Автор: Шварц Л.
Теги: анализ математика математический анализ высшая математика переводная литература издательство мир математические методы
Год: 1964
Текст
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«МИР»
Ь А Ц К Е N Т 8СНШАРТ2
Рго1еззеиг а 1а РасиИё йев Заепсев Йе Раг?5
МЁТНСЮЕ8 МАТНЁМАТ10УЕ8
РОУК ЬЕ8 8СIЕNСЕ8 РНУ81СШЕ8
Ауес 1е сопсоиг» йе Оешзе Ние*
, 115, ВОЦЬЕУАКО ВА^Т-ОЕКМАЖ, РАК18 V»
1961
ЛОРАН ШВАРЦ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
для
ФИЗИЧЕСКИХ НАУК
С участием Дениз Юэ
Перевод с французского
Ф. В. ШИРОКОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» МОСКВА 196 5
УДК 517.5/.9
Книга Л. Шварца, одного из создателей теории распределений (обоб-
(обобщенных функций), является элементарным учебником но этому разделу
математики. В ней впервые в русской учебной литературе излагаются
с точки зрения теорий обобщенных функций такие разделы, как, напри-
например, теория преобразования Лапласа и операционное исчисление, и даются
физические приложения теории. Систематическое изложение основных
разделов анализа (ряды и интегралы Фурье, операционное исчисление,
простейшие уравнения математической физики и нр.) и многочисленные
примеры и задачи делают книгу незаменимым учебным пособием как для
потребителей математики, так и для профессионалов-математиков.
Радиоинженер найдет в ней операционное исчисление и преобразо-
преобразования Фурье, физику-теоретику она будет интересна вся, преподаватель
пединститута или технического вуза сможет читать но ней специальный
курс для студентов. Многие разделы этой книги войдут в программу под-
подготовки аспирантов технических вузов.
Книга рассчитана •р$5читателей со сурошюй математической подго-
подготовкой (первые два курса^ технического вуза). По существу она пригодна
даже для первоначального.знакомства с рядом разделов математики.
Особую ценность представляют заЛати*:A31 задача, не считая при-
примеров в тексте), от простейших до достаточно сложных. Таким образом,
книга может служить и первым в мировой литературе задачником но
этой новой теории.
Редакция литературы по математическим наукам
ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
После работ французской математической школы в начале века в мате-
математику вошли понятия измеримости и суммируемости по Лебегу. Теория
функций вещественного переменного, с одной стороны, завершила логические
исследования Коши, Абеля и Вейерштрасса, а с другой — сделала огромный
шаг по пути к тому идеалу, к которому с момента своего зарождения стре-
стремился Анализ.
Возможность производить „без всяких ограничений" „любые" действия
над аналитическими объектами, дифференцировать и интегрировать функции,
суммировать ряды и т. п. сильно расширилась с введением основных поня-
понятий теории меры и интеграла.
Не говоря о таких специальных дисциплинах, как эргодическая теория,
которая была бы попросту невозможна без теории меры, даже в „обычный"
анализ, в исследование таких классических объектов, как специальные функ-
функции, теория функций вещественного переменного внесла огромные упроще-
упрощения. Это хорошо знакомо каждому, кто занимался анализом с этой более
высокой точки зрения.
Сейчас мы являемся свидетелями следующего огромного шага по пути
к идеалу Анализа. С возникновением теории обобщенных функций в работах
С. Л. Соболева и Л. Шварца математика сильно расширила диапазон „за-
„законных" аналитических действий. Дальнейшие исследования И. М. Гельфанда,
Г. Е. Шилова, Л. Хёрмандера, Л. Гординга и др. привели к тому, что сей-
сейчас построение таких обширных разделэп, как теория дифференциальных
операторов с частными производными или теория преобразований Фурье, уже
невозможно без теории обобщенных функций. Новое освещение получили
многие факты классического анализа, например формула суммирования Пуас-
Пуассона. Найдены „естественные" границы тех или иных аналитических операций.
Широко разнилась теория линейных топологических пространств, более естест-
естественных во многих вопросах анализа, чем нормируемые пространства.
Математика пока еще бедна монографиями и учебниками (мы не гово-
говорим о статьях!) по теории обобщенных функций. Основные теоретические
монографии — книга Шварца „Тпёопе с!ез (ШЫЪиНопз", т. I, II (второе
Предисловие переводчика
1МЛЯНИ91 Париж, 1959), и „Обобщенные функции", вып. I — V, И. М. Гель-
финдп И Др.
Предлагаемая вниманию читателя книга Шварца „Математические методы
ДЛИ физических наук" представляет собой элементарный учебник по теории
обобщенных функций.
Мы должны здесь разъяснить терминологию. В зарубежной математиче-
1'КОЙ литературе принят термин „(НзМЬиНоп"— „распределение", введенный
Л. Шиирщ'М но аналогии с физическими „распределениями" масс, зарядов и
Т| Н. Н советской литературе принят термин „обобщенная функция".
Мм придержимались в переводе термина Шварца, воздавая тем самым
должног пптпру,
Помимо пиятота, здесь сыграло роль еще и то существенное обстоятель-
обстоятельно, что беа этого термина некоторые места книги были бы просто не-
Ш>р»йодмми, ииирнмер сравнение „математических" распределений с „физи-
нчч'кмми".
Итак, книга Л. Шварца — элементарный учебник по теории распределе-
распределений — обобщенных функций.
ИреднолвГнетси. что читатель владеет основными понятиями анализа
и объеме днух-трех лет стандартного курса анализа. Все остальное опреде-
ЛИРТСИ и доктшмшк'тси в книге. Героем первой внодной главы книги является
• „принцип ФуЙики": „сумма" неотрицательных „слагаемых" не зависит от по-
рндкн „суммирошпшн". Некоторые факты в этой теоретико-функциональной
мини» только формулируются, но не доказываются; читателю, который хотел
бм потшкомитьси с подробными доказательствами этих отдельных фактов,
мы рекомендуем обратиться к книге И. П. Натансона „Теория функций ве-
|Ц(.чТA1'НИоИ переменной", второе издание, Гостехиздат, М., 1957 г. В даль-
дальнейших глппдх книги используются элементарные сведения из теории функций
КОМПЛЕКСНОГО переменного, например теорема о вычетах и понятие аналити-
аналитического продолжения. С этими фактами читатель может познакомиться по
НИИГР М. Л. Ланрппъспа и Б. В. Шабата „Методы теории функций комп-
комплексного переменного", третье издание, „Наука", М., 1965 г. В остальном
нииГв Л. Шиарца^замкнута в себе* Читатель научится производить осномные
действии С распределениями, работать со сверточными уравнениями, рядами
И интггрллами Фурье, работать с интегралом Лапласа и т. д. Читатель по-
НМЛКомитсм токже с некоторыми приложениями теории к простейшим физи-
чмекнм андмчам (уравнение колебаний струны, акустические трубы, волновое
УрйИНРНИ*1, уравнение теплопроводности).
Г Унрйжнспин, которыми сопровождается каждая глава, позволят читателю
/ вНТНННо онлидеть теоретическим материалом.
0<|ен|| ценна большая свежесть этих упражнений (см., например, фор-
формулы Фсйнмтш в упражнениях к первой главе). Среди упражнений имеются
Предисловие переводчика
И упражнения особого рода, представляющие собой маленькие теоретические
исследования; они особенно полезны.
В русском переводе были исправлены довольно многочисленные опечатки
французского издания и внесены незначительные (и очень редкие) изменения
и текст. Во время своего пребывания в Москве осенью 1964 г. проф.
Л. Шварц просмотрел исправления, внесенные переводчиком в русское
издание. В двух или трех местах обоснования автора были недостаточны,
однако мы не вносили в них изменений, ибо это утяжелило бы стиль книги.
Книга написана прозрачно. Основная ее цель — приучить читателя 1С
теории распределений — великолепно достигнута автором.
Ф. Широков.
ПРЕДИСЛОВИЕ
В предлагаемой книге рассматриваются математические методы физики.
В этом смысле она не является сборником „рецептов", предназначенных для
более или менее сознательного употребления. Объекты, которые встречаются
здесь, являются объектами математическими, точно определяемыми. Их эле-
элементарные свойства доказываются, а примеры, заимствованные из физических
наук, показывают, как эти свойства можно использовать.
Эта элементарная и краткая книга не претендует на роль настоящей
монографии; поэтому в вопросах, которые потребопали бы слишком длинных
рассуждений, мы приводим только основные результаты и притом без дока-
доказательства.
Знания, необходимые для того, чтобы читать эту книгу с пользой, сво-
сводятся к материалу обычных вводных курсов, дополненному некоторыми по-
понятиями из линейной алгебры и из теории функций одного комплексного
переменного.
В конце каждой главы читателю предлагаются упражнения. Эти упраж-
упражнения расположены по возможности в порядке возрастающей трудности.
Некоторые из них служат просто для применения основного материала книги,
другие же касаются новых вопросов. Но все упражнения — на уровне экза-
экзаменов по математическим методам физики парижского Факультета наук.
Я хочу поблагодарить Дениз Юэ, которая снабдила некоторыми допол-
дополнениями предварительный вариант моих тетрадей но математическим методам
физики'). а также полностью отредактировала §§ 2 и 3 гл. VII, гл. IX и
все упражнения. Формулировки упражнений частично принадлежат Гурдэну,
Ажюкэну и Треву2).
Лоран Шварц
') Сегпхе йе ЭоситегиаПоп ищуегзНаКе, Раг1з.
2) АззоааНоп СогрогаПуе йез Ё1исНап18 еп 5с1епсе$, Раг1з.
Г Л А В А I
',' ■>■
4 ДОПОЛНЕНИЯ К ИНТЕГРАЛЬНОМУ
ИСЧИСЛЕНИЮ: РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ
§ /. Дополнительные сведения о рядах
1. Суммируемые ряды. Понятие суммируемости является обобщением
понятия абсолютной сходимости на случай, когда члены ряда занумерованы
произвольным множеством индексов / и когда тем самым члены ряда не упо-
упорядочены.
Члены ряда могут быть как вещественными, так и комплексными; для
простоты мы будем считать их вещественными.
Определение. Пусть / — произвольное множество индексов и (иг)/^/—•
семейство вещественных чисел, параметризованное множеством /. Ряд
называют суммируемым к сумме 5 и пишут
2 «; = 5. A.1;1)
если для любого е > 0 существует конечное подмножество значений индекса
Ус/, такое, что для любого конечного подмножества значений индекса /СэУ
выполняется неравенство
|5 — 5агЮ, (Ы;2)
где
2с 0.1:3)
Замечание. Каково бы ни было множество индексов /, ряч 2 "<
будет суммируем и притом к сумме нуль, если вес и1 равны нулю.
12 Гл. 1. Дополнения к интегральному исчислению
Свойства Предложение 1. (Единственность суммы.)
суммируемых рядов Если
2 «г = 5 и 2 и1 = 5'.
то
5'= 5.
В самом деле, для любого е > 0 существуют такое УусЛ что при АГзУ1
выполняется неравенство |5 — 5#| -<^е, и такое У2с/, что при АГзУ2 выпол-
выполняется неравенство |5'—5аг|^е. Положим К!2*^^[)^2, тогда одновременно
|5 — 5#| <^е и |5'—5/^| <^е и, следовательно, |5—5'| <^ 2е. Поскольку е
произвольно, имеем 5 = X'. Ч. и т. д.
Предложение 2. Если ряды 2 иг "/ суммируемы к сум-
мам 8 иТ соответственно, то ряд 2 0-и1 + №•)• г^е ^ м Iх—постоян-
яые, сулл«/?уел< « притом к сумме \8-\-\>.Т.
В самом деле, для данного г > 0 существуют такое конечное множество
индексов У[ с/, что для любого конечного множества индексов АГ1 ^э^ выпол-
выполняется неравенство
и такое конечное множество индексов У2с/, что для любого конечного
множества индексов АГ2зУ2 выполняется неравенство
Следовательно, для любого конечного множества индексов К^>^\\^^ч имеем
откуда
Ч. и т. д.
Предложение 3. (Ряды с положительными членами.) Пусть все
11(^0. Для того чтобы ряд
21 «I
§ 1. Дополнительные сведения о рядах II
выл суммируем, необходимо и достаточно, чтобы все частичные
Суммы 8К, соответствующие конечным подмножествам К множестФп I,
выли ограничены фиксированным числом М > 0; в этом случае
2«,= вир Eа:). A,1; 4)
1^1 К конечно ч '
В самом деле, предположим сначала, что ряд суммируем. Тогда числу •■
рапному, скажем, 1, соответствует такое конечное подмножество У, что для
любого конечного АГзУ имеем
5д-< 5+1. A,1; б)
Если же К — произвольное конечное множество значений индекса, то поло-
положим К1 = ^\}К■ Тогда будем иметь
5к<5а-,<5 + 1. A,1; 0)
поэтому все суммы 5д- ограничены.
Обратно, предположим, что все 5# ограничены; пусть В их верхний
грань. Тогда для любого е> 0 существует такое конечное подмножество /с/,
что
В— е<5у<В. A.1:7)
Для любого конечного /СгэУ будем иметь
В-е ^5аг</'. (I. 1;8)
Следовательно, ряд 2 ц; суммируем и имеет своей суммой число В.
Предложение 4. (Критерий Коши, доказательство см. ниже.) Ллч
того чтобы ряд 2 и1 был суммируем, необходимо и достаточно,
чтобы иь удовлетворяли критерию Коши:
каково бы ни было е > 0, существует такое конечное Ус/, что
для любого конечного множества К значений индекса, не имеющего
общих элементов с У') , выполняется неравенство
Предложение 5. (Следствие из критерия Коши.) Если ряд У и,
суммируем, то всякий частичный ряд 2 м»> где ^ — произвольное под'
множество I, является суммируемым.
') То есть для любого конечного /Сс/ — У.
■ 14 Гл. I. Дополнения к интегральному исчислению
Если У—конечное подмножество I, такое, что для конечных
/СгэУ выполняется неравенство
|5 —5^|<е, A,1; Ю)
то это же неравенство выполняется и для бесконечных К~=>]-
Если подмножества ^1, У2, ..., У„ с / не имеют общих элементов
и ^ = ^^\}^^\} ...\}^п, то
+ |-5Уя A,1:11)
при условии, что хотя бы одна из частей этого равенства имеет
смысл.
Предложение 6. (Вывод из критерия Коши.) Для того чтобы
ряд 2 Щ был суммируем, необходимо и достаточно, чтобы был
суммируем ряд 2|м<|> пРи этом
:2К1- A,1; 12)
Если 21 '°1 — суммируемый ряд с положительными членами и если
ЫОг, A,1; 13)
то ряд 2 и1 суммируем и при этом
2^- A,1; 14)
Доказательства предложений 4, 5, 6.
Г. Если ряд ^ и1 суммируем, то выполнен критерий Коши. В самом
деле, каково бы ни было е ]> 0, существует такое конечное Ус/, что для
любого конечного К, не имеющего общих элементов с У, одновременно
выполняются неравенства
|5у — о | -^ -д- и р/Уд- — 5|<.-. (I, 1; 15)
Отсюда имеем
(^и^ —5У| <е. (I, 1; 16)
Но
' $^^к — 8^ = 8к, A, 1; 17)
откуда
С*- , A.1; 18)
§ 1. Дополнительные сведения о рядах \Ь
2°. Если некоторый ряд удовлетворяет критерию Коши, то всякий его
частичный ряд а топюп удовлетворяет критерию Коши. Это очевидно.
В частности, это выполняется для частичного ряда, образованного из членом
иг^-0, и для частичного ряда из «,-^ 0.
3°. Если некоторый ряд с членами ^-0 (или с членами -^0) удовлетво-
удовлетворяет критерию Коши, то он суммируем. В самом деле, непосредственно
очевидно, что частичные суммы ограничены, и поэтому достаточно восполь-
воспользоваться предложением 3.
Комбинируя 2° и 3°, видим, что если некоторый ряд удовлетворяет
критерию Коши, то ряд из его положительных членов и ряд из его членов ц,0
суммируемы. Для вещественного числа х положим
х+=х, если х >- 0; х+ = 0, если х <; 0; 1
х~ = — х, если л:^0; х~=0, если х^0. )
Тогда
+ Х ^ ' I "*! > +' , - (М; 20)
х = х+—х , |л:|=л:+ + л: .
Тогда если ряд 2 иь удовлетворяет критерию Коши, то, как мы только что
видели, оба ряда 2 и? и 2 м<~ суммируемы. Отсюда мы заключаем, что
их разность, т. е. ряд 2 мг> суммируема. Этим в комбинации с пунктом I"
доказано предложение 4. Кроме того, отсюда же мы заключаем, что еумми*
руем ряд 2 |иг1 и что имеет место неравенство (I, 1; 12).
Обратно, если ряд 2|м<1 суммируем, то его частичные суммы ограни-
ограничены и, следовательно, суммируемы оба ряда 2 а? и 2 иГ. а, значит, сум-
суммируема и их разность 2 и1- Этим доказана первая часть предложении С.
Вторая часть тогда очевидна, ибо если ряд 2 г°1 суммируем, то его частич-
частичные суммы ограничены, а, значит, а тойюп ограничены и частичные суммы
ряда 2 1М<1- Неравенство (I, 1; 14) вытекает при этом из (I, 1; 12).
4°. Остается доказать предложение 5. Если ряд 2 м< суммируем, то он
удовлетворяет критерию Коши; тогда его частичные ряды а тойюг! удовлет-
удовлетворяют критерию Коши (см. 2°) и, значит, суммируемы.
16 Гл. 1. Дополнения к интегральному исчислению
Пусть ^ — такое конечное множество индексов, что для любого конеч-
конечного Кх :э ^ выполняется неравенство
|5 —5*,|<е. (I, 1;21)
Тогда если К — некоторое бесконечное множество значений индекса, содер-
содержащее ^, то для любого 7) > 0 существует конечное множество Кх, ^с:К]с:К,
такое, что
|5*—5*,|<1| A,1; 22)
(по определению суммируемости ряда 2 МА Таким образом, имеем
\ I & к I'
5*,|<71. |5 —5*,|<е. (I. 1; 23)
значит
|5-5/,|<е + 7!, ' A.1; 24)
и, поскольку т] произвольно,
|5-5^|<е A.1; 25)
(при бесконечном К). Наконец, та часть предложения 5, которая относится
к разбиению
является очевидной.
Замечание. Применим критерий Коши к множеству К а/, не имею-
имеющему общих элементов с У и сводящемуся к одному, единственному эле-
элементу к. Имеем |5Л-| = |не| < г- Таким образом:
-Если ряд 2 и{ суммируем, то, каково бы ни было г > 0, суще-
ствует такое конечное подмножество ^ множества I, что для любого
к(^^ выполняется неравенство | ик | .;, е.
Это утверждение можно сформулировать так:
Если ряд 2 и1 суммируем, то его общий член и1 стремится
к нулю (понятие, не зависящее от порядка членов).
Предложение 7. Пусть ^II(п = 0, 1, 2, ...)—последовательность
подмножеств множества I, конечных ила бесконечных, такая, что
для любого конечного Ус I множество ./„ будет содержать У при всех
достаточно больших п. Тогда если ряд 2 ис суммируем к сумме 3,
то послеОовательность $^ сходится к 8 при п->со.
ф /. Дополнительные сведения о рядах 17
В самом деле, каково бы ни было е > 0, существует такое конечное
Ус/, что для любого К (конечного или бесконечного), содержащего У,
выполняется неравенство
|5 — 5^| <е. A,1;26)
Пусть п0 таково, что при п ^ п0 множество 5п содержит У; тогда при
п^-п0 имеем
|5—5Уя|<в. (I, 1; 27)
Ч. и т. д.
Предложение 8. (Суммируемость и абсолютная сходимость.)
Если множество индексов I совпадает с множеством N целых
неотрицательных чисел, то для суммируемости ряда 2 и/ необхо-
димо и достаточно, чтобы этот ряд абсолютно сходился. При этом
его сумма в смысле теории суммируемых рядов совпадает с его сум-
суммой в смысле теории сходящихся рядов.
В самом деле, предположим, что ряд 2 и> суммируем. Тогда 2 1"/1
также суммируем. Обозначим через ./„ подмножество, составленное из целых
чисел 0, 1, 2, ...,«.
Предложение 7, примененное к ряду 2 1аг1> показывает, что величины
2 |к,| имеют предел при га->оо, поэтому ряд абсолютно сходится.
О < V < П
То же самое предложение 7, примененное к ряду 2 "/• показывает, «по
Ит 5У =5, (I, 1; 28)
я->со "
т. е. суммы в смысле обеих теорий совпадают EУ это то, что в теории
сходящихся рядов обозначается через 5„).
Обратно, предположим, что ряд абсолютно сходится. Тогда частичные
суммы 2 \и-,\ ограничены, откуда сразу же следует, что все частичные
суммы 5, (У—конечно и содержится в /) ряда 2 I и\ I ограничены; поэтому
ряд 2 I и11 суммируем и, следовательно, суммируем ряд 2 м<-
1$[ 11
.
Вывод. Если некоторый ряд абсолютно сходится, то он остается
абсолютно сходящимся и сохраняет свою сумму при изменении порядка
его членов. ,
2 Л. Шварц '
18 Гл. I. Пополнения к интегральному исчислению
В самом деле, ряд при этом условии является суммируемым, а сумми-
суммируемость, так же как и сумма, не зависит от порядка членов.
Предложение 9. Предположим, что множе-
Суммирование ство индексов I является объединением семей-
пачками ства подмножеств I (си^А):
или
ассоциативность /= М 1п, A,1; 29)
а (- А
причем эти подмножества попарно не имеют общих элементов1).
Тогда если ряд 2 и< суммируем, то каждый из рядов 2 м; сум-
мируем к сумме(^' \ряд 2 <за в свою очередь суммируем, причем
<*' / С А
2
а С А
«,= 2<».= 2B «,)• A.1; 30)
ЦА <^А{^^ )
Доказательство. Тот факт, что каждый из рядов 2 "/ сумми-
руем, вытекает из предложения 5.
Поскольку ряд 2 и1 суммируем, для любого е > 0 существует такое
.^конечное множество индексов 7с/, что если К — конечное или бесконечное
множество индексов, содержащее ], то выполняется неравенство
|5-5„|<е.
Пусть В — конечное подмножество А, образованное всеми индексами
а^ А, такими, что IаП^Ф0• Тогда, каково бы ни было конечное подмно-
подмножество С множества А, содержащее В, объединение М /я будет подмно-
жеством К с /, содержащим У, и, таким образом.
5- 2 и,
)
е. A,1; 31)
Но в силу последней части предложения 5
' 2 «,= 2 в.. A,1; 32)
') То есть они таковы, что 1Л П /а = 0, где 0 — пустое множество.
ф 1. Дополнительные сведения о рядах 19
Поскольку С конечно; тем самым
5- 2,«». О. A.1:33)
И, значит, ряд 2 °а суммируем к сумме 5.
Ч. и т. л.
Внимание: об ратное не справедливо. Может случиться, что каждый
из рядов 2 ис суммируем к сумме <зх и что ряд 2> аа суммируем,
но» ряд 2 и/ не суммируем. В этом случае, если В— некоторое другой
множество индексов, а (/4 в—другое разбиение / на множества, не имею-
имеющие попарно общих элементов, то может оказаться, что каждое из выражений
.2^2} «|) и 2^.2 «/) 0.1:34)
имеет смысл, но что их значения не совпадают.
Пример. Пусть А — множество всех целых чисел га^О. Каждому
а —я соответствует /а, образованное из двух элементов п и —п (из одного
элемента, если я = 0); / = 1)Л,—множество всех целых чисел любого знака,
Для целого 1^1 положим и1 = 1. Тогда ряд 2 и1 не суммируем, поскольку
•• =-т-оо. A.1; 36)
Но
.2 ий=а— а^О^^ A.1; 38)
и, значит,
в2л«».= 20 = 0. (I, 1; 37)
Каждый из рядов 2 и1> таким образом, суммируем и имеет сумму 0,
ряд 2 аа=2}0 = 0 также суммируем, тогда как ряд 2 и,- не суммируем.
20 Гл. I. Дополнения к интегральному исчислению
Предложение 10. (Частичное обращение предложения 9.) Если все
и^О и если условиться обозначать -}-°° сумму расходящегося ряда
'^^неотрицательными членами, то всегда имеет место равенство
2«; = 2 ( 2 «Л; A,1; 38)
значение обеих частей равенства либо конечно, либо равно -|-оо.
Это нечто вроде обращения предложения 9: если иг>-0, если ряд 2 а1
суммируем к сумме аа и если 2 а* суммируем, то ряд 2 а/ суммируем.
ч 5 А I ^ /
В самом деле, положим 2 а, = °- Всякая конечная сумма 2 а« мажори-
аС А а^ С
руется числом а.
Пусть теперь У — произвольное конечное подмножество /, С — множе-
множество (конечное) тех элементов а множества А, для которых Iа_Г[^Ф 0-
В силу последней части предложения 5 имеем
2 «1= 2 о., A,1; 39)
<611/а «ее
поскольку С конечно.
Но
5У< 2 «; и 2 а«<а,
«6 с
откуда 5У ^ о.
Таким образом, все суммы 5У мажорируются числом а и ряд 2 и<
суммируем в силу предложения 3.
Предложение 11. (Следствие предложения 9.) Если ряды
2 щ и 2 V,
'4.1 1^1
суммируемы к суммам II и V, то ряд
2 «<», A,1; 40)
— произведение двух предыдущих рядов — является суммируемым
и притом к сумме ,
ЧГ = 11У. A,1; 41)
$ /. Дополнительные сведения о рядах 21
*
В самом деле, суммирование пачками дает
21 и*^= 2 ( 2 «,«Л = 2 [щ 2 «Л = 2 («л=^ 2 «* = ^;
<та выкладка показывает, что если суммировать пачками можно,
то ряд 2 и1Х>> наверняка имеет суммой С/У. Но для того, чтобы
иметь право суммировать пачками, следовало бы сначала знать, что рил
2 ир, суммируем.
(I, У)&/хУ
Тем не менее если все и, и г^-^О, то мы всегда имеем право сумми-
суммировать пачками (предложение 10); поэтому теорема доказана для этого случай.
Если же и1 и V] произвольны, то обратимся к | И; | и | "Су |; известно,
что ряды 2 I а11 и 2 1^/1 суммируемы в силу предложения 6 и, значит,
ряд 2 >1иAг'/1 суммируем к сумме ( 2 I И(П " ( 2 |*М V» слсдо-
нателыю, ряд 2 игг'/ также суммируем.
Замечание. Если как /, так и ^ является множеством целых чисел ^.0,
то ряд-произведение представляет собой двойной ряд, множеством индексон
и котором является множество пар (т, п) целых чисел ^-0. Этот ряд-про-
ряд-произведение часто суммируют пачками, полагая
^„=2 ир,. ^==2^»- A.1; 42)
Примеры числовых суммируемых рядов. Ряд
(т, п)
т целое !> 1
я целое > 1
суммируем при а >; 2 и не суммируем при а <^ 2.
Более общий случай: ряд
( 1 \°
\Р1 + Р2+ ■■■+Рп! A,1:44)
("■• Р„) . Ч '
р^ целые > 1 . - • ■ , ■ , ■ •
22 Гл. I. Дополнения к интегральному исчислению
суммируем при а > п и не суммируем при а ^ п. В самом деле, разложение
степени (р{-\-р^Л- ••• Н~ Рп)" показывает, что она ~^> Р\Рг • ■ ■ рпп\^-
>Р\Р2 ■■■ Рп- Поэтому
( ' УУ('Г. A.1:45)
| + Л-+- ■•■ +Рп
Таким образом, данный ряд мажорируется выражением
Если а > п. то — > 1, и этот ряд является суммируемым.
Предположим, что, наоборот, а < п. Будем суммировать пачками (ряд
имеет неотрицательные члены). Рассматриваемый ряд равен
[ -+»
где
^1 + Р+ ••• +Рп) > ^ (Р1 + Р*+ ••• +Р
( О К/>„</>,
п)
Таким образом, исследуемый ряд имеет сумму ^> (—) V I— |
Поскольку а. <2 п, л-\- 1—«<^1, этот ряд расходится.
Замечание. Имеем
■{"-». A,1; 48)
л+1-п
<Л + /»2+ ••• +/»»• П. 1:49)
Поэтому ряд 2а ( \ имеет ту же природу; он
(р1,р^..,рп)\УР21 + р1+ ■■■ +Р1 )
суммируем при а>« и не суммируем при а^га.
ф Л Дополнительные сведения о рядах 12Я
I; I II I —. - ——
2. Условно сходящиеся ряды. Мы предположим здесь, что множество
Индексов / является множеством Л/ целых чисел ^ 0; таким образом, суще-
1Тйует естественный порядок членов ряда.
Наиболее важным критерием сходимости для случая,
Теорема Абеля V* *.
когда ряд 2и ип пе является абсолютно сходящимся,
Миляется теорема о знакопеременных рядах1). Ее обобщает теорема
Абеля:
Пусть ип = апЬп, где ап^>0, убывают и стремятся к нулю, когда
п ->оо, а Ьп—комплексные числа, такие, что величины.
мажорируются некоторой константой <зГ>0. Тогда ряд 2 ип СХ0'
Оится, а его остаток не превосходит по модулю числа о, умножен-
умноженного на первый член остатка.
В самом деле, подсчитаем:
л'(). п = аА -Ь а\ь\ +-•••+ апЬп —
= а»30, 0 -+■ а\ (°0, 1 — °0. о) -+- • • • + ап («О, п — СО, п-1> =
= («О — а\ > °0. О И- («1 — а2> аО, 1 +- • ■ •
... +(«„_! — а„) °о, „-! + ало0, „. A,1; 00)
Член а„с0 „, имеющий вид, отличный от остальных, стремится к нулю при
Л->оо, поскольку ап —>0 и |о0>п|^е. Остается показать, что сумма
2(в*-в* + 1)оо,л A,1; 51)
имеет предел при и—>оо. Это сводится к тому, чтобы показать, что рид
С общим членом
^ = (я*— а*+1)"о.* (Ы; 62)
сходится. Но этот ряд сходится абсолютно, поскольку
К1< (а& — а*+1К A,1; 53)
') Признак Лейбница в русской литературе. — Прим. перев.
24 Гл. 1. Дополнения к интегральному исчислению
откуда
п— 1 со
* = 0 * ^ * = 0 * """
<(а0—аг)о4- ... 4-(ал-1-°лH+ ••• = а0о, A,1; 54)
что и доказывает сходимость данного ряда.
По уже доказанной сходимости имеем оценку
значит
со
|$о1<ао°. где 5<> — 2 <* А-
л=0
Та же самая выкладка, начатая с члена ат+1, с учете
Л,и= Нт 5т+Ьп,
п ->■ оо
дает
I Я,« I <
Примеры.
1) Знакопеременный ряд
откуда
В этом случае, кроме того, известно, что остаток имеет тот же самый знак,
что и его первый член.
2) Тригоно метрический ряд
со
2 вв«в'в. • (М; 61)
п= —со
Говорят, что этот ряд сходится, если каждый из двух рядов
со О
2 апеп1Ь и 2 апепт A,1; 62)
по отдельности сходится. Здесь
(I.
0.
го, что
A.
(I.
Ч. и т. д.
(I.
(I.
1; 55)
1;56)
1:57)
1; 58)
1; 59)
1;6О)
§ 2. Дополнительные сведения об интегрировании 25
С одной стороны, если е'° ф 1, имеем
„(л+0 (в „т1Ъ
М; в4>
С другой стороны, если е'9 = 1, то
отп = п — т + 1 A.1; 65)
— неограниченная величина.
Заключение. Если ап ^> 0, убывают и стремятся к нулю при п -*■ о и
То ряд
оо
Хапе"'<> A.1; 66)
я=о
Сходится при 9 Ф 2кк и его остаток не превосходит по модулю величины
2
||
Разумеется, отделяя вещественную и мнимую части, мы получим анало-
аналогичное свойство для рядов
оо оо
2а„со5йО, 2ал51П»9. (I. 1; 67>
П=0 4=1
Но для последнего сходимость имеет место даже при б = 2кп, поскольку
все члены этого ряда равны при этом нулю.
1 ч' § 2. Дополнительные сведения об интегрировании
1. Интеграл Лебега1) Интеграл Лебега, обобщающий интеграл Римана,
Однократный является функционалом, который всякой веществен»
'*/ интеграл ной или комплексной функции переменного х, при-
принадлежащей к определенному семейству, называемому
вМХейством суммируемых функций, сопоставляет ее интеграл — некоторое
') Интеграл Лебега необходим для теории гильбертова пространства; эта теории
■ свою очередь необходима для волновой механики, теории дифференциальных уран-
Н1ИНЙ с частными производными и для теории интегральных уравнений.
26 Гл. I. Дополнения к интегральному исчислению
вещественное или комплексное число, обозначаемое символами
/(х)йх, или ^ /{х)йх, или §/. (I, 2; 1)
или
-со /?
Ввиду большой трудности этой теории мы не приводим необходимого
и достаточного условия для того, чтобы некоторая функция была суммируе-
суммируемой; мы не даем также метода вычисления ее интеграла. Мы приводим без
доказательства некоторое число важных результатов.
—Характеристической функцией некоторого подмно-
,, жества Е прямой /? называется функция с?р, равная 1
Множество меры „ г _ „ п «
нуль на прямой К в кажл°й точке х^Е и равная 0 в каждой точке
х$Е.
Определение 1. Пусть Е—открытое множество; мерой Е
называется верхняя грань интегралов от неотрицательных непре-
непрерывных функций, обращающихся в нуль вне ограниченного интервала
и мажорируемых характеристической функцией фе.
Например, если Е — интервал ]а, Ь\, то его мера равна Ь — а.
Определение 2. Говорячг, что множество Е на прямой имеет
меру нуль, если для любого е>0 существует открытое множество
меры <>, которое содержит множество Е.
Пример. Точка имеет меру нуль.
Предложение 12. Всякое множество, содер-
Свойства множеств жащееся в множестве меры нуль, имеет меру
меры нуль нуль.
Предложение 13. Всякое множество Е, которое является
объединением конечного или счетного числа множеств меры нуль
имеет меру нуль.
Следствие. Поскольку точка имеет меру нуль, всякое счетное мно-
множество точек имеет меру пуль. Например, множество всех рациональных
чисел, которое является счетным, имеет меру нуль.
Замечания
1) Предложение 13 не сохраняется для объединения несчетного числа
множеств Ег.
Например, Е=Я есть объединение множеств Ег, сводящихся каждое
к одной точке, таким образом тез/:,-== 0, в то время как мера Е равна
бесконечности и не равна нулю. Впрочем, этим доказано, что множество Е
несчетно!
2) Существуют несчетные множества, которые все-таки имеют меру нуль.
$ 2. Дополнительные сведения об интегрировании 27
Пусть Р—некоторое свойство точек х прямой /?. Говорят, что Р
выполняется почти всюду или почти во всех точках х прямой /?, если мно-
множество точек х, которые не обладают свойством Р, имеет меру нуль. Так,
щшример, почти все числа иррациональны.
Из предложения 13 вытекает
Предложение 14. Пусть (Рг) — конечное или счетное семейство
свойств точек х прямой /?, и пусть каждое из них выполняется
почти всюду. Назовем Р свойство, которое состоит в том, что
точка х обладает одновременно всеми свойствами (.Р,). Тогда Р
выполняется почти всюду.
Измеримые функции ОпРеДеление 3- Говорят, что функция /
н фу измерима, если она является почти всюду пре-
пределом некоторой последовательности непрерывных функций.
Это означает, что существует некоторая последовательность непрерын-
1П.1Х функций /т(х), такая, что /(х)= Ит/т(л:), для каждой х, кроме
т-ъсо
некоторого множества точек х меры нуль.
В частности, всякая функция, непрерывная всюду, кроме точек х неко-
некоторого множества меры нуль, является измеримой.
Предложение 15. Всякая непрерывная функ-
Свойства измеримых ция от конечного числа измеримых функций
функций измерима. В частности, если / и § измеримы,
то функции /+-§, /#\ зир(/, §•) ш?(/, #), |/|
и //%, если § Ф 0 всюду, являются измеримыми.
Всякая функция /, которая является обычным пределом последонател!.-
«1ости измеримых функций /п, является измеримой. Неизмеримые функции
устроены столь неправильно, что ни одна из них явно не известим; можно
Только теоретически доказать их существование, используя одну лкеиому,
Называемую аксиомой выбора, которая не позволяет построить практически
ни одной такой функции. Это говорит о том, что все функции, которые
могут встретиться физику, наверняка измеримы. Вот почему в дальнейшем
мы будем предполагать, не оговаривая этого каждый раз, что все
рассматриваемые функции измеримы.
Предложение 16. Для того чтобы функции
у Суммируемые была суммируемой, необходимо, чтобы она бы-
Функции ла измеримои дна должна, кроме того, не
4!ыть „слишком большой".
Предложение 17. Для того чгЯобы / была
Свойства суммируе- суммируемой, необходимо и достаточно, чтобы
мых функции I ,\ * с
|/| был симмируемым. Если §■ суммируема
« ^0 и если 1/1^^. то / суммируема.
28 Гл. 1. Дополнения к интегральному исчислению
Предложение 18. Если / и % суммируемы и X-г-постоянная,
то /-(-§■ и X/ суммируемы, причем
/ /• о-2;2)
Таким образом, множество суммируемых функций является векторным
пространством, которое обозначается «271. Интеграл на этом про-
пространстве „2*1 является линейной формой, или линейным функционалом*
Предложение 19. Если /^0, то Г /^-0; если |/|^#. то
0-2;3)
Говорят, что интеграл является неотрицательным функционалом.
Замечание. Если /^-0 измерима, но не суммируема, то полагают
Предложение 20. Ограниченная функция /, р!вная нулю вне
конечного интервала (а, Ь), суммируема. Если, кроме того, / интег-
интегрируема в смысле Римана на (а, Ь), то ее интеграл Лебега совпадает
с ее интегралом Римана по интервалу (а, Ь). Если на интервале
(а, Ь) выполняются оценки
т^С/(х)^.М [соответственно \/(х)\ <!Ж), (I, 2; 4)
то
т(Ь—а)^С$/(х)ах<СМ(Ь — а) (I, 2; 5)
[соответственно (/(х)йх <Л1(#—аI. A.2; 6)
Предложение 21. Пусть / — вещественная или комплексная
функция, А и М — два произвольных положительных числа. Обозна-
Обозначим /А,м(х) функцию, равную /(х), если — Л<д;^Лй |/(х)|<;Ж,
и равную нулю во всех остальных точках х.
Для того чтобы / была суммируемой, необходимо и доста-
достаточно, чтобы интегралы I |/д,^| были ограничены независимо от.
А и М.
$ 2. Дополнительные сведения об интегрировании 29
Для того чтобы функция /, имеющая только конечное число точек раз-
|шна, была суммируемой, необходимо и достаточно, чтобы ее интеграЛ|
|| смысле теории „несобственных интегралов" Римана, был абсолютно сходя-
сходящимся: в этом случае ее интеграл Лебега совпадает с ее „несобственным
Интегралом".
Предложение 22. Если / является функцией, равной почти
асюду нулю, то она суммируема и ее интеграл равен нулю. Если дя$
функции / и § равны почти всюду и если / суммируема, то § сум-
суммируема и ^ /= ^ $.
Это позволяет сказать, является ли функция / суммируемой, и вычислит!.
<ч' интеграл, даже если она не определена всюду на /? или если она прини-
принимает в некоторых точках значения ±оо.
В самом деле, обозначим через /1 функцию, равную / во вснкоП
точке х, где /(х) определена и Ф±оо, и равную какому-нибудь конечному
значению в остальных точках. При условии, что / определена почти не юлу
и почти всюду Ф+оо, суммируемость функции /1 и значение ее интегрнлй
не зависят от произвола, который имеется в ее определении; функцию /
называют суммируемой, если /, суммируема, при этом полагают I / = I /,.
Предложение 23. (Обращение предложения 22.) Если />-() и если
I / = 0, то / почти всюду равна нулю. Если /^-§ и если I /---: I %,
то / и § равны почти всюду.
Говорят, что две функции / и ^, определенные почти мпоцу и почти
нсюлу -/=оо, эквивалентны, если они почти всюду равны.
Классом функций является множество функций (определенных почти
«еюду и всюду конечных), которые почти всюду равны некоторой функции,
определенной и конечной.
Пространством /-1 назквлют векторное пространство классов суммируе-
суммируемых функций. Это — фактор-пространство векторного пространства ^>1 сум-
суммируемых функций по подпространству функций, почти всюду равных нулю.
Поскольку интеграл суммируемой функции зависит только от ее класс»,
интеграл является формой, или функционалом, на пространстве I},
Если Е — интервал \а, Ь\, то его мера Ь—а является
„ . „ Л „ также интегралом* от его характеристической фуик-
Мера множеств на К п.- г г в
ции. В общем случае говорят, что множество Е
измеримо, если измерима его характеристический
функция еря- Мерой множества Е, обозначаемой тезЕ, называют интеграл I !рд,
30 Гл. I. Дополнения к интегральному исчислению
Если срл суммируема, то Е называют суммируемым. Если <рЕ не суммируема,,
то полагают ^
Предложение 24. Мера (конечная или бесконечная) объединен
ния Е конечного или счетного числа множеств Е1 не превосходит,
суммы их мер: тез Е <^ 2 те5 ^< (ряд с членами ^>0).
Имеет место равенство тез Е — 2 тез Е[, если множества Е\
попарно не имеют общих точек.
Пусть Е—некоторое подмножество /?, / — веще-
Интеграл ственная или комплексная функция, определенная
по множеству на Е. Говорят, что / суммируема на Е, если функ-
функция /0, равная /(х) для х^Е ч равная 0 для х^Е..
суммируема на /?; интегралом от / по множеству Е называют число
Вот почему нет необходимости строить специальную теорию интеграла*
на конечном интернале (а, Ь) перед теорией интеграла на /?, ведь первая*
является очевидным частным случаем второй.
ь
Известно, что если а ^ Ь, то обычно под I /(х)с1х понимают интеграл
а
ь
от / по интервалу (а, Ь), а если Ь < а, то под I /(х)йх понимают числа
а
а
— I /(х)с!х, противоположное по знаку интегралу от / по интервалу (а, Ь)^
ь
Если / определена на /?, то функция /0 есть не что иное, как /ср^-
причем
I / (х) ах = | / (х) срЕ (х) ах. A,2; 8>
Имеют место следующие оценки: если т^/(х) ^.М [соответственно»
х)|<Л1) при х^Е, то
т
тез Е < Г / (х) ах < М тез Е
|? 2. Дополнительные сведения об интегрировании 31
соответственно I /(х)с1х ^ЖтсзЕ (оценки, которые представляют
Е
интерес, только если тезЕ конечна).
Если Е имеет меру нуль, то I /(х)а~х = 0, какова бы ни была /.
Е
Пусть (а, Ь) — конечный интервал, х = Щ) — непре-
Замена переменных рывная функция с непрерывной производной V {(}
от переменного ( па интервале а ^ (^ р. Пред-
Предположим, что ?(а) = а и 1=(р|) = й. Тогда если /(х) — непрерывная функций
ь
на
ь
(а, Ь), то, как известно, интеграл I /(х)а"х можно записать в виде
Предположим, что ?(/) монотонна. Тогда, если обозначить через Т интервал
(а, Р) при а^р, или (р, я) при ^ < а, а через ЛТ — интервал (а, Ь) или
(Л, а) при а .-С Ь или Ь ^ а соответственно, то, каковы бы ни были взаим-
взаимные положения точек а и Ь и а и [5, будем иметь
/(*)</*= //«(<))|5'(9|<«._ A.2; Я)
(Предположим, например, что а < р. Если \ — возрастающая, то а Ь и
Г = Г , Г= Г; кроме того, ^'(^)>0 и, значит, |$'(*)| =$'(*). Если же,
X а Т а
Ь ■?
напротив, ; —убывающая, то *<а, Г=— Г, Г == Г и|Е'(О|==—$'@-)
Теперь можно высказать обобщение.
Предложение 25. Пусть Т — некоторое множество на К, х з»
«в 6 (О — непрерывная функция с непрерывной производной, определен-
определенная на открытом множестве, содержащем Т, и пусть X —множество,
пробегаемое точкой х, когда I пробегает Т.
Предположим, кроме того, что отображение \ взаимно одно-
аначно на Т.
') Автор предполагает, что а^?D)*^6 при а ^ц г ^ р. — Прим. перев.
32 Гл. I, пополнения к интегральному исчислению
Тогда для того, чтобы /(х) была суммируема на X, необходимо
и достаточно, чтобы /E@I5'@1 была суммируема на Т, при этом
@|Л- (I. 2; Ю)
Л Кратный интеграл — это некоторый функционал, ко-
Кратнып интеграл торый всякой суммируеМой функции / от я пере-
переменных ЛГ|, х2
торое число, ее интеграл, обозначаемое символами
/(*!. х2 хп)йххйх2 ... йхп, A,2; 11)
л»
или
//...//. или //...//•
Л»
Обозначив через х точку с координатами хг х„ в пространстве п
измерений /?" и положив их — йхх йх2 ... йхп {их часто называют элемен-
элементом объема), мы можем рассматривать / как функцию, определенную на /?",
и обозначать ее интеграл символом
// ... //(лг)Лс. A,2; 12)
Кратный интеграл обладает свойствами, аналогичными свойствам одно-
однократного интеграла. Мера множеств в /?" есть, очевидно, объемная мера.
Так, мерой параллелепипеда (который мы будем называть брусом), опреде-
определенного неравенствами а1^х1.^.Ь1, 1—\, 2 п, является число
П
П &—<*,). A,2; 13)
^ 1
Если /(х) на этом брусе заключена между т и М, то ее интеграл по
брусу заключен между
п п
тП (*, — «„) и МЦ(^—а,). A,2; 14)
Кривая, поверхность или подмногообразие размерности к -С п — 1 имеют
меру нуль, если они достаточно регулярны (например, если в каждой своей
точке они обладают линейным касательным подмногообразием, меняющимся
непрерывно); это дает простые примеры несчетных множеств меры нуль.
2. Дополнительные сведения об интегрировании
33
Янмена переменных
« кратных
интегралах
Правило, данное для одного переменного, обобщается
следующим образом.
Предложение 26. Пусть Т—подмно-
Т—подмножество в /?"; х = ^@ — отображение Т в /?",
п функциями х(-— ^(^ (п), 1=1,2 п. Пусть функ-
функции ;, определены, непрерывны и имеют непрерывные частные произ-
яоОиые первого порядка на некотором открытом множестве из А?",
1'оОержащем Т. Предположим, кроме того, что отображение $
цзиимнооднозначно на Т. Обозначим через У(О==У(^, •••, („) якобиин
отображения %, т. е. определитель, составленный из -^-. Тогда для
тою, чтобы /(х) была суммируемой на множестве А', пробегаемом
точкой х, когда I пробегает Т, необходимо и достаточно, чтобы
была суммируема на Т, при этом
1^1» ^9' * * *' и) 1 ^**^"9 • • • и X .у -■■■—
1 '„)•
Ьх ... йЬп. (I, 2;
гх, B ^,) =
.Л,
д{, Ы2
A,2; 16)
Пример. На плоскости /?2 положим лг = гсозО, у = г51П0. Пусть
Х — К2. За Г примем множество значений 0 < г, 0 .< О < 2тт, дополненное
элементом г = 0, 0 = 0, так, чтобы отображение (г, 0)—>(х, у) было взаимно
однозначным на Т. Здесь
соз 0 -—гзшО
У (г. 0)==
5111 О
Г СОЗ 6
0.2; 17)
Следовательно, для того чтобы /(л:, у) была суммируема на /?2, необходимо
И достаточно, чтобы /(г соз б, гзт6)г была суммируема на Т, при этом
Г ]" / (*, у) их йу = Г ]" / (г соз 6, г 81П 6) гй/ч/9. A,2; 18)
3 Л. Шварц
24 Гл. I. Дополнения к интегральному исчислению
Интеграл I I можно заменить интегралом по множеству 0 ^ г, 0 ^ 6 ^
г
,<С 2т, которое в плоскости с декартовыми координатами г, 6 представляет
собой полуполосу ширины 2г., параллельную оси г. Это сводится к добавле-
добавлению к множеству Т множества г > 0, 0 = 2т, и множества г = 0, О<0 ^
. ^ 2т, которые представляют собой полупрямую и отрезок прямой на пло-
плоскости (г, 0) и, следовательно, являются множествами меры нуль.
Пусть /(х, у) — непрерывная функция двух нере-
Вычисление двойного менных х „ у „а брусц а х а' ь<у д>.
интеграла п . , ~ /, ~~ .
последовательными ПРИ люоом фиксированном х функция у-+/(х, у)
однократными является непрерывной функцией одного неремен-
интегрированиями. ного у, следовательно, ее можно проинтегрировать
Теорема по интервалу (д, Ь'). Полученный интеграл I(х) за-
Фубини — Лебега V : \ - > з г \ >
висит от х и является, стало быть, функцией х,
определенной в интервале (а, а'). Тогда имеем
Предложение 27. Если / непрерывна при а Сх С а', Ь Су \Ь',
Ь'
то интеграл /(лг)= Г /(х, у)а~у будет непрерывной функцией от х
ь
а'
в интервале а ....' х ^ а'. Его интеграл Г 1(х)с1х есть не что иное, как
II
/ (х, у) их йу.
а < х < а'
Ь < у < Ь'
Таким образом, имеем
а' Ь' Ь* а'
/О, у)йл:йу= I йх I /(х, у)</у== Г йу Г /(х, у)а~х.
г' а Ь Ъ а
Ь <у <. Ь'
(I. 2; 19)
Мы собираемся обобщить это предложение на случай, когда / не обя-
обязательно непрерывна и когда брус заменен самой /?2.
Предложение 28. Если /(х, у) суммируема на /?2, то функция
у->/(х, у) при фиксированном х является суммируемой по у всюду,
кроме некоторых исключительных значений х, которые об разуют
множество меры нуль.
# 2 Дополнительные сведения об интегрировании 35
СО
Величина 1(х)= I /(х, у)йу является, стало быть, функцией
-СО Ч. ■ 1 ' •'■«.
от х, определенной почти- всюду. Она суммируема и ее интеграл
Г 1{х)йх есть не что иное, как Г I /(х, у)а~хс1у. Таким образом,
имеем
со оо СО со
С//и. у)ахау= Iах ]"/(*, у)ау= § ау ]"/(*, у)йх. (I, 2; 2о>
- со — оо — со — оо
Замечания. 1) Если /(х, у) не является суммируемой, то может слу-
случиться, что одно из двух выражений
С» СО ОО СО
* (/(х, у)ау, §йу 1/(х,у)ах A,2; 21)
— со —оо —оо —со
имеет смысл, а другое не имеет смысла; может даже случиться, что каждое
из них имеет смысл, но что эти значения различны.
Пример.
I 1
_*2-У2 „.._*
• A,2; 22)
2) Нельзя надеяться, что /(х, у) будет суммируемой по у при нссх
Печениях х. В самом деле, функцию /(х, у) можно видоизменить на пер-
ТИкали х ■■= а произвольным образом, не нарушив ее суммируемости, по-
поскольку прямая х = а является множеством меры нуль на плоскости /?2.
Это позволяет взять в качестве функции у—>/(а, у) произвольную
функцию от у, следовательно, нет никакой причины, заставляющей ее быть
суммируемой по у. Однако множество значений х, при которых подобное
обстоятельство может возникнуть, имеет меру нуль, функция I(х) определена
Почти всюду, а только это и имеет значение. См. пример, формула (I, 2; (П).
3) Теорему Фубини следует сравнить с теоремой о суммировании пачками
и теории суммируемых рядов. Но известно, что эта теорема допускает обра-
инми;е в случае рядов с членами ^-0. То же самое имеет место и здесь:
3»
36 1л. I. Дополнения к интегральному исчислению
Предложение 29. Пусть /(х, у)!>0 (/ всегда предполагается
измеримой). Пусть функция у—*-/(х, у) при фиксированном х сум-
суммируема по у всюду, кроме некоторых значений х, образующих мно-
• оо
жество меры нуль, и пусть функция 1(х)= I /(х, у)а"у, определен-
* — со
ная таким образом почти всюду, суммируема по х. Тогда /{х, у)
суммируема и
СО
(*)*/* = ///О- У)ахау. A,2; 23)
-СО Я*
Иначе говоря, в случае функции /(х, у)^>0 три всегда определенных (ко-
(конечных или равных + оо) интеграла
оо оо оо оо
/ //(*■ У)*хау, § их $/(х,у)ау и I йу {/{х, у)йх
Л2 —оо — оо -оо —оо
(I, 2; 24)
всегда принимают одно и то же значение.
Вывод. Если функция / такова, что один из интегралов (I, 2; 24),
составленный для |/| или для некоторой мажоранты ё^>\/\, ко-
конечен, то все три интеграла (I, 2; 24), составленные для /, имеют
смысл и равны.
В самом деле, |/1 суммируем и значит суммируема также /.
Теорему Фубини, естественно, можно применять к интегралам типа
I I /(•*• У)с1ха"у, где Е — некоторое множество в /?2, при условии, что /
р.
суммируема па Е или что /^0.
Здесь нет никакой новой теоремы, поскольку это сводится к вычисле-
вычислению интеграла Г Г /0(х, у^йхДу, где /0 — функция, определенная на Е и
к2
продолженная нулем при х(^Е. Пусть Е(х) — „сечение Е" вертикалью
с абсциссой х, т. е. множество точек у, таких, что (х, у)^Е. Тогда имеем
оо
///О- У)йхйу= | ах $/{х,у)с1у. (I, 2; 25)
Е -оо Е(Х)
Пример. Первообразная порядка п и остаточный член в формуле
Тейлора.
$ 2 Дополнительные сведения об интегрировании 37
Для непрерывной функции / одного переменного вычислим интеграл
A,2:26)
о о
Это — вторая первообразная для /, обращающаяся в нуль при х — 0 вместе,
;о своей первой производной.
Предположим, сначала, что # > 0. Интеграл записывается в виде
I I $(Ь)<Ий\, где Е—множество точек (!;, г), удовлетворяющих неравеп-
/;
ггвам 0 <^ \ ^ х, 0 .___ I ^ \. Этот интеграл можно, стало быть, записать также,
и виде
XX X
— ')/№&■ A.2; 27)
о ( о ■
Он выражается, таким образом, через однократный интеграл. Легко видеть,
что это верно также и при х < 0.
В общем случае «-я первообразная непрерывной функции / одного пере-
переменного, обращающаяся в нуль при х = 0 вместе со своими производными
порядка <^« — 1, записывается в виде
X . 5, 5Л-1
й\х\ й\2 ... | /«„)<«„. . A,2; 28)
о о о
Легко показать по индукции, что этот интеграл выражается через одно-
однократный интеграл
X
{ХG-1I ?{1)й*- A,2; 29)
о
В самом деле, это верно при га—1. Предположим, что это верно при
п ш— 1, и докажем это утверждение для га = /к. Интеграл (I, 2; 28) за-
записывается тогда в виде
х 5,
о о
Обращая порядок интегрирования, как в формулах (I, 2; 26—27), получаем
/^С1- 2; 31>
^) Т^
0.1 О
Ч. и т. д.
Гл. I. Дополнения к интегральному исчислению
Пусть теперь / — непрерывная функция одного переменного, имеющая
непрерывные производные до порядка и —|— 1 включительно. Интеграл
(*-*)"
я!
A,2; 32)
является функцией х первообразной п-\- 1-го порядка для / , обращающейся
в нуль в начале координат вместе со своими производными порядка .^ га.
Тогда функция /, которая также является «-(-1-й первообразной для/'""" ',
получается прибавлением к этому интегралу полинома степени •, га, у кото-
которого производные порядка -<.' га при лг —0 совпадают с производными /.
В силу формулы Тейлора для полиномов этот полином имеет вид
Таким образом, имеем
V
V=0
A,2; 33)
A,2; 34)
V=0
Это— формула Тейлора для функций с остаточным членом, записанным
в интегральной форме. Если га-)- 1-я производная функции / в интервале
(О, х) мажорируется по модулю постоянной М, то остаточный член не пре-
превосходит величины
М
(п+
1I ]„
пл 1
1*1
(I, 2; 35)
это—классическая оценка остаточного члена в формуле Тейлора.
Обобщенна кратные Тройной ИНТеграл ////(•«. У- г)йхAуAг, если /
произвольного я*
порядка суммируема или если /^0, можно вычислить по-
посредством трех однократных последовательных интегрирований:
ау //(*, у, г)йг.
A,2; 36)
§ 2. Дополнительные сведения об интегрировании 3!)
При фиксированных хну интеграл но г имеет смысл всюду, кроме неко»
торых исключительных значений (х, у), образующих множество меры нуль
в пространстве /?2. Таким образом, интеграл 1{х, у)= Г/{х, у, г)йг
— ОО
определен почти всюду. Он суммируем по (х, у), и обычный метод состой*
н том, чтобы вычислить его двойной интеграл I I 1(х, у)йхйу двумя после»
я2
довательными интегрированиями. Но тройной интеграл можно записать также
в виде
§ йхйу § {{х, у, г)йг. A,2; 37)
Д2 -со
Можно было бы также произвести сначала двойное интегрирование, а затем
однократное:
ОО
ах ^ ]"/(*, у, г)йуйг и т. п. ... A,2; 38)
Предложение 30. Если функция /(х1 хп) является произ-
произведением /1(^1) ... /п(хп) функций, зависящих только от одного пере-
переменного, ни одна аз которых не обращается почти всюду в нуль,
то для того, чтобы. /{Ху хп) была суммируемой, необходимо
и достаточно, чтобы каждая из функций /,(л:;) была суммируемой,
при этом интеграл от / равен произведению интегралов от /;:
Это очевидно, если / — суммируема и если применить теорему Фубипм.
Однако нет необходимости с самого начала предполагать суммируемость /.
Мели каждая из функций Д (л:,) суммируема, то суммируема каждая из функ-
функций |Д(л:,)|, но поскольку эти функции ^>0, мы имеем право заключит!,
отсюда, что |/| суммируем и, стало быть, суммируема /').
') Ср. с предложением 11. — Прим. перев.
40 Гл. I. Дополнения к интегральному исчислению
Использование Пусть надо вычислить интеграл I I ?(х, у)йхйу,
интегралов ^ ^
по сферам , И2 . _ „
где / предполагается суммируемой или ;>0. Заменой
переменных этот интеграл всегда можно переписать в виде
A,2; 39)
<
о<е<2-
Этот двойной интеграл можно вычислить двумя последовательными однократ-
однократными интегрированиями:
оо 2т.
(' йг Г / (г соз 0, г 31п 0) г аЬ. (I, 2; 40)
о о
Заметим, что лйО = й5 — элемент длины окружности радиуса г.
Эту формулу можно распространить на пространство га измерений, допу-
допустив существование интегралов по сферам с центром О по (га—1-мерной)
площадке A3 и допустив, что такой интеграл обладает свойствами, апало-
ичными свойствам однократных или многократных интегралов. Таким образам:
Предложение 31. Пусть /{хг, ..., хп) — некоторая функция га
переменных, суммируемая или >-0. Обозначим через I{г) интеграл
I I ... I /(х)а'З функции / по сфере с центром О радиуса г по
поверхностной мере а8. /(г) будет определен для тех значений г,
для которых / суммируема по а'З по сфере радиуса г [1 (г) определен,
стало быть, для почти всех значений г, если / суммируема]; инте-
интеграл /(г) будет также определен {конечен или равен -(-оо) для всех
значений г, если /^-0. При этом имеет место формула
$ /A3 A,2; 41)
(все эти величины конечны, если / суммируема по К", и конечны и ^-0
или равны -|-оо, если />-0).
Частный случай. Предположим, что / является функцией перемен-
переменного г=У^х]\ /(хх, х2 х^ — /{г). Тогда интеграл ^ § ... Г /аз
$ 2. Дополнительные сведения об интегрировании 41
равен 5(г)/(г), где через 5(г) обозначена площадь сферы радиуса г.
Из соображений однородности
8(г) = 8пг»-\ A.2; 42)
где 5„ — площадь сферы единичного радиуса в /?".
Итак,
Предложение 32. Пусть /— функция, определенная на И"
и зависящая только от \^х\^=г. Для того чтобы / была сумми-
суммируемой на /?", необходимо и достаточно, чтобы /(г)г"-1 была сумми-
суммируемой на (О, оо). При этом
оэ
(*1. х2, .... хп) ах, йх2... ах„ = За{/(.г)г"-Чг. (I. 2; 43>
о
Замечания. 1) В противоположность теореме Фубини нет необхо-
необходимости предполагать с самэго начала, что / суммируема на /?". В самом
деле, если /(г)гп~1 суммируема на @, -}0)» то \/(г)\гп~1 также сумми*
руема па @, 4"°°) и- поскольку речь идет о функции ^>0, отсюда вытекает,
■по |/|, а стало быть, и / суммируемы на /?".
2) Эта формула сводит кратные интегралы, в которых фигурируют только
функции от г, к однократным интегралам, при условии, что площадь Л,,
известна. Но 52 = 2тс, 53=4и. Легко проверить, что для того, чтобы фор-
формула была всегда справедливой, следует положить 5! = 2. В дальнейшем мы
вычислим 5„ для всех значений п [гл. VIII, формула (VIII, 1; 24)].
Отметим сразу же, что объем шара с центром О радиуса /? равен
"-1аг, A,2;44>
В„{П) = 8п-^-. A.2:48>
Пример:
я* 4 0.2;46)
И также
;42 Гл. /. Дополнения к интегральному исчислению'
Предложение 33. Интеграл
'*";;'*» 0.2; 47)
.конечен при а > й и бесконечен при а < п; интеграл
G ■■■/'*'•;,■'*' 0.2; 48)
конечен при а<« « бесконечен при а^-п.
В самом деле, эти интегралы записываются в виде
1
-1-*аг; 8п § г"-*-*Aг. A,2; 49)
О
Пример. Ньютонов потенциал однородного электрического за-
заряда плотности ц, распределенного по шару радиуса /?.
Поле в точке, находящейся па расстоянии г от заряда е, равно —?
и направлено пл радиусу-нектору. Положительным мы считаем направление
самого радиуса-вектора (т. е. поле, отталкивающее при е^>0). Таким обра-
зом, потенциал, создаваемый зарядом е на расстоянии г, равен —и С;
постоянную С определяют из требования, что потенциал па бесконечности
равен нулю, отсюда С = 0.
Тогда потенциал в точке а, создаваемый зарядэм произвольней плот-
плотности \>-(х), является суммой потенциалов, создаваемых элементарными заря-
зарядами \х(х)с1х; таким образом, по определению.
Применим эту формулу к случаю, когда плотность равна постоянной ц.
в шаре радиуса /?, и равна 0 вне этого шара, а точка а находится в центре
шара, который мы примем за начало координат:
-йг = 41е.-ф.|1=».2^у A,2; 51)
Получим эту формулу другим способом, используя закон Ньютона д ш при-
притяжения сферических слоев.
$ 2. Дополнительные свеПения об интегрировании 43
В точке, внешней по отношению к шару, находящейся на расстоянии г
от центра, поле такое же, как если бы весь заряд был сконцентрирован
в центре шара:
Я(л)=-=-|и/?3-^-, г>Я; A,2; 52)
оно направлено по радиусу-вектору и считается положительным в направле-
направлении радиуса-вектора. Отсюда выводится потенциал на расстоянии г ~^> Ц от О;
1/(г) = -д-«/гз^. + С1 = |-кЛ3^. A.2;53)
ибо ^У(оо) должно равняться пулю.
В точке, находящейся па расстоянии г ' /? от О, играют роль только
заряды, находящиеся на расстоянии <г от О, и поле — такое же, как
если бы все заряды были сконцентрированы в центре шара:
^^ ^ A,2; 54)
положительным считается направление радиуса-вектора.
Соответствующий потенциал на расстоянии г .< /? от О равен
и(г) = ~ -|иг2[).Ч-С2, г -,:/?. A,2; 55)
Мы определим константу С2. записав, что С/(/?) равно уже найденной вели-
величине [см. формулу (I, 2; 53)]:
— |г/?2]лЧ- С2=.|*/г2Ц. A,2; 56)
откуда
2 У A,2; 57)
что дает для формулы (I, 2; 55)
^(г^ — !^.^-/^. г </?. A,2; 58)
Теперь достаточно положить л = 0, чтобы вновь получить
^(О)^^/^ A,2; 59)
— формулу, совпадающую с A,2; 51).
Различные замечания "
->
1) Напомним, что Н = — ?гай II и, значит,
Н{г) = -^г. A,2; 60)
Гл. 1. Дополнения к интегральному исчислению
1ля проверки (чтобы избежать ошибок в знаке!) используйте то, что поле
1сегда направлено в сторону убывания потенциала.
2) Интеграл (I, 2; 50) суммируем, коль скоро \ь(х) ограничена и равна
1улю вне ограниченного множества, ибо этот интеграл мажорируется с точ-
юстью до множителя интегралом \ \ \ —-, тем самым мы имеем (предло-
кение 33) случай <х=1 < 3.
Предположим, что интеграл A,2; 51) вычисляется по теореме Фубини
вычисление, рекомендуемое с целью проверки). Обозначив через $, т\, С коор-
цшаты х ^ /?3, имеем
) ' *' ■ A.2:61)
Три фиксированных $ и т] интеграл по С наверняка суммируем, за исключе-
шем случая E, г() = @, 0). В этом случае он сводится к интегралу
я
а:
+ оо. A,2; 62)
I ^ I
-я
Лы обнаруживаем обстоятельство, отмеченное в связи с теоремой Фубини
предложение 28, замечание 2). Здесь функция
V ф-У-г?
У^ + ^ + у
>пределена всюду (при ^2-|-^2</?2 она определяется этой формулой, при
,*-)- т]2 ~^. К2 ее следует положить равной 0), кроме точки ($, т}) = @, 0).
3) Формула (I, 2; 60) справедлива только, если И (г) является функцией,
определенной и непрерывной при г > 0. Это имеет здесь место в силу фор-
лул A,2; 52) и (I, 2; 54). Это позволяет с самого начала утверждать, что О{г)
шляется непрерывной функцией от г, имеющей непрерывную первую произ-
юдную. Именно этот факт оправдывает приравнивание при г = /? двух функ-
1ий и (г), найденных для г^-п. и г <; п..
Если И (г) определена только для почти всех значений г и суммируема
ю г на любом конечном интервале, то формула (I, 2; 60) становится петоч-
юй и должна быть заменена формулой
= — $ Н(г)с1г ■ A,2; 63)
$ 2. Дополнительные сведения об интегрировании 4Й
и I](г) снова оказывается непрерывной функцией г (см. ниже предложе-
предложение 34).
В общем случае можно показать, что если ^(х) ограничена и равна
нулю вне некоторого ограниченного множества, то С! (а), определяемая
по формуле (I, 2; 50), является непрерывной функцией от а с непрерывными
частными производными первого порядка [см. стр. 63].
Предложение 34. (Лебег.) Пусть /(х) — функ-
функция вещественного переменного х, определенная
щ Неопределенный почти всюду и суммируемая в конечном или
как"функция бесконечном интервале (а, Ь). Тогда неопреде-
своего верхнего 5
предела ленный интеграл Р (х) — I /(;)<2; является не-
а
прерывной функцией при х^(а, Ь), имеющей для почти всех значе-
значений х производную, равную / (х).
Замечание. Нельзя надеяться, что Р{х) имеет всюду производную,
равную /(х), ибо если изменить /(х) на множества меры нуль, то это
не изменит интеграла Р. В точках х (образующих множество меры пуль),
где не выполняется равенство Р'(х)~ / (х), функция Р может иметь про-
производную, отличную от / (х), или же вовсе не иметь никакой производной.
2. Несобственные условно сходящиеся интегралы Лебега. Пусть
(а, Ь) — некоторый интервал, конечный или бесконечный, вещественной пря-
прямой, и пусть / — функция, суммируемая на {а, Ь — е) при любом г > 0,
Независимо от того, будет ли она суммируемой на (а, Ь), может оказаться,
Ь-г
что интеграл I /(х)Aх имеет предел при е—>0; тогда говорят, что иите-
а
грал от / по (а, Ь) сходится и обозначают его символом I /(х)Aх (или
а
Ь
символом I /{х)Aх, как и интеграл суммируемой функции].
а
Если I |/(д;)|й?л; сходится, то интеграл от / называется абсолютно СХО-
а
дящимся на (а, Ь). В этом случае / является суммируемой на (а, Ь), и ни»
оборот; в противном случае интеграл от / называется условно сходящимся.
46 Гл. I. Дополнения к интегральному исчислению
ь ->ь
То же самое определение дается для интегралов / /(х)ах и / /(х)Aх
, -у а -у а
(последний имеет смысл, если для некоторого с между а и Ь каждый из инте-
с ->6
гралов I и I имеет смысл)
).
Пусть при х > а функция /(х) равна произ-
_ ., ведению о,(х)$(х), где а (х) -- положительная убы-
вающая функция, стремящаяся к 0 при х—>со,
— непрерывна, и пусть величины
A,2; 64)
не превосходят по модулю фиксированной постоянной о. Тогда инте-
грал I /(х)Aх сходится, а его „остаток" I /{х)йх не превосхо-
а А
дит по модулю величины
оа(А). A,2; 65)
Мы ограничимся доказательством теоремы для случая, когда а (л;) непре-
непрерывна и дифференцируема и, стало быть, имеет производную <х':^0.
Функция с?й;Х является первообразной для ^(х) и можно произвести
интегрирование по частям
и в в
I / (х) ах = [а0> х а (х)]хх1Ва — ( ой, х а' (х) их =оа>в* (В) — | аа>, а' (х) ах.
а а а
A,2; 66)
При В—у со величина оа в ограничена константой о, а а(В)—>0, по-
поэтому первый член в правой части стремится к нулю. Остается показать,
что второй, интегральный, член имеет предел при В—>оо, т. е. что инте-
грал I аахт.' (х)ах сходится. Но ведь этот интеграл сходится даже абсо-
а
лютно, ибо | <зп1 х 11 а.' (х) | -^ а | а' (х) | и
в в
^\а'(x)\аx = — ^ а' (х) ах = а {а) — а(В)->а(в) (I, 2; 67)
§ 2. Дополнительные сведения об интегрировании 47
при Б—>оо. Таким образом, интеграл I /{х)йх наверняка имеет смысли,
а
кроме того,
/(х)ах
A.2; 68)
Та же самая оценка, примененная к I /(х)йх, дает оа(А).
А
Ч. и т. д.
,. ^Примеры. Тригонометрические интегралы. Интеграл
^ а(х)еа*ах A,2; 69)
а
имеет смысл при нещественном X Ф О, если функция а(л;)^0, убывает н
стремится к 0 при *—>эо.
В самом деле, здесь $(х)—е'/х, осй = ^ , о^-п-т-. При
тех же самых предположениях об а(х) сходятся и интегралы
Г ос(л;)со5Хл;<2л;, Г а{х)а\п\х ах. A,2; 70)
а а
Кроме того, второй из них имеет смыст и при Х~0, потому что он при
этом просто равен нулю. Если л(х) не суммируема, то эти интегралы не
сходятся абсолютно.
Рассмотрим, например, интегралы
->- г-ио . -> + со -> ;-оо
= -г/=йх. С=\ -~—ах, 3=\ —Р=-ах. A,2;71)
о Vх {*х о ^х
Они сходятся при X Ф 0. Произведем замену неременного л: = ^2 Гона дозво-
лена па конечном интервале, т. е. для I , откуда, переходя к пределу..
48 Гл. I. Дополнения к интегральному исчислению
/\
. Отсюда мы заключаем, что интегралы
о
-> + оо -> + оо -М-оо
■^=§ еарсН, ^= ^ соШ2(И, -у^/ 5"п^2^ A.2; 72)
являются условно сходящимися (несмотря на то, что | еа'2 \ = 1).
Эти интегралы суть интегралы Френеля; можно показать, что
-»Н-со
2 \Г2
Пусть / — функция, определенная при а <^ х ^ Ь,
Главное значение суммируемая на (а, с — е) и на (с-)-е, Ь) при
по оши любом е > 0, но не обязательно суммируемая на (а, Ь).
ь
ь
Обычно считают, что интеграл I /(х)а'х имеет смысл, если каждый из ипте-
а
-+с Ь
градов I /(х)а*х и I /(х)а'х имеет смысл. Это сводится к утверждению,
а -ъс
с-т, Ь
что сумма I -}- I имеет предел, когда т\ и г стремятся к 0 независимо
а с+г
друг от друга.
Может оказаться, что такой предел не существует, но что существует
предел, когда т] = е, е—>0. В этом случае говорят, что интеграл от / схо-
сходится в смысле главного значения по Коши, и записывают
== 11ГП |
\а с+е
Ь >
П 1).
+е I
Предложение 35. Для того чтобы существовал интеграл
ь
УР I /{х)йх, необходимо и достаточно, чтобы функция / равнялась
а
в окрестности точки х = с сумме антисимметрической функции
') Символ ур от французского уа1еиг рппс!ра1е — главное значение. — Прим.
перев.
2. Дополнительные сведения об интегрировании
1\ (Л (с Н~ и) = — Л (с — ")) « такой симметрической функции
/2(/2(с + «) = /2(с — «)), для которой интеграл Г /2(х)Aх существует.
При с = 0 вместо „симметрическая" и „антисимметрическая" употребляют
термины „четная" и „нечетная".
Заменой переменного х — с-\-и всегда можно прийти к этому случаю,
поэтому мы предположим, что с = 0. Всякую функцию / в окрестности
точки л; = 0 можно однозначно представить в виде суммы четной и нечетной
функций:
/(*)='<*>-/<-*> +/<*>+/<—> = /,(*)+/,(*)■ A,2; 73)
Поскольку /х нечетна, ее интегралы по симметричным интервалам сокра-
сокращаются; поэтому если а ныбрано так, что а ^—а < 0 < а ^ Ь, то
— е а
^ /1(х)ах + 1/1(х)ах = 0. (I. 2; 74)
Таким образом, сходимость в смысле ур на (а, Ь), или, что то же самое,
на (— а, а), для / совпадает со сходимостью для /2. Кроме того, ввиду
четности /2
— а а а .
| /2 (х) йх + 1 /2 (х) ах = 2 | /2 (х) их, (I. 2; 75)
так что интеграл от / в смысле ур существует тогда и только тогда, когда
а
существует интеграл \{2{х)йх.
Пример. Предположим, что / допускает в окрестности точки х=с
асимптотическое представление:
/(*) = -Г=Т + С0+С1(*-С)+ •••
Тогда интеграл от / существует в смысле ур, поскольку _ антисимме-
антисимметрична. Пусть (более общий случай) /(х)= _ , где ср(л:) непрерывна
м окрестности точки х = с и дифференцируема в точке х = с. Тогда
4 Л. Шварц
50 Гл. I. Дополнения к интегральному исчислению
ур-интеграл от / существует, ибо
где первая функция антисимметрична, а вторая ограничена в окрестности х = с.
Точно так же существует понятие главного значения для интервала
(—оо, +оо). Если / суммируема во всяком конечном интервале, то
оэ В
Г/(х)Aх в смысле ур определяется как предел Пт I ${х)йх. Для того
— со ^° —В
чтобы подобное главное значение существовало, необходимо и достаточно,
чтобы / —Д-Н/г- где /1 нечетна, а /2 четна и такова, что интеграл
-> оо
I /2(х)Aх существует.
о
Легко вычислить следующие интегралы:
ь
ур I =^ 1"" — , при условии, что а Ф О, ЬФО. (I, 2; 76)
} х а
а
оэ
/с(х
= 0 (нечетная функция). (I, 2; 77)
— оэ
§ 3. Функции, предетавимые рядами и интегралами
1. Функции, представимые рядами. Пусть ^ и^х) —некоторый ряд,
суммируемый при всех значениях некоторого параметра х, пробегающего
множество Е («; (л;) — комплексное число при всех / и всех л;). Тогда его
сумма / (х) будет комплекспозначной функцией от х. Как зависят свойства
функции /{х) (непрерывность, дифферепцируемость, интегрируемость)
от свойств членов ряда и1
Та же задача возникает, если 2 и„(х) есть ряд, у которого множество
я-0
индексов представляет собой множество N целых чисел ^0.
Ряд предполагается сходящимся при х ^ Е.
Наконец/пусть /п(х) — последовательность комнлекснозиачных функ-
функций, и пусть при любом х^Е последовательность /п(х) имеет предел при
л—>оо. Можно также изучать зависимость свойств этого предела /(х) =
= 1йп /п(х) от свойств членов последовательности /п.
$ 3. Функции, представимые рядами и интегралами 51
Последовательность /п(х) называется просто схо-
Простая дящейся к /(х) при га—>зо, если для лк>-
и равномерная б ого фикси рованного х числовая последователь-
сходимость . , . ,, .
ность /„ (х) сходится при п—>'хз к числу /(х).
■Это сводится к утверждению, что при фиксированном х и при заданном е > О
;уществует такое Л/, что при п^-Ы выполняется неравенство |/„(■*)—/ (х)\ .6.
-Это число Л/ зависит от в и от х\ вот почему мы будем записывать его
<ак М(е, х).
Последовательность /п(х) называется равномерно сходящейся к /(х)
при х^Е, если для любого данного е>0 существует целое число А^(е),
независящее от х и такое, что при п^-Ы выполняется неравенство
\/(х) — /п(х) I ''~>в' каково бы ни было х^Е.
Введем понятие расстояния между двумя числовыми функциями / и />",
определенными на множестве Е:
Отметим, что для любых трех функций /, §•, Н выполняется неравенство
, з) С(^(/^ А) + й(А, §•) (неравенство треугольника).
Последовательность /„ равномерно сходится к / при га—>оо, если
, /я) стремится к 0 при га->эо; равномерная сходимость последователь-
последовательности функций сводится таким образом к сходимости к нулю последова-
последовательности чисел й(/, /„).
Примеры. А. /п(х) = х", 0 <; х < 1;
| 0 при х Ф 1,
Пт /„(*)= A.3;2)
л->оо I I При X — 1,
х" при х ф 1,
х=1. A.3:3)
\/(х)-/п(х)\ Се при п\%х С'^е. A,3; 4)
откуда
и, значит, сходимость не является равномерной при 0 < х<! 1. Она неравно-
неравномерна и при 0 < х < 1 [но она равномерна при О С х .< 1 —В, 8 > 0, ибо
п этом случае имеем \/(х) — /п(х)\ <е при га > [а-тп —ь\\ (величина> ие
52
Гл. I. Дополнения к интегральному исчислению
зависящая от х)]. Впрочем, Д(/(х), /п(х))= 1.
В- /.(*)* ^
З; б)
— сдвиг фиксированной функции -у—г-—^- при сдвиге х—*-х-\-п.
Последовательность /п(х) сходится к 0 при га—>со равномерно, если X
пробегает конечный интервал (а', Ь), ибо при достаточно большом я
1/л (*) I <--- 14- F — пJ '
где правая часть стремится к 0 при га—>оо; /„(х) стремится равномерно к О
даже на любой полупрямой (—со, Ь).
Рис. I, 1. Кривая у =
+ л:2"
Но она не стремится равномерно к 0 на всей вещественной оси, ибо
оо
С. Ряд ^ ип(х)сходится равномерно при х^Е, если частные суммы 5„(х)
/1 = 0
сходятся равномерно к его сумме 5(х) при га— >со; или, иначе, если
остаток Яп(х) сходится равномерно к 0 при га—>ос; или, еще иначе, если
а а{К(хH) = 2ир\К(х)\+0 при га^со,
Т). Ряд 2 и, (х) равномерно суммируем при х (| Е, если для любого г > 0
существует конечное множество ^ значений индекса, зависящее от е, но
не зависящее от х, такое, что для любого, конечного или бесконечного, К,
содержащего ^, выполняется неравенство |5д-(д;) — 5 (лг)| ^С е при любом х ^ Е.
Е. Пусть /х(х) — функция от х, зависящая от параметра X, который мы
будем считать, например, вещественным. Говорят, что /х(х) сходится равно-
равномерно к Д (*) при Х->Х0 для х^Е, если а(/х(х), ДоОО) стремится к 0
при X—>Х0.
$ 3. Функции, представимте рядами и интегралами ИЛ
Предложение 36. (Критерий Коши.) Для того чтобы последовав
тельностъ /п(х) комплекснозначных функций, определенных на мно-
множестве Е, равномерно сходилась к некото рому пределу при л—>оо,
необходимо и достаточно, чтобы числа йт> п =- А (/т (х), /п(х)) стре-
стремились к нулю, когда тип стремятся к ос. Для того чтобы ряд
оо
2 и, (^) сходился равномерно, необходимо и достаточно, чтобы
п=а
числа йт>п = а'(8т(х), 8п(х)) стремились к нулю при т и п—>оо (и,
стало быть, необходимо, чтобы общий член ип(х) стремился к О
равномерно по х(^Е при п-+эо). Для того чтобы ряд 2 иь{х) был
Ч'
равномерно суммируем, необходимо и достаточно, чтобы 0.1Я
любого е > 0 существовало конечное множество индексов ^, зависящее
от е, но не зависящее от х, такое, что для любого множества
индексов К, не имеющего общих элементов с ^, при любом х выпол-
выполняется неравенство \8к(х)\ <; е.
Мы дадим доказательство только для последовательности /П(х). Случай
оо
ряда 2 ап(х) сразу же выводится отсюда, если положить /„(х) = 5Я(х);
л = 0
случай ряда 2 "»(х) мы рекомендуем читателю в качестве упражнения.
1) Предположим, что последовательность /„ равномерно сходится к /.
Для данного е существует такое NE), что при л^-Л/ выполняется нера-
неравенство а"(/„, /) <". Тогда при т ^Л/ и я^>Л/ будем иметь */(/, /т) • ". тт I
/„)<у. откуда а(/т, /„)<<*(/, /т)+а{/. /„)<е и, значит,
т- /л)"»-О »РИ "I И «->ЭО.
2) Предположим теперь, что Нт а'(/т, /п)==0. При данном е > О
т, л->оо
существует такое Л^(е), что при т^-И, п^>Ы и при любом х^Е выпол»
няется неравенство \/т(х) — /„(х)\ .< е. Но при фиксированном х после-
последовательность чисел /п(х) является последовательностью Коши, поскольку
/т(х) — /п(х)-*-0 при т, п—>со. Поэтому, как известно, она сходится
к некоторому пределу. Этот предел зависит от точки х, которая была
фиксирована, и является, таким образом, некоторой функцией /(х). Но ии
соотношения Нт /т(х) = /(х) при фиксированном х и из неравенств
т ->оо
\/т(х) — /п(х)\"Се ПРИ т~^-Ы{€), п^-Ы(г) вытекает неравенстпо
\/{х) — /п(х)\ ^.е при га^-Л/(г) и фиксированном х; но поскольку этот
результат не зависит от х, имеем й(/, /„) < е при га^-Л^(е) и, значит,
'/„сходится к / равномерно по л^Е при п-+х>. Ч.,и т. д.
54 Гл. I. Дополнения к интегральному исчислению
Определение 4. Если |м(лг)| .<*»;, числа г»,^0
Практические _, ^
критерии не зависят от х и если ряд 2а "°1 суммируем,
равномерной __ '€7
сходимости то ряд 2л "г С*) (который, согласно предложе-
предложению 6, будет суммируемым при любом х) называется нормально
суммируемым.
Предложение 37. Всякий нормально суммируемый ряд равно-
равномерно суммируем.
В самом деле, пусть ^—конечное множество индексов, такое, что если
К — множество индексов, не имеющее общих элементов с У, то выполняется
неравенство 2 V^ :. в. Тогда а {огтюп
и, значит, ряд 2 и< С-11-I согласно критерию Коши (предложение 36), равно-
равномерно суммируем.
оо
Примеры. А. Пусть 2 апг" — некоторый степенной ряд. Предпо-
л = 0
ложим, что предел Нш
= к конечен. Тогда ряд будет нормально
суммируемым при \г\ ^-т В, В>0 — произвольно. В самом деле, в этом
случае имеем
1««2 < К (
а числовой ряд с этими неотрицательными членами суммируем, ибо признак
Даламбера дает
4_ — 8 >к К о < 1. (I, 3; 6)
В. Пусть 2 апг" — некоторый степенной ряд. Предположим, что пре-
л
дел Пш ]/ \а„\ —к конечен. Тогда ряд будет нормально суммируемым при
я->со
\г\ < -т В, 5 > 0 — произвольно. Ибо в этом случае \апгп\ < \ап\ {-^—А .
$ 3. Функции, представимте рядами и интегралами 56
а числовой ряд с этими неотрицательными членами ип ^> 0 суммируем, со-
согласно признаку Коши, ибо
оо
С. Ряд ^, — суммируем при Ке<х> I1). Этот ряд нормально сумми-
руем на множестве комплексных чисел а, таких, что Кеа!> 1+8, каково бы
ни было В > 0. В самом деле, в этом случае выполняется оценка —-
<^ } 8 общий член числового суммируемого ряда с неотрицательными
членами. Напротив, рассматриваемый ряд не сходится равномерно при а > 1,
ибо
</E,.(а), 5. (а) ) = вир Г 1 1- ... -\ —
>8ир—1-^вир- Ц-==- A.3; 8)
О1 Bл)а а>\ 2* п°-1 2 Ч '
-^величина, не стремящаяся к 0 при л—>оо.
. О. Тригонометрический ряд 2 апеп1Ь. Если ряд 2 \ап\ суммируем, то,
> п= —со
поскольку |ел/в| = 1, данный ряд нормально суммируем при всех веществен-
вещественных 0.
То же самое относится к рядам
2„ и ^
я-0 л=1
Предложение 38. (Критерий Абеля.) Пусть ип (х) = ап (х) Ь„ (х).
Предположим, что при любом х последовательность ап(х) убывает,
>0 й стремится к 0 при п-*оо равномерно по х^Е. Положим
.. +Ьп(х) A,3;9)
и допустим, что существует постоянная о, не зависящая от т п
со
и х, такая, что \ат> п (х)\ ^ а. Тогда ряд ^ап{х)Ъп(х) сходится рае-
номерно.
') Ке а — вещественная часть а.
56 . Гл. 1. пополнения к интегральному исчислению |
.' |
В самом деле, этот ряд сходится для любого значения х и, как известно,
«я+1(*)° <-ал+1я- гДе а.п + 1 = 5ирап,](х); значит, Л{Нп(х), 0) <
$Е
^С вя-ч°- Предложение доказано, так как последовательность ап стре-
стремится к 0.
Замечание. Из предположения ап (х) ..ап и а„—>0 при га—>со еще
не вытекает, что последовательность ап(х) является при каждом х убываю-
убывающей. Это убывание следует тщательно проверять.
Примеры. А. Пусть ряд имеет вид 2(—')" ап (•*)• причем ап(х)^-0,
Я = 1)
а„(х) убывает при каждом х и ап(х) ^ап, где Птая = 0. Тогда рассма-
Я ->оо
триваемый ряд равномерно сходится.
оо
Например, ряд /л ^—~- равномерно сходится при вещественных а^>о > 0,
л=1
, 1 , , 1,1 .. 1 „
ибо — убывает при фиксированном а и —;С —г. где пт—т- = 0.
Напротив, этот ряд не сходится равномерно при а > 0, ибо общий член
—- не стремится равномерно к 0 при га—>зо. сМ —, (Л —зир —=1.
со
В. Тригонометрический ряд 2 а„ел'9. Предположим, что при я—>оо
п - —со
последовательность ап убывает, о,^-0 и а„—>0ичто при га—>—оо после-
последовательность ведет себя аналогично. Тогда, как известно, для Ь„=^еп1'>
2
имеем К, „(8)| ^-г-^ ГГ'
\е — 1)
Рассматриваемый ряд сходится равномерно при |9 — 2&тс|^.8>0, ибо
в этом случае можно положить о = -г-г-ь р . .
оо
Ряд 2 ап сов гаО ведет себя аналогично. . -
л = 0
■ оо : . ■ . ■
Ряд 2 ся 81П габ сходится' для всех значений 9, даже для 9 = 2&~, ибо
Я=1
при этом все его члены равны нулю. Тем не менее он сходится равно-
равномерно только при |б |2
ф 3. Функции, представимте рядами и интегралами 57
Предложение 39. Если последовательность
Непрерывность /„(х) сходится к /(х) при я—>ос равномерно,
предела когда х пробегает некоторое множество I:
ТЛСти в евклидовом пространстве Кт, и если все члены.
/п(х) этой последовательности непрерывны
в некоторой точке х0 множества Е, то / (х) непрерывна в точке хи.
В самом деле, напишем
= I/ (*) - /п (*I +1/« (*) - /п (*о)] +
+ 1/я(*о) —/(*о)Ь 0.3; Ю>
откуда
|/(*)-/(*оI < I/(*)-/„(*)! +1/»(*)-/«(*<>)I+
+ |/«(*о) —/(*оI- A.3; И)
При данном е>0 выберем достаточно большое п, так, чтобы
|/(У) — /Л(УI 4" для всех У и3 Е> Тогда первый и третий члены правой
части неравенства A,3; 11) не превосходят каждый ~, каково бы ни было х.
Выбрав, таким образом, л, воспользуемся тем, что функция /„ непре-
непрерывна и, значит, существует такое т] > 0, что при \х—хо\ ^ т] выполняется
неравенство |/„ (х)— /„(*„)| < -|.
Тогда при \х—-^о!^7! будем иметь
\/(х) — /(*0)|<е.
Ч. и т. д.
Если последовательность / сходится просто, но неравномерно, то функ-
функция / может оказаться разрывной, даже если все функции /„ непрерывны.
Так, в примере А на стр. 51 /П(х)~хп, 0<д;<1, а предел /(х)
равен 0 при х Ф 1 и 1 при 1=1 и, таким образом, разрывен в точке
хо= 1.
Теорема остается справедливой, если заменить равномерно сходящуюся
последовательность непрерывных функций равномерно сходящимся или равно-
равномерно суммируемым рядом непрерывных функций.
Напротив, ряд ^хп(\—х) суммируем при 0 < х <1 (при х < 1 —
я=0
как геометрическая прогрессия, а при х=1—поскольку все его члены
равны нулю), но не равномерно. Его сумма равна -= • A—х) — 1 при.
л<1 и равна 0 при х = I', она разрывна в точке #=1..
58 Гл. I. Дополнения к интегральному исчислении!
Предложение 40. Пусть последовательность
Интегрируемость /п (х) ограниченных функций сходится при
предела я—>сю к функции /(х) равномерно при х(-Е;
последовательности „ Л » *
и суммы ряда ^ — подмножество конечной меры эвклидова
пространства Кт. Тогда последовательность
интегралов I I .. . I /п(х)Aх сходится при п—>со к интегралу
р
\ \ ... \/(х)Aх, причем сходимость равномерна по всем НсЕ.
р
В самом деле!), справедлива оценка
Но при данном е>0 существует такое Л/, что ^(/, /„) <^ е/тев Е при
л^-Л/; тогда, при п~^-Ы,
-]"]"...]"/„(•*)<** О A,3;12)
р
каково бы пи было РсЕ.
Эта теорема, естественно, сохраняется для равномерно сходящихся и
равномерно суммируемых рядов:
:) \йх = \ Г Г ... I ип (х) их A,3; 13)
/ л = 0 Р
(интегрирование под знаком 2 или изменение порядка символов I и 2).
Предложение 40 можно обобщить.
Предложение 41. (Теорема Лебега. Принимается без доказательства.)
Пусть последовательность функций /,,(х), определенных в Ят, схо-
сходится просто к /(х) при я—>ос, и пусть /п(х) мажорируются по
модулю одной и той же суммируемой функцией §"^>0. (|/я(д:)| С^С*).
&(х)^0, \ \ ... Г §• (х) их < + оо). Тогда функция / (х) суммируема
') Легко видеть, что / также ограничена.
§ 3. Функции, представимые рядами и интегралами
59
и последовательность интегралов
кт
сходится к интегралу
при я—>оо.
Вернемся к примеру А на стр. 51. Хотя здесь нет равномерной
1
/■ |
х" йх = —д^у стремятся при п—>оо к интегралу
о
1
О = \/(х)Aх. Предложение 41 применимо, поскольку |/я(д;)|<;1.
У
О 1/п ■*
Рис. 1,2.
Рассмотрим, напротив, следующий пример (см. рис. 1,2):
О при х<0 и * > -.
/»(*) =
A.3; 14)
га2 при 0 < х < — .
Последовательность /,,{х) сходится (неравномерно) к 0 при любом х,
1
/1 ^
/„ (х) йх = п2 ■ — = п стремится к
о
вместе с п. Предложение 41 не применимо, поскольку функции /,,{х) не
мажорируются суммируемой функцией §-(х)^-0, не зависящей от п.
60 Гл. I. Дополнения к интегральному исчислению
Замечание. Достаточно предполагать, что /„(*) при л-*оо стре-
стремятся к /(*) только для почти всех значений * (причем все время |/„(*)|<
§•(*), где ^^>0 — суммируемая).
Вывод. Пусть функции /„ (*) сходятся просто к / (*) при я->ос,
// пусть они не превосходят по модулю фиксированной постоян-
постоянной М >-0. Тогда, если мера множества Е конечна, интегралы
I I ••• \ /п(х)а'х стремятся при п—уоо к интегралу I I ... I /(*)*/*.
■Достаточно применить предложение 41 с ^(х)=М — суммируемой
функцией на множестве Е конечной меры. Видно, насколько этот вывод
шире', чем предложение 40.
Как в этом выводе, так и в предложении 40 требование конечности
меры множества Е является существенным. Так, если положить
1 1,2
— при * . л%
/„(*) = " ~ A,3; 15)
0 при |*| > я2,
то последовательность /„(*) будет равномерно сходиться к 0 при л—>оо
ао
(й@, /„)=—)• Тем не менее интеграл Г /„ (х)йх = 2л2 • — = 2л стремится
— оо
к бесконечности вместе с л. В случае бесконечного интервала следует тща-
тщательно проверить, мажорируются ли функции /я, по не постоянной Ж^>0,
а некоторой суммируемой функцией §"^3-0.
Предложение 41 нелегко использовать в случае рядов. Для этого случая
мы имеем следующий критерий:
Предложение 42. 1) Если множество индексов I счетно и если
члены ряда ^иь(х) неотрицательны, то всегда
причем обе части этого равенства либо конечны, либо равны -)-оэ.
2) Если I счетно, если члены и^х) произвольны (вещественны или
комплексны) и если сумма ряда
ф 3. Функции, представимые рядами и интегралами 01
конечна, то, во-первых, каждая из функций «,■ (х) суммируема по х
на Кт и ряд ^,1 I ••• I «Дх)й?х суммируем; во-вторых, для почти
/е/ я-»
есех значений х ряд 2 "/(•*) суммируем, а его сумма является функ-
от х, определенной почти всюду и суммируемой на Я.т; и, наконец,
Первая часть предложения 42 является наиболее важной: в случае неот-
неотрицательных членов и;(х)^0 мы всегда можем изменить порядок и ^
(как мы уже могли всегда изменить порядок двух символов 2 при сумми-
суммировании пачками или изменить порядок двух символов Г в теореме Фубини
о двойном интеграле от неотрицательной функции).
Существует иное обобщение предложения 40, относящееся к несобстпсн-
/ -> + схЛ
/I
I.
^ у
Мы его не приводим. а
Можно, казалось бы, ожидать, что если /я равно-
Дифференцирование мерно сходятся к / при а ^х-^б, когда п-*'у~>
предела (случай одного измерения, т — 1), и если /. диф-
последовательности \ } г- /• ^ п -г
а суммы ряда ференцируемы и имеют непрерывные производные,
то последовательность этих производных /я равно-
равномерно сходится к некоторому пределу §\ когда п—>оо, функция / — диф-
дифференцируема и /' — §■•
К сожалению, это не так.
Примеры. А. Последовательность еп1х/\^п равномерно стремится
к нулю при вещественных х, когда п—>оо; тем не менее производные
г У пе"'х равны, по модулю, корню У~п, который стремится к бесконечности
вместе с п.
В. В предыдущем примере предел / был все же всюду дифференцируем
(/==0).
оо
Рассмотрим ряд ^ ■5 ";)п—-. Его общий член не превосходит по мо-
л=0
дулю -2^-, и, следовательно, ряд равномерно суммируем при вещественных О,
62 Гл. I. Дополнения к интегральному исчислению
Его сумма /F) является непрерывной функцией. Продифференцированный
со
ряд V-2я-со5C) расходится; Вейерштрасс показал, что /@) является
л = 0
непрерывной функцией, нигде не дифференцируемой.
Верной теоремой является следующая:
Предложение 43. Пусть /п(х) — последовательность непрерыв-
непрерывных функций, имеющих непрерывные производные. Пусть последова-
последовательность /'п(х) равномерно сходится к некоторому пределу ${х)
при а ~1 х [_Ь {а и Ь конечны), когда п—>оо. Пусть, наконец, в неко-
некоторой фиксированной точке х0 интервала (а, Ь) последовательность
/П(х0) имеет предел, когда п—>оо.
Тогда последовательность /п(х) равномерно сходится к некото-
некоторому пределу /(х) при а ^ х <^.Ь, когда п—>х>; этот предел /(х)
дифференцируем и /' (х) = §" (х).
В самом деле, имеем
X
/п (■*) = /п (*о) + / А', & й\. (I, 3; 18)
По предположению, /п (х0) имеет предел; в силу предложения 40 ннте-
х
грал также имеет предел, который есть не что иное, как I §(^)й1, причем
-«о
сходимость интеграла к пределу равномерна но х. Тем самым доказано,
что /„ равномерно сходится к некоторому пределу /, и поскольку
где § — непрерывна, этот предел / дифференцируем и /' — §■.
Ч. и т. д.
Итак, если известно, что некоторая функция представляется сходящимся
со
или суммируемым рядом /(х)=2мя(х) и если желательно знать, диффе-
я = 0
со
ренцируема ли /, то следует продифференцировать ряд формально: ^и'п(х);
я = 0
со
затем следует убедиться, что продифференцированный ряд 2«'(*) Рав"
номерно сходится при а ^ х ^ Ь; если это так, то функция / заведомо
$ 3. Функции, представимые рядами и интегралами
00
будет дифференцируемой, причем /'(х) = 2и' (х). (Почленное дифференци-
п = 0
рованне ряда, или дифференцирование под знаком 2-) Если же, напротив,
со
продифференцированный ряд ^и'п(х) не сходится равномерно, то нельзя
11 = 0
утверждать, что / дифференцируема, и даже если она дифференцируема,
со
а продифференцированный ряд 2 "' (*) сходится в некоторой точке х0, то
л = 0
нельзя утверждать, что ее производная равна в точке х0 сумме ряда
Пример. Ряд 21 апеа1п представляет непрерывную функцию, имеющую
П - — оО
-и II'1 I .
непрерывные производные до порядка ^ к, если \ап\ -^ к+2 при |я|—>оо.
2. Функции, представимые интегралами. Для простоты будем рас-
'.' сматривать однократные интегралы, обобщение на многократные производится
\ г
очевидным образом. Пусть /-'(х) = I /(х, ()(Н. Предполагается, что для
а
любого х из некоторого множества Е (которое, для простоты, мы будем
считать лежащим в /?) интеграл имеет смысл (суммируем, условно сходится
и т. п.). Этот интеграл определяет, таким образом, некоторую функцию от х.
Возникает задача исследовать непрерывность, интегрируемость или диффе-
ренцируемость /\ отправляясь от аналогичных свойств /.
Непрерывность Мы хотим 31ШТЬ- бУдет ли / /х @ а* ~> / /д-0 V)а*
интеграла к ц
при х->х0, где через /х(() обозначена функция
от г, определяемая функцией / при фиксированном х. Со всеми результатами
мы уже познакомились в связи с интегрируемостью предела последователь-
последовательности (предложения 40 и 41).
Предложение 44 (соответствующее предложению 40). Если /х(()
стремится к /х (I) при х->хх равномерно по (, пробегающему ин-
интервал интегрирования (а, Ь), и если этот интервал конечен, то
Г /х (()(!{ стремится к I /х A)(Н.
(а, Ь) (а, Ь)
<64
Гл. I. Дополнения к интегральному исчислению
В самом деле,
(а, *)
Таким образом, если е > 0 задано, то существует такое т; > 0,
\ х — х01 <^ т] выполняется неравенство
что
при
р !
01
Тогда
' Вывод. Если интервал интегрирования (а, Ь) конечен и если
при а <^.1 <С #. а <^ х ^ р функция / непрерывна по совокупности пе-
переменных х, I, то Р(х) будет непрерывной функцией х в интервале
а •;; х <^.
В самом деле, функция / при этих условиях равномерно непрерывна.
Иными словами, для данного г > 0 существует т; > 0 такое, что при
х2—хх
B —
| \
Тогда при | х — х0
т] выполняется неравенство |/(лг2, ^2) — /(Х1>
и произвольном I: имеем
или
A,3;20)
и можно применить предложение 44.
Замечание. Функция от х и I, раздельно непрерывная по каждому
из переменных, когда другое фиксировано, не обязательно будет непрерыв-
непрерывной по совокупности двух переменных. Так, например, функция
/(х, ()■
XI
0
при (х, () Ф@,0),
при х = ( = 0
раздельно непрерывна по х и по I в начале координат. Тем не менее она
не является непрерывной в начале координат, ибо на прямой х = тЬ она
принимает значение .—т-—^-при (^0 и значение 0 при ^ = 0.
Предложение 45 (Лебег) (соответствующее предложению 41). Если
/ раздельно непрерывна по х в точке хй при почти всех значениях
I и если /(х, () мажорируется по модулю суммируемой функцией
§{г) {интервал интегрирования произволен), то Р непрерывна по х в
точке Хц.
3. Функции, представимые рядами и интегралами
65
Замечание. В некоторых случаях следует комбинировать приведен-
приведенные здесь результаты с другими результатами. Это приходится делать при
работе с условно-сходящимися несобственными интегралами Лебега. Рас-
Рассмотрим, например, интеграл
->+оо
Р{х) = § а(()е{х<с11. A,3; 22)
Если а{€) суммируема, то предложение 45 тут же показывает, что Р неп-
непрерывна при всех значениях х, ибо функция ] а{г) е1х1 | = | аA)\—сумми-
аA)\—суммируема. Пусть а(г) не суммируема. Предположим, что а(() непрерывна и что
при {->-\-оо, а также при I—> — оо функция а(()^-0 монотонна и стре-
стремится к 0. Тогда, согласно теореме Абеля, интеграл Р(х) определен при
хф 0.
Рассмотрим
Рп (Х) = ^ а @ еш й1
A,3; 23)
При фиксированном п этот интеграл будет непрерывной функцией х в силу
предложения 44 или 45.
Функция Рп{х) стремится к Р{х), когда п —> оо равномерно при
д;^-8>0, в силу теоремы Абеля (стр. 46). В самом деле:
а(~п)). A.3; 24)
Поскольку а{()-*0 при I -> ± схз, существует такое N. что при п^-Ы
выполняются неравенства а(/г)О,, а{ — п) -^гх. Тогда | Р(х) — Рп{х)\ -^
'-С. -^-. Если е>0 дано, то полагаем е,=-^-5. При |х|>-8 будем иметь
й(Р{х), Рп(х)) < г. Предложение 39 показывает, таким образом, что Р(х)
непрерывна в любой точке хп Ф 0.
То же самое справедливо
для интегралов I а {г)сов1х (И,
о
Г а(()ъ\п(х <И. Последний из этих интегралов существует также при
о
х = 0, однако признак Абеля будет равномерно применим только при
5 Л. Шварц
66 Гл. I. Дополнения к интегральному исчислению
|х|>-о>0. Поэтому можно только утверждать, что этот интеграл пред-
представляет функцию, определенную при всех х и непрерывную в любой точке
х0 Ф 0. Именно это явление показывают нам многочисленные примеры.
Пусть Р (х) суммируема, и мы хотим узнать, можно ли
. Интегрируемость интеграл
интеграла , ,(
/ г г
г(х)йх = I их I /(х, () а(
а а а
Ь р
записать в виде Г <Ц Г/(х, 1)йх.
а а
С этим результатом мы уже знакомы (теорема Фубини).
] Дифференцируемость ПУСТЬ Е~ конечный интервал а < х < р.
интеграла Предложение 46. Пусть / имеет част-
частную производную /' (х, () при почти всех
значениях (. Пусть /х(х, () раздельно непрерывна по х при почти.
всех I и мажорируется по модулю суммируемой функцией §(()~^0
ь
{интервал (а, Ь) — произволен]. Пусть, наконец, интеграл Г /(х, 1)йЬ
а
имеет смысл при некотором частном значении х = х0.
Тогда этот интеграл Р(х) имеет смысл при всех х^Е, функция
Р{х) непрерывна и дифференцируема, причем
(I, 3; 25)
дифференцирование под знаком I ).
- со
Пусть (а, д) = (—оо, -(~ос). Во-первых, функция О(х)~ I /'х(х* 1)й1
непрерывна. Далее:
X X СО ОО X
Го<\)а%= {а\ Г/ха, ()а*= (а( Г/' а, Г)а\. о,з;2б)
Хц X, —СО -'Х> Хг
Изменение порядка интегрирования законно. Действительно, \/'х(&. О! С
<{> 3. Функции, представимые рядами и интегралами 07
а функция % {г) суммируема по (!-, () при а <^ \ .< р (конечный интервал),
Э со
— оо -',.1 1 оо, поскольку она ^> 0 и интеграл I й\ I §A)(Н конечен.
а —со
Наконец
X оо
]* О(?)</!■= / [/(х. О —/(*о. 01 Л- 0.3; 27)
ЛГ0 -СО
со
По предположению, интеграл I /(х0, ()(К имеет смысл, значит, интеграл
— со
со
Г/(х, г)(И также имеет смысл и определяет некоторую функцию Р(х),
—со
х (^ Е. Кроме того,
X
| A.3; 2Я)
Поскольку О непрерывна, функция Р непрерывна и дифференцируема,
причем Р' (х)— О(х).
Примеры. Здесь также часто бывает необходимо комбинировать эту
теорему с другими теоремами. Это приходится делать в случае несобственных
условно сходящихся интегралов Лебега.
Рассмотрим, например, функцию
со
РЮ = /-ф5"<«- A,3; 29)
— оо
еих
Она непрерывна, ибо , ,,2 непрерывна по (х, {) и мажорируется по модулю
суммируемой функцией ,,±2- Продифференцируем формально:
/"(*)= /*"* Тр!-<«. A.3; 30)
— ОО
функция , ,2 не суммируема, однако интеграл I существует при л: Ф 0 п
-> — со
силу теоремы Абеля. Функция-г-ц^тз" убывает при ^—>-^~°° к при I—> — оо,
68 Гл. /. Дополнения к интегральному исчислению
п
1 ^2 -1 п е1!Х
ибо ее производная равна .. , 2.2 ■ Положим Рп(х)~ I й1. Тогда /%
— я
будет непрерывной и дифференцируемой при всех х, причем
л
/■^(х)= I еЫх 11-^2 ^- Когда я—>сх>, последовательность /^(х) сходится
— п
->+оо
к пределу О(х)= I е"х . ' 2 6,1 равномерно при | х | ^>о > 0. Остаток
— Я СО ->—ОО
\ -\~ I мажорируется по модулю величиной 2 • у ■ ] -^_ 2, которая будет <С е
при' достаточно больших и. В то же время последовательность Рп (х) рав-
равномерно сходится к Р (х) при вещественных х. Значит, в силу теоремы о
дифференцируемое™ предела последовательности, функция Р имеет произ-
производную во всякой точке х0 Ф 0 и эта производная непрерывна, причем
->+оо
Р' (х) = О (х) = | е^—^сИ. A,3; 31)
->-оо
е1(Х I ^2\
О второй производной ничего нельзя сказать, ибо функция —. _. 2 не
приводит к сходящемуся интегралу.
В дальнейшем мы увидим, что
тге-; A,3; 32)
функция Р (х) заведомо непрерывна при всех х, имеет непрерывную произ-
производную в любой точке х ф 0 и имеет производные всех порядков в области,
дополнительной к началу координат х = 0. Однако интегральное представление
этой функции не показывает нам этого.
Пусть и—ньютонов потенциал, создаваемый
Пои е ия электрическими зарядами ограниченной плотности
V Непрерывность и Р (*) (IР (■*) I < МУ равной нулю вне некоторого
дифференцируемость ограниченного множества X. Имеем [формула
потенциала зарядов, A,2; 50)]:
распределенных
по объему Л/(^)= / / / \х-а\ах- С 3; 33)
х
Мы хотим показать, что V(а) — непрерывная функция а. Это не вытекает
непосредственно из уже рассмотренных теорем, ибо подинтегральная функ-
$ 3. Функции, представимые рядами и интегралами 69
ция , __ , обращается в бесконечность при х = а и, стало быть, имеет
подвижную особенность, перемещающуюся вместе с а; в частности, нельзи
добиться мажорирования . _ . ^§{х) с суммируемой §, не зависящей
от а, ибо если мы положим а = х, то будем иметь ^-(х) = оо (при усло-
условии, что \>.(х) Ф 0). Здесь снова необходимо комбинировать указанные
методы.
Заметим сначала, что если а меняется в открытом множестве ^ прост
ранства /?3, не содержащем зарядов [;х(х) = 0 при х ^ 2], то и (а) будет
непрерывной и даже бесконечно дифференцируемой функцией а. Причем псе
ее частные производные получаются дифференцированием под знаком \ \ \ ■
В самом деле, при а ^ 2 и х^Сй функция -| г- имеет частные произ-
производные всех порядков по а. Эти частные производные непрерывны и, значит,
раздельно непрерывны по а. Они ограничены, пока а остается на некотором
расстоянии ^-й? > 0 от границы й; если (х ограничена и если объем интег-
интегрирования ограничен, то предложения 45 и 46 дают сформулированный
результат. В частности, обозначив через а1 (<=1, 2, 3) координаты точки
а, будем иметь
\ч д2
И, значит, полагая Д?7(а)= V —^1}(а) (дифференциальный оператор Д
называется лапласианом), получим
ибо Дв -г г=0 ПРИ х + а. Таким образом, потенциал и {а) гармонч-
\х а\ .-
чен (что означает, что Д С/ = 0) в открытом множестве 2, не содержащем
зарядов.
Перейдем теперь к общему случаю.
Пусть а0^/?3, р > 0. Оценим интеграл
170 Гл. I. Дополнения К интегральному исчислению
При \а — а01 ^ 2р он мажорируется величиной
М
г<3р
{формула (I, 2; 51)].
При \а — а01 5> 2р во всем объеме интегрирования имеем неравенство
| х — а|^>р; поэтому интеграл (I, 3; 36) мажорируется величиной
Т /// ^ = -у4*Р3=4* A.3; 38)
I лг-в01 <р
Таким образом, этот интеграл будет сколь угодно малым при достаточно
малых р, причем это не зависит от положения точки а0^/?3. Иными словами,
функция от а, зависящая от параметра р: ,,
тг
1лг-во|>р
XIX
стремится, при р—>0, равномерно по а к функции и (а).
В силу предложения 39, для того, чтобы быть уверенным, что II
непрерывна в точке а{), достаточно знать, что V при р > 0 непрерывна в
а0- Но ведь при р > 0 функция Ц является потенциалом распределения
зарядов с плотностью 0 в шаре \х—ао\ < р и с плотностью а(х) вне этого
шара; значит, в силу того, что мы уже видели, функция 'V непрерывна в
точке а0.
Продифференцировав формально под знаком I I I , мы получим функцию
т=$ах- (ЬЗ;40)
Поскольку . *1 ,'., < -, гт . мы имеем в точке а о збениость типа —>
■' \ х — а\° " \х — а\г г1
где а = 2<3. В силу предложения 33, интеграл ко второй и третьей частях
равенства (I, 3; 40) имеет смысл. Рассуждение, полностью аналогичное тому,
которое мы только что проделали, показывает, что этот интеграл представ-
представляет собой непрерывную функцию от а. Остается показать, что эта функция
1/Да) равна именно -з— I!{а). Для этого, как в предложении 45. нужно
использовать метод интегрирования и показать, что имен.ю G есть иеопре-
$' 3. Функции, представимые рядами и интегралами 71
деленный (частный по а;) интеграл ог V',-. Точнее, пусть Ь и с—двг точки
(с координатами Ь), с), у'=1, 2, 3), расположенные на одной и той же
прямой, параллельной оси х1 {Ь] = С] прл / ф ()■ Мы должны лишь дока-
доказать, что
<1, 3; 41)
Здесь подразумевается, что координаты а^ / ФI, точки а в левой части
фиксированы и равны Ь} = с;-; единственная переменная координата — ко-
координата а1 — служит переменной интегрирования. Запишем этот интеграл
в виде
■ /^Я/МдОт^Е^**- 0.3; 42)
Ь1 Х
Предположим, что мы имеем право изменить порядок интегрирования; тогда
получим
5П)кт^г\йаг A-3;43)
Но ведь внутренний интеграл имеет смысл и равен : г т— при
| X С \ 1 X О |
всех х, не лежащих на отрезке (&, с). Этот отрезок является множеством
меры нуль в /?3. Значит, интеграл (I, 3; 43) заведомо равен
откуда вытекает равенство A,3; 41).
Таким образом, все основано на возможности изменить порядок инте-
интегрирования в формуле A,3; 42). В силу вывода из предложения 29, для
этого достаточно показать, что интеграл
1
(I, 3; 45)
конечен.
, ?2 Гл. I. Дополнения к интегральному исчислению
1
Ь1
где
Имеем
да-1 | х
Тогда
оценку:
1
— а\
СО
/ Г
^ 1 (Л
— со
для интегра.
и
Г "
5 \х-
1а A,3;
-а|2
СО
1=1=1 "*
45) имеем оценку
%. арл
иМ Г Г Г ^ . A,3; 47)
2 ^
1*1=1
Пусть, для удобства, г^1; интеграл (I, 3; 47), согласно теореме Фубини,
можно записать в виде
■кМ (ах, Г Г , а*ах> A,3; 48)
(подинтегральная функция ^-0). Двойной интеграл распространяется на огра-
ограниченную площадку (поскольку объем интегрирования X ограничен) его под-
иптегральпая функция имеет в точке (Ь2, Ь3) особенность типа — с а = 1 < 2
и, следовательно, этот интеграл конечен. Интеграл по хх также конечен,
поскольку X ограничено, следовательно, весь интеграл (I, 3; 48) конечен.
Ч. и т. д.
Если бы теперь мы попытались аналогичным образом подсчитать част-
частные производные второго порядка функции и, то мы столкнулись бы с труд-
трудностью. Действительно, частные производные второго порядка по а от функ-
функции -| имеют при х, близких к а, особенность типа —- с а -— 3.
Поэтому возникающие здесь интегралы не пмгют смысла Если не сделать
дополнительных предположений о плотности а, то легко проверить на при-
примерах, что функция V не будет дважды дифференцируемой.
Кроме того, формула (I, 3; 35) всегда ложна в области, занятой заря-
зарядами (тогда как она была бы правильной, если бы можно было дифферен-
дифференцировать II', дифференцируя дважды под знаком I Г Г ; эт0 показывает,
Упражнения 73
что математические предосторожности при выполнении таких действий отнюдь
не преувеличены). Как известно, имеет место формула Пуассона
Ш(а) = — 4гс[а(я) (I, 3; 49)
(по крайней мере если [л один раз непрерывно дифференцируема). Все эти
свойства потенциала мы рассмотрим в дальнейшем с другой точки зрения,
используя операцию свертки.
Замечание. Формулу (I, 3; 33) путем замены переменных можно пред-
представить в виде
Предположим, что [л непрерывна на Я3, а не только ограничена. Тогда
функция [л(а —х)/\х\ раздельно непрерывна по а всюду, кроме точки х = 0;
она мажорируется функцией М/|л:|, суммируемой в силу того, что |д;|=г*
с а—1 < 3, и в силу того, что объем интегрирования ограничен (этот
объем есть X -)- а — множество точек вида х -\- а, где х пробегает X;
это множество подвижно вместе с а, однако при ограниченном а оно
содержится в фиксированном ограниченном объеме, который можно принять
за область интегрирования). Это рассуждение показывает, в силу предложе-
предложения 41, что и непрерывна. Это доказательство, в котором функция^ пред-
предполагается непрерывной, является более простым, чем то, которое мы дали
для ограниченной [л; если же [л р раз непрерывно дифференцируема, то
подобное рассуждение легко приводит к непрерывной дифференцируемое™
функции и р раз. Производные вычисляются формальным дифференцирова-
дифференцированием под знаком I I I •
4^-= Г Г С-1~~и.(а - х)йх. A.3; 51)
0а[ ) ^ ^ \х\ дсц > к ' к '
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I
оо
Упражнение 1-1. Показать, что если ряд 2л ип сходится условно,
<;о со
то оба ряда 2 м„г и 2 ип Расх°дятся. Вывести отсюда, что ряд 2* "/
не удовлетворяет критерию Коши для суммируемых рядов. Упражнении
74 Гл. I. Дополнения к интегральному исчислению
можно начать с непосредственного разбора гармонического знакоперемен-
знакопеременного ряда.
со
Упражнение 1-2. Показать, что если ряд 2 ип сходится условно, то,
л = 0
изменяя порядок его членов, его можно сделать сходящимся к произвольной
наперед заданной сумме, а также расходящемся к -|- эо и расходящимся
к — эо.
со
Упражнение 1-3. Показать, что если ряд 21 ип сходится и остается
сходящимся при любом порядке его членов, то он сходится абсолютно.
'Упражнение 1-4. (Характеристические функции множеств.) Пусть А
и В — два подмножества из /?". Обозначим через А — В подмножество Я",
состоящее из точек, принадлежащих Л и не принадлежащих В.
Положим
А ЛВ = (А — В) и (В — А) •).
Обозначим через Ха (соответственно Хв) характеристическую функцию мно-
множества А (соответственно В). Доказать формулы
A)
Хл дв = I Хл ~ У-ву ' )
Сопоставьте формулу B) с предложением 24.
Упражнение 1-5. (Интегралы по сферам и /?".) Выразить через пло-
площадь 8п единичной сферы в /?" объем шара радиуса К и момент инерции
однородного шара радиуса К по отношению к его центру.
Упражнение 1-6. I. Примем стандартные обозначения:
I = ■/=Т, е" гг_ сов I +-151П /; | а -\- 1Ь \ = У а2 + Ь2.
Считая х вещественным, 0 < х < 2, показать, что
0( (п-\-1)ъх _1_ 4 _ _|_ ^'я!«| ^'
■кх
') Симметрическая разность множеств А и В, разделительное .или" в исчисле-
исчислении высказываний. — Прим. перев.
Упражнения
75
Тогда очевидное неравенство \д\ <1 \а-\-ЬЬ\ дает
)т!л: + ... -^-зшткх\
Пользуясь оценкой A) и формулой
~х
A)
получить оценку
--51П ПКХ -\ ц—г- • 51П (» —|—
-\ 51П /ИТСХ
1 т
B)
II. Показать, что тригонометрический ряд
1,4/. , 1 . „ . , 1
12 ' я3 \ ' З3
— -^(СО5" ■ [
( 2 ••• Н—2-с
сходится при всех х, — 1 .< х < 1. Этот ряд определяет в интервале
(—1, +1) вещественно-значную функцию, которую мы назовем / (х).
III. Показать, что ряд, полученны-й почленным дифференцированием ряда
для /(х), сходится при 0< \х\ < 1. Обозначим через &(х) ряд, полученный
почленным дифференцированием из ряда для / (х); функция &(х) определена
пока только при — 1<д:<0 и 0<лг<1. Учитывая, что ряд с общим
1 2
р
1 г2
членом —5- имеет суммой -^-, вычислить ^@). Показать, что
ция, непрерывная в каждой точке интервала (—1, 1).
IV. Пусть
0, если — 1 ;>х <0,
_2х, если 0< х ^ 1,
— функция, определенная в интервале (—1, -(-1).
Положим
где
— функ-
функ- 2 *■ *•—
О(_0)=ПтО(х) и
дг<0
= Нт О(х).
7E Гл. I. Дополнения к интегральному исчислению
Написать разложение в ряд Фурье функции О(х). Вывести отсюда формулу
для /(х) в интервале (—1, 0) и формулу для /(х) в интервале @, 1). По
значению /@) определить сумму ряда с общим членом —.
Что можно сказать о производной функции / в начале координат?
Упражнение 1-7. I. Положим
ео(х)^е-*\ еп(х)=
1°. Показать, что эти функции существуют.
Т. Пусть
а функции /2(х), ..., /п(х) определяются при га > 1 из уравнения
/; (х) + 2х/"п (х) = 2 /,. (х) /;_, (х),
причем
Пт /п(х)= Пт /'п(х)= Пт ех'/"п(х) = 0.
Л" -> — со Л" -> — ^о X -> — ^
Показать, что /"п(х) ' ео(лг)е^-'(х), /п(х) / е2(х)е^-' (х), и вывести отсюда,
что эти функции существуют.
П. 1°. Пусть Л>0 дано. Показать, что при х, не превосходящем не-
некоторого значения ХХ{А), ряд
-2* +-2 Л'/,(*) A)
(=1
сходится и его сумма является некоторым решением уравнения
У'" = УУ". ' B)
2°. Пусть 2А(х) — решение уравнения B), которое совпадает с суммой
ряда A) при х < Х1(А) [область существования функции 2д(х) может быть
отличной от области сходимости ряда A)].
Показать, записав уравнение B) в виде у" = Се^ уМ х, что либо функ-
функция 2Л(х) существует при любом х, либо же 2А(х) существует при х < хо(Л)
и стремится к бесконечности, когда х стремится к хо(А).
3°. Показать, что для всех значений х, при которых 2А(х) существует,
сумма 5п{х) первых п членов ряда A) не превосходит 2д(х) (показать, что
Упражнения , 77
Н(х) — 2А(х) — Зп (х) удовлетворяет некоторому дифференциальному уран-
нению, из которого вытекает, что к" (дг)^-О).
4°. Вывести отсюда, что область существования 2л(х) совпадает с об-
областью сходимости ряда A).
Упражнение 1-8. I. Мы хотим получить принадлежащий Фейнману
метод интегрирования для произведения некоторых множителей. С этой
целью мы устанавливаем две формулы, позволяющие преобразовать проинне-
дение п множителей в интеграл от я-й степени некоторого выражения.
Первая формула Фейнмана:
I л\ ' л\ Х2 ■■■ Хп-\
1 , . Г Г Г
.—: = (п — 1)! их-, йх0 ... йх„ , У
а{а2 ... а„ К } Ч 2 ^ п-1 у\
0 0 0
у 1
[(вл-1—Дп)-Кп-1 + (ая-2 —Дп)-*в-8+ ■•■ +(а1—ап)х[ + а„]п'
(а1 > 0).
1°. Доказать эту формулу непосредственно, используя следующие соот-
соотношения и замены переменных:
п" о
Здесь возникает некоторый интеграл с п-\- 1 переменным, которые свя-
связаны простым соотношением. Чтобы получить приведенную выше формулу,
надо выполнить интегрирование по X.
2°. Доказать эту формулу по индукции.
Вторая формула Фейнмана:
1 1
йхп-\ X
а"
„я-2„л-3
М Х2
— «,) ■«! +а,)]" '
1°. Доказать эту формулу по индукции.
2°. Показать, что существует некоторая замена переменных, которая
позволяет перейти от первой формулы ко второй. Заметьте, что пределы
интегрирования в первой формуле переменны, а во второй фиксированы.
Гл. I. Дополнения к интегральному исчислению
1оэтому надо, отправляясь от первоначальных переменных, найти перемен-
ые, заключенные между 0 и 1.
II. Приложение к явному вычислению некоторого интеграла в четырех -
1ерном пространстве.
(А-К)(С-(К+У))
де А, С, К, V, № — векторы с компонентам!
А,, С,, Кг V,, Г,, /= 1, 2, 3, 4.
(Л • V) = (А ■ Г); (С ■ V) = (С • Г); У2=Ш2; (Л-С) = 0.
(Л • К) = Л^КХ + А2К2
Интегрирование распространяется па все пространство.
1°. Применить первую формулу Фейнмапа к произведению
1
2°. Проинтегрировать по К с помощью некоторой линейной замены
переменных и введения полярных координат в четырехмерном пространстве:
5]—-/^соза], 52 — /? сов а251п ах,
53 = /? сов а351п а231П а1.
3°. Возникший при этом двойной интеграл по хх и х2 вычислить с по-
помощью замены переменных хх-\- х2 = '®, х1 = ичй>.
Упражнение 1-9. (Сходимость последовательностей функций.) I. Пусть
Е—линейное векторное пространство над полем комплексных чисел С. Ото-
-> ■>
Сражение х—>'|л:|| пространства Е в К называется нормой, если оно обла-
обладает следующими свойствами:
0
■>
II х* 1
4-У1
>0 д
1 = |М
-*11*1
ля
•II
н
любого
->
л: || для
г-!!У'|| Д-;
->
х ^ Е и
любого X
1Я любых
>
X,
=
1 и
->
■>
■>
любого х
Упражнения
■> ->
Говорят, что последовательность векторов хп из Е сходится к х в ирострнн-
-> >
стве Е в топологии, определяемой нормой ,'| • ||, и пишут хп—>х, если
-> -> >
1|л:л — лг!|->0, когда п-> :о. Говорят, что х„ образуют последовательность
Коши в топологии, определяемой нормой '| • ;|, если для любого в > 0 суще-
существует такое целое число я0, что для любой пары целых чисел т, п, бэль-
-> ->
ших ге0, выполняется неравенство \\хт — хп)\ -^ е.
->■>•->>■ ■>->■>■>
1°. Показать, что если хп—>х и уп—>у в Е, то •*:„-}-ул —> х -(-у.
-> ■>
2°. Показать, что если хп->х в Ей если Хп — последовательность ком-
■> ->
плексных чисел, сходящаяся к X, то Хпхп—>Хх в Е.
3°. Показать, что всякая последовательность, которая сходится и /:'.
является последовательностью Коши. В общем случае предложение, обрат-
обратное 3', ложно и последовательность Коши в Е не обязана сходиться к неко-
некоторой точке из Е.
Если векторное пространство Е над С снабжено нормой, для которой
всякая последовательность Коши сходится к некоторому вектору ил /:',
то говорят, что Е полно в топологии, определяемой этой нормой. В этом
случае Е называется пространством Банаха.
II. Обозначим &[о, 11—векторное пространство над С комплекснозначных
функций, определенных и непрерывных на [0, 1]. Положим
1/@1
!12== 5иР
1°. Показать, что Ц/!'] и ]|/'|2 определяют две нормы на §[о, 1]-
2°. Показать, что если последовательность функций /я ^ $\о, 1) сходится
к функции / ^2°0, м в смысле нормы || • Цр то /я@"~*"/@ просто на [0, 1].
3°. Показать, построив контрпример, что последовательность функ-
функций /я ^ §[о, 1], которая просто сходится на [0, 1 ] к некоторой функции / ^ §[о, г,
не обязательно сходится к / в смысле ]\ ■ |[г (М)жно, например, взять /га(/)='-0
при { = 0 и ^ > 1/ге, /„{()= ЪпЧ при 0 < / < 1/2я и /„ (/) = — пЧ (I — 1/ге)
при 1/2« . ^ < 1/ге.)
4!. Показать, что если /я—>/ в ё[о, 1] в смысле || ■ ||2, то /я—>/ равно-
равномерно па [0, 1], и обратно: если /я^&°о, м сходится к / равномерно на [0, 1],
10 /«->/ в &|о, ц в смысле || ■ ||2.
Гл. 1. Дополнения к интегральному исчислению
5°. Пусть на векторном пространствг Е заданы две нормы: || - ^х и !| • ||2;
говорят, что норма || • ||2 тоньше (сильнее), чем норма || • Ц^ если суще-
существует такая постоянная К, что для любого вектора х^Е выполняется
неравенство
Говорят, что две нормы эквивалентны, если каждая из них тоньше другой.
Показать, что на $[о,\) норма 1| • \\2 тоньше нормы || • 1^.
Используя последовательность функций /пA), определенных на [0, 1]
равенствами
при I ;> 1//г,
1 при 0</<1/л,
показать, что нормы || • ||, и || • ||2 не эквивалентны.
6°. Показать, что в норме || • ||2 пространство Я°о, 1) является простран-
пространством Банаха.
7°. Пусть последовательность функций /п(() определяется на [0, 1]
равенствами
| 0 при / < 1/2,
/л(^) = | п(*—1/2) при 1/2<*.<A/2+1/л),
1 1 при />A/2+1/я).
Показать, что в норме || • ||| эта последовательность будет последователь-
последовательностью Коши, которая не сходится ни к какой функции / из $[о, 1]. Таким
образом, в норме || • ^ пространство $[о, 1) не полно.
8°. Одно из утверждений 1°—7° неверно! Какое? Построить контрпример.
ГЛАВА II
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ
РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
*» § /. Определение распределений
1. Векторное пространство <%>. Пространство 3) есть векторное пол-
пространство векторного пространства комплекснозначных функций, опре-
определенных па /?"; подобная функция точки х ^ К" является также функцией п
вещественных переменных хг< х2 хп.
Пространство 3 определяется так:
Для того чтобы функция ср точки из Я." принадлежала 3, необ-
необходимо и достаточно, чтобы она была бесконечно дифференцируемой
и чтобы существовало ограниченное множество К в /?", вне кото-
которого ср тождественно равна нулю.
Естественно, множество К не одно и то же для всех функций ср из 3.
Наименьшее замкнутое множество К, вне которого произвольная функция <р
раина нулю, называется носителем ср. Иными словами, К есть замыкание мно-
множества точек. х, для которых ср(х)=^О. Отсюда — определение:
Определение 1.
Пространство ,25 — это пространство комплекснозначных, беско-
бесконечно дифференцируемых функций на К" с ограниченными носителями.
Пример. Пусть п=1. Функция ср, определяемая равенствами
0 при |х|>1,
принадлежит 3. Действительно, ее носитель (интервал |х| <Г 1) ограничен;
она бесконечно дифференцируема при \х\ > 1, потому что в этих точках
она — тождественный нуль, и при |х| < 1—как экспонента от бесконечно
дифференцируемой функции. Легко, однако, показать, что она бесконечно
дифференцируема всюду, поскольку ее производные всех порядков в точ-
точках х = ± 1 равны нулю. Полезно заметить, что всякая конечная строка
Тейлора функции ср в окрестности точек х — ± 1 имеет только нулевые
6 Л. Шварц
'2 Гл. II. Элементарная теория распределений
■лены и сводится, стало быть, к своему остаточному члену. Ряд Тейлора
ю степеням х — 1 или х-\-\ сходится к 0, потому что все его члены равны
1улю, и не представляет функцию ср(х)>0 при |х| < 1. Подобная ситуа-
ситуация возникает для любой функции <?<^3, неравной тождественно нулю.
В пространстве л измерений мы имеем аналогичный пример:
I 0 при г>1,
<?(*)=' I 1 ) ^, (II, 1; 2)
То, что 3 является векторным пространством, вытекает из того, что если
ср! и ср2^.35, то о>! -(- ср2 (; 3) и если X — комплексное число, а ср^^З, то Хер ^ 3.
Пространство 3 является даже алгеброй (или кольцом) по отношению
к обычному умножению, ибо если ср1 и ерг 6 -®- т0 ?1?2 6 с^-
Вообще если ср ^ 3 и если ф — бесконечно дифференцируемая функция
необязательно с ограниченным носителем, то ерфб-® и носитель ерф содер-
содержится в пересечении носителей ср и ф.
Предложение 1. (Теорема аппроксимации.) Пусть /—непрерыв-
/—непрерывная функция с ограниченным носителем. Для любого в > 0 функцию /
можно равномерно с точностью до е аппроксимировать функ-
функцией у^З), при этом можно добиться, чтобы носитель ср содержался
в произвольной окрестности носителя К функции /.
Доказательство. Пусть число й > 0. Окрестностью размера Л
множества К называется множество КЛ точек, расстояние которых до К
не превосходит й?(<_йГ). Кл — замкнутое ограниченное множество, содержа-
содержащее К. Мы хотим показать, что при данной / с носителем К и при данных
числах е>0 и й > 0 существует ср ^3 с носителем, содержащимся в Кй,
такая, что „расстояние" / отер, т. е. вир |/(х) — ср(х)|, не превосходит е(<^е).
Для этого обозначим через 61 функцию (принадлежащую 3), определенную
в нашем примере формулами (II, 1; 2). Положим далее
так что носителем 0 (х) будет шар |х| -< а; число А выбирается равным
интегралу
§.1. Определение распределений И
так что
]" ]" ... ]"(Нх)йх=1. (II, 1;4)
я"
Определим теперь функцию ср интегралом
1 $ /*_б)й;. A1,1; 8)
Покажем, что если постоянная а в формуле (II, 1;3), определяющей 0, выбрана
достаточно малой, то ср будет обладать всеми требуемыми свойствами. Во-пер-
Во-первых, если х не принадлежит множеству Ка, то \х — %\ > а для любого \^К\
но поскольку второй из интегралов в (II, 1; 5) берется на самом деле не по И",
а по К [в силу наличия /@1. будем иметь 0(х — 0^0 при 1^К и, зна-
значит, ср(х) = О. Таким образом, ср равна нулю вне Ка и, значит, ее носитель
будет содержаться в Кй, если а <^ й. Далее, ср — бесконечно дифферен-
дифференцируема. В самом деле, второй интеграл можно дифференцировать но х
любое число раз под знаком I , поскольку область интегрирования (носи-
(носитель /) ограничена, а функция /(^N(х—$) имеет производные по х всех
порядков и эти производные непрерывны по х и 5. Оценим, наконец, раз-
разность ср(-*О — /С*): поскольку
//...
к"
имеем
// / М; в)
Поскольку функция / непрерывна и имеет ограниченный носитель, она равно-
мерно непрерывна. При данном е > 0 можно подобрать г\ > 0 так, чтобы
при |$| <; т) выполнялось неравенство \/(х) — /(х—01 *С 6- Поскольку
интеграл в формуле (II, 1;6) берется на самом деле не по Н", а по носи-
носителю функции 6, т. е. по шару |^| < а, мы имеем в этом интеграле
\/(х) — /(х — й|<е, если а выбрано <; ч\; поскольку, наконец,
]
/]"
=1. имеем
A1.1:7)
Таким образом, при а < й и а ^ т] функция ср будет обладать
всеми требуемыми свойствами.
Гл. II. Элементарная теория распределений
Топология, Говорят, что некоторая последовательность ср, функ-
или понятие ций, принадлежащих 3, сходится (при /—>оо) к функ-
сходимости в ® ции ? из &> если выполняются требования:
1) носители функций ср;- содержатся в одном и том же замкну-
замкнутом множестве, не зависящем от _/;
2) производная произвольного порядка т функций ср; равномерно
сходится при _/—>оо к соответствующей производной функции ср.
Это—сходимость „бесконечного порядка", потому что она содержит
в себе ранномерную сходимость любой произнодной. Заметим, что мы не
требуем равномерной сходимости сразу по всем порядкам дифференцирова-
дифференцирования, мы требуем равномерной сходимости для каждого отдельно взятого
порядка дифференцирования.
2. Распределения. Определение 2. Распределением Т называется
линейный функционал, непрерывный на векторном пространстве 3.
Это означает, что всякой функции <р€-^ распределение Т ставит в соот-
соответствие комплексное число Г(ср) (которое мы будем также обозначать (Г, ср)),
обладающее свойствами:
(И. 1; 8)
Т (Хер) = ХТ (ср), где >.—комплексная постоянная.
Если ср. сходятся при _/—> х) к ср в смысле топологии в ,35,
то комплексные числа Т (ср;) стремятся при у—>оо к ком-
комплексному числу Т (ср).
Распределения сами образуют векторное пространство 3'; сумма 7"г —|— Т
И произведение ХТ определяются формулами
ср),
= Х(Г, ср),
так что скалярное произведение (Т, ср) при Т^З' и ср ^ 3 оказывается
билинейной формой.
Пространство 3' является частью пространства 3*, двойственного к 3
и состоящего из всех линейных функционалов, непрерывных или не непре-
непрерывных на 3. Используя аксиому выбора, можно математически доказать
существование линейных разрывных функционалов на 3\ но в явном виде
нельзя привести ни одного такого функционала; мало шансов, что таковой
когда-либо встретится на практике.
/. Определение распределений Н5
Пример I. Пусть / — локально суммируемая фуик*
Примеры ЦИЙ1 т е_ фуНКЦИЯ> суммируемая на любом ограничен-
пом множестве. Она определяет распределение I у,
(Г,. ?> = // ••• //(*)?(*)<**. A1.1; 10)
я"
Этот интеграл заведомо имеет смысл, ибо на самом деле интегрирование
производится не по К", а по ограниченному носителю функции ср; на этом
носителе функция / суммируема, а функция ср непрерывна, так что /ср сум-
суммируема. С другой стороны, значение интеграла есть, разумеется, линейный
функционал от ср.
Остается показать, что этот функционал непрерывен на 3). Предполо-
Предположим, что «р; сходятся к ср в 3 при у—>оо. Пусть К — ограниченное мно-
множество, содержащее носители всех функций еру. Имеем
|G> сР;)-(Г/, ср)| <тах|ср-ср.|.// ••• (\/{х)\аХ. A1.1; 11)
к
Поскольку тах |ср — ср;| стремится к 0 при /—>оо, разность в левой части
формулы (II, 1; 11) и подавно стремится к нулю.
Предложение 2. Две функции / а § определяют один и тот же
функционал Т^—Т^ тогда и только тогда, когда они почти всюду
равны.
Если / и § почти всюду равны, то, очевидно, (Т^, ср) = (Гг, ср),
какова бы ни была ср^^5. Доказывать нужно обратное. Положив / — % — п,
мы сведем утверждение к следующему: если И. — локально суммируемая
функция и если при любой срб-®
$ 0, (II. 1; 12)
я"
то п(х) равна нулю почти всюду.
1) Покажем сначала, что I I ... I Н(х)^(х)с1х = 0, какова бы ни была
я"
непрерывная (но не обязательно дифференцируемая) функция 6 с ограничен-
ограниченным носителем. Это вытекает из теоремы аппроксимации (предложение 1);
при любых е>0 и й > 0 существует такая функция ср^.25, что |ср—ф| «^ «,
и если ф имеет носителем К, то носитель ср содержится в Кл. Имеем
... /(<?(*) — <{.(*))*(*)</* <е| / ... §\Н(х)\йх. (Н.1-,13)
ка
86 Гл. II. Элементарная теория распределений
По предположению, \ \ ... Г ср (х) к (х) их = 0 и, значит,
к (х) | их. (II, 1; 14)
я"
Фиксируем й и устремим е к нулю, тогда получим
<** = 0. (Н, 1;
2) Пусть теперь х(-^) — ограниченная (измеримая) функция с ограничен-
ограниченным носителем. Покажем, что снова
0. (II. 1; 16)
Мы опираемся здесь на теорию интеграла Лебега (гл. I, определение 3).
Если х — измеримая функция на К", то существует последова-
последовательность непрерывных функций ^у. которая при у—>эо сходится
почти всюду к х-
В интересующем нас случае функция ■/_ имеет ограниченный носитель,
и поэтому можно считать, что носители функций ^;- содержатся в одном
и том же ограниченном множестве, не зависящем от у. Если бы это было
не так, то функции ^ можно было бы заменить функциями а^, где а — фик-
фиксированная непрерывная функция с ограниченным носителем, равная 1 на
носителе функции ^.
С другой стороны, поскольку х ограничена, можно всегда считать, что
функции 1} ограничены числом М = зир|х|; действительно, если бы это
было не так, то функции
можно было бы заменить функциями а](х)е'ш1(х\ где 0у(х) = тт(Л1, р;-(х)).
При соблюдении этих двух условий имеем, с одной стороны,
A1.1; 17)
поскольку 5Су — функции типа ф, непрерывные и с ограниченными носителями;
с другой стороны, при у"—>оо имеем
// / (II, 1;18;
А Определение распределений 87
[Действительно, последовательность Х/(х) сходится почти всюду к %(х),
функции к{хI]{х) имеют ограниченные носители и их модули \Н{х)Х](х)\
мажорируются локально суммируемой функцией М|й(х)|; следовательно,
по теореме Лебега имеет место равенство (II, 1; 18).] Из этих двух соотно-
соотношений вытекает формула (II, 1; 16).
3) Возьмем теперь следующую функцию
0 при |х| > а или при й(х) = 0;
г(я)в<ши), |*| < а и Н(х)фО.
Функция х(х) измерима, ее модуль равен 1 или 0, а ее носитель содер-
жится в шаре |х| ^ а.
В силу формулы (II, 1; 16), имеем
//.'../|*(*)|<** = 0. (ИЛ; 19)
I х |
Таким образом, |й(х)| является функцией, которая ^-0 и интеграл которой
по шару |х| <1 а равен нулю; значит, к{х) равна нулю почти всюду
в шаре |х| < а; а поскольку это верно при любом а, функция к равна
нулю почти всюду, что и требовалось доказать.
Следствие. Условимся отождествлять две локально суммируе-
суммируемые функции / и §, если они почти всюду равны (это сводится
к тому, что мы будем говорить только о классах локально сумми-
суммируемых функций). Тогда понятие распределения будет обобщением
понятия локально суммируемой функции. Вот почему в дальнейшем
мы будем отождествлять локально суммируемую функцию /, опре-
определенную почти всюду, с функционалом Тр который она определяет,
и будем писать
I </*. (II. 1;20)
В частности, функционал, который каждой функции ср ста-вит в соответ-
соответствие ее интеграл I I ... I ср(х)йх, задает распределение, которое мы ото-
ждествим с функцией /(х)=1.
88 Гл. II. Элементарная теория распределений
Пример II. Пусть / — локально суммируемая функция, О — символ
частной производной по хх, х2, ••., хп произвольного порядка. Функционал
л"
задает некоторое распределение.
Пример III. 8-распределение Дирака определяется формулой
C, ср) = ср(О). (II, 1; 22)
Распределение Дирака 8(а) в точке а^К.п определяется формулой
(8(а). ?) = ?(<*)■ (II, 1;23)
Точно так же определяются распределения
(Г, ср) = Оср(а), ■ (II, 1; 24)
где й — произвольная частная производная.
Распределения Т ^ 3)' можно интерпретировать как
Математические распределения электрических или магнитных зарядов,
распределения как распределения масс и т. п.
и распределения г» па
зарядов в физике Распределение Дирака о(й) истолковывается тогда
как изображение массы, равной -)-1 и помещенной
в точку а ^ /?"; распределение, связанное с локально суммируемой функ-
функцией /, истолковывается как распределение заряда с плотностью / (объем V
содержит тогда заряд, равный \ \ . .. Г / (х) а"х). Физика приводит к мно-
V
гочисленным выражениям вида (Т, ср), но ср обычно не принадлежит 3). Это
значит, что каждое распределение Т может быть распространено как функ-
функционал на некоторое, зависящее от Т, множество, более широкое, чем ,25; 3
есть общая область определения всех этих функционалов. Например, функ-
функционал 8 можно распространить на все функции, непрерывные в начале
координат. Функционал / — на все функции ср, такие, что /ср суммируема,
и т. д. Вот почему для того, чтобы вычислить полный заряд, вычисляют
(Г, 1), что дает I I ... I /(х)Aх для Т = / и +1 для Т=--Ь{п); чтобы
к"
вычислить момент инерции по отношению к началу координат, вычисляют
(Г, г2), что дает Г Г ... Г/{х)г2йх для Г=/ и \а\2 для Г-—8(о); чтобы
/. Определение распределений 89
вычислить ньютонов потенциал в точке Ь^К3, вычисляют ^7\ :—_ /, что
дает
/ (х) их ~ , 1 _
ДЛЯ Т = / И \аЬ\ ДЛЯ Т =
/ I ) \х-Ь\ """ '—' " |а-Т|
/?3
Рассмотрим распределение электрических зарядов, задаваемое диполем
с электрическим моментом, равным -\-1. Диполь помещен в начало коорди-
координат 0 на прямой /?. Найдем математическое распределение, которое ему
соответствует. Диполь является „пределом" при е—>-0 системы Тг двух заря-
зарядов — и , помещенных в точки с абсциссами е и 0. Системе Тг сопо-
сопоставляется математическое распределение, задаваемое формулой
(г.. у)=1У(в)-1у(о)=^7?(О)- (и-1;25)
Когда е—>■(), величина (Те, ср) стремится к ср' @)- Мы пришли, таким обра-
образом, к тому, чтобы определить диполь посредством распределения
(Г, ср) = ср'(О); (И, 1; 26)
в этом определении переход к пределу обойден.
Диполь в К." (помещенный в данную точку а ^ К.") с электрическим
моментом 3№, ориентированным в данном направлении, определяется посред-
посредством распределения
(Г, ср> = ЗЭТОср(а)> (II, 1; 27)
где Оср — производная от ср в данном направлении. Аналогия между матема-
математическими и физическими распределениями не подлежит доказательству;
математические распределения представляют собой точное матема-
математическое определение распределений, встречаемых в физике.
Распределения, встречаемые в физике, наводят на мысль о новых мате-
математических распределениях. Например, распределение заряда по поверхности 5
с поверхностной плотностью р задается формулой
{Т. <?> = / /Р(х)ср(х)й5. ^ A1,1; 28)
(Это распределение не следует путать с распределением, задаваемым объем~
ной плотностью / и отождествляемым с самой функцией /.)
90 Гл. II. Элементарная теория распределений
Распределение диполей по поверхности 5, ориентированных по нормали
и имеющих поверхностную плотность момента р, задается формулой
/Ж (П.И29)
5
Вслед за Дираком потребители квантовой физики вместо распределения 8
используют „функцию Дирака", обладающую свойствами
8(х)=-. 0 при х Ф 0,
8@)=оо,
(Н.1;30)
(Вообще часто распределение на пространстве /?" переменного х обозначают
через Т (х) и условно записывают (Т, ср) в виде
я"
Подобные свойства противоречивы, и подобная функция не могла бы
существовать, ибо если бы 8 равнялась нулю почти всюду, то ее интеграл
Лебега был бы равен нулю. К тому же функция кЬ (х) принимала бы те же
самые значения 0 и со, что и 8, а ее интеграл (равный к) не был бы тем же
самым. Разумеется, физики хорошо знают, что речь здесь идет не о „настоя-
„настоящей" функции, а о неком символическом орудии. И все же осторожней будет
придерживаться понятия „распределение" и писать (8, ср), а не 8(х), если
только речь не идет о интуитивном отыскании формул, которые затем должны
быть строго доказаны в терминах распределений.
Точно так же распределение 8(а) часто записывают как 3(х— а), и
формула (II, 1; 23) приобретает вид
Ъ{х — а)у{х)йх = у(а). (II, 1; 31)
3. Носитель распределения. Говорят, что распределение Т равно нулю
на открытом множестве 2 в К", если (Т, ср) = 0 для всякой функции ср ^ 35,
носитель которой лежит в 2.
Мы примем без доказательства следующий принцип.
Принцип склеивания Пусть 12,1 — конечное или бесконечное се-
у мейство открытых множеств с объединением 2.
Пусть, с другой стороны, [Т^—семейство распределений, зависящих
от того же множества индексов. Распределение Т\ определено в от-
">. § 2. Дифференцирование распределений 91
крытом множестве 2('). Предположим, кто если Й; и 2у имеют
непустое пересечение, то Т1 и Т'у совпадают на этом пересечении.
Тогда существует одно и только одно распределение Т, определен-
определенное в 2, которое совпадает с Т1 на каждом открытом множестве '2^
Применяя этот принцип к случаю, когда все Ть равны нулю, мы видим,
что если распределение равно нулю на семействе открытых множеств, то оно
равно нулю на их объединении. Следовательно, объединение всех открытых
множеств, на которых данное распределение Т равно нулю, снова является
открытым множеством, на котором Т равно нулю, и притом самым большим.
Дополнение этого множества и называется носителем Т. Можно также ски-
зать, что носитель Т — это наименьшее замкнутое множество, вне которого Г
равно нулю. Для того чтобы некоторая точка принадлежала носителю Т,
необходимо и достаточно, чтобы Т не равнялось нулю ни в какой окрест-
окрестности этой точки.
Примеры. Если Т — непрерывная функция, то носитель Т как рас-
распределения совпадает с носителем Т как функции. Носитель распределении
Дирака 8(а) в точке а сводится к единственной точке а.
Замечание. Если носитель Т и носитель ср не имеют общих точек,
то (Т, ср) = О.
$ 2. Дифференцирование распределений
дТ
1. Определение. Мы хотим отыскать такое определение производной -т—
по переменному х, распределения Т на Ц", которое бы в случае, когда Г
есть непрерывная функция / с непрерывными производными, приводило бы
к -т^— в обычном смысле.
дхх
Так, пусть / — непрерывно дифференцируемая функция. Имеем
Теорема Фубини, примененная к легкому случаю непрерывных функций
и ограниченной области интегрирования, дает нам
" (И. 2; 2)
л
') Распределение на открытом множестве Й — это линейная непрерывная форма
на подпространстве пространства ©, состоящем из функций <р с носителями в 2.
92 Гл. II. Элементарная теория распределений
Проинтегрируем по частям внутренний однократный интеграл. Он превра-
превратится в
/$-<**!• (".2;3)
Проинтегрированный член пропадает, поскольку ср равно нулю вне некоторого
ограниченного множества. Таким образом, остается интеграл
Х2 Хп
Окончательно
и, значит, мы вынуждены определить производную -*— распределения Т
формулой
Эта формула, разумеется, определяет -г— как распределение; в самом деле,
-т— оказывается линейным функционалом от ср; если, кроме того, последо-
ОХ\
вателыюсть ср, сходится к ср в 3) при /—>со, то, по самому определению
этой сходимости, последовательность -~- сходится в 3) к -^—. а поскольку Т
является распределением, числовая последовательность \Т>~7)/ сходится
к {Т, -т*—/> это рассуждение показывает, что(-^—, ср;у стремится к ^—,
и, значит, -г— является распределением. То же самое справедливо и для
[ дТ д2Т
производных -к—• Найдем теперь производную второго порядка -з—^—;. Имеем
\ дХ1дХ]- ' V /— \дх;' дХ; /—\у ' дх,дхг Г
• дхг дх} Г и ' ' ;
§ 2.. Дифференцирование распределений !)Э
д2ч> д2<р
Как известно, -г—^—=-^—т—, поскольку производные второго порядки
ОХ^ ОХ} ОХ} ОХI
функции ср непрерывны. Отсюда мы заключаем, что
дх1 дх дХ дх ' ' '
Пусть, в общем случае, р = {рг, р2, . . ., рп) — система п целых чисел
Под пр понимают производную
дх, )
Полагают | р | = рг ~\- р2 -\- ... -\-рп — порядок производной. Тогда имеет
место формула
(от, с?) = (—1)'"' {т, ом- (»■2;9)
Итак,
Предложение 3. Всякое распределение Т имеет последователь-
ные производные всех порядков, последовательность дифференциро-
дифференцирований можно менять. Имеет место формула
(' = 1 1=1
Замечание. В частности, всякая непрерывная или хотя бы только
локально суммируемая функция / имеет последовательные производные всех
порядков; однако эти производные, вообще говоря, не являются функциями.
Распределения по отношению к функциям напоминают в некотором смысле
комплексные числа по отношению к вещественным; всякое алгебраическое
уравнение с вещественными или комплексными коэффициентами имеет
комплексные корни, всякая локально суммируемая функция или всякое
распределение имеет последовательные производные всех порядков, которые
являются распределениями.
Пусть О — дифференциальный оператор с постояп-
Обобщение ными коэффициентами
О=2^ (II, 2; 10)
р
Транспонированным (иногда говорят сопряженным) дифференциальным опе-
оператором называют оператор 1й, определяемый равенством
'О=2(— 1)"";У>р. (Н, 2; 11)
94 Гл. 11. Элементарная теория распределений
Тогда имеет место формула
' A1,2; 12)
Имеем "/) = /) и
('пТ, <р> = <7\ Оср). . (II, 2; 13)
Например, если О — лапласиан Д== 71—т< то
(ДГ, ср) = (Г, Дер). (II, 2; 14)
2. Примеры производных в случае одного измерения, п=\. Если
/ — непрерывно дифференцируемая функция, то, согласно формуле (И, 2; 5),
ее производная в смысле теории распределений совпадает с ее обычной
производной.
Примем за Т функцию Хевисайда V, равную 0 при
Разрывные функции х<0 и -^-1 при х>0 (нет необходимости опре-
определять ее ее при х —О, так как эта точка является
множеством меры пуль). Эта фундаментальная функция символического исчис-
исчисления используется в теории электричества под названием „единичная сту-
ступенька". Имеем
{У, <?) = — {V, <?') = — /К(х)ср'(*)<*х =
— СО
= - ]У (х) </* = -[? (*)]*:~ = ср @) = (8. <р). (II, 2; 15)
Ь
Таким образом,
У' = Ь. (II, 2; 16)
Инженеры-электрики называют 8 „единичным импульсом". Мы видим, что
разрыв У проявляется у ее производной в виде точечно,й массы.
Дальнейшие производные распределения 8:
<8'. <р> = _<8. <р') = -<р'(О); (II, 2; 17)
8' — это диполь с моментом —1, помещенный в начало координат1). Далее
<8<т). <р> = (— 1)тср(ш)@). (II, 2; 18)
Обобщим это. Пусть / — бесконечно дифференцируемая функция (в обыч-
обычном смысле теории функций) при х < 0 и при х > 0, и пусть каждая из ее
') По аналогии с «единичным импульсом" для 6' можно употреблять термин
.единичное биение". —Прим. перев.
$ 2. Дифференцирование распределений 95
производных имеет предел справа и предел слева в точке х = 0. Обозначим
через ат „скачок" т-Й производной в точке х = 0, т. е. разность „предел
справа минус предел слева"*). Обозначим через /', /", ... производные
функции / в смысле теории распределений, а через {/'}, {/"}. •••—рас-
•••—распределения, определяемые функциями, которые равны обычным производным
при х<0 и при х>0 и не определены при х = 0. (Например, если /=К,
то /'-8, а {/'}=<).)
Имеем
со 0 со
— со —со О
со со
0 О
со
= /(+0)<р@)+]7'(*)?(*)<**■ (II, 2; 20)
о
Аналогично
о о
— I /(х)?' (х)их = — /(—0)ср@) —{— I /'(х)ср(х)йх. (II, 2; 21)
— со —оо
Складывая, получим
со
— (/. ср') = ао<р(О)+ |/'(х)ср(х)й!х, (И.2;22)
-со
т. е.
/' = {/'Ц-о05. (II, 2; 23)
Здесь снова разрыв / проявился у ее производной в виде точечной массы.
Повторные дифференцирования приводят к предложению.
Предложение 4. Имеют место формулы
(II. 2; 24)
') Удобен символ скачка Г/(■«)=/(■« +0)—/(х — 0); от= Г/т)@).—
Прим. перев.
96
Гл. 11. Элементарная теория распределений
Например, функция, равная 0 при х<0 и равная созх (или зшх)
при х > О, имеет в качестве производной функцию, равную 0 при х < О и
равную —51П х (или созх) при х > 0, с добавленным к ней распределе-
распределением 8 (или 0). В записи
/тт о.
(К(ХMШХ)' = К(Х)СО5Х.
1
Распределение ур —
х
Функция — не определяет распределения, ибо она
х
не суммируема
Но, как известно, интеграл
в окрестности точки х = 0.
ур
Г
(II, 2; 26)
имеет смысл, если ср ^ 3) (и д-аже если ср имеет ограниченный носитель и хотя
бы один раз дифференцируема в начале координат); символ ур следует читать
как „главное значение по Коши"}). Этот интеграл определяет, таким образом,
линейную форму от ср- Эта форма непрерывна. В самом деле, предположим,
что последовательность еру сходится к ср в 3) при у—>оо. Рассматривая раз-
разности еру — ср, можно всегда предполагать, что ср = 0. Пусть (—А, А)—ин-
А)—интервал, содержащий носители всех еру- Имеем
Г^(х) „, /пч Г Лх . С Ч] (х) — Ч] @)
ур ^ -^-—ЙА; = сру(О)ур ] -^Ч-ур ] — ^ их. (И, 2; 27)
-сю -А -А
Л
Первое слагаемое равно нулю, ибо ур I — = 0|поскольку функция-— не-
^ X \ X
-А
четна ). Во втором слагаемом можно опустить символ ур, поскольку подинтег-
ральная функция суммируема в окрестности начала координат. Формула конеч-
конечных приращений дает
?у @)
тах
№1
(Н. 2; 28)
ур
с1х
(II, 2; 29)
') Глава I, Дополнительные сведения об интегрировании, стр. 48.
§ 2. Дифференцирование распределений
что стремится к 0 при _/—>оо в силу определения сходимости сру- к 0 п. .35.
Распределение, определенное таким способом, обозначается ур—.
со
1 \ Г *? № и
х I 3 х
(II, 2; 30)
В квантовой механике постоянно используются два распределения:
*+ 8,11
(II, 2; 31)
Заметим, наконец, что функция 1ёГ 1-^1' будучи локально суммируемой,
задает распределение. При этом
со 0 со
|, <?') = — ^\%\х\ч{(х)йх = — / — / • (И. 2; 32)
— оэ —со О
— I \%ху' {х)йх = — Нш I \§х ср' (х) их =
= Нт
= 1мп
Но A§ е) (ср (е) — ср @)) стремится к 0 при е->0, ибо
|ср(г) — ср(О)| < етах|ср'|.
а е1^е->0. Заменяя поэтому A§-е)«(е) на
. (И, 2; 33)
и затем на (!§• е) ср @), получим окончательно
— {\§\х\Фг(х)ах=Н
Нт
Aде)<р@)+
. (II, 2; 34)
7 Л. Шварц
98 Гл. П. Элементарная теория распределений
Аналогично
о г
— М§М Х1 ? \х)ах = \\т —Aее)?@)+ их . A1,2:35)
•> 1->и •> х
— со I- —со
Складывая, получим
Г 1
11 х | -у' {х)йх = \\т\ I ? й?л: = ур Г ? й?х, (II, 2; 36)
\- \Х |> 5 -1 -СО
откуда окончательно
|)' = ур^- (II, 2; 37)
3. Примеры производных в случае многих переменных; п произвольно.
Пусть функция / бесконечно дифференцируема в области, дополнительной к ре-
регулярной гиперповерхности E). Пусть каждая частная производная функции /
имеет предел в каждой точке гиперповерхности E) при подходе к E) с любой
стороны. Разность между этими пределами будет скачком соответствующей
частной производной, который определен только при задании определенного
направления „прохода" через E) и который меняет знак при изменении на-
направления этого „прохода"; этот скачок является функцией, определенной на
поверхности E). Как и при л=1, обозначим через Ор/ производную функ-
функции / в смысле теории распределений, а через {Ор/\ — распределение, за-
задаваемое обычной производной, которая определена при х^E) и не опре-
определена при х ^ E) [E) — поверхность, т. е. множество меры нуль]. Имеем
в"
]"(*)-!*-■<**,. (П,2;38)
Х2 *п
Используя (II, 2; 32), получаем
р С
/-йг<?<**! • (".2;39)
рде о0 — скачок функции / при пересечении поверхности E) в направлении
оси д;1, взятый в точке .. пересечения поверхности E) с параллелью оси хх.
§ 2. Дифференцирование распределений
имеющей координаты х2 хп. В произведении о0ср функцию (р надо бряти
в той же самой точке.
Далее, •
/——, ср\ = I . .; I а0срйл:2 ... йхп -\- I I ... I -р— срй'х. (II, 2; 40)
E) д« '
Поверхностный интеграл можно заменить интегралом
]"...]" о„<р соя 0, </5. (II, 2; 41)
15)
где 9г — угол, образуемый осью хх с нормалью к E), направленной в сторону
соответствующего „прохода" через E), т. е. в сторону возрастания хх. В этой
форме интеграл, очевидно, не зависит от направления „прохода", ибо если
направление „прохода" меняется, то соз 0} и о0 меняют знак; нужно лиши,
чтобы направление „прохода" было одним и тем же как для скачка функ-
функции /, так и для ориентации нормали. Распределение
(Г, ср> = Г . . . Г а0? соз 6, й5 (II, 2; 42)
соответствует массам, распределенным по поверхности E) с поверхностной
плотностью одСозГ^. Символически это распределение можно обозначить,
). Тогда для любой производной -т— имеем формулу
(И,2;43)
которая обобщает формулу (II, 2; 23). Продифференцируем еще раз:
где а, — скачок -~ при прохождении через E). Отсюда получается формуле
для Д/ = V 2 , которую мы хотим преобразовать.
а) Сумма ^ о,- соз 9, равна скачку оч нормальной производной ~ —
= У,соз6/-г-- . Скачок нормальной производной не зависит от ориентации
7*
.100 Гл. 11. Элементарная теория распределений
нормали; изменить эту ориентацию — значит изменить знак как при вычислении
скачка, так и у самой нормальной производной и значит оставить неизмен-
неизменным скачок нормальной производной. Можно непосредственно определить
Рис. 11,1.
этот скачок, не рассматривая направления „прохода", так как скачок равен
< -^г- > -\- \ -р- > — сумме нормальных производных с обеих сторон E).
Ь) Имеет место формула
Это выражение не зависит от выбора направления нормали; изменить это
направление — значит изменить одновременно знак о0 и знак -^- . Соответст-
->
вующее распределение образовано диполями, ориентированными по нормали V,
с поверхностной плотностью момента, равной —оп. Это распределение можно
обозначить -р (о08E)) или
§ 2. Дифференцирование распределений 101
последнее выражение не требует никакого выбора направления „прохода*.
Формула, которая обобщает вторую из формул (II, 2; 24), окончательно
имеет вид
= {Д/} + ач3E) + -А(ао3E)). A1,2; 46)
Частный случай: Предположим, что поверхность E) ограничивает
формула грина объем (V) и что / равна нулю вне (V). Формула
(II, 2; 46) запишется тогда в виде
/&//$<Л (П.%47)
откуда вытекает предложение:
Предложение 5 (формула Грина).
(-^:-<р-^)</5 = 0. A1.2:48)
где V,- — внутренняя нормаль.
Можно было бы и обратно, вывести формулу (II, 2; 46) из формулы
Грииа (II. 2; 48).
Функция 1/г"-2 гармонична в области, дополнитель-
Лапласиан функции ной к началу координат. В самом деле, для фуик-
' уг — •/ ^х2 ции /, зависящей только от г, имеем (в смысли
гл-2 у 1 > теОрИИ фунКЦИЙ)
с)/ й/ дг й} XI
дх[ йг дх1 йг г '
д2/ й2/ I XI V й/ /1 х2А '
дх\ йг1 \ г I йг \г Г)
4 = ^ + ^^- (».2;бО)
102
Гл. II. Элементарная теория распределений
Таким образом, гармоническая, т. е. удовлетворяющая уравнению Д/ = 0,
функция от г удовлетворяет дифференциальному уравнению типа Эйлера:
которое имеет решением
/=
при
ПРИ
(Н.2;б1,
(И.2;52)
я = 2,
где А к В — постоянные.
Константа является гармонической функцией всюду, но функции 1/г"~3
(при* п Ф 2) и \§A/г) (при п = 2) имеют особенность в начале координат.
Они к тому же суммируемы в окрестности начала координат (ибо п — 2 < я)
и, значит, определяют некоторые распределения. Мы хотим отыскать лап-
лапласиан такого распределения. Мы должны ожидать, что получим распределе-
распределение, сконцентрированное в начале координат.
Первый метод
Имеем
= /
\гп~г
Д<р\ =
I
- (П-2:53)
Интеграл I I ... I д_2 Ьуйх можно вычислить по формуле Грина (II, 2; 48)
для объема Уе, определяемого неравенством г^-е и ограниченного сферой
E$): г = е; или, что сводится к тому же, можно заметить, что этот интеграл
равен (р6, Дер) = (Дре, ср), где ре — функция, равная 0 при г < е и равная
2
на
(р р) ( )
1/г"~2 при г > е, и применить формулу (II, 2; 46) к поверхности
которой функция рЕ имеет скачок. Пусть направление „прохода" и направле-
направление нормали выбраны внутрь области, тогда -г—= -т—. Учитывая, что
получаем
$ 2. Дифференцирование распределений
103
Когда е
ду
производная ~у~~
2л—
остается ограниченной, площадь
поверхности интегрирования равна 8пе"-х, где 5„ — площадь единичной сферы
в /?", и, значит, первый поверхностный интеграл в правой части формулы
(II, 2; 54) имеет порядок е, т. е. стремится к 0 вместе с е. Второй интеграл
можно записать в виде
/ • • • /
/ • • •
(?(*) - «р@))</5. (П. 2; 55)
Первый интеграл в формуле (II, 2;55) равен —(п—2)ср@M„. Второй же
стремится к 0 вместе с е, поскольку разность
тах
1,2 я
= в
тах
имеет порядок е и весь интеграл также имеет порядок ——^-
чательно
_1_,
или
п
- е. Окон-
(II, 2; 56)
(II, 2; 57)
Обозначим через <^(г) среднее функции ф по сфере
Второй метод радиуса г. Используя прием вычисления кратного
интеграла посредством интегрирования по поверхности
сферы радиуса г и последующего интегрирования по г1) и учитывая, что
будем иметь
\Х\ = Т
={{•■■ !-^
- (П>2;58)
') Глава 1, предложение 31.
104 Гл. //. Элементарная теория распределений
Известно, что лапласиан инвариантен при вращениях вокруг начала координат.
Отсюда можно вывести (мы это примем без доказательства), что
^—-■§?'? (О- (II. 2; 59)
Тогда правая часть формулы (II, 2; 58) принимает вид
СО цО
5„ / г (/ + ^- ?') аг = 8я[ [(г?)' -4- (я - 2) ?\ а
о о
. • =5я[г?Ч-(я •■ 2)?]™ = —(я—2MA?@) =
==_(я_2MA?@), (II. 2; 60)
что совпадает с (II, 2; 56). Отсюда мы снова получаем (II, 2; 57).
При я = 2 функция „_2 ^^ 1 и имеет лапласиан, равный нулю; в этом
случае именно 1§A/г) имеет лапласиан, сосредоточенный в начале координат;
этот лапласиан может быть вычислен аналогичным образом. Резюмируем.
1
Предложение 6. А „_2 = — (п — 2M„о при целых положитель-
положительных п, отличных от 2; Д1§—= — 2т.о при п — 2.
Частные случаи:
Д |*| =28, п=\,
Д — = — 4тс§, п = 3.
(И, 2; 61)
В дальнейшем мы рассмотрим приложения этих формул к теории
ньютоновского потенциала. Известно, что потенциал распределения зарядов
с плотностью / удовлетворяет уравнению Пуассона Ш = — 4тс/, если плот-
плотность / достаточно регулярна. Если вместо распределения зарядов с плот-
плотностью / мы возьмем единичный заряд -|-1, помещенный в начало координат,
т. е. если мы возьмем распределение 8, то его потенциал С/ будет равен —;
этот потенциал также удовлетворяет уравнению Пуассона (И, 2; 61). На
самом же деле уравнение Пуассона в общем случае мы получаем именно из
уравнения Пуассона для элементарного заряда.
3. Умножение распределений 105
$ 3. Умножение распределений
Перемножить два произвольных распределения 5 и Г нельзя. Так, на-
например, пусть / — локально суммируемая функция; она определяет некоторое
распределение; но /2 не имеет оснований также быть локально суммируемой
(пример: при я=1, /(л:)— . ,-, /2(х) = ) и, значит, не определяет
\ УI х | | х | /
никакого распределения. Чем „иррегулярней" Т, тем „регулярней" должно
быть 5, д 1Я того чтобы произведение 5Г имело смысл. Мы ограничимся опре-
определением произведения, когда одно из двух распределений произвольно, а дру-
другое является бесконечно дифференцируемой в обычном смысле функцией.
Итак, пусть а такая функция; определим аГ, где Т^%'. Предположим
сначала, что Г — / — локально суммируемая функция. Мы хотим, чтобы
в этом случае а/ было обычным произведением:
Итак, мы пришли к тому, чтобы определить произведение аТ при про-
произвольном Т предложением:
Предложение 7. Пусть Т — произвольное распределение,
а — бесконечно дифференцируемая в обычном смысле функция, тогда
существует произведение аТ, определяемое формулой
(аТ. <р) = G\ <х<?). A1,3; 2)
Эта формула определяет аТ как некоторое новое распределение. Правая
часть на самом деле вполне определена (ибэ функция аср бесконечно диф-
дифференцируема в силу формулы Лейбница дня высших производных произ-
произведения, а ее носитель содержится в носителе ср и, значит, ограничен),
Правая часть зависит от ср линейно. Наконец, если функции еру сходятся
к 0 в 3 при _/—>оо, то их носители остаются в фиксированном ограничен-
ограниченном множестве, и, значит, то же самое справедливо для асру, а каждая и;)
производных функций <ру сходится равномерно к 0, и, значит, в силу фор-
формулы Лейбница, то же самое верно для каждой из производных функций а.'?].
Мы видим, почему существенно, чтобы а была бесконечно дифференцируемой
в обычном смысле. И все же пусть Т—распределение „порядка С"- '!'■ *•'■
распределение, продолжимое до линейного функционала, непрерывного па
106 Гл. II. Элементарная теория распределгний
пространстве 3)'п т раз непрерывно дифференцируемых функций с ограни-
ограниченными носителями. (Пространство 3>т снабжается топологией, аналогичной
топологии 3>, но использующей только равномерную сходимость всех про-
производных порядка <; т функций еру.) В этом случае можно определить а.Т,
если а является функцией, только ш раз непрерывно дифференцируемой
в обычном смысле.
Примеры:
(«8, ср) = (с, аср) = а@) ? @) = (а @) 8, ср), (II, 3; 3)
откуда
а8 = а(О)8. A1,3; 4)
.Всякое произведение, в которое входит 8, пропорционально 8. (Заметим,
что 8 есть распределение „порядка 0" и а8 определено, коль скоро функ-
функция а непрерывна в начале координат.) В частности, при п = 1
л;8 = 0. A1,3; 5)
На прямой (п = 1) имеем
• = — а @) ср' @) — а' @) ср @) = (а @) 8' — а' @) 8, ср), (II, 3; 6)
откуда
а8' = а(О)8' -а'@)8. (II, 3; 7)
В частности,
хЬ' = — о, лг28' = 0. (II, 3; 8)
Вообще
хЬ[т) = — тЬ(т~1). A1,3; 9)
Имеет место следующий важный результат.
Предложение 8. Для того чтобы распределение Т на прямой К
{п=\) удовлетворяло'соотношению
хТ = 0, (II, 3; 10)
необходимо и достаточно, чтобы Т было пропорционально 8:
Т = СЪ. ■ (II, 3;11)
|Иначе говоря, распределение 8 с точностью до постоянного множителя
является единственным собственным вектором оператора умножения на х,
соответствующим собственному значению Х=^0. Для произвольного веще-
вещественного собственного значения X таким вектором будет о(л; — X).] Мы
3. Умножение распределений 107
только что видели, что лг6 = 0. Доказывать нужно обратное. Пусть 7' удо-
удовлетворяет соотношению (II, 3; 10); имеем
{хТ, <р> = <7\ лгс?> = 0. (II, 3; 12)
Таким образом, Т равно нулю на всякой функции х€-®> имеющей нид
у = ху, ср ^ 3). Но для того, чтобы функция / из 3 имела вид хер, необ-
необходимо и достаточно, чтобы у обращалась в нуль в начале координит:
2@) = 0. [Это, очевидно, необходимо; это достаточно, ибо если /@)= 0,
7 (х)
то функция ср (х) = к ' будет бесконечно дифференцируемой (в точках,
отличных от х = 0, это очевидно, а формула Тейлора, примененная к функ-
функции }(, показывает, что это справедливо всюду).] Пусть теперь 8 — фикси-
фиксированная функция из 3, такая, что 0@)=1. Для любой <^^3 имеем
<|> = Х.0-+-х*
Х(О) = о. (П'3:13)
Отсюда получаем Т(у) = 0 и, значит,
Т (ф) = ХТ @) = Щ @), A1,3; 14)
еде С = Г(9), что дает Т =СЬ.
Ч. и т. д.
Замечание. То же самое предложение будет справедливо, если замо-
замолить х произвольной бесконечно дифференцируемой функцией а, имеющей
8 начале координат единственный нуль и притом порядка 1. Ибо в этом
X
случае функция — будет бесконечно дифференцируемой, а из аТ = 0 выте-
X
■кает, что хТ = — аГ = 0 (и наоборот).
Предложение 9. Имеет место формула дифференцирования
произведения
^_(аГ)==^.Г + а-|^. (П.3;15)
дх( к дх/ дх/ V • ' /
В самом деле,
•■&>—<»•■ •■&>■
108 Гл. 11. Элементарная теория распределений
Учитывая линейность Т, достаточно показать, что
д
а это есть формула дифференцирования для аср, записанная несколько иначе,
чем обычно.
_аЙ9_=* д A1,3;
$ 4. Топология в пространстве распределений.
Сходимость распределений.
Ряды из распределений
Говорят, что распределения Ту сходятся к распределению Т при у—>ос,
если для любой функции ср ^ 3& комплексные числа (Гу, ср) стремятся к ком-
комплексному числу (Г, ср) при /->,». Введенная здесь сходимость являете»
простой сходимостью '), если рассматривать Т и Т ^ как функционалы,
над Я).
Говорят, -что ряд ^ Тг суммируем к сумме Т, если для любой '^^ЗУ
'&'
числовой ряд 2 (^(- ?) суммируем к сумме (Г, ср)- То же самое определе-
пие дается для сходимости ряда, когда / является множеством N целых,
чисел >- 0.
Предложение 10. Пусть Т;- — такая последовательность рас-
распределений, что когда у—>оо числовая последовательность (Т^ у)>
при любой функции <р€-® имеет предел. Тогда последовательность Ту.
сходится в .25' к некото рому пределу.
Пусть ~^Т{—такой ряд из распределений, что для любой ср ^ ^
числовой ряд 2 (Г;, ср) суллируел. Тогда ряд ^ Гг суммируем в 3)'~
/ &/
<6/ '&/
Аналогичное утверждение справедливо для сходящихся рядов,.
когда 1 = Ы.
Эти различные утверждения, естественно, эквивалентны. Рассмотрим
первое. Если последовательность (Т^ ср) имеет предел при у—>-:х>, то этот
предел можно обозначить (Т, ср). Тем самым Т определяется как функционал
на 3. Этот функционал, очевидно, линеен. Если бы удалось доказать, что
функционал Т непрерывен, то функционал Т был бы распределением, а по-
поскольку Т', сходятся к Т, теорема была бы доказана. Однако непрерыв-
непрерывность Т есть весьма специальное явление, связанное с линейностью функцио-
') То есть не равномерной. — Прим. перев.
§ 4. Топология в пространстве распределений 109
налов и со специфическими свойствами пространства 3. В действительности
не является обычным, чтобы простой предел непрерывных функционален
был непрерывен. Непрерывность 7 мы примем без доказательства, которое
достаточно деликатно.
Предложение 11. Пусть функции /;- сходятся к предельной
■функции / при у—>оо 8 смысле простой сходимости почти всюду,
и пусть /;- мажорируются по модулю независимо от у локально сум-
суммируемой функцией §\ Тогда распределения /у сходятся к распреде-
лению /.
В самом деле, в силу теоремы Лебега о сходимости последовательности
интегралов, интегралы \ \ ... Г/^йх стремятся при ;'->оо к интегралу
Частный случай. Если локально суммируемые функции /] схо~
дятся к пределу / при у—>оо равномерно на любом ограниченном
множестве, то распределения /у- сходятся к распределению /.
Предложение 12. Дифференцирование есть линейная непрерыв-
непрерывная операция в 3)'. Если распределения Т) сходятся при у—>оо
к распределению Г, то производные 7". сходятся к 7"'). Всякий сум-
суммируемый или сходящийся ряд почленно дифференцируем под зна-
знаком 2-
Предположим, например, что Т1 сходятся к Т. Покажем, что 7" схо-
сходятся к Т. Имеем (Т"., ср^ = — (Т ., ср'\. Поскольку Т сходятся к 7\ это
■выражение стремится к —(Г, <р') = G"', <?)■
Итак, Пт G"., <?) = G'. ср), а, значит, Пт 7' =7".
Замечание. Напротив, известно, что если непрерывные и дифферен-
дифференцируемые в обычном смысле функции ^ равномерно сходятся к пределу /,
то / не обязательно дифференцируема в обычном смысле, и даже если она
дифференцируема, производные /'. не обязательно сходятся ^ к /' хотя бы
н смысле простой сходимости. Однако /' всегда существует в смысле теории
распределений и /'. всегда сходятся к /' в 3)'.
') Здесь ' означает дифференцирование но какому-то из переменных
.., хп. — Прим. перев.
ПО Гл. II Элементарная теория распределений
Предложение 13. Пусть /^—последовательность функций, не-
неотрицательных при \х\ к. к > 0 — фиксировано. Пусть /у сходятся,
к 0 при у'->оо равномерно на любом множестве вида О << а <^.
<С | х | < — < со, и пусть, наконец, интегралы \ \ ... I /} (х) их
стремятся к -)-1 при у—>оо, каково бы ни было а > 0. Тогда рас-
распределения /^ сходятся к Ь при /->сс.
В самом деле, пусть ср^^. Имеем
AГ. 4; Г>
Оценим сначала второй член справа:
|ср(х)—ср(О)| <. |л:| \^я тах -г-2- . (II, 4; 2^
1=1, 2 п "Х1
Пусть М — максимум модуля первых производных функции ср. Второй инте-
интеграл оценивается величиной
I Л"| <а
Выберем а ^ к, тогда предыдущий интеграл будет равен
\х)<а
Поскольку интеграл \ \ ... I ^^х)йх стремится к 1 при у->со, он огра-
\х\ <*
ничен некоторой постоянной К- Тогда второй интеграл в правой части ра-
равенства (II, 4; 1) будет мажорироваться константой аКМ Уп. Выберем
а %. , тогда второй интеграл в (II, 4; 1) не будет превосходить у
при всех у.
Выберем теперь число а раз и навсегда так, чтобы оно удовлетворяло.
/ е \
предыдущим условиям (а^й, а <. ^^ _--1 и, кроме того, столь малым,.
$ 4. Топология в пространстве распределений 111
чтобы носитель ср содержался в шаре \х\ <; — . Тогда третий член в правой
части равенства A1,4; 1) будет стремиться к 0 при у->оо, поскольку Л
равномерно сходятся к 0 при а < | х | < — • Поэтому существует такое /,,
что при ]^?-}\ этот третий член будет мажорироваться числом -^-.
Наконец, первый член равен ср(О) Г | ... | /;(х)йх. Поскольку интс-
\х\<а
грал | | ... I ^{х)йх стремится к 1 при у1—>оо, этот первый член стре-
стрелка
мится к ср(О) при у—>оо и, значит, существует такое у2, что при У^-/д
он отличается от ср(О) самое большее на -=-.
Пусть теперь у'0= тах(у1, у2), тогда при любом у'^-у0 будем иметь
I (//• ?) — (^' 9) I '-С е> чг0 и требовалось доказать.
Замечание. Предположение /;-^-0 при | х \ <С к не является необхо-
необходимым, его можно заменить предположением: при подходящем фиксирован-
фиксированном к > 0 интегралы \ \ ... \ \^(х)\йх ограничены при всех у некото-
\х\<к
рой постоянной К-
Примеры.
1) Функция
О при | х | > е,
/Лх)=
при х | <^ е
A1,4:3)
стремится к распределению 8 при в—>0. В самом деле, Д^О всюду; при
| х | ^> а функция /, равна нулю, коль скоро е < а; наконец, если е <1 а, то
^, (II. 4; 4)
где КЕ — объем шара радиуса г; этот объем в точности равен е„//г, а зна-
значит, интеграл от /, равен все время 1.
2) Функция
/, = ——{-=-1Ге~~%г (II. 4; 5),
сходится к § при е—>0.
112 Гл. II. Элементарная теория распределений
Во-первых, /е^>0. Во-вторых, при \х\~^-а эта функция мажорируется
—
величиной — е 2е2, которая стремится к 0 при г—>0. Наконец,
г
интеграл
С С ... Г — \_а ■ е 2*2 их = Г Г . .. Г , * „ е 2 их (II, 4; 6)
стремится при е—>0 к интегралу
Заметим, что вместо предыдущей функции можно было бы взять
функцию
■ргв"*^", ■ (II, 4; 8)
ибо
§ § / е-*г'ах=1. (П, 4; 9)
Предложение 14. Для того чтобы тригонометрический ряд
со
2 аке2Шх (ге=1) б'ыл суммируем в 3)', достаточно, чтобы его
к= —оо
коэффициенты мажорировались по модулю при Л—>оо степенью А\к^
индекса \к\ с подходящим а^-0.
Опустим сначала член а0 и рассмотрим ряд
А оо
где р — целое ^.а. Общий член этого ряда мажорируется по модулю вели-
величиной А/к2, и, значит, ряд A1,4; 10) равномерно суммируем на вещественной
прямой, а его сумма является некоторой непрерывной функцией /.
Дифференцируя почленно р+2 раз в смысле теории распределений,
получим
2 в/"*' = во + /Р+2). (II. 4; И)
к— —со
что и требовалось доказать.
$ 5. Распределения с ограниченным носителем IIII
^^^——^—» . пи
Кроме того, мы видим, что сумма этого тригонометрического ряда есть
Периодическое распределение периода 1, равное сумме постоянной а0 и про-
иииодиой, в смысле теории распределений, некоторой периодической пепрс-
рыниой функции /. Попутно мы видим, сколь многочисленны тригонометри-
тригонометрические ряды, сходящиеся в 3'. Подобный ряд позволяет представить рас-
распределение посредством ряда из функций и даже посредством ряда ии
бесконечно дифференцируемых и обычном смысле функций, а именно
экспонент.
Можно показать, что всякое периодическое распределение разложимо
в 3)' в тригонометрический ряд и что достаточное условие сходимости
(| ак | при \к\ —>со мажорируется степенью | к |* с подходящим а) является
также необходимым.
Например, можно показать, что ряд
со
2 е2'"** A1.4; 12)
*=-оо
оо
сходится к периодическому распределению 2 &(')• образованному массами
Ы-сп
■+■1 и каждой точке с целочисленной абсциссой. Дифференцируя, получим
2 Bик)т е2ыкх = 2 5!«1 (II. 4; 13)
к=-х> 1-—со
§ 5. Распределения с ограниченным носителем
„ а Пространство $ — это пространство комплекснознач-
Пространство $ I л.л. л. пп
г г ^ ных бесконечно дифференцируемых функций на К
с произвольными носителями.
Пусть Т — распределение с ограниченным носителем К, а ср — функции
из §. Пусть а — функция из 3), равная 1 в некоторой окрестности носи-
носителя К распределения Т. Тогда оср^,2> и (Г, аср) вполне определено. По-
Покажем, что это число не зависит от выбора функции а. Если р — какая-либо
другая функция из 3), равная 1 » некоторой окрестности К, то (а — р)ср —
функция из 3), носитель которой лежит в дополнении к К- Следовательно,
(Г, окр) - (Г, р«р) = (Г. (а — р) <р> = 0. ♦ (П. 5; 1)
Ч. и т. д.
Мы можем поэтому положить
(Г, <р) = G\ аср) для любой ср^$. (II. 5; 2)
Ь Л. Шварц
114 Гл. 11. Элементарная теория распределений
Говорят, что последовательность ср^ сходится к О
Топология, в ^ если эти функции, а также любая из их про-
или понятие ^^ • у
сходимости в $ изводпых, равномерно сходятся к 0 на всяком
компакте.
Теперь легко видеть, что всякое распределение с ограниченным носи- "
телем является линейным функционалом, непрерывным па $>.
Обратно, линейный функционал ^.(ср), непрерывный на $, определяет
некоторое распределение с ограниченным носителем.
В самом деле,
1) всякая функция ср, принадлежащая 3), лежит в I, и если ср;-->0 в 3),
то а 1огНоп ср^->0 в !?. Следовательно, Ь является линейным функционалом,
непрерывным на 3), и, значит, определяет такое распределение Т^3>', что
[*(<?) = {Т, ср) для любой с?6^- (Н,5;3)
2) Распределение Т имеет ограниченный носитель. В самом деле, если бы
носитель Т был не ограничен, то можно было бы найти функцию «„^.2*
с носителем, лежащим в дополнении к интервалу | х | < п, и такую, что
G\ срп^=1. Но срп—>0 в ё, и поскольку Ь, по предположению, непрерывен
на %>, последовательность [-(<?„) должна была бы сходиться к нулю. Таким
образом, равенство (Г, <р/;) — Ь (уп) = 1 при всех п невозможно.
3) Равенство
*.(<р) = <7\<р) (II. 5; 4)
справедливо при исех ср из $. В самом деле, пусть а;- — последовательность
функций из 3), такая, чтоа;(х)=1 при | х | < ] и ау(л;) = 0 при \х\"^12].
Тогда 1^(^3) и ау-ср —>ср в $, когда У->оо; следовательно, Ь{о.^) стремится
к Ь(у)- Но при достаточно больших у носитель К распределения Т содер-
содержится в интервале | х | < / и, согласно определению (II, 5; 2),
G, ср> = G, а/?>. (И, 5; 5)
Но в силу (II, 5; 3)
G\ а^ср) = Ь(ауср) при всех }. (II, 5; 6)
Поэтому при достаточно больших ] имеем
G\ <р) = Л(а/Р). (П,5;7)
откуда путем перехода к пределу и получаем высказанный результат.
Резюмируем:
Предложение 15. Распределения с ограниченным носителем
образуют векторное пространство $', которое есть не что иное,
как пространство линейных функционалов, непрерывных на про-
пространстве %>.
Упражнения 11Й
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ II
Распределения на прямой
Упражнение 11-1. Пусть У (х)—функция Хевисайда; вычислить в смысле
теории распределений:
—7п~ ^х> 1— )\| ПРИ
Упражнение 11-2. Вычислить, в смысле теории распределений, нее
производные | х |.
Упражнение 11-3. Все производные должны вычисляться в смысле
теории распределений.
1°. Вычислить все производные |созх|.
2°. Вычислить все производные распределения (У (х), задаваемого формулами
+-1 при Aк~ 1) -|
— 1 • при Bк-\- 1)-^- <
где к принимает все целые четные значения, положительные, отрицательШЛ'
и нуль. '' "
3°. Получить вновь результат пункта 1°, применяя формулу (II, 3; 15)
к соотношению | созх | = (У(х)сокх.
Упражнение 11-4. Проделать упражнение Н-3, заменив | созх | на|5|пх|
и и (х) на распределение V(х), задаваемое формулами
[+1 при 2Ате<х <B6+ 1)я,
у ' \—1 при BА+1)т:<х<B/е + 2Iг,
где к принимает все целые значения, положительные, отрицательные и пуль.
Упражнение П-5. Вычислить, в смысле теории распределений, произ-
производные порядков 1, 2, 3, 4 двух распределений:
'•• . • Г2=|х|созх.
116 Гл. П. Элементарная теория распределений
Упражнение П-6. Найти распределение рA)= К(^)/(^), где У(() —
функция Хевисайда, а/(^) — дважды непрерывно дифференцируемая функция,
которое удовлетворяло бы, в смысле теории распределений, уравнению
где а, Ь, с, т, п— данные константы.
Частные случаи
1°. а = с=], Ь = 2, т = п=\.
2~. а=\, Ь = 0, с —А, т=\, ге = 0.
3°. а=\, Ь = 0, с = -—4, т=^2, п=\.
Упражнение 11-7. (Письменный экзамен, Париж, 1958.) Пусть О(х) —
функция вещественного переменного х со следующими свойствами:
а) О(х) равна нулю при х < — 1 и при х >■ 1;
в) О (х) бесконечно дифференцируе ма в каждом из интервалов — 1 < х < %,
% < х < 1, где \ — данное число, — 1 < % < 1;
с) функция О и ее производные имеют разрывы первого рода в точках
х = —1, х = %, х—\.
Первый вопрос
Представить выражение ■ . 2 Н~ ш2О (ш — данное вещественное число), где
производная берется в смысле теории распределений, через обычные про-
производные.
Второй вопрос
Возможно ли подобрать функцию О и постоянные аир так, чтобы
A)
(8(а) означает единичную массу в точке а). Показать, что, за исключением
случая, когда ш = к-^-, где к — целое =^=0, эта задача имеет одно и только
одно решение. Найти О и постоянные а и р.
Третий вопрос
Пусть ср — искомая функция из 3), про которую известно только, что
она удовлетворяет соотношениям
Ц = М. B)
Упражнения 117
где функция ф и постоянные Ь и М известны. Показать, что формула A)
позволяет вычислить срA=) для любого ? в интервале (—1, 1), если только ш
не принимает исключительного значения.
Упражнение 11-8. Пусть дано дифференциальное уравнение
порядка:
0)
которое подлежит решению так называемым методом функции Грина.
Функцией Грина называется функция, дающая решение уравнения
где на этот раз источником является распределение Дирака в точке х\
Заставим х изменяться в интервале @, +оо) и предположим, что \>{х)
интегрируема в этой области.
1". Интегрируя уравнение B), показать, что функция —г—Ок(х, х') имеет
в точке х — х' скачок, и вычислить этот скачок.
2°. Пусть и, (х) и и^х)— два линейно независимых решения однородной»
уравнения
(^ )(х) = 0. ' C)
Тогда функция Хм1(х<)м2(х>), где х< — наименьшее из чисел х и х', а х> —
наибольшее из чисел х и х', X — постоянная, не зависящая от х и х', бу-
будет функцией Грина.
3°. Показать, что если ^к (х) и ОА(х, х') подчиняются одним и тем же
граничным условиям, то
со
Ок(х, х')р(х')с1х'.
4°. Найти соответствующие <Ьк (х) и Ок (х, х') при следующих краевых
условиях:
а) ф»@) = 0.
в) фй (х) эквивалентна е1кх при х—>эо.
118 Гл. II. Элементарная теория распределений
Упражнение 11-9. 1°. Показать, что для любой бесконечно дифферен-
дифференцируемой функции <|> на /? и для любого ограниченного интервала (а, Ь)
интегралы
I 5шХхф(х)йл: и Г со5 \х ф (х) их
стремятся к 0, когда X—>оо.
°. Вывести отсюда, используя разложение
?(х) = ?(())
что распределение
31П кх
сходится в 3)' к 1г8, когда. Х->оо.
3°. Показать, что при вещественном X отображение
ю
задает некоторое распределение, обозначаемое
соз Хх
ур .
Показать также, что это распределение стремится к 0 в 3', когда Х->оо.
Упражнение II-10. Чему равны пределы в 3)' при п~+со функций
- а) /а(х) 1
те
х
в) Рп(х)=
— со
Упражнение П-П. Показать, что умножение на функцию а^$ является
линейным непрерывным отображением 3)' в 3'. Найти пределы в 3' при
а-*0 функций
Упражнения 110
Упражнение 11-12. Найти пределы в 3' при Л—>О следующих распре
делений:
а) 2Л
. 5Bй) + 5(-2й) — 25@)
») ^
"> 2"пп
Упражнение 11-13. Для простоты будем рассматривать случай веще-
вещественной прямой /?.
При целом /га^>0 символом 3т обозначается пространство комплексно-
аначных, т раз непрерывно дифференцируемых функций, определенных на 1{
и имеющих ограниченные носители. Пространство Зт снабжается следующей
топологией:
<ру • >> ср в 3)т, если носители всех ср^ содержатся в одном и том же огра-
ограниченном множестве и если дтя любого целого р, О С. р 4/га, производная
• равномерно стремится к
Распределением порядка' , /га на прямой называется элемент топологи-
топологического пространства 3) "" двойственного Зт, то есть линейная форма, не-
непрерывная па пространстве 3"'.
Распределения порядка 0 называются также мерами.
Г. Показать, что для любого целого т>0 из Т ^3)'т вытекает, что
Т^З'. Показать, что для любых целых /гаигес/га>ге^0 из 7^,55 вы-
вытекает, что Т ^ 3)
2°. Показать, что при любом целом /га'.>0 распределение Ыт)
ср->(— 1)шср<т> @)
принадлежит 3) , по не принадлежит никакому 3 при ^ < т.
3°. Показать, что отображение, сопоставляющее функции у ^35 число
задает некоторое распределение, не являющееся распределением конечного
порядка.
120 Гл. И Элементарная теория распределений
Упражнение П-14. I. Пусть дано отображение, которое сопоставляет
функции ср ^ 3 число
— со
/
[Символ Рт перед интегралом означает „конечная часть" (раЙ1е НШе).] Пока-
Показать, что это отображение задает некоторое распределение, обозначаемое
РР—г. Символ Р1 перед функцией означает „псевдофункция" (ркеийо !опс-
йоп); Р1—г псевдофункция —%-. Вычислить —— (ур—) в смысле теории
распределений.
II. Показать, что отображение, сопоставляющее функции ср ^ 3> число
со Г оо 1
о *"*■ \-ч ^
задает распределение, которое обозначается Рт
Проделать то же самое для отображения функции <о^3) в число
х*
о
У (х)
Заданное таким образом распределение обозначается Р? ' \ .
Вычислить производную распределения Р!—^-.
х
у/ ^\ г у/ х\ 1
III. Распределение Р!— соответственно Р!—^—^—-\ задается фор-
х [_ х \
мулой
х т/ з х 8^0 ^ х
—оо и — оо
[соответственно формулой
о
Упражнения 121
Вычислить производную распределения РГ—^ -. Показать, что
и снова найти, используя результаты пунктов II и 111, производную распре-
распределения ур—, найденную в пункте I.
IV. Вычислить производную распределения
У(~х)
A*1 V V
V. Найти все распределения 7\ удовлетворяющие уравнению
хТ =-■ ур —.
с х
Упражнение 11-15. Вычислить х*б|'о); построить линейные дифференци-
дифференциальные уравнения, для которых распределение 8<о) было бы решением.
Упражнение 11-16. Найти все распределения Тп, удовлетворяющие
уравнению
х"Т „ = 1, п целое > 1. (Ип)
Заметьте, что если Тч — некоторое решение уравнения \Е^), то Тп, с точно-
точностью до постоянного множителя, является решением уравнения (Еп + 1).
Распределения в К"
Упражнение II-17. Рассмотрим на плоскости (х, у) окружность (С)
с уравнением х2-{-у2=1. Пусть /7—распределение, задаваемое функцией,
которая равна 0 вне (С) и равна
(ах — IJ -)- а2у2 ]
внутри (С). Вычислить АG в смысле теории распределений.
Упражнение 11-18. Функцией Хевисайда У(х, у) на плоскости (х, у)
называется функция, равная 1 при х>0 и у > 0 и равная 0 в остальных
точках. Показать, что в смысле теории распределений
д2У _.
дхду
122 Гл. II. Элементарная теория распределений
Упражнение П-19. На плоскости (х, у) рассматривается квадрат АВСп:
А A, 1); В B, 0); СC, 1); Л B, 2).
Пусть Т — распределение, задаваемое функцией, которая равна 1 внутри
квадрата и 0 вне него. Вычислить в смысле теории распределений
~ду~2 дхг'
Упражнение 11-20. Обозначим через (С) конус
на плоскости х, I; V — заданная постоянная. Пусть Е(х, ()—распределение
А в (С),
вне (С),
где А — также постоянная.
Вычислить в смысле теории распределений
1 д2Е д2Е
~г>г~~сп2' Ш2'
Определить постоянную А в зависимости от V так, чтобы Е было фунда-
фундаментальным решением ') для оператора
1 д2 д2
V2 д*2 дх2 '
Упражнение II-21. Показать, что в смысле теории распределений
Упражнение Н-22. Вычислить Д A&—) в К2.
Упражнение 11-23. Показать, что в К." при и^-3 имеет место,
в смысле теории распределений, равенство
прит<я—2.
/ 1 д2 д2 \
') То есть чтобы 1—^--^~-^—^\Е=Ь(х,{). Фундаментальным или элементар-
элементарным решением для данного оператора называется такое распределение, которое дан-
данным оператором переводится в 6. — Прим. перев.
Упражнения 123
•Вычислить, в смысле теории распределений,
где « — бесконечно дифференцируемая функция.
Примеры. у=е~кг, у = $\пкг1).
Упражнение Н-24. Вычислить в К", в смысле теории распределений,
Д* (г2*~"!§■/■) при 1к— п — четном целом числе ^-0.
х*
Упражнение 11-25. Положим Е(х, () = —т=е ч на плоскости (Х,1).
2 у %{
Вычислить, в смысле теории распределений,
дЕ д2Е
д( дх2 '
Упражнение П-26. В /?3 рассматривается функция /(г), зависящий
только от г — Ух2-\- у2-\- г2 и являющаяся при гфО решением уравнении
Написать дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция
/г (г) = г/ (г). Показать, что если /= Пт [г/(/■)], то, в смысле теории рас-
пределепий,
2
где к — некоторая постоянная =^=0, которую надо вычислить.
Упражнение 11-27. Найти элементарное решение для оператора
д* д , д . ■
дхду дх ду '
где а и Ь — два данных комплексных числа.
Упражнение /1-28. Элементарное решение для оператора
__1__й* д2 д2
1) Эти функции не являются бесконечно дифференцируемыми в Яп в начале ко*
ординат. — Прим. перев.
124 Гл. II. Элементарная теория распределений
где
I. Положим р = V2{2■—х2— у2.
1) Показать, что если функция /(р) зависит только от р, то
' й?р2 а?р
2) Обозначим через К8(р), где е>0, функцию
1 при р>г,
Ке(р)~'| 0 при р<е.
Вычислить, в смысле теории распределений,
оШ.
У 9
где й дается формулой A).
3) Пусть Т — распределение, зависящее от р; показать, что для любой
бесконечно дифференцируемой функции <р переменного р с ограниченным но-
носителем имеет место равенство
<07\<?> = <7\0*<р>.
где п* — дифференциальный оператор, который надо найти.
П. Обозначим через (С) волновой конус будущего в пространстве
(х, у, ()■
юЧ2 — х2 — у2 > О,
Пусть Е(х,у,() — распределение, задаваемое формулами
V 1
Е{х, у, () =
2%
О вне (С).
в (С),
1°. Показать, что для любой бесконечно-дифференцируемой функции
<р(л:, у, О с ограниченным носителем имеет место равенство
2
[В качестве новых переменных берутся о и полярные координаты г н Ь
на плоскости {х, у).]
Упражнения
125
2°. Для произвольной функции у(х, у, О ^ 3 положим
9 (г соз 0, г 8№ 0, -1 /г*+р»)
«р(р)="Г/— ^г^т
0 3 2 У г -4- р
О)
Принимая без доказательства, что Пср^^*?' показать, что
III. Обозначим, при фиксированных г и /, через ср(г, О среднее функ-
функции <р(х, у, ^) по окружности х2-)-у2=г2.
Г. Показать, что
А.) — Л
/
Л (г2 4- О
2°. Интегрируя по частям второй интеграл в правой части, показать, что
где У~г А(е; ср)—>0, когда е—>0.
3°. Вывести отсюда, что распределение Е(х, у, I), приведенное в пункте II,
яиляется искомым элементарным решением.
ГЛАВА III
СВЕРТКА
§ /. Тензорное произведение распределений
1. Тензорное произведение двух распределений. Пусть А"" и У —
два евклидовых пространства тип измерений с текущими точками
х{хх, х2 хт) и у(уг у2, .... уп). Обозначим через 2т+п произведение
Хт X У — множество точек
(х, у) = (х1, х2 хт, уг, у2 уп).
Это — евклидово пространство т -\- п измерений.
Пусть /(х) — числовая функция на Хт, §{у)—числовая функция па V".
Тензорным произведением этих функций /(х)(&$(у) мы называем функцию
/г(х, у) = /(х)^-(у), определенную на 2т+п.
Если, в частности, / и $ локально суммируемы на Хт и V, то Н будет
локально суммируемой на 2'""", так что можно надеяться распространить
тензорное произведение на распределения.
Обозначим через C)х. C))г {Щх, у пространства 3 бесконечно диф-
дифференцируемых функций с ограниченными носителями па пространствах Хт,
У", Хт X У соответственно; (Э)')х, {3)')у, {$')*, у — соответствующие про-
пространства распределений. Пусть <р(х. у)^{Л>)х>У) — функция вида и(л:)г»(у),
где и(х)^C)х, а У(у)^C)у. Тогда
= ^ ...
ХтхУ"
= {/, и){&. V), (III, 1; 1)
Если же функция <р не имеет такого вида, то можно воспользоваться пра-
правилом Фубини:
= / /(х)с1х $% (у) ? {х, у) Aу = {/ (х), {е (у), ср (х. у)». (III. 1; 2]
1. Тензорное произведение распределений
и аналогично
</(*)®«ЧУ). ?(*• У)> = <ЙГ(У). </(*). <р(*. У»)- (.1; 3)
В качестве обобщения можно доказать следующее предложение.
Предложение 1. Пусть 5Х^C)')Х и Ту^C)')у, тогда сущест-
существует вполне определенное и единственное распределение №х< у ^ C^')х, у
такое, что для любой функции <?^C})х,у имеющей вид <р(х, у) =
= и (х)у(у), где и(х)^C))х, г>(у)^B/)г справедливо равенство
<Гг,у, и(*)о(у)> = <5. и) (Г. г-). (Ш, 1; 4)
Распределение 1У,, у называется тензорным произведением распреде-
распределений .4 и Т и обозначается 5® Т. Для »(х, у)^E5)х, у можно вычи-
вычислить (М/, <р) /го правилу Фубини. Фиксируем х. Тогда <р(х, у)
функции одного только у принадлежит B>)у и можно вычислить
0(*) = G-у. ?(х, у)). (Ш,1; 5)
,9то число зависит от х\ 0 как функция от х принадлежит C)л,
и можно вычислить E, 0). Имеет место равенство
(Г, ?>=.<5, 0) = Eх, {Ту, ?(х, у)» (Ш.1;6)
</ аналогичное равенство
(Г, ?> = (Гу. EД„ ?(х, у)». (III, 1; 7)
Для носителя И/ справедливо утверждение:
Предложение 2. Носитель И/ является произведением АХ, В
носителей 8 и Т, т. е. множеством точек (х, у), где х (^ А и у^Н.
Доказательство предложения 2
1) Пусть <р(х, у) — функция из (.®)Л.> у, носитель которой содержится
в дополнении к А/^В. При х^Л носитель функции у—>у(х, у) лежит
и дополнении к В и, следовательно, 8(х)=0. Значит, носитель 8(х) лежит
и дополнении к А, откуда вытекает, что EХ, 6 (х)) = 0, т. е. (VI/, ») — 0.
Это рассуждение показывает, что носитель VI/ содержится в А X В.
2) Из формулы (III, 1; 4) легко усмотреть, что всякая точка произве-
произведения А X В действительно принадлежит носителю VI/'.
128 Гл. III. Свертка
Примеры и формулы
1) Говорят, что функция не зависит от х, если Она имеет вид ^(у) =
— 1*®ё(У)- Аналогично мы говорим, что распределение не зависит от х,
если оно имеет вид \х(&Ту. В этом случае
(\х®Ту «р>= |<Гу, ср(х, у))ах = (Ту, $9(х,у)с1х). (III, 1; 8)
хт хт
Если пх— некоторое дифференцирование по х, пчу — некоторое диффе-
дифференцирование по у, то
ОрхЩ{$* ® Ту) = фрх3) & {р%Т) •). (III, 1; 9)
• 3)
Ъх%\ = Ъх<у. A11,1; Ю)
4) Пусть V — функция Хевисайда от п переменных, равная 1 в „квад-
„квадранте" х, ;>0, х2 >-0, ..., хп ^0 и равная 0 в остальных точках. Она
равна тензорному произведению V(хг)&У(*2)® ••• ®^(*л)-
Поскольку
С1Х;
имеем
V (Х:) =
2. Тензорное произведение нескольких распределений. Все только
что сказанное по поводу двух распределений легко распространяется на тен-
тензорное произведение конечного числа распределений. Это произведение ассо-
ассоциативно. Если X1, V", 2" — три евклидовых пространства размерностей
соответственно /, т, п, а Кх, 5у, Тг — три распределения на этих простран-
пространствах, то тензорное произведение Кх(&Зу(&.Тг определяется формулой
(Кх®5у®Тг, и(x)V(у)V,(г)) = (К, и) (8, V)(Т. чю). (III, 1; 12)
При <$^_C5)х<у1г значение (%х§$8у% Тг, ») снова вычисляется но правилу
Фубини. Имеет место соотношение
®Тг) = (Кх®8у)%.Тг. A11,1; 13)
') В предложении 1 полезно было бы отметить формулу
О^6( х) = пх (Ту, 9 (х, у)) = <7-у. пР9 (х, у)>.
которая используется при доказательстве формулы (III, 1; 9). — Прим. перев.
§2. Свертка 120
§ 2. Свертка
1. Свертка двух распределений. Пусть 5 и Т — два распределении
на РС. Сверткой этих распределений 5 * Т на:ш-
Определение вается новое распределение на /?", определяемое
формулой
E* Г. <р) = EЕ ® Г,. <р(? + т})>. (III. 2; 1)
Если 5*7" существует, то, очевидно, существует и Г*5, и эти распреде-
распределения равны.
В правой части равенства стоит 5Е ® Т — распределение на евклидоном
пространстве переменного (?, ■/;) 2/г измерений; если в функции у(х) заменить
д; на 5 + т) (сумма двух векторов из /?"), то возникнет функция ср($ + 7() нары
переменных ($, ■/]) и правая часть равенства A11,2; 1) может иметь смысл.
Тензорное произведение 5; ® 7" существует всегда. Если А и В суть
носители 5 и Т в /?", то носителем 3^(&Т будет АХ В— множество нар
(Р., щ), таких, что $^ А, т\(^В. Функция срE —(— ""?)> разумеется, бесконечно
дифференцируема по ^ и по г\, однако носитель ее не ограничен. Действи-
Действительно, если К — носитель у(х), то носителем срE + 7)) будет множество
тяких пир ($. т(), что $+т)^/С. Носитель <р(^ + т))—„полоса", параллельная
„побочной биссектрисе", имеющей уравнение 1-\-г] = 0. („Побочная биссек-
биссектриса" в случае пространства п измерений является подпространством п
измерений, задаваемым уравнениями $1 + 7I = 0, ..., $яН-т)л = 0.)
Однако правая часть равенства (III, 2; 1) будет иметь смысл, если носи-
носитель 55 0 7" имеет ограниченное пересечение с носителем ср ($-|-■*)); иначе
говоря, если множество точек (?, г\) с %^_А, г\^В и Ч-\-г)^К ограничено.
Предыдущее множество должно быть ограниченным при любом огра-
ограниченном К, поскольку функционал E-*-7\ ср) должен быть определен для
любой функции у(^C>)х.
Итак:
Предложение 3. Свертка 8 ■* Г, определяемая формулой (III, 2; 1),
имеет смысл, если носители А и В распределений 5 и Т та/совы,
что при к(^А и ч)(^В сумма $ + ■») может оставаться ограниченной,
только если оба переменных Ч, и ~г\ остаются ограниченными. Свертка
коммутативна 8*Т = Т -*8.
Пример 1. Свертка 8*Т существует, если хотя бы одно ия
двух распределений 3 или Т имеет ограниченный носитель.
Действительно, пусть А ограничено. Тогда переменное ? ^ А обязательно
ограничено; если при этом ограничена сумма Щ-?}, то второе переменное
у\ = а -\- г[) — I также ограничено.
9 Л. Шварц
130 Гл. III. Свертка
Пример 2. Свертка на окружности.
Пусть Г — окружность с центром О, радиуса Г/2тс и длины Т в евкли-
евклидовой плоскости. Распределения на Г изучаются в связи с периодическими
распределениями и рядами Фурье. Сложением \-\-т\ здесь является сложение
дуг (началом координат служит точка 5 = 0 на Г). Свертка всегда имеет
смысл, поскольку все носители ограничены.
Пример 3. Мы говорим, что носитель распределения на прямой /?
„ограничен слева", если он содержится в некотором луче (а, -(■• °°)-
Предположим, что носители обоих распределений 5 и Г ограничены
слева; А и В лежит на некотором луче (а, -}-00)- Переменные \ и т{ всегда
~^> а. Если сумма ^+т) ограничена, то она не превосходит некоторой
постоянной (^ С); поскольку \ ^> а, имеем 7)^С •- а и аналогично <| .. С — а\
следовательно, ; и т\ остаются ограниченными, и свертка 5*Г существует.
Свертка 5*Г существует также, если носители 5 и Т „ограничены
справа"; напротив, свертка 5* Т не обязана существовать, если один из
носителей ограничен слева, а другой—справа.
Пример 4. Предположим, что носитель А лежит в волновом конусе
будущего
пространства /?4 (пространства-времени), а носитель В лежит в полупрост-
полупространстве ^ = х4^0.
Пусть теперь Е^/1, "Ц^В и сумма 1-\--т\ ограничена. Тогда, во-первых,
ё4 --)-- тг;4 остается ^ С и, поскольку ?4^0 и т^^О, неременные Е4 и т14
заключены между 0 и С, т. е. ограничены (пример 3). Поскольку, далее,
Ц~^>Ц-\-Ц-\-Ц, переменные ЧЛ, $2, ?3 остаются ограниченными. Наконец,
поскольку сумма сг —}— тг;1 ограничена, переменное тп также должно оставаться
ограниченным, и то же самое верно для т;2 и га. В результате \ и ~ц остаются
ограниченными и свертка 5*7" имеет смысл.
Предложение 4. Пусть $ и Т — локально
Основные свойства суммируемые функции / и § (определенные
только почти всюду), и пусть носители А и В
удовлетворяют условиям предложения 3. Тогда свертка 3*Т будет
локально суммируемой функцией Л, которая определяется почти
всюду формулой
* — О Л- (Н1,2;2)
Нп . и"
§ 2. С вертка 131
В самом деле, положим ЧУ = /*§•, тогда
(И/, ?> = </^Т|. ?(? +ч)> = ///(О *01Ж? + Ч) *</>». (III, 2; Я)
Требования, наложенные на носители А и В, гарантируют, что этот двойной
интеграл имеет смысл, ибо в силу локальной суммируемости функций / и Ц
функция /(;) &(т))ср($-\-т)) также локально суммируема, а поскольку со
носитель ограничен, она просто суммируема.
Произведем замену переменных х = %-{-\, г = у\; якобиан этой замены
равен 1, и поэтому
й\ йг\ = их й1.
Имеем
{чу. <р> = ///(* —
§ /—/) «г (О Л- (И1. 2! 4)
В силу теоремы Фубини интеграл в правой части имеет смысл почти для
всех значений х. Следовательно, интеграл I / (х — Ь)§Ц)(И имеет смысл
для почти всех значений х, при которых, <р(х)^=0; но, поскольку это верно
для любой функции у(х)<^{3))х, интеграл I /(х — ()§(()сИ имеет смысл для
почти всех значений х, а его величина Н (х) является функцией, определен-
определенной почти всюду. По теореме Фубини, функция у(х)Н(х) всегда является
суммируемой, поэтому Н (х) локально суммируема. Наконец,
= {к, ср). (III, 2; б)
Это соотношение доказывает, что ЧУ = к.
Вторую из формул (III, 2; 2) можно получить, полагая $=Л %-\-у] = х.
Ее можно также получить заменой Ь на х — Ь в первой из формул (III, 2; 2).
Замечание. Можно доказать, что свертка И=/*§ будет непре-
непрерывной функцией, если / и § непрерывны. Это остается" верным, если
только одна из них непрерывна или хотя бы локально ограничена, а дру-
другая— локально суммируема.
В случае двух функций свертка / х- § может иметь смысл даже если
условия на носители не выполнены. Например, если одна из. двух функций
132 Гл. 111. Свертка
суммируема на /?", а другая ограничена на /?", то свертка /*§ будет
иметь смысл. При этом она будет ограниченной непрерывной функцией на /?".
а интеграл (III, 2; 2), очевидно, будет иметь смысл для всех значений л;.
Кроме того, при суммируемой / и ограниченной § имеет место оценка
I* (*)| < Г 1/(*I ах • 5"Р 1г(*)|. (Ш. 2; 6)
л"
или
11*11^ <||/1и.- 11?^-. (III, 2; 7)
В случае, когда / и % принадлежат А1, свертка / * § всегда имеет смысл
и также принадлежит Ц1. При этом
(Ш. 2; 8)
Если, как в примере 3, предположить, что носители обеих функций / и ^
лежат на луче @, сю), то носитель Н также будет лежать на луче @, со),
а формула (III, 2; 2) приобретет вид
О при х ^ О,
Н (х) =
при *>0.
(Ш. 2; 9)
Примеры.
1) Положим
у\1\(х)==У(х)^.еХх, а>0. (III. 2; 10)
где X — произвольное комплексное число.
Тогда
К};;*К|Й=КЙ+3). . (Ш. 2; 11)
В самом деле, свертка равна нулю при х -<0, а при х!>0 она имеет вид
X
Г (а) ()
0
д.
^A — и) и*'1 аи (III. 2; 12)
(где была сделана подстановка ^ = л;н). Но ведь оставшийся интеграл есть
Ь{а,ф)= г/ -1-81 0ТКУда и слеДУет высказанный результат.
§2. Свертка Ш
В частности, распределение
К[",' {х) =У(х) /^1I еКХ (П1- 2; 13>
будет л-й сверточной степенью распределения У(х)еХх. Эти свертки играют
известную роль в теории дифференцирования нецелого порядка и в теории
вероятностей.
2) Положим
—
(?„(*) = —7=е'2а'. °>0". (III, 2; 14)
тогда
О<> * От = ^к1?~^Г' С'1 2; 1Й)
В самом деле,
, Т с-'У
(О.*О,)(*) = -
е
— ОО
2 л»
-2те— в , в ... (III, 2; 16)
Сделаем замену переменного:
тогда последний интеграл примет вид
— ОО
откуда
•^Г(^Г = О.етз.(*). (III. 2; 19)
Доказанная таким образом формула (III, 2; 15) играет важную роль
в теории вероятностей. Распределение О„, рассматриваемое как „плотность
вероятности", является распределением Гаусса (кривая, изображающая функ-
функцию у = Оа(х), — „колоколообразиая кривая"). Среднее значение для О,
134 Гл. 111. Свертка
равно О I хО1(х)Aх = 0 , а среднее квадратическое отклонение равно о
V /
V —со /
Если каждая из двух вещественных независимых случайных величин под-
подчиняется закону Гаусса со средними квадратическими отклонениями, рав-
равными а и х, то их сумма подчиняется вероятностному закону, определяемому
сверткой
О, * О.,
т. е.* снова закону Гаусса со средним квадратическим отклонением Уа2~\-х2.
В частности, сумма п независимых случайных величин, подчиняющихся
одновременно закону Гаусса с отклонением о, сама подчиняется закону Гаусса
с отклонением аУ~п.
Именно это явление позволяет утверждать, что ожидаемый порядок по-
погрешности суммы п величин, подчиняющихся одному и тому же закону по-
погрешностей, равен порядку погрешности отдельного измерения, умноженному
на \/п; деля па л, мы видим, что среднее арифметическое п измерений
имеет погрешность порядка - X погрешность отдельного измерения.
У п
Если вместо Ос взять
На{х) = -^е~^~?, а>0, • (III, 2; 20)
то снова
Н.*Н, = Н,-^. (III. 2; 21)
3) Положим
ЛМ = 77^' а>°- (Ш. 2; 22)
Тогда интегрирование дает формулу
Р„*Рь = Ра+ь- (III, 2; 23)
Предложение 5. Пусть а. — бесконечно дифференцируемая
(в обычном смысле) функция, Т — распределение, тогда свертка Г-*-а
будет бесконечно дифференцируемой (в обычном смысле) функцией,
которая дается формулой
(Г л а)(х) = {Гг а (х — ())■ (Ш. 2; 24;
§ 2. Свертка 135
Говорят, что свертка с а является регуляризацией распределе-
распределения Т посредством функции а; функцию а называют также регулн-
ризатором Т, а сверпку Г х-а называют регуляризантой Л) посред-
посредством а.
Во-первых, выражение 1г{х) = {Т{. а(х — О) имеет следующий смысл.
Переменное х фиксируется, тогда а(х — (), рассматриваемая как функция
от одного Л будет принадлежать 3 и к ней можно применить функцио-
функционал Т(. Результат будет, разумеется, некоторой функцией от х. Эта функция
будет бесконечно дифференцируемой по х в силу того, что мы приняли без
доказательства в связи с тензорным произведением (см. функцию 0 в пред-
предложении 1).
Остается показать, что эта функция, как распределение, совпадает сГ*«,
Имеем
(Г*ос, <р> = (Ге®а(т!), «?($ + т))> = G'Е. (осG1), <р(*+*|)»==
/ггт Л.
Ч. и т. д,
Замечание. Если Т — функция /, то формула (III, 2; 24) снова лает
(III, 2; 26)
— результат, который мы уже доказали, когда а — локально суммируемая,
но не обязательно дифференцируемая функция.
Примеры.
1) Т*\ есть постоянная (Т, IJ).
2) Если а — полином степени ^/га, то Г*ос также будет полиномом
степени 1^/га. Например, в случае одного переменного (л=1) имеем
/Т „(*) ( А\ ПН 0- 07\
* < ш
3) Пусть в случае одного переменного (л = 1) распределение Т имеет
ограниченный носитель.
') Термин не является общепринятым. — Прим. перев.
2) Теорема о бесконечной дифференцируемое™ Т + а была доказана для а с огр1-
ничейным носителем. Можно было считать ограниченным и носитель Т. — Прим. пери.
136 Гл. III. Свертка
Преобразованием Лапласа распределения Т называется голоморфная
функция комплексного переменного X, определяемая формулой
<7\, е-*). (III, 2; 28)
Рассмотрим свертку 5 «- Г'); пусть и (К)—ее преобразование Лапласа.
Имеем
Ч п (III, 2; 29)
Преобразование Лапласа свертки 8 + Т есть (обычное) произведе-
произведение преобразований Лапласа распределений 8 и Т.
• Предложение 6. Имеют место три формулы:
Ь*Т = Т; (III, 2; 30)
\а)*Т = *аТ' 8<«)*8ио = 8<«+й); (Ш. 2; 31)
Ь'*Т = Т'. (III, 2; 32)
В самом деле,
(8*Г. <?) = {\®Тп. ?С: + 1)> =
AП. 2; 33)
откуда вытекает формула (III, 2; 30). Эта очень важная формула показывает,
что по отношению к свертке распределение Ь играет роль единицы.
В теоретической физике формулу (III, 2; 30) очень часто (некорректно) за-
записывают в виде
{ /(х —()*(()<**= //(*)&(*-/)<«=/(*) (Ш. 2; 34)
и рассматривают как главнейшее свойство 8.
В формуле (III, 2; 31) [которая содержит (III, 2; 30) как частный случай)
8,а)—единичная масса в точке с, которую записывают также в виде 8(х — с);
хпТ—сдвинутое распределение Т при сдвиге с; его записывают также в
виде Тх_а [или, в физике, Т(х — о)]; этот сдвиг таГ можно определить формулой
№ <?) = {ТХ. <р(х + а)>, (III, 2; 35)
тогда формула (III, 2; 31) доказывается сразу же:
(III, 2; 36)
') Если 5б§' и Т€$', то Ь'•* 7" €§'> См. ниже вывод к предложению 8.
§ 2. Свертка 1.47
Частный случай формулы (III, 2; 31) получается, если положить Г = 8D).
тогда 8(а) *■§((,) = °(в+(,)'
Наконец, формула (III, 2; 32) доказывается так:
(8 * Т, ср) = (8Е ® 7\
~{тч' ~УО))) = —(^. Т') = GУ- ?)• AП, 2; 37)
Ч. и т. д.
Точно таким же способом, естественно, получаем
Аналогично если Б—дифференциальный оператор в /?" с постоянными
коэффициентами, то
ОЪ*Т=ОТ. (III, 2; 39)
В частности, если й — лапласиан в /?"
II
у\ д2
*^^ Ох з
1 = \ '
или если О — даламбертиан в /?! (в пространстве-времени)
1=1 ~ !? Иг2 ~ ~Ш ~ ~ду* ~ Иг2 =1>2~д12~^
то имеем
Д8*Т = Д7\ (III, 2; 40)
Формулу (III, 2; 32) в квантовой физике часто записывают (некорректно)
в виде
^ &Ч^ — ^) / @ ^^ = /' (лг). (III, 2; 41)
и получают ее „дифференцированием под знаком I из формулы (III, 2; 34).
которая сама некорректна.
Предложение 7. Пусть 8] и Т^ — две последовательности рас-
распределений, зависящих от целочисленного индекса у, п$стъ 5у и Т/
при ^->оо стремятся (в 3)') соответственно к распределениям 8 и Т
и пусть, наконец, носители 8/ и Г; содержатся в фиксированных
замкнутых множествах А и В пространства Нп, обладающих тем
138 Гл. III. Свертка
свойством, что сумма \-\-ч\ с Ъ,(^ А и г\^ В может оставаться ограни-
ограниченной, только когда оба переменных \ и ч\ ограничены. Тогда свертка
8]*Т]- стремится к 8 х-Т при /->оо (непрерывность свертки).
Мы примем эту теорему без доказательства.
Мы видели, в частности, что распределение 8 можно получить как предел
(в 3/') бесконечно дифференцируемых функций а; тогда распределение Т =
= 7"*8 будет пределом своих регуляризант Т-уш. Можно, в частности, по-
показать, что существуют последовательности полиномов а, сходящиеся к 8;
тогда распределение Т с ограниченным носителем будет пределом последо-
последовательности полиномов Т * а; это — формулировка теоремы Вейерштрасса:
Всякое распределение является пределом (в 3') некото рой после-
последовательности полиномов.
Предложение 8. Если носители распределений 8 и Т содер-
содержатся в А и В<=/?", то носитель свертки 8 -х-Т содержится в А — В —
замыкании множества точек вида ?-|-т|, %^А, у]^В.
Чтобы убедиться в этом, мы покажем, что
если носитель К функции ср содержится в дополнении О, множества А -р- В.
Имеем
E х- Т, ср) = E^§ Тт, (р(' + 7)))-
Носитель 5-&Г содержится в Л= X В —множестве пар (;, г,) с ^ Л,
7)^/3; носитель <р(;-|-7]) представляет собой множество таких нар (<;, г;),
что % -р-'Чб /С.
Пересечение этих двух носителей пусто, ибо из ^Л и т) (^/3 следует,
что 5-)-т) ^ Л-)-/3, но ведь А-{-В и К имеют пустое пересечение.
Таким образом, рассматриваемое скалярное произведение равно нулю.
Поскольку множество ^ открыто (множество Л -л-В замкнуто), мы доказали,
что 5-*Г —0 в О и, значит, носитель 8 <Т заведомо лежит в А-^-В.
Вывод. Если носители 8 и Т ограничены, то ограничен и носи-
носитель 8-х- Т; если (при п — 1) носители 8 и Т ограничены слева и лежат
соответственно на лучах (а, +оо) и (Ь, -1- оэ), то носитель 8 + Т
лежит на луче (а-\-Ь, оо); если (при п = 4) носители 8 и Т лежат
в волновом конусе будущего (^-0, Ь2 — х2 — у2 — г2, то в нем же лежит
и носитель 8*Т.
2. Определение свертки нескольких распределений. Ассоциатив-
Ассоциативность свертки. Пусть /?, 5, Т —три распределения в К" с носителями Л, В, С.
§ 2. С вертка 139
Свертка /?-х-5*7 этих распределений определяется формулой
<Я*5*7\ ?> = <Ле®5ч§:Гс. тГ;^т) + (;)). (III. 2; 42)
Она имеет смысл, если сумма 5 —|— V) —[— С, при *^ А, г\(-В, С(;С может остп-
ваться ограниченной, только когда все три переменных %, у;, С остаются огра-
ограниченными. Ассоциативность тензорного произведения [формула (III, I; Щ)|
приводит к ассоциативности свертки
/?*5 + 7 = (/?*5)*7 = #*E*7). (III, 2; 4'Л)
Однако два последних выражения могут иметь смысл и не быть
равными, если носители А, В, С не обладают указанным выше свойством;
свертка является ассоциативной, только если /?*5-*7, определенная
формулой (III, 2; 42), имеет смысл.
Пример 1. 1 ■* 8' ■*• К, где У — функция Хевисайда
Формула (III. 2; 43) имеет следующие приложения.
Предложение 9. Свертка нескольких распределений имеет смысл
и является ассоциативной и коммутативной в любом из следующих
случаев:
1) все распределения, за исключением самое большее одного,
имеют ограниченные носители;
2) и=1, носители всех распределений ограничены слева;
3) п = 4, носители всех распределений лежат в полупространств/'
(^0, и, кроме того, все носители, за исключением самое большее
одного, лежат в волновом конусе будущего: 1~^>0, I2— х2 — у2—г2.
Предложение 10. Для того чтобы сдвинуть или продифферен-
продифференцировать свертку, достаточно сдвинуть или продифференцировать
любой из сомножителей-
Докажем это для дифференцирования:
E * Г)' = 8' * E ■<- 7) == &' * 5 * 7 == (8' * 5) * Г = 5' * Г (III, 2; 45)
и также =5* 5' * 7 = 5 *(8' * 7) = 5* V.
Это остается, естественно, справедливым, если заменить дифференциро-
дифференцирование произвольным дифференциальным оператором О с постоянными коэффи-
коэффициентами:
В E * 7) = ОЗ * 7 = 6' * йТ, A11,2; 415)
140 Гл. 111. Свертка
Потенциал V распределения зарядов с непрерывной
Приложения к теории плотностью р (х) задается формулой
ньютоновского . г . ..<.
потенциала (п = 3) Ц{Х)=^^ ) ] [л._^ <И. (III, 2; 47)
/г8
где \%\ обозначает евклидово расстояние точки ? от начала координат. Эта
формула представляет собой не что иное, как свертку:
{/ = р*-р^- = р*-р. г=Ух2+у2+-г*. (III. 2; 48)
Это наводит на мысль определить потенциал произвольного распределения Т
формулой
1!=Т+у. (III, 2; 49)
Естественно, что подобный потенциал сам будет являться некоторым рас-
распределением и не обязательно будет функцией.
Вычислим Ш. Согласно (III, 2; 46), имеем
Ш =Т *-С±- = Т*(— 4кЬ) = — 4я7\ (III. 2; 50)
Итак, мы получили формулу Пуассона.
Предложение 11 (Формула Пуассона).
Пусть и = Т-*г потенциал некоторого распределения Т. Тогда
Ш = — 4пТ. (III, 2; 51)
В теории вероятностей вещественную случайную
Предложение величину задают ее распределением вероятностей.
по теностей Если эт0 РаспРеделен1|С является (локально сумми-
(для простоты п = /) РУемой) функцией / (х), то вероятность того, что
величина находится в интервале (а, Ь), равна
ь
/(х)ах.
При этом функция / (х) обязательно >-0, обязательно суммируема и
§ 2. Свертка 141
Однако такое распределение, как 8(а), также задает вероятностный закон,
при котором значение х — а принимается наверняка. Распределение, подобное
задает вероятностный закон, при котором величина х принимает только лил
значения х — а (с вероятностью -тг) и х — Ь (с вероятностью ^-).
Распределение Т задает некоторый вероятностный закон тоа>а
и только тогда, когда оно неотрицательно {т. е. {Т, ср)^>0 при
ср^-О) и имеет полную массу, равную -\-\ ((Г, 1)=1).
(Если носитель Т не ограничен, то а рпоп величина G\ 1) не имеет
смысла. Для распределений Г^-0 эту величину определяют как верхнюю
грань чисел (Г, ср) при щ^35, 0 < <р < 1.)
Можно доказать, что вероятностный закон суммы двух независимых
вещеп венных случайных величин с вероятностными законами, задаваем ими
распределениями 5 и Т, задается сверткой 5 *- Т. В теории вероятностей
существенную роль играет следующее предложение, которое в силу данных
определений очевидно.
Предложение 12. Из 8^-0 и Г>-0 вытекает, что 5*Г^0.
Из {8, 1)=1 и (Т, 1>=1 вытекает, что {8 * Т, 1)=1.
3. Уравнения в свертках. Пусть Л' — некоторая сверточная алгебра,
иными словами, Л'—такое векторное подпространство пространства .50',
что свертка двух или произвольного конечного числа распределений, принад-
принадлежащих Л', всегда определена и принадлежит Л'. Эта свертка должна быть
коммутативна и ассоциативна в Л'. Наконец, 8^^'.
Распространенные примеры
1) Л' = ЗЬ' (Г) — сверточная алгебра всех распределений на окружности.
2) Л' = Ь' — сверточная алгебра распределений с ограниченным носи-
носителем в /?".
3) Л'=3>+ — сверточная алгебра распределений с носителем на луче
4) Сверточная алгебра распределений в (пространстве-времени) /{*
с носителями в волновом конусе будущего:
/>0, I2— х2 — у2— г2>0.
Уравнением з свертках в сверточной алгебре называется уравнение вида
А*Х = В, A11,2; 62)
142 Гл. III. Свертка
где Л — коэффициент уравнения, В—правая часть, а X—неизвестное. Рас-
Распределения А я В принадлежат о1', распределение X также ищется в ,А'.
Предложение 13. Пусть А дано. Для того чтобы уравнение
A11,2,52) имело хотя бы одно решение при любой правой части В,
необходимо и достаточно, чтобы распределение А имело обратный
элемент в алгебре ,А', т. е. чтобы существовал элемент Л, удовле-
удовлетворяющий соотношениям
А* Л~1 — Л"* А = Ь. (III, 2; 53)
В этом случае об ратный элемент единствен и у равнение (III, 2; 52)
всегда имеет одно и только одно решение:
Х=А~Х*В. (III, 2; 54)
В самом деле, если уравнение (III, 2; 52) при любом В имеет хотя бы
одно решение, то оно имеет хотя бы одно решение при В = Ь и, значит,
распределение А имеет обратное распределение А~ . Предположим, напротив,
что Л имеет обратный А'1. Тогда, свертывая обе части равенства (III, 2; 52)
с А" ', получим
А"' * А * X = Л~' * В, (III, 2; 55)
т. е. соотношение (III, 2; 54). Аналогично из (III, 2; 54) можно вывести (III, 2; 52),
свернув обе части с А.
Итак, если А" существует, то соотношение (III, 2; 54) эквивалентно
соотношению (III, 2; 52); иными словами, уравнение (III, 2; 52): имеет един-
единственное решение, даваемое формулой (III, 2; 54); в частности, обратный
элемент для А единствен, поскольку он является решением уравнения (III, 2; 52)
при 5 = 8.
Элемент А~ называют также элементарным решением уравнения
в свертках (III, 2; 52).
Таким образом, отыскание элементарного решения является основной
задачей при решении рассматриваемого уравнения.
Замечания. 1) Положение совершенно меняется, если мы не нахо-
находимся в сверточной алгебре. Пусть, например, Л = Д8 в /?3. Тогда суще-
существует обратное распределение Л~' = —т~> однако носителем А~ служит
все пространство, а 3' не является сверточпой алгеброй. Соотношения (III, 2; 52)
и (III; 2; 54) уже не эквивалентны. Из (III, 2; 52) нельзя уже, например,
вывести (III, 2; 54), ибо если свернуть обе части с А~ , то левая часть
§ 2. Свертка 149
А ' # А ■* X не будет иметь смысла, если носитель А' не ограничен. Таким
образом, можно только утверждать, что если X имеет ограниченный носи-
носитель (в этом случае носитель В также ограничен) и если X удовлетворяет
уравнению (III, 2; 52), то X дается формулой (III, 2; 54). Доказать единствен-
единственность решения уравнения (III, 2; 52) невозможно; впрочем, эта единственность
и не имеет места, ибо однородное уравнение
№*Х = 0, или ДХ^О,
имеет бесконечно много решений. Этими решениями служат „гармонические
распределения" и, в частности, обычные гармонические функции.
Аналогично соотношение (III, 2; 54) имеет смысл, только если носитель В
ограничен; в этом случае из (III, 2; 54), разумеется, следует соотно-
соотношение A11,2; 52); таким образом, при ограниченном носителе В паверпякй
существует частное решение
уравнения &.Х—В. (Это решение согласуется с формулой Пуассона.) Общее
решение имеет вид
X — ^—ч- В -{-гармоническое распределение.
Если носитель В не ограничен, то данный метод не позволяет доказать
существование решения.
2) Если А не имеет обратного Л, то уравнение (III, 2; 52) не имеет
решения при В ~Ъ. Однако при некоторых других В оно может имен»
решения; оно может иметь единственное решение или бесконечное число
решений (разность двух таких решений служит решением однородного
уравнения А*Х = 0). Оба случая могут встретиться в алгебре ,?)'(Г)
(пример II); в & ив 3+ всегда не более одного решения2). Если А — бес-
бесконечно дифференцируемая функция, то обратный элемент не может суще-
существовать, ибо в силу предложения 5 свертка А* А была бы бесконечно
дифференцируемой функцией и не могла бы равняться 3.
') Если/(«) — произвольная суммируемая функция на окружности с I
' Г
то / * 1 = 1/E — I) сИ = 0. — Прим. перев.
г
2) В случае функций — это теорема Титчмарша; ст. Минусинский Я., Опера-
Операторное исчисление, ИЛ, М., 1956. — Прим- перев.
144
Гл. III. Свертка
Предложение 14. Пусть О—дифференциальный оператор
порядка т с постоянными коэффициентами (п=\, одно переменное)
и со старшим коэффициентом 1:
гШ ^Гга — 1 л
■■■ +ат-11Г7 + ат- (Ш. 2; 56)
их"
ь-тг — I
(VI)" = VI" + Ъ? @) + Ъ'7. @),
2) 2 @),
Распределение Бо обратимо в 3+; обратным элементом служит
произведение К2, где У — функция Хевисайда, а 2—решение одно-
однородного уравнения 02 = 0, удовлетворяющее „начальным условиям":
2@) = 2'@) = ... = 2('"~2)@) = 0, ^'"""(О)-- 1. (III, 2; 57)
В самом деле, поскольку функция VI. имеет разрывы производных
в 'начале координат, ее производные можно вычислять по известному методу.
Впрочем, можно также дифференцировать У7. по правилу дифференцирования
произведения, поскольку 7. бесконечно дифференцируема:
(III, 2; 58)
Если учесть начальные условия для 2, то эти равенства примут вид
(У 2.)*=, У2(к) при АчИ-1,
(У7.)т^ У'Ят> + Ъ. " (Ш, 2; 59)
Отсюда
ОЬ^.(У7) = й(У/:)=УОг-^гЬ, (Ш,2;60)
и поскольку 2 является решением однородного уравнения 02 = 0, имеем
О(К2) = 8. (III, 2; 61)
Ч. и т. д.
Примеры и следствия
' Элементарным решением для оператора
О=— X (X—произвольное комплексное число)
служит
(III, 2; 62)
§2. Свертка 145
Элементарным решением для
О = , 2 -)- ев2 (ш — вещественное)
служит
(8-ш28)= У(Х)В-^^-. (III, 2; 63)
Элементарным решением для
служит
(Ъ'— Щ~т = У (х) еКх (гс —п;- (III, 2; 64)
В качестве приложения найдем решение (в смысле теории функций)
уравнения
О2 = /, A11,2; 65)
где оператор п задан формулой (III, 2; 56), а /—данная функция. Начальные
условия:
,г<*>@) = гк —данные числа, &</«—1. (III, 2; 66)
Найдем функцию У г. Она принадлежит 3>'+ и удовлетворяет (в смысле тео-
теории распределений) уравнениям (III, 2; 58), откуда вытекает, что
т-\
О {Уг) = УЭг + 2 ек#к\ (Н1. 2; 67)
где
°е^г г + ахг к+ .+а г \ (Ш> % 68)
Отсюда, положив (Оо) = К2, получаем искомое решение:
/ т~' Л
Кг = К2 * ( У/ + 21 е$кУ • AН. 2; 69)
то есть, при х ~^> 0, функцию
О * = 0
Итак, частное решение 7. уравнения 02 = 0, удовлетворяющее началь-
начальным условиям (III, 2; 57), позволяет решить неоднородное уравнение с произ-
произвольной правой частью / и с произвольными начальными условиями.
10 Л. Шварц
146 Гл. III. Свертка
Чтобы найти г при х < 0, следует рассуждать в 3)'_—алгебре распреде-
распределений с носителем на луче (—оо, 0)—и отыскивать —К(—х)г. Элементар-
Элементарным решением здесь служит —К(—хJ.\ в формулах (III, 2; 58) следует
всюду заменить К(лг) на — У{—х), ту же замену следует произвести в фор-
формулах (III, 2; 69); все это в конечном итоге дает при х .^ 0 ту же самую
формулу (III, 2; 70).
Впрочем, дифференцирование под знаком I непосредственно показывает,
что функция г (х), заданная формулой (III, 2; 70), является решением уравне-
уравнения (III, 2; 65) с начальными условиями (III, 2; 66). В самом цепе (дифферен-
(дифференцирование производится в обычном смысле).
0
поскольку 20 = 0. Аналогично
а" С 2 х
Лхк 3
о
йт С
и. л ^
0
0
0
0
X
0
X
X
(III, 2; 71)
к<т—\.
(III, 2; 72)
о о
Отсюда
л: л:
О (/(х-0/@<« = /Д2(х-0/@^+/(х) = /(х). (Ш,2; 73)
о - о
поскольку 02 = 0.
Учитывая, что
и сама функция 2:
ОB{!!)) = 0, ' (III, 2; 74)
окончательно имеем
пг = /. (III, 2; 75)
Остается проверить, что г удовлетворяет также требуемым начальным усло-
условиям. Этого мы не будем проделывать.
Учитывая, что производные '/} ) удовлетворяют тому же уравнению, что
§ 2. Свертка 147
Предложение 15. Если Л, и А2 обратимы в алгебре 3,, то
свертка Ах* А2 также обратима и ее обратный элемент равен
(Л1-х-Л2)=-ЛГ'-х ЛГ!. , (III. 2; 70)
В самом деле, имеем
(Аг * А2) * (Аг1 + А2~1) = {Лх * ЛГ1) * D> *А^) = Ь*Ь=гЬ. (III, 2; 77)
Применение. Пусть п — дифференциальный оператор с постоянными
коэффициентами A11,2; 56). Полином
т (III, 2; 78)
разлагается па множители - ..
Р{г) = (г-гх){г-г2) ... (г — гт), (III, 2; 7»)
где 2;- не обязательно различны. Отсюда
или
БЬ = (о' — *!§) * (Ь' — г2Ъ) *...*(%'— гтЪ). (III. 2; 81 >
Теперь можно утверждать, что (Об) существует и, если учесть фор-
формулу (III, 2; 62), дается формулой
{ОЬ)-1 = У{х)е^х *У{х)ег^ * ... *У(х)ег",х. (III, 2; 82),
В частности,
(о' — \Ъут = У (х) еКх *У(х)еХх* ... * У (х) е>х = У (х) еХх ^
(III, 2; 83)
согласно формуле (III, 2; 13). Мы вновь пришли к формуле (III, 2; 64).
В алгебре 3)+, как и во всякой алгебре с единицей,
Символическое можно производить разложение рациональной дроби
исчисление Хевисайда на простейшие. Обозначим буквой р элемент 8'
алгебры 3>\, элемент 8 обозначим 1. Если X — ска-
скаляр, то X или XI будет обозначать элемент Х§. Пусть надо найти обратный
элемент (О5), где Б — дифференциальный оператор (III, 2; 56). Восполь-
Воспользуемся разложением (III, 2; 79), сгруппировав его члены по совпадающим
корням:
Р{г) = \\{2~21)к1. (III, 2; 84).
Нам надо найти в алгебре ЗЬЛ элемент, обратный произведению УХ (Р—2,)*./..
10*
148 Гл. III. Свертка
Разложение на простейшие дроби дает
. 2; 85)
Но ведь
Ц_=К(*)Д Х> ^ (III. 2; 86)
Таким образом, элемент (О8) можно выразить через известные функции.
В качестве примера получим снова формулу (III, 2; 63), отправляясь от(Ш. 2; 62)-
Элемент, обратный 8" —(— ш28, записывается в виде
НО
2 ^_ ==.^ ( --1__| 1_Л, (III. 2; 87)
откуда
1 ^^. (III, 2; 88)
В качестве другого примера решим интегральное уравнение
X
, -Зз | со5 (х — Г) / @ й* = е- (х), (III. 2; 89)
о
где функция § — дана, / — неизвестна, х ;> 0. Это уравнение переписывается
так:
5х*/ = ^. (III. 2; 90)
е'х -4- е ~ '•* '
Функция К(х)со5 х = У(х)—-^ в алгебре 3)+ записывается в виде
V (х) соз х =--:4- (—^—г -\ 1-^) = -А-Г- (III, 2; 91)
2 \ р—1 ' р-\-1 ) Р*-\-{
Обратным элементом в 3'^. будет
^Л-^З'-г-Ч*)- (III. 2; 92)
§ 2. Свертка 149
Впрочем, это можно проверить:
Г(Х)СО5 X *(&' + V) = (V СО5 X)' + У СОЗ X * У =
л:
(х) Г
^
*
' = 8. A11,2:93)
б
Решение уравнения (III, 2; 90) запишется тогда в виде
X
/=2*ф'-\- У) = §'+У(х) С $(()с1{. (III, 2; 91)
о
Производная %' должна, естественно, браться в смысле теории распределений.
Следовательно, уравнение (III, 2; 90) имеет в качестве решения функцию только
тогда, когда &' является функцией.
Рассмотрим при х^>0 уравнение
Интегральные *
уравнения Волыперра / (*) + Г К(х — () / (Ой1 = §(х), (III, 2; 95)
о
правая часть §■ и ядро К которого являются данными локально-суммируемыми
функциями, а решение / — неизвестная функция. Если мы продолжим функ-
функции /, & и К нулем на отрицательную полуось х < 0, то мы получим урав-
уравнение в свертках типа (III, 2; 52) в алгебре Зй'+, в котором А = Ъ-{-К.
Предложение 16. Элемент А = Ъ-\-К обратим в алгебре 3 + ,
какова бы ни была функция К^_3>'+, его обратный имеет вид Ь-\-Н,
где Н — некоторая функция из ™+.
Мы ограничимся доказательством этого предложения для случая, когда
функция К не только локально суммируема, но и локально ограничена, т. е.
ограничена на любом конечном интервале. Положим символически, как
на стр. 147, 8=1, К = д. Нам нужно обратить \-\-щ. В качестве обрат-
обратного элемента естественно взять ряд 1—<7 + <72+ ••• Н~(—!)"?"+•••.
если этот ряд сходится. Это сводится к вычислению ряда
= о — К -\- К -\- . • . -)-(—1) л -)-..., (Ш, 2, 90)
где К*" обозначает свертку п функций, равных К-
Покажем, что этот ряд сходится в 3)'+; все члены этого ряда, за исклю-
исключением первого члена 5, являются функциями, и поэтому достаточно показать.
150
Гл. III. Свертка
что на всяком конечном интерпале @, а) функция К*" мажорируется по мо-
модулю общим членом сходящегося числового ряда. Обозначим Ма максимум
модуля функции К (х) на интервале 0 ^ х <С а. При 0 -^ х ^ а имеем
\К*Чх)\ =
К {х — () К (()
Вообще предположим, что при 0 <С х ^ а уже доказана оценка:
(«-2)!
Тогда
<м"а) (я_2I а*= {п_{)] мпа.
(III. 2; 97)
(III, 2; 98)
(Ш, 2; 99)
Таким образом, мы доказали индукцией по п, что при 0 <^ х < а имеет
место равномерная сцепка
\К*»(х)\<М"а {"\у ,
(III, 2; 100)
правая часть которой — общий член сходящегося ряда.
Остается показать, что вычисленное таким способом распределение Е
удовлетворяет уравнению А х Е = Ъ; поскольку свертывание можно произво-
производить почленно (предложение 7), это сводится к проверке формулы
1)л<7"+ ...)=1. (Ш.2;Ю1)
..., (III, 2; 102)
где по-прежнему 8=1, К=д. Эта формула очевидна.
Окончательно если положить
то
Н является функцией (равной нулю при х < 0). Если .функция К непрерывна,
то Н будет непрерывной функцией, как сумма равномерно сходящегося
§ 2. С ее ртка 151
на любом конечном интервале @, а) ряда из непрерывных функций. Решение
уравнения (III, 2; 95) дается формулой
или
Решение / выражается через правую часть §■ формулой, аналогичной
формуле, которая выражает § через /.
Замечания
1) Уравнение (III, 2; 95) называется интегральным уравнением второго
рода. Уравнение первого рода выглядит так:
{х — ()/(() (И = $(х); (III, 2; 104)
оно также является уравнением в свертках, но на этот раз А = К- Ситуация
здесь совершенно иная. Может вполне оказаться, что обратный элемент Л
не существует (например, если К, всегда продолжаемая нулем при х < 0,
является бесконечно дифференцируемой функцией; в самом деле, предложе-
предложение 5 показывает, что, каково бы ни было Е^3)'+, свертка К*Е будет
бесконечно дифференцируемой функцией и не сможет равняться 8).
Если даже элемент А" существует, то он является только распределе-
распределением и никогда не может быть функцией (ибо если бы Е было функцией,
то свертка К*-Е также была бы функцией и не могла бы равняться о); сле-
следовательно, / никогда не выражается через §■ так, как д; выражается через /.
хт~1
Например, если К — функция V (х) -—_ . , то формула (III, 2; 64) показы-
показывает, что А~ -—Ъ.
2) Существуют интегральные уравнения Вольтерра, которые не являются
уравнениями в свертках; таково, например, общее уравнение второго рода:
К(х, $)/(!■)</? = *(*). (Ш. 2; 105)
где К— непрерывная функция двух переменных х и % при лг^-О, 0 <^ I; ^я.
152
Гл. III. Свертка
Здесь полагают
К>п\х, 1) =
(III. 2; 106)
(ряд, равномерно сходящийся при 0
дается формулой
(III, 2; 107)
х < а). Решение уравнения (III, 2; 105)
A11,2; 108)
Системы уравнений Система п уравнений в свертках с п неизвестными
в свертках распределениями имеет вид
А _*. у _|_ А < У -4- -► А
,,
(III, 2; 109)
где Ац — коэффициенты, В1 — правые части, Х1 — неизвестные; все эти
элементы лежат в некоторой сверточной аглебре Л'.
Предложение 17. Для того чтобы система (III. 2; 109), с дан-
данными коэффициентами А^, имела хотя бы одно решение при любых
правых частях Вг, необходимо и достаточно, чтобы сверточный
определитель Д из коэффициентов АГ! имел обратный элемент в Л'.
Этот обратный элемент является тогда единственным, и система
(Ш, 2; 109) имеет единственное решение при любых правых частях.
Это решение дается формулами
Х2 = С
а
2п * Вп
Вп,
■ спп *■ 5п>
(III, 2; ПО)
2. Свертка
где распределения С1) образуют матрицу (С), обратную матрице (Л)
коэффициентов Ац.
Произведения, которые входят в вычисление определителей, естественно,
/. М
должны пониматься как свертки. Например, определитель _ пони-
понимается как Ь *■ <2 — М * Р.
В матричной форме система (III, 2; 109) записывается так:
(А)*(Х) =
(III, 2; 111)
где (А) — матрица коэффициентов Ац, а (X) и (В) — матрицы-столбцы с п
строками:
(Л1)-
х„
(III, 2; 112)
1) Предположим, что при любой правой части существует хотя бы одно
решение. Примем за (В) набор распределений В^ = Ь, Вк = 0 при к-ф].
Пусть Х1=С1], 1=1, 2, ..., п, — соответствующее решение; пусть, далее,
индекс ] принимает значения 1, 2, .... и. По определению, имеем
'*)'■
0, если / ф У,
8, если / = у,
или, в матричной форме,
(III. 2; 113)
A11,2; 114)
где (8/) — квадратная матрица, элементы на главной диагонали которой
равны 8, а на остальных местах равны 0.
Отсюда получается соотношение для определителей
Aе1 (А) * ее! (С) = йе! E/) = 8,
(III. 2; ИГ)у
которое показывает, что определитель Д = с1е1(Л) обратим в алгебре Л'.
2) Напротив, предположим, что Д обратим, и пусть Д — обратный
элемент.
Пусть а-ц — алгебраическое дополнение элемента Л;,- в определители
матрицы (Л).
154 Гл. III. Свертка
Зададим матрицу (С) равенствами
С^Д-^а,,.. A11,2:116)
Стандартная выкладка с матрицами показывает, что
(Л) *(С) = (С) * (Л) = (8/). (III, 2; 117)
Пусть теперь (X) — некоторое решение уравнения (III, 2; 111); свертывая
с (С) слева, получим
(С) * (Я) = (С) *(/!)*(*) = (8/) *(*) = (*) (III. 2; 118)
или
(*) = (С)*(Я).
Обратно, если (А") удовлетворяет соотношению (III, 2; 118), то, свертывая
это соотношение слева с (Л), мы вернемся к соотношению (III, 2; 111).
Таким образом, соотношения (III, 2; 111) и A11,2; 118) эквивалентны;
иначе говоря, уравнение (III, 2; 111) имеет единственное решение, даваемое
формулой (III, 2; 118); или, еще иначе, система уравнений (III, 2; 109) имеет
единственное решение, даваемое формулами A11,2; 110). Матрица (С) является
обратной к матрице (А). Других обратных нет, ибо если свернуть соотношение
(Л)-ч-(Л) = (8/) (III, 2; 119)
с матрицей (С), то возникнет равенство
(Л"')^(С). A11,2; 120)
Эти построения приложимы, в частности, к электрическим системам. Разу-
Разумеется, все, что здесь говорилось, не имеет никакого специфического отно-
отношения к свертке; эти правила справедливы во всякой коммутативной алгебре
и являются не чем иным, как общими свойствами систем уравнений, матриц
и определителей. Заметим, что, хотя алгебра Л' коммутативна, свертка двух
матриц с элементами из Л' не является, вообще говоря, коммутативной.
§ 3. Свертка в физике
Рассмотрим в качестве примера электрический контур, содержащий
сопротивления, индуктивности и емкости. Отправляясь от электродвижущей
силы и тока, равных нулю, включим в некоторый начальный момент ^0
электродвижущую силу е{г), известную при всех значениях С^-^\ тогда
и контуре возникнет ток с силой г (/); г (() будет определенной функцией
при *>*0.
Мы будем рассматривать е({) и /(/) как функции, определенные при всех
значениях I, но равные нулю при I <, @. Таким образом, при всяком воз-
3. Свертка в физике 155
буждении, определяемом функцией е((), возникает отклик, определяемый
функцией ■/((); тем самым определен некоторый оператор, который всякой
функции е(() ставит в соответствие функцию 1({). Этот оператор обладает
следующими свойствами.
1) Он линеен. Если функции е (() соответствует с((), то функции \еA)
соответствует Х/(^); если функциям е{ (() и е2(() соответствуют ^B) и /2@>
то сумме е1A)-\-е2A) соответствует сумма /, A)-\-12(().
2) Он коммутирует со сдвигом во времени. (Это свойство выражает
неизменность с течением времени изучаемой физической системы.) Это озна-
означает, что если функции еЦ) соответствует функция 1{г), то функции еA — ({),
получаемой сдвигом во времени, соответствует функция 1A— {{), получаемая
тем же самым сдвигом во времени.
3) Если е(г) равна нулю при г < 0, то и 1(Ь~) будет равна нулю при
г < 0; из свойства 2) вытекает тогда, что если е({) = 0 при I < г!0, то и
/ (О =- 0 при !<@.
Из этих предположений обычно выводят интуитивным способом следую-
следующие заключения.
Примем за возбуждение е (() „функцию Дирака" Ь({). (В действитель-
действительности это должно означать, что функция е(г) очень велика, порядка 1 /е,
в течение очень короткого времени 0 <_ Ь < г, а затем равна нулю.)
Обозначим через А{() отклик 1{г) контура. Эту величину называют
импульсной переходной функцией (импульсной реакцией) или откликом
системы па единичный импульс. Она представляет собой „функцию" от /,
равную нулю при ( < 0 в силу предположения 3).
(Однако благодаря индуктивностям и емкостям она не обязана обра-
обращаться в нуль при I > е после выключения электродвижущей силы.)
Рассмотрим теперь такое же возбуждение, сдвинутое во времени е (г) ~
= 1{г — х). Тогда, согласно 2), соответствующий отклик 1({) будет равен
А (( — т). Произвольное возбуждение е (г) является „интегральной линейной
комбинацией" импульсных возбуждений ЬA — т):
I
е(() = $е(х)Ь{(~ х)Л (III, 3; 1)
о
или
е = е * 8.
Пользуясь линейностью 1), отсюда выводят, что 1{Ь) является такой же
комбинацией откликов А {( — х):
I
A0,3; 2)
156 Гл. III. Свертка
или
/(О = в(*)*Л(О- (III, 3;3>
Приведенное рассуждение является, очевидно, неудовлетворительным
с точки зрения математики.
Во-первых, следовало бы указать, что оператор определен не только
для функций, равных нулю при Ь < 0, но и для распределений из 3' с носи-
носителями на полупрямой (О V. ^ < со) и что такому распределению,он ставит
в соответствие распределение с, также принадлежащее 3 + . Необходимо,,
наконец, добавить к трем предположениям еще предположение о непре-
непрерывности.
4) Если возбуждения е-; при / —>оо стремятся к возбуждению е (в смысле-
сходимости распределений), то отклики г,, соответствующие е;-, стремятся;
к отклику /, соответствующему е.
В случае электродвижущей силы повод рассматривать распределения
возник естественно. Этот повод возникает еще более естественно в случае
силы тока. Пусть через прибор, измеряющий силу тока, в момент х проходит
элементарный ток, представляемый одним зарядом д. Сила тока есть про-
производная от количества электричества по времени. Количество электричества
равно дУ (I — х), т. е. равно 0 при г < т и равно д при 1~^-1\ сила тока„
таким образом, равна дЪ(Ь — х). Кроме того, известно, что прохождение тока
есть дискретное явление, которое представляет собой последовательное про-
прохождение большого числа элементарных зарядов, что выглядит внешне как
прохождение непрерывного тока.
Математическое доказательство формулы (III, 3; 3) производится теперь-
следующим образом.
По определению А, формула (III, 3; 3) справедлива для е = 5; тогда;
в силу 2) она справедлива для е = Ь({ — х); в силу линейности 1) она остается
справедливой для конечной линейной комбинации импульсов
«(*) = 2 «*&(' — **)•
Наконец, она верна в силу непрерывности 4) для всякого е, которое является
пределом (в 3+) конечных линейных комбинаций импульсов. Но ведь можно
доказать, что всякое распределение из 3+ является пределом (в 3+) конечных
линейных комбинаций точечных масс; следовательно, формула (III, 3; 3) верна
для любого е^3'+. Именно эта теорема о плотности лежит в основе записи
формулы (III, 3; 2) и перехода от формулы (III, 3; 1) к (III, 3; 2). Именно ее
имеют в виду, когда говорят, что всякий ток состоит из прохождений
точечных зарядов или что всякое материальное тело образовано большим
числом точечных масс.
§ 3. Свертка в физике 167
Итак, импульсная реакция А определяет отклик на любое воз»
Суждение по формуле (III, 3; 3).
В практическом случае, который мы и рассматриваем, при ^^-0 имеет
место формула
I
е @ = Ш @ +1 ^ + ^ / / (х) Л. (III. 3; 4)
о
где К, /., С суть сопротивление, индуктивность и емкость контура.
Эту формулу можно записать так:
е = 7. -а I, (III, 3; б)
ц-де
2 = /?В + 1Л' + -У У- (III, 3; 6)
Распределение 7.A) есть импеданс контура. Оно принадлежит ,35,.
м позволяет выразить е через / с помощью свертки. Распределение А, которое
■называют адмитансом, или полной проводимостью, является об ратным
.к 2 в сверточной алгебре 3'+:
Л—2 или Л* 2 = 3. (III, 3; 7)
Продифференцировав обе части, формулу (III, 3; 7) записывают также в виде
-Яо' I*
Таким образом, адмитанс А является функцией, которая равна нулю при
^<0 и совпадает при ^^-0 с обычным решением однородного уравнения
/:и" + Я«' + -1 и =0
с начальными условиями
«@) = -^. «'«»=—р-
Уравнение (III, 3; 7) получается из (III, 3; 5) при е = Ь и /== Л.
Как обычно, положим 3=1 (единица алгебры 3\), о' = р, У^\/р.
Имеем ,
A11.3:8)
Отсюда
158 Гл. III. Свертка
Корни знаменателя равны
Ж1- 21 — ~^Г--/У Тс"~Т7Х (И1, 3, 10)
(где у = У—1, как это принято в теории электричества). •
Предположим, что К2 мало по сравнению с ЦС\ тогда
р» — +-т= > (III. 3; 11)
и мы имеем приближенное разложение дроби (III, 3; 9):
21 ' УЬС
Учитывая, что
и что Я2 мало по сравнению с Ь/С, получаем выражение
г»
р^'со5 2--^, (III, 3; 13)
где
Т = 2т.\г1С A11,3; 14)
р
— период собственных колебаний, а е 21 — множитель, определяющий за-
затухание.
Упражнение. Проделайте все выкладки, не пренебрегая Я2 по
сравнению с Ь/С.
Пример, который мы только что привели, является всего лишь очень
специальным случаем общей ситуации. Всякий раз, когда некоторая функция
или некоторое распределение / зависит от другой функции или другого рас-
распределения е и удовлетворяет предположениям 1), 2), 3) и 4), существует
импульсная реакция А, такая, что г—Л*е.
Примеры.
1) Можно поменять роли / и е. Можно принять г за возбуждение, а е —
за отклик, тогда импульсной реакцией будет импеданс /,.
2) Отклик может совпадать с возбуждением; тогда Л = о.
3. Свертка в физике
159
3) Возбуждение и отклик могут состоять из нескольких распределений
или функций, например возбуждение е] ({), е2({); отклик 1\Ц), 12@- 'я(О'
Это будет иметь место в случае сети, в которой действуют две электродни*
жущие силы и возникают три неизвестные силы тока. Здесь следует использо-
использовать матрицы. Имеет место формула
которая означает, что
(III, 3; 15)
к
к
=
л! а\
а\ 4
А\ 4
к =
(III. 3; 16)
Импульсной реакцией является, таким образом, матрица, в данном случае
с тремя строками и двумя столбцами. Смысл каждого из ее элементов оче-
очевиден; например, А\ есть значение /3 при е] = 8, е2 = 0.
4) Стержень АВ—теплопроводен. Обмен теплом с внешней средой
происходит только на концах стержня в точках А и В, где стержень сопри-
соприкасается с источниками. В точке А, начиная с момента времени ^ = 0, он
получает меняющееся со временем количество тепла. Пусть е^) — количе-
количество тепла, получаемое стержнем за единицу времени в момент г\ тогдв
количество тепла, полученное от начального момента до момента I, будет
равно
/
й-,.
Аналогично определяется е2(() для конца В. Мы хотим установить, как изме-
изменяется со временем температура стержня, если эта температура равнялась 0
при г < 0. Температура II (х, {) в точке х в момент времени г при фиксиро-
фиксированном х будет некоторой функцией {, которую можно рассматривать как
отклик. Отсюда мы приходим к импульсным реакциям А1{() и А,2(() (завися-
(зависящим от х) и к- формуле
и(х, 1:) = А1*е1-\-А2*е2 =
I I
= | Ах(х, ^-:)е1(;)Л+|л2(х, Ь-')е2^)а-. (III. 3; 17)
о о
160 Гл. III. Свертка
5) Та же самая задача возникает для волнового уравнения: резонанс полости
при внешнем акустическом возбуждении, незатухающие колебания струны или
воздуха в акустической трубе и т. п.
Различные замечания
1) Часто пытаются определить А(() экспериментально. Вместо еди-
единичного импульса е (*) = &(!!), который иногда трудно реализовать, берут
в качестве возбуждения ступеньку Хевисайда е (^) = V ((). Тогда отклик будет
равен
реакцию А определяют дифференцированием А = -^. Но при этом надо сле-
следить за тем, чтобы дифференцирование производилось в смысле теории рас-
распределений.
С другой стороны, на практике, хотя V и легче реализовать, чем 5,
точно определить производную труднее, чем саму функцию.
2) Примем за возбуждение еЦ) = ерг. Подобное возбуждение автомати-
автоматически, без расширения начальных условий, брать нельзя, поскольку функ-
функция ер( не равна нулю при г < 0. Тем не менее при Ке р > 0 функция ер!
стремится к 0 при (—> — со и оказывается, что мы имеем право сделать
такой выбор. Тогда
оо
( -г- А(х)их = Л(р)ер1, (III, 3; 18)
т. е. отклик пропорционален возбуждению. Множителем пропорциональности
является \Л(р)', эту величину называют переходной функцией системы1);
Л (р) является преобразованием Лапласа от Л, что позволяет опреде-
определить А, если Л(р) известна при значениях р с достаточно большой веще-
вещественной частью.
Легко видеть математическую природу указанного выше ограничения:
подобную процедуру можно применять, только если А имеет преобразование
Лапласа. В рассмотренном ранее примере электрического контура величина
<А(р) равнялась
Р
') В оригинале {ас1еиг йе гёропзе гзотогрйе. — Прим. перев.
Упражнения 181
3) Примем за возбуждение е(() = е>т1, си — вещественное. Здесь вA)
снова не равна 0 при ( < 0; эта функция даже периодична и не стремитсн
к 0 при Ь— > — со. Предположим тем не менее, 'что такое возбуждение допу-
допустимо. Тогда отклик
оо
1A)= А * е>ы =- е>"" Г е~-'шт А(т)й?т = Л(/ш)е'™1 A11,11; И))
о
снова будет пропорционален возбуждению. Множитель пропорциональности
Л (у'")) называется частотной характеристикой системы !); Л (у'ш) является
преобразованием Фурье от А, что позволяет определить А, если Л (У«>)
известна при всех ш. Здесь математическая природа ограничений, наклады-
накладываемых на задачу, следующая:
реакция А должна иметь преобразование Фурье, а это преобра:юиаиие
Л (у'ш) должно быть функцией, поскольку оно должно иметь числовые зна-
значения при всех ш.
В классическом случае периодического переменного тока с частотой «>
импеданс равен
I (уУ) = /? + /./,„ + — , A11,3; 20)
при этом
— величина, называемая адмитансом.
Поскольку в этих двух последних случаях возбуждение еA) не равнялось
нулю при { < 0, то же самое имеет место и для 1A:). При этом имеется
бесконечно много различных возможных откликов на данное возбуждение
(разность между любыми двумя такими откликами является откликом, соот-
соответствующим нулевому возбуждению) и следует указать, как выбрать один
из этих откликов. Выбирают отклик, пропорциональный возбуждению (мно-
(множителем пропорциональности служит Л(р) или Л(/и>))- Впрочем, на практике
оказывается, что все отклики стремятся к выбранному при (—.>-(-оо.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ III
Упражнение III-1. Найти в 3)+ распределения, обратные следующим:
5" _ 53' -+- 63,
У-г-Ь",
У(х)ех-\-Ь'.
') В оригинале !ас1еиг <1е гёропяе 18осЬгопе. — Прим. переа.
11 Л. Шварц
162 Гл. 111. Свертка
Упражнение III-2. Решить интегральное уравнение
о
где ^ — данная, а / — неизвестная функция с носителями на луче @, Ц-оо).
Упражнение Ш-3. Пусть §(х)— функция с носителем на луче @, -|-эо).
Найти функцию /(х) с носителем на луче @, -|~оо), удовлетворяющую при
х^-0 интегральному уравнению
X
^ (е-а _ 5ш с) / (х - \) а\ =- § (х).
о
Какому условию должна удовлетворять функция §, для того чтобы решение
было непрерывной функцией? Вычислить решение в случае, когда §" является
функцией Хевисайда У (х).
Упражнение Ш-4. Решить интегральное уравнение
о
где § —данная, а / — неизвестная функция с носителями на луче @, -(-со).
Упражнение II1-5. Обозначим через / (I) то решение дифференциаль-
дифференциального уравнения
х'" -+- 2х"+ х' -4- 2х = — 10 сов (,
которое удовлетворяет начальным условиям
*@) = 0, х'ф)=2, х"@) = — 4.
Положим
ру)== V @/@.
где К @ — функция Хевисайда. Написать дифференциальное уравнение в смысле
теории распределений, которому удовлетворяет Р ((). Найти затем Р((),
используя символическое исчисление в 3)+.
Упражнение 111-6. Вычислить свертку
К(ХMШХ* У(ХMЪ2Х
Найти дифференциальный оператор п с постоянными коэффициентами, для
которого эта свертка служит элементарным решением.
Упражнения Ш\
Найти решение дифференциального уравнения
уD) — зу21 — 4у = О,
которое удовлетворяет начальным условиям
у @) = 1, у' @) = у" @) = у'" @) = 0.
Упражнение II1-7. Показать, что функции
е-!*!; е-ах\ а > 0; хе-аА', а>0
принадлежат Ьх.
Вычислить свертки
д\ р~\Х\ ^- р—\Х\
а) с ^ с- |
Ь) е""-'-* л-е-°*\
С_) АС )Г ЛС
Упражнение Ш-8. Доказать формулу (III, 2; 23).
Упражнение Ш-9. Вычислить сверточные степени /*" функции
1 при — 1 < х < 1,
, 0 в остальных точках.
Как можно было бы вывести этот результат из (/')*"?
Каков носитель функции /*"?
Упражнение III-10. На плоскости (х, у) рассматривается конус
0 < х < | у \. Пусть / и § — две функции с носителями в этом конусе. На-
Написать (/ ■* §){и, V). Пусть У — характеристическая функция конуса, вычис-
вычислить У - У.
Упражнение III-П. Рассматривается распределение
/1 = 0
Пусть Е(х)—первообразная этого распределения с носителем на луче @, 4-со).
Вычислить
Е{х)*Е{х).
Упражнение Ш-12. Решить в 3)+ систему уравнений в свертках
* Х2 == 0.
11*
164 Г л III. Свертка
Упражнение Ш-13. Решить в 35+ систему уравнений в свертках
У (х) е^х * Хх + У (х) «V *Х2 + У (х) е*** * А3 = II х,
К (х) <?"»* * А1! 4 ^ (л) е'* * Х2 + К (х) е** * А'3 == Ц2.
К (х) е«»* * Л*! + К (х) е*»* * АГ2 + К (х) еч* * X, = ^3-
где 6/^ G2, G3—известные, а Л^, А2, А3 — неизвестные распределения
из 3>\.
Упражнение II1-14. (Письменный экзамен, Париж, 1959.) Обозначим
чгрез 0 множество тех распределений на вещественной прямой, которые пред-
ставимы в виде конечной суммы
A)
т, п
где
(В'™I есть пг-я производная распределения, заданного единичной массой
в точке п\ ш — целые числа ^- 0, п — целые числа произвольного знака).
Через $х обозначим множество распределений вида 51 = 8 + 5, где 8^0.
Показать, что распределение 31^^1 тогда и только тогда, когда оно
имеет вид A) с очевидными изменениями в B), которые следует выписать.
Первый вопрос: показать, что 0 является сверточной алгеброй (без
единицы).
Второй вопрос: показать, что если Т является периодическим распре-
распределением с периодом 1 (т. е. равно своему сдвигу х{Г при единичном сдвиге
переменного), то
5*Г=0 при 5^ д и ^ *Т — Т при 81$&1.
Пусть А—распределение с ограниченным носителем, и пусть существует
такое распределение Е с ограниченным носителем, что
Показать в этом случае, что для периодического распределения В
с периодом 1 существует, и притом единственное, периодическое распределе-
распределение X с периодом 1, такое, что
А*Х=--В. ' D)
Упражнения 165
Третий вопрос: пусть п — дифференциальный оператор с постоянными
коэффициентами:
Показать, что функция Е(х), равная нулю при х < 0 и при *>1,
которая является на интервале 0 <; х < 1 обычным решением однородного
уравнения пЕ = 0, удовлетворяет в смысле теории распределений соотноше-
соотношению ИЕ^^1 тогда и только тогда, когда величины
-ЕКк) A), 6 = 0, 1 N — \, (в)
удовлетворяют некоторой системе N линейных уравнений. Выписать »гу
систему и решить ее (решение очевидно).
Четвертый вопрос: возьмем последовательно
где а и |5 — комплексные числа, а Ф р. Найти функцию Е(х), определенную
в третьем вопросе, используя найденные значения ок и общий вид решения
однородного уравнения ОЕ = 0; существует ли эта функция при всех значе-
значениях а и р (а Ф Р)?
Упражнение II1-15. Используя соотношение
еа1*\+а1?2+ •• +апхп 8 * еа1ж>+аЛ+ ••• +апхп т = еа'х*+а*х2+-- +апхп(8 х-Г).
найти дифференциальное уравнение в частных производных, элементарным
решением которого служит распределение
а1х1+...+апхп
B-п)Зпгп-2
Предполагается, что л — целое положительное число, отличное от 2.
ГЛАВА IV
РЯДЫ ФУРЬЕ
§ /. Ряд Фурье для периодической функции
и для периодического распределения
1. Разложение периодической функции в ряд Фурье. Перио-
Периодом функции /(х) называется такое вещественное
Период функции число Т, что / {х-\-Т) = / (х). Число 0 всегда
является периодом; число, противоположное пе-
периоду функции /, и сумма двух периодов функции / снова являются пе-
периодами /; таким образом, периоды функции / образуют некоторую под-
подгруппу аддитивной группы /? вещественных чисел. Эта подгруппа называется
группой периодов функции /.
Если / непрерывна, то ее группа периодов является замкнутой под-
подгруппой /?, ибо всякий предел Т последовательности периодов Т} функции /
также является периодом /. Но ведь существует только три категории зам-
замкнутых подгрупп группы /?:
1) подгруппа, сводящаяся к 0. Функция /, не имеющая периодов ТфО,
называется апериодической;
2) вся группа /?. Функция, имеющая периодом любое вещественное число Т,
равна постоянной;
3) множество кратных 1Т0 (/ — целое число, положительное, отрицатель-
отрицательное или равное нулю) некоторого числа Ги > 0.
Если группа периодов / принадлежит к одной из двух последних кате-
категорий, то функция / называется периодической; число То в третьем случае
называется основным периодом функции /.
Замечание. Для функций на К." (т. е. для функций п переменных)
-> -> > >
периодом является такой вектор Т, что / (х -+- Т) = / (х).
Периоды функции / образуют аддитивную подгруппу группы свободных
векторов в /?". Эта подгруппа будет замкнутой, если / непрерывна. Однако
категорий в этом случае будет больше трех F в /?2, (п~\-\)(п-\-2)/2 в /?").
Пусть 7\, 7\ Т„ — п линейно независимых векторов в /? ; множе-
ство их линейных комбинаций /171, -\-12Т2-\- ■■■ -\-1„Тп с целыми коэффи-
коэффициентами 11, 12, ..., 1п (произвольного знака) является очень важной подгруппой,
§ 1. Ряд Фурье для периодической функции 187
Функция, допускающая в качестве периода любой вектор подобной под-
подгруппы, называется ге-периодической.
Для того чтобы экспонента е>х имела вещественный
Экспоненты период Т > 0, необходимо и достаточно, чтобы
периода Т. ект = 1, т. е. ХТ = 2Агтс. Если период Т задан, то
Ряд Фурье возможными значениями X будут числа
Х = 1к -=г- = 1кю.
Число (о называется частотой, сопоставляемой периоду Т. Если положить
& = 0, то получится константа 1, имеющая группой периодов всю Н- При
к Ф 0 возникает экспонента, равная по модулю 1, основным периодом кото-
которой является Т/\к\.
Основная задача, которую мы собираемся поставить, состоит в следующем,
Пусть / — периодическая функция, допускающая период Т. Разложима ли
эта функция в ряд
□о
(так называемый ряд Фурье), каждый член которого с точностью до по-
постоянного множителя является одной из экспонент, имеющих период Т.
Члены с противоположными значениями к иногда группируют попарно
и заменяют ряд по экспонентам рядом по косинусам и синусам:
со
Связь между коэффициентами ак, Ьк и ск очевидна:
ац = с0, с0 = а0,
_^аь — 1Ьь_ |
*> = <>+<->• > "*"" 2 А>0. (IV,!; IV
к — 9
Предположим, что ряд (IV, 1; 1) равномерно сходится
Коэффициенты (откуда вытекает, что функция /" непрерывна).
Фурье локально \, : : ' г »- /
суммируемой Тогда почленным интегрированием М9жно вычислить
функции величины
а+Т
/(х)е-1к«-х —. (IV, 1; 4)
168
Гл. IV. Ряды Фурье
Интервал (а, а-\-Т) есть интервал периодичности функции /; интеграл,
очевидно, не зависит от выбора этого интервала, т. е. не зависит от выбора а.
Действительно, при Ь Ф а можно написать
Ь + Т а+Т / Ь+Т
Разность, стоящая в скобках, равна нулю, ибо функция §(х) = /(х)е~ 1кшХ
допускает Т в качестве периода:
. ь+т о о
а+Т
(здесь сделана замена переменного х — ^-\-Т). Наличие -=г- показывает, что
величина Ск является средним функции / (х) е~Шах по интервалу периодичности:
а + Т
== 1 с</ е'"-*""'-^-.
I— —оо 1
Но ведь
а + Т
^ е т —
1, если /и = 0.
4"^°- если
Г
(IV, 1; 5)
(IV, 1;
Окончательно находим, что в сумме 2 остается только один член =^0,
а именно член с 1 = к, откуда
Сь = ск. (IV, 1; 7)
Таким образом, если функция / непрерывна и если она обладает
равномерно сходящимся рядом Фурье, то этот ряд полностью известен,
причем
а + Т
(IV, 1; 8)
Величины ск(/) всегда определены (даже если / не непрерывна) при условии,
что / локально суммируема (суммируема на любом конечном интервале,
или, что то же самое, по причине ее периодичности, суммируема на любом
интервале периодичности). Во всех случаях мы называем величины ск(/)
коэффициентами Фурье функции /; они не меняются, если изменить /
на множестве меры нуль, поэтому можно считать, что / определена только
почти всюду.
$ /. Ряд Фурье для периодической функции
\т
Для разложения в ряд по косинусам и синусам сразу же получаем формулы
а + Т
а + Т
ах
т '
а
а + Т
(IV, 1;!))
/е>0
(это можно сделать, либо вычисляя ак и Ьк по формулам (IV, 1; 3), либо
непосредственно тем же методом, что и для ск). Множитель 2 возникает
из-за того, что среднее функций соз2 кшх и зт2 кшх по интервалу перио-
периодичности равно 7г при к > 0, в противоположность случаю й = 0, когда
среднее от 1 равно 1.
1) В образовании коэффициентов Фурье принимают
Различные участие значения функции / на всем интервале не-
замечай я риодичности, в противоположность коэффициентам
ряда Тейлора, в образовании которых принимают участие только значения
функции в окрестности точки, в которой производится разложение.
2) Если функция / четна или нечетна, то полезно использовать тригоно-
тригонометрические ряды. В самом деле, если / четна, то могут быть отличны от
нуля только коэффициенты ак (включая сюда а0), ибо функции /(хM'тки>х
нечетны и их интегралы [по интервалу периодичности (—Т/2, Т/2)] равны
нулю; если же /, напротив, нечетна, то только коэффициенты Ьк могут быть
отличны от 0, ибо функции /(л;)со5 кшх нечетны и их интегралы равны нулю.
В каждом из этих случаев функция, от которой для вычисления коэф-
коэффициента 4^0 берется среднее, является четной, и ее среднее можно вычи-
вычислять по полупериоду, например по интервалу @, Т/2):
Г/2
/ четна:
Г/2
ак (/) = у / / <х)С08
0;'
Г/2
4 Г
/нечетна: **(/) =-у- I /{х)$'и\Ыхйх,
(IV. 1; 10>
170 Гл. IV. Ряды Фурье
Аналогично если / удовлетворяет соотношениям другого типа, то неко-
некоторые коэффициенты Фурье обращаются в нуль или удовлетворяют простым
соотношениям. Например, если / допускает в качестве периода не только Т,
но и некоторое частное Т/р, то сохраняются только те коэффициенты ск,
у которых к кратно р, т. е. только те, для которых соответствующие экс-
экспоненты е1ка>х также имеют период Т/р.
3) Пусть / — данная функция на интервале (а, Ь). Разложением в ряд
Фурье функции / на интервале (а, Ь) называют разложение в ряд Фурье
периодической функции /г, имеющей период Ь — аи совпадающей с / при
а V х < Ь. Заметим, что если функция / непрерывна в точках а и Ъ и
/(а)ф/(Ь), то /, обязательно будет разрывной в точках а и Ь. Аналогично
разложением в ряд Фурье по косинусам (соответственно по синусам) функ-
функций /, заданной на интервале @, Ь), называют разложение в ряд Фурье
функции /г, которая четна (соответственно нечетна), периодична с периодом 21
и совпадает с / на интервале @, /.). Заметим, что в случае ряда по сину-
синусам функция Д обязательно будет разрывной в точке х = 0 (или х — ^),
если функция / непрерывна в точке х = 0 (или х = Ц и /@)^=0 (или
Разумеется, во всех случаях можно выразить коэффициенты Фурье через
средние от значений / в данном интервале (а, Ь) или @, V). Мы уви-
увидим, как используется этот факт в теории колебаний струны и акустиче-
акустических труб.
Заметим, наконец, что всегда имеют место оценки
|с*(/I< Г |/(*I-^- = 4-11/11/1 < вир |/(*)| (IV. 1;П)
а
и аналогичные оценки для коэффициентов ряда по косинусам и синусам:
' а + Т
К(/I<| \/(х)\^- = у- Н/Ц^ -Сзир|/(*)|. (IV, 1; 12)
а
я + Г
/йх 2
/(х)| —=-== -=- Ц/11,, <1 2вир |/(х)| при й > 0.
Можно доказать, что ск всегда стремятся к 0, когда Л—>оо (теорема, принад-
принадлежащая Лебегу).
ф /. Ряд Фурье для периодической функции 171
2. Разложение периодического распределения в ряд Фурье. Мы бу-
будем в этой главе обозначать распределения буква-
Пераодаческае ч\\ <У, $ \\ т. п., чтобы избежать смешения с перио-
распределения _ "_ , г
дом Т. Пусть / — локально суммируемая функция.
Ее сдвиг / (х — Г) определяется функционалом
Г)>. (IV, 1; 13)
Это наводит на мысль определить сдвиг $'х_т распределения $х формулой
(IV, 1; 14)
Распределение ^ будет называться периодическим, допускающим период Т,
если с7"Л_7- — <Тх'< И1|ыми словами, оно будет называться периодическим, если
<^„ 9(*+Г)-?(*)) = 0. (IV. 1; 15)
какова бы ни была функция ^6®-
Пусть Г — окружность с центром 0 длины Т
Пространства на ПЛОскости хОу. Всякой функции / на Г можно
поставить в соответствие функцию / на /?, положи»
/(х) = /(Ж), где М—точка на Г с криволинейной абсциссой 5 = х. Начало
отсчета А криволинейных абсцисс—точка окружности Г, лежащая па Ох;
направление отсчета — против часовой стрелки.
Функция / является периодической, допускающей период Т.
Обратно, если / — периодическая функция на /?, допускающая период Т.
то она получается предшествующей процедурой из некоторой и притом един-
единственной функции /; функция / определяется равенством /(М)=/(х), где х —
одна из криволинейных абсцисс точки М (все эти криволинейные абсциссы
равны друг другу с точностью до целочисленного кратного Т). Соответствие
/—>/ между функциями на Г и функциями на /?, имеющими период Г,
являются изоморфизмом между этими двумя множествами функций. Для
функций на Г имеются понятия непрерывности, дифференцируемости по
криволинейной абсциссе -т- , суммируемости по с1з и т. п., которые на-
находятся в соответствии с понятиями непрерывности, дифференцируемости по х,
локальной суммируемости и т. п. для периодических функций на /?.
172 Гл. IV. Ряды Фурье
Следует также заметить, что одна из наиболее распространенных причин,
по которой вводятся периодические функции, состоит в том, что функцию
на тригонометрическом круге хотят рассматривать как функцию угла 6 с пе-
периодом 2тс.
Обозначим через 3 (Г) пространство комплекснозначных функций на Г,
бесконечно дифференцируемых по криволинейной абсциссе 5. (В силу соот-
соответствия, которое мы определили в начале этого параграфа, эти функции
ср ^ «25 (Г) сопоставляются бесконечно дифференцируемым функциям ср на Я.,
образующим некоторое подпространство пространства I, но не имеющим
отношения к функциям из 3 (/?).) Функции сру —>- 0 в 3 (Г), если они вместе
с каждой из их производных равномерно стремятся к 0 на Г.
Таким образом, пространство 3 (Г) оказывается более простым, чем про-
пространство 3 (Я) (это объясняется тем, что Г — ограниченное множество).
Функция, тождественно равная 1 на Г, принадлежит 3 (Г), тогда как функ-
функция, тождественно равная 1 на /?, не принадлежит 3(Н).
Пространство 3' (Г) — это пространство линейных непрерывных
форм на 3 (Г).
Пусть / — локально суммируемая функция на Г,
Взаимно однозначное / — соответствующая периодическая функция па /?.
С%7сеп^едтелаенаТм^дУ Д™ Фикции <р 6 Э> (К) построим функцию Ф - сумму
с периодом Т и сдвигов функции ср:
распределениями со
изВ'(Т) Ф(Х)= V ?(х-|_/Г). (IV, 1; 16)
1= -оо '
Функция Ф является периодической с периодом Т и бесконечно дифферен-
дифференцируемой. Поэтому она соответствует некоторой функции Ф^<25(Г). В дей-
действительности, разумеется, при каждом значении х сумма 2 является ко-
конечной суммой. Легко видеть, что
/ (IV, 1; 17)
г я
В самом деле, правая часть этого равенства равна
сю (/-»-1O" со Г
/=-со 1Т ;=-со О
т
= Г /(х)Ф(х) их, (IV, 1;
а этот интеграл равен левой части равенства (IV, 1; 17).
$ /. Ряд Фурье для периодической функции 173
Таким образом, возникает мысль определить периодическое распреде-
распределение д" периода Т на К, сопоставляемое распределению $ на Г, формулой
{?. Ф> = (^. ф>- (IV, 1; 19)
Эта формула действительно определяет некоторое периодическое распределе-
распределение Д1, ибо если заменить ср(х) на у(х-\-Т), то функция Ф, а значит и Ф,
не изменится.
Например, пусть $ — распределение 5 на Г, образованное массой -И
в точке с криволинейной абсциссой 0; тогда $ будет образовано массами -\-\,
помещенными во все точки с абсциссами ГГ на прямой:
(8. <р)= 2 '-Р(/Г) или *(*) = 2 Ь(х~1Т). (IV. 1; 20)
/= — со 1^ — оо
Обратно, можно показать, что всякое периодическое распреде-
распределение периода Т на К является распределением $, сопоставленным
некоторому, и притом единственному, распределению </ на Г.
Поэтому мы будем отныне рассуждать всегда о распределениях $ на Г.
На окружности Г существует, с точностью до крат-
С о*' гг> ных ^' сложение ДУГ- Поэтому можно определить
свертку двух распределений ^ и $ формулой
{&~2, ?> = <^®^. ?и+т.)>' (IV. 1; 21)
Эта свертка существует всегда, ибо всякое распределение на Г имеет огра-
ограниченный носитель. Она обладает теми же самыми свойствами, что и свертка
на Н, но является более простой. В частности, & * $ = $, &'*<7'=:=<7'/ и
т. п. В случае двух функций / и § свертка дается формулой
*(*)=//(* —*)*(')<«. (IV. 1; 22)
г
Для соответствующих периодических функций / и § на /? эта свертка запи-
записывается в виде
*(*)=/ /(*-«)?«)«. , (IV. 1;23)
а
где (а, а-\-Т) — произвольный интервал периодичности. Эта свертка не имеет
никакого отношения к свертке функций / и § на /?. Последняя содержала бы
174 Гл. IV. Ряды Фурье
интеграл I и к тому же не имела бы смысла в случае двух периодических
— оо
(и имеющих тем самым неограниченные носители) функций.
Коэффициенты Фурье локально суммируемой функ-
Ряд Фурье ции / на Г суть не что иное, как
для распределения
//Ус ]
/ E) е~1ка>3 —== — (/, е~'*шЛ. (IV, 1; 24)
г
Поэтому мы определим коэффициенты Фурье распределения ^^3'(Т)
формулой
«»Ш = т-<<7'. е-1Ы*). (IV. 1; 25)
Рядом Фурье распределения $ мы будем называть ряд
оо
где ск{^) даются равенством (IV, 1; 25).
Пример. Для с7" = 5 имеем ск (8) = -=- (8, е~'кш5) = у . и, следова-
следовательно, ряд Фурье для о имеет вид
Т е' ""*
|. *=-СО
оо
Пусть некоторый тригонометрический ряд 2 Сге"ш5 сходится к рас-
I— —оо
пределению $ в 3' (Г) (т. е. для любой ср^<25(Г) числовой ряд
2 С1{е1!и>5, ер) сходится к числу {$, ср)). Полагая ср = е~'*т5 и учитывая
;= -со
равенство (IV, 1;6), будем иметь
ТСк = (^, *-<*-> = Тск (П (IV, 1; 27)
Итак, никакой тригонометрический ряд, кроме ряда Фурье для $,
не может сходиться к ^ в 3)' (Г).
Мы увидим в дальнейшем, что присутствие множителей Т или 1/Г услож-
усложняет все формулы. Формулы будут, конечно, наиболее простыми в случае,
когда Т = 1, ш = 2и.
2. Сходимость рядов Фурье 175
§ 2. Сходимость рядов Фурье в смысле теории
распределений и в смысле теории функций
1. Сходимость ряда Фурье распределения.
Предложение 1. Ряд Фурье распределения & сходится к Ь
(в пространстве распределений 3'(Г)):
4" в'**" = 8- (IV, 2; 1)
к~ — со
Мы уже заранее знаем, что этот тригонометрический ряд сходится в 3)' (Г),
поскольку его коэффициенты, равные -=-, ограничены и, значит, мажори-
мажорируются некоторой степенью \к\ (см. гл. II, предложение 14).
Нам остается показать, что его сумма $ равна 8. Умножим его почленно
на еш:
СО
еы*Я = ^ -^е'<*+1H" = <7' (IV, 2; 2)
или
= 0. (IV, 2; 3)
Таким образом, $ удовлетворяет мультипликативному уравнению
*? = 0. (IV, 2; 4)
где а. — еЫ5 — 1—данная, бесконечно дифференцируемая функция, отличная
всюду от 0, кроме единственной точки 5 = 0 окружности Г, в которой она
имеет простой нуль [<х'@) = т ф 0]. Мы знаем, что в этом случае $ про-
пропорционально 8 (гл. II, предложение 8): $ = СЬ. Но, по определению схо-
димости распределений, равенство V -~-е1кт5 = СЬ означает, что
к ~ — со
оо
V 1. (в**»*, ? E)) = Сер @) (IV. 2; 5)
*=-со
для любой функции ср ^ О (Г). Полагая ср = 1, имеем
0 при кфО,
Т при . = 0, <™*в>
откуда С= 1. Ч. и т. д.
176 Гл. IV. Ряды Фурье
Можно также сказать, что из равенства т. -=-е'*ш5 = СЬ обязательно
*=-.»
вытекает [см. (IV, 1; 27)] равенство
у-==ск(СЬ) = Сс11{Ь) = ~, откуда С=\.
Замечание. Если вместо Г взять вещественную прямую /?, то легко
оо
увидеть, что ряд V -=- е1Ых сходится в 3' (/?) к периодическому распре-
*=-о
делению 2 &(■* — №), несущему массу -|-1 в каждой точке с абсциссой,
/= —оо
раиной целочисленному кратному Т:
-1е<*- = \] Ь(х-1Т). (IV. 2; 7)
к= —со / = —оо
Предложение 2. Ряд Фурье распределения $
Сходимость ряда на Г (или периодического распределения д1 на Я.)
Фурье распределения сходится к этому распределению в .35' (Г)
[или в 3' (/?)]:
СО
2 с»Ше'ы = ;. (IV, 2; 8)
*=-оо
В самом деле, в силу непрерывности свертки (без осложнений с носи-
носителями, поскольку на Г все носители ограничены) мы можем почленно свер-
свернуть ряд (IV, 2; 1) с распределением ^^^'(Г):
со
^ 7г(е'*»**Л- (IV, 2; 9)
Полученный ряд должен быть сходящимся в 3' (Г). Но, согласно формуле,
дающей свертку распределения с бесконечно дифференцируемой функцией
1см. формулу (III, 2; 24)], мы имеем
д- „.е1Ыз—^(< е1ы<з-е)}=е1Ыз(д(< е-1Ы^==Тск(д)е'к0", (IV, 2; 10)
так что ряд (IV, 2; 9) совпадает с рядом (IV, 2; 8I).
') Мы доказали (гл. 11, предложение 14), что если | ск\ мажорируется при к->со
некоторой степенью \к\, то тригонометрический ряд ^ ске1Ь1°3 будет сходящимся
и 3>' (Г). Мы приняли без доказательства обратное утверждение. Таким образом,
для любого $ ^0>' (Г) величины | ск (</) | допускают подобную мажоранту.
2. Сходимость рядов Фурье 177
2. Сходимость ряда Фурье функции. Если предположить только, что
функция / локально суммируема, то нет оснований надеяться, что ряд Фуры1
^ ск(})е'Ых будет сходиться к / (х) во всякой точке х, ибо изменение
функции / на множестве меры нуль не изменяет ее коэффициентов Фуры/;
можно, самое большее, ожидать сходимости почти всюду (т. е. для почти
всех значений х) или сходимости в среднем, т. е. сходимости в простран-
пространстве Ь1 классов суммируемых функций на интервале периодичности (а, а -(-• 71).
К сожалению, это не так.
Предположим поэтому, что функция/ непрерывна. Казалось бы, мы впряпс
ожидать сходимости во всякой течке х, и даже равномерной сходимости;
здесь это снова не так.
Тем не менее справедлива следующая теорема.
Предложение 3. Пусть /— функция с ограниченным измене-
изменением в интервале периодичности. Тогда ряд Фурье функции /
с» (/)*'*■« (IV, 2; 11)
1 - - .с
условно сходится в любой точке х ^ И к среднему арифметическому
из предела слева /(х — 0) и' предела справа /(х~\-0):
(/)е'*« = 1(/(Х-0) + /(хг0)). (IV, 2; 12)
г
Если, в частности, функция (с ограниченным изменением) / непре-
непрерывна в некоторой точке х, то ее ряд Фурье в этой точке сходится
к / (х); если во всякой точке х замкнутого интервала (а, C) функция /
непрерывна («, значит, также непрерывна слева в точке а. и непре-
непрерывна справа в точке р), то условная сходимость будет равномер-
равномерной на (а, р).
Эта теорема требует некоторых замечаний и определений.
1) Полным изменением V(/; (а, Ь)) на (а, Ь) функции /, определен-
определенной па замкнутом интервале (а, Ь), называется верхняя грань сумм
п-1
2 \/(х1 + г) — /(х,)|, взятая по всевозможным разбиениям интервала (а, Ь)
1=0
на конечное число частичных интервалов:
(а = х0, хх), (хг, х2) (*„_!, Ь = хи).
12 Л. Шварц
178 Г л IV. Ряды Фурье
Если величина V(/; {а, Ь)) конечна, то говорят, что функция / имеет
ограниченное изменение на {а, Ь). Всякая монотонная ограниченная функ-
функция имеет ограниченное изменение, причем У(/; (а, #))=|/(&)—/(о)|.
Отсюда вытекает, что разность двух возрастающих ограниченных функций
имеет ограниченное изменение; можно доказать, что, и обратно, всякая функ-
функция с ограниченным изменением представляет собой разность двух возрастаю-
возрастающих ограниченных функций. В частности, если некоторая ограниченная функ-
функция имеет только конечное число относительных максимумов и минимумов,
между любыми двумя из которых она монотонна, так же как между а и
первым из них и последним из них и Ь, то она является функцией с огра-
ограниченным изменением. Это показывает, что ограниченные функции, встре-
встречающиеся на практике, имеют ограниченное изменение. Можно, однако, дока-
доказать существование непрерывных функций с неограниченным изменением, и
даже таких функций, которые имеют бесконечное число относительных мак-
максимумов и минимумов на любом интервале (а, C).
Непрерывная функция с ограниченной производной (в обычном смысле)
является на ограниченном интервале (а, Ь) функцией с ограниченным изме-
изменением, причем
У(/; (а, *))=]"
То же самое справедливо, если / имеет только конечное число точек
разрыва первого рода, а в остальных точках имеет производную, ограничен-
ограниченную по модулю фиксированным числом; интервал (а, Ь) снова предполагается
ограниченным *).
2) Функция / с ограниченным изменением не обязана быть непрерывной,
однако в любой точке х она имеет предел слева и предел справа:
(IV, 2; 13)
') Формулу для полного изменения в этом случае следует модифицировать.
ь
ь
К интегралу I | /' (х) | их надо добавить сумму модулей скачков функции / во всех
а
точках разрыва ^ I / (-*« + 0) — / (*; — 0) |. — Прим. перец.
2. Сходимость рядов Фурье 179
Эти пределы, вдобавок, совпадают (и функция / является непрерывной)
всюду, кроме, самое большее, счетного числа точек х.
3) Когда мы говорим, что ряд Фурье является условно сходящимся,
мы хотим сказать, что он, как это указывает формула (IV, 2; 12), является
условно сходящимся при группировке членов с противоположными значе-
N N
ниями к. Сумма 2 с/г(/)е'1гшх имеет предел, однако каждая из сумм 2
о
и 2 11е обязательно имеет предел. Напротив, в случае ряда по косинусам
и синусам ряд по косинусам и ряд по синусам по отдельности сходятся,
поскольку они являются рядами Фурье для функций
/(*) + /(-*) /(*)-/(-*)
2 2
каждая из которых имеет ограниченное изменение.
4) Случай, когда пределы / (х— 0) и /(х-\-0) различны, сразу же све-
сведется к случаю, когда они совпадают (и функция / непрерывна в точке х),
как только нужная сходимость будет проверена для какой-либо частной функ-
функции с ограниченным изменением, разрывной в точке х. Но ведь всегда можно
предполагать, что х = 0; выбирая в качестве / нечетную функцию, раз-
разрывную в начале координат, будем иметь /@-[-0) = —/@ — 0) =^= 0; полу-
полусумма этих пределов равна нулю, а поскольку / нечетна, ее ряд Фурье
содержит только синусы, которые все обращаются в нуль при х = 0, и,
значит, он сходится при х = 0 к нулю, т. е. к полусумме пределов.
Доказательство предложения 3 является достаточно тонким; оно исполь-
использует теорию интеграла Дирихле:
Его можно найти в книгах по дифференциальному и интегральному исчис-
исчислению1).
Мы же ограничимся простейшим случаем:
Предложение 4. Если функция / дважды непрерывно дифферен-
дифференцируема, то ее ряд Фурье сходится к ней абсолютно и равномерно.
') См., например, Уиттекер и Ватсон, Курс современного анализа, т. I,
§ 9.42, Физматгиз, М., 1962. — Прим. перев.
12*
180 Гл. IV. Ряды Фурье
Предположим, что / имеет одну непрерывную производную /'. Одна
интеграция по частям при к Ф 0 дает
- (™.2;14)
Обинтегрироваппый член равен нулю в силу периодичности. Возникает очень
важная формула
сЛ!)^^ск{}'). (IV, 2; 15)
В обшем случае, если функция / ш раз непрерывно дифференцируема, имеем
при к -г О
с*С/)=(тйг)"^(/")). (IV. 2; 16)
откуда
Итак, чем более регулярна функция /, тем быстрее стремятся к нулю
ее коэффициенты Фурье при |&|—>эо.
В частности, при ш = 2 модуль |сЛ(/)| мажорируется величиной М2/\к\2,
и поскольку \е1ка>х\=1, ряд из модулей 2 I съ (/) е""°х I мажорируется
, .. . VI Л1,
при псех х знакоположительным сходящимся числовым рядом |со|-(- У. —?т-
к=-оа
кфО
Этим, разумеется, доказано, что ряд Фурье функции / сходится абсолютно
и равномерно. Его сумма § является непрерывной функцией; остается по-
показать, что § = /• Известно, что ряд Фурье сходится к / и смысле теории
распределений (предложение 2); сходясь равномерно к §•, он а {ойюп сходится
к $ в смысле теории распределений. Таким образом, функции / и §, как
распределения, равны, а значит, они равны почти всюду как функции; будучи
непрерывными, они равны всюду. Ч. и т. д.
Замечание. Формула (IV, 2; 16) обобщается на распределения. Из ра-
ненства (IV, 1;25) по самому определению производной распределения вы-
§ 3. Гильбертовы базисы в гильбертовом пространстве 181
текает формула
<^ """>) AЫ)тс(?), (IV. 2; 18)
которая обобщает формулу (IV, 2; 16).
Можно также рассуждать и иным способом: из соотношения
<Г = 2 «*№«||м (IV. 2; В)
почленным дифференцированием, всегда законным для распределений, пы-
водится соотношение
<7("" = 2 ск{?)AЫ)те1*™. (IV,2; 19)
к--со
Мы имеем здесь сходящийся тригонометрический ряд, поэтому правая
часть формулы является рядом Фурье для левой:
с* (/"")=■■ СМ" с* У*)- (IV, 2; 20)
Это и есть формула (IV, 2; 18)—обобщение формулы (IV, 2; 16) па перио-
периодические распределения.
§ 3. Гильбертовы базисы в гильбертовом пространстве.
Сходимость ряда Фурьг в среднем квадратичном
1. Определение гильбертова пространства. Гильбертовым простран-
пространством называется векторное пространство р}в над полем комплексных чисел С,
-> ->
снабженное формой (х, у), со значениями в С. Эта форма называется ска-
скалярным произведением и обладает следующими свойствами:
-> -*•
1) Форма (х, у) — эрмитова:
(IV, 3; 2)
-> ->•
у^-\~у2)=(Х, уоч-и, у2)
182 Гл. IV. Ряды Фурье
>
Говорят также, что это скалярное произведение линейно по х и полулинейно
-»■
по у. Кроме того,
-»■-»■ -> ->
(х, у) = (у, х) (эрмитовость). (IV, 3; 3)
Условие эрмитовости эквивалентно условию
-> -> ->■
форма (х, х) вещественна при всех х. (IV, 3; 4)
2) Форма (х, у) — положительно определенная, иначе говоря,
-> -> ->
(х, х)~>-0 при всех х,
-> * [(IV, 3; 5)
(х, х) = 0 равносильно х = 0.
Отсюда, записав, что
можно вывести неравенство Шварца'):
\(х, у)\<У(х, х) У (у, у). (IV, 3; 6)
а из пего — неравенство Минковского:
V (х-гу, Х-+-У) <К(*. х)+К (у. У). (IV, 3; 7)
"*■ \/~* ^
Отсюда вытекает, что функционал ,}х'\ = У (х, х) является нормой на <уЮ;
о% является, таким образом, нормированным пространством'1').
3) В метрике, определяемой этой нормой, пространство <§№ является
полным, т. е. оно янляедся банаховым пространством^).
2. Гильбертов базис. Пусть Зв — гильбертово пространство, и пусть
-> -> ■>
(е1IС[ — семейство векторов е1 из &€■ Говорят, что семейство (^г)(-^7 является
гильбертовым базисом в $6, если выполняются два условия.
') В русской литературе его называют также неравенством Коши — Буняковского.
— Прим. перее.
2) Подробней об этом см. в книге Г. Е. Шилова, Математический анализ, спе-
специальный курс, изд. второе, Физматгиз, М., 1961. — Прим. перее.
3) Банахово пространство — это полное векторное нормированное пространство.
§ 3. Гильбертовы, базисы в гильбертовом пространстве 183
1) Векторы е1 попарно ортогональны и имеют норму 1:
0, г =г- у,
(IV, 3; 8)
_Из этого условия вытекает, что векторы е,- линейно независимы.
2) Система векторов (ег)г.,; является тотальной в <Щ>', или топологи-
топологически производящей о№. (В литературе часто попадается термин полная,
однако этот термин является неправильным и ведет к путанице.) Это озпа-
чает, что множество конечных линейных комбинаций векторов е;- плотно в $0.
Можно доказать, что для этого необходимо и достаточно, чтобы ни-
■> > ■>
какой вектор хфО не был ортогонален по всем векторам е{.
-*•
Пусть теперь система (е-1I,1 является некоторым гильбертовым базисом
в гильбертовом пространстве <Ж- Для любого вектора х^Ш можно обра-
образовать комплексные числа
х1 = Сх. ег), (IV. 3; 9)
->
называемые координатами'вектора х в данном гильбертовом базисе.
Можно доказать следующее:
Теорема о гильбертовых базисах, или предложение 5.
* -> ■>
1) Пусть х^<Щ1, х{ = (х, ег).
VI ■*" "*"
Ряд 2л Х1е1 суммируем в &в, и его сумма равна х.
Ряд 2 I Х112 суммируем, и его сумма равна \\х\\2.
( )
Кроме того, если у^е%?, уг = (у. е(), то ряд 2и х(у1 суммируем
и его сумма равна (х, у).
2) Обратно, пусть (х1I~1 — семейство комплексных кисел, такое,
кто числовой ряд 2 I-*/!2 суммируем. Тогда ряд У^ х-,е, суммируем в оЮ',
->
а его сумма х является единственным вектором из $в* таким, Что
-> ■>
(х, е1) = х1 при всех I.
184 Гл. IV. Ряды Фурье
Сходимость ряда 2 Х1е1 к вектору х означает, что для любого е > О
существует такое конечное множество ^сI, что для любого конечного мно-
множества К^^^ выполняется неравенство
„е. (IV, 3; 10)
3. Пространство Ь2(Т). Обозначим 12(а, Ь) пространство классов
функций / с суммируемым квадратом на интервале {а, Ь) (слово классы
означает, что две почти всюду равные функции отождеств 1яются). Иными
словами, рассмотрим измеримые функции /, у которых интеграл
а
кочечен.
1?{а, Ь) является векторным пространством, ибо если / ^ I2 и "• ^2, то
|/ + ^|2<2(|/|2 + |)§-|2) и, значит, /Н-^ё^- (IV, 3;11>
С другой стороны, напомним, что 2 | /§\ ^ \ /|2-|- \§\2 и, следовательно,
при /^Ь,2 и §^Ь2 произведение /§ суммируемо на (а, Ь). В частности,
если интервал (а, Ь) конечен, то, полагая §-=^1, видим, что всякая функция
с суммируемым квадратом на конечном интервале а тогИоп будзт суммируемой.
[Обратное неверно, как показывает пример функции /(х)— \./У~х на интер-
интервале @, 1). На бесконечном интервале такое включение не имеет места ни
в |у, ни в другую сторону:
функция /(х)—\/х имеет суммируемый квадрат, но не суммируема па
A. +оо);
функция /(х) = \/[Ух(х-\-\)] суммируема, но ее квадрат не суммируем
на @, +оо)].
На пространстве {?(а, Ь) мы рассмотрим скалярное произведение
х. (IV. 3; 12)
Это, очевидно, положительно определенная эрмитова форма (из равенства
ь
Г | /{х)\2йх = 0 вытекает, что / равна пулю почти всюду].
§ 3. Гильбертовы базисы в гильбертовом пространстве
Можно доказать {теорема Фишера Рисса), что Ь2(а, Ь) полно в мет*
рике, определяемой нормой
VI
/(х)\2с1х , (IV. 3;
значит С2 (а, Ь) является гильбертовым пространством.
Если Ь= а-\-Т, то пространство Ь2{а, а~х-Т) будет, очевидно, изо-
изоморфно пространстцу классов периодических функций (с периодом Т) с ло-
локально суммируемым квадратом, которое снабжено скалярным произведением»
задаваемым интегралом (IV, 3; 12) по произвольному интервалу периодичности.
Впрочем, мы возьмем зд„'сь более удобное скалярное произведение
а+т
Л4р- (IV, 3; 14)
и назовем определенное таким способом гильбер ново пространство
пространством /.2(Г).
Сходимость в этом пространстве — это то, что называют также схо
дамость'о в среднем квадратичном:
функции /;-^/.2(Г) сходятся к функции /(|/,2(Г) при у—>оо, если
а \Т
\\т Г |/.(х)-/(х)|2^1 = 0. (IV. 3; 15>
Рассмотрим теперь систему векторов
~ек = е'Ых, к= —2,-1,0,1,2,... (IV, 3; 16>
В силу равенства (IV, 1; 6)
о-| Г
'<*-1>«г *1^84/> Aу,3; 17)
т. е. эти векторы попарно ортогональны и имеют норму 1.
Временно допустим, что эта система тотальна в Ь?{Т). Тогда она
является гильбертовым базисом, и, значит, любая функция /(^1~(Г) имеет
координаты. Эти координаты есть не что иное, как ее коэффициенты Фурье:
а ,Т '
"'**"-у1 = с4(/). (IV. 3-. 18)
Общая теорема о гильбертовых базисах дает теперь предложение.
186 Гл. IV. Ряды Фурье
Предложение 6.
1) Если /^Ь2(Т), то ряд из квадратов ее коэффициентов Фурье
суммируем, причем
со а + Т
V ^ СЛ12 I I { (г\ I2 —— П\! Ч. 10Л
^ С*Ш1— ^ \1уХ>\ ~ (.IV, О, 19;
А= — со с
{равенство Бесселя — Парсеваля). Кроме того, при §•
оо а + Т
(IV, 3; 20)
к = — со
/•яд Фурье функции / сходится к ней в среднем квадратичном, т. е.
ск(/)е1к™=/(х) AУ,3;21)
^ следующем смысле:
а + Т
М -> сх>
N ->ео а
-/(*)
^- = 0. (IV, 3;22)
2) Обратно, если (сА)™__со — некоторая система комплексных чи-
оо оо
сел, такая, что ряд 2 Iс» |2 сходится, то ряд 2 скеШшх схо-
к— — со к— —оо
дится в среднем квадратичном к некоторой функции /^()
причем / является единственной функцией из Ь?(Т), имеющей числа с %
коэффициентами Фурье.
Для того чтобы предложение 6 было доказано, нам остается доказать,
-»■
что векторы ек образуют топологически производящую систему. Для этого
достаточно показать (см. стр. 183), что любая функция /(||/,2(Г), у кото-
которой все коэффициенты Фурье равны нулю, равна нулю почти всюду.
Но ведь это очевидно; /, в силу предложения 2, является суммой в 3' своего
ряда Фурье, и, значит, / как распределение равна пулю, а тогда / как функ-
функция равна пулю почти всюду.
§ 3. Гильбертовы базисы в гильбертовом пространстве 187
Различные замечания \) В "Учае РЯД* по косинусам и синусам равенство
Бесселя — Парсеваля принимает вид
оо а + Т
Ц-. (IV, 3; 23)
Это объясняется тем, что косинусы созкшх и синусы зш кшх попарно орто-
ортогональны, но их нормы при к > 0 не равны 1:
II ,. а • • I 19 1
[| СО5 ЯШХ , * =-= ;|51П кчзХ I = -~- .
Равенство Бесселя — Парсеваля выражает тот факт, что вследствие орто-
ортогональности среднее от |/(х)|2 равно сумме средних от квадратов модулей
членов ряда Фурье.
2) Аналогичной теоремы в /.' (Т), т.е. в пространстве классов перио-
периодических локально суммируемых функций, не существует.
Все же в этом случае очевидно, что модули |сА(/)| ограничены числом
а-, Т
1 Г Aх
■уН/'!:.!— I |/(л;)|г" и можно даже доказать (теорема Лебега), что
а
ск({) стремятся к 0 при \к\— >оо. Однако никакой теоремы о сходимости
для таких рядов Фурье не существует.
оо
3) Если ряд 2 I ск I сходится, то ск стремятся к 0 при \к\~*оо,
* = — оо
оо
а тогда и подавно сходится ряд 2 |с*\2< обратное утверждение неверно,
*=— оо
как показывает пример ск = -- (при к -+■- 0). Если ряд 2 \СА сходится,
к— —оо
то ряд Фурье сходится абсолютно и равномерно и его сумма является не-
непрерывной функцией.
4) Из того, что ряд Фурье функции / сходится к / в Ь,2(Т), никоим
образом не следует, что он сходится к / почти всюду.
5) Пусть ^ — конечное множество целых чисел произвольного знака.
Тригонометрический полином
^(*) = Д с* (/)«'*"*
ялляется тем из тригонометрических полипомов
188 Гл. IV. Ряды Фурье
который дает наилучшую аппроксимацию функции / в среднем квадратичном,
т. е. тем, для которого интеграл
а
минимален.
В самом деле, формула Бесселя — Парсеваля дает
': (IV, 3; 24)
Ч. и т. д.
. • Значение этого минимума, таким образом, равно
2 к*(Л12- (IV, 3; 25)
Эта величина может быть сделана сколь угодно малой, если ^ достаточно
велико.
§ 4. Сверточная алгебра Я' (Г)
Пусть еУ и /7"—два распределения па Г. Имеем
«,) = Тск (&>) ск (</). (IV, 4; 1)
Итак,
Предложение 7. Коэффициенты Фурье свертка &*</ суть,
с точностью до множителя Т, произведения соответствующих коэф-
коэффициентов Фурье распределений <&" и $:
ДсТ). (IV, 4; 2>
Поскольку свертка (^ ■*- </ является суммой своего ряда Фурье, мы получаем
отсюда практический способ вычисления сверток на Г. Положим
оо
к- — ио
4. Сверточная алгебра 31'(Г) 189
тогда
&*? = Т 2 с» (<$»)<:» Ш «'*""• (IV. 4; 3)
к- -со
Отсюда можно вывести некоторые заключения.
1) Тот факт, что 8 является единицей для свертки, связан с тем фактом,
что ее коэффициенты Фурье равны -=-, и с тем, что число 1 является еди-
единицей для умножения.
2) Формула 6 -г■ $ = $' легко проверяется почленным дифференцирова-
дифференцированием ряда Фурье:
Ь' = ^-=г^г У (Ые'к^= V Щ%- ■ е1к^, (IV, 4; 4)
к= — оо
(IV, 4; 5)
откуда вытекает, что
или ^-' = 8'*С7. (IV, 4; й)
3) Уравнения в свертках на Г очень просто решаются с помощью рядом
Фурье.
Пусть дано уравнение
&*% = %. (IV, 4; 7)
Если обозначить через ак, Ьк, хк коэффициенты Фурье распределений ,4,
М\ 3?< то уравнение (IV, 4; 7) будет равносильно счетной системе уравнении
Ьк. (IV. 4; 8)
Таким образом, & дается рядом
Т^е1кт*- * (IV, 4; 9)
*=-со
Нужно еше, чтобы этот ряд имел смысл. Если все а^-.'-О, то все числа
хк = -~—— определены, и достаточно убедиться, что ряд в правой части
190 Гл. IV. Ряды Фурье
равенства (IV, 4; 9) сходится в .55' (Г), т. е. убедиться, что модули —
мажорируются некоторой степенью \к\ при к—*оо.
Если некоторые коэффициенты ак равны нулю, то правая часть 35 должна
удовлетворять условиям совместности, соответствующие коэффициенты Ьк
также должны равняться нулю: Ьк = 0; если эти условия удовлетворены, то
значения хк, соответствующие этим к, являются неопределенными. Таким
образом, здесь, как и в крамеровской системе уравнений, имеется „столько же*
степеней неопределенности, сколько имеется условий совместности для пра-
правой части. По-прежнему здесь нужна сходимость ряда (IV, 4; 9).
В частности, обратное распределение Л ' для Л в этой сверточной
алгебре удовлетворяет соотношению
и дается формулой
со
' 2 -^-е'*ш5. (IV, 4; 10)
Оно существует, если все ак Ф 0 и если ряд (IV, 4; 10) является рядом Фурье
некоторого распределения, т. е. если модули \ак\ при \к\—*оо оцениваются
снизу некоторой степенью модуля 1/|А|.
4) В алгебре 3)' (Г) имеются делители нулч. Распределение Л является
делителем пуля тогда и только тогда, когда некоторые из его коэффициен-
коэффициентов ак равны нулю, ибо если ак = 0, то
^Та11ес*'и* = 0. (IV, 4; 11)
5) Можно решать и более сложные задачи. Например, пусть надо найти
все распределения 3?^$'(Г), которые удовлетворяют уравнению
%*% = Ъ (IV. 4; 12)
(сверточное уравнение второй степени).
Для коэффициентов Фурье хк получаются уравнения
Тх\ = у , откуда хк = ± ~. (IV, 4; 13)
Выбор знаков -4- и — независим при различных значениях к. Все такие
ряды 2 хке1кф5 будут сходиться, поскольку |д;й| ограничены числом 1/Т при
всех значениях к.
Это уравнение второй степени имеет, таким образом, бесконечное число
решений мощности континуум!
$ 4. Свергочная алгебра3>'(Т) 191
Только в алгебре без делителей нуля уравнение степени т имеет,
самое большее, т корней.
6) Напомним, что среди уравнений в свертках фигурируют также диф-
дифференциальные уравнения. Пусть надо решить в 3' (Г) уравнение
или
(У—Щ*3; = Ж. (IV, 4; 15).
Мы должны, таким образом, решить бесконечную систему уравнений
к = Ьк. (IV, 4; 1 <>)
А. Предположим сначала, что X не равно ни одному из значений
—^— = /йш. Тогда числа хк определяются однозначно:
При \к\ ->оо имеем оценку \Ьк\ .< А \к\а, и, значит, |дгА| ^(Л/м) |/г|<х~1 С1 —Ь-е)-
СО
Таким образом, ряд 2 хке1кф$ сходится к единственному решению X.
к= —со
В частности, существует единственное распределение Л , такое, что
Распределение Л равно сумме ряда
с
к со
в ®'(Г).
Единственное решение уравнения (IV, 4; 14) дается тогда формулой
Х = А~Х *Я, (IV, 4; 20)
которая, конечно, эквивалентна формуле (IV, 4; 17).
Очень легко элементарно вычислить распределение Л . В дамом деле,
оно удовлетворяет уравнению
в области, дополнительной к точке 5 = 0 на Г.
192 Гл. IV. Ряду Фурье
Классическое решение этого уравнения на /? имеет вид
«/Г'=--СУ*. (IV, 4; 22)
Рассмотрим теперь периодическую функцию / на /? периода Т, равную е1х
в интервале 0 < х < Т.
Связанная с ней функция / на Г равна е13, при условии что для каждой
точки окружности Г выбирается та из криволинейных абсцисс, которая удо-
удовлетворяет неравенствам 0 < 5 < Т.
Функция / разрывна в точке 5 = 0. Следовательно,
/'= {/'}+(! -еТ) *■ (IV, 4; 23)
Тогда распределение / удовлетворяет дифференциальному уравнению
= {\ -е
кТ)Ь. (IV, 4; 24)
поскольку величина в квадратных скобках равна нулю в силу выбора функ-
функции /. Множитель 1 —ект не равен нулю, так как X не равно ни одному
из чисел г/гш и функция
7 (IV, 4; 25)
1 - <?'■'
служит решением уравнения (IV, 4; 18); это и есть распределение Л" , по-
поскольку решение единственно. Впрочем, непосредственный подсчет коэффи-
коэффициентов Фурье этой функции дает
т
— е1 1~е оГ Т
Х=Т 11 /,Ч
= - :—• =--ск(,Л~)- (IV, 4; 26)
х=о Т 1кш — X
1_е'-' Т \_ -к — и
Заметим, что в точках, отличных от этой точки разрыва первого рода,
функция / имеет ограниченную производную; следовательно, / является функ-
функцией с ограниченным изменением, и, согласно предложению 3, ее ряд Фурье
условно сходится. В частности, в точке разрыва имеем
, со N
1 1+е _1
2 1 — екТ ~~~Т
К = — СО — /V
Речь идет о сходимости после попарной группировки членов с противо-
противоположными значениями к.
4. Сверточная алгебра О)'(Х) ЮЗ
со О
Однако ряды 2 й 2 расходятся; для чисто мнимых X это видно
*=о а=-со
непосредственно, ибо с точностью до множителя \Ц общий член в любом
из этих рядов имеет постоянный знак и эквивалентен \/кч> при | А | —► оо.
Напротив, если сгруппировать члены попарно, то
1 ' 1 ~% тёг (IV. 4; 28)
при к—>-\-со. Формула (IV, 4; 27) дает некое „разложение на элементарные
дроби" стоящей слева функции от X. Эта функция имеет полюсы в точках
Л = /йш с вычетами, равными =-.
Заметим, наконец, что /^/.2(Г) и что ряд ^. — г
является схо-
сходящимся.
В. Предположим теперь, что \ = 1кпи>. Уравнение (IV, 4; 14) будет иметь
решения, только если #^=0. Если это так, то оно имеет бескснечное число
решений; коэффициент х*0 является неопределенным, поскольку е1к°тз служит
решением однородного уравнения. Например, распределение Л не имеет
обратного, поскольку скп(Ъ)Ф0.
Положим, в частности, /г0 = 0. Уравнение (IV, 4; 14) примет вид
4§-=#- (IV. 4; 29)
Его решение сводится к отысканию первообразной для .^?. Такая первооб-
первообразная существует тогда и только тогда, когда #0 = 0. (Действительно,
если / — периодическая функция с периодом Т на /?, то она имеет перно-
а+Т
образные функции Р, но если при этом I / (х)Aх Ф 0, то ни одна из этих
а
первообразных не будет периодической, поскольку Р(а-^-Т) — Р(а) / 0.)
В случае, когда #0 = 0, все первообразные отличаются друг от друга назна-
назначение постоянной х0; одна и только одна среди них, соответствующая зна-
значению . х0 = 0, в свою очередь будет иметь первообразные и так далее.
Например, распределение
Р0=ТЪ — 1 (IV. 4; 30)
имеет первообразные; единственная среди них первообразная Р1 имеет нуле-
нулевой коэффициент со(Р1); Рх является периодической функцией с периодом Г,
13 Л. Шварц
194 Гл. IV. Ряды Фурье
равной ~2 х т интервале (О, Г). Последовательно интегрируя, можно опре-
определить этим способом, одну за другой, периодические функции Рт, которые
удовлетворяют соотношениям
а Ъ р
их т т—\<
их
Т
Рт(хLх
(IV, 4; 31)
На интервале (О, Т) распределение Рт (которое является функцией п.ри
/я^>1) равно некоторому полиному степени т. Этот полином называется
полиномом Бернулли. Его разложение в ряд Фурье имеет вид
к ■ (IV, 4; 32)
При т. ^ 2 этот ряд Фурье сходится абсолютно и равномерно, следовательно,
функция Рт непрерывна, так что соответствующий полином Бернулли при-
принимает одинаковые значения в точках х = 0 и х = Т.
Полагая х = 0 при четном /я, имеем
со
Рт @) = 2 (-1 Г'2 У DгГ • (IV. 4; 33)
X
4го позволяет последовательно вычислить суммы рядов:
Пример, который мы только что рассмотрели, можно истолковать иным
Способом.
Рассмотрим в векторном пространстве ^'(Г) оператор
А = 4- ^-4:35>
Его собственными значениями X, т. е. комплексными числами X, для ко-
которых существует такое распределение $ Ф 0, что I — — X) ,?=0, являются
числа X = 1кш, ^=... —2, —1, 0, 1, 2 При Х = /йш имеется один
Упражнения 195
собственный вектор, определенный с точностью до скалярного множители;
это — вектор
Тк = е'*««. (IV, 4; 36)
Но, как мы уже видели для векторных пространств конечной размерности,
■у
эти векторы ек образуют если и не базис пространства 35' (Г), то по мень-
меньшей мере „топологический базис" в том смысле, что всякий вектор ^^.55'(Р)
->
может быть разложен, и притом единственным образом, по векторам ек. Это
разложение как раз и есть разложение Фурье распределения $'. Опера-
Оператор А выражается в этом базисе формулами
= 2 с
о
(IV, 4; 37)
Таким образом, разложение Фурье является спектральным раз-
разложением пространства 3' (Г), соответствующим оператору А = -г- .
Можно было бы попытаться заменить пространство 3'(Г) пространст-
пространством /-2(Г), однако оператор — выводит из этого пространства. Напротии,
оператор -г- можно заменить произвольным оператором свертки в 35' (Г),
Оператор ^—><А-*-^ обладает собственными векторами е'кт при собст-
собственных значениях Тск{Л) = Таь.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
Упражнение IV-]. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию /(х)
С периодом 2тг, равную х при —и < х < и.
Вычислить V—г" и
1 п-\
Упражнение 1У-2. Разложить в ряды по синусам каждую из функций
ио(х), приведенных в упражнениях VII-1, УН-2, "УП-З и \^П-4.
13*
196 Гл. IV. Ряды Фурье
Упражнение IV-3. Разложить в ряд Фурье функцию еае х, где
а — произвольное комплексное число. Доказать формулу
21Т СО
_±_ Г »2а сое х НХ ~ У —
о п=о
Прийти отсюда к формуле (IX, 1; 73) с V-0.
Упражнение IV-4. 1°. Пусть $—распределение периода Т. Показать,
что его ряд Фурье можно представить в виде
.
51П
и найти выражения для коэффициентов ап и Ьп.
В двух следующих вопросах положено
9 (х) = ср (— х),
где ср(дг) — функция.
2°. Говорят, что распределение $ нечетно, если
<<7', с >=—</, ю> для любой
Показать, чго ряд Фурье нечетного распределения периода Т сводится
К ряду по синусам.
3°. Говорят, что распределение $ четно, если
< /, ^ > = < <7, 9 > Для любой <р € -®-
Показать, что ряд Фурье четного распределения периода Т сводится
к ряду по косинусам.
Упражнение /У-5. Разложить в ряд Фурье распределение периода 1,
равное на интервале (—-9-, -д-) распределению —^_б + В гдеО<#<
Упражнение /У-6. Пусть
+1 при 2к< х
11 (х) ^ \ _ 1 при 2* + 1 < л: < 2* + 2,
где /г — любое целое число.
1°. Разложить {/(х)со5тгл; в ряд Фурье:
а) в ряд по экспонентам,
Ь) в ряд по синусам.
Упражнения 107
2°. Разложить в ряд по экспонентам распределение
со
2 2 Ь'(-П)~- -я2^(-х:)со5 1гл;.
II = — ОО
3°. Решить в 3'(V), где Г — окружность длины I, уравнение
ЛТ-Х-С05 1С5 ■-= 28' 1Г2 СО5 1С5.
Проверить полученный результат.
Упражнение IV-7. Определим распределение
Показать, что (ур с^х)созх ==5!пх и что урс^х является нечетным рас-
распределением периода и. Вывести отсюда его разложение в ряд Фурье.
Упражнение IV-8. [Доказательство формул (IV, 3; 19) и (IV, 3; 20).]
Пусть / и к - две периодические функции с периодом Т из простран-
пространства Ь2(Т). Показать, что функция
также будет периодической с периодом Т и также будет принадлежать /,2(Г).
Выразить коэффициенты Фурье сп (к) функции к через коэффициенты Фурье
с„(Я и сп(§) функций / и в.
Допуская, что при любом х ряд Фурье функции к (х) сходится к к (х),
доказать формулу (IV, 3; 20) для / и д и формулу (IV, 3; 19), например,
для /.
Упражнение IV-9. 1°. Разложить функцию /(х)= |зт3х| в тригоно-
тригонометрический ряд но косинусам. Представить коэффициент аП в виде рацио-
рациональной дроби Р (ге)/(?(«).
Сходится ли ряд Фурье? Сходятся ли продифференцированные ряды
Фурье? Написать формулу Парсеваля.
2°. Вычислить непосредственно
в смысле теории распределений. Показать, что этот результат позволяет
снова получить разложение Фурье функции / без вычисления интегралов
(функция / рассматривается как решение некоторого дифференциального
уравнения).
198 Гл. IV. Ряды Фурье
Упражнение N-10. Разложить в ряд Фурье функции, равные д; и
на интервале —тс < х < тс. Получить отсюда сумму ряда
з1п 2х зтЗл; . ..„ з!п
я
т
0
т.
при
при
при
0
г.
т
2т.
3
<лг<
<х <
-<х
к
^ 2т:
"• 3 '
<"•
при всех значениях х. Показать, что найденные разложения можно получить
из разложения 8(я).
Упражнение IV-11. Пусть дана функция
/(*) =
Показать, что ее можно записать сразу во всех трех интервалах в виде суммы
ряда по синусам или ряда по косинусам. Найти суммы этих двух рядов при
х = 0, х — -о, х — —^- и х -— тс, а также для произвольного значения х.
о о
Проверить найденные разложения, дифференцируя / (х) как распределение.
Упражнение IV-12. Разложить в ряды Фурье функции, равные зш/гех,
СО5 шх и „,„ _тх при — тс < х < тс !).
Упражнение IV-13. Построить кривую, определяемую уравнением
со
■ 2(-1)-^^=0.
: 1
а
Упражнение IV-14. Пусть 5в(х)-.2^(-1)''-1^.
1
Определить абсциссы относительных максимумов и минимумов на
интервале 0 < х < тс. Функция 5„ достигает своего максимума уп в точке
') В первых двух функциях т — произвольное комплексное число. В последней —
число т ф А/, где к — целое. — Прим. перее:
Упражнения 199
х = —г~г- Показать, что
п= 2 I
з1п х ,
——-их
о
И ЧТО ЭТО ЧИСЛО > 1Г.
Какое заключение можно отсюда сделать?
Упражнение N-15. Замечание. Все функции и распределения, КО*
торые встречаются ниже, являются периодическими (с периодом 1). Символом %
обозначено пространство бесконечно дифференцируемых функций ср на @, 1),
таких, что ср'"> @) = <р(Л1 A) при любом п.
Таким образом, 3 можно интерпретировать как пространство функций
на единичной окружности, лежащей в плоскости. В силу нашего выбора не-
риода разложение в ряд Фурье распределения Т ^ 3' записывается п пиде
7= 2 G\. е2г-'"'*-с->).
п= -оо
1°. Говорят, что распределение Т(^3)' является положительно опре-
определенным (и пишут Г^>0), если все коэффициенты Фурье распределения'Г
положительны.
Для любой функции ср из 3) положим
I
о
Доказать следующий результат. ^
Для того чтобы Г^>0, необходимо и достаточно, чтобы G\ ср*ср^ было
^>0 при любой ср^^. Перед этим быстро показывается, что {Т, ср-х-ср) имеет
смысл при ср^^, т. е. что из ср ^ ^5 вытекает, что ср -х-ср^ 3.
Привести несколько простых примеров распределений ^>0. Всякое ли
распределение Т^>0 является положительным распределением, т. е. таким,
что G\ ср)>-0 при положительной ср?
Обратно, всякое ли положительное распределение является положительно
определенным распределением?
Проверьте все ответы на примерах. Приведите пример распределения,
являющегося одновременно положительным и положительно определенным.
2°. Рассмотрим непрерывную функцию /(х) вещественного' переменного,
периодическую с периодом 1. которая является положительно определенным
распределением. Доказать следующий результат:
каковы бы ни были вещественные числа хх, ..., хг, квадратичная форма
с коэффициентами а^ = / (хг — Ху) является эрмитовой положительно опре»
200 Г л IV. Ряды Фурье
деленной формой; иными словами, 2Лац*^]^'О, каковы бы ни были / комп-
'.;
лексных чисел ^, .... ;г.
Чтобы доказать этот результат, нужно отправляться от определения
(/, ср # ср) ^- 0 и заставить функцию ср пробежать подходящие последователь-
последовательности.
Доказать следующие свойства функции /:
/(— х) = /{х); | / (лг) | < /@) (и, значит, /@)>0) при любом х.
3°. а) Установить необходимое и достаточное условие для того, чтобы
периодическое распределение Т было производной некоторого периодического
распределения 5.
Имеет ли периодическое распределение 5 первообразную?
Ь) В дальнейшем X будет обозначать неизвестное периодическое распре-
распределение. Рассматривается"дифференциальное уравнение
атх агп-]х х _ „
их'" йх'п~х т
где 5 — периодическое распределение.
Подбирая а, и 5, дать примеры для следующих случаев:
1) 5 имеет первообразную, НО'решения X не существует;
2) 5 не имеет первообразной, а уравнение имеет решение;
3) распределение
является положительно определенным, но решений не существует;
4) распределение
не является положительно определенным, а решение существует.
Упражнение 1У-16. (Письменный экзамен, Париж, 1958 г.)
Первый вопрос.
Обозначим через /(х) периодическую функцию с периодом 2-я, которая
совпадает с#спХх (X— вещественное число > 0), на интервале (—т., -к). Найти
ее разложение в ряд Фурье, вычисляя коэффициенты обычным методом.
Упражнения 201
Второй вопрос.
Показать, что /, в смысле теории распределений, удовлетворяет диффе-
дифференциальному уравнению вида /"—X2/ = А. Записав / в виде ряда Фурь*
с неизвестными коэффициентами, показать, что это дифференциальное уран»
нение снова дает коэффициенты Фурье, вычисленные при ответе на пернмй
вопрос.
Третий вопрос.
Что дает найденное разложение Фурье при лг = -гс? Вывести отсюда раз-
разложение в ряд функции тс .гс ■ Выбирая подходящую первообразную но X.
и потенцируя затем найденный результат, получить разложение зЬХтс в беско-
бесконечное произведение. Прийти к этому разложению из одного разложения,
данного в курсе.
Упражнение N-17. (Ряды Фурье в /?2.) Пусть / (х) — /(хх, х2) — функ-
функция, определенная на #2 и имеющая периоды G\, 0) и @, Т2).
1°. Показать, что если существует двойной равномерно сходящийся ряд
вида
о° . / рХ\ ЦХ1 \
р, </= -со
с суммой /(х), то обязательно
. / ТПХ\ ПХ% \
Стп=^гт- Г Г /(XI, х.2)е ' 2 йххйх2, B)
причем правая часть не зависит от а, и а2.
2°. Рядом Фурье для достаточно регулярной функции /(х) с периодами
G\, 0) и @, Т2) называют ряд A), в котором коэффициенты срц даются фор-
формулами B).
Показать, что ряд A) можно также записать в виде
г*} ОО
2~тх\ 2-пхг , V ,. . 2-тх, . 2г.пх2 .
т,п—0 т, п—\
т, п~0 тп, и — О
и найти выражения для коэффициентов атп, Ьтп, йтп, етп.
202
Гл. IV. Ряды Фурье
Разобрать частный случай, когда /(хх, х2) имеет вид § (хх) ® А (х2).
3°. Показать, что если при фиксированном х2 функция х1—>/(х1, х2)
нечетна и при фиксированном хх функция х2->/(хх, х2) также нечетна, то
->-
ряд Фурье функции / (х) сводится к сумме
где
= т т I йхх I
4°. Написать ряд Фурье функции /{хг, х2), которая при фиксации од-
одного из переменных является четной по другому переменному.
5°. Пусть функция /(*!, х2) задана в прямоугольнике
0
Ах, 0
А2.
Как следует продолжить ее, чтобы ее ряд Фурье имел вид
т, п= 1
Применение. Разложить в ряд Фурье вида C) функцию /0(хх, х2),
определенную на прямоугольнике 0 ^ хх < Ах, О <. х2 .< А2 следующим образом:
-х- (Л1 — хх), в области 1,
2Л
■хи
в области II,
~3-(Л2 — д;2), в области III,
2Л
х2.
в области IV,
где к — данная положительная постоянная, а области I, II, III и IV ограничены
диагоналями прямоугольника, как показано на рисунке.
Используя результаты гл. VII, § 2, п. 3, можно написать решение
и(хх, х2; () уравнения колебаний мембраны для предыдущего прямоуголь-
Упражнения
ника. Мембрана закреплена по краям и удовлетворяет начальным условиям
их(х1, х2)^=0.
(Переменные хх и х2 суть переменные х и у гл. VII.)
Упражнение 1У-1Н. (Периодическое распределение на /?2.) Пусть
М'х х =$'х ® Gх —распределение на /?2, которое является тензорным произ-
произведением распределения &Рх с периодом Т{ и распределения ^х с периодом Тт
Пусть ст{о7) и сот(<7') — коэффициенты Фурье распределений ^ и/. Рядом
Фурье для ~Иа называется ряд
2 •
ГГ , П~ -СО
На плоскости /?2 рассматривается прямоугольник —Л,-^ хг-< Л(-, 1=1, 2.
Пусть а = (а1, а2) — некоторая точка этого прямоугольника, причем
0<аг < Аг, 1=\, 2.
Пусть
— а = (- ар — а2), ^ —
г, а2), ^ = («г-
204 Гл. IV, Ряды Фурье
Разложить в ряд Фурье распределение с периодами BАХ, 0) и @, 2А2),
которое на прямоугольнике равно
8 -> -I- 8 -> — 8 _>. — 8 .> .
( « ) ( - I ) (?) ( Т )
Найти для прямоугольника 0 <^д;(<^Лг, г = 1, 2, решение уравнения
колебаний мембраны, которое равно нулю на краях и удовлетворяет началь-
начальным условиям
) 0
Г Л А В А V
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
§ /. Преобразование Фурье функции
одного переменного
1. Введение. Пусть / (х)— не периодическая, локально суммируемая
функция. Обозначим через /Г(х) функцию, равную /(х) на интервале
I 2", -г~-н~) и продолженную вне этого интервала как периодическая функ-
функция с периодом Т. При Т-+оо функция /г стремится к / равномерно ми
любом конечном интервале. Функцию /г можно разложить в ряд Фурье:
/г(*)=
с».г«л/ш*.
1-Г/2
-Т/2
(V, 1;
Рассмотрим интервал (X, X -\- ДХ). Число значений га, при которых
2тсХ < гаш .<. 2тс(X—|— АХ), равно 2т. (с погрешностью ^2). Пачку соответ-
соответствующих членов
ап1<йХ
можно приближенно записать в виде
с2 0™1
где
-\-л
+ Г/2
/
-Г/2
(V.
(V.
206 Гл. V. Преобразование Фурье
Таким образом, эта пачка членов принимает вид
сп> тепЫх ж С (X) е2ЫКх АХ,
ОМ; 4)
+ Г/2
С(Х) = $
-Г/2
+ 772
При Т—*оо можно заменить I на I ; кроме того, сумму \. можно
— Г/2 —со л = — со
записать как сумму I ачек, соответствующих интервалам
@. ДХ), (ДХ, 2ДХ) (АДХ. (А+ 1)ДХ)
(—Да, 0), (—2АХ, —АХ) (—(*+1)ДХ, —кАХ), ...
ширины Д), каждая из которых записывается в виде (V, 1;4). Таким обра-
образом, мы приходим интуитивно к формулам
/ (х) = | С (X) е2*1** а\, (V, 1; 5)
со
С (л) = Г / (х) е-^-'^ ах. (V, 1; 6)
— со
Ряд Фурье с суммой / заменяется интегралом Фурье (V, 1;5); коэффициент
Фурье С (к) дается равенством (V, 1;6).
То, что мы сейчас проделали, не имеет, естественно, ничего общего
со строгим доказательством. Мы собираемся изучить положение вещей более
внимательно.
2. Преобразование Фурье. Определение. Пусть /(х) — комплексно-
значная функция вещественного переменного х. Образом Фурье, или преобра-
преобразованием Фурье, функции / называется комплекснозначная функция С (к)
вещественного переменного X:
С(Х)= $ е~2*их/(х)ах. (V, 1; 7)
— оо
В частности,
оо
С@)= ]7(*)Ле. ОМ; 8)
— со
Пишут
С ^ или С(Х) = ($П/(*I. (V, 1;9)
$ /.■ Преобразование Фурье функции одного переменного 207
Наряду с преобразованием <&" мы определим преобразование
оо
С! = ЗГ/, С, (X) = I е™х*/ (х) ах. (V. 1; 10)
Преобразования <&~/ и <&~/, очевидно, существуют, если / суммируема
(/(;^1); в этом случае они являются непрерывными функциями от X в силу
теоремы Лебега (см. предложение 45 гл. I; функции е±2кПх/ (х) непрерышш
по X при фиксированном х и мажорируются по модулю функцией |/(л:)| —
суммируемой функцией, не зависящей от X). Преобразования $~/ и $Р
ограничены:
со
/ /(*)| ах=\\/\\о. (V,
Можно показать (теорема, принадлежащая Лебегу), что С (к) стремится
к 0 при Х-> ± оо.
Преобразование <^~/ можно определить также ив других случаях.
Например, в случае, когда / (х) по отдельности при х > 0 и при х < О
является монотонной функцией, стремящейся к 0 при |х|-»-оо. Или же
в случае, когда / имеет ограниченное изменение и является, следовательно,
конечной комбинацией монотонных функций. Теорема Абеля позволяет
утверждать, что в этом случае функция С(Х) непрерывна при X Ф 0; крома
того, справедлива оценка
/ л
I Л/1 = полное изменение /
I
(V. I; 12)
и, значит, опять-таки С(Х)->0 при |Х| -> оо. [Эта оценка, использованная
при доказательстве теоремы Абеля, получается сразу же интегрированием
по частям, если / имеет непрерывную производную; мы вернемся к ш-й
ниже, см. формулу (V, 1; 16).]
3. Основные формулы и оценки. Предположим, что /^1*1. что / не-
непрерывна и дифференцируема и что /'^^'. Интегрируя по частям при ХО
получим
— Л —А
208 Гл. V. Преобразование Фурье
Устремим А к оо; тогда член в квадратных скобках будет стремиться к нулю.
Покажем, в самом деле, что /(х) стремится к 0 при |.хг| ->эо. Имеем
Поскольку /' суммируема, функция /(х) имеет конечный предел при х-*- ± оо,
а именно /(± оо) = /@)-(- | /'({)(!{; по этот предел не может быть отли-
о
чен от нуля, так как тогда функция / не была бы суммируемой. Интеграль-
Интегральный член имеет своим пределом интеграл, поскольку /' суммируема. Отсюда
окончательно
С(к)= ] \ых /'(х)с1х при КфО. (V. 1; 14)
— со
Эту формулу можно записать также в виде
со
!. 2т\С (к) = ^ е-2*11*/' (х) ах = <&■]'. (V, 1; 15)
Теперь, по непрерывности, она будет справедливой также и при Х = 0 [обе
части ее равны при этом нулю; левая — поскольку она содержит множи-
телем А, а правая — поскольку она равна интегралу | /х (л;) их =
— оо
= /(+°°) — /(—оо) = 0]. Отсюда мы получаем важную оценку:
со
х= \\Г\\О- (V, 1; 16)
Вообще если функция / т раз непрерывно дифференцируема и если ее
производные порядка ^ т суммируемы, имеем
B1ж\)тС(к) = ^рт>, . (V, 1; 17)
\2«\\т\С(Х)|< \\/^\\Ь1. (V, 1;
Аналогичные формулы, с заменой 2и/Х на — 2т\, имеют место для пре-
преобразования <&"'.
§ 1. Преобразование Фурье функции одного переменного 'ХЛ
Выясним теперь, будет ли С (А) дифференцируемой. Формально
со
С'(Х) = $(—21г.х)е-2ЫКх/(х)Aх. (V, 1; 10)
Это дифференцирование под знаком I законно, если полученный интеграл
сходится и притом равномерно по X, когда X пробегает конечный интервал.
Этот случай реализуется, если х/(х) суммируема. Тогда имеем
С'(Х) = &\— 21ъх/(х)\. (V. 1;2(»
Вообще если хт/(х) также суммируема, то С (к) т раз непрерывно диф-
дифференцируема и
От 0.) =-<&~ [(—2к1х)т /(х)), (V, 1; 21)
\&т-(к)\ ■:ЛB1:х)т/(х)!|/_1. (V, 1;22)
В итоге чем больше (суммируемых) производных имеет функция /(х),
тем быстрее С (К) убывает на бесконечности; чем быстрее /(х) убы-
убывает на бесконечности, тем больше (ограниченных) производных
имеет С (к).
Аналогичные результаты, с заменой —2ъ1х на 2шх, справедливы дли
оператора 47~•
Резюмируем предыдущие результаты в виде теоремы.
Предложение 1. Всякая суммируемая функция /(х) имеет
преобразование Фурье:
си
= С, С(\)= I е-2иХх/(х)с1х. (V, 1; 23)
Это преобразование непрерывно, ограничено и стремится к 0 при
. (V. 1:24)
Если / т раз непрерывно дифференцируема и ее произввдные по-
порядка <; т суммируемы, то
(.V. 1;25)
14 Л. Шварц
210 Гл. V. Преобразование Фурье
Если хт/ (х) суммируема, то С (к) т. раз непрерывно дифференцируема и
&• [(- 2шх)т / (*)] = С(Ш (X), (V, 1; 26)
\От (Х)| < \\B^х)т/{ху^,.
Мы имеем также
Предложение 2. Если С (к) = ^ [/(х)], то
Л-С (^ = <&-{/(кх)], к —вещественное фО. (V. 1; 27)
В самом деле, замена переменного кх = \ дает
оо со ^
В частности,
С(— Х)^^Г[/(— х% (V, 1; 28)
и, следовательно, при четной / функция С будет тоже четной, а при не-
нечетной — нечетной.
4. Пространство & бесконечно дифференцируемых функций, все
производные которых быстро убывают. Пространство <гР — это пространство
комплекснозначиых бесконечно дифференцируемых функций на Я, убы-
убывающих при | х | —>■ оо вместе с любой из своих производных быстрее, чем
любая степень 1/| х \.
Следствия. Если ср ^ <^р, то
1) каковы бы ни были неотрицательные целые числа / и т (I, т ^-0), функ-
функция х'срС (х) ограничена и даже суммируема, ибо из того, что х'т2ср(т> (л;)
ограничена постоянной М, вытекает, что х'с?(т) (*) ограничена функцией М/х2
и, значит, суммируема;
2) каковы бы ни .были неотрицательные целые числа / и т (/, иг^О),
функция (х1у{х)Ут) ограничена и суммируема.
Здесь надо воспользоваться формулой Лейбница, дающей производные
от произведения.
Последовательность функций <$] из <г? стремится к 0,
Топология когда /—>оо в смысле топологии пространства &\
в пространстве & ■' , г г ,
к если для любых целых неотрицательных чисел / и т
(I, лг>-0) последовательность х1^™1{х) сходится к нулю равномерно на /?.
Для преобразования Фурье в пространстве ^ справедливо предложение:
Предложение 3. Если функция у(х) принадлежит (&)х, то ее
преобразование Фурье С(Х) принадлежит {^\- Кроме того, если
/. Преобразование Фурье функции одного переменного 211
функции ср;(х) стремятся к нулю в {&)х при /->со, то их
образования Фурье СДХ) стремятся к 0 в {&'\-
Доказательство
1) Если <?€йЛ то при любом целом /^-0 функция х\{х) суммируем»
и в силу второй части предложения 1 функция С(Х) бесконечно дифферен-
дифференцируема.
2) Каково бы ни было целое число /^-0, производная функции С(Х)
порядка / убывает при | X | —> со быстрее, чем любая степень 1/|Х|. При этом
имеет место точная оценка:
Уч{х)Ут)\\». (V. 1;20>
3) Пусть теперь последовательность ср;- стремится к 0 в смысле $'. Тог Аи •
согласно формуле (V, 1;29), имеем
| B«к)т&? (X) | < 3(B1г.хI ф;.(х)Ут) !„. (V, I; 30)
причем в правой части этого неравенства стоит последовательность чисел,
стремящихся к 0 при /->оо. Следовательно, функции ХШСУ(Х) при ]—*оо
стремятся к нулю равномерно на всей прямой. Ч. и т. д.
б. Примеры. 1) Пусть
1 при | х | < Л,
ч 0 при | х > А.
Ее преобразованием Фурье будет функция
л
С(Х)= Г е~2ЫХхих = ■8Ш *—. (V, 1;31)
-л
Заметим, что / не является непрерывно дифференцируемой. Тем не мснео
|ХС(Х)| ограничен; однако |Х2С(Х)| не ограничен. Поскольку / имеет огра-
ограниченный носитель, функция хт/(х) суммируема при любом т; легко про-
проверить, что С(Х) бесконечно дифференцируема и что каждая из ее производ-
производных ограничена. Имеем ||/||1, = 2Л и в точности |С(Х)| -^ 1А = С@).
2) Пусть /(х) = е-*х\
Тогда
С(Х)= ^ е-*х'-21к>.хах — ^ е-т.(Х+ау-к\*аХш (V, 1;32)
— СО . —СО
14*
Гл. V. Преобразование Фурье
Чтобы вычислить этот интеграл по х (при фиксированном X), введем ком-
комплексное переменное 2. = х + й:
Д+оо
(V, 1; 33)
Д-оо
Функция е~к2г является голоморфной целой функцией, что позволит нам
сразу же изменить путь интегрирования. Имеем
Д+оо Д+Л Г -
С = Пт Г = Нт Г
-А А И + А~
(V, 1; 34)
Л I
Первый и третий интегралы в правой части стремятся к 0 при А—>эо.
1
-А
У
и
0
1
+А
Рис. V, 1.
В самом деле, рассмотрим, например, третий интеграл:
Д+Л
/
Г е~* и2-у2)-2«
«<л1-у). (V, 1;35)
Эта величина при фиксированном X стремится к нулю, когда А-><?э.
Таким образом,
А оо
= е~*х'\\т С е-*г'а2 = е-*>-' [ е-**'ах = е-™2. (V, 1;36)
-А
$ /. Преобразование Фурье функции одного переменного 213
поскольку последний интеграл (интеграл Гаусса) равен 1. Окончательно
&-\е-*#\ = е-*»*). (V. 1;37)
Применяя предложение 2 с к > О, получим
| (V, 1; 38)
Заметим, что е~'м% (| {о7)х и что также е~Аг ^{&')г
1-1
3) Пусть /(х)=У(х)е-ах-^~-, где а > 0, а > 0. Тогда
оо
С(Х) = 1е-«*-^^~ах. (V. 1:39)
о
Сделаем замену переменного
2 = (а + 2Ы,) х. (V, 1; 40)
Когда х пробегает положительную часть вещественной прямой @, -(-'.о),
переменное 2. пробегает луч @, (а + 2/тсХ)оо) в комплексной плоскости.
') Преобразование Фурье функции е КХ' можно вычислить элементарно, не при-
прибегая к методам теории функций комплексного переменного. Равенство С (К) •
со
= I е~т-х1'~'11%1'х их можно продифференцировать по X под знаком интеграла, поскольку
— со
после дифференцирования получается интеграл, равномерно сходящийся, когда А. лежит
на любом конечном отрезке:
С (I) = Г «г**"-2^ (_ 21кх) их = Г е-2иг-х1 ае-"х' = I [е~21^е-к
— ОО —ОО
Л) ОО
I е-™' <1е-2Ыкх = -/ I е—Ге-и** (_ 2/«Л.) их
ОО
— 2кк Г е-^~2Ы-кх Лх^._ 2ъ\С (К),
Законность интегрирования по частям и обращение в нуль проинтегрированного член»
очевидны. Из уравнения С (X) = — 2ъ\С (\) получаем С (А.) = С@) е~А\ где С@) —
интеграл Гаусса, равный 1. — Прим. перев.
214
Гл. V. Преобразование Фурье
Имеем
1_ г
— Г(а) Л
о
Ветвь функции С" при 1^е С > О выбирается по непрерывности; С считается
вещественной положительной при вещественном положительном С
(а+2Щ\)А
(а +21 п А;
Рис. У.2.
А
Здесь функция е ^а ' снова голоморфна при 1^е2Г>0. Беря контур,
указанный на рисунке, мы можем написать
(в+2(!Л)оо (а-\-2ЫЦ А
Г
О
= Нт
Г
=Ит
(пХ)Л
)
Г +Г+ Г • (V, 1;42)
Первый и третий интегралы здесь также стремятся к 0 при е—>0 и А—>эо
(докажите это строго в качестве упражнения).
А со
Интеграл I стремится к интегралу I . Имеем
(V, 1;43)
/. Преобразование Фурье функции одного переменного '215
так что
Определение ветви функции, стоящей справа, выбирается по непрерывности;
при X —0 величина 1/а* считается вещественной положительной. Впрочем,
при Х = 0 значение
-1 (V. 1;4В)
получается сразу же, ибо замена переменного происходит в вещественной
области; а, как известно, С(Х) должна быть непрерывной, поскольку /(*)-*•
суммируема1).
Пользуясь формулой (V, 1; 28), аналогично имеем
(ибо —х равно |х| при х < 0).
Отсюда, складывая, получим
В частности, при а= 1
') Интеграл С (X) = С (X, а) = Се-ах-2Ых^ х ^ также можно вычислить, но
о
прибегая к методам теории функций комплексного переменного.
Рассмотрим произведение
С (X, а) С (X, Э) = Г Г ,
«'1-1
о о
Запись в виде двойного интеграла законна в силу теоремы Фубини, ибо подинтеграль»
ная функция как функция двух переменных хну суммируема. Делая замену нерв*
менных х = и2, у = V2 и переходя затем к полярным координатам и = г соз'9, V = г зШ <р|
получим формулу С (к, а) С (X, ?) = С (X, я -(- 3). Из этой формулы в силу непрерыш»
ности С (X, а) как функции а вытекает, что С (X, а) = [С(Х, 1)]*; С (X, 1) вычисляется
непосредственно. Этот же результат можно получить с помощью сцерток (см. далее
стр. 228). —Прим. перев.
216 Гл. V. Преобразование Фурье
§ 2. Преобразование Фурье распределений
от одного переменного
1. Определение. Попытаемся найти выражение для с?"/, рассматривая
/ и о?~/ не как функции, а как распределения:
Эта формула справедлива, поскольку двойной интеграл имеет смысл: в самом
деле, \е-2икх/(х)у(к)\ = |/(х)| |<р(Х)|—функция, которая суммируема как
произведение суммируемой функции от х на суммируемую функцию от X.
Поэтому можно написать
Эта формула справедлива, даже когда с (ц 2?, лишь бы «рб^-1- В этом случае
преобразование с&~/ = С(к) ограничено, так же как и <^"ср = -((х). Обе ве-
величины
(У.2; 4)
имеют при этом смысл и равны.
Соотношение (V, 2; 2) наводит па мысль определить преобразование Фурье
= Ук распределения С/х формулой
Для любой ср6(®Х- (У,2;5)
Однако эта формула не имеет смысла при произвольном С/^C')х. В самом
деле, если ср принадлежит (.25),, то преобразование ^"ср вовсе не обязано
принадлежать C))х [мы увидим даже (предложение 5), что <&~о принад-
принадлежит C)х, только когда ср = О]. Так что правая часть равенства (V, 2; 5)
не имеет смысла. Преобразование Фурье произвольного распределения
не существует, Мы будем рассматривать специальные распределения.
$ 2. Преобразование Фурье распределений от одного переменного 217
2. Умеренные распределения. Пространство &"'. По самому опреде-
определению пространства & и его топологии мы видим, что пространство 3 содер-
содержится в аУ и что если функции ср;- сходятся к 0 в смысле 3, то они
а тЪШоп сходятся к 0 в пространстве &•
У меренным распределением называют распределение Т (т. е. линей-
линейную непрерывную форму на 3), которое продолжимо до линейной непре-
непрерывной формы на &.
Примеры.
1) Суммируемая функция / является умеренной. В самом деле, можно
положить
</■?>= //(*)?(*)<**. (V. 2; в)
— со
причем интеграл будет иметь смысл, коль скоро ср ограничена; но ведь
функция ср, принадлежащая Ё?, всегда ограничена1).
2) Ограниченная функция / является умеренной. Действительно, в этом
случае формула (V, 2; 6) будет иметь смысл, коль скоро ср^/.1; но веди
функция ср, принадлежащая оУ, всегда суммируема.
Вообще любая локально суммируемая медленно возрастающая функ-
функция / (х) является умеренной. „Медленно возрастающая" означает, что
|/(х)| ■: А\х\к при |х|->оо. (У.2;7)
В самом деле, функция ср^е^ удовлетворяет при |х|—>оо неравенству
(:8)
а значит, |/(х)ср(-*:)| <^ АВ/\ х |2 и /(х)ср(х) суммируема.
Слово „умеренное" намекает именно на медленное возрастание в бес-
бесконечности.
3) Распределение Т с ограниченным носителем является умеренным.
В самом деле, форма (Г, ср^ имеет смысл для всех бесконечно дифферен-
дифференцируемых функций ср безотносительно к их убыванию на бесконечности.
4) Если распределение Т умеренное, то и все его производные также
умеренны. В самом деле, распределение Т задается формулой
(Г, <?> = -<7\ ср'>. ' (У,2;9)
') Легко проверить также, что формула (У,2;6) задает в- этом случае непре-
непрерывную на & линейную форму. Это замечание относится и к дальнейшим приме-
примерам. — Прим. перев.
218 Гл. V. Преобразование Фурье
Но ведь если ср принадлежит ^, то и ср' также принадлежит оУ, и, значит,
при умеренном 7" форма G\ ср') имеет смысл, когда ср ^ <У. Это показывает,
что (Т\ ср) имеет смысл при ср(|а?\ и, значит, Т — умеренное.
5) Пусть распределение 7" — умеренное, и пусть а — полином от х,
тогда распределение <хТ будет умеренным.
В самом деле, распределение аТ задается формулой
{аТ, <р> = <7\ «р>. (У,2;10)
Если ср принадлежит &1 и а — полином, то аср также принадлежит &',
и поскольку распределение Т — умеренное, форма G", аср) имеет смысл,
но тогда и форма (схГ, ср) имеет смысл, а значит, распределение <х7" является
умеренным.
6) Легко показать, что функция / (х), подобная ех, которая не является
медленно возрастающей при х->-}-оо, не является и умеренной.
Пространство умеренных распределений, двойственное про-
пространству &', будет обозначаться $".
3. Преобразование Фурье умеренных распределений. Пусть И х
При ср^(^')> правая часть равенстна (V, 2; 5) имеет смысл, поскольку ^"ср=:
= *с(х) принадлежит (аУ)х (предложение 3). Кроме того, если функции ср;(Х)
сходятся к 0 в смысле (аУ\, то, согласно тому же самому предложению 3,
функции о?"», = *(■/(-*■) сходятся к 0 в смысле {&')х и, следовательно, числа
{Ох, (^"сру) стремятся к нулю. Таким образом, правая часть равенства (V, 2; 5)
задает некоторую линейную форму, непрерывную на (а7\, т. е. задает неко-
некоторое умеренное распределение У\, которое, по определению, мы и при-
примем за $~11.
Преобразование <&~ обладает, конечно, аналогичными свойствами. Итак,
Предложение 4. Пусть Их — умеренное распределение, тогда
преобразования &~\1 и <3~1] можно определить формулами
(V.*,,,
при любой функции
Распределения $~11 и З'Ц являются умеренными
$ 2. Преобразование Фурье распределений от одного переменного 219
Пусть их(^$>' (и, значит, их^&")- Тогда, при фик-
Образы Фурье сированном X, можно вычислить величину
с ограниченным У{\) = Шх, е~21'1х). (V, 2; 12)
носителем
Кроме того, мы видим, что V(А) является беско-
бесконечно дифференцируемой функцией от X, поскольку функция е~2ЫХх беско-
бесконечно дифференцируема по X и по х (см. гл. III, предложение 1). И, кроме
того, даже при комплексном фиксированном X функция е~21гЛ-х принад-
принадлежит (%.)х, а значит, V (к) существует при комплексных X. Поскольку функ-
функция V (к) бесконечно дифференцируема, она является целой голоморфной
функцией. Мы собираемся показать, что эта функция У(к), рассматривании
при вещественных X, представляет собой преобразование Фурье распреде-
распределения II/, формула (V, 2; 12) обобщает определение (V, 1; 7) путем замены / (х)
на распределение С/х с ограниченным носителем. В самом деле, при
оо
Г е ~шкК у (к) A1/= по теореме Фубини
(V, 2; 13)
откуда мы заключаем, что $~1)'==]/'.
Выразим это теоремой.
Предложение 5. Если Их — распределение с ограниченным носи-
носителем, то его образ Фурье представляет собой некоторую функ-
функцию V (к). Эта функция продолжима на комплексные значения X как
целая голоморфная функция.
Она дается формулой
У(К) = {их, е~21тХх). " (V, 2; 12)
Ниже мы столкнемся с иными примерами, когда преобразование Фурое
некоторого распределения или даже некоторой функции является распреде-
распределением [см. формулу (V, 2; 26)].
220
Гл. V. Преобразование Фурье
Как частный случай предложения 5, мы видим, что если / — функция
с ограниченным носителем, то ее образ Фурье, даваемый формулой (У,1;7),
является голоморфной функцией X. Следовательно, этот образ не может
иметь ограниченный носитель, не будучи тождественным нулем. Мы увидим
в дальнейшем, что о?"ср будет тождественным нулем, только если сама
ср — тождественный нуль; поэтому если функция ср принадлежит C)х и
не равна тождественно нулю, то ее образ Фурье никогда не принадлежит C3\.
Формула (V,2; 12) дает
Образы Фурье пТЬ — (Ь е-«^Л—1 (V 2- 14%
распределений & ' — \°«-> е )—»■ (\, *, 1*)
с точенным Образом Фурье распределения 8 является постоян-
носителем тя функция ь
(V, 2; 16)
Прямое применение формулы (V, 2; 11) дало бы тот же самый результат:
= <1. 9). (V. 2; 17)
(V. 2; 18)
откуда <&~Ь = 1.
Наконец,
х — а)} == {Ьх_а,
= е~2Ыка.
Доказательство ?/ме™м с"ачала" что Ф°РМУЛЫ (V. 1:25) и (V, 1; 26)
1 формулы Ь~\ = Ь (без оценок) распространяются на умеренные рас-
распределения.
= У%, то
Если
Докажем, например, первую из этих формул
= ((/. (—1)т «У Ц—
(У,2;19)
(V, 2; 20)
СИЛУ (у. 1:26) ■
2/1СХ) с? (X)) =
I/,, ср (X)), (V. 2;
откуда
$ 2. Преобразование Фурье распределений от одного переменного 221
Вторая формула доказывается с использованием равенства (V, 1; 25).
Положим теперь в равенстве (V, 2; 19) т= 1 и Ц= 1 (это ограниченная
и, значит, умеренная функция). Поскольку производная единицы равна нулю,
будем иметь
О = 4Г 10] = 2Н\УХ, (V, 2; 22)
или
^ = 0. ■ (У,2;23)
Но мы видели (см. гл. II), что распределение Ух, удовлетворяющее урав-
уравнению (V, 2; 23), обязательно пропорционально 8- Поэтому
&~\=СЪ. (V, 2; 24)
Воспользуемся теперь определением (V, 2; 11), подставив в него спе-
специальную функцию <р, наиболее простую функцию из ^°, для которой мы
знаем явно образ Фурье: если ср (л) = е'*1', то а?~ср = е~плг2 [фор-
[формула (V, 1; 37)]. Имеем
оо
= Г е~жх2их = \ (интеграл Гаусса). (V, 2; 25)
— оо
Но ведь (В, е-*х')=1. Следовательно, С=1 и
8. (У.2; 26)
Поскольку эта формула носит вещественный характер, т. е. инвариантна
при замене / на — г, имеем также
#=8. (V, 2; 27)
С формулой (V, 1;6) связана формула (V, 1;5).
Двойственная Однако эта формула не обязательно имеет смысл
формула урье в теОрИИ фуНКцИИ; в самом деле, если / (х) при-
принадлежит I.1, то С(Х) ограничена, но не обязательно суммируема [пример;
равенство (V, 1; 44) при а< 1], так что (V, 1;5) не имеет смысла.
Заметим к тому же, что формула, подобная (V, 1;5) и дающая / (х)
при всех значениях х, была бы абсурдной, поскольку изменение значений /
па множестве меры нуль не изменяет С (X).
Напротив, С (к) как ограниченная функция является умеренныдс распре-
распределением и, значит, имеет образ при отображении <^~; совпадает ли этот
образ с / (х)? Да, действительно совпадает. Вообще мы скоро увидим, что
если <&~1/ = У, то <^"\/ = 11 [частным случаем этого является равенство
(У,2;27), если учесть (У,2;14)].
222 Гл. V. Преобразование Фурье
Предположим сначала, что ср(х)— некоторая функция из (<&')х и что
= ■у (X). Мы хотим показать, что $~~\ = ср. В точке а имеем
/ (V, 2; 28)
— СО
Заметим теперь, что
Заменой переменного получим
Равенство (V, 2; 28) запишется теперь в виде
ср(х + а))= в силу (V, 2; 26)
= (8, ? (х + а)) = ? (а). (V, 2; 30)
Таким образом, мы доказали соотношение (V, 1;5), когда / =
Следовательно, при ср ^ а? имеем
= ^ и аналогично ^"с^ср = ср. (У,2;31)
Такие же формулы сразу же получаются теперь и для С/ ^ $"\
(^Г^и. с?) = (#"г/, #\р> = (г/, ^"<#^> = (^. ?>. (V. 2; 32)
Следовательно,
^<&~11=11 и аналогично <^'^11 = Ц. (V, 2; 33)
Итак,
Предложение 6. Преобразования о?~ и ^Г являются взаимно
обратными на пространствах умеренных распределений:
= V. ■ (У, 2; 33)
Следовательно, если <^С/ = У, то <?7~У = и.
2. Преобразование Фурье распределений от одного переменного 223
Вывод. Равенство ^"С/= 0 может иметь место, только
если ^7 = 0.
В самом деле, если 1/ = <^"^ = 0, то Ц = ЖУ = #4) = 0. Если Ц
есть некоторая функция /, то это рассуждение, естественно, доказьшпет
только то, что функция / равна нулю как распределение, т. е. что / рнпна
нулю почти всюду.
Замечание. Пусть /^1Л и пусть известно, что функция С (К)
не только ограничена, но и суммируема [пусть это известно, например,
благодаря тому, что известен явный вид С(Х)]. Тогда преобразование о7~С(К)
оэ
будет функцией, равной I С (К) е2Ыкх с[к. Предложение 6 показывает тогда,
— оо
оэ
что функции /(х) и I е2Ы1хС (X) (Гк равны как распределения, то есть равны
почти всюду. Поскольку вторая из них непрерывна, отсюда следует, что
исходная функция / (х) почти всюду совпадает с некоторой непрерывной
функцией; если / (х) непрерывна, то равенство (V, 1;5) выполняется тожде-
тождественно. Можно показать дополнительно, что если /^^ и если в окрест-
окрестности точки а функция / имеет ограниченное изменение, то
(у,2;34)
Л->оо
— Л
Формула обращения позволяет обратить равенства (V, 2; 14), (V, 2; 16) и
(У, 2; 18):
(V. 2; 35)
Равенство (V, 2; 34), примененное к примеру (V, 1; 31) при а = 0, дает
соотношение
1= I —-^ а\ или ^ —^—а\=-^ при й>0. (У,2;36)
-со 0
Упражнение. Используя теорию вычетов, проверить формулу двой-
двойственности для примера (V, 1; 48):
924 Гл. V. Преобразование Фурьг
Из равенства <^=8 обычно получают следующее
интуитивное интуитивное доказательство формулы обращения.
доказательство Распределение II, как и функцию, обозначают Ц (х),
формулы обращения а для его образа Фурье V пишут
УA) = § е-2Ы}*1!{х)йх. (V, 2; 38)
— СО
Тогда преобразование <^У запишется в виде
СО СО 00
ЦГУ — Г е2'"'хУ (X) а\ = Г е2Мхй~к Г V'(&) е-2Ы*е11 (V, 2; 39)
Г|* —ОЭ —00 —СО
Затем обращают порядок интегрирований, хотя двойной интеграл никогда
не является суммируемым ибо \егы'Кх11 (%)е-2Ы)^\ = \ и(%)\, а эта функция,
даже если V—суммируемая функция от Е. никогда не суммируема по \, X:
оэ со
— со —со
После обращения порядка получают интеграл
*><*Х. (V, 2;40)
Равенство <^*1=8 (некорректно) записывают в виде интеграла
со
С е-2Шха1 = Ь(Х). (У,2;41)
— СО
Тогда (V, 2; 40) записывается в виде
сх; СО
= ^" г/СО»С? — ->с)^5 = ( и$)Ъ(х — %)(П=Ц(х) (У,2;42)
1см. формулу (III, 2; 34)].
Можно попытаться обосновать подобный формализм, однако обосно-
нание мало отличается от строгого доказательства, которое мы привели.
Тем не менее приведенный выше формализм является более прямым.
$ 2. Преобразование Фурье распределений от одного переменного 223
4. Формула Парсеваля — Планшереля. Преобразование Фурье в I?,
Пусть /(х) — дважды непрерывно дифференцируемая функция с ограничен»
ным носителем. В силу оценки (V, 1; 18) (с т = 2) модуль |С(Х)| мажори-
мажорируется на бесконечности функцией 1/Х2 и, значит, С(Х) суммируема. Поэтому,
используя формулу обращения, можно написать
) I2 = / / (*) Пх)ах = ^ / (х) их ^
(V,2;43)
ибо этот двойной интеграл имеет смысл в силу условий, наложенных
на функцию / (функция / суммируема по х, функция С—по X, а, значит,
их произведение суммируемо по х, X). Можно, следовательно, изменить
порядок интегрирований:
со ^о со
§\}{х)\2йх= § С (X) Ок ^ / (х) е~2Ы1* ах =
оо
]". (У,2;44)
—СО —СО
Иначе говоря
оо .со
I ] (-^ ) I С1Х :== I ] С* (А/ | С1К,
(V. 2; 45)
!!/!!/.-'С||у.
Пусть теперь / — произвольная функция из I?. Аппроксимируем се
(в Ь.2, т. е. в смысле среднего квадратичного) последовательностью дважды
непрерывно дифференцируемых функций /„ с ограниченными носителями.
Тогда отсюда можно вывести, что образ Фурье функции / [образ в смысле
теории распределений, ибо функция из Ь.2 является также и умеренной,
но не обязательно суммируемой, как показывает пример
и, значит, формула (V, 1;7) может оказаться лишенной смысла] является
некоторой функцией С (X) с суммируемым квадратом [функция С (X) опре-
определяется как распределение, т. е. определяется только почти всюду]. При
15 Л. Шварц
226 Гл. V. Преобразование Фурье
этом для функцчй /(х) и С(Х) выполняется равгнствэ (V, 2; 45). Далее,
анаюгичную фзрмулу можно написать, заменив / (х) па §{х), а С (к)
на О(к) — образ Фурье функцчй §\ если / и ^ принадлежат I?, то,
по неравенству Шварца, функц 1я /$ суммируема. Из равенств (V, 2; 45) для
функций / и § получается равенство
(V, 2; 46)
И1И
Резюмируем сказанное в виде теэремы. Эта теорема—двойник анало-
гЛчного предложения из теории рядов Фурье (гл. IV, предложение 6).
Предложение 7. (Планшерель — Парсеваль.) Преобразования $~
и &~ являются взаимно об ратными изометриями между 1}х и 1.\.
Если / и § принадлежат 1}х, то их образы Фурье (в смысле теории
распределений) принадлежат Ц,, при этом выполняются равен-
равенства (V, 2; 45) и (V, 2; 46).
б. Формула суммирования Пуассона. Пусть Ц( — распределение
со
2 ^х-п' образованное массами -\-1 во всех точках с целочисленными аос-
В= —со
циссами. Найдем его образ Фурье. Имеем
^[Ьх_п\-=е-2Ып}\ (V, 2; 47)
Допуская, что порядок символов $~ и ^ можно изменить (это легко
обосновывается), будем иметь
со со со
&~ 2 »,-„= 2 &~К-п=- 2 е~^»К (У,2;48>
л= — со п~ — со п= — со
Но в гл. IV, в теории рядов Фурье, мы видели, что сумма этого последнего
со
ряда равна 2 ^>х-/г Следовательно,
п- —со
\ 2 К-п]= 1 \_а. (У,2;49)
=— со ^ л=-оо
Мы имеем здесь распределение, которое, подобно е~*х\ равно своему пре-
.образованию Фурье (с точностью до обозначения переменного х или X).
$ 2. Преобразование Фурье распределений от одного переменного 221
Применяя к этой паре распределений равенство (V, 2; 11), которое опре-
определяет преобразование Фурье, мы видим, что выполняется соотношение
со лэ
псо п
где функция <р(Х) 6: в^, а 'с(дг) — ее преобразование Фурье.
Таким образом, мы имеем формулу суммирования Пуассона
Е ?(«)• (V. 2;51)
- —со
Применяя эту формулу к у (х) = е~сх% [см. равенство (V, 1; 38)], получаем
Л= —со Л- —со
= е~сх%
Эта замечательная формула (функциональное уравнение для 0-функций) играет
важную роль в теории эллиптических функций и в теории теплопроводности,
6. Преобразование Фурье, умножение и свертка. Пусть 5 и Т — дпа
распределения с ограниченными носителями. Их образы Фурье [С(Х) и О(Х)|
являются функциями, которые даются формулой (V, 2; 12). Свертка 5 «Г
также имеет ограниченный носитель, а ее образ Фурье дается той жо
формулой
= <5е» Тг, е-"**е-ыАЪ = Eе. е-21«*) G^, е-2"*'.) = С(к)п (К)- (V, 2; 53)
Мы примем без доказательства, что эта формула остается справедливой,
если 5 — произвольное умеренное распределение, а Т — распределение с огра-
ограниченным носителем. Точнее: при этих условиях свертка 5-х-Г, конечно,
имеет смысл, мы же примем без доказательства, что она также является уми-
умиренным распределением и что выполняется равенство
<Г E * Т) = СХО (X). (У,2;54)
При этом Сх является распределением, а О(Х) — бесконечно дифференцируе-
дифференцируемой функцией (предложение 5), и, значит, их произведение имеет смысл.
Эта формула справедлива также во многих других случаях '). Образом Фурьо
свертки 8*Т служит произведение образов Фурье распределений 5 и Г.
') Например, если / и § принадлежат И, то / * § также принадлежит О
и 3~ (/ * §) = 3~/ &"
15*
228 Гл. V. Преобразование Фурье
Такая же формула, очевидно, справедлива и для преобразования <&~. Теперь,
используя формулу обращения, имеем
[5 * Г] =
[5* Т] =
Итак,
(V, 2; 55)
Предложение 8. Преобразование Фурье превращает свертку
в умножение и умножение в свертку по формулам (V, 2; 55) (если
выполнены условия применимости этих формул).
Это есть важнейшее свойство преобразования Фурье, как и в слу-
случае рядов Фурье (гл. IV), оно служит основой для использования преобразо-
преобразований Фурье. Преобразования Фурье широко используются в теории инте-
интегральных уравнений, в теории дифференциальных уравнений с частными
производными (уравнение Лапласа, уравнение теплопроводности, волновое
уравнение, уравнения квантовой механики) и в теории вероятностей.
Примеры.
1) Вернемся к примеру (V, 1; 44). Справедливо очевидное равенство
а -\- 2/-Х
■Из него получается формула
т. е. формула (III, 2; 11).
Мы видели, что эта формула в действительности справедлива при произ-
произвольном комплексном а, тогда как, например, при а < 0 она не может быть
х*-1
доказана посредством преобразования Фурье, ибо функция К (х) е1" I х .,
не является умеренной и не имеет образа Фурье. Заметим, что два распре-
распределения в левой части формулы (V, 2; 57) являются суммируемыми функциями,
но с неограниченными носителями.
2) Рассмотрим теперь пример (V, 1;38):
1= е" ™ 1 =
У2п ]
(о > 0). (V, 2; 58)
$ 2. Преобразование Фурье распределений от одного переменного 229
Но ведь очевидно, что
е-2*2Л2 . е-2тсЧ2Л2 _ е-2л! (аЧт1) Х2> /у> 2; 59)
откуда
е *» = ._■ • е 2 <"+*) , (V, 2; E0)
а это и есть формула (III, 2; 15).
3) Равенство (V, 1; 48) в комбинации с равенством (V, 1; 27) дает формулу
Но ведь очевидно, что
е~а |2гЛ| . е-ь\2Л\ ==е-(а+ь)\ы\ъ (V, 2; 62
Отсюда мы выводим соотношение
1 а м 1 Ь 1 а + Ь ГУ 2'63
которое совпадает с формулой (III, 1;23).
4) Тот факт, что 5 является единицей для свертки и что 1 является
единицей для умножения, связан с соотношением ^"8=1.
Точно так же формулы (V, 2; 19) и (V, 2; 20) суть не что иное, как
простые следствия предложения 8 в комбинации с формулами (V, 2; 16)
и (V, 2; 35). Приложения к уравнениям в частных производных с постоян-
постоянными коэффициентами возникают потому, что это — уравнения в свертках.
Например, пусть надо найти элементарное решение для дифференциаль-
иого оператора -т—5 а2:
Ъ. (У,2;64)
Предположим, что Е — умеренное; тогда оно имеет образ Фурье С. Преобра-
Преобразуя по Фурье уравнение (V, 2; 64), получим
(— 4~2Х2 - а2)С} = 1 (V, 2; 6Г>)
или
Таким образом, мы находим решение
[см. формулу (V, 1;48)].
230 Гл. V. Преобразование Фурье
Действительно, прямая проверка дает
г-./ знак х I „ .
= —~е~а
(V, 2; 68)
о -а \х I _1_ й
2
(благодаря разрыву в начале координат). Отсюда и вытекает равен-
равенство (V, 2; 64).
Найденное нами решение совершенно отлично от решения, найденного
в главе III (свертка), которое принадлежало 3+ решение, даваемое форму-
формулой (III, 2; 88) при ш = 1а, превращается в У(х)——— . Наше теперешнее
решение не принадлежит 3) + , решение же главы III не было умеренным. Впро-
Впрочем, мы отыскали единственное умеренное решение. В самом деле, любое
другое решение получается из Е прибавлением некоторого решения
Схеах-\- С2е-ах однородного уравнения, а эта функция не является умерен-
умеренной, если Сх или С2 отлично от нуля, ибо в любом из этих случаев она
экспоненциально возрастает при х—>+оо или при х—>—оо. Уравнение,
подобное уравнению
(V, 2; 69)
было бы гораздо сложг.ее решить этом способом и к тому же оно имело бы
бесконечное число умеренных решений.
7. Другие записи преобразования Фурье. Преобразование Фурье часто
записывают в иной форме. Для функции / ^ I.1 положим
000 = -^- $ е-<«"*/(х) ах, (У,2;70)
ш вещественное =^=0, И > 0. Тогда
О(Х) = 4СЙХ)- (V. 2;71)
где С — тот образ Фурье, который мы обычно вычисляли.
Формула двойственности записывается при этом в пиде
оо
= ^ е2Ы^С ((х) йу. = И § е^хО (^- [х] ар. (V, 2; 72)
— ОО
Цоложим
—ОО
2т.
[Л. = Л .
3. Преобразование Фурье в случав многих переменных
211
Тогда
(X) Ок.
откуда мы получаем пару двойственных формул:
Нк — -
Обычно выбирают одну из следующих комбинаций постоянных:
ш=±2тг, /г = 6=1;
(о= ± 1. к= 1, к =
ш = + 1, к = к =
(V. 2; 73)
(V, 2; 74)
(V, 2; 75)
§ 3. Преобразование Фурье в случае многих
переменных
Пусть х = (хг. х2 хп)^Пп, Х = (Х1, Х2 Х„)^/?п. Преобра-
Преобразованием Фурье функции /(*1. х2 хп)^^ является функции
С(ХР Х2 Х„), которая определяется равенством
с (X,, х2 х«) =
■"" 'л) х
У / (х{, х2 хп) с1хг йл:2 ... й*„. (V, 3; 1)
Сокращенно это равенство записывают так:
С(к)=: $ $ ... ^ е-'2Ы^-х)/(х)ах. (V, 3; 2)
я"
Свойства этого преобразования аналогичны соответствующим свойствам
в случае одного переменного.
В специальном случае, когда /(х) — /г (х1)/2{х2) • • • /„ (х^), в силу
того, что
232 Гл. V. Преобразование Фурье
очевидно, имеем
С(к) = &- [/,/2 .../„] = С, (X,) С2 (Х2) . .. Сп (Х„) =
= & [/,] ^ [/21 • • • & [/„]• (V, 3; 4)
И в частности [см. формулу (V, 1;37)],
<$Г[е-г-г'] = е-*(\ ■ (V, 3;5)
где г2=2х2у. Р2=2Х5.
Формула (V, 2; 14) сохраняется, а формулы (V, 2; 16) и (V, 2; 35) надо
заменить формулами
(V, 3; 6)
(мы ограничились случаем т=\). Формула (V, 1; 27) заменяется формулой
<^Г[/(Ах,. кх2, .... Ах(,)]=-П^гс(^-,-^-, .... ^). (У.3;7)
В аналоге формул (V, 2; 74) имеем
(?Г (У-3:8>
Более подробно мы изучим случай, когда / является функцией только
от г-]/|х5:
/(*,. х2 *я) = Ф(г). (У,3;9)
Покажем, что в этом случае С^, Х2 Х„) также является функцией
гт—
только от р = 1/ 2 ^; • Для этого достаточно показать, что С(Х) инва-
инвариантна при вращениях вэкруг начала координат. Пусть 5 — такое вращение;
обозначим через 5Х точку [а, которая получается из X при вращении 5. Имеем
= ^ ^ ... ^е-2'::<5X'л/(д:)с?л^. (V, 3; 10)
3, Преобразование Фурье в случае многих переменных
233
Но скалярное произведение не меняется при вращении 5~ , значит EХ,
=E-\$Х, 5*> = <^. 5*)- Тогда
Сделаем замену переменных 5 1х=Ь, х = 5%; якобиан вращения нач-Дй
равен 1 (сохранение объема). После замены переменных
(У.3;12)
Но функция / инвариантна при вращениях, /C1) = /(?)> так что СEХ) =
и С инвариантна при вращениях. Можно положить С(Х) = Г(рI). Остается
вычислить Г(р). Достаточно положить Хг =^ р, Х2— ... =Х„ = 0. Тог ля
получим
Т(р) = $ $ ... § е-^хяФ^йх^ах^ ... йхп. (V, 3; 13)
л"
Воспользуемся предложением гл. I, касающимся вычисления кратных
интегралов с помощью интегралов по сферам:
Г (р) = ]"/(/■)<*/-,
(V. 3; 14>
2
7=1
Этот интеграл по сфере радиуса г вычисляется разбиением сферы на зоны.
Обозначим через 0 угол радиуса-вектора точки (хг, х2, ..., хп) с осью Ох\.
Множество точек сферы, для которых этот угол заключен между 0 и б-)~йО,
является зоной; ее площадь (п— 1-мерная) равна произведению г йО на пло-
площадь (п — 2-мерную) сечения (радиуса г зт 0) сферы плоскостью л^ —гсо.чО.
Площадь этого сечения равна — ^—(г5!п0)"~2; таким образом, площадь
') Буква Г употребляется в дальнейшем также для обозначения эйлерова иито*
грала, но смешения возникнуть не может.
234 Гл. V. Преобразование Фуры
элементарной зоны дается выражением
я-1
(У,3;15)
В любой такой зоне подинтегральная функция в сферическом интеграле I(г)
равна е~2'лгРСО5 9Ф(г); таким образом, вклад элементарной зоны в сферический
интеграл составляет
я-1
2я -2/«гсо8е,.. _. г.п-2*,. ^ (V, 3;16)
так что окончательно сферический интеграл равен интегралу
я-1
2
/(г)== Г ^,. е-Шг?со
я-'
= г"-'Ф(г) 2г' 2 1Ч Ге-2/гргсО80Eт0)п-2^б. (V, 3; 17)
Г (Т) о^
В этом интеграле мы узнаём функцию Бесселя. Напомним, что
тс
^ (х) = (Л//2)" 1Т Г^±'ХС0'Дз1п2'ед9. (У.3;18)
При V = —=—, х = 2-ггрг находим
л-2 л-2 я-2
,~2~„ 2 _ 2
л-3 п-2 п-2 т.
2е2</6. (У,3;19)
1
I 2
$ 3. Преобразование Фурье в случае многих переменных 336
Отсюда сразу же выводим, что
я—2 л
/(г) = 2ъ9~~^'Г^п_1 B*рг) Ф (г), (V. 3; 20)
2
и получаем искомую формулу
Г(р) = 2тгР 2 г2Уп_2Bтфг)Ф (г)<?г, (V. 3;21)
о "Г"
которая выражает образ Фурье Г(р) через Ф(г). Полученная формула носит
вещественный характер, и поэтому в точности такая же формула имеет место
и для преобразования $". Отсюда мы получаем двойственную формулу
Ф(г)=2«г 2 р2У^^_2Bтгрг)Г(р)йр. (V, Я; 23)
О 2
Эти две взаимно обратные формулы устанавливают связь между функциями Ф
и Г переменных гири представляют собой преобразование Гинкеля
я —2
порядка —г,— ■
Рассмотрим случаи я= 1, 2, 3, которые интересуют нас более всего.
п су
Случай п= 1. Известно, что ^ \ (х)= \/ -— собх. Отсюда
—— у ИХ
= 2 § со8Bжрг)Ф(г)аг. (V. 3;2.Ч)
о
Эта формула является очевидной а рпог1 (а выкладки, проделанные дли
того, чтобы ее получить, также становятся очевидными при и=1).
В самом деле, мы просто делаем предположение, что / четна. Тогда С(Х)
также будет четной [формула (V, 1; 28)] и прямая формула (V, 1;7) дает
оо
С(Ь)= I е~2НКх/{х) их = (поскольку интеграл с синусом равен нулю)
— со
оо оо
= Г со$2к'кх/(х)ах — 2 ( со8 2п1х/(х)Aх. (V, 3; 24)
Этот результат совпадает с ^У, 3; 23;.
336 Гл. V. Преобразование Фурье
Случай га = 2. Имеем
оо
| (У,3;25)
' Эту формулу можно было бы получить, переходя к полярным координатам
(г, 0) в формуле (V, 3; 1). То, что мы проделали в общем случае, является
не чем иным, как обобщением на произвольное п этого перехода к полярным
координатам.
Случай га = 3. Известно, что ^\ (х)==1/ зтл;. Отсюда
• оо
Г(р) = — Ггз1пBтгрг)Ф(г)йг. (V. 3;26)
Р о
Мы видим, что и в общем случае при нечетном га в формулах будут уча-
участвовать тригонометрические функции, а при четном п—функции Бесселя
с целым индексом.
Пример. Вычислим при п = 2 образ Фурье функции Ф, равной 1 при
г < /? и равной 0 при г > /?:
к
§ (У,3;27)
Напомним, что функции Бесселя удовлетворяют рекуррентному соотношению
■^ (XV, (кх)) = Хх'У,_, (Хх). (V, 3; 28)
Отсюда
2 г). " (V, 3; 29)
что позволяет вычислить наш интеграл:
Г(а) = |-У1B~/?р). (У,3;30)
Эта формула используется в теории дифракции и во многих других
вопросах. Ее можно было бы получить непосредственно из (V, 3; 1) переходом
к полярным координатам.
4. Одно физическое приложение интеграла Фурье 237
§ 4. Одно физическое приложение интеграла
Фурье: решение уравнения теплопроводности
Рассмотрим стержень бесконечной длины, в котором тепло может рас-
распространяться только за счет теплопроводности. Удельную теплоемкость МЫ
обозначим с (теплоемкость на единицу длины); теплопроводность обозначим "\\
это означает, что если градиент температуры в точке х равен 0, то коли-
количество тепла, которое проходит слева направо через точку х за единицу
времени, равно —^0.
Наконец, мы предположим, что источники тепла расположены ндоль
стержня; говорят, что плотность источников тепла в точке х в момент ире>
меии { есть р(х, I) (р имеет произвольный знак), если количества теилл, произ-
производимого источниками в интервале (х, х-\-с!х) в течение времени (/, I | <11),
равно рйхсН. Мы считаем, что, помимо этих источников, никакой обмен
теплом с внешней средой за счет излучения или теплопереноса не происходит.
Определим, как изменяется с течением времени температура II в различных
точках стержня. 1} является неизвестной функцией х и (. Напишем урашн'мие
теплового баланса для участка (х, х-\-Aх). За время (^, (-\-сН) этот учпстои
получает от соприкасающихся с ним источников количество тепла, раииов
р(д:, 1)йх<Н. За счет теплопроводности он получает количество тепла, ранное
<* *)]<Н Т^ах<Н (V.-»;!)
ибо градиент температуры в точке х равен —,—.
Полное количество полученного тепла составляет
х й1. (V. 4; 2)
Поскольку теплоемкость участка равна с их, а увеличение температуры
равно —5г(Н' имеем
Это уравнение называется уравнением теплопроводности. Мы предположим,
что оно остается справедливым, даже когда Ц и р — распределения. Ончм.
важны следующие случаи, когда р является распределением:
а) р(д:, ()—Ъ(х). Это означает, что единственный источник является точечным, он
помещен в точку О и производит единичное количество тепла в единицу времени;
238 Гл. V. Преобразование Фурье
Ь) р(л;, ()=Ь(х)Ъ((). Это означает, что источник помещен в точку О, действует
только в момент < = 0 к выделяет в этот момент в точке О единичное ко-
количество тепла
Задача Коши для уравнения (V, 4; 3) (в том случае, когда в него входят
только функции) состоит в отыскании решения (У при Ь > О, при заданной правой
части р(х, () и заданном начальном распределении температур С/(х, 0)= 110(х).
Мы будем рассуждать скорее интуитивно, чем строго, не пытаясь до-
достигнуть полного обоснования.
Обозначим через У и р функции I] и р, продолженные нулем при ( < 0.
Тогда формулы дифференцирования (в смысле теории распределений) раз-
разрывных функций дают нам соотношения
О Т дО О
так что О удовлетворяет уравнению в частных производных
Мы предположим, что при любом ( функция р, как функция только
от х, является умеренной; следовательно, при всяком фиксированном I она
имеет образ Фурье (равный нулю при I < 0):
со
о(Х, {)= Гр(х, ()е-2Ы*ах. . (V, 4; 6)
— СО
Мы предположим, что функция ио(х) умеренная, следовательно, она
также имеет образ Фурье:
оо
У0(Х)= § ий{х)е-^*йх. (У,4;7)
— оо
(Величина Уо является заданной.)
Выясним, существует ли решение задачи Коши, также являющееся при
любом I умеренной функцией от х. Если это так, то при любом фиксиро-
фиксированном I решение будет иметь образ Фурье (равный нулю при г < 0):
= § 0{х, 1)е-Г1^*йх. (V, 4; 8)
Поскольку преобразование Фурье производится только по х при фикси-
фиксированном (, частное дифференцирование по I остается частным дифференци-
<!> 4. Одно физическое приложение интеграла Фурье 219
, Г , дО дУ
рованием по ( точнее, образом Фурье для —г- служит —п-; это вытекает
из дифференцирования под знаком I в формуле (V, 4; 8) . Частное же диф-
дифференцирование по х превращается в умножение на 2Ы\ [см. формулу (V, 2; 19)|.
Следовательно, V (X, г) удовлетворяет соотношению
с^- + 4тг2тХ21/ = о(Х, О + с^о(Х)8(О. (V, 4;!))
Теперь мы будем рассматривать это соотношение как дифференциальное
уравнение по I при фиксированном X [дифференциальное уравнение в смысле
теории распределений, так как в нем фигурирует 8@1- Поскольку носители
всех величин лежат в области I > 0, это уравнение при фиксированном X
представляет собой уравнение в свертках в алгебре C>+)(. Его можно пере-
переписать в виде
(с-^ + 4к2ТХ23(г))(-*К(Х, 0 = о(*. 0-г-^0(ХK@, (V, 4; 10)
где свертка производится по г при фиксированном X.
Обратным элементом для
А = сЬ' + 4-2ТХ2§ (V, 4; 11)
в алгебре ($'+\ является элемент
[см. формулу (III, 2; 62) или предложение 14 гл. III].
Поэтому решением уравнения (V, 4; 10) служит распределение
~ ~ 1 -4и2— К( -4и2— VI
У"(Х, *) = о(Х. *)*--Уа)е с +^0(Х)е с . (V, 4; 13)
Если о(Х, I) при фиксированном X является функцией от (, то первый из
этих членов — свертка — записывается в виде
± ] о(Х, х)е с ах ■> (V, 4; 14)
о
при ?>0.
Однако преимущество формулы (V, 4; 13) состоит в том, что она
может быть написана даже в случае распределений.
240 Гл. V. Преобразование Фурье
Коль скоро V (X, () найдено, преобразование Фурье $~ при любом
фиксированном I восстанавливает решение 1У(х, г) (по определению, всегда
равное нулю при I < 0).
В качестве примера предположим, что температура стержня при ^<0
равна 0 и что именно в момент ^ = 0 источник, помещенный в точку х — 0,
отдает стержню единичное количество тепла. Тогда ио(х) = 0, р(х, () =
= о(х)ЪЦ) и, значит, У0(Х) = 0, <Г(Х, () = Ь(().
По формуле (V, 4; 13) получаем
:. У(к, Ь) = ±У{1)е-^~сХЧ (V, 4; 15)
и .восстанавливаем О(х, () по формуле (V, 1; 38):
с
(V, 4; 16)
Зта функция называется элементарным решением уравнения теплопровод-
теплопроводности. Сделаем некоторые замечания.
1) Как бы мало ни было I > 0, температура будет > 0 в любой точке
стержня: тепло распространяется с бесконечной скоростью. (И все
же при больших \х\ температура долгое время остается очень малой.)
2) При любом I кривая, которая представляет функцию II (на пло-
плоскости х, (У), является колоколообразной кривой Гаусса. Ее максимум до-
достигается в точке х =0, он равен
() = —
с
В момент, когда в точке х = 0 действует источник, температура этой точки
становится равной -)-сс, а затем спадает при ^>0 как \/\г(.
В любой точке хфО температура стремится к нулю при (—>0 и чем
меньше (, тем резче выражен максимум колоколообразной кривой в точке д:=0.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ V
Упражнение V-!. 1°. Пусть / и § — две функции, определенные на
и принадлежащие и. Показать, что свертка
Упражнения 241
также принадлежит 1} и что выполняется неравенство
2°. Показать непосредственно, что
Упражнение У-2. 1°. Показать, что преобразование Фурье нечетного
(соответственно четного) распределения есть нечетное (соответственно четное)
распределение.
2°. Найти все нечетные распределения, являющиеся решениями урии-
нения хТ = 1.
3°. Вывести отсюда преобразование Фурье распределения ур—.
X
• Упражнение У-3. Преобразовать по Фурье функцию
\х\ при |х| < 1,
О в остальных точках.
Проверить, что преобразование Фурье бесконечно дифференцируемо.
Упражнение У-4. Рассматривается умеренное распределение |х|.
1°. Вычислить 8"-х-1х|.
1
2°. Вывести отсюда, что а?(|х|) имеет вид А Рт -р- -)- Со, где А и С —
постоянные. Определить А.
3". Вычислить -т— (ур —). Вывести отсюда <&~ (Рт —И и получить затем
ах \ х ] \ х }
постоянную С.
Здесь используется преобразование о? 1ур— , найденное в упражне-
\ . V х)
нии У-2.)
Упражнение У-5. Показать, что если преобразование Фурье распреде-
со
ления Т^&" имеет вид &~\Т\= 2 С/Ав)' т0 распределение Т перио-
П - - ио
дично, а числа с„ являются его коэффициентами Фурье.
Упражнение У-6. (Новое доказательство формулы ^"\=Ь.) Про-
Пространство &" снабжается следующей топологией: говорят, что распреде-
распределение ТА, зависящее от параметра А, стремится в $" к распределению Т
при А->оо, если {ТА, ср)->(Г, ср), при А^оо, для любой функции <р из &к
16 Л. Шварц
242 Гл. V. Преобразование Фурье ■
а) Показать, что если ТА-*Т и &", то <3ГТА-><&'Т в &".
Ь) Рассмотреть распределение
| 1 при |х| < А,
А 1 0 в остальных точках.
Вычислить <^ГТд.
с) Показать, что Гл—>-1 в &"', когда Л-*сю, и что распределение <&ТА,
вычисленное в пункте Ь), стремится к? в пространстве &". Вывести отсюда
формулу <&~\ = о.
Упражнение V-"/'. (Письменный экзамен, Париж, 1959.)
Первый вопрос.
Каковы образы Фурье следующих функций и распределений на прямой:
3(а)—единичная масса в точке с абсциссой а?
е2Ых< е-2(М1 СО5 2-Х, 51П21ТХ?1)
Рассматривается следующая функция:
соз 2пх 81п
I
Она определена при хфО. Показать, что при х^О она имеет предел,
и вычислить этот предел.
Положим
Чему равен образ Фурье Ох функции
Вывести отсюда, что образ Фурье С(Х) функции / удовлетворяет неко-
некоторому дифференциальному уравнению, и выписать это уравнение.
Второй вопрос.
Показать, что существует решение С0(Х) этого дифференциального
уравнения, которое является функцией от X, обращающейся в нуль вне интер-
интервала (— 1, 1). Каково общее решение этого дифференциального уравнения?
Используя тот факт, что С0(Х) имеет ограниченный носитель и что /(х)
является функцией, показать, что обязательно С(Х) — С0(Х).
Написать для / (х) и С(Х) обратную формулу Фурье. Произвести прямое
вычисление интеграла, дающего г&~С(к), и восстановить, таким образом, /(х).
') Здесь используется предыдущий результат и формула двойственности Фурье.
Упражнения ОД)
Третий вопрос.
Рассматривается функция Г(Х), равная С(Х) в интервале (—1, {--1)
и продолженная вне этого интервала как периодическая функция с периодом 2.
Показать, что предыдущие вычисления автоматически дают ее коэффициенты
Фурье; написать ее ряд Фурье; установить, что он является сходящимся
со
Записав его сумму при Х=1, вычислить сумму ряда 2>—2-
я=1
Упражнение У-8. Напомним, что если произведение двух целых голо»
морфных функций С/(к) и V (X) комплексного переменного X равно нулю, то
по меньшей мере одна из этих двух функций равна нулю. Используя »то
свойство, показать, что если 5 и Т—два распределения с ограниченными
носителями на прямой /? (т. е. если 5 и 7"^®') и если 8 и Т удовлет-
удовлетворяют соотношению
5*7 = 0,
то по меньшей мере одно из этих распределений 5 или Т равно нулю. Это
утверждение становится, естественно, ложным, если хотя бы одно из этих
двух распределений не принадлежит &'.
Пример: пусть 8=\^3'; Т = Ъ'€&', тогда 8 + Т = 0.
Упражнение У-9. Рассмотрим прямую /?. Обозначим через /У1 про-
пространство функций /, которые принадлежат Ц1 вместе со своей первой про-
производной -р- (в смысле теории распределений). Снабдим это пространство
скалярным произведением
1) Показать, что И\ снабженное скалярным произведением A), является
пространством Гильберта.
Обозначим через || _ |1 х норму, определяемую скалярным произведением A),
2) Доказать следующий результат: для того чтобы умеренное распреде-
распределение / принадлежало И1, необходимо и достаточно, чтобы
где через /(X) обозначено преобразование Фурье от /.
3) Для / ^ Н' положим
Показать, что нормы у.;^ и ||| • ||| 1 эквивалентны в И1.
16*
244 Гл. V. Преобразование Фурье
Упражнение У-10. Пусть 3~1} — распределение от переменного у —
= (У1, у2 Уп)—обозначает преобразован!:.■ Фурье распределения V от
переменного х = (х:, х2, •■•, хп). Положим
Установить формулу
[гЧ ГF/2)
К }
где к — вещественное число, я/2 <&<«(«— число координат). Решение
задачи начинается с доказательства того, что <^"(г~*) пропорционально р-*л-*>.
Затем используется равенство
с / = г~* и с подходяще выбранной из & функцией §. Что происходит
при к^п/27
Дать простое выражение для <^~(г2Р), р^О.
Предположим теперь, что я=1. Примем без доказательства формулу
(С + 1г2«)8, B)
где С — постоянная Эйлера, а Р1A/|у|) — распределение, определяемое ра-
равенством
со О
35. (Сравните с упражнением II-14.)
Получить из формулы B) выражения для преобразований
), «У (К (*)
где У (х)—функция Хевисайда; т — целое >-1.
Упражнение У-11. Полином Эрмита Нт(х) при целом неотрицатель-
неотрицательном т определяется равенством
• A)
Функция Эрмита &вт{х) — равенством
Зет(х) = Нт{х)е-™\ B)
Упражнения 246
Первый вопрос.
а) Вычислить Нп(х), Нх(х), Н2(х), Н3(х).
Ь) Используя равенство
^ кхе~2пх' == О,
показать, что при т ^- 1 выполняется соотношение
4 *вгг (е-*-5) = 0.
Вывести отсюда рекуррентные формулы:
^Ня(*)=2/^йя.,(х) ■ C)
т_, (х) = 0. D)
с) Показать, что #т@) равно нулю при нечетном т и что при четном т,
т=2п, справедливо равенство
Второй вопрос.
а) Показать, что е$т{х)—элемент пространства & быстро убывающих
функций. Показать, что
/( 0, если р Ф а,
&ер(х)&ед(х)ах = { , (б)
4 1, если р — а.
— оо
Ь) Напомним, что преобразование Фурье <&~ \/(х)\ функции / опреде-
определяется равенством
00
ЗГ [/(х)] =
Показать, что
«^ [«-«"] = «-«",
и вывести отсюда, что
<&~1$ет(хI = (—\Г30т(х). G)
Третий вопрос. ■>
Пусть Т — умеренное распределение. Разложением Т по функциям Эрмитп
называют ряд
: ' 2 а
246 Гл. V. Преобразование Фурье
где
ап{Т) = (т.зет). ■
а) Написать разложение меры Дирака 5 но функциям Эрмита.
Ь) Рассмотрим преобразования $+ и $ _ умеренного распределения Т:
^ ■ (8)
^ (9)
Преобразования (8) и (9) определены, в частности, для любой функции
из пространства &'. Используя формулы C) и D), показать, что
^(^=2/™^., при /»>1.
':: ^ У при т>0.
Показать, что разложение о по функциям Эрмита, найденное ранее, схо-
сходится в &' к некоторому распределению 5, вычислить <7*+ E) и $'_ C) и
вывести отсюда, что 5 имеет вид С&. Используя формулы F), показать,
что С= 1.
с) Получить отсюда значение интеграла
/
используя равенство G).
Упражнение У-12. Обозначим через (С) конус
V2*2 — х2>0, ^>0,
на плоскости (л:, (); V. — данная константа.
Обозначим через Ех(() распределение, равное ю/2 внутри конуса и рав-
равное 0 вне него.
1°. Вычислить преобразование Фурье Е}(() распределения Ех{1) по х
при фиксированном I.
2°. Найти умеренное элементарное решение для оператора
1 д2 д2
'у2' дгг дх2 '
используя преобразование Фурье но одному переменному х.
Сравнить результат с результатом упражнения П-20.
Г Л А В А VI
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
§ /. Преобразование Лапласа от функций
Преобразованием Лапласа называют преобразование, которое псикой
комплекснозначной локально суммируемой функции /(^) вещественного пере-
переменного (, равной нулю при ( < 0 и подчиненной, кроме того, подходящим
условиям, ставит в соответствие голоморфную функцию Р (р) комплексного
переменного р, определяемую интегралом
оо
^ (/>) = / /@ «-"<"• (VI, 1;1)
о
Это соотношение записывают так:
/Ц)=>Р(Р). (VI, 1; 2)
функцию / (() называют оригиналом, функцию Р(р)—изображением. Инте-
Интеграл (VI, 1; 1) называют интегралом Лапласа.
Модуль функции /.(*)е~Р' равен \/A)\е^1, если
Абсщисса^абсолютной р==^ + 1^ Таким образом, суммируемость (или
абсолютная сходимость) интеграла (VI, 1; 1) занисит
только от вещественной части 5 переменного р.
Предложение 1. Если интеграл (VI, 1; 1) при с = ?0 суммируем,
то он будет суммируем при \ ^ ^0 и притом равномерно по р.
В самом деле, |/(/)| е~к! ^ | /{() | е~е"' при 5>5О-
Вывод. Существует такое вещественное число а (произвольного
знака), что. при !; > а интеграл (VI, 1; 1) суммируем, а при $ <. а не
суммируем.
В самом деле, обозначим через а нижнюю грань чисел с, для которых
функция \/(()\е~У суммируема. Если ? > а, то по определению числа а
существует такое число ^0, лежащее между аи?, что функция /(()е '■"'
суммируема, а следовательно, суммируема и \/A)\е~У в силу предложении 1.
Гл. VI. Преобразование Лапласа
Пусть теперь \ < а, и пусть ^ лежит между $ и а. Если бы функция |/(/)( е~^
была суммируемой, то в силу предложения 1 функция |/@|*~Е'' также
была бы суммируемой, что противоречило бы определению числа а. В итоге
число а определяется сечением между теми %, при которых интеграл (VI, 1; 1)
суммируем, и теми 5, при которых он не суммируем.
Заметим, что при к = а интеграл может быть как суммируемым, так и
но суммируемым.
Число а называется абсциссой суммируемости, или абсолютной
сходимости, интеграла Лапласа. Область * > а называется областью
суммируемости интеграла Лапласа.
Если а = — со, то интеграл (VI, 1; 1) суммируем при любом (комплекс-
пом) значении р; если же, напротив, а = -\-эо, то интеграл (VI, 1; 1) ни при
каком р не суммируем.
Предложение 2. Если функция / локально суммируема и удо-
удовлетворяет при /;>^0^0 оценке
\/(*)\4.Ае". (VI. 1;3)
где Л>0, к— вещественное число {произвольного знача), то абсцисса
суммируемости а не превосходит к, а^.к.
]Мы должны показать, что при \~> к интеграл (VI, 1; 1) суммируем.
При 1^{0 выполняется оценка
|/@\е-и С Ае-Ь-* К (VI, 1;4)
правая часть которой суммируема, поскольку \—к > 0. Поэтому функ-
функция \/({)\е-^ суммируема на луче от ^0 до -(-со. Но она суммируема и на'
отрезке от 0 до ?0, поскольку функция / локально суммируема. Таким
образом, функция |/@1е' суммируема на луче 0 до -|-сО' что и требова-
требовалось доказать.
В частности, если / ограничена, то абсцисса суммируемости а неполо-
неположительна (а < 0), иначе, говоря, интеграл (VI, 1; 1) суммируем при к > 0.
Если функция / локально суммируема и имеет компактный носитель
(при этом функция / будет просто суммируемой), то приведенная выше
оценка справедлива при любом к (и даже с Л —0), когда (^> @, где @
достаточно большое число. Следовательно, а = — со и функция Р (р) опре-
определена при любом р. Вообще это явление будет наблюдаться, если при
любом к < 0 функция / допускает оценку (VI, 1; 3) при достаточно больших (.
Например, абсцисса суммируемости для
/ф = К (*)е-" (VI. 1; 5)
равна — со.
$ /. Преобразование Лапласа от функций 249
Напротив, для функции
/ (О = V @ «** (VI, 1; 6)
интеграл (VI. 1; 1) никогда не является суммируемым, а = + со.
Предложение 3. Если а— абсцисса суммируемости интеграла
Лапласа от функции /, то функция Р {р) голоморфна при I > а.
В области I > а справедливы равенства
§ гуе-р'^. (VI, 1; 7)
о
Иначе говоря,
(-0я7@=>/7(Я1H>). . (VI. 1; 8)
Абсцисса суммируемости интеграла Лапласа для функции
(—()т/У) совпадает с абсциссой суммируемости для функции /(/).
Докажем сначала последнюю часть теоремы. Поскольку / всегда предпола-
предполагается локально суммируемой, достаточно рассуждать при 1~^\\ при этих (
степень 1т также ^-1, и поэтому из суммируемости функции (—1)т/(()е~и
вытекает суммируемость /(()е~^. Иначе говоря, абсцисса суммируемости для
функции (—г)т } (г) не меньше а.
Напротив, при любом г > 0 для достаточно больших ( выполняется
неравенство гт .ег1, следовательно, |(— ()т /(()\ е-'1 < |/@|«~а'е)' Д-'Ш
достаточно больших г; при %—г > а, т. е. при ^>а-)-е, последняя функ-
функция суммируема, а, значит, абсцисса суммируемости для (—1)т / (() не прево-
превосходит а -\- г. Поскольку е > 0 — произвольно, эта абсцисса не превосходит а
Из двух установленных неравенств заключаем, что эта абсцисса равна а.
После этого первая часть теоремы становится очевидной, ибо мы имеем право
дифференцировать по р интеграл (VI, 1; 1), задающий функцию Р(р), под
знаком I , если продифференцированный интеграл равномерно суммируем.
Но как раз эта равномерная суммируемость и имеет место при % > а. Отсюда
мы получаем формулу (VI, 1,7), равносильную (VI, 1; 8). Функция Р(р)
голоморфна при % > а, поскольку в этой области она дифференцируема
по комплексному переменному р.
На практике попадаются интересные случаи, когда интеграл Лапласа
сходится, но не суммируется (т. е. условно сходится). Однако мы не будом
заниматься здесь этими случаями.
250 Гл. VI. Преобразование Лапласа
§ 2. Преобразование Лапласа от распределений
1. Определение. Если изменить функцию / на множестве меры нуль,
то ее интеграл Лапласа Р(р) не изменится. Таким образом, в действитель-
действительности функция Р (р) сопоставляется классу функций /, т. е. Р(р) сопоста-
сопоставляется распределению, задаваемому локально суммируемой функцией /.
Пусть, в общем случае, Т — распределение на вещественной оси перемен-
переменного I с носителем, лежащим на луче ^^0. Иными словами, пусть Т^.3)+-
Пусть, кроме того, существует такое число $0, что при \ > 50 распределе-
распределение е~^1Т принадлежит &". Тогда Т обладает преобразованием Лапласа
3>(р) = {Т.е-р1). (VI, 2; 1)
определенным при \ > $0. В самом деле, пусть а G) — бесконечно дифферен-
дифференцируемая функция с ограниченным слева носителем, равная 1 в окрестности
носителя Т. При $ > ;0 выберем число ^, удовлетворяющее неравенствам
^о < ^1 < &• Тогда е-Ь'Т^A7" и л^)е-^-^е^ & и, следовательно, выражение
(е-Ь'Т, т.({)е-<Р-^1)
имеет смысл. Это выражение не зависит от $,; по определению, оно и дает
нам форму (Г, е~р().
Заметим, что определение (VI, 2; I) является разумным обобщением опре-
определения (VI, 1; 1). Мы были вынуждены наложить на Т некоторые ограниче-
ограничения, ибо хотя функция е~р1 и является бесконечно дифференцируемой по (,
ее носитель не ограничен, так что правая часть равенства (VI, 2; 1) не имеет
смысла, когда Т — произвольное распределение.
Можно доказать, что д1(р) будет голоморфной функцией от р при % > Чо
и что снова
(/>)• (VI. 2; 2)
Преобразование Лапласа, разумеется, линейно: если 8^о/'{р) при ; > Ь1
и Т=>^(р) при ; > Ь2, то 5+ Т^ЗоУ (/?) + (/(Р) ПРИ &>тах(&,, Ь2) и
>81^' при $> 6,,.
2. Примеры преобразований Лапласа. 1) Справедливы формулы
8=1.
/?т, т целое >0,
(VI, 2; 3)
Эти формулы сразу же вытекают из определения (VI, 2; 1). Они справедливы
при любом р, потому что речь идет о распределениях с ограниченным
носителем.
§ 2. Преобразование Лапласа от распределений ' 251
2) Пусть Т—распределение, образованное массами Сп {п = 0, 1, 2, ■ . ,)
в точках с целочисленными абсциссами 0, 1, 2
Тогда соотношение
приводит к соотношению
ОО ОО
2 СЛ-„=> 2 <:„«-"'. (VI. 2; 4)
Положим е~р = 7., при этом правая часть запишется в виде
со
2 спг"- ' (VI. 2; б)
п = 0
Мы видим, таким образом, что сходящийся степенной ряд является, с точ»
ностью до замены переменного, некоторым преобразованием Лапласа. Облисть
определения преобразования Лапласа, которая была полуплоскостью, превра-
превращается при этой замене переменного в круг сходимости.
3) К(/)=5- при
при
К (О в"——з ^ а>0, при
Г (а) (р-\)" Р
(VI. 2; б)
Ветвь функции (р—XO в полуплоскости ^>Ке^ выбирается так, чтобы
она была вещественной положительной при вещественных положительных
значениях р —X и непрерывной при $>КеХ.
Вторая из формул (VI, 2; 3) и третья из формул (VI, 2; 6) с целым о
позволяют найти оригинал для любой рациональной дроби Р(р)/B(р) от р
путем разложения этой дроби на элементарные.
Стоит заметить, что к § 2 гл. III мы обозначили буквой р распределе-
распределение 8', а под выражением \/(р—ХУ при целом а понимали функцию
V (I) еи Там р было просто буквой, обозначающей 8'.
1 (а)
Здесь наша точка зрения иная. Распределение о имеет изображением
Лапласа функцию р, а распределение V (?) еи ■ г ■ имеет изображением функ-
функцию \/(р — X)" как голоморфную функцию комплексного переменного р.
Однако использование этого остается прежним: свертывание и умножение.
252 • Гл. VI. Преобразование Лапласа
Докажем, например, вторую из формул (VI, 2; 6). Пусть
. . со
(VI, 2; 7)
Этот интеграл суммируем в окрестности точки ^ = 0, поскольку а > 0.
Он суммируем на бесконечности при % > 0 и не суммируем при ' ^ 0; ока-
оказывается, что полуплоскость голоморфности функции Р(р) не шире, чем
полуплоскость суммируемости, поскольку у Р(р) существует особенность
в точке р = 0.
Если р вещественно, р = ?, то замена переменного И=и сразу же
дает результат
оо
Если же р комплексно, то заметим, что Р{р) должна быть голоморфной
функцией р при с>0 и что эта функция должна равняться —~—~ ПРИ
ра ;°
вещественном р = 1\ таким образом, она должна совпадать с указанной
ветвью функции I//?7. Это можно увидеть и непосредственно.
Та же самая замена переменного р( = и перемещает путь интегрирова-
интегрирования в комплексную плоскость; если обозначить буквой 6 аргумент числа р, то
е'9-оо
/ '""«*"'*"• (VI, 2; 9)
Легко проверяется, что интеграл
/ =Ит /
можно заменить интегралом
с А е'®А оо
Нт Г + Пт С -\- Нт Г = Г
г->-0 ." =->~и Л->-со ■ "
так что снова
Г е-"и"-] аи —1\а) г (VI, 2; 10)
2. Преобразование Лапласа от распределений
253
^(/») = -Т. (VI, 2; 11)
Входящая сюда ветвь функции р" возникает в результате замены перемен-
переменного; она такова, что число рае* — и" должно иметь аргумент, равный аО,
Рис. VI,!.
>а IV»
и, значит, само число р" должно иметь этот аргумент аб : р" = | р \"е '; та-
таким образом, в полуплоскости % > 0 эта ветвь снова совпадает по непре-
непрерывности с ветвью, которая вещественна и положительна при вещественном
положительном р {р = Ч > 0).
Положим, в частности, а=1, \== ±.Ы.
Тогда
1 ,.. Л
„'<"'.
У(*)е
1
Откуда
р
1фИ
0.
при Е>0,
при \ > 0.
4) Мы хотим доказать формулу
(VI. 2; 12)
(VI. 2; 13)
(VI. 2; 14)
где ^^(() — функция Бесселя; ветвь функции
254 Гл. VI. Преобразование Лапласа
выбирается так, чтобы в полуплоскости голоморфности \ > О она изменялась
непрерывно и принимала вещественное положительное значение при вещест-
вещественном положительном /?(/? = ?>0).
Мы должны вычислить интеграл
^У)е-*<Н. (VI, 2; 15)
Известно, что при (^-0 функция ^0(^) не превосходит 1, и, значит, этот
интеграл заведомо сумммируем при $ > 0. В силу асимптотического равенства
(VI, 2; 16)
*
этот интеграл не суммируем при $ = 0'). Впрочем, полуплоскость голоморф-
голоморфности не превышает полуплоскости суммируемости \ > 0, как это показывает
наличие особенностей у функции Р(р) в точках р = ±/.
Воспользуемся, например, разложением ^0({) в ряд:
Проинтегрируем ряд, задающий Р{р), почленно, предполагая, что мы имеем
право это сделать. Тогда
р(о)— V (~1)т Г рте-1»еи— У (~1)И
г(Р)— 2а (т!J22'« ^ Г ' аТ~ 2и (т!J22т
Bт)!
= 2
(т!J
у 1-3-5. ...■ Bт-1) (- \)т _ у „. .
2^ 2-4.6. ...-Bт) р^Г= (VI, 2, 18)
.2 ']- 2 '
Последний ряд является биномиальным; он сходится при |р|>1; сворачи-
сворачивая его в бином при этих значениях р, получаем
при указанном выборе ветви.
') Хотя и условно сходится. — Прим. перев.
$ 2 Преобразование Лапласа от распределений
Эта выкладка будет законной, если мы получим конечную величину, ян-
менив члены ряда -^—га~(■о') е~р1 их модулями -.—Гч2~\2") е~^(• Но исдь
при X > 1 мы действительно получаем конечную величину
V _1 1р!!)._1 у ("г-И-т-^-Н-"^1) ( 1 у
(т!J
т = 0 т = 0
(VI, 2; 20)
равную 1/^А2 — 1 .
Следовательно, формула (VI, 2; 14) верна при !• !> 1.
Однако рассматриваемый интеграл Лапласа в действительности суммируем
при ; > 0; поэтому он должен быть голоморфной функцией от р при 5 > 0,
равной - при ? > 1; но ведь эта последняя функция также голоморфнн
при ; > 0, и, следовательно, формула (VI, 2; 14) справедлива при $> 0, хотя
выкладки, которыми она получена, теряют силу при 0<;^1.
5) Если /(()=>Р(р), то
/7(|) Х>0 (VI, 2; 21)
3. Преобразование Лапласа и свертка. Пусть 5 и Г — два распределении
из 35^, имеющие преобразования Лапласа при \ > Ьх и \ > Ь%.
Тогда
= {8, е-Р<)
при X > тах(&!, Ь2).
Отсюда мы получаем
E.7, е-Р') = {8х&Ту, е-Р{Х^)) = {Зх®Ту, е~пхе-РУ)^=
= {3Х, е-Р*){Ту. е-РУ) (VI, 2; 23)
или •
8*Т^&(р)ЗГ(р). (VI, 2; 24)
Итак,
Предложение 4. Сверпка 8*Т имеет преобраздвание Лапласа
при \ ■> Ь ==• тах (Ь^, Ь2)> равное произведению преобразований Лапласа
распределений 8 и Т.
Эта теорема была получена еще в гл. III [см. формулу (III, 2; 29)], когда
5 и Г имели ограниченные носители (и, значит, &1 = &2== — со).
256 Гл. VI. Преобразование Лапласа
Вывод. Если Т^Р(р), то
Т<т>=>ртР(р). (VI, 2; 25)
В самом деле, Т{т)=Т*Ь{т) и Ь(т)=>рт. Со сверткой Г*&(т* надо соблю-
соблюдать осторожность, если Т—функция, то дифференцировать Т надо в смысле
теории распределений.
Примеры.
1) Имеем У(()^ — . Тогда К'зр • — = 1, и действительно У = Ъ, 8з1.
2) Вернемся к формулам (VI, 2; 13). Имеем
Из этой формулы получаем
откуда
Аналогично дифференцируя эту последнюю формулу, получаем
(К (() СО5 ш*)' = ^
откуда вновь находим
У((M\п(= \\ ГЕ1
2 4-
Заметим дополнительно, что
(8"+ш2§)*Ки)-^- = 5 (VI, 2; 26)
и в согласии с этим-
<Р2+'»2)--^Р?=1- (VI, 2; 27)
! 3) Тот факт, что 8 является единицей для свертки, находится в связи
с тем фактом, что 1 является единицей для умножения.
4) Известно, что
(VI. 2; 28)
]см. формулу (III, 2; 11)].
$ 2. Преобразование Лапласа от распределений 257
Если сделать преобразование Лапласа и учесть последнюю из формул
(VI, 2; 6), то получится соотношение
р — 1
которое на самом деле очевидно.
Ниже мы увидим, как, напротив, можно получить формулу (VI, 2; 28)
из очевидного соотношения (VI, 2; 29).
4. Преобразования Фурье и Лапласа. Обращение преобразования
Лапласа. Рассмотрим снова случай функции /(()• Имеем
оо
Р F + /т,) — / (/ V) е-** )е- 'V аи (VI, 2; 30)
о
Мы видим, что при фиксированном \ функция /7(<--т-/т|), рассматриваемая как
функция переменного т), является преобразованием Фурье функции /@*"*'«
Таким образом, преобразование Лапласа эквивалентно семейству преобразо-
преобразований Фурье, семейству образов Фурье функций /(()е~^( при ; > а. Из ЭТОГО
факта вытекает большое число следствий.
1) Он позволяет вычислять преобразования Фурье, отправляясь от пре-
преобразований Лапласа, которые легче поддаются вычислению, поскольку в них
участвуют голоморфные функции.
Например, из формулы (VI, 2; 14) вытекает, что преобразованием Фуры1
функции
V A)^A) е-*, ?>0, (VI. 2; 31)
служит функция
1 _ (VI, 2; 32)
Мы видим, что этот результат справедлив при % > 0, в то время как при дока-
доказательстве формулы (V, 2; 14) мы видели, что прямое вычисление дает ЭТОТ
результат только при !• > 1; именно свойства голоморфных функций позво-
позволили нам перейти к \ > 0. Можно было бы пойти дальше и переходом к пре-
пределу (в пространстве распределений) при \—>0 получить отсюда преобразо-
преобразование Фурье умеренного распределения V({)^о(().
2) Если изображение по Лапласу функции / (() тождественно равно
нулю при % > а, то функция /(() почти всюду равна нулю (равна
нулю как распределение).
В самом деле, если образ Фурье функции /(()е-и равен нулю, то сама
эта функция равна нулю почти всюду, а значит, и / (() равна нулю почти
всюду.
17 Л Шварц
258 Гл. VI. Преобразование Лапласа
Отсюда вытекает, что голоморфная функция никогда не имеет более чем
один оригинал.
Мы примем без доказательства, что этот результат остается справедли-
справедливым для распределений: если преобразование Лапласа $(р) распреде-
распределения Т равно нулю при I > Ь, то распределение Т равно нулю.
3) Из формулы обращения преобразокания Фурье вытекает формула обра-
обращения преобразования Лапласа:
со
/(Г,е-^ = -1- ^ /=■(? +1^ е"< йг\. (VI, 2; 33)
— ОС
Эта серия формул, соответствующих различным значениям \ > а, должна да-
давать одну и ту же функцию / ((). Впрочем,
^Г [ 'а-ц (VI, 2; 34)
— со
ИЛИ
Е + (со
/ р. (VI. 2; 35)
Эта формула является основной; мы собираемся показать, при каком условии
она справедлива.
Предложение 5. Для того чтобы голоморфная функция $(р)
была преобразованием Лапласа некоторого распределения Т{^3> + ,
необходимо и достаточно, чтобы <Т(/0 существовала в некоторой по-
полуплоскости 5 > с и мажорировалась по модулю в этой полуплоскости
некоторым полиномом от \р\-
1) Условие необходимо. Мы не собираемся это доказывать. За-
Заметим только, что если Т является функцией /, а число а—абсциссой сум-
суммируемости ее интеграла Лапласа, то функция / (() е~*1 суммируема при 5= с > а,
причем выполняется оценка
\Г(Р)\ С
о
при \^с. Функция Р(р) ограничена по модулю константой С.
Пусть теперь распределение Т является производной (в смысле теории
распределений) порядка т от некоторой функции /. Тогда
^(р)=ртГ(р) (VI, 2; 37)
и, значит,
|7()| <С|рГ. при ^>с.
2. Преобразование Лапласа от распределений
Заметим также, что производной о^ш) соответствует функция р, подчиняю»
щаяся оценке того же типа; впрочем, это — частный случай предыдущего,
ибо 8(т; является производной порядка ш -+- 1 от V.
Заметим, наконец, что именно так и дается доказательство в общем слу-
случае; доказывают, что если распределение Т имеет преобразование Лапласа,
то Т является производной /т) от некоторой функции /, абсцисса сумми»
руемости которой < -)- со.
2) Условие достаточно. Сначала мы рассмотрим частный слушй!,
предположим, что модуль |<Т(р)| ограничен при ?>с>0 и что он стре-
стремится к 0 при |р|->:хэ, как \/\р\2- Тогда произведение \р\2Ц'(р)\ огра-
ограничено при ^ > с, т. е. существует такая постоянная С, что
1<7Ч/>I <-|||т при $>с. (VI, 2; 38),
Это неравенство можно переписать в видг
^ >с. (VI, 2; 3»)
Теперь мы можем вычислить интеграл (VI, 2; 35):
р1ар. 1>с. (VI. 2; 40)
Этот интеграл имеет смысл при фиксированных \ и I, ибо модуль \е'ч\ ^
= \е(-г+'^'\ =е"-' не зависит от т. а функция С7Ч^ + Ь)) в силу оценки
(VI, 2; 39) суммируема по ~г\ в пределах от —со до -(-со.
Кроме того, этот интеграл не зависит от выбора \. В самом деле, если
взять два значения ^ и $2, $, > \2, то
С - С = Пт Г ~ Г =Чт Г - Г (VI, 2; 41)
(по теореме Коши; см. рис. VI, 2).
Но ведь последняя разность интегралов, стоящая в скобках, стремится
к нулю, ибо каждый из этих двух интегралов подчиняется оценке
1-+1А
правая часть которой стремится к 0 при А—>оо.
17*
260
Гл. VI. Преобразование Лапласа
Запишем равенство (VI, 2; 40) в виде
(VI, 2; 43)
Этот интеграл представляет собой преобразование Фурье <^~ (по т)) от
суммируемой функции (^(?+G/)- Поэтому возникающая функция &/A)
Рис. VI, 2.
непрерывна, значит, непрерывна и функция /(^). Известно, что при этом функ-
функция <Т(?+'71) будет преобразованием Фурье <3~ от функции е-1'/((); соот-
соответствующую формулу надо понимать в смысле преобразования Фурье
умеренных распределений. Однако если известно, что /@*~у суммируема,
то и в обычном смысле теории функций
или
(VI, 2; 44)
(VI, 2; 45)
2. Преобразование Лапласа от распределений 261
Покажем, что / (() равна нулю при К 0 и что /(()е^1 заведомо суммируема
при % > с. Из равенства (VI, 2; 43) получаем оценку
^г^^тг-. (VI. 2; 46)
которая справедлива при любом' \ > с. Если / < О, то при ^—>оо экспо-
экспонента еУ = е-е'/| стремится к 0 и, значит, /(() равна нулю. Если же I > О,
то минимум экспоненты ее' при \ > с равен ес' и, значит,
|/(ОК^-Св". (VI, 2; 47)
Таким образом, |/(*)*~у| < ^"Се~("~с)'- т- е- Функция /Ц)е~и зани-
домо суммируема при $ > с. Поэтому формула (VI, 2; 45) справедлиш»,
а поскольку /(^) = 0 при ^ < 0, эта формула принимает вид
при с>с. (VI. 2; 48)
Итак, функция $(р) действительно является преобразованием Лапласа
при $ > с. Кроме того, функция / непрерывна и удовлетворяет оценке (VI, 2; 47).
Вернемся теперь к общему случаю.
Пусть Лр) — функция, голоморфная при ^>с>0 и не превосходящая
по модулю некоторого полинома от \р\ степени т. Тогда функция
(р\ (VI, 2; 40)
р
будет удовлетворять оценке типа (VI, 2; 38). Поэтому существует непрерыв-
непрерывная функция / (() (с абсциссой суммируемости < с), преобразованием Лапласп
которой служит функция (VI, 2; 49). Но тогда, согласно выводу из пред-
предложения 4, распределение
\т+2
) / (VI, 2; 50)
(где производные берутся в смысле теории распределений) Гудет иметь своим
преобразованием Лапласа функцию $ (р) при \ > с. Что и требовалось до-
доказать.
Пример. Пусть надо найти этим процессом оригинал функции ^(р) — 1.
Эта функция, конечно, голоморфна при любом р и оценивается по модули»
полиномом нулевой степени от \р\..
262
Гл. VI. Преобразование Лапласа
; Выберем с > 0. Тогда функция \/р2 при 5 > с будет удовлетворять
оценке (VI, 2; 38) с С=1. Поэтому I//?2 является преобразованием Лапласа
некоторой непрерывной функции, обращающейся в нуль при I < 0. Эту
функцию можно найти с помощью интеграла
Ограничимся сразу же случаем С^>0, поскольку /(^) = 0 при ( < 0. Заменим
этот интеграл некоторым контурным интегралом. Присоединим к отрезку
Рис. VI, 3.
E — 1А, %-\-1А) полуокружность радиуса А с центром в точке $, располо-
расположенную слева от отрезка (см. рис. VI, 3). Ее длина равна тсЛ. На этой
полуокружности модуль \ер1/р2\ не превосходит е-'/(А—$J, а интеграл-по
этой полуокружности не превосходит . _е-2 , и, значит, он стремится к 0
«ри Л—>оо. (Точка \ фиксирована раз и навсегда.)
3. Приложения преобразования Лапласа 203
5 + /Д
Таким образом, предел интеграла I равен пределу интеграла но ком-
1-1А
туру Г, образованному отрезком и полуокружностью:
Этот интеграл равен вычету подинтегральной функции в точке р = О, умно-
женному на 2/и. В окрестности точки р=0 справедливо разложение
Поэтому вычет функции ер1/р2 в точке /? = 0 равен ^ и /(() = ( при
(Для того чтобы интеграл по полуокружности радиуса А с центром
в точке $ стремился к нулю при ( <^ 0, эту полуокружность следует выбирать
справа от прямой. Однако в этом случае внутри контура Г нет особенностей
1 г
подинтегральной функции. Поэтому /(() = -7р— \\т = 0.)
Окончательно:
(У(()^~ при $>0. (VI, 2; 64)
Впрочем, эту формулу мы уже знаем.
Формула (VI, 2; 50) дает в качестве оригинала для G'(р)=1 производную
) 3, (VI, 2; 55)
откуда получаем соответствие
8э1,
которое согласуется с тем, что мы уже знаем.
Этот результат, конечно, нельзя было бы получить, используя непосред-
непосредственно интеграл типа (VI, 2; 35), поскольку речь здесь идет не о функции
/ ((), определенной при всех Л а о некотором распределении.
§ 3. Приложения преобразования Лапласа.
Символическое исчисление
Существуют многочисленные табллцы оригиналов и изображений ПО
Лапласу. Использование этих таблиц в ту или другую сторону позволяет
решать многие задачи благодаря превращению свертки в умножение. Со*
вокупность этих операций носит название символического исчисления.
864 Гл. VI. Преобразование Лапласа
Приведем некоторые примеры.
1) Пусть надо вычислить свертку
/= к (*)•/„ (О* ПО ./„(О-
Имеем К(О-/0(/)=э1///>2Ч-1 [формула (VI, 2; 14)].
Поэтому изображением / является функция
р2+1'
а /, стало быть, служит ее оригиналом. Поэтому /@— У(()81п( [формула
(VI, 2; 13)].
Итак,
К (О Уо @* ^ ('К @=^@^;, (VI. 3; 1)
или, при I > О,
/ (VI, 3; 2)
При ^ < О это рассуждение не дает ничего интересного, поскольку все рас-
рассматриваемые функциии равны нулю. Однако формула (VI, 3; 2) остается
справедливой и при ^^0; чтобы убедиться в этом, достаточно сделать замену
Переменного х = — 6 и использовать четность функции Уо и нечетность синуса.
2) Пусть надо решить некоторое уравнение в свертках:
АхХ = В, А^3'+, В^3'+. (VI, 3; 3)
где А — известный коэффициент, В — данная правая часть, ъ. X — неизвестное.
(Известно, что к этому типу уравнений относятся дифференциальные
уравнения с постоянными коэффициентами и многие интегральные или инте-
гродифференциальпые уравнения; электрические цепи дают многочисленные
примеры уравнений в свертках.)
Предположим, что распределения А и В имеют изображения но Лапласу
Л (р) и 35 (р)- Если в алгебре 55+ существует решение и если оно имеет
изображение по Лапласу Ж{р), то
Щ Я(Р). (VI. 3; 4)
откуда
•Ж») = -§^р (VI, 3;-5)
Чтобы получить X, остается найти оригинал функции <Ш {рIЖ(р)- Если
Хотя бы одно из двух распределений А или В не имеет изображения по
§ 3. Приложения преобразования Лапласа 26A
Лапласу (т. е. абсцисса определения =-|-со1))) то этот метод не применим.
Если оба они имеют изображения, но частное <%(р)/о&(Р) не является пре-
преобразованием Лапласа, то этот метод ничего более не дает. Он показывает
только, что не существует решения X, которое имело бы изображение но
Лапласу, однако может существовать решение, не имеющее изображения по
Лапласу (абсцисса определения =-)-оо).
Если же, наконец, оба распределения А и В имеют изображения но
Лапласу и если частное $ (р)/о& (р) имеет оригинал X, то этот оригинал X
является решением, и притом единственным, поскольку известно, что уравне-
уравнение в свертках в алгебре 3+ никогда не имеет более одного решения (см.
гл. III, § 2, п. 3).
В частности, если распределение А имегт изображение, то элементарное
решение, т. е. элемент А" , обратный элементу А в сверточной алгебре 3 м
является оригиналом для функции \/сА.(р).
Например, пусть надо найти А~ для А== V (() Уо (<). Здесь Л{р)-= —
[см. формулу (VI, 2; 14)] и, значит,
1
(VI. 3; (>>
Эта функция голоморфна при ;>0 и мажорируется по модулю полиномом
от \р\ степени 1. Поэтому она является преобразованием Лапласа. Ее ориги-
оригинал находится сразу же, ибо
откуда
Е=(-ЩГ+1)уЮМП. (VI. 3; 7)
или
Е = (Ь" + 8)* У (() Уо (().
Впрочем, равенство Е * V(()^0(() = Ь легко проверить. Оно переписывается
в виде
и затем, если учесть соотношение (VI, 3; 1), в виде
') Под абсциссой определения автор понимает, по-видимому, минимальное число а,
такое, что при ? > а распределениее~геТ принадлежит <&". Преобразование Лапласа
3" (р) определено при 5 > а. — Прим. перец.
266 Гл. VI. Преобразование Лапласа
Последняя формула хорошо известна. Из дифференциального уравнения для Уо
с обычными производными
•/о + у./о + Уо = О (VI, 3; 8)
получаем
(эта функция регулярна в начале координат, ибо ^^ содержит / в качестве
множителя).
Но в окрестности точки I = О
поэтому
(К(О•/„(О Г = Г @-/о @+ 8'.
откуда
(^) ^1 (VI, 3; 10)
Вместо того чтобы проделывать эту выкладку, следовало бы найти этот
результат в таблицах. К несчастью, большинствэ таблиц содержит оригиналы,
которые являются функциями, и не содержит оригиналов, которые являлись бы
распределениями.
Из соотношений Е# У (() Уо (() = Ь и (VI, 3; 10) получаем равенство
Это равенство записывается в виде
) + 8 = 8 (VI, 3; 12)
и затем, если учесть, что ^о — — ^V в виде
11^1(). (VI, 3; 13)
Эту формулу можно легко проверить с помощью таблиц, ибо
(VI.'3; 14)
$ 3. Приложения преобразования Лапласа 297
При (~^> 0 она приводит к равенству
^-Ф.'У0 (* — т) йт = У, (*) (VI. 3: 16)
(которое, как показывает замена переменных т = —0, справедливо и при {.% 0).
Формула (VI, 3; 10) позволяет решить интегральное уравнение
0 (VI. 3; 10)
(где §• — данная правая часть, /—неизвестное решение). Решением служит
'(О (У1.3;17)
при условии, что $>' является функцией. Если ц' — распределение, то и
решение будет не функцией, а распределением.
Мы видим, что потеря члена 8' в формуле (VI, 3; 10) привела бы
к грубым ошибкам. Приведенные формулы показывают, насколько преобра-
преобразование Лапласа полезно в различных задачах со свертками в алгебре Зл .
Важное замечание. В таблицах преобразований Лапласа неяппо
подразумевается, что функции / (() равны нулю при I < 0. Значения этих
функций приводятся только при I > 0, а множитель V (() не пишется. Это
обстоятельство может привести к серьезным ошибкам, если не обратить
на пего внимания.
Например, в таблицах преобразований Лапласа приводится соотношение
1=у. (VI, 3; 18)
которое после дифференцирования лает абсурдный результат
0=э 1. (VI. 3; 19)
В действительности равенство (VI, 3; 18) означает, что
К(*)=э —, " (VI. 3; 20)
что при дифференцировании дает правильный результат
8=з 1. (VI. 3; 21)
268 Гл. VI. Преобразование Лапласа
—
2\1) 2
Упражнение. Пусть надо вычислить оригинал функции 1/(р2-\~1) 2,
Ке/? > О, V>— —, а именно оригинал той ее непрерывной ветви, которая
принимает вещественные положительные значения при вещественных поло*
жительных р. (Экзаменационные испытания, июнь, 1955.)
Известно, что
1 , , .,+1
^ + 2 (У1,3;22)
Р — 1
I
Поэтому искомый оригинал И^(() является сверткой
1 I
,-
,@= У«)е" -4 тт*У(*)е-" -4 гг. (VI. 3; 24)
или
Н (() = -.—;—^\ . ,2 { еп'—ле-н(г —х)^'1 й1. (VI, 3; 25)
(г (, + !)) !
Положим ч=ги, тогда
1 ,
" '" — " —~ Д N2 / е~2ии(A — и) и) 2 аи. (VI. 3; 26)
Этот интеграл напоминает интеграл, дающий функции Бесселя:
1 1
Л@= _ (</2)—т- Г е-"» A —-в2)*" «/г». (VI. 3-.27)
Чтобы перейти от иA—м) к 1—V2, достаточно положить и — (г>--|- 1)/2.
Тогда
3. Приложения преобразования Лапласа 268
т. е.
Г Ь-4-4-
Замечания. 1) При V = 0 снова получаем соотношение
(VI, 3; 30)
2) При V = -я- известно, что оригиналом для 2 . служит КA)81п/,
{Формула (VI, 2; 13).] Это согласуется с формулой
3) Когда V стремится к —-^ , функция I 2 ) 2 стремится к 1,
оставаясь равномерно ограниченной при 1?е/?^е>0.
Было бы легко получить отсюда со всей строгостью, что Н^(() стре-
стремится к 3. Покажем это непосредственно.
Известно, что функция ^V(() остается ограниченной при 0 < т| с ^ <С
<; А < со, а поскольку ГЬ-!--^—>оо, отсюда вытекает, что НчA) равно-
равномерно стремится к 0 при 0 < ?] <^ ( < А < со, когда V—> -^ .
Кроме того, при достаточно малом т{ функция ^V(^) остается неотрица«
тельной в интервале О^^^т]. Поэтому достаточно показать, что .
когда !(-> —1. (VI. 3; 31)
о
Пользуясь разложением функции ^^(() в ряд. можно написать для иге
в интервале (О, У]) равенство
где \е({, V)! < к("+1.
Г 1
Тогда интеграл I Се((, ч)й( остается ограниченным при V—*■ — -» ,
о
а поскольку Ги~|--я-)—>оо, соответствующий член в интеграле от Ич(()
270 Гл VI. Преобразование Лапласа
Стремится к нулю. Таким образом, остается предел
1|т] $НЧЦ)<Н= Ит1—; г^ {(~\М. (У1,3;33)
Но
4 ъ
Окончательно получаем
\\т Г Я, Ц)й( = 1. (VI. 3: 34)
1 •'
Ч. и т. д.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
Упражнение У1-1. Пусть а и Ь—два положительных числа. Пусть
Р(р) — изображение по Лапласу некоторой функции /((). Каково изобра-
изображение по Лапласу функции
/(а(—Ь) при (>Ь[а,
0 при ( < Ь/а.
Упражнение VI-2. Пусть функция /(() имеет изображением по Лапласу
функцию Р(р). Каковы изображения по Лапласу функций
в'/(О; / С05 ^^/(*)<**;
о
о
Упражнения 271
сЬ B
Упражнение \П-3. Выразить через изображение по Лапласу Р{р)
функции / {() изображения по Лапласу следующих функций:
со I
| Уо B Уп) / (х) ах и $^ B уу — х)х) / (х) ах.
о о
где ,/0 — функция Бесселя порядка 0.
Упражнение VI-4. Пусть функция /(О равна нулю при ^<0 и перио»
дична с периодом Т при I > 0. Показать, что ее изображение по Лапласу
дается формулой
о
Применение. Найти изображение по Лапласу функции, равной нулю
при КО и равной |зт*| при I > 0.
Упражнение VI-5. Пусть /(I) — функция, равная нулю при I < 0 и
имеющая изображение по Лапласу Г (р).
1°. Каковы изображения по Лапласу функций
/Ш, а>0; /@-1-1.
2°. Положим
О при I < О,
п при л < ^ < д -]- 1; п целое ^О.
Вычислить непосредственно преобразование Лапласа ^0(О функции /0(О«
Получить отсюда изображения функций /0(*/а) и /0(О+1-
3°. Вычислить свертки
&'*/о@; &'■*/о (*/«); 8'*(/о@ + 1)-
Выразить в каждом из этих случаев изображение свертки через соот-
соответственно изображения Р0(р), Рг(р) и Р2(Р) функций /0(О. /о(^/°) и
/0(О+1. Получить снова результаты п. 2°.
272 Гл. VI. Преобразование Лапласа
Упражнение VI-6. Пусть а > 0. Пусть функция /(^) равна нулю
при I < 0, а при I > О равна
4л, когда 4ла < I < Dл + 1) а,
_^4-4й-(-2, когда Dл -|- 1) а < * < Dл 4- 2) а,
О, когда Dл+ 2) а < / < Dл 4-4) а;
л —0, 1, 2
Г. Найти непосредственно изображение по Лапласу Р (р) функции / (().
Т. Вычислить %"*/(().
3°. Выразить изображение свертки через Р (р). Получить снова зна-
значение Р(р), найденное в п. Т.
Упражнение VI-7. Вычислить изображение по Лапласу функции /((),
равной нулю при Ь < 0, а при Ь > 0 равной
2й—1, когда л<г<л+1. п — 0, 1, 2, ...
Найти распределение Х^3'+, которое служит решением уравнения
Упражнение VI-8. Решить в алгебре 3+ систему уравнений в свертках
Г (х) е~х * Хг + Г (х) ^ (х) * Х2 = — К (х) (зш х + соз х) ~\- Ь,
Упражнение VI-9. Условимся раз и навсегда, что все функции от (,
участвующие в этой задаче, равны нулю при I < 0.
I. Функцией с периодическими итерациями порядка 2 называется функ-
функция ф(/?), которая удовлетворяет уравнению
ф [Ф(/?)] = /? при любом р. A)
а) Дать примеры подобных функций.
Ь) Пусть /(/?) — одно из решений уравнения A). Показать, что функция
<Р~' {/ 1?(РI) также будет решением при любой обратимой функции <р
с обратной ср.
II. Рассмотрим интегральное уравнение
оо
х)ах = §((), B)
Упражнения 273
где ] (,/) — неизвестная функция, а ядро К разлагается в ряд
К (х. () =
где 6" (/) определяется равенством
й" (*) = *"'(О
Ряд, определяющий /((х, /), равномерно сходится при всех значениях X
и ^ на полупрямой [0, со].
а) Показать, что преобразование Лапласа сводит решение уравнения B)
к решению функционального уравнения, имеющего вид
<р (р) ■+ /.р (/>) <р [<]« (р)] = 9 (р), C)
с неизвестной функцией <р(р).
Ь) Решить уравнение C), когда <Ь(р) имеет периодические операции по-
порядка 2. Можно показать, что этот случай будет иметь место, когда
К {г, х) = х~т{*^B УТх) с Ке^>—1, когда К{1. х) = С05 '2}_'х- и когм
к и т\ — 81п ^^
у х
с) Пользуясь этим, привести решение уравнения B) к виду
о
где функция й (() удовлетворяет уравнению
| 1:, х)а(х)йх
о
III. Решить уравнение
оо - ч
/ @ + * / <Т*~Л B
а) при X2 Ф 1,
Ь) при л= 1.
Ь Л. Шварц
274 Гл. VI. Преобразование Лапласа
[Можно показать, что общее решение функционального уравнения /()
= —тг / [— | имеет вид /E) = Л E)-|—тк\—\, где Л—произвольная функ-
ция. Отсюда можно найти вид, который должна иметь функция §(() для
того, чтобы уравнение B) имело в этом случае решение, и вид этого
решения.]
с) При Х = — 1.
IV. а) Показать, что если функция о(р) из уравнения C) удовлетворяет
соотношению
Р(/»)р[ф(Р)]=1. D)
то ядро К (^. х) является обратным самому себе, т. е. равенство
со
П({)= Г К {г, х)к(х)йх
о
эквивалентно равенству
со
^ , х)Н(х)йх.
Ь) Показать, что в этом случае значения Х= ±1 являются собственными
для уравнения B).
с) При Х = --)-1 уравнение B) имеет решение, только если функция 9 (р)
служит решением некоторого уравнения (которое можно преобразовать в
уравнение относительно §■(/)). Получить отсюда решения уравнения B) в
этом случае.
Упражнение У1-10. (Париж, 1958.) I. Пусть функция Г определена
бесконечным произведением
где 1с — постоянная Эйлера, равная пределу 11т |1 -)- — ~{- ... -| — ]§ т).
Предлагается получить формулу Стирлинга при помощи преобразования Лап-
Лапласа. Положим
-Г(гГ
Используя произведение A), разложить функции $(г) и <]>'(%) в ряды; вы-
вычислить ф(т) ПРИ целом т^-1 и предел Пт (ф (/я) — 1§'т)-
Упражнения 275
Первый вопрос.
Вспомнить, без доказательства, изображение по Лапласу функции
,а-1
,,, , , а > 0, где У(() — функция Хевисайда. Пусть / (О — функций,
которая равна нулю при ( < 0, непрерывна и ограничена при ( > О и имеет
в окрестности точки ( = 0 асимптотическое разложение
а'8+ ••• B)
при ^ > 0. [Под этим понимают, что разность /(() — а0 — а^ — ... — аI_1( '
при положительных и достаточно малых ( мажорируется по модулю пели-
чиной Ак1к с подходящим Ак > 0; здесь к~^\.\ Показать, что ее изображение
по Лапласу Р'(/?) имеет асимптотическое разложение по степеням 1/р
при вещественном р-+ос, и определить коэффициенты этого разложении.
Рассмотреть, в частности, функцию
Показать, что она имеет асимптотическое разложение типа B). Вычислить
а0 и ах и получить отсюда коэффициенты Ьй и Ь1 разложения типа (!1)
для Р(р).
Второй вопрос.
Пусть $(() — функция, имеющая изображением по Лапласу функцию О(р).
Каково изображение по Лапласу функции (е1—
Рассмотреть, в частности, функцию
8 И) = У «)-+-{< E)
Показать, что О(р) удовлетворяет простому функциональному уравнению.
Используя это уравнение и поведение О(р) на бесконечности, вычислить О(р),
выразив ее через (|/. Рассмотреть, наконец, функцию / ((), определенную
равенством D).
Пользуясь изображением по Лапласу функции Р/A) и тем, что
Р'(р)->0, когда р стремится к бесконечности по вещественной оси, вычи-
вычислить функцию Р(р) с точностью до аддитивной постоянной.
276 Гл. VI. Преобразование Лапласа
Третий вопрос.
Показать, что результаты второго пункта и асимптотическое разложе-
разложение C) позволяют получить (при вещественном р—>ос) формулу Стир-
линга типа
р\==рре-рУрС{1-\-^~\-!±-+ ...), F)
где С — неизвестная постоянная, а стоящий в скобках ряд — асимптотическое
разложение по степеням 1/р. Вычислить Со и С1.
II. Все величины в приведенных выше формулах уже известны, за
исключением постоянной \^2тс в формуле Стирлинга.
Найти изображение по Фурье функции
„(а-О/2
-2" (?)
Написать формулу Парсеваля и независимо вычислить в ней правую
СП
При вычислении интеграла I — ^ положить
и = 1/ -. . Вывести отсюда замечательное соотношение между Г1-2-),
Г ( а"^" ) и Г (а). (Формула Лежапдра—Гаусса.)
Показать, что если формула Стирлинга известна без постоянной
то формула Лежандра — Гаусса позволяет найти эту постоянную.
ГЛАВА VII
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
И УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
§ /. Уравнение колебаний струны
1. Физические задачи, подчиняющиеся урав-
Поперечные нению колебаний струны. Мы хотим изучить
колебания малые поперечные колебания однородной натянутой
натянутой струни СТруНы АВ, имеющей длину А и постоянное пот-реч-
пот-речное сечение о0. Направим ось Ох нэ АВ, точку О
поместим в точку А. Точка струны с абсциссой х @ ^ х < А) может сме-
смещаться перпендикулярно к струне, с течением времени ее координаты у и {
будут колебаться около значения 0.
Обозначим буквой и вектор в плоскости уОг с координатами у, X.
■> ->
Тогда и будет вектор-функцией времени I, колеблющейся около 0. Но этв
функция, которая определяет смещение точки с абсциссой х, является такжо
функцией х; итак, и является векгор-фумкцией а(х, г) переменных х и (,
которую мы собираемся определить.
Пусть Т — натяжение струны в точке М с абсциссой х в момент вре-
времени Ь.
Мы разумеем под этим, что силы, с которыми участок струны МП
действует на участок АМ, можно заменить единственной силой величины У,
приложенной к точке М и направленной по ориентированной касательной
к дуге МВ.
Согласно принципу действия и противодействия, участок струны АМ
действует на участок МВ с силой, в точности противоположной предыдущей
силе. Мы видим, что натяжение Т остается близким к некоторому среднему
натяжению 70, не зависящему от х к (, поскольку деформации струны
мы считаем малыми по сравнению с ее длиной.
Действием тяжести на струну мы пренебрегаем; к тому же мы не на-
накладываем никаких условий на положение равновесия струны по отношению
к вертикали; если хотят принять это во внимание, то ищут положение равно*
278 Гл. VII. Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
песия струны в поле тяготения (или в любом другом заданном неизменном
поле), положение, близкое к отрезку прямой, если струна мало деформируема
и сильно натянута; функция и будет тогда смещением, поперечным к этому
положению равновесия.
Обозначим через р линейную плотность струны в точке х в момент
времени I, г*, е. массу струны, приходящуюся на единицу длины, иначе говоря,
предел отношения Дот/Дл: при Дх->0, где Дт— масса участка струны
(х,х -|~&х). Поскольку деформации струны мы считаем малыми, плотность р
остается близкой к некоторой величине р0, зависящей только от х. Но
поскольку мы предположили, что струна однородна, величина р0 не зависит
и от х. Впрочем, практически легко реализовать случай, когда р0 непрерывно
изменяется вместе с х, ибо р0 = о0(о0, где и>0 — обычная плотность (масса на
единицу объема), а о0 — поперечное сечение струны в точке х (предпола-
(предполагаемое малым); струна, изготовленная из однородного вещества, но с перемен-
переменным поперечным сечением о0, будет обладать линейной плотностью р0, изме-
изменяющейся вместе с х.
Уравнение, которому должна удовлетворять функция и (х,{), получится,
если для каждого элементарного участка струны (ММ'), (х,х-\-кх) написать
основное уравнение движения Р^т^. Если стремиться к полной строгости,
то для каждого участка струны (хг, х2) следует приравнять результирующую
системы сил Р результирующей системы векторов ту, а пару системы сил
Р — паре системы векторов ту. При этом вместо элементарных величин,
пропорциональных Дл:, возникли бы интегралы по их.
Мы будем придерживаться элементарного метода, скорее интуитивного,
чем строгого. Можно проверить, что равенство пар выполняется автомати-
автоматически, в силу предположения, что натяжение струны направлено по касатель-
касательной к струне. , Мы будем пренебрегать всеми величинами порядка (ДхJ по
сравнению с Дх, поскольку кх бесконечно мало.
Мы предположим, что смещения струны малы. Уточним, что это озна-
означает. Если не сделать предположения этого рода, то возникающее дифферен-
дифференциальное уравнение оказывается очень сложным (в частности, оно оказывается
нелинейным). Если же ограничиться только некоторым приближением к этому
уравнению, т. е. если искать только приближенные решения поставленной
физической задачи, то членами вида (-А) • -з— • -рг и т- п- можно пре-
пренебречь, поскольку они „второго порядка малости" по сравнению с членами
„первого порядка", такими, как -т-у. При этом возникает уравнение (VII, 1; 81,
которое легко поддается исследованию.
$ /. Уравнение колебаний струны 270
„ ди д2и
Чем меньше величины —.—, з—г. тем меньше допущенная при этом отпо»
сительная погрешность. Впрочем, можно оценить погрешность (например,
погрешность в вычислении частот), которую мы совершаем при замене точного
уравнения приближенным уравнением (VII, 1; 8). Например, для скрипичной
струны можно установить, является ли такая погрешность приемлемой при
обычных амплитудах колебания этой струны; если погрешность неприемлем*),
то необходимо вычислить поправочный член. Это та же самая ситуация, что
и в случае колебаний маятника. Точное уравнение колебаний маятника имеет
вид О" -т-(§"//) 51 п б — 0. При малых колебаниях вблизи положения равиоиесии
0 = 0 это уравнение можно заменить уравнением б" + (§"//) 6 = 0, которое
приводит к периоду колебаний То, равному 2г.\^1/^.
Этот период является не чем иным, как пределом истинного периоде
колебаний, когда амплитуда колебаний а. стремится к нулю. Чем мепМН»
амплитуда а данных колебаний, тем меньше будет относительная погрешность,
возникающая при замене истинного периода Т периодом То. Если эта погреш-
погрешность неприемлема, то нужно добавить поправочный член; известно, что §Т0Т
а2
член равен ^отк" • Может оказаться, что и эта поправка неудовлетвэрительнй!
истинный период Т является трансцендентной функцией от а, выражающийся
через эллиптический интеграл:
а
г-л/~~ С М
/0 I / • I .
— V А V р Л ]Асоз 0 — соз я
— а
В задаче о колебаниях струны положение вещей еще более сложное,
поэтому мы ограничимся случаем бесконечно малых колебаний. Величины,
которые должны быть малы, суть -^— (безразмерная величина, дающая наклон
д2и
струны) и -т-2- (величина размерности /"'). При этих условиях можно сделать
следующие заключения:
1) Вектор т-\ лежит в плоскости уОг и равен
(действительно, масса рассматриваемого.элемента струны неизменна при дви-
движении и равна роД* в состоянии равновесия).
2) Сила, с которой участок струны М'В действует на точку М', равш
Т{х-\-Ь.х); ее составляющая по оси Ох равна Т(х-\- Дх)со$а, а ее соста-
составляющая в плоскости уОг равна ТВ, где б—компонента в плоскости уОм
280 Гл. VII Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
единичного вектора касательной к струне в точке /И', ориентированной
в направлении АВ. Сила, с которой участок струны АМ действует на точку
М, записывается аналогично-с заменой абсциссы х -\- Дл: на х и с измене-
изменением направления касательной на противоположное.
Если пренебречь членами (ДхJ, то сумму этих двух сил можно запи-
записать так:
-т— (Гсоза) Дл; — составляющая по оси Ох,
д / ->\ (VII, 1; 2)
-г—176 Дл:—составляющая в плоскости уОг.
Оснрвное уравнение движения в проекции на оси Ох приводит к равенству
д
~ъ~~ | " №о • | — " • - (VII,
Если пренебречь разностью соз а—1 и ее производной по х, которые явля-
являются бесконечно малыми второго порядка, то это равенство сведется
к равенству
4г = 0- (УИ' 1;4*
Если учесть, что Т считается близким к То, то последнее равенство в K-
можно только благодаря нашему предположению, что , = 0, т. е. что 1 $
не зависит от к.
Таким образом, в любой момент времени Ь натяжение струны должно
быть одним и тем же по всей ее длине; следовательно, оно должно быть
некоторой функцией Г(^) времени Ь, колеблющейся около То. Без допол-
дополнительных механических предположений эту функцию вычислить нельзя; ниже
мы увидим [см. (VII, 1; 25)], что следует положить
Т=Т0, (VII, 1; 5)
для того чтобы избежать продольных колебаний.
Уравнение движения в проекции на плоскость уОг приводит к уравнению
( Координаты вектора 9 по осям Оу и Ог равны -— и —т-\ поскольку угол
Касательной с осью Ох мал, величина -~ близка к 1, а величины -~, -~
ф / Уравнение колебаний струны 281
О.у <1г :»
эквивалентны величинам ——-, —т-\ следовательно, вектор 0 эквивалентен нск-
тору -г—. Если учесть равенство (VII, 1; 5), то уравнение (VII, 1;6) сведется
теперь к уравнению
Ро-Ж = :Ги-^г- (VII. 1; 7)
Мы предположили, что плотность р0 не зависит от х (струна однородна);
уравнение (VII, 1; 7) можно переписать в виде
д2и д2и
дх*
(VII. I; 8)
с постоянной V, которая имеет размерность скорости
V = т/— • размерность V = — "Ч/ = /Г1. (VII, 1; 9)
и/-1)
Как мы увидим в дальнейшем, величину V можно назвать скоростью
распространения поперечных волн в струне. Можно использовать также
натяжение, приходящееся на единицу сечения ?'о==^о/0о; поскольку
ро=шоао, имеем
(VII. 1; 10)
Уравнение (VII, 1; 8) называется уравнением колебаний струны. Если
спроектировать его на оси Оу и Ог, то получатся два одинаковых уравне-
уравнения для функций у{х, О и г{х, {):
Дл:
Заметим, что длина участка струны Д* равна —; если, как и ранее, пре-
пренебречь а2, то эта длина будет оставаться приближенно равной Ах — длимо
в состоянии покоя, поэтому плотность р не меняется, она остается равной рй
282 Гл. VII. Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
{с точностью до бесконечно малых второго порядка). В конечном итоге три
уравнения этой задачи для трех неизвестных и, Т, р полностью разделяются:
дР ~ дх2 ' "
Т — Т
Р = Рс-
(VII, 1; 12)
Второе и третье из них уже решены; требуется решить только первое.
Мы рассмотрим теперь однородный металлический
Продольные прут АВ длины Ь с постоянным поперечным сече-
колебания стержня , ,
г нием а0 и изучим его продольные колебания.
Пусть х — абсцисса точки М стержня в состоянии покоя (ось Ох на-
направлена по АВ, точка О помещена в точку Л). В процессе колебаний эта
точка будет смещаться в продольном направлении. Обозначим буквой и ее
смещение и ■= ММ' = ОМ' — ОМ, где М' — положение точки М в момент
времени I. Здесь снова и является функцией от х и I, которую мы должны
определить.
Пусть снова Т — натяжение стержня в точке х в момент времени (,
определяемое как при поперечных колебаниях струны. Однако здесь имеется
серьезное отличие от предыдущего случая. Гибкая струна может быть рас-
растянута только с помощью достаточно сильного среднего натяжения То > 0;
стержень АВ, напротив, может и не быть растянутым (То = 0; натяжение
стержня называется также напряжением), стержень может быть даже сжат
(То < 0). Изменения натяжения представляют собой реакцию стержня против
усилий, стремящихся изменить его форму путем растяжения или сжатия. Мы
примем следующий закон, называемый основным законом упругости: удли-
удлинение Ы = 1 — /0 участка стержня длины /0, находящегося под средним натя-
натяжением Го, приводит к изменению натяжения ЪТ=Т—То, которое удовлет-
удовлетворяет соотношению
^ = ^= (VII. 1=13)
здесь о0— поперечное сечение, а Ео — модуль Юнга, или модуль упругости
при натяжении То. (Модуль Юнга Ео несколько изменяется при изменении Го;
когда Т0 = 0, величина Ео будет модулем Юнга в ненапряженном состоянии.)
Этот закон, разумеется, верен только при достаточно малых ошноситель-
ных удлинениях -т—.
$ /. Уравнение колебаний струны 283
Таким образом, сначала надо вычислить относительное удлинение \ = Ы/1п
в каждой точке стержня. Участок (х, х + дх) длины /0 в состоянии покои
будет занимать в момент времени / положение
Ос-Ь и Ос, (), х + Дх + и (х-)-Дх. ())■
<
~дх
ди
Его длина из /0—Ах превратится в / — /0-)-Ы = Дх-)--г— Дх, а относи
тельное удлинение будет равным
!: И,
(Условие малости 5/ по сравнению с /0 означает, что производная -^- должно
быть малой.) Согласно закону упругости, натяжение в точке х в момент нре«
мени I должно удовлетворять уравнению
Т~То = Еоао^. (VII. 1; 15)
Пусть снова р — линейная плотность стержня, близкая к р0 — линейной
плотности в состоянии равновесия при натяжении То.
Напишем основное уравнение движения Р — ш^ для элемента (х. х -\- Дл:)
в проекции на ось Ох (другие уравнения не нужны, поскольку движении
продольное):
д*и . дТ . ,.... , ,,,
?о-ы2-*х = ^Ьх. (VII. 1; 10)
отсюда, если учесть соотношение (VII, 1; 15), получаем уравнение
й ^.— Ра — (Ч\\ V \1\
Р0 ^2 -^0а0 ^Х2 • (.VII, I, I/)
Это уравнение совпадает с уравнением колебаний струны (VII, 1; 8) (скаляр-
(скалярным, не векторным), со скоростью распространения
А. . (VII. 1; 18)
Модуль Юнга играет ту же роль, что и Т'о,—натяжение на единицу сечения
при поперечных колебаниях струны. К тому же величина Ео имеет размер-
размерность величины ЬТ/ап [см. (VII, 1; 13)], т. е. размерность натяжения па еди-
единицу сечения. Опишем основное различие между поперечными и продольными
колебаниями. В случае поперечных колебаний фигурирует величина Т{] —
среднее натяжение на единицу сечения. В случае продольных колебаний фи-
фигурирует величина Ео — коэффициент, который связывает относительное
284
Гл. VII. Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
удлинение \ = — с приращением
"V
натяжения (на единицу сечения)
по сравнению с его средним значением. Вот почему поперечные коле-
колебания гибкой струны могут наблюдаться только при Го > 0, тогда как
продольные колебания стержня могут происходить и при То ^ 0.
В качестве примера отметим, что модуль Юнга Еп для стали имеет по-
порядок 20 000 кг на мм2, что дает в единицах МТЗ скорость распространения
20X9-81
10-
: 5000 м/сек.
Для плотности каждого элементарного участка /0 выполняется, согласно ее
определению, равенство
Р1 = Ро;о
(сохранение массы). Поэтому
Ро
(VII, 1; 19)
(VII, 1; 20)
следовательно,
ди
Р — Ро = 8Р = — Ро 77 = ~" Р°Х ~ ~ Ро ~дх
9= Ро^1 —17) И ТаКЖе
Окончательно уравнения задачи имеют вид
( ди
ш==шо\1 — ~д7
(VII, 1;21)
(VII, 1; 22)
дх2
ди
<о0
(VII. 1; 23)
Сначала решают первое из этих уравнений (постоянные р0, о0 и Ео известны).
После этого два других уравнения оказываются решенными (если То также
известно). Впрочем, можно заметить, что функция С/ = -^- также удовле-
удовлетворяет уравнению колебаний струны [достаточно продифференцировать пер-
первое из уравнений (VII, 1; 23) по х]. Следовательно, этому же уравнению
удовлетворяют натяжение Т и плотность р:
1 (УгТ дгТ
дх2
(VII, Г; 24)
(поскольку константы р0 и Го ему удовлетворяют).
ф /. Уравнение колебаний струны 286
Продольные колебания стержня представляют собой, по существу, явле-
явление, которое называется распространением звука в стержне. Значении
модуля Юнга Е дают скорость звука в различных твердых телах.
Пусть мы имеем дело со стержнем, который может одновременно со-
совершать продольные и поперечные колебания. Тогда эту задачу можно рас»
смотреть в целом и в согласии с механическими предположениями, сделанными
в двух отдельных задачах, получить систему уравнений
1 д2и д2и
дх>
(VII, 1; 25)
дш
Ро — Ро Ро ~53Г'
->
где и — поперечное, а та — продольное смещения. Система (VII, 1; 25) СВОДИТСЯ
к системе (VII, Г, 23), если и = 0, и к системе (VII, 1; 12), если та = 0. Мы
видим, что продольных колебаний можно избежать только при Т — То. Пер»
вые два уравнения решаются независимо друг от друга; они соответстнуют
весьма различным скоростям распространения т)( и т)ь. Третье и четвертое
оказываются решенными после того, как решено второе. Известно, что про-
продольные сейсмические волны распространяются с иной скоростью, чем попе-
поперечные, хотя, конечно, распространение сейсмических волн нельзя в точности
рассматривать как распространение волн в стержне, подчиняющееся при-
приведенным выше законам.
Рассмотрим столб жидкости или газа, заключенный
Продольные в Трубу постоянной ширины, и изучим его продши.-
жио^костиили^аза ные колебания. При этих колебаниях каждый слои
жидкости, заключенный между двумя близкими нор-
нормальными сечениями, смещается как целое в продольном направлении. Жидкости
нельзя считать несжимаемой, ибо при этом продольные колебания невозможны;
впрочем, и в случае стержня мы должны были допустить малые дефор"
мации.
Коэффициент сжимаемости жидкости у^ при среднем давлении р0 > О
дает связь между изменением давления и относительным сжатием X = ЪУ/У
Ьр_=Р-Ра ^_±*У_ (VII.
Ро Ро Хо ^о
286 Гл. VII. Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
Это уравнение соответствует уравнению состояния
0 = соп$1. (VII, 1; 27)
Величина ^0 безразмерна.
Поскольку движение является продольным, относительное сжатие -г*~
" о
равно -г-. С другой стороны, давление есть величина, обратная по знаку
'о
натяжению на единицу сечения:
1Е — Е- п — — Ь-
Таким образом, соотношение (VII, 1; 26) идентично соотношению (VII, 1; 13) с
Ео=-^. (VII, 1; 28)
(При поперечных колебаниях гибкой струны То обязательно больше нуля;
при продольных колебаниях стержня То могло иметь произвольный знак;
здесь же р0 > 0 и, значит, То < 0.)
В силу сказанного мы снова приходим к уравнениям типа (VII, 1; 23)
с видоизмененными обозначениями:
(VII, 1; 29)
где и—продольное смещение. Как следствие мы получаем, что функции р
и р также удовлетворяют уравнению колебаний струны.
В случае столба газа мы имеем акустическую трубу. Процесс является
здесь адиабатическим (ибо здесь колебания очень быстрые, несколько сот
или тысяч колебаний в-секунду, так что они заведомо происходят без обмена
теплом с внешней средой). Пусть
дги
= р Ро
ди
■V-
()и
Ра
Т = 7-1)> (VII, 1; 30)
откуда
B
') Формула 7 = — означает, что показатель у есть отношение теплоемкости С
при постоянном давлении к теплоемкости с при постоянном объеме. — Прим. перев.
$ /. Уравнение колебаний струны
287
Допустим, что газ является идеальным; тогда
откуда
Таким образом, мы снова имеем соответствующие уравнения (VII, 1; 29). где
Г^. (VII. 1;31>
(VII. 1;32)
(VII, 1; За»
Скорость распространения звука в идеальном газе пропорциональна
квадратному корню из абсолютной температуры.
Упражнение. Вычислить скорость звука в воздухе.
Пусть пас интересует температура газа Т в точке х в момент времени (.
Дифференцируя равенство (VII, 1; 32), получаем
6Г
ор 0@ 01 „
Ро шо 7"о
(VII, 1;1И)
Зная уравнения, которым подчиняются р и ш, получаем уравнение для Т
дх дх Тс\ *
(VII, 1; 36)
или
Отсюда, окончательно, получаем систему уравнений:
ди
ди
ди
дх
(VII. 1; 36)
и как следствие находим, что функции ш, р и Г также удовлетворяют урав-
уравнению колебаний струны.
1) Здесь К — универсальная газовая постоянная, М — масса грамм-молекулы газа,
То — абсолютная температура. — Прим. перев.
288
Гл. VII Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
2. Решение уравнения колебаний струны методом распространяю-
распространяющихся волн; задачи Коши. Отныне мы не будем заниматься той частной
физической задачей, которая лежит в основе уравнения. Мы назовем урав-
уравнением колебаний струны дифференциальное уравнение
1 д2и д2а
V2 ~~д~Р
дх2
(VII, 1; 37)
с частными производными. Струна является неограниченной и занимает в со-
состоянии покоя всю ось х; и — функция, определенная при всех значениях х и I.
Чтобы найти общее решение этого дифференциального уравнения, сделаем
замену переменных
х — ■
или
X — VI = 7),
Имеем
о д , д
~л~ = -з^- 4- ~з— > откуда
д2
дх2
■Ж^"{-д! —5?)' откУда
так что
д*
д2
дх2
д2
'Л 0-ц
■ — 2-
о2
-4~^-
V* дB
В новых переменных наше уравнение принимает вид
дЧ =0.
(VII, Г, 38)
(VII, 1; 39)
(VII, Г, 40)
-~- = 1Х {%),
(VII, 1; 41)
Это уравнение решается сразу же:
где / — произвольная функция,
и =/С0~\-ё(г1)< где/ — первообразная для /,, (VII, 1; 42)
§ — произвольная функция.
Эта формула приводит к общему решению уравнения (VII, 1; 37):
и (х, 0 = / (х +■ VI) 4- е (* ~ «О. (VII 1; 43:
дэ / и § — произвольные функции одного переменного. На самом деле
эпитет „произвольные" преувеличен. Эти функции должны быть дваждь
непрерывно дифференцируемы, если мы хотим, чтобы метод замены перемен-
§ 1. Уравнение колебаний струны
ных [см. (VII, 1; 39)] был обоснован; как бы то ни было, вторые произвол»
ные функции и входят в уравнение (VII, 1;37).
Если же искать решения уравнения (VII, I; 37) в смысле теории
распределений, то приходится считать допустимыми функции / и $ одного
неременного, которые не обязательно дифференцируемы, а всего лишь локально
суммируемы, или даже являются распределениями от одного переменного,
Найденное решение поддается замечательной физической трактовке.
Функция типа §(х~-о{) принимает в точке х в момент времени I то
значение, которое она принимает в точке х—VI в момент времени О,
Функция §{х — VI) как функция от х, представляющая в момент времени (
форму струны в целом, является сдвигом функции §(х) на отрезок \ VI,
Иными словами, функция и = §{х —VI) представляет, собой неко-
некоторую волну, распространяющуюся направо со скоростью V. Нниро»
тив, функция и = ^(x-|-V^) представляет собой волну, распространяй»'
щуюся налево со скоростью V. Здесь возможны любые волны, т. е. пенка»
решение уравнения (VII, 1; 37) является суперпозицией двух произвольных
волн, одна из которых распространяется налево, а другая — напринп «о
скоростью V. Вот почему V называется скоростью распространения но4н>
Понятно, что здесь нет никакого переноса материи со скоростью V.
В случае поперечных колебаний струны функция и является поперечным
смещением, а величина V - скоростью продольного распространения! Но
даже в случае продольных колебаний нет никакой связи между V и скоростью
ди
смещения частиц материи—г-; если в качестве решения мы позьмем, например,
и = х — VI, то волна будет распространяться со скоростью -{-V, тогда кик
ди ,
скорость частиц материи -^- будет равна —V,
ди
Если м = §-(х — V?), то—т— —— V!*'(х —VI) — величина, зависящая от х и Л
Задача Коши состоит в следующем: надо найти
Задача Коши решение уравнения колебаний струны, соответстную-
щее данным начальным условиям:
и(х, О)=ио(х) (форма струны в момент времени ^ = 0), \
-^-(х, 0)==.их{х) (распределение скоростей-^-вдоль стру- (VII. 1! 44)
ны в момент времени ^ = 0).
1У Л. Шварц
290 Гл. VII. Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
Поскольку искомое решение имеет вид (VII, 1; 43), нам надо опреде^
лить функции / и $ так, чтобы удовлетворялись начальные условиями, 1; 44).
Это приводит к уравнениям
Интегрируя второе уравнение, получим
/
(VII, 1; 46)
Н'аличие этой константы С не удивительно. В представлении (VII, 1; 43)
функции и можно, не меняя решения, прибавить к / произвольную постоян-
постоянную и вычесть эту же постоянную из §\ При этом сумма }-\-§ останется
неизменной, а разность / — § изменится на произвольную постоянную. Каков
бы ни был выбор постоянной С, решение и остается прежним. Решая первое
из уравнений (VII, 1; 45) совместно с уравнением (VII, 1; 46), получим
° (VII, 1;47)
X
О
и затем найдем искомое решение и по формуле (VII, 1; 43):
(VII, 1,48)
Мы видим, что задача Коши имеет одно и только одно решение. Тем
не менее, если мы хотим, чтобы это решение было дважды непрерывно
дифференцируемым, нам следует предположить, что функция м0 дважды непре-
непрерывно дифференцируема, а функция их один раз непрерывно дифференцируема,
что на самом деле вполне естественно.
Замечания. Сделаем некоторые замечания физического характера об
этом решении.
1) Значение функции и в точке х в момент времени I зависит только
дн
от значений м0 и их функций и и ~-гт- в момент времени ( = 0 в точках ин-
/. Уравнение колебаний струны
тервала (х— VI, х-\-у{). Это согласуется с тем, что мы видели, когда
рассматривали скорость распространения. Фактически в решение входят зна-
значения их во всем интервале (х — VI;, х-\-у1) и значения и0 только в концйН
этого интервала.
2) Это явление лучше всего показать на чертеже.
Возьмем точку с абсциссой х и ординатой Ь и предположим, что / > 0.
Проведем через точку (х, г) полупрямые наклона ± —, направленные нним;
они пересекут ось х в точках х — уЬ\а х-\-у(. Область, заключенная между
этими полупрямыми, называется волновым конусом прошлого для точки (х, I).
Рис. VII, 1.
Если вместо того, чтобы решать задачу Коши для начального момента
времени 0, мы решали бы ее для начального момента х, —оо < х ■< Л то
решение имело бы вид
(VII. 1; 40)
где
ио(х) = и(х. х),
ди .
На этот раз нужным интервалом абсцисс был бы интервал [л: — V{^—х),
х-\-ч)(Ь — х)], т. е. пересечение прямой с ординатой х с тем же самым
волновым конусом прошлого для точки {х, г).
Таким образом, движение струны в точке E, х), х < I, не влияет на се
движение в точке (х, Ь), если точка ($, х) лежит вне волнового конуса
прошлого для точки (х, (:).
19*
292 Гл. VII. Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
3) Можно решать об ратную задачу Коши, в противоположность пря-
прямой задаче Коши, которую мы только что решили. Это означает, что
ди
момент времени т, для которого задаются функции ио = и и г^—-^—, сле-
следует за Ь, х~^{. Решение производится аналогичным способом, и снова воз-
возникает формула (VII, 1; 49); однако теперь эту формулу лучше записывать
в виде
и{х, г) = [ ]
лг+г>(т-0
/ (VII, 1; 50)
поскольку х ^ г.
На этот раз нужным интервалом абсцисс будет пересечение прямой
с ординатой х с волновым конусом будущего для точки (х, (), т. е.
с областью, заключенной между полупрямыми, которые проходят через
точку (х, () и направлены вверх с наклонами + —. Это естественно, по-
поскольку г ^ х, и, значит, то, что происходило в момент (, будет влиять на
то, что произойдет в будущем в момент х; волновой конус будущего для
точки (х, () охватывает множество точек (:, х), па движение в которых может
нлиять то, что происходило в точке х в момент времени (.
Эти рассуждения о прошлом и будущем являются, с „точки зрения"
математического уравнения, чисто субъективными, поскольку уравнение инва-
инвариантно при замене Ь на —I.
4) Фронтом волны называется крайняя точка, достигнутая волной; точнее,
фронтом волны справа в момент времени Ь называется верхняя грань
носителей функций и и -т-, рассматриваемых как функции х в момент вре-
времени Ь. Абсцисса X этого правого волнового фронта является, таким обра-
образом, функцией X (() "времени I. Эта функция удовлетворяет некоторому
линейному неравенству: правый волновой фронт не может двигаться направо
со скоростью, большей скорости V, при Ь^-~
Х(()^.ХA) + у({ — х). (VII, 1; 51)
В самом деле, пусть и и -^т в момент -: имеют значения м0 и и,. Формула
(VII, 1; 49) показывает, что и и -^т- в момент г равны нулю при х ^ X (х)-\-
■'\-V{^ — х), поскольку м0 и их равны нулю при х^-ЛГ(х). Отсюда вытекает
неравенство (VII, 1;51).
$ /. Уравнение колебаний струны 99§
Заметим, однако, что, обратив направление времени, можно получить
неравенство
Л-СО<*(О + «(* —-0. (VII,!; 52)
снова при т^^. [При этом следует воспользоваться формулой (VII, 1; Г>0)
вместо (VII, 1; 49) и поменять роли I и т.]
Это неравенство можно записать также в виде
X (I) > X (-с) — VЦ — х). (VII. 1;ВЗ)
Иными словами, правый волновой фронт не может двигаться и влево со
скоростью, превосходящей скорость V.
Не следует думать, что правый волновой фронт движется направо со
скоростью V, поскольку в этом случае неравенство (VII, 1; 51) всегда было
бы равенством. То же самое имело бы место и для неравенства (VII, \',И'2),
а тогда эти два равенства были бы противоречивы.
Рассмотрим простой пример со следующими начальными условиями и мо-
момент ^ = 0:
при \х\<хо, ио(х) = О при \х\> хо,
} (VII, 1; 54)
Формулы (VII, 1; 49) и (VII, 1; 50) с т = 0 показывают, что правый
волновой фронт дается равенством
ХЦ) = хо + уЩ. (VII, 1;б0)
Он движется со скоростью V при ^^>0 и со скоростью —V при 1-^ ()■
Самое левое положение он занимает именно в момент времени ^ = 0.
Только что сказанное о правом волновом фронте справедливо и дли
левого волнового фронта, который удовлетворяет тем же самым неравенствам.
Левый волновой фронт в примере (VII, 1; 54) дается равенством
уц).= — хо — у\{\. (VII. 1;ГН>)
В момент времени ^ = 0 он занимает самое правое положение, и именно
в этот момент часть струны, которая не находится в состоянии покоя, яв-
является самой малой.
Заметим, что движущаяся часть струны в этом примере распадается
при I > хо/г> на два непересекающихся участка:
{—хо — у1, хо — у() и {—ха±у(, хо^у1).
294 Гл. VII. Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
5) Говорят, что здесь имеет место диффузия волн, поскольку решение
и(х, Ь) в действительности зависит (через функцию и{) от начальных значе-
значений во всем интервале (х — VI, x-\-V^). а не только от начальных значений
в концах этого интервала.
6) Особенно важен следующий частный случай, когда в качестве началь-
начальных условий берутся
ио = О и и1 = у4(х), (VII, 1; 57)
где 8 — распределение Дирака.
Допустив, что формулу (VII, 1; 48) можно применять без предосторожно-
предосторожности, получим при I > О следующее решение:
-г при |лМ< V*:,
и(х, 0= " (VII. 1;58)
О при \х\> VI;,
или
V
и(х, 0 = -т У (VI — \х\),
где V — функция Хевисайда.
Иначе говоря, функция и при ^ ^> 0 равна-^ в волновом конусе буду-
будущего для начала координат и равна 0 вне этого конуса.
В дальнейшем мы снова получим это частное решение.
Предположим теперь, что струна не является неогра-
Струна с одним ничейной, а имеет конец в начале координат; иными
; закрепленным словами, предположим, что в состоянии покоя она
••' Отражение волн занимает полуось х >- 0; решение и будет функцией,
определенной при х^-0. —сю < I < то. Как легко
видеть, формула (VII, 1; 43) по-прежнему справедлива;
функции одного переменного / и § должны быть, конечно, определены
[с точностью до аддитивных постоянных противоположного знака; см. фор-
формулу (VII, 1; 46)| при всех значениях переменного, ибо при фиксированном
х > 0 выражения х Л VI меняются от —ос до -(-оо, когда I меняется
от —оо до -|-оо. Но тогда формула (VII* 1; 43) дает некоторое решение и,
определенное при всех значениях х и I: всякое решение и нашего урав-
уравнения, заданное в области х^-0, —оо < Ь < оо. продолжимо един-
единственным образом до решения и во всей плоскости (х, г).
Найдем, при каких движениях и конец струны х = 0 остается непо-
неподвижным. Продолженное решение и представляет собой такое движение
бесконечной струны, определенное при всех х и Ь, для которого и @, 0 = 0.
/. Уравнение колебаний струны !2Ш
Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
у^ — Ъ. (VII, 1;Ш1)
Иначе говоря, функции / и § переменного 5 уже не вполне щм>и;шол1<-
ны; одна из них по-прежнему произвольна, но тогда другая полностью ей
определяется. Действительно,
/(*) +-<?(—«) = 0 или ^(^^—/(—х). (VII. 1:1.0)
Теперь общее решение нашей задачи дается, согласно равенству (VII, I; 4И),
формулой _
и(х, 0--=/(л:+^) — /(— х т-у1), (VII, 1;01)
где/ — произвольная функция олпого переменного. Мы видим, что при любом
значении г решение и будет нечетной функцией х, откуда вытекает, что
оно обращается в нуль при х = 0.
Таким образом, всякое решение и уравнения колебаний струны, которое
определено при х^-0, — оо<^<;оо, и тождественно равно нулю при
х = 0, продолжается однозначным образом до решения и, которое опреде-
определено всюду и которое при любом I является нечетной функцией х:
п(—х,()= — п(х,(). (VII, I; 02)
Заметим, что, согласно формуле (VII, 1; 61), решение и представляет собой
суперпозицию двух волн иг и и2, которые движутся в противоположных
направлениях со скоростью V и удовлетворяют, при любом (, соотношению
м,(— х, {) = — ~и~2{х, (). (VII, 1;Ш»)
Это замечание можно истолковать, сказав, что здесь мы наблюдаем
отражение волн от конца струны х — 0 с изменением знака.
В самом деле, предположим, что при ^^0 движение струны (снеден^
ной к части х^-0 оси х) представляет собой некоторую волну «, движу-
движущуюся влево со скоростью V. Мы должны сначала продолжить это решении
при ^^0 на всю .ось х таким способом, чтобы полученная волна и были
нечетной функцией х. Это сводится к тому, что на часть струны х ■ 0
(фиктивную физически) мы должны поместить волну, противоположную пре-
предыдущей и распространяющуюся со скоростью V направо.
Если неограниченно продолжить движение этих волн, \о решение, полу-
полученное таким способом для всех х при I ^ 0, продолжится единственным
образом на моменты времени (^>0. Но в то время как первоначальная полни,
расположенная на реальной части струны х^-0, будет продвигаться к фик-
фиктивной части х<^0 и, таким образом, постепенно исчезать, противоположная
2!)() Гл. VII. Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
полна, располагавшаяся сначала на фиктивной части х ^ 0, будет постепенно
продвигаться на реальную часть струны х ;> 0. На реальной части струны
нее это будет выглядеть так, словно первоначальная волна отражается от
конца струны х = 0 и, изменив свой знак на противоположный, движется
в обратном направлении [см. рис. VII, 2 на плоскости (х, и)].
и >о
Рис. VII, 2.
' Естественно, что при некоторых значениях ( (и даже при всех значе-
значениях (, если носителем волны является вся струна) будет наблюдаться супер-
суперпозиция падающей и отраженной волны. Именно эта суперпозиция и при-
приводит к равенству и@, ^) = 0.
Применение. Задача Коши состоит здесь в задании начальных усло-
условий ио(х) = и(х, х), и, (х) — -^г(х, х) и краевого условия и @, 1) = 0.
При (^> х решение запишется формулой (VII, 1; 49), если предварительно
продолжить функции м0 и их до нечетных по х функций м0 и их. Фор-
Формула (VII, 1; 49) будет содержать только иепродолженные функции и„ и их,
если
х — у(( — х)>0.
Вели же х—у(( — х) < 0, то, учитывая, что функции и0 и и, нечетны,
можно видоизменить эту формулу так, чтобы она содержала только непро-
/. Уравнение колебаний струны
297
V (*-1
долженные функции м0 и их:
(VII, 1; 64)
Вместо рис. VII, 1 мы будем иметь рис. VII, 3, па котором изображен вол-
волновой конус прошлого для точки (л;, () в плоскости (х, ().
N.
Рис. VII, 3.
Левый луч волнового конуса претерпевает отражение от оси I.
Значения X, для которых надо знать м0 и иг, чтобы определить и(х, 0>
лежат в интервале (а, {}), который является пересечением этого конуса
с прямой, имеющей ординату т.
Случаи, рассмотренные до сих пор, носят скорее
математический, чем физический характер, ибо струна
всегда имеет конечную длину.
Пусть струна длины /. расположена на участке
0<;х<;^ оси х и имеет закрепленные концы. Най-
Найдем ее движение. Мы дадим здесь прямое, синтетическое, решение задачи.
Решение, которое мы получим в дальнейшем с помощью анализа Фурье,
имеет значительно большее практическое значение.
Движение нашей струны снова дается формулой (VII, 1; 43), в которой
функции / и §" определены при всех значениях переменного, однако условия
и @, ^)^м(^., ^) = 0 приводят теперь к равенствам
Струна с двумя
закрепленными
концами
«0 = 0.
—«0=0.
(VII, 1;65>
Первое из этих равенств позволяет выразить функцию §" через /, и мы
снова приходим к выражению (VII, 1;61) для и, но теперь уже с функцией /,
298 Гл. VII. Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
удовлетворяющей условию
/(А + в) —/(— Ь + 8) = 0. (VII. 1:66)
Иными словами, / периодична с периодом 2Ь. Таким образом, всякое реше-
решение и уравнения колебаний струны, которое определено при 0<[х^^.
— со < ( < со, и удовлетворяет условиям и @, ^) == и (^ 2) = О, однозначно
продолжается до решения и, определенного при всех х и ( и удовлетворяю-
удовлетворяющего условиям
м(—х, {) = — и(х, (),
^-] = и(х, I).
(VII, 1; 67)
Обратно, из этих соотношений вытекает, что
и@, 1)==иA, ()~0.
Второе из соотношений (VII, 1; 67) означает, что при любом I функция и
будет периодична по х с периодом 2А; это не удивительно, ибо решение и
должно быть нечетным, т. е. аптисимметрическим по отношению к точке х = 0,
но оно должно быть также антисимметрическим и по отношению к точке х = А,
и, значит, оно должно быть периодическим с периодом 2Ц этот факт имеет
юлько теоретическое значение, поскольку длина струны равна /.. Третье
из соотношений (VII, 1; 67) означает, что решение и должно быть периоди-
периодическим и по времени с периодом 2А/г>; а этот факт имеет существенный физи-
физический смысл: всякое движение струны длины А с неподвижными концами
является периодическим во времени с периодом 1Цю.
Это очень просто понять, если заметить, что всякая волна последова-
последовательно отражается от концов струны х = 0 и л;==А, меняя каждый раз свой
знак; по истечении времени 21*/у любая волна, двигавшаяся сначала направо
или налево, отразится от каждого из концов и вернется в отправную точку
с первоначальным знаком.
Применение. Задача Коши состоит здесь в задании начальных
условий
«„(*)= и (х, х), и1(х)^-^(х, О
при 0 ^ х <^ А и краевых условий и @, ^) = и(/., /) = 0. Чтобы решить
(.с при ^>-т, продолжают функции м0 и их до функций м0 и и, так, чтобы
последние были нечетны и антисимметричны по отношению к точке х = А
и, значит, периодичны с периодом 2Ь. Затем применяют формулу (VII, 1; 49).
/. Уравнение колебаний струны
299
Если учесть антисимметричность и периодичность, то этой формуле можно
придать вид <,
и(х, О = -§-[±ио(а)±во(р)]-Ь^г ]"Н1E)й5. (VII, 1; 68)
где а и Р — точки пересечения лучей, ограничивающих волновой конус
прошлого для точки (х, ()• с прямой, имеющей ординату х. Эти лучи суть
Рис. VII, 4.
прямые, исходящие из точки (х, О и направленные вниз с наклонами ± — ;
они подвергаются отражениям от вертикалей х = 0 и х = ^.. Знаки -(- или
— в формуле (VII, 1; 68) выбираются по правилу (—1)\ где V — число рассма-
рассматриваемых отражений. Например, на рис. VII, 4 знаки определяются так:
—1 для а3, -(-1 для [И3, если х =: х3;
— 1 для а2, —1 для Р2> если х = х2;
— 1 для а^ —1 для р^ если т = х1;
-г-1 для а0, —1 для р0, если х = хо = О.
Р
Заметим, что а, > ^ и а0 > Рп; интеграл вида Г «,(?)</; при <х>Р
можно заменить на интеграл — I иг (?) й\. Знак разности |з — а определяется
300 Гл. VII. Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
числом (—II1, где (а — число пересечений лучей, ограничивающих конус,
между ординатами х и {. Примем за х значение ординаты, которое соот-
иетствует первому пересечению лучей (х, < х < х2), тогда х — { ; и мы
получаем замечательную формулу и(х, () — — иоA* — х, {); эта формула
соответствует общей формуле м(х, 0=—и {Ь — х, (-{ ), которая является
еше одним следствием из соотношений (VII, 1; 61), (VII, 1; 66) и (VII, 1; 67);
если добавить к времени полупериод Ь/х>, то новое положение волны будет
антисимметрично старому по отношению к точке х — Ц1 — середине струны.
11
Второе пересечение лучей соответствует ординате т = I — (здесь х < 0);
мы снова получаем соотношение и(х, 1) = ио(х, х) — периодичность во вре-
времени с периодом 2Ь/у.
Уравнение колебаний в акустической трубе совпадает
Акустические трубы с уравнением колебаний струны, однако краевые
условия могут быть иными. Концы трубы могут быть
открыты или закрыты, однако один из концов трубы всегда должен быть
открыт, для того чтобы колебания столба воздуха в трубе могли поддержи-
поддерживаться вдуванием струи воздуха; в зависимости от того, открыт или закрыт
другой конец трубы, трубу называют открытой или закрытой.
Поток / Зоярцггф! Пот'п / Открытая Открытая
вшдуха ~у: триоа | ооз^-лп V ТЩба Поток ^_ труба
1 :. воздуш, ,
Рис. VII, 5.
Мы обозначили буквой и смещение нормального к трубе слоя газа,
поэтому краевое условие на закрытом конце имеет вид и = 0, как в случае
струны, имеющей закрепленный конец.
Рассмотрим, напротив, открытый конец. Считают, что на таком конце
давление газа, соприкасающегося с внешней средой, остается постоянным
(равным атмосферному давлению или немного большим). Третья из фор-
формул (VII, 1; 36) показывает, что это предположение сводится к краевому
условию -т— = 0 (а не и = 0) на открытом конце трубы. Чтобы изучить, что
происходит на таком конце, мы хотим, как и в случае струны, рассмотреть
нолубескопечпую трубу, занимающую часть х^-0 оси х. Конец х = 0 "будем
считать открытым. Пусть и — некоторое решение уравнения (VII, 1; 37), опре-
ди г,
деленное при х^-0 и удовлетворяющее условию ^—@, ()^0.
$ / Уравнение колебаний струны 301
Согласно рассуждениям на стр. 294, функцию и всегда можно выразить
формулой (VII, 1; 43) и всегда можно продолжить до решения и, определен-
определенного всюду. Напишем краевое условие на конце х — 0:
'(—«9 = 0. (VII, 1; 69)
На этот раз функции / и §• переменного 5 удовлетворяют соотношению
(-*) = 0. (VII, 1; 70)
Интегрируя это соотношение, получим
— §■(—«) = соп8*. (VII, 1; 71)
Безразлично, какова величина этой постоянной (см. стр. 290). Мы примем
ее равной нулю. Тогда окончательно получим общий вид решения:
Ц(х, I) = / (х •+- VI) + / (— х -+- VI). (VII, 1; 72)
Мы кидим, что при любом значении ( функция и будет четной функ-
ди
цией от х; это не удивляет нас, поскольку функция -г— также является
решением уравнения (VII, 1; 37), однако эта функция удовлетворяет условию
——@, 0 = 0, и, значит, она должна быть нечетной функцией от х.
Рассуждение, аналогичное рассуждению на стр. 295, показывает, что
на открытом конце также происходит отражение волн, но без изме-
изменения знака (и, естественно, — суперпозиция падающей и отраженной волны).
Применение. Решение задачи Коши
ио(х)= и(х, х), и1(х) = --ат-(х, х),
-т—@, Л;^0
ах ч
получают, продолжив и0 и их до четных функций ип и иг.
Вместо формулы (VII, 1; 64) при (^-х и х — юЦ — х)<0 справедлива
формула
' (VII. 1; 73)
V(^-■с)-^с
2
0
302
Гл. VII. Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
Волновой конус прошлого для точки (х, () состоит из двух частей,
одной из которых сопоставляется коэффициент 1, а другой 2 [для того,
чтобы получить интегралы в формуле (VII, 1; 73)].
Коэ<р2\ Коэф I
Рис. VII, 6.
рассмотрим
х
задачу
об открытой трубе
важным является решение
Теперь мы без труда
и задачу о закрытой трубе.
Здесь снова наиболее
Открытые трубы фурье (стр. 315).
Труба занимает участок 0 < х ^ /. оси х; оба ее конца открыты.
Решение дается формулой (VII, 1; 43), в которой функции / и § определены
при всех значениях переменного и удовлетворяют соотношениям
/'(^) 4-Й"'(—•у^) = 0. /'(^-^гV^)ч-§'(I — V() = 0. (VII, 1; 74)
Эти уравнения интегрируются, как уравнение (VII, Г, 70), однако постоян-
постоянные интегрирования не обязательно совпадают. Первую из них можно считать
равной нулю, тогда вторая будет некоторой константой Лг Это сводится
к утверждению, что функция и продолжена до решения и, которое опреде-
определено всюду и имеет вид
й(лг, () = /(x^^V^)+■/^— х ^V(). (VII. 1; 75)
где
/(I -(-в) — /(— АН-5)= Аг (VII, 1; 76)
Если Ах Ф 0, то функция / не будет периодической, однако / будет равна
сумме линейной функции Л, -^г- и некоторой периодической функции.
Для решения и мы получаем отсюда следующие соотношения:
и(— х. ^) = и(х, I), |
и{х-\~ 2Ь, () = и (х, I), и Iх. I -\- ■2^-\ —- и (х, () + 2Ах.
-(VII. 1; 77)
/. Уравнение колебаний струны
303
При фиксированном Ь функция и периодична по х с периодом 2Ц это есте-
естественно, поскольку она четна, т. е. симметрична по отношению к точке л: = 0,
и симметрична также по отношению к точке х = Ь. По времени функция "и
не будет периодической, если Л, Ф 0, однако и будет суммой линейной функ-
функции А(=А1-=- и некоторой периодической функции с периодом 2^/г>. Член
АЬ=А1-т- описывает равномерный поток газа через трубу, что естественно,
поскольку труба открыта с обоих концов (рис. VII, 5); с точностью до этого
равномерного потока решение периодично с периодом
1
Т
0
X
о/\ о
\ /
2 у/г
\ /л
X
1 X
Рис. VII,7.
Применение. Формула для решения задачи Коши (ио(х)=м(х, т),
и (д:) = -^-(х, х), -^-@, ()~-^~(Ь, ^)^0) является здесь достаточно слож-
* ОТ ОХ ОХ /
ной; сначала продолжают функции и0 и к, до четных, периодических
с периодом 2А, функций и0 и и,, а затем приводят формулу (VII, 1; 49) к виду
I
и(х,() = ±[ио(*)+иоф\ + 1^$па)и1а)а1, (VII. 1; 78)
о
где коэффициент «(;) — целое число, изменяющееся вместе с % вдоль
отрезка [0, Ц. Этот коэффициент можно вычислить, рассмотрев волновой
конус прошлого для точки (х, (), который делит вертикальную полосу
0 <_ х < I на области, в каждой из которых этот коэффициент постоянен.
Например, для значения х, показанного па рисунке, имеем а>р и п($) = 2
при 0 < \ < р, «@ = 3 при р < \ < а и /Ц;) = 4 при а < I < Ь.
304 Гл. VII. Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
Легко вычислить непериодическую часть решения и, ибо коэффициент А
дается формулой
(VII, 1; 79)
О
B/г \
при 2 = ч:-\ коэффициент п(Х) равен 4).
См. решение методом Фурье (стр. 317).
Закрытые трубы Предположим, что труба закрыта на конце х = 0
и открыта на конце х = Ь. Решение и дается фор-
формулой (VII, 1; 43), в которой функции / и §• удовлетворяют соотношениям
/(*() +8{-*0 = 0. , ,„„ .
Второе из них всегда можно проинтегрировать и, положив постоянную
интегрирования равной нулю, получить соотношение
/(^-^V() -,§• (А -■о/)г=0. (VII. 1; 81)
Тогда функция и продолжится до решения и, которое определено всюду
и имеет вид '
м(х, I) = / (хИ- V0 — /(— х 4- VI), (VII, 1; 82)
где
/а + 5) + /(—/, + 5) = 0. (VII. 1; 83)
Здесь функция / антипериодична с антипериодом 2Ь, поэтому она периодична
с периодом 4^. Это приводит к следующим соотношениям для и:
и{х-\-2Ь, {) = — и(х, I), и
(VII, 1; 84)
При фиксированном ^ решение и антипериодично но х с антипериодом 2Ц
это естественно, поскольку оно антисимметрично относительно точки х =0
и симметрично относительно точки х = 1~. По времени функция и антипери-
одичпа с антипериодом 2^/г>; это естественно, ибо по истечении времени '1Ць
нсякая волна отражается от каждого из концов трубы, меняя при этом знак
только один раз, и возвращается в первоначальное положение с изменен-
измененным знаком.
/. Уравнение колебаний струны
305
Применение. Формула для решения задачи Коши
@И, ди,
11 (х} ' и (х т^ и (х*\. ——— ( V* т^ // ("О ^) "*" ~ (I
имеет следующий вид:
а(х, 0 = -д-[± «о(«) ± «о(Р)] + ^Г/»©«!«)'
о
(VII. 1; 85)
Рис. VII. 8.
Знаки ± перед ио(а) или ио(Р) определяются числом (—1)\ где V — число
отражений соответствующего луча от вертикали х — 0. Коэффициент «($)
зависит от того, в какой из областей по отношению к волновому конусу
прошлого точки (х, () мы находимся.
20 Л. Шварц
306 Гл. VII. Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
Например, для значения х, указанного на рис. VII, 8, перед ио(а) следует
взять знак —, а перед ио(Р) — знак -)-. Здесь а > C, и коэффициент п(ХУ
равен 0 всюду, кроме отрезка C < % < а, на котором он равен 1;
интеграл сводится к интегралу I .
Интегралы энергии Рассмотрим, например, случай продольных коле-
колебаний стержня.
Уравнение энергии выражает тот факт, что производная по времени
от полной кинетической энергии стержня равна мощности системы сил,
действующих в стержне. Это уравнение является следствием из основного
Г -V -У ■> ->
уравнения движения из равенства Р = т^ вытекает соотношение Р— Р ■ V =
* * а 1
т
)
Кинетическая энергия стержня выражается интегралом
J^- (VII, 1; 86)
о
Чтобы вычислить мощность системы сил, действующих в стержне, нужно
взять элемент (х, х-)-Дх) стержня, рассмотреть результирующую сил,
действующих на этот элемент, и умножить ее на среднюю скорость -^- этого
элемента, а затем просуммировать полученные мощности по всем элементам1).
Результирующая сил, действующих на элемент, равна
^ *)-Я0о0-^-(*. 1) = Е(Рй-^Ьх, (VII. 1;87)
и, следовательно, мощность системы сил, действующих во всем стержне,
дается интегралом
I
(VII, 1; 88)
') Могло бы показаться, что скорее надо рассматривать силы, которые действуют
на концы каждого из элементов, и умножать каждую из этих сил на скорость точки
ее приложения, а затем суммировать результаты, полученные для отдельных элементов.
Таким образом, „слагаемое" 1-з— • -з—) —зт- заменилось бы на «слагаемое*
-г— I — — |. Однако этот метод ошибочен; он не вытекает из уравнении Р = т\, при-
примененных к отдельным элементам. Все промежуточные члены сокращаются и остаются
только конечные члены; при этом возникает неправильное уравнение, в которое пре-
превратилось бы уравнение (VII, 1; 93), если откинуть в нем второе слагаемое в левой части!
$ /. Уравнение колебаний струны 307
Отсюда мы получаем уравнение энергии
У"- №1:89)
Это уравнение можно записать в ином виде, который справедлив для
всех моделей
(это сводится к такому выбору единиц, при котором Еоао—1).
Заметим, что это уравнение является прямым следствием уравнения
колебаний струны (VII, 1; 8), ибо левая часть (VII, 1;90) есть не что иное,
как интеграл
{±^-.^4х (VII 1-9П
о
Равенство (VII, 1; 90) представляет собой равенство между двумя вели-
величинами, зависящими только от г1 и не зависящими от х. Это равенство
является не линейным, а квад ратичным, т. е. равенством двух величин вто-
второго порядка малости по сравнению с величиной и. Вот почему в нем
можно пренебрегать только величинами третьего порядка.
Преобразуем уравнение (VII, 1; 90), проинтегрировав по частям правую
часть. Правая часть примет при этом вид
ди диХ=1г ди д2и
] ^
Г ди _диХ=1 г ди_
\_~дх~ ' М ],_0 ^ дх
о
ах ~
дх
Г ди ди1х=1 а с1/й\. ..... . _о.
Отсюда мы получаем новое уравнение:
Л М/1 (ди\* (ди\>\ V ди ди!^1-
Правая часть представляет собой не что иное, как мощность внешних
сил (т. е. сил натяжения или давления на обоих концах стержня).
20*
ЗОН Гл. VII. Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
Мы видим, таким образом, что первый принцип термодинамики удовле-
удовлетворен и что система в каждый момент своего движения обладает некоторой
энергией, энергией, которая записывается в виде
зависит от состояния системы (т. е. от положений и скоростей частиц)
и распадается на сумму кинетической энергии Ес и внутренней энергии Ег.
Равенство (VII, 1; 93), проинтегрированное по I от 1Х до ^2, выражает тот
факт, что работа внешних сил равна изменгкчо полной энер-
энергии Е2— Ех. Если на каждом из концов стержня выполнено какое-либо
из условий ~- = Ч или и = 0 (при и = 0, дифференцируя по I, полу-
получаем п~=0)> т0 работа внешних сил равна нулю и энергия Е все
время остается постоянной.
„ Общая задача Коши состоит в следующем.
к задаче^Коши Надо найти решение и уравнения колебаний
Единственность струны, которое удовлетворяет следующим условиям.
решения 1. Начальные условия. При ( = 0 функ-
функции и и —гт- совпадает с данными функциями и0 и их от х.
2. Краевые, условия. При х = 0 и х~Ь задаются значения и
или -у— как функции времени.
Покажем, что эта задача имеет самое большее одно решение. В силу
линейности уравнения колебаний струны разность двух решений снова будет
некоторым решением V. При этом функция V удовлетворяет нулевым
начальным условиям С/о= С/1 = 0 и краевым условиям
г') = 0 или 4г^х> ') —°-
когда х = 0 и когда лг"= Ь.
г ви ди-]х=1 , „
При этих условиях разность -^—• —гт-\ равна нулю в любой момент
I ох 01 1х=ц
времени. Уравнение энергии (VII, 1; 93) показывает тогда, что инте-
интеграл (VII, 1; 94) сохраняет все время постоянное значение; но ведь при ^ = 0
полная энергия равна нулю:
^х = О. (VII, 1; 95)
/. Уравнение колебаний струны 309
Поэтому полная энергия равна нулю в любой момент времени г. Поскольку
она представляет собой интеграл от неотрицательной функции, эта функция '
равна нулю почти всюду; но ведь эта функция непрерывна (мы предпола-
предполагаем, что решение нашего уравнения дважды непрерывно дифференцируемо),
следовательно, члстные производные
дЦ дЦ
М И дх
тождественно равны нулю. Отсюда вытекает, что функция С/ будет постоян-
постоянной, не зависящей от х и от (. Поскольку эта постоянная равна нулю
при I = 0, функция Ц равна нулю тождественно, а поскольку она является
разностью двух решений, эти решения совпадают.
На предыдущих страницах мы решали различные задачи Коши, отпра-
отправляясь от общего решения (VII, 1; 43). Мы собираемся теперь использовать
совершенно иной метод—метод Фурье.
3. Решение задачи Коши методом рядов Фурье.
Задача Коши Мы собираемся доказать для этого случая колеба-
для колеблющейся пий струны существование решения и эффективно
струны найти это решение. Краевые условия имеют здесь вид
с закрепленными
концами и@, ^=т(Ь, ^)==0,
а начальные данные, как всегда, и0 и их (с очевид-
очевидным согласованием мо(О) = ио(А) = ^@) = их (Ц = 0).
Стационарным движением струны называется движение, при котором
функция и (х, () является произведением некоторой функции от х на неко-
некоторую функцию от и
и (х, г) = Ц (х) V (*). (VII, 1; 96)
Найдем стационарные движения струны с закрепленными концами. Для
такого движения уравнение колебаний струны записывается в виде
цу иУ, (VII. 1; 97)
или
1 \Г" 1Т"
■^-ТГ = -ТГ = -^. (VII. 1; 98)
где величина X является постоянной, поскольку она должна зависеть только
от х и одновременно—-только от Ь. Обратно, если X — произвольная веще-
вещественная постоянная, то решения Ц (х) и V Ц) дифференциальных уравнений
(т1:99)
310 Гл. VII. Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
определяют некоторое стационарное движение. Предполагается, что функ-
функция VB) не равна тождественно нулю, в противном случае струна остава-
оставалась бы неподвижной все время. Но тогда значения и @, () и и (/,, () могут
равняться нулю при любом I, только если
СГ(О) = С/ (X) = 0.
Последние же равенства могут иметь место только при исключительных зна-
значениях X.
В самом деле, решение второго из уравнений (VII, 1; 99) при X ф О
имеет вид
Ц(х)— АсозУТх + ВвЫуТх (VII, 1; 100)
(•если X < 0, то Ух — мнимое число и соз и з!п превращаются в сЬ и зп).
Условие V @) = 0 определяет постоянную А:
/4 = 0.
Тогда условие С1{Ц = 0 приводит к равенству
= 0 (VII, 1; 101)
[если учесть, что В ф 0, в противном случае мы снова имели бы тожде-
тождество и (х, ^) = 0].
Уравнение (VII, 1; 101) показывает, что Х> 0 (ибо гиперболический синус
не может обращаться в нуль при вещественных значениях переменного,
отличных от нуля) и что при этом
= къ или УХ = -^-, (VII, 1; 102)
где к — целое число.
Следовательно, решение С/ уравнения (VII, 1; 99), которое мы должны
удержать, имеет вид
^- (VII, 1; 103)
с точностью до постоянного множителя. Не меняя результат, этот постоян-
постоянный множитель можно принять равным 1, ибо всякий постоянный множи-
множитель у функции С/ можно отнести к V. По той же причине можно считать,
что к > 0, ибо замена к на —к сводится к умножению Ц на —1.
Случай X = 0 требует отдельного исследования, потому что при X = 0
решение второго из уравнений (VII, 1; 99) имеет иной вид, а именно
' (VII, 1; 104)
ф /. Уравнение колебаний струны 311
Никакая линейная функция не может обращаться в нуль при х = 0 и х = ^,
не будучи тождественным нулем, следовательно, Х= 0 не приводит ни к какому
стационарному движению (отличному от и (х, /) = 0).
Теперь остается решить первое уравнение (VII, 1; 99), любое из реше-
решений которого приводит к допустимому стационарному движению.
Общее решение имеет вид
У(/) = Лсозг<уг~НН-Я5тг<угН = Асо%Ы^-\-ВъХпЫ^. (VII, 1; 105)
Стационарные движения струны с закрепленными концами зависят, таким
образом, от произвольного целого числа к > 0, а при фиксированном к — от
двух вещественных параметров А и В. Наиболее общий вид такого стацио-
стационарного движения следующий:
и(х, О = 5тАя-^(лсо8/Ь-^-+В5т/Ь-^-). (VII, 1; 106)
Стационарные движения, отвечающие данному целому числу к, имеют период
(по времени)
Т—^-^ (VII,!; 107)
к,т
и частоту
Ы = ^г = к^г. (VII, 1; 108)
Все эти частоты являются кратными „основной частоты" Л^о = -977 •
Для периодического колебания, распространяющегося со скоростью V,
вводят также длину волны Л = ъТ, т. е.
А = ~ или /, = *4-- (VII, 1; 109)
Эта длина волны служит периодом по х для решения и, продолжаю-
продолжающего решение и (см. стр. 298).
Следовательно, длины волн стационарных движений струны с закре-
закрепленными концами таковы, что Ь является целым кратным полудлины
волны. Этот факт легко почувствовать интуитивно, если продолжить функ-
функцию V (см. рис. VII, 9) за пределы интервала 0 <^ х ^ ^ сначала по антисим-
антисимметрии, а затем по периодичности с периодом 2^,. Этот способ продол-
продолжения функции V за пределы струны (который сводится к естественному
продолжению функции 51п(кт.х/1,)) был обоснован ранее соображениями
общего характера.
31'2 Гл. VII. Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
Мы покажем теперь, что данную задачу Коши можно решить, пред-
предположив, что решение и(х, () является бесконечной линейной комбина-
комбинацией стационарных движений струны с закрепленными концами.
Если мы найдем такое решение, то оно будет единственным в силу уже
доказанной теоремы единственности и в силу результата, полученного
па стр. 298.
Поскольку любое решение нашего уравнения определяется своими началь-
начальными данными и0 и иг, мы тем самым покажем, что любое решение урав-
уравнения колебаний струны с закрепленными концами является комбинацией
*=/
к =2
Рис. VII, 9.
стационарных решений. Этим в свою очередь мы снова докажем, что всякое
решение имеет период 1Цъ — общее кратное периодов всех стационарных
движений.
Итак, будем искать решение в виде
и(х, 0 = 2]з1пА«-|-(л4со8Ая-^-Н-ВЛ81пАя -^-) . (VII, 1; ПО)
Напишем, что и удовлетворяет начальным условиям
ио(х) = и(х, 0)=2 Ак5ткк^-, (VII, 1; 111)
оо
^ 2- (VII. 1; 112)
4=1
Но ведь любая функция от х, заданная в интервале (О, Ц), допускает
X
единственное (формальное) разложение в ряд Фурье по функциям %'тЫ-^-.
$ 1. Уравнение колебаний струны 313
В самом деле, продолжим такую функцию нечетно на интервал (— Ь, 0),
а затем периодично с периодом 2Ь на всю вещественную ось. [Она будет
при этом антисимметрична по отношению к точке х = 1^, ибо из соотноше-
соотношений / (— х) = — / (х) и / (х + 2^.) = / (х) вытекает соотношение / B^—х) =
= — /(х). Обратно, всякая функция, антисимметричная по отношению к точ-
точкам х = 0 и х = Ь, имеет период 2^., ибо из соотношений/(—х) = — /(х)
и /B1,— х) = — /(х) вытекает соотношение / (х + 2^) = /(х).] Продол-
Продолженную функцию можно будет тогда разложить по функциям соз кшх
и 51ПЙЮХ, си = -п7- = 7-, а поскольку она нечетна, в ее разложении оста-
, . , х
НуТСЯ ТОЛЬКО фуНКЦИИ 51ПЯТС-^-.
Из формул (VII, 1; 111) и (VII, 1; 112) мы получаем явные выражения
для коэффициентов Ак и Вк:
(VII. 1; 113)
о
[Заметим, что, согласно разложению (VII, 1; 110), коэффициенты Ак и Вк
имеют ту же размерность, что и функция и, т. е. I; поскольку функция и0
имеет такую же размерность, а функция их имеет размерность и • Ь~х —I • Ь~~х,
правые и левые части формул (VII, 1; 113) имеют одинаковые размерности,
ибо синус — величина безразмерная, а (О, имеет размерность /.]
Явное решение задачи Коши окончательно имеет вид
и (х, I) =
коз къ -^-| -^- Г и
0
Г и0 (?) 51П къ
0
^-аЦ. (VII, 1; 114)
Если предположить, что начальные данные и0 и и1 имеют непрерывные
* первые производные, то ряды Фурье (VII, 1; 111) и (VII, 1; 112) будут равно-
равномерно сходящимисях). Однако это не решает вопрос о сходимости
ряда (VII, 1; 114). Это не решает также и главный вопрос о дифференцируе-
мости и по х и I до второго порядка включительно, которая только и
') См. предложение 3 гл. IV, стр. 177. — Прим. перев.
314 Гл. VII. Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
позволяет утверждать, что ряд из стационарных решений, задающий и, сам
является решением уравнения колебаний струны. Здесь возникают труд-
трудности, на которых мы не останавливаемся. (Эти затруднения полностью
отпадут, если понимать сходимость и дифференцируемость в смысле теории
распределений. Отпадает также и предположение о том, что начальные дан-
данные и0 и и1 являются функциями от х, дифференцируемыми достаточное
число раз.)
Вычислим энергию движения. Поскольку энергия не зависит от I,
ее можно вычислять при / = 0. Имеем
(VII, 1; 115)
В силу формулы Парсеваля эта величина равна сумме ряда
1) 1;ив)
Общий член последнего ряда в точности равен энергии Ек к-го стационарного
движения ик, входящего в и ( " — 2 и* ) ■ Иначе говоря,
и(х, 0 = 2 «*(■*• П.
(VII, 1; 117)
Итак, полная энергия движения равна сумме полных энергий ста-
стационарных движений, на которые оно распадается.
Этот факт не является очевидным, ибо энергия не линейна, а квадра-
X X
тична; он связан с ортогональностью функций зш&л-у- и соз&тг-^ или же
с формулой Парсеваля. Заметим, что энергия Ек стационарной волны пропорцио-
пропорциональна л| + В\ и к2, т. е. пропорциональна квадрату ее амплитуды и квадрату
ее частоты. Заметим также, что здесь можно вновь доказать постоянство энергии
во времени. Если записать энергию Е в момент I в виде интеграла, то этот
интеграл снова можно будет вычислить по формуле Парсеваля. Однако теперь
понадобятся коэффициенты в разложениях Фурье функций -^ и -^- по функ-
ф /. Уравнение колебаний струны 315
X X
циям зш&тсу и С05ЙТС-Т- в момент времени г. Это сводится к замене чисел Ак
и Вк числами
' , VI . п . , VI
Ак = Ак СО5 «1Г -т- -)- Вк 81П ЯЛ -у- ,
~ — Ак$\п к'к-г--^- В к соз /и:—г-.
Ы ы (VII, 1; 118)
Вк~ — Ак$\п к'к-г--^- В к соз /и:—г-.
Но ведь
- Ак + В'к = А\ + В2к, (VII, 1; 119)
и, значит, энергия остается постоянной.'
Часто говорят, что стационарные составляющие ик, которые входят в и,
„физически реальны". Под этим понимают, что простые физические приборы
(резонаторы с заданными частотами) позволяют разложить любое движение и
на его составляющие ик. Это — факт большой практической важности.
Считают, что на открытом конце трубы давление
Задача Коши постоянно; согласно третьему уравнению (VII, 1; 36),
для открытой это означает, что выполняются условия
акустической
трубы ^@, Я^-§(*. О^о.
Это — новый тип краевых условий (см. стр. 303). [Если вместо и принять
за неизвестную функцию давление р, то оно также будет удовлетворять
уравнению колебаний струны, но при краевых условиях р@, () = р1 и
р(Ь, {)—р2. Если положить ъ = р—рх т~(Р2 — Р\)' т0 Для функ-
ции т снова получится уравнение колебаний струны с краевыми условиями
и@, ()^ъ(Ь, ^)зе0, что представляет собой только что решенную задачу.]
Стационарные волны удовлетворяют прежним уравнениям (VII, 1; 99). Краевые
условия V @) = Ц' (I) = 0 снова приводят к равенству (VII, 1; 102) при Х=^=0
и дают в качестве решения С/ функцию
/У(д:) = со5/Ь— (VII, 1; 120)
с точностью до постоянного множителя.
' По уже отмеченным причинам мы можем ограничиться случаем X > 0.
Однако случай Х = 0 также приводит здесь к стационарной волне, ибо
решение вида (VII, 1; 104) будет удовлетворять краевым условиям
V @)== V Щ — 0, если оно сводится к произвольной постоянной; это
равносильно использованию функции (VII, 1; 120) и при к = 0. При выбран-
выбранном числе к общее решение первого из уравнений (VII, 1; 99) снова имеет
316 Гл. VII. Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
вид (VII, 1; 105), если кфО. При й = 0 оно имеет вид
У{1)= Аг -г-В. (VII, 1; 121)
Окончательно находим, что стационарные волны при к Ф 0 имеют вид
ик(х, 0 = со8*я-^-(Лсов**-^- + Яв1п**-!*). (VII, 1; 122)
Их частоты и длины волн совпадают с частотами и длинами волн для ко-
колеблющейся струны с закрепленными концами (что не удивительно, поскольку
н=з
1 /-
Рис. VII, 10.
модифицированное давление тс при этом также стационарно и удовлетво-
удовлетворяет краевым условиям для колеблющейся струны). Однако функция С/(х),
продолженная на всю прямую (т. е. косинус), имеет теперь иную форму.
При к =0 стационарная волна имеет вид
иа(х,*) = М-\-В (VII, 1; 123)
и не является периодической (если А Ф 0).
Решение и задачи Коши ищут далее в виде комбинации стационарных
X
волн, что сводится к разложению функций и0 и их в ряд по соз&тс-^-. Это
разложение возможно, ибо если продолжить и0 и их сначала симметрично
относительно точки 0, а затем периодично с периодом 2^,, то разложения
X X
Фурье продолженных функций по периодическим функциям соз&тс-^- и зт&тс-^-
с периодом 21 будут содержать только члены с косинусами в силу четности
/. Уравнение колебаний струны
317
продолженных функций. Окончательно
и (х, 0=2 С03 Ьъ -^
(соз кт. -~\ 77 / "о (?)С05 кт:-^<Ц
О
4:/ «1Ш ^- (VII, 1; 124)
Член, непериодический по ^, соответствует переносу в целом массы газа,
которая входит в один конец трубы и выходит из другого.
Средняя скорость циркуляции газа в трубе дается, таким образом,
формулой
1 (;)<«• (VII, 1; 125)
Мы вновь пришли к результату, полученному на стр. 304 [см. фор-
формулу (VII, 1; 79)]. Конечно, эта скорость не имеет никакого отношения
к скорости распространения волн V, известно, что распространение
волны не сопровождается переносом вещества. Энергия Е снова будет сум-
суммой энергий Ек, включая сюда По.
Закрытой трубой называют трубу, закрытую с одного
конца и открытую с другого. Через открытый конец
в тРубу вдувается воздух, который покидает ее через
расположенное вблизи отверстие; столб воздуха,
заключенный в трубе, приводится в незатухающие колебания.
Задана Коши
зсскры/пои
трубы
-Воздух
Рис. VII, 11.
Предположим, что конец трубы х = 0 закрыт, а конец х =
Краевые условия на этот раз будут следующими:
и@, 0 = 0. ^а,() = 0.
— открыт.
Стационарные волны по-прежнему определяются уравнениями (VII, 1; 99),
однако функция V должна теперь удовлетворять условиям Ц @) = О, V (V) = 0.
Отсюда вытекает, что X—вещественное положительное число (X > 0). [Ибо
318 Гл. VII Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
если X < 0, то СО5 и зш превращаются в сп и зп; условие С/ @)=«=0 пока-
показывает, что речь идет о гиперболическом синусе, но тогда V будет гипер-
гиперболическим косинусом, который не обращается в нуль ни при каких веще-
вещественных значениях переменного. Число X не может также равняться нулю,
ибо тогда Ц = Ах -\- В. Из условия С/ @) = 0 получаем В = 0, а из условия
и'A) — 0 получаем Л = 0.]
Итак, функция V является некоторым синусом, V — косинусом, а усло-
условие С/'(Х) = О записывается в виде
. (VII, 1; 126)
откуда
УТь = къ + ^ = Bк+\)^. (VII, 1; 127)
С точностью ДО постоянного множителя функция и (х) имеет вид
)|-^-. (VII, 1; 128)
Можно ограничиться целыми неотрицательными значениями к (&^>0),
ибо числа к и —(&+1) дают функции V(х), отличающиеся знаком.
Стационарные движения, соответствующие данному к, даются формулой
Период Т, частота /V и длина волны Л определяются соотношениями
(VII, 1; 130)
При изменяющемся к частоты принимают только значения, равные нечетным
кратным основной частоты Л/о = -ц-, которая в свою очередь равна поло-
половине основной частоты открытой трубы, имеющей ту же самую длину.
Длина трубы равна нечетному кратному от четверти длины
волны. Продолженная на всю прямую функция С/(х) (т. е. синус) имеет
форму, указанную на рис. VII, 12. Если искать решение задачи Коши в виде
линейной комбинации стационарных волн, то приходится разлагать функиии и0
и «! по функциям 81пBА-(- 1) -Ту-Г' Для этой цели функции и0 и и1 продол-
продолжают сначала на отрезок (— Ь, 0) антисимметрически (нечетно), затем на от*
/. Уравнение колебаний струны
319
резок (^., 3^,) симметрично относительно точки х = Ь и, наконец, периодически
с периодом АЬ на всю ось. Продолженные функции могут быть разложены по
периодическим функциям созт-^-^- и зт т -тг-г- с периодом \Ь. Но, поскольку
продолженные функции нечетны, в этом разложении остаются только члены
А»/
'О
Н =2
к-3
-—-'о
Рис. VII, 12
с синусами; а, поскольку продолженные функции симметричны относительно-
точки х = Ь, среди членов с синусами остаются только те, у которых т.
нечетно (т = 2к-\-1).
Таким образом, имеем решение
и(х, 0=
X
BА+1)^-1; о^
И снова
. (VII, 1; 131)
320 Гл. VII. Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
§ 2. Уравнение колебаний мембраны и волновое
уравнение в трехмерном пространстве
Рассмотрим малые поперечные колебания однородной мембраны. Откло-
Отклонение мембраны, нормальное к плоскости равновесия [которую мы примем
за плоскость (х, у)], будет функцией и (х, у, (), которая удовлетворяет
уравнению
V2 дB дх2 ду2 ' ( 'г' '
где
/, (VII, 2; 2)
гДе в свою очередь Р — поверхностное натяжение мембраны, а р — поверх-
поверхностная плотность; величина V имеет размерность скорости.
Уравнение (VII, 2; 1) мы будем называть уравнением колебаний мем-
мембраны. Волновым уравнением мы назовем уравнение
1 д2и д2и д2и д2и
V2 дг2 ох2 ду2 дг2
= 0 (VII, 2; 3)
в трехмерном пространстве.
В данном параграфе мы собираемся изучить уравнения (VII, 2; 1) и (VII, 2; 3).
Для упрощения записи положим
С2 = _]?^__^_^ (VII. 2; 4)
„ 1 <?2 д2 д2 д2
1. Решение уравнения мембраны и волнового уравнения в трех-
трехмерном пространстве методом распространяющихся волн. Задачи Коши.
Вернемся к уравнению (VII, 1; 37). Обозначим через (С) волновой конус
будущего в плоскости (х, г):
(VII, 2; 6)
Пусть функция Е(х, () определяется формулой
Е(х, 1) =
— СО
^ (VII, 2; 7)
О вне (С).'
2 Уравнение колебаний мембраны 321
Простая выкладка показывает, что
1 д2Е д2Е
1? ~дГ2 дхг
= Ь (VII, 2; 8)
в смысле теории распределений.
Иначе говоря, функция Е(х, (), определенная равенством (VII, 2; 7),
является элементарным решением для оператора
Пусть теперь /(|) — достаточно регулярная функция переменного \.
Положим
ее Х+У1
^/ ^ / /(?)*«• (VII. 2; 10)
Замечание. Предыдущий интеграл на самом деле является сверткой
по \ при фиксированном I функций Е(Ц, I) и /(?).
Легко проверить, что при любой (достаточно регулярной) функции /
интеграл /(х, (; /) будет решением уравнения (VII, 1; 37) и что решение
(VII, 1; 48) задачи Коши (VII, 1; 44) есть не что иное, как
и(х, /) = /(*. /; и,) т--|"/(*. (; «о)- (VII, 2; 11)
]Мы хотим воспользоваться идентичным методом, чтобы изучить уравне-
уравнение (VII, 2; 3).
Обозначим через (Г) волновой конус будущего
Элементарное
решение для г»2/2 — (х2 -+- у2 + .г2)>0, *>0, (VII, 2; 12)
оператора Пз П1
г г •—" в пространстве /?■'.
Через X обозначим его поверхность.
Пусть Е(х, у, г, I) — распределение с носителем Е. задаваемое фэрмулой
(VII. 2; 13)
Внутренний интеграл берется по сфере с центром в начале координат
(пространства (х, у, 2)) и радиусом х>(, лежащей в гиперплоскости на уровне г;
<15 обозначает элемент поверхности сферы.
Положим
?(*. 0 = ^2 // <?(х, у, г.ОЛЗ (VII. 2; 14)
21 Л. Шварц
322 Гл. VII. Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
(при фиксированном { функция ср($, {) является средним от функции
(х, у, г)-><?(х, у, г, I)
По сфере с центром О радиуса 5, лежащей в гиперплоскости на уровне (].
Тогда будем иметь
5—И (VII. 2; 15)
Ц = $=А+1§ (VII. 2; 16)
(ср. с формулой A1, 2; 59)].
Формула (VII, 2; 13) запишется теперь в виде
{Е, <?)= Г 1>2^(г>Л Ь)й1. (VII, 2; 17)
о
Принимая во внимание равенства (VII, 2; 15) и (VII, 2; 16), будем иметь
о
40 ^
и, следовательно,
Поскольку функция <р(дг. у, 2. О имеет ограниченный носитель, последнее
выражение равно
(VII, 2; 21)
§ 2. Уравнение колебаний мембраны
323
Отсюда вытекает, что распределение Е(х, у, г, (), определенное равенством
(VII, 2; 13), является элементарным решением для оператора П3.
Задала Коши состоит здесь в следующем: отыскать
решение дифференциального уравнения (VII, 2; 3),
удовлетворяющее данным начальным условиям:
и(х, у, г, О)=ио(х, у, г),
Решение задачи Коши
для волнового
уравнения
в трехмерном
пространстве
-^-(х, у, г, 0) = >
у, г).
(VII, 2; 22)
Мы хотим получить явное решение этой задачи.
Допустим, что оно единственно.
Покажем сначала, что интеграл
-%, у--ц, г - С,
4тлЧ ] ] 1 Ь' '"
(VII, 2; 23)
ЛГ, у, г; VI)
является решением уравнения (VII, 2; 3) при любой достаточно регулярной
функции /. Здесь *( (х, у, г; VI)—сфера с центром (х, у, г) и радиусом VI,
лежащая в гиперплоскости на уровне I.
Равенство (VII, 2; 23) можно записать в виде
1(х. у, г. С, /) =
и, следовательно,
у—п. г-
Кроме того.
//
Т (О, О, О; VI)
М(х, у, г, (; /) = /(х, у, г, (; Д/).
/(х, у, г, (; /)=^
(VII. 2; 24)
(VII, 2; 25)
(VII, 2; 26)
где /(г) — среднее от функции / по сфере с центром (х, у, г) радиуса г.
Будем рассматривать / (г) как функцию только от г. Если записать г как
расстояние до начала координат в /?3, то /(г) станет функцией на /?3, от
которой можно взять лапласиан по классической формуле (II, 2; 50). После-
Последовательно дифференцируя, получим
■^-(х, у, 2, I; /)=/A»О-г-г;/7Ч«'О
(VII, 2; 27)
21*
324 Гл. VII- Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
~%г(х. у, г, I; /) = 2*/' (г*) + Л/ "
= V2I(x, у, 2, 1\ Д/). (VII, 2; 28)
Формулы (VII, 2; 25) и (VII, 2; 28) показывают, что интеграл 1(х, у, 2, г\ /)
является решением уравнения (VII, 2; 3).
Мы видим, что при (~>0 справедливы соотношения
1(х, у, 2, С, /)->0 (VII, 2; 29)
[в' силу (VII, 2; 26)],
~(х, у, 2, (-/)^/@) = /(х, у, г) (VII, 2; 30)
[в силу (VII, 2; 27)],
-^-(х, у, г, *; /)-^0 (VII, 2; 31)
[в силу (VII, 2; 28)].
Теперь легко проверить, что функция
и(х, у, 2, () = [(х, у, г, (\ их)-\-~1(х, у, г, I; и0) (VII, 2; 32)
будет решением задачи Коши (VII, 2; 22). В самом деле, при (—>-0 имеем
1(х, у, г, (; их)-+0 (VII, 2; 33)
[в силу (VII, 2; 29)],
-^-/(х, у, 2, (\ «„)->«„(*, у, 2) (VII, 2; 34)
{в силу (VII, 2; 30)], и, следовательно, функция а (х, у, г, I), задаваемая
формулой (VII, 2; 32)Г, стремится к ио(х, у, 2).
Кроме того,
~/и. У- г, (\ их)->их(х, у, г) (VII, 2; 35)
(в силу СV 11,2; 30)] и
~^-/(х, у, 2, С, но)->О (VII. 2; 36)
д
к и1(х, у, 2), когда ^~
силу (VII, 2; 31)]. Следовательно, производная ^-и(л;, у, г, () стремится
Ч. и т. д.
§ 2. Уравнение колебаний мембраны 325
Запишем формулу (VII, 2; 32) подробней:
и(х, у, г. О = ^ // «!«- 1.
//
К (х, у, г; VI)
ТОГ Л «оК-Ч-
к и, у, г; VI, /
Пусть § ($, т)) — достаточно регулярная функция двух
Решение задачи Коми переменных к и т).
для уравнения ^сли ее рассматривать, как функцию от трех
колебаний мембраны. г к _ г й г
Метод спуска переменных ;, »] и !,, то она будет независима от (.
и ее можно будет записать в виде
В (Я. "П) = В& 1)®1с = г№. 1.С). (VII, 2; 38)
Вычислим с помощью формулы (VII, 2; 23) интеграл I (х, у, г, I; §):
1(х, у, 2, С, в) = -^ц // (.В(И.гд®10а8- (VII. 2; 39)
7 (лг, у, г; VI)
При дальнейших выкладках полезно обратиться к рис. VII, 13. Интеграл,
который стоит в правой части равенства (VII, 2; 39), не зависит от г и можно
написать
/(х, у, 2, {; §) = 1(х, у. О, I; §) =
^Т^Г // C4*. 71)&Л)'*5- (VII, 2; 40)
7 (лг, у, 0; »/)
Обозначим через ^(р) среднее функции §A, т)) по окружности С [в пло-
плоскости ($, т))] .с центром ш = (х, у) и радиусом р; 0<^р-<^г#. Тогда ^(р)
будет также средним функции @(%, т), С) по любой из двух параллелей Сх
и С2 радиуса р, лежащих на сфере ~[ (х, у, 0; х)().
Обозначим через шл, внешнюю нормаль к сфере в какой-либо точке
параллели С! и положим
4+
ф= ОС, шл,. (VII, 2; 41)
Имеем
р = ^51п6, (VII, 2; 42)
откуда
^=-. - (VII, 2; 43)
326
■ Гл. VII. Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
Поскольку
/
1 (лг, у, 0; VI)
Рис. VII, 13.
Окончательно будем иметь
VI
, ~ч 1 Г
С У, 2, С, §) = — ]
— г
Это выражение зависит только от х, у, I и §. Положим поэтому
VI _
V ^ 1/ Х]"*Р — р2
(VII. 2; 45)
§ 2. Уравнение колебаний мембраны 327
Для любой достаточно регулярной функции §■(?, т;) интеграл ^(x, у, Ь\ §)
будет решением уравнения колебаний мембраны (VII, 2; 1).
В самом деле, согласно исследованию уравнения (VII, 2; 3), мы знаем,
что выполняется соотношение
□ 3/(*. У. г. I; §) = 0. (VII, 2; 47)
Поскольку, с другой стороны, для функции ц двух переменных $ и т) инте-
интеграл 1(х, у, г, I; §) не зависит от г, имеем
■^1{х. у, г, Ь ё) = 0 (VII, 2; 48)
и, следовательно,
□ 3/(х, у, г, I; §■)= П2/(х, .у, г, С, §0 = 0, (VII, 2; 49)
откуда
□ 2У(х, у, ^; §)=П21(х, у, г, (; ^) = 0. (VII, 2; 50)
Задача Коши для уравнения колебаний мембраны состоит в том, чтобы
отыскать решение уравнения (VII, 2; 1), удовлетворяющее начальным условиям
и (х, у, 0) = ио(х, у), I
ди . пч / ч I (VII, 2; 51)
!»(*• У> 0) = «,(*. у). ;
а(х, у, ^) = ^(x. у, (; иx) + ■~^(x, у, {; и0). (VII, 2; 52)
Решение задачи (VII, 2; 51) дается формулой
■~
В самом деле, положим
? (VII. 2; 53)
и
«1 ($• ч\. О = «1 (?. Щ) & 1С. (VII, 2; 54)
тогда равенство (VII, 2; 52) запишется в виде
и(х, у, () = /(х, у, г,(; Ъ{)-+-^-1(х, у, г, 1\ н,). (VII, 2; 55)
Отсюда сразу же следует, что при (->0 выполняются соотношения
и(х, у, /)->но(лг. у, г)~ио(х, у) (VII, 2; 56)
ЭДН Гл. VII. Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
н силу (VII, 2; 33) и (VII, 2; 34) и
-^ и (лг, у, 0 -> «1 (х. у, г) = их {х, у) (VII, 2; 57)
м силу (VII, 2; 35) и (VII, 2; 36).
Рассмотрим выражение
(VII, 2; 58)
для достаточно регулярной функции §(%, г\). Здесь п(х, у; х>() — диск
с центром (х, у) и с радиусом VI.
Положим
х — $ = рсоз 6, 1
.л (VII, 2; 59)
у — 7) = р5|Пб. ) '
Тогда интеграл (VII, 2; 58) запишется в виде
Но интеграл I ^"(^, т))й0 есть не что иное, как 2тг^(р). Следовательно,
- 8^< 1) ЛгЛ-ц = .1{х, у, {; $). (VII, 2; 60).
Поэтому решение (VII, 2; 52) задачи Коши (VII, 2; 51) для уравнения колеба-
колебаний мембраны записывается в виде
Мы примем без доказательства, что задача Коши (VII, 2; 51) имеет
единственное решение, даваемое формулой (VII, 2; 61).
Замечания. 1. В случае волн в трехмерном пространстве значение
функции и [даваемое формулой (VII, 2; 37)] в точке (х, у, г) в момент вре-
времени I зависит только от значений а0 и их в момент ^ = 0 функций
ф .2. Уравнение колебаний мембраны 329
и и ~^- на сфере с центром (х, у, г) и с радиусом VI. Здесь нет диффузии
воли.
Напротив, в случае волн в двумерном пространстве значение функции
и (даваемое формулой (VII, 2; 61)] в точке (х, у) в момент времени ^ зависит
от начальных значений и0 и их во всем диске с центром (х, у) и радиусом
V^■ Здесь имеется диффузия волн.
2. Случай волн в трехмерном пространстве. Пусть (х, у, г, () —
точка в пространстве /?4. Волновым конусом прошлого для этой точки назы-
называется конус
г,2(г_тJ-(х->J-(у-7]J_(.г— СJ>0, |
а волновым конусом будущего—конус
V2 Ц — хJ — (х— О2 — (у — т)J — (г — СJ > О,
I < т.
Пусть вместо того, чтобы решать задачу Коши для начального момента
О, мы хотим решить ее для начального момента @ [иными словами, пусть
нам надо найти решение уравнения (VII, 2; 3), удовлетворяющее условиям:
и(х, у, г, @) — и0(х, у, г) и —д-(х, у. г, 10) — их{х, у, г)\. Легко видеть,
что в этом случае формулу (VII, 2; 32), дающую функцию и (х, у, г, (),
следует заменить формулой
и(х, у, г, ()—=1{х, у, г, (— ^0; и\)~\--лг '(■*• У* ■г> * — ^о'> ид>
при (> 1й или формулой
н(х, у, г,- ()= —\/(х, у, г, (п — I; их)-г-^- !(х, у, г, (п — ^; ио)|
при ( ■< г^0.
Преобразуя эти выражения с помощью равенства (VII, 2; 23), мы видим,
что то, что происходит в момент времени 1 > @ в точке (х, у, г), зависит
только оттого, что происходило в момент времени @ на поверхности сферы
7(х, у, г; х)(( — ^0)), представляющей собой пересечение поверхности
волнового конуса прошлого для точки (х, у, г, () с гиперплоскостью - = @.
Если же Ь < @, то мы видим, что то, что происходит в момент
времени { в точке (х, у, г), зависит только от того, что будет происхо-
происходить на поверхности сферы ~[(х* У- г'< Х)(^о — 0)- представляющей собой
пересечение гиперплоскости х = ^0 с поверхностью волнового конуса буду-.
щего для точки (х, у, г, I).
330 Гл. VII. Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
Случай волн в двумерном пространстве. Пусть (х, у, ()—точка
в пространстве /?3. Волновым конусом прошлого (соответственно будущего)
для этой точки называется конус
V2 (( — тJ — (х — О2 — {У — Т1J > 0, ( >- х,
[соответственно конус
Если решать задачу Коши для начального момента @, то решение
и(х, у, О дается формулой
д
а{х, у, () = и(х, у, ( — ^0; и^)-\—тг1(х, у, ( — ^0; и,),
если I > 10, или же формулой
Г д 1
и(х, у, () = — \^(x, у, @ — I; и,) + -^г«/(х, у, @ — (; и,) ,
если I < г0.
Используя равенство (VII, 2; 60), мы видим, что то, что происходит
п момент времени ( > @ в точке (х, у), зависит только от того, что проис-
происходило в момент времени @ во всем диске п(х, у; х>(( — ^0)), предста-
пляющем собой пересечение плоскости т = @ с волновым конусом прошлого
для точки (х, у, (). Если же << ({), то мы видим, что то, что происходит
и точке (хг у) в момент времени {, зависит только от того, что будет проис-
происходить в момент ^0 во всем диске О(х, у, х/(^0 — ()), представляющем
собой пересечение плоскости т = @ с волновым конусом будущего для
точки (х, у, I).
В задаче Коши (VII, 2; 51) мы предположили, что
Мембрана с краем мембрана не ограничена; функции и0 и и, были опре-
определены во всей плоскости (х, у).
Предположим теперь, что мембрана имеет края, т. е. предположим, что
и состоянии покоя она занимает некоторую область О с границей Г !).
Задача Коши состоит здесь в указании
а) начальных значений
ио(х, у) = и(х, у, 0), |
для точек (х, у)^ О и
_*„.,. о, (у"-2:62>
') Смешение границы Г с волновым конусом будущего исключена
$ 2. Уравнение колебаний мембраны 331
Ь) краевых условий; мы будем заниматься здесь только краевыми
условиями Дирихле:
и{х, у, 0=0 (VII, 2; 63)
для точек (л:, у) границы Г в течение всего времени.
Решение задачи начинают, если это возможно, с такого продолжения
функций и0 и и1 до функций и0 и их, чтобы решение и(х, у, {), даваемое
формулой (VII, 2; 60) с заменой и0 и и1 на и0 и их, обращалось в нуль
в любой точке {х, у)(;Г при всех значениях (.
Тогда для любой точки (х, у, {) значение и(х, у, () дается формулой
у. *) = ( ( (
? П г "(^} аыЛ. (VII. 2; 64)
(VII, 2; 65)
Пример: О — полуплоскость х > О, Г — ось х = 0. Полагаем
*\(х, у) = — их{—х, у)
при х < 0.
(Этот случай, очевидно, обобщает случай струны с одним закрепленным
концом.)
В случае, когда область О не ограничена, мы примем без доказательства
единственность решения.
Для ограниченной области О эту единственность мы сейчас докажем.
Интеграл энергии. Предположим, что область О ограничена и что ее
Единственность границей является замкнутая кривая Г. (Этот случай
в задаче Коши наиболее важен на практике.) Умножая равенство
(VII, 2; 1) на -^ и интегрируя по О, получим
Интегрируя правую часть по частям и используя условие (VII, 2; 63),
получим
332 Гл. VII. Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
Интегралом энергии служит здесь
Согласно равенству (VII, 2; 67), энергия остается постоянной во времени.
Докажем теперь единственность решения задачи Коши (VII, 2; 62),
(VII, 2; 63). Разность I) двух решений также является решением уравнения
(VII, 2; 1). Она удовлетворяет начальным условиям С/0(х, у) = С/1(х, у) = 0
и краевому условию С/(х, у, ^) = 0 на Г. Но тогда
Энергия, равняясь нулю в начальный момент, равна нулю все время.
Следовательно,
-^- = 0. ™~0 и -^-=0. (VII. 2; 70)
д! дх ду
поэтому II постоянна. Поскольку С/ равна нулю в начальный момент, она
равна нулю и в любой другой момент времени, т. е. С/ равна нулю
тождественно.
Ч. и т. д.
2. Решение задачи Коши для уравнения колебаний мембраны мето-
методом гармоник х). Пусть область О ограничена и границей ее является
замкнутая кривая Г. Стационарным решением уравнения (VII, 2; 1) называется
решение вида
и(х, у, {)=--:11{х, у)У((). (VII. 2; 71)
Для такой функции из уравнения 0^11,2; 1) можно получить равенства
^ = Х' (VII, 2; 72)
где X обязана быть постоянной. Обратно, если X — постоянная, то решения
1}{х, у) и V(?) уравнений
ДУ —Ш = 0. (VII, 2; 73)
V" — >л'2У = 0 (VII, 2; 74)
приводят к стационарному решению уравнения (VII, 2; 1).
') Этот метод применим также и к трехмерному волновому уравнению. Мы
ограничимся тем, что предложим читателю лишь некоторые упражнения на этот случай.
$ 2. Уравнение колебаний мембраны 333
Мы собираемся отыскать стационарные решения уравнения (VII, 2; 1),
которые удовлетворяют условию (VII, 2; 63) на контуре Г. Можно предпо-
предположить, что функция V ({) не равна тождественно нулю, в противном случае
мембрана оставалась бы неподвижной. Тогда условие (VII, 2; 63) может
выполняться при любом значении (, только если
Ц(х, у) = 0 на Г. (VII, 2; 75)
Как и в случае колебаний струны, это возможно только при исключи-
исключительных значениях X. Мы предположим, что граница Г области О „регу-
„регулярна", и примем без доказательства следующую теорему.
Теорема Дирихле
Задача об отыскании решений уравнения в частных производных
Ш — \Ц = 0, (VII, 2; 73)
удовлетворяющих краевому условию
Ц(х, у) = 0 на Г, (VII, 2; 75)
имеет только нулевые решения при либом X, за исключением счет-
счетного множества вещественных строго отрицательных значений X:
Х = —Ю ^ = — °> Х = — < ■
При каждом из этих значений X задача имеет конечное число
/?B), ..., р(п), ... линейно независимых решений, которые принад-
принадлежат Ь2(О). Выберем линейно независимые решения 1/пг, 1/п2, ... , Vпр(п)>
с нормой 1 в Ь2(О), соответству:ощие данному Х„, так чтобы функ-
функции 1/к](к) [&= 1, 2 п, ... ; /(&)— 1, 2 р(&I были попарно
ортогональны в А2(О) '). Тогда эти функции Иъкъ} будут образовы-
образовывать гильбертов базис в А2(О).
Замечание. Легко видеть, что числа X должны быть вещественными
отрицательными.
В самом деле, справедливо равенство
И
') Эти числа лп называются собственными значениями задачи (VII, 2; 73),
(VII, 2; 75). Функции [/„,, ..., V' пр (П) называются собственными функциями, соответ-
соответствующими данному \п. Если р (п) = 1, то Х„ называется простым собственным зна-
значением; если же р(л)>1, то Х„ называется кратным собственным значением,
а число р (п) называется его кратностью.
334 Гл. VII Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
правая часть которого получается из левой интегрированием по частям,
с учетом условия (VII, 2; 75).
В силу равенства (VII, 2; 73) правая часть равна
у, (VII, 2; 77)
о
откуда и следует требуемый результат.
Остается решить уравнение
V" + со2^ = 0. ' (VII, 2; 78)
Его общее решение имеет вид
У(г)—асовмг-\-Ь%\пШ. (VII, 2; 79)
I Таким образом, наиболее общий вид стационарного решения следующий:
ип(х,у, 0=2 ^я/(*. .У)(аяусо5а.пг* + *я/81пи>„1*). (VII, 2; 80)
1
Будем теперь искать решение уравнения (VII, 2; 1) в виде
и(х, у, 0=2 2 ^п](х' .У)(ал7со5шяг'*+*я/5'П(вяг'О' (VII, 2; 81)
Остается написать, что функция и(х, ух I) удовлетворяет начальным
■ условиям (VII, 2; 62):
лз р\т
ио(х. У)= 2 2 Упрпр
' "П;1, (VII, 2; 82)
«х(*.У)=2 2'
я=1 7=1
Мы должны, таким образом, разложить функции ио(х, у) и иг(х, у)
в ряды по функциям Vг„у, что возможно [при условии, что и0 и «! принад-
принадлежат А2(О)], поскольку функции {/„у образуют тотальную систему в 1,2(О).
3. Частные случаи: прямоугольная мембрана
Прямоугольная и круговая мембрана. Примем здесь за О прямо-
мембрана угольник I 0 <х -^ А
У
Будем искать II(х, у) в виде
и{х,у) — Цх)М{у). (VII. 2; 84)
$ 2. Уравнение колебаний мембраны 335
Тогда уравнение (VII, 2; 73) примет вид
Ц- + -^-|-и>2 = 0, (VII, 2; 85)
а краевое условие (VII, 2; 75) превратится в условия
= 0, (VII, 2; 86)
= 0. (VII, 2; 87)
Равенство (VII, 2; 85) возможно, только если
1"-\-а.1 =0, (VII, 2; 88)
М"-{-§М — 0, (VII, 2; 89)
где а и Р—две постоянные, связанные соотношением
а4-р = ш2. (VII, 2; 90)
Решениями задачи (VII, 2; 88), (VII, 2; 86) служат функции
51п^ (У^ = ^\ .. (VII. 2; 91)
с целыми положительными к (к > 0) (ср. стр. 310). Аналогично решениями
задачи (VII, 2; 89), (VII, 2; 87) служат функции
М.
(VII, 2; 92)
с целыми положительными /.
Таким образом, мы получаем для этого случая все собственные значения
задачи:
( ) (VII. 2; 93)
где к, I — целые положительные числа.
В этом частном случае значения X оказываются, конечно, вещественными
отрицательными. Собственные функции имеют вид
у/.(==51п-^51П^. (VII, 2; 94)
В качестве V ({) получаем функции
Ун {{) = ап со$ шк1у1 + Ьы 5ш юк1у(, (VII, 2; 95)
где частоты шк1 даются формулой (VII, 2; 93).
336 Гл. VII. Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
Стационарное движение, соответствующее целым числам к и /, имеет
по времени частоту
/р- + -&-- (VII, 2; 96)
Эта формула обобщает формулу (VII, 1; 108), полученную для колеблющейся
струны. Эти частоты не являются кратными основной частоты
Ж' (VII, 2; 97)
если А Ф В. Если же Л = В (квадратная мембрана), то
, где Nо=^-V. {Ч\\,2\Щ
Решение уравнения (VII, 2; 1) будем искать в виде
и{х, у, ()= ^ 5т-^-5[п-^-(ак1со5ш111у{-^Ь1г15тш111у{). (VII, 2; 99)
к,1=1
Чтобы удовлетворить начальным условиям, следует положить
(VII, 2; 100)
ио(х, у) =
к, 1=1
«■ А 1 I к2 ! Р с.п кт.х ^.п 1~у
к, 1=1
Таким образом, функции ио{х, у) и и1(х, у) надо разложить в ряды
у)
Фурье с двумя переменными по функциям зш '" 5т -^- (см. упражнения
к гл. IV).
Но ведь всякая функция / от (х, у), заданная в прямоугольнике О,
допускает единственное разложение этого типа.
В самом деле, при 0 ^ у .^В можно продолжить функцию х->/(х, у)
на интервал (—А, 0) как нечетную функцию от х, а затем при у^(—В, 0)
и х (; (— А, А) положить
/(х, у) = — /(х, — у).
Тогда возникнет функция, определенная в прямоугольнике
— А ^ х <, А, — В ^ у ^ В.
§ 2. Уравнение колебаний мембраны . 337
Ее можно далее продолжить до периодической функции с периодом 2А по х
и с периодом 2В по у.
Коэффициенты ак1 и Ьы даются формулами
в
о
Г
)
О О
(VII, 2; 101)
/1 В
О О
I
Это рассуждение показывает, что в нашем частном случае система Цк1,
заданная равенством (VII, 2; 94), является тотальной.
Мы получаем, таким образом, некоторое решение нашей задачи, и мы
знаем, что оно является единственным.
Примем теперь за область О диск
Круговая мембрана ^ + у2 ^ ^2 (уп> 2. ](J)
Мы ограничимся, кроме того, изучением решений уравнения
(VII, 2; 1), обладающих круговой симметрией, т. е. мы ограничимся
изучением решений вида и (г, {), где г = \/~х2 -\- у2, которые удовлетворяют
начальным условиям
и (г. 0)^ Ц()(г).
Ои
(VII, 2; 103)
^-(г, 0)=И](г)
и краевому условию
и (Л, *) = 0. (VII, 2; 104)
Будем искать и {г, () в виде
и(г, Ъ=(Дг)У({), (VII, 2; 105)
тогда уравнение (VII, 2; 73) примет вид
и" -+-1 У + со2У == 0 (VII. 2; 106)
(ср. с формулой (II, 2; 59)]. Условие (VII..2; 104) превратится в условие
У(/?) = 0. (VII, 2; 107)
Сделаем в уравнении (VII. 2^ 106) замену переменного
р = шг. . ' (VII. 2; 108)
22 Л. Швард
•138 Гл. VII. Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
тогда 11 (р) = 11 (р/со) будет решением уравнения
О"+ -0'-\-0 =
Следовательно (см. гл. IX и упражнение 1Х-5),
О"+ -0'-\-0 = 0. (VII, 2; 109)
-/о(р). (VII, 2; 110)
поскольку нужно брать только регулярные решения. Здесь Уо — функция
Ьесселя с индексом 0.
В качестве решения уравнения (VII, 2; 106) получаем, таким образом,
функцию
{У(г) = 70((вг). (VII, 2; 111)
Величина со должна удовлетворять уравнению
70(ш/?)=0. (VII, 2; 112)
чтобы выполнялось условие (VII, 2; 107).
Однако известно, что все нули функции Уо вещественны (гл. IX).
Поэтому уравнение (VII, 2; 112) приводит нас лишь к вещественным значе-
значениям о). С другой стороны, замена ш на —ш в формуле (VII, 2; 111) дает
ту же самую функцию У (г). Поэтому надо удержать только положительные'
значения со. Пусть гх гп, ... —последовательность положительных
нулей функции Уо. Тогда значения ш даются равенством
«>пК = гп или и>„ = ^-. (VII, 2; 113)
(Это равенство показывает также, что в данном случае числа Х.д = — ш2п —
вещественные отрицательные.) Функция С/п(г), соответствующая шл, равна
(VII, 2; 114)
Для функций V {{) получаем равенство
Vп(()=апсо5^-V^+Ьп$\п^-V(. (VII. 2; 115)
Стационарное движение, соответствующее целому числу п, обладает частотой
Л/ = -^-г;. (VII, 2; 116)
Функцию и (г, () будем искать в виде
^а*^п^%V(). (VII. 2; 117)
я=1
§ 3. Уравнение теплопроводности 339
Запишем, что она удовлетворяет начальным условиям (VII, 2; 103):
1
(VII, 2; 118)
л=1
Таким образом, надо разложить функции ио(г) и их{г) в ряд по функ-
функциям ^о[~ц~)' чт0 возможно в силу теоремы Дирихле, если щ{г) и и, (г)
достаточно регулярны. Тогда коэффициенты ап и Ьп будут полностью опре-
определены, а следовательно, будет полностью определена и функция и (г, ().
Мы получим некоторое решение задачи, и мы знаем, что оно будет един-
единственным.
4. Волновое уравнение в Яп- Волновым уравнением в пространстве /?я
называется уравнение
Л-згг — Д" = 0, (VII, 2; 119)
V2 дB
где
II
Ц-. (VII, 2; 120)
Подробный анализ этого уравнения выходит за рамки нашего курса.
Мы ограничимся только тем, что предложим в упражнениях некоторые
вопросы, относящиеся к этому анализу.
§ 3. Уравнение теплопроводности
Мы уже встречались с уравнением теплопроводности (гл. V, § 4). Мы л
собираемся изучить здесь решения упрощенного уравнения
^__^. = 0 (VII, 3; 1)
методами, аналогичными методам, которые мы использовали для уравнения
колебаний струны и для уравнения колебаний мембраны.
1. Анализ методом распространяющихся волн; задача Коши. Мы
уже знаем, что элементарное решение для оператора
■5—^1- <™'*2>
22*
340 Гл. VII. Волновое уравнение и уравнение теплопроводносги
имеет вид
У'(Д=-е~17 (VII, 3; 3)
1см. формулу (V, 4; 16) гл. V].
С другой стороны, легко проверить, что интеграл
/(*.*;/)= Г ±__/ф<Г; (УП.З;4>
** I у ш
при х ^ /? и ^>0 будет решением уравнения (VII, 3; 1), какова бы ни была
достаточно регулярная функция /(?).
Покажем дополнительно, что I {х, (; /)->/(*) при /->0.
Согласно формуле (V, 1; 38), имеем
_^_
^г = ^-[в-4А'»] (VII, 3; 5;
и, значит,
/ (х, (;/) = <&- [е-^] * /. (VII, 3; 6;
Но е-4'да-> 1 в &", когда *->0, и, следовательно, ^ [е-"ЛХ2] ~^8 » ^",
а значит, и в 35' (см. упражнения к гл. V). Используя теперь непрерыв-
непрерывность свертки, мы выводим отсюда, что
Цх, С, ]) ■ >8*/ = /(*). (VII, 3; Г
1. Случай неограниченного теплопро-
Задача Коши водника. В этом случае задача Коши состоит
в том, чтобы найти решение уравнения (VII, 3; 1)
удовлетворяющее начальному условию
и (т. О) = ио(*). (VII, 3; 8
В силу соотношения (VII, 3; 7) таким решением будет функция
«(*./)= ( е2 -!_ ио(9Д;. (VII. 3; 9
Мы примем без доказательства, что это решение является единственным
2. Случай теплопровод пика с концом в начале коор
динат. Задача Коши состоит теперь, в ток, чтобы найти решение уравие
§ 3. Уравнение теплопроводности 341
ния (VII, 3; 1), удовлетворяющее начальному условию (VII, 3; 8) и некоторому
краевому условию. Например,
я @, 4 = 0, (VII, 3; 10)
или
-^@,0 = 0, (VII, 3; 11)
или же какому-нибудь из более сложных условий, которых мы не касаемся.
В случае краевого условия (VII, 3; 10) функцию и0 продолжают до чет-
четной функции и0; в случае же краевого условия (VII, 3; 11) ее продолжают
до нечетной функции мг В первом случае решение задачи Коши дается форму-
формулой (VII, 3; 9) с заменой и0 на и0; во втором случае решение также дается
формулой (VII, 3; 9), но с заменой и0 на и,. Мы снова примем без доказа-
доказательства, что найденное таким способом решение является единственным.
3. Случай теплопроводника, ограниченного с обоих
концов @ и Ц. Задача Коши состоит здесь в том, чтобы найти решение
уравнения (VII, 3; 1), удовлетворяющее начальному условию (VII, 3; 8) и двум
краевым условиям. Мы ограничимся следующими типами краевых условий:
либо
ц@, ()=и(и 0 = 0, (VII. 3; 12)
либо
^@,0 = ^(^.0 = 0. (VII. 3; 13)
Здесь снова следовало бы продолжить функцию и0 так, чтобы краевые
условия (VII, 3; 12) или (VII, 3; 13) были удовлетворены. Мы не останавли-.
ваемся на этом подробнее, потому что мы дадим явное решение этой задачи
методом гармоник.
Рассмотрим случай ограниченного теплопроводника
Еоинственн.ость длины А. Разность II двух решений задачи Коши
в задаче Коши .,,,. „ о. .,,., „ . п. . г ..,,, „ о.
(VII, 3; 8), (VII, 3; 12) [соответственно (VII, 3; 8),
(VII, 3; 13)] является решением уравнения (VII, 3; 1), удовлетворяющим на-
начальному условию
Ц0(х) = 0 (VII, 3; 14)
и краевым условиям
1/@, О==ЬЧ1, 0 = 0 0^11,3:15)
соответственно краевым условиям
(VII, 3; 16)
342 Гл. VII Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
Из уравнения (VII, 3; 1) получаем равенство
о о
из которого в свою очередь выводим равенство
о " о
При краевых условиях (VII, 3; 15) или (VII, 3; 16) проинтегрированный
р р у (
г ей .л1 Л
член -ч— и обращается в нуль.
Положим теперь
ОЦ)= I ЦЦх, I) их. (VII, 3; 19)
о
Из равенств (VII, 3; 19) и (VII, 3; 18) вытекает, что О(^) является неотрица-
неотрицательной убывающей функцией. Но значение О@) равно нулю согласно
равенству (VII, 3; 14). Следовательно, функция 0({) тождественно равна
пулю и, значит, функция Ц также равна нулю.
Ч. и т. д.
2. Решение задачи Коши методом гармоник. Стационарным решением
уравнения (VII, 3; 1) называется решение вида
а (х. 1) = Ц {х) V Ц). (VII, 3; 20)
Для подобной функции и уравнение (VII, 3; 1) превращается в уравнения.,
II" V
ЦГ = ^Г = -К (VII. 3; 21)
где X — некоторая постоянная. Обратно, если X — постоянная, то решения
дифференциальных уравнений
1Г-|-Ш-^=0, (VII. 3; 22)
У + XV = О (VII, 3; 23)
определяют некоторое стационарное решение уравнения (VII. 3; 1).
Найдем сначала стационарные решения уравнения (VII, 3; 1), удовлетво-
удовлетворяющие краевым условиям (VII, 3; 12).
$ 3. Уравнение теплопроводности 343
Можно предположить, что функция V ({) не равна тождественно нулю,
в противном случае функция и(х, г) была бы тождественным нулем. При
этом краевые условия (VII, 3; 12) могут удовлетворяться, только если вы-
выполнены условия
О. (VII, 3; 24)
Решения уравнения (VII, 3; 22), удовлетворяющие условиям (VII, 3; 24), обя-
обязательно имеют вид
где
к
Ук=-~, к -- целое > 0. (VII, 3; 25)
Тогда решениями уравнения (VII, 3; 23) служат функции
кЧЧ
аке~~[г, (VII, 3; 26)
а функции
ЧЧ
ик(х, *) = «*« 12 51п^р (VII, 3; 27)
дают общий вид стационарного решения.
Будем, следовательно, искать решение задачи в виде ряда
со к2-2'
и(х, О=2ай« 1' зШ-^-. (VII. 3; 28)
Запишем, что функция и{х, () удовлетворяет условию (Уг1, 3; 8):
(VII. 3; 29)
Остается разложить функцию ио(х) в ряд Фурье по функциям зт—-.—;
это возможно (см. стр. 312 — 313). Коэффициенты ак даются формулой
I
О Л Ь-тг у
ак=-=- ) ио(хM1п~-ах. (VII, 3; 30)
о
Здесь мы снова получаем явное решение задачи Коши (VII, 3; 8), (VII, 3; 12),
и мы знаем, что оно является единственным.
* Чтобы решить этим методом задачу Коши (VII, 3; 8), (VII, 3; 13), нужно
решать те же самые уравнения (VII, 3; 22) и (VII, 3; 23), но с заменой крае-
краевых условий (VII, 3; 24) условиями
4г(О) = 4гA) = °- (VII. 3; 31)
344
Гл. VII. Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
Решениями уравнения (VII, 3; 22), удовлетворяющими условиям (VII, 3; 31),
служат функции
созуТл:, где у\=~, к — целое >О (VII, 3; 32)
(см. стр. 315).
Тогда решениями уравнения (VII, 3; 23) служат функции
(VII, 3; 33)
V 11(г) = аке ь при К
Поэтому решение задачи мы ищем в виде ряда
и(х, 1) = ао-1
соз-
(VII, 3; 34)
*=1
V . Запишем, что решение удовлетворяет начальному условию (VII, 3; 8):
»соз^. (VII, 3; 35)
Разложение функции ио(х) в ряд Фурье по функциям соз I полностью
определяет коэффициенты ак. Они даются формулами
1 С
а{)=-^- | ай(х)йх.
ах.
(VII. 3; 36)
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VII
Упражнение УП-1: (Щипок струны.) Рассмотрим колеблющуюся струну
длины I, закрепленную на обоих концах х = 0 и х = I.
В начальный момент струна оттягивается в точках Л и С и отпускается
без начальной скорости. Начальное положение струны определяется графи-
графиком функции ио(х) = -у- 1)п(х)У к > 0, где
х при 0 -4- х -^ 1/4,
— (х— III) при ^|А<^x^ 31/4.
I х — I при 31/4 4 х ^. Ь.
Упражнения
345
Определить положение струны в момент г, используя метод стационар-
стационарных волн. Каковы частоты полученных гармоник? С какой скоростью убы-
убывают их амплитуды?
А
ио(х)
Рис. VII, 14.
Упражнение УП-2. Упражнение, совпадающее с предыдущим, но при
условии, что струна оттянута только в средней точке А. Начальное положе-
он
ние струны определяется графиком функции ио(х) — —г-ч)й{х), где
х при 0 <; л:< 1/2,
. — х при Ц2 <*</..
А
Рис. VII. 15.
Упражнение УП-3. Такое же, как и предыдущее, но с
к
Тх
при 0 < х < /,
1_1_-(х — Ц при / < х < I.
Числа / и к даны (А > 0, 0 </</.).
Рис. VII, 16.
346 Гл. VII. Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
Упражнение УП-4. Методом гармоник найти положение колеблющейся
струны в момент времени {. Длина струны равыа и, оба конца закреплены,
начальная скорость равна нулю, а начальное положение определяется гра-
графиком функции ио(х) = х(/* —х). Каковы частоты гармоник? С какой ско-
скоростью убывают их амплитуды?
Упражнение УП-5. (Удар по струне.) Методом гармоник найти поло-
положение колеблющейся струны в момент времени (. Длина струны равна Ц
оба конца закреплены, начальное положение севпадает с отрезком 0 ^ х <^ Ь,
а начальная скорость дается распределением Дирака в точке В с абсцис-
абсциссой Ь, 0<Ь<1 (~(х,0) = Ь1
Упражнение УП-6. Найти решение уравнения колебаний струны, удо-
удовлетворяющее следующим условиям Коши:
I 1, когда 2р< х < 2р~\- 1,
«о(-*0 = { 0> когда 2р+1 <х<2р + 2, р — целое,
СО
—со
Упражнение VII-7. Найти решение уравнения
дЧ 1 д*и
удовлетворяющее условиям
и(х, 0) = 0 и -^-(*. 0) = 0.
Положить ш/а = с.
Упражнение УП-8. Изучить распространение одномерной волны, ко-
которая движется со скоростью 1>: при х > 0 и со скоростью 1>2 при х < О
и удовлетворяет начальным условиям
и(х, 0)=0. ~{х, О) = ф(дс).
где функция <^(х) равна нулю при х < 0.
Упражнение УП-9. Положим
Л __с^_ . <?"-■ _д д"~Р дР д"
" (?ул 1~ а1 ^ул-1 • дх -Г • • • -Г ар дуп-р • дхр -Г • • • "Г ая йл.я • С1)
где ар — данные комплексные числа.
Предлагается искать решения уравнения
Ап(и(х,у)) =
Упражнения 347
в виде и(х, у) = / (х -\- Ху); тогда X будет корнем характеристического
уравнения
)--}-а1Х'1-1+ ... +прКп~р+ ... +ая = 0. C)
В случае, когда характеристическое уравнение C) имеет п вещественных
корней Х1§ .... Хя, оператор A) можно представить в виде
Л _ ( д 1 д \( д 1 д \ ( д Л д
1) Показать, что если все \{ различны, то любое решение уравнения B)
имеет вид
и(х, у) = 2^ Рк (х Ч-Х^у), D)
к = 1
где Рк — произвольные функции. Рассуждение можно вести индукцией по п:
2) Как следует изменить формулу D) в случае, когда уравнение C)
имеет кратные корни?
Упражнение VII-10. Рассмотрим /г-мерное волновое уравнение
л
в брусе
0<л:, < А^ 1=1, 2 п.
Найти все стационарные решения вида
для которых#У/(О)=г//(Л/) = 0, /=1, 2 /г.
При /г = 2 отыскать то из решений волнового уравнения, которое
удовлетворяет начальным условиям
-4-(х1, х2, 0) = 0, и{хх, х2, 0) = х1лг2(Л1 — х1){А2~ х2).
Упражнение УИ-11. Для уравнения
♦ д*и , д2и
■ О
в области О^лг-^1 найти все стационарные решения вида
и{х, /) = У
348 Гл. VII. Волновое уравнение и уравнение' теплопроводности
которые удовлетворяют краевым условиям
«@. 0 = «A. 0 = 0 и |5-@, 0 = -д^A. 0 = 0.
Определить то из решений уравнения, которое удовлетворяет начальным
условиям
~(х, 0)=0, я (г, 0)=л;4 — 2л;3+л;.
Упражнение VII-12. Рассмотрим уравнение теплопроводности
— — — -О П)
д( дх> ~и и'
для линейного теплопроводника длины I*, который расположен на отрезке
0 ^ х < I.
Найти все стационарные решения уравнения A) при краевых условиях
I -^-@. 0 = -^(А.О = 0.
0хк ' дх к '
Упражнение VII-13. Такое же, как и предыдущее, но с краевыми
условиями
«со, о = о. ~ц, ()=о.
Упражнение VII-14. Такое же, как и предыдущее, но с краевыми
условиями
■^-@.0=0. «а. о = о.
Упражнение VI1-15. (Уравнение теплопроводности на плоскости.) Рас-
Рассмотрим уравнение теплопроводности
аи .
для плоской пластинки (Р). Здесь и(х, у, {) — температура в точке (х, у)
иластш.ки в момент времени 1\
с — теплоемкость на единицу поверхности; -у — коэффициент теплопроводности.
1°. Предположим, что пластинка (Р) занимает область, определяемую
неравенством х2-\- у2 < /?2.
Найти все стационарные решения вида
и (х, у, I) = и (г) V (О. г = ]Л
дли коюрых функция и тождественно равна нулю на краю пластинки г =
Упражнения . . 349
2°. Предположим, что пластинка (Р) занимает область, определяемую
неравенствами К] <; х2-\- у2 < /?!■
Найти все стационарные решения вида I)(г)У ((), для которых функция и
тождественно равна нулю на краях пластинки г = Ц1 и г = К2.
3°. Предположим, что пластинка (Р) занимает область, определяемую
неравенствами О <С х -С. а, 0 :1 у < Ь. Найти все стационарные решения вида
V (х) V (у) № {(), для которых функция и(х, у, ^) тождественно равна нулю
на краю пластинки.
Упражнение VII-16. (Уравнение теплопроводности в пространстве.)
Найти все стационарные решения уравнения
ди _ . __ д2 . _^2_ , <Р_
вида и(х, у, г, 1:)— Ц(\гх~2^~у2~)У(г)№ ((), для которых функция и обра-
обращается в нуль на транше области, заключенной между двумя плоскостями
2=0 и г — Ъ и двумя цилиндрами х -\-у2 = К\ и х -г-у2 = /?2-
Упражнение УП-17. (Задача Коши для уравнения колебаний мембраны.)
Задача состоит в том, чтобы непосредственно найти решение уравнения коле-
колебаний мембраны
^ 1 д2и . п л д2 д2
■ '^2"Ш^"~ йм~ °' 1^ — ~дх2"^"дут' {'
удовлетворяющее начальным условиям
,: и(х, у, О) = ио(х, у), |
I. Пусть /'(;, у\) — достаточно регулярная функция. Положим
/ (х, у, 1\ /) = I |
у (х, у; VI)
где "\{х, у; уг) — диск с центром (х, у) и радиусом VI.
а) Показать, что Д/(х, у, I; /) = /(х, у, ^; Д/).
Ь) Заменой переменных
.г —е -тг г соя О,
350 Гл. VII. Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
показать, что
VI _
/<*. у. *;/) = ! Г-^^Ц-гаГг, D)
где /(г)— -к— I /(?, 7})с1Ь — среднее функции / по окружности с центром (х, у}
о
и радиусом г.
Показать, что
[В процессе этих выкладок можно сначала интегрировать по частям интеграл,
ы - \
который стоит в правой части равенства D), а затем — интеграл Г г— . I
^ у уЧ'г — г2 )
с) Вывести из пунктов а) и Ь), что интеграл 1{х, у, (; /) является
решением уравнения A).
II. 1°. Показать, что при ^—>0 выполняются соотношения
а) /(*, у, С, /)->0;
Ь) ^г/(х, у, С, /)->/(О) = /(дс. у);
с) -%гПх. у, I; /)->0.
2°. Вывести отсюда, что решение уравнения A), удовлетворяющее усло-
условиям B), дается формулой
и(х, у, г) = Пх, у, V, и^)-\—^1{х, у, 1\ и0).
Упражнение VII-18. I. Рассмотрим уравнение Шредингера в трехмерном
пространстве:
Стационарным состоянием называется состояние, описываемое волновой функ-
функцией Ф вида
Упражнения 351
Показать, что отыскание стационарных состояний сводится к задаче оты-
отыскания собственных значений и собственных функций некоторого оператора.
Выписать этот оператор; написать дифференциальное уравнение, которому
удовлетворяет функция Ф (г).
II. Ограничимся одномерной задачей с переменным х. Рассмотрим случай
гармонического осциллятора, когда потенциал имеет вид
где К — некоторая постоянная.
1°. Написать уравнение, которому удовлетворяет функция Ф(х).
2". Положив К=ш2т, сделать простую замену переменного, позволяющую*
сохранить в качестве единственного параметра величину 2Е//)ш. Новое пере-
переменное обозначить буквой г.
3°. Подобрать такую замену искомой функции типа
которая позволяет сделать коэффициенты при /" и / не зависящими от г
и лишь коэффициент при /' —• зависящим от г.
4°. Искать решение в виде ряда
/ (*) = 21 <*«*".
Написать рекуррентное соотношение, связывающее коэффициенты ап.
5°. Найти необходимое и достаточное условие для того, чтобы этот ряд
был полиномом. Получить отсюда собственные значения для стационарных
состояний.
6°. Пусть ЛГ — степень полинома, соответствующего собственному зна-
значению Еы. Выразить коэффициенты этого полинома через коэффициент аы
и положить этот коэффициент равным 2^. Полученный полином Ны(г)
называется полиномом Эрмита.
7°. Выписать нормированные собственные функции задачи. Показать, что
они попарно ортогональны. При этом можно воспользоваться соотношением
со
1Х (г) Н^ (г) е'2' йг = 2\! Л^,
где X и р. — целые неотрицательные числа, а 8Х|А — символ Кронекера.
III. 1°. Рассмотрим оператор
р , _^_
■*~ их
352 Гл. VII. Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
па одномерном пространстве. Показать, что этот оператор — эрмитов, т. е.
показать, что если / (х) и §(х)— произвольные функции от х, стремящиеся
к нулю при х-> ± оо, то
где введено обозначение
%* — комплексно сопряженная к § функция, черта — знак комплексного
сопряжения.
" Вывести отсюда, что собственны* значения оператора Рх вещественны.
2°. Найти собственные значения и собственные функции оператора Рх.
Обозначить буквой к собственное значение, соответствующее собственной
функции срд (х).
3°. Вычислить величину
Ф(А'. *) = <?
где / — единичный оператор. Показать, что
= кФ(к', к).
Доказать двумя способами ортогональность функций срЛ(дг) и вычислить
значение интеграла
/. к)йк'.
4°. В последних двух пунктах мы интересуемся оператором умножения
х. Вычислить величину
(V (*) I * 19* (•*))
(т*
фу
Собственному значению х0. Вычислить величины
5°. Найти собственную функцию <\>х (х) оператора х, соответствующую
;. х0)ах0.
ГЛАВА VIII
ЭЙЛЕРОВЫ ФУНКЦИИ
1. Функция Г (г). Положим
Определение
Г-функции с помощью г, . Г -гг-1 .. у_|_/1. л/ИТ 1-П
интеграла 1^г)—^ е г ат' 2 х-\-1у. ^111,1,1;
о
Этот интеграл суммируем при х > 0. [При I—>со он всегда суммируем
из-за наличия множителя е~'. При ^->0 (е"^2!-—1Х~1, откуда и вытекает
суммируемость при х—1> — 1, т. е. при х > 0.1 Суммируемость этого
интеграла равномерна при 0 < а ^ х ^С А < оо, ибо в этом случае спра-
справедливы оценки
1
Л'хе'1 при 1 <^<оо,
а интегралы I {*~ (И м I I е~с <И конечны. Отсюда вытекает, что Г (г)
0 1
является непрерывной функцией г при х > 0, поскольку подинтегральная
функция е~с(г~1 раздельно непрерывна по г (и даже непрерывна по ^ и г)
при I > 0, х > 0 (см. теорему Лебега, гл. I, предложение 45).
Выполним формальное дифференцирование:
Г'{г) = I е-({г-'\§1сИ. (VIII. 1; 2)
Эта формула будет справедливой при х > 0, если интеграл (VIII, 1; 2)
также равномерно суммируем в области 0<а<;л;^С-Л< оо. Как и выше,
это утверждение справедливо, поскольку интегралы
конечны.
23 Л. Шварц,
364 Гл. VIII. Эйлеровы функции
Аналогично вычисляются дальнейшие производные; в частности,
оо
Г"(*) = $ е'г1г~х A§ О2 Лг. (VIII, 1; 3)
о
Таким образом, Г (г) является бесконечно дифференцируемой (точнее,
голоморфной) функцией комплексного переменного г при х > 0.
Функциональное Имеем
уравнение 7 °
Г(|1)
Отсюда
при *>0. (VIII, 1; 4)
Применение. Имеем
ГB + га) = B + га —1)B + га —2) ... гГ(г) при лг>0,
и, значит,
= (п— 1)! (VIII, 1;
ибо ГA)= [ е~сй1 = 1 .
I о ]
Функция ГB+1), которую можно назвать факториалом г\> определена
при х > — 1 и принимает значение га! при 2, равном целому числу га^-1.
Заметим, что, таким образом, 0! = ГA)=1.
При любом гфО, —1, —2, ... величина
Продолжение Г (г) " Г (г + п)
с помощью (г_±_п_1)(г_|_л — 2) ... (г+1)г
функционального
уравнения является определенной при достаточно больших
целых положительных га. Ее значение при этом не за-
зависит от га, ибо если заменить га на п-\-р, то эта величина заменится величиной
Гл. VIII. Эйлеровы функции 355
Поэтому .можно определить функцию Г (г) при произвольном г, отличном
от 0, —1, —2 посредством формулы
П) (VIII, 1;6)
где га—произвольное целое число, такое, что х-\- п > 0.
При х > О мы приходим, естественно, к прежнему определению
как это легко видеть, положив га = 0. Функция Г (г) явл: ет;я голоморфной
функцией комплексного переменного г при г Ф 0, —1, —2
Изучим функцию ГB) в окрестности точки 2=—га,
Полюсы Г (г) где п — целОе число ^>0. Положим г==—п-\-и. Тогда
У(+1} ^^ «->0. (VIII, 1; 7)
—. 1чУ . г —
и (и — 1)(и — 2)... (и —л)
Следовательно, Г-функция имеет в точках г = 0, —1, —2, ... простые
(—1)"
полюсы; вычет в полюсе г = — га равен -—р—.
Отметим отдельно, что
ГB)~1 при 2->0. (VIII, 1; 8)
Ниже мы увидим, что Г'A) = — ^, где ^—постоянная Эйлера.
Таким образом,
при 2->0
и, значит,
Г(г)= Г(гг+1)=1-т+ ... (VIII, 1; 9)
При 2—>0.
Интеграл Гаусса Формула
^ '1^2г~1йг, (VIII, 1; Ц)
где г=.х-$-1у, х > 0, получается из формулы (VIII, 1; 1) заменой I на I2.
В частности,
(VIII, 1; 11)
о
ибо Г(-^-) = \/ тс, как мы увидим ниже [формула (VIII, 1; 15)].
23*
356
Гл. VIII. Эйлеровы функции
2. Функция В(р, <7). Вычисление Т(р)Т(д) при Кер>0,
Имеем
= 2 [ е-и2фр-Ыи,
ОО
Г (д) = 2 С е-^Ъ-Ыу,
о
= 4 Г Г е-^+^м2"-1^"-1 йи(IV.
ы>0,
>0
отсюда
Переходя к полярным координатам м = гсО5б, •у = Г5П19, получим
г>0,
= 2 Г е- г'г2 ("+«'-' йг • 2 Г соз2^-16 51П2« -1 6 йб ==
7
= Г{р -\- д) 2 Г
Откуда, окончательно,
(VIII. 1; 12)
Интеграл Валлиса является частным случаем этого интеграла:
тс тс
7 7
1). (VIII, 1; 13)
Гл. VIII. Эйлеровы функции
357
Полагая р = д = -^, получим
те
1
(Г (I) )* = В A, I) = 2 / 46 = и
о
оо
и, поскольку Г ("о") = Ге~'-т=->0, будем иметь
(VIII, 1; 14)
г 4-
Отсюда получаем
(VIII. 1; 15)
1 • 3 • 5 • ... • Bя — 1) ./■— |
2п V % 1
где п — целое положительное число (га > 0).
Преобразуем формулу (VIII, 1; 12), положив соз2!
Отсюда вновь получаем соотношение
й1
(VIII. 1; 17)
- = 1с. (VIII. 1; 18)
Как следствия из предыдущих формул получаем соотношения
ШЖ
г , , ,
Г(Р)
/ Г2 \
I последнее — заменой . , 2 = (\.
358
Гл. VIII. Эйлеровы функции
3. Формула дополнения. Имеем
1
— г) = Г(г)ГA —г) =
(VIII, 1; 19)
где сделана замена . . — г, и = -у—
Этот интеграл (при 0 < л: = Ке 2 < 1) вычисляют методом вычетов,
который рассматривается в теории функций комплексного переменного.
Рис. VIII, 1.
При фиксированном 2, О < х = Ке г < 1, функция
„г -1
— является много-
-и
значпой; точка м = 0 — ее единственная точка ветвления. Рассмотрим указанный
па рис. VIII, 1 контур С, участки A) и B) которого считаются бесконечно
близкими к вещественной оси. В области, ограниченной этим контуром,
паша функция распадается на отдельные однозначные ветви; мы выберем
ту из них, для которой и2-1 = е^-Ч'е" на участке A) с вещественным
значением \§и. Тогда
со
Г иг~ Г иг~
A) О
Пт
О, Л->оо
Ь) Пт
е->0, Л->оо
с) Нт Г = О,
B)
ибо
1+в
<■
е(х-
лХ-\
Гл. VIII. Эйлеровы функции
359
при достаточно больших А, так что интеграл I , взятый по окружности
длины 2тсЛ, стремится к нулю как А
х-\
C)
х— 1 <0.
й) Пт
ибо
и*-1
^Л
при достаточно малых е, так что интеграл I , взятый по окружности
D)
длины 2тге, стремится к нулю как гх, х > 0.
Окончательно
„2-1
■ аи.
Л->со <- и
Интеграл по контуру С вычисляется теперь по теореме о вычетах. Един-
Единственный полюс подинтегральной функции лежит в точке « =—1, соответ-
соответствующий вычет равен значению е'2'^" при « =—1; здесь 1§;« = гтг и,
значит, вычет равен е" (*-!). Окончательно
и
^ 1 _|_ и 1 — е е
81П П2
Отсюда получается „формула дополнения':
(VIII. 1; 20)
1
Эта формула снова дает равенство (Г 1у| | =тг и, значит,
Формула (VIII, 1; 20) доказана пока только при 0<х<1. Однако
при замене г на г-\-1 правая часть этой формулы умножается на —1;
левая часть также умножается на —1:
Г (*+ 1)Г(— 2) = гТ(г)Г(— г) — — Г(г)ГA — г),
поэтому из их равенства при 0 < х < 1 вытекает их равенство при любом г,
у которого вещественная часть х = К.&2 не является целым числом.
ЗйО Гл. VIII. Эйлеровы функции
Отсюда вытекает, что равенство (VIII/1; 20) справедливо при любых
нецелых г, поскольку его левая и правая части непрерывны; при целом г
обе части становятся бесконечными (имеют полюсы).
4. Обобщение функции В. Имеем
),.)= 2 I е
о
и, далее,
(VIII, 1; 21)
Вычислим этот кратный интеграл интегрированием по поверхности сферы
радиуса г с последующим интегрированием по г. Интегрирование по сфере
радиуса г дает величину
г=1
(адесь была сделана замена х1 = г11). Последующее интегрирование по г
дает величину
2 Iе~г2г2(р1+ - +рп)~'аг 2" / ... /$2/"-1... ^"-'аз,
0 т=\
откуда
(VIII. 1; 22)
При га = 2 мы возвращаемся к формуле (VIII, 1; 12), положив Е]=соз0,
?а = 81п0, й5 = а$ на единичной окружности г=\, ^^0. ^2^0-
Гл. VIII. Эйлеровы функции
361
Формула (VIII, 1; 22) позволяет вычислять „моменты" сферического
квадранта, т. е. интегралы типа поверхностного интеграла, стоящего в сред-
средней части этой формулы. В частности, если все р/ = -^-, то
В
1 П
2' •••• 2)—
. = 2»-»-^- = -^-. (VIII, 1; 23)
где 5„— площадь единичной сферы, а -ф—-площадь сферического квад-
квадранта. Отсюда
(VIII. 1; 24)
Таким образом,
2, 52 = 2и что вновь дает равенство Г(-я-
= угя ,
(VIII, 1; 25)
Преобразуем формулу (VIII, 1; 22), положив рг — а'"^" . Тогда
Е,>0
•2+а" + "))
(VIII. 1; 26)
Найдем, в частности, центр масс О сферического октанта г = \,
(/=1, 2, 3) в пространстве /?3. Имеем
х, =
Я
" 3
(VIII, 1;27)
362
Гл. VIII. Эйлеровы функции
То же самое значение мы получаем и для других координат: Х( = -~-,
1^3"
1=\, 2, 3, откуда 00 = -^-.
5. График функции з» = Г(х) при вещественном х. При х > О
вторая производная Т" (х) всегда положительна [см. формулу (VIII, 1; 3)].
Рис. VIII,2.
Поэтому Г—выпуклая функция, значит, она либо монотонна, либо сначала
убывает, а затем, пройдя через некоторый минимум, возрастает. Но ведь
ГA) = ГB) = 1; поэтому Г-функция имеет некоторый минимум в точке х = х0,
1 < х0 < 2, убывает при х < х0 и возрастает при х > х0.
Изучим теперь Г-функцию при х < 0.
Беря логарифмическую производную от обеих частей равенства (VIII, 1;4),
а затем обычную производную, будем иметь
I _ Г' (х) , 1
1
Т"(х)Т(х) — Т'2(х)
Гл. VIII. Эйлеровы функции 363
Отсюда вытекает, что величина —-=2 уменьшается при увеличении пере-
переменного х на 1, и, следовательно, она увеличивается при уменьшении х на 1.
При х > О имеем
Г"Г- Г'2 -
/ со
- N
^0
Правая часть здесь положительна в силу неравенства Шварца. Поэтому
величина Г"Г — Г' а !огНоп положительна при х < 0. Тогда и подавно
Г"(х)Г(х)>0, и, значит, вторая производная Г"(х) всегда имеет знак
самой Г(д:).
Там, где Г(л;)">0, и вторая производная Г"(л;)>0, а, значит, функ-
функция Г—выпукла. Там, где Г(х)<0, и вторая производная Г"(х)<0,
а, значит, функция Г—вогнута1). Отсюда мы получаем график Г-функции,
показанный на рис. VIII, 2.
6. Формула Стирлинга. Докажем формулу2)
х\= I е~ЧхМ~ ххе~хУ2ъх при х->эо. (VIII, 1; 28)
о
При фиксированном х логарифмическая производная функции е~Чх от I
X
равна —1+у. Она отрицательна при 0 ^ ( < х, равна нулю при Ь=.х
и положительна при ( > х. Поэтому функция е~'Р имеет максимум в точке
1=^х; этот максимум равен х-^е"^. Естественно положить ^ = х-|-и, тогда
со I и \
х\— ххе-х \ е~и+Х^^^~х'йи. (VIII, 1; 29)
— X
Пока и мало по сравнению с х, справедлива оценка
м- м. Л / и \ I ц . / цн
I ф 1 ' I —-^ . | /^ I ] 1_ |
. -*■ ^-^ \ -*■ / ^ ^-^ \ % I
1) Неравенство Г"Г — Г' >0 показывал, что 1§ Г является выпуклой функцией
в любом интервале его определения.
2) Доказательство ведется „методом больших чисел" Лапласа, который лежит
в основе метода перевала. См. Полна Г. и С е г ё Г., Задачи и теоремы из анализа,
т. 1, второе издание, Гостехиздат, М., 1956, стр. 105, и след., а также Лаврен-
Лаврентьев М. А. и Ш а б а т Б. В., Методы теории функций комплексного переменного,
второе издание, Физматгиз, М., 1958, стр. 446 и след. — Прим. перее.
364 Гл. VIII. Эйлеровы функции
Пока \и\ остается сравнимым с Ух (х фиксировано), функция
е \ х) переменного к, имеющая максимум, равный 1 при и = 0,
не становится бесконечно малой. Поэтому естественно положить и=у XV.
Тогда
х\ = ххе-хух |е V V*)а*. (VIII, 1; 30)
-УТ
Таким образом, остается показать, что интеграл
1{х)= |е V Ух)аю (VIII, 1; 31)
-У7
стремится к У2к, когда х стремится к -4-оо по вещественной оси.
Мы имеем здесь интеграл типа
оо
/(*)= /*(*. ъ)йю. (VIII, 1; 32)
— СО
Мы покажем, что подинтегральная функция Н{х, V) при фиксированном V
стремится к некоторой суммируемой функции Л(г^), когда х->эо, причем
со
^ я (V) (IV = Уя. (VIII, 1; 33)
— оо
Мы покажем также, что Н(х, V) возрастает при возрастании х, когда
V < 0, и убывает, когда V > 0. Поэтому функция /г(х, V) при V <; 0 мажо-
мажорируется своим суммируемым пределом Л (г»), а при г>;>0 функция Н(х, V)
мажорируется (когда х^-1) суммируемой функцией АA, V). Поэтому доста-
достаточно применить теорему Лебега (гл. I, предложение 45, стр. 64) по отдель-
отдельности к областям V <0 и г>>-0. При х->оо и фиксированном V (в част-
частности, V > — У~х) имеем
Следовательно, 1ш
лг->оо
V
[е 2 йу = У2п (интеграл Гаусса). (VIII, 1; 34)
Гл. VIII. Эйлеровы функции
365
Что же касается свойств возрастания, то мы докажем их следующим
образом.
Если л^ <; лг2, то при »<[ — Vх\ выполняется неравенство Н(х1, V) ^
<;А(х2, V), поскольку в этой области значений V функция Н{хх, ■у) = 0,
а функция Л(х2, г»)^-0. Поэтому остается показать, что \%Н(х, ю) будет
возрастающей функцией от Л[х в области 0^>г»^>—У"х и убывающей
функцией от У
х в области
Иначе говоря, остается показать, что
0 при—
Поскольку производная
(X, V) <^ 0 При V ^ 0.
(]/
й (х, 0)^1], достаточно показать, что производная
, г>) равна нулю при г» = 0 [ибо
-_ 1д Н(х, V)
х)
— -_
д (У х)
является убывающей функцией от г» в области V > — У х. Иначе говоря,
достаточно показать, что
1ёк(х,
при
— У~х. (VIII, 1; 35)
Эта производная вычисляется непосредственно (ее удобнее вычислять,
изменив порядок дифференцирований):
(х. V) = -
у х
(VIII, 1; 36)
., Ч. и т. д.
7. Применение к разложению функции 1/Г в бесконечное произве-
произведение. Вычислим главную часть дроби
366 Гл. VIII. Эйлеровы функции
при фиксированном х и I—>оо. Формула Стирлинга приводит к асимптотике
+ — У"+ е~*. (VIII, 1; 38)
п Ге-1У'2т4
(д. Х + 1 / х\Х \ X \*
1+у) ==('+т) I 1 —(—?-) стремится к 1 • ех, когда
I—>оо.
Поэтому окончательно имеем
^->оо. (VIII, 1; 39)
Положим, в частности, { равным целому числу в; тогда
Г (л) — (в-1)(п-2)...1 —
М>- (VIII. 1;40;
Из соотношений (VIII, 1;39) и (VIII, 1; 40) вытекает равенство
Но «-•|Г = е~-1г12" = е ^ 2 '" ""'' " , где величина ?„ стремится к эйле-
эйлеровой постоянной 7. когда п->оо.
_ Поэтому
(VIII, 1;42;
или
Для бесконечных рядов существуют понятия сумми-
Понятпие бесконечного руемости („абсолютной" сходимости) и сходимос^
произведения (только в случае, когда множество индексов являете}
множеством N целых чисел). Аналогично этому бес-
бесконечные произведения делятся на „мультиплицируемые" и „сходящиеся":).
') В оригинале „зоттаЫе" и „тиШрНаЫе". Русский термин для бесконечны:
произведений отсутствует. За неимением лучшего мы употребляем в переводе термт
.мультиплицируемое" произведение, который меньше режет слух, чем, скажем, термш
.перемножимое" произведение. —Прим. перев.
Гл. VIII. Эйлеровы функции 367
Только мультиплицируемые произведения имеют практический интерес, даже
в случае, когда множество индексов совпадает с М, их часто называют абсо-
абсолютно сходящимися или даже просто сходящимися.
Произведение || и1 называется мультиплицируемым, если выпол-
выполняются следующие два требования:
все члены произведения отличны от нуля (и1 Ф 0),
существует такое число РфО (значение бесконечного произведе-
произведения), что для любого е > 0 найдется конечное множество значений
индекса ]с^1, такое, что для любого конечного множества значений
индекса К~^3 выполняется неравенство
пк
(VIII, 1; 44)
Заметим, что, согласно этой формулировке, бесконечное произведение, „схо-
„сходящееся к 0" (в очевидном смысле), должно рассматриваться как расходя-
расходящееся.
Свойства мультиплицируемых произведений аналогичны свойствам сумми-
суммируемых рядов, роль числа 0 в случае рядов принимает на себя в случае
произведений число 1.
Отметим следующие свойства:
1. Для того чтобы произведение \\иг было мультиплицируемым, не-
обходимо, чтобы его общий член и1 стремился к 1, т. е. необходимо,
чтобы для любого е>0 существовало конечное множество Ус/, такое, что
|и(— 1 | -< е при I ^^.
2. Критерий Кош и. Для того чтобы произведение ТТ мг было муль-
типлицируемым, необходимо и достаточно, чтобы все его члены и1 были
отличны от нуля и чтобы для любого е >• 0 существовало конечное множество
Ус/, такое, что |Пд- — 1 | <С е для любого конечного множества К, не пе-
пересекающегося с ^ (к п^— 0).
3. Перемножение пачками. Пусть А — некоторое множество
«индексов а, и пусть (Оа--д — разбиение множества / на конечные или беско-
бесконечные подмножества, не имеющие попарно общих элементов. Пусть, наконец,
произведение ]^[ и1 мультиплицируемо. Тогда произведение Д и1 мультипли-
цируемо при любом а ^ А; если РЛ — его значение, то произведение Д Р
Л
368 Гл. VIII. Эйлеровы функции
в свою очередь мультиплицируемо, причем выполняется равенство
(VIII. 1; 45)
Если же произведение Л и1 не мультиплицируемо, то обе части этого ра-
венства все равно будут совпадать в следующих двух случаях:
а) в случае, когда все члены а,. 3>1, если величину расходящегося
произведения с такими членами считать равной -\-оо;
Ь) в случае, когда все члены удовлетворяют неравенству 0<а(<1,
если величину расходящегося произведения с такими членами считать рав-
равной 0.
Эти теоремы можно доказать непосредственно, по аналогии с теоремами
для рядов.
Удобнее, однако, свести их к теоремам о рядах, используя для этой
цели логарифмы. По правде говоря, логарифмы \§иг не определены одно-
однозначно при комплексных и1 или хотя бы при отрицательных м;.
Но ведь мы знаем, что если члены к,- не стремятся к 1, то произведе-
произведение расходится. Если же члены к,- стремятся к 1, то неравенство | и{— 1 | < 1
выполняется для всех членов, кроме, быть может, конечного числа. Это
конечное число членов можно не рассматривать.
Выделим в круге | г — 1 | < 1 непрерывную однозначную ветвь функ-
функции \§г, обращающуюся в нуль в точке г~1. Тогда суммируемость ряда
2 1&М; будет необходимым и достаточным условием для сходимости произ-
1<И
ведения
\\ и^
В самом деле,
а) каково бы ни было е > 0, существует такое -ц > 0, что при выпол-
выполнении неравенства |$|^т) выполняется неравенство \е*—1 |^г (непрерыв-
(непрерывность экспоненты).
Пусть теперь ряд 2'1Гиг суммируем, тогда существует конечное мно-
жество Ус/, такое, что | Ек | < ?), если К(\^= 0.
Следовательно, | Ик — 1 | = | е * — 1|^г, и, значит, произведение Д и1
мультиплицируемо.
Ь) каково бы ни было е > 0, существует такое -ц > 0, что при выпол-
выполнении неравенства |$—1| <т) выполняется неравенство |1&||^.е для ветви
логарифма, выбранной выше (непрерывность логарифма).
Гл. VIII. Эйлеровы функции
Пусть теперь произведение Л и1 мультиплицируемо. Тогда существует
конечное множество Уст/, такое, что | Пд-—1 | .^ т\, если /СП-/=::0- Сле-
Следовательно, | Лх\ = 11&ПК | < е, и, значит, ряд 2*1Гиг суммируем.
Отсюда вытекает важное следствие.
Для того чтобы бесконечное произведение ТТA-)-^) было мультипли-
цирусмо, необходимо и достаточно, чтобы все его члены 1-р-г^ были отличны
от нуля и чтобы ряд 2^* был суммируем.
С самого начала необходимо, чтобы добавка •о1 стремилась к нулю,
для того чтобы общий член 1-)-г»(- стремился к 1. Если же это условие
выполнено, для мультиплицируемости необходимо и достаточно, чтобы ряд
2 1&0 -'г'1'^ был суммируем. Но ведь 1^A -\-V)~V при г>->0, а мы знаем,
что для выяснения суммируемости можно заменить общий член
эквивалентным ему членом V-. Поэтому суммируемость ряда 2 "°1 необходима
и достаточна для мультиплицируемости произведения ДA+о;).
Ч. и т. д.
Примеры
Произведение
(VIII, 1; 46)
\ "• /
л=1
сходится, если а>1, и расходится, если 0 < а <^ 1.
В частности,
оо
I I A-1 ) = оо (расходящееся произведение),
11=1
| I I 1 )~0 (расходящееся произведение).
Две последние формулы очевидны непосредственно (и даже более оче-
видны, чем расходимость ряда Уи~ \:
л=1 /
2 3
1 2 п~ 1 1
24 Л. Шварц
370 Гл. VIII. Эйлеровы функции
Сходимость Бесконечное произведение Д
произведения для 1/Г п=\
мультиплицируемо при любом значении г, при кото-
котором ни один из его членов не равен нулю (т. е. при г Ф 0, —1, —2
— п, .. •)> и притом равномерно на любом ограниченном множестве в ком-
комплексной плоскости, не содержащем ни одной из этих точек (в которых
В самом деле, при ограниченном г имеет место равномерная оценка
=•12
+ 0{ф1
п п ' \ п2 } п
РЯД 2л 1? ~
суммируем.
Тем самым это бесконечное произведение представляет собой нек>торую
голоморфную целую функцию комплексного переменного г, совпадающую
с 1/Г(г), при вещественных положительных г B = х>0). Следовательно,
оно совпадает с 1/Г (г) при всех г (сама Г(г) мероморфна). Это показывает,
во-первых, что функция 1/Г (г) представляется при любом г данным беско-
бесконечным произведением (которому приписывается значение 0 при г = 0, —1,
—2 —п, .... ибо при этом один из членов произведения равен нулю,
а произведение остальных членов конечно); и, во-вторых, это показывает,
что 1/Г (г) — голоморфная целая функция, а значит, Г(^) не обращается
в нуль ни при каком значении г.
Г' (г)
8. Функция У (г) = „ . ; . Возьмем логарифмические производные
от обеих частей равенства
тогда получим
Эта формула будет справедливой, если полученный ряд равномерно сходится
при ограниченном г, не равном 0, —1, —2 Последнее требование
Гл. VIII. Эйлеровы функции
ЗТ1
действительно выполняется, ибо величина
1
г+к
к{г+к)
г
мажорируется величиной ^—- при Л > 2 вир | г |.
То, что мы получили, является „разложением на простейшие дробя"
функции —Г'(.г)/Г(.г), имеющей полюсы в точках 2 = 0, —1, —2, ...
с вычетами, равными 1. При произвольном г полагают
_ Г' {г)
Г (г) •
(VIII. 1; 43)
Устремляя в формуле (VIII, 1; 17) показатель р к 0 и оставляя показа-
показатель д = г фиксированным, можно доказать формулу
при
. (VIII, 1; 49)
Этот интеграл вычисляется элементарно при любом рациональном значении г.
В частности, имеем
ИЛИ
Таким образом,
(VIII, 1; 50)
Далее,
или
и, значит,
щг
.1
Г B)
(VIII. 1;
24*
372
Гл. VIII. Эйлеровы функции
При целом р ^> 2 имеем
Продифференцируем равенство (VIII, 1; 47) еще раз:
со со
ГГ" —Г'2 1 .VI/ 1 \2_\у/ ! ^2
Г2
г+к ) •
(VIII, 1; 52)
(VIII, 1; 53)
к=1 ' к=0
Этот ряд равномерно сходится при ограниченных г, отличных от полюсов.
-Замечание. При вещественном г = х (отличном от полюсов)
ГГ" — Г' > 0, как мы уже видели на стр. 363.
Наконец,
и=1
= 72+"^- [согласно формуле (VIII, I; 63)] = Г е-'A§*J<#- (уш> 1; 54)
9. Применения. Имеем
Разложение
функции Г'/Г
по возрастающим
степеням г
в окрестности
точки г —О
и=1
Если бы мы имели право изменить порядок
суммирований, то мы получили бы формулу
(VIII, 1; 56)
где
П-1
Мы имеем здесь двойной ряд (ряд с двойными индексами). Мы будем иметь
право обратить порядок суммирований, если весь двойной ряд абсолютно
Гл. VIII. Эйлеровы функции 373
сходится. Но ведь общий член иП1Р двойного ряда можно оценить по
модулю
1 и1
Ряд с членами |,г|р/№2 сходится при |.г| < 1, как произведение ряда 2|21Р
(сходящегося при |г| < 1) и ряда У, — - Радиус сходимости ряда (VIII, 1; 56)
равен 1. Ниже мы увидим [см. (VIII, 1; 63) ], чему равны значе-
значения С (а) при целых четных а.
Имеем
Разложение $1п г
в бесконечное зт ъг 1 1 1 с\/Ш 1 • ^74
произведение "Т~-Г(г)ГA-г)~~7Г(г)Г(-г)' *• ' ' '>
откуда, перемножая разложения функций Г (г) и Г(—г), получаем формулу
—^)- (VIII. 1;58)
Разложение, стоящее в правой части, мультиплицируемо при любом г Ф О,
1, 2, .... п, ..., —1, —2, .... — и и притом равномерно при огра-
ниченном г, отличном от этих значений, поскольку ^.—^ •< со. Это про-
,1=1
изведение будет предстанлять функцию 51пи,г при любом г, если приписать
ему, как это делалось ранее, значение 0 при целых г.
Мы получили разложение 5ти,г на множители, аналогичное разложению
полипома. Из этого разложения получаем формулу
3111 2 = 2
II (!-!&-)• (VIII. 1; 59)
Возьмем логарифмическую производную от этого
Разложение &% г произведения (обоснование аналогично обоснованию
на простейшие дроби на стр 370—371), получим.
(тг^ пЫ 1.1; 60)
/1=1
Заметим, что
2г
г — пп ' г \
25 Л. Шварц
374 Гл. VIII. Эйлеровы функции
со
при п—>оо, что и делает ряд суммируемым. Однако ряд /. не
11 = —со
суммируем.
Равенство (VIII, 1; 60) дает разложение функции с!§; г на простейшие
лроби. Полюсы с вычетами, равными 1, расположены в точках г = ли
(« меняется от — оо до -(- оо).
Разложение с1е г Разлагая члены ряда (VIII, I; 60) по степеням г,
по степеням г получим разложение
с(&2 = - |-СB)г— ... |_СB/7J2"-1— (VIII, 1; 61)
г г. г."
которое справедливо при |,г| < и. (Обоснование — аналогичное обоснованию
на стр. 372—373.)
Но ведь разложение функции с{§; г можно получить и непосредственно,
деля друг на друга разложение функций соз г и зш г:
(VIII. I; 62)
Все коэффициенты этого разложения суть рациональные числа. Поэтому
величины СB//)/т:2/; рациональны. Их можно вычислить последовательно:
4 ^ ^ (VIII. 1:63)
При численном вычислении интегралов по формуле Эйлера — Маклореиа')
используют коэффициенты разложения функции г_ по степеням г:
1 1_ , \_ сй] .г _ _ _1_ , 1_ с{о. 1г_ __
|2|<21с, (VIII. 1; 64)
которое записывают в виде
\\Л^^^ . 1; 65)
') См. Уиттекер Э. Т. и Ватсон Дж. Н., ,Курс современного анализа,
т. I, § 7.21, второе издание, Физматгиз, М., 1962. — Прим. перев.
Упражнения 375
где
О о \ Р)' ' V Р) /Л/ТТ1 1 . СС\
Вр = 2 -^-^—2р (VIII, 1; ЬЬ)
Числа бр называются числами Бернулли:
й1=-6-- ^2— зб". #3=42"- В*~ Ж (VIII. 1,Ь7)
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VIII
Упражнение VIII-!. С помощью Г-функции показать, что
I е~х \§ х их = — -[>
где ~[—постоянная Эйлера. Напомним, что Ч"A) = — -р где ^(х)— лога-
логарифмическая производная функции Г(х). Обосновать все дифференцирова-
дифференцирования, выполненные под знаком суммы.
Упражнение УШ-2. Рассмотрим последовательность функций
Нарисовать ход кривых У=/п(х)- Показать, что
для любой непрерывной функции ср(лг), обращающейся в нуль вне некоторого
интервала [— А, А].
Из равенства
(/> — произвольное вещественное число) вывести сумму ряда
• Г
II ■
1 V
' т=0
25*
376
Гл. VIII. Эйлеровы функции
Упражнение УШ-3. Положим
Пользуясь формулой дополнения, показать, что
Упражнение У1П-4. Пусть Уп — определитель Вандермонда:
1 1 ... 1
1 2 ... п
1 22 ... п2
У =
1 2"-1 ... пп~1
Показать, что
эквивалентен
п2 , Зп2 . п
При №->ОО.
Упражнение УП1-5. Заменой переменных
вычислить интеграл
///■
их йу йг
взятый по первому октанту х > 0, у > 0, 2 > 0.
При каких значениях а, C, ^ этот интеграл сходится?
, Упражнение УШ-6. Вычислить интегралы
о о
(воспользоваться разложениями функций сп {: и соз ( в ряды).
Упражнение УП1-7. Вычислить и сравнить интегралы
2 оо
{е-* ах и (е-^Щ^ах.
\_ о
' 2
Упражнения 377
Упражнение У1Н-8. Показать, что
Упражнение VIII-9. Пусть функция Г (л:) определена интегралом
при х > 0. Положим
1°. Показать, что ср(х)—выпуклая функция х при х > 0, т. е.
при любых хг, х2, к > 0, или же ср"(х)^-0 при любом х>0 (если эта
производная существует).
2°. Функция ср(х) является единственной выпуклой функцией &(х), опре-
определенной при л: > 0 и удовлетворяющей условиям
1г*. (I)
^A) = 0. B)
а) Из выпуклости ^(х) следуют неравенства
где 0 < х <; 1, л — целое число > 1.
Ь) Если положить
ТО
при 0 < х < 1.
2Ь Л. Шварц
378 Гл. VIII. Эйлеровы функции
с) Вывести отсюда, что ряд $(х) = — !§• х -\- 2 Уп (х) сходится при
всех х>0 и определяет выпуклую функцию $(х), удовлетворяющую усло-
условиям A) и B). Следовательно, §• (х) = ср {х).
3°. а) Из пункта 2° вытекает, что
П/ ч I- ПХП\
Г(х)== Пт
при х > 0. Можно ли распространить эту формулу на значения х < 0?
Ь) Показать, что ряд с членами Vп = 1§—^— сходится абсолютно.
Положить
п=1
с) Показать, что
х
со —
еп
причем это бесконечное произведение сходится абсолютно и равномерно
на любом интервале а ^ х ^д вещественной оси /?, не содержащем никакого
целого отрицательного числа.
4°. Показать, что функция Т(х) бесконечно дифференцируема и что
при х > 0 имеют место равенства
Г'(*) п 1 , €^1 I
Г (х) ~ ь х
л=1
при
Показать, что для любого целого д > 1 и для любого целого к, такого,
что I С ^ <. д—1, выполняется равенство
п=1
ГЛАВА IX
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Р
1;
ф /. Определение а элементарные свойства
1. Определение функций Бесселя; функции Неймана и Ганкеля.
; Для простоты будем считать х вещественным положительным числом (х > ОI).
^ Уравнением Бесселя называется уравнение
где V — данное комплексное число, вещественную часть которого всегда
можно считать неотрицательной (Ке^^-О).
Обычные решения этого уравнения будем искать в виде
со
у = *»2в/. (IX, 1; 2)
Левая часть уравнения (IX, 1; 1) приобретает при этом вид
2 К* -+-хJ — ^21 акхк+А-2 + 2 акхк+\ (IX, I; 3)
6=0 к=0
Для того чтобы ряд (IX, 1; 2) был решением уравнения (IX, 1; 1). должно
поэтому выполняться равенство
оо оо
' 2 |(^+^J — ч2\акхк^+^ о/+1+2э0. (IX, 1; 4)
6=0 А=0
') Мы делаем это предположение, чтобы фиксировать идеи и упростить дока-
доказательства. В действительности же почти все устанавливаемые здесь результаты, и
в частности результаты пунктов 1, 2 и 3, справедливы при произвольном ком-
комплексном х.
26» . .
380 Гл. IX. Функции Бесселя
Записав, что коэффициенты при членах с Xх, хх+1 и хк+х с А^2 равны нулю,
получим соотношения
(Х2 —N2H0 = 0. (IX, 1; 5)
{A+ХJ-*2}а, = 0. (IX, 1; 6)
2 — у*}аЛ-\- ак_2 = 0 при А>2. (IX, 1; 7)
Коэффициент а0 в разложении (IX, 1; 2) всегда можно считать отличным
от нуля (а0 Ф 0) [если условиться обозначать аохх первый, отличный от
нуля, член разложения (IX, 1; 2)]. Поэтому уравнение (IX, 1; 5) дает зна-
значения X:
Х=±*. . (IX, 1; 8)
Найдем сначала решение, соответствующее Х = ?. Перепишем уравнения
(IX, 1; 6) и (IX, 1; 7) в виде
B^-4-1)^ = 0, (IX, 1; 9)
к-\-ак_2 = Ъ, й>2. (IX, I; 10)
Из соотношений (IX, 1; 9) и (IX, 1; 10) вытекает, что все коэффициенты
с нечетными индексами равны нулю. Что же касается коэффициентов с чет-
четными индексами а2п при и^-1, то их легко получить из уравнения (IX, I; 10):
ао„ = ^ (—1)"а° , я>1. (IX, 1; II)
20 22«л!^+1)(, + 2) ... (, + в) ^ V ■ ;
Положив
получим
и запишем разложение (IX, 1;2):
Разложение в правой части, очевидно, сходится при любом х и притом
равномерно на любом ограниченном интервале. Функцией Бесселя
С индексом ч называется функция У,(лг), определяемая равен-
равенством (IX, 1; 14).
§ 1. Определение и элементарные свойства 381
Разберем теперь случай Х = — V. Уравнения (IX, 1; 6) и (IX, 1; 7) при-
приобретают вид
а1 = 0. (IX, 1; 15)
к (к — 2ч)а* + а*_2 = 0, 6>2. (IX, 1; 16)
При V, отличном от целого числа, положим
и=0
[Это равенство получается из равенства (IX, 1; 14) заменой N на —V.] Легко
проверить, что коэффициенты ак функции 7_„(*) удовлетворяют соотноше-
соотношениям (IX, 1; 15) и (IX, 1; 16) и что, следовательно, функция У_„(л;) является
решением уравнения (IX, 1; 1). Если же V — некоторое целое число р ^- 1,
то формула (IX, 1; 17) приобретает вид
П=р
поскольку полюсы Г-функции расположены как раз в целых неположитель-
неположительных точках.
Полагая к = п—р, получим
В случае, когда V не является целым неотрицательным числом
(уф 0, 1, 2,...). решения (IX, 1; 14) и (IX, 1; 17) уравнения (IX, 1; 1) ли-
нейно независимы. [Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что при
х—>0 функция 7,(х) стремится к нулю как х\ Кеч>0, а функция 7_,(х)
стремится к бесконечности как .*-М
В этом случае общее решение уравнения (IX, 1; 1) имеет вид
ЛУ,(х)-ЬВ7_>1(х)> (IX. 1; 20)
где А и В — постоянные.
В случае, когда ч—целое неотрицательное число (у^-0), функ-
функции 7р и )_р связаны соотношением (IX, I; 19), и мы должны отыскать вто-
второе решение уравнения (IX, 1; 1), не зависящее линейно от Ур.
382 Гл. IX. Функции Бесселя
При нецелом V мы назовем функцией Неймана
Функции Неймана с индексом V функцию
При целом V= р положим
Л//,(х) = ПтЛ/„(х). (IX, 1; 22)
V-»-;;
Числитель и знаменатель в правой части равенства (IX, 1;21) являются
аналитическими функциями от V, поскольку функция V—>-7„(х) при любом
вещественном х > 0 является аналитической функцией от V, и, значит, по
правилу Лопиталя, имеем
Я СОЗ МТС I • '
- —г /-г ■
откуда
(IX, 1; 23)
Из равенства (IX, 1; 23) вытекает, что при любом целом т^-0 справедливо
равенство
(IX. 1; 24)
начала -^^ч(x).
Имеем
Вычислим сначала -^
откуда
(IX, 1; 25)
Но
$ 1. Определение и элементарные свойства 383
и, согласно формуле (VIII, 1; 47),
Г'(* + *+!) _ 1 у ( 1 П, ПХ 1-
и=1
Устремим V к целому числу р.
Если р = 0, то правая часть равенства (IX, 1; 27) будет стремиться к у
при А> = 0 и к величине
к
~ + Ч (IX. 1; 28)
при к Ф 0.
Если же р > 0, то правая часть равенства (IX, 1; 27) при любом к будет
стремиться к величине
р+к
~ + Т- (IX, 1; 29)
Следовательно, при ч->р производная —г-^/Дх) будет стремиться к выра-
выражению
(IX, 1; 30)
если /> = 0, и к выражению
2 4
и=1 )
(IX, 1; 31)
если р ф0.
Вычислим теперь -^-7_,(х).
Из равенства (IX, 1; 17) легко получаем равенство
*=о
(IX, 1; 32)
384 Гл. IX. Функции Бесселя
В силу сказанного ранее производная -з— У_Дх) при V—>0 будет.стремиться
к выражению
I * 1
«=1 ;
Тогда из равенств (IX, 1; 23), (IX, 1; 30) и (IX, 1; 33) получаем формулу
|оо к
\ о о | | I ^п \" / ' / ^ ^ 1 ) I ~?Т~ I / и ■ * 2 / ^ ' • \ 1Л» 1 > О^г I
*=1 л=1
• Предположим теперь, что V стремится к целому числу р > 0.
Рассмотрим сначала члены с к~^- р в ряде, который стоит в правой
части равенства (IX, 1; 32). В силу предыдущего ряд
к = р
при V —> р стремится к выражению
(-у—^м+(т)'2«-"'(тГ.т
1.
()(ГA|+,
Остается рассмотреть члены
и] 2Л~'Чт] ТГ г^-^ + й + 1) • (К. 1.36)
Согласно формулам (VIII, 1; 7) и (VIII, 1; 47), дробь
при 0 С ^ "С Р — 1 стремится к выражению
(— \)р-Ь{р-к-\)\, (IX. 1; 37)
когда ч->р. Следовательно, сумма (IX, 1; 36) стремится к сумме
К
$ /. Определение и элементарные свойства 385
Из формул (IX, 1; 23), (IX, 1; 31). (IX, 1; 32), (IX, 1; 36) и (IX, 1; 38) вытекает
формула
р+к
л = * + 1
Остается показать, что функция Nр{х) при целом р^-0 является ре-
решением уравнения (IX, 1; 1) линейно независимым от ^р{x). Первое утвер-
утверждение вытекает из равенства (IX, 1; 24). Докажем это утверждение иным
способом; продифференцируем по V тождество относительно V:
Л2 \ /1 I Ч2 \
Получим
й2- д , , , , 1 а д , , ч . /, V2 \ д . , , 2V , , ,
(IX, 1; 41)
Аналогично получим
а2 д , ... 1 а д . . . . /, V2 \ д , , . 2ч . . .
(IX, 1; 42)
Отсюда, полагая
^(*) = -^(^-А(Л)-(-»)" "^ ■/-,(*)). (IX, 1;43)
получим
(IX, 1; 44)
Устремим V к р. Учитывая равенства (IX, 1; 19) и (IX, 1; 23), будем иметь
р(х) = 0. (IX, 1;45)
Ч. и т. д.
Что же касается линейной независимости функций /р и Ыр, то ее легко до-
доказать.
386 Гл. IX. Функции Бесселя
В самом деле, при р = 0 и х-»0 функция У0(х) стремится к 1, тогда
КПК N0(x) стремится к —оо как ^-гг! при р ^ 1 и х->0 функция Ур (х)
стремится к 0 как хр, а функция Мр(х) стремится к —оо как — х~р.
Следовательно, при V, равном целому неотрицательному числу (ч = р ^-0),
общее решение уравнения (XI, 1; 1) имеет вид
А/р(х) + ВМр{х), (IX, 1;46)
где А и В — постоянные.
Замечание. Формула (IX, 1; 21) определяет функцию Л^(х) при лю-
любом нецелом V, формула же (IX, 1; 22) определяет функцию Мр(х) при лю-
любом целом р, положительном, отрицательном или равном нулю. Легко
нидеть, что в этом последнем случае
ЛА_Р (*) = (— О'Л/Дх). (IX, 1;47)
В самом деле, согласно формуле (IX, 1; 23), имеем
*Л/_р(л:)= 11т /-|-./,(*)-(-1)"-!-./_,(*)).■ (IX, 1; 48)
откуда, положив V = — X, получим
(IX, 1; 49)
При любом комплексном V две функции Ганкеля
Функции Ганкеля ^щ н ^B) с ИНдексом V определяются равенствами
^7, + гМ,, (IX. 1; 50)
= Л — МА,. (IX. 1; 51)
Эти функции снова являются решениями уравнения (IX, 1; 1). Мы предоставим
читателю труд по проверке формул
1!1) (IX, 1; 52)
(IX, 1;53)
справедливых при любом V. При V, равном целому числу р, эти формулы
записываются в виде
% $ 1. 2. ' (IX, 1; 54)
$ /. Определение и элементарные свойства 387
Замечание. Из равенств (IX, 1; 50) и (IX, 1; 51) получаем равенства
•/,= 2 ' (IX, 1;55)
(IX. 1;56)
Заметим, что если в формулах (IX, 1; 5.0), (IX, 1; 51), (IX, 1; 55) и (XI, 1; 56)
заменить
Я'1' на еи. М2) на е~1х.
7, иа соз х и Nу на зш X,
то получатся хорошо известные формулы!
2. Интегральные представления функций Бесселя. Рассмотрим
комплекснозначную функцию /, (/) вещественного переменного (, определяемую'
равенством
I *--
К1' (IX, 1; 57)
-^■1 > 0 и имеет преобразованием Фурье
, = ] A — /2) 2 е-'" Л (IX, 1; 58)
-1
(см. гл. V, § 2, п. 7).
Мы собираемся показать, что при условии
Функция
функцию
и
@
/@
суммируема
1
при
A
0
к<
— ^2]
при
1
Г"
-I)
при
>о
^ ]0. (IX. 1; 59)
функция
2,(х) = х*<^7, (IX. 1;60)
будет решением уравнения (IX, 1; 1).
Каково бы ни было целое число т > 0, функция /"/,@ будет сум-
суммируемой при выполнении условия (IX, 1; 59).
388 Гл. IX. Функции Бесселя
Следовательно, преобразование Фурье <^~/„ является бесконечно диф-
дифференцируемой функцией; в частности, имеем
Легко получаем
К + -^2; + ( ^) , G, + Л)) + ( + )(
(IX, 1; 62)
Но
<^7, + 0^7,)" = <^7,+1 (К, 1; 63)
в силу (IX, 1; 61).
Кроме того,
/;+, = -^+1) */,(')• (IX, 1; 64)
Значит, Д'+1 суммируема и выполняется равенство
х&~и+х = —1&~(Д'+О- (IX. 1; 65)
Комбинируя первое соотношение (IX, 1;61) с соотношениями (IX, 1; 65) и
(IX, 1; 64), запишем правую часть равенства (IX, 1; 62) в виде
— 1Х--1 {<&-[— Bу-И)*/,-И2*+1)*/,Ц=0. (IX, 1; 66)
Ч. и т. д.
Функция ^,(х) ведет себя как л;* при х-*0, поэтому 2ч{х) пропорцио-
пропорциональна функции 7„(х). Пусть а, — коэффициент пропорциональности. Тогда
= а^Ё *.г(ч!>+1) (тГ' AХ'1'67)
откуда, при х = 0, получаем
-1
В левой части стоит В (-^-, ^Н-тг). Принимая во внимание формулы (VIII, 1; 12)
и (VIII, 1; 15), находим значение а„:
( |) ' (IX, 1; 69)
1. Определение и элементарные свойства 389
Окончательно мы получаем важную формулу
Л<*)=-7 ТТ^Л?) У-Ъ 2'-м**. (IX. 1; 70)
которая справедлива при КеК-]-у) > 0.
Замечание. Мы по-прежнему считаем условие (IX, 1; 59) выполнен-
выполненным. Поскольку
= 0, (IX. 1; 71)
-1
имеем также формулы
. (IX. 1;72)
Другое интегральное Замена переменного ^ = соз 6 в представлении
представление (IX, 1; 70) дает формулу
(IX. 1; 73)
которая справедлива при Ре(у-(-—) > 0.
Мы предоставляем читателю получить той же заменой переменного из
формул (IX, 1; 72) дополнительные формулы.
3. Рекуррентные соотношения. Докажем сначала формулу
— 7^ (*"Ч(*>)== *~1>+Ч+1(*). (IX. 1;74)
которую можно записать также в виде
(.IX. 1; 75)
*!»
390 Гл. IX. Функции Бвсселя
Формулу (IX, 1; 74) достаточно доказать при достаточно больших РеV. По-
Поскольку каждая из ее частей является аналитической функцией от V, анали-
аналитическим продолжением по V мы установим, что эта формула справедлива
всюду (т. е. при всех V).
Сделаем поэтому предположение (IX, 1; 59). Заметим, что коэффициент а,,
определенный равенством (IX, 1; 69), удовлетворяет соотношению
— = -^±1. (IX. I; 76)
Следовательно, из соотношений (IX, 1;61) и (IX, I; 64) вытекает соотноше-
соотношение
Если учесть равенство (IX, 1; 65), то это соотношение запишется в виде
_x^^^^^==<^^71 (IX. 1;78)
а если учесть формулу (IX, 1; 67), то оно окончательно примет вид
^ (IX, 1;79)
Это .равенство есть не что иное, как формула (IX, 1; 74).
Равенство
У;(х) = -У,(х) AХ.Ц80)
является частным случаем равенства (IX, 1; 75).
Докажем теперь формулу
—И^))^^-';,.,» (IX, 1; 81>
которую можно записать также в виде
•/:(*) = —-7 ■/,(*) + •/,-!(*)• - (IX. 1;82>
Как и ранее, формулу (IX, 1;81) достаточно доказать при достаточно
больших Ке V. Мы предположим здесь, что Ке^— 1-(—^\ > 0. Тогда
$ /. Определение и элементарные свойства 391
С другой стороны,
^-1)Д-*/; = B*-1)Д_1. ■ (IX, 1;84)
Следовательно,
В левой части стоит выражение
(К1) ^ (IX, 1; 86)
х
йх\ а
поэтому окончательно имеем
Чу-!гх-'+Чч_1. (IX, 1; 87)
Это равенство есть не что иное, как формула (IX, 1; 82).
Применение формул (IX, 1; 70) и (IX, 1; 81). Вычисление функ-
функций ^^ и У 1.
1 ~Т
При ^ = -9" формула (IX, 1; 70) принимает вид
Но по формуле (IX, 1; 81)
Лу_Пх) = 1^(/^п*) = 7/тС03*' AХЛ:89)
откуда
У , (л:) = т/А соз х. (IX, 1; 90)
__ у ъх
Отметим, что
Ы_1{х) = 31{х)=у ^%\пх . (IX, 1; 91)
2 2
-со5X. (IX, 1; 92)
Обобщение формул (IX, 1; 74) и (IX, 1; 81). Обозначим буквой О!
оператор -г-, а буквой О2— оператор — -т- . Пусть/ — целое число ^> 1,
х ах ■ ' х Aх
3C2 Гл. IX. Функции Бесселя
Последовательным действием оператора пг из формулы (IX, 1; 74) легко
пыводится формула
дг(х-\/у) = х-^Ч+г- (IX, 1; 93)
Аналогично из формулы (IX, 1;81) выводится формула
ОЦ*\/„) =*'-'./,_,• (IX, 1; 94)
4. Другие свойства функций Бесселя. Попытаемся
разложить в ряд Фурье функцию е'хЛп0, где х —
Функции Бесселя параметр (который мы будем считать веществен-
с целым индексом ^ ^^ ^
= ^ ап(х)еп1\ (IX, 1; 95)
Л= -оо
где
2т.
(IX, 1; 96)
У
о
функцию е'*8!пв можно разложить в ряд по целым степеням аргумента:
(IX, 1; 97)
При фиксированном х этот ряд сходится нормально *), когда 9 меняется
от 0 до 2тг; поэтому можно интегрировать почленно и, таким образом,
Предположим сначала, что число п — целое положительное или нуль. Раз-
Разложим (е'° — е-'°)к по формуле бинома. Тогда интеграл
■^ /Vе — е-«>)ке-Ыв ' (IX, 1-; 99)
') См. гл. I, § 3, определение 4; стр. 54. — Прим. перев.
ф /. Определение и элементарные свойства 393
будет равен нулю при любом к, кроме значения к = п-т-2т, где /»^0.
В этом последнем случае интеграл равен величине
(— 1) СЯ+2Я,-^ I йй_(— 1) т я , (IX. 1,100)
о
откуда
т=0
При отрицательном « также легко получаем ап(x) — ^1^{x).
Итак, при целом п
о
2г.
(IX, 1; 102)
(Следовательно, функция Бесселя ^п(x) является средним функции е'ДГ51пв~'ле
по интервалу периодичности.)
Кроме того,
еаг.те= % ^|^(x)е■■^^\ (IX. 1; 103)
п~ —оо
Формула (IX, 1; 103) записывается также в виде
0()| 2^) 2
п=1 л=0
(IX, 1; 104)
откуда
со
2 ^п(х)со52пВ (IX, 1; 105)
л=1
22Я+1)|-1)в. (IX, 1; 106)
Мы хотим изучить поведение функции У, (л:) с вс-
Асимптотическое щественным V, когда х—>х>.
разложение . Положим
ич{х)=\/~х^(х). (IX, 1; 107)
Легко видеть, что м, (х) является решением дифференциального уравнения
. (IX. 1; 108)
394 Гл. IX. Функции Бесселя
Таким образом, мы усматриваем интуитивно, что при х —>эо функция
и„(х) стремится к некоторому решению уравнения
к" + « = 0, (IX, 1; 109)
т. е. к некоторой тригонометрической функции. Можно аккуратно доказать
(мы же примем это без доказательства), что при вещественном V
когда х—>оо.
. Таким образом, при л:->оо функция ^^(x) ведет себя приближенно
как функция
Заметим, что в силу формул (IX, 1; 88) и (IX, 1; 90) функция ^^(x)
При у=± — в точности, а не приближенно равна функции
,/"Т . 1
1/ 5ШХ При ?:=-=-,
" , ' (IX. 1; 111)
1/ —соз л: при ч = — тг-
у т.х г 2
Причем это равенство справедливо при всех х, а не только при достаточно
больших х. Впрочем, легко видеть, что при ^=±— уравнение (IX, 1; 108)
принимает вид
и"+и=0. (IX, 1; 112)
Используя определение (IX, 1; 21), из равенства (IX, 1; 110) получаем
асимптотическое равенство
Чг (IX, 1; 113)
') Равенство §(х)~ О (/ (х)) при х -> оо означает, что модуль Д^г ос"
тастся ограниченным, когда д:->оо.
$ 1. Определение и элементарные свойства 395
при х->оо. Используя же определения (IX, 1; 50) и (IX, 1; 51), получаем
асимптотические равенства
/Хв'(*-«'+«*)+ О/-Ц (IX, 1; 114)
Т.Х \Х " I
0(_М (IX, 1; 115)
\ х1г I
при х->оо.
Положительные нули Мы хотим изучить распределение достаточно боль-
функций Бесселя ших пулей функции ^^{x) при вещественном V.
Мы собираемся показать, что при х—>-х> нули функции ^ч(x)
приближенно совпадают с нулями функции соз (л: — Bч-|-1) ^Н .
Заметим сначала, что в силу формулы (IX, 1; 110) нули функции ^,,(x)
могут располагаться только в окрестностях нулей функции соз [х—Bч-\- 1) 4-1.
Остается показать, что в окрестности некоторого нуля функции
имеется только один нуль функции ^^ (х).
Нули функции соб1х — BV-^-1)-^^ расположены в точках
^ (IX. 1; 116)
где п — целое. Нас интересуют здесь только положительные значения п(п > 0).
При заданном положительном е существует -ц > 0, не зависящее от п
и такое, что при выполнении условия
'Ц (IX, 1; 117)
с
выполняется неравенство
«»(* —B*-Ц)|.)|<е. (IX, 1; 118)
Обозначим через /„ интервал
396 Гл. IX. Функции Бесселя
Когда точка х пробегает этот интервал, функция соз(х — BV —(— 1)-^-1 пере-
переходит от значения (—1)"е к значению (—1)л+1е. При п—> х> функция У,(х)
имеет на левом конце интервала /„ тот же знак, что и число (—1)"е, а на
правом конце ^(х) имеет тот же знак, что и (— 1)л+ е. Таким образом,
когда х пробегает интервал 1п, функция ^ч(x) меняет знак и, следовательно,
имеет в этом интервале нечетное число нулей. Чтобы показать, что функ-
функция ^V(x) имеет только один нуль, достаточно показать, что ее производ-
производная ^■|(x) не обращается в нуль на интервале Iп. Но ведь в силу формулы
(IX, 1; 45) имеет место асимптотическое равенство
(-^-) (IX. 1; 119)
при х—>оо.
Поэтому нули функции /(я) могут располагаться только в окрестности
нулей функции зш (л: — B>-|- 1)-т-1. а в достаточно малой окрестности нуля
функции соз(л: — B>-]~ 1) х) нет "улей функции зт 1л: — Bм-|- 1)-г) •
Ч. и т. д.
Замечания. Мы по-прежнему предполагаем V вещественным. При
этом^:
1. Если мы знаем положительные нули функции ^,(x), то мы знаем и
отрицательные нули, поскольку У„(—х) = е|''к^^(x).
2. Можно показать, что при \ >—1 все нули функции ^ч(x) вещест-
вещественны.
3.. Заметим, что формулы (IX, 1; 88) и (IX. 1; 90) дают нам все нули
функций ^^ (х) и ^ \_(х)-
~2
Нули функции ^1 (х) лежат в точках
■§"
«тс, где п — целое положительное, 1
| (IX. 1; 120)
отрицательное или нуль. )
Нули функции ^ \ (х) лежат в точках
Bп-\-\ / —, где п — целое положительное,
отрицательное или нуль.
(IX, 1; 121)
§ 2. Перечень формул
397
При произвольном V положим
Модифицированные -и —
функции Бесселя /ч (х) = е 2 У, Aх) =
оо
~~ \2) 4Л к\Г{к + ч + 1
и назовем функцией Кельвина с индексом V функцию
Заметим, что
К^^ = К^ при любом V,
[_„ = /„ при целом п.
(IX, 1; 122)
(IX, 1;123)
(IX, 1; 124)
(IX, 1; 125)
§ 2. Перечень формул
В этом параграфе мы перечислим формулы, установленные в предыду-
предыдущем параграфе.
Мы считаем х вещественным положительным числом (*•> 0).
Дифференциальное
уравнение Бесселя
Функция Бесселя
с индексом ч
у" -| у' ~\- 1 т I у = 0, V — комплексное.
(IX, 2;1)
. 1 х \
* V 2 /
Частный случай:
00
\ > 11
2к
(А!J 1'2
(IX, 2; 3)
Функция Неймана
с индексом V
Частный случай:
__ (со&чx)^ч(x)—^_ч^x)
»•*) ■ ^тг^: при нецелом
Если V есть целое число и, то
(IX. 2; 4)
(IX, 2; 5)
где "у — постоянная Эйлера.
27 Л. Шващ
396 Гл. IX. Функции Бесселя
Функции Ганке ля
с индексом ч
откуда
Я1 Д-Я>
7,= % V '
(IX
(IX
(IX
(IX,
/■ту
(IX,
(IX,
.2;
,2;
,2
2;
2;
2;
2;
;7>
8)
;9)
10)
И)
12)
13)
Функции Бесселя, При целом га имеем
Неймана и Ганкеля ■ , . п„.
с целым индексом •'-п — V 1/ •'я*
Л^.„ = (-1)лЛ/„.
„ „ Н1 и /У1' при любом V,
Линейно независимые * р •
решения уравнения у и У_ при нецелом V,
Бесселя
У„ и Л^, при целом ч — п.
Интегральные / 1 \
представления При КеЬ + -д- >0 имеем
функций Бесселя х '
1 1
т) К-Г(,+ М /A~^} е Л> AХ>2;14)
Уу(х)=(~У =— ГA ~Р)~~со5*х<1{, (IX. 2; 15)
±'ЛСО8взт21'6йе. . (IX, 2; 16)
у (х)=D-У г—гт Г с°8 (*со5 6M1п2чЭ М> AХ>2; 17>
и, в частности,
тс
. . т
2
= — ^ соз(л:со5е)й8. (IX, 2; 18)
2. Перечень формул
399
Рекуррентные
соотношения
тогда при целом
Положим
Б, = -± -±
0 будем иметь
Имеем
Производящая
функция
А симптотические
разложения при
вещественном
V и х->оо
^лгьше^ ^ ^п(x) еш
2п
о
СО8
х -
^ + О Й-) ,
AХ.2; 19)
(IX, 2; 20)
(IX, 2; 21)
(IX, 2; 22)
(IX, 2; 23)
1
—
(IX, 2; 24)
(IX, 2; 25)
(IX, 2; 26)
И? {х) = |/ -2- е-1 (^-;-^+1>т) + О 1-1^ . (IX, 2; 27)
Заметим, что при любом х имеют место точные равенства:
^^(x)= 1 /"— 5тx = N ! (л:),
т V ~х ~т
^^x = |/ ±. соз х =
Преобразование
Лапласа бесселевых
ЪХ
1
(IX, 2; 28)
(IX, 2; 29)
\ 2 У ~
при
В частности,
, 2, 30)
(IX, 2; 31)
27*
400
Гл. IX. Функции Бесселя
Модифицированные
функции Бесселя
Имеем
и
— ■ —
Aх) = (
4"V
\
(■* \2*
\~2) '
функция Кельвина.
К_^ = КЧ при любом V
/_„ = /„ при целом п.
\
-и к\Х(к-\-ч-\-\)
(IX, 2; 32)
' (IX, 2; 33)
(IX, 2; 34)
(IX, 2; 35)
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IX
Упражнение 1Х-1. Доказать формулы (IX, 1; 70) и (IX, 1; 72), исполь-
Вуя разложение функций еИх, е~Пх и сое гх в степенные ряды.
Упражнение 1Х-2. Доказать формулы (IX, 1; 74) и (IX, 1; 81), исполь-
Вуя разложение функции У„(х) в степенной ряд.
Упражнение 1Х-3. 1°. Доказать, что при целом
оо
• - ^п{а + ь)= 2 ^р(а)^я-р^Р).
р~ —оо
2°. Доказать, что
со
Уо (уго2+*2+2а*со5а) = Уо (с) Уо (Ь) -+-2 % ^||(а) У_ (Ь) соз рх.
Упражнение 1Х-4. Пусть Я — данное положительное число, а Ш] и ю2 —
два таких положительных числа (ш1, ш2 > 0), что
о>2 и
Показать, что
^ ^о{ш^^)^о
Упражнение 1Х-5. Вычислить в смысле теории распределений в про-
пространстве К2 величину
(Д И
Упражнения 401
используя при этом метод, аналогичный методу, примененному в курсе для
вычисления А| „ „ ) в Цп-
Здесь Л^о — функция Неймана с индексом 0, г — Ух2 -\- у2.
Упражнение 1Х-6. Г. Непосредственно вычислить свертку
5 = V (х) 70 (кх) * V (х) 70 (Ьх),
используя при этом разложения функций 70 и ^ в степенные ряды.
Здесь V (х) — функция Хевисайда. Воспользоваться без доказательства
формулой
V Bт)! B/гI _ .
АЛ 22т(т!J " 22" (Я!J
т+п—1
2°. Найти дифференциальный оператор п с постоянными коэффициен-
коэффициентами, такой, что О5 = 8. Вычислить
и получить отсюда свертку
Упражнение IX-7. Имеет ли уравнение Бесселя
х2у" +- ху' -+- (х2 — ч2) у = 0,
рассматриваемое в смысле теории распределений решения вида 8о ?
Случай V = 0. Является ли функция Л/о решением этого уравнения в смысле
теории распределений?
Упражнение 1Х-8. Доказать формулу
(Пусть 1?(г) — неизвестный интеграл, он удовлетворяет дифференциальному
уравнению
и" -\- цг = — л.
откуда
С? = 2^0-}-А$\п г-\-В со$ г.
Доказывается, что Л=В = 0.)
402 Гл. IX. Функции Бесселя
Упражнение 1Х-9. Используя разложение функции Уо в степенной ряд,
доказать формулу
тс
Т
Уо B 5Ш 0) Уо B СО5 б) 5Ш О СО5 О ЙО = '^
Упражнение 1Х-1О. Вычислить интеграл
о
используя формулу (IX, 2; 16) с у =
Упражнение 1Х-11. Показать, что
Упражнение 1Х-12. Г. Разложить со5B51п6) и з1п(гз!п б) как функ-
функции от 0 в ряды Фурье. Написать для них формулу Парсеваля. Вывести от-
СЮДа оценку для \]п(г)\, не зависящую от вещественной части г.
2°.- Показать, что
-! (О л =
ГДе я — целое положительное число и /я-(-2/г+1 > 0.
3°. Показать, что
|—произвольное).
. 4°. Положим
Показать, что функция сря(г) удовлетворяет уравнению Рикатти.
1/) (/)
(_9.Л) °/"€ ~Ь (9/0 V яхиюиычд -и^ инэцэхэ г ю нионшгои— д и у
охь '
V
охь 'чхвевяоц
кпнанжпйи &
УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная температура 287
Абсцисса абсолютной сходимости 247
— определения 265
Адиабатический процесс 286
Адмитанс 157
Акустическая труба 160, 286
> закрытая 300, 304, 317
открытая 300, 302, 315
Ассоциативность свертки 139
— суммирования 18
— умножения 367
В-функция 356 и ел.
-, обобщение 360
— связь с Г-функцией 356
Возбуждение 155
Волновое уравнение в трехмерном про-
пространстве 320
в Я" 339
Волновой конус будущего 124, 130, 292,
329, 330
прошлого 291, 329, 330
Г-функция 274, 353 и ел.
— аналитическое продолжение 354
—, график 362 и ел.
—, интеграл Гаусса 355
—, определение с помощью интеграла 353
—, полюсы 355
—, разложение в бесконечное произведе-
произведение 365 и ел.
—, формула дополнения 358 и ел.
—.сгармула Лежандра — Гаусса 276
—, оормула Стирлинга 274 и ел., 363 и ел.
—.функциональное уравнение 354
Гармоническая функция 69
Гармоническое распределение 143
Гильбертов базис 182, 333
Гильбертово пространство 181
Главное значение по Коши ур 48
Голоморфность преобразования Лапласа
249, 250
Группа периодов функции 166 •
Делители нуля 191
б-раенределение Дирака 88 •
Диполь 89
Дифференцирование интеграла 66
— распределений 91
— ряда 62
— свертки 139
— функций с разрывами первого рода 95
Диффузия волн 294, 328—329
Длина волны 311
Единичное биение 94
Единичный импульс 94
Задача Коши для акустической трубы
301, 303, 305
— — для волнового уравнения 323' и ел.
для мембраны с краем 330
— — для уравнения колебаний мембраны
325 и ел., 349 и ел.
— — для уравнения колебаний струны
289, 296, 298, 308, 309 и ел.
,обратная 292
— — — — — —, решение методом
Фурье 309, 315
— — для уравнения теплопроводности
238, 339 и ел.
— — — .единственность 341
Задача Коши, единственность 308, 331
Замена переменных в интеграле 31 •
в кратном интеграле 33
Измеримая функция 27
Импеданс 157
Указатель
405
Импульсная переходная функция 155
— реакция 155, 157
Интеграл Лапласа 247
Интеграл Лебега 25
— — и интеграл Римана 28
— — кратный 32
неопределенный 45
Интеграл энергии для уравнения колеба-
колебаний мембраны 331
— — —, струны 306 и ел.
Интегралы Френеля 48
Интегральные представления функций
Бесселя 387 и ел.
Интегральные уравнения Вольтерра вто-
второго рода 149
— первого рода 151
Интегрирование по сферам 40
Класс функций 29
Конечная часть РГ интеграла 120
Коэффициент сжимаемости 285
Коэффициенты Фурье локально суммируе-
суммируемой функции 167
распределения 174
— — свертки 188
Кратность собственного значения 333
Кратный интеграл Лебега 32
Критерий Абеля для равномерной сходи-
сходимости 55
Критерий Коши 13
для бесконечных произведений 367
— — для равномерной сходимости 53
Лапласиан функции, бесконечно диффе-
дифференцируемой вне поверхности 5 101
г -» -I-2 101
Локально суммируемая функция 85
Мембрана круговая 337 и ел.
— прямоугольная 334 и ел.
Мера множества на К 29
Метод больших чисел Лапласа 363 и ел.
— распространяющихся волн 288 и ел.,
320 и ел., 339 и ел.
— спуска 325 и ел.
— Фурье (метод гармоник) ЗОЭ и сл„ 332
и ел., 342 и ел.
Множество меры нуль 26
Модуль Юнга (модуль .упругости) 282
Моменты сферического «квадранта» 361
Мультиплицируемое произведение 366
Натяжение струны 277
— — на единицу сечения 281
Неопределенный интеграл Лебега 45
Неравенство Минконского 182
— Шварца (Коши — Буняковского) 182
Норма 78, 182
Нормальная суммируемость 54
Нормированное пространство 182
Носитель распределения 90
— —.ограниченность слева 130
Носитель тензорного произведения рас-
распределений 127
-- функции 81
Ньютонов потенциал 42
, гармоничность 69
как свертка 140
— —, непрерывность и дифференцируе-
мость 68
Область суммируемости (абсолютной схо-
сходимости) интеграла Лапласа 248
Образы Фурье распределений с точечным
носителем 220
т
Обратимость элемента ^ ат-.^к) в ал-
А = 0
гебре^'+ 144
6 + К в алгебре^! 149 •
Основной закон упругости 282
Отклик 155
Относительное удлинение 282
Отражение волн 295, 301
Первообразная распределения 193
Перемножение пачками 367
Переходная функция системы 160
Период функции 166
— — основной 166
Периодическая функция 166
Периодическое распределение 171
Полиномы Бернулли 194
— Эрмита 244, 351
Полная масса распределения 141
— проводимость 157
— энергия движения струны 314
Полное изменение 177
Положительная определенность 182
распределения 199
Полулинейность формы 182
Поперечные колебания струны 277 и ел.
406
Указатель
Последовательность Коши 79
Потенциал распределения 140
Преобразование Ганкеля 235—236
Преобразование Лапласа от функции 247
, абсцисса абсолютной сходи-
сходимости 247
■ , голоморфность 249
, область суммируемости (аб-
(абсолютной сходимости) 248
распределений 136, 250
— — —, голоморфность 250
— — свертки распределений 136, 255
— — , связь с преобразованием Фурье 257
функции УA)е'Ч°--11\'(а) 251
К(/)/о@ 253
Пространство @', топология 108
— @т 106, 119
>
269
— Фурье от функции 206
— — — —, различные формы записи 231
. >с конечными моментами 210
, с суммируемыми производ-
производными 209
— — — —.суммируемой 209
распределений 216
— — —, произведение и свертка 228
, с ограниченными носителями 219
.умеренных 218
функции многих переменных 231
сферически симметричной 232
е-шг 213
У(*)е-«*«-7Г(а) 215
1/л" 244
Признак Лейбница 23
Признак, необходимый и достаточный для
того, чтобы функция <Г(р) была преоб-
преобразованием Лапласа распределения из
&\ 258
Признак сходимости последовательности
распределений к б ПО
Пример Вейерштрасса 62
Принцип склеивания по кускам 90
Продольные колебания стержня 282 и ел.
столба жидкости или газа 285 и ел.
Пространство Банаха 79, 182
— Гильберта 181 „
— О) 81 I
— —, топология 84
— &' 84
— @(Г) 171
— ©' (Г) 171
|113
114
— —.топология
— §'114
~^1 28
— и 29
— /.2(а,6) 184
— //>(Г) 184
Пространство^1 210
,топология 210
— <$" 217
Псевдофункция Р! 120
Равенство Бесселя — Парсевалл 186
Равномерная сходимость 51
, интегрируемость предельной функ-
функции 58
—, непрерывность предельной функции
57
Разделительное «или» 74
Разложение 51п г в бесконечное произве-
произведение 373
— с!;? г на элементарные дроби 373
— с{&г по степеням г 374
— Ч'(г) по степеням г 372
Распределение 84
— бесконечного порядка, пример 119
— вероятностей 140
— Гаусса 133, 240
— Дирака 88
— —, его роль при свертке 136
—, задаваемое локально суммируемой
функцией 85
— на открытом множестве 91
— периодическое 171
—.полная масса 141
— положительно определенное 199
— положительное 199
— порядка т 105, 119
— с ограниченным носителем 113 •
—, сравнение с физическими распределе-
распределениями 88
—, умеренное 217
—, умножение на бесконечно дифференци-
дифференцируемую функцию 105
—, ; , формула дифференци-
дифференцирования 107
Указатель
407
Распределение \'р — 96
Регуляризанта 135
Регуляризатор 1^.5
Регуляризация распределения 135
Решение уравнения теплопроводности с
помощью преобразования Фурье 237
и ел.
Ряд Фурье 167
для распределения 174
— —, сходимость 175, 176
■ для функции с ограниченным изме-
изменением 177
Свертка в ©' (Г) 173
— двух распределений 129
.коммутативность 129
— на окружности 130
— -нескольких распределений, ассоциатив-
ассоциативность 139
■— распределений, дифференцирование 139
Гаусса 133
— —, непрерывность 138
— распределения с бесконечно дифферен-
дифференцируемой функцией 134
Сверточная алгебра 141
2>'_ 141
$' 141
2' (Г) 141, 188
Сверточный определитель 152
Символическое исчисление Хевисайда 147,
263 и ел.
Симметрическая разность множестн 74
Системы уравнений в свертках 152
Скалярное произведение 181
Скачок 95
Скорость движения фронта волны 292
— звука в идеальном газе 287
— распространения волн 289
поперечных волн и струне 281
продольных волн в стержне (ско-
(скорость звука в теле) 283
Собственные значения 194, 333
■— —, кратность 333
Спектральное разложение пространства
<&'(Г), соответствующее оператору -т-
A$
195
Стационарное движение струны 309
Суммирование пачками 18
Суммируемая функция 27
Суммируемость и абсолютная сходимость
17
— нормальная 54
— ряда из распределений 108
Суммируемый ряд, числовой 11
Сходимость в нормированном простран-
пространстве 79
— в пространстве О) 84
— в пространстве распределений 108
— в среднем квадратичном 185
— ряда Фурье для функции с ограничен-
ограниченным изменением 177
Тензорное произведение двух распределе-
распределений 127
двух функций 126
— — нескольких распределений 128
Теорема Абеля для интегралов 45
— — для рядов 23
— аппроксимации 82
— Вейерштрасса 138
— Дирихле 333
— Лебега о мажорированной сходимости
58
— — о непрерывности интеграла, завися-
зависящего от параметра 64
о стремлении к нулю коэффициен-
коэффициентов Фурье суммируемой функции 187
— о гильбертовых базисах 183
— о числе корней алгебраического урав-
уравнения в алгебре без делителей нуля 191
— Титчмарша 143
— Фишера— Рисса 185
— Фубини — Лебега 34
Тотальная (топологически производящая)
система векторов 183
Транспонированный дифференциальный
оператор 93
Тригонометрический интеграл 47
— полином 187
— ряд 24
, необходимое и достаточное условие
суммируемости в®' 113
Умеренное распределение 217
Умножение распределений 105
Универсальная газовая постоянная 287
Уравнение Бесселя 379
, общее решение 381, 386
— в свертках 141
408
указатель
Уравнение в свертках на Г 189
— — —, элементарное решение 142
ЗГ*3; = Ъ 190
(б' _ Щ *% = Ж в &' (Г) 191
— колебаний мембраны 320
струны 281, 288
— продольных колебаний стержня 283
— столба жидкости или газа 286
— Пуассона 73, 104, 140
— Рикатти 402
— состояния 286
— теплопроводности 237, 339 и ел.
задача Коши 238
— Шредингера 350 и ел.
— хТ = 0 для распределений 106
.Условия Дирихле 331
Условно сходящиеся интегралы 45
— — ряды 23
Формула Грина 101
— Лежандра — Гаусса 276
— Парсеваля — Планшереля 226
— Стирлинга 274 и ел., 363 и ел.
— суммирования Пуассона 227
Формулы двойственности Фурье 222
— Р6 = I и Л = б 220
— Фейнмана, первая и вторая 77
Фронт волны 292
— —.скорость движения 292
Фундаментальное решение 122
Функции Бесселя с целым индексом
392—393
- — асимптотические разложения 394
положительные нули 395—396
.модифицированные 397
Функции Ганкеля 386
— Эрмита 244
— .Л/* ^-^:1, ЛЛ-2, Ы-ч2 391
Функция, антисимметрическая 48
Функция Бесселя ]ч 380 и ел.
— — интегральные представления 387
рекуррентные соотношения 389
—,выпуклая 377
— Грина 117
— Дирака 90
— Кельвина 397
—,локально суммируемая 85
—, медленно возрастающая 217
— Неймана N.. 382 и ел.
—, нечетная 49
—, симметрическая 49
— с ограниченным изменением 177
—, характеристическая 26
— Хевисайда 94
на плоскости 121,
от л переменных 128
— четная 49
— Ч' (г) 370 и ел., 372
Циркуляция газа в трубе 317
Частота 167
Частотная характеристика системы 161
Эквивалентные функции 29
Элементарное решение 122
— — для оператора П| 122
П2 124
.... п3 321 и ел.
6=0 ах
А*
— — -з—2+ а2 в алгебре
14!
— , умеренное 230
— — уравнения в свертках 142
— — уравнения теплопроводности 240
Эрмитовость формы 181
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие переводчика 5
Предисловие 9
Глава I. Дополнения к интегральному исчислению: ряды и интегралы . . 11
§ 1. Дополнительные сведения о рядах 11
1. .Суммируемые ряды 11
2. Условно сходящиеся ряды 23
§ 2. Дополнительные сведения об интегрировании 25
1. Интеграл Лебега 25
2. Несобственные условно сходящиеся интегралы Лебега 45
§ 3. Функции, представимые рядами и интегралами 50
1. Функции, нредставимые рядами 50
2. Функции, представимые интегралами 63
Упражнения 73
Глава //. Элементарная теория распределений (81
§ 1. Определение распределений 81
1. Векторное пространство 3> 81
2. Распределения 84
3. Носитель распределения 90
§ 2. Дифференцирование распределений 91
1. Определение 91
2. Примеры производных в случае одного измерения, п )= 1 94
3. Примеры производных в случае многих переменных; п произвольно . 98
§ 3. Умножение распределений 105
§ 4. Топология в пространстве распределений. Сходимость распределений.
Ряды из распределений 108
§ 5. Распределения с ограниченным носителем ИЗ
Упражнения 115
■410 Оглавление
Глава III. Свертка 4*26
§ 1. Тензорное произведение распределений
1. Тензорное произведение двух распределений 126
2. Тензорное произведение нескольких распределений 128
§ 2. Свертка 129
1. Свертка двух распределений 129
2. Определение свертки нескольких распределений. Ассоциативность
свертки .- 138
3. Уравнения в свертках 141
§ 3. Свертка в физике '. 154
Упражнения 161
Слава IV. Ряды Фурье
§ 1. Ряд Фурье для пгриодической функции и для периодического распреде-
распределения 166
1. Разложение периодической функции в ряд Фурье 166
2. Разложениз периодического распределения в ряд Фурье 171
* § 2. Сходимость рядов Фурье в смысле теории распределений и в смысле
теории функций • 175
1. Сходимость ряда Фурье распределения 175
2. Сходимость ряда Фурье функции 177
§ 3. Гильбертовы базисы в гильбертовом пространстве. Сходимость ряда
Фурье в среднем квадратичном 181
1. Определение гильбертова пространства 181
2. Гильбертов базис : 182
3. Пространство /,2 (Г) 184
§ 4. Сверточная алгебра ©' (Г) 188
Упражнения 195
Глава V. Преобразование Фурье
§ 1. Преобразование Фурье функции одного переменного 205
1. Введение 205
2. Преобразование Фурье. Определение 206
3. Основные формулы и оценки 207
4. Пространство & бесконечно дифференцируемых функций, все произ-
производные которых быстро убывают 210
5. Примеры 211
§ 2. Преобразование Фурье распределений от одного переменного 216
1. Определение 216
2. Умеренные распределения. Пространство &' 217
3. Преобразование Фурье умеренных распределений 218
Оглавление 411
4. Формула Парсеваля — Плаишереля. Преобразование Фурье в А!. . . 225
5. Формула суммирования Пуассона 226-
6. Преобразование Фурье, умножение и свертка 227
7. Другие записи преобразования Фурье 230
§ 3. Преобразование Фурье в случае многих переменных 231
§ 4. Одно физическое приложение интеграла Фурье: решение уравнения
теплопроводности 237
Упражнения 240
Глава VI. Преобразование Лапласа B47
§ 1. Преобразование Лапласа от функций 7Ш
§ 2. Преобразование Лапласа от распределений 250
1. Определение 250
2. Примеры преобразований Лапласа 250
3. Преобразование Лапласа и свертка 255
4. Преобразования Фурье и Лапласа. Обращение преобразования Лапласа 257
§ 3. Приложения преобразования Лапласа. Символическое исчисление . . . 26$
Упражнения 270
Глава VII. Волновое уравнение и уравнение теплопроводности
§ 1. Уравнение колебаний стру-ны
1. Физические задачи, подчиняющиеся уравнению колебаний струны . . 277
2. Решение уравнения колебаний струны методом распространяющихся
волн; задачи Коши 288
3. Решение задачи Коши методом рядов Фурье 309
§ 2. Уравнение колебаний мембраны и волновое уравнение в трехмерном
пространстве 320
1. Решение уравнения мембраны и волнового уравнения в трехмерном
пространстве методом распространяющихся волн. Задачи Коши . . . 320
2. Решение задачи Коши для уравнения колебаний мембраны методом
гармоник 332
3. Частные случаи: прямоугольная мембрана и круговая мембрана . . . 334
4. Волновое уравнение в А?" 339
§ 3. Уравнение теплопроводности 339
1. Анализ методом распространяющихся волн; задача Коши 339
2. Решение задачи Коши методом гармоник 342
Упражнения 344
Глава VIII. Эйлеровы функции
1. Функция С (г)
2. Функция В(р,?) 356
3. Формула дополнения 358-
412 Оглавление
4. Обобщение функции В ' 360
5. График функции у = Г (х) при вещественном х 362
6. Формула Стирлинга 363
7. Применение к разложению функции 1/Г в бесконечное произведение 365
8. Функция Ч- (г) = ^ ^ 370
9. Применения 372
Упражнения 375
Глава IX. Функции Бесселя 379
§ 1. Определение и элементарные свойства 379
1. Определение функций Бесселя; функции Неймана и Ганкеля .... 379
2. Интегральные представления функций Бесселя 387
3. Рекуррентные соотношения . . . ". 389
4. Другие свойства функций Бесселя . 392
§ 2. Перечень формул 397
Упражнения 400
Указатель 404
Л. Шварц
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ФИЗИЧЕСКИХ НАУК
Художник Л. Г. Ларский Технический редактор Е. С. Потапенкова
Корректор Т. П. Пашковская
Сдано в производство 8/1Х 1964 г. Подписано к печати 10/Ш 1965 г. Бумага 70х90'/1в. бум. л. 12,88.
печ, л. 30,1. Уч.-изд. л. 21,13. Изд. № 1/2138. Цена I р. 68 к. Зак. 781
ИЗДАТЕЛЬСТВО .МИР»-
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Главполиграфарома
Государственного комитета Совета Министров СССР по печати. Измайловский проспект, 29.