И. Т. ДЕМИДОВ
ОСНОВАНИЯ
АРИФМЕТИКИ
Рекомендовано Ученой комиссией ГУ ВУЗа
Министерства просвещения РСФСР
в качестве учебного пособия
для физико-математических факультетов
педагогических институтов
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
МОСКВА* 1963

ВВЕДЕНИЕ
Основания арифметики — раздел
математики, в котором изучаются числа, их основные свойства
и построение различных классов чисел.
Понятие числа является одним, из основных понятий
математики. Исторически это понятие возникло еще в
глубокой древности в результате практической деятельности
человека. Для подсчета количества добычи, для измерения
земельных участков, для определения вместимости сосудов,
для ведения счета времени и для решения многих других
вопросов настоятельно требовалось введение понятия
числа.
На первых порах понятия отвлеченного числа не
существовало. Первоначально «счет» представлял собой сравнение
данной совокупности предметов с какой-нибудь заранее
известной совокупностью (совокупностью пальцев на
руках, узлов на ремне, отметок на палке и т. д.), т. е. вместо
понятия отвлеченного числа было понятие конкретного
множества предметов, которое служило эталоном счета.
Например, вместо того чтобы сказать, что данная
совокупность содержит пять предметов, говорили, что
предметов столько же, сколько пальцев на руке; путешествие
продолжалось столько дней, сколько отметок сделано на палке,
и т. д. Затем постепенно в течение длительного времени
возникает понятие отвлеченного числа как количественной
характеристики всех совокупностей, обладающих
некоторым свойством, совершенно не зависящим от качественной
характеристики предметов этих совокупностей.
В XIX веке немецким математиком Кантором была
построена теория множеств, которая позволила
исследовать понятие натурального числа, сравнение
натуральных чисел по величине и действия над этими числами.
Множество и элемент множества Кантор
описывает следующим образом: «Под «множеством» мы
понимаем любое объединение в одно целое М определенных
3

вполне различаемых объектов т из нашего восприятия
или мысли (которые называются «элементами» М)»* .
Множество есть понятие первоначальное, т. е. понятие,
принимаемое в математике без определения. Слова Кантора,
приведенные выше, являются описанием понятия
множества. Множество называют также совокупностью,
классом, системой, комплексом,
областью. Например, можно говорить о множестве всех
натуральных чисел, множестве букв в данном слове,
множестве всех букв, напечатанных на данной странице, и т. д.
школа
\ \ \ \ \
лпоо о
Черт, 1.
Говорят, что между элементами множеств М и Ж
установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому
элементу т из М по некоторому правилу поставлен в
соответствие элемент /пизМ, причем каждому элементу из М
соответствует один, и только один, элемент из М, и,
обратно, каждый элемент из М соответствует одному, и только
одному, элементу из М. Множества Ми М, между
элементами которых можно установить взаимно однозначное
соответствие, называются эквивалентными или
равномощными.
Пять пальцев на руке, пять букв в слове школа,
пять фигур на плоскости представляют собой качественно
различные множества, но все они имеют то общее, что
между элементами любых двух из них можно установить
взаимно однозначное соответствие (черт. 1). Указанные
множества эквивалентны (равномощны) между собой.
Таким образом, понятие натурального числа возникло
из необходимости вести счет конкретных предметов.
Отвлеченное число получается как результат отвлечения
(абстракции) от конкретных множеств предметов. Натураль-
* С. К. Клини, Введение в метаматематику, ИЛ, 1957,
стр. 15.

ное число рассматривается как количественная
характеристика, общая всем эквивалентным между собой множествам.
Все попарно эквивалентные между собой конечные
множества (и только эквивалентные) имеют одну и ту же
количественную характеристику, называемую «числом
элементов» каждого из этих множеств. Если два множества
не эквивалентны, то и числа их элементов различны.
«Понятия числа и фигуры, — писал Энгельс, — взятьГ)
не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Де- /
сять пальцев, на которых люди учились считать, т. е.
производить первую арифметическую операцию, представляют
собой все, что угодно, только не продукт свободного твор- 1
чества разума. Чтобы считать, надо иметь не только
предметы, подлежащие счету, но обладать уже способностью
отвлекаться при рассматривании этих предметов от всех
прочих их свойств кроме числа, а эта способность есть ре- I
зультат долгого, опирающегося на опыт, исторического I
развития» (Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, 1952, J
стр. 37).
С развитием письменности для обозначения
натуральных чисел вводятся знаки. Теперь в нашем распоряжении
имеются десять таких знаков (цифр): 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9, с помощью которых мы можем записать любое
натуральное число. Но чтобы прийти к такой возможности,
потребовалось долгое историческое развитие обозначений
чисел и правил счета.
Развивающаяся человеческая практика требовала и
расширения понятия числа. Потребность производить
измерения величин привела к необходимости ввести дробные
числа. Дальнейшее расширение понятия числа
обусловливается не только в результате практики, но и в результате
развития самой математики.
Развитие алгебры потребовало ввести отрицательные
числа. G введением отрицательных чисел и нуля получено
множество рациональных чисел, в котором появилась
неограниченная возможность производить над числами действия
сложения, умножения, вычитания и деления, кромеделения
на нуль.
В XVII веке Декартом было дано геометрическое
истолкование рациональных чисел, после чего отрицательные
числа прочно вошли в европейскую науку.
В алгебре появились вопросы, для решения которых
рациональных чисел оказалось недостаточно. Например, нет
5

рациональных чисел, удовлетворяющих уравнениям х2 —
— 2 = 0 и *2 + 2 = 0. Потребовалось дальнейшее
расширение понятия числа. Для решения первого уравнения
необходимо было ввести иррациональные числа, а для
решения второго-уравнения — мнимые числа. Числа,
удовлетворяющие . какому-нибудь уравнению
<V?+(hS-l+ ...+я„ = 0 (1)
с рациональными коэффициентами, называются
алгебраическими числами. Алгебраических чисел
достаточно для решения любого уравнения вида (1) не только с
рациональными коэффициентами, но и с любыми
алгебраическими коэффициентами, однако их недостаточно для
измерения величин. В элементарной геометрии часто
приходится иметь дело с числом л (отношением длины
окружности к длине ее диаметра). Эйлер высказал предположение,
чточислоя не является корнем никакого уравнения вида (1)
с рациональными коэффициентами, т. е. это число
неалгебраическое. Для неалгебраических чисел было введено
название — трансцендентные числа.
Существование трансцендентных чисел было строго доказано в
середине XIX века французским математиком Лиувиллем.
В 1882 году немецкий математик Линдеман доказал, что
число я является трансцендентным числом. Это
окончательно решило вопрос о невозможности построения с
помощью циркуля и линейки квадрата, площадь которого
равна площади данного круга (квадратура круга). Эта
задача интересовала математиков на протяжении многих
веков. В теории множеств легко устанавливается, что
трансцендентных чисел, в известном смысле, больше, чем всех
алгебраических чисел (алгебраических чисел счетное
множество, а трансцендентных — несчетное множество).
Фундаментом, на котором строится математический
анализ, является теория пределов, которая не может быть
построена строго без теории действительных чисел
(множества, состоящего из всех рациональных и всех
иррациональных чисел).
В XVIII веке было дано геометрическое истолкование
комплексного числа, после чего и мнимые числа перестали
быть «воображаемыми» числами. Теперь комплексные числа
имеют многочисленные применения как в самой
математике, так и в технических дисциплинах (аэромеханике и др.).
6

Попытки дальнейшего расширения понятия числа
привели к построению множества кватернионов,
которые также нашли применение в науке.
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД В МАТЕМАТИКЕ
Аксиоматическое построение какой-либо математической
теории начинается с перечисления некоторых объектов,
изучаемых этой теорией, и некоторых отношений (связей,
соотношений) между ними. Эти объекты и отношения
называются основными (неопределяемыми,
первоначальными, исходными) понятиями
рассматриваемой теории. Каждое понятие, которого нет в списке
основных понятий, должно быть строго определено.
Определением называется предложейие, в
котором раскрывается содержание нового понятия, т. е.
указываются существенные признаки этого понятия.
Обычный прием определения состоит в указании:
1) ближайшего рода, т. е. множества объектов
(предметов), к которому относится это понятие,
2) видового отличия, т. е. признаков, которые отличают
определяемое понятие от других понятий этого множества.
Пример определения: треугольник, имеющий две
равные стороны, называется равнобедренным
треугольником.
В этом определении понятия «равнобедренный
треугольник» ближайшим родом является множество всех
треугольников. Видовым отличием служит указание, что
треугольник должен иметь две равные стороны.
Очевидно, прежде чем дать такое определение, нужно
знать, что такое треугольник, что такое сторона
треугольника и какие его стороны называются равными. Всем этим
понятиям тоже надо дать определения, т. е. свести их к еще
ранее установленным понятиям. Процесс такого сведения
не может продолжаться неограниченно, поэтому и
приходится некоторые понятия принимать совсем без
определений. Такие понятия и перечисляют в начале изложения
теории в качестве основных. Смысл основных понятий
можно истолковать на некоторых конкретных множествах, но
при аксиоматическом построении теории (в целях
наибольшей возможности ее применений) этого не делается.
Вслед за основными понятиями формулируются
основные предложения (аксиомы), которые принимаются без
доказательства в данной , теории.
7

Аксиомами называются исходные
(первоначальные) предложения, на основе которых доказываются
другие предложения (теоремы) данной теории.
В аксиомах дается описание отношений (связей,
соотношений) между основными понятиями или
утверждается существование некоторого основного объекта. Система
аксиом является неявным определением основных понятий,
т. е. она дает возможность из определенных вне этой
теории понятий выделить те, к которым применима данная
аксиоматическая теория. Каждое предложение
рассматриваемой теории, которого нет в списке аксиом, должно быть
выведено (доказано) как следствие из аксиом и ранее
выведенных (доказанных) предложений (теорем). Сами же
аксиомы принимаются без доказательства в
рассматриваемой теории потому, что для их доказательства в этой
теории нет исходного «материала». В данной аксиоматической
теории аксиомы не доказываются, но отсюда не следует,
что их можно формулировать произвольно. Аксиомы
появились в результате многовековой практической
деятельности людей, и этим обусловливается справедливость
аксиом.
В аксиоматической теории перечисляются основные
понятия и аксиомы, но обычно не дается никаких указаний
относительно логических средств, при помощи которых
придется развивать эту теорию, т. е. не дается указаний, как
делать выводы из этой системы аксиом. Если в
рассматриваемой теории, кроме аксиом и неопределяемых понятий,
даются также и правила вывода, с помощью которых
можно получать новые предложения (теоремы) этой теории,
то такая теория называется дедуктивной
теорией. По мере развития дедуктивной теории запас
правил расширяется, так как каждое новое предложение,
которое уже доказано, можно сформулировать в виде правила
вывода, пригодного для получения новых теорем.
Значение дедуктивного метода (кроме установления
связей между предложениями данной теории) состоит в том,
что в тех науках, где он применим, нет необходимости
проверять на практике все выводы данной теории; достаточно
проверить только правильность исходных положений и
применимость правил вывода в данной науке. Так, например,
в множестве всех векторов на плоскости, сложение которых
производится по известному правилу «треугольника»,
выполняются все аксиомы коммутативной группы по сложе-
8

нию (см. § 11), поэтому мы можем утверждать без
дополнительной проверки, что в этом множестве справедливы и
все выводы, вытекающие из указанной системы аксиом.
Аксиоматический метод в математике применялся уже
в древние времена, о чем говорят знаменитые «Начала»
Евклида. Особенно большую роль в развитии геометрии
сыграл 5-й постулат Евклида, который гласит: «И если прямая,
падающая на две прямые, образует внутренние и по одну
сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти
две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где
углы меньшие двух прямых»*. В течение многих веков
математики пытались доказать этот постулат, т. е. получить
его в виде следствия из других предложений Евклида, не
зависимых от 5-го постулата. Н. И. Лобачевский
созданием своей геометрии в 1829 году показал впервые, что
5-й постулат Евклида не является таким следствием.
С современной точки зрения система аксиом и
постулатов в «Началах» Евклида далека от совершенства. После
открытия Лобачевским неевклидовой геометрии и
исследований французского математика Галуа в алгебре роль
аксиоматического метода в математике начала быстро
возрастать. Появились геометрические и алгебраические
теории, которые строились на основе аксиоматического
метода. В самом конце XIX века были разработаны система
аксиом итальянского математика Пеано для арифметики и
система аксиом немецкого математика Гильберта для
геометрии.
* «Начала Евклида», книги 1—6, ГТТИ, 1948, стр. 15.

Глава 1 1
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА I
Рассмотрим аксиоматическое построение множества на- I
туральных чисел. При этом мы будем пользоваться основ- 1
ным общематематическим понятием множество. Ос- 1
новными объектами рассматриваемой теории будут е д и- ]
ница и натуральные числа, основным от- I
ношением между натуральными числами будет понятие I
следует за. Натуральные числа будем обозначать J
малыми латинскими буквами а, Ьу с, d, ..., а единицу — I
через 1. Отношение а = Ь называется равенством, 1
которое означает, что одно и то же натуральное число обоз- 1
начено различными буквами, так что из a=&=c=d|
всегда следуют равенства Ъ = а, а = с, а = d и другие. 1
Отношение а Ф Ь называется неравенством, ко-1
торое означает, что буквами а и Ь обозначены различные 1
натуральные числа. Число, следующее за числом а, обоз- I
начается через а'. 1
§ 1. Аксиомы Пеано и простейшие следствия из них I
Определение 1,1. Натуральными чис-1
л а м и называются элементы всякого непустого множест-1
ва N, в котором для некоторых элементов а и Ь установлено I
отношение «& следует за а», удовлетворяющее следующим I
аксиомам: I
Аксиома 1. Существует натуральное число 1 (еди-1
ница)у которое не следует ни за каким натуральным числом, I
т. е. а' Ф I для любого натурального числа а. I
Аксиома 2. Для любого натурального числа а в мно- \
(нсестее N существует одно, и только одно, следующее за ними
натуральное число а', т. е. из а = Ь всегда следует а' = Ь'Л
Аксиома 3. Любое натуральное число следует ней
более чем за одним натуральным числом, т. е. из а' = Ь'Ъ
всегда следует а = Ь. I
ш
10 |

Аксиома 4 (аксиомаиндукции). Каждое мноокество
натуральных чисел М, которое содержит число 1 и которое
вместе с каждым содержащимся в нем числом а содержит
и его последующее число а\ совпадает с множеством всех
натуральных чисел N, т. е. М = N.
В этом списке аксиом нет понятия «предшествует»,
поэтому это новое понятие надо определить.
Определение 1,2. Если натуральное число b
следует за натуральным числом а, то число а называется
предшествующим числу Ь.
Согласно аксиоме 1 единица не имеет предшествующего
числа.
Теорема 1,3. Любое натуральное число а ^ 1
имеет предшествующее число, и притом единственное, т. е.
если а Ф 1, то существует единственное такое число Ь,
что а = Ь'.
Доказательство. Пусть М — множество
натуральных чисел содержит 1 и все те, и только те,
натуральные числа а, каждое из которых имеет хотя бы одно
предшествующее ему натуральное число. Множество М
содержит 1 и вместе с каждым содержащимся в нем числом а
содержит и его последующее число а', так как а' имеет
предшествующее число а. По аксиоме 4 множество М совпадает
с множеством всех натуральных чисел N. Единственность
предшествующего числа следует из аксиомы 3. Теорема
доказана.
Т е о р е м а 1,4. Если последующие числа не равны, то не
равны и предыдущие им числа, т. е. из а' Ф Ь' всегда
следует а Ф Ь.
Доказательство. Если бы было а = Ь, то,
по аксиоме 2, имели бы а' =-- Ь\ но последнее равенство
противоречит условию теоремы. Теорема доказана.
Теорема 1,5. Если данные числа не равны, то не
равны и их последующие числа, т. е. из а ФЬ всегда следует
а' Ф V.
Доказательство. Если бы было а' «= У, то, по
аксиоме 3, имели бы а = Ь, но последнее равенство
противоречит условию теоремы. Теорема доказана.
Теорема 1,6. Никакое натуральное число не равно
своему предшествующему числу, т. е. всегда верно неравен-
ство а' Ф а.
Доказательство. Пусть М — множество всех
тех, и только тех, натуральных чисел, для которых теорема
11

берна. М содержит 1, так как, по аксиоме 1, Г Ф 1. Если
число а принадлежит Му то а' ^ а> но тогда, по теореме
1, 5, будет выполняться неравенство (а')' Ф а' , т. е. а'
тоже принадлежит М.
Следовательно, по аксиоме 4, множество М совпадает с
множеством натуральных чисел N. Теорема доказана.
Полагая Г = 2, 2' = 3, 3' = 4, 4' = 5, ..., получим
обычные обозначения чисел натурального ряда
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... .
§ 2. Сложение натуральных чисел
Сложение и умножение натуральных чисел
непосредственно не вытекают из системы аксиом Пеано. Для
определения этих действий нам потребуется еще одно
общематематическое понятие соответствие, с помощью
которого сформулируем определение
алгебраической операции.
Определение 2,1. Алгебраической операцией,
заданной в непустом множестве М9 состоящем из
элементов любой природы, называется правило, которое
позволяет каждой паре элементов а и Ъ из М, взятым в
определенном порядке, поставить в соответствие вполне
определенный элемент с из М.
В определение алгебраической операции входят
требования однозначности этой операции и неограниченной ее
выполнимости. Если для этой операции введем знак е, то
будем писать
а г Ь = с. '
Это равенство означает, что элементам а и Ьу взятым в
указанном порядке, ставится в соответствие элемент с или,
что то же самое, — элемент а г Ь. Для сложения применяем
вместо знака е обычный знак + •
Определение 2,2. Сложением натуральных
чисел называется алгебраическая операция, определенная
в множестве натуральных чисел N, которая обладает
свойствами:
1) а + 1 = а' для любого натурального числа а,
2) а + Ь' = (а + by для любых натуральных чисел
а и 6.
12

Число а + Ь называется суммой чисел а и &,
а сами числа а и Ь в этом случае называются
слагаемыми.
Теорема 2, 3. Сложение натуральных чисел
существует, и притом только одно.
Доказательство этой теоремы разобьем на две
части. В первой части докажем, что если в множестве N
существует алгебраическая операция, обладающая
свойствами 1 и 2 определения 2,2 , то эта операция единственная.
Во второй части доказывается существование такой
операции.
I. Предположим, что в множестве N существует еще
одна алгебраическая операция, обладающая свойствами:
1) а © 1 в а' Для любого числа а,
2) а © У = (а © by для любых чисел а и 6, для
которой введен знак © вместо знака + , применяемого в
первой операции.
Выберем некоторое число а и докажем, что при этом
а и любом числе Ь выполняется равенство
а+ Ь = а © Ь. (3)
Пусть М — множество всех тех, и только тех, чисел bt
для которых при выбранном числе а выполняется равенство
(3). Если Ь = 1, то из равенств а+1 =а' = а © 1 следует
равенство а + 1 = а © 1, т. е. 1 принадлежит М. Если
Ь принадлежит М, то равенство (3) верно по свойству
элементов множества М. Тогда из равенства (3), по аксиоме
2, следует равенство (а + Ь)' = (а © Ь)'. В таком случае
из равенств а + Ъ' = (а + Ъ)' = (а ф Ь)' = а © Ь'
получаем равенство а + Ь' = а ф Ь\ которое показывает,
что и Ъ'принадлежит М. По аксиоме 4, множества М и
N совпадают.
Так как при этом доказательстве число а выбрано
произвольно, то равенство (3) верно при любых числах а и Ь,
т. е. обе предполагаемые алгебраические операции в
множестве N могут отличаться друг от друга только
обозначениями самих операций, по существу же они совпадают.
II. Теперь докажем, что для любого числа а
действительно существует однозначная операция, которая при
любом числе Ъ обладает свойствами 1 и 2 определения 2,2.
Для этого достаточно указать правило сложения числа 1
13

1
с любым числом Ь и правило сложения числа о! с любым I
числом &, проверяя при этом выполнение однозначности 1
сложения и свойств 1 и 2. 1
Пусть М — множество всех тех, и только тех, чисел а, 1
для которых эта операция при любом числе Ь существует. I
Если а = 1, то сложение можно производить по правилу I
а + Ь = Ь\ (4) I
для любого числа Ь. Однозначность этой операции следует |
из того, что, по аксиоме 2, для любого Ъ существует одно, |
и только одно, число Ь'. Эта операция обладает свойствами 1
1 и 2, так как: {
1) по правилу сложения (4) имеем а + 1 = Г, но, по 1
условию, а = 1, поэтому окончательно получаем равенство I
а+1=а'\ 1
2) по правилу сложения (4), имеем равенства а + Ь' = I
= (Ь'У и Ь' = а + bt из которых окончательно получаем I
равенство а + Ьг « (а + Ь)'. Следовательно, 1 принад- I
лежит М. Если а принадлежит М, то, по свойству элемен- 1
тов множества М, для а существует однозначная операция, 1
обладающая свойствами 1 и 2. Для числа а' и любого чис- I
ла Ь сложение можно производить по правилу 1
а' + Ь = {а + b)'. (5) I
По теореме 1, 3, число а' однозначно определяет число I
а, а так как а содержится в М, то сумма а + Ъ для любо- 1
го Ь определяется однозначно, далее, по аксиоме 2, одно- ]
значно определяется для любого Ъ и число (а + Ь)'. Этим I
доказана однозначность операции (5). Проверяем выпол- 1
нение свойств 1 и 2. 1
1) По правилу сложения (5), имеем с' + l=(ct 1)', 1
но так как а содержится в М, то выполняется равенство I
а + 1 == а', поэтому окончательно получаем равенство ]
а' + 1 = (а' )'. 1
2) По правилу сложения (5), имеем а' + V == (а + Ь')\ 1
но так как а содержится в М, то равенство а + Ь' = (а + 1
+ ЬУ верно при любом Ь, поэтому верно и равенство 1
о! + br = [(a+byy. Из последнего равенства, по правилу 1
(5), получаем окончательное верное равенство а' + Ь' = 1
«в (а' + Ь)'. Следовательно, и а' принадлежит М. По 1
аксиоме 4, множество М совпадает с множеством N. -ъ
Таким образом, существует правило, которое позволяет I
для любых натуральных чисел а и b однозначно найти на- 1
14 I

туральное число с = а + Ь> при этом выполняются
свойства 1 и 2 определения 2, 2, т. е. существует алгебраическая
операция, удовлетворяющая определению 2,2. По I, эта
операция в множестве натуральных чисел N единственная.
Что и требовалось доказать.
Из существования и единственности сложения в
множестве натуральных чисел, по свойствам 1 и 2 и по правилам
(4) и (5), вытекает такое следствие.
С л е д с т вжи е 2, 4. Для любых натуральных чисел
а и Ъ справедливы равенства &+1 = 1 + &иа+6' =
= (а + b)f =а' + Ь.
Примеры: 3+1=3' =4, 4 + 2 = 4+ Г =
= (4 + 1)' = 5' = 6.
Теорема 2, 5 (закон коммутативности сложения
натуральных чисел). Для любых натуральных чисел аиЬ
справедливо равенство
а+ 6 = Ь + а. (6)
Доказательство. Пусть Ь выбрано и М —
множество всех тех, и только тех, а, для которых теорема
верна. 1 принадлежит М, так как, по следствию 2,4,
Ь + 1 = 1 + Ь при любом Ь. Если а принадлежит М, то
равенство (6]Г верно при любом Ь. Тогда, по второму
свойству сложения и следствию 2,4, получаем:
а' + Ь = (а + Ь)' = (Ь + а)9 = Ь + а',
т. е. и а' принадлежит М. По аксиоме 4, множество М
совпадает с множеством N. Так как число Ъ выбрано
произвольно, то теорема верна.
Теорема 2,6 (закон ассоциативности сложения
натуральных чисел). Для любых натуральных чисел at b и с
справедливо равенство
(а + b) + c = a + (b + c). (7)
Доказательство. Пусть как угодно выбраны
числа а и b и пусть М— множество всех тех, и только тех,
чисел с, для которых теорема верна. Если с = 1, то
(а + Ь) + 1 = (а + ЬУ = а + У = а + (Ь + 1).
15

Следовательно, 1 принадлежит М. Пусть с принадлежит
М, тогда равенство (7) верно. По этому предположению
для с' имеем:
(а + Ь) + с' = [(а + Ъ) + с\ = [а + (Ь + с)] ' =
= а + (6 + с)' =а + (Ь + с').
Следовательно, и с' принадлежит М. По аксиоме 4,
теорема верна для всех с, а так как числа а и Ъ выбраны
произвольно, то теорема верна для любых чисел а, Ь и с.
§ 3. Умножение натуральных чисел
Определение 3, 1. Умножением натуральных
чисел называется алгебраическая операция, определенная
в множестве натуральных чисел N и обладающая
свойствами:
1) а • 1 — а для любого натурального числа а,
2) а • Ь' = а • b + а для любых натуральных чисел
а и Ь.
Число а называется множимым, число b —
множителем, а число а • b—произведением чисел а и Ь. Вместо а«6
можно писать ab.
Теорема 3, 2. В множестве натуральных чисел
существует умножение, и притом только одно.
Доказательство этой теоремы по существу
совпадает с доказательством теоремы 2,3.
I. Сначала докажем единственность такой
операции, предполагая, что она существует. Пусть имеется
еще одна операция со свойствами:
1) а© 1 = а для любого натурального числа а,
2) аОЬ'= а© 6 + а для любых натуральных чисел
а и Ь, для которой введен знак © вместо знака . ,
применяемого в первой операции.
Выберем некоторое число а и докажем, что при этом а
и любом числе b выполняется равенство
а ♦ b = а©Ь. (8)
Пусть М — множество всех тех, и только тех, &, для
которых при выбранном а выполняется равенство (8).
Если b = 1, то из равенств а • 1=а=а© 1 следует равенство
а • 1 = а©1, т. е. 1 принадлежит М. Если b
принадлежит М, то равенство (8) верно. Из равенства (8), по одноз-
16

начности сложения, следует равенство а • Ь + а =
=аО&+а, из которого, по второму свойству умножения,
получаем равенство а . Ь' = а®Ь\ Следовательно, и Ь'
принадлежит М. По аксиоме 4, множество М совпадает
с множеством N. Так как при этом доказательстве число
а выбрано произвольно, то равенство (8) верно при любых
а и by т. е. обе предполагаемые операции по существу
совпадают.
II. Докажем теперь, что для любого а действительно
существует однозначная операция, которая при
любом числе Ь обладает свойствами 1 и 2 умножения
натуральных чисел.
Пусть М — множество всех тех, и только тех, а, для
которых эта операция при любом Ь существует. Если а =
= 1, то умножение можно производить по правилу
а . Ь = Ь (9)
для любого числа 6. Однозначность этой операции
очевидна. Выполнение свойств 1 и 2 при а = 1 следует из
равенств:
1) а • 1 = 1 = а и 2) ab' = V = Ь + 1 = аЬ + а.
Следовательно, 1 принадлежит М. Если а принадлежит
УН, то для а существует однозначная операция,
обладающая свойствами 1 и 2. Для числа а' и любого числа Ь
умножение можно производить по правилу
a'b = ab+b. (10)
Эта операция однозначна, так как произведение ab
однозначно определяется по предположению, а сумма ab + Ь —
по однозначности сложения. Выполнение свойств 1) и 2)
умножения следует из:
1) а'?1=а-1 + 1=а+1=а', т. е. а' • 1=а',
2) а'Ь* = аЬ' + Ь' = (ab + а) + V - ab + (а + V) =
= ab+(a + b)f =ab + (Ь + а)' - ab + (Ь + а') = (а6 +
+ b)+a'=a'b + a\ т. е. а'Ь' =а'Ь + а'.
Замечания к доказательству выполнения второго свойства: первое
равенство получается применением правила (10); второе равенство — по
второму свойству умножения, которое применимо к а при любом Ь;
третье — по закону ассоциативности сложения; четвертое — по
второму свойству сложения; пятое — по закону коммутативности сложе-
17

ния; шестое —по второму свойству сложения; седьмое —по закону
ассоциативности сложения; восьмое (последнее) равенство получается
применением правила (10).
Таким образом, 1 принадлежит М, и если а
принадлежит М, то и а' принадлежит М. По аксиоме 4, множество
М совпадает с множеством N. Этим доказано, что
существует правило, которое позволяет для любых натуральных
чисел а и 6 однозначно найти натуральное число с = а&,
при этом выполняются свойства 1) и 2) определения 3,1, т. е.
существует алгебраическая операция, удовлетворяющая
определению 3,1. По I, эта операция единственная.
Из существования и единственности умножения в
множестве натуральных чисел, по первому свойству
умножения и по правилам (9) и (10), вытекает такое следствие.
Следствие 3,3. Для любых натуральных чисел
а и 6 справедливы равенства &.1*=1.6иа'6 = а6 +
+ 6.
Пример. 3.2 = 3. Г =3.1+3 = 3 + 3 = 6.
Теорема 3,4 (закон коммутативности умножения
натуральных чисел). Для любых натуральных чисел а и b
справедливо равенство
аЬ = Ьа. (11)
Доказательство. Пусть 6 выбрано и М —
множество всех тех, и только тех, значений а, для которых
утверждение данной теоремы верно. 1 принадлежит М, так
как, по следствию 3,3, 6.1 = 1.6 при любом 6. Если
а принадлежит М, то равенство аЬ = Ьа верно при любом
6. Тогда по однозначности сложения натуральных чисел
верно и равенство аЬ + 6 = Ьа + 6. Из последнего
равенства, по следствию 3,3 и по второму свойству умножения
натуральных чисел, следует равенство а'Ь = 6а', т. е.
и V принадлежит М. По аксиоме 4, множество М
совпадает с множеством N. Так как число 6 выбрано
произвольно, то теорема верна для любых натуральных чисел а и 6.
Теорема 3,5 (закон дистрибутивности). Для
любых натуральных чисел ау Ь и с справедливо равенство
а(Ь+ c) = ab + ac. (12)
Доказательство. Теорему доказываем
индукцией по с. Пусть при выбранных как угодно числах а и 6
19

M — множество всех тех, и только тех, с, для которых
данная теорема верна. Тогда при с = 1 имеем:
а(Ь + 1) = ab' = ab + а = ab + а • 1.
Следовательно, 1 принадлежит М. Если с
принадлежит Af, то равенство (12) верно. Тогда для с' получаем:
а (Ь + с') + а(Ь + с)' = а(Ь + с) + а = (ab + ас) + а =
= ab + (ас + а) = ab + ас',
т. е. и г' принадлежит Af. По аксиоме 4, М = N. Так как
числа а и & выбраны произвольно, то теорема верна для
любых чисел a, b и с.
Следствие 3,6. По теоремам 3,4 и 3,5, для
любых чисел a, b и с справедливо равенство (Ь + с)а =
= а(6 + с) = а& + ас = 6а + ш.
Теорема 3,5 и следствие 3,6 называются
соответственно «левым» и «правым» законами дистрибутивности. В
множестве натуральных чисел N оба эти закона
совпадают, поэтому говорят просто о законе дистрибутивности.
Закон дистрибутивности связывает умножение со
сложением.
Теорема 3,7 (закон ассоциативности умножения
натуральных чисел). Для любых натуральных чисел a, b и
с справедливо равенство
(ab)c = a(bc). (13)
Доказательство. Пусть числа а и b выбраны
и М — множество всех тех, и только тех, чисел г, для
которых утверждение данной теоремы верно.
Если с = 1, то (ab) . 1 = ab = a(b . 1), т. е. 1
принадлежит М.
Если с принадлежит М, то равенство (13) верно.
Тогда для с' получаем:
(aby - (ab)c + ab = а(Ьс) + ab = a (be + b) = a (be').
Следовательно, и с' принадлежит М. По аксиоме 4 и по
выбору чисел а и Ь, теорема верна для любых чисел a, b
и с.
§ 4. Сравнение натуральных чисел по величине
и действия с неравенствами
Теорема 4,1. Для любых натуральных чисел а и b
имеет место неравенство
а+ b Ф Ь.
19

Доказательство. Пусть М - множество всех
тех и только тех, натуральных чисел Ь, для которых
данная теорема верна. 1 принадлежит М, так как, по
определению сложения и по аксиоме 1, имеем а+ 1 =a'=£l.
Если Ь принадлежит М, то а + b Ф Ь. Тогда, по
определению сложения и по теореме 1,5, получаем а + Ь' =
= (a + b)f Ф Ь', т. е. и Ь' принадлежит М. По аксиоме
4, множество М совпадает с множеством N.
Определение 4,2. Натуральное число а
больше натурального числа b (пишут: а > Ь), если существует
такое натуральное число k, что выполняется равенство
а = b + k. Если а больше 6, то b меньше а (пишут: b <
< а). Соотношение а > b означает, что а больше или
равно b (а не меньше 6). Соотношение а < b означает, что а
меньше или равно b (а не больше Ь).
Теорема 4,3. Для любых натуральных чисел а и b
имеет место один, и только один, из следующих трех
случаев:
а = 6, а > b, a < 6.
Доказательство. Нам нужно доказать, что
для любых а и b имеет место один, и только один, из случаев:
1) а- Ь
2) а = Ь + k.
3) b — а + т.
А. Сперва докажем единственность. По теореме 4,1,
случай первый со вторым и первый с третьим несовместимы,
так как
Ъ + k Ф b и а + т Ф а.
По той же теореме, случай второй с третьим тоже
несовместимы, так как
а = Ъ + k Ф (а + т) + k — а + (т + k).
Таким образом, может иметь место самое большее лишь один
из случаев 1, 2, 3.
Б. Теперь докажем существование для любых а и b
хотя бы одного из указанных случаев (по пункту А это будет
единственный случай).
Пусть а выбрано и М — множество всех тех &, для
которых имеет место один из случаев 1,2,3.
1. При b = 1 имеем: при а = 1 первый случай а — 1 =
= Ь\ если а ф 1, то, по теореме 1,3, a = с' *= с + 1 =
20

= 1 + с, т. е. имеем второй случай а = Ь + с.
Следовательно, 1 принадлежит М.
2. Пусть Ь принадлежит М, т. е. для выбранного а и
указанного Ъ имеет место один из случаев 1, 2, 3.
Если Ь=а, то b' = b + 1, т. е. для Ь' имеем третий
случай Ь' = а + 1.
Если а = 6 + k (второй случай для Ь), то при k = 1
имеем первый случай для Ь' (а = Ь'); если же k Ф 1,
то, по теореме 1,3, £ = 1 + т и для &' имеем второй
случай, так как а=& + £=& + (1 + /n)=(&-f~ 1) + /и=6' + /n.
Если b = а + т, то 6' = (а + т)' = а + т\ т. е.
для Ь' имеем третий случай. Таким образом, во всех
случаях Ь' также принадлежит М.
Значит, если а выбрано, то для любого Ь имеет место
один, и только один, из указанных трех случаев.
Поскольку а выбрано произвольно, то теорема верна для любых
натуральных чисел а и 6. Теорема доказана. *
Теорема 4,4. Иза> Ь и b > с следует а > с
(транзитивность неравенств).
Доказательство. По определению 4,2, а =
= b + k, b = с + т, следовательно, а = b + k =
= (с + т) + k = с + (т + к), т. е. а > с.
Следствие 4,5. Из а < & и 6 < с следует а < с.
Утверждение получается непосредственно из теоремы
4,4, если первые два неравенства прочитать в обратном
порядке.
Теорема 4,6 (законы монотонности сложения и
умножения).
1) Из а — b следуют а + с = b + с и ас = be.
2) Из а > b следуют а + с > b + с и ас > be.
3) Из а < b следуют а + с < b + с и ас < be.
Доказательство. Утверждения первого
пункта следуют из однозначности сложения и умножения.
Если а > 6, то, по определению 4,2, а = 6 -f" к. По
пункту первому данной теоремы получаем:
a + c = (b + k)+c=b + (k + c) = b + (c + k)=*
= (b +c) + k и ас = (b + k)c = be + kc.
Из последних равенств, по определению 4,2, получаем:'
а + с > 6 + с и ас > be.
21

Если а < 6, то, по определению 4,2, 6 > а, а по пункту
второму данной теоремы получим:
Ъ + с> а + с и be У ас>
откуда и следуют утверждения третьего пункта.
В этой теореме исчерпываются все возможные случаи
соотношений между двумя натуральными числами а и Ь,
поэтому будет справедлива и обратная теорема.
Теорема 4,7 (обратная теореме 4,6).
1) Из а + с = Ь + с или из ас = be следует а = Ь.
2) Из а + с у b + с или из асу be следует а у Ь.
3) Из а + с <Ь + с или из ас < be следует а < Ь.
Докажем, например, что из ас > be следует а >
> Ь. Не может быть а = Ь, так как тогда было бы ас =
= Ъс\ не может быть а < Ь, так как это влечет за собой
ас < be, значит, а > 6. Таким же путем доказываются и
все остальные утверждения.
Неравенства а > 6 и с > d или а < b и с < d
называются неравенствами одинакового смысла.
Теорема 4,8. 1. Любые равенства можно почленно
складывать и умножать, т. е. из а = Ь и с = d следует
a + c=& + d и ас ~ bd>
2. Любое неравенство можно почленно складывать и
перемножать с любым равенством, т. е. из а > Ь, с < d, & =
= m следуют:
а + ky b + m, с + k < d + m, aky 6m, c£ < dm.
3. Любые неравенства одинакового смысла можно
почленно складывать и перемножать, т. е. из а У Ъ и су d
следу/от а + с > 6 + d и асу bd\ также из а < Ъ и с <
< d следуют а + с < 6 + d и ае < bd.
Доказательство. Утверждения 1 и 2
получаются непосредственно из теоремы 4,6 заменой в одной
части с на d или k на т. По той же теореме, из a > 6 и с > d
получаем:
а + су b -f с, b + су Ъ + d и ас у be, be у bd.
По теореме 4,4, имеем: d + c>b + dnacybd.
Случай a < b и с < d сводится к предыдущему
заменой этих неравенств на b у а и d > с. Теорема доказана.
22

Теорема 4,9. Из всех натуральных чисел единица
является наименьшим числом, т. е. 1 < а для любого
натурального числа а.
Доказательство. Если а Ф 1, то, по теореме
1,3, а = Ь' = b + 1 > 1, т. е. всегда а > 1. Теорема
доказана.
Теорема 4,10. Для любых натуральных чисел а и
Ь существует натуральное число п такое, что пЬ > а.
Доказательство. Для любого а найдется такое
п, что п > а. Для этого достаточно взять п = а + 1.
Перемножая почленно неравенства л>си^1, получим
nb > а. Что и требовалось доказать.
В геометрии эта теорема является аксиомой,
называемой аксиомой Архимеда. Она там необходима
для измерения отрезков.
Теорема 4,11. Натуральные числа п и п + 1
являются соседними числами, т. е. не существует такого числа
а, для которого выполнялись бы неравенства п < а < п + 1.
Значит, если а>/г, тоа^я + 1; если же а < п + 1, то
а < /г.
Доказательство. Если а > п, то, по
определению 4,2, а = я + k, где, по теореме 4,9, IC& 1. По
теореме 4,6, п + k^n + 19 т. е. а ^ л + 1. Неравенство
а < я + 1 исключается теоремой 4,3. Если а < п + 1,
то л + 1 > а, и , по предыдущему, п + 1 ^ а + 1. Из
последнего неравенства, по теореме 4,7, получаем п^а,
и, следовательно, а < п. Неравенство а > п исключается
теоремой 4,3. Теорема доказана полностью.
§ 5. Различные формы аксиомы полной математической
индукции и их эквивалентность
На аксиоме 4 основывается метод доказательства,
называемый методом или принципом полной
математической индукции.
Теорема 5,1 (принцип полной математической
индукции). Если некоторое утверждение А верно для числа
I и из того, что оно верно для числа п, следует, что оно
верно для следующего числа п', то утверждение А верно для
любого натурального числа а.
Доказательство. Пусть М — множество всех
тех натуральных чисел, для которых утверждение А вер-
23

но. 1 принадлежит М, так как, по условию теоремы,
утверждение А для 1 верно. Если п принадлежит М, т. е.
для числа п утверждение А верно, той п' принадлежит М9
так как из справедливости утверждения А для п следует
его справедливость для числа п' по условию теоремы. По
аксиоме 4, множество М совпадает с множеством всех
натуральных чисел N, т. е. утверждение А верно для любого
натурального числа а.
Таким образом, доказательство методом полной
математической индукции состоит из двух частей: в первой
части доказывают справедливость утверждения А для 1, во
второй части предполагают справедливость утверждения
А для п и доказывают справедливость этого утверждения
для числа п' == п + 1. Если одна из вышеуказанных
частей не доказана, то и справедливость утверждения А не
доказана.
В дальнейшем изложении метод полной математической
индукции будет применяться очень часто.
Теорема 5,2 (принцип наименьшего числа). В
каждом непустом множестве В натуральных чисел содержится
наименьшее число, т. е. такое число, которое меньше любого
другого числа из множества В.
Доказательство. Если В содержит 1, то, по
теореме 4,9, она и будет в В наименьшим числом. Если
В не содержит 1 иМ — множество всех тех натуральных
чисел, каждое из которых меньше любого числа Ъ из 5,
то М не может содержать вместе со всяким числом а и
число а'у так как в противном случае, по аксиоме 4, М
содержало бы все натуральные числа и множество В было бы
пустым. Следовательно, в М найдется такое число п, что
п' уже не будет содержаться в М. Из п < Ьу по теореме
4,11, следует п' < Ь для любого Ъ из В. Не может
выполняться п' < Ь для всех 6, так как в этом случае п'
принадлежало бы М. Значит, п' принадлежит В и является там
наименьшим, так как п' < Ь для всех Ъ из В. Теорема
доказана.
Следствие 5,3. Любое непустое множество
натуральных чисел С содержит по меньшей мере одно такое
число с, которое не следует ни за каким другим числом из С.
Например, таким свойством обладает наименьшее
число, содержащееся, согласно теореме 5,2, в С. В множестве
М = {2, 5, 7, 10} любое число не имеет в М
предшествующего числа.
24

На теореме 5,2 основана вторая форма полной
математической индукции.
Т е о р е м а 5,4 (вторая форма полной
математической индукции). Если некоторое утверждение А верно для
числа 1 и из того, что оно верно для всех чисел, меньших числа
п, следует, что оно верно и для числа п, то утверждение А
верно для любого натурального числа а.
Доказательство. Предположим, что для
утверждения А выполняется условие данной теоремы, но не
выполняется ее заключение. В таком случае множество
натуральных чисел М, для которых утверждение А
неверно, непусто. По теореме 5,2, множество М содержит
наименьшее число п > 1, для которого утверждение А
неверно, а по построению множества М для всех чисел,
меньших п, оно верно. Но тогда, по условию данной
теоремы, утверждение А верно и для числа я. Получается
противоречие, состоящее в том, что по предположению для
числа п утверждение А неверно, а по условию данной
теоремы для числа п оно верно. Следовательно, наше
предположение неверно. Теорема доказана.
Видоизменения обеих форм полной математической
индукции 5,1 и 5,4.
Теорема 5,5. Если утверждение А доказано для
некоторого числа k > 1 и из того, что оно верно для числа
п — 1 ^ k, следует, что оно верно для числа п, то
утверждение А верно для любого числа a^k (п — 1 означает
число, предшествующее числу п).
Теорема 5,6. Если утверждение А доказано для
некоторого числа k и из того, что оно верно для всех чисел т
с условием k < т < п, следует, что оно верно и для числа
п, то утверждение А верно для любого числа а с условием
a^k.
Докажем только теорему 5,6 , так как
доказательство теоремы 5,5 по существу такое же.
Пусть М — множество всех тех, и только тех,
натуральных чисел a^k, для которых утверждение А неверно.
Если множество М непусто, то, по теореме 5,2, оно
содержит наименьшее число п, для которого утверждение А
неверно, тогда как для всех чисел т с условием k < т <
< п это утверждение верно. Но в таком случае, по условию
данной теоремы, утверждение А верно и для числа п.
Полученное противоречие показывает, что множество М
пусто. Теорема доказана.
25

Метод полной математической индукции применяется
в самых разнообразных разделах математики. При этом,
кроме указанных выше форм, применяются и другие.
По этому вопросу много интересных примеров содержится
в выпусках «Популярные лекции по математике»:
И. С. Соминский, Метод математической индукции,
вып. 3; Л. И. Г о л о в и н а и И, М. Я г л о м,
Индукция в геометрии, вып. 21.
Определение 5,7. Две системы аксиом А и В
называются эквивалентными, если все аксиомы
системы В являются следствиями системы аксиом Л, т. е.
любое предложение системы В может быть доказано с
помощью аксиом системы Л, и, обратно, все аксиомы системы
А являются следствиями системы аксиом В.
Пусть А — система аксиом Пеано (§ 1), аксиомы
которой обозначим соответственно через av а2, а3, а4.
Запишем это короче: А = [аг, а2, а3, а4}.
Систему аксиом В получим заменой аксиом а3 и а4 в
системе соответственно следующими предложениями |$3 и 04:
рз) Аксиома 3'. Любое натуральное число а Ф 1 следует
за одним, и только за одним, натуральным числом, т. е.
для всякого числа а Ф 1 существует одно, и только одно,
число Ь такое, что b' = а.
р4) Аксиома 4' (см. следствие 5,3). Любое непустое
множество натуральных чисел С содержит по меньшей мере одно
число с такое, которое не следует ни за каким другим числом
из С.
Таким образом, В = {ах, а2, Р3, р4}.
Теорема 5,8. Система аксиом А = {ах, а2, а3,
а4} эквивалентна системе аксиом В = {ах, а2, рз, р4).
Доказательство. То, что из системы аксиом
А следует справедливость предложений системы В, уже
доказано, так как первые два предложения в этих системах
совпадают, предложение |J3 совпадает с теоремой 1,3, а
предложение р4 совпадает со следствием 5,3.
Для доказательства обратного утверждения
достаточно доказать предложение а4, так как а2 и а2 в обеих
системах совпадают, а предложение а3 непосредственно следует
из аксиомы р3.
Пусть множество М натуральных чисел содержит 1 и
вместе с каждым числом а содержит и его последующее
26

число а\ но не совпадает со всем множеством натуральных
чисел N. Тогда множество С тех натуральных чисел с,
которые не содержатся в М, непусто. По аксиоме р4, в С
имеется число с = п' такое, что п уже не принадлежит С,
следовательно, п принадлежит М. Но если п принадлежит
М, то по свойствам множества М и п' должно принадле-
жать М, а не С. Тем самым наше предположение о том,
что множество С непусто, приводит к противоречию: но
если множество С пусто, то М совпадает с множеством
всех натуральных чисел. Теорема доказана полностью.
Из этой теоремы следует, что одна система аксиом может
заменяться частично или полностью другой системой
аксиом. Из системы аксиом В следуют те же самые
результаты, которые получены нами из системы аксиом Пеано.
Отсюда же следует, что система аксиом данной теории не
является неизменной, раз навсегда данной. Уже поэтому
аксиомы нельзя рассматривать как истины, не
нуждающиеся в доказательствах, так как можно всегда выбрать
другую систему аксиом, для которой аксиомы первой
системы будут теоремами.
Выбранная система аксиом данной теории должна
обладать по возможности простотой и ясностью
формулировок и простотой выводов из нее следствий.
Определение 5,9. Два предложения at и fy
называются эквивалентными относительно системы аксиом
{аь а2, ••• > a/_i, ai+\> •■• * ап Ь если сами они не сле"
дуют из этой системы, но из (av а2, ..., at_{ ,<^aw, ... ,
ап) следует р,, а из {av <ха, ... a^p, , a£+1/ ... , ая }
следует at.
Следствие 5,10. Четвертая аксиома Пеано
(аксиома индукции) эквивалентна предложению 5,3
относительно системы аксиом {av a2, р3}.
Утверждение следует из эквивалентности систем А' =
= iav a2> Рз» a4> и В = {а2, а2, р3, р4} (теорема 5,8).
Обычно считают, что принцип наименьшего числа
(теорема 5,2) эквивалентен 4-й аксиоме Пеано. Однако при этом
не всегда указывают:
1) как определяется понятие «меньше»,
2) относительно какой системы аксиом эти
предложения эквивалентны.
Установленное в определении 4,2 понятие «меньше»
существенно опирается на сложение натуральных чисел,
27

которое само опирается на 4-ю аксиому Пеано. В таком
случае доказательство эквивалентности вышеуказанных
предложений содержит «порочный круг», т. е.
доказательство 4-й аксиомы Пеано опирается на предложение, которое
само определяется с помощью 4-й аксиомы Пеано. Кроме
того, если взять три первые аксиомы Пеано, то
относительно этих аксиом 4-я аксиома и принцип наименьшего числа
не будут эквивалентными, так как при доказательстве
эквивалентности придется опираться на теорему 1,3,
доказанную опять же с помощью 4-й аксиомы.
Если установить понятие «меньше», назависимое от
4-й аксиомы, то принцип наименьшего числа будет
эквивалентен 4-й аксиоме относительно системы аксиом [av
<*а, Рз}-
§ 6, Индуктивное определение (построение)
последовательности
Определение 6,1. Множество всех
натуральных чисел т, не превосходящих некоторое натуральное
число п (т < п), называется начальным
отрезком натурального ряда и
обозначается через |1, п\.
Определение 6,2. Если по какому-нибудь
правилу (закону) каждому натуральному числу п поставим
в соответствие некоторый вполне определенный элемент
аю принадлежащий данному множеству Л, то получим
последовательность
av а2,..., ат... (1)
элементов множества Л. Элементы, входящие в
последовательность, называются ее членами, а элемент ап
называется общим членом этой последовательности.
Последовательность (1) обозначается короче через
\ап). (Множество Л может состоять из элементов любой
природы.)
Если последовательность задана только на множестве
натуральных чисел, принадлежащих отрезку |1, п|, то
она называется конечной последовательностью.
Конечная последовательность [ап] принципиально может быть
задана выписыванием всех ее членов, чего нельзя сделать
для последовательности бесконечной, т. е. после-
28

довательности, заданной на множестве всех натуральных
чисел.
Существуют различные способы задания
последовательностей. Рассмотрим один из таких способов, называемый
индуктивным определением (построением)
последовательности. Этот способ необходим для дальнейшего
изложения.
Пусть заданы или уже вычислены члены
последовательности
#1> #2» •••> #л-
Определение 6,3. Соотношения между всеми
или некоторыми из указанных выше членов
последовательности, которые позволяют вычислить следующий член
я„+1 этой последовательности, называются
рекуррентными определяющими
соотношениями.
Само название «рекуррентное» происходит от
латинского слова recurrens — возвращающийся. Для
вычисления какого-либо члена последовательности необходимо
прежде вычислить все или несколько предшествующих
ему членов этой последовательности.
Примеры: 1. Арифметическая прогрессия определяется
заданием ее первого члена ах = а, разности d и рекуррентным
определяющим соотношением ап , l =*an + d.
2. Если при сложении натуральных чисел а + Ь = хь первое
слагаемое а выбрано, то получим последовательность натуральных чисел
xlt х2, ..» , хп, ,,, , которая определяется рекуррентными
определяющими соотношениями. хх = а + 1 и хп+х = хп -f 1.
3. Последовательность чисел Фибоначчи определяется заданием
двух ее первых членов а± = а2 = 1 и рекуррентным соотношением
ап+2 ^ ап+\ + ап •
Вычисляя члены этой последовательности, получим:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377
Теорема 6,4. При заданных рекуррентных
определяющих соотношениях, которые однозначно определяют
член последовательности ап, как только все члены ат при
т < л заданы и сами удовлетворяют заданным
соотношениям, существует одна, и только одна, такая
последовательность \ап), члены которой удовлетворяют заданным
рекуррентным соотношениям.
29

Задание последовательности при помощи
рекуррентных определяющих соотношений называется
индуктивным определением (построением) этой
последовательности .
Доказательство. Прежде всего докажем, что
на каждом отрезке |1, п\ существует одна, и только одна,
такая последовательность
аъ а2, ... , ап.
Доказываем методом полной математической индукции
по числу п.
Для отрезка |1, 1| утверждение верно, так как
последовательность в этом случае состоит только из одного
члена av который, как не имеющий предшествующих членов,
должен быть задан непосредственно. Пусть утверждение
верно для всех отрезков |1, mj, где т < п, тогда оно будет
верным и для отрезка |1, я|, так как последовательность
fll, °2 ап-\> аа
получается из последовательности
аь <h> • • • . V-i
путем присоединения к последней члена ап> который, по
условию теоремы, определяется однозначно через
предшествующие члены с помощью данных рекуррентных
определяющих соотношений. Этим доказано, что для каждого
отрезка |1, п\ существует одна, и только одна,
последовательность
аь а2, ••• » ап>
члены которой удовлетворяют данным рекуррентным
определяющим соотношениям.
Последняя последовательность определена на отрезке
|1, п\ и тем самым определена на каждом отрезке )1, m\t
где т < п\ но там все ее члены также удовлетворяют
заданным определяющим соотношениям и потому совпадают
с соответственными членами последовательности, заданной
на отрезке |1, т\.
Таким образом, любые две последовательности
Ор а2,... ат>..., ап и av a2, ..., ат
совпадают на отрезке |1, т|, на котором они обе
определены при т < /г.
30

Бесконечная последовательность {ап}, удовлетворяющая .
условию теоремы, содержит в себе каждую
последовательность, заданную на отрезке |1, п\9 где п — любое
натуральное число. Любой член ak бесконечной последовательности
[ап] определяется однозначно как общий член всех
конечных последовательностей, для которых он определен.
§ 7. Сумма и произведение нескольких натуральных чисел
На теореме 6,4 основывается определение суммы и
произведения нескольких натуральных чисел.
Определение 7,1. Если дан начальный отрезок
натурального ряда [1, я[, то число п называется числом
элементов отрезка и числом элементов любого множества,
эквивалентного отрезку |1, п\. В этом смысле число п
называется количественным натуральным числом.
Натуральные числа, построенные на основе системы аксиом Пеано,
носят название порядковых натуральных
чисел.
Грубо говоря, порядковое натуральное число отвечает
на вопрос: который, а количественное число — на вопрос:
сколько.
С помощью определения 7,1 устанавливается взаимно
однозначное соответствие между множеством всех
порядковых натуральных чисел и множеством всех
количественных натуральных чисел.
Определение 7,2. Установление взаимно
однозначного соответствия между элементами какого-либо
конечного множества и элементами некоторого начального
отрезка натурального ряда |1, п\ называется счетом
элементов данного конечного множества.
Пусть даны натуральные числа av a2, ..., ал, которые
занумерованы натуральными числами от 1 до п, т. е.
установлено взаимно однозначное соответствие между
множеством данных чисел и множеством чисел отрезка [1, п\. В
таком случае будем говорить, что даны п натуральных чисел.
Определение 7,3. Суммой п натуральных чисел
#i, я2,..., ап называется л-й член последовательности {sn},
который обозначается через
п
31

сама же последовательность {sn} определяется
рекуррентными соотношениями:
1
1) 5Х = Е щ = ях.
k+\ *
2) вл+| = £ а, = Еа, +аА+1 « 5, + я,+1
для всех £ < п.
Произведением этих /г чисел называется я-й член
последовательности {/*„}, который обозначается через
п
Рп = ага2 ... an = Ilah
сама же последовательность {Рп} определяется
рекуррентными соотношениями:
1
3) Рг = П а% = аг.
4) Pk+X = П at = \Jlat J . iift+1 = ЯА . a,+1
для всех k < n.
Здесь мы имеем дело с индуктивным определением двух
последовательностей
si» 52» • • • » 5я и "ь "г» • • • » "я»
первые члены которых заданы непосредственно, а члены
Vr и Лц-i однозначно определяются по предшествующим
членам с помощью соотношений 2 и 4 по
однозначности сложения и умножения двух чисел. По теореме
6,4, при заданных числах аь а2, . .„ , ап существуют
единственные последовательности
^1» $2» ... , Sn И rlt г2, .. • > "п,
заданные на отрезке |1, я|, члены которых удовлетворяют
соответственно соотношениям 1, 2, 3, 4. Из единственности
этих последовательностей следуют единственность суммы sn
и единственность произведения Рп чисел аъ а2у ... , ап.
Таким образом, определение 7,3 однозначно
устанавливает сумму и произведение данных п натуральных чисел.
32

Законы ассоциативности сложения и умножения
натуральных чисел доказаны лишь для трех натуральных чисел
a, by с (теоремы 2,6 и 3,7), теперь докажем их
справедливость для любого числа слагаемых или сомножителей.
Теорема 7,4. Законы ассоциативности сложения и
умножения справедливы для любого числа натуральных
чисел, т. е. имеют место равенства:
т п m+л / т \ / п \ т+п
Ъ а. + Е я ,, = £ а. и П а{ . П ат ,. = Па..
Доказательство. Доказываем методом полной
математической индукции по числу п. При /г=1 имеем:
т m-j-l / т \ т+1
Е а, + а ,. = Е а, и П а. . а ,, = П а.
по определению сложения и умножения (соотношения 2
и 4 из определения 7,3). Если утверждение верно для
числа я, то для п-\-\ соответственно получаем:
m л+1 т I n \
Е а. + Е а ., = Е а. + Е а„ , , + ат ,„.. ~
(т п \ т+л т+л+1
Е а, 4- Е ат,. 1+а „,,,,,,== £ Я/ +^^«^_1 = Е а.
(£л) • (Н0--») - (,5л) • [(,?>-* )-■*-»] -
[(£"■
= ||Па. 11П^+,
(т+п .
П а..
Таким образом, теорема верна для п = 1, и из того, что
она верна для числа /г, следует, что она верна и для числа
п + 1. По теореме 5,1, теорема верна для любого
натурального числа п.
Теорема 7,5. Законы коммутативности сложения
и умножения справедливы для любого числа натуральных
2 Заказ 375 33

чисел, т. е. сумма п слагаемых и произведение п
сомножителей не зависят от порядка следования компонентов.
Доказательство. Докажем это только для
суммы, так как для произведения доказательство по существу
ничем не отличается.
Пусть п слагаемых расположены в любом другом по-
рядке
в отличие от первоначального расположения
Нам нужно доказать, что
п п
Е а, = Е а..
Доказываем индукцией по я, применяя теорему 5,4.
При п = 1 утверждение верно, так как
1 1
Е а. = я. = Е а,.
•-1 ;<? *=i '
Предполагаем, что утверждение теоремы верно для всех
чисел, меньших /г, т. е. для любого числа слагаемых,
меньшего числа п. Положим п = k + 1.
Если аЛ в этой сумме занимает первое место, т. е.
h = ^, то
« п п k
Е а. = а_ + Е а. = Е а. 4-а„ = Е а. +а... =
k+\ п
= Efl,= Еа..
n
Если art в сумме Е а. занимает m-f-l-e место, т. е.
/m+l = п, где m < k, следовательно, k = m\q и я=&-(~
+ 1 = m-}-<7 + 1. то
34

n m f q \ m
Ей. я Ее, + a 4- E a ltl = Ea,+
elX h eZi « ~ ^ я ^ ,Z\ m+1+* / * = 1 ' ^*
= Да.+a„= E at=Lat.
Наконец, если jn =* л, то
n k k k+[ n
E a. = E a. + a„ = E a, -f-a,. = Е я, = Ea.,
Таким образом, во всех случаях из нашего
предположения следует справедливость утверждения теоремы для
числа /г. По теореме 5,4, следует справедливость
утверждения теоремы для любого числа п.
Теорема 7,6. Для натуральных чисел справедливы
равенства:
Е (а. 4- Ь,) = Е а, + Е Ь, и
1-\ f-l £-1
Доказательство. Докажем это только для
произведения, так как для суммы доказательство по существу
такое же. При л=1 имеем:
Ща£ Ь, )= ахЬх =( ПаА- ( ПЬ.
Если для числа п утверждение теоремы верно, то для
п 4~ 1 имеем:
35

,5 •.)-Ч'1(.5*')*•«]-
= (.па, bin ь
I-I '
По теореме 5,1, утверждение справедливо для любого
числа л.
Определение 7,7. Если все п сомножителей равны
между собой, т. е.
аг = 02 = • • • = ап = я>
то полагаем, по определению,
ал = Па.
Число а" называется я-й степенью числа а.
Следствие 7,8. При п = 1 имеем: а1 == П а = а.
Следствие 7,9.
/ т \ /« \ m-frc
Из[Па).[Па|=П а (теорема 7,4) следует
V-1 / V-1 / '-1
ат . а* = ат+\
Из П (а&) = ( П а ) • ( П b | (теорема 7,6) следует
'-' V-1 / V'-1 /
(ab)n^anb\
Следствие 7,10. Справедливо равенство (ат)п = а'71".
Доказательство. Доказываем индукцией по m. J
При т = 1 имеем:
(а1) = а = а
Пусть при m = & равенство (а*)" = аЛ" справедливо, тогда
при m = k -j-1 получаем:
{ak+l)n = (а* • a1)" = (a*)" . (a*)" = a** a" = d*1"*- а(*+1)л .
По теореме 5,1, равенство (ат)п = атп справедливо для
любого числа т.
36

Примечание. Теоремы 7,4 — 7,6, определение 7,7 и
следствие 7,8.— 7,10 имеют место в произвольных множествах, в которых
определены алгебраические операции — сложение и умножение,
удовлетворяющие соответствующим условиям. Поэтому вместо
доказательства соответствующих утверждений для других множеств в
дальнейшем мы будем просто делать ссылку на соответствующее
доказательство, проведенное здесь.
Теорема 7,11. Для любых натуральных чисел п
а а справедливо равенство
п
па = Е а.
Доказываем методом полной математической
индукции по числу л, причем в левой части будем
применять правила умножения по § 3, а в правой части будем
применять определение и свойства суммы, установленные
в этом параграфе. При п = 1 имеем: 1 • а = а = Е а.
/=i
k
Если при п = k равенство ka = Е а справедливо, то
при п = k + 1 получаем:
k k+l п
na = (k-\-l)a = ka-\-a— Е а-\-а = Е а = Е а.
£==1 i-=l t = l
По теореме 5,1 утверждение данной теоремы верно для
любого числа /г.
Эта теорема позволяет рассматривать выражение па
как произведение натуральных чисел лиаи как сумму п
слагаемых, каждое из которых равно а. В частности,
натуральное число п можно рассматривать как сумму п
слагаемых, каждое из которых равно единице.
Теорема 7,12. (закон дистрибутивности)*. Для
любого числа слагаемых имеет место равенство:
\*-Л ) = 6(а1 + а2+ ••• +<*/*) = 6ai + to2+ ♦.. +
+ Ьап= Е фа,).
Примечание после следствия 7,10 целиком относится к 7,12
37

Доказываем методом полной математической
индукции по числу п (теорема 5,5). При п = 2, по теореме 3,5,
равенство Ь (ах -f а2) = Ьах + Ьа^ справедливо. Если при
п == k равенство
справедливо, то при п = k -j- 1 получаем:
k k-\-\
Теорема доказана для любого натурального числа п.
Следствие 7,13. Применяя теорему 7,12 к
произведению
дважды, получим обычное правило умножения суммы на
сумму:
(п \ / т \ т п п т
Е а, |. ( Е &, 1 = Е Е а, &, == Е Е а, 6,.
§ 8. Вычитание и деление натуральных чисел
Определение 8,1. Разностью двух чисел
а и Ь называется натуральное число х = а— &,
удовлетворяющее равенству (уравнению)
b + х = а.
Действие, с помощью которого находится разность
чисел а и Ь, называется вычитание м. Число а
называется уменьшаемым, а число Ъ —
вычитаемым.
Таким образом, вычитание есть действие, обратное
сложению.
38

Теорема 8,2. Разность двух чисел а — Ь существует
тогда, и только тогда, когда а > Ь. Если разность а —* &
существует, то она единственна.
Доказательство. Если а — Ь — k, то а =
= Ь + k, т. е. а у Ь. Если а —- Ъ = /, то а = 6 + /.
Из 6 + £ = & + / следует Л = / (единственность
разности).
Определение 8,3. Частным двух чисел а и Ь
называется натуральное число х =—, удовлетворяющее ра-
венству (уравнению)
Ъх = а.
Число а называется делимым, а число 6 —
делителем. Действие, с помощью которого находится
частное чисел а и Ь, называется делением.
Таким образом, деление есть действие, обратное
умножению.
Теорема 8,4. Для того чтобы существовало
частное двух чисел, необходимо (но недостаточно), чтобы было
а^ Ь. Если частное — существует, то оно единственно,
ь
Доказательство. Из л: !> 1 следует Ьх !> Ь.
Если Ьх = а, то а > Ь. Пусть уравнение Ьх ~ а имеет
два решения л^ и *2. Тогда из
&*! = а = ft#2,
по теореме 4,5, получаем я, = *2, что доказывает
единственность частного.
Из теорем 8,2 и 8,4 следует, что вычитание и деление в
множестве всех натуральных чисел не являются
алгебраическими операциями, так как эти действия не всегда
выполнимы.
Свойства делимости натуральных чисел изучаются в
разделе математики, называемом теорией
делимости.
§ 9. Возможность построения элементарной арифметики
на основе аксиом Пеано
В школе изучение математики начинается с введения
понятия натурального числа, сначала в пределах первого
десятка, затем в пределах первой сотни, потом в пределах
39

первой тысячи и после этого уже переходят к изучению лю- 1
бых натуральных чисел. Одновременно изучаются правила 1
счета, правила записи любого натурального числа (пись- I
менная нумерация), арифметические действия и основные 1
законы этих действий над натуральными числами. Форми- 1
рование понятия натурального числа по сути дела повто- 1
ряет в сокращенном виде многовековой ход исторического I
развития этого понятия. На конкретных примерах конеч- 1
ных множеств показывается, как в процессе счета возни- щ
кают натуральные числа I
1, 2, 3, 4, 5, ..., I
составляющие ряд натуральных чисел. Постепенно созда- 1
ется представление, что ряд натуральных чисел продол- 1
жается неограниченно. 1
Понятие о сложении натуральных чисел вводится, ис- 1
ходя из объединения опять же конкретных множеств пред- I
метов. Умножение натуральных чисел рассматривается 1
как частный случай сложения, когда все слагаемые равны 1
друг другу. 1
Основные законы сложения и умножения натуральных I
чисел: I
1. Сложение натуральных чисел подчиняется пере- 1
местительному закону, т. е. для любых двух . I
натуральных чисел справедливо равенство я
щ
а + Ь = Ъ + а. 1
2. Сложение натуральных чисел подчиняется с о ч е- 1
тательному закону, т. е. для любых трех на- 'I
туральных чисел справедливо равенство я
(а + Ь) + с - а + (Ь + с). 1
3. Умножение натуральных чисел подчиняется пере- 1
местительному закону, т. е. для любых 1
двух натуральных чисел справедливо равенство 1
ab = Ьа. I
4. Умножение натуральных чисел подчиняется с о ч е- ^|
тательному закону, т. е. для любых трех на- I
туральных чисел справедливо равенство 1
(ab)c = а(Ьс), I
40 1

5. Сложение и умножение натуральных чисел связаны
между собой распределительным законом,
т. е. для любых натуральных чисел справедливо равенство
а(Ь + с) = аЬ + ас.
Доказательства этих законов в школе не проводятся,
а лишь подтверждается рядом конкретных числовых
примеров справедливость этих законов. Далее сообщается,
что эти законы справедливы для любого конечного числа
слагаемых и сомножителей.
Обоснования перечисленных выше пяти основных
законов проведены в § 2, 3, 6 и 7. Правда, эти обоснования
проведены для множества порядковых натуральных чисел,
но ввиду изоморфизма множества порядковых и множества
количественных натуральных чисел (теорема 10,6) эти
законы справедливы и в множестве количественных
натуральных чисел. В частности, теорема 7,11 позволяет
рассматривать произведение па как сумму п слагаемых, равных
а, и как произведение натуральных чисел п и а в смысле
определения 3,1.
В § 7 индуктивно определяется сумма и произведение п
натуральных чисел av a2l ..., аа и там же
обосновывается справедливость всех пяти основных законов для любого
конечного числа слагаемых и сомножителей. Это
достигается с помощью метода полной математической
индукции.
Для дальнейшего построения арифметики натуральных
чисел необходимо ввести число нуль (0) и присоединить
его к ряду натуральных чисел, поставив 0 на первое место,
т. е. 0, 1, 2, 3
Далее, по определению, полагаем:
1. а + 0 = а для любого а, включая 0.
2. а . 0 = 0 для любого а, включая 0.
3. Если а • Ь = 0, то хотя бы один из сомножителей
равен нулю. Это не единственный способ введения нуля,
например, нуль можно было бы ввести в систему аксиом Пеано,
которая выглядела бы так:
Аксиома 1. Существует натуральное число 0
(нуль), которое не следует ни за каким натуральным
числом, т. е. а' Ф 0 для любого натурального числа а.
Аксиомы 2 и 3 формулируются точно так же, как в § 1.
41

Аксиома 4 (аксиома индукции). Каждое множество
натуральных чисел Му которое содержит число 0 и
которое вместе с каждым содержащимся в нем числом а
содержит и его последующее число а', совпадает со всем
множеством натуральных чисел N, т. е. М = N.
То, что здесь вместо 1 на первое место ставится 0,
существенного значения не имеет. При замене 1 на нуль все
теоремы § 1 остаются в силе. Кстати, в формулировку аксиом,
опубликованных самим Пеано, входил нуль, а не единица*.
В связи с таким изменением формулировок аксиом Пеано
свойства, определяющие сложение и умножение
натуральных чисел, принимают вид:
Для сложения:
1) а + О = а для любого натурального числа а.
2) а + Ь' = (а + b)f для любых натуральных чисел
а и Ь.
Для умножения:
1) а • 0 = 0 для любого натурального числа а.
2) а • Ъ' = ab+a для любых натуральных чисел а и &.
Сохраним для множества
' 1, 2, 3, 4, ...
название «множество натуральных чисел», а для
множества
О, 1, 2, 3, 4,...
введем название «множество ц е ji ы х
неотрицательных чисел». В элементарной арифметике
доказывается теорема о делении целого неотрицательного числа а
на натуральное число Ъ с остатком, т. е. теорема: каковы бы
ни были неотрицательное число а и натуральное число 6,
всегда существует единственная пара целых
неотрицательных чисел q и г такая, что выполняется равенство.
а = bq + г, где 0 < г < Ь.
Примечание: Нуль считается меньше любого натурального
числа.
* И. В. Арнольд, Теория чисел, Учпедгиз, 1939, стр. 17,
42

На основании теоремы о делении с остатком
доказывается теорема о возможности представления любого
натурального числа в системе счисления с любым основанием
(систематические числа).
Пять основных законов сложения и умножения
натуральных чисел, распространенных на любое конечное число
слагаемых и сомножителей, позволяют обосновать правила
сложения и умножения любых многозначных
систематических чисел. Например, после установления правил
умножения многозначного числа, написанного в
десятичной системе счисления, на однозначное число и число,
обозначенное какой-либо цифрой* и нулями, можно обосновать,
как это показано ниже на конкретном примере:
345 . 263 - 345 . (200 + 60 + 3) = 345 . (3 + 60 + 200)=
= 345 . 3 + 345 . 60 + 345 . 200 = 1035 + 20700 +
-г 69000 = 90735, что приводит к известному правилу
умножения:
345
х263
1035
,2070
~г~690
90735
Уже из этого примера видно значение основных законов
сложения и умножения и принципа полной математической
индукции в элементарной арифметике.
Из вышеизложенного следует возможность построения
элементарной арифметики на основе аксиом Пеано (см.
например, И. С. С о м и н с к и й, Курс лекций по
арифметике рациональных чисел, Учпедгиз, 1959).
§ 10. Основные требования, предъявляемые
к системе аксиом
Во введении было уже указано, что смысл основных
понятий данной аксиоматической теории можно истолковать
на некоторых конкретных множествах. Это можно
сделать следующим образом:
1. Выбирается некоторое заранее известное или
специально построенное из известных элементов множество
* Цифра— один из знаков 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
43

M, элементы которого будут выполнять роль основных
объектов данной аксиоматической теории.
2. Между элементами множества М устанавливаются
отношения, указанные в этой системе аксиом. В частности,
если в системе аксиом говорится об алгебраических
операциях, то эти операции надо установить и в множестве М.
3. После выполнения требований 1 и 2 аксиомы данной
теории становятся теоремами, выполнение которых в
множестве М надо проверить (доказать).
Если все вышеуказанное выполнено, то множество М
называется интерпретацией ^истолкованием,
реализацией, моделью) данной аксиоматической теории
или данной системы аксиом.
Определение 10,1. Интерпретацией
данной аксиоматической теории называется любое
непустое множество М, для элементов которого установлены
основные отношения (в частности, алгебраические
операции), удовлетворяющие тем требованиям, которые
высказаны в аксиомах этой теории.
Таким образом, для отыскания интерпретации
аксиоматической теории необходимо иметь в своем
распоряжении известные множества, среди которых можно найти
интерпретацию или из элементов которых ее можно построить.
Например, во введении говорилось о множестве всех
векторов на плоскости, в котором выполняются все аксиомы,
определяющие коммутативную группу по сложению (см.
§11). Следовательно, это множество векторов является
одной из возможных интерпретаций коммутативной
группы по сложению.
Во всяком случае, интерпретация системы аксиом
отыскивается вне рассматриваемой теории.
В системе аксиом может идти речь сразу о нескольких
множествах основных объектов, тогда и интерпретация
будет состоять из нескольких множеств. Так, например, в
системе аксиом геометрии речь идет о трех множествах,
элементами которых соответственно являются точки,
прямые и плоскости. Интерпретацию системы аксиом
геометрии можно построить (как это делается в основаниях
геометрии) из элементов множества всех действительных чисел
Ь, считая множество D с его свойствами известным.
Для построения интерпретации системы аксиом Пеано
необходимо иметь в своем распоряжении некоторое
бесконечное множество, элементы которого можно было бы
44

назвать натуральными числами и один из
них — единицей, затем надо установить отношение
следует за. После этого надо проверить
выполнение всех аксиом Пеано в указанном множестве. Здесь мы
не можем воспользоваться ни одним числовым множеством,
так как они еще не построены. Можно было бы
воспользоваться общей теорией множеств, но там возникает много
сложных вопросов, обсуждение которых выходит за
пределы этого курса. В дальнейшем изложении в качестве
исходного множества для построения различных
интерпретаций будем считать известным множество всех натуральных
чисел ^.Существованиеже этого множества, в котором
выполняются все аксиомы Пеано, будем считать доказанным
всем историческим опытом развития математики и ее
применений в науке и технике.
Интерпретация данной аксиоматической теории
позволяет прилагать эту теорию к изучению конкретных
множеств. Делая логические выводы из системы аксиом, мы
будем получать утверждения, справедливые для любого
множества, являющегося интерпретацией этой теории. В
этом состоит общность теории и границы ее применений.
Первое требование, предъявляемое ко
всякой системе аксиом, состоит в том, что эта система должна
быть непротиворечивой, т. е. мы должны быть
уверены, что, делая всевозможные выводы из данной
системы аксиом, никогда не придем к противоречию.
Например, если из какой-либо системы аксиом
геометрии следует, что сумма внутренних углов всякого
треугольника равна 180° и из этой же системы аксиом может быть
получено утверждение, что существует треугольник с
суммой внутренних углов, меньшей 180°, то такая система
аксиом противоречива. Противоречивая система аксиом
не может быть основой теории, так как для такой системы
не найдется ни одной интерпретации, т. е. эта теория не
может иметь никаких приложений.
Непротиворечивость системы аксиом может быть
доказана построением какой-нибудь интерпретации этой
системы. Однако этим вопрос о непротиворечивости системы
аксиом полностью не решается, а только переносится в
другую область, выходящую за пределы исследуемой
теории. Тогда возникает тот же вопрос о непротиворечивости
в этой другой области и т. д. Например, вопрос о
непротиворечивости геометрии Лобачевского может быть решен
45

так: если непротиворечива теория арифметики, то
непротиворечива геометрия Евклида, а из непротиворечивости
геометрии Евклида следует непротиворечивость геометрии
Лобачевского. Таким образом, обычно вопрос о
непротиворечивости данной системы аксиом сводится к вопросу о
непротиворечивости арифметики. Не входя в более
подробное обсуждение этого сложного вопроса, здесь мы
также сошлемся на весь исторический опыт развития
математики и ее приложений в практике. Никогда никто не
встречал в своей практике фактов, которые бы противоречили
выводам, полученным в арифметике, следовательно,
система аксиом Пеано непротиворечива.
Второе требование, предъявляемое к
системе аксиом, состоит в том, что эта система должна быть н е-
з а в и с и м о й, т. е. никакое предложение (или его часть),
находящееся в списке аксиом этой системы, не должно быть
следствием остальных аксиом этой же системы.
Для того чтобы из любой системы аксиом получить
независимую систему, необходимо и достаточно исключить
из этой системы все требования, которые могут быть
доказаны, опираясь на систему оставшихся после этого
исключения требований. Если система независима, то она
не допускает исключения ни одного требования без
изменения объема следствий, получаемых из этой системы.
Другими словами, при исключении из зависимой системы
аксиом лишних требований получается система,
эквивалентная первоначальной системе; если же исключить какое-
нибудь требование из независимой системы аксиом, то
обязательно получится система, не эквивалентная
первоначальной системе.
Для доказательства независимости какой-либо аксиомы
от остальных аксиом системы достаточно найти
интерпретацию, в которой выполняются все аксиомы системы,
кроме исследуемой, причем исследуемая аксиома в найденной
интерпретации не должна выполняться. Для
доказательства независимости всей системы аксиом надо доказать
независимость каждой аксиомы от остальных аксиом,
следовательно, придется отыскивать столько интерпретаций,
сколько аксиом содержится в данной системе.
Кроме указанной выше независимости системы аксиом,
иногда приходится рассматривать порядковую
независимость этой системы, т. е. рассматривать независимость
данной аксиомы не от всех остальных аксиом системы, а толь-
46

ко от предшествующих аксиом системы, т. е. аксиом,
перечисленных ранее исследуемой аксиомы.
Многовековые попытки доказательства 5-го постулата
Евклида послужили одной из главных причин создания и
исследования различных систем аксиом (подробнее об этом
можно прочитать в книге: Н. И. Лобачевский,
Полное собрание сочинений, ГИТТЛ, 1946, т. 1, стр. 31—71).
Иногда, прежде чем доказывать независимость какой-
либо аксиомы от остальных аксиом, приходится
перестраивать данную систему аксиом в эквивалентную ей систему,
так как при изъятии одной аксиомы из системы некоторые
из оставшихся аксиом могут потерять смысл. Например,
при изъятии из системы аксиом Пеано первой аксиомы
аксиома индукции становится бессодержательной, так как
множеств М> содержащих единицу, вообще может и не
быть.
Аксиоматическая теория может быть построена и на
основе зависимой системы аксиом. Иногда это делается
сознательно в целях большей простоты выводов из этой
системы. Последнее обычно делается при начальном изучении
аксиоматической теории. Например, в предисловии к
курсу элементарной геометрии Д. И. Перепелкина (Гостехиздат,
1948, стр. 7) говорится: «Система аксиом, которой мы
пользуемся, является заведомо избыточной. При
выборе самих аксиом мы, с одной стороны, держались ближе к
аксиоматике Гильберта; с другой стороны, мы принимали
по возможности за аксиомы такие предложения, которые
являются «скрытыми аксиомами» в обычном школьном
изложении и которые доказываются как теоремы в курсах
оснований геометрии».
Зависимая система аксиом облегчает изложение теории,
но затрудняет, например, отыскание интерпретаций этой
теории, так как эта система содержит больше требований,
которые надо проверять. Независимость системы аксиом
тесно связана с непротиворечивостью этой системы.
Например, доказательство непротиворечивости геометрии
Лобачевского одновременно решает вопрос о независимости
5-го постулата Евклида от остальных аксиом. Это
получается следующим образом: если бы 5-й постулат был
зависим от остальных аксиом геометрии, то, исключая его из
этой системы аксиом, мы бы сохранили его в геометрии, ко
уже в качестве теоремы; тогда геометрия Лобачевского
обязательно была бы противоречивой, так как она содержала
47

бы два противоречивых предложения: 5-й постулат в
качестве теоремы и аксиому Лобачевского, которые
противоречат друг другу (см. курсы оснований
геометрии).
Рассмотрим одно из возможных доказательств
независимости системы аксиом Пеано. Для доказательства
независимости первой аксиомы от остальных аксиом первые три
аксиомы сохраним в прежней формулировке (§ 1), а
аксиому индукции сформулируем в следующем виде:
Аксиома 4*. Каждое непустое множество
натуральных чисел М совпадает с множеством натуральных чисел
N, если оно обладает следующими двумя свойствами:
а) если существует число 1, не следующее ни за каким
другим числом, то 1 принадлежит М,
б) если число п принадлежит М, то и следующее число
п' принадлежит М.
Эквивалентность систем аксиом {1, 2, 3,4,} и {1, 2, 3,4*}
очевидна, так как при наличии первой аксиомы в обеих
системах формулировки аксиом 4 и 4* по существу
совпадают, а остальные аксиомы в обеих системах одни и те же.
А. Аксиома 1 независима от
аксиом 2, 3, 4*.
Доказательство. Пусть
множество N состоит только из
трех элементов а, 6, с, которые
назовем «натуральными числами».
Основное отношение «следует за»
определим, как это указано,
стрелкой, т. е. а -* b означает, что Ь
следует за а. Расположим эти «чис-
Черт. 2. ла» в порядке их следования, как
показано на чертеже 2.
В этой интерпретации первая аксиома Пеано не
выполняется, так как нет «числа», которое не следовало бы ни за
каким другим «числом». Аксиомы же 2, 3 и 4*
выполняются. Например, проверим выполнение аксиомы 4*? По
условию, М — непустое множество «натуральных чисел»,
значит, оно содержит хотя бы одно «число» из N\ но тогда, по
свойству б), М содержит и все остальные «числа» из N.
Утверждение доказано.
Доказательства независимости остальных аксиом
проведем для системы аксиом {1, 2, 3, 4j.
Г
4§

\
Б. Аксиома 2 не зависит от остальных аксиом.
Доказательство. Пусть N — множество,
состоящее только из трех элементов 1, а, Ь, которые назовем
«натуральными числами». Расположим эти «числа» в
порядке их следования
1 -> а -* Ь.
Черт. 3.
В этом множестве N выполняются аксиомы 1,3 и 4, но не
выполняется вторая аксиома, так как для элемента b в N
нет следующего элемента.
В. Аксиома 3 не зависит от остальных аксиом.
Доказательство. Пусть множество N
состоит только из пяти элементов: 1, а, 6, с, d. Расположим эти
«числа», как показано на чертеже 3.
В этой интерпретации выполняются аксиомы 1, 2, 4, но
не выполняется третья аксиома, так как элемент b следует
за двумя элементами and.
Г. Аксиома 4 не зависит от остальных аксиом.
Пусть множество «натуральных чисел» N состоит из
двух непересекающихся подмножеств М и Р, которые с их
отношениями следования показаны на чертеже 4.
В этой интерпретации выполняются аксиомы 1, 2, 3,
но не выполняется 4-я аксиома, так как множество
«натуральных чисел» М содержит 1 и вместе с каждым
содержащимся в нем «числом» п содержит следующее «число» п',
но не содержит элементов из множества Р, т. е. М не
совпадает с множеством всех «натуральных чисел» N.
j
49

Из пункта Г следует, что принцип полной
математической индукции не может быть доказан без использования
4-й аксиомы Пеано или предложения, ей эквивалентного.
Третье требование, предъявляемое к
системе аксиом, состоит в том, что эта система должна быть
полной.
Существует несколько определений полноты системы
аксиом. Сейчас мы рассмотрим одно из часто,,принимаемых
* b
и -
Черт. 4*
определений полноты системы аксиом, основанное на
понятии и з о м о р фи з м а интерпретаций данной системы
аксиом. Так как каждая интерпретация системы аксиом
представляет собой некоторое непустое множество Mt то
изложение мы начнем с определения изоморфизма
двух множеств М и М, в каждом из которых определены
некоторые соотношения между их элементами.
Этими соотношениями могут быть отношения: Ь следует за
а, а > Ь и другие; соотношения могут определяться
алгебраическими операциями: а + Ъ = с, ab = d и т. д.
Во всяком случае, каждый раз, говоря об изоморфизме двух
или нескольких множеств, мы будем называть
соответствующие соотношения.
Пусть даны два множества М и М , в каждом из
которых определены некоторые соотношения между их
элементами.
N=(
Р = {
50

Определение 10,2. Два множества М и М
называются изоморфными относительно
определенных в них соотношений между их элементами, если между
элементами множеств М и М можно установить такое
взаимно однозначное соответствие, при котором сохраняются
все рассматриваемые соотношения между
соответственными элементами в обоих указанных множествах, т. е.
если между некоторыми элементами множества М
существует какое-либо из указанных соотношений, то между
соответственными им элементами множества М должно быть
то же самое соотношение, и обратно.
Само же взаимно однозначное соответствие между
элементами множеств М и М, сохраняющее определенные в
этих множествах соотношения, называется
изоморфизмом.
Изоморфизм множеств М и М будем обозначать через
М е* М . Если элементы множества М обозначим буквами
а, Ь, с, ... , то соответственные им при изоморфизме
М <=^М элементы множества М будем обозначать буквами
ауЬ, с Если установлен изоморфизм М^М , то
говорят также, что множество М изоморфно отображено на
множество М\ при этом элемент а называется образом
элемента а, а элемент а — прообразом элемента а.
Можно говорить об изоморфизме двух множеств
относительно одного какого-нибудь соотношения или говорить
об изоморфизме относительно нескольких соотношений
между элементами, но каждый раз, говоря об изоморфизме
множеств М и М, следует иметь в виду те, и только те,
соотношения, относительно которых М « М. Например,
если в М и М определены отношение «больше» и
алгебраическая операция «сложение», то эти множества будут
изоморфны относительно указанных отношения и
алгебраической операции, если между элементами этих множеств
можно установить такое взаимно однозначное соответствие,
при котором из а > & и a-j-6 = c всегда будут следовать
верные соотношения а>6 иа-f &=с; и обратно, из
a>J иа-(-6= г всегда получим верные соотношения
a > Ь и а + & = <\ Впрочем, для доказательства М <=^М
относительно какой-либо алгебраической операции aeb ==с
достаточно доказать возможность установления взаимно
51

однозначного соответствия между элементами__М_ и Му
при котором из aeb = с всегда будет^следовать а г Ь = с ,
так как если бы при этом из агЬ = с следовало бы
агЬ = dt где d Ф с, то, по условию, имели бы ае Ь — с и
ЪгЪ = й% что противоречит однозначности алгебраической
операции (при взаимно однозначном отображении образы
различных элементов всегда различны, т. е. из d Ф с
всегда следует d Ф с).
Следствие 10,3. Отношение изоморфизма множеств
обладает свойствами рефлексивности, симметрии и
транзитивности, т. е.
1) всегда М^ М,
2) если М^РУ то Р ^М,
3) если М^Р и Р ^ Q, то М ^ Q.
Все эти свойства легко доказываются согласно
определению изоморфизма 10,2.
Определение 10,4. Две интерпретации М и М
данной системы аксиом (данной аксиоматической теории)
называются изоморфными, если они изоморфны
относительно всех соотношений, указанных в этой
системе аксиом.
Примеры:
1. В системе аксиом, определяющих коммутативное
кольцо (см. 14,2), говорится о двух соотношениях,
определяемых двумя алгебраическими операциями. Поэтому две
интерпретации коммутативного кольца будут изоморфными,
если они изоморфны относительно этих двух операций.
2. В системе аксиом Пеано говорится только об одном
соотношении «Ь следует за а». Поэтому две интерпретации
системы аксиом Пеано будут изоморфными, если они
изоморфны относительно одного этого соотношения.
Определение 10,5. Система аксиом
называется полной, если любые две ее интерпретации М и М
изоморфны.
Согласно этому определению, часть системы аксиом
Пеано, состоящая из аксиом 1,2 и 4, не будет полной, так
как можно построить две интерпретации, которые не будут
изоморфными. Например, в интерпретации, принятой при
доказательстве независимости третьей аксиомы от осталь-
52

ных аксиом (пункт 6), можно увеличить или уменьшить
число элементов, и тогда между элементами таких
интерпретаций уже нельзя будет установить взаимно однозначного
соответствия.
Для того чтобы доказать теорему о полноте системы
аксиом Пеано, необходимо иметь в своем распоряжении хотя
бы одну из интерпретаций этой системы. Как уже
упоминалось ранее, согласно всему историческому опыту
развития математики и ее применений в практике, такая
интерпретация существует. Принимая во внимание это
утверждение, докажем следующую теорему.
Теорема 10,6. . Система аксиом Пеано является
полной.
Доказательство. Пусть даны две
интерпретации системы аксиом Пеано N и N. Каждая из этих
интерпретаций содержит «единицу», которая не следует ни за
каким элементом того же множества* (аксиома 1). Эти единицы
обозначим соответственно через е и е.
Установим теперь соответствие между элементами
множеств N к N по следующему правилу:
1) е ~*е.
2) Если а -+ а, то полагаем, по определению, аг-*а! = я'.
При таком соответствии каждый элемент из N будет
иметь один, и только один, образ в N , так как е имеет
один, и только один, образ е, если элемент а имеет один,
и только один, образ а, то и а' имеет один, и только
один, образ а' ~а' . По теореме 5,1, утверждение
справедливо для любого а из N.
Обратно, если Ь ф 1, то, по теореме 1,3, Ь имеет в N
предшествующее число а, т. е. Ь = а'. Тогда
Ь = а' -> а' = а' ф е>
т. е. элемент £ имеет в N один, и только один, прообраз
е. Пусть с из N имеет в N один, и только один,
прообраз с, тогда из с-» с следует сг -> сг = с\ т. е. с' имеет в N
по меньшей мере один прообраз с'. Если п — любой
прообраз элемента с', то п Ф е, т. е. п = т'. Тогда из
1' = ~с = я = т' = т\
БЗ

по аксиоме 3, получаем т = а. Так как с — единственный
элемент, отображающийся в с , то с = /п, а по аксиоме 2,
получаем, что с' = т' = п, т. е. с' — единственный
прообраз элемента с'. По теореме 5,1, любой элемент из N
имеет один, и только один, прообраз в N.
Этим доказано, что установленное соответствие между
элементами множеств N и N является взаимно
однозначным. Остается еще показать, что при этом соответствии
сохраняется отношение «следует за».
Если Ь следует за а, т. е. если Ь = а', то это же
верно и для их образов, так как из Ь = а! следует
Ъ = а' = а\ Обратно, из Ь = а! следует Ь = а'. Теорема
доказана*
Следствие 10,7. При установленном в теореме 10,6
взаимно однозначном соответствии сохраняются сложение,
умножение и порядок, г. е. из а + Ь = с, ab =_^ а > b
всегда следуют верные соотношения a-f t = c,aJ=d ,
а > 6, и обратно.
Таким образом, любые две интерпретации N и N
системы аксиом Пеано будут изоморфными не только по
отношению «следует за», но и по отношению к сложению,
умножению и отношению «больше», установленных в этих
интерпретациях. Множество порядковых натуральных чисел
и множество количественных натуральных чисел, строго
говоря, являются различными множествами (различными
интерпретациями системы аксиом Пеано), но эти
множества обладают одинаковыми свойствами, которые вытекают
из системы аксиом Пеано. Поэтому мы имеем возможность
(что обычно и делаем) обозначать соответственные
элементы этих множеств одинаковыми знаками.
В современной математике очень большую роль
играют и неполные системы аксиом. Неполная система аксиом
позволяет изучить сразу все общие свойства, т. е. свойства,
справедливые для всех интерпретаций этой теории,
включая и не изоморфные между собой интерпретации.
Например, любое кольцо (см. 11,10) или поле (см. 11,24)
являются интерпретациями коммутативной группы по
сложению (см. 11,1)» поэтому для них всех будут
справедливыми все следствия, вытекающие из определения
коммутативной группы по сложению. Следовательно, отпадает
54

необходимость доказательств этих следствий отдельно для
каждого кольца или поля. Изучив общие свойства
коммутативной группы по сложению, т. е. свойства, вытекающие
из аксиоматического определения этой группы, мы можем
быть уверены в том, что эти свойства справедливы для
любой интерпретации этой группы. В этом и состоит об-*
щность аксиоматической теории. То, что
аксиоматическая теория полностью применима только к своим
интерпретациям, определяет границы применений
этой теории. Например, множество всех натуральных
чисел N не является интерпретацией коммутативной
группы по сложению, так как в N не выполняется третья
аксиома этой группы, но в N выполняются все остальные
аксиомы той же группы; поэтому к множеству N применимы
те, и только те, следствия из определения коммутативной
группы по сложению, доказательство которых не
зависит от третьей аксиомы.
Самым мощным источником интерпретаций для
различных систем аксиом является теория множеств. Теория
множеств позволила объединить исследования оснований
различных математических дисциплин. Она оказала
большое влияние на развитие современной математики, на ее
основе возникли новые математические дисциплины
(теория функций действительного переменного,
функциональный анализ и другие). На основе теории множеств
немецкий математик Гильберт пытался даже построить
систему аксиом, из которой бы следовали все выводы
математики, но такая попытка заранее была обречена на
неудачу. Можно говорить лишь о системах аксиом отдельных
математических дисциплин, а не о системе аксиом всей
математики. Математика же в целом не может быть до конца
аксиоматизирована, т. е. выведена из раз навсегда
данной конечной системы аксиом, так как нельзя заключить
в заранее установленные границы бесконечно
развивающуюся науку.
Теория множеств, являясь основой для многих
аксиоматических теорий, сама нуждается в обоснованиях. При
аксиоматическом построении этой теории возникают те же
вопросы непротиворечивости, независимости, полноты и
целый ряд других сложных вопросов. С этими вопросами
можно познакомиться по книге академика П. С. Н о в и-
к о в а, Элементы математической логики. Введение, Физ-
матгиз, 1959.
65

Полноту системы аксиом можно понимать и так:
Система аксиом называется полной, если всякое
предложение, которое можно сформулировать с помощью
этой системы аксиом, можно в этой теории доказать или
опровергнуть, т. е. доказать само это предложение или его
отрицание.
Например, часть системы аксиом Пеано, состоящая
из первых трех аксиом, будет неполной и в последнем
смысле, так как ее недостаточно для того, чтобы доказать
теорему 1,3.
Чтобы иметь возможность рассуждать о полноте
системы аксиом в последнем смысле, необходимо иметь в своем
распоряжении описание тех логических средств, с
помощью которых придется делать выводы из данной
системы аксиом. Эти логические средства сами могут быть
заданы в виде аксиом и правил вывода из этих аксиом
следствий. Как было указано во введении, такое построение
теории называется дедуктивным.
Наряду с развитием аксиоматического метода в
математике в XIX веке возникла и развивалась далее наука,
изучающая сами математические доказательства, которая
получила название математической логики.
В начальный период своего развития математическая
логика рассматривалась как применение математического,
в основном алгебраического, метода к логике. С конца
XIX века математическая логика начинает применяться
в вопросах оснований арифметики и теории множеств. В
связи с появлением неевклидовых геометрий, в связи с
открытием парадоксов в теории множеств встал вопрос о
правомерности использования тех или других
логических средств в процессе математического доказательства.
Одним из достижений математической логики является
создание специального языка, позволяющего записывать
математические предложения в виде определенных формул,
из которых по определенным правилам получаются новые
формулы (теоремы). Таким путем получают систему
формализованной дедуктивной математической теории,
например, арифметики. Использование формального
аппарата в теории делает возможным обозрение и решение
проблем, которые не в состоянии охватить чисто
содержательное (не формальное) логическое мышление. Это
позволило решить целый ряд математических проблем, до
этого не поддававшихся решению. При таком подходе
боба

лее глубоко решаются вопросы непротиворечивости
данной математической теории, независимости и полноты ее
системы аксиом. Это же относится и к системе аксиом
арифметики натуральных чисел.
В 1931 году австрийский математик К. Гёдель доказал,
что система формализованной арифметики неполна, т. е.
что не всякое содержательно истинное арифметическое
предложение может быть доказано в системе формализованной
арифметики. Уже отсюда следует, что предпринимавшиеся
Гильбертом попытки аксиоматизировать всю математику
не могли привести к цели. Это говорит о том, что, какую
бы мы ни выбрали конечную систему аксиом, всегда
найдутся такие истинные математические предложения,
которые не будут являться следствием этой системы аксиом*.
Сейчас средства и методы математической логики
широко применяются в обосновании различных дедуктивных
теорий, в вычислительной технике, в автоматике, в
машинном переводе с одного языка на другой и в целом ряде
других вопросов, имеющих большое практическое значение.
Среди советских математиков, плодотворно
разрабатывающих вопросы математической логики и ее
применений, можно назвать А. Н. Колмогорова, П. С. Новикова,
А. И. Мальцева, А. А. Маркова.
Глава 2
ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
В первой главе проведено аксиоматическое построение
множества натуральных чисел и изучены основные
свойства этих чисел. Теперь, опираясь на множество
натуральных чисел, будем строить другие числовые системы (классы).
Прежде всего рассмотрим аксиоматическое обоснование
различных числовых систем. Такой способ изложения
позволит дать общее направление развитию понятия числа.
Многие выводы, которые будут получены при
аксиоматическом обосновании, окажутся справедливыми для
различных числовых систем, что даст возможность сократить
число доказываемых теорем.
* О теоремах Гёделя можно прочитать в книгах: P. Л.
Гудет ей н, Математическая логика, ГИИЛ, 1961; С. К. Клин и,
Введение в метаматематику, ГИИЛ, 1957.
57

§11. Множества с операциями для элементов
Определение 11,1. Коммутативной
(абелевой) группой по сложению называется всякое
непустое множество G, в котором определена
алгебраическая операция — сложение, удовлетворяющая следующим
аксиомам:
1) а + Ъ = Ь + а для любых а и Ь из G.
2) (а + Ь) + с = а 4- (6 + с) для любых а, Ь, с из G.
3) Для любых элементов а и Ь из G в G существует
элемент а:, который удовлетворяет уравнению b + х = а.
Указанный элемент д: называется решением уравнения Ь +
+ х = а.
Теорема 11,2. В группе G существует, и притом
только один, нулевой элемент, обозначаемый через О (нуль),
со свойством
а + 0 = 0 + а = а
для любого элемента а из G.
Доказательство. Выберем в G элемент с. По
аксиоме 3, уравнение с-\-х = с имеет решение, которое
обозначим через 0С, так что
с + Ос=0с + с = с.
Пусть а — произвольный элемент из G, тогда уравнение
с-\-х — а, по той же аксиоме, имеет решение в G.
Применяя аксиомы 1 и 2, получим:
a + Oc = Oc + a = Qc + (c + x) = (Qc+c) + x = c+x = a,
т. е. элемент 0С, удовлетворяющий уравнению с -(- х = с,
удовлетворяет любому уравнению а\-х = а.
Пусть в G имеется еще один элемент 0а такой, что
а4-0а = 0л + а=:а для любого элемента а из G. Тогда
из 0, + Од = 0С и 0С + 0а = 0а следует, что 0С = 0Л.
Этим доказана единственность нулевого элемента в G.
Нулевой элемент группы будем обозначать через 0.
Теорема доказана.
Теорема 11,3. Для любого элемента а из G в G
имеется единственный противоположный ему элемент—а
со свойством а -\- (— а) = (— а) -|- а = 0.
58

Доказательство. Существование такого
элемента—а следует из разрешимости уравнения а -\- х = О
в группе G.
Пусть в G имеется еще один элемент — ах со
свойством а 4- (— fli) = 0. Тогда из
_ai==0 + (-a1) = [(-a) + a)] + (-a1) =
= (-a) + [a + (-a1)l = (-a) + 0 = -a
следует, что —ах = — а. Теорема доказана.
Теорема 11,4. Уравнение Ь-{-х = а имеет в
Gединственное решение.
Доказательство. Существование решения следует
из аксиомы 3. Пусть хх и х2 — любые решения указанного
уравнения. Из Ъ-\-хх — а и Ь-\- х2 = а следует, что
f)Jrx1 = b-\- х2. Прибавляя к обеим частям последнего
равенства по — Ь, получим хх = х2, т. е. любые решения
уравнения Ь-{-х = а совпадают. Теорема доказана.
Определение 11,5. Решение уравнения Ь-\-х = а
называется разностью элементов а и 6, которая
обозначается через х = а — Ь. По этому определению, имеем:
Ъ + (а — Ь) = а.
Следствие 11,6. —(—а) = а.
По теореме 11,3, элементы а и —а взаимно
противоположны.
Следствие 11,7. — (а-\-Ь) = (— а)+(— Ь).
Доказательство {а-\-Ь)-\-[(— a)-f-(— Ь)\ =
= <в + *Ж(-*Ж- *)] = {* + [* + <-*)]+<-«)} =
= (а + 0Ж-а) = а
Следствие И,8. Определив сумму /г элементов
группы G, как это сделано в определении 7,3, получим,
что законы ассоциативности и коммутативности
справедливы для любого числа элементов, т. е.
т п т-\-п п п
Е а, + Е я ,, = Е а. и Е а, = Е а..
Доказательство этого утверждения точно
такое же, как в теоремах 7,4 и 7,5, только там закон
ассоциативности сложения для трех натуральных чисел и закон
59

коммутативности сложения для двух чисел считались дока- 1
занными, а здесь их справедливость следует из аксиом 1 и 2. I
Следствие 11,9. Для элементов группы G спра- 1
ведливо равенство I
£(а,+6,) = £а,+Дб,. I
Доказательство такое же, как в теореме 7,6. 1
Теперь рассмотрим множества, в которых определены i
две алгебраические операции — сложение и умножение. I
Определение И, 10. Коммутативная группа 1
К называется кольцом, если в К определена еще одна 1
алгебраическая операция — умножение, обладающая свой- 1
ством: я
4) (ab)c = афс) для любых элементов а, Ь и с из /С. I
Кроме этого, обе операции, определенные в множестве /С, 1
должны быть связаны между собой законами дистрибутив- 1
ности, т. е. 1
5) а(Ь + с) = ab + ас — левый закон дистрибутивности, Я
5)* (Ь + с)а = Ьа + са — правый закон дистрибутив- I
ности для любых элементов а, Ъ и с из /(. I
6) Если в кольце К выполняется закон коммутативности Л
умножения, т. е. ab = Ьа для любых элементов а и & из %
К> то кольцо К называется коммутативным кольцом. I
В коммутативном кольце К оба закона дистрибутивное- Л
ти совпадают, в общем же случае их следует строго разли- I
чать, так как вообще может быть I
ab Ф Ьа I
(см., например, умножение матриц и кватернионов в § 29). I
Следствие 11,11. Оба закона дистрибутивности 1
справедливы для любого числа слагаемых из К (см. тео- I
рему 7,12). I
Следствие 11,12. В кольце К справедливы pa- I
венства (см. теорему 7,13) I
/ т \ / п \ т п п т I
Е а А . [ Е Ь. )= Е Е а{Ь{ = Е Еа,»г
Следствие 11,13. В кольце К закон ассоциатив- и
ности умножения справедлив для любого числа сомножи- Щ
60

телей, а если кольцо К коммутативно, то в нем закон
коммутативности умножения верен для любого числа
сомножителей (см. 7,4 и 7,5).
Следствие 11,14. Законы дистрибутивности
имеют место и для разности, т. е.
а{Ь — с) = ab — ас, (Ь — с)а = Ьа — са.
Доказательство. Из (Ь — с) + с = Ь следует
а[(Ь — с) + с] = а(Ь — с) + ас = ab.
Прибавляя к обеим частям элемент — ас, получим:
а(Ь — с) = ab — ас.
Точно так же получается и второе равенство.
Следствие 11,15. а . О = 0 а = О для любого
элемента а из /С
Доказательство. а • 0 = а(6 — b) = ab —
— ab = 0, 0 . а = (Ь — Ь)а = Ьа — Ьа = О,
где b — любой элемент из /С
Определение 11,16. Если ab = О, но а Ф О
и 6 ^ 0, то элементы а и & называются делителями
нуля (левый и правый делители нуля).
Следствие 11,17. Во всяком кольце К имеют
место равенства:
( _ а)Ь = а( — 6) = — ab, ( — а)( — Ь) = ab ,
а2 = ( — а)2.
Доказательство. ( — а) 6 = (0 — а)Ь =
= 0- & — аб = 0 — ab — — ab,
а( — Ь) = а(0 — Ь) = а • 0 — ab = 0 — ab = — ab,
{-a)(-b) = - [a(-b)]= -(-ab) = abt
( — а) . ( — а) = ( — а)2 = а2.
Определение 11,18. Кольцо Q называется т е-
л о м, если оно содержит по меньшей мере два различных
элемента и уравнения bx = a, yb = а при b Ф 0 всегда
имеют решения в Q.
Теорема 11,19. Во всяком теле Q существует, и
притом только один, единичный элемент е с условием ае =
= еа = а для любого элемента а из Q.
61

m
'M
Доказательство. Выберем в Q элемент сф 0 (по J
определению 11,18, в Q такой элемент имеется). Уравне- 1
ние ус = с имеет в Q решение у = ес, т. е. есс = с. Урав- I
нение сх = а тоже имеет решение в Q при любом а из Q, ч
еса = ес (сх) = (ес с) х ~ сх = а, I
т. е. элемент ес обладает свойством еса — а для любого а -4
из Q. I
Пусть далее решением уравнения сх = т будет х = ех. I
Уравнение ус = а имеет решение в Q. Тогда I
овх = О/с?) ex = y(cej = yc = а. I
Так как равенства I
ес а = а£х = а I
справедливы для любого элемента а из Q, то ес = ес еЛ = ех, J
т. е. все единичные элементы совпадают между собой. I
Этот элемент в дальнейшем будем обозначать через е. I
Теорема доказана. I
Теорема 11,20. Для каждого элемента афО из Q Л
в Q существует, и притом только один, обратный ему I
элемент arlco свойством I
асГ1 = агха = е. \
Доказательство. Из существования решений урав- J
нений ах = еиуа = ев(2 найдутся элементы aj"1 и а^1 Ч
такие, что I
аа~х = е и а~1 а = е. I
Далее имеем: I
а~1 = еа"1 = (а^1 а) а^1 = а^1 (аа^1) == а^1 е = а^1, I
т. е. правый обратный элемент для а совпадает с левым I
обратным элементом. Пусть а имеет еще один правый I
обратный элемента^*1, тогда из аа~{ = аа~1 умножением I
обеих частей этого равенства слева на ajx получаем I
аГ* ^ а71- Теорема доказана. [
Элемент, обратный элементу ау будем обозначать че- I
рез сГх ♦ I
62 I

Следствие 11,21. Изад-i =а ] а=е следует, что
обратным элементом для а~~1 будет элемент (а-1)""1, т. е.
Теорема 11,22. Решения уравнений bx = anyb = a при
b ф 0 определяются однозначно, т. е. каждое из этих
уравнений имеет единственное решение.
Доказательство. Из Ьхх = а и Ьх2 — а следуют
равенства:
Ьхг = Ьх2 и хг = *2.
Таким же путем получаем и ^ = у2.
Решениями этих уравнений будут х =. b~~l а и у = afr*-1.
Следствие 11,23. Тело Q не имеет делителей нуля,
т. е. произведение аЬ тогда, и только тогда, равно нулю,
когда один из сомножителей равен нулю.
Доказательство. Пусть ab = О, но а=^=0.
Умножая обе части равенства ab = 0 слева на яГ1 , получим
b = 0, т. е. из ab = 0 всегда следует, что один из
сомножителей равен нулю.
Определение 1,24. Тело Р называется полем,
если в нем выполняется условие: ab = ba для любых а и b
из Р.
Другими словами, полем называется коммутативное
кольцо, содержащее по меньшей мере два различных
элемента, в котором уравнение 6л: = а при b Ф 0 всегда имеет
решение.
§ 12. Расположенные кольца и поля
Определение 12,1. Кольцо К называется
расположенным, если для его элементов установлено
отношение «больше» (а > Ь), удовлетворяющее аксиомам
скалярного расположения.
Аксиомы скалярного располооюения
1) Для любых а и b из К имеет место одно, и только одно,
из отношений: либо а = b , либо а > &, либо by- а.
2) Из а > & и 6 > с следует а > с (транзитивность
неравенств).
3) Из а > b следует а + с > b + с (монотонность
сложения).
63

1
4) Из а > b и с > 0 следует ас > be (монотонность Я
умножения). I
Следствие 12,2. Из а > 6 и су d следует а + I
-Ь с > 6 + d. В частности, иза>0ис>0 следует а + 1
+ с > 0. I
Доказательство. По аксиоме 3, имеем: а + а
+ с>НсиНс>Н^, а отсюда, по аксиоме 2, i
получаем а + с > & + d. При 6= d = 0 имеем а+ i
+ с > 0. ]
Следствие 12,3. Из а > 0 и с > 0 следует ас > 0. i
Доказательство. По аксиоме 4, при 6 = 0 1
получаем утверждение. I
Определение 12,4. Если а > Ь, то полагаем I
6 < а (Ь меньше а). Элементы кольца /С, большие нуля; I
называются положительными, а элементы, мень- й
шие нуля, — отрицательными элементами. §1
Следствие 12,5. 1. Для каждого элемента а Я
из расположенного кольца /С имеет место одно, и только 1
одно, из отношений: а = 0, а — положителен, а —отри- М
цателен. 1
2. Сумма и произведение положительных элементов по- 1
ложительны. ||
Доказательство. Первое утверждение следует А
непосредственно из аксиомы 1 при 6 = 0. Второе утверж- I
дение следует из следствий 12,2 и 12,3. I
Следствие 12,6. Из а > b следует а — Ь > 0. I
Доказательство. Из а>6, по аксиоме 3, А
получаем: а + ( — Ь) = а — &>0. |
Теорема 12,7. Кольцо К тогда, и только тогда, I
будет расположенным, когда для его элементов определено I
свойство быть положительными (а > 0), удовлетворяющее I
следующим требованиям: I
1) Длл каждого элемента а из К имеет место одно, и I
только одно, из свойств: а = 0, а — положителен,—а— I
положителен, I
2) Сумма и произведение положительных элементов — I
положительны. I
3) а > 6 тогда, и только тогда, когда а — 6 — поло- I
жительна. I
Элемент а называется отрицательным элементом, если I
—а — положителен. I
Доказательство. По условию теоремы, для I
разности а — b имеет место одно, и только одно, из соотно- I
64

тений: а — & = 0, а — & > О, а — 6 < 0.
Следовательно, либо а = Ь, либо а > 6, либо а < 6.
Из с> 4и6>с следует а — 6 > 0, 6 — с > 0, а
поэтому а — с = (а — 6) + (Ь — с) > 0, т. е. а > с.
Из а > 6 следует а + с > Ъ + с, так как (а + с) —
— (& + с) = а — Ь > 0.
Из я > 6 и с > О следуют а — 6 > О и ас — 6с =
= (а — Ь) с > 0, т. е. ас > 6с. Этим доказано
выполнение всех четырех аксиом скалярного расположения (см.
определение 12,1).
Обратное утверждение уже доказано (см. 12,5 и 12,6);
Эту теорему можно принять в качестве определения
расположенного кольца, т. е. вместо определения 12,1.
Определение 12,8. Абсолютной
величиной элемента а расположенного кольца К
называется сам элемент я, если я > 0; — элемент — я, если
я < 0. Абсолютная величина элемента я обозначается
через | я |.
Согласно этому определению, во всех случаях имеем:
М>0, М^а, |я(^-я, |а| = |-а|.
Теорема 12,9. Для любых элементов
расположенного кольца К имеют место соотношения:
\ab\ = \a\.\b\, |« + i|<|a| + |H |a|-|6|<l« + H
Доказательство. Для доказательства равенства
|a&| = |a[.|&| рассмотрим все возможные случаи:
1) Если а > 0 и Ь > 0, то | а\ = я, | Ь\ = 6, ab > 0. Из
этих соотношений получаем: | а \ • | Ь | = ab = | ab |.
2) Если я > 0 и & < 0, то |я| = я, 161 == — 6, я(—Ь)=
= -— ab > 0. Отсюда имеем: | а |. 16 | = — ab = |— я&| = |aft|.
3) Если я<0и 6>0, то |а| = —я, \Ь\ = Ь, (—я)6=
= —я&>0. Отсюда получаем: | а| . j b \ = — я&=| — ab | =
4) Если я<0 и &<0, то | a j = — a, |fcl = — 6,
(— a) (— b) = ab> 0. Отсюда следует: | a | • 161 = a& = !aft|.
Таким образом, во всех возможных случаях
выполняется равенство:
\a\.\b\~\ab\.
Далее, из | а | > а и 16 i> & получаем: | я | -{- [ 61 > я + &.
Из |я| > — аи\Ь\> —Ь получаем: | а |+| b | > (~~я)-|-
+ (— &) = —(а + &). Если я + 6>0, то а + 6== |а + 6|;
3 Заказ 375 65

если же a + b<0, то —(а + Ь) = |а + 6|. В обоих воз- 1
можных случаях имеем: I
|« + *|<|в| + 1*|. 1
Наконец, из \а\ = \(а + Ь) + {-Ь)\< |а + 6| + |-Ь|= I
| а ^ ъ | +1 b | следует последнее соотношение | а \ — \ b | < I
<|Д + Н I
Соотношения |aft( = |а| . |6| и |а-|-&| <|а| + |Ь| I
методом полной математической индукции легко распро- I
страняются на любое число элементов расположенного I
кольца. I
Следствие 12,10. Еслиа^ 0, то а2 = (—я)2=[а12>0. I
Доказательство. Если а >0, то, последствию 12,5, I
а2>0; если же а<0, то — а>0 и (— а)2 = |а|2> 0. J
По следствию 11,17, а2 = (— а2) = (а|2 > 0, откуда еле- 1
дует утверждение. I
В частности, единичньй элемент е расположенного I
кольца К всегда положителен, так как е = е2 > 0. I
Следствие 12,11. Если а>0, то а"*]>0 (еслиа""1 <!
существует). I
Доказательство. Если бы было — сГ} > 0, то, I
умножая обе части этого неравенства на а>0, получили I
бы —е>0, что противоречит неравенству —е<0. I
Определение 12,12. Сумма п элементов коль- J
ца К, каждый из которых равен а, называется /г-кратным ц
элемента а и обозначается через па, т. е. ;1
Е а = па, Л
Аксиома Архимеда 12,13. Если а — произ- л
вольный элемент кольца и b > 0, то существует такое на- Л
туральное число л, что выполняется неравенство, nb > а. т
Определение 12,14. Расположенное кольцо на- |
зывается архимедовски расположенным, 1
если в нем выполняется аксиома Архимеда. 1
§ 13. Изоморфизм множеств с операциями. I
Расширение колец, полей и других множеств с операциями. I
Разбиение множества на классы I
Пусть М и М — два множества, в каждом из которых I
определены две алгебраические операции — сложение I
и умножение. Согласно определению 10,2, эти множества I
66 I

будут изоморфными относительно заданных в них
алгебраических операций, если между их элементами можно
установить такое взаимно однозначное соответствие, что
если мы в любых равенствах
а-\-Ь — с и ab = d
для элементов множества М все элементы, входящие в эти
равенства, заменим соответственными им элементами а% Ъ ,
"с, d из множества М, то всегда получим верные равенства
а -\- b ~~с и ab = d
для элементов множества М.
Если М^М, то из определения 10,2 вытекают
следствия, которые перечислены ниже.
Следствие 13,1. 1) Из а-\-Ь = Ь-\-а следует а +
+ & = £+а.
2) ИЬ (а + 6)-{-с = а-Ь^ + г) следует (а + ь) Л~~с =*
= а+(б+с).
3) Из ab = 6а следует ab = &_а.
4) Из (аб)с = а(Ьс) следует (a b)с_ = а[blc).
5) Из (а + 6)с = ас-{-Ьс следует (а + &)7 = ас-|-~^
6) Если множество М содержит 0, то и множество
М содержит 0, причем из a -f- 0 = а следует а + 0 = а,
т. е. 0<--*0.
7) Если множество М содержит вместе с элементом а
и элемент — а, то из а + (— а) = 0 следует а+ (—а)= 0 ,
т. е. и в множестве М для элемента а существует
противоположный ему элемент —а, причем — а -> —а.
8) Если множество М содержит единичный элемент е%
то и в множестве М содержится единичный элемент е9
так как из ае = а следует ае — а, причем е-* е.
9) Если множество М содержит вместе с элементом
а Ф 0 и элемент, ему обратный а""1, то и множество М
вместе с элементом а содержит элемент а""1, обратный
элементу_а> причем а""1 <•--* (Г*1, так как из асГх =* е
следует яя""1 =e.
3*
67

Таким образом, получаем, если множество М
относительно сложения — группа, то и множество М относительно
сложения будет группой; если М относительно обеих
алгебраических операций, определенных в_нем, является
кольцом (телом, полем), то и множество М относительно
своих операций будет кольцом (телом, полем). Все
выводы, полученные для одного из изоморфных между собой
множеств, автоматически переносятся и на другое множество*
если эти выводы опирались только на общие свойства
алгебраических операций.
Определение 13,2. Если множество М с двумя
алгебраическими операциями (сложением и умножением)
содержится в кольце К относительно этих же операций, то
кольцо К называется расширением множества М.
Если при этом множество М само является кольцом по
отношению к тем же операциям, то М называется под-
кольцом кольца /С.
Теорема 13,3. Пусть даны кольцо Ж и множество
М с двумя алгебраическими операциями — сложением и
умножением, причем К и М не имеют общих элементов
(непересекающиеся). Если кольцо К содержит
подмножество М , изоморфное множеству М относительно опера*
ций, определенных в кольце К и множестве М, то суще*
ствует кольцо /С, изоморфное кольцу К и являющееся
расширением множества М.
Доказательство. Произведем замену всех
элементов подмножества М в кольце К соответственными им при
изоморфизме М ^ М элементами из множества М. Затем
определим суммы и произведения незамещенных и
замещенных элементов так, чтобы они в точности
соответствовали суммам и произведениям из /С. Если, например, дй
замены было а-\~ Ь = с и аЪ = d и если_а и с
заменяются соответственно на а и г, тогда как b и d остаются
на месте, то, по определению, полагаем а-{-Ь=сиаЪ=(1.
Этим способом из кольца К получается кольцо /С,
действительно являющееся расширением множества М, причем
68

Следствие 13,4. Если множество К является
телом (полем), то и полученное, согласно теореме 13,3,
множество К тоже будет телом (полем).
Определение 13,5. Кольцо /С, являющееся
расширением множества М с двумя алгебраическими
операциями — сложением и умножением, называется
минимальным кольцом, содержащим М, если К не
имеет отличного от себя подкольца, содержащего множество М.
Так же определяются минимальные тело и
поле, которые являются расширением данного множества
М с двумя алгебраическими операциями.
В дальнейшем изложении нам потребуются разбиение
множества М на классы и, связанное с этим, определение
понятия эквивалентности элементов данного множеава.
Если данное множество М разбито на попарно
непересекающиеся (не имеющие общих элементов)
подмножества (части множества М), исчерпывающие все множество
М (любой элемент множества М принадлежит одному из
указанных подмножеств), то говорят, что множество М
разбито на классы.
Определение 13,6. Если множество М разбито
на классы, то два элемента а и Ь данного множества
называются эквивалентными по отношению к данному
разбиению М на классы тогда, и только тогда, когда они
принадлежат одному и тому же классу.
Каждый элемент а из множества М считается
эквивалентным самому себе.
Отношение эквивалентности обозначается через а~6.
Теорема 13,7. Отношение эквивалентности
элементов мнооюеетва М обладает следующими тремя
свойствами, называемыми аксиомами эквивалентности:
1) а ~ а (рефлексивность).
2) Если а — Ь, то Ь — а (симметричность).
3) Если а~ Ь и Ь — с, то а ~ с (транзитивность).
Утверждение непосредственно следует из определения
13,6.
Теорема 13,8. Если по какому-нибудь признаку
между элементами множества М установлено отношение
эквивалентности, обладающее свойствами
рефлексивности, симметричности и транзитивности, то это
отношение эквивалентности полностью определяет разбиение
множества М на классы попарно эквивалентных элементов.
69

При этом для каждой пары элементов а и Ь из М имеет А
место одно, и только одно, из отношений: либо а-^Ъ> либо Ч
а 4~ Ь (а не эквивалентно b). I
Доказательство. Объединим все элементы мно- I
жества М, эквивалентные любому выбранному элементу I
а, в один класс, который обозначим через К(а). Тогда все |
элементы одного и того же класса К(а) будут попарно эк- I
вивалентны, так как из 6 ~ а и с — а в силу симметрии I
и транзитивности следует, что Ь — с: любой элемент dy I
эквивалентный какому-нибудь элементу Ъ из К{а)% будет I
принадлежать этому же классу, так как в силу транзи- I
тивности из d — & и & ~ а следует, что d — а. Если вы- I
берем элемент с, не принадлежащий классу К(а), то* клас- I
сы К(а) и К(с) не будут иметь ни одного общего элемента I
dy так как изс?~аи^~с следовало бы с-~ а, что про- I
тиворечит выбору элемента с. Построенные классы дей- I
ствительно исчерпывают все множество М, так как каждый I
элемент а из М принадлежит некоторому такому классу, I
а именно К(а). Любые два класса К(а) и К(Ь) либо совсем I
не имеют общих элементов, либо полностью совпадают I
(состоят из одних и тех же элементов). I
Следствие 13,9. К(а) = К (Ь) тогда, и только Н
тогда, когда а~6. I
В дальнейшем каждый элемент класса К(а) будем на- I
зывать представителем этого класса. -J
Примеры: I
1. Отношение равенства между натуральными числами I
есть частный случай отношения эквивалентности, которое I
определяет разбиение множества всех натуральных чисел N I
на классы, каждый из которых состоит только из одного I
элемента. I
2. Сравнение целых чисел по модулю т > 1 есть отно- I
шение эквивалентности, которое определяет разбиение мно- I
жества всех целых чисел С на т классов попарно сравни- I
мых между собой целых чисел по модулю m. I
3. Отношение подобия треугольников является отноше- I
нием эквивалентности, которое определяет разбиение мно- J
жества всех треугольников на классы попарно подобных Я
между собой треугольников. I
Если множество М, в котором определены алгебраичес- I
кие операции, разбито на классы попарно эквивалентных I
элементов, то эти же операции можно определить и в мно- I
70

жестве К этих классов. Это делается следующим образом:
пусть для элементов множества М имеют место операции
а + Ь — с и ab == d, тогда, по определению, полагаем:
К{а) + К(Ь) = К(с),
К(а) • К(Ь) = /((d).
При этом предполагается, что сумма и произведение
любых представителей классов К(а) и К(Ь) принадлежат
соответственно классам К(с) и /((d), т. е. сумма и
произведение элементов множества К не должны зависеть от
выбора представителей соответствующих классов.
Итак, каждое разбиение множества М на классы
определяет между элементами этого множества некоторое
отношение эквивалентности, обладающее
свойствами рефлексивности, симметрии и транзитивности.
Обратно, каждое отношение эквивалентности,
установленное между элементами множества М и обладающее
свойствами рефлексивности, симметрии и
транзитивности, определяет разбиение множества М на классы
попарно эквивалентных между собой элементов. Это отношение
эквивалентности позволяет образовать новое множество
/С, элементами которого будут сами классы К{а). При
этом отношение эквивалентности между элементами
множества М приводит к отношению равенства
соответствующих элементов множества /((следствие 13,9), а
установленные в М алгебраические операции позволяют определить
соответствующие операции и в множестве классов К
попарно эквивалентных элементов множества М. Если в
множестве М установлено отношение «больше», то это же
отношение можно установить и для элементов множества /С
Метод разбиения данного множества М на классы
попарно эквивалентных элементов мы используем при
построении различных числовых систем. Для построения же
исходного множества М каждый раз будем использовать
элементы ранее построенных множеств, начиная с
множества всех натуральных чисел N, которое считаем уже
построенным.
§ И. Построение кольца классов пар натуральных чисел
Построенное в главе 1 множество натуральных чисел
N кольцом не является, так как в нем не всякое уравнение
& + х = а, где а и Ь — натуральные числа, имеет
решение. Если а > Ь, то уравнение b + х = а имеет единст-
71

венное решение х « а — Ь, определяемое парой (а, Ъ)
натуральных чисел. Если же а < Ьу то это уравнение не
имеет в N решений.
Если существует кольцо С, являющееся расширением
множества N, изоморфного множеству натуральных чисел
Ny то, по теореме 13,3, существует расширение множества
N, изоморфное кольцу С.
Так как в нашем распоряжении такого кольца jC пока
еще нет, то будем прежде всего строить это кольцо С,
опираясь на множество натуральных чисел N.
Сначала исследуем, какими необходимыми свойствами
должно обладать искомое расширение множества
натуральных чисел N, предполагая, что это расширение С
существует. Прежде всего в кольце С уравнение b + х = а, где
а и b — любые натуральные числа, должно иметь решение
х = а — Ь. (Если а > Ь, то х — натуральное число, если
же а < Ь, то л; — элемент предполагаемого кольца С,
не являющийся натуральным числом.) Так как в любом
кольце уравнение b + х — а имеет единственное решение,
то и в кольце С элемент х должен определяться парой
натуральных чисел (а, Ь) однозначно.
Пусть уравнения
b + х = а и d + у = с
имеют равные решения х = у. Считая, что в уравнения Ь +
+ jt = CHrf + j/ = c вместо неизвестных х и у уже
подставлены их решения, прибавим к обеим частям первого
равенства по d, а к обеим частям второго равенства
прибавим по 6, тогда получим:
d+b + x = a + d,
d+b + y=b + c.
Таким образом, если две пары натуральных чисел (а, 6)
и (с, d) определяют один и тот же элемент кольца С, то
должно выполняться равенство
а + d - b + с. (1)
Пусть, далее, две пары (а, Ь) и (с, d) определяют
решения уравнений
b + х = а и d + у = с.
72

Считая снова, что в эти уравнения вместо неизвестных х
и у подставлены их решения, сложим почленно эти
равенства. После этого получим равенство (Ь + d) + (х +•
+ у) = а + с, из которого следует, что если элементы х
и у определяются парами (а, Ь) и (c,d), то их сумма должна
определяться парой натуральных чисел
(а + с, b + d). (2)
Наконец, установим, какой парой натуральных чисел
должно определяться произведение элементов х и у,
определяемых парами (а, Ь) и (с, d). Перемножаем почленно
равенства Ъ + х — а и d + у ^* с и получаем:
bd + dx + by + ху =* ас.
Прибавляем к обеим частям этого равенства по bd и, при*
меняя равенства b + х « а и d + у ** с, получим:
bd + dx + bd + by + ху = ас + bd,
d(b + x) + b(d + y) + xy~ac + bd,
(ad + be) + xy =• ac + bd.
Следовательно, произведение ху должно определяться
парой натуральных чисел
(ас + bd, ad + be). (3)
Из проведенных рассуждений следует: если существует
кольцо С, являющееся расширением множества
натуральных чисел N, элементы которого однозначно определяются
парами (а, Ь) натуральных чисел, то равенство, сумма и
произведение элементов кольца С должны определяться
условиями (1), (2), (3), перечисленными выше.
В дальнейшем изложении мы и будем руководствоваться
условиями (1), (2), (3) при построении кольца С, изоморфного
искомому кольцу целых чисел С.
Определение 14,1. Кольцом целых чисел
называется минимальное кольцо, являющееся расширением
множества всех натуральных чисел (см. определение 13,5).
Это кольцо будем обозначать через С, а его элементы будем
называть целыми числами.
Из этого определения еще не следует, что кольцо С
существует. Опираясь на выводы, сделанные выше, построим
кольцо С, являющееся расширением множества N, изо-
п

морфного множеству всех натуральных чисел N. Это
кольцо будет изоморфно искомому кольцу С.
Для удобства в дальнейших рассуждениях
сформулируем еще раз определение коммутативного кольца,
равносильное двум определениям 11,1 и 11,10.
Определение 14,2. Коммутативным
кольцом называется всякое непустое множество /(,
в котором определены алгебраические операции сложе-
жение и умножение, удовлетворяющие следующим
аксиомам:
1) а + b = Ъ + а для любых а и Ь из /С.
2) (а + Ь) + с = а + {Ь + с) для любых а, Ь, с из К.
3) Уравнение Ь + # = а при любых а и & из К имеет
решение в /С.
4). аЬ = Ьа для любых а и Ь из /С.
5) (а&)с = а(Ьс) для любых а, 6, с из /С.
6) (а + Ь)с = ас + be для любых а, Ь, с из /С.
В кольце^, которое мы сейчас будем строить, аксиомы
1—6 являются теоремами, т. е. выполнение этих аксиом
должно быть доказано для С.
Рассмотрим множество М всевозможных пар
натуральных чисел (а, &), при этом две пары (а, Ь) и (&, а) будем
считать, вообще говоря, различными. Руководствуясь
полученными в началеэтого параграфа свойствами (1), (2), (3),
определим в этом множестве М отношение эквивалентности,
сложение и умножение и исследуем их свойства.
Определение 14,3. Две пары натуральных чисел
(а, Ь) и (с, d) называются эквивалентными тогда,
и только тогда, когда а + d = b + с.
Следствие 14,4. Отношение эквивалентности пар
натуральных чисел • обладает свойствами рефлексивности,
симметрии и транзитивности, т. е.
1) (а,&)~(а,6),
2) из (а, Ъ) ~ (с, d) следует (су d) ~ (а,&),
3) из (а, b) ~ (с, d) и (с, d) ~ (m, л) следует
(а, 6)~(т, л).
Все эти свойства легко проверяются непосредственно
по определению эквивалентности пар 14,3.
74

Следствие 14,5. (а, Ъ) ~ (а + k, Ь + к), т. е.
если к обоим компонентам пары (а, Ь) прибавим одно и то
^се натуральное число k, то получим пару, эквивалентную
первоначальной паре (а, Ь).
Следует из a+b + K = b + a + k.
Определение 14,6. Суммой двух пар
натуральных чисел (а, Ь) и (с, d) называется пара (а + с, b+ d), т. е.
(а , 6) + (с, rf) = (а + с, Ь + d).
Следствие 14,7. Если в сумме (а, Ь) + (с, d)
одно или оба слагаемых заменить парами, им
эквивалентными, то результат будет эквивалентен первоначальному
результату.
Доказательство. Пусть
(а, Ь) ~ (а', Ь% т. е. а + У = а' + ft,
(с, d) ~ (с', d'), т. е. с + d' = с' + d.
Складывая почленно правые равенства, получим:
а + с + Ь' + d' = а' + с' + Ь + d.
Из последнего равенства следует
(а + с, Ь + d) ~ (а' + с\ ft' + d'), т. е. (а, Ь) +
+ (су d) ~ (а', Ь') + (с\ d').
Определение 14,8. Произведением двух пар
натуральных чисел (а, ft) и (с, d) называется пара (ас + bd,
ad + be), т. е. (а, Ь) (с, d) = (ас + bdt ad + be).
Следствие 14,9. Если в произведении (а, Ь)Х
X (с, d) один или оба сомножителя заменить парами, им
эквивалентными, то результат будет эквивалентен
первоначальному результату.
Доказательство. Достаточно доказать
утверждение для замены одного сомножителя, так как замену
обоих сомножителей можно произвести последовательно
одного за другим.
Из ( а, Ь) (с, d) = (ас + bd, ad + be) и (а\ b') (с, d) =
= (а'с + b'd, a'd + b'c),
где (а, b) — (а', ft'), т. е. а + Ь' — а'+ ft, следует ас +
+ ftd + a'd + b'c = (а + ft> + (ft + <Od = (*' + b)c+
+ (а + ft')d = а'с + 6с + ad + b'd-
75

Следовательно, {ас + bd, ad + be) ~ {a'c + b'd, a'd + I
+ b'c). т. e. (a, b) (c9 d) ~ (a', b') (c9 d). I
Методом полной математической индукции следствия I
14,7 и 14,9 распространяются на любое конечное число ела- - I
гаемых и сомножителей. I
Отношение эквивалентности, установленное в опре- I
делении 14,3 для пар натуральных чисел, по теореме 13,8, ~|
полностью определяет разбиение множества М всех пар
натуральных чисел (a, b) на классы попарно
эквивалентных элементов. Класс, которому принадлежит пара (а, Ь),
обозначим через К (а, Ъ). Множество всех таких классов
будем обозначать через С.
Из следствия 13,9 получаем, что К(а9 Ь) = К(с, d)
тогда, и только тогда, когда (a, b) ~ (с, d). Этим
определяется отношение равенства для элементов множества С.
Определение 14,10. Суммой двух классов из~С
называется тот класс, которому принадлежит сумма
каких-нибудь представителей слагаемых.
По следствию 14,7, сумма классов не зависит от выбора
представителей слагаемых.
Следствием, 11. В множестве (^выполняются
первые три аксиомы коммутативного кольца (коммутативной
группы по сложению).
Доказательство. 1) Из (а, Ь) + (с, d) = (а +
+ с9 b + d) = (с + a, d + b) = (c> d) + (a, b) следует
К(а, Ь) + К(с, d) = К{с9 d) + К(а9 6).
2) Из [(а, Ь) + (с, d)) + (m, n) - (а + с, Ь + d) +
+ (т, п) — (а + с + т9 b + d + п) = (а, Ь) +
+ (с + т9 d + п) = (я, b) + Uc, d) + (m, n)] следует
[К(а, Ь) + К(с, d)\ + К (т, п) = К(а9 b) + [К(с9 d) +
+ К(т, п)].
3) Решением уравнения К (с> d) + К(х9 у) = К (а,&)
будет элемент К(а + d9 b + с), так как (с, d) + (а + d9
b + c) = (a + c + d9 b + c + d)~ (a,6).
Таким образом, множество всех классов С является
коммутативной группой по сложению, а поэтому для него
будут справедливы все следствия, вытекающие из
определения группы 11,1 — 11,9.
а) Нулем в этом множестве будет класс К(с9 с), где с —
любое натуральное число, так как (а, Ь) + (с9 с) = (а +
+ с, b + с) ~ (а, Ь).
76

б) Элементом, противоположным классу К(а9 Ь)9
будет класс К{Ь, а)9 так как (а, Ь) + (6, а) *= (а+ b, a +
+ Ь) ~ (с, с).
О п j)_e деление 14,12. Произведением двух
классов из С называется тот класс, которому принадлежит
произведение каких-нибудь представителей перемножаемых
классов.
По следствию 14,9, произведение классов не вависит
от выбора представителей сомножителей.
Следствие 14,13. В множестве С выполняются
последние три аксиомы коммутативного кольца.
Доказательство. 4) Из (а, Ь) (с, d)~=(c, d)(a, b)
следует К{а9 b) . K(e9d) - К(с, d) . К(а, Ь).
5) Из [(а, Ь) (с, d)] (m, я) « (а, Ь) [{с, d) (m, n)] следует
[К(а, Ь) . К(с9 d)] К(т9 п) - К(а9 Ь) [К(с, d) . К(т9 п)].
6) Из (а9 b).[(cf d) + (m, n)] - (а, 6) . (с, 4) +
+(а, 6) (/я, я) следует /С(а, Ь) [К(с, d) + К(т, п)\ =
«/((а, 6) . /((с, d) + /C(at 6) • К(т9 п).
Сами же посылки (условия, из которых получаются
следствия) легко проверяются непосредственным вычислением*
обеих частей каждого равенства и сравнением полученных
результатов. Например, проверим справедливость
последней посылки:
(а, Ь) [(с9 d) + (m, я)] = (а, Ь) {с + m, d + п) —
= (ас + am + bd + bn9 ad + an + be + bm).
(a, fr) (c, d) + (a, 6) (m, n) *= (ac + M, ad + be) +
+ (am + bn9 an + bm) = (ac + bd + am + bny ad +
+ be + an + bm).
Правые части полученных равенств совпадают, значит,
посылка верна.
Таким образем, множество С является коммутативным
кольцом. Для кольца С справедливы все следствия,
вытекающие из определения коммутативного кольца (§11).
Дальше будет показано, что кольцо С изоморфно искомому
кольцу С (определение 14,1).
77

§ 15. Сравнение классов пар натуральных чисел
по величине
По теореме 4,3, для каждой пары натуральных чисел
(а, Ь) имеет место одно, и только одно, из соотношений: а =*
= 6, а > Ьу а < Ь. .
Определение 15,1. Пара натуральных чисел
(а, 6) называется нулевой парой, если а = Ь\
положительной парой, если а > &; отрицательной парой,
если а <. Ь.
Определение 15,2. Класс К(а, а) называется
нулевым классом (нулем множества С), если все его
представители являются нулевыми парами; положительным
классом, если все его представители положительны;
отрицательным классом, если все его представители
отрицательны.
Теорема 15,3. Для любого класса К(а, Ь) имеет
место одно, и только одно, из трех свойств: К(а, Ь) — нулевой
класс, К(а, Ь) — положительный класс, К(а, Ь) —
отрицательный класс.
Доказательство. 1. Пусть (с, d) — любой
представитель класса К(а, а). Из (с, d) ~ (а, а) следуют
равенства с + с = d + с и с = d, т. е. все представители
класса /С(а, а) являются нулевыми парами. Это нулевой
класс.
2. Если а > Ь и (с, d) £ К(а, Ь), т. е. а = Ь + k и
а + d = Ъ + с, то b + k + d = b+c, d + k = с, откуда
следует c>dn k = а — Ь = с — d.
3. Если а < 6, то в классе /С(я, Ь) в силу пунктов 1 и 2
этого доказательства не может содержаться ни одной
нулевой пары и ни одной отрицательной пары натуральных
чисел.
Следствие 15,4. Две положительные пары
натуральных чисел (а, Ь) и (с, d) тогда, и только тогда,
принадлежат одному и тому же классу, когда разности их
компонентов равны, т. е. а — Ъ — с — d.
Теорема 15,5. Сумма и произведение
положительных классов из С положительны.
Доказательство. Пусть К(а, Ь) и К(с, d) —
положительные классы, т. е. а > Ь и с > d. Тогда а +
+ с> b+d, т. е. (а, Ь) + (с , d) = (а + с, Ь + d)
является положительной парой. Следовательно, сумма классов
К(а, Ь) и К(с, d) — положительна. Остается доказать ут-
78

верждение для произведения этих классов. Но для этого
достаточно доказать, что произведение
(а, Ь) • (с, d) = (ас + bd, ad + be)
является положительной парой, т. е. ас + bd > ad + be.
Из условия теоремы следует, что a=b+knc=d+
+ m, где k и т — некоторые натуральные числа. Далее,
имеем
ас + bd = (b + k)(d + т) + bd = bd + bm + kd +
+ bd + km,
ad+ bc= (b + k)d+ b(d + m) = bd + bm+
+ kd + bd.
Из этих равенств следует, что ас + bd> ad + be.
Теорема доказана.
Следствие 15,6. Если а — b — k и с — d = /л,
то (а + с) — (b + d) = k + т и (ас 4- bd) — (ad +
+ be) = km.
Решение уравнения К(су d) + K(xt у) = К(а, b)
называется разностью классов К(а9 Ь) и К(с, d), причем
К(х, у) = К(а9 Ь) — К(с, d) = K(a + df b + с).
Если определим, что К(а, b) > К(с, d) тогда, и
только тогда, когда разность этих классов положительна, то
в кольце С будут выполнены все аксиомы скалярного
расположения (теорема 12,7) т. е. кольцо С будет
расположенным кольцом. Из этого следует справедливость всех
следствий, которые могут быть получены из системы аксиом
скалярного расположения (см. § 12).
Абсолютная величина класса К(а, Ь) определяется
точно так же, как для элементов любого расположенного
кольца. Все свойства абсолютных величин
расположенного кольца справедливы для абсолютных величин
элементов кольца С (см. § 12).
§ 16. Построение кольца целых чисел
В определении 14,1 кольцом целых чисел С названо
минимальное кольцо, являющееся расширением множества
всех натуральных чисел N. Теперь мы можем построить
это кольцо С.
79

Рассмотрим множество N всех положительных
классов пар натуральных чисел. По следствию 15,4, каждый
такой класс K(at b) однозначно определяет некоторое
натуральное число, а именно разность а — Ъ = k\ и обратно, -
каждое натуральное число т однозначно определяет класс
K(d + m, d), где d r- любое натуральное число. Этим
устанавливается взаимно однозначное соответствие между
элементами множеств N и N. Множества N и N изоморфны
относительно сложения, умножения и отношения «больше»,
установленных в этих множествах, так как, последствию
15,6, при соответствии К(а> Ь) -> (а — b) = k, К(с, d) ->
(с — d) = m,
из К(а, Ь) + К(с, d) = К(а + с, Ь + d) следует
(а + с) — (b + d) = k + m,
из K(at b) • K(cy d) = K(ac + bd, ad + be) следует (ас +
+ bd) — (ad + be) = km (см. 15,6). Наконец, из K(a, &)>
> K(cy d) и K(at b) — K(c, d) = K(a + dJb + с) следует
a + d = b + k + d > b + d + m = b + с, т. е. & > m,
и обратно.
По теореме 13,3, существует кольцо С, являющееся
расширением множества всех натуральных чисел N.
Искомое кольцо С строим следующим образом: каждый
положительный класс К(а, Ь) заменяем натуральным
числом а — b = ky каждый отрицательный класс и нулевой
класс оставляем на месте. Так как классы /С(а, Ь) и К(Ь, а)
противоположны, т. е. К(Ь, а) = — К(а, Ь), то после
замены /С(а, Ь) числом k, для класса К(Ь, а) можно
ввести обозначение через — k. Для нулевого класса К(а, а)
вводим обычное обозначение через 0.
Этим построением мы получили кольцо С,
действительно являющееся расширением множества всех натуральных
чисел N. Кольцо С является минимальным кольцем,
содержащим все натуральные числа N, так как всякое кольцо,
являющееся расширением множества N, обязано содержать
вместе со всеми на гуральными числами и число нуль и все
числа, противоположные натуральным числам, т. е.
обязано содержать в себе кольцо С в качестве под-
кольца.
Натуральные числа, рассматриваемые как элементы
кольца С, называются также целыми положитель-
н ы м и числами, а числа, им противоположные, —
целыми отрицательными числами.
80

Все правила действий в кольце С с необходимостью
вытекают из правил соответствующих действий в кольце
классов пар натуральных чисел С. Например, из (а, а + k)X
X (ft, b + т) = (ab + ab + am + bk + km, ab + ab +
+ am + 6£) следует (— £) (— m) = km. Впрочем, эти
же правила следуют и из определения коммутативного
кольца (см. § 11). Правила сравнения целых чисел по величине
и правила действий с неравенствами также вытекают из
соответствующих правил в кольце С. Эти же правила
следуют и из определения расположенного кольца (§ 12).
Теорема 16,1. В кольце целых чисел С выполняется
аксиома Архимеда, т. е. для любых целых чисел а и Ь, где
b > 0, всегда найдется такое натуральное число п> что
будет выполняться неравенство nb> а.
Доказательство. Если а < Ь, то достаточно
взять п = 1, так как 1 • Ь > а. Если же а >- Ь, то числа*
а и b — оба натуральные, а для натуральных чисел
аксиома Архимеда выполняется (теорема 4,10). Таким образом,
кольцо целых чисел С архимедовски расположено.
В средней школе после введения натуральных чисел
и нуля вводятся обыкновенные и десятичные дроби, что
в основном соответствует историческому ходу развития
понятия числа, но можно было бы сразу после введения
натуральных чисел и нуля ввести целые отрицательные
числа, а потом уже ввести дроби. Однако это вопрос методики
преподавания математики в школе.
Глава 3
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
§ 17. Построение поля классов пар целых чисел
В определении 11,24 полем было названо
коммутативное кольцо Р, содержащее по меньшей мере два различных
элемента, в котором уравнение Ьх = а при Ъ Ф 0 всегда
имеет решение. Кольцо целых чисел полем не является,
так как в нем, например, уравнение Ъх = 5 не имеет
решения.
Определение 17,1. Полем рациональных
чисел называется минимальное поле, являющееся
расширением кольца целых чисел.
81

Поле рациональных*чисел будем строить по существу
так же, как это сделано при построении кольца целых
чисел С. Предположим, что поле рациональных чисел
существует, которое будем обозначать буквой R, и исследуем его
необходимые свойства. Прежде всего в этом поле
уравнение Ьх = а, где а и Ь — любые целые числа, причем Ъ Ф О,
должно иметь решение. Если а делится на Ь, то х — целое
число, если же а не делится на Ь, то х — элемент поля R,
не являющийся целым числом. Так как в любом поле
уравнение Ьх = а при Ь Ф О имеет единственное решение (11, 22),
то и в поле R элемент х должен определяться парой (а, Ь)
целых чисел однозначно. Пусть уравнения Ьх = а и dy =
= с, где Ъ Ф 0, d Ф О, а и с — любые целые числа, имеют
равные решения х = */, которые подставлены в эти
уравнения вместо неизвестных. Умножая обе части первого
равенства на dt а второго равенства на Ь, получим:
bdx = ad и bdy = be. (a)
Следовательно, если две пары целых чисел (а, Ь) и (с, d)
определяют одно и то же число из R, то должно
выполняться равенство
ad = be. (1)
Если же х и у — любые элементы поля R, то, складывая
почленно равенства (а), получим: bd (х + у) = ad + be.
Таким образом, сумма решений уравнений Ьх= а и dy =
= с должна определяться парой целых чисел
(ad + be, bd). (2)
Перемножая почленно равенства Ьх = а и dy = г,
получим: bdxy = ас. Следовательно, произведение решений
уравнений Ьх = а и dy = с должно определяться парой
целых чисел
(act bd). (3)
Рассмотрим теперь множество М всевозможных пар
целых чисел (а, Ь) при Ь Ф 0, причем две пары (а, Ь) и (Ьу а)
будем считать, вообще говоря, различными. Для удобства
в дальнейших рассуждениях каждую пару (а, Ь) целых
чисел будем обозначать через —, т. е. положим, по опре-
ь
делению,
82

й будем называть эту пару дробью. Руководствуясь
полученными выше выводами (1), (2), (3), определимв
множестве М отношение эквивалентности, сложение и
умножение и исследуем их свойства.
Определение 17,2. Две дроби — и — называ-
и w
ются эквивалентными тогда, и только тогда, когда ad = be,
т. е.
b d
Следствие 17,3. Отношение эквивалентности
дробей обладает свойствами рефлексивности, симметричности
и транзитивности, т. е.
" f ~т •
Лч а с с а
2) из следует — ~ —,
ой а о
rtv а с с ш am
3) из т и — следует —.
b а а п Ъ п
Все эти свойства легко проверяются непосредственно по
определению 17,2. Например, проверим выполнение
свойства 3.
Из ad = be и сп = dm следуют равенства adn = ben,
ben = bdm, adn = bdmt а из последнего равенства следует
t «, am
an = bmy т. е. .
b п
Следствие 17,4. Если оба компонента дроби —
ь
умножить на одно и то же целое число k Ф О, то получим
дробь —, эквивалентную дроби —.
bk b
Доказательство. Из akb = abk следует .
bk b
Определение 17,5. Суммой двух дробей— и —
Ъ d
называется дробь
ad + Ьс а , с ad + be
bd ' b ^ d bd #
л с
Следствие 17,6. Если в сумме —+ —
о а
заменить
83

слагаемые дробями, им эквивалентными, то результат будет
эквивалентен первоначальному результату.^
Доказательство. Пусть ^~~ и -~Г~-^7-
Из аЬ' = а'Ь следует ab' dd' = a'bdd'.
Из cdr = c'd следует crf'W = c'dbb\
Почленным сложением правых равенств получаем:
ab'dd' + cd'W - a'bdd' -f *'dta\
Откуда следует
ad + fa _ a'd' + b'c'
bd ~ b'd'
Определение 17,7. Произведением двух дробей —
ь
с * ас а с ас
и — называется дробь — . т. е. — • — = — .
d bd' b d bd
Следствие 17,8. При замене обоих сомножителей
дробями, эквивалентными этим сомножителям, получается
результат, эквивалентный первоначальному результату.
Доказательство. Пусть — — и — —.
b V d a"
Тогда ab' = а'Ь и cdr = c'd.
Из последних равенств получаем: acb'd' = a'c'bd, т. е.
ас oV
bd b'd''
Методом полной математической индукции следствия
17,6 и 17,8 распространяются на любое конечное число
слагаемых и сомножителей.
Отношение эквивалентности, установленное в
определении 17,2, обладает свойствами рефлексивности, симметрии
и транзитивности (следствие 17,3), а поэтому, по теореме
13,8, оно полностью определяет разбиение множества М
всех дробей — на классы попарно эквивалентных элемен-
b
тов. Класс, которому принадлежит дробь —, будем обоз-
ъ
начать через К (—).
Рассмотрим множество всех таких классов, которое
обозначим через R. Из теоремы 13,9 следует, что
84

К ( —) = К ( —) тогда, и только тогда, когда ^ —
\ Ь I v d J b d
Этим полностью определяется отношение равенства для
элементов R.
Определение 17, 9. Суммой двух классов из R
называется тот класс, которому принадлежит сумма
каких-нибудь представителей слагаемых.
По следствию 17,6, сумма классов не зависит от выбора
представителей елагаемых.
С л е д с т в и е 17,10. В множестве R выполняются
первые три аксиомы коммутативного кольца.
гт 1 v \я я 1 с ad + be
Доказательство. 1) Из 1- — = —1 =
cb + da с \ а
- - = -г+— следует
b ' d bd
db d b
«(i)+«(i)-«(i)+«(T>
0\ И ( a -I- c \ -1- m — odn+bcn+bdm __ a .
I 6 d J я bdn ~~ T *~
+ (у+т) следует
Кт)+*(т)]+*(т)-*(т)+
+Ki)+*(v)]-
3) Для отыскания решения уравнения
поступим следующим образом: сначала предположим, что
уравнение j =— имеет решение — которое уже
d у Ь у
подставлено в это уравнение, тогда
су^ = -^. Ьсу + bdx = ady,
dy ь
bdx = (ad-be)у, ~ — =ad-hc
у bd
85

т.
е.
с \<*d — bc bed 4- ad2 —
Т ' bd ^ bd2
с , х
решением уравнения 1
d и
эквивалентности будет дробь
х ad — be
Т bd
bed
х=
•
тк
а
Ь
ad?
bd*
С
а
~~ ь '
точностью
До
Таким образом, решением уравнения К[—) "Ь^Ч") —
= К (—-) будет класс
*№)-*(т)-*(т)-
Этим доказано выполнение всех указанных аксиом.
Следовательно, для множества R справедливы все следствия,
вытекающие из определения группы (§ 11):
а) Нулем в этом множестве является класс К (—) •
где с — любое целое число, отличное от нуля, так как
а , 0 ас ja_
Т~ ~*~ ~Т ~~ 1к Ь
б) Элементом, противоположным классу К I —\, будет
класс К (— |, так как
а , -—а __ ab — ab __ О О
b "*" b ~" Ь2 ~~ б2 6
Определение 17,11. Произведением двух
классов из R называется тот класс, которому принадлежит
произведение каких-нибудь представителей
перемножаемых классов.
По следствию 17,8, произведение классов не зависит
от выбора представителей сомножителей.
Следствие 17,12. Вмнжестве классов R
выполняются последние три аксиомы коммутативного кольца.
Доказательство.
л\ хх Q> e с а
4) Из — . — = — . — следует
b d d b
86

«(т)-*(т)-*(т)-*(т)-
5>Из (т) • (т • т)- (т • т) • (т)слыует
*(т)-И7)-к(т}]-И7)-*(7)]-^7)
., „ ale т \ а с , а т „„„„„„„,
* Т(Т+Т)=Т ' Т+~ь ~ слеДУет
*(т)Ит)+Мт)Н(т)«(т)+"
+*(т)-«(т)-
Сами же посылки легко проверяются непосредственным
вычислением обеих частей каждого равенства и сравнением
полученных результатов, с точностью до эквивалентности.
Следствие 17,13. Уравнение К ( — \ •/<"(—] =
-- /(* | А \ при с =^= 0 всегда имеет решение в множестве Ж
Доказательство. Решением этого уравнения бу-
r^ / ad \ г-. с ab acd a
дет класс К — . Это следует из — • — = — ~— •
\ Ьс ] d be bed b
Следствия 17,10; 17,12; 17,13 показывают, что построенное
множество классов R попарно эквивалентных дробей
является полем. Все следствия, вытекающие из определения поля,
справедливы и для построенного поля R. Единицей этого
поля будет класс #(--)> гДе с — любое целое число,
отличное от нуля, так как всегда
а с __ ас а
be be b
§ 18. Сравнение классов попарно эквивалентных дробей
и действия с неравенствами
Определение 18,1. Назовем дробь — положитель-
b
ной ( — > 0 ], если ab > 0; нулевой ( — = 0 ) , если
йЪ =» 0; отрицательной (— < 0 ), если ab < 0.
87

Так как кольцо целых чисел С расположено (теоремы
15,3—15,6), то для каждой дроби — имеет место одно,
и только одно, из соотношений:
либо — > 0 , либо — = О, либо — < 0.
b b b
Определение 18,2. КлассК[—) называется
положительным классом, если все его представители
положительны; класс К (—) называется нулевым
классом, если все его представители нулевые
дроби; класс К (— ) называется отрицательным -
классом, если все его представители отрицательны.
Теорема 18,3. Для любого класса К (— ] имеет
место одно, и только одно, из свойств: К (—)
положителен, К I — ) нулевой класс, К ( —) отрицателен.
Доказательство. Пусть аЬф 0 и — ~—. Из
b d
ad =» be следует (ab) • (cd) « b2c% — (be)2 > 0 (be не может
равняться нулю, так как тогда было бы с =« d = 0, что
следует из равенства ad = be). Если ab > 0, то cd > 0;
если ab<0t то cd<0. Следовательно, если в классе
К (— j содержится положительная дробь, то и все
представители этого класса положительны; если в К I—)
содержится отрицательная дробь, то и все представители
этого класса отрицательны; все нулевые дроби, и только
они, содержатся в одном и том же классе.
Теорема 18,4. Сумма и произведение
положительных классов из R положительны.
Доказательство. Пусть/С ( —) и/С/ —)
—положительные классы, т. е. ab > 0 и cd > 0 для любых
представителей этих классов. Достаточно показать, что
а , с ad 4- be _ Л а с ас _ Л
b l d bd b d bd
88

Иза6>0 и of>0 следуют неравенства: abd*~>G
b*cd > 0, (ad + be) (bd) - аМ2 + 62cd > 0, (ac) (6d> J
**(a&). (erf) > 0.
Из последних двух неравенств следует справедливость
утверждения.
Если определим К[ — \> К (— ) тогда, и только тогда,
когда разность К (~-) — К ( -М - К ( ad~bc )
положительна, то в поле R будут выполнены все аксиомы
скалярного расположения (теорема 12,7), т. е. поле R будет
расположенным полем. Отсюда вытекает справедливость
всех следствий, которые могут быть получены из системы
этих аксиом (см § 12).
Абсолютная величина класса К (— ) определяется
точно так же, как и для элементов любого расположенного
поля. Все свойства абсолютных величин расположенного
поля справедливы для абсолютных величин поля R.
§ 19. Построение поля рациональных чисел
Рассмотрим множество всех классов из Rt в каждом из
которых содержится дробь вида —, где а — любое целое
число. Обозначим это множество через С. Два класса
К[—) и К[ —) из С будут равными тогда, и только
тогда, когда а = 6, так как из — всегда следует
а =» Ьу и обратно. Этим устанавливается взаимно
однозначное соответствие между элементами множества С и всеми
числами кольца С. Это соответствие будет изоморфным
относительно сложения, умножения и отношения «больше»,
установленных в этих множествах, так как из
«(т)+*(т)-*(тМ(тМт)-*(т)-
*(т)>«(т)
89

\
всегда следую? верные соотношения
а-|-ь » с, ab=*d, a>b%
и обратно. По следствию 13,4, существует поле Rt
содержащее в себе в качестве подкольца (каждое поле есть
кольцо) кольцо целых чисел С, причем R ^ R.
Искомое поле R строим следующим образом: каждый
класс вида КI —) заменяем целым числом а, а все
остальные элементы поля R оставляем на месте. Правила
сложения, умножения и сравнения по величине для чисел
полученного поля R с необходимостью вытекают из
соответствующих правил в поле R.
Элементы поля R называются рациональными
числами, а целые числа, рассматриваемые как элементы
поля R, называются целыми рациональными
числами.
Проще всего поле R получается из поля классов
попарно эквивалентных дробей R, если в каждом классе
отождествим все дроби, т. е. будем считать любые эквивалентные
дроби —~ — лишь различными обозначениями одного и то-
Ь d
го же рационального числа. При таком соглашении любая
дробь класса К( -у-) будет обозначать целое число я.
Таким путем получим обычные обозначения рациональных
чисел в виде дробей—, где а называется числителем,
ь
а 6 — знаменателем этой дроби.
Теперь определение 17,2 превращается в такое опреде-
* с а
ление: две дроби— и— называются равными тогда, и
только тогда, когда ad = be.
Следствие 17,4 обосновывает возможности приведения
дробей к общему знаменателю и сокращения дробей.
Сложение и умножение дробей производятся по
определениям 17,5 и 17,7.
Правило вычитания дробей вытекает из следствия 17,10:
.2. — с — ad — bc
Ь d~~ bd
90

При сравнении дробей по величине будем всегда
считать знаменатели этих дробей положительными числами
(если у дроби - знаменатель Ъ окажется отрицательным,
то умножаем числитель и знаменатель на — 1).
а с ad — be я "> с _». _, ^ ,
Из -г - -г = —-гг- получаем: -> т ^ ad > bo.
Ь d bd Ь < d <
Минимальность поля R следует из того, что любое
поле, являющееся расширением кольца целых чисел С,
должно содержать все дроби —, т. е. должно содержать в себе
ь
поле R в качестве подполя, так как это поле обязано
содержать решения всех уравнений вида te = oc целыми
коэффициентами, где b Ф 0.
Теорема 19,1. Поле рациональных чисел R
архимедовски расположено, т. е. в поле R выполняется аксиома
Архимеда.
Доказательство. Пусть — и — произвольные
b d
рациональные числа, где — > 0. Если — < —, то до-
d ь d
статочно взять я=1, так как 1- — >—. Если же
d b
— > —, то ad > bey 0. Для целых чисел ad и be аксио-
ъ d
ма Архимеда выполняется, т. е. найдется такое
натуральное число я, что будет выполняться неравенство nbc>ad
(теорема 16,1). Из последнего неравенства следует
с _■■ пс у а
d d b '
Теорема 19,2. Поле рациональных чисел R обладает
свойством плотности, т. е. между двумя произвольными
различными рациональными числами заключено по меньшей
мере одно рациональное число.
Доказательство. Пусть — > —, где Ьи d — це-
b d
ad -Ь be *
лые положительные числа, тогда число ——Л— и будет
26а
одним из чисел, удовлетворяющих условиям
a ad + be с
Ь 2bd d *
w

. t a ad-\-bc 2ad — ad —be
TakKaKHsarf>fcH ^—= —
"d-bc >0 следует JL> _£l±i*£_.
2Ы & 2Ы
ad + be с ad + be — 2bc ad — 6c ^ Л
а из = = > и
Слегка d 2bd 2bd
ad + be ^ с
ДУет —^тт- >~т-
26d d
Кольцо целых чисел С этим свойством не обладает
(см., например, теорему 4,11).
Глава 4
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Во введении уже указывалось, что одних рациональных
чисел недостаточно для решения алгебраических
уравнений с рациональными коэффициентами, для измерения
величин, для построения теории пределов. Рассмотрим
теперь кратко вопрос измерения отрезков, что даст
возможность получить одно из возможных направлений развития
понятия числа.
Задача измерения отрезков.
Установить систему измерения отрезков — значит
каждому отрезку а поставить в соответствие некоторое
положительное число 1(a), называемое длиной этого отрезка,
причем должны выполняться следующие свойства:
1. Некоторый, наперед заданный отрезок е имеет дли*
ну 1, т. е. 1(e) = 1.
Этот отрезок будем называть эталоном длины*.
2. Равные отрезки имеют равные длины, т. е. из а =
= Ь следует 1(a) = / (Ь).
3. Если а + Ь = с, то 1(a) + 1(b) = 1(c).
Из элементарной геометрии известно, что общей мерой
двух отрезков называется отрезок, который «укладывается»
целое число раз в обоих отрезках. Отрезки, имеющие об-
* На практике в качестве эталона длины принимается метр.
Согласно резолюции, принятой 14 октября I960 года XI Генеральной
конференцией по мерам и весам, 1 метр определяется как длина, равная
1650 763,73 длины волны излучения в вакууме, соответствующего
оранжевой линии спектра изотопа криптона с атомным весом 86*
92

тую меру, называются соизмеримыми, а отрезки, не
имеющие общей меры, — несоизмеримыми отрезками! Выберем
какой-либо отрезок е, длину которого будем считать
равной единице (1(e) = 1). Если отрезок а соизмерим с
эталоном длины е, то существует общая мера отрезков а и е9
которую обозначим через d. Пусть эта общая мера d
укладывается в эталоне длины q раз, а в отрезке а
укладывается р раз, тогда длиной отрезка а будет рациональное
положительное число —, т. е. длиной отрезка, соизмеримого
с эталоном длины, всегда будет положительное
рациональное число. Легко убедиться, что установленная таким
образом система измерения отрезков, соизмеримых с
эталоном длины, удовлетворяет всем трем требованиям задачи
измерения отрезков (подробнее см. § 27). Из этого следует,
что для измерения отрезков, соизмеримых с эталоном
длины, достаточно одних положительных рациональных чисел.
Если дано положительное рациональное число — , то,
я
разделив эталон длины е на q разных частей и откладывая
одну такую часть на прямой от выбранной на ней точки
р раз, получим отрезок — е, длина которого будет — .
я я
Полученный таким путем отрезок—е будет соизмерим с эта-
, q
лоном длины е, так как отрезок —е будет их общей мерой,
я
т. е. всякое положительное рациональное число является
длиной некоторого отрезка, соизмеримого с эталоном
длины е. Если допустить, что имеется отрезок с,
несоизмеримый с эталоном длины, длина которого будет
рациональным числом —, то получим, что два различных отрезка
Я
имеют одну и ту же длину. Значит, если отрезок
несоизмерим с эталоном длины, то его длиной не может быть
рациональное число. Следовательно, для установления
системы измерения отрезков необходимы новые числа, не
содержащиеся среди рациональных.
Пусть (черт. 5) дан некоторый отрезок АВ (соизмеримый или
несоизмеримый с эталоном длины е). Разделим отрезок е на k
равных частей, где k > 1—некоторое натуральное число, и
будем откладывать отрезок — е на отрезке АВ отточки Л по
93

направлению к точке В. По аксиоме Архимеда, рассматри.
ваемой в геометрии, всегда найдется целое неотрицатель
ное число рг такое, что будут выполняться неравенства:
АВХ = ^е < АВ< -^±Le = АВ2.
k к
А\ 1 1 1
Вг В В2
Черт. 5
Если длину отрезка АВ обозначим через I {АВ), то из по-
лученных неравенств следует
Рациональное число — называется приближенным зна-
k
чением длины отрезка АВ по недостатку с точностью до
—, а число £l± приближенным значением этой длины
k k
по избытку с точностью до —. Если вместо числа k вы-
k
берем число k\ то таким же путем получим неравенства
§.</(лв)<а±!.
Продолжая этот процесс для чисел £3, №, ..., &",...,
получим две последовательности рациональных чисел
£l 2! £±
Pi + l P2 + I Ря+1
k ' k* A» ' "•• "
Таким образом, при измерении любого отрезка всегда
можно прийти к некоторой последовательности
рациональных чисел, конечной или бесконечной.
Оказывается, что, исходя из некоторых свойств
последовательностей рациональных чисел, можно построить чис-
94

ловое поле, содержащее в себе поле рациональных.чисел,
которое вполне обеспечит возможность измерения любых
отрезков и даст возможность решать многие другие вопросы,
неразрешимые с помощью лишь одних рациональных
чисел. Поэтому рассмотрим необходимые нам для
дальнейшего свойства последовательностей рациональных чисел,
но перед этим установим некоторые свойства
последовательностей любого расположенного поля.
§ 20. Фундаментальные последовательности и их свойства
Пусть дана последовательность элементов некоторого
расположенного поля Р (см. определение 6,2 и
определение 12,1)
#i> tl%y ... 9 Un, . . . •
Определение 20,1. Элемент Л поля Р называется
пределом последовательности {ип}9 если для любого
элемента е > 0 поля Р найдется такое натуральное число iVs
(зависящее вообще от е, поэтому пишут N& ), что для всех
п > Ne будет выполняться неравенство
\А-ип\ = \ип — А\<г.
Если элемент Л —предел последовательности {ип}> то
пишут
limun = Л.
Я—> оо
Так как в дальнейшем изложении будет встречаться только
этот случай, то мы будем писать без указания, что я-*оо,
т. е.
lim«„ = Л.
Говорят также, что последовательность [ип] сходится к
элементу Л, а самоё последовательность, имеющую предел,
называют сходящейся последовательностью в поле Р.
Теорема 20,2. Всякая сходящаяся
последовательность имеет один, и только один, предел.
Доказательство. Предположим, что
последовательность {ип} имеет два различных предела Л и 5,
причем, не нарушая общности доказательства, можем считать,
что Л>£. Из А>В следует ^—^>0.
95

По определению 20,1, Для элемента -у- найдутся
натуральные числа Nx и Nz, «ето при всех п > Nx будет
выполняться неравенство
\un-A\<tz±. (1)
и при всех л > N2 будет выполняться неравенство
\un-B\<±f*. (2)
Если выберем N > max (Nv Nz), то при всех я > N будут
выполняться оба неравенства 1 и 2. Тогда при всех п> N
будем иметь:
+ |«„-В|<^ + ^ = Л-Я,
т. е. получаем противоречие А—5<Л—5. Теорема
доказана.
Теорема 20,3 (критерий сходимости). Для того
чтобы последовательность \ип\ была сходящейся, необходимо,
чтобы для любого элемента е > 0 существовало такое
натуральное число N9 , что при всех п > Ыг и любом
натуральном числе р выполнялось бы неравенство
Доказательство. Пусть \\тип — А. Тогда, по
определению предела, для любого е > 0 найдется такое
натуральное число N6 > что при всех я>#е и любом р
будет выполняться не только \ип — Л|<е, но и
\ип — А | < —. (Вообще для выполнения неравенства
\ип — А | < — потребуется натуральное число Nt t
большее, чем Nv необходимое для выполнения неравенства
\ип — Л|<е.) Из этого следует, что при всех n>Nt и
при любом натуральном числе р будем иметь:
\ип+р-ип\ в1«я+р-Л + Д-11я| <| ип+р-А\ +
96

Определение 20,4. Последовательность {ип}
элементов расположенного поля Р называется
фундаментальной, если она удовлетворяет критерию сходимости,
т, е. если для любого элемента е > 0 из Р существует
такое натуральное число Ыг , что из n>Nt при любом
натуральном числе р будет следовать неравенство
Следствие 20,5. Всякая сходящаяся последователь-
ность {ип} элементов расположенного поля Р является
фундаментальной. В частности, пocлeдoвateльнocть {и},
все члены которой равны друг другу,— фундаментальная.
Доказательство проведено в теореме 20,3.
Теперь критерий сходимости последовательности эле-
ментов расположенного поля Р можно сформулировать
так: для того чтобы последовательность {ип} была
сходящейся в поле Р, необходимо, чтобы она была
фундаментальной. Будет ли всякая фундаментальная последовательность
элементов поля Р иметь предел в поле Р? Ответ
существенно зависит от свойств самого поля Р.
Следствие 20,6. Если в неравенстве | ип+р — ип < е
положим т = я + р, то определение 20,4 можно
сформулировать в форме: последовательность {ип} элементов
расположенного поля Р называется фундаментальной, если
для любого элемента е > 0 из Р существует такое
натуральное число Nt , что при всех т% n > N^ будет
выполняться неравенство
К — и» К *.
Последнее неравенство выполняется и при m = п9 так
как | ит — ит | = 0 < е при любом т.
Далее, в зависимости от удобства, мы будем
пользоваться любым из этих двух определений фундаментальной
последовательности.
Теперь будем рассматривать только последовательности
рациональных чисел. Все определения и свойства
последовательностей, рассмотренные в §20, целиком переносятся
и на эти последовательности.
4 Заказ 375
97

§ 21. Свойс^а фундаментальных последовательностей
рациональных чисел
Теорема 21,1. Всякая фундаментальная
последовательность рациональных чисел {ип} ограничена, т. е.
существует такое положительное рациональное число М%
что выполняется неравенство |и„| <Л1 при любом п.
Доказательство. Фиксируем такое натуральное
число я0, чтобы неравенство \ит — и„ | < 1 выполнялось
при всех т > л0. Это сделать можно, так как
последовательность {ип} — фундаментальная. При всех т> п0 будет
выполняться неравенство \ит\<.\и„ [+1, так как
Из того, что л0 фиксировано, следует, что
последовательность
к!, Ы. -. , K0|,KJ + i .
будет состоять лишь из конечного числа nQ -f-1 членов,
поэтому найдется такое положительное рациональное
число М, что оно будет больше любого члена этой
последовательности, т. е.
M>max[\ul\9\ut\ \и„о |,| ич | + 1}.
Следовательно, | ит | < М при любом т. Утверждение
доказано.
Само собой разумеется, что для различных
последовательностей и числа М будут различны, вообще говоря, но
если последовательностей будет конечное число, то всегда
можно найти число М настолько большое, что неравенство
| ип |< М будет выполняться для любой из данных
последовательностей.
Далее установим правила сложения, умножения,
вычитания и деления для фундаментальных
последовательностей рациональных чисел и свойства этих действий.
98

Опр еделение 21,2. Суммой, разностью и
произведением двух фундаментальных последовательностей {ип}
и [vn] называются соответственно последовательности:
{«« + »яЬ K — Vnh Kvnh
Теорема21,3. Сумма, разность и произведение
фундаментальных последовательностей являются снова
фундаментальными последовательностями.
Доказательство. Пусть {ип} и {vn}— две такие
последовательности и задано положительное рациональное
число е. Выберем число Ne такое, чтобы выполнялись
неравенства \ип+р — ип |<~- и \vn+p — vn\ < -|- при всех
n>Ne и любом натуральном числе р.
Для суммы и разности имеем:
\(ttn+p±vn+p)-(un ±vn)\=\(un+p-un)±
±(Vn+p-Vn)\<\Un+p-»n\ + \Vn+p-VnV<J + J = *
Так как последовательности {ип) и {vn} ограничены, то
для них найдется такое положительное число М, 'что
будут выполняться неравенства \ип\<М и \vn\<<M при
всех п. Так как эти же последовательности обе
фундаментальные, то для любого е>0 найдется натуральное
число Ne такое, что при всех n>Ne будут выполняться
неравенства
\и„>п— ип\<— и 11>_.я — v„I < — .
i п+р nl 2М [ п+р п' 2М
Отсюда для произведения этих последовательностей
получаем:
I vn+p vn+p - ип v J - | ип+р vn+p - ип+р vn + ип+р vn -
-ч.vn\<\un+P\ •1%-°в1+к1'|и4р-«я1<
2M ' 2/H 2 ' 2
при всех п > iVtf. Утверждение доказано.
Следствие 21,4. Для сложения и умножения
фундаментальных последовательностей рациональных чисел
4* 99

справедливы законы ассоциативности, коммутативности
и дистрибутивности, так как оба эти действия сводятся к
сложению и умножению рациональных чисел, для которых
эти законы справедливы.
Определение 21,5. Последовательность
рациональных чисел, сходящаяся к нулю, называется
нулевой последовательностью.
Теорема 21, 6. Сумма и разность нулевых последо*
вательностей снова будут нулевыми последовательностями.
Произведение любой фундаментальной последовательности
\vn) на нулевую последовательность будет нулевой
последовательностью.
Доказательство. Сходимость к нулю после дова-
тельности \ип) означает, что для любого рационального
е > 0 найдется такое Net что будет выполняться
неравенство \ип — 01 = | ип | < е при всех п > Ne.
1. Пусть имеем две нулевые последовательности {ип} и
{vn}. Для любого е>0 найдется такое Nef что будут
выполняться неравенства |ип | < — и \vn\ < -~ при всех
n>Ne. Тогда для суммы и разности будем иметь:
K±t>„l<Kf+KI<-f- + f = e
при всех п > Ne.
Методом полной математической индукции это свойство
распространяется на любую конечную алгебраическую
сумму нулевых последовательностей.
2. Так как {vn} ограничена, то существует такое
рациональное число М > 0, что | vn) < М при любом п. Для
любого е > 0 найдется такое число Ne, что будет
выполняться неравенство | ип | < — при всех п > Ne, так как
{ип} — нулевая последовательность. Следовательно,
l"*«UH««I-|tU<^-Af = *
при всех п > Ne.
Определение 21,7. Фундаментальная
последовательность рациональных чисел {ип} называется
положительной последовательностью, если для нее
существуют рациональное число А>0 и натуральное число N
100

f
! такие, что будет выполняться неравенство ип > k при всех
Теорема 21,8. Сумма и произведение
положительных последовательностей снова положительны.
Доказательство. Пусть «я>&>0 при всех
я>Л^и 1>й > / > О при всех п>N2. Если выберем
N > max (Nv N2), то при всех п > N будут выполняться
неравенства ип + vn > k + / > 0 и иЛ ап > £/ > 0.
Определение 21,9. Если последовательность {ыя}
положительна, то последовательность {vn} = {—ил}
называется отрицательной последовательностью.
Отрицательная последовательность обладает тем
свойством, что для нее найдутся рациональное число fe>0 и
натуральное число N, что при всех п > N будет
выполняться неравенство vn =—ы„< — Л, так как из ил>£>0
при всех n > # следует vn = — ия < — k при всех л>#.
Теорема 21,10. Сумма отрицательных
последовательностей отрицательна, произведение их —
положительно. Произведение положительной и отрицательной
последовательностей — отрицательно.
Доказательство. Из ип< — £<0 и vn<— /<0
при всех п > N следуют
"Я + 0Я< —(* + 0<0 и unvn = (-un).(~vn)>kl>Q.
Если ня > £ > 0 и 1>я < — /<0 при всех л>JV, то
при тех же значениях л будут выполняться неравенства:
М— »*) > *' > 0. а «л^л < — *' < °-
Положительные и отрицательные последовательности
обладают тем свойством, что абсолютные величины их чле-
* нов при всех достаточно больших значениях п будут
больше некоторого положительного рационального числа k > 0.
Само собой разумеется, что значения числа k для
различных последовательностей, вообще говоря, будут
различными, но для конечного числа таких последовательностей
всегда можно найти общее значение k > 0.
Теорема 21,11. Если ни {ип}, ни {—ип} не
положительны, то фундаментальная последовательность {ип}
будет нулевой последовательностью.
Доказательство. Из условия теоремы следует, что
для любых / > 0 и натурального числа N всегда найдутся
такие пх> N и п2> N, что
101

Так как если бы для любого пгу> N выполнялось бы не-.~
равенство ил >—, то {ня} была бы положительной
последовательностью; если же для любого п% > N было бы
— ич > —, то {а„} была бы отрицательной
последовательностью. Оба эти предположения противоречат условию"
теоремы. Учитывая, что {ип\ и {—ип} — фундаментальные
последовательности, выберем число N настолько большим,
чтобы при пх> N, П2> N и всех п> N выполнялись
неравенства:
S<Y'~"«2<T' \un~un1\<-\>\Vn—Un2\<-7£-
Тогда будем иметь при всех n>JV
«»= "л—«Я1 + s < К — «ц 1+«Я1 < y + Y e z
и
—Ц| = «Л2 —"«—"«2 <!«Я2 — ц»! — ^2 < y + Y e1
Из этих неравенств следует неравенство | ип | < / при всех
n>N.
Так как / > 0 произвольно, то из [ ип | < / следует, что
{ип} — нулевая последовательность.
Следствие 21,12. Для любой фундаментальной
последовательности рациональных чисел имеет место одно, «
и только одно, из трех свойств: либо {ип} — нулевая, либо
{и^ — положительна, либо {ип} — отрицательна.
Теорема 21,13. Если \ип) и {оп}—дее
фундаментальные последовательности рациональных чисел, причем
{vn} не нулевая последовательность и не имеет равных
нулю членов, то частное [—} этих последовательностей
тоже будет фундаментальной последовательностью.
Доказательство. Пусть выбрано я> 0, тогда, по
условию теоремы, найдутся такие числа М > 0, k > О, Nv
N2> #з> чт0 будут выполняться неравенства: \ип\<М при
102

всех п, \vn\>k при всех п> Nv |«„+p — «„!< у при
всех n>N* |0л+р-»я|<-
всех л > iV > max (Nx, JV2, iV3) будем иметь
ek2
' —• при всех л > ЛГ8. Тогда при
"п+Р
«W*
И«+Р-
">>+Р
°«+Р
ип+р
"п+р
<
<K+J
уп+р-
"*+*|
Г1 l
<м
2M*2"+" 2k ~~
Определение 21,14. Две фундаментальные
последовательности рациональных чисел {ил( и {vn} называются
эквивалентными, если их разность {ип — vn) является
нулевой последовательностью.
Теорема 21,15. Отношение эквивалентности
последовательностей рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Доказательство. 1. {иЛ}~{ил) следует из
\ип — ип\ = 0<£ Аля любого п. 2. Из {ия}~{0п} следует
{ул}~{ил} в силу определения 21,14. 3. Из {и„}—[vn] и
\vn} ~ {wn} при всех достаточно больших значениях п
следуют
-wn
Jn \
-W,
i\<\Un — Vn\ +
-w„
<T +
e,
т. е.
К) ~ КЬ
Теорема 21,16. Любые две нулевые
последовательности эквивалентны, если одна из эквивалентных
последовательностей положительна, то и другая последовательность
положительна', если одна из эквивалентных
последовательностей отрицательна, то и другая — отрицательна.
Доказательство. Для нулевых
последовательностей утверждение следует из определения 21,14 и
теоремы 21,6. Пусть теперь \ип) ~ {vn}, где ип > k > 0 при всех
k
n>Nv Тогда из \un — vn\< — при всех л>#2 следует
при всех п > Af > max (Nv М2),
103

Если же и„ < — / < О при всех л > Afx и | un—vn \ < -i
при всех л >#2, то при всех л > /V > max (W х, А^) будем
иметь:
*« = «« — («л — »К«л+1«я- ^1<— /+^==— ^<°-
Т е о"р е м а 21,17. Если в фундаментальной
последовательности \ип) отбросить конечное число ее первых членов,
то оставишяся последовательность будет эквивалентна
первоначальной последовательности.
Доказательство. Пусть в фундаментальной
последовательности [ип] отброшены первые р членов, гдер —
любое натуральное число, тогда останется
последовательность {vn}9 общий член которой будет vn = unJ^p. Так как
последовательность \ип) фундаментальная, то для любого
е > 0 найдется такое Ne, что при всех п > Ne и любом
натуральном р будет выполняться неравенство \vn — ип\=
=К+р — ип\<е> из которого следует, что 1»я}~{ил}.
Теорема 21,18. Если одна из эквивалентных
последовательностей {ип}, \vn) имеет предел г, то и другая
последовательность имеет тот оке предел.
Доказательство. Пусть \un — vn\ <— при всех
п > Nx и \ип — г | < — при всех п > N2. Тогда при всех
At
п > N > max (tf 1( N2) будем иметь:
К — М = к — "/. + «* — 'КК — "„1 +
+к-'К-§-+тв*
т. е.
Птоп = Нтил = г.
Т е о р е м а 21,19. £сли при слооюенииу вычитании, ум-
ножении и делении фундаментальных последовательностей
рациональных чисел компоненты заменить последователь-
* ностями, им эквивалентными, то и результаты соответст-
104

венно заменятся результатами, шива-гентными
первоначальным результатам.
Доказательство. Пусть{ы„}~{«^} и {»„}—[v'n). Из
I"«— и'п\< ~ и I vn — v'„ К у Для всех п > Ne следуют:
\(u„±vn) — (un±v'n)\ <(«„—«;! +
+ l».-'il<f+f-*
Для суммы и разности утверждение доказано.
Из ограниченности этих последовательностей следуют
| ип | < М и | v'n | < М для всех п, где М — некоторое
натуральное число. Из эквивалентности данных
последовательностей при всех л > Ne следуют неравенства
Тогда при всех п>» Ne для произведения получим:
\unvn — unv/\ = \unvn — unv'n + unv'n~uyn\<
<\Un\-\vn-v'J + \v'J.\un-u'J<M.£4 +
1 2М 2 l 2
Для частного при всех достаточно больших значениях
я > Ne будем иметь:
\ип\<Му \vn — v'n |< ^»k-"nl <у>
К'|>Л>0, |*я|>*>0.
Откуда при всех п> Ne получим;
KM*»-0»! j_
1 1 "я "я "я »» 1
1 \"п-и'п\ Mek2 . Mek
* \v'n\ 2Mk? ~^ 2Mk
|*ЯЫ"„|
105
I

Примечание. В теореме 21,13 была сделана оговорка отно*
сительно последовательности {vn}9 чтобы она не содержала членов,
равных нулю. Всякая не нулевая фундаментальная последователь^
ность, по замечанию к теореме 21,10» может содержать лишь
конечное число нулевых членов» Теперь если при делении встретится
такая последовательность, то ее, в силу теоремы 21,17, можно
заменить эквивалентной последовательностью, не содержащей нулевых
членов.
В теореме 21,15 было доказано, что отношение эквивалентности,
установленное в множестве М всех фундаментальных
последовательностей рациональных чисел, обладает свойствами рефлексивности,
симметрии и транзитивности, что позволяет разбить множество М на
классы попарно эквивалентных последовательностей, объединив в
один класс все последовательности, эквивалентные какой-нибудь од*
ной последовательности рациональных чисел [ип).
Следствие 21,20. Свойства фундаментальных
последовательностей рациональных чисел, принадлежащих
одному и тому же классу.
1. Если в классе содержится нулевая
последовательность, то и все последовательности этого класса-нулевые.
Такой класс будем называть нулевым Классом.
2. Если в классе содержится положительная
последовательность, то и все последовательности этого класса
положительны. Такой класс будем называть
положительным классом.
3. Если в классе содержится отрицательная
последовательность, то и все последовательности этого класса
отрицательны. Такой класс будем называть
отрицательным классом.
Эти три утверждения следуют из теоремы 21,16.
4. Если в классе содержится последовательность,
имеющая предел г, то и любая последовательность этого-же
класса имеет тот же предел г, что следует из теоремы
21,18.
Из следствия 21,20 получаем, что любая
фундаментальная последовательность рациональных чисел однозначно
определяет тот класс, которому она принадлежит. Эта
последовательность определяет также и свбйства всех
последовательностей этого класса.
Следствие 21,21. Два класса, которым принадлежат
последовательности {ип} и [vn)t тогда, и только тогда,
равны (совпадают), когда {un}~{vn}.
Теперь в нашем распоряжении имеются необходимые
средства для того, чтобы приступить к построению поля
действительных чисел.
т

§ 22. Система аксиом, определяющих поле
действительных чисел
Определение 22,1. Полем
действительных чисел называется любое множество £>,
содержащее по меньшей мере два различных элемента, в котором
установлено свойство элементов быть положительными
(> 0) и определены две алгебраические операции —
сложение и умножение, причем выполняются следующие
одиннадцать аксиом:
1) а + Ъ = Ъ + а для любых а и Ь из D.
2) (а + Ь) + с = а + (Ь + с) для любых а, &, с из D.
3) Уравнение b + х = а при любых а и Ъ из D имеет
решение в D.
4) ай =* Ьа для любых а и Ь из D.
5) (аб)с = а(Ьс) для любых а, bt с из D.
6) (а + 6)с = ас + Ьс для любых а, Ь> с из D.
7) Уравнение Ьх = а при любом а и 6 =£ 0 из D
имеет решение в D.
8) Для каждого элемента а из D имеет место одно, и
только одно, из свойств: а = 0, а > 0, — а > 0.
9) Если а>0и 6 > 0, то а + 6 > 0 и а& > 0.
По определению, полагаем, что а > Ь тогда, и только
тогда, когда а — Ь > 0.
10) (Аксиома Архимеда.) Для любых а и 6 из Dt где
6 > 0, всегда найдется такое натуральное число л, что
будет выполняться неравенство пЬ > а.
11) Любая фундаментальная последовательность {ап}
элементов из D имеет предел в D.
Если — а > 0, то а называется отрицательным
элементом поля D. Из этого определения следует, что
1) аксиомы 1—7 определяют любое поле,
2) аксиомы 1—9 определяют расположенное поле,
3) аксиомы 1—10 определяют архимедовски
расположенное поле,
4) аксиомы 1—11 определяют поле, которое называется
непрерывным полем.
§ 23. Интерпретация системы аксиом поля
действительных чисел
Рассмотрим теперь одну из возможных интерпретаций
системы аксиом поля действительных чисел на множестве
107

всех классов попарно эквивалентных фундаментальных
последовательностей рациональных чисел.
Определение 23,1. Действительным
числом называется любой класс попарно эквивалентных
последовательностей рациональных чисел, причем нулевой
класс называется нулем, положительный класс —
п оложительным действительным числом,
отрицательный класс — отрицательным
действительным числом.
Множество всех таких действительных чисел обозначим
через D, а сами действительные числа будем обозначать
малыми греческими буквами а, р, у» в,..., если не будет
сделано соответствующей оговорки. {ип} (3 а означает, что
\ип) является представителем действительного числа а или
\ип\ принадлежит числу а. Следствие 21,20 показывает,
что действительное число а полностью определяется любым
своим представителем. В частности, а — р тогда, и только
тогда, когда \ип) ~ \vn) £ р.
Определение 23,2. Суммой и произведением
действительных чисел аир называются действительные
числа у и б, которым принадлежат соответственно сумма и
произведение любых представителей, взятых по одному из
классов аир*
Так, если \ип) £ a, {vn} £ Р, {un + vn} Q у и {unvn} £ 6,
то, по определению, полагаем a -f- Р = у и ар = 6.
Из теоремы 21,19 следует, что сумма и произведение
действительных чисел а и Р не зависят от выбора
представителей этих чисел, а зависят только от выбора самих чисел
аир. Сложение и умножение, установленные этим
определением, являются алгебраическими операциями в
множестве D.
Произведем проверку выполнения аксиом поля
действительных чисел в множестве D. _
Теорема 23,3. В множестве D выполняются
аксиомы 1 — 9, т. е, множество D является расположенным
полем.
Доказательство. Выполнение аксиом 1, 2, 4, 5, 6
непосредственно следует из справедливости этих же свойств
для последовательностей рациональных чисел (следствие
21,4). Если {ип}£а и {i>„}£P, то решения уравнений
р 4- * = а и р*=а однозначно определяются
последовательностями
108

(В последнем случае [vn] не должна быть нулевой
последовательностью,)
Этим доказано выполнение аксиом 1 — 7 в множестве W.
Так как, по следствию 21,12, любая фундаментальная
последовательность либо положительная, либо нулевая, либо
отрицательная, то это же имеет место и для действительного
числа а, которому принадлежит эта последовательность.
Следовательно, в поле D выполняется восьмая аксиома
поля действительных чисел.
Выполнение девятой аксиомы следует из того, что
сумма и произведение положительных последовательностей —
положительны.
Правила знаков при умножении и делении
действительных чисел следуют из определения коммутативного
кольца (11,17), эти же правила следуют и из
непосредственного рассмотрения представителей чисел аир.
Абсолютная величина действительного числа а
определяется точно так же, как и для элементов любого
расположенного поля. Все свойства абсолютных величин
расположенного поля справедливы для абсолютных величин
элементов поля действительных чисел D.
Прежде чем проверять выполнение аксиомы Архимеда,
докажем теорему:
Теорема 23,4. Если а — действительное число и
\ип) £ а, то из ип<М при всех достаточно больших
значениях я > Ыг следует а <М; из ип>М при всех до-
статочно больших значениях п > N2 следует а > М,
где М — некоторое рациональное число.
Доказательство. Из ип — М < О при всех я>Nx
следует, что фундаментальная последовательность {ип—М],
представляющая собой разность последовательностей {ип}
и \М), не может быть положительной последовательностью,
т. е. она либо нулевая, либо отрицательная
последовательность. Поэтому действительное число а — М,
определяемое этой последовательностью, не может быть поло-
жительным, т. е. а — М < О, а поэтому и а < М.
Точно так же доказывается, что из ип — М > 0 при всех
п> N2 следуют а — М > О и а > М.
109

Следствие 23,5. Если М<£ для любого рацио-
нального числа е > 0, то а = 0.
Доказательство. Если а=^0, то любая
последовательность {ип} из а либо положительна, либо
отрицательна. В обоих случаях будем иметь при всех достаточно
больших значениях п > Ne> что [ wJ > k > 0, а тогда, по
предыдущей теореме, и |<х|>£. Последнее неравенство
противоречит условию.
Теорема 23, 6. В поле D выполняется аксиома Архи-
меда, т. е. для любых действительных чисел а и р > 0
найдется такое натуральное число п9 что будет выпол*
няться неравенство п р > а.
Доказательство. Пусть [un)Qa и {vn]Q$. Из
ограниченности последовательности {ип} имеем: и„<М,
где М — некоторое положительное рациональное число. По
теореме 23,4, получаем, что а<М. Из Р>0 следует, что
при всех достаточно больших значениях п будет
выполняться неравенство a„>fe>0 (21,7), а по теореме 23*4,
будет выполняться неравенство р > L Из последнего
неравенства следует неравенство лр>я& при любом
натуральном п. Для рациональных же чисел М и k аксиома
Архимеда, по теореме 19,1, выполняется. Выберем теперь
натуральное число п так, чтобы выполнялось неравенство
nk > М, тогда из пр>п£>Л1>аи будет следовать
доказываемое неравенство лр>а.
Остается проверить выполнение в множестве D
последней, одиннадцатой аксиомы. Сначала установим это для
последовательностей рациональных чисел {ип}. v
Теорема 23,7. Последовательность рациональных
чисел {ип} тогда, и только тогда, принадлежит
действительному числу а, когда для любого действительного
числа е > 0 найдется такое натуральное число Ne , что
при всех п>#8 будет выполняться неравенство \ип—а|<е.
Доказательство. Если {un}Qa, то эта
последовательность фундаментальная, поэтому для любого е>0
найдется такое Ne , что при всех т>п>Ыг будет
выполняться неравенство:
\»m-Un\< у-
Фиксируем некоторое п > N% и образуем
последовательность {ит — ип}9 т. е.
110

г
Ut — un, u2 — un, ... , 0, мл+1 —нл, ... , ит~ип, ... .
Эта последовательность фундаментальная, так как она
представляет собой разность фундаментальной
последовательности {ит}, по условию, и последовательности {ип}>
все члены которой равны между собой по выбору числа п.
Все члены последовательности [ит — ип) при т > п будут
удовлетворять неравенству:
Следовательно, и определяемое этой последовательностью
действительное число J а — ггЛ J не превосходит —, т. е.
| а — ип | < — < е при всех п > Ne .
Обратно, если |а — ип\<— при всех и>#8 , то при
всех т>Ntбудем иметь:
|Ия — Ия1-|"Л — 0 + а~"я1 <!"* — «! +
+ i«-"*!<Y + T<8'
т. е. последовательность [ип] — фундаментальная. Пусть
{яп}(ЗР, тогда из \ип — Р|<— при всех достаточно
больших значениях п > Nt будет выполняться
|а-р|в|а-ил + «||-Р|<|о-11я| +
+ K~PK^+f = *.
Из последнего неравенства, по следствию 23,5, получаем
а»р, т. е. [ua)Qa.
Из этой теоремы следует, согласно определению 20,1,
что число а, которому принадлежит \ип)у и будет
пределом этой последовательности, т. е. Пш«й = а.
Следствие 23,8. Для того чтобы
последовательность рациональных чисел имела предел в поле
действительных чисел D, необходимо и достаточно, чтобы эта
последовательность была фундаментальной.
Ш

Таким образом, аксиома 11 для последовательностей
рациональных чисел [ип] выполняется. Ее выполнение для
последовательностей любых действительных чисел докажем
позже, в § 26.
§ 24. Поле действительных чисел как расширение поля
рациональных чисел
Поле действительных чисел D, построенное в
предыдущем параграфе, не содержит в себе в явном виде поля
рациональных чисел /?, построенного в третьей главе, но 5
содержит подполе /?, изоморфное полю R. Для построения
поля D, являющегося расширением поля рациональных
чисел Ry выделим сначала в поле D подполе R.
Пусть дано некоторое рациональное число r^R.
Последовательность {г} является фундаментальной
последовательностью рациональных чисел, поэтому она
однозначно определяет класс а из Dy которому принадлежит сама
эта последовательность. Если рациональные числа г и s
различны, то последовательности {г}и [s] принадлежат
обязательно различным классам а и Р из D, так как
последовательность {г — 5} не является нулевой
последовательностью. Этим устанавливается взаимно однозначное
соответствие между множеством всех рациональных чисел R
и множеством/? всех тех, и только тех, классов множества
D, каждый из которых содержит последовательность вида
[г\ (каждому рационал^ому числу г ставится в
соответствие тот класс а из D, которому принадлежит
последовательность {г}). Это соответствие будет изоморфным
относительно сложения, умножения и свойства быть
положительным, установленных в множествах R и R. Так как из
соотношений r + s=p, rs ~ q и г > О всегда следует
справедливость этих же соотношений для
соответственных классов а, р, у и б , которым принадлежат
соответственно последовательности [r}> \s}9 jp,} {q}y и обратно.
Таким образом, поле рациональных чисел R
изоморфно полю R, являющемуся подпол ем поля классов D. По
следствию 13,4, существует поле£, юэторое содержит поле
R в качестве подполя, причем D <=* D. Построение поля D
можно выполнить заменой всех классов множества R соот-
U2

ветственными им рациональными числами, оставляя все
остальные классы множества D на месте. Так как с точки
зрения общих свойств соответственные элементы
изоморфных полей R и Я неразличимы, то мы можем в дальнейшем
считать рациональное число г и класс а, которому
принадлежит последовательность {г}, лишь различными
истолкованиями одного и того же действительного числа.
Сформулируем это в определении.
Определение 24,1. Класс а попарно
эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных
чисел, содержащий последовательность {г}, называется
рациональным числом, равным числу л Всякий
класс Р таких же последовательностей, который не
содержит последовательности вида (г), называется
иррациональным числом. Рациональные и иррациональные
числа называются действительными числами.
Это множество будем обозначать через D.
Из вышеизложенного следует, что множество
действительных чисел D можно получить из множества всех
классов попарно эквивалентных последовательностей
рациональных чисел D путем замены всех классов
подмножества /^соответственными им при R ^ R рациональными
числами из поля R. Этим построением получается поле D,
действительно являющееся расширением поля
рациональных чисел R (поле D содержит в себе поле R в качестве
подполя). Само же поле D является расширением поля R\
изоморфного полю рациональных чисел /?, причем и D *=*
^£>. Сточки зрения общих свойств, т. е. свойств,
вытекающих из аксиоматического определения поля
действительных чисел (§ 22), поля D и D неразличимы, так как они
являются изоморфными интерпретациями одной и той же
системы аксиом. В дальнейшем изложении мы в зависимости
от удобств будем истолковывать рациональные числа, как
это сделано в третьей главе, и как классы множества D,
где это не вызовет недоразумений.
Интерпретации системы аксиом поля действительных
чисел мы можем строить путем подходящего выбора по
одному, и только_по одному, представителю из каждого
класса множества D. Для этой цели обычно выбирают из
каждого указанного класса по возможности более простую
последовательность. Если а — рациональное число, то такой
ИЗ

1
последовательностью будет {а}; если же а —
иррациональное число, то в классе а нет такой простой
последовательности рациональных чисел. В последнем случае в классе
а ищут последовательность так называемых приближений
числа а систематическими дробями, что мы и сделаем в
следующем параграфе.
§ 25. Приближение действительных чисел
систематическими дробями
Теорема 25,1. Каково бы ни было действительное
число а, всегда найдется такое целое число М, что будут
выполняться неравенства:
М<а<М + 1,
причем число М определяется числом а однозначно.
Доказательство. Пусть последовательность
{ип} £ а. Из ограниченности этой последовательности
следует, что найдется такое натуральное число N, что будут
выполняться неравенства — N < un<N при любом • п.
По теореме 23,4, для числа а следуют неравенства — N <
<а<;# и — W — 1 < а < W + 1. Среди конечного числа
чисел
_#_!,_#, -N + 1,...,-1,0, lf...,JV,tf+l
найдется первое число М + 1 с условием а < М + 1.
Тогда будем иметь:
М <а<М + 1.
Пусть имеется еще одно целое число Мг со свойством
Мх < а < Мг + 1. Если Мг < Af, то Мг + 1 < М. Но
при этом было бы Мг + 1 < а, что противоречит
неравенству Мх + 1 > а. Точно так же не может быть и Мг >
> М. Следовательно, Мг = М.
Следствие 25,2. Для любого действительного
числа а и любого натурального числа N всегда найдется одно,
и только одно, такое целое число М, что будут выполняться
неравенства:
114

Доказательство. По теореме 25,1, Для
действительного числа Мх найдется такое единственное число
М> что будут выполняться неравенства М < N а < М +
+ 1, из которых следуют требуемые неравенства.
Определение 25,3. Рациональные числа — и —i- .
найденные согласно предыдущему следствию, называются
приближенными значениями действительного числа а,
соответственно по недостатку и по избытку с точностью
1
ДО —,
N
Приближение по недостатку с точностью до —
N
является наибольшим из чисел вида —9 где т — целое
N
число, обладающих свойством — <; а, а приближение по
избытку является наименьшим из чисел того же вида, пре-
вышающих а; т. е. если — Ка < -~, то — <— и
N N N N
пгг у^ М + 1
Т^ N •
Пример. Найти приближенные значения числа |/*5" с
точностью до — .
' _ 11 _ 12
Из 11< 7 ¥Ъ« >/*1715 < 12 следуют -г < f/" 5 < у • где
pall 12 „
циональные числа — и — и будут искомыми приближенными
значениями числа ?/1Г
Выберем натуральное число £> 1. Если для числа N
в следствии 25,2 последовательно задавать значения 1,
kf k\ ... , kn, ... , то для заданного числа а получим
соответственно две вполне определенные
последовательности рациональных чисел:
для любого натурального числа п.
115

Теорема 25,4. Обе последовательности 1~\ и| *J-j ,
полученные выше, имеют общий предел, равный а, т. е.
эти последовательности принадлежат числу а и полностью
его определяют.
Доказательство. Прежде всего докажем, что
kn > п справедливо при любом натуральном числе п.
Если л =1, то Л1>1> по условию. Пусть £л>л,
тогда для п -{- 1 получаем, что
kn+l>nk = n(l-\-l) = n + nl^>n+l, т. е. kn+x >л+1.
По теореме 5,1, неравенство £">/i верно для любого п.
Далее, из £">/г следует &*е>ле для любого е>0.
По аксиоме Архимеда, для чис,ел е и 1 найдется такое /г,
что будут выполняться неравенства &ле>пе> 1. Из
последние неравенств следует, что при всех достаточно
больших п будет выполняться неравенство —<е.
Теперь доказываем теорему. Для любого е>0
найдется такое число Ыг 9 что при всех п > Ne будут
выполняться неравенства:
kn if kn kn
Откуда следует lim — = lim n = a.
Для удобства в дальнейших рассуждениях будем пока
рассматривать только положительные действительные числа
а>0. Выберем k = 10 и будем считать, что целые числа
Мп записаны в десятичной системе счисления.
Теорема 25,5. Если — < a < " и —2±L <
10й 10" 10л+1
мл., +1
< a < —3= , mo целое число Мп+\ получается из числа
10л+1
Мп путем приписывания к Мп справа одной вполне
определенной цифры из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
116

г
Доказательство. Из —^ = — < а < —- =
10я Ю*"1-1 10*
10МЛ+10 Мп,х ^„,, + 1
= и —— < а < —-— следуют неравенства
10*+1 10n+1 \Ъп+1
!^l<*щ. <. <!^l±^„,ом. <л.„+,<юм„ +ш.
Из последних неравенств получаем:
Мя-ц = 10М„ + <7«-и,
где 0<^+!<10.
Единственность числа ?л+1 следует из единственности
чисел Мп и Afn, j, определяемых числом а.
При записи положительных чисел в виде десятичных
дробей последовательность X —~ | в развернутом виде
будет такой:
М0 = р; р, qx; р, дг я* ... ; р, Яг Яг ... <7л; ... .
Для краткости такую последовательность записывают
в виде:
Р>Я\ Яг ... <7л .. •
tf называют десятичным разложением действительного
числа а.
Теорема 25,6. При вышеуказанном способе
разложения действительного числа а в десятичную дробь не может
получиться периодическая дробь с девяткой в периоде.
Доказательство. Пусть при всех т > п
выполняется qm = 9. Тогда при т = п + 1 будем иметь
Мп+1=ЮМл + 9, Мл+1 + 1 = 10МЛ + 10,
10МЯ+10^^+1
Пусть, далее, при некотором /n> n справедливо равенство
П7

1
i^="^-' тогда для m+1 получш: м<*+* т
« \0Мт -f 9, Мт+1 + 1 - 10Мw + 10, а поэтому
—^т~— г;— — = »т-е- все члены
10те+1 10m+1 10ш 10"
последовательности {-—], начиная с некоторого номера
л, будут равны одному и тому же рациональному числу
г — я+ ■. Так как эта последовательность определяет
число а, то а =г г. Но последнее равенство противоречит
неравенству г ~ а < * ' .
Таким образом, исходя из понятия действительного
числа как класса попарно эквивалентных фундаментальных
последовательностей рациональных чисел, мы пришли к
однозначно определенному десятичному разложению
положительного числа а. Это десятичное разложение полностью
определяет собой число а, так как оно является
фундаментальной последовательностью рациональных чисел,
принадлежащей классу а, и только этому классу. Различным
действительным числам а > 0 и ($ > 0 будут соответство-
. вать различные десятичные разложения, так как каждая
фундаментальная последовательность рациональных чисел
определяет действительное число однозначно.
Рассмотрим теперь множество Q всех разложений вида:
где р — целое неотрицательное число и 0 < qn < 10,
причем 9 в этих разложениях не является периодом.
Теорема 26,7. Всякое разложение вида;
pyqxq*.... qn...
с указанными выше ограничениями представляет собой де*
сятичное разложение вполне определенного действительного
числа а > 0.
Доказательство. Последовательность [ип] =
= \Р> Я\Яъ ... Яп) является фундаментальной, так как для
любого е > 0 найдется такое натуральное число Nu, что
при всех т > п > N9 будет выполняться
lis

\um-un\ = 0,0 ... 0 qn+lqn+2... qm<
п раз m—n раз
<0,0 ... 0 9 ... 9 <-^-<e.
n раз m—n раз
Пусть последовательность {ип} = {р, qxq% ... <7„]
принадлежит действительному числу а. Выберем некоторое
число п9 тогда при всех т > п будет выполняться
неравенство
Р» ft ft ... <7„ ... Ят>Р.Я\Яг ... <7„> т. е. wm > ип.
Из этого неравенства, по теореме 23,4, и для числа а
будет выполняться неравенство а > ип при любом
выбранном п.
С другой стороны, по условию данной теоремы, при
любом выбранном п найдется такое s>nf что qs Ф 9.
Тогда при любом m>s будут выполняться неравенства
и* = Р> <7i ft ... Яп ••• Яз ••• Ят<Р>ЯгЯ2 ... <7?9 ... 9<
$—л раз
Отсюда, по теореме 23,4, получаем неравенство
<*<P>?i<72 ... <7я? ... 9,
s—n раз
при любом выбранном п. Теперь из двух неравенств для
числа а следуют неравенства
которые показывают, что p9qxqt ... qn и Р>Я\Яъ ••• Яп +
-|—~ представляют собой приближенные значения числа а
с точностью до —. Следовательно, последовательность
руЯгЯ2 ... Яп •-•
представляет собой десятичное разложение
действительного числа а.
119

Эти рассуждения проведены в предположении, что а >
> 0. Если же а < 0, то разлагаем таким же путем число
— а и полученное разложение берем со знаком минус;
для нуля имеем разложение
0,000... .
Итак, установлено, что каждый класс попарно
эквивалентных последовательностей рациональных чисел,
рассматриваемый как действительное число а, содержит в
себе одно, и только одно, десятичное разложение без
девятки в периоде; обратно, каждое десятичное разложение без
девятки в периоде содержится в одном, и только в одном,
классе, разложением которого оно является. Этим же
установлено взаимно однозначное соответствие между
элементами множества классов D и элементами множества всех
десятичных разложений без девятки в периоде, которое
обозначим через D10. Так как множество D10 состоит иэ
всех представителей классов множества D, взятых по
одному, и только по одному, из каждого класса, то D10
представляет собой одну из возможных интерпретаций поля
действительных чисел D, причем D ^D~^Dl0. Отсюда
следует возможность определить действительное число как
любое из десятичных разложений без девятки в периоде.
Если назовем каждое такое разложение десятичной дробью,
то поле действительных чисел можно определить так: п о-
лем действительных чисел называется
множество всех десятичных дробей. Последнее
обычно и делается в курсе средней школы.
Пусть теперь дано десятичное разложение с девяткой
в периоде
РЛхЪ ••• <7*999 ... >
где qn Ф 9. Очевидно, что это разложение эквивалентно
разложению
Р>ЧхЯ* ... (<7«+1)000 .,, .
Так как |ал — vm\^^ при т > л, где ит и vm~m-e
члены указанных последовательностей (десятичных
разложений). Поэтому обе эти десятичные дроби представляют
собой десятичные разложения одного и того же
действительного числа (конечной десятичной дроби p,qxq% ...
120

^« ?,i-i(?rt+*)• Поэтому же для достижения
однозначности представления каждого действительного числа в виде
десятичной дроби необходимо и достаточно исключить из
рассмотрения или дроби с нулем в периоде, или дроби
с девяткой в периоде. По соображениям удобства обычно
исключают дроби с девяткой в периоде.
В курсе арифметики рациональных чисел доказывается,
что десятичная дробь тогда, и только тогда, будет
периодической, когда она представляет собой разложение рацио*
нального числа г (см., например, «Курс лекций по
арифметике рациональных чисел» И. С. Соминского). Из этого
следует, что множество всех десятичных периодических
дробей (включая дроби с периодом нуль и исключая дроби
с периодом 9) изоморфно полю
рациональных чисел R. Из этого мы получаем еще одну
возможность истолкования действительных чисел.
Иррациональное число может быть определено так:
иррациональным числом называется
всякая непериодическая десятичная дробь.
Периодические десятичные дроби называются
рациональными числами.
Если вместо 10 взять любое натуральное число k > 1,
то получим таким же путем разложение действительного
числа а в систематическую £-ичную дробь. В этом случае
цифрами называются целые числа
0, 1, 2, ..., k — 2, k—l.
Таким способом можно получить бесконечное множество
интерпретаций поля действительных чисел, но все они с
точностью до изоморфизма совпадают.
§ 26. Полнота системы аксиом поля
действительных чисел
В теореме 23,7 было доказано, что всякая
фундаментальная последовательность {ип} рациональных чисел имеет
предел в поле действительных чисел. Теперь мы можем
доказать, что в поле действительных чисел выполняется
аксиома 11.
Теорема 26,1. Любая фундаментальная
последовательность действительных чисел имеет предел в поле
действительных чисел (сходится).
121

Доказательство. Если все члены
фундаментальной последовательности {<хл} — рациональные числа, то
теорема уже доказана (23,7). В общем случае выбираем
десятичные приближения чисел ап по недостатку с
точностью до—, т. е. так, чтобы выполнялись неравенства
0<ая — ип < — для всех п. Последовательность {аЛ—ип)
сходится к нулю, так как при всех достаточно больших
значениях п все ее члены удовлетворяют условию
I ап — ип I < — < е (8 > 0)- Покажем, что
последовательность рациональных чисел {ип} — фундаментальная. Пусть
задано е > 0, тогда' 'найдется такое Ne , что при всех
m, n > Afg будут выполняться неравенства:
Следовательно, при тех же т я п будем иметь
1«я —Ия1в1«» — ат + ат — ап + «*-"*! <\ит— aj +
+ I«m-«J + la/l-"J<Y+T+Y==e'
т. е. последовательность {ип\ фундаментальная.
Фундаментальная последовательность {ип\ имеет предел,
который обозначим через а. Из этого следует, что при всех
достаточно больших значениях п > N$ будут выполняться
неравенства
+ l"/i-«l<Y + Y==8-
Тем самым доказано, что lim <хЛ = а.
Следовательно, в поле действительных чисел выполняются
все аксиомы § 22.
Эта теорема показывает еще, что поле действительных
чисел нельзя расширить, используя фундаментальные пос-
122

ледовательности его элементов. Поле, в котором
выполняется теорема 26,1, называется полным полем, а
сама эта теорема называется теоремой полноты.
Оказывается, что любое архимедовски расположенное
поле, являющееся расширением поля рациональных чисел
R, изоморфно полю действительных чисел D, если в нем
выполняется теорема 26,1, т. е. это поле является
максимальным архимедовски расположенным полем,
содержащим в себе поле рациональных чисел, если в нем
выполняется теорема Коши.
Теорема 26,2. Расположенное поле Р, являющееся
расширением поля рациональных чисел Ry архимедовски
расположено тогда, и только тогда, когда каждый его
элемент а является пределом последовательности
рациональных чисел {ип}.
Доказательство. Пусть а и Ь> 0 — произвольные
элементы из поля Я, в котором каждый элемент есть
предел некоторой последовательности рациональных чисел.
Если limun = a и limvn = b, то а и Ь являются
действительными числами, которым принадлежат
последовательности {ип} и {vn}. Для действительных же чисел аксиома
Архимеда выполняется (23,6), т. е. найдется такое
натуральное число я, что будем иметь /г&>а.
Обратно, пусть поле Р архимедовски расположено.
Тогда для любого его элемента а и 1 найдутся такие
натуральные числа тип, что будут выполняться
неравенства пЛ=«>си m . 1 = m > — а, из которых следуют
неравенства — т < а < п.
Из последних неравенств, по теореме 25,1 и следствий из
нее, найдутся такие последовательности рациональных чисел
/*Ь)и/йь±11 что
при любом п. Отсюда получаем lim —- = Hm ■ *+ = а.
10я 10я
Теорема 26,3. Система аксиом поля
действительных чисел является полной, т. е. любые две ее
интерпретации изоморфны.
Доказательство. Каждая интерпретация Р
системы аксиом поля действительных чисел должна содер-
123

жать в себе подполе R, изоморфное полю рациональных
чисел R. Это следует из того, что Р вместе с единичным
элементом е содержит и все кратные пе\ сложение и
умножение этих элементов производится по правилам
пе -\- те = {п-\- т) е и пе • те = пте2 = пте.
В расположенном поле Р при п Ф т и пе Ф те, поэтому
соответствие пе — п вызывает собой соответствие — е ,
ш т
которое приводит к R ^ R.
По теореме 13,3, поле R можно расширить_до поля Р ,
изоморфного полю Р, заменив элементы из R
соответственными им при R <=*R рациональными числами. Тогда
каждая фундаментальная последовательность элементов из
R заменится соответственной фундаментальной
последовательностью рациональных чисел. По теореме 26,2, каждый
элемент поля Р является пределом некоторой такой
последовательности и, кроме того, Р содержит все пределы
этих последовательностей (теорема Коши), поэтому
Р es£ D. Теперь из Р <=*D и Р^Р следует Р **D.
С помощью построенного поля действительных чисел
можно строго обосновать теорию пределов, являющуюся
фундаментом, на котором строится математический анализ.
С этой же помощью полностью решается вопрос об
измерении скалярных положительных величин, в частности
отрезков.
Существуют различные построения поля
действительных чисел, которые, строго говоря, приводят к различным
системам объектов, нб все эти интерпретации изоморфны
друг другу, т. е. поле действительных чисел с точностью
до изоморфизма существует одно, и только одно.
Теперь рассмотрим кратко вопрос об измерении
скалярных величин.
§ 27. Скалярная положительная величина
и ее измерение
Аксиоматическое определение положительной
скалярной величины.
О п р е д е л е н и е 27,1. Положительными
скалярными величинами называются элементы вся-
124

кого непустого множества, в котором определена
алгебраическая операция — сложение и установлены отношения
«больше» (а > ft) и «равно» (а = ft); если а > ft, то ft < a,
причем выполняются следующие аксиомы:
1. Для любых величин а и ft имеет место: а + b ~ b + а.
2. Для любых величин а, 6, с имеет место: (а + 6) + с ~
а + (ft + с).
3. Для любых величин аи b имеет место одно, и только
одно, из соотношений: а = ft, а > ft, а < ft.
4. Из а > ft и 6 > с всегда следует а > с.
5. Для любых величин а и ft выполняется а + ft > a
(монотонность сложения).
6. Если а > ft, то существует такая величина с, что
а = ft + с.
7. Каковы бы ни были величина а и натуральное число
/г, всегда существует такая величина ft, что а = nb
(возможность деления величины a ua n равных частей).
8. Каковы бы ни были величины а и ft, всегда найдется
такое натуральное число я, что будет выполняться
неравенство na > ft (аксиома Архимеда).
9. Если ах < а2 < ... < ап < ... < ft„ < ... < ft2 <
< bt и ft„ — ал < с при всех достаточно больших я, где с—-
произвольная величина, то существует единственная такая
величина х, что выполняются неравенства ал<#<6дпри
любом натуральном числе п (аксиома Кантора).
Рассмотрим подробнее вопрос об измерении отрезков
(вопрос измерения произвольных положительных
скалярных величин по существу не отличается от измерения
отрезков).
Из геометрии известно, что отрезки прямой являются
величинами, так как для них выполняются все
перечисленные выше аксиомы.
В самом начале этой главы была сформулирована
задача измерения отрезков, но там решить эту задачу не было
возможности, так как наличия только рациональных
чисел было недостаточно. Теперь покажем, что множество
действительных чисел обеспечивает такую
возможность.
Пусть даны некоторый отрезок а и эталон длины
отрезок е.
Теорема 27,2. Каковы бы ни были отрезки а и е9
всегда найдется такое натуральное число п% что будет вы-
125

подняться неравенство —е < ау т. е. для любого отрезка
п
а существует отрезок, который меньше отрезка а.
Доказательство. По аксиоме Архимеда, для
отрезков аяе найдется такое натуральное число я, что яа>
> е, откуда следует —£ < а.
п
Теорема 27,3. Существует единственное такое
целое неотрицательное число М0, что М^е < а < (Л10 +
+ \)е для любого заданного отрезка а.
Доказательство. Выберем такое натуральное
число п9 чтобы выполнялось неравенство пе > а. (По
аксиоме Архимеда, такое л существует.) Рассмотрим
конечное число отрезков
О . е, 1 . е, 2e,...t пе.
Среди этих отрезков обязательно встретится первый
отрезок, превосходящий по величине отрезок а (в противном
случае было бы пе < а). Пусть этот отрезок будет (Л10+1)^
где 1 < М0 + 1 < п. Тогда будем иметь:
М0е^а<(М0+ \)е.
Единственность числа М0 доказывается так же, как в
теореме 25,1.
Следствие 27,4. Если разделим отрезок е на 10я
и Ю""1"1 равных частей (аксиома 7), то получим
неравенства:
при любом я, причем Мл+1 получается из Мп путем
приписывания к Мп одной, вполне определенной цифры из
0, 1, 2, 3, i 5, 6, 7, 8, 9.
Доказательство. По теореме 27,3, для отрезков
— е, -уф* и а найдутся однозначно Мл и Мп+Хтакие,что
будут выполняться неравенства
12*

Из этих неравенств получаем:
10Afe<M^H<A«li+1 + K10Aflt + 10H
где qn+{ вполне определенное числа из 1,2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9 для выбранного значения п. Следствие доказано.
Определение 27Д Рациональные числа {-г2-) и
I д"ц } называются приближенными значениями длины
отрезка а с точностью до — соответственно по недостатку
и по избытку.
Отыскивая последовательно приближенные значения
длины отрезка а по недостатку с точностью до 1, 10,
102, ... , 10я, ... , мы придем к вполне определенной
последовательности рациональных чисел (—^}, которая
имеет вид:
MQ = р; р, qx\ р, qxq& ... \Р,ЯХЯ2 ... Ят • • • t
т. е. получим десятичное разложение некоторого, вполне
определенного действительного числа а, которое и
называется длиной отрезка а.
/(a) = a = lim^.
Остается проверить выполнение требований задачи
измерения отрезков (см. начало этой главы).
1. Выполнение первого требования очевидно, так как
/(<?)= 1.
2. Если а = Ь, то из
следует
при любом л. Из этих неравенств получаем, что
Hfi) = /(&)•
127
10я
(<с <
г<6 <
10"
10я

Из всех этих неравенств получаем последовательно:
Го^< /(a) < ^o^' W < l(b) < ^r»
3^<1{а)+1ф)<мп + и+2
т. e. l{a-\-&) = /(я) + /(Ь), так как для любого е>0
найдется такое #е , что при всех п > Ns будет
выполняться неравенство
\1(а + Ь)-[1(а) + 1(Ь)]\<^п<в.
Этим доказано выполнение всех требований задачи
измерения отрезков.
После этого легко устанавливается взаимно
однозначное соответствие между всеми точками прямой и
множеством всех действительных чисел, что играет большую роль
в математических дисциплинах.
Отправляясь от измерения отрезков, можно прийти к
понятию действительного числа как результату измерения
отгрезков.
В объяснительной записке к программе средней
общеобразовательной трудовой политехнической школы с
производственным обучением говорится: «Вторая тема курса,
посвященная в основном квадратным уравнениям и
связанным с ними вопросам, начинается с ознакомления
учащихся с понятием действительного числа. К этому понятию
приводит рассмотрение десятичного измерения отрезков
с любой желаемой точностью; иррациональное число
определяется как бесконечная непериодическая десятичная
дробь. После введения понятия об иррациональном числе
показывается, что к иррациональным числам приводят
и некоторые чисто алгебраические задачи. При
помощи наглядных соображений устанавливается, что каждому
128

действительному числу соответствует точка на числовой оси;
тем самым устанавливается взаимно однозначное
соответствие между действительными числами и точками числовой
оси («Математика в школе», Учпедгиз, 1961, № 1, стр. 6).
В § 25 этой главы обоснована возможность определения
действительного числа как бесконечной десятичной дроби
и что этим определением устанавливается множество D10 ,
изоморфное множеству всех действительных чисел,
рассматриваемому как множество всех классов попарно
эквивалентных последовательностей рациональных чисел D
или как множество D, являющееся расширением поля
рациональных чисел R.
Чтобы определить длину данного отрезка а с точностью
до—, можно сперва разделить эталон длины е на 10"
равных частей и затем отрезок — е откладывать на
отрезке а, как это показано в § 27. Можно сперва
откладывать на отрезке а весь эталон длины е и получить
целую часть длины отрезка а, т. е. приближенное
значение длины отрезка а с точностью до единицы; затем — е
откладываем на остатке отрезка а и тем самым получим
длину отрезка а с точностью до —; далее откладываем
— е на втором остатке отрезка а и получаем
приближенное значение длины отрезка а с точностью до — и т. д.
Ю2
При обоих способах такого измерения отрезка а с
точностью до т^ получим одинаковые результаты. Если же
при измерении отрезка а применять алгоритм Евклида,
т. е. применять каждый раз откладывание остатка на
предыдущем остатке, то в результате получится цепная
дробь (конечная или бесконечная в зависимости от того,
соизмеримы или несоизмеримы отрезки а и е).
Последовательность подходящих дробей, полученных при последнем
способе измерения отрезка а, будет эквивалентна
последовательности десятичных приближений, полученных в
результате первых двух способов измерения.
Наглядное представление об установлении взаимно
однозначного соответствия между множеством всех дейст-
5 Заказ 375
129

вительных чисел и множеством всех точек на числовой оси
обосновывается с помощью аксиомы Архимеда и аксиомы
Кантора (§ 27, аксиомы 8 и 9). Обе эти аксиомы в поле
действительных чисел D являются теоремами, т. е.
следствиями, вытекающими из определения этого поля, тогда как
в геометрии оба эти предложения являются аксиомами,
т. е. они принимаются в качестве исходных положений без
доказательства (исключая случаи замены одной системы
аксиом системой, ей эквивалентной).
Если на числовой оси
Л1 А (черт. 6) дана точка Л, то, из-
"' I меряя отрезок О А, мы тем
ч самым находим действитель-
ерт# ное число а (длину отрезка
ОЛ), которое и ставится в соответствие точке А.
Если дано действительное число а, то с помощью двух
последовательностей приближенных значений этого числа,
взятых по недостатку и по избытку, мы находим две
соответствующие последовательности отрезков,
удовлетворяющих аксиоме Кантора, т. е.
а0<аг< ... < а„ < ... < ... < Ьп < ... < bx < bQt
где выполняется
\ьп-*п\ = ^е<с
для любого отрезка с при всех достаточно больших зна*
чениях п > Nc. Этим определяется единственный отрезок
О А, конец которого — точка А и ставится в соответствие
числу а (черт. 7).
On
Черт. 7.
Из-за педагогических соображений учащимся средней
школы нельзя дать полных обоснований всех этих
понятий, но учителю необходимо знать такие обоснования,
чтобы избежать создания у учащихся иногда неверных
представлений по существу этого вопроса.
130

Глава 5
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Действительных чисел достаточно для того, чтобы
обосновать теорию пределов и для измерения скалярных
величин, но этих чисел не достаточно для решения
алгебраических уравнений. Известно, что не всякое квадратное
уравнение с действительными коэффициентами имеет решение
в поле действительных чисел. Простейшим из таких
уравнений является уравнение х2 + 1 «= 0.
Прежде всего займемся вопросом возможности
расширения поля действительных чисел до такого поля, в
котором уравнение х2 + 1 = 0 имело бы решение. Обозначим
возможное решение этого уравнения через /, тогда должно
выполняться равенство i% = — 1.
§ 28. Поле комплексных чисел
Определение 28,1. Полем
комплексных чисел называется минимальное поле,
содержащее в качестве подполя поле действительных чисел D и
число I с условием, что i2 = — 1.
Сначала предположим, что поле, удовлетворяющее
этому определению, существует, и исследуем, какими
свойствами должно обладать это поле. Обозначим
предполагаемое поле через /С.
Поле К вместе с любыми действительными числами а,
Ь и числом i должно содержать произведение Ы и сумму
я + ы. Если а = с и b = d, то должно быть я + &/ «= c-\*di.
Обратно, из a-\-bi~c-\-di должны следовать равенства
а » с и b «* d, так как при Ь Ф d из a -f- Ы = с -j- di
следовало бы / = ^^ , т. е. число / было бы действитель-
Ь— d
ным числом. Но если Ь = d, то должно быть и а « е.
а) Следовательно, a-f-ft/= c + d/ должно быть тогда,
и только тогда, когда а «= с и Ь = d.
В поле /С, как во всяком поле, должны выполняться
законы коммутативности, ассоциативности и
дистрибутивности, т. е. должны выполняться равенства:
б) (а + Ы) + (с + di) - (а + с) + (Ь + d)t,
в) (а + Ы) (с + df) = (ас — bd) + (ad + be) L
5*
131

Отсюда следует, что если существует поле К, то оно
должно содержать все числа вида а + Ы% где а и & —
любые действительные числа. Каждое число а +Ы должно
однозначно определяться парой действительных чисел (а, Ь).
Сложение и умножение должны производиться по правилам
б) и в), т. е. если два числа определяются парами
действительных чисел (а, Ь) и (с9 d), то сумма и произведение этих
чисел должны определяться соответственно парами
действительных чисел
(а + с, Ъ + d) и (ас — bd, ad + be).
Теперь мы можем построить поле /С, которое будет
одной из возможных интерпретаций поля комплексных чисел,
совпадающее с искомым полем К с точностью до
изоморфизма, используя для этого пары (а, 6) действительных
чисел. Здесь также можно было бы говорить о разбиении
множества М всех пар действительных чисел на классы
попарно эквивалентных элементов, но этим мы ничего по
существу нового не получим, так как каждый такой класс
будет содержать один, и только один, элемент. Элементы
поля мы также будем называть комплексными
числами, рассматривая эти элементы как одну из
возможных форм записи комплексного числа.
Примем необходимые условия а), б) и в) в качестве
определений.
Определение 28,2. Комплексным
числом называется любая пара действительных чисел (а, &),
поставленных в указанном порядке.
Определение 28,3. Два комплексных числа (а, Ь)
и (с, d) называются равными тогда, и только тогда, когда
а = с и Ъ = d.
Следствие 28,4. Отношение равенства
комплексных чисел обладает свойствами рефлексивности,
симметричности и транзитивности.
Утверждение легко проверяется непосредственно по
определению 28,3.
Определение 28,5. Сложение комплексных чисел
производится по правилу (а, Ь) + (с, d) = (а + су Ъ + d).
Определение 28,6. Умножение комплексных
чисел производится по правилу
(а, Ь) . (с, d) = (ас — bd, ad + be).
122

Следствие 28,7. Сложение и умножение
комплексных чисел являются алгебраическими операциями,
определенными в множестве всех комплексных чисел /С Обе
эти операции коммутативны, ассоциативны и связаны
между собой законом дистрибутивности.
Все это легко доказывается непосредственной проверкой.
Например:
(я, Ь) [(с, d) -f (m, n)] = (я, Ь) (с -f m, d + п) =
== (ac-\-am — bd — bnt ad-\-'an-\-bc-{-bm).
(a, b) (с, d) + (a, b) (т, n) = (ас — bd,ad-\- be) +
+ (am — bn, an -f- bm) = (ac—bd-\-am—bny ad-}-bc-{-an-\~bm).
Правые части этих равенств совпадают, а потому равны и
левые части. Этим доказано выполнение закона
дистрибутивности. _
Это следствие показьюает, что К—коммутативное кольцо.
1. Нулем кольца комплексных чисел К будет число
(О, 0), так как
(а,Ь) + (0,0) -(а,Ы
2. Числом, противоположным числу (а, 6), будет число
(— а, — Ь), так как
(а, 6) -Н-а, —&) = (0,0).
3. Единицей кольца К будет число (1,0), так как
(а,&)(1,0) = (а,й).
Теорема 28,8. В множестве всех комплексных чисел
Ж каждое уравнение
(a,b)(x,y) =(r,rf)
имеет единственное решение при (а, Ь) Ф (0,0), т. е. при
а* + Ь2фО.
Доказательство. Предположим, что это уравнение
имеет решение (xv у J, тогда из
(a, b) (xv ух) = (ахг — byv ауг -+- Ьхг) = (с, d),
133

по определению 28,3, получаем систему уравнений:
ах\ — Ьух = с,
Ьхг+аух=й,
которая имеет единственное решение
(г ,М - / ac + bd ad-be \
Р»Уг)-[ a, + b, . a2 + b2 j.
которое и будет решением данного уравнения, что
проверяется непосредственной подстановкой.
Таким образом, установлено, что множество К является
полем.
Рассмотрим теперь множество D всех комплексных
чисел вида (а, 0), где а — любое действительное число.
Соответствие (а, 0) — а будет изоморфным отображением
множества D на множество всех действительных чисел D, так
как это соответствие взаимно однозначное и из равенств
(а, 0) + (Ь, 0)=(с, 0) и (а, 0) (6, 0) = (d, 0) всегда следуют
верные равенства a+b = cnab — d.
По теореме 13,3, существует поле К, являющееся
расширением поля действительных чисел D и изоморфное
полю /С.
Для построения поля К соответственные элементы при
изоморфизме К ^ К можем считать равными, т. е. (а, 0)
и а будем рассматривать лишь различными формами
записи одного и того же комплексного числа, а все остальные
элементы (а, Ь) при Ь Ф 0 в обоих полях К и К одни и
те же. Если для комплексного числа (0, 1) введем
обозначение через i9 то будем иметь I2 = (0,1) (0, 1) = ( — 1, 0)
= — 1, т.е. (и будет как раз тем комплексным числом, о
котором говорится в определении 28, L Число i называют
мнимой единицей поля комплексных чисел /(.
Из (6, 0) = Ь и (0, 1) = i следуют равенства Ы = (6, 0) .
. (0, 1) = (0, Ь), т. е. выражение Ы представляет собой
произведение действительного числа Ъ на мнимую единицу
и Теперь любое комплексное число можно представить
в следующей форме записи:
(а, Ь) = (а, 0) + (0, Ь) = а + М,
которая называется алгебраической формой записи
комплексного числа.
134

Таким образом, комплексное число а-\-Ы представляет
собой сумму действительного числа а и произведения
действительного числа Ь на мнимую единицу /, отсюда
название «комплексное» (сложное, составное число).
Число а назьшается действительной частью, а число Ы—
мнимой частью комплексного числа а -\-Ы. Число а-\-Ы
при b Ф 0 назьшается мнимым, а число Ы — чисто мнимым
числом. Неотрицательное число | а -{- Ы | = V сР + &*
называется модулем комплексного числа а -f- Ы. Для
действительного а понятие абсолютной величины и модуля
совпадают. Числа z = a + Ы и z = a -f- 6/ = а — 6/
называются взаимно сопряженными.
Теорема 28,9. Множество М всех матриц вида
1 °ь г г^е а и * — любые действительные числа,
изоморфно полю комплексных чисел /(.
Доказательство, Соответствие
является взаимно однозначным между элементами множеств
М и /С, причем из
(а + 60 + (с + ^0 =(« + £) + (*> + <*)*
и (а +К)(с + £*0 ■*■(«— М) + (ш* + 6с)/
всегда следуют верные равенства:
\—bar\—dcJ \—b — d a + cj \—ba)[—dc)
e / ac — bd ad-\-bc\
\~ad — be ac~bd)'
Таким образом, множество М представляет собой поле,
изоморфное полю комплексных чисел /С, причем М
содержит подполе М, изоморфное полю действительных чисел D.
М состоит из всех матриц вида (** ° V
Теорема 28,10. С точностью до изоморфизма
существует единственное поле комплексных чисел, т. е. любое
поле .удовлетворяющее определению 28,1, изоморфно
построенному выше полю К.
Доказательство. Пусть дано произвольное
минимальное пеле Р9 которое содержит поле действительных
135

чисел или поле, изоморфное полю действительных чисел, -
в качестве подполя и в котором уравнение х2 +1=0
имеет решение, т. е. существует элемент i со свойством
i2 = — 1. Пусть далее, элементам а, 6, ... из Р
соответствуют в том же порядке действительные числа а, Ъ
Корню уравнения х2 -J- 1 = 0 над полем D при
изоморфизме D^D будет соответствовать корень уравнения
д:2 -}-1=0, т. е. i — i. Поле Р содержит в себе все
элементы вида а+ Ъ • /, а из взаимно однозначного
соответствия а -[- Ь • i а -{- Ы следует, что Р содержит
подполе Р, изоморфное полю комплексных чисел /С. Если бы
поле Р не совпадало со своим подполем Р, то оно не
было бы минимальным полем, удовлетворяющим
определению 28,1. Поэтому Р = Р з? /С-
Теорема 28,11. Поле комплексных чисел не может
быть расположено.
Доказательство. По следствию 12,10, во
всяком расположенном поле квадрат любого отличного от нуля
элемента больше нуля, но i ф 0 и i2 = — 1, что и
доказывает утверждение.
Оказывается, что в построенном поле комплексных
чисел /С не только уравнение х2+ 1 =0 имеет решение, но,
как это доказывается в курсе высшей алгебры, уравнение
а0хп +с^х""1 + ... +^ = 0с любыми комплексными
коэффициентами имеет столько корней, какова степень этого
уравнения, если каждый корень считать столько раз,
какова его кратность.
Определение 28,12. Поле Р называется
алгебраически замкнутым, если в нем любое уравнение
щхп + «j лг72 х —{— ... + а„=0 (а0Ф0, л>1) с
коэффициентами из этого же поля имеет решение в поле Р.
С л е д с т в и е 28,13. Поле комплексных чисел
алгебраически замкнуто.
Поле действительных чисел не обладает свойством
алгебраической замкнутости, так как в нем уже уравнение
х2 + 1 = 0 не имеет решения.
Далее мы увидим, что поле комплексных чисел нельзя
расширить, сохраняя в нем закон коммутативности
умножения, т. е. это поле является максимальным
коммутативным расширением поля действительных чисел.
136

§ 29. Кватернионы
В теореме 28,9 доказано, что множество М всех матриц
вида [ |, где а и Ъ — любые действительные числа,
\—Ь а)
представляет собой поле, изоморфное полю комплексных
чисел /С. Это поле содержит в себе подполе М всех
матриц вида/ |, изоморфное полю действительных чисел А
\0 а)
Таким образом, поле матриц М является одной из
интерпретаций поля комплексных чисел /О Поэтому можно было
бы к полю комплексных чисел прийти, отправляясь от поля
матриц М. Этой возможностью воспользуемся для
построения расширения поля комплексных чисел. Для этой цели
- / а Р\
рассмотрим множество Q всех матриц вида | - _ ), где
\-Р а)
а = а + Ы и Р = с + di — любые комплексные числа, а
числа а = а — Ы и Р = с — di — сопряженные числам а и р.
Сложение и умножение этих матриц производятся по
известным правилам действий над матрицами, т. е.
« + Y P + S\ *
ay —Рб afi + Pv^
Ру — a б —рб-f-ay/
Две матрицы! . — 11 и I _ _ I называются
равными тогда, и только тогда, когда a = у и [3 = 6.
Известно, что сложение квадратных матриц
коммутативно и ассоциативно, умножение этих матриц ассоциативно
и связано со сложением правым и левым законами дистри-
/ а р\
бутивности. Для каждой матрицы I _ _ существует ей
\-р v
(-а -р\
противоположная матрица I - — такого же вида.
V р -«;
Перечисленные свойства показывают, что множество Q
является кольцом.
137

Если же эти свойства матриц не считать известными,
то легко можно проверить выполнение аксиом кольца в
множестве Q непосредственными вычислениями по
вышеуказанным правилам.
В кольце Q закон коммутативности умножения, вообще
говоря, не выполняется, например
(i_?)(-?iH?.V(-!S)(ie^)-(-?-.')-
Определитель матрицы из кольца Q будет равным нулю
тогда, и только тогда, когда а = р = 0, так как из
" lU= a a +p p*=a2 + &2 + c2 + d2=0
-Р а1
следует a = b — c = d = 0. Обратное утверждение очевидно.
Из этого следует, что для каждой матрицы из Q, кроме
нулевой, существует обратная матрица.
Таким образом, в множестве матриц Q выполняются
все аксиомы тела (определение 11,18).
Тело Q содержит в себе множество всех матриц вида
( а с\ где а и с — любые действительные числа, т. е.
Q содержит в себе поле, изоморфное полю комплексных
чисел /С. Поэтому, по следствию 13,4, существует тело Q,
являющееся расширением поля комплексных чисел /С,
изоморфное телу матриц Q.
Чтобы построить тело Q, достаточно в множестве
матриц Q произвести замену элементов подмножества ЛТ,
изоморфного полю действительных чисел D, соответственными
действительными числами, т. е. каждую матрицу вида
(0 д) заменить действительным числом а. Покажем это.
Каждая матрица
/ а р\ / а-\-Ы c + di\
\—$ ау ^— c-\-di а~Ы]
из Q однозначно определяется четверкой действительных
чисел (а, Ь, с, d), причем единичная матрица ( i ?) опре-
138

деляется четверкой (1, 0, 0,. 0). Рассмотрим еще матрицы,
определяемые четверками чисел (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0),
(О, 0, 0, 1), т. е. матрицы
Каждую матрицу из множества Q можно представить в виде
/ а + Ы c + di\_(a 0\i(b Q\(i 0\,
\—c + di а — Ы) \0 а/"1" {О Ь)\0 — /j"1"
л_/с 0W 0 l\_j/d 0W0 i\
' 10 c)\-l OJ ' \0 d)(i 0)'
Если все элементы поля D заменим соответственными
им при изоморфизме DszD действительными числами, а
для матриц
('.->(-? i)-(?i)
введем обозначения соответственно через /, /, k> то матрица
а-\-Ы c-\-di\
— c-\-di a — bi)
заменится выражением a-{-bi-\-c}-\-dk.
Определение 29,1. Выражение вида а + Ы +
+ су + dk, где а, 6, с и d — любые действительные числа,
называется кватернионом. Множество всех
кватернионов называется телом кватернионов.
Название «кватернион» происходит от латинского слова
quaterni — no четыре. Действительные числа а, Ь, с, df
однозначно определяющие кватернион а = а + Ы + cj +
+ dk, называются компонентами или координатами этого
кватерниона. Сложение кватернионов сводится к
сложению соответственных компонентов. Элементы 1, if /, k
называются единицами тела кватернионов, причем
последние три — мнимыми единицами. Чтобы
получить правила умножения кватернионов, необходимо
и достаточно установить это правило для умножения
единиц. Правила умножения единиц тела кватернионов с
необходимостью вытекают из умножения соответственных
матриц. Из равенств:
1
139
I

ft 4-('.-!)-(-Ь-?>(-? *)•(-?*)■
следуют соответственно равенства: i2 = /2 = £2 = — 1.
Далее следуют равенства:
/*-(_?.«•(? i)-ft _°)
*/-(? *)(_? A)-(-J?)-
»-ft -?)(? i)-(? -J)"
/;
/•
Кроме того, имеем: 1 • ё== г • 1 = /, 1 . /= / . 1 == /, 1 . k=
=А. 1 = &.
Из всех перечисленных равенств следует таблица
умножения единиц тела кватернионов Q (черт. 8).
Правило умножения
кватернионов состоит в том, что
их перемножают как обычные
многочлены, т. е. каждый
член первого кватерниона а
умножают на каждый член
второго кватерниона Р с
учетом таблицы умножения
единиц (черт. 7) и полученные
произведения складывают,
применяя при этом
соответствующие аксиомы кольца.
При умножении кватернионов
надо строго соблюдать поря-
/
/
j
к
1
1
(
j
к
i
i
-/
-и
j
j
J
к
-1
-/
к
к
"j
i
-/
Черт. 8с
140

док следования сомножителей, так как умножение в
множестве Q, вообще говоря, не коммутативно.
a$=(a1 + b1i + clj + d1k)(a2 + b2i + c2f + d2k)=*
=(аг <h—bx b2—ct с2 — dt d2) + (аг b2 + я2 *i + cxd2—c2dx) i +
+ ifli c2 + a2c1-\-b2d1 — bt d2) /+(«i ^2+^2 *И"А c2—&2 ^) Л.
(1)
Произведение pa будет отличаться от произведения ap
только тем, что во всех коэффициентах при i9 /, k
последние два слагаемых изменят знаки на противоположные.
Определение 29,2. Два кватерниона a = а +
+ bi + cj + dk и a = а — Ы — cj — dk называются
сопряженными друг другу. Произведение
сопряженных кватернионов называется нормой каждого из
этих кватернионов. Норма кватерниона а обозначается
через N (а).
Если в равенствах (1) положим a1==a2=a, bt = 6,
сх = Су dx=* d, 62= — by с2= —ct d2 = —d, то получим, что
aa= N (a)= а2 + b2 + с2 + d\
Точно так же получается, что
aa= N(a)=a2-\-b2-\-c2 + d\
Отсюда следуют равенства:
N(a) = N(a) иаа — aa. (2)
Следствие 29,3. Кватернион a=a-|-W-J-c/-f-d£
тогда, и только тогда, равен нулю, когда его норма равна
нулю.
Следствие 29, 4. Если в произведении кватернионов
Pa оба сомножителя заменить кватернионами, им
сопряженными, то получится кватернион, сопряженный
произведению ар, т. е. для кватернионов имеет место равенство
ap = p.a. (3)
Для доказательства достаточно вычислить
произведение рай сравнить его с произведением ар.
Следствие 29,5. Норма произведения кватернионов
равна произведению норм сомножителей.
141

Доказательство.
ЛГ(аР) = (сф)(сф) = (ар) (ра)= а(РР) а = а Nф) а =
- (аН) А^ (р) - АГ(а) АГ (р). (4)
Так как множество кватернионов Q является телом, то
для каждого кватерниона а=^=0 существует ему обратный
кватернион а""1 = ° , потому что
а __ аа __ N (а) __ j
а ' N (а) "" ЛГ (а) ~~ N (а)
Уравнение а х = р при а ^ 0 решается путем
умножения обеих его частей слева на о4, т. е.
х = а р ^~
N(a) •
Для уравнения *а = Р умножаем обе его части справа
на а"'1 и получаем:
Q _i В а
х = ра ^ —
N(a)
Множество D всех кватернионов вида а = а + 0 • * -\-
-f- 0 • у -|- 0 • & представляет собой поле, изоморфное полю
всех действительных чисел D, т. е. D является подпол ем
тела кватернионов. В множестве Q содержатся еще три
подполя, изоморфные полю комплексных чисел К:
множество всех кватернионов вида а-\-Ы, множество всех
кватернионов вида я + с/ и множество всех кватернионов
вида a-\-dk.
Тело кватернионов было построено в середине XIX века
английским математиком Гамильтоном в результате
поисков расширения поля комплексных чисел. Уже
Гамильтоном были найдены возможности применения
кватернионов в геометрии и физике.
Различные конкретные истолкования (интерпретации)
показывают возможность применения кватернионов в
математике, физике, механике. Всякий кватернион можно
рассматривать как состоящий из двух частей: число а
называют скалярной частью, а выражение Ы + с} +
+ dk — векторной частью кватерниона а =* а +
142

\
+ Ы + с} + dk. Множество v всех векторных частей
кватернионов, т. е. множество всех кватернионов вида
v = Ы + cj + dk, представляет собой коммутативную
группу по сложению, так как сложение в этом множестве
является алгебраической операцией, удовлетворяющей
всем аксиомам указанной группы (§ 11). Эта группа
изоморфна группе v всех обычных векторов трехмерного
пространства, употребляемых в геометрии, физике, механике. При
этом каждому кватерниону vx= axi + bj + cxk
ставится в соответствие вектор vx = {up Ьх, сх] . Поэтому
каждый вектор v = [а, 6, с] можно рассматривать как
геометрическую интерпретацию кватерниона v = at + bj + ck, *
т. е. рассматривать обычные векторы множества v и
элементы множества с; как различные истолкования одного
и того же понятия.
Умножение в множестве v не является алгебраической
операцией, так как произведение двух элементов из v,
вообще говоря, будет кватернион с отличной от нуля
скалярной частью и тем самым не будет принадлежать
множеству v. Однако и в этом случае обнаруживается тесная связь
кватернионов с обычными трехмерными векторами.
Перемножим два кватерниона
vi — a1iJrb1j'\-clk и v2 — а2 i ~f- b2 j + <fck:
vxv2 = — {ax a2 -f bx b2 -f cx c2) + (bx c2 — b2 cx) i +
+ (а2сх — axc2)j + (axb2 — a2bx)k.
Первое слагаемое этого произведения представляет собой
скалярное произведение векторов vx и v2t взятое с
противоположным знаком, а остальная часть этого произведения
совпадает с векторным произведением vx и v2> т. е.
справедливо равенство:
vxv2^ — (v[ тГ2) -f [щщ], (5)
где в левой части — кватернионы vx \\y2y а в правой части—
соответствующие им векторы vx = {av bv сх) и v2 =
— {^2» b2, с2). Равенство (б) показывает связь умножения
кватернионов с двумя различными умножениями,
рассматриваемыми в векторном исчислении, которое к настоящему
времени широко развито и имеет многочисленные приме-
143

из теории кватернионов, когда векторные части кв^ернио-
нов стали рассматривать отдельно от кватернионов.
Кватернионы находят применение и в теории чисел.
Например, из равенства (1) и следствия 29,5 сразу же
получается важное тождество Эйлера:
= (ах а%—Ьх h—Cx c2—dx d2)2-j- (ах b2 + а2 Ьг -J- с, d2—c2d1)2-\-
-г ifli c2+«2 Ci-\~b2 d1—bl d2f -f (ax d2-{-a2 dx +6j c2—b2 cx)\
Применением кватернионов в теории чисел и алгебре
занимались советские математики, например Б. А. Венков,
Ю. В. Линник, Д. К. Фаддеев.
Одновременно с отысканием различных применений тео- •
рии кватернионов продолжались поиски дальнейшего
расширения числового множества, что привело к построению
новых разделов математики: теории линейных пространств,
теории алгебр, или гиперкомплексных
систем.
Каждое комплексное число а + Ы представляет собой
сумму двух произведений: действительного числа а на
единицу 1 и действительного числа b на мнимую единицу it т. е.
поле комплексных чисел является числовым полем с
двумя единицами 1 и L Поиски такого поля с тремя единицами
к желаемому результату не привели, причина этого будет
выяснена в следующем параграфе. Гамильтону удалось
построить расширение числового поля с четырьмя
единицами 1, *, у, k (тело кватернионов Q), установив
соответствующим образом таблицу умножения единиц (черт. 8).
Естественно, возникает вопрос о возможности построения
расширений с большим числом единиц. Для решения такого
вопроса стали рассматривать выражения вида ахих +
+ (hu2 + ... + апип, где коэффициенты с^, а2>..., ап —
действительные числа, а их> и2у..., ип — элементы
некоторого множества.
§ 30. Векторные пространства и алгебры
Пусть дана коммутативная группа А по сложению (11,1)
с элементами и, v в которой, кроме сложения
элементов, определено еще также умножение их на
действительные числа а, 6,... так, что произведение аи принад-
144

лезЦит группе А, где а — любое действительное число, а
и — любой элемент из Л.
Определение 30,1. Элемент и группы А называется
линейной комбинацией элементов иг, щ, ..., и„
относительно поля действительных чисел Д если в D имеются такие
числа 0^,(12 аПУ что выполняется равенство
и = агих-\-а2и2-\- ... -\-апи„.
Например, каждый кватернион является линейной
комбинацией четырех элементов 1, *, /, к, так как а = а.1-{-
-\-bi^-cj-\-dk. Роль группы А здесь выполняет
множество всех кватернионов.
Определение 30,2. Система элементов uv и2, ... , ип
группы А называется линейно зависимой над полем
действительных чисел Д если какой-либо элемент этой системы
является линейной комбинацией остальных ее элементов.
В противном случае система uvu2i ... , ип называется
линейно независимой. В частности, если зависимая система
состоит только из двух элементов а и с, т. е. u = av, то
элемент и называется пропорциональным элементу v.
Т[еорема 30,3. Для того чтобы система элементов
uv и2, ... , ип группы А была линейно зависимой над
полем Д необходимо и достаточно, чтобы существовали
действительные, не все равные нулю, числа ava2, ..., ап
такие, чтобы выполнялось равенство
Доказательство. Пусть система элементов
uv и2, ..., ип линейно зависима, т. е.
и1 ^а1и1 + а2и2+ ... +a/_1tt/-I+a/+1a/+1 + ... +
+ апип, тогда
ахиг + а2и2-\- ... +(—1) ut+ ... +апип = 0,
где at =* — 1.
Обратно, пусть a^ut -f- а2и2 + ... + atщ + ... +
Л"ап^п = 0. где аг Ф 0. Тогда
Щ яв — —• Wj — U2 — . • • — ЫПу
at сц at
т. е. элемент щ является линейной комбинацией ост&тьных
элементов.
145

/
/
Эту доказанную теорему можно принять в качества
определения линейной зависимости элементов группы А
относительно поля D.
Следствие 30,4. Для того чтобы система
элементов uv ий, ..., ип группы А была линейно независимой,
необходимо и достаточно, чтобы равенство
выполнялось только при условии а1=а2 = ... =яя=0.
Например, равенство a -f- Ы + с/ -j- dk = 0 выполняется
только при условии a = b = c = d = Q, следовательно,
система 1, i9 /, k линейно независима над полем
действительных чисел D.
• Определение 30,5. Линейно независимая система
элементов группы А
Uv #2» w3> ... , Un
называется базисом этой группы, если любой элемент
из А является линейной комбинацией элементов данной
системы. Говорят также, что любой элемент из А лийеййо
выражается через базис данной группы.
Например, система 1, /, /, k является базисом группы
кватернионов Q.
Определение 30,6. Коммутативная группа по
сложению А называется я-мерйым векторным про*
странством над полем действительных чисел Z),
если в А определено умножение элементов на
действительные числа, обладающее следующими свойствами:
1) Произведение аи всегда принадлежит Л.
2) а(и + v) = аи + av.
3) (а + Ь) и «= аи + ub.
4) \ab)u = а (Ьи).
5) В группе А имеется базис, состоящий из п элементов
ui9 и2, ..., ип.
Всякий элемент /г-мерного векторного пространства А на*
зывается n-мерным вектором, а число элементов базиса п
называется размерностью данного пространства.
Следствие 30,7. Из условий 2 и 4 определения 30,6
следует:
Ьи =*6(а1г/1 + ^2«2+ ... +в*йд) «= (Ьах)их + {Ьа2)и^ +
+ ... -\-(Ьап)ип.
146

В частности, при 6=1 и при 6 = 0 получаем: 1 • а = и,
0 . и « 0.
Следствие 30,8. Из условия 3 определения 30,6 и
свойств элементов группы А следует:
(alUi + a*ut-\- ••• +я*Ий) + (61«1 + М2+ ... +
+ Ьпип) = (а1 + Ьг)и1 + (а2 + Ь2)и2 + ••• +(<*n + bn)unt
т. е. сложение элементов n-мерного векторного
пространства сводится к сложению соответственных компонентов
'действительных чисел).
Следствие 30,9. Каждый элемент векторного
пространства А линейно выражается через базис
единственным образом (однозначно).
Доказательство. Из a1ui-\-a2u2^ ••.+flnw»5=
= 61«1 + &2«2+ ... + bnun следует {ах — 6i)#s + (0» —
— b2)u2-\- ... +(ай — bn)un = 0.
Последнее равенство ввиду линейной независимости базиса
возможно тогда, и только тогда, когда все коэффициенты
равны нулю, т. е.
аг = bv а2 = b2, ... , ап = Ьп.
Теорема 30,10. n-мерное векторное пространство
А над полем D с точностью до изоморфизма однозначно
определяется заданием размерности, т. е. все n-мерные
векторные пространства над полем действительных чисел
изоморфны друг другу.
Доказательство. Есдиих,u2i ...,unnvvv2> ... ,v„—
базисы двух п- мерных векторных пространств А и В, то
изоморфным соответствием будет
агиг-\-а2и2-{- ... +attua<*b1vl + bzvt+ ••• +bnv„9
так как это соответствие взаимно однозначное и оно не
будет нарушаться при сложении и умножении векторов на
действительные числа.
На основании теоремы 30,10 мы можем понимать под
/^-мерным вектором просто упорядоченную систему п
действительных чисел (ava2t ... fan). Сумма двух векторов
а = (av а2, ..., ап) и р == (bv b2, ..., bn) тогда будет
определяться как вектор а + 0 = (аг + bv а% + Ь2, ... , ап + Ь„),
а произведение ар —как вектор a$~(abvab2, ... ,ab„).
147

Свойства 1 — 4 определения 30,6 в определенном таким
образом множестве векторов будут автоматически
выполняться. Далее, в качестве базисных элементов я-мерного
векторного пространства А проще всего можно выбрать
векторы, называемые единичными векторами:
^ = (1,0,0, ... ,0),
*2 = (0, 1,0, ... ,0),
i—(b/i/o/.Г.', iV
Система п единичных векторов линейно независима, так
как равенство а1е1-\-а2е2-{' ... + яяеп — (0,0, ... ,0) = 0
будет выполняться тогда, и только тогда, когда аг = а* =■
= ... = ап = 0. В этом же множестве А выполняется и
свойство 5 определения 30,6, так как для всякого вектора
имеет место равенство
a = (ava2, ... ая)=*а1ег-\-аше%-\- ... +апеп.
Таким образом, множество А всех упорядоченных систем
(av а2, ..., ап) действительных чисел на самом деле
образует л-мерное векторное пространство.
Определение 30,11. л-мерное векторное
пространство А над полем действительных чисел D называется
алгеброй или гиперкомплексной
системой ранга п над полем D, если в А определено
еще умножение элементов u, v, ... друг на друга, которое
подчиняется закону ассоциативности и связано со
сложением обоими законами дистрибутивности, кроме того,
выполняется условие:
6. (au)v = u(av) = a(uv) для всех а из D.
Если при этом алгебра А является телом, то она
называется алгеброй с делением.
С л е д с т в и е 30,12. Из условия 6 следует равенство:
(аи) (bv) = (ab) {uv). (I)
С л е д с т в и е 30,13. Из выполнения законов
дистрибутивности в А следует равенство:
uv= ( Е щеЛ . [Е bjej)=* Е Е (а, &,) (г,*,). (И)
Последнее равенство показывает, что для вычисления
произведения любых элементов из А достаточно знать про-
148

изведение любых базисных элементов е1 и ef. При этом
произведение базисных элементов само должно быть линейной
комбинацией базисных элементов, т. е. должно
выполняться равенство:
п
etef = axiJег + а2ие2+ ... + amJеп = Е aklJek. (Ill)
k=\
Таким образом, для составления таблицы умножения
базисных элементов потребуется я3 действительных чисел
(всех произведений будет л2, а для каждого такого
произведения требуется п коэффициентов), которые
называются структурными константами этой
алгебры.
При произвольном выборе структурных констант закон
дистрибутивности следует из условий II и III. Для
выполнения же закона ассоциативности умножения необходимо
и достаточно* еще потребовать его выполнения для
базисных элементов
<*!«/) **=*/(*/**)- (IV)
Требования II, III, IV вместе с требованиями из
следствий 30,7 и 30,8, т. е. вместе с требованиями:
п п
bu = b Е аь щ = Е (bat) щ9
п п п
Е ОцщАг Е Ь^ = Е (0/ + &М
ы\ t~\ i~\
полностью определяют операции в алгебре А над
полем D.
Если еще умножение базисных элементов алгебры А
над полем D коммутативно, т. е. е% ej = ej et для любых
элементов е% и eJt то алгебра А будет коммутативной
алгеброй с делением.
Примеры алгебр с делением над полем действительных
чисел.
1. Само поле действительных чисел D есть алгебра
ранга 1. Базис этой алгебры состоит из одного элемента —
единицы.
2. Поле комплексных чисел К есть алгебра ранга 2.
Базис этой алгебры состоит из двух элементов 1 и L
149

3. Тело кватернионов есть алгебра ранга 4. Базис этой
алгебры состоит из четырех элементов 1, f, /, k,
Следует иметь в виду, что в качестве базисных
элементов алгебры А могут быть выбраны и другие элементы
данной алгебры, но во всех случаях их число будет одно и то
же, равное рангу алгебры А.
Мы уже видели, что поле действительных чисел D
является максимальным архимедовски расположенным нолем,
поэтому при переходе к полю комплексных чисел К
пришлось отказаться от выполнения аксиомы Архимеда и вместе
с этим и от аксиом скалярного расположения. При
переходе от поля комплексных чисел К к телу кватернионов Q
пришлось отказаться от коммутативности умножения.
Дальнейшие расширения приводят к потере других
важных свойств числовых множеств, в частности закона
ассоциативности умножения и других.
Оказывается, что перечисленными тремя примерами
ассоциативных алгебр с делением над полем
действительных чисел D с точностью до изоморфизма исчерпываются
все такие алгебры.
Теорема Фробениуса. Поле
действительных чисел, поле комплексных чисел и тело кватернионов
являются единственными с точностью до изоморфизма
ассоциативными алгебрами с делением конечного ранга над
полем действительных чисел D.
Доказательство. Пусть над полем D дана
ассоциативная алгебра А с делением ранга я. Так как А
содержит единицу, то в Л содержится целиком поле D или
поле D, изоморфное полю D. Если п = 1, то алгебра А
совпадает с D или изоморфна D.
Если п > 1, то для проведения доказательства данной
теоремы нам потребуется еще одно свойство /г-мерных
векторных пространств.
Теорема 30,14. Всякие п + 1 элементов п-мерного
векторного пространства А над полем действительных
чисел D составляют линейно зависимую систему.
Доказательство. Из курса высшей алгебры
известно, что система однородных линейных уравнений с
числом неизвестных, большим числа уравнений данной
системы, всегда имеет и не нулевые решения. Пусть даны
и0, «р..., ип произвольныеп + 1 элементов данного
«-мерного векторного пространства А и ev e* еп — базис
этого пространства. Тогда
150

И|=в11^1+Л12^+- + <*l»*if. \X1
u„ = аЯ1 ^ + ame2 + ... + яЯл£й |хп
Умножаем почленно эти равенства соответственно на
некоторые действительные числа я0, д^, ..., х„ (как
показано вуше) и затем складьгоаем полученные после такого
умножения равенства почленно. После этого получим
равенство
*й u*+xi Щг¥ • • • +*« ип «(а01 х0+ап х, + ... +ай1 *я) ^+
+ KiX* + ain*i+ ••• + а»« *»)*«. (2)
справедливое при любом выборе множителей xQi xv ... , хп.
Система уравнений
Uo2^o + ai2^i+ ••• +^2^W=0,
(аоя*„ + а1я ^ + ... + аппхп = О
согласно сделанному в начале доказательства замечанию
имеет по меньшей мере одно не нулевое решение (таких
решений будет бесконечное множество) k6i kv ,.., knt т. е.
решение, в котором не все kt при / = 0,1, ..., п равны
нулю. При х0 = k09 xx = kv ..., xn~kn из равенства (2)
получается равенство
которое показьгоает, что, по теореме 30,3, элементы
щ, uv ..., и„ составляют линейно зависимую систему.
Теорема доказана.
Пусть теперь и ~ произвольный элемент из алгебры Л,
не являющийся действительным числом (не принадлежащий
и множеству, изоморфному D). Для элементов 1,и,г/2, ...
... ,ап, число которых равно л+Ь найдутся
действительные числа a0, av а^ .... Дй, не все равные нулю, что будет
выполняться равенство
ao + aia + a2W2+ «.. -{-апип=0,
т

т. е. элемент и является корнем уравнения
с действительными коэффициентами, степень которого не
выше п.
Кроме того, из курса высшей алгебры известно, что
всякий многочлен с действительными коэффициентами
разлагается на множители тоже с действительными
коэффициентами не выше второй степени. Так как в алгебре
делители нуля отсутствуют (А является телом), то элемент
и должен быть корнем некоторого квадратного уравнения
х2 + рх + q = О
с дискриминантом, меньшим нуля (в противном случае
элемент и был бы действительным числом).
Из u2-\-pu-\-q = 0 получаем:
(*+*)•--(«-■?)■
Таким образом, в любой алгебре А ранга п > 1
содержится по меньшей мере один элемент
со свойством i2 = — 1. Такой элемент будем называть
мнимой единицей алгебры А.
Если п = 2, то любой элемент алгебры А будет
линейной комбинацией элементов 1 и /, а поэтому получаем поле
комплексных чисел или поле, ему изоморфное.
Если п > 2, то в алгебре А найдется элемент v, не
являющийся линейной комбинацией элементов 1 и i и
удовлетворяющий уравнению
х2 ~г гх + s = О
152

тоже с отрицательным дискриминантом. Тогда элемент
г
V^f
тоже будет мнимой единицей алгебры Л, так как /J = — 1.
Элементы 1, i, j0 составляют линейно независимую систему
над полем действительных чисел (в противном случае
элемент v был бы линейной комбинацией элементов 1 и £)•
Так как всякий элемент алгебры, не являющийся
действительным числом (элементы поля, изоморфного полю D, не
будем отличать от соответственных действительных чисел),
удовлетворяет некоторому квадратному уравнению, то
элементы I + /0 и i — /0 должны быть корнями некоторых
уравнений
х* — ах — 6 = 0 и х2 — ex — d = 0
с действительными коэффициентами. Тогда
из (*'+/о)2 — я0"-f/e) — 6-0 следует /2-}-/2-}-//о-{-
+ /V'==<*(/+/о) + ^
из (i — h)2—с (i — /0) — d=0 следует i2 + j\ — i /0 — /0/=
= c(<'-/o) + *
Складывая почленно равенства
'2 + / о +i /о + /о < = oi + а /0 + Ь,
/2+ /о — '/о- /в' в « ~ ch-rd
с учетом j2 = /2 = — 1, получим:
_4 = (а + ф' + (а-с)/0 + * + <*
или
(6 + d + 4) + (a + c)/ + (a-c)/D«0. (2)
Из последнего равенства ввиду линейной независимости
элементов 1, /, /0 следует а-Н=0, я —с — О, т. е.
а = с=0. Теперь из (1) получаем:
ih+ioi = V, (3)
153
(1)

где t — действительное число, равное — (Ь + 2).
Положим
/i-/• + «■ (4)
Элементы 1, /, Д—линейно независимы над полем
действительных чисел, так как из линейной зависимости между
ними следовала бы линейная зависимость между 1, /, /0.
Теперь, имея в виду равенство (3), получаем:
= — 1+2/2 —12 = — l+t\
т. е. этот квадрат оказывается действительным числом,
которое будет даже отрицательным. В самом деле, элемент /х
не является действительным числом, так как иначе уже
между ним и единицей существовала бы линейная
зависимость. Если бы число — 1 -f-12 было положительным, т. е.
— l+/2-m2>0,
то из j\ — т% = О, (Д -f m) (jx — т) «= 0 следовало бы, что
алгебра А имеет делители нуля, так как jx не может
равняться т или —т.
Таким образом,
где s — действительное число.
Положим, наконец,
1 .
Элементы 1, /, j снова будут линейно независимыми над
полем D, так как / отличается от j% лишь действительным
множителем.
Далее,
/•--<--■>—-1-
Теперь, по (3), (4), (5), получаем:
Ч + П = "f Р (/« + '0 + (/о + '0 0] ==
S
154

- — (//• + hi + %i*) = -1 (2' - 2') = О-
5 S
Откуда имеем:
/'« — */• (б)
Положим ij = &. Если бы элемент k был линейной
комбинацией элементов 1, /, /, т. е.
k = a -f- Ы + с/
с действительными коэффициентами а, 6, с, то, умножая
обе части этого равенства слева на i, мы получили бы
ik = — / *cai —6 + ci/ == ш — b-\-c(a~{- bi-\-cj)
или
т + (Ьс + я)/ + (с2+1)/=0.
Из последнего равенства ввиду линейной независимости
элементов 1, /, / следовало бы с3 = — 1, что невозможно, так
как с — действительное число. Таким образом, элементы
1, |, /, k оказываются линейно независимыми, откуда
вытекает, что п > 4.
Следовательно, над полем действительных чисел
алгебры ранга 3 с делением не существует.
Если п = 4, то каждый элемент алгебры А будет
линейной комбинацией четырех элементов 1, l9 /, k, т. е.
будет иметь вид:
и = а + 6/ + cj + d£,
причем единичные элементы будут перемножаться по таб*
лнце умножения единичных элементов тела кватернионов
(§ 29). Например, из
k = ij — — ji
следуют соотношения:
ik = — /, ki = /, k2 = kij = /2 = — 1
и другие.
Таким образом, при п *= 4 алгебра Л совпадает с телом
кватернионов или изоморфна телу кватернионов. *
Предположим, наконец, что п > 4. Тогда в алгебре А
существует элемент w, не являющийся линейной
Комбинацией элементов 1, /, /, k, а потому в А существует еще по
155

меньшей мере одна мнимая единица /, также не
являющаяся линейной комбинацией элементов 1, t9 /, k. Применяя
такие же рассуждения, какими пользовались при выводе
формулы (3), получим равенства:
il-\-U= a,
// + //= 6,
kl + lk=c,
где a, by в — некоторые действительные числа. Отсюда
будем иметь:
/£ = /// = (//)/ = (а г— i7)/==a/— /(//) = а/ — j (&—//) =
= а/ — Ы + (*/) / « а/ — 6/ + Л/ = а/ — 6/ + с — /£,
т. е.
2lk = а/ — М + с-
Умножая обе части последнего равенства справа на k,
получим:
— 21 = at — Мй -J- ей = ai -f- 6/ + с*>
или
. _а_ . &_ . с,
Г * Т' Т
Откуда следует, что элемент / является линейной
комбинацией элементов /, i, j, k в противоречие с
предположением. Следовательно, случай п > 4 оказывается
невозможным. Этим теорема Фробениуса доказана.
Из теоремы Фробениуса следует, что
ассоциативно-коммутативных алгебр с делением над полем действительных
чисел с точностью до изоморфизма существуют только две:
поле действительных чисел и поле комплексных чисел.
Алгебра с делением — ассоциативная, но не коммутативная,
над полем действительных чисел с точностью до
изоморфизма существует только одна: тело кватернионов.
Над полем действительных чисел существует еще одна
алгебра с делением, ранг которой равен 8. Но эта алгебра
не является ни коммутативной, ни ассоциативной, так как
законы коммутативности и ассоциативности не
выполняются для ее базисных элементов е19 е2, е3, е4, е5, ев, %> е&
Эта алгебра называется алгеброй К э л и.
156

Доказано, что размерность алгебры конечного ранга
с делением может равняться только 1, 2, 4 и 8.
Следовательно, при дальнейшем повышении размерности такой
алгебры у нее появляются делители нуля. Поэтому
деление на элементы, отличные от нуля, становится не
всегда возможным.
С этими вопросами можно подробнее ознакомиться по
книге: А. Г. К у р о ш, Лекции по общей алгебре, Физ-
матгиз, 1962.
ЛИТЕРАТУРА
1. Арнольд И. В., Теоретическая арифметика, Учпедгиз, 1939.
2. Ван дер ВарденБ. Л., Современная алгебра, ч. 1, Гостех-
издат, 1947.
3. Гонин Е. Г., Теоретическая арифметика, Учпедгиз, 1959.
4. К л е й н Ф., Элементарная математика с точки зрения высшей,
т. 1, М.—Л., 1933.
5. Курош А. Г., Курс высшей алгебры, Физматгиз, 1962.
6. Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, Физматгиз, 1962.
7. Ландау Э., Основы анализа, Госинлитиздат, 1947.
8. Маркушевич А. И., Действительные числа и основные
принципы теории пределов, изд. АПН РСФСР, 1948.
9. Новиков П. С., Элементы математической логики, Физматгиз,
1959.
10. П р о с к у р я к о в И. В., Теоретические основы арифметики,
Энциклопедия элементарной математики, книга 1, ГТТИ, 1951.
11. X и н ч и н А. Я., Восемь лекций по математическому анализу, Гос-
техиздат, 1948.
J2. Ч е з а р о Э., Элементарный учебник алгебраического анализа и
исчисления бесконечно малых, ОНТИ, 1936.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ; : 3
Глава 1, Натуральные числа
§ 1. Аксиомы Пеано и простейшие следствия из них ... Ю
§ 2. Сложение натуральных чисел 12
§ 3. Умножение натуральных чисел 16
§ 4. Сравнение натуральных чисел по величине и действия
с неравенствами ,.......* 19
§ 5. Различные формы аксиомы полной математической
индукции и их эквивалентность 23
§ 6. Индуктивное определение (построение)
последовательности • : N: 28
§ 7. Сумма и произведение нескольких натуральных чисел 31
§ 8. Вычитание и деление натуральных чисел 38
§ 9. Возможность построения элементарной арифметики на
основе аксиом Пеано 39
§ 10. Основные требования, предъявляемые к системе аксиом 43
Глава 2. Целые числа
§11. Множества с операциями для элементов 58
§ 12. Расположенные кольца и поля . . . » 63
§ 13. Изоморфизм множеств с операциями. Расширение
колец, полей и других множеств с операциями. Разбиение
множества на классы 66
§ 14. Построение кольца классов пар натуральных чисел . . 71
§ 15. Сравнение классов пар натуральных чисел по величине 78
§ 16. Построение кольца целых чисел 79
Глава 3. Рациональные числа
§ 17. Построение поля классов пар целых чисел . „ , . « 81
§ 18. Сравнение классов попарно эквивалентных дробей и
действия с неравенствами 87
§ 19. Построение поля рациональных чисел 89
158

Глава 4. Действительные числа
§ 20. Фундаментальные последовательности и их свойства . 95
§ 21. Свойства фундаментальных последовательностей
рациональных чисел , . . . . 98
§ 22. Система аксиом, определяющих поле действительных
чисел . 107
§ 23. Интерпретация системы аксиом поля действительных
чисел , ; i 107
§ 24. Поле действительных чисел как расширение поля
рациональных чисел . . . * 112
§ 25. Приближение действительных чисел систематическими
дробями i 114
§ 26. Полнота системы аксиом поля действительных чисел . 121
§ 27. Скалярная положительная величина и ее измерение . . 124
Глава 5. Комплексные числа
§ 28. Поле комплексных чисел . , • . » 131
§ 29. Кватернионы , . . 137
§ 30. Векторные пространства и алгебры 144
Л ите рат у ра . . * f * ♦.«... ....... 157

Иван Тимофеевич Демидов
ОСНОВАНИЯ АРИФМЕТИКИ
Редактор В. Л Долгополое
Обложка художника Е. А. Десятова
Художественный редактор В. С. Эрденко
Технический редактор И. Г. Крейс
Корректор А. Я. Киселева
Сдано в набор 29/1V-1963 г.
Подписано к печати 18/XI-1963 г. 84хЮ81/зг.
Печ. л. 10 (8,20). Уч.-изд. л. 7,15*
Тираж 58000 экз.
* * *
Учпедгиз. Москва, 3-й проезд Марьиной
рощи, 4L
Полиграфкомбинат Приволжского совнархоза,
г.Саратов, ул. Чернышевского, 59. Заказ375.
Цена 22 коп.