов
(в общем случае различным для различных q),
окончательно получим:
Ы?) — i V ЙЫ-1)ОЫ) —
g(g) k / ^к/л
1 к j=i
м(?+1)
— ' Zj = k — q — нечетное;
/=i
176
' а;«_| V 6?-'>рм_
Л1(9+,)
—5 S ^*9+1)^/*п = ®’ /= 1> 2, ..., АР’’, q—четное,
*=1
или в матричной форме
АХ = 0. (5.59)
Матрица А в качестве своих коэффициентов содер-
жит интегралы возбуждения и PW. В ее главной
диагонали находятся неизвестные величины 1/0^';, со-
держащие искомые частоты <о (в общем случае ком-
плексные). Вектор-столбец X есть вектор коэффициен-
тов разложения (q — нечетное) и (q — чет-
ное). Нетривиальные решения уравнения (5.59) воз-
можны, если
detA = 0. (5.60)
Характеристическое уравнение многозазорного резо-
натора (5.60) позволяет найти его собственные частоты
(Р=1, 2, ..., Р). Порядок матрицы
w
Р=£М^. (5.61)
Собственные частоты колебаний в объемах V{Q)
при наличии потерь являются комплексными «>(?) =
Поэтому система уравнений (5.59), содер-
жащая комплексные значения позволяет найти
поле многозазорного резонатора с учетом затухания.
Действительно, введя добротность резонаторов Q(/)==
= диагональные члены матрицы А можно
записать в виде
«<^)2 [(“/“Л2-1 + 1/4(Ql”)2-i/Q(fe?)]
Поскольку определитель (5.60) в общем случае ком-
плексный, уравнение (5.60) преобразуется к системе
уравнений
Re (det А) = 0, Im (det А) = 0 (5.60а)
(2—1271 177
относительно действительных to' и мнимых ы'р частей
собственных комплексных частот <вр. Определив ар из
(5.60), можно найти коэффициенты b<g> и аМ, а затем
с помощью (5.49) и (5.53)—коэффициенты а{^ и Ыр,
что позволяет определить поле в резонаторе.
Введем обозначения:
q-2 q-1 q
Ci = 2 = 2 Л1(Л); сз = 2
S=1 №1 5=1
ci = 2 ЛЖ (5.62)
5= 1
Любой элемент атп матрицы А может быть получен
из табл. 5.6, 5.7.
Таблица 5.6
Связь между элементами матрицы А и интегралами возбуждения
(q — нечетное)
Q Условие для т k Условие для п / атп
<7=1 0<m,gc-. т g V/ V /1— i/C
1 <q<N с2<т-<^с3 т—с2 ем g V/ V/ II й й s v V с. п—ct п— 1 —44— Е 1 —, •S’? 'Sji' 1 О* О* S 7 7
q = N т—с2 ем g V/ п—сх
При значениях п за пределами указанных интерва-
лов все атл = 0. Правило построения элементов атп за-
ключается в следующем. Из таблиц находится такое
значение q (начиная с <?=1), при котором выполняется
одно из условий для заданного индекса т (т=1, 2, ...
..., Р). Затем для найденного q находится условие, ко-
торому удовлетворяет заданный индекс п (п=1, 2, ...
..., Р). Оба условия позволяют однозначно определить
значения индексов k и j и, следовательно, вид данного
элемента атп-
178
Таблица 5.7
Связь между элементами матрицы А и интегралами возбуждения
(q — четное)
ц Условие для т / Условие для п fe атп
q = 2 с2<т<с3 т.—с2 g V/ V/ s v V о п п— 1/^2)
2<q<N с.2<т<с3 т.—с2 g V/ V || Й Й й V V п—сх л—с3 S-, о? Q? S 7 Т
q = N с2<т<с3 т—с2 n=m П—С[ -<>
1 При N—2, С[=0.
Рассмотрим свойства элементов матрицы А. Для это-
го раскроем выражения (5.55) и (5.58):
Q^ = J 1ЕГП’ =
= -ег J (5.63)
°лЧ}
X J Н^>] (5.64)
г><?)
п
Поскольку D'-^ — '>, то из сравнения (5.63) и
(5.64) следует, что
= (5-65>
Пусть, далее, при некоторых значениях тип (т=£т)
= (5-66)
В соответствии с данными табл. 5.6 это означает, что
q — нечетное и это равенство возможно при k — m—с2,
12* 179
j = n—Cj. Если в этих выражениях поменять местами т
и п, то k = n—с2, j=m—Сь
Из сравнения таблиц и формулы (5.62) следует, что
£2(с1) для нечетного объема Е(<7) и с3(с2) для четного
И7-1) равны между собой соответственно, т. е. k = n—с3;
j = m—с2. При этих условиях для объема V’('7'i)H3
табл. 5.7 апт = - Поскольку а*пт = i/™"1), то с
учетом (5.65) и (5.66)
= <5-67)
Таким образом, матрица А является матрицей с ком-
плексно-сопряженными коэффициентами, и для реше-
ния системы уравнений (5.59) достаточно вычислить
только половину входящих в нее коэффициентов.
Иллюстрируем изложенное построением матрицы А
для двухзазорного резонатора с одним элементом свя-
зи в общей диафрагме (А = 3) при условии, что в каж-
дом из частичных объемов Й(1), \Z(3> известны по
две собственные функции со своими собст-
венными частотами &(/) = !, 2, т. е. ЛД?> =2 для
всех q. Из (5.61) следует, что для матрицы А порядок
Р равен 6. Пусть, например, атп=ап. Значение т=1
удовлетворяет условию табл. 5.6 для q=i, следователь-
но, 6 = 1. Далее, поскольку т = п, то Яц = 1/р)1). Для эле-
мента оказывается, что п = 2 не удовлетворяет ни одному
из условий и, таким образом, «12 = 0. Пусть теперь атп =
= «35. Значение т = 3 удовлетворяет условию табл. 5.7
2
для q = 2, т. е. 2= /ИМ^З-С У, Ар) = 4, тогда / = 3—
5=1
—2=1. При о этом п = 5 удовлетворяет неравенству А
4 = 2 мм < S-1 зом, а35 = ; 5 < Ё = 6, т. е. 6 = 5—4 = I. Таким
обра 5 = 1 —Окончательно матрица А и вектор-
столбец X имеют вид:
" 1/РГ о -ад -ад 0 0 ~
0 w -ад -ад 0 0
- -LPM 1,<> 0 — 1 In — iP<2>
А = - -ад о - i^>n _ ip(2) "22n
0 о - ад. - ЭД W 0
0 о -ад - ад 0 1<) _
X - [&(П, &('), д(2), a'2), b\3>, bp]T.
180
В случае ЗС типа цепочки связанных резонаторов в
систему уравнений (5.59) входят интегралы возбужде-
ния и коэффициенты разложения только из тех объе-
мов, которые образуют период системы, поскольку из
теоремы Флоке следует, что поля в таких системах на
расстоянии одного периода отличаются только на угол
фазового сдвига. Тогда характеристическое уравнение
(5.60а) представляет собой дисперсионное уравнение
ЗС п для каждого действительного значения « его ре-
шением служат действительная и мнимая части ком-
плексного угла фазового сдвига <p = <p/ + i<p". Используя
описанную выше методику, можно показать, что для
ЗС типа ЦСР, период которой образован двумя смеж-
ными объемами (А = 2), матрица А и вектор-столбец X
имеют вид [30J:
- 0 ••• 0 1 -iQ'P -iQ<p
0 I ро) о [ -iQ'V-iQy? ••• -«
А — 0 0 Ф‘> i—- —iQU)
-iptp-ipw •• 0 ••• 0
-iP(2) - iP<|> ••• 0 I/₽<2> ••• 0
-ад: ° ° 1/^ _
X [&(!), &(D, .... b^, a^, af, ..., a^V,
тде п и т — число собственных функций в первом и
втором объемах соответственно.
Из изложенного следует, что для решения характе-
ристического (дисперсионного) уравнения многозазор-
ного резонатора (резонаторной ЗС) необходимо найти
коэффициенты системы уравнений (5.59). Они представ-
ляют собой интегралы возбуждения, для вычисления
которых требуется знать собственные функции и собст-
венные значения, т. е. электромагнитные поля и часто-
ты различных видов собственных колебаний во всех
частичных областях, составляющих исследуемую ЭС.
На рис. 5.8 показаны результаты решения дисперси-
онного уравнения (5.59) для цепочки призматических
резонаторов, связанных прямоугольными щелями связи
(рис. 5.9 [70]). Поскольку собственные функции и ин-
тегралы возбуждения в данном случае вычисляются
181
аналитически, при расчете оказалось возможным ис-
пользовать большое число собственных функций резо-
натора. В щели связи учитывались собственные функции
Нюо и Нзоо. Результаты расчета свидетельствуют, что с
увеличением числа функций дисперсионная характери-
стика (ДХ) приближается к экспериментальной, одна-
Рис. 5.9. Цепочка призматических
резонаторов с индуктивными ще-
лями связи
Рис. 5.8. Дисперсионные харак-
теристики цепочки призматических
резонаторов, рассчитанные с ис-
пользованием различного числа
потенциальных р и вихревых s
функций в ячейке:
1) р=2; s = 10; 2) р = 2; s = 16; 3) р=2:
5,=36; 4) р=16; s=25; 5) эксперимен-
тальная кривая
ко сходимость не является монотонной. Добавление в
систему вихревых функций расширяет расчетную поло-
су пропускания, а потенциальных — сужает ее. Даже
Р и с. 5.10. Дисперсион-
ные характеристики ЦСР
с узкими щелями связи:
------расчет методом соб-
ственных функций; ------
расчет методом щелевых
антенн [113]
при учете 36 собственных функ-
ций в резонаторе и двух в щели
связи расчетная характеристика
далека от экспериментальной, что
свидетельствует о медленной схо-
димости метода. Можно ожидать,
что сходимость метода улучшит-
ся при расчете ЗС с цилиндриче-
скими резонаторами, которые об-
ладают более разряженным спек-
тром по сравнению с призмати-
ческими.
На рис. 5.10 представлены ре-
зультаты расчета двумя метода-
ми цепочки цилиндрических резо-
наторов с узкими щелями связи.
Собственные функции, как и в пре-
дыдущем примере, находились аналитически. Расчет про-
водился в одномодовом приближении поля в ячейке и
щели связи для разных отношений собственных частот
182
щели со^. и резонаторе <вс. Как видно, при коротких ще-
лях оба метода дают практически одинаковые резуль-
таты, в то время как для длинных щелей наблюдается
некоторое различие.
Для расчета ЗС с резонаторами и щелями связи
сложной формы составлена программа ELENA [30], в
которой собственные функции резонатора и щели связи
рассчитываются методом конечных разностей с по-
мощью программы EXTEL [34]. Последняя позволяет
рассчитывать только основной вид колебаний, поэтому
расчет ДХ производился в одномодовом приближении
поля в щели и резонаторе. Влияние высших видов коле-
баний в резонаторе и потенциальных полей приближен-
но учитывается введением эквивалентной толщины ще-
ли, определяемой из условия равенства погонных емко-
стей реальной щели и щели с магнитными стенками.
Интегралы возбуждения находятся численно путем ин-
тегрирования сеточных функций, аппроксимирующих
поле резонатора и щели по ее поверхности. На рис. 5.11
Рис. 5.11. Дисперсион-
ная характеристика ЦСР
с резонаторами сложной
формы
Рис. 5.12. Дисперсионная харак-
теристика (/) и зависимость за-
тухания от длины волны (2) ЗС
типа ЦСР в двух полосах про-
пускания:
------- Q,. = Q . = ЮОО:----
Qc = QiS=50
показана рассчитанная с помощью описанной програм-
мы дисперсионная характеристика замедляющей систе-
мы с резонаторами сложной формы (кривая 1) и экс-
периментально полученная ДХ (кривая 2). Погрешность
расчета замедления фазовой скорости (при равных фа-
зовых сдвигах) составляет менее 1%.
183
Как отмечалось выше, метод собственных функций
позволяет рассчитывать ЭС с учетом активных потерь.
На рис. 5.12 показаны дисперсионная характеристика и
зависимость затухания от длины волны, рассчитанные с
помощью описанного алгоритма для двух значений соб-
ственных добротностей резонатора Qc и щели связи Qs.
При малых потерях (Qc = Q^=1000) в ЗС наблюдают-
ся две полосы пропускания, в которых затухание прак-
тически равно нулю. Вне этих полос затухание быстро
нарастает. При больших потерях (QC=QS =50) в поло-
сах пропускания наблюдается заметное затухание, а вне
полос фазовый сдвиг отличен от нуля (или л), т. е.
электромагнитное поле содержит примесь бегущей вол-
ны. Интересно отметить, что затухание в области <р~л
для систем с большими потерями оказывается меньше,
чем для систем, в которых эти потери малы.
5.3. РАСЧЕТ РЕЗОНАТОРНЫХ ЗС МЕТОДОМ
ВЗАИМНО ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ЧАСТИЧНЫХ
ОБЛАСТЕЙ
Основные типы и конструкции резонаторных замед-
ляющих систем рассмотрены в § 1.3. Сложная форма
ячеек, разнообразные способы осуществления связи меж-
ду ними затрудняют создание достаточно точных и уни-
версальных алгоритмов расчета ЗС этого класса. Если
задача анализа системы сводится к двумерной, она ус-
пешно решается электродинамическими методами, рас-
смотренными в гл. 3. Примерами таких систем могут
служить гребенчатые ЗС, КДВ. Однако расчет ряда ре-
зонаторных ЗС, в том числе широко распространенной
цепочки тороидальных резонаторов с индуктивными ще-
лями связи (ЦСР), требует решения трехмерной задачи
электродинамики. В большинстве работ такие системы
исследуются с помощью эквивалентных схем [91, 99].
Известно использование с этой целью метода частичных
областей, предусматривающего разбиение объема ЗС на
резонаторы и щели связи (так называемое поперечное
разделение).
Векторы напряженности электромагнитного поля ре-
зонаторов представляются в виде разложений по собст-
венным функциям круглого волновода [84, 58] либо
цилиндрического резонатора [113]. Оба представления
справедливы только для ЦСР с плоскими диафрагмами.
184
Наличие цилиндрических пролетных труб учитывается в
[3, 97], причем в [97] расчет собственных функций ре-
зонатора производится также методом частичных обла-
стей. Эта методика использована в программе расчета
ЦСР [52].
Щель связи в ряде работ (см., например, [84]) рас-
сматривается как отрезок регулярного волновода слож-
ного поперечного сечения, причем ее краевое поле, про-
никающее в резонатор, не учитывается. Этот недостаток
устраняется методом щелевых антенн [113, 97], приме-
нимость которого ограничена, однако, трудностью опре-
деления волнового сопротивления и электрической дли-
ны щелей связи с большими поперечными размерами.
Предложенные в перечисленных работах аналитиче-
ские выражения для полей справедливы только в ча-
стичных областях определенной геометрии и поэтому не
могут быть использованы в алгоритмах расчета ЦСР с
произвольной формой ячеек и щелей связи. Анализ та-
ких ЗС методом собственных функций (см. § 5.2) со-
пряжен со значительными затратами машинного време-
ни и требует большого объема памяти ЭВМ.. В то же
время возможности метода частичных областей могут
быть существенно расширены за счет применения пред-
ставлений поля, не требующих аналитических выраже-
ний для собственных функций ячейки и щели связи.
Универсальный алгоритм, позволяющий проводить ана-
лиз резонаторных ЗС с произвольной формой ячеек, пред-
ложен в [31, 29]. Приведенное ниже изложение алго-
ритма ведется для ЗС с осевой симметрией. Соответст-
вующие формулы для плоскосимметричных ЗС могут
быть получены читателем самостоятельно.
Дисперсионное уравнение. Рассмотрим резонаторную
замедляющую систему с винтовой осью симметрии
(рис. 5.13). Считая, что резонаторы имеют вертикаль-
ную плоскость симметрии, определим их форму функ-
цией d = d(r), а<г<6, где d — расстояние между смеж-
ными диафрагмами; а — радиус пролетного канала
(пространства взаимодействия); b—радиус резонато-
ров. Для ЗС многолучевых приборов а = 0. Связь между
резонаторами осуществляется через пролетный канал и
фасолевидные щели связи. Если угол разворота щелей
в смежных диафрагмах (см. рис. 5.13), шаг уста-
новки диафрагм D не совпадает с периодом ЗС L. Как
известно [91], поле такой системы в каждой полосе
пропускания можно представить в виде суммы N ази-
185
мутальных гармоник (2V=2n/g) с различными диспер-
сионными характеристиками и распределениями поля в
поперечном сечении. В дальнейшем рассматривается
только аксиально-симметричная составляющая, про-
дольное электрическое поле которой отлично от нуля на
оси системы.
Рис. 5.13. Замедляющая система типа ЦСР с одной индуктивной
щелью связи и винтовой осью симметрии
Разделим объем ЗС на частичные области 1, 2
(рис. 5.14). Область 2 в конкретной ЗС может отсутст-
вовать. Так как электромагнитное поле щели проникает
Рис. 5.14. Разделение объема ЗС
на взаимно пересекающиеся ча-
стичные области:
/ — резонаторы; 2—щель связи; 3 —
пространство взаимодействия: 4 —
ячейка;---------граница области
— . — ----граница области 2, ...—
поверхность раздела между областями
3 и 4
в резонатор, границы частичных областей пересекаются.
Представим электромагнитное поле резонатора в виде
разложения по его собственным функциям [15]
Е = 2 Н = 2 - V®’ (5 68)
Л=1 *=!
где Ф — скалярный магнитный потенциал, удовлетво-
ряющий уравнению Лапласа ДФ = 0 и граничным усло-
виям
d'l'jdn — О на 5М; d'bidn = на Ds; (5.69)
186
(5.71)
Hsz —продольная составляющая магнитного поля ще-
лей связи на поверхностях раздела Ds- SM — металличе-
ская поверхность резонатора. Собственные функции
Eft, удовлетворяют однородным уравнениям Мак-
свелла
rot Hft = rotEft = — (5.70)
граничному условию
Ей, — 0 на S,, + D.
и условиям ортонормировки (П2.5).
На поверхности раздела смежных резонаторов Dj
выполняются периодические граничные условия
Ей, (£ + £>) = Eft, (2)6-^; Нй,(г + Д) = Нй,(2)е-’’?. (5.72)
Таким образом, собственные функции и собственные
частоты резонатора зависят от угла сдвига фаз коле-
баний в соседних резонаторах ср.
Для решения задачи (5.70) с граничными условиями
(5.71), (5.72) разделим объем резонатора на две ча-
стичные области: пространство взаимодействия 3 и
ячейку 4. Из условия непрерывности полей на грани-
це раздела г = а [91]
У*3) Д- ГО) = 0, (5.73)
где К(3’4) — 2/3l3’O/|t/112 — проводимости частичных об-
ластей, определяемые комплексной мощностью Р(3'4) и
эквивалентным напряжением ячейки U\. Для полосы
пропускания ЗС, соответствующей азимутально-одно-
родному Е-виду колебаний в ячейке,
z+D
/3(3,4) __ J //(3,4)* dZ‘,
z
z~\~ D
Ui = — J Ez (a, z) dz.
z
Эти определения предполагают, что на границе раздела
задана продольная составляющая электрического поля
Ez (a, z). В соответствии с [11] для ЗС с толстыми, за-
кругленными на торцах пролетными трубами,
! Ez(a,z) |=Р°’ 9 (5-75)
(0 dai2 < | z - z0| < Е>2,
где г0 — координата середины зазора; da=d(a)—его
ширина (см. рис. 5.13).
(5-74)
187
Электромагнитное поле в области 3 представим в
виде разложения по пространственным гармоникам
(1.17). Используя (3.7) и (5.75), имеем:
ЕТ= 2 Vo(^r)e-7; (5.76)
р—— во
^3)= 2 (WW/H*: (5.77)
psz— оо
н«>-(ад 2 (5-78>
р ST — оо
где
Um(x), х>0;
(-IW ^ = ^2-^>0;
IIM ^<0;
Л __ £0 sin(^a/2)
А»-То{^) D Vpdal2 {- '
— амплитудный коэффициент гармоники. Подставив в
(5.74) выражения (5.76) и (5.78), найдем
у(3) — j
floD
со
2
р=- 60
sin ($pdal2)
№
12
Ф, (туг), (5.80)
где Ф1(х)=Г1(х)/[хГ0(х)]. Отметим, что при отсутст-
вии пролетного канала (а = 0) У(3) =0.
Выражения (5.77) и (5.78) дают возможность вычис-
лить поток энергии в пространстве взаимодействия
PB3 = 0,5Re J [Е(3), H(3>’j = irRe f E^H^rdr.
°вз о
Усреднив эту величину по промежутку D (отчего она не
изменится) и воспользовавшись ортогональностью про-
странственных гармоник на этом промежутке [93], по-
лучим
_ -kd^E^
вз~ ^2
“ sin2(M«/2) Л
,g. ?/./2 <5-8,)
где Ф2 (л) = х-2{Т2 (х)/Г2(х) + 2Л (х)/[|х| То (х)]-х/|х|}.
188
Ячейку резонатора можно рассматривать как за-
короченный отрезок нерегулярной радиальной линии
передачи, что эквивалентно исключению в разложениях
(5.68) собственных функций с вариациями по азимуту и
координате z. Как известно [59], входная проводимость-
такого отрезка У (г) удовлетворяет уравнению Рикатти
dYjdr — i&p К2-j- ifc/p — 0 (5.82}
и граничному условию У(5) =0, где р(г) =Т]ой?(г)/(2лг)—
волновое сопротивление радиальной линии. В этих обо-
значениях входная проводимость ячейки У<4> = У(а).
В общем случае уравнение (5.82) не решается ана-
литически. Численное его решение обычными методами
(например, Рунге—Кутта) достаточно трудоемко и воз-
можно только для ячеек с гладкой формой образующей
(й?(г)—непрерывная функция). В связи с этим в J31]<
предложен алгоритм численного решения уравнения
(5.82), использующий разбиение отрезка неоднородной
линии на большое число N коротких участков длиной
1} = r} — rj-i, a = r0<rt< ...<rN = b. Каждый участок,
заменяется отрезком регулярной линии передачи (сту-
пенькой) с длиной I) и волновым сопротивлением^
py = p(Q), — (-гz)/2 (рис. 5.15).
Рис. 5.15. Разбиение ячейки ЗС на отрезки нерегулярных линий пе-
редачи (ступеньки) (а) и эквивалентная схема ячейки (б)
Ступеньки в свою очередь представляются эквива-
лентными П-образными четырехполюсниками с парамет-
рами Yj = ipr1 tg (kljjT), Zj — ip;- sin klj, каскадное со-
единение которых образует лестничную цепь — эквива-
лентную схему ячейки (см. рис. 5.15). Входная прово-
димость схемы рассчитывается эффективным методом
кумулянтов [108]
К<4> — C|,2n/C2,2jV- (5.83}
189
Кумулянты Cm!„(n>/n) вычисляются по рекуррент-
ным соотношениям Ст,т = 1; Cm,m+i = ат', Ст>тл.9 —
(^m+qCт, m+q — 1 + Cm.m+q-i, q=2, п—т, где ак —
элементы лестничной цепи; a2j = Zj-, a2j+i =
— Yj + Yj+i, j—l, N—1. Метод позволяет также най-
ти эквивалентные напряжения и токи
U^j+i ~ 2w/^2,2wJ hj — UiCii, zn/Cwn, (5.84)
•связанные с электромагнитным полем собственных ко-
лебаний ячейки;
dj 2тс
Uy+! = - f Ez (ry) dz-, I2J = + 7Д Hi (rj rf9, (5.85)
о 6
где dj = d (fj) верхний знак относится к току, теку-
щему по правой стенке резонатора, нижний — по ле-
вой.
Сравнение рассчитанных методом кумулянтов вход-
ных проводимостей радиальной и экспоненциальной ли-
ний с аналитическими значениями
Рис. 5.16 Зависи-
мость погрешности вы-
числения входной про-
водимости от числа
ступенек отрезка ли-
шни с электричесиой
длиной Ы=1,5
(рис. 5.16) показывает, что число
ступенек, необходимое для обеспе-
чения погрешности вычислений ме-
нее 0,2%, определяется эмпириче-
ской формулой Ar>4pmax/ptnin — 3
(предполагается, что р(г)— непре-
рывная монотонная функция).
Если функция р(г) имеет разры-
вы и (или) немонотонна, ячейка
разбивается на части, каждая из
которых представляется эквивалент-
ной лестничной цепью. Эти цепи за-
тем соединяются последовательно,
причем в местах разрывов функции
р(г) в эквивалентную схему вклю-
чаются проводимости [27]
Yc~ 2iAr0/(v]07t3) 5} sin2 (дгкя)/(тд3а2), (5.86)
т—1
тде г0 — координата точки разрыва; а<1—отношение
волновых сопротивлений по обе стороны от этой точки.
Проводимости Ус учитывают влияние высших нераспро-
страняющихся типов волн, возникающих вблизи углов
190
образующей ячейки. Пример построения эквивалентной
схемы ячейки сложной формы показан на рис. 5.15.
Уравнение (5.73) после подстановки в него (5.83) и
(5.80) позволяет для каждого значения cp(O<cp<n)
найти собственные частоты ak и собственные функции
Eft, Hft различных видов колебаний резонатора ЗС. Ре-
шая это уравнение для ряда значений ср, получаем дис-
персионные характеристики шк = шк(гр) различных по-
лос пропускания ЗС. Отметим, что при а = 0 уравнение-
(5.73) позволяет рассчитывать различные виды собст-
венных колебаний аксиально-симметричных резона-
торов.
Учет щелей связи. Щели связи, прорезанные в диа-
фрагмах ЗС, возмущают электромагнитное поле резона-
торов, что приводит к изменению проводимости У(4) -
Это явление можно учесть, изменив соответствующим
образом эквивалентную схему ячейки.
Рассмотрим ЗС без щелей связи. В данной полосе-
пропускания электромагнитное поле ее ячеек с точ-
ностью до постоянного множителя совпадает с полем
соответствующего вида свободных колебаний резона-
т°Ра Е<°)- ; Н<°> = ^°>НА. (5.87>
Ограничимся анализом полос пропускания, которым со-
ответствуют азимутально-однородные Е-виды колеба-
ний резонатора. Поле этих колебаний содержит только
три составляющие:
Нй = /7Аве9; Eft = Ekrer + Екгег. (5.88>
Применив к объему 17,- одной ступеньки ЗС (рис. 5.17,а}
теорему Умова—Пойнтинга, получим
— f [Е<°), dS = 2 (РР), — -Pj0)) =
'si
= 0,5 jo> f (p | H<°> I2—e | E<°> |2) dV,
'VJ
dJ-i
где J EktH^dz;
0
dJ
^ = ~a^rj EkzH^dz.
о
В правой части этого равенства стоит удвоенная ком-
плексная мощность, «поглощаемая» в объеме ступень-
1911
ки, которая легко вычисляется с помощью эквивалент-
ной схемы рис. 5.17,6:
2 - Р<°>) = I I2 YW + | /-о) р z<P’ 4-
+ 1^>+112
(5.89)
Рис. 5.17. Ступенька и ее эквивалентная схема в ячейке без щелей
связи (а, б) и в ячейке со щелями связи (в, г)
При наличии щелей связи поле в резонаторе ЗС
определяется разложениями (5.68). Запишем теорему
Умова—Пойнтинга для ступеньки, примыкающей к ще-
ли (рис. 5.17,6):
2(P/_i —+ Р* 4-Р“Р) = 0,51(0 [(р.|Н|2—е |Е|2) б/И, (5.90)
Ъ
dj-l 2к
где Р;_] = — 0,5Г/_| dz J [Е, Н*] trdfr,
о о
dj 2к
Pj = — 0,5r; J dz J [E, H*J е.б/9; (5.91)
о 6
= 0,5 J [EJ, H*] ezdD-,
of
P"p = -0,5 f [E“₽, Н*]е/Ю; (5.92)
D(np)
192
Dj и Z)y₽ — поверхности раздела частичных областей,
примыкающих к данной ступеньке; Е£, Е"р—электри-
ческое поле левой и правой щелей связи на поверхно-
стях раздела.
Если частота возбуждения лежит в пределах доста-
точно узкой полосы пропускания ЗС, отделенной от со-
седних полос широкими областями непропускания и со-
ответствующей £-му виду собственных колебаний резо-
натора, то в разложениях (5.68) можно сохранять толь-
ко по одному члену:
Е^аАЕЛ; Н-М^-уФ- (5.93)
Учитывая аксиальную симметрию ячейки, предста-
вим решение уравнения Лапласа для Ф с граничными
условиями (5.69) в виде ряда
ф = 2 сч% (Г> Z) cos И?9 + ?«)’ тч - °. -• (5-94)
<7=1
Отсюда азимутальная составляющая потенциального
магнитного поля щелей связи, проникающего в резона-
тор,
НРь = — r~'d®idb = г-1 ^/«^(г.^зт^е+ср^Дб.Эб)
<7-1
Подставив (5.93) и (5.95) в (5.91) и учитывая, что
Еы =0, получим
^*/-1 = ak^kT:ri-1
о
dJ
PJ = — akb^rj J EkzH*Mdz.
о
Так как амплитуда собственных колебаний резонато-
ра не определена, положим а1-^ — ак, b^} — bk, что по-
зволяет записать
Р^ = Р,^-, Р^ = Р}. (5.96)
Предположим, что эквивалентной схемой ячейки,
примыкающей к щелям связи, также может служить
симметричный П-образный четырехполюсник (рис.
13—1271 193
5.17,г). Тогда выражение (5.90) можно записать в ви-
де, аналогичном (5.89) :
2(Pj-1-Pj+ PJ + PW) =
= I U2j_112 Yj +1 Z2, )2 Zj +1ZZ2/+1 p Yj. (5.97)
Напряжения и токи в (5.89) и (5.97) связаны с соот-
ветствующими полями соотношениями (5.85). Используя
(5.87), (5.93) и (5.95), получаем
£72/_, = СУ2/+1 = Ц°>+1; Z2y = Z<°>. (5.98)
Подставляя (5.96) и (5.98) в (5.89) и (5.97) и вычитая
первое равенство из второго, находим
2рсв = 2(р.? + рпр) = ([Ц0Г1|2 +
+1 ^?+I I2) - П0)) +! 4°? I2 - ^0))-
Так как параметры эквивалентной схемы ступеньки в
ЗС со щелями связи пока не определены, положим
Yj — Y{p. Из записанного равенства следует
Z™ = Zj — Zf - 2РСВ/1ф |2. (5.99)
Таким образом, влияние щелей связи учитывается
включением в последовательную ветвь эквивалентной
схемы каждой примыкающей к щели ступеньки доба-
вочного (вносимого) сопротивления ZCB, значение ко-
торого определяется комплексной мощностью P‘jtt =
= Р* -|- Рв?.
Рассмотрим выражения (5.92). В соответствии с
(5.93) положим Н=Н0+Н^, где Но — магнитное поле
собственных колебаний резонатора; Нр —потенциаль-
ное магнитное поле щелей, проникающее в ячейку. Ко-
лебания в щели связи возбуждаются электромагнитным
полем соседних резонаторов. Учитывая линейность
уравнений Максвелла, можно записать Е* = Ев0 Е* ;
е"₽ = Е^4-Е^р, где первые слагаемые обусловлены
магнитным полем Но, а вторые — потенциальным маг-
нитным полем Нр. Следовательно,
РМР = 0,5 j lEs0,H-]t/D+0,5 J IEJO, Н;]<Я> +
D. Dj
+ 0,5 f 1E,P, HJ]d!D+0,5 J |Esp, H;]rfD -(5.100)
b,. Dj
194
(индексы «л», «пр» в правой части для краткости опу-
щены). Первый член в этом выражении определяет
основную часть потока энергии через щель связи. Вто-
рой и третий члены позволяют вычислить дополнитель-
ный поток энергии, возникающий за счет непосредст-
венного взаимодействия электромагнитных полей смеж-
ных щелей. Четвертый член имеет второй порядок ма-
лости, и его можно не учитывать.
Определение основного потока энергии. Для вычис-
ления интегралов в выражении (5.100) необходимо най-
ти электрическое поле щели связи Es. С достаточной
степенью точности можно считать, что на основном виде
колебаний вектор Es расположен в плоскости (г, z)
(рис. 5.18). Положив Ел =0 и учитывая (5.88), запи-
шем уравнения Максвелла для
частичной области 2 (см.
рис. 5.14) в цилиндрической
системе координат:
1 дНг дН$
---За 5“ = Е<лЕ'
г <29 dz г
1 dEz
дН' дН> _п
dz dr ’
dEr dEz __
dz dr
= — i<op(//e HOs); (5.104)
(5.101)
(5.102)
(5.103)
Рис. 5.18. Возбуждениеше-
ли полем резонатора
1 d(rEh) 1 dHr
------5 5а~ —1<иг(£", — Ео);
г dr г dd г
1 dEr
1
г
d(rEr) dEz
dr dz
(5.105)
(5.106)
(5.107)
(5.108)
1 d(rHf} 1 dfE
~r dr r
dHz
—-^-=0.
dz
Предполагается, что в области щели ЕОг =0. Через
Ео, Но обозначено возбуждающее поле резонаторов, ко-
13* 195
торое включено в уравнения (5.104), (5.105) вследствие
того, что частичные области 1 и 2 перекрываются. Ис-
ключив из (5.101), (5.104), (5.106) и (5.107) Hz, Не и
Ez, найдем, что Ег удовлетворяет уравнению
д ( 1 д(гЕг) \ 1 д2Ег дгЕг =
дг \ г дг г2 д№ дг2 Г
==_i ь^. (5.109)
* dz
Представим решение (5.109) как сумму общего ре-
шения Ег0, соответствующего однородного уравнения и
частного решения £г1 неоднородного уравнения (5.109).
Применив для решения однородного уравнения метод
разделения переменных Фурье, получим:
/_1_ д(г\) \ j
\ г дг ) дг2 г2
F"_j_fF = O, (5.111)
где £г0=г|)(г, z)F(Q). Решение уравнения (5.111) F =
описывает волны, распространяющиеся в
азимутальном направлении. Азимутальная постоянная
распространения этих волн у может быть найдена в ре-
зультате решения задачи на собственные значения
(5.110), где волновое число k играет роль параметра.
Для нахождения частного решения уравнения
(5.109), описывающего вынужденные колебания щели,
заметим, что из (5.101), (5.104) и (5.107) следует
1а>Н дНг _ д I \ д(гЕг,)\ д2ЕтХ _
г dfi dr \ г dr ) dz2 rl
- i(Dp.frfe . (5.112)
dz
Считая распределение поля свободных и вынужден-
ных колебаний в плоскости (г, z) одинаковым, запишем
Дг, = ф(г, z)F1(0). Подставив это выражение в (5.112)
и используя (5.110), получим
1 дН 1ше у2 dHz
= !— Е — b-2-
r дЬ-г2 k2 r dz
(5.113)
Уравнения (5.106) и (5.113) по форме аналогичны
телеграфным уравнениям. Для перехода от напряжен-
ностей полей к интегральным величинам введем азиму-
196
тальный ток I, текущий по внутренней кромке щели, и
ее эффективную толщину te с помощью соотношений
т
/ = J Hz(Rsl, 6, z)dz-,
-t/2
t/2
J ErX(Rsl, 6, z)dz—teEr(Rsl, 6, 0),
-42
где RsX —радиус внутренней кромки щели; t=D—
—d(RsX) —толщина диафрагмы (см. рис. 5.13). Проин-
тегрировав уравнение (5.113) по z в пределах от —tj^.
до //2 при r=RsX, получим
-~--^-^-^-teErX(RsX, °’ (5J14)
где Л*(9)= — Яи(/?51, 6, —Z/2)-|-^e(/?rf, 9, t/2) —поверх-
ностная плотность радиального тока, текущего по диа-
фрагме.
Аналогично, положив в уравнении (5.106) Ег = ЕгХ и
интегрируя его по г в пределах от RsX до Rsi при z=0,
где Rs2 —радиус наружной кромки щели, имеем
= °’ °)’
где U($) = Rsi J r~lEri(r, 6, G)dr—эквивалентная
разность потенциалов внутренней и наружной кромок
&S2
щели; he — J Hz(r, 9, Q)dr/Hz(RsX, 9, 0) —эквива-
лентная ширина щели.
С другой стороны, можно записать
U(Q) = heXErX(RsX, 9, 0); Z(9) = teXHz(RsX, 9, 0). (5.116)
Поскольку/?,, и Нг связаны соотношением (5.106), teX =
— te и heX = he. Введя новую переменную y = RsX 0 и
постоянную распространения р=у//?л1, приведем (5.114)
и (5.115) к виду
dl/dy = \u>CxU— bkJsk-, dU/dy = \wLxI. (5.117)
Телеграфные уравнения (5.117) позволяют предста-
вить щель связи эквивалентной длинной линией с по-
гонными параметрами Сх =еф2/А2) (te/he) и Lx =
197
— V'ihgltg), возбуждаемой радиальным током с поверх-
ностной плотностью Jsk.
Исключив из (5.117) ток, получим уравнение второ-
го порядка
t/Wy2 + P2(/=-iApV^. (5.118)
где р = КLJCt = (&/р) (hgjtg) т10— волновое сопротивле-
ние щели связи. Уравнение (5.118) отличается от ана-
логичного по форме уравнения, используемого в [113,
97], тем, что в него входит постоянная распространения
Р, не совпадающая с волновым числом k. Волновое со-
противление щели р связано с ее электромагнитным
полем через эффективные ширину и толщину, имеющие
строгие электродинамические определения. Величины
р, te и he могут быть найдены в результате решения
задачи на собственные значения (5.110).
Для решения уравнения (5.118) необходимо задать
граничные условия. Для узкой щели прямоугольной
формы напряжение на ее концах равно нулю: t/(± bs) =
= 0, где 2^ = 2a0/?sl—длина щели (см. рис. 1.15,а).
Для фасолевидной щели (см. рис. 1.15,6) точные гра-
ничные условия для функции U ввести не удается.
Можно, однако, использовать записанные выше условия
в качестве приближенных, введя эффективную длину
щели с помощью соотношения Хс = 4Ье, где \. — крити-
ческая длина основного типа волны в волноводе, форма
поперечного сечения которого совпадает с формой щели.
Для волны Иi0 в прямоугольной щели \. — 4bs. Для фа-
солевидных щелей — 2/?йфол(“о; ^1/^42) и Ье —
=0,25 Хс. Таблица значений функции Л имеется в мо-
нографии [91]. Эффективный угловой размер щели
X = be/Rsl = О,25?о(/?.?2//?Л1) Л (а0, /?л1//?л2). Угловые раз-
меры фо и ао указаны на рис. 1.15.
Решение уравнения (5.118), удовлетворяющее гра-
ничным условиям U(±Ье) =0, имеет вид U=—(i£p/p2)X
Х(1 — cos Ру/cos $be) bkJsk, что позволяет найти
Е (г, 0, 0) =---(
РЧ I
cos Ру
cos fibg
bkJsk
(5.119)
Нг(г, 0, 0) =
1
1Ш[АГ
дЕГ
“бГ
Rsi р sin ру
“ г $hg
(5.120)
и
198
где /(г)=ф(г, 0)/ip(^ji, 0) определяется из решения
задачии (5.110); р=р/т]о.
Воспользовавшись теоремой Флоке, найдем плотно-
сти поверхностных токов, возбуждающих левую и пра-
вую щели связи:
Лл* = - (^1) ei!₽ + н* (^1) = (^1) (- +1);
(5.121)
/<"₽) = Нь (Rsi) е-’’’ - Нк(/?„) = Hk - 1)- (5-122)
Подставив (5.119), (5.121) и (5.122) в (5.99), вычислим
основной поток энергии через щели связи, считая, что на
длине ступеньки f (г) =/(г;-) = const:
2P<CB)=Zb f EWH*dD — b* Г E^HLdD —
/ОСН k J Г КО Я J r KU
£>U) £>(nP)
I i
= Яй9 (/?J H*M (/,)/(?,) (tg - $be) X
X (1 — COS<p).
Так как /<о> = 2-Гу&к//и(г;), вносимое сопротивление,
обусловленное основным потоком энергии,
1М//(р)
7(св)
/ осн
Я*о(/?я)
Я«(Г/)
(tg!4~ Ш(1 “COS <р).
(5.123)
Из выражения (5.123) следует, что при $Ье =л/2 на-
блюдается резонанс щели связи. Для определения резо-
нансной длины волны X, = 2т:/^ положим р2 = А2 —
Хс = 2тг/Ас. Условие резонанса теперь можно записать
в виде ^be=(iz/2kc) (k? — А2)’/2 — п/2, откуда
*2=*2+^; l/^W'4 (5.124)
В формулу (5.124) входит длина волны Хе, опреде-
ляемая в результате решения задачи (5.110) о распре-
делении поля щели в плоскости (г, z). Таким образом,
резонансная длина волны щели зависит от формы ячей-
ки резонатора.
Вычисление дополнительного потока энергии. Для
определения второго и третьего членов выражения
(5.100) необходимо вычислить потенциальное магнитное
поле щелей связи, т. е. решить уравнение Лапласа с
199
граничными условиями (5.69). Будем искать решение в
виде разложения в ряд Фурье по собственным функ-
циям Ф? оператора Лапласа, удовлетворяющим уравне-
нию = 0> однородным граничным условиям
дФч/дп = 0 на SM4~Qs и условию нормировки
J Ф9Ф*й?И = о9у, где V — объем ячейки. Использовав
v
формулу Грина (П.1.15), нетрудно показать, что коэф-
фициенты разложения определяются выражением
= (^/dn)^qdD.
Вычисление собственных функций ячейки сложной
формы возможно только численными методами. В то же
время в § 5.1 показано, что размеры и форма пролет-
ных труб слабо влияют на электромагнитное поле и
собственные частоты высших видов колебаний торои-
дального резонатора. В связи с этим собственные функ-
ции можно приближенно вычислить как собственные
функции цилиндрического объема радиуса b и длиной
/ = £>—/:
ф? = AqJm (xmnr/b) cos (vpz/l) cos /n9;
sin
\ = (u/fr)4M02.
где Ач = Атпр = [Цр)Цт)^ЬЧРт^тп)(\
нормировочный множитель; %mn — корни уравнения
J'm (х) =0; 6(х) = 1, х=^0; 6(х)-0,5, х = 0; т, р = 0, 1,
2, ..., л = 1, 2, ... Используя принцип суперпозиции, по-
тенциальное магнитное поле ячейки можно представить
как сумму полей, возбужденных левой и правой щеля-
ми, т. е. положить Совместив плоскость
0 = 0 с серединой левой щели и учитывая, что для нее
2 = 0, дФ/дп — — дФ/dz = — H*z, получим
а(л) = R^J^A<lbk
“ \$he cos $be
Rs2 /е
X J f{r)Jm{Tmnr/b)dr у sin уб
Rsi ~°e
cos
sin
mfid®.
200
Проведя интегрирование, получим
au) = 0; ^2)^(Ъ
AgP COS pbe
где /тл(^, R^h-1 J f(r)Jm(Xmnrlb)dr-
^$1
FW (ъ a ) = sin Ki — OT) ael _ sin [(! + /»)«,,] ,
m ’ e у — m ? + m
а индексы «с» и «s» у коэффициентов возбуждения от-
носятся к четным (cos mQ) и нечетным (sin тВ) собст-
венным функциям.
Так как правая щель развернута относительно левой
на угол g (см. рис. 5.13) и для нее z=l, дФ)дп =
— дф/дг = Н^р, соответствующие коэффициенты воз-
буждения определяются выражением
а?,,=Л'Хму х
’ cos
X [ f(r)Jm&mnrlb)dr [ sinT(6 — и cos mbdb.
4 sm
Результат интегрирования можно записать в виде
а(пр) = + (- ^Rs7^Aqbk v
qc’s ~ VcoSp/>e
X Imn (/?.!, /?s2)^’(T, ae) sin ml.
cos
Для определения потока энергии необходимо вычис-
лить потенциальное магнитное поле щелей. Предпола-
гая, что ряд (5.94) можно дифференцировать почленно,
найдем азимутальную составляющую поля правой щели
в плоскости левой щели
q~l
“ 1
AT'Wr, 9, 0) = y a<"₽’ —
p'> v ’ ' qc
9=1 '
00
= — 2 Ч"Р)/ИГ-1Л«-/'п^тЛГ/Й)51П/п94-
9=1
+ 2а«П/)/ИГ~1ЛЛ> (ХтлГ^) COS /П9.
9 = 1
1
afnp)----------«_
qs г o9
дФ
" qc
(Я
201
Аналогично находится поле левой щели в плоскости
правой:
^(г, 6, I) = 2 (— 1)/’ЧЛ>г'1ЛЛ (ЯтМ cos
Используя эти выражения, вычисляем дополнитель-
ный поток энергии, определяемый вторым интегралом
выражения (5.100):
2^СХ= j E^H^dD- J FJ^H^dD^
DW 2>(ПР)
I I
I bk | 2
1 } SOj + ЛТЛП (5-125)
^2he cos $be
где
2 (” 1 Amnp I Чтп^, X
m, n, p
rS’h.
7 — m
XE2m (ъ ^e) 4 (Xmn0/^)COS/ne;
. о . . , m Г sin [(y —/n)aj
aj = 2 sin (mF)----------------—------
COS %ae
sin[(i + /n)«g] '
Подставив в эту формулу значения плотностей воз-
буждающих токов из (5.121) и (5.122) и разделив ре-
зультат на квадрат тока ступеньки (5.84), определим
вносимое сопротивление, обусловленное дополнитель-
ным потоком энергии:
j д°п тг2р2Лег2 cos $be
у- । ^0 (Rri) । £ / j __cog CQS „
X \н0(ф* oj{ uos<p)coscp-
Из последнего выражения следует, что в точке ср =
=л/2 сопротивление Z<c^n меняет знак, что объясняет
наблюдаемое экспериментально «вращение» дисперси-
онной характеристики вокруг точки ср = л/2 при измене-
нии угла разворота щелей в смежных диафрагмах.
В третий интеграл выражения (5.100), определяю-
щего поток энергии через щели связи, входит дополни-
202
тельное электрическое поле щели Esp, возбуждаемое
магнитными полями смежных щелей. Поскольку ради-
альная составляющая этого поля связана с эквивалент-
ным напряжением U формулой (5.116), для приближен-
ного вычисления Esp воспользуемся уравнением (5.118),
подставив в его правую часть радиальную поверхност-
ную плотность тока связанную с магнитными поля-
ми смежных щелей (влиянием других щелей пренебре-
гаем). Таким образом, для щели с индексом 5 = 0 (см.
рис. 5.14) где индексами (—1) и (1)
обозначены магнитные поля, возбуждающие ток на ле-
вой и правой стенках диафрагмы 5 = 0 соответственно.
Щели в диафрагмах 5=1 и 5 =—1 развернуты на угол
±£, а колебания в них сдвинуты по фазе на угол ±ф
относительно щели 5 = 0. Отсюда
4Р(у) = -^2
?=i
\ cos₽be
X Лп,Д}’е’'р (1 — е—1ср) cos т> cos (/ny/A?sl).
Подставив это выражение в (5.118), определим эквива-
лентное напряжение
Ьг
U?(y) = \k J G(y, v)Jsp(v)dv,
~be
где
G(y, ») =
sin [ft(-n —М
2p
sin —de)|
2₽
cos 8y
cos $be
sin Py \
sin $be /
( cos py sin By
k. cos $be sin $be
— функция Грина уравнения (5.118). Использовав за-
тем (5.116), найдем дополнительный поток энергии
Р/доп'=°>5 J E;rH'o9dD~O,5 J E^dD.
D<V Dlnp)
1 I
Анализ полученных в результате интегрирования
громоздких выражений показывает, что, поскольку
203
функция распределения возбуждающего тока неодно-
кратно меняет знак на длине щели, добавочное электри-
ческое поле Ерг оказывается малым по сравнению с Es
и третьим членом выражения (5.100) по сравнению с
двумя первыми можно пренебречь. Таким образом, до-
полнительный поток энергии определяется формулой
(5.125).
Сопротивление связи. Для вычисления сопротивле-
ния связи необходимо определить поток энергии через
индуктивные щели. Взяв, например, левую щель, полу-
чим
X? Ьп I [ л I 2 №а
j=Nt г /=л\
Г; (tg We ~ -
с /
S„ (cos ?-!)] s.PT,
где суммирование ведется по всем ступенькам, приле-
гающим к щелям. Ток 710, протекающий по стенке ре-
зонатора в месте расположения щели связи, можно свя-
зать с напряжением на границе раздела областей LE =
= —Eoda соотношением /10 = ^21^1, где T2i — переходная
проводимость ячейки, определяемая по ее эквивалент-
ной Схеме С ПОМОЩЬЮ КуМуЛЯНТОВ У21 = С2/ + 1,2Лг/С2,2Л-
Полный поток энергии в ЗС Р = Раз -|- Ps. Подставив
эту величину, а также амплитуду пространственной гар-
моники (5.79) в выражение (1.15), сократив в получив-
шейся дроби | Ей |2, получим возможность вычислить со-
противление связи данной пространственной гармоники.
Некоторые результаты анализа. Изложенный алго-
ритм реализован в программе НЕВА [29] _ позволяющей
проводить анализ и оптимизацию различных типов ре-
зонаторных ЗС — закрытых и открытых однорядных и
двухрядных гребенок, КДВ и ЦСР. При вычислении
проводимости пространства взаимодействия У(3) в про-
грамме учитывается 21 пространственная гармоника
(|р| <10). Область определения функций ЕДх) и F2(x)
(и аналогичных функций для плоскосимметричных ЗС)
разделена на четыре интервала, в каждом из которых
они аппроксимируются рациональной дробью со сте-
пенью числителя и знаменателя не выше третьей.
Электрическое поле щели и азимутальная постоян-
ная распространения у находятся по уравнению (5.110),
которое решается для свернутого в кольцо П-образного
204
волновода сложного поперечного сечения (рис. 5.19).
Результаты решения этой задачи с помощью програм-
мы EXTEL ;[34], использованы для построения регрес-
сионной модели фасолевидной щели связи в ЦСР с пло-
скими диафрагмами и пролетными трубами (см.
рис. 1.14,6). Критическая длина волны кв определяется
регрессионным многочленом Ze = 8,24 — 0,92£)//?4 +
+ 0,2/?i//?4—O,lda/D — 0,87h/Ri -|- 0,09t/D, коэффициенты
которого определены по полуреплике полного фактор-
ного плана 25-1 [74]. Модель обеспечивает погреш-
ность вычисления Ав менее 3% в следующем диапазоне
изменения ее параметров: D/Ri — 0,43—0,62; dafD =
==0,26—0,43; //£> = 0,25—0,35; £>1//?4=0,14—0,2; й//?4=
= 0,23—0,42; /?2/7?i = 1,9. Волновое сопротивление щели
в том же диапазоне изменения параметров с достаточ-
ной степенью точности определяется формулой р =
= 60 In (5,1/1//).
Рис. 5.19. Поперечное
сечение волновода, ис-
пользуемого для опреде-
ления азимутальной по-
стоянной распростране-
ния у
Рис. 5.20. Аксиально-
симметричный резонатор
сложной формы
Щели в диафрагмах изменяют резонансную частоту
отдельного резонатора за счет изменения его объема.
Этот эффект учитывается включением в эквивалентную
схему соответствующих ступенек последовательного со-
противления ZLj — 2io> J [х | He I 2dV/ | I2j I 2- Для
уменьшения времени счета для наиболее часто встре-
чающихся ЦСР с одной фасолевидной щелью и углом
разворота £=180° в программе используется прибли-
женная формула для потока энергии через щели связи
= kx [k2 + (1 — k2) <p/it] Р7^п, позволяющая исклю-
чить вычисление дополнительного потока энергии по
(5.125). Коэффициенты &i = 0,87—0,54£>//?4 + O,Olcto—
—О,ОО6ао£///?4 и &2 = 0,4 (I+£>//?4) определены по ре-
зультатам физических и численных экспериментов.
205
При решении дисперсионного уравнения сначала на-
ходятся частоты /rain и /max , соответствующие углам
фазового сдвига <р = 0 и <р = л. Затем интервал (/min >
/max) делится на заданное число одинаковых проме-
жутков, и для каждого значения частотыfk=/min +
+^(/max —/min )/Мгде N — заданное число; k=\, 2, ...
—, N— 1, находится угол фазового сдвига <р. Поиск в
обоих случаях ведется методом деления интервала по-
полам. Программа позволяет рассчитывать дисперсион-
ную характеристику и сопротивление связи любой про-
странственной гармоники ЗС в основной (резонатор-
ной) и щелевой полосах пропускания, а также опреде-
лять собственную длину волны и волновое сопротивле-
ние аксиально-симметричных резонаторов.
В табл. 5.8 приведены результаты расчета парамет-
ров нескольких видов колебаний цилиндрического ре-
зонатора и аксиально-симметричного резонатора, фор-
ма образующей которого показана на рис. 5.20. По-
грешность расчета оценивалась по сравнению с анали-
тическим решением (для цилиндрического резонатора)
и с расчетом методом конечных разностей по програм-
ме AZIMUTH (для резонатора сложной формы).
Таблица 5.8
Результаты расчета резонаторов на нескольких видах колебаний
Вид колебаний ^020
Тип резо- натора а б а б а б
Л/а 2,612 0,236 1,138 0,123 0,726 0,085
6Х, % 0,01 2,0 0,01 5,5 0,01 5,8
Р, Ом 111,2 87,2 1(13.1 56,7 113,0 20,0
бр, % 0,3 4.6 0,6 42 0,25 42
Как видно из таблицы, погрешность расчета пара-
метров цилиндрического резонатора на трех видах коле-
баний достаточно мала, что свидетельствует о высокой
точности использованного метода расчета входной про-
водимости неоднородной линии. При расчете резонато-
ра сложной формы погрешность увеличивается, что свя-
зано, по-видимому, с неточным учетом неоднородностей.
206
Особенно сильно растет погрешность расчета высших
видов колебаний, что можно объяснить увеличивающим-
ся взаимодействием полей, связанных с неоднородностя-
ми. Практически в ячейках с несколькими неоднородно-
стями с достаточной степенью точности удается рассчи-
тать только низший вид колебаний.
Результаты расчета типичных резонаторов, исполь-
зуемых в замедляющих системах мощных ЛБВ, пока-
заны на рис. 5.21. Погрешность расчета по длине волны
составляет менее 2%, по волновому сопротивлению
с 10% по сравнению с результатами расчета по про-
грамме EXTEL. Отметим, что решение этих задач с по-
мощью программы НЕВА потребовало примерно в
100 раз меньше машинного времени.
Рис. 5.21. Зависимость резонансной длины волны Хо и волнового
сопротивления р тороидального резонатора от ширины зазора:
/ — расчет методом частичных областей; 2 — расчет методом конечных раз-
ностей [34]; 3 — эксперимент; ---- Х/Я2;-------Р» ^/^2=®’^;
Рис. 5.22. Дисперсионные характеристики КДВ с диафрагмами раз
личной формы поперечного сечения:
-----расчет;------эксперимент
На рис. 5.22 показаны дисперсионные характеристи-
ки КДВ с диафрагмами различной формы. Сравнение
кривых 1 и 2 показывает, что форма диафрагм сущест-
венно влияет на ДХ системы. Погрешность расчета по
сравнению с результатами эксперимента составляет ме-
нее 0.5% по частоте.
Результаты расчета однорядных закрытых гребенча-
тых ЗС в основной полосе пропускания показаны на
рис. 5.23. В отличие от КДВ, эти системы более широ-
кополосны, что приводит к уменьшению погрешности
207
расчета, которая составляет —0,1% для системы 1 и
0,3% для системы 2 (по сравнению с результатами экс-
перимента). Для гребенчатых ЗС также наблюдается
существенная зависимость ДХ от формы диафрагмы.
Рис. 5.23. Дисперсионные характеристики гребенчатых закрытых ЗС
с различной формой диафрагм:
------ расчет;------эксперимент
Рис. 5.24. Дисперсионные характеристики ЦСР с различным углом
раствора щели связи а0:
-----расчет;---------эксперимент; /?j//?4=0,136; 7?2/7?4=0,272; O/7?4=0,964;
d/7) = 0,35; //0=0,142; Л//?4 = 0,409
На рис. 5.24 показаны дисперсионные характеристи-
ки ЦСР со щелями связи в двух полосах пропускания.
Сравнение расчетных и экспериментальных данных по-
казывает, что погрешность расчета в средней части дис-
персионной характеристики не превышает 2% по длине
волны в основной и щелевой полосах. Зависимость дис-
персионной характеристики от ширины зазора, показан-
ная на рис. 5.25, также позволяет сделать вывод о до-
статочно высокой точности расчета. Отметим, что при
увеличении относительной ширины зазора от 0,33 до
0,48, относительная ширина полосы пропускания ЗС
ААДо увеличивается от 30 до 44%.
На рис. 5.26 показана зависимость сопротивления
связи минус первой пространственной гармоники от
ширины зазора для двух ЗС с различным отношением
радиуса ячейки к радиусу втулки. При изменении шири-
ны зазора % и ДХо/Ло поддерживались постоянными за
счет подбора радиуса резонатора и ширины щели связи.
208
Для резонаторов с отношением радиуса резонатора к
радиусу втулки Z>//?2=1,5—2,5; максимум Rc достигает-
ся при относительной ширине зазора doh^O,4 в то вре-
мя как для ЗС с &/7?2=3,5—4,7 максимум смещается в
сторону малых зазоров (d0O~0,l), что соответствует-
Рис. 5.25. Дисперсионные характеристиии ЦСР с различной шири-
ной зазора:
------расчет;--------эксперимент; /?]//?4=0,136; 7?2/7?4=0,272; £>//?4 = 0,964;
//£>=0,142; Л/К4=0,424; а0=Ю5°
Рис. 5 26. Зависимость сопротивления связи минус первой простран-
ственной гармоники от ширины зазора при Xo=const и X*—Хо= const;.
------®=4;-------<р =5
зависимости волнового сопротивления резонатора от
ширины зазора (см. рис. 6.7). Время расчета одного-
резонатора составляет 5 с, десяти точек ДХ и сопротив-
ления связи ЦСР в двух полосах пропускания 20 с на-
ЭВМ БЭСМ-6.
Глава 6
ПРОБЛЕМЫ АВТОМАТИЗАЦИИ
ПРОЕКТИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ
СИСТЕМ ЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРОВ
6.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И СХЕМА
ПРОЕКТИРОВАНИЯ
Цель каждой проектно-конструкторской разработ-
ки—создание оптимального изделия. Следовательно,-,
проектирование включает формирование критерия опти-
i 4—1271 гоэ»
мальности и процедуру поиска конструкции, наиболее
полно ему удовлетворяющей. Использование ЭВМ в
процессе проектирования ЭС ЭП может принимать
различные формы — от анализа отдельных вариантов
конструкции до взаимодействия человека с машиной в
интерактивном режиме при поиске оптимального реше-
ния. Несмотря на то, что в области разработки и при-
менения систем автоматизированного проектирования
(САПР) в настоящее время накоплен значительный
опыт, успешное применение его при проектировании
ЭС требует решения специфических проблем, связан-
ных с особенностями используемых математических мо-
делей и формализацией представления об оптимальной
системе.
Возможны два принципиально различных способа
нахождения решений, удовлетворяющих заданным тре-
бованиям. Первый — так называемый классический или
прямой синтез, заключающийся (применительно к рас-
сматриваемому классу задач) в отыскании формы гра-
ничной поверхности по заданным решениям уравнений
в частных производных и граничным условиям на этой
поверхности. Примером такого подхода является метод
синтеза отрезков неоднородных линий по их входному
сопротивлению [59]. Возможность классического син-
теза резонаторных замедляющих систем исследовалась
в [4, 31]. К этому же направлению относится метод
синтеза поверхности аксиально-симметричного резона-
тора по заданному распределению поля на его оси
[54], а также метод синтеза регулярных волноводов,
•основанный на использовании неразделяющихся реше-
ний уравнения Гельмгольца [136].
Хотя классический синтез позволяет сразу получить
конструкцию с нужными параметрами, данное направ-
ление не может считаться основным вследствие ряда
причин, к числу которых относятся: необходимость фор-
мирования точного, полностью формализованного опи-
сания оптимальной конструкции. (При проектировании
сколько-нибудь сложных изделий такое описание, как
правило, невозможно.); необходимость исследования
•физической реализуемости полученного решения; не-
корректность большинства задач синтеза, приводящая
к существенному увеличению погрешности результата
по сравнению с погрешностью исходных данных; слож-
ность получаемой в результате синтеза формы изделия,
затрудняющая ее изготовление. Отметим, наконец, что
210
и математические методы прямого синтеза, по-видимо-
му, могут быть построены только в простейших случаях.
Основным направлением современного проектирова-
ния является создание автоматизированных систем,
обеспечивающих анализ, перебор и сравнение различ-
ных вариантов конструкции с целью выбора оптималь-
ной. Критерий оптимальности определяется лицом, при-
нимающим решение (ЛПР), и, вообще говоря, может
быть не полностью формализован. Кроме того, он мо-
жет меняться в процессе проектирования (самообуче-
ние ЛПР). Аппаратно-программные средства САПР
обеспечивают ЛПР информацией для принятия реше-
ния. Вопросам автоматизации проектирования в указан-
ной постановке посвящена обширная литература. Не
претендуя на полноту, отметим в этой связи моногра-
фию [1], в которой обобщены последние достижения в
этой области. Работы по автоматизации проектирова-
ния ведутся в настоящее время настолько интенсивно,
что ставится вопрос о создании специальной науки об
универсальных и унифицированных системах производ-
ства и воспроизводства интеллектного действия — ус-
видматике [51].
Как отмечается в [81], для решения задачи выбора
оптимального проектного решения необходимо иметь:
множество У, на котором осуществляется поиск реше-
ния, элементами у которого служат различные вариан-
ты конструкции; внешние условия, определяющие ди-
рективные требования к решению (известное множест-
во X); совокупность критериев F = {Fx(X, У), Е2(Х,
У), ..., Fn(X, У)}, определяющих качество того или ино-
го решения, т. е. устанавливающих отношение предпо-
чтения на множестве У.
Если качество решения определяется скалярным
критерием F (iZV = 1), то может быть достигнуто полное
упорядочение элементов по предпочтительности. Для
векторных критериев (А>1) такое упорядочение недо-
стижимо, однако можно выделить подмножество Уо
множества У, в котором улучшение решения по одному
критерию ведет к ухудшению по одному или несколь-
ким другим. Множество Уо называется множеством ре-
шений, оптимальных по Парето [1], и оптимальное ре-
шение имеет смысл выбирать только из Уо. Лицо, при-
нимающее решение, должно иметь возможность по-
строения точек г/еУ0 и перехода от одной точки к дру-
гой по своему усмотрению или под воздействием фор-
14* 211
мализованных алгоритмов Ар. Для нахождения
необходимо найти экстремум частного критерия F* при
фиксированных значениях остальных критериев F', ...
•••> ^k+\' ^jv-Эта задача решается с помощью
математической модели проектируемого объекта (ММ)
и процедур оптимизации До-
Рис. 6.1. Структурная схе-
ма САПР:
ММ — математическая модель
объекта; Лп — алгоритм пере-
хода к новым решениям, F —
алгоритм фиксации частных
критериев оптимальности; 40 —
алгоритм оптимизации; ЛПР —
лицо, принимающее решение
Структурная схема САПР может быть представлена
в следующем виде (рис. 6.1). Математическая модель
обеспечивает вычисление частных критериев Fp i=l, ...
..., N, по начальному варианту конструкции t/o^Y и ди-
рективным требованиям X. Эта информация поступает
к ЛПР, который принимает решение о соответствии кон-
струкции техническому заданию. При отрицательном
решении ЛПР самостоятельно или с помощью алгорит-
ма Ар устанавливает фиксированные значения частных
критериев F t ~F*., i=^k. При этих условиях с помощью
процедуры оптимизации Ао и ММ объекта находится
решение, которое ЛПР может принять или перейти к
анализу другого, оптимального по Парето варианта,
полученного при других значениях k и F*. В процессе
поиска ЛПР имеет возможность менять частные крите-
рии оптимальности Ft. Наиболее эффективно эта систе-
ма работает на базе диалоговых мониторов, обеспечи-
вающих проектировщика возможностью анализа аль-
тернативных решений в интерактивном режиме.
Таким образом, система автоматизированного про-
ектирования является сложным комплексом аппаратно-
программных средств. Часть проблем, возникающих
при разработке САПР, имеет общий характер. Это
прежде всего вопросы системного программного обеспе-
чения САПР, включая диалоговые режимы, средства
машинной графики, средства создания документации и
управляющих программ для станков с числовым про-
граммным управлением (ЧПУ). К специфическим для
конкретных изделий проблемам относятся построение
критериев оптимальности, выбор начального варианта,
212
состав и организация пакетов прикладных программ
(ППП) математического моделирования, особенности
процедур оптимизации. Эти вопросы обсуждаются в по-
следующих параграфах.
6.2. МЕТОДЫ ВЫБОРА НАЧАЛЬНОГО ВАРИАНТА
КОНСТРУКЦИИ
Выбор начального варианта конструкции включает
два этапа:
1. Определение исходной структуры ЭС на основе
классификации и характеристики известных типов ЭС,
а также технического задания. Формализованные и
эвристические методы решения этой задачи, включая
методы поиска новых технических решений, подробно
обсуждаются в [1].
2. Определение начальных конфигураций и размеров
выбранной структуры, введение конструктивных и тех-
нологических ограничений на область изменения варь-
ируемых геометрических параметров. С этой целью мо-
гут использоваться масштабирование известных конст-
рукций, расчет по приближенным аналитическим фор-
мулам и моделям низкого уровня, стохастические ме-
тоды.
Рассмотрим процесс выбора начального варианта
структуры на примере процедуры, реализованной в про-
грамме анализа и оптимизации резонаторных ЗС НЕВА
[29]. В этой программе структура ЗС определяется про-
ектировщиком, который выбирает тип симметрии ЗС
(плоскосимметричная, аксиально-симметричная), тип
симметрии поля (симметричный, антисимметричный тип
волны), условия на краях плоскосимметричной ЗС (от-
крытая, закрытая), тип связи между резонаторами (че-
рез пространство взаимодействия или через пространст-
во взаимодействия и щели связи). В последнем случае
задаются число щелей связи и угол разворота щелей в
смежных диафрагмах. Проектировщик задает также
число элементов, определяющих форму резонатора. Та-
кими элементами служат точки на плоскости (z, г) или
(х, г/), между которыми граница резонатора аппрокси-
мируется отрезками прямых линий. Координаты этих
точек, а также размеры щелей связи, образуют совокуп-
ность геометрических параметров ЗС.
213
Одним из важных моментов определения исходной
структуры ЗС является выбор параметров, варьируемых
в процессе нахождения оптимального решения. При
использовании программы НЕВА разработчик имеет
возможность зафиксировать значения любых коорди-
нат, изменять которые в процессе проектирования не-
целесообразно. Другие геометрические параметры, на-
пример координаты начала и конца отрезка образую-
щей ячейки, описывающего торцевую стенку пролетной
трубы, должны быть «привязаны» друг к другу с тем,
чтобы в процессе проектирования форма зазора не из-
менялась неконтролируемым образом. Такую привязку
также может осуществить разработчик, указав в зада-
нии, что данный параметр (например, координата z
внутренней угловой точки торца пролетной трубы долж-
на на заданное значение отличаться от такой же коор-
динаты наружной угловой точки торца). Определенная
таким образом структура служит исходной в процессе
поиска решения, оптимального по Парето. Если это ре-
шение не удовлетворяет ЛПР, он может изменить
структуру исходного варианта (например, «освободив»
часть параметров, значения которых были зафиксиро-
ваны) .
Правильный выбор начальных значений, а также
допустимого диапазона изменения варьируемых пара-
метров позволяет сократить время проектирования, а
также гарантировать нахождение оптимального реше-
ния при использовании методов поиска локальных экс-
тремумов критерия качества. В программе НЕВА на-
чальные значения варьируемых параметров могут за-
даваться разработчиками или выбираться автоматиче-
ски. В последнем случае для определения значений па-
раметров и диапазонов их изменения используются при-
ближенные аналитические формулы, связывающие дис-
персионную характеристику ЗС с ее структурой и раз-
мерами.
Рассмотрим, например, аксиально-симметричную ЗС
с одной щелью связи, резонаторы которой имеют вер-
тикальную плоскость симметрии (см. рис. 1.14,6).
Структура ЗС определяется геометрическими парамет-
рами Rit ..., Rm, ti, ••> tM, RsV d, h, a, D (для рис. 1,14,6
Л1 = 5). В техническом задании на проектирова-
ние задана дисперсионная характеристика (ДХ) ЗС в
виде таблицы пр1 = пр 1=1, 2, ..., N, для простран-
ственной гармоники с номером р.
214
Прежде всего определяется период ЗС.
стно,
$pD X
nP~^~kD"~ 2^ ZT '
Как изве-
(6-1)
Взяв среднюю точку заданного участка ДХ (i=^/2) и
выбрав соответствующий ей угол фазового сдвига <pjV/2,
с помощью формулы (6.1) определим D. Когда ДХ за-
дается полностью, то фд,/2 =л/2; если задана только
часть ДХ, принимается, что cpN/2 =2л/3, так как рабо-
чий участок ДХ в ЛБВ обычно находится вблизи гра-
ницы полосы прозрачности, соответствующей ср = л.
Затем определяется радиус пролетного канала а=
= Ri. Так какЗС содержит щель связи, значение а вы-
бирается исходя из допустимой неравномерности поля
в пространстве взаимодействия, которая зависит от ве-
личины
(трл)л72 = 2каУпр — 1/Xjv/2 С 1,5. (6.2)
Принимая максимально допустимое значение этой ве-
личины, определяем а. Ширина зазора da должна обес-
печивать получение максимального сопротивления связи
рабочей пространственной гармоники. Это условие при-
ближенно выражается формулой da/D = 0,8/(\p\+l).
При автоматическом задании геометрических парамет-
ров устанавливаются следующие значения размеров:
R2= 1,4а; t2 = tx. Диафрагмы между резонаторами пола-
гаются плоскими: — — = Простая форма ис-
ходного резонатора позволяет определить радиус R$
исходя из формулы для резонансной длины волны торо-
идального резонатора к0 = 2пс 1/LC, где С и L — экви-
валентные емкость и индуктивность резонатора, вычис-
ляемые по известной методике [128]. В качестве Ао не-
обходимо брать длину волны, соответствующую углу
фазового сдвига ср = О. Если эта величина неизвестна
(задана только часть ДХ), она находится аппроксима-
цией дисперсионной характеристики функцией [93]
k k-:2 — 0,5 (k- — k0) cos <p + 0,5 (#0 — 2^/2 + k~) cos2 ф ,
(6.3)
причем значения угла <р, соответствующие точкам за-
данной ДХ, задаются описанным выше способом. Про-
215
межуточные радиусы Rs, Rm-i определяются по фор-
муле
(Z~2) + 7?2> Z = 3’ - M~l- <6'4)
Для нахождения размеров щели связи используются
приближенные формулы, полученные в [113]. Приняв
начальное значение отношения собственных длин волн
щели и ячейки 5 = ХЛАо=0,7, определим угол раскрыва
щели а = где Rm<Zrs\ — радиус щели связи
(6.4). Номер этого радиуса т должен быть указан про-
ектировщиком. Используя дисперсионное уравнение ЗС
[113], выразим статический коэффициент связи аСт че-
рез волновые числа k2 и углы фазового сдвига epi,
ф2, соответствующие двум заданным точкам дисперсион-
ной характеристики:
<хст —
Tzs3k0D / 1 1
12 sin2 <^/2 \ kxD k2D
1-
sin <p2/2 A2
sin<p1/2 /
(6.5)
С другой стороны, аст = 0,18 Rm$[tm. Так как вели-
чины D, tm, Rm известны, записанные выражения по-
зволяют определить ширину щели h. Аналогичным об-
разом находятся верхние и нижние границы изменения
геометрических параметров. Следует отметить, что, как
правило, начальные значения некоторых геометриче-
ских параметров ЗС задаются разработчиком. Это по-
вышает точность определения остальных параметров с
помощью описанной выше процедуры.
6.3. КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ СИСТЕМЫ.
МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ЦЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
Формулировка критериев оптимальности является
одной из наиболее важных проблем проектирования.
Значение этой проблемы еще более возрастает в авто-
матизированных системах, где неудачно составленные,
хотя и интуитивно правильные, критерии могут затруд-
нить или сделать невозможным нахождение верного ре-
шения.
При формулировке критериев оптимальности элек-
тродинамических систем электронных приборов следует
216
прежде всего учитывать влияние характеристик ЭС на
параметры прибора в целом. В гл. 1 введены некоторые
параметры ЭС, позволяющие оценить эффективность
взаимодействия систем с электронным потоком. Вос-
пользуемся этими сведениями для формулировки кри-
терия оптимальности различных ЭС. Прежде всего
отметим, что важнейшим параметром прибора является
его рабочая частота fp или рабочая полоса частот Af=
— f2—fi, которая определяется в основном электроди-
намической системой прибора. Поэтому важным крите-
рием качества резонатора является соответствие собст-
венной частоты рабочего вида колебаний f0 заданной
частоте fe, которая обычно близка к рабочей. Количест-
венно это соответствие можно выразить критерием ка-
чества (целевой функцией)
где «1>0 — показатель степени, а множители Ai и l/fe
введены для нормировки.
Показатель степени П\ определяет вид целевой функ-
ции. При «1 = 1 крутизна склонов целевой функции
вблизи минимума постоян-
на, а производные функции
по геометрическим пара-
метрам в точке минимума
имеют разрыв. При «>1
крутизна склонов нараста-
ет по мере удаления от точ-
ки минимума, а вблизи нее
образуется плоская «пло-
щадка» (рис. 6.2). Посколь-
ку в задании на проектиро-
вание обычно указывается
некоторый допуск на часто-
ту fе, a fo вычисляется с
определенной погрешностью,
Рис. 6 2. Вид целевой функ-
ции
целесообразно выбирать
значение «1 достаточно большим по сравнению с едини-
цей. Задаваясь допустимым отклонением расчетной ча-
стоты от заданной §/=( | f0— fe \ и считая, что
целевая функция Fx при этом должна равняться еди-
нице, получаем
/о-Л
5/Л
(6.6)
Л1
217
Использование критерия (6.6) с достаточно боль-
шим значением позволяет найти конструкцию резо-
натора, собственная частота рабочего вида колебаний
которого отличается от заданной не более чем на t>f,
так как за пределами этого промежутка целевая функ-
ция быстро увеличивается. В то же время наличие пло-
ской площадки внутри интервала |/0 — fe \ позво-
ляет осуществлять эффективную оптимизацию по дру-
гим критериям.
В гл. 1 отмечено, что количественно оценить степень
взаимодействия поля резонатора с электронным пото-
ком можно с помощью эффективного волнового сопро-
тивления ре = р|Л1|2, при увеличении которого интен-
сивность взаимодействия возрастает. Поэтому в каче-
стве меры эффективности взаимодействия резонатора
можно использовать критерий
F2 = A2(pecp)-% «2>0,
гДе Ре ср —эффективное волновое сопротивление (4.18),
усредненное по сечению электронного потока; А2 — нор-
мирующий множитель, выбираемый таким образом,
чтобы при некотором приемлемом для разработчика
значении реср=Ро критерий оптимальности F2 принимал
значение, равное единице. Таким образом,
Л = (Ро/реср)л’- (6-7)
Необходимо отметить, что эффективное волновое со-
противление не зависит от интенсивности электронного
потока, с которым осуществляется взаимодействие. В
связи с этим оптимальность конструкции резонатора
более подробно характеризуется безразмерным волно-
вым сопротивлением рн = ре срК0 — ре ср5гУ0/Ц>> где S,—
площадь потока, определяемая той частью площади по-
перечного сечения пространства взаимодействия резона-
тора, где выполняется неравенство pe/pemax > 7,' —
постоянная составляющая плотности тока в пучке
(предполагается Jq(xi, хг) = /о=const), определяемая
конструкцией электронно-оптической системы прибора;
Yq = IqIU0 — проводимость электронного потока; Uo—
ускоряющее напряжение.
Пронормируем площадь электронного потока к квад-
рату резонансной длины волны Хо- Учитывая, что в не-
218
релятивистском приближении U0~m0v2l2e; Pe = u>o/'uo =
= 2то/к0и0, получим
Рн
^0
eJ0
2к^тос2
P I M | ^Sr
Очевидно, что качество резонатора определяется по-
следними четырьмя сомножителями. Усредняя эту ве-
личину по сечению электронного потока, получаем па-
раметр качества резонатора, позволяющий оценить воз-
можности его использования с пространственно разви-
тыми электронными потоками:
Л = к f Р I М I 2dS. (6.8)
Проектирование резонаторов можно производить с
помощью критерия оптимальности Ез3 (Ло/Л)"’, пз>
0>, где Тю — приемлемое с точки зрения ЛПР значе-
ние Т\.
В зависимости от стоящих перед проектировщиком
задач можно использовать наряду с рассмотренными и
другие критерии оптимальности. При проектировании
полигармонических резонаторов, взаимодействующих с
несколькими гармониками конвекционного тока, крите-
рии типа (6.5) вводятся для каждой гармоники рабо-
чей частоты. В программе анализа и оптимизации акси-
ально-симметричных резонаторов и регулярных волно-
водов EXTEL, например, используются три частных кри-
терия оптимальности: Flt F2 и критерий F4 =
/а
= V (р> — Ртах)2> зависящий от равномерности рас-
/=/
пределения электрического поля в пространстве взаи-
модействия. В приведенном выражении pj—волновое
сопротивление волновода или резонатора, вычисленное
вдоль линии rj=jh. (h — шаг сетки); ргаах = шах (ру);
/1 и /2 определяют линии сетки, ближайшие к внешней
и внутренней границам потока. Показатели степени
«1 = 4, w2=L
Аналогичные критерии оптимальности можно ввести
и для замедляющих систем. Так, аналогом можно
считать критерий
J" «(ky)-«0(ky)
М Ъппа (Xj)
(6.9)
219
который определяет отличие дисперсионной характери-
стики ЗС n(Z) от заданной «о(А.). Предполагается, что
сравнение проводится в заданных точках Лч, XN.
Вместо волнового сопротивления теперь фигурирует
сопротивление связи /?с или шунтовое сопротивление
/?ш в рабочей точке Хт. Соответственно вво-
дятся критерии /76 = (/?со/^с)л°; = Сопро-
тивления Rc и предварительно усредняются по се-
чению электронного потока.
В [40] отмечается, что сопротивление связи недо-
статочно полно характеризует свойства ЗС, особенно
возможности ее использования с пространственно раз-
витыми (например, многолучевыми) электронными по-
токами. Авторы предлагают использовать обобщенное
сопротивление связи R06 —R^kjn^, где tig — cIVg—
замедление групповой скорости; k„—отношение пло-
щади Sn, занимаемой пучком, к какой-либо характер-
ной площади. Площадь 5П определяется из условия
| EJEzm^ | >0,9. По-видимому, наиболее естественно
определять Sn по допустимому изменению сопротивле-
ния связи в сечении потока 5n=ST; | RcIRcmax | > т
и нормировать ее к квадрату рабочей длины волны Хр:
*2р 4r^g •
Используя определение сопротивления связи, получаем
р _ 1 1 Е’> i2 , е
06 ~ 2UZj
Усреднив эту величину по сечению потока (в предполо-
жении равномерной его плотности) и опустив несущест-
венный постоянный множитель, получим показатель ка-
чества ЗС
?2 — 2 W. । 1 2dS'
Этот показатель можно использовать для определения
критерия оптимальности ^8= (Т'го/Л)"’. который вы-
числяется в рабочей точке дисперсионной характеристи-
ки ЗС.
Так же, как для резонаторов, для ЗС можно постро-
ить и ряд других критериев оптимальности, характери-
зующих широкополосность ЗС и постоянство сопротив-
ления связи (или показателя Т2) в рабочей полосе. В
220
частности, в программе анализа и оптимизации резона-
торных ЗС НЕВА используются два частных критерия
оптимальности: Ft и F&.
6.4. ОСОБЕННОСТИ ПРОЦЕССА ОПТИМИЗАЦИИ
ЭС И СПОСОБЫ ЕГО УСКОРЕНИЯ
Поскольку задача проектирования ЭС является
многокритериальной, полное упорядочивание решений
по предпочтительности невозможно. В процессе проек-
тирования должно осуществляться взаимодействие ЭВМ
с ЛПР, который проводит неформальную оценку реше-
ний и вырабатывает стратегию поиска.
Существует несколько стратегий решения многокри-
териальных задач оптимизации [73]. Первая из них —
линейная свертка для получения скалярного критерия
м м
(6Л0)
1=1 i-l
где X — вектор варьируемых параметров; Fi (X) — ча-
стные критерии оптимальности. Такой способ эквива-
лентен ранжированию частных критериев по степени
важности, которое осуществляется ЛПР, и может из-
меняться в процессе проектирования. Другие возмож-
ные стратегии состоят в использовании контрольных
цифр или выборе на множестве решений, оптимальных
по Парето. Если частные критерии аддитивны, т. е. вы-
ражаются в одних и тех же единицах измерения, для
оценки решения могут быть применены методы квали-
метрии [94].
В практике проектирования ЭС используется поч-
ти исключительно первая стратегия как наиболее про-
стая и требующая минимальных затрат времени ЛПР.
Это приводит к ряду особенностей, которые необходимо
учитывать при построении схемы оптимизации. К одной
из этих особенностей относится вид скалярной целевой
функции F(X). Так как эта функция представляет со-
бой линейную комбинацию частных критериев опти-
мальности, минимумы которых в пространстве пара-
метров, вообще говоря, не совпадают, целевая функция
F не унимодальна и имеет обычно сложный «овражный»
профиль. Нахождение глобального минимума такой
функции требует применения специальных методов оп-
тимизации.
221
Как отмечается в [41], «практика показала, что ре-
шение задач оптимизации, возникающих при проекти-
ровании СВЧ приборов, является непростым делом, не-
смотря на хороший выбор методов поиска и немалый
практический опыт. Решение конкретных задач опти-
мального проектирования СВЧ приборов требует тща-
тельного, а в ряде случаев неоднократного перебора
различных функций цели, системы варьируемых пере-
менных, ограничений и пр., а также метода поиска и
его настроечных параметров».
В настоящее время существует литература по мето-
дам оптимизации [101, 109, 5, 1]. В связи с этим В дан-
ной книге методы нахождения минимума целевой функ-
ции (методы математического программирования) не
рассматриваются. Отметим, однако, что все они преду-
сматривают многократное вычисление целевой функции
в процессе поиска. Объем этих вычислений быстро ра-
стет по мере увеличения числа варьируемых парамет-
ров, сложности функции цели, перехода от поиска ло-
кального минимума к поиску глобального. Так как в
задачах проектирования ЭС ЭП каждое вычисление
целевой функции требует численного решения уравне-
ния (или системы уравнений) в частных производных,
ясно, что проблемы экономии машинного времени при
решении данных задач имеют большое значение. Какие-
либо систематизированные методы экономии времени
счета при решении задач оптимизации отсутствуют, по-
этому авторы считают полезным поделиться опытом,
который они накопили в этой области. Возможно, что
этот материал подскажет читателю новые идеи, которые
помогут ему успешно решать свои задачи.
Отметим прежде всего необходимость тщательного
выбора функции цели. Так, в программе НЕВА крите-
рий оптимальности F& можно было бы использовать в
стандартном виде (6.9). Каждый раз при вычислении
целевой функции в этом случае было бы необходимо
JV раз решать дисперсионное уравнение (5.73), что в
свою очередь требует многократного вычисления про-
водимостей УГЗ) и У(4), так как это уравнение решается
численно. В результате время решения задачи опти-
мизации на 1—2 порядка превышало бы время анализа,
как это обычно и бывает. Вместо этого в указанной про-
грамме критерий оптимальности, аналогичный (6.9),
сформулирован в терминах проводимостей
222
_Ly Т(3)(Др x>)-y(4)^ x<)
N £ ZYY^{nt, M
«4
(6.11)
где nt, Xj—заданные точки дисперсионной характери-
стики ЗС. Такая форма критерия позволяет не решать
дисперсионное уравнение в процессе оптимизации. По
существу при использовании критерия (6.10) задача
оптимизации сводится к задаче анализа, только неиз-
вестными являются не значения замедлений nt, а век-
тор варьируемых параметров X. В результате время
решения задачи проектирования ЗС по заданной ДХ (с
числом варьируемых параметров 2—4) лишь в два-три
раза превышает время расчета той же ЗС в режиме
анализа.
Аналогичный прием был предложен в [38] для про-
ектирования аксиально-симметричного резонатора на
заданную длину волны Хо- Алгоритм анализа АСР, ис-
пользованный в этой работе, предусматривает нахож-
дение собственной длины волны л0 резонатора как кор-
ня уравнения /(X, Х)=0, где X—вектор геометриче-
ских параметров резонатора; I — невязка. В задаче
анализа вектор X фиксирован, а длина волны X под-
бирается. Авторы [38] предложили при решении зада-
чи оптимизации вместо стандартного критерия Fx ис-
пользовать в качестве критерия оптимальности величи-
ну |/(Х, X) |, фиксировав Х=1Хо и варьируя вектор X.
При одном варьируемом параметре время решения за-
дач анализа и оптимизации таким методом должно
быть примерно одинаково.
Другой способ экономии времени использован в про-
грамме EXTEL, где каждое вычисление целевой функ-
ции связано с решением двумерной задачи на собствен-
ные значения методом конечных разностей (см. § 3.2).
Решение на последовательности сеток осуществляется
только для начального варианта геометрии резонатора.
Остальные рассчитываются на самой мелкой сетке, при-
чем решение для сеточной функции, полученное на пре-
дыдущем этапе поиска, используется в качестве началь-
ного приближения для анализа следующего варианта.
Поскольку шаг изменения размеров в процессе оптими-
зации мал, особенно вблизи точки минимума целевой
функции, каждое начальное приближение является до-
статочно близким к искомому решению и, таким обра-
зом, для его получения требуется всего несколько (3—
5) итераций. Этот алгоритм позволил сократить время
223
оптимизации приблизительно на порядок. Если первое
вычисление целевой функции требует 3—4 мин машин-
ного времени, то каждое последующее — 20—30 с (при
числе узлов сеток порядка 5—6 тыс.).
6.5. СТРУКТУРА ПОДСИСТЕМЫ
АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
ЭС ЭП
В настоящее время в СССР создана и функциони-
рует автоматизированная система комплексного ма-
шинного проектирования изделий СВЧ электронной
техники (КСМП) [69, 2]. Основу этой системы состав-
ляет комплекс аппаратно-программных средств, позво-
ляющий проводить оптимальное проектирование как
отдельных узлов, так и приборов СВЧ в целом. Ком-
плекс имеет развитую систему периферийных устройств,
средства машинной графики, автоматизированную си-
стему подготовки управляющих программ для станков
с числовым программным управлением. Программное
обеспечение КСМП содержит системные и проблемно-
ориентированные программы. Совокупность проблем-
но-ориентированных программ составляет государст-
венный подотраслевой фонд алгоритмов и программ
машинного анализа и машинной оптимизации в СВЧ
электронном приборостроении [60, 42]. Единая система
программ, связанных с проектированием ЭВП СВЧ,
включает ряд программ (макромодулей), предназна-
ченных для решения задач анализа и оптимизации уз-
лов электровакуумных приборов [56]. В связи с этим
целесообразно рассмотреть возможную структуру под-
системы автоматизированного проектирования ЭС ЭП
СВЧ, входящей в состав КСМП изделий электронной
техники.
Подсистема представляет совокупность пакетов при-
кладных программ (ППП), работающих под управле-
нием специализированной операционной системы (ОС)
КСМП. Каждый ППП предназначен для анализа опре-
деленного класса ЭС. Принципы построения ППП
неоднократно обсуждались в [98, 22, 124]. Наибольшее
распространение получил модульный принцип их орга-
низации [22], используемый во всех развитых языках
программирования. Организованный по этому принци-
пу ППП содержит семантическую память, состоящую
224
из набора программ (модулей), предназначенных для
решения данного класса задач. Набор включает мате-
матические модели ЭС различного уровня. Каждый
модуль снабжается паспортом, содержащим информа-
цию о его входных и выходных параметрах. Кроме того,
семантическая память включает модель предметной
области, состоящую из описания рассчитываемых объ-
ектов — разновидностей данного класса ЭС и отноше-
ний между ними. Словарь семантической области со-
держит набор ключевых слов, которые используются
при составлении задания на естественном языке.
Управляющая программа ППП содержит процессор,
обеспечивающий генерацию объектного модуля, т. е.
выборку нужных программных модулей из семантиче-
ской памяти, настройку их и обеспечение взаимодейст-
вия в соответствии с заданием, а также систему управ-
ления данными, которыми обмениваются программные
модули. Управляющая программа должна иметь воз-
можность функционирования как самостоятельно, так и
под управлением ОС КСМП, которая обеспечивает ра-
боту ППП в комплексе, с подсистемой «Оптимизация»
[41], со средствами машинной графики и другими под-
системами КСМП. Создание таких пакетов прикладных
программ — дело ближайшего будущего.
В качестве основы ППП расчета аксиально-симмет-
ричных резонаторов и резонаторных ЗС можно, напри-
мер, использовать разработанный при участии авторов
комплекс программ анализа и оптимизации АСР и ре-
зонаторных ЗС, краткая характеристика которого при-
ведена в табл. 6.1.
6.6. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
ЭС ЭП
Как отмечалось, создание ППП автоматизированно-
го проектирования ЭС ЭП —дело будущего. В на-
стоящее время большинство программ расчета ЭС ра-
ботает в режиме анализа. Тем не менее уже накоплен
определенный опыт решения задач автоматизированно-
го проектирования ЭС. Здесь прежде всего необходи-
мо отметить работы Б. С. Войнова [17—19] по автома-
тизированному проектированию диапазонных колеба-
тельных систем СВЧ, включающие создание алгорит-
15-1271 225.
226
Характеристика комплекса программ анализа и оптимизации АСР
и резонаторных ЗС
Таблица 6.1
Программа Язык програм- мирования, Л1п ЭВМ Занимаемый объем памяти слов Основные решаемые ia !ачп Максима- льное число узлов Погрешность, % Брема решения, мин
ПО Х(л) по 0 (7?с)
НЕВА ФОРТРАН БЭСМ-6 ЮК Анализ ЦР и АСР на основном и высших азимутально-однородных ви- дах колебаний — 2,0 10 0,15
Анализ ЗС типа ЦСР в основной и щелевой полосах пропускания — 3,0 20 0,3
Оптимизация ЗС типа ЦСР по ДХ и Rc — — — 0,5
EXTEL ФОРТРАН БЭСМ-6 29 К Анализ АСР и РВ на основном виде колебаний (Е или Н) 9000 1 1 (тест) 3—4
Оптимизация АСР на к и по рЛ42 9000 1 — 20—40
Расчет функций чувствительности к изменениям размеров и допусков на размеры 9000 —. — 15—20
AZIMUTH ФОРТРАН БЭСМ-6 ЕС 29 К 280 Кбайт Анализ основного и высших ази- мутально-однородных видов колеба- ний в АСР 20 000 30 000 0,5 1 (тест) 2
Анализ высших азимутально-не- однородных видов колебаний в АСР 10 000 15 000 2 — 5
мов поиска новых технических решений. Ряд задач про-
ектирования ЭС ЭП СВЧ решен авторами настоящей
книги. Приведем несколько примеров решения.
1. Проектирование резонаторной ЗС для мощной
ЛБВ по заданной дисперсионной характеристике и со-
противлению связи с помощью программы НЕВА. Были
заданы две точки дисперсионной характеристики (отме-
чены звездочками на рис. 6.3) и исходная структура
ЗС (см. рис. 1.14). Варьировались размеры Ri, d, h.
Начальные размеры (/?2//?4=0,562; (RD = 0,737; h!Rt =
= 0,317; ао=102°) выбирались автоматически (см. §6.2).
Дисперсионная характеристика, соответствующая на-
чальной геометрии ЗС (кривая 1 на рис. 6.3), сильно
отличается от заданной, так как соотношения (6.3) —
(6.5) приближенные. На первом этапе проектирования
использовался только критерий оптимальности F'5 (в
формуле (6.10) полагалось М = 2; Ci = l; с2 = 0). Мини-
мизация производилась методом Дживса—Хука [101].
В результате получена ЗС с размерами = 0,656;
d/Z) = 0,372; а0 = 98°, дисперсионная характеристика ко-
торой проходит через заданные точки (кривая 2). На
следующем этапе использовались оба критерия: Fi и
^6 (<’1 = ^2=0,5). При этом удалось увеличить сопротив-
ление связи практически без изменения ДХ в рабочей
области.
2. Другой пример проектирования резонаторной ЗС
с максимальным сопротивлением связи показан на
рис. 6.4. Структура ЗС соответствовала рис. 1.14. Варь-
ировались размеры R2 и d. Значения весовых коэффи-
циентов составляли: С[ = 0,4; с2 = 0,6. В результате про-
ектирования получена ЗС практически с той же ДХ, но
увеличенным на 30% сопротивлением связи. Время ре-
шения этих и подобных им задач составляет 30—40 с.
3. Примеры проектирования аксиально-симметрич-
ных резонаторов на заданную длину волны с помощью
программы EXTEL приведены в [55]. На рис. 6.6 по-
казаны зависимости собственной длины волны и экви-
валентной емкости тороидального резонатора (см.
рис. 6.5) от ширины зазора между втулками d. Для
каждого значения d определялась конструкция резона-
тора, обеспечивающая заданную собственную длину
волны % с погрешностью <0,5% по сравнению с ре-
зультатами эксперимента (кривая /). Варьировался
внешний радиус резонатора зависимость которого'
15* 227
228
Рис. 6.3
Рис. 6.4
Рис. 6 3. Проектирование резонаторной ЗС по заданной ДХ:
/- ДХ исходной структуры; 2— ДХ и /?с, промежуточной структуры; 3 —
ДХ и R Сг оп гимизированной структуры; R ,/Rx =0,394, D/Rx =0,508, //D =
= 0,2ЬЗ,-----ДХ;---------Rc
Р и с, 6,4 Проектирование резонаторной ЗС на максимальное сопро-
тивление связи;
1 — ДХ исходной и оптимизированной структур; 2 — R исходной струк-
туры; 3 — R оптимизированной структуры
от ширины зазора также приедена на рис. 6.6 (кри-
вая 4). Расчет для тех же конструкций по приближен-
ным формулам, приведенным в [128] (кривая 2) и
[107] (кривая 5), имеет при больших зазорах значи-
тельную погрешность. Для узких зазоров все три ме-
тода дают близкие результаты. Существенно различны
зависимости эквивалентной емкости резонатора С3 =
= (ojofi) 1 от ширины зазора, рассчитанные потрем ука-
занным методикам (кривые 1, 2 и 3 соответственно).
Отметим, что в соответствии с рассчитанной по про-
грамме EXTEL кривой 1 зависимость эквивалентной
емкости от ширины зазора при Z = const имеет минимум,
отсутствующий на кривых, рассчитанных по прибли-
женным методикам (кривые 2 и 3).
На рис. 6.7 показана зависимость волнового сопро-
тивления резонатора р от ширины зазора, полученная
при проектировании резонатора на длину волны Х=5см.
Варьировался внешний радиус резонатора Д3. На ри-
сунке хорошо виден максимум кривой p(d), положение
которого меняется в зависимости от относительной вы-
соты резонатора. Немонотонная зависимость p(d) на-
блюдается только у резонаторов с малым радиусом
втулки R2 (в данном случае 7?2/Х = 0,04). Максимальное
Рис. 6.5 Рис. 6.6
Р и с. 6.5. Тороидальный резонатор
Р и с. 6.6. Зависимость параметров тороидальных резонаторов с оди-
наковой собственной длиной волны от ширины зазора:
Я=10 мм; Л, = 1 мм; мм; ----------------Сэ; *** —эксперимент
229
значение эффективного волнового сопротивления ре =
= р|ЛГI2 получается при ширине зазора, несколько
меньшей, чем ширина, соответствующая максимально-
му волновому сопротивлению.
Рис. 6.8
Рис. 6.7
Рис. 6.7. Зависимость волнового сопротивления тороидальных резо-
наторов с одинаковой резонансной длиной волны от ширины зазора:
/?[ = ! мм; Я2=2 мм; см
Рис. 6.8. Зависимость усредненного эффективного волнового сопро-
тивления р£₽ и отношения волновых сопротивлений на внутреннем
и наружном краях пространства взаимодействия кольцевого резо-
натора от ширины зазора:
----Л1/Л2= 0,364;-----^/«2=0,509
4. Проектирование кольцевого резонатора с равно-
мерным распределением поля в пространстве взаимо-
действия. При проектировании резонаторов для много-
лучевых приборов важно обеспечить одинаковое волно-
вое сопротивление резонатора для всех лучей. На
рис. 6.8 показаны зависимости усредненного эффектив-
ного волнового сопротивления ресР и отношений волно-
вых сопротивлений на внутреннем и наружном краях
пролетного канала pi и ро от ширины зазора кольцево-
го резонатора, полученные с помощью программы
AZIMUTH. Собственная частота резонатора поддер-
живалась постоянной за счет изменения его наружного
радиуса, внутренний и наружный радиусы втулки Ад и
/?2, а также ускоряющее напряжение потока фиксиро-
230
ваны. Как видно на рисунке,^равномерность распреде-
ления поля в зазоре увеличивается при увеличении его
ширины. Максимальное значение4^fp достигается при
d/R{ = 0,85; ROIRX = 0,364 и Я/#1=\б, однако отноше-
ние p2/pi при этом сильно отличается, от единицы. За
счет изменения радиуса внутреннего проводника резо-
натора Ri удается получить практически равномерное
поле в зазоре резонатора при незначительном умень-
шении усредненного эффективного волнового сопротив-
ления (штриховая кривая на рис. 6.8). Рассчитанное
Рис. 6.9 Рис. 6.10
Рис. 6 9. Распределение продольной составляющей напряженности
электрического поля по радиусу кольцевого резонатора:
1 — исходная конфигурация; 2 — оптимизированная
Р и с. 6 10. Распределение поперечной составляющей напряженности
электрического поля по радиусу кольцевого резонатора:
1 — исходная конфигурация; 2 — оптимизированная
распределение продольной и поперечной составляющих
электрического поля резонатора по радиусу в области
пролетного канала изображено на рис. 6.9, 6.10, а пара-
метры исходной и оптимизированной конструкций при-
ведены в табл. 6.2.
Таблица 6.2
Параметры кольцевых резонаторов
H/R, d R, plt Ом Po. Ом p2. ОМ PfCp’ Ом
0,218 1.6 0,87 27,30 23,45 12,47 13,05
0,509 1,45 0,87 16,87 22,26 16.66 12,35
231
П ри<йожение 1
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЕКТОРНОГО
АНАЛИЗА
П1.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ
В КРИВОЛИНЕЙНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ
КООРДИНАТАХ
Рассматриваются операции над векторными и (г) и скалярны-
ми ф(г) функциями точки (векторными и скалярными полями) в
криволинейной ортогональной системе координат х2, х3 с мет-
рическими коэффициентами (коэффициентами Ламэ) ht, h2, h3 и
единичными векторами (ортами) еь е2, е3. В
координат = х2 — у, x3 = z; ht = h2 = h3 = 1;
Xi=r; х2=0; x3 = z; /ii=l; й2=г; йз=1-
Градиент
1
декартовой системе
в цилиндрической
1 dp
grad <p = vep = ----e
/ц uX 1
. 1 dp
dtp
h2 дх2
e3-
h3 dx3
(П 1.1)
Дивергенция
.. 1
divu -z 711 =
А, А2/г3 дхх
д
(h3hxu<^ -|-
дх2 дхг
(hth2u3) .
(П 1.2)
д
д
Ротор
д
д
rotu = [v,u] = Ut -
hxh2h3 (
/ Z. X
-—(hiUi)
dx3
d ,,
(Zf2w2)
(h3u3) —
ОХ <2 0X3
д ,, Л
-2
дхх
д
'а
Скалярный оператор Лапласа
.. . л 1
divgrad ф = Дер —---------
hxh2h3
d / h3hx др \ д
dx2 \ h2 dx2 J
dx2
(Mi) е3 .
д I h2h3 др
dxt \ hi дх
д f hxh2 др \
дх3 \ h3 дх3
(П 1.3)
. (П1.4)
232
П1.2. ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
grad (ср, ф) = ср grad ф + ф grad ср; (П 1.5)
div (<p, u) u grad <p-p? div u; (П1.6)
div(u, v) = vrotu — u rotv; (П. 1.7)
rot (cp, u) — [grad cp, u]-j-cp rot u; (П1.8)
rot grad <p = O; divrotu = 0; (П 1.9); (П 1.10)
grad div u = rot rot u + V2u. (П1.Н)
П1.3. ФОРМУЛЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
J div u <71/= ^ut/S; (П 1.12)
V s
j rotu<7S = fiudL; (П1.13)
Jrotuo!H = — $ (П1.14)
V s
В этих выражениях dS—элемент поверхности S; dL — эле-
мент дуги контура L; dS = dS еп; dL=dL е,, где ея — орт внеш-
ней нормали к поверхности 5; ет: — орт касательной к контуру L.
П1.4. ФОРМУЛЫ ГРИНА
J <рДфг/17 = cpvtprfS — J 7<р70И; (П 1.15)
V 3 V
J (срДф — фД<р)гЦ7 = ((р^ф — ф^ср) dS; (П 1.16)
v s
У ДсрсИ/ = (£ ^zdS.
V Js
Обобщенная формула Грина для m-мерного оператора Штур-
ма—Лиувилля
У cp^cprZV = f <p 2 alk (e„, ez) dS -
V Js i, *=1 dxk
3 (П1.17)
Vi , ft=l OXk OX i
233
Приложение 2
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
П2.1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ
Рассмотрим множество векторных нли скалярных ком-
плексных функций точки и (г), определенных в некоторой области
V и удовлетворяющих определенным однородным условиям на ее
границе S. Предположим, что все функции множества квадратич-
но суммируемы в V:
\uu*dv<^&3. (П2.1)
v
Очевидно, что сумма двух функций и произведение функции и
на любое число р, также принадлежит множеству Л- Такое мно-
жество называется линейным.
Поставим в соответствие каждой паре функций множества Л
« и и число (ц, и), называемое скалярным произведением и опре-
деляемое следующим образом:
{и, v) = j"и, v*dv. (П2.2)
v
Интеграл (П2.2) существует, так как | uv* | <0,5 ([ и 12+
+ |п|2). Скалярное произведение обладает следующими свойст-
вами:
(и, v) = (v, и)*; (ptiii + [л2м2> = Н (Mi> v)’
(и, и) >0; (и, w) = О
только для одного элемента множества Л> называемого нулевым.
Множество функций Л с введенным на нем скалярным произве-
дением называется функциональным гильбертовым пространством
(V).
Неотрицательное число N = ||«||= (и, и)1/2 называется нормой
функции и. Функция, норма которой равна единице, называется
нормированной. Рассмотрим последовательность {цп}=ць и2, ..., ип
функций в гильбертовом пространстве Х2- Пределом этой после-
довательности, если он существует, называется такая функция
при которой
lim |] ип — и || — 0. (П 2.3)
Л-+ 00
Можно показать, что из равенства (П2.3) следует
lim || ип — ит || = 0. (П2.4)
п -* «>,
234
Последовательность, удовлетворяющая условию (П2.4), назы-
вается фундаментальной. Если в функциональном гильбертовом
пространстве всякая фундаментальная^ последовательность имеет
предел, такое пространство называется полным. Множество функ-
ций гильбертова пространства называется компактным, если из лю-
бой бесконечной части этого множества можно выделить сходя-
щуюся последовательность.
Две функции и, v в гильбертовом пространстве называют-
ся ортогональными, если их скалярное произведение (и, v) —
— §uv*dV = 0. Последовательность {«„}, все функции которой
V
попарно ортогональны, называется ортогональной системой функ-
ций, а если все ее функции нормированы, — ортонормироваиной
системой. В последнем случае
(«z,«7) = 8i7. (П 2.5)
Ортогональная система называется полной, если в пространстве
не существует функции (кроме нулевой), ортогональной ко
всем функциям системы.
Ряд
ОО оо
2 апЧп = 2 (Ы> ип) Чп (П 2.6)
/2=1 /2 = 1
называется рядом Фурье функции и по ортонормироваиной систе-
ме {«„}.
Справедлива следующая теорема: если функциональное про-
странство полное, то ряд Фурье любого его элемента по любой
полной ортонормироваиной системе сходится к этому элементу.
П2.2. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
И ОПЕРАТОРЫ
Если каждому элементу и на множестве 35 CZ 5?2 поставлено
в соответствие некоторое число F(u), то говорят, что иа множест-
ве 35 определен функционал F. Функционал называется линей-
ным, если —линейное множество и /’’(р-Л + р.г^г) =Ц1/7(«1) +
+ Ц2Е(«2).
Аналогично, если каждой функции и из множества 35а по'
ставлена в соответствие одна и только одна функция v^%2, т0
говорят, что на множестве 35 а определен оператор и= Л и.
Множество 35а называется областью определения оператора »
а множество &А всех функций v — областью значений этого опе-
ратора. Таким образом, понятие оператора включает алгоритм
преобразования «вой область определения 35а’ т- е- совокуп-
ность условий (в том числе граничных), которым должны удовле-
творять функции и. Оператор называется линейным, если 35 л —
линейное множество и (иМ + ИгМ = + p2«^u2- Опера-
тор называется ограниченным, если он линейный и
\\Ли [| < С |] и |], С — const, (П 2.7)
235
для всех Наименьшее значение С, удовлетворяющее не-
равенству (П2.7), называется нормой ограниченного оператора Л
и обозначается |А|. Так как функция и=Ли принадлежит гиль-
бертову пространству можно составить скалярное произведе-
ние (у, w), где Оператор Л* сопряженный с оператором
<7^-, вводится с помощью равенства
(vfc, ®) = (и, Лад), (П2.8)
причем если функции ае $ А удовлетворяют граничным условиям
Ли — Fs, то функции удовлетворяют сопряженным крае-
вым условиям Ли' = Лг Оператор </4 называется самосопряжен-
ным, если Л = Л и фА = ®д-Из (П2.8) следует, что коммутатор
самосопряженного оператора СА =* {Ли, v) — (и, Л^] = 0 для всех
«, а скалярное произведение и) вещественно.
Самосопряженный оператор Л называется положительным,
если к)>0, причем знак равенства имеет место только для
нулевой функции, и положительно определенным, если (<т£и, «)>
>у(и, и), где у>0 — постоянная, общая для всех и^$)А. Анало-
гично вводятся понятия отрицательного и отрицательно определен-
ного операторов. Очевидно, что если — отрицательный опера-
тор, то Л,' = X Л, где Х=—1 — положительный оператор. Поэтому
свойства отрицательных и положительных (отрицательно и поло-
жительно определенных) операторов одинаковы. Для них часто
используется общее название — знакоопределенные операторы.
Нетривиальные решения уравнения (обобщенной задачи на
собственные значения)
Лц = \@л1-, (П 2.9)
где @ — весовая функция, называются собственными функциями
оператора Л, а соответствующие значения % — собственными зна-
чениями. Если оператор Л — самосопряженный, а функция ©.
действительна, то все его собственные значения действительны, а
собственные функции ортогональны с весом @ Uj} =
= (@Ui,u*dV=O, i=/=J. Если дополнительно^—положительно оп-
V 1
ределеиный Неограниченный оператор в гильбертовом простран-
стве 552 и всякое множество функций, для которых (Ли<
где М — положительная константа, компактно в 552> то оператор
Л имеет бесконечное счетное множество собственных значений
О < Xj < Х2 ... .... lim Х„=оо, а соответствующие собст-
Л-* оо
венные функции образуют полную ортогональную систему.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Автоматизация поискового конструирования / Половинкин А. И.,
Бобков Н. К-, Буш Т. Я- и др.; Под ред. А. И. Половинкина —
М.: Радио и связь, 1981. — 344 с.
2. Автоматизированная система комплексного машинного проек-
тирования изделий СВЧ электронной техники. Ч. 1, 2/Блей-
вас И. М., Голеницкий И. И., Зайцев С. А. и др. — Электрон-
ная техника. Сер. Электроника СВЧ, 1978, вып. 1, с. 93—118;
вып. 2, с. 71—122.
3. Андрушко Л. М. Расчет дисперсии цепочек тороидальных объ-
емных резонаторов, индуктивно связанных через щели. — Изв.
вузов СССР. Сер. Радиотехника, 1963, т. 6, № 5, с. 571—573.
4. Андрушко Л. М., Марков С. Е. К вопросу о расчете замед-
ляющих систем по заданным частотным характеристикам ме-
тодами теории цепей. — Электронная техника. Сер. Электро-
ника СВЧ, 1970, вып. 2, с. 53—61.
5. Батищев Д. И. Поисковые методы оптимального проектиро-
вания.— М.: Сов. радио, 1975. — 216 с.
6. Бахвалов Н. С. Численные методы. — М.: Наука, 1975. —
631 с.
7. Белуга И. Ш. Расчет двумерного электростатического поля
проводников произвольного сечения. — Радиотехника и элек-
троника, 1972, т. 17, № 9, с. 1987—1990.
8. Белуга И. Ш. Программа расчета П-образного волновода. —
Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ, 1974, вып. 1,
с. 11.
9. Белуга И. Ш., Ильевскнй В. А. Программа расчета воли Н-
типа в волноводах сложного сечения. — Электронная техника.
Сер. Электроника СВЧ, 1974, вып. 11, с. 104, 105.
10. Березин И. С., Жидков И. П. Методы вычислений. — М.: Физ-
матгиз, 1962. — 468 с.
И. Бороденко В. Г., Погорелова Э. В., Шпакова О. М. Аппрокси-
мирующие выражения для полей в аксиально-симметричных
бессеточных зазорах. — Электронная техника. Сер. Электрони-
ка СВЧ, 1973, вып. 4, с. 44—55.
12. Бурцев В. В., Овчаров В. Т. Расчет замедляющей системы ти-
па «гребенка». — Изв. вузов СССР. Сер. Радиоэлектроника,
1979, т. 22, № 11, с. 24—29.
13. Бухарин В. А., Третьяков А. Г. Определение электродинами-
ческих характеристик аксиально симметричных видов колеба-
ний в осесимметричных резонаторах. — В кн.: Ускорители.—
Московский инж.-физ. ин-т, 1982. вып. 21, с. 18—24.
14. , Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения диффе-
ренциальных уравнений в частных производных-. Пер. с англ.
Б. М. Будана и Н. П. Жидкова.—М.: ИЛ, 1963.—487 с.
15. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. — М.: Сов. радио,
1957. — 581 с.
16. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. Ч. 1, 2: Пер. с
англ./Под ред. Г. Шилова. — М.: ИЛ, 1949; ч. 1. — 799 с.;
ч. 2. — 220 с.
17. Войнов Б. С. Широкодиапазонные колебательные системы. —
М.-. Сов. радио, 1973. — 303 с.
18. Войнов Б. С. Метод синтеза на ЭЦВМ диапазонных колеба-
тельных систем СВЧ. — Некоторые вопросы проблемы ЭМС
радносистем / Гос. ун-т. — Горький, 1975, вып. 3, с. 14—27.
237
19. Войнов Б. С. Эвристический метод синтеза структуры коле-
бательных систем СВЧ. — Некоторые вопросы проблемы ЭМС
радиосистем / Гос. ун-т. — Горький, 1974, вып. 171, с. 29—44.
20. Вольман В. И., Каток В. Б., Листов А. С. Эффективный ме-
тод решения внутренних задач электродинамики. — Киев: Зна-
ние, 1981. — 25 с.
2? Вольман В. И., Пампу Ю. А. Анализ резонаторов, образован-
ных отрезками неоднородных линий передачи с осевой сим-
метрией.—'Радиотехника и электроника, 1975, т. 20, № 11,
с. 2263—2274.
22. Воробьев В. И., Федорченко Л. Н. Принципы организации и
управления пакетами прикладных программ. — Автоматизация
исследований и проектирования. — М.: Наука, 1978, с. 41—43.
23. Гаврилин А. В. Автоматизация решения задач электродина-
мики.— Препринт 268/ВЦ СО АН СССР. Новосибирск, 1980.—
29 с.
24. Гаврилин А. В., Горбенко Н. И. Численный расчет собственных
чисел и гармоник для задач электродинамики. — Численные
методы решения задач электронной оптики. — Новосибирск:
ВЦ СО АН СССР, 1980, с. 99—107.
25. Гехер К. Теория чувствительности и допусков электронных
цепей. — М.: Сов. радио, 1973. — 200 с.
26 ., Голант М. Б., Маклаков А. А., Шур М. Б. Изготовление ре-
зонаторов и замедляющих систем электронных приборов. —
М.: Сов. радио, 1969. •—408 с.
27. Гольдштейн Л. Д., Зернов Н. В. Электромагнитные поля и
волны. — М.: Сов. радио, 1971. — 664 с.
28. Григорьев А. Д. Анализ азимутальио-иеодиородных типов ко-
лебаний в аксиально-симметричных резонаторах. — Радиотех-
ника и электроника, 1979, т. 20, № 11, с. 2268—2271.
29. Григорьев А. Д., Мейев В. А. Комплекс программ автомати-
зированного проектирования объемных резонаторов и резона-
торных замедляющих систем. — Методы выбора и оптимиза-
ции проектных решений/Гос. ун-т. — Горький, 1977, с. 93—
102.
30. Григорьев А. Д., Мейев В. А., Янкевич В. Б. Расчет резо-
наторных замедляющих систем в многомодовом приближе-
нии. — Изв. ЛЭТИ. Науч. тр./Ленингр. электротехиич. ин-т
им. В. И. Ульянова (Ленина), 1977, вып. 224, с. 177—184.
31. Григорьев А. Д., Петров Е. В. Синтез замедляющих систем
типа «диафрагмированный волновод» методом эквивалентных
схем с распределенными параметрами. — Изв. ЛЭТИ. Научн.
тр./Ленингр. электротехиич. ин-т им. В. И. Ульянова (Лени-
на), 1973, вып. 136, с. 14—19.
32. ) Григорьев А. Д., Силаев С. А. Расчет электромагнитного поля
азимутально-неоднородных типов колебаний аксиально-симмет-
ричных резонаторов с произвольной формой образующей. —
Электронная техника. Сер. Электроника, СВЧ, 1981, вып. 2,
с. 62—65.
33. Григорьев А. Д., Силаев С. А., Яикевич В. Б. Численный рас-
чет электромагнитного поля в полых резонаторах и волново-
дах методами конечных разностей и конечных элементов. —
Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ, 1978, вып. 5,
с. 27—33.
238
34. Григорьев А. Д., Силаев С. А., Янкевич В. Б. Программа ана-
лиза и оптимизации параметров полых резонаторов с осевой
симметрией и регулярных волноводов. — Электронная техни-
ка. Сер. Электроника СВЧ, 1978, вып. 6, с. 101—103.
35. Григорьев А. Д., Силаев С. А., Янкевич В. Б. Расчет иа ЭВМ
резонаторов кольцевого типа. — Электронная техника. Сер.
Электроника СВЧ, 1980, вып. 8, с. 66, 67.
36. Григорьев А. Д., Янкевич В. Б. Численные методы расчета
электромагнитных полей свободных волн и колебаний в регу-
лярных волноводах и полых резонаторах. — Зарубежная ра-
диоэлектроника, 1977, вып. 5, с. 43—67.
37. Григорьев А. Д., Янкевич В. Б., Силаев С. А. Расчет харак-
теристического сопротивления аксиально-симметричных резона-
торов.— Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ, 1980,
вып. 1, с. 113—115.
38. Дайковский А. Г., Португалов Ю. И., Рябов А. Д. Программа
SUPERF1SH-1 для расчета электромагнитных полей аксиаль-
но-симметричных резонаторов. — Препринт / Ин-т физики вы-
соких энергий. — Серпухов, 1980, № 19.— 15 с.
39. Дайковский А. Г., Португалов Ю. И., Рябов А. Д. Вычисле-
ние электромагнитных полей с вариацией по ср в осесиммет-
ричных резонаторах. — Препринт / Ин-т физики высоких энер-
гий.— Серпухов, ч. 1, 1980, № 107.—12 с.; ч. 2, 1981, № 81.—
12 с.
40. Дубровка Ф. Ф., Найденко В. И., Сакалош А. А. Оценка
свойств периодических структур для многолучевых приборов
СВЧ. — Изв. вузов СССР. Сер. Радиоэлектроника, 1978, т. 21,
№ 10, с. 90—95.
41. Желудкова Г. В., Малькова-Хаимова Н. Я- Принципы работы
'подсистемы оптимизации в системе машинного проектирования
приборов. — Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ,
1980, вып. 10, с. 64—67.
42. Зайцев С. А., Захарова А. Н., Сазонов В. П. О пополнении
подотраслевого фонда алгоритмов и программ машинного ана-
лиза и машинной оптимизации в СВЧ электронном приборо-
строении. — Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ,
1976, вып. 1, с. 91—97.
43. Замедляющие системы. Ч. 2. Замедляющие системы спираль-
ного типа/Л. Ф. Тесленко, Е. Г. Губарева, О. Н. Вещикова
и др. — Обзоры по электронной технике. Сер. Электроника
СВЧ, 1977, вып. 15—140 с.
44. Замедляющие системы. Ч. 3. Замедляющие системы штыревого
типа/Л. Ф. Тесленко, А. В. Иванова, И. А. Светлицина
и др. — Обзоры по электронной технике. Сер. Электроника
СВЧ, 1977, вып. 16, — 113 с.
45. Замедляющие системы. Ч. 4. Резонаторные замедляющие си-
стемы/Л. Ф. Тесленко, А. В. Иванова, А. Д. Лебединская
и др. — Обзоры по электронной технике. Сер. Электроника
СВЧ, 1978, вып. 19. — 120 с.
46. Замедляющие системы. Ч. 5. Кольцевые замедляющие системы
для приборов М-типа/Л. Ф. Тесленко, А. В. Иванова,
И. А. Светлицина и др. — Обзоры по электронной технике.
Сер. Электроника СВЧ, 1979, вып. 18.— 104 с.
47. Иванова А. В., Маштакова А. И. Линейные ускорители. — Об-
зоры по электронной технике. Сер. Электроника СВЧ, 1977,
вып. 12. — 88 с.
239
48. Ильин В. П. Численные методы решения задач электроопти-
ки.— Новосибирск: Наука, 1974.—202 с.
49. Карлинер М. М., Лясинский П. Б., Фомель Б. М., Яков-
лев Б. П. LANS — программа для вычисления электромагнит-
ных полей и собственных частот аксиально-симметричных ре-
зонаторов. — Препринт / Ин-т ядерной физики СО АН
СССР. — Новосибирск, 1979, № 79-59. — 20 с.
50. Кисунько Г. В. Электродинамика полых систем. — Л.: ВКАС
им. С. М. Буденного, 1949. — 426 с.
51. Колесников Л. А. Усвидматика— субсистема системы фунда-
ментальных наук. — Теория автоматизированного проектирова-
ния. Науч, труды/Харьковский авиационный ин-т, 1980,
вып. 2, с. 3—24.
52. Колобаева Т. Е., Сухов В. А. Программа расчета дисперсии
и сопротивления связи диафрагмированного волновода в ос-
новной полосе прозрачности. — Электронная техника. Сер.
Электроника СВЧ, 1977, вып. 10.— НО с.
53. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в
частных производных математической физики. — М.: Высшая
школа, 1970. — 710 с.
54. Кураев А. А. Теория и оптимизация электронных приборов
СВЧ / Под ред. И. С. Ковалева. — Минск: Наука и техника,
1979.— 334 с.
55. Курилов Г. В., Самохин Г. С., Силаев С. А., Янкевич В. Б.
Оптимизация параметров тороидального резонатора — Элек-
тронная техника. Сер. Электроника СВЧ, 1979, вып. 9,
с. 13—18.
56. Кущевская Т. П., Орлова Е. А. Организационно-системные мо-
дули в единой системе программ расчета ЭВП СВЧ. — Элек-
тронная техника. Сер. Электроника СВЧ, 1979, вып. 5, с. 91—
92.
57. Левин Л. Теория волноводов: Пер. с англ. / Под ред.
В. И. Вольмана. — М.: Радио и связь, 1981. — 311 с.
58. Левченко Е. Г., Немак А. К-, Чайка В. Е. Исследование сим-
метричных замедляющих систем типа цепочек связанных ре-
зонаторов. — Радиотехника и электроника, 1969, т. 14, № 8,
с. 1458—1468.
59. Литвиненко О. Н., Сошников В. И. Колебательные системы из
отрезков неоднородных линий. — М.: Сов. радио, 1972.—
144 с.
60. Лукошков В. С., Сазонов В. П. О подотраслевом фонде алго-
ритмов и программ машинного анализа и машинной оптими-
зации в СВЧ электронном приборостроении. — Электронная
техника. Сер. Электроника СВЧ, 1974, вып. 1, с. 3—9.
61. Лысенко В. Я., Шишков А. А. Программа расчета параметров
аксиально-симметричных резонаторов и регулярных волново-
дов.— Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ, 1975,
вып. 4, с. 118—120.
62. Лысенко В. Я-, Шишков А. А., Минаев С. С. Программа рас-
чета параметров аксиально-симметричных резонаторов, частич-
но заполненных диэлектриком. — Электронная техника. Сер.
Электроника СВЧ, 1977, вып. 12. — с. 133.
63. Лысенко В. Я., Шишков А. А., Авербух А. Б., Васин И. Н.
Расчет высших типов колебаний в аксиально-симметричных ре-
зонаторах. — Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ,
1980, вып. 11, с. 34—38.
240
64. Ляпин В. П., Михалевский В. С., Синявский Г. П. Расчет коль-
цевых резонаторов на гребневых волноводах. — Изв. вузов.
Сер. Радиоэлектроника, 1978, т. 21, № 8, с. 35—39.
65. Мак-Кракен Д. Численные методы и программирование иа
Фортране: Пер. с англ./Под ред. Б. М. Наймарка. — М.:
Мир, 1977. —584 с.
66. Марков Г. Т., Васильев Е. Н. Математические методы при-
кладной электродинамики. — М.: Сов. радио, 1970.— 119 с.
67. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. — М.: На-
ука, 1980.— 534 с.
68. Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные
методы. — М.: Наука, 1981. — 416 с.
69. Машинные методы проектирования ЭВП СВЧ —• средство по-
вышения эффективности разработок / И. М. Блейвас, В. С. Лу-
кошков, Ф. Ф. Михайлуца и др. — Электронная техника. Сер.
Электроника СВЧ, 1970, вып. 4, с. 74—97.
70. Мейев В. А. О сходимости метода собственных функций при
расчете резонаторных замедляющих систем. — Изв. ЛЭТИ.
Науч. тр. / Ленингр. электротехнич. ин-т им. В. И. Ульянова
(Ленина), 1980, вып. 267, с. 59—64.
71. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов:
Пер. с англ. / Под ред. Г. В. Воскресенского. — М.: Мир,
1974, —327 с.
72. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физи-
ке.— М.: Наука, 1970. — 512 с.
73. Моисеев Н. Н. Неформальные процедуры и автоматизация
проектирования. — М.: Знание, 1979. — 76 с.
74. Налимов В. В. Теория эксперимента. — М.: Наука, 1971.—
207 с.
75. Никольский В. В. Вариационные методы для внутренних за-
дач электродинамики. — М.: Наука, 1967. — 460 с.
76. Никольский В. В., Орлов В. П., Феоктистов В. Г. Автомати-
зированное проектирование устройств СВЧ. •— М.: Радио и
связь, 1982. — 272 с.
77. Никольский В. В., Никольская Т. В. Декомпозиционный под-
ход к задачам электродинамики. — М.: Наука, 1983. — 304 с.
78. Норри Д., Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов:
Пер. с англ. / Под ред. Г. И. Марчука. — М.: Мир, 1981.—
304 с.
79. Овчаров В. Т. Метод вспомогательных источников для реше-
ния задач электродинамики. — В кн.: Материалы V Всесоюз-
ного семинара по численным методам решения внутреииих
краевых задач электродинамики. — Минск: Наука и техника,
1975.— с. 103.
80. Оганесян Л. А., Руховец Л. Д. Вариационно-разностные мето-
ды решения эллиптических уравнений. — Ереван: Изд. АН Арм.
ССР, 1979.— 335 с.
81. Падалко С. Н. Организация средств математического модели-
рования для решения задач выбора проектных решений в
САПР. — В кн.: Теория автоматизированного проектирова-
ния. — Харьковский авиационный ин-т, 1980, вып. 2, с. 37—40.
82. Пакет программ MULTIMODE для расчета спектров частот
осесимметричных и продольно-однородных электромагнитных
резонаторов методом конечных элементов/В. А. Касчиева,
М. С. Касчиев, В. Н. Кочев, А. И. Федосеев. — Препринт/
16—1271 241
Ин-т физики высоких энергий. — Серпухов, 1982, № 82-92.—
23 с.
83. Параметры резонатора для трансформации энергии пучков за-
ряженных частиц / Ворогушин М. Ф., Мудролюбов В. Г., Пет-
рунин В. И., Смирнов Ю. В. — М.: Атомиздат, 1978, вып. 16,
с. 78—82.
84. Раппопорт Г. Н. К вопросу о распространении волн в цепоч-
ке цилиндрических резонаторов. — ЖТФ, 1957, т. 27, № 9,
с. 2105—2108.
85. Рвачев В. Л., Рвачев В. А. Неклассические методы теории при-
ближений в краевых задачах. — Киев: Наукова думка, 1979.—
196 с.
86. Рошаль А. С., Лейтан В. А. Об одном методе численного мо-*
делирования электродинамических процессов. — Радиотехника
и электроника, 1980, № 6, с. 1160—1164.
87. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллип-
тических уравнений. — М.: Наука, 1976. — 352 с.
88. Самохин Г. С. Расчет электродинамических параметров ре-
зонаторов тел вращения методом т?-функций. — В кн.: Мате-
риалы семинара по численным методам решения внутренних
краевых задач электродинамики СВЧ. — М.: ЦНИИ Электро-
ника, 1979, вып. 9, с. 77—88.
89. Силин Р. А. Замедляющие системы. Ч. 1. — Свойства замед-
ляющих систем. — Обзоры по электронной технике. Сер. Элек-
троника СВЧ, 1977, вып. 7. — 84 с.
90. Силин Р. А. Расчёт дисперсии полей типа Е в миогопровод-
иой линии. — Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ,
1969, вып. 2, с. 16—22.
91. Силин Р. А., Сазонов В. П. Замедляющие системы. — М.: Сов.
радио, 1966. — 632 с.
92. Синявский Г. П. Методы расчета электромагнитных полей и
критических частот в волноводах сложных сечеиий. — Изв. Се-
веро-Кавказского центра высшей школы, 1978, вып. 2, с. 35—
40.
93. Справочник по диафрагмированным волноводам / О. А. Вальд-
нер, Н. П. Собенин, Б. В. Зверев и др.—М.: Атомиздат,
1977.—373 с.
94. Статистическое измерение качественных характеристик: Пер. с
англ./Под ред. Е. М. Четыркина. — М.: Статистика, 1972.—
173 с.
95. Стренг Г. Линейная алгебра н ее применение: Пер. с англ. /
Под ред. Г. И. Марчука. — М.: Мир, 1980. — 454 с.
96. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов: Пер.
с англ./Под ред. Г. И. Марчука. — М.: Мир, 1977. — 347 с.
97. Сухов В. А., Колобаева Т. Е., Рудакова А. Г. Расчет замед-
ляющей системы типа дифрагмированного волновода с труб-
ками дрейфа и индуктивной связью через щели. — Электрон-
ная техника. Сер. Электроника СВЧ. 1976, вып. 11, с. 71—80.
98. Тамм Б. Г., Тыугу Э. X. Пакеты программ. — Изв. АН СССР.
Сер. Техническая кибернетика, 1977, № 5, с. 111—125.
99. Тараненко 3. И., Трохименко Я- К- Замедляющие системы. —-
Киев; Техника, 1965.—307 с.
100. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической
физики. — М.: Наука, 1972. — 735 с.
101. Уальд О. Методы поиска экстремума: Пер. с аигл./Под ред.
А. А. Фельдбаума. — М.: Наука, 1967. — 267 с.
242
102. Усилительные клистроны с распределенным взаимодействием /
В. С. Андрушкевнч, В. А. Вырский, Ю. Г. Гамаюнов,
В. Н. Шевчик. — Саратовск. гос. ун-т, 1977. — 152 с.
103. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы ли-
нейной алгебры. — М.: Физматгнз, 1960. — 656 с.
104. Фомин А. В., Борисов В. Ф., Чермошенский В. В. Допуски в
РЭА. — М.: Сов. радио. 1973. — 129 с.
105. Фрязинов И. В. Разностные схемы для уравнения Лапласа в
ступенчатых областях. •— Журнал вычислительной математики
и математической физики, 1978, т. 18, № 5, с. 1170—1185.
106. Хаби В. С. Взаимодействие электронов с полем распределен-
ных резонаторов. — Электронная техника. Сер. Электроника
СВЧ, 1966, вып. 10, с. 3—18.
107. Ханков А. 3. Клнстронные усилители. — М.: Связь, 1974.—
392 с.
108. Херреро Д., Уиллонер Г. Синтез фильтров: Пер. с англ./Под.
ред. И. С. Гоноровского. — М.: Сов. радио, 1971. — 232 с.
109. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование:
Пер. с англ./Под ред. М. Л. Быховского. — М.: Мир, 1975.—
534 с.
ПО. Хойт X. С., Симмондс Д. Д., Рич В. Д. Исследование резона-
торов на 805 МГц для протонного линейного ускорителя с по-
мощью ЭВМ. — Приборы для научных исследований, 1966,
т. 37, № 6, с. 63—70.
111. Чепурных И. П., Самохин Г. С. Программа расчета основных
электродинамических характеристик волноводов произвольного
сечения. — Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ, 1976,
вып. 2, с. 119—121.
112. Ahmed S., Daly Р. Waveguide solution by the finite-element
method. — Radio Electron. Eng., 1969, v. 38, N 10, p. 217—229.
113. Allen M. A., Kino G. S. On the theory of strongly coupled cavity
chains. — IRE Trans., 1960, v. MTT-8, N 3, p. 362—372.
114. Bates R. H. T. The point-matching method for interior and exte-
rior two-dimensional boundarv value problem. — IEEE Trans.,
1967, v. MTT-15, N 3, p. 185—187.
115. Bates R. H. T. The theory of point-matching method for perfectly
conducting waveguides and transmission lines. — IEEE Trans.,
1969, v. MTT-17, N 6, p. 294—301.
116. Bates R. H. T. Analitic constraints of electromagnetic field com-
putations. — IEEE Trans., 4975, v. MTT-23, N 8, p. 605—623.
117. Bates R. H. T., James J. R., Gallet I. N. L., Millar R. F. An
overview of point-matching. — Radio Electron Eng., 1973, v. 43,
N 3, p. 193—200.
118. Bathe K. J., Wilson E. L. Numerical methods in finite element
analysis. — New Jersey: Prentice Hall, 1975. — 522 p.
119. Beaubien M. J., Wexler A. Unequal-arm finite-difference opera-
tors in the positive definite successive overrelaxation (PDSOR)
algorithm—IEEE Trans., 1970, v. MTT-18, N 12, p. 1132—1149.
120. Beaubien M. J., Wexler A. An accurate finite-difference method
for higher waveguide modes. — IEEE Trans., 1968, v. MTT-16,
N 12, p. 1007—1017.
121. Bulley R. M., Davies J. B. Computation of approximate poly-
nomial solutions to ТЕ modes in an arbitrary shaped wave-
guide.—IEEE Trans, 1969, v. MTT-17, N 8, p. 440—446.
16*
243
122. BuIIey R. M. Analysis of the arbitrary shaped waveguide by
polinominal approximation. — IEEE Trans., 1970, v. MTT-18,
p. 1022—11028.
123. Carre B. A. Determination of the optimum accelerating factor for
successive overrelaxation. — Computer J., 1901, v. 4(1), p. 73—78.
124. Creenow E. B. A computer package for the solution of electro-
magnetic field problems. — Adv. Eng. Software, 1979, v. 1, N 3,
p. 125—130.
125. Davies J. B. Review of methods for numerical solution of the
hollow waveguide problem. — Proc. IEE, 1972, v. 119, N 1,
p. 33—37.
126. Davies J. B., Muilwyk C. A. Numerical solution of uniform hol-
low waveguides with arbitrary shapes. — Proc. IEE, 1966,
v. 4 13, p. 277—284.
127. Dunne P. C. Complete polynomial displacement fields for finite
element method. — .1. Roy. Aeronaut. Soc., 1969, v. 72, p 245—
246.
128. Fujisawa K. General treatment of klystron cavities. — IRE Trans.,
1958, v. MTT-6, N 4, p. 344—358.
129. Hahn W. C. A new method for the calculation of cavitv resona-
tors.— J. Appl. Phys., 1941, v. 12, p. 62—68.
130. Halbach K-, Holsinger R. F. SUPERFISH — a computer program
for evaluation of RF cavities with cylindrical symmetry. — Part.
Accel., 1976, v. 7, p. 213—222.
131. Johns P. B. Application of the transmission line method to homo-
geneous waveguides of arbitrary cross-section. — Proc. IEE,
1972, v. 119, N 8, p. 1086—1091.
132. Johns P. B., Arhtarzad S. Three-dimensional analysis of micro-
wave cavities using the TLM method. — IEEE Microwave Theory
and Techniques' Int. Symp. Microwave Serv. Man., Palo Alto,
Calif., 1975.— N. Y„ 1975, p. 200—201.
133. Konrad A. Linear accelerators cavity field calculation by the
finite-element method. — IEEE Trans., 1973, v. NS-20, p. 802—
808.
134. Laura P. A. Application of the point-matching method in wave-
guides problems —IEEE Trans., 1966, v. MTT-14, N 5, p 251.
135. Laura P. A. Cutoff frequencies in arbitrary cross-section wave-
guide. — IEEE Trans., 1980, v. MTT-28, N 6, p. 568—572
136. Luypaert P. J., Schoonaert D. H. On the synthesis of wave-
guides and cavities realized with nonseparabie solutions of
Helmhotz wave equation. — IEEE Trans., 1975, v. MTT-23 N 12,
p. 1016—0064.
137. Montgomery J. P. On the complete eigenvalue solution of ridged
wavequide. — IEEE Tyns., 1971, v. MTT-19, N 6, p. 547—555.
138. Motz H. The treatment of singularities of partial differential
equations by relaxation methods.—Quart. Appl. Math, 1947,
Jan., v. 4, N 4, p. 371—377.
139. Ng F. L., Bates R. H. T. Null-field method for waveguides of
arbitrary cross-section. — IEEE Trans., 1972, v. MTT-20, N 10,
p. 658—661.
140. Ng F. L. Tabulation of methods for the numerical solution of the
hollow waveguide problem.— IEEE Trans., 1974, v. MTT-22, N 3,
p. 322—329
141. Pontoppidan K- Numerical solution of waveguide problems using
finite-difference methods. — In «1969 European Microwave Con-
ference», IEEE Conf. Publ. 58, p. 99—102,
244
142 Pontoppidan К. Finite-element techniques applied to waveguides
of arbitrary cross-section. Part 1 and 2. — Lab. Electromagnetic
Theory, Technical Univ. Denmark, Lyngby, Rep. LD19, Sept.,
1971. — 373 c.
143. Silvester P. A general high-order finite-element waveguide ana-
lysis program. — IEEE Trans., 1969, v. MTT-17, N 4, p. 204—
210.
144. Sinnot D. H., Cambrell G. K., Carson С. T., Green H. E. The
finite difference solution of microwave circuit problems. — IEEE
Trans, 1969, v. MTT-17, N 8, p. 464—477.
145. Spielman В. E., Harrington R. F. Wavequides of arbitrary cross
section by solution of nonlinear integral equation. — IEEE Trans.,
1972, v. MTT-20, N 9, p. 578—585.
146. Teichmann T., Wigner E. P. Electromagnetic field expansions in
loss-free cavities excited through holes. — Appl. Phys., 1953,
v. 24, N 3, p. 262—267.
147. Wexler A. Computation of electromagnetic fields. — IEEE Trans.,
1969, v. MTT-17, N 8, p. 416—439.
148. Whiting К. B. A treatment for boundary singularities in finite
difference solution of Laplace's equation. — IEEE Trans., 1968,
v. MTT-16 N 10 p. 889—891.
149. Winslow A. Numerical solution of the quasilinear Poisson equa-
tion in a nonuniform triangle mesh. — J. Comp. Phys., 1967, N 2,
p. 149—172.
150. Yee H. Y., Auden N. F. Uniform waveguides with arbitrary cross
section considered by point-matching method. — IEEE Trans.,
1965, v. MTT-13, N hl, p. 847—851.
151. Силаев С. А. Алгоритм вычисления собственных частот раз-
личных видов колебаний в аксиально-симметричных резонато-
рах.— Изв. ЛЭТИ. Научн. тр./Ленингр. электротехнич. ин-г
им. В. И. Ульянова (Ленина), 1984, вып. 336, с. 64—69.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие ......................................... 3
Введение ................................................... 6
Глава 1. Общая характеристика электродинамических си-
стем электронных приборов СВЧ........................12
1.1. Назначение и классификация..........................12
1.2. Основные параметры........................ . . 14
1.3. Основные типы и конструкции резонаторных ЭС
электронных приборов СВЧ................................21
Глава 2. Математическая формулировка задач расчета
электромагнитного поля электродинамических си-
стем электронных приборов.........................29
2.1. Исходные уравнения..........................29
2.2. Граничные условия...........................31
2.3. Дифференциальные электродинамические операторы 34
2.4. Электродинамические функционалы и интегральные
операторы.......................................38
2.5. Постановка задачи о свободных колебаниях (волнах) 41
2.6. Число неизвестных функций н их размерность
в задаче о свободных колебаниях ....................... 43
2.7. Классификация численных методов расчета электро-
динамических систем.............................47
Глава 3. Методы решения двумерных внутренних краевых
задач электродинамики.............................50
3.1. Постановка двумерных задач..................50
3.2. Метод конечных разностей........................ 57
3.3. Проекционные методы.........................72
3.4. Метод конечных элементов.........................80
3.5. Метод интегральных уравнений......................91
3.6. Метод коллокаций..................................98
3.7. Метод частичных областей...................102
3.8. Методы вычисления собственных чисел и векторов 107
3.9. Сравнительная характеристика численных методов и
алгоритмов ............................................114
Глава 4. Методы расчета параметров электродинамиче-
ских систем..........................................127
4.1. Расчет параметров регулярных волноводов н акси-
ально-симметричных резонаторов.........................127
4.2. Примеры расчета параметров резонаторов . . *. 134
4.3. Методы расчета чувствительности параметров ЭС
ЭП к изменению размеров............................142
Глава 5. Методы решения трехмерных задач расчета элек-
тродинамических систем...............................149
5.1. Расчет азимутально-неоднородных видов колебаний
в аксиально-симметричных резонаторах .... 149
246
5.2. Расчет многозазорных ЭС методом собственных
функций .............................................172
5.3. Расчет резонаторных ЗС методом взаимно пересе-
кающихся частичных областей.........................184-
Глава 6. Проблемы автоматизации проектирования элек-
тродинамических систем электронных приборов 209
6.1. Постановка задач и схема проектирования . . . 209
6.2. Методы выбора начального варианта конструкции 213
6.3. Критерии оптимальности системы. Методы построения
целевых функций......................................216
6.4. Особенности процесса оптимизации ЭС и способы
его ускорения .....................................
6.5. Структура подсистемы автоматизированного проек- 221
тирования ЭС ЭП...................................224
6.6. Примеры решения задач автоматизированного про-
ектирования ЭС ЭП............................\ . . 225
Приложение 1. Некоторые сведения из векторного ана-
лиза ..............................................232
П1.1. Дифференциальные операции в криволинейных ор-
тогональных координатах........................232
П1.2. Формулы дифференцирования..................... 233-
П1.3. Формулы интегрирования..........................233
П1.4. Формулы Грина................................. 233-
Приложение 2. Некоторые сведения из функционально-
го анализа.........................................234
П2.1. Функциональные пространства и последовательно-
сти функций....................................234
П2.2. Линейные функционалы и операторы .... 235-
Список литературы........................................237
Андрей Дмитриевич Григорьев
Виктор Болеславович Янкевич
РЕЗОНАТОРЫ И РЕЗОНАТОРНЫЕ ЗАМЕДЛЯЮЩИЕ
СИСТЕМЫ СВЧ
Численные методы расчета и проектирования
Редактор М. М. Лисина
Художественный редактор Н. С. Шеин
Переплет художника В. Я. Вигант
Технический редактор А. Н. Золотарева
Корректор Н. Л Жукова
•ИБ № 840
Сдано в набор 29 09 83 Подписано в печать 17 03 84
Т-06696 Формат 84X108/32 Бумага тип № 1 Гарнитура литературная
Печать высокая Усл. печ. л. 13,02 Усл. кр -отт. 13,02 Уч.-изд. л. 13,73
Тираж 3100 экз. Изд. № 19819 Зак. № 1271 Цена 2 р. 40 к.
Издательство «Радио и связь». 101000 Москва, Почтамт, а/я 693
Набрано и отпечатано в типографии издательства «Радио и связь».
101000 Москва, Почтамт, а/я 693.
Тираж изготовлен в ордена Октябрьской Революции н ордена Трудового
Красного Знамени Первой Образцовой типографии имени А. А Жданова
Союзполиграфпрома при Государственном Комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
Москва, М-54, Валовая, 28.