Дифференциальная геометрия, топология, тензорный анализ: Сб. задач / Н. И. Кованцов, Г. М. Зра-жевская, В. Г. Кочаровский, В. И. Михайловский. — 2-е изд., перераб. и доп.— К.: Выща шк., 1989.— 398 с.: ил.
ISBN 5-11-001416-7.
Кроме задач из традиционных разделов по теории кривых и теории поверхностей сборник содержит задачи по топологии, тензорному анализу и римановой геометрии. Большое внимание уделено плоским кривым.
Перед каждым параграфом помещены краткие теоретические сведения и основные формулы. Приведены решения наиболее характерных задач. Почти ко всем задачам даны ответы и указания к решению.
Во втором издании (1-е изд.— 1982 г.) расширены теоретические положения, добавлены новые задачи.
Для студентов университетов.
ГЛАВА 1 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ
§ 1.	ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА
Пусть М — любое множество точек числовой прямой.
Говорят, что на множестве М задана вектор-функция а (Г), если каждой точке t этого множества соответствует вектор a (t).
Вектор а0 называют пределом вектор-функции a (t) при t -> t0, если | а (/) — а0 (/)]-»- 0 при t -* t0, и записывают
lim a (f) = а0.
Для вектор-функций имеют место теоремы о пределах, аналогичные теоремам о пределах для скалярных функций. Например, если а (/) и & (0 — вектор-функции, а X (Z) — скалярная функция и существуют lim а (0 = ав, 11m b (t) = Ьо и lim X (t) == Хо, то:
t-*ta	t^-ti
1)	lim (a(t) ± И0) = «0 ± *oJ
2)	lim X (f) a (f) = Xoao;
3)	lim (a (t), b (/)) = (a0, b0);
4)	lim [a (i), HO] = [a0, 6eJ. / ~^tn
Вектор-функция a (t) называется непрерывной в точке t = t0, если она определена в некоторой окрестности этой точки и lim а (0 = a (t0). t-rt.
Пусть а (/) — вектор-функция, определенная на отрезке [а; 6]. Говорят, что она имеет в точке t £ [a; 6] производную, если существует предел
lim й-»о h
Производная функции a (0 в точке t обозначается a' (I).
Если a (t) и b (0 — дифференцируемые в точке t вектор-функции, а X (0 — дифференцируемая в этой точке скалярная функция, то
X (0 a (f), a(f) ± b (f), (a (0, b (0), [a (0, b (0] есть функции, дифференцируемые в точке t, причем:
1)	(Ла)' = Л'а + Ла';
2)	(а ± Ь)' = а' ± &';
3)	(а, Ь)' = (а', Ь) + (а, Ь');
4)	[а, Ь]' = [Z 6] + [а, ?]•
Производную от вектор-функции a' (f) называют второй производной от вектор-функции a (t) и обозначают а" (0. Аналогично получаем а'" (0, aIV (0, ... .
- Говорят, что вектор-функция а (0: 1) принадлежит классу С° в некоторой области изменения ее аргумента, если она непрерывна в этой области; 2) принадлежит классу С* (k С М),если непрерывны ее производные до порядка k включительно; 3) принадлежит классу С00, если непрерывны ее производные всех порядков.
Пусть elt е2, е3 — три постоянных вектора, не параллельные одной плоскости. Каждая вектор-функция г (t), заданная на отрезке, допускает представление в виде
Г (0 = X (0 е1-\-у (0 е2 + г (0 е3,
где х (0, у (0, z (0 — скалярные функции (координаты вектора г (0), определенные на том же отрезке. Если функции х (0, у (t) и г (0 принадлежат классу Ck, то и г (f) g Ск. Обратно, если вектор-функция г (0 € Ск, то и ее координаты х (0, у (0 и г (0 принадлежат тому же классу. Кроме того, если г (0 = {х (0, у (0, 2(0}, то
г' (0 = {х' (0, у' (0, г' (0).
Понятие интеграла в смысле Римана для векторной функции вводится так же, как для скалярной функции. Интеграл от вектор-функции обладает обычными свойствами интеграла от скалярной функции. Кроме того, неопределенные и определенные интегралы от вектор-функ-ций можно вычислить покоординатно, например,
г (f) dt — |у х (t) dt,
1.1.1. Доказать, что из непрерыв ости вектор-функции г (0 следует непрерывность функции | г (0 |. Верно ли обратное утверждение?
1.1.2. Доказать, что если функции t\ (0, г2 (0, гз (0 и f (0 дифференцируемы, то имеют место следующие равенства:
1) (71(0±72(0)'=7i'(0±72(0;
2)	(7(/)гЮ)' = /'(/)4П + /(0г'(П;
3)	(7Х (О, 7а (О)' = (л (0. 7а (0) + (7Х (О, (/));
4)	(7Х (О, 72 (/)]' = [л (/), 7а (/)] + [7Х (О, л (/)];
5)	(7Х (/), 72 (/), 73 (/))' = (л (О, 7а (о, 73 (О) + (7Х (/), 7; (/). 73(0) + (71(0, 7а(/), 7; (О);
б)	(/ (/) л (/), 72 (/), 73 (/))' = (/' (/) л (/), 72 (/), 73 (О) +
+ (/ (On (О, 72 (/), 73 (О) + (/ (/)7Х (0, л (о, 73 (0) +
+ (/(Ол(/), 7а(0, 7з(0).
1.1.3. Найти производные по t от следующих функций:	__
1) 72; 2) [7', 7']; 3) (7', 7'); 4) (7', 7', 7"); 5) V
6)	/[7,7т,
где г = г (Г).
1.1.4.	На интервале (/х; Z2) I г (О I — const. Доказать, что г' I г на этом же интервале. Верно ли обратное утверждение?
1.1.5.	Доказать, что если | г' (I) | = 0 при всех t € (/х; /2), то на этом интервале г (f) = const. Можно ли утверждать обратное?
1.1.6.	Справедливо ли равенство | г' (/) [ = | г (/) |'?
1.1.7.	Доказать, что коллинеарность векторов г (f) и г' (f) является необходимым и достаточным условием для того, чтобы вектор г (/) имел постоянное направление.
1.1.8.	Доказать, что для того чтобы при всех (а; Ь) векторы г (0 были параллельны одной и той же плоскости, необходимо, чтобы для всех t G (а; Ь) выполнялось равенство (г (Z), г' (f), г" (0) — 0. Является ли данное условие достаточным?
1.1.9.	На отрезке [1Х; /2] вектор-функция г (/) непрерывна вместе со своей производной г' (Z) и г || г', причем, / #= О,
г =/= 0. Доказать, что линия г = г (f) есть прямая (или ее отрезок).
1.1.10.	Вектор-функция г = г (/) определена на отрезке (4; 41 и имеет в нем непрерывные производные г', г", г"', которые компланарны. Доказать, что на этом отрезке годограф вектор-функции г = г (0 является плоской линией. Справедливо ли обратное утверждение?
§ 2.	ЛИНИЯ И ЕЕ УРАВНЕНИЯ
Понятие линии (кривой) может быть определено в терминах теории множеств и отображений.
Пусть М — любое множество точек.
Говорят, что задано отображение f множества М в пространство 1 * Е3, если каждой точке X множества М соответствует некоторая точка f (X) пространства £3. Точка пространства называется образом точки X, а точка X — прообразом точки f (X).
Отображение f множества М в пространство называется одно-однозначным и взаимно непрерывным(тополо-г и ч е с к и м), если выполняются следующие условия:
1)	образы различных точек различны;
2)	если {Xnj — последовательность точек из М, сходящаяся к Хо, то последовательность образов {/ (Хп)} точек Хп сходится, и притом к точке f (Хо) — образу точки Хо;
3)	если f (X) — произвольная точка множества f (М) и {[ (Х^)} — последовательность из f (М), сходящаяся к f (Хо), то {Хп} -> Хо.
Множество у точек пространства называют элементарной кривой, если это множество является образом открытого отрезка прямой при топологическом отображении его в пространство.
Пусть у — элементарная кривая и (а; Ь) — интервал, образом которого при отображении f является кривая у. Пусть (/), (2 (/) и /3 (/) — координаты точки кривой, соответствующей точке t интервала (а; &)•
Систему равенств х =	(/), у = f2 (£), г = f3 (/) называют урав-
нениями кривой у в параметрической форме, или параметрическими уравнениями кривой.
Множество у точек пространства называют простой кривой, если это множество связно и у каждой его точки X имеется такая окрестность, что расположенная в ней часть у является элементарной кривой.
Множество у точек пространства называют общей крив ой, если это множество является образом простой кривой при локально топологическом отображении ее в пространство.
Таким образом, общую кривую можно определить как образ открытого промежутка или окружности при локально одно-однозначном и взаимно непрерывном отображении. Такое отображение аналитически
1 Пространство Е3 — трехмерное евклидово пространство, его часто
обозначают и через Е3. Вообще, n-мерное евклидово пространство обо-
значают Еп или Еп.
может быть задано равенствами
* = fi(0, y = fn(f),	(О
Эту систему равенств, как было сказано, называют уравнениями кривой в параметрической форме, или параметризацией кривой.
Допустим, что имеем еще одно отображение интервала (а; Ь) в пространство £3; параметр т изменяется на (а; 6) и каждому значению х соответствует точка ср (т), причем это отображение также локально однооднозначно и взаимно непрерывно.
Считают, что оба отображения / и ср определяют в Е3 одну и ту же кривую, если выполнено следующее условие: параметр т можно представить как монотонную функцию параметра t (т — ф (/)) так, что для любого t выполняется равенство f (/) = ср (ф (/)). При этом параметризации кривой х = /1 (0, y=f2 (0, z = /з (0 и х = epi (т), у = ср2 (т), г = фз (т) называют эквивалентными. Кривую можно определить как класс ее эквивалентных параметризаций.
Если ввести в рассмотрение радиус-вектор г произвольной точки X кривой и единичные векторы прямоугольной декартовой системы координат i, j, k, то параметрические уравнения (1) можно объединить в одно векторное уравнение г = /у (/) i + /2 (?) / + fs (/) k. Будем исполь-вовать также запись г = {/х (/), /2 (/), /3 (/)}, или, как уже было отмечено, г = г (/).
Говорят, что кривая у принадлежит классу регулярности Ск, если у каждой точки этой кривой есть окрестность, допускающая параметризацию г = г (/), где г (/) С С*. При k = 1 кривая называется гладкой.
Кривая называется аналитической, если она в достаточно малой окрестности каждой своей точки допускает аналитическую параметризацию (функция г (?) — аналитическая).
Естественно возникает вопрос: в каком случае систему равенств х = х (t), у — у (t), z — z (t) можно рассматривать как уравнения некоторой кривой? Ответ на этот вопрос до некоторой степени дает следующее утверждение.
Если х (0, у (/) и z (?) — гладкие функции, удовлетворяющие условию х'2 -|- у'2 + г'2 > 0 (а < t < Ь), то равенства х = х (/), у — = у (/), z = z (t) являются уравнениями некоторой кривой.
Если при некотором значении t, например, х' (/)	0, то в окрест-
ности этой точки линию можно задать уравнениями у = у (х), z = = z (х). Здесь линия задается фактически как пересечение двух цилиндров. Но через кривую можно провести сколько угодно поверхностей и задавать ее уравнениями F (х, у, г) = 0, Ф (х, у, г) = 0.
1.2.1.	Какая кривая задается уравнением г (f) *= а + + bt + ct2, где а, b и с — постоянные векторы?
1.2.2.	Какая кривая является годографом вектор-функции г (/) = а + b cos t + с sin /?
1.2.3.	Доказать, что если векторы b и с не КОлЛИНеарНЫ, то уравнение r(/) = a + bch/ + csh / задает гиперболу.
1.2.4.	Точка М вращается равномерно около некоторой прямой и одновременно переносится равномерным движением параллельно этой прямой. Линия, описываемая точкой М, называется винтовой линией. Составить уравнения этой линии.
1.2.5.	Найти проекции винтовой линии на координатные плоскости (см. предыдущую задачу).
1.2.6.	Сфера радиуса 2R пересекается поверхностью кругового цилиндра, диаметр которого равен радиусу сферы, и одна из образующих проходит через центр сферы. Полученная в сечении линия называется кривой В и в и а -н и. Составить ее уравнения.
1.2.7.	Найти проекции гиперболической винтовой линии г = {a ch t, a sh t, ht} на координатные плоскости
1.2.8.	Показать, что линия г = {a cos3 t, a sin31, a cos 2t} лежит на цилиндрической поверхности, направляющей которой является астроида, а образующие параллельны оси OZ.
1.2.9.	Найти радиус сферы с центром в точке С ^0;
0^, на которой лежит кривая t "	fl _______ fl
х~ 1 4- fl 4- fl ' У ~ 1 4- 4- fl ' z~ 1 4- fl 4- fl '
1.2.10.	Составить в декартовой системе координат уравнения кривой г — {/, Р, е‘}, не содержащие параметра I.
1.2.11.	Составить параметрические уравнения кривой у2 = х, х2 = г.
1.2.12.	Точка М движется в пространстве так, что ее ортогональная проекция на плоскость XOY равномерно движется по окружности х2 4- у2 = а2 с угловой скоростью со, а проекция на ось OZ движется равномерно со скоростью h. Составить уравнения траектории движения.
1.2.13.	Винтовая линия х = a cost, у = asmt, z = ht проектируется на плоскость X0Y пучком параллельных прямых, которые параллельны плоскости ZOY и образуют с осью OZ угол ср. Составить уравнения проекции. При каком значении ф проекция имеет особые точки? Выяснить характер этих особых точек (об особых точках плоской кривой см. гл. 2).
1.2.14.	Доказать, что если в пространстве движутся две материальные точки, расстояние между которыми постоянно, то проекции скоростей этих точек на направление прямой, их соединяющей, равны.
1.2.15.	Вектор-функция г = г (t) определена в интервале (ti, t2) и имеет в этом интервале производные до третьего порядка включительно. Пусть s — s (/) — монотонная, принадлежащая классу С3 функция переменной t в интервале (tf, t2), a t = t (s) — обратная функция. Произвести замену аргумента в следующих выражениях: г', г", г"', г'2, [г', г"], (г', г", г"') (производные взяты по f).
1.2.16.	Плоская линия задана уравнением г = {<р (/), tip (t)}. При каком условии это уравнение определяет прямую линию?
1.2.17.	Найти функцию г — г (ф), зная, что это уравнение в полярных координатах на плоскости определяет прямую линию.
1.2.18.	Доказать, что под действием центральной силы точка описывает плоскую траекторию.
1.2.19.	Найти линии, определяемые дифференциальным уравнением г' (I) = [а, г (/)], где а =# 0 — постоянный вектор.
1.2.20.	Какие линии определяются уравнением г' (0 = = 1е, [г (/), ell, где е — постоянный единичный вектор.
1.2._'t	. Доказать, что для того чтобы кривая у класса С1 лежала на сфере, необходимо и достаточно, чтобы в пространстве существовала такая точка О, что для любой точки М € У прямая ОМ была бы нормалью к у.
1.2.22.	Пусть у — замкнутая кривая класса С1. Доказать, что для любого вектора а найдется такая точка М £ у, в которой касательная к у ортогональна к а.
1.2.23.	Траектория движения точки задана в цилиндрических координатах г (/) = {р cos <р, р sin ср, г}, где t — время, а р = р (/), ср = ср (/), z = г (/). Найти угол между радиусом-вектором движущейся точки и вектором ее мгновенной скорости.
1.2.24.	Доказать, что для того чтобы кривая у принадлежала классу Ck (k 1), необходимо и достаточно, чтобы ее параметризация г = г ($) принадлежала классу С* (s — длина дуги).
1.2.25.	Какому классу регулярности принадлежит линия у, задаваемая уравнениями
{1
е ‘ , если t < О,
О, если / О,
У =t,
г 0, если t О, г = { __1_
щ ‘ , если />О.
1.2.26.	Прямая OL, не перпендикулярная к оси OZ, равномерно вращается вокруг нее с постоянной угловой скоростью, равной со. Точка Л4 движется по прямой OL со скоростью, пропорциональной расстоянию ОМ подвижной точки до точки О. Точка М описывает траекторию, называемую конической спиралью. Составить параметрические уравнения конической спирали.
1.2.27.	Доказать, что кривая, заданная уравнением
2	2	2
|х|3 + |#13 = о3 (астроида), является аналитической кривой.
1.2.28.	Установить, эквивалентны ли следующие пара-
метризации:
х = a cos t,
у = a sin Г, и z = ht
х = а cos (т3 + 1), у = a sin (т3 + 1), z — h (т3 + 1),
где 0<Д^2л, —I 1^2л—1.
1.2.29.	Доказать, что параметризации
х = cos /, у = sin t, z — t, 0 sC t гС 4л и
х = cos т2, у = sin т2, z = 2т, 0 т 2л не эквивалентны.
1.2.30.	Написать параметрические уравнения кривой у2 - 2рх, х + у — г — 0.
§ 3. КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ. ДЛИНА ДУГИ. СОПРОВОЖДАЮЩИЙ ТРЕХГРАННИК КРИВОЙ
Если кривая класса С1 задана уравнением г = г (/), г' (Q =f= 0, то касательная к ней в точке t = ta коллинеарна вектору г' (t0). Орт ка-сательной обозначается через т. Очевидно, т = Г_?——. Линия т =
|С(0|
“ т (0 называется сферической индикатрисой касательных.
У равнение касательной имеет вид р = г + V', где р — радиус-вектор текущей точки касательной. Если г = {х (f), у (t), г (/)}, то уравнение касательной можно записать следующим образом:
X — x(t) Y — у (t) _ Z — z(t) х' (t)	у' (t)	г' (0
Плоскость, проходящая через данную точку кривой ортогонально касательной, называется нормальной плоскостью.
Любая прямая, пересекающая линию у ортогонально касательной, называется нормалью линии у.
Уравнение нормальной плоскости имеет вид
(7—7 Н = 0, или
X' (0 (X - х (0) + у' (0 (У - у (0) + г' И (Z - z (0) = 0.
Длина дуги кривой г = г (t), t С (fa t2), равна интегралу
G	___________
J IZ (0 I dt = У V x'2 + y'2 + z'2dt. t,	t.
Параметр t в параметризации кривой г = г (0 называется натуральным, если с точностью ло постоянного слагаемого он равен длине дуги этой кривой, отсчитываемой (со знаком) от какой-либо ее точки в каком-нибудь выбранном направлении. Натуральный параметр обозначается буквой s. Производную от какой-либо величины по натуральному параметру заданной кривой обозначают или штрихом, или точкой над буквой. Например, т (s) = г (s).
Рассмотрим кривые класса С2. Пусть в точке М векторы г' и г" не коллинеарны
Плоскость, проходящая через точку М параллельно векторам г' и г", называется соприкасающейся плоскостью кривой, Ее уравнение можно записать в виде (R — г, г’, г") = 0, или
X - X (0	Y-y(t)	Z-2 (t)
x' (0	У' (0	z' (0
X"(t)	y"(f)	z"(0
Плоская кривая лежит в своей соприкасающейся плоскости.
Прямая, проходящая через точку кривой перпендикулярно к соприкасающейся плоскости, называется бинормалью кривой. Уравнение бинормали
R = 7+ Z [7, 7], или
X-x(t) Y — у (t) Z — z(f)
Iyf	z'	I z'	x' I x'	y' I	*
y"	z?	|z"	Xя |	I/	y"|
Единичный вектор бинормали 0 = —.
I [г', г"} |
Нормаль кривой, лежащая в ее соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью. Единичный вектор главной нормали
—►	—* —>
V = [0, Т] =
[Р, И, И IР, । Р ।
Плоскость, проходящая через точку кривой перпендикулярно к главной нормали, называется спрямляющей плоскостью кривой. Уравнение спрямляющей плоскости
$-7(0,7 (О, [7(о, 7 (/)]) = о,
или
X — X (0	Y-y(t)	
x'	У'	z'
y'z" — z'y”	z'x" —x'tf	x'y" — y'x‘
t	t
1.3.1.	Доказать, что кривая г = {е^ cost, sin/, t
е } лежит на конусе № + у2 = г2. Под каким углом она пересекает его прямолинейные образующие?
1.3.2.	Записать уравнение касательной к линии г = (t* t3 t31
= I-у, —, — [ в произвольной точке, где t 0.
1.3.3.	Найти уравнение касательной к линии х = a cos t, у = b sin t, z = е* в точке, где t = 0.
1.3.4.	Доказать, что касательная к винтовой линии х = a cos t, у = a sin t, z = ht образует с осью OZ постоянный угол.
1.3.5.	Найти угол, образованный осью OZ и касательной к линии х = a (t — sin /), у — а (1 — cos t),z = 4а sin
в точке, где t = -у.
1.3.6.	Составить уравнения касательных к следующим линиям:
П г= (е‘, е~*, Z2} при t= 1;
2)	г = {2 cos t, 2 sin t, 4/} при t = 0;
3)	г — {/, /а, Z3} при t— 1;
4)	г = {ach t, ash/, ht} в произвольной точке.
1.3.7.	Найти касательную к линии к = 3/ — Z3, у = = З/2, z = 3/ + /3, перпендикулярную к вектору а — {3, 1, И-
1.3.8.	Составить уравнение касательной к линии г = = {/а, /, е‘}, параллельной плоскости х — 2у — 5 = 0.
1.3.9.	Доказать, что касательные к винтовой линии х = a cos t, у = a sin /, z = ht наклонены к плоскости XOY под одним и тем же углом.
1.3.10.	Доказать, что если касательные гладкой кривой проходят через одну и ту же точку, то кривая представляет собой отрезок прямой или полупрямую, или прямую.
1.3.11.	Доказать, что если касательные к кривой параллельны некоторой плоскости, то кривая плоская.
1.3.12.	Найти длину дуги винтовой линии г = {3a cos /, За sin /, 4а/} от точки ее пересечения с плоскостью XOY до произвольной точки М (/).
1.3.13.	Определить длину одного витка между двумя точками пересечения с плоскостью у = 0 линии х = а (/ — — sin /), у = а (1 — cos /), г = 4a cos
1.3.14.	Доказать, что замкнутая линия г — {cos3 /, sin3 /, cos 2/} имеет длину s = 10.
1.3.15.	Найти длину гиперболической винтовой линии г = {a ch /, a sh /, at} между точками, где t = 0 и / = /0.
1.3.16.	Определить длину дуги кривой х = с/, у = = с К 2 In /, z = ~ между точками, соответствующими / = 1 и / = 10.
1.3.17.	Найти длину дуги кривой, заданной уравнениями у = у (х), z = г (х) и соответствующей х £ 1хх; х2].
1.3.18.	Записать дифференциал длины дуги линии в полярно-цилиндрических координатах.
1.3.19.	Найти дифференциал длины дуги линии в сферических координатах.
1.3.20.	Записать натуральную параметризацию винтовой линии х = a cos /, у = a sin /, г = ht.
1.3.21.	Найти уравнения ребер и граней трехгранника Серре — Френе для следующих кривых:
1) г = {Z, Zs, Z2 + 4} при Z = 1;
2) r=={sinZ, cosZ, tgZ} при Z = -j-;
3)
4)
5)
x2 4- у2 + z2 = 3,
x2 + y2 = 2 в точке Л4(1; 1; 1);
у2 4- z2 = 25,
л- + 9"_ю - точке JM (I; 3; 4);
x2 + у2 4- z2 = 1,
2	2 _ в точке M (0; 0; 1);
x ~г у — х
6) х = cos t, у — sin t, z = Z в произвольной точке.
1.3.22. Найти единичные векторы касательной, бинормали и главной нормали кривых:
1)	r= {Z, Z2, Z3} в произвольной точке;
2)	г = |а (Z — sin Z), а (1 — cos Z), 4а cos в произвольной точке;
(х2 4- у2 4- г2 — 3,
3)	1Г2 । ,,2 _ о в Т0Ч1<е м(1; 1; О;
it/ —
(X2 4- у2 4- Z2 = 9,
4)	i 2 , 2 к в точке Л4(1; 2; 2).
' (.г2 4- У = 5	'	’
1.3.23.	Составить параметрические уравнения касательной к линии
[х2 4- у2 = г2,
L „ В Т0ЧКе М Уо> го)-(Л — у
1.3.24.	Найти параметрические уравнения главной нормали и бинормали линии
(у2 = х,
1 2 _ в точке М (1; 1; 1).
1.3.25.	Составить уравнения главной нормали и бинормали линии
-*	( 1* ta t2 1
г = j— , -у-, -g-j в произвольной точке.
1.3.26.	Доказать, что главная нормаль винтовой линии г = {a cos Z, a sin Z, ht} пересекает ее ось под прямым углом.

1.3.27.	Составить уравнение нормальной плоскости линии х2 + уг — г2 — 1, х2 — у2 — г2 = 1 в точке М (х0; У о, z0).
1.3.28.	Доказать, что все нормальные плоскости кривой г — {a sin2 t, a sin t cos t, a cos проходят через начало координат.
1.3.29.	Доказать, что нормальные плоскости кривой х = a cos t, у = a sin a sin t, z = a cos a sin t проходят через прямую
|х = О, \z + у tg а = 0.
1.3.30.	Доказать, что линия х = a-J2 + b}t + с1г у = = a2t2 + b2t + с2, z — a3t2 + b3t + с3 плоская, и найти уравнение плоскости, в которой она лежит.
1.3.31.	Составить уравнения главных нормалей кривых:
1)	г = [t, t2, е‘} при t = 0;
[х2 + у2 — г2 = 1,
2)	< _ 2	в точке Л4(1; 1; 1);
I к у — z
3)	г = {t cos t, — t sin t, at} в начале координат.
1.3.32.	Составить уравнения касательной прямой и нормальной плоскости линии, заданной пересечением двух поверхностей
fF(x, у, г) = 0, |ф (х, у, г) — 0.
1.3.33.	Найти соприкасающуюся плоскость кривой г —
(	/2 t3 I
—	-у, -у}, проходящую через точку М (0; 0; 9).
1.3.34.	Составить уравнения нормальных плоскостей кривой г = {t,	Z3}, проходящих через точку М (0; 3; 0).
1.3.35.	Найти главную нормаль кривой х = a cos t, у = = a sin t, z = t, перпендикулярную к вектору а = {1, -1, 3}.
1.3.36.	Доказать, что линия х = е* cos t, у = е1 sin t, z = 2t расположена на поверхности х2 + у2 = ег и ее соприкасающаяся плоскость совпадает с касательной плоскостью поверхности.
1.3.37.	От каждой точки винтовой линии х = cos t,y =• = sin t, z — t на главной ее нормали отложен отрезо к
длины 2. Составить уравнения ребер сопровождающего трехгранника для линии, являющейся геометрическим местом концов этих отрезков.
1.3.38.	На бинормалях винтовой линии р = {a cos t, a sin t, ht} откладывается отрезок постоянной длины /. Составить уравнение геометрического места концов этих отрезков.
1.3.39.	От каждой точки линии г — (t — sin t), а (1 — — cos f), 4a sin -y-| на главных нормалях откладываются отрезки длины а 1 + sin2-^-. Составить уравнение геометрического места концов этих отрезков.
1.3.40.	Составить уравнение соприкасающейся плоскости конической винтовой линии х — t cos t, у = —t sin t, z = = at в начале координат.
1.3.41.	Найти линейчатую поверхность второго порядка, на которой лежит кривая г = {a tg t, b cos t, b sin /}. Доказать, что данная кривая пересекает прямолинейные образующие одной из ее серий под прямым углом.
§ 4. ФОРМУЛЫ СЕРРЕ — ФРЕНЕ ДЛЯ КРИВОЙ. КРИВИЗНА. КРУЧЕНИЕ. НАТУРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ
Если кривая у С С2, то определена ее кривизна — модуль скорости вращения касательной по отношению к длине дуги. Кривизна кривой г = г (/) вычисляется по формуле
к |Р.?]| .
ИР
Если кривая задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t), то
и	V(х'у" - у'х'Т + (у'г" - z'y'V + (z'x" - x'z")*
R~	Т
. ,2 .	/2 .	,2Ч о
(х + у' + Z )
Для плоской кривой, заданной параметризацией х = х (I), у = у (/), ее кривизна
в-------------— •
(х'г + у'У

В случае плоской кривой удобно рассматривать ее «ориентированную» кривизну по формуле
ь х'у" — у'х"
R—	J- .
(х'а + у,г)2
При задании кривой уравнением у = у (х) формула для вычисления кривизны принимает вид
з •
(1 +/2)2
Точки, где k = 0, называются точками распрямления.
Для того чтобы линия была прямой, необходимо и достаточно, чтобы точки распрямления образовывали на ней всюду плотное множество.
Величина R, обратная кривизне, называется радиусом кривизны.
Если от точки М кривой на главной нормали в положительном направлении отложить отрезок длины R, то полученная точка С называется центром кривизны кривой, соответствующим точкеМ. Прямая, проходящая через центр кривизны кривой перпендикулярно к ее соприкасающейся плоскости, называется осью кривизны кривой в соответствующей точке.
Если кривая у £ С3 и кривизна ее k =# 0, то определено кручение кривой (скорость вращения соприкасающейся плоскости вокруг касательной), которое обозначают через х. Кручение кривой определяется по формуле
Q
или
х’	у'	г'
х"	у”	г"
х’"	у’"	г’"
* - (х'у" — г/'х")2 + (у'г” — г'у")* + (г'х" — х'г")2 *
Равенство нулю кручения кривой во всех ее точках является необходимым и достаточным условием того, чтобы кривая была плоской. Точки, в которых х = 0, называются точками уплощения кривой.
Как следует из формулы определения х, в точках распрямления кривой (т. е. в точках, где k = 0) кручение не определено. Кривая, у которой кручение не определено хотя бы в одной точке, а во всех остальных равно нулю, может и не лежать в одной плоскости. Примером такой кривой является кривая из класса С°°:
- ( °
е1 при (<0, у = t, г= )	1
0 при t 0,	[ е *
при t 0,
при t > 0.
IhcnTjT Атомной Зверги им. й, В. Курчатова БИБЛИОТЕКА ,
При тех же предположениях о регулярности кривой справедливы формулы Серре — Френе
dx г- dv	dR
—— = kV, —г— = — kx + xB, —7— = — XV, ds	ds	r ds
где т, v и p — единичные векторы касательной» главной нормали и бинормали кривой, s — натуральный параметр. Эти же формулы можно записать в виде
dr	dv -* dfi r->
—	-5r=[®,v],
где со = хт + fep — вектор Дарбу.
Если в интервале sx < s < s2 заданы функции k (s) > 0 и х (з), причем k (s) С Сп, а х (s) С Сп~~1, то существует кривая класса Сп+2, кривизна которой равна k (s), а кручение х (s), причем такая кривая единственная с точностью до положения в пространстве. Это означает, что кривая однозначно определяется (с точностью до положения в пространстве) кривизной и кручением. Поэтому равенства вида k = = k (s), х = х (s) являются уравнениями кривой. Эти уравнения называются натуральными уравнениями кривой.
1.4.1. Определить кривизну и кручение в произвольной точке таких линий:
1) 7= {<*, еЧ-'/2}; 2) 7 = {2/, In/, Z2};
3) г ~ {e*sin A ezcos^, 4) г = {3t — ts, 3t2, 3t 4- Z3};
5) r={cos3Z, sin3^, cos2/}; 6) z/ = sinx (синусоида);
7)	у ~ a (1 4- tri) sin mt — am sin (1 + m) t (эпициклоида);
8)	у — a ch (цепная линия);
9)	x2y2 — (a2 — y2) (b + у)2 (конхоида);
10)	p2 = a2cos2<p (лемниската);
11)	p — atp (спираль Архимеда); 12) у = — In cos x;
13)	x = a (2 cos t — cos 2/), у = a (2 sin t — sin It)-, (9	\
—g-; 31; 15) p = a<p в точке <p = 0.
1.4.2.	Определить кривизну кривой
х = t — sin t, у = 1 — cos t, z = 4 sin -4-’ а	2
в произвольной точке.
1.4.3.	Найти кривизну и кручение кривой x2+z2-i/2=l( у2 — 2*4-2 «0
в точке М (1; 1; 1).
1.4.4.	Доказать, что кривизна и кручение винтовой линии постоянны.
1.4.5.	Вычислить кривизну и кручение кривой (х -|- sh х = sin у + у, |z 4- ег = х + In (1 + х) + 1
в точке М (0; 0; 0).
1.4.6.	Доказать, что линия является прямой тогда и только тогда, когда кривизна ее равна нулю.
1.4.7.	Для того чтобы линия была плоской, необходимо и достаточно, чтобы ее кручение было равно нулю. Доказать это.
1.4.8.	Определить, при каком значении h винтовая линия x = acosZ, y = asint, z = ht
имеет наибольшее кручение.
1.4.9.	Доказать, что линия (х2 = 2аг, |г/2 = 2bz
является плоской.
1.4.10.	Доказать, что формулы Серре — Френе
т = kv, v — — kx + х0, 0 = — XV
можно представить в виде
т = [со, т], v = [со, v], 0 = [со, 0].
Найти вектор Дарбу со и выяснить его кинематический смысл.
1.4.11.	Вычислить (0, 0, 0).
1.4.12.
1.4.13. одним из
Доказать, что (т, т, т) = £8
Доказать, что если кривая класса С3 обладает следующих четырех свойств;
1) касательные кривой образуют постоянный угол с не-
которым направлением;
2)	бинормали кривой образуют постоянный угол с некоторым направлением;
3)	главные нормали кривой параллельны некоторой плоскости;
4)	отношение кривизны к кручению кривой постоянно, то она обладает остальными тремя свойствами.
1.4.14.	Кривая, обладающая одним из четырех свойств, указанных в задаче 1.4.13, называется линией откоса. Доказать, что для того чтобы кривая класса С3 была линией откоса, необходимо и достаточно, чтобы все ее спрямляющие плоскости были параллельны некоторой прямой.
1.4.15.	Для того чтобы кривая класса С4 была линией откоса, необходимо и достаточно, чтобы (т, г, т) = 0. Доказать это.
1.4.16.	Доказать, что равенство (0, 0, 0) = 0 является необходимым и достаточным условием, чтобы кривая класса С5 была линией откоса.
1.4.17.	Доказать, что кривая
х = a J sin a (t) dt, у — a J cos а (t) dt, z = hi является линией откоса.
1.4.18.	Доказать, что кривая х2 = Зу, 2ху — 9z является линией откоса. Найти вектор, с которым касательные к линии образуют постоянный угол.
1.4.19.	Доказать, что сферическая индикатриса бинормалей линии откоса — окружность.
1.4.20.	Доказать, что кручение кривой г — а У [b (t), b' (01 dt, где b (t) — вектор-функция, удовлетворяющая условиям | b (0 | — 1, b' (t) =£ 0, постоянно.
1.4.21.	Вычислить кривизну и кручение кривой Ви-виани. Найти ее точки распрямления и точки уплощения (см. задачу 1.2.6).
1.4.22.	Найти реперы Френе кривой Вивиани в точках ее самопересечения.
1.4.23.	Доказать, что линия
х = a ch t, у = a sh t, z = at имеет равные кривизну и кручение.
1.4.24.	Доказать, что если между точками двух кривых у и у* установлено взаимно однозначное соответствие, при котором бинормали кривых в соответствующих точках совпадают, то кривые плоские.
1.4.25.	Для кривой у С С3 существует такая линия у*, что главные нормали у являются бинормалями у* в соответствующих точках. Доказать, что кривизна и кручение 20
линии у удовлетворяют соотношению k — Л (k2 + х2), где К = const.
1.4.26.	Кривые у и у* £ С3 называются кривыми Бертрана, если между ними может быть установлено взаимно однозначное точечное соответствие, при котором главные нормали в соответствующих точках совпадают. Доказать следующие свойства кривых у и у*:
1)	расстояние между соответствующими точками у и у* постоянно;
2)	кривизна и кручение каждой из кривых связаны соотношением ak + bx = 1, где а и b — постоянны;
3)	касательные кривых у и у* в соответствующих точках образуют постоянный угол.
1.4.27.	Доказать, что если кривизна и кручение кривой у связаны линейной зависимостью ak + Ьк = 1, где а и b числа, отличные от нуля, то существует линия у*, имеющая с линией у общие главные нормали.
1.4.28.	Доказать, что линия класса С3 с постоянной кривизной является линией Бертрана.
1.4.29.	Неплоская кривая у класса С4 имеет постоянную отличную от нуля кривизну и х #= 0. Пусть у* — геометрическое место ее центров кривизны. Доказать, что кривизна линии у* также постоянна. Найти кручение у*.
1.4.30.	Составить натуральные уравнения следующих линий:
1)	х	=	a cos t,	у =	a sin t,	z =	ht;
2)	x	=	a ch t,	у —	a sh t,	z =	at;
3)	x	=	e',	у =	z =	tV^2;
4)	x	=	ct,	у =	]/Л2с In	t, z = ct~~x.
1.4.31.	Показать, что если кривизна и кручение линии постоянны и отличны от нуля, то линия является винтовой.
1.4.32.	На бинормалях плоской линии г = г (s) в одном направлении откладываются отрезки МР, пропорциональные дуге МдМ = s. Составить уравнение линии у, описанной точкой Р, найти ее кривизну и кручение. Доказать, что она пересекает образующие цилиндра, образованного бинормалями первой кривой, под постоянным углом. Найти этот угол.
1.4.33.	Между точками линий у и у* можно установить такое соответствие, при котором касательные в соответствующих точках параллельны. Доказать, что отношения кручения к кривизне в этих точках кривых у и у* равны по абсолютной величине.
1.4.34.	Доказать, что кривизна каждой кривой у в точке М равна кривизне проекции у на ее соприкасающуюся плоскость в точке М.
1.4.35.	Линия у имеет уравнение г — г (s) и принадлежит классу С4, при этом г г. Найти кратчайшее расстояние d между касательными к данной линии в точках М (s0) и М (s).
1.4.36.	Линия у из класса С4 задана уравнением так, что г^г. Найти кратчайшее расстояние d между ее главными нормалями в точках М ($0) и М (s). Найти Нт =—-—г. Ре-s-I s — s0 I шить аналогичную задачу для бинормалей.
1.4.37.	Эвольвентой неплоской линии г = г (s) называют линию г* = г — st. Выразить кривизну и кручение этой линии через кривизну и кручение линии г = г (s). Доказать, что если линия г = г (s) является линией откоса, то линия г* = г — st плоская.
1.4.38.	Составить уравнение множества точек пересечения соприкасающейся плоскости линии у £ С3 в точке Ме, не являющейся ни точкой распрямления, ни точкой уплощения (k ф 0, х =/=0), с касательными к этой линии у. Определить кривизну полученной кривой в точке 7И0.
1.4.39.	Подэрой пространственной линии по отношению к точке О называется множество оснований перпендикуляров, опущенных из точки О на касательные к этой линии.
Найти подэру линии г — г (t), где г (/) Е С1, относительно начала координат.
1.4.40.	Найти подэру винтовой линии г — {a cos t, a sin t, ht} относительно начала координат. Доказать, что она лежит на однополостном гиперболоиде
х2 , у2	г2 _ 1
a2 f в2	at — *•
1.4.41.	Пусть S (ус) — семейство прямых, зависящих от параметра с. Гладкая кривая у называется огибающей семейства S, если: 1) кривая у в каждой своей точке касается некоторой прямой ус семейства; 2) никакая прямая семейства S не имеет общего отрезка с кривой у.
Линия задана параметризацией г = г (s). Рассмотрим однопараметрическое семейство ее нормалей
р (з) = г (s) + X {v (s) sin <р (s) + Р (s) cos <р (s)}. Определить функцию ср (s) так, чтобы это семейство нормалей имело огибающую.
1.4.42.	Доказать, что ни бинормали, ни главные нормали линии класса С3 с отличным от нуля кручением не имеют огибающей.
1.4.43.	Линия у С С3 и задана уравнением г = г (з). Найти огибающую ее осей кривизны, кривизну и кручение этой огибающей.
1.4.44.	Доказать, что если линия у есть линия откоса, то огибающая ее осей кривизны является также линией откоса.
1.4.45.	Пусть линия у £ С5, у* — огибающая ее осей кривизны. Доказать, что: 1) соприкасающаяся плоскость линии у параллельна нормальной плоскости линии у*; 2) нормальная плоскость линии у является соприкасающейся плоскостью линии у*.
1.4.46.	При каком условии центр кривизны винтовой линии лежит на том же цилиндре, что и сама винтовая линия?
1.4.47.	Линия задана натуральными уравнениями k = = k (s), х = х (s). Показать, что натуральными уравнениями линии, симметричной данной относительно начала координат, будут уравнения k — k (s), х = —х (s).
§ 5. КАСАНИЕ КРИВЫХ. КАСАНИЕ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ. СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ СФЕРА
Две линии, заданные параметризациями г у = г у (s) и r2 = г2 (s), имеют в их общей точке при s = s0 касание порядка п, если в этой . л	(п)	(п)	(п+1)
точке г у (So) = r2 (s0), г у (s0) = r2 (s0), ... , Гу (s0) = r2 (s0), а г у (s0) =/= (п+1)
Г2 (So).
Соприкасающейся окружностью кривой у в данной точке Р называют окружность, имеющую с кривой у в этой точке касание не ниже второго порядка. Соприкасающаяся окружность кривой лежит в ее соприкасающейся плоскости, центр окружности совпадает с центром кривизны кривой, а радиус — с радиусом кривизны кривой в точке Р.
Пусть линия у G Cn+I задана уравнениями
х = х(О, y = y{t), г = г(0
и имеет с поверхностью Ф из того же класса, заданной уравнением F (х, у, г) = 0, общую точку Р (/0).
Рассмотрим функцию <р (/) = F (х (f), у (/), z (/)). В точке t = t0 Ф (А>) = О, но <р (/) при t t0, вообще говоря, не равна нулю. Если точка Р (/) стремится по заданной линии к точке Р (/0),то<р (Z) есть бесконечно малая величина.
Если порядок малости этой величины относительно t — t0 равен п + 1, то говорят, что линия у имеет с поверхностью Ф касание п-го порядка.
Сфера, имеющая с линией в данной точке касание порядка, не ниже третьего, называется соприкасающейся сферой линии в этой точке.
1.5.1. Доказать, что центр соприкасающейся окружности линии у С С2 в точке М совпадает с ее центром кривизны, соответствующим точке М, а радиус равен радиусу кривизны.
1.5.2. Доказать, что если линия у £ С3 задана уравнени-—>	—♦
ем г — г ($), то радиус-вектор центра ее соприкасающейся
-»	—»	—>	о -»
сферы задается формулой р = г + R'v + —|3, а радиус
Я* = V R2 +	•
1.5.3.	Доказать, что линии, имеющие в их общей точке касание не ниже третьего порядка, имеют в этой же точке одну и ту же соприкасающуюся сферу.
1.5.4.	Найти соприкасающуюся окружность кривой:
а)	г = {t — sin t, 1 — cos t, sin /} при t = 0;
6)	r = {2/, Int, t2}, />0, при t = 1.
1.5.5.	Найти радиус соприкасающейся сферы линии г = {t, t2, Z3} в точке, где t = 0.
1.5.6.	Найти радиус соприкасающейся сферы в произвольной точке линий:
a)	r = {a cost, a sin/, ht}-,
б)	7 = {е‘, ё~*, //2};
в)	г — (е sin t, е cost, е}.
1.5.7.	Доказать, что соприкасающаяся плоскость линии пересекает соприкасающуюся сферу этой линии в той же точке по соприкасающейся окружности.
1.5.8.	Найти геометрическое место центров соприкасающихся сфер винтовой линии г = {a cos t, а sin t, ht}.
1.5.9.	Доказать, что если радиус соприкасающейся сферы линии у С С3 постоянен, то линия лежит на сфере или имеет постоянную кривизну.
1.5.10.	Доказать, что если кривая в каждой точке имеет со своей соприкасающейся плоскостью касание третьего порядка, то эта кривая плоская.
1.5.11.	Прямая имеет с поверхностью второго порядка касание второго порядка. Доказать, что она является прямолинейной образующей поверхности.
1.5.12.	Линия у имеет с поверхностью Ф в точке М касание n-го порядка, у* — проекция линии у на Ф параллельно некоторому направлению, не лежащему в касательной плоскости к Ф в точке М. Доказать, что у и у* в точке М имеют касание порядка п.
1.5.13.	Определить порядок касания линии z = аху, axz = у + 1 с поверхностью ах = zy в точке М (0; —1; 0).
1.5.14.	Доказать, что линия г = {/3, t3 + 2t, t] касается поверхности х2 + у2 = х (у + z) в начале координат.
1.5.15.	Определить порядок касания прямой х = —3 + + 4/, у = 0, z = It с поверхностью х2 + у2 — 2г2 — 2xz — — yz + 4ху + Зх — 5у = 0 в точке (—3; 0; 0).
1.5.16.	Показать, что прямая х = 2t, у = 3t, г = 4 + t лежит на поверхности
9х2 + 5у2 + 9z2 — 12ху — 6yz + 12z/ — 36z = 0.
1.5.17.	Показать, что кривая, заданная параметризацией х = sin 2<р, у — 1 — cos 2<р, z = 2 cos <р, лежит на сфере.
1.5.18.	Покажите, что в случае касания двух линий не ниже третьего порядка кручения в их общей точке равны. Верно ли обратное утверждение?
ГЛАВА 2
ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ
§ 1.	КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ
Теория плоских кривых может быть построена независимо от теории кривых в пространстве.
Кривую на плоскости можно задать уравнениями различных видов, наиболее распространенными из которых являются следующие.
1.	Векторное уравнение
f(r) = O.
2.	Векторно-параметрическое уравнение (векторное уравнение в параметрической форме)
А= АО-	(1)
Предполагается, что на плоскости фиксирована некоторая точка О (полюс), с которой совмещаются начала всех радиусов-векторов точек. Каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор г (f), конец которого совпадает с некоторой точкой М кривой. При изменении t точка М описывает кривую.
3.	Координатно-параметрические уравнения (или просто параметрические уравнения кривой)
x = x(t), y = y(t).	(2)
Здесь х (t), у (0 — координаты радиуса-вектора г (t) в некоторой, в общем случае аффинной, системе координат, начало которой совпадает с точкой О. Система координат может быть, в частности, прямоугольной декартовой.
4.	Уравнение в несимметричной форме
У = f (х).	(3)
Несимметричность уравнения состоит лишь в том, что одна из координат (в данном случае у) является функцией, другая — аргументом.
Если роль функции выполняет абсцисса, то уравнение принимает вид
X = <₽ (у).	(4)
Не всегда в окрестности точки М (I) уравнения (2) можно привести к виду (3) или (4). Точка, для которой этого сделать нельзя, есть особая точка кривой. В этой точке одновременно выполнены равенства
х' = 0, у' = 0.
5.	Уравнение в симметричной форме
F (х, у) = 0.	(5)
Симметрия понимается лишь в том смысле, что ни одной из координат не отдано предпочтение перед другой. Точка кривой, в которой по крайней мере одна из частных производных Fx, Fy отлична от нуля, есть обыкновенная точка. В окрестности такой точки уравнение (5) можно разрешить или относительно у (при Fy =£ 0 получим урав-
некие (3)), или относительно х (при Fx=£0 получим уравнение (4)). Точка, в которой Fx= Fy = 0, есть особая точка кривой. Присоединив к уравнению (3) тождество х = х, получим параметрические уравнения х=х, y = f (х).
Они отличаются от уравнений (2) только тем, что в них за параметр принята абсцисса точки кривой.
Аналогично можно получить параметрические уравнения х = <?(у), У = У,
в которых параметром является ордината.
Параметрическими уравнениями, уравнениями в симметричной или несимметричной форме может быть задана кривая в любой иной системе координат.
Касательная к кривой, представленной различными способами, имеет следующие уравнения:
l)j?=r+V,	(6)
где г — радиус-вектор точки касания, г' — вектор, параллельный касательной в этой точке, R — радиус-вектор произвольной точки касательной, К — параметр, определяющий положение этой точки.
Вместо векторно-параметрического уравнения (6) касательная к кривой может быть представлена векторным уравнением
[R-J* Н =0;
2) X = х -|- 7.x1, Y = у + 7.у', где (X; К), (х; у), (х'; у')— соответственно координаты векторов R, г* Л
3) Y — y = f (Х — х),
где х, у — координаты точки касания, X, Y — координаты текущей точки касательной.
4)Fx(X-x) + Fu(Y-y) = 0, производные Fx, Fy берутся в точке касания.
Уравнения нормали имеют вид:
1) R = г + 11 —Г—— I , или \ Р'1 / 2 3 4
2) Х = х + %[-4—, Y--\\г'\)
3) Y— у = — ~—(Х — х)ъ
-*	-* / г \
L \ к' |)
\ к'| /
4) Fy(X — х) — FX(Y — у)
Другие формулы и уравнения будут приводиться по мере необходимости.	j
2.1.1.	Найти касательную и нормаль к плоской кривой, заданной параметрическими уравнениями:
1)	7= /27+£
где г, / — единичные взаимно перпендикулярные координатные векторы;
2)	г = sin ti + cos tj при t —	;
3)	r = e?+ e~lj	при t = 0;
4)	x — a(t — sin	f), у = a (1 + cos i) при	f	;
5)	x = a cos21, у	= b sin21 -|- sin t при t ~ л;
6)	(r — a)2 = R2,	r — r (/), (r — a, i) = t	при t =~ .
2.1.2.	Доказать, что если кривая имеет в каждой точке одно и то же направление (все векторы касательных параллельны друг другу), то она является прямой.
2.1.3.	Найти касательную и нормаль к циссоиде Диоклеса a ., а
Х ~~ 1г + 1 ’ У ~~ t (t* + 1)
в произвольной точке. Доказать, что циссоида есть множество точек, симметричных вершине параболы относительно ее касательных.
2.1.4.	Доказать, что тангенс угла ср между радиусом-вектором текущей точки М спирали Архимеда и касательной к спирали в этой точке равен полярному углу. К чему стремится угол ср при удалении точки М в бесконечность? (Спираль Архимеда в полярной системе координат определяется уравнением р = 2.0, X — const).
2.1.5.	Найти касательную к листу Декарта _______________ at _________ at2
Х ~ 1 -Н3 ’ У ~~ ’ 1 + /3 ’
параллельную биссектрисе х 4- у = 0 координатного угла.
2.1.6.	Стороны прямого угла касаются астроиды
з _ t . 1 п 3t
* = T^cos — + —^cos-j- ,
3	. t 1 n . 3/
y^-^-Rsm-^——
Найти множество вершин этих углов (четырехлепестковая роза).
2.1.7.	Пусть у — плоская кривая, g — касательная к ней в текущей точке М,Т — точка пересечения касательной с осью абсцисс, N — точка пересечения с осью абсцисс нормали к кривой в точке М, Р — основание перпендикуляра, опущенного из точки М на ось абсцисс (рис. 1).
Отрезок МТ называется касательной, MN — нормалью, РТ — подкасательной, PN — поднормалью.
При этом отрезки касательной и нормали всегда неотрицательны, отрезки подкасательной и поднормали берутся со знаками. Эти отрезки положительны, если их направления совпадают с положительным направлением оси абсцисс и отрицательны в противном случае.
Найти: 1) кривые с постоянной касательной; 2) кривые с постоянной нормалью; 3) кривые с постоянной поднормалью; 4) кривые с постоянной подкасательной. (Составить дифференциальные уравнения соответствующих кривых и проинтегрировать их.)
2.1.8.	Составить уравнение (в декартовой и полярной системах координат) кривой каппа — множества точек касания касательных, проведенных из начала координат (полюса полярной системы) к окружности радиуса а, центр которой перемещается по оси абсцисс (полярной оси).
2.1.9.	Доказать, что касательная к астроиде (см. задачу 2.1.6) пересекает оси координат в двух точках, расстояние между которыми постоянно.
2.1.10.	Овалом Декарта называется множество точек, расстояния которых от двух данных точек (фокусов), умноженные на некоторые постоянные а и Ь, дают постоянную сумму с. (Очевидно, при а = b овалом Декарта является эллипс).
Принимая прямую, проходящую через фокусы, за ось абсцисс, а прямую, перпендикулярную к ней и делящую отрезок между фокусами пополам, за ось ординат, найти уравнение овала Декарта.
Доказать, что если в одном из фокусов поместить источник света (рис. 2), то, отразившись от внутренней поверхности овала, лучи света пройдут через второй фокус, при этом, однако, угол падения не равен углу отражения <ра, а связан с этим углом отношением
cos <р2   а
cos ф,	6
2.1.11.	Доказать, что если кривая задана натуральной параметризацией
r = r(s), то
dr
COS(P> где
г= |Z|, <р = (г, т), ат — единичный вектор касательной к кривой.
2.1.12.	Биполярной называется система координат (на плоскости), в которой положение точки М определяется ее расстояниями до двух фиксированных точек О2 — полюсов.
Пользуясь результатом задачи 2.1.11, решить задачу 2.1.10, записав уравнение овала Декарта в биполярной системе координат:
«Pi + 6р2 = с.
2.1.13.	Показать, что лемниската Бернулли
(х2 + г/2)2 — 2а2 (х2 — у2) = 0
является множеством точек, симметричных центру некоторой равносторонней гиперболы относительно ее касательных.
2.1.14.	Пусть кривая у задана уравнением р = р (9)
в полярной системе координат (рис. 3). Проведем через точку О прямую, перпендикулярную к радиусу-вектору ОМ текущей точки кривой. Пусть Т и N — точки, в которых касательная и нормаль кривой, проведенные в точке М, 30
пересекают эту прямую. Отрезок ОТ называется полярной подкасательной, ON — полярной поднормалью.
В качестве положительного направления на прямой NT выбирается то направление, которое получим, повернув радиус-вектор ОМ против часовой стрелки до совмещения с NT. Тогда отрезки ОТ и ON будут положительными или отрицательными в зависимости от того, какое они имеют направление, положительное или отрицательное.
Найти формулы, определяющие полярную подкасательную и полярную поднормаль.
2.1.15.	Пользуясь рис. 3, найти отрезки ТМ и NM.
2.1.16.	Доказать, что единственной кривой, полярная поднормаль которой постоянна, является спираль Архимеда.
2.1.17.	Найти кривую, имеющую постоянную полярную подкасательную.
2.1.18.	Доказать, что единственной кривой, у которой угол между полярным радиусом-вектором и касательной постоянен, является логарифмическая спираль
р = сев ctg где — угол, с — const.
2.1.19.	Если через точку О (полюс) провести прямую I и, обозначив буквой В точку пересечения I с фиксированной прямой d (базой), отложить отрезки ВМг = ВМ — АВ (О А — перпендикуляр к d), то точки М и опишут кривую, называемую строфоидой (рис. 4). Найти полярное уравнение строфоиды.
2.1.20.	Доказать, что множеством точек пересечения касательных, проведенных к строфоиде в точках М и Mt (рис. 4), является циссоида Диоклеса (см. задачу 2.1.3).
2.1.21.	Найти полярную подкасательную и полярную поднормаль строфоиды.
2.1.22.	Доказать, что точка Т (рис. 3) в случае строфоиды описывает кардиоиду, а точка N — параболу.
2.1.23.	Подэрой плоской кривой относительно какой-либо точки О, лежащей в плоскости кривой, называется множество оснований перпендикуляров, опущенных из точки О на касательные к кривой.
Показать, что подэрой параболы относительно ее вершины является циссоида Диоклеса (см. задачу 2.1.3).
2.1.24.	Найти уравнение офиуриды — подэры параболы относительно какой-либо точки, лежащей на касательной к параболе в вершине последней.
2.1.25.	Трисектрисой Маклорена называется подэра параболы для точки О, симметричной фокусу относительно директрисы. Найти уравнение трисектрисы. С помощью этой кривой может быть выполнена трисекция угла (показать).
2.1.26.	Найти уравнение трисектрисы Каталана — кривой, для которой парабола у2 = 2рх + р2 является подэрой относительно фокуса.
2.1.27.	Эпициклоидой называется траектория точки окружности, катящейся без скольжения по внешней части другой окружности. Показать, что подэрой эпициклоиды относительно центра неподвижного круга является роза, т. е. кривая, уравнение которой в полярной системе координат
р = a cos пб, где п — отношение радиусов подвижной и неподвижной окружностей.
2.1.28.	Найти касательную и нормаль к циклоиде х = a (t — sin t), у = а(1 —cost)
в произвольной точке.
2.1.29.	Найти пары точек, в которых касательные (нормали) к циклоиде (см. задачу 2.1.28) взаимно перпендикулярны.
2.1.30.	Дано семейство конфокальных (имеющих общие фокусы) эллипсов:
у 2
+	о<*<«. о<х<»,
где X — параметр. Найти ортогональные траектории семейства.
2.1.31.	От точки пересечения касательной к параболе у2 = 2рх с директрисой на этой касательной отложен отрезок, равный расстоянию указанной точки от точки касания. Найти множество концов таких отрезков.
2.1.32.	Доказать, что если все нормали кривой проходят через одну точку, то эта кривая — окружность.
2.1.33.	Дан эллипс
Пусть F — левый фокус эллипса, а Р — произвольная точка на эллипсе (рис. 5). Проведем луч FP и для каждой его точки М построим на нем точ-ку М' такую, что FM X FM' ~ = (FP)2. Получим преобразова-ние, аналогичное преобразованию	X
инверсии. Найти кривые, которые (—о^—--------—-—1 ;
в этом преобразовании имеют вза- \	J
имно перпендикулярные касатель- _____________
ные.	Рис. 5
2.1.34.	Найти множество вершин прямых углов, стороны которых касаются параболы у2 — 2рх.
2.1.35.	Найти множество вершин прямых углов, стороны которых касаются эллипса v2	/У2
±	У— =	1
а2	Ь2
2.1.36.	Найти множество вершин прямых углов, стороны которых касаются гиперболы
х2 У2 , -----*2 = Е
Какому условию должны удовлетворять а и Ь, чтобы такое множество существовало?
Точка Мо (х0; уп) плоской кривой F (х, у) = 0 называется особой точкой порядка k, если уравнение кривой в окрестности этой точки может быть представлено в виде
F (х, у) =
= ^г(4..Х+<..хХ_,д^+ ••• + f°...X> + ••• =°-
При k = 2 имеем двойную особую точку. Обозначив Д = FxxFyy — — получим:
при Д < 0 — точку самопересечения, или узел;
при Д > О — изолированную особую точку;
при Д = 0 — точку с двойной касательной (в частности, точку возврата первого или второго рода).
Уравнения касательных в особой точке порядка k содержат в качестве угловых коэффициентов корни уравнения
^...х + <..^ + ••• +^...Х = 0.
Примечание. В настоящем сборнике всюду считается, что равенства Fx = Fy — 0 являются и необходимыми, и достаточными условиями того, чтобы точка кривой была особой (в данном случае — двойной). Считается, например, что два уравнения х — у = 0 и (х — у)2 = — О определяют две разные кривые — биссектрису координатного угла (все точки — обыкновенные) и дважды взятую биссектрису (все точки — особые).
Определить характер особых точек и написать уравнения касательных в них для кривых:
2.1.37.	yz = bx3 + ax2.
2.1.38.	х3 + у3 = ху.
2.1.39.	хв — 2а2х3у — Ь3у3 = 0.
2.1.40.	(х2 + у2)2 = 2а2 (х2— у2) (лемниската Бернулли).
2.1.41.	При каком соотношении между а и b кривая
у2 = х3 4- ах + Ь
имеет двойную точку?
_2	_2	_2
2.1.42.	Найти особые точки кривой (х) з 4- (у)з = аз (астроида). Определить их характер.
Исследовать особые точки кривых:
2.1.43.	х2у2 — х2 4- у2.
2.1.44.	4z/2 = х5 4-5х4.
2.1.45.	(х2 4- У2) (у — а)2 — у2.
2.1.46.	(х2 4- У2 — 2х)а = 4 (х2 4- У2).
2.1.47.	р = /sin2<p.
§ 2. ЭВОЛЮТЫ И ЭВОЛЬВЕНТЫ. РАДИУС КРИВИЗНЫ
Эволютой плоской кривой у называют огибающую семейства ее нормалей. Если кривая задана натуральной параметризацией
Г = Г (S) и v — единичный вектор ее нормали, то равенством
р = г 4- Xv
задается произвольная точка F этой нормали. Если точка описывает эволюту, то вектор касательной к ней
= т + X'v — Мп ste>	1
(т — единичный вектор касательной к кривой) параллелен нормали, следовательно,
1 — Mi = 0.
Уравнение эволюты
P = 7+-^-v.	(1)
К
Величина — есть радиус кривизны кривой. Точка F называется k
центром кривизны этой кривой.
Если кривая задана параметризацией
г
то вектор г' является вектором касательной, а вектор
727 —7(7,7") _ [[7,7"], 7] |7|®	|7р
— вектором нормали. Единичный вектор нормали
7= " = И- И .
|7|	|[7,7]||7|
Поскольку
ds = [ 71 di, то
Отсюда и из (2) находим
к |[7,7][ |7|3
Следовательно, уравнение эволюты
7= 7+ jZheLzlZl , [7, 7|2
или в координатах (прямоугольных декартовых)
X = х — у'
Y =*у + х'
,2 ,	,2
х +у
х'у" — у'х"
/2 ,	,2
X +у
х'у" —у'хГ
Радиус кривизны кривой
з
j____jii+ZiL
~ k - \x'yl’~y'x"i •
Кривая у называется эвольвентой своей эволюты. Следовательно, эвольвента — ортогональная траектория семейства касательных кривой у. Заметим, что эволюта у кривой одна, а эвольвент, т. е. ортогональных траекторий касательных, бесчисленное множество. Найдем их.
Пусть кривая задана натуральной параметризацией
r=7(S).
Равенством
р = г + Хт определяется точка М на ее касательной. Из равенства
-^. = /i + -^L')7+u7
ds \ 1 ds I
следует, что М описывает ортогональную траекторию тогда и только тогда, когда
т. е.
Л - — s + С, где С — произвольная постоянная. Таким образом, имеем однопараметрическое семейство эвольвент
P = 7+(-s + C)7	(3)
Для того чтобы записать уравнение эвольвент в случае, когда кривая задана уравнением г — г (/), где t — произвольный параметр, следует сначала найти
s = У | г' | dt = s (/), тогда вместо равенства (3) получим
Р - г т (— s (/) + С) ——— ,
И1 или в координатах
X = х + (- s (/) + С) ~	,
V х’ +у'
y = y + (-s(t) + C)—f==-.
Ухл + у’г
Найти эволюты и радиусы кривизны следующих кривых:
221	— 4- — = 1 Z.^.I.	"Г fe2 — 1		(эллипс).
У2 2.2.2. Аг ~ 4г = 1 а2	Ь2		(гипербола).
2.2.3. х2 — 2ру — 0		(парабола).
(х = alt— sinO. 2.2.4.	..	.. [у = а(1 —cos г)		(циклоида).
2.2.5. р — а(1 + cosip)		(кардиоида).
2.2.6. у — a ch — а		(цепная линия).
2.2.7. р =		(спираль Архимеда).
2.2.8. р2 = 2а2 cos 2ср		(лемниската Бернулли).
2.2.9. рт = ат cos /шр, т — const (синусоидальная спираль).		
2.2.10. р = a ctg <р		(кривая каппа).
2.2.11. Найти эвольвенты кривых, указанных в задачах 2.2.1—2.2.10. 2.2.12. Найти эволюту логарифмической спирали		
Р	= а*.	
Доказать, что это есть та же спираль, но повернутая вокруг полюса на некоторый угол.
2.2.13.	Найти особые точки эволюты эллипса. Сколько нормалей к эллипсу можно провести через произвольную точку плоскости? (Об особых точках см. с. 33).
2.2.14.	Найти эвольвенты окружности.
2.2.15.	Найти радиус кривизны кривой Штейнера
о t .	2t
x — 2r cos — + r cos —g- ,
o . t . 2t у — 2r Sin -5-r sin -5—
о	о
в произвольной точке. Кривая Штейнера — это гипоциклоида, образованная в результате того, что окружность радиуса г катится по окружности радиуса Зг.
2.2.16.	Доказать, что эволюта кривой Штейнера является также кривой Штейнера, подобной данной кривой с коэффициентом подобия 3. Показать, что эволюта повернута относительно самой кривой на угол —. О
2.2.17.	Конхоидой Никомеда называется кривая, построение которой осуществляется следующим образом: через точку О (полюс конхоиды) проводится произвольная прямая t (рис. 6) и на ней от точки S ее пересечения с фиксированной прямой d (базой конхоиды) откладывается отрезок постоянной длины I (интервал конхоиды). Множество концов отрезков М, когда прямая t вращается вокруг точки О, есть конхоида. Часто отрезок длины / откладывают в „ противоположную сторону, по-t лучают вторую ветвь конхоиды.
Найти эволюту конхоиды Никомеда
р = —-----F I, где а, I = const.
‘ COS ф	’
2.2.18.	Найти эволюту листа Декарта
3at , За/2
Х “* 1 -Н3 ’ У ~ 1 + /3 '
2.2.19.	Найти эволюту астроиды (гипоциклоиды, образованной в результате того, что окружность радиуса R катится по внутренней стороне окружности радиуса 4Д)
х = A R cos — + -1- R cos , y~-~Rsin-^----^-/?sin —
(а)
(см. задачу 2.1.6). Доказать, что эволютой является также астроида, подобная астроиде (а), с коэффициентом подобия, равным 2, и повернутая относительно астроиды (а) на угол
2.2.20.	Найти замкнутую последовательность из четырех плоских кривых, из которых каждая является эвольвентой предыдущей.
2.2.21.	Найти кривизну той плоской кривой, у которой эта кривизна равна кривизне ее эвольвенты (в соответствующей точке).
§ 3.	КАСАНИЕ КРИВЫХ.
НАТУРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ КРИВОЙ
Пусть даны две кривые
x = x(t), y = y(t),
V F (х, у) = 0.
Составляем функцию
а (/) = Г (х (t), у (()).
Пусть Мо (t0) — общая точка кривых ух и уа, имеющая координаты
х0 = х(Ы, y0 = y(tQY
Говорят, что кривые имеют в точке Мо касание n-го порядка, если
о (U = о' (Q = • • • = о(п) (/0) = 0,
о(п+1) (/0) #= 0.
Кривые У] и у2 имеют в этом случае п + 1 общих бесконечно близких точек.
Если
у: F (х, у, С1г ... , С„+1) = 0	(1)
— (п + 1)-параметрическое семейство кривых, то та кривая этого семейства, которая проходит через точку Ма и имеет в этой точке с кривой ух касание n-го порядка, называется соприкасающейся кривой семейства у с кривой ух в точке Л1о. По сравнению с другими кривыми семейства у соприкасающаяся кривая имеет наивысший порядок касания.
Чтобы найти соприкасающуюся кривую, составим функцию
o(t) — F (х (f), y(f), Сх..С„+1)
и п + 1 уравнение
о (/0) = а' (/0) = • • • = о(п) (t0) = 0.
Из этих уравнений находим параметры Сх, ..., CnJ_l и подставляем их в уравнение (1). В отдельных случаях касание соприкасающейся кривой с кривой ух в точке Л40 может повышаться. Если такое повышение имеет место в каждой точке кривой ух, то соприкасающаяся кривая совпадает с кривой ух.
Если кривая ух задана уравнением
y = f W.
то, присоединяя к нему тождество х = х, получаем параметрические уравнения этой же кривой: х = х, у = f (х) (параметром является х).
Если у = f (х) — плоская кривая, s = s (х) — ее длина дуги, k = = k (х) — ее кривизна, то, исключая из двух последних равенств абсциссу х, получим натуральное уравнение кривой
k — k (s).
Найти порядок касания следующих пар кривых:
2.3.1.	х — t, у = t2 и х2 = 4у — 2у2 в точке О (0; 0).
2.3.2.	х = sin/,у = t2 и х2 = 2у + у2 в точке О (0; 0).
2.3.3.	у = х2 + 4xs	и	у =	Зха	— 2х* в точке О	(0; 0).
2.3.4.	у = х3 + 2х®	и	у =	2х®	— х4 в точке О	(0; 0).
2.3.5.	# = sinxi<y	=	x +	2Х3	в точке О (0; 0).
2.3.6.	у — cos х —	1 и	у =	ха	в точке О (0; 0).
2.3.7.	Найти соприкасающиеся кривые с кривой
х = t, у = t2
в точке О (0; 0) из следующих семейств кривых:
1)	(х - Q2 + (У - С2)3 -2 = 0;
2)	sin CjX 4- С2ха 4- Csx3 — cos С^у — Съу* — Ctys = 0
2.3.8.	Точка Мо (х0; у0) кривой, заданной уравнением у = f (х), называется точкой перегиба порядка k, если имеет место разложение
У = f (хо) 4- Г (х0) Ах 4-	*	(х0) Ах2&+1 4- • • •,
if I
Ах = х —х0.
В окрестности этой точки кривая расположена по разные стороны от своей касательной. Расстояние от точки М', близкой к точке Мо, до указанной касательной, измеряемое в направлении оси ординат, есть бесконечно малая порядка 2k 4- 1 по отношению к Ах.
Если имеет место разложение
У = f (х0) 4- Г (х0) Ах 4- —-г- f(2k> (х0) Ах2* 4-*
\4ГС} I
/(2/г)(хо)^0,
то в окрестности точки Ма кривая расположена по одну сторону от касательной. Упомянутое расстояние есть бесконечно малая порядка 2k по отношению к Ах.
Кривая у = х2 расположена по одну сторону от своей касательной (оси абсцисс) в начале координат. Расстояние MN от точки М, близкой к началу координат, до оси абсцисс есть бесконечно малая второго порядка по отношению к
&х = х (рис. 7). Отобразим часть кривой, находящейся по правую сторону оси ординат (рис. 8).
Точка О, как видно из рисунка, становится точкой перегиба. В этом случае расстояние MN должно быть бесконечно малой нечетного порядка по отношению к Ах = х.
В чем состоит ошибка в приведенных рассуждениях?
2.3.9.	Левая вершина эллипса	= 1 совпадает
X
с правой вершиной гиперболы — -^- + 4 — + 3=0. Найти порядок касания кривых.
2.3.10.	Найти уравнение параболы вида у = х2 + ах + + Ъ, касающейся окружности х2 + у2 = 2 в точке (1; 1).
2.3.11.	Составить уравнение окружности, имеющей с параболой у = 2 (х — I)2 в ее вершине касание второго порядка.
2.3.12.	Доказать, что кривые у = sin х и у = х4 — ----------g-x3 + х имеют в начале координат касание третьего порядка.
2.3.13.	Найти кривую, определяемую уравнением у = = а0 + агх + ... + апхп и имеющую с кривой у — f (х) в точке /Ио (0; f (0)) касание n-го порядка.
2.3.14.	Найти гиперболу, касающуюся кривой у = 1 — — cos х в начале координат и имеющую с ней в этой точке наибольший порядок касания. Определить этот порядок.
2.3.15.	Найти эллипс, касающийся вершиной циклоиды (в ее вершине) и имеющий с ней в точке касания наивысший порядок касания.
2.3.16.	Найти соприкасающуюся окружность гиперболы х2 — у2 = 2, имеющую наименьший радиус.
2.3.17.	Доказать, что окружность (х — З)2 + (у — З)2 = = 8 и парабола jKx + I у = 2 имеют в точке М (1; 1) соприкосновение третьего порядка.
2.3.18.	Найти линию, на которой располагаются центры равносторонних гипербол, имеющих с данной линией у = = f (х) в данной точке касание второго порядка.
Составить натуральные уравнения линий:
2.3.19.	y = ach-^-. 2.3.20. p = a(l + cos<p).
2.3.21.	r = (a(t— sin/), а(1—cos/)).
2.3.22.	x = a (in ctg -cost), у — a sin /.
Написать параметрические уравнения плоских линий, заданных натуральными уравнениями:
2.3.23.	k — k (s). 2.3.24. k — с, с = const.
2.3.25. *=-£. 2.3.26. =
2.3.27. 2ask2 = 1. 2.3.28. k = — .
as
Найти уравнение последней кривой в полярных координатах.
§ 4.	АСИМПТОТЫ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ.
ПОСТРОЕНИЕ КРИВЫХ
Асимптотой плоской кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается текущая точка кривой при удалении этой точки в бесконечность.
При этом кривая может сколь угодно раз пересекать свою асимптоту.
Если кривая задана параметрическими уравнениями
* = *(0, =	(а)
и при t-тТ (Eg (/0; t£i) точка М (f) кривой удаляется в бесконечность, то асимптота, не параллельная оси ординат, определяется уравнением у — kx— 6 = 0,	(b)
где
u (t)
k — lim----- , 6 = lim (u (i) — foe (/))
f-r x(t)
(в правую часть последнего равенства в качестве k подставлен предел, определяемый первым равенством). Если по крайней мере один из этих пределов не существует, то не существует и асимптоты, не параллельной оси ординат и соответствующей значению параметра t = Т.
Если при t -> Т
х (t) -+а, у (/) -+ оо,
то кривая имеет асимптоту
х — а = 0,	(с)
параллельную оси ординат. Если кривая задана уравнением
У = Г(х),
то асимптоты, не параллельные оси ординат, определяются уравнением (Ь), где
k — lim - -У , 6 = lim (f (х) — kx).
Х-+оо X	X->oo
Если хотя бы один из этих пределов не существует, то асимптот, не параллельных оси ординат, также не существует.
Если при х ->• a f (х) -> оо, то кривая у = f (х) имеет асимптоту, параллельную оси ординат, и ее уравнение принимает вид (с).
Необходимо обратить внимание на то, что функции х (/), у (/), входящие в уравнения (а), считаются определенными и при t=T, при этом одна из них или обе сразу обращаются в бесконечность.
Не существует инструмента, который позволил бы вычерчивать все плоские кривые. При построении кривой необходимо каждый раз учитывать ее индивидуальные особенности. Однако можно отметить ряд характеристик, общих для всех кривых, знание которых позволяет с большей или меньшей точностью иметь представление о поведении кривой. К числу таких характеристик относят:
1°. Точки пересечения кривой с осями координат.
2°. Касательные в этих точках.
3°. Поведение кривой по отношению к этим касательным.
4°. Точки перегиба кривой, расположение кривой относительно касательных в этих точках.
5°. Точки, в которых касательные параллельны осям координат или другим по тем или иным причинам характерным направлениям.
6°. Направление вогнутости или выпуклости кривой.
7°. Особые точки кривой, касательные в них и расположение кривой относительно касательных.
8°. Асимптоты кривой, точки пересечения кривой с асимптотами, расположение кривой относительно асимптот. (Это наиболее существенные характеристики кривой).
9°. Поведение кривой в бесконечности.
В отдельных случаях могут быть найдены иные элементы кривой, дающие возможность составить представление об этой кривой. Когда говорят о построении кривой, то чаще всего имеют в виду не точное нанесение на плоскость всех ее точек, а выполнение рисунка, поясняющего характерные особенности ее. Желательно также при этом исследовать и поведение кривой на бесконечности. Следует заметить, что построение кривой в каждом конкретном случае требует определенных исследовательских навыков и, в свою очередь, способствует выработке этих навыков
Примеры
1.	Построить кривую, заданную параметрическими уравнениями /2	t
х=	У = —~+z  — cos^<+oo.	(1)
Касательная к кривой в произвольной точке М (/) определяется уравнением
У-у =
или
Далее находим отправные точки для построения кривой, не всегда придерживаясь приведенной выше последовательности пунктов 1°—9°.
1°. Единственная точка пересечения кривой с осями координат определяется параметром t = 0. Это начало координат О (0; 0).
2®. Из уравнения касательной (2), которое запишем в виде пр-)йг).
(3)
следует, что этой касательной при t = 0 является ось ординат
Х = 0
(в уравнение (3) подставили t = 0).
3°. При t -* +0, согласно уравнениям (1), х и у стремятся к нулю, оставаясь положительными. При t -> —0 имеем х (t) -» +0, {/(/)-> — 0. Возьмем координатные оси и будем последовательно изображать найденные характеристики кривой. В данном случае проводим небольшую дугу через начало координат, расположенную справа от оси ординат и касающуюся ее (рис. 9).
4°. При t -* — 1+0 имеем х (/)-*-+ оо, у (t) ->-оо. При
t -»--1—0 имеем х (/) -------оо,
У (0 -> + оо.
Определим параметры асимптоты:
1 — t t
k = lim t-+-\
y(t) x(t)
lim t->—i
= —2,
b = lim (y (0 — kx (t)) = lim —------------------- =---------
t-*—i	t—i 1 — t	2
Следовательно, существует асимптота, не параллельная оси y + 2x + _L = Q.
ординат:
(4)
Изобразим эту прямую на рисунке. 1
При t -> + 1 получаем х (/) -> =F оо, у (/) -* -у. Таким асимптота, параллельная оси абсцисс, имеет вид
1
Эту асимптоту можно найти также следующим образом:
, У (0	1 — t
k = lim--------- lim-------
м x(f) м	i
t
b = lim (y (t) — kx (i)) = lim--
образом,
(5)
0,
Отсюда приходим к уравнению (5). Изображаем эту асимптоту на рисунке.
1
J
5°. Подставим в уравнение вместо х и у их выражения из равенств (1):
_<L.±./r_ = o 2 (1 — <2)
Единственное решение t= —1. Точка, соответствующая этому значению, находится в бесконечности. Следовательно, кривая не пересекает асимптоту (5) в конечных точках. Продолжаем кривую так, чтобы она приближалась к прямой (5), как к своей асимптоте.
6'. Находим точки кривой, в которых касательные параллельны осям координат. Составим уравнение
х‘ =-----—----= О
(I — /2)2
Это уравнение имеет решение только при t = 0 и t = ± со. При t = О получим начало координат. В этой точке, как уже отмечали, касательная параллельна оси ординат (и совпадает с этой осью). При t = ± со имеем у' = 0.
Поскольку
k = Игл = оо, Моо х (0
то снова получаем касательную, параллельную оси ординат. Подставляя t = со в равенства (1), находим координаты точки касания М:
х = -1, у =1.	(6)
Отмечаем ее на рисунке.
Перепишем первое уравнение (1) в виде
Пусть х = —1 + е, где е мало (модуль е меньше единицы), тогда /2 = — 1 +.L е
2
Легко видеть, что t является действительным числом лишь при е < 0. Это означает, что в окрестности точки М кривая расположена слева от касательной к кривой в данной точке. Наносим на рисунок дугу этой кривой и продолжаем ее влево так, чтобы она приближалась к обеим асимптотам.
7°. Найдем точки перегиба кривой (если они существуют). Вычислим дискриминант:
х'у" - у'х” =---(1_/2)3 .
Этот дискриминант обращается в нуль лишь при t = ± со. При этом все производные х', х", .... у', у", ... обращаются в нуль. Точка (6) кривой (1) является особой точкой. Однако эта особенность является лишь следствием параметризации. Как точка кривой она ничем не отличается от остальных точек этой кривой. Перегиба в ней, как и в других точках кривой, нет.
Поскольку точки кривой существуют при всех значениях t, изменяющихся от — оо до -f- оо, то кривую следует представлять себе как замкнутую линию, присоединив к ней и бесконечно удаленные точки.
Как уже было отмечено, при t -* +0 точки кривой приближаются к началу координат, оставаясь над осью абсцисс. При t изменяющемся от 0 до 1, точка кривой пробегает ветвь, обозначенную на рис. 9 цифрой 1. При изменении t от 1 до 4-оа она пробегает ветвь 2. В точке Л1 имеем переход от 4-ео к—оо. При изменении /от—оодо—1 точка описывает ветвь 3. Наконец, при изменении t от—1 до 0 она пробегает ветвь 4.
Если исключить параметр t из уравнений (1), то придем к уравнению у2 + 2ху — х = 0.	(7)
Следовательно, рассматриваемая кривая есть кривая второго порядка (гипербола). Ее можно было бы построить, приведя уравнение (7) к каноническому виду, найдя главные оси и асимптоты. Однако предпочтительнее провести именно тот анализ, который провели мы, так как этот анализ не связан с порядком кривой и применим также тогда, когда кривая, задаваемая параметрическими уравнениями, уже не является кривой второго порядка.
2.	Построить кривую, заданную уравнением
2
У = * +	(8)
Исследование этой кривой в принципе ничем не отличается от исследования кривой, заданной параметрическими уравнениями. Действительно, присоединив к уравнению (8) тождество
х = х,	(9)
получаем параметрические уравнения, параметром является абсцисса х. Можно, разумеется, исследовать уравнение (8), не прибегая к тождест-
ву (9).
1°. Полагая в уравнении (8) х => = 0, получаем у = 2. Точка А (0; 2) — единственная точка пересечения кривой с осью ординат.
Пусть у = 0. Тогда
х (х + I)2 + 2 = 0, или
х3 + 2х2 + X + 2 = 0.	(10)
Из этого уравнения найдем точки пересечения кривой с осью абсцисс. Легко видеть, что уравнение (10) имеет единственный действительный корень х = —2. Точка В (—2; 0) есть един-
ственная точка пересечения оси абсцисс с кривой. Построим эти точки (рис. 10).
2°. Согласно уравнению (8), прямая
х = -1	(11)
является асимптотой кривой.
Для асимптот, не параллельных оси ординат, находим пределы
k ~ lim — = 1 + lim —-—?	„ = 1,
Х-оо Х	Х-оо *(*+ >)2
2 b = lim (у (х) — kx) = lim 	- = 0.
X->oo	Х-+оо v* “Г *)
Имеем еще одну асимптоту
У = х.	(12)
3°. Легко видеть, что кривая (8) имеет общие с асимптотами (11), (12) только свои бесконечно удаленные точки.
4°. Приравниваем к нулю производную у':
, х3 + Зх2 + Зх — 3
’ -—«+1г—-°-
Обозначая числитель последней дроби через f (х), закинем
f (х) = х3 + Зх2 + Зх — 3.
(13)
Так как
/ 1 \	5
/Ы = -Т<0' а /(D = 4>°>
\ z /	о
то один корень (х0) лежит между
1:
-у<Х0< 1.
(14)
Далее, для х < — функция / (х) < 0, а для х > 1 функция f (х) > 0.
Найдем
f (х) = Зх2 + 6х + 3.
При всех х + —1 производная положительна и f (—1) = 0. Следовательно, функция f (х) возрастает.
Уравнение (13) имеет, таким образом, лишь один действительный корень (14). На рис. 10 отмечена точка С, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс. В точном построении такой точки нет необходимости. Через точку В проводим кривую так, чтобы она приближалась к асимптотам (11) и (12).
5°. Для нахождения точек перегиба составляем уравнение
У" = 0, или
Кривая не имеет конечных точек перегиба (рис. 10).
Прикладывая мысленно линейку в различных ее положениях к кривой, видим, что она может иметь не более трех точек пересечения с кривой. Это один из аргументов в пользу того, что кривая определена правильно — она, согласно уравнению (8), является кривой третьего порядка.
Если х изменяется от — оо до + оо, то текущая точка кривой пробегает всю кривую. На рис. 10 цифрой 1 отмечена ветвь, соответствующая изменению х от —оодо —1, цифрой 2 — ветвь, соответствующая изменению от —1 до х0, цифрой 3 — изменению от х0 до +оо.
6°. Найдем особые точки кривой. Для этого уравнение (8) запишем в виде
F(.x, У) = (У— х)(х+ I)2 — 2 = 0.	(16)
Отсюда для определения особых точек имеем два уравнения: Fx = - (х + 1)“ + 2 (у— х) (х + 1) = О, Fw=(x+ 1)2 = 0.
Решением этой системы и уравнения (16) являются
X = — 1, у = оо.
Особая точка оказывается бесконечно удаленной точкой асимптоты (11). Чтобы выяснить характер этой точки, перейдем в уравнении (16) к однородным координатам х : у : i :
F (х : у : t) = (у — х) (х + /)2 — 2/3 = 0.
Пусть у = 1. Тогда
F (х, 0 = (1 — х)(х-Н)2 — 2/3 = 0.	(17)
Находим уравнение для определения особых точек:
Fx = — (х + О2 + 2 (1 — х) (х + t) = 0, Ft = 2 (1 — х) (х + 0 — 612 = 0.
Решением этой системы и уравнения (17) есть х = /=0.
В данной точке
^хх ~ 2, Fxt = 2, Ftt = 2,
Особая точка — это двойная точка с двойной касательной. Положим х -j- t = X.
Уравнение (17) запишем в виде
X2 — хХ2 — 2 (X — х)3 = 0.
Рассматриваемая особая точка имеет координаты
х = 0, Х=0.
Имеем точку возврата первого рода. Для бесконечно удаленной точки это означает, что если провести секущую АВ кривой в окрестности особой точки Р (рис. 11), то пара точек А, В разделяет пару, образованную точкой С (точка пересечения АВ с асимптотой (11)) и точкой D (бесконечно удаленная точка секущей АВ).
Изображая, как показано на рис. 11, бесконечно удаленную пряную прямой конечной, можно представить себе строение кривой (17) в виде, изображенном на рис. 12.
Топологическая структура проективной плоскости (евклидова плоскость, дополненная несобственной прямой, является моделью проективной плоскости) такова, что ветви 1 и 2 замыкаются без дополнительного пересечения несобственной прямой.
Прежде чем рассмотреть построение кривой, заданной алгебраическим уравнением F (х, у) = 0, изложим способ нахождения асимптот такой кривой. Для этого запишем уравнение кривой в виде
Fn (х, у) + Fn_, (х, у)+  • • + F, (х, y)-f-Fg = О, где Ft (х, у) — однородный многочлен степени i. Угловой коэффициент асимптоты находится из уравнения
Fn(l, k) = 0.
Если k — простой корень данного уравнения, то Fn (1, k) =/= 0 и уравнение асимптоты имеет вид
Для кратных корней нужно рассматривать особые бесконечно удаленные точки кривой.
3. Построить кривую, заданную уравнением
F (х, у) = х2у — у2х — х2 — у + 2ху +1 = 0.	(18)
Имеем алгебраическую кривую третьего порядка.
1°. Точки пересечения кривой с осями координат: А (—1; 0), В (1; 0), С (0; 1) (рис. 13).
2°. Найдем асимптоты. Приравниваем к нулю сумму старших членов
F3(x, у) = х2у-у2х.	(19)
Поделив уравнение на х3, имеем уравнение относительно ti ----:
х
F3 (1, »)) = — П2 + Я = 0.	(20)
Отсюда находим два простых корня
fej = 0, k2 = 1.
Поскольку многочлен в заданном уря"«ении (18) третьей степени,, то уравнение (20) рассматриваем как кубическое уравнение
F3 (1 > П) = 0  т|3 — 1|2 ' >1 = 0.
Следовательно, существует еще один корень
k3 — оо.
Кривая (18) имеет, таким образом, три асимптотических направления klt k2, k3.
Запишем систему членов 2-го порядка из уравнения (18)
F2 (х, у) = — х2 + 2ху.
Тогда
Лг(1-»!) = —1+2т].
Поскольку в общем случае получаем многочлен второго порядка, то целесообразно записать последний многочлен в виде
F2 (1, ц) = 0  т)2 + 2т] — 1.
Продифференцируем левую часть уравнения (20) с учетом степени многочлена:
F'3 = 0 • Зт)2 — 2ц + 1.
Таким образом,
Гз(1,^)=1,	(1, Ла) = — 1, F' (1, £3) = 0 • 3^-2й3+1,
Г2(1,^) = -1, /?2(1,й2) = 1, 7%(1, ^з) = 0- kl + 2k2-l.
Подставив эти значения в уравнение асимптоты
получим уравнения асимптот
(21)
(22)
У — 1 = 0,
У — х— 1 =0,
0 • 3^ — 2А3 + 1 у — k3x +
-----5------------ =0. 0 • /г| + 2/г3 — 1
Уравнение последней асимптоты можно записать в виде
\	*3	«3 /	у
+ 0.3_2 —
\	кз
= 0.
Положим, что k3 = оо. Тогда в пределе х= 0.
Это третья асимптота. Изобразим найденные асимптоты на рис. 3°. Продифференцируем уравнение (18) по х и по у.
Fx = 2ху — уг — 2х + 2у = О, Fu — хг — 2ху — 1 + 2х = 0.
я, если они совместны с (18), определяют особые
(23)
13.
(24)
точки кривой. Однако действительные решения уравнений (24)
/3	, _ /3
X = ± —5— , у = 1 Т —к—
О	о
Эти
не удовлетворяют уравнению (18). Таким образом, кривая (18) особых точек не имеет.
4°. В точках С, А, В функции Fx, Fy принимают соответственно значения (см. (24)):
Гж=1, ^ = -1;
Fx=2, Fy=~2-Fx = -2, Fy~2.
Во всех этих точках касательные к кривой (18) имеют угловой коэффициент, равный 1.
Дифференцируя уравнение (18) дважды по х и считая у функцией от х, получим
?хх + 2ГХуУ' + ?уУУ'2 + Руу'' = 0.	(25)
Подставим сюда значения производных
РХХ = 2У~2> FXy = 2х - 2у + 2, Fyy = -2x, Fy = х2 — 2ху — 1 + 2х.
Получим
2у — 2 + 2 (2х — 2у) у' — 2ху'2 + (х2 — 2ху — 1 — 2х) у" = Q.
Для точек С, А, В, в которых у' = 1, получаем соответственно у" = 0, у" = 0, у” = — 2.	(26)
Отсюда следует, что в точке В кривая расположена под касательной, т. е. под прямой у — х + 1 = 0.
Чтобы выяснить поведение кривой в точках С и А, продифференцируем по х равенство (25):
FXXX + ^ХХуУ' + 2,17хууУ'2, + РуууУ'3 + 2{!ХуУ' +
+ 2Fyyy'y" + Fxyy" + F ууу'у" + Fyy"' = 0.	(27)
Подставим сюда значения производных в точках С и Л:
Fxxx ~ FXXy = 2> Fxyy~ 2’ Fyyy~0’ У = 1» У ~ Получим
6 — 6 + 2 (2х — 2у + 2) + (х2 — 2ху — 1 + 2х) у'" = 0.
Для точек С и Л находим соответственно у"' = 0, у"' = 0.	(28)
В результате многократного дифференцирования уравнения (27) при условиях (26) и (28) получим для обеих точек
Это означает, что кривая (18) целиком содержит прямую у — х — 1 = = 0. К этому выводу можно было прийти и непосредственно, подставляя у = х + 1 в уравнение (18) и убедившись в том, что получается тождество. Однако рассуждения, приведенные выше, справедливы и тогда, когда такого вырождения у кривой нет.
Приняв во внимание то, что прямая АС целиком принадлежит кривой (18), разделим уравнение (18) на уравнение (22). Получим кривую второго порядка, принадлежащую кривой (18):
Ф (х, у) = ху — х + 1 = 0.	(29)
Это гипербола. Асимптотами ее являются найденные раньше прямые (21), (23). Так как ВС I АС, то прямая АС есть мнимая ось гиперболы. Строим точку D, симметричную В относительно С, и проводим две ветки гиперболы, приближающиеся к прямым (21) и (23) как к асимптотам. Кривая (18) представляет собой, таким образом, гиперболу вместе с ее мнимой осью.
Найти асимптоты кривых, заданных параметрическими уравнениями:
2.4.1.	х = t3---lr, y = t3+ 1.
2.4.2.	х = t3, у = 13-{-~.
2.4.3.	х = /3, у =
2.4.4.	х = 1 + t, у- .
2.4.5.	х = 2/—1, /7 = -^.
2.4.6.	х = /24-1,	=
Найти асимптоты алгебраических кривых, заданных уравнениями:
2.4.7.	— 2х3 + х3у + ху3 + у3 — ху + 1 — 0.
2.4.8.	2х2 — ху — у3 — 2х 4- у 4- 1 = 0.
2.4.9.	ху + х3у3 + х3у3 4-1 = 0.
2.4.10.	х3 4* У2 — 2х4 4- г/4 — х3у3 = 0.
2.4.11.	ху3 4- ух3 — (х 4- у) 4- 2 = 0.
2.4.12.	х3 4- х2 4- х — у3 — у3 — у = 0.
Найти асимптоты кривых, заданных уравнениями в несимметричной форме:
2.4.13.	t/==-J—4-^-----------•
27	1 “X 1 2 — х	3 —х
1	у2
2.4.14.	г/=-,  1 а 4- -3- ... .
27	1 — х2 * 14* &
2.4.15.	у = 2-4--г^-. 2.4.16. z/ = x4-i~r.
2.4.17.	у = х3 4- -j^-. 2.4.18. ^/ = xs4-TFK •
Построить кривые, заданные параметрическими уравнениями:
2.4.19.	х = j , у = /а_|_ j •
2.4.20.	х =/3 + 1, у = /2—1.
2.4.21.	x = j _t , у = j _t2 
2.4.22.	x = /2- 1, У = ~^.
2.4.23.	x = t2, у = -^_2 .
2.4.24.	x = 2t - 1, У = ^.
Построить кривые, заданные уравнениями вида у = = f (х):
2.4.25.	у = 4- +	+ х. 2.4.26. у =	•
2.4.27.	у = х3 + 2х2 — х.
1	х%
2.4.28.	у = -т---- * 	+	* .
у (х — 1) (х + 2)	‘ х3 + 1
х	2ха_1
2.4.29.	у == 31 г . 2.4.30. у = з  / .
Построить кривые, заданные алгебраическими уравнениями:
2.4.31.	х3 + у3 — Зх — Зу + 1 = 0.
2.4.32.	х4 + 2ху — у4 — 1 = 0.
2.4.33.	ху3 + х3у + 1 = 0.
2.4.34.	х2у2 + ху — 1 =0.
2.4.35.	х3 + у2 + у3 + х2 — 2 = 0.
2.4.36.	ху + х2 + у2 — х3 — у3 = 0.
Найти асимптоты линий, заданных уравнениями в полярных координатах:
2.4.37.	р<р = а (гиперболическая спираль).
2.4.38.	р2ф = а2 («жезл»), 2.4.39. р = азес2ф.
§ 5. ДИСКРИМИНАНТНАЯ КРИВАЯ
Пусть
F (х, у, с) = 0	(1)
— уравнение однопараметрического семейства кривых. Рассмотрим кривую у, которая в каждой своей точке касается соответствующей кривой семейства (1) (рис. 14).
Если М — текущая точка кривой у, то через эту точку проходит, касаясь у, некоторая кривая семейства (1), соответствующая параметру
с. Наоборот, каждой кривой семейства (1), т. е. каждому значению параметра с, соответствует некоторая точка кривой у, в которой кривая семейства касается кривой у. Следовательно, координаты текущей точки М кривой у можно представить некоторыми функциями параметра с:
х = х(с), у = у (с).	(2)
Если подставить функции (2) в уравнение (1), то получим тождество
Е (х (с), у (с), с) = 0.
Дифференцируя его, найдем
Fxx' + Fyy' + Fc = 0.	(3)
Поскольку кривая (2) касается в точке М соответствующей кривой семейства (1), то их угловые коэффициенты совпадают:
У' _ Fx х' Fy ’
т. е.
Fxx' + Fvy' = 0.	(4)
Предполагая, что и точки кривой у, и точки касания кривых (1) с у есть обыкновенные точки, будем считать, что как производные х', у', так и производные Fx, Fy одновременно ни в одной точке М не обращаются в нуль.
Подставляя равенство (4) в равенство (3), придем к соотношению
Fc (х, у, с) = 0.	(5)
Таким образом, если семейство (1) допускает огибающую в неособых точках кривых (1), то координаты таких точек будут одновременно удовлетворять двум уравнениям
F (х, у, с) = О,
(6) Fc (х, у, с) = 0.
Обратное не справедливо, т. е. если исключим из уравнений (6) параметр с, то получим некоторую кривую
ф (х, у) = 0,	(7)
которая не всегда является огибающей семейства (1). Пусть каждая кривая семейства имеет особую точку М (рис. 15). В этой точке одновременно имеют место равенства
Fx = 0, Fy = 0.	(8)
Каждая точка М соответствует определенному значению с параметра той кривой, которая эту точку содержит. Пусть геометрическое место точек М есть некоторая кривая yt. Поскольку текущая точка кривой определяется значением параметра с, то ее координаты можно представить функциями параметра с:
х = х(с), у = у(с).	(9)
Если подставить значения функций (9) в уравнение (1), то получим тождество
F (х (с), у (с), с) = 0.
Продифференцировав его по с, находим
Fxx' + Fuy' + Fc = 0.
Учитывая условия (8), имеем
Fc (х, у, с) = 0.	(10)
Таким образом, если семейство кривых (1) имеет множество особых точек, то координаты этих точек, являющиеся функциями параметра с, одновременно удовлетворяют уравнениям (1) и (10), т. е. уравнениям (6).
Следовательно, уравнениям (6) удовлетворяют не только координаты точек огибающей, но и координаты особых точек кривых. Существуют ли иные точки, определяемые уравнениями (6)?
Назовем множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям (6), дискриминантной кривой и исследуем строение этой кривой. Составим матрицу р в какой-либо точке Л1о (х0; у0; г0), для которой одновременно выполнены условия (1) и (10):
И — I р
V сх
Fy F,
Fcy Рс
Если в этой точке ranq р = 2, то уравнения (1) и (10) могут быть решены относительно двух каких-либо неизвестных х, у, с. Например, если
Fx Ру U о
Рсх РсуГ ’
то
х = х(с), у = у(с).
(И)
Поскольку в данном случае Fx, Fy одновременно не равны нулю, то кривая (11) есть огибающая семейства (1).
Если (при Fc = 0)
I 1 СХ СС I то
х = х(у), с = с(у).	(12)
Вследствие того что Fx =И= 0, первое уравнение (12) есть уравнение огибающей. Второе уравнение задает соответствие между точками этой огибающей и кривыми семейства (1).
Пусть ranq р = 1, Fx и Fy одновременно не равны нулю. Тогда
Имеем четыре уравнения (1), (10), (13) с тремя неизвестными х, у, с. В общем случае уравнения несовместны, дискриминантной кривой нет. Однако в некоторых случаях уравнения эти имеют решения вида (11) или (12), тогда имеем огибающую.
Пусть
Fx = Fy = 0.	(14)
Четыре уравнения (1), (10), (14) в общем случае не совместны. Дискриминантной кривой, проходящей через Л40, не существует. Если же уравнения (1), (10), (14) имеют решения вида (11) или (12), то имеем множество особых точек кривых семейства (1).
Примеры
1. Дано семейство парабол
/ с2 \
F (х, у, с) = (% + с)2— J = 0.	(15)
Найти дискриминантную кривую семейства.
Дифференцируем заданное уравнение (15) по с:
Fc = 2(x±c)~ с = 0.	(16)
Из уравнений (15) и (16) исключаем с, получаем уравнение дискриминантной кривой
(17)
Поскольку каждая парабола семейства не имеет особых точек, то дискриминантная кривая (17) (рис. 16) есть огибающая семейства (15). Матрица р имеет вид
/2 (х + с) н 2
2х + с'
1 .
— 1
0
Ее ранг для каждого решения (х0; Уо> со) уравнений (15) и (16) равен 2.
2. Найти дискриминантную кривую семейства полукубических парабол
F (х, у, с) = (х + с)2 — (у + с)3 = 0.	(18)
Дифференцируем уравнение (18) по с:
Fc = 2(x + c)-3(i/4-c)2 = 0.	(19)
Исключим с из уравнений (18) и (19). Подставляя
3 x+c = -g-(y + c)a в уравнение (18), имеем 9
— (У + с)1 — (у + с)3 = 0.
Отсюда
1°. у + с = 0. Тогда х + с = 0, т. е.
У - х = 0.	(20)
Это множество особых точек (вершин парабол). Для точек данной кривой (биссектрисы координатных углов) Fx*= Fy*~ 0.
4	3 4»	8
2». ? + с=—. Тогда х + с=— —--------------— , т. е.
х-У + -^- = 0.	(21)
Это огибающая.
Таким образом, дискриминантная кривая семейства (18) состоит из множества особых точек (20) и огибающей (21) (рис. 17).
Рис. 17	Рис. 18
3.	Найти дискриминантную кривую семейства полукубических парабол
F (х, у, с) = (х + с)2 — у3 = 0.	(22)
Дифференцируем уравнение (22) по с:
Fc = 2 (х + с) = 0.
Дискриминантная кривая состоит из одной ветви
У = 0.
Это множество особых точек (рис. 18). Огибающей нет.
2.5.1.	Найти огибающую семейства окружностей, построенных на параллельных хордах некоторой окружности как на диаметрах.
2.5.2.	Найти огибающую семейства прямых, образующих с осями координат треугольники постоянной площади S.
2.5.3.	Окружность х2 + у2 = Л?2 является огибающей семейства прямых Ах + By + С = 0. Какому соотношению должны удовлетворять коэффициенты А, В, С?
2.5.4.	Отрезок постоянной длины а скользит своими концами по двум взаимно перпендикулярным прямым. Приняв эти прямые за оси координат, найти огибающую семейства прямых, содержащих отрезок.
2.5.5.	Окружность диаметра а катится без-скольжения по неподвижной прямой. Приняв эту прямую за ось абсцисс и то положение диаметра, при котором один из его концов находится на ней, за ось ординат, найти огибающую семейства прямых, содержащих диаметр.
Рис. 19
Рис. 20
2.5.6.	Окружность радиуса г катится без скольжения по внешней стороне окружности радиуса R (рис. 19). Найти огибающую семейства прямых, образованного фиксированной касательной к окружностям, считая, что в начальный момент касательная проходит через точку А (0; R) и параллельна оси абсцисс.
2.5.7.	Решить задачу 2.5.6 при условии, что окружность катится по внутренней стороне окружности (рис. 20). (Положение начальной прямой указано на рисунке.)
2.5.8.	Найти дискриминантную кривую семейства линий:
1)	(х — с)3 — (у + с2)2;
2)	(х с2)3 = (у — с)2;
3)	у — с = (х — с2)3;
4)	(у — й)2 — 2 (х — а2) = 0;
5)	ах 4- У + b = 0, а2 — b = 1;
6)	а2х + Ь2у = 1, ab = 1;
7)	(а—1) х2 + (6—1)у2 = — 1, а + (> = 0.
2.5.9.	Найти огибающую семейства нормалей параболы у2 = 4х.
2.5.10.	Найти огибающую семейства окружностей, диаметрами которых являются хорды эллипса
х* , У2 _ 1
4 -г 9 ~ ь
параллельные оси OY.
2.5.11.	Найти огибающую семейства окружностей, диаметрами которых являются хорды гиперболы
х2_____у2 __ ,
9	4 ~ 11
параллельные действительной оси.
Пусть однопараметрическое семейство кривых задано уравнениями x = x(t, с), у— y(t, с),	(23)
где t — параметр, определяющий точку на кривой, с — параметр, определяющий кривую семейства. Пусть
У = f И	(24)
— огибающая семейства (23). Подставим функции (23) в (24). Получим уравнение
У (t, с) = / (х (t, с)),	(25)
определяющее t как функцию от с: t = t (с). Продифференцируем уравнение (25) по с:
У/ + Ус = Г (xtt' + хе).	(26)
Поскольку кривая (24) касается кривых семейства (23), то в точках касания
Г=-у-.	(27)
xt
Тогда из уравнения (26)
f = — .	(28)
хс
Из равенств (27) и (28)
х1Ус — ytxc — 0.	(29)
Исключая из трех уравнений (23), (29) параметры t и с, получим уравнение кривой, содержащей, в частности, огибающую (24). Можно, найдя с из уравнения (29), подставить его в уравнение (23). Получим параметрические уравнения кривой. В общем случае, кроме огибающей, уравнения (28) и (29) определяют множество особых точек кривых (23). Действительно, для таких точек имеют место равенства
xt = yt = о,
а потому для них равенство (29) выполняется. Напомним, что особыми точками кривой, заданной параметрическими уравнениями, могут быть только точки возврата первого или второго рода.
В общем случае уравнения (23), (29) определяют дискриминантную кривую семейства (23).
2.5.12.	Найти огибающую семейства нормалей спирали Архимеда
р = Л0 (Л = const).
2.5.13.	Найти огибающую семейства нормалей эллипса х = a cos t, у — b sin t.
2.5.14.	Найти огибающую семейства нормалей гиперболы
х = a ch t, у = bsht.
2.5.15.	Найти огибающую семейства нормалей параболы х = i2, у — 2pt.
2.5.16.	Найти огибающую семейства нормалей циклоиды x*=ali— sin/), у — а(\—cost).
2.5.17.	Найти огибающую семейства прямых у — Ь = 'к(х — а),	(30)
где	а = cos t, X = ht,
b — sin t, h = const.
Прямая (30) равномерно вращается вокруг точки М (я; Ь), которая, в свою очередь, равномерно движется по единичной окружности.
2.5.18.	Найти дискриминантную кривую семейства линий X = (t — с)3, у — (t — с2)4.
2.5.19.	Кривые, определяемые уравнением
где т — рациональное число (положительное или отрицательное), а, b — положительные, называются кривыми Ламе. При т = 2 получаем эллипс.
Показать, что огибающая кривых Ламе с одним и тем же показателем степени т и параметрами а, Ь, связанными соотношением
где съ с2 — постоянные, есть также кривая Ламе, определяемая уравнением тп	тп
+ ^т+п = j
Что представляет собой эта огибающая для п = 2, п = 1, сх = с2?
2.5.20.	Показать, что огибающая семейства прямых, пересекающих некоторую неподвижную окружность так, что отношение угловых скоростей точек пересечения постоянно, есть эпициклоида.
2.5.21.	Найти огибающую семейства кривых:
1)	х2 + (у — а)2 = г2, а — параметр;
2)	х 4- ау 4-1=0;
3)	— 4- -г- — 1, я2 4- Ь2 = г2 = const;
' а ' b ’	’
4)	-у +у = 1, ab — с = const;
5)	(х — а)2 4- (у —а2)2 = 1;
6)	(х — а)2 — (у — а2)2 = 1;
7)	(х — а)2 4- (у — b2) = а2, а2 + b2 = г2 = const;
8)	— + -%-= 1, b = ка,к = const; ’ а о
9)	ау2 — 2р (х — а), а — параметр, р < 0;
10)	ах2 4- by2 = 1, а 4- b = с = const, с > 0.
2.5.22.	Найти огибающую семейства прямых, соединяющих точки касания сторон прямого угла с эллипсом.
2.5.23.	Найти огибающую семейства прямых, соединяющих точки касания сторон прямого угла с гиперболой.
2.5.24.	Найти огибающую семейства прямых, соединяющих точки касания сторон прямого угла с параболой.
2.5.25.	Из данной точки под разными углами а к горизонту с одной и той же начальной скоростью и0 выбрасываются материальные точки. Найти огибающую траекторий (парабола безопасности).
Глава 3 ПОВЕРХНОСТИ
§ 1. ПОВЕРХНОСТИ И ИХ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ ПОВЕРХНОСТИ
Пусть U — выпуклое (т. е. содержащее каждый прямолинейный отрезок, концы которого принадлежат множеству) открытое подмножество арифметической плоскости R2, Е3 — евклидово пространство. Рассмотрим непрерывное отображение
f:U^E3.	(1)
Когда в Е3 выбрано начало координат О, то отображение (1) можно задать с помощью вектор-функции г = г (и, и), (и; о) Q U,
Отображение (1) называется гладким класса Ск, где k — некоторое натуральное число или символ оо, если его можно задать вектор-функцией г = г (и, v), имеющей непрерывные частные производные всех порядков меньших или равных k (при k = оо существуют частные производные всех порядков).
В частности, для гладкого отображения определены производные
_ дг (и, v) ? _ дг {и, v)
Ги------дй ’ "------------дЬ	(2)
Гладкое отображение (1) называется регулярным, если в каждой точке (м; о) g U частные производные (2) линейно независимы.
Отображение (1) называется параметризацией, если оно:
1)	гладко;
2)	регулярно;	'
3)	г (uit ot) г (ц2, о2) при «j и2 или Vi о2;
4)	обладает тем свойством, что если последовательность точек f (Хп), Хп С U, пространства £3 сходится к точке f (Л), где X g U, то ' последовательность точек Хп также сходится к X.
Подмножество М пространства Е3 называется э л е м е н т а р -ной поверхностью, если существует такая параметризация f : U Е3 (называемая в этом случае параметризацией поверхности 44), что f (47) = М. .
Множество Ф точек пространства Е3 будем называть поверх-н о с т ь ю, если это множество связно и каждая точка X этого множе-	I
ства имеет окрестность G такую, что часть Ф, расположенная в G, является элементарной поверхностью.	I
Сеть линий на поверхности Ф называют правильной, если:
а)	через каждую точку на Ф проходит по одной линии каждого из двух семейств сети;
б)	каждая из линий одного семейства сети пересекает каждую из линий другого семейства, и притом в единственной точке.
Таким образом, поверхность можно задавать некоторым уравнением г = г (и, v), или тремя параметрическими уравнениями х = х (и, v),y = у (и, v), z — г (и, о). Поверхность можно задавать также уравнением Ф (х, у, z) = 0, или уравнением z = f (х, у). Кривая на поверх-	!
ности г ~ г (и, о) задается уравнениями и = и (/), v ~ v (t).	j
Пусть т — г (и, v) — гладкая параметризация поверхности Ф g С1, точка Р g Ф, и = и (t), v = v (/) — уравнения гладкой кривой, проходящей через точку Р и лежащей на поверхности. Касательная к этой кривой определяется вектором
dr du -> dv ~di r“ ~dT + fv ~dF ’
du
Для разных кривых, проходящих через точку Р (и; и), значения —— at
dv	->	->
и —— будут разными, а векторы ги и rv— теми же. Таким образом, dt
dr	.	-г - д
—— лежат в одной плоскости — плоскости векторов ги и г0. Эта dt
плоскость называется касательной
ности Ф в точке Р (и; v).
Уравнения касательной плоскости, даниям поверхностей:
X — х
(R — г, ги, rv) = 0 или хи
плоскостью к поверх-
соответствующие разным за-
Y-y Z — z
Уи ги
XV Уи Zv
Если поверхность задана уравнением Ф (х, у, z) = 0, то ее касательная плоскость имеет уравнение
Фх (X — х) -f- Фу (Y — у) -f- Фг (Z — г) = 0.
Прямая, проходящая через точку Р С Ф перпендикулярно к касательной плоскости в этой точке, называется нормалью к поверхности. Единичный вектор нормали ................................
I [ги> Го] I
Уравнения нормали
X — х У — у Z — г
Уиги гиУи	гихи хиги	хиУи Уихи
или
X — х Y — у Z — г
ФХ ~ Фу Фг '
Какие поверхности задаются данными уравнениями и правильна ли на них сеть координатных линий?
3.1.1.	г = (a cos и cos v, a cos и sin v, a sin и].
3.1.2.	г (и, v) — {(а + b cos и) cos v, (а + b cos u) sin v, b sin u}.
Q . n	,	( ^u2 + c2	Vu2-]-c2		1
3.1.3.	r(u, v) =	----cost/, —-—--------sint», in .
3.1.4.	Составить параметрические уравнения эллипсоида, гиперболоидов и эллиптического параболоида.
3.1.5.	Составить уравнения однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида, принимая в качестве координатных линий их прямолинейные образующие.
3.1.6.	Составить уравнения поверхности, образованной вращением кривой х = <р (и), у = 0, z =	(и) вокруг оси
OZ.
3.1.7.	Составить уравнение поверхности, полученной вращением трактрисы г = la In tg	— a sin t,
I	I 4	л I
a cos t, 0} вокруг ее асимптоты.
3.1.8.	Окружность (x — a)2 + z2 = г2, у — 0 (a >• r) вращается вокруг оси OZ. Составить параметрические уравнения поверхности вращения (тора).
3.1.9.	Кривая
11 — е г* при z Ф О, х = ]	у = О,
11 при 2 = 0,
вращается вокруг оси OZ. Написать уравнения полученной поверхности вращения. Какому классу регулярности она принадлежит?
3.1.10.	Составить уравнение цилиндра с направляющей р = р (и) и образующими, параллельными вектору е — const.
3.1.11.	Составить уравнение конуса с вершиной в начале радиусов-векторов и направляющей р = р («).
3.1.12.	Составить параметрические уравнения цилиндра с направляющей х2 + у2 = a2, z — 0 и образующими, параллельными оси OZ.
3.1.13.	Составить уравнение поверхности, образованной вращением прямой х = az, у = 0 вокруг оси OZ.
3.1.14.	Составить уравнение цилиндрической поверхности с направляющей х2 + 2у2 = z, х — у + z — 2 = 0 и образующими, параллельными вектору и = {1, —1, 2}.
3.1.15.	Доказать, что уравнения r= {«cosy, usinn, ы ) и r = t +	 U2 + V2 .	задают одну и ту
же поверхность.
3.1.16.	Доказать, что уравнение г = [а [и +	, b х
( 1 \ 1
X «-------I, представляет цилиндрическую поверхность.
3.1.17.	Составить уравнение поверхности, образованной касательными к данной линии р = р (м) (торса).
3.1.18.	Написать уравнение поверхности, образован-—> —>
ной главными нормалями данной линии р = р ($), где s — натуральный параметр.
3.1.19.	Записать уравнение поверхности, образованной касательными к линии у2 = х, х2 = z.
3.1.20.	Окружность радиуса а перемещается так, что ее центр движется по заданной линии р — р ($), а плоскость, 64
в которой она расположена, является в каждый момент нормальной плоскостью к заданной линии. Составить уравнение поверхности, описываемой окружностью.
3.1.21.	Составить уравнение поверхности, образованной бинормалями линии г= {е1, е~‘, /]/2}.
3.1.22.	Геликоидом общего вида называется поверхность, образованная некоторой линией, вращающейся около оси и одновременно поступательно движущейся в направлении этой оси, причем скорости этих движений пропорциональны. Составить уравнение геликоида общего вида.
3.1.23.	1) Прямая движется поступательно с постоянной скоростью, пересекая другую прямую под прямым углом, и одновременно вращается равномерно вокруг этой прямой. Полученная при этом поверхность называется прямым геликоидом. Составить уравнения прямого геликоида.
2)	Из каких линий состоит координатная сеть на поверхности г = {и cos v, и sin v, hv}?
3.1.24.	Составить уравнение поверхности, образованной главными нормалями винтовой линии.
3.1.25.	Составить уравнение поверхности, образованной касательными к винтовой линии.
3.1.26.	Составить уравнение поверхности, образованной каким-либо семейством нормалей данной линии р = = Р (s).
3.1.27.	Записать уравнение поверхности, образованной вращением цепной линии у = a ch z = 0 вокруг оси ОХ.
3.1.28.	Поверхностью переноса называется поверхность, образуемая поступательным перемещением одной кривой вдоль другой кривой. Доказать, что поверхность переноса может быть задана уравнением г =	(и) +
+ Г2 (о).
3.1.29.	Пусть заданы две линии гх = t\ (ц) и r2 = r2 (v)-Доказать, что поверхность, описываемая серединой отрезка, концы которого лежат на данных линиях, есть поверхность переноса. Составить ее уравнение.
3.1.30.	Доказать, что эллиптический и гиперболический параболоиды являются поверхностями переноса. Напи-
сать их уравнения в виде
г=д (и)+;2 (»).
3.1.31.	Коноидом называется поверхность, образованная движением прямой параллельно заданной плоскости (направляющей) так, что образующая пересекает заданную линию (направляющую). Составить уравнение коноида, для которого прямая, направляющие плоскость и линия заданы соответственно уравнениями
[х = а,	(у2 = 2pz,
( z = 0 и (у = 0,	|х = 0.
3.1.32.	Прямым коноидом называется поверхность, образованная вращением прямой линии вокруг оси, пересекающей ее под прямым углом, и одновременным переносом прямой вдоль оси. Записать уравнение прямого коноида, у которого перемещение вдоль оси OZ определяется формулой z — a sin 2v, где v — угол поворота.
3.1.33.	Доказать, что поверхность, задаваемая уравнением x2z2 = а2 (х2 + у2), является прямым коноидом.
3.1.34.	Написать уравнение конуса с вершиной в точке Р (4; —1; 3), образующие которого касаются эллипсоида х2 + 2у2 + 4z2 == 1.
3.1.35.	Составить уравнение цилиндра, описанного около двух сфер
х2 + у2 + (г — 1)2 = 25,
(х — I)2 + (у — 2)2 + г2 = 25.
3.1.36.	Цилиндроидом называется поверхность, образованная прямыми, параллельными некоторой плоскости и пересекающими заданные кривые (направляющие). Составить уравнение цилиндроида, если его направляющими являются параболы
у2 = 2рх, г = 0 и г2 = — 2рх, у = 0, а образующие параллельны плоскости у — г — 0.
3.1.37.	Составить уравнение поверхности, образованной движением прямой, которая при движении остается параллельной плоскости ZOY, пересекает ось ОХ и линию хуг = а.3, у2 + z2 = Ь2.
3.1.38.	Составить уравнение линейчатой поверхности, образующие которой пересекают линии = t\ (и), г2 = = г2 (и) и перпендикулярны к вектору т.
3.1.39.	Составить уравнение линейчатой поверхности, образующие которой перпендикулярны к вектору т и пересекают прямую г = а + ub и линию р = р (v).
3.1.40.	Составить уравнение линейчатой поверхности, образованной прямыми, пересекающими линию р = {и, и2, и3}, параллельными плоскости X0Y и пересекающими ось OZ.
3.1.41.	Доказать, что если через точку Р поверхности Ф проходит прямая, лежащая на поверхности, то касательная плоскость в точке Р к поверхности содержит данную прямую.
3.1.42.	Найта уравнение касательной плоскости в произвольной точке прямого геликоида, заданного уравнением г = \и cos v, и sin v, hv}.
3.1.43.	Доказать, что если гладкая поверхность Ф и плоскость а имеют только одну общую точку Р, то плоскость а является касательной плоскостью поверхности Ф в точке Р.
3.1.44.	Составить уравнение касательной плоскости к сфере в точке (0; 0; а).
3.1.45.	Составить уравнения нормали к псевдосфере
х = a sin и cos v, у = a sin и sin v, z — a In tg + a cos и в произвольной точке и найти орт нормали.
3.1.46.	Определить орт нормали прямого геликоида х = и cos v, у = usinv, z = hv.
3.1.47.	Составить уравнение касательной плоскости поверхности ху3 4- z2 = 8 в точке (1; 2; 2). Определить орт нормали в этой точке.
3.1.48.	Доказать, что поверхности
х2 + у2 + г2 = ах, х2 + у2 + г2 = Ру,
х2 4- у2 -J- z2 = уг
попарно ортогональны.
3.1.49.	Доказать, что нормаль поверхности вращения пересекает ось вращения.
3.1.50.	Доказать, что все касательные плоскости по-
I у \
верхности z = х<р 1-М проходят через начало координат,
3.1.51.	Доказать, что касательная плоскость поверхности, образованной касательными к некоторой линии, вдоль прямолинейной образующей стационарна.
3.1.52.	Составить уравнение касательной плоскости и нормали поверхности, образованной бинормалями кривой р = р (s).
3.1.53.	Поверхность Ф образована бинормалями линии у. Доказать, что в точках линии у касательная плоскость к Ф совпадает со спрямляющей плоскостью линии у, а нормалью к поверхности является главная нормаль линии у.
3.1.54.	Поверхность образована главными нормалями линии у. Составить уравнение поверхности. Доказать, что в точках линии у касательная плоскость к поверхности совпадает с соприкасающейся плоскостью линии у.
3.1.55.	На нормалях к поверхности Ф в одном направлении отложены отрезки постоянной длины. Концы этих отрезков описывают поверхность Ф*, «параллельную» поверхности Ф. Доказать, что поверхности Ф и Ф* имеют в соответствующих точках общие нормали и параллельные касательные плоскости.
3.1.56.	Поверхность называется односторонней или неориентируемой, если на ней есть замкнутый путь, при обходе которого вектор нормали т, изменяющийся непрерывно, переходит в вектор (—т).
Дана плоскость а, на ней прямая АВ и отрезок I, середина которого удалена от АВ более чем на половину его дл^гны. Отрезок I равномерно вращается в плоскости а вокруг своей середины. В то же время, плоскость а вращается вокруг прямой АВ с вдвое большей угловой скоростью. Составить уравнение поверхности, описываемой в пространстве отрезком I, и доказать, что эта поверхность односторонняя.
3.1.57.	Исследовать изменение знака функции {т, г) для тора, где г — радиус-вектор точки тора, т — нормаль тора в этой точке. Найти геометрическое место точек на торе, в которых {т, г) = О (за начало координат выбран центр тора).
3.1.58.	Найти замкнутую поверхность, на которой функция (т, г) (см. задачу 3.1.57) знакопостоянна.
3.1.59.	Пусть поверхность Ф £ С1. Если для некоторой
ее области G функция (т, г) знакопостоянна, то говорят, что G видна из начала координат с одной стороны. Найти точку, из которой замкнутая выпуклая поверхность видна с одной стороны.
3.1.60.	Построить замкнутую поверхность знакопеременной кривизны, у которой области положительной кривизны видны с одной стороны, а области отрицательной кривизны — с противоположной.
3.1.61.	Доказать, что при проективном преобразовании поверхности ее касательная плоскость переходит в касательную плоскость преобразованной поверхности.
3.1.62.	Найти точки на торе р = {(7? + г cos и) cos V, (R + г cos и) sin v, г sin и], в которых его нормаль параллельна вектору а = {/, т, п}.
3.1.63.	Написать уравнение касательной плоскости тора х = (3 + 2 cos и) cos v, у = (3 + 2 cos «) sin о, г = — 2 sin и, параллельной плоскости x+i/ + V<2z + 5 = 0.
3.1.64.	Найти касательные плоскости поверхности z =
— х* — 2ху3, перпендикулярные к вектору а = {—2, 6, 1}. Определить точку касания.
3.1.65.	Составить уравнение нормали поверхности z = ~ xi — 2ху3 в точке М (0; —1; 0).
§ 2. ОГИБАЮЩАЯ, ХАРАКТЕРИСТИКИ, РЕБРО ВОЗВРАТА СЕМЕЙСТВА ПОВЕРХНОСТЕЙ.
РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ
Пусть S (Фс) —однопараметрическое семейство гладких поверхностей, зависящее от параметра С.
Гладкая поверхность Ф называется огибающей семейства S, если она в каждой своей точке касается по крайней мере одной поверхности семейства и каждым своим куском касается бесчисленного множества поверхностей семейства.
Если однопараметрическое семейство гладких поверхностей задано уравнением
<р (х, у, г, С) = 0,	(1)
то уравнение огибающей (если она существует) определяется из уравнений
Ф (х, у, г, С) = 0,
<рс (х, у, г, С) = 0.	W
Исключив из уравнений (2) параметр С, получим уравнение поверхности в виде f (х, у, z) — 0. Однако уравнения (2) определяют в общем случае не только огибающую, но и поверхность, содержащую особые точки поверхностей семейства (1).
Множество всех точек, координаты которых удовлетворяют системе уравнений (2), называется дискриминантной поверхностью семейства (1).
Если огибающая семейства (1) существует, то она касается каждой поверхности семейства (1) вдоль линии, которая называется характеристикой этого семейства.
Характеристики образуют на огибающей поверхности семейство линий, зависящее от одного параметра. Если это семейство имеет огибающую, то она называется ребром возврата данного семейства поверхностей.
Ребро возврата семейства поверхностей определяется из системы уравнений
Ф (х, у, г, С) — О, дф (х, у, г, С) дС д2Ф (х, у, г, С) _ дС2
Огибающая однопараметрического семейства плоскостей называется развертывающейся поверхностью.
Существует три типа развертывающихся поверхностей:
1)	поверхность, образованная касательными к пространственной кривой;
2)	конические поверхности;
3)	цилиндрические поверхности.
К числу развертывающихся поверхностей относят и плоскость, которую можно рассматривать и как поверхность касательных плоской кривой, и как коническую и цилиндрическую поверхности с прямолинейной направляющей.
Развертывающиеся поверхности, и только они, характеризуются тем, что: 1) гауссова кривизна их в каждой точке равна нулю; 2) они являются линейчатыми поверхностями, касательные плоскости к которым в точках, расположенных на одной и той же прямолинейной образующей, совпадают между собой.
3.2.1.	Найти огибающую и ребро возврата семейства сфер постоянного радиуса а, центры которых лежат на окружности
(х2 + у2 = Ь2, |z = 0.
3.2.2.	Найти огибающую семейства сфер x2 + y2 + (z-C)2= 1.
3.2.3.	Найти огибающую, характеристики и ребро возврата семейства сфер постоянного радиуса а, центры которых лежат на некоторой заданной кривой р = р (s). (Трубчатая поверхность.)
3.2.4.	Найти огибающую и ребро возврата семейства сфер, проходящих через начало координат и имеющих цент-
ры на кривой
х = t3, y = t2, z = t.
3.2.5.	Найти огибающую семейства плоскостей, отсекающих от координатного угла х > О, у > 0, г > 0 треугольные пирамиды постоянного объема V.
3.2.6.	Найти огибающую семейства равных конусов (с углом осевого сечения, равным 2а), имеющих вершину в начале координат и касающихся плоскости z = 0.
3.2.7.	Найти огибающую и ребро возврата нормальных плоскостей винтовой линии
х = a cos t, у ~ a sin t, z = bt.
3.2.8.	Найти огибающую, характеристики и ребро возврата семейства нормальных плоскостей пространственной кривой р = р (s). (Огибающая семейства нормальных плоскостей называется полярной поверхностью данной кривой.)
3.2.9.	Найти огибающую, характеристики и ребро возврата семейства спрямляющих плоскостей данной пространственной кривой р = р ($).
3.2.10.	Найти огибающую, характеристики и ребро возврата семейства соприкасающихся плоскостей пространственной кривой р = р (s).
3.2.11.	Найти характеристики, огибающую и ребро возврата однопараметрического семейства плоскостей
(г, п (а)) + D (а) = 0,
где | п (а) | = 1, | п' (а) |	0, | п" (а) | #= 0.
3.2.12.	Найти огибающую семейства сфер, большие окружности которых расположены на параболоиде z = = х2 + у2.
3.2.13.	Доказать, что если все касательные плоскости к некоторой поверхности касаются ее по линиям, то эти линии — прямые, а поверхность — торс. (Развертывающаяся поверхность.)
3.2.14.	Найти огибающую и характеристики семейства плоскостей, удаленных от прямой g на расстоянии, равном h.
3.2.15.	Найти огибающую и характеристики семейства плоскостей, проходящих через заданную точку Мо и образующих с прямой Л4ОЛ4 угол а.
3.2.16.	Найти огибающую и характеристики семейства плоскостей, параллельных оси 0Z и пересекающих координатные плоскости XOZ и YOZ по прямым, расстояние между которыми постоянно и равно а.
3.2.17.	Найти огибающую семейства плоскостей
4(1 + С)х — С2у = 0.
3.2.18.	Найти огибающую и характеристики семейства круговых цилиндров постоянного радиуса г:
а) (х — С)2 + у2 = г2; б) х2 + (у — С)2 = г2;
в) (х - Q2 + (у- СУ = г>.
3.2.19.	Найти огибающую и характеристики семейства цилиндрических поверхностей:
а)	у2 — (х — С)3 = 0; б) (у — С)2 — х3 = 0;
в)	(х — С)3 — {у — С)2 = 0;
г)	(х — С)3 + (у — СУ — 3 (х — С) (у — С) = 0;
д)	(х — С)3 + у3 — 3 (х — С) у — 0.
3.2.20.	Найти огибающую семейства параболических цилиндров у = С2 (х — С)2.
3.2.21.	Найти огибающую и характеристики семейства прямых круговых цилиндров, диаметрами которых явля-х2 , и2 .
ются хорды эллипса + -р- — параллельные оси ОУ, а прямолинейные образующие параллельные осиО7.
3.2.22.	Найти огибающую и характеристики семейства прямых круговых цилиндров постоянного радиуса а, оси которых параллельны оси OZ и пересекают кривую
Г = 7 (S), лежащую в плоскости XOY.
3.2.23.	Найти огибающую семейства поверхностей
г — г (и, v, С)
(С — параметр поверхности в семействе).
3.2.24.	Найти огибающую и характеристики семейства сфер, расположенных в первом октанте и касающихся координатных плоскостей.
3.2.25.	Доказать, что семейство поверхностей, заданных уравнением ф (х, у, z) = С, где ф — регулярная функция переменных х, у, z, не имеет огибающей.
3.2.26.	Доказать, что если однопараметрическое семейство поверхностей задается уравнениями ф (х, у, z, а, Р) = О, f (а, Р) = 0, причем fa + /р #= О, то огибающая этого семейства удовлетворяет уравнениям
ф = 0, f = О, фа + А/а = 0, фр + V Р = О
в том смысле, что для каждой точки (х; у; z) огибающей можно указать такие а, р, %, которые вместе с х, у и z будут удовлетворять указанным четырем уравнениям. Уравнение огибающей в неявном виде может быть получено путем исключения а, р, X из этих четырех уравнений.
3.2.27.	Доказать, что для того чтобы линейчатая поверхность
г = р (и) + ve (и)
была развертывающейся, необходимо и достаточно, чтобы векторы р (и) и е (и) удовлетворяли такому равенству:
(p'(u). e'(u), e(u)) = 0.	(1)
3.2.28.	Доказать, что семейство нормалей данной кривой будет образовывать развертывающуюся поверхность тогда и только тогда, когда производи 1я единичного вектора этих нормалей параллельна касательной этой кривой.
3.2.29.	Доказать, что если нормали кривой, образующие развертывающуюся поверхность, повернуть в нормальных плоскостях на постоянный угол, то они и после поворота будут образовывать развертывающуюся поверхность.
3.2.30.	Доказать, что если главные нормали или бинормали некоторой кривой у образуют развертывающуюся поверхность, то кривая у — плоская.
3.2.31.	Кривые называются параллельными, если они имеют общие нормальные плоскости. Доказать, что общие нормали параллельных кривых образуют развертывающуюся поверхность.
3.2.32.	На нормалях к развертывающейся поверхности г = р (s) + vx (s) отложены отрезки постоянной длины |а|. Составить уравнение поверхности, описанной концами отложенных отрезков. Доказать, что эта поверхность будет также развертывающейся, и найти ее ребро возврата.
3.2.33.	Доказать, что проективный образ развертывающейся поверхности есть снова развертывающаяся поверхность.
3.2.34.	Доказать, что для того чтобы регулярная поверхность была развертывающейся, необходимо и достаточно, чтобы ее гауссова кривизна в каждой точке равнялась нулю.
3.2.35.	Пусть gi и g2 — две прямолинейные образующие линейчатой поверхности г = р (и) + ve (и):
gi: г = р (и) + ve (и),
g2:r — Р (и + Ли) + пе (и + Ди).
Пусть h прямая, пересекающая ортогонально прямые gt и а Рг и Р2 — точки пересечения прямой h с прямыми gi и gi- R — радиус-вектор точки Pt. Найти lim R = р.
Да-*-0
Точка М (р) называется центральнойточкой образующей. Множество центральных точек образует линию, называемую стрикционной линией данной линейчатой поверхности или линией сжатия линейчатой поверхности. Составить уравнение линии сжатия. Найти линию сжатия развертывающейся поверхности.
3.2.36.	Предел отношения кратчайшего расстояния двух прямолинейных образующих g(u) и g(u +Ди) линейчатой поверхности, заданной уравнением
Г = Р («) + ve (и),	(1)
к углу между ними при Ди -> О называется параметром распределения линейчатой поверхности. Найти параметр распределения поверхности, заданной уравнением (1). Найти параметр распределения развертывающейся поверхности. Доказать, что если параметр распределения линейчатой поверхности равен нулю, то поверхность развертывающаяся.
§ 3. ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ И ВНЕШНЯЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ
Пусть поверхность Ф G С1 и г = г (и, и) — ее гладкая параметризация. Квадрат дифференциала ds2 = dr2 = (rudu -|- rvdv)‘i = r^du2 + + 2 (ru, rv) dudv + r?dv2 является квадратичной формой, заданной на совокупности векторов dr = rudu + r„dv в касательной плоскости поверхности, и называется первой квадратичной формой поверхности. Коэффициенты этой формы обозначаются соответственно Гц = Е, (ru, rv) = F, r^— G. Первая квадратичная форма по-74
верхности является положительно определенной квадратичной формой. Длина дуги гладкой линии и = и (/), v = и (0, расположенной на Ф, вычисляется по формуле
dv "dt
dt.
(О
Как видно из формулы для определения длины дуги кривой, лежащей на поверхности, достаточно знать только коэффициенты первой квадратичной формы поверхности и внутренние уравнения линии.
Пусть X и Y — две произвольные точки поверхности Ф, {La] — совокупность гладких кривых, лежащих на Ф и соединяющих ее точки X и Y. Пользуясь формулой (1), найдем длины кривых La. Рассмотрим функцию р (X, Y) = inf S (L ). Эта функция удовлетворяет аксиомам
метрики и задает на Ф метрику. Так определенная метрика поверхности называется ее внутренней метрикой. Совокупность всех тех характеристик, свойств поверхности, которые определяются ее внутренней метрикой, составляют внутреннюю геометрию поверхности
Приведем примеры объектов внутренней геометрии. Если две линии на Ф пересекаются в некоторой точке Р и имеют в этой точке направления (du; dv} и (6u; 6о), то угол <р между ними определяется формулой
Edu8u + F (du8v 4- 8udv) + GdvSv
cos <p = —	—	.
V Ei u2 + 2Faudv + Gav2 YE6u2 -|- 2F8u8v 4- G8v2
Координатная сеть (и; v) на поверхности ортогональна тогда и только тогда, когда F (и, и) = 0.
Площадь замкнутой области G g Ф вычисляется по формуле S =» = VEG — F2dudv, где D — прообраз области G на плоскости (и; о).
D
Таким образом, ds2 есть метрическая форма поверхности.
Если поверхность задана уравнением z = z (х, у), то Е = 1 + + z*> F — ZjZy, G = 1 + z^, а площадь области G вычисляется по формуле
dxdy.
D
Внутренняя геометрия поверхности определяется ее первой квадратичной формой.
Если поверхность представляет собой нерастяжимую, но гибкую пленку, то при ее изгибании сохраняется ее внутренняя геометрия, хотя пространственная форма изменяется. Таким образом, первая квадратичная форма поверхности определяет ее с точностью до изгибания.
Для однозначного определения поверхности с точностью до движения и зеркального отображения в пространстве нужно задать еще ее вторую квадратичную форму. Второй квадратичной формой поверхности называют выражение (d2r, tri) = Ldu2 -j- 2Mdudv -f- NdiP
где L = (ruu, m), M = (rav, ni), N = (rvv, m), a m (u, v) — нормаль v	lzu»
к поверхности. Учитывая, что m= ————------, имеем
I lru, rv] |
('"и. G>> ruu)	(ru, rv> ruv)	(ru, rv, rm)
L —----- -	, M =----- -	, N =-----— - .......
Veg ~ f2	V eg — f2	V eg — f2
Если поверхность задана уравнением z = z (х, у), то
7	7	7
L ------— ” —	- , М =------ —-------- д, _ — -т - - .
Vl+z^+z^	Vl-r^-vz^ ’	^'+zx + z^
Нормальным сечением поверхности Ф в точке Р называют линию пересечения поверхности с плоскостью, проходящей через нормаль поверхности в этой точке.
Кривизна нормального сечения в точке Р называется нормальной кривизной поверхности в этой точке в направлении, касательном к нормальному сечению. Нормальная кривизна вычисляется по формуле
Ldu2 4- 2Mdudv + Ndv2 klt== Edu2 + 2Fdudv + Gdv2 '
Для произвольной точки Р G Ф справедливо следующее утверждение: либо существуют два взаимно ортогональных направления, называемых главными, в которых kH имеет наибольшее и наименьшее значения и k2, либо кривизна всех нормальных сечений одинакова, т. е. kH = kr = = fea. В последнем случае точка называется сферической при kH 0 и точкой уплощения при ka = 0. Все направления асферической точке или точке уплощения считаются главными. Величины k} и k2 называют главными кривизнами поверхности в точке Р. Если нормальное сечение образует угол <р с первым главным направлением, то для кривизны feH этого сечения имеет место формула Эйлера
feH = kr cos2 q> + k2 sin2 ф.
Главные направления, и только они, характеризуются равенствами
dm = — kidr, i=l, 2
(теорема Родрига).
Гауссовой кривизной поверхности называется величина
К = ktk2.
Средней кривизной поверхности называется величина
Я = -g- (fei + k2).
В зависимости от значений Л (и, v) и Н (и, о) точки поверхности классифицируются следующим образом.
Точка называется эллиптической, если в ней К > О; гиперболической — если К < 0; параболической— если К = 0, W #= 0; точкой уплощения — если К = Н = 0. Имеют место формулы
LN — ЛР _ EN — 2MF + GL
EG — F2 ’	—	2 (EG — F2)	'
3.3.1. Найти первые квадратичные формы поверхностей второго порядка:
1)	+ у>- + 22 = гз. 2)	+	= 1;
3) -4 + —	1; 4) -2- + £- — 4- = — 1;
' а6 о2, с2	’ а2 Ь2 с1
у2	/у2	у2	<>2
5) — + — = 2г;	6) ------= 2г;
' р q	’ р q
у 2	«/2	?2	у2 ..2
7) 4- + -L—4- = °; 8)А- + 4-=1;
7 а2 Ь2 с2	’ а2 1 Ь2 ’
9)4--fr = 1: Ю) z/2 = 2px.
3.3.2.	Вычислить первую квадратичную форму поверхности, образованной вращением кривой х = / (и), г = = <р (и) вокруг оси OZ. Рассмотреть частные случаи:
1)	f (и) = R + г cos и, ср (u) = sin и (тор);
2)	f (и) = a sin и, ср (и) = a (in tg + cos uj (псевдосфера);
3)	f (и) = a ch и, ср (и) = с sh и (однополостный гиперболоид вращения).
3.3.3.	Найти первые квадратичные формы поверхностей:
1)	г = р (s) + ve, е — const (цилиндр);
2)	г = р (s) v (конус);
3)	г — р (s) + v (s) cos ср + Р (s) sin <р (поверхность канала);
4)	г = {и cosy, и sin и, hv} (минимальный прямой геликоид);
5)	г = р (s) + ут (s); 6) г = р (s) vv (s);
7)	;=p(s) + v₽(s).
3.3.4.	Доказать, что меридианы и параллели поверхности вращения образуют на ней ортогональную сеть.
3.3.5.	Найти угол между координатными линиями х = = х0, у = у0 на поверхности г = аху.
3.3.6.	Доказать, что на поверхности
х = и [за2 — и2------,
у = и(зи2 — и2 — -Ll, 2 = 2uv
координатные линии ортогональны.
3.3.7.	На поверхности с первой квадратичной формой ds2 = du2 + sh2«dv2 найти длину дуги кривой 2и — v между точками Рг («f, uj и Р2 (и2; v2).
3.3.8.	Вычислить длину линии и= Intg-^-, лежащей на поверхности
х = sin и cos v, у = sin и sin v, г = In tg-^- + cos и между точками (ur', vr) и Р2 (и2; и2).
3.3.9.	На псевдосфере
х = a sin и cos v, у = a sin и sin v, z = a (in tg —|- cos uj
заданы два семейства линий: v — ±а In tg -у + С. Доказать, что длины дуг всех линий одного семейства между двумя фиксированными линиями второго семейства одинаковы.
3.3.10.	На геликоиде г = {и cos и, и sin v, hv} найти длину винтовой линии и — а между двумя точками Рг (и^, Vi) и Р2 (и2; v2).
3.3.11.	На поверхности с линейным элементом ds2 = = du2 -|- dv2 найти угол между линиями 2и = v и 2и = —v.
3.3.12.	На косом геликоиде г ~ {и cos v, и sin v, и + + и} найти угол между линиями и + v = 0, и — tg v в их общей точке.
3.3.13.	На катеноиде х = ch и cos v, у = ch и sin v, z = и найти угол между линиями и + v = 0 и и — v = Q в их общей точке.
3.3.14.	Найти на параболоиде г = аху кривые, пересекающие под прямым углом его прямолинейные образующие.
3.3.15.	Найти линии, пересекающие меридианы поверхности вращения под постоянным углом а (локсодро-м ы). Рассмотреть случай сферы.
3.3.16.	Записать дифференциальное уравнение ортогональных траекторий семейства линий <р (и, и) = const на поверхности с первой квадратичной формой
ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2.
3.3.17.	На прямом геликоиде г = {и cos v, и sin v, hv} найти линии, которые делят пополам углы между координатными линиями.
3.3.18.	Найти периметр и внутренние углы криволинейного треугольника, ограниченного линиями и — ±о2, v = 2 на поверхности г = {и cos v, и sin v, 2v}.
3.3.19.	Найти периметр и внутренние углы криволинейного треугольника, расположенного на поверхности с первой квадратичной формой ds2 = du2 + (и2 4- a2) dv2 и ограниченного линиями и = ±аи, v = 1.
3.3.20.	Вычислить площадь четырехугольника, лежащего на геликоиде г — {аи cos v, аи sin v, hv} и ограниченного кривыми и = 0, и = v — 0, v = 1.
3.3.21.	Показать, что площади областей на параболоидах г = аху, z =	(х2 4- у2), проектирующихся на
одну и ту же область плоскости XOY, равны.
3.3.22.	Вычислить площадь поверхности тора, заданного параметризацией
х = (R + г cos и) cos и, у — (R + г cos и) sin v,
z = rsin«, O^tz,
3.3.23.	Найти уравнения ортогональных траекторий прямолинейных образующих поверхности, образованной касательными к линии р = р (s).
3.3.24.	Написать вторую квадратичную форму поверхностей:
1)	г — {rcosucosv, rsinu cost?, г sin t>};
2)	г = {(/? 4- r cos и) cos v, (Я + г cos и) sin v, г sin «};
3)	г = {vcosu, vsinu, ku};
4)	r = p (s) 4- Ke, e = const; 5) r — vp (s).
3.3.25.	Найти нормальную кривизну параболоида z = = ах2 — by2 в точке Р (0; 0) в направлении
3.3.26.	Доказать, что при каждой параметризации плоскости ее вторая квадратичная форма тождественно равна нулю.
3.3.27.	Доказать, что при любой параметризации сферы ее первая квадратичная форма пропорциональна второй.
3.3.28.	Найти среднюю и гауссову кривизны параболоида z = аху в точке х = у = 0.
3.3.29.	Определить главные кривизны поверхности г = = а (х2 + г/2) в точке (0; 0; 0).
3.3.30.	Вычислить среднюю кривизну катеноида . 1 f х2 + У2 г = a ch |/ — аи .
3.3.31.	Определить тип точек: 1) эллипсоида; 2) гиперболоидов; 3) параболоидов; 4) цилиндров; 5) kohvco’
3.3.32.	Определить тип точек тора.
3.3.33.	Исследовать характер точек поверхности, образованной вращением кривой
___i_
1 — е г2, если z =/= 0, х =	,	п у = 0,
1, если г = 0,
вокруг оси OZ. Найти точки уплощения.
3.3.34.	Определить тип точек на поверхностях:
1)	z = а2х4 4- 62у4;	2) z = х4 4- yi 4- х2г/2;	3) у = х4.
3.3.35.	Найти гауссову кривизну поверхности, образованной касательными к линии р = р (s).
3.3.36.	Доказать, что единственной поверхностью, все точки которой — точки уплощения, является плоскость (или кусок плоскости).
3.3.37.	Доказать, что поверхность класса С3, все точки которой сферические, лежит на сфере.
3.3.38.	Доказать, что при проективном преобразовании сохраняется свойство точки поверхности быть эллиптической, гиперболической или точкой уплощения.
3.3.39.	Определить сферические точки на эллиптическом параболоиде.
3.3.40.	Выразить нормальные кривизны поверхности в направлениях координатных линий через коэффициенты первой и второй квадратичных форм.
3.3.41.	На нормалях поверхности Ф откладываются отрезки постоянной длины. Множество концов отрезков
является поверхностью Ф*, параллельной данной. Доказать, что:
а)	свойство параллельности взаимно;
б)	касательные плоскости Ф и Ф* в соответствующих точках параллельны;
в)	линиям кривизны поверхности Ф соответствуют линии кривизны Ф*;
г)	полная и средняя кривизны Ф и Ф* связаны соотношением
№ — 4К _ Н** — 4К* № “ ;<*г
3.3.42.	Исходя из того, что эллипс можно спроектировать в окружность, найти радиусы кривизн эллипса в его вершинах, используя теорему Менье.
3.3.43.	Найти линию, на которой располагаются центры главных сечений параболоида ху = az для различных точек оси ОХ.
3.3.44.	Найти полную и среднюю кривизны поверхности, образованной бинормалями данной линии р = р (s).
3.3.45.	Найти полную и среднюю кривизны поверхности, образованной главными нормалями данной линии.
3.3.46.	Дана поверхность вращения
r(x, v) = {х, f(x) cos v, f(x) sin и}, f (x) >0.
Выбрать функцию f (x) так, чтобы И = 0 на всей поверхности.
3.3.47.	Для того чтобы точка на поверхности была сферической, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия К =/= 0, К = Я2. Доказать это.
§ 4. ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ И ИЗГИБАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ. ОТОБРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ. СВЯЗЬ ВНУТРЕННЕЙ ГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТИ И ЕЕ ВНЕШНЕЙ ФОРМЫ
Две поверхности называются изометричными, если между ними можно установить такой гомеоморфизм, при котором соответствующие линии имеют равные длины. Само соответствие между поверхностями называется изометрией. Необходимым и достаточным условием того, чтобы поверхности Ф1 и Ф.2 класса С1 были изометричными, является возможность такой их параметризации, при которой их первые квадратичные формы имели бы одинаковый вид. Изометрией при этом является сопоставление точек с равными криволинейными координатами. При изучении локальных свойств, общих для изометрич-ных поверхностей, можно ограничиться их рассмотрением в ортого
нальных координатах. На изометричных поверхностях в точках, соответствующих по изометрии, равны гауссовы кривизны (теорема Г а у с с а). Гауссову кривизну можно выразить только через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные:
(
(£0 —Е1 2)2 ।
I
~^Guu + Fuv---2Ет ТЕи
Fv — Gu	Е
~TGa	F
~^-Ev E	F * .
4G“ f	g
Частным случаем изометрии является изгибание поверхности. Говорят, что поверхность Ф изгибаема, если ее можно включить в семейство изометричных между собой поверхностей {Ф/}, непрерывно зависящих от параметра t.
Если все поверхности Ф/ получаются из Ф движением ее в пространстве как твердого тела, то изгибание называется тривиальным.
Поверхность называется неизгибаемой, если она не допускает нетривиальных изгибаний. Более точную формулировку «изгибания» поверхности можно дать следующим образом.
Пусть дано двумерное многообразие W и промежуток I числовой прямой. Рассмотрим произведение W X I. Предположим, что задано непрерывное отображение f произведения W X I в пространство
/(Q,/) = 7,	(1)
где Q Е W, t Е I, Z Е /?3.
При фиксированном t формула (1) задает отображение многообразия W в Rs, которое обозначим
=	(2)
Каждое из отображений (2) задает некоторую поверхность Ф/. Совокупность таких поверхностей называют семейством поверхностей. Семейство поверхностей {Ф/} называется изгибанием, если:
1)	для каждого t Е I отображение f^ty : W -► R3 является погружением;
2)	поверхности Ф( и Ф^ при любых Ч. t2 С / изометричны;
3)	каждой точке Q Е W на разных Ф/ соответствуют точки, соответствующие друг другу по изометрии.
1 Через R3 обозначено трехмерное действительное пространство,
рассматриваемое как топологическое произведение Rx X Rx-
Достаточное условие изгибания:
Пусть W — область на плоскости (и; о), / — промежуток на оси t. Пусть на произведении W X I задана непрерывная вектор-функция г = г (и, v, fl такая, что:
а)	г С С1 как функция аргументов (и, о) при каждом фиксированном t\
б)	[ru< =# ° всюду на W X Г,
в)	первая квадратичная форма поверхности Ф/, задаваемой уравнением г = г (и, v, t), при фиксированном t от выбора t не зависит.
Тогда вектор-функция г = г (и, v, f) задает изгибание. Если г (и, v, f) £ Ск по совокупности всех аргументов, то говорят, что изгибание задано в классе Ck — регулярных поверхностей.
Рассмотрение изометричных поверхностей указывает на целесообразность изучения свойств поверхности и фигур на ней, которые определяются только ее первой квадратичной формой и составляют внутреннюю геометрию поверхности. Из сказанного следует, что изометрич-ные поверхности имеют одинаковую внутреннюю геометрию, и что гауссова кривизна является объектом внутренней геометрии. Коэффициенты первой квадратичной формы поверхности образуют двухвалентный ковариантный симметрический тензор, поэтому их часто обозначают через По этому тензору можно построить дважды контравариантный метрический тензор gZ/, положив g11 =	ё12 — £21 = —
g22 = -^-, g = gng22 - gf2.
(Более подробно о тензорах см. гл. 5.)
Коэффициенты второй квадратичной формы поверхности образуют второй основной тензор поверхности и обозначаются через Ьц.
Криволинейные координаты (u; и) обозначаются через (и1; и2), drfu1, и2)	-»	д2г -»
а производная --------- через г. Аналогично -----г = г,,- и т. д.
ди1	ди1ди> '
Аналогом формул Серре — Френе для кривых являются деривационные уравнения поверхности, которые выражают производные от векторов rlt г2 и т через эти векторы:
П/ = Г?Л + bum> —	(О
Коэффициенты разложения (символы Кристоффеля второго рода) выражаются через коэффициенты первой квадратичной ф^рмы следующим образом:
пЛ _ гг^Г __
1Ц — ё Ч.Ц~
дёц ди'
д8ц \
ди1 /
2 * \ ди1
Выражения Г; {j называются символами Кристоффеля первого рода.
Поверхность полностью определяется (с точностью до движения в пространстве) коэффициентами ее первой и второй квадратичных форм.
При этом gl;- и не могут быть произвольными функциями, поскольку уравнения (1) должны быть интегрируемыми. Условие интегрируемости уравнений (1) задается соотношениями
W + (bikbjp - blibkp) g”s = о, (2)
дЬ;:	дЬ;
----			 + As - r&kf = 0, s = 1, 2.	(3) dus-------------------------------------------------ди’-4 ks ts k'
Легко убедиться, что независимых уравнений в (2) только одно, а в (3) их два. Уравнение (2) называется уравнением Гаусса, а уравнения (3) — уравнениями Петерсона — К о д а ц -ц и. Уравнения (2) и (3) можно записать и таким образом:
LN — Л42 = K(EG — F2),
2 (EG - Г2) (Lv — Ми) - (EN - 2MF + GL) (Ev - Fu) +
	Е	Еи	L		
+	F	Fu	М	= 0,	(2')
	G	Gu	N		
2 (EG - F2) (Mv - Nu) - (EN - 2MF + GL) (Fv -GJ +
E Ev L
+ F Fv M =0.
G Gv N
(3')
При изгибании поверхности функции Е, F и G не изменяются, изменяются только L, Л1 и N. Поэтому с помощью уравнений Гаусса — Петерсона — Кодацци можно исследовать вопрос о возможности изгибаний поверхности, рассматривая их как уравнения относительно L, М и N с заданными Е, F и G.
Пусть в некоторой области D плоскости (и; v) заданы функции Е (и, v), F (и, v), G (и, v), (EG — Г2 > 0). Нужно доказать существование поверхности с заданной метрикой. Из сказанного следует, что достаточно доказать существование функций L (и, v), М (и, о) и N (и, v), которые вместе с заданными Е (и, и), F (и, v) и G (и, и) удовлетворяют уравнениям (2) и (3), т. е. доказать существование решений уравнений Гаусса — Петерсона — Кодацци при заданных Е, F и G. Вопросы реализации метрики некоторой поверхностью и вопросы изгибаний поверхности можно рассматривать «в малом» (для достаточно малого куска поверхности) и «в целом» (для полной поверхности или при определенных граничных условиях). Вопросам «в малом» соответствует задача Коши для уравнений (2) и (3), а рассмотрению поверхности «в целом» — краевая задача.
Пусть Ф — регулярная поверхность, aS — сфера единичного радиуса с центром в начале координат.
Отображение поверхности Ф в сферу S, осуществляемое вектор-
функцией т (и, v) = —, называется сферическим ото-I [ги,	I
Сражением поверхности. При сферическом отображении каждая
точка Р б Ф имеет своим образом на сфере S точку Р, в которой касательная плоскость к S параллельна касательной плоскости к Ф в точ-
ке Р. Точка Р называется сферическим изображением точки Р.
Пусть Р — некоторая точка поверхности Ф и U — ее окрестность. На сфере S окрестности U (Р) соответствует некоторое множество I). Площадь множества U на сфере называется внешней кривизной множества U и обозначается через ф (U).
Площадь сферического изображения области G на поверхности равна интегральной кривизне этой области (теорема Гаусса):
Ф (G) = j j I К | do,
G где do — элемент площади.
Отображение поверхности Фх на поверхность Ф2 называют конформным, если угол между любыми двумя линиями на поверхности Ф2 равен углу между соответствующими линиями на поверхности Фх. Для существования конформного отображения одной поверхности на другую необходимо и достаточно, чтобы поверхности можно было параметризовать так, чтобы коэффициенты их первых квадратичных форм были пропорциональны.
3.4.1.	Пусть Фх и Ф2 — гладкие поверхности, Рг и Р2 — точки на них, г = 1\ {и, v), г = r2 (u, и) — гладкие параметризации поверхностей в окрестностях точек Рг и Р2 соответственно. Предположим, что первые квадратичные формы поверхностей, соответствующие этим параметризациям, одинаковы. Тогда отображение окрестности точки Pi £ Фг на окрестность точки Р2 £ Ф2, при котором в соответствие ставятся точки с одинаковыми криволинейными координатами, является изометрией. Доказать это.
3.4.2.	Доказать, что изометричные поверхности класса С1 имеют одинаковую внутреннюю геометрию.
3.4.3.	Найти гауссову кривизну поверхности с линейным элементом
ds2 = k(u,v) (du2 ф- dv2).
3.4.4.	Доказать, что поверхности с линейным элементом
, 2 du2 4- dv2	, n
= TFi—5~i—ST » C 0, (U2 + V2 4- c2)2 ’
имеют постоянную гауссову кривизну.
3.4.5.	Найти гауссову кривизну поверхности с линейным элементом
ds2 — du2 4- 2 cos со (и, v) dudv 4- dv2.
3.4.6.	Найти символы Кристоффеля второго рода для поверхности с метрической формой ds2 — du? + Gdv2.
3.4.7.	Найти символы Кристоффеля геликоида х = и cos v, у = и sin v, z = hv.
3.4.8.	Записать формулу для гауссовой кривизны поверхности в случае ортогональной координатной сети.
3.4.9.	Найти гауссову кривизну поверхности с метрикой ds2 = du2 + Gdv2.
3.4.10.	Определить гауссову кривизну псевдосферы г = "ja sin и cos v, a sin и sin v, a [cos и + In tg , пользуясь формулой, выражающей гауссову кривизну поверхности через коэффициенты ее метрической формы.
3.4.11.	Доказать, что для поверхности гауссовой кривизны К = —1 линейный элемент можно записать в виде ds2 = du2 + 2 cos&dudv + dv2, где ы — угол между ее асимптотическими линиями.
3.4.12.	Доказать, что на поверхности гауссовой кривизны К = —1 существуют области со сколь угодно большой площадью.
3.4.13.	Найти гауссову кривизну метрики ds2 = du- + dv , заданной на полуплоскости и>0 (полуплоскость Пуанкаре).
3.4.14.	Доказать, что плоскость Рг с метрикой ds2 = du2 + ch2 udv2,
-- oo<u<+oo, —oo<0< + oo,
и плоскость P2 с метрикой в полярно-геодезических координатах ds2 = dp2 + sh2 pd<p2 имеют одинаковую гауссову кривизну.
3.4.15.	Координатная сеть на поверхности состоит из линий кривизны. Написать уравнения Петерсона — Ко-дацци.
3.4.16.	Написать уравнения изгибаний поверхности, сохраняющих ее главные направления.
3.4.17.	Найти непрерывные изгибания куска тора, сохраняющие его главные направления.
3.4.18.	Найти непрерывные изгибания куска поверхности вращения, сохраняющие ее главные направления.
3.4.19.	Доказать, что поверхность, допускающая параметризацию, при которой ее первая квадратичная форма имеет вид ds2 — Е (и) du2 + G (и) dv2, локально изометрична плоскости.
3.4.20.	Доказать, что сферу даже локально нельзя изометрически отобразить на плоскость.
3.4.21.	Доказать, что существует изометрическое отображение геликоида х = и cos v, у = и sin v, z = kv на катеноид
х = k ch -у- cos p, у = &ch-^-sin0, z = a, при котором прямолинейным образующим геликоида соответствуют меридианы катеноида.
3.4.22.	Доказать, что изгибанием геликоида х = = sh и cos v, у = sh и sin v, z = v можно получить поверхность, заданную уравнениями
х = г cos + Uj j , у — г sin + U , z = hv + U, где r2 = m2(ch2H — /i2), t/'” = (ch2w— X2)(l—m2),	=
= —1——яг > /i2 = V + (1 — A,2) tn2, a A, = const, m (ch2 u — n2)	1	'
m — параметр изгибания.
3.4.23.	Пусть Фг и Ф2 — изометричные поверхности, i\ =	(и, v), г2 = г2 (и, v) — их гладкие параметризации.
Изометрическое отображение заключается в сопоставлении друг другу точек с одинаковыми криволинейными координатами. Пусть ФЛ,ц — поверхность, задаваемая уравнением г = Ату (и, v) + уг2 (и, и). Доказать, что поверхности Фх,ц и Фцд тоже изометр ичны.
3.4.24.	Поверхности Ф и Ф* изометричны и их асимптотические линии являются соответствующими при изометрии. Доказать, что Ф и Ф* равны (с точностью до положения в пространстве) либо симметричны.
3.4.25.	Доказать, что две поверхности с одинаковой постоянной гауссовой кривизной локально изометричны.
3.4.26.	Доказать, что замкнутая поверхность класса С2 обязательно имеет эллиптические точки.
3.4.27.	Установить, что достаточно малая окрестность любой точки на цилиндрической или на конической поверхности класса С2 допускает изгибание на плоскость.
3.4.28.	Поверхность Ф образована касательными к кривой, заданной натуральными уравнениями k = k (s),
х = x (s). Доказать, что поверхность Ф локально изгибаема на плоскость.
3.4.29.	Доказать, что каждая развертывающаяся поверхность локально изгибаема на плоскость.
3.4.30.	Пусть в плоскости X0Z задана кривая х = = / (s), 2 = <р (s), где s — натуральный параметр кривой. При вращении кривой вокруг оси OZ образуется поверхность вращения Ф, уравнение которой
S __________________
Г (S, и) = f (s) cos V, f (s) sin v, q> (s0) + j V1 — (5)	.
Эта поверхность при t = 1 входит в семейство поверхностей {Ф^}, задаваемых уравнениями
г (s, v, t) =
'	s
tf (s) cos -y-, tf (s) sin , <Po + f К1 —(I) dS,
$0
где	Доказать, что {Ф^ представляют изги-
бания Ф.
3.4.31.	Доказать, что семейство поверхностей {Ф,}, /г/2 v2 \ 1 задаваемое уравнениями х = tu, у = tv, z = I— + — I -у, не представляет изгибания.
3.4.32.	Написать риманову метрику, индуцированную метрикой пространства, двумерной сферы мнимого радиуса в трехмерном псевдоевклидовом пространстве индекса 1.
3.4.33.	Записать двумерную метрику плоскости Лобачевского: а) в круге радиуса 1; б) на плоскости; в) в верхней полуплоскости.
3.4.34.	Вычислить длину окружности и площадь круга на евклидовой плоскости.
3.4.35.	Вычислить длину окружности и площадь круга на сфере.
3.4.36.	Найти длину окружности и площадь круга на плоскости Лобачевского.
3.4.37.	Доказать, что область на сфере х = cos w cos v, у = cos и sin v, z = sin и,
где О <С иг < и < и2 < л, 0 < v < vt < 2л, можно путем изгибания поместить в круговой цилиндр сколь угодно малого радиуса.
3.4.38.	Записать метрику на сфере 32 в комплексной форме.
3.4.39.	Пусть у — простая замкнутая плеская кривая длины I, ограничивающая область G площади S. Доказать, что /2 4nS. В каком случае выполняется равенство?
3.4.40.	Поверхность Ф образована касательными прямыми некоторой кривой у. Доказать, что всякая деформация поверхности, сохраняющая кривизну кривой у и касательные к ней, является изгибанием.
3.4.41.	Доказать, что если у поверхности тождественно равны нулю гауссова и средняя кривизны, то поверхность является плоскостью (или частью плоскости).
3.4.42.	Доказать, что если средняя кривизна поверхности равна нулю, то это необходимое и достаточное условие ее минимальности.
3.4.43.	Линии кривизны одного семейства поверхности Ф являются ее геодезическими линиями. Определить непрерывные изгибания поверхности Ф, сохраняющие ее главные направления.
3.4.44.	Указать образ эллипсоида на сфере при сферическом отображении.
3.4.45.	Поверхность Ф получена изгибанием части эллипсоида, определяемой неравенствами х > 0, у > 0, z > 0. Найти площадь сферического образа поверхности Ф.
3.4.46.	Вычислить площадь сферического образа поверхности г = г (и, и), И] < и < и2,	< v<Zv2, с первой
квадратичной формой ds2 = du2 + Gdv2.
3.4.47.	Найти площадь сферического образа эллиптического параболоида.
3.4.48.	Доказать, что при сферическом отображении развертывающиеся поверхности, и только они, отображаются во множество меры нуль.
3.4.49.	Найти сферический образ тора.
3.4.50.	Пусть у — замкнутая геодезическая линия без самопересечения на замкнутой выпуклой поверхности класса С2. Доказать, что сферический образ линии у делит гауссову сферу на две равновеликие области.
3.4.51.	Доказать, что площадь сферического изображения одной полости двуполостного гиперболоида меньше 2л.
3.4.52.	Найти сумму внутренних углов треугольника, заданного на сфере радиуса R, площадь которого S, а стороны являются дугами больших окружностей.
3.4.53.	Пусть Т — треугольник площади 5 на псевдосфере, стороны которого являются геодезическими линиями псевдосферы. Гауссова кривизна псевдосферы К = —а2. Найти сумму внутренних углов треугольника Т.
3.4.54.	На плоскости с метрикой
ds2 = du2 4- ch2 udv2, — oa < и <Z + oo,
— OO <c V < + OO,
Т-треугольник, образованный геодезическими линиями в этой же метрике, имеет площадь 5. Найти сумму его внутренних углов.
3.4.55.	Доказать, что при изометрическом отображении геликоида г = {и cos v, и sin v, hv] на катеноид, полученный вращением цепной линии к = h ch -у, у = 0 вокруг оси 0Z, линиям кривизны одной поверхности соответствуют асимптотические линии другой, а асимптотическим линиям соответствуют линии кривизны.
3.4.55'. Вблизи точки О поверхности проходит геодезическая линия у. На у взяты две близкие к О точки А и В. Пусть ф — угол геодезического треугольника АОВ при вершине О, а — соответствующий угол плоского треугольника с такими же длинами сторон. Доказать, что близко О
к -j-K, где 5 — площадь треугольника АОВ, а К — гауссова кривизна поверхности в точке О, если треугольник АОВ достаточно мал.
3.4.56.	Пусть Т — геодезический треугольник поверхности, содержащий точку Р\ ф1; ф2 и <р3 — углы этого треугольника, а аъ а2, а3 — соответствующие углы плоского треугольника с такими же длинами сторон. Доказать, что
Ф, — а, ср, — а, ф„ —	~
три отношения	?—J,	стремятся к об-
о	о	о
щему пределу К (Р), когда треугольник Т стягивается к точке Р (теорема Дарбу).
3.4.57.	Отображение одной поверхности на другую называется геодезическим, если при этом отображении геодезические линии одной поверхности соответствуют геодезическим линиям другой.
Доказать, что поверхности постоянной гауссовой кривизны, и только они, допускают геодезическое отображение на плоскость.
г
3.4.58.	Доказать, что при изгибании поверхности геодезические линии переходят в геодезические. •	—> —>
3.4.59.	Поверхность Ф задана уравнением г = г {и, v) £ С2. Доказать, что dm2 = (dm, dm), глет — орт нормали поверхности, представляет собой квадратичную форму относительно дифференциалов du, dv (она называется третьей квадратичной формой поверхности Ф). Выразить dm2 = <р3 через первую и вторую квадратичные формы поверхности Ф.
3.4.60.	Пусть 5 — сфера радиуса R с центром в точке О (0; 0; R). Доказать, что отображение сферы на плоскость X0Y, которое заключается в проектировании сферы из точки Ро (0; 0; 27?) на плоскость X0Y, является конформным отображением. Установить связь между координатами точки на сфере и координатами ее образа (стереографической проекции).
3.4.61.	Пусть Ф2 и Ф2 — регулярные поверхности, а РА и Р2 — произвольные точки на этих поверхностях. Доказать, что существует конформное отображение некоторой окрестности точки Рг на некоторую окрестность точки Р2.
3.4.62.	Доказать, что существует конформное отображение поверхности вращения на плоскость, при котором меридианы и параллели поверхности переходят в прямые плоскости.
3.4.63.	Доказать, что существует конформное отображение поверхности вращения на плоскость, при котором меридианы поверхности переходят в прямые, проходящие через начало координат, а параллели — в окружности с центром в начале координат.
3.4.64.	Отображение одной поверхности на другую называется эквиареальным, если соответствующие при этом отображении области имеют одинаковые площади. Доказать, что если отображение одной поверхности на другую конформно и эквиареально, то оно изометрично.
3.4.65.	Определить величину | К | dS, где К — гаус-
ф
сова кривизна поверхности Ф, dS — элемент площади Ф, если Ф: а) эллипсоид; б) эллиптический параболоид; в) тор.
3.4.66.	Найти в квадратурах все поверхности вращения постоянной гауссовой кривизны.
3.4.67.	Определить непрерывные изгибания куска минимальной поверхности в классе минимальных поверхностей.
3.4.68.	Доказать, что минимальная поверхность с аналитической метрикой является аналитической поверхностью.
3.4.69.	Доказать, что в классе минимальных поверхностей катеноид даже «в малом» не допускает непрерывных изгибаний, сохраняющих линии кривизны.
3.4.70.	Доказать, что минимальный геликоид х — — и cos у, у = и sin v, z = hv не допускает непрерывных изгибаний даже «в малом», при которых координатные линии переходят в сопряженную сеть.
3.4.71.	Доказать, что не существует поверхности, изо-метричной минимальному геликоиду, у которой асимптотическим линиям геликоида по изометрии соответствует сопряженная сеть.
3.4.72.	Доказать, что если поверхность положительной кривизны допускает изгибания, то на главном основании.
3.4.73.	Найти общую сопряженную сеть на двух изометрических поверхностях.
3.4.74.	Доказать, что тор в целом не допускает непрерывных изгибаний в классе С3, сохраняющих линии кривизны.
3.4.75.	Коэффициенты вторых квадратичных форм двух изометричных поверхностей Ф и Ф' представлены в виде
L = \VEG~F2 , A4 = y/£G — F2 , N = vVEG — F2
L' --=KVEG — P , М' = p'VEG — F2.
N' = v'VEG — F2. Определить знак дискриминанта
Д =
Я/ — Я, у' — у у' — у. v' — v
3.4.76.	Доказать, что для двух изометричных поверхностей положительной кривизны в каждой точке одной из них для каждой пары сопряженных направлений нормальные кривизны &н, и связаны с нормальными кривизнами другой поверхности в соответствующих по изометрии направлениях соотношением
ЗА.71. Пусть (х; у) — прямоугольные координаты на плоскости. Поверхность с линейным элементом ds2 = du2 4-+ е 2udv2 отобразим на полуплоскость у > 0, положив х = = v, у = е~“. Показать, что это отображение конформно. Выяснить, как при этом отобразятся геодезические линии поверхности.
3.4.78.	Доказать, что при любом отображении пространства Е3 на себя: х' —	(х, у, г), у' = f2 (х, у, z),z' = /3 (х,
у, z), где flt f2 и /3 — аналитические функции и такие, что df,	dft	dft
дх	ду	дг
dft	dfz	dfz / n
дх	ду	дг ’
dfз	dfs	dfs
дх	ду	дг
свойство кривой и поверхности иметь в данной точке соприкосновение определенного порядка сохраняется.
3.4.79.	Доказать, что если поверхность допускает параметризацию, при которой коэффициенты первой квадратичной формы не зависят от и и и, то эта поверхность локально изометрична плоскости.
3.4.80.	Если U (х, у) + IV (х, у) — аналитическая функция комплексной переменной х + iy, причем в точке (х0; у0)
Ux ф О,
V V
4 X v у
то отображение плоскости на себя, при котором точке с декартовыми координатами (х; у) соответствует точка с декартовыми координатами U (х; у), V (х; у), конформно. Доказать это.
3.4.81.	Покажите, что поверхность, заданная параметризацией
х — и cos v, у = и sin v, z = ц + v
(коноид), изометрична гиперболоиду вращения х2 + у2 — — z2 = 1.
3.4.82.	Доказать, что любое изометрическое отображение Е2 на себя есть либо движение, либо движение с зеркальным отображением.
3.4.83.	Доказать, что при конформном отображении на себя сфера переходит в сферу или плоскость.
3.4.84.	Доказать, что сферическое отображение минимальной поверхности в окрестности каждой точки, не являющейся точкой уплощения, конформно.
Глава 4
ЛИНИИ НА ПОВЕРХНОСТИ
§ 1. СОПРЯЖЕННЫЕ СЕТИ
Сеть на поверхности называется сопр я ж е н н о й, если линии сети в каждой точке имеют взаимно сопряженные направления (взаимно сопряжены относительно индикатрисы Дюпена в этой точке). В декартовой (в общем случае косоугольной) системе координат на касательной плоскости, построенной на касательных к координатным линиям, проходящим через точку Л40 касания, уравнение индикатрисы име-
ет вид
, , о М , Л/ „ х2 + 2 ху + — г/2 = ± 1
V EG G
где Е, G и L, М, N — коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности.
Два направления на поверхности с угловыми коэффициентами k и k*, исходящие из точки 7И0, сопряжены тогда и только тогда, когда выполняется равенство
(1)
Угловой коэффициент k некоторого направления на касательной плоскости и отношение дифференциалов du : dv, определяющее это направление, связаны следующим соотношением:
KG dv
У~Ё du
(2)
Обозначая дифференциалы двух взаимно сопряженных направлений соответственно через du, dv и би, бо, кроме соотношения (2) имеем
_ Kg бо
Подставляя (2) и (3) в (1), получим
Ldubu 4- М (dudv 4- dv8u) 4- Ndv&v = О, или
I dv	бо \ dv	бо
£ + М +	] + N-----т~ = 0.
\ du	ои du	ои
(3)
(4)
Любое однопараметрическое семейство кривых на поверхности можно задать с помощью обыкновенного дифференциального уравнения бо
-г— = f (и, v).	(5)
Подставляя (5) в (4), получим еще одно дифференциальное уравнение
dv = _ /-4-Л1/
du M+Nf ’	''
Интегрируя последнее уравнение, получим однопараметрическое семейство кривых. Семейства (5) и (6) образуют сопряженную сеть. Таким образом, для задания сопряженной сети можно взять произвольно однопараметрическое семейство кривых и найти сопряженное ему семейство.
Условие (необходимое и достаточное) того, что координатная сеть на поверхности является сопряженной, записывается в виде равенства
М = 0.
Данное выше определение сопряженной сети через индикатрису Дюпена носит метрический характер. Однако понятие сопряженности имеет более общий, проективный смысл, а именно: сеть на поверхности является сопряженной тогда и только тогда, когда касательные к линиям одного семейства вдоль произвольной линии второго семейства образуют торс.
Оба определения в метрическом пространстве приводят к одному и тому же равенству (4).
Примечание. Метрическим называется пространство, в котором существует группа ортогональных преобразований (движений), проективным — пространство с проективной группой преобразований. При самых общих проективных преобразованиях сопряженные сети всегда переходят в сопряженные.
4.1.1.	Дана поверхность х = и + v, у = и2 + v2, z = = 2uv и семейство линий на ней и2 — си2 = с. Найти дифференциальное уравнение сопряженного ему семейства.
4.1.2.	На поверхности г = 2х2 + у2 в точке (0; 0; 0) в системе координат XOY на касательной плоскости найти угловой коэффициент направления, сопряженного направлению k* =
4.1.3.	Пусть о — поверхность, I — прямая, {уД — семейство сечений поверхности плоскостями, проходящими через I, {у.,} —семейство линий, в которых касаются поверхности о конусы, имеющие вершины на I. Показать, что семейства {уД и {у2} образуют сопряженную сеть (теорема Кениге а).
4.1.4.	Доказать, что две пересекающиеся линии на поверхности имеют в точке М пересечения взаимно сопряженные направления тогда и только тогда, когда сферическое отображение одной из них в точке М перпендикулярно к сферическому отображению другой в этой точке.
4.1.5.	Найти взаимно сопряженные направления на поверхности, сферические отображения которых на сфере взаимно сопряжены (следовательно, и взаимно перпендикулярны. Почему?).
4.1.6.	Торс а образован спрямляющими плоскостями пространственной кривой у. Какие направления на о со
пряжены у? (Предварительно показать, что кривая у лежит на о.)
4.1.7.	На поверхности х = и cos v, у — и2 sin о, z = hv задано семейство линий v. Найти сопряженное ему семейство.
4.1.8.	Найти на плоскости XOY ортогональную сеть, являющуюся проекцией на эту плоскость сопряженной сети поверхности z = f (х, у) (составить дифференциальное уравнение сети).
4.1.9.	Проинтегрировать уравнение, полученное в задаче 4.1.8, для следующих поверхностей:
1) г — х2 + 2у2;	2) z = х2 + у2 + ху; 3) г = ху;
4) z = х2 — у2;	5) z = ех+у-,	6) z =
7) z = х3 — у3.
4.1.10.	Найти поверхности z = f (х, у), обладающие тем свойством, что их любая сопряженная сеть проектируется на плоскость X0Y ортогональной сетью.
4.1.11.	Показать, что, идентифицируя криволинейные координаты соответственных точек двух поверхностей, соответствие между которыми сохраняет сопряженные направления, можно сделать вторые квадратичные формы поверхностей пропорциональными друг другу.
4.1.12.	Найти поверхности z = f (х, у) с такой сопряженной сетью, которая проектируется в сеть координатных линий прямоугольной декартовой системы на плоскости X0Y.
4.1.13.	Найти поверхности z = f (х, у), на которых существует сопряженная сеть, проектирующаяся в сеть линий х ± у = const на плоскости X0Y.
4.1.14.	Показать, что на всех параллельных между собой поверхностях г* = г 4* Хп, X = const, сопряженные сети соответствуют друг другу лишь при выполнении условий bubjk^1 = hbij, где h — множитель пропорциональности, gib btj — коэффициенты квадратичных форм поверхности 7= г («'):	= Е, gl2 = F, g22 = G, bn = L, b12 = M,
Z?22 = N, u1 — u, u2 — v.
4.1.15.	Дан однополостный гиперболоид
1 4- uv , и — v	1 — иг
X ~ a 1—, у = 0  :  , Z = C-:—
u-j-v ’ v	«-(-o’ u-j-v
или y2 /»2	«2
у,г) = ±- + ^._±._1=0.
Найти конечные уравнения его круговых сечений. Показать, что диаметр, сопряженный плоскостям этих сечений, есть множество вершин конусов, касающихся гиперболоида по круговым сечениям. Найти конечные уравнения пучка конических сечений, образующих вместе с семейством круговых сечений сопряженную сеть на гиперболоиде (сеть Кенигса).
4.1.16.	Поверхность г = г (и, и) отнесена к сопряженной сети. Найти на каждой касательной к координатным линиям, проходящим через точку М поверхности, фокусы — точки прикосновения касательных с ребрами возврата торсов, определяемых координатной системой (касательные к линиям одного семейства вдоль линии другого).
4.1.17.	Пусть I — прямая, проходящая через указанные фокусы (см. задачу 4.1.16), а семейство линий на поверхности определено дифференциальным уравнением (в сопряженной координатной сети) = f (и, v). Найти сопряженное ему семейство. Какому условию должна удовлетворять функция f (и, V) для того, чтобы фокусы полученной таким образом сопряженной системы лежали на прямой 1?
4.1.18.	Показать, что каждая пара сопряженных касательных гармонически разделяет пару асимптотических касательных в одной точке поверхности.
4.1.19.	Показать, что отображение двух поверхностей друг на друга, при котором каждая сопряженная сеть одной поверхности переходит в ортогональную сеть другой, переводит вторую квадратичную форму одной поверхности в форму, пропорциональную первой квадратичной форме другой.
4.1.20.	Поверхность, определяемая уравнением г = — а (и) + b (у), называется поверхностью переноса.
Координатные линии каждого семейства такой поверхности получаются друг из друга с помощью параллельного переноса (образуют сеть переноса). На таких поверхностях линии и и v образуют сопряженную сеть. Торсы касательных к линиям одного семейства вдоль линии другого, есть цилиндры. Доказать эти утверждения.
4.1.21.	Существуют ли поверхности, несущие на себе сопряженную сеть, оба семейства которой состоят из геодезических линий?
4.1.22.	Существуют ли поверхности, несущие на себе сопряженную сеть с постоянным сетевым углом?
4.1.23.	Существуют ли поверхности переноса (см. задачу 4.1.20) с постоянным углом между линиями сети переноса?
4.1.24.	Однопараметрическое семейство линий на поверхности задается дифференциальным уравнением — = / (и, у). Найти формулу, определяющую угол между этими и сопряженными им линиями. На какой поверхности всякая сопряженная сеть ортогональна?
4.1.25.	Дана поверхность х — а (и), у — 0 (у), ? = у (и) + + к (у). Показать, что линии и и у образуют сопряженную сеть, причем каждая из этих линий плоская.
§ 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЛИНИИ
Направление на поверхности в данной ее точке называется асимптотическим, если оно совпадает с асимптотическим направлением индикатрисы Дюпена в этой точке.
Асимптотические направления (du : dv) определяются из квадратного уравнения
Ldu2 + SMdudv Ndv2 — 0.	(1)
Отсюда следует, что в эллиптической точке (LN — М2 > 0) поверхности не существует действительных асимптотических направлений; в гиперболической точке (LN — М2 < 0) существует два асимптотических направления; в параболической точке (LN — М2 = = 0, но <р2	0, т. е. L2 + М2 + №	0) — о д н о асимптотическое
направление; наконец, в точке уплощения (L = М = N = 0) любое направление является асимптотическим.
Асимптотические направления на поверхности в данной ее точке характеризуются тем, что нормальная кривизна поверхности в этих направлениях равна нулю.
Кривая на поверхности называется асимптотической линией, если ее направление в каждой точке является асимптотическим.
Отсюда следует, что (1) есть дифференциальное уравнение асимптотических линий.
Асимптотические линии на поверхности характеризуются тем, что:
1)	нормальная кривизна поверхности вдоль асимптотической линии равна нулю;
2)	касательная плоскость поверхности в каждой точке асимптотической линии является соприкасающейся плоскостью этой линии.
В окрестности гиперболической точки поверхности всегда может быть введена параметризация, при которой координатными линиями являются асимптотические линии.
Если асимптотическая линия принята за координатную линию и = const, то из равенства (1) следует, что вдоль этой линии N = 0.
Таким же образом, если v = const — асимптотическая линия, то L = = 0, и наоборот.
Координатная сеть на поверхности будет асимптотической тогда и только тогда, когда коэффициенты L и N второй квадратичной формы равны нулю на всей поверхности.
Если координатная сеть на поверхности состоит из асимптотических линий, то вторая квадратичная форма поверхности имеет вид
<ра = 2Mdudv.
4.2.1.	Найти асимптотические линии поверхности z = у<р (х) + ф (х).
4.2.2.	Найти асимптотические линии однополостного гиперболоида
х2 , у2,
а2 йа с2
4.2.3.	Найти асимптотические линии поверхности г = / (х) — / (у)
и определить функцию f так, чтобы из полученных двух семейств асимптотических линий линии одного были ортогональны к линиям другого.
4.2.4.	Найти асимптотические линии поверхности z = хуа — ух3,
которые проходят через точку Л40 (1; 2; 6).
4.2.5.	Найти асимптотические линии поверхности z = / (х) + <р (у)
и определить функции f и ф так, чтобы проекции асимптотических линий на плоскость XOY образовывали ортогональную сеть.
4.2.6.	Найти асимптотические линии поверхности zx2 — ay2, a — const.
4.2.7.	Дан коноид z = ф Определить:
1)	функцию ф const так, чтобы проекция одной из асимптотических линий на плоскости XOY была окружностью, уравнение которой х3 + у2 = ay,
2)	каковы будут в этом случае проекции остальных асимптотических линий, принадлежащих этому же семейству.
4.2.8.	Найти асимптотические линии поверхности
z = ех sin 2у.
Построить проекции асимптотических линий этой поверхности на координатную плоскость XOY.
4.2.9.	Найти асимптотические линии поверхности
z_ *2 + у2
ху
4.2.10.	Определить асимптотические линии катеноида, заданного уравнением
г — {ch и cos v, ch и sin v, и}.
4.2.11.	Показать, что на прямом геликоиде одно семейство асимптотических линий состоит из прямых, а другое — из винтовых линий.
4.2.12.	Доказать, что:
а)	координатные линии и = const являются асимптотическими линиями поверхности тогда и только тогда, когда коэффициент N (и, v) второй квадратичной формы равен нулю (N (и, ц) == 0);
б)	координатные линии v = const являются асимптотическими линиями поверхности тогда и только тогда, когда коэффициент L (и, и) второй квадратичной формы равен нулю (L (и, у) = 0);
в)	для того чтобы координатная сеть на поверхности состояла из асимптотических линий, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты L (и, v) и N (и, v) второй квадратичной формы были равны нулю (L (и, v) — N {и, v) = ^0).
4.2.13.	Доказать, что на плоскости любая линия является асимптотической, и обратно, поверхность, на которой любая линия является асимптотической, есть плоскость или область на плоскости.
4.2.14.	Доказать, что линия на поверхности является асимптотической линией тогда и только тогда, когда она удовлетворяет одному из следующих условий:
а)	в каждой ее точке касательная имеет асимптотическое направление;
б)	в каждой точке нормальная кривизна линии равна нулю;
в)	линия является прямой или в каждой ее точке соприкасающаяся плоскость совпадает с касательной плоскостью к поверхности.
4.2.15.	Доказать, что асимптотические направления являются самосопряженными.
4.2.16.	Доказать, что в окрестности гиперболической точки поверхности всегда может быть введена параметризация, при которой координатными линиями являются асимптотические линии.
4.2.17.	Найти асимптотические линии поверхности
6
x = «cosy, y = usinv, z =— . v	и
4.2.18.	Найти асимптотические линии поверхности
г = {и cos v, и sin v, 6 In и}.
4.2.19.	Найти асимптотические линии поверхности вращения
г = {и cos v, и sin v, f (и)}.
4.2.20.	Найти асимптотические линии поверхности
г = {и cos v, и sin у, a cos nv}, где а и п — постоянные.
4.2.21.	Найти асимптотические линии поверхности
г = {(1 4- и) cos v, (1 — «) sin v, и}.
4.2.22.	Найти асимптотические линии поверхности
Гх = За + Зу, 1 у = Зы2 + Зу2, [z — 2и3 + 2у3.
4.2.23.	Найти асимптотические линии поверхности
V
X = -г— , СП и
UV а ch и
z = arctg у.
4.2.24.	Определить асимптотические линии поверхности
1 г~~ у» •
4.2.25.	Найти асимптотические линии поверхности, которая представляет собой множество точек, являющихся
серединами хорд винтовой линии х = a cos t, у = a sin t, г = bt.
4.2.26.	Найти асимптотические линии поверхности г = у cos х.
4.2.27.	Параметризовать поверхность (гиперболический параболоид)
4 — -fr = 2z а2 о1
так, чтобы координатная сеть на поверхности состояла из асимптотических линий.
4.2.28.	Доказать, что оба семейства линий
	X = t,
	„ 6 0 +12)
y = t,	У —	7=— • Kni
, __{а2 — \)t ’	, Ь Ц2 - 1)
1 + а2	ГП1
где а и b — произвольные постоянные, являются асимптотическими линиями поверхности
1 + х2 •
4.2.29.	Найти асимптотические линии поверхности х2у2г + х2 — у2 = О
и показать, что это неплоские кривые третьего порядка. 4.2.30. Доказать, что оба семейства линий
	х = t,
х — t,	Ъ
У = а,	У = а '
z — a2t,	b2 г~ а '
где а и b — произвольные постоянные, являются асимптотическими линиями на поверхности
z —ху2.
4.2.31.	Вывести уравнение асимптотических линий в полярно-цилиндрических координатах.
4.2.32.	Найти асимптотические линии поверхности
Z4 = X2 + у2.
4.2.33.	Найти асимптотические линии поверхности
z = xarctg 4- ~ у 1п (х2 + у2).
4.2.34.	Поверхность Ф определяется уравнением z = f(xz/),
где f — функция от произведения ху. Определить функцию f таким образом, чтобы однопараметрическое семейство цилиндрических поверхностей у = схп пересекало поверхность Ф по асимптотическим линиям. Определить при этом и второе семейство асимптотических линий поверхности Ф.
4.2.35.	Поверхность образована главными нормалями линии у. Доказать, что линия у является асимптотической линией этой поверхности.
4.2.36.	Доказать, что если асимптотические линии поверхности пересекаются под постоянным углом, то гауссова кривизна поверхности пропорциональна квадрату средней кривизны.
4.2.37.	Доказать, что если при сферическом отображении поверхности Ф каждая асимптотическая линия одного семейства изображается большой окружностью, то Ф — косая линейчатая поверхность.
4.2.38.	Доказать, что сферическое изображение асимптотического направления перпендикулярно к этому направлению.
4.2.39.	Доказать, что если координатная сеть на поверхности асимптотическая, то имеют место равенства
д In I К | _ „ FEV — EGU
ди Z EG — F2 ’
d In | К | _ „ FGU - GEV du	EG — F2 ’
где К. — гауссова кривизна поверхности.
4.2.40.	Доказать, что асимптотические линии на поверхности с постоянной отрицательной кривизной образуют сеть Чебышева, и обратно, если асимптотическая сеть на поверхности чебышевская, то гауссова кривизна поверхности постоянна. (Сеть на поверхности называется сетью Чебышева, если у любого четырехугольника, образованного линиями сети, длины противоположных сторон равны.)
4.2.41.	Доказать, что на поверхностях постоянной отрицательной кривизны площадь четырехугольника, образованного асимптотическими линиями, пропорциональна избытку суммы его внутренних углов ах, а2, а3, а4 над 2л, т. е. S = | /С |-1 («1 + а2 + а3 + а4 — 2л) (формула Хаццидакиса).
4.2.42.	Поверхность называется минимальной, если ее средняя кривизна тождественно равна нулю.
Доказать, что поверхность, отличная от плоскости, минимальна тогда и только тогда, когда ее асимптотическая сеть ортогональна.
4.2.43.	Доказать, что среди линейчатых поверхностей единственной минимальной поверхностью (отличной от плоскости) является прямой геликоид.
4.2.44.	Исследовать асимптотические линии тора
’ х = (а + b cos и) cos v, у = (a + b cos и) sin v, где a>b, z — b sin и,
4.2.45.	Поверхность Ф называется параллельной поверхности Ф, если она состоит из множества точек, являющихся концами отрезков постоянной длины а, отложенных на нормалях поверхности Ф от точек этой поверхности.
Будем считать соответствующими точками поверхностей Ф и Ф концы отрезков, о которых идет речь в определении. Доказать, что на поверхности Ф, параллельной данной поверхности Ф, линии, соответствующие асимптотическим линиям поверхности Ф, будут асимптотическими линиями поверхности Ф тогда и только тогда, когда Ф — развертывающаяся поверхность.
4.2.46.	Доказать, что при проективном преобразовании пространства асимптотические линии поверхности Ф переходят в асимптотические линии преобразованной поверхности.
4.2.47.	Доказать, что через каждую точку параболической области (К = 0, <р2	0) проходит единственная
асимптотическая линия, совпадающая с прямолинейной образующей.
4.2.48.	Доказать, что если асимптотические линии различных семейств в их общей точке имеют отличные от нуля кривизны, то они имеют равные по модулю, но противо-104
положные по знаку кручения, при этом квадрат кручения асимптотической линии в каждой точке ее равен абсолютной величине полной кривизны поверхности в этой точке (теорема Бельтрами — Эннепера).
4.2.49.	Вычислить кручение асимптотической линии, лежащей на поверхности
z = (ах2 + 2Ьху 4- су2).
4.2.50.	Вывести формулу кручения асимптотической линии, лежащей на поверхности вращения
г = {ucosv, usinv, /(«)}.
4.2.51.	Найти кручение асимптотических линий, лежащих на геликоиде
г = {и cos v, и sin v, hv}.
4.2.52.	Определить кручение асимптотических линий на поверхности, образованной бинормалями неплоской кривой.
4.2.53.	Определить кручение асимптотических линий на поверхности, образованной главными нормалями неплоской кривой.
4.2.54.	Доказать, что линия
х2 = <р' (t), у2 = t2q>' (/), z = ф (/)
расположена на поверхности коноида г = ф и является асимптотической линией этой поверхности.
4.2.55.	Может ли поверхность изгибаться так, чтобы ее асимптотические линии переходили в асимптотические?
4.2.56.	Может ли поверхность, обладающая сетью асимптотических линий, налагаться на другую поверхность, не имеющую действительных асимптотических линий?
4.2.57.	Две поверхности Фх и Ф2 пересекаются под прямым углом. Доказать, что если линия пересечения их является асимптотической на одной из поверхностей, то она будет геодезической на другой, и наоборот.
4.2.58.	Найти асимптотические линии поверхности
Г — \и2 + V, и3 + UV, М4 + u2v\.
*	J
Доказать, что одно семейство асимптотических линий состоит из прямолинейных образующих. Найти асимптотические линии этой поверхности, которые проходят через точку Мо (1;----
4.2.59.	Найти асимптотические линии псевдосферы. Вычислить геодезическую кривизну kg асимптотических линий псевдосферы, поворот П асимптотической линии и поворот Пг бесконечной дуги асимптотической линии, ограниченной с одной стороны точкой пересечения этой линии с ребром псевдосферы.
4.2.60.	В каком случае параллель (меридиан) поверхности вращения является асимптотической линией?
§ 3.	ЛИНИИ КРИВИЗНЫ
Направление на поверхности в данной точке называется главным, если оно совпадает с главным направлением индикатрисы Дюпена, построенной в этой точке.
Отсюда следует, что в каждой точке поверхности в общем случав имеется два главных направления. Совпадая с главными направлениями индикатрисы Дюпена, главные направления поверхности ортогональны и сопряжены, а следовательно, удовлетворяют уравнениям
Edu6u F (du6v 4- dv6u) -f- Gdv6v ==(dr, fir) = 0 — условие
ортогональности;	(1)
Ldu6u 4- M (du8v 4- dv8u) 4- Ndv8v = — (dr, 6m) = 0 — условие
сопряженности.	(2)
Исключая из этих уравнений би и 6v, получим
du2	—dudv	du3	
Е	F	G	= 0.
L	М	N	
Итак, для того чтобы направление (du : dv) было главным на поверхности, необходимо и достаточно, чтобы для него выполнялось равенство (3).
Главные направления не определены в двух случаях, а именно, когда L = М = N — 0 (точка уплощения) и когда коэффициенты первой квадратичной формы поверхности пропорциональны соответствующим коэффициентам второй квадратичной формы (сферическая точка).
В точке уплощения, так же как и в сферической точке, любое направление считают главным.
Главное направление на поверхности характеризуется тем, что нормальная кривизна поверхности в этом направлении достигает экстремального значения.
Нормальные кривизны поверхности, соответствующие главным направлениям, называются главными кривизнами поверхности.
Как было отмечено в § 3, гл. 3, для того чтобы направление на поверхности было главным, необходимо и достаточно, чтобы вдоль этого направления выполнялось равенство
dm — — kdr,
где т — единичный вектор нормали к поверхности, a k — нормальная кривизна поверхности в этом направлении (теорема Родрига).
Линия на поверхности называется линией кривизны, если ее направление в каждой точке совпадает с главным направлением.
Отсюда следует, что равенство (3) является дифференциальным уравнением линий кривизны.
Из уравнения (3) следует, что если координатные линии на поверхности являются линиями кривизны, то коэффициенты F и М первой и соответственно второй квадратичных форм равны нулю (коэффициент F равен нулю в силу ортогональности, а М — в силу сопряженности координатной сети); и наоборот, если коэффициенты F и М тождественно равны нулю, то координатные линии на поверхности являются линиями кривизны этой поверхности.
В окрестности каждой точки поверхности, не являющейся сферической точкой или точкой уплощения, поверхность можно параметризовать так, что координатные линии будут линиями кривизны; при этом первая и вторая квадратичные формы поверхности примут соответственно вид
<рх — Edu2 + Gdv2,
ф2 = Ldu2 + Ndv2.
4.3.1.	Доказать, что если за координатные линии на поверхности, не содержащей сферических точек и точек уплощения, взять линии кривизны, то коэффициенты F и М первой и соответственно второй квадратичных форм поверхности равны нулю; и наоборот, если на поверхности F = М = 0, то координатная сеть на поверхности состоит из линий кривизны.
4.3.2.	Найти линии кривизны на произвольной цилиндрической поверхности.
4.3.3.	Найти линии кривизны произвольной конической поверхности.
4.3.4.	Найти линии кривизны поверхности Ф, образованной касательными неплоской кривой у.
4.3.5.	Найти линии кривизны гиперболического параболоида, заданного уравнением
г — {V Р (« + у)» Уя (Ц — и), 2uv}.	j
4.3.6.	Доказать, что линии кривизны поверхности х = Зи + Зии2 — и3, у = Зи + Зи2и — и3, z = Зи2 — Зи2
являются плоскими кривыми, лежащими в плоскостях, параллельных осям ОХ и OY.
4.3.7.	Найти параметрические уравнения линий кривизны и асимптотических линий поверхности Ф, заданной уравнениями
х = и ^Зи2 — и2--,
у = v (Зи2 — V2 — 4-'),
z = 2uv,
которые проходят через точку Мо (0; 0). Записать уравнение поверхности Ф, приняв за координатные линии на поверхности линии кривизны. Найти полную и среднюю кривизны поверхности в произвольной точке.
4.3.8.	Найти линии кривизны геликоида, заданного уравнением
г = {и cos v, и sin v, av}.
Записать уравнение геликоида, выбрав за координатные линии на геликоиде линии кривизны.
4.3.9.	Найти линии кривизны поверхности e~z = cos х cos у.
4.3.10.	Доказать, что на плоскости и на сфере любая гладкая линия является линией кривизны и наоборот, если на некоторой поверхности любая ее линия является линией кривизны, то такая поверхность является плоскостью или сферой (или их частью).
4.3.11.	Доказать, что в окрестности каждой точки Р поверхности, не являющейся шаровой точкой или точкой уплощения, поверхность можно параметризовать так, что координатные линии будут линиями кривизны.
4.3.12.	Определить функцию f так, чтобы коноид
2 = f(vj
пересекался плоскостью х = 1 по линии кривизны.
4.3.13.	Доказать, что если координатная сеть на поверхности состоит из линий кривизны, то формулы, задающие главные кривизны поверхности, имеют вид
k -L. k - —
— Е > «2 — G •
4.3.14.	Найти линии кривизны на произвольной поверхности вращения.
4.3.15.	Доказать, что если координатная сеть поверхности состоит из линий кривизны, то формулы Гаусса — Петерсона — Кодацци имеют вид
к =_____1 ( д ( (/7)„ \ д (	\\
Veg \	\ у q ди \ Ке
лга=4Ч4-+4)=°«я’
где Н — средняя кривизна поверхности.
4.3.16.	Доказать, что если на минимальной поверхности (Я = 0), не являющейся плоскостью или ее частью, за координатные линии принять линии кривизны и соответствующим образом выбрать параметры и и v, то первая и вторая квадратичные формы поверхности примут вид
Фл = Л (и, v) (du2 4- dv2), ф2 = du2 — dv2.
4.3.17.	Доказать, что для того чтобы линия у на поверхности г = г (и, v) была линией кривизны, необходимо и достаточно, чтобы вдоль этой линии выполнялось равенство
dm — — kdr, где т — единичный вектор нормали к поверхности, a k — главная кривизна (нормальная кривизна) поверхности вдоль линии у (теорема Родрига).
4.3.18.	Доказать, что линия у на поверхности Ф является линией кривизны тогда и только тогда, когда нормали к поверхности вдоль у образуют развертывающуюся поверхность. На основании этого утверждения доказать, что любая гладкая линия на сфере и плоскости является линией кривизны; меридианы и параллели поверхности вращения являются линиями кривизны.
4.3.19.	Доказать, что:
а)	если две поверхности пересекаются вдоль некоторой линии под постоянным углом и эта линия является линией кривизны на одной из поверхностей, то она будет линией кривизны и на другой;
б)	если две поверхности пересекаются вдоль линии, которая является линией кривизны на каждой из этих поверхностей, то они пересекаются под постоянным углом (теорема Иоахимсталя).
4.3.20.	Доказать, что касательные к линиям кривизны поверхности в каждой ее неомбилической точке параллельны касательным к их сферическому изображению в соответствующей точке и наоборот, если касательная к какой-либо линии на поверхности в любой ее точке параллельна соответствующей касательной к сферическому изображению этой линии, то она является линией кривизны поверхности .
4.3.21.	Доказать, что:
а)	если плоскость или сфера пересекают некоторую поверхность под постоянным углом, то линия пересечения является линией кривизны этой поверхности;
б)	если плоскость или сфера пересекает некоторую поверхность по линии кривизны, то они пересекают эту поверхность под постоянным углом.
4.3.22.	Доказать, что соприкасающиеся плоскости линии кривизны и ее сферического изображения в соответствующих точках параллельны.
4.3.23.	Доказать, что если линия кривизны плоская, то плоскость, в которой она лежит, пересекает поверхность под постоянным углом.
4.3.24.	Доказать, что сферическое изображение плоской линии кривизны поверхности является окружностью или ее частью.
4.3.25.	Доказать, что если сфера касается развертывающейся поверхности, то линия касания является ортогональной траекторией прямолинейных образующих этой поверхности.
4.3.26.	Доказать, что если асимптотическая линия у на поверхности Ф является линией кривизны, то нормаль к поверхности Ф вдоль у постоянна, а гауссова кривизна поверхности Ф в точках линии у равна нулю.
4.3.27.	Доказать, что если поверхность касается плоскости вдоль некоторой линии у, то каждая точка этой линии является параболической точкой.
4.3.28.	Пусть у — плоская кривая на поверхности Ф и во всех точках линии у нормали к Ф перпендикулярны к плоскости этой кривой. Доказать, что у является линией кривизны на Ф и во всех точках линии у гауссова кривизна поверхности равна нулю.
4.3.29.	Доказать, что если прямолинейная образующая линейчатой поверхности является линией кривизны этой поверхности, то полная кривизна поверхности вдоль этой образующей равна нулю.
4.3.30.	Доказать, что если нормали к поверхности Ф вдоль некоторой ее линии у параллельны, то все точки линии у являются параболическими точками поверхности.
4.3.31.	Доказать, что нормали вдоль прямолинейной образующей косой линейчатой поверхности образуют косую линейчатую поверхность.
4.3.32.	Дано три семейства поверхностей
?! (х, у, г) = и = const, /2 (х, у, z) = v — const,
/з (*, у, z) = w — const, причем якобиан
(Л> /г- /з) у л D (х, у, г)
Говорят, что указанные семейства образуют триортого-нальную систему поверхностей, если любые две поверхности различных семейств пересекаются под прямым углом.
Доказать, что поверхности различных семейств триор-тогональной системы пересекаются по линиям кривизны (теорема Дюпена).
4.3.33.	Найти линии кривизны поверхности второго порядка
А В С ~ •
4.3.34.	Две поверхности Ф1 и Ф2 называются параллельными, если нормали одной поверхности являются нормалями другой поверхности. Точки поверхностей Ф! и Ф2, лежащие на общих нормалях, считают соответств у ю -щ и м и.
Доказать, что при таком соответствии точек параллельных поверхностей линиям кривизны данной поверхности соответствуют линии кривизны на параллельной ей поверхности.
4.3.35.	Доказать, что каждую поверхность можно включить в некоторую триортогональную систему поверхностей.
4.3.36.	Доказать, что при конформном отображении пространства на себя линии кривизны исходной поверхности преобразуются в линии кривизны преобразованной поверхности.
4.3.37.	Пусть О — некоторая фиксированная точка пространства (плоскости). Тогда преобразование, переводящее каждую точку Р пространства (плоскости) в такую точку Р*, что
ОР*\\ОР и (OP, OP*) = k2 = const,
называется инверсией, точка О называется центром или полюсом инверсии, постоянное число k2 — степенью или коэффициентом инверсии, а сфера (окружность) (О; k) — основной сферой (окружностью) инверсии. Аналитическое выражение инверсии в векторной форме имеет вид
—>	Ь2 —
ОР* = —_ОР,
|0Р|2
ИЛИ	g = fe2
72
где R = ОР*, г = ОР.
Доказать, что при инверсии углы между кривыми сохраняются, т. е. преобразование инверсии является конформным преобразованием.
4.3.38.	Доказать, что при инверсии линии кривизны данной пове хности переходят в линии кривизны преобразованной поверхности.
4.3.39.	Доказать, что при инверсии:
а)	произвольная сфера, не проходящая через центр инверсии, преобразуется в сферу, также не проходящую через центр инверсии;
б)	произвольная сфера, проходящая через центр инверсии, преобразуется в плоскость, не проходящую через центр инверсии;
в)	произвольная плоскость, не проходящая через центр инверсии, преобразуется в сферу, проходящую через центр инверсии;
г)	произвольная плоскость, проходящая через центр инверсии, преобразуется в плоскость, также проходящую через центр инверсии.
4.3.40.	Доказать, что при конформном отображении пространства на себя сфера (плоскость) переходит в сферу или плоскость (теорема Ли у в и л л я). С помощью этой теоремы доказать, что любое конформное преобразование представляет собой композицию преобразований подобия, движения, зеркального отображения и инверсии.
4.3.41.	Найти линии кривизны поверхности
х (х2 + у2 + z2) — 2а (х2 + у2) = 0.
4.3.42.	Найти линии кривизны поверхности
у2	,,2	лг2
(X2 + z/2 + 22)2=_^+_|_ +_L_.
4.3.43.	Найти линии кривизны поверхности X2 4- у2 + Z2 = х/ /Д-к
где f — произвольная функция класса С2, и доказать, что все они лежат на сферах, проходящих через начало координат.
4.3.44.	Пусть у — линия кривизны поверхности Ф, причем нормальная кривизна линии у постоянна и равна kH = а #= 0 Доказать, что поверхность Ф касается по линии у некоторой сферы радиуса R = -Д-.
1 а I
4.3.45.	Доказать, что если одна из главных кривизн поверхности Ф постоянна и отлична от нуля, то поверхность Ф является огибающей однопараметрического семейства сфер постоянного радиуса.
4.3.46.	Доказать, что поверхность, у которой одно семейство линий кривизны состоит из окружностей, является огибающей семейства сфер.
4.3.47.	Доказать, что:
а)	если обе системы линий кривизны поверхности Ф состоят из окружностей, то такая поверхность Ф является огибающей семейства сфер, касающихся трех данных сфер. (Поверхность, на которой обе системы линий кривизны состоят из окружностей, называют циклидой Дюпена);
б)	если поверхность Ф является огибающей семейства сфер, касающихся трех данных сфер, то ее линиями кривизны являются окружности.
4.3.48.	Доказать, что круговые сечения поверхностей второго порядка являются линиями кривизны этих поверх
ностей тогда и только тогда, когда поверхности второго порядка есть поверхности вращения.
4.3.49.	Доказать, что единственной поверхностью, имеющей более одной оси вращения, есть сфера или плоскость.
4.3.50.	Существует ли развертывающаяся поверхность (кроме цилиндрической и прямого кругового конуса), на которой оба семейства линий кривизны являются плоскими кривыми? Если такие поверхности существуют, то дать их геометрическое построение.
4.3.51.	Доказать, что если все линии кривизны поверхности являются плоскими линиями, то:
а)	все плоскости линий кривизны одного семейства параллельны одной и той же прямой ht',
б)	все плоскости линий кривизны второго семейства параллельны другой прямой h2;
в)	прямые /ц и h2 взаимно перпендикулярны.
4.3.52.	Определить вид поверхности, у которой одно семейство линий кривизны состоит из плоских кривых, плоскости которых проходят через одну и ту же прямую.
4.3.53.	Найти линии кривизны резной поверхности
г (s, v) = р (s) + <р (и) а 4- g (v) [т (s), а],
где
т (s) =	, | т (s) | = 1, (т (s), а) = 0, | а | = 1, а = const.
4.3.54.	Пусть у — некоторая регулярная кривая, р = — р (s) — ее естественная параметризация. Найти линии кривизны трубчатой поверхности
г (s, и) = р (s) + а (у (s) cos и + Р (s) sin v),
определяемой кривой у, где v (s), Р (s) —орты главной нормали и бинормали кривой у, а — const, ak (s) < 1, k (s) — кривизна кривой у.
4.3.55.	Составить дифференциальное уравнение линий кривизны по коэффициентам второй и третьей квадратичных форм поверхности.
4.3.56.	Доказать, что на поверхностях отрицательной гауссовой кривизны линии кривизны в каждой точке делят пополам углы между асимптотическими линиями, проходящими через эту точку.
4.3.57.	Доказать, что при наложении геликоида на катеноид его асимптотические линии переходят в линии кривизны, а линии кривизны — в асимптотические линии.
§ 4.	ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ
Геодезические линии на поверхности являются естественным обобщением прямых на плоскости. Такое обобщение может быть осуществлено разными путями. Рассмотрим один из них.
Соприкасающейся плоскостью плоской кривой у является плоскость 772, в которой расположена эта кривая. Она же является и касательной плоскостью ns поверхности о, содержащей кривую у, в данном случае плоскости П2 (в каждой точке М кривой).
Спроектируем (ортогонально) кривую у на касательную плоскость П3 поверхности о (плоскости /72), проекция у* будет совпадать с кривой у. Кривизна kg проекции в точке М совпадает с кривизной k кривой у в этой точке. Кривая у будет прямой тогда и только тогда, когда в каждой точке М имеет место равенство ks = 0. Если теперь у — произвольная кривая, расположенная на произвольной поверхности о, то в точке М, произвольно выбранной на ней, имеем в общем случае не совпадающие друг с другом соприкасающуюся плоскость Пг кривой у и касательную плоскость Пя поверхности о. Спроектируем ортогонально кривую у на /7Я, получим плоскую кривую у* с кривизной kg, называемой геодезической кривизной кривой у в точке М.
Линию у называют геодезической, если в каждой ее точке kg = 0.
Из этого определения следует, что соприкасающаяся плоскость геодезической линии является нормальной плоскостью поверхности.
Если
г = г (и, п)
— векторно-параметрическое уравнение поверхности, то, полагая, как и прежде, и = и1, v = и2, получим
7=7(u1'), i=l,2.
Кривая у может быть задана уравнениями
и1 = и1 (s), или
7=7 (и1 («в.
Разложим последнюю функцию в ряд Тейлора в окрестности точки Af0 («о) =	(и1 (So), и2 (s0)):	_
г (М) = г (Мо) + г(. As +
1 /-* du1 du1 — d2u‘ 1	„
j	-* du1 -* du1 diJ dV	..
(выражения /7-3—,	----й—» ri ~ a 2 ' вычислены в точке Лз0,
\	иэ 1 ил ил	ил
M ==zM(ul(s), u2(s)), As = s—soj. Отсюда воспользовавшись дерива-
• )'*+
n.
ционными уравнениями поверхности, получим \ । (а । I I d2uk du1 du^
/1 du1 du'
+ 1—йо—— As2+ "
Проекцию кривой на плоскость П3 получим, отбросив в правой части слагаемое, содержащее п:
7*=7(M0) + (^rbs + Akbs2+
(1)
где
.k_____d2uk du1 du1
2 \ ds2 4 ds ds / *
Пусть s* — длина дуги кривой у*. Из (1) для точки М находим
-> dr* duk ds ds т* =------=-------Гь-----= т -----,
ds* ds ds* ds*
(2)
(3)
где т, т* — единичные векторы касательных соответственно к кривым у и у*. Из последнего равенства находим (в точке М)
ds I ds* I
Из (1) двукратным дифференцированием по s* получаем (учитывая (3))
dar* -» d2r* / ds \2 , dr* d2s	, d2s
----— = kgV* =------- ----- Н------------= Ark -4	5- т, ds*2	ds2 \ ds* / ds ds*2	ds*2
где v* — единичный вектор главной нормали кривой у*. Поскольку v* I т*, а потому v* I т, то в точке М
-^- = 0. ds*2
Вектор kgv* называется вектором геодезической кривизны кривой у в точке М, а скаляр kg — геодезической кривизной в этой точке. Если у — геодезическая кривая, то kg = 0, а потому Ак = 0, т. е.
d2uk , „fe du1 du' _ - / du1 du' ds2 ‘ '' ds ds	ds ds
Таковы уравнения геодезических кривых. К этим же уравнениям придем, если потребуем, чтобы соприкасающаяся плоскость кривой у совпадала с нормальною плоскостью поверхности о.
Систему дифференциальных уравнений (4) можно записать еще и в таком виде:
(4)
dv
„„ du dv , „
+ 2Fи ~лГ + °и
Е
du \2 „„du
—— I + 2F —j— as / as
dv „ I dv \2
-------1_ G|------ = 1 ds \ ds )
где Ei F, G — коэффициенты первой квадратичной формы поверхности.
4Л.1. Найти дифференциальное уравнение геодезических линий, задавая кривую у уравнением и2 = и2 (и1).
4.4.2.	Показать, что в достаточно малой области на поверхности геодезическая линия вполне определяется:
1)	точкой и исходящим из нее направлением;
2*) парой точек.
4.4.3.	Принимая за линии и произвольно выбранное на поверхности однопараметрическое семейство геодезических линий, а их ортогональные траектории за линии v, показать, что в такой системе координат на поверхности (полугеодезической системе) первая квадратичная форма может быть приведена к виду
ds2 = du2 4~ Gdv2,	(а)
где G = G (и, v). Какой смысл имеет параметр и?
4.4.4.	Принимая произвольно выбранную на поверхности геодезическую линию за линию и = 0, ортогональные к ней геодезические линии за линии и, а их ортогональные траектории за линии и, показать, что в построенной таким образом системе координат (полугеодезической системе с опорной геодезической линией) первая квадратичная форма приводится к виду (а) (см. задачу 4.4.3) с дополнительными условиями
G(0, v) = 1, G„(0, v) = 0.
4.4.5.	Показать, что на поверхностях постоянной кривизны К в полугеодезической системе координат с опорной геодезической первая квадратичная форма приводится к виду:
1)	ds2 = du2 + dv2, /< = 0;
2)	ds2 = du2 4- cos2 УК udv2, К > 0;
3)	ds2 = du2 4- ch2 У — К udv2, /< < 0.
4.4.6.	При изгибании поверхности геодезические линии переходят в геодезические линии. Почему?
4.4.7.	Написать дифференциальное уравнение геодезических линий (кривая представляется уравнением v =
= v (и)) в полугеодезической системе координат на поверхности
4.4.8.	Доказать, что вектор касательной к линии не испытывает смещения в касательной плоскости лишь тогда, когда линия является геодезической.
4.4.9.	Доказать, что поверхность, допускающая ортогональную геодезическую сеть (оба семейства линий состоят из геодезических), есть торс.
4.4.10.	Доказать, что если линии однопараметрического семейства линий на поверхности параллельны друг другу (длины дуг их ортогональных траекторий между двумя любыми кривыми семейства равны между собой), то ортогональные траектории семейства есть геодезические.
4.4.11.	Линия пересечения двух поверхностей является геодезической на обеих этих поверхностях. Доказать, что эта линия прямая.
4.4.12.	Система координат на плоскости, состоящая из касательных к кривой у и их ортогональных траекторий (эвольвент кривой у), есть полугеодезическая система. Найти первую квадратичную форму плоскости в такой системе.
4.4.13.	Доказать, что если две поверхности касаются друг друга вдоль некоторой кривой у и на одной из них кривая у геодезическая, то и на второй поверхности она геодезическая.
4.4.14.	Торс о есть огибающая семейства спрямляющих плоскостей кривой у. Показать, что кривая у лежит на о. Доказать, что при изгибании торса на плоскость кривая у перейдет в прямую линию.
4.4.15.	Доказать, что линия на поверхности, вдоль которой единичный вектор касательной к ней переносится параллельно (в смысле внутренней геометрии поверхности), есть геодезическая линия этой поверхности (§ 2, гл. 5).
4.4.16.	Чему равна геодезическая кривизна асимптотической линии поверхности?
4.4.17.	Найти геодезическую кривизну линий кривизны поверхности.
4.4.18.	Доказать, что сумма углов геодезического треугольника:
а)	равна двум прямым углам на поверхности нулевой кривизны;
б)	больше двух прямых углов на поверхности положительной кривизны;
в)	меньше двух прямых углов на поверхности отрицательной кривизны.
4.4.19.	Линейчатая поверхность а определяется уравнением
г = р (м) + Ы(и),
где I (и) — единичный вектор, параллельный образующей поверхности. Линией сжатия (стрикционной линией) поверхности ст называется линия, определяемая равенством
Доказать, что в точках пересечения с линией сжатия ортогональные траектории семейства прямолинейных образующих поверхности о имеют нулевую геодезическую кривизну.
4.4.20.	Торс, касающийся поверхности ст вдоль некоторой кривой у, называется поверхностной полосой, соответствующей кривой у. Доказать, что при изгибании торса на плоскость линия у переходит в прямую тогда и только тогда, когда она есть геодезическая линия поверхности ст. (Предварительно показать, что торс, огибаемый плоскостями, касающимися поверхности ст вдоль кривой у, содержит эту кривую.)
4.4.21.	Доказать, что если поверхность ст допускает сеть с постоянным углом между ее линиями и линии каждого из семейств, образующих сеть, имеют постоянную геодезическую кривизну, то поверхность ст есть поверхность постоянной отрицательной кривизны или торс (в случае, когда геодезическая кривизна линий равна нулю, следовательно, когда указанные линии есть геодезические).
4.4.22.	Показать, что при изгибании на плоскость поверхностной полосы, соответствующей кривой у (см. задачу 4.4.20), кривая у переходит в плоскую кривую у', кривизна которой равна геодезической кривизне кривой у.
4.4.23.	Доказать, что радиус геодезической кривизны параллели поверхности вращения ст (величина, обратная геодезической кривизне) равен отрезку касательной к меридиану, заключенному между точкой касания и осью поверхности ст (теорема Клер о).
4.4.24.	Доказать, что кручение х геодезической линии, определяемой направлением du : dv, находится по формуле
__ _ (LF — ME) du3 -k (LG — NE) dudv + (MG — NF) dv3
K ~	Y EG —F3 (Edu3 + ZFdudv + Gdv3)
4.4.25.	Доказать, что кручение геодезической линии, касающейся линии кривизны поверхности, равно нулю.
4.4.26.	Доказать, что каждая плоская геодезическая линия, отличная от прямой, есть линия кривизны поверхности.
4.4.27.	Найти (с помощью трех квадратур) геодезические линии на поверхности нулевой кривизны.
4.4.28.	Доказать, что на поверхности вращения вдоль каждой геодезической линии произведение радиуса параллели на синус угла между геодезической линией и меридианом постоянно.
4.4.29.	Геодезическ им кругом (кругом расстояний, кругом Гаусса) называется область на поверхности, полученная откладыванием на каждой геодезической линии, проходящей через фиксированную точку О поверхности, от этой точки отрезка постоянной длины. Доказать, что граница геодезического круга (геодезическая окружность, окружность Г а у с -с а) ортогональна ко всем упомянутым отрезкам геодезических линий.
4.4.30.	Геодезической окружностью кривизны (окружностью Дарбу) называется ли.;ия на поверхности о, имеющая постоянную геодезическую кривизну. Доказать, что окружность Дарбу есть окружность Гаусса тогда и только тогда, когда поверхность о есть поверхность постоянной кривизны.
4.4.31.	Составить дифференциальное уравнение геодезических линий на прямом геликоиде, отнесенном к своим прямолинейным образующим и к их ортогональным траекториям.
4.4.32.	Найти с помощью двух квадратур геодезические линии на цилиндре.
4.4.33.	Найти геодезические линии на поверхности постоянной положительной кривизны, отнесенной к полу-геодезической системе координат с опорной геодезической линией.
4.4.34.	Показать, что каждая геодезическая линия на цилиндре пересекает прямолинейные образующие цилиндра под постоянным углом.
4.4.35.	Написать конечное уравнение геодезических линий на конусе.
4.4.36.	Определить геодезическую кривизну параллелей и меридианов поверхности вращения, задаваемой уравне-
нием
г (и, v) = {f (и) cos v, f (и) sin v, и}.
4.4.37.	Найти геодезическую кривизну винтовой линии г (и) = {a cos v, a sin v, hv}:
а)	на геликоиде х = bu cos v, у = bu sin v, z = hv;
б)	на цилиндре х = а cos v, у = а sin v, г = и.
4» 4.38. Вычислить геодезическую кривизну линии и = sh v, О и Ц»>
на геликоиде х = и cos v, у = и sin v, z = v.
4.4.39.	Определить геодезическую кривизну координатных линий произвольной поверхности.
4.4.40.	Найти геодезические кривизны координатных линий поверхности с линейным элементом ds2 = Edu2 4-+ Gdv2.
4.4.41.	Поверхность ст образована касательными к линии р = р (s) с кривизной k (s). На касательных от точек касания по обе стороны отложены отрезки длины I. Определить геодезическую кривизну линий, описываемых концами отложенных отрезков на поверхности о.
4.4.42.	На поверхности с метрикой
ds2 — (и1 + cos v + 2) (du2 4- dv2} найти геодезическую кривизну линии v = л.
4.4.43.	На поверхности с метрикой ds2 = du2 + ch2wdu2 найти геодезическую кривизну линии v = In ch и (орицикла плоскости Лобачевского).
4.4.44.	Найти геодезические линии поверхности г =« = г (и, v), первая квадратичная форма которой имеет вид ds2 = du2 4* В2 (и) dv2.
4.4.45.	Найти геодезические линии и гауссову кривизну полуплоскости Пуанкаре, т. е. полуплоскости о > 0 с метрикой
ds2 = du2 + dv3 .
V2
4.4.46.	На минимальной поверхности (Н — 0) имеется сопряженная сеть, образованная геодезическими линиями. Определить вид такой поверхности.
4.4.47.	Если на поверхности существует два семейства геодезических линий таких, что геодезические линии одного семейства пересекают под постоянным углом геодезические
линии другого семейства, то поверхность является развертывающейся. Обратно, у любой развертывающейся поверхности существуют семейства геодезических линий, обладающие указанным свойством. Доказать это.
4.4.48.	Если на материальную точку, принужденную двигаться по некоторой поверхности, не действуют внешние силы, то точка будет двигаться по геодезической линии поверхности. Доказать это.
4.4.49.	На поверхности лежит невесомая нить, которая может свободно передвигаться на поверхности, но не может отрываться от нее. Если эта нить с некоторой силой натянута между двумя точками поверхности и находится в состоянии равновесия, то она пролегает по геодезической линии (предполагается, что на нить не действуют никакие силы, кроме сил натяжения и реакции поверхности). Доказать это.
Глава 5
ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. ОПЕРАЦИИ НАД ТЕНЗОРАМИ
Пусть Qn — некоторое n-мерное многообразие и Та — система координат на нем, ставящая в соответствие каждой точке М многообразия координаты х1, ..., хп. От системы Тй можно перейти к любой другой системе координат Т по формулам
х1' — х1' (х1), I, i' = 1
От функций х1' требуется, чтобы они были дифференцируемы, их производные непрерывны и чтобы определитель
J =
дх1'
дх‘
был отличен от нуля в некоторой области, J ф 0. В этом случае уравнения (1) могут быть решены относительно х1:
При этом, как известно,
х‘ — х1 (х*').
дх1
Г =
дх‘
J ’
а потому J' также отличен от нуля.
Формулы (1) есть формулы перехода от системы координат Та к системе Т, формулы (2) есть формулы обратного перехода. Пусть
.......х"),	.......ip, .............../?=	i......n, (3)
— совокупность п”*" функций от х1. Совокупность функций (3) называется тензором (тензорным полем) валентности р + 4- q (р раз ковариантным и q раз контравариантным), если при преобразовании системы координат эти функции изменяются по закону
дх1 дх" дх1' дх1Р /,.../
л г /-------:— . » ♦ --г-*	, . • •  , 1 i	г*)
dxh
Все индексы пробегают значения от 1 до п.
Каждая отдельно взятая функция (3) называется компонентой (или компонентом) тензора.
Одновалентный тензор называется вектором, соответственно ковариантным или контравариантным. Названия «ковариантный» или «контравариантный» объясняются следующим образом.
Будем интерпретировать (что не нарушает общности рассуждения) многообразие Q,2 как область евклидова пространства Еп. Координаты х1 в общем случае — криволинейные координаты точки М в этом пространстве. Фиксируя каким-то образом начало О радиуса-вектора точки М, получим векторное (или векторно-параметрическое) уравнение области Q„:
Векторы
~г — дг г‘“ 17"
есть векторы, касательные к координатным линиям. В каждой точке М пространства векторы г(- образуют локальную систему координат, которую также обозначим символом То. При переходе от системы То к системе Т координатные векторы изменяются по формуле
-» дх1 -> ri’ = ri’ дх
а при обратном переходе по формуле
-► дх1’ -*
г. = —— rt,.	(6)
дх
Сравнивая формулы (5) и (6) с формулами (4), видим, что каждому нижнему индексу функции, стоящему слева в равенстве (4), соответствуют коэффициенты равенства (5), а каждому верхнему — коэффициенты равенства (6). Иными словами, по нижним индексам тензор сопре-образуется (является ковариантным) с системой координат, по верхним индексам — противопреобразуется (является контравариантным) с ней. Термины «ковариантный» и «контравариантный» как раз и означают «сопреобразующийся» и «противопреобразующийся».
Каждая новая компонента тензора (см. соотношение (4)) есть линейная однородная функция старых компонент. Это означает, что если в одной системе координат все компоненты равны нулю, то такими же будут и все его компоненты в любой другой системе. О таком тензоре
говорят, что он равен нулю. Равенство тензора нулю есть, таким образом, его инвариантная характеристика.
Любую совокупность из np+p функций в системе То можно считать тензором, если при переходе к системе То эти функции заменяются другими по формулам (4). При этом необходимо учесть следующее.
дх'1	dx'v
В правых частях формул (4) функции и —г-............—— зависят
‘1-‘р дх1'	gx‘q
от х1..х”. Во всех этих функциях следует заменить х‘ их значениями
по формулам (2). Тогда, выполнив те операции, которые указаны в формуле (4), получим компоненты т'\	.
‘глр
Для тензоров установлены следующие операции.
1.	Сложение. Складывать можно только тензоры одинаковой структуры, т. е. количества нижних и верхних индексов одного тензора должны соответственно равняться количествам нижних и верхних индексов другого тензора, при этом все индексы должны изменяться в одних и тех же пределах. Суммируются компоненты с одинаковыми индексами
^"^+ = & р	р	р
Оба тензора зависят от одних и тех же переменных. Это подразумевается и во всех дальнейших операциях.
Сумма двух тензоров есть тензор той же структуры, что и слагаемые тензоры. Сложение, очевидно, подчинено коммутативному закону.
Аналогично может быть определено вычитание тензоров.
2.	Умножение. Умножать можно произвольные тензоры. По определению
(8)
Произведение есть тензор, валентность которого равна сумме валентностей перемножаемых тензоров, причем отдельно складывают количества как верхних, так и нижних индексов. В общем случае при перестановке сомножителей изменяется и произведение. Например, а‘6* =#= Ь1^.
3.	Свертывание. Этой операции могут подвергаться тензоры одновременно ковариантные и контравариантные. (Иногда это требование опускается). Для свертывания отождествляем какую-либо пару индексов, из которых один — верхний, другой — нижний. По этим индексам (после отождествления — по одному) необходимо выполнять суммирование:
^/ = ^7-	<9)
Результат свертывания есть тензор, валентность которого на 2 меньше валентности первоначального тензора. При этом как количество верхних, так и количество нижних индексов уменьшается на единицу.
4.	Поднимание и опускание индексов. Пусть — какой-либо симметричный, atj = a-L, дважды ковариантный тензор и — произвольный тензор (для примера мы взяли трехвалентный), содержащий хотя бы один верхний индекс.
Операция, в результате которой получается тензор
=	0°)
называется операцией опускания индекса. Аналогично, если взять дважды контравариантный симметричный тензор а4, то операция, приводящая к тензору
и11т =	(11)
называется операцией поднимания индекса. В результате опускания (поднимания) индексов уменьшается на единицу количество верхних (нижних) индексов и на столько же увеличивается количество нижних (верхних) индексов. Результат опускания или поднимания зависит от порядка тензоров-сомножителей.
Нередко индекс поднимают или опускают на вполне определенное место в ряду индексов. Тогда соответствующее место обозначают точкой;
"L^iA-
В этом случае порядок записи тензоров а и Т не играет роли.
5.	Подстановка индексов. Выполнив какую-нибудь подстановку индексов тензора, получают новый тензор, компоненты которого равны компонентам первоначального тензора, но стоят эти компоненты на разных местах. Например, если blijk = aljlk, то в общем случае * aijk-
6.	Симметрирование тензоров. Пусть T°t’ljlms — какой-либо тензор. Фиксируем какое-то количество его индексов (одновременно верхних или нижних). Пусть, например, это будут нижние индексы /, /, т. Образуем следующий тензор:
г mb ___rpab	____1 /'pab • 'pab , ^pab i
u Ijklms 1 t(/|£|/m)s з । v ijklms T 1 ilkmjs T 1 imk/ls ‘
+	02)
Тензор U^klms симметричен по всем индексам /, m, l, т. e. его компоненты не изменяют своей величины при перестановке любой пары из этих грех индексов. Операция, приводящая к тензору и^Ыт, называется симметрированием тензора Tfjklms по индексам /, /, т. Из равенства (12) следует, что симметрированный тензор часто обозначается той же буквой, что и первоначальный, а индексы, по которым производится симметрирование, заключаются в круглые скобки. Индексы, не участвующие в симметрировании, выделяются вертикальными черточками, которые ставят столько раз, сколько это необходимо.
7.	Альтернирование тензоров. Эту операцию легко понять из следующего равенства:
i/ofr __'pub	_ 1 ,rpab	, rpab	, rpab ___
'ijklms	1 Z[/|A|Zm]s	3 |V ijklms ‘ 1 ilkmjs г * imkjls
-Ttkij^	(13)
•oo ______j>ab
ilkjms	1 ijkmls
г
Тензор vf?klms кососимметричен по индексам /, т, I, т. е. его компоненты изменяют знаки при перестановке любой пары индексов /, т, I. Такой кососимметричный тензор часто обозначается той же буквой, что и первоначальный, но индексы, по которым производится альтернирование, заключаются в квадратные скобки. Индексы, не участвующие в альтернировании, также выделяются черточками.
Если тензор был уже симметричен или кососимметричен по некоторым индексам, то его симметрирование или альтернирование по данным индексам не изменяет его.
8.	Ковариантное дифференцирование. Частные производные
дТ1('
-----(14) дх
тензора Т, ,q тензора не образуют, т. е. при переходе от системы Тй
к совершенно произвольной системе Т производные компонент Т ! ? ‘г-1р по переменным х1 не являются линейными однородными функциями производных (14). Исключение составляет тензор нулевой валентности (инвариант). Однако из компонент тензора Т'{''и их производных (14) можно образовать величины, которые будут представлять собой тензоры. Примером таких величин являются так называемые риантные или абсолютные производные Чтобы их получить, возьмем какую-нибудь совокупность
к о в а -тензора, функций
4(х\ ... , хп),	(15)
симметричных по нижним индексам, на которые наложено то условие, что при переходе к новой системе координат эти функции преобразуются по формулам
ь, dxk' д? дх1 ь дх? дахк
Ат =	~ а 7 ~77~ + TV Т7Т/~ •	(16)
дхе дх1 дх‘	дх* дх дх!
Тогда, как может быть непосредственно проверено, функции
(J 1 I I
rtki -	+a‘^'i + • • • +	: V -	’
Р 0Х	Р	Р
-°^т№р--------------07) i
образуют тензор валентности р + q + 1 р + 1 раз ковариантный и,	'
q раз контравариантный. При этом по определению индексы ilt..., ip,	\
it, ... jq после операции умножения ставятся на место индекса /, а ин-	!
деке i — на последнее место. Индекс i координаты, по которой произ-	'
водится дифференцирование, отделяется от остальных нижних индексов запятой. Аналогично, вторая ковариантная производная обознача-
ется символом Т " tj, третья — символом Ту и т. д.	j
Однако в некоторых случаях наличие запятой не означает ковариантного дифференцирования. Например в символах Кристоффеля первого рода Г, в тензорах кривизны R^ Rk[ ц (см. § 2).
Ковариантное дифференцирование суммы и произведения тензоров подчиняется тем же законам, что и обычное дифференцирование: (т + и)л = тл + ил, (TU)л = т ли + тил.
В правой части последнего равенства менять местами сомножители нельзя.
Тензор DT — Т j dx‘ называется абсолютным дифференциалом тензора Т (индексы не выписаны).
Если имеем совокупность функций
Л’"?,	(18)
О которые при преобразовании координат х1' = х‘‘ (х‘)	(19)
изменяются по формулам
-4 = /г-4	.....л/- /Л,	(20)
Ч лр ‘г лр \ дх‘ дх1дх1	1 ₽/
то эту совокупность называют геометрическим объектом. Таким объектом, как показывают равенства (19), являются, в частности, координаты точки в той или иной системе координат.
Согласно равенствам (4), тензор есть геометрический объект, а так как его компоненты в новой системе координат есть линейные однородные функции его компонент в старой системе, то можно сказать, что тензор есть линейный однородный геометрический объект.
Равенства (16) показывают, что входящие в них функции образуют линейный, но не однородный геометрический объект. Очевидно, объект при линейном преобразовании координат х1' —	+ а*’,
где а1' — постоянные, ведет себя как тензор, поскольку 52? ----------------------------------- 0. дх‘‘дх1
Однако, говоря о преобразовании координат, мы должны иметь в виду самое общее такое преобразование.
В заданной системе координат компоненты объекта А, Л могут - р быть выбраны совершенно произвольно. Эти же компоненты во всякой иной системе координат определяются формулами (20).
5.1.1.	Дано преобразование системы координат
/	’	. f	'У
Х = х2 + у2 ’ У х2 + у2 •
Зная компоненты тензоров в системе координат ху, найти их компоненты в системе х'у' (х = х1, у = х2, х' = х1', у' = х2):
1)	Оц = ^ + У2. fli2 = х, а21 = у, а22 =	!
2)	а\ = х, a2i — х + у, al = х — у, а2 = У,
3)	а1 = ху, а2 = -^-> 4) аг = х 4- у, а2 = х — у;
5)	ah = х, а\2 = у, a2i = х + у, al2 — х — у,
а\у = х2, а?2 = У2, а21 = х2 + у2, а22 = х2 — у2;
6)	ап = sin х, а12 = cos х, а21 =  *	, а22 = —i-;
Olli	LUO «V
7)	== & » ^12== & » ^21 == х, а22 = у,
5.1.2.	Найти сумму тензоров:
1)	а„ = х2 + у2, а12 = х, а21 = у, а22 = х2 — у2, bl2 = ху, btl = х, b22 = х, Ь21 = х2 — у2;
2)	а{ = х, а? = 0, bl = ху, Ь\ = у,	al = 0, 6} = 0,	= у, bl = o-,
3)	а11 = х2, а12 = ух, а21 = ху2, а22 = у2, Ь22 = у2, Ь21 = х, Ь12 = у, Ьп = х2;		
4)	^=1, а2 — 2х.	61 = 2у,	Ь2 = 1.
5.1.3. Перемножить		тензоры	(в порядке их записи)
1)	2	1 (21 — х, а2 = У»	2 а2 = ху,	„1 х Я1 = —, У
а1 = 1, а2 = х2 + у2-,
2) Ь\ = х2, bl = у,	bl = х,	bl = у2,
Ь21 = х, Ь22 = у,	ь12 = х	1 II 1
3) с2Х = х, с12 = у,	с11 = 0,	с22 = 0, с1 = 1, с2 — ху\
4) 4 = х\ 4 = у3,	d\ = х2,	d2 = у2, d2 = х, d1 = у.
5.1.4.	Перемножить тензоры из задачи 5.1.3 в порядке, противоположном заданному.
5.1.5.	Дан тензор
Т}1 = л:1 + (X2)8, ТГ = х1 + *а, Т21=хгх2, 7f=l, т'1 = х2 + (х1)2, Т122 = х1 — х2; Th =	, 7f = 0.
1)	Свернуть его по нижнему и второму верхнему индексам.
2)	Свернуть его по нижнему и первому верхнему индексам.
5.1.6.	Дан тензор
Tit = sin х1 + cos х2, Т\2 = х1, Th = (х1)2, Tl22 = xtf, Th ~— sin x1 — cos x2, т\2 — х2, Th = (x2)2, Th = ~.
1)	Симметрировать его по нижним индексам.
2)	Альтернировать его по тем же индексам.
5.1.7.	Дан четырехвалентный тензор
7?1 = 1, 7?2 = х1, T\2i = х2, Т\22 = х1 + х2, Т2П = х1 — х2,
Ti12 = 2, ТГ‘ = 0, Т222 = 1 , T2ik = 0 и симметричный дважды ковариантный тензор ап = 0, а12 = а21 = хгх2, а22=1.
Опустить средний индекс у тензора Тдк, умножив его слева (справа) на тензор apj. Зависит ли результат от порядка сомножителей?
5.1.8.	Дан трехвалентный тензор
Т1п = 0, Т\2 = х'х2, Th = х1 + х2, Th - 1, Th = 1, Th = x1 - x2, Th = x1 + x2, Th = 0 и симметричный дважды контравариантный тензор а11 = х1, а22 — х2, а12 = а21 = х1 + х2.
Поднять первый нижний индекс у тензора Т^-, умножив его слева (справа) на тензор aiq. Зависит ли результат от порядка сомножителей?
5.1.9.	Показать, что если трехвалентный ковариантный тензор удовлетворяет условиям
Tijk — Tjik, Tijkuu!uk — 0
при любом выборе контравариантного вектора и1, то компоненты этого тензора удовлетворяют условию
Т ijk + Т jkt + Tktj = 0.
5.1.10.	Доказать, что если тензор удовлетворяет соотношению
Т iikiulv'ukvl — 0 при любом выборе векторов и1 и v‘, то Ti/ki + Tkjii + Tukj + Tkitj — 0; при дополнительных условиях
Tijki + Tfiki = О, Тtjki + Tijik = 0, Ti/ki + Тjku + Tkiji — о тензор равен нулю.
5.1.11.	Доказать, что если соотношение u^v^Wy = О
справедливо при любом выборе векторов и“, а>а, удовлетворяющих условию
vawa = О, то
W?aP) = s(a6p), где sa — некоторый ковариантный вектор.
5.1.12.	Доказать, что
й[а[Р^у]б] =	(&а(5&?6	^ау^|36 ^бР^уа Н- Ябу^ра).
5.1.13.	Доказать, что если atjiSuJ есть инвариант преобразования х1' — Kix1, при котором и1' = X; и1, a aiz- — симметричный объект относительно этого же преобразования, то а,, есть тензор, т. е. а,'/- = Xf-A/'a//,	= б/,.
5.1.14.	Доказать, что если a,-z = ац — невырожденный дважды ковариантный тензор (| а,, | =^= 0), то объект, определяемый системой уравнений
ik с/?
Q-ijCl — Оу 9 есть симметричный дважды контравариантный тензор.
5.1.15.	Если aij — компоненты тензора, а а и b — инварианты и baij + caji — 0, то либо Ь = —с и ai; — симметричный тензор, либо b = с, а aiz — кососимметричный тензор. Доказать это.
5.1.16.	Доказать, что ранг тензора а^- = щЬ, равен единице, а ранг тензора + afii равен 2. (Р а н г о м двух
валентного тензора называют ранг определителя, составленного из компонент этого тензора.)
5.1.17.	Доказать, что ранг двухвалентного тензора инвариантен относительно преобразования координат.
5.1.18.	Доказать, что если равенство u'jVj = имеет место для любого ковариантного вектора о,, то и{ = об', причем о не зависит от v{.
5.1.19.	Какому условию должен удовлетворять тензор aij для того, чтобы он имел вид dit = d{bj?
5.1.20.	Пусть х{’ = а1' (х‘) — преобразование координат. Функция J называется относительным инвариантом веса К, если
Пусть at], a*!, a'i — двухвалентные тензоры. Доказать, что | atj | есть относительный инвариант веса — 2, | аг'/| — относительный инвариант веса 2, | а{ | — абсолютный инвариант (вес равен нулю).
5.1.21.	Доказать, что если тензор Тць симметричен относительно индексов I, j, то
Т(ijk) = — (Tijk -f- Тjki + Tktj).
5.1.22.	Доказать, что если тензор Tijk кососимметричен относительно индексов i, j, то
Т[‘/fcJ — ~ ‘7* + Т/М + Тkij}-
5.1.23.	Найти ковариантные производные тензоров Тц и Тр с помощью геометрического объекта aps. Рассмотреть случаи:
1)	7? = х1, Т2 = 0, 7? = 0, Ti = х'х\
Т? = Зх1, ff = х1 — х2, Tf = 0, Т? = х2;
2)	Гп = 0, Т{2 = х1 + х2, Tl2V = 2х2, 74 = 1,
tf = 2х\ Tf = х1 — х2, T22I = ххх2, Tl2 = 0, если
ah = (я1)2, а\2 — ah = xJx2, а22 = (х2)2,
2 л 2	2	X1 2	г,
an = (J, С12 = Й21 = -^2" , Й22 = и.
5.1.24.	Найти с помощью геометрического объекта, заданного в задаче 5.1.23, ковариантные производные тензоров, данных в задачах 5.1.1—5.1.3, 5.1.5—5.1.7.
5.1.25.	Пусть gij (хк) — симметричный тензор. Доказать, что квадратичная форма gtjdxtdxi инвариантна относительно произвольного преобразования координат.
5.1.26.	Доказать справедливость равенства дТ. дТ.
Примечание. Дважды ковариантный кососимметричный тензор называется бивектором. Здесь имеем частный случай такого бивектора. В общем случае бивектор определяет площадь двумерной площадки и обход ограничивающего ее контура. Аналогично определяется произвольный т-вектор.
5.1.27.	Взяв невырожденный, | а,ц |	0, симметричный,
atj = ац, дважды ковариантный тензор ац, можно образовать дважды контравариантный тензор а‘/, решив систему уравнений
а^а' —
Тогда символы Кристоффеля первого рода определяем по формуле
г 1 (даУ , daik	дач
к,1>'	2 \ дх!- дх/	gxk у ’
а символы Кристоффеля второго рода по формуле
it == aklTltii.
С помощью тензоров а,/, а,Ч можно производить операции опускания и поднимания индексов, а с помощью полученных символов Кристоффеля второго рода —операцию ковариантного дифференцирования.
Объект Г*/ при преобразовании координат х1' = = х1' (х1, ..., х") изменяется по закону
рй' _ pfe.	дх1	дх1	дх*’	. d2xk	дхк'
1'1' ~ 1/	дхе	дх’’	дхк	+	дх1'дх!'	дх11
(21)
и называется объектом аффинной связное-т и.
Пространство аффинной связности характеризуется двумя тензорными полями: тензором кручения типа (1, 2) с компонентами
n = rL-rk
и тензором кривизны типа (1, 3) с компонентами pi ____________ । р/ pi pi pi
^k,P4 ~ ~d^ dx?~ + 1 *pl lq 1 ip'
Тензор кручения антисимметричен по нижним индексам.
1)	Доказать, что ковариантные производные тензоров atj, а1> равны нулю.
2)	Доказать, что операции поднимания и опускания индексов коммутативны с операцией ковариантного дифференцирования.
3)	Доказать, что ак,ц — аь,ц =
4)	Доказать, что а*/ — а*/ = — 7?i/,sas.
5)	Найти разность ay,sp — cfi/,ps.
6)	На плоскости с координатами и1, и2 найти аффинную связность, относительно которой векторные поля X (е"1, 1}, Y {0, е“2} ковариантно постоянны. Найти кручение и кривизну этой связности.
5.1.28.	Какому условию должен подчиняться симметричный линейный геометрический объект а*., т. е. объект, преобразующийся по закону
k' ____ dxk'	дх1	дх1	k . dxk' d2xk
1 1	дхк	дх1'	дх’	дхк	дх1'дх>'	’
для того чтобы путем подходящего преобразования системы координат его можно было привести к нулю, а*,' = О?
5.1.29.	Коэффициенты квадратичной формы а^х’х’ являются компонентами дважды ковариантного симметричного тензора, если преобразование переменных (координат) х1 осуществляется по формулам
х' = Ki'X^, | Я.,-' |	0.
Справедливо ли обратное утверждение?
5.1.30.	Тензор, определяемый равенством h-in.i _
й-ii...ip - s
называется контравариантной производной тензора a’f’f относительно тензора gij (gijgil = 6/). Доказать, что g’’’1 — 0.
5.1.31.	Даны тензоры и Ьыт. Построить из них путем одного умножения и свертывания тензоры первой, третьей и пятой валентности. Сколько их будет?
5.1.32.	Доказать, что если тензор Tijk симметричен по первым двум индексам и кососимметричен но второму и третьему, то он равен нулю.
5.1.33.	Пусть тензор Thijk обладает свойствами
Thijk + Thikj — 0, Thijk + Thjki + Thkij = 0.
а)	Если Thijk — Th/ik = 0, то тензор TMjk = 0.
б)	Если Thijk + Thjik = 0, то тензор Thijk = 0.
5.1.34.	Доказать, что если а(/-— симметрический, а Ьц -— кососимметрический тензоры, тоа^Ь1’ = 0.
5.1.35.	Тензор а1> является произведением двух векторов (т. е. = ± W) тогда и только тогда, когда его компоненты удовлетворяют соотношениям а^а!<! = а1ка>‘.
5.1.36.	Показать, что если трехвалентный тензор Тц (х) удовлетворяет условиям
Tlj = Thjt, Th4 (х) и‘и! = 0
при любом выборе контравариантного вектора и1, то этот тензор нулевой, т. е. Тц (х) = 0.
5.1.37.	Убедиться, что если m-ковариантный тензор удовлетворяет условиям
Тц .1 (х)и'иг ...и'т = 0
при любом выборе контравариантного вектора и‘, то
= 0.
5.1.38.	Показать, что если Та^иаи^—инвариант для произвольного вектора и1, то ТцА-Тц— тензор типа (0,2). Если, в частности, Та$иаи ' = 0, то Т(/ 4- Тj{ — 0.
5.1.39.	Если внутреннее произведение некоторого геометрического объекта, обозначенного буквой, снабженной индексами, с произвольным ковариантным (или контравари-антным) вектором является тензором типа (р, q), то сам объект представляет собой тензор типа (р, q + 1) (соответственно типа (р + 1, р)).
Пусть, например, Л“д. (х) ра (х) — компоненты тензора типа (0, 3) для произвольного ковектора р,-. Докажите, что A^jk (х) — тензор типа (1, 3).
5.1.40.	Доказать, что объект S?/ (х) = Г* (х) — Г*(х) является тензором типа (1, 2). Здесь Г?/ — объект связности.
5.1.41.	Непосредственной проверкой убедиться, что 7^'/,’...^/ — тензор типа (р, q 4* 1) (хотя бы для тензоров конкретного типа низкой валентности, например для a, alt ah, aij, a‘i, a)).
5.1.42.	Получить правило ковариантного дифференцирования суммы, разности, произведения и свертывания (хотя бы для случая тензоров а{, ah, а^-,	, a'j).
5.1.43.	Пусть Ап — пространство аффинной связности без кручения. Рассмотрим произвольную точку О с координатами Хо, Хо, ..., Xq. Введем новые координаты, полагая
xh = (ХЛ — Хо) 4- — Г«₽ (х0) (х“ — Хо) (X3 — Х^).
Доказать, что в новой системе координат точка О имеет координаты х1' = х2' = ... — хп' = 0 и что объект связности в точке О в новой системе координат обращается в нуль, т. е. Гг/< = 0. (Введенная таким образом система координат называется геодезической в точке О.)
5.1.44.	Пусть система координат, х является геодезической в ее начале, т. е. Гц (О) = 0. Доказать, что преобразование координат
xh' = ahaXa + aapTx“x3xv 4- (Zag?exax₽x1’xe 4- • • •
сохраняет геодезичность системы координат в начале координат. Здесь <4, fla₽v, <4₽уб, ••• —ПОСТОЯННЫв, | <4 | =# 0.
5.1.45.	Доказать, что можно указать систему координат х', в которой = 0 вдоль заданной кривой у. (Такая координатная система называется геодезической вдоль данной кривой у, а соответствующие координаты часто называются координатами Ферми.)
5.1.46.	Пространство аффинной связности Ап называется локально аффинным (или плоским), если в некоторой координатной системе (которая называется аффинной) объект связности обращается в нуль, т. е. Г?/ (х) = = 0.
Доказать, что Ап — локально аффинное тогда и только тогда, когда 5?/ = 0 и Rhijtk — 0.
5.1.47.	Убедиться, что в геодезической системе координат в точке О компоненты тензора Римана и его ковариантной производной выражаются так:

dVhkl (О) дх’
аГ>‘(0) о»	52Г«(О)
^Г^.(О)
5.1.48.	Учитывая задачу 5.1.47, убедиться в справедливости формул Бьянки.
5.1.49.	Убедиться, что Raj,k ~ 0 тогда и только тогда, когда Ян = /?Л.
§ 2. ТЕНЗОРЫ В ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Задавая уравнение поверхности в векторно-параметрической форме г = г (х‘), i= 1,2, имеем следующие характеристики поверхности:
П — векторы, касательные к координатным линиям;
(г.,	~ g(/- — первый метрический тензор;
п  ----—" - — единичный вектор нормали;
KlSi/l
г0‘*	— производные высших порядков радиуса-вектора г;
п) = — (Гр л;) = Ь£. — второй основной тензор поверхности;
г 1	дёц\	v _
Г. ,, = -----------------------— — символы Кристоффеля пер-
 '	2 \ дх1 дх' дхк /
вого рода;
gW— дважды контравариантный метрический тензор, определяемый системой уравнений gijglk = 6*;
— символы Кристоффеля второго рода;
Ч/ = Г?Л +
<Pj = gtjdx'dx' — первая квадратичная форма;
<р2 = b^dx'dx' — вторая квадратичная форма;
— деривационные уравнения (формулы);
ЗГ'у дГ^
Я/Ы = —£-------+ Г>7Г№ — Г£ЛГ// — тензор кривизны (тензор
Римана — Кристоффеля);
dgz	, dx' ।
	1- Г!-,-5=0 — уравнения, определяющие параллельно ds--------------1 ds
переносимый вектор I = £* г{ по поверхности вдоль кривой х‘ = х‘ (s).
5.2.1.	Что представляет собой поверхность, для которой gklbik = б<?
5.2.2.	Что представляет собой поверхность, для которой в специальной системе криволинейных координат имеют место равенства Г?/ = 0?
5.2.3.	Найти третью квадратичную форму поверхности
<Рз = dn2.
5.2.4.	Найти связь между первой, второй и третьей квадратичными формами.
5.2.5.	Показать, что форма
ф4 =
gudx1 g2{dx‘
b\idxl b2idxl
преобразуется по формуле
<р4
dxl dx1'
ф4
5.2.6.	Доказать, что форма ф4 = - р (см. задачу 5.2.5) инвариантна.Она называется четвертой квадратичной формой поверхности.
5.2.7.	Выразить форму ф4 (см. задачу 5.2.6) через формы Ф1 и ф2.
5.2.8.	Показать, что для кривой и‘ = n‘(s), i= 1, 2, на поверхности х“ = ха (и1), а = 1, 2, 3, справедливы формулы Френе
б/ , ёи‘ -ёг=ан1, -£- =
где s — длина дуги кривой, - i:  du1 6Л   d2u‘ . „г du' ds ’ 6s	ds2 ‘ 'k ds
— ст?/,
duk d}J .pl./.l
~dT = ~dT + 1 ikK K '
jil — единичный вектор, ортогональный к V, --------аб-
солютная производная вектора р/ по s,
dp1	k du1
= ST + 1 ~dT ’
a — геодезическая кривизна кривой.
5.2.9.	Выразить символы Кристоффеля второго рода через коэффициенты Е, F, G первой квадратичной формы поверхности ,
Ф1 = Е (dx1)2 + 2Fdx'dx2 + G (dx2)2.
5.2.10.	Сеть на поверхности называется чебышевской, если первая квадратичная форма имеет в ней вид
Ф1 = ds2 — (dx1)2 + 2 cos adx1dx2 + (dx2)2.
Найти для чебышевской сети символы Кристоффеля первого и второго рода.
5.2.11.	Доказать, что угол со между координатными линиями на поверхности определяется по формуле
812
5.2.12.	Доказать, что если два однопараметрических семейства линий на поверхности определяются уравнением
atjdx'-dxJ 0,
то угол 0 между кривыми семейств определяется равенством
tge^-	.
И|е<,|г'Ч,-
5.2.13.	Какому условию должны удовлетворять функции Г;у для того, чтобы они были символами Кристоффеля второго рода некоторой поверхности?
5.2.14.	Доказать, что при параллельном перенесении двух векторов по поверхности вдоль одной и той же кривой, угол между ними не изменяется.
5.2.15.	Тензор Rij,ki — Rsj.kgti называется четырежды ковариантным тензором кривизны. Непосредственным вычислением показать справедливость равенства Rij.ki = Rki.u-
> 5.2.16. Сколько отличных друг от друга компонент (с точностью до знака) имеет на поверхности тензор Rij.kR
5.2.17.	Доказать, что средняя кривизна поверхности Н = -g-	+ k2) (£х, k2 — главные кривизны) определя-
ется формулой
Я = 4 Л.
5.2.18.	Доказать, что если yi, — коэффициенты третьей квадратичной формы <р3 поверхности (см. задачу 5.2.3), то
Л/ = 4Я2-2Л.
где Н — средняя, К — полная кривизна поверхности.
5.2.19.	Что представляют собой поверхности, на которых формы ф, и фз (см. задачу 5.2.3) пропорциональны?
5.2.20.	Что представляет собой поверхность, на которой = О?
5.2.21.	Всякая поверхность может быть конформно отображена на плоскость. Следовательно, первая квадратичная форма на любой поверхности может быть представлена в виде
Ф, _ етх\хь ((^х1)2 -и (dx2)2),	(а)
где о (х1, х2) — некоторая функция. Найти символы Кристоффеля второго рода для коэффициентов первой квадратичной формы, определяемых равенством (а).
Примечание. Поскольку коэффициент при (dx1)2 + (dx2)2 положителен, то его можно представить в том виде, как это сделано в (а).
5.2.22.	Функция V (<р) = g‘J(pt4>f называется первым дифференциальным параметром функции ср, функция V (ф, ф) = ^Фгф/ называется дифференциальным бельтрамиевым параметром двух функций ф и ф (<р, и ф/ — производные функций ф и ф по х‘ и х<). Функция
Дф = gijfpij
называется вторым дифференциальным бельтрамиевым параметром функции <р (ф(,у — ковариантная производная вектора ф£).
Доказать, что
V (х1) =	, V (х1, х2) = - -/1^ .
v ' lg(yl 4	- lft/1
5.2.23.	Доказать справедливость равенства
д (г1\_____*	/ д ( gaa \__________д / gia \\
Vм' к19x1 \ /ЩЙ / дх2 \ Vw ))
(см. задачу 5.2.22).
5.2.24.	Доказать, что угол 6 двух кривых <р = const и ф = const на поверхности определяется равенством (см. задачу 5.2.22)
coso = --^>.
V УФУФ
5.2.25.	Доказать, что сеть, образованная двумя семействами линий ср (х1) = const, -ф (х‘) = const, является сопряженной тогда и только тогда, когда имеет место равенство
tf! дф	0
дх‘ дх1 ’
где	|М^=0.
5.2.26.	Доказать, что если и 4-----два взаимно со-
ds os
пряженных направления, образующих угол ф между собой, то
dx1 fix' „
V‘7 — — = -Ксозф, где уг/ — коэффициенты третьей квадратичной формы ф3| К — полная кривизна поверхности.
5.2.27.	Найти поверхности, у которых четвертая квадратичная форма пропорциональна первой.
5.2.28.	Доказать, что две любые поверхности могут быть конформно отображены друг на друга с произволом две функции одного аргумента.
5.2.29.	Показать, что если Х£ =	---вектор, составля-
ющий угол 0 с линией кривизны, то
йгД'А/ = (fe2 — kj) sin 0 cos 0, где klt k2 — главные кривизны,
hu = &Mgikbji, skl = -=±=.- efe', e11 = e22 = 0, rig;/1
eia = — e31 = 1.
5.2.30.	Найти все симметричные дважды ковариантные невырожденные тензоры а</, ковариантная производная которых в метрике gt, равна нулю.
5.2.31.	Найти поверхности, на которых в соответствующей системе координат выполняются равенства gt, = const.
dg  
5.2.32.	Найти поверхности, на которых I\tl/ = в соответствующей системе координат.
5.2.33.	Найти поверхности, на которых выполняются равенства
bij,k = 0.
5.?.34.	Найти символы Кристоффеля второго рода для поверхности, заданной уравнениями
х — х1, у = х2, z — /(х1, х2).
5.2.35.	Найти дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция <р (и1, и2, С) при условии, что кривые семейства ср (и1, и2, С) = 0 должны быть геодезическими линиями данной поверхности.
5.2.36.	Дана поверхность вращения
х — и1 cos и2, у — и1 sin и2, г = /(н1).
Найти ковариантные производные коэффициентов второй квадратичной формы.
5.2.37.	На поверхности вращения (см. задачу 5.2.36) задан вектор I = $г(, касательный к поверхности, причем в начальный момент Д = и1, ё2 = 0. Обнести вектор параллельно вдоль параллели поверхности. Найти угол между первоначальным и конечным векторами.
5.2.38.	Доказать, что при параллельном перенесении по поверхности вдоль меридиана вектора, касательного к параллели, этот вектор переносится параллельно в обычном смысле.
5.2.39.	Перенести параллельно по поверхности вращения вектор, касательный к меридиану, вдоль этого меридиана.
5.2.40.	Перенести параллельно по поверхности прямого геликоида вектор, касательный к этой поверхности. Перенос осуществляется вдоль витка винтовой линии. Найти угол (в пространстве) между первоначальным и конечным векторами.
§ 3. ТЕНЗОРЫ В РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
К основным понятиям римановой геометрии легче всего прийти через геометрию «-мерного евклидова пространства, отнесенного к криволинейным координатам. Частично повторим сказанное в § 1.
Пусть Еп — n-мерное евклидово пространство, отнесенное к прямоугольным декартовым координатам X* (i = 1, ..., п), точка О — начало координат, е° — орты системы. Радиус-вектор г произвольной точки М пространства можно записать в виде
r = X'e?,
(1)
где X1 — координаты как точки М, так и ее радиуса-вектора. От коор-
динат Х‘ можно перейти к произвольным криволинейным там х*, положив
X' = Xе (xf),
дХ‘ дх1
¥=0.
координа-
(2)
Д =
Подставляя равенства (2) в равенство (1), получим
г = X1 (х')е° = 1 (х\	(3)
Это равенство называют векторно-параметрическим уравнением области пространства Еп, отнесенного к координатам х‘. Линии, вдоль которых все х‘, кроме одной, фиксированы, есть координатные линии. Через каждую точку М пространства в области, где определены дифференцируемые функции (2), проходят п координатных линий. Они образуют координатную сеть в Еп. Векторы
д7	дХ< -о
г, =--- ----- ei
дх1	дх1 '
касательны к координатным линиям, проходящим через точку М. В силу неравенства Д 0 эти векторы линейно независимы. Вместе с точкой М они образуют подвижный репер пространства (обозначим через Т).
От координат х1 можно перейти к произвольным координатам
х1' (/', i = 1,
.... п), положив
х1 (х‘), J —
Формулы (4) есть формулы вания координат. Согласно
дх1 дх‘
¥=0.
(4)
прямого преобразо-неравенству 7 ¥= 0, их можно
однозначно решить относительно х‘ и прийти к формулам обратного преобразования:
‘ = х‘ (?'), Г =
дх1 дхе
(5)
Примечание. Во всех случаях предполагается выполнение условия существования системы неявных функций.
Векторы г, преобразуются по формулам - дх1 -г,-, -----------------------------г,-,
дх*'
(6)
Введем обозначения
(ri- rj> = Si,-	(7)
В силу формулы (6) функции gtj являются компонентами дважды ковариантного тензора, так как
дх*
дх1
дх1' дх1' S“'
6t
Назовем его метрическим тензором евклидова пространства. Поскольку векторы rt независимы, то |g(/l = g¥=°.
Кривая в пространстве задается параметрическими уравнениями х* — х* (7), или векторно-параметрическим уравнением
г = г (х‘ (/)) = г (0.	(8)
Дифференцируя равенства (8), имеем dx* dr = r.dx = г.--------------------------dt.
1	1 dt
Находим квадрат дифференциала ds длины дуги кривой
ds2 = dr2 = r^jdx'dx’ = gljdxtdx’.	(9)
Квадратичная форма (9) есть метрическая форма евклидова пространства, она инвариантна относительно преобразования координат:
g^j.dx1'dx1' = g^-dx'dx1.
В прямоугольной декартовой системе координат метрическая квадратичная форма имеет вид
ds2 = (dX1)2+  + (dXn)2 = (k\dx1)2 + ... + (X?dx‘')2,
, дХ*
где ‘к’- =---. Всякое направление в Еп определяется дифференциала-
dx'
ми dx*, точнее, их отношениями к одному из них. Угол между двумя направлениями в точке М, определяемыми дифференциалами dx‘, бх1, находится по формуле
gijdx^x'
COS 6 = -......’ .	.	(10)
V g1^dxldxl у gijbx,bxi
В частности, угол между координатными линиями х{ и х^ задается формулой 8ц cos <о •  = ———— .	(11)
Условие ортогональности двух направлений имеет вид gtjdxlbx' = 0.
Условие ортогональности координатной сети состоит в следующем: gl7 = 0, i ф j.	(12)
Длина дуги кривой: i __________________________________
s = f iZ & w -^-^-dt==s	(1з)
J V ‘	at at
В качестве параметра на кривой можно взять ее длину дуги Г = г (S). Тогда вектор -> dr -» dx1 х =------------------------= г,-----
ds ds
есть единичный вектор касательной к кривой. Векторы
-	д27
г0' ~ . i. j dx dx'
можно разложить по векторам /7:
= Г*Д	(14)
Коэффициенты Г*у-, как легко проверить, являются символами Кристоффеля второго рода, определяемыми невырожденным тензором g{.:
(15) где — символы Кристоффеля первого рода:
_ — _	1	[	d8tf	дёц	dgi/	\
rlrii~	9	I	я/	я	I	Г
2	\	дх	дх'	дх	/
Равенства (14) называют деривационными уравнения-м и пространства Еп. Эти уравнения вполне интегрируемы, т. е. dVk dVk
Kjt.i =^---^Г+ Г‘7Г« - Г"Г*/ = °-	(16)
Линия г = г (s) есть прямая тогда и только тогда, когда единичный вектор касательной к ней постоянен, т. е.
dx - dx‘ dx1' d2xk _ / k dx? dx-' , d2x& _ ds T{' ds ds Гк ds2 \ l/ ds ds ds2 j k
откуда	-£± + rt^^- = 0.	(17) ds2	‘l ds ds
Это дифференциальные уравнения прямых линий.
Пусть I — произвольный вектор. Разложим его по векторам репера Т. Получим
Если при перемещении точки М по некоторой кривой х‘ = х‘ (s) вектор —>	—*
I, приложенный к этой точке, не изменяется, то dl = 0, или
ИЛИ	dgA’	/ dxJ =	(18) ds	' ds
Большинство формул и уравнений, выписанных выше, инвариантно относительно преобразования координат. Это, например, формулы (9), (10), (13) и уравнения (14), (16) — (18). Риманова геометрия является естественным обобщением евклидовой геометрии. Это обобщение особенно наглядно в том случае, когда евклидова геометрия рассматривается в криволинейных координатах.
Возьмем n-мерное многообразие Vn, снабженное некоторой координатной системой х‘. В Vn введем	функций g(;. = g/7 (xk),
дифференцируемых столько раз, сколько это будет необходимо. В частности, функции g;.  могут быть аналитическими. Поставим условие, чтобы при преобразовании координат на многообразии совокупность функций вела себя как дважды ковариантный тензор и чтобы определяемая тензором gi;. инвариантная квадратичная форма <р = gi^dx1 была положительно определенной, т. е. проводилась бы к каноническому виду
Ф = («и1)2 + • • • 4- (о/1)2, где формы со( = l/jdxi линейно независимы.
Пусть М (х1) — некоторая точка многообразия Vn. Сопоставим с нею евклидово пространство Еп, отнесенное к некоторому неподвижному реперу О 0, и какую-то точку М' этого пространства. Построим li
ъЕп п линейно независимых векторов rit удовлетворяющих условию
(х*).	<19)
Равенствами (19) репер М'ц определяется с точностью до евклидова вращения. Выберем каким-нибудь образом положение репера. Если это сделать для каждой точки М (х1) многообразия Vn, то получим г; как некоторые функции от х*,
7, = 7f (xk).	(20)
Однако функции гг уже не являются в общем случае частными производными одной вектор-функции г (хЛ), а потому
Как и в евклидовом пространстве, положим
О/ = Gk^k,	(21)
но Gq ф Gkjt уже не являются символами Кристоффеля второго рода, определяемыми тензорами g^. Коэффициенты G?- не определяются однозначно с помощью компонент тензора так как они зависят также от того, как мы сопоставим с каждой точкой М (х1) положение репера п (п — 1)
г,, т. е. оттого, как зададим те-%-— параметров, от которых зави-
сит положение векторов rt- в точке М (х1), связанных соотношением (19), функциями от координат этой точки.
Очевидно, функции G^., входящие в систему (21), удовлетворяют условию интегрируемости
5G*,	3G*,
Т(и =	—Г------—+G'/G«-C^/=0-	(22)
дх	дх1
Однако, задав функции G1;-, удовлетворяющие условию (22), и интегрируя (21), получим функции Г( (х7), но не г (х7). Однако в основу наших рассуждений возьмем не систему (21) (вполне интегрируемую), а не вполне интегрируемую систему
О/ =	(23)
где Гц — символы Кристоффеля второго рода, определяемые заданным тензором g(j. Более того, положив dr = rjdx1, dri = Гцдх*, вместо системы (23) будем рассматривать следующую систему уравнений в полных дифференциалах:
dr = r{dxl, dr( = ГцГ/tdx'.	(24)
Здесь ни dr, ни dri не есть полные дифференциалы некоторых функций от п переменных х{. Однако всегда существуют одномерные интегральные многообразия системы (24). Действительно, возьмем какую-нибудь кривую у, х' — х1 (0, проходящую через точку М. Подставив функции х1 (/) в (24), придем к системе обыкновенных дифференциальных уравнений
dr	-♦ dx1
dt 1 dt
(25)
drt dt
(1 yj
= Г*-(? (0) rk— .
Проинтегрируем эту систему так, чтобы получаемая кривая евклидова пространства г — г (t) проходила через точку М', а векторы г, удовлетворяли равенствам (19), взятым в точке М. Мы получим в евклидовом пространстве некоторую кривую у’, проходящую через точку М', вместе с сопровождающим репером г{. Говорят, что риманово пространство развернуто на касательное евклидово пространство вдоль кривой у, или кривая у развернута в кривую у'. То же самое имеем и в случае, когда система (24) вполне интегрируема, т. е. когда имеем геометрию «-мерного евклидова пространства в криволинейных координатах. В случае полной интегрируемости системы (24) имеем обычную, или голономную, геометрию евклидова пространства. Если система (24) не вполне интегрируема, то говорят, что она также определяет геометрию евклидова пространства, но уже пространства неголономного. Такое пространство называют рима. новым пространством, а его геометрию — римановой геометрией. Таким образом риманово пространство задается как многообразие Vn, снабженное дважды ковариантным симметричным тензором g^, определяющим неголономную евклидову геометрию с помощью не вполне интегрируемой системы (24). В римановом пространстве инвариантными относительно преобразования координат х1 являются равенства (10), (13), (17), (18). Поэтому говорят, что эти равенства определяют соответственно угол между двумя кривыми, длину дуги кривой, геодезические линии (аналог прямых), параллельно переносимый вектор. При этом вектором в Vn называют одновалентный тензор £‘. Ему соответствует в Еп обычный вектор I = rit где определяются равенствами (24). Последние называют деривационными уравнениями (формулами) риманового пространства или формулами Френе — Картана. Разумеется, векторы г, мы имеем лишь тогда, когда в Vn задана некоторая кривая.
Объект, определяемый левой частью равенства (16), в общем случае отличен от нуля. Это есть тензор, называемый тензором Римана — Кристоффеля, или тензором кривизны.
Тензор R{p ц = —Rp{ называется четырежды ковариантным тензором кривизны. Этот тензор обладает свойствами
Rtp.ji ~ Rpi.il ~ Rip.ii = Rit.tp-
Тензор Rpj = Riptjlgil называется тензором Риччи.
Очевидно, внутренняя геометрия поверхности в трехмерном евклидовом пространстве есть геометрия двумерного риманова пространства.
Для тензора Римана — Кристоффеля справедливы так называемые тождества Риччи:
4.+^,/4-/?^ = о,
и тождества Бианки — Падова:
^,м + <м + Чи./ = °-
Примечания. 1. В последнем равенстве вторая запятая в каждом слагаемом означает ковариантное дифференцирование, первая же запятая не есть символ такого дифференцирования.
2. Термином «тождества Риччи» нередко обозначается равенство, определяющее выражение для разности смешанных вторых ковариантных производных тензора, например,
rpl ___ 'T'l __ rpl ryfl , rpl rfh
1 ll.jk ~ 1 it.kj — 1 ihKik.t "T 1 hiKlk,i-
Пусть Vm — некоторое m-мерное подпространство в Vn, определенное уравнениями
х1 = х1 (иа), а, р, . . . = 1.т.
Его метрическая квадратичная форма
ds2 = St i —---du*du* = a °duadu*,
‘ dua du*
где	dx1 dx1
aa& = 8ii du* '
В Vn существует n — m линейно независимых взаимно ортогональных векторов Х^,. (а< = т + 1.я), ортогональных
dx1
^Л'Ч' = 0’
ди
а', Р', ... = т + 1, ... , п, а' #= Р'.
Эти векторы могут быть нормированы, умножением на подходящие множители их модули можно привести к единице:	= 1.
При т = п — 1 имеем гиперповерхность Vn_P В этом случае есть
.	дх1 i ,
п — I векторов ---= х (греческий индекс указывает, что ковари-
диа
антные производные берутся относительно тензора aag), касательных к ней, и один единственный вектор нормали к ней Х‘.
Справедливы следующие деривационные уравнения гиперповерхности:
(isJ \
-Т =x,U=-r/^+V’ ди /,р
где символы Кристоффеля берутся в точках гиперповерхности Vn__l, а = ^₽а — некоторые коэффициенты, играющие роль коэффициентов второй квадратичной формы поверхности трехмерного евклидова пространства.
Условия полной интегрируемости уравнений (26) есть уравнения, которые по аналогии с теорией поверхностей в евклидовом пространстве называют уравнениями Гаусса и Петерсона — Кодацци
^сф.уб = "ау%б — ^аб^Ру + i / Мх1,ах^х^х‘,6’
Ц/Р.у	^ау.р = ^i/,klx‘a^x,y^'
где Яар в — четырежды ковариантный тензор кривизны, составленный из компонент тензора аа&, тензор же R^. k[ берется в точках гиперповерхности Vn_j.
Как следует из равенства (27), в отличие от трехмерного евклидова пространства, в эти уравнения, кроме тензоров аа^, Qag, в общем случае входят также и производные координат точек пространства Уп.
В случае евклидова пространства R^- kl — 0, а потому уравнения (27) принимают вид
^ар.уб = -^ау^рб ~
Чхр.у — ^ау.Р = °-
Для п = 3 имеем = 6ар, где — коэффициенты второй квадратичной формы поверхности. Тензор же имеет лишь одну компоненту Д12 12, а потому
Н 12.12 = ^11^22	^12>
6а₽,у “ &ау,₽ = °-Первое равенство есть уравнение Гаусса, второе — дает восемь уравнений, среди которых лишь два независимых. Это уравнения Петерсона — Кодацци.
В общем случае гиперповерхности риманова пространства форму <р2 = Qa$duadtfl называют второй квадратичной формой этой гиперповерхности.
Величина
Qnl>duadu^ kH = —---------—	(28)
a oduadu^ ctp называется нормальной кривизной гиперповерхности в направлении, определяемом дифференциалами dua. Экстремальные значения нормальной кривизны есть главные кривизны. Они определяются уравнением
I йа₽ — k»aafi I = °*	(29)
Главными называются направления на гиперповерхности, соответствующие главным кривизнам. Такие направления определяются равенствами
— Мар) = 0,	(30)
где k„ — соответствующая главная кривизна. Линии, касательные к которым имеют главные направления, называются линиями кривизны. (Под касательной понимается вектор, определяемый дифференциалами координат точки кривой.)
Два направления, аннулирующие билинейную форму от второй квадратичной формы, называются взаимно сопряжении-м и. Самосопряженные направления являются асимптотическими направлениями гиперповерхности. Линии, имеющие в каждой точке асимптотические направления, есть асимптотические линии.
Первая кривизна кривой, лежащей на гиперповерхности, определяется по формуле
dx{	5х£	dua
где ц, =---------------------единичный вектор касательной к кривой,
ds	дил	ds
Р2 — единичный вектор ее главной нормали. Последнее равенство может быть переписано в виде
1 t _ о	‘	‘	1 г<х du^ du* \
Pj	“₽ ds ds Х'а \ ds2 Pv ds ds ) ‘
(31)
Первое слагаемое в правой части есть вектор нормальной кривизны гиперповерхности, второе — вектор относительной или геодезической кривизны кривой.
При т ф п — 1 выбирают п — т каких-либо единичных векторов (а' — т + 1, ..., п), ортогональных к поверхности Vm. Вместо уравнений (26) получают следующие деривационные уравнения (формулы) поверхности Vm~.
х,ар = ^jkXMX,^ “Ь £ ^а'а^а"
(32)
^-а'.Р = ~ ^a'agQa?A:,T ~ r/fr*J3^a' + £ ^Р'а'Р^р'’
Р'
где
Hp'a'P =	+ ГмХр^аАр'-
При этом символы Кристоффеля Гц, Г^ц и тензор g^ берутся в точках поверхности (пространства) Ут.
Соответственно записываются и уравнения Гаусса и Петерсона — Кодацци.
Биквадратичная форма
Фа =. £ ^a.-a.^a.-yf,duadu^du/due> a"
не зависит от выбора ортонормированной системы векторов к1а,, ортогональных к Vm. Она называется второй основной формой поверхности. В случае т = п — 1 она оказывается квадратом второй квадратичной формы гиперповерхности.
Взаимно сопряженные направления на поверхности определяются равенством
а*
Самосопряженные направления есть асимптотические:
S Qa'apQa-v6du“du₽d“Vd“e = °-а'
Асимптотические линии — что линии, касательные к которым имеют асимптотические направления.
Линии кривизны определяются так же, как и для гиперповерхности, но применительно к каждому из п — т нормальных векторов А^„ Величина
йа' = a“₽Qa,a₽
есть сумма главных кривизн поверхности Vm, вычисленная для нормального вектора А^,. Она называется средней кривизной для вектора А^,.
Единичный вектор А1, определенный равенством
= S Йа'а₽«“Ч'.	(33)
а' называется средним нормальным вектором, где М — нормирующий множитель. Он не зависит от выбора векторов А‘/?, нормальных к Vm, и называется средней кривизной поверхности Vm.
Величина
„	dua dtp du? du6
- g A* — — ~ —	p4>
(ds2 = aa^duadu^)
— одна и та же для всех кривых пространства Vm, проходящих через заданную точку в заданном направлении. Это квадрат нормальной кривизны пространства (поверхности) Vm. Вектор
есть вектор нормальной кривизны.
Пространство Vm называется минимальным, если его средняя кривизна равна нулю для каждого вектора, нормального к Vm.
Вектор первой кривизны кривой в Vm определяется равенством du“ du.®
Pi § Q“'“₽ ds
ds
du1’ \ i
—3---- х а.”
ds / ,a
(35)
( d2ua a du? ds2 + ₽v ds
где Pg — единичный вектор первой нормали кривой. Линия на поверхности есть ее геодезическая линия, если координаты ее текущей точки удовлетворяют дифференциальным уравнениям
d2““ _L Г“	— О
ds2	ds ds
Поверхность Vm называется вполне геодезической, если каждая ее геодезическая линия является геодезической объемлющего пространства.
При т = 1 имеем кривую (VJ, погруженную в риманово пространство Vn. В этом случае п — 1 единичных взаимно перпендикулярных векторов, нормальных к И,, можно выбрать единственным образом так, чтобы они определялись внутренними свойствами самой кривой. Для таких векторов справедливы формулы Френе
dx> 1 , 1 ,»
ds ~	+ 77 р+1’ р ................’
где —----кривизна порядка р (при этом = 0) кривой Р1Ф
Рр	Ро	.
Вектор XJ есть вектор касательной к кривой, векторы Ц, ...Д* — векторы ее нормалей, соответственно первой, второй,..., п — 1.
Для геодезической линии имеем . = 0, а потому — = 0, т. е. ее первая кривизна равна нулю, а вектор первой нормали является неопределенным. В силу этого неопределенными являются следующие нормали и кривизны.
Разумеется, все приведенные выше соотношения можно получить и в терминах теории неголономных поверхностей евклидова пространства. Например, подставляя функциих1 = xl (иа), i, j, k, ... = 1, ..., п, а, р, у, ... = 1, .... п — 1 в уравнения (24), получим деривационные уравнения гиперповерхности Sn_j в Еп (в общем случае неголономной):
-» -» дх1	ь -» дх* „
dr = г.-----dua, dr.= Г?,- rk----dua.
1 диа	1	' диа
Векторы га касательны к поверхности р ее первый метрический тензор
-- дх1 дх1	~
Если п = Vг. — единичный вектор нормали к поверхности sn_j, то и2 = 1, (п, га) = 0, т. е.
. •	. dxJ
=	g.r-—=0.	(37)
ди?
Дифференцированием уравнений (36) и (37) можно прийти к уравнениям (26), условия же полной интегрируемости последних есть уравнения Гаусса и Петерсона — Кодацци (27).
5.3.1.	Доказать, что длина дуги кривой у в Vn есть длина дуги соответствующей кривой у' в Еп (по формулам (24)).
5.3.2.	Доказать, что угол между двумя направлениями в Vn равен углу между соответствующими направлениями в Еп (по формулам (24)).
5.3.3.	Доказать, что если кривая у — геодезическая, то у' — прямая.
5.3.4.	В каком случае замкнутый контур в Vn при развертывании на евклидово пространство переходит в замкнутый контур?
5.3.5.	Найти площадь двумерной поверхности х1 = и, х2 = v, х3 = и + v, х'1 = и — v
в четырехмерном пространстве с метрическим тензором £и = (л4)2, £=2 = *2, £зз = х1, gM = х3 + х4, gtj = 0, / =#= /, ограниченной линиями
= 1, и2 = 2, Uj =	, v2 = 1.
5.3.6.	Найти объем трехмерной поверхности (гиперповерхности)
х1 = и, х2 = v, х3 = w, х4 = 1
в четырехмерном пространстве V4 с метрическим тензором £и = х2, £22 = х1, £33 = х3, gM = X4, gij = 0, i =£j, ограниченной гранями
и4 — 1, ы2 = 2, Vj = 1, v2 = 2,	= 1, w2 = 2.
5.3.7.	На поверхности
х‘ = х‘ (И, а — 1, 2, задано семейство кривых дифференциальным уравнением

Найти дифференциальное уравнение семейства их ортогональных траекторий.
5.3.8.	В пространстве V3 взята двумерная поверхность 2, х3 = const. Линии х3 в точках их пересечения с поверхностью 2 ортогональны к ней. По формулам (24) данной поверхности соответствует неголономная поверхность 2'. Полная кривизна последней есть полная кривизна поверхности 2. Найти эту кривизну.
Примечание. Поскольку в уравнениях (24) ГС = Г*г, то вторая дифференциальная окрестность точки неголономной поверхности ничем не отличается от такой же окрестности поверхности голономной. (См. К а р т а н Э. Риманова геометрия в ортогональном репере.— М. : Изд-во Моск, ун-та, 1960.— С. 112—114. Здесь, однако, термин «неголономная поверхность» не используется.)
5.3.9.	Найти условие существования поля векторов (х')> которые в соответствии с формулами (18) вдоль любой кривой переносятся параллельно.
5.3.10.	Два вектора £‘, тр определяют в точке М (х‘) пучок векторов е‘ = V +	— параметр). Геодезиче-
ские линии, касающиеся векторов е‘в,М, определяют поверхность 2. Найти ее среднюю кривизну.
5.3.11.	В общем случае, п 4, в римановом пространстве не существует «-ортогональной системы поверхностей. Следовательно, никаким преобразованием координат х*' = = х1' (х‘) нельзя сделать так, чтобы координатные линии х1’’ стали взаимно ортогональными. Однако, определяя преобразование координат уравнениями
dx1' = Xf (х7 , ?') dx1,
в общем случае не вполне интегрируемыми, этого добиться можно. При этом через каждую точку пространства проходят п взаимно ортогональных координатных линий, однако эти линии не расслаиваются в координатные поверхности. Доказать это.
5.3.12.	Пусть У2 — произвольная двумерная поверхность риманова пространства V„, а точка 7И0 До’(Е V2 и единичные взаимно перпендикулярные векторы £о, Цо касаются данной поверхности в этой точке. Пусть также у — некоторый контур на V2, проходящий через точку Л40, AS — площадь области D поверхности V2, ограниченная контуром у. Обнесем вектор £‘, который в начальный момент совпадает с вектором go, по контуру у параллельно
в смысле пространства Vn. Обозначим через — Aq> угол между вектором т]' и конечным положением вектора 1г. Предел отношения Аср к AS, когда контур у стягивается к точке Л40, называется кривизной К пространства Vn в точке Л40 и в двумерном направлении, определяемом векторами Ц, г]‘ (или бивектором х£/ = -^-	__
— &Р1о))- Найти выражение, определяющее эту кривизну.
5.3.13.	В каком случае кривизна К пространства Vn (см. задачу 5.3.12) не зависит от выбора двумерного направления в точке?
5.3.14.	Доказать, что если кривизна К (см. задачу 5.3.12) не зависит от бивектора Д', то тензор Риччи пропорционален метрическому тензору.
Примечание. Если пропорциональность, установленная в задаче 5.3.13, имеет место во всех точках пространства Vn, то К = const (теорема Ш у р а) и пространство называется пространством постоянной кривизны.
5.3.15.	Найти формулы Фрейе для кривой в римано-вом пространстве, развернув ее на евклидово пространство.
5.3.16.	Доказать, что геодезические линии пространства есть линии, вдоль которых единичный вектор касательной переносится параллельно.
5.3.17.	Доказать, что в К2, отнесенном к ортогональной системе координат, имеют место равенства
Rij — ~2~ Rsijt
где R = gliRu-
5.3.18.	Доказать, что в соответственно выбранной системе координат вдоль данной кривой выполняется равенство
5.3.19.	Найти дифференциальные уравнения тех кривых у пространства Vn, для которых кривые у' расположены: 1) в двумерных плоскостях; 2) в трехмерных плоскостях.
5.3.20.	В каком случае заданной голономной двумерной поверхности а в Vn соответствует по формулам (24) голо-номная двумерная поверхность о' в Дп?
5.3.21.	Каким должно быть риманово пространство для того, чтобы каждая голономная двумерная поверхность
в Vn переходила (по формулам (24)) в голономную поверхность в £„?
5.3.22.	Углом между двумя векторами V и тр называется величина 0, определяемая равенством
cos 0 =  7"	 - _ .
V ё^' V gij^1
Векторы взаимно перпендикулярны, если
= 0.
Доказать, что ковариантная производная вектора постоянного модуля перпендикулярна к этому вектору.
5.3.23.	Найти деривационные уравнения для двумерной поверхности о2 в V3: х1 — и1, х2 = и2, х3 = и1 + и2, gn = = X1, g22 = X3, gS3 = X2, gif = 0, i =/= j.
5.3.24.	Найти уравнения Гаусса и Петерсона — Кодацци для двумерной поверхности о2 в V3 (см. задачу 5.3.23).
5.3.25.	Найти асимптотические линии (составить дифференциальные уравнения) двумерной поверхности о2 в V3 (см. задачу 5.3.23).
5.3.26.	Найти линии кривизны (составить дифференциальные уравнения) для о2 в Va (нормальные кривизны линий кривизны имеют экстремальные значения) (см. задачу 5.3.23).
5.3.27.	Составить дифференциальные уравнения геодезических линий на о2 в У3 (геодезическая линия есть линия, геодезическая кривизна которой равна нулю) (см. задачу 5.3.23).
5.3.28.	Вполне геодезической поверхностью в У3 называется поверхность, все геодезические линии которой есть геодезические пространства Va. Найти условия, при которых заданная двумерная поверхность является вполне геодезической.
5.3.29.	Доказать, что на вполне геодезической поверхности линии кривизны и асимптотические линии являются неопределенными.
5.3.30.	Минимальными поверхностями в У3 называются поверхности, на которых полусумма главных кривизн (нормальных кривизн линий кривизны) равна нулю. Найти угол между асимптотическими линиями минимальных поверхностей.
5.3.31.	Сформулировать для двумерной поверхности в V3 теорему Менье.
5.3.32.	Пусть Vn, Vn—два n-мерных римановых пространства, отнесенные к координатам х{, х‘ и имеющие метрические тензоры gif, gif. Отображение этих пространств х1 = х (х!)
называется конформным, если gijdx'dxi = Mgijdx'dx/,
где А2 — множитель пропорциональности. Показать, что любые два двумерных римановых пространства можно конформно наложить друг на друга. При X2 = 1 имеем изометричное отображение пространств. Риманова геометрия изометричных пространств одна и та же.
5.3.33.	Показать, что не любые два трехмерных римановых пространства можно конформно отобразить друг на друга.
5.3.34.	Доказать, что двумерные пространства V2, V2, определяемые метрическими тензорами g±1 = (х2)2, gl2 = = х1/2, g22 = (х2)2, gn = 4 а1)2, g12 = —4 х*х2, g22 = = 4 (х2)2, изометричны.
5.3.35.	Если у — замкнутый контур в Vn, то у' в Еп в общем случае не является замкнутой кривой. Если у' замкнута для любой замкнутой кривой у, то Vn есть Еп, т. е. тензор кривизны пространства равен нулю. Доказать это.
5.3.36.	Найти дифференциальные уравнения тех кривых у в V2, которые в Е2 переходят в окружности по формулам (24).
5.3.37.	Найти дифференциальные уравнения кривых в V2, развертывающихся в спираль Архимеда р = А0.
5.3.38.	Найти дифференциальные уравнения кривых в V2, развертывающихся в параболы у2 = 2рх.
5.3.39.	Параллельное перенесение произвольного тензора Т в римановом пространстве можно определить следующим образом. Пусть М (х‘~) и Л! (х£ + dx1) — две бесконечно близкие точки V„, (it, ..., i„, Д......jQ =
'”лр	_
= 1, ..., п) — компоненты тензора в точке М. В точке М этот тензор имеет компоненты Т (х£ + dx‘) ж Т + dT. В точке М имеем п векторов, касательных к координатным линиям, проходящим через М. Они образуют репер R.
В точке М имеем репер /? из касательных к координатным линиям, проходящим через эту точку. Перенесем векторы репера 7? параллельно в точку М, получим репер /?*. Преобразуем репер R в репер R*, при этом компоненты тензора Т + dT перейдут в компоненты Т*. Говорят, что тензор Т перенесен параллельно из точки М в точку М, если компоненты Т* совпадают с компонентами Т.
Вывести формулы, определяющие параллельное перенесение тензора Т.
5.3.40.	Объект
dt'-^ = dT^ + (г'т'£.’4 + —f г -----------------------V{pfTiC^dx‘
называется абсолютным дифференциалом тензора Т. Коэффициенты при dx1 в абсолютном дифференциале
. . ... . .
т'сЬ = —тй- +	+------г; х1
Р	$Xl	Jl Р	Р °~~1
образуют ковариантную производную тензора Т. Доказать, что абсолютный дифференциал тензора Т есть тензор того же строения, что и Т. Доказать, что ковариантная производная тензора есть тензор валентности, большей на 1 (число нижних индексов увеличивается на 1).
5.3.41.	Пространства, для которых
где R = Rifg11', называются пространствами Эйнштейна. Доказать, что для п = 2 любое |/2 есть пространство Эйнштейна (в отличие от задачи 5.3.17 теперь §12 =7^ 0).
5.3.42.	Доказать, что если У3 — пространство Эйнштейна, то оно есть пространство постоянной кривизны.
5.3.43.	В У3 задано однопараметрическое семейство поверхностей, допускающее двупараметрическое семейство ортогональных к ним геодезических линий. Принимая геодезические линии в качестве линий х3, а ортогональные к ним поверхности в качестве координатных поверхностей х3 — const, найти метрическую форму пространства.
5.3.44.	Линия на поверхности в Vn есть одновременно геодезическая и асимптотическая. Что представляет собой эта линия?
5.3.45.	Линии кривизны в трехмерном евклидовом пространстве Е3 могут быть определены и как линии, в направлении которых нормальные кривизны экстремальны, и как линии, в направлении которых касательная к поверхности параллельна дифференциалу единичного вектора нормали. Дают ли оба эти определения одни и те же линии на поверхности в Р3?
5.3.46.	Пусть о — сопряженная сеть на поверхности V2 в пространстве V3, 1Х — одна из линий сети, проходящая через точку М поверхности. Развернем ее в линию А £ Е3, проходящую через точку М'. При развертывании линии развернется и сопровождающий репер пространства V3, образованный касательными к координатным линиям пространства, а тем самым развернутся и касательные к линиям на поверхности V2. В частности, развернутся и направления линий сети о, сопряженные с направлением линии 11.
Доказать, что прямые в Е3, имеющие эти направления и пересекающие линию образуют торс. Доказать, что то же самое справедливо и для линии /2 сети, проходящей через точку М и имеющей сопряженное с /т направление.
5.3.47.	Доказать, что нормальная кривизна пространства Vm, вложенного в Vn, в данном направлении есть первая кривизна в Vn геодезической линии пространства Vm, проведенной в том же направлении.
5.3.48.	Доказать теорему, обобщающую теорему Род-рига классической теории поверхностей: необходимым и достаточным условием того, что ковариантная производная единичного вектора, нормального к гиперповерхности, вдоль некоторого направления параллельна этому направлению, есть то, что направление является главным.
5.3.49.	Доказать теорему: ковариантная производная единичного вектора, нормального к гиперповерхности, вдоль некоторого направления перпендикулярна к этому направлению тогда и только тогда, когда направление есть асимптотическое направление гиперповерхности.
5.3.50.	Доказать, что равенства
= 0
необходимы и достаточны для того, чтобы вектор нормали к1' к гиперповерхности (единичный) переносился вдоль
кривой с направлением dua параллельно в Vn. Доказать, что направление dua асимптотическое.
5.3.51.	Доказать, что средняя кривизна пространства Vm (т < п) есть средняя кривизна этого пространства, вычисленная для среднего нормального вектора (с точностью до знака).
5.3.52.	Доказать, что средняя кривизна пространства Vm равна нулю тогда и только тогда, когда ее средняя кривизна для всех векторов нормальных к Vm, равна нулю.
5.3.53.	Доказать, что средняя кривизна пространства Vm, вычисленная для любой ее нормали, ортогональной к среднему нормальному вектору, равна нулю.
5.3.54.	Доказать, что минимальная поверхность Vm дает минимальный объем для всех /n-мерных поверхностей, проходящих через некоторое подпространство Vm^.
5.3.55.	Доказать, что если f (х + iy) — аналитическая функция комплексного переменного:
/ (х + iy) = и (х, у) + iv (х, у), то уравнения
х = х, у = у, г = и(х, у), t = и (х, у)
определяют двумерную минимальную поверхность в четырехмерном евклидовом пространстве (х, у, г, t — прямоугольные декартовы координаты точек в этом пространстве).
5.3.56.	Доказать, что поверхность Vm, на которой линии кривизны не определены, характеризуется равенствами йа'ар = ^«'ОаЗ, «, ₽ = 1.....ГЛ, а/ = Щ + 1, . . . , П.
5.3.57.	Доказать, что если асимптотическая линия гиперповерхности является ее геодезической линией, то она является геодезической и в объемлющем пространстве V,,. Доказать справедливость обратного предложения: если геодезическая линия пространства Vn принадлежит гиперповерхности Vn—i, то она является одновременно геодезической и асимптотической линией этой гиперповерхности.
5.3.58.	Выразить компоненты тензора Qap (см. уравнение (26)) через компоненты gtj метрического тензора пространства Vn, компоненты единичного вектора V, нормального к гиперповерхности, и ковариантные производные х‘а, х*ор координат точки гиперповерхности.
5.3.59.	Доказать, что в прямоугольных декартовых координатах х‘ в Е3 деривационные уравнения гиперповерхности принимают вид
x'ajj = Ьа^к ,	= bafiCt
5.3.60.	Вывести формулу Эйлера для гиперповерхности V„_i;
feH = k'H cos2 <Pj + • • • + £h~’ cos2 <p„_i,
где ka — кривизна произвольного нормального сечения, &н~' — кривизны главных сечений, tpt, ..., <p„_i — углы, образуемые указанным произвольным сечением с главными сечениями.
5.3.61.	Если материальная точка Р движется в трехмерном пространстве, отнесенном к криволинейным координатам х1' (/ = 1, 2, 3), то равенства х1' = х‘ (/) (/ — время) dx^ определяют траекторию ее движения, вектор v‘ = есть вектор обобщенной скорости точки, вектор
г/г _ d2xk . „б dx1 dP ' di2 Н 1 ~1T dt есть вектор ее обобщенного ускорения.
Доказать, что если точка Р движется с постоянной по модулю скоростью, gtjV'vi — const, то вектор обобщенного ускорения перпендикулярен к вектору скорости, gt^fi — 0.
5.3.62.	Доказать, что
dt) £ л — =/c°S0,
где v2 = gi/v‘v', f2 — gijff!, 9 — угол между векторами vi и f (см. предыдущую задачу).
5.3.63.	Скаляр
Т =~y MgijVW
называется кинетической энергией материальной точки (Л4 — масса точки), вектор Qk = Мк есть вектор обобщенной силы, Qi = gikQk — ковариантные компоненты этого вектора.
Доказать справедливость равенств d / дТ \	дТ п
(дх1 )	дх1 ~ *1’
где х{ = (уравнения Лагранжа второго рода).
5.3.64.	Найти ковариантные компоненты вектора обобщенного ускорения в сферических координатах.
5.3.65.	Ротор ом (вихрем) вектора (векторного поля) называется двухвалентный кососимметрический тензор (бивектор)
аЧ' = аК — В/,С-
где h = gijl'. Доказать, что
Цц---;------- •
дх дх1
5.3.66.	Доказать, что при п = 3 и только при этом ротор вектора является вектором, определены формулами (см. задачу
„1 _ g23	„2	а31
1 Vg ~ VI ’ где g = | gii |.
5.3.67.	Вектором-градиентом ковариантный вектор, компонентами которого ные производные некоторого скаляра ср (Д)-что ротор градиента	тождественно равен нулю.
5.3.68.	Дивергенцией вектора В1’ называется инвариант £‘(-. Доказать, что дивергенция градиента в прямоугольных декартовых координатах есть оператор Лапласа, примененный к тому скалярному полю, которое порождает градиент
компоненты которого 5.3.65)
1П3   а12
1	Vg ’
называется есть част-Доказать,
д2<р
(дхп)2 '
Примечание. Дивергенция ковариантного вектора определяется как сумма z.
5.3.69.	Доказать, что коэффициенты линейной! формы в линейном пространстве Ln образуют тензор.
5.3.70.	Доказать, что коэффициенты полилинейной формы в Ln образуют тензор типа (0, р).
5.3.71.	Показать, что смешанное произведение (X, Y, Z) векторов в трехмерном пространстве задается тензором типа (0, 3).
5.3.72.	Даны вектор X (V) и ковектор со (аг). Выяснить строение линейного преобразования, определяемого тензором X ® со, представляющим их произведение.
5.3.73.	Пусть дан тензор С {С*} типа (1, 1). При помощи операций последовательного умножения тензора С на себя и «полного свертывания» определяется последовательность скаляров Ci, C^Ck, CiCkC'i, .... Выразить эти скаляры через корни характеристического уравнения матрицы (С*).
5.3.74.	Операция поднимания индекса сопоставляет тензору bik на поверхности тензор = bihghk типа (1, 1). Показать, что главные кривизны поверхности являются собственными значениями матрицы ((>*).
5.3.75.	Прямая линия в аффинном пространстве Ап, заданная уравнением г = r0 + It, где г — радиус-вектор ее текущей точки, г0 и I — постоянные векторы, называется канонически параметризованной. Найти условия, при которых параметризованная линия у, заданная в криволинейных координатах уравнениями и‘ — и‘ (/), является канонически параметризованной прямой линией.
5.3.76.	Линией векторного поля X (р) называют параметризованную кривую, касательный вектор которой в каждой ее точке совпадает с вектором поля в той же точке. Найти на плоскости линии поля
Х{? = и1 + 1, £,а — ы1 —1}.
5.3.77.	В области U аффинного пространства задано векторное поле X (г/)- При каких условиях линии этого поля будут канонически параметризованными прямыми линиями?
5.3.78.	Найти римановы метрики вида ds2 = e2A(wl>“2'uS) ((du1)2 + (du2)2 + (du3)2), у которых все линии и2 = const, и3 = const являются геодезическими (при подходящей их параметризации).
5.3.79.	Доказать, что через каждую точку х пространства аффинной связности Ап в наперед заданном направлении касательного вектора £ проходит ровно одна геодезическая.
5.3.80.	Доказать, что уравнения геодезических линий в аффинной системе координат аффинного пространства имеют следующий вид: xh = Хд + aht, где Хд, ah — постоянны, t — параметр.
5.3.81.	Система координату называется римановой в точке М £Ап, если все геодезические линии, проходящие
через эту точку, определяются уравнениями yh = EqT, где so = const, т — канонический параметр.
Доказать, что в пространстве Ап аффинной связности без кручения можно ввести риманову систему координат в наперед заданной точке М g Ап.
5.3.82.	Доказать, что риманова система координат в точке М является геодезической в этой же точке.
5.3.83.	Доказать, что система координат у является римановой тогда и только тогда, когда Г?, (у) y‘yi = 0 для каждой точки с координатами у‘.
5.3.84.	Доказать, что если в любой координатной системе Т\ = 0, где Т} — компоненты тензора типа (1, 1), то Т} = где х — некоторый инвариант.
5.3.85.	Пусть Aqk (х) — тензор типа (1, 3), удовлетворяющий следующим тождествам:
Ayk -J- Atfij = A'tjk + Ajki + Aki/ = 0.
Если в произвольной координатной системе Л^з = 0 (или ^234 = 0 для п > 3), то тензор Ahijtt можно выразить следующим образом:
Atjk — б? (Ajk — Ahj) + б/Д* — i>kAij,
где Aij — некоторый тензор типа (0, 2).
5.3.86.	Убедиться, что если кривая у cz Vm является геодезической объемлющего пространства Vn zd Vm, то она является геодезической и в Vm.
5.3.87.	Доказать, что риманово пространство Vn с метрикой
ds2 = —------------j- , et = ± 1, К — const,
(1+к.
имеет кривизну /С
5.3.88.	Найти выражение для кривизны V2 в полугеодезической системе координат (ds2 = dx12 + G (х1, х2) dx22, G — некоторая функция от х1, х2).
5.3.89.	Найти метрики пространств постоянной кривизны в полугеодезической системе координат.
5.3.90.	Риманово пространство V„ называют симметрическим, рекуррентным, полусиммет-рическим, если в нем тензор Римана удовлетворяет 164
соответственно таким условиям:
$i,k,l = 0, Н.Ц,к,1 —	= 0.
1)	Доказать, что пространство постоянной кривизны является симметрическим.
2)	Доказать, что рекуррентное пространство является полусимметрическим, а вектор <pz — градиентом, т. е. cpz = = Фд-
5.3.91.	1) Докажите справедливость тождеств Уокера: Rhi,jk,[lm] Rjk,lm,[hl] Rlm,hi,[jk} — 0-
2)	Если	= SMjkTim, где S и 7 — тензоры указан-
ных валентностей, то пространство является полусимметрическим. Докажите это.
5.3.92.	Тензор
Wlik = Rhihk - 7Г-±Г (б^. _ $Rik)
называют проективным тензором Вейля пространства V„.
Доказать, что = 0 — необходимый и достаточный признак (при п > 2) пространств постоянной кривизны.
5.3.93.	Пространство называют проективно-симметрическим, если Wi/k,i — 0- Доказать, что оно является симметрическим.
5.3.94.	Пространство называют проективно-рекуррентным, если Wijk,i = ffiWijk.
Доказать, что оно является рекуррентным.
Глава 6 топология
§ 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Множество X частично упорядочено, если в нем определено транзитивное «отношение порядка», обозначаемое символом <;, т. е. если для некоторых различных х g X и у g X либо х < у, либо у <3 < х, причем если х < у, у <_ г, то х < г. Если отношение порядка определено для любых двух различных элементов частично упорядоченного множества X, то множество X называется линейно упорядоченным. Отношение эквивалентности — это рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение.
Топологией на множестве X называется семейство П°Д' множеств множества X, удовлетворяющее условиям: а) все множества X и пустое множество 0 являются элементами семейства б) объединение любого множества элементов из	принадлежит ^7";
в) пересечение любого конечного числа элементов из принадлежит .
Пара (X, называется топологическим пространством. Топологическое пространство будем обозначать также одной буквой X. Элементы из семейства называются о т к р ы т ы м и множествами. Подмножество А топологического пространства X называется замкнутым, если его дополнение X \ А есть открытое множество. Замыканием подмножества А топологического
пространства X называется пересечение всех замкнутых в X множеств, содержащих А. Замыкание множества А будем обозначать через А. Чтобы показать, что А — замыкание множества А в топологическом
пространстве X (или в топологии ^"), будем писать А% (или А^.).
Окрестностью множества А с X называется любое открытое множество из X, содержащее А (множество А может, в частности, состоять из одной точки).
Объединение всех открытых множеств, содержащихся в подмножестве А топологического пространства X, называется внутренностью множества А и обозначается Intx А, или Int А.
Границей множества А называется множество А \ Int А. Границу множества А будем обозначать через Fr А.
На каждом множестве X, содержащем не менее двух точек, существуют по крайней мере две различные топологии: тривиальная топология, в которой открытыми множествами являются только X и 0, идискретная топология, в которой открытыми множествами являются все подмножества множества X.
Говорят, что топология бол ее сильная, чем топология 2 (или что ^2 более слабая топология, чем если любое открытое множество в топологии ^*2 является открытым и в <°J\. В этом случае пишут	(или с fT",).
Пусть (X, gr) — топологическое пространство, X' с Л', а —топология на Л", в которой открытыми множествами являются пересечения открытых множеств пространства (X, ^") с множеством X'. Топология называется индуцированной топологией на подмножестве X', а пара (X', называется подпространством пространства (X, В этом случае говорят, что X'— подпространство в X.
Топологическое пространство называется 70-п ространством, если для любых двух различных точек данного пространства существует окрестность одной из этих точек, не содержащая другой точки.
Топологическое пространство называется 7\-п ространст-в о м, если для любых двух различных точек х и у этого пространства существуют окрестности U J х и V Э У, причем U $ у, V $ х.
Топологическое пространство называется Т2-п ространством или хау с дор фов ы м пространством, если любые две различные точки этого пространства обладают непересекающими-
ся окрестностями.
Базой топологического пространства X называется такое семейство 53 открытых множеств из X, что любое открытое множество из X является объединением некоторого подсемейства из S3.
Семейство открытых подмножеств топологического пространства X называется предбазой, если совокупность всех множеств, являющихся пересечением конечного множества элементов этого семейства, образует базу пространства X.
Семейство окрестностей точки х топологического пространства называется базой системы окрестностей точки х, или базой в т о ч к е х, если в каждой окрестности точки х содержится некоторая окрестность этого семейства.
Говорят, что топологическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности, если система окрестностей произвольной его точки обладает счетной базой; топологическое пространство удовлетворяет второй аксиоме счетности, если оно обладает счетной базой.
Точка х называется точкой прикосновения множества А, если U П А ¥= 0 для любой окрестности U точки х.
Точка х называется предельной точкой множества А, если U Q (А \ {х|)	0 для любой окрестности U точки х.
Тогда х называется точкой конденсации множества А, если для любой окрестности (7 точки х множество U f) А несчетно.
Точка х топологического пространства X называется изолированной, если множество {х} открыто в X. Очевидно, что любая точка топологического пространства с дискретной топологией является изолированной. Обратно, если в топологическом пространстве (X, любое подмножество [х] открыто, то — дискретная топология.
Функция d, которая каждой паре точек х, у, принадлежащих множеству X, ставит в соответствие неотрицательное число d (х, у), называется метрикой на X, если для любых х, у, z £ X выполняются условия:
a)	d (х, у) = d (у, х);
б)	d (х, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у,
в)	d (х, г) :С d (х, у) + d (у, г) (аксиома треугольника).
Пара (X, d) называется метрическим пространством. Метрическое пространство обозначают также одной буквой X.
Число d (х, у) называется расстоянием между точками х и у, число d (х, А) = inf {d (х, у) : у £ А) — расстоянием от точки х до множества А с X, а число d (А, В) = inf {d (х, у) : х g А, у g В] — расстоянием между подмножествами А и В из X.
Диаметром множества A cz X называется число diam А = = sup {d (х, у) : х, у g А).
Подмножество А метрического пространства (X, d) называется ограниченным, если существует такое число К, что diam А < К.
Метрическое пространство (X, d) называется вполне ограниченным, если для любого е > 0 существует такое конечное множество точек У], .... уь из X, что
k
X — и (X g X : d (х, уд < е).
/=1
Подмножество U метрического пространства (X, d) называется открытым, если d (х, X \ U) > 0 для всех х g U.
Семейство всех открытых множеств метрического пространства (X, d) является топологией на множестве X; эта топология называется топологией, порожденной метрикой d.
Топологическое пространство (X, ^") метризуемо, егли на множеств  X существует такая метрика d, что 3“ а	О такой метрике d
говорят, что она согласована (или совместима) с топологией .
Последовательность (хп) точек метрического пространства (X, d) сходится к точке х0, если для любого в > 0 существует такой номер п0, что d (хп, х0) < е при всех п > п0.
Последовательность {хп} точек метрического пространства (X, d) называется фундаментальной, если для любого в > О существует такой номер л0, что d (хп, хт) < е при всех п > я0 и т > п0.
Метрическое пространство X называется полным, если всякая фундаментальная последовательность его точек сходится к некоторой точке пространства X.
Топологическим или тихоновским произведением топологических пространств Xj, Хп называется декартово произведение X, X ...X Хп, снабженное топологией, базой которой является семейство всех открытых множеств вида Ut X ... X Un, где U[ — произвольные открытые множества в пространствах Х(, i = 1, п. Топологическое произведение бесконечного числа топологических пространств Ха, a g М, определяется так же, как декартово произведение всех множеств Ха, снабженное топологией, базой которой являются всевозможные декартовы произведения конечного числа произвольных открытых подмножеств /7^, .... Ua& в Ха<... Ха и открытых
подмножеств, совпадающих с топологическими пространствами X , a g /И \ {а(- : i = 1, k}. Топологическое произведение будем обозначать так же, как и декартово произведение.
Пусть (X,	— топологическое пространство, со — отношение эк-
вивалентности на множестве Хил — естественное отображение X -> Х/со, которое каждой точке из X ставит в соответствие ее класс эквивалентности. Фактортопологией называется топология на множестве Х/со, в которой множество U cz Х/со открыто, если л-1 (U) открыто в (X, ^). Пара (Х/со, ^"') называется фактор пространством. Факторпространство будем обозначать также через Х/со. Если, в частности, отношение со таково, что фактормножество Х/со состоит из некоторого подмножества Л с X и всех точек из X \ А, то факторпространство Х/со будем обозначать через X/А.
Топологическое пространство X называется связным, если его нельзя представить в виде объединения двух непустых непересекаю-щихся открытых в X подмножеств. В противном случае топологическое пространство X называется несвязным.
Подмножество А топологического пространства X называется связным, если подпространство Л в X является связным пространством. Компонента связности топологического пространства — это любое его максимальное связное подмножество, при этом максимальность понимается в том смысле, что если А — компонента, В — связное множество и В о Л, то В = А.
Топологическое пространство называется локально с в я з -н ы м, если произвольная окрестность любой его точки содержит связную окрестность этой точки.
Отображение f топологического пространства X в топологическое пространство Y (или на топологическое пространство У) называется непрерывным, если полный прообраз любого открытого множества из У является открытым множеством в X. Если, кроме того, ото-
Сражение f взаимно однозначно, а отображение f~1 также непрерывно, то отображение f называется гомеоморфизмом.
Отображение f называется факторным, если в Y открыты те и только те множества, полный прообраз которых при отображении f открыт в X.
Отображение f называется открытым (замкнуты м), если образ каждого открытого (замкнутого) множества при отображении f есть открытое (замкнутое) множество.
Отображение f : (X, d) —(Y, р) называется сжимающим, если существует такое действительное число а <. 1, что р (/ (х), f (у)) ad (x, у} для любых точек х и у из X,
Взаимно однозначное отображение f : (X, d) -► (У, р) называется изометрическим, если d (х, у) = р (f (х), f (у)) для любых точек х и у из X
Отображение / : (X, d) -> (У, р) называется непрерывным в точке х0 g X, если для любого е > 0 существует такое 6 > О, что р (/ (х), f (х0)) < в для всех таких точек х G X, что d (х, х0) < 6. Отображение, непрерывное во всех точках пространства X, называется просто непрерывным.
Отображение f : (X, d) -> (У, р) называется равномерно непрерывным, если для любого е > 0 существует такое 6 > О, что р (/ (х,), f (х2)) < е для всех таких точек хг £ X и х2 £ X, что d (xlt х2) < 6.
Некоторые соглашения
Конечное множество считается счетным.
Операция включения понимается в широком смысле, т. е. А с В может означать, что А = В.
Каждое метрическое пространство (X, d) считается и топологическим пространством (X, dY Поэтому мы не приводим те определения, которые связаны с метрикой и могут быть сформулированы в топологических терминах (например, в метрическом пространстве не определяются замкнутые множества, точки прикосновения, предельные точки и т. д.)
Некоторые обозначения
N — множество натуральных чисел
Z — множество целых чисел
Z_|_ — множество положительных целых чисел
R — множество действительных чисел
Ж1 — действительное пространство размерности 1 (или действительная прямая), т. е. множество R, снабженное топологией, элементами которой являются произвольные объединения интервалов (а, Ь) из R
3 — отрезок [0; 1], рассматриваемый как подпространство в Ж1
3^ — топологическое произведение отрезка 7 на себя п раз
Л'! — n-мерное действительное пространство, которое рассматривается как топологическое произведение Л1 на себя п раз
Еп — n-мерное евклидово пространство
Dn — замкнутый шар единичного радиуса в Еп
Sn — сфера единичного радиуса в £"+*
Z* — гильбертово пространство, т. е. пространство таких бесконечных ОО
последовательностей действительных чисел {х„}, что У х^ < оо,
П=1
а расстояние d (х, у) между любыми двумя точками х = {хп}, (ОО	\ Х/1
У (хп — Уп)2 /
А — диагональ произведения X X X, т. е. множество {(х, у) € X X X X : х = у]
Yx — множество отображений X в Y
6.1.1.	Является ли пересечение (объединение) топологий, заданных на одном и том же множестве X, топологией на X?
6.1.2.	Является ли пара (X, топологическим пространством, если:
а)	X = {х, у},	= {0, {х, у}, {х}};
б)	X = {х, у, z], У = {0, {х, у, г}, {у}};
в)	X = {х, у, г},	= {0, (х, у, г}, [х], {z/}};
г)	X = (х, у, z},	— {0, [х, у, г}, {х, у}, {х}}?
6.1.3.	Доказать, что множество U открыто тогда и только тогда, когда оно содержит окрестность каждой своей точки.
6.1.4.	Доказать, что: а) все пространство и пустое множество являются замкнутыми множествами; б) пересечение любого семейства замкнутых множеств является замкнутым множеством; в) объединение конечного семейства замкнутых множеств является замкнутым множеством.
6.1.5.	Доказать, что подмножество А топологического пространства замкнуто тогда и только тогда, когда А = А.
6.1.6.	Доказать, что: а) для любых подмножеств А и В топологического пространства имеют место равенства и включения _
А = А, ДГВ — A [J В,
А П В с= А П В, А\В<=А\В\
б) для любых подмножеств At, i £ N, топологического
пространства имеет место равенство
и А = и A U Г) и Ai+i. i=l	1=1	г=1 /=0
Приведите пример, когда последнее равенство неверно, если опустить второе слагаемое в правой части.
6.1.7.	Доказать, что открытое множество А тогда и только тогда пересекается с множеством В, когда A Q В =/= 0.
6.1.8.	Пусть множество А замкнуто, а множество В открыто. Доказать, что А \ В замкнуто, а В \ А открыто.
6.1.9.	Доказать, что для любых двух непересекающих-ся открытых множеств замыкание одного из них не пересекается с другим.
6.1.10.	Пусть множество А открыто и Л П В = 0. Доказать, что А П Int В = 0.
6.1.11.	Подмножество топологического пространства, удовлетворяющее условию U = Int U, называется канонически открытым. Докажите, что: а) внутренность замкнутого множества есть канонически открытое множество; б) пересечение двух канонически открытых множеств есть канонически открытое множество; в) объединение двух канонически открытых множеств может не быть канонически открытым множеством; г) для канонически открытых множеств U и V включение U cz V имеет место в том и только том случае, если U с V.
Подмножество топологического пространства, удовлетворяющее условию А — Int Л, называется канонически замкнутым.
Докажите, что: а) множество А замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение есть канонически открытое множество; б) для канонически замкнутых множеств имеют место свойства, двойственные для канонически открытых множеств.
6.1.12.	Пусть Y — подпространство в топологическом пространстве X. Доказать, что: а) множество А с: Y замкнуто в Y тогда и только тогда, когда А является пересечением некоторого замкнутого множества из X с Y; б) для любого A cz Y выполняется равенство Ау = Ах р У; в) если Y — замкнутое множество в Л, то любое замкнутое множество в Y замкнуто и в X; г) если Y — открытое множество в X, то любое открытое множество в Y открыто и в X.
6.1.13.	Привести пример Т0-пространства, которое не является ^-пространством.
6.1.14.	Привести пример Т0-пространства, в котором никакое одноточечное множество не замкнуто.
6.1.15.	Доказать, что в 7\-пространстве любое одноточечное множество замкнуто.
6.1.16.	Доказать, что в ^-пространстве любое множество является пересечением некоторого семейства открытых множеств.
6.1.17.	Доказать, что любое подпространство ^-пространства (хаусдорфова пространства) является 7\-прост-ранством (хаусдорфовым пространством).
6.1.18.	Пусть <Э't и — две топологии на одном и том же множестве X, причем а: ?Г2. Доказать, что если (X, ^i) — Тг-пространство (^-пространство), то и (X, ^2) — ^-пространство (^-пространство).
6.1.19.	Доказать, что всякое линейно упорядоченное топологическое пространство является хаусдорфовым пространством.
6.1.20.	Привести пример нехаусдорфова ^-пространства.
6.1.21.	Привести пример хаусдорфова пространства со счетной базой, в котором произвольное замкнутое множество не является пересечением счетного семейства открытых множеств.
6.1.22.	Доказать, что подмножество топологического пространства замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.
6.1.23.	Подмножество А топологического пространства X называется локально замкнутым, если каждая точка х g А имеет такую окрестность U в пространстве X, что множество А П U замкнуто в подпространстве U. Доказать эквивалентность следующих утверждений: а) множество А локально замкнуто; б) множество А \ А замкнуто; в) множество А есть разность двух замкнутых множеств.
6.1.24.	Пусть X является ^-пространством, х — предельная точка множества A cz X и U — произвольная окрестность точки х. Доказать, что множество U П А бесконечно.
6.1.25.	Доказать, что в 7\-пространстве множество всех предельных точек любого подмножества замкнуто.
6.1.26.	Пусть X — топологическое пространство, A cz с X и любое подмножество в А замкнуто. Доказать, что множество А не имеет предельных точек.
6.1.27.	Пусть X — хаусдорфово пространство, в котором любое подмножество либо открыто, либо замкнуто. Доказать, что: а) в X не может существовать более одной предельной точки; б) если х — предельная точка, то для любой точки у х множество {у} открыто.
6.1.28.	Доказать, что в Т^-пространстве точка, имеющая базу из конечного числа элементов, изолирована.
6.1.29.	Пусть X — топологическое пространство с первой аксиомой счетности. Доказать, что: а) точка х тогда и только тогда является предельной точкой для множества А с X, когда существует последовательность в А \ {х}, сходящаяся к х; б) множество А а X открыто тогда и только тогда, когда каждая последовательность, которая сходится к некоторой точке из А, находится в А, начиная с некоторого момента.
6.1.30.	Привести пример топологического пространства X. в котором некоторая точка х является предельной для множества X \ {х} и никакая последовательность из X \ {х} не сходится к х.
6.1.31.	Доказать, что в ’топологическом пространстве со второй аксиомой счетности множество точек, которые не являются точками конденсации, счетно.
6.1.32.	Доказать, что в метрическом пространстве любое одноточечное множество замкнуто.
6.1.33.	Доказать, что любое метрическое пространство хаусдорфово.
6.1.34.	Пусть (X, d)— метрическое пространство и A cz X. Доказать, что точках тогда и только тогда является точкой прикосновения для множества А, когда d (х, А) = 0.
6.1.35.	Доказать, что точка х тогда и только тогда является точкой прикосновения подмножества А метрического пространства, когда существует последовательность точек из А, сходящаяся к х.
6.1.36.	Доказать, что точка х g Еп \ А тогда и только тогда является предельной точкой множества А, когда х £ Fr А.
6.1.37.	Доказать, что подмножество А метрического пространства (X, d) замкнуто тогда и только тогда, когда предел любой сходящейся в X последовательности точек из А принадлежит А.
6.1.38.	Доказать, что подмножество А метрического пространства (X, d) замкнуто тогда и только тогда, когда d (х, А) > 0 для любой точки х А.
6.1.39.	Привести пример двух замкнутых непересекаю-щихся подмножеств из Е1, расстояние между которыми равно нулю.
6.1.40.	Пусть d — метрика на множестве X и р (х, у) = min [1, d (х, у)} для любых х, у £ X. Доказать, что: а) р — метрика на X и^р = ^; б) если (X, d) — полное
метрическое пространство, то (X, р) также полное метрическое пространство.
6.1.41.	Доказать, что в любом метризуемом пространстве можно ввести ограниченную метрику, согласованную с его топологией.
6.1.42.	Пусть f — непрерывная неубывающая действительная функция, которая определена на множестве Z+ и удовлетворяет условиям: а) / (х) = 0 тогда и только тогда, когда х = 0; б) / (х + у) f (х) + f (у) для всех х, у Q Z+. Доказать, что для любой метрики d на некотором множестве X функция р (х, у) = f (d (х, у)) также является метрикой на X. Показать, что топологии и У,, совпадают. Привести пример такой функции [.
6.1.43.	Пусть (X, d) — ограниченное метрическое пространство, Y — семейство всех его замкнутых подмножеств. При г > 0 и любом А £ Y положим Vr (А) — {х £ X : d (х, Л) < г}. Расстояние между любыми А и В из Y определим с помощью формулы р (Л, В) = inf {г : A cz Vr (В), В ст Vг (Л)}. Доказать, что (У, р) — метрическое пространство. Привести пример таких метрик dt и d2, что	4,
на X и У Р1 :ТР2 на Y.
6.1.44.	Привести пример множества X и таких двух метрик d и р на нем, что (X, d) — полное метрическое пространство, а (X, р) — неполное метрическое пространство.
6.1.45.	Числовая последовательность х = {х„} называется ограниченной, если существует такое число что | хп | < Сх для любого п Е N.
Пусть X — множество всех ограниченных числовых последовательностей. Для любых двух х — {хп} и у = = {уп} из X положим d (х, у) = sup | хп — уп |. Доказать, п
что (X, d) — полное метрическое пространство.
6.1.46.	Пусть X — множество всех сходящихся числовых последовательностей. Для любых двух х = {хп} и У — {Уп} из X положим d (х, у) = sup | хп — уп |. Дока-п
зать, что (X, d) — полное метрическое пространство.
6.1.47.	Доказать, что подпространство всех рациональных чисел в Е1 не является полным метрическим пространством.
6.1.48.	Доказать, что Еп и /2 — полные метрические пространства.
6.1.49.	Может ли счетное полное метрическое пространство не содержать изолированных точек?
6.1.50.	Доказать, что ограниченное подмножество пространства Еп вполне ограничено.
6.1.51.	Доказать, что метрическое пространство вполне ограничено тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек этого пространства можно выделить фундаментальную подпоследовательность.
6.1.52.	Привести пример ограниченного, но не вполне ограниченного подмножества в гильбертовом пространстве.
6.1.53.	Пусть А и В — подмножества в некоторых топологических пространствах. Доказать, что:
а) А X В = А X В; б) Int (Л х В) = Int А X Int В;
в) А х В \ Int (Л х В) = ((Л \ Л) х В) (J (Л х X (В \ В)).
6.1.54.	Доказать, что топологическое произведение 7\-пространств (хаусдорфовых пространств) есть ^-пространство (соответственно хаусдорфово пространство).
6.1.55.	Доказать, что пространство X тогда и только тогда является ^-пространством, когда диагональ А топологического произведения X X X является пересечением некоторого семейства открытых множеств.
6.1.56.	Доказать, что пространство X хаусдорфово тогда и только тогда, когда диагональ А топологического произведения X X X является замкнутым подмножеством в X X X.
6.1.57.	Доказать, что топологическое произведение тогда и только тогда обладает счетной базой, когда каждое координатное пространство обладает счетной базой и топологии всех координатных пространств, кроме счетного числа, тривиальны.
6.1.58.	Привести пример такого счетного хаусдорфова пространства X и такой эквивалентности го в нем, что фактор пространство Х!а> не удовлетворяет первой аксиоме счетности.
6.1.59.	Доказать, что замыкание связного множества связно.
6.1.60.	Доказать, что отрезок [а; 61, рассматриваемый как подпространство в Э?1, является связным множеством.
6.1.61.	Доказать, что подмножество из ЭД связно тогда и только тогда, когда вместе с любыми двумя точками оно содержит отрезок, соединяющий эти точки.
6.1.62.	Доказать, что множество Л В связно, если множества А, В связны и A f| В связно.
6.1.63.	Привести пример связных множеств, пересечение которых не связно.
6.1.64.	Доказать, что если А и В — замкнутые множества, объединение и пересечение которых являются связными множествами, то и множества А, В — связные. Верно ли это утверждение для незамкнутых множеств Л и В?
6.1.65.	Доказать, что подмножество в £2, состоящее из точек, у которых хотя бы одна координата иррациональна, связно.
6.1.66.	Привести пример топологического пространства, содержащего одноточечные компоненты связности.
6.1.67.	Пусть множество X бесконечно, а УГ — самая слабая из всех топологий на X, при которых (X, ST) — 7\-пространство. Доказать, что пространство (X, ST) связно.
6.1.68.	Доказать, что: а) любая компонента связности является замкнутым множеством; б) в топологическом пространстве с конечным числом компонент связности любая компонента связности является открытым множеством; в) любые две компоненты связности либо совпадают либо не пересекаются; г) в локально связном пространстве любая компонента связности является открытым множеством.
6.1.69.	Доказать, что отображение f топологического пространства X в топологическое пространство У непрерывно тогда и только тогда, когда для любой точки х С X и произвольной окрестности V точки f (х) существует такая окрестность U точки х, что f (U) cz V.
6.1.70.	Доказать, что композиция двух непрерывных отображений есть непрерывное отображение.
6.1.71.	Доказать, что образ базы при непрерывном отображении может не быть базой.
6.1.72.	Доказать, что образ связного пространства при непрерывном отображении есть связное пространство.
6.1.73.	Является ли образ несвязного пространства при непрерывном отображении несвязным пространством?
6.1.74.	Доказать, что если непрерывная действительная функция [, определенная на связном пространстве X, принимает положительные и отрицательные значения, то в некоторой точке из X она обращается в нуль.
6.1.75.	Построить гомеоморфизмы между: а) (0; 1) и ЭД; б) (—1; 1) и ЭД; в) (а; Ь) и ЭД.
6.1.76.	Доказать, что любые два открытые выпуклые подмножества в Еп гомеоморфны в индуцированной топологии. Справедливо ли это утверждение для любых замкнутых выпуклых подмножеств?
6.1.77.	Доказать, что следующие пространства гомео-морфны: а) любые два отрезка; б) эллипсоид и шар; в) куб $п и шар Dn\ г) £7" и D"; д) Dn и нижнее замкнутое полушарие сферы Sn; е) Еп и Int Dn.
6.1.78.	Доказать, что пространство ЗГ гомеоморфно проколотой сфере Sn \ {со}, где со — любая точка, принадлежащая Sn.
6.1.79.	Доказать, что открытый промежуток (интервал) не гомеоморфен никакому полуоткрытому и никакому замкнутому промежутку.
6.1.80.	Доказать, что следующие пространства не гомео-морфны: а) 311 и fft" при п > 1; б) S1 и [а; Ь]; в) S1 и Sn при п> 1; г) буквы Е и И, рассматриваемые как подпространства в 9i2.
6.1.81.	Доказать, что в Е3 круговой цилиндр конечной высоты без оснований, однополостный гиперболоид, открытое кольцо и сфера без двух точек гомеоморфны друг другу.
6.1.82.	Построить гомеоморфизм Т2 = S’ X Sl2-+T2 = = S? х Si, где Si — меридиан тора, a S'2 — его параллель.
6.1.83.	Пусть f — гомеоморфизм на себя границы Sn~r шара Dn. Доказать, что f можно продолжить до гомеоморфизма всего шара Dn на себя.
6.1.84.	Доказать, что непрерывное замкнутое отображение является факторным.
6.1.85.	Доказать, что следующие условия эквивалентны: а) отображение f : X -> Y замкнуто; б) / (Л) = f (Л) для любого множества Л ст Х\ в) для любой точки у g Y и любой окрестности U множества f~' (у) существует такая окрестность V точки у, что f~l (V) cz U.
6.1.86.	Доказать, что следующие условия эквивалентны: а) отображение f : X -> Y открыто; б) f (Int Л) cz Int f (Л) для любого множества Л cz X; в) f1 (В) ст (В) для любого множества В с У. Можно ли в этих характеристиках открытых множеств включения заменить равенствами?
6.1.87.	Доказать, что: а) образ канонически замкнутого множества (см. задачу 6.1.11) при открыто-замкнутом отображении есть канонически замкнутое множество; б) образ канонически открытого множества при открыто-замкнутом отображении может не быть канонически открытым множеством; в) образ канонически замкнутого множества при
замкнутом (открытом) отображении может не быть канонически замкнутым множеством; г) прообраз канонически замкнутого (открытого) множества при открытом отображении есть канонически замкнутое (открытое) множество; д) прообраз канонически замкнутого (открытого) множества при замкнутом отображении может не быть канонически замкнутым (открытым) множеством.
6.1.88.	Доказать, что / (Л) с f (Л) для любого непрерывного отображения f топологического пространства X и любого 4 с X.
6.1.89.	Пусть X = Л U В, А \ В (] В \ А = 0, Л \ В П В \ А = 0, а / — отображение, определенное на X, непрерывное на Л и на В. Доказать, что отображение f непрерывно на X.
6.1.90.	Пусть f — взаимно однозначное непрерывное отображение топологического пространства X на топологическое пространство Y. Доказать, что следующие условия эквивалентны: a) f — факторное отображение; б) f — открыто; в) f — замкнуто; г) f — гомеоморфизм.
6.1.91.	Всегда ли образ открытого (замкнутого) множества при непрерывном отображении является открытым (замкнутым) множеством? Каждое ли открытое отображение является замкнутым?
6.1.92.	Доказать, что проектирование топологического произведения на любой сомножитель является непрерывным открытым (не обязательно замкнутым) отображением.
6.1.93.	Доказать, что функция, которая определена на топологическом произведении X X Y и непрерывна по каждой переменной, может не быть непрерывной на X X Y.
6.1.94.	Указать негомеоморфные топологические пространства, каждое из которых гомеоморфно подпространству другого.
6.1.95.	Указать негомеоморфные топологические пространства, каждое из которых взаимно однозначно и непрерывно отображается на другое.
6.1.96.	Доказать, что сжимающее отображение полного метрического пространства в себя имеет единственную неподвижную точку.
6.1.97.	Доказать, что сжимающее отображение непрерывно.
6.1.98.	Привести пример неполного метрического пространства и его сжимающего отображения в себя, не имеющего неподвижной точки.
6.1.99.	Привести пример полного метрического пространства и его изометрического отображения в себя, не имеющего ни одной неподвижной точки.
6.1.100.	Доказать, что изометрическое отображение есть гомеоморфизм.
6.1.101.	Существует ли подпространство в Е1 изометрич-ное Е1?
6.1.102.	Доказать, что полное метрическое пространство может быть гомеоморфно неполному метрическому пространству.
6.1.103.	Доказать, что подпространство всех иррациональных чисел в Е1 гомеоморфно полному метрическому пространству.
6.1.104.	Доказать, что подпространство всех рациональных чисел в Е1 не гомеоморфно никакому полному метрическому пространству.
6.1.105.	Доказать, что отображение / метрического пространства (X, d) на метрическое пространство (У. р) непрерывно тогда и только тогда, когда для любой точки х £ X и любого множества А с X таких, что d (х, Л) — = 0, всегда р (/ (х), f (Л)) = 0.
6.1.106.	Пусть X и Y — метрические пространства и р — метрика в пространстве Y. Пусть для любых /, g С Yx
d(f, g) = supp(/(x), g(x)).
Доказать, что: а) если Y — ограниченное полное метрическое пространство, то (Yx, d) — полное метрическое пространство; б) если Y — полное метрическое пространство, то подпространство в (Yx, d), состоящее из всех ограниченных отображений, т. е. таких отображений /, что diam /(%) < оо, есть полное метрическое пространство.
6.1.107.	Доказать, что образ вполне ограниченного пространства при непрерывном отображении в метрическое пространство является вполне ограниченным пространством.
6.1.108.	Является ли образ полного метрического пространства при равномерно непрерывном отображении в метрическое пространство полным пространством?
6.1.109.	Пусть f—равномерно непрерывное отображение метрического пространства X на полное метрическое пространство Y. Доказать, что X — полное пространство.
г
6.1.110.	Доказать, что если множества А и В удовлетворяют условию А П В = 0 = А П В, то Fr (Я (J В) = = Fr A (J Fr В.
6.1.111.	Доказать, что, чередуя операторы замыкания и взятия дополнения к множеству А в топологическом пространстве X, можно получить не более 14 различных множеств.
§ 2. РЕГУЛЯРНЫЕ, ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫЕ И НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
^-пространство называется регулярным, если любые его замкнутое подмножество и точка, не принадлежащая этому подмно-	'
жеству, имеют непересекающиеся окрестности.
^-пространство X называется вполне регулярным, если для любой точки х £ X и любого замкнутого множества А с X, , не содержащего точку х, существует такое непрерывное отображение f : X У, что f (х) = 0 и f (у) = 1 для всех у £ А.
^-пространство называется нормальным, если любые его замкнутые непересекающиеся подмножества обладают непересекаю-щимися окрестностями.
Вполне регулярные и нормальные пространства с точки зрения теории функций и функционального анализа обладают тем замечательным свойством, что на них существуют непрерывные (не обязательно постоянные) действительные функции. Существование таких функций на нормальных пространствах обеспечивается следующим утверждением.
Лемма. (У р ысона). Для любых замкнутых непересекающихся	।
подмножеств А и В нормального пространства X существует такое непрерывное отображение / : X -> [0; 1], что	|
( 0, если х f А,	;
/ W = , с „
I 1, если х£ В.
При этом отображение f называют функцией Ур ысона пары А и В.
Из леммы Урысона следует, что для любого локально конечного покрытия нормального пространства существует подчиненное этому	»
покрытию разбиение единицы. Поскольку это утверждение имеет наиболее важные применения для многообразий, то сформулируем его сразу для паракомпактных хаусдорфовых пространств (см. задачу 6.5.22).
С помощью леммы Урысона доказывается также следующая теорема о продолжении непрерывных функций.
Теорема. Всякую непрерывную действительную функцию, определенную на замкнутом подмножестве нормального пространства X,	i
можно продолжить до непрерывной действительной функции на всем X.
В дальнейшем нам потребуются следующие элементарные сведе-	'
ния из теории множеств.	1
Говорят, что два множества равномощны (или что они имеют одинаковую мощность), если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.
Множество счетно, если оно имеет одинаковую мощность с мно; жеством натуральных чисел. Таковыми являются, например, множество всех рациональных чисел и множество всех многочленов с рациональными коэффициентами (докажите это). Кроме того, любое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
Говорят, что некоторое множество имеет мощность континуума, если оно равномощно множеству всех действительных чисел или, что то же самое, множеству всех подмножеств натурального ряда.
6.2.1.	Доказать, что ^-пространство X тогда и только тогда регулярно, когда для любой точки х Q X и любого замкнутого множества A cz X, не содержащего точку х, существует такая окрестность U точки х, что U Q А = 0.
6.2.2.	Доказать, что Т\-пространство X тогда и только тогда регулярно, когда для любой окрестности U произвольной точки х £ X существует такая окрестность V точки X, что V С2 U.
6.2.3.	Доказать, что в определении регулярного пространства аксиому Т1 можно заменить на То. Верно ли это утверждение для нормальных пространств?
6.2.4.	Привести пример хаусдорфова нерегулярного пространства.
6.2.5.	Доказать, что регулярное пространство хаусдорфово.
6.2.6.	Привести пример двух топологий и на одном множестве, из которых — регулярна, 9^ — нерегулярна и cz S/"2.
6.2.7.	Доказать, что вполне регулярное пространство регулярно.
6.2.8.	Привести пример регулярного, но не вполне регулярного пространства.
6.2.9.	Доказать, что любое подпространство регулярного (вполне регулярного) пространства регулярно (вполне регулярно).
6.2.10.	Доказать, что мощность вполне регулярного связного пространства, содержащего более одной точки, не меньше мощности континуума.
6.2.11.	Доказать, что ^-пространство нормально тогда и только тогда, когда для любых двух замкнутых непересе-кающихся в нем подмножеств А и В существует такая окрестность U множества А, что U (") В — 0.
6.2.12.	Доказать, что 7'1-пространство X тогда и только тогда нормально, когда для любого замкнутого множества A cz X и произвольной его окрестности U существует такая окрестность V множества А, что V cz U.
6.2.13.	Доказать, что замкнутое подпространство нормального пространства является нормальным пространством.
6.2.14.	Привести пример вполне регулярного пространства, которое не является нормальным пространством.
6.2.15.	Доказать, что нормальное пространство вполне регулярно.
6.2.16.	Доказать, что ^-пространство, единственная точка которого не изолирована, является нормальным пространством.
'6.2.17. Пусть X — хаусдорфово пространство, в котором множество неизолированных точек конечно. Доказать, что X нормальное пространство.
6.2.18.	Всякое ли счетное хаусдорфово пространство нормально?
6.2.19.	Доказать, что регулярное пространство со счетной базой нормально.
6.2.20.	Является ли счетное регулярное пространство нормальным пространством?
6.2.21.	Топологическое пространство X называется пространством Урысона, если для любой пары точек хг, х2 £ X, хг Ф х2, существуют такие открытые множества Ult U2, что х1 g Ult х2 £ U2 и их |~| U2 = 0. Привести пример хаусдорфова пространства, которое не является пространством Урысона, и пример пространства Урысона, которое не является регулярным. Покажите, что свойство быть пространством Урысона не инвариантно при замкнутых отображениях с конечными прообразами точек.
6.2.22.	Доказать, что образ нормального пространства при непрерывном замкнутом отображении есть нормальное пространство.
6.2.23.	Доказать, что топологическое произведение любого множества вполне регулярных пространств вполне регулярно.
6.2.24.	Пусть X — множество всех действительных чисел с топологией, базой которой является семейство всех полуоткрытых промежутков. Показать, что X — нормальное пространство, а топологическое произведение X X X X не является нормальным пространством.
6.2.25.	Пусть для замкнутых непересекающихся подмножеств А и В топологического пространства X существует функция Урысона. Доказать, что множества А и В обладают в X непересекающимися окрестностями.
6.2.26.	Доказать, что для любого замкнутого подмножества А нормального пространства X и произвольной окрестности 0 множества А существует такое непрерывное отображение g : X -> la; bl, a, b С R, а =# Ь, что
(а, если xQA,
(b, если x£X\U.
6.2.27.	Доказать, что любое метризуемое пространство нормально.
6.2.28.	Доказать, что нормальное пространство со счетной базой метризуемо (теорема Урысона).
6.2.29.	Подмножество А топологического пространства X называется функционально замкнутым, если А = [~1 (0) для некоторого / : X -> £7. Подмножество В топологического пространства X называется функционально открытым, если множество X \ В функционально замкнуто. Доказать, что: а) счетное объединение функционально замкнутых множеств может не быть функционально замкнутым множеством; б) объединение функционально открытых множеств может не быть функционально открытым множеством.
§ 3. СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Подмножество А топологического пространства X называется всюду плотным в X, если А = X.
'	Подмножество В топологического пространства X называется ниг-
де не плотным в X, если X \ В = X, т. е. если дополнение его замыкания всюду плотно в X
Подмножество А топологического пространства X называется множеством первой категории, если оно является объединением счетного семейства нигде не плотных в X множеств. В противном случае множество А называется множеством второй категории. Множество А может совпадать с X, и тогда говорят, что X — пространство первой (соответственно второй) категории.
Говорят, что топологическое пространство удовлетворяет условию Суслина, если каждое семейство открытых непере-секающихся в нем подмножеств счетно.
Топологическое пространство называется сепарабельным, если в нем существует счетное всюду плотное подмножество. Примером сепарабельного пространства является действительная прямая К1 (счетным всюду плотным подмножеством в ПН1 является множество всех рациональных чисел).
Для всякого метрического пространства (X, d) существует пополнение, т. е. такое полное метрическое пространство (Y, р), которое содержит всюду плотное подмножество X', причем X' как подпространство в У изометрично X.
г
6.3.1.	Доказать, что подмножество А топологического пространства X тогда и только тогда всюду плотно в X, когда U А Д ¥= 0 Для любого непустого открытого подмножества U из X.
6.3.2.	Доказать, что следующие условия эквивалентны: а) множество В нигде не плотно в X; б) = 0; в) в любом непустом открытом множестве U с= X существует такое непустое открытое подмножество U', что U' В = 0.
6.3.3.	Доказать, что пересечение конечного числа открытых всюду плотных в пространстве X множеств всюду плотно в X.
6.3.4.	Доказать, что объединение конечного числа нигде не плотных в пространстве X множеств нигде не плотно в X.
6.3.5.	Пусть 53 — некоторая предбаза пространства X, Л cz X и А П ^¥= 0 для любого U g 23. Вытекает ли отсюда, что множество А всюду плотно в X?
6.3.6.	Привести пример ^-пространства, в котором любое бесконечное подмножество всюду плотно.
6.3.7.	Доказать, что любое непустое подмножество пространства с тривиальной топологией всюду плотно в нем.
6.3.8.	Доказать, что топология пространства X, в котором любое всюду плотное подмножество совпадает с X, дискретна.
6.3.9.	Доказать, что для любого открытого подмножества U в топологическом пространстве X множество U \ U нигде не плотно в X.
6.3.10.	Доказать, что нигде не плотное открытое множество пусто.
6.3.11.	Пусть А — нигде не плотное множество в топологическом пространстве X и U — произвольное открытое множество из X, которое рассматривается как подпространство в X. Доказать, что множество A A U нигде не плотно в U.
6.3.12.	Доказать, что топологическое произведение любого семейства связных пространств связно.
6.3.13.	Доказать, что для любых двух счетных всюду плотных подмножеств А, В £ dtn существует такой гомеоморфизм f : ЭН -> ЭН, что f (А) = В.
6.3.14.	Доказать, что образ всюду плотного подмножества при непрерывном отображении есть всюду плотное подмножество.
6.3.15.	Доказать, что действительная прямая ЭН является пространством второй категории.
6.3.16.	Доказать, что полное метрическое пространство является пространством второй категории (теорема Бэра).
6.3.17.	При каких условиях счетное подмножество в полном метрическом пространстве является множеством второй категории?
6.3.18.	Пусть fug — такие непрерывные отображения топологического пространства X в хаусдорфово пространство Y, что множество А = {х £ X : f (х) = g (х)} всюду плотно в X. Доказать, что f = g на всем X.
6.3.19.	Доказать, что топологическое пространство со счетной базой сепарабельно. Имеет ли место обратное утверждение?
6.3.20.	Доказать, что в сепарабельном пространстве множество всех изолированных точек не более чем счетно.
6.3.21.	Пусть множество X — линейно упорядочено отношением, которое обозначается символом <, снабжено ^-порядковой топологией и в этой топологии является связным сепарабельным пространством. Доказать, что пространство X обладает счетной базой.
6.3.22.	Доказать, что сепарабельное топологическое пространство удовлетворяет условию Суслина. Имеет ли место обратное утверждение?
6.3.23.	Доказать, что сепарабельное метрическое пространство имеет мощность не большую мощности континуума.
6.3.24.	Привести пример несчетного, несепарабельного метрического пространства.
6.3.25.	Доказать, что метризуемое пространство тогда и только тогда сепарабельно, когда оно обладает счетной базой.
6.3.26.	Доказать, что метризуемое пространство X тогда и только тогда сепарабельно, когда оно удовлетворяет условию Суслина.
6.3.27.	Доказать, что метризуемое пространство тогда и только тогда обладает счетной базой, когда оно сепарабельно и любое подпространство в нем также сепарабельно.
6.3.28.	Доказать, что вполне ограниченное метрическое пространство сепарабельно.
6.3.29.	Доказать, что евклидово пространство Еп и гильбертово пространство /2 сепарабельны.
6.3.30.	Доказать, что топологическое произведение счетного семейства сепарабельных пространств сепарабельно.

6.3.31.	Пусть X — множество всех непрерывных отображений [0; 11-^-Э?1. Для любых двух функций х (/), у (/) С X положим d (х, у) = max | х (/) — у (/) |. Проведши]
рить, что d — метрика на X. Доказать, что пространство С [0; 11 = (X, d) сепарабельно.
6.3.32.	Пусть каждое Ха, а £ совпадает с Доказать, что топологическое произведение 3^ = И Ха сепа-рабельно.
6.3.33.	Доказать, что пространство X ограниченных числовых последовательностей (см. задачу 6.1.45) не сепарабельно.
6.3.34.	Пусть (Хх, dj, (Х2, d2) — два пополнения метрического пространства (X, d). Доказать, что тождественное отображение пространства X можно продолжить до изометрического отображения Xt -> Х2.
6.3.35.	Доказать, что пополнение вполне ограниченного метрического пространства также вполне ограничено.
6.3.36.	Пусть — подпространство всех упорядочен-
ных последовательностей {хп ..., xk, 0, ...) из I2, где k — любое натуральное число. Доказать, что I2 — пополнение для /?.
6.3.37.	Доказать, что пространство С 10; 1] (см. задачу 6.3.31) является пополнением подпространства Со [0;
1] с С 10; 1], состоящего из всех многочленов.
§ 4.	КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Семейство 3s подмножеств топологического пространства X называется покрытием этого пространства, если пространство X является объединением подмножеств из 3.
Покрытие называется открытым, если оно состоит из открытых подмножеств.
Покрытие 3 называется конечным, если оно состоит из конечного числа подмножеств.	I
Подпокрытие покрытия 3 — это такое подсемейство семейства 3, которое само является покрытием.
Топологическое пространство называется компактным, если всякое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие.
Очевидно, топологическое произведение двух (а следовательно, и любого конечного числа) компактных пространств является компакт-	1
чым пространством. Имеет место и более общее утверждение.
Теорема (Т и х о н о в а). Топологическое произведение любого семейства компактных пространств есть компактное пространство.	,
Подмножество К метрического пространства X называется к о м -лактным в X (компактным в себе), если из каждой бесконечной последовательности точек множества К можно выделить подпоследо- :
вательность, сходящуюся к некоторой точке пространства X (соответственно к некоторой точке множества К). Если, в частности, К = X, то пространство X называется компактом, т. е. компакт — это метрическое пространство, из каждой бесконечной последовательности точек которого можно выделить сходящуюся в этом пространстве подпоследовательность (см. задачу 6.4.32, где приведено эквивалентное определение компакта).
Некоторое семейство множеств называется центрирован-н ы м, если пересечение любого конечного числа множеств этого семейства не пусто
Точка х топологического пространства X называется точкой полного накопления для множества А с X, если для любой окрестности U точки х множества U (] А и А имеют одинаковую мощность (определения точки прикосновения, предельной точки и точки конденсации даны в § 1, гл. 6).
6.4.1.	Доказать, что компактное пространство с дискретной топологией конечно.
6.4.2.	Доказать, что пространство X компактно тогда и только тогда, когда каждое покрытие пространства X элементами некоторой базы содержит конечное подпокрытие.
6.4.3.	Доказать, что пространство X компактно тогда и только тогда, когда любая центрированная система замкнутых в X множеств имеет непустое пересечение.
6.4.4.	Доказать, что пространство X компактно тогда и только тогда, когда любая центрированная система произвольных в X множеств имеет точку прикосновения.
6.4.5.	Доказать, что пространство тогда и только тогда компактно, когда для любого его бесконечного множества существует точка полного накопления.
6.4.6.	Доказать, что любое замкнутое подпространство компактного пространства компактно.
6.4.7.	Доказать, что в каждом бесконечном компактном пространстве существует счетное незамкнутое множество.
6.4.8.	Доказать, что любое компактное подпространство хаусдорфова пространства X является замкнутым в X множеством.
6.4.9.	Доказать, что отрезок [а; Ь] является компактным в себе подмножеством в 9?1.
6.4.10.	Доказать, что подмножество в 9?" компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.
6.4.11.	Доказать, что незамкнутое подпространство хаусдорфова пространства не является компактным пространством.
6.4.12.	Доказать, что непустое компактное множество в ЭД содержит свои точные верхнюю и нижнюю грани.

6.4.13.	Доказать, что пересечение любого семейства замкнутых компактных множеств является замкнутым и компактным множеством.
6.4.14.	Привести пример топологического пространства, в котором пересечение некоторых двух компактных множеств не является компактным множеством.
6.4.15.	Привести пример топологического пространства, в котором замыкание некоторого компактного множества не компактно.
6.4.16.	Доказать, что для каждой неизолированной точки х компактного хаусдорфова пространства X существует такое множество Л с А', что х является единственной точкой полного накопления для А.
6.4.17.	Доказать, что компактное хаусдорфово пространство нормально.
6.4.18.	Доказать, что каждое связное компактное множество в 911 либо пустое множество, либо точка, либо отрезок.
6.4.19.	Пусть Y — {Аа : а £ М], где каждое Аа — компактное подмножество в некотором хаусдорфовом пространстве и пересечение любого конечного семейства элементов из Y связно. Доказать, что множество (J Аа связно.	“€Af
6.4.20.	Привести пример связного, но нелокально связного хаусдорфова компактного пространства.
6.4.21.	Пусть X — связное хаусдорфово пространство, А и В — непустые непересекающиеся замкнутые в нем множества. Доказать, что существует компонента множества X \ (A U В), замыкание которой пересекается с А и В.
6.4.22.	Доказать, что образ компактного пространства при непрерывном отображении является компактным пространством.
6.4.23.	Доказать, что взаимно однозначное непрерывное отображение f компактного пространства X на хаусдорфово пространство Y является гомеоморфизмом. Можно ли отказаться от требования хаусдорфовости пространства У?
6.4.24.	Доказать, что любая непрерывная действительная функция на компактном пространстве ограничена и достигает своих точных верхней и нижней граней.
6.4.25.	Доказать, что действительная везде положительная функция на компактном пространстве X отделена от нуля (т. е. существует такое е > 0, что f (х) > е для всех х £ X).
6.4.26.	Хаусдорфово пространство X называется Н-замкнутым, если X замкнуто в каждом хаусдорфовом пространстве, содержащем его в качестве подпространства. Докажите, что хаусдорфово пространство компактно тогда и только тогда, когда все его замкнутые подпространства //-замкнутые.
6.4.27.	Пусть X — топологическое пространство, а У — компактное пространство. Доказать, что отображение pi\: X X У -> X замкнуто.
6.4.28.	Доказать, что всякая непрерывная функция на топологическом произведении любого семейства компактных хаусдорфовых пространств зависит от счетного числа координат.
6.4.29.	Доказать, что компактное хаусдорфово пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно обладает счетной базой.
6.4.30.	Доказать, что подпространство топологического произведения £7?, состоящее из всех неубывающих функций,— неметризуемое сепарабельное хаусдорфово пространство с первой аксиомой счетности.
6.4.31.	Доказать, что любое подпространство компактного метризуемого пространства сепарабельно.
6.4.32.	Доказать, что для метрического пространства понятия «компактное пространство» и «компакт» совпадают.
6.4.33.	Доказать, что метрическое пространство тогда и только тогда компактно, когда оно полно и вполне ограничено
6.4.34.	Доказать, что метризуемое пространство X компактно тогда и только тогда, когда всякая метрика на X, согласованная с его топологией, ограничена.
6.4.35.	Привести пример сепарабельного хаусдорфова компактного пространства, которое не является компактом.
6.4.36.	Пусть А и В — замкнутые подмножества метрического пространства (X, d), причем А компактно и А П В = 0. Доказать, что существует точка х£ А, для которой d (х, В) = d (А, В).
6.4.37.	Пусть А и В — замкнутые подмножества метрического пространства (X, d), причем множества А и В компактны и Л П В = 0. Доказать, что существуют такие точки х £ А и у £ В, что d (х, у) = d (А, В).
6.4.38.	Доказать, что замкнутое подпространство компакта само является компактом.
6.4.39.	Доказать, что всякий компакт замкнут в объемлющем его метрическом пространстве.
6.4.40.	Привести пример замкнутого ограниченного некомпактного подмножества в /2.
6.4.41.	Доказать, что гильбертов «кирпич» ^т. е. множество всех точек х = {xn : п g N) £ /2, для которых 0 < х„ < —\ является компактным в себе множеством в /2.
2"
6.4.42.	Привести пример замкнутого ограниченного некомпактного подмножества в С [0; 1] (см. задачу 6.3.31).
6.4.43.	Привести пример связного хаусдорфова компактного пространства с первой аксиомой счетности, которое не является компактом.
6.4.44.	Доказать, что метрическое пространство, являющееся непрерывным образом компакта, само является
компактом.
6.4.45.	Доказать, что метрическое пространство (X, d) тогда и только тогда компактно, когда всякая непрерывная функция на X ограничена
6.4.46.	Доказать, что непрерывное отображение одного компакта на другой равномерно непрерывно.
6.4.47.	Доказать, что непрерывная функция на компакте равномерно непрерывна.
6.4.48.	Доказать, что сжимающее отображение компакта есть отображение на собственную часть этого компакта.
6.4.49.	Доказать, что всякая изометрия компакта в себя есть изометрия на весь компакт.
6.4.50.	Пусть f — такое отображение компакта (X, d) в себя, что d (f (х), f (у)) < d (x, у) для любых двух различных точек х, у Q X. Доказать, что существует единственная точка х0 G X такая, что f (х0) = х0.
6.4.51.	Пусть f — отображение компакта (X, d) на себя, при котором d (f (х), f («/)) sC d (х, у) для любых двух точек х, у G X. Доказать, что f — изометрия.
6.4.52.	Доказать, что хаусдорфово пространство, являющееся образом отрезка из ЭД при непрерывном отображении, связно и локально связно.
6.4.53.	Доказать, что всякий связный локально связный компакт является непрерывным образом отрезка из ЭД.
§ 5.	ПРОСТРАНСТВА, БЛИЗКИЕ К КОМПАКТНЫМ
Топологическое пространство называется финально компактным (или пространством Линделёфа), если любое его открытое покрытие содержит счетное подпокрытие.

Топологическое пространство называется счетнокомпактным, если любое его счетное покрытие содержит конечное подпокрытие.
Топологическое пространство X называется секвенциально компактным, если каждая его последовательность содержит сходящуюся в X подпоследовательность.
Топологическое пространство называется локально компа к т н ы м, если каждая его точка обладает окрестностью, замыкание которой компактно.
Говорят, что покрытие ^' = {Vg : р g В} вписанов покрытие & = {Ua : а £ А), если для любого р £ В существует такое а £ А, что Ур с Ua. Если выполнено более сильное требование, т. е. Гр с Ua, то говорят, что покрытие ^'вписано в покрытие^1 с замыканием.
Покрытие З1 топологического пространства X называется локально конечным, если для любой точки х g X существует окрестность U с: X, которая пересекается с конечным числом элементов из З’.
Топологическое пространство называется паракомпакт-н ы м, если в любое его открытое покрытие можно вписать локально конечное открытое покрытие.
Пусть f — действительная функция на топологическом пространстве X. Символом [/ =/= 0] будем обозначать множество всех точек х g g X, для которых f (х) ф 0. Носителем функции f называется замыкание множества [/=?^= 0].
Пусть <7 = {Ua : ag А] — локально конечное покрытие топологического пространства X. Семейство {f : a g Л} непрерывных действительных на X функций называется разбиением единицы, подчиненным покрытию 3>, если имеют место условия:
1)	для любых ag А и х g X	0 и 0] с Ua;
2)	для любой точки х g X выполняется равенство
S = ь а£А
Поскольку покрытие & локально конечно, то каждая точка х g X может принадлежать лишь конечному числу элементов из ЗА. Поэтому в S L W число отличных от нуля слагаемых конечно.
Топологическое пространство называется локально евклидовым пространством размерности п, если каждая его точка обладает окрестностью, гомеоморфной пространству Еп.
Хаусдорфово «-мерное локально евклидово пространство, обладающее счетной базой, называется п-мерным многообразием.
6.5.1.	Доказать, что любое топологическое пространство со счетной базой финально компактно.
6.5.2.	Доказать, что регулярное финально компактное пространство нормально.
6.5.3.	Привести пример нефинально компактного регулярного пространства, удовлетворяющего условию Суслина (см. § 3, гл. 6).
6.5.4.	Привести пример нефинально компактного регулярного сепарабельного пространства.
6.5.5.	Доказать, что 7\-пространство X счетнокомпактно тогда и только тогда, когда каждая его последовательность имеет в X предельную точку.
6.5.6.	Доказать, что ^-пространство X счетнокомпактно тогда и только тогда, когда каждое его бесконечное подмножество имеет в X предельную точку.
6.5.7.	Доказать, что полное вполне ограниченное пространство счетнокомпактно.
6.5.8.	Доказать, что счетнокомпактное метризуемое пространство компактно.
6.5.9.	Доказать, что для пространств с первой аксиомой счетности понятия счетной компактности и секвенциальной компактности совпадают.
6.5.10.	Привести пример некомпактного счетнокомпактного нормального пространства.
6.5.11.	Доказать, что финально компактное и секвенциально компактное пространство есть компактное пространство.
6.5.12.	Доказать, что локально компактное хаусдорфово пространство гомеоморфно такому подпространству компактного хаусдорфова пространства, дополнение которого состоит из одной точки (теорема П. С. Александрова об одноточечной компактификации).
6.5.13.	Доказать, что открытое подмножество хаусдорфова компактного пространства является хаусдорфовым локально компактным пространством.
6.5.14.	Доказать, что метризуемое пространство тогда и только тогда локально компактно и имеет счетную базу, когда оно гомеоморфно открытому всюду плотному подмножеству компакта.
6.5.15.	Привести пример такого локально компактного подпространства X в 9V, что ЭД \ X — не локально компактное пространство.
6.5.16.	Привести пример не локально компактного подпространства в ЭД, которое является объединением двух локально компактных пространств.
6.5.17.	Привести пример такого подпространства X в 912, что X является объединением счетного числа компактов и имеет только две точки, в которых оно не локально компактно.
6.5.18.	Привести пример некомпактного хаусдорфова пространства, обладающего счетной базой, локально компактного и секвенциально компактного.
6.5.19.	Доказать, что паракомпактное и секвенциально компактное пространство компактно.
6.5.20.	Доказать, что в любое открытое покрытие регулярного пространства можно вписать покрытие с замыканием.
6.5.21.	Доказать, что хаусдорфово паракомпактное пространство нормально.
6.5.22.	Доказать, что для любого локально конечного открытого покрытия паракомпактного хаусдорфова пространства существует подчиненное этому покрытию разбиение единицы.
6.5.23.	Доказать, что хаусдорфово локально компактное пространство, обладающее счетной базой, есть паракомпактное пространство.
6.5.24.	Привести пример связного локально евклидова пространства без счетной базы.
6.5.25.	Доказать, что одномерное многообразие может быть гомеоморфно только одномерному многообразию.
6.5.26.	Доказать, что многообразие является параком-пактным пространством.
6.5.27.	Доказать, что многообразие метризуемо.
7 865
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЯМ ЗАДАЧ
ГЛАВА 1
§ 1
1.1.1. Обратное утверждение не всегда верно. Например,
-+	( {—cost, sin t}, если t<10,
г (t) = {
I {cos t, sin 7), если t>0.
1.1.4.	Поскольку (г, г) — const, то (г, г)' = 0, следовательно, (г, г') — 0, откуда г' I г. Обратно, пусть (г, г') = 0, тогда (г, г)' — — О и | г | = const.
1.1.5.	Указание. Представить г (0 в виде г (t) = х (t) i + + у (t) j + 2 (t) k. Тогда х' (/) = у' (t) = z' (t) = 0, следовательно, х (!) ~ = const, у (/) = const, z (Z) = const. Обратное утверждение также справедливо.
1.1.6.	Не всегда, например, если г (t) = {cost, sin t}, то | г' | = 1, а | 7|' = 0.
1.1.7.	Необходимость очевидна. Чтобы доказать достаточность, положим, что г' (!) = А, (t) г (/). Пусть г (t) = <р (t) е (/), где | е (/) | = 1. Тогда г' = ср'е + <ре', или А<ре = cp'e-f-cpe'. Умножим это равенство скалярно на е'. Получим ере'2 = 0. Поскольку <р (/) =# 0, то е'2 = 0, а ->	—►
е = const.
1.1.8.	Данное условие не всегда является достаточным. Например, для вектор-функции г (/) = [х (/), у (/), г (t)}, t£ (—оо; со), где
{1 ।___________________________________
е t , если / < 0, у (t) = t\ z (/) = <е ' , если t > 0,
0, если t 0;	(о, если t 0,
условие (г (Z), г' (/), г" if}} = 0 выполняется, однако для tg(—со; 0] векторы г (t) параллельны плоскости АО/, а для t С [0; оо) векторы г (/) параллельны плоскости YOZ.
Примечание. Если для всех t £ (а; Ь) выполняется условие [г (t), г' (/)|	0, то сформулированное условие является и достаточным. Дей-
ствительно, пусть векторы г (/), г’ (t), г" (/) компланарны; е (t) — единичный вектор, перпендикулярный к этим векторам. Тогда для всех /£
£ (а; Ь) выполняются равенства
(7, ё) = 0,	(а)
7',ё) = О,	(Ь)
(Л «5 = 0.	(с)
Дифференцируя первое и второе из этих равенств по t и учитывая при этом равенства (Ь) и (с), получим (г, е') = 0, (г', е') = 0. Из этих равенств следует, что
? || [7* 7].	(d)
Из уравнений (а) и (Ь) имеем
7|| [7 7].	(е)
Из соотношений (d) и (е), учитывая, что [г, г'] Ф 0, имеем е' || е. Тогда, согласно задаче 1.1.7, е — const, а из равенства (а) следует, что при всех t G (а, Ь) функции г (t) параллельны плоскости, перпендикулярной к вектору е.
§ 2
1.2.1.	Выберем аффинную систему координат следующим образом: начало координат — в конце вектора а, оси ОХ и OY зададим векторами & и с. Тогда параметрические уравнения заданной линии имеют вид х = t, у = t2. Исключив t, получим уравнение у = х2 (парабола). Если Ь || с, то заданное уравнение можно представить в виде г (() = = а + b (t + Kt2), где К — const. Уравнение представляет прямую.
1.2.2.	Годографом данной вектор-функции является эллипс и отрезок прямой, если векторы b и с коллинеарны.
1.2.4.	Приняв ось OZ за ось вращения, найдем уравнения винтовой линии: х = a cos t, у = a sin t, г = hi.
f х2 + у2 — a2, 1.2.5.
I z = 0;
z	(	z
u = a sin — , x = a cos —— , h	<	h
x = 0; I у — 0.
1.2.6.	Выбирая соответствующим образом систему координат, уравнения линии Вивиани можно записать в виде
Г х2 + у2 + г2 = 4/?2,
I х2 + у2 — 2Rx = 0.
x = a ch — , h
y = 0.
1	( u = X2,
1.2.9.	^-. 1.2.10. | » = eX'
1.2.11.	х= /2, y= t, г = t4.
1.2.12.	Если за параметр t принять время и считать, что при t = 0 точка М находилась на оси ОХ, то
x = acosa>t, у — a sin at, z = ht.
1.2.13.	х = a cos t, у = ht tg <p + a sin t, г = 0; проекция имеет точки возврата первого рода.
а
при tg ср = —
1.2.14.	Пусть r1 = r1(t) и г2 = г2 (/)—уравнения движения. По условию | — r2| = const, следовательно, (гх — r2)2 = const при любом t. Дифференцируя это тождество, получим (rj—г2, Г|—г2) = 0, откуда (7 —72, rj) = (Г1 —72, г2).
1.2.15.	7 =7s', 7 = 7'2 + 7s", 7"' = 7s'z + 37s's’ + 7sm, 7Л = = Л'2, i?, 7’] = [7, И s'3, (7,7, 7") = (7,7,7) s,e.
1.2.16.	г' = {ф', ф + йр'};	Г'={ф"', 2ф'+/ф’};	|[г',г"]| =
= |2ф'2 — фф" |. Данное уравнение представляет прямую линию тогда 2	2ф' ф’
и только тогда, когда 2ф' = фф*, или -------------, откуда 2 in ф =
ф ф'
</ф	1
= In ф' — In clt т. е. ф = схф2, —— = c^dt и------= crt 4* с2. Окончательно, ф =-------------------------------------, где а и & — постоянные.
at + Ь

1.2.17.	г —---------, где с, и с„ — постоянные числа по от-
cos (ф + с2)	2
ношению к точкам линии.
1.2.18.	Указание. Для любого t имеем F = Кг (t) = mr" (t). Дифференцируя это равенство по t, получим К'гКг'= тг'", откуда следует компланарность векторов г', г" и г"'.
1.2.19.	Обе части уравнения г'— [а, г (/)] умножим скалярно сначала на вектор а, а затем на вектор r(t). Получим (а, г') = 0, (г, г') = = 0, следовательно, (а, г) — const, г2 = const. Таким образом, заданное уравнение определяет линии сечения сфер г2 = const плоскостями (а, г) = const, т. е. окружности с центрами на прямой, проходящей через начало радиусов-векторов коллинеарно вектору а. Плоскости окружностей перпендикулярны к вектору а.
1.2.20.	Введем прямоугольную декартовую систему координат так, чтобы k = е. Тогда [е, [г, е]| = xi + yj и данное в условии дифференциальное уравнение в выбранной системе координат можно записать так: х' = х, у' = у, г' = 0. Отсюда х =	, у — с27, z — с3, где с1г
с2, с3 — произвольные постоянные.
1.2.21.	Необходимость очевидна. Чтобы доказать достаточность, примем точку О за начало радиусов-векторов и запишем уравнение линии у в виде г = г (t). По условию (г, г') = 0, следовательно, г2 = = const, т. е. радиус-вектор произвольной точки линии удовлетворяет уравнению сферы.
1.2.22.	Применить теорему Ролля к функции (а, г (/)— г (/0)).
1	2 23 cos сх------------РР гг
/ р2 + г2 V р'2 + р2<р'2 + z'2
1.2.24.	Воспользоваться тем, что если функция класса Cft, kZst 1, строго монотонна, то обратная ей функция также класса Ck.
1.2.25.	С°°.
1.2.26.	Введем сферическую систему координат. Пусть точка М имеет координаты г, ф, ср. Тогда х = aek4> cos ср, у = ae*41 sin ср, г = т	/ л \	/ л \
= be где k = — , а — ra sin I —-------ф) , b = r0 cos I —-ф I.
1.2.27.	Кривая допускает очевидную параметризацию х = a cos3 t, у = a sin3 t, г = 0, следовательно, она аналитическая.
1.2.28.	Эквивалентны.
/2 /2
1.2.30.	Например, х = —— , у = t, г = —--------1- t.
§ 3
л
1.3.1.	-— . Указание. Прямолинейные образующие конуса мож-4
но представить системой уравнений
/ ? — у = хи,
Ь+'-Т’
где и — параметр. Z4 х	 4 1 о о		у —	/3 “з"	/2 2 г	
	/2	t		1	
1.3.3.	х — а	У	Z — 1	1.3.5.	Л
	0	ь =	1		4 ‘
t о « П * —е _ У — е 1 __ Z— 1 х—2 у г
1.3.6.	=	------g_; 2)—-----------
х — 1 _ у— 1 _ г — 1 . х — a chi	у — aAt
1	~~	2	~	3	’	' ash/ “ a ch/ ”
г — ht ~~h	'
x-j-2 у— 12 z—14 n x-f-2 у — 3	z4-4
— 3 ~	4	“	5 б —1	Г-*
1.3.10.	Указание. Принимая указанную точку за начало радиусов-векторов, получим, что г' (t) || г (t), где г (/) — радиус-вектор произвольной точки кривой. Затем воспользуемся результатом задачи 1.1.9.
1.3.12.	5at. 1.3.13. 8а /2. 1.3.15. а /2 sh t0. 1.3.16. 9,9 с.
х2
1.3.17.	s fa, xj = ]Л + у'2 + z’2dx.
xt
1.3.18.	Полярно-цилиндрические координаты р, ср, z связаны с декартовыми прямоугольными координатами х, у и z следующими формулами: х = р cos ср, у ~ р sin ср, z = z. Отсюда ds2 = dp2 -j- p2cZcp2 4--j- dz2.
1.3.19.	ds2 = dp2 + p2d02 4- p2 sin2 0d<p2.
, „ on	s	s	hs
1.3.20.	x — a cos —,	, у = a sin —- , z = -	,
V a2 + h2	V a2 + h2 V a2 + h2
,T	x — 1 у — I z — 5
1.3.21.	I) Касательная: —j— = —-—= —-— ; нормальная плос-„	x — 1 у — Iz — 5
кость: x Зу + 2.z—14 = 0; бинормаль: ---------------------— ;
3	1	— 3
соприкасающаяся плоскость: Зх + у — 3z -f- 11 = 0; главная нормаль: х — 1 у — 1г — 5
——— = —-— = —-— ; спрямляющая плоскость: 11x4-91/4-4- 8z — 60 = 0.
/2	/2
х-------- у-------— г-1
2) Касательная:---s------------------=-------— ; нормальная
1	— 1	2/2
/ 2
г— г—	Х 2
плоскость: х — у 2 у 2г 4- 2 у 2=0; бинормаль: --------—--=
/ 2
V 2
У------9~
2 Z — 1	,—	.—
=-----—— = —г— ; соприкасающаяся плоскость: у 2х 4- 3 у 2у ф-
3 г 2
/2	/2
,	5 о	Х-------- У----------г-1
4- г — 5 = 0; главная нормаль: ---~--------------=--------_- ;
—13	з	4/2
спрямляющая плоскость: 13х — Зу — 4 / 2г — /~2 — 0.
3) Пусть х = х (/), у = у (1), г = г (О — параметризация данной линии. Если в заданные уравнения линии вместо х, у и г подставить функции х (/), у (t) и г (/), то получим тождества относительно t. Диф
ференцируя их, имеем хх' + уу’ + zz' = О, хх' + уу’ = О, или zz' = О, хх’ + уу' = 0. Отсюда вектор г' (/) || {—у (/), х (/), 0). Выберем такую параметризацию, чтобы г' (/) = {—y(f), х (/), 0}. Тогда г" (/) = = {—у' (t), х' (/), 0} = {—х (t), —у (t), 0}. В точке М г' = {—1, 1, 0}, а 7" = {—1, -1, 0).
X— 1 у— 1 Z— 1
Касательная: ---j— = —।— = —-— ; нормальная плоскость:
х — 1 у — 1 z — 1
х — у = 0; бинормаль: —-— = —-— = —j— ; соприкасающаяся х— 1 у— 1 г— 1 плоскость: г — 1=0; главная нормаль: —-— = —j— = —-— ; спрямляющая плоскость: х + у — 2 = 0.
Примечание. Данная линия состоит из двух окружностей.
4) Пусть х = х (/), у = у (7), z = г (/) — параметрические уравнения данной линии. Если в заданные уравнения вместо х, у и г подставить х (f), у (/) и z (0, то получим тождества. Дифференцируя их по t, имеем новые тождества уу' 4~ гг' = 0, хх' + уу' — 0. В заданной точке эти тождества имеют вид Зу’ + 4г' = 0, х' + Зу' — 0. Выберем такую параметризацию, чтобы г' — 3, тогда у' = —4, х' = 12. Продифференцировав те же тождества, найдем у'2 + уу" + z'2 + zz" = 0, х'2 + у'2 + хх" + уу" = 0, а в точке М получим Зу" + 4г" + 25 = = 0, х" + Зу" + 160 = 0. Пусть параметризация такова, что в точке М вторая производная у" = 1, тогда х" = —163, z" = —7.
х — 1 у — 3 z — 4
Касательная: ———  ---------— = —-— ; нормальная плоскость:
12х — 4у + Зг — 12 = 0; бинормаль:
с — 1 у — 3 z — 4 — 5	81	128 ’
прикасающаяся плоскость: 5х — 81 у—128г + 750 = 0.
5) Кривую можно параметризовать так, чтобы в данной точке 7 = {0, 1, 0), 7= {1, 0,— 1).
т,	х у г— 1
Касательная:	= —— = —-— ; нормальная плоскость: у = 0;
,	х У г — 1
бинормаль: — = — =-----------; соприкасающаяся плоскость: х + г —
— 1=0; главная нормаль: —— =	=------— ; спрямляющая плос-
кость: х — г + 1 = 0.
IZ	х — cos t у — sin t г — t
b) Касательная: -------.—— = —---------— = — ----- ; нормальная
— sin t cos t	1
плоскость: x sin t — у cos t — г Д- t = 0; бинормаль: —----------------
sin t
у — sin t z — t
=------= —j— ; соприкасающаяся плоскость: x sin t — у cos t -|-
,	±	„	x — cos t у — sin t г — t
+ г — t = 0; главная нормаль:------------------------a> ; спрям-
cos t sin t 0
ляющая плоскость: x cos t -f- у sin t — 1=0.
1
it
3/a
1.3.22.	I) T = ( /.	. .	, r	--.1 ;
IV 9/4 + 4/a + 1 /9/4 + 4/a + 1 /Э/4 + 4/2 + 1J v = (h (9/3 + 2Z), h (9t* — 1), h (— 6/3 — 20}, где h =	- 1	— •
/(9/3 + 2/)2 + (9/4 — 1)2 + (6/3 + 2/)a '
R - f 3/2__________________3/	______1____|
P “ t V 9/4 + 9Za + 1 ’	/9/4 + 9/а + 1 ’ У-|_ 9/2 4- 1 J *
- f	1	.	/	1	/	1 1	-	[ t
2) r = { sin —— cos	-g- ,-— I ;	v	= ) cos -я- f
I У 2	2 ’ y2 2 У 2] I 2 ’
.	/	„) z- .(	1	.	/	1	/	1 1
-sin-.O}; ₽ = (-yTs1n-r,-7TcoS^-,-7T}.
3)7=(—------------~ , Ol; v-(-L- , -L-, Ol; p =
1/2 У 2 f 1/2 ’ У 2 I
= {0, 0, 1}.
4) 7 = (-JL-, -L-, о) ; 7 = (—U, —5L,ol; p = l Уз ’ Уз )	1 Уз У1 J
= {0,0,-1}.
1.3.23.	X = x0 + /z0, r = j/04-/z0, Z = z0-f-2/x0.
1.3.24.	Главная нормаль: х=1—31/, у = 1 — 26/, z = 1 -f- 22/; бинормаль: x = 1 + 6/, у = 1 — 8/, z = 1 — /.
i4	/3	/2
x 4 У з Z 2
1.3.25.	Главная нормаль: <3 + 2Z = t __= _2/3—/ ’ /4	/3	/2
x~~ У---------J- --------т
бинормаль: --j------ —_	---
1.3.27.	г0 (х — х0) + х0 (г — г0) = 0.
1.3.29.	Указание. Уравнения нормальных плоскостей данной линии имеют вид х sin / — у sin a cos / — z cos а cos / = 0. Эти плоскости проходят через точку данной прямой (начало координат) и параллельны ее направляющему вектору и = {0, 1, —tga}.
1.3.30.	Указание. Достаточно доказать, что уравнение соприкасающейся плоскости этой линии не зависит от параметра /.
< о 31 п х_______JL- г~ 1 . а х~ 1 -	1 - г~ 1 •
1.3.31.	1) _ J - 4 -	(	,2)	3	-	3	-	4	,
31 — = -V - —
3)	0	1 “ 0
1.3.32.	Пусть х = х (/), у = у (/), г = z (/) — параметризация кривой. Дифференцируя тождества F (х (/), у (/), г (/)) « 0, Ф (х (/), У (О, г (/)) еа 0, найдем
A*dx + Fydy + F zdz = 0, ФхЛх +Ф^у -f- <I>zdz — 0.
Отсюда
dx	dy	dz
~Е^-Гг	IF:	I	- IF, I	’
Фу Ф2	1 Фг	Фх I I ФЛ	Фу I
Таким образом, уравнение касательной прямой имеет вид
гО
1 У 1 2
Ф° Ф°
У 2
Y — Уо р® р®
1 2 Л X
Ф° ф£
Z — z0 рО р® х у ф° ф°
X у
а уравнение нормальной плоскости
X х0
F° 1 X
ф?
Y-ya
F° у
фО
2 — z0
F,
ф° г
1.3.33.	Уравнение соприкасающейся плоскости данной линии в произвольной точке запишется следующим образом: t3x — 2ty + г — t3
---— — 0. Эта плоскость пройдет через указанную точку, если t = 3. О
Таким образом, уравнение искомой плоскости имеет вид
9х — бу + г — 9 =0.
1.3.34.	Уравнение нормальной плоскости в произвольной точке запишется следующим образом: х — t + 2t (у — /2) + З/2 (г — /3) = = 0. Эта плоскость проходит через указанную точку, если З/5 + 2/3 — — 5t = 0. Полученное уравнение имеет корни = 0, t2 = 1, ts = —1. Найденным значениям соответствуют плоскости х — 0, х + 2у Зг — — 6=0, х — 2у + Зг + 6 — 0.
1.3.35.
а	а
X---7=- У--------7=~
/2	/2
I	1
Л г~~т о
1.3.37.	Уравнения множества концов отрезков:
х = cos t 4= 2 cos t, у = sin t 4 2 sin t, z = t.
Касательные: * + cos * = ±±£21 = ±Г± и x~3cos< = — sin t cos t — 1	— 3 sin t
у — 3 sin t z — t 3 cos t
x — 3 cos t И -------:—----
sin t
_	x 4- cos t
—j— ; бинормали: -------!-----
у — 3 sin t  z — t — cost 3
у -|- sin i _ г — t — cos t ~ — 1
x 4- cos t
; главные нормали: —!—— = cos t
sin t
у 4- sin / _ г — t x 3 cos / _ у — 3 sin Z г — t
sin t ~	0	cos t ~ sin t O'
1.3.38.	Если уравнение исходной кривой имеет вид р= р (f), то множество концов отрезков представляется уравнением г = р (/) 4-+ Ф (/), где 0 (0 — единичный вектор бинормали кривой. В резуль»
тате получим уравнения
, th . .	.	th
х = a cos t ±	— sin t, у = a sin t T —.	cos t,
Va2+h2	/а24-Л2
,, al г = ht ±	, .	.
Va2 + h2
-» j	f I	x
1.3.39.	r = {at, a, 3a sin —}, или г = За sin— , у = a, t. e. (	2 J	a
имеем синусоиду, расположенную в плоскости у — а.
1.3.40.	ах — г = 0.
1.3.41.	Указание. x = atgt, у = boast, г = b sin t, откуда — = tg t и каждая точка кривой принадлежит поверхности ху = аг. У
->( а	1
Вектор г = !-----—, —b sin t, boost} перпендикулярен к образу-
I cos2 t	J
ющим поверхности, представленным уравнениями х = и, иу = аг. Направляющие векторы этих образующих есть векторы
{0, а, и} = {0, а, х}.
§ 4
K2
1.4.1. 1) k= . (e* + e z)2
к 2z . ~2t (1 4-2/2)2 ’ X (1 + 2/2)2 ’	’
X 3 (t2 + I)2 ’ 1 * * * 5)	~ 25 sin t cos t
| sin x I	1 + 2m
---------!_^ . 7) ---------ZL	--------- . 8) (l+cos2x)2 4am(l+m)sin — ys | 2a2b — y3 — 3by2 |---3p
3 • lu' a2 ’ **'
a {y* — 2by3 + a2b2)~ 3
13) —j------ГГ : 14> °>128: 15)
8a sin —	У i + (in a)2
2)
4)
6)
9)
АГ’
Х = 25 sin t cos t
1
a ch2 — a
-------—j- ; 12) |cos х |; а(1 +Ф2)"5"
1
х =
3ez ’
1
X = ~3? :
4
. . t sin’-g--
1.4.2. k = —
4
1	v 6	1
1.4.3. fe = -T7=-, x= 1. 1.4.5. k = -4— , x = -±- .
у о	У	2
1.4.7. Если кривая плоская, то ее бинормаль постоянна, следова-djT -
тельно, —— = 0. Отсюда х = 0. Пусть теперь х = 0. Кручение х мож-as
dp 1
но представить следующим образом: х = —tv, -----------------). Тогда
\ ds /
= 0; но
dp 1	dp \
—-— I = 0 и I Р,-----1 = 0. Следовательно,
ds I \ ds /
dR
—— = 0, а р = ро = const. Поскольку г' I р, то (г', Ро) = 0. Интег-ds
рируя, получим (г (s) — гд, ро) = 0, вследствие чего кривая лежит в плоскости (г — г0, Ро) = 0.
1.4.8 h = а.
1.4.10. Указание. Записывая искомый вектор в виде ш=ат + + bv -|- ср, найдем, что «в = хт + &р. Вектор со есть вектор мгновенной угловой скорости репера Френе при движении точки по линии со скоростью,
равной единице.
1.4.13.
Пусть линия г = г (s) обладает свойством 1) и е = const
такой вектор, что
= const = с при всех s. Дифференцируя это
соотношение по s, получим (с, т) = 0, или k (е, v) = 0. Таким образом, если линия не является прямой (/г 4=0), то она обладает свойством 3), т. е. (е, v) — 0. Дифференцируя тождество (е, v) = 0, найдем, что k	-> ->	d -> -»	-» -»
(е, — kx + хр) = 0, откуда -с -- (Р, е); но---(Р, е) = — х (с, v) =
х	ds
-» ->	k
— 0. Таким образом, (Р, е) = const и — = const. Пусть, например, кривая обладает свойством 4). Докажем, что она обладает остальными свойствами Вектор, указанный в условии 1), найдем таким образом: -> -> -»->	-> -»->	/-» k -*\
е —
х
cos (е, т) —
= const.
de	/ -»	k	\
Кроме того, ---------- с I fev ф- ~гг~ (— xv ) = 0. Аналогично предполагая
ds	\	л	/
выполнение условий 2) или 3), можно доказать, что кривая обладает и остальными свойствами.
1.4.15.	См. задачи 1.4.12 и 1.4.13.
1.4.16.	См. задачи 1.4.11 и 1.4.13. k
1.4.17.	Доказать, что — = const.
X
ft
1.4.18. —= 1, е = т + Р = {1, 0, 1).
k
1.4.19. Для линии откоса — = const. На основании задачи 1.4.11 х
(Р, Р, Р) = 0, на основании задачи 1.4.7 кривая Р = Р (s) является плоской кривой. Кроме того, эта линия расположена на сфере, следовательно, является окружностью.
„ t
,-----------6 cos-----------------
. л П1 L У^13	3 cos t	2	“*
1.4.21. k ---------------— , х =  D „-----------— , если г »
3	R (13 4“ 3 cos t)
R (3 4- cos 1) 2
= р? (1 4~ cos /), R sin t, 2R sin — параметризация линии. Точек распрямления нет. Точки уплощения М (0; 0; ± R).
1.4.22. Воспользуемся параметризацией кривой из задачи 1.4.21. Точка самопересечения имеет координаты (2R; 0; 0); этой точке в выбранной параметризации соответствуют значения t ~ 0 и t = 2л. При t = 0 имеем: т = /о, —-Lr-, —, v = {— 1, 0,0), p = |o,-----------7=-
l V 2 ’ /2 J	I /2
—-J=-l . При t = 2л имеем: т = /о, —,---------, v = (— 1, 0, 0),
/2 /	Г /2 V 2 J
p = ft) ‘	‘ I
1.4.24.	Пусть г = г (s) — натуральная параметризация линии у. Уравнение линии у можно записать в виде р= r(s) + XP(s). Тогда р' = т + Хр — Xxv. Так как бинормаль линии у* коллинеарна р, то (Р, р') = 0. Отсюда X — 0, а X = const и р' = т — Xxv. Затем р" = = kv— Xxv + Хх&т — Ххар. Вследствие того что (р*, р) =0, находим х = 0 (X #= 0, иначе бы у и у* совпадали).
1.4.25.	Пусть г = г (s) — уравнение линии у. Тогда уравнение у* можно записать в виде р (s) = г (s) 4~ Xv (s), откуда р' = т 4- X (— kx + + хР) 4- Xv. Поскольку р' ! р*, то (р', v) = 0. Отсюда находим, что X = const, ар' = т + Х(— kx -j- хР). Далее, р" = — Ххт -f- (k — Хй2 — — Хх2) v 4~ ХхР перпендикулярно к р* = v. Следовательно, k— kk2 — — Хх2 = 0, или k = X (X2 + х2).
1.4.26.	2) Пусть г — г (s) — регулярная параметризация кривой у. Уравнение кривой у* в силу условия задачи можно представить в виде г* = г (s) + a (s) v (s), где v (s) — главная нормаль линии у, a (s) —• некоторая скалярная функция. Найдем г* = т т 4- а (— kx + хр). По условию задачи v* (главная нормаль у*) удовлетворяет условию v* = ± v, следовательно, г*' || х* I v. Воспользовавшись этим, имеем (r*z, v) = 0, откуда получим, что а = 0, т. е. а = const. Таким об

разом, г* =т(1—ak) + охр. Дифференцируя еще раз и пользуясь формулами Френе,получим
г*" = kv (1 — ak) + т (1 — ak)‘ + охр — ax2v.
В соприкасающейся плоскости кривой у* лежат векторы г*', г*", у*, “* / —*ff -*
т. е. векторы г* , г* , v компланарны. Отсюда следует коллинеар-—♦	—>	—»	—» // —»	• —>
ность векторов [г* , v] = (1 — ak) р — яхт и [г* , v] = (I — ak) р — — ахл. У коллинеарных векторов координаты пропорциональны. Та-,	(1 — ak)'	ах
ким образом, —--------,—  ----- , что эквивалентно соотношению
1 — ak	ах
I 1 — ak \ •	1 — ak
I-------- = 0; отсюда следует, что ---------- — b = const. Итак, кри-
\ х /	X
визна k и кручение х вдоль кривей Бертрана связаны соотношением ak + bx = 1, где а 0 и Ь постоянные.
1.4.27.	Пусть кривая у задана параметризацией r= г (s). Покажем, что кривая, задаваемая уравнением р = г + av, где v— главная нормаль кривой у, является искомой. Легко показать, что вектор р'= (1—ak) т охр перпендикулярен к вектору v. Кроме того, р" = (1—ak) kv — (1 — ak)' т + ахр — ax2v. Для доказательства того, что рассматриваемая кривая р = г + av является искомой, достаточно доказать, что векторы р', р" и v компланарны, или что [р', v] || [р", v]. Покажем это. Для этого найдем указанные векторные произведения:
[р', v] = (1 — ak) р — ахт,
[р", v] = (1 — ak)- р — ахт.
I — ak
Из соотношения ak + bx = 1 находим, что --------= b — const. Та-
X
ким образом, [.'	| =0. Продифференцировав эту дробь, найдем
\ х /
(1 — ak)' _ ах
1 — ak х
Из полученного соотношения видим, что координаты векторов [р', v и [р", v| пропорциональны.
1.4.28.	См. задачу 1.4.27; положить b = 0, а =-j-.
1.4.29.	Если г = г (s) — параметризация линии у, то уравнение у* имеет вид
Р (s) = А«) +-у v (s),
a
-♦ X 7* “%	/ x \’7* X2	~t X3 ->
P =-?-₽. P = T ₽-------------Tv' fP’Pl = ~ТГт;
R.	\ ft J	R	k*
k* = J-lP^.P^.1. = k, x< I p' I3
1.4.30.	=	x =
x = a • 3) k =	x
2a2 + s2 ’ ’	4 + s2 ’
1.4.32.	Уравнение линии у: p
I [p'. p"] I k
= ~	-T2----= j, 2 ; кручение: Xj
|p'|3	1 + X
ходной кривой. Касательная к линии определяемый соотношением
cos 0 = ——
Vi
(р'. р", р'")	k2
IP', р"]2	х
____*____• 21 k = а , а2 + Л2 ’	’ Ча2 + s2 ’
-К 2 L сУ~Ч 4 + s2	s2 + 4с2
= г (s) 4-	(s); кривизна: fej =
АЛ
= -j-гуу > где k — кривизна ис-
у образует с вектором Р угол 0, к____
+Т2 
1.4.35.	Общий перпендикуляр к касательным т (s0) и т (s) коллинеарен вектору и = [т (s0), т (s)]. Его длина равна модулю проекции вектора г (s) — г (s0) на направление вектора и. Таким образом,
(Z(S)— r(s0), Т (s), T(Sq)) I [t («), т (s0)j |
| (Ar, т, Ат) I
(At, t]2
Ar = tAs -|—fevAs2 -|—&x|3As3 + • • •,
где
Следовательно,
As = s — s0, At = AvAs + • •
d
1.4.36. d2 =
| x |	. d2	| x |
K*2 + x2 1 S ~ S° 1 4	’ s1™ I s — So | -	+ X2 
Кратчайшее расстояние между бинормалями линии в соседних точках равно d3 = (1 + а) | s — s0 |, где lim а == 0.
«-►So
—♦ !	—>	—> II	—♦	-►
1.4.37.	г*	= — skv,	г*	— sk2t — (k 4- sk) v — skxfi	и т. д. Тогда
V /г2 + х2 k = ~—i-Ti----> х
s£
X2 / k у sk (k2 +x2) \ X /
k
Если — = const, to x* = 0. X
1.4.38.	Уравнение искомого множества точек ищем в виде р (s) = = г (s) + Хт (s); X находим из условия (р — г0) I р0. Таким образом.
X = —	( р' = т	Xfrv,
(т, Со)
р" = (X — Х&2) т + (k + Ш + ад V + Хх*р.
Вектор р" при s = Sy находится в плоскости векторов т0 и v0, поэтому = 0, р0 = (1 + Хо) т0, а рр == Хот + (k0 + 2Хпй„) v„. Аналогично находим р'" (s). Приравнивая коэффициент при Р к нулю, получим X (s0) —
1 . 3 =-----— . Кривизна: k0 = ka.
1.4.39.	Уравнение подэры будем искать в виде р = г (/) -f- Хг' (/). Параметр X находим из условия (р, г') = 0. Следовательно, X =
=-----• Таким образом,
;=7(Z)_p(Z) й.й».
(г' К))2
/ h2t \	/	h2t \
1.4.40.	х = а cos/Ч----- sin t , и = a sin t----------cos t ,
\ а2 + /г2	] y \ a2 + h2 )
a2ht
Z = a2 + h2 '
1.4.41.	Считая, что X = X(s), найдем производную p' = т -f- X X X (v sin <p -f- p cos <p) X (v sin <p + P cos ф)-. Согласно определению огибающей, вектор р' параллелен вектору v sin ср -j- р cos <р. Модуль вектора v sin ср + Р cos ср равен 1. Поэтому производная этого вектора перпендикулярна к нему. Кроме того, т I (v sin ср + Р cos ср). Следовательно, для выполнения условия параллельности
(т + X (v sin ср + р cos ср) + X (v sin ср + Р cos ср)ф) || (v sin ср + р cos ср) необходимо и достаточно, чтобы
т + X (v sin ср -|- р cos ср)- = 0. Отсюда
S
Л —	, (Р — X = 0, (р = \ х (s) ds.
fesin (р Y	т J
So
Уравнение огибающей имеет вид
s
р = Г + R (v + р ctg <р), Ф = j v. (s) ds.
s
Функция x (s) ds называется полным кручением линии
So
на интервале (s0; s). Если в точке Л40 (s0) взять бинормаль <р = 0, то в точке М (s) нормаль v sin <p + р cos <р составляет с бинормалью угол <р, равный величине полного кручения дуги Л4ОЛ4. Условие ср = х выполняется, если к ср прибавить любую постоянную. Это означает, что когда некоторое однопараметрическое семейство нормалей имеет огибающую, то, повернув все нормали в нормальных плоскостях на один и тот же угол, получим новое семейство нормалей, которое тоже имеет огибающую.
1.4.43.	Уравнение оси кривизны р = г + Rv Ар, р' = (R — Ах) х .	—*	—*	—>
X v + (А 4- Rx) р. Из условия того, что р' || р, находим А =	. Та-
—» -»	-> R —*
ким образом, уравнение огибающей имеет вид р = г + Rv Ч------р, а
X
р' = j + Rx) р. Обозначим j + Rx = а. Тогда р'= ар,
р" = ар — axv, [р', р"] = а2хт, (р', р", р"') = a2x2fe. Кривизна: k* = х I	k
= — ; кручение: х* = — .
а |	а
k*
1.4.44.	Из результатов предыдущей задачи следует, что =
,	k ,
= const, если — = const.
х
1.4.45.	См. задачу 1.4.43.
1.4.46.	Если шаг винта равен длине окружности цилиндра.
§ 5
1.5.4.	а) Единичный вектор бинормали Р = {—1, 0, 0) параллелен оси ОХ. Рассматриваемая точка кривой совпадает с началом координат, поэтому соприкасающаяся плоскость кривой при t = 0 совпадает с плоскостью Y0Z. Соприкасающаяся окружность с центром в точке С (0; 1; 0) и радиусом 1 лежит в плоскости YOZ, поэтому ее можно представить уравнениями (у — I)2 + г2 = 1, х = 0.
/	1 \2	81
б) \---г) +^ + 3)2 + (г~4)2== — - ^-2у~г-3^0.
1.5.5.	Радиус кривизны:
з
(1 + 4/2 + 9/*) 2	 _ dR _ dR dt
К	_L ’ К ~ ds dt	ds '
(36/4 + 36/2 + 4) 2
= (1 + 4/2 -J- 9t4) 2 . Ответ: -A- .
1.5.6.	а) -ALAAA ; 6) (e* + e”')* -L-f-(e( — e"')2; в) 3 /2?.
1.5.8.	Винтовая линия, лежащая на цилиндре х2 + t/2 =--, шаг
а2
которой равен 1.
1.5.10.	Пусть х = х (/), у = у (0, г — г (t)— регулярная параметризация кривой. Составим функцию
Ф (0 =
х (/) — х (t0) х' (t0) х" (10)
У (0 — У (4)
У' (<о)
У" do)
г (0 — z (10) г' (/») г" (ta)
Разложим функции х (/), у (/) и г (t) в строку Тэйлора и приравняем в выражении (₽ (t) коэффициент при (/ — /0)3 к нулю. Получим
x"'(t0) У"'(t0) z'"(Q х" (t0) У" (ta) г" (to) х’ (to) У' (to) z' (tn)
= 0.
1.5.13.	2. 1.5.15. 1. 1.5.18. Нет.
ГЛАВА 2
§ 1
2.1.3.	Пусть у2 = 2рх— уравнение параболы. Если М (х; у) — точка касания, то уу = р (х + х) — уравнение касательной в этой точке,
Р
х =
У =
Р_____
п2
— координаты точки, симметричной с началом координат (вершиной параболы) относительно касательной. Полагая — р = а, -^= I, по-У
лучим приведенные в условии уравнения циссоиды.
2.1.4.	Если р = М) — полярное уравнение спирали, то
х = Z0 cos 0, у = Z0 sin 0
ее параметрические уравнения. Угловой коэффициент касательной к спирали:
/ - tg ° + 6
х' 1 - 0 tg 0 ’
Угловой коэффициент полярного радиуса-вектор а fei = tg 0. Отсюда
tg Ф =	= е-
1
я
При 0 -> оо имеем <р ->	.
2.1.5.	х + у — а = 0.
2.1.6.	Находим производные
, 3R / . / , .	3/ \
х —-----— sin----h sin ----),
16 к 4	4 /'
, 3R ( t 3t \
у = "T6\COS~4—cos тг
Тогда
tga =
t	3t
cos-----------cos-----
4	4	, t	t
---------------------------------------------------- —tg — => a =--г--. t . . 3t-----------------------------------------4	4
Sin — + sin —
Уравнение касательной
Y-y = -^-(X-x) x
может быть записано в виде
X sin a — Y cos a — R sin a cos a — 0.
Уравнение перпендикулярной к ней касательной имеет вид
X cos a -|- Y sin a -ф R sin a cos a == 0.
Исключая из последних уравнений а, получаем уравнение четырехлепестковой розы
R2 (х2 — у2)2 = 2 (х2 4- г/2)3.
2.1.7.	Если у = у (х) — уравнение кривой, то
РТ =-----PN = уу', МТ =	К1+ У'2,
У	У I
MN = | у | К 1 + /2
1)	МТ - а. Тогда имеем дифференциальное уравнение
а= Ц- /ТТ72, У
или
у' = _ -У
У а2 -у2
(учли расположение фигур на рис. 1). Поскольку у = a sin t, то
у' =
dy dt dx IF
a cos t . , dx	cos21
--- ---- = — tg t => —ТГ- = — O. ;—r-dx-----s dt	sin t
dt
-ф cos t
Искомая кривая определяется параметрическими уравнениями х = — а ^In tg + cos t у = a sin t.
Эта кривая называется трактрисой.
2)	MN = а. Тогда
,	/а2 — и2
у = —--------— 
— У Взяв у = a sin t, получим
,	dy dx	a cos t , , dx	. ,
у =	—~тг~ : -ТГ =	—j-= — ctg t => —7—	= — a sin t => x= a	cos t.
dt dt dx	dt
dt
Искомая кривая — окружность:
x = a cos t, у — a sin t.
3)	PN = a, yy' = a => y2 = 2ax — парабола.
4)	PT = a,---У- = a^y = e~~.
У
2.1.8.	Уравнение окружности с центром С (/; 0) и радиусом а (х — t)2 + y2 = a2.
Координаты точек касания:
x = ~t~ ’ у= * -7(^-а2)~-
Исключая отсюда параметр t, получим уравнение искомой кривой (х2 4- у2) у2 = а2х2.
В полярной системе уравнение имеет вид р = a ctg 0.
2.1.9.	Из уравнения касательной (см. задачу 2.1.6) находим точки пересечения ее с осями координат:
А (Р cos a; 0), В (0; — Р sin a) => АВ = R.
2.1.10.	Уравнение овала имеет вид api + Ьр2 = const, где
Pi = У(х + с)2 + У2, р2 = У(х — с)2 + У2,
(здесь (±с; 0) — фокусы). Продифференцировав уравнение овала,, получим
а х +с+ УУ' , ь х — с + уу' = е Pi	Ра
Но х + с + уу' = FXP — NP — FXN (рис. 21). При этом в соответствии с рисунком принято во внимание, что у > 0, у' < 0. Аналогично х — с + уу' = F2N (учтены знаки отрезков). Следовательно,
a-W+bW.
Pi Ра
0.
Но из треугольников FrNM и F2NM имеем
Таким образом,
cos q>2   а
C0S ф;	b
2.1.11.	Пусть ci ММ' = As, иЛ1Л; — дуга круга, тогда треугольник MNM' — прямоугольный (рис. 22). Поэтому
NM'	dr
—..... a: cos ф, следовательно, —,— = cos ф, иММ т	ds
dr яШ.
2.1.13.	Пусть х2 — у2 =-g-уравнение равносторонней гипербо-
лы, (хх; ух) — точка касания, хгх — уху = -^--уравнение касатель-
ной в этой точке. Следовательно,
(а)
Точка М (х; у), симметричная началу координат (центр гиперболы) относительно касательной, определяется равенствами
Ух 1	1	а‘
У = (а) (Ь)
Первое равенство означает, что эта точка лежит на перпендикуляре ОМ к касательной, второе — что середина отрезка ОМ принадлежит касательной. Исключая х1, из равенств (а) и (Ь), получим
(х2 + у2)2 — 2а2 (х2 — у2) = 0.
Это уравнение лемнискаты.
2.1.14.	Перейдем к декартовым координатам. Уравнения кривой имеют вид х = р (0) cos 0, у = р (0) sin 0. Уравнение касательной
у (р' cos 0 — р sin 0) — х (р' sin 0 + р cos 0) + р2 = 0.
Уравнение прямой NT
х cos 0 + у sin 0 = 0.
Координаты точки Т
Р2 . „	р2
X = —— sin 0, у =--------— cos 0.
р	р
Отсюда
ОТ = —	,
Р
поскольку в соответствии с рисунком р' > 0, ОТ < 0. Уравнение нормали
у (р' sin 0 + р cos 0) + х (р' cos 0 — р sin 0) — рр' = 0.
В пересечении этой нормали с прямой NT находим точку N (х; у);
х = — р' sin 0, у = р' cos 0.
Следовательно,
ON = р'.
2.1.15.	ТМ = -А- Кр2 + р'а, NM = /р2 + р'2. Р
2.1.16.	р' = X = const, тогда р = Х0. Приняли, что произвольная постоянная интегрирования равна нулю (это не существенно).
/)2	q
2.1.17.----= а = const, откуда р = -g- (постоянную отбросили).
Получили гиперболическую спираль. а
2.1.19.	р =------ (1 ± sin 0), а = АВ. В качестве полярной оси
cos 0
взят перпендикуляр ОА.
2.1.24.	Уравнение параболы
У2 = 2рх.
Касательная к параболе в точке (хх; r/t) имеет вид
У1У = Р (х + xj.	(а)
Р (0; с) — точка на касательной к кривой, проведенной в вершине. Тогда
У — с =-----— х	(Ь)
Р
— перпендикуляр к касательной, проведенный из точки Р. Координаты точки пересечения прямых (а) и (Ь)
_ суг — pxt _ ср 4- х1У1 р + 2Х1 ’ у д + 2^ *
Кроме того,
= 2pxlt
(с)
что уже было использовано. Исключая из равенств (с) и (d) величины Xj и yt, получим искомое уравнение
х (х2 + (У — с)2) = — ({/ — с) (у — с) + сх
2.1.25.	Уравнение параболы
У2 = 2рх,
I 3Р \
PI-----2’ ° — точка на оси параболы, симметричная фокусу. Ис-
комое уравнение трисектрисы
р
(х — За) ((х — За)2 + у2) = а (у2 — 3 (х — За)2), а —-— .
2.1.26.	Принимая фокус параболы за полюс, запишем ее уравнение в полярной системе:
_______р
Р — 1 — cos 0
Уравнение перпендикуляра к полярному радиусу-вектору в его конце имеет вид
X COS 0 + у sin 0--;------= 0.	(а)
я	1 — cos 0
Теперь найдем огибающую (см. § 5) этих перпендикуляров Продифференцировав уравнение (а) по 0, получим
- X sin 0 + </ cos 0 + (r-£S‘;segp  = о.	(b)
Исключая из равенств (а) и (Ь) параметр 0, находим искомое уравнение 2 (2р + х)3 = 27р (х2 + у2).
2.1.28.	Касательная:
/	t	, I	- {	t \	„
cos — х — sin — у 4- a 2 sin — t cos-— = 0.
2	2	\	2	2 )
Нормаль: t	t	t
sin----x + cos — у — at sin------ 0.
2	2"	2
2.1.29.	/2 — tt = (2k + 1) л.
2.1.30.	Запишем параметрические уравнения эллипса:
х = Уа2 — Л2 cos/, у = УЬ2 — Л2 sin/.	(а)
Касательная к эллипсу определится вектором
f = (— |Лг1 2 — X2 sin t, Кб2 — ?-2 cos f).
Произвольная траектория семейства эллипсов может быть задана уравнением t = t (Л). Вектор
Т* /	>—х---.	,	Л COS t
N = I — Va2 — X2 sin i • t-----------,
\	/a2 - V
/&2 — X2 /
касателен к этой траектории. Полагая (Т, N) = 0, получаем f = О, т. е. t = const. Следовательно, уравнения (а) при А = const дают конфокальные эллипсы, при t = const — их ортогональные траектории. Исключая из уравнений (а) параметр X, получим уравнение семейства ортогональных траекторий в симметричном виде:
__________________________У2 _ .
(а2 — й2) cos21	(а2, — b2) sin2 t
Это конфокальные гиперболы.
2.1.31.	у3 (/> + %)+ -^- = 0.
2.1.32.	Пусть г = г (s) — векторное уравнение кривой, а полюсом является точка, через которую, по условию, проходят все нормали кривой. Тогда г — вектор нормали кривой, г' — вектор ее касательной. Поскольку (г, г') — 0, то г2 = const.
2.1.33.	Полярное уравнение эллипса, отнесенного к левому фокусу, имеет вид
Г 1 — е cos 0
где е — эксцентриситет эллипса. Если FM = р, FM* — р*, то, в соответствии с определением (положили М' = Л4*),
г2
Р = — • Р
Инверсные кривые определяются параметрическими уравнениями: у: х = р (0) cos 0, у*: х* = р* (0) cos 0, у = р (0) sin 0, у* = р* (0) sin 0.
Касательные к этим кривым в соответствующих точках взаимно перпендикулярны, если х'х*' + у'у*' = 0, или р'р*' + рр* = 0, что равносильно следующему дифференциальному уравнению:
,,	—е sin 0	/ / —е sin 0 \2 , ,
(In р) — —:-------jj- ± 1 / I -;----------Д- 1 -|- 1
1 — 8 COS 0 у	\ 1 — 8 COS 0 J
1 /----------о	S'
= (In Г)' ±V 1 + (in Г)'2 = (Ifl Г)' ±
где s = s (0) — длина дуги эллипса. Отсюда
р = Cre J , С = const.
При 8=0 имеем окружность и решение принимает вид р = Сре±6.
2.1.34.	х + -у = 0 — директриса параболы.
2.1.35.	Пусть М (х; у) — вершина прямого угла. Исключая Y из уравнения проходящей через нее прямой
Y = XX у — кх	(а)
и из уравнения эллипса
получаем квадратное уравнение
(-^+45-)Х2+2Ц^£)х+(^£-Т-1=0- (Ь)
Поскольку прямая (а) должна касаться эллипса, то приравниваем к нулю дискриминант из коэффициентов уравнения (Ь):
(_fL__Lk2-2^-x+	_____— -о
Уа2^ Ь2 / а2Ь2 а2Ь2 а2 ~
Последнее уравнение определяет угловые коэффициенты Х2 касательных к эллипсу, проходящих через точку М. Поставим условие, чтобы эти касательные были взаимно перпендикулярны, т. е. /.,/-2 = —1. Тогда
х2 + у2 = а2 + Ь2.
Таким образом, искомое геометрическое место есть окружность радиуса r~ Уа2 + Ь2.
2.1.36.	Окружность радиуса г = У а2 + Ь2. При а = b она вырождается в пару комплексно-сопряженных прямых, проходящих через начало координат.
2.1.37.	(0; 0) — двойная точка; при а > 0 — точка самопересечения; при а < 0 — изолированная точка; при а = 0, b =# 0 — точка возврата первого рода; у — ± К а х — касательные к кривой в особой точке.
2.1.38.	(0; 0) —точка самопересечения, х = 0, у= 0 — уравнения касательных в ней.
2.1.39.	(0; 0) — трехкратная особая точка, три ветви кривой касаются прямой у = 0.
2.1.40.	(0; 0) — точка самопересечения, у = ± х — касательные.
2.1.41.	16а3 —2762=0.
2.1.42.	Кривая допускает аналитическую параметризацию: х = a cos3 t, y = a&m2t.
Особые точки (0; а), (0; —а), (а; 0), (—а; 0) являются точками возврата первого рода.
2.1.43.	О (0; 0) — изолированная особая точка.
2.1.44.	О (0; 0) — точка самоприкосновения.
2.1.45.	Особая точка заданной кривой О (0; 0). При а < 1 точка О является точкой самопересечения. Касательные кривой в точке О зада-ах
ются уравнениями у = ±	— . При а > 1 точка О — изолирован-
V 1 — а2
ная точка. При а = 1 имеем точку возврата первого рода. Касательная в этой точке имеет уравнение х — 0.
2.1.4S.	0(0; 0)—точка возврата первого рода. Касательная в этой точке задается уравнением у = 0.
2.1.47.	О (0; 0) — четырехкратная особая точка самопересечения; с касательными х = 0, у = 0. Для исследования характера особой точки заданной кривой следует перейти от уравнения кривой в полярных координатах к уравнению в прямоугольных декартовых координатах, используя соотношения
х = р cos ф, у = р sin <р.
§ 2
2.2.1.	Запишем уравнения эллипса в параметрической форме: х = a cos I, у = b sin t.
Эволюта есть место центров кривизны:
/2 I ,,'2
a2 — b2
--------cos31, a
X~ У x'y" - I ,	X'2 + y'2
y ’I” X x'y" — y’x'
b2— a2 , ----r----- sin31.
b
Радиус кривизны:
3	3
_ (x'a + I/'2) 2 _ (a2 sin2 t + b2 cos2 /) 2 K - I x’y" + y’x" I -	ab
2.2.2.	Параметрические уравнения гиперболы х -- a ch t, у = b sht.
Эволюта:
a2 4- b2	a2 4- b2
X= +	ch3:, K = - T shU
a	b
Радиус кривизны:
3
о (a2 sh2 t + b2 ch2 t) 2 К =---------------------------
ab
2.2.3.	Параметрические уравнения параболы
Эволюта!
Радиус кривизны:
2.2.4.	Указание. Перейти от полярных координат к декартовым, положив
х = р cos <р = а (1 + cos <p) cos ф,
у = р sin ф = а (1 4- cos ф) sin ф.
Эволюта:
X = — ап + а (? — sin t'),
У = — 2а + а (I — cos t'}, t' =t -j- л.
Радиус кривизны:
D . . t
R = 4a sin-g .
2.2.5.	Эволюта:
a
X = — (cos ф — cos2 ф -|- 2),
3
	а Y — — (1 — cos ср) sin (р.
Это кардиода. Действительно, для доказательства этого достаточно
произвести замену по формулам	параметра ф = л — t и преобразование координат /	2	\ х' = — IX	а , у' = Y. \	3	/	а
Радиус кривизны:	4	I	ф I R = Т а cos • 0	1	£ |
2.2.6. Эволюте	i: X	X X — х — a sh — ch — , а	а У = 2а ch — . а
Радиус кривизны:	R = ach2 а
2.2.7. Эволюта:
v _ АР cos Ф
фЯЯ"
а (Ф* + 1)
Ф2 +2
sin ф,
,, аф sin ф .а (ф2 4- 1) г=-^м~+"ф2+2 COS<P’
Радиус кривизны: 3
_ а (1 + ф2) 2
2 + ф2 ’
X2 W2
2.2.11.	Найдем эвольвенты для эллипса	= 1, Парамет-
ризуем его следующим образом:
х = a cos t, у = b sin t.
Длина дуги эллипса:
s = J УД'2 sin21 -|- b2 cos2 tdt = s (!)
(этот интеграл в элементарных функциях не берется). Эвольвенты!
V	4	, ,Л ! а sin f
X = acost —	—т-г—
s (t)
Y = b sin t + (— s (!) + C) ,	-
Аналогично находятся эвольвенты других кривых. Рассмотрим, например, эвольвенту цепной линии у = a ch , проходящую через ее вершину. Имеем уравнения
I *
X = a I In tg — -j- cos t
Y = a sin t.
Очевидно, полученная кривая является трактрисой. Эвольвенты спирали Архимеда р = а<р представляются уравнениями
v	, cos <р — ф sin ф
X = аф cos ф — (С + s)------т v ,
V1 + ф2
,,	.	. sin ф + ф cos ф
Y = аф sin ф — (С + з)------,
V 1 + Ф2	,
а ,----------- ,------------------
где s = — (ф У 1 + ф2 + In (ф -у У 1 + ф2)).
2.2.12.	Эволюта:
(л ’
~2~ + Ф
Умножение полярного радиуса-вектора на множитель а 2 In а не изменяет кривую, ибо для любого С, положив
Са*+а = CaV = av,
получим Саа= 1. Отсюда а= loga-^-.
2.2.13.	Запишем уравнение эллипса в виде
х = a cos t, у = b sin t.
На эволюте находятся четыре точки возврата, соответствующие вершинам эллипса:
л	Зя
/ = О, t= — , t — л, t =----------.
2	2
Если (р; q) — координаты точки, то, подставляя их в уравнение нормали, получим уравнение
— pa sin t + qb cos / + (a2 — й2) sin t cos i = 0,
или
(— рак + qb) /1 + к* + (a2 — 62) X = 0, или
(1 + X2) (рак — qb)* — (a* — b*) X2 = 0,
где X = tg t. Это уравнение четвертой степени. Следовательно, в общем случае через точку (р; q) проходят четыре нормали эллипса.
2.2.14.	X = a cos t —(— at + С) sin t,
У = a sin t	(— at + C) cos t.
t
2.2.15.	/? = 8rsin —.
2.2.19.	Уравнения астроиды можно записать в виде
t	t
х = R cos3 — , у = R sin3 — .
4	4
Уравнения эволюты
X = R cos — [cos2 ——f- 3 sin2 —, Y = R sin — (sin2 — 4-
4 \	4	4/	4 \	4
+ 3 cos2 j.	(a)
Преобразованием
x = ^-(X-Y), y=^-{X + Y)
поворот Ha~4 j уравнения (а) приводятся к виду
х = 2R cos3 (-L +	= 2/? sin3 +-2-
2.2.20.	Если г, ги г2, г3— радиусы-векторы точек кривых, то
гг — г Хх,
= О + Z1V,
г3 = г2 — Хх, г = г3 — XjV,
где х, v — единичные векторы касательной и нормали кривой г = г (s). При этом
dr, ->
----------- Xfcv, 1 as
^- = 0, ds
dr, . ->
—?- = — X^x, Xk ds
Ql. =0.
ds
—= — Xfev, —	------= 0,
as	ds
dr i Г ,,	_
---- = X.&x, — 7.k-----------!= = 0.
as	ds
Отсюда Xxfe = 1, X = — s + C, (— s + C) k--------——= 0. Следова-
r* as
тельно,
V—si + 2Cs + Ci ‘
Получили натуральное уравнение кривой г = г (s). Это уравнение определяет кривую с точностью до положения на плоскости (о натуральных уравнениях см. § 4, гл. 1).
2.2.21.	k =---!—— , С = const.
— s + C
§ 3
2.3.1.	a (0 = t2 — 4/2 + 2/4, o' (0 = — 6t + 8/3, o'(/) = — 6+ -|- 24/2. Точке О (0; 0) соответствует параметр t = 0. Порядок касания п = 1.
2.3.3.	Обозначая координату второй кривой через у±, имеем у — уу = — 2х2 + 4х3	2х4, п = 1,
2.3.4.	у — У1~ Xs — х* — 2х3, п = 2.
№
2.3.5.	у — уг = sinx — (х + 2х3) = х-----1- ... —х — 2х3 =•
„_2.
6
2.3.7.	1) <т (/) = (/ —СО2 + (/2 —С2)3 — 2, ст'(0= 2(/ - Ci)4-4~6(/2— С2)г(. Точка 0(0; 0) соответствует значению t = Q. Находим уравнения
о0 == С[ + С^—2 = 0,
о0 = — 26?! = 0.
3 г—
Отсюда С, = 0, С2 = у 2. Уравнение соприкасающейся кривой о .
Х2+ to-/2)3-2 = 0.
2.3.8.	Вторая производная функции, графиком которой является представленная на рис. 8 кривая, в точке О имеет разрыв.
2.3.10.	у = х2 — Зх+ 3.
/ 1 \2 ’
2.3.11.	(х_1)2+^__j =_г.
2.3.13.	у = f (0) + f' (0) х + • •. +	(0) х<п>.
п I
(у + 3)2 г
9	3
2.3.15.
х2 Т2С2
(У-ЗС)2 9С2
(С — параметр циклоиды, начало
координат совпадает с вершиной циклоиды).
2.3.16.	Две окружности: (х — 2 V2 )2 У2 = 1» (х + 2 }^2 )2 + + У2 = 1.
2.3.18.	Рассматриваемую точку примем за начало координат, а общую касательную в ней к линии у = / (х) и искомой гиперболе — за ось ОХ. Тогда относительно выбранной системы координат уравнение искомой гиперболы запишется в виде
опх2 4- 2а12ху + а22у2 + 2а23г/ = 0.
Составим функцию
<р (х) = аых2 + 2а12х/ (х) + а22/2 (х) + 2a2Sf (х).
Имеем, в соответствии с условием, <р' (0) — 0 (это выполнено в силу равенств f (0) = f (0) = 0), <р" (0) = 2an + 2й23/" (0) = 0. Поскольку гиперболы равносторонние, то ап + а22 = 0. В результате получим
окружность х2 + У2 + -Дг- — О’ fo а	9
2.3.19.	=	2.3.20. з2+— = 16а2.
а2 + s2	к2	,
1 1	- —
2 ’-2' *’—й?=7- 2-322 ^ +
2.3.23.	Пусть x = x(s), у = у (s)— искомая параметризация кривой, а— угол, образованный касательной к кривой с осью ОХ. Еди-. -	.	.	.	dx
ничныи вектор касательной T = (cosa, sin а), следовательно, ---------- =
ds dy	е	с
— cos a, —— = sin a, x = J cos a (s) ds, у = j sin a (s) as. Кроме того, a (s) = J k (s) ds.
1	1
2.3.24.	x —— sines, у ---------coses,
c	c
(•	s2	c	s2
2.3.25.	x— l cos  ds, y = \ sin    (клотоида). J	2a2	J	2a2
/ л	t \	a	s
2.3.26.	x = a In tg----h —— , у =---------, где t — arctg —
\ 4	2 /	cos t	a
(цепная линия). "1 /~ 2s
2.3.27.	x = a (cost-|-/ sin/)> У ~ a (sin t — tcost), где t = у — (эвольвента окружности).
da	1	In s	„„
2.3.28.	—— = k =------, откуда a =-------, s = eaa,
ds	as	a
x = 1 cos a ds = a \ eaoe cos a da = —5—:—г
J	J	a2 -f- 1
(a cos a + sin a),
у = \ sin a ds = a 1 e°“ sin a da =
aeaa a2 + 1
(a sin a — cos a).
Перейдем к полярным координатам р, <f. Для этого найдем
х2 + у2 =
а2е2аа а2+ 1
Следовательно, = ае“а
Р ~ / а2 + 1'
. у	a sin а — cos а
tg П) = -2- = —-----------------
т х	sin а + a cos а
_	л
Пусть а = tg гр. Тогда tg ср = — ctg (а + яр). Отсюда а = ср — гр-—
Таким образом, р = Сеа<р, где С =	„ е а\'|’+ 2 7 (логариф-
V а2 + 1
мическая спираль).
§ 4
2.4.1.	у = 1, у — х — 1 = 0. 2.4.2. х = 0, у — х — 0. 2.4.3. х = = — 1, у — X = 0. 2.4.4. х = 0, х = 2, у = 0. 2.4.5. у = 0. 2.4.6. х = = 1. 2.4.7. у+2х — 2=0, у — х = 0.
4	1
2.4.8.	у + 2х----— = 0. У— * + -г- = О-
о	«5
2.4.9.	х = 0, у = 0 — тройные касательные в точках пересечения кривой с бесконечно удаленной прямой. Чтобы их получить, перейдем в уравнении кривой к однородным координатам х: у: t:
xsy3 + x2y2t3 + xyt* + 6 = 0.	(а)
Положив х = 1, получим
У3 + yW + yt* + te = 0.
Точки пересечения кривой с бесконечно удаленной прямой t~ 0 определяются уравнением у3 = 0. Эти точки совпадают друг с другом — имеем тройную точку (1 : 0 : 0). Касательные к кривой в этой точке также совпадают с прямой у — 0. Получили тройную асимптоту. Аналогично, положив в уравнении (а) у = 1, получим уравнение
х3 + x3t3 + х/4 + Is = 0,
которое приводит ко второй тройной касательной х ~ 0.
2.4.10.	у 4- /2 х = 0, у — КТ х = 0.
2.4.11.	у = 0, у + х = 0, х = 0. 2.4.12. у — х = 0.
2.4.13.	х = 1, х = 2, х = 3, у = 0.
2.4.14.	х = 1, х = —1, у = 0.
2.4.15.	х = 0, х= 1, х=—1, у = 0.
2.4.16.	х= 1, у — х + 2 = 0.
2.4.17.	х = —1, х = 1. 2.4.18. х = —1.
2.4.19.	Точки пересечения с осью абсцисс у = 0 соответствуют значениям параметров t = 0, t = со. Следовательно, это есть точки А (1; 0), О (0; 0). Точка пересечения с осью ординат х == 0 есть начало координат О. Ни при каком действительном значении параметра точка кривой не удаляется в бесконечность. Находим
2/	1 — /2
Х ~ ~ (/2~+ I)2 ’ У ~ (/2 + 1)2“ ’
Точками, в которых касательная параллельна оси ординат (х' = 0), есть точки А (1; 0), О (0; 0). Точками, в которых касательная параллельна оси абсцисс (у' = 0), есть точки, соответствующие значениям параметров 1, —1, со, т. е. точки С yj, D ^-g-;------2") ’ О (0; 0). Искомая
кривая изображена на рис. 23. Это окружность. Исключая из уравнений кривой параметр I, получим уравнение этой окружности
х2 +- у3 — х = 0, или
Целесообразно, однако, провести исследование строения кривой так, как это сделано до исключения параметра.
Начало координат О (при t — со) есть особая точка параметризации, в ней х’ = у' = 0.
2,4.20.	Точки пересечения с осью абсцисс А (2; 0), О (0; 0), с осью ординат О (0; 0). Асимптот у кривой нет. Точка кривой удалена в бесконечность при t = ± со. Угловые коэффициенты касательных в точ-
ках О при t = —1 и А при t = 1 имеют соответственно значения---— и
и
2
Касательная параллельна оси ординат при t = 0, т. е. в точке о
В (1; —1)- Касательных, параллельных оси абсцисс, кривая не имеет.
Искомая кривая изображена на рис. 24. Точка В — точка возврата первого рода. Если из уравнений кривой исключить параметр t, то по
лучим уравнение — (у + I)3 + (•* — I)2 = 0, определяющее полуку-бическую параболу.
2.4.21.	Единственная точка пересечения кривой с осями координат есть начало координат О (0; 0), соответствующее значению параметра t = ее. Асимптоты: х = — при t —> —1 и у------% х----= 0 при
/-> 1. Конечных точек пересечения с асимптотами нет. Касательная параллельна оси абсцисс в точках О (при t = со) и В (1; 1) при t = 1 (рис. 25). Исключив t из уравнений кривой, получим ее уравнение в симметричной форме:
№ — 2ху + у = 0.
Это гипербола.
2.4.22.	Асимптоты: х = 0 при t 1 и у = 0 при t -> со. Кривая пересекает ось ординат в точке А 10; —1 (при t = —1), касательная
параллельна оси абсцисс в точке В (—1; —1) (при t — 0). Касательных, параллельных оси ординат, нет. Кривая не проходит через вторую четверть, так как ни при каких значениях t не может быть одновременно х < 0, у > 0. При любых значениях t всегда х	—1. Если t 0 —
— О, то у -> —1 — 0, точка кривой приближается к В снизу. Если <->0+0, то у -+—1 + 0, точка приближается к В сверху. _	,	„ ( 1 — ^25	5 \	1
Точкой перегиба является С —х— ------;------при t =-----------
V VS +	^5
(рис. 26).
2.4.23.	Асимптоты: у = 0 при t -> оо, х=1 при /->-1, х=4 при t -> —2. Единственная точка пересечения с осями координат — А ^0;-------g-j (при t = 0). Кривая расположена справа от оси ординат.
Представим у в виде
(<_i)(Z + 2) ’
Кривая пересекает асимптоту х= 1 в точке В ^1; —^при/= —1, асимптоту х = 4 в точке С ^4; при t = 2. Точка перегиба есть точка, для которой
xtf — р'х” = 0, т. е.
8/3 + 9/а + 3t — 2 = 0.
Это кубическое уравнение имеет всего один действительный корень, заключенный между +1 и 0. Ему соответствует точка D (рис. 27). Единственная точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс, есть 1	/ 1	4 \
Е, для нее у' = 0, т. е. t = — -g-- Следовательно, Е I ;-$ • Един-
ственная точка, в которой касательная параллельна оси ординат (х' = = 0), есть точка А при t = 0. В точке В угловой коэффициент касательной —,*=----=-, т. е. отрицателен. В точке С этот коэффициент равен
X	о
5
---gj- (также отрицателен). Целесообразно разбить область изменения аргумента t на следующие интервалы:
1) —схо</< —2; 2)—2</<—1; 3) — l<J<0;
4) 0 < t < 1; 5) 1 < t < + оо.
Поведение кривой изображено на рис. 27. Стрелками показано направление, по которому кривую можно описать как непрерывную линию.
2.4.24. Точки пересечения с осями координат: А (—1; 0) при t = = 0, В ^0; -g- j при t = -g-. Асимптоты: х = 1 при t -> 1, х — —3 при t —1, х + 2у + 1 = 0 при t -> оо. Кривая пересекает лишь последнюю асимптоту в точке А. Поскольку при t = 0 х' ~ 2, у' = 0, то ось абсцисс касается кривой в этой точке. При t < 0 вблизи точки А ордината у отрицательна, при I > 0 также вблизи точки А она поло-
жительна. Следовательно, точка А есть точка перегиба. Касательные параллельны оси абсцисс также в точках
C(t = КЗ), D(t = — КЗ).
Кривая имеет вид, изображенный на рис. 28. Здесь нанесены следующие отрезки кривой (указаны интервалы изменения аргумента):
1) — оо</<— 1; 2) — 1 < / < 0; 3)0</<-^-;
4)	-!-</< 1;	5) 1</<оо.
2.4.25.	Асимптоты: х = 0, х — I, у — х = 0. Точка пересечения с последней асимптотой есть А	(рис. 29).
2.4.26.	Точки пересечения с осями координат: А ^0; — -i-j, В (—1;
0), С f-i-; о). Асимптоты: х = 1, х = 2, у =• 2. Точка пересечения кри
вой с асимптотой у = 2 есть D ; 2 j. Точки, в которых касательные параллельны оси ОХ, это точки Р и Q с абсциссами х =— (рис. 30).
2.4.27.	Точки пересечения с осями координат: О (0; 0), А (—1 +
4-	У2; 0), В (—1 — У2; 0). Точки, в которых касательные парал-
—2 ± У 7
лельны оси абсцисс, есть точки Р и Q с абсциссами х =-------х----
О
2
(рис. 31). Точка перегиба есть R, абсцисса которой равна —
О
2.4.28.	Асимптоты: х— I, х = —1, х = —2, у — 0. Точка пересечения с осью ординат есть А ^0;—а точка пересечения с осью абсцисс определяется уравнением
f (х) = х4 + 2х3 — 2х2 -|-1=0.
Поскольку f (0) = 1 > 0, f (—1) = —2 < 0, то одна точка пересечения (точка В) находится в интервале (—1; 0). Поскольку / (—2) = —7 < < 0, то в интервале (—2; —1) точки пересечения нет. Далее, / (—3) = = 10 > 0, следовательно, в интервале (—3; —2) есть точка пересечения — точка С (рис. 32). Представим функцию f (х) в виде
f (X) = (Х2 _ 1)2 _|_ 2х3.
При положительных значениях х эта функция в нуль не обращается.
2.4.29.	Асимптоты: х = —1, у = 0. Единственная точка пересече-
ния с осями координат О (0; 0). В точке А с абсциссой -— касательная |/2
параллельна оси абсцисс (рис. 33).
2.4.30.	Асимптоты: х=—1, у = 0. Точки пересечения с осями / 1/9	\	/	1/9	\
координат: А (0; —1), Bl; 01, Cl——; 01 (рис. 34). Точка, в
которой касательная параллельна оси абсцисс, есть А (0; —1); точка (3	\
~2 ' /
2.4.31.	Для определения асимптотических направлений имеем уравнение 1 + k3 = 0, где k =	. Следовательно, k = —1, Е2 (х, у) =
= 0. Находим единственную асимптоту
х + У = 0.
Точки пересечения с осями координат определяются уравнениями
у = 0, f (х) = х3 — Зх + 1 = 0,
х = 0, <р (у) = у3 — Зу + 1 = 0.
Поскольку f (0) = 1 > 0, a f (1) = —1 < 0, то Xj £ (0; 1). Аналогично: f (2) = 3 > 0, ха€(1; 2); И—2) = — 1 < о, f(— 1) = 3 > 0, х3 £ (—2; —1). Точки пересечения с осью абсцисс: А (х2; 0), В (х2; 0), С (х3; 0). В аналогичных интервалах находятся точки пересечения кривой с осью ординат: Р (0; yj, Q (0; у2), R (0; у3). Если придавать х достаточно большие положительные значения, то в силу уравнения кривой у не может принимать положительных значений. Следовательно, начиная с некоторого значения х, ордината у отрицательна. Это означает, что прямая, параллельная оси OY, при достаточно больших х > 0 пересекает кривую лишь в одной действительной точке. То же самое имеем и при достаточно больших по модулю отрицательных значениях х. В этом можно убедиться, преобразовав систему координат
V2	V2
У = —— (х + у), х = —2~ (X — У),
в результате чего уравнение примет вид
V2 У3-6Г + /2
ЗУ
Отсюда следует симметрия кривой относительно оси ОУ и прямой х — — у = 0. Из этого уравнения непосредственно вытекает, что при достаточно больших х ордината у всегда отрицательна. В точках пересечения кривой (обозначим F (х, у) = х3 + у3 — Зх — Зу + 1) с биссектрисой
х = у имеем
fx = fj,= 3(x«- 1).
Таким образом, касательная параллельна асимптоте х + у = 0. Из уравнения кривой видно, что она не пересекает асимптоту. Кривая состоит из ветви, расположенной под асимптотой, и отдельного овала, расположенного над нею. Абсциссами точек касания касательных, параллельных оси OX (Fx = 0), являются х=±1, а ординатами точек касания касательных, параллельных оси OY (Fv = 0), являются У ~ ±1 (рис. 35).
2.4.32.	Точки пересечения с осью абсцисс: А(—1; 0), В(1; 0). Точек пересечения с осью ординат нет. Асимптоты: х У = 0, у —
I \	1 \
— х = 0. Точки пересечения со второй асимптотой /Д—у— ; —>
Q	у_ j . Точек пересечения с первой асимптотой нет (речь
идет о действительных точках). Уравнения
Fx = 4х3 + 2у = 0, Fv = 2х — 4t/3 = 0
не совместны с уравнением кривой. Следовательно, особых точек у кривой нет, кривая симметрична относительно начала координат (рис. 36).
2.4.33.	Асимптоты: х = 0, у — 0. Точки пересечения с осями координат отсутствуют. Кривая симметрична относительно начала координат. Точек кривой нет в первом и третьем квадрантах. Особых точек нет. Точки перегиба определяются уравнением
Z^ = o,
\ Ру )х \ Ру ) У Ру
ИЛИ
Fxx (Fy)* - 2FxsFxFe + FggF*x = 0.
Из этого уравнения в совокупности с уравнением кривой F « 0 имеем
Более детальное исследование, однако, показывает, что в найденных точках кривая имеет одностороннее расположение относительно касательных. Угловой коэффициент касательных к кривой в этих точках
k « 1 (рис. 37). Выкладки упростятся, если оси координат повернуть л на угол .
__ ]	1/5"
2.4.34.	Пара гипербол: ху =--------- (рис. 38).
2
2.4.35.	Асимптота: x+z/-|-—=0. Точки пересечения с осями координат: В (0; 1), А (1; 0). Имеем лишь по одной действительной точке (рис. 39).
2.4.36.	Асимптота: х-\- у—— = 0. Точки пересечения с осями координат: О (0; 0), А (1; 0), В (0; 1). Начало координат — особая точка (изолированная) (рис. 40).
2.4.37.	у = а. Указание. Параметризуем кривую, используя связь декартовых координат с полярными: х = р cos <р, у = р sin <р. т. а .	а	а .
Но р = — sin ф, следовательно, х — — cos ф, у = — sin ф — пара-
метризация кривой, заданной в полярных координатах уравнением
р<р = а.
2.4.38.	у = 0. _	_
2.4.39.	(х — у) /2 ±а = 0, (х + у) 1^2 = 0.
§ 5
2.5.1.	Пусть х2 + у* = R2 — уравнение заданной в условии задачи окружности. На хордах, параллельных, например, оси OY, построим семейство окружностей; его можно представить уравнением (х — с)2 + + у2 = 7?2 — с2, где с — параметр семейства. Огибающей семейства х2 , у2 , окружностей является эллипс; его уравнение	= 1.
2.5.2.	Семейство прямых, указанных в условии задачи, можно уравнением	*• где с — параметр семейства,
семейства — гипербола 2ху = s.
2.5.3.	(А2+ в2) /?2= С2. Указание. Заданные прямые можно рассматривать как касательные окружности.
2.5.4.	Астроида.
2.5.5.	Запишем уравнения циклоиды в виде
х = а (0 — sin 0), у =
= а (1 — cos 0).	(а)
Тогда уравнение текущего диаметра I (рис. 41) имеет вид
у — а = ctg 0 (х — я0). Дифференцируя по 0, находим
х = а (0 — sin 0 cos 0), а потому
у = а (1 — cos2 0) или
представить Огибающая
Гп
Рис. 41
а
х = — (20 — sin 20),
У = -g- (1 — cos 20).
Это циклоида, образованная движением окружности радиуса-g (рис. 42) и с основанием АС, вдвое меньшим основания АВ циклоиды (а).
2.5.6.	Записываем уравнения эпициклоиды г0 г R
х = (R + г) sin —----г sin -— 0,
R	R
г0	г + Я „
У = (Я + г) cos -ь---т cos — в>
К	к
ЦР11
Касательная /' к катящейся окружности в текущей точке А’ (х; у) эпициклоиды запишется уравнением
r-f-R у—у = — tg —-— е (х — х),
или
х sin -	0 + у cos ——- 0 + Г — (R + г) cos 0 = 0.	(а)
R	R
Дифференцируем это уравнение по параметру 0:
—д—; х cos	0 — —ГТ— у sin '~t~~ 0 + (г + Я) sin 0 = 0. (Ь)
R	R	К	R
Из уравнений (а) и (Ь) находим
х = R sin — 0 — 2г sin —i-5- 0 sin2 — ,
R	R	2
2.5.7. В уравнении (с) (см. задачу
на —г.
2.5.8. 1) Огибающая: х = с -|-особых точек: х = с, у = — с2.
(4Л
2.5.6) следует заменить г 4с
и = — с2--------; место
г*	о ’
2) Огибающая: х = — с2 + - --точек: х = — с2, у = с.
У — с
1
Зс
Место особых
3)	Огибающая: х = с2 ±	, у = с ± —Ц- .
4)	Огибающая: х = За2, у = За.
5)	Огибающая: х = — 2а, у = а2 4- 1, X (у — 1).
6)	Огибающая: ху = — (гипербола).
(6с)2
т. е. парабола х2 = 4 X
7) Все кривые проходят через четыре точки ( ± —; ± —~г
/2_	/2
2.5.9. Уравнение нормали к параболе в точке М (х; у) имеет вид
У —У =-----~(х — х)
при условии у2 = 4х. Уравнение огибающей 27г/2 — 4 (х — 2)3 = 0.
2.5.10. Длина полухорды (радиус окружности), отстоящей на расстоянии Л от оси OY:
-4
Уравнение окружности семейства
(1S '
1-	—
4 ,
Уравнение огибающей
х2 у2
ТГ + —=L
Эго аллипс с той же малой осью, что и исходный (эта ось теперь дейст» вительно малая).
2.5.11.	Уравнение семейства окружностей
/	с* \
х* + (у — с)« = 9 1 + —— .
\	4 /
Уравнение огибающей
2.5.12.	Уравнения спирали в параметрическом виде х = Z0 cos 0, у = А.0 sin 0.
Уравнения семейства нормалей
х — Х0 cos 0 + с (sin 0 + 0 cos 0),
у = Х0 sin 0 — с (cos 0 — 0 sin 0),
где 0, с — параметры. Дифференцируем эти уравнения по 0 и с: хв = к (cos 0 — 0 sin 0) + с (2 cos 0 — 0 sin 0), yQ = к (sin 0 + 0 cos 0) — c (— 2 sin 0 — 0 cos 0), xc — sin 0 + 0 cos 0, yc = — cos 0 + 0 sin 0.
Составляем уравнение
1*0 Уе I 0> I xc уJ
т. e. c (2 + 02) + A, (1 + 02) = 0. Находим отсюда аначение с и подставляем в уравнения (а).
2.5.21.	1) х = ±г.
2) Все прямые х + ау + 1 = 0 проходят через точку (—1; 0). Огибающая вырождается в эту точку.
3) Дифференцируем по а уравнение семейства и условие
а2 + Ь2 = г2,	(а)
считая b функцией от а:
Ь'х + у — b — ab’ = 0, а + ЬЬ' = 0.
Исключая отсюда Ь’, получаем
ах — by — а2 + Ь2 = 0.
Теперь находим х и у из данного уравнения и уравнения семейства, учитывая условие (а):
а3	Ь3
иля
Это астроида.
_2_ JL
*3 +у3 =Г3 .
с
4) Гипербола: ху = — 4
5) Две кривые, параллельные параболе у — х2 (центры единичным окружностей лежат на этой параболе):
х = а ± —........,	у — a2 =F ,	.
/1 + 4а2	/1 + 4а2
6) х = а ± -т-	, у = а2 ±	*	-.
/4а2 — 1	/4а2 — I
7} Прямая: у = г2.
8)	Огибающей нет, прямые параллельны.
9)	Все параболы семейства проходят через пару точек
(0; /-2р), (0; -/=1^.
10)	Все кривые семейства проходят через четыре точки / 1 1 \
I ± —7^ >	—7= I •
\ /с	/с /
2.S.22.	Первый способ. Параметрические уравнения эллипса
х = a cos t, у = b sin t.
Пусть = %,	= p — параметры, соответствующие двум его
точкам и Мг:
хг = a cos X, y-L — b sin Л, хг = a cos р, у2 = b sin р. Касательные в точках Мг и Л42 взаимно перпендикулярны, когда
*1*2 . У1Уг _Q а* Ь* или b2 cos 1 cos р -|- a2 sin X sin р = 0.	(а)
Уравнение прямой MjAfa имеет вид
Ь (х — a cos X) (sin р — sin X) — а (у — b sin X) (cos р — cos X) = О,
или
b (sin р — sin X) х — a (cos р — cos X) у — ab sin (р — X) = 0. (Ь)
Найдем огибающую семейства (Ь) при условии (а). Дифференцируем (b) по X, считая р функцией от X:
b (cos р-р' — cos X) х — а (— sin р • р' + sin X) у —
— ab cos (р — X) (р' — 1) = 0.
Решаем (Ъ) и (с) относительно х и у.
ю
cos р + р' cos X	sin р Р' sin X
х — а  -	-	— , у = Ь-------------
1+р'	’ *	1 + р'
Дифференцируя (а), находим
z b2 sin X cos р. — a2 cos X sin р a2 sin X cos р — b2 cos X sin p Подставляя в равенства (d) значение p', получим
sin X — sin р	cos р — cos X
Ж as а3 ——		——— , и = &3 —...	———------------.
(а2 4- b2) sin (X — р)	(а2 4- b2) sin (X — р)
Отсюда найдем разности sin р — sin X, cos р — cos X и подставим их в уравнение (Ь). Получим эллипс
х2 у2 1 -----к	.
а4 о1 а2 + Ь2
Второй способ. Прямая есть поляра точки М. (х; у) (вершина прямого угла, стороны которого касаются эллипса). Следовательно, ее уравнение имеет вид
При этом
х2 4- у2 = а2 4- b2	(f)
(см. задачу 2.1.35). Дифференцируем уравнение (е) пох, считая у функцией от х:
Дифференцируя уравнение (f), имеем
x + yy' = 0.	(h)
Из уравнений (е) и (g), учитывая (f) и (h), находим
х = д2* у = biy a2 + b2 ’ а2 + Ь* ’
Отсюда X2 У» _	1
о4 6* а2 4- Ь2 *
2.5.23.	Уравнение огибающей х2 у2 1
—— 4- —- = —-------— (эллипс).	(а)
а* Ь* а2 — Ь2
При а < b эллипс мнимый, при а = b прямые М±МЛ становятся изотропными. Огибающая (а) есть пара циклических точек на бесконечно удаленной прямой.
2.5.24.	Уравнение поляры точки М (х; у) относительно параболы у2 — 2рх имеет вид
рХ — yY 4- рх — О, при этом
(см. задачу 2.1.34).
Имеем семейство прямых
р2
PX-yY-----^- = 0.
Все эти прямые проходят через F Оу.
2.5.25.	Составим уравнения линий семейства. В качестве параметра семейства будет угол а. Выберем систему координат следующим образом. Линию горизонта возьмем в качестве оси ОХ, данную точку — за начало координат, ось OY — перпендикулярно к оси ОХ. Пусть М (х; у} — положение точки в момент времени t. Если бы на точку не действовала сила тяжести, то, двигаясь прямолинейно, точка за время t прошла бы путь vot и заняла положение точки с координатами х = = vot cos а, у — vnt sin а. Но за время t точка, свободно падая под
о/2
действием силы тяжести, пройдет путь-^g-. Таким образом, уравнения движения точки имеют вид
gl2 x = vot cos a, у = vat sin a-----------—
(a)
Перейдем от параметрических уравнений к уравнению в декартовых X координатах, исключив параметр t. Из первого уравнения t = -------
Vq cos Ct / л
I при a = -у точка, брошенная вертикально вверх, вернется назад в
л \ прежнее положение, поэтому будем рассматривать случай а -g- I. Подставим выражение для t во второе уравнение. Таким образом, семейство линий (а) можно представить уравнением
F (х, у, а) = у — х tg а + ё% = 0.
2Vq cos2 а
Производная
X
F„ (x, y, a) =----------s—
a *	cos2 a
Уравнения дискриминантной линии
(/ —xtga+ —.......- =0,
2vq cos2 а
gx2 sin a
Vq cos3 a
х--4tga = 0. vo
Исключим параметр a и найдем уравнение дискриминантной линии 9
gx2	»о
в декартовых координатах: у —--------— + —------парабола с верши-
205	2g
I с»о 1	и0
ной \0; у и параметром р = —— . Дискриминантная линия является огибающей, так как семейство (а) представляет собой семейство парабол, не имеющих особых точек.
ГЛАВА >
§ 1
3.1.1.	Сфера. Локальная правильность сети (и; о) нарушена только в точках (0; 0; ±а).
3.1.2.	Тор, полученный вращением окружности х = а -f- b cos и, у = 0, г = Ь sin и вокруг оси OZ. Сеть (и; о) правильная.
2^2
3.1.3.	Однополостный гиперболоид х3 + у3—	== 1. Сеть
(u; о) правильная.
3.1.4.
г — {a cos и cos v, b cos и sin v, с sin и}.
— уравнение эллипсоида;
-> ( а /	1 \
г = t —— и 4-----cos V,
I 2 \	и )
— уравнение однополостного
Ъ / , 1 \ .
~ «4--------sin о,
2 \ и )
гиперболоида;
bl	1 \
—- и — I sin v, 2 \	и /
— уравнение двуполостного гиперболоида;
г = j и cos о, uVq sin о,
— уравнение эллиптического параболоида.
3.1.5.	Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида определяются уравнениями
Решая эти уравнения относительно х, у н г, получим
-» f 1 4- ии v — и г =	, Ь--------
I	«4- v
uv — Г и 4- о
Линии и = const, v = const являются прямолинейными образующими поверхности. Аналогично находим уравнение гиперболического параболоида
т ~ {Кр («4-У)> К? (о — U), 2uv}.
Ее
3.1.6.	х = <р (и) cos о, у = <р (u) sin v, г = ф («).
3.1.7.	Полученная поверхность называется псевдосферой.
уравнения
, , / л , t \
х = a in tg I — 4- — I — a sin t,
у = a cos t cos u.
г '= a cost sin«.

3.1.8.	Параметрические уравнения вращающейся окружности x=a + rcosu, у = 0, z = rsinu.
Уравнения тора
х = (а 4- г cos u) cos v, у = (а 4- г cos и) sin v, z = г sin и.
3.1.9.	С00. 3.1.10. 7=р(и)+о7(и).
3.1.11.	r = vp(u). 3.1.12. х = acos и, y = asinu, z — v.
3.1.13.	r—{aucosv, ausinv, и].
3.1.14.	(Зх+у-г+2)* + 2(х + Зу + г-2У2^(у-х+г+2).
-*	-*•	p
3.1.17.	r (ut v) = р (и) + v .
I р' I
3.1.18. г (s, v) = р (s) + v
(k— кривизна данной кривой).
3.1.19.	Запишем параметрические уравнения заданной кривой: х = /2, у = t, г = /4.
Орт касательной:
_	|_______2t	________1_______ 4/3	)
Т =	4/2 + 16/" + 1 ’ V 4/а+ 16/6+ 1 ’ / 4/2 + IO/6 + 1J ’
Уравнение полученной поверхности г = р + Это уравнение в координатной форме имеет вид
„ .	2Х/
Л
V 1 + 4/2 + 16/в ’	/ 1 + 4/2 + 16/« ’
4Х/3
z = /4 +	.
V 1 + 4/2 + 16/в
3.1.20.	г (s, q>) = р (s) + v (s) cos ф -f- р (s) sin ф.
t е~*	t	.__
3.1.21.	х = ?-----------Л, z/ = e~z4----------X,z=Z]/24-
е ‘ 4-	е {-\-е*
3.1.22.	Если движущуюся кривую задать уравнениями х = и, у = 0, z = f (и), а в качестве оси вращения взять ось OZ, то уравнения поверхности имеют вид х — и cos и, у = и sin v, z = f (и) 4~ av, где a — отношение скорости поступательного движения к угловой скорости.
3.1.23.	1) Пусть неподвижная прямая совпадает с осью OZ, а движущаяся в начальный момент — с осью ОХ. Если обозначить через и расстояние точки геликоида от его оси (от неподвижной прямой), а через v — долготу точки, то уравнение геликоида запишется следующим
образом:
r = (ucoso, i/sinv, hv}.
2)	Линии и = const — винтовые линии, a v = const — главные нормали этих винтовых линий.
3.1,24.	Если уравнение винтовой линии взять в виде р = {a cos и, a sin и, hu}, то орт главной нормали v =s {—cos и,— sin и, 0). Уравнение искомой ’поверхности
г ~ р + Xv = {(а — X) cos и, (а — X) sin u, hu}.
Положив а — К — v, найдем г = {о cos и, о sin и, hu} — прямой геликоид (см. задачу 3.1.23).
3.1.25.	Если взять уравнение винтовой линии в виде р = {a cos и, a sin и, hu}, то орт касательной
a sin и
Va- + А2 ’
a cos и /а2 + Л2 '
h
/а2 + Л2
Уравнение поверхности a sin и х — a cos и----------v,
/ а2Ч-/12
у = a sin и +
a cos и
, — -.. и, V а2 + h2
z = hu 4— — v — развертывающийся геликоид. V а2 + h2
3.1.26.
г = р (s) X {v (s) COS ф (s) + Р (s) sin Ф (s)},
где Ф (s) — произвольная функция от s. --------------------	х
3.1.27.	у у2 + г2 = a ch — , или в параметрическом виде а
х = и, у = a ch — cos v, г = а ch — sin v, a	a
3.1.29.	7= -1- (rr (u) + ra (v)).
3.1.30.	Уравнения параболоидов — ± — = 2г представим в виде Р Р
1	/ u2	v2 \
х — и, у =v, z = — — ±----------- .
2	\ Р	q 1
Таким образом,
>	-»	—> / и2 и2 \ -*	/ -»	и2 ->\	/ -»	v2 -»\
 = ui + vj + —— ± —— /г = lui Ч----------k J- о/ ± —— k I.
3.1.31.	Заданная прямая представляется вектором
Г1 = {а, 0, и}.
( v2 )	-»	-»	(	V2
Уравнение кривой г2 = <0, о, ——гх — г3 — <а, —v, и--------------—
Поскольку направляющая плоскость задается уравнением г = О, то и____
V2	о2 —♦	->
-----—= 0. Таким образом, и = ——и гг — г2 = {а, —о, 0}. Искомое
п2 уравнение г = r2 -|- X (ri — <2), или х = аХ, у = v (1 — Л), г = —— .
2р Исключая параметры X и v, получим уравнение коноида в виде а2у2 — = 2рг (х — а)2.
3.1.32.	Если за ось вращения взять ось OZ, то уравнение коноида можно записать в виде х = и cos v, у = и sin и, г = f (у). В частном случае при / (и) = av + b имеем прямой геликоид. При заданном законе движения прямой вдоль оси OZ получим уравнение поверхности х = и cos v, у — и sin v, z — a sin 2v. Исключая параметры и и v, найдем
г (х2 -|- у2) = 2аху.
3.1.33.	Уравнение можно записать в параметрическом виде х = а
= и cos v, y = usinv, z =------- (см. задачу 3.1.32).
cos v
3.1.34.	196 (х — 4)2 + 420 (у + I)2 4-704 (z — З)2 4~ 16 (х — 4) X
X (у+ 1) 4-48 (у+ 1) (z —3) — 96 (х —4) (г-9) = 0.
3.1.35.	(5х — 2у + z — I)2 + 4 (у — х + г — I)2 4- (х + 2у 5г — — 5)2 = 900.
3.1.36.	Параметрические уравнения данных парабол
-» -»	( и2 4- v2	)
Н— г2 = |	—	, и, —	.
। Вследствие коллинеарности вектора — г2 плоскости у — z = 0 имеем
->	-»	( и2 I
и + v = 0. Таким образом, о = —и, a гх — r2 = ---, и, и\. Иско-
* мое уравнение
и2 ->	->	/и2->->->\
г = П 4- Ь (Н — г = —- i 4- uj 4- X--- i + uj + uk] =
\ Р	/
и2	-»	->	-»
--------------------------(1 4- 2Х) i 4- и (1 4- X) / 4- ui.k, > 2р или и2
х =-----(1 4-27,), y = u(14-X), г = 7.U.
2р
Исключая параметры и и X, получим уравнение у2 — z2 = 2рх (гиперболический параболоид). >	3.1.37. Параметрические уравнения линии
а3
х = ————— , у = ь sin v, г = & cos v. b2 sin v cos v
Точка на оси ОХ представляется вектором rx = ui, причем, -»	-> I а3	]
Г» — Н = 1 77-----------и> b sin v, b cos о).
( о2 sin о cos V	I
Из условия параллельности вектора г2 — г, плоскости YOZ находим
а3
b2 sin v cos v
r2 — r\ = {0, b sin v, b cos v).
Радиус-вектор произвольной точки поверхности
г = г, 4- А (г» — г,) = —--------------------i 4- kb sin vj + kb cos vk,
b2 sin v cos v
а его координаты
a3 x = —------------, у = kb sin v, z ~ kb cos v.
b2 sin V COS V
Исключая параметры v и к, получим b2xyz — а3 (у2 + z2).
3.1.38.	(гх (и) — г2(о), т) = 0. Если это уравнение можно разрешить относительно и или v, например относительно и, то вектор гг (и) — — г2 (о) можно представить как вектор-функцию относительно о:
X («) — (о) == р (о).
Уравнение поверхности г (к, v) = rt (о) 4 р (о) к.
3.1.39.	(а + ub — р (о), т) = 0, откуда
(р — а, т) ->	-♦	-»	-> -*
и =------, г (и) — р (о) = а 4 ub — р (и) =*
(т, Ь)
-» (р — а, т) -» -» = а + ~	Ь — р (у).
(т, Ь)
Радиус-вектор произвольной точки искомой поверхности
R <> р 4 к I	_>—- Ь — р 4 а! = R (А., V),
I (т, ~b)	I
3.1.40.	х = uv, у = 1A>, z = и3.
3.1.42.	h sin vX — h cos vY 4 uZ — huv = 0.
3.1.44.	z~ a.
3.1.45.
и
z — a In tg-----a cos и
x — a sin и cos v у — a sin и sin v	2
ctg и cos v	ctg и sin v	— 1	!
m — ± {cosu cos o, cos и sin v,—sinu}.
(	h sin v	— h cos v	и	1
3.1.46.	m==±J—, -------- , —,—	—T - — I,
1 /и24Ла	У«84Л4	К«*4Л* J
3.1.47. x + jr + z = 5,
-	, f 1	1	1 )
m = ±	, —— , —7=4.
1/3	/8	/3 J
3.1.52.	Поверхность: r = p (s) + X (J (s). Касательная плоскость: (Я — p, v + Ххт) = 0. Нормаль: R = р + Х£ + Хг (v + Хх, т).
3.1.56.	Примем за ось OZ прямую АВ. Пусть середина отрезка I находится в плоскости ХОУ на расстоянии а от АВ. Тогда поверхность можно задать уравнениями:
(о \ а + и cos — cos v,
2 /
v
г = и sin — , 2
у — а + и cos
sin v,
где | и |	-g-, точки (—и; v) и (—и; v + 2л) отождествляются; т пере-
ходит в (—т) при однократном обходе окружности и = 0.
3.1.57.	Тор можно получить вращением окружности у, не пересекающей оси вращения. Через центр окружности проведем прямую, перпендикулярную к оси вращения, точку пересечения проведенной прямой с осью обозначим через О. Из точки О проведем касательные к окружности. Пусть Pi и Р8 — точки касания. При вращении окружности у точки Рг и Р2 описывают окружности ?! и уг. На этих окружностях (т, г) = 0. Для внешней нормали тора на его «внешней» части (описанной большей дугой окружности у) (т, г) > 0, на «внутренней» части (т, г) < 0.
3.1.59.	Любая внутренняя точка тела, ограниченного выпуклой поверхностью.
3.1.62.	Координаты точки определяются соотношениями
п
sin и = —- ~	, tg v = — .
±/I2 + т2 + n2	s I
3.1.63.	См. задачу 3.1.62. Уравнение касательной плоскости
х + у + КГ z-(4 + 3/2) = 0.
3.1.64.	2х— бу— z-|-3=0, 2х— бу — г — 6=0. Точки касания соответственно Мг (1; 1; —1) и М2 (0; —1; 0).
х у 4- 1 z
3.1.65.	—- =	- = — .
— 2	6	1
§ 2
3.2.1.	Если записать уравнения окружности в виде
{х = b cos t, у = b sin t, z = 0,
то уравнение семейства сфер с центрами на этой окружности запишется таким образом:
(х — b cos 0* + (У — b sin 02 + z2 — а2 = 0.
Огибающей семейства этих сфер есть тор, если а < Ь,
(х2 4- у2 + z2 -Ь Ь2 — а2)2 — 4Ь2 (х2 4- у2) = 0.
Если а >• Ь, то ребро возврата семейства вырождается в пару точек (0; 0; ± У а2— Ь2)\ если а = Ь,— в одну точку (0; 0; 0).
3.2.2.	Цилиндр: x’4j/!=l.
3.2.3.	Уравнение семейства
V— р (S))2 — а2 = 0.
—► -►
Пусть s — натуральный параметр линии р = р (s). Характеристиками данного семейства являются окружности
(г — р (s))2 -а2 = 0,
(г —р (s), 7(s)) = 0, получаемые в результате пересечения сфер нормальными плоскостями к линии центров. Уравнение огибающей данного семейства сфер можно записать в виде
г ~ р (s) 4- a (v (s) cos ср 4" Р (s) sin ср), •—>	—
где v (s) и Р (s) — соответственно единичные векторы главной нормали —>
и бинормали линии центров р = р ($). Ребро возврата определяется уравнениями
«V	К
и представляет собой линию, точки которой получаются при пересечении осей кривизны линии р = р (з) с соответствующими сферами данного семейства сфер.
3.2.4.	Уравнение семейства сфер имеет вид
х2 4- У2 + z2 — 2/3х — 2t2y — 2tz = 0.
Характеристиками данного семейства являются окружности
х2 4- у2 4- z2 — 2i3x — 2t2y — 2tz = 0,
3Z2x 4- 2ty 4- z ~ 0.
Исключив из этих уравнений параметр t, получим уравнение огибающей
Зх (9х (х2 4- У2 4- z2) 4~ 2yz)2 4- 2у (9х (х2 4- У2 4~ г2) 4-
4- 2yz) (12хг — 4р2) 4- г (12хг — 4г/2)2 = 0.
Уравнения ребра возврата имеют вид
2Z3	—	.	6/8
х ~	4- 9/2 4-1 ’ У ~ 9i* 4- 9i2 4- 1 ’ Z ~ 9Н4-9Р4- 1'
2
3.2.5.	xj/z== —У.
3.2.6.	Огибающая распадается на две полости: плоскость z = 0 и конус
*2 + У2 — z2 ctg2 2а = 0.
3.2.7.	Уравнения огибающей
Ь2 х ---------cos t -|- bv sin t,
a b2 . у --------sin t — bv cos t,
a
z = bt + av.
Уравнения ребра возврата
l	b*
x =-------cos t,
a
b2 у =-------sin t,
a
z = bt.
—►
3.2.8.	Уравнение семейства нормальных плоскостей кривой р = = р (s) имеет вид
(г — p(s), T(s))=o.
Уравнения характеристик
(г —p(s), t(s))=0,
(г—p(s), v (s)) k(s) — 1 = 0.
Уравнение ребра возврата
7= р (S) + V (S) - . 2 *(s) . - ₽ (S).
г ' k(s)	k2 (s) X (s)
Ребро возврата представляет собой множество центров соприкасающихся сфер линии р = р (з).
3.2.9.	Уравнение семейства
(г —p(s), v(s))=0.
Уравнения характеристик
—►	-►	V	->	-*•
r = p (s) + —— (x(s) T (s) + k (s) p (s)), s—const, «(s)
Уравнение ребра возврата
k (s)
г = р (s)---- v"'. (х (s) т (s) + 4 (s) ₽ (s)).
k (s) X (s) —X (s) k (s)
3.2.10. Уравнение семейства
(7-7(s), й)) = о.
Характеристиками являются касательные к линии р = р (s):
Г = Р (s) 4- VX (s), s = const.
Ребром возврата является линия
р = р (s).
3.2.11.	Уравнения характеристик
|(г, п (а)) 4- D (а) = О,
[(г, п' (а)) 4- D' (а) = 0.
При каждом фиксированном а эти уравнения определяют прямую. Следовательно, характеристиками семейства плоскостей являются прямые. Огибающей (если она существует) будет либо цилиндрическая поверхность, либо коническая поверхность, либо поверхность, образованная касательными к некоторой кривой.
3.2.12.	Уравнение огибающей
г = х2 4- и2---— .
4
3.2.13.	Взять на поверхности произвольную кривую у и построить в каждой ее точке касательную плоскость. Получим однопараметрическое семейство плоскостей. Поскольку по условию задачи каждая из этих плоскостей касается данной поверхности по линии, то данную поверхность можно рассматривать как огибающую этих плоскостей. Следовательно, данная поверхность является развертывающейся поверхностью, а потому линии, по которым касаются данной поверхности плоскости, являются прямыми.
3.2.14.	Выберем в пространстве прямоугольную декартовую систему координат, совместив ось 0Z с прямой g. Тогда уравнение семейства плоскостей, отстоящих от оси 0Z на расстоянии h, можно записать в виде
х cos <р 4- у sin q> — h = 0,	(а)
где <р — угол, который образует нормаль к плоскости семейства с осью ОХ. Уравнения дискриминантной поверхности семейства (а) имеют вид
(х cos ф 4- У sin ф — h = 0,
I—	х sin ф 4- У cos ф = 0.
Огибающей семейства плоскостей (а) является прямой круговой цилиндр
х2 4- у2 = h2
с радиусом Л и осью g. Характеристиками рассматриваемого семейства плоскостей являются прямолинейные образующие этого цилиндра, т. е. прямые, параллельные прямой g и отстоящие от нее на расстояние h.
3.2.15.	Огибающей указанного семейства плоскостей является конус Ха, вершина которого совпадает с точкой Л40, ось — с прямой МаМ, а прямолинейные образующие составляют с прямой М0Л1 угол а. Характеристики семейства есть прямолинейные образующие конуса Ка.
3.2.16.	Если обозначить угол, который образуют нормали плоскостей семейства с осью ОХ, через <р, то уравнение семейства плоскостей можно записать в виде
х cos <р 4- у sin ср — a sin ср cos ср = 0.	(a)
Тогда уравнениями дискриминантной поверхности этого семейства будут
lx cos <р + У sin ф — a sin ф cos <р = О,
I—	х sin ф -f- у cos ф — a (cos2 ф — sin2 ф) = 0.
Огибающей семейства плоскостей (а) является цилиндрическая поверхность
2	2	2
|х|3 +|у| 3 =а3 
а характеристиками — прямолинейные образующие этой цилиндрической поверхности.
3.2.17.	Данное семейство плоскостей огибающей не имеет. Действительно, уравнения дискриминантной поверхности этого семейства имеют вид
14 (1 4- С) X — С2 у = 0, |4х — 2Су = 0.
Если исключить из этих уравнений С, то получим X (X 4- У) = 0.
Это уравнение представляет две плоскости
х = 0 и х + у = 0,
которые входят в состав данного семейства (пучка) плоскостей (при С = 0 и С = —2). Ни одна из этих плоскостей не является ни огибающей, ни носителем особых точек.
3.2.18. а) Огибающей семейства является пара плоскостей у =
— гну — — г, а характеристиками — прямые ! торые лежат в этих плоскостях и параллельны оси
х = с.
OZ.
х = с,
У = — г.
ко-
У = г
б) Огибающая — пара параллельных плоскостей х = г и х = —г, lx = г, (х — — г, а характеристики — прямые {	!
[у = с, [у = с.
в) Огибающая — пара параллельных плоскостей у — х — У^2г = = 0 и у — х 4- К2г = 0. Характеристиками семейства являются прямые, которые лежат в этих плоскостях и параллельны оси OZ.
3.2.19. а) Огибающей семейства есть плоскость у = 0, которая является носителем особых точек семейства. Характеристики — прямые
х = с,
У = 0.
б) Огибающей не существует Дискриминантная поверхность ((и — с)2 — х3 = 0, п	„
_____с о	=> х = 0 представляет собой плоскость, которая является носителем особых точек поверхностей семейства.
в) Дискриминантная поверхность
f(x — с)3 — (у — с)2 = О,
I— 3 (х — с)2 4- 2 (у — с) = О
4
распадается на пару плоскостей у — х — 0 и у = х, первая из которых является огибающей, а вторая — носителем особых точек данного семейства цилиндрических поверхностей.
д) Дискриминантная поверхность
1(х — с)3 + у3 — 3 (х — с) у = О,
|(х— с)2 — у = О
распадается на две плоскости у — 0 и у = у^4, которые являются огибающими данного семейства, причем первая из них является также носителем особых точек поверхностей семейства. Характеристики семейства — прямые, которые лежат в этих плоскостях и параллельны оси OZ.
3.2.20. Дискриминантная поверхность
(у — с2 (х — с)2 — 0,
12с (х — с) (х — 2с) = 0
состоит из плоскости у = 0 и цилиндрической поверхности у = -уу х4, которые являются огибающими данного семейства цилиндров. Характеристики семейства — прямолинейные образующие цилиндра у = = -уу- х4 и прямые, которые лежат в плоскости у = 0 и параллельны оси OZ.
3.2.21. Если за параметр семейства принять абсциссу с средины хорды эллипса, то уравнение семейства можно записать в виде
Ь2
(х — с)2+у2------(а2 —с2)=0,	(а)
а2
где с изменяется в промежутке [—а; а]. Продифференцировав равенство (а) по с, получим
Ь2
— (х — с) Н--— с = 0.	(Ь)
а2
Исключив из уравнений (а) и (Ь) с, получим уравнение огибающей семейства (а):
х2 у2 ----------1--2—= 1.
а2Ь2 Ь2
Необходимо отметить, что этот цилиндр касается не всех круговых цилиндров семейства (а). Это легко заметить, если не исключать из равенств (а) и (Ь) параметр с, а выразить из них х и у через с. При этом
получим	а2 + Ь2 Х~	2	С> а*	(С)
	у = ± —~ V а* — (а2 + Ь2)	. а2	
Отсюда видно, что у будет принимать действительные значения лишь при
°2 с <	. .. .
Ко2 + &2
Таким образом, только дтя части семейства круговых цилиндров из (а) существует огибающая. Характеристики семейства — прямолинейные образующие цилиндра (с).
3.2.23. Уравнение огибающей данного семейства поверхностей можно искать в виде г = г (и, v, С (и, о)). Функция С = С (и, v) определяется из условия
(Ги, rv, гс) = 0.	(а)
Если при этом [ги, г„] #= 0, то г = г (и, о, С (и, v)) есть уравнение огибающей, в противном случае вопрос требует дополнительного исследования.
3.2.24. Уравнения семейства сфер
(x-C)2 + (y-C)2 + (z-C)2 = C2.	(а)
Продифференцировав это равенство по С, получим
х + у + z — 2С — 0.	(Ь)
Огибающей семейства (а) есть круговой конус
х2 + У2 + г2 — 2ху — 2хг — 2уг = 0, осью которого есть прямая х = у = г, а прямолинейные образующие /6
составляют с этой осью угол а = arccos g . Характеристики семейства — окружности.
3.2.27.	Линейчатая поверхность
г = р (и) + ve (и)	(а)
представляет собой однопараметрическое семейство прямых и = const. Нормали к поверхности (а) параллельны векторам
т (и, v) = [р' (и), е (и)] ф- v [е' (и), е (и)].	(Ь)
Если для векторов р' (и), е' (и), е (и) выполняется равенство
(р' (и), е’ (и), е (и)) = 0,	(с)
то векторы т (и, о) вдоль одной и той же прямолинейной образующей и = const поверхности (а) параллельны между собой. Это означает, что касательная плоскость к поверхности (а) касается поверхности вдоль всей прямолинейной образующей Отсюда нетрудно заключить, что в этом случае линейчатая поверхность (а) представляет собой огибающую однопараметрического семейства плоскостей, а следовательно, является развертывающейся. Если поверхность (а) развертывающаяся, т. е. является огибающей однопараметрического семейства плоскостей, то ее нормали т (и, v) вдоль одной и той же прямолинейной образующей (характеристики семейства плоскостей) параллельны между собой, а поэтому для векторов р' (и), е' (и), е (и) выполняется равенство (с).
3.2.28.	Пусть р = р (з) — естественная параметризация данной кривой у, т = т (s) — единичные векторы семейства нормалей кривой у. Тогда уравнение поверхности, образованной нормалями кривой у, имеет вид
r=p(s) +»/n(s).	(а)
Согласно утверждению задачи 3.2.27, поверхность (а) будет развертывающейся тогда и только тогда, когда для нее выполняется равенство
(х (s), т' (s), tn (s)) — О,	(Ь)
-> dp
где х (s) =	— единичный касательный вектор кривой у. Легко убе-
диться, что для выполнения этого равенства необходимо и достаточно, чтобы векторы т' (s) были параллельны векторам т (s).
3.2.29.	Сначала найдем направления направляющих векторов т (s) семейства нормалей кривой у, которые образуют развертывающуюся поверхность. Обозначим через 0 (s) угол, который составляет вектор т = т (s) с главной нормалью кривой у. Тогда можно записать
т (s) = v (s) cos 0 -j- р (s) sin 0,
где v (s) и Р (s) — соответственно орты главной нормали и бинормали кривой у. Дифференцируя это равенство по з и учитывая формулы Френе, получим
т' (s) — — k cos 0 • т -|- (0' (s) + х (s)) (cos 0 • p — sin 0 • v).	(a)
Согласно утверждению задачи 3.2.28, нормали т (s) будут образовывать развертывающуюся поверхность тогда и только тогда, когда т' (s) || х (s). Для выполнения этого соотношения необходимо и достаточно, чтобы
0 (s) = С — J х (s) ds,	(Ь)
где С — произвольная постоянная, х (s) — кручение кривой у. Отсюда теперь легко убедиться в справедливости сформулированного в условии задачи утверждения.
3.2.30.	Воспользоваться формулой (Ь), полученной при решении задачи 3.2.29.
3.2.32.	г = р (s) их (s) + ар (s), где р (s)— единичный вектор бинормали кривой p=p(s). Уравнение ребра возврата имеет вид
->	ах (s) ->	->
г = р (з) + - т (s) 4- ар (s),
« (s)
где к ($) — кривизна кривой р = р (s), х (s) — кручение.
3.2.33.	Это следует из того, что определения касательной к кривой, а также конической и цилиндрической поверхностей проективно-инвариантны.
3.2.35.	lira Д = р = р (ц) 4- ([Р'(к)Л(а)], [7(«),?(»)]) 7(и). Ди->0	—>	—>
[е (и) , е' (и)]а
Если вектор е (и) единичный, то уравнение линии сжатия (стрик-ционной линии) имеет вид
-	.	(? («). е’ (и)) -
Р = Р (и)-------------------- е (и).
е'г (и)
Стрикционная линия развертывающейся поверхности — ребро возврата.
I (р' (и), е’(и),е(и))1 ->•	-►
3.2.36.	k — -----—-----—----------е2 (и). Если | е (и) | = 1, то
[е(и), е'(и)]2
I <Р' е’ е ।
I е' (и) |2
Для развертывающейся поверхности k — 0. Для доказательства последнего утверждения из условия задачи достаточно воспользоваться результатом задачи 3.2.27.
§ 3
3.3.1. 1) Параметрические уравнения сферы
х — г cos и cos v, у = г cos и sin v, z = г sin и; ds2 = r2du2 -|- г2 cos2 и dv2.
2) Уравнение эллипсоида
г = [a cos и cos v, b cos и sin v, с sin и};
ds2 — ((a2 cos2 v 4- b2 sin2 о) sin2 и + c2 cos2 u) du* +
2 (a2 — b2) sin и cos и sin v cos v dudv + (a2 sin2 v b2 cos2 a) cos2 и dv*.
3) Уравнение однополостного гиперболоида
/ 1 /	1 \a	c2 t I \2\
ds2 = I — 11-------— (a2 cos2 v 4- b2 sin2 v) 4----1 4----r" du2 +
\ 4 \	u2/	4 \ u2 J
4- ~x- (b2 — a2) sin v cos vlu---— dudv 4-
2	\ u2 /
1 /	1 \2
4-----u 4-------(a2 sin2 v 4- b2 cos2 u) dv*.
4 \	и
4) Уравнение двуполостного гиперболоида
-♦(а/	1 \	b [	1 \ с t 1 \)
г = 1 т—-- и-cos V,	—— и--sin V, -- и 4--f ;
I 2 \ и/ 2 \ и )	2 \ и )}
III 1 \2	с2 !	1 \2\
ds* = I — (I 4-(fl2 cos* о 4- b2 sin2 v) 4- -— 1-г I I du2 4-
\4\u2/	4 \ u* / /
+ — (b2 — a2) sin v cos v u---— I dudv 4-
2	\ u2 /
1 /	1 \2
4----и--------(a2 sin2 v + b2 cos2 v) dv2.
4	\	u /
5)	ds* = (1 +-^-'Ux2 + 2 — dxdy+ll + ^~)dy2.
\	p2 J	pq	\	q2 i
6)	ds* = (1 + -Д—^ dx2 — 2 dxdy + f 1 + -^-Д dy2. \	P2 I	pq	\	q2 1
7)	r*={au cos v, tasinu, cu);
ds2 = (a* cos2 v + b2 sin2 v -f- c2) du2 -J- 2 (b2 — a2) и sin v cos v dudv 4-
-f- u2 (a2 sin2 v + b2 cos2 v) dv2.
8)	r= [acosv, bsinv, u};
ds2 = du2 4* (a2 sin2 v 4- b2 cos2 v) dv2.
Га2/	1 \2	b2 I	1 \21
ds2 = —— 1------------r + —— 1 4------------ I I du2 4- dv2.
[ 4 \	u2 /	4\	u2 / J
10) r = {2pu2, 2pu, v};
ds2 = (16p2u2 4- 4p2) du2 4- dv2.
3.	3.2. ds2 = (f* (a) 4- <p'2 (a)) du2 4- f2 (u) dv2.
1)	ds2 — r2du2 4* (R 4- r cos u)2 dv2;
2)	ds2 = a2 ctg2 udu2 4- a2 sin2 udv2;
3)	ds2 = (a2 sh2 и 4~ c2 ch2 u) da2 4- a2 ch2 udv2.
3.	3.3. 1) ds2 = ds2 + 2 (т, ё) dsdX 4- dA.2;
2)	ds2 = v2ds2 4- 2v (t, p) dsdv 4- p2dv2;
3)	ds2 = ((1 — k cos ф)2 4* x2) ds2 4- 2xdsdф 4- ^ф*1
4)	ds2 == du2 4- (u2 + h2) dv2;
5)	ds2 = (1 4* v2k2) ds2 4- 2dsdv 4- dv2;
6)	ds2 = ((1 — vk)2 4- x2v2) ds2 4- dv2;
7)	ds2 = (1 4" v2x2) ds2 4- dv2.
3.	3.5. ф = arccos — а	,
V 1 4- a2*o 1 + a2#o
3.3	.7. s = | sh u2 — sh Uj |. 3.3.8. | va — Vj |.
3.3.9. Пусть линия принадлежит семейству v = a In tg ~ 4- с. Рассмотрим две ее точки Рг (ux; ох) и Рй (и2; о2). Точка Рх принадлежит линии v = —a In tg у + Ci> а точка Р2 — линии v = —a In tg 4-4* с2. Следовательно,
Vi = —a In tg -у- 4- clt = a In tg-y- + с!
w2	u2
v2 = —alntg—4-c2> o2 = alntg —4-c.
_	C1 + C	+ c „	,	.
Отсюда Vj =---------, v2 =-----—. Таким образом, s=|v2 —
— I — ~y I — ci I’ т- e- не зависит от с.
3.3.10.	Для вычисления коэффициентов Е, F и G первой квадратичной формы геликоида найдем производные
ru = {cos v, sin v, 0} и rv = {— и sin v, и cos v, h}. Тогда
E = r2u = cos2 v -|- sin2 o=l, F = (ru, rv) — — tzsin ocost>-|-
4-	и sin v cos o = 0, G = r2 = u2 sin2 о u’ cos2 о 4- Л2 = u2 4- h2. Первая квадратичная форма геликоида имеет вид ds2 = du2 4- (u2 4* 4- Л2) dv2. Длина дуги кривой и = и (/), о = о (/) с такой первой квадратичной формой вычисляется по формуле
^2	------------------------
Г Г / du \2	„ / dv \2
s=\]/ Ы)+(м(о+Л)(М di-
В рассматриваемом случае для винтовой линии и =а du = 0, поэтому длина дуги вычисляется по формуле
s = J И а2 4* Л2 dv = У а2 4- h21 о2 — ох |.
3.3.11.	ср = arccos (-.
3.3.12.	Линии пересекаются в точке и = о = 0. Угол между ними <р = arccos —т=-.
У 5
3.3.13.	f.
3.3.14.	Прямолинейные образующие поверхности задаются уравнениями х = const, у = const. Рассмотрим линии х = const. Их направления определяются векторами {0, бу}. Пусть направления искомых кривых заданы векторами {dx, dy\. По формуле косинуса угла
между кривыми получим Fdx + Gdy = 0 или a2xydx + (1 + A2) dy =" л о	<А , du
= 0. Это уравнение можно представить в виде	dx =-----—.
Интегрируя, найдем у2 (1 + а2х2) = сР Аналогично для второго семейства получим х2 (1 + а2у2) = сг.
3.3.15.	Первую квадратичную форму ds2 = (/'* (и) + <р'! (и)) du2 + -f- fa (и) dv2 поверхности вращения можно представить в виде ds2 = = d(J2 -|- G (U) dv2, положив {/ = J V f'2 (и) -f- <р'’ (и) du. Меридианы задаются уравнениями о = const. Если направления локсодром опреде-
-►	dU
ляются векторами dr == {dU, dv}, то cos а —	’ отк^да
иг
, f dU	,
v ctg а — ± \	----- . Возьмем первую квадратичную форму сферы
J V G (U)
«1
в виде
ds2 = R2 (du2 -f- cos2 и dv2).
,	/ л и \
Тогда v ctg a = ± R In tg —— 4- —- .
\ 4	2 /
/dtp	dtp \	/dtp	dtp \
3.3.16.	F—7- du+ F —4- — G —— <fo = 0.
\ dv	du /	\ dv	du /
3.3.17.	v ± In (u + /u2 + a2) = const.
3.3.18.	Заданный в условии задачи геликоид является частным случаем геликоида, рассмотренного в задаче 3.3.10 при h = 2, поэтому можно воспользоваться вычисленными в этой задаче коэффициентами первой квадратичной формы и записать ее в виде ds2 = du2 + (и2 + 4) dv2. Обозначим вершины треугольника следующим образом:
(и = a2	(u = v2,	(и — —V2,
А	В	С
(и = —v2;	[v — 2;	1а = 2.
Тогда вершины треугольника имеют координаты А (0; 0), В (4; 2), С (—4; 2). Стороны треугольника будем вычислять по формуле
а .------------———
f Г / du \2	I dv \2
’-)]/ (т)+<“’ + 4,Ы
Параметризуем линии: в уравнении линии и = —v2 положим v = t, и = —t2 (линия АС); аналогично уравнение линии и = v2 запишем
в виде и = t2, v = t (линия АВ). Для линии АВ = 2t,	= 1,
поэтому
Аналогично для линии АС —— = — at
27,
do
1Г = 1й
2
S (AC) = J Y47» + (t< + 4) dt =	.
o
Найдем длину линии ВС, уравнение которой имеет вид о = 2. Вдоль 4
этой линии ds2 = du2 и s= £ du = 8. Таким образом, периметр тре-—4
64
угольника равен —з~. Углы треугольника определим по формуле О
rns m___!___________Е duSu -[- F (dudv 4- dv8u) 4- Gdvfrv___
YEdu2 + 2Fdudv + Gdv2 Y E6u2 + 2F6u6v 4- Обо2
Для угла А касательная к линии АВ направлена по вектору dr = = {du, dv), где du = 2vdv. В точке A v = 0, следовательно, du = 0, dv=/= ч^О. Касательная к кривой АС направлена по вектору бг = {би, бо), причем би = — 2обо, и в точке A v = 0, следовательно, би = 0, бо Ф 0. Таким образом, cos А = ± —г_Gdvdv --_ j линии дв и
YG dvYG бо
АС касаются друг друга в точке А. Найдем угол В. Для касательной к АВ в точке В имеем dr = {du, do}, причем du = «= 4dv. Касательная к ВС определена соотношением _	dutiu
Таким образом, cos В = ±
du dv^—,
2	.
«= arc cos —- . Аналогично получим Z С = arccos = «3	<
2vdv, или du = 6v = 0, 6u y= 0.
. Учитывая, что
6u Y du2 + (и2 4- 4) dv2 а в точке В и =4,
2 находим cos В = — , Z В =
О 2 Т ’
3.3.19.	р = а/2+(1 +КЗ)2+2 1п(/2 + /б)--------------
4(1 +/3? )
Л	о	1
® = т » Р = У = arccos —— .
1	УЗ
’ h2 —
3.3.20.	— (Y2 4- In (1 + Y2)).
3.3.22.	Первая квадратичная форма тора ds2 = (7? 4* r cos ы)2 du2 4- r2dv2, площадь его поверхности 2л 2л	2л 2л
S = J § YEG — F2 dudv = J г (R 4- г cos u) dudv 4n*rR. оо	оо
3.3.23.	ds2 = (1 4- k2v2) ds2 4- 2dsdv 4- dv2, где k — кривизна кривой.
Уравнение прямолинейных образующих s = const. Уравнение ортогональных траекторий s -|- v = const.
3.3.24.	1) Если т = ”’	, то <р2 = г (cos2 odu2 -f- do2);
I [Л. Zj I
2)	если m =	, to <p2 = rdu2 + cos и (R + r cos u) do2;
I [ru, Xd I
—* (fy> rv]	2k , .
3)	если m —-----------, то cp2 =	- аиащ
I[7„, 7„] ।
4)	qj2 == + —(V’ T’ ds2, где т, v и k — соответственно вектор
I [т, ~e] |
касательной, главной нормали и кривизна направляющей цилиндра; vk (v, т, р)
5)	ср2 = ±----д- -----ds2.
I [Ь Pl I
2
3.3.25.	— (4а —Ь). 3.3.28. Н = 0, К = — а2.
5
3.3.29.	2а, 2а. 3.3.30. Н = 0.
3.3.31.	1) Эллиптические; 2) точки однополостного гиперболоида гиперболические, а двуполостного эллиптические; 3) эллиптический параболоид состоит из эллиптических точек, а гиперболический из гиперболических; 4) параболические; 5) параболические.
3.3.32.	Верхняя и нижняя параллели тора —это параболические линии, которые отделяют эллиптические точки на внешней части тора от гиперболических на внутренней части.
3.3.33.	Точки уплощения поверхности лежат на линии пересечения поверхности плоскостью г = 0.
3.3.34.	1) При х #= 0, у =# 0 имеем эллиптические точки; при х — = 0, у ф 0 — параболические, при х = 0, у = 0 — точку уплощения.
3)	Линия пересечения поверхности плоскостью х = 0 состоит из точек уплощения; остальные точки являются параболическими.
3/3.35. 0.
3.3.36.	Воспользоваться формулами Родрига.
3.3.37.	В каждой точке поверхности в любом направлении dm = — —kdr. Следовательно, ти = —kru, mv~ — krv. Дифференцируя дервое соотношение по v, а второе по и и вычитая, получим kurv — — kvru = 0. Отсюда ku = ku = 0, a k = const. Интегрируя соотношение dr =---------dm, найдем уравнение сферы | г — с |2 — (с — постоян-
ный вектор).
3.3.39.	В сферической точке справедливы соотношения —
F	G	х2	№
= — = —, К — И2. Если-------------h — = 2z — уравнение эллиптическо-
М	N	р	q

го параболоида, то указанные соотношения приводят к уравнениям
ipq (1 + 7^ +	= (Р + ? + 2z)а-
Решая эти уравнения, получим:
1)	при р > q Р12 (О; ± /9(Р —?); Р 2 ?
2)	при р = q Р (0; 0; 0);
3)	при p<q Plt2^±V р (q ~ р); 0; -?	.
L N
3.3.40.	4- и 4г.
Е G
3.3.41.	У Казани е. Очевидно, что параметрические уравнения поверхности Ф* имеют вид г* = г + ат. Выразим коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности Ф* через коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности Ф. Имеем
r*u = ru + amu, r'=rv + amvt откуда
Е* — г*‘ = г;2 + 2агити + ат^ — Е — 2aL + a2 (2HL — ЕК) —
= (1 — а2К) Е + 2а (аН — 1) L.
Аналогично находим
F* = (1 — а2 К) F + 2а (аН — 1) Л4,
G* = (1 — a2K)G-\-2a(aH — 1) JV,
L* = L — a (2HL — EK), М* = М— а (2МН — FK),
N* =N — a (2HN — G/f).
Подставляя коэффициенты Е*, F*, G*, L*, М* и N* в формулы для нахождения средней и гауссовой кривизны, получаем
Н-аК	К
1 + а2К — 2аН ’ А	1 + а2 К — 2аН '
•*
Из этих формул, в частности, следует, что если у поверхности отноше-Н ние -г?- постоянно во всех точках, то уравнение Л
Н ->
К т
определяет минимальную поверхность Ф*, «параллельную» поверхности Ф. Из этих же формул можно получить соотношение г).
Ь2 а2
3.3.42.	—, У к а з а н и е. На круговом цилиндре рассматривается нормальное сечение (окружность) и наклонное (эллипс) с общей касательной.
3.3.43.	ay xz = 0, г2 — х2 = а2.
3.3.44.	г (s, v) = р (s) +	(s);
К =
X2
(1 4- И2Х2)2 ’ н
Ям k -|- kn2V2 — V-----
ds
з
(1 + Х2О2) 2
3.3.45.
х2
. dx \ .
х — k —— + т ds /
[(1 — kv')2 + Лс2]2 ’
2 [(1 — Ада)2 4- х2а2|2
3.3.46.	Метрическая форма заданной в условии задачи поверхности вращения имеет вид ds2 =(! + /') dx2 + f2dv2, вторая квадратичная форма
<Р2 =
£// £
dx2 +	'	dv2.
Средняя кривизна поверхности
Поэтому для нахождения функции f получаем следующее дифференциальное уравнение:
1 + /'2-//" = о, где г = / (х) — уравнение меридиана. Это уравнение можно переписать в виде
П"___
+ № “ f •
Следовательно,
-1-	(in (1 4- /'*))' = (In fy, Отсюда после интегрирования получаем
а — const,
или
vi
Перепишем это дифференциальное уравнение в виде (1П о + /2ГТ; \ \ а 1 V а2
— = 1. 1
К =
н =
v2
з
£	2
а
Следовательно»
х	х
а а	а	X
f(x)= — (e 4-е	) = ach—.
2	а
Кривая, вращением которой образована поверхность, есть цепная линия, для которой ось вращения есть ее директриса. При последнем интегрировании мы пренебрегли постоянной интегрирования, так как она означает лишь параллельное смещение поверхности параллельно оси вращения. Полученная поверхность называется катеноидом.
§ 4
3.4.1. Если кривая У) £ Ф, задается уравнениями и= и (/), v = = v (i), то соответствующая ей кривая С Ф2 при указанном отображении задается теми же уравнениями и = и (f), v = v (/). Затем следует воспользоваться формулой для вычисления длины дуги кривой.
3.4.2. Достаточно доказать, что изометричные поверхности можно параметризовать так, что их первые квадратичные формы, соответствующие этим параметризациям, имеют одинаковый вид.
3.4.3. К =
1 / <Э2	д2	\
^-hnrlnX + -7ra~lnM. 2л \ ди2	ov2	)
sin со
3.4.6.	Г}, =- Г}2 = Гц = О, Г22 =	, Г’2 =
Gu Г2 _ Gv 2 ’ 22 2G '
3.4.7.	Гц — Г}2 — Гц — Г22 — О, Г22 — — и, Г22---———- .
»48 к_ 1	( д (УЁ),	д (№)и\
К £G \dv	Kg	да Ve )
3.4.9.	К =---. 3.4.10.-------------L
VG	°2
3.4.11.	Возьмем в качестве координатных линий линии кривизны
и запишем уравнения Петерсона — Кодацци Lv — —Ev (k, 4* k2), 1	L	N	2
Nu = —Gu (kr 4- k2), так как — = k,, — = k„. Положив kt = 2	E	G
= tgo(M, и) и используя написанные соотношения, найдем, что Е — = U (и, о) sin2 о, G = V (a) cos2 о. Соответствующим выбором параметров и и и найдем, что Е = sin2 a, G = cos2 а. Переходя к новым координатным линиям — асимптотическим линиям поверхности,— получим параметризацию поверхности, в которой линейный элемент запишется в требуемом виде.
3.4.12.	Пусть ds2 = du2 + Gdv2 — линейный элемент поверхности. Если К — —1, то G удовлетворяет дифференциальному уравнению
V G = V G. Тип поверхности сохранится, если взять какое-нибудь частное решение этого уравнения. Так, можно взять ds2 — du2 + + е2“ dv2. Используя отображение на полуплоскость Пуанкаре, приняв х = v, у == е~“, найдем, что
чнч
D
3.4.13.	R = — 1.
Е4	Gu
3.4.15.	Lo =-у-(*! + fea), = (fei + M, где k< и k2-главные кривизны поверхности.
3.4.16.	Можно воспользоваться уравнениями Гаусса — Петерсона — Кодацци, считая заданными коэффициенты первой квадратичной формы и переменными коэффициенты второй квадратичной формы. В этом случае
Ev [ L N\ Gu I L N \
LN = KEG, Lv =—-----------1----, Nu = —---------1---.
°	2 \ E G / ’	2 \ E G )
3.4.17.	Top можно получить вращением окружности радиуса г вокруг оси, не пересекающей ее. Если обозначить расстояние центра окружности от оси вращения через R, то параметрические уравнения тора запишем в виде х = (R + г cos u) cos v, у ~ (R + г cos и) sin v, z = г sin и. Если поверхность Ф получена изгибанием куска тора, сохраняющим линии кривизны, то коэффициенты ее первой квадратичной формы такие же, как у тора, а коэффициенты второй квадратичной формы удовлетворяют уравнениям
LN = г cos и (R + г cos u), Lv = О,
г (R + г cos «) Nu — (Nr2 4~ (R + г cos и)2 L) sin и = 0.
Проинтегрировав эти уравнения, получим
/. = - rcosg------, м = 0,
У сг2 — sin2 и
N = (R + г cos u) Yг2с2 — sin2 и,
где с — параметр изгибания. При с = -Ч имеем
L — г, М = 0, N = cos и (R -f- г cos и),
т. е. получили коэффициенты второй квадратичной формы тора. Таким образом, поверхности, определяемые квадратичными формами
Ф, — ds2 — r2du2 + (R -|- г cos и)2 dv2,
ф2 = — C0S“  — du2 + (R 4- r cos u) V r2c — sin2 и dv2,
У cr2 — sin2 и
1
где c <Z -г°о> представляют изгибания куска тора, сохраняющие главные направления.
3.4.18. Задача решается аналогично задаче 3.4.17 и задаче 3.4.43. Пусть х = f (и) cos v, у = f (и) sin v, г — и — параметризация поверхности вращения Ф. Тогда ее первая квадратичная форма
<рг = (1 + f'2) du2 +/W,
а вторая квадратичная форма
ф2 = L„du2 -|- 2M0dudv 4- Ngdv2 =-du2 4-----------/ .....dv2.
VI 4- № VI 4- №
Пусть для поверхности Ф*. изометричной поверхности Ф, cpg = d.d«24-4- 2Mdudv 4- Ndv2. Тогда
4-/'2 Kl + Л(1 4-f2) ’
М = о, „_к/К.+Я(!+Г’> /14-Г2
где А — параметр изометрии. При Л = 0 и одинаковой ориентации Ф и Ф* L = Lg, М = Мо и N = Ы9.
3.4.20.	Учесть, что гауссова кривизна поверхности инвариантна относительно изгибания поверхности.
3.4.21.	Первая квадратичная форма геликоида имеет вид
ds2 = du2 4- (и2 4- k2) dv2,	а)
катеноида —
ds*2 = ch2 (da2 4- k2dfi2).	(b)
k
Если в формуле (а) положить
a
и = k sh — , v = p,	(c)
k
a
to ds2 = ch2 — (da2 4- k2d$2) и соотношения (с) задают искомое изо-ft
метрическое отображение. Прямолинейным образующим геликоида v = const соответствуют меридианы катеноида Р = const.
3.4.24.	В качестве координатных линий взять асимптотические линии. Тогда £ = У = 0, £* = У* = 0. В силу равенства гауссовых кривизн получаем М* = ± М.
3.4.25.	В окрестности каждой точки регулярной поверхности можно ввести полугеодезическую систему координат, в которой первая квадратичная форма поверхности имеет вид ds2 = du2 4" G («, v) dv2. На линии « = 0 имеем
0=1.
Из уравнений геодезических линий получим, что
'	1	52/G
Гауссова кривизна: К ------—  или
З2 /б
-^- + кГо-о,
(С)
где /С = const. Очевидно, G удовлетворяет уравнению (с). Решениями такого уравнения при условиях (а) и (Ь) будут
и,
следовательно.
ds2 =
cos и 1
. ch V^~Ku
при К > О, при К = О,
при К. < О
du2 + (cos2 VК и) dv2
du2 4- dv2
du2 + (ch2 u) dv2
при К. > О, при К = О, при К < 0.
/5 =
Для всякой другой поверхности Ф* с той же кривизной /С
	du*2 4- (cos2 VК и*) dv*2 при К > 0,
ds*2 =	du*2 4- dv*2	при К = 0, . du*2 4- (ch2 V — К и*) dv*2 при К < 0.
Соответствие поверхностей Ф и Ф*, при котором и — и*, v= v*, является изометрией.
3.4.28.	Уравнение поверхности касательных запишем в виде г (s, v) = = г (s) 4- vt (s), где г = г (s) — уравнение заданной кривой. Линейный элемент поверхности:
ds2 = (1 -j- k2 (s) п2) ds2 4- 2dsdu 4- dv2.
Рассмотрим теперь семейство кривых у (/), зависящих от t и задаваемых натуральными уравнениями
k = k(s), x = /x(s),	(а)
При t = 1 эти уравнения преобразуются в уравнения заданной кривой. При i = 0 уравнения (а) задают некоторую плоскую кривую. Для каждого значения t, аналогично предыдущему, построим поверхность Ф/. Все поверхности {ФД имеют одну и ту же первую квадратичную форму. Следовательно, они изометричны. Можно наложить дополнительное условие, обеспечивающее непрерывность вектор-функции г (s, о, t), например, зафиксировать какую-нибудь точку Р (зД на у (t) и трехгранник Френе в этой точке. Тогда семейство {ФД будет представлять изгибания.
3.4.29.	Следует доказать, что всякая развертывающаяся поверхность локально является либо цилиндрической, либо конической, либо поверхностью касательных к некоторой пространственной кривой.
3.4.32.	Уравнение сферы S2 имеет вид — х2 4" У2 + г2 =—г2, или х2 — у2 — z2 = г2. Введем на криволинейные координаты, ис
пользовав стереографическую проекцию Sa на Е2. Если в качестве центра проектирования выбрать точку Р (0; 0; г) сферы, а в качестве плоскости проекций — координатную плоскость 2=0, то каждой точке Р (х; у; г) сферы соответствует точка плоскости Р* (и1; и2; 0) при этом
2г2	,	2г2	„	и2 — г2
X = —-------U1, у = —------------ U2, 2 = Г —-------- ,
и2 + г2	и2 4- г2	и2 + Г2
где и ~	(и1, и2} С Ег. Радиус-вектор точки Р £ S2 выражается формулой -	2г2	- , и2 — г2 -» х ~ —	и + г —	е3,
а	U2 4- г2	и2 4- Г2 ,	Wdu2	4r4 (— du12 + du22) dx2 = ds2 = —	 = 	2-5	5	— . (U2_|_r2)2	(— U12 4- U22 4- r2)2
3.4.33.	а) Гиперсфера мнимого радиуса ri в псевдоевклидовом пространстве индекса 1 несет на себе риманову геометрию, совпадающую с геометрией Лобачевского соответствующего числа измерений. Если п = 2, то 52 представляет собой гиперболоид
х2 — у2 — z2 = г2.	(а)
Пусть г = 1, а точка Р гиперболоида (а) имеет в Е3 координаты (х; у, z), (и, v) — координаты точки в круге К. Тогда
1 + и2 + о2 _ 2v	2и
Х~ 1— и2 — V2 ’ У~ 1— и2 — и2 ’ 2~ 1— и2 — V2 ’
ds2 = — dx.2 dy2 4- dz2 —
4 (du2 4- du2)
(1 — u2 —u2)2’
б)	В круге, рассмотренном в пункте а), введем полярную систему
4 (dp2 4- p2dcp2) координат и = р cos <р, v = р sin ср. Тогда ds2 —-------------—--.
(1 — Р2)2
g
Отображение р = th — , <р = ср переводит круг К в полосу 0 <р < < 2л, 0	£ < оо. Линейный элемент плоскости Лобачевского в этой
полосе
ds2 = sh2 gdcp2 4- d|2.
в)	Пусть кривизна метрики постоянна и равна Л" = —1. Такую метрику запишем в виде ds2 = du2 4- е2“ do2, где (и; о) — внутренние координаты точки плоскости Лобачевского. Отображением х = о, у = = е~и переведем плоскость Лобачевского в верхнюю полуплоскость Евклида, при этом
ds2 =
у2
3.4.34.	Запишем метрику евклидовой плоскости в полярных координатах
ds2 = dp2 4- p2d<p2.
Уравнение окружности р(<р) = /?, dp = 0, 0 ф 2л. Длина окруж-2л
ности s = J УТ&кр = 2nR. Круг зададим следующим образом: 0 о
2л /?
г R, О <р 2л. Тогда площадь круга S =
У J rdrdy = nR2. о о
3.4.35.	ds2 = R2 (d02 + sin2 Odcp2) в сферических координатах, причем 0	0 л, О <р 2л. Уравнение окружности RQ (0 = г = const,
г	t
Rф (t) = t, 0 t О 2nR, 0 (0 = — , ср (0 = —— . Длина окружности R	R
2л/?	2л/?
з = С y^R2 sin2 0 dtp = С R sin dt = J	J	R R
0	0
2л/?
I sin ~ dt = 2nR sin — .
J A	A
0
Круг задается соотношениями O^R0^r, О^ф^ 2л, или 0^0^
< -н-, О С <Р =С 2л. А
Площадь круга
2л /?	,
5 = J J R • R sin 0<Шр = 2nR2 f 1 — cos
0 0	'	
3.4.36.	ds2 = dg2 4-sh2 Мф2, 0^g<oo, 0^ф^2л (см. задачу
3.4.33). Уравнение окружности Rg (0 = г = const, /?ф (0 = t, 0 t г	„
tC 2xR. Отсюда g (/) = —-, ф (0 = — . Длина окружности A	R
2я/?	2л/?
s= С Rshg-^-= С sh — dt = 2nR sh . J	R J R	R
0	0
Круг задается соотношениями O^Rg^r, 0 sSg ф 2л. Площадь круга
S
2л R
R2 sh |(/§йф = 2nR2 о о
I4?-1!-
3.4.43.	Указанное в условии задачи семейство линий кривизны примем за линии и криволинейной системы координат. В качестве линий v возьмем их ортогональные траектории. При такой параметризации поверхности ее метрическая форма примет вид
ds2 = du2 + C2dv2
(линии и являются геодезическими). Запишем уравнения Гаусса____
Петерсона — Кодацци:
Си	Си	Со
Nu-Mv=-^-(N + C*L)-----------^М,
G	G	G
LN — M* = — CCUU.
Если изгибания сохраняют главные направления поверхности, то М = 0 для всех поверхностей, представляющих изгибания поверхности Ф. Таким образом, коэффициенты вторых квадратичных форм поверхностей, представляющих изгибания поверхности Ф, являются решениями системы уравнений
LN = - ССии, Lu = 0, Nu = (N + C2L).
Решая эту систему, находим
L = ± , Сии , М = О, N = Т С КфЮ-С*
где ф (о) — произвольная функция.
3.4.44.	Вся сфера. 3.4.45.
3.4.46.	J dv J (VU'juu.du. 3.4.47. 2л. fl «1
3.4.48.	Воспользоваться теоремой Гаусса о том, что площадь сферического изображения области на поверхности равна интегральной кривизне этой области.
3.4.49.	Дважды покрытая сфера.
3.4.50.	Воспользоваться формулой Гаусса — Бонне.
3.4.52.	л + 4г. 3.4.53. л — a2S. 3.4.54. л — S.
/?2
3.4.55.	Первая квадратичная форма геликоида имеет вид ds* = du* + (и* + h*) dv*.
Параметрические уравнения цепной линии
х = К«2 + L*, у — 0, г = h In и-^-У и* h* ,
Уравнение катеноида	________
х = У u2 + /i2 cos v, у = /и2 -|- h* sin v, г = h In “ ц2 h
Легко убедиться, что его первая квадратичная форма такая же, как у геликоида Следовательно, поверхности изометричны. При изометрии асимптотическим линиям поверхности, т. е. прямолинейным образующим v — const и винтовым линиям и = const геликоида, соответствуют меридианы и параллели катеноида (линии кривизны). Поскольку обе поверхности минимальны, то в каждой точке линии кривизны делят пополам углы между асимптотическими линиями. Отсюда и следует утверждение задачи, так как изометрия сохраняет равенство углов.
. т
3.4.59.	Если г = г (и, v)— регулярная параметризация поверхности, а т — ее нормаль, то
dm2 = (mudu + m„dv)8 = m^du2 + 2 (mu, mv) dudv + rn^dv2, dr -<	-> .
= Tj cos q> + t2 sin <p,	(a)
= — k1x1 cos <p — fe2T2 sin q>,	(o)
где Tj ит2 — единичные векторы по главным направлениям поверхно- ;
сти. Умножая (а) на kY и складывая с (Ь), получим	
dm	dr	'
~dT +	kl	-^- =	sin‘P(*i-*2)Ti!,	.
ИЛИ	I
—>	—►	—>
dm + k-jdr = sin <p (kt — fe2) r2ds.
Отсюда (dm 4- k±dr) || т2. Аналогично доказывается, что (dm 4-
+ k2dr) || тх. Таким образом, векторы dm + kjdr и dm-J- k2dr взаимно
перпендикулярны и поэтому (dm 4- kxdr, dm + k2dr) = 0. Следовательно, |
dm2 + (fej 4- k2) (dm, dr) 4- k^dr2 = 0, или
Фз — 2Яф2 +Кф1==0.
3.4.60.	Обозначим координаты точки Р на сфере через х, у, г, а координаты ее образа Р через х, у. Вектори
Р0Р = [х, у, Z—2R) и Р^Р = {х, у, — 2PJ коллинеарны, поэтому
JL = JL = Z-2R	(а)
х у — 2R '
Координаты точки Р удовлетворяют уравнению сферы, поэтому
х2 -|- у2 4- (z — R)2 = R2, или х2 -|- у2 4- (z — 2R) г ~ 0.
На основании (а) последнее уравнение запишем в виде
хх 4- уу — 2Rz = 0.	(Ь)
Из уравнений (а) и (Ь) получим
4/?2х	$R2y
х~ х2 4- у2 4- 4Р2 ’ У ~ х2 4- у2 4- 4#2 ’
~ 2R (X2 4- У‘) х2 4- у2 4- 4R2 '
1Г"
Первая квадратичная форма сферы имеет вид
j*> Г, ,	16/?4 (dx2A-dy2)
ds2 = dx2 + dy2 + dz* =	, 1 . Л,.  .
’	(x2 + у2 + 47?2)2
3.4.61.	Достаточно доказать, что регулярную поверхность в окрестности произвольной точки можно параметризовать так, что ее первая квадратичная форма примет вид
ds* = X (и, v) (du2 + dv2).
3.4.62.	Пусть поверхность образована вращением кривой х = и, у = 0, г = f (и) вокруг оси OZ. Ее первая квадратичная форма
ds2 = (l+/'2(u))du2+uW.	(а.)
Линии и = const являются параллелями поверхности, а ц = const —
V1 +/'а(«) ~ меридианами. Введем новую функцию и, положив du ------------dut
и т. е.
~ f ^] + f'2 (“) и (и) — I ---—— du.
“ и
Отсюда и = U (и) и форма (а) принимает вид
ds2 = U2 (и) (du2 + dv2).
Отнесем плоскость к такой прямолинейной системе координат, относительно которой плоскость имеет уравнение z = h. Тогда ее первая квадратичная форма примет вид ds2 = du2 -f- dv2. Таким образом, ds2 = = U2 (и) ds2.
3.4.65.	а) 4л; б) 2л; в) 4л. (Воспользоваться теоремой Гаусса.)
3.4.66.	При К = 0 поверхностями вращения являются конусы и круговые цилиндры. Пусть К =/= 0. Найдем в плоскости XOZ кривые у, вращением которых образуется поверхность данной постоянной кривизны К ф 0. Пусть уравнение кривой у (не пересекающей оси OZ) имеет вид х = f (и) > 0, у = 0, z = ср (и), где и — длина дуги вдоль у. Легко убедиться, что для полученной поверхности вращения
ds2 = du2 + f2 (и) dv2,
где v—угол поворота кривой у вокруг оси OZ. Гауссова кривизна К. = <см- задачУ 3.4.9). При данном К для / (и) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение
Г («) + Kf (и) = 0.
Интегрируя это уравнение, получим
I a cos У К и -|- b sin РХ и при К > 0, W \ае^~Ки + Ье^~Ки при К. < 0.
Параметр и здесь играет роль длины дуги вдоль кривой, поэтому du* == = dx* + dz*. Отсюда
и
dz = |/ du* — dx*, а г = q> (и) = J V 1 — № (u) du. о
Таким образом, уравнение кривой у принимает вид
х = /(ы), у —о, г~ У К1 — Л2 (и) du, о
где f (и) определена соотношением (а).
3.4.73.	Сопряженные направления du : dv и 6u : бу поверхностей Ф и Ф' определяются соотношениями
Ldu6u 4- М (du8v 4- dv6u) 4- Ndv8v — О,
L'du6u 4- М' (du8v 4- dv&u) 4- N'dv&v = О,
или
(Ldu 4- Mdv) би 4- (Mdu 4- Ndv) 6v = 0, (L'du 4- M'dv) 8u 4- (M'du 4- N'dv) 6v = 0.
Рассмотрим эти соотношения как уравнения относительно би и бу. Система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, что приводит к уравнению
(LM' — L’M) du* 4- (LN' — L'N) dudv 4- (MN’ — M'N) dv* = 0. (aj
He ограничивая общности, можно считать, что исходная система координат на поверхности Ф сопряжена, т. е. М = 0. Дискриминант уравнения (а)
б = (LN' — L’N)* 4- LNM’2.
Если Л > 0, то 6 > 0. Дискриминант 6 можно записать и иначе, учитывая
д
где £Н1 линий,
НИЯХ, линий
V	\
Н2 I _ Л I
J	Г
и йНг — нормальные кривизны Ф в направлениях координатных a k' и йН2 — нормальные кривизны поверхности Ф' в направле-соответствующих по изометрии направлениям координатных поверхности Ф. При
= (LN' + LW)2 — 4L2№ = L2№
дискриминант уравнения (а) неотрицателен. Таким образом, на поверхностях положительной кривизны всегда можно найти общую сопряженную сеть. На поверхностях отрицательной кривизны это можно сделать тогда и только тогда, когда на одной из поверхностей в каждой
точке существует хотя бы одна пара сопряженных направлений Tj и т2 таких, что нормальные кривизны в них связаны с нормальными кри

визнами второй поверхности в направлениях, соответствующих по изометрии Т; и т2, соотношением (Ь)
3.4.75.	В точках неотрицательной гауссовой кривизны Д 0. В гиперболических точках, где нормальные кривизны связаны соот-k
ношением —— + —Ид	2 хотя бы для одной пары сопряженных на-
^н2	^н,
правлений, Д 0; в противном случае Д 0.
3.4.76.	См. задачи 3.4.73 и 3.4.75.
3.4.77.	Геодезические линии поверхности отобразятся в полуокружности (х — х0)2 4- у2 = г2, у > 0, и в полупрямые х — const, у > 0. Указание. Нужно найти экстремали вариационной проблемы:
s Г , с С	1 4" у	, п
6 \ ds = 6 | -----—— dx = 0.
J J У
3.4.81. Указание. Однополостный гиперболоид вращения х2 + у2 — г2 — 1, г> 0, можно параметризовать следующим образом:
x = acosp, z/=asinP, z = K«2—1.
Соответствие точек, задаваемое уравнениями
Р = v 4- arctg и, a2 = u2 + 1, является изометрией.
ГЛАВА 4
§ I и
4.1.1.	Дифференцируя уравнение семейства, находим с =
Подставляя это значение в уравнение семейства, получим его дифференциальное уравнение
,	1 + d2
и =-------
UV
, би
V = -Т---
ои
(а)
Из уравнения поверхности определяем
Хц == 1, у и =— 2и, 2 ц = 2о, xv 1, у у = 2u, Zy = 2u, Хуу = 0, Уии ~ 2, гии = 0, xuv — 0, yuv = 0, zuv = 2, Хуу = 0, (/уу = 2, Zyy = 0.
Отсюда
Е = 1 + 4 (и2 + и2), F = 1 + 8uv, G = 1 + 4 (и2 + и2),
> л V — U ..	. V—и	. V — и
L = 4------ . М — 4-------- N = 4--------
Г ’	U7 ’	W
W = У EG — F2.
Подставляя выражения (а) и (Ь) в условие сопряженности двух лений, получаем искомое дифференциальное уравнение
du _
~du~ L
(Ь)
направ-
Решая это уравнение, находим уравнение семейства линий, сопряженного данному семейству. Имеем
и 4- и = ci,
где Cj — произвольная постоянная.
4.1.2.	k = —4.
4.1.3.	Сеть сопряжена в силу того, что каждый конус, образующие которого касаются кривых вдоль кривой у2, есть развертывающаяся поверхность.
4.1.4.	Условие сопряженности
Ldudu + М (dudv 4- dv&u) + Ndvdv = О
можно записать в виде
(dr, 6п) = (6г, dri) = 0.
4.1.5.	Главные направления.
4.1.6.	Уравнение спрямляющей плоскости кривой у (г = г (s))
(R — г (s), v (s)) — 0.	(а)
Дифференцируя это уравнение по s, имеем
(/? — г, — йт 4- хР) = 0.	(Ъ)
Уравнения (а) и (Ь) определяют характеристику семейства спрямляющих плоскостей (образующую огибаемого торса). Точка кривой у (R = г ($)) принадлежит этой характеристике. Направление характеристики определяется вектором
I = хт +
Это вектор мгновенного вращения трехгранника Френе. Так как характеристики образуют торс, то их направления сопряжены с направлением кривой у.
4.1.7.	Из уравнений поверхности находим коэффициенты второй квадратичной формы;
L —------2h cos v sin v, M —--------2hu,
IT	IT
N -------- Hu2 cos v sin v, W = EG — F2.
Для линий v имеем 6u = 0. Условие сопряженности
Ldudu М (dudv dvdu) 4- Ndvdv = 0
приводит к дифференциальному уравнению искомого семейства:
du	1
-------------sin 2vdv.
и	4
В результате интегрирования этого уравнения находим
4.1.8.	Условие сопряженности имеет вид
fxxdxbx + lxy (dxby -ф- dybx) -ф- i.^dyby = 0.	(а)
Присоединим к нему условие ортогональности проекции:
dxbx -ф- dyby = 0	(b)
(предполагается, что система координат OXYZ — прямоугольная декартова). Исключая из уравнений (а) и (b) 6х, by, находим дифференциальное уравнение искомой сети:
fr.ydx2 +	— fxx) dxdy — fxydy2 = 0.	(с)
В соответствии с общими предложениями теории билинейных и квадратичных форм сеть (с) удовлетворяет условиям (а) и (Ь). Это, впрочем, легко проверить и непосредственно.
4.1.9.	1) х = с, у = с, — координатные линии на плоскости XOY',
2) у ± х = с — линии, параллельные биссектрисам координатных углов на плоскости XOY;
3) у ± х = с; 4) х = с, у = С]^; 5) у + х — с;
I
6)	У = — х + с, у = — 2х + сг; 7) х = с, у = сх.
4.1.10.	Уравнение (с) задачи 4.1.8 должно выполняться для произвольных dx, dy. Следовательно,
fxx ~ fyy< txy = 0.
Тогда f (х, у) — а (х2 -ф- у2) -ф- Ьх -ф- ЬАу -ф- с, где a, b, blt с — постоянные.
4.1.11.	Если криволинейные координаты соответствующих точек двух поверхностей одинаковы, то условия сопряженности на них имеют вид
Ldubu + М (dubv -ф- dvbu) -ф- Ndvbv = 0,
Lxdubu -ф- (dubv -ф- dvbu) 4- N^dvbv — 0.
Из того, что одно равенство влечет за собой другое для любой пары взаимно сопряженных направлений, следует пропорциональность коэффициентов вторых квадратичных форм поверхности.
4.1.12.	Для такой поверхности f = 0 => f (х, у) = а (х) -ф- р (у).
4.1.13.	В этом случае (хх =	=> f (х, у) = <р (х -ф- у) -ф- ср (х — у).
4.1.14.	Имеем
r*i = Г( + Хм- => b*f = — (г *, nj) = b{/ — X (щ, nj) =
= bij -	= bij - ^bilbjm&lm
/dr* -► dr -» dn \
i r, =-----— , Г/ = —- , n: =------r- .
\ du1	du1	du1 /
Для совпадения сопряженных сетей должно выполняться условие
Ь*И = (\-КК)ЬЧ	(а)
(см. задачу 4.1.11). Множитель пропорциональности обозначен здесь через 1 — hk. Из (а) следуют искомые равенства.
x2	j/2	z2
4.1.15.	Имеем F (x, y, z)^—~ +	---------;----1 =0, где a>
a2	b2	c2
> b,— каноническое уравнение гиперболоида. Известно, что плоскости
где h — параметр, пересекают гиперболоид по окружностям. Внутренние уравнения двух семейств таких окружностей получим, подставив в последнее уравнение вместо у и г их значения из уравнений гиперболоида
V а2 — Ь2 (и — v) ± Ко2 с2 (1 — uv) = h (и -J- о).	(Ь)
Диаметр, сопряженный диаметральной плоскости Ах + By + Cz 4-4- D = 0, имеет уравнения
Fx	Fy _ Fz
А	В С ‘
В данном случае эти уравнения таковы (см. (а)):
1 1 1
а2 Х Ь2 У	с2 2	. .
------- == ---- = ___________________ (CI
0	\ а2 —Ь2
b
f а2 + с2 с
Этот диаметр есть прямая, полярно сопряженная относительно гиперболоида с той бесконечно удаленной прямой, по которой пересекаются плоскости (а). (Разумеется, для каждого знака имеется свой диаметр.) В соответствии с этим каждый конус, касающийся гиперболоида по окружности, имеет вершину на этом диаметре (вершина конуса является полюсом плоскости, в которой расположена окружность). Уравнение любой плоскости, проходящей через диаметр (с), имеет вид
Хх 4---У^а2 с2у ± — Vа2 — b2z = 0,
b	с
где X — параметр, а уравнение линий пересечения ее с гиперболоидом таково:
X (1 + uv) Va2 + с2 (и — V) ± Ya2 — b2 (1 — uv) = 0.	(d)
Системы (b) и (d) одновременно для верхних или для нижних знаков есть сопряженные системы Кенигса.
4.1.16.	Радиус-вектор произвольной точки на касательной к линии и можно записать в виде
Ft = г + Хгы.
При перемещении точки М (г) в направлении линии v точка Ft должна описывать кривую, касательная к которой параллельна вектору ги:
(ro + Xurи Xruu) || ги.
Ио
ruv — Г|2Ги 4“ 1'12^0
HF"
(&12 = M. = 0 в силу сопряженности координатной сети). Следовательно,
1 4- ЛГ?2 = о,
а потому
= Г — "ТТ" Ги. 112
Аналогично находим радиус-вектор фокуса на второй касательной
- 1 -
Р2 = Г — "рГ Г«-
1 12
4.1.17.	Имеем сопряженные направления
dv t 6v L с
ИГ ~Г’ ~бй jV/" ~
так как в сопряженной сети координат М = 0. Имеем также произвольную точку на касательной к линии заданного семейства
Ф = г + X (ги -ф- rDf).	(а)
Дифференцируем вектор-функцию Ф в сопряженном направлении fa
ги + rvfi 4~ (}-и 4~ ^-vfi) (ги + rvf) 4- A (rUu 4* ruu (f 4* Л) 4~
+ rwffi 4- rv (fu 4" fvfi)) — ru (14* А (Гц -ф- r}2 (f 4* fi) 4-	4*
4- rv (fi 4- А (Гц 4- r22 (/ 4- fa 4- -ф fu 4- fvfi)) 4-
+ (Ki 4- Wi) (ru 4~ rvf)-
Если точка Ф есть фокус, то полученный вектор должен быть параллелен вектору ги 4- rvf. Поэтому
f (1 4- А (Г*, + Г}2 (/ + fa + Г’2О -
- fi - А (Гц 4- Г?2 (f 4- fi) 4- Г222/А 4- fu 4- fvfi) = 0.
Найдя отсюда А и подставив его значение в (а), получим радиус-вектор фокуса:
ф = 74- f {ги 4- 7„/),
где
h = f (Th 4- г}2 (/ 4- fa + Г22ДХ) - (Гц 4- г22 (/ + fa 4-
4-	P^ffi 4- fu 4- fvfi)-
Точка Ф лежит на прямой РгРг (прямая /), если выполняется равенство
h~f	f fi~f
h	' h
или
Z (Г}, + К (2Г}2 + Г’2Л) - (Гц + f (2Г[2 + Г|2ЛЛ --(/и+Ш=о.	(Ь)
Таково условие для функции f, при выполнении которого точка Ф лежит на прямой I. Аналогичное условие получим, поменяв местами f и fi-
fl (Г*, + f (2Г‘2 + Г’^)) - (Г?! + К (2Г*2 + Г|2/)) -- (Л« + fivf) = 0.	(с)
Следует помнить, что ffx = —Условие совместности уравнений (Ь) и (с) приводит к определенным ограничениям на форму поверхности. Следовательно, не на всякой поверхности требуемое условие выполняется.
4.1.18.	Поскольку при L = N — 0 для сопряженных направлений f\ = — /, то требуемое доказано.
4.1.19.	Идентифицируя координаты соответствующих точек на поверхностях, имеем
Ldubu 4- М (dubv -j- dvbu) + Ndvbv = = A (Eydubu + Fx (dubv + dvbu) -f- G^dvbv), L^dubu + (dubv dvbu) +	==
= |.i (Edubu -f- F (dubv -}- dvbu) Gdvbv), где Л, p — множители пропорциональности. Отсюда ___________________________N Lx	Nx - A7! ~ Gj ’ E ~ F ~ G •
4.1.20.	Векторы ru = а' (и) и rv= b'(v) не изменяются соответственно при изменении v и и.
4.1.21.	Предполагая существование такой поверхности, отнесем ее к этой сети. В этом случае М = 0; Гц = Г22 = 0 (см. решение задачи 4.4.39). Подставим эти значения в уравнения Гаусса и Питерсона — Кодацци. Получим систему из пяти уравнений (включая уравнения Гц = Г22 = 0) с частными производными с пятью неизвест-274
ними функциями:
- FEU + 2EFU — EEV = О,
— FG„ + 2GFV — GGU = 0,
Lo = — r}2t,
^ = -rf2w, /11	x	<a)
/дГ2	дГ] . „\
LN = - f -------------+ Г 2Г?2 -
\ ou dv	1	12 12 /
/ дГ2	\
~ °	+ (Г12)2 ~ ГНГ>’) '
He решая вопроса во всей его общности, приведем пример, доказывающий существование решения системы (а). Пусть
Е = G = f (и + v), F = <р (и + о), L = а {и + о), N = [5 (и + о).
Тогда из системы (а) находим
2/<р' - /'<р - ff’ = 0,
(In а)' =--—-------— (ff — <р/') = — —-—- ,
2 (/2 — ф2)	2 (/ + ф)
(in и' =———!—— (fr — ф/э = —	- >
2 (р — ф2)	2 (/ + Ф)
аВ = _ Ф (_!_ (—М'- —	+ f'L ) _
Р Л 2 \ / + ф )	2\ Р — ф2 / '4 (/ + ф)2)
_ f f 1 ( f У 1 Iff - w + г >	f'2
' \ 2 \ f + Ф /	4 \ Р — <р2	// + ф’Г4(/ + ф)2У>
Если предположить еще, что а = Р, то получим два обыкновенных дифференциальных уравнения (из которых одно — третьего порядка), содержащих две искомые функции / и ф. Решение существует. Правда, необходимо еще исследовать, будет ли это решение действительно.
4.1.22.	Решение аналогично решению задачи 4.1.21. Только здесь вместо первых двух уравнений системы (а) задачи 4.1.21 имеем уравнение
F2 = A2£G, А = const.
4.1.23.	Не существует, если поверхность не является цилиндром. Действительно, пусть
г = а (и) b (v) — поверхность переноса.
Тогда угол сети переноса со определяется равенством
(а' (и), Ь' (и))	.	. .
cos w = —— = const.	(а)
I °-' («) I I b' (v) |
Пусть в прямоугольной декартовой системе координат векторы а и b заданы своими координатами: а = jx,, 4ц,zj, b = {х2, у2, г2]. Тогда равенство (а) запишется в виде
»1«2 +	+ Y1Y2 = const,
где
Х1	х2
а, = —т====-, а, = —-г -	......
-1/ ,2	,2	,2	2 -I Г ,2	,2	,2
|/	+ У\ + 4	у х* + у2 4- г2
Однако последнее возможно лишь тогда, когда ах (и), (4 (и), ух (и) или а2 (а), р2 (W у2 (о) — постоянные. Это означает, что
а = иа0 или b = vba,
где а0, Ьо — постоянные векторы. Следовательно, поверхность переноса является цилиндрической.
бу
4.1.24. Направление = flt сопряженное к направлению f, определяется равенством
6v L+fM би “ M + fN • dv	8v
Тогда угол 0 между направлениями f =------ и Л = —— находим по
du	ои
формуле
cos е = _. Vе + 2Ff + Gf2 у Е + 2Л/, + Gf]
В частности, если поверхность отнесена к линиям кривизны (F — = М = 0), то формула принимает вид
.	EN — GL
cos 0 = —	-		- ____- /.
Ve + Gf2 vN2Ef2 + GL2
Сеть ортогональна (при любом выборе /) только тогда, когда имеет место равенство
EN— GL = 0.
Это характеризует сферу (учитываем равенства F = М. — 0).
4.1.25. Имеем xuu = yuv = zuv = 0 => М = 0, т. е. координатная сеть сопряженная. Поскольку (ruuu, ruu, ru) = (rvvv, rvv, rv) = 0, to координатные линии плоские.
§2
4.2.1.	Дифференциальное уравнение асимптотических линий имеет вид
(г/<р" (х) + ф" (х)) dx2 2ф' (х) dxdy = 0.
Решая это уравнение, находим
х = Clt у = -	- — [с2 — sign ф' (х) С------ —---six'] ,
Г|т'(х)| I	J 2Г|ф'(х)| /
где Сг и С2 — произвольные постоянные.
4.2.2.	Дифференциальное уравнение асимптотических линий имеет вид
. dy .. / dy V »	/ dy \2
у2 —2ху——+х2—— = 62+а2 —- .
dx \ dx /	\ dx /
Отсюда	_____________
dy	Г 1.1 , »I dy \2
у = х ± 1 / 62 + а2 —— .
dx у	\ dx )
Получили уравнение Клеро, решая которое, находим
y = C1x+]/<62+a2C2,
у = С2х —]/ГЬ2 + a2C%,
где С\ и С2 — произвольные постоянные.
Замечание. Асимптотическими линиями являются прямолинейные образующие однополостного гиперболоида.
4.2.3.	Дифференциальное уравнение асимптотических линий
Г (х) dx2 - f" (у) dy2 = 0.
Асимптотическая сеть на поверхности ортогональна (следовательно, поверхность минимальна), если для функции f при всех х и у выполняется равенство
Г (х) Г (у) 1+/'2(х)	1+/'2(у)‘
Отсюда следует, что
г w _ „ г (У) ... „ л -------- О')	п ----
1 + Г2 (х)	1 + Г2 (у)
где а = const. Решая эти уравнения, находим
f (х) = tg (ах + b), f (х) --— In | cos (ах + 6) | + с,
Г (у) = tg (ay + b), f (у) =-—In I cos (ay 4-6)1 +с,
a
где b ~ const, c — const. Уравнение искомой поверхности имеет вид
1_ ] I COS (ay + 6) I a J cos (ax + 6) j
4.2.4.	Дифференциальное уравнение асимптотических линий
xydx2 + (х2 — у2) dxdy — xydy2 = 0.
Отсюда
xdx — ydy — 0, xdy + ydx = 0.
Решая эти уравнения, находим асимптотические линии
х2 —у3 = С1, ху = С2,
где С\ и С2 — произвольные постоянные.
вид
вид
Уравнения асимптотических линий, проходящих через Мо, имеют
х2 — у2 + 3 = 0, ху = 2.
4.2.5.	Дифференциальное уравнение асимптотических линий имеет
Г (X) dx2 _|_ te) dy2 = 0. уравнение можно рассматривать как дифференциальное уравнение
Это
проекций асимптотических линий на координатную плоскость OXY. Г (х)
Условие, чтобы они были ортогональны, следующее: 1 „	= —1. От-
сюда
f” (х) = — <р" (у) = а,	(а)
где а = const. Решая дифференциальные уравнения (а), находим искомые функции
f (X) = —-------------И ЬгХ + <?!,
а//2
Ф (у) =------------j-----h b2y + с2,
где blt сх, Ь2, с2 — произвольные постоянные. Уравнение искомой поверхности имеет вид
a
z = — (X2— Z/2) + ijX + b2y 4-С1 + c2.	(b)
Выбирая соответствующим образом начало координат, уравнение (Ь) можно привести к виду
г = ~ (х2 — У2),
т. е. получаем гиперболический параболоид.
4.2.6.	Дифференциальное уравнение асимптотических линий имеет вид
/ JL V- + —У- = 0
\ dx ) х dx ~ х2
Отсюда находим две системы асимптотических линий:
у = сгх3 и у = с2х.
4.2.7.	Дифференциальное уравнение асимптотических линий по-
верхности z = ф имеет вид
^2хф’ dx + ф’	— Х^У)] (ydx — xdy) = 0.
Это уравнение можно рассматривать как дифференциальное уравнение ( У \
проекции асимптотических линии поверхности г = ср I -— I на коорди-
натную плоскость OXY Одно семейство асимптотических линий ydx — — xdy = 0 всегда проектируется в семейство прямых Ах + By = 0 (А2 + В2 =/= 0) независимо от вида функции ср. Второе семейство асимп-
готических линий проектируется в линии, описываемые дифференциальным уравнением
откуда находим
х2 = C<p' > С — const.	(а)
Таким образом, задача сводится к нахождению такой функции ф чтобы уравнение (а) было тождественно уравнению
х2 + у2 = ау.	(Ь)
Введем новые переменные
У	2
и = -х— , v = х2.
х
Тогда уравнение окружности (Ь) запишется в виде
а2и2
V~ (1 + «2)2 ’
а уравнение (а) примет вид
v — Сф' (и).
Для определения искомой функции имеем уравнение , , . а2и2 ф (М) ~ С(1 + и2)2 '
Интегрируя его и переходя к старым переменным х и у, находим
ф НН=4- (arctg -f- -
Остальные асимптотические линии из той же системы, одна из которых проектируется в заданную окружность х2 + у2 = ау, проектируются при этом в окружности х2 + у2 = by, где b — произвольная постоянная.
4.2.8.	Дифференциальное уравнение асимптотических линий имеет вид
sin 2ydx2 4- 4 cos 2ydxdy —• 4 sin 2ydy2 — 0.	(a)
Из этого уравнения при Л/ = 0 находим sin 2у — 0, откуда У ~ пп’ где п = 0, ±1, ±2, ... . Исключая этот случай, из уравнения (а) имеем / dx \	dx
4^-1	4 ctg 2у 4—- — 4 = 0.
\ dy ) '	dy
Решая полученное дифференциальное уравнение, находим
х = Су — In cos2 у, х = С2 — In sin2 у, где и Cj — произвольные постоянные.
4.2.9. х = С1У, у2-
1
У2
— Са.гдеСх иС2 — произвольные
посте*
янные.
4.2.10. и + v = С1( и — v = С2, где Cj и С2 — произвольные постоянные.
4.2.11. Записать уравнение геликоида в виде
г = {u cos о, и sin о, av).
Тогда уравнения асимптотических линий имеют вид и = Сх, v = С2, где Сх и С2 — произвольные постоянные. Линии и = С\ являются винтовыми, а линии v = С2 — прямолинейными образующими геликоида.
4.2.12.	Воспользоваться дифференциальным уравнением асимптотических линий.
4.2.13.	Воспользоваться результатами задач 3.3.26 и 3.3.36, а также дифференциальным уравнением асимптотических линий.
4.2.14.	Воспользоваться равенством
,	,	Ldu2 + 2Mdudv 4- Ndv2
k„ = k COS ф = -8	•
H	Edu2 + 2Fdudv + Gdv2
где ф — угол, образованный главной нормалью кривой и нормалью к поверхности, kH и k соответственно нормальная и обыкновенная кривизны кривой
4.2.15.	Условие сопряженности двух направлений (du : dv) и (6u : 6о) допускает компактную запись
(dr, 8т) = 0 или (8r, dm) = 0,
а для асимптотического направления (du : dv) имеем (dr, dm) = 0, где т — единичный вектор нормали к поверхности.
4.2.16.	Для того чтобы доказать, что в окрестности гиперболической точки поверхности всегда может быть введена параметризация, при которой координатные линии являются асимптотическими, достаточно воспользоваться дифференциальным уравнением асимптотических линий
Ldu2 + 2Mdudv -f- Ndv2 = 0
и учесть при этом, что в гиперболической точке выполняется неравенство LN — М2 < 0.
4.2.17.	Дифференциальное уравнение асимптотических линий имеет вид
2du2 — и2 du2 — 0.
Отсюда находим
u = Cie^, u=C2e~^.
Проекциями асимптотических линий на координатную плоскость X0Y являются спирали
V	V
х = cos v, х = Сле ^^cosv, V	v
 р = Cje^ sin и, 'у = Сае ^^sinu с асимптотической точкой в начале координат.
4.2.18.	Дифференциальное уравнение асимптотических линий имеет вид
Отсюда
и — Crev, и = С2е~°.
Проекциями асимптотических линий на координатную плоскость XOY являются логарифмические спирали
{х —	cos v,	I х = С2ё~° cos v,
у = Cxev sin v,	I у = C2e~v sin v.
4.2.19.	Дифференциальное уравнение асимптотических линий имеет вид
f" (и) du2 + uf (и) dv2 = 0.
Отсюда находим
,=	С1_(	a = c2 + f	u = a,
1 J ’ uf (и)	1 J r uf (u)
где Cx и C, — произвольные постоянные, f (a) = 0, a =/= 0.
4.2.20.	Дифференциальное уравнение асимптотических линий имеет вид
(— 2 sin nvdu + ип cos nvdv) dv = 0. Отсюда находим
v = Clt u2 — C2smnv, где Cj и С, — произвольные постоянные.
4.2.21.	Дифференциальное уравнение асимптотических линий имеет вид
(4 sin v cos vdu — (и2 — 1) dv) dv = 0.
Отсюда находим	_____ ___________
Kl cos и | + С2 К| sin а |	_
v •— i > 14 — '	''	'	— у U —— —1 f
У | cos v | — C2 Kl sin v |
где C\ и C2 — произвольные постоянные.	_
4.2.22.	Уравнения асимптотических линий поверхности имеют вид u-fv = C1, и — v = C2, где Сх и С2 — произвольные постоянные.
4.2.23.	Дифференциальное уравнение асимптотических линий имеет вид
(1 + п2) du2 — 2dv2 — 0.
Решая это уравнение, находим
t»=sh/<71-f-----v = shfc2----------
\	/2 )	К2 )
где Сх и С2 — произвольные постоянные.
4.2.24.	Перейдем к новой параметризации поверхности, положив х = и cos v, у = и sin V.
Тогда уравнения данной поверхности примут вид х = и cos v, у = и sin v,
а дифференциальное уравнение асимптотических линий поверхности запишется таким образом:
Решая данное уравнение, находим V	V
и = Сге , и = С2е .
Параметрические уравнения этих линий примут вид
V
X — C]S	cos V,
V
у = Сге	sin v,
Чу
г = С^\
4.2.25. Уравнения поверхности ся следующим образом:
у
х = cos v,
V
у = С2е^$ sin v,
Чу
г = С^е
в параметрическом виде запишут-
к = — (cos и + cos v), у = — (sin « + Sln в).
z= -у («+ v),
а дифференциальное уравнение асимптотических линий этой поверхности имеет вид
du2 — dv2 = 0.
Отсюда находим
u-\-v = C1, и — v = C2, где С\ и С2 — произвольные постоянные.
4.2.26.	Дифференциальное уравнение асимптотических линий имеет вид
у cos xdx2 2 sin xdxdy = 0.
Решая это уравнение, находим
x — Clt z/2sinx = Ca,
где Cj и Сг — произвольные постоянные.
4.2.27.	Дифференциальное уравнение асимптотических линий имеет вид
dx2	dy2 _
а2	b2 ~
Решая это уравнение, находим X . у	X	у	О
—Ь -4- =	------т- = ₽>
a b	а	Ь
где а и Р — произвольные постоянные. Тогда параметрические уравнения гиперболического параболоида, отнесенного к асимптотическим линиям, запишутся таким образом:
х = -^- (а+ ₽), У= 4-(«- ₽), 2 = 4" аР-
4.2.28. Проверкой убеждаемся, что оба семейства указанной поверхности. Дифференциальное уравнение
линий лежат на асимптоти ческих
линий поверхности г =
1)
1 +х2
имеет вид
2xdxdy + & (1	** dx2 = 0.	(а)
Уравнения заданных семейств линий в криволинейных координатах хну можно записать соответственно так:
х = а,	(Ь)
b (1 4- х2)
(с)
Проверкой убеждаемся, что (Ь) и (с) являются решениями дифференциального уравнения (а).
4.2.29.	Дифференциальное уравнение асимптотических линий имеет вид
y*dx2 — x*dy2 = 0.
Одно семейство асимптотических линий определяется уравнением
z/ + х = Crxy,	(а)
а второе семейство уравнением
У — х = С2ху,	(Ь)
где Сх и С2 — произвольные постоянные. Уравнения асимптотических линий (а) и (Ь) можно записать еще таким образом:
(у + х — Cjxy = 0,	[ у — х — С2ху = 0,
I хуг — (у — х) Ci = 0, \хуг — (у + х) Сг = 0.
В параметрической форме
х = t,
У = Crt—X '
СЛ2-С,/)
х = t,
У== i-ctt ’
= C2(2-C2Q
4.2.30.	Проверкой убеждаемся, что оба семейства линий лежат на указанной поверхности. Дифференциальное уравнение асимптотических линий поверхности г — ху2 имеет вид
(2ydx xdy) dy — 0.
Линии семейства в криволинейных координатах х, у можно записать следующим образом:
у = а и х2у — Ь.
4.2.31.	Пусть поверхность задана уравнением z= f (х, у). Тогда дифференциальное уравнение асимптотических линий этой поверхности имеет вид
j 2 t о д2г	daz , 2 п
 Я-Я- dx2 + 2  - dxdy 4- а- „ dy2 = 0, дх2	дхду	ду2
или
dpdx 4- dqdy = 0, где
дг	дг
Р ~~ дх ’ ду ‘
Перейдем к полярно-цилиндрическим координатам:
Тогда
х = г cos <р, у = Г sin ф, 2 = 2.
дг дг	1 дг .
р = — = -=— cos ф-----------з— sin ф,
г дх дг	г <3ф
dx = cos ф</г — г sin фг/ф,
,	[ д2г	1 дг	д2г sin ф \ . ,
dp ~ -д 2 cos ф 4-j- -j— sin ф-ч-s-2- dr 4-
у дг2 т 1 г2 дф	drdq г I
, / д2г	дг .	1 д2г	1 дг \ .
+(-Wcos<p“^-SIncp~“^’sln<p_“'Wcos<p) ф>
Из первых двух равенств системы (а) легко видеть, что произведение dqdy получается из dpdx путем замены ф на ------ф и, следовательно,
дг дф
на
Оф
. Дифференциальное уравнение асимптотических линий в
полярно-цилиндрических координатах запишется следующим образом:
2 г
д2г	/ д2г
44-dr2+ 2
дг2	I огоф
дг д<р
дг дг
д2г \
Эф2 j
dф2 = 0.
4.2.32.	Введем полярно-цилиндрические координаты
{х = г cos <р, у = г sin q>, г = г.
Тогда уравнение поверхности примет вид
г = ± V~r.
Воспользовавшись дифференциальным уравнением асимптотических линий в полярно-цилиндрических координатах (см. решение задачи 4.2.31) для данного случая, получаем
dr2 — 2r2dtp2 = 0.
Отсюда находим
г =с1е^2'Р> г =
где С, и С2 — произвольные постоянные.
4.2.33.	Уравнение поверхности в полярно-цилиндрических координатах можно записать следующим образом:
z = гф cos ф + г sin ф In г.	(а)
Дифференциальное уравнение асимптотических линий поверхности (а) имеет вид
sin фйг2 + 2г cos ф^г<1ф — г2 sin фЛр2 = 0, откуда
sin фг/г г (cos ф + 1) dtp = 0 и sin tpdr + г (cos ф — 1) dtp — 0.
Решая эти уравнения, получим
(1—cos ф) г — Си	(Ь)
(1 + cos ф) г = С2,	(с)
где Cj и С2 — произвольные постоянные. Асимптотические линии на данной поверхности определяются пересечением ее двумя семействами параболических цилиндров с образующими, параллельными оси OZ, и направляющими, которые в плоскости z = 0 определяются уравнениями (Ь) и (с).
4.2.34.	Дифференциальное уравнение асимптотических линий поверхности, заданной уравнением z = f (ху), имеет вид
2/' (ху) dxdy + Г (ху) (ydx + xdy)2 — 0.	(а)
Пусть ху — t. Тогда уравнение (а) запишется следующим образом:
2/' (t) (xdt — tdx) dx -ф- x2f" (t) dt2 = 0.	(b)
Уравнение у — cxn можно рассматривать как уравнение линий на поверхности z — f (ху) в криволинейных координатах х и у. С переменными х, t это уравнение имеет вид t = схп+'1. Для того чтобы эти линии были асимптотическими линиями поверхности z = f (ху), необходимо, чтобы для них выполнялось равенство (Ь). Тогда для функции f (t) получаем следующее дифференциальное уравнение:
(n+ I)2 if" (t) + 2nf (t) = 0.
Решая это уравнение, находим
/(0 = с/"+”’ +С2> пЧ-1
г = С1(ху)("+1)* + С2.	(с)
Другое семейство асимптотических линий в криволинейных координатах находим из уравнения (а), учитывая равенство (О:
х = суп,
где с — произвольная постоянная.
4.2.35.	Первый способ. Касательная плоскость к образованной поверхности в каждой точке кривой у является соприкасающейся плоскостью кривой у. Следовательно, у — асимптотическая линия поверхности.
Второй способ. Записав уравнение поверхности Ф в виде
г (s, v) — р (s) 4- vv (s),
где р = р (s) — уравнение кривой у, a v (s) — орт ее главной нормали, доказать, что v = 0 является решением дифференциального уравнения асимптотических линий поверхности Ф.
4.2.36.	Первый способ. Пусть <р — угол между двумя направлениями (du : dv) и (6u : 6о) на поверхности. Тогда
| (dr, 6г] | tg ф = -! _> J = (dr, dr)
VEG — F2 ( — ' dv
ди \ dv '
du ди dv dv
Направления (du : dv) и (ди : dv) асимптотических линий поверхности определяются из квадратного уравнения
Ldu2 + 2Mdudv 4- Ndv2 = 0.
Поэтому для асимптотических линий на поверхности имеем
_ 2 КДО — F2 VM2 — LN
tg ф EN — 2FM 4- GL ~ H
Отсюда находим
К = - tg2 <p • №.
Второй способ. Примем за координатную сеть на поверхности сеть, состоящую из асимптотических линий. Пусть <р — угол между асимптотическими линиями. Тогда
F „	— М2 „	— FM
cos ср = 	 , К =	, Н =	.
V EG	EG — F2	EG — F2
Из этих равенств находим cos2 tp =
И2
Н2 — К ’
откуда
К = — tg2 <р • Я2.
4.2.37.	Сначала докажем, что каждая из рассматриваемых асимптотических линий у является прямой. Предположим противное. Тогда, учитывая тот факт, что сферическим образом асимптотической линии у является большая окружность, приходим к выводу, что нормали к поверхности, а следовательно (см. задачу 4.2.14, в)) бинормали линии у, параллельны фиксированной плоскости (плоскости большой окружности сферического образа у). Пусть п — const — нормаль к этой плоскости. Тогда вдоль у имеем
(₽ (s). п) = 0.	(а)
Дифференцируя это равенство вдоль у и учитывая при этом формулы Френе, получим
х (s) (v (s), п) = 0.
Поскольку х (s)	0, ибо в противном случае р (s) был бы постоянным
вектором, а следовательно, сферическим образом линии у была бы точка, то
(v (s), л) = 0.	(Ь)
Из равенств (а) и (Ь) следует, что
т (s) = [v (s), р (s)] = ± п = const.
dx ->	-»
Отсюда -----= k (s) v (s) = 0, поэтому k (s) = 0, что противоречит
ds
сделанному предположению. Из сказанного выше следует, что Ф — линейчатая поверхность. Поверхность Ф не может быть развертывающейся поверхностью, так как тогда сферическим образом ее прямолинейной образующей была бы точка. Следовательно, Ф — косая линейчатая поверхность.
4.2.38.	Воспользоваться тем, что вдоль асимптотического направления
(di-, dm) = 0.
4.2.39.	Если на поверхности координатная сеть является асимптотической, то
L (и, v) — N (и, v) = 0,
а формула для гауссовой кривизны и уравнения Петерсона — Кодацци принимают вид
„ -м*
Л EG — Е2 ’
2 (EG - F*) Ми — (2F (Ео - Fu) - (EGa - GEU)) М = 0,
2 (EG - F2) Mv + (2E (Fv - Gu) - (EGV - GEV)) M = 0.
4.2.40.	За координатные линии взять асимптотические линии поверхности и воспользоваться результатом задачи 4.2.39, а также фактом: для того чтобы координатная сеть на поверхности была сетью Чебышева, необходимо и достаточно, чтобы
Еи — Gu = 0.
4.2.41.	Пер вы й способ. Введем на поверхности параметризацию, приняв за координатные линии и и v асимптотические линии. Поскольку асимптотическая сеть на поверхностях постоянной гауссовой кривизны является сетью Чебышева (см. задачу 4.2.40), то асимптотические линии и = const и v = const можно выбрать так, что первая квадратичная форма поверхности примет вид
ds2 = du2 + 2 cos u>dudv -|- dv2,	(a)
где <в (u, v) — угол, образованный координатными линиями. Тогда по формуле Гаусса, § 4, гл. 3, выражающей полную кривизну поверхности через коэффициенты первой квадратичной формы, имеем
К =	1 д2ц>
sin и dudv
Воспользовавшись этой формулой, для площади четырехугольника, расположенного на поверхности постоянной кривизны, ограниченного координатными линиями и = ult и = и2, v — vlt v = v2, получим
V2 u2	t>2 u2	v2	u2
S = J ]'EG	— F2 dudv	= J J sin atdudv =---J J	dudv —
U, U,	V, U,	V,	u,
= | К Г1 (to (u2, V2) — to («1, v2) — CO (U2, Oj) 4- to («!, Vi)).
Если обозначить внутренние углы четырехугольника через ап а2, а3, а4, то
S = | К I-1 (а, + а2 4- а3 4-	— 2л).
Второй способ. Аналогично первому способу решения выберем на поверхности в качестве координатных линий ее асимптотические линии. Тогда при такой параметризации поверхности, учитывая, что ее кривизна постоянна, первую квадратичную форму можно привести к виду (а). В этом случае
Е (и, v) = 1, F (и, v) = cos со (u, v), G (и, v) — 1.
Затем, воспользовавшись формулой Гаусса — Бонне
4	4
У, j" kgds + У (я — аг-) = 2л — J j" Ado
1=1	1=1	(СТ)
и формулами для вычисления геодезической кривизны координатных линий, полученных в решении задачи 4.4.39, придем к требуемому результату.
4.2.42.	Отнести поверхность к асимптотическим линиям и воспользоваться формулой для средней кривизны поверхности.
4.2.43.	Средняя кривизна прямого геликоида равна нулю, поэтому он является минимальной поверхностью. Пусть Ф — минимальная линейчатая поверхность. Тогда, согласно утверждению задачи 4.2.42, на такой поверхности сеть асимптотических линий ортогональна. Поскольку прямолинейные образующие являются асимптотическими линиями, то другое семейство асимптотических линий поверхности Ф представляет собой семейство их ортогональных траекторий. Для каждой из этих траекторий прямолинейная образующая является главной нормалью, так как она перпендикулярна к нормали поверхности, ко
торая совпадает с бинормалью траектории. Таким образом, все ортогональные траектории имеют общие главные нормали, т. е. являются кривыми Бертрана, допускающими существование бесчисленного множества сопряженных. Но такие линии являются винтовыми. Следовательно, поверхность Ф образована главными нормалями винтовой линии, а поэтому и есть прямой геликоид.
4.2.44.	Дифференциальное уравнение асимптотических линий имеет вид
bduz 4- (а b cos u) cos udv2 = 0.
Решая это уравнение, находим
„	~ С	du	л _ Зл
v = Q + Vb I .-------—। -----------, -л- < « < 2 .	(а)
J У — (а Ц- b cos u) cos и 2	2
_ f	du	л	Зл
и — С2 fb I г.—-—। ---------------- , о <--и <~ о ’	О’)
J У — (а + о cos и) cos и 2	2
л	Зл
и = — , и = —— ,
где Ci и С2 — постоянные интегрирования. Линии и = -2- и и = огибают семейства асимптотических линий, заданных уравнениями (а), (Ь).
4.2.45.	Принять сеть асимптотических линий поверхности Ф за координатную сеть и воспользоваться формулами
L = аЕК + (1 — 2аН) L, N = aGK + (1 — 2аН) N,
где а — расстояние между поверхностями Ф и Ф, а также утверждением задачи 4.2.12, в).
4.2.46.	Воспользоваться утверждениями задачи 4.2.15 и тем фактом, что понятие сопряженности носит проективный характер. Можно воспользоваться также утверждениями задач 4.2.14 и 3.4.78.
4.2.47.	Указанная область представляет собой развертывающуюся поверхность, отличную от плоской области.
4.2.48.	Первый способ. Согласно условию задачи, кривизны асимптотических линий в их общей точке отличны от нуля. Поэтому в данной точке асимптотические линии имеют вполне определенную общую соприкасающуюся плоскость, которая является касательной плоскостью к поверхности. Следовательно, бинормали асимптотических линий в их общей точке являются нормалями к поверхности и имеет место равенство т = ± Р, где [J — единичный вектор бинормали асимптотической линии, ат — единичный вектор нормали к поверхности. Дифференцируя это равенство по дуге асимптотической линии и принимая во внимание формулы Френе, имеем
dm	dB	-»	. ,
-т- = ±	-р-	=	Т	XV,	(а)
as	as	.
где v — единичный вектор главной нормали асимптотической линии. Из равенства (а) находим
2 _ (dm, dm) <ps	_.
Х “ ds3 ~
Поскольку в асимптотическом направлении <р2 = 0, то из равенства — 2/7ср2 + <рз = О, связывающего между собой квадратичные формы поверхности, получаем
Тогда из равенства (Ь) находим
х2 = -К = |К|, поскольку К < 0.
Второй способ. За координатные линии на поверхности возьмем ее асимптотические линии. Тогда
Кручение асимптотической линии и, т. е. линии v = const, вычисляем по формуле
х (и) = J^.juu.juuu) _	(d)
\ги, гии\г
Из деривационных формул поверхности, учитывая равенства (с), находим
гии = Гц ги Гц rv = Гц rh
гиии — (Г„)и ги + Гп гии (Гц)ц rv 4* Гц (Г}2г„ 4" Г^2го Мт) =
/ дГ1	\
= (^ + Г^Ч-Г^щ.	(е>
Подставляя в формулу (d) вместо гии и гиии их выражения из равенства (е), получаем
М	/ М*	,---
х (и) = —г— — - = 1 / -рс,---гт sign М = У — К sign М.
Veg — f* у eg —
Аналогично находим кручение асимптотической линии v, т. е. линии и = const. Имеем
и (v} = >	= —	=	(- sign уи).
Третий способ. Вдоль асимптотической линии выполняется равенство
Р = ет,
(0
где е2 == 1, Р — единичный вектор бинормали асимптотической линии, т — единичный вектор нормали к поверхности. Дифференцируя это равенство по дуге асимптотической линии и принимая во внимание
формулы Френе, получаем
dm _ dp 8 ds ~~ ds
XV,
(g)
где v — единичный вектор главной нормали асимптотической линии.
Для асимптотической линии вектор v, в силу равенства (f), можно представить следующим образом:
v = [Р, т] = е
- dr
т, ----
ds
Умножим скалярно обе части равенства (g) на вектор — v. Из полученного равенства, воспользовавшись формулой (h), находим
( dm -> dr \ (dm, [т, dr]) х = —	, т, ------- I =-------------------
\ ds L ds J/	ds1
Если учесть, что
f ru,
dm = mudu -f- mvdv, m = —-——— ,
I lru> rv] I
dr = rudu + rvdv, ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2,
то равенство (i) примет вид
_ _ (mudu + mvdv, [?u, rp], rudu + rvdv) V EG — F2 (Edu2 + 2Fdudv + Gdv2)
dv2	— dudv	du2
Е	F	G
L	М	N
V EG —F2 (Edu2 + 2Fdudv + Gdv2)
(i)
(k)
Теперь за координатные линии на поверхности возьмем асимптотические линии. Тогда L — N = 0 и по формуле (к) получим
М 1 / ЛР	,----
и(и)^к |„=const= у===г = у EG — F2 Sign М = У ~ К Sign М ’
, ,	- М 1 / м2 . ..
Х (°) S х l«=e°nst =	= - V ~EG- F2 Slgn м =
= — V— К sign М.
4.2.49.	Поскольку уравнение поверхности задано в виде г = f(x, у),
то, согласно утверждению задачи 4.2.48, запишем
v fxxfyy — f2Xy
"—к~- O +	+	•
Для рассматриваемой поверхности
„8==_______________ь‘г - ас_________
(1 + (ах + by)2 + (bx + су)2)2
4.2.50.	и2 =-----. Указание. Воспользоваться
и (1 + f («))2
формулой, полученной в задаче 4.2.48.
h
4.2.51.	х=±—---------— . Указание. Воспользоваться форму-
и2 4- h2
лой, полученной в задаче 4.2.48.
4.2.52.	Если записать уравнение поверхности в виде
Г (S, V) = р (S) +	(S),
где р = р (s) — естественная параметризация данной линии, то
х (s)
1	+ п2х2 (s)
где х (s) — кручение данной линии, х — кручение асимптотических линий поверхности в точке (s; v).
4.2.53.	Если записать уравнение поверхности в виде
г (s, V) = р ($) + vv (s), где р = р (s) — естественная параметризация заданной кривой, то кручение х асимптотических линий полученной поверхности вычисляется по формуле
- ______________X (S)______
(1 — k (s) V)2 + У2Х2 (s)
где k (s) — кривизна заданной кривой, х (s) — ее кручение.
4.2.54.	Можно воспользоваться решением задачи 4.2.7.
4.2.55.	Если поверхность Ф не является поверхностью нулевой полной кривизны, то такого быть не может. Действительно, предположим, что некоторая поверхность Ф изгибается в поверхность Ф* так, что асимптотические линии поверхности Ф переходят в асимптотические линии поверхности Ф*. Будем предполагать, что поверхности Ф и Ф* параметризованы так, что соответствующие точки имеют равные криволинейные координаты. Тогда выполняются равенства
Е* = Е, F* = F, G* = G,	(а)
Z.* = U, М* = Ш, N* — ^,	(Ь)
К* = К.
Поскольку
_ L*M* _М*2	_ LN — M2
g*Q*____р*2 ’	EG — F2 ’
то из равенств (а) и (Ь) находим
К* = /Ж.	(с)
Так как К =/= 0 и /С* = /С, то из равенства (с) получаем А2 = 1, т. е. А = ± 1. Тогда из (а) и (Ь) следует, что поверхности ф и Ф* представ-
Гу-
ляют собой два экземпляра одной и той же поверхности, если X = 1; или одна поверхность является зеркальным отображением другой, если Х= —1. Для поверхностей нулевой полной кривизны, отличных от плоскости, такие изгибания возможны.
4.2.56.	Не может, так как полная кривизна поверхности, не имеющей асимптотических линий, положительна, а полная кривизна поверхности, которая содержит асимптотические линии, не положительна. При изгибании полная кривизна поверхности является инвариантом.
4.2.57.	Если линия пересечения у есть прямая, то утверждение очевидно, так как прямая является одновременно и асимптотической, и геодезической линией поверхности. Предположим, что у не является прямой. Пусть линия у — асимптотическая на одной из поверхностей, например Фг Тогда вдоль у касательные плоскости к Фх будут соприкасающимися плоскостями кривой (см. задачу 4.2.14, в)). Поскольку поверхности Ф-[ и Ф2 пересекаются под прямым углом, то касательные плоскости поверхности Фх вдоль у, которые являются соприкасающимися плоскостями у, будут нормальными плоскостями к поверхности Ф2, а поэтому (см. § 4, гл. 4) кривая у будет геодезической на поверхности Ф2. Если линия у является геодезической на поверхности Фп то ее главные нормали являются и нормалями к этой поверхности. Поскольку поверхности Фх и Ф2 пересекаются под прямым углом, то главные нормали линии у лежат в касательных плоскостях поверхности Ф2. Отсюда следует, что соприкасающиеся плоскости кривой у являются касательными плоскостями к поверхности Ф2, а это и означает, что линия у является асимптотической линией поверхности Ф2.
4.2.58.	Дифференциальное уравнение асимптотических линий имеет вид
v (5и2 v) du2 — 2u3dudv = 0.
Решая это уравнение, находим уравнения асимптотических линий в криволинейных координатах:
и = Clt и (v + и2)2 — C^v2 = 0, v = 0.
Линии и = Cj = const являются прямолинейными образующими поверхности (вдоль этих линий rvv = 0). Уравнения асимптотических линий, проходящих через точку Мо ^1;-----имеют вид
и=1, и (и2-j-v)2— v2 = 0.
4.2.59.	Поворотом кривой у (с указанным на ней направлением) на поверхности Ф называется величина
П (у) = J kgds 4- £ az, v ‘
где kg — геодезическая кривизна линии у, а(- — угол поворота касательного вектора т в i-й угловой точке линии у. Если записать уравнение псевдосферы в виде
х = a sin и cos v, у = a sin и sin v,
то уравнения ее асимптотических линий можно записать следующим образом:
и	и
о = Cj + In tg — , v = С2 — In tg —;
уравнение ребра псевдосферы и =	Следовательно,
2	sin и „	„ „
ka = -+- ------- , П = О, П, = 4- JT.
*	а
4.2.60. Параллель поверхности вращения будет ее асимптотической линией тогда и только тогда, когда она образована вращением той точки меридиана, в которой касательная к меридиану перпендикулярна к оси вращения. Меридиан поверхности вращения будет ее асимптотической линией тогда и только тогда, когда он представляет собой прямую линию или ее часть.
У казаки е. Если поверхность вращения задать уравнением
{х = <р (и) cos v, у = ср (и) sin v, Z = ф (и),
то дифференциальное уравнение ее асимптотических линий примет вид
(ф" (и) ф' (и) — ф' (и) ф" (и)) du2 + ф' (и) ф (и) dv2 = 0.
При решении задачи можно было воспользоваться также и утверждениями задачи 4.2.14.
§3
4.3.1.	Первый способ. Воспользоваться дифференциальным уравнением линий кривизны и найти условия, при которых решениями уравнения являются и = С\ = const и v = С2 = const.
Второй способ. Воспользоваться тем, что равенство F = — 0 означает, что координатная сеть на поверхности является ортогональной, а М. = 0 означает, что координатная сеть на поверхности сопряженная.
4.3.2.	Линиями кривизны произвольной цилиндрической поверхности, отличной от плоскости, являются ее прямолинейные образующие и их ортогональные траектории, которые можно получить, пересекая цилиндрическую поверхность плоскостями, перпендикулярными к ее прямолинейным образующим. Воспользоваться уравнением цилиндрической поверхности, которое можно записать в виде
г (s, о) — р (s) -ф ve, е — const,
где р = р (s) — естественная параметризация направляющей цилиндрической поверхности, вектор е — направляющий вектор прямолинейных образующих. При решении можно также воспользоваться утверждением задачи 4.3.18.
4.3.3.	Линиями кривизны произвольной конической поверхности, отличной от плоскости, есть ее прямолинейные образующие и их ортогональные траектории, которые являются линиями пересечения кони
ческой поверхности с концентрическими сферами произвольных радиусов с центрами в вершине конической поверхности. Воспользоваться уравнением конической поверхности, которое можно записать в виде г (а, у) = op (s), где | р (s) | = 1, при этом начало координат совпадает с вершиной конической поверхности. При решении можно также воспользоваться утверждением, сформулированным в задаче 4.3.18.
4.3.4.	Уравнение поверхности Ф запишем в виде
г (s, у) = р (s) + ут (s),
-»	->	-► dp
где p = p (s) — естественная параметризация кривой у, а т (s) =------
ds
Тогда дифференциальное уравнение линий кривизны поверхности Ф запишется следующим образом:
ds2 + dsdv — 0.
Отсюда находим уравнения обоих семейств линий кривизны:
s == 0^, s —v = С2,
где С\и С2 — произвольные постоянные. Линиями кривизны поверхности Ф являются прямолинейные образующие и их ортогональные траектории. При решении задачи можно было воспользоваться утверждением задачи 4.3.18.
4.3.5.	Дифференциальное уравнение линий кривизны имеет вид du2_______________________________dv2_______
р -f- q + 4u2 р -j- q 4- 4у2 ~
Решая это уравнение, находим
2и + У р 4- q 4- 4u2	------------
----= Q, (2« + У р + q + 4н2) (2у +
2у + У р + q + 4у2
+ /р + <? + 4у2) ==С2,
где Ct и С2 — произвольные положительные постоянные.
4.3.6.	Линиями кривизны данной поверхности являются координатные линии и = Cj и у = С2. Параметрические уравнения этих семейств линий кривизны можно записать следующим образом:
 х = ЗСг + ЗС\у2 — С?,
у = Зу -f- ЗС^у — у3,	(а)
. г = ЗС2г — Зу2,
х — Зи 4- 3(?2 и — и3,
У = ЗС2 4- ЗС2и2 - С|,	(Ь)
. г = Зи2 — ЗС|.
Линии кривизны, заданные уравнениями (а), лежат на плоскостях
х 4- CjZ — 3Ci — 2Cf = О,
которые параллельны оси ОУ, а линии кривизны, заданные уравнениями (Ь), лежат на плоскостях
У — С2г — ЗСа — 2С% = О,
которые параллельны оси ОХ.
4.3.7.	Дифференциальное уравнение линий кривизны имеет вид
du2 — dv2 = 0.
Уравнение линий кривизны в криволинейных координатах запишется следующим образом:
u + o = Ci, и — v = Сг,
где Ci и С2 — произвольные постоянные. Параметрические уравнения линий кривизны, проходящих через точку Мо, имеют вид
У = — t (2t2 —L
У \	3
z = — 2/2,
Если в качестве координатных линий на поверхности Ф взять линии кривизны, то уравнения поверхности Ф можно записать в виде
х = (а + Р) 12а2 + 2р2 — 8а0 —
У = (а - 3) (2а2 + 2р2 + 8ар - -2-\	и
г= 2 (а2— ₽2).
Асимптотическими линиями поверхности являются координатные линии и = const и v = const, так как для данной поверхности L (и, и) = = М (и, v) = 0. Уравнение асимптотических линий, проходящих через точку Мо (0; 0), в криволинейных координатах запишется следующим образом:
и = 0 и о = 0.
Параметрические уравнения этих линий таковы:
х = 0,
У = t, и г = 0
x = t, У=0, г = 0.
Это прямые, совпадающие соответственно с осями OY и ОХ. Полная кривизна поверхности в произвольной ее точке равна
*------------1—и-
За2 + За2 Н--
3 /
средняя кривизна поверхности Н = 0. Данная поверхность минимальная.
4.3.8.	Дифференциальное уравнение линий кривизны имеет вид du2 — (u2 + a2) do2 = 0.
В результате интегрирования находим
и = Cj — In (и +	+ а2),
v — С2 4- In (и + /и2 + а2), где Сг и С2 — произвольные постоянные. Уравнения геликоида, отнесенного к линиям кривизны, имеют вид
х = a sh (а — р) cos (а + р), у = a sh (а — Р) sin (а + Р), z = а (а + Р).
4.3.9.	Дифференциальное уравнение линий кривизны имеет вид dx2 du2
----------——?----= 0.
cos2 х cos2 у
В результате интегрирования получаем
4.3.10.	Воспользоваться тем фактом (см. задачу 3.3.27), что плоскость и сфера (и только они) характеризуются тем, что коэффициенты их первой квадратичной формы пропорциональны соответствующим коэффициентам второй квадратичной формы (для плоскости L = М = = N = 0).	______________________________
4.3.12.	/ (—) — С In Р ~ I + Ci, где С и Сг — по-\ X /	|	X	I
стоянные.
Указание. Записать дифференциальное уравнение линий кривизны коноида г = /	Условия- что х = ' является решени-
ем полученного дифференциального уравнения, находим дифференциальное уравнение для функции f (у) в следующем виде:
(1 + f'2 (у)) Г (</) + УГ (У) = 0.
dy	dp
Полагая /' (у) = р, имеем--- -------------— .
у р(1 + р2)
Интегрируя данное
уравнение,
находим у2
= С2 (1 Н-----j . Отсюда
\ Р2 /
df _ С
dy ~ Vy2 — С2 ’
а, следовательно,
f (у) = С In I у + V у2-С21 + С, , где С и Cj - постоянные интегрирования.
4.3.13.	Воспользоваться уравнением для определения главных кривизн поверхности, положив в нем F = М = 0. При решении задачи
можно также воспользоваться формулами Родрига (см. задачу 4.3.17):
ти = — k^u, mv= — k2rv.
Если умножить обе части первого равенства скалярно на вектор ги, а второго — на rv и воспользоваться формулами
(mu,ru) = — L, (mv,rv) = — N, (ru,ru) = E, (rv,rv) = G,
, L N 
ГО получим Rj =---- , k2 = -- .
E G
4.3.14.	Линиями кривизны на произвольной поверхности вращения, отличной от сферы и плоскости, являются меридианы и параллели. На сфере и на плоскости любая линия является линией кривизны (см. задачу 4.3.10).
У Казани е. Записать уравнение поверхности вращения в виде
г (и, V) = {<р (и) cos v, <р (и) sin v, ф (и))
и принять во внимание, что координатные линии и = const являются параллелями, а линии v = const — меридианами. Показать, что F = = М = 0. Можно воспользоваться также утверждением задачи 4.3.18, если учесть, что нормали к поверхности вращения вдоль параллели образуют конус с вершиной на оси вращения (или цилиндр), а вдоль меридиана — плоскость.
4.3.15.	Если координатная сеть на поверхности состоит из линий кривизны, то F — М = 0 (см. задачу 4.3.1) и
b _ L	N
kl~~E ’ k*~ G
(см. задачу 4.3.13).
4.3.16.	Пусть координатная сеть и= const и v = const на минимальной поверхности (И — 0) состоит из линий кривизны. Тогда из формул, приведенных в задаче 4.3.15, находим
Lv = 0, Nu = 0.
Отсюда следует, что
L — L (и), N = N (v).	(а)
Поскольку поверхность минимальна, то для главных кривизн и й2 этой поверхности имеем ky = —k2, а из формул, приведенных в задаче 4.3.13, находим
Е--М4-- °—ТГ- "»
Тогда, согласно равенствам (а) и (Ь), а также учитывая, что при выбранной параметризации поверхности F = М = 0, получаем
q>! = —— (L (и) du2 — N (v) dv2), <p2 = t (u) du2 + N (o) dv2.
Так как LN < 0 (для минимальной поверхности, отличной от плоскости, К < 0), то, не ограничивая общности, можно считать, что L > > 0, a N < 0. Если положить
/Г(й) du = dU и V'— N (v) dv = dV,
то в криволинейных координатах V и V квадратичные формы д>х и <р, примут указанный в задаче вид. При этом линиям и = const соответствуют линии U — const, а линиям v = const — линии V = const, и наоборот.
4.3.17.	Непосредственно следует из определения линий кривизны и теоремы Родрига о главных направлениях на поверхности.
4.3.18.	Первый способ. Если поверхность Ф задана уравнением г — г (и,- о), а т (и, о) — единичный вектор нормали этой поверхности в точке Р (и; v), то уравнение линейчатой поверхности, образованной нормалями поверхности Ф вдоль ее линии у, можно представить следующим образом:
R = г lv + wm |т.
Для того чтобы эта поверхность была развертывающейся, как известно, необходимо и достаточно, чтобы вдоль линии у выполнялось равенство
(dr, т, dm) = 0.	(а)
Если учесть, что
dr — r^u + rvdv, т =	, dm — mudu -f- mvdv,
то левую часть равенства (а) можно записать в виде
(dr, т, dm) =
dv2 — dudv du2
E F G L M N
V EG — F2
Используя это равенство, легко убедиться в правильности сформулированного в задаче утверждения.
Второй способ. Необходимость. Пусть линия у является линией кривизны на поверхности Ф. Тогда, согласно теореме Родрига, вдоль этой линии выполняется равенство
dm = 7.dr,
а следовательно, и равенство (а). Отсюда вытекает, что линейчатая поверхность, образованная нормалями поверхности вдоль ее линии кривизны у, является развертывающейся.
Достаточность. Предположим, что линейчатая поверхность, образованная нормалями поверхности Ф вдоль некоторой ее линии у, является развертывающейся. Тогда вдоль этой линии на поверхности выполняется равенство (а), из которого следует, что векторы dr, т, dm — компланарны. Поскольку dm I т и dr I т, то dm || dr. Это означает, что вдоль линии у выполняется равенство dm = 7.dr. Тогда, согласно теореме Родрига, заключаем, что линия у на поверхности Ф является линией кривизны.
4.3.19.	Первый способ, а) Пусть поверхности и Ф2 пересекаются вдоль линии у под постоянным углом <р и линия у является линией кривизны на поверхности Фг Пусть тл и т2 — единичные векторы нормалей поверхностей Фг и Ф2 соответственно. Тогда (mlt т2) =
= cos ф. Так как линия 7 является линией кривизны на поверхности Фп то при дифференцировании вдоль этой линии на поверхности Фг в силу теоремы Родрига имеем
dml = /^dr.	(а)
Если поверхности Ф] и Ф2 касаются вдоль линии у, т. е. ф = О или ф = = 180°, то вдоль линии -у
т2 = emi, где е2 = 1.
Отсюда в силу равенства (а) вдоль линии у на поверхности Ф2 имеем dm2 = edm1 = ekjdr.
Из этого равенства на основании теоремы Родрига заключаем, что линия у является линией кривизны на поверхности Ф2. Если поверхности Ф] и Ф2 пересекаются вдоль линии у под углом, отличным от 0° и 180°, т. е. т2, то для поверхности Ф2 вдоль у
dm2 = X2dr + QOTj + 0m2.	(b)
Умножим это равенство скалярно на векторы т1 и т2. Тогда для определения коэффициентов а и 0 получим следующую систему уравнений;
I а + 0 cos ф = (т^ dm2),
{ _ <с)
I а cos ф + 0 = (m2, dm2).
Так как | т2 | = 1, то (т2, dm2) = 0. Поскольку
(mj, т2) = cos ф = const, то, дифференцируя это равенство вдоль у, получаем
(dmlt m2) + (mj, dm2) = 0.	(d)
На основании равенства (а) имеем
(dmlt т2) = (dr, т2) = 0.
Тогда из равенства (d) находим
(т1, dm2) — 0.
Таким образом, система (с) принимает вид (а + 0 cos ф = 0, 1 а cos ф + 0 = 0.
Из этой системы, учитывая, что для рассматриваемого случая cos2 ф =у= =#= 1, находим а = 0 = 0. Тогда из равенства (Ь) следует, что вдоль линии у на поверхности Ф2 выполняется равенство dm2 = ).2dr. Отсюда, согласно теореме Родрига, заключаем, что линия у является линией кривизны на поверхности Ф2.
б) Пусть поверхности Ф, и Ф2 пересекаются по линии у, которая является линией кривизны на каждой из этих поверхностей. Тогда на
основании теоремы Родрига вдоль линии у выполняются равенства
dmj = K±dr,	(е)
dm2 = Xadr.	(f)
Продифференцировав вдоль линии у равенство (mlt т2) = cos <р, получим
— sin tpdtp =	т2) + (т1, dm2).
Отсюда, согласно равенствам (е), (f), находим
— sin (pdq> = 0.
Из этого уравнения следует, что ф |v = const, т. е. поверхности Ф2 и Ф2 пересекаются вдоль линии у под постоянным углом.
Второй способ, а) Если линия у является линией кривизны на поверхности Фп то нормали к Фг вдоль у образуют развертывающуюся поверхность. Поскольку угол между поверхностями вдоль у постоянен, то нормали поверхности Ф2 получаются поворотом нормалей поверхности Ф-[ в нормальных плоскостях кривой у на один и тот же угол, а, следовательно, также образуют развертывающуюся поверхность. Отсюда, согласно задаче 4.3.18, следует, что линия у является линией кривизны на поверхности Ф2.
б)	Поскольку линия у является линией кривизны на каждой из псверхностей Ф] и Ф2, то нормали к этим поверхностям вдоль линии у образуют развертывающиеся поверхности (см. задачу 4.3.18). Но нормали к поверхностям Фг и Ф2 вдоль линии у являются нормалями самой кривой у. Следовательно, в силу утверждения задачи 3.2.29, нормали одной поверхности получаются поворотом в нормальной плоскости кривой у нормалей другой поверхности на один и тот же угол.
4.3.20.	Утверждение задачи непосредственно следует из теоремы Родрига (задача 4.3.17).
4.3.21.	Это следует из теоремы Иоахимсталя (см. задачу 4.3.19), если учесть, что на плоскости и на сфере любая линия является линией кривизны (см. задачу 4.3.10).
4.3.22.	Пусть у — линия кривизны поверхности Ф. Тогда по теореме Родрига вдоль этой линии имеем
dm = '/.dr, откуда в результате дифференцирования вдоль у находим
d2m = d/.dr + Xd2r.
Из этих равенств следует, что векторы dm, d2m, dr, d2r компланарны. Отсюда, если учесть, что векторы d2r и dr параллельны соприкасающейся плоскости кривой у, а векторы dm, d2m параллельны соприкасающейся плоскости сферического изображения у* кривой у, следует, что соприкасающиеся плоскости кривых у и у* в соответствующих точках параллельны.
4.3.23.	Воспользоваться теоремой Иоахимсталя (см. задачу 4.3.19), приняв во внимание задачу 4.3.10.
4.3.24.	Поскольку линия кривизны плоская, то плоскость этой линии пересекает поверхность под постоянным углом. Следовательно,
нормали к поверхности вдоль этой линии образуют с плоскостью постоянный угол. Если эти нормали отнести к одной точке, то они либо все совпадут, либо образуют прямой круговой конус (или его часть). Отсюда следует, что сферическое изображение всех точек такой линии кривизны расположится на окружности.
4.3.25.	В силу утверждения задачи 4.3.21 линия касания является линией кривизны развертывающейся поверхности, а следовательно, согласно задачам 4.3.2—4.3.4, она является ортогональной траекторией прямолинейных образующих этой поверхности.
4.3.26.	Поскольку линия у является линией кривизны на поверхности Ф, то по теореме Родрига вдоль этой кривой
dm = — kydr,	(а)
где kr — одна из главных кривизн, а следовательно, и нормальная кривизна поверхности вдоль у. Поскольку линия у является одновременно и асимптотической, то kx = 0. Отсюда следует, что гауссова кривизна поверхности вдоль линии у
К =	= 0,
а уравнение (а) принимает вид
dm = 0.
-• ' >
Тогда т |v = const.
4.3.27.	Первый способ. Такая линия у на поверхности является линией кривизны. Нормали к поверхности вдоль этой линии образуют цилиндрическую поверхность, а потому вдоль этой линии
dm — 0.
Кроме того, в силу теоремы Родрига
dm = — ktdr,
где — одна из главных кривизн поверхности. Из этих равенств следует, что вдоль линии у kx = 0, а следовательно, К = 0, т. е. каждая точка линии у является параболической.
Второй способ. Линия у является на поверхности одновременно асимптотической линией и линией кривизны. Следовательно, согласно утверждению задачи 4.3.26, вдоль линии у гауссова кривизна поверхности равна нулю, т. е. каждая точка линии у является параболической точкой поверхности.
4.3.28.	Из условия задачи следует, что нормали к поверхности Ф вдоль линии у образуют развертывающуюся (цилиндрическую) поверхность. Поэтому линия у (см. задачу 4.3.18) является линией кривизны поверхности Ф. Тогда в силу теоремы Родрига вдоль линии у выполняется равенство
dm = — fejdr.	(а)
Так как вдоль линии у т = const, то вдоль у dm — 0.
Тогда, согласно равенству (а), одна из главных кривизн поверхности, а именно klf равна нулю. Следовательно, К = kxk2 — 0.
4.3.29.	Утверждение является следствием результата, сформулированного в задаче 4.3.26, если учесть, что прямолинейные образующие любой поверхности являются ее асимптотическими линиями.
4.3.30.	Поскольку нормали к поверхности Ф вдоль линии у образуют цилиндрическую поверхность, то вдоль этой линии единичный вектор т нормали к поверхности постоянен, а линия у, согласно утверждению задачи 4.3.18, является линией кривизны на поверхности. Тогда в силу теоремы Родрига вдоль у
dm = — krdr,
где k1 — одна из главных кривизн поверхности. Кроме того, поскольку вектор т = const, то вдоль у
dm — 0.
Следовательно, вдоль линии у kr = 0, а поэтому все точки линии у являются параболическими точками поверхности Ф.
4.3.31.	Воспользоваться утверждениями, доказанными в задачах 4.3.18 и 4.3.29, а также тем фактом, что гауссова кривизна косой линейчатой поверхности отрицательна. Можно доказать, что нормали вдоль прямолинейной образующей косой линейчатой поверхности образуют гиперболический параболоид, который представляет собой косую линейчатую поверхность.
4.3.32.	Введем в пространстве криволинейные координаты и, v, w так, чтобы координатные поверхности совпадали с поверхностями трех данных семейств триортогональной системы. Тогда данную триортого-нальную систему поверхностей можно задать одним векторным равенством
г = г (и, v, ш),
при этом вектор ги направлен по касательной к линии и, по которой пересекаются поверхности v = const и w = const. Аналогично векторы rv и rw направлены по касательным к линиям, вдоль которых меняется только v, и к линиям, вдоль которых меняется только ш. Так как каждые две поверхности из различных семейств пересекаются под прямым углом, то
(fu, rv) = 0, (ги, Гщ,) = 0, (гу, Гщ,) = 0.
Если продифференцировать первое равенство по w, второе по v, а третье по и, то получим
(ruw, rv) + (Ги, ruw) = 0,
(ruv, rw) + (ru, 7WV) = 0,
(rvll, ~rw) + Z>u) = °-
Из этих равенств находим
(ruv, 7W) = 0, (7„, 7WV) = 0, (7„, 7WU) = 0.
Рассмотрим поверхность w = const. Координатными линиями на этой поверхности есть линии и и о. Вектор rw — это вектор нормали к поверхности w = const. Тогда из равенств
F = (7„, 7у) = о и м = 17UV, ) = о
\	1 ra> I J
следует, что на поверхности w — const вторые коэффициенты F и М первой и второй квадратичных форм равны тождественно нулю. Следовательно, координатные линии а и с на этой поверхности являются линиями кривизны. Но линии и и v — это линии, по которым поверхность w = const пересекается соответственно поверхностями v— const ни — const. Аналогично можно рассматривать и другие поверхности.
4.3.33.	Для определенности будем считать, что в уравнении
А < В < С. Включим эту поверхность в триортогональную систему поверхностей второго порядка, которую построим следующим образом. Первое семейство
где параметр а, изменяется в пределах — оо <; а < А, состоит из эллипсоидов. Второе семейство
х2	и2	г2
А — з + й—р + с —з = 1 ’	,с)
где параметр 3 изменяется в пределах А < 3 < В, состоит из однополостных гиперболоидов. Третье семейство
х2 , У2 , г2 _
А — у В — у "* С—у ’
где параметр у изменяется в пределах В < у < С, состоит из двуполостных гиперболоидов. Тогда линии кривизны на поверхности (а) получим, пересекая ее поверхностями тех двух семейств триортогональной системы, в которые не вошла поверхность (а). Например, если А < В < < О, С > 0, а следовательно, поверхность (а) является двуполостным гиперболоидом, то линии кривизны получатся; одно семейство — в пересечении с софокусными с (а) эллипсоидами (Ь); другое — с софокусны-ми с (а) однополостными гиперболоидами (с) триортогональной системы.
4.3.34.	Воспользоваться утверждением задачи 4.3.18. или теоремой Родрига (см. задачу 4.3.17), учитывая при этом, что в соответствующих точках параллельные поверхности имеют общие нормали.
4.3.35.	Возьмем на поверхности Ф в качестве координатной сети и и v ортогональную сеть, состоящую из линий кривизны. Пусть г = = г (и, v) — уравнение поверхности Ф. Обозначим через т (и, v) единичный вектор нормали к поверхности Ф. Положим
R (и, v, w) = г (и, v) + wm (и, v).	(а)
Тогда развертывающиеся линейчатые поверхности и = const, v = const и поверхности w = const, параллельные исходной поверхности w = = 0, определенные уравнением (а), образуют триортогональную систему. Действительно, из равенства (а) находим
Ru = Ги + Rv — rv + wmv, Rw = m.	(b)
Поскольку линии и н v являются линиями кривизны поверхности Ф (г = г (и, п)), то по теореме Родрига имеем
/71у — “ ц, Щц —	и*
Тогда равенства (Ъ) можиа записать следующим образом:
Ru = (1 — и*1) ru, Rv = (1 — wk2) rv, Rw = m.
Отсюда вытекает, что векторы Ru, Rv, Rw соответственно параллельны векторам ru, rw, т, а поэтому они попарно перпендикулярны и построенная система поверхностей (а), в которую включена исходная поверхность Ф, является триортогональной.
4.3.36.	Включим исходную поверхность Ф в триортогональную систему поверхностей (см. задачу 4.3.35). Тогда, согласно теореме Дюпена (см. задачу 4.3.32), линии кривизны исходной поверхности Ф определяются как линии, по которым пересекают эту поверхность поверхнос-сти тех двух семейств триортогональной системы, в которые не входит исходная поверхность Ф. Поскольку конформное преобразование пространства сохраняет величины углов, то всякая триортогональная система поверхностей после конформного преобразования снова перейдет в триортогональную систему. Отсюда на основании теоремы Дюпена можно заключить, что при конформном преобразовании пространства линии кривизны исходной поверхности преобразуются в линии кривизны преобразованной поверхности.
4.3.37.	Выберем за начало координат центр инверсии. Пусть г± — = гг (I) и г2 = г2 (/) — векторные уравнения кривых у, и у2 и пусть значению t = t0 соответствует общая точка кривых. Тогда
Г1 (U = Г2 (U-	(а)
Кривые Yi и у2 после инверсии преобразуются в кривые у* и у^, уравнения которых
-♦ kI 2 _>	-> k2 _»
R1 = Н (0 и R, = г2 (0.
rf (/)	г* (0
Дифференцируя эти равенства, получаем
dR1 = k2
r^dri —2 (rj, dr J rt
(rf)2
(b)
dR2 =
r % dr 2	2 (r2, dr2) r2
H)2
(C)
Отсюда
Ин I
Д2
(d)
I dR21 = К(dRit dR2) = k2 .	(e)
r2
Из равенств (Ъ) и (с), согласно равенствам (a), (d), (е), в точке t = t0 находим
(dRlt dR2) (drlt dr2)
I dR. 11 dR2 |	] drr| | d?2 |
Это равенство означает, что при инверсии угол между двумя направлениями не изменяется.
4.3.38.	Воспользоваться утверждениями задач 4.3.37 и 4.3.36.
4.3.39.	Первый способ. Если выбрать центр инверсии за начало прямоугольной декартовой системы координат, то преобразование инверсии в координатной форме можно записать в виде
х2 + у2 + г2 ’
у* = Р-. -	.	(а)
х2 4- г/2 ф- z2
х2 + г/2 + г2 ’
где х, у, z — координаты исходной точки, х*, у*, г* преобразованной точки, k2 — степень инверсии. Решим относительно х, у, z\ V* V = А2	Z	 х*2 4- у*2 4- 2*2	— координаты
	эти равенства
z/ = fe2—2—у—2	 х*2 4- у*2 4- г*2 Z* г = k* —Z	Ч	Г • X* + у* 4- 2	(Ъ)
Сферу и плоскость можно описать общим уравнением вида
А (х2 4- у2 + г2) + Вх + Су 4~ £>г + Е = 0	(с)
(если А = 0, то поверхность, описываемая уравнением (с), является плоскостью, при А ф 0 — сферой).
При инверсии (а) поверхность, заданная уравнением (с), преобразуется в поверхность, уравнение которой в силу формул (Ь) принимает вид
k2 (Ak2 4- Bx* 4- Су* 4- Dz*) 4- Е (х*2 4- у*2 4- г*2) = 0.	(d)
Из этого равенства вытекает справедливость сформулированных в пунктах а) — г) утверждений. Действительно, в случае а) в равенствах (с) и (d) имеем А 0, Е #= 0; в случае б) А =4= 0, Е = 0; в случае в) А = 0, Е =4= 0; в случае г) имеем А = 0, Е = 0.
Второй способ. Тот факт, что при инверсии сфера (плоскость) переходит в сферу или в плоскость, можно доказать еще и так. При инверсии линии кривизны исходной поверхности переходят в линии кривизны преобразованной поверхности (см. задачу 4.3.38). Поскольку на сфере (плоскости) все гладкие кривые являются ее линиями кривизны, то при инверсии сфера (плоскость) переходит в поверхность, на которой все гладкие линии являются ее линиями кривизны. Такими поверхностями, как известно (см. задачу 4.3.10), являются только сфера или плоскость.
4.3.40.	Поскольку при конформном преобразовании пространства линии кривизны исходной поверхности переходят в линии кривизны преобразованной поверхности (см. задачу 4.3.36), а на сфере (плоскости) все ее гладкие кривые являются линиями кривизны (см. задачу 4.3.10), то при конформном преобразовании пространства сфера (плоскость) переходит в поверхность, на которой все ее гладкие кривые являются линиями кривизны, а такой поверхностью есть сфера или плоскость.
4.3.41.	В результате преобразования инверсии с центром в начале координат и степенью, равной /г2 = (2а)2 (см. решение задачи 4.3.39), данная поверхность переходит в поверхность, уравнение которой имеет вид
х*2 _|_ у*2 — ^ах* = 0 <=> (х* — а)2 + у*2 — а2.
Эта поверхность представляет собой прямой круговой цилиндр радиуса а, прямолинейные образующие которого параллельны оси 0Z. Линиями кривизны такого цилиндра есть его прямолинейные образующие и ортогональные им сечения (окружности) (см. задачу 4.3.2). Совершая обратное преобразование по формулам (а) (см. решение задачи 4.3.39), видим, что эти линии переходят в окружности. Эти окружности мы получаем, пересекая данную поверхность такими семействами плоскостей:
у — CjX = 0, С2 (х — 2а) — z = 0.
Данная поверхность является циклидой Дюпена (см. условие задачи 4.3.47).
4.3.42.	Инверсией (см. решение задачи 4.3.39) с центром в начале координат и степенью инверсии, равной единице, данная поверхность преобразуется в эллипсоид
*2	*2
_______р -2.--1------= 1
а2 Ь2 с2
Определив линии кривизны на этом эллипсоиде (см. задачу 4.3.33), получим обратным преобразованием по формулам (а) (см. решение задачи 4.3.39) линии кривизны исходной поверхности.
4.3.43.	Одно семейство линий кривизны получим в результате пересечения данной поверхности пучком плоскостей
у — С,х = 0,
где Cr = const; второе семейство линий кривизны образуется при пересечении данной поверхности семейством сфер
х2 + У2 + z2 — 2C2z = 0,
где С2 = const. Отсюда, учитывая уравнение заданной поверхности, заключаем, что оба семейства линий кривизны данной поверхности лежат на сферах, проходящих через начало координат. При решении задачи можно было бы сначала с помощью инверсии с центром в начале координат и степенью, равной 1, преобразовать заданную поверхность в цилиндрическую поверхность, уравнение которой
найти на этой поверхности линии кривизны (см. задачу 4.3.2), а затем, воспользовавшись формулами обратного преобразования, найти уравнение линий кривизны на исходной поверхности.
4.3.44.	Пусть г = г (и, v) — некоторая параметризация поверхности Ф, т = т (и, v) — ее единичный вектор нормали. Поскольку ли1 иа у является линией кривизны поверхности Ф, то по теореме Родрига (см. задачу 4.3.17) вдоль этой линии выполняется равенство dm = adr. Интегрируя это равенство вдоль линии у и учитывая, что а = const =# 0, получаем
- 1 -
г =------m+r0,	(а)
а
где гй — постоянный вектор, зависящий от линии кривизны у. Из равенства (а) находим
Это означает, что линия у лежит на сфере Фо радиуса -j—г с центром I ц I
в точке, радиус-вектор которой г0. Из равенства (а) следует также, что
вектор т является вектором-нормалью к сфере Фо. Таким образом, сфера и поверхность Ф вдоль линии у имеют общие нормали. Следовательно, поверхность Ф касается вдоль линии у некоторой сферы радиу-
4.3.45.	Из условия задачи следует, что одно семейство линий кривизны поверхности Ф, представляющее собой однопараметричес се множество линий, обладает тем свойством, что нормальные кривизны поверхности вдоль каждой из линий семейства принимают одно и то д е постоянное значение а 0. Тогда в силу утверждения задачи 4.3.44 каждой линии кривизны из такого семейства соответствует сфера радиу-1
са уур касающаяся поверхности Ф вдоль этой линии, и при этом центр каждой такой сферы определяется соответствующей линией кривизны, т. е. зависит от одного параметра, а следовательно, лежит на некоторой кривой g. Отсюда вытекает, что поверхность Ф является огибающей 1 однопараметрического семейства сфер постоянного радиуса —р, цент-
I ц I ры которых лежат на некоторой кривой g.
4.3.46.	Пер вый способ. Пусть у — одна из окружностей семейства. Через окружность у можно провести однопараметрическое семейство сфер. Поскольку у — линия кривизны поверхности Ф, то каждая такая сфера пересекает поверхность Ф под постоянным углом (см. задачу 4.3.21), при этом для различных сфер семейства эти углы разные. Среди этих сфер, очевидно, существует одна такая сфера (не исключается случай вырождения сферы в плоскость), которая будет пересекать поверхность под углом 0°, т. е. касаться поверхности вдоль окружности у. Таким образом, каждой линии кривизны (окружности) данного семейства соответствует вполне определенная сфера, касающаяся поверхности по этой линии. Следовательно, поверхность Ф является огибающей семейства сфер, каждая из которых определяется линией кривизны семейства, т. е. зависит от одного параметра, а следовательно, центры этих сфер лежат на некоторой кривой.
Второй способ. Пусть у — одна из линий кривизны данного семейства. Поскольку линия у — окружность, а следовательно, плоская кривая, то, воспользовавшись утверждением задачи 4.3.23, нетрудно убедиться, что нормали поверхности Ф вдоль окружности у образуют прямой круговой конус (не исключается случай вырождения конуса в цилиндр). Построим сферу, проходящую через окружность у с центром в вершине конуса. Эта сфера будет касаться поверхности Ф по окружности у. Отсюда можно сделать вывод, что поверхность Ф является огибающей однопараметрического семейства сфер, центры которых лежат на некоторой кривой.
4.3.47.	а) Пусть у — одна из линий кривизны поверхности Ф, принадлежащая семейству Oj. Возьмем на линии у три точки Рх, Р2, Р3 и три линии кривизны gt, g2, g3, которые проходят через эти точки и принадлежат второму семейству линий кривизны а2. По условию задачи линии кривизны у, gx, g2, g3 — окружности. Поэтому существуют сферы (см. решения задачи 4.3.46) S, Sj, S2, S3, которые касаются поверхности Ф соответственно вдоль окружностей у, gx, g2, gs. Поскольку точки Р2, Р3 лежат на линии у, то сфера S касается сфер Sx, S2, S3 соответственно в точках Р1г Р2, Р3. Перемещая окружность у так, чтобы она последовательно занимала положения линий кривизны первого семейства о,, опишем при этом всю поверхность Ф. Отсюда нетрудно заключить, что поверхность Ф является огибающей однопараметрического семейства сфер S, касающихся трех фиксированных сфер Sa, 53.
б) Пусть три данные сферы Slf S2, S3 пересекаются в точке О и пусть S — произвольная сфера, касающаяся сфер Sx S2, S3. При инверсии с центром в точке 0 три сферы Sn S2, S3 преобразуются в три плоскости nit П2, П3 (см. задачу 4.3.39), образующие триэдр. Поскольку сферы S не проходят через центр инверсии, то они преобразуются в сферы, касающиеся всех трех плоскостей Пг, П2, П3, а их огибающая, т. е. поверхность Ф, перейдет в прямой круговой конус, вписанный в этот триэдр. Линиями кривизны прямого кругового конуса являются его прямолинейные образующие и окружности. Производя обратное преобразование и принимая во внимание, что при инверсии линии кривизны переходят в линии кривизны (см. задачу 4.3.38), а окружности и прямые, не проходящие через центр инверсии, переходят в окружности, делаем вывод, что оба семейства линий кривизны исходной поверхности Ф состоят из окружностей.
Если сферы S2, S3 не имеют общей точки, то доказательство сформулированного утверждения можно произвести следующим образом. Проведем через центры О1; О2, 03 этих сфер плоскость. В сечении получим три окружности а2, а3. Пусть а — окружность, ортогональная окружностям alt а2, а3. Выберем за центр инверсии любую точку окружности а. Тогда задача сводится к изучению огибающей семейства сфер, касающихся трех сфер с центрами на одной прямой. Это будет тор. Линиями кривизны тора являются окружности. Производя обратные преобразования, как и в первом случае, приходим к заключению, что линиями кривизны поверхности Ф есть окружности.
4.3.48.	Сформулированное в условии задачи утверждение можно доказать, найдя предварительно уравнения линий кривизны и уравнения круговых сечений поверхностей второго порядка. Однако проще это утверждение доказать, воспользовавшись утверждениями, сформулированными в задачах 4.3.18 и 4.3.21, или решением задачи 4.3.46, с учетом того, что все плоскости круговых сечений поверхности второго порядка, принадлежащие одному семейству, параллельны между собой.
4.3.49.	Предположив, что поверхность Ф имеет две различные оси вращения lt и /2, доказать, что через каждую точку Р такой поверхности проходит по крайней мере четыре линии кривизны: два меридиана и две параллели. Отсюда заключить, что каждая точка поверхности Ф есть омбилической, и, следовательно, поверхность является сферой или плоскостью. Выяснить, возможен ли случай, когда указанные выше четыре линии кривизны, проходящие через точку Р, сводятся к двум. Какое множество могут представлять на поверхности Ф такие точки Р в зависимости от взаимного расположения бсей 1г и /2. Решить эту задачу, исходя из свойств нормалей поверхности вращения.
4.3.50.	Существуют. Такими поверхностями являются поверхности, образованные касательными к линиям откоса, и только они. (Линиями откоса называются линии, расположенные на произвольной цилиндрической поверхности и пересекающие его прямолинейные образующие под постоянным углом. Эти линии характеризуются тем, что k
для них отношение кривизны к кручению, т. е. —, есть величина постоянная.) Действительно, как известно (см. задачи 4.3.2—4.3.4), линиями кривизны развертывающейся поверхности являются ее прямолинейные образующие и их ортогональные траектории. Если поверхность касательных (цилиндрические и конические поверхности не рассматриваются) пространственной кривой у (р = р (з)) записать в виде
г (s, v) = р (s) 4- цт (s), ^т (s) = j ,	(а)
то уравнения ортогональных траекторий прямолинейных образующих поверхности (а), т. е. семейства линий кривизны поверхности (а), отличных от прямолинейных образующих, имеют вид
r = p(s) + (C — s)t(s),	(b)
где С — произвольная постоянная (параметр семейства). Вычисляя кручения х* линий, заданных уравнением (Ь), находим
dk , dx
—г—Х~ k—j— ds	ds
= (k2 + xa) (C — s) Jfe ’
(с)
где k и x — соответственно кривизна и кручение линии у, т. е. ребра возврата поверхности касательных. Из равенства (с) следует, что х* =
k (s)	,
= 0 тогда и только тогда, когда —4- = const. Из изложенного выше
X (S)
следует такой интересный факт: если на развертывающейся поверхности (отличной от плоскости) среди линий кривизны, принадлежащих одному семейству, хотя бы одна является плоской линией, то все остальные линии кривизны этого же семейства также плоские.
4.3.51.	Поскольку все линии кривизны поверхности Ф являются плоскими кривыми, то. воспользовавшись утверждениями задач 4.3.20 и 4.3.24, мож ю доказать, что их сферические изображения пр дставля-ют собой ортогональную сеть окружностей на единичной сфере. Но если два семейства окружностей образуют на сфере ортогональную сеть, то плоскости одного из этих семейств окружностей проходят через прямую Ь1г а второго семейства — через прямую й2, причем пря-
мне hj и h2 сопряжены относительно сферы, а следовательно, взаимно перпендикулярны. Отсюда и на основании задачи 4.3.22 легко доказать справедливость сформулированных в условии задачи утверждений.
4.3.52.	Поверхность вращения.
4.3.53.	Линиями кривизны являются координатные линии поверхности s = const, v = const. Возможен особый случай, когда резная поверхность представляет собой сферу или плоскость (или часть сферы, плоскости), тогда любая кривая на поверхности является линией кривизны.
4.3.54.	s = const, v = v0 — j х (s) ds, где и (s) — кручение кривой у, vQ = const.
У Казани е. Пользуясь теоремой Родрига, доказать, что линии s = const образуют одно семейство линий кривизны, представляющее собой семейство окружностей, лежащих в нормальных плоскостях кривой у с центрами на кривой у. Другое семейство можно найти, воспользовавшись ортогональностью линий кривизны.
4.3.55.
dv2	— dudv	du2	
е	f	g	= 0.
L	М	N	
4.3.56.	Это следует из свойств индикатрисы Дюпена, которая в каждой точке поверхности отрицательной кривизны представляет собой пару сопряженных гипербол.
4.3.57.	Уравнения геликоида, отнесенного к асимптотическим линиям, можно записать в виде
{х = a sh и cos v, у = a sh и sin v, z = av.
При этом линии v = const являются прямолинейными образующими, а линии и = const — винтовыми линиями.
Уравнения катеноида, отнесенного к линиям кривизны, имеют вид
{х = a ch a cos р, у = a ch а sin (3, z = аа.
При этом линии Р = const являются меридианами, а линии а = const — параллелями.
Первые квадратичные формы геликоида и катеноида при указанных выше параметризациях запишутся соответственно таким образом:
<рх = a2 ch2 и (du2 + do2),
ф! = a2 ch2 а (da2 + dp2).
Отсюда следует, что при наложении геликоида на катеноид его асимптотические линии (прямолинейные образующие о = const и винтовые линии и = const) переходят в линии кривизны катеноида (соответственно в меридианы Р = const и параллели a — const). Поскольку обе поверхности являются поверхностями отрицательной гауссовой кривизны, то в каждой точке поверхности линии кривизны делят пополам углы между асимптотическими линиями (см. задачу 4.3.56). Отсюда делаем вывод, что при наложении геликоида на катеноид его линии кривизны переходят в асимптотические линии катеноида,
§4
4.4.1.	Векторное уравнение линии 7=7(«1, и2 (и1)). Следовательно, dr	- du2
du1 ~ri + r2 du1 '
d2r	du2	, -* / du2 V , -♦ d2H2
(du1)2 ~Г11 + 2Г12 dUl	‘ ^22 ( dul I H-r3 (£1ц1)2 -
где
= A1^ + A2r2 4- Cn,
,	, du2 t I du2 \2
*-4 + ^ + 1%) 
Л.=1- + 4Л+Г.(^’+^,
11	12 du1 22 du1 /	(du1)2 ’
„ L , du2 ,	/ du2 \2
C — ^ii ~b 2d12 h b22 I j . du1 \ du1 /
Принимая во внимание то, что соприкасающаяся плоскость геодезической линии есть нормальная плоскость поверхности, имеем
d2r	-\	.
,	, « = о,
(du1)2	)
или
d2u2
(du1)2
-м^ + ^-г;,)
du2
du1
1-(г!2-2Г112)[—) -
Это искомое уравнение.
4.4.2.	1) Поскольку уравнение (а) из задачи 4.4.1 есть обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, то, положив
du2 du1
fen. S22 — коэффициенты первой квадратичной формы поверхности), сведем его к системе двух обыкновенных уравнений:
где через F (и1, и2, k) обозначена соответствующая часть уравнения (а) задачи 4.4.1. Фиксируя uj, и задаваясь произвольными значениями Ug, k0, получим единственное решение системы (а):
и2 —и2 (и1), k = k(u1),
удовлетвор яющее условию
“j = u2(«o)> k0 = k(ul).
Следовательно, через произвольно выбранную точку (uj; в произвольно заданном направлении k проходит единственная геодезическая линия.
2)	Каждое решение уравнений (а) однозначно определяется величинами 4> Ug, k0, т. е.
u2 = f (и1, и’о, и$, fe0).	(b)
Положим
(и1 — 4) 1/ k0 = а, и1 — 4 = Ь, ’	§22
откуда
/ „о , а я / §22	,	1 . ,
Йо = — I/ -5- , «1 = и0 + Ь, ' 8ц
где §ц, §22 — коэффициенты первой квадратичной формы поверхности, соответствующие точке (4; Uq). Уравнение (b) геодезической линии примет вид
и2 = ср (uj> 4’ а’ *)
Продифференцируем правую часть по и1. Получим
du2 1 f Ви
—сг-^о+ф6-
'	S22
Как известно,
du1 Г g2i
а потому, полагая u1 = wj, получим тождество по kB
^0 — (фа)о
ко + (Фй)о-
Следовательно,
Кроме того,
(фо)о = 1. (Фй)о = 0.
Таким образом,
'D (и\ п2)\ , D(a, ь)
и по теореме существования системы
неявных функций уравнения
иа = <р(4,4> а> *)> и1 = 4 + *	fr)
можно однозначно решить в окрестности точки («д; и?) относительно а и Ь:
а = а (и1, и2, Uq, Uq),
b = b (u\ и2, Uq, ufy = и1 — ulQ.
Взяв точку (и1; и2), близкую к точке (uj; Uq), из последних равенств получаем
,	1/ 822 afu1, и2, и10, и?)
^= /	----—И-------------•
'	ё 11	и ~ ио
Этим определяется направление единственной геодезической линии, исходящей из точки (и10; Иц) и проходящей через точку (и1; и2). Необходимость использования теоремы о существовании системы неявных функций при решении системы (с) заставляет ограничиться близкими (по о	1	1	9	2\
разности значении координат и1 — uj, а2 — и0) точками.
4.4.3.	В этом случае из уравнения (а) задачи 4.4.1 следует, что Гц = 0 (так как линии и2 = const—геодезические). Отсюда и из равенства g12 = 0 (координатная сеть ортогональна), используя формулы для Г;., находим
= 0 => £п = Ф2 (и1)	= Е)
ди2
(так как Е > 0). Положив ср (a1) du1 = do и возвратившись к исходным обозначениям и = и1 и v = и2, имеем требуемый вид первой квадратичной формы.
4.4.4.	Принимая за параметр а длину дуги геодезической линии и = 0, из равенства ds2 = G (0, a) dv2 получаем G (0, а) = 1. Согласно равенствам F = 0 (координатная сеть ортогональна) и (0, а) = 0 (линия и = 0 — геодезическая), следует, что Gu (0, а) = 0.
4.4.5.	Из уравнения Гаусса в полугеодезической системе координат (Е = 1, F — 0) получаем следующее значение полной кривизны:
Kg
Если /С = const, то последнее равенство есть уравнение с частными производными второго порядка с постоянными коэффициентами. Поскольку дифференцирование осуществляется по одному аргументу, то уравнение можно интегрировать как обыкновенное, но вместо произвольных постоянных интегрирования следует брать произвольные функции от а:
1)	/< = 0, VG = Au + B-,
2)	Е>0, VG = AcosV"Ku +BsmVKu;	(а)
3)	К < 0, /б = A ch и + В sh и,
где А, В — функции от v. Дифференцируя равенства (а) по и, получаем:
1)	(/О)„ = Л;
2)	(VG)U = УК (— A sin VK. u + BcosVK п);	(b)
3)	(/G)„ = (Л sh V=~K и + В ch и).
Принимая во внимание равенства G (0, v) = 1, Gu (0, v) = 0, из (а) и (Ь) получаем:
1)	В = 1, A = 0=>G = 1;
2)	Л = 1, В = 0 => G = cos2 VК и',
3)Л=1, В = 0 => G = ch2/^Ku.
4.4.6.	Коэффициенты уравнений геодезических линий выражаются только через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные первого порядка, следовательно, не изменяются при изгибании.
4.4.7.	Учитывая, что в полугеодезической системе (Ё = 1, F = 0) символы Кристоффеля второго рода имеют вид
г'ц=о, г?1 = о, г}2 = о, rf2 =
Г1 _	1 dG 2 d In /G
22	2 ди ’	22 dv
равенство (а) задачи 4.4.1 запишется в виде
а2у д In /G dv Bln fG / dv \2	1 dG I dv \8
du2	du du dv \ du j ' 2 du \ du j
где и = ul, v = u2.
4.4.8.	Производная единичного вектора касательной к кривой
-^- = kv = A1 r{ + knn, i=l, 2,
не имеет слагаемых, лежащих в касательной плоскости (следовательно, вектор т не испытывает смещения в касательной плоскости) тогда и только тогда, когда Л‘ = 0, что приводит к геодезическим линиям.
4.4.9.	В этом случае всюду на поверхности в указанной сети Гц = = Г22 = 0. Поэтому при F = 0 (сеть ортогональна) имеем Ev = 0, G,, = 0. Полагая УЕ du = da, l7 G dv = dfr, получаем ds2 = da2 + + JP2 К = 0.
4.4.10.	Примем параллельные линии в качестве линий v, а их ортогональные траектории в качестве линий и. Поскольку сеть ортогональна, то F = 0. В качестве параметра и возьмем длину дуги ортогональных траекторий, что возможно вследствие параллельности линий V. Тогда при dv = 0 имеем ds = du, а потому ds2 = du2 + Gdv2 => Гц = = 0. Тогда из равенства (а) задачи 4.4.1 следует, что линии v = const (и2 = const), т. е. линии и, геодезические.
4.4.11.	Соприкасающаяся плоскость такой линии должна быть ортогональной к обеим поверхностям. Следовательно, при пересечении
(не касании) поверхностей такая плоскость оказывается неопределен-яой, что характеризует прямую линию.
4.4.12.	Если р = р (о) — уравнение кривой у (о — ее длина дуги), то эвольвенты определяются уравнением
г (а, и) = р (а)	(— о 4- и) т (о), и = const,
где т (а) — единичный вектор касательной к кривой у. Отсюда
гст = (—o4-u)fev, г„ = т,
(k — кривизна кривой у, v — единичный вектор ее главной нормали), т. е.
Д=7„=1, Е= (7а>7„) =0, G =7а = (-а 4-«)2 А'2.
Следовательно,
ds2 — du2 4- (— а 4~ и)2 k2do2.
4.4.13.	Соприкасающаяся плоскость линии пересечения является одновременно нормальной к обеим поверхностям.
4.4.14.	Если р = р (s) — уравнение кривой у, отнесенной к длине дуги, т, v, Р — единичные векторы касательной, главной нормали и бинормали соответственно, то уравнение спрямляющей плоскости имеет вид
(г —p(s), v(s))=0.	(а)
Дифференцируя по s, находим
(г — р, — kx 4- х|3) = 0	(Ь)
(k (s) и х (s) — соответственно кривизна и кручение кривой). Уравнения (а) и (Ь) определяют образующую торса о:
г = р 4- х (хт 4- ед
(к— параметр). Как видим, эта прямая проходит через точку кривой у (при к — 0, г = р). Соприкасающаяся плоскость кривой у проходит через главную нормаль кривой, т. е. через нормаль к торсу с. Следовательно, она есть геодезическая линия торса. При изгибании торса на плоскость эта линия переходит в прямую, так как геодезическими линиями плоскости являются прямые.
4.4.15.	Пусть r=r(ul), i—1, 2,—уравнение поверхности о; и1 = и1 (s) — уравнения кривой у на ней, отнесенной к длине дуги; I — г(- — вектор, касательный к поверхности в точке Д-1; М* (и1 4-f	—* ♦ —*	~*
4-du ) — точка, близкая к М\ r{ —r^'t-dr^ — касательные к координатным линиям векторы в точке М*\ I* =	4- d£‘) (г, 4- diy) « / 4~
4-	d/ — вектор, касательный к поверхности в точке М* (последнее равенство записано с точностью до бесконечно малых второго порядка ма-
лости). Но
di = dzi~it+tidi.=dt^ + ci^-du1 = d^i. +
+ (Г*/7Й + blfn) ^ldu! = (d£ + V^dui) 7k + b^du'n.
Говорят, что вектор переносится параллельно в направлении, определяемом дифференциалами du1, если
Г-7)11п.
Следовательно,
d? + Vlfidui = 0.
Если перенос осуществляется вдоль кривой у, то вместо последних равенств получим
В частности, если вектор / — единичный и касается линии у, то
т. е.
г1 = dui ь ds •
Равенство (а) принимает вид d2uk	du1 du1'
ds2 li ds ds
что характеризует геодезические линии.
4.4.16.	Дифференциальное уравнение асимптотических линий имеет вид
b^d^du1 = 0, i, j = 1, 2, &u — L, b12 = 621 = M, b22 = N.
Отсюда
du2 — ^12 ±	— bnb22
—т-j- =------------г-----------= f (u )	(a)
du1	b22
(через f (u() обозначены правые части соответственно для знаков «-{-» и «—»). Дифференцируем равенство (а):
d2u2	д1	< df f
(du1)2	ди1 + ди2 Л	(Ь)
Подставляя равенства (а) и (Ь) в коэффициенты Лг задачи 4.4.1, искомую кривизну ka для соответствующих асимптотических линий найдем из равенства
% = И1)2 йи + 2ЛМ2й12 + (A2)2 g22.
4.4.17.	Задача решается аналогично задаче 4.4.16,. только в качестве исходного уравнения нужно взять уравнение линий кривизны
(*11212 — *12211) (dul)2 + (*11222 — *22211) ^“2 + + (*12222 — *22212» ^и2)2 = 0.
4.4.18.	а) Поверхность нулевой кривизны (торс) изгибанием может быть наложена на плоскость. Треугольник, образованный дугами геодезических линий с сохранением углов, наложится на плоский прямолинейный треугольник. Поскольку сумма внутренних углов последнего равна двум прямым углам, то такова же сумма внутренних углов геодезического треугольника на торсе.
б) Поверхность постоянной положительной кривизны изгибанием может быть наложена на /	\ сферу. Сумма внутренних углов сферического
/	\ треугольника, образованного дугами больших
/	КРУГОВ (геодезическими на сфере), больше двух
д	Z	ПРЯМЫХ углов. В этом можно убедиться, если
--------взять треугольник АВС с углами а, р, у на сфе-/-------ре радиуса/? /рис. 43). Большие круги, на кото-
Рис. 43	рых лежат стороны треугольника, пересекаясь,
образуют второй треугольник А'В'С, диаметрально противоположный треугольнику АВС. Площадь Sa двух двуугольников со стороной ВС (вершины двуугольника — А и А') равна, очевидно,
2a
S„ = 4л/?2---= 4/?2a.
“	2л
Сумма Sa+ S? выражает площадь всей сферы, т. е. 4л/?2, и учетверенную площадь А треугольника АВС (так как оба треугольника АВС и А'В'С входят в каждую пару двуугольников):
4/?2 (а + р + у) = 4л/?2 + 4Д. Отсюда
А = R2 (а + р + у — л)	(а)
и, следовательно, ос + (J + у > л.
в) Из формулы Эйлера
elx = cos х -|- i sin х следует, что
ё~х = cos ix i sin ix, 6х = cos ix — i sin ix. Таким образом,
ex . e-x
cos ix = ----g----= ch x.
Это означает, что, заменив в формуле, определяющей первую квадратичную форму поверхности постоянной положительной кривизны
ds2 — du2 + cos2 К. udv2, положительную кривизну отрицательной (К — — (—К)), получим ds2 — du2 + cos2 i Y — К. udv2 = du2 -f- ch2 V — К udv2,
т. е. имеем первую квадратичную форму поверхности постоянной отрицательной кривизны. Но тогда и все формулы внутренней геометрии поверхности постоянной отрицательной кривизны могут быть получены из соответствующих формул геометрии поверхности постоянной положительной кривизны заменой К > 0 на К < 0, а для сферы К =
1 ~R^’
следовательно, надо заменить R2 на — R2 (или заменить R на
iR).
Тогда формула (а), например, примет вид
Д = R2 (л — а — р — у),
откуда следует, что на поверхностях постоянной отрицательной кривизны
<х р -j- у л.
4.4.19.	Примем стрикционную линию за направляющую. Тогда ее уравнение
v = 0 => (р', Г) = 0.	(а)
Касательная к линии у, т. е. v = v (и), определяется вектором
__ = p<+„7 + uf.
Эта касательная перпендикулярна к образующей (к вектору /), если
, 7^ = 0=> v' = — (р', 7).	(Ь)
Отсюда, учитывая равенство (а), находим
V" = -(?', 7).	(с)
Соприкасающаяся плоскость линии у в точке, где v = 0, определяется векторами
/' = р' + v’l,
? = р” + ц'7 4-2аТ, где v', v" определены равенствами (Ь) и (с). Вектор нормали к поверхности при v = 0 есть
N = [ru, г„\ = [р', /].
Учитывая (Ь) и (с), находим
([р', 7] [7', 7"]) = 0.
Это означает, что соприкасающаяся плоскость кривой у в точке v = 0 является нормальной плоскостью поверхности. Следовательно, геодезическая кривизна кривой в указанной точке равна нулю.
4.4.20.	Если г = г (и, и) — уравнение заданной поверхности о; и = и (s), v = v (s) — уравнения линии у на ней, то уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М линии у имеет вид
(R — r{u(s), v(s)), n(u(s), u(s)) = 0.	(a)
Дифференцируя равенство (а) по s, получим
(R — r, ns) = 0.	(b)
Уравнения (а) и (Ь) определяют образующую торса Т. Как видим, эта образующая проходит через точку М. Поскольку торс касается поверхности о вдоть кривой у, то у одновременно будет или не будет геодезической линией на а и на Т. При изгибании торса линия у перейдет в прямую на плоскости тогда и только тогда, когда она геодезическая.
4.4.21.	Примем указанную сеть линий за координатную. Так как координатный угол постоянен, то
F
= cos со = const.	(а)
Для линии и находим ds= У Е du. Тогда
±_=7=_А_	I 1 V
ds	У Е ' ds2 У~Е ds	' УЕ / “
t Г2	,
= Aru -J---+ Сп.
Коэффициенты А и С здесь роли не играют. Вектор геодезической кривизны линии и запишется в виде
Г2
Т л , 1И t — Аги -|	— гv.
Единичный вектор, параллельный вектору t, это
[т, л] = [ги, л].
Геодезическая кривизна kg линии и есть модуль вектора t, следовательно,
± k„ = /, —[га, п] =---------LJ— , JJ7 = у EG — А2 ,
2 \ УЕ I еУе
По условию
---= а = const.	(Ь)
еУе
Аналогично
r22W
--7=- — b = const,	(с)
Gye
но
2 _ -FEUA-2EFU-EEV , _ - FGV + 2GF„ - GGU
11	2 (EG —Я) ’	22	2 (EG — F2)	’ W
Подставив правые части равенств (d) в равенства (b) и (с), найдем Ga и Ev, после чего подставим эти значения в формулу, определяющую
полную кривизну поверхности. Учитывая формулу (а), придем к соотношению
К = — г—J--------(а2 + i>2 ± 2ab cos со) = const < 0.
sin2 а»
4.4.22.	Принять во внимание то, что геодезическая кривизна кривой не изменяется при изгибании, а геодезическая кривизна плоской кривой есть кривизна этой кривой.
4.4.23.	По теореме Менье rn — NM — радиус 74 нормальной кривизны кривой (параллели), г — pa- X диус кривизны параллели (рис. 44). Тогда	“\
V
= k sin а -> г = r& sin а,	\
г. AJ/
где г„ --------радиус геодезической кривизны.
kg Это доказывает теорему Клеро.
4.4.24.	Главная нормаль геодезической линии есть нормаль к поверхности, поэтому можно считать, что п = V, а следовательно, бинормаль ft =
= [т, л]. По формуле Френе, принимая во внимание деривационные уравнения nt = — b^g^r^, находим
ka = k cos---------a
S k 2
Z7 /
№
Рис. 44
=-----------+ (&2yg2/ — f>lygv) dudv — b2jg^'dv2) n =
(— 611£12 + Wil) + 02agll — ftll§22) dudv —
____________________~~ fel<?22	^22j?2l) dv2____________ _
/£G — f2 (Edu2 + 2Fdudv + Gdv2)
Отсюда получаем требуемое равенство.
4.4.25.	Использовать дифференциальное уравнение линий кривизны.
4.4.26.	Приравняв к нулю кручение геодезической линии, получим дифференциальное уравнение линий кривизны (см. задачу 4.4.24).
4.4.27.	Поверхность нулевой кривизны характеризуется тем, что первая квадратичная форма на ней может быть приведена к сумме квадратов двух дифференциалов:
Edu2 -ф 2Fdudv 4- Gdv2 = dU2 -ф dV2.
В этом случае
dU = cos (fdu -ф KG cos (q> -ф co) dv,
—	/—
dV = V E sin cpdu -ф V G sin (q> + co) dv,
где <p (и, v) — неизвестная пока функция, a co — координатный угол, определяемый равенством
F
COS (О = —г .
Y EG
Из равенств (а) находим
(КЁ cos <р)„ == (KG cos (q> + <о))ы, (КЕ sin ф)0 = (KG sin (ф 4- co))u.
Отсюда
_____„	(КЁ)0 — (KG)u cos « фи = — wu	• •	.--------- ,
у G sin со
(К£)и cos ю - (KG)«
%	/Ё sin ш
Поскольку К = 0, то имеем полную интегрируемость последней пары уравнений и первую квадратуру
ф = У d<P = У + ф„4&) ф (и, о).
С помощью двух других квадратур из уравнений (а), подставив в них найденную функцию ф (и, и), получим
U = У (КЁ cos (pdu + KG cos (ф + to) dv) = U (и, v),
V = У (KE sin <pdu + KG sin (ф + co) dv) = V (u, v).
Общий интеграл дифференциального уравнения геодезических линий найдем как уравнение прямой в прямоугольной декартовой системе координат:
AU + BV + С = AU (и, v) + BV (и, v) -f- С = О,
где А, В, С — постоянные.
Примечание. Число квадратур, с помощью которых находится общий интеграл уравнения геодезических линий, можно сократить до двух.
4.4.28.	Уравнения поверхности вращения
х = г cos v, у = г sin v, г = f (г).
Первая квадратичная форма поверхности
ds2 = (1 + /'2 (г)) dr* + r*dv* = г* (du* + dv*),
Ои- 1/'+/ДИ „аг_,м.
Таким образом, Е ~ г*, F = О, G = г*, а потому
pl ___ г	р2 ___л	pl ___л	р2 ___ r	pl________г2 = О
1ц — — >	41— и>	1 12 — и>	122--~>	122------122“и-
Уравнение геодезических линий имеет вид Гг
v" -|---v' (1 + ц'2) = 0.	(а)
Кроме того, по формуле угла двух направлений dv : du и 6v : би находим угол 0 между линией с направлением dv : du = v' и меридианом,
направление которого определяется отношением во : 0
со»0 — —t=Ls=- =>sin6 = —..."____,
V1 + Ozi	V 1 + v'*
Продифференцировав равенство
rv'
VT+^
— const.
получим уравнение (а), что и доказывает утверждение.
4.4.29.	Возьмем однопараметрическое семейство геодезических кривых, проходящих через фиксированную точку О поверхности. Их ортогональные траектории, как известно, есть геодезические параллельные кривые. Выберем две такие траектории у и у'. Пусть одна из них, например у', приближается к точке О. Расстояния между у и у' по ортогональным к ним геодезическим линиям для каждого положения у' будут все время равными даже тогда, когда у' сольется с О.
4.4.30.	Примем геодезические линии, проходящие через фиксированную точку О, за линии и, их ортогональные траектории — за линии V. В соответствии с решениями задач 4.4.21 и 4.4.39 геодезическая кривизна линии v определяется равенством

VEG-F* nI
G/G 22
(знаки «+», «—» опущены). В рассматриваемом случае F — 0, Е — 1, Г22 =-----Gu. Поэтому
Если вдоль линии v кривизна k& — const, то
(4~)р - —fo GuGv = 0 => OUVG - Glfi0 = 0.	(а)
Дифференцируя последнее равенство по и, найдем
GUuvG~GuuGv=0.	(Ь)
В то же время в полугеодезической системе координат полная кривизна поверхности определяется равенством
0^G)uu 1 2GGuu — <32
VG 4 G2
Принимая во внимание равенства (а) и (Ь), убеждаемся в том, что Kv — = 0, т. е. вдоль линий v (окружностей Дарбу — Гаусса) полная кривизна постоянна. Поскольку центры окружностей Гаусса могут занимать любое положение на поверхности, то и сами окружности могут проходить по поверхности в любых направлениях. Пусть (а) — семейство концентрических окружностей и у — окружность, пересекающая их. Кривизна К поверхности постоянна вдоль каждой окружности а и вдоль окружности у. Это означает, что К, = const на всей поверх
ности. Наоборот, если К — const, то, учитывая, что в выбранной параметризации^ (0, v) — 0, получим, что Кб = Аи при К = 0, Кб = = a cos Кат и при к > о, Ко = я ch К—Ки при (Л = = А (и)). Во всех случаях kg не зависит от v.
4.4.31.	Уравнения геликоида
х = и cos v, у = и sin v, г = av.
Отсюда
E~l, F~O,G = u* + a*, 1^ = 1^= ^=1^ = 0, Г’2 = -и,
р2_____________U
12 и2 + а2 ’
Искомое уравнение
°"+ 2 "Л  о'- щ>'3 = 0.
и2 + а2
4.4.32.	Уравнение цилиндра
г — р (и) + vl, 1 = const, 111 = 1,	(a)
Найдем направляющую, ортогональную к образующим. Вдоль нее , 1^ = 0, т. е, (р' (и) + v' (и) I, I) = 0, откуда
v = — j* (pz, Z) du = а (и)
(первая квадратура). Пусть в уравнении (а) такой направляющей является р = р (и). Найдем длину дуги направляющей:
s = J | р' | du = s (и)
(вторая квадратура). Развернем цилиндр на плоскость. Линии s и о перейдут в ортогональную прямолинейную сеть. Уравнение прямых в такой сети, а потому и геодезических линий на цилиндре имеет вид As + Bv С = 0, где А, В, С — постоянные.
4.4.33.	Всякая поверхность постоянной положительной кривизны Л может быть в малом путем изгибания наложена на сферу радиуса R = —Параметрические уравнения сферы, отнесенной к полугео-
дезическим координатам с опорной геодезической линией, таковы:
„ и	v	и . v	„ . и
х = R cos — cos — , у = R cos — sin — , г = R sin — .
R R У RR	R
Произвольная плоскость, проходящая через центр сферы (в данном случае — начало координат), пересекает сферу по геодезической линии. Следовательно, уравнение геодезических линий имеет вид
и v	и v _ . и
Ах 4- By + Сг = A cos — cos-1- В cos — sin —- 4- C sin —- = 0.
1 y ‘	R R	RR	R
где А, В, С — постоянные. Такое же уравнение имеют геодезические линии на произвольной поверхности положительной кривизны, отнесенной к полугеодезическим координатам.
4.4.34.	При развертывании цилиндра на плоскость его образующие переходят в параллельные прямые, а геодезические линии в прямые, пересекающие их под постоянными углами. Поскольку углы при изгибании сохраняются, то отсюда следует, что каждая геодезическая линия пересекает прямолинейные образующие цилиндра также под постоянным углом.
4.4.35.	Совместим полюс радиусов-векторов с вершиной конуса. Тогда его уравнение может быть записано в виде
г = vl (и), 111 = 1.
Отсюда
£=72 = Л'2, F = (ги, 7„) = 0, 0=72=1,
W = /£G — f2 = va' (и),
где а' (и) = 1I’ (u) I. Находим площадь области D конуса, заключенной в границах [0; о], [их; и]:
V и	2
S = У У va' (и) dudv — (a (U) — а (щ)).
0 и.
При развертывании конуса на плоскость область D переходит в сектор круга радиуса V, имеющий угол ф — фь т. е.
V2
S = — (ф — фх).
Отсюда
Ф=а(и), ф1 = «(«!).
Уравнение произвольной прямой в полярной системе координат (v; ф) имеет вид
Ах + By С = Av cos ф + Bv sin ф + С = 0,
где А, В, С — постоянные (воспользовались формулами перехода от полярных координат к декартовым). Таким образом, уравнения геодезических линий на конусе имеют вид
Av cos а (и) + Bv sin а (и) -)- С = 0.
4.4.36.	Для параллелей k& =--------------------. Для меридиа-
f(u) V 1 + Г2 (и)
нов k;l — 0.
а
$А.ЪТ. a) ka = —т----— . Можно воспользоваться тем, что вин-
g а2 + h2
товые линии на геликоиде являются координатными линиями. При указанной параметризации геликоида L = N = 0, следовательно, координатные линии поверхности являются ее асимптотическими линиями. Таким образом, нормальная кривизна линии, указанной в условии задачи, равна нулю, поэтому ее геодезическая кривизна равна обычной кривизне.
б) feg = 0.
. л лв . eh 9 4.4.38. kg я —yj 	— •
* /2eh*u
4.4.39.	При v -» const kg —=
VEG-F* н
G/З “*
У EG— Л „
-----—---Гт,, при и = const k„
ЕУ~Ё
1	t к
——------------, при и » const ka =
у EG
4.4.40.	При v •» const kg =
1	d/G
УЁО	du
4.4.41.	Линии, рассматриваемые в условии задачи, являются координатными линиями о = ± I, поэтому можно воспользоваться результатами задачи 4.4.39. Имеем
Г^/EG-F* ik±k±l^ £ dk --------------------------------— , где k »
(1 + №) 2
(здесь верхние знаки берутся для линии v — I, а нижние — для v = —Г). 4.4.42. 0. 4.4.43. 1.
и
4.4.44.	v = ± I ------- А--. — .	с2> где Ci, С2 — произ-
J B(u)/c2B2(u)-l
вольные постоянные.
4.4.45.	Семейство окружностей о2 + (и — и#)* = а2 с центром в точке (и0; 0) радиуса а и вертикальные прямые и = и0 (v > 0). К — = —1.
4.4.46.	Геликоид.
4.4.47.	Если принять одно из заданных семейств геодезических линий за линии и полугеодезической системы координат, то первую квадратичную форму поверхности можно представить в виде
ds* =» du2 G (и, о) du2.	(а)
В такой системе координат угол 0 между геодезическими линиями за-.	п	du
данных семейств определяется из уравнения cos 0 = —— —  -----.
/du2 + Gate2
/ du \2
Отсюда находим ----- = ctg*0 • G (u, v). Воспользовавшись диффе-
\ dv /
ренциальным уравнением геодезических линий (с учетом того, что <р == const), получим Gu = 0, т. е. G — G (и). Следовательно, первую квадратичную форму (а) поверхности можно привести к виду ds2 = = du* -f- du*, где do2 = G (и) do2. Гауссова кривизна такой поверхности равна нулю. Следовательно, поверхность — развертывающаяся.
Обратное утверждение очевидно. Для этого достаточно заметить, что развертывающиеся поверхности наложимы на плоскость, а при наложении геодезические линии переходят в геодезические линии и углы между ними сохраняются. На плоскости указанные семейства геодезических линий существуют.
4.4.48.	Как известно общее уравнение движения точки по поверхности можно записать в таком виде:
сРг	—»	-*
m = F + R • N — ц | /? | т,
(a)
где F — внешняя сила, R — нормальная реакция поверхности, ji — коэффициент трения, W— единичный вектор нормали поверхности. Так как в рассматриваемом случае F = 0, то, умножив скалярно обе части
—> —*	—> ——>
равенства (а) на вектор [т, 7V], получим (г", т, N) = 0. Отсюда следует, что соприкасающаяся плоскость траектории движения является нормальной плоскостью поверхности. Следовательно, точка движется по геодезической линии поверхности.
ГЛАВА 5
§ 1
5.1.1.	1) Формулы обратного преобразования имеют вид rx' _ ry'
Х v'2 I „,2 ’ & ~~ v'2 I „,2 '
Запишем формулы прямого и обратного преобразований, используя индексы:
rx
vl' —	______
xi2 + x22 ’
, . rx1'
*	X1'2 4- X2'2
,2, _ ГХ2 x12 + x22 ’
rx2'
! _L r2'2 '
, X2 =
Отсюда
— х1'2 + х2'2
dx1 _______________________
dx1' “ ' (д1'2 + X2,2)2 ’
дх1 _
дх2' ~
дх2 dx17
2x1'x2'
(x1'2
:2'2)2 ’
дх2 дх2'
2xpx2'
(x1'2 + x2'2)2 — x2'2 + x1'2 (x1,2 + x2'2)2
Следовательно, dx1 dx1	,
ai’1’ = ~dx^ “dx17-	+
дх1 дх2
дх^ ~д^ (Q12 + °21) +
дх2 дх2	„
дх1' дх1' а22~г х
(-х1'2 X-------
„	„	ДГ1'2Г2'2
.1,2	д.2,2) 2х1’х2' (Х1 + X2) +	„	.
X1 -|-х2
(X1'2 + x2‘2)4
Подставим теперь значения х1, х2, выраженные через новые координаты. Получим
аи, =  -v2 -р ~	(— х1'2 + х2'2)2 — 2^'х2' (xv + х2') X
X (— х1'2 + Xs'2) + 4х1'2х2'2 (х1'2 + х2'2)2).
Аналогично находим компоненты аГ2,, a,2,v, а2'2-- Точно так же решаются примеры 2) — 7).
5.1.2.
1) Си = ап + Ь11 = X2 + у2 + X, С12 ~ ^12 4* ^12 X + ху, С21 = °21 + &21 = У + X2 — У2, С22 = Я22 + *22 = X2 — У2 + X. Аналогично находят суммы 2) — 4).
5.1.3. 1) си = «}а1 = ,	41 = а^а1 = у,
с}2 = а'а2 = ~ (х2 4- у2), с21 = afa1 = х, с22 = ala2 = х (х2 4- У9),	= а2а2 = у (х2 4- У2), с|* = о^а1 = ху, = а^а2 = ху (х2 4- у2).
Аналогично находят произведения 2) — 4).
5.1.4. 1) d}‘ = a4 = ^-. d}2 = а1^ = х,	d*1 = а1^ = у, = а1а^ = ху,
d21 = Q2a’=-i-(x24-y2), У d^2 = а2а^ = х (х2 4- У2),	d% = й24 = У (х2 4- У2), = а2с?2 = ху (х2 4- у2).
Видим, что не все компоненты равны соответствующим компонентам dlk. В этом случае говорят, что =/= d{\ Аналогично находят произведения 2) — 4).
5.1.5.
1)	т1 = т}1 + г'2 = х1 + (X2)2 + X1 — х2, Т2 = Т21 + Т22 = х1*2.
Аналогично решается 2).
5.1.6.
1)	Тщ) = Т}] = sin х1 + cos х2,
Л‘12) = 4" (Г12 +	= “Г (%1 + (%l)S)’ Т(22> = Т'22 = Х'Х*’
7®(I) = T2] = sin xl — cos x9,
(7>2 + Th) -1^’+= Tl = ~r-
Аналогично решается 2).
5.1.7.	= и\>к = «« Т1‘каи = Ul'k = Uik.
Имеем, например,
u‘2* = airT\lk + a^T\2k = x'x2T\lk + T\2k,
Uik = ZfX + 7f \2 = 0.
«2? ¥= ^21 > следовательно, ulpk Ulkq. Если, однако, обозначить точкой место, на которое опускаем верхний индекс, то результат опускания не зависит от порядка, в котором перемножаются тензоры T^k и ар[. Например,
= и\к.
5.1.8.	ааТкц =	= «2Д Ткцаа = Ukt1/ = С/)2.
Имеем, например,
и}2 = а11^ + а21Т221 = х1 + (х1 + х2)2, U\2 = T}iai2 4- Т^а22 = х2 (х1 + х2).
Следовательно, и[к =f= U'k. Если же точкой будет указано место, куда поднимается индекс, то результат не зависит от порядка, в котором перемножаются тензоры а1} и Т^. Например,
П/*" = allT?kl = u£.
5.1.9.	Собирая подобные члены в сумме Tijk ulu/uk, получаем
(Ttjk + Tjki + Tkij + Tjik + Tikj + Tkji> ч1и’ик.
В последнем выражении суммирование ведется по сочетаниям индексов i, /, k. Поскольку сумма равна нулю при любом выборе координат и1, и!, ик вектора, то все коэффициенты при и1и!ик равны нулю, но в соответствии с условием
1 i/k 1 jik* 1 jkl * k/i> 1 kij * ikj*
Следовательно,
Tijk + Tiki + Tkij = °-
5.1.10.	После приведения подобных членов к биквадратичной форме T^^v'u^v1 получаем коэффициенты, равные нулю:
тцы + Tkjn + Tiiki + Tkia = °-	(а)
Присоединим к ним равенства
Tljkl + TjiM = °- Ti)kl + Tijlk = °>	O’)
Tijkl + Tjkll + Tkijl — °-	(c)
В соответствии с равенством (с) можно написать
т ilk j + Tikij + Tktij = °-	(Ф
Складывая (а), (с), (d) и учитывая (Ь), получаем Т^-р1 = Ttljk. Следовательно, *= Т!1Ы = Tjltk = Tijkl и Tkljl = Tlklj = Tijkl. Тогда равенство (с) принимает вид Tijkl — 0.
5.1.11.	Сравнивая равенства	= О, vfw.f — 0, справедли-
вые для произвольного вектора wlt делаем вывод, что T^vav^ = Hvh, где Н — инвариант, зависящий как от х, так и от выбора вектора v‘. Умножим последнее равенство на vl, а затем проальтернируем по Л и I. Получим
Т£ВЛА/ — Т‘ °yav®vh = 0. Сир	ССр
Учитывая, что г/1 ==	, последнее равенство запишем в виде
(TX-^oW = 0.
На основании задачи 5.1.15 делаем вывод, что т. е.
+ Tim^ + Th(k^li - T‘if$ ~ Tlm&1 - T‘(kl$ = 0.
Свертывая это равенство по индексам I и k, получим
T(if) = б?а/ + Уа1’ г-№ а1 = ТТТ Г^)'
Легко видеть, что 6* = б{ + 62 + • • • + 6” = п.
Примечание. Неверным является утверждение, что из T^vav^ =» = Hvh следует непосредственно линейность инварианта Н = aava.
5.1.12.	О[а[рЬ?]б] = -у (aa[3by]fi — a6[*bv]a = ~	—
~ аа?й₽в — абр6уа + а8?6Ра).
5.1.13.	На основании инвариантности
= api^yJ-u1^ = апи1и!
при симметрии = а^,	следует равенство
ai'j' = ^i’h‘j'alj-
5.1.14.	Исходя из очевидного равенства
6):-4^,
получим
а1Ч.а1'к' = 6j,' =>	=>	6* -
= tftfa1'. 5.1.15. Поскольку индексы произвольны, то наряду с равенством Ъчц + сац = О
должно выполняться равенство
Z?a/(. + ca£j = 0. Отсюда 62 — с2 = 0.
5.1.16.	Любой минор второго порядка определителя [ afij | равен нулю:
ajbjakbi — a^bjOibi = 0.
Минор второго порядка определителя | afij + ajbt [ равен ± (atbi — atbt) (akbj — afik).
В общем случае он отличен от нуля; все миноры третьего порядка равны нулю.
5.1.17.	Требуемое следует из равенства дх<- dxi 1 дх1 дх1 1
и неравенства
То же справедливо и для тензоров а11.
5.1.18.	Положив Vi = 6^0/, получаем равенство
V/ = О,
справедливое для любого вектора V/. Отсюда следует искомое равенство.
5.1.19.	rang (а(/) = 1.
5.1.20.
dxt дх> di г Sr —
J дх1 дх^
1«£/1 =
дх‘ дх1'
5.1.23. Запишем ковариантные производные заданных тензоров в общем виде:
дТк. rpk	'rk „ОС	'pk -ОС I rpOC -k
1 ij.s = ~^s-----1 ajais — 1 iaafs + ‘ ijaas’
dT’k
T{ks =-----j---Ta a?s +	+ TlaaL.
l,S	ОС IS 1 I CCS 1 I as
Используя эти формулы, найдем, например, компоненту 2:
дТ1
^21,2 = дх2 Ь а12^21 + a22^2l	в22^}1	°22^2l	а21^21
— п21Т22 = 2 + х1 (х2)3 —.
Аналогично находятся все остальные компоненты.
5.1.27.	1) В ковариантную производную тензора а{]- следует подставить значения символов Кристоффеля второго рода. Равенство = = 0 следует из равенства = 6* после ковариантного дифференцирования последнего.
3)	Действительно,
/ dak ;	\
ak,jl ~ у	as,i^kj	ak,Sijj
( dab ,	\
После соответствующих преобразований находим dak,i d“k,i rs , ak,ij — akji -	— -^i------as,Ski + as,jXki-
В полученное выражение подставим значения первых производных а ___________________ dak __а ps а _______	__а ps
k-‘ ~ дх1 s k£’	~ dx> s kl
и после преобразований находим
/ drL ап, „	\
ak,H ~ ak,n = (	Ь rp»rs/ — rp/rs«)
4)	Доказывается аналогично пункту 3).
5)	aij,ps ~ ^sp,iaa.j + ^sp.jaia. ^sp,aair
6)	Условие ковариантного постоянства векторного поля с координатами fc1, £2 имеет вид
да-+£'гь.-«-
Для заданных полей это дает систему восьми линейных алгебраических уравнений на Г{А, решая которую получим Гц — —1,	= —1,
Г)2 = е~и', остальные г/А равны нулю. По формулам (а), (Ь) находим, что тензор кручения имеет компоненты Т\2 — —Т|] = е~и , остальные компоненты Tlik равны нулю. Тензор кривизны тождественно равен нулю.
5.1.28.	Взяв ak,j, — 0, получим систему дифференциальных уравнений второго порядка
d*xk
dx‘ dx* j, dx1' dx'' l’
дх‘ дх1' для неизвестных функций хк здесь учтено, что их полной интегрируемости,
dxk’ I	\
—r— =# 0 . Условие dxk I	/
a2
dxl'dx1'
дх1'дх!'
= o,
имеет вид
получить однова-
да^, deft,	.	.
----7-------—И aZ/anZ — azzan/ — 0.
дх1 дх1 ° pl 11 р>
5.1.29.	Справедливо.
5.1.30.	Из равенств g^g*^ = 6Z, g(/. z = 0 следует = 0 => => gft/ = 0, но тогда g/,/2,‘ = gilg^l,t = 0.
5.1.31.	С точностью до перестановки индексов пятивалентный тензор будет один:	трехвалентных тензоров можно
шесть:	anibkam, anibkla, ainLbalm, ainbkam, aiabkla-,
лентных тензоров имеем тоже шесть: аа$Ьа$т, а<х/°т.
аа^.
Если снять ограничения на количество умножений указанных тензоров, то искомых тензоров будет неограниченное количество. В этом случае решением является, например, тензор	.
5.1.32.	Учитывая указанные свойства, находим
1 ijk 1 jik * jki * kfi * kij * ikj s i}k* Из равенства = —T^k следует искомое равенство = 0.
5.1.33.	a) Th[ik— Thj[k — ThlJ-k+ Th/ki = — Tbk{j, таким образом.	0.
б)	Равенство Thilk -f- Thjlk = 0 проальтернируем по индексам /, k и получим TW[z-ftj+ Thjlk— Thkij = 0- Учитывая а), соответствующие слагаемые преобразуем следующим образом:
^Thijk Tfijki Thkii= °*
Но на основании а) находим ЪТЫ]к = 0.
5.1.34.	Вычислим = аПереобозначив индексы свертывания (I на / и / на i), получим а(.Ь1‘ —— aijb1^, т. е. at/bl,~O.
5.1.35.	Очевидно, если atf = Л‘Л;, то выполняются соотношения
a{,akl = aika11.	(а)
Докажем обратное. Так как а1/ Ф 0, легко убедиться, что существуют ковекторы bi и с/ такие, что al,btCj = 1. Тогда (а) свернем с b^i (т. е. умножим на bjfii, а затем просуммируем по индексам k и I от 1 до п). Получим
а4 = пЧ7.	(Ь)
где т/ = atkbk, = a^ct. Подставив (Ь) в (а), будем иметь
(с)
Так как 0 и rjl 0, то существуют векторы и р( такие, что Р;Т)‘ = 1 и p/5z = 1. Свернем (с) с Ц/р*р/ и получим j/ = ar)/, где a = p.*gfe. Тогда (b) принимают вид
а1’ = at/t/.
Если а>0, то положим V = 1Лхг/, а в случае а<0	~
= — К| а I Ч*- Следовательно, а‘7 = ± W.
5.1.36.	Собирая подобные члены в сумме Т^иси', получаем (Т^ + 4- ТуР и1и'. В этом выражении суммирование ведется по сочетаниям индексов i, /. Поскольку сумма равна нулю при любом выборе координат вектора и1, то все коэффициенты при и1и! равны нулю. В соответствии с условием	имеем Т£/. = 0.
5.1.37.	Легко видеть, что
Т, . , и1'и1‘ . . . и к = Т,, , , м1'и1г . . . ит.
Поскольку сумма равна нулю при любом выборе координат вектора и1, то все симметрические компоненты при и1,ис,...и т равны нулю, т- е- Г(/,С.../т) = °-
5.1.38.	На основании инвариантности
= Т^'и!’ = Т(ч,	и1и!.
11	11	и дх‘ дх’
В случае произвольного и1 получим т _ т дх'' дхГ ™ ~ дх1 дх^ '
.	_ ,	Ох1 дх’
5.1.39.	Требуемое следует из равенства а£,у, = аС/- г, и
неравенства
дх^ 1
——1^0. То же справедливо и для тензоров а1-, а1 дх1

Ограничимся рассмотрением указанного примера. По условию ,а ,а- дх1' дх1 дз^	( дха \ дх1'
ЛГ/'Л'На< dxt ~^Г дхк = ЛГ/'*'^а дха')^ГХ дх1' дх!1'
т. «.
ла — А* дх* дх‘' дхГ дхк i,k i4'k' дха' дх1 дх< дхк
для произвольного ковектора ра. Следовательно, выражение в скобках равно нулю. Таким образом,
.а -	Аа'	дха	дх‘'	дх'	дх>г'
“'k	*i'rk'	дха>	dxi	dxj	Qxk	•
т. e. Afjk — тензор типа (1, 3).
5.1.40.	Вычислим Sht,j, = Гру,—^ч,, учитывая (21) и симметрич-д^хн d2xh
ность производной —р——jr- • Получим дх дх дх1 дх
„V _ <?Л дх*	дх‘	дх'
‘' l> dxh дх1' дх^'
5.1.42.	Например,
(“г/ ± Мл =	(“О' ±	— (“а/ ± W Г« “ (“ta ± 6г<х) Г“/ =
\	/ дЬ 11	\
aaj^ki а1аУк/} у	baj^ki	^iaFkjj=
= “О'Л * bi/,k’
W!\k =	+ (“/6“) rL - (“aft/) Гн = (А -
(✓Ли	У С/Л
- “аГм) b‘ + “Z (-^Т + J = ai.kbt + aib’,k-/	\ дх	)
5.1.43.	Пусть имеем указанное преобразование координат. Подставив = хь, получим координаты х!1’ точки О. Таким образом, Z(0)=0. Вычислив -^4-= 6? +	(О) (х“ — х?),	=
дхс ‘	М ° дх1дх<
«= Г^у (О), найдем значения указанных производных в точке О;
Формулу (21) можем записать в виде
рЛ. _ рЛ' дх>1 дх‘ дх'" [ д2х* dxh 1;	1 1 dxh дх1 дх' дх1дх' дх*
Из нее следует, что iff = 0 тогда и только тогда, когда дгх* . гд дх* дх‘дх!' И дхн
Очевидно, что в точке О условия (а) справедливы, а следовательно,
If = 0.
5.1.44.	Легко убедиться, что
г)х*	ь, д*х*	a8xft'
(О) = а1} , 	= 0, ----°Х.	= 0.......
дх1	dxldxi dxldx!dxk
(а)
(О) =f= 0. Из формул за-
I dxh Преобразование невырождено, так как ------т-
I дх1 дачи 5.1.43 вытекает, что if(0) =0.
5.1.45,	Не ограничивая общности, можно считать, что у имеет параметрические уравнения вида
х1 = t, х2 = 0, . . . , хп = 0, 0 t < 1.	(а)
Если это не так, то для параметрических уравнений xft = хл (Z) делаем замену параметра (Z = t (t), где t (Z) — обратная функция к х1 (Z)). Тогда х1 = Z, х2 = ср2 (Z), ..., х71 = срЛ (Z). Затем делаем преобразование координат х1' = х1, х2'
= X2— <р2(х1), . дх* дх1
=	— <р" (х1).
• , х
#= 0. Для кривой у в новых коорди-V
Д' = 0.
Легко убедиться, что
натах имеем параметрические уравнения х1 = t, х2' — 0......х'
Считаем тем самым, что (а) сразу выполнено. Вдоль у будем иметь зависимость
(Ь)
(Z). Для ТОГО чтобы iff = 0, должны
В частности, —г.— = а, at 1
удовлетворяться условия (а) из задачи 5.1.43. вдоль кривой у, т. е.
Следовательно, a* (Z) не могут быть произвольными. Действительно, дифференцируя (Ь) и учитывая (с), имеем dtf (Z) —^— = ^(0^(0.
(с)
Для построения координат Ферми решаем (d), задавая начальные значения (О) так, что | ак' (О) | =# 0. Полученные при этом функции (/) подставим в (Ь), которые интегрируем при произвольных начальных данных хк' (О) = xj'.
Найденное решение
t
fh' (/) = х"' (f) = хк' + J ак' (t) dt.
6
Непосредственная проверка показывает, что координаты
Xh' = fh' (х1) + a* (х1) xk + 4- Г?/(xl) xix’ah <**) являются координатами Ферми вдоль кривой (а).
5.1.46.	Если в некоторой системе координат Г*у (х) = 0, то, согласно определению, тензоры кручения Skj и кривизны R^j^ равны нулю. Доказательство обратного сводится к нахождению решения уравнений
дх1	дх1 дх! 1 дх1
(а)
относительно неизвестных функций хк (х), —(х).
дх1
Система (а) вытекает из уравнений (а) задачи 5.1.43, существование невырожденного решения (а) гарантирует, что в системе координат хк‘ объекты связности Гк], (х') равны нулю. Условие Skj = г'Е — Гд = = 0 гарантирует выполнение условий интегрируемости первых уравнений (а):
д*хк'	д2хк'
дх‘дх!	дх1дх'
Тождественное выполнение условий интегрируемости вторых уравнений (а) обеспечивает требование Rkj k — Q. Следовательно, система (а) при Skj = 0 и Rkj k = 0 является вполне интегрируемой и имеет решение >	• dxh'	•
для произвольных начальных значений х'1'(О) = х0\	(0) = х?',
дх1 о которые подбираем так, чтобы | xft^| #= 0.
5.1.47.	Вычисления проводятся непосредственно с учетом Г^- (О) = = 0. Например,
/ dR^ •
ph _________ | li'k i_ pa рЛ _____ ph pa ____ ph pa
“ I dxi Xij,kl la ^af^li Kia,kllj^
nh pa
dRkik n ( d^hkl d^hji
О дх1	\ dxldx’ dxldxk
a2rh	52Гй
-= —~ (0)-----------Л- (0).
дх1дх'	дх1дз^
§ 2
5.2.1.	Сфера единичного радиуса.
5.2.2.	Торс (развертывающаяся поверхность).
5.2.3.	ф3 =	где = b^b^g111.
5.2.4.	Куг — 2Н ф2 + ф8 = 0, где К и Н — полная и средняя кривизны поверхности. Равенство получаем из следующих соотношений:
Фз = Ь^Ь^йхЧх’,
ф2 = btjdxldx!’, 2Н = b^g1*,
ф3 — 2Яф2 = (blkbjt — btjbkl) ^ldxldxf.
Но
(.bikbil - bijbkl) Skldx‘dx^ --~.^2 . g dxldxl.
§llg22—gl2
5.2.5.
фГ = (gi’i'b2’j- — g2’i'bi'j-i dx{'dx>' =
dxa dxp dxb dxf> dxv gx2’ dx1' dx1'
X
, dx1' dx1'	„ „ dxa dxp .
~d^ (8ab w ” 8pb ap> dxW = 77 77
, \ n' I dx1 dx2 dx1 dx2 \ .	,
spm an) d dx ~[дхУ’	j ^lmb2n -
dxi dx1'
Ф4-
— g2mbln) dx>ndxn =
5.2.6.	Легко показать, что | gs,j. Следовательно,
I gij | (задача 5.1.20),
Ф4
Ф4
Ф4 ггггтт rrgzn ф4‘
5.2.7.	Отнесем поверхность к линиям кривизны. Тогда
Ф1 = gu (dx1)2 + g22 (dx2)2,	_ bllb22
фа = Ь1г (dx1)2 + &22 (dx2)2,	~ gng22 ’
= _gllb22 ~ g22&H_ dxldx2 H= 1 . bllg22 + bMgli . .
/gng2	2 gug22
Исключив из этих равенств dx1, dx2, получим искомую связь
Ф4 = — Кф? + 2Нф!ф2 — Фг-	(а)
Поскольку все формы и коэффициенты инвариантны, то равенство (а) имеет место в любой системе криволинейных координат.
5.2.8.	Если г = г («9 — уравнение поверхности, то r = r((E(s)) — уравнение кривой, лежащей на ней. Вектор
-< dr -> du‘
X = -г- = rt —J— = kfrt
ds ds *
есть единичный вектор касательной к ней, а
dx
ds
- 6s rt +
где п — единичный вектор нормали к поверхности. Пусть vx =	—
единичный вектор, лежащий в касательной плоскости, перпендикуляр-
-»	XI i ->
ный кт и имеющий направление вектора —— гг. Тогда
os
6kl i
-j— = op1, 6s n
где о — модуль вектора —— rit т. е. геодезическая кривизна кривой, os
Поскольку
dvj би/ -> i d -». dx -* . -> dvj п = —г— rt + &,,p‘Vn, —т— (т, vr) = —j—vx + т —-г2- = 0, ds 6s 1	ds ' v ds 1 ds 1
то

о.
„	.	dvi
Поскольку vx — единичный вектор, то — $ - перпендикулярен к vx и
би тогда
OS
h/.‘. Подставляя это равенство в (а) и учитывая, что т2 = 1, т. е. gijhW = 1, получаем h = — о.
5.2.9.
!	GEU-2FFU + FEV
11 2(EG —Е2)	’
Н _ GEo — FGU
12 ~ 2 (EG — F2) ’
Н -FGV + 2GFV-GGU
22 “	2 (EG — F2)
(и = x1
5.2.10.
Г1.ц = о,
Г1,12 = °«
р2   FEu 2,EFи	ЕЕ„
11	2 (EG — F2)
г.2 _ EGa — FEV
12	2 (EG — F2) ’
г.2 _ EGV	2FFv-\- FGU
22	“	2 (EG — E2)
v = x2).
Г2 Ц = — sin <0(0*1,
^2,12 = °>
Г, 22 = — sin fflOji, г2 22 = О, 1	n	<t>vl
Г ! = Ctg ШШ,,	Г?! =------;---
“	*	“ sin co
Г}2 = 0,	rf2 = o,
Г22 = ~ ~Sin<0 ’	Г22 = Ctg
5.2.11.	cos ш = — 2 - => tg ш = —El!—i-L , V gllg22	§12
5.2.12.	Примем линии семейств, определяемых дифференциальным уравнением, за координатные. Тогда а11 — а22 = 0 и формула принимает вид
tg 0 = —' — -ут-=	, так как g12 =
/1&/12Л	§12
gl2 vWi ’
Это равенство справедливо в силу задачи 5.2.11. Поскольку при преобразовании координат линии семейства сохраняются, тоа£/- — тензор, компоненты которого после преобразования координат, возможно, умножаются на некоторый множитель, что, как показывает формула, приведенная в тексте, не играет роли. Упомянутая формула записана в тензорной форме, следовательно, она справедлива при любом выборе координат на поверхности.
5.2.13.	Имеем
0g • 
Qxk = ^i,ik +	= Rji^ik SiSkj-	(а)
Рассматриваем эти уравнения как систему дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка для определения функций gt-y. Выписываем условие интегрируемости системы:
д2§и	g2git-	р
dxkdxp	dxpdxk
ИЛИ
§₽/<( +§Х.р = °>	(Ь)
где
дг/ дг/
р/ ____ lk__________iL- —I— Г< г/ _ Г* г/
Имеем всего три линейно независимых уравнения (Ь) относительно g,-y-: gll^L.l + §12^12,1 = °> £22^12,2 + 512^12,2 ~
£11^12,2 "b S13^12,2 "Ь §22^2,1 "р £12^12,1 ~ 0«
При этом следует учесть, что R?kl л « — Rfk {. Из первых двух ра-венств находим
О»2
811 — Г £12> St2 —	2~ S12>	(с)
а1	а2
где al = Т?{2 {. Тогда третье равенство приведет к двум случаям:
1) а} + а2 = 0;
ЧТО
£12 >
д дх1
2) а[а2 — а1а2 = 0 => |	| = 0,
невозможно. Подставим значения (с) в равенство (а). Сократив на получим пять искомых равенств:
4) + 2ri'2-ri2
а2 /
«(«2
а|1а2
, / „2 \
д I ___L I -U 2Г2 __Г2 
5X2	12	12 а1“2
-1“2
/	1 \2	j
о / а2 1	9	1 а2
гМ-4 -<г12-г}1)-4=°-\ а2	/	а2
1	/ “1	Y	1	2	а1
^22 I Г I (^12	Г22) j- = 0,
\ а	/	а.
(о \	9 1
“1 | д_ ог2 Г2
Г и ~1 п ГТ
а! }	«1^2
(1 \	2 1
“2 I	9Г>	Н	“'“2
—F ) ~Г Z1 22	— 1 22	ГТ
а2 /	«1«2
/ а2 V	о а1
Г2 -г -(rii-r?2)-^ = o, \ а /	а.
(1 \2 1
4- -(г22-г;2) -^-=0, а2 у	а2
а[ +	= 0.
(Ф
5.2.14.	Если V> т/ — параллельно переносимые вдоль одной и той же кривой векторы на поверхности, то
Dl‘ =	= 0,
(а)
Dt]! = dr]7 + T'^rfdx4 = 0,
где D — знак абсолютного дифференциала. Угол между векторами определяется по формуле
а Sii^1
COS 0 = ------z----	,  - .
V gj/nV
Взяв абсолютный дифференциал от правой части последнего равенства и учитывая, что Dglt- = 0, получим требуемый результат. Этот же результат можно получить иначе. Угол 6' в соседней с точкой М (х‘)
точке М' (х{ + dx1) определяется равенством
(«и+И
а, \‘дхУ
COS 0 = -- - 	- -	-—
1/ + + +
X l/r{gi/ + -^~-dx9}(i]i + dT]i) (r^ + di)')
V \ dx4 /
Ограничиваясь членами первого порядка малости и принимая во вни» мание равенства (а), получим
а-	в- о
cos 0 = — — -—  •  -------- , т. е. 6 =0.
У У
 2 15 R	1 ( д**И	diSki	diSn	d'gki \
lk,ii	2 у dxkdxl	dxldx'	dxkdx’	dxldxi /
5.2.16.	Одну компоненту (например, /?1212).
5.2.18.	Поверхность следует отнести к линиям кривизны. Тогда (см. задачи 5.2.3 и 5.2.7) g12 = 612 = О,
2 2	2 -2	о
„</„ „Чь h J* W22+W11	( bugw + b^gitY
8 vlf-g bklbsjf =—^2—-I,--------------------------)
— 2 —J1!22. = 4№ — 2K. gugtt
5.2.19.	Отнеся поверхность к линиям кривизны, получим Л2	1,2
ЬП	-	°22
Yii---~	• Via — Y21 — 0. Y22-z •
gu	git
Пропорциональность форм <Pj и <р2 приводит к равенству
/ Ь 11 \	/ Ьяп \	Ьц	Ьц
—— = —— , откуда -11- = ± ——.
\ gu /	\ ga I	gu	git
При знаке «+» имеем сферы, при знаке «—» минимальные поверхности.
5.2.20.	В этом случае уравнения
=	<,/.*=1,2,
вполне интегрируемы. Интегрируя их, получим конечное уравнение ПЛОСКОСТИ!
7=7(> + r0iul, где
Ut = Ui (х\ X2), ^?5j)=gZ/ (x$).
Решением задачи будут все изгибания плоскости, т. е. торсы.
5.2.22.
V fri) =.gV -? 9xl~«. ст» =. 822
( ’ 8 dx1	dx' 8	|g17l ’
V(xi, x2) = gf/= g12 =» — -/1а, .
дх‘ дх1	I £<7 I
5.2.23.	x\ = 6j, x}t/ = — Г}7,
д (^) = - g'/r*, = - g‘f (g^ tj + gi*r2 lj)
, д&/	д8и \	g12 ii( 9Sn , ^2/ дёц
дх1	дх' /	° 8
•=—-— h g-1 —-^g-I ёц i2 vs" 9x1
+ 1Г8п~^ ^8ii
2 в \ дх’ дх1 дх2, У
1 d .	. Sg12
~ ТЙ2 ~дх^18и । ~18и । "а^2" _______1	/ д ( ём \________
19x1 \ УТё^1 J
9 (	S12	\\
9x2
5.2.24.	Направления кривых определяются отношениями дифференциалов dx1 : dx2 = <р2 : (—cpj), бх1 : бх2 = (—ф2) : фп следовательно,
cos 0 =	— glltP2^2 + gl2 (ф2Ф1 + Ф1Ф2) — g22<P14h	_
Уёи<Р2 — 2gl2ф2фl + g22фf Кgll^2 — 2^12^1’2'Ф1 + ёы^
Выразив здесь g(/- через g11, получим требуемое равенство.
5.2.25.	Условие сопряженности сети — ^пФаФг + ^12 (Ф2Ф1 + + Ф1Ф2) — б22<р1ф1 = 0 (см. задачу 5.2.24). Заменив Ь{^ через 61/ при условии | bif-1	0, придем к требуемому равенству.
5.2.26.	Проверить справедливость равенства в координатной сети, состоящей из линий кривизны. В силу инвариантности равенства относительно преобразования системы координат на поверхности оно будет справедливо и в любой координатной сети.
5.2.27.	Имеем
gl!^12 6tlgia _ g11b22 ------ 611g22 _ ё12&22 ---6j2ga)
gu	2g12	g22	’
(через £ обозначена величина общего отношения). Отсюда
(^12 s) gii 6ug12 = О,
6a2gn 2sg12	611g22 = 0,	(a)
&22ё12	(612 4~ s) 822 = 0»
Приравниваем к нулю определитель при gu, g12, gM:
S3 S (&j2	*11*22) = 0,
S1 — 0, S2 3 = ±	— *11*22-
Подставляя значение корня sx в уравнения (а), получаем
£и _ £12  £22 *11	*12	*22
Поверхность является сферой. Подставляя значения корней s^3, получаем
£и ____________£12________ £22 ______________£12________
*12 +	*11*22 ’ bil	± ^2 “*11*22 ’
Перемножая эти равенства, имеем gng22 — g,2 = 0, что невозможно. Следовательно, единственной поверхностью, удовлетворяющей условию задачи, является сфера.
5.2.28.	Пусть Ф и Ф* — две произвольные поверхности, отнесенные соответственно к координатам хг, х‘ , a g^, g^j, — их первые метрические тензоры. Пусть между поверхностями установлено конформное соответствие. На поверхности Ф* перейдем к координатам х1 с тем, чтобы соответствующие точки имели одинаковые координаты. Тензор gi,j, преобразуется по формуле
дх1' дх'' 8ii~Si'!'~dT~dT'
Пусть на обеих поверхностях координатные сети ортогональны, g12 = = £1'2' = 0- Конформное соответствие сохраняет ортогональность, следовательно, g12 = 0. Поскольку при идентифицированных координатах в конформном соответствии должна иметь место пропорциональность компонент метрического тензора, gu : gn = g22 : g22, то получаем два уравнения с частными производными первого порядка для определения функций х1 (х1)-.
- __ дх1' дх1'	дх2' дх2'
£i2 —	.+ £2'2' “йхГ-	— °>
или
дх1' _ , Г £2-2- gtl дх2' дх2'	^1'1' £11 дх1'
дх1 — |/ grl, g22 дх2 ’ дх1 ~ у g2,2, g2t дх2
(а>
г
Это система типа Коши. Ее решение зависит от двух функций одного аргумента. В частности, если обе поверхности — торсы, то, относя их к ортогональным геодезическим сетям, получим gn = g22 — 1, gl,i, — i = ^2'2' = 1 • Уравнения (а) становятся известными условиями Коши — Римана:
дх1' дх2' дх2’ дх1' ~дхг~~д^~ ’ ~дх*~~ дх^~ ’
5.2.29.	Требуемое равенство записано в тензорной форме, поэтому достаточно проверить его справедливость в какой-либо конкретной системе координат. Возьмем систему линий кривизны. В этом случае §13 = ^12 = 0 и
^11 — §22 — 0, ^12---- 2Л_- , Л21 —
У gllg22
, fc2 =	, cos 0 = Kg^1,
§11	§22
Подставляя выписанные величины в заданное его к тождеству.
5.2.30. Запишем систему уравнений
§22§11
£11^22
sin 0 = /g22AA
равенство, приведем
aii k =---Г-----rl/as» — rifeas/ = °*	(а)
1 >к dx* к 54	*
Условие полной интегрируемости имеет вид
aqiRkl.i + aURkl,q = Q-
Здесь всего два независимых уравнения, из которых находим р2	nl
а11 =	а12	> а22 ~	а12 "Гл •	О’)
^12,1	*12.2
Тензор кривизны i составлен из компонент метрического тензора giy-, следовательно, равенства (d) задачи 5.2.13 выполнены, а потому будут выполнены и равенства (а), если в них подставить найденные значения atj. Можно, таким образом, выбрать произвольно а12. В частности, если а12 = g12, то в общем случае an = gn и а22 — g22. Действительно, взяв, например, первое равенство (Ь), имеем
а11^12,1 + §12R12,1 = 0-
В то же время
£11^12,1 + §31R212,1 ~ ^11,12 = 0-
Отсюда при /?}2д =/= 0
(аи — §и) Я} 2,1 = 0. тогда аи = gu.
Аналогично, если R22 2 =/= 0, то а2г = gl3.
5.2.31.	Поскольку — const, то Гц = 0, следовательно, R§t ( = — 0. Имеем поверхность нулевой кривизны (торс).
5.2.32.	•= const, имеем торс.
5.2.33.	Подставим производные —из уравнений дхг
dba t 1
в уравнения Петерсона — Кодацци:
д6ц   ^12 I pZ h  yl h
дх2 ~ дх1 +1Иг’й	ЧЛр
^21 _ ^22 I pZ l  pZ k
дх2	hl2pZ2	Wzi*
Получим
Г^и + Г?2Ь21 — Г'{1612 — Г|2£>22 = О,
^22^11 4" ^22^21	1^21^12 — ^21^22 = О-
Если поверхность не является сферой, то отнесем ее к линиям кривизны.
Тогда g12 = 612 = 0 и последние уравнения примут вид
(822^11 + 811^22) =
0Х12 (822^11 4“ 81Л2) — 0*
Возможны два случая:
1°-	= ~д^~ = °’ слеД°вательно- 81i = 811 (Я. 822 =
= g22 (х2). В результате преобразования параметров получим gu = = £22 ~ 1- Тогда Г*. = 0, отсюда Ьи, Ь22 постоянны. Поскольку =— = 0, то К = 0 => &п622 — 0. Пусть 622 = 0. Линии х2 — образующие торса. Поскольку ортогональные к ним линии геодезические (что следует из равенств gvl = g22 = 1), то имеем цилиндр
r = p(u) + oZ, I = const, |Z|=1, u = xl, v-=x2, где и — длина дуги линий v ~ const. Отсюда
г„ = р' (а) = т, г„ = /,
т — единичный вектор касательной к направляющей р = р(и), гии = = fev, где v — вектор главной нормали направляющей, k — ее кривизна. Из равенства	= —(Гцы’ Гц’ fvl— = k = const следует, что ци-
' 811822	81
линдр круговой.
2°. 822^114-81^22 = 0, -^-#=0, -^-=^0.	(Ь)
Из равенства (а), полагая, что I = 1, / = 2, k = 1, и I = 2, / = 1, k = = 2, и учитывая соотношения (Ь), получаем Ь1Х = 62а = 0. Имеем плоскость.
5.2.35.	Находим
du2_______Фи1 d2u2
du1 ~	<p„2 ’	(du1)2 =
~ Фи>и> <Фи’)2 + 2фщи’Фи’Фи’ ~ Фи’и» (Фи»)1
=	(Фи’)3
и подставляем в дифференциальное уравнение геодезических линий: d2u2 , п2 , отй du2 , r2 ( du2 \2	du2 (ri , ог1 du2 ,
[du1)2 + Г11 + 2Г12 dui + 122 \ dui j	du1 V 11+Л12 “dur +
2'
22
5.2.36.	Находим предварительно
Sii = 1 + / 2> Sis = 0, 822 = (ul)2> t>u *= у i
b$t “ 0,
^22
«V'
Г,1
f f r2 ______л pl ___л p2 ____ ) pl _____
111~ u' 112 — u> 1 12 “ U1 > l22~
и1
Г2 — 0 1 22 — u'
По формулам, определяющим ковариантные производные тензора, получаем
д j f \	F' (Г)2
('ll,! = -^Г (	- 2 (1 -|_ р)«/, ’ &11,2 = *12.1 = Ь22,2 = 0.
h„.=_L / и1Г \ _ 9 f
22,1 ди1 у у 1 j уj f'i ’ ь _	___________f
12,2	(1 + Г)3/!	(И-Г2)*7’ 
5.2.37.	Вдоль параллели имеем u1 — const. Следовательно, уравнения, определяющие параллельный перенос вектора, имеют вид
+ r'2V'du2 = 0, d|2 + r22^du2 = 0,
или (см. задачу 5.2.36)
= ] + /'2 ^d“2’	“ тг
ИЛИ
—5	=du2.
и______ га __ gi
1 + f'2 6	и1 6
Интегрируя эту систему, находим
4-^1)2 + ТТ7г(52)2 = С1’ “2 + c2 = -VT+F2x
X arcsin ( ]/" (1 + ^,2) £2j ,
где С1г С2 — произвольные функции от и1. В начальный момент V = = и1, £2 = 0, следовательно, С\ = и1, С2 = —и2. Не нарушая общности (поскольку имеем поверхность вращения), положим и2 = 0. Тогда С\ = и1, С2 = 0. Таким образом,
11^
g1 = и1 cos — _ _ , £2 = —	1 + f'2 sin —	.
Г1+/'2	/1+Г
Поскольку
Tj = (cos u2, sin и2, f), r2 = (— u1 sin u2, u1 cos u2, 0),
то вектор I = gVj + в точке M (и1; и2) определяем из равенства
“*	/	11%	г—^——	и%
I = и1 cos и2 cos —	и1 sin и2 У 1 + f'2 sin —— 	,
\	Г14-Г	/1 + /'2
п2	______ fj2
и1 cos и2 У1 + f2 sin —.	,
и1 sin и2 cos —,-
К1+/'2
U1/' COS
В частности, после полного обнесения вектора вдоль параллели и1 = = const нужно положить и2 = 2л. Тогда
= (и1 cos - - , \ К1 + Г
—и1 У1 + f2 sin —t 211	,
У1+Г2
и1}' cos
2л
Начальный вектор есть Zo = {ц1, 0, и1/'}. Угол <р между начальным и конечным векторами определится равенством
Z„Z,	2л
cos го =	— = cos — ------ .
UolUd /1 + Г
Этот угол не зависит от кривизны поверхности, а только от величины Так, при f =У"Т5 имеем lt = {0, —4м1, 0} = — 4гг, что перпендикулярно Ze; при f = /3 имеем = {— и1, 0, — и1УН] = —10. Для плоскости и только для нее Zx = Zo (/' = 0).
5.2.38.	В этом случае du2 = 0, gg = 0. Следовательно, (ем. задачу 5.2.36)
d? = -	I1-**1, dl2 = - T^du2 = - ± l2du\
г
Имеем g1 И1 + f'2 = Clt g2«* = C2, где Cj, C2 — произвольные функции от и2. Но = 0 Cj = 0. Пусть при и1 = и10 имеем
£2 = Й => Са = Во“о> "н = (cos«2. sin и2, /'}. '’2 =
= {— u1 sin и2, и1 cos и2, 0), dr2 (и2 — const) =
/йД —»
= {— sin utdu1, cos u2du\ 0} = ui~ г%-
Если вектор, переносимый параллельно вдоль меридиана, есть
7 = t,lri, то <U = dllrt + %dri.
! Для вектора, касательного к параллели, имеем
- 4-	+«2 -4- о=°-
5.2.39.	Имеем du2 =0, gg = 0,
dl1 = - I^gW -----------4^72- ^Ы1’-
I	dg2 = -r21gw =--------
Интегрируя уравнения, найдем
где Сь С2 — произвольные функции от и2. В начальной точке имеем g2 = 0, откуда С2 = 0. Следовательно, g2 = 0. Если в начальный момент u1 = Uq возьмем g1 — g'o, то
Q = fo-
Таким образом,	_____
ЕоК I + /о /1 + г2
Отношение модулей перенесенного и первоначального векторов равно
т. е.
g^^+f	,
^Ki + /Os
Это действительно так, поскольку меридиан — геодезическая линия поверхности вращения.
5.2.40.	Уравнения геликоида
х = и1 cos и2, у — и1 sin и2, г = hu2, Л = const.
Отсюда
gu = 1 > Sit = 0- ём = (М* + л’.
pl ___р2 ___ pl __ р2 __р р2 ________________ pl _____	1
1П __ 1 и — 1 12 — а 22 — и» 1 12-(u1)2 + /l2 ’	*22------U *
Для винтовой линии u1 = const. Поэтому du1 = 0. Тогда уравнения, определяющие параллельный перенос вектора, принимают вид
dgi = — rJ.2Vdu2 = u^du2,
= -  (ц1) <^2- №.
Интегрируя (при и1 = const), имеем
V и1'2 + Й2
t2 C,	u1 (C2 — u2)
V и12 + Л2 V i?2 4- ft2
где C2 — произвольные функции от и1. Пусть в точке и{0 начальный
вектор есть £q. Тогда получим два уравнения для определения С1( С2:
f2 —______ Ci cos “° (Сг
So — г------- COS г ---------------- •
V + /I2 V Ul2o + h3
Если, например, и'о = 1, и2 = 0, gj, = 1, gg = 0 (начальный вектор лежит на образующей геликоида, а именно на оси ОХ), то
Ci = -1, С2 = /1+Л2-^-.
Следовательно,
/Г+^-^-п2
Kl+/l2"_„2
£2 ------- cos--------,	----.
/1 4- h3	/14-й2
Чтобы найти конечный вектор {5*1, I*2), в последние равенства следу-ет внести и2 = 2л, после чего следует найти угол 0 между двумя векторами
X = &Й +	={1.о, 0}, 7* = I*1?; + г372‘,
где
7; = {i, о, о}, 7* = {о, 1, л}.
тт 1 —I— h* — 4	2тт
Получим cos 0 = sin-^----. Отсюда 0 = —-	При
2	/1+й2	/1 + й2
ft = /Тб имеем 0 = -2-, т. е. касательный вектор к винтовой линии it поворачивается на угол .
§ 3
5.3.1.	По формулам (24) имеем для кривой у'
dr2 = (rz, rz) dxldx!.
Пусть вдоль этой кривой (rz, г у) = yZ/-. Тогда, в соответствии с теми же формулами, дифференцируя вдоль кривой, получаем
dY;/ = (drlt г/) + (7Z, d7y) = (Г?Л/ + Г7 W dl^>
ИЛИ
_ ,vh ।	,, \ dx>i	(Я\
ds (гмТй/ + ds	W
(х/г = xk (s) — уравнения кривой у, s — ее длина дуги). Задаемся начальной точкой Л40 (s0). Положим
Уц (*о) = gij (*k («о))-	(Ь)
Получим единственное решение системы (а), а именно y(j- = yZy (s). В то же время
dgtj = (?ikgii +
В частности, для кривой у
+	(с)
Сравнивая (а) и (с) и принимая во внимание начальное условие (Ь), заключаем, что на кривой у имеют место равенства yZ/- (s) = g^ (xk (s)), следовательно,
dr2 = gi/dx^x1 — ds2.
5.3.2.	Если у, yi — две кривые, направления которых определяются соответственно дифференциалами dx‘, 6х‘, то
dr = ridx1, 8r = r/8x'.
Угол между векторами dr и 8г, т. е. между кривыми у'и yt, находится по формуле
(dr, 8r)	(г{, ri) dx(8xl
cos 0 —	= —	-—-—	----.
| dr 11 6г | V 7/, гу) dx'd*' (7. 7/) 8х18х!
При интегрировании уравнений (24) вдоль каждой из кривых мы полагаем в точке их пересечения (г,-, г,) = g^, следовательно, gijdx'bx'	а
cos 0 = ——	‘ -—	— = cos 0,
V gijdx'dx' V gifix^x1
т. е. угол 0' между кривыми у', у! равен углу 0 между кривыми у, -yj.
5.3.3.	Единичный вектор касательной к кривой у' есть т = -» dx1
= ri~< откУда
dx drt dx1 -» d2x*	dx' dx1 d2xk \ -»
~ds~ “ ~ds~ ~dT + Гк ds2 ‘i ds ds ф ds2 } rk'
Если у — геодезическая кривая, то правая часть равенства равна нулю, следовательно, т — const. Это и означает, что у' — прямая.
5.3.4.	В этом случае система уравнений (24) должна быть вполне интегрируемой, это приводит к равенству R1^ ( = 0, что определяет евклидово пространство.
5.3.5.	Площадь находим по формуле
дх'	дх'	дх'	дх'
&1!	ди	ди	ди	dv
дх'	дх'	дх'	дх’
g'i	dv	ди	dv	dv
Отсюда
2	1
S = Г du С VЗи3 + 8м2 + u2v + 3uv dv =
1
5.3.6.
2	2	2	/______________________
2	2	2
J du J dv § Уuvw dw =
1 1 1
/ 9	\3
= 4 (2/2-1) .
a, (5 = 1, 2, 3, u1 = u, u2 = v, u3 = w.
5.3.7.	Два направления взаимно перпендикулярны, если g^jdx'bx' = 0.
В данном случае это равенство принимает вид
= a, p = i, 2.
Запишем теперь искомое уравнение
дх‘	дх1	дх'	дх!	,
Ы2 Sii ~dfi~ ~д0~ + Sii ~dir ~dfl ' 6?	дх'	дх1'	дх‘	дх'
8‘i	dt1	dt2	dt2	dt2	'
При этом в коэффициенты g(l- вместо х‘ нужно подставить функции Х{ (t1, t2).
5.3.8.	В выбранной системе координат на поверхности 2 имеем £1з — £зз = 0, следовательно, g13 — g23 — 0. Из системы (24) находим для произвольной кривой у на поверхности 2:
dr dxa
ds ~ ra ds ’
d2r ( d2x'! , v dxa dxti -» , ^3 dx* dx$
ds ~\ ds2 1 “P ds ds)ry+ “P ds ds fj”
d2?
-^3---вектор кривизны кривой у, а его нормальная составляющая
Г3	£ззг^хИ^ -*
“₽ ds ds Га~ gatidxadx? П’
где п — единичный вектор нормали к поверхности 2'. Коэффициент при п есть нормальная кривизна поверхности 2 в направлении dxa:
к_ Vg^3^dxad^
ga^dxadx^
откуда
(^£п — V£ззгп) W*1)2 + 2 (й§12 — /£ГзГ?2) dx'dx2 + (kg2i —
£33^22) (dx2)2 = 0.
Экстремальные значения кривизны находим из уравнения
(£ii£22 £12)	1^£зз (£11^22	2^12Г12 4-§22^11) +
+ £зз (^11^22 ffu)2) — 0>
Полная кривизна К поверхности есть произведение экстремальных кривизн:
Г?1^2-(Г?2Р о S11S22	g]2
Д’ —	— g33
(2dgis — dgn 'i (2dg™ — dgaa —(dgi2 V 1	\ dx3 dx3 / \ dx3 dx3 /	\ dx3 )
4gS3	gll&S — §12
Примечание. Дифференцирование по x3 осуществляется до того, как в производные подставлены значения х3 = const.
5.3.9.	В данном случае система уравнений, определяющих параллельный перенос,
+ г*#	= О,
ds ‘/s ds
или
dt,k 4- Vki^dxi = О справедлива для любых значений dx', а потому
= о.
дх'
Эта система должна быть вполне интегрируемой, что приводит к равенству
= 0-
т. е. Уп — евклидово пространство.
5.3.10.	Геодезические линии пространства Vn, проходящие через точку М в указанных направлениях, являются также и геодезическими линиями поверхности 2. Любая нормальная кривизна поверхности в направлении ее геодезической линии есть первая кривизна этой геодезической, рассматриваемой в качестве кривой объемлющего пространства. Но это означает, что каждая такая кривизна равна нулю, следовательно, и средняя кривизна поверхности равна нулю. При п = 3 поверхность 2 есть гиперповерхность пространства V3. Как полная кривизна такой поверхности (произведение экстремальных нормальных кривизн), так и средняя ее кривизна (сумма нормальных кривизн; нередко берется в качестве средней кривизны их полусумма) равны нулю. В то же время, если по замкнутому контуру на поверхности 2, проходящему через точку М, какой-либо вектор обнести параллельно (именно по поверхности) и стянуть контур к точке М, то предел отношения угла между первоначальным и обнесенным векторами к площади поверхности, окруженной контуром, будет, вообще говоря, отличным от нуля, но равным кривизне риманова пространства в точке М. и в двумерном направлении, определяемом векторами и т/.
5.3.11.	Приведем форму <р — g^-dx^x1 к сумме квадратов
<р= (ш!)2+ ••• +(<о")а, где
ш' = Xj (х*) dx', | Xj | =т^= 0.
Составим систему уравнений
ш1 = 0, .... <вп—1 = 0.
Это система обыкновенных дифференциальных уравнений вида
~~ = Ф1 И)...........= ф"-1 (X*), k = 1................п.
dx”	dx1
Интегрируя ее, получим (п — 1)-параметрическое семейство кривых х“ = х“(х1, Сп . . . ,	a=l,...,n—1.
Через каждую точку некоторой области D Q Vn проходит одна и только одна кривая этого семейства. Такие семейства построим для каждого сочетания из п — 1 индексов. Всего получим п семейств. Через каждую точку области D проходит по одной кривой из каждого семейства. Пусть
—>	—*
dr = <o‘7i.
Так как
dr2 = ds2 = <р = (со1)2 + • • • + (<оп)2, то
4
а потому полученная сеть линий ортогональна. Однако в общем случае она неголономна. Преобразование координат, о котором говорится в задаче, есть
dyi — (al — /J.dx1.
Координаты у1, вообще говоря, неголономны.
5.3.12.	Пусть х1 =	(u“), i, j, к, ... = 1.п, а, 0, у, ... = 1, 2,—
уравнения поверхности V2;
d% = - V^dxk	(а)
— уравнения, определяющие параллельный перенос вектора; и“ = = иа (s) — уравнения контура у. Тогда для определения вектора £ имеем систему обыкновенных дифференциальных уравнений
— г', (,'(»-,.»)	(Ь>
Интегрируя ее, получим единственное решение = s1 (s), принимающее при s = 0 (начало переноса) наперед заданное значение Если Sj — длина контура у, то g, = (зх) есть вектор, получаемый в конце переноса. Пусть -----Д<р — угол между векторами £} и t}q. Его можно
найти, проинтегрировав систему (Ь). Учитывая, однако, что контур у стягивается к точке Л10, можно найти искомый предел и не интегрируя этой системы. Выберем в качестве g‘ произвольную функцию аргумен
тов иа, которая удовлетворяет условиям
где «“ — значения параметров иа, соответствующие точке Л40, и при подстановке значений иа = иа (s) удовлетворяет системе (Ь). Это всегда возможно, поскольку равносильно проведению поверхности через заданную кривую так, чтобы в начальной точке она касалась заданной плоскости, содержащей касательную к кривой. Подставим эту функцию в правую часть уравнения (а), которая тем самым становится некоторой формой Пфаффа:
<о‘ (u“, du“) = - Yljk (? («“)) v (иа) dua.
ди
Эта форма в общем случае не есть полный дифференциал функции переменных и“, но в силу выбора функции g* (и“) имеем
со1' (u“ (s), du“ (s)) = d£t (s).
Поэтому приращение Ag1 вектора gl можно найти с помощью формулы Грина
Ag* = f <of = _ f rLgz dua = J	J	dua
V	V
_ СП/rig*--Л-fr'g*=
J J \ du \	/ du2 \ k du //
D
= f J FR^duidu*.
D
Поскольку контур у бесконечно мал, то правую часть последнего равенства можно заменить подынтегральным выражением, которое, в свою очередь, близко к значению этого выражения в точке Мо:
ДГ«
к, 1 / dxk дх1 dxk дх1 \
^e* - —(^1- а?-------д^-ы) (нуль внизу здесь и далее
отбрасываем). Следовательно, угол между векторами gf == gf -}- Agf и г)* определится по формуле
соэ ---Дф^ = sin Д<р як Д<р « gi^PR^ ^^d^du2 =
= Rki^1 	(&V - eV) du^du2.
Положив
5**	,•	, dxi
^-г = ^+₽п‘. -^“vE' + вч*
и учитывая, что —единичные, взаимно перпендикулярные векторы, получим
Лу-f Л-/
(аб - Ру)2 = gil	= (g{/gkl - gikg^ xlt<x'1,
хР1 = (аб — Ру) ~ (5РТ)' — 6/т]р).
Кроме того,
AS = 1/"I gu	I du'du*.
V Г диа ди? I Следовательно,
,л г дф	^u,kixtixkl
К = lim -r-р-  ------------------гг—гг .
AS-0 AS	(g{lgkl-gitgf^xlltx’1
5.3.13.	В формуле, определяющей кривизну К (см. задачу 5.3.12), бивектор х1/ произволен. Следовательно,
Rtj.ki ~ % (SikS/i ~ RiiSjk).
5.3.14.	Из равенства, полученного в задаче 5.3.13, имеем
Rik-^i.ugil = ^-n^sik.
Примечание. Взяв от обеих частей равенства из задачи 5.3.13 ковариантные производные и использовав тождество Бианки — Падова для ковариантного тензора кривизны, придем к соотношению
Кт (gifegji	SuS/fe) “Ь Ki (gjkgml gjlgmk) Kj	gmlgik)
у dK Kl dx1 '
Умножим это равенство на glm и свернем:
(glkKi-glkKf)(n- 2) = 0.
Умножим последнее равенство на g,k и свернем:
Ki (п — 1) (п — 2) = 0.
При п > 2 получаем К,- — 0, что доказывает теорему Шура. Для п = = 2 по определению пространство постоянной кривизны есть то, для которого К — const.
dx1
5.3.15.	Для кривой х1 = х1 (s) вектор т1 = есть вектор касательной (единичный). Искомые формулы получаем как формулы касательного евклидова пространства. Прежде всего, имеем единичный
„ -» dr -» dx‘ „	-»
вектор касательной т =	Далее, производная вектора т
есть перпендикулярный к нему вектор, модуль которого й, есть первая кривизна кривой:
dx
-зг = й№
где Vj — единичный вектор. Производная вектора v, есть вектор, перпендикулярный к Vj. Следовательно, он лежит в подпространстве, содержащем вектор т. Возьмем двумерную плоскость, определяемую векто-
dv,	-	j. “*
рами т и —	и в ней единичный вектор v2, перпендикулярный к т.
Тогда
= ат + fyv2.
Дифференцируя равенство (т, vj = 0, получим а= —fy.
Коэффициент fy называют второй кривизной кривой, вектор Vj — вектором первой, a v2— вектором второй нормали кривой. Вектор v2 перпендикулярен к векторам т, vP „	dv,	-»
Его производная лежит в подпространстве, содержащем т и vlt
_	dv„ -»	.
Возьмем двумерную плоскость, проходящую через ----- и Vj, и в ней единичный вектор v3, перпендикулярный к vt. Очевидно, v3 перпендикулярен и к т. Тогда dv,	, ->
Из равенства (Vj, v2) = 0 дифференцированием находим [3 =—fy и т. д. Построим ортонормированный репер из векторов т, Vj, v2, ... .... vn_j. Пусть
.dVfI~1 = ах -f- alvx + • • • + ап~2vn_2, ds
»» K-i.
т) = 0, следовательно, a == 0. Далее (vn_j, vj = 0 => .... (v„_i, vn_2) = 0 => a"'2 = - Kn_2. Искомые форму-
лы Фрейе: dr -* ds
dx . dvx	dv» .	,
-*-=-М + М2, -/ = -*Л +
->	iiyn_2	-*
+ fegVs, ....  2vn—3 + kn—lvn-l»
dvn-i
—fa	kn-2vn-2.
При этом считают, что fy > 0, i = 1, ..., n — 1. Это однозначно определяет направление векторов V/.
5.3.16.
становится
5.3.17.
Полагаем V =	Тогда равенство
d£‘	, , dxk
+ rLV —г~ = о ds	' ds
эквивалентным уравнению геодезических линий d2x‘ , dx’ dxk ds2	ds ds
Имеем g12 = 0 => g12 = 0,
Rii =	^12,21^га> ^22 — — ^iz.lzS11’ Ris “ 0,
R = guRn 4- g22^22 = - 2g4g22«12jl2. Следовательно,
Ru = RSii> i?ia = 0, RM —	R§22>
5.3.19.	Для таких кривых должно выполняться условие: , / dr d2r d3r \	,, : ,,,	,• dxi ,
11 U • • «г) -0 =* 4 Л’А‘ -«’^^-^-•4 <м{	•	, ^4 ь
	L -1_ г! ДР Д<? Д& _2 I Г* др ДУ-~_________________________1РГ11Л1’ л3 3/ г
2) (— — — —} - о А^А’А^ = 0 где А1 =
} I dt dt2 dt2 dt*) 1 2 3 4	’ Д 4
dA3 !	„ п
- -dT + Г₽Л4.........
5.3.20.	Функции х1 = х1 (/х, /2)> определяющие двумерную голо-номную поверхность в Vn, подставляем в уравнения (24). Получаемая система уравнений
dr	-» dxi
drt = dx’ -► dta	li dta rk’
a, . . . = 1, 2,
должна быть вполне интегрируемой, d2r d2r _ d2ri____________________________d2rj _ 0
dtadfi dfidta ’ dtadfi dfidt?
Первое условие выполняется тождественно, второе запишется в виде ak dx’ dx‘

5.3.21.	Должно выполняться условие 7?*z { = 0 (см. 5.3.20). Риманово пространство является евклидовым.
5.3.22.	Имеем равенство, характеризующее вектор постоянного модуля,
= const.
Находя ковариантную производную, получаем
(учли, что gll k = 0).
5.3.23.	Имеем
х} = 1, х^ = 0, X] = 1, х2 = 0, х| = 1, х3=1,
г г_____________________L г __L г___________________L
2 ’ 12.33 —	2 ’	2.23 ~ ~ 	13,22~	
_ 1
Г3.23 = -у ’
остальные jk равны нулю;
Г1______1 г2 __	1 г2__________1 гз _	1
и 2x1 ’	33	2х3 ’	23	2х3 ’	22	2х2 ’
з 1 23 ~ 2х2 ’
остальные Г*у равны нулю.
Компоненты метрического тензора поверхности <т2: «И = ёцх\х{ = ul + «2> 012 = gi/xIx2 = и2, а22 = gijX2X2 = «* + 2и2, а = ana22 — <tf2 = (и1)2 4* Зи1и2 + (и2)2,
а22 = — (п1 4- и2), а
а11 = — (и1 + 2и«), а12 = — а
а
Символы Кристоффеля второго рода
1 _ и1 4-Зм2 ! _ 11 2а ’	12 ~
2а
на поверхности а2:
Г1 _ и1 2 _ и14- 2и2
22	<41---------ga---
г?
12- 2а ’ °2:
т 2а1 4- и2
'22- Та
Ковариантные производные векторов х{, х2 имеют значения:
,1____&xx--Gx -	+ 3“2
х.п —	°их« — и11 —	2а
г - _ х2 - - G2 - ц1 + 2“2 ,11—	i'll*.—	°11 - 2а
«"„--ОМ—
J2____С,1 г2 — — d2__—
,12 —	U12*Z —	и12	—	2а ’
,3____Gi 3 _ _	G1 _ G2___2ц1 + и*
,12 “	u12*t ~	и12	и12 ~ 2а *
J_______J _ _ G1____________±L
,22 —	u22*t	и22 “	2 '
2	/->1 2	/->2	2м1 -f- U2
*22 —	®22xi — ~ ^22 = 2а
..3	fi ..3 хЛ х>2	™ + “
,22 — u22xi — — и22 ~ и22 ~ ~ 2а ’
i=l, 2.
Из равенств
gitx\M = Q, gijXpj = 0, gl7A/V=l, i, /=1,2,3, или
u‘V + u2X3 = О, (и1 + u2) Л2 + «2А.3 = О
находим
V = — -^ V, Z2 =----------“*	К3, (X3)2 = ы1.(ц1±-^- ,
и1	и1 + и2	аи2
Подставляя найденные значения в уравнения (26), получаем (ц2)2	_ иУ + и2	2и1
11	2(иЛ1 ’	12 2aV ’	22 2aV '
Подставляя в уравнения (26) найденные значения Г‘7г, йар, получим деривационные уравнения, определяющие искомую поверхность <т2.
5.3.24.	Для пространства У3, заданного в задаче 5.3.23 тензором gtj, имеем
02	=_________J______1 пЗ	1	,	1
23,3	4 (х3)2	4х2х3 ’	23,2	4 (х2)2	4х2х3 ’
Остальные Rllt- k равны нулю. Имеется всего одна ненулевая компонента четырежды ковариантного тензора кривизны
r =_L + _L
23,23	4л.2 ' 4д-з •
Учитывая значения х\, х^, Кс, i= 1, 2, 3, на поверхности а2, получим искомые уравнения (см. уравнения (27)):
^12,12 = ^11^22 — (^1г)2>	^12.1 — ^11,2 =
г
п	о	_ 1	! 1 ,	1	\! иЧ^ + и1) \2
“22.1 -	“21,2	- —	+	j	•
(и*)9
5.3.25.	QH (du1)9 4- 2Q12du1du2 4- й22 (du2)2 = 0, или -2-^- X
X (du1)2 — 2 (u1 4- u2) d^du2 — 2a1 (du2)2 = 0.
5.3.26.
Q11du1 4- £212dua a11du1 4- a12du2
Qaidu1 4- Q22du2 a^du1 + a22du2
или
Ци1)3 4- (И2)3 4- 2 (u1)2 и2 4- u1 (u2)2) (du1)2 4- (2 (u1)3 4- 2 (u2)3 4-
4- u1 (u2)2 4- 2u2 (u1)2) duxdu2 — u1 ((u1)2 4- 2 (u2)2 4~ u'u2) (du2)2 = 0.
5.3.27.
du1 du2
+ 2 (Ui 4- u2} — — ds ds
d2u2
ds2 2a
+ 2м1
О,
2 du1 du9
4- 2U1 —------—
ds ds
+ (2U1 + u2)
О,
/ du1 \2	du1 du2	I du2 \2
(ui + u2)	4- 2u2 —- — 4- (u1 4- 2u2) —- =1.
\ ds /	ds	ds	\ ds J
5.3.28. Qag = 0, это следует из того, что на такой поверхности нормальная кривизна во всех точках и во всех направлениях равна 0.
5.3.30.	-i.
5.3.32.	Имеем два уравнения для двух функций х1' (х‘), определяющих преобразование координат, при котором соответствующие точки в конформном соответствии имеют одинаковые координаты (см. задачу 5.2.28).
5.3.33.	Имеем пять уравнений для трех таких функций (см. задачу 5.3.32).
5.3.34.	Преобразование х1 = зоры к совпадению.
5.3.35.	На любой двумерной поверхности в этом случае должно быть
, x2 = x1 — x2 приводит тен-
drt = r^dx' = 0,
где I — произвольный контур. Это приводит к равенству R^l(=0.
5.3.36.	Кривизна окружности постоянна. Следовательно,
d2r
ds2
d2xi
ds2
, dx' \ _>
Г1 =C°nSt’
или
( d2xi i dxp dxf\ ( d2xl . -/ dxp dx^\ 8i/\~ds2~ + rw ~ds~ ~ds~/ ("ds2" + Гр? ~ЗГ ~ds~/ = COnst'
5.3.37.	Отнесем E2 к прямоугольной декартовой системе координат Т. Пусть г = (х, у), Г1 = (а, 0), г2 = (у, 6), где х, у, а, 0, у, б —пока неизвестные координаты. Уравнение спирали Архимеда в системе Т имеет вид
У х2 + у2 = X arctg — , X = const.
X
Дифференцируя уравнение, получим
где р = У^х2 + у2. Из уравнений (24) находим dx = adx1 + ydx2, dy = 0dxx 4- 8dx2,
da = (Г}1Я + Г?! y) dx2 + (Г}2а + Г?2у) dx2, dp = (TjiP + r?j6) dx2 + (Г}2р + г|2б) dx2, dy = (T^a + rfjY) dx1 + (Г^2а + Г^2у) dx2, d6 = (Г210 + rfj6) dx1 + (Г220 + Г226) dx2.
Подставляя значения (b) в (а), получим
dx2 _ h гпр h _	« (рх + ^/) + Р (РУ — Хх)
dx1 ’	у (рх 4- Ху) б (ру — Хх) '
Система обыкновенных дифференциальных уравнений в V2, определяющих те линии, которые развертываются в спираль Архимеда, имеет вид dx2 ,	dx , ,	dy
•----- h, —— = a 4- уй, —г = P +
dx1 dx1	dx1
= Гца 4- Г||У 4- (rj2a 4- Г]2у) fi,
-^- = Г|104-Г?1б4-(Г}20 4-Г?2б)Л,
= Г21а 4- Г21у 4- (Г22а + Г22у) h,
= ^21P + ^21® + (Г22Р + Г22б) h.
Здесь неизвестными функциями являются х2, х, у, а, 0, у б. Решая последнюю систему, найдем те кривые в V2, которые развертываются не в произвольную спираль Архимеда, а в ту, которая определяется диф
ференциальным уравнением (а). Для нахождения всех кривых, раз- > вертывающихся в произвольные спирали Архимеда, следует перейти к натуральному уравнению спирали.
5.3.38.	См. задачу 5.3.37.
5.3.39.	Репер Р в точке М соответствует, согласно формулам (24), реперу rt в точке М' пространства Еп. Параллельное перенесение репера в Vn соответствует обычному параллельному перенесению в Еп из М' в М'. Векторы репера rz + drt в точке М' есть
ri = П + rfykdx' = (6* + rklfdxf) rk.
Переход от репера rt и /у определяется матрицей (6* +
Пусть (6£ + )Jkldxl) — матрица обратного перехода. Следовательно,
+ vkudxl) (6' + vkldxl) = 6{ +	+ Г',) dx1 =
Отсюда
Таким образом, переход от репера Я к реперу /?*, который в ^состоит из векторов, параллельных rit определяется матрицей
(и{) = - Г1Х)-
По определению
+ dT^-'Zq} (6':“rbd/) • ’ • ~ ridxl} х
X + V^dx1) . .. (б^? + V'^dx1).
Отсюда
ат1^ = (-	----------- +
+ г^С^+ •••
Примечание. При перемножении каждый раз отбрасываются чле- <> ны выше первого порядка малости.
5.3.40.	Следует учесть формулы преобразования компонент объек-
та Г?;,
5.3.41.	Доказательство такое же, как и в задаче 5.3.17, но теперь
у? —	^12.12
(£11^22 ~£?2)
5.3.42.	В этом случае число независимых компонент тензора V Rij,kl Равн0 числу уравнений R[f = — gij< или RikJlgkl = — gtj.
Решая эти уравнения получим (для упрощения можно перейти к орто-
тональной системе координат, положив g12 = g23 = g3/ — 0) R
Rik,ji = -3- teljSkl — SuSkj^ b b k, I =\, 2, 3.
Подставим это значение в формулу, определяющую кривизну пространства в двумерном направлении. Тогда
к	Rik,nxikxil _ _R_
(g{/gki —&ugkilxikxil 3
Кривизна не зависит от направления двумерной площадки. В соответствии с теоремой Шура эта кривизна постоянна.
5.3.43.	Поскольку линии х1 = const, № = const геодезические, то вследствие уравнения геодезических линий Г33 = 0, Г33 = 0. Кроме того, gI3 = 0, g2s = 0. поскольку геодезические линии ортогональны к поверхностям х3 = const. Отсюда g33 = g33 (х3). Можно, не нарушая общности, положить g33 = 1. Тогда
ds2 = Sii (d*1)2 + 2gl2dxldx2 + g22 (dx2)2 + (dx3)2.
5.3.44.	Геодезическая линия пространства.
5.3.45.	Подставив значения функций х‘ = xl (Z1, t2), определяющих поверхность о2 в V3, в уравнения (24), получим
Г i	I дх1 I
dr = цхасИ , х' = —— = х „, а а ’а
dr(- = r^rkXadta, а = 1, 2.
Вектор нормали к поверхности:
М = [г(х{, г/х£] = (х]х3 — xfx3) [r1F r2] 4-
+ (xf^ — х'^ф [r2, rj + (xfx^ — x[x3) [r3, rj.
Нормируя этот вектор, найдем единичный вектор п. Далее поступаем как и в случае поверхности в евклидовом пространстве. Поскольку в обоих определениях линий кривизны нам не приходится дифференцировать символов гф то эти определения дают одни и те же линии.
5.3.46.	Пусть dua — дифференциалы, определяющие направление линии llt 8иа — дифференциалы, определяющие сопряженные ему направления. Следовательно, в Е3 имеем векторы
dr — riXlMdua = r*dua, 8r = г/х^би^ = г* 6/4, где
г* - Г[х‘а, i, j, k, . . . = 1, 2, 3, а, Р, у, . .. = 1, 2.
Торс получим в Е3 тогда и только тогда, когда будет выполнено равенство (dr, 6r, d (dr)) = 0, или
(r*du“, rgdz4, r*gduv6us) = 0,	(а)
где
t I , <Pxk -* rve-r{/X^e+-^^rk.
Заменим здесь вторые производные от л? их значениями:
д’х*
диУдие
---yfe 1. /}Л
*,уе « ?еЛ.1г
где G"e —символы Кристоффеля, образованные с помощью метрическо-
го тензора поверхности V2: аа₽ = ёцх<,ах^-
Принимая во внимание уравнения (24) и (26), имеем
К-
Равенство (а) принимает вид
= 0.
Оно определяет сопряженные направления поверхности И2. Это доказывает оба утверждения задачи.
5.3.47.	Первая кривизна геодезической линии пространства Vm, вложенного в Vn, определяется равенством
1 П> = V о	dufi А‘
о.	ds ds Л“ ’
г	а'
а, р, . . . = 1, . . . , т, а', Р', . , . = т + 1, . . . , п
(см. равенство (35)). Отсюда находим квадрат этой кривизны
1	i i V п о	du&	к
2	SijIWl — 2-1 Ua'a₽b2₽'v6 ds ds ds ds g>’Aa'\₽' ~
Pl	a',₽'
(см. равенство (34)). Здесь учтены единичность и взаимная ортогональность векторов Z^,, нормальных к Vm.
5.3.48.	Абсолютный дифференциал единичного нормального вектора Х‘ вдоль направления dx‘ = x^du“ есть
^adna = (X'a + r^ya)dU“.
В соответствии с условием задачи
Z/ad«“ = hxladua,	(а)
где h — множитель пропорциональности. Из уравнений (26) находим
Sljxffla'b0' = — Q^'>a^dua = — fiead“a> поскольку
Следовательно, равенства (а) принимают вид
(Qae + haae) = °-	(Ь)
Эти равенства совпадают с равенствами (30), определяющими главные направления. Наоборот, если справедливы равенства (Ь), т. е.
Siix’,e (4adua — hx‘adua) = 0,	(с)
то отсюда следует равенство (а). Действительно, вектор, записанный в скобках, согласно (с), ортогонален к векторам х1е, которые являются касательными к гиперповерхности. Кроме того, он сам перпендикулярен к Л1.
5.3.49.	Согласно формулам (26), находим (см. задачу 5.3.48) gy 'i/ax1giduadu^ = — £lapduadiP.
Необходимым и достаточным условием равенства нулю левой части (взаимная ортогональность векторов }.‘aduJ' и x^du®) есть равенство нулю правой части (условие асимптотичности направления).
5.3.50.	Из второго уравнения (26) получаем
(А,‘а + фс'в%*) dua = dKl + r‘-kUdx' = DI1 = - Q^a^dti*.
Отсюда видно, что из	= 0 следует D7.1 — 0. Наоборот, из равенства DM = 0 имеем	= 0, откуда
= ЙвсЛ“ = °'
Но из Qeadua = 0 следует Q£aduadu£ = 0 — уравнение асимптотических линий.
5.3.51.	Действительно, средняя кривизна для среднего нормального вектора равна
Q = o“4₽.
где (см. равенства (26) и (33))
^аР ~ Sij КаЗ + ^'рцх?а.х<& У йа'леа ^а'	•
а' Следовательно,
Й = 4г У Qa'n8Qa'aBaItEa“P =	= М-
М	ОС 918 ОС ССр	ДЛ
а'
Знак у М выбирается произвольно (он зависит от направления вектора в формуле (33)). Это означает, что справедливым может оказаться и равенство Й = — М.
5.3.52.	Поскольку М есть модуль (взятый со знаком) вектора ос' то при М — 0 имеем
Йа' = Йа'аЗа“₽ = О-
Этого достаточно для того, чтобы М = 0.
5.3.53.	Вектор т/ —~pa‘'Kla,, а' = т + 1, ..., п, нормален к Vm — единичные взаимно перпендикулярные векторы нормалей к Vm). Средняя кривизна для этого вектора определяется по формуле
Q = a“0Qag, где
^ap ~ Sij (x,ap + ^p^fa^p) т/ =
— Ра Sij (*,ap + Гр<г*дх*!р) ^a' = P*1, ^a'ap-
Согласно условию, вектор г)1 перпендикулярен к среднему нормальному вектору
ZijP^ S	= ^а'а^ = 0.
R'
Тогда Q = 0.
5.3.54.	Объем области Dm пространства Vm определяется интегралом
J = У ... У Vgmdux . . . dum,
где
gm —
dxi дх1 _
i, j, . . . = 1, ... n,
a, p, . . . = 1, . . . m,
st = xl (u“) — уравнения пространства Vm. Минимум объема имеем для пространств, которые подчинены обобщенным уравнениям Эйлера:
д / д У gm \
\\диа ]}
д V gm = 0
dxi
В результате преобразований (достаточно сложных) это равенство принимает вид
= о-
5.3.55.	Имеем
и1 = х, и2 = у, х1 = и1, х2 = и2, х3~и(и1, и2), x^ — vfu1, и2).
Так как х1 — прямоугольные декартовы координаты, TOg,^— Г^- = = 0. Далее,
х} = 1, -4 = 0, Х[ = 0, д^=1,
4 = “1> *2 = “а> xi=vi> x2 = v2>
fl
5u _ dv _ du _ dv Ui~~duL ' Vi ~ ~d^ ’ “2 - ~d^ ’ °2 ~ du2 •
«11 = gijX^l = 1 + “1 + «1> «22 = glj 4*2 = 1 + “2 + «12 = gi/x‘x2 = UlU2 + »1»2 = °-
rv _ 1 rtve/5fle₽ , da^ ^L\
“₽ 2	\ a«“	<?«p	3«E /
(учтены условия Коши — Римана ux = о2, и2 = —v-J. В качестве векторов, нормальных к поверхности, возьмем
Л3, = {«j, и2, — 1, 0); Х4, = {vlt v2, 0, — 1}.
Имеем | Л3, | и4 = Ц,, | Х3, | и2 =	, — | Х3, | =	0 = Х3,.
I \з> I ^З'сф = Sri/X,a3^3' = 4ф4 + х,а^3‘ + *.а(3^3' + х,ар\з' = = “,аб4' + им^3' + и,а(Лз' + у,а₽4
=* ^З'сф ~ ~	~~	~ (“а|3 — GaP«?) = —' “аЗ
Q3, = tz“pQ3,ag = 0
(в силу гармонизма функции и (х, у)). Аналогично находим Й4, = 0. Следовательно, средняя кривизна поверхности равна нулю, поверхность минимальна.
5.3.56.	Как и в случае гиперповерхности, линии кривизны не определены в случае, когда в формуле (34) величина k2 (у гиперповерхности — ka) не зависит от dua. Следовательно,
X ^a'aP^a'vfi = ^2«аРаув‘ а'
Полагая a = у, 0 = б, получаем
X^a₽)2 = fe2 («ар)2’ а'
Отсюда
^а'аЗ = ^а'«аЗ’ X ^а' = а'
5.3.57.	Прямое утверждение непосредственно следует из равенства (31). В рассматриваемом случае оба слагаемых в правой части обращаются в нуль, а потому и первая кривизна равна нулю. Наоборот, если геодезическая линия принадлежит гиперповерхности, то — = 0, а
Pi
так как векторы X1, х‘а линейно независимы, то каждое слагаемое в правой части (коэффициенты при iJ, х‘а) равно нулю.
5.3.58.	йар = gtj (х'а₽ + Г^а/р) V.
5.3.59.	Имеем gij = 6{/, Г^- = 0. Йар = £ x‘afXc = 5ар - коэф->
фициенты второй квадратичной формы (см. уравнение (26)).
5.3.60.	Отнеся гиперповерхность к линиям кривизны, получим Йар= аар = 0 (а =т*= Р). Формула (28) примет вид
/ л..а \2
— !^аа
но
du“
— =с°5Фсе
(по а не суммировать); сра — угол, образуемый нормальным сечением ^аа ,
с а-м главным направлением; ------= ка — главная кривизна.
ааа
5.3.61.	Имеем gi^v1 = const. Находя ковариантную производную от обеих частей, получаем
g(-yW' = 0.
5.3.62.	Находя ковариантную производную от обеих частей равенства v2 = gijVtv/, имеем
dv	, dv 1
v —= gi^f1 =>—=— g^vifi = f cos 9.
5.3.63.	Имеем
dT	•/ дТ 1 dgif -I /
= Mg.-iX1, -------= -г?- M---------x x!,
dx‘ 7 dxk	dxk
dSij -k ------- x’ x dxk
Отсюда находим уравнения Лагранжа.
5.3.64.	Переход от сферических координат к декартовым осуществляется по формулам
X1 — х1 cos х2 cos х3, X2 = х1 cos х2 sin x3, X'J — x1 sin xa.
Следовательно,
ds2 = (dX1)2 + (dX2)2 + (dX3)2 =
= (dx1)2 4- (x1)2 (dx2)2 + (x1)2 cos2 x2 (dx3)2,
т. е.
gn = 1 > g22 = (**)2> gs3 = t*1)3 c°s2 &ij = 0 Далее,
1	1	/ ds\2
Т =— Mg,,x х1 = —М — ==
2	S1/	2	\ dt )
М ((х1)2 + (х1)2 (х2)2 + (х1)2 (cos2 х2) (х3)2).
Подставляя это значение в уравнения Лагранжа второго рода, получим = х1 — х1 (х2)2 — х1 (х3)2 cos2 х2,
L = — ((х1)2 X2) + (х1)2 sin х2 cosx2 (х3)2,
dt
d
h =	(f*1)2 x3 cosS x2>-
at
5.3.65.
5b „t dh aii ~ ^i,i ~ ^i,i ~ ~dxi~ ~ i&~ dxi
dh .
dxi dxi
5.3.66.	Число компонент бивектора равно	——. Это число рав-
но п лишь при п = 3. Имеем
а1'Г	__ 1	/ dxi	Qxi _____ dxi	dxi \ atj
Kg' 2	у dx1	dxi'	dx1	dx‘ / JVg	*
_ I dxi I
I dx1 I ’ или
& = I g(j I. i, i, • •  > i'. i'. . . . = 1, 2, 3,
ь- dxk' .
Индексы k, k' дополняют соответственно пары i, i', j, j' до полной тройки.
5.3.67.	Утверждение следует из равенства / 5ф	\ __ 52ср
\ dx1	dxidxi
5.3.68.	В прямоугольных	декартовых координатах = g,. По-
скольку Г£/- = 0, то
/ 5<р	\ __ 52<р
\ dxi	/,/	dxidxi
Следовательно,
5.3.69.	Пусть задана линейная форма f (х) = a^i, где х = xty. Очевидно, что — При преобразовании базиса <?£, = Ai,et ко-ординанты вектора преобразуются по закону х‘ = Ai,xl • Коэффициенты а£, = f (е{,) = f (Ai-ei) = A^f (ег) — Д£,а£, следовательно преобразуются по тензорному закону.
5.3.70.	См. задачу 5.3.69.
5.3.71.	В силу известных свойств смешанное произведение (линейность по каждому сомножителю) определяется заданием смешанных произведений базисных векторов:
ciki = ek’ el>'
Если X = Vez, У = Z = t!ei, то
(X, Y, Z) =--
При замене базиса будем иметь
Ci’k’V = {ei” ek'> ei'> = Ak'ek, Ai'ei) = Cik/A^,Alt„ что и требовалось доказать.
5.3.72.	Тензор X ® со имеет компоненты С* = |fca,. Соответствующее линейное преобразование переводит произвольный вектор Y {ц1} в вектор с координатами
£ = C‘t^ = ^iamk = w (Г) %.
Таким образом, линейное преобразование переводит любой вектор в вектор, отличающийся от данного вектора X скалярным множителем <о(Г).
5.3.73.	Используя основные свойства определителя, легко увидеть, что коэффициент при t,n~1 в уравнении (— l)n det (С — ХЕ) = О равен —С*. Значит, С\ равно 2л‘, где V —корни характеристического уравнения. Далее, C^Clk есть след матрицы (С)2, корни характеристического уравнения которой равны (Х<)2. Значит, C^Clk равняется S (Х‘)2. Аналогично С^С^С/ равно S (Х<)3 и т. д.
5.3.74.	Главные кривизны вычисляются из уравнения
det (bik — Kg{k) = О, которое в силу невырожденности матрицы (glk) равносильно уравнению det (bik^h — ^Sik^ = о,
т. е.
det (b1? — б?Л) = О, а это и есть характеристическое уравнение матрицы (tty.
5.3.75.	Касательный вектор к линии у, заданной уравнениями «• i	du1
и = и (/), имеет компоненты g = и должен совпадать с постоян-
ным вектором /, Условия постоянства этого вектора имеют вид
JL 4-	= о,
dt е ks dt
т. е. и1 (t) должны удовлетворять уравнениям
d2u‘ . rz du'‘ dus _ n dt2 ф ks dt dt
5.3.78.	Параметризованная линия u‘ = u‘ (t) будет линией поля, если будут выполняться условия
du‘
~dT = (и1, и2).
г
В нашем случае
du1 ~dt~
du*
—— = и1 — 1 dt
Интегрируя эти уравнения, получаем
и1 — се* — 1, и2 — се* — 2t + cz.
5.3.77.	Производная вектора X вдоль произвольной параметризованной кривой и1 = и1 (/) имеет компоненты
dt 1 ы dt dui dt
du1
ИГ
3iq> "ай7
du1
ПГ
£ du1
•l dt

+ ^lkl
= n
„ t ,,	au i
Если и (t) —линия поля, то  = г) и получим искомое условие
T)'z Г)' = 0.
5.3.78.	Метрический тензор имеет компоненты gZZi = 6zfee2\ Подсчитывая коэффициенты римановой связности, получим
Г'.= —, “ ди‘
а при I Ф k ,	,	dk .	дк
pl _ pl —.________ р*   __________
lk	kl	duk ’ кк	dui
(суммирования по i, k нет). Подставляя полученные коэффициенты в соотношение
d2ui , duk dus
1^ + г-^Г~=0’
находим
d2u2 дК // du2 \2	/ du1 \2 I du3 \2\
di2 + ~дй2 \\~dT / —	— \~dF / / +
дХ	du2	du1	дХ	du2	du3
+ 2----------------h 2------------------- О,
du1	dt	dt	du3	dt	dt
дк	du3	du1	dh	du3	du2
+ 2---------------------1- 2----------------------- 0,
du1	dt	dt	du2	dt	dt
d/.	du1	du2	„ dk	du1	du3
du2	dt	dt du3	dt	dt
du1	du1	du3
При —— = 0, —— = 0, —— = 0 имеем dt	di	dt
6X „ 6X ---=0, ------=0, du3 du3
т. e. X является функцией только от и1.
5.3.79.	Рассмотрим дифференциальные уравнения геодезических, отнесенных к каноническому параметру, и представим их в нормальной форме:

(a)
Задавая начальные данные Xй (т0), Jjft(T0), соответствующие координатам точки х и какому-то направлению касательного вектора g, получим для (а) задачу Коши. Считая, что для системы (а) выполнены условия существования и единственности решений (для этого вполне достаточно взять функции Г^- (х) класса С1), получим единственную геодезическую, определенную параметрическими уравнениями х11 = xh (т). Теорема доказана.
5.3.80.	Рассмотрим уравнения (17) в аффинной системе координат .	d^x^
аффинного пространства, в которой Г?. = 0 (см. 5.1.46), тогда - = = 0. Интегрируя последнее равенство, получим искомые уравнения геодезических.
5.3.81.	Рассмотрим уравнения геодезических из решения задачи
5.3.79:	. Найдем все решения для началь-
ных значений xh (Л4) = Хд и (Л4) — cff. При т = 1 можно решения рассматривать как функции от gg, т. е. xft =	(§J, gg, ..., gg) =
= Эти функции дифференцируемы, если Г£'; £ С1.
Уравнения геодезических, проходящих в направлении gg, имеют вид Xй = fh (£qT). Последнее справедливо в силу того, что jg и ggT определяют одно и то же направление, а значит, согласно 5.3.80, одну и ту же геодезическую. Легко убедиться, что (О) = Хд. Положив yh = <.h
= §дТ, получим
xh = fh(y1, У2......г/1).	(а)
В силу того что = б?, J	dy‘ о ‘
можно условия (а) рассматривать как
преобразование координат у в х. Обратным преобразованием приходим к равенствам yh = i/1 (х1, х2.х"). Очевидно, координаты у1 явля
ются римановыми, так как i/ft= 0 соответствует точке М, а все геодези-
ческие линии, проходящие через эту точку, определяются соотношениями ф — |дТ, где £g = const, т — канонический параметр.
5.3.82.	Пусть у1 — риманова система координат. Тогда любая геодезическая линия, проходящая через начало координат (у1 — 0), оп-
ределяется уравнениями	(здесь = const, т — канонический
dyh d2yh „
параметр), -^-=fe0, ^та ' ~ °- Тогда уравнения геодезических линий примут вид
(У) № = 0.	(а)
Так как все геодезические г/1 = ^т проходят через начало координат, то равенства (а) имеют место в начале координат (yh = 0):
Г*,.(0)^'=0.
Тогда выполняются условия задачи 5.1.36 и имеем Г^-(О) = 0 (считается, что Ап — пространство аффинной связности без кручения).
5.3.83.	Воспользовавшись рассуждениями предыдущей задачи, получим
Г>)^ = 0.
Умножив последнее равенство на т2, получим
Г?/ (У) (|jr) (fa) = 0.
Отсюда Г^. (у) yiyi = 0.
Докажем обратное. Пусть выполняются соотношения (у) у{у!' = = 0. Тогда линии, уравнения которых ;/l = ёцТ, являются геодезическими. Это признак римановости системы координат.
5.3.84.	Легко убедиться, что в любой системе координат все компоненты Tlj равны нулю при i =# /. Рассмотрим преобразование координат xh' xh (h^p), хр' = хр + ах4,	(а)
где р q — фиксированные индексы, а — const. Через А1] обозначим
. Очевидно, что А1} = 6^ за исключением Ар = а. Обратная мат-
рица В1} ==---гт- имеет аналогичные строения, т. е. В1! = 6р за ис-
дх‘
ключением Вр = — а. Рассмотрим преобразование компонент тензора Т:
Т1-, = Т^А1-В’Г.
Вычислив Тр, (i /) при указанном преобразовании координат (а), получим
Тр’,= Тр а (Тр — Тр) — a2Tqp.
Так как во всех координатных системах = 0, если h Ф i, то отсюда при а Ф 0 получим Тр = 7*. В силу произвольного выбора преобразования координат (а) Тр— Tqq для всех p=£q. Таким образом, тензор Ту имеет представление Т1} = а8^. Свертыванием последнего соотношения убедимся, что а = — 7^ — инвариант.
5.3.85.	Доказательство аналогично предыдущей задаче.
5.3.86.	Указание. Рассмотрите уравнение геодезической у в Vn, а затем убедитесь, что это уравнение индуцирует в Vm с: Vn уравнение геодезической. Если Vn собственно риманово пространство, то это свойство вытекает из экстремальных свойств геодезической линии относительно длины ее дуги.
5.3.87.	Указания. Вычислить тензор кривизны и убедиться, что
Rhijk = К (^h/Sik SlikSif)'
5.3.88._____Убедитесь, что pl __________ pl	__ pl р2	_л	р2 ___ р2 __
41 ~	42	~ 41	~ 41	~ и»	112 — 41-----go”»
г>______L_ л	р2  
1 22 ~	2 4. 122— Q >
1 1
^12,12 =	2“ G11 + -4-----Q- >
.г Gn , G\ (/|G|)n
2G ‘ G2	^|g-|	’
где G= det Ho-1|, Gt =	, Gz/=.
oxi	dxLdx
5.3.89.	Учитывая результаты предыдущей задачи и решая дифференциальное уравнение (K|G | )п К рЛ|0 | = 0 при начальных условиях К| G (0, х2) | = 1, (К| G (0, х2) | )i = 0, получим
а)	при /С = 0 ds2 = (dx1)2 -f- е (dx2)2;
б)	при К > 0 ds2 = (dx1)2 + е cos2 (/Kx1) (dx2)2;
в)	при К < 0 ds2 = (dx1)2 + е ch2 (/— Kx1) (dx2)2 здесь е = ±1).
5.3.90.	Учитывая, что в пространствах постоянной кривизны
Rhijk = *	- gftftg//). « = const.
вычислить R/ti.ik.i- Находим, что RM jk t = 0.
5.3.91.	1) Непосредственной подстановкой
Rhijk,[im] = Raijk Rhl.m + ^ha.,jk^il,m + Rhl,ak^l,m +
+ RhlJaR’kl.m
убеждаемся в справедливости указанных тождеств.
2) Сначала отметим, что Shil-k — Slku. Подставив RMjk,llm\ в тождества Уокера, получим
ShilkTlm + SjklmTht + SlmhiTjk ~ °-	<а)
Если Т1т^ь0, то существует тензор ъ1т такой, что Т[те1т~1. Свернем левую часть равенства (а) с тензором е1т;
SMjk + SjkThi + ShiTjk = °*	<b)
где Sh[ = Sfciafiea^. Затем свернем (b) с тензором е^:
2Shl + STh{ = 0,	(с)
где 3 = З^е0*. Очередным свертыванием (с) с тензором ehl получаем 33 = 0. Таким образом, 3 = 0. На основании (с) заключаем, что Sw = 0, а из (Ь) следует, что SW/A=0. Следовательно,	=
= 0, что и требовалось доказать.
5.3.93. Рассмотрим условия рекуррентных пространств: Rhi,jk,l =
Находим
= 4l,m^hi,jk "t"	^1,т "Ь Ф1Ф^п)
Тогда
На основании предыдущей задачи ф[/1т]^ ,-А = 0. Следовательно, пространство является полусимметрическим. Когда	то
yj #= 0. Последнее означает, что ф/ = ф
5.3.94. Если Уп является пространством постоянной кривизны, то легко видеть, что W^-k = 0. Предположим, что = 0. Свернув это соотношение с g‘7, убедимся, что R{J- = — g^, a R =	— скаляр-
ная кривизна. Тогда исходное условие принимает вид основных уравнений пространств постоянной кривизны.
ГЛАВА 6
§ 1
6.1.1.	Пересечение топологий является топологией, а объединение топологий может не быть топологией.
6.1.2.	Пары а), б), г) являются, пара в) — нет.
6.1.3.	Пусть U — открытое множество. Тогда по определению окрестности множество U является окрестностью каждой своей точки. Обратно, пусть множество U содержит окрестность каждой своей точки. Тогда множество U является объединением этих окрестностей. Поскольку каждая окрестность есть открытое множество и любое объединение открытых множеств — открытое множество, то U — открытое множество.
6.1.4.	Утверждение а) следует непосредственно из определения замкнутых множеств. При доказательстве утверждений б) и в) использовать формулы де Моргана:
(Х\Л) П (Х\В) = Х\(Л и В),
(Х\А) и (Х\В) = Х\(Л п fi).
6.1.7.	Пусть Л П В 0. Поскольку ВэВ, то А (] В 0. Обратно, пусть Л П В #= 0, но Л П В = 0. Тогда В с X \ Л. Так как множество А открыто, то множество X \ А замкнуто. Поэтому В cz X \ Л, откуда следует, что Л f) В = 0. Пришли к противоречию.
6.1.8.	Доказательство следует из равенств
Д\В = А Л (Х\В), в\А = В Г) (Х\А).
6.1.10.	Поскольку А П В = 0, то В с X \ А. Согласно условию задачи, множество А открыто. Поэтому множество X \ А замкнуто и В с X \ А. Таким образом, В Q А = 0. Из включения В zz Int В следует, что и Int В П А — 0. Поэтому A cz X \ Int В. Поскольку множество Int В открыто, то множество X \ Int В замкнуто и 4 с <= X \ Int В.
6.1.13.	Множество Х= {х, у] с топологией У"= {X, 0, {%}}.
6.1.15.	Пусть х и у — различные точки ^-пространства X. Тогда существует такая окрестность U Э х, что U р у. Поэтому у £ X \ U. Поскольку множество X \ U замкнуто, то {у} cz X \ U и [у] р х. Таким образом, {у} не содержит произвольную точку х, отличную от у. Другими словами, {г/} —замкнутое множество (см. задачу 6.1.5). Аналогично множество {х} также замкнуто.
6.1.20.	Множество X = R (J <о, где и — любая точка, не принадлежащая R, наделим топологией, в которой открытыми являются множества, открытые и в JR1, а также множества, являющиеся дополнениями до произвольных конечных множеств действительных чисел. Если х g R, то любые две окрестности точек х и о> пересекаются. В качестве примера можно взять также любое бесконечное множество, наделенное топологией, в которой множество U открыто тогда и только тогда, когда X \ U — конечное множество.
6.1.21.	На множестве R зададим топологию , базой которой являются всевозможные интервалы и их пересечения со множеством иррациональных чисел. Тогда (R,	— хаусдорфово пространство со
счетной базой, в котором множество рациональных чисел замкнуто и не является пересечением счетного семейства открытых множеств.
6.1.22.	Если множество А замкнуто, то множество X \ А открыто. Множество X \ А является окрестностью любой точки х £ X \ А. Очевидно, (X \ А) Л (А \ {х}) = 0. Поэтому точка х не является предельной для множества А. Обратно, пусть множество А содержит все свои предельные точки. Тогда любая точка х £ X \ А не является предельной для множества А. Поэтому существует такая окрестность U J х, что U П (А \ {х}) = 0, а поскольку х $ А, то U Л А = 0, откуда следует включение U с X \ А. Применив задачу 6.1.3, заключаем, что множество X \ А открыто, а значит множество А замкнуто.
6.1.24.	Пусть множество U Л А—конечно. Тогда множество U П (А \ {х}) замкнуто (см. задачу 6.1.15). Поэтому множество V = = U \ (U Л (А \ {х})) является окрестностью точки х (см. задачу 6.1.8). При этом (А \ {х}) (1 V = 0. Следовательно, точка х не является предельной для множества А. Пришли к противоречию.
6.1.25.	Пусть А — некоторое подмножество Д-пространства X, А' — множество всех предельных точек множества А и х — любая точка из X \ А'. Для доказательства утверждения задачи достаточно показать, что множество X \ А' открыто. Точка х не является предельной для множества А, поэтому существует такая окрестность Ux точки х, что Ux П (А \ {х})= 0. Предположим, что Ux 0 А' =#= 0, а у — точка из Ux П А . Поскольку х i А', то х у. Так как X является ^-пространством, то существует такая окрестность Ub точки у, что Uu р х. Множество U = Ux Л Uy открыто (множества Ux, Uy открыты), 378
оно содержит точку у (у G Ux, у £ Uy) и не пересекается с A (Ux fl (А \ \ {*})= 0, Uy р х). Поэтому точка у не является предельной для множества А, т. е. у i А', а это противоречит предположению, что у £ С Ux П А'. Следовательно, Ux П А' = 0 и Ux cz X \ А'. На основании задачи 6.1.3 заключаем, что множество X \ А’ открыто.
6.1.26.	Пусть х— предельная точка множества А. Тогда х является предельной точкой и для множества А \ {х}. Согласно условию, А \ (х) — замкнутое множество, поэтому х G А \ {х} (см. задачу 6.1.22). Пришли к противоречию.
6.1.39.	4 = N\{1), В = (n + -1- : п € N\{ 1)
6.1.41.	Действительно, если X — топологическое пространство, d — метрика, согласованная с его топологией, то для любого конечного К > О функция р (х, у) — К	является ограниченной мет-
рикой на X, также согласованной с топологией пространства X.
6.1.42.	f (х) ————-.
1 х
6.1.43.	Пусть X — множество всех положительных действительных
чисел,
х у
4 (х. У) = —-------------------—
| 1 + х 1 +
d2 (х, у) = min {1, | х — у | }.
Тогда из задач 6.1.40, 6.1.42, следует, что 5^ =	. При этом X —
предельная точка для всех конечных подмножеств из У в метрике dj, что неверно в метрике d2.
6.1.44.	X = R, d (х, у) = | х — у\, р (х, у) = (Мх, Му) < л (для метрики р множество R считается первым сомножителем в декартовом произведении R X R, а М — любая точка, не принадлежащая этому сомножителю). В качестве X можно также взять множество С всех непрерывных отображений [0; 1] -^Л1, а в качестве d и р — метрики на С, определенные формулами
d (х, у) = max I х (/) — у (/) I,
«ЕЮ; 1|
Р (х, у) = И (х (0 - у (0)2 dt
\0	/
для любых X (t), у (/) б С.
6.1.47.	Последовательность |^1 + —j : п С n| является фундаментальной последовательностью пространства рациональных чисел. Она сходится к числу е, которое не является рациональным числом.
6.1.52.	Множество всех последовательностей из Р, у которых на n-м месте стоит 1, а на остальных 0.
6.1.55.	Необходимость следует из задач 6.1.54 и 6.1.16.
Достаточность. Пусть Д является пересечением некоторого семейства открытых множеств, а пространство X не является ^-пространством. Пусть х, у — такая пара точек из X, что х #= у и любая окрестность точки х содержит точку у. Если 47 — произвольное открытое множество из X X X, содержащее Д, то W 3 (х; х) и в 117 существует открытое
множество U X V, где U и V — окрестности точки хв X. Но I/ € £/ Г) V по условию. Следовательно, точка (х; у) £ W. Тогда имеем, что точка (х; у) $ Д принадлежит пересечению всех открытых множеств, содержащих Д, что противоречит условию.
6.1.56.	Необходимость. Пусть X—хаусдорфово пространство, а (х; у) — любая точка из (X X X) \ Д. В X существуют такие окрестности U Э х, V Э У> что U f] V — 0. Поэтому U X V — открытое множество в X X X, U X V (х; у) и U X Уне содержит ни одной точки из Д. Следовательно, (X X X) \ (U X У)— замкнутое множество, содержащее Д, Д с: (X X X) \ (U X И) и Д не содержит произвольную точку (х; у), где х у. Таким образом, Д = Д и Д — замкнутое множество (см. задачу 6.1.5).
Достаточность. Пусть Д — замкнутое множество в X X X. Множество (X X X) \ Д содержит любую точку (х; у) g X X X, если х ф у. Поскольку множество (X X X) \ Д открыто, то точка (х; у) принадлежит (XX X) \ Д вместе с некоторой окрестностью U X У, где U Э х, У Э у. Из включения V X V с (X X X) \ Д следует, что (U X У) П Д = 0- Поэтому U П V = 0 и X — хаусдорфово пространство.
6.1.58.	В качестве X можно взять подпространство рациональных чисел в 511, а в качестве <о — эквивалентность, которая отождествляет точки из множества Z всех целых чисел. Тогда в точке {Z} факторпро-странства Х/Z не выполняется первая аксиома счетности.
6.1.64.	Пусть множество А не связно. Тогда А = Аг U Л2, где Ai Ф 0, А2 #= 0, Xj 0 А2 = 0 и Аг, А2 замкнуты в А. Так как множество A ft В связно, то либо At (1 В = 0, либо А2 П В = 0. Предположим, что Ау П В — 0. Тогда А± и А2 (J В — непустые непересе-кающиеся замкнутые множества и Лх (J (Л2 U В) = Л U В. Это противоречит связности множества A U В. Для незамкнутых множеств утверждение, вообще говоря, не имеет места. Действительно, пусть Л = = [0; 1), В = {0; 1}. Тогда множества Л Г| В = {0} и Л U В = [0; 1] связны, а множество В не связно.
6.1.66.	В подпространстве X = j	’
п G n| пространства Е2 множества {(0; 0)} и {(0; 1)} являются компонентами связности пространства X.
6.1.69.	Необходимость. Пусть f — непрерывное отображение X -> -► Y, х — произвольная точка из X и У — произвольная окрестность точки f (х). Поскольку f — непрерывное отображение, то f~1 (У) — открытое множество. Множество U = Г-1 (У) Э х и / (U) cz У.
Достаточность. Пусть У — произвольное открытое множество из Y. Тогда У является окрестностью любой точки f (х) С У. По условию существует такая окрестность U Э х, что f (U) cz У. Поэтому множество f~l (У) является объединением таких окрестностей U и пустого множества (для точек из У, которые не являются образом никакой точки из X). Поскольку каждая окрестность есть открытое множество, пустое множество также открыто и объединение любого семейства открытых множеств есть открытое множество, то Г~1 (У) — открытое множество, a f — непрерывное отображение.
6.1.73.	Нет. Непрерывное отображение f : {—1; 1} —► {1}, определенное формулой / (х) = х2, переводит несвязное пространство в связное.
2х — 1	х
6.1.75.	a) f(x) =—---б) f(x) = ----------— ; в) f(x) =
X (1 — х)	1 — I X I
л(2х — а — Ь)
= tg----------------. Можно взять также функцию f ° g, где f —
2 (& — а)
— функция из a), g— отображение (а; Ь) -> (0; 1), определенное формулой g (/) = —----- . Для доказательства того, что отображения, по-
строенные с помощью а), б) и в), являются гомеоморфизмами, достаточно проверить, что эти функции монотонны и непрерывны.
6.1.77.	а) Поскольку гомеоморфизм обладает свойством транзитивности, то для доказательства гомеоморфности любых двух отрезков достаточно доказать, что некоторый отрезок [а; 6], где а ф 0, Ь =£ 1, го-меоморфен отрезку [0; 1]. Гомеоморфизм между [я; Ь] и [0; 1] осуществ-
,	, „ t — а
ляется, например, с помощью функции g (t) = b _а 
е) Первый способ. Пусть Еп — {(xt, ..., х„+1) С £'!+1 : :хп+1=0), IntO^C Еп, a S”— сфера из Еп^'‘, касающаяся Еп в центре шара Dn. Если f — проекция нижней полусферы S” без окружности экватора, ортогональная Еп, a g — центральная проекция из центра сферы S”, то композиция f о g~1 отображает Еп на Int Dn. Проверьте, что f о g~1 — гомеоморфизм.
Второй способ. Гомеоморфизм между Еп и Int Dn можно получить также с помощью функции /, определенной формулой
{2х arctg d (х, 0)
nd (х, 0) О,
если х =4= 0,
если х = 0,
где d — евклидова метрика в Еп.
6.1.78.	Пусть Sn = {(Хх, ..., xn+1H£n+1 : xf + ••• + х^+, = = 1), со = (0, ..., 0, 1), а Еп — это плоскость xn_|_[= 0. Если (*1 x„+l)GS'’\{<o), то функция f(xlt ..., х„+1) = (—-^1 -,
\ 1 I xi I
..., -----—- , О) отображает Sre\{co} в Еп. Нужно построить об-
1 I хп |	/
ратное отображение и показать, что f— гомеоморфизм.
6.1.79.	Пусть f — гомеоморфизм между (а; Ь) и [с; d). Тогда 1 (с) = = (a; b) \ f~l ((с; d)). Но 1~1 (с) — связное множество (см. задачу 6.1.72), а множество (а; Ь) \	1 ((с; d)) не связно (см. задачу 5.1.61).
Доказательство для открытого и замкнутого промежутков аналогично. Другое решение следует из задачи 6.4.22.
6.1.80.	Для решения задачи целесообразно использовать следующие два утверждения. 1) Пусть X и Y— ^-пространства, /— гомеоморфизм между X и Y, а хх, ..., хк — любые точки из X. Тогда подпространства X \ {х1( xk} и У \ {/ (хх), ..., / (х/;)) также гомеоморф-ны. 2) Гомеоморфные пространства имеют одинаковое число компонент связности. Первое из этих утверждений очевидно, второе следует из задач 6.1.72 и 6.1.68.
Докажем, например, что сфера S” при п > 1 не гомеоморфна окружности S1. Предположим, что Sn и S1 гомеоморфны. Пусть f — гомеоморфизм	и а, b—любые две различные точки из Sn. Тогда
пространства Sn\{a; b] nSL\{f(a)-, f (i)) также гомеоморфны. Однако пространство S” \ {а; Ь} при п > 1 состоит из одной компоненты связности, а пространство S1 \ {/ (а); / (Ь)} — из двух. Получили противоречие.
6.1.82.	Искомый гомеоморфизм получим в результате следующих операций: разрежем тор Г2 по S[ и S^, полученный квадрат повернем так, чтобы S} и sJ, перешли друг в друга, и снова склеем по S.t, и S}.
6.1.91.	Не всегда. Действительно, отображение / : К1 —>- И1, определенное формулой f (х) = х2, переводит открытое множество (—1; 1) в множество |0; 1), которое не является открытым. Отображение / : 3V К1, определенное формулой f (х) — arctg х, переводит замкну-
[Jt \
0; -g ), которое не является замкнутым. Открытое отображение не всегда замкнуто. Так, в Е2 гипербола у = — является замкнутым множеством. Однако ортогональная проекция р этой гиперболы на ось абсцисс является осью абсцисс без начала координат. Поэтому открытое отображение р не замкнуто.
6.1.93.	Примером такой функции является функция f на Е2, определенная следующим образом:
с, •>	—5—г~т > если х ¥= 0, у #= 0,
fix, у) = х2 + у2
[	0, если х = у = 0.
6.1.94.	К1 и [а; Ь] с. Л1. Это следует из задач 6.1.75 и 6.1.79.
6.1.95.	Такими пространствами являются топологическое пространство, состоящее из счетного семейства попарно непересекающихся полуоткрытых промежутков и счетного множества изолированных точек, и топологическое пространство, состоящее из счетного семейства попарно непересекающихся интервалов и счетного множества изолированных точек.
6.1.99.	Подпространство X = Я1 \ {0} в К1 не является полным пространством, так как фундаментальная последовательность схо-дится к точке 0 g X. Сжимающее отображение /, определенное формулой f (х) = х, не имеет в X неподвижных точек.
§ 2
6.2.1.	Необходимость. Поскольку X—регулярное пространство, то для точки х и множества А существуют такие окрестности U Э х и V лэ А, что U Л V — 0- Поэтому U с X \ V, а так как V — открытое множество, то дополнение X \ V — замкнуто и U с X \ V, откуда следует, что U f| А = 0.
Достаточность. Поскольку для точки х и множества А существует такая окрестность U Э х, что U П А — 0, го А с X\U. Множество U замкнуто, поэтому его дополнение X \ U открыто и может считаться окрестностью V множества А, которая не пересекается с окрестностью О' точки х.
6.2.2.	Необходимость. Пусть U — произвольная окрестность точки х. Тогда X \ U — замкнутое множество, не содержащее точку х. Так как X—регулярное пространство, то существует такая окрестность V точки х, что V f] (X \ U) = 0 (см. задачу 6.2.1). Поэтому V cz U.
Достаточность. Если х — любая точка из X, a U — произвольная ее окрестность, то X \ U — произвольное замкнутое множество, не содержащее х. По условию задачи существует такая окрестность V точки х, что V cz U, следовательно, множество X \ V — открыто, содержит множество X \ U и является окрестностью произвольного замкнутого множества X \ U, не содержащего точку х. Регулярность пространства X следует теперь из очевидного равенства (X \ V) П V ~ 0-
6,2.4.	Пространство (R, У), где семейство У состоит из: 1) интервалов (а; Ь), не содержащих точку 0; 2) множеств (a; b) \	: п £ n|;
если (а; Ь) Э 0. Пусть Q — множество рациональных чисел, (Q, У) — подпространство вК1 и У' = У (J | Q \	: п £ N^j. Тогда ((?,У') —
топологическое пространство, : п £ n| — замкнутое в нем подмножество и любая окрестность точки 0 пересекается с множеством : п £ n|. Следовательно, пространство (Q, У') не регулярно. Хаусдорфовость пространства (Q, SX') вытекает из хаусдорфовости пространства (Q. ^).
6.2.5.	Это следует из задачи 6.1.15.
6.2.6.	См. решение задачи 6.2.4.
6.2.7.	Если X — вполне регулярное пространство, то по определению для любого замкнутого множества А с X и любой точки х £ € X \ А существует такое непрерывное отображение / : X -> [0; 1], что f (х) — 0 и f (у) = 1 для любой точки у £ А. Для произвольного в £ (0; 1) множества [0; е) и (е; 1] являются открытыми в индуцированной топологии. Поскольку f — непрерывное отображение, то множества ([0; е)) и 1 ((е; 1]) являются непересекающимися окрестностями точки х и множества А.
6.2.10.	Пусть х и у — любые две различные точки вполне регулярного пространства X. Так как X есть ^-пространство, то множество {//J замкнуто (см. задачу 6.1.15). Поэтому существует такое непрерывное отображение f : X -> [0; 1], что / (х) = 0, f (у) = 1. Поскольку / (X) —связное пространство (см. задачу 6.1.72), то функция f принимает все промежуточные значения между 0 и 1 (см. задачу 6.1.60).
6.2.11.	Доказательство аналогично доказательству утверждения в задаче 6.2.1.
6.2.12.	Доказательство аналогично доказательству утверждения в задаче 6.2.2.
6.2.15.	Это следует из задачи 6.1.15 и леммы Урысона.
6.2.16.	Пусть х0— единственная неизолированная точка ^-пространства X, А и В — любые замкнутые непересекающиеся подмножества в X и х0 £ А. Тогда множество В состоит из изолированных точек и является поэтому одновременно замкнутым и открытым множеством. Следовательно, множества U = X \ В и V = В являются непересе-кающимися окрестностями множеств А и В. Если точка х0 не принадлежит множествам А и В, то доказательство очевидно.
6.2.17.	Пус ь А и В — непересекающиеся замкнутые подмножества пространства X, {xj, ..., х^) — множество его неизолированных точек и Uх —попарно непересекающиеся окрестности точек х;, i = 1, k. Тогда множества Ur = A U (U {U, -хс^А}) и = В (J (U {Ux : I	i
: Xi £ В)) открыты, так как являются объединениями открытых множеств с множествами изолированных точек. Поэтому множества U = U1 \ В и V = Vj \ А есть непересекающиеся окрестности множеств А и В (см. задачу 6.1.8).
6.2.18.	Нет. См. задачу 6.2.4.
6.2.20.	Да. Это следует из задачи 6.2.19.
6.2.22.	Пусть f — непрерывное замкнутое отображение нормального пространства X на топологическое пространство Y, At и Аг — любые замкнутые непересекающиеся подмножества в Y. Тогда множества (Xj) и 1 (Л2) также замкнуты, не пересекаются и для них существуют непересекающиеся окрестности Ut и U2. Если V, = Y \ \ f (X \ Ui), i = 1, 2, то И, za /4j, V2 23 ^2- Так как f~] (Ef) c: Ui и Ui П U2 = 0, to Vj f| V2 = 0. Множества X \ Ui замкнуты. Поэтому множества f (X \ Ui) также замкнуты, а множества Vi открыты. Таким образом, V, и JZ2 непересекающиеся окрестности множеств Л} и А3. Следовательно, Y — f (X) — нормальное пространство.
6.2.26.	Поскольку множество В = X \ U замкнуто и A f] В = = 0, то, согласно лемме Урысона, существует такое непрерывное отображение / : X-> [0; 1], что
(0, f W =
если х € А, если х £ В.
Пусть ср — отображение У-»-(а; 6], определенное формулой ф (/) = «= а + (6 — a) t. Тогда функция g (х) — ф (/ (х)) искомая.
6.2.27.	Пусть X — топологическое пространство, d — метрика согласования с его топологией, А и В — любые замкнутые непересекающиеся подмножества в X. Тогда d (х, 4) > 0 для любого xgB и d (у, В) > 0 для любого у б А (см. задачу 6.1.38). Пусть
Ux —	£ X : d (х, г) < — d (х, А), х g В
Uy= |z£ X :d(y,	d(y, В), yQA
Тогда множества У = U {Ux:xQB} и U— (J {Uy:y£A} открыты и содержат множества В и Л соответственно. Докажем, что U f| V = = 0. Предположим, что 1/ПУ#=0иг££/[")У. Тогда г g Ux П
П и и ДЛЯ некоторых у g А, х g В. Поэтому
1
d (х, y)^d (х, г) + d (z, у) <-i
< d (х, у) + d (у, х) = d (х, у).
Пришли к противоречию.
6.2.28.	Пусть нормальное пространство X обладает счетной базой. Через У°° обозначим множество {х = (хъ ...,х„, ...) : V x( g У) и для любых двух точек х = (хх...хп, ...), у — (ylt ..., уп, ...), принадлежа-
щих У°°, положим
Л=1
Нетрудно проверить, что р — метрика на множестве У°°. Поэтому пара (5'“, р) — метрическое пространство. Будем обозначать его просто через Для доказательства теоремы Урысона достаточно показать, что существует гомеоморфизм f пространства X в пространство У°°. Построим этот гомеоморфизм. Пусть S3 = {U[ : i g N} —счетная база пространства X, х — любая точка из X и U — любая окрестность точки х. Покажем, что существует такая пара (Uk, Um), что xg Uk и Uk cz <zz Um с. U. Из определения базы следует существование такого множества Um g 53, что х g Um cz U. Так как нормальное пространство регулярно, то существует такая окрестность W точки х, что U' <zz Um (задача 6.2.2). Из определения базы следует, что в 83 существует такой элемент Uk, что х g Uk cz U'. Очевидно, Uk cz U', поэтому Uk cz U,n. Так как база S3 счетна, то семейство Ж = {(Uk , Um ) : U k , U g Й,
Kn ,ln n an
Ub cz Um } также счетно, а поскольку X — нормальное пространство, п п
то для каждой пары (Ub , U ) g существует такое непрерывное ото-ап
бражение fn-X З', что
[0, если xgHft п(х) ={	п
11, если х G X X ит
(задача 6.2.26). Положив f (х) = (/, (х), /2 (х), ...), получим отображение f : X -» Покажем, что отображение f взаимно однозначно. Пусть х]; х., g X и U (xj) — окрестность точки х, не содержащая точку х2. Существует такая пара (Uk , Um ) g Ж, что Uk Jx,. Следовательно, Xj g ~Uk , ax2 g X \ U (xj <= X \ Um , поэтому fn (x,) = 0, fn (x2) = n	tt
= 1 и f (xj f (x2). Покажем, что отображение I непрерывно. Пусть х — любая точка из X, е — любое положительное число кт — такое
натуральное число, что	. Поскольку fn — непрерывное
отображение, то существует такая окрестность Un (х) точки х, что | fn (х) —
— fn (*') | < -j для любой точки x' G Un (*)• Пусть U (x) = m
= f] Un (x). Тогда U (x) — окрестность точки x и п=1 ОО	rn
р а w> f {хЭ) =	= £ IM (x)-h(x')\ +
fe=i	2*	k=i	2к
2*
k=m+\
Покажем непрерывность обратного отображения. Заметим, что поскольку отображение f взаимно однозначно, то отображение р1 существует. Пусть у — любая точка из f (X) и х = f~1 ((/). Непрерывность отображения f~1 будет доказана, если покажем, что для любой окрестности U (х) точки х существует такая окрестность U (у) Э У, для любой точки у' из которой f~1 (</') g U (х). Пусть (Uk , Um ) — такая пара из что х g Uk , Um cz U (х). Покажем, что в качестве окрестности U (у) мож-п п
но взять шар D j (у) радиуса в метрике р. Пусть у' — любая точка 1п
из О ! (у). Предположим, что х' = f~l (у') £ Х \ U (х). Тогда х' g X \ ~2А
\ U . Поэтому fn (х') = 1. При этом, в силу того что х g U. , имеем fn (х) = 0. Таким образом,
р (у, у') = p(f (*)> f (*')) > ।fn (x)	1 =	,
2	2
что невозможно, так как у' £ D i (у). Следовательно, х' = f~1 (</')£ ~2А
€ U (х).
§ 3.
6.3.1.	Пусть множество А всюду плотно в X. Тогда, согласно определению, А = X. Пусть существует такое непустое открытое множество U cz X, что U П А = 0. Следовательно, A cz X \ U. Так как U — открытое множество, то множество X \ U замкнуто. Поэтому Д с: X \ (7 и Л =# X. Получили противоречие. Обратно, пусть множество А таково, что U |~| A 0 для любого непустого открытого множества U. Предположим, что множество А не является всюду плотным в X, т. е. что А X. Тогда X \ А 0. Кроме того, множество U = X \ А открыто и не пересекается с А, что противоречит условию задачи.
6.3.2.	Докажем импликацию а) => б). Пусть множество В нигде не плотно в X. Тогда множество X \ В всюду плотно в X. Поэтому, согласно предыдущей задаче, U fl (X \ В) =# 0 для любого открытого непустого множества U с: X и, в частности, для любой точки b £ В и
любой ее окрестности U (Ь) будем иметь U (6) Л (X \ В) 0. Из этого условия следует, что окрестность U (&) не содержится в В, т. е. любая точка из В не является внутренней для В.
Докажем импликацию б) => а). Если Intx В = 0, то для любой точки х g X и любой ее окрестности U множество U не содержится в В. Поэтому U Л (X \ В) =И= 0 и на основании предыдущей задачи множество X \ В всюду плотно в X, а множество В нигде не плотно в X.
Докажем импликацию а) =$• б). Пусть В — нигде не плотное множество. Тогда множество X \ В всюду плотно и в силу предыдущей задачи U Л (X \ В) #= 0 для любого непустого открытого множества U cz X. Множество U' = U f] (X \ В) открыто, не пусто, содержится в U и, очевидно, не пересекается с В.
Докажем импликацию б) => а). Пусть множество В не является нигде не плотным. Тогда, согласно доказанному, Intx5=#= 0. Предположим, что U' — произвольное открытое непустое подмножество в Intjf В. Тогда U' Л В #= 0, а так как U' — открытое множество, то U' Л В #= 0 (см. задачу 6.1.7). Таким образом, в непустом открытом множестве Int^ В не существует никакого непустого открытого подмножества, которое не пересекалось бы с В, что противоречит условию задачи.
6.3.3.	Пусть Л!.Ап — открытые всюду плотные в X множества.
Тогда для любого открытого непустого множества U с: X множество = U Л-41 открыто и не пусто (см. задачу 6.3.1). Аналогично множества
В2 = В1 (~1 Л2, . . . , Вп_1 = Вп_2 П Лп_]
открыты и не пусты. Поэтому Вп = Вп_} П АпФ 0, но Вп = U ("| П( Л Л|- Следовательно, U f| ( Л л/)=Л=0. Теперь из зада-\i=l /	\1 = 1	/
п
чи 6.3.1 вытекает, что множество (~| Л,- всюду плотно в X.
1 = 1
6.3.5.	Нет. Пусть X = Я1, A = Z—’Множество всех целых чисел, — предбаза, образованная всеми множествами вида [х g Я1 : а < х} и {х g Я1: х < Ь] для любых а и & из R. Очевидно, Z П {х g Я1 : а < <х}#=0, Z П {хg К1 : х < Ь] Ф 0. Однако, Z= Z =Л= Я1.
6.3.6.	Любое бесконечное множество X, снабженное топологией, в которой множество U открыто тогда и только тогда, когда либо X \ \ U — конечное множество, либо (7=0.
6.3.8.	Для любой точки х g X множество X \ {х} не является всюду плотным в X. Тогда из задачи 6.3.1 следует, что существует такое непустое открытое множество U с X, что U Л ( X \ {х}) = 0. Поэтому множество {х} = U открыто.
6.3.9.	Множество U \ U замкнуто (см. задачу 6.1.8). Поэтому, если V — произвольное непустое открытое множество и V Л (Д \ Д) =£ #= 0, то V' = V Л Д =# 0- Очевидно, множество V' открыто, V cz с V и V Л (Д \ Д) = 0. Если множество V не пересекается с Д\ \ Д, то в качестве V' можно взять V. Теперь из задачи 6.3.2 следует что множество (7 \ Д нигде не плотно.
6.3.12.	Зафиксируем точку % из топологического произведения и через Ах обозначим объединение всех связных множеств, содержащих точку х. Нужно доказать, что множество Ах связно, всюду плотно в топологическом произведении, а затем воспользоваться задачей 6.1.59.
6.3.14.	Пусть X, Y — топологические пространства, f — непрерывное отображение X -> Y и А — всюду плотное в X подмножество. Предположим, что множество f (А) не является всюду плотным в Y. Тогда существует такое непустое открытое множество U с Y, что U П / (А) = 0 (см. задачу 6.3.1). Следовательно, и/-1 (U) П А = 0. Поскольку отображение / непрерывно, то множество f~1 (U) открыто. Таким образом, непустое открытое множество f~~l (П) не пересекается с А, что невозможно, так как А всюду плотное множество.
6.3.15.	В Л1 множество иррациональных точек всюду плотно и не счетно. Поэтому 511 не является множеством первой категории.
6.3.18.	Предположим, что f (х) =/= g (х) для некоторой точки х £ £Х\А. Поскольку Y — хаусдорфово пространство, то существуют такие окрестности U Э f (х) и V Э g (х), что U И V = 0. Поэтому множество 1 (U) И g~~1 (V) не пересекается с множеством А. Кроме того, множество /—1 (U) f| g~1 (V) не пусто, так как содержит по крайней мере точку х, и открыто в силу того, что отображения / и g непрерывны. Поэтолгу множество А не является всюду плотным (см. задачу 6.3.1). Это противоречит условию задачи.
6.3.19.	Пусть X — топологическое пространство, 03 — его счетная база. Возьмем в каждом элементе базы по одной точке и полученное счетное множество обозначим через А. Покажем, что А —всюду плотное подмножество в X. Предположим, что это не так, т. е. X \ А ф 0. Тогда открытое множество X \ А должно являться объединением некоторых элементов базы 33. Поэтому множество X \ А содержит точки из А и тем более содержит точки из А, что невозможно. Обратное утверждение не имеет места. Действительно, топологическое пространство (R, ®Г),где^" —топология, базой которой является семейство всех интервалов, есть сепарабельное пространство, так как содержит счетное всюду плотное подмножество рациональных чисел. Однако база этого пространства не является счетной. Другим примером сепарабельного пространства без счетной базы является любое несчетное множество X, топология которого состоит из пустого множества, множества X и дополнений до всевозможных конечных подмножеств множества X.
6.3.20.	Пусть X — сепарабельное пространство, А —счетное всюду плотное в нем подмножество, х — любая изолированная точка пространства X. Тогда одноточечное множество {х} открыто. Поэтому из задачи 6.3.1 следует, что (х) П А 0 0. Таким образом, множество А содержит все изолированные точки пространства X, а так как А — счетное множество, то и множество изолированных точек также счетно.
6.3.21.	Пусть А —счетное всюду плотное подмножество пространства X. Нужно показать, что семейство Щ = {(ajj аа) :	а2 £ А},
где (а-)', а2) = {х £ X : aj < х < а2) является счетной базой пространства X.
6.3.22.	Пусть X—сепарабельное топологическое пространство, &" — произвольное семейство его открытых непересекающихся подмножеств и А — счетное всюду плотное подмножество в X. Так как V П П А у- 0 для любого U £ 5А (см. задачу 6.3.1), то множеству U можно 388
поставить в соответствие некоторую точку из U ("] А. Это соответствие взаимно однозначно отображает семейство У' в счетное множество А. Поэтому семейство & счетно.
6.3.24.	1) Несчетное множество X с метрикой d (х, у) = 1 для любых х, у g X; 2) декартово произведение R X R с метрикой р, определенной следующим образом: р (х, у) — d (х, у), если прямая, проходящая через точки х и у, содержит начало координат О, р (х, у) = d (х, 0) + d (0, у), если эта прямая не содержит точки О. Через d обозначена евклидова метрика плоскости Е2.
6.3.25.	Необходимость. Пусть X — метризуемое пространство, {х/. : k g N) — счетное всюду плотное подмножество в X, d — метрика, согласованная с топологией пространства X. Докажем, что семейство 8 = {D , (х/г) : k, т g N),
т
где
D j (xk) = |х g X : d (х, xk) < —|, т
является базой пространства X. Пусть U — произвольное открытое множество из X их — любая точка из U. Согласно задаче 6.1.41, можно считать, что метрика d ограничена. Поэтому существует такое Ц > 0, что из неравенства d (х, у) <. т] следует, что у Q U. Так как {х* : k g N: всюду плотное в X множество, то в произвольной окрестности точки х существуют точки из \xit : k g N) (см. задачу 6.3.1), т. е. существует точка хп g {х/г : k g N) и натуральное т, для которых d (хп, х) < — <
п
<	~2 . Следовательно, х g D j (хга). Еслих —любая точка из D t (х„), т	т
то d (х', хп) < — . Имеем d (х', х) d (х', х„) + d (хп, х) < — + — <
<	т]. Поэтому х' g U, D [ (х„) cz U, т. е. любая точка х g U принадле-
т
жи г открытому шару .О । (хп), который, в свою очередь, содержится в
т
U. Таким образом, множество U является объединением таких шаров. Счетность семейства 58 следует из того, что объединение счетного семейства счетных множеств есть множество счетное.
Достаточность следует из задачи 6.3.19.
6.3.29.	Счетным всюду плотным подмножеством в Еп является множество всех точек с рациональными координатами. В /2 счетным всюду плотным подмножеством является множество всех последовательностей с рациональными членами, из которых лишь конечное число не равно нулю.
6.3.31.	Проверка первых двух условий в определении метрики очевидна. Проверим аксиому треугольника. Для любых х (0, у (t), г (t) g g С ([0; 1]) имеем
I X (0 - Z (0 I = | X (0 - у (0 + у (0 - Z (0 |	| X (0 -1/(01 +
+ I У (0 — Z (0 I + max | х (0 — у (0 | + max | у (0 — z (0 | =*
/ДО; 1]	/ДО; 1]
= d (х, у) -j- d (у, г).
Докажем, что подмножество CJ cz. С ([0; 1]), состоящее из всех многочленов с рациональными коэффициентами, всюду плотно в С (|0; 1]). Действительно, для любого е > 0 и любой функции х (t) £ С ([0; 1]) по теореме Вейерштрасса существует такой многочлен р (/), что
,	е
max х (/) — р (0 | < — .
/€[0; 1]	2
Очевидно, существует также такой многочлен р0 (t) с рациональными g
коэффициентами, что max | р (t) — р0 (/) I < —. Поэтому d (х, р0) —
/€[0; 1]	2
= max | х (/) — р0 (f) ] < е. Отсюда произвольное открытое мно-
«6[0; 1]
жество из С ([0; 1]) имеет непустое пересечение с множеством Сг0. Следовательно, множество Cq всюду плотно в С ([0; 1]) (см. задачу 6. 3.1), а гак как множество Сд счетно, то пространство С ([0; 1]) сепара-оельно.
6.3.32.	Каждый элемент х g 3^ можно считать отображением У->
У. Функция х £ 3^ называется ступенчатой, если она имеет конечную область значений. Очевидно, множество всех ступенчатых функций, каждая ступенька которых лежит на рациональной высоте над интервалом с рациональными концами, счетно и всюду плотно в 3'^. Поэтому пространство 3^ сепарабельно.
6.3.33.	Пусть тс — подмножество в X, состоящее из последовательностей х — {хп : п С N}, каждый член которых равен либо 0, либо 1. Множество тс имеет мощность континуума, и для любых х = (х„ : : n € N), у= {уп  п G N)
d (х, у) = sup ( | хп — уп | : ng N) = 1.
Предположим, что в X существует счетное всюду плотное подмножество т0. Тогда X = U D [ (х), где Dx (х) — открытый шар с центром х£т0 у	у
в точке х радиуса у (см. решение задачи 6.3.25). Поскольку множество та счетно, а множество тс имеет мощность континуума, то существует такая точка х0 £ т0, что шар D , (т0) содержит по крайней мере две Т
различные точки х, у £ тс. Для этих точек
2
1 = d (х, у) d (х, х0) + d (х0, (/)<—,
<5
что невозможно. Следовательно, пространство X не сепарабельно.
6.3.36.	Пространство /[ неполное. Действительно, последовательность
gr = {1. о, 0, . . .}, g2 = {l, 2_, 0, . . .......1п =
= /1, —.........—Ц-, о,.. л,...
(	2	2п~1	)
-► 0 при т < п,
(п—-1	'
S 4Г k—m
т ->- оо, п оо. Однако предел этой последовательности не принадлежит /р Поэтому пополнение пространства l\ не совпадает с l\- Очевидно, — всюду плотное подмножество в /2.
6.3.37.	Пусть последовательность (хп (/) : п Е N, хп (?) £ С ([0; 1])} фундаментальна. Тогда d (хп, хт) ->- 0 при п -> оо, т -* оо. Поэтому, согласно критерию Коши, последовательность {хп (?)} сходится на отрезке [0; 1] равномерно. Таким образом, предел хи (t) этой последовательности — непрерывная функция, т. е. х0 (?) С С ([0; 1]). Значит, С ([0; 1])—полное метрическое пространство. Множество Со ([0; 1]) содержит всюду плотное в С ([0; 1]) подмножество (см. решение задачи 6.3.31). Поэтому Со ((0; 1]) — всюду плотное подмножество в С ([0; 1]) и С ([0; 1]) — пополнение пространства Со ((0; 1]).
§ 4
6.4.3.	Необходимость. Предположим, что произвольная центрированная система {Аа : a Е М} замкнутых подмножеств компактного пространства X имеет пустое пересечение. Тогда семейство S = {X \ Аа : a (z М} является открытым покрытием пространства X. Из компактности пространства X следует, что в S’ существует конечное подпокры-
.	___ k
тие 3* = {Х\ Аа : i= 1, k}. Поэтому X = \] Х\ Аа , но тогда k	‘	»=1	‘
П Аа = 0, что противоречит определению центрированных систем.
Достаточность. Пусть всякая центрированная система замкнутых множеств топологического пространства X имеет непустое пересечение. Предположим, что в произвольном открытом покрытии S’ — {Ua : a Е Е XI} любое конечное подсемейство не является покрытием пространства X. Тогда в семействе {X \ Ua : a Q Л4) пересечение любого конечного подсемейства не пусто. Поэтому система {X \ Ua : а Е XI j центрирована. Очевидно, она состоит из замкнутых множеств. Согласно условию, А (X \ О' ,)	0. Следовательно, (J U„ X, что противоречит
аёМ	аем
определению покрытия.
6.4.6.	Пусть А — замкнутое подмножество компактного пространства X и S’л = {Ua :аЕ XI} —произвольное открытое покрытие для А. Тогда семействоS'x = {X \ A, Ua : а Е XI] есть открытое покрытие для X. Из компактности пространства X следует, что в S’% существует конечное подпокрытие Выбрав из семейства ^^только те множества, которые пересекаются с А, получим конечное подпокрытие покрытия S’ л.
6.4.7.	Предположим, что все счетные множества в компактном пространстве X, состоящем из бесконечного числа точек, замкнуты. Пусть А — бесконечное счетное подмножество в X. Тогда множество А замкнуто, поэтому оно компактно (задача 6.4.6). Для любой точки х Е А множество А \ {х} счетно и поэтому, согласно предположению, замкнуто. Следовательно, любое одноточечное множество из А открыто.
Очевидно, из открытого покрытия множества А, состоящего из всех одноточечных подмножеств, нельзя выделить никакого конечного подпокрытия. Поэтому множество А не компактно. Пришли к противоречию.
6.4.8.	Пусть X — хаусдорфово пространство, У — компактное в X подпространство, х — любая точка из X \ Y, а у — любая точка из Y. Поскольку пространство X хаусдорфово, то существуют такие окрестности Uy (х) Э х к Ux (у) Э у, что Uy (х) П Ux (у) = 0. Зафиксируем точку х, а точка у пусть пробегает все множество Y. Тогда семейство З’у = {Ux (у) : У б Y] есть открытое покрытие для Y, а так как У — компактное пространство, то существует такая конечная система точек (/j, ..., yk, что семейство Э’у = (Ux (у;) : Ус £ Y, i = 1, k] есть под
покрытие покрытия 3\- Так как ^у — покрытие для У, то j Ux (у;) = £=s=l
k
= Y. Пусть U (x) —
Л >=i
U (x). Тогда U (x) как пересечение конечного
числа открытых множеств есть открытое множество, и в силу того, что ка кдое U (х) содержит точку х, U (х) — окрестность точки х. При этом Uх (У() 0 Uy. (*) = 0- Поэтому U (х) П Y = 0. Следовательно, U (х) cz X \ У. Таким образом, произвольная точка х £ X \ У содержится в X \ У вместе с некоторой окрестностью U (х). Поэтому из задачи 6.1.3 следует, что X \ У — открытое множество. Следовательно, множество У замкнуто.
6.4.9.	Это следует из задач 6.4.6 и 6.4.8.
6.4.10.	Это следует из теоремы Тихонова и задач 6.4.6 и 6.4.8.
6.4.11.	Предположим, что незамкнутое подмножество У в хаусдор-фовом пространстве X компактно. Тогда, как и в задаче 6.4.8, X \ У — открытое множество, а множество Y замкнуто. Пришли к противоречию.
6.4.13.	Пусть Л4 — произвольное индексное множество, Аа — компактные замкнутые множества, М. Согласно задаче 6.1.4, множество А = П Аа замкнуто. Так как А а Аа для любого фиксированного а£Л4	°
а0 g М и Аа — компактные множества, то из задачи 6.4.6 следует, что множество А также компактно.
6.4.14.	Пусть X = R U {Xi} U {х2}, где xt и х2—любые две различные точки, не принадлежащие R. На множестве X введем топологию, в которой множество открыто тогда и только тогда, когда либо оно открыто в К1, либо дополнение к нему конечно. Тогда множество X с этой топологией станет топологическим пространством, в котором множества R (J (xj} и R U {х2} компактны (доказать это), а множество (R U (xi}) П (R U {х2})= R не компактно.
6.4.15.	Пусть X = R U {х}, где х — произвольная точка, не принадлежащая R. Введем на множестве X топологию, в которой открытыми множествами являются объединения открытых множеств из 311 с множеством {х}. Тогда множество X станет некомпактным топологическим пространством, в котором множество {х} компактно (доказать это). Кроме того, множество {х} содержится по определению в любом открытом множестве. Поэтому, согласно задаче 6.3.1, множество {х} всюду плотно в X, т. е. {х) = X.
6.4.17.	Пусть А и В—замкнутые непересекающиеся подмножества в компактном хаусдорфовом пространстве X, ах и у — произвольные точки из Л и В соответственно. Зафиксируем точку у, а точка х
г
пусть пробегает все множество А. Поскольку пространство X хаусдорфово, то существуют такие окрестности Ux Э х и Vx Э у, что Ux П Vx = = 0. Семейство 3 А = {Ux-.x$A} является открытым покрытием для А. Так как множество А компактно (это следует из задачи 6.4.6),
то в 3 л существует конечное подпокрытие, т. е. существует такая конеч-k
ная система точек*,, .... **, что = (J Ur zz> А. При этоммноже-t=l xi
k
ство V„ = n Vr является окрестностью точки у, которая не пепе-;=1 ‘
секается с Uu. Семейство = {Vy : у € В] является открытым покрытием для В. Поэтому из компактности В следует существование такой
п
конечной системы точек yit ..., уп, что множество V = U
является
п
окрестностью множества В. Очевидно, множество U = П U п — г=1 yi
окрестность множества А, которая не пересекается с окрестностью V. Поэтому пространство X нормально.
6.4.20.	Пусть А = |(х, у) g Л2 : х £ (0; 1], у = sin В = {(*, у) С !R2 : х = 0, у £ [—1; 1]} и V = A (J В. Так как V — замкнутое ограниченное подмножество в хаусдорфовом пространстве fR.2, то V — компактно и хаусдорфово (см. задачи 6.4.10 и 6.1.17). Множество А связно, поскольку оно является непрерывным образом связного множества (0; 1] (см. задачу 6.1.72). Поэтому множество V = А также связно (см. задачу 6.1.59). Показать, что в любой точке из В множество V не
является локально связным.
6.4.22.	Пусть X — компактное пространство, f—непрерывное отображение X на топологическое пространство Y и 3 = {Ua : a g С М} — произвольное открытое покрытие пространства Y. Тогда семейство {С-1 (Ua) : ag М\ —открытое покрытие пространства X, итак как X компактно, то в последнем покрытии существует конечное подпокрытие {/—1 (Ua) : i = 1, k}. Очевидно, семейство {(/а. : i = = 1, /г) — конечное подпокрытие покрытия 3. Поэтому Y — компактное пространство.
6.4.23.	Пусть V — произвольное замкнутое множество в X. Тогда из задачи 6.4.6 следует, что V — компактно. Поэтому f (V) также компактно (см. задачу 6.4.22), и так как пространство Y хаусдорфово, то / (V) — замкнутое подмножество в Y. Следовательно, отображение /“1 непрерывно. По условию отображение f непрерывно и взаимно однозначно. Следовательно, f — гомеоморфизм.
6.4.29.	Пусть X — компактное хаусдорфово пространство, которое обладает счетной базой. Тогда X — нормальное пространство (см. задачу 6.4.17). Согласно теореме Урысона (задача 6.2.28), пространство X метризуемо.
6.4.31.	Компактное метризуемое пространство X обладает счетной базой (задача 6.4.29). Поэтому оно сепарабельно (задача 6.3.19). Это же рассуждение применимо для любого подпространства из X.
6.4.35.	Подпространство Н в пространстве3^ (см. задачу 6.3.32), состоящее из всех неубывающих функций, неметризуемо. Чтобы
доказать это, достаточно доказать, что в Н существует несепарабельное подпространство (см. задачу 6.4.31). Таким подпространством в Н является, например, множество {ft : t g У}, где
ft W =
О,
1,
если х < t, если х > t,
если х = t.
6.4.39.	Поскольку метрическое пространство хаусдорфово, то замкнутость компакта в метрическом пространстве следует из задачи 6.4.8.
6.4.40.	Единичная сфера S°° cz Z2 (т. е. множество таких последова-ОО
тельностей х = (хп : п £ N) g Z2, что У х^ = 1) не является компакт-п—\
ным подмножеством в Р. Действительно, последовательность точек ег — {1,0, 0, ...), е2 — {0, 1, 0, ...}, ... из 3°°, очевидно, сама не сходится и никакая ее подпоследовательность также не сходится.
6.4.43.	В множестве У2 = У X У введем следующее упорядочение: (п; b) < (с; d), если а < с или Ь <. d. Множество У2 снабдим топологией У, предбазой которой является семейство всех множеств вида {(х; у) : (х; у) < (а; 6)} и {(х; у) : (а; Ь) < (х; у)}, где точка (а; Ь) пробегает все множество У2. Доказать, что (У2, У) — искомое пространство.
§ 5
6.5.1.	Утверждение, сформулированное в задаче, известно под названием теоремы Линделёфа (см., например: Келли Дж. Л. Общая топология.— М. : Наука, 1981.— С. 76).
6.5.3.	Поскольку сепарабельное пространство удовлетворяет условию Суслина (см. задачу 6.3.22), то подходит пример из задачи 6.3.19.
6.5.6.	Необходимость. Пусть бесконечное подмножество Y в счетнокомпактном пространстве X не имеет в X предельных точек. Тогда Y —замкнутое множество (см. задачу 6.1.22) и каждая точка yeY имеет такую окрестность Uy, что Uy (] Y = {у}. Пусть Yo — некоторое бесконечное счетное подмножество в Y. Тогда семейство {X \ Y0, Uy : у С Yo} является открытым счетным покрытием пространства X. Очевидно, из этого покрытия нельзя выбрать конечного подпокрытия, что противоречит определению счетной компактности.
Достаточность. Пусть каждое бесконечное подмножество из X имеет в X предельную точку. Предположим, что некоторое счетное покрытие У = {Ui : i G N} не содержит конечного подпокрытия. Не нарушая общности, можно считать, что Ut (J {Uj : j < i} для каждого i ( N (в противном случае от покрытия У можно перейти к подпокрытию У', которое получится из У выбрасыванием таких 1/(). В каждом множестве I// \ { U U j '• j < 1} выберем произвольную точку х(- и полученное множество обозначим через У. Так как множество Y бесконечно, то, согласно условию, в X существует предельная точка у0 для множества Y. Пусть i0 — такое первое число, что у0 g U( . Тогда х(- U при i > Zo. Поэтому у0 не может быть предельной точкой для множества Y.
6.5.11.	Пусть X—финально компактное и секвенциально компактное пространство. Так как из любого покрытия финально компакт
ного пространства можно выделить счетное подпокрытие, то для доказательства утверждения достаточно показать, что из любого счетного покрытиям = \Ut : i С N) пространства X можно выделить конечное п
подпокрытие. Пусть Vn = U Ui и хп — произвольная точка из Vn \ 1=1
\ (при п — 1 = 0 считаем, что Vo= 0). В предположении, что покрытие S’ не содержит никакого конечного подпокрытия, получим бесконечную последовательность {х„:п£М). Так как пространство X секвенциально компактно, то эта последовательность должна содержать сходящуюся к некоторой точке х0 ё X подпоследовательность. Кроме того, точка хп может принадлежать 1/(- только при п < i 4- 1. Следовательно, ни одно из множеств Ui не содержит точку х0. Получи-
ОО
ли противоречие, так как по определению покрытия IJ Ui = X, и, г=1
следовательно, точка х„ должна принадлежать некоторому U{.
6.5.12.	Пусть X — локально компактное хаусдорфово пространство, <о — произвольная точка, не принадлежащая X, и X* = X J U {<о}. В множестве X* определим такую топологию^", в которой открытыми являются множества, открытые и в X, и множества вида X* \ V, где V — некоторое компактное подмножество в X (используя задачу 6.4.8, проверьте, что семейство действительно является топологией). Пусть S’ = {Ua : аё М] — произвольное открытое покрытие пространства X* и пусть со £ U„ , а0 ё М. Тогда U„ = (X (J {со}) \ “о	о
\ Ко для некоторого компактного Vo с X. Имеем X* \ Ua = X* \ \ ((X (J {со}) \ Vo) = X \ (X \ Ио) = Ко- Так как множество Ко — компактно, то в семействе S’ существуют множества U .....U , кото-
1 ___ п
рые покрывают X* \ U„ . Поэтому семейство {Ur, : i = 0, п} является “о	i
конечным подпокрытием покрытия S’. Следовательно, X* — компактное пространство. Очевидно, в топологии, определенной на X*, пространство X является подпространством.
6.5.23.	Пусть пространство X — хаусдорфово локально компактно и обладает счетной базой. Из последних двух условий непосредственно следует, что существует такое счетное покрытие {Un : п С N), что каждое Un компактно. Через Ап обозначим множества из X, которые удовлетворяют двум условиям: 1) каждое Ап компактно; 2) Ап cz Int Ап^ для любого п ё N. Доказательство существования таких множеств проведем индукцией по п. Пусть Аг — Ut. Предположим, что множество Ап определено, a k — такое наименьшее из чисел, больших п, k	k
что Ап с. (J Ui. Положим Дп+1 = (J Ui. Из задачи 6.1.6 следует, k _________________________	_
что множество Ап_^ = (J Ui, и так как каждое Ui компактно, то мно-
ОО
жество Ап , । компактно. Очевидно, Ап cz Int Д„ । [ и (J Ап = X (при "г п—0
п = 0 считаем, что До = 0). Пусть S’ = {Wa : а ё М} — произвольное открытое покрытие пространства X. Множество Ап_; замкнуто (см. задачу 6.4.8). Поэтому множество Int Ап_^2 \ Ап_1 открыто (см. задачу 6.1.8). Следовательно, и (Int Д„+2 \ Дп_[) f) lFa — открытое
множество для любого а £ М. Ясно, что Int Лл_|_2 \ An_t о Лп_|_] \ \ Int Ап. Поэтому семейство &п = ((Int Л„+2 \ Ап_}) (] 1Га : а £ Л4) является открытым покрытием для Лп_^] \ Int Ап. Но множество 4n_|_! \ Int Ап компактно (это следует из задач 6.1.8 и 6.4.6). Поэтому в З’п существует конечное подпокрытие {V” : j = 1, р (п)}. Так как множества An_^t \ Int Ап покрывают X, то семейство^1' = {V” : / = = 1, р (n), п £ N} является покрытием для X. Очевидно, покрытие ОО
З’’ вписано в покрытие 9". Поскольку (J Ап = X, то произвольная точ-п=0
ка х £ X принадлежит некоторому Ak с Int А^. Поэтому множество Int можно считать окрестностью точки х. При этом Int Л^] П П V" = 0, когда k < п — 1. Отсюда следует, что — локально конечное покрытие.
6.5.26.	Согласно задаче 6.5.23, достаточно показать, что многообразие локально компактно. Пусть х — произвольная точка п-мерного многообразия X. По определению существует окрестность U точки х и гомеоморфизм ср : U !Rn. Так как № — локально компактно, то существует такая окрестность V точки <р (х), что V компактно. Пусть U' —	1 (V). Очевидно, U' В х и U' с (V). Так как <р— 1
непрерывное отображение, то множество <р— 1 (V) компактно (см. задачу 6.4.22), а так как многообразие X является хаусдорфо-вым пространством, то множество <р~! (V) замкнуто (см. задачу 6.4.8). Поэтому U' ст <р—1 (7) и множество U' компактно (см. задачу 6.4.6).
6.5.27.	Многообразие является хаусдорфовым паракомпактным пространством (задача 6.5.26). Следовательно, оно нормально (задача 6.5.21), и так как многообразие по определению обладает счетной базой, то по теореме Урысона (см. задачу 6.2.28) многообразие метризу-емо.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1	§ 1. Векторная функция скалярного аргумен-
Тс!	3
ПРОСТРкоивТыеННЫе § 2- Линия и ее уравнения ’ ' i i i i i i i	6
и	§ 3. Касательная к кривой. Длина дуги. Со-
провождающий трехгранник кривой 10 § 4. Формулы Серре — Френе для кривой.
Кривизна. Кручение. Натуральные уравнения линии........................... 16
§ 5. Касание кривых. Касание линии с поверхностью. Соприкасающаяся сфера 23
Глава 2
Плоские кривые
§ 1.	Касательная и нормаль...............
§ 2.	Эволюты и эвольвенты. Радиус кривизны
§ 3.	Касание кривых. Натуральное уравнение кривой ..............................
§ 4.	Асимптоты плоской кривой. Построение кривых ..................................
§ 5.	Дискриминантная кривая .............
26
34
39
42
53
Глава 3
Поверхности
§ 1.	Поверхности и их параметризации. Касательная плоскость и нормаль поверхности ...................................... 61
§ 2.	Огибающая, характеристики, ребро возврата семейства поверхностей. Развертывающиеся поверхности ........................ 69
§ 3.	Внутренняя геометрия и внешняя форма поверхности ................................. 74
§ 4.	Внутренняя геометрия и изгибание поверхности. Отображение поверхностей. Связь внутренней геометрии поверхности и ее внешней формы....................... 81
Глава 4	§	1.
„	§	2.
Линии	г	о
на поверхности |	4’
Сопряженные сети . . Асимптотические линии Линии кривизны . . . Геодезические линии
................. 94
................. 98
.................106
.................115
Глава 5
Тензорное исчисление
§ 1.	Операции над тензорами ..............
§ 2.	Тензоры в теории поверхностей........
§ 3.	Тензоры в римановой геометрии . . . .
122
136
Глава 6 Топология
§ 1. Топологические и метрические простран-
ства ................................. 165
§ 2.	Регулярные, вполне регулярные	и	нормальные пространства 	 180
§ 3.	Сепарабельные пространства........183
§ 4.	Компактные пространства	..........186
§ 5.	Пространства, близкие к	компактным	190
Ответы и указания к решениям задач ... 194
Учебное пособие
Кованцов Николай Иванович Зражевская Г алии а Мефодиевна Кочаровский Вячеслав Григорьевич Михайловский Вилен Ильич
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ТОПОЛОГИЯ, ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Сборник задач
2-е издание, переработанное и дополненное
Переплет оформил художник В. А. Г у р л е в Художественный редактор С. В. Анненков Технический редактор Л. И. Швец Корректор Л. М. Байбородина
ИВ № 10207
Сдано в набор 28.11.88. Подписано в печать 09.08.89, Формат 84Х108/32 Бум. тип. № 2. Гарнитура литературная Высо-кая_печать. Усл. печ. л. 2L_ Усл'._к^-ртт^ 21,26. Уч.-изд. л. 23'47. Тираж 4000 экз. Изд.’ № 8791. Заказ № 865.
Цена 95 к.
Издательство «Выща школа», 252054, Киев-54, ул Гоголевская, 7.
Отпечатано с матриц Головного предприятия республиканского производственного объединения «Полиграфкнига»_, 252057, Киев, ул. Довженко 3 на Белоцерковской книжной фабрике, 256400, ул. Карла Маркса, 4.