АЯДороговцев
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
СБОРНИК
ЗАДАЧ
КИЕВ
ГОЛОВНОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИЗДАТЕЛЬСКОГО ОБЪЕДИНЕНИЯ
«ВИЩА ШКОЛА»
1987

22 161 я73 Рекомендовано Министерством высшего
п ' и среднего специального образования СССР
ДиУ для использования в учебном процессе сту>
дентами чатематинеских специальностей
вузов
УДК 517 (031)
Математический анализ : Сборник задач /А. Я. Д о р о •
говцев— К.: Вища шк. Головное изд-во, 1987.— 408 с.
Представлены задачи по всем основным разделам
курса математического анализа. Особое внимание уделено
простым содержательным задачам, разъясняющим
наиболее важные понятия и факты, а также нестандартным,
требующим нешаблонного мышления, смекалки и
имеющим интересные решения.
Некоторые задачи объединены в циклы и носят
характер посильных исследований для студентов. Все задачи
расположены в порядке возрастания трудности. К ним
даны ответы, а к большинству — указания к их решению.
Имеются задачи олимпиадного типа.
Для студентов математических специальностей вузов.
Сборником могут пользоваться руководители студенческих
математических кружков и организаторы студенческих
математических олимпиад.
Рецензенты: доктор физико-математических наук
В. А. Ильин, кандидат физико-математических наук
В. В. Тихомиров (Московский государственный
университет), кандидат физико-математических наук
В.И. Чехлов (Московский физико-технический
институт)
Редакция учебной и научной литературы
по математике и физике
Зав. редакцией Ю, Е. Кострица
1702050000—057 -««ej © Издательское объединение
М2П (04)—87 «Вища школа», 1987

ОГЛАВЛЕНИЕ
Ответы,
Задачи указания
Предисловие 6
Глава I. Введение
§ 1. Логические знаки. Действия над множествами ... 9 267
§ 2. Общее понятие функции (отображения) 11 267
§ 3. Понятие мощности множества. Счетные множества.
Метод математической индукции 13 267
§ 4. Действительные числа. Некоторые неравенства ... 15 268
Глава II. Предел последовательности
§ 1. Последовательности действительных чисел.
Свойства сходящихся последовательностей. Теорема Штольца 21 268
§ 2. Монотонные последовательности. Число е . . . . . 31 272
§ 3. Подпоследовательности и частичные пределы.
Верхний и нижний пределы последовательности.
Фундаментальные последовательности и критерий Коши 38 275
Глава III. Предел функции в точке. Непрерывные
функции
§ 1. Предел функции в точке. Определения Коши и Гейне.
Свойства пределов 43 276
§ 2. Непрерывные функции 50 279
Глава IV. Производная и примеры ее использования.
Дополнительные задачи к главам I—IV
§ 1. Определение. Правила вычисления ........ 59 282
§ 2. Свойства дифференцируемых функций 66 285
§ 3. Производная и вычисление пределов. Формула
Тейлора 71 288
§ 4. Исследование монотонности и выпуклости функций.
Доказательство неравенств 78 291
§ 5. Экстремумы. Построение графиков 85 297
§ б. Дополнительные задачи к главам I—IV S8 298
Глава V. Неопределенный интеграл
§ 1. Примитивная. Неопределенный интеграл 93 301
Г л а в а VI. Интеграл Римана
§ 1. Определение интеграла. Существование 96 302
§ 2. Свойства интеграла Римана 99 305
3

Задачи Ответы,
указания
Глава VII. Ряды. Произведения
§ 1. Сумма ряда. Элементарные свойства 117 319
§ 2. Ряды с неотрицательными членами. Признаки
сравнения и сходимости 120 323
§ 3. Абсолютно и условно сходящиеся ряды 129 334
§ 4. Свойства сходящихся рядов. Произведение рядов 134 336
§ 5. Бесконечные произведения . 136 337
Глава VIII. Функциональные ряды
§ 1. Равномерно сходящиеся последовательности
функций 139 338
§ 2, Равномерная сходимость функционального ряда . . 142 341
§ 3. Свойства суммы функционального ряда 149 344
§ 4. Степенные ряды 154 347
§ 5. Ряд Тейлора 159 351
Глава IX. Функции ограниченной вариации и
интеграл Стилтьеса. Дополнительные задачи к главам V—IX
§ 1. Функции органической вариации 162 354
§ 2. Интеграл Стилтьеса 166 357
§ 3. Дополнительные задачи к главам V—IX 169 360
Глава X. Элементы анализа в метрическом
пространстве
§ 1. Метрическое пространство 178 367
§ 2. Функции на метрических пространствах 186 371
§ 3. Компактные множества и их свойства 188 372
§ 4. Непрерывные функции на компактах 190 373
§ 5. Принцип сжимающих отображений 192 374
Глава XI. Дифференциальное исчисление функций от
нескольких переменных
§ 1. Производная по направлению. Частные производные 196 375
§ 2. Дифференцируемые функции 198 376
§ 3. Локальный экстремум 201 377
Глава XII. Векторные функции от нескольких
переменных. Дополнительные задачи к главам X—XII
§ 1. Отображения. Непрерывные отображения.
Дифференцируемые отображения 204 378
§ 2. Обратное отображение. Неявное отображение . . . 206 380
§ 3. Локальный относительный экстремум 209 381
§ 4. Дополнительные задачи к главам X—XII 211 384
Глава XIII. Несобственные интегралы. Интегралы,
зависящие от параметра
§ 1. Несобственные интегралы, элементарные свойства,
признаки сходимости 215 384
§ 2. Собственные интегралы, зависящие от параметра . . 220 388
§ 3. Равномерная сходимость несобственных интегралов
н признаки равномерной сходимости. Свойства функций,
определяемых интегралами 222 389
§ 4. Гамма- и бета-функции 228 391
4

Задачи Ответы,
указания
Глава XIV. Кратные интегралы
§ 1. Интегралы по брусу и их свойства 230 391
§ 2. Множества, измеримые в смысле Жордана, и мера
Жордана 233 —
§ 3. Кратные интегралы по измеримым множествам . . , 235 393
§ 4. Формула замены переменных 237 394
§ б. Несобственные кратные интегралы 239 395
Глава XV. Интегралы по многообразиям и теорема
Стокса
§ 1. Допустимые преобразования координат.
Дифференциальные формы 242 396
§ 2. Криволинейные и поверхностные интегралы второго
рода. Формулы Грина, Гаусса — Остроградского и Стокса 244 396
§ 3. Длина дуги и площадь поверхности. Криволинейные
и поверхностные интегралы первого рода 248 397
Глава XVI. Элементы теории рядов и интеграла Фурье
§ 1. Основные понятия 250 398
§ 2. Ряд Фурье относительно тригонометрической
последовательности функций 253 400
§ 3. Преобразование Фурье 256 403
§ 4. Дополнительные задачи к главам XIII—XVI . . . 259 404

• ПРЕДИСЛОВИЕ
Курс математического анализа является основным в
математическом образовании студентов ряда факультетов университетов и
технических вузов. Глубокое понимание курса и овладение его методами
может быть достигнуто путем систематического самостоятельного
решения задач. Именно процесс активного продумывания материала
при решении задач помогает выработать правильные интуитивные
представления о глубоких и абстрактных понятиях математического
анализа. При этом наибольшую пользу начинающим приносит
решение нестандартных задач, требующих известной независимости
мышления, изобретательности и т. п.
В книге приведены задачи по всем основным разделам курса.
При отборе задач учтены изменения последних лет в программе курса,
а также современные тенденции преподавания математики. В
частности, представлены задачи по ряду новых разделов. Меньше, чем
обычно, отведено места задачам технического характера, а также
задачам с прикладным содержанием. Такие задачи хорошо
представлены, например, в следующих известных учебных пособиях:
Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по
математическому анализу.— 9-е изд.— М. i Наука, 1977.— 528 с.
Сборник задач по математическому анализу / Кудрявцев Л. Д.,
Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М. И.— М. t Наука, 1984.—
592 с.
Основное внимание уделено простым содержательным задачам,
разъясняющим наиболее важные понятия и факты, задачам
нестандартного характера с интересными решениями. Часть задач
объединены в отдельные циклы, которые носят характер посильных
исследований для студентов. Имеются также задачи олимпиадного типа.
Все задачи расположены в соответствии с возрастанием
трудности и предназначены для самостоятельного решения. Наиболее
сложные задачи помечены звездочкой. Для контроля даны ответы, к
большинству задач — указания к их решению. Но не следует спешить
заглядывать в ответы. Обращаться к указаниям желательно только
после существенных усилий по решению задачи. К ответам и
указаниям нужно обращаться и тогда, когда задача решена самостоятельно.
Предложенные указания и решения должны, быть детально разобраны
и восстановлены полностью по двум причинам. Во-первых, только
полно и тщательно изложенное математическое рассуждение
гарантирует то, что задача решена. Во-вторых, в указаниях и решениях во
6

многих случаях приведены типичные идеи и методы рассуждений.
В указаниях к олимпиадным задачам даны также ссылки на
дополнительную литературу.
Теоретический материал, необходимый для решения задач,
содержится в университетском курсе математического анализа. Для
решения большей части задач достаточно и втузовского курса. В
частности, можно пользоваться следующими книгами (в скобках указаны
главы задачника, для решения задач из которых данная книга
содержит необходимый материал):
Зорич В. А. Математический анализ* В 2 ч,—М. ! Наука, 1981—
1984.— Ч. 1.— 544 с; Ч. 2.— 640 с. (гл. I—XVI);
Никольский С. М. Курс математического анализа: В 2 т.— М. i
Наука, 1973—1975.—Т. 1.—432 с; Т. 2.—408 с, (гл. I—VIII,
XI—XVI);
Кудрявцев Л. Д. Математический анализ: В 2 т.— М. : Высшая
школа, 1970.-Т. 1—592 с; Т. 2.-422 с. (гл. I—VIII, XI—XIV,
XVI);
Дороговцев А. Я. Математический анализ. Справочное пособие.—
К. : Вища шк. Головное изд-во, 1985.— 528 с. (гл. I—XVI).
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
V — для всех, для каждого
3 — существует
3! — существует точно один
:= — равно по определению
N — множество всех натуральных чисел
Z — множество всех целых чисел
Q — множество всех рациональных чисел
R — множество всех действительных чисел
С — множество всех комплексных чисел
Rm — m-мерное векторное пространство
/: А -> В или А Э *•-*> f (х) £ В — функция (отображение, преобразование),
определенная на множестве А и принимающая значения во множестве В
f (А) := {/ (х)\х g А)
Г1 (В) :- {x\f (х) € В)
max / (min f) — наибольшее (наименьшее) значение функции / на А
sup A (inf A) — точная верхняя (нижняя) грань множества А действительных
чисел
[ h а > 0;
sign а := { 0, а = 0;
1—1, а < 0
\а] — целая часть числа а £ R
/ (я—) » lim / (*)— предел слева функции / в точке а
/ (а+) = Пт / (х) — предел
справа функции / в точке а
7

О — отношение подчиненности
о — отношение пренебрежимости
f ~ g, х -*- х0 —- отношение эквивалентности функций / и g при х -►• х0
С (Л) — множество всех функций /: Л -♦- R, непрерывных на множестве Л
Q> (А) — множество всех функций /: Л -*■ R, непрерывных на множестве Л и
ограниченных на множестве Л.
С (Л, В) — множество всех функций / : Л -* В, непрерывных на множестве Л
/__ (а) (/+ (л)) — производная слева (справа) действительной функции / в точке а
Сп (Л) — множество всех функций/ : Л -» R (/ : Л ->- Rm), имеющих непрерывные
на Л производные порядка п (компоненты которых имеют непрерывные на Л произ-
оо
водные порядка п) С°° (Л) : = f| С1 (Л)
Lipa ([a, 6]) — класс всех функций / : la, b] -> R, удовлетворяющих на отрезке
[а, Ь] условию Липшица с показателем a
R ([я, ^1) — множество всех действительных функций, интегрируемых по Риману
по отрезку [a, b]
RS ([д, 6], а) — множество всех действительных функций, интегрируемых по отрезку
[а, Ь] относительно функции а
BV ([д, Ь]) — множество всех функций ограниченной вариации на [a, b)
V (/, [д, 6]) — вариация функции / на отрезке [а, Ь]
{ап (х), х £ А : п > 1} или {А $ х *+> ап (х) : п ^ \) — последовательность
действительных функций, заданных на множестве Л
(X, р) — метрическое пространство с метрикой (расстоянием) р
В(х0, г): = {х£Х | р (*,*„)< г}
5(*0,г): = {*€Х | р(*,*0)<г}
5 (х0, г): = {* £ X | р (*, *0) = г}
*л -*■ *» л -*■ °° в (X, р) — последовательность элементов fхп : п ^ 1} с: X
сходится к элементу х £ X при п->оов метрике р
» —> —►
/-► (а;) — производная по направлению а действительной функции нескольких пере-
а
менных в
f' Ir\ •
£,(*) = =
точке
67 й
дх(
дУЙ
дхдх,
V/ (х): = grad / (х) = I — . ... , — I —градиент действительной функции
х дхх дхт '
от т переменных в точке х
) f (x) dx — интеграл Римана от действительной функции т переменных по мно-
А
жеству Л

Глава I ■•введение
§ 1. ЛОГИЧЕСКИЕ ЗНАКИ.
ДЕЙСТВИЯ НАД МНОЖЕСТВАМИ
1.1.1. Определить множество А, если
1) Vx£A 3n£N i 2n = x;
2)Vx£A 3m£Z 3n^N i -^=*J
3) Vx£A 3*/£R, f/>l : 2x = y;
4) Уа£Л 3*€R J x2 + lax + a = 0;
5) Уа^Л 3*€R : 3a-f- 2ax — x2>0;
6) Уа£Л 3&6R 3*£R ! *2 -f 2ax -f b2 + 1<0.
1.1.2. Верны ли следующие высказывания:
1) 3n<EN . |j +_|_+ .£_+... +_J_j€N;
2) 3«gN, л>10 Vm^N : |/«i?€N;
3) 3n£N Vm£N i lArnn^N;
4) Vn^N 3r^Q 3r2^Q : /y.+Zi-»;
5) Va£R 3*£R : *2Н-ал; = 0;
6) VaCR 3*€R : x2 + lax + a ■* 0;
7) 3a€R y*6R r x2 — 2ax+a>Q?
1.1.3. Определить и изобразить на рисунках множества А [} В,
А П fi, A \ В, В \ А, если
1M = {*€R | х2 + Ьх + 8<0}, B=*{xeR | х2 + 3х<0);
2)A = {xeR | 1<|*-3|<2}, В={хеЯ | 2|*|<3};
3) A = {(x,y)ZR2 | *2+|/2<l}, B = {(x, </)€R2 | ху>0};
4) 4={(x,y)6R2 | r>>*/3}, fi={(*,t/)€R2 I x2>y2};
b) A = {(x,y)e*2 I * = */}, B={(x,y)eR2 I |*| + M<U-
9

1.1.4. Пусть для т £ Z и п £ N множество Лтл = {лс £ R | т <
< х <Z m + п\. Определить следующие множества;
О Sw •= U Атп\
оо
^) ^т == П Awii
п=\
3) Л U Am*
т=—оо я=1
4) Л U 4*.;
5) U Л Л™;
6) U Л Д«.
1.1.5. Определить множества U Ла, f] Ла, где
1) Ла = {(*,</) £R2 I * = ou/}, Г = (0, +оо) и Г = [-1, ljl
2) Ла = {(х, 1/) €R3 I У = а*2), Г = (0, + оо).
1.1.6. Для множеств Л и В симметрическая разность Л ДА
есть множество
Л А В: = (Л U В)\(А Л В).
Доказать, что
1) ААА = 0;
2) Л Л 0 = А;
3) Л Л (5 АО = (Л Л 5) А (Л Л Q;
4) Л Д В с (Л Д С) (J (£ А С) для любого С.
1.1.7. Пусть Аг, Л2, ..., Л„ — произвольные множества.
Доказать равенство
Л (Л, U /4,) = U Л Л,
«</ ;=£,
1.1.8. Пусть {Л„ s л ;> 1} и {В„ ; л ^ 1} — две
последовательности множеств. Доказать включение
( U Ап) Д ( U Вп) с U (Л„ Д В„).
1.1.9. Пусть (Л„ : л> 1} — последовательность множеств.
Записать с помощью операций объединения и пересечения множеств:
1) нижний предел lim Ап последовательности множеств [Ап : п ^ 1},
10

равный множеству всех тех элементов, которые входят во все
множества последовательности, исключая конечное число множеств;
2) верхний предел lim Ап последовательности множеств [Ап i n >
/1-юо
^ 1} равный множеству всех тех элементов, которые входят в
бесконечное число множеств последовательности.
1.1.10. Пусть [Ап i n ;> 1} — последовательность множеств.
Доказать, что
оо оо
П Ana\imAnczlimAncz [} Ап.
Привести пример последовательности множеств, для которой все
включения являются строгими.
1.1.11. Пусть последовательность множеств {Ап i n 1> 1}
монотонна, то есть либо
1) Vrc€N : Апс=Ап+и
либо
2) Vn6N : Лп=>Л„+1.
Проверить, что в случае 1)
ПтАп = МтАп= [j Am
а в случае 2)
1.1.12. Доказать следующие равенства:
НтЛп = НтЛп=в f| An.
1) lim Л„ = Нт Д
л»
п-+оо
2) \imAn = lim Л
л-
П-*оо
1.1.13. Для каждого n£N множество Ап есть множество всех
простых делителей числа п. Определить
НтЛ„, ЙтЛи.
§ 2. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ (ОТОБРАЖЕНИЯ)
1.2.1. Функция / i Z -»» N задана соотношением
ЪЪп * /(n) = l+rt26N.
Определить
О /({0});
2) /({1});
и

3) Г'(Ш);
4) Г' ({2}). Доказать, что /(Z) - /(N) U (М-
1.2.2. Функция /1 Z2 -*■ Т? задана соотношением
Z2 Э (т, л) *• (т, 0) 6 Z"
Определить
1) /(Л), Л = {(0,л) | n6Z};
2) f(B), fl = {(«,«) | «6Z};
3) Г'(О, C = {(m,0) | m6N};
4) Г'Ф), D = {(m,0) | m£Z}.
1.2.3. Функция / j Z ->• Z задана соотношением
Z^n -* f(n) = n(n + 1)6Z.
Определить
1) Г1 ({!});
2) Г'({2});
3) Г>);
4) Г1 И), /4 = 0-л | n£N}.
1.2.4. Являются ли следующие отображения инъекцией, сюръек-
цией, биекцией:
\)ЪЪп *+ n + (-l)"eZ;
2) Ъ^п -* 2 —neZ;
3) Z9« -* (—l)"«eZ;
4) Z9n *♦ «262.
5) Z2 Э (m, л) -* (n, m) 6 Z2;
6) Z29(m, n) «-» (m +l,n —2)6Z2;
7) Z2 Э («г, «) •-* (tn +n, m — n) 6 Z2;
8)*N29(m,«) — /m + 4_(/n+/I — 2)(m+n — 1))€N;
9)* ЛЭ(т,я) — (I +m+|mH-n + (|m|+n)2)6N,
где Л = {(m,n) | meZ, /»6N (J {0}}?
1.2.5. Привести пример биекции / ; A2 -*■ А такой, что
V{m, n\cA : f(m + 1, n) > jF(m, n) и f(m, n+ l)>/(m, /г),
если
1) Л = N;
2) Л = Z.
1.2.6. Пусть X и F — конечные множества, причем | X | = ш,
\Y \ — п. Сколько всего существует
12

1) функций / ! X -► Y\
2) инъекций / i X -* Y;
3) биекций f\ X -+Y?
1.2.7. Пусть для множеств X и Y отображения / i X -> Y и
g • Y -► X таковы, что
Доказать, что f и g — биекций hj = /-'.
1.2.8. Привести пример множества X и отображения f : X ~+ Xf
чтобы / являлось сюръекцией, а не инъекцией. Существует ли такое
отображение для конечного множества X?
1.2.9. Функция / i N2 -* N задана соотношением
N2 Э (т, п) *-*> max (m, n) 6 N.
Является ли f сюръекцией? инъекцией?
§ 3. ПОНЯТИЕ МОЩНОСТИ МНОЖЕСТВА. СЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА.
МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ
1.3.1. Доказать, что множества N, Z, Q, N2, Z2 равномощны (и
счетны).
1.3.2. Доказать, что множество всех многочленов с
рациональными коэффициентами счетно.
1.3.3. Доказать, что множество N можно представить в виде
где при каждом п ^ 1 множество Ап cz N, счетно и
ЛпЛ4и=0, пфт.
1.3.4. Доказать, что множество всех конечных подмножеств
счетного множества счетно.
1.3.5. Доказать, что множество всех треугольников на
плоскости, вершины которых имеют рациональные координаты, счетно.
1.3.6. Пусть А — множество точек на прямой, причем
расстояние между любыми двумя точками этого множества больше 1.
Доказать, что множество А конечно или счетно.
1.3.7. Пусть А — бесконечное множество и а — некоторый
элемент, а£ А. Доказать, что множества Ли Л U (а) равномощны.
1.3.8. Пусть А — бесконечное множество и А (] N = 0.
Доказать, что множества А и A (J N равномощны.
1.3.9*. Множество А всех бесконечных последовательностей,
составленных из 0 и 1, несчетно и имеет по определению мощность
континуум. Доказать, что множество всех бесконечных
последовательностей натуральных чисел имеет мощность континуум.
1.3.10. Доказать, что множество всех бесконечных
последовательностей рациональных чисел имеет мощность континуум.
13

1.3.11. Пусть /: X -> Y — сюръекция. Доказать, что Y равно-
мощно некоторому подмножеству множества X. В частности, если
X счетно, то Y не более чем счетно.
1.3.12*. Пусть X — произвольное множество, а 2х—
множество всех подмножеств множества X, включая 0 и X. Доказать, что
множества X и 2х не равномощны.
1.3.13*. Принципом математической
индукции называется следующее утверждение. Пусть М — такое
множество, что
1) 1 € М;
2) Vn £ N из того, что п £ М следует, что (п + 1) £ Af. Тогда N с
cz 7W. В частности, если М с N, то М =* N. Это утверждение является
аксиомой натуральных чисел.
Доказать, что принцип математической индукции равносилен
утверждению: любое подмножество множества N имеет наименьший
элемент.
1.3.14. Доказать неравенство Я. Бернулли
Vcc>—1 Vn6N : (1+а)п>1 +ла.
1.3.15. Доказать, что
V«€N : 1+^+4-+ ... +-|г<2-4-.
1.3.16. Доказать, что
Vn€N : ]A + J/2+ ... +/2-2со8^т.
/1 корней
1.3.17. Доказать, что для любых х £ (0, 2я) и п £ N
1 Sin(*+T)*
-д- + COS JC + COS 2Х + • • • + COS Л* = ♦
2sinA
1.3.18. Доказать, что для п > 8 /г3 < 2П+Ч
1.3.19. Доказать, что для п > 2
nT<nI<(jl+J_)\
1.3.20* Доказать, что для л ^ 2
, + ТТ + 7Г+ - +ут>2(КмЛ-1).
1.3.21. Доказать, что для п 1> 1
_L _L JL 2п—\ l
2 ' 4 • 6 2л *S -^з^П •
1.3.22. Доказать, что для п 1> 1
14

§ 4. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. НЕКОТОРЫЕ НЕРАВЕНСТВА
1.4.1. Доказать, что не существует числа х £ Q такого, что
1) х2 = 2; 2) х2 = 6; 3) хь + х— 1 = 0.
1.4.2. Доказать, что не существует числа х £ Q такого, что
1) 10" = 2; 2) 10х = 3; 3) 10х = 15.
1.4.3*. Пусть а = гя, r£Q и 0<а< ~-. Доказать, что
1) sina6Q, гф±\ 2) tgagQ, гф-\-.
Неотрицательное действительное (вещественное) число есть бесконечная
последовательность цифр с одной запятой между ними, то есть бесконечная десятичная
дробь вида
а = а^а&ъ. . .ап .... (*)
где
«o€N U {0},
V«^N : ап£ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Далее рассматриваются дроби вида (*) без цифры 9 в периоде.
Неотрицательное число а вида (*) называется положительным, если
3^NU(0) an > 0.
Отрицательное действительное число определяется как положительное со
знаком «—», при этом правила действий со знаком «—» те же, что и во множестве Q.
Два неотрицательных числа вида (*) равны, если равны все их соответствуютие
знаки.
Число а = a0,a1a2...a,1... меньше числа Ь = fVPifV-'Pn--» если либо а0 <
< Р0, либо
3^N V kt 0 < k < п — 1 : ak = §k и ап < р„.
Периодические дроби вида (*) (в том числе те, которые имеют цифру 0 в периоде)
образуют множество рациональных чисел Q. Остальные дроби называются
иррациональными числами. Множество всех действительных чисел обозначается R.
1.4.4. Доказать, что для любых чисел а и ft из R выполняется
одно и только одно из соотношений:
1) а < ft, 2) а = ft, 3) а > ft.
1.4.5. Доказать, что
Va£R 3m£N : m>a
(аксиома Архимеда).
1.4.6. Пусть для чисел а и ft из R таких, что a < ft, множество
(a, ft): = {*6R I a<x<ft},
(a, ft) называется интервалом с концами а и ft. Доказать, что
множество (a, ft) П Q счетно.
I. 4.7. Доказать, что любое семейство попарно непересекающихся
интервалов на прямой R не более чем счетно.
1.4.8. Доказать, что любое семейство интервалов с концами из
Q на прямой R не более чем счетно.
15

1.4.9.* Пусть {я, &}c=R, a < ft, и
[a, &]: = {a:6R | я<*<&}.
Доказать, что множества [а, Ь] и (а, ft) равномощны.
1.4.10. Доказать, что множество [0, 1] и множество [0, 1] \ Q
равномощны.
1.4.11. Доказать, что множества (0, 1) и R равномощны.
1.4.12. Доказать, что множество Z не является ограниченным
сверху и снизу.
1.4.13. Доказать, что множество чисел
(-!)•(! -i) | «6N}
ограничено и не имеет ни наименьшего, ни наибольшего элементов.
1.4.14. Имеет ли наибольший и наименьший элементы множество
{ап = п22~п | /i£N}?
1.4.15. Найти наибольший и наименьший элементы множества
{«.--5- I •«")•
1.4.16*. Доказать, что множество
{sin я | п£1)
ограничено и не имеет ни наименьшего, ни наибольшего элементов.
Указание. Использовать без доказательства то, что я £ О.
1.4.17. Найти точные грани множества
{(-i)n(i-^) | пен).
1.4.18. Найти точные грани множества
(ттт(2 + (-1)Л) I neNb
1.4.19. Пусть A cz R, А Ф 0, А — ограничено. Положим
/:= П [1а,Ь] | [а, Ь\=>А).
Доказать, что
/ = [inf/4, sup Л).
1.4.20. Найти точную нижнюю грань множества
Л- -2L + -2L
тб
N, «€N1
1.4.21. Найти точные грани множества
Л =
т.
6Z,«€N}.
4/п2 + п2
1.4.22. Найти точные грани множества
\т + п J
16

1.4.23. Найти точные грани множества
А = ( , *, I m£Z, ngNl.
1.4.24. Пусть Л с: [0, +оо) и
Vn^N 3xneA : *„<4~.
Доказать, что inf A = 0.
1.4.25. Пусть Л сг 5 cz R, причем А Ф 0 и В — ограничено
сверху. Доказать, что sup A ^ sup В
1.4.26. Пусть А и В — ограниченные подмножества R, причем
А Ф 0,
\/х£А ЗуеВ : *<*/.
Доказать, что sup A ^ sup В.
1.4.27. Для ограниченных непустых подмножеств А и В
множества R доказать следующие неравенства:
sup (A U В) = max (sup Л, sup 5),
inf (Л U 5) = min (inf Л, inf В).
1.4.28. Пусть множество Л cz [1, +оо) таково, что
Vn6N Эгп(ЕЛЛО i 2гп-г2п>1 1-.
Найти inf Л.
1.4.29. Пусть Ли В — ограниченные непустые
подмножества R и
с = {х + у | хел,уев).
Доказать, что sup С = sup Л + sup В.
1.4.30. Найти
1) inf sup %=£; 2) sup inf £=±;
2) sup inf —г—; 4) inf sup —;— .
m€N rc€N n "Г m n£N m€N я + W
1.4.31. Как связаны точные грани ограниченных множеств Л
и В, если Л Ф 0
1) Лс^ B = {-x | х£А);
2)^cR, В= {х3 | х£А};
3) /IcR, В= {л;2 | х£Л};
4)i4czRf B^{*+a | х£Л}, a£R;
5) 4c=R, В={ах | х£Л}, a£R?
1.4.32. Предположим, что для функций f i A -+R, g : A -+R
множества
{/(*) I *£А}> {g(x) | *£Л}
17

ограничены. Доказать следующие неравенства:
inf (/ (х) + g (x)) > inf / (х) + inf g (x),
x£A x^A x$A
sup (f (x) + g (x)) < sup / (x) + sup g (x).
x£A x$A x$A
1.4.33. Доказать, что для любых а £ R, b g R справедливы
следующие равенства:
min(я, Ь) = -^-(а -f b — |а — Ь\)
max (а, Ь) = -у (а + b + | а — & |).
1.4.34*. Существует ли многочлен Р с целыми коэффициентами и
такой, что
1) отображение Pi R -* R не является инъекцией и
2) отображение Р s Q -► Q является инъекцией?
1.4.35*. Пусть _
A={Vm — V7i | m£N, ngN}.
Доказать, что любой интервал (я, Ь) содержит бесконечное число
элементов множества Л.
1.4.36*. Пусть Ы — целая часть числа я, {а) \ = а— Ы.
Доказать, что
1) sup{Kn} = l; 2) sup{lgn} = l;
3) sup{~l^n} = 1; 4) sup sinn = 1.
Указание. В 4) использовать без доказательства то, что
1.4.37. Пусть [ап, bn], n £ N — последовательность отрезков на
R таких, что каждые два из них имеют, по крайней мере, одну общую
точку. Доказать, что существует точка, принадлежащая каждому
из отрезков.
1.4.38. Доказать, что на плоскости существуют точки Л, В и С
такие, что для любой точки Р плоскости не все расстояния | АР |,
| ВР |, | СР \ рациональны.
1.4.39. Доказать, что для любых чисел а, &, с из R справедливо
неравенство
\ytfT+j2__ya2+c2\^\b_c^
1.4.40. Пусть аъ а2, ..., ап\ Ьг, Ь2, ..., Ьп — два набора
действительных чисел, где п 6 N. Доказать, что
| max ak — max 6*|< max |ak — bk|< £ |ak — bk\.
l^k^n l^k^n l^fe^n b=l
1.4.41. Пусть a1% a2, ..., an; &lf b2, ..., &„, где л £ N,—два
набора действительных чисел таких, что
п п
2j a>k = U 2j ^ = I-
fe=l <F—1
18

Используя неравенство
|2flA|<2ia*i-i&j<2-r<a*+$-1'
доказать неравенство Коши
n \2 n о n о
для любых наборов al9 a2, ..., a„ и рь p2> • ••> P* действительных
чисел. Показать, что знак равенства возможен тогда и только тогда,
когда
Ык = |и|$£, 1 < k ^С п,
где X и jui — действительные числа, | К \ + \ \i \ Ф 0.
1.4.42. Доказать, что для любого «>2и любых действительных
чисел аи а2, ..., ап справедливо неравенство
(|^T<(^-l)(Sa* + 2a^).
1.4.43. Пусть для заданных чисел alt a2, ..., ап из R таких, что
К I + I а21 + ... + | ап | > 0,
п
А = Uxlf ..., хя) | x*6R, 1<*<л; £я*л:*=1.
Найти
fe = min J 2 ^1 I (*i, ..., **) 6 ^} •
1.4.44. Доказать, что для п положительных чисел аъ a2t ..., ап
таких, что
выполняется неравенство
п 1
1.4.45. Какие наборы действительных чисел alt a2t ..., ап
удовлетворяют равенству
d\+a22+ ♦ • • -f al = — (aj + a2 + • • • + a„)2?
1.4.46. Неравенство Коши. Доказать, что для любого п £ N,
для любого набора из п положительных чисел аъ а2, ..., а^
справедливо неравенство
\ п п Г п
19

причем знак равенства возможен тогда и только тогда, когда аг «•
= а2 = ... =.а„. Для доказательства установить последовательно
утверждения.
1. Достаточно рассмотреть случай, когда п ^ 2,
Gi<02< •*• <Яп, аа<ап.
2. Пусть Ап = — ^] а*. Проверить, что
ах<Лп<ап.
3. Установить, что
К («1 + я* — Л„) — я^ = (ах — Ап) (Ап — ап) > 0.
4. Доказать требуемое неравенство при п = 2.
5. Предположить, что неравенство справедливо для набора из
п — 1 положительных чисел, и применить его к числам
1.4.47. Доказать, что для любого п £ N и любого набора
положительных чисел ах, а2> ..., ап справедливо неравенство
"^ <|/ Па4,
у _|_ V t=i
&, а* '
причем знак равенства возможен тогда и только тогда, когда ал =*
= я2 = ... = а„.
1.4.48. Доказать, что для п £ N и а > 0 справедливы
неравенства
1.4.49. Доказать, что при п > 3
1<^л<1 + -^=-

ПРЕДЕЛ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.
СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ.
ТЕОРЕМА ШТОЛЬЦА
II. 1.1. Можно ли расположить рациональные числа отрезка
[О, 1] в монотонно возрастающую последовательность? сходящуюся
последовательность? Точнее, существует ли биекция /: N-* [0, 1] f|
П Q такая, что последовательность jp (1), / (2), ..., / (п) ... монотонно
возрастает? сходится?
11.1.2. Пусть {ап i п > 1} — последовательность, сходящаяся к
числу а, а ! N -* N — некоторая биекция. Доказать, что
последовательность {оо(п) i п^ 1} также сходится к числу а.
11.1.3. Доказать, что последовательность
1. О, 1, О, I, 0, ...
не имеет предела, то есть проверить, что любое число а £ R не
является пределом этой последовательности.
11.1.4. Пусть последовательность {ап : п > 1} не имеет предела.
Доказать, что не существует биекции а: N -* N, для которой
последовательность {daw з я>1} имеет предел.
II. 1.5. Пусть ап-*> а, п -+ оо. Найти предел, если он существует,
последовательности
1) {Яп-н— ап : п> 1};
2) {ап+2ап^ : я>1};
3) (Ы : л>1};
4) [апап+\ г л> I};
5) {(<*„+, — ап)п i п>1};
6) {max (an,an+{) i гг>1};
7) {[а„] ! л>1};
8) {signa„ ! я> I}, где
[ 1, *>0;
sign х: = 0, л: = 0;
1—1, х<0.
II. 1.6. Последовательность [ап : п ^ 1} такова, что
п1 (ап+\ — ап) -*■ а, п -> оо; а £ R.
21
Гтт
Глава I I
I 1Х

Доказать, что для любых k £ N, т £ N фиксированных
/г* (ая+/г — я„+т) -> (ft — т) а, я -* оо
II. 1.7. Последовательность {а„ : п^\) положительных чисел
такова, что
п2апап+1 -> а, л->оо,
причем а > 0. Какие из следующих последовательностей сходятся!
1) {пап : л>1};
2) {n2aaan+2 i п> 1};
3) {п2лпа„+3 : п> 1}?
II. 1.8. Последовательность {а„:л;>1} положительных чисел
такова, что
ап + ап1->2, п->оо.
Доказать, что ап -* 1, я ->■ оо.
II. 1.9. Последовательность {а„ i nl> 1} положительных чисел
такова, что
а"п—я,,-* 2, /г-*оо.
Доказать, что а„ ->■ 2, л -> оо.
11.1.10. Пусть для последовательности \ап : п^\)
— ал->0, п->оо.
л п *
Доказать, что
— max(fllfalf .... ал)->0, /*->оо.
II. 1.11. Для числа a£R последовательность [ап : п ^ 1}
определяется следующими соотношениями:
aa = а\ a„+i = —-— ап + —, л > I.
Определить значения а, при которых последовательность сходится.
II. 1.12*. Найти предел последовательности {ап а п > 1},
определяемой соотношениями:
1) ах = I, я2= -^-;
пап — Дп-i — (п— 1)ап-г = (п_1)(„_2) . ">3;
2) «! = -§-, «а13-^"' ("+1)Иап —an_2) + n2 + n —1 =0, я>3;
3 3
3) а, = 1, а2=—; ап = а„_2 + п__х , п>3;
4)^=1, аа = 2; 2n_1 (а„ — а^_2) = 3« — 2, л>3;
22

1 1 , n — i .
5) ax = 1, a2 = —; a,t+i = ^-qrra""' л—-a/l-1» a^^
6)^=1; an+\ = 1—^qrra«> л>1;
7) a,6R; art+i = (l —4-)2«n+4"' n^K
11.1.13. Пусть a„ > 0, л £ N и для некоторого т £ N
a™->a, n-*oo; a£R.
Доказать, что
11.1.14. Вычислить предел последовательности {a„:n^l} в
следующих случаях:
п 1
1) ап = V —т= г /-— у rt> U
«=sl
2) я« = ]£ (2/5 — 1) (26+1) ' п>Ь
3) a„ = £&Г\ n>l;
я I
4) an = 2j (2fc—l)(2£ + 1) (2Af + 3) ' П^ I;
5) ^n= 2j (2fc—i)a(2£ + I)» » л>1;
n l
6) a"=£ fe(^+i)(^ + 2) ... (k + m) ' Л>^ m€N;
fe=i
1
__ Л(Л
m £ N — фиксировано;
fe=2
9) ^ = -i~ t *(* + D, л>1;
10) Ац«--у- £fc(2rt+3-2£), Л>1;
23

12) а„ = V - ^ , п>1,
S^+O^+l) ... (a**"! + 1)
где числа с>Оих> 1 — фиксированы.
II. 1.15*. Привести пример ограниченной, не имеющей предела
последовательности {ап з п> 1}, для которой
(an+i — ап) -* 0, п-^оо.
II.1.16*. Привести пример ограниченной, не имеющей предела
последовательности {ап i n ^ 1} положительных чисел, для которой
11.1.17. С помощью неравенства Коши доказать, что
1) ]/я->1, п-^оо, для любого а>0;
2) |/n-v 1, п-^оо.
11.1.18. Вычислить следующие пределы:
1) lim ^+' , a€R;
n-ю* ап+у п + 2
2) lim n(n + a)-^+^+L> {ei
3) lim (Vп + a/n + 1 — Vn), a£R;
5) lim (K[(n + a)2] — я), a£R;
l
П-+оо
П
6) lim V
П-ЮО ^"
**"£А ^""3 + *
7) lim i/l10 + 210+310+ ••• +n10;
8) lim yft + 5";
9) Hm I/ £
* £2"-*+l • З^1;
10) lim j/a? + a" + • • • + а„, где alf a2, ..., am — фиксированные
положительные числа;
24

12) lim yn\
13) lim nY<ln + 5";
n-*oo
_l
14) lim2V« ;
n-*oo
„b
15) lim-V, e>L fe6R:
п-юо Q>
16) HmnV, |a|<l, &€R;
17) Hm-jC-, a£R;
18) Hm-^zr;
19) lim i/n!;
п-юо
20) lim yV + n*, a>0, 6gR;
n-*oo
21) lim —2— —^—, где alt a2$ ... f um — фиксированный
гг-*оо at + a2 + • • • + dm
набор положительных чисел;
23) limn|/l! +2!+ ••• + n!;
24) lim(na(¥a— 1)), a>0, а£(0, 1);
n-*oo
25) lim fl/Ti (y'Ti — 1));
26) lim (na {y'n — I)), a б (0, 1);
п-ьоо
27> ,^Уттг + ттг+- +тЁг:
28) lim 1/ «.
25

11.1.19. Пусть последовательность \ап : п > 1) определяется
соотношениями
at=*U Яп+1 = — ап + (—J » п>1-
Доказать существование предела
!™(Н")4)
и вычислить его.
11.1.20*. Последовательность^ i n ^ 1} определяется
следующими соотношениямиз
аг * 0, а2 = 1;
2/г-
1 5
Вычислить предел
2/г — 1 п — 1 ^ 0
art+i = —-— ая — ап-и п^2.
lim v an .
11.1.21. Пусть [ап 1 л :> 1} — произвольная последовательность
положительных чисел. Вычислить предел
lim ! .
11.1.22. Последовательность неотрицательных чисел [ап i п2>1}
такова, что
— (^i+^2+ ••• +Яп)-*0, л->оо.
Доказать, что
-£§-(ai+a? + ••• + а2п)-*0, п-^оо.
11.1.23. Для последовательности [с^ : п^\) справедливо
соотношение
-^{a\ + al+ ••• + 4)-*0, я->оо.
Доказать, что
ИЛ.24. Для последовательности {я„ .. п ^ 1} справедливо
соотношение
-^(а\+а\+ ... +aj)-^0f л->оо.
Доказать, что
— (а1 + а2 + ••• + fl*)-*0» м->оо.
26

П. 1.25*. Последовательность неотрицательных чисел [ап :
/г^1} удовлетворяет соотношениям
ап = 5ап-\ — 6я„_2э п > 3.
Найти
Игл -/ап.
11.1.26. Пусть {а„ ! я^> 1} — последовательность чисел
Фибоначчи, то есть
аг = а2= 1\ ап = ап-\ + ап-2, п > 3.
Найти предел
lim Уап.
11.1.27. Последовательность [ап : п > 1} удовлетворяет
следующим соотношениям:
«1 = 0, а2=1; а«+2 — 2ап+1 + «„ > 0, м>1.
Доказать, что а„ ->■ +<*>, л ->- оо.
11.1.28. Вычислить с помощью теоремы Штольца следующие
пределы:
1) limJr(l*+2*+ ... +nt).
П-*оо и
2) lim_-^ ;
**" У*{А+3)(2Н1)
4) lim—Ц- V kak, a>l;
6)lim^_£(£l±*>L.
7) ит-*%уЪ;
n-»oo liy It £J,
8) lim—-y^Y kV~k\
9, lim JL V i=#-.
27

II.1.29. Пусть А„->о, л-*оо, a£R и
Лп: = -^-(а] +а2+ ... + аа), rz>l.
Доказать, что Ап -> а, я -* оо.
II. 1.30. Пусть а„ -> а, л -* оо, а £ R и
Ь*« = -^г(1 -fli +2 -я2 + ••• + я-аа), л>1.
Вычислить предел
lim &„.
II. 1.31. Пусть а„ -> а, я ->■ оо, а £ R и
Вычислить предел
lim Ьп.
П-ьоо
11.1.32. Пусть а„ -> а, п->оо, а £ R, а £ R — фиксированное
число с | а | < 1 и
Вычислить предел
lim Ьп.
11.1.33. Последовательность {a,, i n^ 1} такова, что
(an+i — a„) -> a, n-^oo, a£R.
Доказать, что
п •
II. 1.34*. Для последовательности (a„ i n^\\ справедливы
следующие соотношения:
— (ал+а2+ ••• +ап)-+а, п-+оо\
л(ап+\ — ап) ->•Ь, м -* оо, для некоторых [а, Ь) с: R.
Доказать, что последовательность \ап \ п > 1} сходится, и найти
ее предел.
11.1.35. Последовательность)^ ; п ^ 1} положительных чисел
сходится к числу а. Доказать, что
уйга2 ... a„->af я-*оо.
11.1.36. Пусть для последовательности {ап \ п >}
положительных чисел
28

Доказать, что
\fan-**a9 n-*oo.
Привести пример, показывающий, что обратное утверждение не
верно.
II. 1.37. Пусть для положительных чисел а и b
ал = а + Ь\ ап+\=а+Ь — , л>1.
Найти выражение для ап при п > 1 и lim <v
П-+оо
II. 1.38. Пусть для положительных чисел а и b
ab ab ^ ,
Найти выражение для ап при п>1 и lim a„.
П-+-00
П. 1.39. Пусть я„-*а, bn-+by п -> оо. Доказать, что
1) min (an, Ьп) -> min (а, 6), я -+ оо;
2) max(я„, bn) -v max (а, 6), п -^ оо.
11.1.40. Пусть {яя : я > 1} и \Ъп \ п > 1} — две
последовательности такие, что
V*6[l,2] .: an + bnx-+c(x), л->оо, £(*)6R.
Доказать, что последовательности \ап i n^ \}u{bn i n ;> 1}
сходятся, и определить функцию с.
II.1.41. Пусть {ап, bn, cn9 dn | я > 1} с: R и
V*£[l,2] : anx?+bnx? + cnx + dn-+P(x), п-*оо,
где Р (х) £ R. Доказать, что каждая из последовальностей
{ап : п>1}, {6„ : л>1}, {сп ; я>1}. {d„ : л>1}
сходится к некоторым числам a, ft, с, d соответственно и что Я (л;) =
= ах3 + Ьх2 + сх + d9 x£ [1, 2].
11.1.42*. Для каждого n£N пусть ап и &„— целые числа из
равенства
а + угг = ап + ьпуз.
Вычислить предел
lim-77--
II. 1.43*. Доказать, что
&* + <%,*+ <£,* + ... +фп
П.1.44*. Пусть ап -* а, &„ -* 6, п -*• оо, {а, ft} £ R и
Л*! = — (апЬх + ап-ф2 + ... +a1bn)f л>1.
29

Вычислить
lim A
n«+oo
11.1.45*. Для последовательности {а^ \ я^1} пусть
хп = <*п + я*-ь Уп * 2ап + ап-и п > 2.
Доказать, что
1) из сходимости последовательности \хп i n^ 1} не следует
сходимость {а„ j я ]>1};
2) если уп-> у, п -► <*>• j/ € R, то последовательность {а„ i /г ]> 1}
сходится; найти lim а„.
/г-юо
11.1.46*. Пусть ап -* а, Ьп -+ Ь9 п -+ оо, {а, &} с: R и
последовательности {х„ ! я ^ 1} и {#„ i я > 1} определяются следующими
соотношениями:
х0 = 1; ап = 2хп + */n, bn = *„_i-|- 2*/n, я > 1.
Доказать сходимость и найти пределы последовательностей
II. 1.47. Последовательности чисел {а„ i n^l\n{bn j я^ 1}
удовлетворяют следующим условиям:
1) Уя>1 ! ап=^0;
2) аг+а2+ ••• +art~v + oo, я->оо;
3) 3c£R Уя>1 ! iflil+ -• +l°nl <0;
4) A.-*dt n->oo, d£R.
Доказать, что
»! + *,+ -•• +6Д ^d> n
«1 + й2 + • • • + ап
II.1.48*. Пусть а, 6, с — фиксированные числа и
ах = а, £?1 = Ьу с1 = с;
Дп+1 = — (&п + с„), frn+i = — (а„ + сп),
сп+\ = — (ап + bn), n > 1.
Доказать, что последовательности {а„ i я> 1}> {&„ i я :> 1},
[сп\ п^ \\ сходятся, и найти их пределы.
II. 1.49*. Пусть а, Ь, с—положительные числа и
#i = #» &i = b, Cj = с;
Яп-Н = К^гА, » &/1+1 = V^rfin f c«+l = V апЬп » Я > 1.
Доказать, что
lim an = lim fc„ = lim с„ = -/ato.
n-*oo n-froo т-ч-оо
30

[1.1.50. Построить графики следующих функций:
'>/<*>-»* г%Х$ • х>*
1-+оо
2) f(x) = lim "/l + (2 sin х)2" , x£R;
3) / (jc) - lim Y] +3(V~x)n + xn, x > 0;
4) /(*) - Hm j/ 1 + x" + (4-J , *>0;
6) f (x) = lim Y\ + x"+(2x — 2)2n, x> 0;
Q/(*)-llm (s,"^tf-;r , *6R;
*-»oo (Sill ХУП + (COS jf)"1
HJ.51. Предположим, что an -* 0, /г -^ со; ft„ -* 0, n -* oo,
причем bn+\ < bni n > 1, и существует предел
Доказать, что
lim ln ln"1 =c, c£R.
lim -^- «a c*
§ 2. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ЧИСЛО е
11.2.1. Определить п0 £ N так, чтобы были монотонными
следующие последовательности:
1) {я2 — 49я —50 i я>/г0);
2){n+JE. , п>поу
4) {-7- ; л>ло}:
б) Н?" : n>*°};
6) {бп + (-4)л i п>п0).
31

11.2.2. Определить множества Аг и Л2 значений x£R, при
которых последовательность [ап (х) : п ^ 1) соответственно
ограничена и монотонна;
1) ап(х) = (2х)\ л>1;
2) ап(х) =(^-)ni» *>i;
3) а„ (*) = 2Л*, п> I;
4) fljxl-2^ л>1.
П.2.3. Для последовательности {я„ * п> 1} пусть
Л„1 =—(ях + а2 + ••• +flo). «>1
Доказать, что
1) из ограниченности {ап i n> 1} следует ограниченность (Л„ i
п> 1};
2) обратное к 1) утверждение не верно;
3) если {ап : п > 1} монотонно возрастает, то {Ап i n > 1}
монотонно возрастает;
4) обратное к 3) утверждение не верно.
П.2.4*. Для какой последовательности {ап i n ^ 1} существует
биекция а : N -► N такая, что последовательность (аа<*) i £ > 1}
монотонно возрастает в строгом смысле?
11.2.5. Пусть f\ R -* R монотонно не убывает на R, то есть
и ах 6 R — фиксированное число. Положим
^2 = /(01)» я» =/(<*!>. •••, fl«+! = /(fljt ...
Доказать, что {а„ : /г ^ 1} — монотонная последовательность. Дать
геометрическую интерпретацию.
11.2.6. Пусть f: R -► R удовлетворяет условию / (х) ^ *, лг £ R;
аг — фиксированное число. Положим
Я2 = f (а\)* а3 = f (а2)» • • • f a*+\ = / (fln)> • • •
Доказать, что последовательность {ап \ п > 1} монотонно не
убывает. Дать геометрическую интерпретацию.
11.2.7. Пусть Af В, аг — фиксированные числа из R и
а2 = Ля, + В, а3 = Ля2 + 5, ..., a„+i = Аап + В, ...
Найти выражение для ani п > 1. При каких Л, В и а,
последовательность {ап: я> 1} ограничена? сходится?
11.2.8. Пусть f (х) = V2 + xt х > — 2 и ах > — 2 —
фиксированное число. Положим
а2 = У2 + аг , at = 1^2 + a2, ..., a„+i = V2+an> ...
32

Заметим, что при аг = V%
ап = ]/ 2 + у 2 + ■ ■. + |/2 , я>1.
1 корней
При каких значениях аг последовательность \ап : п ]> 1}
монотонна? ограничена? сходится? В последнем случае найти предел
последовательности.
11.2.9*. Пусть для аг = а ;> 1
«2 = ^, я3 = яа°, .... an+i = «Ч ...
Доказать, что последовательность \ап:п^\\ сходится для а£
£ [1, £1/в], строго возрастает и не ограничена при а > е1/е,
11.2.10. Доказать, что последовательность
аг = 9; ап+\ = (ал — З)2, л > 1,
строго возрастает и не ограничена сверху.
11.2.11. Доказать, что последовательность
ЬН'—^Н1--^-)-" ('--^ ■ п>2}
строго убывает и что ап-+-7т~9 я->оо.
11.2.12. Пусть
1 5
а, = 1, а2 = -j-
9л 1
na„ — ап-л — (п — 1) а„-2 = л(/1_1} , л > 1
Доказать, что последовательность \ап\п^\\ сходится.
11.2.13. Доказать монотонность и ограниченность
последовательности {ап j п > 1}, а также найти ее предел, если
о
1) ai = -о-: a£+i = За„ — 2, л ;> 1;
2) а,=аб[0, -f
ап+| =а + ап, о> 1;
3)0, = !, йп+1 = 1 JL-, Я>1;
4)0,-0; fl„+1==__L_, п>1.
5)0<ап<1, а„(1—а„+,)>4-. «>W
6)0,-0, о,—g~: ^.«уО+^+аЦ я;
2 6-1556
33

11.2.14. Последовательности \ап : n > 1} и {bn i n I> 1}
определяются следующими соотношениями:
ax = 1, Ьг = 1,
an+i-K2+A, Ьп+Х =VWnt л>1.
Доказать, что эти последовательности сходящиеся, и найти их
пределы.
11.2.15. Пусть для п ;> 1
ап^1+у=-+ ... +-^ — 2уТ+Т,
Доказать, что обе последовательности монотонны, ограничены и
сходятся к одному отрицательному числу.
11.2.16. Доказать, что последовательность
Ь+—7-+—Т=-+ ••' +—U" ^ »>l)
сходится.
11.2.17. Пусть л > 2. Доказать следующие неравенства:
»('+т^тГ<('+4-Г;
«('+4Г<(,+-^гГ
Указание. Применить дважды неравенство Кошш
(i) к я числам аг » 1 и а2 = • • • = а„ — ^ ^ ;
(ii) к (п + 1) числу а, = 1, а2 = • • • = а„ » -^——.
11.2.18. Доказать неравенство
•<—(' + -г)"<-г. ">'•
где ^ = lim (1 Ч Г.
tt-юо \ Л /
11.2.19. Доказать следующие неравенства!
1)-тгтг<1п(, + 4-)<4-. »>1>
2) 1°&,(л + 1)<1+-£ТйТ, "6N, л>2.
11.2.20. Вычислить следующие пределы!
3) lim (In (л + 1) — In л); 4) lim /л In f 1 -f —)).
34

11.2.21*. Доказать, что последовательность
п>\\
строго возрастает и сходится к числу е, а последовательность
!•
строго убывает и сходится к 0.
11.2.22. Доказать, что последовательность
{an^{l + -^-J i л>1}
строго убывает и сходится к 1, а последовательность
строго возрастает и не ограничена.
11.2.23*. Вычислить следующие пределы!
11.2.24. Пусть art -> a, n -* сю. Вычислить предел
-2JL
/г
Л—il
11.2.25. Пусть для п > 1
^оо 1П Л 1л
an=l+-L+-L+ ... +JL_ln(n+l),
Доказать, что
1) V/i>l I an<6n;
2) V/z> 1 i an+\>an\
3) Vn>l i 6n+i<fe„;
4) последовательности {an i n > 1}, {&„ $ n > 1} сходятся к одному
числу у — числу Эйлера (у л? 0,5772156649...);
5) Vn>2 i 0<ая<1.
11.2.26. G помощью результата предыдущей задачи вычислить
следующие пределы:
»йЫт+ттг+-+тг)'
'• 35

ft£N, mgN, k<m;
4>!1т.тпг(1 + т + -г+-
5)!?.ir(l + i + i+ -
6>Лт.1^-('+т + т+ -
8)Jira.Tinr(vTr + VTT +
/г 6 N, m 6 N, ft < m\
9) lim/—Хт-гЛ готг Н готг + ••• Л ttVttI» *€N.
n-юД л + * " + 2* "+3* Я(1 + Л) /• ^
11.2.27. Доказать сходимость следующих последовательностей!
l){l/~l+ ]/2+|/з+ ... + /Й i Ai>l};
2){j/l+ 1/y + K 22+ ••• +V2" i л>1 ;
+ -
+ ■
+
+
+
• •
tnn J'
' \.
4п—\ )•
±У-
• \.
2л — 1 /'
+ ~¥~Г
+ ±У-
3)
{i/ll + У2!+^3| + ■" +^nl 'л^1}-
11.2.28*. Пусть {ап i л ^ 1} — последовательность
неотрицательных чисел. Доказать, что последовательность
\\/а1 + ]/а2 + Уа3 + ■•■ +Van 1 л> l|
сходится тогда и только тогда, когда последовательность
{Уап : »>!}
ограничена.
11.2.29*. Пусть {ап ! я ;> 1} — последовательность
неотрицательных чисел. Доказать, что последовательность
\V an + Yan-\ + Vatl-<>+ ••• +^ ! л>1/
сходится тогда и только тогда, когда последовательность {ап\ п^ 1}
сходится.
36

11.2.30. Доказать, что
±f«-y- ^ ■
lim -7Г\/ n\ + Vn\+ ... +Vn\^
11.2.31. Последовательность {а„ ■ я > 1} сходится, а
последовательность [bn i n > 1} ограничена и такова, что
V п > 1 ; fen-t-i — bn > art+i — ап.
Доказать, что последовательность {Ьп\п^\) сходится.
11.2.32. Последовательность {ап:п^1} ограничена и такова,
что для некоторого с > 0 справедливы неравенства
ая+1>дя— -—-, п>1.
Доказать, что последовательность {а„ : п !> 1} сходится.
11.1.33*. Привести пример ограниченной и не имеющей предела
последовательности {ап i n > 1} такой, что
ап+\^ап ~, л>1.
11.2.34*. Последовательность {ап : п ^ 1} ограничена и такова,
что
art+2^ — а*+1 +-j-an, n> I.
Доказать, что последовательность {ап i n ^ 1} сходится.
11.2.35. Последовательность {а„ • п ;> 1} ограничена и такова,
что
-1 .2 -^i
ап+2^ — ап+х +-т£-аш п> 1.
Доказать, что последовательность {яя • п]> 1} сходится.
11.2.36. Последовательность {а„:я>1} ограничена и такова,
что
/2
Доказать, что последовательность \ап\ п^ 1} сходится.
11.2.37. {а„ : n^s 1} — последовательность неотрицательных
чисел такова, что
an+xVli~n-+b, rz->oo,
причем Ь > 0. Доказать, что последовательность {ап : п > 1} сх°-
дится. Привести пример не имеющей предела последовательности,
для которой ап+] У7п -у 0, п -> оо.
11.2.38. Ограниченная последовательность неотрицательных
чисел [ап i n > 1} такова, что
ап+2 < Ka„+ifln> л > 1 -
Доказать, что последовательность (а„ : я> 1} сходится.
37

11.2.39. Пусть хп «= —1 или хп = +1 при каждом п £ N.
Доказать существование предела
«£(' + -?-+-*-+•••+*)
11.2.40. Последовательность {ап i я ;> 1} такова, что для
некоторого фиксированного числа m £ N
I ^ — ви+1 К -jr. « > "*
Доказать, что последовательность {art i n > lj сходится.
11.2.41. Последовательность (an m > 1} ограничена,
последовательность {Ьп : я !> 1} сходится, причем
3 1 3 1
Доказать, что последовательность \ап\ п^ 1} сходится.
§ 3. ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ЧАСТИЧНЫЕ ПРЕДЕЛЫ.
ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И КРИТЕРИЙ КОШИ
11.3.1. Определить множество А всех частичных пределов
следующих последовательностей!
2) {(-1)" i л>1}$
3) {1цГГ(2(-1)пп + 3) » n>l}j
4) {-i- + sin~- i л>ф
5) {(2"'-1'" + з*-»>"+|)~ , „>I}.
7, {(l + J=JL)" , .>■};
8) {sin (ял/-) : л>1}, r£Q;
9)* \V~n — [Vn] : л>1};
10) всех рациональных чисел, занумерованных в каком-либо
определенном порядке;
11) {nr — [nr] i л>1}, r£Q, r>0;
12)* {ла — [ла] i л>1}, a€R\Q;
13)* (sinn : л>1}.
38

11.3.2. Доказать, что
1) монотонная последовательность, содержащая ограниченную
подпоследовательность, ограничена;
2) монотонная последовательность, содержащая сходящуюся
подпоследовательность, сходится.
11.3.3. Описать множество А всех частичных пределов
монотонной последовательности.
11.3.4. Проверить, что последовательность сходится к числу а£ R
тогда и только тогда, когда А = {а}.
11.3.5. Последовательность {ап \ п^ 1} такова, что ее
подпоследовательности
{а2п : я>1} и {a2n+i : л>1}
сходятся. Сходится ли последовательность {ап i n^ 1}?
11.3.6. Для последовательности {anin>l} являются
сходящимися следующие подпоследовательности!
Доказать, что исходная последовательность сходится.
11.3.7. Привести пример не имеющей предела последовательности
{ап:/г> 1}, для которой сходится каждая из последовательностей
{ать ! fc>l}, m>2.
11.3.8*. Пусть [ап i п > 1} — произвольная последовательность
действительных чисел и
&(л):=*—(sin аг + sin a2 + ••• +sinan), п>1.
Доказать, что
b(n)-+b> n-*oo, fc£R « 6(та)->6, m-^oo, &£R.
11.3.9. Построить пример последовательности, для которой
множество всех частичных пределов есть
{± | n>l)u{0}.
11.3.10. Доказать, что каждое из следующих множеств не может
быть множеством всех частичных пределов последовательности
1>{4-|*>ф 2) (М); 3) О; 4) R.
Н.3.11*. Множество А с: R [} {—оо, +оо} называется замкну,
тым, если для любой последовательности {xn\n^l}czA такой,
что хп -> х> п -> оо, х £ R U {—оо, +оо}, предел х £ А. Доказать,
что любое непустое замкнутое множество A <r R U {—оо, +ooj
есть множество всех частичных пределов некоторой
последовательности {о, J n > 1} с= R.
11.3.12. Пусть А — множество всех частичных пределов
последовательности {ап\п^1}. Верхний предел последовательности
39

[an : n !> 1} есть
[+oo, если + oo£A (или А не ограничено сверху);
Iimani = |supi4, если А ограничено сверху и АФ[—оо};
(— оо, если А = {— <х>}4
Нижний предел последовательности {ап \ п ]> 1} есть
lim ап : = — lim (— ап).
Для последовательности {а^ : я>1}, заданной в задаче II.3.1,
определитель infa„, Iimart, \imani supan.
11.3.13. Доказать, что
1) lim an = lim (inf ak) = sup (inf ak);
2) lim an = lim (supak) = inf (supaj;
3) lim a„^lim an.
11.3.14. Предположим, что ап 6 fa, Cl, /i>l, a > О, С б R.
Доказать следующие соотношения:
I) lim -i- = ~=i—.; 2)IiHT-J-=V
^^ an lim a„ " n-*oo an Jirn a*
11.3.15. Пусть {am(k) t k ^ 1} — некоторая подпоследовательность
последовательности \an i/i> 1}. Доказать, что
lim an < lim am(fc, < Tim aOT(/2) < lim an.
&-+.<*>
£-*•<>
Привести пример последовательности и ее подпоследовательности, для
которой все неравенства строгие.
11.3.16. Предположим, что по крайней мере одна из
последовательностей {ап i л > 1}, {Ьп ! я > 1} ограничена снизу. Доказать
следующие соотношения:
1) lim an + lim bn < lim (an + bn) < lim a„ + lim bn;
n«*oo n-*oo n+oo n-+oc n-+oo
2) lim an + lim ftn < lim (д„ -f ftn) < lim an + lim fen.
ЯЛ^00 rc^oo п-юо n-voo п-*оо
11.3.17. Пусть для последовательности *{ап i n > 1}
&„: =-i-(a!+a2+ ••• + а„), л>1.
Доказать, что
lim an < lim bn < Urn b„ < lim an.
7[^ ^^ "-*°° n"°°
40

11.3.18. Пусть ап > 0, л ;> 1. Доказать неравенства
ГС-юо fl/l rt-*oo Ч"*00 f1-"°° °rt
11.3.19. Пусть {an : n > 1} — заданная последовательность
действительных чисел и Ап = (—оо, aj, fin = (аЛ1 +00), п > 1.
Определить
lim Л„, ИтЛя, Пт Вп, Шп Вп.
П-»оо Ч-*"*> ^Т^ п-*°°
11.3.20. Пусть {я„ s я> 1} и {&„ ■ я > 1} последовательности,
причем &„ < 6n+i> л > 1; &„ ->+оо, п-у оо. Доказать, что
hm -г r^-i- < hm -7^- < hm -£- < lim т тг-1.
11.3.21*. Пусть а>0и последовательность {ап \п^ 1}
определяется первым членом ах > 0 и соотношениями
^■-ТТ5Г' п>1'
Доказать, что последовательность {ап\ п^ 1} сходится, и найти ее
предел.
11.3.22. Пусть {я„ : п ;> 1} и {&„ ! п > 1} — фундаментальные
последовательности. Доказать фундаментальность следующих
последовательностей:
1) [\ап\ i л>1}; 2) {аЛ + 6я i л>1};
3) {al 1 л>1}; 4) \афп : л>1};
5) {tf„an+2 i л>1}; 6) {max(a„, &„) : я>1};
7) {ККП « я>1}.
11.3.23. Предположим, что для последовательности («„•«> 1}
справедливы неравенства
|an+i — я„|<2Л л>1.
Доказать, что последовательность (а„ i n > 1} сходится. Рассмотреть
пример
sin 1 , sin 2 . , sin n ^ ,
11.3.24. Предположим, что для последовательности {а„ : п ^ 1)
существует а £ (0, 1) такое, что
|ап+\ — ап|<а|ап — ап_, |, л>2.
Доказать, что последовательность {ап : п ^ \] сходится.
11.3.25. Последовательность {ап:п^1} удовлетворяет условию
Ve>0 9JV£N Vrt>W 1 |аа+|—an|<e
4*

Является ли последовательность \ап\п^\\ сходящейся?
Рассмотреть пример ап = In п, п ^ 1.
11.3.26. Для последовательности действительных чисел {uni
п^\\ положим при п ^ 1
ап = и1+и2 + ... ит
bn = \Ui\ +\u2\+ ••• +\ип\.
Доказать, что из фундаментальности последовательности {Ьп\ п^ 1}
следует фундаментальность последовательности {an-/i>l}.
11.3.27. Последовательность неотрицательных чисел {ап\п^ 1}
для фиксированных /?>0, q^Otp + q<Cl удовлетворяет
соотношениям
я„+2 ^ рап+\ +qan, п > 1.
Доказать, что {ап : п ^ 1} сходится, и найти ее предел.
11.3.28. Предположим, что
Vn£N ! а„£[0, +оо)
и
Vm£N Vn£N : ат+п<,атап.
Доказать существование предела последовательности {i/a0 \ n > 1}

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ,
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОШИ И ГЕЙНЕ.
СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ >
II 1.1.1. Определить множество всех предельных точек множества
А, если
1) А -{0,1};
2) А = (0,1) U {2};
3) Л «{4- I "(EN};
4) Л = [0, 1] ПО;
5) А=={^Г I *-0, 1,2, .... 2"; ngN};
6) A={Vn-[V~n] | ngN};
7) Л = {sinn | tt£N}.
111.1.2. Доказать утверждение
/(*)->Л x-+0 » f(x*)-+p9 *-*0.
II 1.1.3. Доказать, что
f(x)-*p, x-+0 ^ f(x2)-+pf x-»0.
Привести пример, показывающий, что обратное утверждение не верно.
II 1.1.4. Доказать утверждение
f(x)-+p, x-+a <=> /3(#)->/Л х-+а.
II 1.1.5. Доказать, что
f(x)-+p, х-+а z=> Р(х)^р2, х-+а,
и привести пример, показывающий, что обратное утверждение не
верно.
II 1.1.6. Пусть х0 £ R— предельная точка множества А с: R и
/л : А -> R — сужение на А функции / : R -> R. Существует ли
предел
lim fA(x)
х-+х0
1 Функции, для которых рассматривается предел в точке, предполагаются
определенными в некоторой окрестности или полуокрестности этой точки, исключая,
возможно, саму точку,
43

в следующих случаях;
I. /(х) = signх, jc£R,
1) А = R, х0 = 0;
2) А = (0, + оо), х0 = 0;
3) А = Q, д;0 = 0;
4)Л = {-1-(-1Г | n>l}, *0 = 0;
И. f(x) = sin-^, *<ER\{0},
1) А = ф, +оо), х0 = 0;
2) ^ = {-5^- I п>\), Хо = 0?
II 1.1.7. Функцию / : Q-v R, определяемую соотношением
продолжить на R так, чтобы
1) существовал lim / (х);
2) существовал только один из пределов / (0—), / (0+).
II 1.1.8. Пусть Ы — целая часть числа а. Существует ли предел
1) игШ:
2) йз-Нт-]. fl>0*b>0;
3) lim-И-?
л>*>0 х
III.1.9*. Пусть {а) = а — Ы. Предположим, что
й'И-г})-0-
Доказать, что / (я) -> 0, л; -> 0.
II 1.1.10. Предположим, что
Существует ли предел lim / (л:)?
II 1.1.И*. Пусть функция / i R -► R такова, что
VagR : Hm//-2-)=0.
Существует ли предел функции / в точке 0?
II 1.1.12. Предположим, что / (х) -► 0, х-+0. Доказать
следующие утверждения:
1) (/(*)+/(2*))->0, *->0;
2) (/(*)-ff(*2))->0, *->0.
44
•si

Привести примеры функций, показывающие, что обратные
утверждения не верны.
II 1.1.13. Доказать, что для функции /, удовлетворяющей
условию / (х) > — V\ х |, х Ф О, каждое из соотношений 1), 2)
предыдущей задачи влечет за собой утверждение / (х) -* 0, х ->■ 0.
III. 1.14. Предположим, что / (х) -^0, х-+0. Доказать, что / (х) х
X/ (2л;)-^0, х-+09 и построить пример, показывающий, что обратное
утверждение не верно.
II 1.1.15. Доказать, что для функции /, удовлетворяющей
условиям f (х) ;> | х |3/*, х Ф 0, и / (х) f (2х) ^ 4 | х |, х Ф 0,
справедливо утверждение / (х) -> 0, х -> 0.
II 1.1.16. Предположим, что для функции /
!1™(^ + тшт)=°-
Найти
lim/(*).
II 1.1.17. Функция / принимает положительные значения и
('w + w-H' х^а-
Найти предел
lim / (х).
II 1.1.18*. Предположим, что
f(x)-+09 X-+0; HM-fW -+0$ х-+0.
Доказать, что
lim-^=0.
II 1.1.19. Вычислить следующие пределы!
+
1) lim(Wl +2 + 3 +
2,1т.ИЬЧ+НЧ+ -+[-Ц)- ki*
3) llm-KMI., /><*>-*" + «' +*+1.
II 1.1.20. Вычислить следующие пределы?
Пч ,. 1 — cos x • cos2 2л: • cos3 Зх
*) нш -з ;
3) lim sin (п |/я2 + 1);
П-*-00
45

4) lim sin2 (л/я2 + л);
6) lim sin2 (яК«2+2п);
6)* lim (sin ~ + sin -^-+ ... +Sin-£-).
III. 1.21. Пусть {аь aa, ..., an) c: R — фиксированные числа и
для некоторого б > О
V*£(— б, б) : |a1sinA:+aasin2A;+ ... + a„sinn*K|sin*|.
Доказать неравенство
|а!+2а2+ ••• + /юя|<1.
III. 1.22. Пусть /— монотонно неубывающая на [а, Ь] функция.
Доказать, что для с £ (а, Ь)
1) lim /(*—)-/(с+); 2) lim/(*+) = /(с-).
II 1.1.23. Пусть f (х) = х cos a:, *£R. Привести примеры
последовательностей {#„ » п > 1}, {г/Л ! я > 1}, {zn i я > 1} таких, что
1) *n-> + oo, /(*,»)-► О, л->оо;
2) Уп-^ + ж* !(Уп)-+ + °°, п-^оо;
3) гЛ-* + оо, /(*„)-> — оо, п-^оо.
II 1.1.24. Пусть / i R ->■ R — функция, периодическая с
периодом Г>0 и отличная от постоянной. Доказать, что / не может
иметь предела при х-+ + оо (х-*—оо).
II 1.1.25. Пусть функция / ! [О, +оо) -> R такова, что
1) Va>0 i /(a-M)-^O, л->оо;
2) Va>0 i /(щ|)-*0, /г->оо.
Существует ли lim / (х)?
111.1.26. Пусть функция / ! [0, +°o)-yR такова, что
Уя>0 Vft>0 j f(a+bn)->0$ /i-^oo.
Существует лл
lim /(a:)?
IIhi.27. Доказать, что
1) 2x + In x + sin * = О (x)t x -* + oo;
2)xm + a^m-4 — +ат«0(Л, jc-^ + oo,
где т £ N, {ab ..., am} c: R;
3) x -f 2*+1 - О (2*), *-* + oo;
4) *2*+1 + x10 + 7 » О (3*)f *-* + oo;
46

5) xs\nx+V~x = 0(x), *->- + oo;
6) xaIn10x + x = 0(*2+e), *-»-+oo; e>0;
7) Vx* +3x* + 1 — хг = 0(x), *-*+oo;
8) 2* In8* + 1 = 0(x2x), x-*- + со;
е)-Г + 1Г + -?г = 0(-г). *- + ~*
10) Л"* + J- - О (-1-) *-> + oo;
12) К Д(1 + У*, + К3?«»0(х), x-»- + oo.
111.1.28. Доказать следующие соотношения!
1) х2 + sin2 л; = o(jc), х-*-0;
2) (1 + *)" — 1 +пх + о(х), х-*-0, ngN;
3) In л: =» о (~V), *->0+; е>0;
4) 2~~ = о(А х-»-0+, n€N;
Б) 1 +Х + Х2 — of*3), a;-v + oo;
6) /п + а1зГтХ + ••• +am = o(*m-H), *-*■ + <»,
где т £ N, {аь .... ат} с R;
7) У"=-о(2*), х-* + оо; m^N;
8) In л: = о (лге), *-»--foo; е>0;
9) х182*~о(3*), *-* + оо;
10)*»2Г*-о(-1-), *-* + оо; m€N}
11) In (In At) = о (In x), *-»--{-oo;
12) x\nx = o{x'u), x->+oo;
13) xlnx = o(ex), *->-+oo.
111.1.29. Предположим, что
f(x)=*o(g(x)), g{x)-++oo, x-*. + oo.
Доказать, что
***> = 0(О, *-^+oo.
47

111.1.30. Доказать, что
1) л: -fa^ ^ + ••• +fla^ ~* , *-*0,
{m, n} c= N, [аъ ..., я„} c: R;
2) Vя + axxm+1 + • • • + anxm+n ~ a^. x-* + oo, an Ф 0;
3) sin x ~ a:, * -*• 0;
4) tg л: ^—^ л:, a:-*0;
5) 1— cosAr~-7p, *-*0;
6) (1 + x)n—l ~nx, a:-*0, n£N;
7) 3x + x2x + \nx+\~ 3*, *-> + oo;
8) Vx2 + x + 1 — x ~ -y , x-j- + oo;
9) n2 + 2n In л + 1 ~ n2, n-+ oo;
10) л n +n! + 2n~n", n->oo.
111.1.31. Определить главную часть функции относительно
шкалы {х ь* х" | п £ N} при ^с -> 0:
1) л:»-#► sin 2а: + tg2 Vx\ 2) xi-^tgjc — sinx;
3) x >-* sin a; — 2 sin -|-.
II 1.1.32. Определить главную часть функции относительно
шкалы {х I-+ х? | a g R} при a:-* -f oo:
1) /(^«х^ + ахдГ-Ч ••• +am, mgN, {a0, ..., am) <z R;
2) /W-4- + ^+ ■•• +^' m£N, m>l;
3) /(*)= 13х3 + а:21па: + 1;
4) f(x) = V^+\-V~*.
111.1.33. Определить три члена асимптотического разложения
следующих функций относительно шкалы {х «-»► а** | a 6 R}, x -+ +ooi
1) f(x)=sa0 + a1x+ .- + ат-\хт-х + хту mfN, m>2,
{a0) alf ..., am_i} с R;
2) /W = a0 + -^+ ••• + ^-, m€N, m>2, (a0, ax, ..., affl)cR;
3) /(*) = K*T5, a£R;
4)/(x)«yr?T*
5) f{x)-V x + aVx, a£R;
48

6) f(x) = Vxi + 2xa;
7) / (х) = /5л;4 + 7х* — 8х2 — 4х;
8) f(x)^-/x* + ax* + \, a£R;
9) f(x) = Vx+ Vx+ V~x;
10) f(x)=z\f2-* + yx + l;
11) f (x) . \/"x+2Vx—yx—Vx;
12) /(х) = К1?Т* — К^ТТ;
13) f (л:) = ¥x* + 2V~x _ Ка:2 + 1.
111.1.34. Вычислить следующие пределы!
_з_
1) lim *2 <Ух+ \+V7=\— 2У1);
jj_
2) lim x2 (Vx+l— 2\/T+~2 + Vx+3);
Jt-V-j-00
3
3) lim x* (Vx + Z + Vx+l— V~x — V* + 3);
4) lim x(Vx* + x— x — X\\
6) lim \Гх(Ух+УЪ + У x—Vx — 2Vx);
6) lim x (^xs + x2 + 1 + }fx% — x2'+ 1 — 2x);
7) i!ji/(^, + -f+4--2/,+4-+4-+J)-
II 1.1.35. Подобрать числа а, Ь и с так, чтобы выполнялось
равенство
1) lim (\/х* + х — ах — &) = 0;
я-»-4-°°
2) lim fl/> + 2*3 — ал:2 — Ьл; — с) = 0;
8) lim (У 5х* + 7г> — 8х2 — 4* — ах2 — Ьх — с) = 0;
4) lim (^aT+^FTI — ^FT^4iT) = 4-;
6) lim jc^^-f a*2+ 1 + frx* + to2 + 1 — 2x) - — 2;
Jf-*+oo
4S

«) lim (Vx* + хг + 1 + V* + 2*2 + 1 — ax — b) = 0;
7) lim (У x* + x + 1 + V хг + 2x + 2 — ax — b) = 0;
«) lim (K*4 + 2x2 + 3x + 4 — ax2 — bx — c) = 0.
111.1.36. Вычислить следующие пределы:
i)Ju(/4V-S-+v4+/4--K4-).
2) lim * ^ —-—~ — , n£N;
lirn^ (*~ l/~ 1 - |Л - sin (J/7+T _ j^)j;
4> й(тетг---таг)5
3)
•5) lim tg (sin (tg x)) • ctg (tg (sin *));
x—0
<6) lim (Vxi + x3+ 1—x2)sin —;
7) lim (Уахг + Зх + 2—]/'ха + 4х + 5), а>0;
9) lim sin(*sin(2*sin3*))
111.1.37. Доказать, что функция f (x) = 2*, x g R, не является
■рациональной на любой полуоси вида (а, +оо), то есть доказать,
что равенство
z Q(x) » x;>a»
аде Р и Q — многочлены, невозможно.
§ 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
II 1.2.1. Пусть
(sinx, x£Q;
Пх)~\ 0, *<ER\Q.
Доказать, что функция / непрерывна в точках вида х = пя, п £ Z,
ч разрывна в остальных точках.
II 1.2.2. Пусть /g С [a, ft]). Доказать, что | / | 6 С ([а, Ь]).
Привести пример, показывающий, что обратное утверждение не верно.
;50

8) f (*)-{"
111.2.3. При каких значениях а и b из R непрерывна на R
функция, определяемая формулой
(ax + bt х<. 1;
1) f(x)=\x2 + x+it X>1.
(ах+b, х<— 1,
х* + 1, -1<*<1,
ах+ 26, х>\\
х + a sin х, х£ [2лл, п (2л + 1)], п £ Z,
&х, д:б(л;(2п— 1), 2лп), n£Z?
Дать геометрическую интерпретацию.
II 1.2.4. При каких значениях {ап> Ьп | п £ Z} cz R непрерывна
на R функция, определяемая формулой
lan + smnx, х£[2п, 2п + 1], n^Z,
Ьп + собяа:, *e(2n — 1,2л), n£Z?
II 1.2.5. Пусть / (х) = [л:] sin лх, х £ R. Доказать, что /
непрерывна на R, построить график /.
II 1.2.6. Доказать, что функция
Пх)~1х) + (х—[х))1х\ *>4~>
непрерывна и строго возрастает на [1, +оо).
II 1.2.7. Построить график и исследовать непрерывность
функции
1) /(*) = lim-g^, x£R;
2) f(*) = Hm xifx* + x , x£R;
3) f (x) = lim y\+xn + (x—lfn, x>0:
4) / (x) - Шп |/ 1 + (-f)2" + -^r. x > 0;
6) /«)iHm ln(2" + *"> , x>0;
П-ЮО "
1
6) /(*) ^ lim (xu + xZu) u , x>0;
7) / (x) = lim ^cos2"* + sin2nx, x £ R.
111.2.8. Пусть / i R ~v R функция, ограниченная на R.
Положим для точки х £ R и числа б > 0
co/f (х, б) I =5 со (х, б): = sup / (х') — inf / (*").
51

Доказать следующие утверждения!
1) со(*,6) = sup (f(x')-f(x"));
2) со (*, бх) < со (х, 82), бх < б2;
3) существует lim со (х> 8) = : о {х)\
б-*о+
4) функция / непрерывна в точке х тогда и только тогда, когда
<о (х) я 0;
5) для монотонно неубывающей на R функции /
<t>(x)-*f(x+) — f(x—y9 x£R.
111.2.9. Определить функцию со из предыдущей задачи для
функции /, если
1) f(x) = [x], x£R;
:2)/(*)-fs,n4-- ^0.
10, х = 0;
111.2.10. Пусть / £ С (R). Предположим, что / (хг) < / (лг2), если
j*Ti ^ лс2. Доказать следующие утверждения!
1) \imf(xn) = f(\imxn);
2) Шп/(*п)==/(Йт;сп).
ft-»»oo n-*oo
Предположим, что / (д^) ^ / (#2), л:х ^ х2. Доказать следующие
утверждения:
1) l\mf(xn)==f(\imxnyf
3) iiuf(xn) = f(\imxn).
В обоих случаях {xn i n ^ 1} a R — произвольная
ограниченная последовательность. Привести также примеры функций /, для
которых выполнено соотношение 1) и не выполнено соотношение 2).
111.2.11. Пусть {/, g}czC([a, b)) и
h (x): = min (f (х)у g (*)), #(*): = max (/ (*), g (*))
.для *£ [а, Ь]. Доказать, что {Л, Я} с: С ([а, 6]).
II 1.2.12. Определить функцию / i R -* R, непрерывную в точке
х = 0 и удовлетворяющую соотношению
1) V*(ER : f(x) + ^-L*)=r,
2) V*6R i 2f (2*) «/(*) + *.
62

III.2.13. Определить все функции f £ С ((а, &)), удовлетворяющие
условию
V {*.*}<= (а, 6) : /(-^)- /Wt/(y> •
II 1.2.14. Определить все функции / £ С (R), удовлетворяющие
соотношению
1) V(^,y|cR : f(x + y) = f(x) + f(y)
(функциональное уравнение Коши);
2)V{*,#}c:R ; f(x+y) = f(x)ey + f(y)ex.
III.2.15*. Функции {/, g} cz C (R) периодичны на R. Доказать,
что
Hm (f(x)-g(x)) = 0
тогда и только тогда, когда f (х) = g (x), x £ R.
II 1.2.16. Пусть / ■ (а, 6) ~v R — монотонная на (а, 6) функция.
Доказать, что множество точек разрыва / не более чем счетно.
Проверить, что утверждение верно и в том случае, когда а=— оо и (или)
Ь = +оо.
III.2.17. Привести пример функции / 2 [0, 1] -> R, которая ни
на одном отрезке [я, b], 0^я<&^1, не принимает значения
верхней грани на этом отрезке.
II 1.2.18. Существует ли функция / £ С ([a, b])f [a, b) с R, со
следующим множеством значений А = / ([а, Ь]):
1)Л = (0, 1]; 2) А = (0,1); 3) А = (0, + оо);
4) Л = [0, 1JU [2,3]?
III.2.19. Пусть /£ С ([а, й]), {а, 6} с R. Доказать, что
f([a,b]) = [ctd]
с некоторыми си d из R (возможно, что с = d).
II 1.2.20. Пусть /gC(R). Описать множество / (R).
III.2.21. Пусть /:[0, 1]-*[0, П и /£С([0, 11). Доказать, что
3лг€[0, 1] i /(*) = *.
II 1.2.22. Пусть {/, g) с: С ([а, &]), причем /(а)<#(а), / (Ь) >
>>£•(&). Доказать, что
3*<Е(М) : f(x) = g(x).
Дать геометрическую интерпретацию.
II 1.2.23. Пусть / б С ([0, 2]) и / (0) = / (2). Доказать, что сущест-
вуют {л:, у) сг [0, 2] такие, что
у — * = 1, f(x) = f(y) (теорема о хорде).
Дать геометрическую интерпретацию.
II 1.2.24. Пусть / £ С ([0, 2]). Доказать, что существуют {х, у] а
<г [0, 2] такие, что
</-*=!, f(y)-f(x) = -y(f(2)-f(0)).
Дать геометрическую интерпретацию.
53

111.2.25. Привести пример функции / £ С (R), которая
принимает каждое свое значение три раза. Существует ли функция / £ С (R),
принимающая каждое свое значение два раза?
II 1.2.26. Доказать, что уравнение
/(*)-0
имеет, по крайней мере, одно решение в следующих случаях!
1) f(x)=*a0x2m+l+a1x2m + ... +а,т9
где те N U {0}, {a0t av ..., аы) cz R, а0ф0;
2) /6C(R); /(*)-> — oo, *->-oo; /(*)-►+ oo, *-> + «>.
111.2.27. Доказать, что уравнение
(1 —*)cos;t = sin л;
имеет корень, лежащий между 0 и 1.
111.2.28. Пусть
a0<Po<<Xi<Pi< ... <ап<$п
— фиксированные числа. Доказать, что все корни многочлена
п п
Р(х)-П (* + оу + 2П(д: + р,)
действительны.
II 1.2.29. Пусть Р — многочлен четной степени со старшим
коэффициентом 1. Доказать, что
3**€R V*£R : P(jg </>(*).
II 1.2.30. Пусть функция f £ С (R) положительна на R и / (х) ->
-> 0, х -> —oo; f (х) -> 0, л: -> +оо. Доказать, что
3**€R VjcGR : /(*)</(**).
111.2.31. Пусть Р — многочлен. Доказать, что функция | Р |
достигает наименьшего на R значения.
II 1.2.32. Пусть Р — отличный от 0 многочлен. Доказать, что
3x€R i \P(x)\ = ex.
II 1.2.33. Пусть /еС ([а, Ь)) и
g(x)i= max /(и), *6[а, ft].
Доказать, что
1) g монотонно не убывает на [а, Ь\\
2)£<Е С ([a, ft]).
II 1.2.34. Пусть /£ С (R) и для б > 0 положим
ft (х): в Ав (*) i = min / (и),
Н(х): = //б (#) I = max / (и)
х—6^и^х+6
для х g R. Проверить, что
1) V*6R 2 Л(*)</(*)<£(*); to(*)-►/(*), H6(x) + f(x)9 в-1.0;
2) {ft, Я} с С (R).
64

111.2.35. Пусть функция. / G С ([0, + оо)) и / (*) -> +оо, f (х) =
« о (л;), х-* +оо* Положим
g(#): = max f(u), x>0.
Доказать, что
g(x) = o(x), х -* + оо.
II 1.2.36. Пусть функция / i [0, +оо)-> (0, +оо) монотонно
убывает на [0, +оо). Доказать, что существует положительная и
убывающая на [0, +оо) функция g£ С (10, +<*>)) такая, что
111.2.37*. Пусть Р — многочлен. Доказать, что функция sin P
периодична на оси тогда и только тогда, когда степень многочлена Р
не больше 1.
II 1.2.38. Проверить, что функция
к*>в-т=9-« *€R\{2}
имеет обратную f—1, и найти /~1.
II 1.2.39. Пусть / (х) = (х — I)2, *€ R, и для множества Л cR
пусть fA (х) = / (х), # € Л. Доказать, что ^
1) для Л = R функция fA не имеет обратной;
2) для каждого из множеств Л = (— оо, 1], А = [1, +«>) функция
[а имеет непрерывную обратную /J1, определить /J1 в этом случае.
II 1.2.40. Пусть
(х2 — 2х, *<0,
fix)s=\ax2 — 2х, *>0.
Найти все те значения а £ R, для которых функция / имеет
непрерывную обратную /-1, й найти /-*1.
III.2.41. Предположим, что функция /£C(R);
/ (л;) -> — 00, х -> — оо; f (х) -* +оо» * -► +оо. Пусть
g(x): = sup{w | f(u)<x), *6R.
Привести пример функции /, для которой функция g разрывна.
Доказать, что функция g g С (R) тогда и только тогда, когда / строго
возрастает на R.
II 1.2.42. Пусть / 1 R -> R — функция Серпиньского
\b + aV2y x = a + bV2, {a,b}czQ;
\ xy x^a + bV2f {a, &}c=Q.
Доказать, что
1) / разрывна при каждом х £ R;
2) / имеет обратную /-1, причем / = /-1;
3) любой круг в плоскости (х, у) содержит точки вида (х, f (x)).
55

111.2.43. Какие из следующих непрерывных на (О, 1) функций
равномерно непрерывны на (0, 1):
^ 1) /<*)-**; 2) f(*) = -f; 3) /(*) = sin JL;
i_
4) /(x) = xsin-L; 5) f(x) = e x ?
111.2.44. Какие из следующих непрерывных на [0, +оо)
функций равномерно непрерывны на [0, +оо):
I) f(x)=*#\ 2) f(x) = Vx;
3) f(x)*=x sin *; 4) / (a:) = sin2 x\
5) /(x) = sin(x2); 6) f(x) = ex\
7) f(x)=e-x; 8) / (*) = *sin (*2);
9) / (*) = sin (sin x)\ 10) / (*) == sin (x sin #);
II) /(*)== sin/x?
111.2.45. Доказать, что непрерывная и периодическая на оси
функция принимает наибольшее и наименьшее на оси значения и
равномерно непрерывна на оси.
II 1.2.46. Функция fug равномерно непрерывны на
(i) отрезке [а, Ь]9
(и) полуоси [я, + oojr.
Являются ли функции
1) cf, ctR; 2) f + g;
3) fg\ 4) x>-+f(x)smx
равномерно непрерывными на (i) [a, 6]? (ii) [а, +оо)?
II 1.2.47. Пусть функция / — равномерно непрерывна на
множестве А и [хп £ А : п ^ 1} — фундаментальная последовательность.
Доказать, что последовательность {/ (хп) i n^ 1} фундаментальна.
II 1.2.48. Доказать, что функция / равномерно непрерывна на
множестве А тогда и только тогда, когда для любых
последовательностей {хп £ А : п > 1} и {#„ 6 А : я > 11 таких, что хп — уп -*■ 0,
/г -> оо, выполняется соотношение / (хп) — / (уп) -►О, я -> оо.
II 1.2.49. Пусть функция / : [1, +оо) -* R — равномерно
непрерывна на [1, +оо). Доказать, что
3C6R Vjc>1 : l/wl <C.
II 1.2.50. Пусть / : [0, +оо) -* R — равномерно непрерывна на
[0, +оо). Доказать, что существует число с > 0 такое, для которого
Vx>0 : sup\ f (х + и) — f (и)\^с (х + 1).
111.2.51. Пусть
*o € R, *i = sin a:0, x2 = sin дс1# ... , xn = sin xrt_b ...;
f/o 6 R, */i = arctg */0, . .. , yn = arctg 0„-.lf ...
66

Доказать, что последовательности {хп : п ^ 1}, [уп г п ;> 1}
сходятся, и найти их пределы. Дать геометрическую интерпретацию.
II 1.2.52. Определить главную часть относительно шкалы {ху-ь-х?,
х > 0; а £ R} следующих функций при х -> 0:
1) х -+> sin 2х + tg2 а: + (е^'х — 1 )*;
2) х>-*> arcsin 3* + In (1 + х + *2);
8),M.ln4^f:
. j/T+7 — /*
4) х *-*► arcsin ——з — ■
Л + 2
II 1.2.53. Для функции / : [0, 1] -> R и числа п £ N пусть
я„ (/; х): = £ сУ (1 - *Г7 (4). ^ [0, 1 ь
— ее многочлен Бернштейна. Доказать на [0, 1] тождество
1) S C*jc*(1—хУ—*— 1;
fe=0
п
2) 1С*(±-*У(1-*Г* = 0;
з) £c*(4-*)V(i-*r*=^^.
111.2.54. Пусть /— непрерывна в точке х и ограничена на [0, 1].
Доказать, что Вп (/; х) -> / (х), л->оо. Для функции / £ С ([0, 1])
доказать, что
max|/U) — Bn(f\ x)\-*-0t n->oo.
111.2.55. Предположим, что функция / j [0, 1]->R такова, что
для некоторого числа L £ R
V{*',*"}c[0, 1] : |/(jc')-/(^)K^I^-^|.
Доказать, что для любого п £ N
тах|/(х) —Яя(/; *)|<-
0^*^| 2 У п
II 1.2.56. Пусть /еС([0, 1]). Доказать, что
V*€№, 1] : llm £cU-\ff(-f)xk(l-x)n-k = 0.
111.2.57, Предположим, что функции / « (а, Ь)-* (— 1, +оо) и
g ] (а, 6) -► R удовлетворяют следующим условиям:
57

(1) V х € ( a, b) if (х) Ф 0;
(ii) существует предел
lira (f(x)g(x)) = L, Z,€R, Ьф0\
(iii) существует предел
lim(l + /(*))*"-«*.
Доказать, что / (х) -► 0 при х-+ b —.
II 1.2.58. Пусть / £ С ([а, 6]). Доказать, что функция / монотонна
в строгом смысле на отрезке [а, Ь\ тогда и только тогда, когда /
принимает значения верхней и нижней граней на каждом отрезке [а, р],
а ^ а < р ^ Ь9 на концах этого отрезка.
II 1.2.59*. Функция /£С ([0, +<*>) и такова, что
Va>0 : f(na)-+0$ л-*оо.
Доказать, что / (х) ->• 0, х -> +оо.

Глава
IV
ПРОИЗВОДНАЯ
И ПРИМЕРЫ
ЕЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ.
Дополнительные задачи
к главам I —IV
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ
IV.1.11. Функция / имеет производную при х = а. Вычислить
следующие пределы-
1, Шп(/(« + 4-)-Па))-.
2) limn (/(а)-/(а--!-));
^ЙяИв+-г)-/(«-4-));
4) lim ' п'~~ ' ^ для любой последовательности [хп
кой, что хпФа> п^\\ xn-*af n-voo;
п ^ 1} та-
6) lim
а"; (*)-*"/(а)
n6N.
IV. 1.2. Пусть а > 0 для
I 0, * = 0.
Доказать, что при а > 1 существует /' (0) и /' (0) = 0 и что при а ^ 1
производная функции / в точке 0 не существует. Дать геометрическую
интерпретацию.
IV. 1.3*. Предположим, что функция / имеет производную в
точке а, а последовательности {хп \ п^ 1} и {zn \ п^ 1} таковы,
что при каждом п ^ 1
Хп -f— u, Zn V^ u, Xn ^— Zn, J
а, г0
-a, n-^oo.
1 В задачах, в которых явно не указано множество определения функции /,
предполагается, что все рассматриваемые значения аргумента принадлежат
множеству определения.
59

Доказать, что
1) lim i^HW.
не обязательно существует;
n-юо хп гп
2) если дополнительно при каждом п ^ 1 хп < а < гПУ то
lim '<*">-/<»»» = /' (а).
гг-*оо *« 2/7
IV. 1.4. Функция / имеет производную в точке а и число k £ N
фиксировано. Найти предел
jta/i(/(e + i-)+f(e+4-)+ ••• +/(«+4-)-*№>)•
IV. 1.5. Функция / имеет производную в точке я. Вычислить
предел
lim(f(e+-i-) + /(« + 4-)+ '•• +/(«+£-)-"/(«)).
IV. 1.6. Числа а > О, m^N, fe £ N — фиксированы. Вычислить
следующие пределы:
1) lim
(*
+ l)m + (« + 2)w +
+ (n + fe)"
■&n);
2) ц„ I n M nj l_^L;
^ul((1+t)(i + -5-)-0 + *))-
IV. 1.7. Предположим, что / (0) = 0 и существует /'(0)- Для
фиксированного k £ N вычислить предел
й+('«+/(-*)+/(-9+•••+'(■*■))•
IV. 1.8. Пусть alta2i ..., а„; 6i,62» •••> bn — действительные числа
такие, что
V*£(—1, 1) !
Доказать неравенство
S o>ksin №**)
л=1
^ | sin x |.
<1
IV. 1.9. Функции / и g имеют производные в точке а. Вычислить
предел
lim /<*>*(*>-/<*>*(*> .
60

IV. 1.10. Функция f имеет производную в точке а, причем / (а) >~
> 0. Вычислить следующие пределы:
IV. 1.11. Вычислить следующие пределы!
IV. 1.12. Функция Я есть многочлен. Доказать, что при каждом
х £ R существует />' (х), причем значение Р' (х) равно коэффициенту
при h в разложении Р (х + h) по степеням h.
IV. 1.13. Пусть Г « {(*, y)\y=*Vxf х£ [0, +оо)}. Найт»
угол между касательной, проведенной к кривой Г в точке с абсцис-
сой -^-, и положительным направлением оси абсцисс. В какой точке
касательная к кривой Г пересекает ось абсцисс под углом —? Найти
касательную к кривой Г, проходящую через точку (—1, 0).
IV. 1.14. Функция / определена и имеет производную на R.
Доказать, что
1) производная нечетной (четной) функции есть функция четна»
(нечетная);
2) производная периодической с периодом Т функция периодична с
периодом 7\
IV. 1.15. Вычислить производную определенной на оси функции
1) х н* * | * |; 2) х i-^| х |3;
3) х »-*► | sin х | sin x\ 4) х »-*► [х] sin2 (яде);
5) х*-+(х — [x])sm2(nx);
6) х ^ (sin х + | sin х | )2; 7) х ■-#► | sin x |2 .
IV. 1.16. Вычислить производную следующих функций:
1) f(x) = \ogx2} x>0, хф\\
2) /(*)« log, (сое*), *е(о, -2-)\ {1}.
IV. 1.17. Функция / определена и имеет производную на R-
В каких точках функция \f\ имеет производную? При каком условию
производная функции | /1 существует на R?
6*

IV. 1.18. Функции f и g определены и имеют производную на R.
Б каких точках имеет производную функция
h (х): = max (/ (х)% g (*)), х 6R?
IV. 1.19. Функция / I [a, b] -> R имеет производную в точках
\а, Ь]. Положим
g (x) • = max f, a: 6 [я, 6J.
Га.*]
Имеет ли производную функция g в точках [а, 61? Существуют ли
gL и g+ на [а, 6]?
IV. 1.20. Определить числа a, b к с так, чтобы функция / имела
производную на R,
(*2—1, х<2,
1)Пх)шя\ах + Ь, *>2;
[4а:, л:<0,
2) f(x) = \ax2+bx + c, 0<*<1,
{ 3 —2а:, х>1.
IV. 1.21. Определить многочлен третьей степени, график которого
проходит через точки (—1, 0), (0, 0), (1, 0) и касательная к графику
которого в точке (0* 0) образует с осью абсцисс угол -^-.
IV. 1.22. Для х > 0 положим
аг (х) = Ух9 а2 (а:) = V х + аг (х)> ...
... , ап+1 (х) = V х + ап (а:), ...
Доказать, что для каждого х > 0 существует предел
Нтя„(А:) = :<р(а:).
Я-ЮО
Вычислить ф'.
IV. 1.23. Пусть
(a:2 sin —, х Ф0,
/(*) =
10, • а: = 0.
Определить производную /' и исследовать ее на непрерывность.
IV. 1.24. Пусть Р — многочлен степени п с п различными
действительными корнями xl9 x2, ...» хп и коэффициентом а при хп.
Доказать, что
п
Р'(xk) = аП (хк — х,), 1 <k<п.
IV. 1.25. Пусть Р — многочлен предыдущей задачи, a Q —
произвольный многочлен степени, не большей п—1. Доказать
62

равенство
Q(x) _ V Q (xk)
P(x) £ /"(**)<*-**)
для x 6 R \ {xlf x2, ..., xn). Вычислить при п > 2 сумму
2j p'
*=1
P'fok) •
IV. 1.26. С помощью результата предыдущей задачи доказать
следующие тождества:
п
*> ^-ТТТ-С*"^ х(х+1)(х+2) ... (х+п) ' *6R\{—Л — 1,0};
2) У <-')" С*
п!2"
te=0
ж + 2fe "" х (* + 2) (* + 4) . .. (х + 2»)
x£R\\-2n, ..., -4, -2, 0}.
IV. 1.27. Каждая из функций /ь /2 /„ отлична от 0 и имеет
производную в точке х. Доказать соотношение
п у
П/,
(х)" £ '*w •
IV. 1.28. Функции flf /2, ..., /;; g1( ft, ..., gn имеют производи
ную в точке х и отличны от 0 в этой точке. Доказать равенство
IV. 1.29. Пусть [a0, al9 ..., an} c= R и х0 6 Rt йпФ О, фиксированы.
Доказать, что существует единственный многочлен Р степени п
такой, что
Р(х0) = а09 P'(x0) = alt P"(x0) = a2t .... Рп)(х0) = ая.
IV. 1.30. С помощью понятия производной доказать формулу
бинома Ньютона
п
(1 + v)" = 2 СпХ* для х£ R и п£ N.
£=0
IV. 1.31. Функции /и g имеют производную в точке х и / (х) > 0.
Доказать равенство
(/<)' <*) - f W4" (g? (x) in /«*) + * W -щ1) •
63

IV. 1.32. С помощью равенства
1 + л; + *2 +•••+*" = *^J7' , хф\, n£N,
« понятия производной вычислить сумму
\+2х+Зх2+ • • • + пхп~г.
IV. 1.33. Вычислить следующие суммы»
1) x + 2V+ ... + лУ, x€R;
*€R;
•2)
3)
4)
l
2
, 22 З2
т 22 ' 23
л: + З*3 + 5*e-f- •••
п
S
п
кСЪ, 5) £ *аС
/г
* » -|-
+ (2п
п»
2" ''
+ !)•
f*H
IV. 1.34. Для функции / определить левостороннюю и
правостороннюю производные fL и /+ на R, если
1) f(*) = max(*2, х + 2), *6R;
5) f (л;) = max (sin a:, 0), # £ R.
IV. 1.35. Вычислить производную порядка п функции
A) f (x) = sin2x9 *gR;
■^) Пх)= (x_l)\x_2) , x€R\{1.2};
3) Дл:) = хУ, x£R;
4) /(x)--^-, \х\Ф2.
x> — 4
IV. 1.36. Пусть
/w = {-'* *<0,
Вычислить /' на R. В каких точках х 6 R существует /" (х)?
IV. 1.37. Пусть
I 0, х = 0.
Вычислить /*"> (0), я > 1.
IV. 1.38. Доказать, что производные функции f (х) = arctg #, x 6 R>
удовлетворяют соотношению
(1+х*) fn)(x) + 2(n-l)xfn~x)(x)+(n-2)(n-l)?п~2)(х) = 0
64

для j;fRn n > 2. Доказать, что для т > 1
fmi (0) = 0, /(2т+1) (0| = (— 1)т (2т)!.
IV. 1.39. С помощью метода математической индукции доказать
следующие соотношения:
1) (/sinjt)(n' = 2~^sin(x + «^-), *£R, л>1;
2) (л:г,1пл:)т =nl(lnx+l+4"+ '•• +х)' х>0' n>U
3) (il£.)w-(-l)',/i!*-n-'(lnx-l—5— ••• ~i)> х>0> п>1>
1
IV. 1.40. Доказать следующие равенства!
1) £c*sin(x+fc-J-) = 22 sin (ж + «-J-), *€R, га>1;
2) £(_!)*+'с!;4- = ' +-L + 4-+ ... +4-. п>и
IV. 1.41. Пусть
I о, *<о.
Доказать, что / б С°° (R) и что р> (0) « 0, л > 1.
IV. 1.42. Пусть
1 0, х 6 (a, ft).
Доказать, что / 6 С°° (R).
IV.1.43. Пусть функция g6Ceo(R), а функция f \ (a, b) -v R
имеет производную на (а, 6) и удовлетворяет соотношению
П*) = £(/(*)), *€(в,6).
Доказать, что / 6 С°° ((а, Ь)).
IV. 1.44. Пусть {а, р, у} с: R, | а | + | (31 > 0,—
фиксированы, а функция / 1 (а, Ь) ->■ R имеет /" на (a, ft) и удовлетворяет
соотношению
«Г (*) + Р/' (х) + y/ (*) = 0, х £ (а, 6).
Доказать, что / 6 С°° ((а, 6)).
8 7-Ю47 Ь5

IV. 1.45. Привести пример функции ff Ск <(—а, а)), а > О,
для которой
1) последовательность {f{n)(0) : п^\) ограничена;
2) lim l/( (0)l =Л в случаях
(i) Л = 1, (ii) Л = 0, (ш) Л = ■+- оо;
3),imi^L=,:
5)limi^)=i.
IV. 1.46. Функция /i (а, ft) -*■ R имеет производную на (я, 6).
Доказать, что
V {*,,*,} с: (a, ft), ^<^ VCetf'^),/'(*2))
3*06(*i, *2) •' rW = C,
где (/' (*x), /' (*2)) — интервал с концами /' {xx) и /' (x2).
Предостережение: функция f не обязательно
непрерывна.
IV. 1.47*. Функция / 6 С°° (R) такова, что
Vx£R 3nU)€N : fn{x)) (х) = 0.
Доказать, что / многочлен.
§ 2. СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
IV.2.1. Функция /■ (a, ft) -> R принимает в точке с 6 (я, ft)
наибольшее значение, то есть
max f(x)=f (с),
х€(а,Ь)
и существуют /L (с), /+ (с). Доказать, что
Мс)>0, f+(c)<0
(отсюда следует равенство /' (с) = 0* если существует f (с)). Дать
геометрическую интерпретацию.
IV.2.2. Функция / 6 С ([я, ft]) имеет производную в точках
(a, ft) и / (а) = / (ft) = 0. Доказать, что при любом а £ R уравнение
а/(*)+/'(*) = 0
имеет, по крайней мере, один корень на (a, ft).
IV.2.3. Пусть а > 0, функция / 6 С ([а, ft]) имеет производную
/' на (a, ft) и
а & •
66

Доказать, что
зее(а, Ь) : епе) = /(Э).
IV.2.4. Предположим, что функции {/, g) с: С ([а, Ь]) отличны
от 0 на [а, Ь] и имеют производные на (а, й), причем / (а) g (й) =
= / Ф) g (я). Доказать, что
IV.2.5. Функция f£ С ([а, &]) имеет производную на (а, Ь) и
такова, что
Доказать, что уравнение
f'(x)f(x)=x
имеет, по крайней мере, один корень на (а, Ь).
IV.2.6. Функция /6 С1 ([а, 61) имеет /" на (а, Ь) и такова, что
f (a) = f (6), /' (а) = /' (Ь) = 0. Доказать, что существуют две
различные точки сг и с2 на (д, й) такие, что
Г (ох) = Г (с2).
IV.2.7. Функции {/, g) cz С ([а, &1) имеют производную в точках
(а, Ь), причем / (а) = / (Ь) = 0. Доказать, что уравнение
/(*)*'(*) + /'(*)-0
имеет, по крайней мере, один корень на (а, Ь).
IV.2.8. Числа a0i alf ...* ап удовлетворяют условию
п+\ ' я
Доказать, что многочлен Р (х) = а0хп + axxn-x + ... + ап имеет, по
крайней мере, один нуль в интервале (0, 1).
IV.2.9. Пусть числа а0, аъ ..., я„ удовлетворяют соотношению
Доказать, что функция
[1, е2]Эх*-+*а0 + ах In д: + а2\п2х + ••• +ап1плл:
имеет, по крайней мере, один нуль в интервале (1, е2).
IV.2.10. Пусть Р — многочлен степени п. Если все корни
многочлена Р действительны, то все корни многочлена Р' также
действительны. Доказать это утверждение.
IV.2.11. Функция /£С ([а, Ь]) имеет производную /' на (а, Ь)>
причем р (х) Ф 0, х 6 (а, 6). Доказать, что f (а) Ф f (b).
IV.2.12. Доказать, что уравнение
*1з+7г*— 5 = 0
имеет точно один положительный корень,
3* 67

IV.2.13. Функции / и g имеют производную на (а, Ь)> причем
f (x) g (х) Ф f (x) g' (*), х 6 (а, Ь). Доказать, что функции / и g не
имеют общих нулей и что между любыми двумя нулями одной
функции лежит нуль другой функции.
IV.2.14. Функции / и g имеют производную на (a, ft), причем
/' (*) g (х) + f (x) g' (х) ф О, х 6 (а, Ь). Доказать, что каждая из
функций fug имеет не более одного нуля на (а, Ь). Могут ли обе
функции иметь нули в (а, 6)?
IV.2.15. Доказать, что уравнение
3' + 4* = 5*
имеет на R единственное решение х = 2.
IV.2.16. Пусть аъ а2, ,.., ап — отличные от 0 действительные
числа; аъ а2, ..., ап — попарно различные действительные числа*
Доказать, что функция
(0t+oo)^x^a^xa'+a2xa"+ ••• +апха".
может иметь не более (п — 1)-го нуля на (0, +оо).
IV.2.17. При условиях предыдущей задачи функция
R^x^a^* + а2еа" + ••• +апеа*л
может иметь не более чем п — 1 нуль на R.
IV.2.18. Для функции /» (a, b) -► R существует /* на (а, Ь)у
причем /" (х) Ф О, х 6 (а, Ь). Доказать, что функция f может иметь
не более двух нулей на (а, Ь).
IV.2.19. Для функции / s [а, b\ -> R f 6 С (1а, Ь\) существует
Г на (а, 6), причем / (а) = /' (а) = / (ft) =* 0. Доказать, что
IV.2.20. Доказать, что многочлен х13 + х* — х — 1 имеет толька
один положительный нуль.
IV.2.21. Функция / 6 С (la, ft]) имеет /' в точках (a, b) и не
является монотонной. Доказать, что
ЗЭ£(а, Ь) : Пв) = 0.
IV.2.22. Функция / 6 С (la, b]) имеет левостороннюю
производную /1 на (a, ft) и / (а) = / (6). Доказать, что
inf/_<0<sup/L
IV.2.23. Записать формулу Лагранжа / (Ь) — f (a) — f* (6) (6 — a>
и найти значение 9
1) f(x) = ax + $9 *£[a, ft];
2) /(*)=ax2 + |3x + Y, *G[af &];
3) f(*)«arctgx, *e[0f 1];
4) f(x) = \nx, xtlUb], Ь>1.
68

IV.2.24. Предположим, что функция f£ С ([0, 2]) имеет /" на
(0> 2) и / (0) = 0, f (1) = 1, / (2) = 2. Доказать, что
30(1(0,2) : П9) = 0.
IV.2.25. Пусть функция / £ С ([а, Ь\) имеет производную /' на
(а, 6), причем функция / не является линейной. Доказать, что
1{в,9*%)сЦа9Ь) : Г(ег)<П%^аа) <П62),
IV.2.26. Функция / 6 С ([0, 1]) имеет производную /' на (0, 1) и
f(0) = /(!) = 0, 3^о€(0, 1) : /0д=1.
Доказать, что
366(0,1) : |/'(Э)|>2.
IV.2.27. Функция /: (я, b) -> R имеет производную на интервале
(а, Ь) и
V {*', х"} с: (a, ft) : /(*") - f(x') = Г (*')(*" — х%
Доказать, что / есть линейная функция на (а, Ь).
IV.2.28. Пусть {/, gt h) а С (la, b])9 существуют /', g\ h' на
(а, Ь) и
fix) g(x) h(x)
f(a) g(a) h(a)\% x£[a9b).
f(b) g(b) h(b)
Доказать, что
3G6(a,b) : P(9) = 0.
Вывести из этого утверждения теоремы Лагранжа и Коши.
IV.2.29. Пусть а > 0, функция /£С([я, й]) имеет производную
/' на (я, Ь). Доказать, что
ЗИ(а,Ь) . »/(«)-;/(*>> = /(е)_еП6).
IV.2.30. Пусть / 6 С ([а, Ь]), существует /1 на интервале (а, 6),
Доказать, что
MfL< /(lli(a) <sup/L
IV.2.31. Существует ли функция /i (1, 2)-> R, для которой
/1 (*) - х, /+ (х) = 2х, x6(lf 2)?
IV.2.32. Для функции /« (a, 6) -v R существует /1 на (а, 6),
причем / __ £ С ((я, 6)). Доказать, что для всех х 6 (я, &) существует
/' (*) - /1 (х).
IV.2.33. Пусть / £ С ([я> 6]), существуют /' на (a, b) и предел
lim Г (*) = Л.
Доказать, что существует /' (Ь) = /1 (Ь) ' = Л.
69

IV.2.34. Функция f имеет производную f на (0, +оо) и f (х) =
= О (х), х -> +оо. Доказать, что
{(х)=01х*), х-*+00.
IV.2.35. Пусть j/b /,,...,/„> gi, g2, ...,ft.} cz С (la, b])f
существуют /i, Ы ••> fn\ gu gv ..., gn на (a, ft), причем gk (a) Ф gk (b),
k = 1, 2, ..., п. Доказать, что существует число Э £ (a, ft), для
которого справедливо равенство
У *: ,в) = у g;r9) lk(b)-tk(*)
Ci Gi л («-л (в) '
IV.2.36. Функция /i la, 6] -> R имеет производную на la, b\b
причем
(i) /(a) = /(&)- О,
(ii) /'(*)-/+(a) ><V /f(6)«/L(6)>0.
Доказать, что
Зв£(а, ft) : /(9) = О, H8)<0.
Дать геометрическую интерпретацию.
IV.2.37. Доказать, что функции л; ^ In (1 + х),
х>-+ ln(l + л:2), x^arctgA;, x^l^x
равномерно непрерывны на [0, +°о).
IV.2.38. Функция fi (а, Ь) -> R имеет /" на (а, 6), причем
я € R, ^ 6 R и
SUp|T|< + <Х>.
Доказать, что функция / равномерно непрерывна на (а, 6).
IV.2.39. Пусть feO([a9b]). Доказать, что
Hm sup |/(* + *>-/(*> -/'WUo.
IV.2.40. Функция /: la, b] -> R имеет производную в точках
[ a, b] и ft — a ^ 4. Доказать, что
3*€(a,&) : f'W<l+f2(4
IV.2.41. Функция /i (a, 6) -> R имеет производную в точках
(a, b) и удовлетворяет следующим условиям:
(i) f(x)->+ oo, x-^a+; f (#)-*—oa, х->6—;
(И) У*<=(а,6) : /'(*) +/2(*) + 1>0.
Доказать, что 6 — а^ п.
IV.2.42. Функция / 1 (а, й) -> R имеет производную на (а, 6),
причем
Доказать, что / постоянна на (a, b).
70

IV.2.43. Функции /2 (я, b) -> R и gi (a, b) -* R имеют
производную на (a, ft), причем
Vxg(a, ft) : rW = g'(4
Доказать, что
3*GR Vxg(a. 6) : /(*)«*(*) + <?.
IV.2.44. Определить все функции ft (a, b) -> R, имеющие
производную на (a, b) и удовлетворяющие условию
1) gDiER V*(E(a,6) : /'(*)■* Д
2) 3D£R 3#€R V*£(a, ft) : /'(*) = £* + £>;
3) Vx£(a,b) : /'(*) = **;
4) Vxg(af6) t f'(x) = f(x);
6)Vx€(—1,0 • (1 + x)/'(*) — «/(*) = 0, agR.
IV.2.45. Доказать равенство, вычислив производную левой части,
1) 2arctg* + arcsin { 2 = я, *> 1;
2) arctg-^i^ + -^arcsin^==-T-» —1<*<1;
3) arccos -т-j—§ 2 arctg * = О, л; > 0.
IV.2.46. Функции / и g имеют /* и g на (д, 6), причем
V*e(a,6) ; П*)-**(*)•
Доказать, что
/(*)-£(*) + Д*+4, *€(М)
для {Л, В) с: R.
IV.2.47. Пусть / — дифференцируемая на R, отличная от
постоянной, периодическая функция. Доказать, что существует число
а > 0 такое, что любой период Т Ф 0 удовлетворяет неравенству
I Т | > а.
IV.2.48. Функция / дифференцируема в некоторой окрестности
точки х и производная /' непрерывна в точке х. Доказать, что
§ 3. ПРОИЗВОДНАЯ И ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ.
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
IV.3.1. Доказать следующие равенства!
' х™ (*+15)КГ+3-6х-2в ;
2) lim ili^^O;
Г-.0+ tig X
71

3) ИтУ^1пл- = 0;
„ч *. (I + х) х — е е
5) Ит **= 1;
1
6) lim x"f~ = 1;
^ч ,. х -4- sin х -
7) lim —г- = 1;
8) lim х**1пх = 0;
1Av |. *eA —sin л; 0
i0)i^ ln(l + «) + «ig*-« = *
12) lim arcsi:|%+2) =-4-;
x:-*—2 X2 + 2x 2 '
13)нт,ге'е^+,Ьа'с'е^"Д-
14) lim-,—2-=^ = 4-aa+'lna(lna
t-»0 loga * — log* a 2
a>0, аф\, x>0, дс=5^1;
15) lim 'g'-arc*g* =2;
^q Sin JC — X COS *
16) lim ^-g-g*-*11 =2
17) hm =— ;
- ctgif *
A a:2— 1
arctg
x2 4- 1
18) lim f— = 1;
*-»! x — \
(arccos x) larccos 2x)
19) lim— : =-v-i
7 arcsm x 2 •
72

I ctg3 x 3
20) Mm 2__ctgx_ctg3x --;
2i)iiminV"')+;;~T=--i:
*-*.1 (1 — Sin X)2 — *>*
22) lim 1 {e* ~~ Xf =24;
K-*° — x* + cos x — 1
l2
23) lim
In (1 + s2) - x arctg л + e*lnx — e* __ -
2 1
* sin л: tg л
25) lim 2 ^ =-^Г?
xsin (sin*) — sin- x 17__ ф
26) lim- -e~— 180 .
27) limarccos ~2~* = т i
28) lim ((я —Jt)tg-f)-2;
9Q 1. 1 — cos x • jAcos 2* /cos Зл: __ 3 ,
z\j) urn -g —■ "o~»
«»JS5.(*-',ta(1 + -r))-T»
,1>j»s.*((1+-H'-)—*
32) \im х*(ах+а ' — 2)=ln2a; a>0;
«•SkO+tIT-')-»)-21^.
35) lim (2*-l)sin* = l;
36) lim (6 — x)1^ = —:
*-*5

i
37) lim(! + arcsin x)sin x = e\
x-»0
38)1^(4^ = 1;
x-*0 \ x I
I
39) lim (cos x) x* =e 2 ;
*-*0
41) lim (cos (sin *)) *2 = e 2 ;
X-+0
± (a, a>l
42) lim (ax+*V -{?' n^ ^.
43) lim (ft cosVkx)^'2 = exp(- »<»+')» + 1)
44) HmfJ^)^-l;
45) lim (JiUf-^^r^;
46) lim f-M±iLf = e~T .
*-0+ \ * /
47) lim f-L+x(eT— 1)1 = e~;
49) lim —. ^-=r- = , n^ , ^
50) lim/2d^y^_-L;
' „Дsin**у e •
*"* 2
51) timf aSmx + btex\ =\nVab, a>0, b>0;
52)
74
Цт(211п1*"т) + 21'(*-т))Тв1п2;

53) lim (sin 6л: + cos Зх)сщ 6х = e\
l
54) iim (2 — tgxFinx-cosx = e^h
n
55) jirn^ ^sin -f-^ + cos ^^p-j - exp^^T-J 5
56) ^me(sm2-1Frr+cos21FTr) -e и ,
57) Нт(3**-1 + 32**-1 + 33*I-,)rrr^~- = 34;
59) lim (2 Piflk\X = П<#,
Pk>®> я*>0, 1 <£<л, рг +p2+ ••• + a, = 1;
JL
60) lim (2 ptfll) = max(aua2f ..., an)t /?*>0, ak>0, 1<6<л;
1
61) lim (2 /7лаЛ =min(alfa2, ..., ал), /?*>0, ял>0, 1 <&<л;
/-L ЛЛ V Ъ—т\ I
<:•+—оо \fe=s1
62) lim (-2—jXf—1 ^аа+ьр+ь^ fl>0> ft>0;
63>,^Л' + т±гГ-(1 + ^)>^
1V.3.2. Пусть
I I, x = 0.
Вычислить f (0), f (0).
IV.3.3. Функция /: (0, +oo) -> R имеет производную на
(0, -boo), причем / (x) + /' (x) -* 0, x -> +oo. Доказать, что / (х) -► 0,
X -> +oo.
75

IV.3.4. Пусть для функции /: (0, +оо) ->■ R существует
производная f на (0, +оо), причем
f(x) + 2f'(x)V~x-+0, *-> + оо.
Доказать, что / (х) -*■ О, х -*■ +°°-
IV.3.5. Записать формулу Тейлора относительно точки 0 с
остаточным членом в форме Пеано для следующих функций:
1) f(x) = shx: = e*~fX , x£R;
2) /(*) = chx:= eX+f* , x£R;
3) /(x)=*ln(l + x), х>-1;
4) /(jc) = sin2x, x£R;
5) f(x)-(a+ *)«*, xfR;
Q)f(x)=ex\ x£R;
7) f(x) = x\n(\+x\ x£R;
8) f(*) = ln<l +Д x>—1;
9) f(jc) = xsin*— cos*2, x£R;
10)/<*) = -!-^ln-I±f. _1<х<1;
11) /(*) = Kl +*2, *€R.
IV.3.6. Доказать следующие равенства:
,(, + А,)-2/(,) + /(*-.А*)
при условии, что /" (х) существует;
2) inn /с+«м-;у+ ч+/м _гw
при условии, что f (л:) существует;
g j. f(x + 3bx)-3t(x + 2Ax) + 3f(x + Ax)-f(x) = f,„ (.
при условии, что /'" (x) существует.
IV.3.7. Вычислить следующие пределы:
1) lim M»+»lg*)-»»n"* ,
2)HmJiniO_-sin^L( n^n>2.
х-»0 Хп^£
3)limJii£V^ll±iL, neN.
76

IV.3.8. Определить числа а и b так, чтобы выполнялось равенство
lim (V'>cr+~x + Vx2 + 2x — ax — b)= l.
IV.3.9. Определить главную часть относительно шкалы
[х^хп | п£Щ
при х -> 0 функции
1) х*-+хех— sin г,
2) x*-+>tgx— sinx;
3) к ь^ sh х — sin x\
4) х ►-*■ In (1 -Ь tg лг) + arcsin 2*;
5) л: !-► 1 — cos (1 — cos л:);
6) л:н-^л:sin (sin л:) — sin2*.
IV.3.10. Найти три члена асимптотического разложения
относительно шкалы предыдущей задачи при х -* 0 функции
1 ч COS X Л*-Ц
1) х\-+>е —е ;
2) x*-+tg[x + -^-j — sin [л: +-у-);
3) хн* In(1 + х*) + esinx — ex + х8 — хarctgл:.
IV.3.11. Записать формулу Тейлора с остаточным членом в форме
Лагранжа относительно точки 1 для функции
1) х*-+ех\ 2) х>-+ In*.
IV.3.12. Пусть/6 С2 ((— 1, 1)), Г (0)=^= 0 и для каждого х 6 (—1, 1)
значение 9 (х) определяется как одно из чисел 9, для которых
f(x) = f(0) + f'(Q)x,
и 9 принадлежит интервалу с концами 0 их, Вычислить предел
lim-^L.
IV.3.13. Пусть /6С3((—1, 1)), Г (0)^=0 и для каждого х 6
€ (—1, 1) значение 9 (х) определяется как одно из чисел 9, для которых
f{x) = f(0) + f'(0)x + -±f"(Q)x\
и 9 принадлежит интервалу с концами 0 и х. Доказать, что
IV.3.14. Предположим, что f 6 С2 ((0, +оо)) и xf(x)->0*
Доказать, что xf (x) -> 0, *->• +оо.
77

IV.3.15. Пусть {/, g}cz С2 ([0, 1]), причем
ПО)«*(0)*=ПО)я'(0); V*€(0, 1) : д'МФО.
Для каждого х 6 (0, 1) определим 9 (х) как какое-нибудь значение
G, для которого
f(X)-f(0) =_net е€(0 1}
Доказать, что
,. Q(x) 1
lira —LL. =
IV.3.16. Пусть функция / £ Ca ([0, 1]) и удовлетворяет следующим
условиям:
1) /(*)-► 0, Х-+1—;
2) 3c6R V*€I0, 1) : (1—*)*1П*)|<л
Доказать, что
(1— x)f (*)-*-0, х->1—.
IV.3.17. Доказать следующие неравенства:
1) еЛ>1 + * + -|L + -g- + ... +-£-, х>0, n6N;
2) КГМ>1 +-^---^-*s, *>0, n€N, *>2;
3)0</Гй~1-у—7"<-|г' *>0-
IV.3.18. Предположим, что / 6 С2 ((—1,1)), /(0) = 0. Вычислить
предел
lim £ f(£*),
*«*0-f- fee 1
§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ МОНОТОННОСТИ И ВЫПУКЛОСТИ ФУНКЦИЙ.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
IV.4. К Пусть /i (—1, 1) -> R—функция, имеющая
производную на (—1, 1) и /'(0) > 0. Существует ли окрестность точки 0,
в которой функция / возрастает? Существует ли такая окрестность*
если функция /' непрерывна в точке 0?
IV.4.2. При каких значениях а 6 R функция
R Э х «-* ах — sin x
возрастает на R?
IV.4.3. Пусть функции /• R -* R, gi R -*■ R монотонно
возрастают на R. Какие из функций f + g, f — g, fg9 f (g) монотонно
возрастают на R?
78

IV.4.4. Определить интервалы монотонности следующих функций!
1) R3jc —(1 — х)ех;
2) (0, + оо)^х^хх;
3) (R\ 1-1,0])Э*-»(1+ ~-)'\
4)(0.^)Эх-^:
5) [0, l]}x~aKb1-' + al~xbx\
{a,b)cz(0, + оо)\{1};
6) [2, +<x>)$x~VT^ + VT^ + VT+l + )/'7+l--2Vx.
IV.4.5. Доказать, что функция
(0, +оо)Э*ь*1-_^1 + -! (1 +Х)е~х
положительна и строго возрастает на (0, +оо).
IV.4.6. Доказать, что функция
^w=^TT-ln(1 + ^)> х>°>
строго возрастает на (0, +оо) и что / (х) < 0, х > 0.
IV.4.7. Доказать, что функция
Mx)=m(i + 4-)—7—Т-. *>о.
строго возрастает,на (0, +оо) и что / (я) < 0, х > 0.
IV.4.8. Доказать, что функция
/(*)=-*ln(l + -~), *>0; а>0,
строго возрастает на (0, +<х>). Доказать неравенство
(\+±.у<еа, х>0.
IV.4.9. Доказать, что функция
f(*)=■(*+ -г)1п(1 + Т-)' *>0; а>0,
строго убывает на (0, +оо). Доказать неравенство
IV.4.10. Доказать, что функция
f(*) = logx(*+l), *> 1.
строго убывает на (1, +оо). Проверить, что
log2 3 > log4 5.
79

IV.4.11. Является ли инъекцией, сюръекцией или биекцией
функция /: R -> R, если
1) f(x) = 3x* + 7* + 2x+ 1, *6R:
2) f(X) = x3 — 3*2 + 2, х£Ю
IV.4.12. Пусть 0 < а < b. Доказать, что функция
(О, +оо)Э*ь* |n(1+te)
строго возврастает на (0, + оо).
IV.4.13. Пусть а > 0, b > 0, аф Ь. Доказать, что функция
строго возрастает на (0, +оо).
IV.4.14. Доказать неравенство )
ха — ах + а — 1 >0, а> 1, *>0, дг=^ 1.
IV.4.15. Функция / 6 С ([0, +оо)) имеет производную /' на
(О, +оо), причем f (0) = 0 и /' строго возрастает на (0, +оо).
Доказать, что функция
(О, + оо)Э*-^-
строго возрастает на (0, +оо).
IV.4.16. Пусть Р — многочлен с положительными коэффициентами.
Доказать, что функция
(О, + оо)Э*~ ^gL
строго возрастает на (0, +оо).
IV.4.17. Определить число корней уравнения
COS X .
IV.4.18. Пусть Вп (/) — многочлен Бернштейна функции /(см.
задачу III.2.53.). Если функция / возрастает (убывает) на [О, 1], то
Вп (/) возрастает (убывает) на [О, 1]. Доказать это утверждение.
IV.4.19. При каждом a£R определить число действительных
решений уравнения
х -f sin x + а = 0.
IV.4.20. Доказать существование обратной функции g и
вычислить g' для функции /, если
1) НЭх*-+У = /(х) = х + sinJcgR;
2) R3x*y = f(x) = x* + 3xeR;
3) II, +°°)3x~y = f(x)-^j^eQ, U;
80

4) (0, + oo)^X*+>y = f(X) - х + Inx6(— oo, + оо);
б) (—1, +оо)Э*»—у —/(*)" (1+х)а gR'
IV.4.21. Доказать неравенство
а+т — а — л:>0, * > О, а>е.
Проверить, что при л: > 0, а ;> е
(а + х)а<аа+\
IV.4.22. Доказать неравенство
IV.4.23. Доказать, что
IV.4.24. Доказать, что при х > 1 выполняются следующие
неравенства:
1) 2л:3 + Зл:2— 12л: +7>0;
2) Зл:4 + 8л:3 — 6л:2 — 24jc + 19>0;
3) х* + Зх + 6х In х + 2 > 6л:2;
4) х4 + 8х + 12л:2 In х > 8л? + 1.
IV.4.25. Доказать следующие неравенства:
1) 2J/l>3--i-' х>1;
2) j/x — 2*<-|"' х>0;
3) I +^ ^</Н^<1 +-», *>0;
4) \nn<LmVn, {m, nJciN.
IV.4.26. Пусть 0 < a < ft. Доказать, что
6л:* — axb <b — а, л: > 1.
1V.4.27. Доказать, что
-у tg * + — sin x > х, 0 < х < -2- .
IV.4.28. Доказать, что
х (2 + cos л:) > 3 sin л:, х > 0.
IV.4.29. Доказать, что
cos*<^L, 0<*<-5-.
81

IV.4.30. Доказать неравенство
(х+ -|-)arcctgx>lf *>G.
IV.4.31. Доказать, что
2tgx — shx>0, 0<x<-y-.
IV.4.32. Доказать неравенство
-i- + lriAl>ln(A2+ |)>-i-+ Inn, flgN.
IV.4.33. Доказать неравенство
— >\пхч *>0, хфъ>
дать геометрическую интерпретацию.
IV.4.34. Доказать» что для всех х > 0t x Ф \, справедливо
неравенство
0< *Ых < —
^ х1 — 1 2
IV.4.35. Доказать неравенство
1п(1+|Л +x2)<-Y + lnx9 jc>0.
IV.4.36. Доказать, что при х > 0
ta<, + *»<7TTr-
IV.4.37. Доказать неравенство
(х— 1)2>х1п2ж, *>G.
IV.4.38. Доказать неравенство
X + -J-—-^-<U+Dln(x+l)<Jc+-y-, к>0
IV.4.39. Доказать, что для х £ (0, я) справедливо неравенство
In(1 + cosx)<ln2 j- .
IV.4.40. Доказать неравенства
In (1 + x2)<;carctgx<jc*, зс>9.
IV.4.41. Доказать, что
еА< 1 + хе\ *>0.
IV.4.42. Доказать неравенство
ех— \ — x<xV, *>0-
82

IV.4.43. Доказать, что при х > О
л
хе2 <ех — 1.
IV.4.44. Доказать неравенство
IV.4.45. Доказать, что при х 6 (0, е) справедливо неравенство
(е + х)е~х>(е-х)е+х.
IV.4.46. Доказать неравенство
ех"] + In а: — 2аг + 1 >0, *>1.
IV.4.47. Доказать, что
ех<(1+х)1+\ х>0.
IV.4.48. Доказать, что при х > 0 справедливо неравенство
m
IV.4.49. Доказать следующие неравенства:
1) sinA:<;c, *>0;
2)cosjc>1—y~, *>0;
3) sinx>* ^-, *>0;
4) cos*<l 1Г+-4Г> *>0;
5) sin*<A: |р + -gp , х>0.
IV.4.50*. Доказать неравенство
лх(1 —x)<sin jca:^4jc(1 —х), 0<л;< 1.
Дать геометрическую интерпретацию.
IV.4.51*. Доказать, что для любого х>0и любого п 6 N
справедливо неравенство
±j^+W
o<^-S4-<-f^-I>-
fr=0
IV.4.52. Пусть n 6 N и {*ь x2, ..., xn} с [0, +oo). Доказать
неравенство
i n n /~n
83

IV.4.53*. Пусть n£N и [xlf х2, ..., хп\ cz (0, +оо). Доказать
неравенство
а
2£**
=1
IV.4.54. Пусть я> 1. Доказать неравенство
ИИ
0 vfl 4- iiu
< ty , *>0, */>0, х^*/.
IV.4.55. Пусть а > 1. Доказать, что для любых л € N, хг > 0, ...
., хп ^ 0 справедливо неравенство
IV.4.56. Доказать неравенство
xlnx + 0ln0>(*+y)ln-i±£-f х>0, #>0.
IV.4.57. Доказать, что для любых п € N и {^х, ха, ..., л:„} cz (0, я)
справедливо неравенство
п /Л~" /Iя \
1/ П sinx»<slnf—£ хку
IV.4.58. Пусть п 6 N и {хъ х2, ..., *„} с (0, я). Доказать, что
IV.4.59*. Пусть п £ N, {xlf х2, ..., *„} с: (0, +оо) и хг + х% + ...
... + хп = 1, а > 0. Доказать неравенство
IV.4.60. Функция / : (a, ft) -> R выпукла вверх на (a, ft) и имеет
производную f на (а> Ь). Доказать, что
V*6(a, Ь) : f(*)=min(/(ii)+ /'(«<)(* —«4).
e*€(a.W
Дать геометрическую интерпретацию этому утверждению.
IV.4.61. Функция /: (а, Ь) ->- R выпукла вниз на (а, 6) и имеет
производную /' на (а, й). Доказать, что
Vxe(a,b) : /(*)=тах(/(а)+Пи)<* — и)).
IV.4.62. Функция /: (a, b) -► R имеет производную /' на (а, 6).
Доказать, что функция / выпукла вниз на (а, Ь) тогда и только тогда,
когда
\/х£(а9Ь) Vue(a,b) : f (x)>f(u) + f'(u)(x — и).
84

IV.4.63*. Пусть / — выпуклая на отрезке [а, Ы функция.
Доказать, что /6 С ((а, Ь)).
IV.4.64. Функция / : (а, b) -> R строго выпукла вниз на (а, Ь)
тогда и только тогда, когда для любых хг < х2 < х3 из (a, ft)
справедливо неравенство
1 *з /Ч*з) I
IV.4.65. Функция /: R -* R выпукла и ограничена на R.
Доказать, что f постоянна на R.
IV.4.66. Функция /: [а, + оо) -* R имеет Г на la, +oo),
причем для некоторого a > 0 для каждого х > a f (х) !> а. Доказать,
что
lim -^->a.
х2 —
IV.4.67. Функция / выпукла вниз на оси. Доказать, что
возможен один из трех случаев:
(i) / возрастает на оси,
(и) / убывает на оси,
(iii) существует точка а такая, что / убывает на (—оо, а) и
возрастает на (а, + оо).
§ б. ЭКСТРЕМУМЫ. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ
IV.5.1*. Доказать, что множество точек, в которых функция
/ : R -* R имеет строгий локальный экстремум, не более чем счетно.
IV.5.2. Пусть
( W2 + sin— )9 X--
f(x) = М *)
I 0, х-
■Ф0\
0.
Доказать, что точка 0 есть точка строгого локального минимума и что
производная /' не сохраняет знак ни правее, ни левее точки 0.
IV.5.3. Найти точки локального экстремума следующих
функций:
1) (0, + оо)Эх*-+хх\
2) R3*-**V"*f n£N;
3) R3x^e~x\
4) R9xi^*_-^*» + -}_.
б) R9*^*40— *)3;
6) (R\{1})9*~ gr*, ;
85

7) R }*>-*_ _ + ___;
8) ИЭх* J^2x + 2 ;
9) НЭх^хь — 5х;
10) (0, +oo)^x^xx;
11) R9*>-4*|e~*2;
12) R9x^|x|^,^I,;
13) R9*"//l + |х|<Г*2;
14) R9*^exp(x3 — 3x)\
15) R5x^arctg(r* —х);
16) (—щ n)^x*-+> x + |sin2л:[,
IV.5.4. Доказать, что при х 6 (0, +oo)
ex^x\
IV.5.5. Пусть ax < Oa < ... < an. Найти наименьшее на R
значение функции
п
R Э х *-+ Yi (x — ak)2-
IV.5.6. Определить наименьшее и наибольшее значения на
отрезке [—1, 1] функции
[— 1, 1]Э*|-* хатсътх + V \ — х2.
IV.5.7. Для {т, л} cz N найти
max (sin2m* • cos2" x).
IV.5.8. Пусть alf a2, ..., an — различные действительные числа.
Определить наименьшее на R значение функции
п
R9*H* £ |* — a>k\~
IV.5.9. Определить минимум на R функции
R^x^Vx2 + x + 1 +У х2 — х+ 1.
IV.5.10. Найти наибольшее на R значение функции
КЭ*~ 1 + UI + 1 + |*-Ц ■
IV.5.11. Для Ai 6 N пусть {аъ аа, ..., ап\ е: [0, + оо).
Доказать, что
86

3) Па»<I-j-J exp(-y- £ "k\•
IV.5.12. Построить графики функций из задачи IV.5.3.
IV.5.13. Построить графики следующих функций:
1) b3xt-+x*+3x2 — 9x+ 1;
2) (R\{0, 1})Э^^А+ '
1— X
3) (R\{0})3u~-± L
4)(R\{0})9*~£±£l±i ;
б) (R\{-1, l})^^-^-
6)(R\{I})9*~ r
?(x— I)2 '
7)(R\{l})9*~-j^r ;
9) (R\{0})}*-|*-1| + -L;
10)(R\{-l))^b> {X-J!\X] ;
ll)(R\{0,2})9^Tr^r+-^f J
12) R9ATb*A:+ K|l— x2\:
14) 0*\{1})Э*~2'^;
15) R3x*+xse~~xt;
16) R9 *-***<>-*;
17) (R\{0})9*~*2"h
18) (R\{-1, lO^^exp^J^j;
19) (R\{0})9x^jcln|Ar|;
87

20)(Р\{0,-^.4-})э*--ппЬг;
21) (R\{_1,0, 1})Эхм-1^п-;
22) (R\{0, l»9*~*logw2;
23) R Э x ь-*- sin л: s- sin 2x;
24)[о. + оо)Эхм> ,+4;sln2, .
IV.5.14. Для каждого действительного а определить число
действительных корней следующих уравнений:
1) ах = In*;
2) х* + 3х2 — ах + Ь = 0;
3) я3 In * — х + а = 0;
4) 1 + * + -у- = ае*;
б) 2л:3 In а: + х2 — 4х + а = 0.
§ 6. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛАВАМ I—TV
IV.6.1. Привести пример представления множества натуральных
чисел N в виде
N - U А*
где Ак а N и Ак счетно при каждом k > I, причем Ak (} Ат=* 0
при k Ф т.
IV.6.2. Доказать, что множество А с R2, удовлетворяющее
условию
У(хих2)еА 3г>0 V(yl9yJGA\[(xl9xJ)i
(х,-уг)2+(х2-у2)2>г\
не более чем счетно.
IV.6.3. Пусть числа {аъ а2, ..., ап\ a R таковы, что ах + а2 + ...
. . + ап Ф 0, и положим
А = |(*i, *2> ... , хп) 6 R" £ ад* = 11 .
Определить
IV.6.4. Пусть А — произвольное подмножество R, А Ф 0 и
функция /: А ->- R удовлетворяет условию Липшица с постоянной L^Ri
У{*,*/}с:Л : |/<*)-/(y)|<L|*-y|.
88
mm \ \ хь

Доказать, что существует продолжение функции / на R,
удовлетворяющее на R условию Липшица с постоянной L.
Указание. Рассмотреть функцию
R}x*mf(f(y) + L\x — y\).
IV.6.5. Пусть ап > 0, Ьп > 0, п > 1;
апп-+а, bn-+bt л-voo; а>0, b>0.
Доказать, что для чисел /?^>0, q^O, p + q=l справедливо
соотношение
\\m(pan + qbn)n = apbq.
Г7-+0О
IV.6.6. Предположим, что ап £ (0, 1), п £ N, и что я„ -> 0, я ->
-> оо. Вычислить предел
lim (ап + cxn-\ + 4-2 + • • • + а").
п-»оо
IV.6.7. Предположим, что ап > 0, п £ N, и справедливы
неравенства
где 5„ ? = аг + а2 + ... + ап. Найти предел
lim an.
IV.6.8. Вычислить следующие пределы*
п+Ь
l)lim((n + l) Vn+\ — nVn)\
n-юо
«2г»((, + -±-Г-(, + -Н")=
ч^М 1П 1П П £2 * Ш *
для последовательности а^-^ а, п -*- оо;
In А?
«-►во fe=j
б) lim -,4- У
*-. k
ln2fe
6) lim/TTS Kfc.
IV.6.9*. Пусть at > 0 и
a„+1 = In(l-f a„), n£N.

Доказать, что
пап-+2у п-+оо.
IV.6.10*. Пусть аг>0 и
an+i = arctgan, n6N.
Доказать, что
IV.6.11*. Пусть аг -> 1 и
Доказать, что пс^ -* 1, л ->- оо.
IV.6.12. Последовательность [аа\ п^ 1} такова, что
Ят+и < Я/п + Я/» т > 1, Л > 1.
Доказать, что существует предел
lim Jsl =* inf -Sa- .
«-♦во П /1^1 П
IV.6.13. Пусть Р—многочлен с рациональными
коэффициентами, принимающий рациональные значения в рациональных точках
и иррациональные — в иррациональных. Доказать, что Р есть
многочлен первой степени.
IV.6.14. Доказать, что не существует непрерывной биекции
множества R на отрезок [—1, 1].
IV.6.15. Доказать, что не существует непрерывной биекции
множества R на окружность в плоскости.
IV.6.16. Пусть /: R -* R, g • R -* R есть биекции и строго
возрастают на R. Доказать, что функция
Rlx~>e,ix)+g(x)eR
есть биекция.
IV.6.17. Построить график функции и определить множества
точек, в которых она непрерывна и имеет производную,
2+х?п + (Х—1)2п
\+х2
1) f(x)-llm ^V;"11 , *>0;
2) f (x) = lim V(* —lf + (x+l f\ x e R.
П-ьоо
IV.6.18. Пусть
f(x) =
arctg jjy , x =5*= 0;
x = 0.
Определить множества точек, в которых / непрерывна и имеет
производную.
90

IV.6.19. Пусть
l 1
/(*) =
*1п2 2х— \
1
2 '
, хфО;
Определить множество точек, в которых существует производная.
IV.6.20. Пусть {/, g] cz С2 ([0, 11), причем g' (х) Ф О, х 6 (0, 1)
и Г (0) g (0) ^ /" (0) gf (0). Для д: 6 (0, 1] пусть 6 (х) какое-либо из
чисел теоремы Коши
Вычислить предел
/ (*)-/(()) f(B{x))
g(*)-g(0) §'Ф(х))
IV.6.21. Функция fi [я, b] -► R имеет производную /' на la, ft],
причем /' (а) = /' (Ь). Доказать, что
386(a, ft).f<8)- /(9^(a) .
Дать геометрическую интерпретацию.
IV.6.22. Функция /i R -> R строго выпукла на R и
удовлетворяет условию
3 х0 6 R i / (*0) = min /,
R
Доказать, что f (х) -> +оо, | х | -> -f-ao.
IV.6.23. Функция /: [а, Ъ] -*• R выпукла на [а, 6], 9 6 (я> Ь) —
фиксированная точка, в которой существует производная f (0).
Доказать, что
3{^, *2}с[а, Ы хгФх^ f (x? ~f™ ~ f (В).
Дать геометрическую интерпретацию утверждению задачи.
IV.6.24. Для функции /• R ->• R существует /" на R и конечны
величины
M0 = sup|/|, M2 = sup|r|.
R R
Пусть л: — произвольное фиксированное число. Доказать, что для
любого отрезка [a, b] такого* что (a, b) Э х, справедливо неравенство
\ГМ\^т^+М2(Ь-а).
91

На основании этого неравенства доказать, что
*ир|Л<2К2КлЩ,
R
IV.6.25. Для функции /: R -v R существует /'" на R и конечны
величины
M0 = sup|/|, M3 = sup|ri'
R R
Доказать, что
sup|n<8M03M33.
R
IV.6.26. Пусть для m б N
Доказать, что Р (x) = 0, x 6 R.

Глава m/ I • неопределенный
ИНТЕГРАЛ
§ 1. примитивная.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
V.l.l. Для функции / (х) = (1 + л:2)-1, х 6 R, найти
примитивную на R, которая проходит через точку (1, я).
V.I.2. Проверить, что функция
F(x) =(— 1)*cos л:+ 2(/г— 1), x£[(k— 1)я, /гя], feEZ,
есть примитивная для функции / (х) = | sin дс |, х 6 R.
V.I.3. Функции /: (a, 6) -> R ug: (а, ft) -> R имеют производные
f и g' на (а, 6). Доказать, что
(1) fg есть примитивная функции/' g + fg' на (а, Ь);
(Н)— есть примитивная на (a, ft) функции —(f'g—fg'),
если дополнительно g (х) Ф О, л: 6 (а, 6).
V.I.4. Пусть F — примитивная на R функции /: R -> R.
Доказать следующие утверждения:
(i) если / нечетная функция, то F — четная функция;
(И) если / четная функция, то функция F — F (0) нечетная;
(lii) если / периодична с периодом 7\ F (0) = F (71), то функция F
периодична с периодом Т на R.
V.I.5. Пусть F 6 С ((а, Ь))9 с 6 (я, £), и функция / j (а, b) -> R
непрерывна в точке с. Предположим, что функция F есть примитив-
иая функции / на каждом из интервалов (я, с) и (с, Ь), Доказать, что
F есть примитивная функции / на (а, Ь).
V.I.6. Определить примитивную на оси следующих функций:
1) R3x*-+eM;
2) R$x*\x\ex;
3) R$xi+>\jr—2x\\
4) R3*i-»|cosJt|;
б) R Э * »-* sin х + | sin x |;
6) (0, + оо)Зхь^|1пх|;
7) R3^^max(l, *2).
V.I.7. Функция fi (а, 6) ->■ R имеет производную второго
порядка Г на (а, й), причем
93

с некоторым числом с Ф 0. Проверить, что функция — f есть
примитивная для / на (а, Ь).
V.I.8. Функции /: (а, Ь) ->■ R» gi (а, Ь) ->• R имеют производные
/", gr* на (я, b)t причем
Г (х) = cf (*), g" (х) = dg (х), * 6 (а, 6),
с некоторыми числами с и d, с Ф d. Проверить, что функция
есть примитивная для функциии fg на (а, &).
V.I.9. Доказать, что функция
не имеет примитивной на (—1, 1).
V.1.10. Вычислить следующие интегралы!
*) \ (/^)i2 , *€(-», 1) или *€(1, +оо);
2) J (2 + х2)3 • *^R;
3) С / Р{х\ dx, хе(—оо9а) или *€(<*,+«>),
где а 6 R, я 6 N, Р — многочлен;
4) 14^ *6R:
5) \x*VT^?dxt *€(—1, 1);
6) j(x +,/;_!)«. *€(i, + °°);
8) f*2ln^=^-dx, *€(— oo, 0) или *€(l, +°°)|
9) jln(l + x + x*)dx, x£R\
10) f-TTp-arctgArdx, *£R;
11) J(a* + a-Td*, *GR,
где а>0, osyb 1, n£N;
94

15) jf>(x)e<"d*, x£R,
где a£R, P — многочлен;
16) ] P(x)sinxdx, x£R, где Р — многочлен;
17) {Р(*)1пди£*. х£(0, +оо);

ИНТЕГРАЛ РИМАНА
монотонна на
сумма Дарбу
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА.
СУЩЕСТВОВАНИЕ
VI.1.1. Записать нижнюю L (/, л,) и верхнюю U (/, А,) суммы
Дарбу для функции / (х) = я2, х 6 tO, 1], и разбиения X = {х0, хъ ...
..., хп), где 0 = х0 < ... < х„ = 1. Определить нижний интеграл
от f по отрезку [0, 1]
VI. 1.2. Доказать утверждение! если функция /
la, b] или /£С ([а, й]), то каждая нижняя (верхняя)
для / есть интегральная сумма.
VI. 1.3. Пусть
[*> *6[0, 1] ПО:
/(х)-\0. *ё<Э
Доказать, что / £ R ([О, И).
VI. 1.4. Предположим, что / 6 R (la, &]). Доказать, что!
(i) |/l6R([a, &]),
(ii) sinfgR([a, ft]),
(Ш) /26R(fo &]),
(iv) H7]6R([a, &]),
(v) arctg/<ER([a, b]).
VI.1.5. Функция / € R ([0, 11). Доказать, что функция
f-1, l]$x~>f(\x\)
входит в R ([—1, 1]).
VI.1.6. Пусть функция / 6 R (la, b])9 функция g удовлетворяет
на множестве /([a, b]) условию Липшица порядка 1. Доказать, что
g (/) 6 R (k ЬХ).
VI. 1.7. Функция / ограничена на
[а, 6], исключая. точки сходящейся
[а, Ы. Доказать, что / £ R ([a, &]).
VI. 1.8. Пусть
г/ ч (sin — ,
Доказать, что / 6 R (ГО, П).
[a, ft] и непрерывна в точках
последовательности точек hs
х = 0.
96

VI.1.9. Пусть f\ la, b] ->■ R — ограниченная на [a, 6] функция.
Положим
g(x) = lnl{f(u) | a€[af *]}, x£[a, b].
Доказать, что g 6 R (la, b]).
VI. 1.10. Пусть {/, g) с R ([a, 61) и
ft (*) i =» max (/ (x), g (*)), * 6 [a, ft].
Доказать, что ft 6 R (ta> 61).
VI. 1.11. Пусть fi la, 6] -* R — ограниченная на la, 61
функция. Доказать, что / 6 R (la, 6]) тогда и только тогда, когда для
любых е > 0 и б > 0 существует разбиение % отрезка la, 6], для которого
сумма длин отрезков с колебанием функции, большим чем б,
является меньше чем е.
VI. 1.12. Функция / имеет конечный предел в каждой точке
la, 61. Доказать, что / 6 R (la, 61).
VI.1.13. Пусть fi [0, 11 -> R — ограниченная на [0, 11
функция. Доказать, что / 6 R (10, 11) тогда и только тогда, когда
существует число / такое, что
Ve>0 3N Vn^N Vk£ {0, 1, ..., n— 1},
Vgp€
/i ■ п J I /г £/16*'
/
<8.
VI. 1.14. Доказать существование предела lim sn = s и выразить
Л-*00
его значение через интеграл
3) s„=n2£
1
fe=i
rt3 + fc3 '
4) b-i%*V&Tb
n
5) s„ = V n
6) s„ а „2 V L_.
7) S„ = J_ 2 fe35T;
»* /?=o
4 6-1047
07

1
П)*ПЦШ(4)) . /€С([0, 1]), Нх)>0, же[0, 1];
I
12)Чп(1+^))Т;
13) ^ —i- 2 ^—Vf-^-)." feRflO, Ц), а>1;
14) sn = -^- J] cos 4"' cos Т;
1 <*<)•«"
15)
16)
17)
1 V • k
sn = — 7, sin —;
feel
r?
s„ = Ssin-|-;
in
s = У dn n
VI.1.15. Пусть /6R(la, &]), ^={% *ь —» *«} —разбиение отрезка
[a, ft], Ал* = ^+i — xkt0^k^.n— 1; для каждого k 6 {0, 1, ..., n — 1}
1*Я)€[**, *m-iJ. Вычислить следующие пределы:
1) Urn E W)A*>+« a>0:
2) lim £ 1п(1+/(|^)Д^;
|X|-»0 k=0
n— 1
3) lim П(1 + /(£<*>) A**).
|X|-*0 fc«0
VI.1.16. Пусть {/, g) с R ([a, 61). Вычислить предел
n-l **+•
П
1M-
98
|M-*0*=0 ,J

V 1.1.17. Определить функцию /£R([0, II), удовлетворяющую
условиям:
§ 2. СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА РИМАНА
, V 1.2.1. Доказать, что
п п
lim £ „а^ь» ^Hm-^S^"2 —/g2s=T-•
V 1.2.2. Вычислить следующие интегралы?
^ j£=2J d*;
^
2)
3)
J
0
Я
4
0
0
1
|*-2| + |*-3|
sin xdx
sin x -f cos jc *
* sin x
sin2n*+cos2n*
dx, n 6 N;
4) J (1 + */' (*))e«*W», /6C1 ([0,1]);
5) j l(x)lf{l-x) dx, /€C([0, lj), f(jc)>0, *€Г0, П:
0
6) J / (x) dx для функции f £ С (R), удовлетворяющей соотношению
—-a
pf(x) + qf(—x) = \, x£R,
где р и <7 — некоторые числа, причем р + (/ Ф 0.
7) J *Г (*)**, f£V([a, b]).
a
VI.2.3. Пусть /6С([—a> а]) и четна. Доказать, что
а а
-. +
99

V 1.2.4. Функция /6 С [(я, Ь]) неотрицательна на la, Ь] и
такова, что
Л
j / (х) dx = 0.
а
Доказать, что / (х) = 0, х 6 [а, 61.
VI.2.5. Функция /6 С ([а, 6]) и для любых а, рэ а<а<
<Р<6,
j / (*) dx = 0.
а
Доказать, что f (х) =» 0, л: 6 la, W.
V 1.2.6. Функция / 6 С ([а, Ы) и для любых а, р, а < а < р < Ь,
j / (х) dx > 0
7
Доказать, что / (х) > 0, #6 la, 6].
VI.2.7. Функция /£R(la, 61) обладает свойством
V{a, P}c[a, 6], a<p 3*G(a, P) : /(О = 0.
Доказать, что
ь
[f(x)dx = 0.
а
VI.2.8. Пусть функция /£C(fa, b]) и такова, что
ь
а
Доказать, что / (х) = 0, а: 6 fat Й.
VI.2.9. Пусть функция /6 С ([а, 6]) и такова, что
ь
VfireC([at6j), g(fl) = g(6) = 0 ; f/(*)sWd*«0.
Доказать, что
/4*) = о, *£fa» 6J-
VI.2.10. Для функции /(ER([a, b\) пусть
F(x)i = \f(u)du, x£[a, Ь].
а
Доказать, что функция F удовлетворяет условию Липшица
порядка 1.
100

VI.2.11. Доказать, что функция / £ С (R) нечетна на R тогда
и только тогда, когда
х
V*£R : j/(u)du = 0.
V 1.2.12. Доказать, что функция / 6 С (R) четна на R тогда и
только тогда, когда
X X
VxGR : j f(u)du — 2[ f(u)du.
V 1.2.13. Доказать, что функция / 6 С (R) периодична с периодом
Т на R тогда и только тогда, когда
х+Т Т
V*£R : J f(u)du=*\f{u)du.
х О
VI.2.14. Доказать равенство
J""*1-")*<*"=-£+
1)(*+2) ... (дс + и+1)
для х ^ О и п 6 N.
V 1.2.15. Пусть feC1 (U, а]), а •> 1. Доказать, что
г Й
JWrWd*-[e]/(e)-S/(A).
V 1.2.16. Доказать, что
[x] ~~ 2
fe=l
VI.2.17. Пусть последовательность {a„ : n^ 1} c: R и
функция / 6 С1 ([ 1, +oo)). Доказать, что для х ^ 1 справедливо равенство
х
2 arf (Л) = а (*)/(*) — С а (а)/'(и) А*,
где а (*):*= £ а*, х>1.
V 1.2.18. Определить точки локального экстремума функции
х
R3x^^eu*(u2 — 3u + 2)du.
VI.2.19. Пусть функция / £ С ([О, 1]) имеет производную /' на
(О, 1), причем для некоторого числа L
V*6(0, I) : |n*)|<L.
10)

Доказать, что
c,,4*_j.|,(4)
«С-5Г. »€N.
V 1.2.20. Функция / удовлетворяет на отрезке [0, 1] условию
Липшица порядка 1 с постоянной L и такова, что
J / (х) dx = 0.
Доказать, что
Vn£N :
i>m
V 1.2.21. Функция / имеет производную /' в некоторой
окрестности точки лг, причем /' непрерывна в точке х. Доказать, что
;imJ, (Ф+то-) - м) - г win ^-
VI.2.22. Функция /€R(ta> 6J) и неотрицательна на отрезке
[а, 6], число а> 1. Доказать, что
V 1.2.23. Функция / монотонно возрастает на отрезке [0, 1].
Доказать, что
о fe=ss0
VI.2.24. Пусть аъ Од, ..., а„ — различные положительные числа.
Доказать, что матрица
(«/ + **+* //>.!
невырождена.
V 1.2.25. Функция /б^ДО, И) строго возрастает на [0, Пи
f (0) =» 0. Пусть g — функция, обратная к /. Доказать, что
V*£[0, 1] : [f(u)du + j g(и)du = xf(x).
о о
VI.2.26. Функция / 6 С ([0, +oo)) и монотонно возрастает на
[0, +оо). Доказать, что функция
х
g(x): = -^§f(u)dut x>0,
возрастает на (0, +оо).
102

V 1.2.27. Пусть {/, g) cz С ([0, +оо)), g — положительна на [О,
-j-oo) и функция — возрастает на [0, + оо). Доказать, что функция
X
h(x):=-x , х>0,
I g (и) du
о
возрастает на (0, +оо).
V 1.2.28. Пусть / 6 С ([0, +оо)) и для любых а, Ь, О < а < Ь>
любого 6 > 0 справедливо неравенство
Ь+6
£/(x)d*< j f(x)dx.
Доказать, что / не убывает на [0, +оо).
V 1.2.29. Пусть
/(*)-»£ е~иих~1йи, х > 1.
о 1
Доказать, что
(i) f(*)>0f *>!;
(ii) f(xx)>f(x$9 l<*t<*2;
(iii) f(x+l)=*xf(x) ~, *>1.
V 1.2.30. Функция / i (а, Ь) -* R выпукла вниз на (а, 6) и имеет
производную f на (а, 6), Доказать, что
V*£(a, Ь) t lim-^g- j f{u)du>f(x). (•>
Предположим, что / 6 С2 ((а, 6)) и удовлетворяет условию (*).
Доказать, что / выпукла вниз на (а, 6).
V 1.2.31. Определить все функции / 6 С ([0, +оо)),
положительные на (0, +°о) и удовлетворяющие условию
X
Vx>l : 2x^f(u)du=*f{xY
V 1.2.32. Определить все функции / 6 С ([0, +оо)),
удовлетворяющие условию
sinf \f(u)du\ =
\/х>0 i sin 1 , , v~,^ f - х+х
лоз

V 1.2.33. Определить все функции f£C(R)t удовлетворяющие
условию
х
V*£R i j euf(x — u)du = sin*.
0
V 1.2.34*. Определить все функции / j R-> [1, +oo), имеющие
производную f на R и удовлетворяющие условию
1(х х
udu
v,eR .J^-J-й
. Пи)
I О
VI.2.35. Определить функцию / 6 С2 ([0, 1]), удовлетворяющую
условиям: / (0) = /' (0) = 1; Г (х) > 0, х 6 (0, 1);
1
о
VI.2.36. Пусть функция / 6 R (\а, Ь]). Доказать, что
6 Ь
3вG[a, ft] i §f(u)du = ^f(u)du.
а е
V 1.2.37. Функция /6 С ([а, ft]), причем
ь
J/(x)d* = 0.
а
Доказать, что
в
.Зве(а, 6) г J/(«)&/ =/(9).
о
VI.2.38. Пусть а>0 и функция / £ С (1а, 6]), причем
J/(*)d* = 0.
а
Доказать, что
в
аее(а, Ь) i \f(u)du = 9/(9).
V 1.2.39. Пусть функции {/, g} с: С ([a, ft]), причем g (х) Ф 0
при л: 6 [я, ftl. Доказать, что
ъ
[f(u)du
Э9£(а, ft) r -f -2^-.
§g(u)du
а
V 1.2.40. Функции {/, g) cz С ([а, ft]). Доказать, что
е t-
30б(а, ft) : g®)[ f (и) du = f (Ъ)[ g(u)du.
104

VI.2.41. Функции {/, g) cz C (la, b]) и положительны на la, b].
Доказать, что
т{а,Ь) г Т1В ^1М 1.
]f(u)du \g(u)du
V 1.2.42. Функция /€C([a, b]) удовлетворяет следующим
условиям:
b
f(a)>a, \f(x)dx< *~а* .
a
Доказать, что
36е(а, Ь) : /(в) -в.
V 1.2.43, Функция /6 С ([О, П) и
1
3J/(w)dw«l.
Доказать, что
. 3в€(0, 1) : /(в) = ва.
V 1.2.44. Пусть /6 С1 (10, 1]). Доказать, что
1
3в€(0, 1) : J/(*)d* = f(0)+4-/'(e).
V 1.2.45. Пусть /б&ПО, Ц). Доказать, что
3в€(0, 1) : J/(*)d* = /(0)+4-f(0) + T/*<9).
п
V 1.2.46. Пусть /еС1 ([0, 1]), причем /'(0)^0. Для каждого
х 6 (0, 1] пусть в (х) какое-нибудь из значений в, для которых
Вычислить предел
U(u)du = f(e)x.
lim в(*>
VI.2.47. Функция /6 С ([0, 1]) и монотонно возрастает на [0, 1].
Доказать, что функция
1
монотонно возрастает на [0, 1).
105

V 1.2.48. Пусть {/, g) с: R ([a, b)). Доказать неравенство Коши
/ ь у ь ь
nf(x)g(x)dx) ^$f*(x)dx.$gHx)dx.
\а ) а а
Если дополнительно {/» g\ cz С ([а, й]), то -знак равенства в
неравенстве Коши возможен тогда и только тогда, когда
3{Х, n)cR, 1Ч + И>0 V*<E[a, b] i kf(x) = pg(x).
V 1.2.49, Доказать, что для функции / 6 R ([0, 11) справедливо
неравенство
Jf(*)d*<|/ \f4x)dx.
о о
VI.2.50. Для функции /£R ([а, Ь\) доказать неравенство
(с V (с V с
\)f(x) sin xdx I + [) f(x) cos xdx J < (b — a) ^ f2 (x) dx.
VI.2.51. Пусть {/s g, ft} cz R ([a, ft]). Доказать, что
/b \4 /6 \а б 6
($/(*)gWM*)d*J <П/2(^)^) $g4x)dx$hHx)dx.
V 1.2.52. Пусть
О-1/€С([0, 1]) C/(*)d*-l|.
Определить
minf(l +x*)f*(x)dx
и найти функцию, доставляющую минимум.
VI.2.53. Пусть /6 R (la, Ь]). Доказать, что для d > 1
| 6 Id b
J/(*)<** <(6-a)"_1J|/(x)|a^.
la I a
VI.2.54. Пусть {/, g} c: R ([a, й]). Доказать неравенство
ь /ь ь \
j min (/ (л:), g (x)) dx < min К / (*) dx, £ g (x) dx
a \a a /
VI.2.55. Предположим, что функция / i [a, b\ -> [m, M]
удовлетворяет следующим условиям:
ь
/€R([a. *D: $/(*)<fr-0.
106

Доказать неравенство
ь
^f*(x)dx*^ — mM (b — а).
а
VI.2.56. Пусть {/, g) с: С ([0, 1]). Доказать неравенство
nf(x)dx) + ($*(*)**) <\[Vf*(x)+f(x)dx).
V 1.2.57. Функция / 6 С ([а, Ь]) и не убывает на [а, Ь]. Доказать,
что для любого х 6 (а, Ь) справедливо неравенство
х ь ь
r=rJ/(«)*'<-F^TI/(a)ite<-5^rJ/(ii)(lu.
Х- „ .
a a
V 1.2.58. Функция / з [a, b] -> R монотонно не убывает на
отрезке fa, b\. Доказать неравенство
Ь Ь
J (х — a)f (x)dx^\ (b— x)f (x) dx.
а а
V 1.2.59*. Функция f£C ([О, 1]) и монотонна в строгом смысле
на F0, П. Доказать, что
VaGR * l\f(x)-a\dx>t\f{x)-f(±)\dx.
о о . \ / I
VI.2.60. Функция /6 С2 ([а, Ы), причем /" (х) > 0, х 6 [а, Й.
Доказать, что
j;w*< m2+/(ft) «>-*)•
а
V 1.2.61. Функция /€C([a,6l) строго выпукла вверх и
положительна на la, b]. Доказать, что
\f(x)dx>-lr(b — a)maxf.
V 1.2.62. С помощью неравенства
е*>1, *>0,
получить неравенство для п £ N
V 1.2.63. Исходя из неравенства
cos л ^ 1, дг ;>0,
доказать все неравенства задачи IV.4.49.
107

V 1.2.64. Доказать следующие неравенства;
»-м-
2х
1 + х13
dx< 1;
"»+<1т£у<*' -
€N;
о
V 1.2.65. Определить, какой из интегралов
1 1
Т Т
J *fl2*d*, J x^dx, a> 1,
о о
больше?
VI.2.66. Пусть a>0. Определить знак интегралов
2я 2Я
j x° sin xd#, \ л?+1 cos xdx.
о о
VI.2.67. Доказать неравенство
sin a
du
, х>0, a>0.
V 1.2.68. Доказать, что при любом х > 0 справедливо неравенство
] sinwada
<-§-•
VI.2.69. Доказать, что при любых х > О и а>0 справедливо
неравенство
sin w8dtf
VI.2.70. Пусть f 6 С ([а, 61). Доказать равенство
IT-
Зх*
Н J / (и) du I d* = J (x — a) f (x) dx„
VI.2.71. Для функции / 6 С ([а, ЬХ) доказать равенство
108

V 1.2.72. Функция / 6 С1 ([а, Ь]) и монотонна на [a, b], a функция
g £ С ([а, 61). Доказать, что
ь Ъ ь
Эе£(а, 6) i \ f (x)g(x)dx = f(a)\g(x)dx + f {Ь)[g(x)dx
a a 9
(частный случай второй теоремы о среднем значении).
V 1.2.73. Вычислить предел
limj_f a + ^-i ^
(подынтегральная функция в точке 0 считается равной пределу в
этой точке).
V 1.2.74. Вычислить следующие пределы!
2) liml— [ (1 +sin2u)Tdu);
*-° V о /
3) lim (4r(«1+Bd"|;
i
б) lim I —f
d«
VI.2.75. Пусть /^С ([0, +оо)) и / (х) -+ а, х-»- +оо. Найти
lim (-Lf/(u)d«|
*»-j-00
Привести пример функции g 6 С ([0, +оо)), для которой существует
предел
lim (-J- [g(u)du)
и не существует предел при х->+оо.
V 1.2.76. Пусть функции {/, g] cz С ([0, +оо)), причем / (*) -+ a,
*£(*)-*"&, я-► -}-оо. Вычислить предел
Hm \g(x)[f(u)du),
109

V 1.2.77. Для функции f\ (a, b) ->■ R, имеющей производную/*
на (а, 6), вычислить предел
х(4г J
gm-rl-T \ f№du-f(x)\, х£(а, b).
V 1.2.78. Функции {/, g) cz С ([0, 1]), причем
(1) VxetO, 1] i g(x)>0;
(ii) lim J g (ы) du = + oo;
Доказать, что
f/(a) A«
Hm -J = a.
n
V 1.2.79. Пусть Р и Q — многочлены, положительные на полуоси
10, +«>) и а>1, Доказать, что
V 1.2.80. Вычислить предел
lim f-Si". Л.
V 1.2.81. Пусть
Г 0, х = 0,
/W- cos-1, ,>0
/?(*): = \f(u)du, *>0.
о
Вычислить F' (0).
VI.2.82. Вычислить предел
lim \ ua-x In udu
для положительного а.
110

VI.2.83. Функция fi [О, +оо)-*[0, +оо) монотонно убывает на
[О, +сю); f(x)-+Ot x-*+oo. Вычислить предел
lim \ f(x)dx.
VI.2.84. Функция /£ С ([0, 1]) и положительна на [0, 1]. Для
каждого п 6 N пусть 9 (п) есть значение, для которого
1 в(*
JLJ/(x)d*- { f{x)dx.
0 о
Вычислить предел
lim (л9 (п)).
V 1.2.85. Для каждого n£N Q (п) есть значение, для которого
П в(М)
Найти предел
V 1.2.86. Для каждого п 6 N пусть 9 (л) есть значение, для
которого
п 0(П)
tNi+4)'*-j(!+4)**-
1 1
Доказать, что
lim -«&. - 1.
п-»оо Л
V 1.2.87. Пусть {/, g)cC ([0, 1]) положительные на [0, 1]
функции. Для всех п £ N, начиная с некоторого, определены
значения 9 (п)
j_
П 6(Л)
§ f(x)dx — J g(x)dx.
Доказать, что
Нт(лв(Л))-^-.
VI.2.88. Функция /6 С1 ([О, П) положительна на [0, 1], причем
/ (0) = 0, /' (0) Ф 0. Для каждого п 6 N определено значение 9 (я),
для которого
1 в(п>
in

Вычислить предел
lim (пв" (л)).
Я-ЮО
V 1.2.89. Вычислить следующие пределы!
-к J
а»
d# I;
п+1 \ л
x*d*
л+1
61 ^("-'('-It^^))
VI.2.90*. Пусть число с>0и
ах «■ 1; a„+i = J £**dA\ я> 1.
о
Определить те значения с, для которых последовательность
{dn i n ^ 1} сходится, и найти ее предел.
V 1.2.91*. Пусть {cin i n^z 1} — строго возрастающая
последовательность положительных чисел таких, что
С Х1д
для некоторого а 6 R. Доказать, что
V 1.2.92. Вычислить следующие пределы!
1) HmJ-J^-d*. /€R(10. 1J);
2) Vimj-JM^dx, /<ER([0, 1]);
n
112

8) \\т[ xnf(x)dx, /€r([o, 4-ft
'1-VOOq ^L J*
1
4) lim$*7<*)de, /€R([0, 1]);
1
Б) UmU(xn)dx
для функции /£R([0, 11), у которой существует предел
Hm f(x);
x-*0-f
л
6) limj/(sin"*)dx, /€C([0f 1]);
п-юо 0
1
7) lim f e-^d*. a>0;
n-*ooQ
8) Hm f f *** ;
7 .-.со J (1+^(1+3"*)
I
9) lim f * ;
10) lim-4-jjr<fa;
Я
2
11) lim —— A (sin* + cos x)n dx\
a-too —- ?!
2*" °
12) lim J (1 — x2)" d*.
V 1.2.93. Пусть функции {/, g} с: С ([О, И), причем g(x)>0§
*€ [0, П. Вычислить следующие пределы:
1) lim In \xnf(x)dx\\
i
J j'V (x) dx
П-¥00
1
2) lim
"~ \fg(x)dx
113

VI.2.94. Для функции / 6 С1 ([0, 11), / (1) = О вычислить предел
lim [ivL[xnf(x)dx\
П-+оо \ £ J
VI.2.95. Функции {/, g) а С ([—1, 1]), причем функция g
неотрицательна и четна на [—1,1], строго возрастает на [0, 1].
Вычислить предел
£ / (х) ? (х) dx
-
VI.2.96.
lim
П-*ос
—1
1
I gn W dx
—1
Для функции f 6 С ([0, 3]) вычислить
lim
П-*00
о
§ f (x) sin2n (nx) dx
0
3
§sin2n(wc)dx
0
предел
VI.2.97*. Пусть /6R(I0, И), g€R(K), 1 + а]) с некоторым
a > 0. Доказать, что
1 1
lim \ f (и) g (и + х) du » I f (и) g (и) du.
VI.2.98*. Пусть функция /6 С ([а, 61). Доказать, что
1
\ 2л
lim I \f(xpdx) =.max|/|.
.8-
VI.2.99. Для функции /6 С1 ([а, 61) доказать равенства (частный
случай леммы Римана):
ь
1) lim \ / (х) cos (nx) dx «■ 0;
Ь
2) lim С f (x) sin (nx) dx — 0.
П-+00 a
VI.2.100. Для функции /6 С1 ([a, 61) вычислить предел
ь
lim w (x) sin2 (nx) dx.
Л-00 *
VI.2.10I. Пусть /6С([0, +oo)) и
i
0
114

Предположим, что существует предел а 6 R последовательности
jart ■«> 1). Вычислить предел
lim \ / (пх)
dx.
V 1.2.102. Функция /£C(R) и периодична с периодом Т > 0.
Доказать, что
ь
lim { f (nx)dx = -^2- U(x)dx.
VI.2.103. Вычислить следующие пределы:
1) lim I — I sin2 udu I;
~+~ \ о )
2) lim — \ V~u sin u<fe I;
*-+«> \ * о /
8) lim I -p- ] a sin2 adw J.
JC-fr+OO \ 0 /
V 1.2.104. Для функции /6С([— 1, П) вычислить следующие
пределы:
1) lim I -— ^ / (sin jc) dA: J;
ч-*оо \ о /
2) lim \±lf(\sinx\)dx);
8) limI -х \ xf (sinx)dx).
«-co \ П J J
VI.2.105. Для функции / 6 С(1—1, 1]) вычислить следующие
пределы:
1) lim \f(sm(xu))du\
x->+oog
i
2) lim \ f (cos (xu))du;
i
8) lim \ uf (sin (xu)) du\
i
4)* lim \ / (sin (xu)) cos udu.
115

VI.2.106. Пусть функция / 6 С (10, 1]). Доказать, что
max
4-1'т-$Н~°
при П -> оо.
VI.2.107. Предположим, что функция /£С([0, 2]). Доказать,
что
max
*€[0,1]
42/(4+* )~\f(u+x)du
при п ->■ оо.
VI.2.108*. Пусть /6С([— 1, 1]), gr6 С ([0, 1]). Доказать, что
1 1 1
v-v-foo 0 0 0
(частный случай теоремы Фейера).
V 1.2.109. Доказать, что
1
о
1
9) [er-1*\n(l+x)dx~-jf-, А,-»-+ 00.

Глава^Ц
РЯДЫ.
ПРОИЗВЕДЕНИЯ
S 1. СУММА РЯДА.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА
VII.1.1. При каких значениях а 6 R, ? 6 R сходится ряд
a + aq + aq*+ ••• + aqn-{ + •••?
Чему равна его сумма?
VI 1.1.2. Исследовать сходимость следующих рядов; для
сходящихся рядов определить их сумму:
*) ТТо- + ТТ7" + ТТ7- + • • • + w„.i. и +
2)
3)
1
1-2 ' 2-3 ' 3-4
1 _ | =
{\ + V%V\.>2 ^ (/2 + /3)/2-3
1
п(п+\)
+ •••
+ -^7-
_J
I -3
(V« +Vn+\)Vn(n+\)
1 4- 1 4.
3*5
5-7
+
+ ■
1
(2л — 1)(2л + 1)
+
где {ся i n ^ 1} — последовательность положительных чисел такая,
что сп -> +оо, л -* оо;
1.1, , 1
б)
1.2-3
+
2-3-4
+ •••+■
п(п+1)(п + 2)
1
+
6) 1.3-5 + 3-5-7 + * " + (2п — I) (2л + I) (2л + 3)
^ I • 2 • 3 . . . (т + 1) "*" 2 • 3 . . . (т + 2) + * * *
+
4-
1
п{п+ 1)(л + 2) ... (п + т)
+ ..., m£N;
в) 4-+4-+
1
Х"1"ТГ^"зГ +
+
I
4ла — 1
+
9) -ТГ755- + "РТР" + ••• + (2п_1)*(2п+1)» +
117

"> l-O+m) + 2-(2 + m) + *" + n(* + m) + '"' **N»
) 1 • (m + ft) "*" 2 • (2m + /г) + *' * + n (ш + fc) + # *'»
где {ft, m}c:N, &=0(modm)-
13) cos a: + cos2x + • •• + cosnx + •••, x£R;
для x£(0, 1).
VII. 1.3. Пусть
— частичная сумма гармонического ряда
Доказать, что s2n — sn> —, az>2, и с помощью этого неравенства
установить расходимость гармонического ряда. Доказать, что при
п > 1 сумма sn не является целым числом.
VII. 1.4. Доказать, что при любом а £ (0, 1] ряд
1 + — + — + ••• +— + •••
^ 2а ^ 3« ^ ^ па ^
расходится,
VI 1.1.5. Доказать расходимость следующих рядов1
где а, Ь — положительные числа;
Vl+Vl 1^3+^5 V"2a7 — 1-{-/2/1+1
3) Т^ + ТТГГ+ '"+ Уя(!»+1) + '"'
4) "72" "Ь ~92~ + * " ' Н JJ2 + ' * *
VI 1.1.6*. Доказать сходимость и найти суммы следующих рядов:
«S-S-i «(S-fi з,У^..
1—1
118

VII.1.7. Пусть jc 6 (—li 1). Доказать равенство
oo x
S-S--H-
In -; du.
1 —и
Подынтегральная функция предполагается равной 1 при и = 0.
VI 1.1.8. Пусть х6(—If 1). Найти суммы следующих рядов:
7) 2(-l)*T-
VII.1.9. Пусть /6R(f0, 11). Вычислить сумму ряда
VII.1.10. Пустьфункция /gR ([0, 1]); {д„ ! л > 1} с [0, 1]—
последовательность такая, что аг = 0 и а„ -► 1, /г -* оо. Найти
сумму ряда
« 4
VII.1.11. Функция /£C([0, +оо)) и такова, что существует
предел
X
lim \f(u)du = a, a£R.
Jf-+-j-O0 tf
Доказать, что существует последовательность {хп i n^ 1} такая, что
0 ^ *г ^ #2 ^ ••• ^ *п ^ ••• ; *п -*• +°°> я -* оо, и
00
VII.Ы2. Пусть {а„ : п^ 1} — произвольная, сходящаяся к
О последовательность. Доказать, что существует подпоследовательность
оо
{йт<я) : п > 1}, для которой ряд 2 am(rt) сходится и имеет сумму
а, причем | а | < ^.
119

§ 2. РЯДЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ!
ПРИЗНАКИ СРАВНЕНИЯ И СХОДИМОСТИ
оо
VII.2.1. Пусть ^а„ — сходящийся к сумме а рядснеотрицатель-
ными членами и \dn \ п > 1} — ограниченная последовательность
оо
неотрицательных чисел. Доказать, что ряд £ dnan сходится, причем
оо
£ dnan^ a sup dn.
VII.2.2. Пусть a > 1 и для ряда
I -4- ' -4- ' -4- •«• -4- ——- -|- • • •
' 2a 3a na
пусть
Доказать неравенство
С помощью этого неравенства доказать сходимость ряда.
VI 1.2.3. Пусть {йп i п^ 1} и [Ьп i п ^ 1} — последовательности
положительных чисел, монотонно убывающие и такие, что ряды
оо оо
сходятся. Доказать сходимость ряда
оо
Е тах(ал, Ьп).
Привести пример последовательностей, для которых ряды (*)
расходятся, а ряд
00
£ min(an, bj
сходится.
VII.2.4. Исследовать сходимость следующих рядов:
"ifeffi 2)2-#тг- hoc»
120

» Е-зг' *> 2
_ TIT9 u' La ;/="•
~\ iyn Se (lnn)V"
9) £ ««sin»-!-; «€R, 10) S^)"^.
VI 1.2.5. Доказать следующие неравенства!
1>4-<£-зг<т!
П=*1
«ь.Л+1 * П(П+ If
VI 1.2.6. Исследовать сходимость следующих рядов:
1=1 Я~1
3) S-T-! 4) Sd^FTT-пЛ а>0;
№•> /1=1
7) £ naarctgnP, {а, (5}cR;
' £j (2*)i ' N) -£{ ли ' 1Z) Zj-is—•
VI 1.2.7. Доказать сходимость следующих последовательностей!
i) {y«- 1+4-+ ••• +4—lnn : n>l}i
121

VII.2.8. Определить значения а £ R, при которых сходится ряд
1) £ CYa~\)\ а>1; 2) £ (>^-1)в;
rt—1
risss\ -—'
ОО
б) £
1=1 П«в1
In (я + 1) — In п
1па (л + 1)
ОО
VII.2.9. Пусть ап > 0, я > 1, и ряд £ а„ расходится. Исследо-
вать сходимость следующих рядов:
1 ! +Пйп * «1 ! + л*в"
VI 1*2.10. Пусть ряд S а„ с неотрицательными членами сходится,
п=1
a {d„ 1 п>1} — ограниченная последовательность. Доказать
сходное
мость ряда £ &пап.
VII.2.11. Положим, что ап-+ а, п -► оо; а„ # 0, /г !> 1; а ^= 0.
Доказать, что ряды
2j Ifl«+i — flnl. 2j |Z
сходятся или расходятся одновременно.
VII.2.12. Доказать, что для любой последовательности
положительных чисел \dn \ п > 1} такой, что dn -► +оо, п -^ оо, сущест-
оо
вует сходящийся ряд с неотрицательными членами ]£) ап такой, для
оо
которого ряд ]£ dnan расходится.
оо
VII.2.13. Пусть а„ > 0, л> 1, и ряд £ я„ сходится. Исследо-
вать сходимость ряда
оо
оо
2) 2j ^ an««+i ... я2п-1;
1=1
122

3) Ц тах(яп, ап+и Яп+2);
п=1
оо
4) £ max (аП9 яп+ь ... • а2п-\).
VIL2.I4*. Обозначим через т (п) число нулей в десятичной записи
числа п € N. Определить значения а > О, для которых
сходится ряд 2j -гг*
я—1 я
оо
VII. 2.15. Пусть ряд с неотрицательными членами 2 ая сходится.
Доказать сходимость ряда
1) Ека^Г; 2) f; JS-.
ri=sl Пае!
VI 1.2.16. Предположим, что
оо
Доказать сходимость ряда 2 ап.
VII.2.17*. Пусть для а£(0, 1)
l+an
00
Доказать сходимость ряда JJ ап.
VI 1.2.18. Пусть
fli 6 ГО, 1); Лл+1 « «п — лая. п € N.
Доказать сходимость ряда £ я„.
VII.2.19. Пусть {&„ 1/1^1}— последовательность
положительных чисел, сходящаяся к положительному числу а, и
ai-^ a"+'= 1+Х»я > n£N-
Доказать сходимость ряда £ а«.
VI 1.2.20. Пусть
, arctg а. _..
00
Доказать сходимость ряда 2 я*
п—1
123

VI 1.2.21. Пусть {ап i n > 1} — убывающая последовательность
оо
положительных чисел, для которой ряд X ап сходится. Доказать, что
lim (nan) = 0
>7-*00
VII.2.22. Пусть {bn i п > 1} — неубывающая последовательность |
чисел таких, что
и ряд
00
S (бп+1— &„)", «>о,
сходится. Доказать, что
lim (л« (6tt+1—ftn))-0.
П-»оо
VI 1.2.23. Признак Коши. Пусть an+\ > a„ > О* л б N.
Доказать, что ряды
£ am g 2V
n=l fe=l
сходятся или расходятся одновременно. Использовать этот результат
для исследования сходимости гармонического ряда.
оо оо
VII. 2.24. Пусть 2 ат £ Ьп — два сходящихся ряда с поло-
/ls»l nasi
жительными членами. Предположим, что существует предел
lim j*2_ =
Доказать, что
г1
lim -J-= /?,
П-too ri.
где
= £ ak> fl = S bk> л > 1.
rn: _ _
fe=sr? fcsssft
VI 1.2.25. Доказать сходимость следующих рядов:
п=1 о==1 '
з, Ё^
124

VI 1.2.26. Пусть {рп : п :> 1} — монотонная последовательность
положительных чисел. Предположим, что предел этой
последовательности отличен от 1, если он существует. Исследовать сходимость ряда
Pi + Р1Р2 + Р1Р2Р3 + ' " • + Р1Р2 • • • Рп + • • •
оо
VI 1,2.27. Пусть 2 ап— ряде положительными членами. Дока-
п«*1
еать, что
1) если Игл ГС"1"1 <1, то ряд сходится;
2) если lim n+1 > 1, то ряд расходится.
ч-*оо
VI 1.2.28. Для ряда £ ап с положительными членами для неко-
п=]
торого т £ N существует предел
я*
г «. lim -2±2L .
Доказать, что ряд сходится при г < 1 и расходится при г > 1.
VI 1.2.29. Доказать сходимость следующих рядов:
** п + 2^
VI 1.2.30. Исследовать сходимость ряда
со '
2 )xner-nxdx.
VI 1.2.31. Пусть для ряда с неотрицательными членами 2 ап
величина г есть
г а Нт т^а7, г^+оо.
Доказать, что ряд сходится при г < 1 и расходится при г > 1.
VI 1.2.32. Доказать утверждение! если для последовательности
положительных чисел {an i я > 1} существует предел
Ун _.
lim
то существует предел
lim j/lal = г.
125

Привести пример последовательности, для которой обратное
утверждение ве верно.
VI 1.2.33. Пусть On > 0, п > 1, и
— In п г 1
hm Yan< — .
Доказать сходимость ряда £ а*.
о»
VI 1.2.34*. Пусть feiOllcR. Доказать, что ряд £ ОпЬп
сходится для любой последовательности {bn i n ^ 1} с: R,
удовлетворяющей условию
йг/та-о.
тогда и только тогда, когда последовательность \У\ ап\\ л > 1}
ограничена.
VI 1.2.35. Пусть а> 1. Доказать неравенство
VI 1.2.36/Доказать сходимость следующих рядов!
оо оо
1) £тГЕ*7Г; 2) 2 "^Г'
—2 «*»-« я 2>^
VI 1.2.37. Пусть о„ > 0,/г > 1, и
lim v nan <
Доказать сходимость ряда £ an.
VI1.2.38. Доказать, что
оо
1} («-»)(п+1)«- < j+><(a-.')^ ' n6N« a>1;
2) 0<1+4"+ ••• +-J 1п(л+1)<1, n€N.
VI 1.2.39. Пусть a> 0. Доказать, что
lim lnan- 2 iVa, 1-4--
VI 1.2.40. Пусть a£ (0, 1). Доказать, что
n
„1—Of
2j u<x 1—a
fe=1 ff
fl->-00.
126

VII.2.41. Пусть f g С1 ([1, +oo)). Доказать, что для fm, п] с N
справедливы следующие неравенства:
2)
ft=] , | ,
т+п т+п+\ I т+л+1
J k=m m I m
Проверить, что
l l
V 1 i i
ksszm
VI 1.2.42. Пусть
a1=l; a„+1 --^f^-, n€N.
Доказать сходимость ряда V a* .
VI 1.2.43. Последовательность {ип i n^\)a [a, +oo) такова,
что для некоторого А > 0 т+\ — и* ^> Д» Л ^ U а функция
f I [a, +oo) -► [0, +оо) монотонно не возрастает на [а, +<*>).
Предположим, что существует предел
X
lim I f (и) du.
Доказать сходимость ряда £ / (ип). Привести дополнительное усло-
вие на числа мп, я > 1, при котором из сходимости ряда следует
существование предела.
VI 1.2.44. Пусть последовательность {ип i n > 1} с: [а, +«>)
монотонно не убывает иип->+оо,я-*оо, а функция / :|[а, -f <*>) ->
-> [0, +°°) монотонно не возрастает на [а, +оо). Доказать, что ряд
£ f(Un)lUn — Un-\)
еходится, если существует предел
х
lim I f(u)du,
а ряд
£ f(Un-\)(Un~Un-\)
п=2
расходится, если
j / (и) du -> + оо, х -> + оо.
127

VII.2.45, Пусть 4и>0, n> 1, и ряд £ а» расходится. Дока-
зать, что ряд
оо
сходится при а > 1 и расходится при а < 1. Здесь
оо
VI 1.2.46. Пусть aj = 1; ап > 0, п > 2> и ряд 2 ап расходится.
Пусть sn = ах + «а + ... + а«, я £ N. Доказать, что
оо
1) ряд У с 1t\ расходится;
оо
2) ряд S2 8„ГпЧ сх°дится-
00
VII. 2.47. Пусть я„>0, п> 1, ряд 2 а« сходится и
оо
г.- £ a*, "£N.
00
Доказать, что ряд 2j ~"сГ сходится при а < 1 и расходится при
VII. 2*48. Пусть {ап : п^ 1} — строго убывающая
последовательность положительных чисел такая, что ап-+0, п->оо. Доказать, что
оо оо
ряд $] ап~\ а" Расх°Дится» а РЯД S -^—~> где а£(°» ')•
сходится.
VI 1.2.49. Пусть {т (п) \ п > 1} — строго возрастающая
последовательность натуральных чисел. Доказать, что ряды
и V т(п) — т(п—\) а 9, у /я (я) — m(n—1)
*' ^ т(л—1) * *' ^ m(n)
расходятся.
VI 1.2.50. Пусть {dn i /г > 1} — строго возрастающая
последовательность положительных чисел такая, что Ол-^+оо, п -> оо.
Доказать, что ряд
2 —
п«=2
сходится при а > 1 и расходится при а < 1.
128

VI 1.2.51. Пусть ап > 0, п > 1. Доказать следующие
утверждения:
1) из сходимости ряда
оо
следует, что
2) обратное к 1) утверждение не верно;
о ап
3) сходимость /n-*0, я-*оо, влечет сходимость ряда 2j—чТ~
для каждого е > 0.
VI 1.2.52. Для функции / s [1> +оо) -*• [0, +оо) существует
производная второго порядка f* на [1, +°°)i причем
V*>1 i/'(*)>0, П*)<0.
Доказать, что
§ 3. АБСОЛЮТНО И УСЛОВНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ
VI 1.3.1. С помощью утверждения задачи VII.2.7 доказать
сходимость и найти суммы следующих рядов:
1) 1 — 4- +4" Г + *•• + (~Г+' + •*• <РЯД ^йбница);
2) 1 + 4—Т + -Г + 4—Т-+ •" +-4гЬг + ^Г-
» ,, 1 , 1 1 1,1,1, 1 I 1,
3) 1 + — + -§ 2 4- + — + Т + -ГГ--6 Г + ,,,:
... 1 1,1 1 1 , 1 1 1 , I
4) l--g-—г+ — —g-_X + -5 io ГГ + Х" '•••
к.* 1 , 1 , 1 1.1.1 1.1,1 l .
v — + — + -—r + x + Ti Г + 1Г + 15—x + •■••
VI 1.3.2. Доказать расходимость ряда
1_ Х+Х Г + Х + Х + Т Г + *•''
в котором знак «—» имеют члены вида 2-\ k ^ \.
57-1047 129

VII.3.3. Для х £ [О, 1) вычислить сумму ряда
S(-lf%,2-".
/1=1
VI 1.3.4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
3) S(_1)»J£5.; 4)S(-ir^nfe.
VI 1.3.5. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
1) S-bJCL. «е*
2) S-^4-1. •€*
0=1
oo
3) S,(-iyine(l + 4-), a>0;
4) S (~ l)"sine-L «>0;
П=1 П
5) | (-.)"(!- cos ±f;
6)|(-.Г(е-(1 + ^)а( a>0;
7) S (_ 1)" ("/F - l)e, a>0.
fl=l
VI 1.3.6. Пусть m £ Nf m !> 2, фиксировано и
(О, пфкт, &£N,
Найти сумму ряда
1) S '-^m);
П=1
2) %<*(„, Q-rf(n,m) ^ />2(m>2.
Рассмотреть частные случаи» 1) при т = 2, га = 3;
2) при га = 2, / = 3.
130

VI 1.3.7. Пусть \ап : п > 1} cz R такова, что
^г>а2>о3> ••• >я«>0, я>1; я„->0, п->-оо.
Доказать сходимость ряда
2) £ ((-l)nW,...o«).
00 00
VI 1.3.8. Предположим, что ряды £ ап> £ ^ сходятся абСОЛЮТ-
оо
но. Доказать сходимость ряда J] V\anbn\.
оо оо
VII.3.9. Пусть ряд JJ п2а« сходится. Доказать, что ряд £ я„
сходится абсолютно.
CiL ~
VI 1.3.10. Привести пример сходящего''ряда 2j #m Для которого
расходится ряд £ aL
VI 1.3.11. Пусть последовательности \ап \ п !> 1}, [Ьп \ п ^ 1} та-
оо
ковы, что a„ -»■ a, я -> оо, и ряд JJ &„ сходится абсолютно. Дока-
зать, что
оо
lim (апЬг + ап-\Ь2 + • • • + я А) = а £ &„.
VII.3.12» Пусть ряд 2 ял сходится условно. Доказать, что ву-
п=1
шествует последовательность чисел {Ьп : я> 1} такая, что 6п-*0,
00
я->оо, и ряд J] я^А расходится.
VI 1.3.13. Пусть {ап\п^ 1} —последовательность такая, чтоа„-*
-*-(), п -* оо. Доказать, что существует последовательность {Ьп\ п^
^ 1} такая, для которой:
1) &!>62> .- >Ь„>0, л>1,
оо
2) ряд 2 Ьп расходится;
п=1
оо
3) ряд JJ Я/Ai сходится абсолютно.
VI 1.3.14. Определить необходимое и достаточное условие на
последовательность {dn : п > 1} с: R того, чтобы для любой последова-
5* 131

тельности \ап : п > 1} с [0, +оо) из сходимости ряда £ я« следо-
00
вала бы сходимость ряда $] d„a„.
VI 1.3.15*. Определить необходимое и достаточное условие на
последовательность \dn \ п > 1} с: R того, чтобы для любой последо-
00
вательности \ап : л > 1} cz R из сходимости ряда 2 а„ следовала
сю
бы сходимость ряда £ dnan.
VI 1.3.16. Функция /£С([0, + оо)), причем
V*>0 : 0</(* + 1)</(*); f(x)-+0, х-^ + оо.
Пусть
ап = J f(x)dx, n^l.
Доказать сходимость ряда £ (—1)" ап.
П=г1
VI 1.3.17. Исследовать сходимость следующих рядовз
1) £ \ х cos (шс) <±к;
2) f (_l)"+1$x"arctg(^W
3) ^(-irTw^
п=1 п—1
4, £(-и*1 J *«-;
«+■
6) 2(-1)П+1
и О V
П
In х
w=2
VI 1.3.18. Доказать сходимость ряда
£(4-£*»•?}•
132

VI 1.3.19. Пусть х Е [kn | k £ Z}. Доказать условную сходимость
Ssin /u
_
i=i
VI 1.3.20. Доказать сходимость следующих рядов:
ОС
1) 2j —sin (п2*) s*n (ЛЛ:)» * £R»
o=i
оо
2) 2 — cos (п2х) sin (пл:), х £ R;
оо
3) 2j —cos n s*n (nx)> * £ R;
oo
4) ]£ * (я„ — 0„-i)» где {an : n > 1} cz R — ограниченная по-
следовательность;
i
5) У] \ a: cos (n#) dA:;
2
6) Д J / (*) sin (nx) dx9 где / € С1 ([~~ * "г]) ;
7) 2 (-ir+,-Uarctgn;
п=«1 У П
9) SKir'-^ftr*1.
VI 1.3.21. Пусть (о^ i /г ^ 1} — монотонно убывающая
последовательность положительных чисел, причем ап -► 0, /г-»- оо.
Доказать, что
V/j£N Vх£(0, я) i
V ak sin for
*n+i
sin-
133

§ 4. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ. ПРОИЗВЕДЕНИЕ РЯДОВ
VI 1.4.1. Доказать, что для произвольного ряда допустима
группировка членов одного знака (без изменения порядка следования).
Например, ряды
1 + ——Т + — + ——г+ -••
(ч-т)-т+(+++)-4-+
оба сходятся и имеют одну сумму, а ряды
1 + 1 , , 2+1 1 , 3+1 1 , ..
1 + 1-1 + 1+4—4-+1++-4-+ •••
оба расходятся.
VI 1.4.2. Доказать, что следующие утверждения равносильны!
1) ряд J] ап сходится абсолютно;
2) для любой последовательности {гп i п>1), в которой каждое
оо
гп = 1 или гп = — 1, ряд 2 гпап сходится;
3) для любой последовательности {гп \ я !> 1}* в которой каждое
оо
е„ = 1 или е„ = 0, ряд £ епап сходится,
VI 1.4.3. Пусть [ап \ п > 1} и {&„ ! я > 1} — последовательности
ОО 00
действительных чисел, причем ряды ]£ а„, $] ^ абсолютно сходятся
ОО
Доказать сходимость ряда £ сп, если
о с„ = {
ч=1
Ьа, n£{2k-l | ft^N};
(а„, n£N\{2* | *6N};
" k, «€{2* | k£ti.
VI 1.4.4. Для x £ R доказать равенство
oo
VII.4.5. Предположим, что N= U Ak, где A^ f) Л/= 0, кф]%
oo
Дь ~ N, й £ N, / £ N. Пусть £ ял — абсолютно сходящийся ряд.
134

Доказать, что
ОО 00 / \
£ д* = £ ( £ aJ.
VI 1.4.6*. Теорема Римана. Пусть ряд £ я* сходится условно
и s£ R (J {—оо, +оо}. Доказать, что существует такая
перестановка [т (k) i k ;> 1} множества N, что ряд
00
£ ат(Ь (*)
сходится к s. Доказать также существование перестановки, для
которой частичные суммы ряда (*) ограничены, но не имеют предела.
оо
VI 1.4.7. Ряд £ On обладает свойством! для любой перестановки
00
{т (k) I k > 1} множества N ряд £ ат(^ сходится. Доказать, что
исходный ряд сходится абсолютно.
оо
VII.4.8. Пусть £ ап — расходящийся ряд с положительными чле-
нами такими, что ап -> 0, п -> оо. Доказать, что для любого s £ R
существует последовательность чисел е„, /г > 1, таких, что каждое
гп = 1 или е„ = —1, и таких, что
оо
£ enan = s.
VI 1.4.9. Доказать, что произведение по Коши ряда
£ (- Dn+1 -$*•
на себя есть расходящийся ряд.
VI 1.4.10. Пусть для п^ 0 sni sn — частичные суммы рядов
оо оо
£ ап> £ а" (*)
соответственно, a sn — частичная сумма ряда-произведения этих
рядов по Коши
£ ( £ akdn-Л (**)
Доказать, что для п ^ О справедливо равенство
s0 + «1 + • • * + «n = SOS" + slSi-l + ' ■ • + SnSo-
С помощью результатов задач II. 1.29, II. 1.44 установить теорему
Абеля- если ряды (*) и (**) сходятся к суммам s\ s" и s еоответст-
135

венно, то s = s' • s".
оо
—р сходится абсолютно для каждого
х б R. Доказать равенство
я(* + #)=а(*)я(#)
для любых {х, у) с R. С помощью этого равенства проверить, что
а(п) = с\ n£ti; а(— 1) = с~1, а(0) — 1;
«И = <Л rGQ, где с = а(1)>0.
Доказать, что а £ С (R) и справедливо представление
а (а:) = сх, х£ R.
VII.4.12. Пусть | х | < 1 и ряд
оо
1=0
сходится. Положим s„ = Оо + «! + ... + ап> п > 0. Доказать, что
§ 5. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
VI 1.5.1. Найти значения следующих произведений!
1) П(1+*2П), *<Е(-1, 1);
2) П(» + Т?^г)!
я—2 V '
оо
3) П^ + Тг). г*е fli-L Ин-1-(л+1)(1+£д, и>1.
VI 1.6.2. Исследовать сходимость следующих произведений!
1} П(1- т(п)^п~{)), где (т(л) "> 1}-строго возра-
стающая последовательность натуральных чисел;
2) П яЛ, где an, n^l, — числа, удовлетворяющие неравенствам
at>0, 1^а„<-521_, а>2;
136

3) П ап, где числа anf n^ 1, q некоторым а>0 удовлетворяют
««I
неравенствам
4) П"/а", а>0;
op t
Б) Пуа, а>0.
/t*i
VI 1.5.3. Исследовать сходимость следующих произведений:
1) п(И--зг), «>0;
2) П0+*11), *€(—1, О;
/i=.i
3) ПО+*-"'*), *><>;
/г—1
4) TlVn\
6) П^ТГ,
/*-1
7) fl(nsin-i-)a( a>0;
8) n(nln(l + 4"))e. «>0?
л;
9) П—~, *>0;
*=" !+ТГ
Ш) Д(/1(*" — ПЛ а>0;
137

11) П (1 +ап), где положительные числа ап, а>1, такие, что
1 1
ап+\ ап
12) п tg (-J- + JL);
= 0(1), л-^оо;
131 П J
n+1
x2d*
*-■ - -+*1
VI 1.5.4. Пусть числа a„, я ]> 1, положительны и таковы, что
с»
2 J In ап | < + оо
п=\
Доказать, что произведение П ап не зависит от порядка сомножи*
тел ей.

ГлаваУЩ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
РЯДЫ
§ 1. РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИЕСЯ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ
VIII. 1.1. Доказать, что последовательность функций
{A$x*+fn(x) : л>1}
сходится равномерно на множестве В {В cz А) к функции / s В -> R
тогда и только тогда, когда
dn: = sup{\fn(x)-f(x)\ | х£В}-+0, п-+оо.
Заметим, что dn ^ + оо, п ^ 1.
V111.1.2. Исследовать на поточечную и равномерную на множестве
В а А сходимости последовательность функций
{A^x^fn(x) : я> 1}, где
1) Л = £ = [0, 1]; fn{x)=x\ x£[0, 1], /i>L-
2) А - В - [0, 1];
/«W -
1, л: = —,
|о, «ею, i]\{-J-}. п>1-
3) Пример 1) для множества Ва = [0, а], а £ [0, 1) — фиксировано.
4) Пример 2) для множества Ва = [а, 1], а £ (0, 1] — фиксировано.
Б) Л = В = [О, + оо),
11, дс>/г, я>1.
6) Пример 5) для множества Вс = [0, с], е >0 — фиксировано.
7) Л = £=R; /л(^) = (п2 + ;с2Г1, *£R, л> 1.
8) Л = 5 = [0, 1); /я(*) =, 2/u(I + /г2*2)""1, х £Л, п> 1.
9) Пример 8) для множества 8а = [а, 1], а£(0, 1]— фиксировано.
10)4^B = R; /я(*)вец>(— (х-я)2), x£R, п>1.
И) Пример 10) для множества В0 = [0, с], <з>0 —фиксировано.
12) А==В = [0, 1]; /„(*) = (! + (n* — I)2)""1, *£Л, /i>l.
139

13) Л- В = [О, 1J; fn(x) = х2(х2 + (пх — I)2)-1, х£А, п > 1.
И) А-В- [О, + оо); /„(х) = (1 -х") (1 + хпГ\ х£А, п>1.
15) Пример 14) для множества В = [О, 1].
16) Л =В = [0, 1]; fn(x) = xn(\ — х), х£А, я>1.
17) А = S = [О, 1]; /;п(д;) = л: —х", х^Л, л>1.
18) Л = 5 = [О, 1J; fn(X) = (x-±-J, Х£А, я>1.
19) Л = R; /„(х) = sin2nx, х£А, п~^\ для множеств В, == [0. 2я|,
fl.-[°.T-]-
20) Л = [О, 1]; /„(*) = (1 + Jfn)"1, *€Д я> 1 для множеств Вг =
= [0, 1], 52=[0, -J-].
21) Л = В = [0, I]; fn(x) = nxn(l—x), x£A, л>1.
22) Л = 5 = [0, I]; f„(jc) = /z¥(l-x)4, х£Л, л> 1.
23)Л = В = [0, 1]; fn(x) = nx2(l+nxr\ x£At л>1.
24) Л = В=[0, 1J; М*)вл8*(1+л4*Г\ х£Л, п>1.
25) А = В = [а, +оо), а>0; /„(*) = п*х{\ + я4*2)"1, х^Л, я>1.
26) Л = В = [О, 4
//г (*) = COS" ДС (1 — COS"*), X £ Л, /2 > 1.
27) Л = R; /„ (#) = cos * • sin2n я, л; б Л, п ^ 1 для множеств В2
- R, В2 = fo, -f
VIII. 1.3. Исследовать на равномерную на множестве R сходи*
мость последовательность
JM*)- arctg х2^8 . *€R ! /г>1}-
VIII. 1.4. Определить поточечный на R предел последовательности
{/„(*) = "ln(l +4"). *£R ' я>1|.
Будет ли сходимость к пределу равномерной на множестве R? [—а, а],
а>0?
VII 1.1.5. Определить поточечный на (0, + оо) предел
последовательности
{/„ (х) = п In
\ + пх
, *>0 ! я> 1}.
Будет ли сходимость к пределу равномерной на (0, + оо)?
140

VI11.1.6. Найти поточечный на R предел последовательности
(м*>- Vl + x2n> *£* • п>1)-
Будет ли сходимость равномерной на оси?
VII 1.1.7. Определить поточечный предел и доказать равномерную
на R сходимость последовательности
{fn(x)=V2n + \x\\ x£R : я>1}.
VIII. 1.8. Исследовать на равномерную на R сходимость
последовательность
fn (х) = п (sin (х + —) — sin я), #£R : n>ll.
VI11.1.9. Исследовать на равномерную на множестве А
сходимость поеледовател ьность
(М*)-«((| + т)в-')' х>0 ' п>Х)
для А = [0, + оо), А = [0,1].
VI 11.1.10. Определить поточечный на R предел
последовательности ,
{/„(*)« п sin V 4я 2п* + х\ x£R : п>1}.
Будет ли сходимость равномерной на [0, а], а > 0? на R?
VII 1.1.11. Для m £ N пусть Нт — множество всех многочленов
степени, не большей /л, рассматриваемых на [a, ft]. Функция / есть
поточечный предел последовательности {fn : п ^ 1} с: #т.
Доказать, что f £ Ят. Доказать также, что сходимость' к / равномерна
на [a, ft].
VII 1.1.12. Доказать, что равномерный на оси предел
последовательности многочленов есть многочлен.
VIII. 1.13. Пусть fn -> f% gn ->■ g, n -v оо, поточечно на множестве
А. Доказать, что fn + gn -> f + g, fngn-+fg, n -> оо, поточечно
на Л.
VIII.1.14. Пусть fn^ff gn-+g, n-^oo, равномерно на
множестве Л. Доказать, что fn + g„ -> f + g, я -> оо, равномерно на
А. Сходится ли равномерно на А последовательность {fngn : п Г> 1}?
VIII.1.15. Пусть fn-+f> ёп~*£> п-*оо, равномерно на
множестве А и
3C6R Мх$А : l/WKC UW|<C.
Доказать, что fngn-+fg, n -> оо, равномерно на Л. В частности,
fng-* fg, п-+ оо, равномерно на Л.
VIII. 1.16. Пусть последовательности [а^ : я > 1} с= R и {/„ (#),
* £ Л « /г ^ 1} удовлетворяют следующим условиям:
1) «n->a^R, n->-oo;
2) ™P\L(x)-fn(x)\^\am-anl (m, n}czN.
Доказать, что [fn : n > 1} сходится равномерно на Л.
141

VIII.l .17. При каждом п ^ 1 функция /„ « R ->■ R равномерно
непрерывна на R и frt -► /, п -> оо, равномерно на R. Доказать, что
/ равномерно непрерывна на R.
VII 1.1.18. Для функции / ! R -> R существует /' на R и /'
равномерно непрерывна на R. Доказать, что
n(f(x+ir)-flx))-*f'{x)' n~>0°' *6R'
равномерно на R.
VIII.1Л9*. Пусть {/„ ! п ^f 1} с: С ([а, &]) и для некоторого k £ N
и всех м € N существует /£° на (а, 6), причем
3C€R Vai>1 V*€(a,&) s \ff (x)\^L.
Предположим, что fn -* /, я -> оо, поточечно на [a, b].
Доказать, что fn -* /, n -*- оо, равномерно на [a, 6].
VIII.1.20. Для /б С ([a, ft]) пусть
fn(x^^U(^ + JLTLx)du^ *€[*,*]; ">!•
Доказать, что fn-+ f, n-+ оо, равномерно на [a, 6].
§ 2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА
VI11.2,1. Определить множество А (А с R) поточечной
сходимости функционального ряда
оо оо
1) £ 1пп(* + 2), х> — 2; 2) 2(1— х)хп;
м=0
1
3) £ {\—х2)хп\ 4) £ 3"sin я
б) J] пхег»*\ 6) J Кг + —
a=l гс=0 \
00 ОО
1=1 °* /г=0
(х + If (х + 2)"; 10) J -IT" —7—J ;
1=0 - м=1 Ч '
И) S '"'J *т; 12) J sin"x;
13) £ /г2 sin" *; 14) £ (— 1)" — sin" (х2 — -£Л ;
/1=1 М=1 П \ ° /
142

15) f an(x), где а„(х) = 0 при x<n и a„ (*)=(— l)" при
*>n для каждого я^г,
16) S в*'*). где М*) = -^г ПРИ И<" и ^(«)--згпри |*|>
> л для каждого п ^ 1;
19) £ ТТ^+г; 20> S '
">Ы^ *%-4
*» '
2" + У . " ""-'
21) 5 i2+3v; 22) § a-x"Hi-^):
23) Ё-^1 24) ][>-£-;
iS I —ДГ n=l *
26) S (-^M*; 26) f^'"», *>0;
оо
27) £
£, (1+х)(1+*•)(!+*«)... (1+*") •
оо
28) S sin2(2jc/n2 + x2);
rz=sO
оо
29) S (4-arctg(n«(H-*»))).
00
VIII.2.2. Ряд 2 яп Wt * € А, сходится равномерно на множестве
А. Доказать, что
1) sup | ап (х) | -> 0, я->оо;
2) sup
2п
О, Я—>- ОО.
VII 1.2.3. Пусть при каждом п > 1 а* есть многочлен. Описать
все ряды £ я* (*). * £ R» сходящиеся равномерно на R.
VII 1.2.4. Пусть ряд
оо
2 я, (ж), x£A,
(*)
143

сходится равномерно на Л, a f ! Л -> R — фуйкция, ограниченная
на А. Доказать, что ряд
оо
Б (f(x)an(x)), x£A, (**)
сходится равномерно на А. Привести пример, показывающий, что
условие ограниченности функции / существенно. При каком условии
на функцию / из равномерной на А сходимости ряда (**) следует
равномерная на А сходимость ряда (*)?
VII 1.2.5. Последовательность функций {с^, (х), х £ А \ п ^ 1}
удовлетворяет следующим условиям:
(ОУх^Л \/я>1 1 an(*)>0;
(ii) V х £ А V п > 1 : ап (х) > ап+\ {х)\
(iii) sup | ап (х) | ->■ 0, п -*• оо.
00
Доказать, что ряд £ (—1)" ап (х) сходится равномерно на Л.
VII 1.2.6. Доказать равномерную на R сходимость ряда
*) L п + х* •
2) h Vn+*+* ■
8) V J7 0я
Я К* +cosx
оо
VIII.2.7. Ряд 2 fl£(x). *£Л, сходится на Л, причем
Пааг!
{j,^)'
sup 2j а„(л;)1< + оо,
а числа {cn i я > 1} таковы, что ряд £ 4» сходится.. Доказать,
что ряд
оо
S спап(х), л:б Л,
сходится равномерно на А.
VII 1.2.8. Определить множество Л точек сходимости
произведения
1) П (1 + 2**-х\ 2) П(1 +2" sin2"*).
144

VI11.2.9. Исследовать на равномерную на множестве А
сходимость
1) ряд 15) задачи VIII.2.1. для множеств А = [—с, с], с > 0; А = R;
2) ряд 16) задачи VIII.2.1. для множеств А = [—с, с], с > 0; А = R;
сю
8) Е хп для множеств Л = [0, с], 6*6(0, 1); Л = [0, 1);
4) ряд 2) задачи УШ.2.1.для Л = [0, 1];
со
б) ряд 2 С — *)2*" Для Л = [0, 1];
гс=0
6) ряд 23) задачи VIII.2.1. для Л = (1, + <*>); Л = [2, + оо).
VII 1.2.10. Определить множество Л точек сходимости, множества
В точек абсолютной сходимости функционального ряда. Является ли
сходимость равномерной на множестве D?
1) £(-1Гн4-2-',а-я, 0-[1,2];
2) J 4-2"(3*-1Г, Л-[х'4-1»
3) £ (- 1)"+' -j-^-*1-*-*» + 3""-2»), D _ [0, l]j
№1
VI11.2.11. Доказать равномерную на множестве Л сходимость
ряда
MsasJ
2) Esin-^-, Л = [-е, с], о>0;
/l»2
8) Sln-2^1, 4-1-е, с], c>0;
— Я2
») S ""t"' , Л-12,+«с.
1=1 ^
ОО
7) j я*Л-"Ч*1, Л = R;
Ок>0
145

S) S i + n*x* ' A==R'
n=()
9) S^O-xT-1, A = [-l, 1];
П=1
W) Sarctg^s-, 4 = R;
П) |o(-l)n1^Tr, *-[-«.*], *>0;
12) f* , *cosn* 4=R;
<x>
13> S^r-V-—, <4 = R;
~, 2" — л sin (/u)
14) S f ln(l +u2)duf Л = [0, 3];
°° У
15) £ l arctg u*du, A = [0,3];
-,=1 j±
n
X
16) S \ sin«2dw, Л = [— 3, 4];
n
00
17) £ e-*i*i sin (a:2 V~n), A = R;
1=1
CO °°
18) 2 ancos(nx), 4 = R, {an i n>l}czR и ряд £ |a„| cxo
ДИТСЯ.
VIII.2.12. Последовательности функций {a„ (*), a: 6 Л s n > 1}
« [bn W. х £ Л i я > 1} таковы, что
l)Vn>l У*£Л ; |a„Wl<bn(4
oo
2) ряд 2 M*) сходится равномерно на А.
00
Доказать, что ряд JJ а„(л:) сходится равномерно на Л.
446

VIII.2.13. Доказать равномерную на [0, +оо) сходимость ряда
оо
VII 1.2.14. Доказать равномерную на множестве А сходимость
ряда
оо
1) £ J~l)\ . х£А = [0, + оо);
~i Vn + x +х
ОО
2) Ц ТТ\ >*£А-& 2л~б1. в6(0, я);
М=1
п + х2
4) J] — sin (njc) arct§ (^я), * £ Л = [б, 2я — 6], б £ (0, я).
гс=1
VII 1.2.15. Предположим, что функции ап \ A ->R bn i A ->• R,
n!> 1, удовлетворяют следующим условиям:
оо
1) ряд 2 |a„+i (х) — ап(х)\ сходится равномерно на Л;
п=\
2) sup | ап (х) | ->> 0, я-^оо;
8) 3*6R V/z>l У*£Л :
ЕМ*)
fc=i
<<?.
Доказать, что ряд J] &п(х)Ьп(х) сходится равномерно на Л. Вывести
п=\
из этого утверждения признак Дирихле равномерной сходимости.
VII 1.2.16. Доказать равномерную на множестве А сходимость
ряда
1) £ (_iyH-i.iL *6Л = [0, 1];
2) £ (_ 1уч.. je|J«Lt x6i4eR:
00
8) Ц (_ l)^1 _L_, х€Л = [а, +оо), а>0;
ГС=»1
4) £ (_ !)-+' _^_
п=\ у п + х2
, *£Л = [0, +оо).
VII 1.2.17. Предположим, что функции ап i A -> R, &„ : Л -> R,
я^ 1, удовлетворяют следующим условиям:
1) функция ах ограничена на Л;
147

2) ряд Е I a*+i (*) — an (x) I сходится поточечно на Л, причем
Пш*\
sup(E \ап+\(х) —ая(х)\)< + оо;
3) ряд Е Ьп (х) сходится равномерно на А.
Доказать, что ряд
00
Е а„(д;)Ьп(д;)
сходится равномерно на множестве А. Вывести из этого
утверждения признак Абеля равномерной сходимости.
VII 1.2.18*. Теорема Дини. Пусть ап : [а, р]-> [0, + °°), ^i б
£ С ([а, PI), я > 1. Предположим, что ряд
00
сходится поточечно на [а, р], причем а £ С ([а, р]). Доказать, что
ряд (*) сходится равномерно на [а, р].
VII 1.2.19. Произведение
оо
П ра(х)=*р(х), *£Л,
сходится равномерно на множестве А (то есть последовательность
положительных на Л функций
т
П рп (х)9 х б А : m > 1
сходится равномерно на Л к р)у причем
Эя>0 \/х£А : /?(*)>a.
Доказать, что
00
2 In/?„(*) = lnp(x), х£Л,
яри этом сходимость ряда равномерна на А.
VII 1.2.20. Пусть ряд
оо
Е Д„ (*) = а (х), х£А,
сходится равномерно на Л и sup | а | < + оо. Тогда произведение
А
П А(*> «*«*>, *6Л,
сходится равномерно на Л.
148

ft 3. СВОЙСТВА СУММЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА
VIII.3.1. Предположим, что функции an6C([0f U), я;>1, и ряд
оо
]£ ап(х) сходится равномерно на множестве |0, 1). Доказать, что ряд
я—1
оо
2 ап(\) сходится.
VI П.3.2. Определить множество А точек сходимости ряда
оо
2 е-™ cos (я*), x£R.
VII 1.3.3. Привести пример ряда, члены которого являются
разрывными функциями, и который равномерно сходится к
непрерывной сумме.
VII 1.3.4. Доказать, что ряд
E-i-ysa., x6R.
n=l
сходится на R и что его сумма есть непрерывная функция на R.
VII 1.3.6. Исследовать на непрерывность на [0, + оо) сумму ряда
£| ((л-1)*+ \)(пх+ 1)
VII 1.3.6. Исследовать на непрерывность на множестве
сходимости ряд
оо
Sxn sin (nx)
п!
оо
VIIK3.7. Доказать, что ряд 5] х"* = : а <лг) сходится поточечно на
(—1,1) и что абС((—1, 1)).
оо
VIII.3.8. Доказать, что функция а(х):= 2 п2пхп определена н
непрерывна в точках интервала ( *•, —) .
оо
VII1.3.9. Доказать, что функция a(x)i — % \пп (х + 1) непрерыв-
на на (— ~ 1, е— 1) .
VII 1.3.10. Определить множество А точек сходимости ряда
Е|*Р^. *6R,
и исследовать сумму ряда на непрерывность на множестве А.
149

VIIh3.ll. Пусть {ап : n>0}czR и ряд £ ап сходится. На-
йти предел
00
lim Л апхП*
VII 1.3.12. Доказать следующие утверждения!
ХГ"*,1~* /1=1 /1=1
**1 М=1 П 1=1
VIII.3.13. Вычислить предел lim((l — х)2 V пл*Ч.
*-i-\ rSi /
VI 11.3.14. Найти предел
lim ((1 — х)т+] S nmxn)t m^N.
VII 1.3.15. Определить множество Л с: R точек сходимости ряда
и доказать, что его сумма непрерывна на Л.
VII 1.3.16. Определить множество Л с R точек сходимости ряда
00 1
Е arctg"—, хФО,
п=0 *
я доказать, что его сумма непрерывна на А.
VIII.3.17. Наборы (а«|п> 1, JV> 1}. {с^ | п > 1}
удовлетворяют условиям
(i)Va^l : ап-+ат Af-^oo;
(ii)Vn>l Vtf>l i |a?|<*m |0»|<6Я;
(iii) S fen< + oo.
1=1
Доказать, что
00 00
lim 2j an = 2j fl«*
#-►00 /l=el /isal
VI11.3.18. Определить множество Л с R всех точек л:, в
которых сходится произведение, и доказать^ что его значение
Р € С (Л),
I) П (1 + *"*)-?(*);
а=0
150

2) П (1 +пх«) = р(ху9
ОО
4» £(' + >-)-'№
VII 1.3.19. Пусть числа яп !> О, я ^ 1, и произведение П(1 + (Q
сходится. Найти предел
оо
lim П (1 + апхп).
О
VIIL3.20. Представить в виде суммы ряда интеграл] f(x)dx, где
а
1) /<*)=£ sin2-^, *6[fl' fc]sl0' 2];
2) /W-S-FFTOTW. *6[а.*1-Ю,11;
п=1
3) /(*)=£ . ^.^L. ^o.^s . л:6[а, 6] = [0, lb
^J (* + V п){х + 1 + У п)(х+2 + у п)
Ответ обосновать.
ое
VIII.3.21. Пусть f(x)= У1 л _l_ г > *6R. Доказать существование
STi * +*
f- на R.
VI11.3.22. Пусть
г/ v V4 cos (/где) ^Гя 11я 1
Доказать существование f на -S-, —;Д- .
VI11.3.23. Пусть
оо
/(*; = £ (-1)"+1 In (l+ -!■), *>0.
n=1 * '
Л=1
Доказать существование /' на [0, + оо). Найти/'(0), /'(1), lim f (x).
151

VIII.3.24. Пусть
oo
/ (*) = 2 (- 1)"+1 t«- arctgr T7-, * € R.
Si Vn Vn
Доказать, что f € С1 (R).
VI 11.3.26. Пусть
Доказать, что / £ С1 (R).
VI11.3.26. Пусть
Доказать, что / € С1 ((— -^-, -^-]].
V Ш.3.27. Определить множество А точек сходимости
функционального ряда и доказать существование производной /' на А суммы
ряда fy если
1) /
2) /
3) /
4) 1
б) /
6) J
7)1
8)
9)
152
Пжж\
ое
w fl,i+«"
'<*=!, Ст'
oo
oo
oo
fW tin •+*" '
хбЛ;
€4
*6Л;
*€^:
*€Л;
*еЛ;
*€<4;
x€A\

П)/(х) = 2 \Гпхпе-2пх\ х£А.
VII 1.3.28. Пусть
оо
Доказать, что / б С ([0, + <*>)), / £ С00 ((0, + оо)) и что f (0) не
существует.
VII 1.3.29. Определить множество А точек сходимости ряда
оо
и доказать, что / б С°° (А).
оо
VIII.3.30. Доказать, что сумма ряда £ Кя 1пЛ (1 -f- х) принадлежит
классуС00^ 1, e-l)),
VIII.3.31. Доказать, что сумма ряда $] п' „ *^ принадлежит
классу С°° ([2, + оо)).
VII 1.3.32» Определить множество А точек сходимости
произведения и доказать существование р* на Л, если
1) П (1 + хп) = /7 <*); 2) П (1 + 2«*) = р(х);
3) Д (1 + М») = р (*)! 4) П. (l + ■£] - р (*);
«£('+ •£■)-'<«•
VII 1.3.33*. Функции «„ s [а, Ь\ -*■ R, п > 1, удовлетворяют
следующим условиям:
l)Vn>l Vxeia.b] ! М*)>0;
2) Vn>l i «„6C([a, ft]).
оо
Доказать, что равномерная на [а, 6] сходимость ряда ]£ ип есть
необходимое и достаточное условие непрерывности его суммы.
153

VIII.3.34. С помощью теоремы о почленном интегрировании функ*
ционального ряда доказать равенство
1) 1п<1 + *) = 2 (-1)п+1-£-. аг6(—1, И;
2)a~=bp = lo(n + [)xn' *€(-1' 1);
t 4. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
VII 1.4.1. Лемма Абеля. Пусть числа {ап i я > 0} с R и х0 ф 0
таковы, что
3L>0 3a>0 Vn>l t |а„4|<ЬЛ
оо
Доказать, что для любого х£(—|л:0|, \х0\) ряд 2 апа:п сходится аб-
солютно.
VII 1.4.2. Определить радиус сходимости степенного ряда
00 ОО
1) £ ""*"'» 2) 2 2"V;
3) £ ni^n; 4) £ -Й-;
^-
7) £ хп; 8) £ «*"'.
гг=0 л=1
") I *•*•; 12) £ ° . Л
13) Sf 2 + ("1il, T^ 14) £ 2"
15) £ 2V'j 16) £ 2"V;
п=0 i»0
00 00
17)2*"*; 18)2 (2 + (-1)Т-£-|
154
л

2I)X M + 7 A 22) S *n(CZn)-Xx\
VI11.4.3. Определить множество точек сходимости на R ряда
оо оо / \2/1г
3) £2"(* + 1>"'; 4) Sarctg"^-;
>7=0 П=1
•>|irr(-!sfi-)'i «!^*"<1-*л
w оо
7) £КЯ(1б*)п{ 8) J -&£.<*_ if.
ОО
VIII.4.4. Ряд S anxn имеет радиус сходимости г. Доказать, что
радиус сходимости каждого из рядов
оо оо
П=*\ n=0
ОО ОО
гс=0 "• п=1
также равен г. Пусть 0 < г < + оо, определить радиус сходимости
ряда
1) £ 2Vt 2) J -J-*";
оо оо
3) J лЧ*"; 4) 2 -2а. *";
б) £ а**\
VII 1.4.5. Ряды 2] anxnf £ 6пд:л имеют радиусы сходимости rt и
/t=0 n=0
гg соответственно, гхфг%. Доказать, что ряд
155

имеет радиус сходимости г = min (rlf г2). Что можно утверждать о
радиусе сходимости последнего ряда при гг = га?
оь ОО
VII 1.4.6*. Ряды £ an*r\ £ Ьпхп имеют радиусы сходимости гги г2.
п—0 п-эО
оо
Доказать, что ряд ]£ a,,^*" имеет радиус сходимости г > г1 • г2.
1=0
оо
VII 1.4.7. Определить радиус сходимости ряда £ я**"?
если
1) 3L>0 3a€R i |'a„na|->L, я->оо;
2) 3L>0 3«>0 ! |a„an|-*L, az-^oo;
3) 3L>0 3a>0 : \ajz^"\-+L, n-*oo;
4) 3£>0 i |a„rt!|->L, я->оо;
6)3L>0 . |-2a
/г'
L, A2~v oo.
VI11.4.8. Определить множество А точек сходимости и множество
В точек абсолютной сходимости ряда. Сходится ли равномерно на
множестве С ряд
оо
J) 2 4"> С = [-1,0];
2) £-f(3*-i)\ с-[4-. -}-)*
3)2(-i)n+,j^, с=л.
VII 1.4.9. Определить радиуо сходимости в С степенного ряда
п V Л±012».
' к п(п+1)
ОО
3> 2 Т"(1 + е'°)п (2 — е'а)"' а € R*
Пяб1
156

VIII.4.10. Пусть £ апхп = f (x) — степенной ряд с суммой f и раДИ-
усом сходимости г > 0. Разложить в степенной ряд функцию
1) fo* на (—г, г);
х
2) (_/-, r)}xt+U(u)dui
X
3) (—г, г)Эдс*4" I /(M)d";
X
4) (—У7, /г)Э*»-$/(и*)Л«
о
б) (—г, г)Э*«>(1—х)/ х);
6) (_г, г)Э*н-^-(/(—*)+ /(*));
оо
8) (—г,г)3дси.2 /(-И, й0 = 0;
гг=1
9) (—г, г)Э*^/2(*).
VII 1.4.11. Описать все степенные ряды, которые равномерно
сходятся на R.
VII 1.4.12. Определить радиус г сходимости и сумму ряда
_ш- 2)Л(*) = 1(2^г1)т;
оо
8)/М = 2-Й"-
VII 1.4.13. Найти сумму ряда
1=0 м=0 м=0
П2 + ЗП + 1 . сч V 1
4) J "а + 3Г+1 ; 5) £
nf » ~' ^J (2л)1
VI11.4.14. Определить множество точек сходимости ряда
и найти его сумму а.
x\-4r+JTT- •'•+<- ^ i^fL+---.^R.
157

VIII.4.15. Определить радиус г сходимости ряда
угп-\-\
2j 1 .з«
м=0
1 -3« 5...(2Л+1)
и для его суммы / доказать следующие соотношения!
1) f'(x)=l+xf(x)9 x£(—r9 г);
х2 х иг
2) f(x) = e2 \е 2 да, х£(—г, г).
О
оо
(3п)[ = / (х) сходится на R*
Доказать, что
Г(х) + Г(х) + Нх)~*9 X6R.
С учетом равенств / (0) = 1, f (0) = 0 доказать, что
f(x) = -L (ех + 2е~Т cos-^-x], x£R.
VI11.4.17. Представить в виде суммы ряда значение интеграла
1
£ ex*dx.
о
VII 1.4.18. Доказать соотношение
1 оо
l**dx-% £ { , a£R.
VIII.4.19. Пусть ao6R([0,ll) и
X
ап (х) = J ап-\ (и) duy х G [0, 1 J; n > 1.
о
Доказать, что ряд
оо
X ап(х) = а(х), х610, 1J,
гс=0
сходится на [0, 1] и его сумма а удовлетворяет неравенству
|a(*)|<Le*f x6[0, 1],
где L = sup |a0|.
[0,1]
VI11.4.20. Предположим, что о^ > 0, я > 0, ряд
158

сходится на интервале (—г, г), г > 0, и существует предел
lim а (х),
оо
Доказать сходимость ряда £ аг/п-
VII 1.4.21*. Теорема Таубера. Предположим, что пап -»- 0, п -> оо,
ряд
оо
2 Ял*" = ^М
сходится на интервале (—1, 1) и существует предел
lim а (х) — s.
Доказать, что 2 ап — s.
гс=0
VII 1.4.22. Пусть {а„, 6пш> 1}сС и каждый из рядов
OV ОО
п=0 а=0
сходится в круге радиуса, большего 1. Доказать равенство Парсе-
валя
оо 2Л
2aA = 4rJ f(^)S(e-w)dQ,
/1=0 0
в частности,
2Л
т=П 0
§ 5. РЯД ТЕЙЛОРА
tVI 11,5.1. Ряды Тейлора функций / и g относительно точки О
<Х> ОО
П=0 f!=0
сходятся на интервале (—г, г), г > 0. Найти ряд Тейлора функции
1) f + gi 2) f — g; 3) (-г, r)lx*(l + x)f(x);
4) (-VT, Vbbxt+H*); 5) /';
6) (—г, г)Э^ь>] f(u)du\
о
159

7) (—г, г)Э*»►/*(*) =
/(*)
, хфО,
[f'(0), х=0, f(0) = 0;
х
8) (-г, г)Э*»-{-Ш-<*ы, П0) = 0;
О
9) (-г, г)^^-^^*^-*^
Ю) (-г, г)Эх» -L (/(*)_/(_*)).
Какова особенность ряда Тейлора четной (нечетной) на (—г, г)
функции /?
VII 1.5.2. Разложить в ряд Тейлора относительно точки 0
функцию
1) sh; 2) ch; 3) R^^sinx3; 4) RЭх***sin3*;
5) (—1, 1)Э*н*1п(1 + *2);
6) (_i,i)3*b>-lin4^-;
7) (—1, 1)Э***1п(1 +х + х*);
10) (— 1, 1)Эх^
h>
i
1 — 5x + 6x8 f
1 —x '
VI11.5.3. Для /z£N вычислить предел
!) iim_i^(j!i£LY
«*o it" \ *2 /
n j е*-1-х \
2) Hm „
jc-o dxr
3> ss-S-H'VH-
VI11.5.4. Разложить в степенной ряд по степеням х функцию
1) / (х) a sin х cos Зх$ х £ R;
2) / (х) = sine х + cose xt x£ R;
3) / (х) = £ и2 cos4 wdw, * £ R;
о
х
4) f(x)-=J«»4to, x£R;
160

5) fW- ,_,)(i+Jt., ■ *€(-1. 1):
6) П*) = 1п(1+*). -f^b-, *€(—1, 1).
VI11.5.5. Разложить в ряд Тейлора относительно точки 0
функцию
1) f(X)= jKl +иЧи, *€(■—I, П:
2) /(*) = ln(* + Kl + *2), ж€(—1.Ч);
3) /(*) = *arctgA; ^-ln(l+*a), лг G (— 1, 1):
4) f(x) = xarcsinx + V\ — х2, х£(—1, 1);
Xs X иг
6) f(x) =e2 [e 2 d«, *£ R.
о
VII 1.5.6. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки 1
функцию
1) /(*)-(*+1)е«, *€R;
2) /(*)= 4"' *^0:
3) /(*) = -^i_, *=^0;
4) /(*) = -i^-' *>0;
6) f(x)=-jc(lnx— 1), *>0;
6) /(*)= JSiL, *^0;
Л
7) /(*) = J 4-^ *>0*
VI11.5.7. Представить в виде суммы числового ряда значение
интеграла
1Ч С sin* ,
О
1
2) J л* (1 + x*)mdx4 p > О, m > 0% дг > 0.
6 7-Ю47 161

Глава
К
ФУНКЦИИ
ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ
И ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА.
Дополнительные задачи
к главам V —IX
§ 1. функции
ограниченной вариации
IX. 1.1 Доказать, что
V(U [а. *])-0 о Vx$[a, b] i f(x)=*f(a).
IX. 1.2. Доказать, что
У if, [a* b]) = f(b)-f(a) <=> /
монотонно не убывает на [а, Й.
IX. 1.3. Функция / i [а, b] -> R для некоторого разбиения X* =«
= {/о, <it -.-, £} отрезка [а, 6] обладает следующим свойством! для
каждого отрезка Ul9 /ft+iloHa монотонна на этом отрезке, k = 0, 1, ...
..., п — 1. Доказать, что / имеет ограниченную вариацию и
W, [a, 6])-S 1/Й+1)-/(й)|.
IX. 1.4. Определить К (/, [а, &]), если
1) / (х) — sin *, л; С [а, &] — [0, 2я];
2) / (*) = | sin х |, а; 6 [а, &] =» [0, 10nJ;
l-*-l, *€f-l. 0];
i x-x\ x£(0, 1],
а = — 1, b = 1;
(0, x = 0;
(l, *€f-l. 1]\{0}, e--l, ft-1;
f 0, x = 0;
б) /(*)- 1-х, jc€(0, 1);
I 2, x=l, a = 0, b=l;
fx-l, x£[0, 1);
t Д xg(I, 2], a = 0, 6 = 2.
3) f(*)'
4) f(x)
6) /(*) =
162

IX. 1.5. Доказать, что функция f \ [О, 1]->R не имеет
ограниченной вариации на [0, 1]:
Г
1) /(*>= 1
2) f(x) =
fl.
х = 0;
х€(0, I];
x£Q;
о, «eR\Q;
3)/(0) = 0; f(^rr)-0. f(-i-)—i-' *f№
/ — линейна на каждом из отрезков
. . 1 I..
2k
2k
zrrj' *£N;
4) f(x)~ \
5) f(x) =
IX.1.
/(*) =
. 2A + 1 • 2k
[0, * = 0;
|sin -2-, д: 6(0, 1];
(0, * = 0;
[д: sign (sin-2-j, Jf € (0, 1].
IX. 1.6*. Пусть
\**sitt-J. *€(0, U;
0, * = 0;p>0.
Доказать, что V (Д [0, 1]) < + oo для a > p и
V{f, [0, lj) = + oo для a<p.
IX. 1.7. Пусть / б BV ([a, ft]), g (*) = Л / (jc) + В, х£ la, Ы
Проверить, что
V(g, [a. b]) = \A\V(f, la, ft]).
IX.1.8. Пусть / £ BV (la, b]), <p: [a, p]-> la, b], причем qp£
£ С ([a, p]), ф монотонно не убывает и ф (a) = а, ф (Р) = ft. Дока
»ать, что
V(/, la, b]) = V(f«p), |o, p])
IX. 1.9. Доказать, что
f€BV([a, ft]) => |/|€BV(|o, ft]).
IX. 1.10. Пусть / 6 С (fa, ft]), доказать, что
|/|€BV([a, ft]) =$> /€BV((a, ft]).
Привести пример, показывающий, что условие непрерывности нель-
»я опустить.
6* 163

IX. 1.11. Функция / £ С ([а, Ы), имеет f на [щ Ь\ исключая
конечное число точек, и /' £ R ([а, Ь1). Доказать, что / £ BV ([а, &]) и
У(/, I*. *1) — i IГ <^) I
а
IX. 1.12. Пусть ф£ R(la, 6]) и
/ (х) г = ] ф (и) du, х 6 [а, Ь].
Доказать, что / 6 BV (la, b\) и
У(/, la, ft]) = Jk(«)|dB.
a
IX. 1.13. Пусть Р — многочлен. Доказать, что для любого от»
резка [а, 6] /> £ BV ([a, ft]).
-—IX. 1.14. Исследовать сходимость ряда
■>sT
(- О"4*'
/t=i
(sin, [0, tin]) '
*>£
n—1
3) f (V(sinj/"*, [n, n+lj))3;
4) f (I/(sin**, [0, n]))"1;
n—I
5) J] -Jj-K(*sina*, [0, яя]).
IX. 1.15. Пусть / e BV (la, 61). Доказать, что f € R (la. *0-
IX. 1.16*. Доказать, что
1) Vag(0, 1) : LiPa([0, 1]) Л BVI(0, l])#0;
2) 3/6C([0, l])nBV([0, I]) V«€(0, 1) : f?LIPa(0, 1]).
IX. 1.17. Пусть {/, g) cr BV ([a, ft]). Доказать, что
1) Vc^R i V(c/, (a, 6]) = |c|V(/, [a, ft]);
2) K(/ + *, fa, ft])<V(/, [a,b)) + V{g, \a, b]);
3) К(|f|, fa, 6])<V(/, [a, ft]);
4) V(fg, la, b])^V(f, [a, ft])sup |g|+sup |/|K(g, [a, ft]);
[a, 6] [a, 6]
8) W-f , [a, ft])<i(V(/, fa, ft])sup|g| + sup|nV(g, la, ft])),
164

+ V(/. №. 1]), n€N.
если дополнительно
3а>0 Vx£[at ft] i /(*)><*.
IX. 1.18. Пусть {/, g} cz BV ([a, ft]),
A (x) i = max (/ (x)t g (*)), x £ [at b].
Доказать, что h £ BV ([a, b]).
1Х.1Л9. Доказать, что суперпозиция функций ограниченной
вариации не обязательно есть функция ограниченной вариации.
IX. 1.20. Пусть ft [a, + оо) -> R, Vft > a \ f g BV ([a, b]) и
пусть
V(f% [a, +oo)):= lim K(/, [a, ft])< + oo.
Доказать, что неравенство V (/, [a, +oo)) < +oo влечет
существование конечного предела
lim f(x).
IX.1.21. Для функции /gBV([0> 11) доказать неравенство
IX. 1.22. Для / б BV (fa, Ь\) пусть g (a) i = 0 и
X
Доказать, что g € BV ([a, 61).
IX. 1.23. Пусть /£ BV ([a, ft]) П С ([a, b]). Доказать, что / можно
представить в виде разности двух непрерывных и монотонно
неубывающих на отрезке [a, b] функций.
IX. 1.24. Для функции f £ BV ([a, b]) пусть
F (а) 1 = 0; F (x) i = 1/ (/, [а, *]), л: 6 (а, ft].
Определить функцию F, если
1) /W = U|, а=-1, ft - 1;
2) / (х) = sin х, а = 0, b = 2д;
3) / (л:) = | sin х |, а = 0, ft = 2л;
4) /(*) = *-[*], а = 0, ft = 3;
б) /(*) = *_jc2, а = —1, ft= 1.
IX. 1.25. Представить в виде разности монотонно неубывающих
функций
1) i(x) = x\ х€Г— 1, 11;
165

2) /(*)-*• —|x|, лгеГ— 1. 1]:
3) f(x) =cos*, x£[0, 2nJ.
IX. 1.26. Пусть ft&ila, Ь\). Доказать, что
-SrVif* Га. *D = !/'(*) I, *€[а.Ы.
I 2. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
IX.2.1. Определить нижний и верхний интегралы Стилтьеса
функции f относительно монотонно неубывающей функции а, если
„ I. 4 М' *6[—1, 0]; ГО, лг€[—1, 0];
1И(ДС)=1 1, .€(0,1], ««-{I, ,6(0,ll;
2>/w- {0;
1, ^е(0, П Л Q;
.€[0, 1]\Q;
3) /<*) = *, <x(*) = xa, *£[0, 1].
IX.2.2. Пусть {/,g} cz RS (а, (а, 6]). Доказать, что каждая из
функций cf (с 6 R), / + g, fg, | /1 также принадлежит классу
RS(a, la, b]).
IX.2.3. Функция a монотонно не убывает на la, b]. Доказать, что
J /da = 0)
IV/6C([a,&]) , ] /da = 0l o a(6) = a(ft).
IX.2.4. Пусть / 6 С ([a, &]), a монотонно не убывает на la, b].
Доказать, что
ь
ЗвОа, Ь] i Jfda-f(e)(a(b) — a (a)).
a
IX.2.5. Функция а монотонно не убывает на [0, л] и
я
\ sin xda (x) = а (л) — a (0).
Доказать, что
|сс(0), хф, -5-);
IX.2.6. Функция а монотонно не убывает на [0, 2] и такова, что
2
V/gC([0, 2]) 5 J/(x)£fa(x) = /(l).
о
166

Доказать, что
ja<0),
а{Х)= («(2),
а(0), л: efO, 1)|
*€0, 2],
причем а (2) — а (0) = 1.
IX.2.7. Функция а монотонно не убывает на [0, 1] и такова, что
1
V/(=C([0, 1]) . J/(*)da(x) = /(0)+2/(l).
о
Доказать, что
(а(0), *=0;
a(x)= a(0) + l, x€(0f l);
(a(0) + 2, *=!.
IX.2.8. Функция a монотонно не убывает на [0, Пи такова, что
для некоторого п £ N
1 * / \
Vf(=C([0, 1]) : J/<*)**(*)- 4"S /(-J-)-
Определить вид функции а.
IX.2.9. Определить монотонно неубывающую на [0, 1] функцию
а, для которой
[x(\—x)da(x) = 0,
S
о
IX.2.10. Функция / 6 С ([а, ft]) такова, что для любой монотонно
неубывающей на [а, ft] функции а справедливо равенство
ь
\ f (x) da (х) = a(ft) — a (a).
а
Найти функцию /.
IX.2.11. Пусть / 6 С ([я, ft]), a € С ([а, ft]) и монотонно не убывает
на отрезке [а, 6]. Положим
л
/?(*): = J f(u)da(u), х£[а, ft].
Доказать, что F 6 С ([a, ft]) fl BV (la, ft]).
IX.2.12. Если последовательность \fn :n!> 1} с С ([a, ft]) сходится
равномерно на [a, ft] к функции /, то
ь ь
lim [fn(x)da(x)=[f(x)da(x),
где а — монотонно неубывающая на [a, ft] функция.
167

IX.2.13. Пусть а — монотонно неубывающая на [0, 1] функция.
Вычислить предел
i
1) lim \ xnda(x)\
n+oog
1
2) lim J (xn +2-»*) da (х).
П-+оо q
IX.2.14. Определить монотонно неубывающую на [0, 2] функцию
а, для которой
2
V/(EC([0, 2]) : lf(x)da(x) = f(0) + [f(x)dx.
IX.2.15. Определить монотонно неубывающую на [о, Ь] функцию
а, Для которой
ь
V/eC([a, Ь]) : §f(x)da(x) = 0.
а
IX.2.16. Определить монотонно неубывающую на [a, b\
функцию а, для которой
b
Vn£N U {0} : J*"daU) = 0.
а
IX.2Л7. Определить монотонно неубывающую на [0, 1] функцию
а, для которой
i
о
IX.2.18. Пусть {/, ф}€С ([а, 61), <р (х) > 0, * £ [a, ft], и а —
монотонно неубывающая на [я, Ь] функция. Положим
X
P(*J: = J ф (в) da (и), *€la, Н
a
Доказать, что функция р монотонно не убывает на [а, 6] и
выполняется равенство
ь ь
J/(jt)dP(*)= J/(*)q>(*)da(*).
a a
IX.2.19. Вычислить интеграл f / (х) da (х) в следующих случаях!
о
1) /(*)== *,"«(*) = Sin*, *£[(), -Lj;
2) /(*) = *, aw = |4 *€[—1, 1];
168

3) f(x) = x, x> 1; a(x) = ny x£(n—\> n\9 я> 1; a= 1, b = N £N
4) f до » a:2, *>0; a (a:) = (— 1)", x£ [n,n + 1), n > 0; a = 0,6 = N g N
6) f(x) = x*, *>0; a (x) = *2a U), где a —функция из примера 4)
a - 0, & - N;
6) fW»l+x, a (x) = х2 sign (sin nx), xgR; a = 0, b = 2N9 WgN.
§ 3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛАВАМ V—IX
IX.3.1. Пусть для хе R \ {0}
/ (*) = sin —, g(x) = h (x) = sin2 —
и f (0) = 0, g (0) = -^-, /i (0) = 0. Доказать, что функции fug имеют
примитивную на R, а для функции /i не существует примитивной
на R.
IX.3.2. Пусть
/(*)»
/'
— sin —, дс>0;
ДС
х
О, х = 0.
Доказать, что функция / имеет примитивную на [0, + °°)«
IX.3.3. Пусть т 6 N. Вычислить предел
n m
Hm -z+r-m £ П (fern + /).
IX.3.4. Функция / 6 R (10, 1]) и удовлетворяет соотношению
V*6[0, 1] : f(*)=4(K~r) + /(JL:3LL))-
Пусть / (0) = 1. Определить функцию /.
IX.3.5. Определить функцию / 6 Са (R), для которой
х
Vx£R : [uf(u)du = f(x) + xf'(x).
IX.3.6. Доказать, что
Um — S ln — =» \ In xdx: = lim \ In xdx = — К
С помощью этого равенства доказать, что
lim_L^=_L.
IX.3.7. Доказать, что функция
X
169

не является рациональной на [1, + оо) (рациональная на множестве
А функция равна отношению двух многочленов на множестве А).
IX.3.8. Функция / возрастает на (а, Ь) и с 6 (а, Ь). Доказать,
что функция
F(x)i = )f(u)du, *£(а, b),
с
выпукла вниз на (а, 6).
IX.3.9. Пусть функция / 6 С ([О, П) и положительна на [0, 1].
Для каждого п 6 N существует значение 0 (я), для которого
I 9(п) I
-J-J /(*)<** = J /(*)dx+ J /(*)dx.
о о l—eoi-
Вычислить предел lim (д 6 (/ij).
IX.3.10*. Пусть
[it]
0= f€R([0, l])| J/(*)dx-L, J*f(x)£bt-Af ,
I 0 0 J
где L, M — заданные числа. Найти
i
min { f2(x)dx.
IX.3.11*. Пусть
D={/6C2([0, U) |/(0) = /(l)-0, Г(0) = а},
где число а 6 R фиксировано. Найти
min [(f"(x)fdx
и функцию, доставляющую минимум.
IX.3.12. Пусть /6 С ([а, Ь\) и
V/i>0 i §xnf(x)dx=*Q.
а
Доказать, что / (х) = 0, #6 [я> b].
IX.3.13. Пусть /€С([—1, 1]) и
Vn>0 i J x2nf(x)dx = 0.
—i
Доказать, что f нечетна на [—1, 1].
IX.3.14. Пусть /б С ([0,1]) и
Vn>0 : §x2nf(x)dx=*0.
Доказать, что f (лг) = 0t x£ [О, 1].
170

IX.3.15. Пусть /6 С (I—1, U) и
l
V«>0 i J x2n+4(x)dx = 0.
—i
Доказать, что f четна на [—1, 1].
IX.3.16. Пусть /6 С (la, b]) и
ь
Vn>l : \xbnf{x)dx = Q.
a
Доказать, что / (х) = 0, x g [a, b].
IX.3.17. Пусть /6C([—1, 1) U (1, 2]), существуют / (1 +) и
2
V«>0 : J x2nf(x)dx=*0.
Доказать, что / нечетна на [—1,1] и / (х) =* 0 для л: € (i.^tb
IX.3.18. Пусть /6 С ([а, Ь]) и '
V^gC'dfl. Ь]) ! J/(x)g(*)dx = 0.
а
Доказать, что / (х) = 0, х £ [а, 61.
IX.3.19. Пусть /6 С ([а, 6]) и
Vn>0'i Jе»*/(х)dx = 0.
а
Доказать, что / (х) = 0, л; 6 [а, Ь\.
IX.3.20. Пусть /6С([0, 1]) и неотрицательна на [0, 1] и
1
3c6R 3a6R Vn>l : ^enxf(x)dx^cna.
о
Доказать, что / (х) = 0, л: 6 [0, 1].
IX.3.21. Функции /, g монотонно не убывают на [0, а], а > 0.
Доказать неравенство
) f(x)g(x)dx^y(a — x)g(x)dx,
рассмотреть геометрическую интерпретацию.
IX.3.22. Пусть / 6 С1 ([0, + оо)), строго возрастает на [0, 1] и
/ (0) = 0, Пусть g — функция, обратная к /. Тогда для любых а ^ 0,
6 > 0 справедливо неравенство Юнга
а Ь
j f(x)dx+ j g(x)dx^ab%
о о
причем знак равенства возможен только при Ъ = / (а). Доказать
это утверждение и дать геометрическую интерпретацию.
171

IX.3.23. Пусть р > 1 и q таковы, что ргх + q-1 = 1. Тогда
IX.3.24. Вычислить предел
lim [ ( ЛыК\ /*6N.
IX.3.25. Вычислить предел
н» j,„(,+ -£.)*.
IX.3.26. Вычислить предел
lim Yc£ !—т.
IX.3.27. Функция / j R ->- R периодична на R с периодом 1 и
/€R([0, И), J/(*)d*-0.
в
Доказать, что
V{a, J|cR, a<6 VA,>0 : \^ f(^x)dx\^^\f(x)\dx.
IX.3.28. Для /6R(K>, U) пусть
ak: = }xkf(x)dx, fe> 1.
Доказать сходимость ряда У* -2а- и найти его сумму.
IX.3.29. Функция /6 С ([О, II) и положительна на [0, 1]. Пусть
F(a): = J/(x)adx, a£R.
о
i- In/7 (a)
Вычислить предел lim—-——.
IX.3.30*. Пусть / 6 С ([0, 2я]) и
(sin *)-{-» -^- (sin jc +1 sin л: |), x£R.
Доказать равенство
2л 2я
lim \ f (х) (sin /i#)+ dx =* — \ f(x) dx.
172

IX.3.31*. Пусть а>1. Вычислить предел
(2л-Н)л
Игл £ {xa)sinxdx1
П-¥00
2ля
где (с) — с — Ы.
IX.3.32. Доказать, что
о
оо
IX. 3.33. Доказать, что из сходимости ряда £ ап следует сход»
гг=1
оо
мость ряда У] -тг •
IX.3.34. Пусть m 6 N фиксировано. Доказать, что
3<*€R VW>1 i
/V
£nmsin(l +n\r2)
<cNn
IX.3.35*. Пусть а> 1. Доказать, что
5й?г-^-+оМЛ «-+
А \ « О
с некоторым числом с. Определить с при а = 2.
IX.3.36. Числа а„, я ^ 1, отличны от 0 и таковы, что
а
,2
W+1
а?
1 .
+ 1, п-^оо.
Доказать сходимость ряда 2j -%-<
п=!
IX.3.37. Пусть аа^а2^ .. .^ап^0, я!>1, и ряд ]£ а„ сходит-
ся Доказать, что пап-+0, п->оо.
IX.3.38. Функция / £ С1 ([0, + оо)), неотрицательна на [0, + оо) и
а
3*eR Va>0 t J|/'(*)|d*<<?.
о
оо
Доказать, что ряд J] f(n) сходится тогда и только тогда, когда су-
ществует конечный предел
а
lim \f(x)dx.
a-^+oo fl
173

IX.3.39. Функция ft [0, -f-oo)-vR неотрицательна на [0, + оо)
оо
и V(/, [а, + оо))< + оо. Доказать, что ряд £ /(п) сходится тогда и
только тогда, когда существует конечный предел
U
lim \f(x)dx.
а-*+оо J
00
IX.3.40. Пусть {ап i n>l}czR. Доказать, что ряд £ яД,
/г=1
сходится для любой последовательности чисел {6rt : п ^ 1} cz R,
для которой ]/| £„ |-* О, п->оо, тогда и только тогда, когда
последовательность {v^|an| : n^\) ограничена.
оо
IX.3.41. Вычислить сумму ряда 2j ^\ * fl£R.
IX.3.42. Пусть Оо = 0, ах = 1 и для /г > 2
(л— 1)а„ — (/г — 2)art_i— ап-2^0.
Доказать сходимость последовательности {a„ : п ^ 0} и найти ее
предел,
IX.3.43. Определить множество значений х £ R, для которых
сходится произведение
1) П(1+(*-2)2"); 2) Псоз^;
3) Д («*■-£- —sin"-£■): 4) Дсск-£-, *«-1, 1);
5>ДФ+^)' *«(-*. т)-
п(.
IX.3*44. Показать, что произведение П (1 -f- -iL-l = р(х) сходится
на R и что его значение удовлетворяет неравенству
Р(*Х(1 + х2)е*\ xeR.
IX.3.45*. Пусть ft (х) = 0, х б [0, 1], и для п 6 N
f„+i (*) - Л, (х) + 4"(х - #(*»> * е (°> .'J-
Доказать, что последовательность функций {/„-'Л^Ч сходится
равномерно на отрезке [0, 1] к функции / (х) = V~x> х 6 Ю, 1].
IX.3.46*. Пусть [fn ; п^ 1} — последовательность выпуклых
вниз на отрезке [а, Ь\ функций, сходящаяся поточечно на [а, Ь] к
функции / б С ([а, Ь\). Доказать, что / выпукла вниз на [a, b\ и что
сходимость последовательности {/„ s я !> 1} равномерна на [я, Ь].
174

IX.3.47. Пусть {xn i n > 1} —занумерованные каким-либо
способом числа (0, 1) П Q и
f(0)i-0; /(*):« 2 -~, *£(0, 1].
п : х<х
1 ОО
Доказать, что J f (x) dx = 2j
2п
IX.3.48. Пример Ван дер Вардена непрерывной нигде недифферен-
цируемой функции. Пусть g — периодична с периодом I и
х,
*(*)-
Доказать, что функция
*е[о, -J-];
[1-х, «б[4->1]-
непрерывна на R и ни в одной точке R не имеет производной.
IX.3.49*. Пусть f 6 С ([0, П). Доказать, что для х £ [0, 1]
справедливо соотношение
оо 1 X
Hm £ JbjL- J e-»**-«)f («) d« = J f («) d«.
"-*00 «t=o '" о о
IX.3.50*. Пусть / е С ([О, И) и такова, что
3fl€R Vn>l i
<0.
Доказать, что / (x) = 0, x £ [0, 1].
IX.3.51. Аналог теоремы Дини. Предположим, что числа
{а>пт | п £ N, m £ N} неотрицательны и удовлетворяют следующим
условиям!
i) Vm>l : anm-*am, л-voo;
2) V/t> l : ряд £ а™ сходится;
00
3) ряд £ ят сходится;
те!
4) 2 а«т'
ат% п->оо.
Доказать, что ряд S anm, rc£N сходится равномерно на N.
175

IX.3.52. Доказать, что последовательность чисел {ап i n ^ 0} есть
последовательность коэффициентов степенного ряда с радиусом
сходимости + оо тогда и только тогда, когда
lim VWn~\ = 0.
ГС-юо
IX.3.53*. Функция / есть сумма степенного ряда с радиусом
сходимости г > 0 и удовлетворяет уравнению
£-ИШ)~*-Ч4-).*>4-
dxn
для некоторого n^N и условиям
^(0)=1, 0<*<п—1.
Определить функцию /.
IX.3.54*. Пусть числа а0 > 0; ап^09 я> 1, таковы, что для
Ап : = аг + а2 + ... + ап справедливы следующие соотношения!
1) Л„-> + оо, /z-^oo; 2) -^—*0, п-+оо.
оо
Доказать, что степенной ряд 2 я**" имеет радиус сходимости 1.
IX.3.55. Для функции /(*)- i+j + ^ + x» » *€(—1. 1). найти
Г(0), л>1.
IX. 3.56. Определить сумму ряда
(т
п=0
«w-StHrt' *eR>
для m £ N.
IX.3.57. Доказать следующие неравенства:
X2
1) 0 < sh л: — л: < -g- sh x, дс > 0;
2) 0<ch*—l<-y-chx, хфО;
3) 0<4-|пТЗГ-х<^1пТ^Г» *6(0,1)1
4) ch*<*2, *eR.
IX.3.58*. Вычислить предел
lim | GOSn г + cos" (z + i) + cos" (z -f 3/) |n f
где г«а + /&, {а, 6} cr Rt b>0.
176

IX.3.59. Найти сумму ряда для х £ R
оо оо
j Y1 cos/uc оч V4 sin ях
rc=0 n=.\
oo
4n cos 2ях
*)l(-vn C0T++»!X ■> 4> 2(-1)"
^ (2«+l)! • "^ " (2n)! •
IX.3.60*. Пусть a„ 6 С, Kn £ R, n > 1. Предположим, что ряд
оо
Ха„Лг, г еС,
сходится абсолютно в некоторых точках zlt z2, ..., zm плоскости С.
Доказать, что этот ряд сходится абсолютно и равномерно на
замкнутом выпуклом многоугольнике, натянутом на точки zlt га, ..., zm.
IX.3.61. Пусть / 6 С'' (la, b]). Доказать, что для каждого 8 > 0
существует многочлен Р = Ре такой, что
max max | fk) (х) — Р{к) (х) \ < е.

Глава
X
ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИЗА
В МЕТРИЧЕСКОМ
ПРОСТРАНСТВЕ.
I 1. МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
Х.1.1. Пусть d\ X К Х-*- 10, + оо). Является ли d метрикой
(расстоянием) на X, где
X = R,
1) d(x,y)=V\x — y\;
2) d(x, у) = |arctg*r—arctg*/|;
3) d(x,y) = \x-y\\
4) d(x, i/) = min(l, \x — y\);
6)*d(x,y)~ vn\x~1'^ , ;
K(l-f*a) (1 -\-y2)
[x, y) cz R;
X = R*.
7) d ((*„ x2), (ylt yt)) - | дс, — yx | + 21 x2 — y% |;
в) d((x„ *2), (г/г, y2)) = V(x1 — y1)i + i(x2 — y2f\
■9) d ((дс„ x,), (yu ya)) = max (| xt — j/! |, | x2 — */21);
{(*i, *«), (yi, Уг)) <= R2;
Rm, m£N,
10) d((xlt
41) d((xlt
xm)> (Mi, -, 0m))-l/ £(** — f/*)8J
-W. (г/i. -, Ут))= max \xk — yk\;
12) d(Ui xm), (ylt .... ym))= Si** — УЛ
h=l
13) <*((*! xm), (ylt .... t/m)) = |xx — i/i| + l/ £(** —У*)2-.
178

14) d((Xl xm), (yi ym)) = Л/ £ {Xk~yk)2 ;
U*i xm), [ylt .... ym)) cr Rm;
X = l2: = I x » (jclt .... xn, ...)€RN| S^< + ooJf
15) d((*j x„, ...), (j/x yn, ...))= |/ lU»- ykf\
16) d((*b ..., xn ), (</, yn, ...)) = |/ 24"(**"~^;
17) d((xx *„, ...), («/i ft,, ••)) = sup| *» — y»|;
18) d((x1( ..., x„, ...), [yx yn, ...))= 1/ £<M**— */*)*,
где а* е[0, 1], 6>i;
{(*i, .... xn, ...), (yt yn, ...)} c: l2;
X = C([a,b]),
19) d(x, {/)=»тах|х(0 — y(t)\\
b
20) d(*. y) = l\x(t) — y(t)\dt\
a
21) d(x,y)=* тах(е'\хЦ)~у()\);
22) d(a:, y) = max ((/-a)\x(t)-y(t)|);
a^t^b
b
23) d(x,y)= max \x(t) — y(t)\ + \\x(t) — y(t)\d>.
где c = -5»(a +6);
\x9y\czC(\a9b]);
X = Cb(R):={xeC(R)|sup|x(/)|< + oo)t
*€R
24) d(*,y)«sup|x(/) — */(/)|;
*€R
25) d(^</)=2-^-max(|x(0-y(/)|||'|</i);
1
k.y)cC6(R); X-CI(|e,6)),
179

26) d (x, у) = max | x' (t) — y' (t) |;
27) d(x, y)= max \x(t) — y(t)\+ max |x'(0 — y'(f)|;
28) d(x,y) = \x(a)-y(a)\+ max |x'(0-\f(01:
1
29) d(x, t/)«|x(a)-t/(a)H-hfx'(fl-^(Oj*dM ;
{*,«/} с: С1 ([a, &]);
X = Pn ([a, b]), где P„ ([a, 6]) — множество всех многочленов
с действительными коэффициентами степени не более п,
рассматриваемых на la, b\,
30) d{p,q) = %\pk-qk\,
к=0
где р (t) = £ /»/. <7 (0 = Е <?/, ' € Га, Щ;
X = BV+([a, b]) — множество всех функций ограниченной вариации
и непрерывных справа на (а, 6],
31) d{x9y)-\x(a) — y{a)\ + V{x — y9 [a, 6]), [х9у)сХ;
(X, р) — метрическое пространство,
32) d(x,y)~VMx7y)\
33) d(x, #)«min(l, р(х, y))\
34) d(x, i/) = р2(лг, t/);
[х, у) а X;
X — произвольное непустое множество,
f 1, хфц,
;35)d(^f/) = (0) xJ^ {*,*/} с X;
X — множество всех действительных функций на R,
отличных от 0 не более, чем в счетном числе точек, причем, если
функция х отлична от 0 для значений {tki к ^ 1} cR, то
со
£ *а С*) < + «>;
36) d (x, у) = f S (* (*a) — У (**))*) » {** ^ * > !} —
последовательно

ность всех точек, в которых отлична от и хотя бы одна из функций
х, у из X?
Х.1.2. В метрическом пространстве (X, d) каждого из примеров 7)—
9) задачи Х.1.1 изобразить шары В ((О, 0), 1), В((3, 1), 1) и сферу
S ((0, 0), 2).
Х.1.3. В метрическом пространстве С ([0, 1]) с равномерной метрикой
р описать множества
в(хи ±)9 Б(х19 4-). S(*i. -f)' *(*i. х) П б(*2' "J")'
в(*. 4-)л в(х* 4-)- *(*• -г)п 5(Хв' 4-)'
где хг(0=1, *.(0~0, *3(0 = ', л:4(/) = 1 — /, х6(/) = 4» ^[0,1].
Х.1.4. Пусть (X*, р*), * = 1, 2, —метрические пространства,
X = *! х Х2,
р((*ь *2), (#ъ #«)) = ^Р? (-^ж. Л) + pi (*■» ft)
для {(xlt х2), (уг, у2)) с: X. Доказать, что (X, р) — метрическое
пространство. Доказать также, что
1) V(xlf*t)6X V {rlf r2} cz (0, + оо) 3г>0 :
В ((xlt х2), г) с: В (xlf гг) х В (x2, га);
2)V(xvxJ£X Vr>0 дгх>0 3r2>0 :
В (х19 гг) х 5 (х2, r2) c= В ((xlf *2), г).
Дать геометрическую интерпретацию утверждений 1) и 2) для Хг =
= Х2 = R, Pi == р2 есть обычное расстояние на R.
Х.1.5. Задача Х.1.4 для
Р((*ъ *2). (Л, У г)) = maxfoto, */х), р2(*2, у2)).
X. 1.6. Пусть X = {(*!, л:2) £ R2 | х{ + х\ ^ 1} и р — евклидова
метрика на X Изобразить шары В((1, 0), 1), в((-<г>о], -тг~Ь
проверить, что fl ((1, 0), 1) с: В ((4- , о) , -^) .
Х.1.7. Описать все сходящиеся последовательности пространства
(X, d) задачи Х.1.1, 35).
Х.1.8. Доказать, что сходимость последовательности в
метрическом пространстве (Rm, d) с каждой из метрик 10) — 14) задачи Х.1.1
равносильна покоординатной сходимости.
Х.1.-9. Пусть (X, р) — метрическое пространство из задачи
X. 1.4 либо из задачи Х.1.5. Доказать, что
(х\п\ *2W)-M*i, х2), п-^оо, в (X, р) »
о xT-+xh n-+oo, в (Х(, pi) для каждого t==l, 2.
181

Х.1.10. Сходимость последовательности функций в метрическом
пространстве (С ([а, Ь])9 р) с равномерной метрикой р равносильна
равномерной на [а, Ь] сходимости этой последовательности.
X. 1.11. Охарактеризовать сходимость последовательности в
пространстве (С ([a, b]), d), введенном в задаче X. 1.1» 21).
Х.1.12. Доказать, что последовательность {хп\п^ 1} сходится
к л; в пространстве (С ([a, b])9 d) из задачи X. 1.1, 22) тогда и только
тогда, когда
1) для любого е 6 (О, Ъ — а) последовательность {хп i n > 1}
сходится равномерно на [а + е, Ь] к х\
2) max (t — a)\xn(t)\-+0, n->oo.
Обратить внимание на то, что при выполнении условия 2) возможно,
что хп (а) -> + оо, п -> оо.
Х.1.13. Доказать, что сходимость последовательности
х{п) = (х?\ .... xf\ ...)gllf д>1,
к элементу х = (xlt ..., xkt ...) £ 12 равносильна:
1) для метрики d из Х.1.1, 5) покоординатной сходимости и
выполнению условия
Ve>0 3N Vtn>N Уп>1 i £ (*На<е;
2) для метрики d из Х.1.1, 16) покоординатной сходимости и
выполнению условия
* \х{п)'\
Ve>0 SN Vm>N Уп>\ \ £ JJL± <*.
Х.1.14. Охарактеризовать сходимость последовательности в
пространстве Cb (R) с метриками d из Х.1.1, 24), 25).
Х.1.15. Охарактеризовать сходимость последовательности в
пространстве С1 ([a, b]) с метриками из задачи Х.1.1, 27), 28).
Х.1.16. Проверить, что сходимость в пространстве, введенном
в задаче Х.1.1, 30), равносильна равномерной на [а, Ь\ сходимости.
Х.1.17. Пусть хп -► х, п -> оо, в (X, р). Доказать, что
1) множество чисел {p(xnt xm) \ n£fif m£N} ограничено;
2) Vy£X : p(xnt y)^p(x, y)f n-+oo;
3) УД, AczX, АФ0 I p(xnt A)-*p(x, A), n-*oo,
где для j/^X
p(y, 4):=inf{p(y, г) \ г$А).
X.1.18. Множество A cz X метрического пространства (Х> d)
называется ограниченным, если диаметр множества А
d(A):= sup d(x, y)< + oo.
к€А,у€А
182

Доказать следующие утверждения:
1) множество А ограничено тогда и только тогда, когда оно
содержится в некотором шаре;
2) для любых х £ X и г > О
d(B(x, r))<2r;
привести пример пространства, точки х и числа г > О, для которых
d(5(xfr))<2r.
3) сходящаяся последовательность ограничена.
Х.1.19. Пусть А множество точек пространства задачи Х.1.1, 35).
Какие точки множества А являются предельными для множества Л?
Х.1.20. Пусть хп -> х, п -+ сю, в (X, р). При каком условии
точка х есть предельная точка множества {хъ х29 ... } — множества
значений последовательности?
X. 1.21. Пусть (X, d) — метрическое пространство и А с: X.
Определить множества: А* — предельных точек, А° — внутренних
точек, А — замыкание множества Л, если
X==R; d(x,y) = \x — y\f {x,y\czR
1) Л-[О, 1)U {2};
2) Л - Q;
3) А = {-^+^Г | HI6N./I6N};
4)* Л = {1/т — \Гп | m£N, п£Щ;
5)* Л = {sin л | ngN};
X в R2, d — евклидово расстояние,
6) Л = {(*!, *2) | д^ = х2\;
7) Л -» {(хъ х2)} | *2 = гД r£Q};
9) Л = {(*х,*2) | *? + л|<1};
X = С ([a, b])t p — равномерная метрика,
10) А = {* | У*£[а, 6] : *(*)>'};
11) Л — множество всех многочленов, рассматриваемых на [а, Ь]\
12) Л = \х
\x(t)dt>Q
Х.1.22. Пусть (X* d) — метрическое пространство, В (xf г) \ =
= {# \d (х, у) < г} для х £ X и г > 0, С (*, г) —_замыкание В (л;,
г) 8 = {У \d (х, у) < г}. Проверить, что С (х, г) cz В (х, г). Привести
183

пример пространства, точки х и числа г > 0, для которых
С(х,г)фВ(х,г).
Х.1.23. Пусть (X, р) — метрическое пространство, введенное в
задаче ХЛ.4. Доказать для Ai cz Xt, i — 1, 2, следующие
утверждения.
1) *i€^i и х2еЛ? « (xv х2)£(Аг х Л2)°, то есть (Ла х Л2)° =
= Л1 х А°2;
2) если ^! — предельная точка Аг и х2 — предельная точка Л2,
то (хъ х2) — предельная точка Аг х Л2; обратное утверждение
неверно;
3) Л7"х~Л~2 = Лх х Л2.
Х.1.24. Доказать, что в пространстве задачи Х.1.1, 35) любое
множество открыто и замкнуто.
ХЛ.25. Пусть Л—открытое множество в пространстве (X, р)
и хъ ..., *„ — элементы из X. Доказать, что множество Л \ \xl9 ...
• ••> хп) —открыто. Можно ли обобщить это утверждение на случай
счетного набора элементов {хп : п > 1}?
Х.1.26. Проверить, что множество [0, 1) открыто в метрическом
пространстве ([0, + оо), р), р (*, у) = | х — у |.
ХЛ.27. При условиях задачи ХЛ.4 пусть At cz Xtt /= 1, 2.
Доказать, что Ar x Л2 открыто в (X, р) тогда и только тогда, когда
At открыто в (Хи Р<)» ' я 1» 2.
ХЛ.28. Пусть X =« R2 с евклидовым расстоянием р, Л с: R2, fi cz
cz R2 и
Л + В := {(хг + у1% х2 + у2) | (хъ х2) £ Л, (уь у2) € В).
Доказать, что
1) если хотя бы одно из множеств Л и В открыто, то Л + В открыто;
2) если оба множества замкнуты, то Л + В замкнуто.
ХЛ.29. Пусть (X, d) — метрическое пространство,
Л—замкнутое множество и х £ Л. Доказать, что р {х, А) > 0.
ХЛ.ЗО. Пусть Л —множество в пространстве (X, d). Доказать,
что замыкание
А = [х | р(х,Л)-0).
Проверить также, что
Л^Щ/7 I F замкнуто и Fid A],
ХЛ.31. Пусть (X, d) —метрическое пространство. Доказать, что
следующие утверждения равносильны:
1) Л — всюду плотно в (X, d);
2) Л имеет непустое пересечение с любым открытым шаром;
3) Л - X;
4) V#£X 3{x„ t л>1)с:Л t x„-v*, я->оо, в (X, d).
184

Х.1.32. В каком случае пространство, введенное в задаче Х.1.1,
35), сепарабельно?
Х.1.33. Декартово произведение (X, р) задачи Х.1.4
сепарабельно тогда и только тогда, когда каждое из пространств (X*, р*),
i = 1, 2 сепарабельно.
Х.1.34. Доказать, что метрическое пространство (X, d)
сепарабельно тогда и только тогда, когда для каждого е > О существует
не более чем счетная е-сеть для X.
Х.1.35. Пусть (X, d) — сепарабельное метрическое пространство
и Y cz X. Доказать, что (F, d) — сепарабельное метрическое
пространство.
Х.1.36. Какие из пространств, введенных в задаче Х.1.1,сепара-
бельны?
Х.1.37. Доказать, что классы открытых (замкнутых) множеств
пространств, введенных в задаче Х.1.1, 7) — 9), совпадают.
Доказать, что классы открытых (замкнутых) множеств пространств,
введенных в задаче Х.1.1, 10)— 14), совпадают.
Х.1.38. Пусть р — евклидова метрика в Rm. Доказать, что
любое семейство непустых открытых попарно не пересекающихся
множеств в Rm не более чем счетно.
Х.1.39. Доказать, что непустое открытое множество в сепара--
бельном метрическом пространстве есть объединение счетного
семейства открытых шаров.
Х.1.40. Пусть (X, d) —- полное метрическое пространство и
А — замкнутое множество в (X, d). Проверить, что (Л, d) — полное
метрическое пространство.
X. 1.41. Пусть (X, d) — метрическое пространство. Доказать
следующие утверждения:
1) фундаментальная последовательность ограничена;
2) сходящаяся последовательность элементов (X, d)
фундаментальна;
3) если последовательность [хп : п^ 1} — фундаментальна, а \уп \
: п > 1} такова, что d (хП9 у„) -► 0, п -► оо, то \уп : п !> 1} также
фундаментальна; при этом уп -> у, п -> оо, в (X, d) тогда и только
тогда, когда хп -> у, п -> оо, в (X, d)\ 4) для фундаментальной
последовательности {xnin^ 1} и любого у£Х числовые
последовательности
{d(xnt xn+i) : /г>1}, {d(xn,y) : л>1}
сходятся;
5) фундаментальная последовательность \хп : я > 1}, которая
содержит сходящуюся д х в (X, d) подпоследовательность {xn(k)t
: k ^ 1}, сходится к х.
Х.1.42. Пусть р (х, у) = | х — у \ для {xt у] cz R. Доказать, что
1) метрическое пространство ((0, 1), р) не является полным;
2) метрическое пространство (Q, р) не является полным.
Х.1.43. Доказать, что декартово произведение (X, р), введенное
в задаче Х.1.4, полно тогда и только тогда, когда каждое из
пространств (Xt, pi)y i = 1, 2, полно.
185

Х.1.44. Определить, какие из метрических пространств,
введенных в задаче X .1.1, полны,
Х.1.45. Построить пополнение пространств, введенных в
задачах Х.1.42 и X.1.1,2).
§ 2. ФУНКЦИИ НА МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
Х.2.1. Пусть (X, d) — метрическое пространство, а £ X и / (х) =
= d (х, я), я £ X. Доказать, что функция /равномерно непрерывна
на X.
Х.2.2. Пусть (X, d) — метрическое пространство, А с: X и/ (х) =
= d (х, А) = inf (d (х, у) | {/ £ Л). Доказать, что функция f
равномерно непрерывна на X.
Х.2.3. Пусть (С ([0, 11), р) — пространство непрерывных
функций с равномерной метрикой р. Доказать равномерную
непрерывность на С ([0, 11) функции
/i С ([0, l])-vC([0, 11):
t
1) / (х) (t) « $ ** sin (x (и)) du, t б [0, 1];
0
I
2) / (x) (t) = J sin (1 + tx (и)) du, 16 [0, 1];
П
3) /(*)(/)-£ -д-Ы-7-)*1* '€№, 1]; *6C([0f ID.
X.2.4. Пусть (X, d) — метрическое пространство. Доказать, что
функция /: X -> R принадлежит С (X) тогда и только тогда, когда
для любого а 6 R множества
{х£Х | f(x)<a), [x£X 1 /(*)>а}
открыты в (X, d).
Х.2.5. Пусть (X, d) — метрическое пространство, X х R —
декартово произведение с расстоянием, введенном в задаче Х.1.4,
R рассматривается с евклидовым расстоянием. Предположим, что
функция /: X X R->R непрерывна по каждой переменной при
каждом фиксированном значении второй и монотонна по второй
переменной при каждом фиксированном значении первой переменной.
Доказать, что / 6 С (X X R).
Х.2.6. Пусть (X, d) — метрическое пространство и
А = {х | d(x9 a)+d(x,b)<l), В = {х \ d(x,a)d(x9b)^\)
для фиксированных элементов а и Ь. Доказать, что множество А
открыто, а множество В замкнуто.
186

Х.2.7. Пусть (X, d) — метрическое пространство,
A cz X и для е > О
Ае:={х£Х | d(*,4)<e},
Л81:={х£Х | d(x, Л)<е}.
Доказать, что Л8 — открыто, Л8^ — замкнуто и
Ае= U Я(*,е).
Х.2.8. Доказать, что для замкнутого множества А
а для открытого множества Л
1
Л- U (Х\(Х\А)п);
обратить внимание на то, что каждое множество Ап открыто, а
каждое множество X \ (X \ А)п замкнуто.
Х.2.9. Пусть (X, d) — метрическое пространство, А и В —
непересекающиеся замкнутые множества в (Х$ d). Доказать, что
существуют открытые в (X, d) непересекающиеся множества G и Н такие,
что Л с G, В с Я.
Х.2.10. Пусть (X, р), (У, о) —метрические пространства и {/, g) cz
cz С (X, Y). Доказать, что множество \x\f(x) = g (x)) замкнуто в
(X, р).
Х.2.11. Доказать, что следующие множества открыты в (R2, р),
где р — евклидово расстояние!
1) {(*i.*i) I 2x*+xtxl<\}\
2) {(*,.*.) I 0<^2-T^r<l);
3) {(xu х2) | е**+**> 1 + 13л:, + х29 хг—х2<0).
Х.2.12. Какие из множеств
1) {*€С([а,6]) I *(а)>0);
2) х£С([а, 61) psin(x(/))d/<lj
3) [х£СЦа,Ь]) | х(а)<1, хф)>\)\
4) гбС(|а,й|) | V^la, b\ i Jsin(*(a))dtt>/ ;
5) [x£C(\a.b]) | Vfg^ *(*)-0},
187

где А сг \а, 6], открыты (замкнуты) в С ([я, Ь]) с равномерной
метрикой?
Х.2.13. (Хь p<), L = 1, 2,— метрические пространства, причем
(Х2, р2) — компактно и X = Xj X Х2 — их декартово произведение
с расстоянием, введенным в задаче Х.1.4. Пусть/: Хх -* Х2.
Доказать, что / б С (Xlf Х2) тогда и только тогда, когда график
G(f) = [(xlf х2) | х, £Хи х2 = 1(хг)}
есть замкнутое множество в (X, р).
Х.2.14. Доказать, что
/6С(Л, Rm) о Vt€{l, 2 m} ; /*£C(X,R),
—*
гДе (/i> /2. ...i У я /t a Rm и R рассматриваются с евклидовыми
расстояниями.
Х.2.15*. Пусть (12, d) — пространство, введенное в задаче
X. 1.1,15), а на [0, 1] рассматривается евклидово расстояние. Пусть
/ = (/i, /„ ...) : fO, 1|-И2.
Доказать, что / £ С ([0, 11, 12) тогда и только тогда, когда
1) Vk>\ : /,6C([0, 1J);
оо
2) ряд 2 /„ сходится равномерно на [0, 1].
Х.2.16*. Пусть (Х<, р*), / = 1, 2,— метрические пространства,
причем (Х2, р2) — компактное пространство, и (X, р)-— декартово
произведение, введенное в задаче Х.1.4. Пусть / £ С (X) и
g (*!): = max / (xl9 х2)у хг £ X,.
Доказать, что g 6 С (Хх).
§ 3. КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА И ИХ СВОЙСТВА
Х.3.1. Пусть (R, р) — прямая с евклидовым расстоянием р.
Для множества (0, 1] привести пример открытого покрытия, не
содержащего конечного подпокрытия.
Х.3.2. Пусть (R2, р) — плоскость с евклидовым расстоянием.
Для множества [О, I]2 \ { (0, 0)} привести пример открытого
покрытия, не содержащего конечного подпокрытия.
Х.3.3. Доказать, что метрическое пространство (X, d) сепара-
бельно тогда и только тогда, когда любое открытое покрытие X
содержит счетное подпокрытие.
Х.3.4. Пусть (R2, р) — плоскость с евклидовым расстоянием,
А = {(хъ х2) | 0 < хг < 1, х2 = 0}, {Оа, а £ Т) — открытое
покрытие множества Л. Доказать, что существует е>0 такое, что набор
{Оа, а 6 Т) есть покрытие множества
Д, =*{(*„ х2) | —е<*,< 1+е, |*2|<е}.
188

Х.3.5. Проверить, что
1) пересечение любого семейства компактных множеств компактно;
2) объединение конечного числа компактных множеств компактно;
3) разность компактных множеств может быть как компактным, так
и не быть компактным множеством;
4) объединение бесконечного семейства компактных множеств может
не быть компактным множеством.
Х.3.6. Пусть б = (О, 0, ..., О, ...) и В (0, 1) — замкнутый шар-
в (12, d), где d — расстояние, определенное в задаче X. 1.1,15).
Доказать, что В (6, 1), не является компактным множеством в (12, d).
Х.3.7. Пусть х0 (t) = 0, /£ [0, 1] и В (х0, 1) — замкнутый шар
в пространстве С ([0, 1]) с равномерной метрикой р. Доказать, что-
множество Ъ (х09 1) не является компактным в пространстве (С ([О,
11), Р).
Х.3.8. Пусть (X, d) — полное метрическое пространство, щ £ Nr
/ > 1; {xtj | 1 ^ / ^ пи i ^ 1} — набор элементов из X. Доказать,,
что множество
П U B(xih -U
t=\ /=i \ l I
компактно.
X.3.9. Доказать, что подмножество Rm с любой из метрик 10) — 14)
задачи Х.1.1 компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и
ограничено.
Х.3.10. Какие из следующих множеств компактны в (R2, р), где
р — евклидово расстояние:
1) {(*i, *2) I *2 * 0};
2) {(*!,*,) I К*1 + *2<4};
3) {(*„*2) J I^Kl, *i + *9<4};
4) j(*i, *2) I *i 6 (0, 1), x2 = sin ~-| U
U {(*i, *2) ' *i»0, -1<*2<1}?
X.3.11. Пусть А — замкнутое ограниченное подмножество 12 с
расстоянием d, определенным в задаче Х.1.1, 15). Доказать, что
множество А компактно тогда и только тогда, когда
00
sup £ xi->09 /z->oo.
X.3.12. Пусть a = (alf ..., akt ...) £ 12; ak > 0, ft > 1. Доказать»
что множество
{(*lf .. , хЛ> .. .) | |^КаЛ, ft> 1}
компактно в (12, d).
Х.3.13. Пусть при условиях задачи Х.1.4 Ft a Xit i = 1, 2 и
F = Fi х F2. Доказать, что множество Z7 компактно в (Х9 р) тогда
и только тогда, когда Fi компактно в {Хи Qt) для каждого / = 1,2.
189

Х.3.14. Пусть F и G—компактные множества в
евклидово расстояние, число а £ R и
А -в {а* | x£F),
В-[х + у I *GF, ^G}.
Доказать, что множества А и В компактны в (Rm, p).
(R"\ р), Р
Х.3.15. Пусть F
компактное множество в (Rm, p) и
"€N, {alf ... , ад}с[0, 1];
Y^aix
&
t=i
Sar
fa-l
{*'
:o>
»
}c=F
Доказать, что множество G компактно в (Rmt p).
Х.3.16. Пусть Ui— семейство компактных множеств в (Rm, p).
Для {А, В) с: дг определим
d(A9 B):-inf{a>0 | В cz Aa\ Ac: Ba]).
Доказать, что d есть метрика на di.
Х.3.17. В пространстве (С ([0, 1]), р) с равномерной метрикой р
пусть
г I ,-глп п. I 1'»1<1, V (<„/,) <= [0.1] :1
для некоторого L > 0. Доказать, что множество F компактно в
пространстве (С ([0, П), р).
Х.3.18*. Пусть при условиях задачи Х.1.4 Ft cz Xh i = 1, 2,
и F = Fx x F2. Доказать, что множество F связно тогда и только
тогда, когда каждое из множеств Fx и F2 связно.
Х.3.19*. Пусть [Кп ^ п^\) — последовательность компактных
связных множеств метрического пространства (X, d), причем Кп =>
оо
=э /(п+ь п^ 1. Доказать, что Г) /(„ связно в (X, d). Привести
л—1
пример, показывающий, что условие компактности нельзя заменить
замкнутостью множеств Кп, п^1.
§ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ НА КОМПАКТАХ
Х.4.1. Пусть К — компактное множество в метрическом
пространстве (X, d) и элемент z £ /С Доказать, что в К существует
точка, находящаяся на минимальном расстоянии от г, и точка,
находящаяся на максимальном расстоянии от г.
Х.4.2. Пусть К — компактное множество в метрическом
пространстве (X, d) и
d(K) :=* sup {d(xf у) | [х9у)сК).
Доказать, что d (К) <+оо и что
3 {х0, у0) с: К : d (К) = d (x0i y0).
190

Х.4.3. Пусть Ki и /С2 — компактные непересекающиеся
множества метрического пространства (X, d). Доказать, что
inf d(x,y)>0.
Х.4.4* Пусть К — компактное множество в метрическом
пространстве (X, d) и f £ С (К). Доказать, что график функции /
[(х,у) I x£K, y~f(x)}
есть компактное множество в пространстве (X X R, р), где
Р((*ъ Уг)> (*а. У г)) = d(xl9 х2) +\уг—у2\.
Х.4.5. Пусть (X, d) — метрическое пространство и f$C(X).
Предположим, что для некоторого с £ R множестю {х£Х | f (х) ^ с} =й=
^ 0и компактно. Доказать, что
—*
Х.4.6. Пусть / £ С (Rm) и для некоторого с £ R множество {х £ Rw f
/W^4^0 и ограничено. Доказать, что
Х.4.7*. Пусть (X, d) — полное метрическое пространство и / £
£ С (X). Функция / называется компактной, если для каждого а £ R
множество {* | / (л:) ^ а] — компактно. Привести примеры
компактных функций для пространства X = R2 с евклидовым расстоянием.
Доказать, что для пространства X = 12 с расстоянием d,
определенным в задаче Х.1.1, 15), компактных функций не существует.
Х.4.8. Используя функцию
С([0, l])3x^f(x):=\\x(l)\-l\x(t)\dtJ£R,
доказать, что шар В (х0, 1) в С ([0, 11) с равномерной метрикой р
не является компактным множеством, х0 (t) = 0, t £ [О, 1].
Х.4.9. Пусть / и g — действительные ограниченные и равномерно
непрерывные на множестве А метрического пространства (X, d)
функции. Доказать, что функция f • g равномерно непрерывна на А.
Х.4.10. Пусть А — всюду плотное множество в метрическом
пространстве (X, d), f: A -* R — равномерно на А непрерывная
функция. Доказать, что существует равномерно на X непрерывная
функция gi X ~v R такая, что
Vx$A i g(x) = f(x).
Привести пример, показывающий, что условие равномерной
непрерывности / нельзя опустить.
Х.4.11. Пусть (X, d) — компактное метрическое пространство,
a (F, р) — метрическое пространство. Доказать, что функция / £
6 С (X, Y) ограничена на X.
191

Х.4.12. Пусть (X, d) и (У, р) — метрические пространства, A cz
<z X — компактное множество и / £ С (X, Y). Доказать, что
Ve>0 3б>0 \/х'£А V хГ£Х, <Цх', *")<8 !
р (/(*'), /(ЛХе.
Х.4.13. Пусть (X, d)—компактное метрическое пространство,
(К, р) — метрическое пространство и R — прямая с евклидовым
расстоянием. Предположим, что последовательность функций {fn i
п > 1} с: С (X, Y) сходится равномерно на X к функции /: X ->
-> К, а функция g £ С (У). Доказать, что последовательность {g (/n) i
п :> 1} сходится равномерно на X к функции g (/).
Х.4.14*. Пусть (X, d) — компактное метрическое пространство
и функции {fn ! п > 1} cz С (X) удовлетворяют условию
Ve>0 Эб>0 V|jc',/|cX, d (*',*")< в
V/i>l i |МЛ-/я(Л|<а
Предположим, что последовательность функций {/„ i я ^ 1}
сходится поточечно на X к функции /. Доказать, что сходимость к /
равномерна на X и что / £ С (X).
Х.4.15*. Теорема Дини. Пусть (X, d) — компактное
метрическое пространство, а последовательность функций {fnin^l}cz
cz С (X) сходится поточечно на X к функции / £ С (X) и
V*6X V/i>1 : fn{xXfn+x(x).
Доказать, что последовательность {/„ i л ^ 1} сходится равномерно
на X к f.
§ 5. ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Х.5.1. Проверить, что в метрическом пространстве (R2, р), где
р — евклидова метрика,
1) преобразование
R29Ui, x,)»-M*i—1, *2 + 2)
не имеет неподвижных точек и не является сжимающим;
2) преобразование
R2 Э (xv х2) н* {хг cos ф — х2 sin ф, х1 sin ф + х% cos ф),
где ф — фиксировано, имеет неподвижную точку и не является
сжимающим.
Х.5.2. В метрическом пространстве (С ([0, 1]), р), где р —
равномерная метрика, рассмотреть преобразование
1) С([0, 1])Э*н* — х;
2) С ([О, П)Э*~И;
3) fWW-*(-£-). /6[0, 1];
t
4) f(*)(f)-*$x(«)d«, ^[0, 1];
192

6) f(x)(t)=\ + \x(u)du, /£[(), 1];
6) f{x)(t) = l[\x(v)dv\du==\{t — u)x(u)du, /gfO, 1].
Определить, какие из этих преобразований имеют неподвижные точки,
являются преобразованием сжатия.
Х.5.3. Пусть / : X -v X — сжимающее отображение. Доказать,
что / равномерно непрерывно на X.
Х.5.4. Доказать, что в пространстве (R, р) (р — евклидово
расстояние) преобразование
' /М = *+-?г—arctg*, xgR,
удовлетворяет условию
V{x9y)czR9 хфу i \f(x) — f(y)\<\x — y\
и не имеет неподвижных точек.
Х.5.5. Пусть /: [а, Ь] -> [д, Ь\ — функция, для которой
существует /' на (а, Ь]. Доказать, что / есть преобразование сжатия в
пространстве ([я, Ь]9 р), где р — евклидово расстояние, тогда и только
тогда, когда
3 А, е [0, 1) : supine
Х.5.6. Функция F 6 С ([а, b] x R) удовлетворяет условию
3т>0 ЭМ>т Vx£[a, b]
s/i — У 2
Доказать, что
3!/6C([a,ft]) Ул;6[а,6] : F(x,f(x)) = 0.
Х.5.7. Пусть (X, d) — полное метрическое пространство,
А : X -+ Х\ Т : X -* X — биекция, причем преобразование Т~ХАТ
есть преобразование сжатия. Доказать, что преобразование А имеет
единственную неподвижную точку.
Х.5.8. Пусть (X, d) — полное метрическое пространство, В (x0i
г) — фиксированный шар и А : В (х0, г) -v X — преобразование
сжатия с коэффициентом к < 1 такое, что d (Ax0t х0) ^ (1 — X) г.
Доказать, ^то преобразование А имеет единственную неподвижную
точку в В (x0t г),
Х.5.9. Пусть А = (а*/)?/-] — матрица с действительными
элементами такая, что
m
Х:= max X |а*/+ б*,-|< 1.
7 7— ю*, 153

Доказать, что для каждого а £ Rm система уравнений
Лл: = а
—»
имеет единственное решение х*, которое можно получить методом
последовательных приближений.
Х.5.10. Пусть А = (щ/)?/=,!—матрица с действительными
элементами такая, что
т
А,:= max £|а*, + 6fe/|< I.
Доказать, что для каждого а £ Rm система
Лл; = а
имеет единственное решение, которое можно получить методом
последовательных приближений.
X.5.1I. Пусть (X, d) — компактное метрическое пространство»
а преобразование / : X -+ X удовлетворяет условию
\/[х,у)с=Х9 хфу 1 d (/(*), f(y))<Zd(x,y).
Доказать, что преобразование / имеет единственную неподвижную
точку.
Х.5.12. Пусть (X, d)—метрическое пространство, а
преобразование / : X -> X удовлетворяет условию предыдущей задачи.
Предположим, что множество / (X) компактно. Доказать, что
преобразование / имеет единственную неподвижную точку.
Х.5.13*. Пусть (X, d) — компактное метрическое пространство*
а преобразование f \ X -> X удовлетворяет условию
У[хуу}с:Х i р (/(*), f(y))>p(xfy).
Доказать, что / (X) = X и / — изометрия.
Х.5.14. Пусть (X, d) —полное метрическое пространство и для
каждого t£ T преобразование At » X -► X удовлетворяет условию
V [х% у) а X : d (Atx9 Aty) < А, (/) d (x, у),
причем 0 ^ к (/) < 1 для t £ 7\ Предположим, что К 6 С (Т) и для
любого х £ X функция t ^ Atx непрерывна на 7\ Пусть х (t) —
неподвижная точка преобразования Аь t £ Т. Доказать, что х £
£С (Г, X).
Х.5.15. Пусть хг (t) = 1, х2 (0 = t, t£la, b]. Описать алгебру
функций Л, включающую функции хг и х29 и найти замыкание А.
Х.5.16. Пусть [я, b] cz [0, +оо) и А —семейство всех конечных
линейных комбинаций функций
[а, &]Э<ь***\ п>0.
Определить Л.
194

Х.5.17. Пусть {/„ i n > 1} cz С ([a, b]) — последовательность
функций, разделяющая точки отрезка [a, 6]. Доказать, что
V/6С([a, ft]) Ve>0 3m£N 3F£C(Rm) :
V/6(fl,6] |f(0 —^(/i(0. -.. Л«(0)1<е.
Х.5.18. Пусть (X*, df), * = I, 2,— компактные метрические
пространства, Хг х Х2 — их декартово произведение с расстоянием
задачи Х.1.4. Пусть f$C(Xj х Х2). Доказать, что
Ve>0 3/i£N i{giu ... g,„}c:C(X,)f i=-l, 2 г
V(*lf х2)£Хл х Х2
/(Xlf *а) — 2tglk(X1)g2k(Xi)
fe=l
<8.
Х.5.19. Пусть ф 6 С ([а, Ы). Доказать, что утверждение
V/6C([a,fcl) Ve>0 3n6N 3{a0, ..., a,n} cz R
\/*6|я, Ы
fu>- S<wpU)*
fe=0
<8
справедливо тогда и только тогда, когда функция ф строго
возрастает на [а, 6].

Глава
L
XI
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОТ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ,
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
XI. 1.1. Для функции
R2 Э (*i. *2) ^ / (*i> х2) = х\ + х\
, —»
вычислить /U (2, 1), а = (1, 1).
а
XI. 1.2. Для функции
—»
определить направления а, для которых существует производная
/L» (0, 0), и найти ее. Проверить, что / 6 С (R2).
а
XI. 1.3. Для функции
R2 Э (х19 х2) *-+ f (*ъ х2) = Vx^Xi
определить направления а, для которых существует производная
/!> (0, 0). Проверить, что f£C (R2).
XI. 1.4. Для функции
R Э (-^l* ^2> *з) *""** / f-^1» *^2» ^з) == I *1 "Г #2 "Г «^3 I
определить направления а, для которых существует производная
/-> (*ь #2, хз) в точке (хь *2, *з), *i + *2 + Хъ = 0.
XI. 1.5. Для функции
^^-, (хих%)Ф(0,0);
f{xlt х2) —
*?+*?
0, (х„ х2) = (0, 0),
вычислить /С (0, 0), /w(0, 0) для а = (1, 0), 6 = (0, 1). Существует ли
а о
H+t (0,0)7
XI. 1.6. Пусть
т т
/(*!, ..., хт) = а + £ 6л + S я/**/**
196

ДЛЯ (Хг Xm)^fT. ВЫЧИСЛИТЬ
<Я/
■зг-. -згз—. 1</. *<т-
XI. 1.7. Пусть
Г1 "Г *5
v 0, (лсх, jc.) - (О, О).
Доказать, что /I и f'i существуют на R2. Доказать также, что /-» (0, 0)
существует для любого направления а. Проверить, что / разрывна в
точке (0, 0).
XI. 1.8. Пусть
t{XuX2)~\-xlX2, \xt\>\Xl\.
Доказать, что fa (0, 0) ф fn (0, 0).
XI. 1.9. Пусть
I 0, хгх% = 0.
Доказать, что функция / имеет частные производные всех порядков,
которые не зависят от порядка дифференцирований, и что / разрывна
в точке (0, 0),
в точке (0, 0),
XI. 1.10. Для функции
R2 Э (*!, х2) н* / (*lf х2) = " J e"*dw
найти /i, /2.
XI.l.ll. Найти производную функции
1
«1*2
Rm3(*i хт)~»
1
*Г' 4"
• • • Хп
хт-]
в точке (х\9 ..., *«) по направлению а = (1, 1, ..., 1).
X 1.1.12. Пусть А — открытое выпуклое подмножество Rmf
функция / : А -+ R имеет частные производные первого порядка
на Л, причем
loen vlc^A V*6{lf 2, ..., т) i
Доказать, что / равномерно непрерывна на А,
197
*/(*)
axk
<*.

XI. 1.13. Пусть А — открытое выпуклое подмножество Rm,
функция / : А -> R имеет частные производные первого порядка на Д,
причем
\/х£А VfteU. 2, .... m> : Ц$- = 0.
Доказать, что / постоянна на А.
XI. 1.14. Для функций
т т
f(x)= £ akxki g(x)= S bk/XtXf,
x = (#lf ..., #w) € R »
где {ak}9 {bkj} — числа из R, определить производную (градиент).
XI. 1.15. Проверить справедливость формулы
1) V(cf) = cVf, c6R;
2) V(f + g)^Vf + Wg;
3) V(fg) = gVf+fVg;
4) у(т)--?-от-^*>. ^°'
в предположении, что существуют производные-градиенты функций
f,g: R"->R.
ХМ. 16. Пусть
f(*l> ^2) =
1Г- *^0;
0, х2 = 0.
Доказать, что /' (0, 0) = V/ (0, 0) = (0, 0) и что функция / не
является непрерывной в точке (0, 0).
XI.1.17. Для функции/: Rm -> R и направления а в точке
х° существует f-> (х°) > 0. Доказать, что
а
Эб>0 W€ (0,6) : f(x0 — ta)<fG°)
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
X 1.2.1. Описать все линейные функции
L (х) — JJ а,*,, х — (хь ..., хш) £ Rw; {«/} <= R,
для которых
L(*)-o(|*|)f *->(>««>, .... 0).
Здесь
JL
(т \ 2
,5*7 *
198

X 1.2.2. Проверить, что
1) функция / (хи х2) = /#л, (хъ х2) 6 R2 дифференцируема в точках
(*i» *2)» хгх9Ф0:
2) МО, 0) == ЫО, 0) = 0;
3) / не является дифференцируемой в точке (0, 0);
4) / не является дифференцируемой в каждой точке (х19 лг2), для
которой хгх2 = 0.
X 1.2.3. Проверить, что
1) для функции
tbu*i-{ТЯГ "■■'«"И0'0);
I 0, <*„ *,) - (0, 0),
существует /U (0, 0) для любого направления а\
2) / не является дифференцируемой в точке (0, 0).
Х1.2.4. Пусть / (xlf х2) = V хг?аг2, (хъ x2)6R2- Для каких
направлений а существует /1> (0, 0)? Является ли / дифференцируемой в точке
(0, 0)?
X 1.2.5. Для функции
f (хъ х2) — (Vxx + V^3, (х19 х2) 6 R2
доказать, что
1) /6C(R2);
2) f-> (0, 0) существует для любого направления а\
3) / не является дифференцируемой в точке (0, 0).
X 1.2.6. Для функции
/(*ь *«) =
/*!*8
cos-
0,
хгф0;
*i = 0,
доказать, что
1) /6C(R2);
2) /i(0,0) = /;(0f0)-0;
3) / не является дифференцируемой в точке (0, 0).
X 1.2.7. Для функции
/Ч*ь *2) =
*2, Хл = 0,
199

доказать, что
1) / € С (R2);
2) / дифференцируема в точке (0, 0),
3) f\ разрывна в точке (0, 0).
X 1.2.8. Определить множество всех тех точек R3, в которых
дифференцируема функция
f (*ъ *2, *ъ) = ^*? + 2*2 + Здсз, (хл% хъ х9) 6 R3.
X 1.2.9. Пусть а> 0 и
а
(т \ 2
S*?J , х = (хъ .... xj€Rw.
—>
При каких а функция / дифференцируема в точке 0 = (0, ..., 0)?
X 1.2.10. Функция f i В (х , г)-> R удовлетворяет следующим
условиям:
1) Vx£B(x°tr) f дифференцируема в точке х%
2)3c6R V*6£UV) i l|V/(x)Kc
Доказать, что
V(?,?|cB(?,r) : |/(?)-/(?)|<cf*'-?||.
XI.2.11. Функция/: В (х°, г) -* R удовлетворяет следующим
условиям:
1) Vx£B(x°, r) f дифференцируема в точке х\
2)Чх$В&9г) V*€{1 m} i ^ = 0.
Доказать, что f(x) — f (x°), х£В(x°, г).
X 1.2.12. Функция f ! [0, I]2 —► R называется
дифференцируемой в точке х 6 [0, I]2, если
f(x + 2) — f&)-f'(x)2=6(x^)\\al
причем б (я, а) -► 0 при а -> 0; х + а 6 Ю, I]2. Предположим, что
l/i, /i}cC([0f IP). Доказать, что
sup | б (х9 а) | -у 0, а -► 0.
Гб[о.1]2
—>
XI.2.13. Пусть Л — открытое подмножество Rm и точки х =
= (*ъ •••> Jf/n). f/ = (Уи •••> f/J таковы, что
(x + tQ—x) | /ею, |]}с=л.
200

Доказать, что для функции fi A -v R, /£ С1 (А) справедливо равенство
X 1.2.14. Записать формулу Тейлора относительно точки 0 = (0,...,0)
для следующих функций:
1) /(х) = ехр(*! + *2 + ••• +хт)% х = (х19 ..., xm)£Rm\
2) /(*)=» ln(l+*! + *,+ ••• +хт), хг+ ••♦ +хт>— 1.
X 1.2.15. Разложить функцию
/(*ь *■)-**+*•, (*ь *2KR2
в ряд по степеням хг — 1, х2 + 1.
X 1.2.16. Пусть
1
/ (*ь х2) = J ch (xtt) ch (*2/) d/, (xl9 х2) £ Ra.
о
Написать ряд Маклорена для /.
§ 3. ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
X 1.3.1. (Седло). Для функции f (xlt х2) = х\ — xl, (хъ х2) 6 R2
найти критические точки и доказать, что эти точки не являются
точками экстремума.
X 1.3.2. (Обезьянье седло). Для функции / (хъ х2) = х\ — Зхг$9
(*i> х2) 6 R2 найти критические точки и доказать, что эти точки не
являются точками экстремума.
X 1.3.3. Пусть
/ (*i. х2) = (х2 — х\) (х2 — 2л:?), (xl9 х2) б Ra.
Доказать, что
1) (0, 0) есть критическая точка для /;
2) для каждого ф £ [0, п) функция
R 3 / ь> / (/ cos ф, / sin ф)
в точке t =я 0 имеет строгий минимум;
3) (0,0) не есть точка локального экстремума /.
X 1.3.4. Проверить, что для функции
f (xv x2) = | хг | + | х21, (xl9 x2) e R2,
точка (0, 0) есть точка строгого минимума и что f\ (0, 0) и /£ (0, 0)
не существуют.
XI.3.5. Пусть функция / j Ъ (0, 1) -* R удовлетворяет
следующим условиям:
1) / 6 С (в (0, 1));
201

2) / дифференцируема в каждой точке х9 |х||< 1;
3) f(x) = 0 при jc, \х\ = 1.
Доказать, что
3?€В(0. 1) V*e{l....fm} : 41^ = °'
X 1.3.6. Определить критические точки функции и исследовать
их на экстремум
1) f (*i, х2) = х\ + х\ — (хг + x2f, (хъ х2) £ R2;
2) / (хи х%, х3) = xi + xi + xi + ххх2у (хи х29 х3) 6 R8;
о) I (х19 x2t хв) = ххх2 -\- x2xBt (xlt х2% д^з) б К ;
4) / {хг, хъ хв) = х\ + xi — агз, (хъ х2, хв) £ R3;
5) / (хи х2у х8) = 2а;{ + 3xi + xt — 2x2xs + 2хгх39 (хъ х29 лг3) £ R3;
6) / (х19 х29 х3) = (хг + х2 + х3) е-х*-2х*-*х», хх > О, х2> О, xs > 0;
т / т v
7) f(xl9 ..., *m) = £ **ехр(— £ **),
а:л ;> 0, 1 ^ /г ^ т\
N т
8) f(xlt ... , хт) = S а, £ (**-4°>2,
(а^, ..., хт) £ R f
где а, > О, (x{i\ .... xi?)?*"1! 1 </< ЛГ — фиксированы.
XI ,3.7. Для каждой из функций
h (*i, х2) = х\ + х\9 /2 (Хъ х2) = а:! — д& t* (хъ х2) = — fx (xl9 x2)
точка (0, 0) является критической. Проверить, что
/О 0\
1) МО, 0) = ^ 0J, /=1,2,3;
2) (0, 0) есть точка минимума, седловая и максимума для функций
/ь /г и /з соответственно.
X 1.3.8. Определить наибольшее на множестве {(*lt х2) \ х1^0>
х2 ^ 0} значение функции
/ (*i, х2) = хгх2е-х1~х\ {Xit ч) £ R2
X 1.3.9. Доказать, что
202

X 1.3.10. Пусть А — замкнутое подмножество Rm, / £ С (А) и для
—> —>
любой последовательности {xin) \ п^ 1} а Л, || *<п> | -> +оо, я ->
-> оо, выполняется соотношение
/(*(Г1))-> + оо, л->оо.
Доказать, что
Эх*еЛ У^Л : /(**)</(*).
XI.3.11. Пусть Р — многочлен в R2. Верно ли, что
3**£R2 VxfR2 : |Я(Я)|<|ЯЙ|?
Аналогичное утверждение верно для многочлена на R.
X 1.3.12. Определить наибольшее и наименьшее значения на
множестве {(#1, х2, х3) | хг ^ 0, х2 ^> 0, х3 ^ 0} функции
f(xu х2, х3) = (хг + х2 + х3)егх^х^\
(хъ х29 xs) £ R .
XI.3.13. Пусть {
#> ^i> •••> Ьщ) cR, С = (c/fej/fesssi —симметрическая
невырожденная матрица и
m m
f(xlt ... , хт) = а + 2 М* + S <W*
х = (#lf ... , xm) t К •
Проверить, что значение х° = g- C~ 6, где ft = (&lf ...f 6W)*, есть
единственная критическая точка функции /. Доказать, что
следующие утверждения эквивалентны:
1) х° — точка локального минимума (максимума);
-*
2) х° — точка минимума / на Rm (максимума / на Rm);
3) матрица С положительно (отрицательно) определена.
X 1.3.14*. Пусть (X, d) — сепарабельное метрическое пространство
и /: X -> R. Доказать, что множество всех точек строго локального
экстремума функции / не более чем счетно.

гла.вХИ
ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ
ОТ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ.
Дополнительные задачи
к главам X—XII
§ 1. ОТОБРАЖЕНИЯ.
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ.
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
XII. 1.1. Для отображения /найти образ f (А) множества А, если
1) 7(*i, х2) = (*i, - х2)\ (хъ х2) е А = [0, 1] X [0, 2];
2) 7(*i. *t) = (*i. х\)\ (хг, *2)£ Л - [0, 1] х [— 1, 1];
3) 1(хи х2) = (хг + х29 хг — х2)\ (хи х2)£ А = [О, I]2;
4) f(rt у) = (г cos у, гйпф)^ (г, Ф)£Л для случаев:
Л = ЛХ = [1, 2] х [-2-, я], Л = Л2 = [1, 2]х[0, 2л];
5) / (г, ф) = (е cos ф, ег sin <p)*f (г, ф) £ Л для случаев:
А = Аг = [О, 1] х [0, я], Л = А2 = [О, 1J х [0, 2л];
6) 1(хи х2) = (х\ — xl9 2хг х2)\ (*!, х2)£А = [О, I]2.
XII. 1.2. Для отображений задачи ХИЛ Л найти образы
координатных прямых.
XII.1.3. Определить, какие из отображений задачи XII. 1.1
являются взаимно однозначными, непрерывными.
—> -+
XII. 1.4. Для отображения / найти образ f (А) множества Л,
если
1) l(rt ф, *3) = (гсо8ф, rsincp, х3)\
(г, Ф, х3)е Л = [0, 1] X [о, -f ] х [0, 2];
2) / (/*, Ф, 9) = (г cos ф sin 9, г sin ф sin 9, г cos 9/,
(г,Ф,9кЛ = [1,2]х[о, ~]х[0, я].
Найти образцы координатных линий и координатных плоскостей
при отображении f. Доказать, что отображение / непрерывно на Л.
204

Проверить также, что отображение / в 1) не взаимно однозначно,
а в 2) — взаимно однозначно.
~> —»
XI 1.1.5. Для отображения f и точки х° найти производную
f (х°) и главную линейную часть отображения в точке х :
1) 1 задачи XII.1.1, 2) и 1° =[-\-, о);
2) /задачи XII.1.1, 4) и ?° = (l, -£-);
3) / задачи XII. 1.1, 5) и Г° = (г°, ф°);
4) /задачи XII 1 1, 6) и х° = (хи х2)\
5) / задачи XII 1.4, 1) и х° = (г°, ф°, х3);
6) / задачи XII. 1.4, 2) и > = (Л ф°, 9°).
XII.1.6. Для отображения
7(*i. *2) = (\х1— х21, | *, + *21)', (хъ х%) £ R2
->
«определить точки, в которых / дифференцируемо. В этих точках най-
-+ -» -+
ти /', det f. Определить критические точки и найти /~1 ({(1, 1)}).
XII. 1.7. Для отображения
1(хъ х2) = {х\ + xi 2хлх2)\ (хъ х2)£ R2
определить точки, в которых / дифференцируемо, для них найти
—*• -*■ -> -*
/' и det f\ Определить критические точки / и найти f—] (Л), где
А = {(у» У2) I Уг>0, у2>0).
XI 1.1.8. Вычислить якобианы отображений, введенных в задачах
XII.1.1 и XII.1.4.
XII. 1.9. Для отображений
f (г, Ф, в) = (г cos ф, г sin ф, 8)\ (г, ф, 9) £ R3;
ё(Уг> 02» Уз) = (0i cos #з, 02 cos 0з, V y\ + yl sin 08)',
(01, 02, 0з> € R3;
ft (г, ф, 9) = g(f(r9 ф, 9)), (г, Ф, 9) £ R3
-*-»-> ->—►-♦
вычислить производные /', g', ft' и якобианы det /', det g\ det h!'.
XII. 1.10. Пусть
f (*!• x2) = (-у sin *i T cos *? + 2» ~ cos *i + — sin *2 — 1 ] ,
{*i» x2) 6 R2 Доказать, что / имеет единственную неподвижную
точку в R2.
205

§ 2. ОБРАТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ. НЕЯВНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
XII.2.1. Доказать, что отображение f взаимно однозначно на
множестве А, и найти обратное отображение g:
1) 7(*i. x%) — (*i + 2*2, *i — х2)', (х1г х2) £ А = R2;
2) 7(*j. *а) = (^1 — Jfl, ^х,), (xlf *2) £ Л = (0, + оо)2;
3) 7(*„ *«) = (*? + *£, *, — *2)'. (*i. *i) € ^ = {(xlt х2) \ хх + х2 > 0};
4) 1(г, у) = (г cos q>, rsiny)',
(г, ф)£Л —{(г, ф) | л>0, ф€(—я, я];
б) 7 (г, Ф. *з) = (гсоэф, г simp, x3)',
А = {(г, ф, х3) | г > о, ф^Ю, 2я), *3€R);
6) 7(г. Ф. 9) = (г cos ф sin 0, г sin ф sin 9, л cos в)',
А = {(г, Ф, в) | г>0, Фб(0, 2я), в€(0, я)}.
XII.2.2. Проверить, что отображение / задачи XII. 1.6 не
является взаимно однозначным на R2. Доказать, что его сужение на
множество А = {(хи х2) | Хх — х2 ^ 0, Xi + х2 ]> 0} является взаимно
-*
однозначным отображением, и найти обратное к нему отображение g.
XII.2.3. Проверить, что отображение / задачи XII. 1.7 не
является взаимно однозначным на R2. Доказать, что его сужение на
каждое из множеств
Аг = [(хи х2) | хг>0, |х21<хг)%
А2 = {(хи х2) | | хл К — хъ х2 < 0}
является взаимно однозначным отображением, и найти обратные ото-
бражения gt и g2 соответственно.
XII.2.4. Доказать, что отображение
-* —*
f(x) = x° + ■7=Х"У _ , *€Rm,
для фиксированной точки х°£ Rm есть диффеоморфизм Rw на В(х°, 1).
Найти "Г1.
XII.2.5. Доказать, что отображение
—*
7G) %- , *ЬА = 6(0, 1) с Rra,
есть диффеоморфизм Л на f (Л). Найти / (Л) и f-1.
206

XII.2.6. Пусть *°6Rm и г>0 фиксированы. Отображение
fix) = х° + „, ' _ (х —>), х Ф~х°,
\\x-x°f
называется инверсией с центром в точке х° и радиусом г. Доказать,
что / есть диффеоморфизм и что
7({* I 0<|*--?|<г})-{* I &-х°\\>г).
ХИ.2.7*. Отображение f: Rm-* Rm, J^C1 (Rm) с положительным
числом Я, удовлетворяет условию
V{x,y}c:Rw : |7(*)—75)|>Х|*-^
Доказать, что
—>
1) отображение f взаимно однозначно;
2) det/'(*)# О, ^Rm;
3) / (Rm) = Rm.
XII.2.8. Проверить, что отображение
f(xu х2) = (eXt cos х2% eXt sin x2)r, (xu x2) g R2
1) не является взаимно однозначным на R2;
2)7eC4R2);
.3) detf'^O на R2;
4) локально обратимо в окрестности каждой точки в R2. Найти обрат-
лое отображение для сужения / в окрестность точки (0, 0), (0, 2л).
XII.2.9. Проверить, что отображение
/ (*!, х2) = (*2 sin xl9 I +хг+ x2)\ (xl9 x2) e R2,
принадлежит классу С1 (R2). Доказать, что / локально обратимо в
•окрестности точки (0, 1). Для обратного отображения g вычислить
М' ((0, 2)).
XII.2.10. Доказать, что отображение
f (*i. *2) = (х\ — xi 2ххх2)\ (х19 х2) б R2,
локально обратимо в окрестности каждой точки (х\9 xl) Ф (0, 0).
Пусть х\ = х2 = I и g — соответствующее обратное отображение.
Найти g' (.(0, 2)).
207

XI 1.2.11. Доказать, что отображение
/ (*i. х2) = (*i + *2 cos xl9 e2Xi (x2 + 1))\ (х19 х2) £ R2,
обратимо в некоторой окрестности точки (0, 0). Для обратного отобра-
-> -+•
жения g найти g' ((0, 1)).
XI 1.2.12. Проверить, что преобразование
Г(*ъ х%) = (х\ + 4, х? — Х2?, (xl9 x2) £ R2,
обратимо на R2, и найти обратное отображение g. Вычислить
det f (0, 0).
ХН.2.13. Доказать, что в некоторой окрестности В (0, г)
существует единственная функция / £ С1 (В (0, г)), удовлетворяющая
условиям
fix cos fix) _f_ ef(x) cos 2x = 2, x £ 5 (0, Г);
/<0)-0.
Вычислить /' (0).
XII.2.14. Пусть F(xl9x29y) = x2i + xl+y2-l,(xl9x29y)£R9.
Доказать, что для любой точки (х°\9 xl) такой, что (xl)2 + (хг)2 < 1 и
значения у° = V 1 —- (#I)2 — (хг)2, функция
/+ (*i. x%)=*V \ — х\ — &9 х\ + х\ < 1,
удовлетворяет условиям
F (xlt х2, /+ (xlf х2)) = 0, *? + xi < 1;
Аналогично функция
M*l.*t)e— V\—X\ — X\9 *1 + *2<1
удовлетворяет условиям
^(*ь *2, /- (*i> х2» = 0, *? + х\ < 1;
XII.2.15. Пусть
? (*, Уи У*) = (х— Syt + yi 2х+уг— y2)l9 (xt yu у2) £ R3.
К отображению F в точке (0, 0, 0) применить теорему о
существовании неявного отображения. Доказать также, что отображение
f(x) =(-y~2x-±V9- 28*, 4-Т ^9-28^J-
1*1 "-28*
208

удовлетворяет соотношению
F(xj(x))=09 |*|<-§r«
XII.2.16. Доказать, что в некоторой окрестности В ((О, 0), г)
существует единственная функция / £ С1 (В ((0,0), г),
удовлетворяющая условиям
*1 + *2 + / (*Ц *2) — Sin (*Л/ (*1> *г)) = °»
(xl9 xjt'B((0, 0), г);
/(0, 0)-0.
Найти МО, 0),£(0, 0).
XII.2.17. Доказать, что в некоторой окрестности В ((1, 1), г)
существует единственная функция / g С1 (-S ((1, 1), г)),
удовлетворяющая условиям
e*+* In(*, + *2 + /(xlt x2) — 2)-2x,+x2 + f (xl9 х2) = 0,
(хихш)£В((1, 1), г);
/(1. 0=1.
Вычислить Д (1,1) и /i (1, 1).
XII.2.18. Доказать, что в некоторой окрестности В (1, г) сущест-
-* —»
вует единственное отображение /г 5(1, г) -*■ R2,/£ С1 (5 (1, г)),
/ = (/ь /«)'» удовлетворяющее условиям
2хе2х+тх)-ш _ /2 (Х) cos /, (д:) = 0,
In (/s (х) — х) + sin /, (х) + 2х + /, (х) — /, <*) = 0
ДЛЯ X £ В (1, Г) И
/i(D = 0, Ml) =2.
Вычислить /' (1).
XII.2.19. Отображение / : А -> Rm, A — открытое множество
в Rm, называется регулярным, если / 6 С1 (А) и det /' (х) Ф 0, х £ Л.
Доказать, что
1) / (Л) открыто;
2) для любой точки х° существует окрестность В (х°, г) такая, что /
есть диффеоморфизм В (х°у г) на / (В (х°, г)).
§ 3. ЛОКАЛЬНЫЙ ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
ХН.3.1. Определить точки относительного экстремума функции
1) / (*i. Ч) = *i + 2*а. х\ + х\ = 1;
2) / (*ъ *а. *з) = *i — Ч + 2*з> x2\+xl + 2x1 = 2;
3) / (х19 х2) = х\ + ххх2 + xl, x2i+xt=* 1;
209

4) / (xlt x29 xs) = 3x2 + 3x1 + xi xt + x2 + xz = 1;
5) / \X\9 x29 %з)== x^x2 -\- ZXiXs -J- 2х2х$9 XiX2x3 = 4;
6) f(xu x2, x3) = хг + x2 + x3, x? — #2 — xx — x2 — x3 = 0;
7) /(*lf x2) = (*, - l)2 + (x2 + l)2, x? + xi — 2xxx2 - 0.
XII.3.2. Определить минимальное расстояние от точки (1, 4)
до параболы Г = {(хъ х2) | xl = 2хи х± £ R}.
XII.3.3. Найти минимальное и максимальное расстояния ар
точки (0, 0) до точки на эллипсе
Ъх\ — 6хгх2 + Ъх\ = 8.
XII.3.4. Найти кратчайшее расстояние от точки (0* 3* 3) до
окружности
Г = {(*!, х29 х3) | х\ + х\ + х\ = 1, хг + х2 + х9 = 1}.
XII.3.5. Найти кратчайшее расстояние между кривыми
Г, = {(х19 х2) | х\ — х\ = 3}, Г2 = {(хи х2) | х2 — 2хг).
XII.3.6. Определить наибольшее и наименьшее на множестве А
значения функции
О f(xu х2)=*х\ — xi А = \(х19 х2) | х\ + *2<1};
2) / (х19 х2) = (хг + З)2 + xi А - {(*lf *2) | х\ + xl < 4};
3) №, *2) - (хг -2)2 + Д Л - {(*lf х2) | -2<^< 1, -1 ^
4) /(*i, x2) = (x2-xl)el~x*-x\
A = {(xl9x2) | *t+*22<4};
2 2
5) / (jclf x2) = (2x2\ + xl) g1""*1""'2, где А — множество из 4;
m f m \
6) f(xl9 ... , *J = E xl A = l(*lt ..., xm) I j^ x{< l|.
XII.3.7. В шар радиуса г вписать цилиндр наибольшего объема.
XII.3.8. В эллипс
х2 х2
-г+—г3*1» ai>°> а2>0,
вписать прямоугольник, стороны которого параллельны
координатным осям и который имеет наибольшую площадь.
XII.3.9. Найти наименьшее значение функции
т
f (*i. ... , хт) = £ сцх\
1=1
210

при условии хг + х2 + ... + хт = 1. Здесь аъ а2, ..., ат —
заданные положительные числа.
XII.3.10. Найти наибольшее значение функции
т
I (#1> • • • » Хт) = 2j aixi
при условии х\ + х\ + • •• + ;&=» 1. Здесь alf a2,..., ат —заданные
положительные числа.
XII.3.11. Найти наибольшее значение произведения
2 2 2
Х\Х2 . ■ #т
ПрИ УСЛОВИИ Х* + Х9 + ... + Хт — 1.
XII.3.12. Определить расстояние от точки л;0 g Rm до
гиперплоскости
# = {x6Rw | «£=&},
где вектор a £ Rm, || а \\ Ф 0 и число Ь £ R — фиксированы.
ХН.3.13. Пусть л*£(0, 1), 1<6<т, и £ х, = 1, т> 1. Дока-
зать неравенство
т
У—-
>.
L , 1 — *ь /я — 1 '
m
XII.3.14. Пусть *ft > 0, 1 < k ^ m, Ц #* = 1. Доказать не-
равенство
n*n-*)<J2^.
XII.3.15. Пусть xk>0, l</e<m, £ ** = 1, а > 0, Ъ > 0.
Доказать неравенство
§ 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛАВАМ X—XII
XII.4.1. Для функции / : la, Ы -* R положим
l/»BL; = sup|/|+ sup »'%-"0'
хфу
и пусть
BL([a, ft» r — {/1 [af 6J-^R | ||/Ibl< + oo},
d(f,g):=\\f-g Ibl, {/, £} с BL ([a, 6]).
211

Доказать следующие утверждения:
1) (BL ([а, b])> d) — полное сепарабельное метрическое пространство;
2) множество BL ([a, b]) всюду плотно в С ([а, &]) с равномерной
метрикой.
XII.4.2. Пусть (X, р) — метрическое пространство, (У, а) —
полное метрическое пространство и
В(Х, Г): = {/: Х+К | sup о (/(*'), /(*"))< + «>},
т (Л g): = sup а (/ (х), £ (х)), {/, g) с В (X, Г).
Доказать, что (В (X, Y), т) — полное метрическое пространство.
XII.4.3. При условиях предыдущей задачи пусть
С6(Х, Г): = В(Х,Г)ПС(Х,Г).
Доказать, что (Сь (X, К), т) — полное метрическое пространство.
XII.4.4*. Пусть в задаче XI 1.4.2 (X, р) — компактное
метрическое пространство, а (К, а) — сепарабельное метрическое
пространство. Доказать, что (С (X, F), т) — сепарабельное метрическое
пространство.
ХИ.4.5. Пусть R+ : = [0, + оо) и
ч*-УУ--[ о, х-у.
Доказать следующие утверждения:
1) (R+, р) — метрическое пространство;
2) (R+, р) — полно;
3) (R+, р) не является сепарабельным.
XII.4.6. Пусть для каждого а £ Т множество /С« —
компактное множество в метрическом пространстве, причем для любого
конечного набора значений аь а2, ..., ап
П КакФ0.
Доказать, что
П КаФ0.
XII.4.7*. Привести пример полного метрического пространства
и последовательности замкнутых вложенных друг в друга шаров,
имеющей пустое пересечение.
XI 1.4.8. Для отображения
/2л 2я у
F (х) = I J х (t) cos tdt, J x (t) sin tdt I , x 6 С ([0, 2я]),
40 0 /
определить образ F (С ([0, 2л])).
XII.4.9. Для отображения
T(x) = nx(l)dt, \tx(t)dt%\fx(t)dt\ , *€С([0, 1]),
\о о о /
-определить образ F (С ([0, 1])).
.212

XII. 4.10. Отображение A: Rm -► Rm имеет единственную
неподвижную точку х? и удовлетворяет условию: для любого компакта
К существует число а = а (К) < 1 такое, что
V{x, y\czK : lAx-Ayl^*\x — yl
Доказать, что для любого х° £ Rm последовательность
Zo -1(1) . _ д1о -Id) . __ д>-\)
сходится к х*.
XII.4.П. Для функции f£C([0t 1]2) доказать соотношение
max
£c*nf(±,y)x*(l-xrk-f(x,y)
■О, я->оо.
ХП.4.12. Функция /i Rm ->■ R называется выпуклой на Rm,
если
V{*, */}czRm Va£[0, 1] :
f(aa + (l—a)ti^af(x) + (l—a)f(j}).
Доказать, что функция / £ С2 (Rm) выпукла на Rm тогда и только
тогда, когда для любого х £ Rm матрица /* (х) неотрицательно
определена.
XII.4.13. Множество У cRm называется выпуклым, если
\f{ify)cV Va£[0, 1] i oLx + (l-a)y£V.
Для функции / i V ->• R, выпуклой на V, доказать неравенство
V«>2 V{x(1), ..., 7n))^V
V {alt ... , an) cz [0, + oo), ^ + a2 + • • • + an = 1 ;
:<*к
XI 1.4.14. Для функции f£Cn(R2) доказать равенство для любых
/ (*t. *i) = / (0. 0) + f\ (0, 0) Xl + ft (0, 0) хг +
+ -J" </ii №. °) *' + 2/« (°. °) *Л + fa Ф, 0) 4) +
1 2
• •' + („.in, J 2 ft..tn (tot, tx2) xh... xtf-'dt.
XI 1.4.15. Для отображения
f (xu x29 x3) = (e?x* + e2x\ б2* — e2x\ xx — *2),
213

(xlf x2, *3)£R3 определить /(R3). Доказать также, что отображение
—► -*■
/! R3 ->- / (R8) взаимно однозначно, дифференцируемо и имеет
обратное дифференцируемое отображение.
X11.4.16. Пусть J i R"1 -> R", 7 6 С1 (Rm), A cz Rm —
замкнутое ограниченное множество. Доказать, что
3L>0 V{x,y}czA :
\ffa--7(yn<L\x-yl
XI 1.4.17. Найти экстремальные значения функции / : R* ->- R,
определяемой неявно уравнением
КХцХг
ехр (и2) du =xi + x\% (xu x2) 6 R2.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
Глава ЖI III • интегралы,
ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
§ 1. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ,
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА,
ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
ХНЫ.К С помощью определения доказать сходимость и найти
значение несобственного интеграла
-{-ОО «{-ОО
1) j егЧх; 2) j -^-, а>0, Ь>\\
О а
-{-оо -f-o©
3) J 1+*« ; 4) ) (*+1)8 ;
—оо Г
+00
„ j tyC* ; „^fc
1
7)i,F^; 8>[
v'TT^T]
9) J.-V! * . 10) j
+ oo
^7 ' ' J x2 + 6x + 8 '
о i
XIII. 1.2. Доказать расходимость интеграла
+•0 1
1) j -7-. a>0, ft<l; 2) j-^-, a>lj
a 0
-|-oo 4-00
3) J sinxdx; 4) ] ex —, a>0j
0 1
-t-oo 4-00
dx
x\nx •
2
215

XIII.1.3. Пусть функции {Д g) с С1 ([а, +оо)), один из
интегралов
+оо 4-°°
J f(x)g'(x)dx, J f'{x)g(x)dx
сходится и существует предел
lim (f(x)g(x)).
Х-*+00
Доказать сходимость второго из интегралов и справедливость
формулы
4-оо -}-оо
( f{x)g'(x)dx= lim (f(x)g(x))-f(a)g(a)- { r(x)g(x)dx.
a *-*+oo £
XI11.1.4. Найти интеграл
1 +00
1)
О
1 +00
^xlnxdx; 4) j xne~xdx, n£N;
о о
-j-oo +oo
1 -f-OO
§\nxdx; 2) £ xe~xdx\
\ erx sin xd#; 6) j *e~* sin *d;r
XI11.1.5. Доказать сходимость интеграла
+oo +oo
0 1
+0O +00
\ erx\nxdx\ 4) J {™x4 dx;
i
+00 +00
1 ^'^ a>0; 6) J х|п.£+|)
1 1
+oo +oo
i 1
17^Т; 10) \**гЧх, а>0;
С «In— С in-i-
6

XIII.1.6. Пусть f: [a, + oo)-vR — монотонная на \at -f- oo) функ-
ция, для которой сходится интеграл г f(x)dx. Доказать, что
1) /(*)-► О, х-* + оо;
2) xf(x)-+Q, x-> + оо.
XIII.1.7. Пусть /: (0, 1] -> R— монотонная на (0, 1]
функция, для которой при некотором а £ R сходится интеграл
1
\xaf(x)dx. (*)
о
Доказать, что xP+lf(x)-+Ot Х-+0+.
Доказать также равенство
1
SS-S-SK-fH'w*
для монотонной функции /, удовлетворяющей условию (*) при а = 0.
Проверить, что
Нт — lAil = —.
п+оо " е
XII 1.1.8. Исследовать сходимость интеграла
1
l)J(ln4-)a^, a£R;
о
1
2) f И», \a,b}c=R;
J Xе 111" —
0 X
3) f ,,Jf., . o>0;
J 1 + r* sin2 *
0
-foo
4) J i^p-dx, {a,&}crR;
l
+oo
5) j exp {— x4 sin2 a:} d*;
о
6) J x2exp{—a? sin2 x\ dx\
о
+oo
7) £ x|sin x|**d#;
+0O
/** + !•
217
8) ] ^Zli^h^lLdx.

XIII. 1.9*. Исследовать сходимость интеграла
1) С Ё1_
jLu-flii*,-i*-flii6'
| * - a J "
где \аи ..., a„}czR, а(фак, \фк, {Ьи ..., Ьп) a R;
+00
2) f *_
XI11.1.10. Доказать условную сходимость интеграла
+ос +оо
1ч Г ,sin* . 0. f cos a .
1) J -^-dx; 2) j —-dr.
0 1 f
+oo
3) $ /(*)<**, f(x)=i—J—, x£\n— l.n), /zgN;
0
+oo 4-°°
4) \ sin (a:2) dx; 5) \ s1"* arctg xdx;
0 n
+00 +00
6) С *'/'"' dx; 7) f ™*-(*±L)'a*
+00 +00
8) J (—l)1**'^; 9) J cos(*»>dx;
о ^
+0© +00
10) \ e*s\nle2x)dx; 11) \^x-^^dx.
о i
XI11.1.11. Исследовать сходимость интеграла
+oo 1
I
1 0
3) \ -ZJZ—sinxdx, a£R;
о
+00
4) £ ** sin (a:6) d*, {a, 6} cz R;
+oo +oo
5) f в"" r+8Mn\ d* 6) jcos^+ЛЛг.
218

-foo «foo
7) \ cos (л? + sin 2a:) d#; 8) I sin (x2 + sin x) dx\
о
+00
л. Г sinax ,
0
XIII.1.12. Пусть a£R,
УЛ>а « {/, £}cR([a, A])
-f-oo -|-oo
и сходятся интегралы J /2 (x) dxy \ g* (x) dx. Доказать абсолютную
a a
T
сходимость интеграла I f(x)g(x)dx.
a
ХШЛЛЗ. Предположим, что для функции / £ С1 (R) сходится интег-
+оо
рал \ \f'(x)\dx. Доказать существование предела lim f(x).
XIIIЛЛ4. Для функции /(^(R) сходятся интегралы
-f-oo -j-oo
J f(x)dx, \\f{x)\dx.
—00 —OO
Доказать, что / (х) -*■ 0, | x | -► +oo.
XIIIЛЛ5. Пусть /£C2(R) и сходятся интегралы
OO
J 0ю (*))»<*«, / — 0, 1, 2; Л = Д
—00
Доказать равенство
-|-oo «f-oo
J (/'(*)№ = - J f'{x)f(x)dx.
\\\\Л Л6. Для функции /g С2 ([а, +<*>)) сходятся интегралы
+00 +00
$ f(*)d*. j (f(x)fdx
а а
И
3L£R Vx>a : | / (х) f (x) |< L.
Доказать сходимость интеграла \ (/' (я))2 djc.
a
219

XI11.1.17. Вычислить предел
-f-oo ч f +oc
du
§ 2. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
XII 1.2.1. Вычислить предел
1) lim [Vie cos (ax) dx; 2) lim f Vx2 + a2dx;
3) lim f . , * 2; 4) limf -^ —.
a.o J l + *2 + *2 \_J , + ^ + JL)"
XI11.2.2. Вычислить предел
i
i
imj-£-«p(--£-)d*.
Можно ли перейти к пределу под знаком интеграла для вычисления
предела?
XII 1.2.3. Пусть /£C(R). Доказать, что для любых {a, b] cz R
справедливо равенство
ь
lim-JLf (/<*+«) — f(x))dx = f(b) — f(a).
a-0 a J
XI11.2.4. Пусть функции {<р„ ! n> 1} с: R (I—1, U)
удовлетворяют условиям:
1) V/z^N Vx£[— 1, 1] i <pnU)>0;
2) V e >0 sup | ф„ (х) |-> 0, n-> oo;
3) ] фп(*)^л;-* 1, n-+oo.
Доказать, что для любой /£С([—1, П) справедливо соотношение
i
lim [f(x)(pn(x)dx = f(0).
fl^lM Ч.
—1
Я
2
Г sin" jk
XHI.2.5. Вычислить предел lim I . , 8 &х<
220

H
2
XIII.2.6. Вычислить предел lim С erasXnxdx.
XIII.2.7. Доказать непрерывность на множестве определения
функции:
i
1) R9an> J(l + x)axdx;
J <r — х + a
3) (0,
4) (0,
+
+
оо)Эа **■
оо)Э a h*-
я
2
Л
f
i ax-
dx
- sin x + 1
a
Va
#
" f
XI11.2.8. Найти производную #' функции
l)g(«)-j '"j1^ d*. a>0;
2) # (a) = J |Л — a2 sin2 *d*, a g (0, 1);
3) # (a) = £ exp(— a(x + a)2)d*, a£R;
n
cos a
4)#(a) = J exp (a V 1 — *2)d*. a^R;
sin a
:* / ax \
5) # fa) = J J J ***rdy\ dx, a>0.
Xlll.2.9. Для функции / 6 С ([0, И) положим
gf(a): =*§f(x)\x — a\dx9 a£R.
Определить a £ R, в которых существует 3" (a), найти значение
91" (а) в этих точках.
22)

XHI.2.10. Пусть /С С1 <\0, I]) и
1
9(a): = j f (x) sign (sin (ал;)) dx, m > 0.
0
Вычислить V9 в точках существования.
XII 1.2.П. С помощью функции
ь
f(*): = \x*da, jcGCO, 1); /(0): = 0, f(l)i = 6 — a,
где 0 < а < ft, вычислить интеграл
1
In*
йл:.
§ 3. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ
НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
И ПРИЗНАКИ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ.
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ ИНТЕГРАЛАМИ
+00
XIII.3.1. Проверить, что \ -^ , а>1,
1) сходится равномерно на множестве [2, +оо);
2) не сходится равномерно на множестве (1, +°°).
2
Г dx
XIII.3.2. Проверить, что интеграл \ -, а<1,
1) сходится равномерно на множестве (—оо, — ,
2) не сходится равномерно на множестве (—оо, 1).
+ 00
XIII.3.3. Проверить, что интеграл \ ег^Яш-аУйх% af R,
1) сходится равномерно на множестве (—оо, п\ при любом /г>0,
2) не сходится равномерно на множестве [0, +оо).
+оо
XIII.3.4. Проверить, что интеграл \ { к *__ б , agR,
о
1) сходится равномерно на множестве (—оо, п\ при любом п £ N;
2) не сходится равномерно на множестве [0, +°°)..
ХШ.3.5*. Пусть/: [0,+оо) х [О, 1|->|0, +оо>, f6C([0, +оо) х
+0О
X [О, I]), причем \ f(x, a)dx = a, a£[Of lj. Доказать, что интеграл
\ f(x, a)dx сходится равномерно на [О, 1].
222

XI Н.Э.в. Доказать равномерную на множестве М сходимость
интеграла
2) J «х8 + x)e-ax'dx, Af = [l, 10];
о
3) J x^e-^dx, M -[-J-.2];
•f-oo
4) ^2^1 dx, A* — 12. 101;
5)\-^L^, Af-k-l-
6)
5
^
(1
1*
-X2)
dx
— a
dx
a
Iе
, Af-|4-,4|;
_ /и-U JL,
|ln(o*)|a ' I 2 ' 3 Г
XIII.3.7. Доказать равномерную на множестве /И сходимость
интеграла
+00
sin ах
О
+оо
V~x
dx, /W = {a | |a|>v}. Y>0;
2) J^ld«, Af — II. +oo);
0
3) С cos (a*8)d*, Af » {a | |a| > 1};
-f-OO
sin fax4*)
djt, M =
о
+00
4- +-)':
6) \ sin(ae*)dx. M = (a | |a|^l};
223

+oo
в) $ sm(xa)dx, M = \y, + со), v> 1:
о
+00
7) { sin x sin-^d*, M-[0f 1J.
XI11.3.8. Пусть / I [0, +00) -> R, / £ R ([0, А]) для любого Л >
>0и для некоторого a0 £ R
sup
Д»0
Л1
<+ 00.
Доказать, что для любого е > 0 интеграл
+ 00
j e-axf(x)dxt a>a0,
сходится равномерно относительно a £ la0 + e, +«>).
XIII.3.9. Доказать равномерную на множестве УИ сходимость
интеграла
+00
"J
sin*
er^dx, М = [0, + оо);
о
+оо
2 f cos* d* M R.
+00
3) J i^Larctg(ax)dx, M = {a | |a|>-i-};
+00
4) £ sin (*2) arctg (ад:) dx, M = R;
0
1
5) J -~ sin (4) 2a*d*' Af - (— oo, I].
0
XII 1.3.10. Пусть f\ [0, +00)-vR, /£R([0, Л]) для любого
Л > 0 и для некоторого а0 £ R сходится интеграл
+оо
j er°b*fix)dx.
о
Доказать, что интеграл
+00
\ er-axf(x)dx, a>a0f
сходится равномерно на [а0, +оо).
224

XIII.3.11. Доказать следующие равенства!
+оо +оо
D Um [ J±±-e-«*dx= \-^dx;
+00
+оо +оо
3) Hm j sin (a:2) arctg (а#) dx = -|- I sin(x2)dx;
а-»»+оо J 0
6) Hm С e~*ad* = 1;
a-*-H» g
+00
7) Hm [ a2 sin л:г-а^2йл: = 0;
a-*o+ g
8) Hm \ a2 sin xe~atxtdx = 4- *"
«-*+©© J г *
Х1Н.ЗЛ2. Пусть / 6 С ([О, +оо)), причем / (0) = 0 и sup {| / (л:)| ,
| х О 0} < -f-oo; g — абсолютно интегрируемая на [0, +°°)
функция. Доказать, что
+оо
Hm \ f[^-)g(x)dx = 0.
a-*0+ J \ x I
XIII.3.13. Пусть / £ С ([0, +°°)) и абсолютно интегрируема на
[О, +оо); g£C(p), -foo)) и ограничена на [0, +оо). Вычислить
предел
+ 00
Hm \ f(x + a)g(x)dx.
a-*-+oo о
XII 1.3.14. Доказать, что $ £ С (М) в следующих случаях:
+оо
1) 2(a)- j -j^rdx. M=R;
о
+00
2) д (а) = J e-*x sin Vxdx, M = (0, + оо);
о
8 7-Ю47 225

+~
3) 0(a) = j J^Le^xdxt M - [0, + oo);
о
4) 0(a) = ] sin (ax2) dx9 M = [l, + oo);
о
+00
i
6) 0(a)== Jlna(l+*V*, M =(-4"» + 00)*
l
7) 2(a)= j-^r-rf*. M = [0, 1);
0
л
8) 2(a)- f-^-, M = [0, 1);
J sinr a:
о
9) 0 (a) = \ sin (-—-) In xdx, M = R;
l
10) 0(a) = I e~ax sin (a:2) dx, M = [0, -f oo);
l
U)g(a)=f *~*d* , M = [0, 1];
J VI*—a|
12) 3(a) - f -n-^-, M = (0, 1).
J | sin * Г
+oo
XIII.3.15. Пусть #(a, P) = j *ln^er»*dx, где a6R,p>0. До-
o
казать следующие утверждения:
1) Va£R : V{a, f>)-+V{a, 0), p-*0+;
2) VP>0 Va6R I
3) #(0, p) = 0, p>0,
#(a, P) = arctg-|-
226

для а £ R и Р > 0;
4} Vа> 0 ; V (а, 0) = \ , то есть
+00
sin а* , п
■dx =
J л: "~ 2 *
о
XII 1.3.16. Пусть / 6 С1 ([0, +оо)), причем /' монотонна на
[О, +оо) и существует
lim /(x) = :/(+oo).
x-v+oo
Доказать, чтоУа>0\/6>0
+00
^f{bX)-f{ax)dx = (f(+oo)-f(0))ln±.
о
X111.3.17. Вычислить следующие интегралы!
•foo
,} j со»(to)-cos (о» ^ 0<a<b.
О
2)+[ilteld,, сс>0;
О
3) j l-~«*dx. ct>0;
О
+ео
4) J -2—j^— dx, a>0, &>0;
о
6) f arctg(^)-arctg(^ ^ a>Q> fe>()
0
XII 1.3.18. Пусть
+00
# (a) = f e-** cos (ax) dx, a £ R.
Вычислить #' и доказать, что
9* (а)-. -j-atlia), a6R.
С помощью значения интеграла
3 (0) - f r-'Лс = -^5-
вычислить #.
8* 227

XII 1.3.19. Вычислить V1 для функции
а
XII 1.3.20. Предположим, что
{ |Mx)|'d*< + oo, i, /-1, 2;
+ 00
Vx6R : h(x): = J fx(jc — u)fa(u)du.
—00
+ 00
Вычислить J h(x)dx.
—oo
§ 4. ГАММА- И БЕТА-ФУНКЦИИ
XIII.4.1. Для гамма-функции, определяемой равенством
Г(а)= J **-*er*dx, а> О,
о
доказать следующие утверждения!
+оо
+оо
2) Г(а) = J *<*-ir-* In xdx\ a>0;
о
+<*
3) Г (a) = J tf*-1*-* (In xf dx\ a > 0;
4) r(a)~-i-, a-*0+; Г(а)-». + оо, a-> + oo;
5) функция Г строго выпукла вниз на (0, +оо);
6) функция Г логарифмически выпукла вниз на (0, +°°) (то есть
In Г — выпуклая вниз функция).
XIII.4.2. Выразить через значения Г-функции интеграл
+~
I) j e-^dx, a>0;
о
+оо
2) J x2ne~xidx, n6N;
о
+oo
3) \ xae-xbdx, a > — 1, b > 0;
0
228

4) J -^rexp(— -£r)dx, a>0, «gN;
5) f(ln-±-)V a>-l.
XI11.4.3. Выразить через значения В-функции интеграл
1) \ sin0 x cos* л*£к, а>— 1, 6>— 1;
3) Jxa(I — **)'<**. a>— 1, &>—1, с>0;
о
4|]-«т^ ">0' *>0:
a
Б) Jx*-'(a —*Г~'^, a>0, fc>0, c>0.
XII 1.4.4. Доказать следующие равенства:
1>П(1~^)-|-;
2)П(1—(г/-в^ ) = cos (***). *6R;
3)П1 /A1V 4J°^
«-, («--J
" (-4) к" '
б) п(, + тт7г)(1-ттт) = 4-
XII 1.4.5. Вычислить предел
1} Jt гс+ц ' 2> itX<XB(a- Х)' а>0'

Глава Ж IV1+ кратные интегралы
~ § 1. ИНТЕГРАЛЫ ПО БРУСУ
И ИХ СВОЙСТВА
XIV. 1.1. Брус в пространстве Rm есть множество вида
Q = [fli. Ьг] X [а2, Ьг] х • • • X \ат> bm\t
где {at, bt) с: Rf at < bit 1 ^ / ^ m; x — знак декартового
произведения множеств. Диаметр d (Q) и мера (m-мерная) m (Q) бруса
Q соответственно равны
d(Q)
2 (&*-а*)а, т((Э)=П (bk~ak).
Пусть Qx и Qa — брусы в Rm. В каких случаях множества
Qi П Q» Qi U Q„ Qi \ Q2
есть брусы Rm? Рассмотреть случаи m = 1, 2, 3.
XIV. 1.2. Пусть кп — разбиение бруса Q == [0, 1] X [0, 2],
определяемое разбиениями отрезков [0, 1] и [0, 2] соответственно точками
0,
2
2" '
о -L -1
2-2 2-3
2П ' 2" » • * • >
— =1;
2(2" —1) о.
n€N.
Определить
1) число элементов разбиения Кп\
2) | ^л I — диаметр (мелкость) ^п;
3) при каких тип разбиение кп есть подразбиение А,т.
XIV. 1.3. Пусть A,mn — разбиение бруса Q = [0, 2] х Ю, 1],
определяемое разбиениями %т и А,„ отрезков [0, 2] и [0, 1]
соответственно точками
0 1 1 2(m-l) 9- П -L JL /1-1 1
» /я » m » ••• • /7? • *• и» п * л • *•• » л ' 1»
где {m, л} cz N. Определить суммы Дарбу L (Д А^,), U (/, ^mn), a
также интегральную сумму S (/, ?Wi, {£ (vlf v2)}) для набора точек
lK v2) = (2^i±i, ^±±), 0<у,<т-1, 0<v2<n-h
U / (#li -^2/ == *j """ <^2>
230

2) /(*i, x2) = g (*0 + h (x2);
3)f(xlt x2) = g(Xl)h{Xi); (xu xt)£[0, 2] x [0, 1],
где g и h — ограниченные на [0, 2] и [0, 1] соответственно функции,
причем в случае 3) g > 0, h ^ 0.
XIV. 1.4. Вычислить нижний и верхний интегралы по брусу
[0, 2] х [0, 1] от функции
1) /(*i, xa) = g(x1)h(xi), (*!, *,)€№, 2] X [0, 1],
где g 6 R ([0, 2]), /i 6 R (f0, 11) и g, h неотрицательны;
П. *i + *j6Q;
2) f (*!.*•>-J0f Xl + X^Q.
XIV. 1.5. Пусть Q —брус, функция / 6 С (Q) и V *6Qs / (*) >
^ 0. Доказать, что
$f(*)dx>0.
Q
—> —»
Если дополнительно 3 x° £ Q « / (*°) > 0, то
f f(x)dx>0.
о
XIV. 1.6*. Пусть Q — брус, функция / интегрируема по Q и
равна 0 во всех точках непрерывности. Доказать, что
J/(*)dx — 0.
о
XIV. 1.7. Пусть Q = [alf fcj х [я2> W и Для функции jf 6 С (Q)
существует fl и /2 6 С (Q). Доказать, что
J ^ ^ Ч) dxidX2 — J / (*1> Ь2> d*l — J / (*1> «2) ^1-
О а, а,
XIV.1.8. Пусть Q = lau Ьх\ X [а2, Ь2] и /£C2(Q). Вычислить
интеграл
" а»; (*„*») d% ^
I-
XIV. 1.9. Пусть Q=U[ah ft J, f€C(Q) и
m
9 (*ii •.., *m) t = П [ait xt], (xlf ... y xm) 6 Q.
Положим для (*f, ..., дг«) 6 Q
Q<*i *m>
231

Вычислить для ft £ {1, 2, ..., т)
д g (xlt . . . , хт) , \сГ)
дх[ ...дхк • [Хъ "•» *™>ty-
XIV.l.lO. Пусть Q = [al9 bt] x [a2, ft2], {/, g} c=C2(Q), причем
f(xu *i)e/(*i. *i)e0f *,efei, М".
g- (alf x2) = g (bl9 x2) =0, x2 £ [a2, b2].
Доказать равенство
Q О
XIV.1.11. Пусть Q = [0, IP, /eC(Q). Вычислить предел
lim \ f (xu дй) dxtdx2.
XIV. 1.12. Пусть / 6 С ([О, П2) — положительная на [0, I]2
функция. При каждом п 6 N пусть 0 (л) — значение, при котором
—- J f(x)dx = j f(x)dx.
[0,1]* [0,9(n)]*
Вычислить предел lim (/i02(n)).
n-*oo
XIV.1.13. Пусть Q = 10, IP и feC1 (Q). Вычислить предел
XIV. 1.14*. Пусть Q — [0, IP и /6C(Q). Вычислить предел
Jim ( (2"n+1}l )' J (хл (1 - xO (1 - *a))n / (*lt *a) dxtdxt.
XIV. 1.15*. Пусть /€C([0, 1]) и Q = [0, IP. Вычислить предел
lim I f(xxxu ... xJdx^Xz ... dxn.
XIV. 1.16. Пусть feC([0, IP) и Q (/) = (0, t]2 для t б [0, 1].
Для функции
F(0= J f(*i, хг)Аххйхг, /6(0, 1J,
«ft
вычислить F*.
XIV. 1.17. Пусть Q(/) — [0, _/!», />0. Вычислить предел
йххАхл
lim —г- \
XIV.1.18. Пусть Q (0 = [0, /]2, t > 0. Вычислить предел
lim _i_ С **f' д
*+cc Ш' ll + xJ+4
**-*- «A
232

XIV. 1.19. Для Q = [0, \]т вычислить интеграл
J cos2f-|^-(*i + *2 + • • • + xm)Jdxx ... dxm.
Q
XIV. 1.20. Пусть /6С (Ю, 11), причем / > 0 на [0, 1] и Q=
= [0, 1]т. Вычислить интеграл
)fM+-+fMdx*-dx~
Q
для к 6 {1, 2, ..., т}.
XIV. 1.21. Вычислить интеграл
1) j min(xlf Хъ)йххйх&
2) j max (xlf x2) dxxdx%.
L0,1]*
XIV. 1.22. Пусть
fix x)-{U 'l6Q;
Проверить, что
1) интеграл ] /4*i, xs)dxidx2 не существует;
[0.1]»
2) $$/(*i, x2)d*2 d*,= 1-
§ 2. МНОЖЕСТВА, ИЗМЕРИМЫЕ В СМЫСЛЕ ЖОРДАНА,
И МЕРА ЖОРДАНА
XIV.2.1. С помощью определения доказать измеримость и найти
меру множества
А = {(хи х2) | хг^0, *2>0, а:х + л:2<1}.
XIV.2.2. Для множества
Л = {(*!, х2) | {*lf х2)сОП [0, 1]}
определить внутреннюю и внешнюю меру.
XIV.2.3. Доказать, что счетное объединение измеримых в смысле
Жордана множеств не обязательно измеримо в смысле Жордана.
XIV.2.4. Для фиксированного а £ (0, 1) определим множество
К cz [0, 1] следующим образом. Сначала удалим из [0, 1] интервал
l-jj J- а> "Г + Т аг Затем из двух оставшихся отрезков
О, у — а , J — + -т- а» 11 аналогичным образом удалим открытые
233

интервалы, каждый из которых имеет длину -^- а. На следующем
шаге из четырех оставшихся отрезков удалим аналогично интервалы,
каждый из которых имеет длину -^ а, и т. д. Множество К состоит
из точек отрезка [0, 1], оставшихся после бесконечной
последовательности удалений (канторово множество). Доказать, что
1) К компактно и несчетно,
2) К не измеримо по Жордану.
XIV.2.5. Пусть Л — замкнутое счетное ограниченное
подмножество R. Доказать, что А измеримо в смысле Жордана и имеет меру 0.
XIV.2.6. Пусть Ли В — измеримые в смысле Жордана
подмножества Rm. Доказать следующие утверждения:
1) т(А U В) = т(А)+т(В) — т(А П В);
2) m (А) = 0 о А0 = 0;
3) т(А U 5) = т(Л) « (Я\Л)° = 0;
4) т (Л U В) = 0, если т (Л) = 0, т (В) = 0.
XIV.2.7. Доказать измеримость следующих множеств:
1) {(*ъ х2) I ^л^г, O^^ln^};
2) {(*i, *2) I 0<*i<**s 0<х2<1};
3) {fo, *a, *8) | (xlf х2)6П, 2] x[0, 1], O^A^hi*!};
4) {(xl9 x2) | 1 <*? + *!< 4};
5)* {(*i, *2) I 0<*х<1, 0<*2<|sin^-|}.
XIV.2.8. Для / 6 С (la, b\) пусть
Г = {(*lf xj | Xj 6 [я, b]t x2 = / (xO}.
Доказать, что множество Г измеримо в смысле Жордана и имеет
плоскую меру Жордана 0.
XIV.2.9. Пусть {фх, ф2} с= С1 ([а, р]) и
V/61», Р] i (ф!(0)2 + (ф2(0)2>0.
Регулярная кривая есть множеотво
Г = [(хг, х2) | хх = ф! (/), *2 = ф2(0, / 6 fa, Р]}.
Доказать, что Г измеримо и имеет плоскую меру Жордана 0.
XIV.2.10. Пусть /6C([ai, bx] x [a2, ft2I). Доказать, что
поверхность в R3
S = {(*i, x2t х8) | (*b х2)£[аи Ьх) х [a2, fe2], *3 = f(*i, x%))
есть измеримое множество и имеет объем 0.
XIV.2.11. Пусть Л = {(*!, х2) | (хх— 1)а + ^<1},
Вп
\\X\i Х2)
хг—M* + *i<-i-L пен.
Доказать измеримость множества Л \ (J Вп.
234

§ 3. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПО ИЗМЕРИМЫМ МНОЖЕСТВАМ
XIV.3.1. Вычислить интеграл
\xixldXidXb A = {(xlt х2) | *? + *2<a2, #i>0}, а>0.
А
XIV.3.2. Для функции /6 С ([О, +оо)2) и *>0 пусть
Л(0 = {(хи х%) | *i>0, х2>0, xx + x2^t)%
F(t) = \ f (хи х2) &ххйхг.
A(t)
Вычислить F'.
XIV.3.3. Для функции / 6 С ([0, +оо)2) и t > 0 пусть
A(t) = {(xl9 х2) | /<*!</■+!, t^x2^t + (xl — t)(l—x1+t)),
F(0= $ f(xt9 x^dxxdx2.
A(t)
Вычислить F'.
XIV.3.4. Пусть /6R([0, П). Доказать равенство
[\[f(u)du\dx = [uf(u)
du.
XIV.3.5. Вычислить следующие интегралы:
^ ± \
1) Jl J (\-xl)2 dxt\dxt
if?
2) Jl J V\— х\йхл |djc2;
о \ _i_
.2
2« / Я
4) } И xlzosix^dxAdxi,
5)
1 /nTcsinVx. \
\ arcsinx, /
235

XIV.3.6. Изменить порядок интегрирования
ЗЯ 5я
с (Т \ г ( с \
я \—I / я \sinx, /
2 T"
2) J 3 /(«!, x2)d*2 \dx1 + П j /(xlt x2)dx2 \dxx -+
г/Т* \
+ )\ ) f(xlt x2)dx2 \dxv
0 \У^?{ J
XIV.3.7. Вычислить предел
"m-Jsn- S M a>0, &>0.
XIV.3.8. Вычислить следующие интегралы:
1) j x1x2dx1dx2dx3t
A
X2* X%
2) ] (#i*2A:g)2 dxrdx2dx3t
А
A = {(xvx2>x3) I 0<л:1<а:2<л;з< 1};
3) j dx^dx% ... dx*,
A
Л = {(л?!, ... , xk) I 0^^!<a:2< ••• <л:л< 1}, ft£N.
XIV.3.9. Пусть /€С([0, +00)) и t> 0. Доказать, что
llJljU! M f(xk)dxAdxk-\..\dxAdxx^
t /Xt /*f / /*k— 1
2) Ним''*!] ^,^^<АГ/>rfjc^)^^—1J..Л^^1 = -ir-(i/<:")^^) .
ft>2.
XIV.3.10. Пусть А — измеримое компактное подмножество R*,
обладающее следующим свойством линейной связности: для любых
236

точек [х, у] cr Л существуют точки (л^,..., х{п)) е: Л такие, что
отрезки, соединяющие точки л^ и ^+1J, / = 0, 1, ..., п, л^ = х>
дЧм+i) =s у9 лежат в Л. Для функции / 6 С (Л) доказать теорему о
среднем значении!
Зв£А : (/(х)^=/(е)т(Л).
XIV.3.11. Вычислить интеграл
j sign (л? — *2 + 2) dx^, Л = \(х19 х2) \ х] + х\ < 4}.
4
§ 4. ФОРМУЛА ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННЫХ
XIV.4.1. Вычислить следующие интегралы:
1) ^x-^xldxydx^ Л = {(.*!, х2) | *? + *|^4, Хх^О};
А
2) j (-^-) dV*2. А = {(*!, х2) | 1 < х\ + х\ < 2дсх};
3) J arcsin ~—- dx1dx2, A = {(jclf х2) | л2 ^ х2\ + л$ < 4я2}.
XIV.4.2. Вычислить предел
И™ . JL "2 + <2 + /а
XIV.4.3. Вычислить следующие пределы:
"JSl-Eri-i+at
Л, - • *Т + *2
Л(0 = {(xlf ха) | хх>0, *2 >0, д? + *2<tz\\
XIV.4.4. Пусть
Т7 (0 = J | *iX21 dxxdA:2,
Alt)
Л(/)«{(*1. *i) I *2<*i + *2<4/2}, />0.
Вычислить f".
237

XIV.4.5. Пусть функция / £ С (R2) и
F(i) = \ f(xx, x2)dx1dx29
A(t)
A(f) = {(xl9xj | *i+*2<*2}, <>0.
Вычислить F'.
XIV.4.6. Проверить, что при каждом /^ 1 множество
Л(0-{(*1. *i) I P<*\+&<t\ txl^x2^2tx1)
измеримо и для функции
F(/)-m(i4(0), *>1.
найти Z7'.
XIV.4.7. Вычислить интеграл
\ xlx2dx1dx2,
A(t)
A(t) = {(xv x2) 1 Oq-02 + (*2-Oa<'2}> О О-
XIV.4.8. Вычислить следующие интегралы:
1) \eaKXx+x*%dxxdx2y A = {(xvxJ \ x^O, x2>0, X! + *2<1};
A
2) J 7^АххАхг%
Л=((Х!, xa) | *t>0, *a^*0, l^*^*^, хг ^х2^3хг};
8) j^d^xdATg,
A = {(x1,xi) | 0<*?+j4<2, xi — jcI^ 1, *х>0, x8>0};
4) f^+x^dXidXa,
i
A = {(xlt x,) | Xi>0, x2>0, 1<4 —*i<2, 1<од<2}.
XIV.4.9. В интеграле
JI J /(«it *,)dxtjrf«i
перейти к новым переменным иг = xlt u2 = -^-.
XIV.4.10. Вычислить интеграл
^ xfdjCxdXjdx,^,
А
А=*{{хъ хъ xz> хА) | х? + л|<1, *з + *4<1}.
238

XIV.4.11. Для функции f£ С ([0, +оо)3) положим
F (0 = \ / (х19 х2, xz) dxxdx2dx3f
Alt)
A(t) = {(xv х29 х8) | t*^x\ + xl + xl^(t+l)*}, />0.
Найти F'.
XIV.4.12. Вычислить следующие интегралы:
1) j dxtdxz ... йхь
А
(объем fe-мерного симплекса);
2) j (*i + ■•• + **)ed*i ... dA:fe, где a>0 и множество Л из 1).
А
XIV.4.13. Пусть / 6 С ([О, U) и А — множество, введенное в
задаче XIV.4.12. Доказать равенство
1
$ /(*i+ ••• +Xk)dxx ... dxk ^ -j^^\ f (u)uk^du.
§ 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
XIV.5.1. Пусть Л = {(*!, х2) | х\ + х1>\}9 f£C(A)t причем
inf|/|>0, sup|/|< + <*>.
А А
Определить, при каких значениях а £ R сходится интеграл
f f fa. *») dje d „
XIV.5.2. Пусть /4 = {(*!, х2) | *i-f *2<1}, /6 С (Л), причем
inf|/|>0, sup|/|< + oo.
А А
Определить, при каких значениях а 6 R сходится интеграл
\ (4+4)" dXldx>-
XIV.5.3. Определить, при каких значениях а и Ь из R сходится
интеграл
1} С dxxdx% .
I tt + \xi\a)(l+\x%\b) '
R8
239

3) l^V*"* A = {(xux2) | *t>l, дгЛ>1};
A 1 2
i u + *i + 4)fl '
XIV.5.4. Сходится ли интеграл
1) \ sin(#? + x\) &xAx£
i
2) J sin (x\ + x\) dxxdx£
XIV.5.5. Вычислить следующие интегралы!
f \x1\dxldx2 a
} I <! + *? + $• '
2) $ e^+'t^dbdx»
R2
XIV.5.6. Выразить через значения гамма-функции величину
интеграла
1) $ (*i + д&в *^~***М** Л = [0, + оо)2, а > — 1;
2) Jexp(— (х! + xl)a) dxtdxt, А - [0, + оо)2, а>0;
3) {ехр(—(xi+Х2 + л:з)а)йд:1^2^з, Л = [0, + oof, a>0;
4) $(*i + л:|)а(1 — х\ — xlfdx^Xb а>—1, &>—1,
4 = {(*!»*«) I *i>0, *2>0, *? + *|<1};
5) £ е~*11&<1хлйхь А = {(а:!, х2) ( 0 < х2 < л^}, а >0;
6) ^ (^ + xjfle~*t~x,dxldx„ A = [0, + оо)2, а>0;
240

7) J (1 — хг) x&dxtdx29 A = {(дс1э x2) | 0 < x2 < хг < 1}, a >
ft>-l;
8) .j X({xldX1dX2t a > U Ъ > 1»
/4 = {(*„*,) | 0<х,<1, 0<*2<Г—*,};
9) JxT^'O—*i —Яв)*"1*^!, a>0, b>0, c>0,
A=*{(xux2) | *i>0, дс2>0, Xj+Xa^l};
10) j Хз^*1^л:2^Хз, a>— 1,
A
A = {(*Xf *2> *з) I 0 < x8 < хя < дс, < 1}.

ИНТЕГРАЛЫ
• ПО МНОГООБРАЗИЯМ
И ТЕОРЕМА СТОКСА
§ 1. ДОПУСТИМЫЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
XV. 1.1. Пусть G— открытое множество в пространстве R? о
евклидовым расстоянием и отображение g = (gl9 ..., gp) : G ->
-> Rp удовлетворяет условиям:
1) h&(G);
2) g взаимно однозначно на G;
3) либо
либо
V^G г *£::::'g^<°-
Такое отображение называется регулярным или диффеоморфизмом.
Доказать, что регулярное отображение имеет обратное, которое
также регулярно, и что суперпозиция регулярных отображений есть
регулярное отображение.
XV.1.2. Пусть G — множество в положительном ^-пространстве.
Доказать регулярность отображения g : G -> R2 и определить знак
^/-пространства, в котором лежит g (G), если
1) G = R2, у - g(xl9 х2) *т (хг + 1, 2х2 - 1);
2) G = R2, # = g(xlf х2) = (*2, хх)\
3) G = R2, # = g (хх, *2) = (хг + х2% хх ~ х2)\
4) G = (0, + ос)*, у = g (*x, *2) = (Vx\ + xl arctg -J-) ;
5) G =(0, + oo)2, 1 = g(*„ x2) = [x^ -^-J .
XV. 1.3. Пусть G — множество в положительном (/-пространстве
R2 и со — дифференциальная форма на G. Определить вид формы со
242
Глава
щ

в координатах хи х2, если
О «>-/(ft. yjdyi/\dyit /6C(G),
0/=Ы*1, x2), i= 1, 2;
2) со = dyx + (0i + 02) d*/2,
о = {(Уи Уъ) I Ух > о. г/г > о, 0x02 = П. *1- 0102, *2 — -fj-;
3) ее — (01 + 0а) d0i + (0i — 02) Фг.
G — {(01, 02) I У\ + У1 = П. *1 = 01 + 02. *2 = 01—02-
XV.1.4. Пусть Г — ориентированная граница квадрата [0, I]2.
Доказать, что на Г справедливо равенство
Х2 (I *"""■ Ха) CLX-t "f" XxX2dX2 =г X2(XX2»
XV. 1.5. Пусть Г = {(xl9 x2) | л:^ — 1} — ориентированная
кривая. Доказать, что на Г справедливо равенство
2xxx2dxx + х\ (х2\ + xl) dx2 = — (хх — x2f dxv
XV. 1.6. Пусть Г — ориентированная граница треугольника с
вершинами в точках (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Доказать, что на Г
справедливо равенство
(*Л + Ч) dxt + (ххх2 + xl) dx2 + x3dx3 =* — x2x3dx2.
XV. 1.7. Пусть
Г = {(хи х2, х3) | хх = cos /, х2 — sin /, х3 = /, /6 R}
— ориентированная винтовая.линия. Доказать, что на Г
справедливо равенство
xxdxx + x2dx2 + (x\ + xi + x3) dxs = (1 + х3) dx3.
XV. 1.8. Пусть S — ориентированная граница куба [0, IP.
Доказать, что на 5 справедливо равенство
x2x3dx2 Л dx3 + x3xxdx3 Д dxx + (ххх2 + х3) dxx Д dx2 = x3dxx Д dx2,
XV. 1.9. Пусть S — ориентированная граница симплекса с
вершинами (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Доказать, что на S
справедливо равенство
ххх2х3 (dx2 Д dx3 -f dx3 Л dxx + dxx Д dx2) =
= Зххх2 (1 — хх — х2) dxx Л dx2.
XV.1.10. Пусть S — ориентированная поверхность цилиндра \(хъ
*2э ха) I *i + Л) ^1}. Доказать, что на S xxx2dx2 Д dx3 + xldx3 Д
Д dxx + У х\ + х\ dxx Д dx2 = dx3 Д dxx.
XV. 1.11. Вычислить внешний дифференциал формы
(предполагается, что коэффициенты имеют непрерывные производные первого
порядка)
1) о) = />(*!, x2)dx1+Q(xlt x2)dx2;
243

2) со = Р (х) dxx + Q (x) dx2 + R (х) dx^ х = (хг, хъ х3)\
3) со = Р (х) dx2 f\dxzJrQ (x) dx3 /\dx1+ R (x) dxx /\ dx2f
X = (X|f X2% ^3/»
4) (o= S ff(xf)dXj-t
m
5) со = 2 ^fc д
m /
6) co^SC-l)'"1!/:
Ml \
■ ■ • /\dxm f\dxx /\ • • • Л d*,_t;
i"&— '«"lr)d*i л • • • л ^/-i л d*i+\ л
• • • Л d*m-
XV. 1.12. Пусть со — дифференциальная форма на G с
коэффициентами, принадлежащими классу С2 (G). Доказать, что d (dco) = 0.
§ 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА. ФОРМУЛЫ ГРИНА,
ГАУССА—ОСТРОГРАДСКОГО И СТОКСА
XV.2.1. Вычислить криволинейный интеграл j со от формы со
г
по ориентированной кривой Г:
1) со == xlx2dxl — x\dx2, Г — пробегаемая по часовой стрелке граница
треугольника с вершинами (0, 0), (1, 2), (2, 1);
2) со = x1x2dx1 — x\x2dx2f Г — пробегаемая против часовой стрелки
граница множества, ограниченного кривыми х2 = х\у х2 = х1 + 2;
3) со = \Псг dx2 + (х2 + \)dxvT — пробегаемая по часовой стрелке
граница множества, ограниченного кривыми х2 = \Пси x2 = 0t хг = 1;
4) со = x\dx2 — x2dxlt Г — пробегаемая пЬ часовой стрелке граница
множества, ограниченного кривыми х2 = х\9 % = — 1, х2 = 1;
5) со = {хгх2 — х2) dxx + (хгх2 + хг) dx2, Г — пробегаемая по часовой
стрелке граница множества
{(*i, х2) | xJ + A<if х2>о);
6) со = xlx3dx1 + x1x2dx2 + xtx3dx3, Г — граница треугольника с
вершинами (1,0,0), (0,0,1), (0,1,0), пробегаемая в направлении
(1,0,0)-МО, 0, 1)-*(0, 1,0)-* (1,0,0).
XV.2.2. Для t > 0 пусть
/(0 = J (хгх^хг + x2dx2),
ГО)
244

где Г(/) = {(л:1, х2) \ х\ + х\ =* t\ хг^0\ с началом в точке (О, О-
Найти /'.
XV.2.3. Вычислить поверхностный интеграл j со от формы со
s
по ориентированной поверхности S:
1) со = xxdxx Д dx2 + x1x2dx1 Д dx3f S— внешняя сторона
поверхности куба [О, I]3;
2) со = XjdXi Д dx2 + x1x2dx2 Д dx3 + x2x3dxx Д dx3, S — внешняя
сторона поверхности симплекса
[(хи хъ xs)\x(^Of 1</<3; л:, + х2 + *3< П;
3) со = x\dx2 Д dx3, S — верхняя сторона следующей части
поверхности конуса
{(Хи х2, х3) | х] + х\ = 4, 0 < х3 < 1};
4) со = x3dx2 Д dx3 + dx3 Д dxlt S — внешняя сторона поверхности
полушара
{(*!, x2t x3)\x2\+xt + xl^:i, дс3>0};
5) со = xxx3dxx Д dx2f S — внешняя сторона поверхности цилиндра
{(xlf х2 х3)\х\ + х\< 1, 0<х3<4};
6) со = xxdx2 Д dx3 + x2dx3 Д dxl9 S — верхняя сторона поверхности
{(*lf х2у х8)\х] + х\< 1, х3 = х\ + xt),
XV.2.4. Для t > 0 пусть
(xxx2x3dx2 Д d*8 + *2d*3 Д d^i),
Stf)
где S (0 — верхняя сторона полусферы
{(*Ъ *2> *з) | *1 + *2 + *3 = ^, *3 > 0}-
Вычислить /'.
XV.2.5. Пусть G — множество точек в плоскости, для которого
dG — простая замкнутая кусочно-гладкая кривая, пробегаемая
против часовой стрелки. С помощью формулы Грина доказать, что
1) m (G) = -М (*Jd*2 — x2dxt)\
1 dG
2) J (*? + *%) dxxdx2 = -3- \ (*id*2 — x\dxx)\
G dG
3> S ф ilr-dxidx2 = — J ♦ -It* <M*i + i <p*d*i:
С? a*2 Q ox* dG
для функций {ф, ур) с С1 (G).
245

XV.2.6. Пусть G = {(xu x2)\(x\ + xi^ 1} и
0) = о 9 , X\ + X2 =5*= U.
jq + *2
Доказать, что
1) dco = 0, x2i + x%=£0\
2) J со = 2я (dG пробегается против часовой стрелки).
dG
Объяснить, почему полученный результат не противоречит формуле
Грина.
XV.2.7. Пусть Г —эллипс
х2 х2
-^-+-^-=1, ах>0, аа>0,
пробегаемый против часовой стрелки. С помощью формулы Грина
вычислить интеграл \ со, где
г
1) со = х2хЫхг; 2) (о^^Х!—xxdx2\
3) со = х2 cos xldx1 + (cos x2 + sin xx) dx2.
XV. 2.8. С помощью формулы Гаусса — Остроградского
вычислить интеграл j со, где
s
1) со = (х2 + х3) dx2 /\dx3 + (xs + xx)dx3 /\dxx + (хг + x2)dxx /\ dx2.
S — внешняя сторона симплекса
{(Xu x*> Хз)\Ъ>0> l<f<3, *1+*2 + *з<1};
+Ш—-SrW л л*
где [P, Q, /?}c:C2(R3), S —из 1);
3) со = .Kgd;^ Д dAr2, S — внешняя сторона поверхности тела
{(*i. *2, *з) I 1 < х* + ** + xl < 4}.
XV.2.9. Пусть G — множество в R3, S — внешняя сторона
поверхности G, к которым применима формула Гаусса —
Остроградского, и {ф, ty) с С1 (G). Доказать равенство
\ ф ^-dx1dx2dx3 = ) q>tydx2 /\dx8—\ ^-g~- dxt /\ dx2 /\ dxz.
246

XV.2.10. С помощью формулы Ньютона —* Лейбница доказать
формулу Гаусса — Остроградского в следующих случаях:
з
1) G = П [аи Ь{], {Л Q, R] с= С1 (G);
2) G = {(*!, х2, х3) | х< > 0, 1 < * < 3, Xj + *2 + *3 < 1},
{Р, Q, ^сСЧО).
XV.2.П. Пусть со = a:2^3^i + xxdx2 + dx3 и S — внешняя
сторона поверхности шара с центром в точке (0, 0, 0) и радиусом 1.
Вычислить интеграл j dco.
XV.2.13. Пусть
Г = {(*!, хъ х3) | хг =» cos ф, х2 = sin ф, х3 = ф, ф £ [0, 2я]}
—часть винтовой линии, пробегаемой в направлении возрастания
параметра ф, И
со -« 2x1x2ex*dxl + x\ex*dx2 + x2\x2ex*dx3.
Вычислить интеграл ] со.
г
XV.2.14. Определить, является ли замкнутой в G форма со
1) о) ж x2dxu G = R2;
2) со ■= xxx2dxx + -j- x2\dx2f G = R2;
4) © — 2^! + dx3f G — R8;
5) со = Xjd*! — x2x3d;t2, G = R3;
6) со = dxx + dx2 + x3dx3> G = R8;
7) со я ^jdATi + xxx3dx2 + xxx2dx3y G = R3;
_ з
8) со = (*? + xl + x\) "*" {xxdx2 Д dx3 + x2dx3 Д d^x + x8d*, Д d*a).
G = R*\{(0, 0, 0)}.
XV.2.15. Доказать, что форма со из задачи XV.2.14, 2), 4), 6)
точна в G. Доказать также, что форма со (XV.2.14, 3)) точна в Gt =
= {(*!, *2)|*i>0}, а форма со (XV.2.14, 8)) точна в Gx = [(xl9 ч
*2> хз) I хз > 0}. Определить все функции /, для которых со = d/
в G или Gi.
XV.2.16. Пусть Г — окружность в R2 с центром в точке (0, 0),
пробегаемая против часовой стрелки. Вычислить интеграл \ со для
г
формы со из задачи XV.2.14, 3). С помощью полученного результата
247

доказать, что множество
{(*i,*i) I 0<*? + л|<1}
не является односвязным.
XV.2.17. Пусть S — внешняя сторона поверхности сферы в R3
с центром в точке (0, 0, 0). Вычислить интеграл j со для формы со
s
из задачи XV.2.14, 8). Доказать, что множество
{(*i. х» *3) I 1 < *? + *2 + х\ < 4}
не является односвязным.
XV.2.18. Доказать, что форма
со = sin (xl) dxx + 2ххх2 cos (xi) dx2
является точной в R2, и найти функцию /, для которой со = df.
XV.2.19. Пусть функции {fl9 /2, f3} с С (R) и
со = /х (хг) dxx + f2 (х2) dx2 + f3 (xs) dx3.
Доказать, что форма со точна в R3, и найти функцию /, для которой
со = df,
XV.2.20. При каком условии на функцию / £ С1 (R3) форма
со = / (xl9 x2, x3) dxx
точна в R3?
§ 3. ДЛИНА ДУГИ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ.
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ПЕРВОГО РОДА
XV.3.1. Вычислить длину дуги Г, если
1) г=[(Хи*2) | o<xx<i, *2=4~4:
2) Г = {(х19 х2) | хг = ф cos ф, х2 = ф sin ф, ф £ [0, 2я]};
3) Г = {(*!, х2$ х3) | xt=a cos ф, х2 = a sin ф, х3 = Ьф;
Ф£[0, 2я]}, {а, 6}с(0, + оо).
XV.3i2. Вычислить площадь поверхности S, если
1) S = {(*!, х29 х3) | х3 = ^jc2t xi + *i< 1};
2) 5 = {(*!, *2, дс3) | *i + *2 + *з = г\ х3 >г0}; 0 <г0 < г;
3) 5 = {(*!, х2, *3) | *i, = rco5q>f x2 = rsin<p, х3 = ф, rg[0, 1],
q>6[0f 2jiJ.
XV.3.3. Вычислить интеграл j /tf 1, где
г
■1) /(*1э *а) в*?*и Г—граница треугольника с вершинами (0,0),
(2, 1) и (1, 2);
248

2) /(*„*,) = *?+ *5, Г = ((*„*,) I |дс,| + |г,|=1};
3) f(xu х2) = xlt Г — граница множества {(хъ х2) | х2> #и
4) / (*!, я2, #3) = *ix\xl, Г — граница треугольника с вершинами
(1, 0, 1), (0, 0, 2), (0, 1, 1);
5) f(xv х2) = х19 Г — кривая, заданная в задаче XV.3.1, 1);
6) f(xu х2) = у х\ + х\, Г — кривая, заданная в задаче XV.3.1, 2);
7) f(xl9 x2f х3) = х3, Г — кривая, заданная в задаче XV.3.1, 3).
XV.3.4. Вычислить интеграл \ fdo, если
1) f(xu x2t х3) = хгх2х3, S — поверхность симплекса
{(*lf x2f х3) | х/>0, 1</<3, хл + х2 + х3< П;
2) / (*ь *2t *в) — I *i I *8» ^ — поверхность цилиндра
{(хи х2% х3) | х\ + *2< 1, 0 < х3< 2};
3) /4*1, *2> Яз) — К ' + *? + *2» S — поверхность, определенная в
задаче XV.3.2, 1);
4) f(xl9x2t x3) = yx2\ + xt9 S—поверхность, определенная в
задаче XV.3.2, 3).

FnQMml/IL ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЯДОВ
1лават m/■■• и интеграла фурье
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
XV 1.1.1. Скалярное произведение функций {/, gjcR ([а, Ы)
равно
ь
(/, g): = lf(t)g(t)dt.
а
1) Определить значения {а, |3} с R, при которых функции
/(0=1+а/. ff(/)-1+P/. /е[0, 1],
ортогональны в R ([О, И);
2) при каких значениях (т, я} cr N функции f (f) = sin /n/, g (/) =
= cos n/, t £ [О, 2л], ортогональны в R ([0, 2л:]);
3) при каких значениях {m, и} с: N, m^/z, функции /(/) = sin m/f
g(t) = cosn/, / £ 0, ~yя ортогональны в RНО, — я );
4) при п ^ 2 пусть для / £ [О, 1]
/ (0 - S а**Г *-i * \ W- в W - f Р*ХГ±11 м (О-
fe»i
г *.! * \ w> g w = 2j р*хг*^ m i'*
Какому условию должны удовлетворять числа {afe}, {рл}, чтобы
функции / и g были ортогональны?
XVI.1.2. Доказать, что функция /£R([a, Ы) ортогональна на
[а, 61 к любому многочлену степени не выше п £ N тогда и только
тогда, когда / ортогональна к каждой из функций [я, Ь] Э * -> ^,
fe = 0, 1, 2, ..., л.
XVI.1.3. Доказать, что функция /£ R ([0, 2я]) ортогональна на
[О, 2я] к любому тригонометрическому многочлену
п
[О, 2л] Э ^ ь> а0 + 2 (a/ cos jt + Р/ sin jt)
степени не выше п 6 N с {a/, fy} с: R тогда и только тогда, когда /
ортогональна на [0, 2л;] к каждой из функций
fO, 2я1 Э t ь> cos kt9 [О, 2л] Э / н^ sin kt\ k = 0, 1, 2, ... , п.
250

XV1.1.4. Определить функцию f£C([ay ft]), ортогональную на
[а, ft] к каждой из функций
[a, ft] Э/"*/", л = 0, 1, 2, ...
XVI. 1.5. Определить функцию f £ С ([0, 2я]), ортогональную на
[О, 2д] к каждой из функций
[О, 2п] Э l »> sin я/, [0, 2л;] Э / ^ cos/i^; /г = 0, 1, 2, ...
XVI. 1.6. Доказать линейную независимость на [а, Ъ\ функции
1) [а, ft]3/^/\ £ = 0, 1, 2, ... , л;
2) [а, ft] Э * »* A, ft = 1, 2, ..., л, где {аг а„} с: (0, + оо),
а(фаь 1ф\у я>0;
3) [а, 6] Э / ь* е*\ ft = 1, 2 л, где {ах а„} с: R,
4) [0, 2я] Э / ь> cos ft/, [0, 2я] Э / *+ sin ft/, ft = 1, 2, ... , п.
XVI.1.7. Пусть flt /2> •••>/« — набор линейно независимых на
[a, ft] функций. Доказать, что
det((/*, /Д,«1)^0.
XVI.1.8. Пусть /х, /2» •••»/л — набор линейно независимых на
[а, 6] функций. Доказать, что для любых действительных чисел clt
с2, ..., сп существует функция f£ R (la, ft]) такая, что
(Л /*) = **. ft = 1, 2, ... , п.
XV 1.1.9. Для функций [а, Ь] Э / *** /*. ft = 0, 1, 2 провести
процесс ортогонализации:
1) [a, ft] = [—1, 11;
2) [а, ft J - [0, 1].
XV 1.1.10. Доказать, что любой набор ортогональных на [a, ft]
и нормированных функций есть набор линейно независимых на [а9 ft]
функций.
XVI. 1.11. Для функций {f, g) cz R([a, ft]) положим р(/, g): =*
= ^(/ — g\ / — g). Доказать, что (R([a, ft]), p) есть неполное
метрическое пространство.
XV 1.1.12. Функция f £ R ([0, 2я1) такова, что
Vn> 1 3{an, ft„, cn}c:R!
2я
j (f(t) — an — bncost — cnsint)2dt^ —.
0
Определить функцию /.
XVI.1.13. Функция feC([0, 1]) такова, что Vn>l 3{a„, ftr,}c
i
cR : l(f(t)-an-bntrdt^-L.
251

Определить функцию f.
XVI.1.14. Для функции /(/) = —(л— /), /£[0, 2л] и заданного
п £ N определить тригонометрический многочлен вида
п
Тп (0 = а0 + 2 («а cos kt + $k sin kt\
минимизирующий расстояние | / — Г„ 11 = у (f — Tm f — Tn).
XVI.1.15. Для функции /6 R (ГО, Зл]) определить
тригонометрический многочлен вида
Т(t) = a0 + aj cos + a2cos2/, /£R,
минимизирующий расстояние
/Зя
|:=у(/(0-
f-^I:= (f(t)-T(t)fdi
XV1.1.16. Для функции [0, л] 3 t ■** / и заданного n£N
определить тригонометрический многочлен вида
п
Г(()= £ P*sin&, /£R,
минимизирующий расстояние
К(,_Г(/))2^|
XV 1.1.17. Доказать, что последовательность
la, b)3t»»f, я = 0, 1, 2, ...
1) замкнута в С (la, 61) с равномерной метрикой;
2) замкнута в R (la, Ь\) со среднеквадратическим расстоянием.
XV 1.1.18. Доказать, что последовательность функций
1, cos/, sin/, cos 2/, sin 2/, ... , cos n/, sin я', ...f /£[0, 2л]
1) замкнута в пространстве
tf£C([0, 2л]) | Д0) = /(2л)}
с равномерной метрикой;
2) замкнута в пространстве R (10, 2л1) со среднеквадратическим
расстоянием.
XV 1.1.19. Доказать, что тригонометрическая последовательность
функций (см. задачу XVI.1.18) замкнута в R ([а, Ь]) со
среднеквадратическим расстоянием для любого отрезка [а, 61, где Ъ — а ^ 2л.
XV 1.1.20. Доказать, что замкнутая в пространстве R ([a, b])
со среднеквадратическим расстоянием последовательность функций
полна в этом пространстве.
252

XV 1.1.21. Доказать, что следующие последовательности {fn \
i n ~^t \) замкнуты в R ([а, Ь\) со среднеквадратическим расстоянием!
1) tn(t) = t2n, t£[a,b); я-0, 1, 2 а>0;
2) Ш = ?+п, t£[a,b\; л - 0, 1, 2 а>0;
3) fa(t) - Л <€ [а, 61; я = 1, 2 а> 0:
4) /я(/)«1пЧ *£[«, e*J, n-0, 1, 2, ...;
5) Ш =-«-*, '€[«,*], п - 0, 1. 2 а>0;
6) /„(<)-sin я/, *£№, я], я=1, 2, ...;
7) fn(t) = cosnt, t£[0, я], я = 0, 1, 2, ...;
8)
М0 = sin(2я0, /е[о, -f], я-1, 2,
XVI.1.22. Доказать, что последовательность функций {/„ ! л ^> 1}
не является полной в пространстве R (la, Ы):
1) Ш = ?п, /€1— 1. 1), я-0, 1, 2, ...5
2) fnV) = t2n+l, /€[-1, 1], я-0, 1, 2, ...}
3) 1, cosf, sin*, ..., cosn/, sin л*, ..., t£[0, Зя]; я=1, 2, ...
XVI. 1.23. Проверить, что функции из XVI.1.21, 6) попарно
ортогональны на [0, я], и доказать равенство
1) V J 2!_. о) У ' - "2
' ill "2 6 ' £) £, (2« - 1)* 8 •
XVI.1.24. Проверить, что функции из XVI.I.21, 7) попарно
ортогональны на [0, я], и доказать равенство
IU=1
1 _ я4
(2п — I)4 ~" 96
§ 2. РЯД ФУРЬЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ
XV 1,2.1» Для функции
)—-г, *£[— я, 0);
/(*) =
(^, *€[0, я),
у s. Записать рав
1 1 I 1 1 I Я
1—г +—- —+ ••• в — ■
найти ряд Фурье и его сумму s. Записать равенство Парсеваля и
доказать, что
253

XVI.2.2. Для функции
(О, *£[— я, О);
(О, *€[— п. <
/(;С) U, хеЮ, я),
найти ряд Фурье и его сумму s. Записать равенство Парсеваля.
XVI.2.3. Пусть а 6 (О, я). Для функции
[1, *€(— а, а];
'U)-i0, *£[—я, — а) U (а, я],
найти ряд Фурье и его сумму s. Доказать, что
оо оо
1 V s*"2na a (я — а) # 9. у cos2 па _ я2 — Зяа -{- За2
XV 1.2.4. Для функции / (х) =* х% х£ [—я, я) найти ряд Фурье
и его сумму s. Записать равенство Парсеваля.
XVI.2.5. Найти ряд Фурье для функции f (х) = х, х£[0, 2я).
XV 1.2.6. Для функции
{О, *€[-*, 0);
MX)"~U *€№, я),
найти ряд Фурье, его сумму и записать равенство Парсеваля.
XV 1.2.7. Вычислить следующие суммы:
1) S-гг: 2)2(-1Г+1^; 3)S(-iy*'Jr.
XV 1.2.8. Пусть / — периодическая с периодом 2я функция,
/€<?(R),
я
ап (/): = — j / (•*) cos nxd*; n ^ 0;
—я
я
—я
п
8п (х) ^ ^Ф + ^ (акф см kx + bk{f) sin kx)9 *>1, *£R.
Доказать, что
nan(f)->09 nbn(f)-+0, Ai-^oo.
XV 1.2.9. Пусть /6 R ([—я, я]). Доказать сходимость ряда
V \°п<П\ + \ья(П\
Я
XVI.2.10. Функция / периодична с периодом 2я и /6 Cr (R) для
г > 1. Доказать, что
1*0)1+1 ьп (/)| < -у- *»■ <f(r,)l +1b" ^D- n >' •
254

XVI.2.11. Функция / периодична с периодом 2я и / 6 С1 (R).
Доказать, что
max\f(x) — sn(x)\= i, л>1,
причем &п -> 0, я ->■ оо.
XVI.2.12. Функция / периодична с периодом 2я и /£C(R),
г^ 1. Доказать, что
тах|/(*) — вя(*)| =-^_, л>1,
П '
причем е„ -> 0, /г -> оо.
XVK2.13*» Функция /6R([—л» я]) четна на [—я, я] и такова,
что #„(/)]> О, n^l. Доказать, что
оо
1) ряд ]£ а„(/) сходится;
2) ряд Фурье функции / сходится равномерно на R;
3) /6C(R).
XV 1.2.14. С помощью ряда Фурье, полученного в задаче XVI.2.4,
и теоремы об интегрировании ряда Фурье получить разложение в
ряд Фурье функции
1) f(x) = х\ *61—я, я];
2) f(x) = A *6(—я, я).
XV 1.2.15. Коэффициенты ряда
-%- + 21 (ап cos я* + ^nsin Щ% x 6 R, (*)
удовлетворяют условиям
U6R Vn>l ! /z3|aJ<L, n3|ftn|<L.
Доказать, что
1) сумма s этого ряда периодична с периодом 2я и s£ С1 (R);
2) ряд (*) есть ряд Фурье для s;
3) ряд, полученный почленным дифференцированием ряда (*), есть
ряд Фурье для s'.
XV 1.2.16. Пусть
Доказать, что / £ С1 (R), причем ряд для /' можно получить
почленным дифференцированием. Доказать также, что
fix) £-^L, *€<0. 2л).
255

Из последнего равенства с помощью результатов задач XVI.2.5 и
XVI.2.7 определить /.
XV 1.2.17*. Пусть
f (х) = 2 п*П+[ sinnx' х€R#
п=\
Доказать, что / 6 С°° ((0, 2л)).
XV 1.2.18. Доказать, что сходящийся на R ряд
*J lllfl ' ^ *
n=2
не есть ряд Фурье функции из R ([—л, я]).
XV 1.2.19. Функция / периодична с периодом 2л и / 6 С (R).
Предположим, что ряд Фурье функции /
^Д + S («я (/) cos л* + Ъп (f) sin nx), x 6 R,
* л—1
равномерно сходится на R. Доказать, что
оо
1(х)=ЛЛ1 + % (an(f)cosnx + bn(f)sinnx), *€R.
XV 1.2.20. Пусть /6R(la, b])f ф—2л-периодическая функция и
Ф £ С1 (R). Найти предел
с/
1) lim \ f (x) cos2 nxdx;
2) lim \ f (x) cos3 nxdx\
b
3) lim \ f (x) у (nx) dx.
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
XV 1.3.1. Для функции / вычислить преобразование Фурье
f(*.):= J f(x)e**dx9 leK
1) /(*) =
0, x£l— a, a], a>0;
e *; x>0,
2)^>-|0. x<0;
256

3) f(x)= \e-^x\ x£R, a>0;
5) /(*)= ' expf- lx-?>'), *<ER, a€R, °>0.
У 2ло \ 2ог J
XV 1.3.2. Доказать следующие равенства:
+оо
1Ч С COS Хх , я —а[х\ ^ гь ^ л
1) 1 -w+irdXs=-ire ' *6R» a>0;
~v°
2) j e~"A cos XxdX =■ 1 , ^ , a: 6 R;
о
i) \ e 2 cosXxdx = -i- у -%-e 2a\ x£R, a>0;
'1-х, *6[0f 1],
[0, *>1.
+oo
XVI.3.3. Определить функцию/ j [0, +oo) -* R, f | / (x) \ dx <C
о
< +oo, для которой
+00
1
+00
XVI.3.4. Определить функцию/ t [0, +оо) -> R, 1| / (х) \ dx <
о
< +оо, для которой
+оо
J f(x)coskxdx= {~~™$X , ^6R
о
XV 1.3.5. С помощью преобразования Фурье функции
4> 4 J ^^cos(2z*)dz=J(
\ / (л:) cos Kxdx = -т"ГТ2» ^6R-
nx)~ lo. *ei-i, и,
вычислить значение интеграла
+оо
J ^dx.
X
о
XV 1.3.6. Доказать равенство
+оо
— \ cos Л* In —-~— ЙЯ, = , х > 0.
9 7~1047 257

XV 1.3.7. Доказать, что преобразование Фурье абсолютно
интегрируемой на R функции есть равномерно непрерывная на R
функция.
XV 1.3.8. Для функции / при некотором п 6 N
+00
$ (1 + И")I/(*)!<**<+ оо.
—оо
А
Доказать, что f£Cn (R), причем
+°°
/<*) (X) = J е** (**)* f (X) dx, X б R, 0 < * < л,
—оо
/<*> (0) = /* J х* f (x) dx, 1 < k < п.
—00
XVI.3.9. Функция / 6 Сп (R), я 6 N, удовлетворяет условиям!
V*6{0,1 п-\) : /<*(*)-* О, Н-> + оо;
-f-oo
Vfc€{0, I п) : j \fM(x)\dx< + oo.
—оо
Доказать, что
XV 1.3.10. Функция / абсолютно интегрируема на R. Выразить
через / преобразование Фурье функции
+0О
XVI.3.11*. Функция / абсолютно интегрируема по Rf /£C(R).
Пусть
\0, X6I-1, 1].
Вычислить для л: £ R предел
+00
Х-вг№)гажк(-т)*~
258

S 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛАВАМ XIII—XVI
XV 1.4.1. Пусть
х= *ес([о, +оо)) i J |х(/)|л< + оо 1,
+оо
Р(х, */): = $ \x(t) — y{t)\dt, {x, y}<=X.
0
Проверить, что (X, p) есть метрическое пространство.
Является ли оно полным? сепарабельным?
XV 1.4.2. Последовательность функций {/„: п> 1} с: С ([0, +оо))
такова, что
оо
(i) для любого г > 0 ряд S I /я I сходится равномерно на [0, Н;
ОО +00
(И) ряд 2 £ I fn (О I dt сходится.
№1 О
Доказать, что
-|-оо / оо \ оо 4~оо
О \№=1 / П?т\ 0
XVI.4.3. Пусть
i
F (a): = j е~а3** sin ад: d*, a £ R.
0
Проверить, что F £ C°° (R).
XVI.4.4. Функция f6C([0, +oo)), /40) = 0, sup| /(лг)| < + оо, а
для функции g: [О, +oo)->R сходится интеграл
-f-oo
£ |g(*)|dx,
о
Доказать, что
«-►0+ g \ * /
XV 1.4.5. Для функции /£С([0, +оо)) сходится интеграл
) \f(x)\dx,
О
а функция g£ С ([0, +оо)) и ограничена на [0, +оо).
Доказать, что
+ 00
lim [ f(x+X)g(x)dx = 0.
ft,«* + оо ft
в* 259

XV 1.4.6. Для функции f i [О, +<*>) -* R сходится интеграл
J \f(x)\dx
о
и при каждом %>0 отрезок [а (к), Ь (К)] cz [О, +оо).
Доказать, что
Ь(Л) .
lim \ f (x) cos \xdx = 0.
*-*+"> alto
XVI.4.7. Функция f i R-v R ограничена и равномерно
непрерывна R. Доказать, что равномерно по х 6 R
Н-оо
XVI.4.8. Функция /б С ([О, 11) и положительна на [0, 1]. Пусть
1
F(a): = J/(*)adx
о
Вычислить предел
XVI.4.9*. Доказать, что при a > 0
lim (я* J(l—*«cosx)ndx)=*-i-r(-l.).
XV 1.4.10. Для функции /€С([0, И) вычислить предел
im_i_ V f(P + » )
lim
XV 1.4.И. Для функции f$Cl ([0, I])2 вычислить предел
limn J f(xl9 xu)dxtdx2 4- Jj Ч^Г'Т"))-
XV 1.4.12. Пусть функция / € С (10, I]2) и положительна на
[0, I]2. Для каждого п 6 N определим 0 (п) £ [0, 1] как значение, для
которого
— 3 f(xi> x2)dxldx2 = ] f(xlt x2)dxtdx2t
[0,1]2 А(л)
где
4(/i) = {(*lf x2)£[0, И2 | (x1-4-)t + (ff-4)1 <6 <")*}•
260

Вычислить предел
Um(VnQ (n)).
XVI.4.13. Пусть / 6 С ([0, 1]). Вычислить интеграл
XVI.4.14. Пусть /6 С ([0,11). Вычислить интеграл
) min(xx,. .., хп) П t(Xf)dx,.
XVI.4.15. Пусть /6 С (Ю, И). Доказать равенство
п \ / и \ л—1
f max (jclf ..., хп) П / (*,) dXf = n]u[\ f(v)dv) f(u) du.
[o.i]« i==] ° v> /
XV 1.4.16. Доказать равенство
l
J (*,*,...xn)XiXt'"xndx,dx2... dxn = (nl{)l $ **In"-1 ±-dx. n > 1.
XVI.4.17. Для функции / 6 С ([0,+oo)) сходится интеграл
$ f(]/rx2[ + xl)dx1dx2 = i?l.
[0,+oo)*
Доказать, что существует последовательность \хп : п^ 1} такая, что
0 < Хх ^ Х2 ^ . . . ^ Хп < Хп+1 < • • • J
3--J-2] *„/(*„).
XV 1.4.18. Вычислить интеграл
где г = х, + иса, А = {г | |г|<1}.
XV 1.4.19. Пусть
А = {(*!, л:2) | аг,>0, *2>0, л;, + х2< 1}.
Доказать, что
е
ЗвбЮ, 1] : \f{xu x2)dxxdx2=- J/(и, Q — u)du.
A 0
XV 1.4.20. Доказать, что при любом а>0 сходится интеграл
f dxxdx2.. . dxn
[1,+oq)« ¥2 . • . *n (max (*lf *at . . . , *„))"
261

XVI.4.21. Пусть А = {a,jk)lk=\ — симметричная и
положительно определенная матрица. Доказать, что
\ expl ^ Yi a,kXfxk\dxl...dxn*='
(2л)
XVI.4.22*. Функция / i [0, 1]-*-R неотрицательна на [0, 1] и
такова, что
Доказать, что
dx-Ax*. . . . dx„ ~. I 1 >
——' = ° I /. , п. Ь Л "* «О.
XV 1.4.23*. Пусть {/, g\ cr С ([О, 1]), причем 0 < / (х) < g (x),
х 6 (О, 1). Доказать, что существует число А, £ (О, 1) такое, для
которого
f /(*,)/<«.).■./(«,) я ^ ... ^-
-°(-5ГТТ)т)' п-*°°-
XVI.4.24. Определить функцию /£R ([0,3л;]), если
(i) / (х) = х\ хе [0, я);
(и) Vn>0 :
Зя Зя
I f (х) cos nxdx = W (х) sin nxdx = 0.
XV 1.4.25. Доказать следующие равенства:
О
7 J х 1-х 4
о
XVI.4.26. Найти для х £ R сумму ряда
оо оо
1) £a"sin/u, |о|<1; 2) ^] "^" ;
П=1 1=1
ОО 00
0, V1 cos л* л\ V и sin яде -п
3> L-пГ-' 4) 2^°"-^— • a6R-
1=1 1=1
262

XVI.4.27. Найти для х 6 fO, 2л;] сумму ряда
XJ ОС
1 V^ cos к* 9\ V sin пх
J> Zj —J? ; ^ Zj п3 '
з) Е-2^-
XV 1.4.28. Доказать равенство
** + 2 2 '""У* - я min (х, у), (х, у) 6 [0, п]\
1=1
XV 1.4.29. Пусть R0 — множество всех 2я-периодических
функций таких, что их сужения на [0, 2л] лежат в R ([0,2 п]).
Предположим, что функция К 6 Ro и четна. Пусть
М:= ngNulO} | 4,1 = 4" $ К (у) cos пуйуф 0 .
Доказать, что
л
cos/2x = A,n j K(x — у)cosnydy, x£R; n£M;
sin
nx = ln ] K{x — y) sin ш/dy, л: 6 R; я € M \ {0},
где А,„ = (лЛп) ' для /г£Л4.
XVI.4.30. Предположим, что функция К £ Ro четна. Доказать,
что для любой функции / 6 Ro справедливо равенство для любого
*€R
Л оо
-f J K(x — y)f{y)dy = 4r Atia0(f)+ Yi(Akak(f)coskx +
—Я fe=1
+ Л А (Л sin **),
где [Ап\ и {a„ (/), bm (/)} — коэффициенты Фурье функций К и
/ соответственно. При этом функция
хь> J К (х — у) f (у) dy
принадлежит R0, а ряд в правой части сходится поточечно на R.
Указание, Воспользоваться обобщенным равенством Пар-
севаля.
263

XV 1.4.31. При условиях предыдущей задачи доказать равенство
-JJ5- ] K(x — y)f(x)t (у) dxdy =
I—я,я?
оо
XV 1.4.32. Пусть
При условиях задачи XVI.4.30 найти
max
-я,л]2
XV 1.4.33. Пусть jZ)—множество функций из С1 (R),
периодических с периодом 2я на R, а X > 0 — фиксированное число. Для
фиксированной функции g 6 Ro найти
/л л \
min f (/(*) — g (х))2 d* + X f (/' (х))2 dx
ii определить функцию, доставляющую минимум.
XV 1.4.34. Пусть /£Ro- Используя формулы Эйлера, доказать,
что ряд Фурье для функции
00
f(x)<s>-Ta0(f)+ £ (я* (/) cos kx + bk {f) sin kx)
может быть записан в виде
/(*)~Е cn(f)ein\
где
j_ \an(f)~ibn(f)9 n>0;
2 |а-„(/)+ <&-*(/), п<0.
Проверить также, что
^^тЬ^"'"^^}'
2 2 Ie" (/)ia = 4- *° tf) + 2 <fl- </)+6»(f»»
n€Z
-^J /2wd^= 2|бллр.
i€Z
XVI.4.35. Пусть функция /: R-> R периодична с периодом 1
на R и / £ R ([О, 1]). Проверить, что коэффициенты и ряд Фурье для
264

/ имеют вид
М/)= \f(x)e-**tnxdx, n<EZ;
О
/U)c4>2 cn(f)e2ni™, *6R.
i€Z
При этом равенство Парсеваля записывается в виде
i
XV 1.4.36. Пусть функция g 6 С1 (R) и периодична с периодом L
Определить функцию /6 С1 ([0, 11), удовлетворяющую уравнению
f"(x)-f(x)+g(x) = 0, *6(0, 1),
и условиям
/(0) = /(1), 4(0) = /1(1)..
XV 1.4.37. Пусть ,23 множество всех тех функций / из R ([0, 2])„
для которых
VngZ : \f{x)e~2ninxdx=*0.
о
Найти
2
min \(f(x) + x — 2fdx
и функцию /*, доставляющую минимум.
XV 1.4.38. Пусть х 6 R \ Q. Доказать, что множество
всюду плотно в множестве {г 6 С \ | г | = 1}.
XV 1.4.39. Предположим, что последовательность функций
{Кп * я ;> 1} cz R0 удовлетворяет следующим условиям:
л
1) sup [ I Кп (х)\ dx < +oo;
2) j ^(x)djc-^ l, n-+oo;
—Л
3) V6€(0, я) : J \КП(Х)\ dx->0, п-*оо,
Доказать, что
(1) для любой функции f £ С (R)> периодической с периодом 2л;
л
J Kn(x-y)f(y)dy-f(x)
max
*€[—л,л!
0, П-+<х>]
265

(ii) для любой функции / £ С' (R), периодической с периодом 2nt
люрого т ^ г
max
*€[—я,я]
dxT1
$ Kn(x-y)f(y)dy\-f™{x)
О, Я->оо,
XV 1.4.40. Предположим, что {/Cn s n>l|cR0 —
последовательность на R функций таких, что
Vm6Z ! ст(Кп)->1> л->оо.
Доказать, что последовательность /d, n^l, удовлетворяет
условиям 1)—3) задачи XVI.4.39,
XV 1.4.41. Формальный вывод формулы Пуассона. Пусть для
функции / £ С (R) сходится интеграл
J l/U)|dx
+оо
f(X)~ $ e**f(x)dx, b£R.
Функция
ф(*)*=£ /(*+"), *6R,
периодична с периодом 1. Для т £ Z имеем
/ (2лт) = ^ ^я****/ (Х) dx = J] i е2*'"1*/ (л:) d* =
Поскольку
1
= Yi [ e2"im*f (л + x)dx= c-m (Ф).
nezo
Ф (0) =» £ Cm (Ф) е2"""" = S ет (ф),
w£Z mgZ
TO
2 f№- £ / (2ял) (формула Пуассона).
nez ^cz
XVI.4.42. Пусть /(л:) = (1 -f- г2)-1, х 6 R. Проверить, что все
преобразования задачи XVI.4.41 справедливы. Доказать равенство

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
Глава I
$ »
1.1.1. 1) А есть подмножество множества четных чисел}
2) Аса Q; 3) Л с: [О, +оо); 4) А с (-оо, 0] U [1, +°о); 5) А <= (-оо, —3] [}
UtO, +оо); 6) Л с: (-оо,-1) U (1, +оо).
1.1.2. 1) Нет; 2) да; 3) нет; 4) да; 5) да; 6) нет; 7) да.
1.1.4. 1) (т, +оо); 2) (т, т+ 1); 3) (0, + со);
4) 0; 5) (1, +oo)\N; 6) R\Z.
1.1.5. 1) {(0,0)} U {(*. У)\ху>0}, {(0, 0)} и {(*,у)|(х —у) (* + *)< 0},
{(0, 0)};
2) {(0,0)} U {(*, У) | * * 0, у > 0}, {(0, 0)}.
ОО QQ QO ОО
1.1.9. Ит Л„ = у f| Лл, Нт Л„« f| (J Л*.
П-*©0 П«1 /?=Л "-1,00 ГС—1 fe=n
1.1.13. 0 и множество всех простых чисел,
§ 2
1.2.1. 1) П}; 2) (2); 3) {0}; 4) {-1, 1}.
1.2.2. 1) ((0, 0)}; 2) Z; 3) {(«, /i) | m 6 N, /i 6 Z}; 4) Z3.
1.2.3. 1) 0; 2){-2, 1}; 3) Z \ {-1, 0, 1}; 4) {-1, 0}.
1.2.4. I) Биекция; 2) биекция; З) биекция; 4) нет; б) биекция; 6) биекция;
7) инъекция, но не сюръекция; 8) биекция; 9) биекция.
1.2.5. 1) Например, / (т, л) = 2т-1 (2л — 1), {т, л} а N. 2) Например,
Г 1
— (Зл2 + л) + т,
/ (т, л) i
— ((m + n)* + m) + -Lnt
1
I
— л <m <0;
и>0, л>1;
— т < л < 0,
2(3т2 + 5т)+л,
f(m, я) — — /(— т — 1, — л) — 1.
1.2.6. 1) лт; 2) ml С™ при л > т, инъекций нет при л < т\ 3) /и! при m — л
биекций нет при т Ф л.
1.2.8. Л = N, f переводит все нечетные числа в 1, а четным л ставит в соот-
ветсгвие —. Не существует.
1.2.9. Да. Нет.
§3
1.3.19. Использовать метод математической индукции и неравенство Я. Бер-
нулли.
267

§4
9
1.4.14. Наибольшим является элемент Од в -^-, наименьшего элемента задан-
ное множество не имеет. Проверить, что 1) о, < ak для к = 1,2, ..,, 6; 2) а„, 1 < ая
для любого п ^ 7.
1.4.15. Да = а8, наименьшего элемента множество не имеет.
1.4.17. —1, 1. 1.4.18. —, 3.
4
1.4.20. inf Л = min /1 = 4.
1.4.21. inf Л — min Л = , sup A — max Л = — .
4 4
1.4.22. тЫ = гшпЛ= —, зирЛ=1.
1.4.23. inf Л = — 1, sup Л = 1.
1.4.28. 1. 1.4.30. 1) 1; 2) —1; 3) 0; 4) 1.
1.4.31. 1) sup fi=— inf Л, inf£=— sup Л; ,
2) inf В =* (inf Л)3, sup В = (sup Л)3; З) определенной связи нет, рассмотреть
примеры множеств: А = {1, 2}, Л = {—1, 1}, Л = {—2, 1), Л = {—1,2}; 4) inf В =
= inf A + a, sup В = sup Л + а; 5) inf В = a sup Л и sup В — a inf Л при а < 0;
inf 5 = a inf Л, sup В = a sup Л при а > 0; inf 5 = sup В = 0 при а = 0.
1.4.34. Например, многочлен Р (х) = 2л? — xt х £ R. Заметим, что Р : Q -* Q
не есть биекция.
j_
1.4.38. Пусть А и В — любые точки такие, что | А В | = 2 4 , а С — середина
отрезка Л В. Для любой точки Р, согласно равенству параллелограмма, имеем
| АВ |2 + 4 | СР |2 = 2 | ЛЯ |2 + 2 | ЯР р.
1.4.39. При | 6 | Ф | с | домножить сначала левую часть на сумму корней,
а затем использовать неравенства
\b*-c*\^\b-c\(\b\ + \c\),
YW+& + V ^+Т2 > | и + \с | > о.
1.4.43. * = ( S а*) при ** = Ьак% 1 ^ ^ ^ п*
1.4.45. ai = а2 — ... = ап = а 6 R.
1.4.46. Это доказательство предложил Kong — Ming Chong. Другие
доказательства неравенства Коши содержатся в приведенных во введении книгах, а
также в кн.: Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства.— М.: Мир, 1965,— 276 с.
1.4.47. Применить неравенство предыдущей задачи к числам а~\ aj"1, ..., а"1.
1.4.48. Применить неравенства двух предыдущих задач к п числам а, 1, 1, ..., 1.
1.4.49. Левая часть неравенства очевидна. Для доказательства правой
применить неравенство Коши к п числам Y~h, Y"n> 1» ..м !•
Г л а в а II
§ 1
Н.1.1. Нет. Нет.
11.1.5. 1) 0; 2) За; 3) \а\\ 4) а8; 5) 0; 6) а; 7) последовательность может не
иметь предела, рассмотреть примеры: (i) \ап = — : д>1|, (и) |ая=1-|-
268

*j- (— 1)" — : л ^ 1 \; 8) последовательность может не иметь предела, рассмот-
п )
реть примеры: (i) \ап =— : п> lL (ii) \an = (— 1)"— : л>1|.
11.1.7. I) Не обязательно сходится, рассмотреть примеры: (i) ап = —, л;>1,
(И) ап = I, п = 2k — 1, /г 6 N; ал « -— , л = 2kt k £ N; 2) не обязательно сходится;
Л2
3) сходится к а.
11.1.8. Сначала доказать ограниченность последовательности, а затем
использовать неравенство
ап + 2<е => (ап-\)2<еС,
где С = sup а„, е > 0.
11.1.9. Воспользоваться тем, что для любого е>0
| 4 — ап — 2 |< е <Ф (а„+1)К-2|<е =* | ая — 2 |< е.
■ 1.1.11- а = —1.
11.1.12. 1) 2; 2) —; 3) 2; 4) 4; 5) 0; 6) —; 7) —. Определить общий
6 2 2
член последовательности.
11.1.14. Вычислить значение ап. При этом 1) воспользоваться представлением
,' - V^+i-Vn _ 1 =J=.i п>и
(Vn+Vn'+\)Vn(n+\) Vn(n+\) Vn Vn+l
2) воспользоваться равенствами
i _J_/_J L_\ -,i
(2л — 1)(2л + 1) "" 2 \2n—\ 2я + 1 )f "** ;
3) воспользоваться равенствами
/i ,.0//i+l n + 2\
2« v 2" 2n+l ;• n> •
4) воспользоваться равенствами
! ! * n^..
(2л~~1)(2л + 1)(2л + 2) (2л—1)(2л+1) (2л + 1) (2л + 3) » п**1*
5) аналогично 2);
6) воспользоваться равенствами
I
п(п+ 1) (л + 2) . . . (п + т)
= ~ ( л (л + 1) . . . (л + т — 1) (л + 1) (л + 2) . . . (л + т) ) » Л>1;
7) доказать для п> т тождество
m \ ^ 2 ^ ^ m j т^л+1^л+2^ ^ n + m j »
8) воспользоваться представлением
л—1 1 1
-, л>1, 01 = 1;
269
п] ~ („_!), --Д". «>!. 01-1;

9) с помощью тождества
n{n+\) = -L((n+l)*-n*) L
упростить числителе для ап;
10) сначала упростить числитель;
11) воспользоваться тождествами
/г3 — 1 = (л — 1) (я2 + п + 1), п* + 1 — (п + 1) (л2 — п + 1);
12) воспользоваться разложением слагаемых, аналогичным 6), а также неравенством
а(а+ 1)(ах+1) .. ♦ (ах"1"1 + 1) >а (а+ 1)\ п>1.
Ответ. .) 1; 2) J-; 3) 2; 4) ± ; 5)^: 6) -^-; 7) JL(l +1+ ...
-+v):8)1:9)t: ,0)т: И)т: ,2)v-
11.1.15. Например, ап = sin |^л, я> 1. Другие примеры и решения этой и
последующей задач содержатся в кн.: Дороговцев А. Я. Избранные задачи по
математическому анализу,— К. : Вища шк., 1982.— 104 с.
II. 1.17. Воспользоваться неравенствами для я>3
п ^ п г- ^ (а + (п — 1)
-j— "</?< п .
IL1.18. 1) 0 при а#0, 1 при а « 0; 2) а — — ; 3) -|-; 4) -| ~
—.; б) а; 6) 1; 7) 1; 8) 5; 9) 3; 10) max (alt a2t ... , ат)\ 11) 1. Сначала
6
проверить, что п-й член последовательности не превосходит —-7= ; 12) 1. Мож*
у п
нэ воспользоваться неравенством Коши
. ^tVr^ п + (п2-1) . ft
13) 1; 14) 1. Сначала заметить, что
i_ 1
и что согласно неравенству Коши
l<2 <2 ^ \Vn]
затем доказать, что \УЪ ] -»- + оо, п -* оо; 15) 0. Пусть т 6 N таково, что at >
>6+1. Согласно неравенству Бернулли,
(7S)n>i + n(rs-D>n(7'«-i),
откуда
270
пь ^ пь
оп< ггС/ъ-\)м ' n>U

3
16) 0; 17) 0; 18) 0; 19) 1; 20) max(l, a); 21) max (au a2t ..., am)\ 22) — при
a<bt — при a>b, — при a = b; 23) 1; 24) 0; 25) 0; 26) 0; 27) 1; 28) 1.
5 3
11.1.19. 3. 11.1.20. I, 11.1.21. 0. 11.1.25. 3. 11.1.26. * "у § .
11.1.28. 1) -1; 2) 4-5 3) 2; 4) —'— ; 5) —-Ц- ; 6) —1— ; 7) \ ;
3 2 a—1 a—1 m-\-\ о
8) —; 9) 0.
D
11.1.30. 4-- И.1.31. 2a.
2
11.1.32. — . Представить bn в виде
1 —a
Ь-Ё.%"". «-4-
«-1 Ь-l
и применить теорему Штольца.
1
И. 1.34. а + Ь. Для чисел с„= п(а,г+1 — а„), я> 1, рассмотреть числа —(сх +
+ с* + ••• +Ся). л>1.
11.1.35. При а>0, согласно неравенству Коши, имеем
а1 + а2+ ••• +Д/г
1
JL + _L+...
«1 «а
+^
: у аха% ... an ^ - , п > 1,
откуда следует требуемый результат. При a = 0 достаточно правой части
неравенства.
11.1.36. Пример: 1,1, -у- , -у- , — , — , ...
11.1.37. art=-if—-—1- , афЪ\
ап — Ьп
п+ 1
ап = а, а = 6, я > 1; max (а, 6).
а, a = b, я>1; min (а, 6).
" /i+l
11.1.39. Доказательство следует из равенств, доказанных в задаче 1.4.33.
И. 1.40. Пусть cn(\):=an + bnt сп (2) : = ап + 2bnt д>1,
тогда a„ = 2cn(l) — с„ (2), &л = сп (2) — с„(1), л>1.
Отсюда a„-*2c(l) — с (2), &„-*с(2) — <?(!), п-*оо.
Следовательно, с (ж) = 2с (1) — с (2) + (с (2) — с (1)) *, х £ [1, 2].
271

11.1.42. УЗ. Заметить, что (1 — /3)п = ап — Ьп V~b\ Поэтому для л > 1
«n =-^-(d +/зг + (1 - КзЛ,
((l+VTr-O-W).
п 2/з
II. 1.44. а&.
п 1
II. 1.45. I) а„=(—1), п>1; 2) — #. Из равенства
3
1 1
ane —fti — —°*-1. *>1.
получить представление
11,1 /1 \"-1
в"-Т
1,1 /1 \"-1 , / 1 \л-1
■0* 2Г0/1-1 + —</rt-2- — -"(-—) Уо + ( Г] **
п^*\. Далее использовать результат задачи II. 1.32. Ответ: -тг у.
II. 1.46. Заметим, что
4х„ — хп_х *= 2а„ г- Ьп -+ 2а — &, п -+ оо.
Тогда аналогично предыдущей задаче
хп -*•— (2а — Ь), п-+ оо.
о
Затем
Уп=*ап — 2хп -*• -у (2& — а), n-voo.
11.1.47. Использовать теорему Теплица о регулярном преобразовании
последовательности.
11.1.48. Заметить, что ап+ Ьп + сп~ а + Ь + с, п^ 1. Далее для *„ ™ с^ +
+ Ь„, п> 1, получить соотношение
1 1
*/Ц-1 — ~ Хп^~ ~ хь—1' Л ^ 2»
откуда
1 1
*„4-i ~^~Xfl e *2 + ~ **'
Аналогично решению задачи II.1.45 получить, что
2
%-*— (я+ * + *)» «-►оо.
Поэтому
lim an = lim bn = lim cn = — {a + b + с).
п-ъоо rc-+oo n-*oo О
11.1.50. 7) / (x) = I I X (jc), х- £ (0, 1].
L * J * {±| Ц
§ 2
11.2.1. 1) /Iq = 25, возрастает; 2) r^ = 10, возрастает; 3) nQ = 5, возрастает|
4) «0= 3, убывает; 5) n0~ 1, убывает; 6) гц = 1, возрастает.
272

И.2.2. 1) Л1==[ i- , -LJ, л2 = [0, Н-оо); 2) А, = [— 2, 2], А2 - [О, + оо)-
3) Аг = (— оо, 0], А2 = R; 4) А, = [0, 1], А2 = R.
11.2.4. Необходимо и достаточно, чтобы 1) для любых двух членов
последовательности ат и ап отрезок (возможно точка) с концами ат и ап содержал только*
конечное число членов последовательности, 2) последовательность имела
наименьший член, 3) ат Ф ап при тф п.
П.2.7.
(_ l)"-i ai + -L(l+(-1)^)5, а--1;
\(п-\)В + аи Л=1;
1-л""1 я + ^-Ч, \л\ф\
1 — Л
для п ;> 2. Последовательность ограничена в следующих случаях:
(i) Л = 1, £ = 0, a^R; (ii) Л = — 1, ££R, a2 £ R;
(ш)|Л|<1, #£R, ai6R; (iv)|i4|>l, B+a,—M = 0.
Последовательность сходится в случаях (i), (iii), (iv), а также при ах = 5 = 0;,
Для случая (iii) предел равен . __* «
11.2.8. Строго возрастает при aj 6 1—2, 2); a„ = 2, п > 1, при ai = 2; строго*
убывает при а^ > 2. Ограничена и сходится к 2 при любом aa > —2.
11.2.9. Последовательность сходится также при а £ К-—)*, 1). См.: Егоров А.
Уравнения и пределы// Квант.—1977,— 10.—С. 34—39, Rippon R.J. Infinite
exponentials//The mathematical gazette.—1983.— 441, 67.—P. 189—196.
П.2.13. 1) 2; 2) -i-(l_j/T=45)f 3) -i- ; 4) -L; 5) -i-; 6) -1- (/5 - I).
11.2.14. a„-*2, &„->2, rt-^oo.
11.2.16. Использовать для доказательства ограниченности неравенство Бер~
нулли
Vn ГУЛ]
2 4 >2 4 >9(/п— 1), п>1; 6— у*?—1.
11.2.20 1)е2; 2) е2 ; 3) 0; 4) 1.
11.2.21. Использовать следующий факт: если последовательность
положительных чисел возрастает (убывает), то последовательность средних геометрических;,
также возрастает (убывает). См. также задачу 11.2.3.
11.2.22. С помощью неравенства Бернулли имеем
/ (/t»+l)(it+l)» \" 2п+1 1
[ я»((л+1)«+1) ) ^'^ /i((/i+l)«+l) ^>1"1" (/i+i)»
Кроме того, ап-+\, я->оо, поскольку aJJ<e, я>1, и у^е -*•!, я-*-оо. Для>
второй последовательности используем неравенства
/ 1 \п I I \*+1
(1+-)<(1+мЛ-) ■ ->>■
откуда
/f , 1 \"2 Д , 1 \"2-И /, , 1 \(л+1)*
(' + -) <(1 + т+т) <(1 + ТТт) . *>ь
Кроме того, Ьп > (— 1 , п > 1
Ш"
27&

11.2.23. 1) 1; 2) в""2; 3) е&; 4) 1. Простое решение получается с использованием
результата задачи 11.1.36.
11.2.24. а.
Н.2.26. 1) In 2; 2) ln-p-; 3) — In 2; 4) 1; 5) 2; 6) — ; 7) In 2? 8) m — k;
9) In (1 +k).
11.2.29. Указания к решению задач П.2.28 и И.2.29 см. в кн.: Дороговцев
А. Я. Избранные задачи по математическому анализу.— К. : Вища шк., 1982.—
104 с.
11.2.30. Заметить, что
±Yw<—Vn\+Vn\+ ... +уж <±.утпй,
п п п
и воспользоваться результатом задачи 11.2.21.
11.2.31. Заметить, что последовательность
{Ьп — "п : я>1}
монотонна и ограничена.
11.2.32. Рассмотреть вспомогательную монотонную и ограниченную
последовательность
11.2.34. Рассмотреть вспомогательную последовательность
|<Ч+ — */*_! : п>2У
которая монотонна и ограничена. Дальнейшие рассуждения аналогичны решению
задачи II. 1.46.
11.2.36. Рассмотреть вспомогательную последовательность
JL 1
{аЛ.2-22 ... 22""-1 : *>1},
которая монотонна и ограничена,
11.2.38. Использовать результат предыдущей задачи.
11.2.39. Рассмотреть вспомогательную последовательность
£(*+±) ■ •>.
1.
которая ограничена и монотонна.
11.2.40. Рассмотреть вспомогательную последовательность
которая монотонна и ограничена.
11.2.41. Для сп*=ап — Ьп, л>1, доказать неравенство
Затем аналогично решению задачи 11,2.32 получить утверждение о сходимости.
Сп+2 - С„+1 > —^ (С2 — С,), П > 1.
274

np
sin , sin |
Я
И)
§з
II.8.1. 1) {0}; 2) {-!, 1}; 3) {-2, 2}; 4) { ^JL , 0, J^L) ; 5) {2,3};
6) |l, 3, —I ♦ Проверить, что существует бесконечно много номеров п, для кото-
рых п и [Inn] оба четны и т, п.; 7) {е, е *}; 8) Пусть г = —>0, (/?, q) = 1.
Тогда А есть множество, состоящее из чисел
1'*-) -(-т-)'
9) 10, 1]. Пусть а £[0,1] проверить, что последовательность
[У*Ш) = {^2+ 2{Щ) =Vb2+ 2[ka] — k-*a, fc->oo;
10) R U {—со, +оо}. При решении этой и последующих задач удобно
пользоваться следующей характеризацией частичного предела: число а £ R — частичный
предел последовательности {ап: я ^ 1} тогда и только тогда, когда
Ve>0 VW£N 3n>JV : \a — an\<e;
{{*—} • /г = 0, 1, ..., tf-l}, r = —, (р, </)=1. 12) [0, 11. 13) [0, I].
Воспользоваться тем, что я (j Q.
11.3.3. Если последовательность ограничена,' то она сходится к некоторому
числу а £ R, в этом случае А = {а}. Если не ограничена, то для монотонно
неубывающей А = { +оо}, а для монотонно невозрастающей А = {—со}.
11.3.5. Не обязательно. Пусть а и Ь — пределы последовательностей. Если
аФ Ь, то А — {а, &}, Например, аЛ — (—1)", п^ 1, в этом случае Л = {—1, 1).
Если а= 6, то Л = {а} и исходная последовательность сходится к а.
11.3.6. Проверить, что множество А состоит из одной точки.
11.3.7. Пусть ап =» 1, если п — простое число, и а„ = 0 в остальных случаях.
Тогда каждая из последовательностей
состоит из нулей, исключая, возможно, первый член.
11.3.8. Доказать неравенство
2/п+ 1
max {| Ь (л) — 6 (m2) | m2 < л < (т + 1)а}< 4— (1 + I * (т2) |).
11.3.9. Требуемую последовательность можно получить, занумеровав все
числа таблицы
1 1 1
' Т"
11.3.10. 1) Число 0 также должно быть частичным пределом; 2) числа 0 и 1
также должны быть частичными пределами; 3) любое иррациональное число также
должно быть частичным пределом. 4) значения —со и +°о также должны быть
частичными пределами.
275

ff 1.3.11. Рассмотрим случай A cr R. Для любого m£N (J {0} рассмотрим
представление R в виде
•я определим множество
«отметим, что множество Ст не более чем счетно. Множество
С= U Ст
т=0
счетно и может быть расположено в последовательность [ап : п> 1}. Проверить,
«что множество всех предельных точек последовательности есть А. Если +°° входит
л Л, то в С можно добавить множество N.
7 „ ^3
11.3.12. 1) 0, 0, 0, 1; 2) —1,-1, 1, 1; 3) -2, -2, 2, — ; 4) - 2 .
_/3_ J^3_f i + J^L: 5) 2, 2, 3,-5-5 6)4-' 4". 3, 3; 7) 0,
2 2 ' ' 2 .-/-.-»«. 2 ' ' 3 3
— , е9 е; 9) 0, 0, 1, 1; 10) —со, —со, +со, + оо; 11) 0, 0, 1, 1; 12) 0, 0,
Л, 1; 13) —1,-1, 1, 1.
П.3.19. (—со, Нгп ап) либо (—со, Ит ап], (—со, Птап) либо (—со, Нт ап]9
(limart, +сю) либо [ Нт ап% +со), (lim a„, +со) либо [ lim a„, +°°)»
1
11.3.21. —(Kl+4a—1). Рассмотреть подпоследовательности {a2fe—i ^^
•>1} и {a2k : fc> l}.
11.3.27. G помощью метода математической индукции доказать, что ап <
*< сип"ъ, п > 3, где
c — pa2 + qau и= — < 1.
1 — р
Глава 111
§ 1
НМЛ. 1) 0; 2) [0, 1]; 3) {0}; 4) -6) [0, 1]; 7) [-1, Ц.
111.1.3. Например,
[0, x£(Q П (-со, 0)) U (0, 4-со);
*£(— оо, 0)\Q,
(0.
р-0
ИМ.5. Например,
г—1, х<0;
f (х) = sign х = | 0, х = 0;
I 1, *>0,
^ = 0, р2 = 1.
111.1.6. Т : 1) нет; 2) 1; 3), 4) нет; П: 1) нет; 2) 0.
.276

111.1.8. 1) 1; 2) —; 3) нет.
а
HI. 1.10. Не обязательно. Рассмотреть функцию /(*)=0, х$\— fl^NV*
/ (х) = 1 для остальных значений к £ R.
III. 1.11. Не обязательно. Рассмотреть функцию / (х) = 1, х £ <—-— п £ NV;
I п У 2 I J
/ (*) = 0 для остальных значений х £ R.
II 1.1.12. Рассмотреть функции
1(-1Л ХЛ~¥
111.1.14. Пример:
/М =
">0Ь в(х)яя\1-1Г' ^{2-2* I n>l};
0, ^GR4{2~2" | п>\].
f(x)
|_(l_(_i)»)f ^б{2-л | я>0};
0, A:GR\{2"-n | я>0}.
111.1.16. — 1. Сначала проверить, что в некоторой окрестности точки а
(исключая саму точку) значения / отрицательны. Затем доказать неравенство для.х из этой
окрестности
i/w + i/wr'i^i/w + M-
1 b(k+i)
111.1.17. 1. Ш.1.19. 0-Т-; 2) — 9 > 3) 1.
III.1.20. 1) 2; 2) 16; 3) 0; 4) 1; 5)0; 6) —. Использовать пределы
sin*
Hm
х^О X
1, limcos*=l, limsinxasl
'—Г
« т. п. В 6) сначала вычислить сумму.
II 1.1.25. 1) Не обязательно. Рассмотреть функцию
/« =
1, x£{nV2 \ n£N};
lo, x£R\{nV2 | n€N};
2) не обязательно. Рассмотреть функцию
(о, ^RXInyT | n£N].
111.1.26. He обязательно. Рассмотреть функцию к 2) предыдущей задачи.
/(*) =
111.1.31. 1) Зх; 2) —- ; 3) - — .
Z О
III. 1.82. 1) Xя1; 2) —; 3) 13л:3; 4) !т=- ,
* 2Vх
111.1.88. 1) / (х) = хГ1 + а^^-1 + а^з^-2 + о (а"-2), *-> +оо;
277

2)
/(jc) = eo+J^+_£L + 0(_L), *-* + «,;
1
3) m^V7 + ^..^r^.yr
+ 0
(v^)
, AC^-+OOJ
1 1 1
4) /W-* + - g-'-7 + 0
(t)-
*->- + co.
5) /(*) = /<+-f —f-.-^ + o^). X-. + 00,
6) /(*)-*» + * — — + o(l), x-* + oo;
7) f (*) = /5 *2 + -_!=.
8) /(*)
209
=-+o(l), x-»--t-oo;
2 /5 40 У 5
a a2 1 / 1 \
10) /W-^7 + -i ^ s Г" + ° (^»7r) • *-* + «»:
J. 32
.4
.., w , 3 3 1,9
11) /(*)= — -— ■yT +
16
• + 0
(4).
x-^ + oo;
i2) n^-4-4--4-+n^-i-+o(i-)» *-*+°°;
111.1.34. 1) J-; 2) L; 3)-l; 4) L; 5) —i- ; 6) L|
7) —
111.1.35. 1) o=l, ftes-r-; 2) a —ft—1, *«
-; 3) a«|/T, 6 =
7 209
«=—p=r, c = — —77^; 4)a£R, & = a—1; 5) a « — 3, Ы3илиа = 3,
3
6 = — 3; 6) a«2, ft— 1; 7) a = 2, ^ = -5"; 8) a —— 1, &=*Of £==■— 1 или
a== 1, 6 = 0, с = 1.
111.1.36. 1) — ; 2) 2я; 3)—; 4) —; 5) 1; 6) —; 7) —со при
с < 1, + со при а > 1, —■ при а = 1; 8) л + 1; 9) 6.
278

§ 2
111.2.3. 1) a+ & = 3; 2) a = —2, b = 0; 3) b — 1, a 6 R.
111.2.4. a„ = Oo -f 2/t, ^ = Oq + 2n — 1, n 6 Z; Oq 6 R.
III.2.9. 1) <о(л)=1, n6Z; w(*) = 0, x £ R \ Z;
2) со (0) «2; со (x) =» 0, x 6 R \ {0}; 3) со (*) — 1, x £ R.
3 L
111.2.12. I) /(*)-._*, x£R; 2) / (x) = —- x, *€R.
5
111.2.13. Сначала доказать, что / линейна на каждом отрезке la, 0] cz (a, 6).
Для этого проверить, что f совпадает с функцией
/ (R) _ / (а)
[а, Р]Э*~/(а)+-^ H-L(x_a)
р — а
в точках вида аН — (р — a), k = 0, 1, ..., 2П, я>1.
111.2.14. 1)/(*) = ая, *€R; a£R. Провести доказательство в три этапа:
(i) для х 6 Z; (И) для х 6 Q, (iii) с использованием непрерывности для остальныл
значений х.
2) / (*) = ах еА, х 6 R, а £ R. Проверить, что для функции g (х) : — / (*) е-"-*, * £ R,
справедливо соотношение из п. 1).
II 1.2.16. Пусть / монотонно не убывает. Заметим, что х есть точка разрыва
/ гогда и только тогда, когда f (х +) — / (х —) > 0. Кроме того, точке разрыва
х соответствует на оси Оу интервал (f (х —), / (х +)), причем интервалы,
соответствующие различным точкам разрыва, не пересекаются.
III.2.17. Для п 6 N пусть
I 2 2" — 1
0,
2п 2п 2п
n—l
Пусть
f (х) = { fc=i
Функция f является искомой.
II 1.2.18. 1), 2) Нет. Согласно теореме Вейерштрасса, функция f £ С ([а, 6])
принимает в некоторых точках из [a, b] наименьшее и наибольшее значения; 3) нет.
Согласно теореме Вейерштрасса, множество значений функции / 6 С ([a, b])
ограничено; 4) нет. Согласно теореме Коши, функция f принимает все значения из отрезка
fl-/fa)f 2 = /(*■)], {*i. *а} <=[а, Ч.
II 1.2.20. Множество /(R) может быть только таким: R, (—со, а), (—со, а],
.{а, +оо), (а, +оо), (а, 6), (а, 6], [а, 6), [а, 6], где {а, 6} cz R.
II 1.2.23. Рассмотреть функцию
*(*):-/(*+U-/W, *€[0, 1],
непрерывную на [0, 1J.
II 1.2.24. Рассмотреть непрерывную на отрезке [0, 1] функцию
g(x):-/(*+l)-/(*)- /(2)~/(0) , х6[0, 1].
279

111.2.25. Пример: пусть
(х + 2, *€[— 3, — 1J;
g(*):= -х9 *€[—li 1];
U — 2, *€[1, 3],
f(x) : = g (х — 6rt) + 2л, к б [6л — 3, 6я + 3], л £ Z.
Не существует. Использовать теоремы Вейерштрасса и Коши о промежуточном
значении.
II 1.2.28. Рассмотреть значения Р(—а*), Р (—р^), 0 < & ^ и, и применить
теорему Коши о промежуточном значении.
II 1.2.32. Рассмотреть функцию f (х) = \ Р (х) \ е~~х, x£R.
111.2.38. R \ {3} 3 У ~ Г1 (у) = 2y~Q! .
II 1.2.39. 1) / : R -*■ R не взаимно однозначно, гак как / (0) а / (2) = 1; 2)
для А = (—оо, 1]
[0, +oo)5y*fjl{y)= 1 — Уч\
для А = [ 1, + оо)
[о, +оо)э*/~/71(#) = 1+'К£\
II 1.2.40. При а > 0 функция / не имеет обратной, гак как / (0) = / (—) = 0.
При а^0 обратная функция сущеавует и непрерывна, а именно, для а= 0
l-VT+y. у>0;
--*-. i<o.
— оо, + оо) 3 # *-* Г" (#) =
для а < 0
(— оо, + оо) 3 У «-* Г"1 (#)
II 1.2.41. Пример: для функции
fl-Kl+y,
У>0\
у<0.
Хт, х < 0;
0, 0<х<1;
U — 1. *>i
имеем
*Ю
(х, х<0;
1, 0<*<1;
[х, х> 1.
II 1.2.42. См. статью: Функция у == ф (дс), график которой всюду плотен на
плоскости // Математическое просвещение.— 1958.— Вып. 3.— С. 62, 146.
111.2.43. 1) Равномерно непрерывна по геореме Кантора на [0, Ц и,
следовательно, на (0, 1); 2) не является равномерно непрерывной. Рассмотреть пары точен
я+1
280

для которых
" — х
хп-хп- я(я+1) • «>1;
3) не является равномерно непрерывной. Рассмотреть пары точек
> _ 1 * 2
^"""тГ' %п ~ (4п + 1) я • я>1:
4) равномерно непрерывна. Положить / (0) «* 0 и применить теорему Кантора»
б) равномерно непрерывна.
II 1.2.44. I) Не является равномерно непрерывной. Рассмотреть пары гочеи
*'п = *• х"п = п + — .
для которых
х.
п-*п = —> М*„)-/(дд = 2+-г>2, п>1;
2) равномерно непрерывна. Функция / равномерно непрерывна на [0, 1] по теореме
Кантора и на [1, +©°) в силу неравенства
l/?-K7|<-L|x'-^|.
Вывести отсюда равномерную непрерывность на (0, +°°);
3) не является равномерно непрерывной. Рассмотреть пары точек
кп = 2пп, .я__.-,.-йя.
для которых
х.
4) равномерно непрерывна; 5) не является равномерно непрерывной. Рассмотреть
пары точек
к„ - Vbin , хп = ]/ 2яп + -£- п>\.
6) не является равномерно непрерывной. Рассмотреть точки
I '
хч = п, хп = п-\ , л>1>
воспользоваться тем, что
JL en JL
*"(<?" — 1)« — лО?" — 1)-* + оо, п->оо;
7) равномерно непрерывна. Воспользоваться теоремой Кантора и критерием Коши
существования предела на +оо. 8) не является равномерно непрерывной. 9)
равномерно непрерывна. 10) не является равномерно непрерывной. 11) равномерно
непрерывна.
II 1.2.46. На (i) функции 1) — 4) равномерно непрерывны. На (и) функции 1)
«1 2) равномерно непрерывны, а 3) и 4) - нет, например, f (х) = д (х) = х, х > а,
281

и f (х) = *, х > а.
1
111.2.52. 1) Зл:; 2) 4jc; 3) —2*; 4) %- .
2хТ
111.2.54. Использовать следующие неравенства, где 6 > 0:
\l(x)-Bnif; *)|<2
fe«=0
<2sup|/|
[0,П
s
/(х)-/^)|с*«*(1-дОп-»<
•>£„*
C£x"(l—*)» +
<
-§r sup ш s (* —r)* c***(' ~ x)n~"+wf (JC»6)-
111.2.55. Использовать неравенство Коши и тождества из задачи III.2.53.
II 1.2.59. Решение этой полезной и сложной задачи можно найти в статье:
Meilbro Leif. От ligelig kontinuitet i uendelig//Nordisk Math. Tidskr.- 1976.—
Bd 24, Hf. 2,— S. 71—74. См. также: Задачи по магматическому анализу ft
М. Г. Голузина, А. А. Лодкин, Б. М. Макаров, А. Н. Подкорытов.— Л. : Изд-во
Ленингр. ун-та, 1983.—С. 97.
Глава IV
§ 1
IV.1.1. 1) Г («); 2) -1- /' («); 3) 2Г (а); 4) /' (а); 5) ^^Д^^ I 6) *Г (в) -
— nan~-{f(a).
IV. 1.2. При а > 1 для х Ф О имеем
/(*)-/(0)
| jc I06—■ sin —
<l*f
а-1
откуда следует, что f (0) — 0.
IV. 1.3. 1) Для функции / (х) в я"\я £ R; tn 6 N — фиксировано, предел
существует и равен /' (a) e mam~~x. Для функции /* из задачи IV. 1.2 со значением
Г(0)=0 при
2 2
я (4л + 1)
л (An + 3)
предел равен —. При соответствующем выборе последовательностей {ял}, {гп\ пре»
я
дел может не существовать;- 2) при дополнительном условии из тождества
/(*и)-/(«я) _ /fa)-/(Q) . ^-Д , fM-Ha) а-гп
хп — гп хп — а х, — гп гп — а хп — гп
следует, что при каждом п > 1 величина
282

лежит между величинами
l(xn)-f(a) f(zn)-f(a)
х„ — а • г„ — а
которые при п ->■ оо сходятся к /' (а).
IV.1.4.
k(k+\)
IV.2.5. —f (а). Пусть е > О задано. Определим 6>0 так, чтобы при х^ь09
| л-1< б выполнялось неравенство
/ (о + дс) - / (а)
/'(а) <е,
то есть
| / (а + а:) — / (а) — /' (а) л: |< 81 а: I.
Пусть теперь N таково, что —- < 6. Тогда
/V
V n^N V Л€ {1, 2, ... , я} :
<6,
<б,
а потому
2Ка+^)-п/(а)-2Па)^гг2|/(а+^-)-/(а)-/,(а)>
<eS-^==e
*=1
/1+1
2п
IV. 1.6. 1)
fc (fc + 1)
m; 2) exp(M^1)); 3)exp (-£■),
1
,УЛЛ-(,+т+т+-+т)/'(0)'
IV.1.9. /'(a)g(a)-/(a)g'(a).
1V.1.I1. 1) 1; 2) exp(—J; 3) 1.
я I
IV.1.13. — , * = — . Касательная в точке (1, 1),
6 4
IV.1.15. 1) 2 | д: |; 2) 3|*|x; 3) 2 | sin x | cos x; 4) я [х] sin (2ях);
3 —-
6) sin8 (nx) + n (x — [x]) sin (2я*); 6) 2 (1 + sign (sin x)) sin 2a:; 7) —- | sin x |? X
X cos дс sign (sin *).
IV.1.16. 1) (x In x)-1 log* 2; 2)
tg*
In a:
(x In дс) log* cos *♦
283

I V.I. 17. Производная функции | / | существует в тех точках х, в которых f (х) Ф
Ф О, причем тогда
|/Г (*)-/'(*) sign/(*).
Пример функции / {х) — х% х 6 R, показывает, что производная функции I / I может
не существовать в тех точках х, в которых / (х) = 0. Если в точке х г (х) = 0 и
Г (х) = 0, го | / Г (х) = 0. Например, f (х) = х3, к 6 R.
IV. 1.18. Производная функции ft существует в тех точках х, в которых / {х) Ф
Ф 8 (*)♦ а также в гех точках х, в которых f (х) = g (*) и /' (дс) — #' (*), при этом
(/' (*), /W>gW;
l/'M. fW-eW и /'(*) = £'(*).
IV. 1.19. Нет. Рассмотреть пример: f {x) = x3 — x, x 6 I—1» 2). Односторонние
производные существуют.
IV.1.20. 1) a== 4, 6= —5; 2) a = — 3, ft = 4, с = 0.
IV. 1.21. —*» + *.
IV. 1.22. ш' (х) = ! .
V\ + 4x
IV. 1.25. Умножить данное равенство на Р (дс) и доказать справедливость
полученного равенства. При этом достаточно проверить справедливость равенства для
(л + 1)-го значения х. Сумма равна 0.
IV. 1.29. Многочлен Р степени п можно представить в виде
Р(х) =-«„ + «,(* — х0) + а2(х — *0)2 + ... +ап(х — х0)п9 x$Rt
с некоторыми числами {а0, аь ..., <хп) a R. При этом
р (*о) = ао.
Р'(х) = а1 + 2а2(х-х0)+ ... + пап (х - x0f-\ х£Я,
и
Р' (х0) = ах.
Аналогично
f**>(x0)~akk\9 k=*L 2, ..., п.
Следовательно, искомый многочлен есть
IV. 1.31. Использовать представление fg =» exp {g In/),
IV. 1.32. При хф\
(*-l)2
1
при x = 1 имеем — n (n + 1).
IV.1.33. i) При x=^ 1
при Af — 1 имеем — (2л + 1) (n -f- 1) n;
6
2) положить л; в — в 1); 3) при х Ф 1
, 2 1 |х2 ((2л + 1) х2л+5 - (2л + 3) *2п+3 + х« + *),
(х2 — I)2
284

при х — 1 имеем (п + 1)а; 4) п2Пг-1: 5) л (п + 1) 2я*9; 6) 0, п > I;
7) для х£ {2ял | n£Z)
1— (пsin (-f) sin (-*L+! ,) - sin* ( JgL J) ,
2 sin2 ft
2
1
при исключенных значениях имеем -—-я(я + 1).
^ U , *€(— 1, 2),
/1 (— 1) = — 2, /4-(— 1)— 1; /1(2)= 1, /+(2)-2.
л: £ (2/1Я, (2я + 1
л;^ ((2п — 1)я, 2/ш), /i£Z,
2) л w - 4 w = /' м = {с7' *€ (2пп'(2л + П я)' "€ Z:
/L(2mt) = 0, /+(2пя)= 1,
/1((2/г-1)я) = -1, 7+((2л-1)я)-0, /i£Z.
IVЛ.35. 1) /<n) (*) = — 2"-1 cos /2* + л —);
2) /*» (х) = (- 1)" /I! ( i—p ЦщЛ
\ (Jt — 2)n+1 (х— D'H-1 /
3) /(П) (х) = в* (*2 + 2пх + п (п — 1));
,,-и_^ W^(_!,„.+ _LnT).
I — 2л:, х<0, 1 — 2, х<0,
/" (0) не существует
IV. 1.37. f(n) (0)== 0, п> 1.
IV. 1.41. Использовать формулу Лейбница и равенства из предыдущее
вадачи.
IV. 1.46. 1) / (х) = ех, х £ R; 2) (i) / (х) = . аг € (— 1, 1); (И) функци*
1); (Ш) /(*)-— _, *€<—I, О; 3) f(x) = xext x£R; 4) f(x)-xVfr
(1— *)2
*£R; 5) f(x) = 2xe2xt x£R.
IV. 1.47. Решение этой сложной задачи можно найти в журнале: Физико-ма»
темати чес ко списание.— 1983,— Т. 25, кн. 3—С. 248. См. также: Задачи по
математическому анализу / М. Г. Голузина, А. А. Лодкин, Б. М. Макаров, А, Н. Подко-
рытов.— Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1983.—С. 114, 115.
§ 2
IV.2.2. Применить теорему Ролля к функции
[a, b\5x*+eaxf(x).
IV.2.3. Применить георему Ролля к функции
/М
X
285

IV 2.4. Применить теорему Ролля к функции
I*. Ь)Ъх*+——- .
IV.2.5. Применить теорему Ролля к функции
[a, b]$x*+P(x) — x*.
IV.2.7. Применить теорему Ролля к функции
[а, Ь\ 3 х ^ / (х) exp {g (*)).
IV.2.8. Применить теорему Ролля к функции
(О, 1]Э*~-^Г*я+, + —*"+ — +апх.
IV.2.9. Применить теорему Ролля к функции
\vP+\
X
1 ' 2 ' ^ п+\ '
IV.2.13. Первое утверждение очевидно. Для доказательства второго
предположить противное и применить теорему Ролля.
IV.2.15. Положим / (х) = (—}* + (—] — 1, х С R.
Исходное уравнение равносильно уравнению / (х) — 0. Если уравнение имеет два
корня, то по теореме Ролля /' (G) == 0 для некоторого 6 6 R. Однако
/ 3 \* 3 / 4 V 4
г<*-[-) 1п-+Ы 1п-<0« *eR
IV.2.16. Применить метод математической индукции и теорему Ролля.
Подробное решение этой и следующей задачи содержится в кн.: Виоран! питания еле*
ментарно1 математики.— 3-е вид. перероб i доп. / За ред. А. В. Скорохода.— К. г
Вища шк. Головне вид-во, 1982.— С. 298—300.
IV.2.17. См. указание к предыдущей задаче.
а + Ь
IV.2.23. 1) В качестве 6 можно взять любое значение из (а, Ь); 2) 6 = —-—;
31e-j/T^; 4)в_^.
IV.2.24. Применить теорему Лагранжа на каждом из отрезков [0, 1], [1, 21,
а затем воспользоваться теоремой Ролля.
IV.2.25. Пусть с £ (а, Ь) — точка, в которой
Ш>/(а)+ ПЬ)-Па) (с-а).
Ь — а
Тогда
tiA-fia) ^ f(b)-f(a) f(b)-f(a) ^ f(b)-f(c)
с —а Ъ — а ' 6 — а Ь — с
Далее применить теорему Лагранжа к каждому из отрезков la, c\9 lc, b].
IV.2.26. Если х0Ф -?р то требуемое неравенство следует из теоремы
Лагранжа, которую нужно применить к тому из отрезков [0, «oh U0> U» длина которого
меньше ~ Если Xq = -i. и функция / линейна на отрезке 0, — I, то f I —) «" 2, а
потому существует точка х% > -у со значением M*i) > 1. в этом случае нужное
286

неравенство следует из теоремы Лагранжа, примененной к отрезку [*,-, 1]. Если
х0 = — и функция / отлична от линейной, например, / (jcJ > 2х2 для ха 6 (0, — L
то формулу Лагранжа нужно применить к сп резку [0, дс2].
IV. 2.28. Следствие теоремы Ролл я. Для получения теорем Лагранжа и Коши
положить h (х)= 1, х 6 Ы, b]t и g (др) — х, х 6 [a, Ь], и / соответственно.
IV.2.29. Применить теорему Коши к функциям
Ф (а:) = -ZifL , ^W = -L, x£[atb].
X X
IV.2.30. Рассмотреть функцию
f (b) — f (a)
g(x) = f(x) ,У[ ТК) (дс-а), *е[а,Ц,
о — а
для которой
gi (*) = /!(*)- /(^ /(а) , х6(в,6),
0 —- Й
|а, Ч Э*~ 2 (/* (*) -fk (a) - (£* W -8k (e))-
и выполнены условия задачи IV.2.22.
IV.2.31. Нет. См. решение следующей задачи.
IV.2.32, Следствие задачи IV.2.30. Заметим, что утверждение настоящей
задачи и задачи IV.2.30 справедливы для правосторонней производной.
IV.2.34. Применить теорему Лагранжа к функции / на отрезке [1, х\.
IV.2.35. Применить теорему Ролля к функции
fk(b)~fk(a) )
kmt] \ йк Ф) — ek (a) J '
IV.2.38. Дважды использовать теорему Лагранжа. Сначала доказать, что
ЭС^И tf*€(e. Ь) : l/'WKCj.
В качестве С% можно взять число ] /' (xQ) | + С (Ь — а), где х0 — произвольная
фиксированная точка из (а, 6).
IV.2.39. Применить теоремы Лагранжа к функции / и Кантора о равномерной
непрерывности к функции /'.
IV.2.40. Применим теорему Лагранжа к функции
[at b] $x>-+> arctg/ (x).
Получим
УФ)
arctg Ъ — arctg а = { ф — а)
для некоторого В £ (а, Ь). Отсюда
-£»- <-?-<!.
1 + /2(6) ^ 4
IV.2.4I. Применить теорему Лагранжа к функции
[и, v] Эдс-> arctg/ (х),
где а < и < v < b. Затем перейти к пределу в полученном с помощью условия
(Ш неравенстве при и-> а + , v -+ b — с учетом условия (i).
IV.2.42. Пусть х0 6 (я> Ь) — произвольная фиксированная точка. Для любого
х ф х0, согласно теореме Лагранжа,
/(х)-/(*0)=Пв)(*-*о)
для некоторого 0, а потому f (х) — f (x0). Таким образом,
V^(flJ) : /М = /(х0).
287

IV.2.43. Применить результат предыдущей задачи к функции f — g.
IV.2.44. 1) / (х) = Dx + С, х £ (a, b)t для С £ R. Использовать предыдущую
«адачу с g (x) = Ъх\
'2) f (х) = -^- Яд:2 + Оде + С, х £ (я, 6), для С 6 R. Использовать предыдущую
задачу с g (*) = -j- Ex1 + Dx\
3) / (*) = бх + С, х € (а, 6), С £ R;
4) условие задачи равносильно следующему:
f'(x)e-*-f(x)e-x = Ot x£(atb),
«или
Vx£(a, b) (f(x)e~x)' = 0.
Поэтому на основании предыдущей задачи
3 С £ R V^(flJ) : /(х)Г* = С,
то есть
/(*)=■ Се*, *£(а, 6);
6) условие задачи равносильно следующему:
(1 + хëà <*) -а (1 + яГ*-1 f W = 0, *€ (- 1, Ь)%
«ли
V*€(-l.*) : ((1+*Га/М)' = 0.
Отсюда для С £ R
/(*) = С(1+х)а, *€(-1.Ь).
IV.2.47. Пусть {Т„ : л ;> 1} — последовательность периодов функции / такая,
♦что Тп -> 0, n-voo. Тогда для любого к 6 R
ГС-юо / п
-Утверждение задачи верно и для непрерывной функции, что доказывается
элементарными средствами.
IV.2.48. По теореме Лагранжа
причем
l*-e**l<4"~' *=*. 2. • ••> «;
«роме гого,
1 П+\
чг-1 /г
2j "7F"1'
Ооэтому s„ -> — f (x), я ->- оо.
§3
fV.3.2. Г (0) = 0, /« (0) = — — .
4V.3.3. Применить правило Лопиталя:
lim /(*) = lim -^-^ = lim ." w ' ' v "— =* 0«
288

IV.3.5. 1) sh* = x+4r+4rr+ — + /0!_,_1ч» + o(*2n+1),
3! + 5!
(2я+1)!
*-*0, rt£N;
х2"
2)^^=1+^ + ^+ ... +-^т + о(«2я), *-*0, n€N;
3)*ln(l+*) = ** у-+4 +(-Drt+1 J^+o(xn+1),
,, . 2 2х2 2*х*
4) sin2 х
2!
4!
5) (a + jB)e*-a+(a+l)*+(a+2)-^-+ ... + (а + п)JL. + о (*")»
х-* О, rt£N;
6) ех2=\+х* + ^т+ ... + -^-+0(*2л), *-*0, «€N;
/Ж
«I
+ о(*2л+1),
7) *1п(1+х2)«х* ^L + j£- + ... +(-1)«
*->0, ngN;
8) Ind+x»)-*» Т" + -^ К-1Г+11Г + МД
х-*0, tt£N;
9) х sin * — cos x2 = — 1 +
1
1
■** +
... +(-1)4-1.
1
(2n — 2)! (2л)!
I-*2 i- *+* -- L.
1 . 3
0 12!" 214!
x2n + о (*2/l), *-*0, ft€N>
2
10) '"""*" In ^ « r --** _1_л*_ ..
1-Х
3-5
2
^+1 + о (^n+1), x->0, agN*
(2n — l)(2n+ l)
,,, ,0^-1+4-^+4(4--!)^+-
IV.3.7. 1) — 4-'. 2) 4- • 3) 4-
2 6 2
IV.3.8. a —2, & = — ,
IV.3.9. 1)*»; 2) -I* 3)-^; 4) Зл:; 5) -|-; 6) £-.
10 7—1047
289

e 2 19 1791
IV.3.10. 1) — ex — ex2 x9: 2) — x* + -— x6 + —— хг\
в 3 24 7 !
3) — — a:3 — — Xй — —— a:6
6) 6 * 3 40 *'
—,«.-,£-^+«.<^. .<«.
n £ N; 8 — число, лежащее между 1 и х\
»*'-£^»^-!^ + «-»>-£=TrL-W-
*>0, rc£N; G—число, лежащее между 1 и х,
IV.3.12. Согласно формуле Тейлора
f(x) = f(0) + r(0)x + -Lf*(0)x* + o(x*), к-*0;
f (*) = f (0) + Г (0) х + Г (0) *9 (д) + о (х\ х-+0.
Отсюда
Km 6W '
х-*о х 2
IV.3.14. Для х> 0 имеем
/(*+i) = /w + n*) + ne)-i-f e6(*t*+i)f .
откуда
а: + 1 2 U
IV.3.16. Использовать формулу Тейлора
/ (и) - / w + г м («- *) + 4*/Л (е> ("—*>2
длялг£[0, 1), и = х + 8(1— а:), ()< 8 < — .
IV.3.17. 1) Использовать формулу Тейлора с остаточным членом в форме Ла-
гранжа
2), 3) аналогично 1).
IV.3.18. Согласно формуле Тейлора,
___L _-L
[х 2 I [* 2 I , i ч
V / (кх) = £ [f'(0)kx + — Г (9 (to)) *V =
i
l> 2 . А2У2
290
, *->0+;

§ 4
IV.4.!. Не обязательно. Рассмотреть функцию
I 0 , х = 0.
Ответ на второй вопрос утвердительный.
IV.4.2. Строго возрастает при а^\.
IV.4.3. Функции f+g и f (g) монотонно возрастают на R. Функции /—g
и fg не обязательно монотонны. Рассмотреть пример функций f (х) = х, g (х) =
= 2х, хе R.
IV.4.4. 1) Строго возрастает на (—оо, 0] и строго убывает на [0, +оо); 2)
строго убывает на (0, —) и строго возрастает на _, -j-ool; 3) строго возрастает на
(—оо, —1) и (0, +оо). Для определения знака производной доказать с помощью
теоремы Лагранжа неравенство
<\п(\ + и)<и, а> — 1, ифО;
1 +>и
4) строго возрастает; 5) строго убывает на 0, — и строго возрастает на —, 1 ;
6) строго возрастает на [2, +оо).
IV.4.5. Воспользоваться неравенством
е~х > 1 — х, к Ф 0,
которое следует из теоремы Лагранжа.
I V.4.6. Доказать, что /' (х) > 0 при х > 0, и заметить, что / (х) ->■ 0, х -*- +оо.
IV.4.7, Проверить, что /' (х) > 0 при х > 0, и заметить, что / (х) -> 0, х -»■
-> +оо.
IV.4.8. Проверить, что /' {х) > 0, х > 0 (см. указание к задаче JV.4.4), и
воспользоваться тем, что f (х) ->- а, * -> -{-оо. Следовательно, f (х) < а для любого
*> 0.
IV.4.1). Сначала доказать, что функция f строго возрастает и отрицательна
на (0, +оо). Для этого проверить, что /" (х) > 0, х > 0, и что /' (х) -> 0, * -*■ +°°-
Поскольку f (х) ~> а, х ->■ +оо, то f (х) > а, х> 0.
IV.4.10. Проверить, что /' (х) < 0, * > 1.
IV.4.11. 1) Биекция; 2) сюръекция.
IV.4.14. Подробное решение задач IV.4.12—IV.4.14 можно найти в кн.:
Вибран! питания елементарно'Г математики.— 3-е вид. перероб. i доп. / За ред.
А. В. Скорохода.— К. : Вища шк. Головне вид-во, 1982.—С. 310, 311.
IV.4.15. 6 помощью теоремы Лагранжа доказать, что производная функции
положительна на (0, Ч-оо).
1V.4.16. Использовать неравенство Коши. См. решение задачи 5.32 в кн.:
А. Я. Дороговцев. Избранные задачи по математическому анализу.— К. : Вища шк.,
1982.- 104 с.
IV.4.17. Один. Функция (0, -^-)Эх-+- строго убывает на (0, -т-\.
IV.4.19. При каждом а£ R существует точно одно решение.
IV.4.20. 1) Функция / строго возрастает на R,
/€tf(R), /(R) = R; £'(#) = «
1 + cos дг '
х ф (2п + 1) я, п £ Z;
Ю* 291

2)g,{y)—w+T' yeR; 3)g,{y)—т I-*' • "<M
IV.4.21. Для функции
/ (дс): = a — a — дс, у > О,
доказать, что /' (дс) > 0 при х > 0. Кроме того, / (0) = 0.
IV.4.22. Определить интервалы монотонности функции
(0, + оо) 3 * <-*•
кг
IV.4.23. Рассмотреть производную функции
К)
Э дс»-*-
дс
IV.4.24. 1) Пусть
/ (х): — 2*3 + З*2 — 12х + 7, х > 1.
Тогда /' (дс) > 0 при ж > 1 и f (\) = 0; 2) аналогично 1; 3) пусть
/ (х): = х3 + Зх -f бх In х + 2 — б*2, ж > 1.
6
Тогда f (х) — бх Н 12 > 0 при х > 1 и /' (1) = 0, следовательно, /' (а:) > 0
х
при х > 1. Поскольку / (1) = 0, то / (х) > 0 при х > 1; 4) аналогично 3).
1
1V.4.25. 1) Для функции f (дс): = 2 ух Н 3, х > 1, доказать, что /' (х) >
а;
4/— 3
> 0 при л: > 1, и учесть, что f (1) = 0; 2) для функции f (х): = у х — 2х •— v
8
х^0, определить участки монотонности и учесть, что м 4 = 0; 3) правая
часть неравенства очевидна. Для доказательства левой части неравенства для
функции
fix): eVT+5_i_-i. + -l_, x>0f
доказать, что f" (x) > 0 при х > 0 и /' (0) = 0. Учитывая, что / (0) = 0 и /' (х) >
> 0 при х > 0, получаем нужное неравенство; 4) применить теорему Лагранжа н
функции х ь* In х на отрезке [1, и], где и > 1.
IV.4.26. Для функции
/ (х): = &х° — ахъ — 6 + а, х > 1,
доказать, чю /' (х) < 0, х > 1; f (1) — 0.
IV.4.27. Для функции
1 2 t n
/(дс): =—tgx + —sinx — x, 0<х< —,
сначала установить, что Г (х) > 0 для дс £ (0, — J и что /' (0) = 0. Тогда /' (х) >
> 0 для х£ 10, -j—J . Затем учесть, что / (0) = 0.
292

[V.4.28. Для функции
3sinx
2+ cos x
доказать, что производная f' (x) < 0 для х > 0 и не имеет интервалов постоянства
и что / (0) = 0.
IV.4.29. Для функции
sin х ГА я \
У cos х I 6 J
доказать, что /' (х) > 0 при х£ (0, —J и что / (0) = 0,
IV.4.30. Для функции
(0, + оо) 3 х «-*► (1 + х2) arcctg х — х
определить интервалы монотонности и ее значение в точке, где производная равна 0.
IV.4.31. Рассмотреть производную левой части неравенства.
IV.4.32. Функция
, 1+х 1
/(*): = In : > х>1,
х хе
обладает свойствами: (i) /' (х) < 0, х > 1; (ii) f (x) -»- 0, х-+ +оо. См. задачу
IV.4.4.
IV.4.33. Определить интервалы монотонности функции
/(*):=,— In*, *>0,
е
и заметить, что / (е) = 0.
IV.4.34. Левая часть неравенства очевидна. Для доказательства правой части
рассмотреть производную функции
х1 1
[1, +оо)Э*-* — In х
и значение функции в точке 1. Аналогично доказывается неравенство для х £ (0, 1),
IV.4.35. Проверить, что производная функции
/ (х): = In (I -f V 1 + х2) In а:, к > 0,
х
положительна на (0, +оо) и что / {х) -*■ 0, х ->■ +оо.
IV.4.36. Для функции
/(*): = * In (1 + х), х>0,
V \+х
имеем /' (л:) > 0, х > 0; / (0) = 0.
IV.4.37. При х > 1 данное неравенство есть следствие неравенства из
предыдущей задачи, при х £ (0,1) неравенство доказывается так же, как в предыдущей
еадаче.
IV.4.38. Для функций
/(*): = *+-^--(*+1)1п(*+1), *>0,
%(х):=*(х+ 1)1п(*+ 1) —х — 4г + —» *>0,
установить следующее: (i) / (0) — 0; У (х) > 0, х > 0, и (ii) % (0) =» g' (0) = 0;
g" (x) > 0, х > 0.
293

IV.4.39 Пля функции
ха
/ (X) : = In (1 + COS X) — In 2 H -- , * £ [О, Я)
4
справедливы утверждения:
(i) Г to < 0, х 6 (0, я); (и) Г (0) - 0; (Ш) / (0) - 0.
IV.4.40. Доказательство левой части неравенства следует из того, что для
функции
/ (х): = In (1 + х2) — х arctg х, х > 0,
/" (х) < 0 при х > 0; /' (0) = 0, / (0) = 0.
IV.4.41. Для функции
/ (х): = 1 + хе* — е\ х > 0,
проверить, что /' (х) > 0, х > 0; / (0) = 0.
IV.4.42. Для функции
/(*):*= А* —в* + 1 +х, х>0,
доказать, что f (х) > 0, х > 0; f (0) = 0, f (0) = 0.
IV.4.43. Для функции
х
Цх): = ех — хе ? — 1, х>0,
доказать, что /' (х) > 0, х > 0; / (0) =* 0.
IV.4.44. Неравенство следует из неравенств, доказанных в задачах IV.4.43
и IV.4.41.
IV.4.45. Рассмотреть функцию
/ (х): = {е — х) In (е + х) — (е + х) In (е — х), х £ [0, е),
для которой f (х) > 0, х £ (0, б); р (0) — 0, / (0) — 0.
IV.4.46. Пусть
/(*): — ex+l + In х — 2х + 1, *> 1-
Тогда
f (х) = ех~] Ч 2 > 1 -{- * — Н 2>0, х > 1,
х: х
и ПО-О.
IV.4.47. Следствие неравенства, доказанного в задаче IV.4.41.
IV.4.48. Для функции
f (х) : = (х + 1) (In (х + 1) — In 2) — х In x, х > 0,
доказать, что /' (х) < 0, х > 0; / ( х ) -*- — In 2, х ->* 0 +.
IV.4.49. I) Применим теорему Лагранжа к функции sin на отрезке [0, х]:
sin х — sin 0 л
= cos В, 0 < 0 < х;
jr — 0
2) применим теорему Коши на отрезке |0, х], х > 0, к функциям
/(*): ш 1 — cosx, g(x):=—-, х>0.
Получим
(1— cosx) — 0 sin8 n^ft^y
— = —-— , и <^ о <, х,
откуда с учетом 1) получим нужное неравенство;
294

3) применить теорему Коши к функциям
х3
/ (я): = х — sin х, % (х): — , к ^ О,
на отрезке [0, х\, х > 0, и воспользоваться неравенством 2); 4) применить теорему
Коши к функциям
X* X4
I (х): = cos х — 1 + -у , g (х): = —- , л > О,
на отрезке [0, х\> х > 0, и воспользоваться неравенством 3); 5) применить теорему
Коши к функциям
X? Х^
/ {х): = sin х — х А , о (х): = , х > О,
^3! * 5!
на отрезке 10, х\, х > 0, и воспользоваться неравенством 4).
Замечание. Аналогично доказывается, что для любого х > 0 и я £ N
справедливы неравенства
«,4л—3
4/2—1
** *5 . z
* 3! + 5! '*' ^ (4/1 — 3)! (4/1—1)1
< sin x <
хз *4"~~3 я4"-1 я4"-*-1
<Х~~+ '" + (4п —3)! (4л - 1) ! + (4п + 1) I
v4rt—4
„4/г—2
2!
4!
(4л — 4) 1 (4п — 2) !
An—4 v4rt—2 v4n
■ +
< cos л: <
<! 2! + *** + (4я_4)! (4л —2)! ' '(An) ! *
IV.4.50. Оба неравенства достаточно доказать на одном из интервалов (О, -тт),
(-л*, 1). Для дс £ 10, -т J с помощью неравенства 3) предыдущей задачи имеем
sin тех > пх -
я3г*
3!
> я*— ях2,
поскольку неравенство
ЯЯ2 > ■
я¥
6 6 1
выполняется для х < —— , при этом —г- > — .
я2 я2 2
Для доказательства правой части рассмотрим функцию
/ (х): sas Ах — Ах2 — sin пх, х £
для которой
0,
f (х) = 4 — 8х — я cos я*, /" (х) = — 8 + я2 sin як;
М0) = 0, /Ш-0; ПО)-4-я, г(у)-0;
о / 1 \
/"W*0, jur0 = arcsin—j-, П0) = — 8, И_| = я2-8.
Таким образом, f (х) < 0 при х < *„ и Г (х) > 0 при дс> х0. Поэтому функция
*' убывает строго на отрезке [0, х0] и возрастает строго на х0; -тН
Значение
295

в точке х0 У (х0) < 0, следовательно, для некоторой точки Xf £ (0, х0), V (xj) =
О и f (х) > 0 при х £ [О, хд, f (x) < 0 при х £ I х±% "у) • Отсюда следует, что
функция / строго возрастает на отрезке [0, хг] и строго убывает на отрезке
Ui, — . а потому Мх) > 0, * g (0, —).
IV.4.51. Левая часть неравенства доказана в задаче IV.3.17, Для доказательств
ва правой части неравенства введем функцию
fe=0
Для этой функции имеем
л—1
х + 2
п
х + я
п
•ех-
ех-
ы=о
rt—2
-е*+1,
х*
ТГ'
*>о,
1 9 /7 —- I
причем /(0) - 0, Г (0) - — , Г (0) , . •., /0*-!) (0) =
п п п
и /(п) (х) > 1, х>0. Поэтому, согласно теореме Лагранжа,
/fr-1 > (*) — ^"~1) (0) = /<"> (6) х, 0 < 9 < х,
следовательно, /(я""1> (х) > 1- х, х > 0. Аналогично получим /(,1"~2) (х) >
> 1 х, х > 0. Таким образом, получим неравенства
п п
Г(х)> — + —х, K>Q'i
п п
f (*)> — , *>0.
Поэтому
—е -—>е -1тт- *>0-
ствительности справедливо более
И"ТГ<Т+г(^""Ь ТГг
fe=0 \ ЬО /
Замечание. В действительности справедливо более сильное неравенство
fe=0
(см. вадачу IX.3.57).
IV.4.52. Проверить, что функция
(0, +со) Э*н*> 1пх
выпукла вверх на (0, +оо).
296

IV.4.53. Проверить, что функция
[1, +оо) $x*+ \nx-\-—•
выпукла вверх на [1, +оо).
IV.4.56. Проверить, что функция
строго выпукла вниз на (0, +со).
IV.4.57. Доказать, что функция
строго выпукла вверх на (0, я).
IV.4.58. Доказать, что функция
(О, + оо) Э х •-*• х In x
>).
кция
(О, я) Э*1-* In sin*
кция
(О, я) 3 х *+> In sin x — In x
выпукла вверх на (0, я).
IV.4.59. Сначала проверить, что функция
(О, + со) Э х
-(«♦4Г
выпукла вниз на (0, +оо). Затем использовать неравенство Коши
(п \2 п п п
Е^ттгЬЕ'Етг-Е-г--
IV.4.60. Использовать теорему Лагранжа, а также то, что /' для строго
выпуклой вверх функции убывает.
IV.4.62. См. предыдущую задачу. Для доказательства оставшейся части
рассмотреть производную функции наклона и доказать, что функция наклона не
убывает.
IV.4.63. Решение этой задачи можно найти в кн.: Полна Г., Сеге Г. Задачи
и теоремы из анализа : В 2-х т.— М. : Наука, 1978.— Т. 1,— С. 87, 262, 263. Как
показывает пример функции
нг;1Г
непрерывность на концах отрезка не обязательна.
IV.4.64. Неравенство равносильно тому, что функция наклона возрастает,
которое, в свою очередь, равносильно определению выпуклости.
IV.4.65. Пусть f выпукла вниз и / (xj < / (х2) для некоторых Xf < x2. Тогда
для х > х2 имеем
откуда
х — Хл х — х« f (Xi)
X2 —"" X} X% *~- X\ X2 ~~' Xj
§5
IV.5.1. Рассмотреть множество точек максимума, выделив те из них, для
которых значение функции больше значений в окрестности радиуса 1, затем те, для
которых значение функции больше значений в окрестности радиуса V2 и т. д.
IV.5.3. 1) минимум при х = —; 2) для п нечетного максимум при х =■ п, для
п четного максимум при х = п и минимум при х = 0; 3) максимум при
о
х = 0; 4) максимум при х =■ 0 и минимум при х = -=-; 5) минимум при х = 0 и
о
297

4
максимум при х = —; 6) максимум при х = 4; 7) минимум при х = —1 и х = I,
максимум при х = 0; 8) максимум при л; = — 2— К10, минимум при я = VlO — 2;
9) максимум при х— —1, минимум при х = 1, 10) максимум при хв е; 11)
максимум при дс = — * = — и минимум при х = 0; 12) максимум при дг= —1
и * = 1, минимум при * = 0; 13) см. 11; 14) минимум при х =» 1 и максимум при
о— 1 1сч , лч »еч 2Я Я 5Я Я
* 1; 15) см. 14); 16) максимум при х — —, х = т-, # == -£-, * = —^—
и минимум при х = ^-, х = 0, х = -2-.
1V.5.5. Минимальное значение равно
, ,« \»
и достигается при
IV.5.6. 1 и -£-. IV.5.7
*=1 \Аг=1
1 П
'"Й*
2 ' " ' (m + n)m+rt '
IV.5.8. Предположить, что аг < а2 < ... < а„, затем определить производную
функции на каждом из интервалов, на которых она существует. Наименьшее значен
ние равно
где i
-Ш+'-
п п
min J] | а/ — а^ | = J] I аг — аЛ |,
IV.5.9. Минимальное значение равно 2 и достигается при х = 0.
IV.5.10. -1.
IV.5.14. 1) Один корень при а^Ои а = —, два корня при 0 < а < е"""1,
не имеет корней при а > е""1; 2) один корень при а < 9, два — при а = 9 и три —
при а > 9; 3) один корень при а = 1 и а < 0, два корня при 0 < а < 1, нет
корней при а > 1; 4) один корень при а > 0, нет корней при а <; 0; 5) два корня при
а < 3, один — при а = 3 и нет корней при а > 3.
§ 6
IV.6.3. Если ах = а2~ ... = ап = 1, то из равенства Коши
(п \2 п
п+\
следует, что минимальное значение равно и достигается при хх = х2 = • • •
1
п
298

где число
п \-1
Наименьшее значение равно
п \2\-l
и достигается при
п \2\-i
Если не все числа aj, a2t ..., ап равны 1, то применим неравенство Коши
следующим образом:
/ п \2 / п п \2
с* = [ £ cakxk\ = £ {cak—\)xk+ 1 • £ *fej <
<(^/^-i)1+l)(s/*+(g**J)-
*=(n + l)f J] a*J .
** - и» +1) «*- S «,д(* + о S a< - (E fl<))
fe=> 1, 2, . . . , n.
Возможен другой подход к решению этой задачи, основанный на использовании
ортогонального преобразования R".
1V.6.5. Заметить, что
<-*а>0, п-»ос е> *пХпап-»е{пау п-+со <^>
<£> п\пап-*\па, п-+оо о п{ап—1) -> In а, я-* со.
Поэюму
" (pan + qbn — 1) ^ In (apbq), n -*- со,
vro равносильно утверждению задачи.
IV.6.6. 0.
IV.6.7. 0.
IV.6.8. 1) 1; 2) -1-; 3) а; 4) -L; 5) -L ; 6) —.
IV.6.11. Указание к задачам IV.6.9 — IV.6.11. Рассмотрим последовательность,
данную в задаче IV.6.9. Заметим, что ап > 0, п £ N, и что ап -> 0, я ->■ со. Имеем
,. / 1 I \ ,. аЛ — In (1 + ап)
JC— 1П (1 Н- X) I
= lim = — .
х-*о х\п(\ + х) 2
Поэтому
п—\
откуда следует, что
1 1 1
>■ -—- , Л ->• СО,
АШЯ ЯЛГ, Z
а потому пап -> 2, я -* со.
299

В задаче IV.6.10 сначала вычислить предел
1
,imi 2
Г>
дальнейшие рассуждения аналогичны. Другой подход применен к аналогичной
задаче с итерациями sin в кн.: Полна Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа : В 2-х т.—
М. : Наука, 1978.—Т. 1.—С. 52, 220, 221.
IV.в. 13. Можно считать, что многочлен Р имеет целые коэффициенты.
Рассмотреть рациональные решения уравнения Р (х) = р, где р — простое число.
IV.6.20.-1-.
IV.6.21. Функция
g (х): = I x — a
I Па). х = а
непрерывна на [а, ft] и имеет производную
ДГ(*)- (xlaf V'(x)(x-a)-f(x) + f(a))
в точках интервала (а, ft). Хотя бы одно из значений (наименьшее или наибольшее
значение g на [а, ft]) принимается в точке 9 6 (я, Ь). Действительно, в противном
случае g монотонна на [а, ft], что влечет за собой монотонность f\ Если же /'
постоянна на [а, ft], то утверждение задачи верно для любого 6 £ (а, ft). Равенство
gf (6) = 0 равносильно утверждению задачи.
IV.6.22. Проверить, что / выпукла вниз. Затем сравнить отношения
/(*+!)-/W f(x)-f(x0)
при х > х0 + 1.
IV.6.23. Функция / непрерывна на [a, ft]. Использовать теорему Коши о
промежуточном значении.
IV.6.24. По теореме Лагранжа
М&)-/(а)-Пв) (*-*)•
для некоторого 0 £ (a, ft), поэтому
2М(
1/'№)К-
о
ft-a e
Аналогично
ГМ-/'Й-Г(8)(*-Ч,
откуда имеем
Максимум правой части достигается при
_ —-Уф
и равен 2 "^2 М0Ма. Справедливо более точное неравенство, полученное Ж. Ада-
маром в 1914 г.;
300

IV.6.25. Использовать результат предыдущей задачи. Относительно задач
IV.6.24 и IV.6.25 и их обобщений интересную информацию содержит книга: Зо-
бин Н. М., Крейн С. Г. Математический анализ гладких функций.— Воронеж:
Изд-во Воронеж, ун-та, 1978,— 144 с.
IV.в.26. Р — многочлен степени, не превосходящей т, поэтому р(т+1) (х) =« О,
х £ R. Кроме того,
/*/>(0) = 0, 0</<т,
поскольку
pU> (0) = (- 1)/ £ С*., (— l)***-'m(m— 1) ... (m-/+l) = 0.
Действительно, последнее равенство верно при / = т. Дифференцируя по у
равенство
(1-УГ+1- J (£+,(-«v.
fe=0
получим
m-fl
- (m + 1) (I - y)m - £ Ckm+l (- I)fe ЛИ"1.
fe=i
откуда при # = 1 имеем P{m~~l) (0) = 0. Затем умножить последнее равенство на у
и снова продифференцировать по у и т. д. Из формулы Тейлора следует искомое
утверждение.
Г л а в а V
Чет
V.l.l. arctgx+-^-, x£R.
V.1.5. Проверить, что существуют и равны F_ (с) и F, (с). Применяя
теорему Лагранжа к функции F на отрезке [х, с], а < х < с, получим
F (с) - F (х)
С — X
./(в), *<е<с
Отсюда f 1_ (с) = / (с). Аналогично F'+ (с) = / (с).
V.I.6. I) (ехр (| х |) — I) sign х\ 2) | а: | ех — (е* — 1) sign jq
3
•*а, х<0;
3)^(*)=|-£. + д 0<*<2;
4) sinxsign(cosx) + 2 JL + -LJ;
5) — cos*(l + sign(sin*)) + 2 -£- ;
301

6) (x In x — x + 1) sign (x — 1), к > 0;
■(*» —2), *<-l;
7) F (*) =
3
1
*,
■K*<1;
_(x» + 2)f *>1.
V.1.9. Предположим, что существует функция F: (—1, I)-* R, для которой
F' (дг) = / (x), x € (—1, 1). К функции F на отрезке [0, х], где * > О, применим
теорему Лагранжа
F(x)-F(0)
х — 0
-ме) = 1, о<е<*.
Следовательно, F+ (0) — F* (0) = 1, однако F' (0) == 0.
V.1.10* I) Замена х— 1 = и\ 2) замена 2 + лг2 = и; 3) замена к — а = и;
х j
4) замена 2 + ех = а; 5) замена 1 — х2 = w2; 6) замена —ТГГ ^ и'
7) замена I—ZTTI = "8; 8)» ^ интегрирование по частям; 10) воспользоваться
тождеством
1 + х2
11) возвести в степень; 12) пусть
дп = Зп (*):
Тогда для л ^ 1
1+JC2
Г х2п
J *а + а2
dx, • х£ R.
7-Г
.2п—2 /у2 I /у2
(X2 + fl2) _ fl2^
Учитывая равенство
х2 + а?
dx -.
2п
— -*3»-i-
Jo=JLarctg-£-+C, C6R,
получаем нужное выражение для Qn при любом л; 13), 14) аналогично 12); 15)—
17) интегрирование по частям.
Г л а в а VI
V1.I.1.
п—1
L(/, Я) = £ x\(xk^-xk),
/г=0
гг—L
Для определения нижнего интеграла используем неравенство
а*^-1-(а2 + оф + Р2), 0<а<р.
302

Получаем оценку
п—I
^ (N ях J] — (4 + ***fe+i + 4+i) (**+! — ч) ■■
k=0
п— 1
для любого разбиения К Кроме того, для разбиения
г -{о -1 A JLl
по теореме Штольца. Следовательно, нижний интеграл равен -г-.
о
VI.1.3. Для любого разбиения X = {х09 *х, ..., *„} имеем L (к, /) = 0 и
а—I
^ №. /) = ]£ **+1 (*fcfl — *Ь) >
п—\ п~\
> X — (*fe+i + **) (*н-1 - **) = — S (4+i —4) = — •
Таким образом, верхний интеграл не меньше -^-.
VI. 1.4. (i) Использовать неравенство | | х | — | у \ \ < | х — у |, {*, #} cz R;
(ii) использовать неравенство | sin x — sin у I <: | х — у \\
(Ш) использовать неравенство | х2 — у2 | <; (|* | + I У I) I * — 0 I*
VI.1.12. Проверить, что множество точек с положительным колебанием не более
чем счетно.
VI. 1.14. I) Сумма sn есть сумма — и интегральной суммы для непрерыв-
п
ной на [0, 1] функции х*+--г~т—, разбиения |о, — , —, ..., —[ и
1 -\" X \ П И П )
точек
i
dx
s
-s
i + x '
0 '
2) сумма s есть интегральная сумма для непрерывной на [0, 2] функции
разбиения |о, ± , -L J*=L, Ш-\ и точек -L , JL Л. ;
\пп п п ) п п п
dx
-s
1 + х •
ri
303

3) величина sn есть интегральная сумма для непрерывной на 10, 1] функции
[0*1]э*~-пЬг»
L 1 2 п \ 12 п
разбиения 10, —-, — , ..., —> и точек —- , —, ..., —-j
I, n я л J п п п
Jdx
1+ж* ;
4) величина sn есть интегральная сумма для непрерывной на (0, 1J функции
[0, l]9*~*2^T+"Ft
L I п \ 12 л
разбиения <0, -^, ..., — У и точек — , — f ..., — |
\ п п ) п п п
1 1
cv С dx сч f xdx
1
7) * «s \ л^б****; 8) разность между sn и интегральной суммой для непрерывной на
о
отрезке [0, 1] функции
[0, 1]Э*-**Г+5
стремится к 0 при а -►• оо
1
о
9) рассмотреть exp (In s„); s = exp I \ In (1 + x) dx );
10) имеем 1пбЛ = JL J In (l + JL) , s = exp Kin (1+ x) dx J ;
11) s = exp f f In / (x) dx J; 12) s _ exp I С In (1 + *2) Лс J;
l i
13) s= С xa~lf (xa) dx=-L^f(x) dx;
14) заметить, что sn = -^j- I I ^ cos — — ]£ cos2 —
/7 V r
I \ cos* dx I ; 16) s s= \ sin xd*;
f-"2
304

!6) Использовать неравенство х < sin х < х, л: > 0. Имеем
6
п ■ п
J
Таким образом, s = I xdx\
о
17) см. указание к предыдущей задаче,
dx
+ 2x + 2
VI. 1.15. 1) Очевидно, что
11—1 I
fc«=0
la.&'
при | % | -»- 0;
2) использовать неравенство из решения задачи 1V.4.4, предел равен I / {x) dx;
b)enpUf(x)dx\.
и
V1.I.16. ^f(x)g(x)dx.
а
VI. 1.17. Из условия следует, что
3™—1
то есть правая часть есть интегральная сумма для функции f, разбиения 0, —j^-
2 . х
—-f ..0 1 и точек —
С[0, 1] имеем
—~—, -.., ;^-— . Поэтому при каждом *£
/(*)-^/(u)d«.
Таким образом, / (х) = 1, *€ [0, 11.
V 1.2.2. 1) Имеем
§2
l-htdx+li=irdx+^-l)dx+
+ l^rV^ = 2+-Tln3-fln55
305

2) ~ j- In 2. Ввести замену —г х = и;
3>-V
Имеем
Пусть / (х): =
sin'2" х
sin2" * + cos2" x
х>0.
я
J
xf(x)dx = С */ (x) d* + С xf(x)dx = f ((я — *) + x) / (x) dx •.
О я я
2 2
Я Я
-я J f(x)dx-n J (f{x) + fL^-x\)dx = J*,
it ЛлЛ \ * //
Зя
4
2a
4) ^(1); 5) 4- ; 6) —£— ; 7) fcf (6) - af' (a) -/(« + / (a).
V 1.2.3. Разбить интеграл на сумму интегралов по отрезкам [—а, 0] и [0, а].
8 первом из полученных интегралов сделать замену — х = и.
V 1.2.14. Использовать метод математической индукции и интегрирование по
«частям.
VI.2.18. Максимум при х = 1 и минимум при х == 2,
VI.2.19. Имеем
п
w*-TS<(-f)-i!('«-'(-f))*-
П П
= £ [ Г (9 С*, ft. «))(*- -£-W.
п
-откуда и получаем нужное неравенство.
VI.2.21. По теореме Лагранжа сумма $п, стоящая под знаком предела, равна
п
Поскольку
fe2 + ns
1
V*6{1. ... • я} : lOftri-'K
2/?
«то
Ve>0 3# Vn># : | /' (0fen) - /' (x) |< e.
Теперь легко проверить, что
h-^Sidb
►0, д-^оо,
k2 + л2
In/2, n->-co.
'306

V 1.2.22. Использовать суммы Дарбу.
VI.2.24. Достаточно доказать, что для любых действительных х1у *2, ..., хп>
для которых I *i I + | х21 + ••• + I хп I Ф Oi справедливо неравенство
:=S-3-^+r>0-
/.а */+«* + '
Действительно,
f,fc=! о n \л-1 /
VI.2.25. Во втором интеграле сделать замену и = / (/), а затем
проинтегрировать по частям.
V 1.2.26. Для производной g имеем
g' (*) » -р- I х/ (х) - J / (и) d« J = -р" J (f (*)-/(«)) Л* >0,
так как f (x) — f («) > 0 для 0 < « < x.
VI.2.27. Для производной h! имеем при х>0
ft'W= jg(«)rfw (/ x)$g(u)du--g(x)^f(u)du\=*
-2 x / $/(")<*"
fix) о
f \—2 x
g (u) du\ g(x)^g (u) du
0
-(j««*f.«j««<-e&"J&)
для некоторого 0, 0< 0 < #. Последнее равенство получено с помощью теоремы
Коши. Поэтому Ы (х) > 0, х > 0.
V 1.2.28. Пусть 0 г^ *i < *2- Положим а = хъ Ь = *j + х% х > 0, 6 = х2 — *i-
Согласно предположению,
f f (u)du^ f f (и) d«,
откуда на основании теоремы о среднем значении получаем
/ (0, (х)) х < f (92 (х)) х,
где хг < 9i (*) <=с: дсх -|- х, х2 < 02 М < х2 + *• Сокращая последнее неравенство на
х и переходя к пределу при х -»- 0 с учетом непрерывности f, получаем неравенство
/ (*l) < / (*2).
V 1.2.29. (i), (ii) Использовать теорему о среднем значении; (Hi)
проинтегрировать по частям.
V 1.2.30. Первая часть задачи следует из задачи IV.4.61. Для доказательства
второй части показать, что Г {х) ;> 0.
V 1.2.31. Разделив равенство из условия на х и вычислив производную, получим
**+1 п*> х>0
х f(x) ' X>"'
307

откуда
d
(In/ (*)—x2 — \nx) =0, *>0.
f(x)=axex\ x>0, a > 0.
Поэтому
V 1.2.32. Поскольку при *^0
f(x)cos\ С f(u)du) =
о / (l + X)2 '
то, учитывая условие, находим
Отсюда
/2w-7rW^ + 7i^^ x>0-
(1 + л:) К1 + 2*
V 1.2.33. G помощью замены * — и «= о получаем равенство
X
е* f е~7 (v) dv = sin jc, x 6 R,
о
из которого следует, что
е-*/ (*) = {(Гх sin я)', х 6 R.
Поэтому
/ (х) = cos х — sin xt x£R.
VI.2.34.
f(x) = V\n(e + x*)t *6R.
V 1.2.35. Для функции g (x) : = /(*) — 1 — *» * € №» И имеем g (0) = 0,
4g' (0) = 0; g" (x) = f (x) > 0, x£ (0, 1). Отсюда следует, что g неотрицательна
«а [0, 1]. Кроме того, по условию
1 1
о о
Следовательно, g (х) = 0, дс £ [0, 11; / (дс) = 1 + х, х £ [0, 1].
V 1.2.36. Применить теорему Коши о промежуточном значении к функции
х ь
g(x): = ^f(u)du-^f(u)dut xt[a, b].
а х
V 1.2.37. Функция
х
g(x):=e-x^f{u)du, x£[a,b]
а
«удовлетворяет условиям теоремы Ролля, причем
X
i (х) = - е~х J / («) du + е-х1 (х).
а
:308

Следовательно,
3Qe(a.b) : g'(9) = 0.
VI.2.38. Применить теорему Ролля к функции
х
g(x): = —\f{u) du, x e [a, Ь].
а
VI.2.39. Применить теорему Коши к функциям
X X
F(x): = ^f(u)du, G(x): = ^g(u)du, *£[а, Ь].
а а
VI.2.40. Применить теорему Ролля к функции
х ь
h(x): = ^f(u)du^g(u)dut х£\а. JJ.
а х
VI.2.42. Пусть g (х) : = / (х) — х, jc € [я. W. Тогда из заданных условий
следует, что
ь
.*(«)>0, ^g{x)dx<0.
а
Затем использовать теорему о среднем значении и теорему Коши о промежуточном
значении для функции g.
V 1.2.43. Применить теорему о среднем значении к интегралу
ка) du » 0,
V 1.2.44. Имеем
1
С f (х) dx = (х - 1) f (х) | J - J (* - 1) Г (x) dx.
Отсюда с помощью теоремы о среднем значении получаем
1 1
рМЛ5-/(0)-Г(в) С (*-!)*, 96(0, 1).
V 1.2.45. Аналогично решению предыдущей задачи дважды проинтегрировать
по частям.
V 1.2.46. Положим
*-{■
/>(*): = ] f(u)du, *€[0, I].
о
Тогда F" (0) — Г (0) yi 0 и
F{x) = F(0)+F'(0)x + -j-F"(0)x* + o(x*)t x->0.
Аналогично
f (9) х = /=" (9) х . л: (/?' (0) + /^ (0) 9 + о (9)), 9 -*0.
309

Следовательно,
F' (0) х + — F" (0) x* + о (*2) = F (0) x + F" (0) 9 (x) x, x-+0.
Поэтому
lira = — ,
V 1.2.48. Пусть
ь
£ g2 (x) dx > 0.
a
Рассмотреть неравенство
и
\f A, e R : f (/ (x) + Ag (a:))2 ^ > 0.
VI.2.52. Для любой функции / £ G, согласно неравенству Коши, имеем
\2 /1
1*-| \nx)dx\ о j(/wKl+«4.-j=-i| <
1 i
\^{\+x*)f*(x)dx- J
а потому
4-х2 *
б б
J(l+je*)faWd«>4"»
4
при этом для функции g (х) = я(1 . 2^ , х 6 [0, 1],
1
J (I + *2) g2 W d»=-i.
V 1.2.53. Функция [0, +оо) ^ и ^ ий выпукла вниз на [0, +°о). Поэтому для
интегральной суммы имеем
\fe=0 / /е=0
откуда с учетом интегрируемости функций | / | и | / \а получаем требуемое
неравенство.
V 1.2.55. Воспользоваться неравенством
Ь
С (Л4 — /1*)) (/ (*) — т) dx > 0.
а
VI.2.56. Для функции
h(x) = Hf(u)du\ +ng(M)d«| — И VfHu)+g2(u)du\ *£[(), 1]*
310

проверить, что h (0) = О, Ы (х) < 0, к £ [О, 1|. Несколько других решений этой
вадачи можно найти в статье: Дороговцев А. Ям Кукуш А. Г. Избранные задачи
университетского тура олимпиады «Студент и научно-технический прогресс» по
математике// Математика сегодня.—К., 1983.— С. 155—157.
VI.2.57. Проверить, что функция
X
а
монотонно не убывает на (а, Ь], а функция
ь
монотонно не убывает на [а, 6). Вычислить g' и Л' и воспользоваться теоремой а
среднем значении.
V 1.2.58. Достаточно доказать равносильное неравенство
ь
^(x — c)f(x)dx>0,
где с = — (а + Ь). Последнее неравенство равносильно неравенству
Ь о
с а
которое, в свою очередь, в результате замены х — (Ь — а) = и равносильно
неравенству
о с
£ (x-a)/^(fc —a) + xjdx>£ (с —*)/(*) <1*.
'j a
Это неравенство верно, так как
С (* — о) f (-5- № -- а) + дА <fr > f (с) С (х — а) dx =
а а
с с
= f{c)[(c — x)dx^ f (с — дс) / (х) dx.
V 1.2.59. Пусть число а фиксировано. Тогда
lim -L V
„_ п ^
Л—)-«| = [\f(x)-a\dx.
\ п I I 0
Согласно решению задачи IV.5.8,
*SK*)-'KSl'(*M-i
311

где i = I "зг I + Ь Переходя к пределу, получаем
1 1
Jl/W-e|rfjr>J|/W-^/^|i^
при этом использована равномерная непрерывность / на [0, 1].
VI.2.60. Функция / выпукла вниз, поэтому из определения выпуклости
следует, что
/(*)</(а)+ f(b)bZfa{a) (*-")> *€[*■«.
отсюда получаем требуемое неравенство для интегралов.
V 1.2.61. Пусть число 0 таково, что
/ (9) = max /.
[а,Ь]
Правая часть неравенства есть площадь треугольника с вершинами в точках (а, 0),
(9, f (9)) и (Ь, 0). Далее на отрезке [а, 9] в силу выпуклости функции имеем
/(*)>/(«)+ nelzfa(a) (*-*>
при 9 > а. Отсюда
в
J / (*) dx > -L (/ (9) -/ (а)) (в -а) + f (а) (в-а).
Аналогично
^f(x)dx>-L(f(Q)-f(b))(b-Q) + f(b)(b-Q),
е
если 9 < Ь. Отсюда получаем требуемое неравенство.
VI.2.62. Интегрируя заданное неравенство по отрезку [0, х]9 х > 0f получаем
V — 1 > *,
или
е* > 1 + Xj x>0.
Аналогично
**-1>*+-^-» *>0,
и т.д.
V 1.2.64. 1) Воспользоваться неравенствами
2) воспользоваться неравенствами
к ,^-L., < ^J—« . д^€ (о, ~|~1;
Y \—£n vi — x2 \ 21
3) использовать неравенство
в" > 1 + а, и «?fe 0,
312

us которого следует, что
1 _ х2 < е
* > 1 _ хъ% ех* > I + х9
1
1 + х*
*>0.
VI.2.65. На основании теоремы о среднем значении имеем
J Wdx^m* J ха~1^, eg Го, -|-].
Функция [0, +со) 9 и »-*• «2" строго возрастает на [0, -f-oo), кроме того,
VI.2.66. Имеем
2я
4-22 =2 2 <1.
2л
\ Xй sin xdx = \ ха sin xdx + \ ха sin xdx = \ ха sin xdx +
О о я о
л л
+ f (я + и)а (— sin и) du = f (ха — (я + х)а) sin xdx < 0.
Путем интегрирования по частям получаем также
2я 2л
С я*"1"1 cos xdx = — (a + 1) [ Xй sin xdx > 0.
о о
VI.2.67. Интегрируя по частям, получаем
x+a x+a
С sin и , cos и \х^а С cos и ,
I du = — \ —s— da.
J и ti \x J и2
X X
Легко проверить, что при а > 0, х > 0
I cos* cos (x -f- д) | ^ 2
Кроме того,
а: х-\- а
х-{-а
Г COS И , I. f du 1 1 ^ 1
VI.2.68. Записать интеграл в виде
2и sin ы2
I
2w
rftt,
ватем проинтегрировать по частям
\ sin иЫи = —
cos w
2 1АГ+1
^t1
1 C0S ц2
J 2и»
du.
Теперь можно провести рассуждения, аналогичные решению предыдущей задачи.
313

V 1.2.69. См. решение предыдущей задачи.
V 1.2.70. Проинтегрировать по частям.
VI.2.71. Проинтегрировать по частям.
VI.2.72. Интегрируя по частям, получаем
b / х \ \х—Ь
j f M g (х) dx = / (х) J g (и) Ж* I - J f W I $ g («) du dx.
\x=a a
Отсюда на основании теоремы о среднем значении имеем
ь ь в
j/Wg W d* = / (b) ^g (и) du-^g (и) du (f (b) - / (a)) =
= / (a) j g (x) dx + / 0) j g (x) dx
с некоторым 9£ (a, 6).
V 1.2.73. Применить правило Лопиталя, предел равен —-.
V 1.2.74. Применить правило Лопиталя. 1) 1; 2) еа; 3) -—■; 4) е\ 5) 1.
V 1.2.75. Согласно правилу Лопиталя, предел равен а. Пример: g (х) = sin xf
*> 0.
VI.2.76. ab. Vl.2.77. -i- /' (x). VI.2.80. 0.
V 1.2.81. Функция / интегрируема по отрезку [0, х]9 # > 0, как ограниченная
с одной точкой разрыва. Кроме того,
л
du
< 1 . х
cos -у dt.
и, следовательно, для *> 0
X
F (х) = lim С
' и
Интегрируя по частям, получим при 0 < и < х
Jcos^^^j(-^)cos4-(-^V^^/2sin4-|42^sin^
dt.
и
Тогда
X
F (х) = — х2 sin — + 2 f « sin — du, x > 0,
а потому
при х-*СЧ-.
314
F(x) — F(Q) . 1 , 2 Г . 1 . л
—i-i ^ v ' = — х sin \ и sin — du-+0
x — 0 x x J и

VL2.82. После замены ln«=f получим
i о
f иа~1 In udu = [ teatdt = Ц- J* i- eat\
x In x
0
In x
_ 1 Х°\ПХ , Xй 1
Vl.2.83. 0.
V 1.2.84. Заметим, чго 6 (n) > 0, я £ N и 9 (n) -> 0, я -* со, поскольку
1
— [ f(x)dx^minf • 9 (/г), п> 1.
Л J (0,11
Кроме того,
1 е<л)
р(л:)^ = л9(п).-—- j f(x)dx, «>lf
о о
откуда имеем
i
I
Пт(п9(я)) = —L- f/Wdr.
0
V 1.2.85. Заметим, что
а потому
Г
Далее имеем
в(М)
/ 1 \*
П в(М)
откуда
i
2
Vl.2.88. j— j / (x) dx.
V 1.2.89. 1) 1; 2) ^-; 3) -i-; 4) 1; 5) 1. Для определения пределов в 1), 2) и 3)
можно использовать неравенство
1 * ^ 1
(х + I)4 < \-\-хь < х* ' х>[
. V 1.2.90. Для с— 1 а„ =■ 1, п > 1. Для с> 1 последовательность возрастает
и не ограничена. При с £ (0, 1) последовательность убывает и сходится к 0.
315

VI.2.91. Решение этой задачи см. в кн.: Дороговцев А.' Я. Избранные задачи
по математическому анализу.— К. : Вища шк. 1982, 104 с.
VI.2.92. 1) Последовательность функций
[0, 1]Э*-*
*/(*)
п-\- х
сходится равномерно на [0, 1] к функции к •-* / М, так как
nf(x)
/М
п -J- х
сходи»
iycTb e > 0 задано. Тогда
= |X/,W| <— sup |/|. х€[0. И;
п + х п fo.l]
2) равномерной сходимости на [0, 1J подынтегральных функций в этом случае нет.
Пу
е
1
/ад
\ + пх
■dx
< е sup | /1
town
й, кроме того,
Ш o|<J-sup|/|.
[ -\- ПХ I № f0.ll
Предел равен 0; 3) есть равномерная на
1
0, -у сходимость подынтегральных
функций, предел равен 0; 4) 0, см. решение задачи 2); 5) аналогично 2); предел равен
Um / W; 6) / (0); 7) 0; 8) -J-; 9) 1; Ю)- 12) 0.
V 1.2,93. Для каждого г £ (0, 1) имеем
1-е
п J xnf(x)
dx
< п (1 — e)n max I / I -* 0, л -*оо;
10,1]
1
п J *»/(*) dx-/(l)
1-8
< max |/(*)-/(l)|
I—e^x^l
2п
п , . <2 max |/(*)-/(1)|.
Я+1 1-8^X^1
Предел равен / (1); 2) Ш#
VI.2.94. Решение можно получить аналогично решению предыдущей задачи.
Другой путь использует интегрирование по частям и результат предыдущей задачи
n2 С *»f (x) dx = n2 *П /ад |0 - J1* £ х"+1Р W dx-+ — f' (*), п -*оо.
VI.2.95. ^-(/(-1) + /(1)).
"*»-И'(4И*)+'(т))-
V 1.2.98. Если число М : == max | / | = 0, то утверждение задачи очевидно.
Для М > 0 очевидно неравенство
1:==И/ад2пЛс) <M(&-a)2", л;
1,
316

из которого следует, что
lim сп < М.
Пусть е 6 (О, М) задано. Поскольку / £ С ([а, 6]), то существуют xQ £ [а, 6] и 6 > О
такие, что
е
/ft) «Л*; V*€(*b —«.* + «) : f(x)>M-
Поэтому
(х0+6 \ 2п . .
в"\ я>1.
сткуда получаем
lim сп > М <т-.
П-ЮО
При е -»- О получим неравенство
lim Сд > М.
V 1.2.99. Использовать интегрирование по частям
ь ь
. J / (х) cos (лх) dx = (f (x) &т{пПХ) jl 1 J /' (*) sin (/w) dx,
откуда имеем
J Ж
cos (яде) dx
<— max | / | + ——2- max I/' |.
я [a. fei « [a, 61
VI.2.100. Использовать результат предыдущей задачи, Предел равен
ь
1
тг J'w **•
VI.2.101. После замены и = шг получим
1 " rt—1 Л+1
J1 Л 1 Л 1
f(nx)dx = — \f(u)dU = -j- V f(«)rfH-~- ]gflb Я>0.
fe=0
Поэтому
lim I / [пх] dx = a.
гг-юо у
VI.2.102. Сначала имеем при п > 1
6 ггб /г(6—а)
P(„,)^=J/(U)^L=4- J fiu)
du-
пф—а)
[52-в]
Отсюда следует нужное утверждение.
317

VI.2.103. 1) 4-; 2) 0; 3) -L
2 4
Vl.2.104. 1) -JL- f f (sin x) dx\ 2) -i- f / (sin x) dx;
о о
3) пусть m = m (ri): = , имеем
-^- £ */ (sin nx) dx = -jj- J] j x/ (sin x) dx + rn =
о k=° 2fen
m—1 2л
= --?- 2 \ (2kn+u) f {sin u)du + rn=*
2я . , 2л
e J \2я т 2я~ ^ "n5/ ^(sin w) dw + Tn "^ UT j f <sin w) rfw' " ~^°°'
о о
с последовательностью гп -+• 0, я -»- oo.
2л 2л 2л
Vl.2.105. 1) -^- f / (sin x) dx\ 2) —L С / (cos x) dx\ 3) —L- f f (sin x) dx,
0 0 0
4) в результате замены хи = г имеем для т= т (п) : = ojr , л; > 2л
1 X
5(* 2 6?2
/ (sin xu) cos wd« = \ f (sin г) cos =
о о
= — 2j \ f (sin г) cos — dz + rn=s
x *=° Д» *
m— 1 2л
= — 2j \ f (sln z)cos —:— dz + rn =
* ь=о j *
= \ /(sin г)(-- XI cos n +Z Цг + Гц-»
2л / 1 \ 2л
-v ( / (sin 2) I -^— \ cos tdi I dz ^ "~T \ f (sin z) rf2
0 V 0 / 0
с последовательностью rn -*- 0, я ->- oo.
VI.2.106. Воспользоваться равномерной непрерывностью функции f на отрезке
(0, 1].
VI.2.107. Функция
i
х
•-* \ f {u-\- x)du
318

непрерывна на ГО, 1], что следует из равенства
1 1+Л
^f(u + x)du= J f(2)dz, *6f0, 1].
x
Далее использовать равномерную непрерывность функции / на отрезке [0, 2].
V 1.2.108. Доказательство - аналогично решению предыдущей задачи. Более
общие варианты задачи см. в статье: Дороговцев А. Я., Кукуш А. Г. Избранные
задачи университетского тура олимпиады «Студент и научно-технический прогресс»
по математике //Математика сегодня.— К., 1983.— С. 126.
Глава VII
§ 1
VI 1.1.1. При а= 0 и q £ R ряд сходится к сумме 0. При а £ R и q £ (—1, 1)
ряд сходится к сумме -т——. При а Ф 0 и | q \ > 1 ряд расходится.
VI 1.1.2. 1) Для подсчета частичной суммы использовать равенство
I 1 1
п(п+ \) п п + 1
Ряд сходится к 1; 2) использовать равенство
I 1
/i£N.
(Vn + Vn+ 1) Vn{n+ 1) Vn Vn + \
сумма ряда равна 1; 3) использовать равенство
n€N,
I _ 1 / 1 1
(2я—. 1)(2я+1) 2 \ 2/г—1 2л+1
2;
сумма ряда равна -^-; 4) сумма ряда равна -^-; 5) частный случай ряда 4) при сп ~
== 2/1 (п + 1), п £ N; сумма ряда равна2~; 6) частный случай ряда 4) при сп —
=4 (2/1 — 1) (2л + 1), п £ N; сумма ряда равна -tk\V) частный случай ряда 4) при-
сп = тп (п + 1) ... (п+ т — 1), л £ N; сумма ряда равна —;—; 8) частный слу
Tmtn
чай ряда 4) при сп = 2 (2/1 — 1), /г £ N; сумма ряда равна ~; 9) частный случай
ряда 4) при сп — 8 (2л — I)2, п £ N; сумма ряда равна -3-; 10) частный случай ряда
о
4)*при сп =* /г!, /г б N; сумма ряда равна 1; 11) использовать следующее равенство
с частичной суммой s„ заданного ряда для п > т:
1 /, I II I 1 \
** = — М+ — + -- +
я* \ 2 /г 1 + m 2 + га /г + га ,
I
т \ +~+ h "яГ/ ~га~\ /i+l + п + 2 Н ^
Отсюда следует, что
s^-^-—(1+-Г-Н 1 ), а-^00;
т \ 2 га /
19, 111
1*) сумма ряда равна 1 h • • • Н .
т 2т k
п-\-т
319

k
Известно, что сумма этого ряда для — £ N, есть число трансцендентное. См.: Solu*
tion of advanced problems//The American Mathematical Montly.— 1984.— 10,
91.—*P, 652, 653. 13) ряд расходится при любом х. Действительно, из сходимости
ряда следует, что
cos я*-»-0, п ->оо.
Из равенства
cos (л + 1) * — cos (nx) cos х — sin (nx) sin x
при sin х Ф 0 получим
sin (их)-* 0, л-*-оо,
откуда
1 = sin2 (nx) + cos2 (nx) -»- 0, л -► со,
что невозможно. Значения х, для которых sin х =» 0, рассмотреть отдельно)
14) использовать равенство
Сумма ряда равна -г——.
VI 1.1.3. В задаче 11.2.25. было установлено, что
sn — lnn-^Y» л -*°о»
где у — число Эйлера. Из этого соотношения также следует, что sa -*■ +оо, п -*оо.
VI 1.1.6. Пусть для it^Ne^ (—1, 1)
1— хп
Тогда
/М *—*
< w - S ***•
fe=i
Поэтому
Л \—xn , , 1— xn — nxn(\—x)
kx" =s X — — -1- y2
[
откуда следует равенство
а^-гМтЬг)"-
В частности! сумма ряда 1) равна 2. Аналогично,
+ ,. ^ ч, {2-(n^ + n^-X+nV-X(\-X))(l-X)-2^),
(1-Х)3
320

откуда имеем
оо
k=]
1 — X
+ 3
1 — х
+ 2
1 —л:
*(! + *)
(I-*)3
При ж = -?г получим сумму ряда 2), равную 6.
Из равенства
^Jn^Ldu = ^JL.
k=)
■аходим
1 — ип
1 — и
du*
Пусть х > 0. Поскольку
1-й"
max
1— и
1 — и
1-х
-0, я -*оо,
те
I-W-£r—"<-*
*=i
При х = -^ получаем сумму ряда 3), равную In 2,
VI 1.1.7. Формула верна при х = 0. Рассмотрим х £ (0, 1). Используя
рассуждения из решения предыдущей задачи, имеем
I р 1-й"
S-^-J-Ht=t**
выражение в скобках при 0=0 считаем равным пределу при v -+ 0+. Поскольку
шах
-
du
сщ
1 —и v J I —н
1-х
►О, я -»-оо,
Ет-J-И-г^-Ь--!
fe=l w \ о / о
VI 1.1.8. 1) Согласно решению задачи VI. 1.6,
In (I — v)
dv.
Следовательно,
2У—ТЗГ S^- = -m(i-x).
fe=l
^±1х*= Х
1 — х
-In (1 — jc);
11
7—1047
321

2) поскольку
S'-nr
00 А
X V-i X
I / £i x* * \ In (1 —a:)
-t 2-t-t -
+ 1
(при преобразовании х Ф О, однако левая и правая части последнего равенства
равны, если определить правую часть в 0 как предел при х -+ 0), то
\л * ь 1 In (1 — л:)
\ х* = • 1 - — х Ф 0;
3) из равенств
°° ft
fc=l
Хт=-|п(|-4
_yj lyj—JL - In"-" +i, гчЬ0,
61 *+' *\£А к Ч '
имеем
1
хк = — (1 —х) In (1 — *)+ 1, х=^0;
/?=
4) поскольку
J]<-I)V*-.
|_(_ l)"+lM2n+2
1 +w»
после интегрирования по отрезку (0, х] для к > 0 получим
I— 1) „2fe4-l Г I — (— 1) " ^
i + «2
Отсюда
V±li^-^+1=arctg^
5) аналогично предыдущему получим
s
_J ^+1= _Ln_i±i_
26+1 2 1—*
322

VII I.ft. Для частичной суммы после замены переменной имеем
VII. 1.10. f / (x)dx.
n
V||. 1.11. При каждом rc£N к интегралу I f (и) du применим теорему о сред*
1—1
п
j f(u)du = f (хп), п — 1 < хп < п.
нем значении
л—1
Тогда
$] / {Xk) = Е I / (и) Ж* = j / (а) Ж/ -► а, л -*с
VI 1.2.2. Имеем для л £ N
§2
(2я- 1)а 2а 2а 4а (2л)а
= 1 1 • { с < I 4- **п
г^"-1 2а~1
Поэтому
S2n<-^=1 Г- • п>1'
2а-1
кроме того,
VI 1.2.3. Первое утверждение следует из неравенства
max (ап, 6л) < ал + bm n > 1.
Пример рядов ко второму утверждению можно найти в кн: Пойа Д.
Математическое открытие.— М. ! Наука, 1976.— 448 с.
VI 1.2.4. 1) Сходится. Использовать неравенство
V"n + sin n ^ \ + V"n 2 V"n 4 VrT^l
п* - п + 1 ^ п* - 2я 4- 1 ^ (/7 - I)2 К (п - I)2 ~~ -у ' л ^ 2*
(П — I)
2) сходится при Р > 0, Р — а > 1 и при Р < 0, а < —1, расходится в остальных
случаях; 3) сходится при а > 1, так как
(*ЧГ h^ А'^Г
/1° •
11* 323

Расходится при а ^ 1, поскольку
4) сходится, так как
пп+а
In -
1 + /г2
п2
па
1
п2
" „«
я>1;
1 , я>1|
5) сходится. Приведем два_решения.
") Согласно теореме
где и > I, имеем
(ij Согласно теореме Лагранжа, примененной к функции х «-* In x на отрецяе
П, и),
Inw— In 1 ==— (и — 1)<и — 1, I <В< ш
откуда следует, что In и < ы при и > 1. Отсюда получим неравенство In УТГ-<
< V^n, то есть In п < 2 уПгГ, я > 1. Таким образом,
Inn 2
HP"-"<"Г"5 п^L
(И) Можно также воспользоваться ранее доказанным соотношением с числет
а > О
In л л
из которого следует, что
3N Vn^N : Л!"<1;
6) сходится. Пусть 9=|/2>1# Согласно неравенству Бернулли, 9я «= (1 -f- (в —
— 1))" >л(0— 1), я> 1, поэтому
2" > п5 (6— 1)ь, я>1,
вткуда имеем
я3 ^ 1
2" < (В- 1)5л2 ' п>Х%
7) сходится. Согласно теореме Лагранжа,
(1 + х)а — 1 == а (1 + 9) х > ах, 0 < 0 < х,
при х > 0, а > 1, Поэтому
(4/2)^>(4/2 -.)*Я „>|,
или
2VS>(^2-l)1B», «>l;
8) сходится. При я ^ 10 In /г > 2, откуда
9) сходится при а < 1, расходится при а> 1; 10) сходится,
324

VI 1.2.6. П Сходится. Использовать неравенство
— in —!— < —5- > ^> и
2) сяодится. Использовать неравенство
(—) -((• + -) )< —. »>1.
8) сходится. Использовать неравенство
In* n ^ (Ю ^)5 1
3
4) сяодится при а > 1 и расходится при а <; I. Использовать соотношение
(Уп24- 1 — я)а~ —— . —i— , я-*оо;
Б) сяодится. Использовать соотношение
п — 1 п 2п2 '
6) сходится. Поскольку
ln(«-l)-lnn=ln(l —Jr)-_JL__ir. + o(4-), «-.ов.
то
In (я — 1) ^ I
In /7 яIn n 2п21
Отсюда следует, что
In п 1
ho —si ), /г-#-с
п я \ яМп я /
In
( L L_
\ п\х\п 2п2 In л
In (л—1) п In n \ nlnn 2п2\пп 2n2 In2 n
1
+ °(-гт—)) Г—
\ п2\п п Ц п\пп
2п2 In n
Т) сходится при Р < 0, а 4- Р < —1 и при Р > 0, а < —1. Расходится в остал*
случаях)
8) сходится. Пусть ап = пп~~%-~п (п I)""1, тогда
л—2
('+4Г
fl"+i . . V п ) (п+ I)2
——= < j . п>1;
в) сходится. Пусть а„ ™ л82^г> тогда
A+i 1 л 1 \» jr"
—л— = -о- И Н < 0 =s , л > 4.
где
--J-('+4-)"-S-<"
325

10) сходится. Пусть ап = (п !)2 ((2п) 1)~'. тогда
А2 Н- i 1
о—П—1
< ~q- = o—« i]> I:
ап 2(2я + 1)^ 2 "" 2-"
11) расходится. Пусть ал = я'У'2 (л I)"", тогда
('+4Г_('+4Г
о.,, е е п + 1 _^
12) расходится. Положим а„ = в2" (tt!)2rf'2n, тогда
ап+\ ё1
>*V-. «>i;
0+4-f
2J~>1, Я>1.
VI 1.2.7. При каждом п с точностью до знака и постоянного слагаемого уп
и уп совпадают с частичными суммами рядов 5) и 6) соответственно из предыдущей
вадачи. Предел Y— Иш уп » 0,577215... — число" Эйлера.
П-+оо
VI 1.2.8. 1) Поскольку
yfa—1 «* exp I— In ^J — !~—In а, а-*»оо,
то ряд сходится при а > 1; 2), 3) сходится при а > 1; 4) сходится при а > —5
б) сходится при а > 1.
VI 1.2.9. 1) Расходится. Если {ап : я > 1} не сходится к 0, то
последовательность
{ <Ь_ : п>1\
И + % )
также не сходится к 0. Если же ап -*■ 0, п -* оо, то
1 + ап * 2
при всех достаточно больших я;
2) может расходиться, например, при ап =■ I, я > I, можег сходиться, например,
при а„ = 2я, я> 1;
3) может расходиться, например, при ал = I, n £ N; может сходиться, например,
при а„=0, аё{2*1*£И}и ^=1, fe£N;
4) сходится, так как
1
< -тя- а„ > 0.
1 + rc2u„ n
VI 1.2.10. Использовать критерий Коши сходимости ряда.
VI 1.2.13. 1) Сходится. Рассмотреть частичную сумму, собрать коэффициенты
при ад и сравнить с исходным рядом; 2) сходится. Использовать неравенство между
средним арифметическим и средним геометрическим; 3) сходится; 4) может сходиться,
например, для случая убывающей последовательности [ап:п^\}. Может
расходиться, например,
ап = 0, п ? {2* \k£ N), апк - -^-, * 6 N.
326

Замечание. Известно также, что ряд
оо
также сходится. См. кн.: Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения.—
М. : Наука, 1975.— 404 с.
VII.2.14 0< а < 91.
VI 1.2.15. Используя неравенство
2ии < и2 + о2, {и, у) с R,
оолучаем
Vanan+] <-L(a,; + an+1), _^L-<-1 (an +-^j , я>1.
VI 1.2.16. Легко показать, что a„ > 0, п > I. Имеем
1 1 1 + яа„ 1
ап+) ап
01 куда
Я, П>1,
■ 1 ,= l + 2+...+„=j^ + IL, я>1-
an-fl ai
Поэтому
(л + D2 ап+х -+ 2, я-*оо.
VI 1.2.17. 6 помощью метода математической индукции доказать, что
3C<ER Vn€N : an < -JL..
я~
При этом использовать то, что функция
строго возрастает на [0, +оо), а также неравенство
1 „а
(1 + x)i"<, + -f- п>1>
с числом с = — 2 а
а
VI 1.2.18. Проверить, что
3C£R VrtiEN : а„< —.
/г2
VI 1.2.19. Поскольку
fln+i а>
со
1 / I 1 \ 1 Л
Ьъ ->• а, я -»■ оо.
«1/ « &
« V Я,г-Н ui/ " &
Следовательно, (л + 1) ап+1 ->• —
AZ-**00.
327

VI 1.2.20. Сначала проверить, что в„ -^ 0, я-voo. я зятем испольвовать
соотношение
I 1 _ * Н- оп * _ 0 + ап) ап — arctg ап ^ { n^QO
<5rt+i ап arctg аЛ ая а„ arctg ая
■8 которого следует, что
1/1 I
-*• 1, п -*-оо,
то есть пап -»- 1, п -*■ со.
VI 1.2.21. Положим srt : = а] + 0^ + ... + ат п £ N. По условию $в -> а,
л -►■ оо; а £ R. Поэтому
*2rt-l "" Sfl-l -^ а — а = О, /I -►СО.
Кроме того,
s2«—1 — sn_i = an + %+\ H Ь «2/1-1 > Ла2/1^И
*2п — sn > ™2п, rt>i,
отсюда следует, что
пап-+0, л-»-со.
VI 1.2.24. Согласно условию,
Ve>0 3N Vn^zN :
^ Р <е & (р — г)Ьп<ап<Ьп(р + *)$
К I
откуда следует, что
{р-г)г\<т\ <(р + е)г*, /t>tf.
а:"
V1I.2.25. 1) Для ап= —--имеем
п\
-> О, я -> оо х > 0;
л+1
2) Для а„ - ^ (/1|>* имеем
(2п)\
an+i 3(я+1) 3
7" (л!)2
3) положив <зп:
VI 1.2.26. Пусть р — предел последовательности {рЛ : п > 1}, возможно, р5
— +oot a e„ = (?iP9 .« Рп> п > 1- Тогда
я2"
ап+1 _
, получим
7п2п
(n+l)2" "
7
р.1
п -*-оо.
: »-Р. я-*оо.
в/,
Поэтому ряд сводится при /? < 1 и расходится при р > I.
328

V! 1.2.29. 1) Сходится, поскольку для ап — п**Т~пу м>1,
1
у ап = п v • — -*• v • Л ""*" °°«
2) сходится, тан как
r (In я)" In п
2) сходится, так как
V VV^ = T^F^-<U n'
-оо;
4) сходится, так как
I / L_ >. _. f п -*■ СО.
2"
VI 1.2.30. Замелить, что
1 \ 1
*d* |" -*• max (*<?"""*) = — <1, л-^оо.
j Л-^Лс J J
VI 1.2.32. См. задачу 11.1.35. Например,
1
я> 1.
"""" 2"(n + (— 1)"л + 1)
VI 1.2.33. По условию
то есть
а„ < а1п " = л,п а,
причем In а < —1.
VI 1.2.34. Если последовательность (|/"| ап \ : п ^ 1} ограничена, то
сходимость ряда из условия задачи следует из признака Коши. Предположим, что ряд
сходится для любой последовательности {Ьп : п ;> 1} из условия задачи, а
последовательность \У\ап | : я > 1} не ограничена. Тогда существует
подпоследовательность {m yf\ а^ | : fc> 1}, для которой тг/| am(k) | > fc, fc> 1. Положим
Тогда у^-^О, /t-*oot а ряд
£ оА
расходится.
329

VI 1.2.35. Функция х •-* дГ"а строго убывает на (О, Н-оо), а потому
, X£[k—lt k]t fr>2.
Отсюда
N N R . ™
SI < у С dx С dx = x-c
.—a+1
1
*==fl+ 1 feI_
+ 1
«a—1
«a-! >
(a — l) гГ~1 (a — 1) ЛГ-1 , (a — 1) л
VI 1.2.36. Использовать интегральный признак. 1) Имеем
In х
1 1
N -*»оо.
J и In2 a J *2 " in 2
2 In 2
In x In 2
— , *-> + oo;
2) аналогично
n Vudu _ С 2t4t w I t*
2/
V^
In 2 (In 2)2 (In 2)8 / |i
1 2 2
"*" In2 + (ln2)2 + (ln2)3 ' *-> + °°-
VI 1.2.37. По условию
За<— 3W Vn># i
lnln n>
у nan < a <ф /ia„ < (In n)
In a
Затем применить интегральный признак.
VI 1.2.38. 1) Пусть k ^ 2. Использовать неравенства
(д:+1Га<Л"-а<х^> *€(*-1, *),
проинтегрировать по отрезку \к— 1, k\ и сложить; 2) аналогично 1).
VI 1.2.39. См. указание к предыдущей задаче.
VII.2.41. Использовать соотношение
«+1 я fe-H „ *+1 / * \
2 /(«- \ /(*)<** = £ \ (/(*)-/(*)**)- £ \f'(tt)«fo)d*
юго получаем
из которого получаем
VI 1.2.42. Сначала заметим, что
1
Тогда
330
лп+\
= . Л> 1
ил+1
«1
1 V *
fe=i

Затем использовать результат задачи VI 1.2.7, из которого получаем
1
In л
VI 1.2.43. Из неравенств
f(u)>f(uk), «!€[«*_,, uh]. fc>2,
имеем
uk
^ f{u)du^f (uk) (uk - uk_x) > / (uk) Л, к > 2.
Условие:
sup(a„ — и^Х+оо.
VI 1.2.45. Рассмотрим случай, когда а > 1. Из неравенства
—— <——. «eiSn-i» «nJ. Л>2«
после интегрирования получим
%-1
поэтому
у Ч < ai , Г <** = Qi , \ 1
-> —2- -\ ■— , n -+ oo.
s* (a - 1) f-]
VI 1.2.46. Решения для случаев 1) и 2) аналогичны. Рассмотрим ряд 2). Из
неравенства
-^ЧГ^^Й^Г' "€[«„_,. *J. »>2,
получим
s„ In' s„
откуда следует нужное утверждение.
VI 1.2.47. Из неравенства
п
С dv
J a In2 и
n>2t
<: — . U$[rk+]t Гк], fc>l,
следует, что
*+'
33)

и далее
Для а = 1 выводы аналогичны.
VI 1.2.48. Из неравенства
_[\ гп+\
1 —а 1 —а
» л>1, а^=1.
1 I
> — , х£[ап9 an_]]t я>2,
ип х
ап-1 - ап
откуда следует, что
dx
= In a,—In art ->- + oo, д-*-оо.
Для второго ряда рассуждения аналогичны:
< —— • *€ К, a„_iJ.
«S-i *"
ап—1
а*-1 — ал
мя-1
<
J ^; •>«■
Следовательно,
^
I—а
, Я > 2.
VI 1.2.49. 1) См. решение предыдущей задачи; 2) для доказательства
использовать неравенство
п-и-
m (/?) — m (/? — 1)
w (/г)
1
и критерий Коши сходимости ряда.
VI 1.2.51. 1) Пусть
т (п + р)
т(п + р)
(m(n + p) — т(п — 1)) —
s«— I!-?-» ^N; ^;=0-
Тогда
— sn — *ц—1» в > 2,
332

I n 1 / n n \
rt fe=l П \Ы fe=2 /
j rt—1 I 1—1
4-Х! (k-(k+\))sk + sn = sn £ s* + 0, n-+co;
1
In (/7+ 1)
4) для любого я > 1 имеем
1) пример: аЛ = ^ ^ х |ч ■ , я > 1;
■роме того.
('+i)
1 \8
1
■, k ->- oo.
(* -f-1)8 61+e
VI 1.2.52. Функция / выпукла вверх на [0, -\-оо), поэтому
J / (х) dx>__(/(«) + / (я +1)), п>1,
/M</(«+l)+/f(« + l)(*-*—l). х>1, п>1.
Лоатому
Океда получаем неравенство
^ /,(*+1>)<4'(М2)-/(1))+ -j-S (/(* + 2)-/(*+1)-
_/'(*+1))< i-(/(2)-/(l)), n>2,
мсмольму
/(|+2)_/(*+1)_/'(*+1)--1-/'(в*)<0.
e*ei*+1. * + 2]. fe>i.
333

§3
VI 1.3.1. 1) Последовательность
[ 1 1 1 \
(Vn = l+— + —+•*•+ —~1ПП: П>1)
сходится к числу у. Для частичной суммы s2/? ряда 1) имеем
111 11
е=г
1 +
1
Кроме того,
+
S2k+\
+
1
~2k
*: 4
°'2k 1
2 Л 4 ' ' 2k — I 2*
In &— 7^->ln2, fe-*oo.
In 2, 6-*oo;
2k + 1
2) аналогично для частичной суммы %k ряда 2) имеем
s3/? = In (4k) + y4k — — In (2£) — y2* J-1П Л ~~ T"Yjfe ~*~ ln 2' * ~*°°5
3) — In 6; 4) — ln 2;
2 2
5) в этом случае для частичной суммы s^kt{ справедливо равенство
1 I 1
которое доказывается с помощью метода математической индукции. Далее
*3fe+i = In (4* + 4) + ?4*+4 ~ — >п (2Л + 2) - — y2*+2 +
+ _ in (ft + 1) + -L Vfc+1 -*-L in 2.
VI 1.3.2. Проверить, что для частичной суммы sn заданного ряда справедливо
неравенство
1/1 I 1 \
*п> \пп + уп — — \^—+ — + _ Н J = lnrt + Y„ —
1
■ >- + со, п ->• оо.
Замечание. Обратим внимание на то, что ряд, данный в этой задаче, а
также ряды I)—4) из предыдущей задачи, составлены из одних и тех же слагаемых
и отличаются только порядком их следования. Интересно также, то, что при
использовании правила приведения подобных членов к ряду 5) предыдущей задачи «сумма»
ряда равна 0.
VI 1.3.3. При х в 0 сумма ряда равна 1. Для х £ (0, 1) рассмотрим его
разложение в двоичную дробь
х = 0, ага2 . . • ат . • •,
где ат 6 {0, 1}, ш > 1. При этом
[2пх] — а^"-1 + а22п-2 + • • • + «л»
334

следовательно,
(_ \fn^ = (- \fn = i _ 2аЛ, я > I.
Поэтому
^ (— 1)Г2^^1 2—^ =1 — 2л:.
VII.3.4. Ряды 1), 3) и 4) сходятся условно. Ряд 2) сходится абсолютно.
VI 1.3.5. 1), 2) Сходится абсолютно при а > 1, условно при а £ (О, I] и
расходится при а < 0; 3), 4) сходится абсолютно при а > 1 и условно при а £ (0, 1 ];
5) сходится абсолютно при а > — и условно при а £ (0, — ; 6), 7) сходится абсо-
лю1но при а > 1 и условно при а £ (0, 1).
VI 1.3.6. t) Достаточно рассмотреть частичные суммы
/гт *т *
S\—d(ntm) ^ I ^ m
п = Ьт^^г = 1п (кт)+ъ» - * -
— In к -* In m, k -> оо;
2) следствие 1), сумма ряда равна In —р При m = 2 получим ряд
111 Г— П"+1
2^3 4 ^ ^ п ^
при т = 3 — ряд
+ 2 3 + 4i"5 6 7^8 9"1
Ряд при т =* 2, / = 3 имеет вид
2 3 2 1
2^3 4 ^ ^ 6
2 3
T + -F-
2
VI 1.3.7. Проверить, что последовательности средних арифметических и
геометрических убывают.
VI1.3.10. а3гп_2 = —- , я3т-1 =fl3/nss- ^" . m > *•
VII.3.11. Рассмотреть неравенство
VII.3.12. Пусть sn : = | аг | -f | ^ | + ... + | an |, согласно условию sn ->
-> 4-oOi л -*- оо. Положим
sign an _ ,
Kl + s,
VI 1.3.13. Последовательность {|а„|:/г^1} ограничена. Предположим, что
1 a„ I < 1, n > 1. Пусть л (1) > 1 — число такое, что
Vn>n[l) : ИяК-i-,
пусть далее число л (2) > 2 л (1) такое, что
Vn>n(2) : |an|<-^-.
335

Число п (m) при /и > 2 определим так, чтобы
п(т) >2п(т—\); Vn>n(m) : |an|<_j—.
2
Положим теперь Ьп = 1, 1 ^ п ^ я (1);
I
Ьп = —— : г— , п (т — 1)< п < n (m), m > 2.
я(т) — n(m— 1)
VI 1.3.14. Ограниченность последовательности {d„:n>l}.
оо
VI 1.3.15. Сходимость ряда ]У]| d„ — d^ |. Сначала доказать, что {dn : п > 1}
имеет одну предельную точку из R, то есть сходится. Затем использовать равенство
п п—1
где srt = aj + Оа + ... + a„, n > 1, а также то, что {$Л : л > 1} может быть любой
сходящейся последовательностью.
VI 1.3.17. 1) Сходится условно; 2) — 5) сходится абсолютно; 6) сходится
условно.
VI 1.3.19. Воспользоваться признаком Дирихле, неравенством
|sin a|>sin2a = —(1— cos 2a), a£R,
а также расходимостью гармонического ряда.
VI 1.3.20. 1)—6) воспользоваться признаком Дирихле; 7)—9) воспользоваться
признаком Абеля.
§4
VI 1.4.5. Сначала проверить, что требуемое равенство достаточно доказать
для ряда с неотрицательными числами. Пусть далее ae> 0, л> 1. Тогда каждый
из рядов
n£Ak
сходится. Для каждого т ;> 1 имеем
где р = /? (/и) таково, что {1, 2, ..., п] cz \J Ат. Поэтому
оо оо /
№1 fc=i V«€i4,
Кроме того, в силу теоремы Дирихле, для р > 1
2 ( S aj<2 a«-
VI 1.4.11. Абсолютная сходимость ряда для a (х) следует из признака Д'Алам-
бера, значение а (1) > 1. Для любых {*, #} cz R имеем
оо / п J „n—k \ ™ \ / п \
*J я!
= а (х + г/).
336

Непрерывность функции а следует из неравенства
\а(х + Ах)— а(х)\
(х + Ах)п
X
~~пГ
I] ~1Г (пхП~1Ьх + С2пхп-'гЬх2-^ ••" +Ь*п)
гг=1
|Дх|2 ЦХ^1) <\*х\а(\х\+1),
которое верно для любого х £ R и любого Ах, | Ах | < 1.
VI 1.4.12. Рассмотреть правую часть как произведение рядов.
§ 5
1
VII.5.1. 1) ; 2) 2; 3) использовать равенство
I —х
ап = 2п\, л^ 1,
а также следующее представление:
1-М„
1+ —=
«я «(1 + «/_!>
, я>2.
вначение произведения равно 2.
VI 1.5.2. 1) Расходится к 0;
2) доказать, что частичные произведения образуют монотонно неубывающую и
ограниченную последовательность;
3) частичные произведения рп = ага2 ... ап, п^\9 положительны и
удовлетворяют соотношению
1 2
Рп+Х <—*>п + -£- Рп-\> п>2>
6 помощью этого соотношения доказать существование предела рп -*- pt n -»- со,
•атем использовать второе условие задачи для доказательства того, что р > 0;
4) расходится; 5) сходится.
VI 1.5.3. 1) Сходится при а > 1 и расходится при а ^ 1; 2) сходится; 3)
сходится; 4) расходится; 5) сходится; 6) сходится; 7) сходится; 8) расходится; 9)
сходится; 10) расходится; 11) согласно условию задачи,
3 d > 0 V п > 1
*п+\
<Clf
откуда следует, что
Поэтому
Л + .1
У(— -)<Cl9 «Ж
£j\a*+i a* )
<С,+
Следовательно,
(л+1)ап+1 ^ 1Т" (h(n+\)
<C2t n>\.
и«+1 ** (n+l)C2
, *> 1
и произведение расходится;
12) расходится; 13) сходится.
337>

Глава VH!
§ 1
V111. 1.2. 1) Сходится поточечно к функции / (х) = 0, х £ |0, 1), и / (1) = 1.
Равномерной сходимости нет, поскольку
d„= sup | /n — /|*= sup *n = l, n>\\
[0,11 *€[0Л>
2) сходится поточечно к функции f {x) = 0, * £ [0, 11. Равномерной сходимости
нет, поскольку
>1:
dn - sup | /я — /1 = sup | fn | = l, я ;
ЮЛ] [0Л1
3) сходится равномерно на ва к / (х) «= 0, х £ 8а; 4) сходится равномерно на Ва
к / (дс) = 0, х £ Ва; 5) сходится поточечно на Л к f {х) = 0, * £ А. Равномерной
на А схоаимости нет, поскольку
d„= sup /я—1, л>1;
f0,4~oo)
6) сходится равномерно на Вс;
7) сходится поточечно и равномерно на R к f (х) ~ 0, х £ R;
8) сходится поточечно на Л к И*) = 0, х £ А. Равномерной на множестве А
сходимости нет, поскольку
" *пх I ' \
*€[0Л) 1 + Я2*2 \ П /
9) сходится равномерно на ва, гак как
2ял 2л
10) сходится поточечно на R к / {х) ~ 0, х £ R. Равномерной сходимости нет, таи
как
drt ав sup exp (— {x — я)2) «1, n > 1;
R
11) сходится равномерно на множестве Bct так как
d„ = sup exp (— (x — л)2) = exp (— (с — /i)2), a > с;
12) сходится поточечно на [0, II к функции / (0) = —, / {х) я 0, х £ (0, 1J.
Равномерной на [0, 1] сходимости нет, гак как
*€<0Л1 1 + (я* — I)2
13) сходится поточечно на [0, 1] к функции f (х) — 0, х £ [0, 1J. Равномерной на
[0,1] сходимости нет, так как
х1 \ п J
dn=* sup —й , , гга" ^ ' / 1 ч9 ; i ПГ ~ 1» л^1'»
* х€[Й1 х2 + (шс-1)а 1Я+Я1.1а
14) сходится поточечно на [0, +оо) к функции / (дс) = 1, дс £ [0, 1); / ( 1) = 0, / (х) =»
= —1, х > I. Равномерной на [0, +оо) сходимости нет, так как
2хп
d^ = sup \fn (*) — f(*)|> sup = 1, п>1;
«5*0 *€[0Л) l + Xn
15) не сходится равномерно на В\
338

16) сходится поточечно на [0, 1] к функции / (х) = 0, х £ [0, 1]. Сходится
равномерно на [0, 1) к /, так как
/ п \ I п Y •
dn = sup }n = max /л «■ }п = ■—*• О, п ->- о©;
* [олГ гол] л ^W-f-i/ V«_(-i/ «ч-l
17) сходится поточечно на (О, 1J к функции / {х) = х% х £ [0, 1) и / (1) =* 0.
Равномерной на [О, 1J сходимости нет, так как
4„ = sup|/„ — /|= sup дгп=1, n>l;
(0,Ц *€Г0,1)
18) сходится поточечно на [0, 11 к функции / (х) « х2, к £ 10, 1|. Сходится равно
мерно на [0, 1] к /, так как
I/ I \a I I I 2* I 1 2
d„= sup x — х2 = sup — <—Г" + ~ л>^
19) сходится поточечно на R к функции / (х) в О,
*£R\ 1-^- +пя | n£z\ и /fiL+ /гя)== 1, n£Z.
Равномерной на flf сходимости нет. Сходится равномерно на £2 к f;
20) сходится поточечно на (0, 1] к функции / (х) «■ 1, х £ [0, 1) и / (1) = —.
Равномерной на (0, 1] сходимости нет. Сходится равномерно на [0, -^-) к f;
21) сходится поточечно на [0, 1] к / (х) = 0, х £ [0, 1). Равномерной на [0, 1]
сходимости к / нет, так как
/ « Y ' !
dn = sup {пхп(\ — х)) = п\ —- ГТ-* — • я-* со;
22) сходится поточечно на (0, 1] к / (х) в 0, * £ [0, 1]. Сходится равномерно на
[О, 1] к /, поскольку
dn= sup {пНп (1 - *)*) = м3 (—^—У* ( 1 У -* 0, я-^оо;
23) сходится поточечно на [0, 1] к / (х) ~ х, х £ [О, 1J. Сходится к / равномерно
на [0, 1], так как
х 1
dn = sup |/я_/|=- sup — <— , л>1;
ГО.П х€(0,1| 1 +ЯХ я
24) сходится поточечно на [О, II к / (х) =» 0, к £ [О, 1J. Сходится к / равномерно
на [О, Ц, поскольку
пН 1
dn= sup —-—— <—, л>1;
*€[o,i) 1 + п4х п
25) сходится поючечно на А к / (х) = 0, х £ /4. Сходится к / равномерно на
[а, +оо), так как
26) сходится поточечно на 0, -у к / (х) = 0, х £ 0, -^- L Равномерной на 0, -^
сходимости нет;
.27) сходится поточечно на R к / (х) =* 0, х £ R. Сходится равномерно на 0, j
к /.
339

VI11.1.3. Последовательность сходится поточечно на R в f {x) e 0, х £ R]
§та сходимость равномерна на R, поскольку
dn = sup I fn | = sup
R x€R
arctg
2xnl
~2
< arctg ■
1
n>l.
VI11.1.4. Последовательность сходится поточечно на R к / (*) = *2» * 6 Н»
Эта сходимость равномерна на [—а, а], так как
dn=* sup (*2 — /tin И -J-—jj=aa — п\п(\ —), л>1.
Сходимость к / не является равномерной на R, поскольку
d„ = sup|/a—/| = +оо, я>1.
R
VIII. 1.5. Предел / (х) =— , *>0. Сходимость к / не является равномерно!
х
на (0, +оо).
VIII.1.6. Предел / (х) = 1, * £ [—1, И; / W e I * |. I * I > Ь Сводимость
я / равномерна на R, так как
d^ — sup | /п — / К sup | /л — /1 + sup |/„-fl= max (/l +x2n-\) +
R [0.1] П.+оо) х€[0Д]
4- sup {V\ + x2n - *) < 1^2 — 1 + sup (и2л-1 + а2"-2* + • • • + я2*-1)""1 < '
< "К 2— 1 Н—-— , и- У 1 +дг2а>1, п>1.
2д
VII 1.1.7. Предел равен f (х) =» 2, * g [—2, 2], М*) =■ I * U I * I > 2. Д***
см. решение предыдущей задачи.
VIII. 1.8. Поточечно сходится к /(*)=» cos я, * £ R* Сходимость равномерна
на R, поскольку
dn = sup I n I sin дс cos
x€R
/ 1 1 . \ I
я sinxcos h sin — cosx — sinx] — cos x ^
\ n n /I
nil —cos—) + (1 — я sin —J, я> 1.
VI 11.1.9. Поточечный на Л предел есть f (x) = ах, *;> 0. Сходимость к /ва
[О, 1] равномерна, так как
d* = sup|/„-/|-|Ml)W(l)|, n>\.
На множестве [0, +оо) сходимость равномерна при а = 1 и не является
равномерной при а Ф 1.
х2
VIII. 1.10. Предел есть / (х) = -j-*9 дс ^ R. Сходимость к / равномерна на
[О, а\ и не является равномерной на R.
VIII.1.11. Пусть
tn(x)^a0(n)xm + a1(n)xm'l+ ... + am (/t), *£№,*], «Ж
Доказать, что для каждого k £ {О, 1, ..., т] последовательность {ац (п) : п > 1}
сходится к некоторому числу.
340

VIII. 1.14. Не обязательно. Пример ti A = [0, -f- со), fa (x) = #Л (*) = х +
И , * > 0, л > 1; / (*) = g (х) = л:, л: > 0. П р и м е р 2s Л = (0, 1 ], /я (х) —
1 1 1
= 8п (*) = 1 , * £ Л, /г > 1; /(*) = £(*) = — , х € Л.
л: м л:
V 111.1.17. Использовать неравенство
где {*', *"} gR, /г> 1.
VIII
§ 2
.2.1. 1) Л = (-2 + -1, e-2j 2) Л = (— 1, 1]; 3) Л = [— 1, 1J;
4)Л = 1*\{0}; 5)Л = [0, +оо); 6) Л = (—3, - 1) U (1, 3);
п*-(-±.±). »м = (^1±1.^1),
ЯЛ-(-^-' .-=i±i^.), ,0,Л-(-,,-4-); UM-I0.1*
12), 13) Л-Р\ {-^- + /ш | /i^zl
14) Л - JU0([ - 1/V2" + 4й) л • ~ ^^) U (V2™* ]/"(2/г + 4") Л1 U
U (- ]/"(2л + 4) Л ' ~ ^(2л+1)я|и[)^2п+1)л . l/"(2fl + 4) Л)) :
15M = R; 16M = R; 17) Л = Я\ 1—1, 1]; 18) Л = (— 1, 1);
19)Л = (-1, 1); 20)Л = Я; 21) Л-(—во, Jj\jLLt+oo\
х I
22) А » R \ {— 1, И; 23) сходится при | х |< 1 и к при \х | > 1;
1 — у 1 — х
24) Л = R; 25) Л «. (1, + оо); 26) Л = /о, 4) 27) Л == R Ч {— U;
28) ^ = R; 29) Л = R.
VIII.2.4. Пример: ап (х) •■
1
2п-
, д>1, *£Л = [0, 1], и /(0) = 0, f (х)
■• — , *£ (О, 1J. В этом случае
sup
*€{0,Ц
= sup = + сю, п > 1.
*€(0.11 *2"
Условие: ограниченность на Л функции — .
VI 11.2.7. Использовать критерий Коши равномерной сходимости и
неравенство Коши.
VI1I.2.8. 1) Л = (— со, 0) U(l. + °о): 2) Л= (J ( ~ + лл, JL + nn) .
n€Z\ 4 4 /
341

VI11.2.9. 1) Сходится равномерно на I—с, с]9 поскольку
= 0, п > с.
sup
*€[—ее]
2 а*<*)
Не сходится равномерно на R, поскольку
sup | ап | =
R
2) сходится равномерно на I—с, с], так как
sup \ап | = 1, л>1;
R
1 fe=n-H fr=n-H
Сходится равномерно на R, поскольку
sup
1
fe2
Л>£.
Vn>l V*€R : КИК — ;
я2
3) сходится равномерно на [0, с\, 0 < с < 1, и не сходи гея равномерно на [0, 1);
4) не сходится равномерно на [0, 1]; 5) Сумма ряда равна 1 — х для xg [0, 1].
Сходимость равномерна на [0, 1], поскольку
In |
V (1— xfx" — (I— х) = sup |(i— х)хп+] I =
6) не сходится равномерно на (1, +со) и сходится равномерно на 12, +оо).
VIII.2.10. 1) А = (—со, 1], в = (—оо, 1). Сходимость на D равномерна,
-I 1 q—fe(l—ЛГ) 1
поскольку
sup
'€[1,2]
< sup
*€[1
,2] \ п + 1 / я
+ 1
<
■♦ я>1;
„ Г ! 1 \ , / 1 1 \ ^ [ 1 И
Л = — —I » ^ — I— » "Т"1 • Сходимость равномерна на — , — ,
2)
скольку
по-
*€
sup
[К]
£ ^2*(3*-1)А
=*-Н
< sup
#4|
|fo —2|"+'
1+1
i +
, «> 1;
3) А » |—1,2), в ™ (—1,2). Сходимость равномерна на 10, 1], поскольку
с» I оо
£ ^(2-fe(l^ + 3^-2>)U £ -jj-(2-* + 3T*)f n>U
sup
г€Г0Л1
<?=u-f 1
4) сходимость равномерна на I—2, —1], поскольку
sup
^€Г—2.—1J
ОО , I ОО
= (_00,__L|, ^(-oo.-J-)
, п^ 1.
342

VIlt.2.11. 1) Использовать признак Вейерштрасса равномерной сходимости;
2) использовать неравенство | sin.u | < | и |, и £ R; 3) использовать неравенство
In (1 + ") < «» " > 0; 7) заметить, что для п > 1
sup (n2x*e~n*{xl) = sup (^-Iwl) = _^ .
r€R я2 «€R Я2е2
8) воспользовать тем, что
^"я I * I 1 ^« 1 ' *
sup . , ' , = —у- sup -г-: = =— , я > 1;
пь 2я6
9) воспользоваться тем, что для п > 2
SUp (*l(l _*■)»-»)= Sup (иО-и)""1)- L—f-iZl]'1" ;
jc€f-i,i] «€[0,1] я —2 \ я — 2 /
10) заметить, что для
I * ^ I ^ 21 * I 2 V« *
SUp arctg 5— 3- ^ SUp a i ч = 7"~ SUP "T^ = Г" I
Л Я
12) использовать соотношение
4 у-
I * I I cos пх I 1 у и
sup — ' < — sup —. г =
*€R /(яа + 1)(яМ 4- 1) V«(n2 + l) ц>о Vl + w
, я>1;
К ^я (л2 -f- I)
17) заметить, что
sup (в-"я|дс| sin (ха )/"*)) < sup (е-"1*!*2 /Я") = —{— sup (<rV) = —V-, я > 1.
*€R *€R i u**° ~
n e2n2
VI 11.2.12. Использовать критерий Коши равномерной сходимости.
VI 11.2.13. Для каждого х ^ 0 и каждого я ;> 1 имеем
[ \ Я / Я
п i i*—nl< -j-
sup
X :
Поэтому
* : |Х—п|^ у.
sup v ' ,-*<*-*>*<sup(_i + у 4_г^<
оо /г
я + 1 Lj k -^
fe=AZ-fl
VI11.2.14. Воспользоваться признаком Дирихле равномерной сходимости ряда.
VIц.2.15 Использовать тождество Абеля и критерий Коши равномерной
сходимости.
343

VI 11.2.16. Воспользоваться признаком Дирихле равномерной сходимости,
В 3) заметить, что
, а а
п х = п 1 п ,
1.
VII 1.2.17. Воспользоваться тождеством Абеля и критерием Коши
равномерной сходимости.
VII 1.2.18. См., например, кн.: Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального
а интегрального исчисления: В 3-х т.— М. : Физматгиз, 1959.— Т* 2, С. 434, 435.
VIII.2.19. Действительно, для я>1
sup
х£А
£ \прк{х) — \пр(х)
*=1
< sup
х$А
| 1П [ /7—' (ЛГ) П Pk(x)
VIII.2.20. Действительно, для я > 1
<;— sup
/7 (Ж) ~ П /?* (*)
sup
^ ес sup
£ afc(x) — a(*)
где
с = sup
я>1
§з
VI 11.3.1. Использовать критерий Коши равномерной сходимости и критерий
Коши сходимости числового ряда.
VII 1.3.2. А = (0, +о°)* Сходимость не является равномерной на множестве
А, см. предыдущую задачу.
VII 1.3.3. Пример: х g R, а, (х) : =* Х[и+00) (х),
м*):г= Т"Х["'
'[*.+«>)
(*)-■
•V-i,+«»W» п>2-
Тогда
в, гаким образом,
причем, сходимость равномерна на R.
VI 11.3.4. Ряд сходится на R, поэтому
N —2~*s*n (n'2)C) — *a (*)» а(*): = Z. —т sin (rt2*)<
tt=l 1=1
при этом функция а есть сумма равномерно сходящегося на R в силу признака
Вейерштрасса ряда из непрерывных на R функций.
VIII.3.5. Сумма ряда непрерывна на [0, +со), равномерная сходимость
устанавливается с помощью признака Вейерштрасса.
VIII.3.6. Ряд сходится на R и его сумма непрерывна на R. Для доказательства
непрерывности в ючке ж0 € R доказать равномерную на отрезке [— | а:0 I — 1> I xo I +
+ П сходимость ряда с помощью признака Вейерштрасса*
344

VI11.3.10. A = (—1, 1), сумма ряда непрерывна на Л.
VI11.3.11. Ряд
оо
2«„Л *€[0, 1],
rt=0
сходится равномерно на 10, 1] в силу признака Абеля равномерной сходимости.
Поэтому согласно теореме о непрерывности суммы ряда на [0, 1]
lim £ anxn - £ ап . \п = £ ап.
*-*t— n=Q п=0 м=0
VII 1.3.13. Ряд из условия 8адачи сходится при х £ [0, 1). Используя свойства
сходящихся рядов, имеем для я £ [0, 1)
(1-х)* £ /гх"= J ях"-2 £ /г*"*1-!- £ л*"*2-
tt=l П=1 П=1 A2=l
OO
= * + 2x2 — 2*2 + 2 (n — 2 (n — 1) + n — 2) xn = *.
Поэтому искомый предел равен 1.
VI11.3.14. Ряд в условии задачи сходится для х £ [0, 1), для этих х имеем
оо т-\-\ I оо \
(1 _*)<"+> ^ „V= ^ Cm+I(-D* 2 п"У+*U
м==1 fe=0 \ n=l /
m / m—fe-И \ *H-1 °°
= E Cm+l(-0* 2 «V+* + 2 Си (~ »)* 2 (Л-*)"1*"-
m / m—fe+1 * \ оо /Ап+1 \
- 2 cUi (- »>* 2 nV+* + 2(2 c-+i <- •>* <n - *>m К -
/г=0\ n=i / /r=m+2\fe=0 /
m f m—k-\-\ \
= 2 Cm+|(-D* 2 ^+*.
£=0 \ гг=1 /
поскольку
m+1
2 ^+1(-l)*(Ai-*)m = 0, n>m + 2,
fe=0
см. задачу IV.6.26. Таким образом, искомый предел равен
га m-f-fc-f-l т-\-\ т—rc-f-1
2ст+1(-о* 2 «т= 2 2 c^i(-»)*«".
fe=0 n=l гг=1 fc=0
VIII.3.15. Л = (—3, -1) U (1,3).
VI11.3.18. 1) А = (—оо, 0). Поскольку р (х) > 0, х £ Л, то достаточно
доказать, что In p £ С (А). Непрерывность суммы ряда на А
£ in(i+^)
следует из его равномерной на любом отрезке вида (—оо, —а], а > 0, сходимости,
поскольку
1п(1 + /г*)<ея*<е--ап, х£(— оо, — а], n^U
2) Л = (-1,1); 3) Л = (— 1, +оо); 4) А = R \ [- 1, 1].
345

VI11.3.19. Докажем, что
сю оо
lim Vln(l+a„*r') = У Ind+flJ.
Действительно, поскольку
ln(l + a/)<a/, *€[0, 1], a>l,
я ряд
сходится равномерно на [0, 1], то искомый ряд сходится равномерно на [0, 1|.
Следовательно, его сумма есть непрерывная на [0, 1] функция. Искомый предел равен
оо
П (1 + <д.
VII 1.3.20. Ряды имеют непрерывные на отрезке la, Ь] члены, сходятся
равномерно на [д, b] в силу признака Вейерштрасса равномерной сходимости, поэтому
применима теорема о почленном интегрировании функционального ряда.
.,$\и,«.-Х;(.->4)' *{«««.- 1^К£-4-2>
1
J 2 А |Лг(2+^л>8
пв1 КЛ«(2+Ка2)3
VI 11.3.21. Применить теорему о почленном дифференцировании ряда. Для
доказательства равномерной на R сходимости ряда из производных заметить, что
21^1 .<*]*«<' |х|>1.
(Л2_|_^2)2 ^ 4/l2JC2 ^ 2«2
VIIКЗ.22. Применить с помощью признака Дирихле георему о почленном
дифференцировании.
VII 1.3.23. Применить теоремы о почленном дифференцировании и предельном
переходе. Для доказательства равномерной сходимости использовать признак
Дирихле или оценку остатка ряда Лейбница
ПО) = In 2, f (1)=1 — In 2, lim / (дс) = 0.
г-*-}-00
VI 11.3.24. Проверить, что теоремы о почленном дифференцировании и
непрерывности суммы применимы к любому конечному отрезку.
VI 11.3.27. Применить теорему о почленном дифференцировании
функционального ряда
1)Д = (~1, 1); 2)4 = R; 3) А = (-оо, - 1) JJ (1, +сю);
4) Д = (—со, 0) U (2, + со); 5)4 = R\{0}; 6) А = (-со, - 2) (J (2, + оо);
7) А = (-1,1); 8) 4 = R\ {-1, 1}; 9) А = (— со, 0) \ {- 1};
10) А = (—со, - 1); 11) A = R.
VI 11.3.28. Непрерывность / следует из теоремы о непрерывности суммы
функционального ряда. Для доказательства существования производных в точке х > 0
применить теорему о почленном дифференцировании функционального ряда к отрез-
346

ку Га, +оо) с числом п £ (0, х). При ж > О имеем для любого /V > 1
Поскольку
-<до>-
Л/
S
а=0
-/(*)) = -
1 - Г-ПА
X (1 + Л2)
то для некоторого 6 > 0
х: -
-/(0) .
-0 ^
2j *(1 4-я2) ^
п=0
/1=0
Л'
я=0
/г
1 + п* '
-1т
лс-^0+,
0<х<
Отсюда легко получить противоречие с существованием /' (0).
VI 11.3.29. А = (—3, —1) U 0, 3).
VI 11.3.32. 1) i4 — (—1, 1). Для доказательства существования р' доказать
существование s'f где s — сумма ряда
оо
'7=1
а затем использовать формулу р (х) — es(*\ х£ Л;
2) Л = (—оо, 0); 3) А = (—1, I); 4) Л = (-оо, —1) U (1, 4-оо). 5) А = R.
VI 11.3.34. 1) Использовать представление
-= 2 (-\fun, «6(—1. О.
а также теорему о непрерывности суммы ряда и логарифмической функции; 2)#
3) аналогично.
§4
VIII.4.2. 1) —3) 0; 4), 5) со; 6) 2; 7) — 10) 1; 11) — ; 12) е\ 13) —;
14) -\— ; 15) 1; 16) 1; 17) 1; 18) 4" . 19) оо; 20) — ; 21) — ; 22) 1.
у 2 * е *
4.3. 1) [1-/2, 1 + }П]; 2)Ы j , 2 4- ^Л : 3) (-2, 0);
(-со, _ctg 1) U (ctg 1, +оо); 5) (- 1, - -1) ; 6) (- -1- . -1j ;
VIII
4)
*€Z\ 4 4 /
VIIL4.4. 1) —г; 2) 2г; 3) 0; 4) 4-сю; 5) г2.
VIM.4.б. Ряд сходится для каждого х, | х | < г. Допустим, что г = гх < г2,
и пусть г% < * < га. Ряд
оо
/г=0
347

расходится* поскольку из его сходимости и сходимости ряда
следовала бв сходимость ряда
£ *п*\
что невозможно.
Если rt = г2, то можно утверждать лишь, что г > rf.
Пример: а„ = 1, ftn = — 1, п > 0.
VIЦ.4.6. Действительно,
Tirn /| апЬп | = lim sup ft/1 а* | /Г5Г1) < Иш (sup уТаП • sup /ГМ).
п-юо tt-юо £^л п-*оо Дг^п /г^я
Неравенство может быть строгим. Пример:
а2п ™ °> а2п+1 = !; *2л = J • ЬЪп+\ = °» я > °-
VIII.4.7. I) 1; 2) а; 3) 1; 4) 4-со; 5) 0.
VIH.4.8. I) А = [— 1, I), в = (— 1, 1). На С сходится равномерно;
2) А = —, —I , В = [— , —1 . На С сходится равномерно;
[6 2 / \ 6 2/
3) Л = [1, Н-оо), б=(1, +оо). На С сходится равномерно;
4) /4 = 1—со, , В = (— со, 1 . На С не сходится равномерно,
поскольку при каждом п ^ 1
-, Е -i-тЧ-ь Z 4-(-^Г>
fc=rt-fl
VIH.4.9. 1) ' : 2)4-: 3) '
' ^ 2 cos —
I ^
а£{я + 2яя | n^Z}; +co, если а^{я-|-2яп | rc£Z}.
oo
VIII.4.10. 1) /<m> (x) = V « (/t - 1) ... (л — m + О «v"""";
0 n=0
—* W)
348

а=0
f) -i. (/ (_ х) + f (x)) = 2 «г**2*:
где
При доказательстве использовать неравенства
+00
К >;-т^т<1+ f ^г = 1 + тсЧ-. *>1.
а также аналогичные оценки для остатка ряда;
оо
0) /* (X) = Yi ^ап + а1ап-\ + аЪап-7 + * # ' + аЛ) *"•
п=0
VIII.4.11. Многочлены. Воспользоваться критерием Коши равномерной сяо-
д и мости, а также тем, что ограниченный на R многочлен есть постоянная функция.
VIII.4.12. 1) г = +оо. Поскольку
(иочленное дифференцирование), то
вледрвательно,
3CCR V*£R : -~xf f x) — С <s> f(x) = Ce*.
Однако / (0) =» 1, поэтому С =» 1. Таким образом,
^=2тг> ***
м=0
ff) ге+м и g (*)==-l (5* + <?-*), *£R;
VIH.4.13. I) e; 2) fi2; 3) e-!j 4) .6e; 5)-L(e+?-\
VIII.4.14. Сходится на R; a(x) =* 1 — *-'*', к £ R.
349

VIII.4.15. г = +оо. I) Проверяется почленным дифференцированием;
2) следствие соотношения I), записанного в виде
(е 2 f (х)У = е
X*
—
VI 11.4.17. Q помощью почленного интегрирования имеем
п\
VI 11.4.19. Имеем
откуда
О n=0
\ai(x)\^Lx, jc£[0, 1],
0
Аналогично для любого п > l имеем
|a„(*)|<L-^-, *6[0. U.
VI11.4.20. Для любого N имеем
N Л/
V а,/1 = lim V апхп < lim а (х).
VI11.4.21. Достаточно доказать, что
•(--i)-i^
Действительно,
+
+
1=0 I |n=l
«f sup \nan\ V —[1 J <
m
I 1
sup | «a„ |.
m
VI11.4.22. Рассмотреть ряд-произведение по Коши абсолютно сходящихся
рядов для / (е'е) и § (е~~*е). Затем, используя равномерную по 8 £ [0, ЗД
сходимость ряда-произведения, проинтегрировать почленно и применить тождество
2л
— [
2я J
Jmda—ind
>-™de = 6mn.
350

5 5
VI 11.5.!. Использовать свойства сходящихся рядов, а также то, что
ряд есть ряд Тейлора своей суммы.
<х>
1), 2) f{x) ±8 (х) = £ [ап ± Ьп) Xя, х£ (— г, г);
'7=0
3) (1 + х) f (х) - ^ (fl" + an-i) *"• * € (~ r' r)' a-i : = 0;
оо
4) / (х*) - }] я,,*2", х € <- К', К?);
оо
ft) г w = 2 («+1) ап+1л * е <- '. г);
гс=о
6) J / (и) <t« - J ~1Г- *"• *€ (-'.');
.1 '7=1
ОО
7) ftui- £*„+!*", *€ (— r> ГУ*
8)fl^-rf^2-^^, ,€<_r,,>;
в) -к- if (x) + I (- x)) - 2 a2*x2*, x e (- r, r);
fr=0
10) -i. (/ (x) - f (- x» - I л^,*2**1- *€(-', г).
Если / четна на (—rt г), то, согласно 9),
f (х) =» — (/ (х) + / (— х)) = £ аы**к> К Ь (— г. ')>
*=П
to есть ряд Тейлора содержит только четные степени х. Следовательно,
/<2*+1 (0)
Ряд нечетной функции / содержит только нечетные степени х.
VIIIЛ A nsh^l;^^^', <6R;
3) sin ,-_ J «- I)' -^y- . c6R;
4) s,n x - 1 15F+lji 3 r • ^R-

Воспользоваться тождеством sfn8 a = —- (3 sin а — sin За), а £ Rj
4
5) In (1 + х*) = Yi -1—J *2"» *€(-!. 1].
Л, 1 . l+x v^ *2"+' r, ...
n—0
oo
7) in(i + * + *a) = J]^. *€(-M);
— , *£ {3fc | /?£N};
, n£{3fc | fr£N}, n>l;
8) (\+х + х* + х*Г1= ,_* д £ (*4n - *4"+1)» — K*<Il
9) (1 - 5* + б*2)"1 = 2 + -y^gj- = 2 (3tt+1 - 2"+1) Л
х€(-г-т):
• ею
rt=0 '
VI11.5.3. 1) Рассмотреть функцию
sin2 x 1 — cos 2x
I, * = 0.
Заметим, что / есть сумма на R степенного ряда
f /,, _ V (~ 1} 2 .г2"-2 *е R
Поэтому / 6 С°° (R) и
(2я)!
Mm /<я) (ж) = ?П) (0), «>1.
Следовательно,
0, я—2Л+1. *><)•
!п / sin2* \ _ I
Hm iLf sin'2" U{ f-n*22*
352

VIII.5.4. I) /(*) = — (— sfn 2* + sin 4x) =*
= V (— 1)" . 42"+1-22"+1 2„+1
/t=0
5 3
2) / (x) = sin4 x — sin2 x cos2 x + cos4 a; « 1 cos 4xb x£R\
8 8
4>'M-£ (4»+l)»l> *6R;
• II 1 X—1
б) f (x) » --— h-r—Г":—r • См. также следующую задачу:
2 1 — х 2 1 + х2
6)
п=1 * '
VIII.
5.5. 1) /(*)-£ ^<м*". *€(-!. 1).
i=i
1
С£- =—Га(а—I) ... (а — л+1), п > 1, a£Rj
«1
2) /(х) - J /' (и) <Ы = J] ^гу С^ ^+', *€ (- 1, 1);
О п=0 9
о о \о / т=]
О '2=1
5) / (х) -=(! + *) J - (х + х*) £ *4" = £ (*4n+I - *4п+2), «€(-1,0?
6) проверить, что ? (х) = ж/ (ж) -f- 1, х £ R, откуда следует, что при я ;> 2
/(п,(0) = (л-1)/(п-2,(0).
Таким образом,
/2* (0) = 0, /«*+» (0) * 2 . 4 ... (2ft), ft> I,
/W"I (2fc+l)|! ' *6R-
oo
VHI.5.6. I) (x + 1) ex - j] * (Пга"| 2) (^ — 1)", *€R»
n—о
2)• + - J I (- 1)" * J -*=^-] <*- D", *€ (0, 2);
12V2 7-1047 353

3) -i±i-=l+ |](_1У»(х-1У». *e(0, 2)»
.7=0
OO / /I \
№1 \ fe=l /
OO
8)*(In*-I) 1 + 2] (я-Уд <*-')"■ *€<P,2);
/1=2
6) воспользоваться представлением
cosx _ cos 1 - cos (д: — 1) — sin 1 • sin (x — 1)
* ~~ l + (x—1)
7) использовать 2).
(-1)"
хфО;
Vlll.6.7. 1) f J!2idx«|]
л (2л+1) !(2я+1)-
2) f xp(\+xn)mdx= V ?L___.
Глава IX
§ 1
IX. 1.2. Если / монотонно не убывает на fa, ft], то для любого разбиения Х«
— {*о. *i» •••> tn) отрезка fa, b] имеем
Пусть теперь V (/, [a, ft]) = / (b) — / (а) и а < дс4 < х2 < ft. Тогда имеем
f(b)--f(a)^\f(x1)-f(a)\ + \f(x2)-f(x1)\ + \f(b)-f(x2)\^
<V(f, [a, 6])-/(6)-/(a).
Отсюда при х8 = ft для любого *j g [я» ft] следует, что
f(b)-f(a) = \f[x1)-f(a)\ + \f(b) — f(x1)\.
Это равенство возможно тогда и только тогда, когда / (а) < / (*i) < / (ft).
Учитывая это, имеем
f(b)-f{a) = f(x1)-f{a)+-\f(x%)-f{x1)\+f(b) — fixj9
или
M*i)-/(*i) = |/(*t)--/(*i)l>0.
IX.1.3. Пусть A,— {*0, flt ..., tm\ —любое разбиение отрезка la, ft], а Л/ =»
= X у X* =■ {so, Sf, .•., s^}. Проверить, что
£ I/<**+,)-/('*>!< S l/(«*+!) — /(«*)I = S 1М*;+,)-/(ф].
fc=0 fc*0 '<—0
IX. 1.4. 1) 4; 2) 20; 3) -I; 4) 2; 5) 4; 6) 13.
354

+
">-'(т
I X.I.5. 1) Действительно,
Vc>0 ЗА. — JO. — , l| <
2) действительно,
S I / (^fe+i) — ^ (^> I = « — 2 > С
c + |l-c|>c;
li, n>c +
2 I
Отметим, что f g С ([0, 1]);
3) для разбиения
{,
1
1
2n+\ 2n 2n — 1
••-S-M
имеем
W—1 j j
4) для разбиения
.= {0,
4л + 1 ' in — 1 ' 4п — 3 ' 4я — 5
11 Д
5 ' 3 ' J
имеем
fc=0
IX 1.10. Использовать то, что
|а_^| = | |а| — | ^ 11
для чисел ай одного знака, и георему Вейершграсса о промежуточном значении.
Заметим также, что в этом случае
VU, [^ b]) = V(\f\t 1а, Ч).
Пример: /Ч*) = 1. *€Q; / U) - —1, *€ R \ Q.
IX. 1.11. Пусть X — произвольное разбиение отрезка [a, b]t a V —
подразбиение А,, полученное из X добавлением точек, в которых не существует /'. Для V =
e {to, tu ..., tn) имеем
/z-l '*+! ft
|<S f \f'(x)\dx = \\f'(x)\dx.
I '*
Кроме гого, согласно теореме Лагранжа, для разбиения V имеем также
п—1 п—1
п—1 гг—1
S iM*fc+i)-/ttk)i-E
fen=0
fe=0
ffe-H
J '«
djc
*=e
fe=0
Где gfe € [**, tk,{], fe = 0, 1, ..., n — 1. Если max A/fe ->• 0,
0^fe<n—1
1272
355

то
2 lf(WIA<*- \\f'(x)\dx.
k=0
IX. 1.14. 1) Сходится условно; 2) сходится; 3) сходится; 4) сходится; 5)
сходится.
IX. 1.15. Использовать критерий интегрируемости.
IX.1.19. Пример: / (х) = V7t
(О, хвО;
g(x) =
*2sin2_L jcg (0, 1].
X
IX. 1.20. Пусть V (/, [а, +оо)) — с. Тогда
Ve>0 ЗВ>а V Ь'> В \fb,l>b' \
V(f, [*', *])<в,
а потому
\fm-ntn\<v(f9 \b\ ^])<e.
Поэтому предел Iim / (x) существует в силу критерия Коши.
Заметим, что из существования последнего предела не следует, что V (/, [а
+оо)) < +оо. Пример: / (х) = ' S " Х ' ■, х > 1.
IX. 1.21. Проще всего воспользоваться георемой Жордана.
IX. 1.22. Воспользоваться георемой Жордана.
IX.1.24. 1) F(x) = x+ 1, «€[—1,1].
2)
3) F (х) =
4 + sin х, х£
sin х, х £
2 — sin xt x£
sinx, -*€ 0, -^- ;
I Г л Зя "]
F U) = \ 2 — sin х, х € — . — I
Зп 1
-■ Ч;
[т-4
2 + sin х, * € я. — ;
["т-'4"
4) F (х) =
5) ^(х) =
4 — sin х, л; £
(х, х$[0, I);
2+ж, *€[!. 2);
4+.Х, *€ [2, 3);
16, х = 3;
2 + ж — ж2,
*€
-• т)-
2 ^ 2
356

IX.1.25. 1) Поскольку
x
/(x)- 1 + 2 ^udu, *€[—1, 1],
—i
TO
где
-l -l
О, w >0;
. . :0.
2), 3) аналогично.
IX.:
g(x): = \ + 2 С (M),d«, Л (дс): — 2 С(и)_Л*. *€|—1, 11,
(u, и>0; Г 0, и>(
М+-\0.«<0, М--\-11. *«
§2
.2.1. 1) ffdd —— 1, T/dd-1; /IRS (a, [—1, 1]).
2) С /da = О, С /da « а (1) — а (0);
если а(1)>а(0), то /£RS(a, [0, 1]);
3) пусть к в {t0t tlt ..., tn) — разбиение отрезка [0, 1]. Имеем
л—i п—\
L (/, а; X) - J] /Л (4+1 - ф - £ 'А ('*+! + '*> А'* > 2L <*2> *•>.
/М) fc«0
откуда следует, что
о
Аналогично получим
1
Следовательно,
_2
3
f/da>2 f Л&--|^.
~ о
_ 1
С /dd<2f x*dx = ~- .
о
I /da == V /da = ■
и /gRS(a, [0, 1]).
IX.2.5. Согласно условию задачи,
я
С (1 — sin x) da (*) = 0.
о
Поэтому для любых 0 < и < — < a < я имеем равенство
С (1 — sin x) da (x) + f (1 — sin x) da (x) + [ (1 — sin x) da (x) = 0,
О и v
12 +V2 7-Ю47 357

в котором все три интеграла неотрицательны. Следовательно,
и at
\ (1 — sin х) da {x) = О, 1(1 — sin x) da (x) = 0,
а поэтому на основании теоремы о среднем значении
а (и) = а (0), a(v) = а (я)
для любых 0<ы<~<с;<я. Таким образом,
f-МО), *Ло, -1J;
«w =
а (я), ^ g
(-М-
IX.2.6. Для f (х) = 1, х£[0, 2J условие задачи приводит к равенству
а(2)-а(1) = 1.
Пусть теперь / £ С ([0, 2]) функция такая, что
[1, *€[0, и] U [vt 2];
f(*)=J0, х-1;
[линейна на каждом из отрезков [и, 1], [1, и]
для 0<и<1<1><2. Согласно условию задачи,
и v 2
J <fa (*) + J / (*) da (x) + j da (x) = 0,
откуда a (и) = a (0) и a (•) = a (2).
IX.2.8.
«W-
a(0),
a(0)+<
*S
t k k + \\
a(l) = a(0)+ 1.
IX.2.9. Из первого равенства следует, что функция а посюянна на (0, 1)«
Из второго находим
/a(0), лг = 0;
а(*) =
— а(0) + -^а(1), *€(0, 1);
la (1), *= 1.
IX.2.10. Рассмотрим для «£ (0, 1) функцию
fa (a), х£ [0, «);
а (* == 1
причем а (6) — а (а) ^= 0. Тогда
ь
j / (х) da (x) - f (и) (a (« — a (a)) = a (b) — a (a)
a
а, следовательно, / (и) = 1. Аналогично доказывается, что / (0) = / (1) ~ 1.
358

IX.2.13. 1) Для любого е£ ГО, 1)
е
О < f xnda (x) < еп (а (г) — а (0)) -* 0, п -voo.
о
Кроме того,
1 1
С Л*а(*)< С ЛМ<а(1)-а(1-е)
i—L. ]~*
для номеров я, для которых —g- < e и
j ;.<taW>(l-^.),,(.(I,_a(l-Jr)).
Таким образом, для любого 8 > 0
a(l) —a(l — )< lim УЛ < Пт ?п <а (1) — а(1 — е),
где
yw ; = f xndoi (x), л>1;
2) a(0-f) — а(0) + а(1) — а(1—).
IX.2.14. Рассматривая функции из С ([0, 2]) вида
[1, *€[0, I];
/М = 0, *€[0, i]; g(x)= 0, л:€[1 — е, 2];
I линейна на [ 1, 1 + е),
где 8 g (0, 1), доказать сначала, что а (дс) = a (1), * £ [1, 2]. Далее возьмем в условии
вместо f функцию h (х) = 2Гпх% х £ [0,2],
1 1
f T-nxda (x) = 1 + f 2-nJC^, я > 1.
о о
При п -> оо в силу предыдущей задачи получим
a(0+)—a(0) = I.
Пусгь теперь и £ (0, 1) фиксировано и
М*)~ (g-mx-ii) x>Qi n>u
Имеем при п ->■ оо из условия
а (и) — a (0) + а (и +) — а (и) = 1 + a,
или а (и + ) — а (0) = 1 + a.
IX.2.15. Пусть и£ (a, b) фиксировано и
12+72* 359

Тогда
и о
О = J fn (*) dx в а (и) — а (а) + f 2-"(*-">da (*) -* а (и) —а (а) +
а и
+ а {и +) — а (и) = а (и +) — а (а), л -*-оо.
Аналогично доказывается, что a (a) e a (a-f), a (&) = a (6—). Следовательно,
a постоянна на [a, M-
IX.2.16. a постоянна на [a, 6]. Использовать теорему Вейерштрасса о
приближении многочленами, а также утверждения задач IX.2.12 и IX.2.15.
IX.2.17. a(*)=-a(l), х $ (О, 1].
IX.2.18. Достаточно ограничиться случаем неотрицательной функции /. Рас-
смотреть суммы Дарбу — Стилтьеса.
т~*'> *>»■. 3>-2
IX.2.19. 1)-£--1; 2) 1; 3) -L{N-\)N: 4) 2^ <-0* *";
. N 2N—\
*«i
2W
/ 2 \
+ (1 + 2N) 4N* + J (- I)*"1 (2*- 1 + — (2*2- 1)J
§ 3
IX.3.1. Отметим, что {/, gt h) с: С (R \ {0}) и ограничены на R. Поэтому
каждая из функций f, g, h интегрируема по Риману по любому отрезку. Пусть -
X
1
F(x):=* С sin — dut x£R.
о
Тогда для любого х Ф 0 F' [х) = sin —. Кроме того, имеем
Л
J_ (F (х) — F (0)) = -L С sin -^- dw -* 0, *-► 0.
Действительно, например, для * > 0
х х
J sin — du = lim \ sin — d«,
о e
*■-*-
<2и
du = da
u2
J sir
sin a
da
1 kn -*+1)эт
откуда следует неравенство
f • •
)sm—
d«
<4*2.
360

Решение для д аналогично. Для функции h функция
х
Я(х):-| sin2 -i- du, x£ R,
для каждого х Ф О имеет производную //' {х) = h (x) и непрерывна в точке 0. При
этом Н' (0) = —. Если G — примитивная функция h на R, то
G(x) = H(x) + cx> *£(-оо, 0); G (х) =* Н (х) + с» л: € (0, +оо),
с некоторыми числами с\ и с9. Поскольку G £ С (R), то с\ — с« и тогда
О'(0)=Л(0)=0 = #'(0)=^-.
IX.3.2. Поскольку /g С ((0, +со)), то для любого х > 0 определено значение
F(x)
:~)тг
> sin — du,
и
при этом F' (х) = / (ж), * > 0. Кроме того, существует предел
lim F(x).
Для доказательства используем критерий Коши существования предела функции
в точке:
1/4*2)-/4*i)l =
[ ' sin-L
rfu
J sine
do
i- v2
<J -|-_2 (/*-/*)
для 0 < *f < *2. Положим
F(0):
. Hm F(*)
8 проверим, что Z7' (0) =■ 0. Эта проверка аналогична решению предыдущей задачи-
IX.3.3. —XT* Преобразовать к интегральной сумме. Можно также
воспользоваться теоремой Штольца.
IX.3.4. Для каждого х £ [0, 1] имеем
Л >(^
1 fea-0
Следовательно, / (х) =* 1, х б [0, 1].
/(*)■
±1'т-
/ (и) du, n -*- со.
IX.3.5. / (*)
/(0)
2х
(ех — ё~х), хфО.
IX.3.7. Предположить, что / есть отношение многочленов, не имеющих общего
множителя х, и найти /'. Подробное решение см. в кн.: Дороговцев А. Я. Тнтеграл
361

та його застосування. К.: Вища шк., 1974.— С. 110, 111. '
1
IX.3.9. (/(0) + Ml))~l{/(*)d*.
о
IX.3.10. Пусть {./, g] <= D, тогда
1 1
J (М*)-*(*))**-0, J*tf(*)—*(*))<**-<>. (1)
Рассмотрим функцию g0 (х) = и + vx, x £ [0, 1J, которая входит в D, если
1 1
\
(и + vx) dx=*L, \ х (и + ок) dx = /И,
го есть если и — 2 (2L — ЗМ), о = 6 (2УИ — L). Для функции gQ имеем также в
силу (1)
1
о
для любой / £ D. Отсюда
о
1
^f*(x)dx = ^(f(x)-g0(x) + gQ(x))*dx = §(f(x)-g0(x))2dx +
0 0 О
1 1
Таким образом, искомый минимум равен
i
о
и достигается для функции / =» g0.
IX.3.11. За2, / (х) = -i- (х3 — Зх2 + 2*), х £ [О, 1].
IX.3.12. Сначала заметить, что
Ь
[P(x)f (x) dx=*Q
а
для каждого многочлена Р. На основании 1еоремы Вейерштрасса существует
последовательность многочленов [Рп (х), х£ [а, Ь] : п > 1}, равномерно на [а, &]
сходящихся к /. Использовав теорему о предельном переходе под знаком интеграла
Римана, получаем
ь ъ
О — lim f Рп (х) f (x) dx = f /2 (x) dx.
IX.3.13. Применить утверждение предыдущей задачи к функции g (*) =
-/(*) + /(-*>, *€[-1. П.
IX.3.16. Сделать замену jc3 = а и использовать задачу IX.3.12.
IX.3.20. Рассмотреть точку х0, в которой / (дс0) > 0, и окрестность, в которой
/ <*) > — I (*).
362

IX.3.21. Детальное решение этой задачи можно найти в кн.: Дороговцев А. Я.
Тнтеграл та його застосування. К. : Вища шк., 1974.— С. 114, 115.
IX.3.22. См. решение задачи VI.2.25.
IX. 3.23. Следствие неравенства Юнга для / {х) = xP~~lt х > 0.
IX.3.24. е.
IX.3.25. Поскольку при * > 1, и > 0
I In
(х + и) — \пх\ = ИпП +—)
и
< —
X
max
L / ** \ * I 16
ix In [х Н — In х < , п > 1,
,2] I \ n J I n
и можно перейти к пределу под знаком интеграла. Предел равен 2 In 2 — 1.
IX.3.26. Представить стоящую под знаком предела сумму в виде
j('+vb
ватем обосновать предельный переход под знаком интеграла. Предел равен в— 1.
1 1—8
. — х) dx.
IX.3.28. — f /(*)ln(l—*)** : — — Hm [ f (x) In (1 — x) i
J 8->o+ j)
i
IX.3.29. [\nf(x)dx.
о
IX.3.30. Детальное решение задачи см. в статье: Дороговцев А. Я., Кукуш А. Г.
Избранные задачи университетского тура олимпиады «Студент и научно-технический
прогресс» по математике//Математика сегодня,—К., 1983.—С. 126, 127.
IX.3.31. I. Детальное решение этой задачи см. в статье: Дороговцев А. Я.,
Кукуш А. Г. Избранные задачи университетского тура олимпиады «Студент и
научно-технический прогресс» по математике // Математика сегодня.— К., 1983.—
G. 130, 131.
IX.3.34 Воспользоваться тождеством Абеля.
IX.3.35. При любом N > 1 и 8 > 0 имеем
N+\ N N
) 1 + е** <fJ \ + гпа <)
1 «=1 п
dx
б
1+еха f
где
__ я
При а « 2 число с = — »
с ••
А
Hm [
Ли
Л-+00 J 1 + Ua
363

IX.3.38. Воспользоваться неравенством
I N У I U / " N
S fw-\fi*)dx\-\% /w- f 'w^i
n—1
N
n—1
f1(lr<w<te)*fhl"'
(a)|d«<c, W>1.
iX.3.39. Проверить, что
I N Z
£ / (n) - f f (x) dx
~ 1 У
W(ft [o. /v]), #>i.
IX.3.40. Если условие об ограничении выполнено, то ряд сходится абсолютно
в силу признака Коши. Если последовательность |>/*|в>,| :я>1| не является
ограниченной, то можно построить последовательность {Ьп:п^\},
удовлетворяющую условию задачи, для которой ряд расходится.
IX.3.41. (а2 + 2a-f 2) е.
1Х.3.42. Заметить, что
<*п — ап-\ — —
я—1
(a„_i -я„_2):
- (- 1)'
я—1
1
(л-1)!
я>2.
Предел равен в 1.
IX.3.43. 1) (1, 3); 2) R \ 1т — + яя/n | m£N, nezj;
„ / я я \
3) см. 2); 4) (-1, 1); 5) ^ -, — J.
IX.3.44. Воспользоваться неравенством
еи > 1 + и, и > 0.
IX.3.45. Сначала имеем для п > 1 и ж 6 [0, 1]
^ - fn+\ W - (/*" - /я W) (* - 4" (>/Т + '" W)) '
Отсюда по индукции следует, что
я, кроме гого, что последовательность {fn (х) :я^ 1} монотонно возрастает при
каждом х. Таким образом, {/„ : я > 1}, монотонно возрастая, сходится поточечно
к непрерывной функции /. Согласно теореме Дини, эта сходимость равномерна.
IX.3.46. Использовать функцию наклона и ее свойства. Полное решение этой
задачи содержится в кн.: Radulescu S., Radulescu M. Teoreme si probleme de analiza
matematuca.— Bucure^ti, 1982.— 3,— P. 48, 161.
IX.3.47. Функция / монотонно не убывает на [0, I] и, следовательно, /£ R
(№, 1]).
Первое решение. / есть сумма равномерно на [0, 1J сходящегося
ряда
оо
/(*) = £ g/iM.
364

где
[О, *<ад
enW |—, x>xnt *€[0, 1], п>\.
Затем проинтегрировать почленно.
Второе решение. С помощью формулы интегрирования по частям имеем
1 1
[f(x)dx = f(\)-[xdf(x),
где / (1) = 1, и поскольку / есть функция скачков, то с помощью теоремы Хелли
можно показать, что
1
J^w-E-f*
IX.3.48. Для доказательства непрерывности заметить, что ряд, определяющий
/, составлен из непрерывных на R функций и сходится равномерно на R в силу
признака Вейерштрасса. Пусть х = О, х±, х2 ... — двоичное разложение х £ (О, 1)
и
Проверить, что
1
| 2~т, хт = 0;
-2-™, xm=L
{f (х + Д*т) — / (*)) -> + <*>, « -^оо.
IX.3.49. При каждом /i £ N ряд
|]-^-е-п*и-"», «ею, и.
fe=0
сходится равномерно по и на [О, 1J в силу признака Вейерштрасса и имеет сумму
«ад(«)-ехр<-*-**-">}, «g[0, 1].
Согласно теореме о почленном интегрировании,
J -ИЛ*"- J ^^и-") /" («) rftf = J *,.„ (tf) / (If) du.
fe=0 0 0
Теперь заметим, что
, ч /1. "€[0, х);
*'"V \0, и6(дс, 1], я-
и что sxn (м)< 1, я > 1, ы £ [0, 1].
IX.3.50. Из условия задачи следует, что / (1) = 0 (разделить неравенства на
1
Л еРх dx соответственно и найти пределы). Применим теперь соотношение предыду-
365
-оо,

щей задачи к функции h (х) = е^х f (x)t х £ [О, 1], с т £ N. Для * £ [О, I] получим
X
J<^/(«)
du
; lim
п-*оо
k=0
fe!
Г g-/i/i(x-u) emuf {u) du
< Urn V
Ь»0
k\
e-nkxc e c>
следовательно, как и выше, / (дс) = 0.
IX.3.51. Использовать неравенство
N
2 (flW — flm)
+ 2 am+ sup
m=l
2 a«m — 2 a"
, /V>1, /C>1.
+
IX.3.53. M*) = **> *€ (—г. ')•
IX.3.54. Заметить, что
->0, rt->00 =>
An ' ^л—i
->-1, n-*-oo => |Л4^ -* 1, n-*c
IX.3.55. Заметить, что
1— x
l-*4
. *€(—!, 1).
и представить / в виде суммы степенного ряда.
IX.3.56. Имеем s (0) = — и
«W-
Xя1
(-М
*=£0.
IX.3.57. 1) Имеем
sb х — х =
+
+
3! 1 5! г 7!
2), 3) аналогично; 4) имеем для х £ R
Ch*=i + _ + _ +
д:2 / х3 л:5
<~1ГГ~}~ 3! + 5!
...):
-1+-J- +
(4Г
22
4!
+
+
г (2л)!
(4-Г
+
2"
(2я)1
<'+4н-(Ятг+-+(^)"^+-
У -i- (ch 2 (ft + 3) + cos 2a)
IX.3.58.
IX.3.59. 1) В равенстве
-2-й-- г^
/t=0
366

положить г — elx и использовать формулу Эйлера
гп — еСпх = cos пх + t sin пх,
ecos x+l sin x=*eCQSX (cos (sin *) + i sin (sin *)).
Поэтому искомая сумма равна
gcos*cos(sin*), *€R.
2) ecos x sin (sin x), * £ R. 3) ch (sin x) sin (cos *), x £ R.
4) ch (sin *) cos (cos x), к £ R.
IX.3.61. Пусть Q—многочлен, равномерно приближающий finK Рассмотреть
многочлен
fe«*0 a
x£[at b].
Глава XI
§ 1
X.l.l. 1) Да. Для доказательства неравенства треугольника использовать
неравенство
V<T+7 0^0* + УТ, а > О, Ь > 0.
2) да; 3) нет. Не выполняется неравенство треугольника:
jc= 1, у= — 1, г== 0; 4) да; 5) да. Воспользоваться неравенством
О < и < v;
1 4-м ^ 1 +w
6) пусть в R2 ось абсцисс есть Л. Рассмотрим точки 4 = (О, 1), В — (х, 0), С =
= (*/, 0) и заметим, что d (х> у) = 2 sin 6/4C. Использовать также неравенство
sin (а + Р) ^ sin а + sin р, если а, Р, а + Р лежат на [0, я]; 7)—9) да. Для
доказательства неравенства треугольника использовать неравенство Коши
т \2 т т
где аъ о2> •••» «т*» ьи ^2» •••» &т — числа из R. 11) — 14) да; 15) да. Сначала с
помощью неравенства
(а — Ь)* ^ 2 (а* + б2), {а, &} с: R,
проверить, что d определено на 12 X 12. Для доказательства неравенства
треугольника использовать неравенство Коши и предельный переход; 16), 17) да; 18)
функция d есть расстояние, если а& > 0, k > 1; 19) — 25) да; 26) нет; 27) — 33) да;
34) нет; 35), 36) да.
Х.1.7. хп-+х> я-*оо, в (X, d) <* 3N Vn^?N : хп = х.
Х.1.11. Равносильна равномерной на (а, Ь] сходимости.
X. 1.13. 1) Для доказательства необходимости использовать неравенство
£ (4n,)2<2 £ (*sr>-*»)•+2 £ 4<
m во
367

Достаточность следует из неравенства
т оо оо
d* (*(n\ х) < £ (4П) - **)2 + 2 S (*("))2 +2 S 4:
Л*=1 teern+1 fe»-m+l
2) аналогично.
X. 1.14. В случае метрики d из 24) сходимость равносильна равномерной
сходимости иа R. Для метрики d из 25) сходимость равносильна равномерной
сходимости на отрезке [—А, А] для каждого Л > 0. Равномерной на оси сходимости
может не быть. Пример: х (t) = 0, t£ R;
10, t < л;
/ — л, л<*<л+1, л>1;
1, />я+1.
Х.1.15. Равносильна в обоих случаях равномерной на [а, Ь\ сходимости
последовательности функций и последовательности их производных, что равносильно
сходимости последовательности функций в одной точке, например в точке а, и
равномерной на [а, Ь] сходимости последовательности производных.
л. 1.17. 1) Следует из неравенства треугольника; 2) достаточно доказать, что
Vx$X Vy£X : \р(х, Л)-р((/, Л)|<р(*. у).
Для любого е > 0 существует г £ А такой, что
Р(У. Л)<Р(У> *)<Р(</. А) + *>
поэтому
р (х, Л) — р (у, Л) < р (х, г) — р (у, г) + в < р (*, у) + е,
и, следовательно, р (*, А) — р (у, А) ^ р (х, у). Вследсгвие симметрии получаем
требуемое неравенство.
X. 1.19. Множество А предельных точек не имеет.
X. 1.20. Множество {п £ N | хп Ф х) бесконечно.
X.1.2L 1)Л' = [0, 1], Ло = (0, I); 2) А' = R, Л° = 0,
Я-[О, П1М2}; Л-R.
3) А' _ {0} U {2~п |_n£N}U{3-" | n£N}, Л°» 0, Я = Л U Л';
4)i4'-R, Л° = 0, Л-R; 5)Л' = [-1, 1], Л°« 0, Л = [-1, 1]5
6) А' « Л, Л° = 0, Л = Л; 7) Л' = R2, Л° = 0, Л = Ra;
8) Л' — {(*jt х2) | *!>(), х2>0, xxx2=l}, Л° = 0, 3 = Л';
9) Л' - {(*lf *a) | «? + д|<1}, Л° = Л, Л = Л';
10)Л' = {* | V/£[a, Ч : x(t)>t)> A* = A% 7[=*A'i
11) Л'«С ([а, 6]), Л° = 0, ~А = А'\
12) Л' = |л; | [x(t)dt>0\t A° = A, А = А'.
Х.1.22. Пример: пространство задачи X. 1.1,35), х — любой элемент К
иг= 1, С(«, 1)= {a:}, ff(*f 1)=Х.
Х.1.25. Проверить, что каждая ючка множества Л \ {хг хп\ внутренняя.
Пример: X = R, р (*, у) = | х — у |, Л = R, {хп : л > 1} = Q.
Х.1.29. Предположим, что р (х, А) = 0. Тогда
V«>1 ЗуябЛ : р(х, уп)< — .
п
При этом уп -+ х, п -*■ оо и, в силу замкнутости Л, х £ Л, что невозможно.
868

Х.1.34. Необходимость очевидна. Счетным всюду плотным множеством будет
у С„, где Сп — не более чем счетная — -сеть для X.
п>\ п
о
24) несепарабельно. Пусть
*(0 =
Х.1.35. Доказать, что для каждого е > 0 в Y существует счетная е-сеть. Рас-
е / е \ е
смотреть счетную -я- -сеть для X и в каждом шаре в (*, -=-1, для которого х из -к- •
сети и в (*, -я-1 П V ¥= 0, взять по точке г £ У. Набор выбранных точек есть
счетная е-сеть для Y.
Х.1.36. 1), 2), 4)—6) Сепарабельны, Q — счетное всюду плотное множество для
каждого из них; 10)—14) сепарабельны, счетное всюду плотное множество Qm; 15)—
18) с а* > 0, fc> 1. Сепарабельны. Счетное всюду плотное множество
{('г» • • • . rm) I rt€Q> 1<*'<т; m£N);
19)—23) сепарабельны. Счетное всюду плотное множество
К4
[»• т] ■
о. 1£«ч[-4-.4-].
И
оо
л«0
для каждой последовательности a == (аг, а2, ..., ), в которой каждое а{ = 0 или
ctf — 1, Получим континуум функций {/а}, причем для различных
последовательностей а' и a" d (fa,t fa„) s — ; 25) сепарабельно; 27) —29) сепарабельны, см. задачу
1Х.3.61; 30) сепарабельно; 31) несепарабельно. Рассмотреть семейство функций
, ,л (0. '€[«. a)i
абельно, если
функций
(1, t «в а;
/(/) = {
а 10, ^R\{a}, a£R.
Х.1.42. Согласно критерию Коши сходимости последовательности чисел,
пространство (R, р) полно. 1) Последовательность |— : п > 21 с (0, 1) фундаменталь-
1
на, причем -~- ->■ 0, я -*» оо, в (R, р). Поэюму эта последовательность не может иметь
предел в (0, 1) (в силу единственности предела в (R, р)). Аналогично
фундаментальная последовательность jl — : п > 2\ не имеет предела в ((0, 1), р); 2)
доказательство аналогично, рассмотреть число >^2 £ R \ О и последовательность чисел
ив Q, сходящуюся в (R, р) к УХ
369
я£ [a, b]\
35) сепарабельно, если X счетно; 36) несепарабельно. Рассмотреть семейство

X.1.44. 1) Полно. Проверить, что фундаментальность в (R, d) влечет
фундаментальность в (R, р), р (#, у) — \ х —- у | , {х, у) с: R и воспользоваться критерием
Коши сходимости числовой последовательности; 2) не является полным.
Последовательность {п : я> 1} фундаментальна, однако, для любого х £ R
ч
d (х, п) = | arctg х — arctg п \ -*• -~ arcto х Ф 0, п -► оо;
4)—6) полно. Решение аналогично решению 1); 7)—14) полно. Проверить, что
фундаментальность в (X, d) влечет покоординатную фундаментальность и
воспользоваться полнотой (R, р); 15) полно. Пусть {х{п) = (х{п)> ..., xf\ ...) : я > 1} —
фундаментальная в (1а, d) последовательность. Тогда при каждом fc> 1 {х%] : п >
^ 1}—фундаментальна в (R, р) и, следовательно х^ -*■ xk> л->оо, x*€R.
Кроме того, для любого N ^ \ в силу фундаментальности имеем
Ve>0 3tf0 Vn>N0 Vm>N0 :
2 (4П)-*Г)2< £ (4n,-4m))2<8a.
Поэтому при фиксированном т^ NQ
S (**-4m))2<*a
и, следовательно,
f (**-4m))*<e*.
Таким образом, элемент х = (*i, ..., *&, ...) £ 12 и является пределом
последовательности {х(Л) : я ^s 1}; 16) не является полным. Рассмотреть последовательность
*<"> = (1п~22, 1п"~23 In-2 (л + 1), 0, 0, . . .), я> 1;
17) не является полным. Рассмотреть последовательность из 16); 18) а* > 0, k ^ 1.
Полно, если inf а^ > 0. Не является полным, если inf а^ = 0;
19) полно в силу критерия Коши равномерной сходимости; 20) не является полным.
Пусть с-у(а4-&)и
0, tt[at с];
**(0 =
n(t — с), fg с, с+— ;
1. '€
Проверить, что последовательность {хп} фундаментальна. Пусть х £ С (fa, ЬВ, для
которой
d (xnt x)->0, и-* сю.
Тогда
С—8 Ь
d(xn, *)> J l*»W —*№|Л+ J |*«№-*(0|Л-
6
= J I X (0 I Л + J I 1 — X (/) I Л
О C-4-8
для е £ (0, с) и п > -—. Следовательно, * (0 = 0, f g [a, с) и * (fl = 1, f £ (с, 6],
о
что невозможно для * £ С ([а, &]);
370

21) полно; 22) неполно. Рассмотрим последовательность
Ч if) =
nyii(t — a), t€\ata-\ L п> .
L л J Ь — а
Тогда для 1 ^ m < n имеем
2
<U*m, **)= тал (* —а)|*«(0 —*„(0I— sup (* —а)
2
"" /~ "
Кроме того,
V * — а
23) неполно, см. решение 20);
24) полно; 25) неполно. Рассмотреть последовательность
(*2, |/|<я;
'- \t\>nt л>1;
**Ю
-г
1л,
27), 28) полно; 29) неполно; 30) полно; 31) полно; 35) полно; 36) полно.
Х.1.45. 1) ([0, 1], р); 2) (R, р); 3) (R U {- °°, + оо), <*)•
§2
Х.2.3. 1) р (/ (*), / (у)) < ер (х, у); 2) р (/ (*), / (г/)) < р (х, у);
3) р (/(*), /(й)< «Р(*. У)-
Х.2.6. Следствие теоремы о характеризации непрерывности, поскольку функции
X5x-+d(x, a) + d(x, b)t
Xlx~d{xt a) • d(x, b)
непрерывны на X, а множества (— оо, 1) и [1,4* оо) соответственно открыто и
замкну! о в (R, р). "_^
Х.2.7. Следует из георемы о характеризации непрерывности, см. задачу Х.2.4.
Х.2.9. Проверить сначала, что функция
ПХ)~ d(x, A)+d(x, В) f x{zAt
непрерывна на X. Затем положить
G = {x | /(*)<-!-}., # = {*|/(*)>^-}.
Х.2.11. 1), 2) Следуе! из теоремы о характеризации непрерывности; 3)
представить заданное множество как пересечение двух открытых множеств.
Х.2.12. 1) Замкнуто. Функция
С ([a, b])$x*x(a)£R
непрерывна на С ([a, b])t a множество [0, Ч-оо) замкнуто в (R, р), р (х, у) = | х — у | ;
2) открыто, Функция
ъ
С ([а, Ь\) Э х *+» f * sin (x (/)) dt£ R
непрерывна на С ([a, £J), a множество (— оо, 1) открыто в (R, р);
371

3) замкнуто. Представить заданное множество в виде
{*еС([а, &]) | *(а)<1) Q {*€С([а, b]) | х(Ь)>\);
4) открыто. Функция
/
С ([а, Ь])Эх~>у, ц (t) = £ sin (х (а)) da, f 6 [а, 6],
а
непрерывна на С (La, b)) и множество
{2<:С([а, 6]) | Vt$[a, Ь] : 2 (Q > t)
открыто в С ((a, b\) с равномерной метрикой;
б) замкнуто. Заметить, что заданное множество равно
П {*еС(|а, Ь1} | *Ю-0}.
Х.2.13. Для доказательства замкнутости графика использовать определение
непрерывности. Для доказательства обратного утверждения использовать теорему
о характер изации непрерывности. Другое решение: предположить, что / не является
непрерывной в некоторой точке.
Х.2.15. Необходимость. Пусть / £ С ([0, 1], 12). Тогда условие 1) выполнено.
Кроме того, функция
ll/(0ll2:=f /JW. /€№, ij,
a«=l
непрерывна на [0, 1], поскольку
11/WI-l/Wll-ldtfM. 0)-d(/(s), 0)|<d(/(0,/(s))
(*. s)€[0. I]2), 0-(0. ..., 0,...).
Поэтому условие 2) выполнено в силу теоремы Дини.
Достаточность. Проверить, что
*(М0. /«)-1/(0Р-2£ /„«/n(s)+|/(e)p-^0f
п—1
если s -*» /, при выполнении условий 1) и 2).
§3
Х.3.2. {{(*ь х2) | x1+^2>-i-J , n>l|.
Х.3.3. Если любое открытое покрытие А содержит счетное подпокрытие, то
для любого е > 0 существует счетная е-сеть. Далее см. задачу Х.1.34. Предположим,
что (X, d) сепарабельно. Пусть {Оа, а £ Т) — открытое покрытие X. Для любого
* 6 X существует 5 (*, г (*)) такой, что
*££(*, 'W)<=OaW.
Пусть У — счетное всюду плотное подмножество в X. Существуют г £ ^, r £ Q,
г > 0, такие, что
*€ Д (*, г) с В (х, г (*)) с: Oau).
Семейство {В (г, г) | г £ ^, r £ Q, г > 0} покрывает Л и счетно. Выберем теперь для
каждого 5 (г, г) по одному Oa(x) zd В (г, г).
372

Х.3.4 Множество А замкнуто и ограничено, следовательно, компактно. Пусть
О , ..., CL — конечное подпокрытие. Взять число я > О меньшим
#1 аг
nip/*, R*\ U о )>и.
i
Х.3.5. I) Пересечение — замкнутое подмножество компактного множества.
Следовательно, компактно; 2) воспользоваться определением.
3) примеры: [О, 1J \ [2, 3]; [0, i] \ l-i- , 11 в (R, р);
оо
4) пример: U |— /г, /zj = R в (R, р>.
Х.3.6. Пусть еп : — (0, ..., О, 1,0, ...), п > 1. Последовательность {еп : п >
п
> 1} cz В (б, 1) не может сходиться в (12> р), поскольку она не фундаментальна
Р (еП9 ет) = |^2~, т Ф п.
Х.3.7. Проверить, что последовательность функций {tn9 / £ [0, l] :n^> 1} не
содержит сходящейся подпоследовательности (эта подпоследовательность должна бы
сходиться равномерно на [0, 1], а следовательно, и поточечно на [0, 1]).
Х.3.8. Использовать критерий Хаусдорфа.
Х.3.9. Использовать критерий Хаусдорфа.
Х.3.10. 1) Не является компактным, поскольку не ограничено; 2) не является
компактным, так как не замкнуто; 3) компактно; 4) компактно.
Х.3.11. Использовать критерий Хаусдорфа. Пусть е > 0 задано. Возьмем N £ N
таким, чтобы
V * = (*!, . . ., xkt . . .)£А : £ **<-!_.
Множество В = {(*i, ...» xN) | 3 х = (xlt „., xN, ...) £ А) есть ограниченное
подмножество R^ с евклидовым расстоянием р и потому его замыкание компактно в
б
(R^, р). Следовательно, для множества В существует конечная уЪ "сеть:
(#1 » , •. , Xfj), i = 1, 2> .. , , п.
Проверить, что набор
(*(Д .. . , д#\ 0, 0, ...), /= 1. 2 я.
есть е-сеть для множества А.
Х.3.13. Использовать критерий Хаусдорфа.
Х.3.17. Использовать теорему Лсколи — Арцела или критерий Хаусдорфа.
Х.3.19. Пример: (R2, р),
Кп={(хъхг)\ «,€[0,1], xa>4/u1(l—xt)}, и>1.
§4
X.4.1. Следствие гого, что образ компакта К при непрерывном отображении
К Э х -* d (jc, z) С R
есть ограниченное замкнутое множество.
Х.4.2. Конечность диаметра К есть следствие ограниченности множества /С.
Множество К X К компактно в декартовом произведении пространств (X, d), (X, d),
а отображение
К X /С 3U, y)*+d(xt у)£Я
непрерывно на К X /(, следовательно, образ множества /( X /С при этом
отображении чамкнут.
373

Х.4.3. Аналогично решению предыдущей задачи доказать, что нижняя грань
достигается.
Х.4.4. График f есть образ компакта К при непрерывном отображении
К$х~>[х, Цх))£Х х R.
Х.4.7. Для X = R2 пусть f (дсь х$ — х\ Н- х%9 (хъх^ £ R2. Для доказательства
второго утверждения проверить, что 12 не есть объединение счетного набора
компактов. Последнее утверждение следует из теоремы Бэра. См.: Люстерник Л. А.,
Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа,— М. : Высш. шк. 1982.—
271 с.
Х.4.8. Проверить сначала, что / ^ С (С (|0, 1)), R). Затем доказать, что
1) sup [t(x)\ к£В(хп, 1)} = 1,
2) не существует функции дс£ В (х0, 1), для которой f (х) = 1.
Х.4.10. Пример: X = [О, 1J, а (х, у) = | * - у |, А = (0, 1] и / (*) = — ,
х £ (0, 1].
§5
Х.5.2. 1) Неподвижная точка х0 (/) = 0, * £ [0, 1|. Не является сжимающим,
так как р (—дс, — х0) = р (дс, х0) для любого х £ С ([0, 1|); 2) неподвижной точкой
этого преобразования является любая неотрицательная на [0, 1] функция. Не
является сжимающим, так р (| х | , | у |) = р (дс, у) для любых неотрицательных на [О, I]
функций дс и у; 3) неподвижная точка дс должна удовлетворять условию
W£[0, 1| : x(t) = xLLy
Отсюда для фиксированного t > 0 имеем
■«-&)-■{+)—-Цг)
для любого п £ N. Следовательно, дс (/) = дс (0), * £ fO, l]. Неподвижными точками
являются постоянные функции. Преобразование не является сжимающим; 4)
неподвижная точка должна удовлетворять условию
V/£[0, 1] : x(t) = [x(u)du,
о
oi куда
х'(0 =*(/), *£(0, 1]; х(0) =0.
Поэтому х (t) = 0, *£ [0, 11. Преобразование не является сжимающим, так как
p(/(*i)> /(*o)) eP(*i. *о)
для xQ {t) = 0, xt (/)=1, /£[0,1J; 5) неподвижные точки определяются
условием
t
W£[0, 1] : x(f)=*[x{u)du+U '€[0,11.
Переходя к дифференциальному уравнению и решая его, получаем дс (f) = е , t £
£ (0, 1]. Преобразование не является сжимающим, так как
p(/(*i), / (*o)) = P(*i> *q)
для функций дс] и х0 из 4);
374

6) неподвижные точки определяются условием
*'ё[09 1] : x(t)=((t — u)x(u)du.
о
Отсюда получим
к" (/) = х (*), f g (О, 1], х (0) = х' (0) = 0.
Неподвижная точка xQ (t) -0, t£ [0, 1]. Преобразование является сжимающим,
так как
Р (/ М. / (У)) < — Р (*, У), f*. У) С С ([0, 1]).
Х.5.6. Рассмотреть преобразование
£(la,b])Bg~A(g), A(g)(x) = g(x)-F(xtg(x)), х£[а,Ь].
Х.5.8. Проверить, что А (В (ж0, /*)) сг В (*0, г) и применить принцип сжимаю,
щих отображений к пространству (В (*0, г), d)>
Х.5.9. Для 7=* (xt хт)\ 7=* (Уъ -.» Ут)* пусть
т.
d (х, ~у): = £ I *fr — jfe |.
Тогда (Rm, d) — полное метрическое пространство, а преобразование
есть преобразование сжатия с коэффициенюм А,. Для любого **0)
последовательность итераций определяется следующим образом:
>+1) - Л>> +>> -а, п > 0.
Х.5.10. Рассмотреть расстояние в Rm
d (*, 'у) : = max | xk — ^ |.
Х.5.11. Доказать, что / есть преобразование сжатия. Функция X Э х >-*> d (х,
f W) € R непрерывна на X и принимает наименьшее значение в точке х*. При этом
d (**, / (х*)) -= 0. Если d (л;*, / (х*)) > 0, то, согласно условию,
d (/(**), /2U())<d(**, /(**)),
что невозможно.
Х.5.15. ^4 — семейство всех многочленов, рассматриваемых на отрезке [а, Ь)\
Л = С ([а, /?|);
Х.5.16. А = С (la, &]).
Х.6.17. Применить теорему Стоуна — Вейерштрасса.
г л а в а XI
$ 1
XI.1.1. 6. XI.1.2. (а, а), (а, —а), а Ф 0. Производная равна 0.
. XI.1.3. ( а, 0), (0, а), афО.
XI. 1.4 Для а = (аъ а2, tf3) c ai + °а + % в 0«
XI. 1.5. 0, 0. Не существует.
375

m
Xi.i.6. Л- = bk + £ (c*/ + c«) *h '<*<"»
* fasl
XI.1.8. fjo (0, 0)= —1, f21 (0, 0) — 1. Xl.1.11. 0. XI.1.12. Использовать
теорему о среднем значении для производной по направлению.
XI. 1.14. /'"(*) = V/ (х) « (al9 a2i ... , am),
(m m \
S <*W+M*/» •••• £ <**/+*,■«)*/ ■
M f=l /
XI.2.1. af « a2 = ... = am= 0. Xl.2.2. 1) Поскольку
__2_ J_ J 2_
и непрерывны на R2 \ {(*f, *2) | *f*2 =0}, то / дифференцируема в каждой точке
(*ь лг2) с хчх? Ф 0; 3) не является дифференцируемой, поскольку f-* (0, 0) не
существует для каждого а.
X 1.2.3. 2) Проверить, что / не является непрерывной в точке (0, 0),
X 1.2.4. Для всех направлений. Не является дифференцируемой. Действительно,
t(hu Л.) —/(0, 0) —0. *! — <). Ла*= \[ h\h^
и
У КК
►0.
бледовательно,
/ (hlt h2) — f (0, 0) - 0 • ^ — 0 • ft2=£ 0 (]/ fef + /if), №1, fta) -* (0, 0).
X 1.2.5. 3) Имеем
f№i.fti)-/(0. 0)-*1-^1„[ 0, ^-0, /i2¥=0;
^? + /i2o \3/"2, h1^ht>0.
XI.2.8. Дифференцируема на R? \ {(0, 0, 0)}, поскольку {/p ^» /3} c
cz С (R3 \ {(0, 0, 0)}). He является дифференцируемой в (0, 0, 0), так как в этой
точке не существуют частные производные.
XI.2.9. Частные производные {^(0)} существуют только при а > 1, при
этом fk (0) «0, 1< k < m. Тогда функция t дифференцируема в точке 0, так кан
о—1
£4
при * -v 0.
67b
^* .=ЛУ г2* "^°
/ ХА 9 \*—1

XI.2.15. Использовать одномерную формулу и теорему единственности,
XI.2.15.
/ (*1. Ч) - J -д- J] С£ (* - 1)* (ж, + О""*, (*lf xt) <Е R».
XI.2.16.
oo П
1
/(«i. *a) - 2j (2n + 1) (2n)l 2 ^N'" *).
(*!,*.) GR«.
§3
XI.3.6. 1) Критические точки: (0, 0), (1, 1), (—1, —1). Точка (0, 0) не есть
точка локального экстремума (рассмотреть поведение функции в окрестности этой
точки). Точки (1, 1) и (—1, —1) — точки локального минимума, так как
/ 10 —2 \
Г(1.1)-Г(-1.-1)-(_2 10):
2) (0, 0, 0) — локальный минимум, так как
/2 1 0\
Г(0, 0, 0)= 1 2 0 I;
\0 0 2/
3) при любом а б R точка ( а, 0, —а) не есть точка экстремума, так как
/0 . 0\
Г (О, 0, -а)= 1 0 1 ;
\0 I 0/
4) (0, 0, 0) не есть точка экстремума, так как
(20 0\
0 2 01;
0 0-2/
5) (0, 0, 0) — точка локального минимума, так как
(4 0 2\
0 6-2 );
2 —2 2/
6) Hei критических точек;
7) (—j7=~, ..., г— I — точка локального максимума, так как в этой точк*
d*f 4 d2f 2 t ^. . ^
и матрица
8)
13
/ N
fi!
u
7-1047
r
4"
<4
dxl
/2m '
dxkdxj
отрицательно определена;
■j • • • >
A/
1=1
*—i
1 — точка
/2m '
минимума.
377

1 --5-
XI.3.8-p=* К
Х1.3.П. Нет. Пример: Р (xt, х2) — (*f*9 - 1)2 + х\% (л:,-, л:^ g R2,
X 1.3.12. Проверить, что функция / на множестве \xt > О, i = I, 2, 3} и ее
сужения на множествах
{*! = (), х2>0, дс3>0}, {*!>(), х2 = 0., л;8>0} {Arx>0, *2 > 0, *3 = 0}
ее имеют критических точек. Наибольшие значения на полуосях {xt > 0, х2 =» х8 =
= 0}t {*2 > 0> -^1 = *я = 0}, {дс3 > 0, xi — *2 = 0} равны соответственно £~~1,
-j" е-1 и -яг в""1. Наибольшее значение равно е-1, наименьшее равно 0.
X 1.3.13. Пусть С положительно определена. Тогда для некоторого К > 0
откуда следует, что
Таким образом,
f(x)-* + oo, ||*||-> + оо.
Эх* V x£Rm : /(**)</(*).
Точка «* — точка локального минимума, поэтому х* — критическая точка и
Если х° — точка локального минимума, то матрица С положительно
определена, поскольку f" (х°) = 2С.
Глава XII
§1
XI 1.1.3. 1) Взаимно однозначно и непрерывно; 2) непрерывно, но не взаимно
—»• -+
однозначно, так как / ((0, 1)) =* / ((0, —1)); 3) непрерывно и взаимно однозначно;
4) непрерывно. Взаимно однозначно на Ai и не является взаимно однозначным на
Д2, гак как / ((1, 0)) = / ((1, 2я)); 5) непрерывно. Взаимно однозначно на Ах и не
взаимно однозначно на Д2; 6) непрерывно и взаимно однозначно.
dT(7Qt о) = (alf 0)'f a= (elt a2) 6 R2;
-* /соэф — гвтфХ -* -» /0 —1\
2) /'(', ф)= • Ь П*°) = (, n ;
\81Пф Г COS ф/ \1 О/
-> / er cos ф — / sin ф\
3)/'(ЛФ)= г . * *).
\ в Sin ф / COS ф/
d/ (дсд, а) =я (*r° (aj cos ф° — а2 sin ф°), <fQ (at sin ф° + а2 cos ф0))*;
378

df (х°, а) = (2 (axx\ — «a^), 2 (a^ + a2x\))f\
(cos ф — г sin ф 0 \
51пф ГС08ф О I,
о о i /
d/ (х°, а) = (ах cos ф° — а2г° sin Ф°> а\ sln Ф° + а2г° cos ф°, а3)*,
а = (а17 а2, а3) € R3;
(cos ф sin 9 — г sin ф sin 9 г cos ф cos 9 \
sin ф sin 8 г cos ф sin 8 г sin ф cos 0 1,
cosG 0 — rsin9 /
df (х°, a) = (Oj cos ф° sin 0° — a2r° sin фд sin 9° + а3г° cos ф° cos 0°,
ах sin ф° sin 0° + a2r° cos ф° sin 0° + a3r° sin ф° cos 0°, ax cos 0° — a9r° sin 0°)'.
XII.1.6. {(*j, X2) | JCf — *2=^0, Х!+Х2ф0}.
?(xitx2)~( ~~ 2 J , det ? (*f, x2) = 2, *rf — jr2 > 0, *! + *a>0;
7(*i,*2) = ( .)> det7'(*i> *2) = —2, xf — x2<0, *i+x2>0;
-> / — 1 1 \ ->
f'(xltx2) = l _l)' ^/'(^ь *i)e2» *f —*2<0> *i + *2<0;
f (xit x2) - f i ~V det?(*i» *2) = —2, *j — *2>0, *j + *a < 0.
7"1 ({(1, 1)}) - {(!• 0), (0, 1), (- 1, 0), (0, - 1)}.
Xll.1.7. R?.
(*i.*i)€R8.
Множество критических точек {(xf, xj | x| ■= x|},
"Г1 И) = {(*f,*2) | ад^О}.
XII. 1.8. Отображения, заданные в задаче XII.1.1: 1) — 1, нет» 2) 2х2,
прямая ха "■ 0; 3) —2, нет; 4) г, отрезок г « 0 и 0 < ф < 2я; б) e?rt нет^ 6) 4 (Xj + л|).
(0, 0). Отображения, заданные в вадаче XII.1.4: 1) г. {(0, ф, х3) I ф g [0, 2я], х8 € R).
2) г* sin 0.
(cos ф — г sin ф 0\
sin ф г cos ф 0 J, det7' =П
0 0 1/
-*t I ° C0S^3 — */2sin#3
g (№ У» Уз) = //jsint/з y2s\ny3
13* 379

det~g' = cos y3V tfi + $,
Г' (г, ф, 9) = g' {r cos ф, г sin ф, 9) /' (rt ф, 9),
det Л' * det g' . det? — г2 cos 9.
Заметим также, что
Л (г, ф, 9) я (г cos ф cos 9, г sin ф cos 9, г sin 9)'.
XI 1.1.10. Проверить, что / есть преобразование сжатия в №.
§2
ХН.2.1. 1) g(ylt у2) = (-L (у, + 2j,2), -L (у, - r/2)j' , (yIf f/2) g R2;
2) *<fc. 02) - (y^ УУЖ+1+7и ^VVJT?2^j .
(it» *i)€<0. +<*>)a;
3) * (fc, ft) - (-5- («/2 + VZyi-y\)> -^- (- ft + K2yi-i|)J' ,
<^i» i/2) € {(01,02) I #2<2#i);
4) лап, 02) = |A? + 0l.
#2(01. #2) =
arccos «
0i
Vti + A '
— arccos
0i
Vy\+y\
(Уи г/2) ч*= (О, о).
XII.2.2.g(yltyt)-( У2~У1 ,
Уа>0;
, *,<0f
£/i +У2
■)'•
Ух > 0, г/2 > 9,
ХН.2.3.
ft (ft, 02) =■ — (/ У1 + ft + У У1—У2> V У1 + 02 - / У\ — ft)'¥
Fa (01» 02) = — (У 01—02 — К ft + 02. —^ 01 + 02 — К 01 — 02)';
01 > 0, #! > ft.
XI 1.2.8. 4) Применить теорему о существовании обратного отображения,
В некоторой окрестности В ((1, 9), rj)
gi (ft, 02) = (ln У 01 + 02» arctg -J") •
В некоторой окрестности В ((1, 9), г^)
82 (0i. 02) - (in V 0i + *|. 2я + arctg -^-J .
XII.2.9. fj (9, 2) _ (/' (0, I))-1 = ^ J = ^ i t J .
380

/ 4- -г
XII.2.10. ?(0, 2) = (? (1, I))"' = ^ ^ ' = I * *
ХН.2.11. ?<fcl)-("J _|).
ХН.2.12. g(^, ft)-(j/ 4-(И + й)' }/ -l"^1-^)'
det7
XI 1.2.13. Применить теорему о существовании и свойствах неявной функции*
к функции
F(xt у) = е2хсо*У + еУс<*2х-2ъ (x,y)ZR\
и точке (х°, у°) — (0, 0); f (0) — —2.
XII.2.16. f\ (0, 0) = /2 (0, 0) = — 1-
ХП.2.17. /id, 1) = (2 — ea) (1+e1)-1. /i0. l)--i.
XII.2.18. 7(1)-(--^-. l)'.
XI 1.3.1. Критические точки функции Лагранжа х =
~<а
§з
= [ ,. L функция / непрерывна на компакте {xl9 xj I х\ +х% —
■= 1}. Следовательно, она принимает наименьшее и наибольшее Бначения в точках
** и **. Эти точки будут также точками локального относительного экстремума и
потому критическими точками функции Лагранжа. Поскольку / (*(1)) < 0, / (дс(2)) >
> 0, то 1сф — ~ха\ ~х* = ~*(2);
2) критические точки функции Лагранжа:
>='(!,_ 1,1), 1?» т=-(—1. 1.— 1).
V2 }Г2
Аналогично случаю 1) заключаем, что *(1) — точка максимума f, а *(2) — точка
минимума /;
3) критические точки функции Лагранжа:
(тТ'ТТг (~Т2 '"7Т)'(ТТ'~Т1)' rTT'TT)'
Первые две точки «— точки относительного максимума, вторые две — точки
относительного минимума; 4) одна критическая точка функции Лагранжа: f-jr-» -?-» -£"")•
381

Функция f удовлетворяет условию
/W-* + °o, Й-*+оо.
Поэтому
эЯ V*£ {(xit x2t х9) | Xf + *, + *„ = 1} : f(*J<fix).
Следовательно, дс* есть также точка локального относительного минимума и
потому должна быть критической. Таким образом, критическая точка есть точка
относительного минимума; 5) функция Лагранжа имеет одну критическую точку
(2, 2, 1). Эта точка — точка локального относительного минимума. Заметить, что
при JCt > 0, х2 > 0, х8 > 0 с учетом условия
4 2
/ (*i, *2. *я) = 1 г- 2*2*з;
6) функция Лагранжа имеет одну критическую точку (0, 0, 0), которая не является
точкой локального относительного экстремума, так как
/1*1» х2, х\ —" х2 — *i "—* *а) в х\ *"~ *2»
7) метод множителей Лагранжа неприменим. Заметить,
= (*f — *2)2- Следовательно, при условии задачи
/ (х19 х2) = 2д;2 + 2, jqCR.
Таким образом, точка (0, 0) есть точка абсолютного условного минимума /.
XI 1.3.2. Рассмотреть квадрат расстояния
/ (*i, х2):«(*,- D2 + (х2 - 4)2, (xlt х2) € Г.
Проверить, что критическая точка функции Лагранжа (2, 2) соответствует искомому
минимуму расстояния, равного Кб".
XI 1.3.3. Рассмотреть квадрат расстояния / (xt, х2) : =• х\ + х\ до точки (хг*,
к%) на эллипсе. Максимальное расстояние равно 2, минимальное — 1;
XI 1.3.4. Рассмотреть квадрат расстояния
f ixu хг* *з): = я? + (*а — 3)2 + (*8 — 3)2» (*1» *2» *з) € Г. Критические точка
/ 1 2 2\
функции Лагранжа: (1, 0, 0) и I— -s-, -к-, -я-1. Первая точка соответствует i
мальному, а вторая — минимальному расстоянию, равному f^ll, от точки (0, 3, 3)
до Г.
XI 1.3.5. Рассмотреть квадрат расстояния
f (*i. *2> *з» *4): e (*i — *з)2 + (*« — *4)2.
(*f, х2) £ Tj, (*8, *4) € Г2.
/ 4 8\ / 4 8 \
Функция Лагранжа имеет критические точки 12, 1, -g-, — I и I —2, —1, — -г, — -jr- J.
3
Минимальное расстояние равно ~ .
XI 1.3.6. 1) Сначала рассмотрим функцию / на множестве Л° всех внутренних
точек множества Л. При этом / £ С1 (Л°) и имеет критическую точку х± = 0, х2 =
= 0, которая не является точкой локального экстремума. Таким образом,
наименьшее и наибольшее значения /, которые, согласно теореме Вейерштрасса,
достигаются в Л, не достигаются в точках Л°. Далее рассмотрим /на Л \ Л° : нужно
найти минимальное и максимальное / при условии х\ + х% = 1. Функция Лагранжа
в этом случае имеет критические точки (1, 0), (0, 1), (—1, 0), (0, —1), причем / (—1,
0) - / (1, С) - 1, / (0, 1) = / (0, -1) = -1; 2) / (2, 0) = 25, / (-2, 0) = 1.
Решение аналогично 1); 3) экстремальные значения достигаются на множестве Л \ Л°,
882
макси-

коюрое здесь состоит из следующих частей:
Г, = {(*lt x2)
Г8= {(хи х2)
Г4= {(*i, Ч)
На ГТ / (*f, х£ =
*, = 1, *а€[—1,3]},
*i = -2, дс2£ [—1,3]},
*l€[—2, 1], *2 = 3},
*l€[—2, 1], *2 = -1).
+ х\ и, следовательно,
min/ = /(l, 0)=* 1, max/ «/ (1,3)= 10.
г, г,
Аналогично
Поэтому
mln / — / (— 2, 0) = 16, max / = / (— 2, 3) = 25?
ВЛ 15
min/ = /(l, 3)= 10, max/ = /(— 2, 3) = 25;
т?я г,
min / = / (1, — 1) = 2, max / — / (— 2, — 1) = 17.
Г* Г4
min/ = /(l, 0)— 1, max/ = / (— 2, 3) = 25;
л а
4) функция / в А0 имеет критические точки: (0, 0), (0, 1), (0, —-1), (1,0), (—1, 0).
При этом / (0, 0) - 0, / (0, 1) = -1, / (0, -1) = -1, / (1, 0) - 1, / ( -1, 0) - 1.
На множестве А \ А0 функция f (jcj, дс^) = (jcf — дф в""3, а соответствующая
функция Лагранжа имеет критические точки
(0,-2), (0, 2), (-2,0), (2,0),
для которых
/(0, -2) = /(0, 2) = -4*~3, /(-2,0) = /(2, 0) = 4е~3,
Поэтому
max/ = /(lT0)=l, min/ = /(0, 1) = — 1;
А А
б) значения функции / в критических точках множества А0 равны:
'/(0f0)«0, /(0, ±1)-1, /(±1,0) = 2.
На множестве А \ А0 функция / равна / (xj, х2) ■» (2jtf + дф е~ъу а
соответствующая функция Лагранжа имеет критические точки (0, ±2), (±2, 0), в которых
Поэтому
/ (0, ± 2) = 4е~\ f (± 2, 0) = 8е~\
max / = / (± 1, 0) = 2, min / = / (0, 0) = 0;
А А
6) значение / в критической точке из Ас есть
/(0, ... , 0)«0.
Функция Лагранжа для /на А \ А° имеет среди критических ючек точки вида
(±_Йг ±_йг)'
в которых значение / равно \^п
2т
XI 1.3.7. Цилиндр с высотой "jTf.
383

XI 1.3.8. Задача состоит в определении наибольшего значения функции
f (*ъ *г) ^ 4*Л» jcj > 0, *2 > 0 при условии tfa~2 + af&f2 в **
Стороны прямоугольника имеют длину а, ^2, а21^2.
/ т \ -1
XII.3.9. Наименьшее значение равно! У] а*| • Отметим, что простое реше*
\Л-1 /
ние этой задачи следует также из неравенства Коши
/ т \2 I m \2 m m
К
причем равенство достигается, если xk = , l<fc<m, с некоторым A,£R.
Ч
/«
]2 а\% Простое решение получается
также с помощью неравенства Коши.
XI 1.3.11. Наибольшее значение равно т~т. Кроме метода множителей Лаг*
ранжа можно воспользоваться неравенством между средними значениями
2 -5Г 1 т
(ххх7 ... хт) < — 2j *ft
XI 1.3.12. G помощью метода множителей Лагранжа находим расстояние
Простое решение получается также с помощью неравенства Коши
|"Й? - Ь |2 = \а* (7— ?) р <(а||21|* - ?||2.
XI 1.3.13. Использовать метод множителей Лагранжа или неравенство между
средними значениями.
§4
XI 1.4.7. На N определим функцию р (Л, k) =» 0, £ > 1. Для {kt /} с N и £ </
положим р (Л, /) *= р (/, Л) =» 1 + -7k . Проверить, что (N, р) — полное метричео
кое неравенство. В этом пространстве шары
в(*'1+"^")' А>1,
обладают требуемыми свойствами.
Замечание. Описанная ситуация невозможна в банаховом пространстве.
XI 1.4.17. Минимум в точке (0, 0).
Глава XIII
XIII.1.1. 1) 1} 2) (0-1) о6"1)"1; 3)л; 4) ~ 5) -^Ц 6) -§-; 7) я; 8) 3|
1 5
10)т1п-.
XIII.1.4. 1) -1; 2) !;• 3) - 4"; 4> ^ 5) Т; 6> T-
»■.(.-■*■>
384

XI11.1.5. 1) Использовать неравенство
sin2 x ^ i
\+x* ^ 1+*2 ' *GR;
2) использовать неравенство £—**<£""*» х > 1.
3) поскольку при х > 1 In х < х, то In дсе~"* < лее"*, х > 1. 4) см. 3); 5) можно
воспользоваться сходящимся интегралом из XIII.1.4, 4). Более предпочтительно
следующее рассуждение. Подынтегральная функция непрерывна на [1, + оо) и
д£+2 £—х _> о, х -+ +оо. Поэтому
6) поскольку In (х + 1) > In х, х > 0, то
1 < „ ,', , х>2.
>r In2 (а: Ч- I) * 1п2х
7) заметим, что х (ех ~ 1)~"1 -^ 1, х ->■ 0. Поскольку
е*>1+х, х>0, то ех — 1> —т—**, х>0.
1+х
Следовательно,
—-—<(1+*)*-*, *>0;
е* — 1
х 1 -
8) заметим, что ► 1, х -»► 0. Поскольку sh х ~ — е , х -> + оо, то
shx 2
3 Л > О Улг>у4 : sh х > г-* *х => —— < 4хе~*;
4 sh дс
9) воспользоваться неравенством е* — 1 ^ [^х, х > 0;
10) заметим, чго
11 проверить, что х In *0, х-►()+;
х
12) заметить, что In — < In —, х > 0.
1+х * х
XII 1.1.6. 1) Для сходящегося интеграла
х
£ f{u)du-+Q, *-* + со;
2) пусть / (х) > 0, * > а, и / монотонно не возрастает. Тогда
X
j / (и) Ai>-i-*/(*), х>2а.
XIII. 1.7. Предположим, что / неотрицательна и убывает на (0, 1]. Тогда
k/П (k+l)/n
I fMdx^irf{ir)< J '«*

для 2 < k < п — 1. Поэтому при каждом п > 3
-г'(т)+1^л<4-Е'(4-)<1/и,»Л+4-'<1)-
1 fe=ss=l 1
Для получения последнего равенства рассмотреть случай / (*) = In jc, x > 0.
XI11.1.8. 1) Сходится при а>—1 и расходится при а^—1; 2)
сходится при а< 1 и Ь< 1, расходится в остальных случаях; 3) сходится при
а > 4 и расходится при а ^ 4. Использовать неравенства
яя х (п + 1) я
1 + (п + \f na sin2х ^l+*asin2* ^ 1 + (пп)а sin2x '
пя<*<(л + 1)я, я>0,
а также то, что
я
d* - п А>0.
о
l + <4sin2x /1 + /4
Подробное решение этого примера и аналогичных ему см. в кн.: Фихтенгольц Г. М.
Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3-х т.— М. : Физматгиз,
1958—1960.—Т. 2.—G. 578—581. 4) сходится при а > 0 и Ь > а + 1 и при
a < 0 и b — а > 1. Расходится в остальных случаях; 5), 6) сходится; 7) сходится,
поскольку для п > 1 имеем
(л-Н)я («+1)п
С х | sin x f dx < я (n + 1) С | sin x \{пЛ)* dx »
2
: я (л + 1) С | sin x \{пл)* dx _ 2я (л + 1) С (sin je)(rtJl)8
2я (/i + 1)
(яя)5* + 1
dx
.2n(n + l)Jг<"*>*VT=7di< 2,?!*+? ;
3
8) сходится при a > -j".
Xlll.l.Q. 1) Сходится при bf < 1, 1 < / < n, и ft, + ... + bn > I; 2) cxo-
дится.
X111. 1.10. 1) Сходится в силу признака Дирихле. Не сходится абсолютно,
так как
пп „_i (fe-H)n rt_i (fe-H)n
—I-S4- •>"
2) сходится в силу Дирихле. См. 1); 4) для доказательства сходимости применить
признак Дирихле к подынтегральной функции, представленной в виде
sin {х2) = 2х sin (ха) • —- , * > 0.
386

Кроме того,
J О
Далее рассуждаем аналогично 1);
5) сходится в силу признака Абеля. Кроме того,
пп пп
dut A>0.
\ LULU arctg xdx > arctg я \ '——-±dx, я>2.
л
5); 8) сходимость можно получить из следу
о
Дир
Г .sin дг _Ы^Х_ ^^ С (eSin x + ^in * s.n ^ ^COS^ ^
6), 7) аналогично 5); 8) сходимость можно получить из следующих рассуждений:
А А*
О
+ 00
С (— 1)[ы|
интеграл \ ^fL— du сходится в силу признака Дирихле;
о
11) из признака Дирихле следует сходимость интегралов
+00 +00
1 1
XIII.1.11. 1) Сходится абсолютно при а> 1, условно при 0< а^ 1 в силу
признака Дирихле. Расходится при а ^ 0;
2) сходится условно в силу признака Дирихле;
3) сходится абсолютно при а > 2, условно при 0 < а ^ 1;
4) сходится абсолютно при —1 < 7" < 0, условно при 0 ^ —г~~ < 1 Для
b Ф О, расходится при b = 0; 5) сходится в силу признака Дирихле, сходимость
условна; 6) сходится в силу признака Дирихле. Сходимость условна, так как
+оо +оо +оо
f |cos(*H-*a)|dx> f cos2 (x + x9) dx = -i- f (1 + cos (2 (x + x*))) dx\
' 0 0
7), S) сходится условно, см. решение 6); 9) сходится абсолютно.
XIII. 1.13. Использовать соотношение
l/Hi)-/M.)l-
А2 | А2
J f(*)<te < J f(X)\dX,
где Ai < Л2 и критерий Коши сходимости несобственного интеграла и
существования предела функции в точке.
XII 1.1.16. G помощью интегрирования по частям доказать неравенство
А
sup [(f (x)fdx< + co.
А^а J
а
\ен 0. Заметим, что при .
isin и . I . С sin и . \
А^а .
а
XIП. 1.17. 1) Предел равен 0. Заметим, что при х > 1
+00 / X
387

где
+00
/: =
sin a
du.
Проверить, что правило Лопиталя непосредственно неприменимо. Преобразовать
о помощью интегрирования по частям
X
cos/
Г sin и л cos и \х С 2 cos и .
2
Я
»)-£-; 3)1.
§2
to,
XI 11.2.1. П Функция [0, 2] X [—1, 1] Э (х, а) *+■ |^"ж cos (аде) непрерывна на
>, 2] X [—1, 1], поэтому функция
? (а): « С У"* cos (ax) dx, а £ [— 1, 1]
непрерывна на [—1, 1] и тогда
lim У (а) - ^ (0) - ro ^
2) 1; 3) -г-. Заметить, что
а
dx
1 + *2 + а2
<|*1.
11-Нх
С ^
J 1+*2 + <*2
I 1
<|«|3
4) In
2е
\ + е
. Заметить, что
*€[0Д]
^,а('"-('+^)>
XI 11.2.2. Предел равен I. Перейти к пределу под знаком интеграла нельзя.
Имеем
2х I xz \
V«€10, 1] : -^-ехР(--^-)^0' а-^°-
2* I х% \ „
Однако
sup
х€[б
л-а*
388

XI11.2.3. Воспользоваться равенствами
Ь fr-a b
й a—a a a—a fc—л
XII 1.2.6. 0.
XI11.2.6. 6.
, a>0;
2)
X111.2Al)^(«)-J?rTJ^
о
iL
2
йг/ / \ f sin2*^* ^ /Л ,ч
*"(«)--«! ^ 2 . 2 -, «6(0,1);
J У 1 — a2 sin2 *
a-
3) Г (a) = — С ((* + a)2 + 2a (* + a)) exp (— a (* + a)2) dx -f
a
+ 2a exp (— a8 (1 + a)2) — a exp (— 4a8), a 6 R;
cos a
4) У (a)— f VT^lP exp (a V 1 —Jca) d* — exp (a | sina |) sin a —
sin a
— exp (a | cos a |) cos a, a£R;
a* a t ax
6) J" (a) = С exp (a V) ^ + И *3 [ exp (*V>a) уЧу + * exp (a4**) —
—a* 0 I —ax
— дс exp (— a**4)} d*.
ХШ.2.9. Г(а)=0,а<0иа> 1; У (a) = 2/ (a), a € (0, 1).
XII 1.2.10. Г (a) = — f (1) sign (sin a) 9 (a) —
a a
-Ф
(x) sign (sin (аде)) dx% a € {ля | л 6 Z).
Если f (1) e 0, то 9' существует на R.
1 4- b
XIII.2.11. In t \ . Использовать теорему об интегрировании по параметру.
I +а
XII 1.3.1. Проверить, что
+00
§3
sup
a>2
С dx__
\ *
^-4", Л>1; sup
А а>1
С dx =
! J х<*
+ оо, Л>0.
389

XI 11.3.3. Проверить, что
sup \ e~x+adx <гп~А, А^п\
+00 -}"00
sup
XII 1.3.4. Заметим, что
+0О -|~0О
J e-{x-aldx^ f e-'+^d*-!, Л>0.
sup ( *Ё* ^ С *<** - 1 . 2 , А>щ
*<n J !+(* — a)e ^ J (x —я)6 4(Л-я)4 ^ 5(Л— л)?
+oo 4-°° H-°°
Г *d* .Г dx Г dx -. .
4 Л О
XI11.3.6. 1)—5) Использовать признак Вейерштрасса равномерной сходи»
мости; 6) проверить, что
а+е
Действительно,
/8:« sup \ j 1_-*о, е-*0.
а€Л1 J \х — а а
а—е
/e=supf _*L-<2\-^L, e>0;
0 «3
7) аналогично 6),
XI 11.3.7. Воспользоваться признаком Дирихле.
XII 1.3.9. Воспользоваться признаком Абеля равномерной сходимости.
XII 1.3.11. 1) Интеграл под знаком предела есть непрерывная на [0, -|-оо)
функция от а по теореме о непрерывности несобственного интеграла по параметру;
2)—4) применить теорему о предельном переходе; 7), 8) при a > О сделать замену
переменной a х, = и.
XIII.3.13. 0.
XII 1.3.14. 1) Применить теорему о непрерывности равномерно сходящегося
несобственного интеграла по параметру; 2) для доказательства непрерывности У
в точке а0 > 0, применить теорему о непрерывности к множеству [у, +оо) с
фиксированным у € (0, а0); 3), 4) применить теорему о непрерывности; 5) для
доказательства непрерывности 9 в точке а0 применить теорему о непрерывности к множеству
(—-оо, у], где у > <V. 6)—11) аналогично 5).
XII 1.3.16. К интегралу
+00
f Г (a.x)dxb a£[a, b]
о
(при а < Ь) применить теорему об интегрировании по параметру.
XIII.3.17. i) _(6-a)Jl; 2) J™. ; 3) J*Lj 4) In -£-; б) -*- In ± .
Х1И.ЗЛ8. y(a)«^-expf--^-j, a€R.
390

+CO
X1H.3.19. ^(a)a- »*"*' + [ *с? *? d%% a>Q#
1 + a3 J 1 + дс3
a
XII1.3.20. [h(x)dx.[ f2 (x) dx.
К R
*,„,., ,,-Lr(-L); *-J-r (*£>.), *-J.r(ifi),
4) 2 2 Г^-2-jo '; 5) Г(а+1).
ХШ.4.3. 1) JL Я (£+1,1 + 1); 2)±b(±,±);
2 \ 2 2 J a \ a 2/
3) -1 В (с + 1, ly^-) ; 4) В (a, b); 5) J+—lB (Ь, с).
XI 11.4.4. 1), 2) Использовать разложение синуса в бесконечное
произведение; 3)—5) воспользоваться представлением Вейерштрасса,
XI11.4.5. 1) 1; 2) Г (а).
Г л а в а XIV
§ 1
XIV. 1.2. 1) п2п\ 2) VrT1 + 4 . 2"2п\ 3) Если п *=km с некоторым к £ N, k > 1.
/П—1 П—1
XIV.
V!=0 v2=0
т.—1 п—\
-,(,+±).
«»-l-'-SS('Ji#i—-?-)-55-«(l+v)-'(I-r)>
vt«-0 v2=0 v x '
m—1 л—1
s<J, xm, Пс, v,„ -SI (. J»±i.-,i±L -L. -
Vl=0 v,=*0 N
2) L(/, ^rnn) = L(g, bm) + 2L(ft, *„),
(/(/, *„„)-«/<*. *m) + M/(ft, A,„),
S(/, >w {1(Vi, va)}) = s(g, bm> {2^S±i-J)+ 2s(ft. 4. {-^^T1-})-
3) L(f, Kmn) = Hg, Xm).L(h, \J,
U(f, X^-t/fe, %m)-V(h, X„),
391

2 1
XIV. 1.4. 1) J g (xt) dxxAh (*t) Лс,; 2) 0, 2.
о о
XIV.1.8. / (bit b2) - f (alt b2) - / (ftlf a2) + / (alf a2).
XIV.1.9. Для 1 <fc<m — 1
j *. - J / (*i, ... . *Л, «i, .... "m-fe) <*"i • • • <tyn-fc
и/fe . . . , xm), fc=»m.
XIV.l.U. /(0,0).
XIV.1.12. Сначала проверить, что 9 (n) ->■ 0, я-* со, затем для интеграла в
правой части равенства применить теорему о среднем значении. Предел равен
XIV.1.13.
п
J /Й
•)dx.
-5"(S C/(*£, D-f(*i. 0))<k, +J(f (1, *а)-/(0, xfldxA.
XIV.1.14. Сначала рассмотреть случай функции / (*j, *j) = x\xf^ {kt m) a N.
Затем использовать теорему Вейерштрасса о равномерном приближении
многочленами. Предел равен f l-n", —J. Подробное решение этой и следующей задачи см. в
статье: Решения задач, опубликованных в сборнике сМатематика сегодня», 1983 г.
//Математика сегодня.—К., 1986.—С. 200, 201.
XIV.1.15. Использовать теорему Вейерштрасса о равномерном приближении
многочленами. Предел равен f (0). Возможно другое доказательство,
использующее методы теории вероятностей. Пусть {Ц : п ^ 1} — последовательность
независимых равномерно распределенных на [0, 1] случайных величин. Тогда
1
М In gj = \ In xdx = — 1
о
в, согласно усиленному закону больших чисел,
1 п
п fe=l
с вероятностью 1. Отсюда следует, что
п
П £*-*0, я-*оо,
с вероятностью 1, а потому, согласно теореме Лебега об ограниченной сходимости,
М/( П &kW(0). n-»oo.
'Ы
t t
XIV.1.1'6. F' W - J / (*i, 0 <**i + J / (*. *) <**2> ' 6 [0, I].
о о
892

XIV. 1.17. Использовать правило Лопиталя. Предел равен ~ {У% _ \\
XIV.1.18. 4-- XIV.1.19. 4~- WV. 1.20. —.
XIV. 1.21. 1) -i.; 2)-|-.
§8
I
XIV.3.1. -^- . XIV.3.2. F (/) - f М* — «, и) Л*, * > 0.
15 J
XIV.3.3. P(0= j /(w, ' + (" — 0(1— м + 0)(2и — 2/— l)d« —
Т
] /(и, 0<te, <>0.
XIV.3.5. Рассмотреть соответствующий двойной интеграл и представить его
через однократные, изменив порядок интегрирования по сравнению с заданным.
Значения интегралов: 1) «•; 2) -JL, 3)2; 4) -iHLL ; б) ЯТ2 .
I /2n-(-arcsin x2
XIV.3.&
I /2n+arcsin x2 \
—1 \ arcsin x2 /
-1 / V*-4
У 4-4
,-^4-4
xiv-3.7. a + l + 2 Д(» + 1.>+1).
X1V.3.8. 1)^-; 2)^; 3) 1L.
893

XIV.3.9. 1) Интеграл равен интегралу по множеству {(#*, ..., х^) | 0 < х\ ^
^ х2 ^ ... ^ Xk < t) от функции щ (xlt ..., Xk) — / (xk). Чтобы получить правую
часть, нужно изменить порядок интегрирований: сначала проинтегрировать
по *i, затем по х2 и т. д. Второе решение следует из того, что производная по t левой
части равна
fit)
2) заметить, что левая часть как значение fe-кратного интеграла равна
Второе решение получим, вычислив производную левой части и применив метод
математической индукции по k.
XIV.3.11. 4-я + 41п 1+Х3 •
26 1 я"
XIV.4.1. 1) -—; 2) л— У"3 — ; 3) _-(7я — 31/*3)'. Перейти к поляр-
15 2 6
ным координатам.
XIV.4.2. я1"2 . XIV.4.3. 1) -£-; 2)
4 . «.w.™. ., 2 , ., 4(1—а)
XIV.4.4. F' (t) - ЗОЯ
XIV.4.5. F' (0 = /f / (f cos ф, * sin ф) Ар, Г > 0.
о
XIV.4.6. Доказать сначала, что
F (t) = — t2 (arctg 2t — arctg /), * > I.
XIV.4.7. я/4.
XIV.4.8. 1) -7Г— (ea — 1) приа^Ои^- при а = 0. Перейти к новым перемен*
ным иг s= л:х, tt2 = *i + *2?
2) 2. Перейти к новым переменным 1ц = дс^, «2 = —— ;
3) -s- • Перейти к новым переменным иг = д^ + х\% и2 = л^ —• х\;
4) -о" Н 5 Перейти к новым переменным «! = х\ -— *£, wa = xtxt.
XIV.4.9. J / l"n "i"2) u\duidu*> A == tl* 2J x I1» 41*
394

XIVA10. — . Перейти к новым переменным ги Фь г%, ф2: х1«г1со8фь
х2 = 'i sin фх, х3 s=s r2 cos ф21 Х| = ra sin ф2.
XIV.4.11.
л
2n I T
F' (t) = ra j I i / (r cos ф cos t|?, r sin ф cos ypf r sin ф) cos i|x/ij? I dq> l^"*"1.
XIV.4.12. 1) -— Перейти к новым переменным ui = х^ l<t^fe—1, «^ =
-^i+•••+**; 2) (Л + а)(Л_1)1 •
§ 5
XIV.5.1. Сходится при а> 1 и расходится при а^. 1.
XIV.5.2. Сходится при а< 1 и расходится при а> 1.
XIV.5.3, 1) Сходится, если а> 1 и £> 1, расходится в остальных случаях;
2) сходится при о>1 и расходится при а^ 1. Использовать новые переменные:
*i 4- -о- e r cos ф, *2 = г sin ф; 3) сходится при а > & > 1; 4) сходится при а > —
Перейти к новым переменным: хj = r ^cos ф, х2 = г Ksin ф, дс5 > 0, *2 > 0.
XIV.5.4. 1) Расходится. Рассмотреть последовательности множеств
£>* = {(*!> Ч) I l*il<«. I*tl<*}.
£>"п*= {(хъ х2) | *? + д|<2ял}; п>1;
2) расходится.
XIV.5.5. 1) я; 2) 2Я
/3 '
X.V.5.6. 1>-2-Г<а+1); 2>-£-r(JL): З)^г(^);
я
4) -т- В (a-f It * + 1). Заметим, что интеграл этой задачи не является простым
несобственным интегралом, поскольку каждая точка множества Л, лежащая на
окружности радиуса 1 с центром в (0, 0), возможно, является особой. Предложенный
интеграл можно понимать как предел
8-*0+ 4(6)
где А (8) = {(*!, х2) | хх > 0, х2 > 0, х\ + х\ < 1 — е}. Формула замены
переменных доказывается с помощью предельного перехода;
Г{а + Ь + с) ' "' (в+1)(о + 2)(о + 3)
395

Г л а в а XV
§ I
XV.i.l. 1) +1; 2) -1; 3) -15 4) +1; 5) -1.
XV. 1.3. 1) На множестве g l (G) форма равна
ю - / tei (*i. хг)> 8% (*i. Ч)) д(^ f) dxt Л <***
_з
2) © = (1 — xj"1 — *2 ^) d*2 на луче {(xlt хй) \ xt ■- 1, *9 > 0}.
8) со = - ^"j^*2 ^ + **~*2 dx2 на окружности {(*1? *,) | x\ + 4 - 2).
XV.1.11. 1)Л-(-^.—^.)^AAW
4) dec = 0;
6) dco = £ (- l)^—D</—1) ^-^Л ... Л <**m;
/ m m \
—-(/.S-f-/.§-^-)*A...A
dXffl
§2
XV.2.1. 1) -|~; 2) --y-; 3) -J-; 4) -4; 5) 2я + -|-; б) --J-.
XV.2.2. f (0-2^, *>0.
XV.2.3. 1) — -1-; 2) 0; 3) 0; 4) 0; 5) 0; 6) -я.
XV.2.4. /' (t) = 2я*2.
XV.2.7, I) 0; 2) —mxa%\ 3) 0.
oo
XV.2.8. 1) 0; 2) 0; 3) — я.
XV.2.11. 0. XV.2.12. 0.
XV.2.13. 0. Использовать формулу Стокса,
XV.2.14. I) Нет; 2) да; 3) да; 4) да; 5) нет; 6) да; 7) нет; 8) да.
XV.2.15. 2) / (хи х2) - -i- х\х% + С, С £ R; 4) / (*lf ха, к3) * 2х% + х9 + Q%
C*R; 6) f(Xl> x%t х9)-хх + х% + -2$- + С> C6R;

3) f (xlt хш) = arctg -i?- -i-C, С £ R.
*i
8) / (*i, *a, *8) = - (x\ + ** + **)-*/. 4- с, С G R.
XV.2.16. 2я. XV.2.17. Пусть г— радиус сферы и
coj a ^dx, /\dx3 + x9dx9 /\dxt+ х^хг Д dx2.
Имеем, очевидно,
j«—И«*
s
Согласно формуле Гаусса — Остроградского
) 0)! я. 3 • -я- ЯГ8,
s *
откуда следует нужный результат (обратим внимание на то, что к форме со и
поверхности S формула Гаусса — Остроградского неприменима).
XV.2.18. / (*ь хг) = xt sin x\ + С, С g R.
з xk
XV.2.19. / (xlf *а, x3) = J| ( fc (ft) <te + С, С 6 R.
XV.2.20. -j^- (х19 х2, х9) = -^- (х1% *а, xz) = 0, (*£| х2, х8) € R*, то есть
функция / не должна зависеть от *а, х3,
§3
XV.3.1. 1) -^(/2+1п(1 + /2));
2) -L (2я /1 +4л2 + In (2л + |Л + 4я2);
3) 2я yV + &2.
XV.3.2. 1) -1-я (2/3 — 1); 2) 2яг*(1 - Л.) ;
3) я(/2+1п(1 + К"2)).
J 3
XV.3.3. l)^p+-^-LJL; 2) 3
з
6) -1- ((1 + 4яа)"Г — 1); 7) 2яа& Y& + Л
XV.3.4. 1) -{§-; 2) -|-; 3) -f-; 4) -**-(2/2 - I).
397

Глава XVF
§ l
XVI. 1.1. 1) З(а + Р) + 2сф = — 6; 2) при любых;
3) m = 2 (Дг-Ь /), а = 2(6— /), {К I) а N U {0}.
п
4) XI а*Р*-°-
XVI. 1.4. Сначала заметить, что/ ортогональна на [а, 6] к любому многочле.
ну. Для любого 8 > 0, согласно теореме Вейерштрасса, существует многочлен Рг
такой, что
V'6[a, b] : |/W-PeWl<e.
Для многочлена Pg имеем
ь ь ъ
J/8W*-J/W(/W-Pe(0)^<eJ|f(rt|A
a a a
XVI. 1.5. Решение аналогично решению предыдущей задачи.
XVI.1.9. 1)1, ]/-§-'> 4" Ft(3|I"1); 2) *' ^^/-l), 6/5X
XV 1.1.И. Аксиомы метрики проверяются непосредственно. Пусть [a, b] =
— [0, 1) и /„ (0 =0, t£ I 0, — I и /„ (0 — '~ ~, * € (—, I для л > 1. Последова-
тельность {/„} фундаментальна и не имеет предела в R ([0, 1]).
XVI. 1.12. Совпадает во всех точках непрерывности с функцией /* (t) = a0 +
+ a, cos / + Pi sin /, / б [0, 2я]. Действительно,
2я 2л
С (/ (0 — a — b cos / — с sin *)2 Л > С (/ (0 — ^* W)8 Л,
"*«-('• тЫ + ('- fHC0S4' #)sin/* '€l0, ^
XV1.1.13. /(0=-o + W, /6[0, 11; {a, 6}cR.
Ssin fc/
—j— . '€[0, 2я].
XVI.1.15. Проверить, что функции («+ cos fc/, fe= 0, 1, 2, попарно ортого*
"" ' Пс
где
(Зя \ —I Зя
С cos2 ktdt\ С / (0 cos Ш*, * — 0, 1,2.
нальны на [0, Зя]. Поэтому для искомого многочлена
а*
XVI.1.16. Для минимизирующего многочлена
2 л 2
Рл = — \ /sin «#=■(— 1)*+' —, л>1.
я J л
о
398

Для нечетной функции [-я, я] э / ~> t определить тригонометрический многочлен
степени л, приближающий ее наилучшим образом в смысле среднего квадратичного
расстояния.
XV 1.1.17. 1) Утверждение равносильно геореме Вейерштрасса о равномеоном
приближении многочленами непрерывной функции; 2) сначала доказать, что
V/GR ([*.&]) Ve>0 3g8€C([a, b\) :
ь
J(/W-g8(0)2^<ea,
а затем использовать утверждение 1).
XV 1.1.18. 1) Утверждение равносильно теореме Вейерштрасса о равномерном
приближении непрерывной периодической функции тригонометрическими
многочленами; 2) см. указание к задаче XVI. 1.17.
XVI. 1.20. Пусть {fn: п > 1} —- замкнутая последовательность и функция
/ g R ([а, Ь\) такова, что
(/> M = {f«/«W<fc = 0, п>1.
Поскольку {/„: п ^ 1} замкнута, то
<е.
Тогда
/- S ы
fc«l
<8||/||.
Л/ II Л/
*в>0 3£ akfn{k) : /- £ a*/„(J
л л / N \
l!/ll2 = J/2(0^ = J/(0 /W-E *tf*««U<l/l'
Таким образом, || /1| = 0.
XV 1.1.21. 1) Из теоремы Вейерштрасса о приближении многочленами следует,
что для четной на отрезке [—6, Ь] функции существует четный многочлен,
приближающий ее равномерно с заданной точностью. Заданную функцию из R ([a, b\)
продолжить на отрезок [—Ь, Ь] четным образом, положив равной 0 на (—а, а) при а > 0;
2) воспользоваться неравенством
$ If (t) - £ a^+k) * < *§ J (<~3/ W - S a*4 *• <a<>. ....*«}<= R;
3) воспользоваться равенством
/('«'-M'-i^-Mir'
Зи3
4), 5) аналогично случаю 3); 6), 7) см. указание к 1).
XVI.1.22. 1) Для любой нечетной на [—1, 1] функции /g R ([—1, 1]), имеем
1
J f(t)t2ndt = 0, n«0, 1, ... }
2) аналогично 1); 3) использовать равенства для / £ R ([0, Зя])
Зя 2л
С / (*) cos ntdt - J (/ (0 + / (/ + 2я) Х[0вЯ] (0) cos ntdtt n > 0j
f / (0 si n ntdt = J (/ (0 + / (/ + 2я) %[0tn] (t)) sin лШ, /i > 1,
а также полноту данной последовательности в R ([0, 2я])»
399

XV1.1.23. 1) Учесть замкнутость последовательности в R ([0, я]) и ваписать
равенство Парсеваля для функции f (t) = t, t £ [О, я]; 2) аналогично рассмотреть
функцию
f(t)
('• 'Фт]'
[О, Гб(^-, я],
XVI.1.24. См. указание к задаче XVI. 1.23.
§2
XV 1.2.1. Ряд Фурье имеет вид
<?=!
2/г — 1
ряд сходится на R и его сумма s равна
Ste)e/'(JC)' *€(—*. °) U (0, я);
S 10, *€ {—я, 0, я}.
Равенство из условия задачи равносильно равенству s (—) = / (~) = ~» Ра#
венство Парсеваля имеет вид
S1 я2
(2£ — 1)8 ~~ 8 •
XV 1.2.2. Ряд Фурье
+4S
sin (2/р — 1) л:
2 + л ii 2fc — l
сходится на R и имеет сумму
*(*) =
(f(x), *€(—я, 0) U (0, я);
1
Равенство Парсеваля
{ 2
, *€ {0, —я, я}#
1.
2 ^ я2 ^
1
(2£—I)2
XV 1.2.3. Ряд Фурье имеет вид
оо
а , 2 V1 sin па
>, cos я*,
сходится на R к сумме
*(*) =
(/(*, л:€ I— я, —a) (J (—а, а) (J (а, я]*
1
— , ^ € {— а, а}.
Равенство 1) следует из равенства Парсеваля, а равенство 2) — из 1) и XVI.1«239 1).
400

XVI.2.4. Ряд Фурье имеет вид
оо
2 J] (- !)"+» 5n nx ,
сходится на R к сумме
Равенство Парсеваля
10, * = я.
J_ 2яа _ у _1
я 3 ~ Zj п
_2
откуда снова получим, что
00
V J g.
SI Я2
Пав!
XV 1.2.6. Использовать ряд задачи XVI.2.4. Ряд имеет вид
оо
0 V sin nx
я—2 >. •
xv,.2.e. -з—is ~ffriS* +li(-»)^^-i
Яа _ Я2 _4__ у 1 у Jl_
3 Г"+ я* Zj (2fc—I)4 + Zj л2 *
XV 1.2.7. 1) Заметить, что
©о оо оо
Я4
и воспользоваться результатом вадачи XVI. 1.24. Сумма равна ~; 2) заметить, что
оо оо оо
2-Ш—2-i—22 (2*)
2 '
я2 7я4
и использовать результат задачи XVI.1.23. Сумма равна у^; 3) ^ту Аналогично 2}.
XV 1.2.9. Следствие равенства Парсеваля и неравенства Коши.
XVI.2.П. Оценить остаток ряда с помощью неравенств из XVI.2,10.
XVI.2.13. Достаточно доказать только утверждение 1). Пусть
%(*>--2#- + i>*(/)cos**
— д-я частичная сумма ряда Фурье для /
°д (*): = — (s0 (*) + *i (*) + ••• + s„_i (*).
п
491

Из представления
я
О
пп sin2 «
следует ограниченность последовательности [оп (0) : /г ^ 1}. Кроме того,
s* (0) < — (sn (0) + sn+1 (0) + ... + «2n_i (0)) < 2a2n (0), л > 1.
XVI.2.14. i)x2 = JL- + 4 J] (_l)"-°2!£Lf *(Е[_д, л];
2) .3 e jj (- iyH-1 (2jl* _ _£) Jll^L , x g (_я, я).
XVI.2.16. Заметить, что / (я) — 0, f' (n) =■ — iL;
/ W e -J5" «* ~ я)3 - я2 (х - я)), * 6 (0, 2я).
XV 1.2.17. К предложенному ряду теорема о почленном дифференцировании
не применима. Используем так называемый принцип выделения особенности:
оо сю во
— V п* sm пх — V si"nx V1 sin пх
Г{Х) ~~ 2j П*+\ П ~"2j П ~ 2л л(л*+1) '
п=1 п=\ 1=1
Согласно XVI .2.5,
оо
, ч V sin пх п — х г /Л 0 .
5W=2j -я—=—2—• *G(' }*
следовательно, g 6 С°° ((0, 2л)). К ряду
00
применима теорема о почленном дифференцировании. Получим
/<™ (*)--/(*), x€(0f 2ге).
XV 1.2.18. См. задачу XVI.2.9.
XVI.2.19. Пусть s —сумма ряда Фурье. Доказать, что 1) s£C(R);
X X
2) [ f (и) du = [ s (и) du, x£R>
о о
ь
XVI.2.20. 1) — \ / (х) dx. Использовать лемму Римана;
а
2я b
2) 0; 3) —— \ f (x)dx\ f (x) dx. Использовать разложение в ряд Фурье функции
о а
Ф, почленное интегрирование, предельный переход и лемму Римана.
402

§3
XVI 3 1 П Sin ** 2^ ] ■ 3) fl2 • 4) *HM. 5> /Л ^
XV 1.3.2. Использовать формулу обращения для XVI.3.1, 3)—5). В 4) сначала
продолжить на R правую часть до четной на R функции.
XVI.3.3. Пусть g — четная на R функция такая, что при *> О g (х) ~ / (*).
Тогда
4-оо
Л (К) = 2 I / (х) cos Ш* = , _,_ 18 , А, € R.
1 + А2
Согласно формуле обращения, имеем
'«--к-Т,нч*а--!-Тттр-л' '£«-
—оо О
G учетом XVI.3.2, 1) получаем
XV 1.3.4. Пусть g — четная на R функция такая, что при х > 0 g (*) = / (х).
Тогда
, Л sin2 -тг-
1 — cos X 2
а согласно формуле обращения
t +Г 4 +Г sin2 A
g (х) = — \ cos Xxg (%) dk = — \ — cos Kxdl.
о о
Далее см. XVI.3.2, 4). Поэтому
'w4o, ,>..
XV 1.3.6. Имеем / (Л) = 2 i-£—, К £ R. Согласно формуле обращения, для * 6
л
€ (—1, 1) имеем
1-*, *€[0, 1];
откуда при дс: = 0 получаем
-{-00
Jsmx , я
— Л~5"
О
XV 1.3.6. Функцию из правой части равенства продолжить до четной на R
функции и рассмотреть ее преобразование Фурье.
XV 1.3.9. Проинтегрировать по частям.
xvi.3.10. J(jy-(<l-lM)An*>. *6[-i. П:
10, |Х|>1.
403

XV 1.3.11. / (*). Эта задача содержит в простой форме важную идею. См.: Ахи-
езер Н. И. Лекции об интегральных преобразованиях.— Харьков : Вища шк. Изд-во
при Харьк. ун-те, 1984.— 120 с.
XV1.4.1. Нет. Да.
XV 1.4.2. Сначала проверить, что достаточно рассмотреть случай, когда
функции /л, я> 1, неотрицательны на [0, +оо). Затем для неотрицательных функций
fm л> 1» ПРИ любом г > 0 имеем
(1)
в силу теоремы о почленном интегрировании равномерно сходящегося ряда. Ряд в
правой части (1) сходится равномерно по г £ [0, +оо) согласно признаку Вейерштрас-
са, а потому по теореме о предельном переходе
оо г оо +°°
lim 2 (/«»*- £ { fn(t)dt.
XVI.4.8. Сначала проверить, что
/*(*)-* 1, а-*0
равномерно на [0, 1]. Затем использовать правило Лопиталя
^jgj- - I J /а (х) dx\ J f(x)a \nf(x) d*-> J
\nf(x)dx, a^-0.
Обосновать дифференцирование и предельный переход под знаком интеграла,
XV 1.4.9. Доказательство основано на следующих утверждениях;
1 1
(i)tfe>0 na С (I— xacosA;)nd*-*0, n-*oo;
8
(ii) V*€[09 e](eg(0, 1)) . cose<cosx<l;
(iii) V {e, 6}C(0, 1), e<6 :
1 8 1_ . .
na ^(\-6xa)ndx-+b «i-rf-i-j, n-^oo.
о
Доказательство (iii) состоит в следующем:
l б
о
n a С (1 — 6*T dx =
откуда
± w*
(1— ц)"^ rfj,,
a6a
lim
/l*too
аб \ б /
J_ е \ / J_ 1 J , \
па [ (1 - Ьха)" dx J = —L- lim lna f (1—o)"wa <fc I
—Ьгл(-Ч+,4))-4-КтИ-
аба
404

1
XVI.4.10. я С/(*)<&.
о
XVI.4.11. у [(/(1, y)-f(0, y))dy+^(f(xt \)-f(x, 0))dx).
XV 1.4.12. Сначала показать, что У (п) -> 0, п-^оо, затем воспользоваться
Георемой о среднем значении.. Предел равен
11
J / (*i> Ч) dXxdxA 2 .
)
/ 1
k
XVI.4.13. -^-( С f(x)dx\ .
XV1.4.14. Заметить, что
J min (xlt . .. , xn) П / (*,) dx, = n\ ) хг П / (*,) d*i =
wmnltxj (хг) ( J П / (xf) dx.dxx -
0 ' [*t*l]n >~2
1 / 1 \ n—1 1/1 \n
- n { *i/(*f) I J / (и) Л* I ^i - П J / (и) Л* I dXl.
XV 1.4.17. Сначала перейти к полярным координатам, а затем к интегралу по
отрезку [п — 1, л], применить теорему о среднем значении, п > 1.
j_
XVI.4.18. я (е 2 - 1).
XVI.4.19. Сделать замену переменных и воспользоваться теоремой о среднем
•начении,
XVI.4.20. Воспользоваться неравенством
1
(хххг .,, хп) п < max (xlt ха, ... , дс„)#
XV 1.4.21. Перейти к новым переменным с помощью ортогонального
преобразования, приводящего А к диагональному виду.
XV 1.4.22. Использовать неравенство Коши.
XVI.4.24. Заметить, что равенства (И) можно записать в виде
2я Ш
J (f (x) + f (2л + х) %[0in] (x)) cos nxdx = J {f (x) + f (2к + х) Х[0#я] (х)) sin nxdx = 0.
о о
Следовательно,
2л
f (/ (x) + / (2я + x) Х[0,я] (*))2 dx - 0,
405

а потому f в точках непрерывности совпадает с учетом (0 с функцией
(х\ *eiO, я);
$(*)= 0, х£(я, 2я);
I— (х —2л)2, х£(2я, Зя).
XV 1.4.25. 1) Проинтегрировать почленно степенной ряд для
подынтегральной функции и воспользоваться равенством XVI.2.7, 2); 2) аналогично 1).
XVI.4.26. 1) Пусть г = cos х + i sin х, х £ R, тогда г = е'\ г" = einx =»
= cos nx + i sin nx.
Поэтому
2 ansinnx=lm( £ Лп)= lm-=—|—-
n=l \гс=0 / aZ
_. 1 — а? asinx р
~lm l_2acosx + a2 " 1—2acosx + a2 ' *
Аналогично
Sn 1 —OCOSX vrD-
an cos лх — «т x ;—s- , x £ R;
«o l--2acosx + a2
2) аналогично 1). Сумма ряда равна
оо
у Jiiifi = e<=os * sin (sin x)i x e R.
oo
3) J] -2J2L- = «<«* * cos (sin *), * 6 R;
rt=0
oo"
4) % a" sil^* -gflcos*sin(flsin*). *eR.
XV 1.4.27. Проинтегрировать ряд
sin nx я — x
Ssinnx я — x
— = §—. *€(0,2я),
n=\
см. XVI.2.5. 1) J^_iHL + Jy-t см- также XVI.2.4;
Я2Х ЯХ2 X3 Я4 __ Я2Х2 ЯЛС3 _ X4
2) 6 4 + 12 ; ' 90 12 + 12 48 '
см. также XVI.2.7.
XV 1.4.32. я2| Am |, где
\Am\:= max {\An\\n^Q}.
Максимум достигается, например, для функции
/(х) = cosmx, x£R.
XV 1.4.33. G помощью равенства Парсеваля получить представление
л я
— J (nx)-g(x))*dx + k J {f'(x))*dx =
—я —я
406

+ X.
Минимальное значение равно
S-T^TP-<<*<*> + **«>
feel
в достигается на функции
XV 1.4.36. Совпадает на (0, 1] с функцией
Заметим, что / 6 С* (R).
XVI.4.37. 0
|/6R<[0, 2J) | J (М*) + /(1+*))«£&-oL
1 1 13
/*(*) = — , х g [0, 1J и /* (х) = — , х£ (1, 2]. Минимум равен —
>

Практикум
Анатолий Яковлевич Дороговцев
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
СБОРНИК ЗАДАЧ
Редактор Г. Ф. Трофимчук
Художественный редактор Е. В. Чурий
Технический редактор И. И. Каткова
Корректор Л. М. Байбородина
Информ. бланк №10108 %
Сдано в набор 27.06.86. Подписано в печать 22.12.66. Формат
60x90Vi«. Бумага типогр. № 1. Лит. гарн. Вые. печать. Печ. л. 25,5.
Кр.-отт. 25,5. Уч.-изд. л. 24,33 Тираж 10000 экз. Изд. № 7543.
Зак. № 7—1047. Цена 1 р. 10 к
Головное издательвтво издательского объединения «Вища школа»,
252054, Киев-54, ул. Гоголевская, 7
Напечатано с матриц Головного предприятия республиканского
производственного объединения «Полиграфкнига» на Киевской
фабрике печатной рекламы им. XXVI съезда КПСС, 252067,
Киев-67, ул. Выборгская, 84.