Н. А. ШАПОШНИКОВ и Н. К. ВАЛЬЦОВ
I
СБОРНИК
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
ЗАДАЧ
ДЛЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ
ПЕРЕРАБОТАННОЕ К. И. ИСАКОВЫМ
- ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
6 — 7 ГОДЫ ОБУЧЕНИЯ
УТВЕРЖДЕНО КОЛЛЕГИЕЙ НКП РСФСР
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО - ПЕДА ГОГИ ЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

Прове „ _ l935
ВКи Л
1	Чац.
•Ч| V —
- шиь
ш	Ответ,	редактор	С.	Калецкпй.	Техн.	редактор	М.	Ткачуков.
Кивга сдана в набор 28'1 1933. г Подпнс. к печ. 15/111 1933 г. Учгиз № 4723. Уполн. Главлнта № В-27747.
Зак. 14 391. Бумага 62X93 см. */„. Емк. печ. листа 53000 зн. Печ. лист. 7. Тираж 650000.
(1-й завод 450000).
1-я Образлавая типография Огнза РСФСР треста .Полиграфкнига". Л1осква, Валовая, 23.

I
ГЛАВА 1.
ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.
§ 1. Обозначение простейших выражений.
Алгебра совершает действия по всем тем обозначениям и правилам,
которые установлены в арифметике, и кроме того вводит новые действия.
Существенное отличие обозначений алгебры от арифметики заключается
в том, что в алгебре вовсе не пишется знак умножения, например вместо
или а'Ь часто пишут ab; вместо 3 Хв или 3-а пишут За;
3	3	За _
вместо 4-а пишут -^-а или 4 . В последнем написании проявляется
арифметический закон умножения дроби на целое. Если надо показать
умножение буквенного выражения на числовое, то знака умножения
пропускать нельзя, т. е. надо писать а*3, а не аЗ.
Обозначение одного или нескольких действий над числами и буквами
называется алгебраическим выражением, например а-\-Ь, а-\-Ь—с.
1. Написать	сумму чисел а и Ь.
1. Написать	сумму чисел т.к п.
2. Написать	разность чисел тип.
2. Написать разность чисел а и Ь.
3. Написать произведение чисел а и Ь.
3. Написать произведение .чисел т и п.
4. Написать частное от деления т на п.
4. Написать частн^е^о^ деления а на Ь.
5. Написать сумму'чисел а м 2.
5. Написать сумму чисел т и 3.
6. Написать	частное	от	деления	а на 2.
6. Написать	частное	от	деления	3 на Ь.
7. Написать	сумму чисел а, b и с.
7. Написать	сумму чисел т, п и р.
8. Написать	произведение чисел а, b и с.
8. Написать	произведение чисел т, п и р.
9. Написать	сумму числа а с произведением чисел	Ь и с.
9.	Написать	разность между произведением чисел т	на п и	числом	р.
10. Написать	сумму числа а с частным от деления b	на с.
10. Написать	разность между частным от деления т	на п и	числом	р.
11. Написать	частное отделения произведения чисел	а и b на	число	с.
11. Написать	частное	от	деления	числа р	на	разносгь	чисел	т	и	я.
12. Написать	частное	от	деления	произведения	чисел	а и	b	на	про¬
изведение чисел cud.
12. Написать частное от деления I на произведение чисел а, Ь и с.
13. Написать сумму числа a Cj.
1*

4
Глава I
13. Написать разность между и числом т.
14. Написать произведение чисел и а.
14. Написать произведение чисел -jj-, т, л и р.
15. Написать полусумму чисел а и Ь. —
15. Написать полуразность чисел тип.
16. Написать полупроизведение чисел а и Ь.
16. Написать одну четверть произведения чисел тип.
17. Написать сумму числа а с частным от деления b на 2.
17. Написать разность между частным от деления 2 на т и числом п.
18. Написать число, большее числа а на число Ь.
18. Написать число, меньшее числа т на число п.
19. Написать число, меньшее числа а в т раз.
19. Написать число, меньшее числа Ь в п раз.
20. Сумма двух чисел s; одно из них а. Выразить другое число.
20. Разность двух чисел d; вычитаемое Ь. Выразить уменьшаемое.
21. Разность двух чисел Ь\ уменьшаемое а. Выразить вычитаемое.
21. Произведение двух чисел р; одно из них а. Выразить другое.
22. Частное двух чисел q; делитель Ь. Выразить делимое.
22. Частное двух чисел q; делимое а. Выразить делитель.
23. Написать общую форму четного числа.
23. Является ли выражение 2п всегда четным числом?
24. Написать общую форму нечетного числа.
24. Является ли выражение 2и -f- 1 всегда нечетным числом?
25. Написать общую форму числа, кратного 3.
25. Является ли выражение Зл всегда числом, кратным 3?
26. Написать	общую форму числа, дающего	при	делении	на	3
в остатке 1.
26. Написать общую форму числа, дающего при делении на 3
в остатке 2.
27. Написать	общую форму числа, кратного 5.
27. Написать	общую форму чисел, не кратных	5.
28. Написать	общую форму числа, дающего	при	делении	на	10
в остатке 7.
28. Написать	общую форму числа, дающего	при	делении	на	12
в остатке 5.
29. Можно ли назвать 4ч четным числом при целом значении и?
29. Можно ли 4п назвать общей формой четного числа при целом
значении и?
30. Какое выражение охватывает собой большее количество четных
чисел 2п или 4л при целом значении л?
30. Какое выражение охватывает собой большее количество нечетных
чисел 2п -4-1 или 4ч -|- 1 при целом значении л?
31. Написать несколько чисел вида 5л и вида Юл при целом зна¬
чении л.
31. Написать несколько чисел вида 5л-{-3 и вида Юл-)- 3 при це¬
лом значении п.
32. Выразить, сколько единиц содержит число, имеющее а десятков.
32.	Выразить, сколько единиц содержит число, имеющее Ь сотен.

Основные алгебраические обозначения
5
33 Выразить, сколько единиц содержит число, имеющее а десятков
и b единиц?
33. Выразить, сколько единиц содержит число, имеющее а сотен
и b единиц.
34. Выразить, сколько единиц содержит число, имеющее а сотен,
Ь десятков и с единиц.
34. Выразить, сколько единиц содержит число, написанное теми же
цифрами, как и в предыдущей задаче, но расположенными в обратном
порядке.
35. Написать число, содержащее в себе а тысяч, b сотен, с десятков
и d единиц.
. 35. Написать число, написанное теми же цифрами, как в предыдущей
задаче, но расположенными в обратном порядке.
36. Написать число с а сотнями и Ь десятками.
36. Написать число с а тысячами и b десятками.
37. Сколько минут в а часах и Ъ минутах?
37. Сколько минут в /и часах, I минутах и р секундах?
38. Сколько миллиметров в а метрах, Ь сантиметрах и с миллиметрах?
38. Сколько метров в а сантиметрах?
39. Сколько килограммов в п граммах?
39. Сколько граммов в р килограммах и	q граммах?
40. Вычислить р°/0 от числа	а.
40. Вычислить д°/0 от числа	240.
§ 2. Обозначение формул.
Алгебраической формулой (или просто формулой) называется соедине¬
ние двух •алгебраических выражений посредством знака равенства или не¬
равенства. В записи формулы не могут фигурировать какие-либо слова
того или иного языка, а только лишь числа, буквы, знаки действий,
скобки, а также обязательно или знак равенства (т.	е-	=)	или	неравенства
(т.	е. > или О. Формула со	знаком равенства	называется	равенством,
например аb = bа\ ab = ba; а-\-Ь = с. Формула со знаком нера¬
венства называется неравенством, например	ab^> a-j- b;-^	<^a—b.	Вы¬
ражение, написанное впереди знака равенства	или неравенства,	называется
первою, или левою, частью формулы; выражение, написанное после, — вто¬
рою, или правою, частью.
Формула выражает некоторую зависимость между входящими в нее
величинами.
Записать формулами следующие зависимости между числами.
41. Сумма чисел а и Ь равна в.
41. Разность между числами	а и Ь равна d.
42. Произведение чисел а и	b равно р.
42. Частное от деления числа а на число b равно q.
43. Число	а, увеличенное числом Ь, равно	произведению	чисел р ид.
43. Число	а, уменьшенное числом Ь, равно	частному от деления	с на d.
44. Число а, увеличенное в п раз, равно числу Ь.
44. Число а, уменьшенное в п раз, равно числу с.
45. Число	а более числа Ь на число с.
45.	Число	а менее числа b на число с.

в
Глава I
46.	Число	с	более	числа	d	в	т раз.
46.	Число	с	менее	числа	d	в	п раз.
47.	Число	а	более	числа	b	в	10 раз.
47.	Число	а	менее	числа	&	в	100 pat.
48. Число	а	более произведения чисел & и с на	число d.
48. Число	а	менее произведения чисел b и с на	число d.
49. Сумма чисел а и b более их разности.
49. Разность чисел end менее их суммы.
50. Частное от деления а на b менее полусуммы этих чисел.
50. Произведение чисел а и b более их полусуммы.
51. Сумма частных от деления а на b и b на а болге 2.
51. Число	2	менее разности частных от деления	а на b и	b	на	а.
52. Если	к	числу, содержащему а десятков и	Ь единиц,	прибавить
число т, то получится число, обозначенное теми же цифрами, но распо¬
ложенными в обратном порядке.
52. Если из числа, содержащего а десятков и Ь единиц, вычесть
число п, то получится число, вдвое меньшее начального.
53. Куплен товар га а рублей, продан за Ъ рублей, прибыли полу¬
чено при этом с рублей. Выразить зависимость между числами а, Ь и с.
53. Куплен товар за т рублей, продан за п рублей, убытка при
этом получено р рублей. Выразить зависимость между числами.
54. Автомобиль в t часов проехал а километров, делая в час по
d километров. Выразить зависимость между числами t, а и d.
54. Куплено а кило товара по т рублей за кило и за все заплачено
s рублей. Выразить зависимость между числами а, т к s.
55> У старшего брата а рублей, у младшего Ъ рублей. Если старший
брат даст младшему с рублей, то у обоих братьев станет денег по¬
ровну. Выразить зависимость между числами с, Ь и с.
§ 3. Коэфициент.
Если какое-либо количество повторяется несколько раз слагаемым,
например а -|- a -J- а, то для сокращения это записывают в виде За, где
3 называется коэфициентом. Таким образом коэфициент есть число, стоя¬
щее перед буквенным выражением и показывающее, сколько раз это бук¬
венное выражение взято в качестве слагаемого. Иначе говоря, коэфициент
есть числовой множитель, т. е. выражение За можно объяснить так: 3
умножается на а.
Если при буквенном выражении коэфициент не написан, то это не зна¬
чит, что его нет или он равен нулю; это значит, что коэфициент равен
единице, которая обычно не пишется.
Если коэфициент дробный, то он не показывает количества одина¬
ковых слагаемых, а рассматривается лишь как числовой множитель; на-
3	3	3
пример 4- а, это значит	или а X > а это последнее выражение
по правилам арифметики показывает, что от а берется часть, а именно
3	-	За
,	и окончательно может	быть	написано	-г.
4	4
Если коэфициент написан при произведении нескольки* буквенных со¬
множителей, то он относится ко всему произведению, а не к первому
только сомножителю; например 3аЬ это значит ab -J- ab -|- ab.

Основные алгебраические обозначения
Все сказанное о коэфициенте применимо и к ряду одинаковых вычи¬
таемых, т. е. вместо а — 6— 6— 6 надо написать а — 3Ь; выражение
х Ау произошло из выражения дг—у—у—у—у.
Написать сокращенно при помощи коэфициентов следующие выражения:
56.
а + а.
56.
д+ А + й.
57.
ab + аб + сб.
57.
abc + аЬс.
58.
а + а + 6 ■+ 6 -|— 6.
58.
а + а + а + 6+6.
59.
а + а — 6 — 6 — 6.
59.
а + а + а — 6 — 6.
60.
а 1 а , а , а
ТГ + 5 + '5 + 5 •
60.
6.6,6
4+4ТТ1
£ а
т + т + т
61
и + и
01*
п + и ‘
Ul(
т + т-\- т'
62.
Jf + ДГ+Х + ДГу +
ху.
62.
х ■+ дг ху + ху+ху.
63.
ab , аЬ . аЬ , аЬ
4 "Г '4 + 4 "Г 4- •
63.
ЗТзТз-
64.
а . а b Ь
2 “г 2 3 3
Ь
3 '
64.
X , х , х у у
З'Т З'т 3] 2 2 *
65.
т | т п п
2> 2 3 ~Т~
п
"ТТ*
65.
a'i . ab . ab , ab
4 ■ 4 * 4 г" ~A *
Написать без коэфициентов следующие выражения:
66. 4аЬ. 66. 3аЬс. 67. 36 + 2с. 67. 26 — Зс. 68.	.	68.
27 6
Ат
69. 3тп — 2pq. 69. 2тп + орд. 70.
АаЬ
70.
3 xyz
§ 4. Степень.
Если какое-либо количество повторяется несколько раз сомножителем,
например а-а-а, то для сокращения это записывается в виде а3, где а
называется основанием степени, 3 называется показателем сте¬
пени, а весь результат'называется степенью. В числовом случае будет,
например, так: 34=3-3-3-3 = 81, где 3 — основание степени, 4 — показа¬
тель степени и 81 — сама степень.
Рассматриваемое действие является пятым по порядку математическим
действием и называется возвышением, или возведением, в степень.
Определение: возвышением в степень называется алгебраическое
действие, по которому некоторое количество, называемое основанием сте¬
пени, берется в качестве сомножителя столько раз, сколько единиц в дру¬
гом количестве, называемом показателем степени.
Нельзя смешивать показатель степени с коэфициентом. В выражении
За количество а берется 3 раза в качестве слагаемого, в выражении
я3 количество а берется тоже 3 раза, но уже в качестве сомножителя.
Если при букве показатель степени не написан, то это означает, что
показатель равен единице, которая не пишется. Показатели степени 2 и 3
называются квадрат и куб, по аналогии с квадратными и кубическими
мерами в геометрии.

8
Глава I
В выражении ab2 показателем при букве b является число 2, которое
не относится к а\ показателем при а является 1. Показатель степени от¬
носится только к одной левей лежащей букве.
Упростить следующие выражения введением показателей степени:
71.	ааа.	71.	bbbb.
73.	2-2-2-2-2. 73. З-З-З-З.
75.	4-4-4-ааа. 75. 5-5////.
77. aabbb — aaabb.
78. pppq — ppqq + pqqq.
79. 3-3 aaaabb — 2-2-2 a aabbb.
80. aaa ... a(m раз).
72.	aabbb.	72.	aaabb.
74.	3 k-k-l-l.	74. 2kkkll.
76. aab -j- abb.	76. abb — abb.
77. aaabb -|- abbb.
78. ppqq + pppq + ppqqq.
79. 2• 2 • 2 • 2aabbbb -j- 3 • 3 • 3aaabbb.
80. mmm ... m(a раз).
Написать следующие выражения без показателей:
81. 23.
81. З2.
82. 52.
82. 25.
83. т3.
83. а4.
84. т2п3.
84. т3п2.
85. а3ЬРс2.
85. аЧЧ3.
86. 32а4Ь2.
86. 23аЧъ.
87. п2 + Ь2.
87. а3 — Ь2.
88. а3 — Ь3.
88. а3-\-Ь3.
89. За4 -j- 2b5.
89. 2а* — Ь4.
90. а".
90. та.
Найти числовые
значения степеней:
91. 23. 91.
З2. 92. 43.
92. 33.
93. 52. 93. 25.
94. Ю2. 94.
103. 95. 203.
95. 302.
96. 4002. 96. 50
97. I5.
97. 0®.
98. О2.
98. I3.
99. (4)':
99. (|)'.
100.(4)".
10°- (т)8*
(4)'-
,02. (4)’.
,02. (1)*.
,03.(21)'.
юз. (з>-)‘.
,04.(34)'.
104. (2 |)’.
105. 0,22.
105. 0,13.
1С6. 0,43.
106. 0,34.
107. 1,2*.
107. 1,12.
108. 2,52.
108. 3,52.
109. 0.0012.
109. 0,013.
110. 0,0253.
110. 0,0352.
Ввести коэфициент и показатели в выражениях:
111. ааа-\-ааа.
112. аЧ-\-аЧ.
113. рЛ-р—ррр.
114. abb 4- abb — aab—aab.
111. mmmm — nn.
112. mrpmn2
113. k + k-\-k- kk.
XXV -I- XXV -+- VXу
115.
zz + zz
Написать без коэфициентов выражения:
116. и2 + 2*3. 116. 3b2 — a3.	117.	2а2-\-ЗЬ3.
2 а?Ь*
118. АЪ3-\-За4. 118. ЗЬ4 — 4а2.	Ц9.
117.
119.
За3 — 2ЬЧ
2a*fc* *

Основные алгебраические обозначения
9
Написать без показателей выражения:
120. За2 — 2/>3.
121 • 2а2*2 — 5а5/?3.
122. За2£с-|-2а&гс— Зс.
123.4 “2 Ьс — а/?2с -f- 2 abc3.
124.
5
rn^rfi'
124.
XtfyS
~aifl т
120. 2а? —ЪЬ2.
121. 4а2/?3 -j- 2а?Ьь.
122. 2а*Ьс — За№с-\-2с.
123. а2 />с + -J а2Ь2с2 — 2а3.
2аЧ> + 3/?3 — сз
d* ’
Написать без коэфициентов и без показателей выражения:
126.	За2. 12Ь. 2а3.	127.	5а4.	127. 4а5.	128. 2Ь3с.	128. 3Ь<Р.
129.	ЗЬ2с3. 129. 2Ь3с2. 130. 2а3-\-Ь2. 130. а2 + З/?3.
§ 5. Корень.
Извлечение корня является шестым алгебраическим действием.
Оно обратно по отношению к действию возвышения в степень. При извле¬
чении корня по данной степени и по данному показателю степени
зг —
отыскивается основание степени. В примере у d = 2 число 8 назы¬
вается подкоренным количеством, число 3 — показателем корня и число 2 —
сам корень.
Корни с показателем 2 и 3 называются иначе квадратными и кубиче¬
скими, показатель 2 над знаком корня не пишут.
Разложить следующие числа на 2 одинаковых множителя:
131.	4.	131.	9.	132.	25.	132.	49.	133.	49.	133. 16.
134. 64.	134.	81.
135. i.
135. А.
Разложить следующие числа на 3 одинаковых множителя:
136. 8.	136. 27.	137.	125.	137. 216.	138.	343.
138. 64.
139. 1000. 139. 1000000.	140
1
125 -
140.
8
З43‘
Разложить следующие числа на 4 одинаковых множителя:
141. 16.
141. 81.
142. 10000=
142.
1296.
143. 625.
143. 256.
144. А
145.
256
655"
Извлечь корни:
146. / 9.
146. /16.
147. у^27.
147.
у^64.
148. ^343.
148. ^216.
149./400.
149. /900.
150-
150. /I.
151-/I-
151.
*/27
У 64'
152. /§.
152. /§.
153./?.
153.
3 /"343
V 6Т-

10
Глава ]
Ш -У154. У\
156./0~09.
158. у 0,125.
81^
56'
156. /0.04.
159.
VI
155.1/ Ц.
155.
V
243
32 ’
157.^0,008.	157.	0,027.
160./0,000001. 160./0,000001.
§ 6. Скобки. Одночлен и многочлен.
Кроме чисел, букв и знаков действий в алгебраическом выражении
могут фигурировать еще и скобки. Значение их в алгебре совершенно
такое же, как и в арифметике.
Алгебраическое выражение, в котором последним по порядку действием
является умножение, деление, возвышение в степень или извлечение корня,-
называется одночленом. Выражение же, в котором последним по по¬
рядку действием является сложение или вычитание, называется много¬
членом (полиномом). Отсюда ясно, что многочлен состоит из одно*
членов: эти одночлены в многочлене называются членами многочлена.
Во всяком многочлене весьма существенно выяснить количество его
членов; член от члена в многочлене отделяется знаками сложения или
вычитания. Многочлен с наименьшим числом членов (двучлен) назы¬
ваема биномом.
Прочесть словами следующие выражения:
161.	а + Ьс. 161. а — Ьс.	162.{а-\-Ь)с.	162.(а — р)с.
'	163.	а — {Ь+с). 163.0 — (Ь— с).	164.	(а— Ь) -}- с. 164. (а — Ь) - с.
165.	(а — Ь) + (с— d).	166.	3 (a -f b) — 2аЬ.
167.	5a6-f 3(с — d).	168.	{a-\- b){c—d). 169. (a + bf.
3	\2	3
170. a2 — b2. 171.2а3. 172. (2а)». 173. (-|a)2-	174.	-J	°8-
175.	Ъ(х-\-у)2.	176.(3x+yf.	177.	Зх+у2.
179.	/а3 — *».	180.	V(a — b) 3.
182.	^(а + Ь)*.	183.	р'(аЬ)*.
185.	у^Зху.
178.(3 (л:+.у)]3.
181.
184. /2(х-/у)-
Указать порядок действий в нижеследующих выражениях, выяснить
одночлены ли они или многочлены, и в последнем случае сосчитать число
членов и показать каждый член в отдельности.
186.	(а — b)c-\-dm.
188.	[(a — b)c-\- d]m.
190. p3 -/ 2m n3.
192.	(p 2m -/ и)3.
194.	mz —(- л2: [{p — q)-r\—s.
187.	a — bc-\-dm.
189.	[a — b(c-\- d)~\ m.
191.	рР-\-(2т-\-п)3.
193. [(/и2-]-n2):(p — q)]:r—s.
195.	m?-\-nz:[(p — q)(r—s)].

Основные алгебраические обозначения
11
Записать буквами следующие выражения, высказанные словами:
196. Произведение некоторого числа на сумму двух других чисел.
196. Произведение некоторого числа на разность двух других чисел.
197. Квадрат суммы двух чисел. 197. Квадрат разности двух чисел.
198. Куб разности двух чисел. 198. Куб суммы двух чисел.
199. Разнос :ь квадратов двух чисел. 199. Сумма квадратов двух
чисел.
200. Сумма кубов двух чисел. 200. Разность кубов двух чисел.
201- Произведение кубов двух чисел.
201. Куб произведения двух чисел.
202. Разность я-ых степеней двух чисел.
202. л-ая степень разности двух чисел.
203. Произведение л-ых степеней двух чисел.
203- л-ая степень частного двух чисел.
204. Произведение л-ых степеней четырех чисел.
204. л-ая степень суммы четырех чисел.
205. Произведение суммы двух чисел на их разность.
205. Частное от деления разности двух чисел на их сумму.
206. Удвоенный квадрат суммы двух чисел.
206. Утроенный куб разности двух чисел.
207. Квадрат утроенной суммы двух чисел.
207. Куб удвоенной разности двух чисел.
208. Утроенный квадрат произведения двух чисел.
208. Квадрат утроенного произведения двух чисел.
209. Куб удвоенной разности двух чисел.
209. Квадрат утроенной суммы двух чисел.
210. Удвоенная я-ая степень разности двух чисел.
210. Утроенная л-ая степень суммы двух чисел.
211. Удвоенная разность кубов двух чисел.
211. Утроенная сумма квадратов двух чисел.
212. Квадрат суммы удвоенного числа а и числа Ь.
212. Куб разности между утроенным числом а и числом Ь.
213. Сумма квадратов сумм а-\-Ь и c-j-d.
213. Разность кубов разностей т — л и р — д.
214. Квадрат полусуммы двух чисел.	*
214. Квадрат полуразности двух чисел.
215. Квадрат учетверенной суммы двух чисел.
215. Куб учетверенной разности двух чисел.
216. Произведение суммы четвертых степеней двух чисел на разность
четвертых степеней тех же чисел.
216. Частное от деления разности кубов двух чисел на сумму кубов
тех же чисел.
217. Кубический корень из суммы кубов двух чисел.
217. Квадратный корень из разности квадратов двух чисел.
218. Квадратный корень из утроенной суммы двух чисел.
218. Кубический корень из удвоенной разности двух чисел.
219. Кубический корень из квадрата суммы двух чисел.
219. Квадратный корень из куба разности двух чисел.
220. Корень четвертой степени из частного от деления некоторого
количества на сумму двух других количеств.

220. Корень кубический из произведения некоторого количества на
разность двух других количеств.	|
221- Корень пятой степени из утроенного частного от деления суммы
квадратов двух чисел на квадрат разности тех же чисел.	|
221. Корень пятой степени из полупроизведения разности квадратов
двух количеств на квадрат суммы тех же количеств.	]
222. Корень я-ой степени из суммы четных степеней двух количеств^
222. Корень л-ой степени из разности нечетных степеней двух количеств.
223. Корень четной степени из произведения суммы четных степеней
двух количеств на разность нечетных степеней тех же количеств.
223. Корень нечетной степени из частного от деления разности нечет¬
ных степеней двух количеств на сумму четных степеней тех же количеств.
224. Кубический корень из квадрата числа, имеющего а сотен, b де¬
сятков и с единиц.	|
224. Квадратный корень из куба числа, имеющего а сотен и b единиц.
225. Выразить число, у которого цифра единиц есть а, цифра десяти
ков двумя больше, а цифра сотен тремя меньше цифры единиц.
225. Выразить число, у которого цифра сотен есть а, цифра десятков
двумя меньше, а цифра единиц тремя больше цифры сотен.
226. Выразить произведение трех последовательных целых чисел, на¬
чиная с целого числа а.
226. Выразить произвезение трех последовательных целых чисел,
предшествующих целому числу а.
227. Выразить произведение трех последовательных возрастающих чет¬
ных чисел, начиная с числа 2п.
228. Выразить произведение трех последовательных убывающих четных
чисел, начиная с числа 2п.
§ 7. Подстановки. Решение арифметических задач
в общем виде.
229. В выражении 2хгу3 подставить а -}- Ь вместо х и ab вместо у.
229. В выражении Зх8у2 подставить а — b вместо х и ^ вместо у.
230. В выражении 3хуг -{- 4х2у подставить abc вместо у и а — b
вместо х.
230. В выражении 4x’y — Зху3 подставить — вместо х и а — b
вместо у.
х- 4* V*
231. В выражении ^yt подставить а — Ь-\-с вместо х и 2я-}-3
вместо у.	‘
231. В выражении	подставить а-\-Ь — с вместо у и 2b — 3
вместо х.
232. В выражении а8 — (2а2 -J- Ь3)3 подставить 4л:3 -|- 5л:2_у вместо а и
8у3 вместо Ь.
233. В выражении 5у/(х2 -(-_у2)3 подставить 2—За вместо х н а "Ь ^
вместо у.

Основные алгебраические обозначения
18
D
]Т
6
\
чС
Черт. 1.
Решить следующие арифметические задачи на буквах:
234 Смешаны а кило чаю ценою по b рублей за кило и с кило
чаю ценою по d рублей' за кило, и вся смесь продана с прибылью в р
процентов. За сколько продали кило смеси?
235. Число т. разделить на 2 части так, чтобы одна часть была вдвое
более другой.	.	^	_
235. Число п разделить на 2 части так, чтобы
одна часть была втрое меньше другой.
236. Составить выражение для площади фи¬
гуры (черт. 1), разбив ее на два прямоугольника.
237. Составить выражение для площади той
же фигуры, рассматривая ее как разность площа¬
дей двух прямоугольников.
(Сравнить полученные результаты.)
238. Нескольким рабочим вместе запла¬
чено а рублей; из них b рабочих получили
по с рублей каждый. Сколько получили остальные
рабочие?	«
239. Ванна наполняется одним краном в от¬
дельности в а минут, другим в отдельности в Ь
минут. Во сколько времени наполнится ванна при совместном действии
двух этих кранов?
239. Каждый из трех рабочих в отдельности может вымостить опре¬
деленный участок в а дней, b дней и с дней. Во сколько времени вымо¬
стят этот участок все трое рабочих?
240. Разбить число т на 4 части, прямо пропорционально числам
a'.b'.c'.d.
241. Из двух пунктов, находящихся на расстоянии d километров друг
от друга, выходят одновременно друг другу навстречу два поезда со ско¬
ростями в а и b километров в час. Через сколько часов они встретятся?
241. Из двух пунктов выходят одновременно друг другу навстречу два
поезда со скоростями в а и b километров в час и встречаются через t ча¬
сов. Каково расстояние ме кду пунктами?
242. Бассейн объемом в р куб. метров заполняется насосом водою
в а часов. В какое время наполнится водою тем же насосом дрзтой бас¬
сейн объемом в q куб. метров?
243. Экипажу корабля отпущена провизия на а дней. Тотчас же по
отбытии обнаружилось, что экипажу придется пробыть в море на Ь дней
больше, чем предполагалось. Какую часть порции придется получать каж¬
дому участнику экипажа?
244.	Что больше: а или abl
246.	Может ли а равняться аЫ
248.	Что больше: а или а2?
250.	Может ли а равняться а2?
252.	Что больше: I/"а или У а?
245.	Что больше: а или — ?
О
247.	Может ли а равняться — ?
ь
249.	Что больше: а или j/a ?
251.	Может ли а равняться 1/а?
253.	Может ли а равняться У а?

14	Глав
4
Вычислить числовые значения алгебраических выражений при задан^
числовых значениях букв:
254. а3 -|- 2а2 — 5а 4" 6 при а * 2.
254. а8 — 2а2-|-5а—6 при а=1.
255. 68 — 362-f36+10 при 6=*.
255.	68-f 362 — 46-f-10 при 6 = 4 .
О
256.	а4-|-7а3 — 7а2 — 15а—72 при а = 3.
256. а*-\-7а3—15а -|- 70 при а = 2.
х3 — хЯу + Зху — 27	„	.
257 .	s— 	 при	лс=3,	_у=1.
___ л:84-х2у-\-ху2—15
257.	 —	g	 при лг= 1, у=2.
ч
1—т-\- trfi .	6/и3— 4	,
258.,—;	„т,	„	при	/м=1.
1 -f- т — тя 1 1 -\-т — /л» *
\-\-m — т2 .	6/м3	4-4	,
258.-г-1		—5-4-т	:—т- при т = 1.
1 — т-\-т2 1 1 — /м 4- /я2
259. a(a-\-b — c)-f-a при а = 2, 6 = 3, с = 5.
259.	т (т — п—р)-\-т при /м = 7, л=2, р = 5.
260.	при	д;	=	2,	у/=3.
260' при *=3- ^=2'
261. (а — 6 4~ с) а — а при а = 5, 6 = 2, с = 3.
261.	(/и — я + Р) Р—Р ПРИ /к = 8, п = 2, р=3.
псп	14-0»	1.1
262>4 + ab)i -t- (а + о)» при "“г’	Ь~3'
псп	1—а2	1	.	1
(1—аб)2 —(а—6) ПрИ а~ 2 * w 3*
263.	л: — л:(.у— z) при лт= 10, _у = 8, z*
263.	а — а (6 — с) при а = 5, 6 = 4, с = 3.
«л. а (в+6 — с) 4-а — 4,,	„	,	0	.
264.	 —	г 1 при а = 2, 6 = 3, с = 4.
а	1
т(т — п — р)-\- т -\-28	.	_	„
264.	— 				^-5	при	т = 7,	п = 2, р = 3.
т	1
265.	[а(а2— 6') — аб—16]с:2 при а = 5, 6 = 4.
265. [л: (л:2—У2)-{-ху — 21] г:2 при л: = 3, у = 2, г—1.
266. {[(а—4)а — 3]а4-5}а — 75 при а=5.
266.	{[(а4*4) а4*3]а-}-5}а — 70 при а = 2.

действия с относительными числами
15
ГЛАВА II.
ДЕЙСТВИЯ С ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ.
§ 1. Приведение подобных членов многочлена.
После того как алгебра ввела в практику относительные количества,
ясно, что и члены многочлена должны рассматриваться с их знаками. На¬
пример в многочлене За — 2Ь — с всего три члена: первый -j-За, второй
_2& и третий —с.
Отсюда ясно, что члены многочлена могут быть переставляемы. Напри¬
мер многочлен а — Ь, в котором первый член есть -j-a, а второй —Ь,
может быть представлен в виде — Ь -{- а, т. е. справедливо равенство
а — Ь=» — Ь-\- а.
Если члены многочлена отличаются только коэфициентами и знаками
при них, то такие члены называются подобными.
Подобные члены многочлена соединяют в один, и это упрощение вида
многочлена называется приведением подобных членов. При приведении
подобных членов многочлена надо совершить указанные действия не над
самими членами многочлена, а только лишь над их коэфициентами, полу¬
чить новый окончательный коэфициент и к нему приписать то же буквенное
выражение.
Привести подобные члены в многочленах:
1.
lab + Sab.
1.
bab 4~ 7 ab.
2.
5a2b -j- 2a" b.
2. 0a?b-\-8a2b.
3.
ab —2 ab.
3.
9 ab — 4 ab.
4.
4cPb — 2 a2b.
4.
10a2 b — Ba2b.
5.
— 7 a? — 4a3.
5.
— 9a3 — 5a3.
6.
2 ab2 — 9 ab2.
6.
3ab2 — Sab2.
7.
6 a?bc -j- 3 a2bc -}- a2bc.
7. 3a2bc -J- a2 be 4- 8 a?bc.
8.
3 (a-f-£)«-j-7(a-f-£)2-j-{a-l-6)2.
8. 4 (a — b)2 4- 2(a—b)2 4 (a — bf.
9.
— 5m? — tn? — 8/к3.
9.
1
со
1
1
a
10.
3 anbd? -f anbd? -f- 9anbd?.
10.
8 a^bd? — 4ambd? 4- ambd?.
11.
— 2 d?bm — 3a3bm — a?bm.
12.
— 4 a2b" — 8a2AB — a4n.
13.
5(a—£)3-{-3(a—b)3 -f (a—b)3.
14. 2(a4-£)3-f 7(a4-A)34-(a4-/»)3.
15.
3a3 — 3a3 -j- 5a3.
16.
4 a2 — 4a2 -4- 7a2.
17.
\Sa?b -\-\0a2 b— 10a2b.
18.
\3ab2 -\-Sab2 — Sab2.
19.
13ab* — bab* — 1 Sab*.
20.
11 a?b — 7a?b — 1 la?b.
21.
9 a2b3 — 4 a2b3 — ЪаЧ3.
22.
11a4 —7a* —4a4.
23.
5a* -f 5a4 -f- 9a3.
24.
17 a? be2 — 11 aPbc2 4- 3a2b2c\
25.
23ambn-\-11 anbm — 4 anbm.
26.
4a2b — 5a2b 4- 7a?b — a2£.
27.
25a3b3 -f- 10a?b3 — 8a?b3 — 9а?№ -f 2a?b3.
28.
1 От? — Sma -j- 13ma — 20ma ■
— ma.

16
Глава i||
29. 5а3сх — 7а3сх — 1 ЗсРсх — а3сх -(- За3сх.
30. 10а (х -f- у)5 —11а (х -f _у)5 — 7а (л: -J-3;)5 — а (дг -]-_у)Б -j- 7а (х -}-.у)&
31. ~ах-{-~ах—\ах— ^ ах. 32. ^by— by \-by-\-\,\by.
33. 7аЧ — П^аЧ-\-З^аЧ — 2у"2*'	*	*	'
34. — 0,27а#! + 0,23а#2 —
35. — 1,25а3 -f -| a3 -f 2,5а3 —
~|а» &
36. 5адг—6bx -f- Sax — 1 Оал: —
— 15#хг -}- бал: -(- 20#хг — ах.
37. 2аЧ — ЗаЬ2 + 7а2* — 1 Оа*2 — 15а2* + 1 Sab3 — ab3.
38. 5а3 — 7 а2* + lab2 -f- аЧ — 2 а3 — Sab3 -fa3 — 12а*2 -f ЗаЧ.
39. a2 be — ~ abc2— у аЧс — у abc2 -{- abc2 — 2a2 be.
40. -| a*3 -f 3*2 — a^c2 -j- 4a2 -|- ЗаЧе? -f ЗаЬ3 4. -1 a2 — 7a*c.
41. За5 — ab2 — \аЧ — 3c2-f у a5-f 2a?*-f у с2 — 4as-\-2abz —
-Ac2- 3a* — g0 a'b -f 3a* v
42. Квадрат разбит на части, как указано на чертеже 2. Найти плеч
щадь каждой части и затем площадь всего квадрата.	.
43. Квадрат разбит на части, как показано на чертеже 3. Найти пло¬
щадь каждой части, а затем площадь всего квадрата.
(
§ 2. Сложение и вычитание.	,
Для того чтобы сложить два относительных количества, надо опустить
знак действия сложения, опустить скобки и написать оба слагаемых рядом
с их знаками, например (-f a) -f ( — b) = а — Ь.
Для того чтобы вычесть два относительных количества одно из дру¬
гого, надо опустить знак действия, опустить скобки, переписать уменьшае¬
мое с его знаком и рядом написать вычитаемое с обратным знаком, на¬
пример: (-f-a) — (— b) = -\-a-\- b.
При сложении двух многочленов надо: 1) опустить знак действия
сложения, 2) опустить скобки, 3) переписать оба многочлена с сохранением
всех знаков при всех членах и 4) привести в получившемся результате
подобные члены.
При вычитании двух многочленов надо: 1) опустить знак действия вычи¬
тания, 2) опустить скобки, 3) уменьшаемое переписать без всякой перемены,
4) приписать к нему все члены вычитаемого с обратными знаками и 5) при¬
вести в получившемся результате подобные члены.

ч •
действия с относительными числами
17
Произвести сложение:
44. ( + 3) + ( + 8).
45. ( + 5) + (- 2).
46. (+5±) + (-9-1).
47. ( + 5)+ (-5).
(-7,5) +(+10,2).
(— 7,4)3).
(-7) + (-3).
(— 2) —j— (— 4) +- (+ 3) + (— 5).
(— 3) —(—j— 4) -J— (—j— 3) -{— (— 2) -j- (— 2)
48.
49.
50.
52.
53.
54.
56.
58.
60.
61.
62.
63.
44. (+1) +( + 7).
45- (+7t) + (-3t)-
46- (+4)+(-пт>
47. (+ 7) + (— 7)-
48. (-5,4) + (+10,6).
49. (-8) +( + 2,5).
51. (-7) + ( + 7).
( + <*) + ( — *)•
(— a) + (— b).
(— a) 4 (+ a).
( + *) + ( + *).	55.
(—e) + ( + *).	57.
( + „) + ( —e).	59.
( + fl) + (_A) + (_c).
(Ч- a) 4- (— b) + ("Ьc) (—e0-
(_<,) + (—A) + ( + C, + (_d) + (_C).
(— a) + (+ b) + (+ a) + (4- c) + (— b) + (— c).
Произвести вычитание:
65.
67.
69.
64.	( + 8) — ( + 3).
66. ( + 8)-(+9,4).
'N68. (— 2) — ( + 7).
(-4M+D-
71. (—7) — (— 7).
72. (+ a) — (+ b).
73. ( +a)_(_£).
74. ( — e)-( + *).
75. (— a) — (— b).
76. (— a) — (— a).
77. (+ a) — (— a).
78. (— a) — (+ a).
Сложение и вычитание:
79. ( + 5) — (— 8) + ( — 2) + ( + 1) — (— 3).
79. ( + 3)-( —7) + (-l) + ( + 2)-(-4).
80. (— 1) + (— 6) — ( — 2) + (— 5) — (— 7).
80.	(— 2) + (— 5) — (— 3) + (— 6) — ( — 9).
Сборпжк алгебр, вадач, ч. I.
( + 8,5) —( — 3,4).
(— 8) — ( — 8).
(— 2,5) — (— 7).
70. (_8l)-(-li-).
71. (— 8) — (—8).
72. (+ m) — (+ n).
73. ( + «) — (-я).
74. ( — m) —( +«).
75. (-m)-(-ri).
76. (— m) — (— m).
77 .( + „)_(_«).
78. ( — m) — (+ m).

■(Z —) — (9 — ) + (t‘S —) — (t‘s —) '88
•(Z — ) — (8 —) — (t — ) + (S — ) + (S + ) '28
•(8 —) — (l —) — (t — ) + (l — ) + (9 + ) '28
•(Z — ) + (S — )“(2 + )-f (2 + ) — (S —) — (S —) '18
•<9-) + <g-)-(S + ) + (H-)-(t-)-fe-) '18
Ю
Id
u
с
1Л
CD*	^ w О
I	^	1	‘	+
—	a;	"S'	®	—
I + I +
—ч	'— _L	I	I	52	00
+	* t + J	ii±i	T	i
T	ll+	1	1 +I '	1	T
[	-IJLtT	?tI=	s	+
00
+
a
CO
2	^1®	!	J	ff	“Ь	I	K	■	ю	I	b-	-j
I + I i=f+I x + +	0.	-*7
_
-J'*'. ±±±ilr-- ^±±ii»^	^	+±	s|S
i	i	.1 i JL	i JL i т i i + + i i	•	T	. T Л.	•? Iй?
+	i	i	I i iii + ±7 i+tiI±±	.	1	1	+ T i	.+ + +
+	'	1	I	+i	± + + 1 ^ <§ 1 i
4S -C ^ -C «=<5 «.^5	<“ os’io _L I» со
-i.±u±±iiu?i±±ii^i"£i м l^+ii
i	i	±± + ±	+ ±!!tI + ± i i jLi	i	i	i	1 T7	°	+ «+ j"
-	^	i j_ i	~ь j_^ i _[_ + 1	i i	|	s,« i ” и
со ti* lOintotBhsoocoad'" мИммп^ющгчоой § as rj £? 23
oo я йооиаооюооюоовволпйойвайвб) U as о о о

Действия с относительными числами
19
Вычитание одночленов:
104.	150»^ —( + 8дЗА»).	105.	-~а —(—-|а).
106.	— |а2-(—Ja2).	107.	—0,2л* — (+ 0,05л41).
108. 6,3а3б2с — (+У аЧЧ^ .
Сложение многочленов:
109. — аЧ + ( — аЧ + Ь3).	110.	a	-f-J	Ь-\-	^а	+	^	б)	.
111. (За4 — 4а3б + 7а2Ь2 -f аб3) -f- (— 2а‘ — баб3 -f аЧ -{- б4) +
+ (За3 Ъ — 6а2 А2 + 5дб«).
112. (х4 - j- Зал:3 — Ьх2 -}- Зел — d)-\- (4л:4 — бал3 4- 5bx* — 3cx+2d)-j- '
-|- (— 5л4 — бал:3 — 5Ьх2 — Зел: — 2d).
43. (1 * -4 <Л + ' 4.) + (-4 «■ -1 <,Ь+\6» -4«»Я
114. (l4-|a3_ 7-|а2б + 6-|-аб2 + И-|-б3)-|-
+ (—74а3+ 14уа26 —З^ай3— 17-J-6»).
115. [2 (а — 6)-f 3(а — б)2 — 5 (а — 6)3-|-c]-f [ — 4(а-б)3 —
— 2 (а — Ь)2 -|- (а — б) -}- с].
116. [3** (л* + 2)" — Зл:2 (л:2 -J- 2)2Я -{- 5л: (л:2 -j- 2)3*]-f [—л:2 (х2 -j- 2)2а-\-
-j- 5jc(jc2 + 2)зп— 2л:4 (л:2 -f 2)«].
117. 4,8д3б2с — 0,05а4б3с2 -f 2,8asb*ca _j_
+ [ — 0,4д262е + 0,005а4б3с2 — 1,4а5^с3].
118. 0,8а2 — 3,47аб — 17,25ac +3,756с+
+ [- -|а8 + °'47а*'Ь12ТА<!] *
Вычитание многочленов:
119. 2tn — (т -f- я2).	120.	8я2 — (Зя2 — 5ю3),
121. Ц т* +1 я - (17 /я3 -1 я).
122. (а2 + 2аб -f б2) — (а2 — 2аб + Ь2).
123. (4л:2 -j- 2 ху -j- 3_у2) — (— х2-\-ху-\- 2у2).
124. (5а — 36 + 6е — 7d) — (За — 86 + Зс — 2d).
125. (За4 + 7а2Ь2 — аЧ — баб3-f-464)—(а4—4а36-}-6а2б2-lab3-)-б4).
126. ^>2 -я® 4" Зал: — -7- а2^ — ^2л:2 —^ а2 — ал^ .
§ 3. Действия со скобками.
Скобки в алгебре, как было уже сказано, имеют совершенно то же
значение, что и в арифметике. Скобки бывают трех видов: малые (или
круглые), квадратные и фигурные.
2*

20
Глава II
Нижеследующие задачи даются на раскрытие скобок. Правила сложения
и вычитания многочленов в алгебре позволяют раскрывать скобки в любом
порядке (чего нельзя или почти нельзя	делать в арифметике).
127. а-\-[Ь — (с — d)].	127.	а — [6 + (с — <*)]•
128. а — [(6 — с) — d\.	128.	а-[(6 — с) + й].
129.a—{b — [c — (d+k)-\\.	129.	а— {64 [с — (d— Л)]}.
130. а-\- (b— [c-\-(d— ft)]}.
130. а+{Ь — [(с — d) — £]}.
131. 2/га— {3/га— [4/га — (5/га-j- 6/га)]}.
132. 8/га— \bm-\-\7m — (10/га — 2/га)]}.
133.	с — {56-}-[Зс — За — (а + 6)] + 2а — (6 + Зс.)}.
134.	а-\- {46 — [а — (Зс —36) -\-2с-\-(а — 26 — с)]}.
135. х — { 2у -[- \3z — Зл; — (x-\-z)\) — [2х — (.У-}" За)].
136. (Зл:2 4- 4у2) -]- {(л:2 -}* 2ху —у1) -}- [2х2 -}- 2ху — ( — 4л;_у -[- Зу2)] }.
137. 7ат—{2ат-\-[а? — Зат-\-(Ьат — 2ап) — 4ст] — 2ап).
138. 6ат 4- { 4ат — [86я — (2ат -f- 46я) — 226я]} —
— {76я [9ат — (36я 4- 4ат) -[- 86я] 4-6ат\.
139. (2а — 36 с) — { 2d — [46 3d — (За 2г)] - а — (с—d)}.
140. ат — [ — 6я-1 Зсп+2 — 1 — (2ат 4- 46я-* — ся+2)] —
— [ — 3 dm~i -J-З ат — ( — 56я-1	4ся+2 — 2dm~1)	1].
141. — (а - 1)я — ах ~ 0.099 4- [— [а — I)2 — ах — 0,э)] j .
Очень часто в алгебре требуется переменить у числа знак на обратный,
от этого число изменяется: из положительного обращается в отрицательное
с сохранением той же абсолютной величины или из отрицательного обра¬
щается	в положительное. Если, например,	у числа 4" 5	переменить	знак
на обратный, то будет — 5. Если же надо	переменить знак	на	обратный
у числа, имеющего многочленный вид, например у числа а — 6, то можно
поступить двояко: или написать — (а — 6) с обязательными скобками, или
написать — с + 6, раскрывая эти скобки. При перемене знака на обрат¬
ный у числа /га — п — р -\-q — г получим: — tn-\-n-\-p—Я~\~г' Одним
словом: при перемене знака на обратный у числа, имеющего многочлен¬
ный вид, надо менять знаки на обратные у всех членов многочлена.
Наконец очень часто требуется в алгебре переменить у числа знак
на обратный два раза, от чего число вовсе не изменится, например:
4-п=—(—о) и —6 = — (4-6). Если придется это сделать с числом,
имеющим многочленный вид, то получится: а — 6 = — (—а-^-Ь) или
а — 6 = — (6 — а).
Итак, если в числе переменить знак на обратный четное число раз, то
число не изменяется: если нечетное число раз, то число, не меняя своей
абсолютной величины, меняет лишь свой знак.
На основании выш. изложенного решить следующие задачи:
142. Не изменяя значения многочлена х—y-\-z— ы, представить его
в различных видах, поставив скобки: 1) перед х и после и, 2) перед z
и после и, 3) перед х и после z, 4) перед у и после и.

Действия с относительными числами
21
142. Не изменяя значения многочлена —х-\-у — z 4- и, представить его
в различных видах, поставив скобки: 1) перед х и после и, 2) перед г
и после и, 3) перед х и после z, 4) перед у и после и.
143. Не изменяя величины многочлена /га2—Зга2-|-4дг — 5д2—г2, по¬
ставить скобки: 1) перед Зга2 и после 4р2, 2) перед 5ф и после г2,
3) заключить весь многочлен в скобки и перед ними поставить знак — .
143. Не изменяя величины многочлена — а2-{-262 — 3 с2-\-Ы2г2,
поставить скобки: 1) перед 2ft2 и после Зс2, 2) перед Зс2 и после г2,
3)	заключить весь многочлен в скобки и перед ними поставить знак — .
144. Не изменяя величины многочлена а*— a2ft-{-aft2— Ь', заключить
его в скобки, поставив перед скобками знак —.
144. Не изменяя величины многочлена — /га2-{-/гага — га2, заключить его
в скобки, поставив перед скобками знак —.	*
145. В выражении а3 a2b — aft2 — ft3 заключить средние члены в скобки
со знаком -{- перед ними и крайние тоже в скобки со знаком—перед
ними.
145. В выражении a3 -f- a2b — aft2 — ft3 заключить крайние члены в скобки
со знаком -{- перед ними и средние тоже в скобки со знаком — пе¬
ред ними.
146. Многочлен а2 — 4ft2-}-3aft — с* представить	в	виде	суммы	двух
слагаемых, из которых одно: — 462 -{- 3ab
146. Многочлен а2 — 4ft2 -j- ЗаЬ — с4 представить	в	виде	суммы	двух
слагаемых, из которых одно: —4ft2 — с*.
147. Многочлен а*-\-2а3— За2 — 4а разложить на два слагаемых, из
которых одно: а4—За2.
147. Многочлен а4 4- 2а3—За2 — 4а разложить на два слагаемых, из
которых одно: 2а3 — 4а.
143.	Трехчлен а-|- ft— 1 разложить на два слагаемых, из которых одно
должно быть равно а.
148. Трехчлен а — ft-j-1 представить в виде разности с уменьшаемым а.
149. Не изменяя значения выражения a -{-(ft — c-\-d) — (е -{-/—g) -+-
A-(h — /)-{-( — /— /га), заменить в нем перед скобками знаки сложения
на знаки вычитания и обратно.
150. Раскрыть скобки в выражении —(1 — 2га -}- Зга2 -[- 4га3).
150. Раскрыть скобки в выражении —(—1-{-а — а2-{-а3).
151. От сложения каких двух одночленов получится в сумме двучлен
— a —ft?
151. От вычитания каких двух одночленов получится в разности дву¬
член — а — ft?
152. Не изменяя величины многочлена а4 — 4а3 — За2-{-2а — 5, по¬
ставить скобки перед 4а3 и после За2, перед 2е и после 5, затем все
выражение заключить в скобки, перед которыми поставить знак —.
§ 4. Умножение одночленов.
При умножении количеств с одинаковыми знаками нужно
перемножить их числовые величины и поставить перед про-
2	4	8
изведен и ем знак (-{-),• например: — -g- — 5 =	15 - ^Ри Умно~
жении количеств с разными знаками нужно перемножить их числовые

22
Глава И
величины и поставить перед произведением знак (—); на-
3	4	12
пример: ?--т = -35.
При умножении нескольких сомножителей надо перемножить их число¬
вые величины и поставить перед произведением знак (-j-) в случае чет¬
ного числа отрицательных сомножителей и знак (—) в случае нечетного
числа отрицательных сомножителей.
153. Н-2).(+8); (-ЗИ-И); (+.2) ■(+£;; (-3).(-f~J-).
154. (+5)-(-2); (-4М-3); (+5)-(—£); (_4).(—|).
155. + 6—J;
157.+-f.+|;
~8—V -Т- + 12; —у— 14¬
  7 , 3.	5	_6.	 7	6
3"Т7:	I 2"	5'	3	‘ . У’
 6 *14.	, 3 _ 2.   3	14
7 •'Г 9»	I *2""	§	’	7	’ Т'
158. (4-0,6)-(-0,2); (-1,2).(-0,5); (+0,3)-(+ 1,2);
(-1,3). (-0,2).
159. (+4).(-1).(-2); (—5)-(-J- 2)-(— 1).
160. (4-0,5)-(— 1,5)-(—4)-(—0,1).
Г) • (-+- 0-2) • (— 4 ) • (— и) • <-1 >-
9
162. (-\-а)-{-Ь).
163. (-c)-(-d).
164. (—т) (-\-п).
165. (-я)-(+£)-(-с)
166. {+т)-{—п)(—р).
167. (+*)•( КуМ—*)•(— *)■
168. (+■*)•(—JM—*)-(—0 ■
169.	а3• а2.	169.	а2-а3.
171.	сп £2.	171.	ст-с3.
173.	д:а-уза.	173. х3а-у°.
175. у*-у3-у1.
177. ит-ит-ип
175.	у2‘уя-уь.
177.	ит-ип-ип.
179.	bm~*-bm*3. 179. bm*i-bm-3.
181.	dsa-1-da+1. 181. cn~1-d2n+2.
183. 7a4-3aW.
184. 10аь6с ■ 2abid3.
185. з a?b3c-2^a4cd3.
186. — -j'at>bicfi — *4 ab2cnd-
162. (-a).(-f-^).
163. (+c)-(+d).
164. (+ m){-^n).
165. (+«)• (-£)•( + c).
166. (-«)•(+«)■(-/>)■
167. (-.*)• (-.?)•(+*)■(+<)■
168. (—*).(—j,).(+*)•(—/).
170.	bi-Ь.
172.	dm-dm.
174.	X'X2'XZ.
176.	zm-zn-zP.
170. b-b6.
172. dn dn.
174. л:2-л;-л;*.
176. zm'Zp'Zn.
178.	a2"-1-a2/,+1.	178.	а^3-азп~\
180.	M*'2-#2.	180.	b3a~'-b.
182. 3a2-5a3.	182.	4й3-2й2.
183. ЬаЬ3 • а2Ьъ.
184. 7ab3c-3b2c3d*.
185. -I a*bc2-2-1 abed*.
4	z
186. — -|eW. 2 <HbcBd».

Действия с относительными числами
S3
187. ЪатЬп~ 2 А апЬт+Нп.	187.	— 7ап~Чтс— А ат+^Ьа.
*	О
188. — 4,2а*пх2т-5а3хул.	188.	0,4а3пхт—5а3хут.
189.	— 2~с{Р-у.	189.	— ^-Ь^хР-ЗЬ^хЗ-РсР.
190.—0,3_у2Я1+я“1 — 0,2у-зт.	190.	-0,lzm+n-0,5zm-3n+s.
191. Ад.п+2т-з—Алг1"^.	191.	145лп,+Уп-3 — ~х3'зту.
192. —3 (а — bf ■ А (а — Ь)3.	192.	4 (a + Ь)*— А {а-\-Ь).
193. 5 (от-}-2я)7.—1 А(от-{-2я).	193.	— 1 А(ОТ-_2«)б.7(т — 2«).
194. —2^x(y-\-z)P- j x2b'-\-z)P-1.
195. а2 (а3 — д3). (а3 — Ь3)й • а (а3 — Л3).
196. л:5 (от — п)т-г-х(т — я)5“2т-(от— я)2.
197. а5-а5.	198.	За-За.
199. 2а3Ь3с-2а3Ь2с.	200.	а2-а2-а2.
201.	b5-b*-b3-b5.	202.	5a2b-5a2b-5a2b.
203.	(7аэсх2)2.	204.	(ба&х3)3.
205. (— -J jc4J’5)2 •	206.	(—2 A xpy.
207. (—I a2xmJ.	208.	(—А
209. [За26 + (— 6а26) — (— 2а2й)] • 2аЬ*с3.
2Ю. [— 7,4от12д4 + (—7,6от12я4)] ■ 0,4от2я3 — 2ап3.
211. [зс3*4 — (в A с3*4 — Э^с3*4)] • [ 2ас2*2 — ~ ас2х2 ] .
§ 5. Умножение многочлена на одночлен.
При умножении многочлена на одночлен (или наоборот) надо каждый
член многочлена множить на одночлен. Таким образом число членов про¬
изведения многочлена на одночлен равно числу членов многочлена.
212. (о + & — с)-3.	212.	(а — Ь-\-с)-2.
213.	(2а — 4£ + фЗ.	213.	(Зо + Ь—4с)-2.
214.	(— 5*4-3j/ — 8г) — 2.	214.	(— 6* — 9_у+ 2z) — 3.
215. (х — y-\-z)—-g-.	215.	(x+y—z) — А.
216.	2(a + fe — с).	216.	3(а — Ь-\-с).
217.	—5 (—а — b-\-c-\~d).	217.	— 4(— а-f Ъ — c-f d).
218. (т-\-п —р)>—А.	218.	(от —л+ />)■ — ® .

24
Глава 11
219. (7 а — ЪЬ-\- 2с) • 2d.	219. (5а ЗЬ — Зс) • 3d.
220. (За2Ь — 2а#2 -f- b3) ■ 2а2Ь2.	220. (5л3д	7и2Ь2 — аЬ3) ■ За?Ь2.
221. (— ЪЪ2 -f- 2bc3 — 4cd) • ^ 1?с3.
222. (— 2аЧ2 -|- 5аЬ3 — 71?) — 4аЬ.
223. — 2а3л;3 ■ (— 4 а2х -J- 5а3дг3 — Зал:2).
224. 1 тп2• (-j т2 — § tn2n-(-m-i2 j .
225. (7an — 3an-Jb-\-2an-2bm)-—0,4an+2b2.
226. (— -3 km~2 fn~3 — 2,4km f + 0,2/5-2n^ — 5/г4~и/2я.
227. —	•	(З65 — 4с3 + 9t?c2 — 27).
228. ( 8а1-2ст -J- А3 я —	а2~зт1?~2а + 2Ь*) • 6азя,-1Л2я-3.
229. (— 9хРув — 4хР-'уч-2 + ЗхР~2уЧ~*—уЧ~ъ) — 0,5лР+3уР+я.
230. [л2 (л2 4- 2)” — 2х (х2 4- 2)п+2 4- 4 (л2 4- 2)я+3] — Зх3 (л2 4- 2)“-з.
231. [ з (а 4- Ъ)р (а — Ь)ч~2 —	(а 4- й)*-* (а — Ь)ч~' —
— | (а 4- Ь)Р~2 (а — Ь)ч j • 0,6 (а 4- Ь)р+2 (а — Ь)*+2.
§ 6. Умножение многочленов.
При умножении многочлена на многочлен надо каждый член одного
многочлена умножить на каждый член другого и в результате, если это
возможно, привести подобные члены.
Предвидеть число членов окончательного произведения многочлена на
многочлен невозможно. Надо только знать два возможных крайних слу¬
чая: наибольшее и наименьшее число членов этого произведения. Наи¬
большее число членов произведения многочлена на многочлен равно про¬
изведению числа членов одного многочлена на число членов другого мно¬
гочлена; ясно, что это будет иметь место тогда, когда в произведении
вовсе не будет подобных членов. Наименьшее число членов произведения
многочлена на многочлен — два члена, а именно результаты умножения
старшего (в смысле показателя) члена множимого на старший член мно¬
жителя и младшего члена множимого на младший член множителя.
232. (а 4- Ь) (с -\-d).
233. (За — 46) (2с 4- 3d).
234. (За4~2£) (а— Ь).
235. (4Ь — 5с) (3*4- 4с).
236. (2а2 4- ЗЛ2) (За2 — 21?).
237. (6а3Ь — 562) (2аЪ3 4- За2).
238. (Зат-ЗаЬ2п)(2а-\-а2тЬп-*).
232. (а— b) (c-\-d).
233. (2а 4- 36) (2с— 50).
234. (За — 2Ъ) (а-\-Ь).
235. (4Ь 4* 9с) (Ь — 5с).
236. (4а2 — ЪЬ2) (5а2 — 41?).
237. (7at? 4- ЗЬ3) (2ab3 — 4а2).
238. (6аР 4- 2аЧ*) (а — 3а3^+4).

Действия с относительными числами
29
239. (5cm~2dn 4- 4cd3~B) (2с4~т — cdn+i).
239. (3cm*2d2 — 4cdn~s) (5c5m-\-cd*~n).
240. (*—y-\-z)[a-\-b).	240.	(дг-f	y	—	z)	(a	—	6).
241. (a2 -j- 3ab — 2b2) (2a2 — 36).	241. (3a2 — 5ab -f 262) (a2 — lab).
242. (3x2 — 4* -[- 7) (5*2 — j; — 4).
242. (x2 -f 7* — 5) (x2 — 2x -f 7).
243. (5a3 — 2a2x -J- ax2) (2a2 — ax-^-x2).
243. (3a3 — 2a2b + ab2) (2a2 —ab — 5b2).
244. (a2 — 26* 4- x2) (a2 4- 26*—x2).
24 4. (a2 4- 46* — x2) (a2 — 46* 4- x2).
24-5. (8*3—4*2_y 4- 2xy2 —y2) (2* — 3j).
245. (6y3 — 3xy2 4- 5x2y — *3) (2* 4- 3>»).
246. (a* - a36 4- a262 — e63 4- 64) (a 4- 6).
246. (a4 4- a36 4- a262 4- аб3 4- 64) (a — 6).
247. (a® 4- 3a462 -|- 9a264 -f- 276е) (a2 — 362).
247. (8a6 — 4a462 -{- 2a264 — 66) (2a2 4- б2).
248. (x3 — бах2 4- 12а2х — 8a3) (x2 — 4a* 4- 4a2).
248. (x3 — 96x2 4- 2762x — 2763) (x2 4- 66x 4* 962).
249. (a2 - 2a 4- 1) (a4 4- 2а3 + 3a2 4- 2a 4* 1).
249. (a24-2a4-l)(a4 —2a34-3a2 —2a 4-1).
250. (x4 — 7x2y + 6x2y2 4- 8xy3 — 2y*) (x2 — 3xy -|- 2f).
250. (*4 — 4*3_y 4- 6x2y2 — 4*_y3 4~.У4) (x2 4" 2xy 4~.У2)-
251. (2a5 — 634-l)-(a5 — \b3 —	.
260. [x4 (x2 4- 2)"-3 4- 2x2 (x2 4- 2)2"-1 -f 4 (x2 -f- 2p+:1] X
X [*7 (x2 -j- 2)" “5 — 4x3 (x2 -f- 2)3n~14- 8* (x2 4- 2)4n+1]-
261. [(2a b) x3 -f- (а2 — ей) *2 — a3*] [(2a -\-b)x2 — (a2 — ab) x — e8].
254. (0,02a 4- 2a3 — 0,4a5) • (— 0,1 a2 4- 0,03a4 — 0,5ae).
255. (a2m — ате6л4-62я)(а,я4-6п).	'
256. (am+1 em 4~ em-1) (am+1 — am).
257. (5a2 4- 3a6 — 262)2.	257.	(4m2 — 2mn — л2)8.

26
Глава I|
262. На сколько увеличится площадь прямоугольника со сторонами а ч]
bt если каждую из них увеличить на 1? Одну увеличить на /, другую на
263. На сколько уменьшится площадь прямоугольника со сторонами J]
и Ь, если каждую из них уменьшить на 1? Одну уменьшить на /, дру¬
гую на A?	t
§ 7. Деление одночленов.
Правило знаков при делении таково же, как и при умножении, т. ej,
при делении алгебраических количеств с одинаковыми знаками частное |
будет иметь знак (4); при делении алгебраических выражений с разными
знаками частное будет иметь знак (—).
264. (+6):(.f 3); (+б):(-3).
264. (+ 10): (+2); (-[- 10):(— 2).
265. (-8): (+2); (_8):(-2).
265. (_12):(+4); (— 12):{—4).
266. (+5): (4-3); (— 5): (-)— 3).
266. (+6):(+7); (-6): (+7).
267. (4 8):(—6); (—8):(—6).
267.	(4-9):(—12); (—9):(—12).
268*(+т):(+т); (—т):(+9')*
мЧ+ъ-И-4)-- (-“К—S)*
270.(4-2 >):(- 2-1);	(_	3.£.)	:	(+2.
271-(-1го){~2Ю; (+4Н+4)-
При делении одночленов надо: 1) поставить знак; 2) коэфициент де¬
лимого разделить на коэфициент делителя; 3) из показателя буквы дели¬
мого вычесть показатель той же буквы делителя и писать эту букву
в частном с показателем, равным полученной разности; 4) если одинаковые
буквы делимого и делителя имеют одинаковые показатели, то эта
буква вовсе не пишется в частном; 5) если в делимом есть такая буква,
какой нет в делителе, то эта буква переносится в частное без всякой
п§ремены с ее показателем; 6) если буква в делимом имеет меньший по¬
казатель, чем та же буква в делителе, то деление нацело невозможно и
его надо обозначить дробью и 7) если в делителе есть такая буква, какой
нет в делимом, то деление нацело тоже кезозможно и его также надо
обозначить в виде дроби.
272. —а:2.	272.	За:(— 3).	273.	5а:(—5).	273.	—8а:8.
274. 7Ь:(— 7).	274.	—7Ь:(—7).	275.	—9а:(—9).	275.	10а: 10.
276. 4а:а.	276.	4Ь:(—Ь).	277.	—8а:а.	277.	—8а:(-а).
278. 5d:(—d).	278.	—5d:d.	279.	— 10с:(— с).	279.	10с:с.

действия с относительными числами
27
280.
6/гая:3га.
280.
4/гал:—2га.
281.
— 3/гага:!
2га.
281.
— 6/гага:(—4га)
•
282.
8 abc:(—
-2*).
282.
—9аЬс:ЗЬ.
283.
—9abc:
(-3*).
283.
8а*с:2*.
284.
— 5xyz:
5xz.
284.
7 xyz: (— 7xz).
285.
7xyz:—
7xz.
285.
— 5xyz: (—5xz).
286.
—I4cd:
— 7 cd.
286.
12 cd:—4 cd.
287.
— 12 а2:
4а.
287.
— 14a3:7a.
288.
а5: а2.
288.
а®: а3.
289.
*7:**.
289.
*7: *3.
290.
jc12:—х
7 290.
—У 2: уът
291.
— л:10:*».
291.
yo:—
292.
/га15: т.
292.
/и15:/га7.
293.
ra13:ra12.
293.
ra12: ra7.
294.
/та®:/га5.
294.
га7: га7.
295.
/га8: /га10.
295.
лБ:л7.
296.
хт:хп.
296.
уа:уь.
297.
— x2m:xm.
297.
y°: —_y®°.
298.
хт:хт.
298.
У с :у2а.
2Э9.
X*m; x2m.
299.
300.
— an:air. 300.
аз т.—
301.
—• a2”: — aen.
301.
— am:a7m.
302.
ая+2:ап.
302.
ая:ая_2.
303.
*171 . ffn-b-
303.
*171+8; 0Я».
304.
. 304.
хч~ъ\хч.
305.
yl-3 ;j//_
305.
У:У+*.
306.
д^+3:д:4
-2. 306.
jc*-2:jcft~3.
307.
2£.
307.
y+2i;y-».
808.
16а3*2:8а2*.
308.
16a2*3:3a*2.
309. 35аъЬ3с:7 а*Ь. 310. 24xeyBz:3x5yz.
312.	42атЬЫ: \аЧ. 313. 2атЬп:9а?Ь.
311. 4&хту*ги: 6xnz.
314.	6а8*'яс°: —4а*5.
315. — \2ат№сР1 — 9асЯ.	316.	— 22abmda:2-^- ab2d.
317.	0,6*7си+1:—ЗЬЁст~\	318.	— Зат+пЬт~пс:— \,ЪатЬ\
319. 6т2 (га-f-2p)*q:—3m(ti-\-2p).
320. -j a® (b — с)з (* + с)5: а (Ь — с)2.
321. — 10(я— 1)и + я(ау*)я+2сД:— 3 J (а — \)т~п(а-\- by+W.
§ 8. Деление многочлена на одночлен.
При делении многочлена на одночлен надо каждый член многочлена
делить на одночлен.
322. (6а+ 8* — 2с): 2.
323. (—am — Ът -)- cm):—т.
324. (ах -\-ау — az): а.
325. (1 5а3 — 9а® -f 18а»): За2.
326. — (бдг2у — 4x2z — 6xyz): 2х.
322. (6а — 86 -|- 2с): — 2.
323. (ап-\-Ьп — era): га.
324. (— bx-\-by — *г):—*.
325. (За3 — 6а7 — 15а10): За8.
326. — (8х4У — 1 2jc7^ — 16 *yz): 4лг.

28
327. (За3*2 — 15 j2*4 — 12а6ес):—За*2.
328. (а3л^у—3а3х3у -f- 3ab2xy2): аху.
329. (— 35л;3у 4~ 1 Ьх'-у—х2у2): — 5х2у.
330. (42а4*3 — 9а3*4 -f 16а2*ь): 6д?*3.
331. (_ 4а2* -f 6а*2 - 12а3*5): — | а*.
332. (6а3*4 — 9а1°*в + 2а2*2):3а2*.
333. {^Агг^пг-\-~т*пъ — у msn6>j : — ^ rrfin.
334. (o,5xV ~0,32л;7.у3 — у л;8у + -J- х*у*)л;5у.
335. (2 т2 г? — За2/)3 -{- Зр?#3 — 5^>3):— 3rn7n3p,q2.
336. (46с3"1-1 — 23c3m -f 20c3m+1 — 0,2с3 7t+2): 23с2т~*.
337. (0,7аРлг3? + у аР-2д:?+3 — ~ аР"3*л;?+5 —	а?-4*2?):
Глара 1)
: —у аР~ъхч~7.
338. [2л:2 (а + *)4 — 2ду (а -f *)3 + (а -f *)2 д:] :4л; (а + *)2.
339. [1 Од;3 (а — *) — 7л;2 (а — *)3 -f 5л; (а — *)4]5л: (а — *)2.
340. [— 7а (л; —У)3 -|- 8а2 (л; —у2)6— 9а3* (л; —У)5]:— 12а (х—У)3.
341. [4 (а — Ь)т — 3 (а — *)" -f 2 (а — *)р] : 6 (а — *)".
Частное от деления одночлена на многочлен может быть представлено
только в форме дроби.
При делении многочлена на многочлен поступают следующим образом;
располагают делимое и делитель по нисходящим или восходящим степеням
какой-либо основной буквы; затем первый член делимого делят на
первый член делителя, от этого получится первый член частного; полу¬
ченный первый член частного надо умножить на делитель, подписать про¬
изведение под делимым, вычесть из него и получить так называемый пер¬
вый промежуточный остаток; в этом остатке надо снова расположить члену
в том порядке, как были расположены делимое и делитель в самом на¬
чале; первый член полученного первого промежуточного остатка надо де¬
лить на первый же член делителя, от чего получится второй член частного;
полученный второй член частного надо помножить на делитель, подписать
произведение под первым промежуточным остатком, вычесть из него и по¬
лучить так называемый второй промежуточный остаток и т. д. до тех пор,
пока в остатке н1 получится нуль или пока не получится такой остаток,
первый член которого не делится на первый член делителя; тогда все де¬
ление будет делением с остатком.
§ 9. Деление многочлена на многочлен.
342.	(х2 -|- 2ад; — 8а2): (х — 2а).	343.	(6л;2	-\-ax~	а2): (2л;	а).
344. (а4 + а3* — а2*2 — а*3); (а2 — *2).
345. (а5 —а3*2-f а2*3 — *5):(а3-f*8).

действия с относительными числами
29
346. (3 + 8* + л:2 — 2л;3): (1 -f 2л: — л:3).
347. (3 — 6л:2 4- 4л:4 — л:6): (3 — Зл;3 -f л:4).
348. (6а26 -]- 9а8 — баб2 — 463): (За 4" 26).
349. (2а3 + баб2 - 1568 _ 5а26): (2а — 56).
350. (— 6 -|- 1 Зл; — 2л:3 — Зл;3): (2 — л:2 — Зл).
351. (15 — Зх8 -}- 5л:1 — 9л;): (5 — Зл:).
352. (8рЗ — 27?3): (4^3 -J- 6pq + 9q2).
353. (27р« + 64де): (9д® — 12р*д2 + 16?4).
354. (6а2я_3 + азп+4 — а2я): (а4 -|- 2а3).
355. (ат+я am+n~s): (ая-1	а”).	-
356. (а4 + а86 + 19аб3 —1564 — 8а26?): (a3 -f Заб — 562).
357. (т44-1»в —-|-т3—,J2): (я»+1—-J- /я).
358. (1 — 2/и4 — /и3 — тъ — /и3): (1 — /и3 — /и).
359. (л:6—_у®): (л:2 4~ ху -\-у2).
360. (a8 -f- й6 4- й4 -f- я2 -j- 1): (а4 — а?-\- а2 — а-\- 1).
361. (л? — 32л:4 4- 256): (л:3 — 4л: -f 4).
362. (2л:3 4- 5л:3 4- 1 Зл: + 2): (л:3 4- 2л; 4- 3).
363. (1 — 5л; 4- 11л:3 — Зл:3): (1 — Зл: 4- 2л:2).
364. (Зл4 —8л:3 —10л:3+ Юл: —2):(3л:2 —2л:4-1).
365. (а8 — 2а46 — 4а362 4- 6Б): (а3 -{- 3аб3 4- 63).
366. (64-7a!4-31a«-f Юа10):(24-3а3 —а4 + 6а®).
367. [а (а — 46) 4- 3 (б2 — Ьс-\- ас)]: (а — 36 4- Зс).
368. [(а2—4) (а3 4-4а 4-3)]: (а^ 4-а —6).
369. (За4 — 8а3 4- 7а3 — 2а): [(За2 — 2а) — (а2 — 2а 4~ 1)].
§ 10. Сокращенное умножение.
Формулы сокращенного умножения:
(с 4- 6)3 = а34- 2аб 4- б2;	(а—6)2 = а2 — 2а6	б2.
(a -f б)8 = a3 -}- За26 -(- Заб2	б8; (а — б)8 = а8 — За26 -(- Заб2 — б».
(а б) (а — б) = а2 — б2.
370. (лг+.у)2.	370.	(л— у)2.	371.	(2л: — а)2.	371.	(л4-2а)2.
372. (Ъх-\-§у)2.	372.	(Зл —5з/)2.	373.	(7с —Ы)2.	373.	(7с 4- 4rf)2.
374. (1 4-2л2)2.	374.	(2л-2 — I)2.	375.	(а2 —б2)2.	375.	(а2-[-б2)2.
376. (а3 4- 63)2.	376.	(дЗ — б8)2.	377.	(5а2 —2б2)'.	377.	(5а24-262)2.
378. (2л2 4~ 5л:)2. 378. (5л —2л*)2. 379. (4а —За2)2.	379.	(4а-[-За2)2.

80
Глава Ц1
380.
381.
382.
383.
384.
385.
386.
387.
338.
389.
390.
391.
392.
393.
394.
395.
396.
397.
398.
399.
400.
401.
402.
404.
406.
408.
410.
411.
412.
413.
414.
415.
(9m3 -J- 5 р2л)2.
(1 + а)(1__в).
(У + 3)(у-3).
(За*— 1) (3a*-f 1).
(3* — 2у) (Зл -f 2у).
(5л:2 — 2 у3) (5л:2 -f 2 у3).
(За*2 -f 5аЧ) (За*2 — 5а2*).
(5 — *л3) (Ьх3 -f 5).
(а4л -f ах4) (ах4—а4х).
(7л4 — 6m) (6т -J- 7п4).
(2а2-|*3)\ '	'
(3 л3 + 1_у2)2.
т*2)2-
(5у5 + o,i)z-
(1,2 — 5_у6)2.
(аР + -|ал4)2.
уап+1 ал-1с5^2.
( 2 х2m-iy3 .f -3 xm+i
(-|л/>3л2*"2 —| с4пгх3~гу.
(2а + 0,3) (2а —0,3).
(2-1_7ал:3)(2 1 + 7а^
[а4'<,'*-в][2та,",+
(у + 2г)3. 402. (2г -\-/>3.
(5-fa)3.	404.	(а	—	5)3.
(7с?2 — 2)3. 406. (2 — 7rf2)3.
(х3+у3)3. 408. (у3 — х3)3.
(trfin -f pa2)3.
(8t4-f 9)3.
(3—Юл:6)3.
(4лсуЗ -f Злсуг)3.
(т®*—41Р*У’
(2 а + 1*2с)3.
380. (9т3 — 5р2п)2.
381. (a-j-1) (а— 1).
382. (З-f _у)(3 — у).
383. (1— 3a*)(l-f За*).
384. (2_у — Зл) (2y-f Зл).
3g5. (2у3 — 5л-) (2у3 + 5л2).
386. (3a2*-f 5а*2)(3а2* —5а*2).
387. (б-f йл4)^4 —6).
388. (а3л — ах3) (ах3 -f a3jc)-
389. (7л4 + 6т) (6т — 7л4).
390. (2а24--~*3)2.
391. (Зл3-|у)2.
392. (~ху-\-^
(0,1—5_у5)2.
(5у6+ 1,2)*.
(аР—-|-ал4)\
396. ( I ап~Ч\-\-а^'У
397. (1~хт*3у—1ъхзт~1узу.
398.	с4л'л3-г-|-	j	лр3л2г~*у.
399. (0,3 — 2а) (0,3-f-2а).
). 400. ^7ал3—2^(2у+7ал3^) .
■-1¬
12]
У-.
393.
394.
395.
403. (2ц -f г:)3.
405. (* —За)3.
407. (10 —л2)3.
409. (9т3 — 5л2)3.
410. (т2л-)-р2л)8.
411. (9 — 8г2)3.
412. (Юл3 —f З)3.
413. (Злуг— 4ЛУ2)3.
414. (|-p«24-4wa)S-
415. ({-Рс-2а)\
403. (ц-f 2v)3.
405. (За — *)3.
407. (л2 —Ю)3.
409. (5«a~9m8)3j

действия с относительными числами
31
416. Как изменится площадь квадрата со стороною а, если одну сто¬
рону его увеличить на 1, а другую уменьшить на 1?Если каждую сторону
его увеличить на 1?
417. (с -f-й-}-с)2.	Г 417. {а±Ь-с)К
418. (о -f й + с)3.	418. (с —й-fc)3.	„
419. (с + Ь + -J-)*.	419. (й-6-i-)1.
420. (3т -f 2п—р)2.	420. (3/и — 2и -f р)2.
421. (-J х*-4у—1у*)2.	421. (\ х? -4jf + -|/)f.
422. (-f- в3 — 8 ей -f -J й2)2.	422.	— 8 ей - -J й2 J.
423. (2с —й+1 )3.	423. (2с4-й—I)3.
424. Как изменится площадь квадрата со стороной с, если увеличить
каждую сторону его на й? Если уменьшить каждую сторону на с?
В следу*/ших задачах произвести умножение сокращенным путем, со¬
единяя множители наивыгоднейшим образом:
425. (а—х) (с 4- х) (а2 4- х2).	426. (3 4- к) (3 — *) (9 — я*).
427. (*4-y — z)(x~{-y-\-z).	428. (с — Ь-\-с)(а— й —с).
429. (2х —у 4- 3z) (2x-\-y—3z). 430. (х2-\-у2 — ху) (х2-\-у2 Ц- ху).
431. (с3£3 4_ св 4- й«) (сзйз — с6—йб). 432. (с — 2Й — Зс) (с 4- 2Й — Зс).
433. (с4-2й4-3с4-с0(с — 2й4-3с — d).
434. (2 4- с2 -}- Зс34- d2) (2-1-а2 — Зс3 — d2).
435. (1 — * 4- 2*2 — 3*3) (1 4- л: — 2л;2 — 3jc3).
436.	(с —й)(й —с).	437.	(с —3) (с 4-2) (с —2).
438.	(х4- а) (х — с)2.	439.	(х-\-а)2(х— а).
440.	(т-\-2)(т—2)(т—2)(т+2).	441.	(т4-З)2 (т — З)2.
442.	(с 4" й)г (с — й)3.	443.	(х2у — ху2) (xly2 -J- х2у4) (х2у -f - ху2).
444. (ху 4- 2х2) (х2у2 — 4х4) (ху — 2х2).
445. (/и2 — тп 4* я2) (/и2 4" тп ”1“ п2) (т* — /и2я2 -j- я*).
446. (т2-\-тп — 2я2) (т2 — тп—2я2) (/и4 4- 5/и2я2 4- 4я4).
447. (а2 —а 4-1) (с2 4-с 4-1) (с4 4-с2 4-1).
448. (с2 -f 2с — 1) (с2 — 2с — 1) (с4 — 6с2 -}- 1).
449. (л; -f у -{- z) (х -\-у — z)(xc-\-z —у) (х —у — z).
450. 212 = (20-}-1)2. 450.	312.	451.	492=(50 —I)2. 451.	282.
452. 872.	452.	932.	453.	Ю22.	453.	982.
454. 582.	454.	622.	455.	252.	455.	35*.
456. 55*.	456.45*.	457.	1052.	457.	103*.

]
82	Глава	Ц
—	Ч
458. 47■33 = (40 -+- 7) (40 — 7).	458.	42•58 = (50 — 8) (50 + 8).
459. 24-16.	459.44-36.	460.84-76.	460.94-86.
461. 97*103.	461.104-96.462.88-112.	462.111*89.
463. 9992.	463.	10012.	464,	ЮОЗ2.	464.	9972-4 18.,
465.252—152=(25 4-15)(25—15).	465.	352 — 252 = (35 -|- 25) (35—25),
466. 123= (10-f 2)3.466.	213.	457.	29s.	467.	383.
468. 413.	468.	143.	469.	983.	469.	993.
§ 11. Сокращенное деление.
Под сокращенным делением понимаются в алгебре случаи деления суммы
или разности одинаковых степеней двух количеств на сумму или разноси
первых степеней тех же количеств, т. е.
(aa-±b”)'.{a±_b).	,
В этой записи 4 случая: 1) деление разности одинаковых степеней
двух количеств на разность первых степеней тех же количеств, 2) деление
разности на сумму, 3) деление суммы на сумму и 4) деление суммы
на разность, или
1) (а" — Ь"):(а — Ь);	3) (ап -{-bn):(a -j- b);
2) (ап— ру.(а-\-ьу,	4) {an-\-bn)i(a — b).
Непосредственное деление показывает, что:
1) разность делится на разность без остатка при всяких показателях)
2) разность делится на сумму без остатка при четных показателях;
3) сумма делится на сумму без остатка при нечетных показателях;
4) сумма на разность никогда не делится без остатка.
Очень часто встречаются два простейших случая сокращенного деления,
а именно: деление разности кубов двух количеств на разность первых сте¬
пеней тех же количеств и деление суммы кубов двух количеств на сумму
первых степеней тех же количеств. Результаты получатся следующие:
(а3-Ь3у.(а — Ь) = а2-\-аЬ + Ь2 и (с2 ± ь3):(а + Ь) = с2 — аЪЬ2.
Первый результат называют — неполный (или неточный) квадрат суммы
двух количеств, второй — неполный (или неточный) квадрат разности двух
количеств. Часто два вышенаписанных равенства записывают в таком виде:1
(а — Ь) (а2 ab -J- Ь2) = а3 — Ь3 и [а b) (а2 — ab Ь2) =■ a3 -J- Ь3.
470. (а3 + Ь3):(а + Ь).	470.	(а3^-Ь3):(а —Ь).
471. (а* — ЬА): (а2 — Ь2).	471.	{cf—Ь*у.(а2+ Ь2).
472. (с6 — Ь*):(а2 — Ъ2).	472.	(с6-J- Щ: (а2	Ь2).
473. (jc3-J-1):(x-}-1).	473	(*3 — 1):(*— 1).
474. (**—1) (jc3-J-1).	474.	(jc4— \):(х2 — 1).
475. (*6—1):(*2 — 1).	475.	(*e+ 1):(jc2-}- 1).

Действия над относительными числам»
83
476. (я4 — 4):(и*-{-2).
477. (я® -f 8): (я2	2).
478. (я4 —9):(я2 —3).
479. (я6 — 27): (я2 — 3).
480. (а3—У3):(х2 -\-xy-\~ У2) -
481. (с4—й4):(с —й).
482. (as4-65):(a-f 6).
483. (32jc5 —д^5): (2jc —>f).
484. (*5-f 32у5) :(*-}-2у).
485. (16 — х*):(2 + х).
486. (81 —jc4):(3 — jc).
487. (16 — 9л:*): (4 — За2).
488. (81 — Ах*): (9 + 2а2).
489. (с® — й6): (а — й).
490. (с6й® — с6): (аЬ -{- с).
491. (1 + с5Я;(1+а.У).
492. (с®-Н3):(а2 + 6).
493. (у*—г12): (у — z3).
494. (xs —yJ2z4): (а2 —_у3г).
495. (а3й® — 8ced3): (ab2 — 2с2.i).
496. (81 а* — 16с32): (Зс2 + 2<.3).
497. [(с + й)2—с2]:[(с-1-й) — с].
498. [л:2—(с — Ь)2у.(х + а — й).
500. [(т-\.п)й\-р2у.(т-\-п-\-р).
502. Цт — я)4—Я4]:(я* — п~{~Р)-
504. [а2 — (й -f- с)4] : (а — й — с).
506.	:(^+ Ч2)-
508. (l + ^):(l + 4^)-
510. (^-^у):(4дг+|>;).
512. [(а2 -\-ху)* — (х2—Jcy)4]: 2ху.
514. [(с — й)3 — (с -f- с)3]: (а — й-
® Сборок амбр. «одм, ч, 1.
476.
477.
478.
479.
480.
481.
482.
483.
484.
485.
486.
487.
488.
489.
490.
491.
492.
493.
494.
495.
496.
497.
499.
501.
503.
503.
507.
509.
511.
513.
-с —
(я*—4): (л2 —2).
(я® —8): (я2 —2).
(я4 —9):(я2 + 3).
(я6 -}- 27): (я2 -J- 3).
(*з -}-j/3): (а2—Ay -\-у2).
(а* — Ь*):(а + Ь).
(а5 — Ь5): (а — й)„
(32л;5+>5):(2* + 4).
(а5 — 32у5):(А —2_у).
(16 — А4):(2 — х).
(81 — а^Э+а2).
(16 —9л:4): (4-|-За:2).
(81 —4л:4): (9 —2 а2).
(с6 — й6): (с3 — й3).
(а6й® — с6): (с2й2 — с2).
(1 — а5^): (1 — ау).
(а® — й3): (а2 — й).
Q,4_212):Q,2_}_26).
(а8 —уЛ2г*): (a4 -J—_y®z2).
(с3й® -f ЪсЧ3): (ей2 + 2сЧ).
, (81а8— l6c12):(9c4-J-4c®).
, [(а + й)5 — с2]:(а + й + с).
ца-Ь)2-(с-с1Щ: (а-й-c+d).
. [а3 — (й — с)3]: (А—Ь-\-с).
. [а4 — (a— ^)4]:(a-f А— у).
(5--И:(тг-И-
[(а-f й)3-}-(с— й)3]:2а.
[(а2 — йс)3+ 8й3с3]: (а2 + йс).
d).

94
Глава UI
ГЛАВА III.
РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ.
Под разложением на множители в алгебре понимается то же самое,
что и в арифметике. Для разложения на множители существуют сле|
дующие основные приемы: 1) вынесение множителей за скобки; 2) способ
группировки и 3) применение формул сокращенного умножения и де-|
ления.
§ 1. Вынесение за скобку.
Если имеется многочлен ат-]-Ьт, то он произошел от умножения
многочлена a-f-Ь на одночлен т (или наоборот); поэтому пишут:
ant -\-bm = m(a-\-b)
и говорят, что т вынесли за скобку.
Более сложный пример:
Л
12 а2*3с — 6 а2*4 — 24а2*2с2 = 6 с2*2 (2 be — V1 — 4с2).
f
Здесь вынесено за скобку 6а2*2 — то, что в арифметике называлось об
щим наибольшим делителем трех членов данного многочлена; далее в скоб¬
ках написано частное от деления данного многочлена на этот общий наи
больший делитель.
1. 5 а — 5 *.
5- 2х— 2.
9. a2*2-f б*.
13- 4ab—2Ьс.
16. 12аъх*—4а3х2
19. ат+п-~-ап.
22. а2пЬ*-\- аьпЬ2п.
23. ах—Ьх-\-сх.
24. —2а-\-ах— ау.
25. За* — 6а2*2-{-9а3*3.
26. — 8 с3* -f 12а2*2 — 20a4*3.
27. 8a4c3— 6a*cz-\-16a3c*.
28. —15a*c7-{-5a3ce—10a9cB.
29. 54a3*5 — 42a5c3 — 24a4*7.
2. ab-j- be.	3.	6a — 9*.	4.	3ax-\-$ay.
6.	6 + 3*.	7.	a2 + ab.	8.	a3 —a3.
10.	a3*4— a6.	11.	a2*5 -j- axe.	12.	а2Xй + хлу'.
14.	9a4 — a2b.	15.	10 a4*2 +35a2*4.
17.	6an+i + 12ая.	18.	За""2 — 6a".
20. b3n -f b2n.	21.	b3n~1-b'ln-\
22. anb3n — a2nbn.
23. — ax-\-bx — ex.
24. 2а — алг + Зау.
25. — 2a3*3 + 4a2*2 —6a*.
26. 9a5*2 — 6a3*3 + 15a2*5.
27. — 16a4c3 — 12a2c*—20a3c2.
28. 24a5c6 — 16a9c7 — 40a10c5.
29- 35a5*4 — 400^ + 15a2*3.

разложение на множители
3S
30.	На чертеже 4 дана раз¬
вертка полной	поверхности
призмы с квадратным основа¬
нием. Вычислить площадь этой
развертки и разложить полу¬
ченное выражение на множи¬
тели.
30.	На чертеже 5 дана раз¬
вертка	полной поверхности
цилиндра. Составить выражение
для ее площади и разложить
его на множители.
(
а
1
-а-
Черт. 4.
Черт. 5.
§ 2. Вынесение за скобку выражения, заключенного
в скобку.
Если требуется разложить на множители многочлен а (т -|- я) -f- b (т -|-л),
то не надо предварительно раскрывать скобки; выражения, заключенные
в скобки, надо рассматривать как один и тот же буквенный множитель и
вынести его за скобку; таким образом выносим (т-\-п) за скобку. Получаем:
а(т-\-п)-^Ь(т-\-п) = (т-\-п)(а-\-Ь).	'
31.	а?(а-)гх)-)гх*(а-)гх).	32.	2р{р — q)-\-3q(p~q).
33. а(л:-{-1) — 2х(*+1).	34.	2(p—\f — 4q(p—\).
35. тп (т2 -f л2) — п2 (т2 + л2).	36.	4т2 (л2 — 2)-f-2тя (л2 — 2).
38. 2Ь(х— 1)+лг— 1.
40. Ь (х —у) — х -\-у.
42. За (ап—уп) —у1	а".
44. 6а (2р— q) -j- 3b (q— 2p).
46. q(bs + b2~ b)-\- bs + b*—b.
48. 3p(p — q) — 5(q — pf.
50. a(2—x2)-\-b(x2—2)— 2-J-jc2.
37.	a (x —j— y) —J— x -j— y.
39.	2a(y-\- 1)— у — 1.
41.	4jc (anJt") — a" — xn.
43.	m(q—p) — (p — q).
45.	p( 1 — a -f-Д2) — 1 + a — a!
47.	2(p— qf — 5q(q — p).
49.	a(b — l)4-c(l—b) — b-j-:
51.	(4a — 5b) (3m — 2p) -}- (4b — a) (3m — 2p).
51. (4a -J- 5b) (3p— 2m) — (4b-\-a) (3p — 2m).
52. (5a — 2b) (2m-{-3p) — (2a — 7b) (2m-\-3p).
52. (2a — 5b) (2p -f 3m) -}- (4a — 7b) (2p -}- 3/я).
53. (7a — 3x) (5c — 2d) — (6a — 2x) (5c — 2d).
54. (4a — 3jc) (5c -f- 2d) — (6a — 4jc) (5c -f- 2d).
К разложению на множители способом вынесения за скобки можно
отнести еще встречающиеся примеры вынесения за скобку одного из чле¬
нов многочлена, не являющегося общим множителем всех членов этого
многочлена. Например в выражении а-\-Ь инигда требуется вынести
За скобку член а; тогда получим:
о + Ь = а( 1+£).
а*

30	'	Глава	III
В следующих многочленах вынести первый член за скобку:
55- т-\-п.	56. с -f- b -j- с.
57.	х2 -\-у2 — z2.	58. am ab-\- тп.
§ 3. Способ группировки.
В многочлене ат-\-bm-\-an-\- Ьп во всех членах общего множителя
нет; но зато есть общий множитель в первых	двух членах	и	другой общий
множитель в двух других членах. Тогда прибегаем	к	способу	группировки:
соединяем первый член со вторым и третий с четвертым и сводим на пер¬
вые 2 приема. Получается окончательно:
am	bm-\-an-\-bn = {ат -{- Ьт) -{- {ап -|- Ьп) =■ т {а -}- Ь) -}- п {a -f- b) =
= {а + 6) (т + я).
59. ас ad -\- be -\~ bd.	59.	ас — ad -}- be — bd.
60. ас — ad—be -}- bd.	60.	ac-\-ad — be — bd.
61. x3 — x2z -}- 2xz2 — 2z3.	61.	x3-\-x2z-\-2xz2-\-2z3.
62. x3-\-x2z—2xi2 — 2z3.	62.	x3 — x2z — 2xz2 -f- 2z3.
63. c3-f2c2-|-2c-f4.	63.	a3-\-2a2 — 2a -4.
64. c3-)-2c2 —2c —4.	64.	c3 — 2c2 — 2c-}-4.
65. c2#»— abc2d-\-ab2cd— c3d2.	65.	a2b3-\-abc2d-\-ab2cd-\-c3d2.
66. a3b c2< d — abed—c2d2.	67.	56c2 — 40ab -}- 63cc — 456c.
68.	8c2c — 6c2Jt — &cx3 6x*.	69.	32сс2 + 15сл:2 —48слг2—10c3.
70. 4u2bc — 6ab2c -|- Sa2bd — 12ab2d.
71. 6a3b2 — 12c363 — 15 .12b3 -f 30u264.
72. 2a3b2 -}- 3abc2d — 2a2bcd — 3c3d2.
73. 5a43 — 2ab2cd — 5abd2d-Jr2c3d2.
74. 16 a*b3c2 — 12c36* -f 8 a2b3c2 — 6 abK
75. 6c46c — 18аЧЧ — 15c262 -)- 45c364.
76. ax2 -|— bx2 -)— bx —j— ax -J- с b. 77. ax2 — bx2-\-bx — слг-j-c — b.
78. ax2 — bx2 -j- ax — cx2 — bx — ex.
79. ax2 — bx2 — ax -}- cx2 -\-bx—cx.
80. (ax -}- by)2 {ay—bx)2 -|- c2x2 -j- c2y2.
81. (ay -)- bx)3 -)- (ax -f by)3 — (a3 -)- b3) (x3 -)-y/3).
82. x3 -}- ax2 -)- abx -}- bx2 -}- bcx -}- acx -}- cx2 -(- abc.
83. x3 — cx2 -)- acx — ax2 — bcx -)- bx2 — abx -)- abc.
§ 4. Применение формул сокращенного умножения.
Случаи сокращенного умножения дают возможность иногда разложить
многочлен на множители. Если имеется, например, многочлен с2 -j- 2ab b2,
то этот многочлен произошел от возвышения в квадрат двучлена а -4- Ь, т. е.

Разложение на множители
37
fl2 _|_ 2ab 4- й2 = {а-\-Ь)2\ или если имеется двучлен а2— Ь2, то он полу¬
чен в результате умножения суммы количеств а и Ь на их разность, т. е.
а2 — Ь2 = (а + Ь) (а — Ь).
84.	4 — лЯ	84. х2 — 4.
86.	25 —с2.	86.	с2 —25.
88.	а2#2 — 100. 88. 100 —а2*2.
S0. 9л;2 —I. 90. 1—9л:2.
92.	49л;2— f. 92. у2 —49л:2.
94. а2 -|- 6а -f- 9.
95. от» —Юш + 25.
96. p2-\-Apq-\-Aq2.
97. л2 —8л:у+16з/2.
98. г2 4-14*4-49.
99. 25а2 — 36й2.
100. 16с2 —81а2.
101. а* — 2а2л; -J- х2.
102. Ь* + 2Ьс2 + с*.
103. /те8 — 6т4у2 -{- 9_у6.
104. 4р'2 — 20p*z2 -f 25г10.
105. а3 -J- Ъа2Ь -j- 3ab2 -J- bs.
106. re3 — 6n2p -J- 12np2 — bp2.
107. 27p2 + 27p2y -f- 9py2 -f y2.
108. 8л:3—60x2z^{-\50xz2—125z3.
85. 9 — у2.
87. 36 — Ъ2.
89. 4c2 —1.
91. 16n2—/и».
93. 9я2 —4/я3.
85.	л:2 —9.
87.	b2 — 36.
89.	1—4c2.
91. /я2 — 16я2.
93. 4яг2— 9я2.
94. а2 — 6а 4~ 9.
95. от2 —f- 1 Ояг -f- 25.
96. р3 — 4р? + 442.
97. лс2 + %ХУ 4" 16у2.
98. z2 — 14г-|-49.
99. 36а2 — 25й2.
100. 81с2 — 16d2.
101. и2 -f-2ал:2 -(-л:4.
102. 6е — 2i3c-fc2.
103. я26-|-6яг3У-1-9_у8.
104. 4р10 — 20ръгъ-\-2Ъг13.
105. а3 — 3а2й + 3ай2— Ь2.
106. п2 -f 6п2р -f 12яр2 4- 8/Я
107. 27р2 — 27р2у 4- 9ру2 —у2.
108. 8л;34-60лЯг4- 150л:г2 4- 125г».
§ 5. Применение формул сокращенного деления.
Сокращенное деление дает возможность разложения некоторых много¬
членов на множители. Например х2-\-у2 = (х-\-у)(х2— ху-\-у2), или;
д:5 — >5 = (л: —у) (х4 4~ xSУ 4" х2у2 4" ХУ2 +.У4)-
109. а3 — ЬК
110. т2 4-1.
111. я3 —8.
112. 27 4- с3.
113. лг5—у5.
114. 27л:3 — 8_уЗ.
115. л:74-У-
116. 125а3лс6 4~ 216йбзЯ
117. 243/я5у5 — 32я10г10.
118. 32р®27° + 243^°.
109. а3 4-й3.
110. яг3 —1.
111. я34- 8.
112. с3 —27.
113. л:5 4~.У5-
114. 8л:3 + 27у2.
115. л:7 —у7.
116. 216й6л;3—125Ъ2у\
117. Ъ2пъуъ 4- 243яг102-10.
118. 243p10z5 — 32^*а10.

38
Глава III
§ 6. Совокупность всех изложенных способов
разложения многочленов	на множители.
119. Юа4*2 — 40a2ft4.	119.	90a3ft2 —lOaft4.
120. 75a6ft —12a2ft5.	120.	12аЧ — 75a2ft5.
121. 2ab*-4ab-Jr2a.	121.	3aft2 -j- Gab-f За.
122. a3ft4-f 4a3ft2-f-4o3ft3.	122.	aft7 — 4aft5-f 4aft3.
123. — 8а3* — 18а*3 + 24а2*3.	123. — 21 а3 х — 12а*3 + 36а2*3.
124. —16а3*8-|-72а4*7—81а5*6.	124. —9а6*5-f- 48а7*4 — 64а8*3.
125. (2а—3ft)2 — 4ft2.	125. 9а2 — (2а3ft)2.	-
126. 16с2 — (3c+5rf)2.	126. (5с — 3d)2 — 35tf2.
127.	9(5яг — 4р)2 — 64/я2.	127.	100т2 — 9(3от — 2р)2.
128.	(n -J- 3qf — 4(а — я)2.	128.	16(я + qf — (3? — л)2.
129. 5а11*5—20аех*у-j- 20аБ*3_у2.	130.	За6*10-(- 30а4*5_у2 -j- 75а2_у4.
131.	а2т+3 — 2ат+6Ьп -}- а?№п.	132.	36an+2-f 16an-2ft3 + 48anft.
133.	х2 -\-2xy-\-y2 — z".	134.	9—у2 — 6yz— 9z2.
135.	25z2 — 4*2 -J- 12xy — 9f.	136.	4y2 — 20yz -f 25z2 — 36.
137.	a3 -f- a2b — ab2 — ft3.	138.	ac2 — ab2 + b2c — c3.
139. (a — b) (a2 — c2) — (a — c) (a2 — ft2).
140. aW — a2ft2c4 -f a4ft2c2 — a4c4.
141.	a4 —ft2 (2a —ft)2.	142.	a4—16c2 (c —a)2.
143.	(a— ft)2-f 2ft(ft— 2a) + ft2. 144.	(2a — ft)2 — 2ft(ft — 2a)-|-62.
145.	(m2 -f-J)2 — 4яг2.	146.	Збяг2 — (яг2 -f 9)2.
147.	(яг2 -j- 4/я)2 — 4.	148.	9 — (яг2-}-бяг)2.
149. (р + qf — 3 (р + qf (р — ?) -f 3 (р -f q) (р — <?)2 — (р — qf.
150. (р — 2?)3 -f 3 (р — 2qf (p-fq)-]-3(p — 2q) (р -f qf -f (p -f qf.
151. a5 — 9aft4. 152. 4я« — яг4я2.	153. a3ft —ft4.
154.2яг4-|-2ягя3. 155. За4—12.	156. 16 —2a6.
157. 24a4-|-3aft3.158. 81a4ft—36ft5.
159. Составить выражение площади кольца, если радиус внешнего
круга R. а внутреннего г, и разложить его на множители.
159. Найти площадь квадратной рамы, если сторона внутреннего
квадрата равна а, а внешнего ft, и полученное выражение разложить на
множители.
160. Определить вес чугунной трубы длиною /, внешний диаметр кото¬
рой равен а, а внутренний ft (удельный вес чугуна d = 7,2), в разложен,
ном на множители виде.

разложение на множители
161. а3— а.
163.	х1—у*.
165. —х3—х -J- 2х2.
167.	24х5~3х2.
169. 4(лг —2)2 + 9+12(л: —2).
170. а2—*2+jc2—у2-\~2(ах—by).
172. тр—пр — т2 + 2тп—па.
174. х2у*^—х*у2г2—x2y2z*-tx4z*.
176.	«* + «3 + и + 1.
178. (х2-\-ху—у2)2—(х2—ху+у2)2.
180.	(в3+1)2 —(*3— I)2.
182. т3 — 8 + 6тг — 12/тг.
184. as + a3—а2 — 1.
186.	(с + x)s—(а — л-)3.
188.	(а+л:)*—(а — лг)4-
190.	>а6** —(а® + *4)2.
192.	Зл?у*—л;8—у>.
194.	Зл?—1.
196.	4W — (*2 +£2— <22)2.
198. а2Ь2 + с2сР — а2с2 — Ь2сР— 4abed.
199. а2с2 + Ь2сР — Й2сз __ fl2rf2 +
162. 6(а2—*2)—4(а —*).
164. 2т*р — т2р2 — тъ.
166. а2*5 — 1000а5*2.
168. а2 — ab — b—1.
171. /722 + 2/72/2 + п2 — тр — пр.
173. Л?22 — 2xiy2z2 + x2y*z2.
175. U2+3a3 22* Зи.
177. лг2+2лу+_у2—z2-\-2zu—и*.
179. 2а2Ъ — IS*2 + 12**_ 2Ь.
181. то» + 8 + 6/7*з + 12/w.
183. а5 —а3+а2—1.
185. Jt3 — 27а3 — 9ах2 + 27еРх*
187. лг4 + 2ах3 — а* — 2а3х.
189. (а6 + *2)2 — 4ав*2.
191. лг* + лг2у+у.
193. л8 + **+1.
195. л?—у6.
197. (с2 — а2 — Ь2)2 — 4а2IP.
200. а8 + а***+*8.
201. (а+лг)«+1 (*+л;)'»-1 — (а + Jt)m(* +лг)".
202. лг3 + л:2 + 2ху ++ +_у3.
203. а3 + а2 — 2а* + а — * + *2 — *3.
204. (л; — 1) (х — 2) (х — 3) + (* — 1) (л:—2) — (л: — 1).
205. ап+6 + а"*12 — 2ап+3*6.	206. а2(а—2)+4а(2—а) + 4(а —2).
207. (л:—>2)2+ 2лгг3 — 2y2z3 + г6. 20S. а2х5(а3 — х) — а*х2(х3 — а).
209. 2а2 —а2*+ (* — 2) (а* —а)2. 210. а5" + 2а*я + 2азя + 2а2я + в»
211. 4(ad + be)2 — (а2 — b2 — с2 + d2)2.
212. (с2 — *2 +	— а2)2 — 4(а* — cd)3.
213. *с(* — с) + са(с—а) + а*(а — *).
214. *с(*+с)+са(с—а) — а*(а + *).
215. а®—а5 — а2 + а.
216. а12 + а10 — а7 + 2ав—с5—2а11.	*
217. л: (л:3 — а3) + ах (х3 — а2) + а3 (х — а).	~
218. (а—лг)_у3—(а—у) х3 + (х—у) а3.

40	Глава	III
§ 7. Общий наибольший делитель.
]
Для нахождения общего наибольшего делителя нескольких алгебраиче¬
ских выражений разлагаем их на множители и выбираем из них все общие
множители.
Найти общий наибольший делитель для следующих выражений:
219.	ab и ас.	220.	2\x2ytzs и 32х-уРг*.
221.	9а2й7с3, 12а3be*	и 21а2с5.	222.	32атй2я, Ъа2тЬп и 26а2«й2я.
223.	6а2Яй2т-], 12ая+1йя+2 и Эа5^.
227. Цт -J- л)2 и 6(/я -J- п).	.	225. ab-\-bp и Ьс.
226.	л2 — пр и abn3.	227. Юай— 5а и 34йс—17с.
228. 24а2 -J- Збай—48ас и	30а3 + 45а2й — 60а2с.
229. 4(а+1)2 и 6(а2 — 1).	230.	9(х2 —у3)2 и 6(л;4— у4).
§ 8. Общее наименьшее кратное.
Для нахождения общего наименьшего кратного нескольких алгебраиче¬
ских выражений разлагаем их на множители, берем все множители одного
выражения и добавляем все недостающие множители от других выражений.
Найти общее наименьшее кратное для следующих выражений:
231.	ab и Ьс.	231.	ab и ас.
. 232. 25cW' и 20а5Ь2с6.	232.	48а5Ь*с3	и 72а3й®с7.
233. а(а-\-Ь) и b(a-\-b).	233.	а(а — Ь)	и с(а — Ь).
234. {a-\-b)(c-\-d) и (а 4-й) (с— d).
234. (а — b)(c-\-d) и (а — Ь)(с — d).
235. а2—л:2 и (а — х)2.	235. а2—х2 и	(а 4* х)2.
236. х2 — 4_у2 и х2 — Ах у -J- А у2.	237. а3 — Ь3 и	а2 — Ь2,
238. а34"а2й4~^й24*й3 и а3--f-й3.
239. л:2 — 4 и х3-\-2х2-\-4x-\-b.	240. ab, ас	и cd.
241.	4а2й2л:, 6аЬ°х2 и 18а2Ьх3.	242. 20а2*",	15а3л:в-» и 10алгя+1.
243. 42атл:2я 35а'”-’л:я+1 и 14аи-2лгя-3.
244. х-\-у, (х —'У)2 и х2—у2.	245.	х2—у2,	(х-{-у)2 и х3 -(-У3.
246.	а4, 2а — 1 и 4а5 — 1.	247.	8ай+16й2, а2й4 -4ай24-4й3 и а3.
248. х—\, х2-х-\- \ и л:34-1.
249. а3 — а2 4-а— 1, а3-\-а2-\-а-\-\ и а4—1.
250. а3— 1, а3-|- 1 и a‘-f-a24- 1. 251. л2 — 4,*34-8 и л:2 4-2.г 4-4.
252.	jc3 —27, л3 4-27 и л:* 4-9л:2 4-81,

Дроби
41
ГЛАВА IV.
ДРОБИ.
Все действия над дробями в алгебре совершаются по тем же правилам
и приемам, как и в арифметике.
§ 1. Сокращение дробей.
При сокращении дробей надо числитель и знаменатель разложить на
множители и сокращать их на одинаковые множители. Былс) бы большой
, а + 6 а + 6
ошибкой сокращать, например, дроби а_ь или 	 на	а;	в этих дро¬
бях а не множитель.
Сократить следующие дроби:
1.
3.
5.
7.
9.
11.
13.
14.
17.
20.
23.
26.
28.
30.
32.
34.
6
ТЕ-*
9ах
15 cfl'
1 м*№х
18д26»у ’
апЬт-л
ат+пЬя '
о»—2 аЪ
ао —26» ’
42а* — 30а*6
1.
3.
5.
У.
11.
35а6а — 256»
20д»6 + 12а»6 — 24о»с
25а6» -J- 156* — ЗОбс *
Ъх'С + 5х»ус — 2x4*
2х^& — Зх^ук— 5 ху9с'
х*—у»
XZ — yz ‘
7cfib -+- 7 а 6®
д4 — 6*	*
*3 + У
10
5а *
8 о»
12дх *
18 еРЬ*у
2\атх '
ат^т +п
{Хп—т\)т •
2 ab + 6»
ab -I- 2а» ‘
14a® +- 7a*b
Юаб» + 56»
2 (x + y)»*
2x+4
3xa+24’
243a»s* — &75a*tP
9o»6»— 15a6* *
> 12x» —8xy
9x2— 12xy -t- 4y»‘
д» + 3a»6 -b 3u6» + j»
o»x -+- дбх '
20а»х» -у 16 а»6х»
75 a‘ b + 120a»6> -h 486» *
2.
8.
10.
12.
13.
15.
18.
21.
24.
27.
29.
31.
33.
35.
ab*
abc'
15a x*
356x3’
20a»6*£*
48a»6£«*
30й2л-1£ал+а
25дл+*6»я+» •
2лД+_4 .у
Зху+ 6у» *
12x* + 27*зу
I6xJy + 36х»у»'
12.
a»6
abc’
4 9a5l
66^x3
36a46®£®
ЗОд^с» *
70д3л+1ьзя~1
21дЗлб2л+* ’
10»»— 2xy
15xy— Зу» *
36 xV — 36 x>*
65x»y— 60x»y* '
8.
10.
x>»+x»*
16a» —Збаб»
16.
19.
22.
25.
2 a + 1
27' »c» -y 6c*6ci — 9c*c»
72a-b*c -t- 16a6c» — 24a6»e"
a — 6
a* —6*’
лЗ + Зх»
л»—9 ’
(g~6)3
a» —6» ’
jj — A4
4a» —1 ’
4a» - 2a6
12a2—36»’
(л +1)3
a» —a *
x«—y®
x»—>*’
6a6-
х»ч
-9b9
x»y
Х»+2ху-|-у» *
a« + 2a6 + 6»
a» — 6«	*
x — xy + z— zy
l— Зу+Зуз—у9’
ас + 6x + ax + 6c
ay + 26x +- 2ux +- by ’

43
Глава IV
36.
38.
4а
3a* + ab2 — 6a2b — 2b2
9а5-
о»-
• ab*-
■ Ьа*-
Л8а*Ь+2Ы’
-atf + bs
а4 — ъсР — а2Ь- 4- об3'
*2 — (Д — Ъ) х — аЬ
л3 + Ьх2 + ах + ab *
л3 4-Зх + 2
х2 + 6х + 5 *
х2 — х — 20
х* + х — 30 ’
... 2х8 -+- 5х3 Зх
4Л х2 — 2х2 —Зх ‘
42.
44.
45.
я2 -
37.
39.
41.
43.
-9 аЬ +
Зас-з + ЗЬс2 — 3 аЬ2 — 3 Ъ*
бас2 — 6 Ьс2 — ЬаЬ2 — 6Ь3 *
ab (х1 + у2) + ху (а- + Щ
ab {X* — У2) + ху (о2 — Ь2) *
(х Н- я)3 — (Ь + с)2
(х+Ь)2 — (а + суФ
х* + 10jc + 2I
х2 — 2*— 15 ‘
1462
а* —
аЬ —
48.
2я* — аЪ — 3Ь2
2Ь2 '	2в2	—	ЬаЪ+ЛЬ*'
д4 + (2 Ь2 — а2)х2+Ы
х* + 2ах* + а2х2—Ь2 *
49.
х? + (а 4- Ь Ч- с2х + а Ь) с
о2+ 2 ab + b2— х2 ’
50.
о*с — 2я*£Я -f- ас2 — ab2c
(а2 + с* — б*)2 — 4я2с2 '
§ 2. Приведение дробей к общему знаменателю.
Общим знаменателем двух или нескольких дробей является общее
наименьшее кратное знаменателей этих дробей. Найдя общий знаменатель,
делят его в отдельности на каждый из знаменателей и находят для каждой
дроби дополнительный множитель. На этот дополнительный множитель
умножаются числитель и знаменатель соответствующей дроби.
Привести к общему знаменателю следующие дроби:
Ь с
Tab ’
?1
а '
в» £ I
01* h » и '
54.
ь * d
ЗФ
2 а
5х_
59.
61.
62.
63.
64.
65.
4 b2d2' 6 W1
За Ъ с
46V* * W ’ ТаЧ21
а	Ъ2
а^П>'
ab
52. тг,
а2 ’
56. а.
„ W ЗР 5fl_i
Ь* ’ а» * с* •
56. —, й8,
1
Sate"
е«
a2 + a&’ cflb — b2'
a2	b2
58.
6U.
b
2a42 ’
ab
a+b* a — b* a2 — V2'
3a 2x	5	a
x3—ax3’ x-)-2a ’ xs+ex2—2e2x*
e2 — 4’ efc+2o’ 2 a2-
Л	В
-a3*
С
в^бв + б* а3-^-4в2 + Зa, (я+ 1)2 + (в + 1)’ е2 + 3в*
j4	'в	С
(в — fc)(a — с)’ (Ь — з)(й-
Л	В
-с)’ (с — в) (с — 5)’
С
(a + a)(e + d)’ а2 + ас -р cd -р ad ’ а2 + be + ab -р ас’
А	В
(а — Ъ){Ь —с){с — в)’ (с — b){ad — bd — а2 + ab) * (a—d)(a—c)(b—a)(c—b) *
§ 3. Сложение и вычитание дробей.
Приводят дроби к общему знаменателю, совершают сложение или вы¬
читание числителей и подписывают общий знаменатель. Результат, по¬
лученный в числителе, разлагают на множители и сокращают со знаме¬
нателем.
£>7.

Дроби
43
66.
68.
69.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
79.
80.
в . ь
а •
Злг , £
т т ' т '
ее. -J-4.
в "Ь ■га ■	69-	а	За1
m
Z’3?2	Р29а'
36	в	8с
5 а*	66*	15о6*
an-t.	Ыгп	1
с-дл-з с*хп~% асхп'
9а"	56»-»	.	2с«~*
126М
ДЛ-1
15а65 1 24ас2 *
, 6п	cm+l
3 а«с
67. -- — 21.
т т
68. 2L + ?5_5jc.
л 1 п п
67
. *-f~
Л 1 Л
70- TTa+f-
1	к
70. 4 —
У
126'
71.
72.
73.
74.
75.
76.
Р5?1
4а
Р493
56 .
46ст-л^ За«с 2а6«+л*
а + 6 |	a— 6,	х-Ь>	jc—>'
b 1	b г	х	х
20а*6 + с* _j_ 2Л2	3_
100*6*	•	2a6*
5а + Зс	о* — 6с	2а	, 4а — 6	36	—	о
оо '
4с —56 . 3
96*
6а3~Г" Ю
а*6*‘
6Л-1
а*г»
1
с3хп+ *
ь*ха+*
■ Ъсхп'
76»
За»-*
4сл-8
18 ас*
664с8
Уа*6* *
Ьп+ *
an¬
1 сп
2 аст~
il 96'л+л ЗапЬ'
c + d
с — d
z + а , г —а
Зс
4 с ’
6г 1 4г *
6 —а*
: « 1
2 (а • 3 Л
6а
+ г +
а \3 1 а)'
9с	2ас	6	■	26
6с+ 56 . Зо +56	а — 7с
обе
15 аба
12ас
206с	‘	4в'
с
При сложении или вычитании дробей с многочленными числителями и
знаменателями в особенности полезно не спешить производством вычи¬
слений и довольствоваться вначале одним обозначением промежуточных
действий. Вообще говоря, следует вести вычисления в таком порядке: сна¬
чала подготовить дроби для приведения к общему знаменателю, для чего
часто требуется разложить знаменатели дробей на первообразные множи¬
тели. Затем, найдя общий знаменатель, нужно написать его под общей
чертой деления, а над нею обозначить произведения числителей дробей
на дополнительные множители к их знаменателям, отделяя эти произве¬
дения теми знаками сложения и вычитания, которыми были отделены
данные дроби. После этого в полученном общем числителе нужно раскрыть
скобки и сделать, если можно, приведение подобных членов. Наконец
нужно испытать, не допускает ли полученная дробь сокращения, и если
допускает, то сократить ее на наибольший общий множитель ее членов.
Поступая так в нижеследующем примере, находим последовательно:
3	,	1	2а	3_	,	J	2а
. а+ 1 ‘ 1 — а 1—a* 1+а-*-!— а (1+01(1—с)
9		3(1 — а) + (1+а) — 2а 	4 —4а	_ 4
(1 +а)(1 — а)	(1	4- а)(1 — а) 1 + а*
Иногда при приведении дробей к общему знаменателю требуется изме¬
нить знак у одного из данных знаменателей. Эту перемену всегда можно
сделать, но нужно вместе с этим переменить и знак числителя или же,

44
Глава IV
оставляя числитель прежним, поставить перед самой дробью знак, проти¬
воположный тому, с которым она была дана. Например имеем:
а4 4-ft4 . ft
Ь
а4 4- ft4
ft
Ь
а*—о* 1 ft—в Ъ	+ а (a-fft)(a — 6) а — Ъ	а + Ь
с* + № — Ь (а +	b) — b (а — Ь) & — 2аЪ 4- ft3	а — Ъ
”(«4-Ъ)(1 — Ъ)	а 4- Ъ'
81.
82.
83.
84.
85.
87.
89.
91.
93.
95.
96.
97.
93.
99.
100.
10L
102.
{а±Ъ){а — Ь)
Ь ,
а
а — А 1
а + Ьт
X
X
I — в*
в | -t- 1 ’
a — 6
, «а4-*а
2(a-fft)
П ai_ fca*
2а + 3х
2а—^л
2в — Зл
Зл —2 а*
вз
а4 , в
2(а+1)4
(а + 1)4 ‘ 2(в-Ь1).
2 ,
3 - 2в 4- 15
2а 3 ^
3—2а 1 4а4 —9 *
2 , ,
3 2а —ЗЬ
a 1 Ь -
-2а 4дЗ — ft4 '
1 ]
3 . 2л
л —2 1
л 4- 2 * (л -f 2)3"
5
1 24
2a -f- 2
10в—10 10а +15 "
1
I 1 1
в* — а4
1 (в+Й)4 (в —ft)4*
2
а — 3 , с4_9д
е + 4
83 — 43 4-16 1 a*4-b4
1
2а 4-3ft
81.
а
а
а — ft
e-f 6*
82.
Х I
! *
с3 4- 1 *
1 в*— 1 *
83.
2 а4 4- ft4
в4- ft
в4— 64
2 (а — ft) *
84.
4а 4- л .
4а —л
4а —л •
л — 4а’
86.
а |
За 2aft
а — ft 1
в -f ft а4 — ft4 *
88.
2 1
3 16в - 6
4а —3 1
4а 4-3 16а4—9*
90.
а (16 — а) * 3 4~2а 2 — За
а4 — 4
1 2 — a a-f2
92.
1
2 | 1
*4-1
л-f2 ■ л4-3*
94.
а 4- ft [
в — ьч~
а — ft в4 — ft4
в -f ft as-ffts*
6 аЪ
х 4-у
х—у
2
■*г + *У+.V1 1 xi — xy + yi I л* + л=у3 Ьд4*
2 2 . 3
(х— а)(Ь — а) (ft —л) {a-b)~i (л —а)(л —ft)"
а 4- 2л	3 с — а . д2 — сх
За — Зл	2а — 2с~*~ а* — ас + сх — ах *
1	,	2а—I	7а — 5
а* — Та -f 12“Г”а4 — 4а + 3	(а-	—5а-(-4)(а—3)*
а -f1
e-f 4
2 (в — 3)
в* — а — I2^a4-f4a-f3 а- —За — 4*
.до (с + ft)4 — с3 j а — Ъ —с a 4- & 4- с
''' в* — ft4 -f 2 be — с* 1 в -f ft — с а — Ъ-\-с’
1ni & — (У —	. >а~ (* — г)8 I г4 —(* —у)4
(л + г)«— уДТ" (*-f j,)2_zj~r (у + ^ — дз*
105 1 | 1 | 1
‘ (т — п)(т — р) "Г" (п — т) (п — ру ~Г (р— т)(р — п) *

|0g	 ^	 I	^	I
‘ да — аЬ — ас 4- Ъс * 69 — аЬ + ас — Ьс' [с — а) (с — 6)'
Ю7.	™	+	п	_|	п	+	Р	!	Р+п
1 " (л — р)(р — т)'тр — trfi + mn — np 1 mn-t- np — rfi — тр'
108. 1,1,1
109.
НО.
113.
114.
115.
116.
а (а — Ъ) (а — с) 1
'6(6 — я)(6 — с) 1 с(е—я) (с — 6)"
а |
а* +
я—1 .
я9 — я—1 2а3
о9 —1 1
а3 — я9
4- а—1 1
я3 4- я2 4~ я г 1 я» — 1 ’
а — b .
Ь—с .
с — а . (я—6)(6 — с) {с — я)
а + Ь •
Ь + с '
с + а 1 (а + 6) (6 -t- с) (с 4- я) ’
а* + аЬ
+ ^+ **•
1 1 я — Ь
fc
1
*о
Я
1
а
— п
1
О* + к*
(fin — ап9 -+ к*
ап + и2 ’
1
Злх
X —
л
п — X
Л3— JC3
rfl + nx
+ **
а
Ъх
2Ьх3
Ь +JC
О9 +л9
• tfi — X3
\4п
Jfin
1
, 1
. «—1
JC«-f-l
JC“ —1
* JC" + 1 *
1
i
2
, 1
(а —2) (с
-3) I
(я-1)(3
-я) ‘ (я — 1) (я — 2)*
117	•*3~	Уг	■	У1	+ хг ' г3 + ху
* С*—J')^ —2)”Г(У + г)(з;—дг)_г(2 —дг) (г + >)‘
118.
я 4- 6	,	6	4-	с	,	с+а
(6—с) (с—в)”^(с—а)(а — 6) 1 (а — 6) (6— с)’
11Q У2 'ЛУ - *>){z — b) . (у — с){г — с)
be 1	6(6 — t) "Г С (с - Ь) *
ton (fl + fc)(c3 4 Ы — Р) , (6 4-с) (624-е9-я2) , (a + flfa5 4- с9—69)
 	Tb	I	Г:	1	ас	'
§ 4. Умножение дробей.
Перемножаются в отдельности числители и в отдельности знаменатели,
причем все это перемножение не производится, а лишь обозначается
в разложенном на множители виде для возможности сокращения.
121.4-е. 121. с--. 122. -•*.	123.^-3**с8. 124.2а2йз—
о	ах	оJ	а*	а*
125.4.W —?g-\ 126. 5(а + 6)«(а-ф .Ща +	ц„_, ■
127—	D*	•	w^TF-,-	«»■»•	SB	• ™--2- SB- ет-
JOQ <ftl2',-169 3сл+prfm	д2л+2	fcm+n дл-а
* £Р-лдЗ " 2я26* *	Я/71-Л '	Д7Л + 3 * г,1Я+л *
too 36jc9	,00	12вл-*(о+дг)2с3	5с9
132*8l^F^-'-6^+^W-	133-	аз	‘	Зя^Ня +
1 о. 4я*Ь(п —2)3	З&ЗДЗ	2	3c«jcp~*	5.«»+9
9с«&	'	Шат (л — 2)2 *	1б0’ 2сг'	10vn ‘	7ys *

48
Глава IV
136.
137.
138.
139.
140.
141.
142.
143.
144.
145.
146.
148.
150.
152.
154
156.
158.
159.
160.
161.
162.
164.
166.
я +1	462
Ь Ф — Г
х?—у3	За:
х— у'
Я2 —
62
Зя2
Я2 +
£2
4я — 4б *
я6 +ас
яб
— ас
bd — cd
6d
cd*
(х-
-у)2
У
(х + у)у*
х{х у у)
*3 + У3
Х + У
х—у
х»~
-У3 *
я2 + аЬ
ф
— £8
Ф— Ф
аЪ 1
[«+*)'
£4 —
fi4
я + 6
Ф -}- 2я6 -f-1
b(a — с)
Ы — ab *
с (с + я)
Ф -f- 2ас + Ф Ф — 2яс + Ф *
2 a{p* — qVfi	р3
Ьр
& + Х-/-
{p—q)(p + qf‘
■ у2	х* —у*
jcs + Згу (* + У) + У3 ха —уз
д:2 + (я ■+ Ъ) х ■+ ab л2 — Ф
X2— (я — с)х— ас' х' — Ф"
<“+6Kir+l)-
(•+?)•(•+?)■
ab (а 	 Ь \
я+ 6 V Ъ а ) ’
(а + х х—у\
7Г)'
Ф
136.
137.
138.
139.
140.
141.
142.
143.
144.
145.
147.
149.
1 —я
36» '
х+у
4yJ
ф
1 —Я3*
Х2 -J- у2
' Jfi—y3'
-Ф	Ф	+	Я2
Я‘-
5я + 56
яб — ad
ab + ad
be 4- cd
" be — cd "
(я+6)2
Ф
(я—6)6
(я — 6)3 *
я» — 6®
я — 6
я + 6
яз+63*
1 '
л3 4-у3
у(*+.у) *2-
-у* *
дг1 — у1
х — у
дгз — 2ху + у2
х*+ух’
а(Ь + с)
Ъ (с — 6)
62 — 26с + С2
£2 + 26с +
ф'
ЗДС (ДГ* — V2)2
Я3
яу
(*+>■)(* —
У)2
я3 — 2я6 — б2
яз + 6»
я2 —Яб + 62
я —6 *
1 — я*
х +
д:2
(1 + я*)2 — {а + х)2	1—	А-•
151- (т+тHW)-
ю-(Чг)'-(*ъг)'-
л2 -|-ау'
(5-T+0-(S+f+0-
fx+y 2.x \ у — х
V х х— у) ’дз+у3*
(х* ,Ф а х .	\	(X а\
{ф + л*-х ~Т-t" 1) ЧТ'~Т) '
Зх? + Зху
157 *+!2.(-Л
х*+У* \х — у х+у)'
4ху + Gay V. ах ау 1 2дг -(- 2у
)
я+я2
3
163.
165.
)•
( Ф + 1	/3—я
\2я — 1	Т/'\я+2'
Я2 —д-2 Ф — Ф Г , ах \
а + Ъ ’ ах х* '\а 1 я—х)
5дг x-f-y \

Дроби
47
I х—у
1
Н>
у-1
2z
■* + y4-*
2л:
)■
168. (i_2L_i_2VH
\уг хг ху xj \
™(f+i)-(7+j)+('-7)-('-i)-
171. (o + i+ l) ■ (o+i— l) ■ (<•—-j) •
172.
174
c* — d* cfi + b- lab
"ойРУ *	0	-у	Ф	'
2/23flrt+2 дл— Д>1-2
e“ -f-1	4л*	*
('-£*)■ ,78-!
175 (-
и2 4- ид: 4-х* «а — nx + x®
л® 4- л3 n® — л:8
a®x
+ x x—y
\	0®J
/ ’ X« —
0®У»‘
§ 5. Деление дробей.
Разделить на дробь — это значит умножить на обратную дробь.
171?
178
180.
181.
182.
185.
188.
190.
192.
194.
196.
198?
олл
A.UUi
202.
I
-т'.а.
ь
ab ,
— •.abc.
cd
10а263:
176. с:
1
178.
50e3ft*
10 *
, ab
abc: —.
cd
дх*у^л
e. 27x«yV
4/я*я®
177.
179.
180.
181.
mi—
n
9mbfl
8pq
50 ФЫ
10
177.
— iq.
P 7
:8 л3.
179. 8я2:
9
'
10a2»3.
183.
a 1
T:T’
ab, _3
xy’xy'
дЗп+s a»i+5
fcm-i ‘ ji+m •
am+nbn+p Qn~pbp~ai
xn+Pyp+n ' xp-iym-% •
3/7 — 3^ _ 9^ — 9/7
5/7 4~ ^9 ^9 "b 10/7
6ей — 6ft® #	26®
«(<r+fc) ‘a (a®— 0)'
6/7® .	2/7®
~У
186
1Sb* 7а» -9Й*
184.
187.
1 6a»
7: —
42 771/7 _
!5o*
Р — Ф'Р±РЧ ±<Р'
o*4-b®	.	d —»4	>
1 4-x + x®" 1 +x® + x« *
X®+J7® + 2yj7 — sfi x +J/+®
z® — x® — y2-\- 2xy' у + г — x '
a® — 2a—15. a®— 8a 4-15
a® — 8a 16 ' a® — a —12 ’
189.
191.
193.
195.
197.
199.
201.
203.
бЪпд ’266*"
a2b* bm+3ynt-n
X3yn' дл-ijpi+a *
а + ».»4-Д
a — b'o — a*
x®4-ya.3t®4-3>®
x®— y® x-\-y	’
y*— 4x® . y’l—2xy
y® -f- 4xy ’ xy -f- 4x* ’
с® — 2а»4-»3. a— b
o®— ab 4- 6® " a8 4- bs
jfl+{a + b)x + ab 'X- — a®
x® — (a — c) x — ac" x® — c® *
c®4-2a —3. a® —9
0® 4- 4a 4- 4 ‘ a® 4- 3a 4- 2 '
x®4-l .(x® —1)®4- **
x®— 1: x* —2x4-1 *
d

48
Глава IV
204.
*«_3х*4- 1. **4- х— 1
х* — 27	*х* 4- Зх 4-9"
6[flq* _ 13 Cm — я) q _ Г4(г—я). r*— я* 1
ont- 25p* + 10p1 +- 4 . I25p6 — 8
25p* _ Юр + 4 • 125p* + 8 ’
OOfi иУ'ч~ . ! u 1,11 — ’чч .	—°i. «• — Д8 1\
*m+n’\ 7(г + я) ‘ L	'4	(от*— n*)|/"
207
211.
213.
I 5
от ~*~m
с *
от
a 5
x* ху
~ТЕ '
дуя
211.
213.
п
с
п
а
л
а с
ХУ~“&
Ъ
х*у
тп
210.
212.
214.
2л
п— х
от	п
х	у
ОТ I л '
X ' X
Р_ 9
У£ X*
р_
XI
: (0,2 ч —0,2лг).
212.
9
у*
214.
от	п
х	Т
Р_. I ч_
у1 xz
Р_
X
.л
ху
215. („+_*5L):(,„
\	1	от	—	п/	V	от+п
и»-(Ш-1т5)!(г=г-1--+л
*» (-+£*§) = ( >+f=H'
oiq (т + п . п.* + гР\ /т—п от*— л* \
\от-яI'm*—л*/	От'+rt»/*
220.
)• *»(»-«+£)’(£-*)•
I x + y\
X i-у r x у) '
от — 4л~| _ Г 2от 4- л	5л* — Зт*"
220а.
L 4тл
1
5л
’И
Зт
16т*
]•
1
1—1
х
1
2206.
а
а
220в.
а — 1
221.
о—1
а —
1
222.
о + 6
а*!
223.
-*3 4- ху + у*
X   у •
уЗ ла
Р + 2-
р+ 2
224.
о 4-1
q — p
16р*
о 4- б
д-р
I 4р* ’
-р+9~6р
225. [(-
й4-5*
'+2+йл
■MW)]wS-
226, [о*~Ь б*^-04-5 ( о “Ь 5)]
227	2-
(0 4-5)*
аЬ -
1
1
4-1
y(xy«4-x-{-z)
. 228.
1
t4i +
5*4- с* — о*\
25о
/ *
229.
Зо6(7
а—1 , 5—1 . с—1
5 4- с
bc-j-ac — об
_1_
а
2301
Г(в 4- 5)*	1	Г(с — 51* , л
[ 4с5	*]	1 4о6 Ч- 11 [(о 4- 5)3— gh\ [(g — 6)3 4- дб]
(о 4- 5)8 — Зо*6 — Зоб*
(а — 5)* -| - Зоб [а — 5)
5
а

дроби
46
§ 6. Задачи на все действия с дробями.
232. (р—2+i): (р._р_ 1+А).
233. a(a — b) — b(a-i-b)	tp+tfl	ffl	о3	)	.	3
*	_£	Ь_	'	.	*	'	РЧ	РЧ±Ф	Р2	+	РЧ'	*РЧ'
а + b а — Ь
\ а ■ Ь /
237.
J_\s *
Ь
(о ч- cV 4- 2 (fci _ -!) + и _ ^2
(M_2iM + <*). [^+гг^+	‘
ml(^_
239-(i-+j):(-'+^)+^(j— j)-
240-^ [<^(р+*)+огЬ’(}+<)1-
*,.л±4£«-±И.	212.(1+a_|^).
244-(J4-l4)(7-T-rJ-
246 ( -	-	] : —
’ x-2 x + 2	^.jc* — je3-|-4.r — 8
247.	^а-]-”2— 3n — -	:(згй3 4~4»5л2— Зоя).
0,„ Г л:—1	i-Зх + х* 1 I . 1—2х + х? — ?х*
£	[ Зл: + (х— 1)г д-з - 1 дг— 1J ' 1 + 2х -Ь 2x1 + дЗ'
п — х , ах \	/ а . п — х
245.S=J:.n-^T\-1+iI^~”‘
Ъс
™Л~^+^)-(т^+^ + 2)-
nrn I а2 —ах	202	\	/	 х—	1 х\
й ‘ \ a2x-fx? д:3—ад2 -f- а*х — о31 \	a	W
4% 7. Отрицательные и нулевые показатели.
дв
При делении а5 на а7 по правилу дробей получим —э , пли, сократив,
1 „ °
^7. Если же применить к этому делению правило Деления одночленов, то
получится а5:а7=а-2. Отсюда следует, что a~2=i.
4 Сберявк ялгебр. задач, ч. 1,	'

SO	Глава	lv
Таким образом количество в отрицательной степени есть дробь, числи^
тель которой есть единица, а знаменатель то же самое количество, но
в положительной степени. Например:
 — ■ А-Я	А. •	9 — 3 :— —	w— А II т	д
Ф’ °	Ьп'	-	24	8
При делении	аъ	на а5 в частном	получится	единица.	Но	если	мы	н
тут применим	правило деления	одночленов, то	получим с5:с5 = а5~5 = а°.
Итак, всякое количество в нулевой степени есть 1. Например:
а®=1; b°= 1; 5°г=1 и т. д.
Вычислить следующие выражения:
251. 2°, За, 2-8, (4)’.	(f)\	(|)!. (4)-3,1,2>,2,5-4
252. (-5)2, (-З)-з, (-4)0, (—§-)*, (—|)'*. 1>23« 1>2'2>
(-Ч)"3' -4°> (-°>4)-3, -0,3-2, (_o,l)-i.
253. [з — 2 (4)°J^3-	254.
3.5-1 — 2»
З-з
«’Л'-втгаг-
259.	[(1—3-*)-’—2 —(4)”
Решение задач на отрицательные показатели очень- упростится, если
обратить внимание на следующее:
„	.	сРЬ-3с-*е&
1) Если по всем правилам упростить выражение	’	то	легк
получится следующий окончательный результат:	•	Отсюда	правило:
если в одночленном выражении имеются в числителе и знаменателе мно¬
жители с положительными и отрицательными показателями, то в окон¬
чательном итоге множители с положительными показателями остаются на
своих местах, а множители с отрицательными показателями переходят из
числителя в знаменатель и обратно, меняя знак показателей на положи¬
тельный.
2) Если упростить выражение	*,	то получится (4)*» т. е. отри¬
цательная степень какого-либо числа равна положительной степени обрат¬
ного числа.
3) Обратные числа встречались еще в арифметике; примерами обратных
чисел в алгебре могут служить количества с отрицательными и положи¬
тельными показателями одного и того же основания, например; а и а~\
b8 и Ь~3, ап и а~п и т. д. Произведение двух взаимнообратных чисел

дроби
51
всегда равно 1. Отсюда следующий простейший способ освободить
формулу от отрицательных показателей: если дано, например, вырж-
д—2 -j- Ь~1
жение	надо	числитель и знаменатель этого выражения помно¬
жить на одно и то же число, а именно на а2Ь; получим окончательный
Ь + А®
результат
Упростить выражения
261. с-з-fc0.
1
261 —
b-i‘
263. х~а-
tfi'
263. а0--
Х-а
265.
267.^.
д-В
271.
274.
д-В*
268
(л« + fc0)-ajr-®
4-‘лг-з	•
а-> 4- Ь-* + с-«
ab + ас + Ьс ‘
265. а-{.
д-В
(1— m)-t
т~%
262.
v>
а-т
264. (л +у)°.
а-*
266.
269.
а-у ’
— 2а-«йо
ЗЛг-s '
272. (1 — с-2)-’.	273.
275.
262. а~а-Ь°.
264.
х-°
Х-Ь •
5а-з—да
266.
270.
27-
278.
0-1+ 6-1’
д-4_6-4
Зо-в.5-* ■
6-ад-»	*
д-В + д-26~1
276.
д-16-* *
ООП Гв_л+6~я /1	1	\1
280. ^д-п_6-л ’ \ 6-л	Д-Л ) J
а-г+6-а*
1 -»
279. (l
д-16-1
д—л — Ь~п\ —в
д-Я+ 6
;-Г-
Представить следующие дроби в виде целых выражений, вводя отрица
тельные показатели степеней:
281. -j.	282.	±	283.	1.
284. Л- 285.^.
287-й-	288.^.	289.	290.Jj—i.
292
1
21
__1_
92
_Г*
’ У
х*
1 \в
004
4«UV*
fi-АГ'
\х* у/
294.
(- + -)
V лг8 «4/
а.
\х»
.±г
yt/
286. 5a.i.
291 — 4--^
295.
1
x+y‘
В каждом из следующих выражений произвести последовательно че¬
тыре преобразования: 1) уничтожить все степени с отрицательными пока¬
зателями, 2) привести знаменателя к единице, 3) привести числителя к еди¬
нице и 4) уничтожить все степени с положительными показателями.
296.
298.
>л*Ь-а
х-*
с т
296 ^*1!
б-8 *
6-Л1
298.
6—ПХР *
ООО 8а-»а*(с—d)«
5-i^(c + d)-«‘
a«x~P
297.
299.
4a‘6-*
9c2d-4 *
2
3a~ 9 bp
297.
299.
8a-4>*
27с-ЗДВ *
3
2Wb-p *
1
л
V

52
Глава IV
Упростить выражения:
301. с-2.с7.	301. а2-е~6.
303. а~т-а2т. З03.а~зт-а2т.
305. а-7:с4.	305. а8:а-3.
307. а-т:а~2т.	307. а~зт:а-2т.
309. 2-в-23.	309. 23:2_6.
811. 3-*:3“«.	311.	32-3'3.
313. а-3-и8 е-7.
314. e-2-a-3-a.
315. а~т-а~п-а2т.
316. а-*т-а2т-а~т.
317. 8a~*b~3a~2b~2c~J.
318. ~ а-*Ь*с~2
о	15
302. a-12 - а-2.
304. а~т-1-е3.
306. а-4:а"в.
308. ап:а-Бв.
310. 2-2:2-з.
312. 5-2:5.
302. e-i°.a-7.
304. a_m+1.e3.
306. а-5:е-2.
308. а~5а:а3п.
310. 2-3:2"2.
312. 5-ь5-3.
313. а*-а-*-а~К
314. а-а-3-а2.
315. а~2т • а~2п • а3*.
316. аЪт-а2т-а-*т.
317. —2е-36-8:4е5й-2с.
318. 8а3Ь~3с~ъ •3~1a~*bii2.
320.—ba-mb2cP:—3n-Bb-ic-P-'ld-a
322. (wz_e + wz7— т~3): — m-7.
319. 2-2а-тЬРс-ч-2-*а-тЬ-РсЯ.
321. (т~ъ — т*3-\-т~л)-т^.
323. {р~4—р_39 +р_2д2 — р_193 -j- 04) ■ Р49“4*
324. (jD_10-j-p-894 + р-6#6+р-408):— p~Gg3.
325. (e-8 + 6-5)(a-3_$-6).	326.	(a-*™ — 6-2l*):(e-m +
327. (a-CT-f 6-m).(a-a —
328.(a~3m—b-3m)-.(a~m — b~m). 329. (лг~2+л:-7 +xP){x~'—x).
330. (x~2 — а-^лг^ + е-^лг^ + е).
331. (лг 4 —J— a2x~2 + а4) (x2 — a~2). 332. (6л:2 +11+ 4л;-2): (2л:+x~').
333. (2лг+3 + Злг-1 + л:-2):(л:+ 1 -j- л:-1).
334. (^x2—-g-—^x~2 -j-л:-4) :(4лг —	2х~^).
335. (—a)-4:(-a)"3.	336.	(a-i + 6"7)-2.
зз?- [°--(+n :[“'*+(^)",i-
338. {[—3(a-1)3]2 - (-2а-2)3-[1(-а)3] "2}"2.
339. ^(ал:-2 —а-7л:2)]-2.	340.	(a—a~42):{\ — a~4).
341. [(a — I)"2 — 1]: [(a — 1)“7 - 1].
342. [(л:-7 + 2-+3 + 8J: [(лг~3 + 2-+i + 2].
343. (e2 + n2): (n~r — e"7) — (e2 — n2): (a"1 + n~7).

Возвышение в степень
53
ГЛАВА V.
ВОЗВЫШЕНИЕ В СТЕПЕНЬ.
Правило знаков при возвышении в степень: любая степень положи¬
тельного числа дает положительный результат; четная степень отрицатель¬
ного числа дает положительный результат, нечетная — отрицательный.
Степень произведения равна произведению степеней множителей, т. е.
(ab)n = anba.
Степень дроби равна дроби от деления степени числителя на степень
/ а \л а»
знаменателя, т. е. IjJ =^.
Для того чтобы возвысить степень в степень, надо показатели степеней
перемножить, т. е. (an)k = ank.
Все эти правила вер ч i и в применении к отрицательным и нулевым
показателям.
Правило знаков и три указанных правила дают возможность возвы¬
шать в степень одночлен.
1. (—4) ~3.
3. (— 1)за.
5. (0,02)~*.
7. (_а2)3.
9. (—а5)2".
И. (-а7)~*.
I. (-3)"*.
3. (— 1)ЗЛ+2.
5. (0,05)-з.
7. (—с3)2.
9. (— с:’)2п.
II. (—а4)-7.
13.(—а3)-2я+1. 13. (_с4)-2п+2.
15. (—с-5)-2. 15. (с-2)-5.
.8. [(-!)■]-*.	.9.	[(-«)■]-.
21. (—0,2с^)5.	22.	(—0,0\ап~2Ьт)*.
пл I atp+i
\	Ь&Ся+2/
27. (— 0,Ьа-2Ь-вс*-')~\
cm-n I
2.	(— 1)2Я.	2.	(— 1)2я+1.
4.	(abc)m.	4.	(bdffn.
* Ш“-
8.	(— а)2п.	8.	(—а)8»"1.
10.	(— с2)"3.	10.	(—с3)-2.
12. (— ат)~\	12.	(— а*)-*.
14.	(а~т)-а-	14.	(а~т)п.
16. [(—6)5]т.	17.	[(— *)5]2».
20. [(— *)-»]-■.
23. (_=£?)*.
25. (2д36-2с-1)2.	26.	(—-Ic^-W-2)-*.
28. (— 0,04ст-3#>-яс-5)-2.
«• {-	33. (-0J£)-. 34-
Непосредственное умножение многочлена на самого себя приводит
к следующему правилу: кгадрат многочлена равен сумме квадратов всех
его членов плюс алгебраическая сумма удвоенных произведений каждого
члена на все последующие.
35.	(х* — 2а*3	2а2*	—	а*)2.
37. (а2л _j_ 0л — 1 д -л)2.
36.	(Зс3* + 2с2* -|- с* -J- 1 )2.
38.	(*-и —2*“2 —-g-*"3)*.

54
Глава Vi
ГЛАВА VI.
УРАВНЕНИЯ 1-й СТЕПЕНИ.
§ 1. Пропорции.
Основное свойство членов арифметической пропорции: сумма край¬
них членов равна сумме средних.
Основное свойство геометрической пропорции:	произведение
крайних членов равно произведению средних.
Отсюда выводы: если один из членов арифметической или геометриче¬
ской пропорции неизвестен, то его можно найти по следующим правилам:
неизвестный крайний член арифметической пропорции равен сумме средних
без другого крайнего; неизвестный средний равен сумме крайних без
другого среднего; и — для геометрической пропорции — неизвестный край¬
ний равен произведению средних, деленному на другой крайний; неиз¬
вестный средний — произведению крайних, деленному на другой средний.
Четыре числа, из которых может быть составлена геометрическая про¬
порция, называются пропорциональными числами.
Из таких четырех чисел пропорция может быть написана восемью спо¬
собами — при помощи разнообразных перестановок.
Из любой геометрической пропорции можно составить производные
пропорции, из которых полезно знать наизусть следующие пять: если
а с
верна основная пропорция ■■ = , то из нее вытекают следующие:
а±.Ъ c±.d ш	а±Ь	c±d	шш	а + b	c + d
b	d	' а	с	И	a—b^c — d'
Непрерывной пропорцией называется такая, у которой или крайние
или средние члены равны между собою, т. е.
г. г.	т Р
а—Ъ = о — с	и	—	=
Р п
Равный член непрерывной арифметической пропорции называется сред¬
ним арифметическим (или просто средним) количеством по отно¬
шению к двум неравным; равный член непрерывной геометрической про¬
порции называется средним пропорциональным количеством
по отношению к двум неравным. Среднее арифметическое двух количеств
есть их полусумма, а среднее пропорциональное двух количеств есть
корень квадратный из их произведения, т. е.
,	а 4- с	. г
b — —	и р— V тп.
Найти дг из следующих пропорций:
1. дг — о = с — й.	2. (а~{-й)2 — (а2 — Ь2) = {а—Ъ)3—дг.
п	,	-	,.	2а6	л а	b	я*
о. ,	х —- (с —1— [/) —	, .	4. —j—т  г - ~ ——j- — дг.
а — b	'	I	'	а — b	a -j-b	а — b а% — №
6‘ Ь*Ь:

Уравнения 1-й степени
53
7-*• (4-гтj):*=*!4!:0+А)-
9. х: (а3 — 63) = (a-j- Ъ):a2b2	—	1J.
10- рзйГ — а — ^] : [(« — b? + «Ч =	+	1]	:х-
Представить следующие равенства в виде пропорций:
11.	х2 = аЬ.	12.	(с — b)b=^(cJf-d)d.	13.	9л2	=	5«.
14. (а-\-Ь)2=тр.	15.	(a -j- Ь)2с2 — (а2 -|- d2) d2.
Найти х из следующих пропорций, применяя производные пропорции:
16«=£zl£.	п.*	*	is* s£±i. 19. fl -
Т~	ll'T~F+lc‘ 10-Т~Г=^	Z+ь— х-ь-
20.	£±-в£±*.	21.°—^==^-.	22. £НгЧ-
X	X — D	X	О—X	о	X—1
23.	4=?--*.	24.4 = ^.	25.«±^=f±J.
Ь X	Ь	п~х	0 + X х — п
В следующих пропорциях определить при помощи производных пропор¬
ций значения хну, принимая во внимание данные равенства:
7	41
2б> 7^-й при х-\-У=*ж	27.	4=-о- при х—у=21.
28, 7 ~при -V+J's=2fl-	29-	у	=	при	*~*.У	=	2*.
ОЛ .с аа + №	.
3°. у—~<мГ~ при х—Узаа — °-
о-, i;	m 3ama
ЗЬ Упростить отношение —:	.
Р РЯ
32. Упростить отношение —у—•
33. Найти среднее арифметическое чисел 20 и 10.
34. Написать непрерывную арифметическую пропорцию, два члена ко¬
торой были бы 11 и 5.
35. Составить непрерывную геометрическую пропорцию, два члена ко¬
торой были бы 4 и 25.
§ 2. Уравнение с одним неизвестным.
Тождеством называется равенство или очевидное само по себе, как
содержащее в себе одни лишь арифметические числа, или справедливое
при всяких числовых значениях входящих в него букв. Уравнением назы¬
вается такое равенство, которое справедливо только при некоторых
определенных числовых значениях входящих в него букв. Примеры тождеств:
a —j—	2а	-|^	За	=	5c;	(a-j—	1)3=а2 —|— 2a-}-1.
Примеры уравнений: c-j-2 = 7; x2 — 5* = — 6.

56
Глава VI
Первое из этих равенств справедливо лишь при а, равном 5; второе —
при х, равном 2 или 3.
Решить уравнение — это значит узнать, при каком числовом значении
буквы или при каких числовых значениях букв оно обращается в тождеч
ство. Это числовое значение называется корнем уравнения.
В уравнении с одним неизвестным 1-й степени неизвестная буква не
может быть ни в квадрате, ни в кубе, ни в других степенях.
Решение всякого уравнения покоится на положении: 1) равенство не на¬
рушается, если к обеим частям его мы придадим или из них вычтем
равные между собою количества, 2) если обе части умножим или р а з-
делимна равные между собою количества (не равные нулю).
При решении уравнений надо прежде всего привести все члены урав¬
нения к общему знаменателю и знаменатель отбросить; затем надо совер¬
шить в обеих частях всё указанные действия, т. е. раскрыть скобки и при¬
вести в обеих частях подобные члены; далее, перенести неизвестные члены
в одну часть, известные — в другую и снова в обеих частях привести по¬
добные члены; тогда получится уравнение всего с двумя членами — по
одному в каждой части; и наконец, деля обе части этого последнего
уравнения на коэфициент при неизвестном, находим это неизвестное.
36.
38.
40.
42.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
51.
52.
52.
53.
53.
54.
54.
55.
56.
4+* = 10.
18 — * = 6.
3*= 12.
18: лг = 6.
9* — 5 = 31.
28 + 3*=7*.
42 —5* = 2*.
3y+ 18 = 5y.
19z—14 = 12z.
5y+ 18 = 3_y + 38.
Решить следующие уравнения:
36.	* + 6 = 10.	37.* —8 = 2.	37. * — 5 = 7.
38.25 —* = 9.	39. 13 —*=15.	39. 20 —*=24.
40.	5*=45.	41. *:4 = 8.	41.*:3 = 6.
42.	24:* = 4.	43. 5*+3=28.	43. 7*+5=26.
44. 7* —8 = 41.
45. 18+ 5* = 8*.
46. 16—2* = 2*.
47. 7_y — 33 = 4y.
48. 17z + 33 = 20ar.
.	49. 2y + 45 = 6y+17.
50.	14z + 23 = 19z— 2.
7z— 5 = 3z+ 3.
16*+10 — 21*=35 — 10*— 5.
5* + 13 — 2*= 100 - 20* — 18.
7* — 9 — 8* = 23 — 15*— 18.
2x— 10 - 7* + 9 = 8 + 8* + 4.
7 и — 9 — 3u + 5 = 11к — 6 — 4д.
16к—12 + 2u — 6k = 28 + 3k — 25.
27K+36— 18k — 39 + 6k — 24 = 0.
7k — 9 — 18k + 7=10k + 9— 7k — 7.
3 (* + 5) = 36.	55.	2(*— l) = 6.
7(^ — 3) = 14.	56.	13(12 -,y) = 26.

уравнения 1-й степени
57
57.	5(35 —лг)=-15.	57.	9(9 — лг) = 18.
58.	8(2у+ 5) = 72.	58.	4(15 — 2у) = 20.
59.	8(72— 61) = 16.	59.	15(15 — 4л) = 45.
60.	2(10 — 7z)=2S.	60.	3(11 —5гг) = 42.
61.	3 (л: — 5) -f 8 = 17.	61.	3(2 —3) +5 = 23.
62.	5(2—2) —9 = 11.	62.	7(2 + 3) —22 = 41.
63.	6(к + 5) — 8и = и.	63.	3(7 — «) — 5 = 5и.
64.	5и + (7 — 2а) = 11.	<	64.	8и — (2 + 5и) = 9.
65.	8(10—2) = 5 (2 + 3).	'	65.	8(9 —2л;) = 5 (Зл:+ 2).
66. 5(2+1) + 6(2 + 2) = 9(2 + 3).
66. 6(лг + 1) + 3(8 — 2>=11 (2 + 2).
67. 7(3_у + 6) + 5 (у — 3) — 2 (_у — 7) = 5.
67. 4 (5у + 2) — 7(1 — 2_у) + 5 (8 — у) = 128.
63.	8 (3^ — 1) — 9 (5у — 11) + 2 (7 — 2у) = 30.
68. 10(8 — Зу) + 11 (у — 4) — 3 (4 — Зу) =4.
69. 7(62—1) + 3(2г+1) —5(122 —7) = 23.
69. 3(22+1) —4(1—32)—5(62 —7) =16.
70. с(82 — 1) — 7 (42+1)+ 8(7 — 42) = 19.
70. 10(32 — 2) —3(52 + 2) -J-5(11—42) = 25.
71. з =2.	71. -^-2 = 3.	72.32 = 12.	72.	~х =12.
73.	2 i 2=30. 73. 3~ х=45.	74. 3-^2 = 18. 74.3-2 = 28.
75.32—-2=16.	75. З2 + -*-2 = 20.
76.	Ъу— ~у—Ъу-\-2Ъ.	76. 7у—|-j/==8_y — 4.
77.9jr+6 = 10(9—Х^у).	77. 9^17— J у} = 5(у — 6).
78.	х+-‘-2 = 10.	78.-£ + -£= 14.
79-|+5=8'	7».++|.дг=38.
«.+-,+=11.	м.*+5_*=г.
82.22+1 2 —у 2 = 57.	83. 52 — 0,32 = 4,52 + 2.
84. 9,\х — 0,1=0,152 — 5,1.
85. 5(52 — 1) — 2,72 + 0,2 2 = 6,6 — 0,52.
86. 0,362 — 3,4 = 0,3 (0,42 — 1,2).
87. 1,22 — 5,375 = 0,1252 — 0,7652 — 5,425 + 1,852.
88. 5,72 + 7,2 — 0,8552= 34,1885 + 3,452— 18,2.

58
Глава Vi
89. * — l=^tJ
nt -j-1 1x 5
b 2 8 "
90. 3 — 2*=	.
92.
18 —J
93.x-
12 — *
26 — *
Z~~T~ •
95.
97.
99.
3*—2 9 — 2* * + 2
3	—3~ am~2
8—x 5 — 4* * + 6
6
9*+ 7
3
2
94. 2
96.*
98.
8 12
3x— 7 _	*4-17
~	4 — T~’
-3 , *—4	*—5 ,	x—I
4 i 3	2	“Г	8	‘
3*-l	13—* _7*	11	(дс	+	3)
2
-(*——-?)=36. loo.	(i—V^) —
3	6
2 — x\	„
7*.
|л< 3* -1- 4	9*	4	44	|	3	(3*	4~	10)	5* 4-12
IUb 7	5	1	3	~	“3-'
1 no
*4-10 . 16* —3	7*—6	* —3 , 3(* — 3)
3 + 20	4	_ 2 T 10	'
mi 3*4-2	5* — 8	3(2*4-	1)	*~1	2
"18"	24	—	36	~~ti~	T'
104	—	51	2(1	—	3*)
52	13
■X —
20* — (10 — 3*)
156
4*—9
105.
5 (3* — 2) , S*
■ 23-;
j-x— 1.
4	~	2	“"6	—	6
106. 0,15*+1,575 —0,875*=0,0625*.
107. (*+l)a=[6 — (1— *)]* — 2.
108. 1,2* — 0t-18^ ~-0|0-5-c= 0,4x + 8,9.
109- {г[т(т|>-||+5)+3]-5}"1:”(|-
in *4-2.3(*-f-ll
3*5
112.
114.
116.
118.
120.
122.
124,
4*
*— 1	x-J-5
8	9
— 3.
113.
= 2:3.
3
x~l ‘ x—2	x—3
= 0.
x — 5	x—6	' *—8"
1
0.
115. 5$-3x)=2.
2
7 *
•-V
0,01 — *	5	2	—	3*
0,02
5,1.34
2
1,7
0,01
117.
119.
6* + 3y
*4-3	5*	4-	0,4
0,1 — *
6,4
•5.
13
4*3—9	7x — 3*
2x — 1	9 . Ax— 2
12*— 18
121. —!
3
42*—8*
4x^-2
1
22
2*4-1 •
4
1 i 3	_ 24
1 4-*”1- 1 — *	1—***
ino 1,2	13	5*
1AJ. 2 ^*+2	8	4*4-8'
5
в

Уравнения 1 й степени
59
8
37 —9л:
|ОК ‘
*4—1 1	*2	—2« + 1 ЛГ*—*2 —ЛГ+1*
126, (х — 1) (л: — 2) = (х — 3) (jc — 4).
127. (лс-f- 1)2 = [111 — (1— дг)]лг — 80.
4л:1	,	2л:	+	1	0	lon 9л: —8
128.
130.
л® + 4лг + 4_Г дг + 2
5л:—8	2л:	—	5
2.	129.
19*э — 29
л:2— 1
45
131.
6л:—15	Юл:—4	(2л:	— 5) (15* — 6) ‘
_00 jc® +	4-	■* + 1	■**	—	хз-ьл:—1	1,5л:	—	2
Ij<» 	„	,	,
"ojc+1 9 *
х — 3 , х—5	0
л^5 ' х^7 ~~ *'
х + 1	х	— 1
133. —4х—{5л;— [6л: — (7л:—(8л:
1Я4	2*2	+	2л:	+	1	,	2*з	+	2д: + 3
лЗ—1 •
9))]} =-Ю.
2*2 + 2
2.
(л+1)(* + 2)Т (*-t-i)(* + 3)—!(л + 2)(л: + 3)~г
135■	[т( з'(лг + 2) + 4) + 6] + б}^1-
Неизвестное дг может иметь буквенный козфициент, например: ах -J- блг=с;
в этом случае неизвестное дг, а ксэфициенты а и Ь. Решение подобных
уравнений ничем не отличается от вышесказанного, но только соединение
нескольких неизвестных членов в один совершается с помощью скобок.
Например:
тх-\-пх=р; (т-\-п)х=р;
136. дг-|-а = Ь. 136. лг — а = Ь.
138,тх — п. 138. пх = т.
140. ах-\-Ьх=-с. 140. ах—Ьх—с
142. т(х-\-п) = р.
143. тх — р — пх.
144.
146.J.-BW
149. тх—p — nx-\-q.
137. с — х — Ъ.
139. ~L=m.
п
137. Ъ — х = а.
х
139.
т
х
141. —+ 6 = е. 141. -—6 = с.
а 1	а
142. п (лг — т)=р.
143. пх = р — тх.
144. Ц = с.
И-
а '
146 .z+l=c. 145.
1 о
146. ^-\-у = д.
148. ядг -j- b = сх -J- d.
150 .Ц-Ч^а.
— z = b.
151
4 + я i
Я — „ г т-
Р 1 '* Я
15^. abc — с2лг—ах — а2Ь.
151.
152.
Я
г-
— Я
г —а
Р
Ьх — ЬЧ
т.
-аЪх — ab2.
153. (b-\- I) х ab = b (а-\- х) а.\5А. (р—У)(я-тУ) = Р‘
155. (p-\-z)(p — z) = 2p(p-Jrz)—z2.
156.
а + Ьх c+dx
157.
а + 6 с-^d'	*	а	+	26
158. 2ас — (Ь 4- с) лг= (с — Ь) х -f 2Ьх.
159. (a -j- cfx — с8 = (а2 — с2) с с®дг.
а —bx	c — dx
’c + 2d*
s

60	Глава	VI
m'i + T + V = ab'	16Ь	? + “ + 2х + а3 + Л
162. у (у + т) -\-у (у + п) — 2 (у + т) (у-\- п)=0.
163. (3т—у) (т — п) -f- 2ту = 4п (т-\-у).
164. р2 — 4 pz + z® + (z + 2д)г — 2 [z — 2и)2 = 0.
165. (z + Зр) [z — Sq) -J- 3 [z — Зр) (г -f- 3q) — 4 (z — Зр) (z — 3q).
iee- fi +i+3=^-“- 167- »+ж-+1&+я“Д-й-
168.^-3C=8*.	169.
x 5c 2 dx	с — x x + c	2cx
1/U,c — d c + d~& — ai'	W1*	a — с	c + d	c* — a*’
2x + k ,	x — l	3ft V—(ft— I)2	<>70	I	l~x	I	kV — x)	и
172 •—j—H	*- =	й	•	173.У +	-35-	+	—g—= ft.
3я(2—m) , 2—/г9	 (4m	+	px)n
* 5m	15n	sm	6m	*
n—2x	5 nfi _ x	0 ,	m{x—m)
1/0- "35	5ii — m	~ * H	Гг*	*
.	2	+	лс . 2 + be	ab — 2
176. a r г—+—	—  a.
b ■ a	с
jyy 6fl + 56 4&2 .j 62
6a 3a*	‘	a* -j- aft *
178. 2Й2 — (3gS — 56*)g*_2g2— 3fc_i_5e6f'
fcc*	с	1	С'1
С+ 32	22 — с   2с+ 2
4с* + bed	6 ей—9d*	4с* — 9d*"
+ / ■ 2 I  1
+ /_r ft — /	ft + i
179.
ion x + l 1 ■*—/	 1	2 —/	, 22
U*ft + /'T‘ft —/—ft + / ft* — ft *
181. i (ЗИ +1) = ж +	+	r»(?.
»■?$?• [2<"+">—OK—=^.)-
»•=?! [V+J^l	=	3px + “.
184’ (r=+*+I— p + p* — р*Уг~ЛГ> = 4 — Г++~ Г+р5 —
 1—2
1 + р + р- + р3"
185. (2 + 2pq) ( —J	-1— ) =
4	'	'P + q — r P + q+rl
= (2р9 _*)(_*	1	L— ) .
Ч + г—р ' р — q + r /
left *	1	22 fl* + 2	«*	**
1 в* вЗя flS/i9 *	187.	££__£* £	£
cd с* arf *

уравнения 1-й степени
61
188. (а-\-х — b)(a — Ь—х) =(а2 — x)[b2 -j-jr) — а2Ь2.
189. (а — п)(а — пх) — (а -[- п){п -J- ах) — п [(2а — Зя) х — и] — 2а2х.
.0.  Зх	2	(а	—	п)х — а2+ 4л2  1
а24я (ая)	а? -f- 4а2я + 4ая2	а '
«по х-\-1 в + ^ + 1	«по	х	1	_	1	х	| п
1УЛ х —1 а + Ь —Г*	,УЛ	х	+	а	—	b~х-а + Ь "r‘i*
т.?ь+± + £-1=аЬс-(а + 1, + с)х.
195. [(а2 — &)х — I]2 + (2abx— I)2 = [(а2 -J- £2) х -f I]2.
10fi х + а , х а х -|- Ъ . 2 {х—Ь)	-
1ЭО* а — Ь Та +Ь~а + Ь ' а — Ь ’
а3—Ь8	а(х—й2) + ^(а® — х)
1У/' ai + bs^ a (х~^Ь*) — 6 (а2 —х) *
1QR * 1	*	=»- а	1QQ	  а	I ^
1У с+6 — а б-j-a*	1УУ'х — с~ х— а 1 х— Ъ'
2С0. (а+х)(й + т1 = (с + х)(^-|-х).
Ofi 1 ЗаЕс , tftfca , (2д 4- ЩШх . Ьх
^1т а + Ь~Т~(а+Ьу 1 а(а + Ь)3 — осх_Г „•
202.^Ь1£_2^ =	а*
203.
х—2а	а3 — х	а2х + 2ах— 2а1—л2
а3 -+ х	а2 — х	4абх J- 2а3 — 262
62 —х —62 + х	6* —х* *
v 204.	—	 х	—ая2 + а ■ а(я2 — 1)х
'	‘	ап‘	— ап2 — ап + пх —x-f-c	п—1	1 а(п*—
njnr fla + ox + x2 а3 — Фх + ах3 	1
^ а3 + а2х + ах* + х3 а4 -у- 2а*Х* + х*	а -j- х *
2С6.	2(*~Й)	 •		1
а2 — с2 — 2ах-\-Х* ■ а* — ас-у-сх— 2ах + х* х—а’
207 х+Ь . х—6  Ъ + х	х —6 , 2х
- ‘‘а + б^а—6	а2 + 2с^>	62 а2—6* 1 а *
208. £ (За*+1) = ^ +,J^+»£_+
а' 1	а	+	1	1 а3 -4- а 1 1 + а [а(а -J- 3) + 3]
209.
‘[*(2“+т)+°г(т-,)-И=*1!г-т<4-«|]-
210. {(а + l)[(a-J)*-2J}»=C(a» +1)* + 2 (с + 1)]*-
— [2ах — 2(а + 1)]».
4	§	3. Система уравнений.
В уравнении может быть, конечно, не только одно неизвестное, но и
несколько. Вот, например, одно уравнение с двумя неизвестными:
2х -J- Зу = 11. Спрашивается, можно ли его решить, т. е. возможно ли
найти такие численные значения х и у, которые обращали бы это равен¬
ство в тождество. Конечно это уравнение решить можно: стоит только

62	Глава	Vll
принять у, положим, за 1, тогда уравнение обратится в уравнение с од.
ним неизвестным: 2jc —|— 3 = 11, откуда л: = 4. Таким образом значения
х = 4 и у = 1 являются корнями этого уравнения. Можно было бы упри
дать значение не 1, а какое-либо другое; тогда нашлось бы другое зна
чение х и вообще другая пара корней; можно бы^о бы начать с х, дав
ему какое-либо произвольное значение; тогда нашелся бы соответствую
щий у. Таких пар корней можно найти сколько угодно.
Так же обстоит дело и с решением одного уравнения с тремя не¬
известными: двум из неизвестных даем произвольные числовые значения,
обращаем уравнение в уравнение с одним неизвестным и находим третье
неизвестное, — получаем три корня этого уравнения.
Всякая система двух уравнений с двумя неизвестными решается приемом
исключения из нее одного из неизвестных, для чего существуют сле¬
дующие способы:
1) Способ алгебраического сложения.
2) Сп особ подстановки. Он состоит в том, чтотиз одного уравнения
выражают, например, у через х и подставляют найденное значение_у в другое .
уравнение; получится новое третье уравнение с одним неизвестным "х.	'1
3) Способ сравнения неизвестных. Этот способ состоит
в том, что определяют из обоих уравнений одно и то же неизвестное
через другое. Найденные результаты приравнивают друг другу; полу¬
чается уравнение с одним неизвестным.
Предварительно надо в каждом из заданных уравнений произвести
всевозможные упрощения: уничтожить дроби, раскрыть скобки, выполнить
указанные действия, привести подобные члены и пр. Нормальный
вид системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными будет сле¬
дующий:
a1x-i-bJy = c1, a2x-{-b2y=c2,
где неизвестными величинами являются х и у.
Если имеем систему трех уравнений с тремя неизвестными, то берем
любую пару из них и из нее исключаем одно из неизвестных, положим z,
получаем новое, четвертое по счету уравнение из заданной системы, но
без z. Затем берем другую пару уравнений из системы и снова исключаем
из нее тоже z; получаем новое уравнение с х и у, но без z. Уравнения
четвертое и пятое составят новую систему двух уравнений с двумя не¬
известными х vi у.
Таким же образом поступают, сколько бы ни было неизвестных.
Примеры решения системы уравнений с двумя и тремя неизвестными:
Пример 1.
4л:—Зу/=7; 5x:-f-2y=26.
Исключаем у, для чего члены первого уравнения умножаем на 2, вто¬
рого — на 3 и складываем почленно получившиеся новые уравнения; по¬
лучаем 23х=92, откуда х=4. Найденное значение х вставляем в первое
уравнение и находим, что у = 3.
Пример 2.
28л:-}-2у—Зг=37; 35jc —Зз» — 8д = 69; 70х-\-5у — 4z=75.

Уравнения 1-й степени
63
Исключаем г,для чего члены третьего уравнения умножаем на 2 и из полу¬
чившегося уравнения почленно вычитаем второе; получаем 105л: -j— 7у=81.
Надо еще раз исключить z\ для этого члены третьего уравнения умно¬
жаем на 3, первого — на 4 и вычитаем почленно получившиеся уравнения;
получаем 98л:-Ь 7у =-77.
Таким образом дело свелось к системе двух уравнений с двумя не¬
известными:
^	105л:-}-7у	= 81; 98л:-}-7^= 77.
4
Вычитая одно уравнение из другого, получаем 7л:=4, откуда x=-j.
Подставляя найденное значение лг во второе уравнение (предварительно со¬
кратив его на 7) системы двух уравнений с двумя неизвестными, полу¬
чаем _у=3. Подставляя значения х и у в первое уравнение начальной
системы, получаем г= — 5.
( л:4-у=50
211 ) 1
ги'\х-у = 20.
(х — Зу = 4
214. {	.
U—у=Р.
f л:4-5у=35
017 9	1
\Зл--|-2у=27.
Г 15jc —8v=29
990 }
\ Ъх-\-2у — 13.
( Зл:—5у~ 13
223-U + 73-81.
( 6х — 4v=5
Ж'\ъх — 3у=2.
! х4-у=40
2'2-\у-х=*.
. У Зл: —}- 8_v = 19
\ Зл:—_у = 1.
1 Зх4-7у = 101
2'8'1
f 14л:—9v = 24
7х—2^ = 17.
224.
(2х — 7у = Ъ
\ 4_у — 9х = 19.
( 12x4- 15v=8
997 f
\ 16x-f9jy = 7.
229.
J 8л: — 33_у=19
\ 12л: -j- 55_у = 19.	]	^5	_	>	_
230.
Jf+f=7
232.
4
234.
236.
££4-* = 15
Х+У	X—у
219.
213. !х + 5*=47
* } л:-f.y= 15.
oiR / Зл:-f-4jv^= 85
\ 5л:-1-4^=107.
( Зл:-}-8^ = 59
\ 6л:-}-5у2= 107.
( 5у-}-4л: = 13
222-{3^5х=Ш.
( 3 V — 4л: = 1
225, \3*-}-4jy=18.
/ 5л:4-14у=24
990	>	1
\ 19л:—21_у=17.
231.
IJL-L У -12
Я г я и*
2
3
х+У 1 х—у
3	‘	4
Зл: — 5у
= 11.
+ 3=^
х — 2у х , у
'	4	— 2 ' "3 *
233.
235.
237.
*—*.= 1
2	3
2х—\ Зу — I  5
2	3	~	6'
Г~5—+ 3^-4 = 15
3_у—5
2 л: •— 8=
23
7 + х 2х—у
~5	4
5у—?
3*
З.у — 5
»	=	18—5JC.
8

64
Глава V|
238.
240.
242.
244.
246.
248.
250.
252.
254.
257.
259.
261.
*_|_2-5-Ц?У=у-
I о — з*
У + 2—=4— =х-
5У+ И
14
2у—5
5
(а г_
х-Ь4 у— 1
3___ 4
х + 2	7+1*
Х~У= 12
18л:— 5_у = 4
к л
= 25:24
= 7:12.
241.
(х—1	 1
£Г!
3'-Н4“ Т
U 0,25х -]- 0,04_у=2
\ 4л: —J— 25_у = 641.
243.
х + 4[2у—(х—Щ = 36
7	С^лг+J')—S'Jf] ~4х =
Ю.
х—1' у—\
2 .	3
245.
.х+1 ’.у+1
9х—у .
8 ~!
1
247.
— 1) =*-g- (1 —J0
х=2+-+—
*	+ У+ 6
I у = 2-4--у 13.
1-*	х	+ 4
r(jf + 2) (у—3) = (х-
И—3^ _ 136 , X
'	2	~	3 "Г 6 ■
j 2х — Зу=5Ь— а
\ Зх — 2у—а-\- ЪЬ.
\у-гх=1
у = 14х.
' 0,2х —?^=^=x+0,16
l,2j> 2,5х + 1	5
.0.3	+	'З*
249.
(б-]-4(0,1х -f~ 1) = 1, l_v
1) (JK—2)
251
15 + 4(т- l)=l!+0|tii.
)—29
f x-f y=a
’ \x—y~2b.
Г
\л!
ax-\-by= 1
2x-|-№y=a.
f ax-)- by=c
\ bx — ay=d.
255.
1 + 7 = * + *
i + f = a + c.
256.
a b
x _|_ у 3
ba U ~ 2’
j ax — by=a2 -{- bz
\bx-\-ay=a2 -f- b2.
f x+y=l
\ bcx -f- асу = ab.
dy a_
bx с
bx-\-dy—a-\-c.
258.
6x + l
{ил T *	 j
^	i	t
x + у	fl + ft
x— у	a — b'
— с
f bx — dy=a —
262. { x — 1 _ d(a — b)
{y-l-"K^d)'

уравн-ния 1 й степени
6Я
J (х + а)(у — Ь)-\-2с=(х — а)(у + Ь)
I (х + Ъ){у — а) = (х-\-а)(у — Ь).
( (2а-\-Ъ,х—(2а — Ь)у = ЪаЬ
264' \ (2а — Ь)х -f (2а + Ь)у = 8а2 — 262.
265.
267.
269.
271.
273.
274.
X
У
c + d-
cd
c — d +
х-\-у = 2с3.
kx = my
+ ^ = 1.
* m
cd
с — d
266.
268.
x — a
= m
n.
k
k~l	21
kl hi
У
у—ъ__
X
1 /1	V	>
— (I — у) = - X.
r	я
у — - —■ (х -й-у) — —~ ^ •
X— V
- =0
270.
х — а
а — Ь
у — а о + b
х д3 —6»
у	с3 -f ft* *
( ах -f- by = 0
^ (а — £)x-|-(a-f Ь)у = 2с.
4	I	 (с	+	й)2	—	2(aft	—	у)
х—аЬ
272. ^ x+aft ..	-
| 3(y-\-ab) — 2х=(а — bf.
( l-l f-
|	*	a — x -
jX— =0,5.
V в—у	1
P n + q) __ q(n 4- p)
1—у	1-f-x
_* у 	_2
-яд и/Г pq'
ay — 2y
•2 (a — x)(a + x; — 4(a— 1)
275.
■ 2.
Полезно сделать несколько добавлений к вопросу о решении системы
уравнений. В уравнении с одним неизвестным первой степени, или линей¬
ном, неизвестное не может фигурировать в степени выше первой. Сте¬
пенью уравнения вообще называется наивысшее измерение (сумма пока¬
зателей степеней неизвестных) какого-либо из членов относительно неиз¬
вестных букв, например уравнение
ахуЬх су =d
есть уравнение второй степени (а не первой), ибо	первый	его	член есть
член второго измерения относительно неизвестных	букв х и	у.	О степени
уравАния можно судить только по приведении его к нормальному виду.
Случается, что система уравнений по приведении ее к нормальному
виду, хотя содержит в себе члены вида аху, решается	как линейное
Уравнение.	а ь	т , п
Пример:	x‘t'J==c; х ^ у ~р‘
Если оба уравнения привести к нормальному виду путем уничтожения
Дробей, то получим два квадратных уравнения.
5 Сб»рео> аягевр. «&ДМ. ч. 1.

66
Глава V|
В этих уравнениях можно исключить х или у, не уничтожая предва¬
рительно дробей: можно обе части первого уравнения умножить на д
а второго на —b и сложить почленно одно уравнение с другим.
Иногда в системе лучше считаться не с неизвестными х и у в отдель¬
ности, а с выражениями, заключающими в себе х и у, соединенные какими-
либо знаками действий.
Например в системе
Ф+У) + ь(х~ У) = с1 ™(х+У)-{-п{х—у)=р
лучше всего считать за неизвестные не х и у, а х-\-у их — у. Исклю¬
чаем из этой системы х—у и находим x-j-у. Потом находим х—у и
будем иметь новую систему приблизительно вида
х-|-y=ft; х—у — I,
а потом уже окончательно решим эту систему и найдем х и у.
276.
279.
I 3	7
х+7=2-
3*_ 2. — Н?
631 у 3 *
- + -=10
X 1 у
1 + 1 = 20.
. х ‘ у
277.
280.
282.
284.
f 3ху=8х + 3у
у
\ 4ху= 15у— 4х.
18 , 11
Зх—2у~г 2х—3 yz
27	2
286.
Зх—2у 2х—3у
а '
х
 =С
b . а
х Ту '
289. |
с (Ьх + ау) = аху
с (сх — by) = bxy.
4+ 33/= 19
12 ,
х~У=1-
х 1 у
— — — = 4.
х у
278.
±4-1 —11
X ‘ у 31
±_±
X у
1	17
30
1
30*
1
281.
/ _i_ I/
)х~Ь *У
11 = ± 4-1
I V X + 6 •
18
20
= 13
= 1.
283.
285.
х—У
24
х — у'
1
х+У
30
х + у
1
1—х + у	х + у—1	3
1	1   4_
1—х+у	1— х —у	3'
■ За	2 с	^
287.
X
а
х
у
с
— 3у"
290.
2 и
288.
I
fjc+y — аху
\х—у=ху.
х+пу х—пу
10а	,	3
. х+ пу 1 х— яу'
1.
Система трех уравнений.
(х+у=5
291. <[y + z = 7
lx + z = 6.
292.
2х+у = 5
х + 3z= 16
5у — z= 10.
( х +y + z = 36
293. ( 2x — 3z = — 17
1бу — 5z=7.
5

уравнения 1-й степени
67
294.
296.
298.
300.
302.
304;
306.
308.
«
310.
в*
*-J-y — z= 17
x-j-z—y= 13
295.
y-{-z—*=7.
*4~2y -j-z=4
3* — 5_y-j-3z=l
297.
. 2* -j- 7y — z = 8.
f 2* — 4_y -f 9z=28
■ 7* -}- 3у — 6z = -- 1
299.
L 7* -J- — 9z = 5. -
7* 2y-\-3z = 15
5* — 3_y 4~ 2z= 15
301.
. 10*— 1 ly 4- 5z = 36.
\xJr\y—12
1 1 *
¥г“¥^ = 4
303.
1 ( 1 R
vT^*4Tz=6-
2*4~3y — z— 156
	 2
i У 5
305.
II
0,25* 4- 0,125^=3,25
0,9z — 0,3jy=7,5
307.
. 1,4*4- l,2z=25,8.
0,25* — 0,375y=2,25
2y 4* 0,25z = — 3
309.
.0,1* —0,6y = l,8.
Y + i + T = 62
Т+Н-Н47
kT + i + i = 38.
( х+У-\-г=6
295. J* + 2y + 3*=10
U*-j-3.y —4z=8.
(x —	-}- 3z=6
2лг + 3у — 4z=20
3* — 2y — 5 z — 6.
il2jc — 9у-|-5г=22
8*+ 6^4-7*=23
4x— 12y— 3z=3.
1	\	R 7
x-{-6 = ^y
3'+1=2i
z-f 8 = -®-*.
x -\-y z = 36
' л:	3
7—J
У—1
z ~ 5 '
Г0,1* + 0,2_y-f-0,3z=14
| 0,4*-[-0,5j;-|“0,6z=32
I 0,7* — 0,8д; -{- 0,9z= 18.
!1,5*—2,5.y 4~ 2z=2,5
3,5* -\-y— l,5z= 1
2* —l,5_y—0,5z= 3,5.
' + \z=23
^*4--д У 4--^Z = 29
,	+	+YZ==28'
Г —J.—=6
j x-\-y
311. { ~ = J
l Х—У
I <i
-^-=15
' V— X

83
Глава VI
312.
S14.
316.
318.
320.
822.
324.
326.
x+Yy=l
“Ь"4 х== !•
5лг . у Зг
6 + 3	2
5
12J
4х = —1.
^3	2	1
у— 0,5z=— 1
Юлг -j- 3z = 11,5
i-i-v
Z у 1_
КТ ^' 12*
Г xz = x-\-z
5*y=6(x+y)
I. Ъуг = 6 [у-\- г).
2*+- — --= 4
1 у z
2,3	17
у^~ z~ 12
. 4	10
[Х + Т — Тт
L_i + 1 = _3,5
х у ' z	’
\х-±» = 2
I ху
10,2z — 0,9у ==у.г.
12
7,5
2х -f Зу 3x + 4z
30	.	37
п=1
Злг+42 1 5y-t-9z
222 8
5_у -j- 9z	2x f - 3y'
fx-\-y = a
x—z = b
I y — z=c.
= 3
3I3.< 1 + ^ = 8
I i+n=8-
315.
I:
+ 1=*
x~ у 6
• i 1 _32
x ■+■ г 15
1 j_i—H
v 1 г 15‘
317.
| ж 1 j/ г
i1+1=1
I утг 20
| 2	1_	13
\3x z 45*
•14
!2xz = 3(x — z)
5xy = 6(x—y)
17yz = 6 (_y + z).
i
X
321.
£
У
1
:20
 IK
2x — 3z *
уг
- = 12.
323.
4y — 5z"
15	4	_	1
дс-|-у	jc—2г	2
Jf-I-У T У+ 3z
10	7
y-f-Зг	x —- 2z'
325.
-I - I ?— = 1
1 * 2x — v ~ V — 3z
x+y + z‘2x — y 1 y — 3z
6,4	1
x-j-y-fz 1 2x—y y — 3z
- = 3
15
2
327.
Kx+y + z	2 x — y	y — 3z
’ x-\-y-\-z = a
X y-\-Z=*sb
X +J/—2 = «U
= 5.

'равнения 1-й степени
69
328.
330.
332.
334.
336.
338.
340.
3^2.
344.
I ах by — cz=№
\ Ьх — су -\-az = а2
I сх -f- ay — bz — с2.
а2х -f- b2y -|- c2z — 3abc
abx — bey = be2 — ac2
bey—acz = ac2 — a2b.
({a—b)x-{-{b—c) j-{-(c—a)z—0
cx — ay = b{c— a)
\bz — cx = a(b — c).
f£+£_£=c
a 1 b с
£-<-L-=6
с
329.
331.
333.
335.
i 2	x
“I  	=	Лш
• /*	n
с a
( x + y_y±f
a + b
У-х.
| ax -}- by =* 2c
•. cz -|- ax = 2b
I by -|- cz = 2a.
ау-\-Ьх-=с
cx -f- oz = b
,bz -p cy=. a.
x-\-ay-j- a2z =—e®
xbyb2z = — bs
x+cy+c2z=—A
£4--'”_}_£==l
a	1	b	1	с
£ + £_{*	i
a	1	с	1	b
£+£ +	£ = l.
b	1	a	'	с
a
a — b
y-fx a+ b
x -j-.y -fz=a-{-b.
1
337.
fax -f- by -f- cz=a
| a2x-\-b-y -j-c2z=a2 — bc{b — c)
I a?x -\-№y-\- c3z = a3 — be (b2 — c2).
x + y
1
x + z
1
=k
I
(ax-\-by=
ay — cz— I
r ax	by=a2 -f- b (a -f- ff)
!— 0
\z — x = — b.
■ m.
y + z
fx — 2iz — l)
1
(a + 6)2 ab
x—y-\-z=5
°b~ 2 (x+-V)+^ = °-
(b2c2x a?c2y -{- a2b2z — 3abc
bcx асу-f- abz = a-\-b\c
c2(b — a) у — bsz =■ — be.
X + (fl — 6)a	fl
341.
fl —36 b_
x — 36 у
x—z-f- b
a — z-\- iSy
fl —у	;
0,5
a 4- 6
343.
. ab — 62 ab — a* *
x-\-y-\-z=0
ax-\-by-\-cz=^0
bcx -+- асу 4- abz
i(a —6)	—	c){b	—	C)
ao
= 1.
i yz — 26 {y + z) + 46*	z — 26
H-j> l + z	I
y — 2b
2ax
2bx
\
[z=b-rr^-
ab

70
Глава Vl
■ - «
(д — b)* + (a + b)y__2
345.
ах— by + *
bx — ay + z
346.
ab
-2.
be ab
bx — cy
~Ф~ '
z b —у
не
1
847.
3* — 2y = z — a
2 a— 3*—y=Y
348.
3(y— a) = z — 2.
  cy — bz
с ш
±+!=e
X 1 у
i-f 1=6
у ‘ z
—f- = c.
. *■ 1 ?
849.
ra-\-b . b -f- e a+c
xy
T
yz
Xz
£_Z_l£=_L
д b 1 с abc
. x • z xz"
350.
' b 4 с _ a | я
* ~y 1 ~z
z —У=(b — c)yz
 xy 4- xz + yz
xyz-
a + b-t-c
Система четырех и более уравнений,
(jc-f 2.у=9
3_y-J~4z=20
7z-j* и= 17
2u-f-5* = 11.
351.
352.
853.
355.
857.
*4" з_у= ю
у 4- 3z= 15
*4-3k=io
и 4- 3* = 5.
*4-у4-г4-ц = 6
x-\-y-\-z— и = 2
*4~у—2 4" «=2
*—у-\~г-\-и — 4.
х — 2у 4* 3* — ц = 5
y-2z-j-3u — x=0
z — 2ц 4-3* —_у==0
и — 2*4-Зу — z—5.
354.
356.
358.
'4* — Зу 4~ 2ц = 9
2*4*3*= 16
4ц — 2_у = 14
Зх 4" 4ц = 26.
x-\-y-\-z= 6
у-}-*4- и = 9
z-j-u-j-x = 8
«4-*4~У = 7.
2*—_у4“г4- 2ц=8
4* — 2у 4- * — 4и = — 3
5* — 4у -\-3z — и — 8
*4--У4-г4-“=7-
f *4-.у—*=п
*+*Чг-
£_*+.«=6.
о

уравнения 1-й степени
71
359.
I
361.
I
363.
365.
367.
»
369.
*+-^=-6
У + z-Yl
В
г — и =
20
и-\х—П)
10'
х-\- 2у=3
y-\-3z—15	.
гг-f 4u = 24
и-\-Ы— 10
х -у	15.
2x — 3y-\-z — 5
2и — 3*4" у=5
5у — 2г	3/ = 6
4z — 5* -f- и — 6
2* — 3 и — 4х = — 17.
'*-J,+ ±r=l
2у 4г 5к = 2
Зг	к —?- * = 3
62-[-2*— -^-© = 4
43; — 2ы -|~ 2* = 5
3* -f - ^ -{- к = 6.
'3*— 5у—21— 5а
3y-j~2z = 3a— 1
3 z — 4и = 32 — 4с
Зи-\-7х = Зс — 1.
х + by	1^
z -J- Ьи	а
сРЪг-1- и
tflbx -f- у 3 а
ах—26	2
ax-\-y — z-\-~ — 6.
360.
362.
364.
i-4_l4-A=9
X 1 у 1 Z
2__L.3__6._j
х 1 у и
А+А_А=3
X i и Z
у 1 Z 1 и
{ 2и — 3t = 3
*-|-22 = 7
32-j-3,= 12
2у—х = 8
5 и — Зх= 18.
' л: 4- 4у -f- 4и = 2
10з/4-М* = —11
6*4-7* =—2
10и — 2 = — 10
x-\-2z— *=2.
366.
368.
370.
' х—3/-}- z = 5a
у -j-z-j-u — — 2а
2— и4-* = 4а
и -j- * 4~г=2а*
(* + У_^х
а
2 11 3 „
*—т«4-1 =-2-а
. 4и — 9д
г-1=—2—
3/ 4~ 4 = 52 4~ 9а.
■*4-3/4-2 — а = а
3* — ау — 2 4~ аи = а°
6*	За2у — 2г — а2и = 2*
12* — 3asy — 42 4~ 2 а? и =а.

72
Глава V|
§ 4. Составление уравнений.
Составить по условиям задачи уравнение с одним или несколькими
неизвестными — значит при помощи уравнений выразит» зависимость между
известными и неизвестными величинами, входящими в условие задачи.
Приведем несколько примеров на составление и решение уравнений.
Задача 1. Число книг на одной полке вдвое менее, чем на другой.
Если взять с первой шесть книг, а на вторую поставить восемь книг, то
число книг на первой окажется в семь раз менее, чем на второй. Узнать,
сколько книг на каждой полке.
В этой задаче указано несколько известных и несколько неизвестных
величин. Примем за первое неизвестное число книг первой полки и обо¬
значим его через *. Затем выразим все величины, к которым относятся
условия задачи, при помощи этого обозначения.
Число книг первой полки есть *. Отношение чисел книг иа второй и
пер-ой полках 2. Значит число книг второй полки 2х. С первой берут
6 книг. Поэтому на первой полке останется книг х — 6. На вторую при¬
бавляют 8 книг. Следовательно на второй полке получится книг 2х-\- 8.
Новое отношение между числами книг второй и первой полок есть
2х + 8	„	„ и
—- _ц-. ото же отношение по условию задачи равно 7. На этом осно-
2х •+- 8
вании составляем уравнение ^_g =7, решая которое, получим *=*10,
после чего нетрудно определить другие неизвестные, о которых мы здесь
упоминали.
Если бы мы приняли за первое неизвестное число книг второй полки
и обозначали бы его для отличия от предыдущего обозначения через у,
то, как легко убедиться, получилось бы другое уравнение, именно
(у 8):	— 6^ = 7, которое также разрешает задачу и дает ответ: у = 20.
Можно было бы принять за первое неизвестное число книг, оказав¬
шееся на первой пол.ш после удаления с нее 6 книг; тогда, обозначив
это неизвестное через г и идя тем же путем, каким мы шли при состав-
^	2 (z + 6 + 8)	_ л
лении первого уравнения, мы получили бы уравнение —— 	=7, от?
куда *=4.
Но можно было бы изменить также самый путь составления уравнения,
например тем, что мы прежде приняли бы во внимание измененное отно--
шение между числами книг, а составление уравнения основали бы на том,
что известно о первоначальном отношении. В этом случае составление
уравнения велось бы так. Число книг первой полки после удаления части
книг есть z. Удалено 6 книг. Значит первоначальное число книг первой
полки z —6. Измененное отношение между числами книг 7. Поэтому из¬
мененное число книг второй полки 7*. Прибавлено было 8 книг. Следо¬
вательно первоначальное число книг второй полки 7z—8,. Первоначальное
72 g
отношение между числами книг есть ——g-. Оно же равно 2. На этом
 g
основании имеем уравнение —^- = 2, равносильное с предыдущим, хотя и
X ~ и
отличающееся от него по виду.
Если бы, идя этим вторым путем, мы приняли за первое неизвестное
число книг второй полки после прибавления 8 книг, то, обозначив это не-

уравнения 1-й степени
73
известное для отличия через и, получили бы уравнение: (к —	6^ = 2,
откуда и = 28.
Эти разъяснения показывают, что, руководствуясь одним и тем же об¬
щим правилом для составления уравнений, мы все-таки получаем в каждой
задаче разнообразные способы для достижения этой цели. Лучшим способом
считается тот, который проще выражает условие задачи и быстрее ведет
как к составлению, так и к решению уравнения. В данном случае первый
и третий способы одинаково удобны для решения уравнения, но первый
все-таки проще и потому лучше остальных.
Пришелся указанное правило составления уравнений, нужно помнить,
что во всякой правильно выраженной задаче должно быть принято во вни¬
мание каждое данное число и- каждое из выраженных условий.
Задача 2. Окружность переднего колеса экипажа на м меньше окруж¬
ности заднего: переднее колесо на протяжении 30л сделало столько же
оборотов, сколько заднее на протяжении 36 л. Определить окружности
каждого колеса.
Допустим, что окружность переднего колеса есть х метров, тогда ок¬
ружность заднего voaeca, по условию задачи, будет ("Ь 4 ) метРов- ^е'
ол	S0	„
реднее колесо на протяжении 30 м сделало оборотов, а заднее на про-
36	,
тяжении 36 м сделало  г оборотов.
х + *
30	36
По условию задачи имеем: ж =	-»
* *+2
откуда по решении этого уравнения получаем х = 2у. Ответ задачи: 2 м
и 3 м.
Можно было бы эту задачу решить, составив систему двух уравнений
с двумя неизвестными:
1
х метров
у метров
30 л
— оборотов
36	-
— оборотов
у-х= 2
30_36
х У '
Задача 3. Через две трубы, действующие вместе, водоем может на-
з
полниться в 9g часа. Обе трубы были открыты одновременно и действо¬
вали в течение 5 часов, но затем вторая труба испортилась и ее пришлось
закрыть, а первая труба через 7 часов после этого наполнила весь водоем.
Ео сколько часов каждая труба отдельно могла бы наполнить этот водоем?
Допустим, что одна первая труба без участия второй заполняет водоем
в х часов, а одна вторая — в у часов. Тогда в час одною первою трубою
заполняется — часть водоема, а второю -j. а вместе обеими трубами
х	у
(—	^	часть	всего	водоема. Так как по условию обеими трубами вместе
з
водоем заполняется в 9 g часа, то отсюда следует, что в час обеими

74
Глава Vl
неизвестными): —-f- 1 = ——. Обе трубы действовали одновременно только
8
лишь 5 часов, за каковое время заполнили, очевидно, 5 f — + — ) часть
часть
водоема, а затем еще продолжала работать в течение 7 часов одна первая
7
труба, которая, очевидно, добавила еще — часть водоема. Отсюда второе
371. Два лица имеют вместе 38 руб., причем у первого шестью рублями
больше, чем у второго. Сколько денег у каждого?
372. В двух кошельках находится 81 руб. В первом денег вдвое меньше,
чем во втором. Сколько денег в каждом?
373- В трех корзинах находится 47 яблок, причем в первой и во вто¬
рой—поровну, а в третьей — на 2 яблока больше, чем в каждой из осталь¬
ных. Сколько яблок в каждой корзине?
374. На трех полках лежит всего 66 книг, причем на нижней втрое
больше, а на средней вдвое больше, чем на верхней. Сколько книг на
каждой полке?
375. Часы, цепочка и брелок стоят вместе 72 руб. Брелок дороже це¬
почки в два раза, а часы дороже брелка в три раза. Что стоят часы, це¬
почка и брелок в отдельности?
376. Разделить число 21 на две части так, чтобы кратное отношение
з
первой части ко второй равнялось дроби .
377. Разделить число 88 на такие две части, чтобы частные от деления
первой части на 5, а второй на 6 были равны.
378. Сумма двух чисел 85, а разность их 15. Найти оба числа.
3
379. Разность двух чисел 8, а кратное отношение их равно дроби ^.
Найти эти числа.
380. Разделить число	46 на две части так,	чтобы	разность	частных	от
деления первой части на	3 и второй на 7 равнялась	2.
381. Разделить число	75 на две части так,	чтобы	ббльшая	часть	пре¬
вышала втрое разность между обеими частями.
Задачи 371 — 477 проще всего сводить к уравнению с одним неизвестным;
в последующих задачах надо пользоваться двумя или несколькими неизвестными,
хотя иногда можно все-такн пользоваться одним неизвестным.
уравнение (с двумя неизвестными): 5	+	—	==■	1.
Получаем систему двух уравнений:
решая которую, получаем: х =15, у=25.
Трубы заполняют водоем в отдельности в 15 и 25 часов.
Задачи на составление уравнений’).

Уравнения 1-й степени
75
382. Сумма двух чисел 64. При делении большего числа на меньшее
получается в частном 3 и в остатке 4. Найти эти числа.
383. Разность двух чисел 35. При делении большего числа на меньшее
получается в частном 4 и в остатке 2. Найти эти числа.
384. Одно из неизвестных двух чисел больше другого на 5. Если раз¬
делить меньшее число на 4, а большее на 3, то первое частное будет на
4 меньше второго. Найти оба числа.
385. Одно из двух неизвестных чисел меньше другого на 6. Если раз¬
делить большее число- пополам, то полученное частное будет тремя едини¬
цами меньше другого числа. Найти оба числа.
386. В одном резервуаре вдвое больше воды, чем в другом; если же
перелить из первого во второй 16 гл, то в обоих окажется веды поровну.
Сколько воды в каждом?
387. В одном ящике 12 кг, а в другом 36 кг гвоздей. Сколько гвоз¬
дей нужно переложить из второго ящика в первый, чтобы гвоздей (но ве¬
су) в них стало поровну?
388. Из двух сортов чая ценою в 15 руб. и 21 руб. за кило требуется
составить 32 кг смеси ценою в 16 руб. 50 коп. за кило. Сколько нужно
взять чаю каждого сорта?
389. В учебном заведении в двух группах в начале	учебного года было
45 учащихся. В середине	учебного года перевели из	первой	группы	во
вторую двоих учащихся, после чего число учащихся первой группы соста¬
вило 80°/0 чи ла учащихся второй группы. Сколько учащихся было в каж¬
дой группе в начале учебного года?
390. Метр материи подешевел на 60 коп., вследствие чего 19л материн
по новой цене стоят на	4 руб. дешевле, чем 18 л	этой же	материн	по
старой цене. Определить	цену материи до снижения.
391. Из двух металлов с удельным весом 7,2 и 8,4 составлен сплав в
19 кг с удельным весом 7,6. Сколько взято каждого металла?
392. Некто имеет в правом кармане в четыре раза более рублей, чем в
левом; если же он переложит из правого кармана в левый 6 руб., то в
правом окажется денег только в три раза более, чем в левом. Сколько
денег в каждом кармане?
393. При расчете на фабрике двух рабочих первый из них получил за
работу на 12 руб. больше второго, и ему же после этого второй рабо¬
чий уплатил 2 руб. долгу. Оказалось, что первый понес домой денег
втрое больше, чем второй. Сколько заработал каждый?
394. Отцу 40 лет, а сыну 12 лет. Сколько лет назад отец был впятеро
старше сына?
395. Отец на 39 лет старше сына, а через 7 лет будет старше сына в
четыре раза. Сколько лет тому и другому?
* 396. В одном резервуаре 48 ведер, а в другом 22 ведра воды. Из
первого отпили воды вдвое больше, чем из второго, и тогда в первом
осталось втрое больше воды, чем во втором. Сколько ведер вылито из
каждого?
397. За 30 л сукна двух сортов заплачено всего 512 руб. Метр пер¬
вого сорта стоит 18 руб., а метр»второго—16 руб. Сколько куплено мет¬
ров того и другого сорта?
398. Из кооператива было продано 38 «г чая двух сортов ценою по
18 руб. за 1 кг первого сорта и по 9 руб. 60 коп. за 1 кг второго сорта

76
Глава VI
и выручено при этом за весь первый сорт иа 132 руб. больше, чем за
второй. Сколько продано чаю того и другого сорта?
399. Два велосипедиста выехали одновременно из двух городов, нахсь
дшцихся на расстоянии 300 км, и едут навстречу один другому. Первый
проезжает в среднем в час 12 км, второй — 13 км. Когда они встретятся?
400. С двух станций железной дороги, находящихся на расстоянии
76^- км, выходят одновременно два поезда и идут по одному направле-
1	3
нию со скоростями 312" км и 18— км в час, причем первый идет за
вторым. Когда первый поезд догонит второй?
401. Со станции в 12 часов дня выходит пассажирский поезд, делающий
по 32 км в час. Через 45 минут с той же станции выходит курьерский
поезд, делающий по 42 км в час. В котором часу курьерский поезд
догонит пассажирский?
402. При продаже товара на сумму 299 руб. выручено 15°/0 прибыли.
Что стоит товар без прибыли?	j
403. При продаже товара на сумму 429 руб. получено убытку 2у %.
Что стоит товар?
404. Бассейн наполняется одной трубой в 3 часа, другой — в 5 часов.
Во сколько времени наполнится он, если открыть одновременно обе трубы?
405. Бассейн наполняется водой через одну трубу в 4 часа, а через
другую вся вода может вытечь в 6 часов. Во сколько времени напол¬
нится бассейн при одновременном действии обеих труб?
406. Двое рабочих вместе кончают работу в 3 часа 36 мин.; первый
может ее исполнить в 6 часов. Во сколько времени сделает ту же работу
второй?
407. В бассейн проведены три трубы; через первые две вода вливается,
через третью вытекает. Через первую трубу бассейн может наполниться в
3 часа, через вторую—в 2 часа, а через третью вся вода может вытечь
из бассейна в 6 часов. Во сколько времени бассейн наполнится, если от¬
крыть все три трубы?
408. Из трех труб, проведенных в бассейн, первая наполняет его в 5 ча¬
сов, вторая наполняет в 15 часов, а через третью весь бассейн вытекает
в 3 часа. Во сколько времени полный бассейн вытечет при одновремен¬
ном действии всех труб?
409. Поезд идет из А в В со средней скоростью 30 км в час, затем
возвращается из В в А со скоростью 28 км в час. Весь проезд туда
и обратно он делает в 14А часов. Сколько километров от А до В?
410. Из А в В вышел поезд, проходящий в час 20 км. Через 8 часов
выходит поезд из В в А, проходящий 30 км в час. Расстояние АВ равно
350 км. На каком расстоянии от А поезда встретятся?
411. Сумма трех чисел равна 70. Второе число при делении на первое
дает в частном 2 и в остатке 1, третье при лечении на второе дает
в частном 3 и в остатке 3. Найти эти числа.
412. Найти число, которое при делении на 5 дает в остатке 2, а при
делении на 8 дает в остатке 5, зная притом, что первое частное на три
единицы больше второго.

Уравнения 1-й степени
77
413. Заплачено за 75 «г сахара на 18 руб. более, чем за 5 кг чая.
50 кг сахара стоят на 36 руб. дешевле, .чем 6 кг чая. Что стоит кило¬
грамм чая и килограмм сахара?
414. Заплачено за 25 м сукна и 21 л бархата 741 руб. Известно,
что Юл бархата стоят на 54 руб. дороже 13 м сукна. Что стоит метр
того и другого?
415. Сумма цифр некоторого двузначного числа равна 12. Если от
искомого числа отнять 18, то получится число, обозначенное теми же
цифрами, но написанными в обратном порядке. Найти это число.
416. В некотором двузначном числе число десятков вдвое более числа
единиц. Если цифры этого числа переставим, то получим число, меньшее
искомого на 36. Найги это число
417. Сумма денег должна быть разделена между двумя лицами так,
чтобы части первого и второго относились между собой как числа 5 и 3
5
и чтобы часть первого-была на 5 руб. более -g- всей суммы. Как велика
часть каждого?
418. Товар продан с убытком за 420 руб.; если бы его продали за
570 руб., то полученная прибыль была бы в 5 раз более понесенного
убытка. Что стоит товар?
419. Из резервуара вылита сначала половина всей бывшей в нем воды
и y гл, потом половина остатка и —- гл. Наконец еще половина остатка
и -j гл; писле этого в резервуаре осталось 6 гл. Сколько было воды вначале?
420. Кооператив получил некоторое количество сахара для распределе
ния между своими пайщиками. Если каждому пайщику выдать по 2,5 кг,
то останется 95 кг; если же каждому выдать по 3 кг, то нехватит 286 кг.
Сколько было пайщиков и сколько сахару получил кооператив?
421. Кооператив получает на товаре Ю°/0 прибыли, продавая 1 кг
этого товара за 1 руб. 98 коп. Сксько процентов потеряет кооператив,
если он будет продавать товар по 1 руб. 44 коп. за килограмм?
422. Верхнее основание трапеции равно 5 см, высота — 8 см, а пло¬
щадь— 68 кв. см. Определить нижнее основание.
423. Найти дробь, у которой знаменатель четырьмя больше числителя
и которая обращается в от прибавления к числителю и знаменателю
ее по 5.
424. На кякое одно и то же число надо увеличить числа- 2, 5, 22 и 37,
чтобы полученные числа составляли геометрическую пропорцию?
7
425. Разность лет брата и сестры есть 7, а отношение их лет -g-.
Сколько лет брату и сестре?
426. Некоторое количество бочек вина ценою по 30 руб. за бочку
распродано следующим образом:	продана по 35 руб., по 29 руб.
и остаток по 32 руб. за бочку, отчего получено 1815 руб. прибыли.
Сколько было бочек вина?
* 427. Если задуманное число умножить на 3, справа приписать 2, полу¬
ченное число разделить на 19 и к частному прибавить 7, то получится
число, втрое более задуманного. Какое это число?

78
Глава V]
428. Сумма трех чисел 100. Если разделить первое число на второе,
то в частном получится 4 и в остатке 3; если же второе число разделить
на третье, то в частном получится 2 и в остатке 4. Найти эти числа.
429. Если на каждую из скамеек в классе посадить по 5 учеников, тс
четверо останутся без места; а если на каждую посадить по 6 учеников,
то на последней будет два пустых места. Сколько в классе учеников
и скамеек?
430. Каждый из сомножителей двух произведений 44-11 и 16-32 уве¬
личен иа одно и то же число, после чего получены два равных произве¬
дения. Определить это число.
431. Знаменатель дроби вчетверо более числителя; если к элементам
этой дроби прибавить по 10, то она обращается в -i-. Найти дробь.
432. Окружность переднего колеса экипажа 1 ^м, заднего — 2 м. На
каком расстоянии переднее колесо сделает на 50 оборотов более заднего?
4
433. Сколько раз нужно к числителю дроби ^ прибавить по 9 и к зна¬
менателю по 2, чтобы дробь обратилась в	единицу?
434. Если к искомому	числу прибавить	365, сумму умножить	на	5	и	в
полученном произведении зачеркнуть 0 на месте единиц, то получится 244.
Чго это за число?
435. Двое должны разделить между собою 38 руб. 40 коп. так, чтобы
первый получил половину	того, что следует второму,	и еще	1	руб.	80 коп.
Сколько должен получить	каждый?	-
436. От шнура отрезана ■— всего шнура и у см, потом отрезана g-
1 1 1
остатка и еще -g- см, наконец -g- второго остатка и еще g- см, после
чего от всего шнура осталось 6 см. Сколько сантиметров было в целом шнуре?
437. Несколько рабочих получили 120 руб.; если бы их было
четырьмя меньше, то каждый из них получил бы втрое больше. Сколько
было рабочих?
438. В колхозе было суходольного луга иа 4 га больше, чем заливного,
а урожай с суходольного луга получился на 3 т меньше, чем с залив¬
ного. Сколько было в колхозе гектаров заливного и суходольного луга,
если 1 га заливного луга дает в среднем 2g т сена, а 1 га суходоль¬
ного — 1 -g-ml
439. Партийная организация села в 1931 г. состояла из 11 человек.
В 1932 г. партячейка выросла до 29 человек, увеличив число членов на 2,
а число кандидатов — в 3 раза. Сколько членов и кандидатов сталс
в 1932 г. в отдельности?
440. По плану колхоз должен был во время весеннего сева засевать
25 га в день. Колхозники смогли увеличить дневной засев до 30 га и за¬
кончили весь сев на 3 дня до срока Как велика была площадь посева?
441. Ледяная глыба плавает в морской воде, причем объем ее надводной
части равен 2000 ж3. Как приблизительно велики объем всей глыбы и ее вес,
если удельный вес морской воды равен 1,03, а удельный вес льда 0,9?
442. Определить вес деревянной доски, если удельный вес ее равен
0,52 и если доска должна быть на 5 кг легче, чем вес воды в ее объеме.

Уравнения 1-й степени
79
443. В 1931 г. в совхозе было 50 постоянных и временных рабочих.
В 1932 г. число постоянных рабочих увеличилось в два раза, а времен¬
ных— в три раза. Всего же рабочих стало 130 человек. Сколько постоян¬
ных и временных рабочих было в 1932 г. в отдельности?
444. Участок земли имеет вид квадрата; если длину его стороны уменьшить
на 20 л, то площадь его уменьшается на 3600 м2. Найти площздь участка.
445. Площадь кольца равна 75,36 л2, ширина кольца I равна 2 м.
Найти радиусы внутренней и внешней окружности (черт. 6).
446. В сельской школе I ступени вторая группа занималась сначала
в первую смену со второй группой, затеи с третьей и, наконец, с четвер¬
той. В зависимости от этого число учащихся в первой смене составляло
соответственно 105 человек, 100 и 90. Всего учащихся в школе насчиты¬
валось 185 человек. Сколько учеников было в каждой группе?
447. В нынешнем году число мальчиков в школе увеличилось на ^ числа
девочек, бывших в прошлом году в школе, и составило 200 человек;
1
а число девочек увеличилось на числа мальчиков, состоявших в про¬
шлом году в школе, и составило 160 человек. На сколько процентов
(приблизительно) прибавилось учащихся в школе против
прошлого года?	§
448. Земельный участок имеет вид треугольника ABC
(черт. 7) с основанием АС—80 м и высотою ВО— 60 м.	[	[
Прямая АЕ делит площадь участка так, что часть ЛЕС на 600 л2	(I	J I
больше части АВЕ. Найти расстояние ЕМ от точки Е до \'4—
осноь ния АС.	—	;
449. Дан квадрат со стороною в 40 мм (черт. 8). На	Черт. 6.
его диагонали BD найти такую точку О, чтобы площадь
треугольника DOC была бы больше площади треугольника АОВ на 1,6 кв. см.
Указание. Взять за х расстояние ОЕ от точки О до стороны АВ.
450. При проведении землеустройства яровой клин колхоза, имеющий
вид прямоугольника с периметром в 5,4 км, должен увеличиться по длине
на ^ своей длины, а по на ширине — ^ своей ширины. При этом пе¬
риметр нового участка должен быть равен 5,76 км.
Черт. 7.	Черт.	8.
451. Для прохождения расстояния в 1 км лыжной команде требуется
на- 9 минут времени меньше, чем пехоте. Найти скорость движения лыжной
команды и пехоты, если первая скорость в 21jt раза больше второй.

80
Глава Vi
452. Через 30 минут после начала отхода пехоты противника была по¬
слана для ее преследования конница из пункта, отстоящего на 2 км от того
места, с которого начала отход пехота прожвника. Через сколько вре¬
мени конница настигнет пехоту, если скорость пехоты 4 км в час, а кон¬
ницы—12 км в час?
453. За год работы завод израсходовал 232 855 кеч электроэнергии
на сумму 25 061 руб. 40 коп. Сначала энергия получалась заводом с ма¬
ленькой электростанции по цене 15 коп. за 1 кеч. Потом завод был
включен в сеть районной электростанции, отпускавшей электроэнергию по
8 коп. за киловатт-час. Сколько энергии получил завод за год от каждой
электростанции и какую сумму должен он заплатить каждой из них?
454. Рычаг первого рода имеет плечи длиною в 20 см и 50 см. Как
распределить на его концах груз в 56 кг, чтобы рычаг остался в равновесии?
455. На концах стержня длиною в 30 см подвешены грузы — на одном
в 1 кг, на другом 0,5 кг. В какой точке следует подпереть стержень, чтобы
он находился в равновесии?
456- Аэроплан при попутном ветре делает 180 км в час, а при встреч¬
ном — 150 «ж в час. Определить скорость ветра и техническую (собствен¬
ную) скорость аэроплана.
457. Пароход почтовой линии при движении вверх по Волге от Астра¬
хани до Горького имеет среднюю скорость движения 14 м в час, а при
движении в обратном направлении вниз по течению 18 км в час. Найти
скорость течения Волги и собственную скорость парохода.
458. Рычаг уравновешен двумя грузами в 30 кг и 80 кг. Если к мень¬
шему грузу прибавить 10 кг, то больший груз придется удалить от точки
опоры на 5 см. Найти длину обоих плеч рычага.
459. Рычаг уравновешен двумя грузами в 20 кг и 16 кг. Если от мень¬
шего груза отнять 5 кг, то точка опоры — при неизменной общей длине
рычага — сдвинется для сохранения равновесия на 60 см. Найти длину
обоих плеч рычага.
460. Колхозом в 9 дней было обмолочено двухконной молотилкой 172
копны вязаной ржи и яровых культур. Мологилка обмолачивает за рабо¬
чий день 18 копен ржи, или 20 копен яровых культур. Сколько дней было
затрачено на обмолот ржи и яровых культур отдельно?
4й1. 8 косцов и 3 сенокосилки за рабочий день скосили 14,5 га луга,
а 6 косцов и 4 сенокосилки скосили при той же производительности 17 га.
Найти производительность косца и сенокосилки.
462. По одну сторону точки опоры рычага первого рода подвешены
два груза — в 70 г и 40 г. Точка привеса первого отстоит от точки опоры
на 3 см далее, чем точка привеса второго. На каких расстояниях нахо¬
дятся точки привеса грузов от точки опоры, если оба груза уравновеши¬
ваются грузом в 120 г, подвешенным по другую сторону точки опоры на
расстоянии 10 см от нее?
463. Латунь состоит из меди и цинка. Сколько содержится меди и
сколько цинка в сплаве в 124 кг, если 89 кг меди при опускании в воду
испытывают давление в 10 кг, 7 кг цинка при тех же условиях испытывают
давление в 1 кг, а 124 кг латуни—давление в 15 лг?
464. В воду температуры 100° влита ртуть температуры 20°; темпера¬
тура смеси 96,8°. Найти массу воды и массу ртути, если общая масса
18 кг, а удельная теплоемкость ртути 0,033.

уравнения 1-й степени
81
465. Уборочные площади совхозов и колхозов возросли в 1931 г. по
сравнению с 1929 г. — по совхозам в 5 раз, по колхозам в 15ljs раз. Вся
же уборочная площадь обобществленного сектора в 1931 г. составляла
72 млн. га и превышала такую же площадь 1929 г. в 12 раз. Сколько
гектаров убрано совхозами н колхозами отдельно в 1929 и 1931 гг.?
466. На опытной станции \участок пшеницы и участок овса с сорными
травами дали всего 1472 кг зерна. По очистке этих участков от сорняков
урожайность пшеницы повышается на 80°/0, а урожайность овса — на 24°/0:
после очистки с этих же участков получается 2058 кг зерна. Определить
урожайность пшеницы и овса до очистки участков и после.
467. В двух сосудах имеются две различные жидкости. Если взять пер¬
вой жидкости 10,8 г, а второй 4,8 г, то удельный вес смеси будет 1,56. Если
же взять жидкостей поровну, то удельный вес будет 1,44. Определить
удельный вес каждой жидкости.
468. Камень, удельный вес которого 3, связан вместе с куском пробки,
удельный вес которой 0,24. Сколько весит камень и какого веса должна
быть пробка, чтобы все вместе весило 115 кг и было равно весу воды в
том же объеме, т. е. чтобы в воде не погружалось и не всплывало?
469. Рычаг первого рода длиною в 42 см находится в равновесии и
под действием сил в 6 кг и 15 кг. Определить длину плеч.
470. К рычагу первого рода привешены 2 груза. Длины плеч 20 см и
50 см. Давление на точку опоры равно 31,5 кг. Сколько весит каждый
груз?
471. На рычаг второго рода, находящийся в равновесии, действуют
силы в 6 кг и 10 кг. Расстояние между точками приложения сил равно 10 см.
Найти длину плеч рычага.	—■
472. Во время империалистической войны Россия потеряла убитыми
7
в 2,25 раза больше, а ранеными в 2 -g- раза больше, чем Англия. Общие
же потери Англии составляют 3 млн. человек, а России в 2 j раза бо¬
лее. Определить отдельные потери ранеными и убитыми Англии и России.
473. Для выполнения земляных работ требуется некоторое количество
человекодней Райколхозсоюз вместо законтрактованных 250 человек до¬
ставил только 200; вследствие этого работа продолжалась на 25 дней
дольше предположенного срока. Сколько человекодней требуется для вы¬
полнения работы?
474. Требуется получить 25-процентный (по весу) раствор некоторого
вещества. Сколько граммов вещества нужно взять на 100 см3 воды?
475. До окончания постройки плотины оставалось 6 месяцев. Рабочие
выдвинули встречный план и решили закончить постройку на 1 месяц
раньше. На сколько процентов надо повысить производительность труда для
выполнения встречного плана?
476. Пешеход должен пройти некоторое расстояние с тем, чтобы при¬
быть на место не позже назначенного времени. Пройдя в час 3 км, он
рассчитал, что опоздает на 20 минут, если будет продолжать путь с тою
же скоростью, с какой шел до сих пор, а потому ускоряет ход на у км
в час и прибывает на место за 40 минут до срока. Какое расстояние дол¬
жен был пройти пешеход?
6 Сборник алгебр, задай, «. I.

82
Глава Vi
477. Два числа составляют в сумме 47. Если первое из них разделить
на второе, то в частном получится 2, а в остатке 5. Найти эти числа.
478. В двух кассах магазина находится 140 руб. Если из первой пе¬
реложить во вторую 15 руб., то в обеих кассах окажется поровну.
Сколько денег в каждой?
479. В двух бочках налита вода; если перелить из первой во вторую
6 гектолитров, то в обеих будет поровну; если же перелить 4 гектолитра
из второй в первую, то в первой окажется вдвое более, чем во второй.
Сколько воды в каждой бочке?
480. За 2 м сукна одного сорта и 3 м другого заплачено 81 рубль;
если же купить 4 м первого сорта и 5 м второго, то придется заплатить
147 руб. Что стоит метр того и другого сорта?
481. Определить дробь, которая обращается в , когда к числителю
и знаменателю ее прибавим по 3, и в когда из знаменателя ее вы¬
чтем единицу.
482. Найти два числа по следующим условиям: если к первому из них
прибавить 3, то сумма будет втрое больше второго числа, а если ко
второму прибавить 2, то вторая сумма будет вдвое меньше первого
числа.
483. Найти число, которое при делении на 3 и на 5 дает в остат¬
ках 2 и 4, притом частные этих делений таковы, что если к первому при¬
бавить единицу, то сумма будет вдвое больше второго.
484. Сумма цифр двузначного числа равна 9. Если цифры этого числа
4
переставить, то полученное число составит -у первоначального. Найти число.
485. Некоторое двузначное число в 21 раз больше разности между
числом его десятков и единиц. Если переставить его цифры и от вновь
полученного числа отнять 12, то разность будет в три раза больше суммы
цифр. Найти это число.
486. За 1 кг чая и 3 кг сахара заплачено 15 руб. 60 коп. Если бы
цена чая возросла на 25°/0, а сахара на Ю°/0, то на такую же покупку
надо было бы истратить 18 руб. 96 коп. Что стоит килограмм чая и кило¬
грамм сахсэа?
487. Б два чана налита вода. Чтобы в обоих было поровну, нужно
перелить из первого во второй столько, сколько там было, потом из вто¬
рого в первый столько, сколько в первом осталось, и наконец, из пер¬
вого во второй столько, сколько во втором осталось. Тогда в каждом
чане окажется по 64 л. Сколько в них было сначала?
488. Если на странице некоторой книги отбросить от каждой строки
по 3 буквы и потом отнять две целых строки, то число всех букв умень¬
шится на 145; если же прибавить к каждой строке по 4 буквы и припи¬
сать 3 таких целых строки, то число всех букв увеличится на 224.
Сколько строк в странице и букв в строке?
489. Турист вышел из одного места в другое. Если бы он про¬
ходил в час одним километром меньше, то на весь путь ему понадобилось
бы шестью часами больше, чем теперь; а если бы он проходил в час
2
двумя километрами больше, то совершил бы путь в у того времени, ко¬
торое он употребляет теперь. Найти время движения и скорость его.

Уравнения 1-й степени
83
490- Две трубы наполняют бак в 16 часов. Если бы в течение четырех
часов вода текла из обеих труб, а потом первую закрыли, то одна вторая
окончила бы наполнение бака в 36 часов. Во сколько времени каждая
труба отдельно наполняет бак?
491. Пароход прошел в 11 часов без остановки 168 км по течению
реки и 48 км против течения; в другой раз он прошел в 11 часов 144 км
по течению и 60 км против течения. Сколько километров проходит он
в стсячей воде и какова скорость течения?
492. Пароход прошел в 13 часов без остановки 140 км по течению
реки и 24 км против течения; в другой раз он прошел в 11 часов 120 км
по течению и 20 км против течения. Сколько километров он проходит
в стоячей воде и какова скорость течения?
493. На молотьбе хлеба работало некоторое количество рабочих. Если бы
нх было тремя меньше, то они проработали бы двумя днями дольше, а
если бы их было четырьмя больше, то работа их была бы окончена двумя
днями раньше. Сколько было рабочих и сколько дней они работали?
494. На выполнении работы было занято некоторое количество рабочих.
Если бы их было пятью больше, то работа была бы окончена четырьмя
днями раньше, а если бы их было десятью меньше, то они проработали
бы двадцатью днями дольше. Сколько было рабочих и сколько дней они
работали? .	.
495. Разыгрывают книги. Если установленное число лотерейных билетов
продавать по 20 коп., то сумма, вырученная за все билеты, будет меньше
стоимости книг на 8 руб. 50 коп., если же билеты продавать по 25 коп.,
то всего будет выручено на 6 руб. 50 коп., больше стоимости книг. Сколько
вег/о лотерейных билетов установлено для распространения и во сколько
ценились книги?
496. На заводе заказано определенное количество плугов и установлен
определенный срок для выполнения заказа. Если завод будет выпускать 240
плугов в день, то к сроку будет готово иа 400 плугов меньше, чем зака¬
зано. Если же завод будет выпускать ежедневно 280 плугов, то к сроку
будет заготовлено 200 плугов лишних. Сколько плугов заказано и какой
срок был установлен для выполнения заказа?
497. За 2 м одного сорта и 5 ж другого сорта товара заплачено
8 руб. 40 коп. Если цена первого сорта возрастет на 12,5 °/0, а цена вто¬
рого сорта на 15 °/0, то на эту покупку придется потратить 9 руб. 50 коп.
Сколько стоит метр каждого сорта?
498. Имеется вино двух сортов. Если смешать эти сорта в отноше¬
нии 4:5, то гектолитр смеси будет стоить 500 руб., если же смешать в
отношении 3:2, то 486 руб. Найти цену гектолитра каждого сорта.
499. Предположено перевести лошадьми товар со станции в склад в
определенное число дней. Если лошадей будет на 2 меньше, то для пере¬
возки потребуется на 2 дня больше; если лошадей будет на 4 больше, то
времени потребуется на 2 дня меньше. Во сколько дней был перевезен
товар и сколькими лошадьми?
500. Были поставлены рабочие вырыть канаву. Если бы рабочих было
двумя меньше, то работа была бы окончена днем позже, если бы рабочих было
тремя больше, то работа была бы сделана днем раньше. Сколько было ра¬
бочих и в какой срок они исполнили работу?
6*

84
Глава Vi
501 . Если искомое двузначное число разделить на число, изображенное теми
же цифрами, ио в обратном порядке, то в частном получится 1 и в остатке 9;
если же искомое число разделить на сумму его цифр, то частное будет 5
и остаток 11. Найти число.
502. Какое число, будучи	разделено на 7 и на 5, дает	в остатке	со¬
ответственно 1 и 4,	причем	сумма частных составляет -g-	искомого?
503. Из двух мест, расстояние между которыми 650 км, отправляются
друг другу навстречу два поезда. Если оба поезда тронутся с мест одно¬
временно, то они встретятся через 10 часов, если же второй поезд отпра¬
вится 4 часами и 20 минутами раньше первого, то встреча произойдет че¬
рез 8 часов после отправления первого поезда. Сколько километров про¬
ходит каждый поезд в час?
504. Найги два числа, произведение которых относится к их разности
как 5:2, а сумма к разности как 3:2.
505. Разделить число 226 на три части так, чтобы вторая часть была
на 7 больше первой	и на 22	больше третьей.
506. Три ящика	с чаем весят вместе 250 кг. Первый	со вторым	на
10 кг легче третьего, а второй с третьим на 110 кг тяжелее первого.
Сколько весу в каждом ящике?
507. Найти величины трех денежных сумм, зная, что первая сумма вме¬
сте с половиной второй, вторая вместе с третью третьей и третья вместе
с четвертью первой составляют по 100 руб.
508. Разделить число 49 на три такие части, которые сделались бы
равными, если бы к первой прибавить треть, ко второй четверть и к
третьей одну пятую суммы двух других.
509. Три лица имеют вместе 190 руб. Число рублей первого, сложен¬
ное с полусуммой денег второго и третьего, составляет 120 руб., а число
рублей второго, сложенное с пятой частью разности денег третьего и пер¬
вого, составляет 70 руб. Сколько денег у каждого?	I
510. В трех корзинах	лежат яблоки. В первой	двумя	больше,	чем	во
4
второй, во второй втрое,	а в третьей в -g- раза	меньше,	чем	в	двух
остальных. Сколько яблок	в каждой корзине?
511. Три города расположены не на одной прямой линии. Расстояние
от первого до третьего через второй вчетверо длиннее прямого пути между
ними, расстояние от первого до второго через третий на 5 км длиннее
прямого пути, расстояние от второго до третьего через первый равно 85 км.
Определить расстояние между городами.
512. Найти число, которое при делении на 4, 7 и 11 дает остатки 2,
1, 6, при этом сумма частных двумя меньше половины неизвестного числа.
513. Число десятков трехзначного числа есть среднее арифметическое
между числами сотен и единиц; частное от деления i скомого числа на
сумму его цифр равно 48; если от него отнять 198, то получится число,
обозначенное теми же цифрами, но написанными в обратном порядке.
Найти это число.
514. В три сосуда налита вода. Если у воды первого сосуда пере¬
лить во второй, затем воды, оказавшейся во втором, перелить в третий

Уравнения 1й степени
85
и, наконец, ^ воды третьего перелить в первый, то в каждом сосуде ока¬
жется по 9 л. Сколько воды было в каждом?
515. Три лица внесли в сберкассу различные вклады по одним и тем
же процентам. Первый получил в год прибыли 12 руб., второй 20 руб.,
третий 36 руб. Сумма денег первого и третьего составляет 600 руЗ. Как
велик вклад каждого?
516. В первой и второй группах школы было 60 учащихся. В конце
учебного года перешли из первой во вторую 25 человек, из второй в
третью 20 и из третьей в четвертую 35. После этого оказалось во вто¬
рой группе втрое больше учащихся, чем в первой, и на 5 больше, чем
в третьей. Сколько было учащихся в каждой группе?
517. Имеются три сплава. В одном на 2 г цинка приходится 3 г медп
и 1г никеля, в другом те же металлы смешаны в отношении 2:4:3 и в
третьем — в отношении 1:2:1. Требуется получить новый сплав, в кото¬
ром было бы 10 г цинка, 18 г меди и 10 г никеля. Сколько надо взять
от каждого сплава?
518. Найти три числа, составляющих непрерывную арифметическую про¬
порцию, сумма которых 570; причем если большее число разделить иа
меньшее, то в частном получится 11, а в остатке число, на единицу боль¬
шее десятой части среднего числа.
519. Сумма трех дробей равна 1. Вторая дробь есть среднее арифмети¬
ческое количество между первой и третьей; первая дробь в три раза более
третьей. Определить эти дроби.
520. Найти число, которое при делении на 2, 3 и 4 дает в остатках соот¬
ветственно 1, 2, 3, причем сумма всех частных равна самому искомому числу.
521. Разделить 120 на такие четыре части, чтобы они составляли ариф¬
метическую пропорцию, в которой последующий член первого отношения
равнялся бы третьей части суммы остальных, а последующий член’вто¬
рого отношения составлял бы четвертую часть суммы трех остальных.
522. Разделить 272 на такие четыре части, чтобы вторая была средним
арифметическим количеством между первой и третьей частями, а третья —
средним арифметическим между второй и четвертой частями; и кроме
того вторая часть должна относиться к третьей как 9:8.
523. На 4 полках находится 192 книги. С первой полки переклады-
1 •
вают на вторую — того, что было на второй, потом со второй полки
перекладывают на третью того количества, которое было на первой;
затем с третьей полки перекладывают на четвертую столько, сколько было
на четвертой; наконец, с четвертой полки перекладывают на первую
столько же, сколько там осталось. После этого на всех полках оказалось
книг поровну. Сколько книг первоначально было на каждой полке?
524. Сумма двух чисел S, кратное отношение одного к другому д.
Найти оба числа.
525. Разделить число а на три части так, чтобы первая часть была
больше второй на число т и меньше третьей в п раз.
526 Одно число в а раз мёньше другого. Если прибавить к первому
числу т, а ко второму п, то первая сумма будет в Ь раз меньше второй.
Найти эти числа.

88	Глава	VI	Щ
'р
527. Числитель дроби меньше знаменателя ее на число а. Если же	f
от обоих членов дроби отнять по Ь, то получится дробь, равная дроби ,
п
Найти члены дроби.
528. Разделить число а на такие три части, чтобы первая была в р раз
больше второй ив q раз меньше третьей.
529. Знаменатель дроби больше числителя ее в с раз. Если прибавить
к числителю число Ь и вычесть из знаменателя число с, то получится
к
дробь, равная дроби -j-. Найти члены дроби.
530. Разделить число т на две части так, чтобы разность частных от
деления первой части на а, а второй на Ь равнялась г.
531. Разность двух чисел d. При делении уменьшаемого на вычитаемое
получаются частное q и остаток, равный половине разности. Найти эти числа.
532. За несколько метров сукна заплачено а рублей; если бы Купили
сукна более на с метров, то нужно было бы заплатить Ь рублей. Сколько
метров куплено?
533. 1) Какое число, будучи умножено на а, увеличится иа число /и?
2)	Какое число, будучи разделено на а, уменьшится на число /л?
534. При продаже товара за т рублей кооператив получил р процен¬
тов убытка. Что стоит товар самому кооперативу?
535. Два автомобиля выезжают одновременно из двух городов А и В
и едут по одному направлению от города А к городу В и далее. Первый
проезжает в час а километров, второй Ь километрлв. Расстояние АВ рав¬
но d километрам. Когда и на каком расстоянии от А первый автомобиль
догонит второй?
536. Переднее колесо экипажа имеет окружность в а метров, окруж¬
ность заднего Ь метров. Какое расстояние должен проехать экипаж, чтобы
переднее колесо сделало на п оборотов больше задцрго?
537. В бак проведены две трубы, которые обе наполняют его, первая
при отдельном действии в а часов, вторая также при отдельном действии
в b часов. Во сколько времени наполнится бак при одновременном дей¬
ствии обеих труб?
538. Окружность заднего колеса экипажа в а раз больше окружности
переднего колеса. Экипаж проехал т метров, и при этом переднее колесо
сделало к оборотами больше заднего. Определить окружность обоих ко¬
лес и числа оборотов.	.
539. Народонаселение города увеличивается ежегодно на р процентов
сравнительно с народонаселением предыдущего года. В настоящее время
в городе т жителей. Сколько было жителей 3 года назад?
540. Двое рабочих, работая одновременно, кончают работу в а часов.
Один первый сделает ту же работу в h раз скорее, чем Один второй.
Во сколько времени каждый из рабочих кончит работу?
541. Лодочник, гребя по течению рс::.т, проплывает п метров в t ча¬
сов; гребя же против течения, он употребляет на и часов более, чтобы
проплыть то же расстояние. Определить часовую скорость течения.
542. Тело А движется со скоростью v метров в секунду. С какой ско¬
ростью должно было двигаться другое тело В, вышедшее из того же ме¬
ста t секундами раньше, если оно было достигнуто телом А через и се¬
кунд после начала движения этого тела?

Уравнения 1-й степени
87
543. Из двух сортов товара ценою в а рублей ив Ъ рублей за кило
составлено d кило смеси. При продаже этой смеси по т рублей за кило
получено s рублей убытка. Сколько килограммов того и другого сорта
пошло на составление смеси?
544. В бассейн, вмещающий т ведер, проведены две трубы. Первая
вливает в бассейн а ведер в час. Вторая выливает весь бассейн в Ь часов.
Во сколько часов наполнится бассейн при одновременном действии обеих
труб?
545. Разделить число а на три части так, чтобы первая относилась ко
второй, как т:я, а вторпч к третьей, как р'.д.
546. Из двух мест Ап В на реке, отстоящих одно от другого на я мет¬
ров, плывут навстречу друг другу две лодки, управляемые гребцами с оди¬
наковой силой. Первая, плывущая по течению, проходит все расстояние А В
в t часов; вторая, плывущая против течения, употребляет на то же рас¬
стояние больше времени на и часов. Определить часовую скорость те¬
чения.
547* Кооператив, продавая килограмм товара за а рублей, получает на
этом прибыли р процентов. Сколько процентов прибыли он получит, если
будет продавать килограмм этого товара за Ь рублей?
548. Какое одно и то же число надо прибавить к числам а, Ь, с и d,
чтобы вновь полученные числа были пропорциональны между собою?
549. Определить вклады в сберкассу трех лиц, зная, что первый со
вторым имеют вместе т рублей, второй с третьим и рублей и что вклад
первого в р раз меньше вклада третьего.
550. Два тела движутся навстречу одно другому из двух мест, находя¬
щихся на расстоянии d метров. Первое движется со скоростью v метров
в секунду. С какою скоростью должно двигаться второе тело, если оно
вышло на Л секунд позднее первого и должно итги до встречи всего
и секунд?	'
551. Два велосипедиста выезжают из городов А и В, находящихся иа
расстоянии d километров, и едут навстречу, проезжая в час — первый
и километров и второй v километров; выезд первого из А состоялся на
А часов раньше выезда второго из В. Определить, когда и где встретятся
велосипедисты.
552. Разделить число а на такие три части, что если к первой прило¬
жить т, вторую сначала уменьшить иа т, а затем умножить на я и тре¬
тью разделить на я, то полученные результаты окажутся равными.
553. В резервуар проведены три трубы: А, В и С. Через А и С вода
вливается, через В вытекает. При совместном действии труб А и В ре¬
зервуар наполняется в т часов, при действии А и С—в я часов, при
действии В и С—в р часов. Во сколько времени наполнится резервуар
при одновременном действии :всех трех труб?
554. Если одно из двух неизвестных чисел увеличим на а, то полу¬
чится сумма, в т раз большая второго числа; если же второе число уве¬
личим на А, то новая сумма будег в я раз больше первого числа. Найти
эти числа.
555. Два тела находятся на расстоянии d метров. Если они будут дви¬
гаться навстречу одно другому, то столкнутся через т секунд; если одно
из них будет догонять другое, то столкновение произойдет через п се¬
кунд. Как велика скорость каждого тела?

88
Глава VII
556. Два числа относятся между собой как т\п\ если же к первом’,
из них придать а и ко второму Ь, то они будут относиться как p:q. Най¬
ти эти числа.
557. Два котла весят Р тонн; р процентов веса одного котла состав¬
ляют q процентов веса другого. Найти вес каждого котла.
558. Два работника получили г рублей; первый работал а дней,
второй b дней. Первый выручил в с дней столько, сколько второй в d
дней. Какова поденная плата каждого?
559. Име тся латунь двух сортов. Взяв а граммов первого сорта и
Ъ граммов второго, получаем сплав ценою т рублей за грамм; если же
ваять Ь граммов первого
и а граммов второго, то
пол > чится сплав ценою
и рублей за грамм. Что
стоит грамм того и дру¬
гого сорта?
5С0. Два двухколес¬
ных экипажа, находящие¬
ся на расстоянии d. мет¬
ров, катятся навстречу.
Отношение между длина¬
ми окружностей их колес
равно т:п, а отношение между числами оборотов тех же колес равно р:д.
Сколько метров пройдет до встречи каждый экипаж?
561. Из бака течет вода через две трубы. Перв, я труба выливает в те¬
чение некоторого времени на а гектолитров больше, чем вторая. Площади
поперечных сечений труб относятся как т:п, а скорости истечения как
p:q. Сколько гектолитров выливает в указанное время каждая труба?
562. Имеются два сплава меди и цинка. В одном эти металлы смешаны
в отношении т:п, в другом — в отношении p'.q. Требуется отделить от
сплавов по части так, чтобы сумма весов отделенный частей была а кило¬
граммов и чтобы при сплавлении этих частей медь и цинк смешались в отно¬
шении r:s. По скольку килофаммов должны содержать отделенные части?
563. Площадь кольца (черт. 9) равна Q, ширина кольца /. Найти ра¬
диусы окружностей (внутренней и внешней).
564. Стороны прямоугольника ABCD равны: AD=a, АВ=Ь. Разде¬
лить площадь прямоугольника на три равные части двумя прямыми, выхо¬
дящими из середины К стороны АВ (черт. 10).
Указание. Найти DL, LM, МС.
Черт. 9.
ГЛАВА VII.
КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ.
§ 1. Извлечение квадратного корня из чисел.
Извлечь квадратный корень изданного числа — значит найти такое число,
кватрат которого равен данному числу. При извлечении квадратного корня
из положительного числа получаются два противоположных значения корня:
VT6=±4, так как (-f- 4)2 = 16 и (— 4)2 —16. Из отрицательного числа

Квадратный корень
89
нельзя извлечь квадратного корня. \f— 16 не может быть выражен ни по¬
ложительным числом + 4, ни отрицательным — 4; корень квадратный из
отрицательного числа есть мнимое число.
Квадратный корень может быть извлечен точно только из тех чисел,
которые представляют полный квадрат какого-нибудь другого числа, на¬
пример у 49 = 7, потому что 72 = 49. Квадратный корень из неполного
целого квадрата не может быть выражен точно ни целым числом, ни дробным
числом, например (/2, Y7 и т. д. Числа Y2, Y7 и т. п. называются
иррациональными.
Чтобы извлечь корень квадратный из целого числа с недостатком с
точностью до 1, надо извлечь корень из наибольшего квадрата, заклю¬
чающегося в данном числе. Прибавляя к полученному значению единицу,
получим другое значение корня — с избытком; например наибольший квад¬
рат, заключающийся в числе 50, есть 49, а потому 7<'|/50<8, таккак
72<50<82 и 8 — 7 = 1.	'
Извлечение квадратного корня из чисел производят по следующему
правилу:
Разбиваем цифры числа с правой стороны к левой на грани по две
цифры в каждой, причем в последней грани может оказаться одна цифра.
Извлекаем корень из числа, обозначенного первой гранью, получится пер¬
вая цифра корня. Квадрат числа, обозначенною найденной цифрой, вычи¬
таем из числа первой грани; к остатку сносим вторую грань, составится
первый остаток. В обозначении остатка отделяем одну цифру справа.
Число, обозначенное остальными цифрами, делим на удвоенное найденное
число корня; получится вторая цифра корня, илн результат, больший
истинного. Для проверки найденного частного приписываем цифру его к
обозначению делителя и умножаем составившееся число на то же частное.
Если произведение не больше первого остатка, то цифра корня найдена
верно. Полученное произведение вычитаем из первого остатка и сносим
следующую грань; составится второй остаток. Поступая с ним подобно
тому, как с первым, получим третью цифру корня и т. д.
Извлечь квадратный корень из чисел:
1.
576.
1. 784.
2. 361.
2.
841.
3.
1849.
3. 4225.
4. 608400.
4.
211600.
5.
1369.
5. 8464.
6. 28090000.
6.
72250000.
7.
4624.
7. 5329.
8. 9409000000.
8.
3136000000.
9.
6561 • 10*.
9. 2401 • 102.
10. 9604-10®.
10.
5476-10*.
И.
54756.
И. 17424.
12. 56169.
12.
71824.
13.
831744.
13. 613089.
14. 259081.
14.
501264.
15.
767376.
15. 632025.
16. 463761.
16.
700569.
17.
18225.
17. 33856.
18. 725904.
18.
488601.
19.
22562500;
19. 35164900.
20. 942490000.
20.
424360000.
21.
4562496.
21. 3356224.
22. 9960336.
22.
18619225.
23.
1014049.
23. 1018081.
24. 4048144.
24.
9162729

80
Глава VII
25.	49126081.
27.	72692676.
29.	19749136.
25.	81108036.
27.	57078025.
29.	30858025.
26.	56325025.
28.	89908324.
30.	37319881.
26.	40998409.
28.	97970404.
30.	51955264.
Для извлечения корня из простой дроби нужно извлечь корень отдельно
из числителя и из знаменателя и затем разделить первый результат на
второй. До извлечения корня следует испытать сократимость дроби.
Чтобы извлечь квадратный корень из десятичной дроби, содержащей
четное число десятичных знаков, нужно извлекать, как из целого чисяа,
и отделить запятой цифры, получаемые от извлечения корня из целого
слагаемого дроби.
Извлечь корни из дробных чисел:
31.
49
81*
31.
25
64*
33.
256
2Е0Э*
33.
1369
2025*
35.
552-L
4
35.
3211^.
37.
343
700*
37.
729
900*
39.
0,3364.
39.
0,4489.
41.
0,264196.
41.
0,665856.
43.
2,3716.
43.
7,8961.
32.2
34.
Т_
9*
_44!
17424*
32.
34.
5 ^
5 Тб-
576
45369*
45. 0,0000258064.
46. 40,998409.
36.10955 д-.
оо 867
d 14263*
40. 0,003969.
42. 0,00008649.
44. 15,0544.
45.0,0000165649.
46.	10,361961.
36.	750*
оо 1805
й°- 3120§*
40.	0,002401.
42. 0,00005476.
44.	83,1744.
§ 2. Приближенное извлечение квадратных корней.
Чтобы извлечь квадратный корень из целого числа с точностью до 1,
нужно извлекать как обыкновенно и отбросить получаемый в конце дей¬
ствия остаток.
Вообще, чтобы извлечь квадратный корень с точностью до-p нужно умно¬
жить подкоренное число на квадрат знаменателя к, извлечь из произведения
корень с точностью до 1 и разделить полученный результат на число к.
Чтобы извлечь с точностью до 0,1, нужно к обозначению окончатель¬
ного остатка приписать справа два нуля и найти сверх получаемых обык¬
новенным способом цифр корня еще одну, которую отделить запятой.
Чтобы извлечь с точностью до 0,01, нужно, подобно предыдущему,
найти два десятичных знака корня и т. д.
Для приближенного извлечения корня из дроби нужно предварительно
сделать знаменатель полным квадратом.
Если квадратный корень извтекаетсп из десятичной дроби с точностью
до IT)’ Ж' 1000 и т- д-> 70 число десятичных знаков данной дроби должно
быто вдвое больше числа нулей в обозначении знаменателя предела по¬
грешности.

Квадратные уравнения с числовыми коэфициентами
Корни из следующих чисел извлечь с точностью до 1:
47.	969.	48.	7269.	49.	53780.	S0. 81300000.
Корни из следующих чисел извлечь с нижеуказанным пределом погреш¬
ности:
51.	7 (до .	52.	46	(до	.	53.	Б6й(до gg).
54.	213 (до .	55.	б	(до	.	56.	19 (до .
Корни из следующих чисел извлечь с одним, двумя и тремя десятич¬
ными знаками и определить пределы погрешности:
57. 3.
58. 5
~9 ■
59.
«0-и-
61. Зу.
62. 11у.
вз.
м-Чя-
65. 74,12,
66. 9,2647.
67. 0,4,
68. 6,72.
69. 43,356.
70. 0,008.
71. 2,05347,
72. 12,5.
73. 64,25.
74. 0,625.
75. 0,23567897.
76. 6,0005781
ГЛАВА VIII.
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ЧИСЛОВЫМИ КОЭФИЦИЕНТАМИ.
§ 1. Решение числовых уравнений второй степени.
Уравнением второй степени, или квадратным уравнением, называется
всякое уравнение, которое посредством преобразований, заменяющих его
другими, равносильными с ним уравнениями, может быть приведено к виду:
ах2 -j- Ьх -[- с = 0.-
Последнее уравнение называется общим видом квадратных уравнений.
Количества а, Ь и t называются коэфициентами уравнения. Если
эти коэфициенты выражены дробными количествами, то их можно заменить
целыми количествами. Коэфициент а всегда можно считать положительным.
Если коэфициент ! с равен нулю или b равен нулю, то получается так на¬
зываемое неполное квадратное уравнение. Решить квадратное уравнение —
значит найти те Значения х, которые обращают данное уравнение в тож¬
дество. Таких значений Или корней всякое квадратное уравнение имеет два.
Для решения неполного уравнения ojc3 -j- bx = 0 достаточно вывести
в первой части его За скобки ^.Получится лг(од? —{— £)=0. Из этого видно,
что уравнению можно удовлетворить двумя способами: или полагая х~0,
от чего обращается в нуль первый множитель первой части уравнения, или
полагая х = —~, отчего обращается в нуль второй множитель. В обоих
этих случаях все произведение будет равно второй части уравнения, т. е.

92
*
Глава VIII
равно нулю, и, следовательно, уравнение будет удовлетворено. Итак, данное
ь
уравнение имеет два корня: л1 = 0 и л2 =——.
Пример. Дано л2— 5л: = 0. Отсюда л(л— 5} = 0. Следовательно,
Arj = 0, л2 = 5.
Рассматривая второе неполное уравнение ах‘-\-с=0, различим два
случая, когда коэфицнент с отрицателен и когда он положителен. Положим,
например, что дано уравнение 4л:2 — 7 = 0. Рассматривая первую часть
как разность квадратов, можно разложить ее в произведение. Получим
(2л— j/7)(2*-H/T) = 0. Но произведение может быть равно нулю только
тогда, когда	один из	множителей равен нулю. Поэтому	данное	уравнение
совмещает в	себе два	корня, удовлетворяющие порознь	двум уравнениям
первой степени: 2л: —	j/7 =0 и 2х+ j/f = 0. Значит корни	его суть:
v _ 1/Г и * — — уП
1 2 2
При положительном значении с получаются мнимые величины корней.
Решить следующие неполные квадратные уравнения:
1. л-2 — 7лг = 0.	1. х2+3л = 0.	2. 4л2 = —9л.	2. 2л:2 = 13л.
3. 7л2 — 8х = 5х2 — 13л.	3. 4л2 + 15л = 9л2 — 6л.
4. 5л2 + 4л= 11л2 — 8л.	4. Зл2 + 14л= 18л — 7л2.
б. (2л + 5)2 — (л — 3)2= 16.	5. (Зл + 4)2 + (л—1)2=17.
6. (2л + 7)(7 —2л) —л(л + 2) = 49.
6. (5л— 1)(1 + 5л) — 10 (л — 2) = 19.
- л 4 5
я 1
л 4-15
„ Зл + 4	л —2
8.
2л + 1	3	—	х	’
л + 3 | х — 3	2л — 3
2"
/.
л-1-2 1 л —2 л— 1
9. л2 —25 = 0. 9. л2—49 = 0.
,. 5л®	.	Зл®	2
"• 6 “125- П,Т~Й‘
13 4+4='+!.
л—6
л —2
л + 2'
— 4л + 3 *
л+2 2л + 6
л—2	х — 3 ’
10. 9л2=16.	10.	4л2	= 81.
12. л2+ 13 = 4. 12. л2+ 36 = 11.
2л . х—2
1Б
л + 4 . л— 4
хГ— 4 ‘ л + 4"
14.
16.
л-2~Г
2 —5л
- = 2.
5л
Юл —5 3 —5л*
Решение полного квадратного уравнения ах2 +	+ с = 0 состоит
также в разложении первой части его на множители. Это преобразование
значительно упрощается в том случае, когда коэфициент при высшем члене
есть единица. Заметим, что всякое квадратное уравнение можно привести
к такому виду. Нужно только разделить обе час:и на коэфициент а. По¬
лучим л2 + -^—(— ~ = 0. Обыкновенно обозначают ^ буквой р и ~ бук¬
вой д, тогда уравнение принимает вид: л2+рл + ^ = 0. Такой вид
уравнения называется приведенным.
1

Квадратные уравнения с числовыми коэфициентами
93
Формула решения приведенного квадратного уравнения такова:
Если в эту формулу решения квадратного уравнения вставить обратно
вместо р н q их значения-^- и ^ и совершить все необходимые преоб¬
разования, то получается формула решения уравнения общего вида:
— b ± j/ft2 — 4 ас
:	2а	*
х-
Наконец последний частный случай решения полного квадратного урав¬
нения— это решение уравнения вида:
ах2 -j- 2bx-\-c—0.
Если применить к этому уравнению общую формулу решения, то по¬
лучается новая, более простая следующая формула решения:
 — b rfc ]/о'2 — ас
Полное квадратное уравнение, как и неполное, всегда имеет два корня.
Решить следующие полные квадратные уравнения:
17.
*2 — 6* + 8 = 0.
17.
*2 — 10*4-21 = 0.
18.
*2 _|_ 12*4-20 = 0.
18.
*2 -|- 6* -j- 5=о.
19.
л2 — 4* — 12 = 0.
19.
О
II
О
см
1
&
1
ъ
ю
о
•
*2 4-2* —35=0.
20.
*2 4- 6* — 27 = 0.
21.
*2 —7*4-12= 0.
21.
*2 4_ 9*4-14 = 0.
22.
*2 -J- *	6 = 0.
22.
*2 — 3*—28 = 0.
23.
*2 — 7*— 18=0.
23.
*2—* — 42 = 0.
24.
*2 4-3*— 130 = 0.
24.
+
н
1
СО
II
р
25.
*2 _ 2х -f-10 = 0.
25.
*2 — 4* 4“ 5 == 0.
26.
*2 — 6* -j- 34 = 0.
26.'
*2 — 10* -{- 29 = 0.
27.
(*— 1)(* — 2) = 6.
27. (* — 2) (12 — *) = 9.
К
00
•
(* —2)2 = 2(3*— 10).
28. (* 4-1)2 = 3 (*4-7).
29
4*2 — 4* = 3.
29.
4*2 — 4*= 15.
30.
Э*2 — 5 = 12*.
30.
9*2 — 20 = 24*.
31.
2*2 —7*-f 3 = 0.
31.
б*2 —8*4-3= 0.
•
СМ
со
4*24-*—3=0.
32.
3*2 —2* —8 = 0.
33.
(2* — 3)2 = 8*.
33. (2* 4-б)2 = 2 (2* 4-9).
34.
(3* +2)2 = 3 (*4-2).
34. (3* —1)2= 12(3 — *).
35.
О
II
+
*
1
ъ
35.
*2-}-*4-1 = 0.
36.
*24-3*4-9=0.
36.
*2 — 3* 4-9 = 0.

94
Глава VII?
37. х2 — 22л: —]— 25 = 2х2 — 20л: -f-1.
38. 2 — 8л:4-3л:2 = — 4 + 2*2 — Зх.
39. (Зл: —2)2 = 8 (л:+1)2—100.
40. (3 — л:) (4 — л:) = 2л2 — 20л: + 48.
41. — -4-7 —— 8	42	1—Зх — 7
*2	3 ^	8	'	х — 2 х— I ‘
лъ х — 7  л —6	лл х , 2 , (л+1)»_(л + 2)(л + 1)
2(л + 3)~л + 24'	чч'4_*“л'Т	I	л	■
дс *+1 I 3(л—1)	.	о>2	j	.	3(3л—I) 2(Зл + 1)
“з“ н	—	-(х-У	+	!•	46- ~12л+Т — TaTFF *
(л—12)9	X	,	х(х — 9)	(«	— 14)9 ,
6	9 1	18	2	Т0,
ло (л —20)(л—10)	(34 — х) (40 — л) , (30 — л)(5 — л)	л
48	10	2	1	3	=	0¬
6	2_	о лг + 4	гр	2x4-1	х—1 _х+3	44х
хз—1	х— 1	Z х+1"	ъ *	х + 3	х—9	3—х	З + х*
hi х |	25	1	13	рл х 4" 1 | х 4 2 2х 13 л
01* 2^=~l'l 4jf2 — 1	27 Г—2л"	i-1	"Г	^+Т	“
49.
§ 2. Свойства корней квадратного уравнения и разло¬
жение квадратного трехчлена на множители.
Сумма корней полного квадратного уравнения ах2 -}- Ьх -ф- с = 0 равна
Ь
— —, т. е. коэфициенту при неизвестном первой степени с обратным знаком,
деленному на коэфициент при старшем члене; а произведение корней квадрат¬
ного уравнения равно т. е. свободному члену с гего знаком, деленному
на коэфициент при старшем члене. Для уравнения приведенного эти свой¬
ства еще проще: сумма будет равняться—р, а произведение д. Эти свой¬
ства корней квадратного уравнения имеют следующее применение: если
обозначить корни квадратного уравнения каждый в отдельности через хг
и х2, то эти два свойства напишутся так: л:1-|-лд = —— и х^'Х2~~ ■
Если из этих двух тождеств выразить из первого Ь и из второго с и под¬
ставить найденные значения в левую часть квадратного уравнения, то она
легко разлагается на множители:
а(х — хг)(х — х3).
Для уравнения приведенного множитель а отпадает.
Это дает возможность легко разлагать на множители всякий квадрат¬
ный трехчлен.
Разложить на множители следующие квадратные трехчлены:
53. x2-f-8x+15.	54. х2 + 12х +35.	65.	х2 — 5х-}-6.
53. л*+ 7л:-)-10.	54. л« + 10л: +21.	65.	х2 — 9л: + 14.

Квадратные уравнения с числовыми коэфициентами
93
56.	л:2 — 13л:+ 22.
56.	х2—1 6jc —39.
59.	х7 — 3jc —f— 2.
59.	х2 — 6л: -]- 5.
62.	х2 — 7х — 30.
62.	х2-\-7х — Зо.
65.	х2 -\-2х — 3.
65.	х2-\-4х — 5.
68.	л:2 — 5л: — 36.
68.	х2 — 21л: — 100.
71.	6т2-\~7т — 5.
57.	х2-{- 5л:-f 4.
57.	х2 4" 7х	6.
60.	х2— 13л:-|-30.
60.	л:2—13л:40.
63.	л:2-|-5л: — 24.
63.	л:2—5л: —24.
66.	л:2 —9л:—10.
66.	л:2 — 6л:— 7.
69.	6а2 + 13а -f 6.
69.	10а2 4-29а 4-10.
72.	10р2 — 13р — 3.
58.	л:2 4~ 11л: 4~ 30.
58.	л:2 4-11* 4- 24.
61.	л:24-3л: —10.
61.	л2—Зл:—10.
64.	х2 — Юл: — 24.
64.	л:2 4~ Юл: — 24.
67.	л:2 4* * — 42.
67.	х2-\-х — 56.
70.	1 Об2 —29*4-10.
70.	6*2 —13*4-6.
§ 3. Составление квадратного уравнения с одним
'	неизвестным.
Составление квадратного уравнения не представляет собою какой-либо
особенности в сравнении с составлением линейного уравнения; все, что
было сказано ранее о составлении линейного уравнения или системы урав¬
нений, применимо и к составлению квадратного уравнения.
73. Сумма квадратов трех последовательных чисел равна 365. Найти
эти числа.
73. Сумма квадратов трех последовательных четных чисел равна 116.
Найти эти числа.
74. Продано несколько килограммов товара за 120 руб.; цена килограм¬
ма в рублях на 2 меньше числа килограммов. Сколько килограммов продано?
74. Продано несколько килограммов товара за 270 руб.; цена килограмма
в рублях на 3 больше числа килограммов. Сколько килограммов продано?
75. Найти двузначное число, зная, что цифра единиц искомого числа
двумя больше цифры его десятков	и что	произведение числа	на сумму	его
цифр есть 144.	-
75. Найти двузначное число, зная что цифра десятков искомого числа
двумя больше цифры его единиц и что произведение числа на сумму его
цифр есть 640.
76. Несколько человек должны были заплатить поровну всего 72 руб.
Если бы их было тремя меньше, то каждому пришлось бы заплатить че¬
тырьмя рублями больше. Сколько их было?
76. Несколько человек должны были заплатить 60 руб. Если бы их
было тремя больше, то каждому пришлось бы заплатить рублем меньше.
Сколько их было?
77. Бассейн наполняется двумя трубами в 6 часов. Одна первая труба
наполняет его на 5 часов скорее,	чем одна вторая. Во сколько	времени
каждая труба, действуя отдельно,	может	наполнить бассейн?
77.	Бассейн наполняется двумя трубами в 3 часа 36 минут. Одна пер-
вгя труба наполняет его на 3 часа скорее, чем одна вторая. Во сколько
времени каждая труба, действуя отдельно, может наполнить бассейн?

96
Глава Vin
78.	При продаже часов за 39 руб. получено столько процентов при¬
были, сколько рублей стоили часы. Что они стоили?
78. При продаже часов за 24 руб. получено столько процентов убыт¬
ка, сколько рублей стоили часы. Что они стоили?
79. Два туриста одновременно выходят из одного города в другой. Пер¬
вый проходит в час на 0,5 км больше второго и поспевает приехать
часом раньше. Расстояние между городами 28 км. Сколько километров
проезжает каждый из них в час?
79. Два лица выезжают одновременно из городов А к В навстречу
друг другу. Первый проезжает в час двумя километрами больше второго
и приезжает в В часом раньше того, как второй в А. Расстояние АВ рав¬
но 48 км. Сколько километров проезжает каждый из них в час?
80. Долг в 820 руб. уплачен банку в два годичных срока, причем в конце
каждого года платили по 441 руб. По скольку процентов был сделан заем?
80. Долг в 2100 руб. уплачен в диа годичных срока, причем в конце
каждого гота платили по 1210 руб. По скольку процентов был сделан заем?
81. В бригаде колхоза было 960 копен ржи и овса. При молотьбе
бригада смогла обмолачивать каждый день на 40 копен больше, чем пред¬
полагалось планом, а потому закончила молотьбу на 4 дня до срока.
Сколько копен намечалось планом обмолачивать в день и во сколько дней
думали окончить молотьбу?
82. Колхоз сдал ржи на 10 ц больше, чем овса. За рожь было полу¬
чено 280 руб., а за овес 180 руб. Центнер ржи стоит на 1 руб. больше,
чем центнер овса. Сколько центнеров ржи и овса было сдано вместе?
82. После того как в колхозе лошади пахали в течение 8 дней пар,
в колхоз прибыл трактор и вместе с лошадьми допахал остаток пара
в 3 дня. Если бы лошади и трактор работали все время вместе, то они
закончили бы пахоту в 9 дней. Определить, сколько надо тракторов,
чтобы поднять пар колхоза в тот же срок.
83. Огород совхоза величиною в 36 га, имеющий форму прямоуголь¬
ника, разделен линией, параллельной ширине огорода, на 2 участка в от¬
ношении 2:1. Меньший участок имеет по длине огорода на 100 л меньше,
чем ширина огорода. Определить длину и ширину огорода.
83. Из листа железа прямоугольной формы сделана коробка (без крыш¬
ки), имеющая объем в 750 см3. Для этого по углам листа вырезаны
квадраты со стороною в 5 см, и получившиеся края загнуты. Найти раз¬
меры листа железа, если одна из его сторон на 5 см больше другой.
84. Расстояние от Горького до Астрахани и обратно, равное в один
конец 2250 км, пароход скорой линии проходит в 280 часов. Скорость
течения Волги равна в среднем 2,5 км в час. Определить собственную
среднюю скорость парохода.
84. Себестоимость единицы продукции, равная вначале 25 руб., после
двух последовательных снижений на одно и то же число процентов сни¬
зилась до 20 руб. 25 коп. На сколько процентов снижалась себестоимость
каждый раз?
85. Колхоз заготовил для зимнего прокормления крупного рогатого
скота 210 т силосованного корма. Но при вступлении в колхоз новых
хозяйств число голов скота увеличилось на 10. Вследствие этого, чтобы
хватило запасенного корма, пришлось норму корма на голову скота умень¬
шить на 0,5 т. Сколько тонн силосованного корма предполагалось рас¬
ходовать на голову скота первоначально?

Квадратные уравнения с числовыми коэфициентами
97
86. Одна часть облигаций займа в 500 руб. приносит ежегодно 12 руб.,
а другая 31,5 руб. прибыли. По скольку процентов дает каждая часть,
если со второй получается одним процентом больше, чем с первой?
87. Окружность заднего колеса экипажа в 2 раза больше окружности
переднего; если бы окружность заднего ко-еса уменьшить на 2 дм, а пе¬
редне о увеличить на А дм, то на расстоянии 120 м заднее колесо сде¬
лало бы на 20 оборотов меньше переднего. Найти окружности обоих колес.
87. Окружность переднего колеса экипажа в 3 раза меньше окруж¬
ности заднего; если бы окружность переднего колеса увеличить на 3 дм,
а заднего на 2 дм, то на пространстве 140 ж переднее колесо сделало
бы на 60 оборотов больше заднего. Найти окружности обоих колес.
88. А отправился в путь из города М к городу N и проходил по 12 км
в день. Писле того как он прошел 65 км, навстречу ему из города N
г, г-,	1
отправился В. Проходя каждый день — всего расстояния между города-
□и
ми М и N, В по прошествии стольких дней, сколько он делал в день
километров, встретил А. Определить расстояние между городами М и N.
89. Конный вестовой, выезжающий из места А, должен поспеть в место
В через 5 часов. В то же время другой вестовой выезжает из места С и,
чтобы поспеть в В в одно время с первым, должен проезжать каждый
километр на 1 ~ минуты скорее, чем первый. Расстояние от С до В
на 20 км больше расстояния от А до В. Определить последнее.
90. Два поезда отправляются из двух городов А и В, расстояние между
которыми 600 км, и идут навстречу один другому. Они могут встретиться
иа половине пути, если поезд из В выйдет на 1 часа раньше другого. Если
бы оба поезда вышли одновременно, то через 6 часов расстояние между
ними составляло бы десятую часть первоначального расстояния. Сколько
часов каждый поезд употребляет на прохождение от А до В?
91. Два липа идут навстречу один другому из двух мест А а В. При
встрече оказывается, что первый прошел на 6 км больше второго. Про¬
должая движение, первый приходит в В через 4 часа, а второй в А че¬
рез 9 часов после встречи. Как велико расстояние от А до В?
92. На расстоянии 36 м переднее колесо экипажа делает на 6 оборо¬
тов больше заднего. Если бы окружность каждого колеса увеличилась на
метр, то на том же расстоянии переднее колесо делало бы только на 3 обо¬
рота больше заднего. Определить длину окружности каждого колеса.
93. За выгрузку товара уплачено 40 руб. Так как рабочих явилось
на 3 чело! ека больше намеченного числа, то каждый из них получил /
на 3 руб. меньше предположенного. Сколько человек явилось на выгрузку?
94. Каждый из участников шахматного турнира играет по две партии
с каждым из остальных, и всего таким образом сыграно 462 партии. Сколь¬
ко было участников?
95. На 156 руб. куплено несколько килограммов товара. Если бы 1 кг
стоил рублем дешевле, то на те же деньги можно было бы купить товара
на 1 кг больше. Сколько стоит 1 кг товара?
98.	Поезд был задержан на 16 минут и нагнал опоздание на перегоне
в 80 км, увеличив на 10 км начальную скорость. Найти начальную ско¬
рость поезда.
i ССорняк ал<е£р. аядач, ч. ..

98
Глава VIII
97. Два аэроплана вылетели одновременно с одного и того же аэро¬
дрома по одному направлению в одно и то же место назначения, находя¬
щееся на расстоянии 1600 км от аэродрома. Первый аэроплан, летевший
со скоростью на 40 км в час быстрее второго, прибыл на 2 часа раньше.
Определить скорость аэропланов.
9/. Расстояние между станциями равно 96 км. Скорый поезд проходит
это расстояние на 40 минут быстрее почтового, средняя скорость которого
на 12 «л в час меньше средней скорости скорого поезда. Найти скорости
обоих поездов.
98. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить некоторую работу
в 12 часов; первый, работая отдельно, мог бы выполнить ту же работу
на 10 часов скорее второго. Во сколько часов мог бы выполнить эту
работу каждый из них, работая отдельно?
99. На всех сотрудников учреждения было выдано 480 трамвайных
билетов. Так как решили выдавать би еты только малооплачиваемым
сотрудникам, то 16 человек вовсе не полечили билетов; зато каждый нз
остальных получил восемью билетами больше, чем предполагалось. Сколько
всего сотрудников в учреждении?
1С0. Два грузовика должны были перевезти некоторый груз за 6 часов.
Второй грузовик задержался, и к моменту его прибытия первый успел
перевезти всего товара, а остальной груз перевез второй грузовик.
Весь груз был перевезен таким образом за 12 часов. Сколько времени
нужно било бы каждому грузовику в отдел ности для перевозки всего груза?
101. Две силы, приложенные к одной и той же точке, образуют между
собою прямой угол. Отношение их равно 2:5, а их равнодействующая
равна 37,7 кг. Найти эти силы.
101. Если одну сторону квадрата уменьшить на 2 м, а другую на 5 м,
то площадь полученного прямоугольника сделается равной 40 м2. Найти
сторону квадрата.
102. При продаже товара за 31 руб. 25 коп. получено столько про¬
центов прибыли, сколько рублей в себестоимости товара. Какова себестои¬
мость товара?	,
103. Бассейн наполняется двумя трубами в 3 час. 45 мин. Первая труба
может наполнить его четырьмя часами скорее, чем вторая. Во сколько вре¬
мени каждая труба в отдельности может наполнить бассейн?
103. Рукопись в 60 листов отдана двум переписчикам. Если первый
начнет работу через 2~ часа после второго, то каждый из них перепишет
по половине рукописи; если же они начнут писать одновременно, то через
5 часов останется непереписаниых 33 листа. Во сколько времени можег
переписать рукопись каждый отдельно?
104. Зеркало в 84 см длины и 60 см ширины имеет раму, ширина ко¬
торой везде одинакова, а площадь равна площади зеркала. Найти ширину
рамы.
104. Периметр основания прямоугольного здания равен 70 м. Здание
окружено решеткой, отстоящей везде от здания на равном расстоянии.
Плоийдь земли, ограниченная решеткой, на 74 м2 более площади, занимае¬
мой зданием. Найти расстояние решетки от здания.
105. По сторонам прямого угла, начиная одновременно от его вершины,
движутся два тела: одно со скоростью 24 л в минуту, другое со скоростью

Квадратные уравнения с числовыми коэфициентами
93
10 л в минуту. Через сколько минут расстояние между телами по прямой
линии будет 806 л?
106. На какое число надо разделить 136, чтобы в частном получить
на 3 меньше делителя, а в остатке на 7 меньше делителя?
107. Даны три числа: 100, 60 и 30. Какое число нужно отнять от пер¬
вого и прибавить его к третьему, чтобы второе число оказалось средним
пропорциональным между вновь полученными числами?
107. В одном бумажнике 232 руб. 60 коп., в другом — 70 руб. и
в третьем — 37 руб. Сколько нужно переложить из третьего в первый, чтобы
в первом оказалось во столько раз больше, чем во втором, во сколько
во втором больше, чем в третьем?
108. На плоскости дано несколько точек, между которыми нет трех,
лежащих на одной прямой. Если соединить все эти точки попарно прямыми
линиями, то получится 253 прямых. Сколько дано точек?
109. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше одного катета
на 9 см и больше другого на 18 см. Определить стороны этого прямо¬
угольного треугольника.
109. Стороны прямоугольного треугольника выражаются тремя последо¬
вательными четным л числами. Найти эти стороны.
110. Лодочник плыл по течению реки из города А в город В, а потом
назад против течения из В в Л, и на всю поездку употребил 3 часа 45 ми¬
нут. Город Л отстоит от города В на 6 км, а скорость течения рели равня¬
ется 3 км в час. С какой скоростью плыл бы лодочник в стоячей воде,
если бы работал с прежней силой?
7*

ОТВЕТЫ.
Глава I.
52.	10a + 6 + m=10fc + a. 55. а — с=Ь + с. 231. йЬ + Cd + ^°Ъ + cd)'lM
238. а — Ьс.
257. 0.
45
2:2.
74*
239.
1
~а+Т
258. 3.
263. 0.
а + с
234. 12.
255 8?-
Ло. g.
256. 90.
259. 2.
260. 7.
261. 25.
264. 1.
265. 0.
266. 0.
Глава II.
127.
130.
133.
137.
141.
257.
258.
259.
260.
261.
262.
368.
417.
4.8.
419.
421.
422.
42-1.
425.
427.
429.
431.
433.
435.
а + Ь — с + й.	128.	а — Ъ 4-	с + d.
a + b — с — d-\-k.	131.	—8/и.
За — ЗЬ.	134.	ЗЬ	+	2с — а.
7ап + За".	138. ап + 6Ь>*.
129. а — Ъ-\-с — й — к.
132. 4/и.
135. Зх — у + z. 136. 6д? + 8ху.
139. Ь.	140. dm-i.
9
зiax-
-0.801.	255.	азп	+	ьзл.
256. а2/я+г_02ст-1.
25а* +- 30аЧ — 11 aW —12а№ + 4Ы.
a? + 2afc -f № — а — Ь +	.
6 (x + y f-n+*-\-22(x + ^)2п+2 _ 20 (х +уУ*+ * — 26 (х + у)*" +
+ lO^+J/2n-J.
х" & + 2)2л-8 + 2л:9 {х? + 2)3л-« + 32JC + 2р«+а.
i4a'2 4- 4ab + *2) дг* — (5п* + aW) х3 + а3х.
а + Ь-t- 1; Ib + akJfkl. 263. а + №— 1; Ib + ak — lk.
а* + За+ 2.
a2 -f Ы 4- с3 + 2а b + 2ас + 2Ьс.
а* + Ь3 + с3 + За*Ь 4- 3аРс 4- ЗаЬ3 Зас3 + 3Ьс* + 6abc.
367. а — Ь.
& + Ъ3 + 2аЪ + а + Ъ + ^
420. 9/и2 4- 4иа + р3 + 12/ии — бтр — 4пр.
-*.^+16>а+ J у
- 4д^у —	4-	у	O'3-
Jg а® + шт + * 41- 12а’й + ~ am — у аЬК
8дЗ _ & + 1 — \2aib + 12аа -}- 6аЪ3 + 3Ь'. 4- 6п — ЗЬ -
■ \2аЪ.
а* — л*.
х3 + 2ху -[- у'- — гя.
4дтЗ—у2 4 6_yz — 9!.
— а13 — а°Ье — Ь13.
аа 4 6 ас + 9с2 — 4 Ь- — 4 bd — «Р.
1 — xfl — 2х3 — 4д4 4- 9jc6.
х* + 2ал® — 2сРх — а4.
426. 81 — 18дР + хК
428. а- 4- 2аЬ -+- Ш — А
430. xi + jflyi-ry*.
432. аа — баа 4- 9а3 — 4 ЬК
414. 4 4- 4п» 4- а* — 9а® — 6a3d* — d1.
438. х3 — ах2 — efix + а3.
442. а5 — aib — 2сРЬ3 + 2а3Ь3 4- ab1 —’Ь\

Ответы к гл. II—III
101
443. х8_у* — х^у8.	444.	х'у* — вхву9 4- 16дс*.
445.	/л8 + лг’л* + и8.	446.	ть — 17/я*и* + 16л8
447.	а» + 2а8 + Jo*	4- 2а! -f 1.	448.	а8 — 12а® + 38а« — 12а9 + 1.
449. x* + yt + z* — 2х*У* — 2x!z! — 2y'zX
Глава III.
24. —а(2 — х+У)-
119.	10а9й9 (а 4-2Ь) (а — 26).
121.	2а (й — 1)2.
123.	— 2ах (2а — Зх)9.
125.	(2а — й) (2а — 5й).
127. (23т —12р) (7т — 12/7'.
129.	5asxJ (а3х — 2_уД
131.	а9 (ат_3 + йп)9.
133.	(х+у+г),х-*-у — г).
115. (5z + 2х — 3>>) (5z — 2х + 3j/).
137. (а4-й,9<а — й).
139.	(a— й)ю — с)(с — й).
141.	(а — й)9 (а9 + 2аЬ — й9).
143.	(а —2й)9.
1‘5. (тл + 1)9(лг— I)9.
147.	(»л9 Ц- 4тл + 2) (т9 + 4»л — 2).
1 9. 8?3.
151.	а (а9 + Зй9) (а9 — Зй9).
153. Ь (а — й) (а9 + ай + й9).
155.	3(а*+2)(а9 —2).
159. г.(/? + г)(/? —г).
161.	а (а 4-1) (а — 1).
163. (x + 3;)(x-j;)(x:+^.
165.	— х(х—I)9.
169.	(2х—I)9.
171.	(т+п)(т +п—р).
173.	x9z9(x4-.y)9(x — у)*.
175.	и (1 + и) (1 — и) (и — 3).
177.	(х + у + г — и) (x + y — z + u).
179. 2й (а + Зй3— 1; (а — Зйз + 1).
181.	(т 4 2 9.
183.	(а + I)9 (а — 1) (а9 — а + 1).
185.	(х — За)з.
187.	(х+а)8(х — а'. '
189. (а3 +■ й)9(а3 — Ь)9.
48.	(р — д) (5д — 2р\ •
120.	За й (5а9 + 2й9) v5a9 — 2Ь9).
122. а3й9 (й 4- 2)9.
124.	— а3хв,4х —9а)9
126.	(7с -4 5d) I с — 5d).
123. (5g — n)(q Зл).
130.	За9 (а9х® 1 5.у9)9.
132. 4ал-2 (3Я2 + 2й)9.
134.	(3 4 .у 4 3z)(3—у — 3z).
136. (2^ — 5z + 6) (2j7 - 5z — 6).
133. (с + й)(с—й)(а —t).
140.	ate- (й ■+ с) (й — с) (а9 + й9).
142.	(а — 2с)9 (а9 + 4ас — 4с9).
144.	4а9.
146. — (/л + З)9 (и — З)9.
148.	(3 -J- баг + тЩ (3 — 6т — ш9).
150. (3р — яУ*.
152.	и9 {2л9 + лг9) (2'<* — mi).
151. 2т (й7+л) (;л9 — тп + л9).
156.	2 (2 — а9) (4 + 2а9 4- a*i.
«»• *"(! + !) (г~т)-
162.	2 (а — й) (За 4 Зй — 2).
1 о4. — лг9 (лг9 — /?)9
168. (а 4-1) (а — й— 1).
170.	(а4й4-х4>)(а— й4-х— >).
172.	(т — п)(р — т — л).
174.	x?z tV 4-х) tV—х) _y4-z (>—z).
176.	(u+1)s(ii3-u + 1).
178.	4x9j7 (x — y).
183. (а4-й){а9—ай4-й9)(а3—й*4-2),
182.	(m — 2) (лг9 4-8m 4-4).
184. (a — 1) (a9 4- 1) (a9 a 4- 1).
186.	2x(3a 4-x9).
188.	8ax (a9 4- x9).
190. — (ai 4- й!)9 (a3 — Й9)9.
191. (x9 + xj/ 4- >9) (x9 — xj; 4- 3'9'.	192.	(x->94-x«	—>*)(x->9 —x‘4->4).
193. (x94-x4-l) (x9—-x+l)(x* -x94- 1).	191.	(x34-x8— 1; (x3 — x«4-1 *.
195. (x 4- y) (.x — y) (x9 4- xy 4- уг) (x9 — xy + J7-).
196. (a 4- й 4- с) (й 4- c— a) (a 4- с — й) (a 4- й — c).
197. (a -|- й 4- с) (a — й 4- с) (Й — a — c) .c — a — Й).
198. (at> — cd -t- ac 4- 6d) (ай — cd — ac — 2d).
199. (ac 4- 6d 4- йс — ad) (ac 4- bd — йс 4 ad).
SOO. (ai -t- ай 4- й9) (a9 — ай 4- й9) (a* — а9й! 4- tA).

102
Ответы
201.
203.
205.
207.
209.
211.
212.
213.
215.
217.
81.
84.
87.
90.
93.
93.
99.
102.
105.
10S.
111.
114.
117.
120.
138.
141.
144.
147.
150.
153.
(a — ft) (a + x)m (b + x)n~ *.
(a—b) («2 -f ab	№ + a— b-j-1).
an (д — £2)2 (д2	д£2	£4)2.
(X —>2 + Z*, 2.
й-Ь (£ — 2)2.
202. (x + j/l (д9 — xy + >2 + л +-y).
204. (X ■— 1 )2 (x — 3).
206. (a — b)*.
208. д2Л2 (a + x) (a — x) (д2	д-2).
210. <.n(an+ 1)2 ain 4. 1).
(A + с -f d — a) (a + с -f-d — ft) (a + ft 4- d — c) (a + ft + с — d).
(a + ft 4- c + d) (c + a— b — d) (c— a 4- ft— d)(c—a —ft-f-d).
(а— b)(a — с (ft — c).	214.	(a 4-A)(ft 4-a) (a—a),
a (a 4- l)(a - l)J(a + 1).	216.	a*(a — \)3 (a* + a* + a' + a + 11.
(x + a) (x — а) (д2 -j- ax -J- a2).	218.	(a — x)(a — у) (x — y) (a + x -j-y).
С0 + Ы
aJ - 62*
4a
'la — 3x ’
0.
1
a +2’
2a —3
(2a + 3) ia2 - П '
44
a3 + 64 ’
 1
ix — a) (x — ft)'
 2a+ 3
(a + l)(a+3)(a—4i'
0.
1
abc'
a3
a — ft'
a— x
ft-f jc'
0.
2 (a -|- ft + c).
3a8 (a 4- ft)
4 (aTiT_ft2)'
(X y) I X3 y3\
(X-y)(X*-^3)
ab
a2 —C2 •
a- — A3.
i a 4- ft)2
ab
82.
85.
88.
91.
94.
97.
100.
103.
106.
103.
112.
Глава IV.
2а2д
1 — a* *
a
2 (a 4- 1)*"
1
4a —3'
бх—8
(x — 2) {x 4- 2)2'
a* 4- 6a2fts 4- ft*
a* — ft* ’
18&2
8a* - 27ft3'
11a 4- x
6 (a - x) ‘
a — ft — a
a -|- ft — a‘
1. •
a
a- — 1
2
n (a 4- И)
115. x2*4-2.
113. 0.
136.
47
139.
1 2
145.
148.
151.
a — 1 '
a2
d3'
a3 aft 4~ fta
ft (a + ft) *
2ap2 (p — 9)
ft '
(x4ft)(.c — c)
(x —0)2	'
с (ft* — a2)
*a^b"-
151. a — b.
83.
86.
8Э.
92.
95.
98.
101.
3a’ — 2aft 4- 3ft3
2 (U2 — ftJ)
4a
ft*
2fts
a (ft3— 4i22"l *
2
(лг+1>(лг-(-2)(.*4-3) '
a3 — 4a£ — ft2
(a — £2)	‘
2(x3 4- И
л4 + x-y14- yi'
2
a — 3'
104. 1.
107. 0.
110. 0.
2 i/z-
113.
x)
«2 4- nx 4- Xя
116. 0.
119. 1.
,37.
140.
143.
146.
149.
152.
155.
x34-J’3
_/x—yу
\xy+y>! '
a5 4- ft2
ft '
1
(X + »2'
* X
{X— 1)2'
*a + c) (efl -4- bc\
с	'
Aab
a* — №m

к гд. Ill-IV
103
156.
о
~х'
157.
X
х — у’
158.
х* + а»х» + о«
а*
159.
1
t *
160.
(х-о)(х* 4-0»)
й3Х3
161.
Зх
4оу *
162.
- 2 (в — 1)2.
163.
1
2 ‘
164.
1—6
о
165.
о* (о — 6)
X
166.
3.
167.
(х+ 1)(х1+у*)
Х*У
168.
(x+y-z)(x-y-3i)
xyz
169.
х+У—*
л—у + г’ 7
170.
2 (xiy* + 1)
ху
171.
а»— 1
~а+~ '
172.
с (о + 6) (с — <Г1.
173.
1
Л* — X* *
174.
о*" (о — 1)
а
1<М 1
2
192.
О
2л(в*—в+ГГ
jfl — ay'
193.
1
194.
3(п — 6)*
195.
х(2х + у)
3(х—J/V
6
>* *
196.
3 р
р—Я
197.
0* —62.
193.
1 —X + X*
0* —6* *
199.
(л Ь)(х — с>
200.
X+jf —2
201.
С2 — 1
X—о*
х —у + г'
в* — 0—6”
202.
о* -t- 6о + 9
203.
(х— 14**+1)
204.
xJ — х — 1
о* — 7д -j- 12'
х-М
х —3 ’
206.
5/7+2
5ffl — 2"
206.
32
3 *
207.
0*
6с ‘
208.
т — а
209.
о + х
210.
Юл
am (т + о* ‘
ах
т — х2’
211.
0 + 6
с
212.
ту — лх
(т +П)у '
213.
У (ву — 6х)
сх
214.
у (рх* - avr\
х(ру* г qxz)’
215.
т 4- л
m — я
216.
х* —2fli
ах
217.
2 ху
х*-{-у- '
218.
j»(x* + l)(xy-I)
(х*— П(ху+11 '
219.
т* + /л'л* + я«
тп (т — л)*
220.
12 т
~5я ’
221.
0 + 1
а — 1 '
222.
о* + об — 6*
62 + об — о'
223.
Р+3.. 224.
Р +4
Ф 3pq—18/7*
ffi-3W + 2>2- **■ а-
226.
д*
227.
1. 228.
(о + 6 + с)» „„ 6с + ас + об
26с ’ ~ ' Ъс-\-ас — об ‘
Я* — А*
23а 16о*6*
231.
+ +
1
I
р + 1 *
233. а* — 6*.
234. f.
235.
236
8/i "
1.
237. 1.
** Лг
239.
1 — jfiy + ху*
ху
240.
1.
241.
1 — 6».
242.
(0- 1)‘
2 *
243.
0 —X
8х* *
244.
л — 1
л + Г
245.
я* + п 4- 1.
246.
х* — 2х + 4.
247.
2о 4- л*
Л
о^о— Зл)‘
243.
1 + Х
249.
о — л +л
250.
о + 1
(1 — д!(1 -2х)*
О +■ Л — X *
ох

104
Ответы
253.
1.
254.
18
~ 5 *
255.
1.
257.
135
4 *
258.
20
21'
259.
64
47'
261.
1
at'
262.
ат.
263.
1
ха'
268.
nfi
(1— т)*'
269.
2л*
3fl«‘
270.
25а*
3 •
272.
cfi
в* —1'
273.
2й*
з •
274.
1
abc’
276.
e-f-W
(fib •
277.
Ь* — аЪ.
278.
fc*— а*
fl*fc* -
280.
1
fl" -(- 6" ‘
292.
ру(х-* —
ч-*)(у—р)
“и-
260.
1
294. (»я-*+л-*)3(д—в—295. (л+ >)«(*—У).
26*
266. аУ~*.
т. У.
275. аЬ.
алйщг.
4а*"
293. (х-*—у-*гт.
301. й*.
302. -Ц.
дп
306.
810. 1.
314.
318.
322.
в* '
а»с* "
mt — щ« — 1
т
303.
a”.
304.
от-*.
305.
l
а» ■
307.
an.
308.
1
д!ЗЯ "
309.
1
4 '
311.
27.
312.
1
625'
313.
1
fl*'
315.
дт-п.
316.
1
д*т ‘
317.
24
cfibic'
319.
1
320.
2й«с2Р+Wn
321.
1— m8 4- nfi
64д*и"
m
324.	325.^-/
+ й»п)(^л _ дл)
827
д/Ч + И + Й
д1 4-
ззо. —Г, .
а*Л*
333.
336.
339.
342.
2х+ 1
х -
cfitfi
(а + Ь)*'
4а*х*
(а* —д«)*'
4 (л* л- 2* -I
(дг + 2)4
328.
331.
334.
337.
д тфт
(fix* —1
а*л* ‘
2л« —Ял* —6
12л*
Ь — а»
32з_ 1 —р? + Р4*—рд* р*я*
*	ч
Ь-та-т ^
д/Д^/Я
(1— Л*)(1 + Л1
Л«
Зл*+ 4
дат л- amhm Л- jam
326.
329.
332.
1
4)
a*b
310 а + Ь.
2а*п*
343.	.
335.	  .
а
с и
333- ЯЗ-
зи. —^-г.
Глава V.
* «
7. —а*.	8.	в*".	д.	_д)*я.	ю. —1.	П. -L.	12.
дб	д»	дбт
1	лбл
13. ~^zi'	14.	д«л.	15.	а».	16.	( — fr)sm.	п. j»<m.	31.	JL_.
«.«я	„„	25Ь*х*	81*о*
Ш>Ьйт	а'	ЖОЩм-
I

к гл. IV-V—VI
105
Глава VI.
9.
ai~Vi
ab •
10.
4
43. 5.
44. 4.
45. 7.
46. 6.
47.
9.
4S. 2.
49. 10.
50. 2.
51. 4.
52. 1.
53.
2
3 •
55. 7.
56. 5.
57. 32.
58. 2.
59.
9.
"Э* Jt*.
1
о
со
61. 8.
62. 6.
63. 10.
64. |.
65.
5.
66. 5.
«• -5
• 63. 3
69. |.
70. А.
73.
12.
74. 5.
75. 6.
76. 6.
77. 6.
78. 12.
79.
15.
80. 24.
81. 12.
82. 28.
83. 10.
84. 100.
85.
1
f
*•?•
87. 5.
83. 6,3.
89. 4.
90. 2.
91.
1.
92. а
93. 8.
94. 13.
95. 4.
96. 13.
97.
5.
98. 2.
99. 9.
100. J-.
0
101. —6,
102. 5.
103.
10.
101. И.
105. 6.
108. 2.
107. 1.
108. 20.
109.
2.
110. 3.
111. 4.
нз.
114. 9.
115.
2
3 '
116. §.
117. 13,6.
118. 0,808.
119. *.
120. 0,01.
121.
10.
12!.
1 3. 2.
124. 1.
123. Ь.
126. 2,5.
127.
3
4	•
123. 5.
129. 7.
139. » .
131. 6.
4
132 j.
133.
1
2 •
13*- - 4 -
135. 1.
140.
а + Ь
141
а (с — Ь)
1ЛО р~тп
143 Р
.лч ^
т
IWa ■
т — п
b-t-I'
146.
тд
РЧг
148 й~Ъ
i«i Р ^ Я
т — п
а— с
т —
п
150.
аРЯ
151 Pq{q~
-т)
15о Ъ{а + с)
■. 153. а.
pi — q i ‘
1Л<
Р —
<7
о+1
154.
155. — ^ .
156. 1.
157. —2.
158 аС
159 06
Р-
15*‘Ь-+с'
а + 2с
169.
cd
.151 аП&~
- ас + с3)
162 2тП
ab -j- ас + be'
а + с '
l\J£m — " л
т + п
163.
т (7и — Зт)
т — Зл ‘
^+4?2_8из
4(р-д-2п) '
165.
Р + Зд
166.
а*Ьs [а —
Ъ).
107 (« — *)(■** + *»)
' (о -г Ь)2 '
168. Зс(с - Ю.
od — Зс
169.
(d — с)
170. 5с.
171 *
d(d + с)
171-rf~C-
172.
2k.
173. /.
174. 0.
175.
2я3 + 1271Я*— 9 т3
2 (ЗлИ + 5л2) ■
176. ab — ас — be.
5д(л+&)
"* 2(а + Щ'
178.
tic
а ‘
179 —9<Я)
'8c* + 27rf« ’
180. И.

106
Ответы
181.
184.
186.
190.
194.
198.
201.
204.
208.
215.
222.
226.
230.
234.
238.
242.
246.
250.
254
257.
260.
264.
266.
268.
270.
272.
274.
278.
282.
286.
187. ^ •
a
191. 4л.
195.
P*-
n — 1	'
2 (a + b).
abc
a + b-\- с ‘
ai(b — a)
b(b-t- a) ’
ab
7Г+Ь'
о(л + 1).
a
a -+- 1 ‘
1; 2.
2; 1.
— —• — 2
2’
6; 12.
18; 6.
4; 5.
1 1
3 : V 1
l; 1-
159; 46.
ac bd.
аз-f 6» ’ a* + b‘
e + i; a — b.
(m—и) (wi-MP
л«(|Я—я) - (т+я)а‘
185 pa + ?s — A
a — b
183.
mn
m+ я*
1
,88- JZU-
a 4 b
192. a -J- b.
4a (a 4-6)'	l96‘3&'
199.	■
a* + 6*— ac — 6c
202. 2.
189.	.
2я — a
193. (a — fcp.
197. a*+ 6*.
ab— cd
200.
203.
сн-rf—a — b'
a 4- b
227.
205. a.
cc(26S-fcrf)
3tf>—W
217. 5; 6.
223. 16; 7.
1 . 1
4 ’	3	'
231. 12; 12.
235. 7; 5.
239. 4; 16.
243. 8; 5.
247. 2; 3.
253. — ;0.
a
205.
210.
a (a — c>
a — ic
1
2a'
219. 17; 1.
224.—3;—2. 225. % 3.
a — 6
207. a.
213. 7; 8.
221. 3; 2.
228. 2; 1.
232. 10; 5.
256. 12; 6.
240. 1; 3.
244. 7; 6.
248. 4,5; 1.
be— ad
255. ab\ cd.
258.
6*
1.
261.
b’
a — b ‘ b —
; . 262.
a
a
с
d
229. 2;-r
233. 4; 3.
237. 3; 2.
241. 4; 25.
M5.1; 7.
249. 5; 10.
256. 5a; 46.
259. a(c~b'>- bia—c)
c[a — b)’ cva — b)'
263.
a f b’ ab'
2a + 6; 2a — b.
a 4- mb <	nab
1 — mn' 1 — mn'
p	2q'- — pi
2g'	2 q>-	•
2bc	2ac
a* + 6* * оГ+Та-
a* + a6 6*; a* — a6 -f- 6®.
n	n	,	.
■—;	. 275. я + di n — d.
p	q
265. c® — a>; c3 -J- a3.
267.	k'm
11	^	1 1
5 ;	6 .	279.	2	;	4	.
3; 4.	2S3.	8; 2.
ej-i. a 4b
с ' с
m 4 Pi’ Pm* -j- P1'
269. ца
a* -f ab + 6* _ a® — ab 4- 6»
a — 6
3	2
4 ;	3	•
273.
4;
a -f- b
a -f- 2.
•
276.
3;
6.
277.
280.
3;
4.
281.
281.
5;
3.
2)5.
287.
a;
c.

к гл. VI
107
289.	2	2	283. с-&±£>«%+.*>.
а — 1 а 4- 1	я*	—	Ь2	ЪхЬ
290.	2л— 1; ^-±J.	292.	1;	3;	5.
л
293.	И; 12; 13. 291.	15;	12;	10.	295.	3;	2;	1.	296.	1;	1;	1.
297.	8; 4; 2.	293.	2;	3; 4.	299.	3;	1;	— 1.	300.	2;	—	1;	1.
301.	8;	6; 2.	302.	12;	18;	35.	303.	9;	12; 15.
304.	26; 65; 91.	305.	10;	20;	30.	306.	9;	8; 11.
307.	1;	2; 3.	30S.	6;	-2;	4.	309.	12;	24; 36.
310.	24;	60;	120.	311.	4;	312.	0,64;	0.72;	0,84.
I о 5
313. И; 10.	314. 9; 6; 7.	315.	3;
316.	0,4;	1,5;	2.5.	317.	318.	% 3;	2.
319.	4;	320.	2; 3;	4.	321.	5; 4;	3.
/ о	4
322.	2;	— 1. ?23. 4; % 1.	324. I; % 3.	325. 3; 2; 1.
327. Ъ tC ш а~Ь ■ ——.	328.	д~	* + с. Д + & — Д
2 '	2~ *	 л	’ 	Г
329. с\ ft; я.	330.	—; —; —.
abc
Ьг+г*_С9 flS+f_63.	4-	«>□ —
33! ш	;  ш	Щ— *	332.	л f 6. ft + r;fl-bc.
333. — abc\ ab + ас + be, — ^ + Ь -f с). 331. а	,
335.	■■.-аЪс—г ;	,	аЬс—Г ;	————- .	336. ft; я; 0.
аЪ + ас + Ьс	ab + ac + bc	аЬ+ас + Ьс
00_ .	,	000	1т	4-	km — ki lm 4- kl — k n km -f- kl — Im
337. 1; c\ b.	338.	  :	 2klm	; 	Шт	*
339. я-fft; c, a. 340.	\Ь-;	*>9;	1.	341.	a,	ft; a — b.
Lb	ab
342.	;	Ь	;	eL.	313.	b-r,	c—a;	я —ft. 344. я - ft; a 4 1; ft f 1.
bz ac	ab
345. я-(-&;я—ft; я*—ft2. 346. c; ft, a.	347.	L
348. 2 2
349.
я — ft + c’ я-f-ft — c' b + с — a'
t	1	.	1	.	 1
I я — ft) (я — с)' (я — ft) (ft — cl * I я — cl (ft — c)
350.	—	; ~ ;	1	.	351.	1;	4;	2;	3.	352.	%	3; 4; Б.
abc
353.	1;	3; 4;	2.	351.	1;	2;	3;	4.	355.	1;	1; 2; 2
336.	1;	1; 3;	2.	357.	I;	3;	4;	2	>53.	15;	12; 16;	14.
1 ■ 1 ■ 1 - 1 •*/> 1 2 • 3 ■ 4
2 ’ T* 4 ’ 5 ‘	2	' 3 ’ T* *5'*
361. %	3;	4;	5;	1.	362.	4;	6; % 6;	3.
363. %	1;	4;	5;	3.	361.	2;	1.1; —1;	—1,1;	—2

108
Ответы
365.
2;
о
2
• 1
* -
; -1; -
“ 2 : 2‘
366.
2 а; — 2а; а;
— с.
367.
2;
а —
3;
4; с-5.
368.
2 а — 1; 1 — а;
1— 2а;
5 а
4" ‘
369.
2;
3;
2 а;
За.
370.
а . За „
n 1 2 *
371.
22;
16.
372. 27;
54.
373.
15; 15; 17.
374. И;
22; 33.
875.
48;
8;
16.
376. 9;
12.
377.
40; 48.
37а 50;
35.
379.
24;
16.
330. 18;
28.
381.
45; 30.
382. 49;
15.
3 3.
46;
11.
334. 28;
33.
385.
12; 18.
336. 32;
64.
387.
12.
3S8. 24;
8.
389.
22; 23.
390. 7 р.
40 к.
391.
12.
7.
392. 96;
24.
393.
22; 10.
394. 5.
395.
45;
6.
396. 36;
18.
S97.
16; 14.
398. 18;
20.
399.
12.
400. 6.
401.
3 часа 9 мин.
402. 260.
403.
440.
404. 1-J-
■
405.
12.
406. 9.
407.
■i
•
408. 15.
409.
210.
410. 236.
411.
7;
15;
48.
412. 37.
413. 18 руб.; 1,44 руб.
414. 12;
21.
415.
75.
416. 84.
417.
45; 27.
418. 445.
419.
55.
420. 762;
2 т.
421.
20.
422. 12.
423.
3
У
424. 3.
425.
17^.
426. 726.
427.
5.
428. 75;
18; 7.
429.
34; 6.
430. 4.
431.
о
20’
432.
300.
433.
3.
434.
123. »
435.
14; 24 руб. 40 коп.
436.
55.
437.
6.
438.
6 и 10.
439.
5 и 24.
4Л.
450 га.
441.
15800 л3 (прибл.).
412.
5,42.
4 3.
40; 90,
444.
10 000 л».
445.
5 и 7. 445. 55; 50;
45 и
35. 447. Около 102«/о.
448. 37,5 м.
449.
16 мм.
450.
1,65 и 1,23.
451.
10 и 4.
45а
91 9и0 и 140755.
454.
40 и 16.
456.
15 и 15.
458.
40 и 15.
460.
4 и 5.
462.
9 и 12.
4!3.
89 и 35.
464.
8 и 10.
465.
2 и 4; 10 и 62.
46 у.
416 и 1056 Гприбл.).
467.
1,58 и 1,3.
468.
95 и 20.
469.
30 и 12.
470.
9 и 22,5.
473.
25 000.
474.
33 3 -
475.
20.
»
476.
24.
477.
33 и 14.
478.
85; 55.
479.
£6; 24.
480.
18; 15.
481.
2
У'
482.
18; 7.
483.
29.
484.
63.
485.
84.
48 ’.
12 руб.; 1,2 руб.
487.
88; 40.
488.
29; 32.
489.
18; 4.
490.
24; 48.
491.
18; 6.
493.
24; 14.
495.
300; 68 руб. 50 коп.
497.
3 р. 20 к.; 40 коп.
498.
450; £40.
499.
6; 8.
501.
76.
503.
35; с0.
504.
10; 2.
505.
78; 8'; 63.
506.
70; 50; 130.
507.
64; 72; 84.
508.
It; 17; 19.

к гл. VI
109
539. 50; 65; 75.
512. 50.
515. 150; 250; 450.
518. 350; 190; 30.
521. 36; 30; 30; 24.
510. 9; 7; 12.
513. 4 2.
516. 35; 25; 40.
si®. J
Zoo
511. 60; 4.; 25.
514. 12; 8; 7.
517. 12; 18; 8.
520. 23.
523. 45; 42; 69; 36.
521.
526.
528.
sq
9 + 1* 4-fl'
bm— n n (bm —
nI
a — b ’ a — b
ap
522. 80; 72; 64; 56.
co_ a + m. a — m — mn n (a + m)
*“*Э* я+2’	и +2	’ и + 2	‘
Ktr, (a — b) m + Ьпш b(n — m) + an
02. i.	■	!	■	p
n—m	n — m
apq
P+l + pq’ P+\+pq' P+l + Pq'
3*9.
Ы + ck a{bl + ck)
*39 a(hr + ™). b(m — ar)
’ a + b ' a + b '
531.
ak — I
d
ak ■
532.
535.
ac
b — a'
d
ad
a — V a — b *
533.
536.
m
2(9-1)* 2(9-1)*
100m
a— 1 *
abn
«о (a — •) m. (a—l)m
ak *  k —'
510. ° (Л + 1}; e(A+l).
b — a*
ak k
a — Y a— 1*
511.
na
542.
515.
546.
548.
550.
552.
553.
554.
556.
558.
560.
amp
543.
anp
(m — V) d 4- s
a — b
531.
537.
539.
544.
100— p'
ab
a + b'
1000000m
(100 + p;s*
bm
ab ■
anq
mp+np-{- nq’ mp + np + nq’ mp + np-\-nq’
21(1 + u)'
be— ad
a-\-d — b —c*
d — v {h + n)
n *
an — mn? — mn — m
. n? + n — 1	*
 2 mnp m
517.
549.
(100 + p) fr —lOOfl
a	*
n — m mp — n p (n— m)
J^Y	p-i
f—hu
u-\-v’
=_, d — hu и (hv + <0
5эЬ u + v
Imnp
2mnp
mp — mn + np' mp — mn — np' mp + mn — np"
a 4- mb na+b
mn — 1 ’ mn — 1 *
m {bp — aq) n [bp — aq)
mq — np 1 mq — np *
dr . cr
ad + bd ad+bc *
mP Л nq
mp + nq mp + nq
555.
557.
559.
561.
d (n + m) d(n — m)
2nm ’	2	mn	*
-P-.
P.
p-i-q ' p + q
am — bn. an — bm
a — b *
nq
a — n
mp
mp—nq
a;
mp —nq
■a.
efi<> <.m + n)(jis — qr) 0 + 9) (nr —ms) n
‘ 0+ s) (np — mq) ’ (r + s) (np — mq) '
563.
Q + rJ\ Q — rJi
2 rJ
2r.l
561.
b_ 2 b
6:	3*
b
6 *
m

110
Ответы
Глава VII.
1. 2'.
2. 19.
3. 43.
4. 780.
5. 37.
6. 5300.
7. 68.
8. 97000.
9. 8100.
10. 98 СО.
11. 234.
12. 237.
13. 912.
14. 509.
15. 876.
16. 681.
17. 135.
18. 852.
19. 4750.
20. 30700.
21. 2136.
22. 3156.
23. 1007.
24
2012.
25. 7009.
26. 7505.
27. 8526.
28. 9482.
29. 4444.
30.
6109.
3i4-
32. |.
^ а-
34 ^
132’
35. 23 ^.
36.
104 |
37. 0,7.
33. 0,58.
40. 0,063.
41. 0,514.
42.
0,0093.
43. 1,54.
44. 3,88.
45. 0,00508.
46. 6,403.
47. 31.
48.
85.
49. 232.
50. 9017.
27
52. f.
53 476
53- 20 ‘
54.
218
15'
447
55
20и‘
eg 1307
300 •
57. 1,732.
58. 0,745.
59. 0,791.
60.
0,54.
61. 1,789.
62. 3.4С2.
63. 2,661.
64. 3,332.
£5.8,609.
66.
, 3,044.
67. 0,632. 68. 2,592.
69. 6,585.
70. 0,089.
71. 1,433.
72.
3,536.
73. 8,016.
74. 0,789.
75. 0,485.
76. 2,45.
Глава VIII.
1. 0 и 7.
2. 0
9
— Т-
3. 0 и —
5
2 '
, 4.
0 и :
2.
5. 0 и —
?■
2
И 5'
7. 0 и —
и.
8.
0 и 4. 9. +1
II ±
25“
10. - т.
14. ± 2 у'— 1.	15.	±8.
12. + 3 [/ — 1.
16. ±/i
5 •
13. ±2/6 .
17. 4 и 2.
18.
— 2 и —10. 19. 6. и —2.
20.
5 и —7.
21.
4 и 3.
22.
2 и —3.
23. 9
и —2.
24.
- 13 и 10.
25.
1 +з у/—
26. 3 + 51/— 1.
27. 4
и — 1.
28.
6 и *4.
29.
3
2 И~
30.
5 1
3 и '3‘ ‘
31.
Q 1
3 и т.
32.
4 й-1-
33.
9 1
2 И г'
34.
— 3 +: |/Г7
35.
1 +
36.
-з + з j/~3'
37.
4 и — 6.
6 ‘
2 -
2
38.
3 и 2.
39.
24 и 4.
40.
9 и 4.
41.
3 5
2 И 6
42.
к 3
5 и 2-
43.
12 и 11.
44.
2 и 2.
45.
с 25
5 И 12"

к гл. VII—VIII
111
2 13
3 й 21 "
47. 18 и 15,8.
48.	30 и 305.
50.
1 и--.
51. 13 и i .
52.	5 и “
О
51.	(ж+ 7) (*+5).
57.	(j: + 4) (ж + 1).
60.	(ж — 10) (ж — 3).
63.	(х -(-8) (ж — 3).
66.	(ж—10) (ж + 1).
69.	(2а + 3) (За + 21.
72.	(2р - 3) (5р + 1).
76.	9.
75.	24.
80.	5.
85.	з1.
83.	393 и 150.
92.	2 и 3.
96.	50.
55.	(ж —3) (ж —2).
58.	(ж+ 6) (ж+ 5).
61.	(ж + 5) (ж — 2i.
64.	(ж - 12) (ж + 2).
67.	(ж+ 7) (ж —6).
70.	(2Ь — 5) (56 — 2].
73.	10, И и 12.
77.	10 и 15.	78.	30.
81. 83 и 12. 82. 130 или 70.83. 900
S6. 8 н 9.
89. 60.	90.	12	и	15.
93. 8.	94.	22.
97. 200 и	160.	98.	20 и 30.
100. 11 и 12 или 10 и 15. 101. 14 и 35 (приблЛ
103.	6	и 10.	104. 14,5	(прибл.).	105. 31.
107.	60	или	10.	108. 23.	109.	27, 36 и
49.	2 и — 1.
53.	(ж + 5) (ж + 3).
56.	(ж— 11) (ж — 2).
59.	(ж — 2) (ж — 1).
62.	(ж—10) (ж + 3).
65.	(ж+ 3) (ж—1).
68.	(ж-9) (ж+ 4).
71.	(3m + 5)(2т — 1).
74.	12.
73.	8 и 7.
и 400. 84. 16,5 (прибл.).
87.	16 и 32 или 11 и 22.
91.	30.
95.	13.
99.	40.
102.	25.
103.	13.
45.	110.	5.
«
\

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I. Основные алгебраические обозначения
§ 1. Обозначение простейших выражений. №№ I — 40	 3
§ 2. Обозначение формул. №№ 41—55	„	5
§	3. Коэфициент. №№ 56— 70 	  6
§	4. Степень. №№ 71 — 130 (60)	  7
§	5. Корень. №№ 131 —160  	 9
§	6. Скобки. Одночлен и многочлен. №№ 161 — 228 	 10
§	7. Подстановки. Решение арифметических задач в общем	виде. №№ 229—266 12
Глава II. Действия над относительными числами
§	1. Приведение подобных членов многочлена. №№ 1—43	 15
§	2. Сложение и вычитание. №№ 44—126 	 16
§	3. Действия со скобками. №№ 127 —152 	   19
§	4. Умножение одночленов. №№ 153 — 211	21
§ 5. Умножение многочлена на одночлен. №№ 212 — 231	•	.	.	.	23
§	6. Умножение многочленов. №№ 232 — 263 	 24
§	7. Деление одночленов. №№ 264 — 21	   26
§	8. Деление многочлена на одночлен. №№ 322 — 341 	 27
§	9. Деление многочлена на многочлен. №№ .142 — 369	  28
§ 10. Сокращённое умножение. №№ 370 — 469 	 29
§11. Сокращенное деление. №№ 470 — 514 	 32
Глава III. Разложение на множители
§	1. Вынесение за скобку. №№ 1 —с0	 34
§	2. Вынесение за скобку выражения, заключенного в скобку. №№ 31 — 58 . .	35
§	3. Способ группировки. №№ 59 — 83 (25)	  36
§	4. Применение формул сокращенного умножения. №№ 84	— 108 	 36
§	5. Применение формул с крашенного деления. №№ 109—118	 37
§	6. Совокупность всех вышеизложенных способов разложения многочленов
на множилели. №№ 119 — 218	37
§	7. Общий наибольший делитель. №№ 219 — 239 	 39
§	8. Общее наименьшее кратное. №№ 231 — 252 	 40
Глава IV. Дроби
§ I. Сокращение дробей. №№ 1 — 50	  41
§ 2. Приведение дробей к общему знаменателю. №№ 51—65 ...	....	42
§ 3. Сложение и вычитание дробей. №№ 66—120 	 42
§ 4. Умножение дрибей. №№ 121 — 175	45
§ 5. Деление дробей. №№ 176 — 230 	 47
§ 6. Задачи на все действия с дробями. №№ 231 —250 	 49
§ 7. Отрицательные и нулевые показатели. №№ 251 — 343 	 49
Глава V. Возвышение в степень. №№	1 - 33	...	.	53
Глава VI. Уравнения первой степени
§ I. Пропорции. №№ 1—35		 53
§ 2. Уравнение с одним неизвестным. №№ 36 — 210	 56
§ 3. Система уравнений. №№ 211 —370 	 61
§ 4. Составление уравнений. №№371 — 564 	 71
Глава VII. Квадратный корень
§ 1. Извлечение квадратного корня из чисел. №№ 1—46	88
§ 2. Приближенное извлечение квадратных корней. №№ 47 — 76		 90
Глава VIII. Квадратные уравнения с числовыми коэфициентами
§ 1. Решение числовых уравнений второй степени. №№ 1—'52	91
§ 2. Свойства корней квадратного уравнения и4разложение квадратного трех¬
члена ня множители №№ ,3—72	94
§ 3. Составление квадратного уравнения с одним неизвестным. №№73—110	.	.	95
Ответы	100